В. М. Уроев
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ИФ«ЯУЗА»
Москва
1998
В. М. Уроев
Уравнения математической физики. - М.. В. Секачев,
ИФ «Яуза», 1998. - 373 с.
Рецензенты:
В. П. Мясников, академик Российской академии наук
Н X Розов, профессор, доктор физико-математических наук
(кафедра дифференциальных уравнений Московского государст-
венного университета им. М. В. Ломоносова)
ISBN 5-88923-026-3
© В. М. Уроев, 1998
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................ 8
Глава I. Классификация линейных уравнений с частными про-
изводными ..............................................10
§1	. Введение. Вывод основных уравнений математической
физики.................................—.............10
§2	. Приведение уравнений второго порядка с двумя незави-
симыми переменными к каноническому виду..............17
§3	. Классификация уравнений второго порядка в точке.27
Глава II. Задача Коши и смешанная задача для волнового
уравнения ..............................................33
§4	. Задача Коши для гиперболических уравнений на плос-
кости. Формула Даламбера для волнового уравнения......33
§5	. Волновое уравнение в Rn. Энергетическое неравенство.
Единственность решения задачи Коши..............,....42
§6	. Волновое уравнение в пространстве. Формула Кирхго-
фа. Принцип Гюйгенса.............................,...47
§7	. Волновое уравнение на плоскости. Метод спуска. Фор-
мула Пуассона. Диффузия волн.........................57
§8	. Принцип Дюамеля для волнового уравнения ........60
§9	.0 корректности постановки задачи Коши для волнового
уравнения. Некорректно поставленные задачи. Пример
Адамара ..............................................66
§10	. Смешанная задача для волнового уравнения. Задача
Гурса.................................................70
§11	. Метод Фурье решения смешанной задачи для волново-
го уравнения на отрезке. Существование и единствен-
ность классического решения..........................79
3
Глава III. Задача Коши и смешанная задача для уравнения те-
плопроводности .........................................93
§12	. Уравнение теплопроводности. Принцип максимума..93
§13	. Единственность решений задачи Коши и смешанной
задачи для уравнения теплопроводности ................98
§14	. Построения функции источника для уравнения тепло-
проводности при помощи автомодельного решения .......103
§15	. Формула Пуассона решения задачи Коши для одно-
родного уравнения теплопроводности...................110
§16	. Принцип Дюамеля для уравнения теплопроводности.121
§17	. Смешанная задача для распространения тепла в полу-
ограничениом стержне ................................125
§18	. Решение смешанной задачи для уравнения теплопро-
водности иа отрезке методом Фурье. Существование и
единственность классического решения ................130
Глава IV. Некоторые свойства оператора Лапласа. Функции
Бесселя и нх применение................................142
§19. Ортогональность собственных функций симметрично-
го оператора. Формулы Грина для оператора Лапласа.
Правильная нормальная производная. Симметричность
и положительная (неотрицательная) определенность
оператора с граничными условиями Дирихле
(Неймана)......................................142
§20	. Дифференциальное уравнение Бесселя. Неограничен-
ность в нуле общего решения. Функции Бесселя первого
рода...............................................152
§21	. Существование счетного числа нулей функции Бесселя
первого рода. Ортогональность функций Бесселя .....160
§22	. Решение смешанной задачи для уравнения теплопро-
водности в круге...................................166
Глава V. Первоначальные сведения об уравнении Пуассона.
Задача Дирихле в R2.................................173
4
§23	. Уравнение Пуассона. Принцип максимума для гармо-
нических функций. Корректность постановки внутрен-
ней задачи Дирихле ................................173
§24	. Решение задачи Дирихле для уравнение Лапласа в
круге в случае непрерывной граничной функции. Крае-
вые задачи в кольце ...............................178
Глава VI. Элементы теории обобщенных функций ........190
§25	. Обобщенные функции. Пространства D и Dz. Диффе-
ренцирование в Dz..................................190
§26	. Пространство Шварца S. Пространство Sz. Преобразо-
вание Фурье .......................................200
§27	. Прямое произведение и свертка обобщенных функций .210
§28	. Фундаментальное решение линейного дифференци-
ального оператора. Фундаментальное решение операто-
ра Лапласа в R3....................................222
§29	. Фундаментальное решение задачи Коши для простей-
ших эволюционных уравнений ........................226
§30	. Фундаментальное решение задачи Коши для уравне-
ния теплопроводности...............................233
§31	. Фундаментальное решение задачи Коши для волново-
го уравнения ......................................236
Глава VII. Свойства гармонических функций. Задача Пуассо-
на. Задача Дирихле в R3..-...........................241
§32	. Оператор Лапласа в сферических координатах. Инте-
гральное представление для гладких функций.........241
§33	. Гармонические функции: бесконечная дифференци-
руемость, теорема о среднем, принцип максимума, тео-
рема о стирании особенности........................249
§34	. Функция Грииа задачи Дирихле. Симметричность
функции Грина. Решение задачи Дирихле с помощью
функции Грина......................................256
§35	. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в ша-
ре (интеграл Пуассоиа). Преобразование Кельвина..263
5
§36- Регулярность гармонической функции на бесконечно-
сти. Задача Пуассона; единствениость решения, форму-
ла Пуассона......................................270
§37	. Собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами
на двумерной сфере (сферические функции)...........276
Глава VIII. Теория Фредгольма для интегральных уравнений ....292
§38	. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с
вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма .............292
§39	. Интегральные уравнения с малым непрерывным
ядром. Ряд Неймана. Резольвента и резольвентное ядро ...303
§40	. Интегральные уравнения с непрерывным ядром. Све-
дение к уравнениям с вырожденным ядром. Теоремы
Фредгольма.........................................312
§41	. Симметричность интегрального оператора с эрмито-
вым ядром. Теорема Гильберта-Шмидта для истокооб-
разно представимых функций ......................  319
Глава IX. Задача Штурма-Лиувилля......................328
§42	. Функция Грииа оператора Штурма-Лиувилля......328
§43	. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному
уравнению с эрмитовым ядром .......................341
§44	. Свойства спектра задачи Штурма-Лиувилля. Теорема
Стеклова...........................................347
Глава X. Решение краевых задач для уравнения Лапласа в R3 с
помощью потенциалов простого и двойного слоя..........350
§45	. Постановка основных краевых задач для уравнения
Лапласа в R3. Вопросы единственности.............350
§46	. Потенциалы простого и двойного слоя и их свойства
(без доказательства). Потенциал двойного слоя в случае
постоянной плотности...............................354
§47	. Сведение внутренней задачи Дирихле и внешней зада-
чи Неймана к интегральным уравнениям. Применение
теории Фредгольма..................................363
6
§48	. Сведение внешней задачи Дирихле и внутренней зада-
чи Неймана к интегральным уравнениям. Потенциал Ро-
бэна...............................................366
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга является развернутым конспектом лекций, читаемых ав-
тором для студентов третьего курса Московского физико-
технического института (МФТИ) в 1991-1998 гг.
Автор старался не выходить за рамки реально прочитанного на
лекциях материала, что позволяет рассчитывать на доступность
книги для читателя, знакомого с математикой в объеме двух пер-
вых курсов технического университета. В книге некоторые теоре-
мы приведены без доказательства, что обусловлено стремлением
сделать текст доступным для первого знакомства с уравнениями
математической физики. Вместе с тем изложение ведется строго, и
в тех случаях, когда автор ие имел возможности привести полное
доказательство, возникающие трудности не игнорируются.
Вниманию читателя предлагается много примеров, иллюстри-
рующих теоретический материал и знакомящих с различными тех-
ническими приемами. Все задачи, большинство из которых пред-
лагались на письменных экзаменах в МФТИ, приведены с реше-
ниями.
Пользуюсь случаем выразить искреннюю благодарность за по-
мощь в подготовке книги к печати Андрею Евгеньевичу Бибичеву,
взявшему на себя труд по редактированию рукописи.
Естественно, что у читателя возникнет потребность в более
глубоком изучении тех или иных фрагментов излагаемого мате-
риала. В таком случае целесообразно обратиться к классическим
учебникам и монографиям, и, прежде всего, тем, что определили
основное содержание программы:
1.	Ж Адамар, Задачи Коши для линейных уравнений с частны-
ми производными гиперболического типа, “Наука”, 1978;
2.	В. С. Владимиров, Уравнения математической физики,
“Наука”, 1975,
3.	В. С. Владимиров, Обобщенные функции в математической
физике, “Наука”, 1976;
8
4.	И М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщенные функции, вып. 1-
3, Физматгиз, 1958;
5.	0. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики,
“Наука”, 1973;
6.	И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными произ-
водными, Физматгиз, 1961;
7.	С. Л. Соболев, Уравнения математической физики, “Наука”,
1966;
8.	А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической
физики, “Наука”, 1972.
В. М. Уроев
Январь 1998 г.
Глава!
Классификация линейных уравнений с
частными производными
§1. Введение. Вывод основных уравнений
математической физики
1.1.	Основные обозначения и понятия. На протяжении всего
курса будут использоваться следующие обозначения и понятия.
1)	Числовые множества:
N множество натуральных чисел;
Z множество целых чисел;
R множество действительных чисел;
С множество комплексных чисел;
Элементы множества Rn обычно будем обозначать через
х = (х1,...,хп), |х| == ^ )%-...+(хп)2
2)	Линейные операторы. Пусть Е, и Е2 — линейные простран-
ства над полем действительных (комплексных) чисел. Оператор А,
отображающий пространство ЕА в пространство Е2, называется
линейным, если для любых элементов ф и ijj пространства Ft и
любых действительных (комплексных) чисел и справедливо
равенство:
А(ссф + Ру) = осА(ф) + рА(у)
Замечание 1, Часто для краткости вместо А(ф) пишут А(р
Замечание 2. Если Е( =R (С), то оператор называется функ-
ционалом и обозначается, как правило, строчными латинскими
буквами J, g и так далее.
Умножение оператора на число и сумму операторов определя-
ют естественным образом. А именно, пусть а действительное
(комплексное) число, тогда под оператором ссА понимают опера-
тор, действующий по правилу
(схА)(ф) = а(Аф), ср е Ej.
Суммой операторов А и В, действующих из Ei в Е2, называется
оператор А + В, действующий по правилу
(А+ВХф) = А(р + Вф, у е Ej.
Таким образом, множество линейных операторов, действующих из
Е, в Е2, является линейным пространством. Более того, в §39 бу-
дет введено понятие нормы оператора.
Образ линейного оператора Л:
Im А ~ {у е Е2 : Вер е Е^, А® = у) g Е2
Ядро линейного оператора Л:
КегА = {ср е Е1 : А<р = 0} cg
Очевидно, что 1mA и КегА линейные многообразия.
Обратный оператор: если для любого элемента у из 1mA су-
ществует единственный элемент ф из Е; такой, что А(р.= у, то
определяют обратный оператор А'1, отображающий 1mA на Е^
по следующему правилу: у g 1mA переходит в ф еЕ. такой, что
Аф = у . Корректность данного определения и линейность обрат-
ного оператора легко проверяются.
Пусть определен дополнительно линейный оператор С, отобра-
жающий пространство Е2 в некоторое линейное пространство Е3.
Тогда определяют произведение СА операторов А и С, как компо-
зицию:
(СД)(<р) = С(Ар), <реЕ,.
Если Е2 совпадает с Е,, то в этом случае выделяют тождест-
венный оператор Е:
Ер ~ (р, ф g Е,.
В этом же случае определяют возведение оператора А в степень р,
II
10
p G N u {0}:
Лр-A^5, peN,
A° = E
Если 1тД = £( и существует обратный оператор А1, то можно
определить А~р = (Д1)₽, р g N
Пусть Е| и Е2 - линейные топологические пространства. Тогда
оператор Л, отображающий Ej в Е2, называется непрерывным,
если из сходимости последовательности 1 к ср в Ft следует
сходимость Apfc->Ap, к в Е2, где сходимость понимается в
смысле соответствующей топологии.
Из определений непосредственно вытекает следующее
Утверждение 1. Для пространств конечной размерности из ли-
нейности оператора следует его непрерывность.
Замечание 3. Далее, на протяжении курса, по мере необходимо-
сти будут приводиться различные элементы из теории линейных
операторов.
3)	Дифференциальный оператор Da Пусть G область в R",
а = (а1,...,ап) - мульти-индекс (упорядоченный набор неотрица-
тельных целых чисел), |а| = а’+...+ап. Через Da обозначим ли-
нейный дифференциальный оператор, действующий из A£(G) в
A/(G) следующим образом'):
£>“ f{x) = ±	) f е zGx
Пример 1. Оператор Лапласа " Д ” (лапласиан)
') Класс C(JVf) - множество функций, непрерывных на множестве McRr;
С“ (М) множество функций й(х), имеющих непрерывные на М производные
вплоть до адх)-
12
n
д. = У-^ • = D12-0-0». -Г...+D10 °a ..
£(axf
Здесь и далее мы будем использовать точку (• ) для обозначения
произвольной допустимой функции, на которую действует диффе-
ренциальный оператор.
4)	Уравнение с частными производными. Общий вид уравнения
с частными производными выглядит следующим образом:
F(x,jXx),D-tXx),...,D“"o(x)) = 0, xeGcR", (1.1)
где м(х) - искомая функция, F - действительнозначная функция,
определяющая вид уравнения, а,,..., ат — мульти-индексы
Как правило, уравнение (1.1) рассматривается в совокупности с
начальными и (или) граничными условиями и требованиями иа
гладкость функции и, о чем речь пойдет чуть позже.
Общепринятой является следующая терминология.
Главная часть уравнения (1.1) - совокупность старших произ-
водных.
Порядок уравнения (1.1)- порядок старших производных.
Линейное уравнение с частными производными - уравнение
вида (1.1), линейное относительно функции и и частных производ-
ных D и
Квазилинейное уравнение с частными производными — уравне-
ние вида (1.1), линейное относительно главной части.
В нашем курсе мы будем рассматривать только линейные урав-
нения второго порядка
л	о2	п	о
£a“(x)^77U(x) + ^bi(x)—i-ii(x) + c(xMx)= f(x). (1.2)
Sa SX	Sa
Уравнение (1.2) c f(x) = 0 называется однородным
1.2.	Основные уравнения. В этом пункте мы рассмотрим три
основных уравнения математической физики.
1) Волновое уравнение. Пусть длинная струна совершает плос-
кое поперечное колебательное движение. Положение такой струны
в каждый момент времени t можно задать функцией н(хД). Обозна-
чим через Дх) - горизонтальную составляющую натяжения нити,
- линейную плотность нити, f(х, t) — линейную плотность попе-
13
речной составляющей внешних сил, действующих на нить. Тогда
Т(х) — Г — константа, так как нить совершает поперечные колеба-
ния. Уравнение движения участка [х; х + 6] принимает вид:
Twx(x + 6, t) - Тих(х, t) + 7(x, f)S + o(S) = pww(x, OS.
Деля это выражение на 6 и переходя к пределу при 6 -> 0, по-
лучаем уравнение колебаний струны
цДх, 0 = а2Ца(х, 0 + Н*. 0. х € (Xil *2)» О .3)
2 Т" /	f /
где а — у постоянная, характеризующая нить, f = у .
/г	/г
(х,;х2) - область локализации струны ( -оо < х1 < х2 < +°о ).
Забегая вперед, отметим, что уравнения такого вида относятся к
гиперболическому типу (см. §3).
Если рассматривается струна, имеющая конец (концы), то есть
или (и) х2 конечны, то необходимо добавить уравнения, опре-
деляющие движение конца (концов), так называемые граничные
условия. Простейшими примерами граничных условий для х = ху
могут служить следующие:
а)	закрепленный конец:	t) = const;
6)	свободный конец: ux{xpt)&0 (поперечная составляющая
силы, действующей на конец, равна нулю);
в)	упругое закрепление: их(хи t) = ku(xv t), А>0.
14
Обобщением уравнения (1.3) является волновое уравнение в п-
мерном пространстве:
t/w(x, 0 = azAxu(x, f) + f(x, 1), х е G с Rn, (1.4)
где G — область, в которой рассматривается волновой процесс,
оператор Лапласа “Ах” относится к пространственным перемен-
п дг
ным х: Ьхи(х, 0 = £ 7“—2 °(х’ О
/=1 13x4
При П = 2 уравнение (1.4) описывает колебания тонкой мем-
браны, L^x’.x2,^ в этом случае имеет смысл поперечного откло-
нения от положения равновесия.
При п = 3 уравнение (1.4) описывает распространение элек-
тромагнитных или звуковых волн в пространстве, Цх^х^х3/)
есть напряженность поля или плотность среды соответственно.
Волновой процесс в неоднородной среде описывается уравне-
нием колебаний
д(х)цДх, t) = div(p(x) • gradiXx, t}) - ф()и(х, t) + f (x, t), xgG,
где G область в Rn, g> 0, p > О и9 характеристики среды,/
функция, описывающая внешнее воздействие.
2) Уравнение теплопроводности. Рассмотрим в пространстве
Rn область G, занимаемую веществом с плотностью р > 0, коэф-
фициентом теплопроводности к 0 и теплоемкостью О 0. Пусть
F(x,f) ~ зависимость мощности источников тепла, расположенных
в G, от времени t. Тогда для любой области О с G с границей dD,
являющейся гладкой поверхностью ’), мы можем записать закон
сохранения теплоты Q в этой области за промежуток времени
[U + 6]:
Q(t + 8) - Qit) = Jcp(t<x.Z + 8) - u(x,t))dx =
D
') Для краткости мы не будем различать понятия поверхности и носителя по-
верхности.
15
= j dt [k^-ufx.tjds, + jdt|F(x.l)dx,
t дО	t D
где u(x,t) - температура в точке x в момент времени t,n- внешняя
(по отношению к D) единичная нормаль, dsK - элемент поверхно-
сти, описываемый радиус-вектором х - (х1,..., хп j, dx - dx1... dx"
— элемент объема, — • -{п, grad •) нормальная производная.
оп
Если предположить достаточную гладкость функции u(x,t), то,
воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, получаем:
f+5
Jdt J[k • div(gradt4x> 0) + F(x, t)]dx - Jcp(u(x, t + 8) - u[x, t))dx
t D	D
Деля это выражение на 8 и переходя к пределу 8 —> 0 под зна-
ком интеграла (также в предположениях достаточной гладкости
подынтегральных функций), найдем:
Jсрц(х, t)dx - J[/c • div(gradu(x, t)) -г F(x, f)]dx.
D	D
Поскольку это равенство справедливо для произвольной облас-
ти D G, то должно выполняться
ц(х, 0 == a2div(gradu(x, 0) + f(x, Г), х е G,
где а2 = У f(x,t) = e?F(x,t)
Учтем, что div(grad •) = Дх •, тогда получаем уравнение теп-
лопроводности:
Ц(х, 0 - агДки(х, t) + f(x, 0, х е G.	(1.5)
Это уравнение относят к параболическому типу (см. §3).
Простейшими примерами граничных условий могут служить
следующие:
а)	задана температура иа границе: и(х, t)|KeaG = Ц,(х, t) - краевое
условие типа Дирихле (первого рода);
б)	задай поток на границе: — и(х, t) ~ ц(х, Г) - краевое ус-
ловие типа Неймана (второго рода);
16
в)	задан	процесс	теплообмена иа границе:
к— ц(х, 0 - (Дх, 0	= и2(х, Г) - краевое условие третьего рода.
_ dn	Jxg<?G
Уравнение (1.5) описывает также процесс диффузии, причем
ц(х, 0 в этом случае имеет смысл концентрации.
Процессы распространения тепла и диффузии в неоднородной
среде с характеристиками д> 0, р > О ид описываются уравне-
нием
д(х)ц(х,0 = div(p(x)• gradufx,t))-<Ми(х,t) + f(x,t), xgG
(уравнение диффузии}.
