./Г Чичигин

л

ЕТОДИКА

ПРЕПОДАВАНИЯ

геометрии

УЧПЕДГИЗ



ПЛАНИМЕТРИЯ



9 5 9
в. г. чичигин

МЕТОДИКА
ПРЕПОДАВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ

ПЛАНИМЕТРИЯ

Пособие для учителей
средней школы

ГОСУДАРСТВЕННОЕ

УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 1 959
ПРЕДИСЛОВИЕ

В основу данной книги положены те материалы, которые накопи-
лись у автора в течение нескольких десятилетий его непосредствен-
ной работы в школах разного типа. Эти материалы неоднократно
подвергались обработке при подготовке к чтению лекционного
курса методики преподавания математики в педагогическом ин-
ституте. Непосредственные наблюдения автора в течение многих
лет за работой выпускников института в московских школах, кон-
сультационная работа с ними и участие в проведении педагогической
практики студентов в школе давали возможность проверять неко-
торые методические положения и вносить соответствующие измене-
ния в общий план преподавания геометрии.

При составлении настоящего пособия были поставлены следую-
щие цели:

1.	Помочь начинающим преподавателям математики так по-
строить процесс преподавания геометрии, чтобы учащиеся могли
непосредственно «видеть» основное содержание курса элементар-
ной геометрии, в частности, содержание курса геометрии положения,
видеть в нем последовательную цепь геометрических фигур, полу-
чаемых путем комбинации точек, линий и поверхностей.

2.	На протяжении всего курса геометрии в посильной и доступ-
ной форме постепенно раскрывать и логическое содержание этого
курса, в частности, дедуктивный характер его, широко применяя
в то же время индукцию, анализ и синтез, а также аналогию.

3.	Организовать процесс изучения геометрии так, чтобы обес-
печить самое активное участие в нем самих учащихся, чтобы они
на уроке отчетливо понимали изучаемый материал и в достаточной
мере усваивали его и закрепляли это усвоение решением соответ-
ствующих задач.

4.	С той же целью в процесс классной и домашней работы уча-
щихся органически должны включаться разные задачи: задачи на
построение (не только при помощи циркуля и линейки, но с приме-
нением и иных средств—чертежного треугольника и транспортира),
на доказательство, на вычисление (последние должны быть связаны
с непосредственным измерением для получения необходимых «дан-
ных») и задачи с геодезическим содержанием (на классном полигоне,
в коридоре, в зале, во дворе школы и в поле).
5.	Весь курс геометрии положения богато иллюстрировать наг-
лядными пособиями (демонстрацией готовых моделей, плакатов,
чертежей, картин), конструирование их на уроке и изготовление
самими учащимися в учебных мастерских и дома.

Почти в каждой последующей теме, начиная с треугольников,
имеется или указывается дополнительный материал для индиви-
дуальной работы отдельных учащихся или для работы в математи-
ческом кружке. Этот материал помещается с той целью, чтобы не-
сколько расширить и углубить основной геометрический материал,
указанный в программе.

Значительное внимание уделено практическому применению
геометрических форм и некоторых свойств этих форм к устройству
и использованию предметов обиходной жизни, простейших прибо-
ров и инструментов.

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодар-
ность тем членам кафедр высшей алгебры и элементарной матема-
тики и методики математики Московского городского педагогиче-
ского института имени В. П. Потемкина, которые ознакомились с
рукописью и сделали ценные замечания на совместном заседании
обеих кафедр. Большую помощь автору в обработке рукописи ока-
зали в своих рецензиях доцент В. В. Принцев, заслуженный учи-
тель Лапин, Г. А. Стальков, доцент С. И. Зетель и ныне умершие
доцент П. А. Карасев и профессор Я. С. Дубнов. Подготовку ру-
кописи к печати проводил С. В. Пазельский, которому я особенно
благодарён за его внимательную, вдумчивую и кропотливую
работу.

Автор
ВВЕДЕНИЕ

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

1.	ЗАДАЧИ МЕТОДИКИ ГЕОМЕТРИИ И ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЕЕ

В основу организации всего процесса обучения математике,
в частности и гесметрии, в средней школе положены три вопроса:

1)	чему учить?

2)	зачем учить? и

3)	как учить?

Самые общие ответы на эти вопросы даются в программе и в объ-
яснительной записке к ней: 1) в программе перечисляются основ-
ные темы, составляющие содержание курса геометрии (это и есть
ответ на первый вопрос: чему учить?); 2) в объяснительной записке
к программе в общей форме указываются цели преподавания гео-
метрии в школе (ответ на второй вопрос: зачем учить?); в той же
объяснительной записке даются краткие методические указания к
проведению некоторых тем курса (ответ на третий вопрос: как
учить?).

Первая и основная задача методики геометрии и состоит в том,
чтобы развить и обосновать эти общие ответы в соответствии с сов-
ременным состоянием марксистско-ленинской философии, науки
математики, основными принципами советской дидактики и с тре-
бованиями психологии и педагогики.

Вторая практическая задача методики геометрии — быть ос-
новным руководством в повседневной педагогической работе учи-
теля в средней школе, особенно для начинающего учителя.

Методика преподавания геометрии и является одним из таких
руководств, которое помогает будущему или начинающему препо-
давателю ознакомиться с основными методами, приемами и сред-
ствами преподавания данной учебной дисциплины. Но и опытный
преподаватель в отдельных случаях обращается к методическому
руководству, ища в нем ответ на возникший вопрос.

В соответствии с этими задачами основное содержание методики
геометрии состоит в разработке и обосновании:

1)	принципов построения учебного плана и программы;
2)	методов, приемов и средств, применяемых при обучении
геометрии;

3)	приемов и средств для развития различных навыков — вы-
числительных, графических, конструктивных, навыков применения
полученных знаний к решению задач и т. п.;

4)	приемов и средств для развития навыков самостоятельной
работы учащихся;

5)	приемов и средств проверки знаний и навыков учащихся, а
также предупреждения неуспеваемости их.

В основу всех этих методов, приемов и средств должно быть по-
ложено требование, чтобы учащиеся понимали изучаемый
материал и сознательно его усваивали.

2« ЦЕЛИ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Школьный курс геометрии имеет наибольшую стройность, ло-
гическую строгость и последовательность по сравнению с други-
ми учебными математическими предметами. Поэтому в дореволю-
ционной школе основным мотивом внесения геометрии в учебный
план средней школы было «развитие логического мышления уча-
щихся». В объяснительной записке к программе по математике в
советской средней школе указывается целый ряд специальных це-
лей, в силу которых в учебный план школы вводится курс геомет-
рии. Там сказано: «Преподавание геометрии имеет целью систе-
матическое изучение свойств фигур на плоскости и в простран-
стве и применение этих свойств к решению задач вычислительного
и конструктивного характера, развитие у учащихся логического
мышления, пространственного воображения и умения применять
полученные знания к выполнению практических работ: простейшие
измерения длин и площадей, измерения на местности, определение
поверхностей и объемов различных бытовых и технических объек-
тов и т. п.»*.

Понятно, что наряду с этими специальными целями преподавания
геометрии сохраняются и общие цели преподавания всего курса
математики — образовательные, воспитательные и практические.

Образовательные цели состоят в том, чтобы

1)	дать учащимся ряд геометрических понятий и знаний, приве-
денных в определенную стройную систему;

2)	научить обрабатывать получаемые знания, объединять и обоб-
щать создаваемые понятия и приводить их в систему;

3)	научить в каждой задаче, понимая задачу в самом широком
смысле этого слова, отчетливо различать, что дано, что надо
найти и поставить вопрос, как это сделать.

Все это, вместе взятое, должно помогать развитию и повышению
способности учащихся к правильному логическому мышлению.

Воспитательные цели следующие:

* Программы средней школы. Математика. 1956, стр. 21.
1)	развитие марксистско-ленинского мировоззрения;

2)	воспитание чувства национальной гордости и советского
патриотизма;

3)	воспитание инициативы, воли и настойчивости в преодолении
трудностей;

4)	воспитание уважения к истине и критического отношения
к собственным и чужим суждениям;

5)	развитие воображения, внимания, аккуратности при выпол-
нении работы.

Практические цели состоят в том, чтобы

1)	приучить учащихся распознавать математическую сущность
в явлениях окружающей жизни (колесо — окружность, приводной
ремень — касательная к двум кругам и т. п.);

2)	научить их применять полученные знания и навыки в по-
вседневной практической жизни и при изучении других школьных
учебных дисциплин;

3)	подготовить к дальнейшему изучению математики, физики
и технических дисциплин в высшей школе.

3.	ПОСТРОЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Первые сведения по геометрии учащиеся получают еще в началь-
ной школе при изучении метрической системы мер длины, площади
и объема:

1)	они знакомятся с прямыми линиями и отрезками, проводя
соответствующие измерения отрезков (длины н ширины комнаты,
классной доски, книги и т. п.);

2)	изучая квадратные метрические меры, они знакомятся с та-
кими фигурами, как прямоугольник и квадрат в связи с непосред-
ственным измерением их площадей;

3)	затем они изучают кубические меры на таких объектах, как
прямоугольный параллелепипед и куб, определяя площадь по-
верхности этих геометрических тел и их объем.

В V классе продолжается эта работа в связи с изучением курса
арифметики дробей. В программе это требование выражено так:
«Решение задач с геометрическим содержанием: вычисление пери-
метров и площадей прямоугольника и квадрата, объем куба и пря-
моугольного параллелепипеда по готовым данным и по данным, по-
лученным путем непосредственных измерений. Построение простей-
ших диаграмм... Вычисление поверхности куба и прямоугольного
параллелепипеда. Площадь треугольника. Вычисление площади
четырехугольника разбивкой его на треугольники. Изготовление
из картона моделей кубического дециметра и сантиметра, куба и
прямоугольного параллелепипеда. Развертки этих тел... Вычисле-
ние длины окружности и площади круга, поверхности и объема
цилиндра по готовым данным и по данным, полученным путем
непосредственного измерения. Ознакомление учащихся с таблицами
для вычисления длины окружности по диаметру и обратная задача.
Построение диаграмм*». В объяснительной записке по этому поводу
говорится: «Решение задач геометрического содержания имеет
целью:

а)	дать учащимся достаточный запас геометрических образов и
понятий, на основе которых они могли бы приступить к изучению
систематического курса геометрии в последующих классах, а также
решать задачи по физике;

б)	расширить круг вопросов и задач с содержанием из повсе-
дневной жизни и из смежных учебных предметов»**.

Эти выписки приведены с той целью, чтобы показать, что гео-
метрический материал в первых пяти классах средней школы но-
сит, с одной стороны, сугубо практический характер, а с другой —
подготовительный характер. В той же объяснительной записке
даются н краткие методические указания.

В VI классе учащиеся приступают к изучению систематического
курса геометрии; он заканчивается в X классе.

Такое построение курса геометрии неоднократно подвергалось
и продолжает подвергаться серьезным нападкам как в методиче-
ской литературе, так и со стороны широкой математической об-
щественности. Основным недостатком существующей системы яв-
ляется то, что очень рано вводится систематический курс геометрии
в VI классе, когда учащиеся не могут еще в должной мере понять,
осознать и усвоить строго логическую систему геометрии, старают-
ся «выучить» определения, аксиомы, теоремы и даже доказательство
их, что приводит к формальному усвоению курса геометрии.

Это в значительной мере зависит от того, что подготовительный
геометрический Материал не имеет более или менее стройной си-
стемы, а потому не может способствовать поставленной цели —
подготовить учащихся к изучению систематического курса геомет-
рии; в нем геометрические представления развиваются слабо и не-
достаточно, не выявляются должным образом свойства геометриче-
ских образов, так как основное внимание обращается только на
измерение.

Пропедевтический курс геометрии. Про-
педевтический курс геометрии в соответствии с программой начи-
нается с I класса и заканчивается в V классе средней щколы. При
этом он должен представлять собой нечто цельное и стройное, чтобы
к концу пятого года обучения учащиеся имели ряд ценных и полез-
ных знаний и притом в некоторой системе, умели производить не-
посредственные и некоторые косвенные измерения.

Основное содержание пропедевтического курса геометрии долж-
ны составлять пространственные геометрические образы или фигу-
ры. Учащиеся наблюдают окружающий их мир (в классной комнате,
в школе, дома, на улице, в поле, в лесу) и выделяют в нем предметы
определенной формы: прямоугольный параллелепипед или брус

* Программы средней школы. Математика, Учпедгиз, 1956.

** Также, стр. 13.
(классная комната, шкаф и др.), куб (арифметический ящик),
призма (граненый карандаш), пирамида (крыша на некоторых ки-
осках), цилиндр (круглый карандаш, железная труба), конус (во-
ронка, конец круглого очиненного карандаша), шар.

При внимательном и подробном рассмотрении пространственных
образов — предметов или их моделей — в определенное время вы-
деляются плоскостные геометрические образы: линии — прямая
и кривая, ломаная (кромки стола, края стула, натянутый шнур
с грузом), простейшие комбинации тех же линий — углы, треуголь-
ники, четырехугольники (прямоугольники), многоугольники, ок-
ружности, комбинации окружности и прямых линий (приводные
ремни, колесо вагона и рельс и т. п.).

В определенные периоды прохождения основной программы по
арифметике вводятся и основные понятия метрической геометрии:
понятие длины отрезка, площади плоской замкнутой фигуры, пло-
щади поверхности и объемы некоторых геометрических тел.

Основным методом изучения пропедевтического курса геомет-
рии является наблюдение при самом широком использовании нагляд-
ных пособий (предметы окружающей обстановки, модели, чертежи).
Попутно широко применяется лабораторная работа учащихся в
классе, дома, во дворе и в поле: непосредственные измерения, из-
готовление моделей, чертежей, составление таблиц, провешивание
линий, косвенные измерения на местности (определение площадей
участков, объемов земельных выемок и т. п.).

При этом обязательно будут выявляться некоторые свойства
геометрических образов (равенство и неравенство отрезков, углов,
равенство прямых углов, равновеликость плоских фигур). В связи
с этим учащиеся будут составлять простейшие логические суждения
(например, все прямые углы равны и т. п.).

Основной курс геометрии. Программа основ-
ного курса геометрии, как известно, построена следующим обра-
зом: сначала изучается планиметрия (VI—IX классы), а затем —
стереометрия (IX—X классы). В основе этого построения лежит
та система, которая была дана Евклидом в его «Началах»; при этом
курс геометрии является достаточно строгим с логической стороны
и вполне доступным для учащихся средней школы.

Основной теоретический материал в учебниках геометрии обыч-
но дается в дедуктивном изложении. И в классной работе при изу-
чении отдельных тем, особенно в старших классах средней школы,
необходимо приучать учащихся пользоваться тем же дедуктивным
методом, чтобы ко времени окончания школы онп могли свободно
применять его.

Но это требование надо вводить постепенно, учитывая возраст
учащихся и их общее развитие. Поэтому в VI и VII классах,
где закладывается фундамент системы геометрических знаний,
почти каждое новое понятие целесообразно вводить сначала ин-
дуктивно, давая в руки учащихся необходимый дидактический ма-
териал для сопоставления (например, для наложения и приложе-
ния) или для непосредственных измерений. Например, ставится
задача о сумме внутренних углов треугольника. Полезно дать уча-
щимся на каждую парту по одному бумажному треугольнику (са-
мых разнообразных видов и размеров) и предложить им измерить
транспортиром каждый внутренний угол треугольника и опреде-
лить сумму их; результаты записываются на классной доске. Уча-

щиеся легко приходят к выводу, что сумма внутренних углов тре-
угольника равна или очень близка к 180°. После этого преподава-

тель может перед всем классом
продемонстрировать опыт: заг-
нуть углы бумажного треуголь-
ника так, чтобы все вершины
их совпали в одной точке, ле-
жащей на одной стороне тре-
угольника (черт. 1); получится
наглядная иллюстрация теоре-
мы о сумме трех углов, име-
ющих общую вершину и распо-

ложенных по одну сторону отрезка прямой — стороны треуголь-
ника. Но при этом не следует скрывать того, что здесь резуль-
тат наблюдения нельзя признать достоверным, так как нет ос-
нования утверждать, что две стороны крайних углов составля-

ют одну прямую линию.

Поэтому ставится задача: путем логических рассуждений дока-

зать теорему о сумме внутренних углов треугольника, так как
опытным путем нельзя получить точный ответ на поставленный
вопрос. Дальнейшая работа должна быть проведена дедуктивным

методом.

Чем старше будут учащиеся, тем в большей мере будет сокра-
щаться предварительная индуктивная подготовка их к решению той
или иной задачи или к доказательству теоремы. В самых старших
классах многие теоремы и даже целые темы будут изучаться пре-
имущественно дедуктивно.

4.	ЗАДАЧИ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

В объяснительной записке к программе по математике говорится:
«Целью изучения геометрии в средней школе является системати-
ческое изучение свойств фигур на плоскости и в пространстве и при-
менение этих свойств к решению задач вычислительного и конст-
руктивного характера...»*.

Поэтому при изучении геометрии надо систематически решать
задачи на вычисление, на построение и на доказательство во всех
классах в связи с изучением каждого раздела курса.

К сожалению, в практике школы иногда имеет место совершен-
но ненормальное явление: если при изучении курсов арифметики,

• Программы средней школы. Математика, 1958, стр. 18.
алгебры и тригонометрии основная работа в классе и домашняя
работа учащихся состоит преимущественно в решении задач, осо-
бенно задач-примеров для развития вычислительных и преобразо-
вательных навыков (иногда в ущерб усвоению теории), то при изу-
чении геометрии наблюдается другая крайность — классная и до-
машняя работа учащихся заключается преимущественно в изуче-
нии теории, а задачи составляют незначительный придаток к этой
работе.

В то же время известно, что теоретические положения геомет-
рии имеют очень широкое применение при решении практических
задач.

Конкретное содержание этих задач может быть самое разно-
образное. Одни из них имеют чисто геометрическое содержа-
ние, когда речь идет только о геометрических фигурах вне
связи их с конкретными предметами; именно такие задачи до сих
пор и составляют основное содержание сборников задач по гео-
метрии. Значение таких задач при изучении геометрии состоит
в том, что они помогают учащимся отчетливо понимать теоретиче-
ский материал и в силу этого сознательно и прочно усваивать его.
Все это, вместе взятое, будет содействовать развитию логического
мышления учащихся и их пространственного воображения, по-
буждать к проявлению инициативы, настойчивости и упорства в
достижении поставленной цели.

Наряду с отвлеченными задачами должны быть в достаточном
количестве и задачи с практическим содержанием, когда основными
объектами в них являются предметы окружающей жизни (например,
определение площади пола комнаты, веса цилиндрической трубы)
или детали технических конструкций и оборудования (например,
определение длины передаточного ремня двух шкивов и т. п.).
Эта задачи с конкретным содержанием помогают учащимся узна-
вать в предметах окружающей жизни знакомые геометрические
формы, использовать те или иные свойства этих форм и тем самым
выяснять практическое применение геометрии.

Задачи в курсе геометрии играют ту же роль, что и задачи при
изучении других математических предметов в средней школе. Так,
например, приступая к изучению той или иной темы или отдельной
теоремы, преподаватель может предложить учащимся сначала со-
ответствующую задачу, даже не указывая конечной цели ее (на-
пример, в равнобедренном треугольнике провести биссектрису
угла при вершине его или в прямоугольном треугольнике провести
высоту из вершины прямого угла на гипотенузу и т. п.). Учащие-
ся выполняют указанное задание, получают новые фигуры, вы-
ясняют свойства этих фигур, что приводит их к самостоятельной
формулировке новой теоремы. Таким образом, эти задачи явля-
ются источником, из которого вытекает новая теорема
или даже новая тема (из первой задачи — свойства биссектрисы
угла при вершине равнобедренного треугольника и свойства
самого треугольника, из второй задачи — свойства полученных
треугольников, пропорциональность отрезков в прямоугольном
треугольнике и теорема Пифагора).

Другие задачи, обычно более сложного содержания, даются
после изучения теоремы или целой темы, чтобы показать практи-
ческое применение нового теоретического материала и прочнее за-
крепить его.

Задачи в курсе геометрии бывают преимущественно текстовые,
которые можно разбить на такие группы:

1)	задачи на вычисление, решаемые без применения пли с при-
менением тригонометрии (последние входят в курс после изучения
тригонометрии прямоугольного треугольника в VIII классе);

2)	задачи на доказательство, которые по существу являются
теоремами, не вошедшими в основной теоретический курс геомет-
рии, и

3)	задачи на построение или конструктивные задачи.

Задачи на вычисление

В практике школы наибольшим вниманием пользуются задачи
на вычисление. Они составляют основное содержание преж-
них сборников задач по геометрии. Процесс решения таких за-
дач в значительной мере сводится к составлению уравнений (фор-
мул), к алгебраическим преобразованиям их и к арифметическим
вычислениям той или иной сложности.

Однако геометрические задачи на вычисление имеют свои осо-
бые специфические трудности, которых нет при решении арифме-
тических и алгебраических задач. Эти трудности связаны с построе-
нием и использованием чертежа, с применением необходимых тео-
рем и с составлением соответствующих уравнений.

Трудности, связанные с построением
чертежа. Учащийся еще при чтении текста задачи (как и при
чтении текста теоремы, которую надо доказать) должен четко пред-
ставлять себе те формы — геометрические образы, о которых идет
речь в задаче. Затем он должен построить соответствующий чертеж,
построить его так, чтобы он отвечал конкретным требованиям за-
дачи. Потом он должен проанализировать этот чертеж, выделить
в нем то, что известно по условию задачи и что надо определить.
Если не хватает на чертеже графических данных, надо дополнитель-
но построить их наиболее удачно, чтобы облегчить составление
плана решения задачи.

Для преодоления затруднений, связанных с построением черте-
жа по тексту задачи, полезно в VI и VII классах (а иногда и в более
старших классах) проводить особую работу, которую можно на-
звать графическим диктантом. Она состоит в том, что учащиеся
по данному тексту или под диктовку преподавателя выполняют
требуемые построения в определенной последовательности.

Приведем примеры таких задач.
Задача 1. Построить разносторонний треугольник АВС', из се-
редины Е стороны АС провести прямые EFllBC и EKWAB до
пересечения в точках F и К с двумя другими сторонами треуголь-
ника; точки F и К соединить отрезком прямой.

Задача 2. Из внешней точки к окружности провести касательную
и секущую; из центра на секущую провести перпендикуляр ОК',
точку К соединить с точкой касания.

Задача 3. В прямоугольной трапеции ABCD угол D — острый.
Из середины стороны CD провести (восставить) перпендикуляр EF
до встречи с продолжением стороны АВ в точке F; последнюю сое-
динить с серединой стороны ВС.

Эти задачи следует решать преимущественно на уроках, чтобы
приучать учащихся внимательно слушать или читать условие за-
дачи и последовательно выполнять указанные в тексте построения.
Полученные навыки учащиеся будут потом применять и в само-
стоятельной работе в классе и дома при решении задач, связанных
с построением чертежа.

Организация и проведение графического диктанта на уроке
потребует немного времени. Особенно полезно эту работу проводить
с учащимися после доказательства трудной теоремы или после ре-
шения сложной задачи (в середине или в конце урока).

Решение подобных задач будет в значительной мере содейство-
вать развитию геометрического воображения учащихся.

Соответствующие задачи можно предлагать учащимся на уроке
двумя способами.

Преподаватель сначала читает все условие задачи, а затем пов-
торяет по частям, выделяя такую часть текста, в которой идет речь
только об одном построении. Например, учитель читает:

«Построить разносторонний треугольник АВС;...» В сознании
учащихся возникает сначала некоторый образ треугольника, а затем
(иногда при помощи дополнительного вопроса преподавателя) и
образ разностороннего треугольника, который и воспроизводится
на чертеже с обозначением вершин буквами.

«...из середины стороны АС...» Учащиеся на чертеже выделяют
сторону АС, определяют середину ее (на глаз или при помощи цир-
куля или линейки) и отмечают равные отрезки.

«...провести прямые EFWAB и EK II ВС до пересечения с другими
сторонами треугольника;...»

В соответствии с этим текстом учащиеся выполняют требуемое
построение при помощи линейки и треугольника.

«...точки F и К соединить отрезком прямой». Учащиеся выпол-
няют и это построение.

Второй способ состоит в том, что учащиеся под диктовку пре-
подавателя записывают все условие задачи, а затем уже самостоя-
тельно выполняют в указанной последовательности требуемые по-
строения.

В некоторых случаях преподаватель может использовать по-
лученный чертеж для последующей устной работы, предлагая уча-
щимся проанализировать полученный чертеж, например, установить,
что отрезки EF, ЕК. и K.F—средние линии в треугольнике АВС,
треугольники ЕКС и FBK, равны, четырехугольник AFK.E есть
параллелограмм и т. п.

Трудности, связанные с выбором и ис-
пользованием теорем, необходимых для ре-
шения данной задачи. При изучении геометрии уча-
щиеся знакомятся с большим количеством теорем, которые далеко
не всегда укладываются в их сознании в определенной системе. Вы-
бор той теоремы или формулы, которая приведет к успешному,
наиболее рациональному и изящному решению данной задачи —
дело весьма трудное для учащихся.

В целях преодоления этих трудностей надо приучать учащих-
ся с первых уроков геометрии решать задачи на вычисление по
определенному плану.

1.	Схематическая запись условия задачи (построение чертежа
и перечень данных условия).

2.	Решение задачи (составление необходимых уравнений и ре-
шение их).

3.	Составление ответа на вопрос задачи.

4.	Проверка решения (в некоторых случаях).

Ниже приводятся примеры решения задач по курсу геомет-
рии VI, VII, и VIII классов.

Примеры решения геометрических
задач на вычисление

Задача 1*. Стороны треугольника относятся, как 3:4:6.

Середины всех сторон последовательно соединены отрезками
прямых. Периметр полученного треугольника равен 65 см. Опре-

делить стороны данного треугольника.

1.	Схематическая за-
пись условия задачи
(черт. 2):

Дано: Л АВС;

АВ : ВС : СА=3 : 4:6;

АА' = А'В;

ВВ' = В'С;

СС = С А;

△ А'В'С;

А'В'+В'С'+А'С'=65 см.

Определить: АВ, ВС и АС.

2.	Решение. АВ = 2В’С (В'С' — средняя линия Л АВС);

ВС = 2А 'С' (А "С — средняя линия Л АВС);

АС = 2А'В' (А'В' —средняя линия Л АВС).

*С.В. Назарьев и др., Сборник задач по геометрии, Учпедгиз.
194 в, № 157.
АВ+ВС+АС = 2(В'С'+А'С’+А’В');

АВ+ВС+АС = 130.

Итак: АВ+ВС+АС = 130.

АВ : ВС : АС = 3:4 : 6.

Следовательно, АВ = 3 т, ВС — 4 т, АС = 6 т, где т —
произвольная единица измерения.

АВ+ВС+АС = 130,	13m = 130,

АВ+ВС+АС = 13 т, т = 10.

Ответ. АВ = 30 см, ВС = 40 см, АС =₽ 60 см.

3.	Проверка. АВ : ВС : АС =30 : 40 : 60 = 3 : 4 : 6.

Задача 2*. Из вершины В параллелограмма ABCD опущен
перпендикуляр BE на сторону AD. Определить углы паралле-

лограмма, зная, что продолжения пря-
мых BE и CD пересекаются под углом
в 39° 25'.

1.	Схематическая запись условия
задачи (черт. 3).

Дано: ABCD — параллелограмм;

BElAD;

^BFC = 39°25'.

Определить: ^А =

^АВС = ^ADC.

2.	Решение. Л BCF — прямо-
угольный (^CBF = d, так как BE л. AD
и BE л. ВС);

Черт. 3

^С = 90°—-^BFC, т. е. ^С = 50°35';
^А = ^С = 50°35';

^АВС = 180°— ^С;

^АВС - 129°25';

^ADC = ^АВС = 129°25'.

Ответ. ^А = ^С = 50°35', ^АВС = ^ADC = 129°25'.

3.	Проверка. ^A+^C+^ABC+^ADC = 360°.

Задача 3**. В четырехугольнике диагонали равны 10 дм и 8 дм
и . „

и пересекаются под углом -у d. Определить стороны и углы четырех-
угольника, который получится при последовательном соединении
отрезками середин сторон данного четырехугольника.

* С. В. Назарьеви др.. Сборник задач по геометрии, Учпедгиз,
1948, № 301.

** Там же, №344.
1.	Схематическая запись условия задачи(черт. 4.)

Дано: ABCD — четырехугольник;

АС = 8 BD = 10 дм;

АА' = А'В; ВВ' = В'С;

СС = CD; DD' = D'A;

A'B'C'D' — четырехугольник;
^AMD = "d.

Определить: А’В'. В'С,
CD', D'A'

и ^А'В'С, ^B'C'D', ^C'D'A',
^D'A'B'.

2.	Р е ш е н и е. А'В' = -^АС
(как средняя линия Л АВС);

D'C = 4- АС (как средняя линия
△ А£) С).

D'C и А'В' || D'C.

В'С = у BD (как средняя линия Л BCD);

A'D' = (как сРеДняя линия Л ABD).

Следовательно, В'С' = A'D' и В'С' || A'D'.

Поэтому четырехугольник A'B'C'D' — параллелограмм.

^А'В’С = A'D'С = ВМС = d

О

С

и <^В A'D'= ^B'C'D' = ^АМВ = d (как соответственно одно-
именные углы с взаимно параллельными сторонами).

Ответ. А'В' = D'C' = 4 дм, ^А’В’С = ^A'D'C

В’С = A'D' = 5 дм,	В'A'D' = ^B'CD' =$- d.

о

Задача 4*. Стороны треугольника АВС равны 8ext, 16 см и 20 си.
Из вершин этого треугольника, как из центров, описаны три ок-
ружности так, что каждая внешне касается двух других. Опреде-
лить радиусы окружностей.

Эту задачу можно решить без чертежа.

1.	Схематическая запись условия задачи.

Дано: ДАВС,

АВ = 8 см;

ВС = 16 см;

СА = 20 см;

окружности (A,/?i), (В,/? 2), (С,/?э), где А, В и С — центры ок-
ружностей, /?1, /?2, /?з — радиусы тех же окружностей.

♦ СВ. Назарьеви др.. Сборник задач по геометрии, Учпедгиз,
1948, № 565.
Определить Я i> Я 2, Яз.

2.	Решение. Исходя из условия задачи, где сказано, что
каждая окружность внешне касается двух других, следует, что
точки касания лежат на сторонах угла, как на линиях их центров
Поэтому:

Я1 + Ri = 8,

Ri + Яз = 16,

Я1 + Яз = 20.

Решением этой системы будет система чисел: 6, 2 и 14.

3.	Ответ. Я1 = 6 см, Яг = 2 см и Яз = 14 см.

Задача 5*. Радиус окружности равен 8 дм, хорда АВ = 12 дм.

Через точку А проведена касательная, а
из точки В — хорда ВС, параллельная
касательной. Определить расстояние меж-
ду касательной и хордой ВС.

1.	Схематическая запись условия зада-
чи (черт. 5).

Дано: Окружность (О,Я),

ОА = R = 8 дм, АВ = 12 дм,
AF — касательная,
ВС — хорда;

ВС || AF, AD ± ВС.

Определить AD.

2.	Решение. Проводится ОЕ±_АВ (АЕ = ЕВ); &А0Е—

—ABD (как прямоугольные, имеющие общий острый угол А).

П AD АВ	АВ-АЕ

Поэтому = откуда AD =

или AD =	= 9 (АЕ = ~ АВ).

радиуса, равного 2 дм, описана
равнобочная трапеция, площадь
которой равна 20 дм2. Найти
площадь вписанного в круг
четырехугольника, вершинами
которого служат точки касания.

Условие задачи (черт. 6).
Дано: Окружность (0,Я)> OF=
= ОЕ = Я = 2 дм;

A BCD — равнобочная описан-
ная трапеция,

Sabcd — 20 дм2,

GEHF — вписанный четырехугольник.

* Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. I «Планиметрия»,
Учпедгиз, 1958, §11, № 4о.

3. Ответ. AD = 9 дм.

Задача 6. Около окружности

3 В. Г. Чичигин

17
Определить Sgehf-

Решение. Вписанный четырехугольник GEHF, площадь
которого надо найти, есть равнобочный четырехугольник, так как
EFl. GH, GE = ЕН и GF = FH (равнобочная трапеция симмет-
рична относительно EF).

Sgehf — ~^EF- GH.

1)	EF = 2R = 4 (по условию);

2)	GH = 2КН, а КН = KN + НН (параллельный перенос:
CL || EF)-

3)	КН = ЕС (отрезки параллельных прямых между парал-
лельными),

ЕС + FD = CD (так как ВС + AD = 2CD, a CD = АВ)

и CD = ~(ВС + AD).

?(ВС + AD)-EF= 20 (по условию) или CD -4= 20 и CD=5.

ЕС + FD = 5 или ЕС + FL + LD = 5, LD = 3 (A CLD пря-
моугольный, в котором CD = 5 и CL 4), тогда 2ЕС = 2, а ЕС=
= КН = 1;

4)	из подобия треугольников СНН и CLD

NH СИ	LD-CH

имеем:	и НН

СН = ЕС=1 (как отрезки касательных, выходящих из общей
точки),

НН =	=|-

□ О

Поэтому КН = КН + НН = 1 + -J- = 1-J, a GH = 2КН = Ц--

Итак, Sgehf	=

Ответ. SGehf= 6,4 дм2.

Из приведенных примеров можно сделать вывод, что основной
метод решения геометрических задач на вычисление, как и алгеб-
раических задач на составление уравнений, это — анализ, который
состоит в следующем.

Из условия задачи и на чертеже выделяется искомый элемент
фигуры или вся фигура (в последней задаче — равнобочный че-
тырехугольник, а в предыдущей — отрезок, как искомое рас-
стояние).

Затем допускается, как, например, в последней задаче, что ис-
комая площадь четырехугольника известна, что и записывается в
обшем виде (Sx — -^di-dz, где di и dz — взаимно перпендикуляр-
ные диагонали четырехугольника, как это определяется и в ромбе).

Дальше определяются di и dz.

В последней задаче d определяется сразу же по условию за-
дачи (di = EF = 2R - 4).
Определение dz значительно сложнее и длиннее; аналитический
характер работы сохраняется. Так, dz = GH, GH = 2КН, а КН =
= KN + КН.

Появляются новые неизвестные — сначала отрезок КН, ко-
торый состоит из двух отрезков KN и NH.

Если определить последние два отрезка, то будет определен и
отрезок КН, а затем и GH = dz, что позволит определить и искомую
площадь четырехугольника.

Все последующее решение и представляет собой процесс нахожде-
ния значений отрезков КК и NH опять аналитическим методом.

Итак, решение почти каждой геометрической задачи на вычи-
сление сводится к составлению одного или целого ряда уравнений
из условий задачи при помощи чертежа. Большею частью эти урав-
нения бывают очень простые, так что решение последнего уравнения,
содержащего только одну неизвестную величину, дает возможность
решить предыдущее уравнение и т. д., до первого или исходного
уравнения включительно*.

Задачи на построение

Основное содержание школьного курса геометрии состоит, как
известно, в изучении свойств геометрических фигур. При этом ес-
тественно возникает вопрос: как воспроизвести или построить ту
или иную геометрическую фигуру при помощи линейки, циркуля,
чертежного треугольника и транспортира? Таким образом, в курс
геометрии с необходимостью включаются задачи на построение.

Решение таких задач начинается с первых уроков геометрии в
VI классе. Основным инструментом при этом является сначала толь-
ко одна линейка с делениями на сантиметры и миллиметры. Это
и понятно: по курсу учащиеся изучакт прямую линию и отрезки.
Линейка в этом случае являегся как чертежным, так и измеритель-
ным прибором и инструментом.

При изучении углов применяются чертежный треугольник для
построения прямых углов и перпендикулярных линий, а транспор-
тир для измерения и построения углов. А введение градусного из-
мерения углов основывается на понятии дугового градуса, что свя-
зано с введением понятия окружности, для построения которой
применяется циркуль**.

При использовании чертежного треугольника для построения
прямых углов и перпендикулярных линий надо требовать, чтобы

* Более подробное изложение трудностей при решении геометрических
задач дано п статье проф. Астряба А. М. «Почему трудно решать геометри-
ческие задачи на вычисление». Материалы совещания преподавателей мате-
матики в 1935 г.

** Циркуль, как и чертежный треугольник, вводятся еще в начальной
школе (см. Программы начальной школы на 1955/56 учебный год, стр. 80),
а затем применяются в V классе при построении окружностей, прямоуголь-
ников и квадратов.
учащиеся при этом обязательно пользовались и линейкой, которая
прикладывается к данной прямой и к которой потом прикладывает-
ся треугольник одной из сторон прямого угла и затем скользит
по ней.

При изучении параллельных прямых эти навыки использования
линейки и треугольника найдут еще более широкое применение.

При изучении треугольников сначала продолжают пользоваться
всеми чертежными инструментами, в том числе транспортиром и
чертежным треугольником. Понятно, что при этом нет особой на-
добности в логических доказательствах того, что построенная
фигура есть искомая.

Затем преподаватель постепенно знакомит учащихся с основ-
ным требованием, которое предъявляется к геометрическим зада-
чам на построение в курсе элементарной геометрии: все построения
должны выполняться только при помощи циркуля и линейки*.
Это требование вытекает из двух постулатов Евклида в его «На-
чалах»: «Допустим: 1) Что от всякой точки до всякой точки (можно)
провести прямую линию... 3) И что из всякого центра и всяким
раствором (может быть) описан круг»**.

Из первого постулата следует применение линейки при построе-
нии геометрических фигур, а из третьего — применение циркуля
(но в явном виде линейка и циркуль нигде не упоминаются Ев-
клидом).

При этом обязательно возникает необходимость доказатель-
ства того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям
зрдачи.

Применение циркуля и линейки и именно только этих средств
для решения задач на построение ведет свое начало из глубокой
древности: древнегреческие математики считали «истинно геоме-
трическими те построения, которые выполняются только при по-
мощи циркуля и линейки»***.

Но возникавшие потребности практической жизни и внутрен-
ние потребности Самой науки геометрии еще в глубокой древности,
а затем и в последующие времена показали недостаточность при-
нятых средств — циркуля и линейки — для решения некоторых
задач на построение (например, трисекция угла, удвоение куба),
и это привело к необходимости введения новых средств для решения
некоторых задач. Так, например, Архимед решал задачу о трисек-
ции угла линейкой с двумя пометками; задачу об удвоении-куба
Платон решал при помощи двух прямых углов.

Позднее для решения задач на построение стали применять
линейку и циркуль постоянного «раствора» (Леонардо да Винчи),

* Преподаватель может, конечно, в некоторых случаях познакомить
учащихся с решением отдельных задач только при помощи одной линейки —
односторонней и двусторонней, а также только при помощи одного циркуля.

** «Начала Евклида», 1948, т. 1, Гостехиэдат, стр. 14.

*** Б. И. Аргунов и М. Б. Балк, Геометрические построения
на плоскости, Учпедгиз, 1955.
только один циркуль (Мор и Маскерони), только одну линейку
при наличии начерченной окружности с намеченным центром
(Штейнер и Понселе)*.

Подобно тому как в основу теории построений при помощи
циркуля и линейки еще в древности были положены ранее приве-
денные аксиомы Евклида, так и для применения других средств
вводятся соответствующие новые аксиомы. Эти аксиомы и входят
в число основных понятий теории геометрических построений на-
ряду с такими понятиями, как фигура (совокупность точек, не
менее одной), основная плоскость (на которой рассматриваются
фигуры), данная фигура (т. е. построенная).

В школьном курсе геометрии применение линейки обосновано
аксиомой о прямой, а применение циркуля в явном виде ие обосно-
вывается соответствующей аксиомой, но учащиеся из опыта хорошо
знают, что «из всякого центра и всяким раствором можно описать

круг».

Задачи на построение имеют огромное значение при изучении
курса геометрии:

1)	решение их способствует развитию пространственного во-
ображения учащихся, так как последние еще до решения данной
задачи должны отчетливо представлять искомый образ или фи-
гур У!

2)	они помогают развивать конструктивные способности уча-
щихся;

3)	исследование полученного решения содействует развитию
логического мышления учащихся;

4)	анализ, проводимый на первом этапе решения задачи на по-
строение, пробуждает инициативу учащихся;

5)	решение задач на построение содействует прочному закреп-
лению теоретических знаний курса геометрии и

б)	способствует развитию и закреплению необходимых чертеж-
ных навыков.

Но эти результаты могут быть	?р

получены только при том условии,	:	Т

если учащиеся отчетливо поймут и
прочно усвоят известный процесс	\

решения задач на построение, сос-	\	/	\

тоящий из четырех этапов: анализ, Xu I	/ Д_____I

построение (синтез), доказательст-	Че т 7

во и исследование.	₽

Дальше приводится пример
решения задачи на построение.

Задача. Построить треугольник по данному периметру и двум
внутренним углам.

Схематическая запись условия задачи (черт. 7):

* Б. И. А р г у и о в и М. Б. Балк, Геометрические построения на
плоскости, Учпедгиз, 1955, стр. 6—10.
Дано: 2р = АВ + ВС + АС*, и р.
Построить ДЛВС.

I. Анализ. Допустим, что задача решена и треугольник
Л1Д1С1 — искомый (черт. 8).

По условию задачи да-

ется периметр; построим
периметр этого треуголь-
ника, развернув два угла
до 180° (^:Ai и ^Ci); от-
резок MA1C1N — пери-
метр Л А 1В iC 1.

Соединим концы отрез-

Че 8	ка MN с вершиной Bi,

получим Л MBiN и два
равнобедренных треугольника: MBiAi и CiBiN (MAi =
= Л]/?! и CiBi = CiN по построению), у которых углы при ос-
нованиях равны: ^M=^MBtA j =-L ^BtAiCv u^N—^NB iCi=

I	2

= y-^AiCiBi (так как^В jA iCi — внешний угол для дМ/Мь а

^А iCiBi — внешний для ДВ1С1А).

Следовательно, в дЛ-IBl/V известны одна сторона (MN = 2р)
и два прилежащих к ней угла (^М =-^^:BiAiCi и =
I

= -y-^AiCiBi), а потому его можно построить. При этом вершина
Bi будет и вершиной искомого треугольника. Если из вершин Ai и
Ci в треугольниках ЛМ1В1 и NCiBi провести высоты, то они бу-
дут и медианами, на которых лежат другие две вершины искомого
треугольника (A i и Ci). Поэтому, чтобы построить эти две вершины
искомого треугольника, надо:

1)	через середины каждой боковой стороны вспомогательного
треугольника провести (восставить) перпендикуляры до пересе-
чения с третьей стороной, равной периметру искомого тре-
угольника;

2)	точки пересечения соединить с первой вершиной его; полу-
чится искомый треугольник.

В результате анализа, как всегда, должен быть составлен и
оформлен план построения искомой фигуры.

1.	На прямой построить отрезок, равный данному периметру.

2.	Принимая этот отрезок за сторону треугольника, при кон-
цах его в одной полуплоскости построить углы, соответственно рав-
ные данным углам.

3.	В каждом из этих углов построить биссектрисы до их взаим-

ного пересечения.

* Надо сообщить учащимся, что в задачах очень часто встречается в
качестве данного элемента «полупериметр» треугольника; поэтому весь пери-
метр принято обозначать четным числом 2р при р=1, 2, 3, 4...
4.	Точка пересечения биссектрис будет одной из вершин иско-
мого треугольника.

5.	Через середины каждой боковой стороны вспомогательного
треугольника провести перпендикуляры к ним до пересечения с
третьей стороной, равной периметру искомого треугольника.

6.	Полученные точки пересечения соединить с вершиной вспо-
могательного треугольника; получится искомый треугольник.

II.	Построение. Построение выполняется в той последо-
вательности, которая указана в плане с использованием данных
элементов—периметра и двух углов (чертеж 9).

III.	Доказательство. Треугольник АВС (черт. 9) —
искомый. Действительно:

1)	AiA + АС + CCi = 2р(по построению).

Но AiA = ЛВ1

С1С = ВС]

как наклонные, имеющие равные про-

екции.

Следовательно, АВ + ВС 4* АС = 2р;

2)	^ВАС = ^rBAiA +^AiBA ) как внешние углы для тре-
^АСВ = ^zCC\B + ^CBCi J угольников A iBA и BCCi.

Но ^BAiA = ^AiBA=~ ^А

^СС1В = ^СВС1

по построению,

а потому ^ВАС = ^АСВ —

3)	следовательно, /\АВС имеет периметр, равный заданному
периметру, и два угла, соответственно равные заданным углам.

IV. Исследование.

1.	Задача имеет решение, если ^.А + ^С<180°, что вытекает
из описанного способа построения искомого треугольника, все
этапы которого при указанном ограничении всегда выполнимы.

2.	При указанном ограничении задача имеет единственное ре-
шение, что вытекает из анализа процесса решения: по одной стороне
(2р) и двум углам (~^А и 4^С) можно построить единственный
вспомогательный треугольник; боковые стороны его имеют только
по одной средней точке; из средин боковых сторон можно провести
только по одному перпендикуляру, которые могут пересечь третью
сторону треугольника только в двух точках; эти точки вместе с
первой вершиной определяют единственный треугольник.

Весь процесс решения этой задачи должен найти некоторое от-
ражение в записях на классной доске и в тетрадях учащихся.

Анализ должен проводиться преимущественно в устной форме
с записью только самых необходимых предложений. План должен
быть записан полностью (а процесс построения уже не описывает-
ся). Доказательство записывается с краткими пояснениями, как
и исследование.

Приведенный пример убедительно показывает, что процесс
решения задачи на построение состоит именно в последовательном
осуществлении ранее указанных четырех этапов—анализ, построе-
ние (синтез), .доказательство и исследование.

Имеются, конечно, такие задачи, которые можно решить зна-
чительно короче (в частности, без предварительного анализа, на-
пример: построить касательную к данной окружности, проходящую
через данную точку на этой окружности). Но и в этом случае ана-
лиз имеет место, но не в явной форме (учащийся, видя данную ок-
ружность и данную на ней точку, мысленно проводит и касательную
через эту точку, что помогает ему припомнить свойство касательной,
дополняя чертеж мысленно проведением радиуса в точку касания).
К таким же «простейшим» задачам можно отнести н задачи на по-
строение треугольников по трем данным основным элементам. Но
приведенные выше примеры ни в какой мере не умаляют огромного
значения указанных этапов при решении любых задач на построе-
ние. Применение этой схемы в большинстве случаев значительно
помогает учащимся. Поэтому учитель должен не только выяснить
весь процесс решения задачи на построение в целом, но постепенно
на конкретных примерах разъяснять учащимся, в чем заключается
работа на каждом этапе. В таком разъяснении особенно нуждают-
ся первый и последний этапы — анализ и исследование.

Первый этап — анализ. Цель его — найти ключ к решению
задачи, т. е. наметить и составить план тех последовательных опе-
раций, выполнение которых приведет к построению искомой фи-
гуры. Трудно указать общий рецепт проведения анализа при
решении задачи на построение, так как он в значительной мере за-
висит от метода, который кладется в основу решения задачи (ме-
тод геометрических мест, метод подобия, алгебраический метод
и т. п.) и от условия задачи, т. е. от тех элементов, которые должны
определять искомую фигуру. Однако начальные шаги в большин-
стве случаев сводятся к следующему.

Сначала допускается, что задача решена, т. е. искомая фигура
уже построена и от руки создается чертеж-набросок искомой фигу-
ры. Затем устанавливается зависимость между данными элементами
искомой фигуры и соответствующими элементами ее: на чертеже-
наброске отмечаются или научаются данные элементы (например,
в предыдущей задаче отмечаются данные углы и намечается от-
резок, равный периметру треугольника разворотом его боковых
сторон). После этого в большинстве случаев возникает необходи-
мость сделать дополнительные построения (в той же задаче — со-
единить концы отрезка, равного периметру треугольника, с верши-
ной треугольника), благодаря чему получаются новые фигуры
(в предыдущей работе — новый треугольник). Сопоставление но-
вой фигуры и искомой может указать тот путь, который и приведет
от новой вспомогательной фигуры к искомой. Но такой благоприят-
ный исход будет только в том случае, если дополнительные построе-
ния выбраны и сделаны удачно. В противном случае придется наме-
чать иные построения.

Эти приемы (дополнительные построения и нахождение пути
для построения искомой фигуры) должны стать основными прие-
мами работы учащихся при решении задач на построение. Соответ-
ствующие навыки должны вырабатываться на уроке.

Процесс анализа должен завершаться составлением плана, т. е.
перечислением в определенном порядке тех операций, которые надо
выполнить, чтобы построить искомую фигуру.

Второй этап решения задачи на построение — построение фи-
гуры — не представляет никаких трудностей для учащихся, так
как эта работа выполняется по тому плану, который был состав-
лен в процессе анализа.

Третий этап — доказательство — имеет целью установить, что
построенная фигура удовлетворяет всем требованиям условия
задачи. При этом имеется в виду, что каждая операция в процессе
построения выполнима.

Четвертый этап — исследование полученного решения — яв-
ляется наиболее трудным видом работы. Цель исследования — уста-
новление условия разрешимости задачи и определение числа реше-
ний ее. Трудность этой работы заключается прежде всего в том,
что в процессе ее ставится большое число вопросов:

1)	при каких условиях выполнимы те отдельные построения,
из которых получилась искомая фигура?

2)	при каких условиях невыполнима та или иная операция?

3)	если отдельное построение выполнимо, то сколькими и ка-
кими способами?

4)	сколько решений имеет данная задача, т. е. сколько искомых
фигур может получиться?

5)	при каких условиях получится то или иное решение (в за-
висимости от данных элементов или от способа построения)?

6)	нельзя ли задачу решить иным способом?

7)	если можно, то будет ли новое решение совпадать с первым
решением? и т. п.*.

Ясно, что при исследовании решения задач на построение в
VI классе нельзя ставить все только что указанные вопросы. Но

* Более подробно см. Б. И. А р г у н о в и М. Б. Балк, Геометри-
ческие построения на плоскости, Учпедгиз, 1955, стр. 32—40.

2 В. Г. Чичвгвв

25
число их постепенно надо увеличивать с тем, Чтобы в VII клас-
се, а затем и в VIII учащиеся могли проводить более или менее
подробное исследование некоторых отдельных задач. На первых
же порах в VI классе надо ограничиваться основными во-
просами:

1)	выполнимо ли каждое отдельное построение в данном
способе решения задачи и почему?

2)	сколько решений получается при данном способе построения?

По истечении некоторого времени можно добавить сначала
один новый вопрос: при каких условиях выполнимо каждое
отдельное построение? А потом и следующий: сколькими спо-
собами можно выполнить то или иное отдельное построение? и т. д.

Задачи на доказательство

Эти задачи по существу являются теоремами, не вошедшими
в основной курс геометрии. Решить задачу на доказательство —
значит вполне самостоятельно доказать данную теорему. Это—не-
легкая работа для учащегося. При существующей системе обуче-
ния геометрии учащийся привык чаще всего не доказывать са-
мостоятельно теорему, а повторять то доказательство, которое
дано было в классе преподавателем или прочитано им в учебной
книге (чаще всего доказательство в классе бывает точным воспро-
изведением доказательства, изложенного в учебнике). Эта систе-
ма работы ни в какой мере не дает навыков самостоятельно искать
доказательство теоремы и даже не возбуждает такой потребности.

Введение в курс геометрии задач на доказательство имеет
целью:

1)	более прочное закрепление знаний основного теоретиче-
ского материала;

2)	развитие навыков самостоятельной работы;

3)	развитие логического мышления учащихся;

4)	воспитание воли и настойчивости в достижении поставлен-
ной цели;

5)	повторение пройденного материала;

6)	расширение математического кругозора учащихся за счет
выяснения таких свойств фигур,которые имеют достаточно широ-
кое применение (например, свойство биссектрис двух смежных
углов).

Задачи на доказательство являются особенно трудными для
учащихся. Но из этого нельзя делать неверного и вредного выво-
да о том, что решение задач на доказательство надо отложить на
более поздние этапы изучения геометрии, когда учащиеся при-
обретут более или менее прочные навыки доказательства теорем.
Наоборот, эти задачи надо вводить с первых же уроков основного
курса геометрии и решение их теснейшим образом связывать
с основным теоретическим материалом.

В начале курса геометрии возникнет первая трудность в решении
задач на доказательство, трудность чисто психологического харак-
тера: в предложенной задаче учащиеся не видят задачи в привычном
для них смысле (нет вопроса); например, доказать, что биссек-
трисы двух смежных углов образуют прямой угол (или взаимно
перпендикулярны). Отсутствие привычного вопроса в явном виде
приводит их в недоумение: в тексте задачи все Дано — условие
и заключение в утвердительной форме, а чертеж и зрительно под-
тверждает то же заключение. Что же надо делать? Что значит
доказать?

Чтобы не создавать такого недоумения учащихся, особенно
на первых порах, можно задачи на доказательство предлагать
не в виде теоремы, а сформулировать ее в виде обычной задачи:
построить биссектрисы двух смежных углов; какой угол они
образуют? (Или какая особенность в их взаимном расположении?)
Как проводить решение этой задачи? Вполне целесообразно
сначала предложить учащимся измерить полученный угол тран-
спортиром, проверить его чертежным треугольником (замеченные
отклонения потом будут объяснены). Затем надо обратить внима-
ние на то, что данные смежные углы у разных учащихся были
разные, а полеченный ответ один и тот же. Возникает вопрос:
не является ли это свойство биссектрис смежных углов общим
свойством их для любой пары смежных углов? Полученные част-
ные ответы подтверждают это. Но при измерении и проверке
могли быть исключения. Поэтому из частных отдельных приме-
ров нельзя сделать общего вывода. Тогда только и проводится
логическое доказательство,которое и дает ответ на поставленный
вопрос. Преподаватель подчеркивает, что этот ответ получен в
последнем случае без всяких измерений и проверки, а только
путем рассуждений (доказательства).

Работа завершается тем, что учащиеся формулируют всю за-
дачу в целом, беря из первой части ее условие (биссектрисы
двух смежных углов) и дополняют его полученным ответом (об-
разуют прямой угол или взаимно перпендикулярны).

Так из задачи в привычной форме получается теорема-задача на
доказательство.

В описанном примере логическому доказательству предшество-
вала эмпирическая работа — непосредственное измерение тран-
спортиром и проверка чертежным треугольником. Такую эмпи-
рическую работу с применением также мерной линейки и циркуля
следует иногда применять и в последующее время. Получаемые прак-
тически приближенные результаты дадут возможность, во-первых,
высказать предположение об истинном результате, во-вторых, стро-
го доказать справедливость этого предположения, пользуясь уже
известными истинами (аксиомами, теоремами и определениями),
в-третьих, убедиться, что доказанное предположение (или утвержде-
ние) обладает свойством общности, т. е. оно справедливо для лю-
бой пары смежных углов.

Вторая трудность при решении задач на доказательство состоит
в том, что чертеж, сопутствующий задаче, сплошь и рядом подтвер-
ждает заключение теоремы-задачи, что учащиеся выражают словами:
«Это и так видно! Что же здесь доказывать?» Но это возражение

учащихся можно «отклонить» показом так называемых зрительных
иллюзий, применяемых при изучении курса психологии с поста-
новкой вопроса: что больше? (черт. 10) и последующей практиче-
ской проверкой.

Эти опыты помогают учащимся понять, что зрительному вос-

приятию далеко не всегда можно доверять.

Описанный процесс работы, посвя-

Черт. 10

щенной решению задач иа доказатель-
ство, может иметь место и при изуче-
нии некоторых основных программных
тем курса (например, теоремы о сумме
внутренних углов треугольника).

Таким образом, учащиеся постепен-
но будут убеждаться в том, что

1)	практические приемы—измерение и

проверка при помощи тех или иных тех-

нических средств — не могут дать точ-
ного и единственного ответа на вопрос данной задачи;

2)	рисунок и чертеж нередко тоже приводят к неверным ут-

верждениям;

3)	обоснованное рассуждение или доказательство служит самым
верным и надежным средством получить ответ на поставленный

вопрос или подкрепить предположение.

Изучение последующих тем курса геометрии открывает все
большие возможности для включения в план работы решение за-

дач иа доказательство.

Далее приводятся примеры за-
дач на доказательство.

Задача 1. Даны две пересека-
ющиеся окружности; через одну
из точек их пересечения проведе-
ны к ним касательные. Доказать,
что больший угол между касатель-
ными равен углу между радиуса-
ми тех же окружностей, проведен-
ными в точку их пересечения
(чертеж 11) .

Условие задачи.

Дано: (Л?, О) и (r,0i)—пересе-
кающиеся окружности,
К — точка их пересечения,
АК и В К — касательные,
^АКВ — больший угол между касательными,
^OKOi— угол между радиусами.

Доказать: ^АКВ = ^OKOi.
Доказательство. Углы
АКВ и OKOi с соответствен-
но перпендикулярными сторонами
(OKLAK. и 61K.LBK) и тупые,
а потому они равны.

Задача 2. Если в равнобочную
трапецию можно вписать окруж-
ность, то высота трапеции есть
средняя пропорциональная между
ее основаниями.

Условие задачи (черт. 12).

1-й вариант записи.

Дано: ABCD — равнобочная
описанная трапеция,
BE .lAD (BE — высота).

Доказать: BE = AD-ВС.

2-й вариант записи.

Дано: A BCD — трапеция,
АВ = CD,

AB+CD=AD+BC=2AB,
BE LAD.

Доказать: BE—У AD-ВС.

Доказательство. 1)B дЛВЕ: BE = ]/АВ2 — АЕ2;

2) в трапеции A BCD: 2АВ = AD + ВС (по условию)

и АВ=™±™;

4) BE = )Л(ЛР^бС)2 —	=••= VAD-BC.

Итак, BE=YAD-BC.

5.	КОНКРЕТНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ

Опыт работы школ убеждает нас в том, что учащиеся VI класса
с большим трудом усваивают курс геометрии. Они стараются за-
учить и запомнить его, часто не понимая самой сущности. В следую-
щем, VII классе они несколько свыкаются с этим предметом как с
неизбежностью. При этом одни из них начинают понимать материал,
улавливают связи между отдельными понятиями, что служит за-
логом более отчетливого, прочного, а потому и успешного изучения
последующего курса геометрии. Но тем не менее и в более старших
классах средней школы некоторые учащиеся продолжают механи-
чески заучивать предлагаемый геометрический материал, не усваи-
вая его в строгой и вполне определенной системе.

Нетрудно указать некоторые причины такого печального яв-
ления, в частности, в VI классе: ранний возраст учащихся, от-
сутствие стройного подготовительного курса геометрии в преды-
дущих классах, отвлеченный характер задач, трудное догматиче-
ское изложение материала в учебнике и на уроке... Последняя
причина является наиболее важной и серьезной; она затрагивает
интересы не только VI, но и последующих классов.

Большая непоследовательность и даже путаница бывает в соз-
нании многих учащихся, когда заходит речь о том, какими свойства-
ми обладает та или иная фигура, какая существует связь между этими
свойствами.

Учащиеся могут свободно сформулировать и доказать теорему;
Но перечислить последовательно свойства основной геометриче-
ской фигуры они не могут. Значит, у них нет плана изучения от-
дельной темы, а в силу этого не может быть отчетливых представ-
лений как о пройденном материале, так и о некоторой перспективе
в последующем курсе.

Важнейшая задача методики преподавания геометрии и заклю-
чается в том, чтобы при изучении геометрии создать в сознании
учащихся достаточно ясный и отчетливый план этого курса как со
стороны конкретного содержания его, так и с логической стороны.
В данном случае под конкретным содержанием курса геометрии
подразумевается совокупность и последовательность всех тех гео-
метрических образов, которые являются объектами изучения в этом
предмете. При этом особо надо подчеркивать, что основных геомет-
рических образов, которые рассматриваются в отдельности, только
три: точка, линия и плоскость. Но из них можно составить бесчис-
ленное множество самых разнообразных комбинаций — луч, от-
резок, угол, треугольник, четырехугольник и т. п., которые и
составляют конкретное содержание школьного курса геометрии.

При направляющих указаниях преподавателя учащиеся очень
легко могут понять как самую идею комбинации основных геомет-
рических образов для образования новых геометрических фигур,
так и последовательный порядок образования и изучения их. Боль-
ше того, учащиеся сами могут в некоторых случаях непосредствен-
но намечать и создавать новые геометрические фигуры путем ком-
бинации простейших образов — точек и линий на плоскости, а
впоследствии — точек, линий и плоскостей в пространстве.

Одной из первых конкретных задач методики преподавания гео-
метрии и является привлечение самих учащихся к составлению
простейших комбинаций основных геометрических образов: сна-
чала точек и прямой линии, что приводит к получению таких но-
вых фигур, как луч и отрезок, затем комбинации двух прямых ли-
ний, когда могут получаться углы или параллельные прямые,
комбинации трех прямых линий для получения треуголь-
ника и т. п.

Таким образом, в процессе изучения геометрии учащиеся долж-
ны знать не только тот конкретный материал, который изучается в
данное время, но в определенной последовательности знать и ранее
пройденный материал.
6.	ЛОГИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ

Значительно труднее осознается и усваивается логическое со-
держание курса геометрии: план изучения той или иной темы,
формулировка математических предложений — определений, ак-
сиом и теорем — и особенно доказательство теорем.

Задача методики преподавания геометрии и в этом случае за-
ключается в том, чтобы постепенно раскрывать логическое содер-
жание курса геометрии при изучении каждой новой темы или от-
дельной фигуры.

Прежде всего надо приучить учащихся с первых уроков геомет-
рии выделять план работы при изучении соответствующей темы.

На первых порах это можно осуществлять следующим образом:
после изучения новой геометрической фигуры (например, отрезков,
а потом и углов) в порядке повторения темы надо сделать общий
обзор ее и попутно выделять и записывать основные этапы работы
как отдельные пункты плана, по которому шла работа, например:

1)	определение (отрезка или угла);

2)	основные их элементы;

3)	сравнение их (определение равенства фигур — отрезков или
углов — и условие неравенства их);

4)	сложение и вычитание;

5)	умножение и деление на целое число;

6)	измерение их.

При опросе учащихся и проверке их знаний преподаватель дол-
жен требовать, чтобы свои ответы они строили по такому же плану,
отвечая сначала на каждый вопрос отдельно, а затем можно требо-
вать ответы сразу на два-три вопроса плана в связной форме, что
будет содействовать и развитию речи учащихся.

По мере расширения математического кругозора учащихся план
работы может намечаться и записываться отдельными пунктами
не при повторении, а в процессе изучения новой геометрической
темы. По окончании темы можно выписать все намеченные пункты
в определенной последовательности, в результате чего получится
общий план изучения всей темы, по которому и будет проводиться
ее повторение.

Весьма полезно проводить и такую работу: каждый вновь со-
ставленный план изучения какой-либо темы сравнивать с планом
изучения предыдущей темы, выделяя в этих планах общие пункты
и различия в них.

Таким образом, учащиеся будут постепенно убеждаться в том,
что, во-первых, изучение каждой темы проводится по определен-
ному плану, во-вторых, планы отдельных тем имеют как общие пунк-
ты (например, определение фигуры, основные элементы ее, виды
данной фигуры и т. п.), так и различия, вытекающие из особенно-
стей новой и более сложной фигуры (например, жесткость треу-
гольника и отсутствие этого свойства в четырехугольнике
я т. п.).
В более старших классах можно давать учащимся более или ме-
нее подробный план изучения новой темы для самостоятельной ра-
боты, например по теме «Правильные многоугольники» или «Об-
щий обзор призм» и т. п. При этом, конечно, не исключается воз-
можность отдельные пункты плана освещать в общеклассной ра-
боте.

В процессе изучения той или иной темы постепенно выясняются
и такие математические понятия, как определения, аксиомы и тео-
ремы, которые входят в план каждой темы в явном или неяв-
ном виде.

При изучении арифметики и пропедевтического курса геометрии
термин «определение» не употреблялся, а вопрос об определении
того или иного понятия заменялся вопросами: «что называется...»
(дробью, прямоугольником?), или «что такое...» (умножение на
целое число, десятичная дробь?).

В VI классе с первых же уроков геометрии желательно ввести
этот термин на равных правах с теми же двумя вопросами (что на-
зывается отрезком прямой? Что такое отрезок прямой? сформули-
руйте определениё отрезка прямой), не вдаваясь в рассмотрение
смысла этого термина и ограничиваясь примерно тем истолкованием
его, который дан в учебнике А. П. Киселева (§ 28).

В последующей работе при составлении определения нового
понятия, например при составлении определения треугольника,
учащиеся под руководством преподавателя сначала наблюдают эту
фигуру на разных предметах, затем строят незамкнутые и замкну-
тые ломаные линии, состоящие из трех и более звеньев, после чего
ставится вопрос: что такое треугольник? При этом преподаватель
при помощи вопросов направляет мысль учащихся так, чтобы они
указали сначала самый общий основной признак данного объекта
(т. е. указали родовой признак) — это замкнутая ломаная линия;
а затем они указывают тот существенный частный или видовой приз-
нак (говорят также видовое отличие), который выделяет данный
объект из ряда других сходных объектов (в данном случае из ряда
замкнутых ломаных линий, имеющих разное число звеньев):
...состоящая из трех звеньев.

Под руководством преподавателя учащиеся составляют полное
определение треугольника, указывая последовательно оба признака
его (треугольник есть замкнутая ломаная линия, состоящая из
трех звеньев), затем преподаватель сообщает, что это математическое
предложение называется определением треугольника.

Такая кропотливая работа поможет учащимся постепенно вы-
яснить, в чем состоит процесс составления определения того или ино-
го понятия, а это в свою очередь будет помогать им избегать доволь-
но частых ошибок при формулировке определений, когда указывает-
ся или только один родовой признак (например, треугольник есть
замкнутая ломаная линия), или указываются излишние признаки,
например, параллелограмм есть четырехугольник, у которого
противоположные стороны попарно параллельны и равны.
Еше при изучении арифметики учащиеся пользовались целы»
рядом аксиом, но термин этот можно ввести только на первых уро-
ках геометрии (аксиома о прямой) при решении задачи о построе-
нии прямой, проходящей через две данные точки.

Учащиеся формулируют соответствующее утверждение на ос-
новании полученного опыта (через две точки можно провести пря-
мую линию и притом только одну). Здесь можно сообщить учащимся,
что еще в древней Греции, где была создана наука «геометрия», по-
добные утверждения, подсказанные большим опытом, стали на-
зывать аксиомами от греческого слова «аксиос», что значит «достой-
ный» (достойный доверия).

Преподаватель напоминает еще несколько безусловно верных
утверждений, известных из курса арифметики:

1)	если к равным прибавить поровну, то получим равные;

2)	если от равных отнять поровну, то получим равные;

3)	часть меньше целого и т. п. и сообщает, что все эти утверж-
дения тоже называются аксиомами.

Теоремы — третий вид математических предложений — со-
ставляют основное содержание почти каждой геометрической темы.
Самый термин «теорема» впервые появляется только в курсе гео-
метрии. Надо заметить, что не следует торопиться вводить этот
термин на первых уроках геометрии, более целесообразно сначала
накопить некоторый запас таких утверждений, в которых высказы-
ваются свойства таких простейших геометрических фигур, как углы
(например, развернутые углы равны между собой, сумма двух смеж-
ных углов равна 2d, вертикальные углы равны между собой и т. д.).

В последующей беседе (по окончании изучения двух первых
тем о прямой линии и об углах) учащиеся вспоминают, что на пре-
дыдущих уроках они обнаружили целый ряд свойств, которыми
обладают прямая линия и углы (приводят примеры этих свойств);
причем некоторые из этих свойств установили путем рассуждений,
опираясь на известные аксиомы (повторяют какое-нибудь одно
доказательство, например равенство развернутых или вертикаль-
ных углов). Учащиеся формулируют еще несколько ранее выве-
денных свсйств. После этого преподаватель сообщает, что утвер-
ждения, которые были выяснены путем рассуждений при помощи
известных аксиом, называются теоремами, а то рассуждение,,
при помощи которого убеждались в справедливости теоремы, на-
зывается доказательством ее (theorema — от слова theo-
гео — рассматриваю, обдумываю).

Преподаватель сосредоточивает внимание учащихся на теоре-
ме о центральных углах, которая в очень отчетливой форме состоит
из двух предложений: одно из них начинается словом «если» (если
центральные углы в одной окружности равны) и называется усло-
вием (теоремы), а другое начинается словом «то» (то соответствую-
щие им дуги тоже равны) и называются заключением (теоремы).

Преподаватель предлагает сформулировать и остальные из-
вестные теоремы в такой же условной форме:
1)	если углы развернутые, то они равны;

2)	если два угла смежные, то сумма их равна 2d и т. д.

В такую условную форму весьма полезно в дальнейшем обле-
кать и новые теоремы, по крайней мере в VI (а может быть и в VII)
классе, чтобы учащиеся вполне отчетливо понимали структуру
каждой теоремы, что значительно облегчит им работу по составле-
нию сначала обратных, а потом противоположных теорем.

Каким образом целесообразно начинать изучение новой теоремы?
Этот вопрос — один из важнейших вопросов методики преподава-
ния геометрии. В практике школы нередко приходится наблюдать,
когда преподаватель, приступая к изучению нового материала на
уроке, сразу предлагает записать тему урока и тотчас же формули-
рует теорему, после чего начинает строить чертеж и записывать
условие и заключение теоремы в стандартной форме: «Дано» и «Тре-
буется доказать».

Такой способ изучения новой теоремы, как общее правило,
нельзя назвать методически правильным не только в VI и VII, но
даже и в более старших классах; чаще всего основное содержание
теоремы при таком способе сообщения ее не доходит полностью
до сознания всех учащихся. Содержание теоремы может быть ус-
воено учащимися только в том случае, если будет сначала построен
чертеж, сделаны соответствующие отметки на нем по условию тео-
ремы (отмечены равные углы или равные отрезки) и схематически
записана теорема — условие и заключение ее.

Построению чертежа иногда может предшествовать демонстра-
ция наглядного пособия: учащиеся проводят соответствующие на-
блюдения на этом пособии, после чего строится чертеж и записы-
вается условие и заключение теоремы.

В некоторых случаях полезно давать теорему в виде неопреде-
ленной задачи: демонстрируется наглядное пособие (если в этом
есть надобность), например бумажная модель равнобедренного
треугольника с биссектрисой угла при вершине, составляется со-
ответствующий чертеж, на нем отмечаются и рядом записываются
все данные из условия теоремы (равенство боковых сторон и ра-
венство углов, образованных боковыми сторонами и биссектрисой),
а заключение теоремы не сообщается; вместо этого ставится вопрос:
какие свойства можно подметить и доказать в полученной фи-
гуре?

Учащиеся самостоятельно или с некоторой помощью препода-
вателя еще раз анализируют условие теоремы по чертежу и модели
(т. е. выясняют, что дано?), легко подмечают, что биссектриса
разделила основание треугольника пополам, образовала с ним
прямые углы и разделила данный треугольник на два равных
треугольника... Преподаватель предлагает доказать каждое из
первых двух утверждений, после чего составляются и формули-
руются свойства биссектрисы (она есть медиана и высота), которые
и вносятся в запись теоремы как заключения ее. Пользуясь этой
записью, учащиеся формулируют всю теорему в целом.
Это — творческая работа учащихся: они сами наметили цель
работы, исходя из данных условий, доказали справедливость
своих предположений. Полученные результаты и процесс доказа-
тельства будут прочно и отчетливо усвоены ими.

Если же заключение теоремы трудно выявить самим учащимся,
то преподаватель полностью сообщает и, записывает теорему, т. е.
условие и заключение. Учащиеся могут провести доказательство
самостоятельно (т. е. решить задачу на доказательство).

В том и другом случае по окончании доказательства теоремы
учащиеся должны сформулировать всю теорему в целом, пользу-
ясь схематической записью ее.

Большие и иногда неожиданные затруднения встречают препо-
даватели шестых классов при доказательстве некоторых теорем.
Эти затруднения вызываются тем обстоятельством, что учащиеся
не чувствуют никакой необходимости в этих доказательствах. Наи-
более ярким примером является теорема о том, что каждая сторона
треугольника меньше суммы двух других сторон: во-первых, почти
на любом соответствующем чертеже учащиеся видят справедливость
этого утверждения; во-вторых, доказательство этой теоремы до-
вольно трудное, а усвоение его еще более затрудняется ненужностью
его (по мнению учащихся); в-третьих, заключение теоремы ничего
нового не дает по сравнению с результатом первоначального зри-
тельного восприятия.

Учитывая указанные обстоятельства, можно эту теорему дать
учащимся сначала как аксиому, а в конце курса VI класса, когда
учащиеся будут иметь более широкое геометрическое развитие и
навыки доказательства, в порядке повторения следует провести и
доказательство этой теоремы с целью уменьшения числа ак-
сиом.

Итак, главная задача методики преподавания геометрии за-
ключается в том, чтобы, во-первых, разъяснить учащимся в про-
цессе изучения курса геометрии, что основное конкретное содер-
жание этого курса составляют различные геометрические фигуры,
которые можно получать из таких простейших геометрических
образов, как точки, линии и плоскости путем различных комбинаций
их; во-вторых, привлечь самих учащихся к созданию геометрических
фигур, комбинируя указанные простейшие геометрические образы
в определенном порядке; в-третьих, показать и разъяснить учащим-
ся, что изучение каждой новой геометрической фигуры, как и всего
курса геометрии, проводится по определенному плану и что планы
эти по мере усложнения фигур несколько изменяются и тоже ус-
ложняются, но во всех планах остаются такие вопросы, как су-
ществование фигуры, определение ее, свойства ее и применение
этих свойств на практике; в-четвертых, последовательно разъяс-
нять учащимся логическое содержание курса геометрии, которое
слагается из таких элементов, как определения, аксиомы и теоре-
мы с их доказательствами (иногда доказательства могут опускаться).
7.	ИДЕЯ ДВИЖЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Одно из основных и важнейших требований к построению курса
элементарной математики в средней школе состоит в том, чтобы
весь этот курс был пронизан идеей функциональной зависимости.
В практике школы это требование осуществляется в большей или
в меньшей степени при изучении арифметики, алгебры и тригоно-
метрии. В значительно меньшей мере идея функциональной за-
висимости выявляется в преподавании элементарной геоме-
трии.

В то же время известно, что идея движения, которая на рубе-
же XVI и XVII вв. проникла в математику, в одной ее ветви вызва-
ла к жизни понятие функциональной зависимости и понятие функ-
ции, в другой же ветви — в геометрической — привела к созданию
понятия геометрического преобразования, играющего ту же роль в
геометрии, что и понятие функции в анализе.

Но при этом надо твердо помнить, что само понятие движения
в геометрии носит совершенно иной смысл, чем то же понятие в
механике*.

В самом деле, понятие движения в механике представляет
собой непрерывный переход движущегося тела через ряд проме-
жуточных положений от начального его положения до конечного с
течением времени.

В геометрии понятие движения имеет иной смысл: во-первых,
движение в геометрии всегда рассматривается без учета времени,
во-вторых, учитывается только исходное и конечное положение
фигуры.

Принято считать, что движение в геометрии есть преобразование
данной фигуры в другую фигуру, равную данной, в силу чего меж-
ду точками обеих фигур устанавливается взаимно однозначное
соответствие.

Наиболее широкое применение в элементарной геометрии имеют
следующие виды движений (или перемещений):

1)	поступательное перемещение, когда фигура
на плоскости скользит по.ней**; при этом все точки фигуры могут
описывать прямые линии, параллельные между собой и направлен-
ные в одну сторону (п а р а л ле л ь н ы й пер енос); 2) от-
ражен и е от прямой (или зеркальное отра-
жение, а также симметрия относительно прямой — осе-
вая симметрия), когда каждая точка данной фигуры (п р о-
о б р а з а) и соответствующая ей точка другой фигуры (образа)

* Более подробное изложение вопроса о движении в геометрии см. в
книгах проф. Богомолова «Геометрия (систематический курс)>, 1949, и
Н. М. Бескина «Методика геометрииж, 1947.

Точнее говоря скользит плоскость, на которой имеется фигура, по
другой плоскости, с которой она совпадает (см. Н. М. Бескин, «Методика
геометрии>, Учпедгиз, 1947, стр. 97).
лежат на одном перпендикуляре к данной прямой — оси от-
ражения (или оси симметрии) — на равных расстоя-
ниях от оси; 3) вращательное перемещение или
просто вращение (а также поворот), когда каждая точка
перемещаемой фигуры описывает дугу окружности, центр кото-
рой называется центром вращения; пр и этом все дуги име-
ют одно и то же направление, как и соответствующие им централь-
ные углы, равные между собой; каждый угол характеризует
величину вращения и называется углом поворота;
таким образом, вращение вполне определяется своим центром,
углом поворота и направлением.

В соответствии с указанными видами движений в курсе эле-
ментарной геометрии рассматриваются следующие виды геометри-
ческих преобразований: параллельный перен ос, осе-
вая симметрия (или отражение от прямой)
и центральная симметрия (или отражение от
точки).

При изучении школьного курса геометрии идея движения иног-
да в явном, а чаще в неявном виде имеет широкое применение, на-
чиная с первых уроков, посвященных этому предмету. Так, напри-
мер, доказательство равенства простейших геометрических фигур—
отрезков, углов, треугольников — проводится при помощи нало-
жения, а этот способ есть не что иное, как движение в плоскости
одной из сравниваемых фигур до совмещения ее с другой фигурой.
Доказательство равенства симметричных фигур проводится при
помощи перегибания чертежа (при осевой симметрии) или вращения
в плоскости чертежа (при центральной симметрии), что тоже яв-
ляется видом движения и т. п.

Кроме того, в метрической геометрии рассматривается еще пер-
спективно-подобное преобразование фигур или гомотетия.

При изучении некоторых вопросов метрической геометрии надо
обращать внимание учащихся и на примеры функциональной за-
висимости, например зависимость между длиной окружности и дли-
ной радиуса, между длиной хорды и расстоянием ее от центра, что
выражается известной формулой: d=V	где d — расстоя-

ние хорды от центра, R — радиус, а — длина хорды. Особенно
поучительно, если проследить ход изменения расстояния d в за-
висимости от изменения длины хорды (а) на подвижной модели или
на чертеже и по формуле.

В процессе этого исследования по формуле преподаватель осо-
бо выделяет так называемые предельные случаи, когда хорда а
как отрезок вырождается в точку (а = 0) и когда та же хорда а
становится диаметром.

В VII классе, где эта теорема рассматривается геометрически,
тоже весьма полезно провести такое же исследование, но только при
помощи подвижной модели и чертежа, без формулы, выделяя те
же предельные случаи.
Таких примеров, имеющих функциональный характер, в курсе
геометрии много. Преподаватель должен особо выделять эти слу-
чаи, проводить посильное для учащихся исследование.

Задача методики преподавания геометрии в данном случае и за-
ключается в том, чтобы научить учащихся выявлять и распознавать
отдельные моменты функциональной зависимости при изучении
геометрии и заранее намечать возможный характер изменения
одного какого-либо элемента фигуры в зависимости от изменения
других элементов ее.

8.	НАУЧНЫЕ МЕТОДЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ

Этот вопрос, как и некоторые следующие вопросы (приемы и
средства обучения), более подробно и обстоятельно рассматривается
в общей части методики преподавания математики, которую иногда
называют дидактикой математики. Поэтому в настоящем месте можно
ограничиться очень кратким изложением данного вопроса и толь-
ко применительно к преподаванию геометрии.

Как понятие «метод» (от греческого слова methodos — иссле-
дование), так и самый термин имеют очень широкое применение в
разных областях знания, в частности, и в повседневной практической
жизни. В философском смысле метод определяется как «способ под-
хода к действительности, способ изучения, исследования явлений
природы и общества»*. В дидактике метод определяется как путь,
заранее намечаемый для достижения поставленной цели.

В процессе обучения математике, в частности и геометрии,
под этим термином подразумеваются только три группы методов:
индукция и дедукция, анализ и синтез, аналогия.

Индукция. Термины «индукция» и «индуктивный метод»
происходят от латинского слова induclio — наведение (или воз-
буждение); в логике под индукцией разумеется умозаключение от
частных единичных случаев к общему выводу, от отдельных
фактов к обобщениям. Сущность этого метода применительно к
преподаванию геометрии состоит в следующем: учащиеся рассматри-
вают несколько отдельных фактов, тем или иным способом выяс-
няют присущее им общее свойство и на этом основании делают
вывод.

Так, например, учащиеся V класса приходят к выводу правила
для определения длины окружности следующим образом: они
измеряют длины диаметров и длины разных окружностей, находят
приближенные значения отношений длин окружностей к длинам их
диаметров (С : D) и делают вывод, что С : D ~ 3,14, откуда С ~
~3,14 D.Так же учащиеся VI класса приходят к теореме о сумме внут-
ренних углов треугольника (см. стр. 152). Затем в определенном ме-
сте курса геометрии приходят к теореме о сумме внутренних углов
простого многоугольника: сначала они доказывают, что S3 = 2d,

* Краткий философский словарь, изд 4, 1954, стр. 345.
потом S4 = 4d = 2d -2 = 2d-(4—2); Sb = 2d-3 = 2d(5—2) и де-
лают заключение, что S„ = 2d-(n — 2).

Это — примеры так называемой неполной индукции, когда
рассматриваются не все факты или не все случаи одного и того же
характера (не все треугольники, не все многоугольники и т. п.).

Неполная индукция довольно часто и широко применяется при
изучении геометрии в V—VII классах. В большинстве случаев эта
работа проводится силами самих учащихся при необходимом ру-
ководстве преподавателя: они выбирают факты, проводят изме-
рения. сравнения или сопоставления и делают общие выводы.
Активность учащихся на таких уроках вызывает большой интерес
их к геометрии, что обеспечивает более отчетливое понимание ими
изучаемого материала и более прочное и сознательное его усвоение.

При этом учащиеся ставятся в положение «открывателей» новых
истин — геометрических фактов (свойств фигур), а это в свою оче-
редь связано с развитием инициативы их, наблюдательности, на-
стойчивости.

Недостатком применения неполной индукции в преподавании
геометрии является большая затрата времени. Но это потом оку-
пается тем. что учащиеся более прочно усваивают материал, отчет-
ливо его понимают и умеют применять.

Не следует думать, что неполная индукция применяется толь-
ко в V—VII классах. Этим методом успешно пользуются и в более
старших классах. Так, например, при ознакомлении учащихся
X класса с понятием «призма» преподаватель демонстрирует целый
ряд самых разнообразных призм, а учащиеся под его руководством
сначала устанавливают, что это многогранники, и выделяют в них
основные элементы: два основания — равные многоугольники (тре-
угольники, четырехугольники, пятиугольники и т. п.), боковые
грани — параллелограммы (собственно параллелограммы, ромбы,
прямоугольники, квадраты), параллельность всех боковых ребер;
и на этом основании составляют определение призмы.

Так же ведется работа при составлении определения пирамиды,
цилиндра и т. п.

При изучении некоторых вопросов геометрии применяется и так
называемая полная индукция, когда рассматриваются все воз-
можные случаи илн факты. Например, в теореме об измерении
вписанных углов рассматриваются все три случая положения
центра окружности: сначала на одной стороне угла (основной слу-
чай), а затем — внутри и вне угла. При изучении теоремы об из-
мерении углов с вершиной вне окружности рассматриваются все
возможные случаи: угол образован двумя секущими, секущей и
касательной, двумя касательными.

Число таких примеров можно значительно увеличить.

Итак, индуктивный метод при изучении геометрии имеет наи-
более- широкое применение в виде неполной индукции (преиму-
щественно bV—VII классах), значительно реже — в виде полной
индукции.
Дедукция. Прежде всего надо заметить что, хотя в предыду-
щем изложении индуктивный метод рассматривался изолированно,
но на практике дело обстоит иначе. Во-первых, в результате при-
менения индукции получается некоторый общий вывод, харак-
теризующий то или иное свойство геометрических фигур. Во-вторых,
в случае применения неполной индукции общий вывод принимает-
ся или за достоверный без обоснований (например, аксиома о
прямой или определение призмы), или же он является только пред-
положительным, как теорема, и в этом случае нуждается в обо-
сновании путем доказательства (например, признак равенства
треугольников). Полученный общий вывод (определение, аксиома
или теорема) затем широко используется в дальнейшем при дока-
зательстве некоторых теорем.

В большинстве случаев доказательство теоремы проводится
дедуктивным методом или методом дедукции. Эти названия проис-
ходят от латинского слова deductio— выведение. В логике под
дедукцией разумеется умозаключение от общего к частному. Де-
дуктивный метод — это способ исследования, при котором частные
положения логически выводятся из общих положений (из опреде-
лений, из аксиом, из теорем).

Таким образом, в основу дедукции или дедуктивного метода
кладется то или иное общее положение, которое часто является вы-
водом, полученным индуктивным методом. Следовательно, индук-
ция и дедукция не противопоставляются друг другу, а тесно
связаны между собой: во многих случаях при помощи индукции
создаются общие положения, которые затем становятся достоя-
нием дедукции — из этих общих положений выводятся новые ча-
стные суждения.

Дедуктивный метод применяется при доказательстве теорем и
представляет собой цепь последовательных умозаключений, а
каждое умозаключение — цепь отдельных суждений или пред-
ложений. Простейшей и наиболее распространенной формой умо-
заключений в математике является силлогизм.

Анализ и синтез. Это — вторая группа научных мето-
дов, применяемых при обучении математике (в частности и гео-
метрии).

Анализ (от греческого слова analysis — разложение, расчлене-
ние, разбор) в буквальном смысле слова означает разложение или
разбиение вещественного или логического объекта на его состав-
ные части.

В логике анализ заключается в расчленении понятия, мысли
(суждения) на составляющие понятия или суждения*.

Под анализом подразумевают также ход мысли от неизвестного
(целого) к известному (частям целого).

Синтез (тоже греческое слово synthesis — соединение, сочетание,

* БСЭ, изд. 1, т. 2, стр. 583.
составление) — способ изучения предмета в его целостности, в
единстве и взаимной связи его частей.

Под синтезом подразумевается ход мысли от известного (от
частей целого) к неизвестному (целому).

В педагогическом процессе изучения геометрии в средней школе
анализ и синтез, аналитический и синтетический методы имеют
самое широкое применение как в буквальном истолковании этих
терминов (анализ — разбиение и синтез — соединение), так и в
смысле особого хода рассуждения (анализ — от неизвестного к
известному, синтез — от известного к неизвестному).

Так, например, при определении площади круга в курсе ариф-
метики V класса учащиеся разбивают круг на все более и более
мелкие секторы (анализ), из которых потом составляется новая
фигура (синтез), все более и более похожая на прямоугольник.

При определении площади многоугольника последний разби-
вается на треугольники (анализ), находится площадь каждого из
них и из полученных результатов составляется сумма—площадь
данного многоугольника (синтез).

Понятие равносоставленности фигур связано с анализом и син-
тезом: одна фигура разбивается на отдельные фигуры (анализ),
из которых составляется другая фигура (синтез).

Таких примеров из курса геометрии можно привести очень много,
когда анализ и синтез применяются в буквальном значении этих
терминов (разложение и соединение).

Те же методы, но в ином истолковании, а именно, как особый
ход мысли от неизвестного к известному и от известного к неизвест-
ному имеют еще более широкое применение при изучении геометрии.

Так, например, известно, что решение почти каждой задачи на
построение начинается анализом, когда допускается, что задача
решена, и отыскивается путь, состоящий из ряда последовательных
операций, который приведет к построению искомой фигуры (план
решения). Следующий этап решения — построение искомой фи-
гуры по намеченному плану (это — синтез).

Решение геометрической задачи на вычисление наиболее целе-
сообразно начинать с основного вопроса задачи — с определения
искомой величины, т. е. аналитическим методом, что будет при-
водить к составлению одного или нескольких уравнений.

Известно, что задачи на доказательство представляют большие
затруднения для учащихся.

Часто они не знают, с чего и как начать решение, т. е. прово-
дить доказательство. А ведь доказательство теоремы есть процесс
дедуктивный и в большинстве случаев проводится синтетически:
от общего известного положения совершается переход к частному
неизвестному положению (к заключению). Чаще всего учащиеся при
решении задач на доказательство, а также и при доказательстве
основных теорем курса, пользуются именно синтетическим методом.
И это вполне целесообразно и разумно, если в условии задачи-тео-
ремы имеются в явной форме необходимые отправные элементы.
Например: «Из точек А и В прямой о проведены к ней равные
перпендикуляры АС и BD по разные стороны от а. Доказать,
что отрезки АВ и CD в точке пересечения делятся пополам».

В этой задаче все соотношения н связи между данными и иско-
мыми элементами легко устанавливаются, а потому и доказатель-
ство легко проводится синтетически.

Но это бывает сравнительно редко. В более сложных задачах
трудно и даже невозможно сразу наметить путь доказательства
синтетически (от известного к неиз-

I	вестному). В таком случае прихо-

Р IР ______________ дится прибегать к аналитическому

\/х'	ходу рассуждения. Например: «К двум

/	\	\ Данным окружностям, касающим-

I 0	\ ся извне в точке Л, проведена

\	лГ О' I общая внешняя касательная ВС',

\	/ В и С—точки касания — соединены с

I \	J точкой А. Доказать, что *zBAC —

прямой» (черт. 13).

По чертежу, построенному по

Черт. 13	условию задачи, видно, что ^ВАС

есть один из внутренних углов
△ВЛС, в котором другие два угла образованы касательной и
хордой соответствующей окружности.

Известно, что ^АЕС = -^-оЛВ,
^АСВ = ^АС.

Но ^ВАС пока определить нельзя.

Тогда имеет смысл разбить его на два угла (анализ) и рассмот-
реть сначала каждый из них в отдельности.

Целесообразно провести общую внутреннюю касательную (AD —
касательная), которая разобьет ^ВАС на два угла: BAD и DAC.
Каждый из них образован касательной и хордой соответствующей
окружности, а потому измеряется половиной соответствующей
дуги: ^BAD ~ 4^ВА, ^DAC = -i-оЛС.

Сопоставив обе системы равенств, легко заметить, что
^BAD = ^АВС и ^DAC = ^АСВ.

Сложив эти два равенства, получим: ^ВАС = ^АВС + ^АСВ.
Но известно, что ^ВАС +(^ЛВС -\-^АСВ) — 2d (сумма внут-
ренних углов треугольника) или 2-^ВАС = 2d к ^ВАС = d
(так как ^ВАС = ^АВС + ^АСВ).

Делая обзор проведенной работы, можно заметить, что сначала
проводится анализ (берется ^ВАС, который требуется определить,
и разбивается на два составляющих угла); последующая работа
ведется синтетическим методом.

Здесь аналитическая работа велась до тех пор, пока не стал
ясным последующий путь.
Такой метод решения задачи называют иногда аналитико-син-
тетическим.

Итак, из предыдущего изложения видно, что анализ и синтез
имеют очень широкое применение в курсе геометрии и что методы
«анализ» и «синтез» не противопоставляются один другому, а всегда
сопутствуют друг другу в явном или в неявном виде: «...мышление
состоит столько же в разложении предметов сознания на их эле-
менты, сколько в объединении связанных друг с другом элементов
в единство. Без анализа нет синтеза»*.

Аналогия. Аналогия (греческое слово analogia — соответ-
ствие) — сходство, подобие в некотором отношении предметов, яв-
лений или понятий, которые в целом различны. Сущность аналогии
схематически можно выразить так: если два объекта А и В имеют
один или несколько общих признаков и, кроме того, объект А име-
ет еще один признак, то можно допустить, что и объект В имеет
тот же признак; но это допущение может быть истинным или
ложным.

Например: I. После доказательства теоремы о том, что
диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся по-
полам, преподаватель сосредоточивает внимание учащихся на том,
что точки — концы противоположных сторон параллелограмма —
обладают общим свойством — они попарно лежат на одном соот-
ветствующем отрезке (на диагонали) и на равном расстоянии от
точки пересечения диагоналей. Можно высказать предположение
(гипотезу), что на тех же параллельных сторонах имеются и другие
пары точек, обладающие тем же свойством — лежат на одном от-
резке, проходящем через ту же точку пересечения диагоналей
и на равном расстоянии от этой точки.

Это предположение — гипотеза — подтверждается последую-
щим доказательством.

2.	В правильных многоугольниках все одноименные элементы
равны (углы равны и стороны равны).

В правильных многогранниках тоже все одноименные эле-
менты равны (одноименные углы равны и грани равны).

Правильных многоугольников существует бесчисленное мно-
жество.

Можно предположить, что правильных многогранников тоже
существует бесчисленное множество (это не подтверждается).

3.	При изучении стереометрии очень полезно привлекать в по-
рядке повторения и сопоставления соответствующий материал из
курса планиметрии: параллельность на плоскости и в пространстве,
перпендикулярность на плоскости и в пространстве, треуголь-
ники и трехгранные углы, параллелограммы и параллелепипеды
и т. п.

При этом само собой будет выясняться сходство (аналогия)
и несходство (отсутствие аналогии).

*'Фридрих Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1£50, стр. 40.
Эту работу — выяснение аналогии — надо проводить особенно
тщательно и отчетливо, чтобы предупреждать широко распростра-
ненные ошибки учащихся: а) два перпендикуляра к одной и той
же прямой параллельны (опущено «на плоскости»), б) из точки к
данной прямой можно провести только один перпендикуляр (опу-
щено то же слово «на плоскости») и т. п.

Аналогия имеет некоторое сходство с неполной индукцией.
В самом деле, при использовании аналогии сопоставляются два
или несколько объектов, выявляются в них общие свойства и на
этом основании высказывается предположение — гипотеза, что
некоторое новое свойство одного объекта принадлежит другому
объекту.

При пользовании неполной индукцией тоже сопоставляются и
сравниваются чаще всего не два, а значительно больше объектов,
выявляется в них общее свойство и высказывается утверждение,
что оно принадлежит всем подобным объектам.

В применении неполной индукции имеется больше осторожности
в утверждении, а в аналогии — больше смелости, инициативы.

Высказанные утверждения как по аналогии, так и в неполной
индукции могут быть верными и неверными.

9.	ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ. ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ
ГЕОМЕТРИИ

В классной работе применяются два основных приема — моно-
логический, когда говорит преподаватель, а учащиеся слушают,
и диалогический, когда преподаватель спрашивает, а учащиеся
отвечают. Первый прием называется лекционным (lectio — чте-
ние), а второй — катехизическим (от греческого слова cateche-
sis — катехизис — изложение в вопросах и ответах).

Преподавание геометрии в средней школе дает сравнительно
мало материала для лекции.

Поэтому катехизический прием или беседа — наиболее часто
применяемая форма классной работы.

При этом чаще всего ставится определенная цель беседы — под-
вести учащихся к открытию новой для них истины. В этом случае
беседа называется эвристической (от греческого слова heureka —-
я нашел) — искусство нахождения истины.

Эта форма работы требует от преподавателя большой и тщатель-
ной предварительной подготовки к уроку:

1)	подбор материала для наблюдения учащихся;

2)	система последовательных вопросов;

3)	возможные ответы учащихся;

4)	создание формулировки общего вывода;

5)	обоснование вывода;

6)	подбор задач и вопросов для разъяснения и закрепления
нового материала.
10.	СРЕДСТВА, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ

Успех работы при изучении любого предмета в средней школе
в большой степени зависит от того, в какой мере в процессе работы
в классе и дома возбуждается и поддерживается интерес учащихся
к учебному предмету.

Для возбуждения интереса к курсу элементарной геометрии су-
ществуют разные средства:

1)	правильная организация педагогического процесса (в шко-
ле и вне школы);

2)	развитие навыков работы с книгой (с учебником и пособием);

3)	развитие навыков самостоятельной лабораторной работы;

4)	применение наглядных пособий.

Возбуждение интереса к геометрии на
уроке и вне школы. Возбуждение интереса к предмету
и последующее поддержание этого интереса достигается прежде
всего тем, чтобы на каждом уроке и даже, по возможности, в каж-
дой домашней работе учащегося было нечто новое, новое в отчет-
ливой форме, чтобы учащийся все время двигался вперед, а не топ-
тался на месте.

Это само собой осуществляется на тех уроках, где сообщается
новый материал.

Но элемент новизны должен быть на каждом уроке — во время
опроса, на уроках повторения, на уроках тренировочных упраж-
нений и, по возможности, в домашнем задании.

Во время проверки знаний учащихся путем ли индивидуаль-
ного опроса или фронтального, например при доказательстве тео-
ремы, надо:

1)	изменять буквенные обозначения фигур;

2)	изменять форму фигур;

3)	изменять расположение их на плоскости (например, чтобы
основание треугольника было над вершиной его или сбоку).

На уроках повторения небольшой программной темы надо:

1)	выяснять систему и план в данной теме;

2)	устанавливать связь ее с предыдущей темой;

3)	в некоторых случаях вводить иные доказательства (например,
признаки равенства треугольников при помощи понятия осевой
симметрии.

4)	давать иной вариант чертежа (например, в теоремах о приз-
наках подобия треугольников центр подобия брать не только внеш-
ний, но и внутренний) и т. п.

В домашних заданиях полезно требовать, чтобы учащиеся не
только повторили и усвоили теорему и доказательство ее, как оно
было дано на уроке, но могли дать и другой вариант доказательства,
изменить буквенные обозначения, расположение или форму фигуры
и т. п.

Очень важно, чтобы в учебных мастерских — картонажной,
столярной и слесарной — преподаватель давал обоснование при-
менения таких приборов, как линейка (аксиома о прямой), уголь-
ник (единственность перпендикуляра к данной прямой, проходя-
щей через заданную точку), рейсмуса (единственность прямой,
параллельной данной прямой — краю доски, проходящей через
данную точку), линейки и чертежного треугольника (при построе-
нии параллельных прямых, например при штриховке), а также
рейсшины. Это в значительной мере повышает интерес к изучению
геометрии.

Второе условие возбуждения и поддержания интереса к геомет-
рии заключается в том, чтобы на уроке вызывать и поддерживать
самую широкую рабочую активность учащихся. Применение
таких методов, как индукция, анализ, аналогия, и связан-
ного с ними катехизического приема при умелом сочетании и исполь-
зовании их в достаточной мере возбуждает и поддерживает интерес
к предмету, который не теряется и не ослабевает и в последующей
работе, когда полученный предварительно общий вывод или вы-
сказанная гипотеза обосновываются в виде дедуктивного доказа-
тельства синтетическим методом.

Итак, возбуждение и поддержание интереса к геометрии слу-
жит могучим средством для того, чтобы учащиеся:

1)	понимали изучаемый материал, а потому более сознательно
и прочно усваивали его и

2)	успешно применяли его при решении различных задач тео"
ретического и практического характера.

Роль, значение и использование учебника
по геометрии. Для развития навыков самостоятельной ра-
боты учащихся как в классе, так и дома необходимо давать им не
только задачи на доказательство, но и некоторые теоремы основного
курса и следствия из них, более или менее подробно изложенные
в учебнике.

Кроме того, надо помнить, что школа никогда не может на-
учить всему и на всю жизнь; а потому по окончании ее последующее
восстановление и пополнение знаний в очень большой мере черпает-
ся из учебников и других специальных книг, которые надо «уметь
читать»; школа и должна научить этому.

Учебник геометрии и имеет своим назначением быть посильным
средством для осуществления только что перечисленных целей.

По своему содержанию учебник геомегрии более доступен для
учащихся, чем учебники по арифметике и по алгебре, так как он
имеет конкретное содержание в виде геометрических фигур. Наи-
более трудная для учащихся сторона учебника геометрии — де-
дуктивное изложение доказательства теорем.

Но эта трудность учебника геометрии преодолевается правильно
и умело организованной работой в классе с тем, чтобы на уроке
учащиеся поняли новый материал и в некоторой мере сознательно
его усвоили и закрепили. При этих условиях учащиеся, выполняя
домашнее задание, в частности, повторяя формулировку и доказа-
тельство новой теоремы, должны «прочитать» его по тексту и по
чертежу в книге.

Но этому надо научить.

С этой целью преподаватель, предлагая учащимся домашнее
задание по учебнику, в классе должен дать необходимые конкрет-
ные указания, как надо пользоваться учебной книгой, особенно в
таких классах, как VI и VII. Например, закончив на уроке выяс-
нение первого условия параллельности двух прямых в том же из-
ложении, как это сделано в учебнике, он предлагает учащимся от-
крыть страницу 35 учебника и проанализировать чертежи (а, б, в),
т. е. на первом (а) указать, что дано и что надо доказать, и про-
читать первые два абзаца; на втором (б) указать отличия и объяс-
нить их, а затем прочитать следующие пять абзацев; наконец, ра-
зобрать и третий чертеж (в), выяснив особенность его и полученный
вывод и прочитать следующие два абзаца, а также формулировку
теоремы.

После этого преподаватель сообщает учащимся, что к следую-
щему уроку они должны повторить и усвоить это условие параллель-
ности двух прямых (теорему и доказательство ее), пользуясь схе-
матической записью в тетради (если таковая была на классной доске
и перенесена в тетрадь) и учебником.

Такую работу с целью научить учащихся самостоятельно поль-
зоваться учебной книгой дома надо проводить на уроке в VI классе
чаще, чем в VII, а в более старших классах только в особо исклю-
чительных и трудных случаях.

В последующей работе учащиеся в классе и дома могут по учеб-
нику разбирать и совсем новый, но посильный материал, а также по
учебнику самостоятельно разбирать иное доказательство известной
теоремы, отличное от того, какое было дано преподавателем на
уроке.

Терпеливая, неустанная и систематическая работа учащихся
с учебником геометрии под неослабным наблюдением и руководством
преподавателя постепенно будет способствовать созданию убежде-
ния, что книга является, во-первых, справочником, в котором че-
ловек может найти и уточнить то, что он забыл или недостаточно
твердо и отчетливо помнит, во-вторых, она является источником,
из которого он может черпать новые знания.

При работе в более старших классах (VIII—X) преподаватель
может в некоторых случаях поручать отдельным учащимся разо-
брать и усвоить или новый вариант доказательства данной тео-
ремы, или новую интересную теорему, не вошедшую в програм-
му, но могущую иметь полезное применение. Отчет об этой рабо-
те полезно заслушать на уроке, что может вызвать интерес и у
Других учащихся.

В старших же классах можно давать задания отдельным же-
лающим учащимся прочитать ту или иную статью из научно-по-
пулярной литературы, наметить план и краткий конспект содер-
жания этой статьи.
11. НАГЛЯДНОСТЬ И НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ
ГЕОМЕТРИИ

Как известно, один из основных принципов дидактики гласит:
обучение должно быть наглядным. Принцип наглядности означает
требование, чтобы знания учащихся основывались на живом и
непосредственном восприятии самих изучаемых объектов.

В. И. Ленин высказал известный тезис о диалектико-материа-
листическом развитии мышления: «От живого созерцания к аб-
страктному мышлению w от него к практике — таков диалектиче-
ский путь познания истины, познания объективной реально-
сти»*.

Из всех школьных математических дисциплин геометрия для
своего изучения требует наиболее широкого применения на-
глядных пособий.

И это вполне понятно: элементарная геометрия изучает форму,
размеры и взаимное расположение предметов в пространстве.