3) Уравнение Пуассона. Рассмотрим стационарное
( ц(х, 0 = и(х), f(xt t) s f(x) ) уравнение (1.5):
-Au(x) = F(x)	(1.6)
Уравнение (1.6) называется уравнением Пуассона. Оно описы-
вает, например, потенциал электростатического поля и(х) при за-
1
данной плотности зарядов —F(x) и обычно рассматривается в
4л
совокупности с краевыми условиями типа Дирихле и Неймана
(задачи Дирихле и Неймана соответственно)
Уравнение (1.6) относят к эллиптическому типу (см. §3)
В случае, когда F(x) s 0, уравнение (1.6) называется уравнени-
ем Лапласа.
Определение 1. Пусть G область в Rn. Функция и(х) называ-
ется гармонической в G, если и(х) е C2(G) и Дц(Х) = 0 в G.
§2. Приведение уравнений второго порядка с двумя
независимыми переменными к каноническому виду
2.1.	Канонический вид. В предыдущем параграфе были полу-
чены основные уравнения математической физики, главные части
которых для случая двух переменных х, у (х,у R) имеют вид:
а)	им - а2^ для волнового уравнения (а 0);
б)	для уравнения теплопроводности;
17
в)	uw + uw для уравнения Пуассона.
Замечание 1. Коэффициент а без ограничения общности можно
считать равным единице (производя замену у на у/a, этого всегда
можно добиться).
Определение 1. Вид квазилинейного уравнения второго порядка
с двумя независимыми переменными, в котором главная часть
имеет один из вышеперечисленных видов, называется канониче-
ским.
Возникает вопрос о приведении произвольного (ква-
зилинейного уравнения второго порядка к каноническому виду в
некоторой окрестности заданной точки (х0, у0)
Основное утверждение данного параграфа состоит в том, что
для случая двух переменных это приведение почти всегда можно
сделать (смысл слова “почти” будет раскрыт ниже).
2.2.	Уравнение характеристик. Рассмотрим общий вид квази-
линейного уравнения второго порядка в R2:
Ах. у)и„(х, У) + 2В(х. У>МХ- У)+ С<х' У)°ДХ- °> +
+ F(x,y,u,ux,ux) = 0	(2.1)
Метод приведения к каноническому виду естественно искать,
опираясь на опыт работы с простейшими уравнениями. Например,
рассмотрим уравнение с главной частью вида	в про-
стейшем случае:
M4.n) = 0,(^,n)eR2
Его общее решение представляется в виде суммы двух произволь-
ных дважды непрерывно дифференцируемых функций:
^.п) = /(О + Лп)
Именно к виду v£n(^,Tj) и постараемся привести главную часть
уравнения (2.1).
Сделаем невырожденную замену переменных:
£ = 4(КУ), П-П(КУ);	(2.2)
18
где V малая окрестность точки (х0, у0).
В этом параграфе мы будем считать, что функции А. В. Си и
принадлежат классу С2(С/), причем А Ф 0 в U.
Введем обозначение v(£, т)) - Цх(£, л)>	л)) - Здесь
х = х(£,т]), у-	обратная замена (существует, поскольку
исходная замена является невырожденной).
Остановимся подробнее на технике дифференцирования. Пра-
вило дифференцирования сложной функции дает
a t а д
8х*~^х дС+Г]х дг]*’
д с а а
л * Ьу гзе * +Лу -у, * •
8у а^ ал
(2.3*)
(2.3**)
Дифференцируя повторно, заметим, что в случае линейной связи
между (4, л) и (х> У) правила перемножения многочленов и диф-
ференцирования совпадают: выполняются коммутативность опе-
раторов дифференцирования между собой и с константами, ассо-
циативность и дистрибутивность (производная суммы равна сумме
производных). По этой причине для нахождения главной части
уравнения относительно v(tj) достаточно формально возвести в
квадрат выражения (2.3*) и (2.3**) (дифференцирование коэффи-
циентов £х, £у, т]х и т]у даст только множители при производных
первого порядка):
а2 _ е2 82	&	2 а2 . . а , . а
ах2* aV *+	*+11’aq2 * + ” аг, *^"’ а^*’
=	„ а2 , , 2 а2 т ,, ,8. JL..
8/ ^av ^"a^ari Пкап2 (’”а;	’
а2 _. . а2 /с Е \ а2 а2
ахау’ aV ‘	+ а^ап * +’’х’1*' ап2 ’+
Следовательно, в результате произведенной замены (2.2) урав-
нение (2.1) примет следующий вид:
19
п)Цй + 2^» лНп +	т1)% + П.Ч vv vn) = °’ (23)
где	а=Д42х + 2^Лу + ^,
^эхЛх ®(^эхЛу **” ^эуПх) + ^эуПу>
с== A^ + 2Brixny + CnJ;
ф(^, л, V, V4, vq) = F(x, у, и, и„ ц,) + (...)*,+ (... )v„
(конкретный вид функции здесь нам не интересен, так как важна
только главная часть уравнения).
Согласно высказанной выше идее потребуем, чтобы а - 0 и
С = 0в1/:
А К у)^(х, у) + 2В(х, у^,(х, у)у х, у) + С(х, у)^(х, у) = О,
Ax,y)nJ(x,y) + 2В(х,У)»1х(х.ИМ^У) + С(х,у)пу(х.у) = 0.
Таким образом, надо найти в классе C2(U) два решения fy(x,y) и
f2(x, у) уравнения
А*. И Г 2(х, у) + 28(х, у) 4(х, У) fy(x, У) + С(х, У) f*(x, у) = 0, (2.4)
для которых якобиан
(а
(О.
(О,
(Ч
* 0 в U. Тогда, сделав замену
£, = ^(х,£,), т] = 4(хЛ), мы получим уравнение
=	(2.5)
где $ = -%,.
Замечание 2. Если а(х, у) = 0 и с(х, у) = 0 в U, то ни в какой
точке окрестности U коэффициент Ь(х, у) ие равен нулю, так как
иначе бы получили, что в результате невырожденной замены урав-
нение второго порядка перешло в уравнение первого порядка
Как описать новые координаты? Нужно найти зависимость ме-
жцу переменными хну вдоль координатных линий = cond и
Т] = cons?
Определение 2. Уравнение (2.4) называется уравнением харак-
теристик для уравнения (2.1). Характеристиками уравнения (2.1)
20
называются линии уровня решения f(х, у) уравнения (2.4), то есть
кривые, задаваемые равенством f(x, у) = const.
Вдоль характеристики полный дифференциал решения f(x,y)
уравиеиия (2.4) равен нулю:
df= fxdx + fydy=O,
откуда получаем, что f(x, у) = const вдоль решений уравнения
Д(х, уХФ)2 - 2В(х, tfdxciy + С(х, y)(cfc)Z = 0.	(2.6)
Замечание 3. Уравнение (2.6) также называют уравнением ха-
рактеристик. Мнемоническое правило записи этого уравнения сле-
дующее: взять главную часть уравнения (2.1) и заменить в ней
производные по одной переменной на дифференциалы другой пе-
ременной, при этом изменив знак иа противоположный при сме-
шанной производной, и все это приравнять нулю.
Если fx t 0 в окрестности U (или в некоторой меньшей окре-
стности), то уравнение (2.6) можно переписать в следующем виде:
лГ—1 -2В~ + С = 0.	(2.7)
\dx) dx
dy
Это квадратное уравнение относительно — с дискриминантом
D = 4В2 - 4АС. Возможны следующие варианты:
1) существует окрестность Vточки (х0,у0) (V U), в которой
а)£»0,
б) D О,
в) £><0;
2) D(x0lyo) = 0 и в любой окрестности точки (х0, у0) дискри-
минант D отличен от тождественного нуля.
Рассмотрим каждый случай в отдельности
1.а) £)>0. Тогда существуют два корня квадратного уравнения
(2.7):
dy = B{xty}-^D(x,y) dy = 6(x,y) + ^D(x,y)
dx Д(х, у) ’ dx Д(х, у)
В правых частях стоят функции из класса CZ(V). Из курса диффе-
21
ренциальиых уравнений известно, что для таких уравнений суще-
ствуют первые интегралы ^(х, у) = consf и /^(х.у) = из того
же класса, и, следовательно, существует замена переменных
£ = А(ХЛ). И = f2(x,£), причем
Пх Пу Зу ду А
Это и есть искомая замена, переводящая уравнение (2.1) в урав-
нение (2.5) в окрестности V. Для приведения уравнения (2.5) к ка-
ноническому виду
= Н(а-₽. wa. И0	(2.8)
достаточно положить w(a, р) = v(a + р, a - р), то есть перейти к
£ + И £ - т|
новым переменным a = и р ~	1 .
Замечание 4. Вид уравнения (2.5) иногда называют первым ка-
ноническим, а уравнения (2.8) - вторым каноническим.
1.6)	D 0. Аналогично случаю 1,а мы можем найти функции/ и
fi, но только в этом случае они будут линейно зависимы, поскольку
D 0. Сделаем замену переменных £= ^(х, £,), Л~П(ХЛ)» где
функция (х,у) выбирается произвольным образом из соображений
невырожденности замены. Тогда уравнение (2.1) перейдет в урав-
2/Х^пНп +С^.П)% + Ф(^ц,ц^,к1]) = 0.
Заметим, что функции А и С одного (для определенности неотри-
цательного) знака, так как АС = В2 > 0. Следовательно, справед-
лива следующая цепочка равенств
ь =	* б(^хПу £уПх) + <^уП, =
= (VAj, ± Va,y)(jAqx ± Vcn,).
Здесь знаки “+” или “ ” выбираются в зависимости от знака коэф-
фициента В ( В = +у/АС ). В силу уравнения характеристик (2.4)
первый сомножитель в последнем выражении для b равен нулю:
(^х ± 4с^ =	+ 2В^Лу + се, = 0.
22
Итак, b - 0, и мы получили уравнение канонического вида:
v =-ф/.	(2.9)
11 /с
1	.в) DO. Как и в случае 1 .а квадратное уравнение (2.7) имеет
два различных корня, но уже комплексных:
dx = В(х.У)-'-Л|Р(х.У)| dx = B(x,y)+iyll\D(x,y)\
dy А(х, у) ‘ dy А(х, у)
Тогда функции £, = f^x, у) и т] = f2(x, у) можно выбрать так, что
они будут комплексносопряженными, и в новых, уже действитель-
ных, координатах
1+л п_
2 ’ Р 21
а =
уравнение (2.1) примет канонический вид
+ W№ = %) • (2J°)
2	) Если D(x0, у0) = 0 и в любой окрестности точки (х0, у0) есть
точка, в которой D 0, то уравнение (2.1) можно привести к канони-
ческому виду только в точке (х0, у0) (см. §3).
Пример 1. Уравнение Трикоми: им + ХЦ^ = 0.
Для х>0 в соответствии с 1.в оно приводится к каноническому
ВИД}
1
+ и + — и = 0
чп 3-q 1
т| < 0
Для к<0
Чп
- иГ] I = 0, £>tj. При х = 0 уравнение Трикоми
уже имеет канонический вид, но ии в какой окрестности точки с
нулевой абсциссой оно не может быть приведено к каноническому
виду.
Замечание 5. Для случая большего количества переменных та-
кое приведение (в некоторой окрестности точки) в общем случае
сделать нельзя (см. [6]). В следующем параграфе будет показана
возможность такого приведения в точке.
Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение
X2U„ - 2хуи^ + (/ - 4)и„ + 2уц, = -64Х3, (х, у) е R2.	(2.11)
Решение. Воспользовавшись замечанием 3, запишем уравнение
23
характеристик:
х2(ф)2 + 2xydxdy+ (у2 - 4)(dx)2 - 0.
Предполагая, что вдоль характеристик dx Ф 0, перепишем это
уравнение в следующем виде:
х2(—| + 2ху—+у2-4^0	(2.12)
\dx) dx
Далее вычисляем дискриминант полученного квадратного уравне-
ния*
D/4 = (ху)2 - х^у2 - 4) = (2х)2.
Заметим, что на прямой х = 0 реализуется ситуация 2), так что
приведение к каноническому виду возможно лишь в каждой из
полуплоскостей х<0 и х > 0. В них D > 0 и существует два
различных решения квадратного уравнения (2.12):
^ = _У^2М^ = _У±2.	(2.13)
dx х dx х
Разделяя переменные и затем интегрируя, получаем
lrjy± 2| - - 1п|х| + С,
откуда следует связь между у и х для решений каждого из диф-
ференциальных уравнений (2.13):
х(у- 2) = Ct и х(у+ 2) = С2,
где Ct и С2 произвольные константы. Следовательно, функции
^(х,У) = Ау-2) И f>(x,y) = х(у+ 2)
постоянны для каждого решения у= у(х) соответствующего
уравнения (2.13), поэтому эти функции можно использовать для
замены переменных:
Е, = х(у-2), ч = х(у+2).	(2.14)
Замечание 6. Очевидно, выбор новых переменных неоднозна-
чен. Можно было бы положить = й(^(х.У)), Ч = йг(4(х.У)). где
й и д2 произвольные строго монотонные дважды непрерывно
дифференцируемые функции одной переменной.
При замене (2.14) производные преобразуются следующим об-
разом:
24
|- = (у-2)^.+(у+2)-|-.,
дх	от]
д д д
--• = X	«+х	•,
ду------------th]
= (у- 2)2^-. +(У+ 2)2^-. +2(/ - 4)-g- .,
дх	д£>	дц	ctyh]
д2 г S2 г 5г г, 2 В2
—-• = х—=-• +х—=-• +2х--------• ,
а/ а^2 ап2 а^п
а2 , оч а2 ,	ох а2	о а2	а а
ахау у aV ап2 а^ а^ ап
Найдем уравнение, которому будет удовлетворять функция
Л) - и(х(£, Л)» И£» Л)) • В соответствии с теорией, коэффициен-
ты при и vnJl равны нулю. Вычислим остальные коэффициен-
ты:
ПРИ	4х2(/ - 4) + 4х2/ = 16х2 - (л -	;
при	2ху-2ху=0;
при	2ху- 2ху- 0.
В итоге получаем уравнение
(л-£)Ч=01-«3,
или
Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение
х2^ + 2хуоху - Зу2^ - 2хих - 0, (х, у) е R2	(2.15)
Решение. Уравнение характеристик имеет вид
x2(dy)2 - 2xydxdy~ Зу2^)2 = 0,
откуда
(xdy- 3ydx)(xdy+ ydx) = 0.
В каждой из полуплоскостей х > 0 и х < 0 уравнение имеет ги-
перболический тип, так как есть два семейства характеристик
У ~ Их), вдоль которых выполняются дифференциальные уравне-
25
НИЯ
/ - — или / = -~
X	X
соответственно. Следовательно, для первого семейства у- Ctx3, а
для второго у - С2Х~1. Здесь Ct и Сг произвольные константы,
включая ноль. Именно их значения на характеристиках и можно
взять в качестве значений новых переменных:
^ = ^-,п = ху.
Подчеркнем, что как и в предыдущем примере (замечание 6), этот
выбор неоднозначен. Найдем как преобразуются производные,
д2 д2
учитывая, что коэффициенты при —? • и —• можно не вычис-
ап
лять, так как в соответствии с теорией в уравнении для функции
л) -	будут отсутствовать производные и
д	Зу д д
дх	х4а^ 'ап
а 1 а а
--• — —Z--• +Х--• .
ву х3 ап
а2	а ( Зу е a 'I . . а2	, . а2
вхду	ау\ х* ап ) st,2 ап2
Гу зу\ a2 f за^ а^
Чх3 x’Ja^an* х4а^**ап*’
a2 =_5_f_3y_5.	_£.)=/ >52 с <82
ax2*“axl x4a^*Tyan*4l",aV+l” on2
6/ а2 12у а .
х4 а^ап*+ Xs а^*’
a2	afia	a 'l	, . а2	, . а2	2 а2
а/	aylx3 а^	а^ )	а%2 а^	х2 a^aq
26
В результате подстановки этих соотношений в уравнение (2.15)
получаем, что функция rj) удовлетворяет уравнению
,12у о 3 _ Зу)
- 2ху-т + 2х-т- к +
Xs /	5
или
16/	12у п
—.—±— I/ j__— v — О
х2 % X3	’
откуда
-3v{ = 0.
§3	. Классификация уравнений второго порядка в точке
3.1.	Соответствие с квадратичном формой. Рассмотрим те-
перь случай произвольного количества переменных и дадим клас-
сификацию уравнений второго порядка в точке.
Как и в предыдущем параграфе рассмотрим (квазилинейное
дифференциальное уравнение второго порядка, но уже для произ-
вольного количества переменных:
П	о2
+	f(x), xeG, (3.1)
i
где G область в Rn, в которой рассматривается уравнение (3.1),
и е C2(G). Для определенности полагаем, что а*7 (х) = а7/(х) ’).
Выберем и зафиксируем произвольную точку Хо е G. Тогда ко-
эффициенты а'7 =? а7(х0) - это фиксированные числа. Далее рас-
смотрим главную часть уравнения (3.1)
п о2
(3.2)
’) Вид уравнения зависит только от суммарных коэффициентов а1' + а*', так
как _и. .. — ... и... в силу гладкости функции и.
d>W dxW
27
« V	d
Заменим операторы дифференцирования —j символами t(,
дх
i - 1,..,, n, которые мы будем трактовать как действительные пе-
ременные:
n
(33)
Это квадратичная форма. Ее можно привести к каноническому
виду (например, методом Лагранжа выделения точных квадратовi
А именно, существует невырожденная квадратная матрица ||s?p|,
п ’
определяющая линейную замену тр = ^dptt, р ~ 1.п, то есть

Tn|
(3.4)
(3.5)
такую, что квадратичная форма (33) в результате этой замены
переходит в квадратичную форму
п
Ёьв,тл>>
где Ьт - 0 при р
Оказывается, что при помощи матрицы ||^р|| можно построить
замену переменных в уравнении (3.1), которая приведет главную
часть (3.2) к виду
п
Я (а^)2
Посмотрим, как преобразуются операторы дифференцирования
при невырожденной достаточно гладкой замене переменных
= ^(х1,...,х”), р = 1,...,п:
—= У EPJ—/ = 1........п,
ax' й
(3.6)
или
28
%=ЁУТ₽>,=1....n
P=1
Здесь операторы дифференцирования заменены на символы
д^р
тр. Учтем далее, что замена является невырожденной, и, следова-
тельно, существует обратная замена переменных	,
i = 1,..., п, для которой можно записать
--«•=?	---г», р-1,-..,П,
& ^дх1 и
или
гР = ^Л’ ₽ = 1-.П-	(3.7)
/=1
Если замена переменных х = х(£) линейна и описывается матри-
чей ||4,||:
(3-8)
дх1
то — =
д^р
sfp, и выражения (3.4) и (3.7) совпадают.
Остается только заметить, что главная часть уравнения преоб-
разуется по тем же законам, что и квадратичная форма (в силу
правил повторного дифференцирования, которые обсуждались в
§2).
Итак, доказано следующее
Утверждение 1. Главная часть (3.2) уравнения (3.1) преобразу-
ется при замене переменных (3.8) как квадратичная форма (3.3)
при замене переменных (3.4).
3.2.	Классификация. Преобразуем главную часть уравнения
(3.1) в точке х0 е G к виду (3.6).
Определение 1, Если все коэффициенты отличны от нуля и
имеют один и тот же знак, то уравнение (3.1) в точке х0 относится
29
к эллиптическому типу; если все Ь" отличны от нуля, но есть Ь"
разных знаков, то - к гиперболическому типу; если есть Ь” равные
нулю, то - к параболическому типу.
Здесь необходимо сделать следующие замечания.
Замечание 1. Приведенная классификация зависит от точки
х0 е G. В общем случае нельзя гарантировать даже то, что урав-
нение (3.1) имеет фиксированный тип в сколь угодно малой окре-
стности точки Хо (см. §2).
Замечание 2. Корректность определения 1, то есть независи-
мость от матрицы ||^|, непосредственно следует из закона инер-
ции квадратичных форм.