Форма предмета, как и форма отдельной его части, особенно
легко воспринимается зрительно**. Но чтобы подробно и основа-
тельно изучить форму, надо прежде всего видеть ее в разных пред-
метах и неодин, а иногда два, три и больше раз, надо осязать ее,
подержать эти предметы в руках, повертеть в разных направлениях,
выполнить некоторые измерения и сравнить полученные резуль-
таты...

Все это можно делать, если «под руками» преподавателя и уча-
щихся при изучении курса геометрии будет соответствующий ма-
териал — предметы пли отдельные детали их, которые в этом слу-
чае и будут служить наглядными пособиями.

Эти пособия можно разбить на две группы: естественные нагляд-
ные пособия (предметы окружающей обстановки) и искусственные.
Предметы окружающей обстановки как наглядные пособия при
правильной организации обучения геометрии могут дать богатей-
ший набор геометрических образов. В самом деле, вокруг себя
учащиеся видят разные предметы, а в них прямые и кривые ли-
нии, различные комбинации их — углы, треугольники, четырех-
угольники и многоугольники (правильные и неправильные), ок-
ружности и комбинации их, наблюдают подобие фигур. Этими ес-
тественными наглядными пособиями следует пользоваться не толь-
ко при изучении пропедевтического курса геометрии; очень важно
и полезно к ним обращаться и при изучении систематического
курса: определение площади поверхности или объема данного от-
резка трубы при помощи непосредственного измерения линейных
элементов, определение расстояния между скрещивающимися пря-
мыми, одна из которых на потолке, а другая на полу и т. п.

* В. И. Л е н и н, философские тетради, 1947, стр. 146—147.

** Непосредственное восприятие зрением иногда заменяется словесным
описанием.
Искусственные наглядные пособия тоже можно разбить на две
группы: вещественные пособия — модели плоскостных и простран-
ственных фигур и графические — чертежи этих фигур. Если модели
не всегда используются учителями, особенно при изучении плани-
метрии, то чертежи пользуются всеобщим признанием.

Учащиеся средней школы должны научиться не только строить
чертеж в определенной последовательности, но и уметь читать его.
С этой целью на первых порах при построении чертежа и при поль-
зовании им полезно отмечать на чертеже равные элементы соответ-
ствующими одинаковыми значками (равенство отрезков, углов,
общие стороны и т. п.).

Чертеж должен выполняться на классной доске (и в тетрадях)
с возможной тщательностью и в таком масштабе, чтобы он был ви-
ден всем учащимся (с классной доски) или легко обозрим (в тетради).
Он должен возможно точнее воспроизводить ту фигуру, которая
требуется условием задачи или теоремы. С этой целью в первые годы
изучения геометрии (в VI и VII классах) все чертежи на классной
доске и в тетрадях надо выполнять преимущественно при помощи
основных чертежных инструментов —линейки, треугольника, цир-
куля, транспортира... И только вспомогательные прямые линии
и отрезки в процессе доказательства или решения задачи можно
проводить от руки и на глаз. Благодаря этому учащиеся приобре-
тут прочные навыки в применении чертежных и измерительных
инструментов. В старших классах учащиеся могут строить черте-
жи и без инструментов или с частичным использованием по-
следних.

Таким образом, они будут достаточно подготовлены к построе-
нию и стереометрических чертежей, которые выполняются почти
всегда от руки.

Правильно выполненный чертеж способствует развитию глазо-
мера и приучает учащихся в планиметрических чертежах сразу
схватывать соотношения частей чертежа и тем помогает им пра-
вильно разрешать задачу.

Поэтому при построении чертежа по условию задачи или тео-
ремы преподаватель должен неуклонно требовать, чтобы уча-
щиеся в точности выполняли указанные в тексте условия (треуголь-
ник должен быть разносторонним, равнобедренным или равносто-
ронним, прямоугольным или тупоугольным и т. п.).

Но чертеж, облегчая учащимся понимание и усвоение дока-
зательства теоремы или решение задачи, иногда может принести
им и некоторый вред. У многих учащихся, обладающих острой зри-
тельной памятью, чертеж оставляет в сознании их слишком глу-
бокий след и так врезается в их память, что они по чертежу судят
об условиях теоремы. Например, при доказательстве теоремы о
сумме внутренних углов треугольника ни в коем случае не следует
на чертеже изображать равносторонний, равнобедренный или пря-
моугольный треугольник, чтобы некоторые учащиеся не могли
подумать, что видимое равенство всех трех углов или двух из них,

5 В. Г. Чичягин

49
или существование прямого угла в треугольнике составляет обя-
зательную принадлежность фигуры в данной теореме.

При проведении вспомогательных линий на чертеже в процессе
доказательства теоремы или решения задачи необходимо перед
учащимися ставить такие вопросы: с какой целью проводится вспо-
могательная линия и как она проходит или должна проходить на
чертеже? При этом надо тщательно исследовать, какая новая фи-
гура получается (и почему?). Например, если приложить один из
двух прямоугольных треугольников к другому равными катетами
(по условию эти треугольники имеют по равной гипотенузе и по
равному катету), то получается равнобедренный треугольник
(а почему не четырехугольник?).

При решении задачи на вычисление учащиеся строят указанную
в условии геометрическую фигуру, не зная характера ее, например
строят остроугольный треугольник или трапецию с тупыми и ост-
рыми углами. Полученное решение дает возможность уточнить ха-
рактер чертежа: например, треугольник или трапеция должны быть
прямоугольные. В таких случаях учащиеся, давая ответ на основ-
ной вопрос задачи, должны построить и новый чертеж в полном
соответствии с полученным решением*.

Вещественные наглядные пособия. Когда
идет речь о наглядных пособиях, применяемых при изучении курса
элементарной геометрии, то обычно под этим термином подразу-
меваются именно только вещественные наглядные пособия, а черте-
жи считаются неотъемлемой органической частью курса геометрии.

В эту группу пособий входят как естественные наглядные по-
пособия — предметы окружающей жизни и технического обору-
дования, так и искусственные, специально изготовленные — раз-
ного рода модели.

Окружающие нас предметы и предметы технического обору-
дования большей частью имеют довольно сложную форму, а по-
тому редко могут быть использованы как наглядные пособия на уро-
ках геометрии, притом только в старших классах.

Но они практически могут быть использованы как наглядные
пособия во всех классах, но не в целом виде, а в виде отдельных
своих деталей. Так, например, на уроках геометрии учащиеся под
руководством преподавателя на предметах окружающей обстановки
выделяют и показывают отрезки прямых линий, кривые линии,
углы, параллельные прямые, треугольники, четырехугольники,
окружности и т. д.

При этом учащиеся, во-первых, приучаются выделять геометри-
ческие образы в окружающих предметах, во-вторых, убеждаются,
что геометрический материал (образы или фигуры) не выдумывается,
а берется из окружающего реального мира.

Но для последующего подробного изучения вновь выделенного

♦Г. А. Владимирский, О методах использования чертежа в
преподавании геометрии, «Математика в школе», 1946, № 4.
образа (или фигуры) этого мало: такой образ будет слишком кон-
кретным, тесно связанным с тем предметом, на котором он выделен
(например, окружность верхнего края круглого стакана или окруж-
ность велосипедного колеса).

Чтобы создать более общее и отвлеченное представление об
окружности, преподаватель предлагает учащимся рассмотреть це-
лый ряд других наглядных пособий: кольца разных диаметров из
проволоки разной толщины, диски разных диаметров с тонко очер-
ченным контуром н чертежи окружностей разных диаметров.

Из этого примера следует, что в преподавании геометрии
нельзя ограничиться только естественными наглядными пособиями;
от них почти во всех случаях надо потом переходить к искусствен-
ным наглядным пособиям, специально изготовленным для учебных
целей. Их обычно называют моделями (модели геометрических об-
разов или фигур). За этим следует изображение выделенных фи-
гур на чертеже.

При изучении планиметрии применяются преимущественно пло-
скостные модели — модели отрезков, углов, параллельных пря-
мых, треугольников и т. п.; при изучении стереометрии применя-
ются пространственные модели — модели взаимного расположения
прямых и плоскостей в пространстве, модели геометрических тел.
Последние широко применяются также при изучении как пропедев-
тического, так и основного курса планиметрии, когда они исполь-
зуются или для выделения на них какого-нибудь геометрического
образа (например, в кубе выделяются конкретные образы: точки,
отрезка, прямого угла, квадрата), или для непосредственных из-
мерений (например, при определении площади или объема).

Главная особенность этих наглядных пособий состоит в том,
что они имеют постоянную форму. С методической точки зрения
эта особенность имеет безусловно положительное значение. В самом
деле, модели постоянной формы (из бумаги, из картона, из про-
волоки, из деревянных планок) разных размеров, например, мо-
дели треугольников, имеющих по две соответственно равные сто-
роны, позволяют преподавателю очень отчетливо и в короткий
срок на классной доске осуществить фактическое наложение од-
ного треугольника на другой и показать возможные случаи рас-
положения основных элементов обоих треугольников, что в зна-
чительной мере поможет учащимся понять доказательство теоремы
при помощи чертежа.

Вопросы геометрического равенства фигур (отрезков, углов,
треугольников) также очень легко воспринимаются и усваиваются
учащимися при фактическом наложении одной модели фигуры на
другую.

Можно привести еще целый ряд примеров весьма эффективного
использования геометрических моделей постоянной формы.

Однако такие модели в настоящее время не могут полностью
удовлетворять современным требованиям Методики преподавания
геометрии, когда идея движения и связанные с нею геометричес-
кие преобразования прочно входят в курс элементарной гео-
метрии.

Возникает необходимость при изучении геометрии вводить под-
вижные наглядные пособия, отражающие идею движения в гео-
метрии.

Еще в дореволюционное время были горячие сторонники при-
менения подвижных моделей*. В настоящее время такие модели
широко используются на уроках геометрии**.

Подвижные модели геометрических фигур могут быть созданы
для изучения почти всего курса геометрии. Многие из этих моде-
лей с большим интересом изготовляют сами учащиеся***.

В книге П. Я- Дорфа приведен большой набор подвижных
моделей, которые окажут значительную помощь учащимся при изу-
чении курса геометрии, особенно в VI и VII классах. Тут име-
ются подвижные модели для образования углов (вращением),
для классификации их, для выяснения свойств смежных и верти-
кальных углов, для доказательства основной теоремы о параллель-
ных прямых и т. д.

Главная особенность подвижной модели состоит в том, что при
помощи ее можно легко показать многие частные случаи фигуры
одной и той же формы (например, при помощи модели параллело-
грамма), одного и того же свойства фигуры (например, углов
или сторон параллелограмма), так называемые предельные случаи
(например, преобразование трапеции в треугольник, а треу-
гольника — в отрезок)...

Наконец, следует упомянуть еще об одной группе наглядных
пособий, которую можно назвать геометрическим конструктором.
Набор состоит из целого ряда отдельных деталей (шарнирных пало-
чек, шпилек, картонных моделей замкнутых фигур), из которых
на уроке собирается и составляется нужная фигура****.

Особенно широко применяются такие конструкторы, известные
под названием стереометрического ящика, при изучении курса
стереометрии.

Но и подвижные модели далеко не всегда могут дать более или
менее отчетливое представление о движении в геометрии. Напри-
мер, на вопрос, где находится центр окружности, описанной около
остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников,
учащиеся нередко дают неверный ответ; но задача станет понятной,
если на уроке использовать кино. При помощи кино можно пока-
зать перемещение этого центра в треугольнике в зависимости от
возрастания одного из его острых углов (начиная с остроугольного

* П. А. Карасев, Геометрия на подвижных моделях, изд.
И. Д. Сытина, 1916.

** П. Я. Д о р ф. Наглядные пособия по математике. Учпедгиз, 1955.

*** См. «Учительская газета» от 7 ноября 1955 г. (Статья Е. Викто-
ровой.)

**** П. А. Карасев, Учебно-наглядные пособия по математике и
методика работы с ними в средней школе, Учпедгиз, 1933.
треугольника), когда последний, постепенно возрастая, становится
прямым, а потом и тупым углом, благодаря чему центр описанной
окружности, постепенно перемещаясь из внутренней области,
переходит во внешнюю область (в тупоугольном треугольнике).

К сожалению, у Нас до сих пор нет таких фильмов, в частности
по курсу планиметрии, хотя давно ведутся разговоры на эту тему*.

Следует отметить еще один вид наглядных пособий, который
может применяться в процессе изучения некоторых тем пропедев-
тического и основного курса планиметрии, — модели фигур, об-
разованных перегибанием листа бумаги**. Сущность этой работы
состоит в том, что перегибая лист ровной гладкой бумаги, можно
получить образ прямой линии (точнее говоря, образ отрезка),
двойным перегибанием — образ угла, смежных и вертикальных
углов, образ параллельных прямых, тройным перегибанием —
образ треугольника, ромба, трех параллельных прямых и т. п.

Методическая ценность этих наглядных пособий состоит в том,
что они не требуют никакого специального оборудования, кроме
перочинного ножа (если потребуется вырезать фигуру) и милли-
метровой линейки, которую тоже можно вырезать из миллиметровой
или даже клетчатой бумаги; они могут создаваться в ходе самого
урока и тотчас же применяться (лишь бы под руками был лист
бумаги), на что требуется очень мало времени. При этом все учащиеся
вовлекаются в работу и почти всегда выполняют ее с увлечением,
одновременно создают много вариантов одной и той же формы и
подмечают общий закон (например, построив угол и его биссек-
трису тройным перегибанием, можно дополнить фигуру до тре-
угольника четвертым перегибанием и при помощи измерения со-
ответствующих отрезков убедиться, что биссектриса угла тре-
угольника делит противоположную сторону его на отрезки, пропор-
циональные прилежащим сторонам).

При помощи перегибания листа бумаги можно быстро и доволь-
но точно решать целый ряд задач на построение: деление отрезка
и угла на две равные части, проведение перпендикуляров к пря-
мой и параллельных прямых, построение симметричных точек,
отрезков, треугольников и т. п.

Но перегибанием нельзя построить окружность, а делить ее
на 2* равные части можно (при k = 1, 2, 3, 4...).

Методика использования наглядных по-
собий. Как видно из предыдущего изложения, при изучении
курса геометрии могут и должны применяться наглядные пособия
различной системы. Одни из этих пособий могут создаваться на
самом уроке как учителем, так и всеми учащимися (перегибанием

* А. Н. Перепелкина, Кинофикация курса геометрии в средней
школе, «Математика в школе», 1948, № 5.

** П. А. Карасев, Элементы геометрии, изучаемые при перегиба-
нии листа бумаги, ГИЗ. 1923.

С. Р о у, Геометрические упражнения с куском бумаги, Одесса,
1910.
листа бумаги) и тотчас же использоваться. Другие пособия типа
конструктора служат для создания той или иной фигуры или ком-
бинации фигур тоже на уроке, но только самим учителем или одним
из учащихся, для последующей демонстрации полученного пособия
и проведения работы с ним.

Подвижные модели служат преимущественно для демонстра-
ции процесса изменения формы или размеров фигуры. Такие по-
собия могут изготовлять и сами учащиеся (в порядке выполнения
программы по практическим занятиям в учебных мастерских или
домашней самостоятельной работы).

Наконец, модели фигур постоянной формы имеют наиболее
широкое применение для создания отчетливого представления
той или иной фигуры, для демонстрации таких операций, как
наложение или приложение, и т. п.

Многие наглядные пособия, даже большинство их, могут быть
плодотворно использованы перед изучением той или иной темы
или отдельной теоремы, чтобы ознакомить учащихся с общим со-
держанием темы или теоремы; в этом случае наглядные пособия
могут служить источником, из которого вытекает новая тема или
отдельная теорема.

По окончании изучения темы или отдельной теоремы тоже ино-
гда полезно воспользоваться наглядным пособием (лучше всего
соответствующим предметом из окружающей обстановки), чтобы
на. нем проиллюстрировать ту или иную теорему (например,
плоскости пола и потолка параллельны, потому что они перпен-
дикулярны к одной и той же прямой—ребру двугранного угла,
образованного двумя плоскостями боковых стен).

При решении некоторых задач, а также при доказательстве
некоторых теорем, когда учащимся трудно бывает представить
истинную комбинацию отдельных элементов сложной фигуры или
трудно читать на плоскости чертеж пространственной фигуры
(например, при изучении теоремы о двух перпендикулярах), очень
полезно все решение задачи или доказательство теоремы сначала
провести на модели, а затем повторить его при помощи чертежа.

Вообще надо заметить, что вещественные наглядные пособия
имеют наибольшее применение при изучении стереометрии, так
как помогают развивать пространственные представления.

При изучении планиметрии наглядные пособия играют зна-
чительно меньшую роль, но и в этом случае полезно применять их
на некоторых уроках.

Для хранения и наиболее целесообразного использования на-
глядных пособий в школах имеется математический кабинет.

Математический кабинет. Для математического
кабинета нужна отдельная комната, полностью или частично ос-
вобожденная от учебных занятий, т. е. когда в ней классные за-
нятия бывают только в одну смену, а в другую проводятся вне-
классные занятия.

Внешний вид этой комнаты должен соответствовать назначе-
нию ее, что, например, и имеет место в школе №422 г. Москвы,
где стены «украшены портретами великих математиков, плакатами,
рисунками, витринами, в которых помещаются интересные задачи
и решения к ним, графики, характерные контрольные работы...
Тематика иллюстраций, с одной стороны, тесно связана с изучаемым
курсом, а с другой — содержит элементы обобщения и углубления
знаний»*.

Каждая школа должна иметь набор необходимых специально
изготовленных наглядных пособий как вещественных, так и гра-
фических:

1)	коллекцию моделей геометрических тел разных размеров,
изготовленных из разных материалов, окрашенных в разные цве-
та, постоянной формы и разверток их;

2)	коллекцию моделей плоских фигур — отрезков, углов, па-
раллельных, перпендикулярных и симметричных прямых, треу-
гольников, четырехугольников и многоугольников, окружностей
и кругов, комбинаций окружности с прямолинейными фигурами
и т. п; каждая коллекция этих моделей (например, моделей треу-
гольников) должна состоять из моделей разных размеров и видов,
сделана из разных материалов и окрашена в разные цвета, чтобы
учащиеся при использовании их могли отвлекаться от конкретных
физических условий и сосредоточить свое внимание только на форме,
размерах и взаимном расположении отдельных элементов;

3)	коллекцию более сложных чертежей для общей обзорной и
повторительной работы по теме (например, орнаменты).

Искусственные наглядные пособия должна иметь каждая шко-
ла, приобретая целые наборы или отдельные модели в магазинах.
Но этот способ комплектования может быть не всегда выполнимым.
Поэтому в каждой школе и в каждом классе школы, где изучается
геометрия, надо вовлечь учащихся в дело изготовления наглядных
пособий, иллюстрирующих доказательство трудной теоремы или
решение сложной геометрической задачи. Если до сих пор учащие-
ся изготовляли наглядные пособия в порядке частной инициативы
отдельных учителей и школ, то с 1955/56 учебного года такая
работа должна выполняться по определенной программе в соответ-
ствии с учебным планом на уроках ручного труда в начальной
школе и на уроках практических занятий в учебных мастерских
в V—VII классах; в тех же мастерских могут работать и учащиеся
старших классов.

Полученная продукция в виде наглядных пособий поступает
в общий фонд наглядных пособий по геометрии в математический
кабинет школы.

В настоящее время, когда в соответствии с новым учебным
планом средней школы и программой политехнического обу-
чения в каждой школе будут учебные мастерские, в математическом

* П. Я. Д о р ф, Наглядные пособия по математике, Учпедгиз, 1955,
стр. 152 и 156.
кабинете можно иметь самый необходимый инструментарий для ра-
боты учащихся в этом кабинете*.

Зато в достаточном количестве должен быть набор самых не-
обходимых измерительных инструментов для работы в классе и
на местности: а) для работы в классе: метры (демонстрационный,
торговый и складной), сантиметр, употребляемый в пошивочном
производстве, рулетка, масштабная линейка, кронциркуль, нут-
ромер, измерительный циркуль; б) для работы на местности: на-
бор вех, колышков, колотушек, реек, полевой циркуль, мерная
лента, эккеры, угломеры и Мензулы.

12.	НЕКОТОРЫЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

Организация самостоятельной работы
учащихся. Никакая школа и ни один учитель не научит уча-
щегося, если последний не будет сам работать. Эта мысль отража-
ется в программе по геометрии, где указывается не только число
часов на изучение той или иной темы в классе во время уроков,
но и потребное число часов на усвоение материала, на закрепление
его и на развитие навыков в порядке домашней самостоятельной
работы.

Но для этого учащийся должен иметь соответствующие навыки.
Они приобретаются и закрепляются не сразу, а постепенно и в
течение длительного периода, в сущности, вплоть до окончания
средней школы.

Развитие и закрепление навыков самостоятельной работы уча-
щихся есть всецело задача школы и семьи.

Обычно домашняя работа учащихся по геометрии состоит в
том, чтобы

1)	по учебнику повторить заданный материал (формулировку
определения, аксиомы, теоремы и доказательство ее) или усвоить
новый посильный материал;

2)	решить данные задачи;

3)	иногда приготовить наглядное пособие.

Развитие навыков самостоятельной работы с учебником геомет-
рии было описано раньше (см. стр. 46).

Обучение решению геометрических задач на вычисление, на по-
строение и на доказательство проводится на уроках при фронталь-
ной работе, когда все учащиеся принимают активное участие:
сообща намечается план или ход решения, отдельные учащиеся
выполняют записи на классной доске, а остальные — в своих
тетрадях. При этом схематическая запись условия задачи почти
всегда должна начинаться с построения чертежа, на котором изо-
бражаются сначала только основные элементы фигуры (вершины
и стороны), затем отмечаются или строятся другие элементы, о
которых идет речь в условии задачи, и, наконец, отмечаются или

* П. Я. Д о р ф. Наглядные пособия по математике, Учпедгиз, 1955.
строятся искомые элементы; после построения чертежа или попутно
с построением его и рядом с ним справа записываются все Данные
условия (числовые значения известных элементов, соотношения
между ними и т. п.), а также основной вопрос задачи.

Такой порядок или подобный ему учащиеся и должны посте-
пенно усвоить и потом применять его в своей самостоятельной
работе при решении задач. Но его надо время от времени напоминать
им и, таким образом, закреплять его. С этой целью преподаватель,
включая в домашнее задание задачу, иногда предлагает учащимся
открыть задачник и найти указанный номер задачи; один из уча-
щихся читает условие, остальные следят по тексту, а затем по воп-
росам преподавателя проводят предварительный общий анализ
задачи: какая задается фигура (основные элементы ее), какие име-
ются в условии дополнительные элементы, какие задаются соотно-
шения между элементами и что надо определить или сделать в за-
даче. Графическое и письменное оформление условия задачи и ре-
шение ее — дело домашней самостоятельной работы учащихся.

Но время от времени на уроке надо проводить полностью всю
работу, связанную с решением задачи, начиная от анализа ее и
кончая элементами исследования; при этом обращается особое вни-
мание на оформление условия задачи и решения ее (примеры см.
раньше на стр. 14).

Изготовление наглядных пособий силами самих учащихся в
настоящее время может широко применяться при изучении геомет-
рии, так как в начальной школе закладывается прочный фунда-
мент развития трудовых навыков учащихся на уроках ручного
труда (работы с бумагой и картоном, с тканью, с глиной или пла-
стилином и на учебно-опытном участке), в V—VII классах — в
учебных мастерских (по дереву и металлу)*. Получив задание на
изготовление того или иного наглядного пособия или прибора,
учащиеся могут дома или в учебной мастерской под руководством
инструктора выполнить требуемую работу.

Итак, приемы и навыки самостоятельной работы учащихся долж-
на вырабатывать и развивать школа на уроках геометрии. А за-
крепление этих навыков большей частью проводится вне класса —
дома или в группах продленного дня. В последнем случае обеспе-
чивается наблюдение за самостоятельной работой учащихся со
стороны руководителя группы, который следит за выполнением
задания и в необходимых случаях может оказать и помощь.

Такое же наблюдение за выполнением домашнего задания долж-
но быть и в семье: старшие члены семьи ежедневно должны следить
по дневнику, какие задания имеются на следующий день и вы-
полнение их хотя бы с внешней стороны.

Очень важным стимулом, способствующим успешному выпол-

* Программы средней школы на 1956/57 учебный год. Ручной труд в
I—IV классах. Практические занятия в учебных мастерских и иа учебно-
опытном участке в V—VII классах. Основы производства и производственная
практика в VIII—X классах, Учпедгиз, 1956.

4 В. Г. Чнчнгнн

57
нению домашней самостоятельной работы учащихся, является
неослабный и систематический учет этой работы преподавателем.

Повторение программного материала.

Повторение должно быть систематическим и проходить в течение
всего учебного года, включая и последнюю учебную четверть. Оно
должно органически входить в процесс обучения и стать неотъем-
лемой его составной частью. Это в значительной мере будет способ-
ствовать более отчетливому пониманию геометрии как определенной
и стройной системы (забытые звенья цепи при помощи повторения
будут восстанавливаться в памяти) и более прочному усвоению ее.

При этом можно наметить следующий план повторительной
работы по геометрии: в первой учебной четверти повторяются ос-
новные вопросы преимущественно из курса четвертой четверти
предшествующего учебного года, чтобы увязать новый материал
со старым; во второй четверти для повторения выбираются наиболее
важные разделы или отдельные вопросы из курса первой четверти,
в третьей также отбирается материал второй четверти и т. д.

Повышение математической культуры
учащихся (внеклассная работа по геометрии). В течение
последнего десятилетия ведется большая работа по созданию новых
программ для средней школы, в частности и новых программ по
математике. Одним из требований при этом является разгрузка
программы от излишнего материала.

Стремление к разгрузке программы, а в связи с этим и к раз-
грузке учащихся ни в какой мере не налагает запрета на широкое
внедрение в работу и в жизнь школы внеклассных занятий для от-
дельных учащихся.

Общая цель этих занятий — повысить математическую куль-
туру учащихся средней школы, что может быть осуществлено раз-
решением следующих задач:

1.	Углубить, расширить и закрепить отдельные вопросы и те-
мы школьной программы.

2.	Расширить математический кругозор учащихся.

3.	Ознакомить учащихся с историей возникновения и разви-
тия некоторых математических идей, ознакомить их с жизнью и
деятельностью тех ученых, которые вносили эти идеи или разраба-
тывали их, особо останавливаясь на роли русских математиков.

4.	В свете задач, поставленных перед школой XIX и XX съез-
дами КПСС, выяснять исключительное значение математики в
развитии современной техники, производства, архитектуры и все-
го социалистического хозяйства, связав теоретический материал
школьной программы с практическими приложениями его. •

5.	Развитие навыков рациональных устных и письменных
вычислений, а также приемов и навыков применения таблиц, прибо-
ров и графиков*.

* Программы кружков внешкольных учреждений и школ. Тематика
занятий кружков юных математиков, Учпедгиз, 1956, стр. 3
Правильная организация внеклассной работы и планомерное
проведение ее способствуют значительному повышению интереса
учащихся к соответствующему учебному предмету, развитию на-
выков самостоятельной работы их, в частности работы с математи-
ческой книгой, воспитанию конструктивных способностей, ини-
циативы и настойчивости в преодолении трудностей.

Форма внеклассной работы может быть очень разнообразной:

1)	организация и проведение кружковых занятий — наиболее
распространенная форма;

2)	выпуск газет или журналов математического содержания;

3)	проведение математических олимпиад;

4)	проведение математических вечеров или утренников.

Наиболее устойчивой формой внеклассной работы для повыше-
ния математической культуры учащихся надо признать матема-
тический кружок.

Чаще всего в программу работы кружка включаются темы из
различных математических предметов (из арифметики, алгебры, гео-
метрии и тригонометрии), конечно, в зависимости от возрастного
состава учащихся. Но иногда на кружке в течение года и даже боль-
ше рассматриваются вопросы только одного из этих учебных
предметов, в частности геометрии. В этом случае можно наме-
тить следующую примерную тематику:

1.	Исторические очерки развития геометрии и отдельных воп-
росов ее*.

2.	Решение задач на вычисление, на доказательство и на по-
строение.

3.	Углубление и расширение некоторых программных тем.

4.	Конструирование и изготовление наглядных пособий по
геометрии**.

5.	Элементы аналитической геометрии на плоскости.

6.	Элементы геометрии треугольника***.

* Г. Н. П о п о в. Очерки по истории математики, изд. Френкеля,
М.-Л., 1925.

Г. Г. Центен. История математики, ГТТИ, 1932 и 1933; Фл.
К э д ж о р п, История элементарной математики, Одесса, 1917.

В. И. Л е б е д е в. Очерки по истории точных наук: 1) Кто автор
первых теорем геометрии, изд. 2, 1921, 2) Знаменитые геометрические задачи
древности, М., 1917.

Е. Фурре, Очерк истории элементарной геометрии, 1912.

И. Я. Депман, Из истории математики, Детгиз, 1950.

И. Я. Д е п м а н. Рассказы о математике, Детгиз, 1954.

** П. Я. Д о р ф. Наглядные пособия по математике, Учпедгиз, 1955.

П- А. Карасев, Геомгтрля нз подвижных моделях, изд. И. Д. Сы-
тина, 1916.

П. А. Карасев, Учебно-иаглядные пособия по математике и
методика работы с ними в средней школе, Учпедгиз, 1933.

П. А. Карасев, Элементы геометрии, изучаемые при перегибании
листа бумаги, ГИЗ, 1923.

С. Роу, Гесметрпческне упражнения с кусксм бумаги, 1910.

*** С. И. Зетель, Новая геометрия треугольника, Учпедгиз,
1940.
7.	Элементы логики в курсе геометрии.

В.	Ошибки в геометрических доказательствах*.

В последующем изложении будут указаны те вопросы курса
геометрии, которые могут быть углублены и расширены на занятиях
кружка.

13. ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ В КУРСЕ
ГЕОМЕТРИИ

В решениях XX съезда КПСС указано на необходимость осу-
ществления политехнического обучения, на укрепление связи шко-
лы с жизнью, на привитие учащимся практических навыков. Мно-
гие школы страны тотчас же откликнулись на эти решения и по
собственному почину в меру своих сил и возможностей стали про-
водить некоторые мероприятия политехнического характера: при по-
мощи шефствующих организаций открыли учебные мастерские,
установили связи с фабриками, заводами, совхозами и колхозами,
куда учащиеся школ ходили не только в порядке экскурсий, но и
для выполнения некоторых работ, основы некоторых наук по учеб-
ному плану — математики, физики, химии, естествознания — стали
насыщать практическим содержанием в виде лабораторных работ
и решения задач практического характера. Министерство просве-
щения РСФСР и Академия педагогических наук провели большую
работу, чтобы отдельные мероприятия разных школ организационно
ввести в определенное русло: были созданы новые учебные планы,
переработаны программы учебных предметов, изданы методиче-
ские пособия и описание опытов отдельных школ и учителей.

Для того чтобы обеспечить правильное и разумное осуществле-
ние политехнического обучения в школе, необходимы соответст-
вующие условия.

Первое из этих условий заключается в том, чтобы повысить
качество преподавания основ наук, входящих в учебный план шко-
лы, в частности повысить качество преподавания всего курса мате-
матики, в том числе и геометрии, добиваясь от учащихся созна-
тельного изучения программного материала, лучшего понимания
£го и более прочного усвоения.

Второе условие состоит в том, чтобы осуществление политехни-
ческого обучения происходило не только на отдельных уроках руч-
ного труда, в учебных мастерских, в специальных кабинетах и ла-
бораториях, а в течение всего процесса изучения геометрии; во
время теоретических занятий учащиеся приобретают не только
знания и соответствующие навыки, но знакомятся и с практиче-
скими применениями этих знаний, например в учебных мастер-
ских (линейки, угольника, малки, рейсмуса и т. п.)

Раскрывая содержание курса геометрии, преподаватель должен,

* Я- С. Дубнов, Ошибки в геометрических доказательствах,
ГТТИ, 1953.
если не во всех, то во многих случаях, во-первых, ставить те до-
ступные практические задачи, которые помогут выяснить необхо-
димость изучения очередной программной темы, во-вторых, после
изучения ее опять ставить соответствующие задачи для применения
и использования только что полученных знаний и навыков.

Благодаря этому учащиеся постепенно будут уяснять, что
геометрия играет огромную роль в теоретической и в практиче-
ской деятельности человека; они будут с уважением оценивать
значение этой науки.

В течение нескольких последних лет в практике работы
школы накопился довольно большой опыт по внедрению эле-
ментов политехнизма в процесс изучения геометрии в средней
школе. Этот материал внимательно и серьезно обработан в АПН
и описан в известном сборнике статей под редакцией А. И. Фети-
сова*. В «Обших положениях» (стр. 108) говорится, что «для разре-
шения задачи политехнического обучения нужно прежде всего хо-
рошо знать теорию геометрии,., при изучении ее показать, как
используются свойства пространственных форм в научной и прак-
тической деятельности человека. Раскрытие этих связей теории с
практикой, выяснение многообразных применений геометрии в
науке, технике, сельском хозяйстве вместе с некоторыми трудовыми
процессами (измерения в классе и на местности, применение чер-
тежных инструментов, моделирование и т. д.) составляют основу
политехнического обучения в геометрии... Мы должны рассматри-
вать политехническое обучение не как расширение программы и
не как случайный придаток к курсу, а как его принципиальную
основу, способствующую наиболее полному и глубокому изучению
предмета».

Далее в той же статье устанавливаются «основные пути для до-
стижения целей политехнического обучения»:

1.	Раскрытие связи геометрии с другими науками: а) с физикой (ме-
ханика, геометрическая оптика, теория электростатического и элек-
тромагнитного поля), б) с астрономией, в) с химией (в частности
стереохимия), г) с минералогией (кристаллография), д) с черчением.

2.	Раскрытие связи геометрии с техническими дисциплинами:
а) с геодезией (измерительные работы на местности), б) со строи-
тельной техникой, в) с технической конструкцией, г) с раскройкой
тканей, кожи, листсвого металла...

3.	Политехническое обучение при решении геометрических за-
дач (на вычисление и особенно на построение).

4.	Практические занятия по геометрии, различные виды моде-
лирования, землемерные работы, измерение поверхностей и объе-
мов различных предметов техники, домашнего обихода, хозяйствен-
ных построек и т. п.**.

* Преподавание математики в школе в свете задач политехнического
обучения, изд. АПН 1454 (изд. 2).

** Более подробное изложение этих путей будет дано в последующих
главах.
Глава I

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ
В КУРСЕ АРИФМЕТИКИ V КЛАССА

(ПРОПЕДЕВТИКА ГЕОМЕТРИИ)

В соответствии с программой основной курс геометрии начинает-
ся в VI классе. Но, как известно, и при изучении курса арифмети-
ки учащиеся приобретают целый ряд геометрических сведений и
практических навыков в связи с решением «...вопросов и задач с
содержанием из повседневной жизни и из смежных учебных пред-
метов»* .

Методика изучения некоторых геометрических вопросов в те-
чение первых четырех лет обучения в средней школе входит в общий
курс методики преподавания арифметики в начальной школе.

Поэтому последующее изложение ограничивается тем геометри-
ческим материалом, который входит только в курс арифметики V
класса.

Этот геометрический материал невелик по объему и распреде-
ляется между отдельными темами курса арифметики.

Так, в первой теме «Целые числа» предлагается решать задачи
«... с геометрическим содержанием; вычисление периметров и площа-
дей прямоугольника и квадрата, объема куба и прямоугольного па-
раллелепипеда по готовым данным и по данным, полученным путем
непосредственного измерения»**. Все эти геометрические сведения
уже известны учащимся, а потому они представляют собой тоже
повторительный Материал, как и вся первая арифметическая тема.

В третьей теме «Обыкновенные дроби» геометрический матери-
ал несколько расширяется и усложняется: учащиеся решают за-
дачи на вычисление площади не отдельной плоской фигуры—пря-
моугольника или квадрата, а поверхности куба и прямоугольного
Параллелепипеда, определяют площадь треугольника и четырех-
угольника разбиением его на треугольники.

В четвертой теме «Десятичные дроби» продолжается расширение
объема и содержания геометрического материала: вычисление

* Программы средней школы на 1956/57 учебный год, Математика,
1956, стр. 13.

** Там же, стр. 28.
длины окружности и площади круга, поверхности и объема ци-
линдра.

Изучение указанного в программе геометрического материала
завершается применением полученных знаний и навыков к практи-
ческим работам на местности: «Обозначение точек и проведение ли-
ний на местности. Измерение расстояний на местности: мерным
шнуром (лентой, рулеткой), полевым циркулем, шагами. Глазо-
мерная оценка расстояний. Применение эккера. Построение пря-
моугольного участка и вычисление его площади. Вычисление пло-
щади земельного участка, имеющего форму четырехугольника»*.

При этом надо обратить особое внимание на то обстоятельство,
что в основе изучения всего указанного геометрического материала
лежит исключительно решение задач, что в явной форме и выражено
в программе «Решение задач с геометрическим содержанием».

Это программное требование надо понимать так, что в процессе
всей этой работы преимущественная роль отводится задачам с
конкретно-практическим содержанием:

1)	задача должна являться источником, из которого вытекает
новый геометрический материал;

2)	задача должна быть средством для изучения и закрепления
того же материала;

3)	наконец, задача должна быть объектом, к которому приме-
няются полученные новые знания и навыки.

Серьезное внимание следует обратить еще на одно требование
программы: при вычислении площадей фигур, поверхностей и
объемов указанных геометрических тел надо применять предвари-
тельный анализ условия задачи (что дано? что надо найти? как
это сделать?).

В объяснительной записке к программе даются и общие мето-
дические указания: весь геометрический материал, включенный
в курс арифметики, изучается путем наглядного ознакомления с
геометрическими образами на моделях, чертежах, предметах ок-
ружающей обстановки, частях технических изделий; при этом
необходимо прививать учащимся навыки в измерении длин, вы-
числении площадей фигур, поверхностей и объемов тел путем при-
менения простейших измерительных инструментов.

14. ПОВТОРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ

Прежде всего надо заметить, что хотя указанный повторитель-
ный материал по геометрии перечислен в конце первой темы про-
граммы, но работу эту надо начинать с первых же уроков арифме-
тики и продолжать ее как при изучении второй темы программы

* Программы средней школы на 1956/57 учебный год. Математика,
1956, стр. 30.
(«Делимость чисел»), так и третьей темы («Обыкновенные дроби»),
по крайней мере до введения понятия умножения дробей.

Это позволит выполнять вычисления периметров, площадей и
объемов указанных геометрических фигур сначала в области на-
туральных чисел, а потом и в области дробей.

Восстановление в памяти учащихся основных геометрических
представлений следует начинать с практических работ. Учащиеся
последовательно получают несколько заданий: измерить длину
комнаты, длину классной доски, длину классного стола, книги...
В общеклассной беседе выясняется, что для выполнения каждой
задачи нужна соответствующая единица измерения: метр — для
первой задачи, дециметр — для второй и третьей и сантиметр —
для последней задачи.

Каждое поручение выполняет отдельный учащийся под наблю-
дением преподавателя и всех остальных учащихся. Полученные
результаты измерения округляются, благодаря чему вводится по-
нятие о приближенных значениях длины как по недостатку, так
и по избытку.

Затем опять в общеклассной беседе анализируется самый про-
цесс измерения, который состоит из откладывания единицы изме-
рения и счета; в результате счета получается число, которое и
является длиной отрезка (комнаты, классной доски и т. д.). В том
же анализе процесса измерения выясняется, что откладывание
единицы измерения производится строго по прямой линии (паз
между двумя половицами или по плинтусу), что эта прямая линия
ограничена двумя концами — точками — и называется отрезком
(прямой линии), и, наконец, подчеркивается, что и единица из-
мерения (метр, дециметр и сантиметр) тоже есть отрезок (прямой
линии).

Этот процесс полезно зафиксировать на классной доске и в
тетрадях: учащиеся при помощи линейки чертят на доске и в те-
традях отрезок и под ним единицу измерения: на доске — дециметр,
в тетради — сантиметр (длина двух клеток). Один из учащихся
измеряет отрезок на доске, откладывая дециметр и делая соответ-
ствующие отметки (черт. 14), и попутно считает; результат запи-

Черт. 14

сывается, например длина отрезка 8 дм. Затем учащиеся измеряют
отрезки в своих тетрадях, отмечая сантиметры, и тоже записывают
результаты, например длина отрезка 6 см.

Если преподаватель найдет возможным, то он сообщает, что
отрезки принято для краткости обозначать одной малой буквой
латинского алфавита— a, b, с, d п т. д. Поэтому полученные ре-
зультаты можно записать так: а = 8 дм или b = 6 см и т. п.

Таким образом, из этой практической работы вытекает следую-
щий комплекс геометрических сведений:

1)	отрезок — прямая линия, ограниченная двумя точками (уча-
щиеся показывают примеры отрезков на предметах окружающей
обстановки, например край стола, туго натянутую нить и т. п.);

2)	процесс измерения отрезка состоит в откладывании и счете;

3)	длина отрезка —- число, полученное в результате счета;

4)	метр, дециметр, сантиметр — единицы измерения — тоже
отрезки;

5)	приближенные значения длины отрезка по недостатку или
по избытку.

В связи с этим полезно сделать краткое сообщение о метриче-
ской системе мер длины, подчеркнуть простоту построения ее
(это надо увязать с построением десятичной системы счисления)
и привести примеры старых русских мер длины, указав практиче-
ское происхождение их (аршин — шаг человека среднего роста,
вершок — расстояние между двумя суставами указательного паль-
ца и т. п.).

Понятие периметра квадрата и прямоугольника

Прежде чем дать понятие периметра квадрата и прямоугольника,
надо вначале восстановить в памяти учащихся образы этих двух
фигур.

С этой целью преподаватель демонстрирует в классе несколько
моделей куба и предлагает учащимся показать отдельные грани
и охарактеризовать их: они — четырехугольники с равными сто-
ронами (можно измерить их) и с прямыми углами—квадраты.
После этого демонстрируются проволочные и плоскостные модели
квадратов разных размеров.

Очень полезно противопоставить квадрату ромб (не употреб-
ляя последнего термина), показав учащимся соответствующую
модель ромба. Это позволит создать более отчетливое пред-
ставление квадрата как четырехугольника, у которого все углы
прямые и все стороны равны.

Надо научить учащихся чертить (строить) квадраты, пользу-
ясь линейкой, чертежным треугольником и измерительным цир-
кулем или мерной линейкой. Преподаватель на классной доске,
а учащиеся в своих тетрадях строят отрезок, равный, например,
4 единицам (4 дм на доске и 4 см в тетради), при концах его строят
прямые углы, прикладывая чертежный треугольник к линейке,
на полученных линиях от концов откладывают отрезки, равные
первому отрезку (циркулем или мерной линейкой), полученные
отметки соединяются отрезком (по линейке); получается квадрат.
Каждая сторона квадрата как отрезок обычно обозначается буквой,
например а; а = 4 см.
Потом ставится задача: определить сумму длин всех сторон
построенного квадрата.

Учащиеся сами дадут ответ (16 дм и 16сл<). Преподаватель пред-
лагает сначала записать решение на доске и в тетрадях:

4 дм + 4 дм 4- 4 дм 4- 4 дм = 16 дм, или 4 дм х 4 = 16 дм;
4 см 4- 4 см + 4 см 4- 4 см = 16 см, или 4 см X 4 = 16 см,
а потом построить отрезок, равный сумме всех сторон квадрата.

Затем устно решаются задачи: определить сумму длин всех
сторон квадрата, если одна из них равна 9 см; 15 дм; 23 м; 7 мм,
и т. п.

Если преподаватель найдет возможным, то решение всех этих
задач можно записать в общем виде, зная, что каждая сторона квад-
рата обозначается буквой а, а именно:

а-\-а-4-а-(-а = 4 а, или а х4= 4 а.

После этого преподаватель сообщает, что сумму длин всех сто-
рон квадрата принято называть периметром квадрата и
обозначать одной заглавной буквой Р* с указанием названия квад-
рата (сокращенно): Ркв. = а + а + а + а, или Ркв. = а  4=
— 4а.

Такая запись называется буквенной формулой (в отличие от
числовой формулы).

Давая а различные значения, учащиеся устно вычисляют пе-
риметры квадратов: а = 3 м; 9 дм; 17 см; 28 мм и т. п.

В таком же плане изучается периметр прямоугольника. Сначала
демонстрируется прямоугольный параллелепипед, у которого две
противоположные грани — квадраты: учащиеся на такой модели
сначала показывают знакомые фигуры — квадраты, а затем ха-
рактеризуют и другие грани: они тоже четырехугольники с прямы-
ми углами, но соседние (смежные) стороны их не равны — прямо-
угольники. Учащиеся показывают прямоугольники на разных
предметах в классе (классная доска, крышка классного стола,
страница книги или тетради и т. п.).

Затем строится прямоугольник со сторонами 5 дм и 3 дм (5 см
и 3 см в тетради).

Преподаватель сообщает, что каждая сторона прямоугольника
как отрезок тоже обозначается обычно одной малой буквой латин-
ского алфавита, в частности а и b (эти буквы ставятся на чертеже
около середины каждой стороны): а = 5 дм, b = 3 дм или а = 5 см
и b - 3 см.

Потом предлагаются две задачи.

1.	Определить сумму длин всех сторон прямоугольника.

Учащиеся говорят ответ (16 дм и 16 см) и пишут решение (на
доске и в тетради):

5 дм 4- 3 дм 4- 5 дм 4- 3 дм = 16 дм, или 5 дм X 2 4- 3 дм X
X 2 = 16 дм, или (5 дм -|- 3 дм) X 2 = 16 дм.

* Первая буква греческого слова perimetros — граница.
2.	Построить отрезок, равный сумме всех сторон прямоуголь-
ника.

Затем устно решаются аналогичные задачи; некоторые решения
записываются.

Преподаватель сообщает, что сумма длин всех сторон прямо-
угольника тоже называется периметром прямоугольника.

Запись в общем виде при помощи букв:

Р„р. = a+ b + a + b, Р„р.= 2а + 2Ь, или Рпр.=(а + Ь)-2.

Давая а и b различные значения, учащиеся вычисляют периметры
разных прямоугольников устно. Затем они выполняют необходи-
мые измерения и определяют периметры крышки классного стола,
филенки двери шкафа, звена оконной рамы, моделей прямоуголь-
ника и квадрата.

Формулы периметра квадрата Ркв. = а-4 и периметра прямо-
угольника Рпр. = (а + Ь)-2 полезно иметь на большой таблице у
классной доски.

Можно дать учащимся словесную формулировку этих фор-
мул: периметр квадрата равен учетверенной длине его стороны,
периметр прямоугольника равен сумме длин двух смежных сторон
его, умноженной на 2.

На последующих уроках необходимо решить с учащимися не-
сколько задач на нахождение периметров.

Задача 1. Найти периметр квадрата, если одна сторона его рав-
на 12 см (21 дм, 56 м и т. д.).

Задача 2. Определить периметр прямоугольника, соседние
(смежные) стороны которого равны 15 см и 32 см (23 дм и 48 дм,
54 м и 72 м).

Задача 3. Определить длину забора, огораживающего квадрат-
ный участок земли, если одна сторона его имеет длину 65 м.

Задача 4. Определить длину забора, огораживающего прямо-
угольный участок земли, соседние (смежные) стороны которого
равны 42 м и 61 м.

По существу все эти задачи имеют чисто арифметический ха-
рактер и решаются однообразно. Чтобы повысить интерес учащихся,
полезно несколько усложнять эти задачи.

Задача 5. Найти наружный (или внутренний) периметр рамки
классной доски (географической карты, крышки Стола, страницы
книги), произведя предварительно необходимые измерения.

Задача 6. Определить длину и ширину прямоугольника, если
периметр его равен 84 дм, а длина вдвое больше ширины.

Задача 7. Внутренний периметр прямоугольного оконного зве-
на равен 160 см, длина его на 10 см больше ширины. Найти длину
и ширину этого звена.

Эти задачи, как и последующие, надо предлагать учащимся и
позднее, в частности при изучении действий над обыкновенными
дробями.
Площадь квадрата и прямоугольника

Решение задач на определение площади квадрата и прямоуголь-
ника не вызывает никаких затруднений у учащихся. Но как полу-
чается правило нахождения площади прямоугольника, обычно
им неизвестно. Надо показать учащимся, что площадь прямоуголь-
ника, как и длину отрезка, можно найти непосредственным изме-
рением, причем процесс этого измерения тоже состоит в отклады-
вании единицы измерения (площади квадрата) на измеряемой пло-
щади и в счете; в результате счета получается число, которое и
является площадью прямоугольника.

Поэтому в порядке повторения очень полезно провести хотя бы
одну практическую работу в классе, например измерить площадь
классного пола, классной доски, крышки классного стола, листа
бумаги и т. д.

Затем выясняется, что отрезки измеряются отрезками — ли-
нейными единицами, вес измеряется весовыми единицами, время —
единицами времени и площадь должна измеряться единицей пло-
щади. Учащиеся вспоминают, что за единицу измерения площади
принимается площадь квадрата со стороной, равной линейной
единице, и из коллекции эталонов — фанерных, картонных и бу-
мажных квадратов — выбирают и показывают квадратные еди-
ницы— дециметр, сантиметр и миллиметр (последний на одном
из эталонов), а преподаватель показывает эталон квадратного метра.

Затем проводится демонстрация процесса непосредственного
измерения площади прямоугольника. Для этой цели строится пря-
моугольник, например, со сторонами 5 дм и 3 дм (на классной доске) и
5 см и 3см (в тетради) и под ним — единица измерения (кв. дм, кв. см).

Учащиеся наблюдают, как на классной доске непосредственно
измеряется площадь прямоугольника:

1)	эталон квадратного дециметра откладывают подлине пря-
моугольника внутри него, обводя тонко очиненным мелом свобод-
ные края единицы измерения, благодаря чему по длине прямоуголь-
ника зафиксируется процесс откладывания и получится прямоу-
гольная полоса, состоящая из стольких квадратов, сколько линей-
ных единиц содержит длина прямоугольника (в данном случае 5);

2)	процесс откладывания продолжается в том же порядке до
заполнения всего прямоугольника; получаются вторая и третья
полосы с тем же числом квадратов в каждой из них;

3)	подсчитывается число всех квадратов, уложенных в прямоу-
гол ьнике; учащиеся легко подмечают, что этот подсчет можно выпол-
нить умножением числа квадратов в одной полосе (5) на число по-
лос (3) и записывают: 5 кв. дм X 3 = 15 кв. дм.

Так непосредственно измеряется площадь прямоугольника;
на чертеже отчетливо виден процесс и результат измерения — сет-
ка из квадратов, заполняющих прямоугольник.

В своих тетрадях учащиеся строят такую же сетку.

Далее, преподаватель сообщает учащимся, что для практиче-
ского измерения площади фигур употребляется специальная сет-
ка, нанесенная на прозрачную бумагу; она состоит из квадратных
сантиметров и миллиметров, разделенных линиями разной тол-
щины для удобства отсчетов. Такая сетка называется палеткой
(черт. 15). Преподаватель показывает ее в двух размерах: одну—
для работы в тетради (200 X 150 лшг), а другую — для работы
на классной доске (1000 X 800 jkjk2)*. Сначала проводится обще-

Черт. 15

классная демонстрационная работа: на классной доске прикалы-
вается модель прямоугольника (или чертится прямоугольник),
на него накладывается палетка так, чтобы одна из жирных линий
ее совпала с одной из сторон прямоугольника, а точка пересече-
ния ее с другой жирной линией совпала с вершиной прямоуголь-
ника. Тогда при помощи палетки легко можно определить дли-
ну прямоугольника в дециметрах, сантиметрах и миллиметрах
(как и при помощи мерной линейки) и ширину его (первая задача).
Точно так же можно подсчитать число целых квадратных санти-
метров по длине прямоугольника, составляющих полоску и число
Целых полос по ширине или высоте прямоугольника и подсчитать
общее число целых квадратных сантиметров (неполные квадратные
сантиметры на первых порах можно не принимать во внимание).

* Палетку должен иметь каждый учащийся.
Затем преподаватель раздает на каждую парту занумерован-
ные модели прямоугольников разных размеров и предлагает каж-
дому учащемуся при помощи палетки подсчитать площадь прямо-
угольника в квадратных сантиметрах (число квадратиков в одной
полоске и число полос). Результаты преподаватель проверяет по
своей таблице, в которой указаны площади всех занумерованных
прямоугольников.

Такую работу полезно повторить и на следующих одном—двух
уроках.

Затем учащиеся еще раз анализируют процесс измерения пло-
щади прямоугольника и приходят к выводу, что для получения чис-
ла, измеряющего площадь прямоугольника, надо умножить число
квадратов в одной полосе (а оно равно длине прямоугольника) на
число полос (а оно равно ширине прямоугольника). Если обозна-
чить длину прямоугольника буквой а, а ширину его буквой Ь, то
площадь прямоугольника будет равна а-Ь.

Преподаватель сообщает, что площадь прямоугольника приня-
то обозначать буквой S с добавлением названия фигуры (5пр_),
благодаря чему теперь можно записать формулу: Snp=a-b, или
Хпр. = ab- Ее можно выразить и в словесной форме: площадь пря-
моугольника равна произведению его длины на ширину, или в
виде правила: чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину
его умножить на ширину.

Учащиеся дают значения буквам а и Ь, подставляют их в форму-
лу и выполняют действия:

1)	а = 24 дм,
b = 10 дм.

Snp. = 24-10 = 240 (кв. дм) (площадь классной доски).

2)	а = 11 дм,
b — 8 дм.

-$пр. = 11-8 = 88 (кв. дм) (площадь крышки стола).

3)	а = 30 см,
b — 21 см.

Snp. = 30-21 =630 (кв. см) (площадь листа писчей бумаги).

Затем учащиеся решают задачи на определение площади пря-
моугольников, когда надо получить длины их сторон непосред-
ственным измерением.

Надо предлагать также и такие задачи, когда даны площадь
прямоугольника и одна из сторон его (сначала при целом, а по-
том в свое время и при дробном частном).

Определение площади квадрата не вызывает никаких затрудне-
ний. Но предварительно необходимо в короткой беседе сначала
выяснить, что квадрат можно рассматривать как прямоугольник
с равными сторонами, в силу чего можно ввести и новое опреде-
ление квадрата: квадрат есть прямоугольник с равными сторо-
нами. Поэтому можно сказать, что всякий квадрат есть прямо-
угольник, но не всякий прямоугольник есть квадрат.

Эту генетическую связь квадрата и прямоугольника можно
очень легко выяснить при помощи подвижной модели прямоуголь-
ника, в которой закреплены прямые углы, а большие стороны —
скользящие; в процессе скольжения можно смежные стороны сде-
лать равными — получится квадрат. Этот процесс полезно зафик-
сировать и на чертеже (черт. 16). Чтобы определить площадь квад-

рата, надо знать длину и ширину
равны, поэтому их можно обозна-
чить одной и той же буквой, на-
пример буквой а; тогда для площа-
ди квадрата получается формула:
5КВ.= а-а*.

Под буквой а можно подра-
зумевать любое известное число.
Учащиеся дают различные значе-
ния букве а и определяют площадь
квадрата.

В последующей работе надо
предлагать учащимся и такие за-
дачи, в которых выясняется связь
между площадью прямоугольни-
ка и периметром его, что имеет
большое применение в практичес-
кой жизни.

его; но в квадрате все стороны

Черт. 16

Сначала можно предложить такую задачу: «Три участка земли,
из которых два прямоугольных и один квадратный, имеют равные
площади. Длина первого прямоугольного участка 25 м, второго—
50 л! и сторона квадратного 20 м. Каждый участок обнесен изгоро-
дью. Какой из этих участков имеет изгородь наименьшей длины?»**.

Решив эту задачу, учащиеся могут сделать вывод: из данных

трех прямоугольников с
имеет квадрат.

Затем преподаватель
маш ней самостоятельной

равной площадью наименьший периметр

предлагает следующее задание для до-
работы и дает необходимые указания.

Составить таблицу для выяснения характера изменения пери-
метра прямоугольника данной площади при изменении длины его
сторон.

На следующем уроке преподаватель проверяет эти таблицы и
помогает учащимся проанализировать их.

1.	Площадь прямоугольника все время остается постоянной,
т. е. она равна 144 кв. см.

* Если в курсе арифметики будет введен символ степени, то формула
примет вид: Skb. = а2.

_** Геометрические сведения в курсе арифметики пятых классов семилет-
ней и средней школы. Методическое письмо, Учпедгиз, 1951, стр. 9.
S—a-b	а	»	Р=2(а+*)
144 кв. см	1 см	144 см	290 см
В В В	2 >	72 »	148 »
в в в	3 »	48 »	102 »
в в в	4 »	36 >	80 >
в > в	6 »	24 »	60 »
в в в	8 »	18 >	52 >
в в в	9 »	16 >	50 »
в в в	12 »	12 »	48 »
в в в	16 »	9 »	50 »
в в в	18 »	8 »	52 »
в в в	36 »	4 »	80 »

2.	Одна сторона прямоугольника (а) увеличивается (а = 1, 2,
3, 4, 6,...).

3.	Другая сторона его (Ь) уменьшается (Ь = 144, 72, 48,...).

4.	Периметр прямоугольника сначала уменьшается (Р = 290,
148, 102...), достигает наименьшего значения (Р = 48), затем
увеличивается (Р = 50, 52, 80...).

5.	Наименьший периметр будет тогда, когда стороны прямоу-
гольника равны (а = b = 12 см), т. е. когда прямоугольник ста-
новится квадратом.

Точно такую же работу можно предложить учащимся, чтобы
выяснить характер изменения площади прямоугольника при по-
стоянной величине периметра его и при изменении длины сторон.

f>=2(a-t-b) дм		а	дм	b дм		S=a-	b кв. дм
24	дм	1	дм	11	дм	11	кв. дм
В	В	2	В	10	В	20	В
в	в	3	в	9	в	27	>
в	в	4	в	8	в	32	в
»	в	5	в	7	в	35	в
в	в	6	в	6	в	36	в
в	в	7	в	5	в	35	в

Анализируя эту таблицу в том же плане, учащиеся приходят
к выводу, что из всех прямоугольников, имеющих один и тот же
периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.

Обе эти работы, нетрудные сами по себе, очень интересные по
содержанию и вполне доступные учащимся пятых классов, имеют
огромное значение для развития функционального мышления уча-
щихся: они отчетливо видят, как с изменением одной величины
изменяется и другая величина.

В заключение следует повторить с учащимися метрическую си-
стему квадратных единиц. Особенно надо добиваться того, чтобы
учащиеся отчетливо представляли себе такие единицы, как
квадратный метр, квадратный дециметр и квадратный санти-
метр. Последние два эталона должны иметь все учащиеся, а в
классе надо иметь еще и эталон квадратного метра.
Для сравнения квадратных единиц необходимо решать следую-
щие две задачи на местности.

1)	построить ар в виде квадрата и прямоугольника;

2)	построить гектар в виде квадрата и прямоугольника.

Для более отчетливого представления этих квадратных единиц
полезно расставить учащихся класса по всему периметру ара и
гектара на равном расстоянии друг от друга.

Рекомендуется решать задачи на определение площади не толь-
ко прямоугольника в привычном его виде, но и площади прямо-
угольной рамки (рамки классной доски, дверной рамы без стекол
или без филенок, несложной оконной рамы, а также моделей рамок
разных размеров и т. п.). Эту задачу, как известно, можно решать
двумя способами:

1)	нахождением разности между площадями двух прямоуголь-
ников — наружного и внутреннего и

2)	нахождением суммы двух пар равных прямоугольников.
При этом, конечно, все предварительные измерения производят-
ся самими учащимися.

Раньше было сказано, что задачи на определение площади пря-
моугольника и квадрата решаются в течение всего последующего
времени. При этом должны быть и такие случаи, когда одно или
оба измерения прямоугольника окажутся дробными числами (пос-
ле изучения умножения дробей). В этих случаях учащиеся обычно
не встречают затруднений и находят площадь умножением длины
на ширину. А потому не следует истолковывать процесс нахожде-
ния площади как нахождение дроби числа, что рекомендуется де-
лать в некоторых методических пособиях*. Но при этом полезно
две-три таких задачи решить и в целых числах, применяя известное
раздробление именованных чисел, например:

•$пР.=(12,75-7,5) кв. см = 95,625 кв. см « 96 кв. см, или
^.=(12,75-7,5) кв. сл<^(128-75) кв. мм=9600 кв. мм =96 кв. см.

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда

Куб и прямоугольный параллелепипед известны учащимся еще
по курсу арифметики IV класса.

Теперь, переходя к определению объемов этих тел, надо сначала
остановиться на их характеристике (как это было сделано и в пре-
дыдущей теме в отношении квадрата и прямоугольника).

С этой целью преподаватель показывает одну за другой разные
модели прямоугольного параллелепипеда, а учащиеся выясняют
форму их:

* Е. С. Березанская, Методика арифметики, Учпедгиз, 1955,
стр- 517 и 270.

«Методика преподавания математики», под общей редакцией
С. Е. Ляпина, Учпедгиз, 1955, стр. 340.
1)	каждая модель имеет шесть граней, поэтому их называют
шестигранниками;

2)	каждая грань есть прямоугольник (среди них могут быть и
квадраты);

3)	противоположные грани равны (в чем можно убедиться,
если на листочке бумаги получить ладонью или пальцем оттиск
одной грани и наложить его на противоположную грань);

4)	стороны каждой грани являются ребрами шестигранника;

5)	ребер всего двенадцать;

6)	ребра ограничиваются точками, которые называются верши-
нами шестигранника;

7)	вершин всего восемь;

8)	из каждой вершины выходит три ребра.

Все эти элементы, характеризующие данную фигуру, учащиеся
непосредственно указывают на каждой модели и сами производят
подсчеты числа граней, ребер и вершин.

Преподаватель сообщает, что такой шестигранник называется
параллелепипедом. А так как его грани — прямоугольники, то
его называют прямоугольным параллелепипедом.

Затем учащиеся показывают предметы в окружающей обста-
новке, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда (клас-
сная комната, шкаф, пенал, спичечная коробка и т. и.). После этого
можно составить и определение прямоугольного параллелепипеда
как шестигранника, у которого все грани — прямоугольники.

Все учащиеся знают куб, но теперь надо выяснить генетическую
связь куба с прямоугольным параллелепипедом.

С этой целью полезно изготовить два одинаковых куба (из плот-
ной бумаги), в одном из которых отсутствует одна грань; один куб
частично вложить в другой куб через отсутствующую в нем грань;
получится прямоугольный параллелепипед, у которого две грани —
квадраты, остальные четыре — прямоугольники; вдвигая постепен-
но один куб в другой, квадратные грани остаются неизменными,
а длина прямоугольников уменьшается; когда длина станет равна
ширине его, прямоугольники станут квадратами; получится куб.
Следовательно, куб можно рассматривать как прямоугольный па-
раллелепипед, у которого все грани квадраты.

Теперь можно перейти к определению объема прямоугольного
параллелепипеда.

Эту работу надо проводить точно так же, как это было при оп-
ределении площади прямоугольника.

Преподаватель предлагает определить вместимость или объем
какого-либо сосуда, имеющего форму прямоугольного паралле-
лепипеда. Очень удобно для этой цели взять небольшой пустой
аквариум или вивариум соответствующей формы.

Учащиеся вспоминают, что за единицу измерения объемов
принимается объем куба, ребро которого равно какой-либо линей-
ной единице измерения. Преподаватель показывает несколько
разных кубов, каждый из которых может быть принят за еди-
ницу измерения объема. Из этого набора кубиков учащиеся вы-
бирают кубические дециметры и кубические сантиметры*.

Процесс непосредственного измерения объема остается по су-
ществу прежний: учащийся укладывает кубики один за другим по
длине сосуда и считает число кубиков (например, 4 куб. дм)\ по-
лучается ряд кубиков; затем по дну вплотную укладывается вто-
рой, третий и следующие ряды кубиков (например, 3 ряда); полу-
чается слой кубиков; число их легко подсчитать: число кубиков в
одном ряду умножается на число рядов (4 куб. дм • 3=12 куб. дм);
точно так же укладывается второй слой, третий и т. д. до заполне-
ния всего сосуда. Чтобы подсчитать общее число кубиков, за-
полняющих сосуд, надо число кубиков в одном слое умножить на
число слоев; получится число, которое и принимается за объем
сосуда — прямоугольного параллелепипеда.

Итак, учащиеся убеждаются, что процесс непосредственного
измерения объема прямоугольного параллелепипеда остается тот
же — откладывание и счет и что в результате счета получается
число — объем прямоугольного параллелепипеда.

Но самый процесс непосредственного откладывания весьма дли-
тельный и громоздкий. А подсчет общего числа кубиков, заполняю-
щих сосуд, очень прост: 5 куб. дл/-4-3 = 60 куб. дм. Его можно
выполнить, не производя откладывания кубиков, так как в преды-
дущей записи подсчета 5 — число кубиков, уложенных по длине,
совпадает с числом 5 — длиной сосуда, 4 — число рядов, уложен-
ных по дну, совпадает с числом 4 — шириной сосуда .и 3 — число
слоев, уложенных по высоте, совпадает с числом 3 — высотой со-
суда. В силу этого предыдущую запись нахождения объема можно
прочитать так: объем прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трех чисел, выражающих длину, ширину и высоту;
к результату приписывается название единицы измерения (в дан-
ном случае куб. дм), т. е. 5-4-3 = 60 (куб. дм).

Отсюда получается правило: чтобы определить (или вычислить)
объем прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить числа—
длину, ширину и высоту — и к результату добавить название
единицы измерения.

Обозначив длину, ширину и высоту соответственно буквами
а, Ь и с, а объем — буквой V с указанием названия параллелепи-
педа (сокращенно: Vnap.), можно записать правило вычисления
объема в виде формулы: Епар. = a-b-с; под а, Ьн с можно подразу-
мевать любые известные числа.

При этом всегда надо подчеркивать, что длина, ширина и вы-
сота измеряются одной и той же единицей измерения.

Учащиеся решают задачи на нахождение объема прямоугольного
параллелепипеда по готовым данным; потом сами проводят необ-
ходимые линейные измерения для нахождения объемов классной

* В математическом кабинете школы обычно накапливается большое
число моделей кубических дециметров, сделанных учащимися.
комнаты, коридора, шкафа, пенала соответствующей формы, спи-
чечной коробки, определяют одно из измерении прямоугольного
параллелепипеда по его объему и двум другим измерениям.

Придавая большое значение практической и политехниче-
ской подготовке учащихся, при решении предыдущих задач
на определение площадей и объемов не по готовым данным, а по
результатам, полученным непосредственным измерением, необхо-
димо практически ознакомить учащихся с некоторыми правилами
приближенных вычислений (правила подсчета цифр)*.

С этой целью, имея в виду задачи на определение площадей и
объемов, надо решить с учащимися несколько упражнений на ум-
ножение приближенных значений чисел.

Задачи на определение объема учащиеся решают и в последую-
щее время, в частности и в том случае, когда измерения прямоуголь-
ного параллелепипеда выражаются дробными числами. Учащиеся
убеждены, что всякий параллелепипед имеет объем и правило на-
хождения его одно и то же—умножение трех чисел (как целых, так
и дробных).

Зная, что куб можно рассматривать как прямоугольный парал-
лелепипед, у которого все грани суть квадраты, а потому длина,
ширина и высота равны (а = b = с), легко можно определить
объем куба, как объем прямоугольного параллелепипеда: УКуба =
=а-а-а, или Еку6а = а3**.

За этим следует решение соответствующих задач.

15. РАСШИРЕНИЕ КРУГА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВЕДЕНИИ
В КУРСЕ АРИФМЕТИКИ ДРОБЕЙ

Масштаб и его применение

Первое понятие о масштабе, как числовом, так и линейном,
учащиеся V класса получают на первых уроках географии значи-
тельно раньше, чем по курсу арифметики.

Если понятие числового масштаба есть понятие чисто арифме-
тическое (как отношение двух чисел), то понятие линейного мас-
штаба можно считать геометрическим понятием. Но оба эти поня-
тия тесно связаны между собой; поэтому, если не во всех, то во
многих случаях понятие числового масштаба необходимо сопровож-
дать и графическим представлением его.	*

Применение же масштаба всегда связано с геометрическими
задачами и образами (например, определение расстояний по плану и
карте, построение планов, диаграмм).

* В. М. Б р а Д и с. Средства и способы элементарных вычислений,
изд. АПН РСФСР, 1948, а также «Четырехзначные математические таблицы»
(приложения).

** Вопрос о введении понятия степени с натуральным показателем в
курсе арифметики V класса весьма спорный. Хорошо известно, что даже в
VI классе это понятие воспринимается и усваивается с очень большим трудом.
В курсе арифметики понятие масштаба вводится сразу же пос-
ле ознакомления учащихся с понятием отношения двух чисел.

С этой целью преподаватель предлагает учащимся несколько
заданий.

1. В тетради изобразить прямолинейное расстояние между
двумя предметами на местности (между двумя деревьями, двумя
столбами и т. п.), равное 8 м\ 13 м\ 74 м\ 156 м; 250 м.

На вопросы преподавателя учащиеся отвечают, что изобра-
жение будет в виде отрезка прямой линии, уменьшенного в несколь-
ко раз (например, в 100 раз), т. е. вместо одного метра на мест-
ности можно на чертеже взять один сантиметр, что можно записать
так: в 1 см—1 м или в 1 см—100 см.

Учащиеся строят сначала отрезок, равный 8 см, подписывают
под ним принятое уменьшение ( в 1 см 100 см), а затем находят от-
ношение: 1 см : 100 см = 1 : 100 или Они припоминают (из
курса географии), что это отношение называется масштабом.
В данном случае оно показывает, что изображение в 100 раз меньше
действительного расстояния на местности, или иначе: оносостав-
I
ляет удо часть действительного расстояния.

Точно так же учащиеся строят изображение второго расстояния
(13 м).

При построении изображения третьего расстояния (74 м) уча-
щиеся сначала приходят к заключению, что при том же уменьше-
нии в 100 раз изображение не помещается на странице тетради.
Для выполнения задания надо размеры изображения уменьшить в
1000 раз, т. е. вместо 1 м надо взять 1 мм (в 1 мм — 1 м или в 1 мм
4	2

1000 мм). Они строят отрезок длиной 7 см или 7 у см и дела-
ют соответствующие надписи.

В том же масштабе учащиеся могут построить расстояние в
156 м.

А для решения следующей задачи потребуется еще большее
уменьшение, а именно, в 10 000 раз (масштаб 1 : 10 000).

В результате обзора решения этих задач можно сделать следую-
щие выводы:

1)	для построения отрезков, изображающих большие расстоя-
ния, применяется масштаб;

2)	масштабом называется отношение длины на чертеже к дей-
ствительной длине (на местности или на предмете);

3)	отношение двух чисел есть число, а потому этот масштаб
называется числовым;

4)	предыдущий член отношения (или числитель дроби) есть 1,
а последующий член (или знаменатель дроби) есть число, показы-
вающее, во сколько раз действительные размеры больше размеров
изображения.
2.	Построить в тетради планы крышки классного стола, клас-
сной доски, пола классной комнаты.

Учащиеся непосредственно измеряют длину и ширину крышки
классного стола (например, 112 см и 82 см), выбирают масштаб
(например, в 1 см — 10 см или 1 : 10= -^ ) и выполняют построе-
2^2

ние прямоугольника со сторонами 1 Ijq см и что и будет иско-
мым планом; ниже чертежа записывают масштаб (1 : 10, или -^).

Преподаватель предлагает построить план той же крышки сто-
ла в масштабе — I : 20 и 1 : 50.

Следующие задания учащиеся могут выполнить в порядке до-
машней самостоятельной работы, а необходимые измерения и за-

пись их производится в классе на уроке.

Преподаватель указывает масштабы для построения плана клас-
сной доски (1 : 20, 1 : 50, 1 : 100) и плана пола классной комнаты
(1 : 100 и 1 : 200).

При этом повторяется, что для определения размеров на чер-
теже в данном масштабе надо действительные размеры выразить в
сантиметрах или в миллиметрах, умножить на масштаб или, прак-
тически, разделить их на знаменатель дроби.

3.	При помощи чертежа и масштаба определить действительные
размеры изображенных предметов или расстояний.

Для этой цели необходимо иметь готовые плакаты с изображени-
ем отрезков и простейших планов.

Преподаватель указывает тот или иной отрезок на плакате,
называет масштаб и предлагает определить действительные размеры.

После решения нескольких задач преподаватель обращает вни-
мание учащихся на то, что при пользовании числовым масштабом
приходится выполнять вычисления, что представляет иногда зна-
чительные затруднения, в частности, при решении тех же задач на
географических картах. Чтобы облегчить эту работу, на географи-
ческих картах указывается не только числовой, но еще и линей-
ный масштаб.

Преподаватель на классной доске, а учащиеся в тетрадях стро-
ят линейный масштаб: на прямой линии от некоторой точки О
вправо откладывают последовательно отрезки, равные 1 см, на
концах этих отрезков ставят числа, указывающие те меры плана
или карты, которые соответствуют 1 см на чертеже (на плане или
на карте), например 1 м, 2 м, 3 м или 1 км, 2 км, 3 км или 100м,
200 м, 300м,..., или 100км, 200 км, 300 км,..., влево от точки откла-
дывается только один отрезок длиной 1 см с подразделениями его
на миллиметры.

При пользовании линейным масштабом очень удобно применять
измерительный циркуль (с обеими острыми ножками). На плане
или на карте циркулем берется определяемое расстояние и пере-
носится на линейный масштаб так, чтобы одна ножка циркуля
стала вправо от нуля в точку с отметкой целых сантиметров, а
другая ножка — влево от нуля, она указывает число миллиметров.
Искомое действительное расстояние сразу оказывается на линей-
ном масштабе (например, 340 м).

Для развития навыков применения как числового, так и линей-
ного масштаба в последующей работе нет надобности отводить
отдельные уроки. Такую работу целесообразно проводить в порядке
устного счета, уделяя на это 5—7 мин. на уроке.

Для этой цели полезно иметь набор карточек с изображением
отрезков, простейших прямолинейных замкнутых фигур, неболь-
ших планов и карт. Каждый учащийся получает одну карточку и
задание: определить действительное расстояние между двумя ука-
занными точками на чертеже в определенном масштабе.

Масштабы для построения изображений в уменьшенном виде
имеют наиболее широкое применение. В данном месте курса ариф-
метики этим вполне можно ограничиться.

Масштабы для построения изображений в увеличенном виде
не имеют ничего принципиально нового; к тому же они применяют-
ся значительно реже и связаны преимущественно с микроскопиче-
скими наблюдениями и измерениями. Учащиеся ознакомятся с
этими масштабами в курсе биологии. В V же классе можно не вво-
дить их.

Построение диаграмм

Диаграмма есть графическое изображение ряда сопоставляе-
мых величин с целью выявить с наибольшей наглядностью соотно-
шения между этими величинами или динамику того или иного про-
цесса, т. е. ход изменения его (в частности, во времени).

Эти соотношения между величинами можно представить в ви-
де числовой таблицы. Но те же числа, графически изображенные
отрезками, столбиками и другими фигурами, производят на зри-
теля более сильное впечатление и психологическое воздействие,
давая ему возможность быстро и отчетливо сравнивать результа-
ты или охватить данный процесс.

Диаграммы очень широко применяются на выставках для
наглядного сравнительного обзора социально-экономических яв-
лений и технических процессов.

Диаграммы могут иметь самую разнообразную форму.

Простейшими в данном месте курса арифметики являются столб-
чатые или прямоугольные диаграммы.

При этом надо помнить, что все столбики или прямоугольники
надо делать одинаковой ширины и основаниями ставить их на
одну прямую линию — на ось. На верхнем основании прямо-
угольника ставится числовая пометка — то число, которое изо-
бражается высотой данного прямоугольника или столбика.

Материал для построения диаграмм можно брать из различ-
ных областей человеческой деятельности: из науки, из техники, иа
промышленности, из сельского хозяйства.
Эту работу в классе полезно начать с показа готовых столб-
чатых диаграмм с той или иной отчетной выставки, например до-
быча угля в шахте по кварталам или по месяцам.

Под руководством преподавателя учащиеся внимательно рас-
сматривают диаграмму, начиная с внешней формы и кончая чи-
словыми отметками.

Преподаватель сообщает, что такое наглядное изображение
работы шахты называется диаграммой.

Полезно показать еще несколько столбчатых диаграмм с тем,
чтобы учащиеся отчетливо представили ход изменения того или
иного процесса, выделили периоды подъема и спада, периоды устой-
чивости или стабильности.

После этого надо на одной из диаграмм выделить два-три раз-
ных столбика, измерить и записать на классной доске длину каж-
дого из них и соответствующее число, которое изображается дан-
ным столбиком, затем вычислить, какое число соответствует одному
сантиметру или миллиметру длины столбика.

Учащиеся видят, что данная диаграмма (как и любые диаграммы)
построена в определенном масштабе.

После этого преподаватель предлагает учащимся перейти к
самостоятельному построению диаграмм.

Пример 1. Построить диаграмму сравнительной величины
площадей всех частей света.

Площадь Европы .... 10 млн. кв. км.

Площадь Азии	....	45	»	»	»

Площадь Африки	....	38	»	»	»

Площадь Америки	....	38	»	»	»

Площадь Австралии	....	8	»	»	»

В процессе беседы учащиеся устанавливают следующие усло-
вия (примерные): ширина столбика 1 см (длина двух клеток), рас-
стояние между столбиками 1 см, масштаб: 1 см длины столбика
соответствует 4 млн. кв. км.

Затем учащиеся выполняют построение в соответствии с приня-
тыми условиями (для этой цели полезно предварительно построить
линейный масштаб и пользоваться измерительным циркулем).

2.	Построить сравнительную диаграмму длины важнейших рек
Советского Союза (высоты гор, численности населения крупней-
ших городов и т. п.).

3.	Построить диаграмму численности учащихся разных "клас-
сов данной школы.

Поверхность куба

Вначале надо повторить основные сведения о кубе (определение,
вид граней и число их, число вершин и ребер).

Преподаватель сообщает, что одна пара противоположных гра-
ней куба называется основаниями, а остальные четыре грани —
боковыми гранями.
Ставится задача: сколько цветной бумаги пойдет на оклейку
всех боковых граней куба?

Учащиеся легко придут к выводу, что для решения этой задачи
надо измерить одно ребро куба, найти площадь одной грани его,
полученный результат увеличить в четыре раза.

Обозначая площадь поверхности куба буквой S, учащиеся за-
писывают решение задачи: S6oK. ку6а = (14 - 14) • 4 = 776 (кв. см).

После решения двух-трех таких задач можно ввести бук-
венную символику и запись формулы: S60K.	= (а-а)-4, или

S б. «. = 4а2.

Площадь всех граней куба определяется точно так же. Препода-
ватель сообщает, что сумма площадей всех граней куба называется
площадью полной поверхности куба. Она состоит из площади бо-
ковой поверхности куба и площадей обоих оснований его: .^полная иуба=

4(а-а) + 2(а-а) = 6(а-а), или

SKy6a = 4 а2 4- 2а2 = 6 а2.

Эта работа должна сопровождаться моделированием боковой
и полной поверхности куба и построением соответствующих чер-
тежей.

Черт. 17

Так, например, преподаватель демонстрирует бумажную мо-
дель куба и, прижимая оба основания к соответствующим боковым
граням, развертывает ее; получается развертка боковой поверх-
ности куба в виде одного прямоугольника, площадь которого со-
стоит из площадей четырех квадратов.

Затем преподаватель отпускает прижатые основания и полу-
чается развертка полной поверхности куба. Он прикладывает ее

7 В. Г Чичигия

81
к классной доске и обводит ее контур мелом, дополняя чертеж по-
строением недостающих ребер (сгибов).

Учащиеся в тетрадях тоже чертят такую же развертку.

Затем учащиеся в своих тетрадях, а преподаватель на классной
доске строят чертеж куба, соответствующий данной развертке
его.

Очень полезно показать предварительно перспективное проек-
тирование проволочной модели куба на светлый экран при
помощи лампы проекционного фонаря или вогнутого рефлектора
и подробно разобрать, как надо строить чертеж куба на пло-
скости.

В порядке домашней самостоятельной работы учащиеся по за-
данию преподавателя изготовляют из бумаги одну развертку ку-
ба определенного размера; одну из граней они могут приклеить
к странице тетради.

Другую развертку того же размера они заготовляют с той целью,
чтобы из нее можно было склеить куб; для этого на некоторых
квадратах припускается запас (черт. 17).

Поверхность прямоугольного параллелепипеда

Сначала повторяются основные сведения о прямоугольном па-
раллелепипеде на целом ряде моделей и соответствующих предметах,
после чего определяются основания и боковые грани параллеле-
пипеда.

Затем ставится задача о нахождении площади боковой поверх-
ности прямоугольного параллелепипеда.

В краткой беседе выясняется, что для этого надо найти площадь
каждой боковой грани, а это практически сводится к нахождению
площадей только двух смежных (соседних) граней и к удвоению
полученного результата.

Учащиеся производят необходимые измерения на модели, вы-
полняют вычисления и записывают их, например:

(24-15 + 18-15)-2 = 630 (кв. см).

Обозначая площадь поверхности через S, учащиеся записывают:

•^бок. пар. 630 (кв. СМ).

После решения и записи двух-трех таких задач можно ввести
буквенную символику (а — длина, b — ширина, с — высота):

*^бок. пар. = (fl-С "4“ &-в)-2.

Если к площади боковой поверхности параллелепипеда приба-
вить площади обоих оснований его, то получится площадь полной
поверхности параллелепипеда. полная пар. == S^ok. пар. —Н 2 <Soch. ==
= 2(ас + Ьс) 4- 2 ab.

Представление о площади боковой и полной поверхности пря-
моугольного параллелепипеда закрепляется ознакомлением уча-
щихся с развертками боковой и полной поверхности параллеле-
82
пипеда; учащиеся изображают на чертеже эти развертки и выреза-
ют их из бумаги.

Сведения о нахождении площади боковой и полной поверхности
прямоугольного параллелепипеда имеют очень широкое приме-
нение в практической жизни (расчеты, связанные с окраской или
оклейкой комнаты, с изготовлением картонных коробок соответ-
ствующей формы и т. п.), а потому они составляют основное содер-
жание задач, которые решают учащиеся.

Площадь треугольника

Непосредственное измерение площади треугольника можно вы-
полнить только приближенно. В этом учащиеся убедятся, выпол-
няя измерения одним из способов: откладыванием квадратной еди-
ницы на внутренней области треугольника или наложением па-
летки (последний способ проще). Рассмотрим измерение площади
треугольника вторым способом. Пусть дан треугольник (6= 40 см
и hb = 20 см), накладываем на него палетку (все это закрепляется
на классной доске).

Преподаватель предлагает подсчитать число полных квадратных
дециметров во внутренней области треугольника и число тех же
полных квадратов вместе с квадратами, частично выходящими во
внешнюю область. Получаем площадь треугольника в квадратных
дециметрах по недостатку и по избытку. Точно так же подсчитывает-
ся число полных квадратных сантиметров, покрывающих внутрен-
нюю область, а затем — число тех же квадратов вместе с теми,
которые частично выходят во внешнюю область. Получаем площадь
треугольника в квадратных сантиметрах тоже по недостатку и по
избытку. Расхождения между обоими результатами будут довольно
значительные.

При этом палетка позволяет отчетливо видеть незаполненные
кусочки внутренней области треугольника и излишние примыкаю-
щие кусочки во внешней области.

Наконец, преподаватель предлагает за единицу измерения при-
нимать квадратный миллиметр. При внимательном наблюдении
учащиеся убеждаются, что полные квадратные миллиметры почти
полностью покрывают внутреннюю область треугольника, но все-
таки остаются едва заметные непокрытые кусочки.

Эти способы измерения приводят к выводу, что найти площадь
треугольника непосредственным измерением, как это делалось при
измерении площади прямоугольника, можно только приближенно;
к тому же этот способ очень громоздкий и утомительный. Поэто-
му возникает необходимость найти иной способ решения той же
задачи.

Целесообразно сначала определить площадь прямоугольного
треугольника, который легко получается из известных уже фи-
гур прямоугольника и квадрата. С этой целью преподаватель по-
казывает учащимся бумажную модель прямоугольника (со сторо-
7*
а

нами, например, 4 дм и 3 дм) и обводом контура на классной доске
строит чертеж прямоугольника, а учащиеся в тетрадях строят пря-
моугольники со сторонами 4 см и 3 см. Затем преподаватель на мо-
дели и на чертеже (черт. 18) проводит отрезок, соединяющий две
несмежные вершины прямоугольника (то же делают и учащиеся на
своих чертежах) и разрезает модель по этому отрезку; получаются
два треугольника. Преподаватель на классной доске, а учащиеся в
тетрадях строят оба эти треугольника
(черт. 18) при помощи линейки и чер-
тежного треугольника, обозначают со-
b ответствующие стороны их буквами.

Сравнивая эти треугольники, учащиеся
приходят к выводу, что в каждом из

а	них имеется прямой угол; поэтому они

называются прямоугольными; стороны
их имеют разные длины; поэтому они
называются разносторонними; оба тре-
, угольника равны (в чем убеждаются
наложением одной модели треугольни-
ка на другую); поэтому проведенный от-
резок разбивает прямоугольник на
два равных треугольника; площадь
одного треугольника будет равна по-
ловине площади данного прямоугольни-

ка, т. е. STpeyr. — ^пряы.« а 5прям. = (4'3) кв. дм [в те-
традях Хпрям. = (4 • 3)к». см]; поэтому STpeyr. = у (4 - 3)кв. дм
[ИЛИ Srpeyr. =	(4-3) Кв. см].

Дальше учащиеся анализируют полученную формулу и вы-
ясняют:

1)	числа 4 и 3 — длина и ширина прямоугольника или длины
двух смежных сторон его;

2)	те же числа в треугольниках — длины двух смежных сторон
их, образующих прямые углы;

3)	площадь прямоугольного треугольника равна половине про-
изведения двух его сторон, образующих прямой угол.

После этого полезно показать две-три модели прямоугольных
треугольников и предложить учащимся определить их площади,
предварительно выполняя необходимые измерения соответствую-
щих сторон.

Из этих числовых примеров следует обобщение: 5пряМ. = ab,
где а и b — длина и ширина прямоугольника, a STpeyr. =
= у ab. Учащиеся склонны и в этом случае назвать а и b длиной
и шириной треугольника. Преподаватель разъясняет, что в треу-
гольнике нет длины и ширины, а в прямоугольнике принято длину
и ширину называть иначе, именно а — основание прямоугольника
(на котором он как бы стоит) и b — его высота, которую обычно
обозначают буквой h (b = Л). Эти обозначения и названия пере-
носятся и на треугольник. Поэтому правило для нахождения
площади треугольника гЛЬжно сформулировать следующим обра-
зом: чтобы найти площадь треугольника, надо основание его (а)
умножить на высоту (Л) и полученный результат разделить на 2,
Т- е. Хтреуг. = {cl-Л) : 2, или надо основание его умножить на вы-
соту и взять половину полученного результата, т. е. Хтреуг. =

=	(a-h).

Преподаватель обращает внимание учащихся на то, что как в
прямоугольнике, так и в треугольнике (см. черт. 18) высота, обра-
зует с основанием прямой угол. В связи с этим полезно расширить
понятие о высоте треугольника. С этой целью преподаватель дает

учащимся задание к сле-
дующему уроку: из тол-
стой бумаги вырезать мо-
дель прямоугольника со
сторонами 4 см и 3 см и
разрезать ее на два треу-
гольника. На следующем

уроке модель одного	Черт. 19

треугольника преподава-
тель ставит на планку классной доски, приняв за основа-
ние третью сторону его (гипотенузу),	а другую модель

прикладывает к доске и обводом по контуру получает чертеж,
соответствующий модели на планке. Учащиеся в тетрадях тоже
обводом по контуру строят треугольники в таком же положении
(черт. 19). Ставится задача: найти площадь треугольника. Что для
этого надо знать? Основание и высоту. Учащиеся измеряют осно-
вание (с = 5 см), а высоту сначала надо построить. Преподаватель
на классной доске показывает, как надо строить высоту треуголь-
ника при помощи линейки и чертежного треугольника. Учащиеся
в тетрадях выполняют те же построения, измеряют полученный

4	2

отрезок (h = 2 см или h = 2 — см) и определяют площадь:

STpeyr. = -^ (5 • 2 -|-) Кв. СМ или Хтреуг. = 6 Кв. СМ.

Результат получается тот же, что был и раньше (см. черт. 18).

Наконец, полезно определить площадь треугольника, приняв
за основание другую его сторону (а); тогда сторона b будет вы-
сотой (Л) треугольника, а площадь равна (4 • 3) кв. см = 6 кв. см.

Таким образом, учащиеся приходят к выводу, что в треуголь-
никах каждую сторону можно принять за основание и для каждого
основания будет своя высота.
В порядке домашней самостоятельной работы можно поручить
учащимся вкратце повторить ту же работу с квадратом, т. е.
измерить площадь равнобедренного прямоугольного треуголь-
ника.

После этого определение площади «косоугольного треуголь-
ника не встретит затруднений. Однако преподаватель должен особо
подчеркнуть отличие косоугольного треугольника от прямоуголь-
ного. С этой целью преподаватель демонстрирует модели треуголь-
ников различной формы.

Учащиеся на классной доске и в тетрадях строят два-три треу-
гольника разной формы и размеров, но не имеющих прямого угла,
и один треугольник прямоугольный.

Пользуясь чертежным треугольником, учащиеся должны убе-
диться в том, что во всех треугольниках, кроме последнего, все
углы косые (т. е. непрямые). Преподаватель сообщает, что такие

Черт. 20

треугольники называются косоугольными.

Затем ставится задача: опре-
делить площадь косоугольного
треугольника. Учащиеся измеря-
ют основание, строят соответст-
вующую высоту, измеряют ее и
вычисляют площадь.

И в этом случае полезно по-
казать, что вычисление площади
косоугольного треугольника мож-
с но свести к вычислению площади
прямоугольника. Для этого надо
взять деревянную или картонную
ь модель разностороннего треуголь-
ника (а =4,6 см и h — 4,8 см),
на которой построена высота;
D через середину высоты проведен
отрезок, параллельный основа-
нию, до пересечения с боковыми
сторонами треугольника; по это-
му отрезку модель распилена, а

полученный новый треугольник тоже распилен по высоте; таким
образом, данный треугольник состоит из трех частей, которые при-
крепляют к фанерной доске (черт. 20); на последней обводится чет-
кой линией контур треугольника.

Учащиеся на этой модели указывают основание треугольника,
высоту его, измеряют их и находят площадь:

5треуг.=-^- (4,6 X 4,8) кв. см х 22 кв. см.

Затем преподаватель снимает два прямоугольных треугольни-
ка и прикладывает их к боковым сторонам четырехугольника
(трапеции) соответствующим образом — получается прямоуголь-
ник. Учащиеся находят его площадь: 5прЯМ. = 4,6 — кв. см »
~ 22 кв. см.

Этим опытом подтверждается справедливость правила для на-
хождения площади треугольника.

В последующей беседе выясняется, что площадь треуголь-
ника любой формы всегда находится одним и тем же способом:
основание треугольника умножается на высоту и полученный ре-
зультат делится пополам.

В заключение надо сказать, что если преподаватель не может
затрачивать много времени на выяснение понятия площади треу-
гольника, то в этом случае достаточно ограничиться только послед-
ней работой (в основе — равносоставленность треугольника и
прямоугольника).

В дальнейшей работе учащиеся решают задачи на определе-
ние периметра и площади треугольника не столько с готовыми дан-
ными, сколько с выполнением предварительных необходимых из-
мерений как на моделях, на деталях отдельных предметов, так
и на чертежах, для чего они должны широко пользоваться линей-
кой и чертежным треугольником для построения высот.

Решение задачи о нахождении площади треугольника открывает
широкие возможности для решения более сложных, интересных
и вполне посильных задач на определение площадей многоуголь-
ников, не выходя за пределы программы. При этом будут разви-
ваться навыки непосредственных измерений линейных элементов,
навыки округления результатов измерений и навыки вычислений
с последующим округлением полученных результатов.

16. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАСШИРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВЕДЕНИЙ

В программе по арифметике для V класса сказано: «Реше-
ние задач с геометрическим содержанием; вычисление длины
окружности, площади круга, поверхности и объема цилиндра по
готовым данным и по данным, полученным путем непосредственного
измерения. Ознакомление учащихся с таблицами для вычисления
длины окружности по диаметру и обратная задача».

Последнее требование программы особенно следует подчерк-
нуть. Большим недостатком в подготовке оканчивающих среднюю
школу до сих пор было почти полное отсутствие умения пользо-
ваться различными таблицами, кроме таблиц логарифмов. Указан-
ное программное требование кладет начало внедрению таблиц в
работу средней школы.

Определение длины окружности

Учашиеся, конечно, имеют представление об окружности. По-
этому они могут указать примеры окружностей на разных предме-
тах окружающей обстановки. Цель последующей работы заключает-
ся в том, чтобы выяснить способы построения окружности, основ-
ное свойство ее, понятие о радиусе и диаметре и понятие о длине
окружности.

Следует показать несколько моделей проволочных колец (из
очень тонкой проволоки) и картонных или фанерных кругов с чет-
ко очерченными окружностями для выяснения разницы между
окружностью и кругом (окружность — линия, граница круга,
а круг — часть плоскости, ограниченная окружностью).

После этого ставится задача: построить окружность. Многие
учащиеся предложат использовать для этой цели циркуль. Не
отрицая этого предложения, преподаватель показывает на клас-
сной доске, как можно построить окружность, имея булавку, нит-
ку и тонко очиненный мел (или карандаш). Сначала строится дуга—
кривая линия, которая затем замыкается; учащиеся говорят, что
получилась окружность. На вопросы преподавателя они отвечают,
Что сначала была кривая линия, потом она замкнулась и получи-
лась окружность. Из этого делается вывод: окружность есть кри-
вая замкнутая линия.

Учащиеся в тетрадях тоже чертят окружность тем же способом
или циркулем. Этот способ имеет особо важное значение как один
из практических приемов, который может использовать каж-
дый человек, не имеющий циркуля*. Кроме того, при этом способе
учащиеся видят, что каждая точка окружности отстоит от одной
общей точки на одном и том же расстоянии (этим расстоянием
является длина отрезка туго натянутой нити). Тот же отрезок
нити дает представление о радиусе окружности.

Такой способ построения окружности используется, например,
для наметки на земле плана будущей большой круглой клумбы.

В последующей работе для построения окружности учащиеся
будут пользоваться преимущественно циркулем

Затем продолжается изучение окружности. Преподаватель туго
натянутой ниткой показывает и отмечает мелом несколько раз-
личных положений ее во время вращения — получаются отрезки.
Преподаватель сообщает, что эти отрезки, соединяющие точки ок-
ружности с данной точкой, называются радиусами. Учащиеся
тоже строят радиусы в своих тетрадях и приходят к выводу, что
все радиусы одной окружности равны. При этом сами учащиеся
могут сказать также, что данная точка называется центром окруж-
ности, а все точки окружности находятся на одном и том же рас-
стоянии от центра, которое равно длине радиуса (это видовое от-
личие в определении окружности).

Теперь можно сформулировать определение окружности (вы-
яснен родовой признак и видовое отличие), но это в V классе сов-
сем не обязательно; достаточно, если учащиеся дадут ответы на
вопросы преподавателя: а) что такое окружность? (кривая замкну-

* Вместо нитки можно использовать бумажную полоску — линейку, в
которой делается два прокола: один—для булавки, другой—для карандаша.
Тая линия); б) какое свойство ее? (все точки находятся ее на равных
расстояниях от центра). Не следует также добиваться определе-
ний центра и радиуса; достаточно, если учащиеся будут указывать
центр на чертеже и строить радиусы; свойство же радиусов они
должны знать (в одной окружности радиусы равны).

Затем учащиеся по предложению преподавателя на классной
доске, а потом и в тетрадях продолжают два-три радиуса за центр
до пересечения с окружностью. Полученные отрезки называются
диаметрами. Учащиеся подмечают, что каждый диаметр состоит
из двух радиусов и все диаметры одной окружности равны.

При этом полезно выяснить, что если каждый диаметр состоит

из двух радиусов, то не каждые два радиуса составляют диаметр.

Прежде чем приступить к определению длины окружности, пред-
варительно надо показать, что эта задача имеет очень широкое
применение в практической жизни, например:

1)	чтобы сделать железный обруч на прямую бочку или шину,
на колесо телеги, надо знать длину железной полосы для этой
цели с запасом на накладку;

2)	чтобы из проволоки согнуть кольцо определенного размера,
надо знать длину проволоки для этой цели;

3)	чтобы определить путь, пройденный на велосипеде, надо
знать число оборотов колеса и длину наружной окружности и т. п.

Ставится задача: как найти длину окружности?

Сначала преподаватель предлагает учащимся вспомнить, как
измеряется отрезок и что принимается за длину отрезка. Нельзя
ли применить этот способ и для измерения длины окружности?

Выясняется, что процесс непосредственного измерения в дан-
ном случае неприменим, так как любая линейная единица изме-
рения как отрезок не может совмещаться с кривой линией. Эту
мысль надо особенно отчетливо выяснить	_

с учащимися. Для этого можно проде-
монстрировать известную модель, которая	zy

с той же целью применяется и в IX клас- /У
се (черт. 21): на фанере имеется окруж- [/
ность радиуса R = 20 см; по окружно- |/	1

сти набиты тонкие булавки или гвоздики	/I

на равных расстояниях друг от друга	/Jr

(24 или даже 48), на которые натягивается	ZZ

очень тонкий резиновый шнурок. На этой
модели легко можно показать, что едини-
ца измерения, равная радиусу, уложит-	Черт. 21

ся в окружности шесть раз, но будет
совмещаться с ней только концами; отрезок немного боль-
ше половины радиуса, уложится двенадцать раз, но будет совме-
щаться только в двух точках и т. п.

Преподаватель сообщает, что для нахождения длины окружно-
сти приходится применять косвенный прием.

С этой целью на каждую парту дается картонный деревянный

6 В. Г. Чвчнгив

89
или металлический круг или кольцо из тонкой проволоки, дере-
вянный цилиндр, круглая консервная банка, стакан и т. п.* и
предлагается выполнить следующие работы: а) при помощи бумаж-
ной ленты или швейного сантиметра измерить длину окружности;
б) измерить длину диаметра; в) определить, во сколько раз длина
окружности больше длины диаметра, и г) все эти результаты за-
писать в тетрадь:

Длина окружности — С см,

Длина диаметра —D см,

 С : D = q (раз)**.

При этом некоторые учащиеся могут прийти к мысли, что бу-
мажная или иная лента вполне разрешает вопрос о нахождении
длины окружности. Надо разъяснить учащимся, что практически
та или иная лента может применяться только при измерении не-
больших окружностей и только в том случае, когда ею можно ох-
ватить круглый предмет. Для измерения больших окружностей
(обод ведущего паровозного колеса, махового колеса, окружность
купола здания и т. п.) этот способ практически неудобен. Непри-
меним он и при измерении длины внутренней окружности трубы,
бочки, цветочного горшка, а также окружности, начерченной на
бумаге.

В этой работе значительные затруднения испытывают учащиеся
при измерении длины диаметра. Чтобы устранить эти затрудне-
ния, надо предварительно сообщить учащимся, что диаметр —
самый большой отрезок прямой линии
в окружности, и для измерения его
применяются на практике (в токарном
деле) особые приборы—кронциркуль
(черт. 22) и мерная вилка (черт. 23).

Черт. 22	Черт. 23

Эти приборы надо ввести в употребление не только на данном
уроке, но и в дальнейшем.

* Эти предметы полезно занумеровать.

** Каждый учащийся н тетради записывает не буквы, а числовые резуль-
таты, полученные измерением (С и D) и вычислением (q).
Преподаватель отбирает полученные результаты у нескольких
учащихся и вносит их в общую таблицу примерно следующего вида:

Номе- ра пред- метов	Длина окружно- сти	Длина диаметра	Отношение длины окруж- ности к длине диаметра
1	17,4	5,5	17,4 : 5,5=174 : 55—3,16
2			
3			

Сравнивая результаты в последней графе, учащиеся приходят
к выводу, что длина окружности больше длины диаметра прибли-
зительно в 3,1 раза (с недостатком). Преподаватель сообщает, что
этот вывод правильный и что при более тщательных измерениях
нашли, что искомое отношение равно приближенно 3,14 ( с недо-
статком). Учащиеся записывают: длина окружности приближенно
в 3,14 раза больше длины своего диаметра (по недостатку). Обозна-
чая длину окружности буквой С, длину диаметра буквой D, пре-
дыдущее предложение можно записать так: C:D ~ 3,14, от-
куда С D -3,14.

Из последней записи учащиеся формулируют правило: чтобы
найти длину окружности, надо длину диаметра умножить на 3,14.

Некоторые преподаватели считают полезным* ввести символ
г в формулу С = 2-R. В данном месте курса математики символ
не имеет того обобщенного смысла, который придается ему позд-
нее, а потому излишне рано и вводить его. Что касается последней
формулы, то она в сущности даже непригодна в данном месте
курса математики. В самом деле, при определении длины данной
окружности непосредственно измеряется не радиус, а диаметр,
длину которого при использовании этой формулы учащиеся будут
делить на 2, а потом тот или иной результат умножать на 2.

Поэтому предыдущее правило, вытекающее из формулы
~D-3,14, вполне удовлетворяет практическим целям.

Для развития навыков учащиеся решают задачи преимущест-
венно с непосредственным измерением диаметра, производя со-
ответствующие вычисления и пользуясь таблицей для определения
длины окружности**.

Площадь круга

Сначала преподаватель предлагает учащимся вспомнить раз-
ницу между понятиями окружности и круга и привести примеры.

Затем предлагается задача: сколько стоит круглое настоль-
ное толстое стекло с диаметром в 120 см, если 1 кв. см сто-

* I еометрические сведения в курсе арифметики пятых классов семилет-
ней и средней школы. Методическое письмо. 1951. стр. 27.

** В. М. Б р а д и с. Четырехзначные математические таблицы для
средней школы, табл. XIV, Учпедгиз, 1958.
ит 1,5 коп.? Учащиеся легко замечают, что решение задачи сво-
дится к нахождению площади круга.

Это — новая тема и новая задача. Надо наметить пути ее раз-
решения.

С этой целью преподаватель предлагает сначала вспомнить
процесс измерения площади прямоугольника при помощи палетки.

Ту же палетку полезно применить теперь и для измерения
площади круга (модели круга и изображения круга на чертеже).
При этом учащиеся убеждаются в том, что подсчет даже квадрат-
ных сантиметров производится сравнительно долго, а результат
получается довольно грубый. Преподаватель сообщает учащимся,
что эту задачу можно решить значительно проще и получить более
точный результат другим способом. С этой целью он показыва-
ет сначала круг, разделенный на 8 равных частей — секторов
(этот термин можно не вводить), окрашенных в два цвета, и точно
такой же круг, разрезанный на секторы, которые он складывает

так, как это показано на чертеже 24. То же повторяется с кругом,
разделенным на 16, а затем на 32 равные части* (черт. 25, 26).