Замечание 3. Геометрический смысл определения легко понять,
рассмотрев в случае двух переменных кривые на плоскости, зада-
ваемые уравнением d’tjtj = consf.
<J=1
Пример 1. Определить тип уравнения с главной частью
uv + 2uv v + 2ихv + 2и^ - 3wv, х g R3.
Решение. Приведем соответствующую квадратичную форму к
каноническому виду методом Лагранжа выделения точных квадра-
тов:
+ 2t,t2 - 4(,t3 - 2уз + 2t22 - 3t2 = (t, +t2 - 2f3)2 + 6f2t3 + t22 -
-7f2 = (t, + t2 - 2f,)2 + (t2 + 3t3)2 - 16t2 = t,2 + t2 - t2 ,
где
1 0 0
Тз|! “ 1^1 ^2 M ’ 1
1	1 0
-2 3 4
Следовательно, замена переменных
О О
1 о
1 О О
1	1	О
-2 3 4
приведет главную часть к виду
30
гиперболический тип.
Пример 2. Определить в каждой точке х е R3 тип уравнения с
главной частью
Решение. Обозначим значение коэффициента (х1) + (х2) в
рассматриваемой точке х через и рассмотрим соответствующую
квадратичную форму:
f2 + f2 + 2ауэ + atj.
Для приведения к каноническому виду этой квадратичной формы
воспользуемся методом Лагранжа.
f2 + t% + 2af2t3 + at3 — f2 + (t2 + af3)2 + (a - az)f3.
Таким образом, замена переменных
tj , T2 ^2	®^3» T3 ^3 ‘
приводит квадратичную форму к диагональному виду
т2 + т2 + <х(1 - а)т3.
Следовательно, при a > 1, то есть во внешности замыкания ци-
линдра Н = |х : (xf + (х2)2 < , уравнение имеет гиперболиче-
ский тип, при a = 0 и a = 1 (на границе и оси цилиндра Н) па-
раболический, при 0 < a < 1 (во внутренности цилиндра Н за ис-
ключением оси) эллиптический.
Пример 3. Определить тип уравнения
°А= + «Л» + иА’ = 0
Решение. Приравнивая к нулю соответствующую квадратичную
форму f/2 + t2f3 + tgtj - 0, получаем в пространстве переменных
(А»^2>^з) Уравнение конуса, так как соответствующая поверхность
содержит три координатные оси. Следовательно, форма знакопе-
ременная, и тип уравнения гиперболический. *)
’) Можно было, конечно, привести квадратичную форму к каноническому ви-
ду, начав с замены f, = ? + £, f2 =
31
3.3.	Характеристические поверхности.
Определение 2. Направление, задаваемое вектором Ц/q... /Ц|, на-
зывается характеристическим для уравнения (3.1) в точке х0 е G,
если eftkjkj = 0.
/./и
Приводя главную часть уравнения (3.1) в точке х0 gG к виду
(3.6), получаем, что эллиптические уравнения не имеют характери-
стических направлений, а параболические и гиперболические
уравнения имеют по крайней мере одно, а то и целый конус харак-
теристических направлений.
Определение 3- Гладкая поверхность в области D с G называ-
ется характеристической для уравнения (3.1) или просто харак-
теристикой уравнения (3.1), если ее нормаль п в каждой точке
имеет характеристическое направление.
Пусть характеристика является гладкой поверхностью и задает-
ся уравнением Г(х) = О, где f - скалярная функция. Тогда ее еди-
ничную нормаль можно найти по формуле
n=
[gradf | ’
и, следовательно,
В двумерном случае это уравнение совпадает с уравнением
(2.4), оправдывая название последнего (см. определение 2 §2).
32
Глава II
Задача Коши и смешанная задача для
волнового уравнения
§4	. Задача Коши для гиперболических уравнений иа
плоскости. Формула Даламбера для волнового
уравнения
4.1.	Классическая задача Коши. В главе рассматриваются на-
чальные и начально-краевые задачи для волнового уравнения, ко-
торое относится к гиперболическому типу.
Рассмотрим квазилинейное уравнение
У а»(х)^7 + F(x,u(x),gradu(x)) = 0, х е R",	(4.1)
дх!дх} '
где af'(x) - коэффициенты, непрерывно зависящие от х, функция
F непрерывна по совокупности всех своих аргументов.
Пусть 5 - достаточно гладкая ориентированная поверхность в
Rn, G - некоторая область, замыкание которой содержит поверх-
ность S. Если уравнение (4.1) имеет гиперболический тип в облас-
ти G, то классическая задача Коши для него ставится следующим
образом: найти функцию и(х) из класса C2(G) г\ С1 (G), удовле-
творяющую уравнению (4.1) и начальным условиям
<4*)|s = Ц)(*). ^(*) = Ц(*)»	(4-2)
где 1/0(х), ц(х) - заданные на поверхности S функции, п - еди-
ничная нормаль к поверхности S.
В. Уроев
33
Под корректностью постановки задачи понимается выполне-
ние следующих трех условий:
1)	решение существует в заданном классе функций;
2)	это решение является единственным;
3)	решение непрерывно зависит от начальных и краевых дан-
ных (иногда и от других параметров задачи, например, коэффици-
ентов) при заданных топологиях в пространстве решений и в про-
странстве начальных и краевых данных.
Пример некорректно поставленной задачи для эллиптических
уравнений будет приведен в §8. Здесь же без доказательства сфор-
мулируем следующее
Утверждение 1, Если нормаль п к поверхности S хотя бы в од-
ной точке имеет характеристическое направление, то ни в какой
окрестности поверхности S поставленная задача Коши не будет
корректной.
Замечание 1. Из утверждения 1 следует, что постановка класси-
ческой задачи Коши (4.1),(4.2) для гиперболического уравнения
может быть корректной только в случае, когда нормаль к поверх-
ности S ни в какой точке не имеет характеристическое направле-
ние. Подробнее см. (1].
Пример 1. Решить задачу Коши для уравнения
*44*. У) ~ Ixyu^x, У) + (/ - 4)Цу(*. У) + 2уиу(х, = -64х3 (4.3)
в области G = {(х, у) : х > 1, у е R} с начальными условиями
<41 У) = 2/ + 2у-8, цДу) = 6/ + 2у- 24.	(4.4)
Решение. Согласно результатам примера 2 из §2 уравнение (4.3)
в рассматриваемой области относится к гиперболическому типу и
в переменных
£, = х(у-2), rj = х(у+2)	(4.5)
для функции vf£>, rj) = i^x(^,v\),y(^,r\)) имеет следующий вид:
Чл = П - £ •	(4-6)
Отметим, что начальные условия (4.4) заданы на прямой, ни в
одной точке не касающейся характеристик.
В данном случае легко найти общий вид решения. Сначала про-
интегрируем уравнение (4.6) по считая г) параметром, а
34
V (У Л) ~ неизвестной функцией переменной 4 • Тогда приходим к
следующему результату:
v„ = n^-iV + c„
где С, - С, (rj) " произвольная (с учетом непрерывности - не-
прерывная) функция параметра л, так как при каждом значении л
константа интегрирования получается произвольной. Далее, про-
интегрируем последнее соотношение по переменной л > на этот Раз
считая £ параметром:
ИУ Л) = г лЧ “ 2	+ КУ + Л Л),
где Л(л) — произвольная функция переменной т), полученная ин-
тегрированием функции СДл)> а КУ ~ произвольная функция
переменной £, которая получается при фиксированном £ как кон-
станта при интегрировании по переменной л
Возвращаясь к исходным переменным и учитывая, что v -
дважды непрерывно дифференцируемая функция, находим:
и(х, у) - 2х?(/ ~ 4) + /(*(У- 2)) + J(x(y+ 2)),
где /(У и J(r\) - произвольные дважды непрерывно дифферен-
цируемые функции своих аргументов £ и л - Найдем эти функции
нз начальных условий (4.4):
и(1, у) = 2(у* - 4) + /(у- 2) + J(y + 2) = 2/ + 2у- 8,
ЦД И = 6(/ - 4) + (у- 2)1'(у-2) + (у+ 2)J'(y+ 2) =
= бу2 + 2у- 24:
следовательно,
7(у-2) + J(y+2) = 2у
' (у- 2)/'(у- 2) + (у+ 2)J'(yj- 2) = 2у
Продифференцируем первое уравнение системы (4.7) по у, умно-
жим на (у- 2) и вычтем из второго, в результате получим
4Л'(У+ 2) - 4.
Интегрируя, находим
Лл) = л + с,
35
где С — произвольная постоянная. Далее, воспользуемся первым
уравнением системы (4.7):	4
/(у- 2) = 2у- J(y+ 2) = 2у-(у+ 2 + С) = (у- 2) - С,
следовательно,
/£) = £-С.’)
Итак, функция
и(х, у) = 2х3(/ - 4) -г х(у- 2) + х(у + 2) = 2х3(/ - 4) + 2ху
- решение задачи Коши (4.3),(4.4).
Пример 2. Указать наибольшую область, в которой задача Коши
для уравнения (4.3) с начальными условиями (4.4), заданными
только на отрезке прямой Х = 1, 0<у^З, имеет единственное
решение.
Решение. Для определения области не нужно искать решения
задачи, достаточно знать характеристики £ = const и rj = const,
определяемые равенствами (4.5).
’) Вообще-то, константу С можно было положить нулем с самого начала, так
как функции /(£,) и -/(г]), естественно, определены с точностью до константы (од-
новременная замена функций и ./(т]) на /(£)-С и J(r])+C соответственно не
меняет решения)
36
Проведем характеристики из семейств £ = const и rj = const
через концы С и D отрезка, на котором поставлены данные Коши
(так называются начальные условия). Эти характеристики пересе-
кутся еще в точках А и В (см. рис. 2). Заштрихованная область -
искомая.
Действительно, через каждую точку этой области проходит
ровно по одной характеристике из семейств £ = const и
rj = const, причем каждая пересекает отрезок CD ’). Функции /(£)
и J(r|) при таких £ и т] определяются, естественно, своими зна-
чениями на отрезке CD, которые можно однозначно найти из дан-
ных Коши.
С другой стороны, любая точка вне заштрихованной области
обладает тем свойством, что хотя бы одна из двух проходящих
через нее характеристик не пересекает отрезок CD.
Пример 3. Решить задачу Коши для уравнения
х2^ + 2хуиху -	- 2хих = 0	(4.8)
в окрестности отрезка прямой CD - {(х, у): 1^х^2,у=1} с
начальными условиями
и(х,1) = х +1, иу(х,1) = х +1.	(4.9)
Указать наибольшую область, в которой поставленная задача
(4.8),(4.9) имеет единственное решение.
Решение. В примере 3 из §2 для уравнения (4.8) были найдены
характеристики
§ =	=	(4.10)
х
и вид уравнения для функции v(£, rj) = t^x(4, rj)» б)) -
4rjv^-3v? 0.	(4.11)
Проинтегрируем уравнение (4.11) по Т|, считая £ параметром, а
- неизвестной функцией переменной ц:
=	(4.12)
‘) Обратите внимание на то, что прямая у=2 тоже является характеристикой £=0.
37
где С, = Cj(^) - константа, значение которой зависит от парамет-
ра £,, причем из гладкости v следует, что СД£) является непре-
рывной функцией.
Уравнение (4.12) можно проинтегрировать по переменной
считая, что т] - параметр. Интегрирование функции С,(£) дает
функцию g(£,), так что приходим к следующему результату.
ИСп) = а©гГ + '(п),	(4.13)
где f(rj) - константа, значение которой зависит от параметра г).
Из гладкости функции у вытекает, что функции д(£,) и f(^) долж-
ны быть дважды непрерывно дифференцируемыми. Таким обра-
зом, получаем следующее общее решение уравнения (4.8):
И = sQs-^xy)3'4 + f(xy). (4.13’)
Теперь подставим функцию г/ в найденном виде в начальные
условия (4.9):
x3Mg(x’3J + f(x) = х +1
О	.	(4.14)
Х"9/V(x 3) + ХЗМ(^Х 3) + хЛ(х) = X + 1
Продифференцируем первое уравнение системы (4.14) пох:
- Зх*13/4д'(х"3) + lx-,Ms(x-s) + f'(x) = 1.
умножим обе части полученного равенства на х и вычтем из второ-
го уравнения системы. После приведения подобных получается
дифференциальное уравнение
4х-9'4д'(х’3) = 1.
Обозначим X"3 = Z и вспомним, что производная всюду понима-
лась как производная по аргументу функции. Получаем:
4/^(г) = 1,
откуда g{z) ~ zVA + С. Постоянную С можно положить нулем ’).
’) Одновременная замена	на g(£)-C и/(г]) на/(ii)+Ct]j/‘' решения не меняет.
38
Итак, g(z) = Z1/4, так что из первого уравнения (4.14) находим
f(x) = x + 1-x3,4-^ = x.
Возвращаясь к представлениям (4.13) и (4.13’), получаем
и(х,М = W4 + т] = у+ ху.
Как и в предыдущем примере наибольшую область, в которой
задача имеет единственное решение, можно построить опираясь
лишь на уравнения характеристик (4.10). На рис. 3 эта область
заштрихована.
Рис. 3
Замечание 2. В примерах 1 и 3 решение задачи Коши находи-
лось сравнительно легко благодаря отсутствию в первом канони-
ческом виде уравнений хотя бы одной частной производной перво-
го порядка. Значительно большей общностью отличается метод
Римана (см., например, [7]), но его изложение выходит за рамки
нашего курса.
4.2. Формула Даламбера. Пользуясь подходом, продемонстри-
рованным в примере 1, найдем в общем виде решение классиче-
ской задачи Коши для однородного волнового уравнения в R
(уравнения свободных поперечных колебаний бесконечной стру-
ны)
цДх, 0 = а2ця(х, 0. а > 0	(4-15)
в области G = {(х, t) : х е R, t > 0} с начальными условиями
39
и(х,О) = t/0(x), ц(х,О) = ц(х), х е R.	(4.16)
Замечание 3. Задание начальных условий на поверхности
S= {(х, t) 2 х е R, t = 0} и ограничение t > 0 оправданны содер-
жательной стороной задачи.
Для справедливости дальнейших выкладок необходимо, чтобы
t/0(x) g C2(R) и ц(х) gC1(R). Найдем функцию и(х,1) из класса
C2(G)nC1(G) , удовлетворяющую уравнению (4.15) и начальным
условиям (4.16).
Уравнение характеристик для уравнения (4.15) выглядит сле-
дующим образом*
(dx)2-a2(<#)2 = 0.
Его решения х = ±at + Const приводят к замене переменных
£ = х - at, rj = х + at,

п + е, n-V|
2 ’ 2a )
в результате которой исходное уравнение (4.15) принимает вид
%(4.п) = о.
Интегрируя два раза это уравнение (по £ и по Т|), находим
или
<4х,у) =/(x-af) +J(x+at),	(4.17)
где I, J— произвольные функции из класса C2(R)
Таким образом, решение задачи Коши (4.15),(4.16) является
суммой прямой волны /(х- at) и обратной волны J(x+ at). Дей-
ствительно, график прямой волны с ростом времени t движется по
оси абсцисс с постоянной скоростью а вправо, а график обратной
волны - влево.
Функции I и J легко выражаются через начальные условия
(4.16):
7(х) +J(x) = q,(x)
-а/'(х) + aJ'(x) = ц(х)’
откуда
40
7(х) + J(x) = ц,(х)
‘ - а/(х) + а/(х) = )ц(Х)<Л’
ХО
где х0 - произвольная фиксированная точка на прямой R. Следо-
вательно,
/(х) =	)ц(М<Л, J(x) = ^с(х) + ~|ц(Х)сЛ.
х0	х0
Итак, приходим к представлению
1	1 х+?
и(х, t) = - [ц>(х - at) + и0(х + af)] + — Jц(Х)<Л	(4.18)
x-at
Эта формула, носящая имя Даламбера, и дает решение поставлен-
ной задачи.
Из представления (4.18) непосредственно следует, что для на-
хождения решения и в точке (х0, t0) е G достаточно знать значе-
ния функции ц(х) на отрезке [х0 - at0;x0 + af0] и значения функ?
ции ц,(х) в точках х0 - at0 и х0 + af0. По этой причине отрезок
[х0 - af0; х0 + af0] называется областью зависимости для точки
(х0, f0) (см. рис. 4).
Поучительно наблюдать за поведением решения и(х>0 в СЛУ"
чае, когда начальная скорость Ц(х) тождественно равна нулю:
41
прямая и обратная волны представляют из себя смещенное на-
чальное отклонение и0(х), уменьшенное вдвое. Заметим также,
что если ц(х) е 0, а функция и0(х) отлична от нуля только на
конечном отрезке, то в каждой точке х при достаточно больших
значениях времени / функция и равна нулю
§5. Волновое уравнение в Rn. Энергетическое
неравенство. Единственность решения задачи Коши
5.1. Энергетическое неравенство для волнового уравнения.
Докажем единственность решения задачи Коши для волнового
уравнения при помощи энергетического неравенства.
Рассмотрим в области G = |(x,t) х g Rn, t > 0} классическую
задачу Коши для однородного волнового уравнения в Rn
цДх, t) = azAxu(x, f), а > О	(5.1)
с начальными условиями
4х,0) = а0(х), ц(х,О) = ц(х),	(5.2)
где й0(х) и ц(х) - заданные функции из классов C^Rnj и C(Rn)
соответственно, функция u(x,t) принадлежит классу
C2(G)nC1(G).
Преобразуем уравнение (5.1) к дивергентному виду, для чего
умножим его на функцию 2ц и проведем следующие преобразо-
вания:
И, = 2цц, = а2£ 2и^и, = а2Х[2(ц,ц)^ - ),],
/=1	i=1
bf + a^u2
f=1
ИЛИ
-2а2У-^-(и,ц) = 0.
Введем следующие обозначения:
w= uf+ а2'£и2-, Jk -2a2utux„, * =
(53)
42
Тогда уравнение (5.3) можно записать в виде
— w(x, t) + div, J(x. t) = о.	(5.4)
dt
n
где J - (J1,..., J") - векторная функция, divxJ =	.
*=i
Замечание l. Физический смысл полученного результата сле-
дующий. Уравнение (5.4) представляет собой уравнение непре-
рывности, w - плотность энергии. J— плотность потока энергии.
Рис. 5
Рассмотрим в пространстве Rn+1 переменных (x,t) конус
О = {(х, О • 0 < t < f0, |х - х0| < at(t0 - О} с вершиной в точке
(^oJo)eG. Как легко проверить, нормаль v = (v1,...,vn, vn+1) к
боковой поверхности конуса {(х, t) : 0 < t < t0, |х - х0| - а((0 - ()}
в каждой точке удовлетворяет равенству
\ 9	П /	2
(vM1) -агД?) = 0,
1=1
то есть боковая поверхность конуса является характеристикой.
43
Рассмотрим произвольный момент времени г из промежутка
(<Ч) и введем следующие обозначения:
Ц ~ {(*» 0 - t = т, |х - х0| < a(t0 - г)} - сечение конуса Q
плоскостью t = т ;
Q = {(х>О  0 < I < х, |х - х0| < af(f0 - t)| -усеченный конус;
Д - {(х> О • Octet, |х — х0| = at(f0 - f)| - боковая поверх-
ность усеченного конуса;
(	п А
Е(х) = J wdx - JI uf + а2^ t/, I dx интеграл энергии
нам понадобится следующая
Лемма 1, Пусть Q ~ ограниченная область в Rn+1 с кусочно
гладкой границей 5Q, Р=(Р*.....Р"+1) - векторная функция пе-
ременных х g Rn и t g R, определенная в Q и принадлежащая
классу C1(Q)nC(Q), причем div(xf)P=O, (x,t)cQ. Тогда вы-
полняется равенство
J(P,n)cfe= О,
где п - внешняя единичная нормаль.