Черт. 25

Рассматривая эти модели (чертежи), учащиеся замечают, что
площадь каждой вновь полученной фигуры равна площади круга;

* В классе на модели из тонкой бумаги надо показать, как делить круг
перегибанием иа 2, 4, 8 н т. д. равных частей и полученные перегибы отмечать
на основной модели, подлежащей разрезанию.
поэтому определение площади круга можно заменить определе-
нием площади вновь полученной фигуры. По мере увеличения
числа частей, на которые разбивается круг, вновь полученная
фигура по своей форме приближается к прямоугольнику; поэтому

Черт. 26

при достаточно большом числе частей вновь полученную фигуру
можно принять приближенно за прямоугольник, основанием ко-
торого будет половина окружности (у С), а высотой — радиус
окружности (R); площадь этой фигуры будет равна (-^-C)-R.

Следовательно, площадь круга будет та же, т. е. SkP. = 0.5C-R.

Учащиеся формулируют правило: чтобы найти площадь круга,
надо половину длины окружности умножить на длину радиуса.

Здесь надо заметить, что нецелесообразно давать формулу
SKPt=-R2, так как учащиеся V класса не смогут истолковать ее
геометрически.

В процессе описанной работы весь иллюстративный дидакти-
ческий материал был только на классной доске и не было ничего
в тетрадях. Поэтому учащимся следует дать задание на дом: выре-
зать три круга из цветной бумаги, разрезать каждый из них со-
ответственно на 8, 16, 32 равные части, составить из них соответ-
ствующие фигуры и все это наклеить на страницу тетради.

Теперь учащиеся могут решить задачу, поставленную в самом
начале данной темы.

В соответствии с правилом для нахождения площади круга
они сначала находят длину окружности, зная диаметр круга, по-
том половину ее длины и радиус круга, затем площадь круга и
стоимость стекла.

Запись решения.

1.	Длина окружности: 120 х 3,14 = 376,8 (см).

2.	Половина длины окружности: 376,8 : 2 = 188,4 {см).

3.	Радиус круга: 120 : 2 = 60 {см).

4.	Площадь круга: 188,4-60 = 11304,0 {кв. см).

5.	Стоимость стекла: 1,5-11 304 = 169,56 (руб).

Ответ. Стекло стоит 169 руб. 56 коп.
Поверхность цилиндра

Урок начинается с ознакомления учащихся с цилиндром, в
частности только с прямым круговым цилиндром.

Преподаватель показывает несколько моделей разных цилинд-
ров, а учащиеся отмечают, что каждый из них ограничен кривой
(цилиндрической) поверхностью и двумя равными* кругами. Вво-
дите.! термин «цилиндр».

После этого учащиеся приводят примеры цилиндров в окружа-
ющей обстановке (круглый карандаш, круглая труба и т. п.).

Преподаватель вновь возвращается к моделям цилиндра, вы-
деляя в них кривую боковую (цилиндрическую) поверхность и два
круга — основания, которые все вместе составляют полную по-
верхность цилиндра. Демонстрируются развертки цилиндров.

В качестве примеров цилиндра можно указать архитектурную
колонну на многих зданиях, круглый стакан, цилиндрический
бак для воды, круглую коробку, трубу, а также модели цилинд-
ров. Относительно этих предметов можно поставить разные прак-
тические задачи: а) сколько масляной краски пойдет на окраску
колонны, бака для воды, трубы, если на 1 кв. м идет 0,25 кг)
б) сколько цветной бумаги пойдет на оклейку круглой коробки с
боков (или с боков и обоих донышек)? в) сколько тонкого картона
пойдет на изготовление цилиндра?

Наибольшую конкретность и наглядность имеет последняя
задача.

Преподаватель берет два цилиндра одинакового размера; один
из них — картонный. Последний цилиндр он «развертывает», по-
лученную развертку прикладывает к классной доске и обводит ее
мелом. Учащиеся убеждаются, что развертка состоит из прямо-
угольника и двух кругов; прямоугольник есть боковая поверх-
ность цилиндра (преподаватель опять «свертывает» цилиндр и
показывает его), а круги — основания цилиндра; основанием
прямоугольника служит развернутая окружность круга — ос-
нования цилиндра (преподаватель демонстрирует медленное раз-
вертывание боковой поверхности, а вместе с этим и разверты-
вание окружности основания); высотой прямоугольника является
высота цилиндра** (целый цилиндр прикладывается к развертке
и к чертежу).

После этого приступают к решению задачи: сколько картона
пойдет на изготовление такого цилиндра?

Из предыдущего следует, что данная задача состоит из трех
задач: а) найти площадь боковой поверхности цилиндра, б) найти
площади двух кругов — основании и в) найти всю площадь поверх-
ности цилиндра, т. е. площадь полной поверхности его.

* В этом можно убедиться, если на листе бумаги получить оттиск одного
основания и наложить его на другое основание.

** Понятие «высота цилиндра» не уточняется, а воспринимается интуи-
тивно и показывается по одной из образующих.
1.	Боковая поверхность цилиндра. Развертка боковой поверх-
ности цилиндра имеет форму прямоугольника; следовательно,
задача сводится к нахождению площади прямоугольника. Для
этого надо знать его основание и высоту (учащиеся измеряют на
чертеже и на развертке и получают: а — 31,5 см и Л — 24 см).

Записи на классной доске:

1)	а — 31,5 см; Л — 24 си;

2)	5прям. — (31,5 • 24) кв. см = 753,6 кв. см 750 кв. см,
SfioK. цил. ~ 750 кв. см.

2.	Площади двух оснований цилиндра.

Чтобы найти площадь круга, надо измерить его диаметр (уча-
щиеся измеряют диаметр кронциркулем и получают; D—10 см.

Записи на доске:

1)	0 — 10 см;

2)	Округа — (4 31,5-5) кв. см = 78,75 кв. см 79 кв. см;

3)	25КруГа — 160 кв. см.

3.	Площадь полной поверхности цилиндра. Она состоит из
площади боковой поверхности и площадей обоих оснований.

Записи на доске:

1)	^цнл. = «$бок. цил. 4~ 2 <SKpyra,

2)	Хцил. — (750 4- 160) кв. см = 910 кв. см.

Ответ. На изготовление цилиндра высотой 24 см и диамет-
ром 10 см требуется 910 кв. см картона.

Следует обратить внимание учащихся на то, что при решении
задачи были произведены три измерения: высоты цилиндра (й
— 24 см), диаметра круга основания (D — 10 см) и длины окружности
основания цилиндра (а ^31,5 см). Последнее измерение было
лишнее, так как длину окружности можно найти вычислением,
зная диаметр ее (C^D -3,14 см,т. е.С 10-3,14 см или С — 31,4 см,
а измерением получили 31,5 см). В дальнейшем надо производить
только два измерения — диаметра и высоты.

В заключительной беседе учащиеся, во-первых, записывают
формулу для определения боковой поверхности цилиндра:
S6oK. цил. = Ch, во-вторых, формулируют по ней правило (... на-
до длину окружности основания цилиндра умножить на высо-
ту его).

Вывод формулы и правила нахождения площади полной по-
верхности цилиндра был сделан еще раньше.

Для закрепления полученных знаний учащиеся решают зада-
чи дома преимущественно с готовыми данными, а в классе — с
предварительным измерением необходимых элементов.

Объем цилиндра

Для постановки вопроса об определении объема цилиндра можно
предложить учащимся практическую задачу. Например, большой
интерес вызывает такая задача: имеются два цилиндрических
сосуда (две кружки), из которых один вдвое выше другого, но зато
вдвое уже его; какой сосуд больше вмещает воды? Обычно следует
ответ: одно и то же количество воды. Учащиеся наполняют водой
один сосуд и потом переливают воду в другой сосуд. Предваритель-
ный ответ окажется неверным. К тому же он является недостаточно
определенным: остается невыясненным, во сколько раз или на сколь-
ко вместимость одного сосуда больше или меньше вместимости
другого сосуда.

Численные результаты эти можно получить, если каждый со-
суд наполнить водой и потом перелить эту воду в мензурку, кото-
рая укажет число — меру каждого сосуда, а потом можно найти
кратное отношение этих чисел и их разность.

Таких вопросов и задач в практической жизни встречается очень
много, когда приходится определять или сравнивать вместимость
сосудов цилиндрической формы, а использование воды и мензурки
далеко не всегда можно осуществить.

Возникает необходимость найти иные способы определения объе-
ма цилиндра.

Разрешение этой задачи имеет большое сходство с нахождением
площади круга. Цилиндр разрезается вдоль оси на 8,16 и больше
равных частей, из которых составляется новая фигура (черт. 27).

По мере увеличения числа равных частей эта фигура все больше
и больше становится похожей на параллелепипед, основание ко-
торого составлено из частей круга основания цилиндра, а потому
площадь основания равна площади круга основания цилиндра, а
высота есть высота цилиндра. Объем этой новой фигуры равен
объему цилиндра, потому что состоит из тех же частей, из которых
состоит и цилиндр.

Поэтому задача определения объема цилиндра заменяется бо-
лее простой и знакомой задачей определения объема вновь полу-
ченной фигуры, которая приближенно принимается за прямоуголь-
ный параллелепипед.

За длину его можно принять длину полуокружности основания
цилиндра (у С), за ширину —радиус основания того же цилиндра
(/?), а высота параллелепипеда равна высоте цилиндра (Н).

Поэтому объем параллелепипеда будет равен -^CRH.

Значит, и объем цилиндра тоже будет равен у CRH. Но -^CR =
= Округа; следовательно, Уцил. = Округа-Я (куб. ед.).

Учащиеся по этой записи формулируют правило: чтобы найти
объем цилиндра, надо площадь круга основания цилиндра умно-
жить на высоту его.

Затем они решают практическую задачу: найти объем цилиндра
(модели, кружки, круглого стакана, трубки и т. п.). Для этого они
должны произвести предварительно необходимые измерения.

17.	ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ НА МЕСТНОСТИ

В программе по арифметике V класса особым разделом стоят
«Практические работы», из перечня которых следует, что под этим
подразумеваются только работы на местности. Однако в объясни-
тельной записке к программе по арифметике говорится: «Необ-
ходимо прививать учащимся навыки в измерении длин... путем
применения простейших измерительных инструментов... Учащие-
ся должны научиться определять площади (и объемы) данных кон-
кретных фигур путем непосредственного измерения необходимых
величин». В предыдущем изложении об этом было сказано.

Тема «Практические работы» (на местности) стоит в самом кон-
це курса арифметики Vкласса; но указанные в ней работы должны
проводиться в течение всего года: в классе, в коридоре, в зале,
на школьном дворе, иногда на пришкольном участке, а также во
время загородной экскурсии в поле.

Для проведения указанных в программе работ потребуется
несложное оборудование: для работы на местности: вехи в 1,5 л
с заостренными концами (10—12 штук), мерные ленты или рулетки
(3—5 штук), крестовидные эккеры (3—5 штук) с подставками (дли-
на планок 30 см), полевой циркуль метровый; для работы в классе:
классный полигон — ящик с песком на столе (1,5 jwX 1 jhx0,15 м),
вехи длиной 20 см (15—20штук), крестовидные эккеры (длина пла-
нок 12 — 15 см) на подставках длиной 15 см*. Если нет ящика
с песком, можно работы проводить на классном столе; подставки
для вешек делаются из ниточных катушек.

Для работы в коридоре и в зале надо иметь подставки для вех и эккера.
Осенью и весной работы проводятся на воздухе, а зимой — в
классе, в коридоре и в зале. Но перед выходом на воздух намечен-
ные работы необходимо проделать сначала в классе.

Виды практических работ на местности перечислены в про-
грамме.

Классные работы особенно удобно проводить на классном по-
лигоне — в ящике с песком, где можно иметь ровную и несколько
пересеченную поверхность, можно наметить лес, речку, пруд и т. п.

Для проведения работ учащиеся разбиваются на группы —
бригады по 4 — 5 человек в каждой с ответственным бригадиром
во главе*.

* Более подробно о, практических работах на местности смотри
П. Я. Л о р ф и А. О. Р у м е р. Измерения иа местности, изд. АПН,
вып. 1—4, 1955.
Глава II

ПЕРВЫЕ УРОКИ ОСНОВНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ

В соответствии с учебным планом учащиеся VI класса продол-
жают изучение курса арифметики и наряду с этим приступают к
изучению двух новых математических предметов — алгебры и гео-
метрии.

Если учебный предмет алгебры до некоторой степени является
продолжением и обобщением известного уже курса арифметики, то
основной курс геометрии в очень слабой степени связан с теми
геометрическими сведениями, которые получили учащиеся в так
называемом пропедевтическом (подготовительном) курсе геометрии.

К тому же эта связь в сущности ограничивается употреблением
некоторых геометрических терминов (прямоугольник, квадрат,
треугольник, круг и окружность, куб, параллелепипед, цилиндр),
которые в основном курсе геометрии появляются значительно
позднее. Поэтому можно сказать, что геометрия в VI классе являет-
ся совершенно новым учебным предметом.

В то же время не следует забывать того, что учащиеся VI клас-
са как раньше, так и теперь имеют перед своими глазами множество
самых разнообразных геометрических образов в окружающих пред-
метах, которые в курсе геометрии и будут являться объектами
изучения: точки, линии — прямые и кривые, отрезки, поверхности—
плоскости и кривые поверхности, форма предмета, размеры его
и различные комбинации этих образов. Это последнее обстоятель-
ство в значительной мере облегчает учащимся VI класса овладение
новым учебным предметом, если преподаватель сумеет использо-
вать указанный материал с образовательной, воспитательной и
практической целями.

Приступая к изучению основного курса геометрии в VI классе,
преподаватель должен тщательно продумать соответствующий ма-
териал в методическом отношении с точки зрения только что ука-
занных целей и наметить четкий план работы. В этом плане дол-
жен быть точно очерчен программный материал основного курса
геометрии. Это — образовательный материал.

С другой стороны, в плане надо указать и те наглядные пособия
(разные предметы и модели), при рассмотрении которых выделяют-
ся необходимые геометрические образы. Благодаря этому учащиеся
будут не только видеть, но отчетливо сознавать, что геометриче-
ский материал не выдумывается кем-то, а составляет неотъем-
лемую часть свойств предметов окружающей действительности и
что выделение геометрических образов из общей формы предмета
вызывается практическими потребностями человека. Установле-
ние такой связи геометрии с окружающей жизнью будет содейство-
вать развитию и формированию марксистско-ленинского мировоз-
зрения учащихся, что составляет основную воспитательную за-
дачу.

Наконец, в плане необходимо наметить и ряд тех практических
задач и лабораторных работ, которые должны, с одной стороны,
показать учащимся широкое применение полученных знаний в
практической жизни, с другой стороны, способствовать развитию
и закреплению необходимых навыков мышления и чисто практи-
ческих навыков. Этим будут осуществляться практические цели
преподавания геометрии.

18.	ВВЕДЕНИЕ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИИ

Один или даже два первых урока геометрии должны быть от-
ведены для общего ознакомления с учащимися, для предваритель-
ной организации последующей работы (ведение тетрадей, необхо-
димые инструменты и т. п.), а также для ознакомления с общим
содержанием нового учебного предмета — геометрии: что такое
геометрия и чем она занимается? Ответ на этот вопрос и должен
быть основным содержанием первой вводной беседы.

Из принесенной в класс коллекции преподаватель показывает
учащимся целый ряд предметов, имеющих одну и ту же форму,
например спичечную коробку и прямоугольный пенал, картонную
прямоугольную коробку, прямоугольный брус и т. п. На вопросы
преподавателя учащиеся отвечают, что все эти предметы имеют раз-
ные размеры, сделаны из разного материала, имеют разное назна-
чение, но имеют общую форму. Эта форма слагается из шести пря-
моугольников (можно добавить, что среди них имеются пары рав-
ных прямоугольников, не уточняя этого понятия). Затем по
предложению преподавателя учащиеся указывают еще ряд пред-
метов в классе и вне класса, имеющих такую же форму — клас-
сная комната, шкаф, тарные ящики, товарный вагон и т. п.

Затем преподаватель выбирает другие группы предметов, на-
пример цилиндров, конусов, шаров и т. п., и проводит такую же
работу.

Таким образом, учащиеся под руководством преподавателя из
этих наблюдений делают вывод, что каждый предмет имеет форму
и определенные размеры.

Далее преподаватель, расставив несколько предметов на окне,
на столе или на особой подставке, подводит учащихся к мысли,что
эти предметы имеют различное положение (правее, левее, ближе,
100
от других предметов, и сообщает учащимся, что граница предмета
в геометрии называется поверхностью геометрического
тела. При этом необходимо особо подчеркнуть и в дальнейшем
отмечать, что поверхность тела в геометрии неотделима от самого
тела. Но мы можем в своем воображении создавать и мыслить по-
верхности, существующие отдельно от тела и даже конкретно пред-
ставлять их, например в виде очень тонкого листа бумаги. Но при
этом надо всегда помнить, что геометрическая поверхность не име-
ет толщины, а потому пример тонкого листа бумаги является весь-
ма и весьма грубым изображением поверхности. Поучительный
пример в этом случае дает физический опыт распределения воды и
масла в одном сосуде: поверхность как граница между маслом и
водой.

Сопоставляя модели таких геометрических тел, как паралле-
лепипед и цилиндр, учащиеся выясняют, что поверхность парал-
лелепипеда состоит из отдельных плоских поверхностей (грани
параллелепипеда), а поверхность цилиндра состоит из отдельной
кривой поверхности (боковая поверхность цилиндра) и двух плос-
ких поверхностей (круги — основания цилиндра).

Учащиеся показывают примеры поверхностей разных пред-
метов в классе, особо отмечая, плоские они или кривые.

Линия. Рассматривая модели разных геометрических тел
(параллелепипеда, цилиндра, конуса и т. п.), учащиеся показы-
вают поверхности их в целом и по частям, например отдельные
грани их (в параллелепипеде), боковую поверхность и основание
(в цилиндре). При этом они отмечают, что некоторые отдельные
поверхности (грани параллелепипеда, боковая поверхность и
основание цилиндра) пересекаются между собой, в результате
чего получаются линии, которые являются границами тех или
иных отдельных поверхностей. Линии бывают прямые (ребра в
параллелепипеде) и кривые (окружности в цилиндре и конусе).

Следовательно, линию можно рассматривать, как границу по-
верхности. Учащиеся указывают примеры линий на разных пред-
метах в классе и приводят такие примеры линий, как государствен-
ная граница (на карте), береговая линия, межа земельного уча-
стка...

Имея в виду указанные раньше свойства поверхности, нетрудно
установить, что и линия как граница поверхности не имеет тол-
щины или ширины и не может быть отделена от поверхности, а
поэтому сама по себе линия отдельно от поверхности не существу-
ет. Но мы можем мысленно отделять линию от геометрической по-
верхности и конкретно представлять ее в виде очень тонкой нити.

Точка. И это понятие учащиеся выясняют тем же путем:
на каком-либо предмете, рассматривая его как модель геометри-
ческого тела, они показывают поверхность его в целом и отдельные
поверхности, показывают линии и отмечают, что некоторые из
них пересекают одна другую и образуют точку, которая для
каждой отдельной линии является границей ее. Конкретным пред-
ставлением точки может быть острие иголки, прокол бумаги очень
тонкой иглой.

Точка не существует отдельно от линии, но мы можем в своем
воображении создавать образ точки и отдельно от линии. Точка
не имеет никаких размеров.

В краткой заключительной беседе учащиеся по вопросам
преподавателя повторяют и закрепляют полученные сведения о
геометрическом теле, о поверхности его как о границе тела, о ли-
нии как о границе поверхности, о точке как о границе линии, от-
мечают, что в действительности геометрическая поверхность не
существует отдельно от тела как и линия отдельно от поверхности,
а точка — отдельно от линии.

С той же целью более отчетливого и прочного закрепления по-
лученных знаний преподаватель выясняет те связи, которые су-
ществуют между точкой, линией и поверхностью. Сначала он еще
раз напоминает, что точка не имеет никаких размеров (нет у ней
длины, ширины и толщины). Но если ее перемещать в каком-либо
направлении, то она, как говорят, опишет некоторую линию —
след ее движения: например, острие карандаша, скользя по бу-
маге произвольно или вдоль линейки, оставит след на ней в
виде черты, которая и дает представление о линии, образуемой
движением острия карандаша; «падающая звезда» — метеор —
оставляет след в виде линии, образуемой быстрым движением
метеора, который в этом случае можно принять за грубое пред-
ставление точки; быстро летящая искра,трассирующая пуля, искра
из трубы паровоза и т. п. образуют следы в виде линий. Поэтому
линию можно рассматривать не только как границу поверхности,
но в некоторых случаях и как след движения точки*.

В связи с этим выясняется также, что точка при своем движе-
нии, оставляя след в виде линии, проходит некоторое расстояние,
которое можно измерить; полученное число принимается за длину
линии, образованной движением точки. Значит, линия, которая
не имеет толщины или ширины, имеет длину — имеет только одно
измерение.

Затем выясняется подобное же свойство поверхности (в частно-
сти, и плоскости). Сначала преподаватель, а потом и учащиеся при-
водят разные примеры и даже сопровождают некоторые из них
показом: а) быстрое вращение ярко окрашенной бечевки с грузом
создает зрительный образ круга; б) при быстром движении вело-
сипеда спицы его колеса зрительно воспринимаются как сплошной
диск; в) при ручном изготовлении кирпичей излишек глины, на-
ложенной в форму, снимается движением края лопатки (прямой
линии), скользящей по стенкам формы и образующей плоскую
поверхность; г) в распиле деревянного бруса пилой получается
плоская поверхность, образованная движением пилы.

* Движение точки непрерывно, поэтому и след движения ее есть непре-
рывная линия.
Во всех этих примерах имеет место движение прямой линии
(бечевки, спицы и т. п.), в результате которого образуется плоская
поверхность.

Значит, поверхность можно рассматривать не только как гра-
ницу тела, но и как след движения линии.

В тех же примерах получаются плоские поверхности в форме
круга, прямоугольника и т. п.; для нахождения площади их надо
провести два измерения — найти длину и ширину прямоугольника
или длину окружности и длину радиуса.

Значит, поверхность имеет два измерения, которые в некоторых
формах называются длиной и шириной, но эти названия не всегда
применимы (например, в треугольнике, где нет длины и ширины,
но есть основание и высота, как и во многих других формах).

В порядке напоминания преподаватель сообщает также, что в
некоторых случаях можно показать, что и кривая поверхность име-
ет два измерения. С этой целью он демонстрирует цилиндр, на ко-
тором учащиеся показывают его боковую кривую поверхность и
развертку ее в форме прямоугольника; учащиеся вспоминают, что
для определения площади боковой поверхности цилиндра надо
предварительно измерить длину окружности основания цилиндра
(длину прямоугольника в развертке) и высоту его; но эти два из-
мерения тоже нельзя назвать длиной цилиндра и его шириной.

Примерно так же можно выяснить, что и геометрическое тело
можно рассматривать как след движения поверхности. На-
пример:

1)	если твердую пластинку любой формы, в частности в виде
прямоугольника, вдавить в мягкую влажную глину или массу пла-
стилина и затем вынуть ее, а сделанное углубление закрыть
стеклом; то это углубление будет иметь форму и размеры, а пото-
му является геометрическим телом, образованным движением по-
верхности — плоскости;

2)	при вращении круга около диаметра при помощи центро-
бежной машины образуется зрительный образ шара, имеющий
форму и размеры; значит, получается геометрическое тело;

3)	при вращении прямоугольника около одной из сторон его
или прямоугольного треугольника около одного из катетов созда-
ется представление об образовании некоторых геометрических
тел движением поверхности.

Значит, некоторые геометрические тела могут быть образованы
движением поверхности.

Нетрудно также выяснить, что геометрическое тело имеет три
измерения. С этой целью преподаватель показывает учащимся
несколько разных моделей прямоугольных параллелепипедов. Для
определения их объема надо предварительно измерить в каждом
из них длину, ширину и высоту и полученные результаты — чис-
ла — перемножить.

Значит, геометрическое тело имеет три измерения, которые в
некоторых предметах называются длиной, шириной и высотой
(толщиной, глубиной). Но эти названия измерений теряют смысл
для предметов иной формы. Например, в куске камня неопределен-
ной формы нальзя указать длину, ширину и высоту, а объем он
имеет, который находится при помощи трех измерений, в чем можно
убедиться, опустив кусок камня в стакан с водой: уровень воды
поднимается, избыток ее переливается в прямоугольный сосуд, в
котором измеряют длину, ширину и высоту, находят объем воды,
который принимается и за объем камня.

Далее выясняется одно из важнейших понятий геометрии —
понятие геометрической фигуры. С этой целью учащиеся рас-
сматривают сначала тонкую спицу—прямую или согнутую, назы-
вают составляющие элементы: две точки — концы — и линия
между ними. Затем демонстрируется треугольник (а потом четырех-
угольник), вырезанный из бумаги, и опять указываются отдельные
элементы: точки, линии и поверхность. Наконец, полезно рас-
смотреть пирамиду, призму или конус с тем, чтобы учащиеся
указали составляющие элементы: точки, линии и поверх-
ность.

Таким образом, устанавливается, что в первом примере мы
имели соединение (сочетание или комбинацию) двух точек и одной
линии, во втором случае — сочетание трех точек, трех линий и
одной поверхности, в последнем — сочетание нескольких точек,
линий и поверхностей.

Преподаватель сообщает, что сочетание (или совокупность)
точек, линий и поверхностей в геометрии называется геомет-
рической фигурой.

Точки, линии и поверхности, входящие в состав геометрической
фигуры, являются элементами ее.

Здесь же сообщается, что в геометрии принято и каждую от-
дельную точку, отдельную линию, отдельную поверхность, как и
геометрическое тело в целом, рассматривать тоже как геометри-
ческую фигуру.

Теперь задачу геометрии можно сформулировать так: геомет-
рия изучает геометрические фигуры и их свойства.

Понятно, что это изучение надо начать с простейших
фигур.

Простейшей из всех геометрических фигур является точка. Но
она, как известно учащимся, не имеет измерений. Поэтому отпа-
дает необходимость в дальнейшем ее изучении.

Более сложной геометрической фигурой является линия. Уча-
щиеся показывают примеры разных линий на предметах окружа-
ющей обстановки и называют одни из них прямыми линиями, а
другие — кривыми. Если взять тонкую нить, то ее можно принять
за изображение линии: если туго натянуть ее между двумя точками,
то она будет изображать прямую линию, а если ослабить это натя-
жение, ее можно принять за изображение кривой линии.

Учащиеся уже знают, что прямая линия проще кривой, а по-
тому изучение линий надо начинать с изучения прямой линии.
19.	ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ЛУЧ И ОТРЕЗОК

При изучении прямой линии преподаватель ставит следующие
цели: а) ввести в употребление линейку как первый чертежный
инструмент; б) ввести аксиому о прямой; в) ознакомить учащихся
с различными способами построения прямых линий; г) выяснить
свойства прямой линии.

Все это можно сделать при помощи решения задач на пост-
роение.

Задача 1. Через данную точку провести прямую линию (черт.
28,а).

Учащиеся анализируют условие задачи (выясняют, что дано
и что надо сделать), намеча-
ют точку на плоскости, обо-
значают ее буквой (напри-
мер, буквой А) и выпол-
няют построение, пользу-
ясь линейкой.

В процессе работы вы-
ясняется, что через дан-
ную точку можно провес-
ти много прямых линий.
Учащиеся формулируют

Задача 2.
(черт. 28,6)

Учащиеся

вывод: через одну точку
можно провести бесчислен-
ное множество прямых
линий.

Через две данные точки провести прямую линию

опять выясняют, что дано и что надо сделать, наме-

чают на плоскости две точки А и В и при помощи линейки прово-
дят через эти точки прямую линию. Если линейка верная, то все
попытки провести через те же две точки еще хотя бы одну прямую
линию, отличную от первой, будут безуспешны. Значит, через
две точки можно провести прямую линию и только одну.

Преподаватель сообщает, что это утверждение называется акси-
омой* (аксиомой прямой).

Оно было высказано древним греческим математиком Евклидом**
еще в III в. до н. э., но в несколько иной форме: «допустим, что от
всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию».

При этом преподаватель сообщает, что и в арифметике имеются
аксиомы, т. е. такие предложения или утверждения, справедливость
которых подсказывается опытом, но не доказывается. Некоторые
из этих аксиом известны учащимся, например: а) часть меньше

* Аксиома — греческое слово, происходит от слова — ак-
снос-достойный (достойный доверия или признания).

*• «Начала» Евклида, кн. 1, Гостехиздат, 1948.
целого; б) если а = Ь, то b = а; в) если а=Ь, то а + т = b + т
и т. п. (учащиеся подстановкой чисел проверяют эти утверждения).

Затем преподаватель сообщает, что аксиома прямой будет ши-
роко применяться в последующей работе.

Дается практическое задание: проверить «верность» линейки
(один край у ней верный, а другой неверный), пользуясь аксио-
мой. Через две точки по одному краю линейки проводится линия,
после поворота линейки по тому же краю ее проводится вторая
линия. Если линии совпадают, то край линейки верный. Так же
проверяется второй край линейки.

Задача 3. Через три данные точки провести прямую линию
(черт. 28, в).

Путем нескольких попыток выясняется, что эту задачу можно
решить только при одном условии (формулируется это условие).

Задача 4. Через две данные точки, расстояние между которы-
ми, например, 6 м, провести прямую линию.

Эту задачу решают в классе, пользуясь ниткой, покрытой ме-

лом или углем; затем приводят примеры, когда и кто пользуется
таким способом (плотники, пильщики, маляры, в саду при размет-
ке дорожек и клумб).

Задача 5. Через две данные точки, расстояние между которыми
30(40, 60) метров, провести прямую линию.

В классе можно только разъяснить основной прием решения
этой задачи на классном столе, пользуясь маленькими вешками,
длиной 10—15 см. А после урока работу надо провести на школь-
ном дворе или в поле.

После этого преподаватель проводит беседу в классе с целью
выявить свойства прямой линии. Сначала они повторяют на новом
чертеже решение второй задачи и формулируют аксиому о прямой
линии. При этом обращается внимание на то, что на чертеже изо-
бражается не вся прямая линия, а только часть ее, которую мо-
жно продолжить в обе стороны неограниченно. Это свойство пря-
мой на чертеже можно изобразить пунктиром (черт. 29).

В связи с этим легко выяснить н второе свойство прямой: пря-
мая линия разбивает плоскость на две области или на две полу-
плоскости. В связи с этим
надо заметить, что если из
точки, лежащей в одной	___________

области, перейти в др у-
тук> область, надо обяза-
тельно пересечь границу	------— ~—

между ними (в данном слу-	Черт. 29

чае, прямую линию).

В порядке заключения полезно наметить и записать вместе с
учащимися план проведенной работы:

1.	Задачи на построение.

2.	Аксиома о прямой линии.

3.	Свойства прямой линии.
Лучи. Учащиеся строят прямую линию (на классной доске
и в тетрадях) и одну точку на ней.

• При рассмотрении полученного чертежа они видят, что в дан-
ном случае точка разбивает прямую линию на две полупрямые
линии, каждая из которых
л	. имеет в данной точке нача-

*	’	‘ ло, но не имеет конца.

д д	Прямая линия, все точки

--------------» -----------------которой лежат по одну

Че т 30	сторону от данной на ней

ерт'	точки, включая и эту точ-

ку, называется л у ч о м*.
Учащиеся чертят каждый из полученных лучей отдельно. Препо-
даватель сообщает, что данная точка на луче называется его на-
чалом (черт. 30).

Отрезки прямой линии

Предлагается задача: построить прямую линию и на ней две
точки А и В. Учащиеся выделяют на чертеже сначала знакомые
геометрические образы — лучи АС и BD** и изображают их* от-
дельно, затем выделяют новый образ — часть прямой линии, ог-
раниченную двумя точками А и В, и тоже изображают ее отдельно

fl	В

с	В

д	в

д»----------»в

Черт. 31

(черт. 31). Вводится термин «отрезок», определение его и способы
обозначения.

Если на прямой задать три и более точек, то легко заметить,
что новых фигур не получается.

Сравнение отрезков. Преподаватель предлагает уча-
щимся сравнить два противоположных края классного стола,
рассматривая их как отрезки. При помощи бечевки учащиеся про-
водят наложение одного отрезка (края стола) на другой край сто-
ла и убеждаются, что концы одного отрезка совпадают с концами
другого. Отрезки, которые при наложении совпадают своими ко-
нечными точками (или просто концами), называются р а в н ы-м и.

* В школьной практике луч определяется как часть прямой линии,
ограниченная одной точкой.

** Здесь образуются 4 луча; но для учащихся VI класса трудно выделить,
например, луч ВС, на котором лежит и отрезок А В. На этой стадии достаточно
выделить только два луча.
Затем преподаватель сам чертит на доске пять-шесть отрезков
(из них хотя бы одну пару равных) и предлагает учащимся сравнить
их, т. е. определить, имеются ли равные отрезки, выделить наиболь-
ший и наименьший из них.

Учащиеся при помощи нитки или отметок на линейке «берут»
один отрезок*, накладывают его на каждый из остальных, подроб-
но описывая этот процесс. Так выясняются условия равенства и
неравенства отрезков и делаются соответствующие записи, напри-
мер: АВ = CD, AB>EF и т. д.

Сложение отрезков. Чтобы удлинить, например,
палку, планку, удилище, бревно, рельс (которые можно при-
нять за модели отрезков), их, как говорят, наращивают, т. е. к
ним присоединяют или прикладывают соответствующие отрезки
необходимой длины так, чтобы в результате тоже получился от-
резок прямой линии. Этот процесс можно рассматривать как сло-
жение отрезков. Выполняется он следующим образом.

На классной доске и в тетрадях изображаются два отрезка АВ
и CD. Чтобы сложить их и в результате получить тоже отрезок,
достаточно продолжить один из них, например Л В за точку В,
и на этом продолжении отложить от точки В другой отрезок BE =
=CD (при помощи отметок на линейке или на нитке). Полученный
отрезок АЕ принимается за сумму данных отрезков АВ и CD,
что можно записать так: АВ -|- CD = АЕ.

Ту же задачу можно решить и иными способами: а) начертить
луч и на нем от начала его отложить отрезок АВ, а от точки В в
том же направлении отложить второй отрезок СО; б) начертить
прямую линию, наметить на ней одну точку н на любом из полу-
ченных лучей повторить предыдущее построение.

Точно так же учащиеся складывают три, четыре и более отрез-
ков, записывают получаемые суммы их. При этом преподаватель
предлагает в некоторых задачах, во-первых, менять порядок сла-
гаемых отрезков, во-вторых, предварительно складывать их по-
парно, по три (если слагаемых отрезков больше двух) и сравнивать
получаемые суммарные отрезки. Учащиеся легко убеждаются в
том, что на сложение отрезков распространяются законы сложения
натуральных чисел — переместительный и сочетательный.

Вычитание отрезков. Вычитание отрезков опреде-
ляется так же, как и вычитание целых чисел: вычесть один отре-
зок нз другого отрезка — значит найти такой новый третий от-
резок, который, будучи сложен со вторым (меньшим) отрезком,
даст первый (больший) отрезок.

Учащиеся строят два неравных отрезка (AB>CD) и записывают
условие задачи (АВ — CD). Затем на отрезке АВ от точки А или
от точки В откладывают отрезок АЕ, равный CD (или ЕВ = CD).

* Здесь уже можно пользоваться и измерительным циркулем, но нитка
и отрезок на лнненке дают конкретное представление отрезка, а так назы-
ваемый «раствор» циркуля этого не дает.
На чертеже видно, что отрезок КВ (или АК) является искомой
разностью, так как АК + КВ = АВ.

Умножение отрезка на целое число. Эта
задача не содержит ничего существенно нового для учащихся.
Преподаватель предлагает им сложить два, три, четыре и более
равных отрезков. Решив каждую из этих задач графически и за-
писав решение, учащиеся легко догадаются, что сложение несколь-
ких равных отрезков можно заменить умножением одного из них
на число их. Они могут заменить и формулировку этих задач (дан-
ный отрезок умножить на целое число).

При этом необходимо обратить внимание учащихся на то, что
переместительный закон умножения натуральных чисел не рас-
пространяется на умножение отрезка на число.

Деление отрезка на равные части. За-
дача деления отрезка на равные части в теоретическом отноше-
нии очень трудная и в данном месте курса геометрии неразрешима.
Но в повседневной практике она весьма часто возникает и очень
легко практически разрешается каждым учащимся.

Поэтому преподаватель сначала предлагает учащимся ряд прак-
тических задач.

Задача 1. Данную полоску бумаги или кусок ленты (кусок
нитки, бечевки) разделить на 2, 4, 8, 16 равных частей.

Редко кто из учащихся затруднится решить эту задачу (по-
следовательным перегибанием пополам).

Задача 2. Разделить ленту длиной около 150 см на 3 (5, 6,
7) равные части.

Первое затруднение будет непродолжительным: скоро найдутся
учащиеся, которые решат и эту задачу (применяя способ переги-
бания, последовательно приближаясь к нахождению искомой од-
ной трети).

Задача 3. Деревянную планку разделить на 2, 4, 8 или 3, 5,
6 равных частей.

И здесь временное затруднение скоро будет преодолено, если
заменить планку отрезком нитки, бечевки, полоской бумаги той же
длины с последующим нанесением точек деления на планку.

Задача 4. Данный отрезок АВ разделить на 2, 4, 8 или на 3,
5, 6 равных частей.

Эта задача решается точно так же, как и предыдущая, при по-
мощи нитки или полоски бумаги той же длины, что и отрезок А В;
полученные отметки деления наносятся на данный отрезок; решение
задачи записывается так: АВ : 4 = АС (или СВ), так как АС-4 =
= АВ (или СВ -4 = АВ).

В новом учебнике геометрии описываются иные способы деле-
ния отрезка на равные части (при помощи масштабной линейки,
а также при помощи измерительного циркуля)*.

* Н. Н. Никитин, Геометрия, ч 1, Учпедгиз, 1957.
Измерение отрезков. В учебнике геометрии А. П. Ки-
селева в данном месте курса такой вопрос совсем не ставится, хотя
в параграфе 8 говорится, что «длина суммы отрезков выразится
суммой чисел, измеряющих эти отрезки и т.д.». Однако почти во
всех последующих геометрических задачах на вычисление при-
ходится иметь дело с длиной отрезка. Поэтому вполне целесообраз-
но закончить изучение данной темы рассмотрением вопроса о не-
посредственном измерении отрезков и уточнением понятия длины
отрезка.

По заданию преподавателя учащиеся измеряют длину и ширину
классной комнаты, классной доски, крышки классного стола,
книги, тетради и т. п. В последующей беседе выясняется, что

1)	каждую измеренную величину с геометрической точки зре-
ния можно принять за величину отрезка прямой линии;

2)	за единицу измерения отрезков принимается метр, дециметр,
сантиметр, т. е. тоже отрезок определенной длины;

3)	процесс измерения состоит в том, что единица измерения
последовательно откладывается на измеряемом отрезке и при этом
ведется счет;

4)	в результате счета получается число, которое принима-
ется за длину отрезка.

Преподаватель предлагает построить отрезок АВ (на классной
доске и в тетрадях) и измерить его. За единицу измерения учащиеся
могут принять произвольный отрезок* (в частности, сторону одной
квадратной клетки бумаги или сантиметр для измерения отрезков
в тетради и дециметр — для измерения отрезка на классной доске),
который можно обозначить одной буквой т. Процесс измерения
тот же — откладывание и счет. В результате счета получается
число — целое, если отрезок т уложился целое число раз в отрез-
ке АВ, и смешанное, если в процессе откладывания получился
остаток, меньший т, который измеряется той или иной долей от-
резка т. Полученное число — целое или смешанное — называ-
ется длиной отрезка АВ, что записывается так: АВ = km,
где k — длина отрезка АВ (целое, дробь или смешанное число),
выраженная в единицах т**.

При разных единицах измерения будут получаться и разные
числа. Поэтому длина отрезка не может быть охарактеризована
только одним числом без указания единицы измерения.

Здесь же следует особо отметить, что равные отрезки (т. е. ко-
торые при наложении совпадают своими концами) имеют и равные
длины, и наоборот: если отрезки имеют равные длины, то при на-
ложении их они могут совместиться концами.

* При этом можно напомнить учащимся, что в недалеком прошлом в
каждом государстве были разные меры длины (аршин — в России, фут—в
Англии ит. д.). Ив настоящее время в Англии применяются еще старые меры.

** Г. Л е б е г. Об измерении величин, Учпедгиз, 1938, стр. 22 и след.
В порядке заключительной беседы полезно предложить учащим-
ся записать план изучения темы об отрезках: определение отрезка,
элементы его, сравнение отрезков, сложение и вычитание их, ум-
ножение и деление их на целое число, измерение отрезков.

20.	ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ УЧАЩИХСЯ

Почти вся работа, описанная в предыдущем изложении, долж-
на сопровождаться практическими занятиями учащихся. Неко-
торые из этих занятий были указаны раньше. Пользуясь хорошей
осенней погодой, надо особое внимание обратить на простейшие
геодезические работы на местности (на школьном дворе и в поле),
которые нельзя выполнять глубокой осенью, зимой и ранней весной.

В данной теме программа геодезических работ остается та же,
что была и в V классе (в порядке повторения):

1)	обозначение точек на местности вехами;

2)	провешивание прямых линий на местности (на основании
аксиомы прямой);

3)	определение расстояний между двумя пунктами: а) непо-
средственным измерением (мерной лентой, рулеткой, полевым
метровым циркулем, шагами), б) на глаз с
последующей проверкой тем или иным спосо-
бом.

В VI классе, как и в последующий классах,
нельзя забывать и тот геометрический матери-
ал, который учащиеся изучали в V классе—
определение периметров, площадей и объе-
мов известных фигур. С этой целью время от
времени надо давать и задачи с соответствую-
щим содержанием по арифметике, а также по
алгебре на составление простейших уравнений
с готовыми точными или приближенными дан-
ными. Следует давать и такие задания, где
учащимся придется самим выполнять непо-
средственные измерения, применяя мерную ли-
нейку и складной метр, измерительный цир-
куль, кронциркуль (для измерения диамет-
ра круглых предметов, черт. 22), мерную
вилку (для той же цели, черт. 23), нутро-

мер (для измерения диаметра внутренней окружности тру-
бы, черт. 32).

Черт. 32
Глава III

УГЛЫ

Можно рекомендовать следующий план изучения этой темы:

1.	Общий обзор углов.

2.	Углы с общей вершиной.

3.	Градусное измерение углов.

21.	ОБЩИИ обзор углов

Определение угла

В учебной и методической литературе угол определяется по-
разному.

1.	Угол есть фигура, образованная двумя лучами, выходящими
из общей точки*.

2.	Угол есть неопределенная часть плоскости, заключенная
между двумя лучами, выходящими из общей точки**.

3.	Угол есть совокупность лучей, выходящих из общей точки
и пересекающих данный отрезок***.

4.	Углом называется «часть пучка лучей, ограниченная двумя
лучами (того же пучка), подобно тому как отрезок есть часть
прямой линии, ограниченная двумя точками»****.

5.	Углом называется совокупность точки и двух лучей, выхо-
дящих из этой точки... Под точками угла мы понимаем его вер-
шину и все точки его сторон»*****.

* А. П. Киселев, Геометрия, ч. 1, «Планиметрия», Учпедгиз,
1938, стр. 9; Н. А- Глаголев, Элементарная геометрия, «Планимет-
рия», Учпедгиз, 1954.

** А. Ю. Д а в и д о в, Элементарная геометрия, изд. 35 Думиова,
1915, стр. 8.

Н. М. Бескин, Методика геометрии, Учпедгиз, 1947, стр. 85 и 86.

♦** С. А. Богомолов, Геометрия, Учпедгиз, 1949, стр. 28.

**** Н. М. Бескин, Методика геометрии, Учпедгиз, 1947. стр. 86
(определение Веронеза).

***** Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, т. 1, Гос-
техиздат, 1948, стр. 18.
Легко можно заметить, что последнее определение угла по су-
ществу полностью совпадает с первым определением. Особенностью
обоих этих определений является то, что «под точками угла пони-
маются его вершина и точки его сторон».

Во втором определении под точками угла приходится понимать
те же точки (вершину и точки сторон) и точки «неопределенной
части плоскости».

В последующем школьном курсе элементарной математики по-
нятие угла расширяется (в тригонометрии — угол как мера вра-
щения, в стереометрии — угол между двумя скрещивающимися
прямыми, угол между прямой и плоскостью и т. п.), причем понятие
«неопределенной части плоскости» в явном виде уже не фигури-
рует. Поэтому первому определению следует отдать предпочтение.

Третье и четвертое определения в школьном курсе матема-
тики совсем не употребляются, так как зрительный образ угла
как «совокупности лучей» или «части пучка лучей» является для
учащихся слишком сложным и громоздким.

В школьной практике обычно употребляются первое или вто-
рое определение (по существу они являются не определениями,
а описаниями).

При этом надо заметить, что если используется первое опреде-
ление угла, то вводится еще и понятие внутренней области угла.

Если же используется второе определение угла, то понятие
внутренней области его является излишним, так как оно совпа-
дает с понятием неопределенной части плоскости, а последнее
входит в определение.

По существу каждое из этих двух определений вполне прием-
лемо для учебных целей, потому что в обоих случаях чаще всего
угол рассматривается на плоскости и вместе с частью плоскости,
которая при первом определении и называется внутренней обла-
стью угла.

Первый способ образования углов. Пре-
подаватель предлагает учащимся построить в тетрадях точку А
и из нее провести два луча в разных направлениях (но не в проти-
воположных), а сам выполняет ту же работу на классной доске.

Учащиеся из точки А проводят лучи АВ и АС и получают на
чертеже угол. Они легко составляют определение угла, вытекаю-
щее из его построения: угол есть фигура, образованная двумя
лучами, выходящими из общей точки.

Под руководством преподавателя учащиеся на чертеже выде-
ляют основные элементы угла: точку — вершину, лучи — стороны
и внутреннюю область (часть плоскости); при этом вводится пра-
вило обозначения угла, записи его и чтения (чертеж 33): ^ВАС
или ^САВ или ^А (Л—вершина угла, АВ и АС—стороны угла).
Особого внимания заслуживает введение понятия внутренней об-
ласти угла. Стороны угла делят плоскость на две области, одну из
которых называют внутренней, а другую внешней За внутреннюю
область угла меньше развернутого принимают ту область, в ко-
стрелку, изменяя

торой помещается отрезок, соединяющий точки, лежащие на обе-
их сторонах угла. Иногда внутреннюю область на чертеже отме-
чают дугой (черт. 33).

Второй способ образования углов. Пре-
подаватель демонстрирует в классе модель циферблата часов с
двумя стрелками. В беседе выясняется, что каждую стрелку мыс-
ленно можно продолжить за границу циферблата сколь угодно
далеко, а потому геометрически ее можно рассматривать как луч,
начало которого в центре циферблата.

Обе стрелки устанавливаются в одном и том же направлении.
Затем преподаватель поворачивает одну
мым направление ее. Учащиеся ска-
жут, что стрелки образовали угол. В
процессе анализа этой фигуры выясня-
ется, что этот угол образован двумя
лучами (стрелками), выходящими из об-
щей точки (центра циферблата).

Они должны указать также и внут-
реннюю область полученного угла, т. е.
ту часть плоскости циферблата, по ко-
торой скользил луч — стрелка — при
его вращении.

Продолжая вращать стрелку-луч,

ные углы — сначала острые, потом прямой, затем тупые*. Нако-

Черт. 33
учащиеся получают раз-

иец, стрелка-луч принимает направление, противоположное на-
правлению неподвижной стрелки-луча, и обе стрелки-лучи состав-
ляют одну прямую линию. Учащиеся скажут, что теперь угла уже
нет, и будут правы**. Однако в порядке первого обобщения этого
понятия они под руководством преподавателя указывают одну и
другую стрелки-лучи, общую точку, из которой они выхо-
дят и ту часть плоскости (полуплоскость), по которой скользила
стрелка-луч при вращении ее. Таким образом, налицо имеются
все основные элементы угла, в силу чего преподаватель сообщает,
что эту фигуру тоже называют углом (развернутым).

Продолжая вращение стрелки-луча, учащиеся опять будут по-
лучать углы — сначала так называемые «сверхтупые углы» (этот
термин не вводится), а затем получат и полный угол. Они в тетра-
дях и на классной доске изображают отдельные виды углов, кото-
рые получались при вращении стрелки-луча (острый, прямой, ту-
пой, развернутый, «сверхтупой» и полный), в каждом из них ука-

* Термин «острый» и «тупой» углы на данном этапе изучения темы не
вводятся, а термин и образ «прямого угла» известны учащимся из пропедев-
тического курса геометрии IV и V классов.

** В книге Д. Гильберта «Основания геометрии» (изд. 1948 г., стр. 68),
развернутые и сверхтупые углы этим определением (два луча, выходящие
из обшей точки) исключаются. Однако в школьном курсе геометрии эти по-
нятия очень скоро становятся необходимыми (в частности, при сложении
углов), а потому процесс вращения луча следует продолжать.
зывают вершину, стороны, а внутренние области отмечают дугами.

Сообщается, что все эти фигуры тоже называются углами.

Третий способ образования углов. Пре-
подаватель показывает в классе малку* в развернутом виде

или два звена складного метра в выпрямленном виде, как мо-
дели отрезков. Каждую модель он перегибает около шарнира, ил-

люстрируя этим перелом отрезка.
Получилась модель новой фигуры,
состоящей из двух отрезков, име-
ющих только одну общую точку.
Эту фигуру называют лома-
ной линией: точка перелома
называется вершиной ее, а отрез-
ки — звеньями (черт. 34).

Учащиеся назовут эту фигуру
углом, но преподаватель должен
обратить внимание на то, что
звенья ломаной линии в этом слу-

чае надо мысленно продолжить и
считать их лучами, как это было
принято и для стрелок цифер-
блата.

При помощи той же модели ло-
маной линии можно показать об-
разование углов разных видов —
острых, прямых, тупых, разверну-
тых, сверхтупых и полного**(при-
ложив модель к плоскости клас-
сной доски и вращая одно звено).

Учащиеся дома вырезают углы
из цветной или из белой бумаги

и приносят их на следующий урок.

Сравнение углов

К этому уроку преподаватель должен иметь достаточный набор
углов из разноцветной толстой бумаги. Он выбирает из этого набо-
ра два равных угла разного цвета и разной длины сторон и, показы-
вая одновременно их учащимся, спрашивает, какой из них боль-
ше. Неэедко дается ответ с указанием на угол с большими сторо-
нами. Он накладывает один угол на другой и подробно описы-
вает процесс наложения, подчеркивая при этом, что зависит от
нас (... чтобы вершина одного угла совпала с вершиной другого,

* Малка есть шарнирное скрепление двух планок, что легко может сде-
лать каждый уча-цийся для себя даже из картона или из толстой бумаги.
Малкой может служить и складной метр. Малка иногда комбинируется с тран-
спортиром.

** Только образы таких углов, а термины пока не вводятся.
сторона одного из них пошла по направлению стороны другого
и внутренняя область одного лежала на внутренней области
другого полностью или частично) и что от нас не зависит
(совпадение или несовпадение других сторон обоих углов). Уча-
щиеся видят, что все основные элементы обоих углов при наложении
одного из них на другой совместились (при этом надо напомнить,
что стороны угла, как лучи, бесконечны).

Преподаватель сообщает, что эти углы называют равными и
предлагает сформулировать определение равных углов (черт. 35).
Затем он предлагает срав-
нить две-три пары углов из
того же набора или изготов-
ленных самими учащимися
с подробным описанием про-
цесса наложения и в каж-
дом случае установить, равны
углы или не равны.

После такой практической
работы можно перейти к срав-

нению углов, построенных	Черт. 35

на плоскости (на классной
доске и в тетради). Преподаватель строит на классной доске три-
четыре угла (из них хотя бы два угла должны быть равными)
и предлагает сравнить эти углы, т. е. определить, имеются ли
здесь равные углы, и выделить наибольший и наименьший из
них. Для этой цели опять надо воспользоваться малкой.

При этом надо требовать от учащихся подробного описания
процесса наложения.

Результаты записываются так:

^АВС =	^DEF<^D iEiFi;	1L1M г

Сложение углов

Когда столяр «вяжет» рамку для картины или для классной

доски «на ус» (черт. 36), то он при этом складывает два угла. Про-

Че рт. 36

цесс сложения углов изображается на черте-
же и описывается в устной форме: вершины
углов совпадают, совпадают две стороны этих
углов, образуя общий луч, внутренние об-
ласти их располагаются по разные стороны
от этого луча, а другие две стороны углов не
совпадают и образуют новый угол, который
принимается за сумму двух данных углов.
Учащиеся видят, что углы можно складывать.

По заданию преподавателя они строят ря-
дом два произвольных угла АВС и DEF и
складывают их, беря малкой угол DEF и при-
кладывая его к углу АВС (подробноописывается процесс приложе-
ния). Получается угол ABF, который принимается за сумму
двух данных углов.

Учащиеся записывают решение задачи:

^АВС 4- ^zDEF - ^ABF.

Они решают еще несколько таких же задач на сложение двух,
ватем трех и четырех углов, подробно описывают процесс работы
и записывают решение каждой задачи.

При этом необходимо обратить внимание учащихся на то, что
сумма углов не изменяется от порядка, в котором будут склады-
ваться данные углы; при сложении трех и более углов, их можно
соединять для построения в разные группы попарно или иным
способом (следовательно, законы сложения натуральных чисел
распространяются и на сложение углов).

При решении подобных задач могут встретиться такие случаи,
что сумма углов будет развернутым, а также полным
углом.

Вычитание углов

Вычитание углов определяется так же, как и вычитание отрез-
ков, т. е. как действие, обратное сложению (формулируется это
определение). Затем по заданию преподавателя учащиеся строят
два угла и из большего вычитают меньший, пользуясь малкой; при
этом они должны подробно описать процесс вычитания как процесс
наложения (а не приложения, что имеет место при сложении уг-
лов) одного угла на другой; результат записывается так:

^zABC—^zDEF = ^zABF.

На чертеже легко видеть, что угол, который является разностью
углов, в сумме с вычитаемым углом составляет уменьшаемый угол.

[Умножение угла иа целое число

Учащиеся сначала повторяют определение умножения данного
числа на целое число, потом — умножение отрезка на целое число
и переносят это определение на умножение угла на целое число
(сложение нескольких равных углов). По заданию преподавателя
они решают задачи: данный угол умножить на 2, 3, 4 и т. д. Решение
задачи записывается так:

^zABC-3 = ^zABE и т. д.

При этом особо отмечается, что умножение угла на целое число
не обладает свойством переместительности.

Деление угла на равные части

Соответствующие задачи учащиеся решают так же, как они
решали задачи, связанные с делением отрезка на несколько равных
долей: данный угол при помощи малки они переносят на бумагу,
116
вырезают из нее соответствующий угол и перегибанием делят на
2, 4, 8 или на 3, 6 и т. д. равных долей, затем накладывают его на
данный угол и отмечают на нем делящие линии.

При делении угла пополам вводится термин равноделя-
щ е й или биссектрисы угла.

Измерение углов

За единицу измерения углов сначала принимается прямой угол.

Образ прямого угла хорошо знаком учащимся из пропедевти-
ческого курса геометрии. Теперь надо ввести определение этой
фигуры и выяснить свойства ее.

С этой целью преподаватель сначала напоминает учащимся
понятие развернутого угла. Затем они строят два-три развернутых
угла и, сравнив их наложением, приходят к выводу, что все развер-
нутые углы равны между собой.

Преподаватель сообщает учащимся, что в геометрии последнюю
мысль иногда выражают таким образом: развернутый угол имеет
постоянную величину (как метр или килограмм массы,
которые тоже имеют постоянную величину).

Затем преподаватель и учащиеся строят на отдельном листе
бумаги еще один развернутый угол и делят его пополам (переги-
банием). Получаются два прямых угла, каждый из которых
составляет половину развернутого угла. Учащиеся формулируют
определение прямого угла (прямой угол — половина развернутого
угла) и свойство его (все прямые углы равны).

Преподаватель сообщает, что это свойство прямых углов (ра-
венство их) чаще выражается следующим образом: прямой угол
имеет постоянную величину.

После этого переходят к измерению углов. Преподаватель на-
поминает, что за единицу измерения отрезков принимается отре-
зок (например, метр) и различные доли его.

Естественно принять за единицу измерения углов угол, в част-
ности прямой угол, как имеющий постоянную величину. Эту ве-
личину прямого угла в геометрии обозначают буквой d (начальная
буква французского слова droit — прямой).

Преподаватель предлагает учащимся описать процесс измере-
ния отрезков (длины классной комнаты, доски, книги, тетради).

Затем он показывает модель острого угла и эталон прямого уг-
ла и предлагает учащимся измерить острый угол, приняв прямой
угол за единицу измерения. Учащиеся сами предложат в данном
случае за единицу измерения угла принять не весь прямой угол,
а одну из равных долей его.

Преподаватель показывает, как можно получить перегиба-
нием и разрезанием модели прямого угла эталоны различных до-
лей его: (4d, d, ^d, -±d и т. п.), и предлагает учащимся вы-
брать из готового набора соответствующий эталон и произвести из-
мерение данного угла (откладывание и счет). В результате счета
получается число, которое и является мерой данного угла в опре-
деленных долях прямого угла (например, jd, ^d и т. п.).

В порядке домашней самостоятельной работы учащиеся изго-
товляют из бумаги эталоны долей прямого угла (делением его на
равные части). Эти эталоны они наклеивают на одной странице
тетради, а у классной доски надо иметь плакат с такими же этало-
нами из цветной бумаги.

Эта система измерения углов, как известно, не имеет широкого
применения. Поэтому и в классе можно ограничиться двумя-тре-
мя примерами измерения углов — острого, прямого и тупого до-
лями прямого угла.

Но в связи с этим необходимо выяснить, что если два угла
равны (т. е. при наложении могут совместиться всеми своими ос-
новными элементами), то и меры этих углов (т. е. числа) тоже равны.
Это проверяется путем непосредственного измерения углов и по-
следующего наложения их (или наоборот).

Как в последующем курсе геометрии, так и в практике (напри-
мер, в учебных мастерских) прямой угол имеет широкое приме-
нение, но не в качестве единицы измерения углов. Поэтому учащие-
ся должны уметь строить прямые углы.

Преподаватель напоминает учащимся,
что для изображения прямого угла по-
льзуются особым прибором — чертеж-
ным треугольником, который применял-
ся и в пропедевтическом курсе геомет-
рии. Здесь необходимо особо подчерк-
нуть, что этот прибор есть треуголь-
ник (а не угольник, о котором речь бу-
дет дальше) с прямым углом (а другие
два угла чаще бывают или в-^а и а,
или содержат по у а).

Так как в VI классе уроков черчения
нет, то на уроках геометрии надо нау-
чить учащихся пользоваться одновре-
менно линейкой и треугольником при
построении прямых углов.

В связи с решением этих задач сле-
дует поставить вопрос о проверке пра-
вильности самого треугольника, что

учащиеся и выполняют под наблюдением преподавателя (спо-
соб проверки изображен на черт. 37).

Неправильный

Черт. 37

Виды углов

Теперь можно перейти к классификации углов (меньших разверну-
того)^ этой целью учащиеся сравнивают эталоны своих бумажных уг-
лове эталоном прямого угла способом наложения. При этом окажет-
ся, что одни углы будут меньше прямого угла, а другие—больше его.

Затем на классной доске и в тетрадях выполняется следующая
работа по заданию преподавателя: построить развернутый угол,
из вершины его провести луч так, чтобы он разделил его на два
неравных угла, полученные углы обозначить буквами и отметить
внутренние области их дугами; из той же вершины и в той же по-
луплоскости провести еще один луч под прямым углом (при по-
мощи треугольника); сравнить первые два угла с прямым углом,
записать результаты сравнения:

^DBC<d, ^ABD>d.

Преподаватель сообщает, что угол, меньший прямого.называет-
ся острым, а угол,больший прямого, но меньший развернутого,
называется тупым.

Затем учащиеся на классной доске и в тетрадях строят в один
ряд углы острый, прямой, тупой и под каждым из них подписы-
вают название. Эта классификация углов должна найти отраже-
ние и на большом плакате около классной доски.

В заключительной беседе повторяется пройденный материал
по теме. При этом особое внимание надо обратить на рассуждения,
связанные с наложением фигур — отрезков и углов — при срав-
нении и вычитании их и приложением их при сложении фигур.

Практические занятия

Для закрепления полученных знаний учащиеся должны на-
учиться применять их на практике, в частности при выполнении
практических работ на местности или на «классном полигоне».

Учащиеся умеют провешивать линии на местности и измерять
расстояния (отрезки) между двумя пунктами (точками) разными
способами. Теперь они должны научиться строить некоторые
парные комбинации прямых линий на местности и не только под
прямым углом (что они делали и в V классе), а под углами в ~d и
1,5 d. При этом желательно, чтобы такие работы носили более конк-
ретный характер, например, построение полигонов треугольных,
четырех- и пятиугольных, которые могут иметь углы указанных
видов, и определение площадей их, для чего потребуется построе-
ние высот треугольников при помощи эккера.

Необходимо напомнить или разъяснить учащимся и такие по-
нятия, как веэтикальчэе и горизонтальное направления, познако-
мить с соответствую цими приборами для проверки и построе-
ния их.

С этой целью можно решить, например, следующие задачи:
как проверяют правильность кладки кирпичной стены по верти-
кали и по горизонтали (в частности, в классе: правильность боко-
вого откоса окна по кромке его и подоконника). Для первой цели слу-
жит отвес, а для второй — ватерпас (черт. 38). Преподаватель по-
казывает эти приборы и их применение, а учащиеся выполняют
несколько соответствующих работ.

В VI классе с успехом можно выполнить одну из простейших
съемочных работ на местности, пользуясь вехами, мерной лентой
и эккером, — съемку плана небольшого участка по ходовой линии*.

Предварительно эту работу надо выпол-
нить на классном полигоне или в зале:
а) сначала надо установить некоторые
предметы или просто вехи в разных ме-
стах полигона, которые должны быть
вершинами полигона (ABCDEF)- б) со-
ставить на глаз абрис или набросок
участка; в) наметить на нем прямую хо-
довую линию (например, AD) и прове-
шить ее на местности; г) один из уча-
щихся с эккером направляется по хо-
довой линии AD и при помощи эккера
находит точку F1(FiFJ. AD), а другой

измеряет расстояния AFi и Fi/7; д) затем эккер переносится в-
точку Ви т. д. Полученные результаты измерения наносят-
ся на абрис, а по окончании работы составляется план в том
или ином масштабе.

В учебных мастерских как по дереву, так и по металлу (а также
по картонажу) учащиеся применяют угольник (черт. 39), малку и
неподвижную малку с углами -^d и 1,5 d, которая называется
я р у н о к (черт. 40). В классе надо рассмотреть эти приборы,

Черт. 39

выяснить их геометрическую сущность (столярный угольник, как
и слесарный, а также чертежный треугольник — модели прямого
угла, малка — шарнирное соединение двух планок, ярунок —

1 ,

тоже угольник, но перо закреплено в колодке под углами в -yd и

* П. Я. Д о р ф и А. О. Румер, Измерения на местности, пып. 8,
изд. АПН, 1955.
в 1,5 d) и практическое применение: а) угольник употребляется
при обработке прямоугольных брусков и досок для построения
прямых углов при одной кромке бруска или доски; б) малка служит
для переноса углов; в) ярунок, как и угольник, служит для раз-
метки углов в -^d и 1,5d.

22.	УГЛЫ С ОБЩЕЙ ВЕРШИНОЙ

Прилежащие углы. Учащиеся рашают задачу на сло-
жение двух углов и характеризуют полученную фигуру: это — два
угла, которые имеют общую вершину и одну общую сторону, а
внутренние их области не совпадают полностью и частично. Пре-
подаватель сообщает, что такие два угла называются прилежа-
щими углами.

Никаких особых свойств эта фигура не имеет.

Смежные углы. Преподаватель предлагает учащимся
построить в один ряд слева направо острый, прямой и тупой углы
и в каждом из них продолжить одну сторону за вершину угла

(чертеж 41). Учащиеся видят, что получились три пары приле-
жащих углов, у которых две несовпадающие стороны образуют
одну прямую линию. Преподаватель сообщает, что эти новые фи-
гуры называются смежными углами. Учащиеся формулируют
определение: смежными углами называются прилежащие углы,
несовпадающие стороны которых образуют одну прямую линию*.

Затем они отмечают, во-первых, что каждая пара смежных уг-
лов составляет один развернутый угол с вершиной в той же общей
точке — вершине обоих углов, во-вторых, каждый развернутый
угол равен 2d, а поэтому и сумма двух смежных углов равна 2d.

Учащиеся вновь рассматривают все три последних чертежа и
отмечают, что на левом и правом чертежах один из смежных углов
острый, а другой тупой, а на среднем — оба угла прямые. Это поз-
воляет дать новое определение прямого угла: прямым углом на-
зывается угол, равный своему смежному.

* Можно дать и иное определение смежных углов (см. учебник А. П. Ки-
селева, ч. 1, § 22); но в данном изложении более целесообразно это определе-
ние вывести из понятия прилежащих углов.
Полезно также показать учащимся достаточно большой плакат
с геометрическими орнаментами и предложить выделить на нем
детали с прилежащими и смежными углами.

Вертикальные углы. При изучении смежных углов
учащиеся обычно указывают, что за вершину угла можно продол-
жить любую сторону его.

Преподаватель предлагает учащимся продолжить обе сторо-
ны угла и проанализировать полученную фигуру: прежде всего
они указывают в ней четыре пары смежных углов, а затем вы-
деляют две пары одноименных углов — одна пара острых и одна
пара тупых углов. Преподаватель обращает внимание на особое
расположение каждой пары острых и тупых углов (стороны од-
ного из них являются продолжениями сторон другого) и сообщает,
что такие углы попарно называются вертикальными.
Учащиеся формулируют определение вертикальных углов.

Так как вертикальные углы всегда бывают одноименные
(т. е. оба острые или прямые, или тупые), то естественно возникает
вопрос о сравнении углов каждой из этих пар. Полезно предложить
учащимся сравнить углы каждой па-
ры сначала при помощи, например,
* малки. Результаты могут получаться
разные при сравнении одной пары
углов разными учащимися, вследст-
вие того, что эти результаты будут
грубо приближенными. Возникает
необходимость более строгого и точ-
ного решения поставленной задачи,
т. е. путем рассуждений доказать,
что углы каждой пары действитель-
но равны.

Это — одна из первых теорем в курсе геометрии, которую при-
ходится доказывать, понимая доказательство в более или менее
строгом логическом смысле.

Учащиеся строят вертикальные углы (черт. 42), обозначают
их и записывают справа от чертежа, что дано и что требуется до-
казать:

Дано:	и ^zDBE — вертикальные,

Д о к а з а г ь: ^АВС = ^DBE.

Оставляя в силе эту вполне законную запись, которая имеет
наиболее широкое распространение, весьма полезно познакомить
учащихся и с другой формой записи теоремы в виде условного
предложения, что будет более отчетливо подчеркивать мысль, что
всякая теорема есть предложение, содержащее условие (что дано)
и заключение (что надо доказать). Эта форма записи вполне соот-
ветствует и словесной формулировке теоремы. Запись эта примет
такой вид: если ^АВС и ^DBE — вертикальные, то ^АВС =
= ^DBE.

D-

В

е

Черт. 42
Под руководством преподавателя учащиеся проводят доказа-
тельство и записывают его на доске и в тетрадях:

^СВА + ^АВЕ — 2d (как смежные),

^АВЕ + ^DBE = 2d (как смежные).

Следовательно, ^СВА + ^АВЕ = ^АВЕ + ^DBE (ак-
сиома), откуда ^СВА = ^DBE (аксиома).

В порядке повторения и закрепления учащиеся доказывают
равенство другой пары вертикальных углов.

Необходимо рассмотреть и тот случай, когда вертикальные уг-
лы прямые. Предыдущие выводы останутся справедливы, так как
все прямые углы равны.

Полезно опять показать соответствующий плакат с чертежами
геометрических орнаментов с тем, чтобы учащиеся выделили из-
вестные им парные комбинации углов, включая и вертикаль-
ные углы.

В порядке повторения учащиеся делают общий обзор всей по-
следней работы (прилежащие, смежные и вертикальные углы),
формулируют свойство смежных и вертикальных углов. Препода-
ватель особо подчеркивает ту мысль, что последнее свойство вы-
яснено путем ряда рассуждений без применения каких-либо из-
мерительных инструментов и что это свойство вертикальных углов
выражено предложением, которое в математике называется тео-
ремой; справедливость ее установлена путем доказательства.
В этом и состоит отличие теоремы от аксиомы; последняя, как ска-
зано было раньше, принимается без доказательства (перечислить из-
вестные аксиомы геометрии и арифметики и даже записать их,
если это не было сделано раньше).

Предыдущая работа по преимуществу была связана с практи-
ческими работами учащихся. Теперь своевременно усилить логи-
ческую сторону в этой теме, вводя решение очень простых задач
на доказательство. Но желательно формулировать их не в виде
теоремы, а в виде задачи с определенным вопросом.

Задача 1. Начертить два смежных угла; каждый из них разде-
лить пополам (на глаз, и отметить равные углы); какой угол обра-
зовали биссектрисы смежных углов?

После соответствующих рассуждений (т. е. доказательства) уча-
щиеся с помощью преподавателя формулируют полученный вывод
как теорему.

Задача 2. Начертить пару вертикальных углов; каждый из них раз-
делить пополам (на глаз) и отметить равные углы; какую линию
образуют обе равноделящие?

23.	ГРАДУСНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Этот вопрос сам по себе небольшой и нетрудный. Понятие об
угловом градусе, как об основной единице измерения углов, можно
ввести очень легко, если прямой угол условиться делить не на произ-
вольное число равных долей, как это делалось раньше, а на вполне
определенное число, в частности на 90. Но технически пользовать-
ся такой единицей измерения углов очень трудно, так как угол
равный d или 1°, очень мал и почти не различается глазом. Поэ-
тому непосредственное измерение углов такой единицей измерения
практически невозможно; возникает необходимость в косвенном
измерении углов при помощи соответствующих им дуг окружно-
сти. А это в свою очередь требует предварительного изучения дуг
окружности и зависимости между дугами окружности и централь-
ными углами.

Понятие о центральном угле, дуге и хорде

Учащиеся строят окружность, из центра проводят два луча,
которые образуют угол с вершиной в центре окружности. У читель со-
общает, что такой угол называется центральным. Затем учащие-
ся формулируют определение центрального угла: угол, образованный
двумя лучами с вершиной в центре окружности, называется цент-
ральным. Такое определение, как известно, почти не употребляет-
ся в дальнейшем. Но на том же чертеже можно выяснить, что на
обоих лучах окружность вырезает отрезки—радиусы, которые обыч-
но и считаются сторонами центрального угла. В силу этого практи-
чески центральный угол определяют как угол, образованный дву-
мя радиусами*.

В свою очередь центральный угол вырезает на окружности
некоторую часть ее, ограниченную двумя точками, которая назы-
вается дугой окружности (формулируется определение
Дуги).

Дугу окружности можно выделить, конечно, и без построения
центрального угла, поставив две точки на окружности, как посту-
пают и при выделении отрезка на прямой линии. Но при этом надо
разъяснить учащимся, что если на прямой две точки выделяют
только один отрезок, то две точки на окружности выделяют не од-
ну, а две дуги. Чтобы уточнить вопрос о том, о какой дуге будет
идти речь, между конечными точками данной дуги ставят или под-
разумевают еще одну точку, которую тоже обозначают буквой,
как и конечные точки дуги. И записывают обозначение дуги часто
не двумя буквами, стоящими у концов ее, а тремя буквами, причем
буква, стоящая между концами дуги, и в записи дуги пишется в
середине (например, АМ В).

Если соединить концы дуги отрезком прямой линии, то полу-
чится хорда (составляется определение хорды).

* Полезно иногда добавлять:... лежащими на лучах, выходящих из
центра.
Сравнение дуг одной окружности

Если понятие центрального угла, взятого в отдельности, не

представляет по существу ничего нового для учащихся, то дуга
есть новое понятие, которое необходимо изучить примерно в том
же плане, который был намечен при изучении отрезков. Учащиеся

строят несколько дуг на данной окружности и сравнивают их по-
добно тому как они сравнивали отрезки прямых. Но здесь возни-
кает вопрос: как наложить одну дугу на другую?

Преподаватель предлагает вращать одну
дугу по окружности до совпадения ее с дру-
гой дугой той же окружности.

Это можно показать на модели про-
волочной окружности, на которой выделены
(краской) две равные и третья неравная им
дуги; на одну из равных дуг надевается
«футлярчик» из тонкой жести в виде дуги
того же размера. Перемещая по окружности
этот футлярчик-дугу, можно показать сов-
мещение с равной дугой и несовмещение с
неравной дугой. Попутно учащиеся формули-

руют условие равенства и неравенства дуг

одной и той же окружности. Полезно показать учащимся, что

дуги двух окружностей разных радиусов при наложении их
могут совпадать своими концами, но не будут равны, так как
промежуточные точки их не совпадут (черт. 43).

Зависимость между дугами и хордами одной окружности

Учащиеся изображают окружность, дугу на ней и хорду. Обыч-
но говорят, что хорда стягивает дугу, а дуга стягивается хордой.

При этом надо указать учащимся, что хорда всегда стягивает
не одну, а две дуги, составляющие полную окружность, а каждая
дуга стягивается только одной хордой. Если нет особых указаний,
тоза дугу принимают меньшую из них (меньшую полуокружность).

Учащиеся изображают окружность, выделяют на ней две рав-
ные дуги (на глаз или при помощи циркуля), строят соответству-
ющие хорды; по чертежу видят, что и хорды, стягивающие равные
дуги, тоже равны.

Но это пока только «видно». Теперь надо доказать, что если ду-
ги одной и той же окружности равны, то и хорды, стягивающие их,
тоже будут равны.

Эта формулировка схематически записывается рядом с черте-
жом справа от него:

Если ^АМВ = ^iCND, или Дано: ^>АМВ = ^>CND.

то АВ = CD. Доказать: АВ = CD.
Преподаватель опять выясняет, что это математическое предло-
жение есть теорема, первая ее часть называется условием теоре-
мы (что нам дано или что известно), а вторая ее часть называется
заключением (что надо доказать).

После этого проводится известное доказательство.

Затем надо познакомить учащихся с обратной теоремой, так
как она будет иметь очень широкое применение при различных
построениях при- помощи циркуля (построение равных дуг в одной
окружности, в сущности, сводится к построению равных хорд).

С этой целью учащиеся опять строят окружность, циркулем
«откладывают» на ней равные отрезки—хорды, меньшие диаметра,
которые выделяют на окружности дуги, стягиваемые этими хор-
дами (рассматривать сначала только те дуги, которые меньше
полуокружности, а потом — больше полуокружности).

Ставится вопрос: будут ли и дуги равны?

Учащиеся анализируют по чертежу условие задачи (что дано?
что надо доказать или узнать?) и результат анализа схематически
записывают справа от чертежа:

Если АВ = CD,	или Дано: АВ = CD.

то <jAMB - ^CND. Доказать: ^АМВ = ^CND.

Учащиеся сравнивают последнюю запись теоремы с записью пер-
вой теоремы и замечают, что обе эти теоремы состоят из одних и
тех же предложений (равенство дуг и равенство хорд), но они по-
ставлены в разном порядке: условие первой теоремы служит за-
ключением второй, а заключение первой теоремы является усло-
вием второй.

Преподаватель сообщает, что такие две теоремы называются
взаимно обратными; в частности, если первую теорему
назвать прямой, то вторая будет обратной (и наоборот).

После этого проводится доказательство обратной теоремы с
привлечением учащихся.

По окончании доказательства учащиеся по чертежу и по схе-
матической записи формулируют теорему, особенно подчеркивая
в заключении ее, что равны дуги или меньшие полуокружности,
или большие полуокружности.

Действия над дугами одисй окружности

При введении понятия о дуге окружности была установлена
некоторая аналогия с понятием отрезка.

В силу этой же аналогии легко установить, что над дугами можно
выполнять известные действия: сложение и вычитание, умножение
и деление на целое число (последнее постепенным приближением).

Сложение, вычитание дуг и умножение их на целое число (по-
следнее как сложение равных дуг) не вызывает затруднений. Но
при этом преподаватель должен напоминать, что дуги обычно
берутся меньшие полуокружности, и разъяснять что сложение
128
двух дуг одной окружности, как и сложение двух отрезков, вы-
полняется приложением первой дуги ко второй, для чего практи-
чески циркулем «берут» не дугу, а хорду дуги (зная, что хорда
«соответствует» дуге) и откладывают ее от конца первой дуги по
направлению окружности, отмечая точку на последней. За сумму
двух дуг одной окружности и принимается дуга, начало которой
в начале первой дуги, а конец — в конце второй дуги.

Вычитание дуг выполняется наложением одной дуги на другую.

Надо познакомить учащихся и с приближенным делением дуги
на 2, 3, 4 и более равных частей при помощи циркуля: на глаз на-
мечается или у дуги, которая откладывается по направлению
дуги один или два раза; если при этом попадают в конечную точку
дуги, то намеченная дуга и есть искомая часть ее; в противном
случае намеченную дугу несколько увеличивают или уменьшают
и повторяют тот же процесс.

Зависимость между центральными углами и соответствующими
им дугами одной окружности

Учащиеся строят окружность и в ней два равных центральных
угла (последние можно построить при помсщи малки), которым на
окружности соответствуют дуги. Преподаватель предлагает срав-
нить эти дуги.

Доказательство теоремы излагается в каждом учебнике гео-
метрии.

Здесь надо только добавить, чтобы учащиеся подробно описы-
вали процесс вращения фигуры АОВ около
центра О до совмещения с фигурой COD, В/'"
сопровождая это описание демонстрацией мо- /х.

дели круга, на котором имеется подвижная /	\

проволочная фигура АОВ (черт. 44).

Преподаватель предлагает учащимся пов- \	° I

торить условие задачи, т. е. то, что было \	/

дано (^АОВ = ^СОО), и вывод, получен-	у

ный в результате рассуждения (оЛВ =	-----

= v>CD), и схематически записать это:	Черт. 44

Дано: ^.АОВ - - ^COD.
Доказать: оЛВ = <_>CD.

По этой записи они формулируют теорему, а потом выясняют,
что она состоит из двух частей — из условия и заключения.

Затем строится новая окружность, на ней откладываются две
равные дуги меньше полуокружности (циркулем)*, концы их сое-
диняются с центром (черт. 44), получаются центральные углы
АОВ и COD, соответствующие равным дугам АВ и CD.

* Циркулем откладываются, конечно, не равные дуги, а равные хорды,
которые стягивают равные дуги.
Учащиеся составляют, формулируют и записывают новую за-
дачу-теорему:

Если чуДВ = оСО, то ^сАОВ = ^COD.

Доказательство ведется при помощи вращения фигуры АОВ
около центра до совпадения равных дуг.

Учащиеся формулируют последнюю теорему, сравнивают за-
пись ее с записью предыдущей теоремы:

Если ^АОВ = ^cCOD, то оЛВ = <^CD.

Если чхАВ = ^>CD, то ^сАОВ = ^.COD.

Они легко обнаруживают, что каждая из этих теорем состоит
из одних и тех же двух предложений, но условие первой теоремы
является заключением второй, а заключение первой теоремы
служит условием второй. Обе эти теоремы являются взаимно об-
ратными.

В краткой заключительной беседе учащиеся повторяют фор-
мулировку каждой из двух новых теорем, еще раз указывают раз-
личие в строении прямой и обратной теорем и характеризуют при-
мененный способ доказательства — вращение фигуры.

Измерение цезтрлльчых углов

В порядке домашней самостоятельной работы учащиеся в сво-
их тетрадях строят окружность радиусом 8—9 см, а внутри нее
из того же центра строят еще две-три концентрические окружности*
и проводят диаметр и радиус наибольшей окружности под пря-
мым углом (такой чертеж должен быть и на классной доске).

;	На уроке преподаватель пред-

в лагает разделить одну дугу — чет-
верть наибольшей окружности —

1

1 сначала пополам, потом -=- часть
©

той же окружности на три равные
А	1

ги части, часть — опять на три
1

равные части и, наконец, часть
окружности разделить на пять рав-
ных частей; полученные точки де-
ления соединить тонкими линиями—
радиусами — с центром окружности
(черт. 45)**.

Черт. 45	Учащиеся рассматривают весь чер-

теж в целом и выясняют следующее:

* Термин «концентрические окружности» можно пока не аводить, а при
задании этой работы надо показать, что из общего центра можно провести
несколько окружностей разными радиусами.

♦♦ Деление дуги на 2, 3, 4, 5 равных частей можно делать циркулем пу-
тем последовательных приближений; этот способ надо указать учащимся
сначала при делении отрезка на 2, 3, 4 в более равные части.
1.	Наибольшая окружность разделена на 360 равных частей—дуг.

2.	Радиусы, проведенные в каждую точку деления большой
окружности, делят и все остальные окружности на 360 равных
частей — дуг.

3.	Теми же радиусами весь полный центральный угол разби-
вается на 360 равных центральных углов, а каждый прямой
центральный угол делится на 90 равных центральных углов.

Затем преподаватель сообщает, что часть окружности при-
нимается за единицу измерения дуг той же самой окружности
и называется дуговым градусом (обозначается 1°).

Учащиеся формулируют определение дугового градуса и на том
же чертеже определяют градусную меру дуг разных радиусов,
указанных преподавателем.

Полезно дать учащимся несколько задач на определение при-
ближенного значения длины дугового градуса, если радиус окруж-
ности будет равен 8 см, 1 м, 100 м, 1 км, 100 км, 1000 км, 6000 км
(последний результат дает некоторое представление о длине ду-
гового градуса земного экватора).

Известно, что каждой дуге окружности соответствует централь-
ный угол. Значит, каждому дуговому градусу как дуге соответ-
ствует центральный угол, который называется угловым гра-
дусом; он обозначается, как и дуговой градус, 1°. Угловой
1	1

градус составляет часть полного центрального угла или
oOU	JJ

часть прямого центрального угла. Этот угол является по-
стоянной величиной и принимается за единицу измерения
углов.

Учащиеся формулируют определение углового градуса и на
том же чертеже определяют градусную меру того или иного угла
(по заданию преподавателя).

При этом отмечается, что величина углового градуса не за-
висит от длины радиуса окружности.

Таким образом, устанавливается, что а) за единицу измерения
дуг окружности принимается дуга той же окружности — дуговой
градус; б) за единицу измерения углов принимается угол — угло-
вой градус; в) сколько дуговых градусов в дуге, столько же угло-
вых градусов в соответствующем ей центральном угле.

Последнее заключение имеет большое практическое значение:
измерение углов практически заменяют измерением дуг; получен-
ный результат измерения дуги (число) переносят на соответствую-
щий центральный угол, т. е. это число принимают за меру соответ-
ствующего ей центрального угла.

Затем преподаватель знакомит учащихся с простейшим прибо-
ром для измерения дуг и углов — с транспортиром — и
с практическим его применением: измерение графически заданных
углов и построение углов по заданной градусной мере их.

В последующей беседе учащиеся вспоминают, что раньше они
углы измеряли прямым углом и его долями: теперь они узнали,
что углы можно измерять градусами. Необходимо установить связь
между этими единицами измерения, что они и делают, составляя
соответствующую таблицу:

d ~ 90°,	30°,	~ 18°, 0,1 d ~ 9°,

О	Э

~d — 45°, ±d^22,5°,~-d ~ 15° и т. д.

2	4	О

В этой же беседе преподаватель сообщает, что в некоторых слу-
чаях градусная единица (1°) оказывается слишком велика, напри-
мер при измерении дуги земного экватора. Поэтому градус делится
на 60 минут, а одна минута — на 60 секунд.

Преподаватель может сообщить учащимся, что в практике при-
меняется и другое деление окружности, а именно на 400 равных
частей, что приводит к делению прямого угла не на 90, а на 100
равных частей, которые называются градами; дуга транспортира
в этом случае делится на 200 градов.

24.	ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Благодаря введению градусного измерения дуг и углов круг
практических задач на местности значительно расширяется: теперь,
в частности, можно строить углы не только прямые и равные поло-
вине прямого, а углы любой величины, как острые, так и тупые,
что можно делать при помощи астролябии* или иного угломерного
инструмента.

При помощи астролябии можно измерять углы на местности в
горизонтальной плоскости, а также строить углы заданной вели-
чины (в градусах).

В программе указана еще съемка плана многоугольного уча-
стка способом «обхода», т. е. при передвижении с астролябией
по границе участка**. Эту работу' сначала надо провести в зале,
обозначив вершины участка вехами, потом на дворе или на при-
школьном участке, а затем на более широкой открытой местности.

В заключительной беседе следует повторить основные вопросы
темы об углах, как-то: что такое угол, виды углов, равенство их,
измерение углов (долями прямого угла и градусами) смежные углы
и свойство их, вертикальные углы и свойство их.

Чтобы восстановить в памяти фактический материал, препо-
даватель может дать вопросник для повторения наподобие тех,
которые помещаются в учебниках в конце темы или главы***. Уча-
щиеся по учебнику и по своим записям в тетради должны подго-
товить исчерпывающие устные ответы на эти вопросы.

* Устройство и- применение астролябии смотри в книге М. А. Знамен-
ского «Измерительные работы на местности», Учпедгиз, 1956, стр. 85.

** П. Я. До рф и А. О. Р у м е р. Измерения на местности, вып. 9.
изд. АПН, 1955.

*** Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия. Планиметрия, 1949,
стр. 10, 14 и 28.
Г лава IV

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ, ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
И СИММЕТРИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

25.	ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

Обычно понятие о перпендикулярности двух прямых линий
дается в непосредственной связи с понятием прямого угла. Так
располагается этот материал и в учебниках геометрии.

[ Однако надо заметить, что введение только одного нового по-
нятия — понятия прямого угла и его применение (для сравнения
с другими углами и в качестве единицы измерения углов) пред-
ставляет для учащихся в начале курса VI класса достаточно боль-
шой новый материал, который нецелесообразно расширять вве-
дением еще одного нового понятия о перпендикулярности прямых
линий. Надо добавить также, что в этом месте курса геометрии
оно остается некоторое время почти без всякого применения.

Более целесообразно новое понятие о перпендикулярности
прямых линий выделить в небольшую самостоятельную тему,
которая тотчас же найдет широкое применение при изучении сле-
дующих тем: параллельность прямых линий, осевая симметрия и
треугольники.

Определение взаимно перпендикулярных прямых линий

В порядке повторения учащиеся припоминают, как можно
построить прямой угол, каким свойством он обладает и какое
имеет применение. Преподаватель предлагает показать в классной
комнате и на предметах окружающей обстановки прямые углы, при-
вести еще ряд примеров прямых углов, что позволит сделать за-
ключение, что прямые углы имеют широкое распространение и
применение.

Особенно часто встречается практическая задача построения
и использования отвесных прямых линий (например, при кладке
стен домов, постановке телеграфных столбов и т. п.), которые,
как известно, образуют прямой угол с горизонтальной плоскостью
и с любой прямой этой плоскости и называются перпендикуля-
рами (от латинского слова perpendiculars—отвесный). Стороны
прямого угла тоже называют перпендикулярными, а взаимное
расположение их — перпендикулярностью (требование, чтобы они
были всегда отвесными, постепенно отпало).

На классной доске и в тетрадях учащиеся строят прямые углы,
обозначают их тремя буквами (черт. 46), а затем преподаватель
показывает, как записывается перпендикулярность сторон пря-
мого угла: АС±ВС и ВСкАС.

Учащиеся читают эти записи, убеждаются, что они равноправ-
ны, благодаря чему стороны прямого угла
*	называются взаимно перпендику-

лярными сторонами.

Продолжив обе стороны прямого угла за
вершину, получаем четыре прямых уг-
ла, стороны которых, как лучи, лежат иа
двух прямых линиях, которые при своем
пересечении, образуют прямые углы. Пре-
с	подаватель сообщает, что эти две прямые

линии тоже называются взаимно перпенди-

Черт. 46 кулярными прямыми. Учащиеся формулиру-
ют определение взаимно перпендикулярных
прямых линий, показывают примеры их в классе и сами модели-
руют, пользуясь спицами, карандашами и т. п.

[Построение перпендикуляров к данной прямой линии

Задача 1. Из точки, взятой на данной прямой, провести пер-
перпендикуляр к этой прямой.

Учащиеся анализируют условие задачи и изображают его на
чертеже: дана прямая АВ и точка М на ней; требуется из точки
М провести перпендикуляр к прями АВ. Исходя из определения
перпендикуляра к прямой, учащиеся строят прямой угол (при
помощи треугольника и линейки) с вершиной в данной точке М
и с одной стороной, лежащей на данной прямой АВ.

Преподаватель ставит вопрос: будет ли новая прямая удовлет-
ворять условиям данной задачи, т. е. будет ли она проходить через
данную точку и быть перпендикулярной данной прямой? Ответ
на этот вопрос будет доказательством правильности построения;
новая прямая проходит через данную точку (по построению),
образует прямой угол с данной прямой (по построению), а поэтому
она перпендикулярна данной прямой (по определению).

Ставятся еще два вопроса:

1)	Всегда ли задача имеет решение?

2)	Сколько решений имеет она?

На первый вопрос дается положительный ответ, что вытекает
из обзора способа построения (всегда можно построить требуемый
прямой угол).
Ответ на второй вопрос может быть получен только путем рас-
суждений, которые в своей совокупности составляют доказатель-
ство (от противного или приведения к нелепости).

Задача 2. Через точку, взятую вне данной прямой, провести
перпендикуляр к этой прямой.

Учащиеся опять анализируют условие задачи, выделяют ос-
новной вопрос ее и выполняют построение при помощи линейки
и треугольника. Потом проводят доказательство, как и в первой
задаче, и исследование в виде ответов на те же два вопроса, которые
были поставлены в первой задаче. Ответ на первый вопрос (всегда
можно построить) дается легко, а на второй вопрос (единственное
решение) ответить довольно трудно*. Поэтому более целесообраз-
но в данном месте курса геометрии сообщить учащимся, что за-
дача имеет только одно решение, но доказать это можно будет
позднее.

Обычно при решении этих задач учащиеся путают два поня-
тия: «опустить перпендикуляр» и «восставить перпендикуляр».
Эта путаница имеет место даже в более старших классах, отчего,
кстати сказать, никакого ущерба в работе не бывает. Поэтому
невольно возникает вопрос: нужно ли вводить эти два термина?
В этом нет необходимости: оба термина можно заменить более
общим выражением «провести через данную точку перпендикуляр
к данной прямой», или «построить перпендикуляр к данной прямой,
проходящий через данную точку», как это было сделано в послед-
них двух задачах.

Новый термин «перпендикуляр» теперь может быть введен
в обиход и при решении задач на местности (провешивание пер-
пендикулярных прямых линий).

В порядке практических занятий в классе (или в учебной ма-
стерской) учащиеся используют угольник для построения пер-
пендикуляров на плоскости доски, планки или на листе железа
как разметку или «ризку» для распила.

26.	ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

Место темы в курсе геометрии

Как известно, в книге А. П. Киселева изучение параллель-
ности прямых линий на плоскости следует за изучением треуголь-
ников.

В книге Н. А. Глаголева и в новом стабильном учебнике
Н. Н. Никитина принят другой порядок: сначала изучается тема
«Параллельные прямые», а потом уже «Треугольники».

'* В учебнике Н. А. Глаголева это и подчеркивается ссылкой на то, что
доказательство будет дано значительно позже.

В учебнике А. П. Киселева приводится соответствующее доказатель-
ство, но оно очень трудно для учащихся в данном месте курса геометрии.
То же самое мы наблюдаем и в книгах 'дореволюционного
времени.

Так, в учебнике А. Н. Глаголева*, который был выпущен в
свет еще в девяностых годах прошлого столетия, тема «Парал-
лельные прямые» изучалась раньше темы «Треугольники», как и
в книге С. И. Шохор-Троцкого**. Однако в большинстве других
учебников эти темы были расположены так же, как и в книге
А. П. Киселева. В самые последние годы и в учебных программах
принят такой порядок: сначала изучается тема «Параллельные
прямые», а потом тема «Треугольники». Это — правильное разре-
шение вопроса. В самом деле, если раньше поставить изучение
треугольников, то некоторые вопросы этой темы совсем не могут
быть изучены без знания параллельности прямых линий (напри-
мер, сумма внутренних и сумма внешних углов треугольника),
в силу чего их приходится относить на значительно более позднее
время, что несколько нарушает стройность в построении темы
«Треугольники». С другой стороны, в той же теме «Треугольники»
имеются такие теоремы, которые очень трудно доказываются без
применения понятия параллельности прямых, например о свой-
стве внешнего угла треугольника, тогда как при использовании
того же понятия параллельности прямых эта теорема является
простым следствием из предыдущих теорем.

Предварительные сведения об углах, образуемых
двумя прямыми линиями при пересечении их третьей

В книге А. П. Киселева и в новом учебнике Н. Н. Никитина
эти сведения ограничиваются только перечислением тех углов,
которые образуются при пересечении двух прямых линий третьей
прямой.

В книге Н. А. Глаголева даются сначала те же сведения, а за-
тем они расширяются изучением теорем о свойствах этих углов.

Черт. 47

Надо заметить, что на первых
порах учащиеся с трудом раз-
личают углы, образуемые двумя
прямыми линиями при пересе-
чении их третьей прямой. Чтобы
помочь учащимся прочно усвоить
этот материал надо более подроб-
но остановиться на нем.Препода-
ватель предлагает построить на
классной доске и в тетрадях две
произвольные прямые и третью
прямую — секущую (черт. 47),
пронумеровать полученные углы

* А. Н. Глаголев, Элементарная геометрия и собрание геометри-
ческих задач. 1895.

С. И. Ш о х о р-Т р о ц к и й. Учебник геометрии для средних
учебных заведений, 1891-
и указать знакомые комбинации углов и свойства их (например,
смежные углы в сумме составляют 2 d, вертикальные углы равны,
четыре угла, имеющие общую вершину, в сумме составляют 4 d).

Затем преподаватель помогает учащимся на том же чертеже
выделить новые пары углов и выяснить, как они образованы и
взаимно расположены (предварительно устанавливается направ-
ление лучей на обеих данных прямых и направление секущей
стрелками). Так, например, углы 1 и 5 имеют по одной стороне
одного направления, лежащей на секущей прямой, а другие сто-
роны их расположены соответственно на обеих прямых по одну
сторону от секущей; эти утлы называются соответствен-
ными (учащиеся указывают еще три пары таких же углов). Уг-
лы 2 и 8 имеют на секущей общий отрезок и противоположные на-
правления сторон, а др\ гие их стороны лежат соответственно на
обеих прямых по разные стороны от секущей; эти )глы называются
внутренними накрест лежащими (учащиеся
указывают вторую пару таких же углов). Точно так же рассмат-
риваются внешние накрест лежащие углы и четыре
пары односторонних углов (внутренних и внешних)*.

В связи с этим полезно составить следующую таблицу (по-
местив ее рядом с чертежом 47).

Таблица пар углов

1 и

2 и

4 и

3 и

2 и

3 и

о соответственные

О

7

8 ^внутренние на-

5 /крест лежащие

и 7 } внешние накрест лежащие
и 6 } внешние односторонние

3 и S I внУтРенние односторонние

Рекомендуется такую же стенную таблицу и чертеж иметь око-
ло классной доски.

Если ранее известные парные комбинации углов обладают
соответствующими свойствами, то естественно возникает вопрос:
какие свойства имеют новые комбинации тех же углов?

Почти на всех чертежах, как правило, никаких свойств снача-
ла не удается обнаружить.

Тогда преподаватель показывает учащимся подвижную модель,
соответствующую чертежу, постепенно изменяет величину углов
так, чтобы в результате получить равные, например, соответствен-
ные углы.

На основании зрительных восприятий учащиеся замечают,
что и внутренние накрест лежащие углы равны, равны попарно
и остальные соответственные углы и т. д.

* Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, ч. 1,
Гостехиздат, 1948, стр. 77 и 79.
После этого преподаватель предлагает учащимся построить
две пересекающиеся прямые линии, отметить дугой один из полу-
ченных углов, построить третью прямую линию так, чтобы она
пересекала одну из первых двух прямых «под углом», соответст-
венным и равным отмеченному углу*, пользуясь транспортиром
или малкой.

Учащиеся выполняют указанные построения, анализируют по-
лученный чертеж, отмечают равные соответственные углы по по-
строению и записывают это равенство. Они обнаруживают и дру-
гие пары равных соответственных углов, потом накрест лежащих
(внутренних и внешних) и т. д.

Преподаватель предлагает доказать, что если два соответствен-
ных угла равны (по построению), то и остальные пары соответст-
венных углов тоже равны, внутренние накрест лежащие углы рав-
ны и т. д.

Каждую из этих теорем учащиеся должны доказывать отдель-
но. И только потом в порядке обобщения все эти отдельные теоре-
мы можно объединить общим условием: если соответственные углы
равны, то а) внутренние накрест лежащие углы равны; б) внешние
накрест лежащие углы равны; в) сумма внутренних (или внешних)
односторонних углов равна 2 d. Это — прямые теоремы.

Если преподаватель найдет возможным, то может познакомить
и с обратными теоремами. С этой целью он предлагает учащимся
заключение последней теоремы поставить условием новой теоремы
(если внутренние накрест лежащие углы равны), а условие той же
теоремы сделать заключением новой теоремы (то соответственные
углы равны) и построить соответствующий чертеж с необходимыми
отметками. Получается теорема, обратная первой. Учащиеся
доказывают ее (как и прямую), а затем составляют и доказывают
другие обратные теоремы.

Теоремы о существовании параллельных прямых
на плоскости (или признаки параллельности прямых)

Из курса IV и V классов учащиеся имеют некоторое представ-
ление о параллельных прямых, что было связано с рассмотрением
квадратов и прямоугольников (при измерении площадей этих
фигур).

Теперь надо восстановить эти сведения в памяти учащихся, под-
крепить их целым рядом примеров из окружающей жизни и создать
более отчетливое представление о параллельных прямых линиях. С
этой целью преподаватель проводит предварительную беседу в клас-
се, во время которой учащиеся приводят примеры параллельных
прямых и показывают их на известных предметах окружающей
жизни и на моделях куба и параллелепипеда (противоположные

* Такие словесные задания весьма полезно давать учащимся и в после-
дующей работе, чтобы приучать их к восприятию математической речи н
развивать у них пространственные представления.
Черт. 48

края стола, книги, и тетради, противоположные ребра куба и па-
раллелепипеда). После этого они формулируют определение парал-
лельных прямых (как таких прямых линий, которые не пересе-
каются), опуская пока указание на то, что они должны лежать на
одной плоскости. Затем преподаватель в классной комнате или на
моделях куба и параллелепипеда показывает примеры таких пря-
мых, которые тоже не пересекаются при продолжении их, но ко-
торые нельзя назвать параллельными. Эти примеры дают повод
пополнить и уточнить определение параллельных прямых (которые
лежат в одной плоскости и не пересекаются).

В учебнике А. П. Киселева это определение параллельности
прямых дополнено: «...не пересекаются, сколько бы их ни продол-
жали». В самом начале курса геометрии было выяснено, что пря-
мая линия бесконечная. Это — неотъемлемое свойство прямой.
Поэтому указанное выше дополнение в определении параллель-
ности прямых является излишним.

Учащиеся формулируют следующие известные им предложения,
сопровождая их демонстрацией моделей и чертежами: а) если две
прямые линии имеют две общие
точки, то они совпадают, т. е. об-
разуют одну прямую линию (акси-
ома прямой); б) если две прямые
линии имеют только одну общую
точку, то они пересекаются.

Совершенно естественно теперь
поставить вопрос: могут ли две
прямые линии на плоскости не
иметь ни одной общей точки?

Так возникает теорема о суще-
ствовании параллельных прямых
линий, которая в учебниках гео-
метрии и в практике школы назы-
вается признаком параллельности
прямых.

Доказательство этой теоремы
всегда представляет большие за-
труднения для учащихся; а при
таком построении курса, когда
параллельность изучается раньше
казательства несколько возрастает,

ности необходимо на уроке иметь модель, при помощи которой сна-
чала и ведется доказательство (черт. 48)*.

Суть теоремы заключается в следующем: на плоскости имеют-
ся две прямые линии, пересеченные третьей так, что, например, два

* На первом чертеже показаны отдельно две детали — правая и левая
с равными углами. На втором чертеже показана вся модель в собранном виде
иа шарнире в точке, около которой правая часть может вращаться до совпа-
дения с левой частью (или наоборот).

треугольников, трудность до-
Для преодоления этой труд-
внутренних накрест лежащих угла оказались равными (условие
теоремы), и ставится вопрос: пересекаются прямые АВ и CD или
нет (заключение теоремы)?

Сначала доказательство теоремы проводится на модели. Оно
сводится к двум возможным предположениям:

1)	прямые АВ и CD пересекаются в правой полуплоскости
(в точке Р) и

2)	прямые АВ и CD пересекаются в левой полуплоскости
(в точке Q) (черт. 49).

При первом предположении путем поворота левой части моде-
ли AMNC около точки К (К — середина отрезка MN) на 180®
легко обнаружить, что при этом точка К останется на месте, точка
N совместится с точкой М, луч NC пойдет по направлению луча
МВ, точка М совместится с точкой N, луч МА пойдет по направ-
лению луча ND. Тогда лучи МА и NC, которые соответственно
совпали с лучами ND и МВ, тоже пересекутся в той же точке
Р; если часть модели AMNC вновь повернуть на 180°, она зай-
мет свое первоначальное положение и точка пересечения лучей МА
и NC (точка Р) перейдет в левую полуплоскость относительно се-
кущей прямой MN вместе с теми же лучами и займет некоторое
положение Тогда окажется, что прямые АВ и CD пересекаются
в двух точках Р и Pi, а этого быть не может.

Следовательно, первое предположение неверное, т. е. прямые
АВ и CD в правой полуплоскости не могут пересекаться.

Такое же рассуждение проводится при втором предположении
(прямые АВ и CD пересекаются в левой полуплоскости в точке Q)*.

Итак, каждое из двух возможных предположений оказалось
неверным.

Остается сделать вывод, что прямые АВ и CD при данном ус-
ловии не пересекаются. Они называются параллельными прямыми
(вновь формулируется определение параллельности прямых и вво-
дится запись: АВ || CD).

Это доказательство полностью повторяется, но вместо модели
строится соответствующий чертеж (на классной доске и в тетра-
дях; черт. 49). Предварительно схематически записывается теорема:

Если АВ и CD — прямые, или: Дано: АВ и CD — прямые,

EF — секущая,
^AMN=^MND,
то АВ || CD.

EF — секущая и
^AMN=^MND.
Доказать: АВ || CD.

Доказательство подробно излагается в учебнике.

Когда эта теорема будет усвоена, преподаватель предлагает
учащимся вспомнить зависимости между известными парами уг-
лов, образуемых двумя прямыми линиями, пересеченными третьей
прямой.

* На модели этих точек пересечения, конечно, нет
Учащиеся перечисляют эти свойства углов*, после чего под ру-
ководством преподавателя составляют новые теоремы о парал-

лельности прямых линий, каждая из которых легко доказывается
сведением ее к первой основной тео-

реме.

В последующей беседе выясняется,
что каждая из этих теорем выражает
признак параллельности прямых
линий.

Полезно все эти признаки схема-
тически записать в виде одной сво-
дной таблицы, которую учащиеся
заносят в свои тетради, а преподава-
тель вывешивает такую таблицу и
соответствующий чертеж около клас-
сной доски (черт. 50):

Если|

1.	или ^4=^6;

2.	^г2=^г8 или ^rl=^r7;

3.	^2=^6 или ^3=^7;

4.	1=^:5 или ^4 = ^8;

5.	^r3+^r6=2 d или ^4+^5=2d;

6.	-^2+ ^7=2 е/или ^l + ^8=2rf.

то АВ || CD.

После этого необходимо рассмотреть один частный случай, а имен-
но, когда секущая пересекает обе прямые линии под прямыми уг-
лами. Эта теорема является простым следствием любой из преды-
дущих теорем о параллельности_прямых**, например, если соот-

* Если они были известны учащимся, см. Глаголев Н. А., Эле-
ментарная геометрия, ч. 1. «Планиметрия», 1949, стр. 30.

** В учебнике А. П. Киселева эта теорема является первой и основной
теоремой о существовании параллельных прямых.
ветственные углы прямые, следовательно, равные, то прямые ли-
нии будут параллельными (черт. 51).

Из этой теоремы вытекает след-
ствие, которое в дальнейшем имеет
очень широкое применение: две прямые
линии на плоскости, перпендикулярные

С	к  М	D
fl	N	в
	L

Черт. 51

к

третьей прямой, параллельны.

Аксиома параллельности прямых

Аксиому параллельных прямых целе-
сообразно поставить именно в этом ме-
сте данной темы; предыдущие тео-
ремы (признаки параллельности пря-
мых) были доказаны без применения
этой аксиомы.

Последующее изучение темы о параллельных прямых без ис-
пользования аксиомы параллельности невозможно. (Свойство уг-
лов, образованных двумя параллельными прямыми при пересе-
чении их третьей прямой, признаки непараллельности прямых
и другие теоремы.)

Введение этой аксиомы тесно связывается с решением следую-
щей задачи: через данную точку вне данной прямой провести пря-
мую, параллельную данной прямой.

Учащиеся выясняют,что дано в задаче (прямая и точка вне ее), что
надо сделать (провести через точку прямую, параллельную данной).

Учащиеся проводят устно предварительный анализ задачи и
строят примерный чертеж допуская, что задача решена, т. е. не-
которая прямая линия проходит через данную точку, параллель-
но данной прямой.

Затем они повторяют формулировки известных признаков па-

раллельности прямых, в
которых идет речь об уг-
лах, образованных двумя
прямыми и секущей пря-
мой. В связи с этим они
дополняют чертеж, прове-
дя секущую прямую через
данную точку, например
под прямым углом к дан-
ной прямой (черт. 51).

Имея перед глазами
такой чертеж, учащиеся

Черт. 52

сопоставляют его с усло-

вием задачи (даны прямая АВ и точка М вне ее) и намечают план
решения задачи (построение):

1)	через точку М провести секущую KL перпендикулярно к пря-
мой АВ (при помощи линейки и чертежного треугольника; черт. 52)
2)	через ту же точку М провести перпендикуляр к первому пер-
пендикуляру (тем же способом) и продолжить его за точку М.
Прямая CMD — искомая прямая (CMD || АВ).

Учащиеся выполняют эти построения.

Второй способ решения задачи отличается от первого тем, что
чертеж дополняется проведением секущей не под прямым углом
к данной прямой, а под произвольным.

Сопоставляя этот чертеж и условие данной задачи, учащиеся
намечают план решения (построения):

1)	через точку М проводится секущая KL под некоторым уг-
лом к прямой АВ;

2)	на этой секущей при точке М строят угол, соответственный
первому углу и равный ему (при помощи малки или транспортира);

3)	новую сторону угла продолжают за точку М. Прямая
CMD — искомая (CMD || АВ).

Доказательство в обоих случаях очень простое.

После решения задачи преподаватель ставит перед учащимися
следующие два вопроса (в порядке исследования):

1.	Всегда ли можно решить данную задачу?

2.	Сколько можно провести прямых через точку М, параллель-
ных данной прямой?

На первый вопрос следует положительный ответ, вытекающий
из процесса построения. А на второй вопрос отвечает преподава-
тель, сообщая аксиому параллельности.

При этом надо указать учащим-
ся на особый характер этой ак-
сиомы.а именно, что она недоста-
точно очевидна и не может быть
подтверждена или опровергнута
опытом. Поэтому еще в древней
Греции после Евклида нача-
лись попытки доказать это ут-
верждение; они продолжались
до XIX в., когда Н. И. Лоба-
чевский в 1826 г. показал, что это
утверждение нельзя доказать.

В порядке практического применения предыдущей теории пре-
подаватель дает задачу о построении ряда параллельных прямых,
проходящих через данные точки, при помощи линейки и чертеж-
ного треугольника (черт. 53).

Свойство углов, образуемых двумя параллельными
прямыми при пересечении их третьей прямой

Соответствующие теоремы можно предлагать учащимся как
задачи на доказательство.

Например, дается задача: две параллельные прямые АВ и CD
пересечены третьей прямой f(L. Каким свойством обладает одна
пара соответственных углов? одна пара внутренних накрест ле-
жащих углов? и т. п.

Учащиеся анализируют содержание задачи и выясняют данное
условие в ней (даны две параллельные прямые, пересеченные
третьей прямой) и вопрос (каким свойством обладает одна пара
соответственных углов?). Они легко замечают, что эта задача по-
строена как теорема: условие — две параллельные прямые пере-
сечены третьей прямой, а заключение — свойство одной пары
соответственных углов (оно пока неизвестно).

Доказательство проводится способом приведения к нелепости
или к противоречию (оно излагается в учебниках).

По окончании доказательства учащиеся формулируют теорему
в целом, сравнивают ее с соответствующим признаком параллель-
ности прямых и замечают, что обе эти теоремы являются взаимно
обратными.

Точно так же составляются, формулируются и доказываются
остальные обратные теоремы о свойствах известных пар углов.

Этим и завершается изучение теории параллельных прямых.

Углы с соответственно параллельными
и перпендикулярными сторонами

Соответствующие теоремы общеизвестны и доказательство их
не вызывает особых затруднений.

В то же время следует обратить внимание преподавателя на
два обстоятельства. Первое касается формулировки самой теоремы.
В учебнике Н. А. Глаголева в формулировку теоремы входит ука-
зание тех условий, при которых углы с параллельными или с пер-
пендикулярными сторонами равны («Если они оба острые или оба
тупые») или в сумме составляют 2 d («Если один из них острый, а
другой тупой»); в учебнике же А. П. Киселева формулировка тео-
ремы носит более расплывчатый характер («...то такие углы или
равны, или в сумме составляют 2d») и только в процессе доказа-
тельства выясняются те условия, при которых углы будут равны
или в сумме составляют 2d.

В новом учебнике геометрии Н. Н. Никитина эти теоремы фор-
мулируются точно так же, как и в книге Н. А. Глаголева, что надо
признать наиболее целесообразным. Редакцию тех же теорем мож-
но несколько сократить, если ввести термины «одноименные» уг-
лы (т. е. оба острые или оба тупые) и «разноименные» (т. е. один
острый, другой тупой). Тогда теоремы можно сформулировать
так: «если стороны одного угла соответственно параллельны (или
перпендикулярны) сторонам другого угла, то эти углы или равны
между собой, если они одноименные или в сумме составляют 2d,
если они разноименные».
Практические занятие

Изучение параллельных прямых значительно расширяет круг
практических задач, которые учащиеся могут решать на местно-
сти, в классе и в учебных мастерских.

При помощи эккера учащиеся теперь могут провешивать на
местности не только перпендикулярные, но и параллельные пря-
мые, например сделать разметку для устройства аллеи и для по-
садки по обеим сторонам аллеи плодовых или ягодных деревьев
или кустарников.

В учебных мастерских учащиеся знакомятся с новым прибором
рейсмусом, который употребляется для проведения прямых,
параллельных краю доски при определении ее ширины и толщины.

В классной и домашней работе учащиеся покрывают некоторые
чертежи параллельными штрихами, что требует одновременного
применения линейки и чертежного треугольника.

27.	ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Понятие симметрии имеет огромное значение как в науке, так
и в практической жизни. Понятие симметрии имеет место, на-
пример, во вращающихся механизмах, в архитектурных сооруже-
ниях, в форме некоторых живых организмов (человеческое тело,
морская звезда, цветки) и во многих окружающих предметах.

Геометрия изучает формы, размеры и положение предметов или
тел в пространстве. Симметрия как особое расположение фигур
или элементов одной и той же фигуры входит в содержание школь-
ного курса геометрии.

Введение понятия осевой симметрии

Учащиеся VI класса имеют достаточно большой запас пред-
ставлений, связанных с понятием симметрии вообще и с понятием
осевой симметрии в частности. Так, например, они многократно
аккуратно перегибали пополам прямоугольный лист бумаги и
убеждались, что элементы одной половины прямоугольника (две
вершины и стороны) полностью совпадают с соответствующими эле-
ментами другой половины.

В данном месте курса геометрии своевременно поставить во-
прос об изучении осевой симметрии с тем, чтобы в дальнейшем поль-
зоваться этим понятием и применять его при решении разного
рода задач. Учащиеся к этому времени имеют достаточную предва-
рительную подготовку (изучили перпендикулярность и параллель-
ность прямых).

Эту работу можно вести в порядке решения задач на построе-
ние при помощи линейки, треугольника и измерительного цирку-
ля. После решения каждой задачи проводится обзор полученного
чертежа, выясняются три основных условия, которым удовлетво-

Ц В. г. Мичиган	14Б
ряет каждая пара фигур, симметричных относительно прямой ли-
нии, и, таким образом, вводится понятие симметричных точек,
отрезков и прямых линий относительно данной прямой — оси сим-
метрии. Затем выясняются свойства симметричных точек, отрез-
ков и прямых линий.

В дальнейшем по мере введения в курс геометрии новых гео-
метрических фигур — равнобедренных треугольников, некоторых
видов четырехугольников, окружностей, а потом правильных мно-
гоугольников — продолжается, во-первых, изучение осевой сим-
метрии этих фигур, во-вторых, применение ее к решению соот-
ветствующих задач и к доказательству некоторых теорем.

Понятие осевой симметрии вводится следующим образом.

Преподаватель предлагает учащимся построить прямую MN
и точку А вне ее, из точки А провести перпендикуляр АВ к пря-
мой MN до пересечения с последней в точке В (АВ1MN) и продол-
жить его за точку В (при помощи линейки и треугольника); на
продолжении перпендикуляра отложить от точки В отрезок ВА',
равный отрезку АВ (АВ=ВА').

Эти задания даются в виде графического диктанта с той целью,
чтобы приучать учащихся переводить словесный язык на графи-
ческий.

Далее, учащиеся выясняют, что была прямая MN и точка А
вне ее. Затем указанным способом была построена вторая точка А
Учащиеся характеризуют особое расположение точек А и Л':
они расположены по разные стороны от прямой MN, лежат иа од-
ном перпендикуляре А А’ к MN (A A' ±MN) и на равном расстоя-
нии от нее* (АВ = ВА'). Преподаватель сообщает, что эти две
точки (А и Л'), расположенные указанным образом относительно
прямой MN, называются симметричными относительно
оси MN, а прямая MN называется осью симметрии.

Если перегнуть чертеж по оси симметрии до совпадения обеих
областей (преподаватель показывает этот процесс, перегибая боль-
шой лист прозрачной бумаги с соответствующим чертежом), то
симметричные точки совпадут. Отсюда делается вывод, что две точ-
ки, симметричные относительно оси симметрии, при перегибании
чертежа по оси симметрии совпадают.

Затем учащиеся получают новое задание: имеются ось сим-
метрии и две произвольно лежащие точки по одну сторону от нее;
построить точки, симметричные данным точкам относительно дан-
ной оси. Учащиеся описанным раньше способом строят две симмет-
ричные точки и замечают, что при перегибании чертежа по оси
симметрии каждая из точек совпадет с точкой, симметричной ей.
Преподаватель предлагает соединить отрезком прямой линии пару
данных точек и вторую пару симметричных им точек.

* Здесь уместно ввести понятие «расстояния от точки до прямой», от-
четливо разъяснив это понятие на решении нескольких задач.
Получаются два отрезка, концы этих отрезков соответственно
симметричны и при перегибании чертежа они совпадут; а потому
и сами отрезки при этом совместятся, значит они равны.

На одном из отрезков учащиеся отмечают промежуточную
точку, строят ей симметричную точку и доказывают, что новая
симметричная точка будет лежать на втором отрезке.

А так как промежуточная точка была выбрана произвольно,
то делается общий вывод, что каждой точке одного отрезка соот-
ветствует симметричная ей точка другого отрезка (включая
и концы отрезков).

Преподаватель сообщает, что эти отрезки тоже называются
симметричными относительно оси симметрии. Учащиеся
выясняют смысл этого нового понятия: симметричные отрезки рас-
положены по обе стороны оси симметрии, каждой точке одного
отрезка соответствует симметричная ей точка другого отрезка;
симметричные отрезки равны.

Затем преподаватель предлагает учащимся следующее задание:
построить отрезок, симметричный данному отрезку относительно
данной оси.

Учащиеся легко приходят к заключению, что для этого до-
статочно построить две точки, симметричные концам данного от-
резка относительно данной оси, и полученные точки соединить.
Потом они выполняют это построение. Преподаватель же предла-
гает им продолжить данный и полученный отрезки, взять на од-
ной из прямых произвольную точку, построить ей симметричную
и доказать, что эта последняя будет лежать на другой прямой.

Нетрудно сделать заключение, что эти прямые симметрич-
ные и при перегибании чертежа совпадут.

Кроме того, учащиеся замечают, что точка пересечения сим-
метричных прямых лежит на оси симметрии.

Таким образом, при помощи предыдущих задач вводится по-
нятие осевой симметрии точек, отрезков и прямых линий. В по-
рядке закрепления этих знаний учащиеся по заданию преподава-
теля строят прямую, симметричную данной прямой, которая па-
раллельна оси симметрии, и получают симметричные параллель-
ные прямые; а затем строят и угол, симметричный данному углу
относительно дайной оси симметрии. Так постепенно расширяется
круг симметричных фигур.
Г лава V

ТРЕУГОЛЬНИКИ

В школьном курсе геометрии треугольник занимает исключи-
тельно важное место. Во-первых, это — первая и самая простая
замкнутая прямолинейная фигура, обладающая интересными свой-
ствами и имеющая широкое применение в практической жизни и
в технике. Во-вторых, дальнейшее изучение курса геометрии, в
частности геометрии плоских прямолинейных фигур — много-
угольников, основывается на применении различных свойств тре-
угольников подобно тому как весь предыдущий материал (прямая
линия и отрезки, углы) широко используется при изучении тре-
угольников.

Эта тесная непосредственная связь предыдущего материала с
последующим имеет особенно важное значение в методическом
отношении. В самом деле, рассматривая угол как простейшую
комбинацию двух прямых линий, на которых лежат лучи, образую-
щие этот угол, можно установить такой же взгляд и на треуголь-
ник, как более сложную комбинацию не двух, а трех прямых ли-
ний, на которых лежат отрезки, образующие треугольник.

Благодаря этому сопоставлению в сознании учащихся создаются
отчетливые и прочные ассоциации, помогающие им охватывать
конкретный геометрический материал — геометрические фигуры —
в определенной системе и последовательности.

Все это будет способствовать тому, чтобы учащиеся, во-первых,
могли иметь некоторую перспективу в построении последующего
конкретного геометрического материала, подлежащего изучению
в дальнейшем курсе геометрии, во-вторых, могли сами принять не-
которое непосредственное участие в создании этого материала и в
выборе его. А это в свою очередь будет содействовать развитию
конструктивных и комбинаторных способностей учащихся.

Тема о треугольниках содержит много новых понятий. Поэто-
му изучение ее можно разбить на следующие этапы:

1.	Общий обзор треугольников.

2.	Равнобедренный треугольник.

3.	Равенство треугольников.

4.	Зависимости между основными элементами треугольника.

5.	Перпендикуляр и наклонные к прямой линии.
28.	ОБЩИЙ ОБЗОР ТРЕУГОЛЬНИКОВ

В большинстве учебников элементарной геометрии, включая и
учебник А. П. Киселева, теме о треугольниках предпосылается в
порядке введения небольшой обзор темы о многоугольниках; по-
сле этого треугольник рассматривается уже как частный случай
многоугольника. Это делается в силу того, что геометрия является
преимущественно дедуктивной наукой; этот взгляд переносится
и на школьный курс геометрии даже на первом году изучения этого
предмета. Такое усиленное подчеркивание дедуктивного харак-
тера курса геометрии, да еще в VI классе, не может быть оправдано
с методической точки зрения, что и подтверждается практикой
работы школ (дети VI класса не понимают геометрический материал).

В этом отношении учебник профессора Н. А. Глаголева «Эле-
ментарная геометрия» с общепедагогической и методической точек
зрения построен более рационально: сначала рассматриваются
треугольники, потом четырехугольники п, наконец, многоуголь-
ники. Такой же порядок рекомендуется и в последующем изложе-
нии данной книги.

В учебной и методической литературе, как и в школьной прак-
тике, треугольник, как и угол, определяется по-разному:

1)	треугольник есть замкнутая ломаная линия, состоящая из
трех звеньев*;

2)	треугольник есть часть плоскости, ограниченная замкнутой
ломаной линией, состоящей из трех звеньев**;

3)	треугольник есть фигура, образованная тремя попарно пе-
ресекающимися отрезками, лежащими на соответственно пересе-
кающихся трех прямых, не проходящих через одну и ту же точку;

4)	треугольник есть многоугольник, имеющий только три сто-
роны***;

5)	совокупность точек, лежащих на всевозможных отрезках,
соединяющих одну из данных точек с точками отрезка, образован-
ного двумя остальными, называется треугольником**** (см. соот-
ветствующее определение угла);

6)	треугольником называется совокупность трех точек, не ле-
жащих на одной прямой, и трех отрезков, имеющих своими кон-
цами эти три точки, взятые попарно***** (см. соответствующее
определение угла).

* Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия. «Планиметрия»
Учпедгиз, 1954, стр. 48.

**Р. В. Гаигнус и Ю. О. Гурвиц, Геометрия. Методиче-
ское пособие, ч. 1 «Планиметрия», Учпедгиз, 1934, стр. 55.

*** А. П. Киселев, Геометрия, ч. 1. «Планиметрия», Учпедгиз,
1956, стр. 19.

Ж. А д а м а р, Элементарная геометрия, ч. I «Планиметрия»,
Учпедгиз, 1948, стр. 36.

Н. Н. Н и К и т и н. Геометрия, Учпедгиз, 1957, стр. 44.

**** С. А. Богомолов, Геометрия, Учпедгиз, 1949, стр. 34.

***** Д. и. Перепелкин, Курс элементарной геометрия, Гостех-
издат, 1948, стр. 20.
Третье определение очень многословное, а потому трудное для
учащихся.

Первое определение треугольника, как и соответствующее оп-
ределение угла, влечет за собой введение понятия внутренней об-
ласти треугольника — той части плоскости, которая ограничена
контуром его.

Во втором определении понятие внутренней области излишне,
так как эта «часть плоскости» входит в само определение.

Четвертое определение вытекает из общего определения много-
угольника.

Пятое определение тесно связано с соответствующим опреде-
лением угла как совокупности лучей, выходящих из общей точки и
пересекающих отрезок. Оно очень трудно для учащихся.

Наконец, последнее определение по существу сходно с первым.

В школе целесообразно ввести то определение треугольника,
которое будет связано с принятым определением угла. Так, если
угол был определен как два луча, выходящих из общей точки на
плоскости, то естественно, что за угол можно принять и незамкну-
тую ломаную линию, состоящую из двух звеньев, которые лежат на
соответствующих лучах (что и было сделано раньше); отсюда легко
перейти и к понятию ломаной линии, состоящей из трех звеньев
(незамкнутой и замкнутой) и затем дать первое определение тре-
угольника.

Если же угол был определен как часть плоскости, заключенная
между двумя лучами, выходящими из общей точки, то следует дать
второе определение треугольника (ограничив эту «часть плоскости»
пересечением сторон угла прямой линией).

В последующем изложении за основное принято первое опре-
деление треугольника, связанное с соответствующим определе-
нием угла.

Введение понятия о треугольнике

Треугольник хорошо известен учащимся по курсу V класса,
когда они решали задачи на определение площади треугольника.
Поэтому последующую работу надо начинать прежде всего с воп-
роса образования треугольника и определения его.

В краткой вводной беседе преподаватель напоминает учащимся,
что в курсе геометрии они сначала изучали одну прямую линию
(а также луч и отрезки), потом две прямые линии, которые при
своем пересечении образуют новые фигуры — углы. Теперь есте-
ственно возникает вопрос: какую новую фигуру могут образовать
три прямые линии при их пересечении?

На классной доске и в тетрадях учащиеся изображают две пе-
ресекающиеся прямые линии, отмечают один из углов и проводят
третью прямую, пересекающую стороны этого угла (преподава-
тель демонстрирует соответствующую модель). Получается знако-
мая фигура — треугольник, в которой выделяются отрезки —
стороны треугольника (цветным мелом и карандашом или просто
утолщаются).

Это — один способ образования треугольника. Преподаватель
показывает другой способ.

Он демонстрирует складной деревянный метр в развернутом
виде, перегибает его около одного из шарниров — получается
угол как ломаная линия, состоящая из двух звеньев.

Перегибая метр еще в одной точке, преподаватель получает
новую ломаную линию, состоящую из трех звеньев; на доске и
в тетрадях изображаются соответствующие чертежи. Пользуясь
этой моделью, преподаватель показывает новую конструкцию ее,
когда начало ломаной линии совпадает с концом ее, что приводит
к понятию замкнутой ломаной линии и к понятию треугольника.

Учащиеся строят чертежи, соответствующие новой модели, и
характеризуют полученную фигуру: треугольник — замкнутая ло-
маная линия.

Преподаватель демонстрирует иные модели замкнутых ломаных
линий, состоящие из четырех, пяти и более звеньев, которые уже
не будут треугольниками. Эти сопоставления заставляют попол-
нить определение треугольника указанием еще одного признака:
треугольник — замкнутая ломаная линия, состоящая из трех
звеньев.

По предложению преподавателя учащиеся анализируют чер-
теж треугольника и модель его, выделяют в этой фигуре основные
геометрические элементы*, обозначая их на чертеже заглавными
буквами: точечные элементы — три вершины треугольника (Л, В,
С) и линейные — три стороны (АВ, ВС и АС), а также указывают
три внутренних угла (^А, ^В и или ^АВС, ^ВСА и ^.САВ),
вершины которых являются вершинами треугольника, а стороны
их — лучами, на которых лежат отрезки — стороны треугольни-
ка; внутренние области углов составляют внутреннюю об-
ласть треугольника.

Виды треугольников

За время своего обучения в начальной школе и в V классе, а
также из опыта своей повседневной жизни учащиеся накопили
достаточно большой запас зрительных образов, связанных с по-
нятием треугольника. Поэтому, если преподаватель, имея в своем
распоряжении достаточный набор моделей треугольников — кар-
касных (из проволоки) или вырезанных из тонкого картона, пред-
ложит учащимся выбрать треугольник определенного вида — с
прямым углом, с тупым углом, с острыми углами, то они легко это
сделают. После этого формулируются определения разных видов
треугольников относительно в«пов углов.

' 11э i основными разумеются только такие элементы, без которых данная
фигура, например треугольник, не может существовать. С этой точки
зрения высоты, медианы и другие отрезки в треугольнике не являются ос
новнымн.
При этом учащиеся отмечают, что в рассмотренных треуголь-
никах они видели только один прямой или один тупой угол. По-
том учащиеся строят треугольники тех же видов в своих тетрадях
а преподаватель строит их на классной доске и под каждым из
них подписываются наименования — прямоугольный, тупо-
угольный и т. п.

Точно так же проводится классификация треугольников по их
сторонам. В порядке домашней самостоятельной работы к следую-
щему уроку учащиеся вырезают из цветной бумаги модели тре-
угольников каждого вида.

При этом надо заметить, что построение разностороннего тре-
угольника не затруднит учащихся. А построение равнобедренного
и особенно равностороннего треугольников — дело весьма труд-
ное в данном месте курса геометрии. Поэтому надо в классе решить
обе эти задачи.

Здесь же следует напомнить учащимся, что одна из сторон тре-
угольника принимается за основание; тогда вершина про-
тивоположного угла называется вершиной треугольника.

В порядке проверки знаний учащихся преподаватель предла-
гает им из коллекции моделей выбрать один треугольник и ука-
зать, как его можно назвать в зависимости от вида наибольшего
угла в нем и от сравнительной длины его сторон (например,
прямоугольный или тупоугольный, равнобедренный и т. п.).
Такой вопрос можно предлагать и на последующих уроках
в порядке устной работы.

Сумма внутренних углов треугольника

На предыдущих уроках учащиеся видели, что в треугольнике
только один из внутренних углов был тупым или прямым. Есте-
ственно возникает вопрос: может ли треугольник иметь два-три
прямых или тупых угла?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо знать, чему равна сумма
всех внутренних углов треугольника. Преподаватель предлагает
учащимся непосредственным измерением определить эту сумму.

У каждого учащегося имеются модели треугольников разных
форм, а также чертежи их в тетради. Они измеряют все углы в
треугольнике и определяют сумму их; преподаватель записывает
на классной доске полученные результаты, которые могут быть
разные, но примерно в границах от 177° до 183°.

Затем преподаватель предлагает учащимся определить сумму
внутренних углов треугольника другим способом: оторвать все
углы бумажного треугольника и сложить их так, как показано на
чертеже 54.

Три угла треугольника образуют развернутый угол; следо-
вательно, сумма их равна 2d (или 180°).

Но преподаватель обращает внимание учащихся на то, что у
нас нет достаточных оснований утверждать, что эти трн угла об-
152
разуют развернутый угол, так как неизвестно, будут ли крайние
несовпадающие стороны углов 1 и 3 составлять одну прямую
линию.

Черт. 54

Можно показать и третий способ: путем перегибания сложить
все углы бумажного треугольника с общей вершиной их на одной
из сторон его (черт. 55).

И здесь получается на взгляд развернутый угол, состоящий из
углов 1, 2 и 3, что и дает повод

утверждать, что сумма этих углов
равна 2d (или 180°); но и здесь
достаточных оснований для такого
утверждения нет.

Чтобы убедить учащихся, что
далеко не всегда можно дове-
ряться зрительным восприятиям,
полезно показать им несколько
иллюзий, какие применяются при

изучении психологии.

Таким образом, учащиеся при-	Черт. 55

ходят к выводу, что опытным пу-
тем — измерением и вычислением, а также фактическим сложением
углов — нельзя точно определить, чему равна сумма внутренних
углов. Но это можно сделать путем доказательства.

В учебниках геометрии приводятся различные доказательства
теоремы о сумме внутренних углов треугольника (см. черт. 56,
57, 58).

Ю В. Г- Чичигив

153
Полезно рекомендовать отдельным учащимся знать несколько
различных доказательств. Укажем еще одно доказательство
(черт. 59).

Учащиеся формулируют эту теорему, решают задачи на ее при-
менение (преимущественно на вычисление).

Из данной теоремы вытекает целый ряд следствий, которые
могут быть выведены самими учащимися (на уроке или дома).
Каждую теорему-следствие полезно иллюстрировать чертежом, под
которым и подписывается соответствующая формула, например:

1)	если <С = d, то ^.А + -^В = d;

2)	если ^А >90 , то ^В + ^С<90° и т. п.

Теперь можно дать ответ на вопрос, поставленный в начале
темы: в треугольнике может быть только один тупой или один
прямой угол.

Внешние углы треугольника

Учащиеся строят треугольник и по заданию преподавателя про-
должают одну из его сторон за вершину угла: получается новый
угол, который учащиеся могут охарактеризовать как смежный
соответствующему внутреннему углу треугольника. Преподаватель
сообщает, что такой угол называют внешним углом треуголь-
ника. Отсюда следует, что внешний угол треугольника есть угол,
смежный с одним из внутренних углов его.

Затем следует выяснить свойства внешнего угла треугольника,
для чего надо рассмотреть три разных случая, когда внешний угол
является смежным острому, прямому и тупому углу. Доказатель-
ство теоремы и вытекающие из нее следствия имеются в учебнике.

Наконец, надо определить сумму всех внешних углов треуголь-
ника; при этом надо разъяснить учащимся, что при каждой вер-
шине треугольника рассматривается только один внешний угол,
хотя построить можно два равных внешних угла.
Замечательные отрезки в треугольнике

В начале школьного курса геометрии рассматриваются только
высоты, медианы и биссектрисы; перпендикуляры, проведенные
через середины сторон треугольника, включаются в курс значи-
тельно позднее. Эти отрезки в треугольнике обладают одним и тем
же свойством, которое можно выразить следующим образом: все
одноименные отрезки в треугольнике — все биссектрисы, все ме-
дианы и все высоты или их продолжения — пересекаются только
в одной точке, каждую из которых называют замечатель-
ной точкой треугольника, а сами отрезки — замеча-
тельными отрезками в треугольнике.

Изучение этих отрезков в данном месте курса геометрии огра-
ничивается только ознакомлением учащихся с каждым видом пе-
речисленных отрезков и выяснением указанного свойства их. По-
следнее осуществляется пока только путем графического решения
соответствующих задач,' а доказательства откладываются на более
поздний срок.

Ознакомление учащихся с биссектрисой, медианой и высотой в
треугольнике можно провести следующим образом.

Преподаватель показывает учащимся модель тупоугольного
треугольника с резко различными длинами его сторон; в вершине
тупого угла на шарнире прикреплена тонкая спица (модель секу-
щей). Учащиеся на классной доске и в тетрадях изображают тре-
угольник того же типа и через вершину тупого угла проводят се-
кущую (прямую или луч).

Вращая на модели секущую (спицу), преподаватель показывает
различные возможные положения секущей и особо выделяет не-
которые положения ее, когда
она или делит угол пополам,
или делит противоположную
сторону пополам, или пер-
пендикулярна к противопо-
ложной стороне (черт. 60).

На чертежах (на классной
доске и в тетрадях) учащие-
ся изображают те же особые
положения секущей*.

Затем преподаватель об-
ращает внимание учащихся
на то, что в каждом особом
положении секущей на ней
выделяется внутренний отрез
эти отрезки (цветными мелк
ми в тетради или просто ут

. Учащиеся
и на доске,

графически выделяют
цветными карандаша-

* Те же изображения можно получить перегибанием листа бумаги, на
котором имеется чертеж треугольника.
В последующей беседе рассматривается каждый отрезок в от-
дельности.

Отрезок, лежащий на биссектрисе угла, естественно тоже наз-
вать биссектрисой внутреннего угла треугольника; она
обозначается буквой /. Учащиеся формулируют определение бис-
сектрисы угла треугольника, а потом по заданию преподавателя
изображают произвольный треугольник и в нем строят биссек-
трису одного из внутренних углов (при помощи транспортира).

Точно так же вводится понятие медианы треугольника
(обозначается буквой /я).

Понятие высоты хотя и знакомо учащимся по курсу V класса,
но является трудным понятием и в VI классе, когда треугольник
бывает прямоугольным и тупоугольным. Преодолевать эти труд-
ности надо решением соответствующих задач на построение высот
из вершин острых углов в тупоугольных треугольниках (при по-
мощи линейки и чертежного треугольника). На первых порах не-
доумение вызывают и задачи на построение высот в прямоугольных
треугольниках из вершин острых углов.

При этом особое внимание следует обратить на определение вы-
соты тупоугольного треугольника.

Преподаватель напоминает учащимся, что высота треугольника
обозначается буквой h.

Как сказано было раньше, выяснение свойств биссектрис, ме-
диан и высот в треугольнике проводится исключительно путем
решения задач на построение одноименных отрезков в треуголь-
нике данного вида. Работа выполняется учащимися дома и про-
веряется на следующем уроке.

В каждое задание можно включать одну-две графические за-
дачи. Например:

1.	В данном разностороннем треугольнике (остроугольном,
прямоугольном или тупоугольном) провести все биссектрисы (или
медианы, или высоты).

2.	В данном равнобедренном треугольнике (остроугольном,
прямоугольном или тупоугольном) провести все биссектрисы (или
медианы, или высоты).

Этим заканчивается общий обзор треугольников. Преподаватель
проводит повторение пройденного материала и составление плана
проведенной работы.

29.	РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Приступая к изучению равнобедренного треугольника, надо
сначала отметить, что он обладает всеми свойствами, которые были
выяснены в любом треугольнике более общего вида, и перечислить
их (виды равнобедренных треугольников, сумма внутренних и
внешних углов, замечательные отрезки). Но равнобедренный
треугольник обладает также целым рядом свойств, принадлежа-
щих только ему. Изучение этих свойств не представляет каких-ли-
бо затруднений, а потому может проводиться силами самих уча-

щихся.

Преподаватель проводит краткую беседу, в процессе которой
учащиеся строят равнобедренный треугольник, повторяют опреде-
ление его и выясняют основные элементы: равные боковые сторо-

ны, основание и вершина.

Затем он предлагает учащимся на том же чертеже провести
биссектрису угла при вершине равнобедренного треугольника и за-
писать условие (черт. 61).

Дано: ДЛВС — равнобедренный (АВ = ВС), BD — бис-
сектриса угла В (^1 = ^2).

. Преподаватель показывает учащимся бумажную модель равно-
бедренного треугольника, где тоже проведена биссектриса угла при
вершине его. Учащиеся видят, что биссект-

риса разделила данный треугольник на два
треугольника (например, правый и левый),
что каждый из них по внешнему виду можно
назвать прямоугольным (и показывают пря-
мые углы).

Преподаватель перегибает модель по бис-
сектрисе, и учащиеся видят, что все основ-
ные элементы правого треугольника совмес-
тились с соответствующими элементами лево-
го треугольника, из чего следует равенство
соответствующих элементов (отрезков, уг-
лов), а это последнее позволяет установить
свойство биссектрисы (она есть также меди-
ана, высота и ось симметрии).

в

Черт. 61

Эти свойства учащиеся записывают как заключение, вытекаю-
щее из ранее записанного условия. Таким образом, получается

теорема, в которой из одного условия следует несколько заклю-
чений.

Доказательство теоремы по чертежу проводят сами учащиеся.
Как следствие из этой теоремы получается равенство углов при осно-
вании равнобедренного треугольника и характеристика их (они
всегда острые). Учащиеся формулируют эту теорему (свойство бис-
сектрисы). Как частный случай равнобедренного треугольника
рассматривается равносторонний треугольник, в котором прежде
всего выясняется, что биссектриса каждого внутреннего угла рав-
ностороннего треугольника есть в то же время и высота и медиана,
и ось симметрии, из чего следует, что все внутренние углы его рав-
ны и каждый из них содержит 60°.

30.	РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Эта тема является одной из основных тем всего курса элемен-
тарной геометрии. Важное значение ее заключается прежде всего
в том, что при ее изучении вкладывается совершенно новый смысл
в хорошо известный учащимся термин «равенство» геометрических
фигур. Затем известно, что как изучение дальнейшего курса гео-
метрии, так и решение многих практических задач основано на
признаках равенства треугольников. Следует также отметить, что
при изучении этой темы впервые в отчетливой и доступной форме
ставится вопрос о необходимом и достаточном числе элементов
для построения треугольников и равенства их. Кроме того, изу-
чение этой темы позволяет значительно расширить круг задач
геометрического характера, в частности конструктивных задач
(задач на построение), в процессе решения которых приходится
доказывать, что полученная фигура есть искомая, а это часто и
сводится к применению известных признаков равенства треуголь-
ников.

До сих пор термин «равенство» (равенство отрезков и равенство
углов) в курсе геометрии не вызывал никаких недоразумений у уча-
щихся и его понимали в обычном смысле этого слова, т. е. как та-
кое отношение между сравниваемыми объектами, к которому при-
менимы известные аксиомы: «Если к равным прибавить или от
равных отнять равное, то получаются равные» и др.

В самом деле, если имеются два равных отрезка и если к каж-
дому из них прибавить (или от каждого из них отнять) по равному
отрезку, то по определению суммы двух отрезков (или разности их)
получатся два новых и равных отрезка, которые при наложении
совместятся и длины их будут равны (то же рассуждение приме-
нимо и к сложению и вычитанию углов).

Совсем иной смысл имеет термин «равенство» при совмещении
треугольников: здесь идет речь только о геометрическом равенстве,
т. е. о совмещении треугольников при наложении их. Арифмети-
ческого равенства здесь не может быть, так как треугольнику нель-
зя привести в соответствие какое-либо число, которое характери-
зовало бы данный треугольник (площадь как число в данном слу-
чае характеризует бесконечное множество треугольников, которые
при наложении могут не совмещаться, т. е. могут быть геометриче-
ски неравны). В силу этого не может быть поставлен вопрос о сло-
жении или вычитании двух треугольников в том смысле, как это
понималось при сложении или вычитании отрезков или углов, т. е.
чтобы сумма двух треугольников тоже была треугольником. По-
этому и термин «равенство» двух треугольников имеет только гео-
метрический смысл, т. е. совмещение двух треугольников при на-
ложении их. Поэтому равенство ДЛВС = &DEF не может об-
ладать ранее указанным свойством (т. е. если к равным прибавить
равные, то получатся равные), так как самый термин «сложение
треугольников» не имеет смысла (как н термин «вычитание тре-
угольников»).

В силу этого и возникает вопрос о неудовлетворительности
термина «равенство» в отношении замкнутых фигур и о необходи-
мости замены его новым термином — «конгруентность». Такой воп-
рос неоднократно возникал в методической литературе, но в школу
новый термин не вошел, вероятно, по той причине, что он очень
труден даже по своему произношению. К тому же многие считают,
что в практике школы термин «равенство» в отношении треуголь-
ников не вызывает никаких недоразумений и учащиеся свободно
и правильно им оперируют.

С последним мнением нельзя полностью согласиться. В самом
деле, если учащиеся употребляют термин «равенство» в отношении
замкнутых фигур, то это еще не значит, что они правильно его и
понимают: отсутствие недоразумений в этом случае объясняется
тем, что в процессе обучения не приводятся такие примеры, ко-
торые могли бы натолкнуть учащихся на размышление. Так, на-
пример, никогда не ставится вопрос о том, можно ли «сложить» два
произвольных треугольника, два произвольных квадрата и т. п.
по аналогии со сложением отрезков или углов. Не ставится также
и вопрос о том, можно ли к обеим частям такого «равенства», как
△ ЛВС = /:DEF, прибавить по равному треугольнику ELM.

Постановка подобного рода вопросов в разных местах курса
геометрии в значительной мере поможет учащимся выяснить раз-
ницу в понимании термина «равенство» в геометрии: численное
равенство как равенство чисел, измеряющих те или иные геометри-
ческие величины (равенство длин отрезков, величин углов, пло-
щадей фигур, объемов и т. п.) и геометрическое равенство как ра-
венство фигур, которые при наложении их (или при вложении од-
ной в другую) совмещаются всеми своими элементами.

Эту мысль следует выявлять и подчеркивать, начиная с первых
уроков геометрии, в частности при сравнении отрезков, когда вы-
ясняются условия геометрического равенства двух отрезков и свя-
занное с этим равенство их длин, т. е. чисел, измеряющих эти
отрезки, а затем при изучении углов, когда выясняются условия
геометрического равенства углов, а несколько позднее и связанное
с этим равенство чисел, измеряющих углы.

Термин «геометрическое равенство фигур» и можно было бы
ввести при дальнейшем изложении курса геометрии, в частности и
применительно к треугольникам. Но он очень громоздкий, а потому
практически будет заменяться простым термином «равенство»,
что надо признать вполне целесообразным; однако время от вре-
мени преподаватель должен уточнять понятие и термин «равен-
ство», например: a) S^abc — у^лдвсо — арифметическое ра-
венство, б) △.АВС = &DEF — геометрическое равенство.

Понятие геометрического равенства треугольников непосред-
ственно вытекает из теоремы о свойствах биссектрисы, внутреннего
угла при вершине равнобедренного треугольника.

Поэтому, приступая к выяснению этого нового понятия, препо-
даватель и возвращается к только что указанной теореме, выделяя
в ней только один факт — разбиение данного треугольника на два
прямоугольных треугольника, которые при перегибании чертежа
совмещаются всеми своими элементами. В силу этого сами учащие-
ся назовут их равными по аналогии с отрезками или углами, ко-
торые при наложении совмещались всеми своими элементами. Та-
ким образом, выясняется, а потом и формулируется определение
геометрического равенства треугольников (повторяются и опре-
деления геометрического равенства отрезков, углов и дуг одной и
той же окружности). Этим подчеркивается единый признак, ко-
торый кладется в основу определения геометрического равенства
фигур — совмещение их основных элементов при наложении
фигур.

В последующей классной беседе выясняется, что такой способ
определения равенства треугольников путем наложения одного из
них на другой сопряжен с целым рядом затруднений и в то же вре-
мя не может гарантировать правильность сделанного вывода (прак-
тически далеко не всегда можно осуществить наложение фигур, а
если таковое и выполнимо, то совпадение или несовпадение соот-
ветствующих элементов может быть только приблизительным).
Поэтому надо постараться выяснить те признаки, наличие которых
давало бы возможность утверждать, что данные треугольники гео-
метрически равны.

В связи с этим полезно напомнить, что и при изучении ариф-
метики тоже вводились признаки: признаки делимости чисел
(припомнить некоторые из них), признаки обращения несократимых
обыкновенных дробей в конечные или в бесконечные десятичные
дроби ит. п.

Как известно, существует четыре признака равенства треуголь-
ников. В программу средней школы включаются только три при-
знака. Однако в курсе тригонометрии рассматриваются все четыре
случая решения косоугольных треугольников, которые полностью
по своему содержанию совпадают с соответствующими признаками
равенства треугольников.

В учебнике Н. А. Глаголева имеются четыре признака равен-
ства треугольников. Затем рассматриваются четыре признака по-
добия треугольников в полном соответствии с признаками равен-
ства их. В силу этого изучение четырех случаев решения косо-
угольных треугольников в X классе является естественным завер-
шением всей работы, связанной с изучением треугольников в VI,
VIII и X классах.

Исключение четвертого признака из программы курса геомет-
рии в настоящих условиях вполне понятно и обоснованно: дока-
зательство этой теоремы довольно трудное для учащихся VI клас-
са, этот признак имеет очень редкое применение, исключение его
из программы VI класса не вызывает затруднений при изучении
последующего курса геометрии.

Однако в целях расширения кругозора отдельных учащихся
изучение четвертого признака равенства треугольников в более
старших классах (например, в VIII классе при изучении призна-
ков подобия треугольников) очень полезно.

Вопрос о порядке изучения признаков равенства треугольников
можно разрешать по-разному; а) обычно сначала рассматривается
тот случай, когда задаются две стороны и угол, заключенный меж-
ду ними, затем, когда задаются одна сторона и два прилежащих
к ней угла, наконец, когда задаются все три стороны (такой по-
рядок принят в учебниках А. П. Киселева, Н. А. Глаголева,
Н. Н. Никитина, и в программе); б) но можно принять и другой
порядок: сначала рассматривается случай, когда задаются только
одна сторона и два прилежащих к ней угла, затем две стороны и
заключенный между ними угол и, наконец, три стороны.

Последний порядок изучения этой темы имеет то преимущество,
что для учащихся VI класса дается мнемоническое правило для
нумерации признаков равенства треугольников и ссылки на них:
в первом признаке задается одна сторона, во втором — две сто-
роны и в третьем три стороны.

При этом надо заметить, что такая нумерация признаков равен-
ства треугольников совпадает с нумерацией признаков подобия их и
с нумерацией основных случаев решения косоугольных треуголь-
ников.

В последующем изложении принят второй порядок нумерации
признаков равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Выяснение признаков равенства треугольников полезно начи-
нать с решения задач на построение треугольников. В связи с
этим постепенно выясняется н понятие о достаточных условиях,
при наличии которых два треугольника будут равны (или при на-
личии которых можно построить треугольник определенной фор-
мы и размеров).

С этой целью преподаватель сначала проводит краткую беседу,
чтобы ввести учащихся в курс предстоящей работы. В процессе беседы
выясняется,что каждый треугольник имеет три стороны,три вершины,
три внутренних угла и внутреннюю область. Но три вершины тре-
угольника являются и вершинами его углов, а внутренняя область
треугольника является ограниченной частью внутренней области
каждого из внутренних углов его; поэтому в дальнейшем за осно-
вные элементы треугольника можно принимать только три стороны
его и три внутренних угла. Стороны треугольника обычно назы-
ваются линейными элементами его (стороны — отрезки прямых
линий).

Теперь возникает вопрос: сколько надо задать элементов тре-
угольника и каких именно, чтобы построить треугольник опре-
деленной формы и размеров (или равный данному треугольнику).

Выяснение этих условий преподаватель может провести сле-
дующим образом.

Он демонстрирует две модели треугольников, имеющих только
по одной равной стороне; наложением совмещает их так, чтобы
совпали их равные стороны, и показывает, что остальные элемен-
ты их не совмещаются, а потому эти треугольники не равны. За-
тем он демонстрирует другую пару моделей треугольников, имею-
щих только по одной равной стороне и по одному соответственно
равному прилежащему углу (равенство указанных элементов мо-
жет устанавливаться непосредственным измерением); наложением
совмещает равные элементы, а остальные элементы не совмещаются;
значит, треугольники не равны. Наконец, демонстрируются моде-
ли двух треугольников, имеющих по одной равной стороне и по
два соответственно равных прилежащих угла; при наложении
эти треугольники совмещаются всеми элементами. Значит, эти
треугольники равны.

Формулируется последний вывод: если два треугольника имеют
по одной равной стороне и по два равных прилежащих к ней угла,
то эти треугольники равны.

Выяснение тех же условий следует провести и другим способом
при помощи решения задач на построение треугольников по задан-
ным его основным элементам, начиная с одного элемента*.

Суть этого способа применительно к данному случаю заклю-
чается в следующем.

Преподаватель показывает модель разностороннего треуголь-
ника; на классной доске он строит отрезок, равный стороне тре-
угольника, и предлагает одному из учащихся построить на этом
отрезке треугольник. Сравнивая последний с моделью треуголь-
ника, учащиеся убеждаются, что они неравны.

Точно так же проводится решение второй задачи: задается тот
же отрезок, равный стороне треугольника, и один угол данного
треугольника, прилежащий к той же стороне; по этим данным
требуется построить треугольник. Он тоже оказывается неравным
данному треугольнику.

Преподаватель дает третье задание на классной доске: тот же
отрезок и два угла, соответственно равные углам данного треуголь-
ника, прилежащие к той же стороне. По этим данным учащиеся
строят треугольник, равный данному (в этом убеждаются нало-
жением модели).

На основании этих наблюдений учащиеся делают вывод, что
для построения треугольника, равного данному треугольнику,
достаточно задать три основных элемента его — в данном
случае одну сторону и два прилежащих к ней угла.

Сопоставляя этот вывод с предыдущим заключительным выво-
дом (при сравнении двух моделей треугольников), учащиеся фор-
мулируют обобщающий вывод: если заданы или построены два тре-
угольника, имеющие по одной равной стороне и по два равных при-
лежащих к ней угла, то эти треугольники равны (т. е. при нало-
жении они совмещаются всеми своими элементами).

Получилась теорема; справедливость ее обнаружена опытным
путем (непосредственным наложением).

* Этот способ подробно описан в учебнике Н. Н. Никитина, §22.
Но преподаватель напоминает учащимся, что выводы, основан-
ные только на опыте (в данном случае — непосредственным на-
ложением фигур), не могут нас удовлетворить, так как они дают
только приближенные результаты сравнения (достаточные в практи-
ке, но не достаточные в теории).

Поэтому возникает необходимость более надежной проверки
наших конечных результатов, что можно сделать путем строгих
логических рассуждений, путем доказательства.

Черт. 62

С этой целью учащиеся на классной доске и в тетрадях строят
два треугольника в соответствии с условием теоремы, отмечают
на них равные элементы и схематически записывают теорему
(черт. 62):

Рели в треугольниках
АВС и DEF
DF - АС,
.-D = ^А,

<F = ^С,
то АЛВС = &DEF.

Дано: А ЛВС и /\DEF,
DF = АС,
= ^А,
^F = ^С.

Доказать: &ABC=/\DEF.

Доказательство теоремы желательно провести при активном
участии учащихся, которые должны научиться подробно и от-
четливо описывать процесс наложения, особо подчеркивая, что
в этом процессе зависит от нас, что вытекает из того или иного по-
ложения уже независимо от нас и на каком основании.

Приводим примерный ход беседы.

Вопрос. «Как можно убедиться в равенстве данных тре-
угольников?»

Ответ. «Надо мысленно наложить один из треугольников на
другой, например, &DEF наложить на ДЛВС».

Вопрос. «С чего начинать наложение треугольников?»

Ответ. «Наложение надо начать с вершины, например, что-
бы точка D совпала с точкой Л, чтобы DF пошла по АС и т. д.».

Чтобы помочь учащимся отчетливо различать эти этапы в про-
цессе доказательства теоремы, преподаватель может на первых
порах соответствующим образом оформить схематическую запись
доказательства, например, в следующем виде.
Доказательство (схема записи)

Что зависит от нас	Что вытекает	На каком основании
л DEF наложим на л АВС так, чтобы точ- ка D совпала с точ- кой А		
DF пошла го АС	F совпадет с С	DF = АС (по условию)
isDEF расположился в той же полуплоскости от АС, что и &АВС	DE пойдет по АВ	^D=^A
	Е лежит на АВ	DE пошла по АВ
	FE пойдет по СВ	^F- ^С
	Е лежит на СВ	FE пошла по СВ
	Итак,	
	Е лежит на АВ и СВ, т. е. в точке их пересечения В	Две прямые АВ и СВ пересекаются только в одной точке В
	Поэтому z DEF = АВС	Все вершины углор и стороны треугольников совместились

Замечание. В такой или в подобной ей форме можно про-
вести запись доказательства только одной-двух первых теорем.
В дальнейшем записи будут проще, но указанные этапы должны
полностью сохраниться.

В процессе доказательства преподаватель все записи на доске
выполняет сам с тем, чтобы дать учащимся образец правильного
их расположения, а учащиеся одновременно воспроизводят их в
своих тетрадях.

Существует мнение, что схематическая запись доказательства
теоремы в классных тетрадях учащихся является излишней и да-
же вредной при условии, если то же доказательство в учебнике
изложено вполне удовлетворительно и доступно учащимся. С этим
мнением нельзя согласиться.

Во-первых, в тетрадях учащихся должен оставаться след клас-
сной работы, особенно сообщение нового материала: чертеж, схе-
матическая запись теоремы (условие и заключение) или задачи и
процесс доказательства или решения. Ясно, что последний дол-
жен быть отражен схематично и возможно кратко. Это и осуще-
164
ствляется при помощи применения схематических записей дока-
зательства или решения.

Во-вторых, учащийся при опросе его в классе или на экзамене
должен письменно изложить ход доказательства теоремы; и в
этом случае он должен пользоваться схематической записью.

Наконец, учащиеся получают задание: по учебнику разобрать
и усвоить новую теорему. Как они будут это выполнять? Читать
последовательно текст и составлять конспект в схематической
форме.

Этому и надо учить учащихся с первых уроков математики.

Преподаватель еще раз обращает внимание учащихся на то,
что условие данной теоремы (три равенства, входящих в него)
является достаточным для того, чтобы данные треуголь-
ники были равны; иными словами, оно является признаком
равенства треугольников. И данная теорема, в которую входит
это условие, иногда называется теоремой — призна-
ком.

Чтобы показать применение данного признака равенства тре-
угольников, преподаватель предлагает решить следующие задачи
на доказательство.

1.	Доказать, что в равнобедренном треугольнике высоты, со-
ответствующие боковым сторонам, равны между собой.

2.	Доказать, что биссектрисы углов при основании равнобед-
ренного треугольника равны между собой.

3.	Доказать, что прямая, перпендикулярная к биссектрисе
угла, отсекает на его сторонах равные отрезки.

Решение каждой из этих задач надо начинать с того, чтобы
учащиеся четко выделили и записали, что дано (условие теоремы) и
что надо доказать (заключение теоремы); а потом сформулировали
теорему в виде условного предложения (например: если треуголь-
ник равнобедренный, то ...)

Наконец, следует отметить, что в предыдущем изложении схе-
матическая запись самой теоремы неоднократно давалась в двух
видах: в условной форме («если» и «то») или по схеме «дано» и «тре-
буется доказать».

В практике школы и в учебниках геометрии применяется преи-
мущественно второй способ записи. Этот способ не вызывает ка
ких-либо возражений. Однако широкое культивирование только
такой записи приводит к тому, что даже абитуриенты средней
школы считают, что теорема записана неправильно, если нет слов
«дано» и «требуется доказать». Здесь уже форма доминирует над
содержанием.

В защиту первой схемы записи теоремы можно привести и то
соображение, что при помощи слов «если» и «то» в младших и сред-
них классах средней школы учащиеся легче формулируют теоре-
му, лучше осознают ее структуру (условие и заключение), легче
формулируют обратные теоремы. В более старших классах средней
школы можно пользоваться как той, так и другой схемами.
При этом следует заметить, что слово «требуется» — лишнее —
вполне можно ограничиться одним словом «доказать».

Признаки равенства прямоугольных тре-
угольников. Признаки равенства прямоугольных треуголь-
ников обычно рассматриваются в качестве самостоятельной темы
после изучения всех признаков равенства любых произвольных
треугольников, в том числе и прямоугольных, которые имеют по
равному прямому углу. Поэтому признаки равенства прямоуголь-
ных треугольников, кроме одного из них*, являются частными
случаями общих признаков, что следует разъяснять учащимся
в связи с выводом каждого отдельного общего признака.

Из первого признака равенства треугольников вытекают как
следствия два признака равенства прямоугольных треугольников.

Учащиеся изображают прямоугольный треугольник, препода-
ватель сообщает названия его сторон; по чертежу легко выясняются
свойства острых углов (они в сумме составляют прямой угол, а
потому оба острые);один их них называется дополнитель-
н ы м до прямого угла.

Затем преподаватель ставит вопросы: какие элементы данного
прямоугольного треугольника и сколько их надо задать, чтобы
построить другой треугольник, равный данному?

Выясняется, что по известному общему признаку надо задать
одну сторону и два прилежащих угла, а в данном случае достаточ-
но задать только два элемента: один катет и прилежащий острый
угол или катет и противолежащий острый угол, или, наконец, ги-
потенузу и острый угол (каждый вариант обосновывается).

Построение в первом и во втором случаях начинается с построе-
ния прямого угла, а доказательство геометрического равенства
обоих треугольников сводится к применению ранее доказанной ос-
новной теоремы.

Построение в третьем случае начинается с построения гипоте-
нузы и одного заданного прилежащего острого угла и завершается
построением другого прилежащего дополнительного угла или по-
строением перпендикуляра из конца гипотенузы на другую сто-
рону угла.

После решения этих задач учащиеся формулируют теоремы —
признаки равенства прямоугольных треугольников.

Замечание. В последующем изложении будут широко при-
меняться термины «соответственные стороны» и «соответственные
углы» в треугольнике. В данном месте курса преподаватель дол-
жен сообщить учащимся, что «соответственными» будем называть
стороны треугольников, лежащие против равных углов; а углы в
треугольниках, лежащие против равных сторон, будем называть «со-
ответственными углами».

* Четвертый признак равенства прямоугольных треугольников тоже
можно рассматривать как частный случай общего четвертого признака.
И тот и другой признаки в учебнике Н. Н. Никитина отсутствуют.
Второй признак равенства треугольников

Переход ко второму признаку равенства треугольников пре-
подаватель осуществляет следующим образом. На классной доске
учащиеся строят произвольный треугольник АВС и повторяют
устно уже известный процесс построения второго треугольника,
равного первому (по одной стороне и двум прилежащим к ней
углам).

При этом особо подчеркивается, что задание одного или двух
элементов (стороны или стороны и прилежащего угла) приводит к
задаче, имеющей бесконечное множество решений и только добав-
ление третьего элемента—второго прилежащего угла — позволяет
получить определенное решение.

Далее, преподаватель предлагает третьим элементом добавить
не угол, а еще одну сторону треугольника, а именно ту, которая
лежит на другой стороне первого заданного угла. На чертеже
учащиеся отмечают заданные элементы — две стороны и угол меж-
ду ними. Затем по этим элементам они строят новый треугольник
KLM (черт. 63): сначала угол К, равным А (при помощи транспор-
тира), на сторонах его строят отрезки КМ и KL, соответственно
равные сторонам АС и АВ, и соединяют точки L и М. Получился
треугольник KLM, по внешнему виду равный данному треугольнику
АВС. Надо это доказать (доказательство мало чем отличается от
доказательства предыдущей теоремы).

Черт. 63

После доказательства теоремы и повторения этого доказатель-
ства составляется словесная формулировка ее.

Затем учащиеся в этой теореме выделяют еще раз условие (три
равенства) и заключение, а преподаватель сообщает, что эти три
равенства соответственных элементов обоих треуголь-
ников составляют достаточное условие для того, что-
бы треугольники были геометрически равны. Это условие и являет-
ся вторым признаком равенства треугольников.

Новый признак равенства треугольников закрепляется реше-
нием задач на доказательство. Например: «Доказать, что медианы
боковых сторон в равнобедренном треугольнике равны между
собой».

Следует также решать задачи и на построение треугольников,
используя оба признака равенства треугольников. При этом при-
меняются те же инструменты: линейка, треугольник, транспортир
и циркуль (классический способ построения только циркулем и
линейкой следует отложить до более позднего времени, когда бу-
дет закончено изучение равенства треугольников).

Сначала преподаватель указывает определенные размеры за-
данных элементов, например: «Построить треугольник, зная, что
одна сторона его равна 7,5 см, а прилежащие к ней углы содержат
72° и 48°» или: «Построить треугольник, если известно, что две
стороны его равны 8 см и 5 см, а угол между ними содержит 81°».

Очень полезно на первых же порах приучать учащихся данные
величины в задачах на построение изображать графически.

Так, например, в первой задаче

,а-7,5см	учащиеся строят заданные эле-

.	менты соответствующих размеров

/	/и обозначают их малыми буква-

/	/ ми латинского алфавита (черт.

/ , .	/ .	64).

/ т= I?	/п-1/8	’ г'

[	_____ /	______ Способ решения каждой задачи

им уже известен. А после реше-

Черт. 64	ния учащиеся должны доказать,

что полученный треугольник есть
искомый. Здесь же своевременно ввести и элементы исследования,
поставив такой вопрос: всегда ли задача, в которой даны одна сто-
рона и два прилежащих к ней угла, может иметь решение, т. е.
всегда ли по этим данным можно построить треугольник? Путем
беседы выясняется, что размер стороны, вообще, говоря, всегда
допускает решение задачи, а углы не могут иметь произвольную
величину, так как сумма всех внутренних углов треугольника
равна 180°; следовательно,	18С°.

Позднее те же задачи могут быть заданы в более общей форме,
а построения будут выполняться при помощи только циркуля и
линейки.

Признаки равенства прямоугольных
треугольников. Здесь же можно рассмотреть частный
признак — признак равенства прямоугольных треугольников, ког-
да они имеют по два равных катета. Преподаватель предлагает
построить произвольный прямоугольный треугольник, а потом
построить второй треугольник, равный первому. Выясняется, что
для этой цели надо задать два отрезка — катеты искомого треу-
гольника, соответственно равные катетам первого треугольника.
Построение и доказательство очень просты.

Третий признак равенства треугольников

Учащиеся вспоминают, что при переходе от первого признака
ко второму один из заданных углов был заменен стороной. Теперь
преподаватель предлагает и во втором признаке угол заменить
третьей заданной стороной.
Учащиеся изображают разносторонний треугольник в тетра-
дях, а преподаватель обводом по контуру модели треугольника
получает изображение его на классной доске (ДЛВС).

Затем дается задача: построить треугольник так, чтобы три
стороны его были соответственно равны трем сторонам данного
треугольника.

Чтобы наметить план построения искомого треугольника, уча-
щиеся продолжают одну сторону данного треугольника, например
АВ, за точку В и замечают, что на полученном луче лежат две
вершины треугольника, а третья вершина его С находится на рас-
стоянии АС от точки Л и на расстоянии ВС от точки В.

Намечается следующий план: а) построить луч Лр б) отложить
на нем от точки Аг отрезок Л^ = АВ; в) из точки Alt как из
центра, описать дугу радиусом, равным Л С, а из точки Вг — ра-
диусом, равным ВС, до взаимного пересечения в точке С>; г) сое-
динить точку Cj с точками Л! и Bt — получится искомый тре-
угольник Л АС/.

Построение по этому плану и доказательство того, что стороны
искомого треугольника соответственно равны сторонам заданного
треугольника, не вызовут затруднений.

Преподаватель предлагает сравнить данный и вновь полученный
треугольники, т. е. узнать, равны они или нет.

Учащиеся записывают условие теоремы и заключение ее. По-
том проводится доказательство.

И в этом случае некоторые учащиеся попытаются применить
способ наложения, как было в первых двух теоремах, и вести
соответствующие рассуждения.

Но на вопрос преподавателя, почему совместятся вторая или
третья пары сторон обоих треугольников, учащиеся ответить не
смогут и поймут, что без равенства углов нельзя проводить нало-
жение треугольников. Поэтому преподаватель сообщает, что цель
последующей работы состоит в том, чтобы доказать, что эти тре-
угольники имеют хотя бы по одному равному углу.

Это доказательство общеизвестно; оно одинаково излагается
во всех учебниках геометрии. Для учащихся VI класса оно являет-
ся очень трудным.

Чтобы сделать его более понятным, преподаватель сначала сам
проводит весь процесс доказательства на классной доске, исполь-
зуя дидактический материал. Он берет ту же модель треугольника
АВС, окрашенную разной краской с каждой стороны (например,
желтой и красной), накладывает ее на чертеж треугольника АВС
до полного совмещения, поворачивает модель около стороны АС
на 180“ и перемещает ее по направлению к треугольнику Аг Вг С>
до совмещения сторон Аг Cj и АС и мелом обводит другие две
стороны треугольника АВС .

* На самом деле могут получиться два треугольника—HiBjCj и А,ВчСг —
по обе стороны от луча Лц но для простоты здесь можно ограничиться
одним из иих.
Учащиеся теперь видят, что дДВС не наложен на ДА^С^,
а приложен к нему равными сторонами А С, и АС (черт. 65.)

В результате последующего доказательства выясняется, что
^ААА = ^А1В"С1 = ^АВС, вследствие чего оказывается, что
оба треугольника имеют по две соответственно равные стороны
и по равному углу, заключенному между этими равными сторо-
нами, а потому они будут равны (по второму признаку в данном
изложении).

Учащиеся формулируют теорему — третий признак равенства
треугольников и повторяют весь ход доказательства.

Черт. 65

По окончании доказательства теоремы преподаватель в заклю-
чительной беседе должен особо подчеркнуть косвенный характер
доказательства третьего признака, а именно: вместо .непосредствен-
ного равенства треугольников (способом наложения) ведется до-
казательство равенства одной пары соответственных углов в этих
треугольниках (способом приложения), что приводит затем к ис-
пользованию уже известного второго признака равенства треуголь-
ников.

£ В этом доказательстве молчаливо допускается, что отрезок
прямой, соединяющий вершины двух приложенных треугольников,
проходит внутри полученной фигуры. Но это может быть только в
том случае, если данные треугольники остроугольные или если
треугольники прикладываются друг к другу так, чтобы общая сто-
рона их была наибольшей из всех сторон (о чем напоминается в
книге А. П. Киселева в сноске на странице 25, но это не делает
доказательство общим).

Преподаватель может восполнить этот пробел, если найдет это
необходимым (см. чертежи 66 и 67).

В книгах Д. И. Перепелкина и С. А. Богомолова* доказатель-

* Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, ч. I, Гос-
техиздат, 1948 стр. 44.

С. А. Богомолов, Геометрия, Учпедгиз, 1949, стр. 71—72.
ство третьего признака равенства треугольников во всех трех слу-
чаях осуществляется не при помощи перемещения одного треуголь-
ника и приложения его к другому равными элементами, а построе-
нием (черт. 66): а) на стороне АС при вершине А стро-

В

Черт. 66

е

ится ^САВ' = ^ВуА^Су, б) на луче АВ' от точки А отклады-
вается отрезок АВ' = AyBi, в) точки В' и С соединяются отрез-
ком В'С; 2) получается /\,АВ'С = /\А1ВЛС1 и т. д.

В учебнике Ж- Адамара* приводится
иное доказательство третьего признака равен-
ства треугольников (черт. 68). Треугольник
AiBiCi накладывается на треугольник АВС
так, чтобы сторона A iC i совместилась со сто-
роной АС и вершины Вг и В были по одну
сторону от АС. Допустим, что эти вершины не
совместились и получились два равнобедрен-
ных треугольника А В'В и СВ'В с общим ос-
нованием В'В. Из средины К этого основания
в каждом равнобедренном треугольнике мож-
но провести высоты, которые пройдут соот-
ветственно через вершины их А и С (КА 1 В'В
и КС±В'В), что невозможно. Поэтому допу-
щение о том, что вершины В' и В не совме-
стились, неверное. Остается второе допу-
щение, что эти вершины совместились, в силу
чего все элементы одного треугольника совме-
стились с элементами другого, а потому и тре-
угольники равны**.

Учащиеся, анализируя последнюю теорему,

Черт. 67

сами могут указать, что три равенства в усло-

* Ж- А д а м а р. Элементарная геометрия, ч. I <Планиметрия»,
Учпедгиз. 1948.

** Это доказательство имеется и в новом учебнике Н. Н. Никитина изд.
J956 г.
вии теоремы являются достаточным
того, чтобы треугольники были равны, а
ют третий признак равенства

условием для
потому они составля-
треугольников.

Новый признак учащиеся применяют к решению задачи. На-
пример: «Доказать, что треугольники равны, если основание, ме-
диана основания и боковая сторона одного из них соответственно
равны основанию, медиане основания и боковой стороне другого».

Четвертый признак равенства треугольников

Раньше было сказано, что этот признак уже давно исключен из програм-
мы школьного курса геометрии и из учебников.

Но преподаватель может поставить этот вопрос в порядке дополнитель-
ных заданий для отдельных учащихся (но только не VI и даже не VII клас-
совая еще лучше — в порядке кружковой работы (в частности, для расшире-
ния темы о подобии треугольников); при этом надо дать сначала общий обзор
учения о равенстве треугольников, о признаках равенства их, внося в эти

признаки соответствующие изменения — замена «прилежащего» угла противо-
лежащим При этом первый признак сохраняется.

Во втором признаке задаются две стороны и угол между ними, т. е. «при-
лежащий» к обеим сторонам. Замена прилежащего угла противолежащим
одной нз двух заданных сторон и приводит к четвертому признаку равенства.
треугольников. «Если две стороны одного треугольника соответственно равны
двум сторонам другого треугольника и угол, лежащий против одной из этих
сторон в первом треугольнике, равен углу, лежащему против соответственно

равной стороны другого треуголь-
ника, то эти треугольники равны».
В такой редакции эта теорема
может быть верна и неверна (см.
черт. 69 н 70). Значит, приведенная
формулировка признака недоста-
точная.

Недостающее условие воспол-
ннется двумя способами: добавляет-
ся, что равные углы лежат против
больших из двух пар соответственно
равных сторон или что углы, лежа-
щие против других соответственно
равных сторон, однонменные, т. е.
оба острые, или прямые, или тупые.

Теорема формулируется с одним
из указанных добавлений и прово-
дится доказательство способом на-
ложения.

Повторение признаков

Черт. 70

равенства треугольников

Все предыдущее изложение признаков равенства треуголь-
ников было построено при однообразном расположении чертежей:
соответственно равные элементы в обоих треугольниках располага-
лись в одном и том же круговом порядке. Теперь при повторении
следует рассмотреть и такие чертежи, когда соответственно рав-
ные элементы двух треугольников расположены не одинаково
(треугольники имеют разную ориентацию).

Черт. 71

Пример доказательства первого признака. Преподаватель пред-
лагает учащимся построить сначала один треугольник, если зада-
ны одна сторона, два прилежащих к ней угла (например: АВ =
=5,5 см, ^А = 48°, ^В = 64°), а затем второй треугольник с
такими желанными элементами, но иначе расположенными: XiBi=
= 5,5 см, ^А — 64°,	= 48° (черт. 71). Если в /S.ABC и
ДЛ iB iCi ^A = -^B i, AB = A iBi, ^B = ^A i, то ДЛВС =
~ Д Л iB iCi-

Учащиеся обращают внимание па расположения соответствен-
но равных элементов в каждом треугольнике, начиная с угла А.

Доказател ьство. Пользуясь моделью одного из дан-
ных треугольников, окрашенной в разные цвета с каждой стороны,
учащиеся пытаются применить способ наложения, но безуспешно.
Преподаватель предлагает повернуть моделытреугольник оксло
одной из его сторон на 180е и после этого провести наложение.

Черт. 72

Учащиеся замечают, что теперь треугольники имеют одинако-
вое расположение равных элементов (треугольники имеют одина-
ковую ориентацию).

Такая же работа проводится при повторении второго признака
равенства треугольников (черт. 72).

А в третьем случае (черт. 73) не надо выводить треугольник
Л1В1С1 из плоскости чертежа: приложение можно осуществить
сразу же перемещением ДЛ 1В1С1 в той же плоскости.

Таким образом, учащиеся приучаются предварительно анали-
зировать не только состав заданных соответственно равных эле-
ментов, но и порядок последовательного расположения их в обеих
фигурах, от чего зависит и способ фактического наложения или
приложения в процессе доказательства.
В дальнейшем при повторении курса можно давать еще более
свободное расположение заданных пар треугольников, что будет
часто встречаться в решении задач (черт. 74).

Этот повторный обзор признаков равенства треугольников дол-
жен разъяснить учащимся, что предварительный вывод из пло-
скости одного треугольни-
ка и поворот его на 180°	.Л

около одной из сторон	/

может иметь применение	/

при доказательстве не	/	/

только третьего, но и лю-	т	/

бого признака равенства	/	/

треугольников, что зави- /7-^—---------------4	/

сит от порядка располо-	/

жения заданных соответ-	/

ственно равных элемен-	/

ТОВ.	f

В связи с этим необ-
ходимо, пользуясь преды-	Черт. 74

дущими чертежами, вы-
яснить также, что при повороте треугольника около одной
из его сторон на 180°, причем эта сторона остается на плоскости,
получается симметричное расположение двух треугольников от-
носительно общей стороны их как оси симметрии (черт. 71 и 72).

В связи с этим полезно решить следующие задачи на построе-
ние.	.

Задача 1. Построить треугольник, симметричный данному тре-
угольнику относительно одной из его сторон.

Учащиеся выясняют, что две вершины искомого треугольника,
лежащие на стороне данного треугольника, принятой за ось сим-
метрии, уже построены (каждая из них симметрична самой себе).
Остается построить третью вершину, соединить ее с первыми дву-
мя — и искомый треугольник будет построен.

Задача 2. Построить треугольник, симметричный данному тре-
угольнику относительно данной прямой.

Анализируя условие задачи, учащиеся выясняют, в чем заклю-
чается отличие ее от предыдущей задачи: дан треугольник и дана
прямая — ось симметрии, которая вообще может не совпадать с
одной из сторон треугольника.

Нетрудно догадаться, что для решения этой задачи надо по-
строить не одну (как в предыдущей задаче), а три точки, соответ-
ственно симметричные вершинам данного треугольника относитель-
но данной оси симметрии, и затем последовательно соединить их
отрезками прямых.

Выполнение построения и доказательство не вызовут никаких
затруднений (см. черт. 75).

Чертеж, полученный в результате решения первой задачи на
построение треугольника, симметричного данному относительно
одной из его сторон как оси симметрии, в точности напоминает чер-
теж, полученный в процессе доказательства третьего признака
равенства треугольников. Пользуясь таким расположением тре-
угольников, можно ту же теорему доказать методом симметрии
(черт. 76), а затем применить тот же метод к доказательству пер-
вых двух признаков равенства треугольников (черт. 77 и 78).

Черт. 75

В общей заключительной обзорной беседе учащиеся, сопостав-
ляя признаки равенства треугольников, отмечают, что для равен-
ства треугольников достаточно, чтобы три элемента одного

Черт. 77

Черт. 78

из них были соответственно равны трем элементам другого (и в
число этих элементов обязательно входила хотя бы одна сторона
треугольника, т. е. линейный элемент). Помимо этого делается еще
один вывод о том, что если два треугольника равны, то из этого
с необходимостью вытекает как следствие равенство
всех соответственных их элементов.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Эта тема в курсе геометрии VI класса не всегда занимает одно
и то же место. Так, в учебниках геометрии А. П. Киселева и
Н. А. Глаголева она стоит в конце темы «Треугольники», где рас-
сматриваются все эти признаки. В новом учебнике Н. Н. Никитина
они стоят тоже в конце темы о треугольниках, но в двух местах:
после общих признаков равенства треугольников рассматривают-
ся и признаки равенства прямоугольных треугольников, как иног-
да говорят: «не требующие особых доказательств», а затем после
темы «Перпендикуляр и наклонные» рассматривается и последний
признак.

В практике школ имеет место и иной вариант (описанный выше):
после вывода каждого из первых двух общих признаков равен-
ства треугольников рассматривается и соответствующий частный
случай — признак равенства прямоугольных треугольников как
следствие из основной теоремы. Так выводятся первые три призна-
ка равенства прямоугольных треугольников. Последний, четвертый
признак всегда требует особого доказательства, которое можно про-
водить разными способами в зависимости от того, какими сведения-
ми располагают учащиеся. Так, например, если уже изучены
свойства перпендикуляра и наклонных, проведенных из общей точ-
ки на прямую, то доказательство четвертого признака равенства
прямоугольных треугольников строится на основе этих теорем
(см. учебники А. П. Киселева и Н. Н. Никитина).

Черт. 80

Р.сли же этот признак рассматривается независимо от указан-
ных теорем, то доказательство его сводится к применению свойств
равнобедренного треугольника.

Первый способ — наложение (черт. 79); второй способ — при-
ложение (черт. 80).

Но как бы ни располагали материал о признаках равенства
прямоугольных треугольников, всегда следует привести их в не-
которую систему. Лучше всего это можно сделать сразу же после
изучения общих признаков равенства треугольников. При этом
надо особо подчеркнуть, что достаточное условие ра-
венства прямоугольных треугольников составляют не три, а толь-
ко два равенства.

31.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
ТРЕУГОЛЬНИКА

Эта тема в учебниках геометрии помещается в разных местах
курса. Так, в книгах А. П. Киселева и Н. Н. Никитина она стоит
после темы равенства треугольников, а в книге Н. А. Глаголева
предшествует этой теме. Надо сказать, что некоторые теоремы, вхо-
дящие в эту тему, имеют довольно сложное и трудное доказатель-
ство; а при изучении равенства треугольников они совсем не исполь-
зуются. Поэтому более целесообразно всю тему о соотношениях
между сторонами и углами в треугольниках отнести на более позд-
ний срок, когда учащиеся будут иметь больший запас сведений и,
что особенно важно, будут иметь более прочные навыки проведе-
ния доказательств. В учебнике Н. Н. Никитина это и предусмо-
трено.

В содержание первых теорем данной темы входят соотношения
между сторонами и углами в треугольнике.

Первая из этих теорем (свойство углов при основании равно-
бедренного треугольника), хотя и в неявном виде, уже известна
учащимся. Изучение темы и следует начать с этой теоремы, делая
ударение на равенство углов при основании треугольника. Это
должно найти отражение и в иной формулировке новой теоремы:
если в треугольнике две стороны равны, то и лежащие про-
тив них углы тоже равны.

Такая формулировка теоремы естественно приводит к другой
теореме о свойстве углов в треугольнике, лежащих против нерав-
ных сторон.

Учащиеся строят разносторонний треугольник, сравнивают на
чертеже две его стороны (на глаз и измерением) и легко обнаружи-
вают, что против большей стороны лежит и больший угол. Полу-
чается вторая теорема: если в ЛАВС АВ^>ВС, то ^гС>^А.

Проводится известное доказательство ее.

При решении многих задач приходится пользоваться не только
этой теоремой, но и обратной ей. А чтобы доказать последнюю,
надо знать теорему, обратную первой теореме.

Поэтому преподаватель предлагает учащимся составить, схе-
матически записать теорему, обратную первой теореме (если в
△АВС ^.А = ^С, то ВС = АВ) и сформулировать ее. При до-
казательстве теоремы следует обратить внимание на особый спо-
соб доказательства — способ приведения к нелепости.

Точно так же составляется и доказывается теорема, обратная
второй теореме.
Сопоставляя несколько моделей треугольников разных видов,
учащиеся легко формулируют следующие следствия из последних
теорем: в каждом треугольнике против меньшей стороны лежит
острый угол, а против тупого или прямого угла лежит наибольшая
сторона треугольника.

Более трудную задачу для учащихся представляет теорема о
соотношении между сторонами треугольника (а + 6>с). Труд-
ность эта заключается в том, что учащиеся не видят никакой надоб-
ности в доказательстве («это и так видно»). Можно предполагать,
что Н. Н. Никитин в своем учебнике учитывал именно эту труд-
ность, поместив в начале темы о треугольниках утверждение, что
«каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его
сторон».

Если данную теорему поставить в конце курса VI класса, то
доказательство ее не будет казаться учащимся «ненужным». Од-
нако и в этом случае не рекомендуется давать ее полностью в го-
товом виде. Более целесообразно предложить ее на уроке в виде
графической задачи, из решения которой будет вытекать как ус-
ловие, так и заключение теоремы.

Преподаватель предлагает учащимся: а) построить разносторон-
ний треугольник АВС\ б) продолжить за вершину В сторону АВ\
в) на продолжении ее от точки В отложить отрезок BBi = ВС',
г) точку Bi соединить с вершиной С.

В новом треугольнике ABiC сравнить стороны АС и ABBi.

Учащиеся легко на чертеже обнаружат, что = ^BCBi,
^BkZ-^ACBi, а потому AC<ABBi. Но ABBi — АВ-\-ВС (по
построению). Следовательно, АС<^АВ + ВС (дается словесная
формулировка теоремы, условием которой является наличие тре-
угольника АВС, а заключением — последнее неравенство).

Описанный процесс решения задачи является и процессом дока-
зательства теоремы.

Эта теорема является частным случаем более общей теоремы о
том, что отрезок короче всякой ломаной линии, концы которой сов-
падают с концами отрезка. В данном месте курса геометрии ее мож-
но сообщить в сопровождении с чертежом, но без доказательства;
последнее можно провести значительно позднее (при изучении
длины окружности).

Наконец, в данную тему обычно включается еще одна теорема
«о двух треугольниках с двумя соответственно равными сторонами».
Надо заметить, что эта теорема не имеет широкого применения.
Но она довольно близко примыкает к четвертому признаку равен-
ства треугольников (если ввести изучение его в порядке индиви-
дуальной работы учащихся или в кружке). В самом деле, в условии
теоремы говорится, что две стороны одного треугольника соот-
ветственно равны двум сторонам другого треугольника, а углы,
лежащие между ними, не равны. Если последнее условие (неравен-
ство углов) заменить равенством углов, то получится уже извест-
ный признак равенства треугольников. Если то же условие (не-
равенство углов) заменить утверждением, что углы, лежащие про-
тив одной пары соответственно равных сторон, равны и углы,
лежащие против других равных сторон, одноименные, то полу-
чится четвертый признак.

Доказательство этой теоремы в любом месте курса геометрии
является очень трудным. Чтобы облегчить эту работу и сделать ее
более ясной, надо привлечь наглядные пособия — модели двух
проволочных треугольников, при помощи которых можно проде-
монстрировать процесс наложения и, главное, взаимное располо-
жение соответствующих элементов. Полученные конструкции вос-
производятся на чертежах, что в значительной мере облегчит по-
следующий процесс доказательства.

32.	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Учащиеся уже решали задачи на построение треугольников,
когда изучали признаки равенства их. При этом они пользовались
линейкой, треугольником, транспортиром и циркулем. Этими при-
борами не следует пренебрегать и в дальнейшей практической
работе.

Но теперь необходимо сообщить учащимся, что в геометрии при-
нято все построения производить преимущественно при помощи
циркуля и линейки. Простейшей задачей, которая решается этими
инструментами, является задача построения отрезка, равного дан-
ному отрезку или равного сумме данных отрезков. В дальнейшем
при решении более сложных задач на построение именно такая
задача всегда будет входить в решение как один из этапов по-
строения. Транспортир и мерная градуированная линейка будут
применяться при этом только в тех случаях, когда в условие за-
дачи будут входить численные значения геометрических величин
(например:	= 72° или отрезок МУ = 7 см и т. п.).

4 Цель указанной работы ограничивается пока задачей научить
учащихся VI класса строить треугольники по данным основным
элементам их, какими являются только стороны и углы тре-
угольника.

В качестве подготовки надо сначала решить задачи на построе-
ние заданных отрезков, а потом и заданных углов.

Построение заданных отрезков уже известно учащимся. Но они
при решении таких задач пользовались большей частью мерной
линейкой. Теперь надо переключить их внимание на применение
только циркуля и линейки. С этой целью и даются задачи такого
содержания.

Задача 1. На данной прямой при данной на ней точке построить
отрезок, равный данному.

Задача 2. Построить отрезок, равный данному.

Решение первой задачи настолько просто, что ни в каком дока-
зательстве не нуждаются.
Но процесс исследования необходимо провести, чтобы посте-
пенно приучать учащихся к этому: всегда ли задача имеет решение
и сколько решений имеет задача? Положительный ответ на первый
вопрос вытекает из процесса построения. Ответ на второй вопрос:
задача имеет два решения (т. е. на данной прямой при данной на
ней точке можно построить два отрезка, равных данному). Но от-
резки получаются равные; поэтому вводится соглашение, что за
решение задачи принимается только один из них, т. е. в данном слу-
чае считается, что задача имеет только одно решение.

Вторая задача отличается от первой только тем, что в ией не
задается прямая и точка на ней. Решение ее начинается с того, что
учащиеся сами должны сначала провести прямую линию и отметить
точку на ней; последующее решение уже известно. Если предва-
рительно взять не прямую, а луч и при начале его построить иско-
мый отрезок, то задача будет иметь одно решение.

При помощи этих подготовительных задач можно приступить к
решению задач на построение треугольников сначала по заданным
трем сторонам.

Задача 3. Построить равносторонний треугольник по данной
стороне его.

Анализируя условие задачи, учащиеся выясняют, что так как
искомый треугольник должен быть равносторонним, то в задаче
и дается только один отрезок. Далее, они схематично намечают
процесс построения: сначала строится одна сторона треугольника
(отрезок, равный данному), потом из концов ее — другие две сто-
роны той же длины. Получаются два треугольника.

Легко доказать, что каждый из этих треугольников есть иско-
мый, т. е. равносторонний со сторонами, равными данному от-
резку а.

При исследовании ставятся те же два вопроса: а) всегда ли за-
дача имеет решение, на что следует утвердительный ответ, выте-
кающий из процесса построения, в котором всегда выполнимы все
отдельные операции; б) сколько решений имеет задача? Получи-
лись два равносторонних треугольника, но они равны, а потому
условились только один из них считать решением.

Задача 4. Построить треугольник по заданным трем его сто-
ронам.

В устной форме учащиеся анализируют условие задачи, выяс-
няют, что дано и что надо сделать и намечают план построения.

Процесс построения в основном остается тот же, что был и
при решении предыдущей задачи.

Особое внимание надо обратить на исследование решения этой
задачи, в частности на первый вопрос: всегда ли задача имеет ре-
шение? В процессе построения может случиться, что у некоторых
учащихся дуги не пересекутся и треугольники не получатся.

Для выяснения этого вопроса преподаватель на классной до-
ске задает три тройки отрезков а, b и с при а 4- b>c, ai, bi и ci
при ai 4- bi = а и az, bz и cz при az 4- bz<cz, вызывает троих
учащихся и предлагает каждому из них построить один треуголь-
ник по соответствующим отрезкам.

Учащиеся убеждаются, что только первая задача имеет реше-
ние, и выясняют соответствующее условие (если а ' Ь<-с и а +
+ Ь>с).

На второй вопрос исследования (сколько решений имеет за-
дача) опять вводится соглашение, что из двух полученных равных
треугольников за искомый принимается только один из них.

Чтобы перейти к решению следующих задач на построение тре-
угольников, когда будут заданы не только стороны но и углы тре-
угольника, надо прежде решить вспомогательную задачу.

Задача 5. Построить угол, равный данному углу.

Учащиеся могут предложить построить угол при помощи тран-
спортира или малки.

Одобряя этот способ построения угла, преподаватель в то же
время напоминает учащимся принятое условие: при построении
геометрических фигур пользоваться только линейкой и циркулем.
Учащиеся сначала припоминают необходимые сведения о централь-
ных углах и соответствующих им дугах. Решение задачи описано в
учебниках.

Задача 6. Построить треугольник по двум данным сторонам и
по данному углу, заключенному между этими сторонами.

Решение этой задачи не вызовет никаких затруднений, тем бо-
лее, что такую задачу учащиеся уже решали при выводе второго
признака равенства треугольников (но угол строился при помощи
транспортира).

Доказательство и исследование решения задачи тоже не затруд-
нят учащихся.

Задача 7. Построить треугольник по данной стороне его и по
двум данным углам, прилежащим к этой стороне.

Решение этой задачи тоже известно учащимся, но транспортир
теперь надо заменить циркулем.

При этом предварительно надо провести исследование данных
элементов в устной беседе: сторона треугольника может быть про-
извольной длины, а данные углы должны удовлетворять условию
+ ^C<2d.

Доказательство и в этой задаче очень простое, а исследование
было проведено раньше. Но здесь все-таки полезно графически
показать, к чему приведет нарушение условия, наложенного на
данные углы, т. е. если	= 2d или ^А + ^rC>2 d.

Задача 8. Построить равнобедренный треугольник.

Учащиеся изображают произвольный равнобедренный треуголь-
ник и выясняют, что для построения его достаточно задать только
два основных элемента, из которых хотя бы один должен быть ли-
нейный, потому что в равнобедренном треугольнике имеются две
пары равных элементов — две равные боковые стороны и два рав-
ных угла при основании. Поэтому можно составить несколько ва-
182
риантов задач на построение равнобедренного треугольника:
а) заданы основание (Ь) и боковая сторона (а) при а>у; б) заданы
основание (Ь) и угол при основании (^гЛ<90°); в) заданы боковая
сторона (а) и угол при вершине (В).

После этого можно перейти к решению задач на построение пря-
моугольных треугольников. Учащиеся при этом должны запомнить,
что все прямоугольные треугольники имеют по одному равному
элементу — по прямому углу. А потому в каждой задаче на по-
строение прямоугольного треугольника достаточно задать только
два его элемента, среди которых хотя бы один должен быть ли-
нейный.

Прежде чем перейти к решению задач на построение прямоу-
гольных треугольников, надо предварительно научиться строить

прямые углы при помощи только
линейки и циркуля. Эти задачи то-
же относятся к числу основных за-
дач, которые в дальнейшем будут
входить составным элементом в ре-
шение более сложных задач на по-
строение.

Задача 9. Построить прямой угол
так, чтобы одна сторона его лежала
на прямой и вершина была в дан-
ной точке А на той же прямой.

Чтобы наметить план реше-

Черт. 81

ния задачи, пользуясь только цир-

кулем и линейкой, учащиеся проводят анализ (черт. 81). Пред-
положим, что на данной прямой MN построен искомый угол. Ес-
ли на прямой от точки А отложить равные отрезки в обе стороны
и точку В соединить с концами обоих отрезков, то получится рав-
нобедренный треугольник, в котором ВА является высотой и ме-
дианой. Значит, построение прямого угла сводится к построению
равнобедренного треугольника и проведению в нем медианы, ко-
торая будет и высотой.

После решения этой задачи преподаватель обращает внимание
учащихся на то, что построение прямого угла можно рассматривать
как построение взаимно перпендикулярных прямых. Поэтому
последнюю задачу можно сформулировать следующим образом:
через данную точку на данной прямой провести перпендикуляр
к этой прямой или через начало данного луча провести перпен-
дикуляр к нему. Для решения последней задачи надо предваритель-
но продолжить луч за начало его, что учащиеся не всегда дога-
дываются сделать. После этого можно приступить к решению за-

дач на построение прямоугольных треугольников.

Учащиеся сами могут составить несколько вариантов задач,
которые вытекают из признаков равенства прямоугольных тре-
угольников.
Задача 10. Построить прямоугольный треугольник: а) по двум
катетам; б) по катету и острому углу; в) по катету и гипотенузе;
г) по гипотенузе и острому углу.

Решение задач на построение треугольников тесно связано с
изучением равенства треугольников, а потому оно имеет целью:
закрепить учение о равенстве треугольников, показать применение
признаков и дать необходимые навыки построения треугольников
по данным основным элементам их при помощи циркуля и ли-
нейки.

33.	ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ К ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Это — небольшая, но очень важная тема в курсе геометрии: в
ней выясняется одно из важнейших геометрических понятий —
понятие проекции точки и проекции отрезка на прямую линию.

Эти новые понятия, естественно, вытекают из решения соответ-
ствующих задач.

План изучения темы следующий:

1.	Построение перпендикуляра к данной прямой, проходящего
через точку, взятую вне этой прямой.

Отсюда вытекает понятие проекции точки на прямую.

2.	Построение проекции отрезка на прямую.

В связи с решением этой задачи вводятся понятия о наклонных
к данной прямой и о проекциях наклонных на ту же прямую.

3.	Теорема о сравнении перпендикуляра и наклонных, прове-
денных к прямой из общей точки, взятой вне этой прямой. Здесь
же повторяется определение расстояния от точки до прямой.

4.	Теорема о сравнении наклонных, проведенных к данной пря-
мой из общей точки, взятой вне той же прямой.

Задача 1. Из данной точки, взятой вне данной прямой, прове-
сти перпендикуляр к этой прямой.

Учащиеся проводят анализ условия задачи (даны прямая и
точка вне ее, надо через эту точку провести перпендикуляр к дан-
ной прямой) и намечают известный им способ решения ее (при по-
мощи линейки и треугольника; в данном случае вполне можно ог-
раничиться этим способом).

Учащиеся выполняют построение и проводят исследование:
задача всегда имеет решение (вытекает из процесса построения)
и притом только одно. Последнее утверждение требует обосно-
вания; предполагается, что можно провести и второй перпендику-
ляр; тогда оба перпендикуляра будут параллельны и в то же вре-
мя пересекаться в одной точке; но это невозможно.

Затем по вопросам преподавателя учащиеся выясняют, что пер-
пендикуляром в данном случае является отрезок АВ, точку А
(черт. 82) можно назвать началом его, а точку В — концом или
основанием; эту же точку В называют также проекци-
е й точки А на прямую MN, а отрезок АВ называется проек-
тирующим отрезком.
Учащиеся формулируют определение проекции точки на
прямую.

В порядке исследования решения этой задачи полезно разоб-
рать и тот случай, когда данная точка лежит на данной прямой.
К этому можно подвести учащихся последовательным перемеще-
нием точки А по направлению к прямой MN (черт. 83). При этом
учащиеся отмечают, что при всех положениях точки А точка В,
как основание каждого из этих перпендикуляров, остается проек-
цией точек A, Ai, Аг, Лэ... Когда точка А достигнет прямой, то
она совпадет с точкой В; в этом случае за проекцию точки, лежа-
щей на прямой, принимают ту же точку.

R
/7»

в

Черт. 82

“г



И

N

N

М

В

Черт. 83

отрезка Л В на прямую

После этого преподаватель сообщает, что данную задачу мож-
но сформулировать иначе, а именно: «построить проекцию данной
точки А на данную прямую MN» или «спроектировать данную
точку А на данную прямую AJ7V». Решение остается прежнее: из
точки А проводится перпендикуляр АВ к прямой MN.

Задача 2. Построить проекцию данного отрезка Л В на данную
прямую MN.

Учащиеся выполняют требуемые построения и рассматривают
полученный чертеж (черт. 84).

1)	Л 1 и Bi — проекции точек Л и В;

2)	Л1В1—отрезок заключенный
между точками Л1 и Bi — проекция-
ми концов данного отрезка АВ на пря-
мую MN.

Затем преподаватель предлагает от-
метить на отрезке Л В еще несколько
точек и построить проекции их на пря-
мую MN.

Учащиеся делают вывод, что про-
екция любой точки отрезка АВ ле-
жит на отрезке A iBi. Преподаватель
далее сообщает, что в силу этого отре-
зок Л iB 1 называется проекцией

MN. Учащиеся формулируют определение проекции отрезка на

прямую.
Затем преподаватель несколько усложняет предыдущую за-
дачу, предлагая учащимся построить проекцию данного отрезка
Л В на данную прямую MN (черт. 85) и на этом же чертеже пост-

д	роить еще несколько отрезков с

общим началом, например вточ-
f	ке Л, и чтобы концы их лежали

[	, на перпендикуляре BBi.

।	х/'Х. |fl	Учащиеся видят, что отрезки

। х. 1?	имеют разные длины, а проекция

|	х. I ‘	их одна и та же (Л1В1).

—----1----------Преподаватель обращает вни-

в’	мание учащихся на то, что отре-

Черт. 85	зок AAiLMN (так как образу-

ет прямой угол с прямой MN), а
отрезки АВ, АВ', АВ", ABi образуют с той же прямой непрямые

углы; эти отрезки называются наклонными к пря-
мой MN.

Чтобы выяснить свойства перпендикуляра и наклонных, про-
веденных из общей точки, взятой вне данной прямой, учащиеся
решают следующую задачу.

Задача 3. Из данной точки, взятой вне данной прямой, про-
вести перпендикуляр и наклонную к этой прямой (черт. 86).

F fl. Е D - В

Учащиеся выполняют требуемое
построение (строят один перпендику-
ляр и одну наклонную — ЛЛ i и
Л В) и легко приходят к заключе-
нию, что из точки вне данной прямой
можно провести бесконечное множе-
ство наклонных к этой прямой (по-
2L называют это на чертеже: AD,
АЕ, AF и т. п.), а перпендикуляр

Черт. 86	можно провести только один.

Пользуясь последним чертежом
(или построив новые), учащиеся легко доказывают известные
теоремы (прямые и обратные) о свойствах перпендикуляра и

наклонных.

В заключение следует указать, что эта тема в разных учебни-
ках геометрии занимает разные места. Например, в учебнике
А. П. Киселева она предшествует изучению признаков равенства
прямоугольных треугольников, которые выводятся при помощи
теорем данной темы. А в учебнике Н. А. Глаголева та же тема изу-
чается значительно позднее, когда признаки равенства прямоу-
гольных треугольников уже известны учащимся. Эти признаки,
как и другие свойства треугольников, используются при доказа-
тельстве теорем о сравнении перпендикуляра и наклонных, а
также наклонных с равными и неравными проекциями.
34.	ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ

Как в процессе изучения темы о треугольниках, так и по окон-
чании изучения ее учащиеся выполняют соответствующие прак-
тические работы в классе и вне его, а также дома.

Некоторые из этих работ были указаны в предыдущем изложе-
нии: изготовление треугольников разной формы из цветной бу-
маги или из картона, выполнение некоторых чертежей (симмет-
ричное расположение треугольников)...

Черт. 88

В порядке самостоятельной работы в учебных мастерских
учащиеся могут изготовить ватерпас в виде равнобедренного тре-
угольника из деревянных планок и потом применять его при про-
верке горизонтальных направлений (свойство биссектрисы угла при
вершине равнобедренного треугольника).

На местности (а предварительно на классном полигоне — в
ящике с песком) можно решить целый ряд весьма интересных
задач.

Задача 1. Определить расстояние между двумя пунктами, ле-
жащими на опушке леса (или на берегу озера), если непосредст-
венное измерение его невозможно (решение дано на чертеже 87).

Задача 2. Определить расстояние от пункта В (на берегу реки)
до пункта А (на островке).

При решении используется астролябия (черт. 88).

Задача 3. Построить план треугольного участка — полигона —
обходом его по меже (для измерения применяются астролябия и
мерная лента )*.

* П. Я. Д о р ф и А. О. Р у и ер, Измерения на местности, изд.
АПН, 1953.
Глава VI

ПОНЯТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК
И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

Понятие геометрического места точек имеет весьма существен-
ное значение при изучении курса элементарной геометрии в сред-
ней школе. Так, например, известно, что при решении большого
числа задач на построение используются те или иные геометри-
ческие места точек. Помимо того, введение понятия геометриче-
ского места точек как совокупности или множества точек и только
этих точек, обладающих некоторым свойством, содействует вве-
дению в курс элементарной геометрии и более широкого понятия
множества, так как термин «геометрическое место точек» пред-
ставляет собой один из синонимов понятия «множества»... Мы
пользуемся в элементарной геометрии термином «геометрическое
место точек» исключительно ввиду его большей образности — сло-
во «место» отвечает на вопрос о там, где «помещаются» точки, об-
ладающие тем или иным свойством*.

Наиболее употребительные и распространенные определения
понятия «геометрическое место точек» следующие:

1.	Геометрическим местом точек называется совокупность или
множество всех точек, обладающих некоторым свойством и только
этих точек (более абстрактное определение).

2.	Геометрическим местом точек называется фигура, состоящая
из всех точек, обладающих некоторым свойством и только из этих
точек (более конкретное определение).

В курсе элементарной геометрии второе определение имеет
значительные преимущества в силу его «большей образности»,
особенно в VI — VII классах; а в более старших классах (в част-
ности, в курсе стереометрии) можно ввести и более абстрактное
первое определение.

При изучении предыдущего геометрического материала, в част-
ности, при изучении треугольников и особенно при решении задач
на построение треугольников, учащиеся в некоторой мере уже

• Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, т. 1, Гос-
техиздат, 1948, стр. 86.
пользовались понятием геометрического места точек (определение
окружности, дуги), но это понятие не было должным образом выяс
нено и оформлено.

В данном месте курса геометрии имеется возможность собрать
накопившийся материал, характеризующий и иллюстрирующий
понятие геометрического места точек, пополнить и обобщить его,
дать надлежащую словесную формулировку и затем применять его,
в частности, при решении задач на построение.

Учащиеся с большим трудом воспринимают и усваивают это
понятие, вследствие чего от преподавателя требуется тщательная
предварительная подготовка к изучению этой темы.

На данном этапе изучения курса геометрии* имеется всего
четыре основных геометрических места точек, образы которых уже
известны учащимся, а свойства их или совсем неизвестны или еще
недостаточно осознаны ими: окружность, перпендикуляр, прохо-
дящий через середину отрезка, биссектриса угла и пара прямых,
параллельных третьей прямой н расположенных по обе стороны
от иее.

35.	СВОЙСТВА ТОЧЕК ОКРУЖНОСТИ

Простейшим геометрическим местом точек является окруж-
ность, которая имеет и наиболее широкое применение. Окружность
определяется как плоская кривая замкнутая линия, все точки
которой и только эти точки находятся на одном и том же расстоя-
нии от одной точки.

В этом определении в явной форме указано то свойство, кото-
рым обладают все точки окружности (они равно удалены от центра).

Выясняется это еще на первых уроках геометрии в VI классе,

когда впервые вводится понятие окружности в связи с изучением

градусного измерения углов.

Таким же свойством обладают и все точки дуги окружности, что

широко и используется при решении даже таких простых задач,
как, например: «Построить отрезок,рав
ный данному отрезку». Задача решается
при помощи циркуля: из начальной
точки луча как из центра радиусом,
равным данному отрезку, проводится
дуга, пересекающая луч в некоторой
точке; любая точка проведенной ду-
ги удалена от начальной точки луча
или от центра на одно и то же рассто-
яние, равное данному отрезку, что

чертеже (черт. 89). За искомый отрезок можно принять лю-
бой из них; практически за искомый принимается отрезок на луче
М (отрезок MN), почему и дугу проводят так, чтобы получить

только след пересечения ее с лучом.

• Пройден весь курс геометрии треугольников.
Подобные же объяснения проводятся и при решении таких за-
дач, как построение суммы двух и нескольких отрезков, разности
их и т. п.

После изучения равенства треугольников и решения соответ-
ствующих задач на построение вновь следует вернуться к опре-
делению окружности и дуги.

С этой целью учащиеся строят окружность данного радиуса и
формулируют уже известное им свойство всех ее точек (все точки
окружности находятся на одном и том же расстоянии от центра).

На том же чертеже учащиеся отмечают еще несколько точек
внутри и вне окружности, соединяют их с центром и видят, что
они не обладают указанным свойством, в силу чего предыдущая
формулировка свойства окружности дополняется: «все точки ок-
ружности и только эти точки находятся на одном и том же рас-
стоянии от центра». Затем надо предложить вторую задачу:

«Построить точку, отстоящую от данной точки на расстоянии,
равном данному отрезку».

В результате решения задачи получается дуга или окруж-
ность.

В порядке исследования выясняется, что данная задача всегда
имеет решение, но искомых точек бесконечное множество (каж-
дая точка дуги или окружности удовлетворяет условию задачи).
Естественно возникают вопросы: каким свойством обладают эти
точки и как они расположены? Ответы не затруднят учащихся:
все искомые точки удалены от данной точки на расстояние, равное
данному отрезку, и все они лежат на окружности, центр которой
находится в данной точке, а радиус равен данному отрезку.

Учащиеся намечают на этом чертеже еще несколько точек на
разных расстояниях от данной точки и убеждаются в том, что они
не лежат на окружности.

На этом основании формулировка последнего свойства точек
опять дополняется: «все точки на плоскости, удаленные от данной
точки на расстояние, равное данному отрезку, и только эти точки
лежат на окружности, центр которой находится в данной точке,
а радиус равен данному отрезку».

Сопоставляя первую и вторую задачи, учащиеся повторяют
формулировку свойства окружности (все точки ее и только эти точ-
ки обладают одним и тем же свойством) и свойство точек плоско-
сти, равно удаленных от данной точки (они и только они лежат на
одной окружности).

Здесь преподаватель может ввести понятие о необходимых и
достаточных условиях.

С этой целью в последующей беседе разъясняется, что

1)	наличие окружности, описанной из центра данным радиу-
сом, является необходимым условием того, что любая точ-
ка ее удалена от центра на расстояние, равное радиусу окружности;

2)	наличие точки, удаленной от данной точки на расстояние,
равное данному отрезку, является достаточным условием
того, что эта точка принадлежит окружности, описанной радиусом,
равным данному отрезку, из данной точки как из центра.

Последние формулировки вплотную подводят к определению
понятия геометрического места точек. Но вводить этот новый тер-
мин пока не следует, так как учащиеся могут подумать что он от-
носится только к одной окружности.

36.	СВОЙСТВА ТОЧЕК ПЕРПЕНДИКУЛЯРА, ПРОВЕДЕННОГО

ЧЕРЕЗ СЕРЕДИНУ ОТРЕЗКА

Ознакомление учащихся с этим совершенно новым для них
геометрическим местом точек наиболее целесообразно провести

в^связи с решением задачи о делении отрезка пополам.