Доказательство леммы 1. Рассмотрим область Q такую, что
Qc Q и 3Q - кусочно гладкая поверхность. В Q согласно усло-
виям леммы выполняется равенство div(xf)P- 0, следовательно,
Jdiv(xf)Pdxctt = О
SQ
Воспользуемся для преобразования интеграла теоремой Остро-
градского-Г ау сса:
|(P,n)ds= О
Остается устремить область Q к Q и учесть существование инте-
грала f(P,n)cfc 
0Q
44
Лемма 1 позволяет доказать следующее
Утверждение 1. Пусть функция и(х, t) из класса
удовлетворяет в усеченном конусе Q уравнению
(5.1) и на его основании Do начальным условиям (5.2). Тогда вы-
полняется энергетическое неравенство
Е(г)<Е(О).	(5.5)
Доказательство утверждения 1. Рассмотрим векторную функ-
цию Р ~ (J1,..., Jn, w). Тогда нз уравнения (5.4) следует, что
div(x.op(x-z)aE<+ ^- = 0-
Далее воспользуемся леммой 1, получаем
О = |(Р, n)cfc = |(Р, n)cfe + f (Р, n)cfc+ f (Р, n)cfe,
ао,	Do	ot	s,
где n - внешняя (по отношению к Q) единичная нормаль к по-
верхности 3Q. На поверхности Do: п= (0,...,0,-1),
на поверхности : п - (0,... ,0,1), (Р,п) - w; на поверхности § :
V,
(Р, л) = У	+(и? + а2 v"+1 =
1=1	/-1	'
П	Fl	л Г)	л
=4r-2^u,v4v-’+sM +LkvM1) =
* L »=т	т=1	»=1
П	2
v i=1
При преобразованиях мы учли, что $ - характеристика, vn+1 > 0
для внешней нормали. Следовательно, справедливо неравенство
-Е(0) + Е(т) = - J(P, n)cfc < 0.
s,

5.2. Единственность решения. Используя энергетическое не-
равенство (5.5), докажем единственность решения задачи Коши
для неоднородного волнового уравнения в Rn
45
Ц(х, 0 = A Хи(х, t) + f(x, t)	(5.6)
с начальными условиями (5.2)
Теорема 1. Если в замыкании некоторого усеченного конуса Qt
существует решение задачи Коши (5.6),(5.2) из класса
C2(Q,)r,C’(Q) , то оно единственно.
Доказательство теоремы I. Пусть и(х, t) и й(х, () - решения
задачи Коши (5.6),(5.2) нз класса C2(Q) n	. Тогда их раз-
ность и = и - и - решение задачи Коши для однородного уравне-
ния (5.1) с однородными начальными условиями (u(x,Q) = 0 н
Ц(х,0) = 0). Следовательно, в произвольный момент времени t нз
отрезка [0; т] должно выполняться энергетическое неравенство
0<£(t) = Jluf + а2^	< £(0) = 0
С учетом гладкости функции и получаем, что ut = 0 н s 0.
/' = 1,...П в Qt, но и(х,0) - 0, следовательно, и = 0 в Qx. Таким
образом, решения и ни совпадают в замыкании конуса Qt 
Следствие 1. Если решение классической задачи Кошн
(5.6),(5.2)	существует в замыкании области
5 = {(х,() : xeR", t>о) , то оно единственно (поскольку един-
ственно в произвольном усеченном конусе)
Следствие 2. Для того, чтобы определить решение и в точке
(х0, Q достаточно знать значения функций и0 и ц в замкнутом
шаре В = |х : |х - Хо| < afoj , который называется областью зави-
симости для точки (х0, Q (естественное обобщение понятия, вве-
денного в предыдущем параграфе).
Следствие 3. Энергетическое неравенство, н, следовательно,
теорема о единственности решения задачи Коши, справедливы в
области, ограниченной боковой поверхностью “пространственного
типа”, то есть поверхностью, для которой внешняя нормаль
46
v"”) удовлетворяет неравенству
(v-f-a^vf^O
f=1
§6. Волновое уравнение в пространстве. Формула
Кирхгофа. Принцип Гюйгенса
6.1. Формула Кирхгофа. Рассмотрим в области
G={(x,(): xeR3, t > о) задачу Кошн для однородного волново-
го уравнения в R3
цД х, 0 = а2Ахи(х, t), (x,t) е G, а > 0,	(6.1)
с начальными условиями
а(х,О) = цДх), ц(х,0) - ц(х).	(6.2)
Пусть функции Ц,(х) и ц(х), определяющие начальные усло-
вия, принадлежат классам C3(R3) и C2(R3) соответственно. Наша
цель - проверить, что формула Кирхгофа
1
= —Ц-

f2t
|x-M=af
Пч>(у><ч
(6.3)
дает функцию u(x,f), являющуюся решением задачи Коши
(6.1),(	6.2).
Для этого рассмотрим две вспомогательные задачи Коши: с од-
нородными начальными условиями на саму функцию (ц> = 0) и с
однородными начальными условиями на ее производную по вре-
мени (ц = 0). Тогда в силу линейности уравнения (6.1) решение
исходной задачи Коши будет равно сумме решений вспомогатель-
ных задач.
Утверждение 1. Формула
v(x,t) =
4^t
ла Г |х-И=Л
(6.4)
дает решение задачи Коши для волнового уравнения
47
vtt(x, t) = a2Axv(x, t), (X, o e G	(6.5)
с начальными условиями
v(x,O) = 0, vf(x,0) = ц(х).	(6.6)
Доказательство утверждения 1 разобьем на несколько этапов.
1)	Преобразуем формулу (6.4), сделав замену переменных
z=^S.
at
v(x, t) = ~ jjц(х + atz}dsz.	(6.1)
И=1
2)	Поскольку ц e C2(R3), то формула (6.7) определяет функ-
цию v из класса C2(G) (знак дифференцирования можно вносить
под знак интеграла по компакту в случае, когда продифференци-
рованная подынтегральная функция непрерывна).
3)	По теореме о среднем для функции v из формулы (6.7) при
фиксированном значении пространственной переменной х спра-
ведлив следующий предельный переход:
Их. 0 = —Ц-цй)4т<(а()2 = u©f'X°O,
4ла t
где £,	— некоторая точка из замкнутого шара
В = {у gR3 : |х -	.
4)	Вычислим первую производную по времени:
V,(x.t) = d- (Гц(х + afz)ds, +	[[ц(х + atz)ds, =
= f/ц(X + a!z)ds, + jj(gradu,(x + atz),az)ds, =
= Т~ ff°i(x + afz)d^+-^- jj(gradu,(x + afz),n)asz,
471 и-1	и-1
где п — внешняя единичная нормаль к сфере, по которой произво-
дится интегрирование. Применяя теорему Остроградского-Гаусса,
и учитывая, что
divz(gradt/,(x + atz)) = afdiv(grad^(x + afz)) = а!Дц(х + afz),
48
получаем
vf(x, 0 - — JJц(х + atz)dsi +	JUАц(х + atz)dz =
И=1	4л И<;1
v(x,t) 1 .. ..
= 4 - +--------Ах, О-
t 4nat
Здесь введено обозначение A(x,t) - |||лц(у)с/у.
5)	Из последнего выражения для производной vt аналогично с
пунктом 3) доказательства находим, что для любого фиксирован-
ного х справедлив предельный переход
lirri v,(x,f) - ц(х)
f-»+0
Таким образом, функция V удовлетворяет начальным условиям
(6.6).
6)	Остается проверить выполнение волнового уравнения (6.5)
для (х, t) е G:
v„(x,f) = -L— - -Цх.О + —-Д(Х.О- —г	=
= т^4А(х,0 = Т^ ДОдц(у)<*у.
4лаг dt 47tat ct.
|ху1^а/
Перейдем к сферическим координатам (г,<р, 0):
у1 = х1 +rsn0coscp, у2 = х2 + гэп09П(р, у3 = х3 + гcosG. То-
гда выражение для Vtt можно преобразовать следующим образом:
vw(x,0 =	jdpjsinGd3|г2Ац(И<р,0,г))дг =
4nat oi 0	0	0
= т~а Гф)(а()2Дц(И<Р,0. a!)) sin бей = -L jj Дц(у)сЦ,
4лаг 0	0	4711
С другой стороны, вычисляя лапласиан от обеих частей равенства
(6.7), находим:
a2Axv(x, 0 = 4^ ЯАЧ(* + afe)^ = (ТацДОс^ .
4ли=1	4^|х-й^
49
Следовательно, vtt ~ a?/\xv, (x,t) gG
Из 3), 5) н 6) и следует утверждение 
Утверждение 2. Формула
И(Х,О = |
1
4na2t
дает решение задачи Коши для волнового уравнения
wft(x,f) = a2Axw(x,f), (х.О gG
с начальными условиями
w(x,0) = u0(x), wt(x,0) == 0.
(6.8)
(6.9)
|л-Я=й
(6.10)
Доказательство утверждения 2. Рассмотрим задачу Коши
(6.5),(6.6), в которой вместо функции ц(х) стоит более гладкая
функция Ц,(х). Тогда формула (6.4) с и0 вместо ц дает функцию
v(x,l) из класса C3(G), а из формулы (6.8) следует, что
д
G Ca(G) . Далее заметим следующее:
сч
1)	и(х,0) = ц(х,0) = ц>(х);
2)	w,(x,0) = lim v„(x,t) = lim a’A.vfx.f) = 0;
t—f—>+0
3)	поскольку VeC3(G), to можно продифференцировать no t
обе части равенства (6.5), получаем wff = a2Axw 
Итак, и(х» 0 = v(x, t) + w(x, t), что с учетом формул (6.4) и (6.8)
приводит к формуле Кирхгофа (6.3), а в предыдущем параграфе
доказана единственность решения задачи Коши для волнового
уравнения.
Пример 1. Пусть функция u(x,f) является решением задачи
Кошн для однородного волнового уравнения в R3
4цДх, t) = Лхи(х, 0> х g R3, t > 0
с начальными условиями
l4x,0) = 0, ц(х,0) = ц(х).
___(	1
|2
exp -
где ц(х) —
. Найти значения u(O,t) при
50
f>0.
Решение. Воспользуемся формулой Кирхгофа:
ц°.о = 4 Дц(и<ч-
м ад-»
Если £>2, го u(G,t) = Q, так как в этом случае сфера радиуса
|у| = 2t не пересекается с носителем функции ц '). При t&2 по-
лучаем:
Заметим, что в ряде случаев решение задачи Коши можно най-
ти, не обращаясь к формуле Кирхгофа.
Пример 2. Найти решение u(x, f) задачи Коши для волнового
уравнения в R3
цДх, 0 ~ Ахи(х, t) + e~f со^х1 + 2х2 + 2х3), х е Я0, t > 0	(6.11)
с начальными условиями
4*.О) = и0(х) = (х1)2 + 2(х3)2,	(6.12)
ц(х,О) = ц(х) = sinfx1 - Зх2) + — • - . 1---у. (6.13)
1 + (х1 - х2 + Зх3)
Решение. Воспользуемся линейностью уравнения (6.11) и будем
искать решение и(х, t) в виде суммы четырех функций:
и(х, 0 = и{х, 0 + Цх, 0 -г wfx, t) + z(x, t),
где и - решение задачи Коши для волнового уравнения (6.П) с
однородными начальными условиями (й(х,0) = ц(х,О) = 0); V ~
решение задачи Коши для однородного волнового уравнения с
начальными условиями v(x,0) = u0(x), vr(x,0) = 0; w - решение
’) Носителем функции f(x) называется замыкание множества, на котором
Функция отлична от нуля: suppf ~ (х : f{x)
51
задачи Коши для однородного волнового уравнения с начальными
условиями wfx.O) = 0, wf(x, t) = Sin(x1 - Зх2); z - решение задачи
Коши для однородного волнового уравнения с начальными усло-
виями 4Х.0) = О, ^(х,0) = -	
I + IX — X + ОХ 1
а)	Построение решения u(xtt) Заметим, что функция
СО^х1 + 2х2 + 2х3) является собственной для оператора Дх и от-
вечает собственному значению -9 (подробнее о собственных
функциях и значениях см. §19). Следовательно, функцию и имеет
смысл искать в виде
и(х, t) = f(t)co^x1 + 2х2 + 2х3),
где f(t) неизвестная функция времени. Из уравнения (6.11) вы-
текает, что функция f{t) удовлетворяет уравнению
Г (0 = -9ф) + е \
общее решение которого легко находится:
f(f) =—е* + Acos3t + Bsn3t,
10
где А и В - произвольные постоянные. Учтем, что в силу однород-
ных начальных условий для функции и решение f(t) также удов-
летворяет однородным начальным условиям ДО) = Д(0) = 0, от-
куда
11	1
= f--------cos3t + -^-sin3t
10	10	30
б)	Второе слагаемое v можно искать в виде
Hx,0 = (x')+2(x3)2+g(f), где функция g(f) выбирается так,
чтобы функция v(x, t) удовлетворяла однородному уравнению
V„ = Д,У,	(6.14)
откуда
g"(0 = 6.
Для выполнения начальных условий необходимо, чтобы д(0) = 0
52
и </(0) = 0. Таким образом, находим g(f) = 3Z2, так что
Цх,о = (х1)2 + 2(х3)2 + 3t2.	(6.15)
Предложенный способ реализуется только по той причине, что
оператор Лапласа переводит функцию (х1) + 2^X3j в константу.
Большей общностью отличается следующий подход: искать
решение vfx,f) как сумму решений v^x\f) и v(x3,t) задач Коши
для однородного уравнения колебаний струны:
v„ =	vfx1,0) = (xf. й(х’.() = 0;
^х’-°) = 2(х’)2' *<(*М = 0
По формуле Даламбера (4.18) находим
=|((х'+О2+(х’ - О2)=(х')2+,2>
аналогично
^x3,t) = 2(x3)2 + 2f2,
откуда следует ранее полученная формула (6.15) Этот способ
применим всегда, когда функции, задающие начальные условия,
являются суммой функций, каждая нз которых зависит лишь от
одной из пространственных переменных.
Наконец, познакомимся еще с третьим способом построения
решения v(x,t). Сначала рассмотрим уравнение (6.14) с начальны-
ми условиями
4o = vo. 4-0 = *>’	<616>
подразумевая под символами А — Ах, Vo и ц - произвольные
числа, причем функция v в этом случае зависит только от пере-
менной I. Поставленная задача Кошн для обыкновенного диффе-
ренциального уравнения легко решается:
v(t) = voch(fVa) + -^sh(tVA).
Полученное решение разложим в ряд Тейлора по степеням /:
53
(	f	и	\
И0 = 1 + ~Д+ — Д2+... v0+ ь/д +
\	2!	4!	)
3!
Va
или
tz	tA	Р	Р
v = VO + — A v0 + — Д\+.. ,+fv, + — Д v, + — Д2ц +... (6.17)
a.'	41	J!	O1
В случае, когда Д = Дх, v0 и ц - числа, ряд (6.17) сходится на
всей комплексной плоскости, и, следовательно, его можно почлен-
но дифференцировать (напомним, что внутри круга сходимости
степенной ряд можно почленно дифференцировать). Теперь рас-
смотрим ряд (6.17) в случае, когда Д - Дх это все-таки оператор
Лапласа, a v0 и ц - функции пространственных переменных. В
предположении, что формально продифференцированный ряд схо-
дится равномерно, его по-прежнему можно почленно диффсрен-
л &
цировать, и в силу линейности операторов Д и —, этот ряд по-
dt
прежнему удовлетворяет уравнению (6.14)
В частности, решение задачи Коши для волнового уравнения
(6.14) с начальными условиями (6.16), в которых и0 и ц - беско-
нечно дифференцируемые функции, представляется рядом (6.16),
если для всех натуральных чисел к, начиная с некоторого спра-
ведлнвы неравенства


М
нзвольные константы.
В исходной ситуации Ц = О, Vo - многочлен, так что ряд (6.17)
на самом деле содержит конечное число членов. Следовательно,
Их. О = (х1)2 + 2(х3)2 + *— а((х’)2 + ^х3)2),
что опять приводит к формуле (6.15).
в)	Третье слагаемое w(x,f) можно искать аналогично решению
пункта а), так как snx1 - Зх2) - собственная функция оператора
54
Лапласа, отвечающая собственному значению -10:
ьЦх, 0 = h(f)silVx1 - Зх2),
где /ХО - решение уравнения
л"(0 = -1оад>
удовлетворяющее начальным условиям
ft(0) = 0, Л'(0) = 1.
В таком случае Ъ(0 - Str^k/io), так что
wfx, t) = -^sin(h/io)sn(x1 - Зх2).
Другой способ - применить для решения этой задачи формулу
(6.17), где v0 - 0 и ц - sir^x1 - Зх2). В этом случае
А*Ц - (-10)кЦ, поэтому
( >э	*5	\
и<*.0 = ^ + ^(-1°) + ^Н°)2+ • ]^) =
1 ( _ (b/io)’ (ь/io)5 1	1	.
= Ж ^~зГ~+ 5Г— -	= 'М
г) Построение решения 4х.О- Введем новую переменную
= х1 — х2 + Зх3 * и попробуем искать решение в виде
^х’.х^х3,/) = zjfx1 - х2 + Зх3) = z(£,f)
Тогда Axz(^(x),f) = 11z^ , поэтому 2(5.0 - решение задачи Коши
для уравнения колебаний струны
с начальными условиями
2(5.0)=о, ^,o) = i-b.
По формуле Даламбера (4.18) получаем:
55
И S+rvn
zfr,t) = —L. f —Ц<*; =
= 2Ж w* *	~ ас,Ф ~ '^) 
Предложенный способ сведения к уравнению с одной переменной
применим в случае, когда начальные условия (правая часть) зави-
сят от линейной комбинации исходных пространственных коорди-
нат.
Итак, получаем окончательный результат
ц(х,Г) = f— е* -“Cos3f + ^-sin3t| cosfx1 + 2x2 + 2/) + 3t2 +
' 40	10	30 J "	1
+(x1)2 + 2(*3)2 + sin(f7iojsin(x1 - Зх2) -r
+—^(arctg(x1 - x2 + Зх3 + tVil) - arctg(x1 - x2 + Зх3 - (Vll)).
6.2. Принцип Гюйгенса. Обратимся к физическим следствиям
из формулы (6.3).
Пусть в начальный момент времени t = 0 есть локальное воз-
мущение: носители функций ц, и ц ограничены и, следователь-
но, содержатся в некотором компакте М. Рассмотрим произволь-
56
ную точку х0 е R3 и исследуем вопрос о том, при каких значениях
времени / функция u(x0,t) отлична от нуля. Введем следующие
обозначения (см. рис. 6):
1	1
‘| = аЙУ“Х1>1- 'г = А^у-Х<>1
а у-т	а уем
Тогда из формулы (6,3) вытекает следующее
Утверждение 3. При данном значении х0 е R3 вие отрезка вре-
мени функция U(x0,t) тождественна нулю.
Таким образом, начальное возмущение, локализованное в про-
странстве, вызывает в каждой точке пространства действие, лока-
лизованное во времени, то есть возмущение распространяется в
виде волны, имеющей передний и задний фронты. Это и есть одна
из формулировок принципа Гюйгенса.
§7	. Волновое уравнение на плоскости. Метод спуска.
Формула Пуассона. Диффузия воли
7.1.	Метод спуска. Рассмотрим задачу Коши для однородного
волнового уравнения на плоскости
utt(x, 0 - a2&xu(x, t), х е R2, t > 0	(7.1)
с начальными условиями
fXx.O) = и0(х). ut(x,Q) - ц(х).	(7.2)
Для определенности считаем, что а > 0. Пусть ц, е C3(R2) и
Ц е С2(R2) “Погрузим” плоскость значений переменной
х = (х1, х2) в R3. х - (х1, х2, х3). Далее рассмотрим задачу Коши
для однородного волнового уравнения в R3
utt(x,t) = ДДх.0, х е R3, t > 0	(7.3)
с начальными условиями
П(х,0) = и0(х), ц(х,0) = Ц(х),	(7.4)
то есть
57
1
4na2t
Яч>(У)<^ •
й(х\ x2, x3,o) = Ц)(х1, x2), ц(х\ x2, x^O) = ц(х1, x2).