Учащиеся вспоминают известные им практические способы
деления отрезка пополам (перегибание ленты, веревки, нитки, из-
мерение длины бруска мерной лентой или градуированной линей-
кой и деление полученного числа пополам с последующей отмет-
кой результата на бруске, приближенное деление отрезка при по-
мощи измерительного циркуля). Полезно познакомить учащихся
еще с одним способом деления отрезка пополам: через концы отрез-

ка проводят перпендикуляры к отрезку; на каждом из них откла-
дывают равные отрезки в разные стороны от данного отрезка;

через концы равных отрезков проводят прямую, которая разде-

лит данный отрезок пополам. Затем пре-

подаватель сообщает учащимся, что те-
перь задачу деления отрезка пополам на-
до решать только при помощи циркуля и
линейки.

I Задача. Разделить данный отрезок по-
полам.

Преподаватель помогает учащимся про-
вести анализ, чтобы наметить план ре-
шения задачи (черт. 90).

1.	Полагаем, что середина отрезка
АВ найдена (в точке О), т. е. ОА = ОВ
(иначе говоря, точка О равно удалена от
концов А и В).

2.	Из точки О проводим перпендику-
ляр ОМ к АВ (OM lAB).

3.	Точку М соединяем отрезками пря-
мых с точками А и В (МА = МВ, т. е.
точка М, как и точка О, равно удалена
от концов отрезка А и В, так как в тре-

угольнике АМВ ОМ есть высота и медиана, а потому АЛЛ4В —

равнобедренный).

4.	Произвольную точку, например точку N, на том же перпен-
дикуляре соединяем с точками Л и В и доказываем, что NA =
= NB (т. е. точка N равно удалена от концов Л и В).
5.	Две точки М и N определяют положение прямой MNO
(аксиома прямой), которая проходит через середину данного
отрезка АВ, т. е. делит его пополам.

6.	Спедовательно, чтобы найти середину отрезка АВ (точку О),
надо через точки М и N провести прямую, которая пересечет от-
резок АВ в его середине.

7.	Точки М и N, каждая из которых равно удалена от точек А
и В, можно получить как пересечения двух пар дуг, центрами ко-
торых являются концы данного отрезка А и В, а радиусами —
отрезки более половины отрезка АВ.

Отсюда получается следующий план решения задачи.

1.	Из точек А к В как из центров произвольным радиусом,
но большим половины отрезка АВ, проводятся две пары дуг до вза-
имного их пересечения в двух точках.

2.	Через точки пересечения дуг проводится прямая линия,
пересекающая отрезок АВ.

Точка пересечения прямой и данного отрезка будет искомой
точкой — серединой отрезка АВ.

Учащиеся выполняют построения, указанные в плане.

Преподаватель предлагает доказать, что точка О действитель-
но делит данный отрезок пополам, т. е. ОА = ОВ.

В порядке исследования выясняется, что эту задачу всегда мож-
но решить и что решение будет только одно.

Как известно, эту задачу конструктивно решают обычно не-
сколько проще: находят только точки пересечения дуг по обе сто-
роны от данного отрезка, не пересекая последний и тем самым не
загромождая чертежа.

Так как прямая MN перпендикулярна к отрезку АВ, то дан-
ную задачу можно сформулировать следующим образом: через
середину данного отрезка провести перпендикуляр к этому от-
резку.

Если взять на том же перпендикуляре несколько произвольных
точек, то легко можно убедиться, что каждая из них равно удале-
на от концов отрезка А и В. Так как все эти точки на перпендику-
ляре были намечены произвольно, то можно сделать такой вывод:
если провести перпендикуляр через середину данного отрезка, то
все точки этого перпендикуляра будут обладать одним и тем же
свойством — каждая из них равно удалена от концов отрезка или,
иначе говоря, перпендикуляр, проведенный через середину от-
резка, обладает тем свойством, что каждая точка его равно удалена
от концов отрезка.

Наметив на чертеже две-три точки вне перпендикуляра, уча-
щиеся легко докажут, что они не обладают указанным свойством,
в силу чего последнюю формулировку надо дополнить: «перпен-
дикуляр, проведенный через середину отрезка, обладает тем свой-
ством, что каждая точка его и только такая точка равно удалена
от концов отрезка».
Преподаватель предлагает следующую задачу: построить точ-
ку, равно удаленную от концов данного отрезка.

Учащиеся проводят анализ, допуская, что искомая точка уже
построена, соединяют ее с концами отрезка, намечают план построе-
ния, проводят доказательство и исследование. Последнее приводит
их к заключению, что искомых точек бесконечное множество (на
чертеже строят еще несколько точек), все они лежат на одном пер-
пендикуляре, проходящем через середину отрезка (последняя точ-
ка обладает тем же свойством).

Учащиеся формулируют свойство этих точек: все точки, каж-
дая из которых равно удалена от концов данного отрезка, лежат
на перпендикуляре, проходящем через середину данного отрезка.

Без особого труда учащиеся дополнят и эту формулировку:
<все точки, каждая из которых равно удалена от концов данного
отрезка и только эти точки лежат на перпендикуляре, проходящем
через середину данного отрезка».

Преподаватель опять может выяснить с учащимися (в классе
или в кружке), что

1)	существование перпендикуляра, проходящего через сере-
дину отрезка, является необходимым условием того, что
любая точка его равно удалена от концов отрезка;

2)	наличие точки, равно удаленной от концов данного отрез-
ка, является достаточным условием того, что она при-
надлежит перпендикуляру, проходящему через середину того же
отрезка.

Итак, задача о делении отрезка пополам, важная сама по себе
как в практическом, так и в образовательном отношениях, послу-
жила источником для выяснения нового геометрического места
точек (но этот термин еще не вводится в употребление).

Задача о делении отрезка пополам в дальнейшем курсе геомет-
рии может неоднократно встречаться, но в различных вариантах;
поэтому очень важно приучать учащихся видеть в разных вари-
антах задачи одну и ту же математическую сущность, что мо-
жет быть достигнуто решением соответствующих задач.

37. свойства точек биссектрисы угла

Преподаватель предлагает задачу: данный острый угол"’’раз-
делить пополам или построить биссектрису данного острого угла
(задача решается только при помощи циркуля и линейки).

Сначала проводится анализ (черт. 91). Полагаем, что биссек-
триса угла проведена (луч); она определяется двумя точками (ак-
сиома о прямой), одна из которых известна — вершина угла; сле-
довательно, для построения биссектрисы надо определить положе-
ние еще одной ее точки. С этой целью на биссектрисе намечается
произвольная точка М, положение которой и следует определить.

Преподаватель предлагает на сторонах угла от его вершины
отложить равные отрезки (АВ—АС)
и соединить точку М с точками В
и С. Теперь легко видеть, что
\ ДЛВ/И = АДСУИ, а потому ВМ=

я	= СМ.

/ Следовательно, определение по-
/ ложения точки М сводится к за-
даче на построение точки М, рав-
но удаленной от точек Си В (как
от концов отрезка СВ).

Черт_ 91	Таким образом, намечается сле-

дующий план построения:

1.	На сторонах угла от вершины его отложить равные отрезки.

2.	Из концов этих отрезков как из центров одним и тем же
радиусом больше половины расстояния между теми же концами
провести дуги до взаимного их пересечения.

3.	Из вершины угла провести луч через точку пересечения дуг.

Этот луч разделит данный угол пополам.

По этому плану учащиеся осуществляют построение биссек-
трисы данного острого угла.

На третьем этапе работы учащиеся должны доказать, что про-
веденная прямая является биссектрисой угла.

Не встретится затруднений и при исследовании решения за-
дачи: легко установить, что задача всегда имеет решение и при
этом только одно.

Теперь надо выяснить свойство точек биссектрисы угла. Для
этого учащиеся строят острый угол, проводят биссектрису его и
отмечают на ней сначала одну произвольную точку, через эту точ-
ку проводят перпендикуляры к обеим сторонам угла и доказывают,
что эти перпендикуляры равны. Отсюда получается следующая
теорема: точка, лежащая на биссектрисе угла, равно удалена от
его сторон. Запись теоремы имеет такой вид: если Р — точка на
биссектрисе и PBJ.AB, РС1.АС, то РВ = PC.

Затем учащиеся намечают на биссектрисе еще две-три точки и
доказывают, что каждая из них тоже равно удалена от сторон уг-
ла. А так как все эти точки намечались произвольно, то естествен-
но сделать общий вывод: биссектриса острого угла обладает тем
свойством, что каждая точка ее равно удалена от сторон угла.

Учащимся нетрудно будет сформулировать и доказать обратную
теорему.

Схематическая запись теоремы: если DB1AB, DC±AC и
DB = DC, то точка D находится на биссектрисе угла.

После этого делается вывод: все точки плоскости, каждая из
которых равно удалена от сторон угла, лежат на биссектрисе это-
го угла.

Затем по предложению преподавателя учащиеся намечают од-
ну-две точки вне биссектрисы угла и доказывают, что эти точки
неравно удалены от сторон угла. Доказывается справедливость и
обратной теоремы: точки, неравно удаленные от сторон угла, не
лежат на биссектрисе его. Это позволит дополнить обе первые фор-
мулировки:

1)	биссектриса острого угла обладает тем свойством, что каж-
дая ее точка и только такая точка равно удалена от сторон угла;

2)	все точки плоскости, каждая из которых равно удалена от
сторон угла, и только эти точки лежат на биссектрисе угла.

Преподаватель опять может выяснить с учащимися в классе
или в кружке, что наличие биссектрисы острого угла является не-
обходимым условием того, что каждая точка, лежащая на
биссектрисе, равно удалена от сторон угла и наличие точки, равно
удаленной от сторон острого угла, является достаточным
условием того, что она лежит на биссектрисе угла.

Обычно в школьном курсе геометрии и ограничиваются рассмот-
рением свойства биссектрисы только острого угла. Однако очень
полезно в порядке индивидуальных заданий или на занятиях круж-
ка продолжить изучение этой темы.

С этой целью преподаватель предлагает построить острый угол
н биссектрису его, которая обладает уже известным свойством, про-
должить стороны угла за вершину его и построить биссектрису
вертикального угла (любым способом). Обе биссектрисы составляют
одну прямую линию, все точки которой обладают одним и тем же
свойством — каждая из них равно удалена от двух пересекающих-
ся прямых, на которых лежат стороны вертикальных углов.

Нетрудно догадаться, что можно построить биссектрисы и
другой пары вертикальных углов, которые тоже образуют одну
прямую линию, обладающую тем же свойством. Наконец, выясня-
ется и последнее свойство обеих прямых, на которых лежат обе
пары биссектрис — они взаимно перпендикулярны.

Учащиеся формулируют вывод: биссектрисы двух пар вер-
тикальных углов обладают тем свойством, что они взаимно пер-
пендикулярны и каждая точка, лежащая на одной из них (кроме
точки пересечения их), равно удалена от двух пересекающихся
прямых (на которых лежат стороны углов).

Учащиеся решают и следующую задачу: построить точку, рав-
но удаленную от двух пересекающихся прямых. Анализ, построе-
ние и доказательство не вызовут затруднений. В результате иссле-
дования окажется, что таких точек можно построить бесконечное
множество и они будут лежать на двух взаимно перпендикулярных
прямых, на которых лежат и биссектрисы обеих пар вертикаль-
ных углов, образованных пересекающимися прямыми.

Учащиеся формулируют: все точки, каждая из которых равно
удалена от двух пересекающихся прямых, и только эти точки об-
ладают одним и тем же свойством — они лежат на биссектрисах
углов, образованных двумя пересекающимися прямыми.

Наконец, изучение этой темы завершается выяснением то-
го, что

1)	существование биссектрис обеих пар вертикальных углов,
образованных двумя пересекающимися прямыми, является н е -
обходимым условием того, что каждая точка на каждой
биссектрисе и только такая точка равно удалена от пересекаю-
щихся прямых и

2)	наличие точек, каждая из которых равно удалена от двух
пересекающихся прямых, является достаточным условием
того, что эти точки и только они лежат на биссектрисах обеих
пар вертикальных углов.

В качестве задач на доказательство полезно предложить уча-
щимся и такие задачи, в которых биссектриса угла строится ины-
ми способами.

Задача. 1-й вариант. На сторонах угла откладывают рав-
ные отрезки от его вершины; полученные точки соединяют отрез-
ком; этот отрезок делят пополам; точку деления соединяют с вер-
шиной угла. Доказать, что угол разделен пополам.

2-й вариант. На одной стороне угла намечают две про-
извольные точки; на другой стороне его откладывают от вершины
угла такие же отрезки; четыре точки соединяют двумя пересекаю-
щимися отрезками; точку пересечения соединяют с вершиной угла.
Доказать, что данный угол разделен пополам.

3-й вариант. К каждой стороне угла во внутренней области
его прикладывают двустороннюю линейку и проводят по второй сто-
роне линейки прямые линии; точку пересечения их (всегда ли они
пересекутся?) соединяют с вершиной угла. Доказать, что угол раз-
делен пополам.

38.	свойства точек двух параллельных прямых

Выяснение основного свойства параллельных прямых деле-
сообразно начать с решения некоторых задач на доказательство
(в порядке повторения, если эти задачи входили в основное содер-
жание темы о параллельных прямых или как новый материал, ес-
ли их не было в предыдущем курсе).

Задача 1. Прямая, перпендикулярная к одной из двух парал-
лельных прямых, перпендикулярна и к другой прямой.

Задача 2. Два перпендикуляра к одной и той же прямой парал-
лельны.

Задача 3. Отрезки параллельных прямых, заключенные между
параллельными прямыми, равны.

Задача 4. Внутренние отрезки перпендикуляров к двум парал-
лельным прямым равны.

Определение. За расстояние между двумя параллельны-
ми прямыми принимается длина внутреннего отрезка любого об-
щего перпендикуляра к параллельным прямым.

Задача 5. Если две точки одной прямой равно удалены от дру-
гой прямой, то эти прямые параллельны.

Задача 6. Построить точку, отстоящую от данной прямой яз
данном расстоянии.
После анализа последней задачи учащиеся выполняют построе-
ние по следующему плану: строят перпендикуляр* к данной пря-
мой в любой точке на ней, на этом перпендикуляре от точки на
прямой откладывают данный отрезок в обоих направлениях;
полученные точки будут искомыми.

Учащиеся могут считать, что задача имеет только два решения
(например, точки А и A i). Дальше выясняется, что перпендику-
ляр к данной прямой MN проведен из произвольной точки на ней;
следовательно, таких перпендикуляров можно построить сколько
угодно, на каждом из них можно построить искомые точки; все
эти найденные точки лежат на двух прямых, параллельных дан-
ной прямой и расположенных по обе стороны от нее.

Таким образом, выясняется, что данная задача имеет беско-
нечное множество решений, т. е. имеется бесконечное множество
точек, которые находятся на данном расстоянии от данной прямой
и обладают тем свойством, что все они и только они лежат на двух
прямых, параллельных данной прямой, расположенных по обе
стороны от нее.

Задача 7. Построить прямую, параллельную данной прямой
и на данном расстоянии от нее.

Предварительным анализом намечается план построения: а) про-
водится перпендикуляр к данной прямой; б) на нем отклады-
вается данный отрезок по обе стороны от данной прямой; в) через
каждую вновь полученную точку проводятся перпендикуляры к
этим отрезкам, которые и будут искомыми прямыми.

После доказательства в процессе исследования выясняется,
что а) задача всегда имеет решение; б) решение задачи единствен-
ное — пара параллельных прямых, параллельных данной пря-
мой, расположенных по обе стороны от нее на расстоянии, равном
Данному отрезку.

Нетрудно сформулировать и следующее свойство этой пары
параллельных прямых: две прямые, параллельные третьей прямой,
расположенные по обе стороны и на данном расстоянии от нее,
обладают тем свойством, что все точки их и только эти точки рав-
но удалены от нее на расстояние, равное данному отрезку.

В порядке классной или кружковой работы преподаватель мо-
жет и в данном случае выяснить, что а) если имеется пара
прямых, параллельных третьей прямой, расположенных по обе
стороны и на равном расстоянии от нее, то это является
необходимым условием того, что все точки этой пары пря-
мых и только эти точки равно удалены от третьей прямой и б) ес-
ли имеются точки, равно удаленные от данной прямой и распо-
ложенные по обе стороны от нее, то это является достаточ-
н ы м условием того, что все эти точки и только эти точки лежат на
Двух параллельных прямых, параллельных третьей прямой и рас-
положенных по обе стороны от нее на равном расстоянии.

* При помощи линейки и чертежного треугольника.
Замечание. Последняя задача может быть предложена в
другом варианте: построить прямую, параллельную двум данным
параллельным прямым, расположенную на равном расстоянии
от них.

39.	ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНА «ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
МЕСТО ТОЧЕК»

На предыдущих уроках учащиеся сначала только зрительно
воспринимали образы окружности, перпендикуляра к середине
отрезка и т. д., строили эти образы и выясняли свойства всех то-
чек каждого из них. Поэтому в сознании учащихся не только за-
печатлеваются все эти геометрические образы вместе с их специ-
фическими свойствами, но постепенно выясняется и то общее, что
в них имеется, а именно: а) каждый из этих образов есть геомет-
рическая фигура: или кривая линия (окружность), или прямая
линия (перпендикулярная к отрезку), или луч (биссектриса угла),
или пара прямых, параллельных третьей прямой; б) все точки
каждой из этих фигур и только эти точки обладают вполне опре-
деленным присущим им свойством.

В силу этого каждую из указанных фигур называют одним об-
щим термином — «геометрическое место точек» с последующим
указанием соответствующего свойства этих точек. Поэтому теперь,
имея некоторый запас примеров в виде геометрических фигур и
зная общие свойства, которыми обладает каждая из них, можно
обобщить всю эту работу и ввести объединяющий их термин «гео-
метрическое место точек».

С этой целью учащиеся строят и располагают в последователь-
ном порядке окружность, перпендикуляр К отрезку, проведенный
через середину его, биссектрису угла, пару параллельных прямых,
расположенных по обе стороны от данной прямой на равном
расстоянии от нее (черт. 92).

Преподаватель предлагает учащимся повторить свойства то-
чек каждого из этих геометрических образов.

Учащиеся замечают, что во всех этих формулировках имеется
одно общее утверждение: все точки каждой фигуры и только эти
точки обладают некоторым свойством, а затем в каждом отдельном
случае эти свойства указываются — или точки находятся на рав-
ном расстоянии от одной точки (окружность), или каждая из них
равно удалена от концов отрезка и т. п.

Хотя все эти геометрические образы разные (первый из них —
окружность, остальные прямые линии), но все точки в каждом из
них и только эти точки обладают общим свойством; в силу чего
каждый из этих образов в геометрии называется общим термином
геометрическое место точек (далее в формули-
ровке говорится, каких именно точек, т. е. указывается это свой-
ство).
1. Окружность есть г. м. т.. равно удаленных от одной общей
точки — центра.

Перпендикуляр к отрезку, проходящий через середину его,
есть г.м.т., каждая из которых равно отстоит от концов отрезка.

3.	Биссектриса (острого) угла есть г. м. т., каждая из которых
равно удалена от сторон угла.

4.	Пара прямых, параллельных третьей прямой, расположен-
ных по обе стороны от той же прямой и на равном расстоянии, есть
г.м.т., равно удаленных от той же прямой.

После этого преподаватель может привести и такие примеры
геометрических мест точек: отрезок — г.м.т. прямой, лежащих
между двумя точками ее, включая и последние; луч — г.м.т. пря-
мой, следующих за начальной точкой его и др.*

Таким образом, понятие геометрического места точек в
сознании учащихся будет органически связано с некоторыми впол-
не определенными геометрическими образами (фигурами). Поня-
тие геометрического места (точек) применяется главным образом
при решении задач на построение. При этом учащиеся постепенно
вникают в самую сущность процесса решения этих задач, которая
состоит в том, что для определения или построения искомой точ-
ки надо найти пересечение двух геометрических мест или найти
пересечение одного геометрического места с данной прямой. Такой
способ решения задач на построение носит название метода
геометрических мест.

* G А. Богомолов, Геометрия, Учпедгиз, 1949, стр. 90.
Дальнейшая работа в VI и VII классах сводится к решению
задач преимущественно на построение треугольников, когда зада-
ются неосновные элементы их. например, медианы, высоты, биссек-
трисы, углы между стороной и медианой и т. п.

Задача. Построить треугольник по основанию, медиане, про-
веденной к основанию и боковой стороне.

При решении этой и последующих задач преподаватель направ-
ляет работу учащихся по определенному плану, выделяя основ-
ные этапы его — анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ. Предполагается, что задача решена (черт. 93).

Медиана BD разбивает треугольник на два треугольника CBD

b	в

ь

Черт. 93

и ABD. Первый из них полностью определен тремя заданными сто-
ронами (о,-|-и ть) и потому его можно построить; этим опреде-
ляются две вершины искомого треугольника (В и С). Для построе-
ния искомого треугольника надо определить положение третьей
вершины его (А), которая лежит на продолжении отрезка CD и
находится на расстоянии от точки D. Следовательно, для по-
строения точки А надо продолжить отрезок CD за точку D и на
продолжении отложить от точки D отрезок, равный-^- (иначе гово-
ря, точка А есть точка пересечения луча D и дуги окружности,
радиус которой равен а центр лежит в точке D); эту точку А
надо соединить с точкой В; получится искомый треугольник АВС.

Проведенный анализ позволяет наметить план построения иско-
мого треугольника, который необходимо записать:

1)	отрезок b разделить пополам;

2)	построить треугольник CBD по трем сторонам: а, -^-ит6;

3)	продолжить сторону CD за точку D;

4)	на продолжении CD от точки D отложить отрезок, равный^;

5)	полученную точку А соединить с точкой В.

Построение. По этому плану учащиеся выполняют все
Указанные построения и получают искомый треугольник.
Доказательство. На третьем этапе учащиеся прово-
дят доказательство того, что полученный треугольник есть искомый.

Исследование. Наиболее важным этапом является ис-
следование решения, когда ставятся вопросы: 1) всегда ли задача
имеет решение и при каких условиях? 2) сколько решений имеет
задача?

Общий ответ на первый вопрос обычно вытекает из плана пост-
роения искомой фигуры. В данной задаче первый пункт плана всег-
да выполним; второй же пункт выполним только в том случае, ког-
„	_ » b \

да каждым из трех отрезков (а, и ть) меньше суммы двух дру-

гих отрезков, например c<-g-+ и больше разности двух
ь

других, например, -%>а.— ть\ остальные пункты плана всегда
выполнимы.

Ответ на второй вопрос вытекает из тех же пунктов плана по-
строения (единственный треугольник).

Для закрепления понятия геометрического места точек по-
лезно предлагать учащимся преимущественно для самостоятель-
ной работы задачи, имеющие некоторое практическое значение.
Примеры:

1.	В пределах земельного участка имеются два колодца. Оп-
ределить на этом участке все те пункты, которые одинаково уда-
лены от обоих колодцев.

2.	Около полотна железной дороги на разных расстояниях от
него расположены два селения. Определить место для устройства
платформы, равно удаленное от обоих селений.
Глава Vil

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

В школьном курсе геометрии из всех многоугольников более
или менее подробно изучаются только треугольники и четырех-
угольники; при ознакомлении с остальными видами многоугольников
ограничиваются почти исключительно только вопросом о сумме
внутренних н внешних углов их.

Это объясняется тем, что все важнейшие понятия, которые
входят в содержание темы «Многоугольники», рассматриваются
при изучении предыдущих двух тем «Треугольники» и «Четырех-
угольники». Так, в первой теме подробно выясняется одно из
важнейших понятий геометрии — геометрическое равенство (кон-
груэнтность) треугольников, которое используется и получает
дальнейшее развитие при изучении четырехугольников и более
сложных многоугольников.

В теме о четырехугольниках значительно возрастает роль ло-
гического элемента в курсе геометрии. Особенно это проявляется
при изучении классификации четырехугольников, что тесно свя-
зано с составлением определений разных видов четырехугольни-
ков, в частности с определениями параллелограммов.

Так, например, в определение параллелограмма входит всегда
один и тот же родовой признак — это есть четырехугольник, а
видовые отличия могут быть разные: противоположные стороны
попарно параллельны, или они попарно равны, или диагонали при
своем пересечении делятся пополам. Та же особенность имеется
в определениях прямоугольника и ромба, которые характеризуют-
ся одним и тем же родовым признаком (это — параллелограммы).
А квадрат можно определить при помощи одного из двух ближай-
ших родовых признаков (это прямоугольник или ромб).

Эти же примеры позволяют отметить и такой замечательный
факт во всех этих определениях: видовое отличие в определении
одной фигуры принимается за родовой признак в определении
другой фигуры. Пример: четырехугольник (родовой признак) есть
параллелограмм (видовое отличие —- противоположные стороны по-
парно параллельны), параллелограмм (родовой признак) есть
прямоугольник (видовое отличие — угол прямой), прямоугольник
(родовой признак) есть квадрат (видовое отличие — смежные сто-
роны равны).

В связи с этим следует отметить еще одно явление: квадрат —
частный случай прямоугольника, прямоугольник — частный слу-
чай параллелограмма, параллелограмм — частный случай че-
тырехугольника. Это — примеры подчинения понятий; в то же
время все они, кроме последнего, соподчинены и входят в более
общее понятие «четырехугольник».

В основу изучения темы о четырехугольниках можно положить
следующий план:

1.	Общий обзор четырехугольников.

2.	Классификация четырехугольников.

3.	Частные виды выпуклых четырехугольников.

40. ОБЩИЙ ОБЗОР ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

Тема о четырехугольниках является первой темой курса гео-
метрии в VII классе. Как известно, за время летних каникул уча-
щиеся основательно забывают программный материал, пройденный
в предыдущем учебном году. Поэтому на первых двух-трех уроках в
VII классе необходимо сначала повторить основной геометрический
материал VI класса в определенной системе: прямая и отрезки
(сравнение отрезков и действия над ними), углы (образование и
определение их, сравнение и действия над ними), треугольники
(образование и определение, виды их, признаки равенства).

При этом особо надо подчеркивать, что основными геометри-
ческими элементами для образования новых геометрических фигур
являются точки и прямые линии на плоскости, а способ обра-
зования новых фигур состоит в соответствующих комбинациях или
соединениях тех же элементов.

Черт. 94

Образование и определение четырех-
угольника. Преподаватель показывает в классе проволоч-
ную или деревянную подвижную модель ломаной линии из четы-
рех звеньев, деформирует ее и получает модели различных фигур,
состоящие из четырех звеньев. Эти фигуры изображаются на класс-
ной доске и в тетрадях (черт. 94).
Учащиеся анализируют каждый чертеж и указывают, что
первые две фигуры уже известны им, это — углы и треугольник, а
последняя фигура — замкнутая ломаная линия, состоящая из
четырех звеньев, — четырехугольник.

Преподаватель предлагает учащимся показать четырехуголь-
ники на предметах окружающей обстановки и на моделях различ-
ных геометрических тел, изобразить некоторые из них в виде чер-
тежей на классной доске и в тетрадях. Учащиеся формулируют оп-
ределение четырехугольника (например, замкнутая ломаная
линия, состоящая из четырех звеньев, или часть плоскости, огра-
ниченная замкнутой ломаной линией и т. д.), обозначают и запи-
сывают основные элементы четырехугольника.

Виды четырехугольников. Затем ставится вопрос
о классификации четырехугольников общего вида. С этой целью
преподаватель показывает неподвижные модели четырехугольни-
ков, а учащиеся изображают их на классной доске и в тетрадях
(выпуклые и вогнутые четырехугольники). При этом преподава-
тель напоминает учащимся, что прямая линия делит плоскость на
две области или полуплоскости. Каждую сторону четырехугольни-
ка можно представлять лежащей на прямой (на одном чертеже сто-
рону продолжить за обе вершины), тогда все остальные стороны той
же фигуры будут лежать или только в одной полуплоскости (ука-
зываются примеры на чертежах), или в обеих полуплоскостях
(тоже указываются примеры). Такие наблюдения проводятся от-
носительно каждой стороны в четырехугольнике (она принимается
за прямую).

На основании этих наблюдений учащиеся легко приходят к
заключению, что все четырехугольники можно разбить на две
группы: в одних четырехугольниках все элементы их относительно
каждой стороны располагаются только в одной полуплоскости (они
называются выпуклым и), в других это наблюдается только
относительно двух сторон четырехугольника (их называют н е -
выпуклыми или вогнутым и).

Учащиеся подписывают соответствующие названия под каждым
чертежом, а потом формулируют определения выпуклых и невы-
пуклых четырехугольников.

После этого преподаватель демонстрирует большие классные таб-
лицы, на которых изображены четырехугольники указанных двух
видов, орнаменты с такими же фигурами или архитектурные ри-
сунки. Учащиеся выделяют четырехугольники, определяют, ка-
кие из них выпуклые и какие невыпуклые.

Замечание. В связи с этим полезно показать учащимся,
что треугольники разных видов бывают только выпуклые.

Потом преподаватель показывает еще одну модель четырех-
угольника, у которого две противоположные стороны жесткие —
проволочные или деревянные, и другие две — нитяные. Перед
всем классом он начинает поворачивать одну из жестких сторон,
туго натягивая обе нити, и учащими видят, что при этом повороте
204
одной стороны фигуры четырехугольник тремя своими сторонами
«выходит из плоскости», но остается замкнутой линией, состоящей
из четырех звеньев, т. е. четырехугольником. Повернув указанную
сторону четырехугольника на 180°, преподаватель вновь совме-
щает ее с той же плоскостью — получается новая фигура, которая
тоже называется четырехугольником (черт. 95, а и б).

Особенность его с внешней стороны состоит в том, что, кроме
четырех вершин, в которых попарно пересекаются стороны его,
имеется еще одна точка, в которой пересекаются две его стороны.
Такой четырехугольник называется непростым; в курсе эле-
ментарной геометрии он не рассматривается. Те четырехугольники,
у которых стороны не имеют других общих точек, кроме вершин,
называются простыми. Как выяснено было раньше, послед-
ние бывают выпуклые и вогнутые.

В заключительной беседе формулируются следующие выводы:

1.	Все четырехугольники разбиваются на два класса —не-
простые и простые четырехугольники.

2.	Все простые четырехугольники разбиваются на два под-
класса — вогнутые и выпуклые.

Эти выводы можно представить схематически следующим об-
разом:

Четыре ху гольник и

простые

выпуклые

вогнутые

непростые

В курсе элементарной геометрии изучаются только простые
выпуклые четырехугольники.

Сумма углов четырехугольника. Этот вопрос
может вызвать особый интерес учащихся, если их предварительно
познакомить с одним очень важным свойством четырехугольника.
На предыдущих уроках демонстрировались только неподвиж-
ные модели четырехугольников с той целью, чтобы создать образ
четырехугольника общего вида. Потом преподаватель показывает
и подвижные модели той же фигуры, изменяет ее форму путем из-
менения величины углов, а длины сторон при этом не изменяются
(полезно показать и так называемый «предельный случай», когда
все стороны лежат на одной прямой, т. е. четырехугольник вырож-
дается в отрезок прямой).

Затем преподаватель показывает несколько моделей треуголь-
ников, форма которых не изменяется.

Из этих сопоставлений учащиеся делают вывод, что каждый
треугольник всегда имеет одну и ту же форму; поэтому треуголь-
ник называют жесткой или неподвижной фигурой; че-
тырехугольник может принимать разные формы в зависимости от
изменения величины углов, а потому его нельзя называть жесткой
фигурой.

Треугольник имеет самое широкое применение в практике и в
технике:

1)	лестница, приставленная к стене, является стороной треу-
гольника;

2)	подъемный кран по схеме имеет форму треугольника;

3)	в виде треугольника скрепляются опорные балки под кров-
лями и т. п.

Итак, в четырехугольнике в отличие от треугольника внут-
ренние углы могут изменяться, вызывая этим изменение и формы
четырехугольника. Естественно поставить вопрос: изменяется
ли при этом сумма всех внутренних углов четырехугольника?

Преподаватель сообщает учащимся, что ответ на этот вопрос
может быть получен только после доказательства теоремы о сумме
внутренних углов всякого четырехугольника.

Доказать эту теорему можно только при том условии, если
четырехугольник будет иметь определенную форму, а внутренние
углы его — постоянную величину.

Сами учащиеся могут догадаться, что форму четырехугольника
можно закрепить, выделив в нем треугольник, и не произвольно,
а вполне определенно. Если две вершины четырехугольника, не ле-
жащие на одной стороне, соединить отрезком прямой линии, то че-
тырехугольник разделится на два треугольника, вследствие чего
форма его станет жесткой. Соответствующий опыт можно показать
на подвижной модели четырехугольника.

Преподаватель сообщает учащимся, что отрезок, соединяющий
две вершины четырехугольника, не лежащие на одной стороне
его, называется диагональю его. Учащиеся повторяют оп-
ределение этого нового понятия.

Затем выясняется, что в четырехугольнике можно провести и
другую диагональ, которая обладает тем же свойством (делит
его на два треугольника). Наконец, учащиеся выясняют, что в
четырехугольнике из одной вершины можно провести только одну
диагональ, а всего — только две диагонали, которые разбивают
его на четыре треугольника.

Теперь можно перейти н к теореме о сумме внутренних углов
четырехугольника.

Эту теорему можно предложить учащимся в виде задачи: опре-
делить сумму внутренних углов четырехугольника.

Учащиеся строят произвольный выпуклый четырехугольник,
записывают условие задачи и вопрос ее.

Теорема, предложенная в виде задачи, значительно повышает
интерес учащихся, предоставляет им возможность самим дать от-
вет на поставленный вопрос, что в свою очередь способствует раз-
витию инициативы и настойчивости, уверенности в своих силах.

Доказательство теоремы общеизвестно.

После доказательства теоремы и формулировки ее учащиеся
решают задачи вычислительного характера (например, определить
углы четырехугольника, если они относятся, как 1 : 2 : 3 : 4
и т. п.).

Теперь можно дать ответ и на поставленный ранее вопрос:
при изменении формы четырехугольника общая сумма внутренних
углов четырехугольника остается неизменной (4d), так как прове-
денное доказательство последней теоремы ни в какой мере не было
связано с величиной того или иного угла.

Преподаватель напоминает учащимся, что в четырехугольнике
кроме внутренних углов рассматриваются еще внешние его углы.
Ставится задача: определить сумму внешних углов четырех-
угольника.

/

/

Черт. 96

Решение задачи можно провести, пользуясь свойством смеж-
ных углов или параллельным перенесением всех внешних углов в
одну группу углов с общей вершиной (черт. 96).

Напоминается, что сумма внешних углов треугольника тоже
равна 4d.

Построение четырехугольников. Построение
четыр ex угольников как и построение треугольников, тесно свя-
зано с понятием о геометрическом равенстве этих фигур.

К сожалению в практике работы школы равенство четырех-
угольников не рассматривается. В то же время при изучении, на-
пример, площадей фигур используется известное положение: «рав-
ные фигуры имеют равные площади». А что под этим подразуме-
вать, известно только в отношении треугольников.

В последующем изложении понятие геометрического равенства
распространяется и на четырехугольники. Но здесь имеются в виду
не признаки равенства четырехугольников, в частности, равенства
трапеций, параллелограммов и т. п., а только выяснение достаточ-
ных условий для построения фигуры, равной данному четырех-
угольнику.

Вначале учащиеся вспоминают, что для построения треуголь-
ника из шести его основных элементов достаточно задать только
три элемента, из коих хотя бы один должен быть линейный.

После этого ставится вопрос: сколько достаточно задать основ-
ных элементов и каких именно для построения четырехуголь-
ника определенной формы и размеров?

Учащиеся строят произвольный четырехугольник, принимая
его за искомый, и проводят анализ.

Одна диагональ разбивает четырехугольник на два треуголь-
ника. Значит, чтобы построить четырехугольник, надо сначала
построить один треугольник, а потом пристроить к нему второй
треугольник. Затем проводится последующий анализ. Чтобы по-
строить первый треугольник, надо задать три основных его элемен-
та, например две стороны и угол, заключенный между ними (эти
элементы являются и элементами искомого четырехугольника,
третья сторона этого треугольника будет диагональю четырехуголь-
ника); чтобы построить второй треугольник, дополняющий первый
до четырехугольника, надо задать только два основных элемента,
так как второй треугольник может быть построен на диагонали
четырехугольника, которая будет служить общей стороной обоих
треугольников.

Таким образом, путем проведенного анализа устанавливается,
что для построения четырехугольника должны быть заданы пять
основных его элементов.

Теперь остается выяснить, сколько линейных и угловых эле-
ментов может входить в число заданных пяти элементов для по-
строения четырехугольника.

Легко сообразить, что если будут заданы все четыре стороны че-
тырехугольника, то достаточно добавить еще один внутренний угол.
Учащиеся решают соответствующую задачу: построить четырех-
угольник, равный данному четырехугольнику*, если заданы че-
тыре его стороны (отрезки) и один его угол (внутренний) (черт. 97).

* Данный четырехугольник является носителем заданных пяти эле-
ментов, в силу чего исследование решения задачи отпадает.
План построения был намечен в предыдущем анализе. Сначала
строится треугольник по двум заданным сторонам и по данному
углу, заключенному между ними, а затем строится и второй тре-
угольник по трем сторонам*.

Полученный четырехугольник удовлетворяет условию зада-

Учащиеся без труда укажут и вторую комбинацию пяти задан-

ных элементов для построения четырехугольника, заменив одну

из заданных четырех сторон его вторым уг-
лом, т. е. взяв три стороны четырехугольни-
ка и два угла.

При этом могут быть разные варианты
задания двух углов, а именно:

1)	АВ, ВС, CD, ^В и ^С;

2)	АВ, ВС, CD, ^А и

3)	АВ, ВС, CD, ^-А и ^С;

4)	АВ, ВС, CD, ^В и

5)	АВ, ВС, CD, ^С и ^D;

6)	АВ, ВС, CD, ^А и ^.D.

Черт. 9Т

Решение задачи первого варианта
(черт.98) не затруднит учащихся. Последо-
вательность операций:

1) BiCi = ВС;

2)^Вг =^В;

3)	^rCi = ^С;

4)	В1Лг = ВЛ;

5)	CiDi = CD;

6)	Л1£>1.

Замечание. В классной работе

этим можно и ограничиться. Остальные варианты второй ком-

бинации (2 — 6) преподаватель может перенести на занятия в ма-
тематическом кружке и на бэлее поздний срок.

Задача второго варианта решается несколько сложнее (черт. 99). После-
довательность построений:

1)

2)	AiBi = АВ~,

3)	^Bi =

4)	BiCi = ВС;

* Тот же план можно изложить более подробно, если указать после-
довательность отдельных операций: строится сначала угол, на сторонах его —
соответствующие стороны, из концов их проводятся дуги радиусами, соответ-
ственно равными второй паре данных сторон.

’* Доказательство можно провести, используя равенство двух пар
треугольников и вытекающие из этого следствия (о равенстве соответственных
углов, заключенных между соответственно равными сторонами). Но дока-
зательство можно и опустить.

15 В. Г. Чичнгнн

209
5)	из точки Ci радиусом, равным CD, описывается дуга, которая пере-
секает луч в двух точках Di и О а — вершинах искомого четырехугольника
(или касается луча Ai, если — прямой);

6)	точка Ci соединяется отрезками с точка-

Че рт. 100

ми Di и О а, вследствие чего получаются два че-
тырехугольника .A1B1C1D1 и A1B1C1D2, каждый
из которых удовлетворяет пяти заданным усло-
виям, но только один из них удовлетворяет и
основному требованию задачи — равен данному
четырехугольнику, а именно A iB\C\Dt = A BCD.

Третий вариант (черт. 100) значительно
сложнее: сначала строится дВ1С|О1 = △ BCD,
а потом на отрезке B1D1 строится дуга сегмента,
вметающего ^Ai = ^cA, и на том же отрезке

BiDi строится △ AiBiDi =△ ABD.

Решение задачи четвертого варианта (черт. 101) ничем не отличается
от решения третьего, а пятого (черт. 102) —от решения второго варианта.

Шестой вариант, в котором заданные углы примыкают к незаданной

стороне, вызывает затруднение, главным образом при анализе задачи (черт.
103, я).

Черт. 101

Черт. 102

Анализ. 1) Из вершины А проводится луч AM || DC,
2) на луче АМ откладывается АЕ = DC-
210
3)	соединяются тонки В и Е, Е и С; получаются^Л BE и четырехугольник
ADCE — параллелограмм (так как АЕ || DC и АЕ = DC).

План построения:

1) строитсялЛ1А1£1 = лЛВ£,
в котором известны Л1В1 = АВ,
AiEi = DC и ^BiAiEi = 180’ —
—^.D — ^.BAD\

2) на стороне Л ifli приточке Ai
строится ^.QA iBi=^:DAB;

3)	из вершины £i проводится
луч, параллельный /iDi;

4)	из вершины fli радиусом ВС
проводится дуга до пересечения с лу-
чом £ |N в точке С] ;

5)	точка 51 соединяется отрез-
ком с точкой С>;

6)	из точки Ci проводится луч

CiP || Л|£1 до пересечения с лучом Л1<2 в точке Dr, получается искомый
четырехугольник 4|BiCiDi.

В зависимости от величины заданных углов А и D точка £ может нахо-
диться и внутри четырехугольника ABCD (черт. 103, б).

Точно так же составляется третья комбинация пяти задан-

ных элементов, когда еще одна из сторон

т. е. когда заданы две смежные стороны
и три угла (черт. 104). Решение задачи:
сначала строится /\А1В1С1 = /\АВС, а
потом А 1 = ^.А и — ^С.

Более сложный случай, когда заданы
две противоположные стороны, не рас-
сматривается.

Следуя тому же плану, учащиеся мо-
гут предложить и четвертую комбинацию,
когда будут заданы одна сторона и четы-
ре угла.

Проводя предварительный анализ та-
кой задачи, легко обнаружить, что при

заменяется углом,

четырех-

этих данных можно построить бесчисленное множество

угольников, так как в условие задачи на самом деле входят не
пять заданных основных элементов, а только четыре — одна сто-
рона и три угла, так как четвертый угол всегда можно опреде-
лить вычислением или построением.
Поэтому задача является неопределенной.

Этот факт служит поводом к тому, чтобы разъяснить учащимся,
что заданные элементы в условии всякой задачи должны быть не-
зависимыми, т. е. ни один из заданных элементов не должен полу-
чаться из совокупности других элементов.

Итак, в классе можно ограничиться разбором и решением за-
дач на построение четырехугольников только при задании одной
из трех простейших комбинаций основных элементов четырехуголь-
ника: а) четырех сторон и одного угла, б) трех сторон и двух углов
(только первый вариант) и в) двух сторон и трех углов.

Приведенные примеры решения задач на построение четырех-
угольников дают возможность, во-первых, расширить понятие о
геометрическом равенстве фигур (четырехугольников), во-вторых,
выяснить достаточные условия для того, чтобы четырех-
угольники были равны (а также для того, чтобы определить и по-
строить четырехугольник). Также можно выяснить, что если че-
тырехугольники равны, то с необходимостью все эле-
менты одного из них соответственно равны элементам другого.

Примечание: Термин «соответственные» стороны или уг-
лы в двух равных четырехугольниках имеет теперь несколько
иной смысл, а именно:

1)	каждой точке одной из равных фигур соответствует некото-
рая точка другой фигуры (т. е. при совмещении равных фигур эти
точки совмещаются, например, вершины углов);

2)	отрезки, соединяющие две соответственные точки, называют-
ся соответственны ми отрезками (например, стороны рав-
ных фигур, которые при совмещении фигур тоже совмещаются);

3)	углы, заключенные между соответственными отрезками —
сторонами равных фигур, называются соответственными
углами.

41.	КЛАССИФИКАЦИЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

В предыдущем обзоре четырехугольников была проведена пер-
вая общая классификация этих фигур (стр. 205).

Теперь ставится задача: выяснить, какие различные формы
могут иметь выпуклые четырехугольники и какие связи существуют
между ними.

С этой целью преподаватель показывает модель подвижной
ломаной линии, состоящей из четырех звеньев, лежащих на тол-
стом картоне или иа фанере: одно звено (ВС) прикрепляется к фа-
нере наглухо, остальные остаются подвижными (черт. 105).
При замыкании ломаной линии в точке А получается четырехуголь-
ник общего вида (с разными углами и произвольно расположенными
сторонами, черт. 106).

Вращая одно звено ломаной линии (например, AD) около точ-
ки D, можно направить его так, что оно станет параллельным
противоположному звену ВС (AD || ВС); получится четырехуголь-
ник AiBCD, у которого две противоположные стороны параллель-
ны, а другие две непараллельны — трапеция (черт. 107).

Затем в том же первом четырехугольнике (черт. 106) сторона
AD вращением около точки D приводится в положение AD || ВС,

Черт. 105

а сторона АВ вращением около точки В приводится в положение
А2В || СО; новый четырехугольник A2BCD — параллелог-
рамм (черт. 108).

Черт. 107

Черт. 108

После этого изменяют форму
(сохраняя существенный признак

полученного параллелограмма
его — параллельность проти-

воположных сторон) путем пере-
мещения одной из меньших его сторон
параллельно противоположной стороне,
пока смежные стороны параллелограм-
ма станут равными; получится парал-
лелограмм с равными сторонами —
ромб (черт. 109).

При помощи подвижной модели па-
раллелограмма можно один из углов
его изменить так, что он станет пря-
мым. Легко можно доказать, что и
все остальные углы параллелограмма
будут прямые. Получился новый па-
раллелограмм, который называется прямоугольником
(черт. 110).

Квадрат получается при помощи подвижной модели ромба
так же, как и прямоугольник из параллелограмма. Квадрат опре-
деляется как ромб с прямым углом (черт. 111).

В порядке самостоятельной работы в классе или дома учащиеся
могут получить квадрат, деформируя прямоугольник; в этом слу-
чае квадрат определяется как прямоугольник с двумя равными
смежными сторонами.

Прямоугольник

Черт. 110

Квадрат

Черт- 111

Теперь можно перейти к составлению классификации четырех-
угольников. Но надо иметь в виду, что эта классификация не яв-
ляется строго логической, так как она не имеет одного и того же
общего основания. В самом деле, при классификации всех выпук-
лых четырехугольников за основание классификации принимается
сначала взаимное расположение противоположных сторон — не-
параллельность или параллельность их (в последнем случае —
одной или двух пар сторон), вследствие чего множество всех вы-
пуклых четырехугольников разбивается на три подмножества:
четырехугольники, не имеющие параллельных сторон, трапеции
и параллелограммы.

При классификации параллелограммов за основание принимает-
ся неравенство или равенство смежных сторон (собственно парал-
лелограммы и ромбы), а также отсутствие или наличие прямого угла
(собственно параллелограммы и прямоугольники).

В основу классификации ромбов кладется отсутствие или на
личие прямого угла (собственно ромбы и квадраты).

За основание классификации прямоугольников принимается
неравенство или равенство смежных сторон (собственно прямо-
угольники и квадраты).

Классификация трапеций проводится сначала по длине боко-
вых сторон (равнобочная и неравнобочная трапеции); затем не-
равнобочные трапеции в свою очередь разбиваются на прямо-
угольные и непрямоугольные.
Схема классификации чстыреху!ольников
Эту классификацию трапеций можно провести в связи с общей
классификацией четырехугольников. Но более целесообразно от-
ложить ее до изучения трапеции.

Схема классификации четырехугольников, в частности выпуклых
четырехугольников (см. на стр. 215), не является единственной. В ос-
нову ее положен один и тот же родовой признак как трапеции, так и
параллелограмма (трапеция есть четырехугольник, параллелограмм
есть четырехугольник), что в свою очередь связано с ранее при-
нятым определением трапеции: трапеция есть четырехугольник,
у которого две стороны параллельны, а другие две непараллельны.
В этом определении указаны два видовых признака трапеции:
параллельность одной пары сторон и непараллельность другой па-
ры их. Если второй видовой признак откинуть, а параллелограмм
получать деформацией трапеции (сделать и боковые стороны тра-
пеции параллельными), то параллелограмм будет определяться как
трапеция, у которой боковые стороны параллельны.

В таком случае в приведенной схеме классификации четырех-
угольников будут следующие изменения:

а)	множество выпуклых четырехугольников разбивается не на
три, а на два подмножества: четырехугольники с непараллельными
сторонами и трапеции;

б)	множество трапеций сначала будет разбиваться на два под-
множества: трапеции не-параллелограммы и параллелограммы;

в)	последующая классификация останется без изменения.

Эта классификация четырехугольников имеет полное право на
существование. Больше того, в методической литературе послед-
них лет именно эта классификация выпуклых четырехугольников
считается более правильной и логически ясной*. При этом ука-
зывается, что если параллелограмм определять как трапецию, у
которой боковые стороны параллельны, то «все свойства трапеции
автоматически переносятся на параллелограмм»**.

Последнее утверждение справедливо только с оговоркой: если
трапеция не является равнобочной (так как равнобочная трапе-
ция обладает такими свойствами, которых нет у параллелограмма:
углы при основании равны, диагонали равны и т. п.).

Сторонники второй классификации считают, «что при введении
надлежащих оговорок можно избежать недоразумений» (подобных
только что указанным)***, если при изучении равнобочной трапе-
ции во все теоремы внести оговорку: если она (равнобочная трапе-
ция) не является параллелограммом (например, углы при осно-
вании равнобочной трапеции равны между собой, если она не яв-
ляется параллелограммом) или «внести эту оговорку раз навсегда

* Н. М. Беек и н, Методика геометрии 1947, стр. 137—139.

** Методика преподавания математики, под общей редакцией С. Е. Ля-
пина, 1955, стр. 42.

*** Там же, стр. 428.
в определение равнобочной трапеции: трапеция называется равно-
бочной, если ее боковые стороны равны, но не параллельны»*.

Приведенные доводы в пользу второй классификации выпук-
лых четырехугольников нельзя признать целесообразными с методи-
ческой точки зрения: а) учащимся трудно разбираться в тех ус-
ловиях, когда параллелограмм можно считать равнобочной трапе-
цией и когда нельзя этого делать; б) трудно им будет разрешать и
обратную задачу: когда равнобочную трапецию можно принять за
параллелограмм и когда нельзя этого сделать (если речь идет не об
определении, а об использовании свойств трапеции); в) наконец,
трудно учащимся помнить о соответствующих оговорках в опреде-
лениях равнобочной трапеции и в теоремах о свойствах той же
трапеции.

Все эти методические трудности отпадают, если принять пер-
вое определение трапеции, лежащее в основании вышеприведенной
классификации четырехугольников.

Описанный процесс составления классификации четырехуголь-
ников, в частности выпуклых четырехугольников, в основу кото-
рого положена последовательная целенаправленная деформация
каждой вновь полученной фигуры (получить сначала параллель-
ные, а потом и равные стороны, затем прямые углы), позволяет
отчетливо выяснить генетический характер образования каждого
частного вида выпуклых четырехугольников: из четырехугольни-
ка с непараллельными сторонами получаются трапеции и парал-
лелограммы, из параллелограммов — ромбы и прямоугольники, из
ромбов и прямоугольников — квадраты.

Выяснение этого генезиса — происхождения одной фигуры из
другой — помогает более отчетливому восприятию самих геометри-
ческих образов, выяснению связей между ними, а в силу этого поз-
воляет распространять свойства одной более общей фигуры (на-
пример, параллелограмма) на частные виды ее (на прямоугольники,
ромбы и квадраты).

Особенно большое значение приобретает выяснение генетиче-
ских связей при составлении определений частных видов выпук-
лых четырехугольников: учащиеся впервые имеют возможность
понять относительный характер родового и видового признаков
того или иного понятия. Так, например, параллельность обеих
пар противоположных сторон выпуклого четырехугольника яв-
ляется видовым признаком его, в силу чего этому четырехуголь-
нику и присваивается наименование параллелограмма. А в опреде-
лении прямоугольника или ромба тот же признак — параллель-
ность обеих пар противоположных сторон — становится родовым
признаком (прямоугольник или ромб есть параллелограмм, т. е.
четырехугольник с параллельными противоположными сторонами).

Чтобы сделать эту мысль особенно отчетливой, полезно требо-
вать от учащихся и таких формулировок: всякий параллелограмм

* Н. М. Бес к и и, Методика геометрии, 1947, стр. 138—139.
есть четырехугольник, но не всякий четырехугольник есть парал-
лелограмм или всякий прямоугольник есть параллелограмм, но
не всякий параллелограмм есть прямоугольник и т. п.

42.	ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ВЫПУКЛЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

Изучение частных видов выпуклых четырехугольников необ-
ходимо строить по определенному плану, который должен быть в
достаточной мере известен и учащимся, чтобы они могли весь изу-
чаемый материал представлять в стройной системе. В этот план
должны входить следующие сведения о каждой новой фигуре: по-
строение фигуры, определение ее и основные элементы, свойства
сторон и углов, свойства особых отрезков (диагоналей и средней
линии), свойства всей фигуры в целом (симметрия или асимметрия).

В учебнике А. П. Киселева, как и в большинстве других учеб-
ников геометрии, изучение материала начинается с параллелограм-
ма и заканчивается трапецией. В книге Н. А. Глаголева принят
иной порядок: сначала изучается трапеция, а потом параллелог-
рамм и его частные виды.

Если положить в основу классификации выпуклых четырех-
угольников определение трапеции как четырехугольника, у ко-
торого две противоположные стороны параллельны, а другие две
непараллельны, т. е. когда трапеция противопоставляется парал-
лелограмму, то вопрос о том, с чего следует начинать изучение
частных видов выпуклых четырехугольников, не имеет принци-
пиального значения: с одинаковым успехом можно начинать это
изучение как с трапеции, так и с параллелограмма.

Если же в основу классификации четырехугольников положить
второе определение трапеции как четырехугольника, у которого
две противоположные стороны параллельны, то параллелограмм
можно рассматривать как частный вид трапеции, у которой боко-
вые стороны тоже параллельны. В таком случае более целесооб-
разно начинать изучение частных видов четырехугольников с тра-
пеции (неравнобочной), все свойства которой переходят на парал-
лелограмм.

В данной книге изучение темы о частных видах выпуклых че-
тырехугольников начинается с изучения трапеции, что вполне увя-
зывается и с приведенной классификацией четырехугольников и
позволяет показать, в частности, что понятие средней линии может
иметь место не только в треугольнике и трапеции, но и в любом
параллелограмме.

Трапеция

Приступая к изучению трапеции, надо прежде всего показать
эту фигуру на предметах окружающей жизни и на моделях: боко-
вые грани усеченной призмы или пирамиды, вид сбоку торговой
палатки или сарая с односкатной крышей, модели разных трапеций
(картонных или проволочных) и т. п.
Преподаватель напоминает, как была получена трапеция из
произвольного четырехугольника. Учащиеся формулируют опре-
деление трапеции, особенно подчеркивая родовой признак (это —
четырехугольник) и два видовых отличия (две стороны параллель-
ны*, а другие две — непараллельны), чертят эту фигуру, обозна-
чают вершины ее (черт. 112). Преподаватель сообщает, что сто-
роны трапеции носят особые названия: AD и ВС — основания
(AD || ВС), АВ и CD —боковые стороны (AB-^CD).

На том же чертеже сначала выясняется, что трапеция обла-
дает всеми свойствами любого выпуклого четырехугольника, а
именно: в ней можно провести две

диагонали, каждая из которых
делит фигуру на два треугольни-
ка, а обе — на четыре треуголь-
ника; сумма внутренних углов ра-
вна 4 d. Наряду с этим они отме-
чают и особое свойство каждой па-
ры углов, прилежащих к боковой
стороне.

Затем ставится задача о пос-
троении трапеции (неравнобочной).

Сначала учащиеся вспоминают,

что для построения произволь-

ного выпуклого четырехугольника задаются пять его основных эле-
ментов, среди которых должно быть не менее двух линейных эле-
ментов (в частности, не менее двух сторон).

Теперь та же задача ставится относительно трапеции (изобра-
жается эта фигура).

При этом для удобства полезно ввести следующие обозначения
основных элементов трапеции: А и В — углы, прилежащие к од-
ной боковой стороне, С и D — углы, прилежащие к другой боко-
вой стороне, а и b — основания трапеции, с и d—боковые стороны
ее (черт. 112).

Чтобы выяснить, какие же основные элементы должны быть
заданы для решения задачи на построение трапеции, можно об-
ратиться к основному и наиболее простому варианту задачи на
построение произвольного выпуклого четырехугольника, когда
задаются четыре стороны и один из углов: a, b, с, d и угол А
(С или D).

Выясняется, что по отношению к трапеции в этом задании
имеются не пять, а шесть основных элементов, так как задание
одного угла дает возможность знать и другой угол, прилежащий к
той же боковой стороне. Поэтому при задании четырех сторон
трапеции задание еще одного угла для построения ее является из-
лишним.

* Точнее говоря, две стороны как отрезки лежат на двух параллельных
Прямых, так как определение параллельности относится только к прямым,
а ве к отрезкам и не к лучам.
Предлагается задача: по четырем сторонам данной трапеции
построить другую трапецию, равную данной.

Анализ. Учащиеся вспоминают, что при анализе задачи на
построение выпуклого четырехугольника в нем сначала выделяет-
ся треугольник построением одной диагонали. Нетрудно сооб-
разить, что если в трапеции тоже провести одну диагональ, то ни
один из треугольников построить нельзя по двум заданным его
сторонам. Поэтому в трапеции надо выделить треугольник другим
способом.

Через одну из вершин трапеции проводится секущая, парал-
лельная соответствующей боковой стороне (сначала во внутрен-
ней области фигуры до пересечения с противоположной стороной);
получится треугольник со сторонами, например, с, а — b и d,
который легко можно дополнить до искомой трапеции.

Таким образом, намечается план построения трапеции, в осно-
ве которого—построение вспомогательного треугольника по трем
его сторонам (с, а — b и d) и дополнение его до трапеции.

Учащиеся строят произвольную трапецию (неравнобочную)
и получают задание: построить равную ей трапецию, стороны ко-
торой соответственно равны сторонам первой.

Последовательность построений:

1)	ЛА1В1Е1= дАВЕ (по сторонам а — Ь, с и (/);

2)	на луче А 1Е1 откладывается A iD 1 = а\

3)	из точки В1 проводится луч В1 || A iD i;

4)	на нем откладывается BiCi = Ь\

5)	точки Ci и Di соединяются отрезком; получается искомая
трапеция.

Исходя из того, что решение задачи на построение трапеции
сводится к построению вспомогательного треугольника, нетрудно
наметить и другие варианты задания необходимых основных эле-
ментов для построения трапеции.

В самом деле, для построения вспомогательного треугольника
могут быть заданы не три, а две его стороны и один угол, заклю-
ченный между ними, например стороны с и а — b и угол А между
ними. Отсюда следует, что для построения трапеции необходимо
задание трех сторон (с, а и Ь) и одного угла (А).

Точно так же выясняется, что для построения вспомогатель-
ного треугольника можно задать одну его сторону (а — Ь) и два
прилежащих к ней угла (А и D), а для построения трапеции в этом
случае задаются две стороны (а, Ь) и два угла (А и D или В и С),
прилежащие к одному основанию.

Таким образом, получаются три (простейших) варианта задачи
на построение трапеции в зависимости от трех основных задач на
построение вспомогательного треугольника.

1)	а, Ь, с и d;

2)	а, Ь, с и А;

3)	а, Ь, А и D.
В данном месте курса геометрии этими вариантами вполне мож-
но и ограничиться. Более трудные варианты можно перенести на
более позднее время. При этом следует заметить, что процесс
решения задачи на построение трапеции по трем ее сторонам и
одному углу несколько изменится, если в задании одно из основа-
ний искомой трапеции заменить второй боковой стороной ее (на-
пример, а, с, d и А).

И в третьем, простейшем варианте возможна иная комбинация
двух сторон трапеции, а именно: а, с, А и D.

Итак, в классной работе можно ограничиться решением соот-
ветствующих задач только первых трех вариантов. Благодаря
этому расширяется понятие о равенстве фигур (в данном случае
трапеций), выясняются достаточные условия равен-
ства трапеций, которые являются и признаками их равенства (но
они не формулируются и не запоминаются); нетрудно также выяс-
нить, что если трапеции равны, то все элементы одной трапеции
соответственно равны элементам другой трапеции (необхо-
димое условие).

Средняя линия трапеции. Выяснение понятия
средней линии трапеции можно начать с решения задачи на до-
казательство.

Преподаватель предлагает учащимся построить трапецию, раз-
делить одну боковую сторону ее пополам и через точку деления
провести секущую прямую, параллельную основанию трапеции.
Затем ставятся вопросы: всегда ли эта секущая прямая пересечет
вторую боковую сторону трапеции и если пересечет, то в какой точ-
ке? Если чертеж выполнен аккуратно, то учащиеся сразу же ска-
жут, что секущая разделила и вторую боковую сторону трапеции
пополам, т. е. точка пересечения является серединой второй бо-
ковой стороны. Это надо доказать.

Учащиеся записывают условие задачи и предполагаемое заклю-
чение; получается теорема:

Если ABCD—трапеция, АК=КВ, K.L || AD || ВС, то CL=LD.

Эту теорему можно доказывать разными способами, в зависимости
от того, какие предварительные сведения имеют учащиеся по курсу
VI класса.

Роль преподавателя в этом случае заключается главным об-
разом в том, чтобы подвести учащихся к необходимости построить
вспомогательный треугольник. Это можно сделать различными спо-
собами.

Первый способ. Проводится диагональ BD, которая разбивает
трапецию на два треугольника (черт. 113). Доказательство теоремы
в этом случае основывается на применении теоремы о средней ли-
нии треугольника*. Эту работу с успехом могут провести сами уча-
щиеся.

* Подразумевается, что эта теорема уже известна учащимся или по курсу
VI класса (см. учебник Н. А. Глаголева, 1949 стр. 71—72), или как лемма
перед данной теоремой (см. учебник Н. Н. Никитина, 1957, стр. 87).
По окончании доказательства формулируется теорема.

Второй способ. Проводится прямая СЕ || АВ, которая отсе-
кает /\CED (черт. 114). При доказательстве используется теорема
об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллель-

ными прямыми, и теорема о средней

линии треугольника.

Третий способ. Через
точку L проводится прямая
EF||AB (черт. 115). При

доказательстве применяется
та же теорема об отрезках
параллельных прямых.

В классе достаточно до-
казать теорему только од-
ним из этих способов. А для

самостоятельной работы от-

дельным учащимся можно
предложить и другие ва-
рианты доказательства, да-
вая соответствующие чер-
тежи.

По окончании доказатель-
ства этой теоремы учащиеся
формулируют ее, особо выде-
ляя в ней условие и заклю-
чение, что поможет им соста-
вить и записать обратную
теорему.

После доказательства по-
следней еще раз сопостав-
ляются обе теоремы (прямая
и обратная) и формулирует-
ся свойство этой секущей в
трапеции.

При этом преподаватель
обращает внимание учащихся

на внутренний отрезок КС секущей (черт. 113), параллельный обо-
им основаниям (KL |[ ВС [| AD), который соединяет середины
боковых сторон трапеции, следовательно, и треугольников

ABD и BCD, а потому К.М =^-AD, ML =-^-ВС, откуда следует,

что KL = ~(ВС + AD).

Таким образом, выяснилось, что отрезок KL, соединяющий
середины боковых сторон трапеции, параллелен обоим основаниям
трапеции и равен полусумме их.

Получилась теорема, в которой нетрудно выделить условие и
два заключения.
В порядке повторения учащиеся проводят доказательство этой
теоремы.

При доказательстве последних теорем учащиеся пользовались
понятием средней линии треугольника и свойствами ее. При этом
они выяснили, что изучаемый отрезок секущей в трапеции обла-
дает свойствами, которые или полностью совпадают со свойствами
средней линии треугольника (параллельный основанию и прохо-
дит через середины боковых сторон), или весьма сходны с ними
(равен полусумме обоих оснований). Преподаватель сообщает, что
вследствие такого сходства отрезок секущей в трапеции тоже
называют средней линией — средней линией т р а -
п е ц и и.

Прямая и обратная теоремы о средней линии трапеции верны.
Поэтому как условие, так и заключение каждой из этих теорем
являются существенными признаками средней линии трапеции.
На этом основании можно составить два определения: средняя ли-
ния трапеции есть отрезок, проведенный через середину одной из
боковых сторон трапеции параллельно основанию до пересечения
с другой боковой стороной ее, или отрезок, соединяющий середи-
ны боковых сторон трапеции. Каждое определение имеет широкое
применение, особенно при решении задач.

Формулировка этих определения полностью совпадает с форму-
лировками определения средней линии треугольника.

Это обстоятельство позволяет установить связь и между самими
фигурами — трапецией и треугольником. С этой целью можно ис-
пользовать наглядное пособие: на картоне или на фанере начер-
чены два основания и одна боковая сторона трапеции,а вторая
боковая сторона представляет собой резиновую нить, концы ко-
торой закреплены булавками в концах обоих оснований. При
перемещении одного конца резиновой нити по направлению к кон-
чу другой боковой сторо-

ны вдоль соответствующего

основания последнее будет / / //s'	X

уменьшаться, концы его бу- // /
дут сближаться и, наконец,
сольются в одну точку; по- //&''
лучается треугольник.	_______________________X

Поэтому треугольник в

некоторых случаях можно	Черт. 116

рассматривать как частный

вид трапеции, когда одно основание ее обращается в точку.

Учащиеся на чертеже воспроизводят вышеописанный процесс
деформации трапеции (черт. 116).

Равнобочная трапеция. Прежде всего учащиеся
Должны увидеть равнобочную трапецию и уметь выделять ее сре-
ди других деталей на соответствующих наглядных пособиях, для
чего надо показать им, например, модель правильной усеченной
пирамиды, боковые грани которой суть равнобочные трапеции,
а также ряд картин, орнаментов пли планов, где отдельные детали
могут иметь форму равнобочных трапеций.

Учащиеся без затруднений назовут эти фигуры трапециями, у
которых боковые стороны равны.

Вслед за этим должно последовать изучение свойств равнобоч-
ной трапеции. Исходя из определения равнобочной трапеции уча-
щиеся сначала убеждаются в том, что она обладает всеми свойства-
ми произвольной трапеции (перечисляют их и показывают на
чертеже).

Затем надо выяснить особые свойства, которыми обладает толь-
ко равнобочная трапеция:

1)	прямая теорема о равенстве углов при основаниях ее и об-
ратная теорема о равенстве боковых сторон, если углы при осно-
ваниях равны;

2)	теорема о равенстве диагоналей;

3)	теорема о сумме противоположных углов;

4)	осевая симметрия.

Всю эту работу с некоторыми предварительными пояснениями
преподавателя выполняют сами учащиеся в порядке классной или
домашней самостоятельной работы.

Изучение равнобочной трапеции завершается решением задач
на построение этой фигуры и выяснением достаточного числа ос-
новных элементов для построения равнобочной трапеции.

В основу этой работы можно положить только те три простей-
ших варианта, которые были рассмотрены при решении задач на
построение неравнобочной трапеции, а именно:

1)	а, Ь, с и d;

2)	а, Ь, с и А;

3)	а, Ь, А и D.

Учащиеся строят равнобочную трапецию и выделяют вспомо-
гательный треугольник; при помощи этого чертежа они выясняют,
что некоторые элементы в заданиях являются лишними (в первом
варианте — d или с, во втором — а или Ь, в третьем — А или D).

Соответствующие задачи даются в такой форме: построить тра-
пецию, равную данной равнобочной трапеции по трем заданным
основным ее элементам в определенном сочетании их.

В последующей заключительной беседе подчеркивается, что
для равенства равнобочных трапеций достаточ но, чтобы три
элемента одной из них в определенном сочетании их были соот-
ветственно равны трем элементам другой трапеции. А чтобы все
элементы одной равнобочной трапеции были соответственно рав-
ны элементам другой трапеции, необходимо, чтобы эти тра-
пеции были равны.

Наконец, преподаватель сообщает учащимся, что формы равно-
бочной трапеции имеют широкое применение, например:

1)	паркетные плиты иногда имеют форму равнобочной трапеции,
особенно при замощении пола в углах;
2)	скрепление брусков в лапу или замком (черт. 117), когда
в вырубленную часть одного бруса в виде равнобочной трапеции

вставляется выступ другого бруса такой же формы;

Черт. 117

3)	поперечное сечение кана-
ла или траншеи (черт. 118).

Полученные знания и навыки
закрепляются решением задач.
Примеры.

1.	Доказать, что если сумма

Черт. 118

противоположных углов в трапеции равна 2d , то трапеция рав-
нобочная.

2.	Доказать, что перпендикуляры, проведенные из середин
боковых сторон равнобочной трапеции, пересекутся в точке, ле-
жащей на оси симметрии трапеции.

Параллелограммы

Прежде всего следует показать учащимся модели наклонного
параллелепипеда, наклонной призмы и предложить им найти па-
раллелограммы на этих моделях. Полезно показать также на мо-
делях или на плакатах (а еще лучше в комнате и на лестнице),
что паркетные плиты при покрытии пола венгерской стежкой или
в елку имеют форму параллелограммов (черт. 119); лестничные
перила, состоящие из простых брусков между тетивой и поруч-
нем, имеют форму параллелограмма (черт. 120).

Черт. 119

Затем учащиеся чертят параллелограмм, пользуясь линейкой и
треугольником, обозначают буквами его вершины. Преподаватель
сообщает, что у параллелограмма, как и у трапеции, две парал-
лельные стороны называются основаниями, а другие две —
боковыми сторонами. При этом выясняется, что любая пара
параллельных сторон параллелограмма может быть принята за
основания его, тогда как в трапеции этого сделать нельзя.

Построение параллелограмма. Прежде всего
выясняется вопрос о достаточном числе основных элементов для
построения параллелограмма. С этой целью учащиеся проводят
одну диагональ в параллелограмме, которая разбивает его на два
треугольника, благодаря чему задача построения параллелограм-
ма сводится к построению треугольника по двум смежным сторо-
нам параллелограмма и углу, заключенному между ними, и к по-
следующему дополнению этого треугольника до параллелограмма.
Из этого следует, что для построения параллелограмма необхо-
димо задание трех его основных элементов, среди которых может
быть только один угол (так как задание одного угла позволяет
определить и все остальные углы параллелограмма), т. е. когда за-
даны две смежные стороны параллелограмма и угол, заключенный
между ними.

Учащиеся решают соответствующие задачи.

1.	Построить параллелограмм, равный данному параллелограм-
му, по двум смежным сторонам его и углу, заключенному меж-
ду ними.

2.	Построить параллелограмм по двум данным смежным сто-
ронам его и по углу, заключенному между ними.

Из решения этих задач следует вывод, что для равенства двух
параллелограммов достаточ но, чтобы две смежные стороны
и угол между ними одного из них были соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого параллелограмма. А равен-
ство параллелограммов является необходи м ы м условием для
того, чтобы все'основные элементы их были соответственно равны.

Свойства параллелограмма. Общие свойства
параллелограмма—свойство противоположных сторон, противоле-
жащих углов, суммы углов, прилежащих к одной стороне, свой-
ство одной диагонали и свойство двух диагоналей — учащиеся
могут выяснить самостоятельно (на уроке или дома) и доказать
соответствующие теоремы. При этом для каждой из указанных тео-
рем они могут составить обратную теорему и доказать справедли-
вость или ложность ее (несправедлива только четвертая обратная
теорема: если диагональ делит четырехугольник на два равных тре-
угольника, то этот четырехугольник есть параллелограмм).

Можно составить и еще одну обратную теорему: если в четырех-
угольнике две противоположные стороны равны и параллельны,
то четырехугольник есть параллелограмм.

Справедливость обратных теорем свидетельствует о том, что
как в условие, так и в заключение этих теорем входят существен-
ные признаки параллелограмма.

Эти обратные теоремы иногда называют признаками па-
раллелограмма*, которые широко используются при решении
соответствующих задач.

Наличие одного нз таких признаков позволяет составлять но-
вые определения параллелограмма, например: параллелограммом
называется такой четырехугольник, у которого противоположные
стороны равны (или сумма углов, прилежащих к каждой стороне,
равна 2 d и т. п.).

Центральная симметрия

К числу свойств параллелограмма относится и свойство цен-
тральной симметрии его. Выяснить это свойство можно, исходя из
теоремы о пересечении диагоналей параллелограмма. Следует об-
ратить внимание учащихся на то, что концы каждой диагонали
находятся на равном расстоянии от точки пересечения их. Затем

предлагается взять произвольную
раллелограмма и через эту точ-
ку и точку О пересечения диаго-
налей провести секущую пря-
мую до пересечения ее с проти-
воположной стороной в точке
К и выяснить свойство отрез-

точку L на одной стороне па-

ков секущей 0L и ОК
(черт. 121).

Учащиеся легко сообразят,
что дОАгС=дЛО£,а потому и
OL = ОК, т. е. точки L и К лежат на одной прямой LK и
дятся на равном расстоянии от точки О. Так как точка L

нахо-
взята

произвольно, то учащиеся могут сделать вывод, что на сторонах
параллелограмма всегда найдутся такие две точки, которые рав-
но удалены от точки пересечения диагоналей и лежат на одной пря-
мой, проходящей через ту же точку пересечения О.

Преподаватель сообщает, что точка пересечения диагоналей
параллелограмма называется центром симметрии па-
раллелограмма, а концы каждой диагонали, как и точки, лежащие
на сторонах параллелограмма и на секущей, проходящей через
этот центр, называются центрально-симметр ичны-
ми точками или симметричными точками от-
носительно центра симметрии О.

На том же чертеже учащиеся строят еще одну-две пары цен-

трально-симметричных точек и выясняют

основные элементы

центральной симметрии: О — центр симметрии (в данном случае —

* Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия, «Планиметрия», Учпед-
гиз, 1949, стр. 97.

А. П. Киселев, Курс элементарной геометрии. Учебник для педа-
гогических училищ, Учпедгиз, 1937, стр. 48.

М. Я. В ы г о д с к и и. Геометрия. Учебник для ремесленных и желез-
нодорожных училищ, Гостехиздат, 1944, стр. 52.

Н. Н. Никитин, Геометрия. Учебник для VI—VII классов семи-
летией и средней школы, Учпедгиз, 1957, стр. 79.
точка пересечения диагоналей параллелограмма), прямая, про-
ходящая через центр симметрии, две точки на этой прямой, нахо-
дящиеся на равном расстоянии от того же центра.

Попутно выясняется, что собственно параллелограмм не имеет
оси симметрии.

Затем переходят к более подробному изучению центральной
симметрии.

Преподаватель предлагает задачи.

Задача 1. Построить точку, симметричную данной точке А от-
носительно данного центра О.

Учащиеся анализируют условие задачи (что дано и что надо
найти) и намечают план решения:

1)	провести прямую через точки А и О;

2)	на этой прямой от центра симметрии отложить отрезок 0А'=
= ОА;

3)	точка А' и будет искомой, т. е. она будет симметрична точке
относительно центра О.

Надо показать, что на той же прямой могут лежать и другие
пары точек, симметрично расположенные относительно центра О.

Затем выясняется основное свойство центрально-симметричных
точек: путем вращения луча около центра симметрии на 180° (на
модели) центрально-симметричные точки совмещаются.

Задача 2. Построить отрезок, симметричный данному отрез-
ку Л В относительно данного центра симметрии О.

Анализируя условие задачи, учащиеся выясняют, что построе-
ние отрезка сводится к построению двух точек — концов его,
которые должны быть соответственно симметричны концам данного
отрезка относительно данного центра симметрии. Этим намечается
план решения задачи.

Учащиеся выполняют намеченный план решения и получают
искомый отрезок А'В'.

Доказательство состоит в том, чтобы установить, что концы
отрезка А 'В' соответственно симметричны концам данного отрез-
ка АВ относительно центра симметрии О и доказать, что для вся-
кой произвольной точки М' на отрезке Л'В'найдется соответствен-
но симметричная точка 7И на данном отрезке АВ относительно цент-
ра симметрии О. Последнее позволяет сделать вывод, что любой
точке отрезка А'В' соответствует симметричная точка относитель-
но О, лежащая на отрезке Л В, в силу чего отрезок Л 'В' считается
симметричным отрезку АВ относительно центра симметрии О.

В процессе доказательства выясняется еще одно свойство: от-
резки, симметричные относительно центра симметрии, параллель-
ны* и равны и при вращении фигуры АВО около центра О на 180“
они совпадут своими концами.

Задача 3. Построить треугольник, симметричный данному тре-
угольнику ЛВС относительно данного центра симметрии О.

° Т. е. лежат на параллельных прямых.
Анализируя условие задачи, учащиеся намечают план решения
ее, что сводится к построению трех точек, соответственно симмет-
ричных вершинам данного треугольника относительно данного
центра симметрии. В процессе доказательства они опять убеждают-
ся, что данный и симметричный ему треугольники равны, а сто-
роны их соответственно параллельны.

Точно так же учащиеся будут решать задачи на построение че-
тырехугольника, симметричного данному четырехугольнику от-
носительно данного центра симметрии. Учащиеся опять убеж-
даются в том, что центрально-симметричные четырехугольники
равны, а стороны их соответственно параллельны; равенство этих
фигур подтверждается вращением одного четырехугольника на
180° около центра симметрии, благодаря чему осуществляется пол-
ное совмещение всех соответственных элементов их.

После этого делается обзор всех задач и выясняется, что в
каждой из них были две фигуры, симметричные относительно цент-
ра — две точки, два отрезка, два треугольника и два четырех-
угольника.

Возвращаясь к исходному параллелограмму (черт. 121), легко
выяснить, что противоположные вершины его, как и противопо-
ложные стороны, симметричны относительно центра симметрии —
точки пересечения диагоналей. Эту точку называют центром
симметрии параллелограмма, а параллелограмм — цен-
трально-симметричной фигурой.

Этим обычно и завершается изучение центральной симметрии
на плоскости в VII классе.

Однако в этом месте курса геометрии преподаватель может несколько
расширить и обобщить учение об осевой и центральной симметрии на плос-
кости, введя понятие о сложении движении, понимая движение как геомет-
рическое преобразование, в частности преобразование осевой симметрии, в
результате чего получаются новые преобразования, параллельный пере-
нос фигур или центральная симметрия.

С этой целью преподаватель предлагает задачи.

Задача 1. Дан произвольный треугольник АВС и ось MN. не пересекаю-
щая стороны его. Построить фигуру, симметричную треугольнику АВС от-
носительно осн MN. В результате построения получается треугольник А'В'С',
симметричный треугольнику АВС (черт. 122). Треугольники АВС и А'В'С'
равны, но они могут совместиться только при перегибании плоскости чертежа
около осн MN на 180° (в этом случае говорят, чтофнгуры зеркально
равны).

При сопоставлении обоих треугольников оказывается, что они имеют
разную ориентацию, т. е. соответственные вершины их и стороны на плос-
кости расположены в противоположных направлениях: в одном — по направ-
лению движения часовой стрелки, а в другом — в противоположном нап-
равлении.

Затем на том же чертеже задается вторая ось KL || MNтак,что △ А'В'С'
находится между осями. Требуется построить фигуру, симметричную △ А'В'С'
относительно оси KL.

Учащиеся легко решают и эту задачу (черт. 122). Получается треуголь-
ник А"В”С", симметричный треугольнику А'В'С' и зеркально-равный ему
(д А"В"С"=А'В’С'); они тоже имеют разную ориентацию.
Сопоставляя треугольники АВС и А"В"С", легко заметить, что они
равны, стороны их соответственно параллельны, треугольники имеют оди-
наковую ориентацию, а потому они не симметричны; в силу этого их можно
совместить в топ же плоскости чертежа.

Черт. 122

Преподаватель сообщает,что д А”В”С" в данном случае можно рассмат-
ривать как треугольник АВС, но смещенный в топ же плоскости чертежа на
расстояние, равное удвоенному расстоянию между осями, при сохранении
параллельности соответственных сторон. Это смещение или перенос выпол-
нены двойным построением симметричных фигур относительно двух парал-
лельных осей. Нетрудно догадаться, что тот же параллельный перенос дан-
ной фигуры (А АВС) в заданном направлении на определенное расстояние
можно выполнить одним построением.

Для этого надо из каждой вершины данной фигуры (А АВС) провести лу-
чи, параллельные заданному направлению; на каждом из них от вершины от-
ложить отрезки, равные заданному расстоянию, полученные точки последо-
вательно соединить отрезками. Новая фигура (Л А”В"С") равна данной
фигуре (а АВС), стороны их соответственно параллельны и равны.

Преподаватель сообщает, что такое преобразование фигуры называется
параллельным переносом.

Примерно в том же плане выясняется связь между осевой и центральной
симметриями.

С этой целью решаются задачи, аналогичные предыдущим.

Задача 2. Построить треугольник, симметричный данному треугольнику
АВС относительно оси MN, не пересекающей сторон треугольника АВС
(черт. 123).

Учащиеся решают задачу, получают треугольник А'В'С', симметрич-
ный данному треугольнику АВС относительно оси MN, зеркально-равный
ему и имеющий противоположную ориентацию.

Затем на том же чертеже задается вторая ось PQ, перпендикулярная
первой (PQ1. MN), пересекающая ее в точке О и не пересекающая сторон
обоих треугольников. Ставится задача: построить фигуру, симметричную
треугольнику А’В'С относительно оси PQ.

После выполнения заданного построения (черт. 123) выясняется, что
симметричные относительно оси PQ треугольники А"”є и А'В’С' зер-
кально-равные и имеют противоположную ориентацию. А сопоставляя треу-
гольники АВС и А"В”С", можно легко заметить, что они одинаково ориен-
тированы и равны; а потому их можно совместить в той же плоскости чертежа.

Нетрудно показать, что эти треугольники симметричны относительно
точки О. Для этого надо соединить две соответственные вершины обоих треу-
гольников, например А и А”, отрезками прямых с точкой О и доказать, что
эти отрезки лежат на одной прямой линии и они равны.
Действительно, д A0D = дА"ОЕ, а потому iF^AOD = ^А"ОЕ. Сле-
довательно, точки А, О и А" лежат на одной прямой, отрезки ОА и ОА”
равны; поэтому точки А и А” симметричны относительно точки О.

Точно так же доказывается, что точки В и В", С н С" тоже соответствен-
но симметричны относительно той же точки О, а это значит, что треугольники
АВС и А"В"С" тоже симметричны относительно точки О.

Черт. 123

Итак, в данном случае &А"В"С" — центрально-симметричный данному
Л АВС относительно центра О — получен последовательно двойным построе-
нием симметричных фигур относительно двух взаимно перпендикулярных
осей. Но этот двойной процесс может быть заменен одним процессом пост-
роения фигуры (а А””є),симметричной данной фигуре(д АВС)относитель-
но заданного центра.

Таким образом, приходим к следующему выводу: параллельный пере-
нос фигуры можно рассматривать как результат сложения* двух осевых
симметрий, когда оси симметрии параллельны между собой, а центральную
симметрию — как результат сложения двух осевых симметрий, когда осн
симметрии взаимно перпендикулярны.

Прямоугольник

Эта фигура хорошо известна учащимся из курса арифметики
четвертого и пятого классов, где изучается площадь прямо-
угольника.

Теперь надо напомнить генетическую связь этой фигуры с
параллелограммом. При изменении формы параллелограмма вза-

*Термин «сложение» двух симметрий (двух движений или двух преоб-
разований) в геометрии обычно заменяется «произведением» движений.
висимости от изменения величины его углов один из них может стать
прямым (тогда и все углы прямые). Это позволяет учащимся сфор-
мулировать соответствующее определение прямоугольника (па-
раллелограмм с прямым углом или с равными углами).

Полезно на чертеже отразить преобразование параллелограмма
в прямоугольник (черт. 124).

На предметах окружающей обстановки учащиеся показывают
примеры прямоугольников: форма стен комнаты, потолка и пола,
в	с	пролеты дверей и окон, пе-

А	"1	реплеты рам, полки в шка-

у®	фах, дно и боковые стенки

Z7/	/fl	выдвижных ящиков, листы

// 1	//п	книги, тетради и т. п.

//II	//И	Учащиеся изображают

// /	// I прямоугольник с помощью

/ j—	D/ / / / линейки и чертежного тре-

— угольника.

'	D' Так как прямоугольник

Черт. 124	есть параллелограмм, то

он обладает всеми свойства-
ми параллелограмма (учащиеся перечисляют их). Но прямо-
угольник имеет еще особые свойства, которые отличают его от
параллелограмма, — равенство диагоналей и осевая симметрия.

Теорема о равенстве диагоналей не затрудняет учащихся.

Учащиеся составляют обратную теорему (если в параллелограм-
ме диагонали равны, то он есть прямоугольник) и доказывают ее.
Эта теорема позволяет сделать вывод, что равенство диагоналей в
прямоугольнике есть существенный признак его, который может
служить видовым отличием в определении прямоугольника (пря-
моугольник есть параллелограмм с равными диагоналями).

Особо следует рассмотреть свойства симметрии прямоугольни-
ка. Последний, как частный вид параллелограмма, обладает свой-
ством центральной симметрии с центром симметрии в точке пере-
сечения диагоналей. Но он обладает и свойством осевой симмет-
рии; осями симметрии являются две прямые линии, проходящие
через ту же точку пересечения диагоналей параллельно каждой
стороне прямоугольника, что учащиеся и должны доказать.

При этом полезно обратить внимание учащихся на то, что от-
резки осей симметрии прямоугольника, заключенные между его сто-
ронами, можно рассматривать как средние линии прямоугольника,
обладающие теми же свойствами, что и средняя линия трапеции.

Изучение прямоугольника завершается решением различных
задач. На первом месте среди них должны стоять задачи на пост-
роение.

Сначала опять ставится вопрос о достаточном числе основных
элементов для построения прямоугольника. Как параллелограмм
он должен определяться тремя элементами — двумя смежными сто-
ронами и углом между ними; но все углы прямоугольника пря-
мые, а потому прямоугольник определяется только двумя элемен-
тами — смежными сторонами его.

Учащиеся решают задачу на построение прямоугольника, рав-
ного данному прямоугольнику (по двум смежным его сторонам)
и на построение прямоугольника, зная две его смежные сто-
роны.

Из решения этих задач делаются выводы, что равенство двух
пар смежных сторон прямоугольников является достаточ-
ным условием и признаком равенства их, а равенство прямоуголь-
ников является необходимым условием для того, чтобы все
соответственные стороны их были равны.

Ромб

Изучение этой фигуры строится по такому же плану, по какому
изучались параллелограммы и прямоугольники.

Полезно начать работу с рассмотре-
ния таких предметов, среди отдельных
деталей которых имеются формы ромба,
например оконные рамы и шкафные
дверки имеют накладки в виде ромба,
вершины которого лежат в середи-
нах сторон прямоугольника (черт.
125), паркетные плитки, магнитные
стрелки компасов, подвижная деталь
весов для писем (черт. 126) и т. п. Рас-
сматривая эти фигуры, учащиеся ха-
рактеризуют их сначала как паралле-
лограммы, а затем подмечают равенство
всех сторон, прибегая даже к непо-
средственному измерению их, и фор-
мулируют определение ромба: это —

параллелограмм с равными смежными —।——।—1—।——।——г

сторонами.

После этого надо перейти к более	Черт. 125

отчетливому установлению генетической
связи ромба с параллелограммом. Преподаватель на моде-
ли показывает, что параллельным перемещением одной стороны
параллелограмма можно получить равносторонний параллело-
грамм — ромб. Этот процесс можно иллюстрировать чертежом
(черт. 127).

В связи с этим можно рассказать учащимся, что в течение ты-
сячелетий женщины пряли шерсть, лен, хлопок при помощи прял-
ки и веретена; веретено с намотанной на него ниткой у греков на-
зывалось rhombos; отсюда и фигура вытянутого равностороннего
четырехугольника, похожая на веретено, получила название ромба.

Дальнейший ход работы будет протекать в том же плане, кото-
рый был раньше. Ромб есть параллелограмм, а потому все свойства
параллелограмма переходят на ромб (учащиеся перечисляют эти
свойства, включая и центральную симметрию).

Черт. 126

Но ромб имеет и особые свойства, отличающие его от других
параллелограммов, в частности особые свойства его диагоналей.

Соответствующие теоремы учащиеся доказывают самостоятельно.

Обычная формулировка их очень простая и короткая: в ромбе
диагонали взаимно перпендикулярны, делят углы его пополам и
являются осями симметрии его.

Обратные теоремы можно не рассматривать, но на чертежах по-
лезно показать, что перпендикулярность диагоналей четырехуголь-
ника не может служить признаком только ромба (черт. 128), а пер-
пендикулярность диагоналей параллелограмма есть признак
ромба.

Затем ставится вопрос о построении ромба по его основным
элементам. Учащиеся выясняют, что построение ромба, как и па-
раллелограмма, сводится к построению треугольника, но равно-
бедренного треугольника, для чего достаточно задать только два
основных элемента — одну сторону и угол.

После решения двух-трех задач (построить ромб, равный дан-
ному ромбу по его стороне и углу, и построить ромб, зная одну сто-
рону и угол его) учащиеся приходят к известным выводам
(достаточное условие для равенства ромбов и необ-
ходимое условие для равенства соответственных элемен-
тов их).

В последующей работе учащиеся решают задачи на вычисление
и на доказательство.

Квадрат

Эта фигура тоже хорошо известна учащимся еще по курсу
арифметики в начальной школе и в V классе. Теперь в курсе
геометрии надо установить генетическую связь квадрата с парал-
лелограммом и, в частности, с прямоугольником и ромбом.

Непосредственную связь квадрат имеет с ромбом, изучение ко-
торого только что закончилось. Поэтому преподаватель сначала
демонстрирует в классе шарнирную подвижную модель ромба;
учащиеся сами производят перед классом различные деформации
его, изменяя величину углов. Когда один угол его станет прямым
(а потому и все углы будут прямые), получится квадрат. Следо-
вательно, квадрат есть ромб с прямым углом.

Ту же работу теперь надо воспроизвести и на чертеже (чет. 129).

Черт. 130

Так как квадрат есть ромб с прямым углом, то он обладает
всеми свойствами ромба (учащиеся перечисляют их).

Затем надо показать, что квадрат можно получить из прямо-
угольника путем деформации его (параллельный перенос одной из
сторон). Этот процесс деформации прямоугольника воспроизво-
дится на чертеже (черт. 130).
Итак, квадрат есть прямоугольник с равными смежными сто-
ронами, а потому на квадрат переходят все свойства прямоуголь-
ника (учащиеся перечисляют их).

При этом особо выделяются свойства симметрии квадрата —
осевой и центральной: в квадрате имеются две пары осей симметрии
(две средние линии его, как в прямоугольнике, и две диагонали,
как в ромбе) и один центр симметрии — точка пересечения диа-
гоналей (как в параллелограмме).

Для построения квадрата достаточно задать только одни основ-
ной линейный элемент его, т. е. сторону.

Изучение квадрата завершается решением задач на построе-
ние, на доказательство и на вычисление.

43.	ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

В некоторых местах предыдущего изложения учащиеся как в
классе, так и дома могут выполнять целый ряд практических по-
ручений: вырезывание из бумаги моделей различных четырехуголь-
ников, изготовление подвижных шарнирных моделей для иллю-

Черт. 131

страции деформации четырехугольников, деление отрезка попо-
лам и проведение биссектрисы угла при помощи двусторонней
линейки (на основании свойств диагоналей ромба; черт. 131 и 132).
Полезно ознакомить учащихся с интересным применением че-
тырехугольников произвольной формы для покрытия плоскости,

предложив им следующую задачу.

Задача. Доказать, что
равными четырехугольни-
ками произвольной формы
можно сплошь покрыть пло-
скость (например, настелить
паркет; черт. 133).

Решение задачи указано
на чертеже: четырехуголь-
ник ABCD переносится по
направлению каждой своей
диагонали в обе стороны на
расстояние, равное длине
соответствующей диагонали.
При этом легко доказывает-
ся, что и промежуточные
четырехугольники (напри-
мер, CDD"D') равны четы-
рехугольнику ABCD.

Практическое примене-
ние разных четырехуголь-

Черт. 134

ников выяснялось в пре-

дыдущем изложении. Дополнительно можно указать на кон-
струкции таких приборов, как «параллельные линейки»,
которые употребляются при черчении (черт. 134) и «параллельные
тиски», употребляемые в слесарной мастерской (черт. 135). Полез-
но выяснить геометрическое обоснование и практическое приме-

нение их.

Несколько расширяется также круг практических задач на мест-
ности. В частности, учащиеся теперь могут выполнить съемку пла-
на четырехугольного полигона как обходом по меже, так и при
помощи мензулы.
Глава VIII

МНОГОУГОЛЬНИКИ

44.	ОБЩИЙ ОБЗОР

В программе по геометрии эта тема указывается по частям в
разных местах курса. В VI классе перед изучением треугольников
вводится «понятие о многоугольнике», которое используется толь-
ко для выяснения понятия «треугольник»; затем включаются тео-
ремы о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоуголь-
ника, что в VI и VII классах не имеет никакого применения.
В VIII классе имеется тема «Вычисление площади многоугольника».
Наконец, в IX классе изучаются «правильные многоугольники».

Изучение треугольников и четырехугольников не исчерпывает
понятия о многоугольнике. Поэтому возникает необходимость
ознакомить учащихся и с более сложными многоугольниками
(пяти-шестиугольниками и т. п.).	<

В той или иной мере надо обобщить понятие многоугольника и
решить в определенной последовательности несколько задач. Сде-
лать это можно именно в данном месте курса геометрии.

Содержание темы надо ограничить самыми необходимыми во-
просами, изучение которых можно поручить учащимся в порядке
самостоятельной работы их. В некоторых случаях преподаватель
дает предварительные указания и потом проверяет работу.

Эти вопросы следующие: определение многоугольников, общая
классификация их, отсутствие жесткости, число диагоналей, сумма
внутренних и внешних углов, понятие правильного много-
угольника.

Определение. Из набора моделей разных многоуголь-
ников демонстрируются модели треугольников, четырех-пяти-
шестиугольников и т. п.

Учащиеся называют каждый вид многоугольника, начиная с
треугольника, потом формулируют определения треугольника,
четырехугольника, пятиугольника и вообще многоугольника.

Классификация многоугольников.В основу клас-
сификации кладутся только такие признаки:
1)	число вершин или сторон (треугольники, четырехугольники
и т. п.);

2)	расположение всех основных элементов относительно каж-
дой стороны (выпуклые и вогнутые).

Диагонали многоугольника. При помощи под-
вижных моделей разных многоугольников выясняется отсутствие
жесткости в них (кроме треугольника).

По аналогии с четырехугольником нетрудно догадаться, что
для закрепления формы многоугольника надо провести диагонали
из одной вершины его во все остальные.

На соответствующих чертежах пяти-шести-семиугольника уча-
щиеся проводят диагонали из одной вершины во все остальные,
подсчитывают число их в каждом многоугольнике и записывают
его в общем виде: п — 3 при п — 3, 4, 5.... Подстановкой ука-
занных значений п подтверждается, что в треугольнике нет диа-
гоналей, а в четырехугольнике — только одна.

Для желающих преподаватель может дать задание на дом: под-
считать общее число всех диагоналей в многоугольнике, дать
-	-	(п—3)п

обоснование и записать в общем виде: —,

В связи с этим разрешается вопрос и о числе треугольников,
на которые разбивается многоугольник диагоналями, проведен-
ными из одной вершины (п — 2).

Сумма внутренних углов многоугольни-
к а. Этот вопрос стоит в тесной связи с последним выводом, так
как, зная общее число треугольников, на которые разбивается мно-
гоугольник, легко подсчитать и сумму внутренних углов всех тре-
угольников, что составит сумму внутренних углов многоугольника:
2d(n —2) или 2dn —4d. Подстановкой значений п = 3 и п = 4
получаются суммы внутренних углов треугольника и четырех-
угольника.

Сумма внешних углов многоугольника.
Этот вопрос представляет особый интерес при изучении многоу-
гольников, так как эта сумма является постоянным числом (4 d).
Вывод можно дать разными способами.

Правильные многоугольники. В соответствии
с программой эта тема изучается в IX классе в курсе метрической
геометрии.

Однако отдельные вопросы ее тесно увязываются с предыдущим
материалом и с большим интересом могут быть изучены учащимися
VII класса (на уроке, в индивидуальном порядке или в кружке).

Исходя из предыдущего обзора многоугольников, преподава-
тель напоминает, что из множества всех треугольников в свое вре-
мя выделялся равносторонний треугольник. Учащиеся формули-
руют определение его и указывают свойство всех углов.

Из множества четырехугольников выделяется квадрат, который
имеет равные стороны и равные углы. На основании этих двух
примеров делается допущение, что и среди более сложных многоу-
гольников—пяти-шести угольников и т. п.—найдутся такие, у ко-
торых стороны равны и углы равны. Преподаватель особенно лег-
ко может построить такой шестиугольник при помощи окружности
и доказать, что стороны его будут равны (каждая из них равна ра-
диусу окружности) и внутренние углы равны (по 120°). Соответ-
ствующим образом можно построить и некоторые другие многоу-
гольники с равными сторонами и с равными углами. Это дает по-
вод выделить особую группу многоугольников, у которых будут
стороны равны и углы равны, и дать им особое название: пра-
вильные многоугольники.

Ясно, что они обладают всеми свойствами выпуклых многоу-
гольников общего вида. В частности, сумма внутренних углов в
правильном многоугольнике равна 2d(n. —2), а каждый внутрен-

2d(n— 2)	_	. е

нии угол в нем равен ——- при п = 3, 4, 5..., где и — число
вершин многоугольника. Пользуясь этой формулой, учащиеся
определяют величину внутреннего угла треугольника (Л3 =

2rf(3—2) 2	.	2rf(4—2)	j,

= ——= —а), четырехугольника (Л4 = ——- =а), шести-
Д	2Д(6—2)	4 .

угольника (Лв = ——- =уо).

Этим и заканчивается на данном этапе изучение многоугольни-
ков, т. е. фигур, образованных отрезками прямых линий, почему
они и называются прямолинейными фигурами.
Глава IX

ОКРУЖНОСТИ

В краткой вводной беседе преподаватель напоминает учащимся,
что они впервые познакомились с окружностью еще в V классе при
решении задач на определение длины окружности и площади круга.
В VI классе в связи с введением градусного измерения углов опять
были введены некоторые сведения об окружности, которые исполь-
зовались потом при решении задач на построение методом геомет-
рических мест точек. В данной теме основное внимание уделяется
изучению окружностей. Преподаватель может сообщить учащимся
следующий план изучения темы:

1.	Общий обзор окружности.

2.	Окружность и прямая линия.

3.	Окружность и углы.	.

4.	Окружность и треугольники.

5.	Окружность и четырехугольники.

6.	Две окружности.

45. ОБЩИЙ ОБЗОР ОКРУЖНОСТИ

Определение окружности. При помощи соот-
ветствующих вопросов преподавателя учащиеся в порядке повто-
рения формулируют известное им определение окружности как
замкнутой кривой линии и как геометрического места точек. При
этом они вспоминают, что для построения окружности и опреде-
ления положения ее на плоскости задаются одна точка — центр
окружности и радиус ее; построение выполняется при помощи
циркуля*.

Затем напоминается, что прямая линия на плоскости опреде-
ляется или задается двумя точками (формулируется аксиома о
прямой).

Естественно поставить такой же вопрос относительно окруж-
ности: сколько надо задать точек и как их следует расположить,
чтобы через них можно было провести окружность и притом толь-

* Постулат Евклида 3 (см. «Начала» Евклида т. 1, ки. 1. стр. 14. 1948).
ко одну? Ответы на эти вопросы можно получить тем же путем,
который привел учащихся к аксиоме о прямой, т. е. при помощи
решения соответствующих задач.

Задача 1. Через данную точку на плоскости провести
окружность.

Учащиеся выполняют эту работу и попутно выясняют, что за-
дача имеет бесконечное множество решений. При этом выяс-
няется, что за центры окружностей можно принимать любую точ-
ку плоскости, кроме данной точки; тогда все окружности, прохо-
дящие через данную точку, могут иметь как равные, так и нерав-
ные радиусы. Если же искомые окружности проводить одним и тем
же радиусом, то можно заметить, что центры всех окружностей в
этом случае будут лежать на окружности, проведенной тем же

Черт. 136

радиусом из данной точки как из центра, что иллюстрируется соот-
ветствующим чертежом (черт. 136, а и Ь); эта окружность есть гео-
метрическое место точек — центров окружностей, проходящих
через данную точку и имеющих равные радиусы.

Задача 2. Через две данные точки на плоскости провести
окружность.

Путем предварительного анализа условия задачи по вопросам
преподавателя учащиеся приходят к следующим выводам: данные
две точки по условию задачи должны лежать на искомой окруж-
ности, значит они должны быть равно удалены от центра той же ок-
ружности на расстояние, равное радиусу ее; в силу этого центр иско-
мой окружности должен лежать на перпендикуляре, проведенном из
середины отрезка, соединяющего данные точки; этот перпендикуляр
является геометрическим местом точек, каждая из которых равно
удалена от двух данных точек.

Из анализа вытекает и план решения задачи:

1)	данные точки соединить отрезком;

2)	разделить его пополам, построив соответствующий перпен-
дикуляр;
3)	произвольную точку этого перпендикуляра принять за центр
искомой окружности*;

4)	радиусом, равным расстоянию выбранной точки до одной из

данных точек, провести окружность с центром в выбранной точке.

Учащиеся выполняют все эти построения в указанном порядке
и получают искомую окружность, удовлетворяющую поставленным
условиям, что легко можно доказать (черт. 137).

Исследование решения этой
задачи не затруднит учащихся:
задача имеет всегда бесконечное

множество решений
строят еще несколько
окружностей).

(учащиеся
искомых

Полученный чертеж и прове-

денные рассуждения дают
ность сделать выводы:

1)	через две точки

возмож-

можно

провести бесконечное множество
окружностей;

2)	центры их расположены на
одной и той же прямой, перпен-
дикулярной к отрезку, соединяю-
щему две данные точки и прохо-
дящей через его средину;

3)	эта прямая есть геометри-
ческое место центров всех окруж-
ностей, проходящих через две дан-
ные точки.

Черт. 137

Задача 3. ’ Через три данные

точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность.

Прежде всего следует обратить внимание на то, что данные
три точки не лежат на одной прямой. Для построения искомой ок-

ружности надо определить положение ее центра и знать радиус.

Анализ. 1. Чтобы искомая окружность проходила через
одну пару заданных точек, центр ее должен лежать на перпендику-
ляре, проходящем через середину отрезка, соединяющего эту пару
точек.

2.	Чтобы та же окружность проходила через вторую пару то-
чек, центр ее должен лежать на втором перпендикуляре, прохо-
дящем через середину отрезка, соединяющего вторую пару
точек.

3.	Наконец, чтобы окружность проходила через обе пары то-
чек (иначе говоря, через три данные точки), центр ее должен од-

* Первые два пункта можно заменить таким одним пунктом, если это
будет понятно и доступно учащимся: построить ось симметрии двух данных
точек или еще таким: построить геометрическое место точек, каждая из
Которых равно удалена от двух данных точек; тогда и в третьем пункте можно
Пользоваться теми же терминами: ось симметрии или г. м. т.
повременно лежать на обоих перпендикулярах, т. е. в точке их
пересечения.

Таким образом, положение центра искомой окружности опре-
делено. Нахождение радиуса ее не представит затруднений.

Этот предварительный анализ завершается составлением плана
решения данной задачи:

1)	соединить отрезком одну пару данных точек;

2)	построить перпендикуляр к нему через середину его;

3)	соединить отрезком другую пару данных точек;

4)	построить перпендикуляр к нему, проходящий через сере-
дину его;

5)	точку пересечения обоих перпендикуляров принять за центр
искомой окружности;

6)	соединить его с одной из данных точек отрезком, который
принимается за радиус искомой окружности;

7)	построить окружность.

Учащиеся выполняют построение, проводят доказательство и
исследование. При данных условиях задача всегда имеет решение,
так как выполнимы все этапы решения задачи; решение будет од-
но, так как перпендикуляры могут пересечься только в одной точке.

Результат решения задачи и исследование его учащиеся фор-
мулируют в виде теоремы: «Через три данные точки, не лежащие
на одной прямой, можно провести окружность и притом толь-

ко одну».

О с н о в н
(окружности)
го диаметра
окружности;
точка на той

ы е свойства окружности. На чертеже
легко можно обнаружить, что концы каждо-
симметрично расположены относительно центра
значит каждой точке окружности соответствует
же окружности, симметричная с ней относительно

центра и служащая вторым концом диаметра, проведенного через
первую точку. Центр окружности является центром симметрии ее.

Точно так же выясняется осевая симметрия окружности. Пе-
регибанием модели около диаметра можно показать и соответствую-
щим рассуждением доказать, что каждой точке окружности соот-
ветствует точка на той же окружности, симметричная ей относитель-
но диаметра, каждый диаметр окружности есть ось симметрии ее,
значит окружность имеет бесчисленное множество осей симметрии
(диаметров).

После этого ставится задача: построить точку, симметричную
данной точке на окружности относительно данного диаметра.
Учащиеся изображают на чертеже условие задачи (окружность,
диаметр и точку на окружности), выполняют известное им пост-
роение и доказывают, что вторая точка на окружности будет сим-
метрична первой точке относительно данного диаметра.

При этом следует заметить, что отрезок перпендикуляра к диа-
метру, соединяющий две точки окружности, является хордой;
концы этой хорды (точки окружности) симметричны относительно
данного диаметра, а потому эта хорда, как и каждая дуга, стяги-
ваемая ею, делится диаметром, перпендикулярным к хорде, попо-
лам. Таким образом, получается теорема о свойстве диаметра,
перпендикулярного к хорде.

На том же чертеже надо взять еще несколько точек на окруж-
ности и построить симметричные им точки относительно того же
диаметра. Учащиеся замечают, что все хорды перпендикулярны к
одному диаметру, а потому все они параллельны между собой, каж-
дая из них этим диаметром делится пополам. Отсюда делается вы-
вод: диаметр, перпендикулярный параллельным хордам, есть гео-
метрическое место точек — середин этих хорд.

На этом же последнем чертеже легко обнаружить и свойство
дуг, заключенных между параллельными хордами, и доказать соот-
ветствующую теорему.

В порядке повторения следует предложить учащимся доказать
теоремы (прямую и обратную) о зависимости между дугами и хор-
дами (в случае равенства хорд или дуг). Затем надо рассмотреть и
тот случай, когда дуги (или хорды) неравны (в VI классе это было
принято без доказательства).

Наконец, вводятся новые теоремы о зависимости между хор-
дами и их расстояниями до центра сначала в случае равенства хорд
(прямая и обратная теоремы), а потом и неравенства их (прямая и
обратная теоремы).

46. ОКРУЖНОСТЬ И ПРЯМАЯ линия

Взаимное положение окружности и прямой линии

Изучение этого вопроса полезно начать с демонстрации следую-
щей модели (черт. 138): на плоскости имеется окружность и две
тонкие стальные спицы; одна из них, как прямая, вращается около

точки, лежащей вне окружности, а другая,
как луч, вращается около центра. Про-
цесс демонстрации:

1.	Прямая (первая спица) проходит
через центр окружности, совпадает по
направлению с лучом (второй спицей) и
пересекает окружность в двух точках —
в концах диаметра; она называется секу-
щей. В этом случае диаметр есть внутрен-
ний отрезок секущей и расстояние ее от
центра равно нулю. Легко доказать,что пря-
мая не может пересекать окружность бо-
лее чем в двух точках.

2.	Прямая, вращаясь, отходит от центра,

пересекает окруж-

ность в двух точках, а внутренний отрезок ее есть хорда; луч,
вращаясь около центра, приводится в перпендикулярное положе-
ние относительно секущей; внутренний отрезок его — радиус,
а отрезок его от центра до точки пересечения с секущей есть рас-
стояние d от центра до секущей; оно меньше радиуса (d<7?), при-
чем точка пересечения луча с секущей есть середина хорды. При
дальнейшем вращении секущей хорда уменьшается, как и соот-
ветствующая дуга, меньшая полуокружности, расстояние секу-
щей от центра увеличивается, но остается меньше радиуса (d<7?).

3.	При вращении секущей может наступить такой момент, ког-
да две точки пересечения на окружности сольются в одну; при этом
меньшая дуга и хорда обратятся в одну точку, значит секущая бу-
дет иметь с окружностью только одну общую точку. В этом случае
говорят, что прямая будет касаться окружности, и ее называют
касательной. Общая точка касательной и окружности называет-
ся точкой касания.

Расстояние от центра до касательной равно радиусу (d = У?),
в чем можно убедиться, доказав, что радиус, проведенный в точку
касания, перпендикулярен к касательной.

4.	При дальнейшем вращении прямой она полностью будет
находиться во внешней области и не будет иметь ни одной общей
точки с окружностью, а расстояние ее от центра будет больше ра-
диуса (d>7?).

Учащиеся изображают окружность, все возможные положения
прямой относительно окружности, повторно формулируют опреде-
ления секущей и касательной и доказывают теоремы о радиусе,
проведенном в точку касания (прямую и обратную).

Зависимость между расстоянием секущей от центра (d) и ра-
диусом (У?) следует записать отдельно.

Если d = 0, то прямая — секущая — проходит через центр;
внутренний отрезок ее — диаметр.

Если 0<d<7?, то прямая — секущая; внутренний отрезок ее —
хорда.

Если d = R, то прямая — касательная к окружности.

» d>7?, то прямая расположена вне окружности.

Касательная к окружности. Следует обратить
внимание учащихся на то, что касание окружности и прямой имеет
важное значение в практической жизни и в технике. Например,
колесо вагона стоит на рельсе: рельс—конкретное представление
прямой линии, а колесо — окружности, которая касается прямой
линии.

При графическом изображении схемы взаимного расположения
рельса и колеса вагона приходится на чертеже строить касатель-
ную прямую к данной окружности.

Задача 1. Через данную точку на данной окружности провести
касательную прямую к этой окружности.

Эту задачу учащиеся должны решить самостоятельно.

Задача 2. Через данную точку вне данной окружности провести
касательную прямую к этой окружности.

Данная задача имеет более сложное решение. Обычно в этом
случае пользуются свойствами вписанных углов, вследствие чего
решение ее относят на более поздний срок.
Но и в этом месте курса задачу можно решить способом, который был дай
Евклидом* ** (черт. 139).

Диализ. Даны окружность и точка А вне ее.

Полагаем, что задача решена, т. е. АК есть касательная (АК1.ОК).

Соединяем точку А с центром О данной окружности и радиусом ОА опи-
сываем вторую окружность с центром в той же точке О.

Продолжаем радиус ОК до пересечения со второй окружностью в точке В ,
которую соединяем с точкой С (точка пересечения
ОА сданной окружностью).

Получились два треугольника: АКО — прямо-
угольный и ОСВ.

Эти треугольники равны, так как ОВ = ОА
(как радиусы второй окружности), ОС=ОК (как
радиусы данной окружности), ^ДОВ у них общий.

Но первый треугольник АКО — прямоуголь-
ный, следовательно, и второй треугольник ОСВ то-
же прямоугольный и ^ОСВ=^OKA=d. Поэтому
отрезок ВС±ОА.

Отсюда вытекает план построения:

1.	Данную точку А соединить с центром данной

окружности.

2.	Радиусом ОА провести вторую окружность Черт. 139
из того же центра О.

3.	Из точки С (С—точка пересечения прямой ОА с данной окружностью)

провести перпендикуляр до пересечения со второй окружностью в точках
В и Bi.

4.	Точки В и Bi соединить с центром О, вследствие чего получаются точ-
ки К и Ki.

5.	Через точки А и К. а также через А и Ki провести прямые АК и АК1>
которые и будут касательными к данной окружности.

Построение выполняется по плану.

Доказательство аналогично тому, которое было проведено в процессе

анализа.

Исследование. 1. Задача всегда имеет решение, что следует

из процесса построения.

2. Из данной точки вне окружности можно провести две касательные
прямые к этой окружности.

47.	ОКРУЖНОСТЬ И УГЛЫ (ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ ДУГАМИ
ОКРУЖНОСТИ)	'N

Вопрос об измерении центральных углов дугами окружности
был рассмотрен еще в курсе геометрии VI класса. Поэтому теперь
в порядке повторения надо доказать теоремы о зависимости между
равными центральными углами и соответствующими им дугами
(прямая и обратная теоремы), а также рассмотреть и случаи, ког-
да дуги или центральные углы не равны. При этом надо подчерк-
нуть, что на основании первых двух теорем производится изме-
рение центральных углов дугами (практически при помощи тран-
спортира).

Результат измерения записывается так: ^.АОВ =

• «Начала» Евклида. Книга 3, предложение 17, 1918.

** Ж. А д а м а р. Элементарная геометрия, ч. I, изд. 3, 1948, стр. 32
а 77.
принимая последнее равенство за равенство чисел, измеряющих
центральный угол и соответствующую ему дугу.

Читается это равенство обычно так: центральный угол изме-
ряется соответствующей ему дугой.

Но в практике школы к такой записи относятся отрицатель-
но на том, якобы, основании, что «угол не может равняться ду-
ге». Это свидетельствует о том, что равенство ^AOB =v> АВ,

вопреки смыслу, считают записью конгруэнтности угла и дуги
(о чем здесь нет и речи). В силу этого в школе знак равенства в
этой же записи заменяется словом «измеряется»: ^АОВ измеряет-
ся оЛВ.

Возражать против формы последней записи нет смысла, но и
придерживаться этой словесной формы нецелесообразно. Запись
«^АОВ =А В» имеет большее право на ее применение, чем об-
щепринятая запись «ДЛВС = A\DEF» (о чем говорилось раньше).
Последняя запись, если не всегда, то время от времени должна

сопровождаться пояснением, что речь идет только о геометриче-
ском равенстве. Запись результата измерения центрального угла
в любой ее форме тоже нуждается в пояснении: это — арифмети-
ческое равенство, т. е. равенство чисел, измеряющих центральный
угол и соответствующую ему дугу; оно означает, что центральный
угол содержит столько угловых градусов (минут и секунд), сколь-
ко соответствующая ему дуга содержит дуговых градусов (минут
и секунд).

Чтобы наметить план дальнейшего изучения этой темы, препо-
даватель может при помощи соответствующей модели и черте-
жей продемонстрировать следующий процесс: продолжив не-

ограниченно за центр одну из сторон центрального угла, он пере-

мещает вершину его в том же направле-
нии за центр и соединяет каждый раз но-
вую точку с другим концом той же дуги,
на которую опирается центральный угол.
При этом получаются новые утлы, во-
первых, с вершиной сначала внутри ок-
ружности, потом на окружности и затем
вне окружности, во-вторых, величина этих
углов постепенно убывает, в чем легко
можно убедиться, принимая каждый пре-
дыдущий угол за внешний угол вновь
полученного треугольника (черт. 140).

Таким образом, отчетливо выявляют-
ся три группы углов—с вершиной вну-

три окружности, на окружности и вне
окружности, которые подлежат дальнейшему изучению (изме-
рение их дугами окружности).

Это изучение начинается с углов, вершины которых лежат

на окружности, так как они непосредственно связаны с централь-
ными углами.
Измерение углов с вершиной на окружности

•

Вписанные углы. В порядке введения к изучению
этой темы, если позволит время, полезно выяснить с учащимися
вопрос о том, что разумеется под «углом зрения» (или напомнить
об этом, если они уже имеют соответствующее понятие, например,
из курса физики). Для этой цели сначала в классной комнате мож-
но предложить задачу: определить, под каким углом зрения виден
передний край учительского стола, парты или кафедры, или же
световой пролет окна по горизонтали из разных мест. При помощи
планшета на подставке учащиеся из разных пунктов в классе ви-
зируют на оба края зримого предмета при помощи линейки, отме-
чают направление карандашом и транспортиро?л измеряют полу-
ченные углы (они могут быть разные по величине).

Затем в школьном зале или во дворе школы на ровном месте
изображается окружность возможно большего радиуса, на ней
отмечается вехами некоторая дуга (которую можно принять за
пролет двери, ведущей в полученный круг) и ставится первая за-
дача: определить, под каким углом зрения видна эта дуга из раз-
ных точек, лежащих на этой окружности.

На планшете отображается окружность, дуга на ней и несколь-
ко углов с вершинами на окружности, образованных хордами и
опирающихся на эту дугу. Преподаватель сообщает, что. такие
углы в окружности называются вписанными (составляется
и формулируется определение вписанного угла). Учащиеся изме-
ряют эти углы; они оказываются приближенно почти равными.

Затем ставится вторая задача: определить угол зрения, под ко-
торым видна та же дуга из центра окружности, т. е. определить
центральный угол, соответствующий этой дуге. Окажется, что он
почти вдвое больше каждого из углов с вершиной на окружности
и опирающихся на ту же дугу.

Это сравнение позволяет сделать вывод: вписанный угол ра-
вен половине центрального угла, соответствующего той же дуге.
Это — теорема.

Как известно, она может иметь и другую формулировку, а
именно: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую
он опирается.

Обе эти формулировки одинаково верны и имеют применение
при решении разного рода задач.

Итак, поставлена теорема, которую надо доказать.

Как известно, при доказательстве этой теоремы рассматривают-
ся три случая (когда центр окружности лежит на стороне угла, внут-
ри его и вне его).	!

Запись вывода может иметь такой вид: ^.АВС = у ^АОС,
или ^.АВС = уоЯС, или ^АВС измеряется ~ ^АС; последние
две записи читаются так: угол АВС измеряется половиной дуги АС.

Из этой основной теоремы, как известно, вытекают два след-
ствия. Первое из них подтверждает вывод, полученный из реше-
ния первой задачи: все вписанные углы, опирающиеся на одну и
ту же дугу, равны между собой (черт. 141). В связи с этим нетрудно
выяснить и свойство второй дуги, на которой лежат вершины этих
углов: все точки дуги и только эти точки (кроме концов дуги) мо-
гут быть приняты за вершины равных вписанных углов, опираю-
		щихся на данную дугу. Значит, вторая
Дуга есть геометрическое место точек, из
/L_______________\ которых данная дуга или данный отрезок

I/	(как хоРДа’ стягивающая эту дугу) видны

~~"о/ s' । под одним и тем же углом.

Л	Второе следствие из той же теоре-

\\	/мы — свойство вписанных углов, опираю-

у щихся на концы диаметра.

Угол между касательной
и х о р д о й. К той же группе углов с
Черт. 141	вершиной на окружности принадлежат

углы, образованные касательной и хор-
дой, проходящей через точку касания (обычно рассматривается
меньший из пары смежных углов). Изучение таких углов не вы-
зывает затруднений у учащихся. Доказательство теоремы следует
поручить самим учащимся, дав им указание: через свободный
конец хорды провести другую хорду, параллельную касательной
или провести диаметр из точки касания) (черт. 142).

Черт. 142

Углы с вершиной внутри окружности*

Учащиеся проводят две хорды, пересекающиеся внутри ок-
ружности и образующие вертикальные углы. Зная один из них,
можно определить и все остальные._Ставится задача: выяснить,
как намеряется один из этих углов.

* Синонимом окружности иногда является термин «круг», а потому
говорят «внутри круга» (см. Д. И. Перепелкин, Курс элементарной
геометрии, ч. 1 «Геометрия иа плоскости», Гостехиздат, 1948, стр. 61 и 62).
Доказательство теоремы проводят учащиеся.

В связи с этим полезно показать, что центральный угол входит
в ту же группу углов с вершиной внутри окружности и измеряется
полусуммой дуг, заключенных между его сторонами (радиусами)
и их продолжениями за центр до пересечения с окружностью.

Углы с вершиной вне окружности

Учащиеся строят угол, образованный двумя секущими с вер-
шиной вне окружности. Ставится задача об измерении этого угла
(теорема).

Для доказательства теоремы опять строится вспомогательный
вписанный угол (черт. 143).

Черт. 143

Частный случай той же теоремы, когда угол образован секу-
щей и касательной с вершиной вне окружности; это можно про-

демонстрировать при помощи соответству-
ющей модели и изобразить на чертеже
(черт. 144).

Так как касательную можно рассмат-
ривать как секущую, то угол, образован-
ный секущей и касательной, измеряется
так же, как и угол между двумя секу-
щими с вершиной вне окружности. Но
полезно предложить учащимся доказать
эту теорему и независимо от предыдущей
(черт. 145).

Наконец, еще более частный вид предс-
тавляет угол, образованный двумя каса-
тельными. Теорему об измерении его тоже
можно рассматривать как следствие из
основной теоремы или же доказать неза-
висимо от нее (черт. 146).
Преподаватель сообщает учащимся, что углы, образованные
двумя касательными, называются описанными и имеют ши-
рокое применение при решении различных задач.

Здесь же можно предложить учащимся и задачу на доказатель-
ство: отрезки касательных к окружности, выходящих из общей
точки, равны.

В порядке некоторого обобщения темы об измерении углов ду-
гами преподаватель может обратить внимание учащихся на то,

что каждый из ранее изученных углов можно
рассматривать как один из вертикальных углов,
образованных двумя секущими. При этом точка
пересечения их—вершина вертикальных углов—
может лежать в центре окружности (централь-
ный угол), внутри окружности, но не в центре
ее, на окружности (в частном случае — впи-
санный угол) и вне окружности.

Все эти случаи можно показать на под-
вижной модели, а потом отобразить на черте-
же (черт. 147).
48.	ОКРУЖНОСТЬ И ТРЕУГОЛЬНИКИ

Вписанные треугольники. Преподаватель пред-
лагает задачу: «Построить окружность, проходящую через всё
вершины данного треугольника».

Учащиеся вспоминают, чго эта задача была решена ими раньше,
когда шла речь об определении положения окружности на пло-
скости. Опп решают задачу, после чего преподаватель сообщает;
что в данном случае окружность называется описанной около тре-
угольника, а треугольник называется вписанным в окружность
(формулируются определения этих понятий).

Для решения данной задачи, как известно, достаточно из се-
редин двух сторон треугольника провести перпендикуляры к ним,
пересечение которых и служит центром описанной окружности.
Если из центра провести перпендикуляр к третьей стороне тре-
угольника, то она разделится этим перпендикуляром пополам.
Таким образом, выясняется, что перпендикуляры, проведенные из
середины каждой стороны треугольника, пересекаются в одной
точке (которая является центром описанной окруж-
ности) и перпендикуляры, проведенные из центра окружности,
описанной около треугольника, на стороны его, делят соответ-
ствующие стороны треугольника пополам (как хорды окружности).

При этом надо сообщить учащимся, что точка пересечения пер-
пендикуляров, проведенных через середины всех сторон треуголь-
ника, является одной из замечательных точек треугольника
(центр описанной окружности).

В дальнейшем в порядке повторения и учета знаний учащих-
ся и развития математической речи их преподаватель может ту
же задачу предлагать в иных редакциях, а именно:

1)	описать окружность около данного треугольника;

2)	построить точку пересечения перпендикуляров, проведен-
ных через середины всех сторон треугольника;

3)	построить центр описанной около треугольника окружности.

Предлагая учащимся задачу в одной из этих редакций, препода-
ватель указывает также определенный вид треугольника: остро-
угольный, прямоугольный и тупоугольный. Решая эти задачи,
учащиеся в каждом случае подмечают, что центр описанной около
треугольника окружности может находиться внутри треугольника
на одной стороне его и вне треугольника. Опираясь на известные
свойства вписанных углов, учащиеся самостоятельно доказывают
теорему о положении центра описанной около треугольника ок-
ружности (независимо от того, какой вид имеет треугольник отно-
сительно его сторон).

Описанный треугольник. В порядке повторения и
подготовки учащихся к изучению новой темы преподаватель пред-
лагает следующие задачи:

Задача 1. Построить окружность, которая касается сторон
данного угла.
Учащиеся проводят анализ и намечают план решения ее:

1)	построить биссектрису угла;

2)	из любой точки ее провести перпендикуляр на сторо-
ну угла;

3)	отрезком перпендикуляра, как радиусом, провести окруж-
ность из той же точки, как из центра.

Исследование решения приводит к заключению, что эта задача
всегда имеет бесконечное множество решений, что иллюстрируется
на том же чертеже (проводится еще несколько окружностей, ка-
сающихся сторон угла).

Преподаватель сообщает, что данный угол по отношению к ок-
ружности является описанным углом, а каждая окружность по
отношению к углу называется вписанной окружностью.

Задача 2. В данный угол вписать окружность с заданным цент-
ром на биссектрисе того же угла.

В порядке исследования решения каждой из этих задач обя-
зательно надо поставить и разрешить вопрос: в каждый ли угол
можно вписать окружность? Учащиеся, исходя из конкретных
примеров, приходят к заключению, что в острый, прямой и тупой
углы меньше 180° всегда можно вписать окружность.

Задача 3. Построить окружность, которая касается всех сторон
данного треугольника.

Учащиеся проводят анализ и выясняют, что для решения за-
дачи надо определить положение центра искомой окружности
и радиус ее.

Центр искомой окружности, как вписанной в каждый из внут-
ренних углов треугольника, лежит на биссектрисах этих углов,
значит в точке их пересечения; радиус искомой окружности есть
отрезок перпендикуляра, проведенного из центра на одну из сто-
рон треугольника.

Таким образом, намечается план решения задачи:

1)	построить биссектрисы двух внутренних углов треугольника
до взаимного пересечения их;

2)	из точки пересечения биссектрис провести перпендикуляр на
одну из сторон треугольника;

3)	радиусом, равным отрезку этого перпендикуляра, провести
окружность из точки пересечения биссектрис, как из центра.

Построение, доказательство и исследование учащиеся должны
провести самостоятельно.

Полученная окружность, как вписанная в каждый внутренний
угол треугольника, называется вписанной, а треугольник —
описанным (формулируются соответствующие определения).

Учащиеся самостоятельно доказывают теорему — следствие о
том, что все три биссектрисы внутренних углов треугольника пе-
ресекаются в одной точке, которая равно отстоит от всех сторон
треугольника и является центром вписанной окружности.

Точка пересечения биссектрис треугольника, как и точка
пересечения перпендикуляров, проведенных через середины всех
254
сторон треугольника, и точка пересечения медиан, является одной
из замечательных точек треугольника.

В порядке повторения и закрепления знаний учащихся ту же
задачу можно предлагать в разных редакциях:

1)	в данный треугольник вписать окружность;

2)	построить точку, равноудаленную от всех сторон тре-
угольника;

3)	построить центр вписанной окружности.

Внеописанные окружности в треугольнике.
Следующие задачи могут Сыть предметом занятий в математическом кружке.

Если вновь вернуться к вопросу об образовании треугольника попарным
пересечением трех отрезков, лежащих на соответствующих прямых линиях,
не проходящих через одну точку,то предыдущая задача может быть сформу-
лирована в такой редакции: «Построить окружность, касающуюся трех дан-
ных прямых, попарно пересекающихся и не проходящих через одну точку».

Учащиеся проводят анализ задачи и выделяют сначала только треуголь-
ник, а затем еще три незамкнутые фигуры, каждая из которых имеет три
стороны (из них одна сторона треугольника) и два угла (внешние углы треу-
гольника).

Биссектрисы обоих углов незамкнутой фигуры пересекаются и точка
пересечения нх будет центром окружности соответствующего радиуса, кото-
рая будет касательной к
обеим сторонам углов, т. е.
будет вписанной в эту незам-
кнутую фигуру; значит, она
будет удовлетворять условию
данной задачи — касаться трех
данных пересекающихся
ирямых.

Итак, в каждую незамк-
нутую фигуру можно вписать
окружность; центром ее будет if
точка пересечения биссектрис fi-
обоих внешних углов треуголь-
ника, а радиусом — отрезок
перпендикуляра, проведенно-
го из центра на любую сто-
рону незамкнутой фигуры.

Учащиеся выполняют все
построения (черт. 148), а затем
делают общий обзор послед-
ней задачи:

1)	три прямые, попарно
пересекающиеся и не имеющие
общей точки, образуют один

треугольник и три незамкнутые фигуры;

2)	в треугольник можно вписать окружность и притом только одну;

3)	в каждую незамкнутую фигуру тоже можно вписать окружность и
только одну;

4)	задача имеет четыре решения.

Первая окружность, лежащая во внутренней области треугольника,
называется внутривписанной илн просто вписанной окружностью; остальные
три окружности расположены вне треугольника н называются вневписан-
ными.
49.	ОКРУЖНОСТЬ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Можно наметить следующий порядок изучения темы.

1)	Выяснение условий, при наличии которых около четырех-
угольника можно описать окружность пли вписать в него окруж-
ность (прямые и обратные теоремы).

2.	Составление перечня тех частных видов четырехугольников,
около которых можно описать окружность и в которые можно впи-
сать окружность.

3.	Решение задач на построение описанных около четырехуголь-
ников и вписанных в четырехугольники окружностей.

Вписанные четырехугольники. Преподава-
тель предлагает учащимся построить окружность, наметить на
ней четыре произвольные точки, соединить их последовательно
отрезками прямых линий и выяснить свойство внутренних проти-
воположных углов в полученном выпуклом четырехугольнике.

Учащиеся видят, что получился вписанный четырехугольник,
а окружность — описанная около четырехугольника; внут-
ренние углы четырехугольника являются вписанными в окруж-
ности .

Опи самостоятельно проводят доказательство и формулируют
теорему о сумме внутренних противоположных углов вписанного
четырехугольника.

Затем составляется и доказывается обратная теорема.

Так как обе теоремы (прямая и обратная) справедливы, то де-
лается вывод, что условие обратной теоремы (если сумма проти-
воположных углов четырехугольника равна 2 d) является доста-
точным условием того, что около такого четырехугольника
можно описать окружность, а условие прямой теоремы (если че-
тырехугольник вписан в окружность) является необходи-
м ы м условием того, что сумма противоположных углов его будет
равна 2 d.

На основании выведенного свойства углов вписанного четырех-
угольника следует составлять перечень тех четырехугольников,
около которых можно описать окружность. После этого решают-
ся задачи на построение окружности, описанной около равнобоч-
ной трапеции, прямоугольника, квадрата и произвольного четы-
рехугольника, удовлетворяющего условиям теоремы.

Описанные четырехугольники. Преподаватель
предлагает учащимся построить окружность, наметить на ней
четыре произвольные точки, через каждую из них провести каса-
тельную прямую до взаимного пересечения с соседними касатель-
ными.

* В программу изучение вписанного четырехугольника в настоящее вре-
мя не входит. Поэтому последующий материал может быть использован для
заданий отдельным учащимся или в кружковой работе, как и построение
вневписанных окружностей треугольника.
Получился описанный четырехугольник, а окружность —
вписанная в четырехугольник; внутренние углы четырех-
угольника являются описанными, а стороны их —- касательными к
окружности, соответствующие отрезки которых равны.

Учащиеся записывают это свойство отрезков касательных в
определенного порядке, складывают полученные равенства и выяс-
няют свойство противоположных сторон четырехугольника. После
этого формулируется теорема, составляется обратная теорема и
доказывается справедливость ее.

Доказательство обратной теоремы, как известно, заключается
в следующем.

Условие теоремы: ABCD — четырехугольник,

АВ + CD = ВС + AD.

Заключение: в четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Точка пересечения биссектрис двух
внутренних углов четырехугольника, прилежащих к одной сто-
роне АВ (^А и ^В), определяет центр окружности О, которая
будет касательной к трем сторонам четырехугольника: DA, АВ
и ВС.

Первое допущение: окружность не касается четвертой стороны
CD, а пересекает ее. Тогда из вершины С (или D) проводится ка-
сательная CDi к окружности до пересечения со стороной AD (или
ВС). На основании прямой теоремы получается следующее соот-
ношение: АВ + CDi = ВС + ADi, которое сопоставляется с ус-
ловием теоремы. После вычитания первого равенства из второго
получается: DDi = CD i — CD, т. e. сторона /\CDDi равна раз-
ности двух других сторон, чего быть не может. Поэтому первое
допущение неверное.

Второе допущение: четвертая сторона CD не касается Окруж-
ности, а лежит вне ее (доказательство аналогичное и вывод тот же:
второе допущение неверное).

Третье допущение: окружность касается и четвертой стороны,
что удовлетворяет условию теоремы.

Из сопоставления прямой и обратной теорем выясняется, что
обратная теорема содержит достаточное условие для того,
чтобы четырехугольник можно было вписать в окружность, прямая
теорема содержит необходимое условие того, что суммы
противоположных сторон его равны.

Принимая во внимание достаточное условие, учащиеся состав-
ляют перечень тех четырехугольников, которые удовлетворяют
указанному требованию (ромб, квадрат и произвольный четырех-
угольник, у которого суммы противоположных сторон равны) и
решают задачи на построение окружностей, вписанных в эти че-
тырехугольники .
50.	ДВЕ ОКРУЖНОСТИ

Последующая работа посвящается изучению комбинации двух
окружностей.

Основными вопросами здесь являются: взаимное поло-
жение двух окружностей и построение общих касательных к двум
окружностям.

Взаимное положение двух окружностей.
Применение идеи движения в значительной мере облегчает выяс-
нение данного вопроса. Для этой цели полезно использовать мо-
дель и соответствующие чертежи. Модель (черт. 149) представ-
ляет собой картонный или фанерный прямоугольник, в котором
сделана узкая прорезь; большая окружность с центром на проре-
зи изображается на плоскости прямоугольника; малой окружно-

Черт. 149

стью является окружность круга из тонкого картона, обведенная
тушью; в центре круга укреплен штифт, пропущенный через про-
резь, благодаря чему круг может двигаться вдоль прорези.

Преподаватель демонстрирует модель примерно в том распо-
ложении обеих окружностей, которое указано на чертеже 149.
Учащиеся указывают основные геометрические элементы этой
конструкции: две окружности, центры, радиусы и диаметры их,
прямая линия, проходящая через центры, и отрезок ее, расстояние
между центрами.

Затем та же конструкция воспроизводится на классной доске
и в тетрадях в виде чертежа.

В последующей беседе преподаватель сообщает учащимся, что
прямая, проходящая через центры обеих окружностей, называет-
ся линией центров, отрезок ее OOi является расстоя-
нием (d) между центрами, окружность Oi расположена вне
окружности О и не имеет с ней общих точек. Такое расположение
двух окружностей называется внешним расположением.

Линия центров является осью симметрии обеих окружностей
и осью симметрии всей фигуры.

Расстояние между центрами обеих окружностей больше суммы
их радиусов (черт. 149).
Преподаватель на модели перемещает малую окружность (круг)
вдоль линии центров (прорези) по направлению к большей ок-
ружности до совпадения точек В и А (обе точки на линии центров).
Расстояние между центрами уменьшается и становится равным
сумме радиусов.

Обе окружности остаются одна вне другой, но теперь они имеют
одну общую точку — точку касания и называются внешне-
касательными.

Учащиеся воспроизводят на чертеже ту же конструкцию.

Продолжая перемещение малой окружности на модели в том
же направлении, получают новое расположение обеих окружно-
стей: они имеют две общие точки — пересекаются, а рас-
стояние между их центрами меньше суммы радиусов (d<7? + г).

Учащиеся строят соответствующий чертеж, повторяют выводы
и дополняют их:

1)	две окружности пересекаются только в двух точках:

2)	точки пересечения их симметричны относительно линии
центров;

3)	общая хорда обеих окружностей, соединяющая точки пере-
сечения их, перпендикулярна линии центров и делится ею по-
полам.

Остается выяснить зависимость между радиусами и расстоя-
нием между центрами. Учащимся уже известно, что d<7?+r.
Но этого условия недостаточно, в чем можно убедиться при помощи
той же модели: преподаватель перемещает малую окружность в
том же направлении до тех пор, пока она не будет лежать внутри
большой окружности; учащиеся видят, что хотя d<7? + г, но
окружности не пересекаются.

После демонстрации этого положения малую окружность воз-
вращают в предыдущее положение (пересечение).

Соединив одну из точек (£) пересе-
чения обеих окружностей с центрами
О и 01 (черт. 150), учащиеся получают
треугольник OEOi, в котором
ОЕ — 0iE<00i<0E + OiE или
7?—r<d</?+r. Это и есть доста-
точное условие, при котором
осуществляется пересечение двух ок-

ружностей.	Черт. 150

Затем продолжается процесс пе-

ремещения малой окружности до совмещения точек А и D (сна-
чала на модели, а потом строится соответствующий чертеж).

Естественно и это расположение окружностей назвать ка-
санием, но внутренним касанием, так как они имеют
одну и только одну общую точку (на линии центров). Легко выяс-
няется в этом случае и расстояние между центрами их: OOi =
= О А — OiA или d = Ё — г.

При дальнейшем перемещении малой окружности в том же на-
правлении получается новое расположение их, когда они не имеют
ни одной общей точки и одна из них расположена внутри другой —
внутреннее расположение окружностей. Легко выясняется,
что d< R — г.

Сами учащиеся могут подметить, что частным случаем такого
расположения двух окружностей будет совпадение их центров
(d = 0). Преподаватель сообщает, что в этом случае окружности
называются концентрическими.

Составляется общая таблица тех формул, которые были выве-
дены раньше и которые выражают достаточные условия взаимного
расположения двух окружностей:

d >/? + г — внешнее расположение — нет общих точек,
d = R г — внешнее касание — одна общая точка,

R — r< d<R + г — пересечение	— две общие точки,

d = R — г — внутреннее касание — одна общая точка,
d < R — г — внутреннее расположение — нет общих точек,
d = 0 — концентрическое расположение — нет общих точек.

Построение общих касательных к двум
окружностям. Комбинация двух окружностей имеет весь-
ма широкое применение в технике, в частности в таком передаточ-
ном механизме, который представляет собой два шкива н туго на-
тянутый на них передаточный ремень.

Преподаватель демонстрирует в классе модель такого механизма
с прямой и обратной (или перекрестной) передачей. Анализирует-
ся механизм с геометрической точки зрения: в нем выделяются две
внешне расположенные окружности и общие касательные к ним —
внешние или внутренние.

Ставится задача о построении общих касательных к двум ок-
ружностям при различных взаимных положениях их.

51.	ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Окружности, как и комбинации окружностей с различными
прямолинейными фигурами, имеют очень широкое практическое
применение. Задача практических занятий учащихся и заключает-
ся в том, чтобы научиться видеть эти геометрические образы в
предметах окружающей жизни, в частности в простейших меха-
низмах и приспособлениях и уметь строить схемы таких механиз-
мов, решая задачи на построение.

Так, например, при изучении темы об окружности и прямой
линии, в частности при изучении касания их, учащиеся рассмат-
ривают схему устройства простого блока, в которой усматривается,
что трос или веревка в этом механизме является касательной внут-
ренней окружности желобка круга-блока; отсюда возникает и за-
дача о построении касательной к данной окружности.

С этой же темой связаны задачи на построение сопряжений ок-
ружностей разных радиусов и дуги окружности с прямой линией,
260
что, например, в простейшем случае имеет место при построении
аркады (черт. 151). Подобную же задачу можно решать на мест-
ности, когда два прямолинейных участка дороги связываются до-
рогой в виде дуги окружности (черт. 152), что опять приводит к
задаче о построении касательной к окружности.

При решении задач на построение центра окружности пли ду-
ги полезно ознакомить учащихся с центроисКателем, который упот-
ребляется в токарном деле, и научить их пользоваться этим при-

бором (черт.

Черт. 151

153).

При изучении измерения углов при помощи
дуг окружности учащиеся могут в классной об-
становке на классном полигоне решать задачу
«о круге опасной зоны: если на пути к гавани имеют-

ся мели, а на берегу расположены два маяка, то надо построить
окружность, которая проходит через оба маяка и охватывает всю
опасную зону». Эго — задача на построение дуги окружности
(сегмента), из каждой точки которой (кроме концов дуги) оба мая-

ка видны под определенным углом.

Более сложной задачей того же типа является задача Potenofa.

геометрический смысл которой сводится к тому, чтобы найти
точку, из которой два данных отрезка видны под данными углами.
Наблюдатель, находясь в точке М горизонтальной плоскости,
видит три недоступные точки А, В и С, не лежащие на одной пря-

мой, расстояния между которыми из-
вестны. Из точки М отрезки АВ и
ВС видны соответственно под угла-
ми а и р. Определить местоположе-
ние наблюдателя (точки М*).

Графически задача решается очень
просто: на отрезках АВ и ВС стро-
ятся дуги окружности (сегмента),

Черт. 154

соответственно вмещающие углы а
и Р; пересечение этих дуг опре-
деляет положение точки М (черт. 154).

* Современный вариант той же задачи: если радист на корабле в море
знает иаправлення трех радиомаяков, не лежащих На одной прямой, и рас-
стояния между ними, то он может определить и положение корабля.
Большой интерес и широкое практическое применение имеет
задача «о разметке» дуги окружности. Эту задачу можно поставить
как в классе, так и на местности: через три данные точки А, В и
С, не лежащие на одной прямой, провести

Черт. 155

дугу окружности, если центр дуги не-
доступен* (черт. 155).

Решение этой задачи сводится к
нахождению достаточного числа про-
межуточных точек, лежащих на иско-
мой дуге, которые потом последователь-
но соединяются плавными линиями (на чер-
теже при помощи лекала или от руки).
Эти точки (например, D и Е) являются
точками пересечения биссектрисы угла
АСВ (или ВЛ С) и перпендикуляра DK
(или EL), проведенного через середину
отрезка АВ (или ВС). Точно так же оп-
ределяются и промежуточные точки F,
G, Н и т. д.

При изучении комбинации двух окружностей учащиеся могут

ознакомиться с системой зацепления двух зубчатых колес и по-
строить схему этой системы (черт. 156), которая служит для пере-

дачи движения.

Черт. 156

Для той же цели в технике применяется ременная передача,
схема которой приводит к решению различных задач на построение
общих касательных к двум окружностям.

* Примером такой дуги на местности может служить закругление желез-
нодорожного пути.
Глава X

ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

52.	ОБЩИИ ОБЗОР ТЕМЫ

Содержание темы. С VIII класса начинается изучение
метрической геометрии на плоскости. Основное содержание этого
курса составляют вопросы измерения геометрических величин —
отрезков, длины окружности и дуги окружности, углов, площадей
прямолинейных плоских фигур, площади круга и его частей.

Измерение отрезков при этом является основанием для изу-
чения целого ряда новых вопросов: отношения и пропорциональ-
ности отрезков, подобного преобразования плоских фигур, изме-
рения площадей плоских фигур и др.

Простейший геометрический материал и простейшие приемы
измерения геометрических величин, полученные и усвоенные
учащимися в течение первых пяти лет обучения в средней школе,
должны иметь самое широкое применение во всех последующих
классах при решении практических задач по арифметике, алгебре
и геометрии.

Тогда учащиеся перейдут в VIII класс с достаточно прочными
и твердыми измерительными и вычислительными навыками.

В VIII и в следующих классах надо подвести теоретическую
основу в доступном для учащихся изложении под известные прие-
мы измерения (теория измерения отрезков и площадей некоторых
плоских фигур).

Понятие величины. Понятие величины есть первичное
понятие и потому оно не определяется. Обычно под этим понятием
подразумевают «свойство совокупности объектов» (например, гео-
метрических: отрезков, углов, и дуг), по отношению к которому
установлены критерии их сравнения, т. е. признаки их равенства
или неравенства (больше, равно или меньше).

В математике, физике и механике встречаются величины двух
родов. Одни из них вполне определяются одним числом, получен-
ным в результате измерения их однородной величиной, принятой за
единицу, и называются скалярными величинами или просто
скалярами, например температура, длина, площадь, объем,
масса тела и т. п. Для определения других величин надо указывать
не только числовое значение их, но еще и направление; они назы-
ваются векторными величинами или просто вектора-
м и, например сила, скорость, ускорение.

Однородными называются такие величины, которые яв-
ляются состояниями одной и той же скалярной величины и могут
быть сравниваемы, т. е. одна из них может быть больше другой,
меньше ее или равна ей.

Некоторые величины можно рассматривать, как составленные
из частей, которые в свою очередь тоже являются величинами,
однородными со всей величиной. Такие величины называются
аддитивными. Например, отрезок есть аддитивная вели-
чина, так как часть его есть тоже отрезок; площадь фигуры и объ-
ем тела тоже примеры аддитивных величин*.

В силу этого каждый отдельный объект той совокупности, свой-
ство которой называется величиной (например, отдельный отре-
зок, угол или дуга), можно рассматривать как состояние этой ве-
личины, которое, во-первых, тоже называется величиной**, во-
вторых, характеризуется ранее приведенными словами — больше,
равно, меньше (качественная характеристика), например отрезок
А больше (равен или меньше) отрезка В, в-третьих, характе-
ризуется числом, полученным в результате измерения; это число
называется значением величины (число а — значение ве-
личины Л). Между этими числами сохраняются те же соотношения
сравнения, какие имеются и между разными состояниями величи-
ны, например, между разными дугами одной и той же окружности:
если Л>В, то а>Ь, А = В, то и а = Ь, Л<В, то и а<_Ь, где Л
и В — отдельные объекты, а и b — соответствующие значения их.

Если величина Л состоит из частей В и С (В и С — величины),
т. е. Л = В+С, то В и С называются слагаемыми, а вели-
чина Л — суммой (слагаемость величин).

Если т — натуральное число, то существует следующее соот-
ношение: Л = тВ, т. е. величина Л может быть разделена на
т равных частей (принцип непрерывной дробимости).

Общая задача измерения величин состоит в том, чтобы каждому
состоянию данной величины поставить в соответствие некоторое
положительное действительное число, удовлетворяющее опреде-
ленным требованиям.

* М. К Гребенча и С. Е. Ляпин. Арифметика, Учпедгиз,
1952. стр. 202—204.

** Один и тот же термин «величина» обозначает два различных понятия:
а) величину вообще, например длина, площадь, объем и др., не определяя
ничего конкретного, и относится только к виду величины; б) одно из состоя-
ний величины, которая имеет вполне определенное значение, например длина
данного отрезка. Двоякий смысл термина «величина» (например, площадь
вооб це н площадь данного прямоугольника) объясняется тем. что в мате-
матике нет специальных терминов для обозначения этих понятий (см. преды-
дущую сноску).
Ь настоящее время в курсе элементарной геометрии средней
школы более или менее подробно рассматриваются только три за-
дачи измерения геометрических величин: длины (отрезков и ок-
ружностей), площадей (прямолинейных фигур и круга, а также
площади поверхностей геометрических тел) и объемов (геометри-
ческих тел).

53.	ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

Измерение отрезков в учебной литера-
туре. Почти во всей учебной литературе вопрос об измерении
отрезков рассматривается при помощи понятия наибольшей
общей меры двух отрезков. Это понятие аналогично понятию
наибольшего общего делителя в арифметике на-
туральных чисел. Введение такого понятия в курс геометрии было
сделано Евклидом в его «Началах», где многие вопросы арифме-
тики рассматривались на геометрическом материале (в частности,
вопрос о пропорциях). Это понятие наибольшей общей меры (н.о.м.)
лежит иногда в основе определения соизмеримых и несоизмеримых
величин (в частности, отрезков).

Учебник геометрии А. П. Киселева содержит именно такое
изложение этого вопроса: сначала вводится понятие общей меры
двух отрезков (§145), затем теоремы, на которых основано нахож-
дение наибольшей общей меры и аксиома измерения Архимеда
(§ 146), процесс нахождения н.о.м. двух отрезков (§ 147), опреде-
ление соизмеримых и несоизмеримых отрезков (§ 148) и рассматри-
вается один пример несоизмеримых отрезков — диагональ квадра-
та и сторона его (§149). И только после этого вводится понятие об
измерении отрезков (§150): в случае соизмеримости их, когда в
результате измерения получается рациональное число и в случае
несоизмеримости их, когда процесс измерения оказывается беско-
нечным, в результате получается бесконечная десятичная непе-
риодическая дробь — иррациональное число, которое и принимает-
ся за длину измеряемого отрезка при выбранной единице измерения.

Этот способ традиционный, он не вызывал никаких более или
менее серьезных возражений и замечаний.

С выходом в свет книги профессора Н. А. Глаголева в 1944 г.
намечается иной путь изучения измерения отрезков, где совсем
не вводятся ни понятие наибольшей общей меры, ни алгоритм Евкли-
да «как устаревшие и не имеющие в настоящее время ни теоретиче-
ского, ни практического значения»*. Для определения соизмеримых и
несоизмеримых отрезков используются только понятия рацио-
нального и иррационального чисел.

Такой способ изучения вопроса об измерении отрезков в виде
опыта проводился в некоторых школах г. Москвы.

* Н. А. Глаголев, Элемеитариая геометрия, «Планиметрия»
Учпедгиз, 1944.
Но до сих пор этот опыт недостаточно изучен главным обра-
зом потому, что сам автор после выхода в свет первой
части своего учебника умер. В методической литературе* и до
сих пор еще высказывается мнение, что более целесообразно в шко-
ле пользоваться старым способом Евклида.

Однако в новой программе по геометрии совершенно отсутствует
понятие общей меры двух отрезков, а в объяснительной записке
к программе говорится: «Здесь нужно обобщать обычный для метриче-
ской системы способ измерения длин, предполагая, что мы допускаем
измельчение единицы длины не только в десятые, сотые, тысяч-
ные и т. п. доли, но и вообще в доли вида у^, где п — любое нату-
ральное число, и показать, что такой способ приведет тогда к вы-
ражению длины в виде бесконечного (в частном случае конечного)
десятичного разложения. Если оно окажется периодическим, то
это означает, что полученное число рационально и измеряет отре-
зок, соизмеримый с единицей; если непериодическим, то получает-
-ся число, называемое иррациональным, а измеряемый отрезок не-
соизмерим с единицей».

В учебнике Н. А. Глаголева в значительной мере и отражается
именно эта точка зрения.

Однако надо заметить, что если понятие наибольшей общей
меры является «устаревшим», то понятие общей меры само по себе
остается в силе.

Оно имеет место в процессе измерения соизмеримых отрезков в
виде той доли единицы измерения, которая содержится целое чис-
ло раз как в измеряемом отрезке, так и в основной единице измере-
ния. Это же понятие очень удобно и для определения соизмеримых
и несоизмеримых отрезков: оно более конкретно и понятно, чем
определение в учебнике Н. А. Глаголева, где в основу его кладет-
ся результат измерения — рациональное или иррациональное
число.

Поэтому понятие общей меры в курсе элементарной геометрии
целесообразно сохранить, а понятие наибольшей общей меры и
особенно алгоритм нахождения ее полностью исключить.

Основные положения теории измере-
ния отрезков. Измерить данный отрезок А — значит по-
ставить ему в соответствие некоторое положительное число, которое
называется длиной этого отрезка и обладает следующими свой-
ствами:

1.	Равные отрезки имеют и равные длины, т. е. при перемеще-
нии отрезка длина его не изменяется (свойство инвариантности по
отношению к движению).

2.	Если отрезок а есть сумма двух или нескольких отрезков,
то длина его равна сумме длин слагаемых отрезков (свойство адди-
тивности).

* В. М. Б р а д и с. Методика преподавания математики в средней
школе, Учпедгиз, 1951.
Следствие: большему отрезку соответствует и большая длина.

3.	Одному произвольно выбранному отрезку т соответствует
длина, равная 1.

Такой отрезок называют единицей измерения длин
или единичным отрезком.

Кроме того, вводится еще аксиома Архимеда (аксиома изме-
рения):

Для любых отрезков а и b всегда найдется такое натуральное
число л, что Ьп>а (или -^-<6).

Процесс измерения отрезков состоит в том, что единица изме-
рения откладывается последовательно на измеряемом отрезке и
при этом ведется счет; в результате счета получается число, ко-
торое принимается за длину отрезка, если нет остатка.

Если получится остаток n<rn (т— единица измерения), то
а) единица измерения т делится на л равных частей (—= mi)
и б) остаток измеряется новой единицей измерения ли и т. д.

В результате измерения получается действительное число —
длина данного отрезка — при определенной единице измерения:
рациональное число (целое или дробное) или иррациональное.

Измерение отрезков. Изучение этого вопроса в
VIII классе начинается с повторения процесса измерения отрезков
(на конкретных примерах). Затем расширяется истолкование это-
го процесса при рассмотрении таких случаев, когда в результате
измерения получается не натуральное число, а дробь, но процесс
измерения остается конечным. И, наконец, вводится понятие о
бесконечном процессе измерения, когда в результате получается
бесконечная десятичная дробь.

Первый случай (длина отрезка — натуральное число).
Отдельные учащиеся выполняют непосредственные измерения не-
скольких отрезков в классе: длины или ширины классной доски и
крышки классного стола, переплета книги, ширины грани гране-
ного карандаша. Для выполнения каждого задания сами учащиеся
должны выбирать соответствующую единицу измерения — метр
и дециметр в виде отдельных эталонов, сантиметр и миллиметр —
на градуированной линейке.

При этом особо отмечается, что процесс измерения метром и
дециметром состоит в откладывании (единицы измерения
на измеряемом отрезке) и с ч е т е (отложенных единиц); в резуль-
тате счета получается число — длина отрезка.

При измерении длины или ширины переплета книги или ши-
рины грани карандаша мерной линейкой надо выяснить, что про-
цесс измерения по существу остается тот же — откладывание еди-
ницы измерения (сантиметра или миллиметра) и счет, но этот про-
цесс значительно упрощен: единицы измерения уже отложены на
линейке и частично выполнен счет (числовые отметки на линейке).

В последующей беседе делаются выводы:
1.	За единицу измерения отрезков принимается отрезок (метр,
сантиметр, миллиметр, километр).

2.	Процесс измерения отрезка состоит в откладывании (едини-
цы измерения на измеряемом отрезке) и в счете (отложенных
единиц).

3.	В результате счета получается натуральное число — длина
отрезка, которое показывает, сколько раз единица измерения уло-
жилась на измеряемом отрезке.

4.	Это число — длина отрезка — должно удовлетворять сле-
дующим требованиям (законы измерения отрезков):

а)	равные отрезки имеют равные длины (при одной и той же
единице измерения).

б)	длина отрезка, состоящего из нескольких отрезков, равна
сумме длин составляющих отрезков.

Эта беседа завершается некоторым обобщением и графическим
оформлением.

На чертеже изображается отрезок а; для измерения его берется
другой отрезок b — единица измерения (с таким расчетом, чтобы
он уложился на отрезке а целое число раз).

Учащиеся выполняют процесс измерения — откладывание (при
помощи циркуля) и счет и записывают результат: а — 1b (или в
более общем виде: а = kb); это значит, что отрезок а содержит
7 (или k) единиц длины или иначе: целое число 7 (или k) показы-
вает, что Ь — единица измерения — укладывается 7 (или k) раз
на измеряемом отрезке а. Это число —7 (или k) — называется дли-
ной о тр ез ка а при единице измерения Ь.

Второй случай (длина отрезка — дробь или целое
число).

а)	Отрезок b уложился на отрезке а 7 (или k) раз и остался
остаток Г1<Ь. Тогда а>1Ь (или a>kb).

Отложив отрезок b еще один раз, будем иметь а<86 или
а<(Л+ 1)6.

Сопоставляя полученные результаты в первом и во втором слу-
чаях в общем виде (а = kb, а> kb и а<(6+1)6), нетрудно сде-
лать следующий вывод: если имеются отрезки а и Ь, причем а>Ь,
то путем откладывания отрезка b на отрезке а всегда можно
найти такое натуральное число k, что 66<о<(&-|- 1)6.

Это утверждение называется аксиомой Архимеда.

Замечание. При выборе отрезка 6 как единицы измерения
на него не накладывается никаких ограничений (в частности, 6
может быть больше или равно а; тогда k будет равно 0 или 1), сле-
довательно, каждый отрезок может быть принят за единицу из-
мерения другого отрезка.

Итак, отрезок 6 уложился на отрезке а семь раз и остался остаток
Г1<6. Тогда полученный результат можно записать так: а —
= 76 + п.

б)	Чтобы измерить отрезок п, надо 6 разделить на п
равных частей, например на 10, и одну такую часть (^-)принять
за новую единицу измерения и откладывать ее на отрезке п столь-
ко раз, сколько возможно.

„	? 4h

Допустим, что она уложилась ровно четыре раза: г> = ‘*То==То°‘

Тогда а = 7b + b = 7, 4Ь.

В этом случае b — единица измерения, а 7,4 — длина отрезка
а (дробное число).

Если же последнее равенство записать иначе, а именно:
а=7Ь-\-^Ь—74- ~ и за единицу измерения принять отрезок

, то мы получим, что длина отрезка а теперь целое число 74 (ко-
торое показывает, сколько раз новая единица измерения укла-
дывается на отрезке а).

При этом следует обратить внимание учащихся на то, что новая
единица измерения (~) представляет собой отрезок, который ук-
ладывается десять раз на отрезке b и 74 раза на отрезке а, т. е.
он укладывается целое число раз на обоих отрезках а и b и назы-
вается общей мерой их. Учащиеся формулируют опре-
деление общей меры двух отрезков.

Замечания. 1. Одна из равных частей отрезка (напри-
6	6	.

мер, половина его треть gg и т. п.) тоже является в данном
случае общей мерой отрезков а и Ь.

Следовательно, отрезки а и b в данном случае могут иметь бе-
сконечное множество общих мер.

2.	Если а = 7Ь (1-й случай), то отрезок b — единица измере-
ния — тоже является общей мерой отрезков а и Ь, как и любая
из равных долей его (— при п = 2, 3, 4...).

в)	Может случиться, что уложится на отрезке ri четыре
b	. Ь .

раза и останется еще отрезок г2 <уд, т- е- И = 4-^g+r2; тогда

а = 7Ь + 4	+ г2.

Чтобы измерить отрезок г г, надо опять разделить на п
равных частей (в нашем примере на 10) и новую единицу измерения
( jgj ) откладывать на отрезке г г. Сначала опять допустим, что
уложилась ровно шесть раз, т. е. гг = 6-jg-2=[^-2"b.

Тогда a=7b + -b+Afe=7,466=746^.

Из этих записей видно, что если за единицу измерения принять
отрезок Ь, то длина отрезка а будет дробным числом (7,46); если
же за единицу измерения принять у^,, то длина отрезка а будет
целым числом (746).

И в этом случае надо отметить, что новая единица измерения
— ) тоже является общей мерой отрезков а и Ь.

г)	Если у^-2 уложится на отрезке г 2 шесть раз и останется оста-
г ь ,	. ь

ток га, т. е. Г2 = 6-	+ га, где гз<уде, то для измерения его надо

6	1 О	’’

Уде вновь разделить на 10 равных частей и новую единицу измере-
ния (у^-8) откладывать на отрезке га. Этот процесс измерения мож-
ь

ио продолжать до тех пор, пока у^ уложится на последнем остатке
гп целое число раз, т. е. не получится при этом нового остатка.
В таком случае процесс измерения окончен.

Теоретически в результате будут получаться тысячные, деся-
титысячные и еще более мелкие доли, что может быть записано,
например, так: а = 7,46576 и а =74657 у^.

Эти записи подтверждают предыдущие выводы о том, что длина
отрезка а может быть дробным числом при единице измерения b
и может быть целым числом при единице измерения у^ (в нашем

Ь . л	Ь

примере при y^j). При этом опять подчеркивается, что у^- яв-
ляется общей мерой отрезков а и Ь.

Если преподаватель найдет возможным, то в порядке повторе-
ния только что описанного процесса может отдельные результаты
измерения записать в общем виде:
после 1-го измерения: а = kab + fi,
после 2-го измерения: а — kob + у^6 + г2 = (k0 + у^)6 + г2;
после 3-го измерения: а = kob+^b+ ^b+r3=(k0+^+^)b+ra;
после 4-го измерения: а=АоЬ+^Ь-Е^Ь+-^^+г4=(Ао+^+у^+
+ + г«:

после 5-го изменения: а=к0Ь+~Ь+-^Ь+^Ь-[-^Ь+г6=(к0+^+

+ 1ог)й+Гб’

после (п + 1)-го измерения: а=(А0+^+-^+ • • •

или в = (10п6о + Ю"'1^ -(- 10"-2А2 + . . . + ЮАЯ.[ + Ап)-|рл.
В первой конечной записи длина отрезка выражается десятич-
ной дробью при единице измерения Ь, во второй она выражается
целым числом при единице измерения (п=0, 1,2,3... и 0</г,-<
< 9); при этом отрезок, равный ^.является общей мерой отрез-

ков а и Ь.

Формулируется определение соизмеримых отрезков (как имею-
щих общую меру).

Третий случай (бесконечный процесс измерения). Со-

вершенно естественно возникает вопрос: всегда ли возможно в
описанном процессе измерения отрезков найти такую долю еди-
ницы измерения Ь(^ при п = 2, 3, 4...), которая уложится целое
число раз на каком-либо из остатков, благодаря чему закончится
и процесс измерения?

Замечание. Практически процесс измерения отрезков
(как и любой иной величины) на некотором этапе всегда будет за-
кончен, так как нельзя единицу измерения делить без конца на
более мелкие доли и процесс откладывания мелкой единицы из-
мерения тоже ограничен пределом точности инструментов и чув-
ствительности нашего зрительного аппарата.

Ответ на поставленный вопрос можно получить из решения сле-
дующей задачи.

Задача. Измерить диагональ квадрата (d), приняв сторону
его (а) за единицу измерения.

Учащиеся строят квадрат со стороной а см и проводят диаго-
наль d. По чертежу сразу видно, что а, как единица измерения, уло-
жится на диагонали только один раз. Поэтому за единицу изме-

рения следует принять некоторую долю а, для чего а надо разде-
лить на р равных отрезков, обозначив один из них буквой m (т. е.

= m и a— pm).

Предположим, что отрезок m ук-
ладывается на диагонали d ровно q
раз (ри q — целые и взаимно про-
стые числа); в таком случае он дол-
жен быть общей мерой отрезков а и d.

На диагонали квадрата, как на сто-
роне, построим новый квадрат
(черт. 157).

Определим площади обоих квадра-
тов: S1 = (pm)2 и S 2 = (qm)2. Но 5 2 =
=2Si; поэтому (qm)2 = 2(рт)2и q2=2p2.

Затем следует известное рассуждение:

1)	2р2 — четное число, а потому q2
тоже четное число и делится на 4,
так как q2 = (2&)2 = 4&2;
л Л 4	9

2)	р2 =	—четное число, а потому и р2 — тоже четное

число и делится на 4;

3)	получилось, что р2 и q2 — четные числа, а потому р и q —
тоже четные числа;

4)	но это противоречит условию, в котором дано, что р и q —
взаимно простые числа;

5)	значит, предположение о том, что т = укладывается на
диагонали d ровно q раз, неверное; а потому т не является общей
мерой and. Следовательно, сторона квадрата, как и любая часть
ее, не может уложиться целое число раз на диагонали того же
квадрата, т. е. диагональ и сторона квадрата не имеют общей ме-
ры (теорема).

Отрезки, которые не имеют общей меры, называются несо-
измеримыми (определение).

Преподаватель может сообщить учащимся, что диагональ квад-
рата и сторона его — не единственный пример несоизмеримых
отрезков. В дальнейшем будет много таких примеров (так, осно-
вание и боковая сторона равнобедренного треугольника, образован-
ного двумя смежными сторонами правильного пятиугольника и
соответствующей диагональю его, — тоже несоизмеримые отрезки;
доказательство можно провести в кружке).

Итак, отрезок m =-^- не может быть единицей измерения диаго-
нали квадрата в том смысле, какой до сих пор придавался поня-
тию «единица измерения» (чтобы она или доля ее укладывались на
измеряемом отрезке целое число раз).

В таком случае встает новый вопрос: можно ли измерить диа-
гональ квадрата, приняв сторону его за единицу измерения?

Процесс непосредственного измерения отрезков — откладыва-
ние и счет —- хорошо известен учащимся. Поэтому ответ на по-
ставленный вопрос они могут получить сами, выполняя непосред-
ственные измерения.

Они строят квадраты достаточно больших размеров (в тетради
со стороной 10 см, на классной доске —50—100 см или, что еще
лучше, надо иметь готовый плакатный чертеж квадрата на милли-
метровой бумаге со стороной 100 см), чтобы можно было провести
несколько этапов непосредственного измерения.

Учащиеся берут циркулем сторону квадрата как единицу из-
мерения и откладывают ее на диагонали квадрата один раз*.
Получается остаток гг, результат измерения записывают: d =
а + г,, где ri<a.

Чтобы измерить отрезок п, надо единицу измерения (а) раз-
делить вообще на п равных частей (-^), в частности на 10 частей

* То же делается на классной доске или на плакате.
десятую долю единицы откладывать на остатке п. Она уло-

. а
жится четыре раза и опять останется остаток гг< результат за-

писывают так: п = 4-yg-|-ra и J=a4~4 •	+ г2.

Чтобы измерить остаток г2, надо последнюю единицу измерения
опять разделить на 10 равных частей и эту долю откла-
дывать на остатке г2. Она уложится один раз и вновь останется
остаток г3<-^; результат записывается так:
,'г=’^+,‘3 и ^==с+4“П)+'Пр+Гз

Уже на этом этапе работы учащиеся практически убеждаются,
что полученный остаток и необходимые доли единицы для изме-
рения его на их чертежах столь малы, что глаз не может различать
их; становится невозможным и пользование циркулем.

Однако на плакате можно продолжить процесс измерения: еди-
ница измерения делится на 10 равных частей (q^= 1 mai)
и эта доля откладывается на остатке г3. Она уложится на нем че-
тыре раза и останется остаток 74<-^. Записываются результаты
измерения: г3 =4-и £/=а+4-^4-^+4.^54-г4.

Теперь видно, что и на плакате продолжать непосредственное
измерение нельзя по той же причине, как и в тетрадях: остаток
г4<1 мм и единица для измерения его (0,1 мм) столь малы, что на
чертеже неразличимы глазом.

Поэтому на том или ином этапе непосредственное измерение
отрезка практически придется прекратить, заменив этот процесс
рассуждением — доказательством.

Так, например, чтобы измерить последний полученный остаток
г4, надо взять единицу измерения= 0,1 мм; она уложится
на г4 два раза (сообщает преподаватель) и останется остаток
т. е. ri = 2-^+гь и ^=a+4-^+I^+4~s+2~1+rs.

Если допустить, что на этом этапе нового остатка не будет (зна-
чит, процесс измерения закончен, так как при данных условиях
практически остатка нельзя обнаружить) и г4 = 2-^j, то d = a+
+4-Го+^+4-1Гз+2-^

(14'То4'Тоб’*”Гооо4' iuoui? а=1>4142 62=14 142-—,

т. е. единица измерения укладывается на диагонали d 14 142
раза.
Но этот вывод противоречит ранее доказанной теореме (не су-
ществует такой доли стороны квадрата, которая уложится целое
число раз на его диагонали).

Следовательно, наше допущение, что при измерении остатка
(как и любого остатка на том или ином этапе процесса измерения)
нового остатка не будет, т. е. процесс измерения закончится, ока-
залось неверным. Значит, верным будет утверждение о том, что
на каждом этапе измерения диагонали квадрата его стороной как
единицей измерения будет получаться новый остаток.

Преподаватель может сообщить один-два следующих резуль-
тата измерения, например: гБ=^+г6, ,-6=3~+г7 и т. д.

Соответственно будут получаться и значения длины диагонали,
квадрата: d = д-1-4-—-+-^-+4-——1-2--^-+-—-+3--^-4-Г7 или

F	'	10^ 10'2 '	103 '	10»~ 10® ‘	10®^'7

j   . ] । 4 . 1	4 .	2	.	1	.	3	. .

— v-Tfo-i-ioo+1001)4 10 00(П 100 обо"* 1 000 000^+''7
и d = 1,414213 а + г7.

Таким образом, учащиеся убеждаются, что процесс измерения
диагонали квадрата его стороной будет бесконечный (дальше изме-
ряются остатки г7, га,.. /"„...); в результате измерения будут полу-
чаться десятичные дроби с бесконечно возрастающим числом деся-
тичных знаков — бесконечная десятичная дробь, что можно в дан-
ном случае записать так: d — 1,414213... а.

Теперь надо выяснить, что представляет собой эта дробь.

Замечание. В данном месте курса геометрии (или в курсе
алгебры) надо повторить на уроке необходимые сведения о перио-
дических дробях и несколько пополнить эти сведения, связывая их
с решением задач на преобразование периодических дробей в обык-
новенные и обратных задач*. С этой целью необходимо повторить,
во-первых, процесс получения бесконечных десятичных периоди-
ческих дробей, во-вторых, выяснить условия, при которых дан-
ная обыкновенная несократимая дробь обращается в конечную
десятичную дробь или в бесконечную периодическую (чистую и
смешанную), в-третьих, ознакомить учащихся с приемами обраще-
ния периодических дробей в обыкновенные, чтобы затем выяснить,
что всякую бесконечную десятичную периодическую дробь можно
представить в виде обыкновенной дроби

Учащиеся по ассоциации склонны и последнюю дробь принять
за периодическую. Если предположить, что эта дробь периоди-
ческая, то она может быть представлена в виде обыкновенной дро-
би: 1,414213...=-^. Отсюда следует, что d — а = р-(р и q—
натуральные числа). Из последней записи можно заключить, что

* В соответствии с программой преобразование бесконечных десятич-
ных периодических дробей в обыкновенные изучается в IX классе.
единица измерения содержится в диагонали d целое число (р)
раз, что противоречит ранее доказанной теореме. Это противоре-
чие вызвано предположением, что бесконечная десятичная дробь
1,414213... есть периодическая дробь.

Остается высказать второе предположение, но уже как утверж-
дение (третьего не может быть), что эта дробь непериодическая.
Она и принимается за длину диагонали квадрата, когда сто-
рона его принимается за единицу измерения.

Таким образом, получен ответ на ранее поставленный вопрос:
диагональ квадрата можно измерить, приняв сторону его за еди-
ницу измерения; длина диагонали будет выражена бесконечной
десятичной непериодической дробью.

Измерение отрезков, несоизмеримых с принятыми единицами
длины, в порядке повторения можно изложить в более общей и
краткой форме.

Если имеются два несоизмеримых отрезка а и Ъ, причем a>fr,
то Ь как единица измерения укладывается на отрезке а целое число
раз и получается при этом остаток Для измерения его b де-
лится на 10 равных частей и одна из них (^) принимается за еди-
ницу измерения. Она укладывается на отрезке целое число раз
и остается новый остаток	который измеряется новой еди-

ницей измерения (^) и т. д. В первом случае получается целое
число, во втором — десятые доли, в третьем — сотые доли и т. д.

Так как этот процесс бесконечный, то в результате получается
бесконечная десятичная непериодическая дробь, которая прини-
мается за длину измеряемого отрезка (а) при выбранной единице
измерения (Ь).

Точно так же протекает процесс измерения любого отрезка а
при данной единице измерения т. При этом длина отрезка а может
быть целым числом (например, а = 7т), конечной десятичной
дробью (а — 7,4257m) или бесконечной десятичной дробью (а =
= 7,4257... т). В некоторых случаях эта дробь может быть перио-
дической. Так, например, если поставить задачу — измерить от-
резок а длиной в 10 см, приняв за единицу измерения другой отре-
зок b длиной в 3 см, — и производить описанный процесс изме-
рения, то в результате получится бесконечная десятичная перио-
дическая дробь: а = 3,333... b и самый процесс измерения будет
бесконечным.

В этом случае надо разъяснить учащимся, что в данном при-
мере целый отрезок Ь, как единица измерения не укладывается на
отрезке а целое число раз, но третья часть его (4- = 1 см) укла-
О

дывается на том же отрезке целое число раз (а = 10 4-), как и

О
другие доли 6 (|, | и т. д.).
54.	ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА

Практически, как известно, в силу несовершенства нашего гла-
за и применяемых инструментов (измерительный циркуль и мерная
линейка) процесс измерения заканчивается довольно рано и в
результате получаются только один, два и очень редко три деся-
тичных знака (если b = 1 м, то десятые доли миллиметра уже
определить обычными инструментами нельзя). К тому же послед-
ний десятичный знак большей частью бывает сомнительный, в
силу чего полученный результат измерения является только при-
ближенным значением длины измеряемого отрезка.

В связи с этим возникает вопрос о точности приближенных
значений длины отрезка и о характере приближений по недостатку
или по избытку. Точность приближенных значений длины зависит
от практических целей. Примеры:

1.	Размеры небольших прямоугольных земельных участков
определяются целым числом метров (137 м и 98 ж).

2.	Стандартная длина и толщина бревен указывается в метрах и
сантиметрах (6,5 м и 20—30 см).

3.	Наружные размеры оконной рамы определяются в сантимет-
рах (196 см).

4.	Размеры стекол в звеньях оконной рамы задаются в милли-
метрах (356 мм).	,

Приближенное значение длины отрезка берется по недостатку
или по избытку в зависимости от остаточного отрезка:

1)	если гя<у • 10Я\ , то приближенное значение берется по
недостатку;

2)	если rn > у --|ой=г» то приближенное значение берется по
избытку (в обоих случаях оно будет ближе к истинному значению
длины);

3)	если гп = у • £дл_г(все эти сравнения, понятно, делаются на
глаз), то приближенное значение можно брать как по недостатку,
так и по избытку; при этом принято последний низший разряд при-
ближенного значения увеличивать на 1, если он выражается нечет-
ным числом, или оставлять без изменения, если тот же разряд —
четное число.

Все эти сведения о приближенных значениях известны учащим-
ся еще из курса арифметики.

Если в результате измерения отрезков получаются бесконеч-
ные десятичные дроби — периодические или непериодические и
даже конечные десятичные дроби, но с большим числом десятичных
знаков, то практически их заменяют приближенными значениями
с той или иной степенью точности по недостатку или по избытку.

Так, например, при измерении диагонали квадрата стороной
его или при измерении отрезка, равного 10 см, другим отрезком,
равным 3 см, в результате получались бесконечные десятичные дро-
би: в первом примере — непериодическая, во втором — периоди-
ческая.

Приближенные значения длины отрезков можно получать как
в процессе измерения, так и из конечных результатов:

d =1,4142... а и а =3,3333... Ь.

И в том и в другом случаях работа сопровождается графичес-
ской иллюстрацией: на луче от его начальной точки откладывается
единица измерения и от той же точки откладываются приближенные
значения длины измеряемого отрезка по недостатку и по избытку
сначала в целых числах, потом с десятыми долями, с сотыми ит. д.*

В процессе измерения на каждом отдельном этапе его получен-
ные результаты по недостатку и по избытку откладываются на
луче и записываются в таблицу следующим образом:

1-й в а р и а и т:

2-й вариант:

по недостатку

по избытку

d 1

d^ 1,4

d^ 1,41
d^ 1,414
d~ 1,4142

d^2
d~. 1,5
d~ 1,42
d^ 1,415

1,4143

1	<	d <_ 2

1,4	<	d < 1,5

1,41 < d< 1,42
1,414 < d < 1,415
1,4142< d < 1,4143

3-й вариант**

1< 1,4< 1,41 < 1,414< l,4142<...d<...l,4143< 1,415< 1,42< 1,5<2.

Любая из этих таблиц дает возможность видеть следующее:

1.	Искомая длина диагонали больше каждого из приближенных
значений этой длины по недостатку и меньше каждого приближен-
ного значения той же длины по избытку.

2.	Разности между соответствующими приближенными зна-
чениями с избытком и с недостатком соответственно равны 1; 0,1;
0,01; при п = 1, 2, 3, 4...

Эти разности называются степенями точности приближенных зна-
чений (с точностью до 1; 0,1; 0,01 и т. д.).

3.	По мере возрастания степени точности приближенные зна-
чения по недостатку возрастают (1< 1,4< 1,41< 1,414), а приб-
лиженные значения по избытку убывают (2>1,5>1,42> 1,415).
Число десятичных знаков в записи приближенных значений мо-
жет увеличиваться бесконечно.

* Для этой цели полезно иметь демонстрационный плакат с единицей
измерения в один метр.

** Последний вариант записи является отображением графической ил-
люстрации.
4.	Все десятичные знаки в записях приближенных значений по
недостатку верные (они сохраняются при возрастании степени точ-
ности), а в записях приближенных значений по избытку последняя
цифра справа сомнительная.

За длину диагонали квадрата принимается бесконечная де-
сятичная дробь, записанная теми же десятичными знаками, что
и приближенные значения длины по недостатку, но с добавлением в
записи многоточия: d = 1,4142...

Значит, диагональ квадрата, как и любой другой отрезок, имеет
длину при единице измерения, равной стороне его. Но длина от-
резка есть число. Следовательно, можно допустить, что и длина
диагонали квадрата при измерении ее стороной его есть тоже чис-
ло, но число новое — бесконечная десятичная непериодическая
дробь.

Анализируя полученный чертеж — луч с графическими и число-
выми отметками на нем, нетрудно выяснить следующие положения:

1.	Каждое приближенное значение длины диагонали квадрата
по недостатку и по избытку графически изображается отрезком на
луче.

2.	Все эти отрезки имеют одну общую точку в начальной точке
луча, благодаря чему отрезки можно легко сравнивать.

3.	Разность каждой пары отрезков, отображающих приближен-
ные значения длины диагонали одной и той же степени точности,
есть тоже отрезок, длина которого соответственно равна степени
точности (1; 0,1; 0,01... и т. д.).

4.	Каждый отрезок — разность, кроме первого отрезка — раз-
ности, меньше предыдущего отрезка — разности. На луче они рас-
положены так, что каждый меньший отрезок вложен в предыдущий
больший отрезок.

5.	Между концами этих вложенных отрезков имеется одна
(и только одна) точка, принадлежащая всем вложенным от-
резкам.

Эта точка является концом нового отрезка, начало которого
совпадает с началом луча. Легко можно видеть, что новый отрезок
больше каждого отрезка, отображающего приближенное значение
длины диагонали по недостатку, и меньше каждого отрезка, отоб-
ражающего приближенное значение той же длины по избытку.

Длина диагонали, как только что было выяснено, обладает
аналогичным свойством: она больше каждого приближенного
значения длины по недостатку и меньше каждого приближенного
значения той же длины по избытку. В силу этого новый отрезок
на луче можно принять за диагональ квадрата; длина его есть бес-
конечная десятичная непериодическая дробь; эта дробь, как дли-
на отрезка, есть число, но число новое, которое иа луче тоже изо-
бражается отрезком и называется иррациональным чис-
лом. Ранее известные числа — целые и дробные, положительные,
отрицательные и нуль —- называются рациональными чи-
слами.
Таким образом, область рациональных чисел расширилась вве-
дением новых чисел — иррациональных. Те и другие числа состав-
ляют область вещественных или действительных чисел.

55.	ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ РАЗНЫМИ ЛИНЕЙНЫМИ ЕДИНИЦАМИ*

В предыдущем изложении подчеркивалось, что за единицу из-
мерения отрезка может быть принят любой отрезок, в силу чего
длина одного и того же отрезка может выражаться разными чис-
лами, что и было показано на примерах:

а = 7,4 т = 74	= 74 mn где т± =-^- и т = 10 т^

а = 7,42 т = 742	= 742 тг, где т2 = ~ и т = 100 т2 и т. д.

Числа 7,4 и 74 являются длинами одного и того же отрезка а, но
измеренного разными единицами измерения (например, отрезком
в 1 м и отрезком в 1 дм). То же самое надо сказать и о числах 7,42
и 742: они суть длины одного и того же отрезка, но измеренного
разными единицами измерения (метром и сантиметром).

Нетрудно заметить зависимость между соответствующими па-
рами этих чисел: 74 = 7,4-10, где 7,4—длина отрезка при одной
единице измерения (т), а число 10 — длина отрезка единицы
измерения т при новой единице измерения mi (т = 10 tni); 742 =
= 7,42 • 100, где числа 7,42 и 100 имеют то же истолкование.

В общем виде эту зависимость можно выяснить так: а = km,
где k — длина отрезка а, измеренного единицей измерения т\
т = kitrii, где ki — длина единицы измерения т при новой еди-
нице измерения mi; тогда а = km = (kkt) • m1F где kkt — длина
отрезка а при новой единице измерения mv Отсюда получается сле-
дующая теорема: длина отрезка при новой единице измерения рав-
на его длине при старой единице, умноженной на длину старой
единицы, измеренной новой единицей: а = (kk^mj.

56.	ПРАКТИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

В порядке заключения следует еще раз вернуться к практиче-
скому измерению отрезков мерной лентой, метром, дециметром
и т. п. и показать, что эта работа представляет собой воспроизведе-
ние ранее описанного процесса. В самом деле, при измерении от-
резка мерной лентой или метром практически поступают следующим
образом:

1)	сначала на измеряемом отрезке откладывается метр (или
отсчитывается целое число метров на мерной ленте) возможное
целое число раз и еще один раз;

* В явном виде этот материал не указан в программе.
2)	на полученном остатке по метру отсчитывается возможное
целое число дециметров;

3)	на новом остатке отсчитывается целое число сантиметров;

4)	затем, на следующих остатках отсчитывается целое число
миллиметров, десятых долей миллиметра...

Результат, полученный при всех отсчетах, является прибли-
женным значением длины измеряемого отрезка по недостатку в
виде десятичной дроби, все десятичные знаки которой точные.

На этом практически и кончается процесс измерения.
Г лава XI

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ

57.	ПОРЯДОК ИЗУЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

Учение об измерении отрезков является первой ступенью к
изучению последующих тем метрической геометрии (отношение
и пропорциональность отрезков, подобие фигур, измерение пло-
щадей и т. п.).

В учебнике Н. А. Глаголева в такой последовательности и из-
лагаются перечисленные темы, причем первые темы составляют
основное содержание пятой главы, а последняя тема служит со-
держанием шестой главы.

В учебнике А. П. Киселева весь этот материал и целый ряд при-
ложений его составляют содержание одной третьей главы, под
общим заглавием «Подобные фигуры». Первый раздел этой главы
посвящен измерению отрезков, за которым следуют разделы, по-
священные изучению подобия фигур, и только в пятом разделе
изучается пропорциональность отрезков на основании подобия
фигур.

Такую последовательность изучения этого материала нельзя
назвать целесообразной. Известно, что понятие пропорциональ-
ных отрезков входит в определение подобия фигур; поэтому изу-
чение пропорциональных отрезков должно предшествовать изу-
чению подобия фигур, что и имеется в учебнике Н. А. Глаголева.

Итак, расположение первых тем в учебнике Н. А. Глаголева
более последовательно в научном и методическом отношении, чем
в учебнике А. П. Киселева. Поэтому при пользовании в школе
последним учебником вполне целесообразно принять такой же
порядок: измерение отрезков, отношение и пропорциональность
отрезков, подобие фигур. При этом надо оговориться, что во вторую
тему о пропорциональных отрезках, предшествующую изучению
подобия фигур, должен входить только самый необходимый ма-
териал, который будет потом использован при изучении подобия
треугольников Остальной же материал — метрические соотно-
шения в треугольниках, в четырехугольниках, пропорциональные
отрезки в круге — можно изучать и после подобия фигур.
План изучения этой темы:

1.	Отношение отрезков

2.	Понятие о пропорциональных отрезках.

3.	Практическое применение пропорциональных отрезков.

58.	ОТНОШЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

Понятие об отношении двух чисел впервые вводится в пятом
классе при изучении деления дробей и широко применяется в
последующей работе.

В краткой беседе следует повторить с учащимися отношение
двух чисел, предложив для этой цели, например, следующие
задачи.

1.	Отцу 48 лет, а сыну 16 лет: во сколько раз отец старше сына?

2.	Города А, С и В стоят на одной дороге. Расстояние от А до С
равно 45 км, аот А до В—180 км. Восколькораз второе расстояние
больше первого? Какую часть первое расстояние составляет от
второго?

Учащиеся дают ответы на поставленные вопросы и записывают
решение задач.

Преподаватель напоминает, что эти вопросы в курсе арифмети-
ки разрешались нахождением отношения двух данных чисел, т. е.
делением одного числа на другое.

Учащиеся формулируют определение отношения двух чисел
и записывают его в общем виде: а : b = q или = q, где а и b —
члены отношения: а — предыдущий, b — последующий; q в
а : b или ~----отношение.

О

Истолкование смысла отношения.

а)	Если а>Ь, то о>1; отношение д показывает, во сколько раз
а больше b или сколько раз b содержится в а.

б)	Если а<Ь, то ^<1; отношение д показывает, какую часть
составляет а от Ь.

Из формулы а : b = дили = д вытекают известные соотно-
шения: а = Ьд и b =—.

<?

Первое из этих соотношений позволяет определять отношение
как число, на которое надо умножить одно из данных чисел (по-
следующий член), чтобы получить другое (предыдущий член).

Затем напоминается основное свойство отношения:

а : b = ak : bk или -?-=-?£ при k =/= 0.
Ь UR

Восстановив, таким образом, в памяти основные сведения об
отношении двух чисел, надо подвести учащихся к понятию отно-
шения отрезков.
С этой целью можно вернуться к тем же задачам; в каждой из
них были даны две однородные величины — возрасты отца и сына,
расстояния между тремя городами и значения этих величин; тре-
бовалось сравнить однородные величины, т. е. найти отношение их.

Практически решение задач свелось к нахождению отношения
не величин, а числовых значений их.

Затем предлагается учащимся графически изобразить условия
обеих задач — построить отрезки в определенном масштабе: АВ =
= 48 ед. и CD = 16 ед., EF = 180 ед. и QH =45 ед.

Однородные величины в каждой задаче теперь заменены дру-
гими однородными величинами — отрезками, а значения их могут
остаться прежние. Вопросы задачи по смыслу остаются те же:
во сколько раз отрезок АВ больше отрезка CD или какую часть
отрезок QH составляет от отрезка EF?

Учащиеся откладывают отрезок CD на отрезке АВ и отрезок
EF (вернее, долю его) на отрезке QH и записывают результаты:
АВ = 3CD и QH = -L-EF.

Этот процесс откладывания и запись результатов показывают,
что здесь имеет место измерение отрезка АВ отрезком CD и отрез-
ка QH отрезком EF.

Числовые множители в записях (3 и -у) являются длинами от-
резков АВ и QH при соответствующих единицах измерения (CD
и EF). В то же время эти числа дают ответы на поставленные воп-
росы: ЛВ в три раза больше CD в т. п., т. е. они являются отно-
45
шениями числовых значений отрезков — длин их: 48 : 16 = 3 и jgQ=
1
~ 4 •

Это позволяет отношение длин отрезков принять за отношение
самих отрезков, что можно записать следующим образом:

АВ_ 48 __	(?//_45_)

CD~ )6 —d И EF~ 180~ 4 ’

Таким образом, выясняется, что отношение двух отрезков мож-
но находить измерением одного из них другим (способом отклады-
вания) или нахождением отношения длин их (делением). Первый
способ — геометрический, как известно, сопряжен с целым рядом
трудностей. Поэтому за отношение отрезков обычно принимается
отношение длин тех же отрезков при одной и той же единице из-
мерения их (т. е. отношение чисел), и применяется та же запись
отношения:

Ав_о u

CD EF~ 4 '

Замечание. Надо напомнить учащимся, что отношение
двух отрезков может быть как рациональным, так и иррациональ-
ным числом; если данные отрезки несоизмеримы с одной и той же
единицей измерения, то отношение их может быть как иррациональ-
ным, так и рациональным числом, например:

а = liyjcM, Ь = 3/2см, и -у = Н/б?;

а = 15[/Г6^см, b = 4]^см, и ~ = 3-|-.

При этом всегда имеется в виду, что отношение двух отрезков
не зависит от выбора единицы измерения. Эта теорема доказывает-
ся следующим образом.

Отрезки а и Ь имеют соответственно длины kx и k3 при еди-
нице измерения т, т. е. а = kitn и b = k2m. Тогда отношение их
будету =	.

О

Измерим те же отрезки а и Ь новой единицей измерения, приняв
m = kami. Тогда а = kik3mi, b = kzk^mi и ~= к'

a	8	Ь k3 mi кг-

Практические применения отношения о т-
р е з к о в. Одно из наиболее важных практических применений
отношение отрезков имеет при использовании масштаба — числен-
ного и линейного.

С этим понятием учащиеся знакомятся еще в V классе в курсе
арифметики (см. I главу) и при изучении географии.

В порядке практических занятий в VIII классе опять надо
провести некоторые работы с применением численного масштаба
(см. стр. 76).

Простейшим графическим масштабом является линейный масш-
таб (черт. 158).

В

Чер т. 158

При помощи линейного масштаба решают две задачи: а) опре-
деление действительных размеров тех или иных отрезков на плане
(или расстояний на карте): б) построение отрезков (и диаграмм) в
ваданном масштабе (сравнительная высота гор, длина рек и т. п.).

59.	ПОНЯТИЕ О ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКАХ

Первые сведения о пропорциях учащиеся получают в VI клас-
се по курсу арифметики.

В VIII классе перед изучением теоремы о существовании пропор-
циональных отрезков надо повторить сведения о пропорциях
(определение, терминология, основное свойство членов пропорции
и др.) и о пропорциональных величинах (примеры и определение
прямо пропорциональных и обратно пропорциональных величин).
При этом особое внимание надо обратить на то, что членами про-
порций являются не сами величины, а числа — значения величин.

Сведения о пропорциях в VIII классе следует несколько расши-
рить введением понятия о производных пропорциях, что можно
связать с теоремой о существовании пропорциональных отрезков.

Эта теорема в разных учебниках геометрии дается в разных
формулировках. Примеры:

1.	«Стороны угла, пересекаемые рядом параллельных прямых,
рассекаются ими на пропорциональные отрезки» (А. П. Кисе-
лев^ 182).

2.	«Три параллельные прямые, пересекающие две прямые, от-
секают на них пропорциональные отрезки» (Н. А. Глаголев,
§ 169).

3.	Любые две секущие рассекаются параллельными прямыми на
пропорциональные части» (Ж. А д а м а р, § 113).

Существенной разницы в этих формулировках нет: в каждой
из них говорится о двух прямых, пересекаемых несколькими па-
раллельными прямыми.

Первая формулировка теоремы содержит частный случай:
две прямые—стороны угла, которые пересекаются двумя параллель-
ными прямыми; две последние редакции той же теоремы имеют
более общий характер: в условие их входят две произвольные «се-
кущие» прямые (в частности, они могут пересекаться или могут
быть параллельные), которые пересекаются не менее чем тремя па-
раллельными прямыми.

В методическом отношении первая редакция имеет некоторые
преимущества: угол — более привычная и определенная форма,
чем две произвольные прямые; при доказательстве теоремы может
быть использована теорема Фалеса, в которой идет речь тоже о пе-
ресечении сторон угла рядом параллельных прямых, что сближает
ее с данной теоремой; задачи на построение пропорциональных
отрезков в большинстве случаев сводятся к построению угла и к
использованию теоремы именно в первой редакции ее.

Однако та же теорема и в более общей редакции имеет широкое
применение при последующем изучении курса геометрии и при
решении задач.

Поэтому полезно, приняв теорему в первой редакции за ос-
новную, после доказательства предложить ее учащимся как за-
дачу на доказательство во второй более общей редакции.

Как известно, для доказательства этой теоремы в любой редак-
ции ее надо знать теорему Фалеса, на которой основан способ де-
ления отрезка на п равных частей. В основном учебнике она вхо-
дит в тему «Четырехугольники» (§ 33). Теперь надо повторить эту
теорему и решить задачу — деление отрезка на п равных частей.
Теорему о существовании пропорциональных отрезков можно
предложить сначала в виде следующей задачи: «Построить угол,
стороны его пересечь двумя параллельными прямыми и найти

отношение отрезков на одной стороне угла, потом на другой

и сравнить найденные отношения».

Учащиеся строят чертеж (угол, стороны которого пересечены
двумя параллельными прямыми), записывают условие задачи (ко-

Черт. 159

торое будет потом условием теоре-
мы) и вопрос ее (черт. 159):

^Л; ВС и DE.

и „ АВ АС

Наити ___ и

Так как за отношение отрез-
ков принимается отношение длин
этих отрезков при одной и той же
единице измерения, то решение
задачи сводится сначала к измере-

нию отрезков на одной стороне уг-
ла (Л В и BD). Для этой цели вы-

бирается некоторая единица изме-
рения (т) идопускается, что она укладывается на отрезке
АВ ki = 8 раз, а на отрезке BD — k3= 4 раза (без остатков); на
чертеже первый отрезок делится на ki = 8 равных частей, а вто-
рой — на £г = 4 таких же части, равных т. Из этого следует, что
АВ — ktm и BD — k2m (или АВ = 8/п и BD — 4 т). Тогда

АВ ktm ki .	i.

— = -Л—= k, где k = ~~ есть искомое отношение от-

BD k2m k3	k3

. n nr-, z AB 8m o	o

резков AB и BD (или = -v— = 2, где 2 — искомое отно-

шение).

Теперь надо найти отношение пары отрезков на другой стороне
угла (Л С и СЕ). Это можно сделать таким же способом: взять ту же

или иную единицу измерения, так как отношение отрезков не за-
висит от единицы измерения. Но учащиеся должны сообразить,
что это можно сделать иначе на основании теоремы Фалеса: через
точки деления на первой стороне угла надо провести прямые, па-
раллельные секущим прямым до пересечения с другой стороной
угла. Находится отношение второй пары отрезков:

АС _ ktm} ______ ki __,

СВ k3m^

Таким образом, найдены искомые отношения обеих пар отрез-
ков. Теперь надо сравнить эти отношения.

Учащиеся сами замечают, что отношения обеих пар отрезков
АВ , АС ,	АВ АС ,

равны: -gp=«H-g^-= k, откуда следует:	= k.
Получилась пропорция, членами которой в этой записи являются
отрезки, отсекаемые на сторонах угла параллельными прямыми.
Такие отрезки называются пропорциональными от-
р'езками, а отношение k называется коэффициентом про-
порциональности.

Если отрезки ЛВ и BD имеют соответственно длины а и Ь, а
, „	„„	,	АВ АС

отрезки АС и СЕ — длины с и d, то пропорция 	мо-

жет быть заменена такой пропорцией: = -у . т. е. пропорция,
членами которой являются отрезки, может быть заменена пропор-
цией, членами которой будут числа—длины этих отрезков.

Учащиеся повторяют условие задачи (стороны угла пересечены
двумя параллельными прямыми) н полученное решение (они от-
секают иа сторонах угла пропорциональные отрезки). Получается
известная теорема о существовании пропорцио-
нальных отрезков.

Они схематически записывают условие и заключение теоремы
и в порядке повторения проводят доказательство ее.

После этого преподаватель обращает внимание учащихся на
то, что при нахождении отношения первой пары отрезков ДВ и
BD было сделано допущение, что отрезки АВ и BD — со-
измеримые.

Но так не всегда бывает. Например, если отрезок АВ равен
стороне некоторого квадрата, а отрезок BD равен диагонали его.
то отрезки АВ и BD будут несоизмеримыми.

Учащиеся строят новый чертеж: угол А и квадрат со стороной а;
на одной стороне угла А от вершины его откладывают отрезок
АВ = а (стороне квадрата), за ним — отрезок BD = d (диагонали
квадрата) и через концы этих отрезков проводят параллельные
прямые (ВС н DE) до пересечения с другой стороной угла.

Сущность доказательства заключается в следующем. Отрезок
АВ = а делят сначала на 10 равных частей и одну из них откла-
дывают на отрезке BD = d 14 раз (по недостатку) и 15 раз (по
избытку). Приближенные значения отношения отрезков будут:

DB rf 14	, . DB ___ 15	, г	п

-вТ = —=1’4и"ёл-~-=1’5(с точносгью *° О-1)-

^Через точки деления проводятся прямые, параллельные ВС,
до пересечения с другой стороной угла. Отрезок АС = b разде-
лится на 10 равных частей, а отрезок СЕ = с будет содержать 14 та-
ких же частей (по недостатку) и на 15 (по избытку); приближенные
значения отношения этих отрезков будут:

сл=т~-кг=1’4 и сд~то=1’5 (с точностью да о-1)-

Итак- — =1 4	—з=1 5

так- ВА ’ ’	ВА
следовательно.

EC.
CA

1,4,

£C_
CA~~

1,5;

DB^EC

BA' CA '

Приближенные значения отношений обеих пар отрезков с точ-
ностью до 0,1 равны (как по недостатку, так и по избытку).

Разделив отрезок АВ = а на 100 равных частей и повторив все
те же операции, получим (с точностью до 0,01):

DB

ВА

~1,41,

£С.
С А

1,41;

•я=1,42,

^1,42;

следовательно, -g-.
ВА СЛ

Продолжая увеличивать степень точности приближенных зна-
чений отношений до 0,001, до 0,0001 и т. д., будем получать:

	DB		ЕС	415  ВА . 151		EC.
ет='.414.		В А'	~СА	ё—1’415’	BA'	CA’
PI fcj tel О sl Г) Ь. 0з и и 4^	*4s		DB ЕС.  ВЛ"'С А'		col te te) ез Si r> si co ll II  He  co co	DB^ BA"	EC  CA

Этот процесс, как известно, можно продолжать бесконечно,
так как отрезки АВ и BD несоизмеримы (по заданию); поэтому от-
ношение их может быть найдено описанным путем только в виде
приближенных значений как по недостатку, так и по избытку с
любой достаточной степенью точности. Полученные результаты мож-
но расположить следующим образом:

1,4<1,41<1,414<1,4142<...<^<...<1,4143<1,415<1,42< 1,5;
1,4<1,41<1,414<1,4142<...<^<...<1,4143<1,415<1,42<1,5.

Из этой таблицы видно, что а) приближенные значения обоих
„ [DB ЕС\	,

отношении и , вычисленные по недостатку и по избытку
с одной и той же степенью точности, соответственно равны;
б) приближенные значения по недостатку последовательно увели-
чиваются, а приближенные значения по избытку уменьшаются;
в) но каждое приближенное значение по недостатку меньше лю-
бого приближенного значения по избытку; г) разность между
приближенным значением по избытку и соответствующим при-
ближенным значением по недостатку по мере возрастания степени
точности уменьшается (эта разность равна при п =1, 2, 3, 4,
5...) и может стать меньше любого положительного числа.

Наличие указанных свойств приближенных значений обоих
отношений позволяет ввести следующее определение:

Два отношения (отрезков) считаются равными между собой,
если соответственно равны их приближенные значения, вычислен-
ные с любой, но одинаковой степенью точности.

Следовательно,	, т. е. и в этом случае отрезки на

сторонах угла являются пропорциональными.

Учащиеся составляют обратную теорему и доказывают справед-
ливость ее.

Дано:	и	• Доказать: ВС || DE.

Допустив, что секущие прямые не параллельны и проведя
через одну из точек пересечения прямую, параллельную другой
секущей, составляют новую пропорцию, сравнивают ее с данной
и приходят к заключению, что сделанное допущение неверное.

Второе допущение — секущие параллельны — оказывается
верным.

Затем учащиеся решают основные задачи на построение про-
порциональных отрезков, непосредственно связанные с только
что доказанной основной теоремой о существовании пропорцио-
нальных отрезков.

Задача I. Даны три отрезка а, б и с; построить четвертый от-
резок х, им пропорциональный.

Учащиеся записывают условие задачи (пропорциональность
отрезков а : Ь = с : х), что позволяет отчетливо представить соот-
ветствующий геометрический образ и наметить план построения:
на одной стороне угла от вершины его последовательно отклады-
ваются отрезки а и Ь. а на другой — отрезок с и проводятся соот-
ветствующие параллельные секущие.

Построение (черт. 160 а, б, в), доказательство и исследование
учащиеся проводят самостоятельно.

Замечание. Ту же задачу можно потом предложить в иной
Ьс
редакции: построить отрезок х = —.

Задача 2. Данный отрезок а разделить в данном отношении
т : п.

Анализируя условие задачи, учащиеся выясняют, что отрезок а
надо разделить на два отрезка х и у (при х + у — а) так, чтобы
х у — т п\ т к п могут быть заданы двояким образом: или от-
резками (отрезок т и отрезок п), или рациональными числами
(т = 5 и п = 3)*.

Первый случай. Даны отрезки /пил; надо отрезок а
разделить на две части х и у так. чтобы х : у = т : п.

Эта пропорция опять вызывает в воображении учащихся извест-
ный геометрический образ угла, на одной стороне которого от вер-
шины отложены отрезки х и у (х 4- у = а), а на другой — отрезки
тип.

Черт. 160

Этим намечается план построения: из конца отрезка а прово-
дится луч под произвольным углом, но не равным 180* (лучше под
острым углом), на этом луче от вершины угла последовательно от-
кладывается первый отрезок т, а потом второй отрезок п; через
конец второго отрезка п и свободный конец отрезка а проводится
секущая, а через конец первого отрезка т проводится секущая, па-
раллельная первой секущей до пересечения с отрезком а.

Второй случай. Даны числа т = 5 и п = 3; надо от-
резок разделить на две части х и у так, чтобы х : у = 5 : 3.

План построения тот же (первый случай).

Задача 3. Данный отрезок о разделить на 3, на 4, на 5 и т. д.
частей, находящихся между собой в заданном отношении
т : п : р; т : п : р : q; т : п : р : q : г и т. д.

Легко заметить, что эта задача есть дальнейшее усложнение
задачи второй.

При повторении основной теоремы о существовании пропор-

* Если тип заданы отрезками (самый общий случай) или рациональ-
ными числами, то задача на построение циркулем и линейкой разрешима

3 /—

всегда. Если же, например, т=п и л=|/ 2, то задача на построение при
помощи циркуля и линейки неразрешима. Это надо разъяснить учащимся
(или по крайней мере сообщить им).
циональных отрезков необходимо еще раз отметить, что заключе-
ние теоремы получено в виде пропорции. Это понятие в дальней-

шем имеет широкое применение, а потому теперь следует повторить
и несколько пополнить сведения о пропорциях и применить их
уже в данной теореме.

Так, учащиеся вспоминают основное свойство пропорции (ес-
а с abd cbd ,	, .	. ,

ли — = то = - j- и аа=Ьс) и, пользуясь им и коэффици-
ентом пропорциональности, выясняют переместительное свойство
членов пропорции. Последнее они применяют к пропорции, кото-
рая имеется в заключении теоремы, чтобы получить новые вариан-
ты ее. Например, перемещая только средние или только крайние
t АС СЕ BD АВ \

члены пропорции	-~=г= -ттг . учащиеся на чертеже

159 видят, что для составления пропорции отрезки на сторонах угла
можно брать в различной последовательности.

Затем учащиеся выводят две наиболее употребительные про-
изводные пропорции (если	то—+ 1 = -^-± 1 и т. д.) и

АВ ACfAB+BD АС + СЕ
применяют их к той же пропорции =	»

AD АЕ\

или jTf;=-rp)• чтооы получить новый вариант теоремы.

Примеры пропорциональных отрезков.
Чтобы несколько расширить и углубить понятие о пропорциональ-
ных отрезках, надо ознакомить учащихся с некоторыми новыми
геометрическими образами,содержащими пропорциональные отрезки.

С этой целью учащиеся решают задачи на доказательство в по-
рядке самостоятельной работы в классе или дома.

Задача 1. Если две непараллельные прямые пересечены тремя
параллельными прямыми, то последние отсекают на данных пря-
мых пропорциональные отрезки.

Доказательство основано на применении основной теоремы (черт.
161).
Задача 2. Если две прямые, пересекающиеся в точке О, пере-
сечь двумя параллельными прямыми, расположенными так, что

точка О будет лежать между ними, то на пересекающихся прямых
образуются пропорциональные отрезки (черт. 162).

Задача 3. Если две па-

Черт. 164

раллельные прямые пере-
сечь несколькими лучами,
выходящими из общей
точки О, то на лучах по-
лучаются пропорциональ-
ные отрезки (черт. 163).

Задача 4. Если две па-
раллельные прямые пере-
сечь двумя лучами, вы-
ходящими из общей точки
О (черт. 164), то отношение
внутренних отрезков па-
раллельных прямых равно

отношению соответствующих отрезков на пересекающихся прямых.

Первый случа й*. Точка О лежит вне полосы, образован-
ной параллельными прямыми (черт. 164, а\ ^0; АВ || CD).

Доказательство.

ОС_ О£> _ .
ОА~ ОБ ~ А'

BDi || АС.

OB CD' , ,
BD = &D = 0ТКУДа
OB 4- BD CD' + D'D

OB ~ CD1 ~
k> 4-1 „ OD CD
~ ki ИЛИ OB CD’ ~

/г.4-1 OD .

= ~k— ’H° OB = k И

CD'=AB. Поэтому =

OD CD.

|—OB~~ AB R’

Эта теорема лежит в основе устройства пропорционального циркуля
Второй с л у ч а й*. Точка О лежит внутри полосы, обра-
зованной параллельными прямыми (черт. 164, б; АВ || CD).

Доказательство. OB i = ОВ; В >А 1|| А В II CD и т. д.

60.	ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКОВ

Черт. 165

Пропорциональность отрезков используется в целом ряде при-
боров, которые имеют широкое применение в практике: делитель-
ный и пропорциональный цирку-
ли, поперечный масштаб.

Делительный цир-
куль**. Он состоит из двух
циркульных ножек; каждая из них
имеет два острия н продольную
прорезь, через которую прохо-
дит штифт; на одном конце его—
неподвижная головка,а на другом—
головка или болтик с винтовой
нарезкой; обе ножки складывают-
ся и закрепляются болтиком (черт.
165); на одной ножке имеются
деления, а на болтике — стрелка
указатель этих делений.

Делительный циркуль, как по-
казывает название его, предназ-
начен для деления отрезков в дан-
ном отношении, а также для
уменьшения или увеличения их в
указанном отношении.

Задача 1. Разделить данный
отрезок а на 2, 3, 5, 7... равных
частей.

Задача 2. Данный отрезок уве-
личить в п раз.

Пропорциональный циркул ь***. Пропорциональ-
ный циркуль состоит из двух равных линеек, которые скрепле-
ны шарниром; центр шарнира находится на пересечении внутрен-
них краев линеек; на последних нанесены равномерные деления,
начиная от центра шарнира — вершины угла, образованного внут-
ренними краями линейки (черт. 166).

Пропорциональный циркуль применяется для решения следую-
щих задач:

* Эта теорема лежит в основе устройства делительного циркуля и
практического применения его.

** См. учебники А. П. Киселева (§ 166) и Н. А. Глаголева (§ 179)

*** В учебнике Н. А. Глаголева под этим названием описан делительный
циркуль, который действительно может быть назван н пропорциональным
циркулем.
Задача 1. Найти отрезок, отношение которого к данному от-
2
резку равно данному числу k (например, k = —).
О

Решение указано на чертеже 166.

Задача 2. Данный отрезок а разделить на две части в отноше-
нии 2 : 3.

Решение, х : у — 2 : 3-,
х + У=2±3==5	а_=5.

х 2	2	х 2 ’

следовательно, данный отрезок а заключается между отметками
5 и 5, а искомый отрезок х будет заключен между отметками 2 и 2.