Согласно результатам предыдущего параграфа для решения за-
дачи (7.3),(7.4) справедлива формула
Преобразуем интегралы, участвующие в ней, с учетом того, что
начальные условия не зависят от переменной х3:
Иц(Я^ = 2
|г-й-«<	|г-Я-а
у*>0
Теперь перейдем от интегрирования по полусфере к интегрирова-
. d/dy2
нию по кругу |у е R : |х - у < atj, учтя, что ds* - —, где
n = 7j(y-*) - единичная нормаль (см. рис. 7). Следовательно.
St
58
^(а()г-|х-yf
И
||ц(у)с^ = 2 ff Ц(У)-,	<fr
M=tf	|х-)М yl(at) - jx — у]
Аналогично преобразуется второй интеграл, и в результате по-
лучаем
Утверждение 1. Решение задачи Коши (7.1),(7.2) выражается
следующей формулой Пуассона:
4х,0 = Д ff , u'Mdy Л [[ ,	... .
2na ix-yisaf <J(at)2 - |х St V(at)2 - |* - yf
Доказательство утверждения 1. Поскольку функция и(х, f) не
зависит от х3 и удовлетворяет уравнению (7.3) и начальным усло-
виям (7.4), то функция t(x,f) ~ u(x,f) удовлетворяет уравнению
(7.1) и начальным условиям (7.2), так как
В силу доказанной в §5 единственности других решений нетИ
Замечание 1. Используя метод спуска можно получить из фор-
мулы Пуассона формулу Даламбера.
7.2.	Диффузия воли. Из формулы Пуассона видно, что на плос-
кости нарушается принцип Гюйгенса (у волны нет заднего фрон-
та). Это явление называется диффузией волн. Можно привести
более наглядное доказательство. Пусть носители функций и0 и ц
содержатся в некотором компакте А/. Тогда “погрузив” R2 в R3,
получим, что носитель начального возмущения неограниченный
цилиндр {(х’.х^х3) : (х1,х2) g М, х3 gR| (см. рнс. 8). Следова-
тельно, начальное возмущение неограниченно в пространстве, и
возмущение в любой точке неограниченно во времени (у цилинд-
рических волн отсутствует задний фронт).
59
Рис. 8
§8	. Принцип Дюамеля для волнового уравнения
8.1.	Общая теория. Принцип Дюамеля позволяет, зная решение
задачи Коши для однородного уравнения, найти решение и для
неоднородного.
Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения в R"
цДх, 0 - a2Axt(x, 0 - f(x, f), х е R", t > 0	<8.1)
с начальными условиями
tXx,O) = u0(x), ц(х,О) = ц(х).	(8.2)
Для определенности будем считать, что а > 0. Из линейности
уравнения следует, что решение представимо в виде
й(х, 0 = v(x, 0 + w(x, I),
где v(x,0 - решение задачи Коши для однородного волнового
уравнения начальными условиями (8.2) (предполагается извест-
ным), w(x,t) - решение задачи Коши для уравнения (8.1) с одно-
60
родными начальными условиями (wfx.O) = wf(x,O) = 0 ).
Найдем функцию w из класса C2(Rn х [Q <ю)), для чего рас-
смотрим следующую задачу Коши, зависящую от параметра х > 0:
рДх, t х) - а2Ахр(х, t, х) = 0, х е Rn, t > х,	(8.3)
р(х, х, х) = 0, рДх, х, х) = Г(х, х).	(8.4)
Утверждение 1 (принцип Дюамеля). Если существует решение
p(xj,x) вспомогательной задачи (8.3),(8.4) из класса
где М = {(x,t, х) : х g Rn, х > 0, t > х}, то функция
t
w(x, t) = j р(х, f, x)dt удовлетворяет поставленным требованиям,
о
То есть при фиксированном значении х > 0 строится решение
p(xj,x) задачи Коши (8.3),(8.4) для t > х. Решение неоднородно-
го уравнения в момент t0 получается как интеграл по отрезку АВ
от функции р(х, t0, х) (см. рис. 9)
Доказательство утверждения 1. Согласно предположению о
гладкости функции р(х, t, х) справедливы следующие равенства:
61
1)и(х,0) = 0;
t	t
2)	wt(x, 0 = p(x, t, t) 4- Jpt(x, t,	= Jp,(x, t, x)dr, t > 0;
о	0
3)	Wf(x,O) ~ 0;
t	t
4)%(xJ) = рДх.М) + jpff(x,t, T)dr = f(x,t) + Ja2Axp(x,f,T)dr =
о	0
I
= f(x, t) + а2Дх J p(x, t, т)(к = f(x, t) + а2Дх w(x, t), t>Q.
о
Из I),3),4) и следует утверждение 
Данный прием носит достаточно общий характер и называется
принципом Дюамеля (см. также § 16).
8.2.	Применение совместно с формулой Даламбера. Рассмот-
рим одномерный случай. Пусть функция f(x,t) принадлежит
классу CX°(R х [Q оо)), тогда для решения задачи (8.3),(8.4) можно
использовать формулу Даламбера (4.18), откуда
* x+a(f-t)
= -	[Г(Х,т)(й
2ах-Лх>
Из гладкости f вытекает, что р е	поэтому
t x+a(t-t)
w(x,n = y-f р(Х,т)са.Л.
2а 0 x-a(f-т)
Таким образом, решение i^x,t) задачи Коши
ц.(х, 0 - а2Д«4х, 0 = Ц*. 0. х с R, t > О,
ц(х,0) = у0(х), ц(х,0) = ц(х)
в случае, когда и0 е <?(*). ц е C1(R) и f е CX°(R х (Q°o)), вы-
ражается формулой
i x+atf-t)	. x+af
с^х, f) = ~ j J f(X, т)с^с/г + — |ц(Х)(А. +
2а 0 х-жьт)	2а x af
+	+ а0 + и0(х - af)].	(8.5)
62
Пример 1. Решить задачу Коши для волнового уравнения в R3
цДх, 0 = Дхи(х, 0 + е1 со^х1 + 2х2 + 2х3). х g R3, t > 0	(8.6)
с однородными начальными условиями
и(х,О) = ц(х,О) = 0.	(8.7)
Решение. Повернем пространственную систему координат так,
чтобы направление оси абсцисс совпало с направлением вектора
«1 2 2ЦТ:
V = 4(х' + 2х2 + 2х3), V =..., V =...;
ЙК,0=ЦхК),/).
Тогда уравнение (8.6) и начальные условия (8.7) преобразуются
следующим образом:
Ц,(£, 0 = Д^(£, 0 + е1 cos3^,
%,0) = ц(^0) = 0.
Решение этой задачи будет зависеть только от переменных и /
(формально это следует из единственности решения задачи Коши),
и для его нахождения можно воспользоваться формулой (8.5):
f) = ~ Jdr Je * cos3XdX = i je TsinЗХ^/£’^ = °°^ x
x jexsn3(f ~ т)<7и = ^-ex^sin3(f-t) - cos3(f-т)^ =
(11	1 A
—e f-----cos3f +—sin3Z cos3£1
10	10	30 J
Таким образом, получаем окончательное выражение для решения
задачи (8.6),(8.7):
t/x, 0 - | i	- 77? cos3t + — si п 3f | coj/x1 + 2х2 + 2х3)
<10	10	30 J л	'
(сравните с пунктом а) примера 2 из §6).
Пример 2. Решить задачу Коши для волнового уравнения в R3
63
ult(x,t) " Д,Дх,0 + (х1 + 2х2 + 2Х3)2, х с R3, t > О
с однородными начальными условиями
и(х,О) = ц(х,О) = 0.
Решение. Сделаем такую же замену переменных, как в преды-
дущем примере 1. тогда приходим к задаче Коши для уравнения
4,(§,0 = Atufef) + 9(V)2
с однородными начальными условиями. По формуле Дюамеля
(8.5) получим:
=Ил jsx2<a.=И (V + и - г)) - (V - « - г)) (ft =
^0	s’-(t-T)	^0L	J
= 3f[^’)2(t - T) + (t - x)3]<ft = 3^|(V)Zf2 *	,
то есть
U(x, t) = ^(x1 + 2x2 + 2x3)2/2 +
Замечание 1. Решение i/(x, 0 можно также было искать в виде
(4х,0 = f(O(x1 + 2х2 + 2х3)2 + g(t).
8.3.	Применение совместно с формулами Кирхгофа и Пуас-
сона. Аналогично с одномерным случаем принцип Дюамеля дает
решение задачи Коши
Ц,(х, 0 - а2А(4х, 0 = f(x, 0, х е Rn, t > 0,
*4x0) = ц,(х), ц(х,0) = ц(х),
Ц, gC^R”), ц gC2(R'1), f gCJ^R" х[0;оо))
для П = 2:
1 f гг	t)dyck
2ла О |х-rtsaU-t) ^a2(t - т)* - |х ~ у]2
+— [[	f 1 гг u0W)dy .
2ла ix-^at 7и)2-|х-^2 2na dt д/(аО2-|х ^2 ’
(8.8)
64
для П — 3:
tXx,O =
ffyj-
1 ггг к____a p
wJL Iх ->l
Дчт+
s A.Jb«
(8.9)
Первое слагаемое в формуле (8.9) получается из интеграла
Дюамеля
1 г гг ^(У>т)и
0|x-^=a{f-r) 1 Т
при помощи следующих преобразований:
if Я
4nd О |x-^=a{t-t)
Я
1 т	47tao|x-,Mr-O
ds/fr =
<M-=i ЯГ
и at I
=if Я J
4nd O]x-jH
где г = a(f - т).
Пример 2. Решить задачу Коши для волнового уравнения в R3
ип(х, 0 = Лхи(х, t) + Дх1*2*3, х 6 R3, t > О
с однородными начальными условиями
и{х,О) = ц(х,О) = 0.
Решение. Воспользуемся формулой (8.9) и введем новую пере-
менную z = у- х:
<4х.о=^-
Iх"Я
dz
И
Из симметрии следует, что
= 0 для i = 1,2,3, JJz'z'ds, = О
И-’	И-’
3 В. Уросв
65
ДЛЯ / * j и
Яz^/d^ = О , следовательно,
W=i
t4x,f) =	22S2L4n Jfdf = 2xW(at}2.
71	71 о
Замечание 2. Решение <J(x,f) можно было искать в виде
f(f)x1x2x3, так как функция х1х2х3 является собственной функци-
ей оператора Лапласа, отвечающей нулевому собственному значе-
нию.
§9	. О корректности постановки задачи Коши для
волнового уравнения. Некорректно поставленные
задачи. Пример Адамара
9.1.	Непрерывная зависимость от начальных данных. Рас-
смотрим в ограниченной по времени области
G = |(х, f) : х g Rn, 0 < t < задачу Коши для волнового урав-
нения
цДх, 0 - a2Axt4x, 0 = f(x, t), (х, 0 g G
с начальными условиями
и(х,О) = и0(х), ц(х,О) = ц(х).
(9.1)
(9-2)
Исследуем зависимость решения от начальных условий. Пусть
u(x,t) и u(x,t) - решения задачи Коши (9.1),(9.2) с функциями,
задающими начальные условия, ц,, ц и ц,, ц соответственно. Рас-
смотрим следующие случаи.
1)	П = 1. Пусть ц, - ц, g C2(R) и ц - ц g C1(R). Тогда для
разности решений и - и справедлива формула Даламбера, из ко-
торой следует, что для любых чисел 8^ О и 82 > О существует
е = 8, + 782 такое, что из выполнения неравенств
|ц>(х) - Ц>(х)| < 5, и |п,(х) ц(х)| < 82 для всех х g R вытекает
выполнение неравенства |и(х, t) ~ и(х, t)| < е для (x,f) е G. Таким
66
образом, решение задачи Коши (9.1),(9.2) в этом случае непрерыв-
но зависит от начальных условий в равномерной метрике.
2)	п - 2 (п = 3). Пусть и0 - и0 g С3 и Ц - ц с С2. Тогда для
разности и и справедлива формула Пуассона (Кирхгофа), из
которой следует, что для любых 51 > 0, 52 > 0 и 53 > 0 сущест-
вует е - 81 + 782 + а783 такое, что из выполнения неравенств
|й(х) - и0(х)| < ^, |ц(х) ~ ц(х)| < б2 и |grad(u0(x) ц>(х))| < 53
для всех х вытекает выполнение неравенства - 77(х, 7)] < £
ДЛЯ (Х, t) G G.
В предыдущих параграфах были доказаны единственность и
существование решения при дополнительных условиях на глад-
кость начальных данных и правой части. Теперь показана непре-
рывная зависимость от начальных данных, что и завершает доказа-
тельство корректности классической задачи Коши для волнового
уравнения.
9.2.	Усиление энергетического неравенства. Приведенные
выше утверждения о непрерывной зависимости решения от на-
чальных данных в достаточно гладкой метрике страдают двумя
недостатками: зависят от конкретной размерности пространства,
требуют дополнительной гладкости начальных данных.
При отсутствии достаточной гладкости функций удобнее рабо-
тать с интегральными выражениями. Здесь будет доказана непре-
рывная зависимость от начальных данных не в равномерной мет-
рике, а в среднеквадратичной.
Итак, пусть xeRn, Ц,,й0 g C1(Rn) и ц.ц е C^Rn). Тогда раз-
ность u(x,t) = u(x,t) - u(x,t) удовлетворяет однородному волно-
вому уравнению
цДх, 0 = а2Лхи(х, 0, (х, 0 g G	(9.3)
и начальным условиям
ь(х,О) = и0(х) = uQ(x) - Ц)(х), ц(х,0) = ц(х) - ц(х) - ц(х). (9.4)
Заметим, что энергетическое неравенство (5.5), справедливое
для однородного волнового уравнения, почти решает поставлен-
67
ную задачу, но в него входят только производные функции и и не
входит она сама. Необходимо усилить энергетическое неравенст-
во, д ля чего перейдем к телеграфному уравнению, сделав замену
ь(х,0 = v(x,t)e^,
где X - произвольное положительное число. Уравнение (9.3) и
начальные условия (9.4) преобразуются следующим образом:
Lv = vtt + 2Хц + X2v- a2&xv = 0,	(9.5)
vfx.O) = ц,(х), vt(x,O) = ц(х) - Xu0(x).	(9.6)
Аналогично выкладкам §5, из уравнения (9.5) получаем цепочку
равенств
О = 2vtLv= 2vtvtt - 2a2vfAKv+ 2X\v+ 4Xvf -
n	f n X
=-£(2a4v<b+4 zd + (^),+*2p),+
i=1	X i=1 ' t
Следовательно, справедливо следующее равенство
n
div(,.()R=X^+/r’=-4^’
/=1
где R- Р + (о,...,0,1V);	Р=-2а2цу,,	/ = 1,...л и
P+1 = vf + a2|gradv|2 . Далее воспользуемся обозначениями §5 и
проследим за следующими выкладками:
О = j(pn)ds+4X Jvfd«# = J(P,n)ds+ jlVn"+1ds+
дО,	0,	SQ	0Q,
+41 Jvfdrc# - 1/Цт) - И40) + j(P,n)ffe+ JlVnn+1ds+ 41 jvfdxcft.
Q	S	S	0,
Здесь введено обозначение W(t) =	+ a2|gradv(2 + X2vz)dx
о/
(норма из класса Соболева V^*1). Таким, образом, приходим к сле-
дующему неравенству:
И4т)- И40) = - j(P,n)ds~ Jx2v2zf+1ds-4Х Jvftfrdt< 0.
Возвращаясь к исходным функциям, получаем
68
X2 ji/cfr < |[(ц - Хи)2 + a2|grad^2 + XVlcfc <
о, D,	J
< €?хг |[(ц - Хц,)2 + az|gra±4j2 + X2i^lcfc <
o>L	j
<	f [ 2ц2 + 3X2t£ + а2|дгас1ц|21сЬс
Do1
Итак, для фиксированного X > 0 выполняется неравенство
X2 jc/cfr < e?XT Й2ц2 + 3X2t£ + a2|grad^|2lcbc,	(9.7)
D. t	QT
откуда следует непрерывная зависимость решения в среднеквадра-
тичной метрике от начальных условий в метрике И^’1.
9.3.	Пример Адамара. Классическую задачу Коши нельзя кор-
ректно поставить для уравнения произвольного типа. Пример, ко-
торый впервые предложил Адамар, показывает, что для уравнений
эллиптического типа постановка классической задачи Коши не-
корректна.
Рассмотрим следующую задачу для уравнения Лапласа
U^(x, t) = -иух(х, f), х g R, t > 0
с начальными условиями
сХх.О) = О, ц(х,0) = ц*(х) = —^sin/ос к g N
fl
TI	1 IX	.	—
Легко проверить, что ее решение есть ик{х,1) = —j^-stnkx. Следо-
вательно, не смотря на то, что функциональные последователыю-
(	Г
сти (Ц.л}*-!- и	равномерно стремятся к нулю при
J*=i
к -> со, решение uk(xtt) к нулю не стремится. Непрерывной зави-
симости от начальных данных нет.
69
§10	. Смешанная задача для волнового уравнения.
Задача Гурса
10.1.	Смешанная задача. При выводе уравнения колебаний
струны упоминалось, что, если струна ограничена или полуогра-
ничена (имеет хотя бы один конец), то для каждого из концов
струны нужно задавать уравнение движения, то есть граничные
условия.
Общая постановка смешанной (начально-краевой) задачи для
волнового уравнения в R" следующая. Пусть D - область в Rn,
границей dD которой является кусочно гладкая поверхность, п -
внешняя единичная нормаль к dD, Т- момент времени, ограничи-
вающий наблюдение за волновым процессом. Надо найти функ-
цию u(x,f) из класса C2(D x(O,Tj)r> C'(D X [О, п), удовлетво-
ряющую волновому уравнению
ц((х,0-агД,Цх,/)=	(x.t) eDx(QT), (10.1)
начальным условиям
u(x,0) - u0(x), Ц(х,0) = ц(х), х е D	(10 2)
и граничным условиям
[а(4х,г) + рЭц[Х,<)1 = Цх,(), (x,0eaDx[O,T). (10.3)
v	дп }SD
Замечание 1. Если £ = 0, то достаточно требовать, чтобы
ueC2(Dx(a7))nC’(Dx[0;7])nC(D х[0;7]).
Заметим, что необходимыми условиями существования реше-
ния являются условия согласования:
focuo(x) +	= v(x,0)	(10.4)
и аналогичные для производных (смысл очевиден).
В §1 были перечислены три типа граничных условий:
1)	сс -1, р = 0 — граничное условие первого рода (типа Дирих-
ле);
2)	а = 0, р = 1 - граничное условие второго рода (типа Нейма-
на);
70
3)	a > 0, p = 1 - граничное условие третьего рода.
10.2.	Пример смешанной задачи. Рассмотрим смешанную за-
дачу для полуограниченной струны
t/rt(x, 0 = а2Цк(х, 0, х > 0, t > 0	(10.5)
с начальными условиями
ь(х,0) = Ц)(х), ц(х,0) = ц(х)	(10.6)
и граничными условиями первого рода
W) = v(t)	(10.7)
Для определенности будем считать, что а > 0. Потребуем сле-
дующую гладкость краевых и начальных данных: Ц, gC^Qoo),
ц с С^О, со) и v е С2[0; оо). Условия согласования;
ио(О) = ЦО), </(0) = ц(0), ^(0) = аЧ'(О) -	<10-8)
Рис. 10
Согласно формуле (4.17) справедливо следующее представле-
ние для решения L^x, t) в области G, = {(х, t) : 0 < at < х} *
u(x, t) - /Дх - at) + Jt(x + at); в области G2 = {(x, t): 0 < x < a/}:
u(x,t) = l2(x-at) + J2(x+at), где /,, /2, и J2 - неизвестные
дважды непрерывно дифференцируемые функции (см. рис. 10).