Задача 3. Данный отрезок а разделить на три
Й части, пропорциональные числам 2, 3 и 5.

Решение, х:у: z=2 : 3 : 5 и х : (х + //4~
+ z) = 2 : 10 и т. д.

Поперечный масштаб. Попереч-
ный масштаб, основанный на пропорционально-
сти отрезков параллельных линий, пересекающих
стороны угла, есть тот же линейный масштаб, но
более сложного устройства; он применяется в тех
случаях, когда надо измерять более точно длины
отрезков на плане и на чертеже. Устройство и
использование этого прибора обычно довольно
подробно описывается в учебниках геометрии*.

Задача преподавателя состоит не только в
том, чтобы ознакомить учащихся с устройством
Черт. 166 поперечного масштаба, но и научить их пользовать-
ся этим прибором. Для этой цели в школе надо
иметь большую модель поперечного масштаба длиной в один метр
с подразделениями на дециметры, а первый левый дециметр еще
делится на сантиметры.

Л. П Киселев, Геометрия ч. I §167, Учпедгиз. 1952
Глава XII

ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ ФИГУР

61.	ПОРЯДОК ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ

В учебнике А. П. Киселева, как почти и во всех учебниках
элементарной геометрии, был принят следующий порядок изуче-
ния данной темы; подобие фигур, а потом — подобное преобразо-
вание их. В новой программе по геометрии и в учебнике Н. А. Гла-
голева принят иной порядок; сначала изучается подобное преоб-
разование фигур (гомотетия), а потом — подобие их.

В основе такого порядка изучения темы лежат следующие сооб-
ражения, высказанные профессором Н. А. Глаголевым в преди-
словии к своей книге: «Подобие фигур изложено как некоторое
геометрическое преобразование; изменяющее размер фигуры без
изменения ее формы. Такое изложение соответствует истинному
содержанию понятия о подобных фигурах и является более сов-
ременным, чем сохранившееся со времен Евклида определение по-
добия фигур как некоторой формальной зависимости между их
элементами».

И в объяснительной записке к новой программе* сказано: «Из-
ложение теории подобия целесообразно начинать с преобразо-
вания гомотетии. Это обусловлено целым рядом причин, во-пер-
вых, на примере гомотетии хорошо раскрывается идея преобразо-
вания; во-вторых, гомотетия сразу же находит себе практическое
применение (мензульная съемка); наконец, в-третьих, при таком из-
ложении дается полное определение понятия подобия (не только
для многоугольников)».

Правда, здесь же имеется сноска с указанием, что эту тему мож-
но начинать и с изучения подобия фигур.

Понятие о преобразовании в курсе геометрии

Понятие преобразования — одно из важнейших понятий сов-
ременной геометрии. В школьном курсе геометрии в явном или
неявном виде (т. е. с указанием этого термина или без него) имеют

Программы средней школы. Математика, Учпедгиз, 1957, стр. 20.
место следующие преобразования: преобразование движения и
перспективно — подобное преобразование или гомотетия. Примеры
преобразования движения; параллельное перенесение или пере-
мещение, вращение, симметрия (осевая и центральная); все те
приемы «наложения» и «вращения» (в частности, и «перегибание»),
которые применяются в школьном курсе геометрии при доказатель-
стве конгруэнтности фигур, так же являются примерами геомет-
рических движений. Существенной особенностью движения в гео-
метрии является то, что в результате движения получается фигура,
равная первоначальной.

При гомотетии или подобном преобразовании фигур обязатель-
но сохраняется только форма их, а размеры вообще могут изменять-
ся по определенному закону.

Преобразование движения, как и гомотетия, относятся к точеч-
ному преобразованию. Сущность их состоит в том, что каждой точ-
ке одной фигуры ставится в соответствие по определенному зако-
ну одна и только одна точка другой фигуры.

В данном месте курса геометрии речь идет только о перспек-
тивно-подобном преобразовании или о преобразовании гомотетии.
Под этим подразумевается такое преобразование данной фигуры
F, посредством которого из точек этой фигуры получаются соот-
ветственные точки другой фигуры Fi, причем любая точка фигу-
ры Fi может быть получена именно таким путем. В силу этого
между точками фигур F и Fi устанавливается взаимно однозначное
соответствие, обладающее следующими свойствами:

1.	Каждые две соответственные точки лежат на одной прямой,
проходящей через точку S, и расположены либо по одну сторону
от точки S, либо по разные стороны от нее.

2.	Если точки А и В одной фигуры соответствуют точкам А'
и В' другой фигуры, то S/Г : S/l = SB' : SB = k. Преобразо-
вание, обладающее указанными свойствами, называется гомо-
тетией (homos — равный, одинаковый, подобный и thetos —
расположенный; гомотетия — одинаковое или подобное располо-
жение); точка S называется центром гомотетии, а число
k = S/Г : S/l = SB' : SB — коэффициент гомотетии*.

При изучении гомотетии фигур и подобия их, как известно, приходится
сталкиваться с понятием центральной симметрии фигур как частным случа-
ем гомотетии, когда k = — I, и с новым понятием — вращением фигур.
Раньше было выяснено, что центральную симметрию фигур можно рассмат-
ривать как результат сложения двух осевых симметрий, когда оси симметрии
взаимно перпендикулярны. Теперь можно выяснить, что и вращение фигур
тоже можно рассматривать как результат сложения двух осевых симметрий.

Во всех этих случаях, как и при параллельном переносе фигур, сохра-
няется основное свойство осевой симметрии: вновь полученная фигура равна
данной фигуре.

Эти преобразования данной фигуры — параллельный перенос, централь-
ная симметрия и вращение имеют очень широкое применение в дальнейшем.

* Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, ч. I, Гостех-
издат, 1948, стр. 214.
Поэтому перед тем, как перейти к непосредственному изучению гомоте-
тии, преподаватель может, во-первых, повторить основные сведения об осе-
вой симметрии, о сложении двух осевых симметрий и вытекающих отсюда
преобразованиях параллельного переноса и центральной симметрии, во-вто-
рых, продолжить изучение сложения двух осевых симметрий, когда обе оси
пересекаются под углом ау=90°. что приведет к понятию вращения фигур.

Вращение фигур. Задача. Даны две пересекающиеся прямые
под углом а=^=90* и фигура (например, четырехугольник A BCD} между ними.
Построить фигуру, симметричную данной фигуре относительно ближайшей
оси, а потом построить фигуру, симметричную только что полученной фигуре
относительно второй оси.

М

Черт. 167

В процессе решения задачи выясняется, что четырехугольники A BCD и
A"B”C"D" (черт. 167) равны и одинаково ориентированы, а потому
они могут быть совмещены. Возникает вопрос: каким путем? Чтобы ответить
иа этот вопрос, преподаватель предлагает учащимся выбрать три соответст-
венные точки, например В, В' и В”, на каждой фигуре, соединить каждую
из них с точкой О и доказать, что ВО=В’О=В"О, т. е. все эти три точки на-
ходятся на одной дуге окружности (чуВВ'В") с центром в точке О, радиус
которой есть ВО.В силу этого точку В"можно получить ие двойным построени-
ем осевой симметрии, а поворотом отрезка ВО около точки О по направлению
движения часовой стрелки (в данном случае) на угол 2а; точка В при этом
и опишет дугу ВВ'В".

Точно так же выясняется, что и остальные соответственные точки (А,
А' и А"\ С, С и С"; D. D' и D" и др.) могут быть получены вращением
соответствующих отрезков — АО, СО, DO и др. около точки О в том же нап-
равлении и на тот же угол 2а, равный удвоенному углу между осями, сим-
метрии.

Таким образом, четырехугольник A"B"C”D" может быть получен
поворотом четырехугольника ABCD около заданной точки О в заданном
направлении иа удвоенный угол между осями.

Диализ чертежа в задаче дает возможность наметить и план решения
задач иа вращение фигур:

1)	каждая вершина данной фигуры соединяется отрезком с центром вра-
щения О;

2)	при каждом отрезке в точке О строится заданный угол а в заданном
направлении вращения;
3)	через каждую вершину данной фигуры проводится дуга окружности
с центром в точке О, пересекающая соответственный луч — конечную
сторону угла а;

4)	точки пересечения последовательно соединяются отрезками.

Получается искомая фигура *.

Пользуясь этим общим планом, учащиеся решают следующую задачу.

Задача. Данный лАВС вращением около точки О переместить иа угол а
по движению (или против движения) часовой стрелки (черт. 168).

62. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ ГОМОТЕТИИ ФИГУР

Задача 1 (черт. 169). Даны точка X, прямая, проходящая через
нее, и точка А на этой прямой. На прямой ХЛ построить точку А'
так, чтобы отрезок ХЛ' был вдвое больше отрезка ХЛ.

Учащиеся решают задачу (на
_ .	классной доске и в тетрадях).

S д д' Преподаватель сообщает, что в
данной задаче точку А' называют
Черт. 169	иногда образом точки А, а

точку А при этом называют про-
образом точки А'; построение точки А называется вообще
преобразованием или отображением точки А,
а в данном случае подобным или гомотетичным
преобразованием точки А или просто гомотетией.

Далее выясняется, что данная точка А и точка Л' лежат на одной
прямой, проходящей через точку X и расположены по одну сто-
рону от этой точки; отношение их расстояний от точки X равно
(по заданию) 2, т. е. = 2.

Затем сообщается, что заданная точках называется центром
SA'

гомотетии, отношение = 2 называется коэффици-

• Этот процесс желательно продемонстрировать иа соответствующей
модели, которую легко могут изготовить сами учащиеся.
ентом гомотетииив общем случае обозначается буквой k
SA'

(	= k), точки А и А' называются гомо т"е т и ч н ы м и (т. е.

одинаково или подобно расположенными) относительно S и явля-
ются соответственными в гомотетии.

При этом особое внимание обращается на порядок составления
отношения: k — отношение отрезка, изображающего расстояние
от S до точки А' (S7T) к отрезку, изображающему расстояние от
S до данной точки A (SA).

Преподаватель предлагает еще несколько задач, которые ре-
шаются на доске и в тетрадях: даны точки S и М\ построить точ-
ку, гомотетичную точке М относительно точки S при k = 3 (5;
4; 1.6).

Затем задачи несколько видоизменяются.

Задача 2. Даны точка S, прямая, проходящая через нее, и точка
М на прямой. Построить на этой прямой точку М' так, чтобы точ-
ка S была между точками М и М' и чтобы отрезок SM' был вдвое
больше отрезка SM (черт. 170).

Учащиеся выполняют указанные построения. Затем они от-
мечают, что точки М и М’ лежат на одной прямой, проходящей
через точку S, но они рас-	№	,

положены в противопо-
ложных направлениях от<S, М" S
в силу чего прямую MSЛ4'	Черт 170

следует рассматривать как
имеющую направление, т. е. как числовую ось с началом отсчета
в точке S (отрезок SM можно принять в данном случае за масштаб-
ную единицу); поэтому отрезки SM' и SM имеют противополож-
ные направления; следовательно, отношение их будет выражаться

SM' о
отрицательным числом:	= —z.

В первой задаче центр гомотетии S был расположен по одну
сторону от соответственных точек; поэтому он называется внеш-
ним центром гомотетии; во второй задаче он лежит между соот-
ветственными точками и называется внутренним центром
гомотетии.

Учащиеся решают еще несколько задач, например: построить
гомотетичное отображение данной точки Р относительно S при
Л = —4(—1.5; -4; 1).

Особо надо остановиться на задачах, когда k = 1 и k = —1.
В первом случае (k = 1) гомотетичные точки совпадают, что обыч-
но выражают так: каждая точка гомотетична самой себе. Во втором
случае (k = —1) точки Р и Р'—центрально симметричны отно-
сительно <S; поэтому центральная симметрия точек есть частный
случай гомотетии, причем центры симметрии и гомотетии совпа-
дают.
Замечание. Надо сообщить учащимся, что в гомотетии
точке S — центру гомотетии — соответствует эта же точка S.

Такое подробное рассмотрение данной задачи позволяет оз-
накомить учащихся с основными понятиями и терминами гомотетии
и с процессом построения гомотетичных точек во всех возможных
вариантах.

Однако преподаватель может в зависимости от разных условий
значительно сократить предыдущую работу в классе, ограничив ре-
шение задачи одним-двумя значениями k.

Задача 3. Построить фигуру, гомотетичную данному отрезку
АВ относительно S с данным коэффициентом гомотетии k =
= 1,5(—2;±-Ь± 1).

Анализ. Данный отрезок определяется двумя точками —
своими концами; поэтому сначала надо построить гомотетичное
отображение именно этих конечных точек; последние и определяют
новый отрезок — искомую фигуру.

Этим анализом намечается и план решения задачи.

Учащиеся строят точки А' и В' при k = 1^-, соединяют их
и получают искомый отрезок А'В’ (черт. 171).

Сначала они доказывают, что А’В' || АВ* и k = 1,5

(рассматривая ^A'SB',

на сторонах которого отрезки А'В' и
АВ, отсекают пропорциональные отрез-
ки). Концы обоих отрезков соответст-
венно гомотетичны (по построению).
Возникает вопрос: будут ли и другие
точки обоих отрезков соответственно го-
мотетичными? Положительный ответ на
этот вопрос получается в процессе дока-
зательства: если на АВ взять произ-
вольную точку М, провести прямую
SM до пересечения с А 'В' в точке М
то последняя будет гомотетична
точке М. Действительно, АЛ1||А'ЛГи

.	,	SM'

они пересекают стороны угла A SM , а потому SM~

Л! = * =

= 1,5. Так же можно доказать, что любой точке отрезка АВ соот-
ветствует гомотетичная ей точка отрезка А'В'.

Вследствие этого отрезки АВ и А'В' называют гомотетичными.

Отсюда следует, что фигура, гомотетичная данному отрезку,
есть отрезок, параллельный данному отрезку.

И в этой задаче надо особо рассматривать случаи, когда k =
= 1 и k = —1. В первом случае отрезки совпадут при (k = 1

* Рассматривается только такой случай, когда Л Л не проходит через
точку S.
отрезок гомотетичен сам себе). Во втором случае (А = —1) иско-
мый отрезок будет симметричен данному отрезку относительно S.

Задача 4. Построить фигуру, гомотетичную данному ДЛВС
относительно центра гомотетии S и с коэффициентом гомотетии

Предварительный анализ очень прост: треугольник определяет-
ся тремя точками — своими вершинами; а потому решение задачи
/7

Черт. 173

сводится к построению трех точек, соответственно гомотетичных
вершинам данного треугольника. Решение таких задач уже из-
вестно учащимся.

Они должны рассмотреть при этом все возможные случаи рас-
положения центра гомотетии*:

1)	вне треугольника (черт. 172);

2)	в одной из вершин его (черт. 173);

3)	на одной стороне (черт. 174) и

4)	внутри треугольника.
Каждый вариант этой
задачи можно выполнять	хй

на отдельном чертеже. Но
предпочтительнее два ва-	/

рианта каждой задачи вы- Ду^ Д'/"'__________ -----------_ Д*

поднять на одном чертеже z	———а\.с*

(принимая одну и ту же
точку за внешний и внут-
ренний центры гомотетии);
при этом надо пользовать-	Черт. 174

ся цветными карандаша-
ми (на бумаге) и мелками (на классной доске).

После решения задачи делаются следующие выводы:

1)	фигура, гомотетичная данному треугольнику, есть треуголь-

ник;

• Если эта работа окажется трудной для учащихся данного класса,
то можно ограничиться двумя-тремя вариантами.
2)	стороны треугольников А'В'С и А"В"С" параллельны
сходственным сторонам* дЛВС;

3)	углы треугольников, заключенные между сходственными
сторонами, равны и называются соответственными уг-
лами;

4)	отношение сходственных сторон треугольников равно коэф-
фициенту гомотетии;

5)	ЛА'В’С' = АЛ"В"С" как центрально-симметричные
фигуры.

Задача 5. Построить фигуру, гомотетичную данному четырех-
угольнику (пяти-шестиугольнику) при коэффициенте гомотетии
k и заданном центре гомотетии S.

Большую часть этих графических работ учащиеся должны
выполнять дома, но на уроке необходимо давать пояснения.

Из решения этих задач можно сделать следующие выводы:

1.	Фигура, гомотетичная данной точке, есть точка, лежащая
на прямой, проходящей через данную точку и центр гомотетии.

2.	Фигура, гомотетичная данному отрезку, есть отрезок.

3.	Фигура, гомотетичная данному треугольнику, есть треу-
гольник.

4.	Фигура, гомотетичная данному многоугольнику, есть мно-
гоугольник.

После этого следует напомнить учащимся, что предыдущие
задачи на построение имели целью из данной фигуры путем опре-
деленных построений получить новую фигуру. Такие построения в
геометрии называются преобразованиями геометрических
фигур.

Рассмотренные преобразования называются преобразо-
ваниями гомотетии; фигуры, полученные преобразова-
нием гомотетии, называются гомотетичными. При этом,
если центр гомотетии внешний и, следовательно, А>0, то гомоте-
тия называется прямой или положительной; если же
центр гомотетии внутренний, а потому и А<0, то гомотетия назы-
вается обратной или отрицательной. Преобразова-
ние гомотетии называется также растяжением, если |А|>1,
или сжатием, если |й|<1.

Общие свойства гомотетичных фигур:

1.	В гомотетии точке S — центру гомотетии — соответствует
та же точка S.

2.	Каждой точке одной из двух гомотетичных фигур соответ-
ствует единственная точка другой фигуры или иначе: между точ-
ками гомотетичных фигур существует взаимно однознач-
ное соответствие.

3.	Каждая фигура гомотетична самой себе (при k = 1).

* Отрезки, заключенные между соответственно гомотетичными точками,
называются соответственными нлн сходственными.
4.	При k=—1 гомотетичные фигуры являются и центрально-
симметричными фигурами с центром симметрии в центре гомо-
тетии.

5.	Соответственные отрезки гомотетичных фигур параллель-
ны*; отношение их равно коэффициенту гомотетии.

6.	Соответственные углы гомотетичных фигур равны (как углы
с соответственно-параллельными и одинаково или противоположно
направленными сторонами).

Полезно предложить учащимся и такие задачи:

1.	Построить фигуру, гомотетичную данному лучу относи-
тельно центра 5 и с данным k (S лежит вне луча, на луче и в на-
чале луча).

2.	Построить фигуру, гомотетичную данной прямой относитель-
но данного центра 5 и с данным k (S лежит вне прямой и на прямой).

Гомотетия окружностей. Эта тема не имеет места в прог-
рамме по геометрии. Поэтому изучение ее может быть проведено в индивиду-
альном порядке с отдельными учащимися или в кружке.

Изучение можно начать, как н раньше, с решения задачи на построение.

Задача. Построить фигуру, гомотетичную данной окружности относи-
тельно центра S и с данным k (черт. 175).

Черт. 175

Анализируя условие задачи, учащиеся выясняют, что даны: окружность
с центром О и радиусом R, центр гомотетии S и коэффициент гомотетии k.
Исходя из определения гомотетии п свойств ее, нетрудно наметить план реше-
ния задачи: центр окружности О должен иметь соответственно гомотетичную
точку, для чего надо провести прямую OS и на ней построить точку О' так,

SO’	,	, „ „

чтобы	каждая точка данной окружности, например А, В, С и др.,

должна иметь соответственно гомотетичную точку относительно S (строятся
точки А', В', С и др.); точки А,В,С и др. соединяются отрезками сточкой
„	„	А'О' В'О' СО’

О, а точки А’, В . С и др. — сточкой О . Тогда ~aq=~B6 =~СО="‘=^'
но AO—BO=CO=...=R, а потому и А'О'=В'О'=С'О' : ., в силу чего они
могут быть радиусами одной и той же окружности с центром в точке
О'(А'О'=В'О' = СО’ = ... = R'), эта окружность и будет искомой фигурой
(О'; R').

Учащиеся выполняют намеченные построения.

Доказательство состоит в том, чтобы показать, что каждой произволь-
ной точке D данной окружности найдется соответственная точка на вновь

* Параллельными будем называть такие отрезки, которые лежат на
параллельных прямых. При этом исключается тот случай, когда данный от-
резок проходит через точку S.
полученной окружности. Для доказательства проводится луч SD и на нем
от точки S откладывается отрезок SD' так,что = k и точки D и D' соеди-

z.,	SD'

ияются соответственно с точками О и О . Тогда = k (по построению).

SO'	SD’ SO'	O’D'

-gp- = k (по построению), т. e. ‘^p=sq’• следовательно,—рд -= k =-^;
но OD = /?, а потому OD' = R', т. e. точка D' лежит на окружности (O'; /?').
А точка D была взята произвольно; значит, каждой точке данной окружности

имеется соответственная точка другой окружности, т. е. окружности (О; R)
и (О'; R') гомотетичны.

Итак, фигура, гомотетичная окружности, есть окружность, отношение
радиуса которой к радиусу данной окружности равно k.

Теорема. Всякие две неравные окружности иа плоскости гомоте-

тичны и имеют два центра гомотетии — внешний и внутренний (черт. 176).

Черт. 176

Указания. 1. Проводятся линия центров (00'), одинаково направ-
ленные радиусы ОА и О’А' так,что ОА || О'А', прямая АА' до пересечения
с линией центров в точке S, которая и будет внешним центром гомотетии.

2.	Проводятся предыдущие построения, ио радиусы противоположно
направлены; S — внутренний центр гомотетии.

Следствия. 1. При внешнем расположении окружностей внешние
общие касательные пересекаются во внешнем центре гомотетии, а точки ка-
сания являются прямо гомотичными точками (если окружности не равны).

2.	При внешнем расположении окружностей внутренние касательные
пересекаются во внутреннем центре гомотетии а точки касания обратно го-
мотетичны.

3.	Если две окружности касаются, то точка касания является одним
из центров гомотетии: при внешнем касании — внутренний центр гомотетии,
а при внутреннем — внешний.

4.	Если две неравные окружности внешне касаются, то внешние каса-
тельные пересекаются во внешнем центре гомотетии, а внутренняя касатель-
ная проходит через внутренний центр гомотетии, который совпадает с точкой
касания.

Практическое применение гомотетии

1.	Одно из самых важных применений гомотетия имеет при ра-
ботах на местности, в частности, при так называемой мензуль-
ной съемке планов местности (с одним или с двумя полюсами)*.

* П. Я- Д о р ф и А. О. Р у м е р. Измерения иа местности, вып. 10,
изд. АПН, 1953.
Мензула (mensula — столик) представляет собой «столик»,
крышка которого с прикрепленным листом бумаги (планшет) за-
крепляется на подставке.

Порядок проведения съемки. На местности
выбирается пункт, из которого видны и доступны все вершины поли-

гона, в которых ставятся вехи; в этом пункте ставится мензула,
а на планшете ставится S — центр гомотетии (черт. 177).

Из точки S визируют на одну вершину А полигона и на бу-
маге проводят соответствующий луч S/4', измеряют расстояние SA

и на луче планшета откладывают в опре-
деленном масштабе SА '.Так же определяет-
ся положение других вершин полигона;
полученные точки соединяются последова-
тельно отрезками — получается план по-
лигона.

2.	Когда на местности ориентируются
при помощи карты той же местности, то
используется тоже гомотетия: на карте на-
ходится то место, которое занимает наблю-
датель на местности,и потом карта распо-
лагается так, чтобы направление на карте
совпадало с направлением на некоторый

ориентир на местности.

3.	На том же понятии гомотетии фигур основано устройство
пантографа, изобретенного в 1603 г. Христофором Шейнером. При
помощи этого прибора можно механически выполнять перспектив-
но-подобное преобразование на плоскости чертежа не только пря-
молинейных, но и криволинейных фигур разнообразной
формы*.

В школе надо не только познакомить учащихся с пантографом,

выяснить принципы, лежащие в основе конструкции его, но и на-
учить пользоваться им практически при перечерчивании чертежей
и географических карт в разных масштабах.

* Устройство пантографа и работа с ним описана в учебниках геомет-
рии А. П. Киселева (§180) и Н. А. Глаголева (§ 202).

21 В. Г. Чичигии	S05
4.	Наконец, самое широкое и непосредственное применение по-
нятие гомотетии имеет в самом курсе геометрии, в частности при
решении задач на построение.

Так, например, при изучении пропорциональных отрезков уча-
щиеся решали задачу деления отрезка на части, пропорциональ-
ные двум, трем, четырем числам или отрезкам.

Ту же задачу теперь можно решить при помощи гомотетии.

Данный отрезок АВ разделить пропорционально числам 2, 4 и
5 (или т, п и р, подразумевая под этими буквами числа или от-
резки).

Решение представлено на чертеже 178.

63. ПОДОБИЕ ФИГУР

Прежде всего надо установить факт существования подобных
фигур.

По заданию преподавателя учащиеся в порядке повторения
строят фигуру, гомотетичную данному многоугольнику относи-
тельно данного центра S и с данным коэффициентом k (для простоты
можно взять треугольник АВС и построить ДЛ'В'С' при Л>0
или £\,А"В"С" при А<0; см. черт. 179).

Затем учащиеся вращают в плоскости чертежа вновь полу-
ченную фигуру (ДА'В'С или ЛА"В"С") около центра гомоте-
тии S на произвольный угол, меньший 180°, оставляя данную фигуру
(△ЛВС) в том же положении (полезно показать этот процесс вра-
щения на соответствующей модели и отобразить его на чертеже; см.
черт. 179). Треугольник Л'В'С' (или △Л"В"С") займет на пло-
скости новое положение (ДЛ ВС).
Последний треугольник А'"В"'С'" сначала сравнивается с
треугольником Л'В'С' (или А"В"С"). При этом выясняется, что
/\А"'В"'С"'= /\А'В'С (если вращали ДЛ'В'С'), так как
дЛ"'В'"С'"есть смещенный ДЛ'В'С'. Но треугольники А'В'С'
и АВС гомотетичны относительно центра S. Итак, треугольник
А'" В"'С" равен треугольнику А'В'С’, а последний гомотетичен
треугольнику Л ВС.

Преподаватель сообщает, что треугольник Л'"В'"С"' и АВС
называются подобными.

Составляется первое определение подобных фигур (в том чис-
ле и треугольников): если одна из двух данных фигур равна тре-
тьей фигуре, которая гомотетична второй данной фигуре, то данные
фигуры подобны.

Возвращаясь к тому же чертежу (черт. 179), учащиеся рассмат-
ривают сначала только гомотетичные фигуры и перечисляют их ос-
новные свойства: взаимно однозначное соответствие точек, пропор-
циональность сходственных сторон, равенство соответственных уг-
лов и параллельность сходственных сторон.

После поворота треугольника (например, А'В'С') новый тре-
угольник А'"В"'С'" сравнивается с данным треугольником АВС
и выясняется, что первые три свойства гомотетичных фигур сох-
раняются в треугольниках АВС и Л'"В'"С'", а параллельность
сходственных сторон не сохраняется; нет и гомотетии этих фигур.

При дальнейшем вращении той же фигуры на угол до 180° тре-
угольник Л '"В"'С" занимает положение треугольника А"В"С"
и совпадает с ним. При этом сохраняются те же три свойства
треугольников АВС и А'"В"'С" и вновь восстанавливается па-
раллельность сходственных сторон. В силу этого восстанавлива-
ется и гомотетичное расположение фигур, но с иным центром го-
мотетии: если он был внешним (при вращении АЛ'В'С'), то теперь
станет внутренним (ДЛ'"В'"С"'совпадает с ДЛ"В"С") и на-
оборот (при вращении дЛ"В"С" он совпадает с дЛ'В'С').

Из этих наблюдений выясняется, что отличительным свой-
ством гомотетии фигур является параллельность всех сходствен-
ных сторон их; отсутствие этого свойства или нарушение его вы-
зывает отсутствие или нарушение гомотетии фигур.

Итак, первые три свойства гомотетично-расположенных фигур
сохраняются при любом последующем расположении этих фигур.

Фигуры, обладающие этими тремя свойствами, называются
подобными.

Учащиеся формулируют второе определение подобных фигур:
фигуры называются подобными, если между точками их существу-
ет взаимно однозначное соответствие, сходственные отрезки (сто-
роны) их пропорциональны и соответственные углы равны.

Из этого определения следует, что гомотетично-расположенные
фигуры всегда подобны; иначе говоря, гомотетия фигур есть част-
ный случай подобия их.

Учащихся надо ознакомить с обоими определениями подобия
фигур, так как при последующем изучении признаков подобия
фигур в формулировку признаков входят метрические соотноше-
ния (из второго определения подобия), а при доказательстве теорем
используется гомотетия фигур.

Но в качестве определения подобия фигур, которое должны
твердо знать учащиеся, можно принять только второе; а первое
определение они могут передавать описательно, когда это пона-
добится.

В большинстве случаев подобные фигуры могут быть располо-
жены совершенно произвольно и сравнительно редко они бывают
гомотетично расположенными.

Преподаватель, а затем и учащиеся могут привести много при-
меров подобных фигур. В частности, можно сопоставить два плана
одного и того же земельного участка или две карты одной и той же
местности, но в разных масштабах.

Учащиеся на обоих планах указывают соответственные точки,
непосредственно сравнивают сходственные отрезки при помощи
делительного циркуля и убеждаются в том, что они пропорцио-
нальны, непосредственно измеряют соответственные углы и убеж-
даются, что они равны. Значит, фигуры, изображенные на пла-
нах, подобны.

Выяснение понятия подобия фигур и закрепление этого поня-
тия можно завершить решением нескольких задач на доказа-
тельство.

Задача 1. Если одна фигура подобна другой фигуре, вторая по-
добна третьей фигуре, то первая фигура подобна третьей.

Для простоты берутся треугольники.

При записи преподаватель знакомит учащихся с символом по-
добия ( <» — первая буква латинского слова si mil is — подобный):

Дано: ДЛ	ДЛ 2В2С2,

ДЛ гВ ДЛзВзСз.

Доказать: ДЛ iBiCieo ДЛзВзСз.

Доказательство.

1) взаимно однозначное

Из определения подобия вытекает:

2)	равенство соответственных

соответствие точек:

углов:

А 1*---*А 2<—•—*Лз,

В г*--*В —•—*Вз,

С1*---»Сг«-----*Сз-

^.А i=^A 2= ^Аз,
^В 1=	2= ^Вз,

i=^Cz= ^Сз.

3)	Пропорциональность сходственных сторон:

ABi ___А3В3

А2В2 ~ В2С2 В.д В2С2 ’

А2В2 В2С2	А2В2   А3В3

“ В3с3	В2С2 ~ В3С3 •
Л1В1   Л3вя Л1В1  BiCi
BtCr B3C3 или АаВа ~ ВаСа

Следовательно: АЛ iB iC 1 ~ а А эВзСз.

Задача 2. Доказать, что если одна фигура гомотетична другой
фигуре, а третья равна первой (или второй), то третья фигура по-
добна второй (или первой).

Для доказательства можно взять треугольники.

Задача 3. Равные фигуры подобны.

Признаки подобия фигур

Простейшей из замкнутых фигур является треугольник. Поэ-
тому изучение подобия фигур следует начинать именно с этой
фигуры. Основным и важнейшим вопросом при этом будет уста-
новление признаков подобия треугольников, а потом — примене-
ние этих признаков к решению разного рода задач теоретического
и практического характера.

Подобно тому как при изучении треугольников в VI классе
сначала были установлены признаки равенства их, так следует
поступить и теперь при изучении подобия треугольников: вместо
того чтобы в каждом отдельном случае выяснять наличие всех
условий, входящих в определение подобия двух треугольников,
выясняют признаки подобия треугольников, т. е. выясняют доста-
точные условия, при наличии которых данные треугольники бу-
дут подобны.

Совершенно естественно ожидать, что учащиеся сами могут
установить, что признаков подобия треугольников будет столько
же, сколько и признаков равенства их, поскольку при изучении
гомотетии фигур уже было выяснено, что равенство фигур (и треу-
гольников) есть частный случай подобия их при й=1.

Этот вывод можно подкрепить и таким соображением, которое
известно учащимся: треугольник вполне определяется тремя эле-
ментами, среди которых должен быть хотя бы один линейный эле-
мент, закрепляющий размеры фигуры. Если же поставить
задачу сохранить только форму треугольника и допустить различ-
ные размеры его, то надо уменьшить число условий, определяющих
равенство треугольников, совсем исключив линейные элементы
или заменив их равенство отношением.

Так, например, из трех условий первого признака равенства
треугольников можно опустить равенство одной пары сторон их;
во втором признаке — два равенства соответственных стерон, за-
ключающих равные углы, можно заменить одним равенством отно-
шений тех же сторон, т. е. одной пропорцией; в четвертом призна-
ке, если он будет рассматриваться в том или ином порядке, каки во
втором, вместо двух равенств сторон можно взять одно равенство
отношений этих сторон.
К" Все эти изменения можно представить в виде следующей таб-
лицы.

Признаки равенства треугольников	Исключаются нлн заменяются	Признаки подобия треугольников
I. ^А=^^.Аг\ с = сг	с = сг (исклю- чается)	I. ^A = ^Aii ^B=^Bi
II	= ^Сг; а=аг;  b = bt	а	b  =k и 7— = k аг	bi	a b  II. ^C=^C1J —=^= fe
III. a = aj; = c = q	а	b  ~-=k-, т- = fr;	a	b	c  III.— =-/- = — = k  Oi	bi	Ci
		
IV. a = d; b = bi, = ^Аг	Ai II Ai* II <3 1 G	IV. — = v- = fe; ^:A=^Ai ai bi
и В н ^Вг—одноименные		и ^B и ^Bi одноименные

Вывод признаков подобия треугольников с методической сто-
роны обычно не вызывает никаких затруднений.

В последней колонке таблицы получаются признаки подобия
треугольников, которые и изучаются в последующей работе обыч-
но в том же порядке (четвертый признак не предусмотрен про-
граммой).

Процесс доказательства соответствующих теорем по существу
•остается тот же, что и в учебнике А. П. Киселева. Схема доказа-
тельства: на стороне одного из данных треугольников от соответ-
ственной вершины, которая принимается за центр гомотетии*,
откладывается сходственная сторона другого треугольника; через
полученную точку проводится секущая прямая, параллельная
другой стороне треугольника, до пересечения с третьей его сторо-

* В этом учебнике в учении о подобии понятие гомотетии отсутствует.
ной; получается новый треугольник, гомотетичный первому, а
потому и подобный ему (в учебнике А. П. Киселева новый треу-
гольник подобен первому на основании соответствующей леммы).
Доказывается равенство нового и второго данного треугольников,
из чего следует заключение, что второй треугольник подобен пер-
вому (черт. 180).

Замечание. Откладывать можно не только сторону мень-
шего треугольника на сходственной стороне большего, но и на-
оборот: на стороне меньшего треугольника можно отложить сход-
ственную сторону большего, но при этом придется продолжить
стороны первого треугольника (черт 181); то же откладывание
можно сделать не на стороне треугольника, а на ее продолжении
за ту же вершину (черт. 182). Эти вариации чертежей можно вво-
дить при опросе учащихся и при повторении ими соответствующе-
го материала.

Черт. 182

Помимо трех (или четырех) основных признаков подобия треу-
гольников, необходимо рассмотреть еще два случая, особенно
часто встречающихся в практике решения задач, когда стороны
одного треугольника параллельны или перпендикулярны сторонам
другого треугольника (частные случаи первого признака).

Теоремы — признаки подобия треугольников — надо сопро-
вождать соответствующими примерами и решением задач на постро-
ение треугольников, подобных данному треугольнику, с заданным
коэффициентом подобия и на вычисление элементов в подобных тре-
угольниках.

Задача 1. Одно плечо шлагбаума имеет длину 1 м, другое —
4 м. На сколько поднимается конец длинного плеча, когда конец
з

короткого опустится на м (черт. 183)?

Черт. 183

Черт. 184

Задача 2. Определить высоту мачты, стоящей на ровной откры-
той местности, при помощи шеста, если к основанию мачты можно
подойти в солнечный и в пасмурный дни (черт. 184).

Указания, a) MN= , где АВ — тень от шеста, АМ —
тень от мачты (в солнечный день).

б) ^EDF=45°; MN=DM.

Задача 3. Определить расстояние между двумя точками на мест-
ности, одна из которых недоступна.

1-й вариант. Решение выполняется непосредственно на
местности (черт. 185, а).

Указание.	.

2-й вариант (черт. 185, б).

Решение. На местности измеряются непосредственно BD—
базис, углы В и D и на бумаге строится в определенном масштабе
треугольник A1B1D1 по стороне BiDiu двум прилежащим углам
Bi и Dr, на чертеже непосредственно измеряется отрезок Л1В1 и
по масштабу — коэффициенту подобия — определяется искомое
расстояние.

Задача 4. Определить расстояние между двумя недоступными
пунктами на местности.

Решение. На местности выбирают два пункта С и D, из
которых видны пункты А и В, непосредственно измеряют CD—
базис, углы ACD и CDA (в треугольнике ACD) и BCD и CDB (в
треугольнике BCD) и строят чертеж в определенном масштабе
(два треугольника с общим основанием), соединяют вершины А и
В, измеряют отрезок АВ и определяют по масштабу искомое рас-
стояние АВ.

Задача 5. Человек ростом в 1 м 80 см был сфотографирован ап-
паратом, глубина которого 15 см. На снимке его изображение по-
лучилось высотой 6 см. С какого расстояния его фотографировали?



Черт. 185

Задача 6. Построить треугольник, подобный данному, при
k=2(4,4-’ з)«

Решение этих задач сопровождается соответствующими дока-
зательствами, указанием применяемых теорем и исследованием,
при каких условиях задача имеет решение.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Эти признаки выделять в особую тему не рекомендуется.

При выводе признаков подобия косоугольных треугольников
надо каждый вновь полученный признак тотчас же применять к
выяснению соответствующего признака подобия прямоугольных
треугольников, устанавливать факт наличия одного лишнего усло-
вия вследствие равенства прямых углов (кроме третьего признака,
когда в условии равенство углов отсутствует, в силу чего третий
признак подобия прямоугольных треугольников совпадает со вто-
рым или с четвертым признаками) и формулировать соответству-
ющий признак в новой редакции применительно к прямоуголь-
ным треугольникам*.

Сравнение признаков подобия косоугольных и прямоугольных
треугольников можно представить в виде следующей таблицы (при-
няв условие, что стороны треугольников в дальнейшем будут обо-
значаться одной малой буквой: а — сторона, лежащая против угла
А, Ь — сторона, лежащая против угла В, и т. д.).

Косоугольные треугольники	Прямоугольные треугольники
I.	^А = ^Aj.  ^B=^Bt  II.	а : ах = b : Ь, = Л; С - Сг	I.	А = At или В = Bi  II.	а : ах = b : bt = Л (с и Cj — гипотенузы)
III. а: ах = b: Ь| = с: cl = k	III. а: а, = b : Ьг — k или а : аг = = с : Ct = k
IV. а: аг = b: = k  А — At и В н Вх — одно- именные	IV. а : аг — с : сх = k

Свойство сходственных отрезков в подобных
треугольниках

При изучении подобия треугольников до сих пор использо-
вались только основные элементы треугольника. А при решении
задач, связанных с понятием подобия, часто встречаются и другие
сходственные отрезки — высоты, биссектрисы, медианы, средние
линии, периметры. Надо установить связи этих отрезков с соот-
ветствующими сторонами. При этом полезно отрезки обозначать
малыми буквами с индексами, например: ha — высота, проведен-
ная на сторону а, 1Ь — биссектриса, проведенная из вершины угла
В (следовательно, на сторону Ь), тс — медиана стороны с, 1а—
средняя линия, параллельная стороне а, 2р — периметр.

Соответствующие теоремы можно предлагать учащимся как за-
дачи на доказательство; одни из них они будут решать в порядке само-
стоятельной работы в классе, а другие — дома с последующей про-
веркой.

Затем следует обобщить эти свойства и сформулировать их при-
мерно так: «сходственные отрезки в подобных треугольниках про-
порциональны сходственным сторонам».

А отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия
(А). Поэтому ту же теорему можно сформулировать иначе, используя
понятие коэффициента подобия: «Отношение сходственных отрезков

* При этом следует иметь в виду, что если ввести четвертый признак
подобия треугольников, то отпадает необходимость доказывать третий приз-
нак подобия прямоугольных треугольников (§ 164 в учебнике А.П. Киселева),
так как ои непосредственно вытекает из четвертого признака подобия треу-
гольников.
в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия этих
треугольников».

В таком случае отпадает необходимость в производных пропор-
циях. Так, например, теорема об отношении периметров подобных
треугольников может быть доказана следующим образом*:

a=kalt
b=kbu
C=kCi

a+b+c= &(ai+6i+ci),

a+b+c

Подобие многоугольников

Эту тему целесообразно начать с теоремы о существовании по-
добных многоугольников — четырехугольников, пятиугольников,
шестиугольников и т. д. (в порядке повторения).

Для этого надо построить произвольный четырехугольник (пя-
ти или шестиугольник), выбрать центр гомотетии S (вне четырех-
угольника, в одной из вершин его, на одной из сторон и внутри че-
тырехугольника), задать й>0 или А<0 и построить новую фигуру,
гомотетичную заданной.

Легко устанавливается наличие следующих свойств:

1)	взаимно однозначное соответствие между сходственными точ-
ками обеих фигур;

2)	равенство соответственных углов, образованных сходственны-
ми сторонами;

3)	пропорциональность сходственных сторон;

4)	параллельность сходственных сторон-

В силу этого обе фигуры подобны. Учащиеся формулируют
определение подобия многоугольников (указанием наличия пер-
вых трех условий).

При этом надо обратить особое внимание учащихся на то, что
если для определения подобия треугольников практически доста-
точно указать только одно условие — равенство их соответствен-
ных углов или пропорциональность сходственных сторон, то для
определения подобия многоугольников этого мало; примером мо-
жет служить сопоставление прямоугольника и квадрата, а также
Двух прямоугольников, у которых все углы прямые, а фигуры могут
быть не подобные. Это полезно подкрепить демонстрацией указан-
ных фигур, непосредственным измерением двух смежных сторон и
нахождением их отношения.

Установление признака подобия одноименных многоугольни-
ков не вызывает затруднений. Доказательство соответствующей тео-
ремы основано, как известно, на лемме о разбиении двух подоб-

* Н. М. Бескин, Методика геометрии , 1947, стр. 154.
ных многоугольников диагоналями, проведенными из сходствен-
ных вершин во все остальные, на одинаковое число подобных и
одинаково расположенных треугольников.

Решение задач методом подобия

Этот метод, как известно, применяется тогда, когда условие
данной задачи можно разделить на две такие части, в одной из ко-
торых условие определяет форму искомой фигуры, а в другой —
размеры ее. Сущность этого приема состоит в том, что сначала
строят фигуру заданной формы по первому условию задачи, а затем
при помощи подобного преобразования придают ей тот размер,
который соответствует второй части условия задачи. Этот прием
решения задач на построение носит название метода по-
добия.

В учебниках геометрии имеется описание этого метода и приме-
ры решения задач на построение.

Выяснение сущности метода подобия значительно упростится,
если разбить эту работу на три этапа:

1)	построение фигур, подобных данной фигуре;

2)	гомотетичное преобразование данной фигуры в искомую при
заданном коэффициенте подобия (или заданном отрезке такой фи-
гуры);

3)	решение задач на построение с полным применением ме-
тода подобия.

Первые две группы предварительных упражнений подготовят
учащихся к усвоению идеи этого метода и к успешному примене-
нию его при решении более сложных задач.

Примеры задач.

Задачи 1-го типа.

Построить треугольник (четырех- пяти- шестиугольник), подоб-
ный данному.

При решении этих задач необходимо брать центр гомотетии
вне фигуры, в одной из вершин, на одной из сторон и внутри фигу-
ры и принимать его попеременно за внешний или внутренний центр.

Задачи 2-го типа.

Данный треугольник (четырех-, пяти-, шестиугольник) преобразо-
вать в подобную ему фигуру при k=n (или со стороной AiBi,
которая является сходственной стороне АВ данной фигуры).

Задачи 3-го типа.

1. Построить треугольник, зная два его угла и медиану стороны,
заключенной между вершинами данных углов.

I.	Анализ. Строится треугольник, который принимается
за искомый; отмечаются данные углы и строится соответствующая
медиана.
Еслине учитывать задание медианы, то задача сводится к пост-
роению треугольника по двум его углам (бесконечное множество
решений).

На медиане от одного из ее концов откладывается отрезок,
равный данной медиане. Если отрезок откладывать от вершины,
то потом через свободный конец проводится прямая, параллель-
ная соответствующей стороне, и продолжаются две другие стороны
треугольника (если это будет нужно); если же откладывать отре-
зок от конца медианы на стороне треугольника, то потом через
другой конец данной медианы проводятся прямые, параллельные
двум другим сторонам треугольника, а третья сторона продолжа-
ется (если в этом будет надобность).

В результате анализа составляется план построения.

II.	Построение (по плану).

III.	Доказательство (свойства гомотетии).

IV.	Исследование: а) всегда имеется решение (способ
построения); б) единственное решение (два угла и линейный
элемент).

2. Построить параллелограмм, зная одну его сторону, один из
углов и отношение его высот.

Для закрепления материала учащиеся решают задачи — на
построение, на доказательство и на вычисление.

Задача 1. Построить многоугольник (четырех- пяти- шести-
угольник), подобный данному многоугольнику (ABCD, ABCDE,
ABCDEF), если задана сторона А\В\, сходственная стороне АВ
данного многоугольника.

Задача 2. Построить многоугольник (четырех- пяти- шестиуголь-
ник) подобный данному многоугольнику так, чтобы каждая сто-
рона его была вдвое (втрое, вчетверо) больше сходственной стороны
данного многоугольника.

Задача 3. Доказать, что сходственные диагонали в подобных
многоугольниках пропорциональны сходственным сторонам.

Задача 4. Доказать, что периметры подобных многоугольников
пропорциональны сходственным сторонам.

Задача 5. Доказать, что правильные одноименные многоуголь-
ники подобны*.

Задача 6. Доказать, что периметры правильных одноименных
многоугольников пропорциональны апофемам многоугольников и
радиусам описанных окружностей.

* Если понятие правильных многоугольников известно учащимся.
Глава XIII

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ
ПЛОСКИХ ФИГУР

64.	ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕМЫ

Задача этого раздела курса планиметрии состоит в том, чтобы
выяснить числовые зависимости как между основными элемента-
ми плоских фигур, так и между некоторыми неосновными их эле-
ментами. Если иметь в виду только прямолинейные замкнутые фи-
гуры, которые составляют основное содержание элементарного
курса планиметрии — треугольники, выпуклые четырехугольни-
ки и многоугольники, то основными элементами их являются сто-
роны и углы, а не основными — высоты, медианы, биссектрисы и
средние линии в треугольниках, диагонали в четырехугольниках и
многоугольниках, радиусы вписанных и описанных окружностей.

Из криволинейных фигур, как известно, в школьном курсе
планиметрии рассматриваются только окружности в сочетании с
прямыми линиями и замкнутыми прямолинейными фигурами; чи-
словые зависимости здесь выясняются преимущественно между
отрезками секущих и касательных (хорды и диаметры являются
отрезками секущих).

Приступая к изучению этого раздела курса планиметрии, по-
лезно провести в классе предварительную беседу, в которой сле-
дует вспомнить те соотношения между основными элементами тре-
угольника. которые известны учащимся из предыдущего курса
планиметрии.

Одни из этих соотношений выражают количественные или чи-
словые зависимости между элементами треугольника — между уг-
лами, между отрезками, между углами и отрезками; эти зависи-
мости записываются в виде формул, дающих возможность опреде-
лять числовые значения одного элемента, зная числовые значения
других элементов, входящих в данную формулу.

Примеры. Зависимости между углами:

1)	^Л + ^В+^С=180°;

2)	^14-^2+^3=360° (сумма внешних углов треугольника);

3)	^\ = ^В+^С (внешний угол треугольника равен сумме
двух внутренних его углов, не смежных с ним).

Зависимости между линейными элементами:

31S
4)	Лс= (высота, проведенная из вершины равнобедренного
прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы);

5)	тс— ~с = Я (медиана, проведенная к гипотенузе, равна
половине гипотенузы и радиусу описанной окружности).

Зависимость между сторонами и углами:

6)	а = -^-с, если ^А = 30° (в прямоугольном треугольнике!.

Другие соотношения выражают такие зависимости между эле-
ментами треугольника, которые в отличие от предыдущих формул
не дают возможности находить определенное числовое значение
того или иного элемента, зная значения других элементов.

Примеры. Зависимости между углами:

1)	-^1>^ви -^1>^С (внешний угол треугольника больше
внутреннего его угла, не смежного с ним).

Зависимость между сторонами:

2)	а—b<c<a+b.

Зависимость между сторонами и углами:

3)	если ^А = ^:В, то ВС=АС и если ВС=АС, то ^А= ^В',
4) если ^А^>^.В, то ВС>АС и если ВС>АС, то ^А>^В.
При этом следует обратить внимание учащихся на то, что во
всех примерах имеется только одна формула, устанавливающая
непосредственную числовую зависимость между сторонами и уг-
лами прямоугольного треугольника (6-я формула первой группы).

Этот существенный пробел будет в значительной мере воспол-
нен введением понятия тригонометрических функций острого угла.

Порядок изучения последующего материала в практике шко-
лы не всегда соответствует программе; он по-разному располагается
и в учебниках геометрии. Так, например, в программе после подо-
бия фигур стоит теорема Пифагора, затем тригонометрические
функции острого угла и метрические соотношения в треугольнике
и в круге. В учебнике А. П. Киселева за темой «Подобие фигур» сле-
дует понятие о пропорциональных отрезках, метрические соотноше-
ния и затем уже стоит тема о тригонометрических функциях ост-
рого угла. В учебнике Н А. Глаголева после темы «Гомотетия и
подобие» рассматриваются тригонометрические функции острого
угла, а потом — метрические соотношения в треугольнике и в
круге.

По этому поводу следует заметить, что последний порядок надо
признать более целесообразным. Действительно, на тему о триго-
нометрических функциях острого угла в программе отводится
только 10—12 часов; этого времени очень мало, особенно для раз-
вития навыков применения новых знаний к решению соответству-
ющих задач. Если же эту тему поставить на первом месте, то при
изучении последующего программного материала открываются ши-
рокие возможности применять тригонометрические функции не
только при решении задач, но и при изучении некоторых вопро-
сов теории (в частности, по курсу физики). Это даст возможность
более отчетливо осознать и прочно усвоить новый материал в те-
чение более длительного срока.

Общее содержание курса, посвященного изучению метрических
соотношений, в последующем изложении располагается так:

1.	Тригонометрические функции острого угла и решение
прямоугольных треугольников.

2.	Числовые зависимости между линейными элементами пря-
моугольного треугольника.

3.	Числовые зависимости между элементами косоугольного тре-
угольника.

4.	Числовые зависимости между элементами параллелограммов.

5.	Числэвые зависимости между отрезками в окружности.

65. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА
И РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Содержание темы

Тригонометрические функции острого угла в курсе геометрии
по существу не представляют для учащихся ничего принципиаль-
но нового: отношение двух чисел, как и отношение двух отрез-
ков, хорошо знакомы им, а эти понятия и лежат в основе определе-
ния тригонометрических функций острого угла.

Включение данной темы в программу VIII класса вызы-
вается следующими соображениями. Во-первых, тригонометри-
ческие функции острого угла являются весьма ценным и полезным
вкладом в тот запас простейших функций, которые изучаются
именно в том же VIII классе — линейные и простейшие квадратич-
ные функции. Во-вторых, тригонометрические функции острого угла
могут сразу стать могучим средством для решения прямоугольных
треугольников, что позволяет значительно расширить круг задач,
особенно прикладного характера, а это содействует внедрению
политехнического обучения в средней школе. Наконец, введение
тригонометрических функций острого угла в VIII классе удовле-
творяет запросам курса физики при изучении физических основ
механики в том же классе.

Но ощутимая польза изучения тригонометрических функций
острого угла в VIII классе будет только в том случае, если эти
новые понятия на самом деле фактически будут работающими
понятиями, т. е. во всем последующем курсе геометрии они будут
применяться как при решении соответствующих задач, так и при
изучении некоторых вопросов теории, например, при определении
площадей прямолинейных фигур в VIII классе, при определе-
нии сторон, апофем и площадей правильных многоугольников в
IX классе и т. п.

Процесс изучения программного материала по этой теме мож-
но разбить на три этапа: а) изучение общего теоретического мате-
риала; б) решение прямоугольных треугольников и в) решение раз-
личных задач.

На первом этапе вводится понятие о тригонометрических вели-
чинах, характеризующих острые углы, составляются таблицы зна-
чений их, выясняется функциональный характер тригонометри-
ческих величин и некоторые соотношения между ними. Изучение
этого материала сопровождается решением соответствующих задач,
особенно задач на построение (построение углов по данным зна-
чениям тригонометрических функций и обратная задача).

На втором этапе сначала тоже изучается небольшой теорети"
ческий материал, который имеет целью выяснить основные соот-
ношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника,
затем этот материал применяется к решению прямоугольных тре-
угольников (основные случаи).

На третьем этапе решаются задачи, требующие применения
тригонометрических функций острого угла, в частности и решение
равнобедренных треугольников.

Тригонометрические функции острого угла в курсе геометрии
определяются как отношения соответствующих сторон прямоуголь-
ного треугольника. Отношение есть число; поэтому естественно си-
нус, косинус и тангенс острого угла тоже сначала называть числа-
ми, характеризующими величину данного угла, что и используется
при решении задач на построение углов, заданных синусом, коси-
нусом или тангенсом. Затем следует ознакомление учащихся с
функциональным характером тех же тригонометрических величин
острого угла.

Для решения прямоугольных треугольников вполне достаточ-
но трех функций—синуса, косинуса и тангенса. Чтобы более отчет-
ливо выяснить некоторые простейшие зависимости между тригоно-
метрическими функциями острого угла (например, зависимость
между сходственными функциями — синус и косинус, тангенс и
котангенс), можно ввести еше понятие о котангенсе, выяснив, что
последний является не только сходственной функцией с тангенсом,
но и обратной величиной его. Секанс и косеканс не имеют никакого
практического применения; поэтому о них совсем не следует упо-
минать.

С психологической точки зрения надо учитывать тот факт, что
среди новых терминов, имеющих одинаковый характер (например,
синус, косинус и тангенс острого угла), первый из них, вводимый
в лексикон учащихся, более отчетливо ими запоминается, в силу
чего они стараются преимущественно нм и пользоваться.

С этой точки зрения имеет смысл сначала ввести понятие танг ен-
са острого угла, так как тангенс имеет некоторые преимущества
перед синусом: задачи на построение углов, заданных тангенсом,
решаются проще, чем те же задачи на построение углов, заданных
синусом или косинусом; тангенс может принимать любые действи-
тельные значения.
Введение понятия тригонометрических функций
острого угла

Ознакомление учащихся с тригонометрическими функциями
острого угла можно осуществлять разными способами. Но в осно-

ве их лежит одно понятие — понятие подобия фигур, в частности,
подобие прямоугольных треугольников.

Поэтому введение понятия тригонометрических функций

естественно представить. как
понятия подобия фигур.

дальнейшее развитие и применение

С этой целью учащиеся строят
произвольный острый угол, на одной
стороне его отмечают произвольно
несколько точек, проектируют эти
точки на другую сторону угла. По-
лучается ряд подобных прямоуголь-
ных треугольников, из чего вытекает
пропорциональность сходственных
отрезков (черт. 186).

Учащиеся записывают подобие

треугольников:
ЧерТ' 18Ь	ДЛВ^ссДЛВгСгооДЛВзСзсс...

Затем преподаватель предлагает
в,С, В£, В3С3
записать отношения сходственных катетов:	= ...

При этом вводятся соответствующие названия обоих катетов:
противолежащий катет (данному углу) и прилежащий катет
(к нему).

Получился ряд равных отношений. Учащиеся формулируют
вывод: отношение противолежащего катета к прилежащему при

заданном угле есть величина постоянная.

Это отношение есть число, которое условились называть тан-
генсом угла А (на доске и в тетрадях записывается полное
слово и принятое сокращение: tangens А и tg А от латинского слова
tangens — касающийся).

Вторая запись теперь принимает такой вид:

BjCi В-С2 В3С3 	__ВС  . д

~ACt ~ АС3 ~ АС3 ~ ”• ~ЛС ё

Учащиеся формулируют определение тангенса острого угла.

Таким образом, подчеркивается, что тангенс данного острого
угла есть число; это число обозначается особым символом — tgЛ.

Преподаватель обращает внимание учащихся на этот символ:
он состоит из двух элементов —сокращенной записи слова tan gens и
записи угла А. Но эти два элемента составляют один и только один
символ и никогда не разъединяются (подобно уже известным сим-
волам ^АВС или \-;АВ и т. п.).
j." Какой смысл имеет этот нэвый символ? Ответ на этот вопрос
получится после решения нескольких геометрических задач на
построение и на вычисление с использованием тангенса угла. При
этом надо требовать, чтобы учащиеся последовательно выполняли
каждый из четырех известных этапов: анализ, исходя из опреде-
ления тангенса угла, построение, доказательство и исследование.

С той же целью предварительно вводится общеупотребительная
символика: строится прямоугольный треугольник, углы его обоз-
начаются буквами А, В и С (С— прямой угол), противолежащие
стороны—соответственно малыми буквами а, b и с (с—гипотенуза)
и записывается определение тангенсов углов Л и В в виде формул:

tg А = и tg В = —.

ь Ь ° а

3

Задача 1. Построить угол, тангенс которого равен 2	1,7).

Запись условия: искомый угол — х,
tgx=2.

Анализ: tgx=2, у=2, а — противолежащий катет,
tgx =у>	a=2b. b — прилежащий катет.

Решение (построение):

1)	строится прямой угол;

2)	на одной его стороне от вершины угла откладывается произ-
вольный отрезок Ь\

3)	на другой стороне угла от вершины его откладывается отре-
зок а=2й;

4)	концы обоих отрезков соединяются отрезком прямой линии;

5)	в полученном прямоугольном треугольнике острый угол,
противолежащий катету а, будет искомый.

Доказательство. tgx= у =2 (отвечает условию
задачи).

Исследование. Задача всегда имеет решение, так как
все отдельные этапы построения всегда выполнимы.

Задача 2. Определить площадь прямоугольного треугольника,
3
если известно, что танген с одного из острых углов его равен —, а
прилежащий катет равен 12 см.

Запись условия: tgA Ь= 12 см, Sл=х.

Решение. 1) SA= -^ab; Ь=12 см (по условию задачи); надо
определить а;

а 3	3 г,

следовательно, у = откуда а = — о;

2) tgA =
tgA = 4.
3)	а= 1-12 = 9; а=9 см-,
1	4

4)	$△ = 4  9 * 12=54; S △ =54 см\

Решение этих задач поможет учащимся’на первых порах в до-
статочной степени выяснить целесообразность и необходимость

введения понятия тангенса острого угла (он характеризует вели-

чину острого угла) и применения его к решению задач.

Задача 3. Построить прямоугольный треугольник с острым уг-
лом в 15° так, чтобы прилежащий к этому углу катет был равен
10 масштабным единицам (10 см, 10 клеток и т. п.) и определить
тангенс угла в 15°.

Решение. Учащиеся измеряют противолежащий катет в

тех же масштабных единицах и находят искомый тангенс угла

как отношение противолежащего катета к прилежащему (черт. 187):
tg 15°^2,7:10=0,27 (или tg 15'^2,6:10=0,26).

Затем на том же катете в 10 единиц стро-
ятся новые треугольники с углами в 30°, в 45°
и в 60° (черт. 187) и тем же способом определя-
ются тангенсы углов в 30°, 45° и 60°, полученные
результаты записываются в табличку:

tg 15°—0,26 или 0,27

tg 30°~0,57 или 0,58

tg 45°^1,00

tg 60°^ 1,73

Учащиеся теперь видят, что при изменении
острого угла изменяется и тангенс его так, что
каждому значению острого угла соответствует

вполне определенное значение тангенса.

Таким образом, в данном примере выявляется следующее:

1.	Острый угол и тангенс его могут принимать различные зна-

чения; в силу этого их называют переменными величи-
нами (это понятие впервые вводится еще в VI классе при изуче-
нии пропорциональных величин).

2.	В данной задаче угол принимает произвольные значения (по
нашему «выбору»: 15°, 30°, 45° и т. д.), поэтому угол называют н е -
зависимой переменной величиной или аргу-
ментом.

3.	Тангенс острого угла в той же задаче мы находили или
определяли (по чертежу непосредственным измерением, а затем
вычислением) в зависимости от значений угла — аргу-
мента; поэтому тангенс угла называют в данном случае зависи-
мой переменной величиной или функцией
угла.

Такая зависимость между переменными величинами, когда каж-
дому значению аргумента (острого угла) соответствует одно и толь-
ко одно вполне определенное значение функции (тангенса угла),
называется функциональной зависимостью.

Этим пока можно и ограничиться при первом ознакомлении уча-
щихся с тангенсом острого угла.

Точно так же вводится понятие синуса угла. С этой целью пре-
подаватель предлагает учащимся вновь обратиться к первому ос-
новному чертежу (по записям в тетрадях) или восстановить чертеж и
запись подобия треугольников. Учащиеся составляют новый ряд
равных отношений противолежащих катетов к соответствующим
гипотенузам, после чего дается определение синуса данного угла.
Дальнейшая работа, посвященная изучению синуса угла, ведется
по предыдущему плану.

По такому же плану проводится ознакомление учащихся с ко-
синусом и с котангенсом острого угла.

Этот способ первоначального ознакомления учащихся с триго-
нометрическими функциями (с каждой в отдельности) имеет свои
преимущества: учащиеся более глубоко и отчетливо осознают смысл
каждого нового понятия и имеют возможность тотчас же приме-
нять его к решению простейших задач.

Другой способ, имеющий широкое применение в практике шко-
лы, состоит в том, что из подобия треугольников (черт. 186) на од-
ном и том же уроке последовательно составляются все четыре ряда
равных отношений. Каждое из них рассматривается так же, как
это было описано раньше, но без непосредственного применения их
к решению соответствующих задач. Этот способ более экономный по
времени, но он оставляет учащихся на первых порах в неведении
относительно того, зачем нужны эти новые понятия.

В порядке подведения итогов преподаватель предлагает уча-
щимся вновь обратиться к первому чертежу (или восстановить его),
восстановить записи формул определения тангенса, синуса, коси-
нуса и котангенса и сформулировать следующие выводы:

1.	Подобных треугольников указанным способом можно по-
строить сколько угодно.

2.	Стороны каждого из них будут отличны от сторон всех ос-
тальных треугольников, но отношения каждой пары сходствен-
ных сторон равны, потому что угол А остается неизменным (или
постоянным).

Последнюю мысль обычно выражают так: синус, косинус, тан-
генс и котангенс угла треугольника не зависят от длины его
сторон.

Поэтому данный угол А вполне характеризуется или, как го-
ворят, определяется одним из этих отношений — тангенсом, си-
нусом, косинусом или котангенсом, т. е. о величине данного ост-
рого угла можно судить по величине одного из выведенных отно-
шений.

В силу этого каждое из выведенных отношений получило особое
название — тангенс, синус, косинус и котангенс.

В порядке обобщения ряд подобных треугольников можно за-
менить одним из них, каждый острый угол которого будет вполне
определяться любым из этих отношений.

С этой целью на классной доске и в тетрадях учащихся чертится
прямоугольный треугольник, а элементы его обозначаются из-
вестными буквами.

По заданию учителя учащиеся записывают выведенные опре-
,	. а	.а .	b .	„ Ь

деления: tg Л	= —;	sin А = у;	cos Л = ctg А	= —.

По инициативе самих учащихся или по заданию преподава-
теля могут быть составлены соответствующие формулы и для угла
В (при этом обязательно надо требовать четкой словесной форму-
лировки каждого определения: тангенс данного угла В есть отно-
шение и т. д.).

Сопоставляя обе эти таблицы, учащиеся без труда выведут за-
висимость между тригонометрическими величинами углов А и В:
tg^=ctgS: sin /=cosS; cos/=sin B\ ctg /=tgS.

Так же легко они вспомнят и запишут зависимость между уг-
лами А и В: А+В=90° и Л=90°—В или 5=90°—А.

На этом основании они могут заменить угол В в последней таб-
лице и получить:

tg /=ctg(90°—Л);

s i n А = cos(90°—А);
cos A =sin(90°—Л);
ctg/ = tg(90°—Л).

В связи с этим вводится термин «дополнительный угол», и уча-
щиеся могут читать последнюю таблицу так: «тангенс угла А равен
котангенсу дополнительного угла» и т. д.

Это одно из первых соотношений между тригонометрическими
функциями.

Таблицы значений тригонометрических функций

Сначала учащиеся сами составляют таблицы значений триго-
нометрических функций острых углов через 10° графическим спо-
собом.

Преподаватель предварительно дает домашнее задание с под-
робным объяснением его: на миллиметровой бумаге или на одной
странице тетради (по клеткам) заготовить чертеж четверти круга —
квадранта — с радиусом в 100 мм (или в 20 клеток); при помощи
транспортира разделить дугу его на 9 равных частей (через 10°);
каждую точку деления дуги (с числовой отметкой 0°, 10°, 20°, ...)
очень тонкими линиями соединить с центром дуги и спроектировать
на горизонтальный радиус (черт. 188); на другой странице того же
разворота тетради заготовить сетку для числовой таблицы*.

* Если чертеж квадранта сделан на миллиметровой бумаге, то он при-
крепляется к странице тетради.
Преподаватель на классной доске чертит сетку для числовой
таблицы и квадрант с радиусом в 1000 мм или вывешивает модель
такого квадранта на миллиметровой бумаге на толстом картоне
или на файере; в центре квадранта укрепляется булавкой один ко-
нец тонкой черной нитки, на другом конце которой прикрепляется
груз, а другая булавка слегка укрепляется в точке деления дуги и
через нее перекидывается нитка (черт. 189).

Эта модель укрепляется на стене или на классной доске при по-
мощи уровня или отвеса (по уровню направляется горизонтальный
или по отвесу вертикальный радиус). Нитка с грузом образует ги-
потенузу и противолежащий катет, а также отсекает прилежащий
катет прямоугольного треугольника с острым углом в 10°, 20°
и т. д.

Так образуются восемь прямоугольных треугольников. Пре-
подаватель напоминает, что противолежащие катеты обозначаются
буквой a (ai, аг, аз, ...а>), а прилежащие — соответственно буквой
b (bi, Ьг, Ьз...Ьз). На модели и на чертежах легко определяются
значения противолежащего катета (ai=tl7мм, аг^ЗАмм, аз^50мм
и т. д.), а гипотенуза с=100 мм (по построению). Отношения

0,17, у~0,34 и т. д. будут соответственно синусами углов в 10°,
20° и т. д. Эти значения записываются в таблицу.

Точно так же составляется таблица значений косинусов и тан-
генсов тех же углов.

Но преподаватель может указать более рациональный прием вы-
числения тангенсов, предложив учащимся дополнить чертежи сле-
дующим образом: через конец горизонтального радиуса провести
перпендикуляр к нему (касательную к дуге) и продолжить радиу-
сы-гипотенузы до пересечения с этим перпендикуляром. При этом
учащиеся фактически убедятся в том, что продолжить все радиусы-
гипотенузы можно, а пересечение их с перпендикуляром в преде-
лах чертежа не всегда возможно (так, для угла в 80° уже нельзя
получить пересечение; на некоторых чертежах нельзя получить его
даже для угла в 70°); а для угла в 90° совсем не может быть пере-
сечения.

Теперь легко видеть, что в результате последних построений
получились новые прямоугольные треугольники, у которых гипо-
тенузами служат продолженные радиусы до пересечения с перпен-
дикуляром-касательной, противолежащие катеты лежат на пер-
пендикуляре-касательной, а прилежащий катет у всех треуголь-
ников один и тот же—горизонтальный радиус, равный 100 мм.

Каждый из этих треугольников соответственно подобен одному
из треугольников первой группы (внутри квадранта), имеющему
тот же острый угол при вершине А. Катеты, лежащие на перпен-
дикуляре-касательной, можно обозначить тоже буквой а, но с
новыми индексами: a'i, а!2, п'з...

Возвращаясь к определению тангенса угла (tg Л = у), например
угла в 10°, учащиеся легко приходят к мысли о замене одного от-
ношения другим (на основании подобия треугольников): tg 10° =

by R'

По чертежу легко определяется значение a'i (17 мм или 18л(л<),
а 7?=100 мм\ tglO°^O, 17 или tglO°^O, 18 (последнее взято с из-
бытком; оно ближе к истинному значению). Так учащиеся состав-
ляют таблицу значений тангенсов углов в 10°, 20°, 30°, 40°, 50° и 60°;
на некоторых чертежах можно определить и значение катета, ле-
жащего на перпендикуляре-касательной против угла в 70°.

Встает вопрос: как же определить значение тангенса угла в 70°
и в 80°? Остается первый способ, т. е. определяется отношение ка-
тетов тех треугольников, которые заключены внутри квадранта и
содержат острые углы при вершине А в 70° и в 80°: tg70°=^ и tg80°=

=уг. По чертежу определяются значения указанных катетов и де-
лением вычисляются тангенсы: а7^=94мм и	а^98мм и

Ье^17мм; tg70°^2,76n tg80°^5,76.

Остается определить значения тригонометрических функций уг-
ла в 0° и в 90°.

На той же модели квадранта преподаватель может показать,
что вращением начального радиуса около центра можно образовать
все намеченные на чертеже углы (рассматриваются некоторые по-
ложения этого радиуса и образованные им треугольники). Можно
условиться считать, что на чертеже имеются еще два треугольника:
один с углом при общей вершине в 0е (гипотенуза-радиус и приле-
жащий катет совпадают, а противолежащий катет обратился в точ-
ку и равен 0), а другой с углом при той же вершине в 90° (гипоте-
нуза-радиус и противолежащий катет совпали, а прилежащий об-
ратился в точку и равен 0). Теперь легко определить значения три-
гонометрических функций угла в 0°и в 90°.

Sin 0°	= ^=0; cos 0°=^= 1 ;tg 0° = g=0;

sin 90°=	cos 90-4=A= 0;

(нет тангенса).

Эти значения вносятся в таблицу.

В заключительной беседе выясняется, что дугу квадранта мож-
но разделить не только на 9, но и на 18 и более равных частей и
составить таблицу значений синусов, косинусов и тангенсов углов
не через 10°, а через 5° или 3°. При достаточном увеличении чертежа
можно составить подобную таблицу через 1°, но полученные таким
способом таблицы будут иметь очень небольшую точность, что
и подтверждается при сравнении этих таблиц с печатными,
которые обычно помещаются в конце учебника по геометрии или
с таблицами Бр адиса.

Для той же цели следует иметь большую классную таблицу
значений синуса, косинуса и тангенса через 1°*.

Для более подробного ознакомления с таблицами значений три-
гонометрических функций учащиеся решают задачи: а) нахожде-
ние значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, зная
градусную меру его; б) нахождение градусной меры угла по дан-
ным значениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса его.

Изменение синуса, косинуса, тангенса
в связи с изменением острого угла

В порядке продолжения той же работы с таблицами препода-
ватель предлагает учащимся выяснить по таблицам, что при
возрастании угла от 0 до 90° возрастает и синус его от 0 до 1;
следовательно, синус острого угла выражается любым действи-
тельным положительным числом не больше единицы, т. е. 0<.sin/< 1.
Соответствующее заключение делается и в отношении тангенса
угла: при возрастании угла от 0 до 45° тангенс его возрастает от 0
до 1, а при последующем возрастании угла от 45 до 90° тангенс его
быстро возрастает, принимая действительные положительные
значения больше 1, т. е. tg/>0.

Эти наблюдения подтверждают ранее высказанную мысль о
том, что если принять угол за независимую переменную величину
или за аргумент, то синус (или тангенс) этого угла будет функ-
цией его.

Точно так же по таблице изучается ход изменения косинуса

* Таблицы Брадиса вводятся только в том случае, если преподаватель
Предполагает ввести задачи, в которых углы задаются и вычисляются с
Точностью до одной минуты. В противном случае можно пользоваться более
Простыми таблицами в учебнике геометрии.
острого угла: при возрастании угла от 0° до 90° косинус убы-
вает от 1 до 0 (1>cosA>0), т. е. он может принимать любые дей-
ствительные положительные значения не больше 1; следовательно,
и косинус угла является функцией его*.

Эти функции в отличие от других известных функций называ-
ются тригонометрическими функциями, так как они определяются
из прямоугольного треугольника (trigonon — треугольник и
metreo — измеряю).

В порядке дополнительной самостоятельной работы отдельных
учащихся или в кружке преподаватель может предложить и по-
строение графиков этих функций на числовом промежутке от Одо
90°**.

Решение задач на построение и на вычисление

Если изучение тригонометрических функций острых углов бы-
ло построено первым способом, т. е. каждая из них изучалась от-
дельно с решением соответствующих задач, то теперь полезно
вновь вернуться к этим задачам преимущественно в порядке до-
машней самостоятельной работы учащихся. Если та же работа
проводилась вторым способом, то теперь для более прочного и ос-
новательного закрепления геометрического истолкования каждой
тригонометрической функции учащиеся должны решить достаточ-
ное число задач на построение угла по заданному значению три-
гонометрической функции его и задач на определение значений
тригонометрических функций графически заданного угла. Такая
работа была описана раньше при ознакомлении учащихся с тан-
генсом угла (см. стр. 323).

Ниже приводятся примеры таких задач.

2

1.	Построить угол, синус которого равен у (косинус которого
равен 0,6 или тангенс которого равен 3,4).

План решения каждой задачи остается тот же, который был
указан раньше (см. стр. 323).

Время от времени полезно при помощи транспортира опре-
делять градусное значение искомого угла и сравнивать этот ре-
зультат с табличным значением его.

2.	Начертить угол в 39° и графически определить (вычислить)
его тангенс, синус и косинус.

Полученные ответы необходимо сравнивать с табличными зна-
чениями (в десятых долях) и пояснять расхождения (если они
имеются).

3.	Определить градусную меру графически заданного угла (без
транспортира).

* Соответствующее заключение может быть сделано и в отношении
котангенса острого угла, ио в этом нет особой надобности в данном месте
курса геометрии.

” См. В. Г. Ч и ч и г и н, Методика преподавания тригонометрии,
Учпедгиз, 1954, стр. 55—57.
Подобные задачи могут быть даны и в контрольной работе,
причем желательно, чтобы каждый учащийся получил начерчен-
ный угол на миллиметровой бумаге.

Некоторые соотношения между тригонометрическими функциями

Для решения треугольников приходится пользоваться табли-
цами значений тригонометрических функций. Но они обычно со-
ставляются только для синуса и тангенса, а используются и для
косинуса и котангенса на основании соотношений, существующих
между сходственными функциями (или, как иногда их называют,
между кофункциями) основных и дополнительных углов,
как это было указано в ранее приведенной таблице (см. стр. 326).

При этом преподаватель может разъяснить учащимся, что при-
ставка «ко» (или «со») в терминах «косинус» и «котангенс» есть на-
чало латинского слова complementum — дополнение, что
некоторым образом и указывает, что угол В — дополнительный,
если угол А — основной.

В порядке устного счета надо упражнять учащихся в вычис-
лении дополнительных углов по заданным основным углам; а при
вычислениях при помощи таблиц значений надо напоминать уча-
щимся, что каждое найденное значение синуса угла есть в то же
время и значение косинуса дополнительного угла, что и проверя-
ется той же таблицей при использовании ее снизу и справа; то же
относится и к таблице тангенсов и котангенсов.

Некоторый интерес у учащихся могут вызвать другие соот-
ношения между тригонометрическими функциями, как-то:

tgZ = и ctgy4 = и особенно тригонометрическая форма
теоремы Пифагора sin2Л -|-cos2/l = l*.

Но эта работа может быть проведена в кружке.

Основные соотношения между элементами прямоугольного
треугольника

Преподаватель предлагает учащимся припомнить, какие соот-
ношения связывают стороны любого треугольника и прямоуголь-
ного треугольника, в частности, какие соотношения связывают
углы любого треугольника, в частности, прямоугольного и, наконец,
какие соотношения связывают стороны и углы в любом треуголь-
нике, в частности, в прямоугольном.

Преподаватель сообщает, что при помощи тригонометрических
функций можно вывести новые соотношения между сторонами и
углами в прямоугольном треугольнике. Это делается очень просто
в легко самими учащимися.

* См. В. Г. Ч и ч и г и и, Методика преподавания тригонометрии,
Учпедгиз, 1954, стр. 58—61.
Они выписывают уже известные формулы тригонометрических
функций и, пользуясь соотношениями между частным, дели-
мым и делителем (или между членами кратного отношения),
выводят формулы сначала для вычисления катета при помощи дру-
гого катета и гипотенузы, а потом и для вычисления гипотенузы:

1)	tgA = -£;	4) a=b-tgA	или

2)	sinA = у;	5) а=с-sin А	или b=c-cosA',

3)	cosA =	6) с=-Д^ =

/	с	1 sin4 cos?!

Анализируя обе группы этих формул, учащиеся легко прихо-
дят к следующим заключениям:

1.	Пользуясь формулами первой группы (1—3), можно опре-
делять острые углы в прямоугольном треугольнике, зная две сто-
роны его.

2.	Формулы второй группы (4—6) дают возможность опреде-
лять любую сторону прямоугольного треугольника, зная один
острый угол и одну сторону его.

Итак, для решения прямоугольных треугольников теперь име-
ются все необходимые формулы основных соотношений между сто-
ронами и углами.

Заучивать их нет необходимости; лучше иметь классную таб-
лицу и таблицу в тетради учащегося и пользоваться ею при реше-
нии соответствующих задач; тогда эти формулы будут постепенно
запоминаться.

Но формулы первой группы — определение тригонометрических
функций острого угла — учащиеся должны твердо знать, пото-
му что из них они могут вывести и все остальные формулы для оп-
ределения сторон прямоугольного треугольника.

Основные случаи решения прямоугольных треугольников

Это — центральная часть данного курса тригонометрии, ради
которой была проведена вся предыдущая работа по выяснению и
усвоению новых понятий — тригонометрических функций, харак-
теризующих величину острых углов.

Учащиеся сначала указывают, что в прямоугольном треуголь-
нике шесть основных элементов — три стороны и три угла; один из
углов — прямой; обычно он не учитывается. Затем проводится
анализ только что выведенных формул, характеризующих соотно-
шения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
(углы входят под знаками тригонометрических функций) и полу-
чают следующие выводы:

1)	в каждую формулу входят три элемента;

2)	зная два из них, можно определить третий;
3)	комбинируя пять основных элементов по два, получим раз-
ные задачи.

Чтобы определить, сколько может быть различных задач, надо
составить все возможные сочетания по два из этих пяти элемен-
тов прямоугольного треугольника и выбросить из них повторные
задачи:

1)	а и Ь, 2) а и с, 3) а и А, 4) а и В, 5) b и с,

6) b и А, 7) b и В, 8) с и А, 9) с и В, 10) А и В.

Составление этих комбинаций — сочетаний по 2— не может
представить затруднений для учащихся, а выбрасывание повтор-
ных задач — чрезвычайно полезная для них работа, дающая воз-
можность из двух или трех комбинаций выделить одну и только
одну задачу при видимой разнице входящих в них элементов. Для
этого достаточно предложить учащимся называть словами элемен-
ты, входящие в каждую комбинацию, например «два катета» или
«катет и гипотенуза» и т. д. При этом они легко заметят сходство
входящих элементов в третьей, четвертой, шестой и седьмой ком-
бинациях («катет и острый угол»), а это даст возможность оставить
только одну из этих комбинаций, например третью, и выбросить
остальные; то же будет при чтении восьмой и девятой комбинаций
(«гипотенуза и острый угол»); десятая комбинация отпадает по из-
вестной уже учащимся причине — при задании только одних
углов треугольник не определяется, т. е. в этих случаях может
быть получено бесконечное множество подобных треугольников.

Так учащиеся получают четыре возможные задачи, когда в прямоу-
гольном треугольнике известны или задаются следующие пары основ-
ных элементов: 1)а и Ь, 2) а и с, 3) а и А (или а и В), 4) с и А
(или с и В).

При этом полезно показать учащимся, что если, например,
взять первую задачу (когда заданы катеты а и Ь) и сопоставить ее с
таблицей основных соотношений (см. стр.332), то при помощи пер-
вой формулы можно определить tg/ (или tgB), а при помощи таб-
лицы значений тригонометрических функций можно найти угол А
(или В); а зная угол А (или В), можно найти и другой острый угол
В (или Л); наконец, зная один из катетов и один из острых углов,
можно найти гипотенузу. Таким образом, учащиеся видят, что, зная
два катета, можно при помощи имеющихся формул вычислить все
остальные элементы прямоугольного треугольника.

После этого делается следующий вывод: зная значения двух
основных элементов прямоугольного треугольника в одной из четы-
рех выведенных комбинаций, можно вычислить и остальные три
элемента, пользуясь формулами основных соотношений между
этими элементами. Здесь следует добавить, что процесс на-
хождения трех основных элементов прямоугольного треугольника,
зная два из них, называется решением прямоуголь-
него треугольника, что и составляет одну из ос-
новных задач данной темы.

Полезно в каждом основном случае решения прямоугольных тре-
угольников сначала проводить графическое решение данной
задачи.

При решении последующих задач почти все вычисления произ-
водятся с приближенными значениями входящих величин.
Преподаватель непременно должен обратить внимание учащихся
на это обстоятельство: 1) при непосредственном или косвенном из-
мерении каждой величины в результате всегда получается приб-
лиженное значение этой величины, в записи которого сохра-
няется только одна сомнительная цифра справа (например, 2753;
68,7; 54 и т. п.);

2)	таблицы тригонометрических функций содержат обычно
только приближенные значения их (за исключением таких
случаев, как sin 30°=0,5000, tg45°= 1,000 и др.), в записи кото-
рых последняя цифра справа, как правило (за редкими исключе-
ниями), сомнительная;

3)	действия над приближенными числами производятся так же,
как и действия над точными числами, но в результате сохраняется
такое число, в записи которого имеется только одна сомнительная
цифра справа (правило «подсчета цифр»)*.

Во всех последующих задачах углы задаются и вычисляются с
точностью до одного градуса; при этом можно пользоваться таб-
лицами Брадиса или таблицами, приложенными в конце учебника
геометрии, ограничиваясь четырьмя десятичными знаками.

Первый случай. Известны а и Ь; определить с, А,
В и 5Л.

а)	Графическое решение. Учащиеся строят прямо-
угольный треугольник по двум его катетам: а=5,1 см и 5=3,4 см,
проводят доказательство и исследование: задача всегда имеет ре-
шение и только одно. Затем они непосредственно измеряют иско-
мые элементы (с, А и В) и вычисляют площадь треугольника.

б)	Аналитическое решение в общем виде (план решения):

1)	tg/l =-р А = а (по таблицам);

2)	В =90°— А;

а
с =
51пЛ

4)	Sa =0,5 ab**.

в)	Решение прямоугольного треугольника с числовыми дан-
ными: а=5,1 см и 5=3,4 см; определить с, А, В и

* В. М. Б р а д и с. Способы и средства элементарных вычислений.
1948; Четырехзначные математические таблицы, 1952.

** Учащиеся V класса уже умеют определять площадь треугольника.
План решения	Вычислении	Ответы
И II 1  -^•|Л II l»|O  в-	ь  1) й	= и~56°  В«90°—56° =34°  ^o&-=51OO:829~6’1  $д®0,5.5,1-3,4«8.7	Л^56"  В^34°  с»6,1 см  Sts* 8,7

Контрольные вычисления 26,01 + 11,56^37,21~6,12*.

г)	Решение геометрической задачи с
числовыми данными.

Задача. Хорда сегмента равна 20,8см,
а высота его — 8,4 см. Определить гра-
дусную меру дуги сегмента (черт. 190).

1.	Условие задачи: ЛВ=20,8см, CD~
=h=8A см, <уАСВ~2х.

2.	Решение в общем виде (план реше- Черт. 190
ния):

2х—градусная мера дуги АСВ,

х h _7ht
tgT=(^) «

х-градусная мера <>СВ или оСЛ, (у= т°.
(х = 2т°

-^-градусная мера угла CAD, <jACB = 2т°.

3.	Вычисления: tg^-=8,4:10,4^0,8077, ^39°, х^78°,
АСВ^18°-2=156°.

4.	Ответ. к ЛСВ;^156°.

Анализируя описанный процесс работы учащихся при реше-
нии прямоугольного треугольника и последней геометрической
задачи, можно сделать заключение, что решение первой задачи
сводится в сущности только к вычислениям и к использованию
соответствующих таблиц, тогда как решение геометрической за-
дачи почти всегда требует от учащихся довольно большой предва-
рительной работы мышления: они должны проанализировать
условие задачи и выяснить, что дано, что надо определить и как
это можно сделать, построить соответствующий чертеж, записать
условие задачи и наметить план решения ее, и только после этого
будет следовать вычислительная работа.

* Контрольные вычислении при помощи теоремы Пифагора (если она
известна).
Поэтому для развития и закрепления вычислительных навыков
и навыков использования соответствующих таблиц достаточно не-
скольких примеров на решение прямоугольных треугольников, так
как и в дальнейшем при решении задач будут развиваться и за-
крепляться те же вычислительные навыки.

Основная же работа как в классе, так и дома должна сводиться
именно к решению разнообразных задач, содействующих развитию
логического мышления учащихся и пространственных представлений
у них.

В таком плане следует строить последующую работу, связанную
с решением прямоугольных треугольников (второй, третий и чет-
вертый случаи).

Второй случай. Известны а и с, определить А, В, b
и 5д.

Задача. Найти углы равнобочной трапеции, основания которой
равны 33 см и 15 см, а боковая сторона равна 40 cjw*.

Третий случай. Известны а и В; определить А, Ь, с
и Вд.

Задача. Равнодействующая двух взаимно перпендикулярных
сил, приложенных в одной точке, образует с одной из составляю-
щих сил, равной 8 кг, угол в 35°. Найти вторую составляющую
силу**.

Четвертый случай. Известны си А; определить
В, а, b и Вд.

Задача. Найти длину хорды, стягивающей дугу в 44°, если ра-
диус окружности равен 20,8 см***.

В каждом из этих случаев процесс работы слагается из четырех
этапов:

1)	графическое решение треугольника;

2)	аналитическое решение его в общем виде (план решения);

3)	решение треугольника с вычислениями;

4)	решение геометрической задачи с вычислением.

Полезно план решения прямоугольных треугольников (во всех
четырех случаях) свести в одну таблицу примерно такого содер-
жания:

	Зная,	можно определить:			
I  II  III  IV	а я b а и с Айа с и А	tote 23. Й" II II в £ Ь Ъ n 1 В '’•l в  Л bL  II Ji а 5 	О	О	В	е*	to	to  П	II	II	II  9	9	to	W  tfl	r-r	OO  г	г	a  C =-T—;  sin/l  b = a- tgB a c — sin^ b =c-sinB	$△=0.5 ab  $△=0,5 ab  $△=0,5 ab  $△=0,5 ab

* P. И. Позойский,	Сборник задач по тригонометрии.	1950,
№ 170.		

** Там ж е, № 137.

Там же, № 143.
При этом следует заметить, что указанный выше порядок рас-
положения четырех основных случаев решения прямоугольных
треугольников ни в коем случае нельзя считать обязательным.
Более того, надо помнить, что этот порядок может и должен быть
изменен в зависимости от того, в какой мере учащиеся раньше ов-
ладели навыками пользования таблицей значений тригонометри
ческих функций.

Если они умеют достаточно свободно и уверенно решать обе за-
дачи — нахождение тригонометрических функций по заданной
градусной мере углов и нахождение градусной меры углов по за-
данному значению тригонометрической функции, то вышеприве-
денный порядок может быть оставлен; если же они имеют только
общее представление о таблицах, то указанный порядок надо из-
менить: сначала следует решать третий или четвертый случай,
где требуется по таблицам определять тригонометрические функ-
ции углов, что значительно проще, чем решение обратной задачи, а
затем решать первый и второй случаи, в которых требуется опре-
делять градусную меру угла.

Наконец, имеется еще один вопрос, который естественно воз-
никает перед преподавателем при построении плана этой работы:
познакомить ли учащихся сначала со всеми четырьмя типами за-
дач на решение прямоугольных треугольников, а затем решат!
разные геометрические задачи или сначала решать задачи толькс
одного типа по указанному выше плану, а потом переходить к ре-
шению задач других типов по такому же плану?

Последний порядок имеет значительные преимущества:

1)	учащиеся не перегружаются большим количеством мате-
риала;

2)	они последовательно и прочно изучают каждый отдельный
тип задач;

3)	при пользовании таблицами решают только одну из двух
задач — или находят градусную меру угла, или значение тригоно-
метрической функции.

После обзора всех четырех случаев даются задачи в смешанном
порядке, когда учащиеся должны сами определить план решения,
исходя из условия задачи.

Практические занятия

В VIII классе тригонометрия применяется при решении про-
стейших задач на местности: определение расстояния до недоступ-
ного предмета (до видимого дерева, того или иного здания), опре-
деление ширины реки или высоты предмета (дерева, дома, башни).

Для этой цели требуется очень простой инструментарий: вехи-
палочки, мерная цепь или рулетка, эклпметр-транспортир с отве-
сом (при помощи его определяется угол между горизонтальной
плоскостью и линией, совпадающей с верхним ребром диаметра
транспортира), астролябия (может быть изготовлена в школе)*.
Задача 1. Определить высоту телеграфного столба, стоящего на
ровной местности.

В ящике с песком учащиеся моделируют эту задачу и намечают
возможный план работы (ставят спицу—модель столба, в другой

точке местности ставят маленькую спицу—модель штатива для угло-

намечают объекты непосредственных из-
мерений: расстояние от основания столба

мерного инструмента,
я

В

Черт. 191

до основания штатива и угол между гори-
зонтальной линией на высоте штатива и
направлением на вершин}' столба), затем
строят соответствующий чертеж (чертеж
191), где

АС=х — высота столба;

DB= h— высота штатива;

СВ=1УО=с1 — расстояние от основания столба до основания
штатива (базис); ^ADD' — измеренный угол.

Решение. Искомый отрезок	АС=С1У-\-1УА.

ГУА=а-^а-, СГУ=к..

AC=h+d-\.ga..

Непосредственные измерения на чертеже

СВ=1У£)=(/~37л1лг, BD=>fi^2,0 мм. ^ADD'=<x^23°.

Вычисления. АС =2,0+37-0,42^2,0+15,7= 18.

Ответ. 4С~18ж (принимая масштаб чертежа 1:1000).

Задача 2. Определить расстояние от доступного пункта до не-

доступного (например, до дерева, стоящего на другом берегу реки).

Черт. 192

Пользуясь тем же ящиком с пес-
ком, учащиеся моделируют задачу,
намечают план ее решения и строят
соответствующий чертеж (черт. 192),
где

АВ—х. — искомое расстояние;

В — недоступный пункт:

А — доступный пункт;

ЛС=</~51 мм — базис (опреде-

ляется непосредственным измере-
нием);

* Она описана в книге Н. Рыбкина «Прямолинейная тригонометрия».
1935, стр. 97.
С — пункт, из которого пункт В виден под прямым углом к ба
зису АС;

^ВАС=а^41° (определяется непосредственным измерением).

Решение. ZlB=d:cosa~51:0,7547~68.

Ответ ЛВ~68 м (масштаб 1:1000)

66. ЧИСЛОВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Изучение темы можно начать с решения задачи: в прямоуголь-
ном треугольнике провести высоту из вершины прямого угла и
выяснить ее свойство.

Учащиеся выполняют построение, сравнивают каждый вновь
полученный треугольник с данным треугольником и между собой
(они попарно подобные) и формулируют первое свойство высоты
(или перпендикуляра) в виде теоремы: высота в прямоугольном

треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит тре-
угольник на два треугольника, каждый из которых подобен дан-

ному треугольнику и они подобны между собой.

Схематическая запись теоремы.

Дано: ДАВС— прямоугольный, CD±AB.

Доказать : A\ACD^ABC,

A^BCD<x> дАВС,
^ACDeo&BCD.

Затем в связной форме повторяется доказа-
тельство этой теоремы и выводятся следствия из
нее, исходя из каждой записи подобия треугольни-
ков (черт. 193).

В

Черт. 193

1)	&ACD~ &АСВ; поэтому

2)	A\BCD<x>дАСВ, поэтому ^-=~

3)	△ Л СО со /\BCD, поэтому у

или b2=cbc, гдеЬс=пр£.Ь

или аг—сас, где af=npfa.

или h2c=acbc.

При составлении каждой из этих трех пропорций учащиеся
обычно испытывают затруднения при выборе сходственных отрезков.
Но они легко могут преодолеть эти затруднения, если, во-первых,
каждую пропорцию будут составлять, начиная с общего отрезка,
принадлежащего обоим подобным треугольникам, во-вторых, бу-
дут точно указывать и называть соответствие между сторонами и
углами, например: b — катет ДЛВС против угла В так относится
к Ьс — к катету ДЛСО против угла ACD (равного углу В), как
С — гипотенуза А Л ВС относится к b — к гипотенузе А Л СО.
При этом учащиеся обращают внимание на особый состав каж-
дой пропорции: один член ее повторяется. Преподаватель сообща-
ет, что такую пропорцию называют непрерывной, а повто-
ряющийся член ее — средним геометрическим или
средним пропорциональным.

Учащиеся читают каждую из полученных пропорций, пользу-
ясь этим новым термином: катет есть среднее пропорциональное
между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу и т. п.
Затем они составляют соответствующие формулы преобразова-
нием тех же пропорций. b2^ cbc и	а2=сас и а=Уса~с,

h2c=acbc и Л=) асЬс-

При этом надо заметить, что задачи на вычисление с примене-
нием этих формул не имеют существенного значения, так как ре-
шение их сводится к выполнению указанных действий, т. е. к вы-
числениям.

Значительно больший интерес представляют задачи на построе-
ние, когда задаются два отрезка или два числа—длины отрезков—
и требуется построить третий отрезок — средний пропорциональ-
ный между ними, а затем на чертеже провести необходимые изме-
рения и проверить полученные результаты при помощи соответ-
ствующей формулы.

Задача. Построить отрезок х как среднее пропорциональное
между данными отрезками а и Ь.	_

Условие задачи можно записать двояким образом: x=y/~ab.
или х:а=Ь:х. В обоих случаях искомый отрезок х можно рассмат-
ривать или как перпендикуляр (высота), проведенный из вершины
прямого угла на гипотенузу (в этом случае отрезки а и b — отрез-
ки гипотенузы, на которые она делится перпендикуляром), или
как катет (тогда отрезки а и b — соответственно гипотенуза и
проекция искомого отрезка — катета на гипотенузу при а>6).

Анализ условия задачи первого варианта приводит к такому
плану решения задачи:

1)	строится сумма отрезков а и b — гипотенуза прямоуголь-
ного треугольника;

2)	из общей точки этих отрезков проводится перпендикуляр к
гипотенузе, на котором будет лежать искомый отрезок;

3)	чтобы найти другой конец отрезка х — вершину прямого
угла,— надо рассматривать последний как вписанный угол, опираю-
щийся на концы диаметра, для чего на гипотенузе, как на диаметре,
надо построить окружность:

4)	точка пересечения окружности с перпендикуляром есть вто-
рой конец искомого отрезка.

Учащиеся легко выполняют построение по выработанному пла-
ну и проводят доказательство (для чего соединяют конец перпен-
дикуляра с концами гипотенузы и получают прямоугольный тре-
угольник).

В порядке исследования они отмечают, что задача всегда имеет
решение и притом только одно (геометрически получаются Д03
340
искомых отрезка, симметричных относительно диаметра окруж-
ности).

Полученную формулу x2=ah учащиеся проверяют вычисле-
нием: они измеряют отрезки а, Ь и х, полученные значения под-
ставляют в формулу хй=аЬ и выполняют вычисления.

Анализ условия задачи второго варианта приводит к другому
плану решения той же задачи:

1)	строится отрезок а— гипотенуза и на нем от одного из кон-
цов его откладывается отрезок b как проекция искомого катета х;

2)	из конца отрезка Ь, лежащего между концами гипотенузы,
проводится перпендикуляр, на котором должна лежать вершина
прямого угла, рассматривая последний как вписанный в окруж-
ность и опирающийся на концы диаметра-гипотенузы;

3)	на гипотенузе, как на диаметре, строится окружность, ко-
торая пересекает перпендикуляр; точка пересечения их соеди-
няется с общим концом отрезков а и Ь — получается искомый от-
резок х (катет прямоугольного треугольника).

Построение, доказательство и исследование учащиеся должны
проводить самостоятельно (чертеж дополняется до получения пря-
моугольного треугольника).

Эти варианты решения одной и той же задачи свидетельствуют
о том, что одна и та же формула (x2=ab), выражающая зависи-
мость между элементами прямоугольного треугольника, имеет раз-
личные геометрические истолкования, которые и были использо-
ваны при решении задачи. В процессе решения ее можно выявить
новые геометрические истолкования той же формулы. В самом де-
ле, в последних двух чертежах стороны и высоты прямоугольных
треугольников можно рассматривать как отрезки в окружности,
обладающие следующими свойствами:

1)	перпендикуляр (йс), проведенный из точки окружности на
диаметр, есть среднее пропорциональное между отрезками диа-
метра;

2)	хорда (а или Ь), проходящая через конец диаметра, есть сред-
нее пропорциональное между диаметром и проекцией тон же хорды
на диаметр.

При последующем решении задач учащиеся будут пользовать-
ся преимущественно последним геометрическим истолкованием фор-
мулы (x^—ab), что значительно упрощает процесс решения задач
на построение «алгебраическим методом».

В данном месте курса можно ограничиться решением двух-трех
задач указанного типа, так как в дальнейшем аналогичные задачи
будут повторяться с более широким выбором вариантов решения.

Теорема Пифагора

Формулу теоремы Пифагора учащиеся могут вывести самостоя-
тельно (при необходимости пользуясь учебником).

Преподаватель может сообщить учащимся, что эта зависимость
ыежду сторонами прямоугольного треугольника была известна еще
в глубокой древности в Китае (почти за 100 лет до н. э.), а также в
Египте, где широкое применение имел так называемый «египетский
треугольник» со сторонами, равными 3, 4 и 5 единицам (а также
соответственно кратным этим же числам). Пифагор, долго живший в
Египте (в VI в. до н. э.), обратил внимание на замечательное соот-
ношение между числами 3, 4 и 5 — длинами сторон этого треуголь-
ника, а именно 32-|-42 = 52. Затем было обнаружено, что такое же
соотношение между длинами сторон существует в каждом прямо-
угольном треугольнике.

В кружковой работе большой интерес могут представить неко-
торые сведения о так называемых «Пифагорейских числах», т. е. о
тех целых числах, которые могут быть длинами сторон прямо-
угольного треугольника. Для получения этих чисел можно вывести
общие формулы*.

На применение теоремы Пифагора имеется большое количество
задач на вычисление и построение. Подбор и решение их следует
опять начинать с задач на построение. При этом полезно на полу-
ченном чертеже провести непосредственные измерения данных и
искомого отрезков и выполнить вычисления, пользуясь формулами:
а = ]/с2—Ьг, b = —о2 н с = lAzz-|-62.

67. ЧИСЛОВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ
КОСОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Выяснение числовых зависимостей между элементами косо-
угольного треугольника можно рассматривать как дальнейшее рас-
ширение и обобщение теоремы Пифагора применительно к любо-
му треугольнику. И это вполне естественно, так как прямоуголь-
ный треугольник есть частный вид косоугольного треугольника.

Учащиеся изображают косоугольный треугольник, проводят в
нем одну из внутренних высот и рассматривают каждый получен-
ный прямоугольный треугольник.

В одном из них они выделяют сторону данного треугольника и
определяют ее как гипотенузу прямоугольного треугольника по тео-
реме Пифагора, проводя известные рассуждения и выполняя
необходимые алгебраические преобразования. В результате полу-
чается искомая формула: а2=62+с2—2fecfi.

Учащиеся анализируют ее, выделяют в ней первые три члена,
устанавливая сходство с теоремой Пифагора и различие с ней
(с2<62+с2 на 2bcb).

Затем они составляют словесную формулировку теоремы.

В целях более прочного усвоения вывода этой теоремы
можно предложить учащимся самостоятельно определить тем
же способом сначала вторую сторону того же треугольника
и на том же чертеже, а затем и третью сторону, начертив та-
кой же треугольник и проведя в нем соответствующую высоту (еС‘
ли она тоже будет внутренняя).

* Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия. Учпедгиз, 1949, стр 202—204
Точно также изучается теорема о свойстве стороны треуголь-

ника, лежащей против тупого угла.

После этогообе полученные формулы сопоставляются с формулой
теоремы Пифагора, подчеркивается разница между ними и выяс-
няется геометрический смысл ее: а2=Ь2+с2—2bcb, а2=Ь2-{-с2,
а2=Ь2+с2+2Ьсь.

С этой целью преподаватель предлагает учащимся изобразить

остроугольный треугольник
(черт. 194), провести в нем
высоту, чтобы получить про-
екцию второй стороны на
третью и записать свойство
стороны треугольника, лежа-
щей против острого угла.
(а2=Ь2+с2—2Ьсь).

Затем преподаватель уве-
личивает противолежащий
угол ВАС, перемещая точку
В по прямой, параллельной
АС (показывает этот процесс

на модели и изображает его на

чертеже: угол возрастает, стремясь к 90°). При этом:

сторона а, противолежащая углу А, возрастает;

сторона с, прилежащая к тому же углу А, убывает,стре-
мясь к hb,

отрезок сь— проекция стороны с на b — убывает, стремясь к 0.

Затем учащиеся обращаются к последней формуле (а2=Ь2+
+с2—2Ьсь) и характеризуют изменение отдельных элементов ее в
связи с описанным процессом:

число b — слагаемое — остается без изменения;

число с убывает, вследствие чего а как сумма тоже убывает,

2Ьсь — вычитаемое — убывает, так как сь убывает, стремясь
к 0 , в силу чего а как разность возрастает.

Когда^ВАС= 90°, сА=0 и 2Ьсь=В, то а2=й2+с2,т. е. получается
формула теоремы Пифагора, которая является частным случаем
более общей первой теоремы (противолежащий угол прямой).

Продолжая тот же процесс (изменение противолежащего угла
ВАС перемещением точки В в том же направлении, что показыва-
ется на модели и изображается на чертеже), можно записать сле-
дующие изменения:

когда ^ВЛС>90°,
сторона а продолжает возрастать,
сторона с возрастает (с">с/=Л>);

отрезок с"ь возрастает от 0 по абсолютной величине, но отрезок
А1У'=с"ь имеет теперь противоположное направление от точки Л,
т- е. если ЛР=с6>0, то ЛР"=с"6<0.
Обращаясь к той же формуле (а2=Ь2-\-с2—2Ьсь), легко заметить
следующие изменения в ней:

число b — слагаемое — остается без изменения;

число с — слагаемое — возрастает;

число с"ь<0, а поэтому 2йс"й<0.

Следовательно, а2=Ь2А~с2+2Ьсь (при с%>0).

Сопоставляем все три формулы;

а2=Ь2-\-с2—2Ьсь, когда а лежит против острого угла
а2=Ь2-\-с2,	»	а	»	»	прямого »

а2=й24-с24-2йсй,	»	а	»	»	тупого »

Все три теоремы можно свести в одну теорему:

Во всяком треугольнике квадрат одной его стороны
меньше, равен или больше суммы квадратов двух других
его сторон в зависимости от того, будет ли противо-
лежащий угол острый, прямой или тупой.

Зная длины всех сторон треугольника, можно определить вид
треугольника (будет ли он остроугольный, прямоугольный или ту-
поугольный). Соответствующие задачи учащиеся решают в порядке
устного счета на последующих уроках, например: определить вид
треугольника, если стороны его

1) 3 см, 4 см, 5 см;	2) 4 см, 5 см и 6 см;

3) 5 дм, 12 дм, 13 дм; 4) 6 м, 8 м, 12 м и т. п.

Свойства биссектрисы угла в треугольнике

В программе указана только одна теорема о свойстве биссектри-
сы внутреннего угла треугольника. Доказательство этой теоремы
имеется в учебниках геометрии. Здесь можно сделать некоторые до-
полнительные указания чисто методического характера.

Прежде всего теорему о биссектрисе внутреннего угла тре-
угольника можно предложить не в виде теоремы, а в виде задачи с
необходимым указанием, например:

«В треугольнике АВС из вершины внутреннего угла В провести
биссектрису до пересечения ее с про-
/ тивоположной стороной в точке D и выяс-
' । нить, в каком отношении точка D делит эту

I , сторону».

I I Учащиеся строят чертеж в соответ-
qi 1 ствии с условием задачи (черт. 195). За-
тем преподаватель предлагает продолжить
/ 1 \	1 стороны угла А за вершины В и С, бла-

/ I \	1 годаря чему получается чертеж, напомина-

/	I	\ j ющий основную теорему о пропорциона-

/_______1______льных отрезках на сторонах угла А. Учащие-

Л	ся дополняют чертеж построением СЕ || BD.

Черт. 195	После этого легко определяется ис-
комое отношение отрезков: AD.DC = АВ.ВЕ и AD.DC =
= АВВС.

Изучение этой теоремы завершается кратким исследованием того
случая, когда рассматривается биссектриса внутреннего угла при
вершине равнобедренного треугольника: тогда A D:DC=АВ:ВС=1.

Эта тема имеет богатое содержание: она приводит к новым поня-
тиям и может быть благодарным материалом для кружковой работы
примерно в таком плане:

1.	Обратная теорема о биссектрисе внутреннего угла тре-
угольника.

2	Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника (прямая
и обратная теоремы).

3.	Понятие о гармоническом делении отрезка.

4.	Задача на построение геометрического места точек, отно-
шение расстояний которых от концов данного отрезка есть задан-
ное число (окружность Аполлония)*.

68.	ЧИСЛОВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ

В этой теме выясняется числовая зависимость между диагона-
лями и сторонами параллелограмма.

Соответствующую теорему можно предложить учащимся как
задачу на доказательство в порядке их самостоятельной работы в
классе или дома.

Учащиеся выводят формулу, составляют словесную формули-
ровку зависимости. Затем они применяют эту теорему к ромбу и
находят частный случай этой зависимости (с/12+^22=4а2.)

69.	ЧИСЛОВЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ОТРЕЗКАМИ

В ОКРУЖНОСТИ

(Пропорциональные отрезки в окружности)

Часть материала, входящего в общее содержание этой темы,
была рассмотрена раньше в связи с решением задач на построение
отрезков которые являются средними пропорциональными между
двумя данными отрезками.

Теперь надо повторить этот материал, сопоставить его с после-
дующим и, таким образом, привести его в одну стройную систему.

В учебнике Н. А. Глаголева имеется более обширный материал
и построен он в более общем виде. Так, например, вместо отдельных
теорем о хорде и диаметре, пересекающихся внутри окружности, и
о свойстве секущих, проходящих через точку вне окружности,
дается одна более общая теорема о свойстве секущих, проходящих

* Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия, Учпедгиз, 1949,
стр. 160—163.

Б. И. Аргунов и М. Б. Балк, Геометрические построения
на плоскости, Учпедгиз, 1955, стр. 65.
через общую точку в плоскости окружности и разбираются два слу-
чая положения этой точки — внутри окружности и вне ее. В силу
этого теорема о хордах, пересекающихся внутри окружности, и тео-
рема о секущей и касательной, проходящих через одну точку, явля-
ются частными случаями первой общей теоремы. Благодаря этому
становится очень легким переход к введению понятия степени
точки относительно окружности, а затем понятия радикальной оси
и радикального центра.

Однако в методическом отношении белее целесообразно постро-
ить работу иначе, а именно: сначала изучить частные теоремы о пе-
ресечении хорд внутри окружности и о пересечении секущих в
точке вне окружности, а затем уже можно обобщить все эти теоре-
мы в виде одной общей теоремы (если будет вводиться дополнитель-
ный материал о степени точки относительно окружности).

Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

В порядке домашней самостоятельной работы по особому зада-
нию преподавателя учащиеся повторяют теоремы о перпендику-
ляре, проведенном из любой точки окружности на диаметр, и о
хорде, проходящей через конец диаметра, и решают несколько за-
дач на построение отрезка как среднего пропорционального ме-
жду двумя данными отрезками. Затем переходят к изучению но-
вого материала — свойство хорд, пересекающихся внутри ок-
ружности.

Соответствующая теорема обычно изучается сначала в простей-
шем случае, когда одна из двух пересекающихся хорд является
диаметром; затем как следствие рассматривается «сколько угодно
хорд», проходящих через точку внутри окружности.

Преподаватель может более последовательно провести эту ра-
боту и подвести учащихся к выяснению геометрического смысла
произведения отрезков хорд как постоянной величины.

С этой целью сначала доказывается свойство только двух хорд
и составляется соответствующая формулировка теоремы.

Затем через ту же точку пересечения проводится третья хорда,
которая сопоставляется с каждой из первых двух, и доказывается
равенство произведений всех трех пар отрезков хорд. Это позво-
ляет сделать вывод, что таким свойством обладают все хорды, про-
ходящие через общую точку внутри окружности.

Это свойство потом формулируется в иной редакции: произведе-
ние отрезков каждой хорды, проходящей через данную точку
внутри окружности, есть величина постоянная.

Затем ставится вопрос о том, как можно истолковать эту посто-
янную величину с геометрической точки зрения. Для получения
ответа через ту же общую точку проводится сначала диаметр, ко-
торый делится этой точкой на два отрезка: произведение их будет
равно той же постоянной величине. Поэтому теперь можно принять,
что произведение отрезков каждой хорды, проходящей через об-
щую точку внутри окружности, есть величина постоянная, равная
произведению отрезков диаметра, проходящего через ту же точку.
Это уже более определенно, так как через общую точку внутри ок-
ружности может проходить бесконечное множество хорд, тогда как
диаметр будет единственный. Но на поставленный вопрос можно по-
лучить другой конкретный ответ, если через ту же общую точку про-
вести еще одну хорду перпендикулярно диаметру. Тогда можно
легко выяснить, во-первых, что эта хорда будет наименьшая из
всех хорд, проходящих через общую точку, во-вторых, произведе-
ние отрезков ее будет равно той же постоянной величине и,
в-третьих, оно (произведение) равно квадрату этой полухорды (на-
именьшая полухорда является средним пропорциональным меж-
ду отрезками диаметра).

На основании этих частных заключений можно данную теорему
сформулировать в более общем виде: произведение отрезков хорд,
проходящих через общую точку внутри окружности, есть величи-
на постоянная, равная или произведению отрезков диаметра, или
квадрату наименьшей полухорды, проходящих через ту же точку.

Свойство секущих, пересекающихся в общей
точке вне окружности

В учебнике геометрии (кроме книги Н. А. Глаголева) изучение
этой темы тоже начинается с простейшего случая, когда через
точку вне данной окружности проведены две секущие. При этом
выясняется,что в каждой секущей различают три отрезка: внут-
ренний, внешний и весь отрезок, составленный внутренним и внеш-
ним отрезками.

Учащиеся легко доказывают теорему и формулируют ее.

Затем через ту же общую точку проводится третья секущая,
которая рассматривается совместно с каждой из первых двух и вы-
водится та же зависимость.

Если провести четвертую, пятую и т. д. секущие через ту же
общую точку, то легко выясняется такая же зависимость между
отрезками последней секущей и отрезками одной из ранее прове-
денных секущих.

Сопоставляя все полученные записи, учащиеся легко подме-
чают, что все эти произведения равны, и формулируют вывод: если
через точку вне окружности проведены секущие, то произведение
всего отрезка каждой секущей на ее внешний отрезок есть величина
постоянная для данной общей точки.

Остается теперь выяснить, чему равна эта постоянная вели-
чина. С этой целью через ту же общую точку проводится касатель-
ная к окружности, доказывается соответствующая теорема, а заклю-
чение ее записывается формулой, которая читается так: отрезок
касательной, проведенной через общую точку с секущей, есть
среднее пропорциональное между всем отрезком секущей и ее
внешним отрезком.
Таким образом, расширяется объем понятия среднего пропор-
ционального между двумя отрезками в окружности, а именно: это
есть а) перпендикуляр, проведенный из точки окружности на диа-
метр; б) хорда, проходящая через конец диаметра; в) отрезок ка-
сательной, проведенной из внешней точки секущей.

Это расширение объема данного понятия можно представить в
виде таблицы чертежей (черт. 196).

Черт. 196

В порядке закрепления новых сведений следует решить не-
сколько задач на построение. При этом полезно предлагать учащим-
ся одну и ту же задачу решать разными способами с тем, чтобы не-
посредственно сравнивать полученные результаты (отрезки) и
убедиться, что все они будут равны (при этом, конечно, надо иметь
в виду погрешности при построении чертежа).

Последующее изучение пропорциональных отрезков в окруж-
ности выходит за рамки нынешней программы и может быть про-
должено в порядке кружковой работы (степень точки, радикальная
ось и радикальный центр).
Г лава XIV

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
И ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ

70.	ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕМЫ

Первые сведения о правильных многоугольниках учащиеся по-
лучают по курсу геометрии еше в VI, а потом в VII классах (рав-
носторонний треугольник и квадрат).

В ныне действующей программе правильные многоугольники
полностью изучаются в IX классе.

Объем и содержание этой темы невелики. Так, в учебнике
А. П. Киселева изложение начинается с определений правильной
ломаной линии, которая «может быть выпуклой», и правильных
многоугольников, которые тоже могут быть «выпуклыми» и «звезд-
чатыми».

Звездчатые или непростые многоугольники в теоретическом
курсе элементарной геометрии не рассматриваются, хотя в отдель-
ных задачах могут встречаться некоторые виды звездчатых много-
угольников (пятиконечная звезда, формы снежинок и т. п.). Но ре-
шение таких задач не требует каких-либо особых теоретических
обоснований.

Общий план изучения данной темы

1.	Определение правильных многоугольников.

2.	Свойства правильных многоугольников.

3.	Построение некоторых видов правильных многоугольников
и определение длины их сторон и апофем.

4.	Длина окружности.

Если в предыдущем изложении по курсу VII класса было вве-
дено понятие правильного многоугольника и выяснены основные
свойства его, то последующее изучение темы о правильных много-
угольниках надо начинать с повторения этого материала (первый
и второй пункты выше приведенного плана) в порядке самостоятель-
ной работы учащихся по особому заданию преподавателя, чтобы
затем перейти к изучению нового материала — к решению задач
на построение некоторых видов правильных многоугольников и
определению длины их сторон и апофем.

Если же понятие правильных многоугольников не вводилось в
VII классе, то изучение всей темы полностью проводится по выше-
приведенному плану.

71.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Учащиеся повторяют определение равностороннего треуголь-
ника, подчеркивая при этом и второе характерное свойство его —
равенство углов, в силу чего его можно назвать равноуголь-
ным треугольником. Кроме того отмечается, что равенство сто-
рон треугольника влечет за собой и равенство углов его, и обратно.

Затем повторяется определение квадрата (как прямоугольника
и как ромба). Сопоставление и разбор обоих определений позволя-
ет сделать вывод, что в любом определении квадрата указываются
два признака его (но один из них в неявном виде) — равенство его
сторон и равенство углов. Это дает возможность составить новое
определение квадрата: это — четырехугольник, у которого сторо-
ны равны и углы равны.

Преподаватель сообщает (напоминает), что рассмотренные фи-
гуры — равносторонний треугольник и квадрат — являются при-
мерами правильных многоугольников, т. е. таких многоугольников,
у которых стороны равны и углы равны.

Замечание. Если из множества треугольников надо выби-
рать правильный треугольник, то достаточно выбрать треугольник
или равносторонний (тогда он будет и равноугольным), или равно-
угольный (тогда он будет и равносторонним). Если же надо выбрать
правильный четырехугольник из множества разных четырехуголь-
ников, то необходимо выбирать сначала только, например, равносто-
ронние (ромбы), а затем из последних — только равноугольные
(квадраты) или вести выбор в обратном порядке: сначала равно-
угольные (прямоугольники), а из них — равносторонние (квад-
раты).

Установив понятие правильного многоугольника (пока только
на примерах треугольника и четырехугольника), надо напомнить
учащимся, что они еще в VI и VII классах рассматривали и другие
виды многоугольников — пяти- шестиугольники и даже много-
угольники с большим числом сторон. Поэтому вполне естественно
теперь поставить такую задачу: из коллекции моделей разных мно-
гоугольников выделить в особую группу такие многоугольники, у
которых стороны равны и углы равны (пользуясь мерной линейкой
н малкой). Учащиеся выполняют это задание. Затем демонстри-
руют плакаты с орнаментами и некоторые предметы (в том числе
и модели многогранников), а учащиеся показывают на них много-
угольники с равными сторонами и с равными углами, которые мож-
но назвать правильными.
После этого формулируют определение правильного много-

угольника.

Замечание. Известно,что правильный многоугольник можно

определить при помощи понятия
правильной ломаной линии (это—
замкнутая правильная ломаная
линия). И с таким определением
полезно ознакомить учащихся.
Оно, между прочим, даст возмож-
ность разъяснить учащимся, что
при доказательстве теоремы или
при решении задач, когда идет
речь о свойствах любого правиль-

ного многоугольника, на чертеже

можно изображать последний не

в виде пяти- шести- семиугольни-	Черт. 197

ка, а в виде правильной ломаной

линии из четырех, пяти, шести звеньев, обозначая пунктиром нали-
чие следующих сторон многоугольника (черт. 197).

72.	СВОЙСТВА ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Сначала учащиеся решают следующую задачу на доказатель-
ство: окружность разделена на п равных частей (м>3) и точки де-
ления последовательно соединены отрезками; доказать, что полу-
ченный многоугольник — правильный.

Из этой задачи-теоремы вытекает следствие: центр описанной
окружности равноудален (отстоит) от всех вершин вписанного
многоугольника и от всех сторон его.

В связи с решением этой задачи вводятся определения правиль-
ного вписанного многоугольника, центра
его и описанной окружности.

Затем учащимся предлагается вторая задача на доказательство:
окружность разделена на п равных частей (п>3) и через точки де-
ления последовательно проведены касательные до взаимного их
пересечения; доказать, что полученный многоугольник — пра-
вильный.

И из второй задачи-теоремы вытекает аналогичное следствие о
свойстве центра вписанной окружности. Затем вводятся определе-
ния описанного многоугольника, вписан-
ной окружности и центра правильного
многоугольника.

Эти две теоремы-задачи указывают способы построения правиль-
ных многоугольников при помощи окружности; они и будут по-
том применяться при изучении последующего курса геометрии и
при решении практических задач.

Итак, если имеется окружность, то в нее можно вписать и около
нее можно описать правильный многоугольник.
Естественно возникает новый вопрос: если имеется правильный
многоугольник, то можно ли около него описать и в него вписать
окружность?

Ответ на этот вопрос дают обратные теоремы:

Теорема 1. Около всякого правильного многоуголь-
ника можно описать окружность.

Теорема 2. Во всякий правильный многоугольник
можно вписать окружность.

Доказательство обеих теорем сводится к нахождению центра
описанной или вписанной окружности или центра правильного мно-
гоугольника, который может быть найден двумя способами: пере-
сечением биссектрис двух внутренних углов, прилегающих к од-
ной стороне или пересечением перпендикуляров к двум смежным
сторонам, проведенных через середины их.

Из этих теорем вытекают три предложения:

1.	Все биссектрисы внутренних углов правильного многоуголь-
ника пересекаются в одной точке, которая служит центром, а ка-
ждый отрезок биссектрисы — радиусом описанной окружности.

2.	Все перпендикуляры, проведенные через середины сторон
правильного многоугольника, пересекаются в одной точке, кото-
рая служит центром, а отрезок перпендикуляра — радиусом опи-
санной окружности.

3.	Центры вписанной и описанной окружностей в правильном
многоугольнике совпадают.

Радиус вписанной окружности называется апофемой пра-
вильного многоугольника.

Можно предложить учащимся доказать первые три предложе-
ния для равностороннего треугольника и для квадрата и постро-
ить в этих же фигурах вписанные и описанные окружности.

Затем повторяются ранее известные сведения о многоугольни-
ках, которые несколько пополняются применительно к правиль-
ным многоугольникам:

1)	определение диагоналей многоугольника, наибольшее чис-
ло диагоналей, проведенных из одной вершины (п—3), общее чис-
« / (п — 3) п \
ло всех диагоналей ———I;

2)	сумма внутренних углов многоугольника (Sn=2dn—4d) и
величина внутреннего угла правильного многоугольника [Ап =
______2dn — 4d \

п /’

3)	сумма внешних углов многоугольника (S„'=4d) и величина
внешнего угла правильного многоугольника (/!„ ——

Наконец, выясняются условия равенства (конгруэнтности) пра-
вильных многоугольников и подобия их.

С этой целью сначала доказывается такое предложение: два
правильных одноименных (т. е. имеющих равное число сторон
352
или углов) многоугольника, вписанных в равные окружности (или
описанные около равных окружностей), равны. Доказательство
можно провести способом наложения окружностей и совмещением
одной пары вершин многоугольников.

Отсюда следует новая теорема, которую доказывают сами уча-
щиеся: два правильных одноименных многоугольника, имеющих
по одной равной стороне, равны (достаточное условие равенства
правильных одноименных многоугольников).

Если в последней формулировке теоремы опустить условие
«имеющие по одной равной стороне», то правильные одноименные
многоугольники будут подобными, но могут быть не равны.

Учащиеся формулируют теорему о подобии правильных мно-
гоугольников и доказывают ее одним из способов: или преобразо-
ванием одного многоугольника в гомотетичный ему и равный дру-
гому многоугольнику, приняв за центр гомотетии вершину или
центр правильного многоугольника, или установлением подобия
одной пары треугольников, на которые разбиваются правильные
многоугольники радиусами описанных окружностей.

73. ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ПРАВИЛЬНЫХ
МНОГОУГОЛЬНИКОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ИХ СТОРОН

И АПОФЕМ

Построение правильных многоугольников и вывод формул для
определения длины их сторон и апофем целесообразно рассматри-
вать в их взаимной связи, но отдельно для каждого правильного
многоугольника.

Из предыдущего изложения известно, что задача построения
правильных многоугольников сводится к задаче о делении окруж-
ности иа равные части.

Из курса VI и VII классов учащиеся знают, что диаметр ок-
ружности делит ее пополам (ось симметрии), а два взаимно перпен-
дикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части.
Они выполняют эти построения и дополняют их построением
вписанного и описанного четырехугольников (на одном или на
двух чертежах). Затем выводят формулы для определения стороны
и апофемы вписанного квадрата: О4=/?]г2 и Г4=^-/? ~\^2 и описан-
ного: bt=2Rn R— апофема описанного многоугольника.

Учащиеся решают задачи с применением последних формул для
определения длины сторон и апофем квадратов и длин радиусов
описанных окружностей, пользуясь правилами приближенных
вычислений.

В порядке внеклассной работы отдельные учащиеся могут ре-
шать задачи на построение правильных (вписанных и описанных)
8-угольников, 16-угольников, 32-угольников и т. п.

Нетрудно сделать вывод, что все эти правильные многоуголь-
ники имеют число сторон (или вершин) п=2* при k=2, 3, 4...
Основной задачей является задача о построении квадрата (п=22=4).
В основе решения задач на построение следующей группы пра-
вильных многоугольников лежит задача о построении правильного
шестиугольника.

Предварительный анализ последней задачи при допущении, что
правильный вписанный шестиугольник уже построен, позволяет
выяснить, что сторона правильного вписанного шестиугольника
равна радиусу описанной окружности и она как хорда стягивает
дугу, равную одной шестой части окружности (или 60°). В резуль-
тате анализа намечается и план построения правильного шести-
угольника*.

Из этого же анализа следует, что ас=2?, а	(как вы-

сота равностороннего треугольника).

Построение правильного треугольника, а затем правильных
12-угольника, 24-угольника и т. д. не вызовет никаких затрудне-
ний. Учащиеся могут самостоятельно вывести формулы для опреде-
ления длины стороны и апофемы правильного вписанного (и описан-
ного) треугольника (a3=2?V3 и rs=-^-R).

Число сторон второй группы правильных многоугольников
равно 3, б, 12, 24... н т. д., т. е. м=3-2* при Л=0, 1, 2, 3..

Полезно поручить учащимся составить таблицу выведенных
формул для вычисления линейных элементов известных вписанных
правильных многоугольников:

Л-	1 п

as=R]/3	н	r

ai=RV2	и	ri=^RV2-,

a6=R	и	гс=у#1Л3.

Для вычисления длин сторон вписанных правильных много-
угольников с вдвое большим числом сторон существует известная
формула удвоения: а2П=]/Л2/?2—R\/4R2— а2п.

Вывод ее имеется в учебниках геометрии, как и вывод формулы
для вычисления длины сторон правильных описаннных много-

1, 2Ran
угольников по стороне вписанного: оп =—;.

1	—а2л

Совершенно иной характер примет вся эта вычислительная ра-
бота, если пользоваться известными сведениями из курса тригоно-
метрии, что принесет большую пользу: тригонометрия становится

* При этом уместно указать учащимся, что радиус следует откладывать
от начальной точки не в одном, а в двух противоположных направлениях;
этим уменьшается получающаяся при этом «невязка».
работающим аппаратом и притом таким, который во много раз уп-
рощает и ускоряет вычислительную работу. Соответствующие три-
гонометрические формулы носят общий характер и применимы к
любым правильным многоугольникам; использование их при ре-
шении вычислительных задач потребует применения в обязательном
порядке правил приближенных вычислений.

Тригонометрические формулы для определения числовых зна-
чений сторон и апофем правильных многоугольников выводятся
довольно просто (черт. 198).

Имеется правильный вписанный n-угольник ABCDE...

1.	АК=КВ=-~ = ^?-sin— , откуда ап = 2R-sin— .
Z	п	п

о г> ИО’

2.	r„ — R • cos—

Такое же простое соотношение имеет место и для описанного
/г-угольника A 'B'C'D'E'...: bn = 2R tg~-’

Черт. 198

Эти три формулы исчерпывают все содержание работы, посвя-
щенной определению значений сторон и
апофем правильных многоугольников.	я>

Этим и завершается изучение правиль- '	^*4^ D

ных многоугольников по программе.

Однако оно может быть продолжено в
порядке кружковой работы или индивиду-
альных заданий. В содержание ее можно
включить следующие вопросы:

1.	Построение правильных десяти,-пя-
ти- и пятнадцати угольников.

2.	Общая задача о построении пра-
вильных многоугольников.

3.	Определение сторон и апофем пра-
вильных многоугольников*.

74. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ

Приступая к решению задачи о длине окружности, препода-
ватель должен прежде всего выяснить смысл предстоящей работы.

С этой целью он предлагает учащимся вспомнить, что процесс
измерения отрезков (в явном или неявном виде) состоит в отклады-

* А. П. Ки сел ев, Геометрия, ч. I. 1953, стр. 135.

Р. В. Г а п г н у с и Ю. О. Гурвиц, Геометрия. Методичес-
кое пособие, ч. I, 1934, стр. 277.

Ж. А дан а р, Элементарная геометрия, ч. I, «Планиметрия», Учпед-
гиз, стр. 162.

Б. И. А р г у и о в и М. Б. Балк, Геометрическое построение
на плоскости, Учпедгиз, 1955, стр. 223.

А. Г. Школьник, Задача деления круга, Учпедгиз, 1948 (под-
робное изл.).
ванни отрезка — единицы измерения или некоторой доли ее — на
измеряемом отрезке и в счете; в результате счета получается число
(целое или дробное) — длина отрезка. В тех случаях, когда про-
цесс измерения был бесконечный, то за длину измеряемого отрез-
ка принималась бесконечная десятичная дробь — периодическая
или непериодическая (значит, то же число).

Такой процесс измерения отрезков — конечный или беско-
нечный, когда единица измерения непосредственно откладывается
на измеряемом отрезке, является непосредственным из-
мерением в отличие от косвенного измерения, например
при определении высоты предмета или расстояния на местности (с
использованием тригонометрических функций).

В практической жизни часто возникает необходимость измерять
не только прямые линии (точнее говоря, отрезки прямых), но и
кривые линии, в частности, окружности и дуги окружностей, на-
пример обручи, железные шины колеса, дуги параллельных кругов
и меридианов на глобусе и т. п. Ясно, что процесс откладывания
единицы длины, т. е. отрезка на окружности, нельзя осуществить,
так как никакой отрезок прямой линии нельзя совместить с дугой.
Значит, процесс непосредственного измерения окружности или
дуги невозможен.

Преподаватель сообщает, что на практике для измерения окруж-
ности или дуги ее применяются иногда некоторые особые приемы.
Так, например, он напоминает и показывает те практические прие-
мы.которые применялись в V классе при определении длины окруж-
ности: качение без скольжения колеса или диска, спрямление ок-
ружности как тонкой нити, охватывающей колесо или диск, и т. п.
Но теперь надо разъяснить учащимся, что эти способы измерения
длины окружности весьма примитивны. В частности, если исполь-
зуется спрямление нити, туго охватывающей обод колеса или ди-
ска, то на эту нить надо наложить целый ряд условий: она должна
быть предельно тонкой, гибкой и нерастяжимой. Практически это
осуществить невозможно.

Естественно возникают вопросы: что следует принять за длину
окружности и как найти длину окружности?

Следующее простое соображение позволяет получить ответ на
поставленный вопрос. Если окружность нельзя измерить непосред-
ственно, то надо заменить ее другой линией, которую можно изме-
рить обычным способом. Такой линией является ломаная линия, в
частности, замкнутая ломаная линия, вписанная в окружность
или описанная около нее (показ на модели и чертеже), т. е. вписан-
ный или описанный многоугольники. Чем больше вершин (или сто-
рон) будет иметь многоугольник, тем больше общих точек у него
будет с окружностью и тем ближе контур многоугольника будет
примыкать к окружности.

Периметры многоугольников могут быть измерены обычными
приемами, а результаты измерения можно принять за приближен-
ные значения длины окружности (по недостатку или по избытку).
Этот прием и лежит в основе последующего решения поставлен-
ной задачи — определения длины окружности.

Действительно, в школьном курсе геометрии длина окружности
определяется как: а) предел последовательности периметров впи-
санных или описанных правильных многоугольников или б) предел,
определяемый двойной последовательностью периметров вписан-
ных и описанных правильных многоугольников при неограничен-
ном возрастании числа их сторон и при условии, что длина каж-
дой стороны стремится к нулю.

Это определение позволяет наметить следующий порядок основ-
ной работы: в окружность вписывается правильный многоугольник,
путем удвоения неограниченно увеличивается число его сторон,
попутно определяется периметр каждого многоугольника.

Эту наметку плана преподаватель дополняет введением вспомо-
гательных теорем или лемм.

Таким образом, составляется следующий план решения задачи
о длине окружности (после предварительной беседы, о которой шла
речь раньше).

1.	Леммы: а) Свойство периметров ломаных линий — объем-
лющих и объемлемых.

б) Свойство хорды (стороны правильного вписанного многоу-
гольника), стягивающей дугу, равную — части окружности при не-
ограниченном увеличении п.

2.	Свойство периметров правильных вписанных многоуголь-
ников и определение длины окружности.

3.	Формула длины окружности.

4.	Число к.

5.	Длина дуги окружности.

Последующая работа ведется в соответствии с намеченным
планом.

Леммы: а) Свойство периметров ломаных линий — объемлю-
щих и объемлемых. Доказательство леммы имеется почти во всех
учебниках геометрии*. Здесь надо только заметить, что в учебни-
ке Н. А. Глаголева это сделано более последовательно, а именно:
сначала рассматривается простейший случай, когда задается отре-
зок прямой и ломаная линия, концы которой находятся в концах
отрезка прямой, а затем и более общий случай, когда задается одна
выпуклая линия, из концов которой выходит другая — объемлю-
щая ее ломаная линия (выпуклая или не выпуклая).

б)	Свойство хорды, стягивающей дугу, равную -- части ок-
ружности при неограниченном увеличении п (она может стать
меньше любого заданного отрезка)**.

* Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия. Планиметрия,
§237—238, 1949. А. П Киселев, Геометрия, §232—233. 1952.

** А. И. Фетисов, Геометрия. Учебник для VIII и IX классов
средней школы, Учпедгиз, 1957, стр. 89.
Доказательство.В окружность вписывается правиль-
ный многоугольник (л-угольник) и от одной из вершин его откла-
дывается дуга, соответствующая заданному отрезку. При увеличе-
нии числа сторон правильного многоугольника окружность будет
делиться на все более и более мелкие дуги, которые после некото-
рого деления могут стать и оставаться меньше дуги, соответствую-
щей заданному отрезку, вследствие чего п хорды — стороны пра-
вильного вписанного многоугольника — станут меньше заданного
отрезка.

Свойство периметров правильных вписанных
многоугольников и определение длины окружности

Учащиеся изображают окружность и вписывают в нее, напри-
мер, правильный треугольник; затем, удваивая число сторон, по-
лучают вписанные правильные шестиугольники, двенадцатиуголь
ники и т. д. Анализируя полученные чертежи, учащиеся прихо-
дят к выводу, что каждый вновь получаемый правильный вписан-
ный многоугольник путем удвоения числа сторон предшествующе-
го многоугольника является объемлющим по отношению к преды-
дущему выпуклому многоугольнику, а потому периметр его боль-
ше периметра многоугольника с меньшим числом сторон.

К тому же выводу можно прийти, если определить значения пе-
риметров всех вновь получаемых многоугольников. С этой целью
преподаватель предлагает учащимся сначала определить длину
стороны каждого многоугольника, а потом и периметр каждого из
них, принимая за единицу измерения радиус окружности и поль-
зуясь ранее выведенными формулами, предпочтительно тригоно-
метрическими:

ол , 180°

an=2fl-sln—— и рп=п-ап.

а3/?Кз~1.732,	Рз=3аэ~5,195;
ав=1>000.	ро=6ао=6,ООО;
^12'^0,518,	Pi2= 12aI2^s6.212;
Дг 4 ^0»261 а	р24=24а24'^:6.26с);
#48^-0» । 31,	Р4в=48о4в ~6,279;

Вторая числовая таблица полностью подтверждает предыду-
щее заключение о периметрах вписанных правильных многоуголь-
ников при увеличении числа их сторон (они возрастают).

Ту же таблицу можно записать в виде числовой последователь-
ности:

5,	195< 6,000<6,212<6,265<6,279 ... или в общем виде. рз<ре
<Р12<Р24<Р48<рэб.-.<рп<--, где п = 3-2Л при Л=0, 1, 2, 3...

Затем надо показать, что эта числовая последовательность обла-
дает следующими тремя свойствами:
1)	бесконечная (так как процесс удвоения числа сторон пра-
вильного вписанного многоугольника может быть бесконечным);

2)	монотонно-возрастающая (так как р3-г*<Ре-2* при А=0,1,
2, 3...);

3)	ограниченная (так как любой член последовательности мень-
ше периметра описанного многоугольника как объемлющего по
отношению к любому вписанному многоугольнику).

Замечание. Учащиеся, имея перед глазами чертеж, обыч-
но утверждают, что последовательность периметров ограничена
«окружностью» (в этом случае они подразумевают «длину окруж-
ности»).

На это они имеют некоторое право, так как еще в V классе узна-
ли, что длина окружности существует, и решали соответствующие
задачи.

Преподаватель должен напомнить, что найти длину окружности
непосредственным измерением нельзя; а потому и была поставлена
первая задача: что следует принять за длину окружности. Ответ
пока не получен, а потому еще нельзя утверждать, что последова-
тельность периметров ограничена «окружностью».

Итак, полученная последовательность обладает тремя указан-
ными свойствами: она бесконечная, монотонно-возрастающая и ог-
раниченная, а потому, как известно из курса алгебры, она имеет
предел, т. е. lim рп = L.

Преподаватель сообщает учащимся, что этот предел, как число,
и принимается за длину окружности: L=C, где С — символ для
обозначения длины окружности (от латинского слова circulus —
круг), откуда C=lim р„, т. е. длина окружности есть предел пери-

Л->оо

метров правильных вписанных в окружность многоугольников при
неограниченном удвоении числа их сторон.

Формула длины окружности

Только что полученное определение длины окружности не дает
указания, как практически находить длину окружности. Учащи-
еся еще в V классе знали соответствующее правило (надо длину диа-
22

метра умножить на—у— или наЗ,14), котороеиногда в V классе
и в более старших классах записывается в виде формулы С=
=«£)== 2-/?.Теперь имеется возможность строго вывести формулу для
нахождения длины окружности.

С этой целью изображаются две окружности разных радиусов, в
каждую из них вписываются правильные одноименные много-
угольники и на основании уже известных теорем устанавливается,
что эти многоугольники подобны, а потому периметры их пропор-
циональны радиусам или диаметрам описанных oкpvжнocтeй:
Рп R	2/?	Рп Р'п

Р’п~R’ ИЛИ Р'п 2/?'' ОТК^Да 2/?	2/?' •
Если соответственно удваивать число сторон обоих правильных
вписанных многоугольников, то они будут оставаться правильными
и одноименными, а потому подобными и отношение периметров их
будет во всех случаях равно отношению радиусов или диаметров
описанных окружностей, т. е. отношение будет постоянным.

Если этот процесс удвоения числа сторон правильных вписан-
ных многоугольников будет бесконечным, то, как это только что
было установлено, периметры их будут монотонно возрастать и
стремиться к длинам соответственных окружностей, как к своим пре-
делам (Рп-+С и Р'п--С').

А так как в этом процессе отношения периметров правильных од-

Рп 2R
поименных многоугольников остаются равными	то рав-

г п £R	г

ными остаются и отношения периметров к диаметрам описанных
Рп Р' п

окружностей (2fl=2flr). а потому будут равны и пределы этих
Рп Р'п	С С

отношении, т. е. пт 75= lim -нрт, откуда кн =—-, .

П->-00 К П-*-ос К	£

Это постоянное отношение обозначают символом «п = ^>

откуда С= или C=^D. Эти формулы и служат для нахождения

длины окружности.

Теперь можно перейти к решению задач на нахождение длины
окружности, зная длину радиуса или диаметра ее и обратных за-
дач — нахождение длины радиусов или диаметров окружности,
зная длину ее (принимая к^З, 14).

Эти задачи надо решать сначала непосредственным вычисле-
нием (две-три задачи прямых и столько же обратных) с готовым за-
данием длины радиуса или диаметра. Например: 1) найти С, зная
что R = 12 см или D=17,3 дм; 2) найти длину радиуса или диа-
метра, если длина окружности равна 48,3 см и т. п.

Чтобы возбудить интерес к задачам на определение длины ок-
ружности, надо ввести новые элементы работы:

1)	непосредственное измерение длины диаметра при помощи та
ких инструментов, как кронциркуль (для определения диаметра
внешней окружности трубы—полого цилиндра), нутромер (для оп-
ределения диаметра внутренней окружности той же трубы) и мерная
линейка с подразделениями на сантиметры и миллиметры;

2)	выполнение вычислительных операций над приближенными
значениями полученных результатов измерения и приближенным
значением к;

3)	замена вычислений использованием готовых таблиц и лога-
рифмической линейки для определения длины окружности.

Чтобы убедить учащихся в огромных преимуществах табличных и
инструментальных вычислений, надо в классе провести соответствую
щий эксперимент в одном или в двух вариантах: одна половина уча-
щихся находит длину окружности непосредственным вычислением,
а другая — при помощи таблицы (а потом линейки); ясно, что уча-
щиеся второй половины класса быстрее найдут решение.
Число к

Решение этих задач надо продолжать и в последующее время.
В связи с этим следует ознакомить учащихся в той или иной мере
с нахождением приближенных значений числа ~ (начальная бук-
ва греческого слова —spi<pspsi — периферия — замкнутая линия,
ограничивающая часть плоскости).

Еще в V классе учащиеся находили приближенное значение к
как отношение длины окружности к длине диаметра, причем дли-
ны они определяли непосредственным измерением с небольшой сте-
пенью точности, а потому и приближенное значение отношения
было весьма грубым.

Теперь надо дать более отчетливое представление о числе ~ и
указать особую природу его. При этом поучительно сообщить
несколько исторических сведений об этом числе.

Евклид (III в. до н. э.) не занимался определением числового
значения отношения длины окружности к длине диаметра. Архимед
(287—212 гг. дон.э.)один из первых определил числовое значение этого
отношения Затем Клавдий Птолемей(87—165 гг. н.э.)опреде-

о L 8 L 30 ~
лил то же отношение в шестидесятиричной сисгеметак: 3-bgQ + збЧ)~
~3,14166. Были работы и других крупных математиков, посвя-
щенные разрешению того же вопроса.

С конца XVI в. эта работа продолжается, но в основу ее кладется
уже аналитический метод.

Виэта (1550—1606) дал формулу для вычисления к:

1

D г. 22446688.

Валлис. 2 — 1’з’3’5’5’7'7’ 9"”

Лейбниц: Е-=1-1 +	_ 2. + ± _	+ _...=arctg 1;

«.1.1.	1.1. I.	А

Эйлер: -$-= 1 +	+... и т. д.

Наряду с работами, посвященными определению числового зна-
чения л, стала намечаться работа и по выяснению сущности этого
числа, природы его. Предварительные исследования Ламберга
(XVIIIb.), затем Лиувилля и Эрмита (XIX в.) позволили Линде-
ману в 1882 г. доказать, что ~ есть трансцендентное чис-
ло, а не алгебраическое, т. е. оно не является корнем алгебраиче-
ского уравнения с целыми коэффициентами. Затем было дока-
зано, что число ~ не может быть построено только при помощи
циркуля и линейки; а следовательно, имея диаметр окружности D,

* См. Р у д и о, О квадратуре круга, 1934.
нельзя построить циркулем и линейкой отрезок тсО, равицд
длине окружности. Этим дается отрицательный ответ на вопрос о
спрямлении окружности при помощи циркуля и линейки.

В порядке завершения этой работы следует предложить учащим.
ся самим определить приближенные значения числа исходя из
следующих соображений. Длина окружности выражается форму-
лой: C=~D, откуда ~=С : D. Но С есть предел, к которому стре-
мится периметр вписанного правильного многоугольника при неог-
раниченном удвоении числа его сторон. Поэтому за приближенное
значение длины окружности можно принимать периметр того или
иного правильного вписанного многоугольника, в силу чего

D. Как говорилось в начале данной статьи, чем больше сторон
будет иметь правильный вписанный многоугольник, тем больше он
будет иметь точек соприкосновения с окружностью, тем меньше
будет разность между длиной окружности и периметром многоу-
гольника. Поэтому за приближенное значение длины окружности
можно брать периметр правильного вписанного многоугольника с
достаточно большим числом сторон его.

Раньше была составлена таблица значений периметров правиль-
ных вписанных многоугольников.

Теперь ее можно несколько продолжить, определив хотя бы
Рвв И Р192-

Для определения приближенного значения к можно восполь-
зоваться приближенной формулой:	Рл : D (где 0=2/?, а /?=1):

~^Р3 :0'5,196: 2=2,598;

т^Рл : 0=6,000: 2=3,000;

-^ Р12: 0—6,212 : 2^3,106;

Р24: 0—6,265 : 2=3,132;

Рм : 0—6,279 : 2=3,139;

~^Рвв: 0—6,282 : 2 = 3,141;

к^Р102: 0—6,283: 2^3,141.

Из этой таблицы видно, как постепенно получаются верные
цифры в записи приближенных значений числа л : сначала 3,
потом 3, 1, затем 3, 14 и т. д.

Длина дуги

Определение длины дуги окружности не представит никаких
затруднений для учащихся. Зная длину окружности С=2~/?, °ни
определяют сначала длину дуги в 1° (Si =	). а потом

длину дуги в п°
Так как измерение дуги окружности дуговым градусом, как
единицей измерения, производится непосредственно способом откла-
дывания, то при этом могут быть те же случаи, которые имели ме-
сто при измерении отрезков, а именно:

1)	дуговой градус откладывается на измеряемой дуге целое
число раз (/=£• 1°=А); тогда k есть мера измеряемой дуги;

2)	дуговой градус откладывается целое число раз и получается
при этом остаток, на котором тем же способом откладывается 10-я
доля дугового градуса, на новом остатке — 100-я доля и т. д. до тех
пор, пока в последнем остатке 10-я доля уложится целое число раз;
мерой дуги будет десятичная дробь;

3)	если дуговой градус и измеряемая дуга окажутся несоиз-
меримыми, то предыдущий процесс окажется бесконечным, мерой
дуги будет бесконечная десятичная непериодическая дробь — ир-
рациональное число.

Изложение темы о длине окружности может быть несколько из-
менено и дополнено.

Так, например, в классе можно доказать теорему о свойстве
периметров правильных вписанных многоугольников и дать опре-
деление длины окружности, а на дом дать задание — доказать анало-
гичную теорему о свойстве периметров правильных описанных
многоугольников и ввести определение длины окружности.

Но в этом случае возникает вполне естественный вопрос: будут
ли эти пределы равны? Преподаватель может сформулировать тео-
рему: «Пределы периметров правильных вписанных и описанных
многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон
равны», и доказать ее или в общеклассной работе, или для отдель-
ных учащихся (а также в кружке).

Для доказательства этой теоремы используется лемма: пределом
апофемы правильного вписанного многоугольника при неограни-
ченном увеличении числа его сторон является радиус описанной ок-
ружности.

Для упрощения рассуждений строятся одноименные правиль-
ные вписанный и описанный многоугольники со сторонами ап и Ьп.
Они будут подобны, а потому периметры их пропорциональны апо-

Рп Р

фемам: — = —, где Рп и рп—соответственно периметры описан-
ного и вписанного многоугольников, /? и г„ — апофемы соответ-
ственно тех же многоугольников.

При неограниченном возрастании п (когда неограниченно удваи-
вается число сторон правильных многоугольников) Рп ->Ci, рп->-Сг
(что уже доказано было раньше) и rn-> R, а потому предел отношения
Рп  Рп при том же условии будет равен единице, т. е.

JimPn

lim Рп __ Р .	_ Р = ,

Р" лХ ’ limpn R
Следовательно, lim Рп =lim рп или Ci=Ca.
и-*- оо zi-> оо

Замечание. Надо сообщить и разъяснить учащимся, что
для определения длины окружности мы вписывали или описывали
правильные многоугольники только для упрощения работы. Для
той же цели можно использовать и произвольные многоугольники
но при условии, чтобы длина даже наибольшей стороны каждого
из них при увеличении общего числа сторон могла стать меньше
сколь угодно малого положительного числа.

Процесс удвоения при неограниченном увеличении числа сторон
многоугольников тоже применяется только потому, что он очень
легко осуществляется. Вообще можно увеличивать число сторон
любым способом.
Глава XV

ПЛОЩАДИ плоских ФИГУР

75. ОБЩИЙ ОБЗОР ТЕМЫ

Первые представления о площадях простейших плоских фигур
учащиеся получают в связи с изучением курса арифметики в на-
чальных классах средней школы и в V классе: площади прямоу-
гольника и квадрата, площадь треугольника, площадь круга и, нако-
нец, площадь поверхности куба, прямоугольного параллелепипеда
и прямого кругового цилиндра.

В VIII классе, где начинается более строгое изучение измере-
ния геометрических величин — отрезков и площадей, уже нельзя
ограничиться прежними интуитивными представлениями о площа-
ди замкнутой фигуры и учение о площадях должно строить на до-
статочно строгой научной основе.

Однако практически при изучении этой темы в средней школе
как учащиеся, так и сами преподаватели испытывают большие за-
труднения.

Эти затруднения прежде всего связаны с тем, что как в учеб-
ной, так и в методической литературе нет единого подхода копре-
делению самого понятия площади.

1.	Площадь фигуры есть часть плоскости, занимаемая этой
фигурой*.

2.	Площадью простого многоугольника называется число, оп-
ределяющее размер части плоскости, ограниченной этим многоу-
гольником**.

3.	Площадью замкнутой фигуры называется величина части

* А. Ю. Давидов, Элементарная геометрия, изд. 35, 1915, стр.
140; Н. А. Извольский, Геометрия на плоскости, изд. 2, стр. 194;
Н. А. Извольский, Геометрическое учение о площадях, «Математика
и физика в средней школе», 1935, № 2.

** Н. А. Г л а г о л е в, Элементарная геометрия. Планиметрия, 1949,
стр. 244; В. М. Б р а д и с, Методика преподавания математики, изд. 2,
1951, стр. 362.
плоскости, заключенной внутри многоугольника или какой-ни-
будь другой плоской замкнутой фигуры*.

Уже одно это обстоятельство дезориентирует преподавателя и
вносит неясность в методику преподавания темы об измерении пло-
щадей.

Первое из этих определений — площадь как часть плоскости—
неудачно, так как под это определение в сущности подходит не
только понятие площади, но и понятие многоугольника: «Если
многоугольник ограничивает определенную часть плоскости, (как
это всегда бывает в случае выпуклых многоугольников), то эта
часть плоскости сама называется многоугольником»**.

Второе определение — площадь есть число — в методическом
отношении является наиболее простым для учащихся.

Третье определение — площадь есть величина — нуждается в
дополнительном разъяснении определяющего понятия «величина»,
что, например, и делается довольно подробно в книге С. А. Бого-
молова***. Как в основу изучения измерения линий кладется из-
мерение отрезков, так в основу изучения площадей всех плоских
прямолинейных фигур в школьном курсе геометрии кладется опре-
деление площади прямоугольника****.

Различные способы изложения темы о площади
прямоугольника

Довольно отчетливое представление об этих способах можно по-
лучить из учебников А. Ю. Давидова, А. П. Киселева и Н. А. Гла-
голева. Каждого из этих авторов можно считать представителем
соответствующего направления в методике при изучении измерения
площади прямоугольника.

Первый способ (в основе его лежит сравнение площа-
дей). Этот способ изложен в книге А. Ю. Давидова*****,которая име-
лаочень широкое распространение в последней четверти XIX в. и да-
же в начале XX в. (35-е издание было в 1915 г).

Понятно, что в настоящее время эта книга значительно
устарела.

* С. А. Богомолов, Геометрия (Систематический курс).
1949; Н. М. Бескин, Методика геометрии, 1947, стр. 188; Н. Душин,
Курс элементарной геометрии, 1923, стр. 319; Ж- А д а м а р, Элементар-
ная геометряя, ч. I, 1948, стр. 278: А. П. Киселев, Геометрия, ч. I
«Планиметрия», 1952.

** БСЭ, т. 39, стр. 583, статья Б. Делоне.

*** С. А. Богомолов, Геометрия, 1949, стр. 130.

**** Но это не обязательно: в основу учения о площадях может быть
положено определение площади треугольника.

См. Ж- А д а м а р. Элементарная геометрия, ч. I «Планиметрия»,
Учпедгиз, 1936, стр. 266—270 или изд. 1948г., стр., 278.

***** А. Ю. Давидов, Элементарная геометрия в объеме гимнази-
ческого курса, изд. Думнова, 1915.
Но тот же способ в сущности излагается и в книге Ж. Адамара*,
которая написана автором значительно позднее, чем книга А. Ю. Да-
видова; в ней имеется более строгое изложение.

Наконец, следует отметить и книгу А. Н. Перепелкиной и
С. И. Новоселова**, в которой излагается тот же способ.

Сущность этого способа заключается в следующем.

Прежде всего вводится определение: определить площадь пло-
ского многоугольника — значит поставить в соответствие ему вели-
чину (она называется площадью многоугольника), обладающую сле-
дующими свойствами:

1)	два равных (конгруэнтных) многоугольника имеют одну и
ту же площадь независимо от положения, занимаемого ими в прост-
ранстве;

2)	если многоугольник разбит прямыми линиями на какие-ли-
бо части, то за площадь его принимается сумма площадей всех со-
ставляющих его частей.

Затем устанавливается единица измерения площадей (площадь
квадрата со стороной, равной единице длины) и понятие об изме-
рении площади: измерить площадь какой-либо фигуры — значит
найти отношение этой площади к квадратной единице.

Дальше следует доказательство теорем.

Теорема 1. Площади двух прямоугольников, имею-
щих равные основания, относятся между собой как их
высоты.

Рассматриваются следующие случаи.

1.	Высоты данных прямоугольников равны. В этом случае пря-
моугольники тоже равны, а потому и площади их равны (первое
свойство).

2.	Высоты данных прямоугольников разные, но соизмеримы
с единицей длины (черт. 199). Отношение площадей прямоуголь-
ников равно отношению нх высот.

Черт. 199	Черт. 200

* Ж. А д а м а р. Элементарная геометрия, ч.1 «Планиметрия*,
Учпедгиз, 1948.

** А. Н. Перепелкина и С. И. Н о в о с е л о а. Геометрия
и тригонометрия , Учпедгиз, 1947.
В последнем случае сущность доказательства сводится к тому
что отношение площадей обоих прямоугольников не может быть
больше или меньше отношения их высот, а потому оно и принима-
ется равным отношению высот.

Теорема 2. Отношение площадей двух прямо-
угольников равно произведению их соответствующих
измерений (черт. 201).

Для доказательства строится третий прямоугольник — вспо-
могательный; его измерения: аз=а\ и Нз=К1.

5j	h.	5g	Gg	г-.	5i	athi	a*	ft,

= —. После деления получится: -гА=г2-!-=— •

^3	П2	О3	Gj	Og	A2G2	Qj	Л2

Теорема 3. Площадь прямоугольника равна произ-
ведению двух его измерений.

Если второй прямоугольник будет квадрат, т. е. если ai=ht,
а сторона его будет принята за линейную единицу длины(а2=Й2=1),
то площадь этого квадрата можно принять за единицу измерения
площадей, т. е. 5г=1.

В силу этого последнее отношение в теореме 2 примет вид:

Si: 1 =~р- -р или Si = ajfti*.

При этом способе измерения площади прямоугольника допу-
скается, что площадь прямоугольника как число, поставленное в
соответствие величине той части

Черт. 201

плоскости, которая ограничена
замкнутой ломаной линией, счи-
тается существующим. С мето-
дической точки зрения с этим
вполне можно согласиться, так
как учащиеся еще в IV и V
классах средней школы находи-
ли площадь прямоугольника и в
их сознании к восьмому году
обучения создается тесная

связь — соответствие — между
геометрическим образом прямоугольника и действительным числом
как мерой величины той части плоскости, которая является внут-
ренней областью прямоугольника. Другими словами,учащиеся убеж-
дены, что всякий прямоугольник имеет площадь, мерой которой яв-

ляется число.

Второй способ (в основе лежит понятие предельного
перехода). В последние десятилетия это направление было господ-
ствующим в средней школе в силу того, что стабильным был учебник
А. П. Киселева. Изучение темы начинается с так называемых «Ос-
новных допущений о площадях». Дается определение площади как

* А. Ю. Давидов, Элементарная геометрия в объеме гимназическо-
го курса, изд. В. В. Думнова, 1911, стр. 140 и далее.
величины части плоскости, заключенной внутри плоской замкну-
той фигуры. Затем ставится задача: «найти для этой величины выра-
жение в виде некоторого числа, т. е. найти число, измеряющее пло-
щадь». При этом выдвигается требование, «чтобы соотношения меж-
ду площадями фигур и числами, их измеряющими, удовлетворяли
следующим условиям»: а) числа, измеряющие площади двух рав-
ных фигур, равны между собой; б) если данная фигура разбита на
несколько частей и каждая из них есть замкнутая фигура, то
число, измеряющее площадь всей фигуры, должно быть равно сум-
ме чисел, измеряющих площади отдельных ее частей.

После этого вводится понятие об измерении площади прямоу-
гольника при помощи сетки квадратов, что и используется при до-
казательстве теоремы: площадь прямоугольника равна произведе-
нию его основания па высоту, когда оба измерения прямоугольника
являются целыми и дробными числами.

Наиболее трудный случай, когда стороны прямоугольника
(или хотя бы одна из них) измеряются иррациональными числа-
ми. Площадь прямоугольника в этом случае определяется как пре-
дел площадей прямоугольников, длины сторон которых выражают-
ся рациональными числами — приближенными значениями ир-
рациональных чисел — при неограниченном возрастании степени
точности их.

Такое изложение данной темы не соответствует общему построе-
нию программы по математике в средней школе, так как понятие
предела учащиеся получают в IX классе, а изучение площадей пря-
молинейных фигур относится к курсу VIII класса.

Третий способ (в основе лежит понятие равносостав-
ленности плоских фигур).

Этот способ нашел отражение в учебнике Н. А. Глаголева.

В предисловии к учебнику автор пишет: «Вся теория измерения
площадей строится на современной научной основе в постановке,
данной Гильбертом и Шуром».

Вначале автор показывает, что два многоугольника могут иметь
различную форму и в то же время ограничивать одинаковые по раз-
меру части плоскости, т. е. иметь равные площади. Это положение
иллюстрируется двумя равными прямоугольными треугольниками,
из которых составляются различные по форме геометрические
фигуры.

Затем вводится понятие и определение равносоставленных мно-
гоугольников: многоугольники называются р ав нососта в -
ленными, если каждый из них можно разбить на конечное
число попарно геометрически равных частей.

Это определение сопровождается двумя теоремами, которые ус-
танавливают те условия, при которых параллелограммы и прямо-
угольники могут быть равносоставленпыми*.

* Н. А. Г л а г о л е в. Элементарная геометрия. Планиметрия, Учпед-
гиз, 1949, стр. 239.
Понятие «равносоставленности» многоугольников широко при-
меняется в последующем изложении теории измерения площадей; это
понятие использовалось и в первых двух способах, но оно там не
обосновывается.

В самом деле известно, что площадь параллелограмма определя-
ется при помощи преобразования его в равносоставленный с ним и
равновеликий ему прямоугольник; площадь треугольника опреде-
ляется или дополнением его до параллелограмма, который затем
преобразуется в равносоставленный с ним прямоугольник или не-
посредственно преобразуется в равносоставленный с ним и равно-
великий ему прямоугольник; площадь любого многоугольника
определяется разбиением его на ряд треугольников или непосред-
ственным преобразованием его в равновеликий ему и равносостав-
ленный с ним треугольник, а последний преобразуется опять в пря-
моугольник...

После введения понятия о равносоставленности прямолинейных
фигур ставится вопрос о том, каким образом можно определить
площадь данного прямоугольника.

В простейших случаях, когда стороны прямоугольника соизме-
римы, вычисление его площади производилось еще в курсе ариф-
метики.

В порядке повторения в VIII классе рассматриваются два случая,
когда смежные стороны прямоугольника измеряются натуральными,
а потом — дробными числами (на числах).

Если же смежные стороны данного прямоугольника или хотя бы
одна из них несоизмеримы с единицей длины,то «в этом случае квад-
рат, сторона которого равна единице длины, уже нельзя разрезать
на такие равные квадраты, которые укладывались бы целое чи-
сло раз на данном прямоугольнике, покрывая его полностью.

Тем не менее и в этом случае число, равное произведению двух
смежных сторон прямоугольника, измеренных одной единицей,
называется площадью этого прямоугольника»*.

Последнее утверждение является более общим определением
площади прямоугольника, стороны которого измеряются любы-
ми действительными положительными числами.

Наконец, в самое последнее время вышел новый учебник гео-
метрии А. И. Фетисова**, в котором изучение площади прямоуголь-
ника дается в ином изложении:

1)	вводится в употребление палетка для приближенного измере-
ния площадей любых плоских фигур;

2)	теорема о площади прямоугольника (в общем случае, когда
стороны фигуры могут быть соизмеримыми и несоизмеримыми с
единицей длины) с применением той же палетки: а) подсчет числа
полных клеток-квадратов, долей его и т. д., б) нахождение прибли-

* Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия, ч. I «Планиметрия»,
1954, стр. 246.

** А. И. Фетисов, Геометрия. Учебник для VIII и IX классов
средней школы, Учпедгиз, 1957, стр. 66.
женных рациональных значений площади по недостатку и по избыт-
ку. Получаются две последовательности приближенных рациональ-
ных значений, которые и определяют искомое число — площадь дан-
ного прямоугольника как произведения двух его измерений.

Итак, в основе каждого из описанных способов лежат разные
идеи: сравнение площадей, предельный переход и понятие равно-
составленности фигур.

Однако те же разные способы имеют общие условия:

I.	За единицу измерения площади принимается площадь квад-
рата со стороной, равной линейной единице.

2.	Мерой площади фигуры является действительное число.

3.	Площадь фигуры, как и число—мера этой площади—долж-
на удовлетворять следующим требованиям:

1)	геометрически равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные
площади;

2)	если замкнутая фигура состоит из нескольких замкнутых фи-
гур, то за площадь всей фигуры принимается сумма площадей
всех составляющих фигур.

Возникает вопрос, какой же способ можно признать наиболее
целесообразным в средней школе (в частности, по курсу VIII
класса)?

Первый способ не согласуется с известным учащимся способом
измерения площади прямоугольника по курсу IV и V классов и
имеет чересчур формальный характер. Второй способ содержит по-
нятие предельного перехода, что неизвестно учащимся VIII клас-
са. Третий способ содержит два определения площади прямоуголь-
ника, что нельзя оправдать с методической точки зрения. Наконец,
в учебнике А. И. Фетисова ставится общая задача определения
площади прямоугольника при помощи палетки, что трудно будет
понять учащимся.

Исходя из этого краткого сравнительного обзора указанных
способов изучения площади прямоугольника, можно дать ответ на
поставленный вопрос. В VIII классе изучение данной темы более це-
лесообразно проводить или вторым способом, пополнив содержание
темы введением понятия о равносоставленности многоугольников и
заменив предельный переход таким же заключением, которое при-
водится в учебнике А. И. Фетисова, или третьим способом, но с бо-
лее подробным изложением трудного случая, когда измерения пря-
моугольника — иррациональные числа.

76. примерный план изучения темы «измерение
ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА»

Приступая к изучению этой темы в VIII классе, преподаватель
сначала устанавливает связь предстоящей работы с теми знания-
ми и навыками, которые имеются у учащихся из курса арифметики.

С этой целью он предлагает учащимся несколько задач с прак-
тическим содержанием.
Задача 1. Определить световую площадь окна, если внутренние
обмеры рамы выражаются числами 92 см и 42 см.

Задача 2, Определить площадь классной доски (по внутреннему
обмеру ее), классного стола, крышки классного журнала и т. п.

Решение первой задачи сводится к применению хорошо известно-
го учащимся правила.

Для решения второй задачи учащиеся предварительно должны
выполнить необходимые измерения.

В последующей беседе выясняется следующее.

1.	В каждой задаче мы измеряли площадь одной и той же гео-
метрической фигуры—прямоугольника; в результате получали чи-
сла. Спедовательно, измерить площадь прямоугольника — зна-
чит найти число, определяющее размер части плоскости, которая
ограничена сторонами прямоугольника.

Иначе говоря, каждому прямоугольнику можно привести в со-
ответствие некоторое число — площадь.

2.	За единицу измерения площади прямоугольника принима-
ется площадь квадрата, сторона которого равна линейной единице.

3.	Числа, характеризующие площади прямоугольников, обла-
дают следующими свойствами: их можно сравнивать между собой
(площадь классной доски больше площади стола и т. п.), складывать
и вычитать (сдвинуть два стола, вынуть звено в обеденном столе
или опустить одно крыло его).

4.	Площадь прямоугольника не зависит от положения его в про-
странстве.

5.	Площадь прямоугольника удовлетворяет следующим тре-
бованиям:

1)	равные или конгруэнтные прямоугольники имеют и равные
площади (равные листы одной книги имеют равные площади, рав-
ные крышки столов имеют равные площади и т. п.);

2)	если прямоугольник состоит из нескольких замкнутых фи-
гур, то площадь его равна сумме площадей составляющих фигур
(общая площадь крышки стола, составленного из двух или более
столов, равна сумме площадей крышек всех составляющих столов
н т. п.).

Эта беседа, с одной стороны, позволяет учащимся вспомнить и
повторить некоторые сведения об измерении площади прямоуголь-
ника, с другой стороны, она вводит их в круг некоторых новых по-
нятий.

В конце беседы преподаватель подводит учащихся к выводу, что
они знают правило нахождения площади прямоугольника, но не
знают еще, на чем основано это правило и как его можно вывести.

Эти вопросы и подлежат дальнейшему изучению.

Понятие о равносоставленных прямолинейных фигурах

В краткой беседе, сопровождаемой иллюстрациями, сначала
выясняется, что два многоугольника различной формы могут иметь
равные площади. Например, если модели двух равных прямоуголь-
372
ных треугольников прикладывать одну к другой равными линей-
ными элементами, то будут получаться различные неравные фигу-
ры, площади которых будут равны; эти фигуры изображаются на
чертежах обводом контуров. Для иллюстрации той же мысли мож-
но взять модели двух-трех равных и неравных косоугольных тре-
угольников, прямоугольников ит. п., соединять их разными спо-
собами и новые фигуры обводом изображать на чертежах. О равен-
стве площадей полученных новых фигур можно судить не по длине
тех или иных сторон их, а по тому признаку, что все новые фигуры
составлены из одних и тех же фигур (отдельных «кусков»).

В заключении беседы вводится определение: все замкнутые фи-
гуры, одинаковые или разные по форме, называются равно-
составленными, если ограниченные ими части плоскости
можно разбить на одно и то же число попарно равных замкнутых
частей.

Можно предложить учащимся и другую формулировку опреде-
ления того же понятия: равносоставленными называются две фи-
гуры, если одну из них можно разрезать на такие «куски» — фи-
гуры, из которых можно составить вторую фигуру.

Обращаясь вновь к тем же чертежам или к моделям, преподава-
тель отмечает, что суждение о равносоставленности тех или иных
фигур было сделано на основании зрительных образов. Если же на
некоторых чертежах стереть внутренние отрезки, оставив только
наружные контуры, то обнаружить равносоставленность таких
фигур не так просто, а иногда почти невозможно.

Поэтому необходимо знать соответствующие теоремы — призна-
ки равносоставленности некоторых основных фигур — паралле-
лограммов и прямоугольников*.

Первую теорему нетрудно доказать, а вторую можно показать
и разъяснить на готовой модели и зафиксировать на чертеже.

Черт. 202

Т е о ре м а 1 (о равносоставленных параллелограммах). Два па-
раллелограмма, имеющие равные основания и равные
высоты, равносоставлены (черт. 202).

* Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия, ч. I (Планиметрия»,
Учпедгиз, 1948.
Доказательство теоремы легко проследить по чертежам или «по-

казать» на моделях.

Теорема 2 (о равносоставленных прямоугольниках). Если
произведение двух смежных сторон одного прямоуголь-
ника равно произведению двух смежных сторон дру-
гого прямоугольника, то эти прямоугольники равносо-
ставлены (черт. 203).

Доказательство теоремы трудное, а потому ее можно не доказы-
вать, а ограничиться показом соответствующих моделей прямоуголь-

Черт. 203

ников: одна из них с измерениями,
например, 15 см и 40 см разрезается
на 3 куска, как это указано на чер-
теже, из которых «складывается» вто-
рая модель прямоугольника, напри-
мер, со сторонами 10 см и 60 см или
25 сл1 и 24 см.

Преподаватель поручает учащим-
ся вырезать из бумаги пару парал-
лелограммов и прямоугольников при
соблюдении условий, указанных в
теоремах, разрезать одну из каждой
пары фигур на такие «куски», кото-

рые указаны на чертежах, и составить другую соответствующую
фигуру.

Итак, учащиеся приходят к заключению, что равносоставлен-
ные фигуры имеют равные площади. А преподаватель сообщает, что
фигуры, имеющие равные площади, называются равновели-
кими.

Площадь прямоугольника

Первый случай. Длина и ширина прямоугольника —
натуральные числа.

На доске и в тетрадях строятся прямоугольники со сторонами
а и b линейных единиц (т). На основании прямоугольника линей-
ная единица т укладывается ровно а раз, т. е. длина основания рав-
на ат; через точки, полученные при откладывании т, проводятся
прямые, параллельные другой стороне прямоугольника, до пересече-
ния с противоположной стороной, в силу чего прямоугольник раз-
бивается на а равных прямоугольников. На другой стороне прямо-
угольника — на высоте его — та же единица измерения т уклады-
вается ровно Ь раз (высота прямоугольника равна Ьт) и через
полученные точки проводятся прямые, параллельные основанию, до
пересечения с противоположной стороной. Получается сетка рав-
ных квадратов со стороной, равной 1; площадь каждого квадрата
(т2) есть единица измерения площади (/п2=1). Производится под-
счет квадратов: в одной полосе по основанию а квадратов или ат\
374
а во всех полосах — am2-b=abm2. Число ab и принимается за пло-
щадь прямоугольника при единице измерения т2=\, что записы-
вается так: 5прям. =(ab)m2 или SnpnM. =ab (ед2).

Цель построения сетки квадратов состоит в том, чтобы непосред-
ственным подсчетом всех квадратов определить число их — меру
всей площади прямоугольника. Практически подсчет этот ограни-
чивается определением числа квадратов в одной полоске и после-
дующим умножением этого числа на число полосок.

При этом учащиеся замечают, что число квадратных единиц в
одной полоске равно числу линейных единиц в соответствующей
стороне прямоугольника, а число полосок совпадает с числом ли-
нейных единиц в другой смежной стороне той же фигуры.

Поэтому, чтобы получить искомое число — меру площади дан-
ного прямоугольника, надо число, измеряющее его основание, ум-
ножить на число, измеряющее высоту его (в одних и техжелиней-
ных единицах). Полученный результат с указанием наименования
квадратной единицы будет мерой площади данного прямоуголь-
ника: $прям. =ab кв. единиц, гдеа ед. — длина одной стороны пря-
моугольника, b ед. — длина второй стороны его.

Рассматривая предыдущий чертеж прямоугольника с сеткой
квадратов, легко заметить, во-первых, что данный прямоугольник
можно рассматривать не как одну фигуру, а как совокупность всех
составляющих его квадратов, и что площадь прямоугольника рав-
на сумме площадей всех квадратов (площадь каждого из них равна
единице); во-вторых, квадраты, расположенные вдоль основания
(или высоты) прямоугольника, образуют прямоугольники — полос-
ки и данный прямоугольник можно рассматривать как фигуру, со-
ставленную из таких прямоугольников — полосок, а площадь пря-
моугольника равна сумме площадей всех полосок.

Второй случай. Измерения прямоугольника — дробные
числа.

Этот случай подробно излагается в учебнике А. П. Кисе-
лева, но не в общем виде, а на частном примере.

В VIII классе надо разобрать его в общем виде. Пусть

смежные стороны прямоугольника измеряются такими числами:
р . г	р г

а = -^-пг и b = —т, где т — единица измерения, а -у и — — длины
смежных сторон прямоугольника. Те же равенства можно записать
т . т	т

иначе: а=р-—ир=г~; тогда ——единица измерения отрезка а, а
т	Ч	s	ч

—— единица измерения отрезка Ь\ р и г — длины отрезков а и Ь, но
при разных единицах измерения	- Чтобы последние

сделать равными, надо дроби —и — привести к общему знамена-

Ч S
т , т

телю; тогда a=ps-~и b=qr~t где ps и qr — целые числа —

длины отрезков а и о, а —--единица измерения тех же отрезков.
Благодаря этому преобразованию, второй случай сведен к
первому, когда смежные стороны прямоугольника измеряются на-
туральными числами (рз и qr) при одной и той же единице изме-
рения (^).

Следовательно, площадь прямоугольника и в этом случае опре-
деляется как произведение двух смежных сторон его:

«Прям.= (Р® 	= (у™) ' (-Н =	' v) т* =

=ab (кв. ед.)

Третий случай. Измерения прямоугольника—иррацио-
нальные числа.

Стороны прямоугольника измеряются числами: а=а ед. и Ь=
=Р ед., где аир — иррациональные числа (например, а=а=
=1^20=4,4721... и6=р=]/30=5,4774...), а приближенные значе-
нияих соответственно будут:

?^ьл=с’ с’д’ с’дт’ r’a77 И Т' Д1 (с недостатком).

b^.bn=5', 5,4; 5,47; 5,477 и т. д.) '	'

4Л’ t’S И Т‘ Д'1 (С избытком).

6^6 л=6; 5,5; 5,48; 5,478 и т. д.р'	’

Изображается прямоугольник ABCD (черт. 204) с измерениями
а= }/20 см и р =]/30 см.

Площадь его непосредственно измерить нельзя, так как не су-
ществует такого квадрата, который уложился бы по длине или вы-

соте прямоугольника целое число раз.

Строится второй прямоугольник: на од-
ной стороне данного прямоугольника от-
кладывается отрезок, длина которого рав-
на ai=4 см, а на другой стороне его—
отрезок длиной Ь1—5см (с точностью до 1)
и через полученные точки проводят пря-
мые, параллельные соответствующим сто-
ронам данного прямоугольника до вза-
имного пересечения; получается «входя-
щий» прямоугольник. Площадь его Si=
=aib i=4 -5=20 (кв. см).

Если л будет возрастать (п = 1, 2, 3...),
то ап и Ьп будут тоже возрастать, в силу

Черт. 204	чего и ап-Ьп тоже будет возрастать, что

можно показать и на чертеже, где грани-
цы «входящего» прямоугольника будут приближаться к границам

данного прямоугольника.

Этот процесс можно проследить и на следующей таблице (ле-
вая половина ее).
Рациональные приближенные значения

с недостатком

с избытком

а^4 <4,4 <4,47 <4,472 <...<

ft,~5<5,4 <5,47 <5,477 <... <

Si«20<24 <24,4 <24,4<... <

/20 <-..<

/30 <...<

|.Л20^

• /зо<...<

4,473 <4,48<4,5<5 = а'п

5,478<5,48<5.5<6=» Ьп’

24,50 <24,5<25<30« Sn'

Из этих наблюдений можно заключить, что «входящий» прямо-
угольник по мере возрастания степени точности приближенных зна-
чений сторон данного прямоугольника будет покрывать все боль-
шую и большую часть внутренней области данного прямоугольника
и будет стремиться к совмещению с ним.

Затем таким же способом строится «выходящий» прямоугольник,
для чего на сторонах данного прямоугольника и на их продолжении
сначала откладываются отрезки, длины которых равны а’1=5см,
Ь\=6см (приближенные значения с избытком длины и высоты
данного прямоугольника с точностью до 1) и через полученные точ-
ки проводятся прямые, параллельные сторонам данного прямо-
угольника до взаимного их пересечения. Получится «выходящий»
прямоугольник. Площадь его S'i=o'i-6'1=5-6=30 (кв. см).

С возрастанием п, т. е. с увеличением степени точности прибли-
женных значений длин сторон прямоугольника с избытком выхо-
дящий прямоугольник будет уменьшаться и стремиться к сов-
мещению с данным прямоугольником.

Итак, при увеличении п «выходящий» и «входящий» прямо-
угольники стремятся к совмещению с данным прямоугольником. В
силу этого за площадь данного прямоугольника можно принять
площадь «входящего»* прямоугольника при неограниченном воз-
растании степени точности приближенных значений сторон дан-
ного прямоугольника. S прям- прям-	: об (кв. ед),

следовательно, и в этом случае площадь прямоугольника опреде-
ляется как произведение двух измерений: S ПрЯМ- —об кв. е>-

77.	ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

При определении плошади простого многоугольника широко
используется понятие равносоставленности фигур и понятие допол-
нения их (до известной фигуры).

* Пли «выходящего», но в записи площади приближенного значенпя его
последняя цифра всегда будет сомнительной.
Площадь параллелограмма определяется путем преобразова-
ния его в равносоставленный с ним (а следовательно, и в равнове-
ликий ему) прямоугольник.

Площадь треугольника определяется разными путями.

Довольно широко применяется способ дополнения, когда дан-
ный треугольник построением второго треугольника, геометриче-
ски равного данному, дополняется до параллелограмма. В этом
случае площадь данного треугольника определяется как половина
площади параллелограмма с теми же основанием и высотой, что
и в данном треугольнике.

Для той же цели используется понятие равносоставленности
фигур (см. черт. 205 и 206).

При изучении площади треугольника особое внимание следует
треугольников, имеющих равные ос-
нования и равные высоты (черт. 207),
что очень часто встречается при ре-
шении задач.

Площадь ромба определяется по-
разному: или как площадь парал-
лелограмма, для чего надо строить
высоту и определять длину ее, или
при помощи диагоналей, для чего
находится сначала площадь одного из
четырех равных прямоугольных тре-
угольников	и затем умно-

жается на число их (S ромба = —d^).

Для определения площади трапеции применяются различные
способы; они показаны на соответствующих чертежах.

S трап. = ^-ali 4- ~bh= -±-(а + b)h; -±-(а + 5) = т\ поэтому

S трап. = ~^-(а + b)h = mh (черт. 208).

S ,pan. = bh + 4-(а - b)h~(2b + а - b)h = ±-(а + 6)Й=

— mh (черт. 209).
S трап. = (a + Cl)h. = (b — d)/i; a + d = b — du d =

S трап. = ( a + ^-2^)a = V^a + b)h ~ mh <чеРт- 210)-

Чтобы определить площадь произвольного простого многоу-
гольника, надо разбить его каким-либо способом на треугольники
(черт. 211, 212), определить плошадь каждого треугольника и найти
их сумму (S Мног	+5эд +...4-5„д).

Черт. 208

Черт. 209

Черт. 210

Площадь правильного многоугольника определяется так же,
как и площадь произвольного многоугольника—разбиением его
на треугольники, но только одним способом (отрезками, соединяю-
щими центр многоугольника с его вершинами, чтобы получить

Черт. 211

Черт. 212

только равные треугольники); затем определяется площадь одного
треугольника и умножается на их число: S„=n-SA= n-0,5 апгп=
=0,5 рпгп, где рп—периметр правильного многоугольника, гп — его
апофема.

Для закрепления получаемых знаний и развития необходимых
навыков после вывода каждой новой формулы учащиеся решают со-
ответствующие задачи.

Среди этих задач видное место должны занимать задачи, свя-
занные с непосредственными измерениями, которые должны выпол-
нять сами учащиеся, пользуясь необходимыми приборами и ин-
струментами. Объектами для этой цели должны служить плоскости
предметов окружающей обстановки, простейшие детали механиз-
мов, модели геометрических тел, готовые модели плоских прямоли-
нейных фигур.

При этом надо требовать от учащихся, чтобы они сами опреде-
ляли, какие элементы в данном объекте им надо измерить.

В предыдущем изложении были выведены формулы для нахожде-
ния площадей многоугольников. Эти формулы можно назвать ос-
новными формулами.

В практике наиболее распространенной является формула пло-
щади треугольника, так как все прямолинейные простые фигуры
разными способами разбиваются иа треугольники. Поэтому для оп-
ределения площади треугольника применяются разные формулы,
с которыми и надо ознакомить учащихся.

Особенно широкое применение имеет формула Герона (живше-
го во II в. н. э.), при помощи которой можно определить площадь
треугольника, зная длины трех его сторон. Эту формулу могут вы-
вести сами учащиеся, исходя из основной формулы	aha).

При этом наибольшие затруднения вызывает вывод формулы для
определения высоты треугольника по трем его сторонам.

Необходимо также уже в VIII классе в практику решения за-
дач ввести и формулу: 3Л=0,5 ab sin С, сообщив учащимся, что
sin C=sin(180°—С).

Практические работы

В порядке выполнения практических'занятий на местности, в
частности при съемке плана многоугольного участка земли, может
быть поставлена задача о вычислении площади этого полигона.

Для этой цели многоугольник на плане или полигон на местно-
сти может быть разбит на целый ряд фигур, площади которых лег-
ко определяются. Задача имеет наиболее простое решение, если
полигон разбить на прямоугольные трапеции и прямоугольные
треугольники (черт. 213).

Если же внутренняя область полигона недоступна, то на одной
из продолженных сторон полигона строят прямоугольник так, что-
бы некоторые вершины полигона лежали на сторонах прямоуголь-
ника, а остальные — внутри него. Площадь полигона определяет-
ся как разность площадей прямоугольника и суммы площадей,
фигур, дополняющих полигон до прямоугольника (черт. 214).
л Способ разбиения прямолинейной фигуры^на прямоугольные
трапеции может быть с успехом распространен и на криволиней-
ные полигоны с несложной конфи-	_____

гурацией их (черт. 215). В напра-	X

влении наибольшего протяжения фи-	Г\

гуры проводится прямая линия Z| III I I I .1 .)
(внутренний отрезок ее — базис). На Г’ 1	V

кривой берут ряд точек, достаточно N.	)

близких одна к другой так, чтобы X.	У

дуги между ними почти совпадали	xLJ—L—У""* —У

с хордами. Из всех взятых точек

проводят перпендикуляры на базис,	Черт. 215

благодаря чему вся фигура разбива-

ется на ряд трапеций и четыре прямоугольных криволинейных
треугольника у концов базиса.

Преобразование многоугольников в равновеликие фигуры

Из предыдущего известно, что за вспомогательную фигуру при
определении площадей всех простых многоугольников принима-
ется треугольник, который легко преобразуется в равновеликий
ему прямоугольник. Учитывая это обстоятельство, каждый
простой многоугольник можно преобразовать в равновеликий
ему треугольник, а последний — в равносоставленный, значит
и в равновеликий ему прямоугольник. Из всех прямоугольников
наиболее совершенную форму имеет квадрат. А потому вполне
естественно возникает задача о преобразовании данного многоуголь-
ника в равновеликий ему квадрат (квадратура многоугольника).

Важное значение этой задачи, между прочим, состоит и в том,
что определение площади данного произвольного многоугольника
можно свести к определению площади равновеликого ему квадра-
та, что значительно проще и быстрее, чем определение площади
каждого составляющего треугольника, учитывая затрату времени
на выполнение всех необходимых преобразований и измерений.

Чтобы разрешить поставленную задачу, надо предварительно
решать более простые задачи.

Задача 1. Данный многоугольник преобразовать в равновеликий
ему треугольник.

Решение задачи излагается в учебниках геометрии.

Задача 2. Данный треугольник преобразовать в равновеликий ему
прямоугольник с тем же основанием (или с той же высотой).

Условие задачи: S =SnpHM.

Анализ. -^aha=ax.

а — одна сторона прямоугольника, 4уга — другая сторона
прямоугольника.

Построение указано на чертежах 216 и 217.
Задача 3. Данный прямоугольник преобразовать в равновеликий
ему квадрат (или: построить квадрат, равновеликий данному пря-
моугольнику).

Черт. 216

Черт. 217

Условие задачи: 5прям. =S4.	___

Анализ. ab=x2, откуда х=1/Гай.

Решение задачи сводится к построению сначала отрезка как

Черт. 219

среднего геометрического
между двумя отрезками а и
Й сторонами данного прямо-
угольника (решение этих за-
дач уже известно), а затем
к построению квадрата на
этом отрезке, как на его
стороне (черт. 218. 219).

Задача 4. Данный тре-
угольник преобразовать в
равновеликий ему квадрат
(или: построить квадрат,
равновеликий данному тре-
угольнику).

Эту задачу можно решить
так: сначала данный тре-
угольник преобразовать в
равновеликий ему прямо-
угольник (задача 2), а
последний преобразовать в
равновеликий ему квадрат
(задача 3).

Но ту же задачу можно
решить короче, минуя про-
межуточное преобразова-
нне в прямоугольник, исходя сразу из условия задачи:
5х=54или ^aha=x2, откуда х=у^ -^-ha=ya^-.

Задача 5. Данный многоугольник преобразовать в равновели-
кий ему квадрат (или: построить квадрат, равновеликий данному
м ногоу гол ьни ку).

Зная решение предыдущих задач, можно легко решить и дан-
ную задачу: сначала данный многоугольник преобразуется в рав-
новеликий ему треугольник, а затем последний преобразуется в
равновеликий ему квадрат (черт. 220).

Изменение площади многоугольника при подобном
преобразовании его

Подобное преобразова-
ние фигур, как известно,
имеет очень широкое при-
менение как в науке, так
и на практике.

Поэтому теперь естест-
венно вновь вернуться к
этой задаче преобразо-
вания и поставить такой
вопрос: как изменяется
площадь многоугольника
при подобном преобразо-
вании его?

Чтобы ответить на этот
вопрос, можно сначала
рассмотреть подобное пре-
образование треугольника
как простейшего из всех
многоугольников и опре-
делить характер измене-

ния площади его.

Данный треугольник АВС преобразуется в подобный ему тре-
угольник AiBiCi с коэффициентом подобия	д =л~С =

ВС \

Построив сходственные высоты в обоих треугольниках (AD и

S 1

4x01), найдем площади их и отношение этих площадей: -$- =

ВС AD ВС* AD* ( п п ВС AD
~B,Cy A<D~ByC^~'AiD^ (так как В,С, —Л,О,

или f — k\
О]

т. е. площади подобных треугольников относятся как квадраты

сходственных отрезков этих треугольников (сторон, высот, меди-
ан, биссектрис) или отношение площадей подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия.
Теорема об отношении площадей любых произвольных подобных
многоугольников доказывается при помощи предыдущей теоремы.
Для доказательства данные подобные многоугольники сходствен-
ными диагоналями разбиваются на одинаковое число подобных и
одинаково расположенных треугольников.

78.	ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

В программу по геометрии эта тема не входит. Поэтому изучение ее
можно перенести на внеклассное занятие (в частности, иа занятия в кружке).

Это одна из самых замечательных теорем курса элементарной планимет-

рии, которая имеет очень широкое применение.

Аналитическое доказательство этой теоремы уже известно учащимся.

Теперь надо разъяснить, что каждый член формулы теоремы Пифагора
можно рассматривать как площадь соответствующего квадрата, стороной
которого является одна из сторон прямоугольного треугольника. В таком
случае теорема формулируется следующим образом: площадь квадрата.

построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме
площадей квадратов, построенных на катетах того же треугольника.

В такой именно трактовке и была известна эта теорема в древности; в
частности, так она истолковывалась и в «Началах» Евклида*.

В течение последующих 2000 лет к теореме Пифагора проявлялся
особый интерес, что выражалось, между прочим, в том, что появлялись но-
вые доказательства этой теоремы**.

Приступая к изучению теоремы Пифагора с точки зрения теории площа-
дей, преподаватель может начать с частных случаев этой теоремы, что
могут выполнить сами учащиеся в порядке самостоятельной работы дома.

С этой целью он предлагает

следующие задачи.

Задача 1. На сторонах равно-
бедренного прямоугольного треу-
гольника во внешней области его
построить квадраты, показать и вы-
яснить зависимость между площадя-
ми квадратов, построенных на кате-
тах, и площадью квадрата, построен-
ного на гипотенузе (черт. 221).

Учащиеся выполняют указанное
построение, а затем при помощи на-
водящих вопросов преподавателя
делят каждый квадрат на треу-
гольники, устанавливают равенство
их и получают вывод, который запи-
сывают в виде формулы (а2 +	=

=с2), где а!н ia — площади квадра-
тов, построенных на катетах, ас’—
площадь квадрата, построенного
на гипотенузе, и формулируют сло-

вами теорему.

Задача 2. Стороны прямоугольного треугольника равны 3, 4 и 5 едини-
цам. На каждой из этих сторон во внешней области треугольника построить
квадраты, показать и выяснить зависимость между площадями квадратов,
построенных на обоих катетах, и площадью квадрата, построенного на гипо-
тенузе.

* Евклид, Начала. Книга 1. Предл. 47, 1948.

** В настоящее время известно около 100 различных доказательств.
См. Ю. В и п п е р, 45 доказательств теоремы Пифагора, 1887.
Решение задачи показано на чертеже 222. а формулировка ответа и ана-
литическая запись его те же, что н в первой задаче.

Вторую задачу можно повторить, но с другими числовыми данными,
например 5. 12 и 13 единиц и т. п.

Из решения этих задач видно, что в целом ряде прямоугольных треуголь-
ников существует определенная зависимость между площадями квадратов.

построенных на катетах, и площадью квадрата, построенного на гипотенузе.
Естественно поставить вопрос: будет лн иметь место та же зависимость в
любом прямоугольном треугольнике?

Этот вопрос вплотную подводит к доказательству теоремы Пифагора в
общем виде.

Преподаватель может взять доказательство, приведенное в учебнике
А. П. Киселева (доказательство Евклида) или в учебнике Н. А. Глаголева
или какое-либо иное доказатель-

ство. Но следует иметь в виду,
что доказательство Евклида яв-
ляется довольно трудным для
учащихся.

При этом надо требовать от
учащихся, чтобы они теорему
Пифагора писали и формулиро-
вали в разных вариантах, а имен-
но:

д24-62=С2; fl2=ca — 62; б2=£2 —
—а2; с =	а=}гс2—Ь2;

Ь=]/гс2—а2 -

Можно сообщить учащимся,
что теорема Пифагора обратима,
т. е. справедлива и обратная ей
теорема: если сумма площадей
квадратов, построенных на двух
сторонах треугольника, равна
площади квадрата, построенного
и а третьей стороне того же тре-
угольника,™ данный треугольник
прямоугольный.

Доказательство обратной тео-
ремы проводится способом «при-

ведения к нелепости».

Полезно также обратить внимание учащихся и на более общий вид тео-
ремы Пифагора, которую можно сформулировать таким образом: площадь
квадрата, построенного на одной стороне треугольника, равна cj мме площадей
квадратов, построенных иа двух других сторонах треугольника, плюс

или минус удвоенная площадь прямоугольника, сторонами которого явля-
ются одна из тех же двух сторон треугольника и проекция другой стороны

на эту же сторону.

В связи с изучением теоремы Пифагора в геометрическом ее истолкова-
нии преподаватель может показать применение этой теоремы к решению
более сложных задач о квадратуре, в частности задач на построение квадрата.

равновеликого сумме нескольких многоугольников или разности их.

С этой целью учащиеся сначала решают несколько задач на построение
квадрата, равновеликого сумме или разности двух данных квадратов.

Задача 1. Построить квадрат, равновеликий сумме двух данных

квадратов.

Учащиеся записывают условие задачи: х2 = a2 -f- b2, где х — сторо-
на искомого квадрата, а и 6 — стороны данных квадратов. Эта запись являет-
ся первым шагом анализа задачи, из которого вытекает и план построения:

1)	построить прямоугольный треугольник, зная два его катета а и 6;
2)	на гипотенузе построить искомый квадрат.

Построение, доказательство и исследование учащиеся выполняют само-
стоятельно.

Задача 2. Построить квадрат, равновеликий разности двух данных квад-
ратов.

Задача 3. Построить квадрат, равновеликий сумме трех данных квад-
ратов.

Учащиеся записывают условие задачи: х2 = a2 -f- Ь2+с2; с помощью
преподавателя они преобразуют правую часть формулы (a2-f-b2-j-c2 = а2 у2,
где у2 = Ь2 + са) и получают две формулы и, следовательно, две соответствх^ю-
щне задачи: х2 ~ а2 + у2 и у2 = Ь2 + с2. Ясно, что сначала надо решить
вторую задачу, а потом и первую.

После этого можно перейти к решению более сложных задач.

Задача 4. Построить квадрат, площадь которого равна сумме площадей
двух данных многоугольников.

Учащиеся записывают условие задачи: х2 = Si + 5г, где х — сторона
искомого квадрата, Si и Sz — площади данных многоугольников.
Анализируя эту формулу, они легко приходят к выводу, что для решения
задачи надо каждый многоугольник преобразовать в равновеликий ему квад-
рат, после чего данная задача будет сведена к первой задаче.

Задача 5. Построить квадрат, площадь которого равна разности площа-
дей двух данных многоугольников.

Задача 6. Построить квадрат, площадь которого равна сумме площадей

трех данных многоугольников.

Большой интерес может вызвать п дальнейшее обобщение теоремы
Пифагора.

Задача 7. В данном прямоугольном треугольнике из вершины прямого

угла провести высоту, которая разделит его на два прямоугольных треуголь-
ника. Каждый из этих треугольников, а также и данный треугольник повер-
нуть на 180° около соответствующей стороны. Доказать, что сумма пло-
щадей прямоугольных треугольников, построенных на катетах данного пря-

моугольного треугольника,
построенного на гипотенузе

равна площади прямоугольного треугольника,
того же данного треугольника (черт. 223).

Решение этой задачи очевидное.

Черт. 223

Ценность ее заключается в том, что
она дает первое обобщение теоремы
Пифагора: на сторонах прямоуголь-
ного треугольника построены не
квадраты, а прямоугольные и по-
добные треугольники.

Задача 8. Доказать, что сумма
площадей равносторонних треуголь-
ников, построенных на катетах, рав-
на площади равностороннего тре-
угольника, построенного на гипоте-
нузе.

Доказательство 1. Тре-
угольники подобны (как правиль-
ные одноименные многоугольники),
а потому площади их пропорцио-
нальны квадратам сходственных сто-
рон — сторон данного прямоуголь-
ного треугольника,т. е. Sa : Sb : Sf =
=а2 : Ь2 : с2; Sa : Sb = а2 : Ь2 и
Sc : Sa = с2 : а2;

Sa + Sb д2 + b2 с2 „	Sa + Sb Sc „ с । с с

—-= ——=-s- Поэтому	—с=-ё£. откуда Sa + S* =

Од	о	а	о

Доказательство 2. По условию задачи треугольники подобны
Sa : Sb : Sc = а2 : b2 : с2; пусть k — коэффициент подобия; тогда Sa =*
ka2, Sb = kb2; Sc = kc2.
Из теоремы Пифагора следует: а2 Ь2 = с® и Лаа kb2 = kc2 или
Sn -|- St = Sc-

Задача 9. На сторонах прямоугольного треугольника построить подоб-
ные между собой треугольники так, чтобы стороны данного прямоугольного
тругольника были сходственными сторонами в построенных треугольниках.
Доказать, что сумма площадей треугольников, построенных на катетах,
равна площади треугольника, построенного на гипотенузе.

Указание. Построение подобных треугольников с данным усло-
вием легко можно выполнить, если задать еще по два соответственно равных
угла, прилежащих к сторонам данного прямоугольного треугольника.

Доказательство. Построенные треугольники подобны, а потому
площади их пропорциональны квадратам сходственных сторон, в частности
квадратам сторон данного прямоугольного треугольника: Sa : Sb : Sc =а2 : 62:са.
Дальнейшие преобразования будут те же, что и в предыдущей задаче; сле-
довательно, 3 л-|-Зй =3с .

Задача 10. Доказать, что сумма площадей подобных параллелограммов,
построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади
параллелограмма, построенного на гипотенузе, при условии, если стороны
данного треугольника будут сходственными сторонами в подобных параллело-
граммах.

Справедливость этой теоремы можно установить, исходя из девятой
задачи, если в ней каждый из подобных треугольников достроить до парал-
лелограмма. Тогда площади этих параллелограммов будут относиться как
квадраты сходственных сторон, т. е. как квадраты сторон прямоугольного
треугольника, что опять приведет к той же формуле.

Задача 11. На сторонах прямоугольного треугольника построить подоб-
ные многоугольники так, чтобы стороны данного треугольника были сход-
ственными сторонами в подобных многоугольниках и доказать, что площадь
многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей много-
угольников, построенных на катетах.

Итак, теорема Пифагора справедлива не только для квадратов, но и для
любых простых одноименных и подобных многоугольников, построенных на
сторонах прямоугольного треугольника при условии, если стороны данного
прямоугольного треугольника будут сходственными сторонами подобных
многоугольников.

79. ПЛОЩАДЬ КРУГА

Теория площадей в курсе планиметрии завершается изучением
площади круга и его частей. Эта тема по курсу IX класса следует
за темой «Длина окружности»; поэтому она усваивается учащими-
ся значительно легче, чем тема «Длина окружности».

Но и в этом случае преподаватель должен провести небольшую
предварительную беседу в классе, чтобы еще раз выяснить необхо-
димость прибегнуть к особым приемам для определения площади
круга: круг нельзя разбить на такие прямолинейные куски — фи-
гуры, из которых можно было бы составить какую-нибудь извест-
ную прямолинейную фигуру, определение площади которой уже
известно. Но на основе предыдущего опыта учащиеся знают, что
есть такое число — площадь, определяющее размер части плоско-
сти, ограниченной окружностью, и умеют его находить умножением
половины длины окружности на длину радиуса.

Преподаватель предлагает учащимся построить окружность,
дать определение окружности и круга, длины окружности, вспом-
нить, какая предварительная работа была проделана при изуче-
нии длины окружности (построение вписанных и описанных пра-
вильных многоугольников).

Затем он сообщает, что и в данном случае при изучении площади
круга надо воспользоваться тем же приемом: в данный круг вписать
(или около него описать) правильный многоугольник, площадь ко-
торого можно всегда определить; бесконечно удваиваем число
сторон многоугольника, определяем площадь каждого вновь полу-
ченного многоугольника и все результаты записываем, по-
лучая бесконечную последовательность чисел, измеряющих пло-
щади соответствующих многоугольников:

?1<?2<9з<9*<...<qn<... (площади вписанных многоугольников),
Qi>Q2>Q.4>Q*>--->Qn>--- (площади описанных многоугольни-
ков).

Учащиеся сами должны выяснить основные свойства каждой
числовой последовательности; а) бесконечная; б) монотонно-воз-
растающая (или убывающая); в) ограниченная (сверху площадью
любого описанного многоугольника или снизу площадью любого
вписанного многоугольника). Поэтому каждая числовая последова-
тельность имеет один и тот же предел:

Этот предел и принимается за площадь круга (lim qn=Q)',

П—> 00

площадь круга есть предел площадей (правильных) вписанных (или
описанных) многоугольников при неограниченном увеличении чис-
ла сторон их.

Формулу для нахождения площади круга учащиеся могут вы-
вести самостоятельно: Q=lim qn= Vm^pnrn = ^CR.

П-ХО П-Х»

Формула площади круга обычно имеет иной вид: Q=

Площади частей круга, в частности сектора и сегмента, уча-
щиеся выводят самостоятельно (в классе или дома). Но при этом
надо помнить, что эти понятия — сектор и сегмент — или совсем
неизвестны, или очень мало известны учащимся, так как в преды-
дущем курсе геометрии эти понятия, в сущности, не имеют никакого
применения (сегмент встречается один раз в VII классе при реше-
нии известной задачи о построении геометрического места точек, из
которых данный отрезок виден под данным углом).

Программная тема о площади круга полностью исчерпывается
в предыдущем изложении.

Но та же тема может иметь и дальнейшее развитие в порядке самостоя-
тельной работы отдельных учащихся или в кружковой работе. В частности,
можно поставить вопрос о связи теоремы Пифагора с площадью круга — за-
дача о Гиппократовых луночках.
Поводом к постановке этой задачи может послужить следующее: препо-
даватель напоминает учащимся, что в VIII классе (в порядке дополнительной
или кружковой работы) было установлено, что теорема Пифагора справед-
лива ие только для квадратов, но и для всяких подобных многоугольников,
построенных на сторонах прямоугольного треугольника (при соблюдении
известных условии). Б) дет ли она справедлива для кругов, точнее говоря,
для половин кругов, построенных на сторонах прямоугольного тре-
угольника?

Задача 1. На сторонах прямоугольного треугольника, как иа диаметрах,
во внешней области его построить полукруги* и выяснить зависимость между
площадями их (по аналогии с теоремой Пифагора).

Выполнив построение, учащиеся прежде всего должны сказать, что полу-
ченные полукруги будут подобные (значит, выполняется одно из необходимых
условий для многоугольников). Затем они определяют площади полукругов,
находят отношение площадей их и устанавливают искомую зависимость-

Sa : Sb = а3 : b2 и Sa : Sc = а2  с\

Sa 4- Sb a2+b2 с2 Sc с*
откуда	=	И

следовательно. Sa + Sb = Sc.

Итак, теорема Пифагора оказывается

когда на сторонах прямоугольного тре-

угольника построены как на диамет-
рах круги (или полукруги).

Задача 2. На гипотенузе прямоу-
гольного треугольника построить опи-
санную около этого треугольника полу-
окружность, а на катетах, как на диа-
метрах, тоже построить полуокружности,
но во внешней области и доказать,
что сумма площадей полученных «луно-
чек» (луночки Гиппократа) равна пло-
щади данного треугольника (черт. 224).

Учащиеся выполняют указанные по-

справедливой и в том случае,

строения и иа основании предыдущей

задачи записывают: (S2 4- S4) -|- (S34-S5) = Si -f- S4 4- Sa;
откуда: S2 4~ S3 = Si, что и требовалось доказать.

* Полукруги строятся вместо целых кругов только с той целью, чтобы
не загромождать чертежа.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..................................................... 3

Введение. Общие вопросы методики преподавания геометрии в сред-
ней школе ..................................................  5

1.	Задачи методики геометрии и основное содержание ее.	—

2.	Цели преподавания геометрии............................6

3.	Построение курса геометрии в средней школе............7

4.	Задачи в курсе геометрии...............................Ю

5.	.Конкретное содержание школьного курса геометрии.	29

6.	Логическое содержание школьного курса геометрии.	.	31

7.	Идея движения в геометрии и геометрические преобразо-
вания. .................................................36

8.	Научные методы, применяемые при обучении геометрии. 38

9.	Основные приемы, применяемые при обучении геометрии. . 44

10.	Средства, применяемые при обучение геометрии. ... 45

11.	Наглядность и наглядные пособия при изучении геометрии. 48

12.	Некоторые организационные вопросы.....................56

13.	Элементы политехнического обучения в курсе геометрии. 60

Г"лава I. Решение задач с геометрическим содержанием в курсе
арифметики V класса (пропедевтика геометрии) ................62

14.	Повторение геометрического материала начальных клас-
сов .....................................................63

15.	Расширение круга геометрических сведений в курсе ариф-
метики дробей............................................76

16.	Дальнейшее расширение геометрических сведений. ... 87

17.	Практические работы на местности......................97

Глава Н. Первые уроки осиэнного курса геометрии	99

18.	Введение основных геометрических понятий.............100

19.	Прямая линия, луч и отрезок..........................106

20.	Практические занятия учащихся........................112

Глава Ш. Углы................................................  113

21.	Общий обзор углов......................................—

22.	Углы с общей вершиной................................123

23.	Градусное измерение углов............................125

24.	Практические занятия.................................132

Глава IV. Перпендикулярность, параллельность и симметрия пря-
мых линяй...................................................133

25.	Перпендикулярность прямых линий......................—

26.	Параллельность прямых линий..........................135

27.	Осевая симметрия. ...................................145
Глава V. Треугольники........................................  148

28.	Общий обзор треугольников.........................• 149

29.	Равнобедренный треугольник...........................156

30.	Равенство треугольников..............................157

31.	Зависимость между основными элементами треуголь-
ника .....................................................178

32.	Решение задач иа построение	треугольников............180

33.	Перпендикуляр и наклонные	к	прямой	линии...........184

34.	Практические работы учащихся.........................187

Глава VI. Понятие геометрического места точек и решение задач
на построение ..............................................188

35.	Свойства точек окружности............................189

36.	Свойства точек перпендикуляра, проведенного через сере-
дину отрезка	.................................191

37.	Свойства точек	биссектрисы	угла......................193

38.	Свойства точек	двух	параллельных прямых.......196

39.	Введение понятия и термина «геометрическое место точек». 198

Глава VII. Четырехугольники	.................202

40.	Общий обзор	четырехугольников......................203

41.	Классификация четырехугольников .....................212

42.	Частные виды	выпуклых четырехугольников ............218

43.	Практические	занятия. ..............................236

Глава VIII. Многоугольники	. . 238

44.	Общий обзор............................................—

Глава IX. Окружности	......................................241

45.	Общий обзор	окружности..........................—

46.	Окружность и	прямая линия.........................245

47.	Окружность и	углы (измерение углов дугами окружности) 247

48.	Окружность и	треугольники.........................253

49.	Окружность и четырехугольники........................256

50.	Две окружности.......................................258

51.	Практические занятия.................................260

Глава X.	Измерение отрезков..................................263

52.	Общий обзор темы......................................—

53.	Измерение отрезков...................................265

54.	Приближенные значения длины отрезка..................276

55.	Измерение отрезков разными линейными единицами. . . 279

56.	Практическое измерение отрезков.......................—

Глава XI. Пропорциональные отрезки.............................281

57.	Порядок изучения материала..........................—

58.	Отношение отрезков...................................282

59.	Понятие о пропорциональных отрезках..................284

60.	Практическое применение пропорциональных отрезков . 293

Глава XII. Гомотетия и подобие фигур.......................... 295

61.	Порядок изучения темы...............................—

62.	Введение понятия гомотетии фигур.....................298

63.	Подобие фигур .......................................306
Глава ХШ. Метрические соотношения между элементами плоских
фигур.......................................................318

64	Общее содержание темы.................................—

65.	Тригонометрические функции острого угла п решение пря-
моугольных треугольников................................ 320

66.	Числовые зависимости между линейными элементами
прямоугольного треугольника..............................339

67.	Числовые зависимости между элементами косоугольного
треугольника ........................................... 342

68.	Числовые зависимости между элементами параллелограм-
мов. ....................................................345

69.	Числовые зависимости между отрезками в	окружности. —

Глава XIV. Правильные многоугольники и длина окружности . . . 349

70.	Общее содержание темы................................—

71.	Определение правильных многоугольников...............350

72.	Свойства правильных многоугольников..................351

73.	Построение некоторых видов правильных многоугольников
и определение длины их сторон н апофем...................353

74.	Длина окружности...................................  355

Глава XV. Площади плоских фигур................................365

75.	Общий обзор темы.....................................—

76.	Примерный план изучения темы «Измерение площади
прямоугольника»..........................................371

77.	Площади многоугольников..............................377

78-	Геометрическое истолкование теоремы Пифагора. . . . 384

79.	Площадь круга .......................................387

Василий Григорьевич Чичигин
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Редактор С. В. Пазельский
Обложка художника И. Д. Бритвенко
Художественный редактор Б. Л. Николаев
Технический редактор Г. Л. Татура
Корректоры Р. Б. Берман и Н. И. Багаева

Сдано в набор 16/1Л 1959 г. Подписано к печати 20/VIII 1959 г. 60Х92'/1б-
Печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 24,24. Тираж 35 тыс. экз. А 06668. Заказ № 298.
Цена без переплета 6 р. 55 к., переплет 80 коп.

Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Полиграфический комбинат Ярославского совнархоза,
г. Ярославль, ул. Свободы, 97.
Цена 7 р. 35 к.


БЕСПЛАТНЫЕ
УЧЕБНИКИ!
ВРЕМЕН СССР

БОЛЬШАЯ БИБЛИОТЕКА
НА САЙТЕ
«СОВЕТСКОЕ ВРЕМЯ»

sovietime.ru

СКАЧАТЬ