71
В области Gj для определения функций /1 и достаточно на-
чальных условий, как было показано в §4 при выводе формулы
Даламбера. Для определения функций /2 и J2 есть два условия:
условие непрерывности решения и на характеристике х = at и
граничное условие, то есть
72(0)+J2(2af) = /1(0) + J1(2aO
/2(-af) + J2(af) = v(t)	° ’
Таким образом, обратная волна J2 с точностью до константы сов-
падает с обратной волной . Эту константу естественно положить
равной нулю, так как функции J, и J2, разумеется, определяются
с точностью до константы. Итак, обратная волна просто проходит
через характеристику х = at, что обеспечивает непрерывность
решения. А вот прямая волна /2(х ” а0 Уже порождается гранич-
ными условиями во взаимодействии с обратной волной.
Формальное решение системы (10.9) дает следующий резуль-
тат:
W = 4(5) + С, /2(у = -j,(4) + 4--) - с-
\ а)
где С — произвольная константа. Следовательно, для (X, t) g G2
справедливо представление
и(х, t) = J2(x + at) + /2(х - at) =
= J,(x + at) - J^at - x) +	- —У
Заметим, что возможность непрерывной “сшивки” решений на
характеристике х = at:
<хм)|х.« = ИО),
- обеспечивается первым условием согласования из соотношений
(10.8): и(0,0) = ц,(0) = v(0).
Легко проверить, что второе и третье условия согласования из
соотношений (10.8) обеспечивают непрерывность на характери-
стике первых и соответственно вторых производных построенного
решения.
72
На практике удобнее для точек (х, t) из области G, выписать
формулу Даламбера, тогда первое уравнение в системе (10.9) мож-
но заменить следующим:
/2(0) + J2(2aO = «Xx,t)|„el,
откуда
Цх,о =
1	1 *+*
-(ib(x+af) + qi(x~aO)+— Jq£)c£, х> at
= <	Д|>	(10.10)
v[f--^+^(4(** + x)-[b(af-x)) + ^ Jq©<4x<at
Итак, однозначно найдено решение задачи (10.3), которое при-
надлежит классу (/([Qoo) х [О,
°0))
Замечание 2. При отсутствии третьего условия (второго и
третьего условий) согласования из соотношений (10.8) решение
задачи (10.5),(10.6),(10.7) все равно строится по предложенной
схеме, приводящей к формуле (10.10). Однако построенное реше-
ние уже не будет классическим, так как на характеристике х- at
вторые (даже первые) производные терпят разрыв. Вместе с тем
подобные задачи имеют очевидный физический смысл и представ-
ляют практический интерес.
Аналогично можно решать смешанные задачи с граничными
условиями второго и третьего рода.
Пример 1. Решить смешанную задачу для волнового уравнения
на полуоси
цДх, 0 = 4ца(х, 0 + 2, t > 0, х > 0
с начальными условиями
i/x,0) = 2х - cosx, ц(х,0) = -2- 2sinx
и граничными условиями
<40,о-их(0,о = /2-з
Решение. Прежде всего перейдем к однородному волновому
уравнению подстановкой 1/(х, 0 = ю(х. 0 + f2 ’), гДе функция w -
') 4aci пое решение и — t2 неоднородного уравнения можно найти из форму-
лы Дюамеля (8.5), но в данном случае его проще искать как функцию и = u{t) -
73
решение смешанной задачи
и^(х, 0 = 4и^, t > 0, х > О,	(10.11)
w(x,0) = Wb(x) = 2х - cosx, wt(х,0) = wjx) = -2 - sn х,	(10.12)
vKO.O - wx(0,1) = v(1) « -3.	(10.13)
Для нахождения значений функции w в точках (х, t), лежащих
ниже характеристики х = 2t можно воспользоваться формулой
Даламбера (4.18):
ю(х, 1) = — [2(х + 20 - cos(x + 20 + 2(х - 21) - cos(x - 20] -
Л x+2f
-- |(1 + sinX)cft. = 2x-cos(x-20 2t
x-2t
Следовательно,
w(x,0 = 2(x- 0 - cos(x- 20, x> 2t
В области G2 - {(x, 0 : 0 < x < 21} общий вид решения следую-
щий:
w(x,0 = /(x-2f) + J(x + 21).
Для нахождения функций I и J воспользуемся двумя условиями:
непрерывность решения w на характеристике х = 2t и граничное
условие при х = 0, то есть
/(0) + J(41) 21-1
/(-2() + J(2() - /'(-20 - /(20 = -3
В очередной раз отметим, что функции I и J определяются с точ-
ностью до постоянного слагаемого, поэтому без ограничения общ-
ности можно положить /(0) — -1, тогда J(n) = n/2, У(п) = 1/2,и
после замены = -21 второе уравнение системы приводится к
виду

Частным решением этого уравнения является многочлеи первой
степени, коэффициенты которого легко находятся:
Г(О = |-2,
поэтому
74
/U) = Cef+|-2,
где С - константа, которая будет найдена ниже
Итак, в рассматриваемой области
и<х, О = /(х - 20 + J(x + 20 =	- 2+ Се*'2'	=
= х-2+ Cex2f.
Значение функции м> в точке х ~ 0, t = 0 известно из соотноше-
ний (10.12): и(0,0) = -1, поэтому С = 1, то есть в области G2 ре-
шение имеет следующий вид:
w(x,t) - х-2+
Объединяя полученные результаты, находим ответ
2(х-0-cos(x-2f), 0^2f<x
х-2+е^Л 0<x<2f
Замечание 3. Первые и вторые производные этой функции не-
прерывны иа характеристике х - 2t, то есть и с со) х [0; со)).
Это свойство обеспечивается следующими условиями согласова-
ния, которым удовлетворяют начальные и граничные данные из
соотношений (10.12) и (10.13):
= и<0.0) - w(0,0) = %(х) -
йх J,,
dw,(x)
дх
u(x,t) = t2
it=o
=0
av(0
dt
= ^(0,0)-и^(0,0)= и^(х)—
r=o
X=O
10.3.	Метод отражений. Для полуограниченной струны с одно-
родными граничными условиями есть метод сведения смешанной
задачи к задаче Коши.
Рассмотрим смешанную задачу с однородными граничными ус-
ловиями первого рода:
Utt(x, t) - а2ц„(х, 0, х > 0, t > 0,	(10.14)
4х,0) = t/0(x), ц(х,0) = ц(х),	(10.15)
й(0,0 = 0,	(10.16)
где Uo сС2[О,оо), ц gC^Qco). Потребуем выполнение следую-
75
щих условий согласования:
Ц(0) = 0, ц(0) = 0 и t£'(0) = 0.	(10.17)
Лемма 1. Пусть и{х, /) - решение классической задачи Коши
%(х, 0 = a^fx, Г), х е R, t > 0,	(10-18)
Цз(х), х>0 t Гц(хХ х>0
w(x,0) = p	n . wJx,0) = Р ч п, (10.19)
-Ц)(-х), х < 0	(-ц(-х), х < О
тогда сужение и = w|x&0 является решением смешанной задачи
(10.14),(Ю.15),(10.16).
Доказательство леммы 1. Смысл этой леммы состоит в том,
что, если решение задачи Коши есть нечетная функция перемен-
ной х, то однородное граничное условие выполняется автоматиче-
ски. Поэтому достаточно доказать, что решение задачи
(10.18),(10.19) при любом t > 0 есть нечетная пох функция.
Рассмотрим функцию й(х,0 =	Для нее
ivn(x, t) = -wff(-x, f) - -a2wxx(-x, t) - a2wxx(x, t) и выполнены на-
чальные условия (10.19) (ввиду нечетности последних). Следова-
тельно, если w - решение задачи (10.18),(10.19), то и Й/ - решение
той же задачи, и в силу доказанной единственности решения клас-
сической задачи Коши для волнового уравнения
И<х, 0 = \л{х, t) = -w(-x, t),
что и требовалось доказать 
Замечание 4. Условия согласования (10.17) обеспечивают глад-
кость начальных данных (10.19) при х = 0, которая необходима
для гладкости решения w на характеристиках х = ±at
Рассмотрим теперь смешанную задачу для уравнения (10.14) с
начальными условиями (10.15) и однородными граничными усло-
виями второго рода
Ux(0J) = 0.	(10.20)
Условия согласования в этом случае выглядят следующим обра-
зом:
4(0) = 0, 4(0) = 0.	(10.21)
Лемма 2. Если и^х, 0 — решение классической задачи Коши для
уравнения (10.18) с начальными условиями
76
w(x,O) = 4>(M),	= ц(И) >	(10.22)
то сужение и= w|x2;0 является решением смешанной задачи
(10.14),(10.15),(10.20).
Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 1 с
той лишь разницей, что в этом случай и(х.() - четная функция
переменной х
Пример 2, Решить задачу Коши для волнового уравнения в R3
= а2Дки(х,t], xeR3, t>0
с начальными условиями
u(xfi)= f(|x|). Ц(х,0) = 0,
где а > 0, f - заданная функция из класса С2[О,оо).
Решение. В силу единственности решение поставленной задачи
зависит только от радиуса г = |х|. Будем искать его в виде
Тогда
и приходим к начально-краевой задаче в области
{(г, 0 - г > 0, t > 0} для уравнения
vtt = a2vrn г > 0, t > 0
с начальными условиями
v(r,0) = rf(r), уДг.О) = 0
и краевыми условиями первого рода
ИОД) = 0.
(Последние вытекают из того, что vfO) = oWL=° ) Для
решения этой задачи воспользуемся леммой 1, положим
v0(r) = rf(|r|) , г е R и выпишем формулу Даламбера:
*) Подробнее об операторе Лапласа в сферических координатах см. §32.
77
vfr. t) = i[v0(r + af) + v0(r - af)] =

Следовательно,
f (|x) + af) + 1

Отметим, что полученная функция имеет конечный предел при
Н->0:
t/O,f) = f(at) + at  f'iat).
10.4.	Задача Гурса. Задачей Гурса называется задача для урав-
нения гиперболического типа с двумя независимыми переменны-
ми, в которой задается по одному условию на каждой из двух пе-
ресекающихся характеристик.
Для постановки задачи Гурса удобно использовать первый ка-
нонический вид (см. §2) гиперболического уравнения. Тогда ха-
рактеристики совпадают с координатными осями, и задача форму-
лируется следующим образом
Пусть G = (QE) х (QH) - прямоугольная область в R2. Требу-
ется найтн решение п(^,т]) уравнения
+	+ В^Г +	= ^л)- е G
д^дх}	дц
из класса C2(G) n C^G), удовлетворяющее условиям
U&0) =	<Х0, ц) = Ф1(П),	(10.23)
где В, С, и/- заданные функции из класса 0(G), <р1 и <р2 “
заданные функции из классов C[QH] и С[0;Н] соответственно.
Очевидно, что для существования решения необходимым явля-
ется условие согласования
<Pi(0) = <р2(0)	(10.24)
Пример 3. Решить задачу Гурса для однородного уравнения ко-
лебаний струны
цДх, f) = а2цсг(х, 0, a > 0.
(10.25)
78
Решение. Уравнение (10.25) приводится к первому канониче-
скому виду
= o	(10.26)
заменой
£ = х- at, т) = х+ at;
Поскольку общий вид решения уравнения (10.26) есть
«5.ч) = /(О+Лч), то для решения задачи Гурса (10.26),(Ю.23)
получаем выражение л) = <Pi (О + <р2(л) ~ фДО) (при условии,
что функции <р1 и <р2 дважды непрерывно дифференцируемы, и
выполнено условие согласования (10.24)).
§11. Метод Фурье решения смешанной задачи для
волнового уравнения на отрезке. Существование и
единственность классического решения
11.1.	Метод Фурье. Широко распространен подход к отыска-
нию решений смешанных и краевых задач в виде функциональных
рядов.
Общая схема решения смешанной или краевой задачи методом
Фурье следующая:
I)	сведение к задаче с однородными граничными условиями;
2)	построение формального решения в виде функционального
ряда с разделенными переменными;
3)	доказательство сходимости этого ряда к функции, являющей-
ся решением поставленной задачи из заданного класса.
Рассмотрим в прямоугольной области G = (О, /) х (Q Т) сме-
шанную задачу для волнового уравнения иа отрезке
Cff(x, t) - а2йхх(х, t) = 7(х, t), (х, t) е G	(11.1)
с начальными условиями
П(х,0) = D0(x), ц(х,0) - ц(х)	(11.2)
и граничными условиями первого рода
79
П(О,П = и(П, u(/,t) = v(O.	(11.3)
Необходимо найти решение задачи (1!.!),(11.2),(11.3) из класса
C^GjnC^G).
Прежде всего, сведем задачу к смешанной задаче с однородны-
ми граничными условиями. Для простоты будем предполагать, что
ц, v е С2[0,7], тогда, производя замену
Цх, 0 = и(х, 0 - v(f) -	(х - /),
получаем смешанную задачу с однородными граничными усло-
uff(x, t) - гРи^х, t) = f(x, Г), (х, 0 g G,	(11.4)
фс.О) = ц/x), Ц(х,О) = ц(х),	(11.5)
ЦО,0 = 0, Ц/,0-0.	(11.6)
Здесь f, Ц) и Ц — преобразованные функции f, и0 и ц соответ-
ственно.
11.2.	Построение формального решения. Решим задачу о на-
хождении собственных функций дифференциального оператора
d2
—, определенного на линейном многообразии функций
dx
М = {Х(х): XcC2(0;/)nq0;/], X" gL2(0,/). Х(0) = Х(/) = 0} ’):
(11.7)
(И.8)
-Х"(х) = ХХ(х), 0<х</,
Х(0) = Х(/) = 0.
Общее решение уравнения (11.7) есть
Х(х) = С, sin ТХх + С2 cosVxx,
где А/, и N2 - постоянные, V5C
корня 2). Граничные условия (11.8) приводят к системе уравнений
- одно из значений комплексного
’) Под классом функций L2(D) понимается множество функций, квадрат мо-
дуля которых интегрируем по Лебегу на измеримом множестве D
2) В §19 будет показано, что оператор__ на многообразии М С
dx2
является положительно определенным, поэтому может иметь только положитель-
ные собственные значения.
80
на постоянные:
О = Х(0) = С2
' 0 = Х(/) = С, апА/’
откуда
С2 - 0; VaJ = як, к eZ
Значение Л. = 0 не является собственным, поскольку в этом
случае решением системы (11.7),(11.8) является только функция,
тождественно равная нулю (см. определение собственного значе-
ния в §19).
Таким образом, получаем набор собственных значений и собст-
венных функций, отвечающих этим значениям:
z \ 2
_	(як ।	..	як «	л«
A* =	, Хк(х) - sn—x, к g N.	(11.9)
Заметим, что функции Х(х) удовлетворяют однородным гра-
ничным условиям на концах отрезка [0; /] и являются собсгвенны-
d2
ми для оператора-------=-, вхоляшего в волновое уравнение. Следо-
dx
вательно, решение U(x,t) задачи (11.4),(11.5),(11.6) имеет смысл
искать в виде функционального ряда
<»	00	-тгЬ
= £ W) sn Vх’ (11|0)
к=1	*=1	•
где 7Д0, к g N - функции, определенные на [Q 7]
Найдем Tk(t), к с N, при этом считая выполненными следую-
щие условия:
1)	и0(х) gC2[Q/] , существует третья производная 1%1(х) — ку-
сочно непрерывная на отрезке [0;/] функция (имеет конечное число
разрывов первого рода), Ц,(0) - Ц,(/) - 1^(0) = 1^(1) = 0;
2)	ц(х) с С1 [О,/], существует ^(х) кусочно непрерывная на
отрезке [0;/] функция, ц(0) = ц(/) = 0;
3)	f(x,t)	7(0,0 = Ф.О - 0
Из ограничения 1) следует, что ряд Фурье функции и0(х) схо-
81
дится равномерно к самой Ц,(х)
лк ,
— ХОХ - коэффициенты Фурье, причем
4j(x) = £aAsin-— х, хс[О;/],	(11.11)
где ак у|ц)(х)эп
1 о
вк	~	^,~|2
ак =~^ и числовом ряд / |аЛ| сходится. Обозначим
™	*=1
Cj =sup|aj<oo.
AeN
Аналогично для функции Ц(х) из ограничения 2) получаем,
что
т	irk
uM==Yb^n~Tx^ Xc[O;/l,	(11.12)
*=i	'
.	2 г ... лк ,	,,	Л
где ок	|ц(х)$ЯП—— хих - коэффициенты Фурье, причем
* о	'
Ь	°° I'4' |2
bk - -j и ряд 22 bJ сходится. Обозначим С2 - suptd < со.
k	|“V 1	AeN 1
Ограничение 3) позволяет для каждого значения t из отрезка
[0;7] разложить функцию/(х/) в равномерно сходящийся по пере-
менной х ряд Фурье
«°	ттк
f(x,t) = £B„(0sin—х, X е[Q/],	<11.13)
А=1	'
где Bk(t) - у J f(x, Qsin— xdx g QQ T]. В соответствии с прави-
0	'

лом дифференцирования рядов Фурье |ВА(0| =
2 V	лк
е*(0 = 7 J 4х(*. О sin—xdx gC([O, Г]) - коэффициенты Фурье
’о	'
разложения функции fxAx,t) при фиксированном значении /. Нера-
венство Бесселя для Bk(t) имеет вид
82
Х|Я(о|22 7/|г„(х,оГ^.
*=1	1 о
2 1	2
Заметим, что 9(0 = 7J|Ux<* есть непрерывная функция
' о
своего аргумента г, так как ^(х, t) g C^G). Следовательно, суще-
ствует sup g(f) = С3 < со.
e^QTj
Формально подставляя ряды (11.10), (11.11), (11.12) и (11.13) в
равенства (11.4), (11.5) и учитывая свойства функций Хк(х), полу-
чаем:
Ё Я'(0Х*(х) + а2Ё	= Ё е»(0Х,(х), (х,0 е G,
*»1	*=1	. *=1
VJ
X	= £аЛ(х), х <= [О,/],
*=1	К=1
со	сю
£Т/(0)Хк(х) = £ьл(х), X e[Q/]
к=1	Л=1
(возможность почленного дифференцирования ряда (11.10) будет
обсуждаться в следующем пункте). Потребуем почленное выпол-
нение написанных равенств:
7;/,(0 + а%ТД0 = ВА(0,	(11.14.*)
^(0) = аА, 7/(0) = ^.	(11.15.*)
Для решения задач Коши (11.14.*),(11.15.*), *gN воспользу-
емся следующей леммой.
Лемма 1. Функция
1'
т(0 = -|щ)эпм(1-^	(11.16)
М о
является решением (и притом единственным) из класса
С2(О,Т] Г] задачи Коши для линейного дифференциально-
го уравнения второго порядка
Tz,(0 + Ц2Т(0 = в(0, 0 < f < Т,	(11.17)
Т(0)-Г(0) = 0,	(11.18)
83
где ц > 0 и В(0 g QO; Г].
Доказательство леммы 1. Единственность решения доказыва-
ется в курсе дифференциальных уравнений. Тот факт, что функция
ТД), определяемая формулой (11.16), является решением задачи
(11.17),(11.18), можно непосредственно проверить:
Т(0) = 0,
,	1	г	г
T'(t) = - ВДЭПО+	jB©COSg(f-!;)d;,
М	о	о
Т'(0) = о.
T"(t) = адсоэо-р/адэпна-гм =
О

Замечание 1. Конструктивное доказательство леммы 1 (фор-
мальное построение решения) будет приведено в качестве примера
использования фундаментальных решений дифференциальных
операторов (см. §28).
Следовательно,
лак, . / . лак, I . лак..
Tk(t) = аА cos— t + bk —-sn—t + —- I Bk(t>)sn—(f-
/ лак I nak	/
Итак, построен ряд
.АГ лак, , / . лак,
> aAcos—-t + bk—-sn——1 +
H I ^ак I
/ f .-к	- лак
’^Je^)9n~r
лак j	I
ЭПуХ.
(11.19)
11.3. Классическое решение. Докажем, что функциональный
ряд (11.19) сходится равномерно к некоторой непрерывной на G
функции. Для чего оценим его k-й член следующим образом:
sup IWKWl 2 sup |T*(0| 2 |а„| +	+
+——— sup (вА(^)эп—(Г-^
лак feJQT) о	/
M + -^sup|e*(0| =
лак лак нал
О
84
= W+-Ж +	sup|e,(t)|s;|c, +—c2 +—Vq] 4 -
к как пак г^цту ' [ na na^ J/с3
Здесь в последнем неравенстве учтено, что
supsuple*(t)k sup |£|ад)|2 < supTiXf) =7сГ
kcN МО; Г]	МалУки	МО; Г]
Таким образом, ряд (11.19) мажорируется числовым сходящимся
рядом, следовательно, он сходится равномерно на G к некоторой
функции и(х)’
u[x,t) = YTAWx).	(11.20)
*=1
Более того, функция n(x,f) принадлежит классу C(g), так как
члены ряда 7^(0^*(х) непрерывны на G .
Аналогичным образом докажем теперь равномерную сходи-
от	от	от
мость рядов £т;'(0Х«(х), В(0*М £T/(t)X;(x),
к-0	Л=0	*=О
^Tk(t)Xk(x) и ^^(0^(х) в G. Тогда получим существова-
ло	*=0
ине непрерывных на G производных q(x,t), Ц(х,1), <4г(х» 0»
4t(x> 0 = X V(0XA(x) н Ца(х,0 = £ Th(t)Xfkf(x). Доказательство
Л=О	к=О
проведем в наиболее сложных случаях - для вторых производных
по t и х, так как первые и смешанная производные оцениваются
проще.
от
Для к-го члена ряда £ Tk(t)Xk(x) справедлива оценка
к-0
supjVtOX^x)]< sup|T/'(f)|s supBA(0-[^) a„cos-^t-
(x,f)<=G	М0;П	MQT]	X / /	I
пак, . пак. пак\_.^. . пак..	(паЛ2
85
От| ***	2
Числовой ряд £ jjSA(£)| сходится, так как для любого п g N
*=1 о
справедлива цепочка неравенств
п 2 ГГ» г!
Ё di < f £|вд^)| % < fat,)#, < С3Т.
*=1 о	о L*=i	J о
Следовательно, мажорирующий числовой ряд сходится (как сумма
со
сходящихся рядов), поэтому ряд ^Tk(t)Xk(x) сходится равно-
го
мерно в G.
X X 2
"	" (ттк\
Для ряда £ Тк (t)Xk(x) 	—- ] Тк (t)Xk(x) еще проще:
к=0	*=(Л I '
- мажорируется сходящимся числовым рядом.
Подведем итог.
Теорема 1. Пусть выполнены условня 1), 2) и 3), перечисленные
в предыдущем пункте. Тогда смешанная задача (11.4),(11.5),(11.6)
в классе функций C2(G)mC1(G) имеет единственное решение,
86
причем ряд (11.19) равномерно сходится к этому решению.
Доказательство теоремы 1. Единственность решения будет до-
казана в следующем пункте (теорема 2), а сходимость ряда (11.19)
к решению (н, таким образом, существование решения) была дока-
зана выше 
Пример 1. Решить смешанную задачу
цДх, 0 - цДх, 0 = Г(х) = (л - x)xt, х G(0;7i), t g (0; Г),
u(x,0) = ц>(х) = 0, ц(х,0) - ц(х) = sin2 х,
<40,0 = <4л, 0 = 0.
Решение. Заметим, что функции, участвующие в этой задаче,
удовлетворяют условиям 1), 2) и 3). По этой причине можно вос-
пользоваться теоремой 1 и строить решение в виде ряда (11.19)
Найдем коэффициенты аА, bk и Bk(t) разложения в ряды Фурье
функций Ц)(х), ц(х) и f(x, 0 соответственно:
аА = 0, RgN;
b.= — fan2 xsnkxdx = — f(1 - cos2x)sinAxck = — fsin/ocdx-
71 о	"о	71 о
fsinffc + 2)xdx - ~ jsinfk - 2)xdx =
f0, k=2n
J 2	1
0, к=2г/
8-;<, fc=2n-1’
1	о .
,	----, к= 2п-1
пк л(к + 2) л(к-2)
S«(0 2 “f
t *oj
4 r . . .
= —7 isnkxdx =
ПК 0
2 я
;)sin/cxdx = —- |(л - 2x) coskxdx =
nk *
0, k=2n
8	, n g N.
R=2n"1
Вычислим интеграл, входящий в выражение (11.19):
J^sinMt-^ = |-|fcosW-^ = | anW
k2 '
87
Получаем результат
«х*.о=£ -
8	sn(2n-1)f t
n(2n - 1)2 (2л -1)2 - 4 + (2n -1)3
sin(2n-1)f| .
----------- sn(2n-1)x
(2п-1)4
Пример 2. Решить смешанную задачу
цДх, 0 + 4и(х, 0 = цДх, О + 4f2x + 8f, х g (Q1), t > О,
i/(x,O) = O> ц(х,0) = 2,
u,(O,t) = u,(1,t) = f
Решение. Будем действовать в соответствии со схемой метода
Фурье. Перейдем к однородным граничным условиям, сделав за-
мену и(хД) = v(x, f) + xf2, где функция v(x, 1) — решение смешан-
ной задачи
vw(x, 0 + 4Цх, 0 - цДх, 0 = 8? - 2х, х g (Q1), t > 0, (11.20)
v(x,0) = О, vf(x,0) = 2,	(11.21)
vx(O,t) - vx(1,f) = 0.	(11.22)
Ёудем искать функцию v(x, t) в виде функционального ряда с раз-
деленными переменными х и t:
Их,0~^Й«)Х*(х)	(11.23)
к
От функций Хк{х) потребуем, чтобы они являлись собственными
для дифференциального оператора —т-у и удовлетворяли одно-
dx
родным граничным условиям второго рода:
-Х''(х) = хЛ(х),
5^(0) = 5^(1) = о.
Находим
= it2k2, Хк(х) = соЗтгКх, к g N и {0}
Далее разложим функцию х, входящую в уравнение (11.20), по
системе {со8зскх}*иО:
88
х = У cosnkx,
*=0
Q= fxd* = l,
О
1	2 1	Го, к = 2л
q = 2fxcos7t/(xcfc = —- [аплкхс/х- <	4	,neN.
о	пко	—Ъл>к=2п-А
I nlc
Формально подставим ряд (11.23) в уравнение (11.20) и начальные
условия (11.21):
£ t"(f)X„(x) + (4 + тА2)£ Т,(0Х„(х) = КХ0(х) - 2У <^(х),
Л=0	Л-0	fc=o
£ Тд(О)ХДх) = О, £ 7>)ХДх) = 2Х0(х).
к-0	к=0
Потребуем почленного выполнения написанных равенств:
Ъ"(0 + 4то(0 = а-1,
Го(О) = О, 7о'(0) = 2;
И
7l"(f) + (4+n2fc2)fk(0 = -2ci,
7i(0) = 7/(0) = 0,
fceN.
Решая эти задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений, находим
W) = 4cos2f + 2f-^.
4	4
WO = - . 2Ч.; Ь - созлМ + тЛЧ к е N.
4 + 71 к \	I
В итоге получаем ряд
где а* = 4 + л2(2л -1)2.
89
Остается отметить, что ряды ^7^(f)XK(x), T“(t)Xk(x) и
к	к
]Г Tk(t)Xk(x) сходятся равномерно на множестве [Q1] х [О'со), так
к
как мажорируются сходящимся числовым рядом V—=—. Следо
вательно, можно записать
u(x,t) = xt2 + -cos2f + 2t- — + Д-У	C0S7t(2n- 1)x.
4	4 n2h(2n-1)2a2
11.4. Единственность решения. Для полноты картины оста-
лось изучить вопрос о единственности решения.
Теорема 2. Рассмотрим в прямоугольной области
G = (Q /) х (Q Т) смешанную задачу для волнового уравнения на
отрезке
цДх, I) - a2um{xt t) = f(x, 0, (х, 0 е G
с начальными условиями
/j(x,O) = ц,(х), ц(х,О) = ц(х)
н граничными условиями одного из типов
либо	/ДО, 0 = v(t), U(l, t) = p(f),
либо	Ц(0,0 = v(0, <4(/, 0 = Ц(О,
либо М°.О Чс(°>0 = v(0, W) +	<4(М) = М(0.	> °-
Эта задача может иметь не более	одного	решения	в классе
C2(G)nC’(S)
Доказательство теоремы 2. Пусть	u(x,t) и	Й(х,1)	- два реше-
ния из указанного класса.	Тогда	их	разность
w(x, t) - и(х, t) - и(х, t) удовлетворяет однородному волновому
уравнению
Lw(x, t) = wtt(x, t) - а2и^(х, t) = 0, (x, t) g G,
однородным начальным условиям
wfx.O) = wf(x,0) = 0
н однородным граничным условиям соответствующего типа
и(0Д)= и(/,П = 0,
90
или	wx(О, t) = wx(J, 0 - 0,
или	kjи<0, f) - wx(O,0 = к2и(/, О + wx(l, 0 = 0, к2 > 0.
Получим для функции w(x,/) аналог энергетического неравенст-
ва, для чего проделаем уже привычные преобразования (см. §5):
2wtLw = 2wtwt( - 2а2wxx = (uf )f - 2(azwxwJ* + 2a2wxwtx =
= (и^+аги^)(-(2аХи',)х.
Следовательно, для произвольного т g (Q Г] и малого 8 > О спра-
ведлива следующая цепочка равенств:
О = j J2wt(x, t)Lw(x. t)dtdx - j dt J( v^(x, 0 + а2и£(х, t)}d* -
«6	6	6
t-Б f-6	т-6	- /-6
-2a2 jcff j(wx(x,0wf(x,0)xck=: J dt-~ j(uftx,0 + £wfa,t))dx-
8	8	6^6
T-6
-2a2 J(w,(/ - 8, t)w,(J - 8, t) - w,(8, t)wi(8, tydt =
6
t-6	1-6
= j(v^(x,T - 5) + а2и^(х,т - 8)]cfr- j(v^(x,8) + a2v£(x,ty]dx-
Б	6
t-6
2a2 J(w,(/ - 8, f)wt(l - 8, t) - wx(8, f)w,(8, t))dt.
6
Устремим теперь 8 к нулю, учитывая, что функции Wx н wt при-
надлежат классу С([О./] х [0; Г])
I	I
f(wftx,T) 4- а2и^(х,т)]ск - f(uftx.O) + a2wJ(x,0))cfcc =
о	6
= 2а2 J(w,(J, t)w,(l, t) - wx(0. f)w,(0, t))dt
0
I
Обозначим £(0 = f(wf(x,0 + a2u£(x,0)cfc н учтем, что
о
S(0) = 0 в силу однородных начальных условий. Следовательно,
91
£(г) = 2a1 f(wx(l,t)w,(l,t)-wK(O.t)w,(O,t))dt. (11.24)
0
Рассмотрим следующие варианты.
1)	Для граничных условий первого рода wfOJ) =	- 0, по-
лучаем Wf(0, t) = wt(l, t) = 0 и равенство (11.24) переходит в
Цт) = О.
2)	Для граничных условий второго рода wx(0, t) =	= О,
следовательно, Е(т) = 0.
3)	Для граничных условий третьего рода проследим за следую-
щими преобразованиями:
О < Е(т) = 2а2 {(АИЛ *>,(*. О -	0^,(0, t))dt =
о
= -a2 |//cl(wz(0,0)t + ^2(и^(/,	- -а2^ и^(0, т) + к2\л?(1, т)) < 0.
о v
Следовательно, Е(т) = 0
Итак, во всех трех случаях справедливо равенство Е(т) = 0 для
произвольного т е [0; Т].
С учетом гладкости функции w(x,r), получаем, что мН) илн
и = и, что н требовалось доказать 
Глава III
Задача Коши и смешанная задача для
уравнения теплопроводности
§12. Уравнение теплопроводности. Принцип
максимума
12.1.	Основные задачи для уравнения теплопроводности.
Перейдем к рассмотрению начальных н начально-краевых задач
для уравнения теплопроводности в Rn:
ц(х, 0 - azAxu(x, 0 = f(x, 0, х е Rn, t g R.	(12.1)
Как и для волнового уравнения переменная t имеет физический
смысл времени, ах- пространственных координат. В этой главе
будем считать, что а > 0.
Для уравнения (11.1) ставятся две основные задачи.
1)	Классическая задача Коши. Пусть G = Rn х (0; Т) - область
в пространстве переменных (х, t), Т — момент времени, ограничи-
вающий наблюдение за процессом распространения тепла; f(x, t)
н Ц)(х) - заданные функции из классов C(G) н C^R" ) соответст-
венно. Требуется найти в классе CzJ(G)nC(G) функцию u(x,f),
удовлетворяющую уравнению теплопроводности
ц(х, 0 - а2Ахи(х, Г) = Дх, 0, (х, t) g G
н начальным условиям
ufx.O) = Ц)(х), х g Rn
2)	Смешанная задача. Пусть ‘D ~ область в R" с кусочно глад-
кой границей dD, G = D х (0; 7); f(x,t), и0(х) н v(x,t) - задан-
93
ные функции из классов C(G), C’(D) и C{dD х [Q 7]) соответст-
венно. Требуется найти функцию U(x, t) нз класса
Cj}(G)n CJJ(g), удовлетворяющую уравнению теплопроводно-
сти
ц(х, 0 - a2AKt4x, 0 = f(x, t), (х, t) е G,
начальным условиям
t4x,O) = q>(x), xgD
и граничным условиям
Ctt^X't) + р— u(x,t)
дп
= v(MMg[0;7],
хеЭО
где п - внешняя единичная нормаль к границе dD области Дан
Р - коэффициенты, определяющие тип граничных условий.
Замечание 1. В случае, когда Р - 0, достаточно требовать от
функций ц,(х) н и(х, 0 принадлежность классам C(D) и
C"(G)nC(G) соответственно.
Для существования решения смешанной задачи необходимым
является условие согласования
= v(x,0)
xe5D
12.2.	Принцип максимума в ограниченной области. При об-
суждении корректности постановок классической задачи Коши и
смешанной задачи для волнового уравнения использовалось энер-
гетическое неравенство. В случае уравнения теплопроводности для
тех же целей оказывается полезным принцип максимума
Пусть D - ограниченная область в Rn. Введем следующие обо-
значения:
D0 = {(x,t): xeD, t=0},
Sy = {(x,t) : xc5D, 0<t<T},
VT = {(x,t) ; xeD, 0<t<T},
причем 0 < T < co. Выделим класс функций
94
Cj?(Vr)nC(VT)	(12.2)
Лемма 1. Пусть функция w(x,t) из класса (12.2) удовлетворяет
в Ут неравенству
Lxw(x,t) = wt(x,t) - а2Дхи<х,t) + Xw(x,t) < 0,	(12.3)
при некотором X >0. Тогда, если supw(x,f) > 0, то для произ-
vr
вольной точки (х, t) из Уг выполняется неравенство
w(x,t) < sup w.	(12.4)
Доказательство леммы 1. Прежде всего заметим, что w(x>0 -
непрерывная на компакте Ц- функция. По этой причине значение
sup iv конечно и достигается хотя бы в одной точке из Уг. Нера-
ц
венство (12.4), таким образом, означает, что значение supw не
vT
может достигаться в точках множества Уг, то есть нз равенства
w(x, t) - sup iv следует, что (х, t) е Do и бу. Допустим теперь про-
гивное:	существует точка (х0, f0) е VT такая, что
w[x0, t0) = 5УР w > 0. Тогда согласно необходимому условию мак-
снмума справедливо неравенство Axw(x0,t0) <, 0. подставляя ко-
торое в неравенство (12.3), получаем
wf(x0J0) < -X(x0,t0)w(x0J0) < 0
Следовательно, в интервале (0; f0) существует момент времени /,
для которого w(x0, 0 > (*о- k)» что противоречит выбору точки
(*оЛ) 
Из леммы 1 вытекает следующая
Теорема 1 (принцип максимума). Если функция и(х, t) принад-
лежит классу (12.2) и удовлетворяет в VT однородному уравнению
теплопроводности
ц(х, 0 - а2Дхг/х, 0 = 0,	(12.5)
95
то для произвольной точки (х, t) из VT выполняются неравенства
inf u<u(x,t)< sup и.	(12.6)
Do^Sr
Доказательство теоремы 1. Без ограничения общности можно
считать, что sup и > 0, так как из того, что функция u(x,f) удовле-
VT
творяет неравенствам (12.6), следует, что н функция u(x,f) + const
удовлетворяет тем же неравенствам.
Пусть X - произвольное положительное число. Рассмотрим
функцию w(x, t) = и[х, t)e }t. Она удовлетворяет в VT равенств)
Lxw(x,t) = 0, н, следовательно, по лемме 1 выполняется неравен-
ство
еми(х, t) < sup e~*Tu(£. т), (х, 0 g VT.
(4л)еО0<?^
Перейдем теперь к пределу в обеих частях последнего неравенства
при X -> +0, получаем
и(х, 0 <	sup Ufc, т), (х, f) g VT
Таким образом, доказана правая часть утверждения (12.6). Для
доказательства левой достаточно заметить, что функция u{x,t)
так же удовлетворяет уравнению (12.5), причем - sup(-u) - inf и
DovS

Замечание 2. Усилить принцип максимума (12.6), поставив
строгие знаки неравенства, нельзя (например, функция
u(x,t) = const удовлетворяет уравнению (12.6)).
Замечание 3. Можно не требовать выполнение уравнения теп-
лопроводности (12.5) при t = Т, в этом случае нестрогие неравен-
ства (12.6) останутся справедливыми при t - Т в силу непрерыв-
ности функции и(х, t) на VT .
12.3.	Принцип максимума в неограниченной области для
класса ограниченных функций. Пусть теперь D - Rn. Выделив
новый класс функций
96
Cg(R" x (Q Г]) n C(R" x [Ц 7]) n fl(R" x (Q 7]),') (12.7)
можно сформулировать аналог теоремы 1.
Теорема 2. Пусть функция u(x,t) принадлежит классу (12.7) и
удовлетворяет в Rn х (Q Т] однородному уравнению теплопро-
водности (12.5). Тогда для функции справедлив принцип макси-
мума
inf t/^,0) <u(x,t) < sup t^,0), (x,f) eRn x (QT].	(12.8)
£eR"	£GRn
Доказательство теоремы 2. По соображениям, приведенным в
доказательстве теоремы 1, можно ограничиться рассмотрением
только правой части неравенства (12.7), считая при этом, что
С = sup u^.O) > 0.
£6Rn
Основная идея доказательства состоит в сведении к случаю ог-
раниченной области при помощи барьерной функции.
Рассмотрим для произвольного фиксированного числа Л. > О
вспомогательную функцию (х, t) ~ u[x, t)eft — e(|xj2 + 2na2fj,
зависящую от параметра е > 0. Покажем, что значение sup we(£,0)
<eRn
является положительным. Из определения С следует, что сущест-
вует точка х0 g Rn \{0} такая, что <Лхо.0) >^С. Следовательно.
С
существует число е0 - ——-у такое, что для любого е < е0 выпол-
2|х0|
няется неравенство sup We(^,0) > | С > 0. Отметим так же, что лрн
£eRn
t = 0	справедливо	неравенство
WE(x,0) = u(x,0) - е|х|2 < и(х,0) < С, х g Rn Проверим выполне-
ние в Rn х (Q 7] неравенства (12.3), необходимого для примене-
ния к функции и/ леммы 1:
(х.Г) = а2Ах + л)ч(х,0 = ММх.Ое") -
’) Класс В(М) - множество ограниченных на М функций.
4 В. Уроев	97
- ех(|х|2 + 2na2f) = - eZ^|x|2 + 2na2tj < О.
Зафиксируем произвольное £ < £0. Тогда из вида функции w н
ограниченности функции и следует существование числа тако-
го, что для произвольного радиуса R > выполняется неравенст-
во vv (х, t) < 0 для |х| = R и t g[0; 7]. Применяя к ограниченной
области Dr = |х е R" : |х| < н функции we лемму 1, получаем,
что для точек (х, f) g DR х (0; 7] выполняется неравенство
vv (х, t) < max<! sup we(£,0), sup wE (£, т) < C.
kl=Rt40;TI
Сл едовате л ьно,
iv,(x, 0 = u(x, t)e u - e(|xj2 + 2na2t) < C, (x, t) e R" x (0; 7],
так как R может быть сколь угодно большим. Далее совершим два
предельных перехода: при £ -> +0, и затем при X -> +0 (именно в
такой последовательности!). Окончательно находим
iXx.O^C, (x,f)eRn х(0;7].
§13. Единственность решений задачи Коши н
смешанной задачи для уравнения теплопроводности
13.1.	Единственность решения смешанной задачи. Уже здесь
можно дать частичный ответ на вопрос о корректности постановки
смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
Теорема 1. Пусть D - ограниченная область в Rn. Если реше-
ние и(х, t) смешанной задачи для уравнения теплопроводности
ц(х,0 - а2(х,()А„й(х,0 = Г(х,О, (x.t) е G = D х (О, Г) (13.1)
с начальными условиями
U(x,0) = Ц/x), и0 g C(D)
и граничными условиями первого рода
И*. 'leao = *(* 0. v G C(dD X [0,7])
(13.2)
(13.3)
98
существует в классе функций C2,J(G) n C(G), то оно единственно
в этом классе н непрерывно зависит от начальных и граничных
данных (в равномерной метрике).
Доказательство теоремы 1
Единственность. Пусть и и и — решения задачи (13.1),(13.2),
(13.3). Тогда их разность U-U-U удовлетворяет однородному
уравнению теплопроводности с однородными начальными и гра-
ничными условиями:
ц(х, t) = а2(х, t)&xii(x, t), (х, t) е G,
u(x,0) - О,
Согласно принципу максимума в ограниченной области (теорема
1, §12) выполняются неравенства
О < и(х, 0 < 0 (х, fl е G
Следовательно, U s и в G .
Непрерывная зависимость. Пусть теперь и и и — решения за-
дачи (13.1),(13.2),(13.3), отвечающие различным начально-краевым
данным: ц,, v и ц,, v соответственно. Тогда разность и = и - U
является решением смешанной задачи для однородного уравнения
теплопроводности
ц(х, 0 ~ а2(х, t)kxtfx, 0, (х, 0 g G
с начальными условиями
i4x,0) Ц)(х) - <70(х)
и граничными условиями
= v(*O-v(x.O-
Воспользуемся для функции и принципом максимума, получаем
оценку
|п(х, 0 - и(х, о| < max] supta - и0\, sup |v - v| L (x, t) e G,
1	1	( D 1	1 5Ох[0;Гу и
что означает непрерывную зависимость решения от начальных и
краевых данных в равномерной метрике 
13.2.	Единственность решения задачи Коши. Из принципа
99
максимума в неограниченной области вытекает следующая
Теорема 2. Если решение задачи Коши
ц(х, 0 - а2(х, t) = f(x, Г), (х, t) g G = Rn х (Q Т), (13.4)
t/x,O) = Ц)(х), Uq g C(Rn)	(13.5)
с ограниченными начальными данными Uq существует в классе
функций C2‘/(G)n С(в)г> B(G), то оно единственно в нем и не-
прерывно зависит от начальных данных (в равномерной метрике).
Единственность решения можно доказать в более широком
классе функций.
Определение 1. Будем говорить, что функция и(х,1) принадле-
жит классу F(G) функций ограниченного роста тогда н только
тогда, когда существуют положительные постоянные Сир такие,
что для произвольной точки (x.OgG выполняется неравенство
|и(х, t)| < Ctfw
Обсудим корректность этого определения. Надо доказать, что
множество функций F(G) действительно образует класс, то есть,
если функции и и й принадлежат множеству F(G), то н их ли-
нейная комбинация аи+ай также принадлежит F(G). Пусть
СрР, и С2,Р2 - постоянные соответствующие и и и, тогда для
модуля значения линейной комбинации аи+ ай в точке (x.f) g G
можно записать оценку
|aU(x, 0 + ай(х, f)| < |ац(х, f)| + |а2(х, f)| lalC^eP11*1 + |a|C2epzX < СбР|х),
где С - |а|С, + |а|С2, р - macjpf, р2}. Следовательно, функция
аи+ ай принадлежит классу F(G).
Теорема 3. Если решение задачи Коши (13.4),(13.5) с началь-
ными данными Ц) ограниченного роста существует в классе функ-
ций
C2(’(G)nC(G)nF(G),	(13.6)
то оно единственно в этом классе.
Доказательство теоремы 3. Достаточно показать, что в классе
100
(13.6)	не существует отличного от тривиального (тождественно
равного нулю) решения задачи Коши для однородного уравнения
теплопроводности
ц(х,О = а2ДХ*.О. (V)cG=Rn x(QT)	(13.7)
с однородными начальными условиями
й(х,0) = 0.	(13.8)
Допустим противное: существует решение u(x,t) задачи (13.7),
(13.8),	для которого supu> 0 или inf и< 0. Рассмотрим две эти
е	G
возможности отдельно.
1)	Пусть supn > 0. Поскольку функция u(x,t) по условию прн-
G
надлежит классу функций конечного роста F(G), то существуют
положительные постоянные Сир такие, что для точек (х, t) из
G выполняется неравенство |tXx,f)| < Се^*’. Рассмотрим функцию
weX(x,0 - u(x,t)ex< - eexp(4a2p2()J_[ch(2px/),
/«1
зависящую от положительных параметров е н X. Обсудим далее
условия применимости к функции weX леммы I из предыдущего
параграфа.
а)	Из неравенства supu> 0 непосредственно следует существо-
G
вание чисел е0 > 0 н Хо > 0 таких, что для е < е0 и X < Хо вы-
полняется неравенство supwKX > 0.
G
б)	Легко проверить, что функция exp|4a2p2f)J_[ch(2px/) удов-
i=i
летворяет однородному уравнению теплопроводности (13.6), и
следовательно, для точек (х, t) g G можно записать
кЪМ	= к(<Хх,0е ") -
-EXexp(4a2p2f)P[ch(2px/) = -еХ exp^4a2p2f){~[ ch(2px/) < 0.
101
в)	Для t = 0 и х е Rn справедлива следующая оценка:
wr).(x,0) = и(х.О) - cfj ch(2₽x') = -еПсЬ(гРх') < 0.
/=1
г)	Поскольку |t/(x,f)| $ CePW, (x,t) G G , то при фиксированных
значениях e и X существует положительное число такое, что
для произвольного радиуса R> выполняется неравенство
wrX(x,0 < 0 для |х| = R и t е[0;Т].
Эти обстоятельства позволяют применить к функции при
фиксированных значениях е < е0 и X < Хо в шаровой области
DR = (xeRr: |х| < радиуса R> лемму 1 предыдущего
параграфа, получаем
Г
%(x,l)<ma<-!supwr>(^0), sup %.(4,т)^0, (x,f)eDftx[0,T),
Учтем, что радиус R может быть сколь угодно большим, приходим
к неравенству
wBX(x,t)<0, (х,0 gG
Совершая предельный переход прн с —> +0 и X -> +0, находим
u(x,t)<0, (x,f)eG,
что противоречит предположению supu> 0.
с
2)	Пусть inf 17 < 0 - Этот случай сводится к предыдущему, для
о
чего достаточно заметить, что, если функция u(x,t) является ре-
шением задачи (13.7),(13.8), то и -l/x,t) - решение этой задачи,
причем inf и = -sup(-u).
g е
Итак, н=0 в G , что и требовалось доказать 
§14. Построение функции источника для уравнения
теплопроводности с помощью автомодельного
решения
14.1.	Группы преобразований. Дадим необходимый для даль-
нейшего набор понятий.
Рассмотрим в области Gc R” произвольное уравнение в част-
ных производных
F(x, u(x), D“’i(x).О“”(/х)) = 0, x e G. (14.1)
Пусть U - взаимно однозначное преобразование независимых пе-
ременных, отображающее область G на себя:
и
G<r>G, x = U(x}.	(14.2)
Определение 1. Уравнение (14.1) называется инвариантным от-
носительно преобразования U независимых переменных (14.2),
если оно равносильно уравнению
F(U(X),<j(U(x)), D“'<j(L/(x)).£^-u(l/(x))) = 0, х е G, (14.3)
то есть функция и является решением уравнения (14.1) тогда и
только тогда, когда она является решением уравнения (14.3).
Пусть теперь преобразование U зависит от скалярного парамет-
ра а, который может принимать значения из области D с R. Обо-
значим: Ua - преобразование, отвечающее значению параметра
а.
Определение 2. Множество преобразований {t/a}aeD называет-
ся однопараметрической группой преобразований, если выполне-
ны следующие свойства:
1)	для любых значений параметров оц и а2 из области D суще-
ствует единственное значение a g D такое, что Ua = Uay о Ua2.
Таким образом, на множестве Dx D определена функция у :
а = y(ava2);
2)	в D существует единственное значение параметра <х0 такое,
что для любого а из D выполняются равенства
y(a0,a) = y(a,a0) = a, то есть t/ac суть тождественное преобра-
103
102
зование;
3)	для любого а е D должно существовать единственное
Р 6 D такое, что у (а.р) = у(Р,а) = а0, то есть 17р - обратное к Ua
преобразование.
Заметим, что поскольку композиция преобразований обладает
свойством ассоциативности (U о Н ) о U ~U c(U oU ) то
операция у так же обладает этим свойством:
y(y(ai,az),a3) “ т(сЧ»т(012,.аз)) - Следовательно, у есть групповая
операция на множестве D.
Определение 3. Говорят, что уравнение (14.1) допускает одно-
параметрическую группу преобразований {<Л}аеС) , если для лю-
бого a gD уравнение (14.1) инвариантно относительно преобра-
зования (7а.
Определение 4. Функция /(х) называется инвариантом одно-
параметрической группы преобразований {^/и}ае£), если для любо-
го а е D выполняется тождество /(х) = /(Ua(x)), X е G.
14.2.	Автомодельное решение. Рассмотрим теперь однородное
уравнение теплопроводности
ц(х,0 - а2Дх1/х,П = 0, (x.t) gG = Rn х (Qco) (14.4)
и однопараметрическую группу преобразований
7 = at
~ k , a g D = (0;со),	(14.5)
х = ах
где А:— постоянная.
Множество преобразований (14.5) действительно образует
группу: у(а1,а2) « а,а2, а0 = 1, Р = % •
Выберем постоянную к так, чтобы уравнение (14.4) допускало
группу (14.5), то есть потребуем, чтобы уравнение (14.4) было
равносильно уравнению
ц(а*х,а() = а2АхЦа*х,а(), (x,f) е G,
которое можно переписать в следующем виде:
aUf(x,T) - а^а^А^х, Г), (х, 7) е G.	(14.6)
104
Сравнивая уравнения (14.4) и (14.6), находим
2
(14.7)
Легко проверить, что = -д - инвариант группы (14.5).
Замечание 1. Возможно, в качестве инварианта £ удобнее было
бы выбрать функцию Е, = —. Первое соображение в пользу та-
кого выбора техническое: в уравнении (14.8), которое будет полу-
чено далее, отсутствовал бы коэффициент 1/а2. Более содержа-
тельное соображение вытекает из применения метода размерно-
стей, опирающегося иа поиск безразмерной переменной, каковой в
г X
рассматриваемом случае как раз и является q = —д.
Определение 5. Решение уравнения (14.1), зависящее только oi
инвариантов некоторой допустимой однопараметрической группы
преобразований, называется автомодельным решением.
Попробуем найти автомодельное решение уравнения (14.4) ви-
да
tfx, t) =	
Подставляя в уравнение (14.4), находим
1 Г . / х а2 ./ хА _
-----x grad л -----------Дг - О,
или
A^) + -^(5,gralfte)) = 0	(14.8)
za
Ищем решение уравнения (14.8) в следующем виде:
п
1=1
где g - скалярная функция скалярного аргумента, найти которую
труда не составляет:
105
(0 = -^s<©.
откуда
S (	12 )
9(0 = C, jexp^^-jcfi. + C2.	(14.10)
Здесь Ci, C2- произвольные постоянные.
14.3. Функция источника. Полученное автомодельное реше-
ние обладает двумя недостатками
I х ।
Во-первых, при t -> +0 функция (/х, t) = поточечно
стремится к функции Ц,(х), тождественно равной константе. По
этой причине автомодельное решение мало полезно при решении
задачи Коши.
Во-вторых, физический смысл имеют лишь решения и(х,1)
уравнения теплопроводности (14.4), достаточно быстро убываю-
щие на бесконечности (при |xj —> со ) вместе со своими производ-
ными первого порядка. Для таких функций из класса
Cxt1(G) n C(G), удовлетворяющих уравнению (14.41 справедлив
закон сохранения
JlXx, t)dx = const при t > 0,	(14.11)
R"
так как интегрирование обеих частей уравнения (14.4) по х дает
~ (и(х, t)dx = — lim fи(х, t)dx = lim [ц(х, t)dx =
dt A	dtR-™*	R—>w •
Rn	|x}<;R	|x|5R
= a2 lim jДхи(х,t)dx = a2 lim jdivx(gradx tfx,t))dx =
°°|x|sR
= a2lim f (gradxu(x,0,-^lds, = 0
Но автомодельное решение закону сохранения (14.11) не удовле-
творяет.
Будем искать решение уравнения (14.4), удовлетворяющее за-
кону сохранения тепла, в виде
106
1Ш) = с(О?Ш •
Функции с и f найдем из равенств (14.4) и (14.11), в частности из
закона сохранения (14.11) для функции с(0 получаем следующее
представление:
cfZ)(Vt)"p(Od; = cwtf,
R"
откуда
Здесь С =	* -константа, которая будет выбрана позже
J f&w
Rn
Уравнение (14.4) приводит в свою очередь к следующему соот-
ношению:
или
xj
c777~a2^f^l 77 7 П
П	\ylJ Zl'Vt	\"V*7 < _Р*У
Учтем выражение (14.12) для функции 0(f), получаем
UO.
107
Это равенство будет выполнено, если потребовать очевидного
тождества
|^)4^)+a2//'fc)=o.
которое можно преобразовать к следующему виду:
1(^))'+(а^))'=0,
откуда
i^) + a2h'(?) = C,,	(14.13)
где Ci — константа. Из условия убывания на бесконечности следу-
ет, что С, = 0. Решая уравнение (14.13), находим
ад = с2Ц-^).
Здесь константу С2 можно положить равной единице, поскольку
уже есть произвольный постоянный множитель С.
Итак,
Постоянную С удобно выбрать так, чтобы выполнялось условие
нормировки
ju(x,f)dk = 1, t> 0,
Rn
то есть
108
= c[2ajnj'.
Выпишем окончательный результат:
1	( W21
<4*. О = . ,„^-7e<P -U7 •	(14.14)
Лл?)	48 v
Это и есть функция источника для уравнения теплопроводности.
Стандартное обозначение для нее - G(x, t)
Свойства функции источника G(x,t):
1)	функция G(x,f) принадлежит классу C"(Rn х(0;о>)) и удов-
летворяет однородному уравнению теплопроводности (14.4) в об-
ласти R"x(0;oo);
2)	при t > 0 справедливо тождество |G(x, t)dx = 1;
Rn
3)	для любого числа 8 > О существует предел |G(x,t)df-» О
при t	+0.
Доказательство свойств.
Свойства 1) и 2) следуют из построения функции G(x,t) и ее вида.
Свойство 3). Выберем и зафиксируем произвольное число
8 > 0. Проследим за следующими преобразованиями:
Из сходимости несобственного интеграла je d; следует спра-
R"
ведливость предельного перехода
]G(x,t)dx = Je^cfc, -> 0 при f -> +0.
|ф£ И
109
Замечание 2. При изучении обобщенных функций будет пока-
зано (см. §30), что функции G(x, 0 переменной х, зависящие от
параметра I, при стремлении / к нулю образуют 5-образную после-
довательность, то есть в пространстве обобщенных функций Dz
имеет место сходимость G(x,t) -> 5(х) при t -> +0.
Замечание 3. Из свойств функции источника G(x, t) следует ее
физический смысл: G(x, t) — распределение температуры в одно-
родном пространстве в результате точечного выброса единицы
тепла в точке х - 0 в момент времени t = 0.
§15. Формула Пуассона решения задачи Кошн для
однородного уравнения теплопроводности
15.1.	Свертка функций. Введем основополагающее понятие.
Определение 1. Пусть f(^) и <Х£>) - функции в Rn Если для
любой точки X g Rn существует несобственный интеграл
Л(Х)= f f(x - £)д(4)с£,
R"
то он называется сверткой функций f и g и обозначается
/Xx) = (f*g)(x).
Свойства свертки:
ПО
1)	коммутативность: если существует свертка f*g, то сущест-
вует свертка g* f, причем д* f - f*g;
2)	линейность: если существуют свертки ^*д и f2*g, то для
произвольных постоянных а, и а2 существует свертка
(оц + а2 f2)* д, причем (оц /, + а2 f2)* д - аД /j* д) + а2( f2* д);
3)	дифференцирование свертки (по одной из переменных х*):
пусть функции f и g из классов C^(Rn) и C^Rn) соответственно
таковы, что существует их свертка f* g, и для любой точки х0 из
Rn существует окружающий ее шар Вг(х0) ~ |х: |х-х0|<г|
Q
такой, что несобственный интеграл |д(£)—7 Г(х- сходится
1 дх1
равномерно при х е Вг(х0), тогда свертка (М д)(х) дифференци-
руема по переменной х/, причем
(15-1)
Доказательство свойств.
Свойства 1) и 2) следуют из свойств интегралов.
Свойство 3). Рассмотрим функцию F(x,£) = f(x - £)g(£). В
сделанных предположениях для нее выполняются свойства
еС’ (R2") и = Л f(x - О<ХО-
к’ ох	ох
Следовательно, по правилу дифференцирования неопределенных
интегралов, зависящих от параметра, получаем
Л	(15.2)
dx R<	^dX
гак как интеграл, стоящий справа, согласно условиям сходится
равномерно в каждом из шаров, покрывающих все Rn. Равенство
(15.2) легко переписать в виде (15.1) 
15.2.	Интеграл Пуассона. Рассмотрим задачу Коши для одно-
родного уравнения теплопроводности
ц(х, О = а2Дхи(х, 0, (х, 0 е G = Rn х (0; 00)	(15.3)
111
с начальными условиями
и(х,О) = ио(х)	(15.4)
Учитывая физический смысл функции источника G(x,/), по-
строенной в предыдущем параграфе, можно предположить, что
для решения u{x,t) задачи (15.3),(15.4) при t >0 справедлива фор-
мула
ixx.o = jax - 5.оч,т=ед, о *4,(5) .
R"	5
Теорема 1. Пусть функция цДх) непрерывна и ограничена на
R" Тогда решение задачи Коши (15.3),(15.4) в классе
Cx2,'(G)nC(G)nB(G)
существует, единственно, бесконечно
дифференцируемо при t > 0 и непрерывно зависит от начальных
данных в равномерной метрике. При t > 0 это решение задается
интегралом Пуассона
u(x.f) = G(5,f)*4>(5) =
t,
4,(5)^
(15.5)
Доказательство теоремы 1 разобьем на несколько этапов.
1)	Функция источника G(x,i) бесконечно дифференцируема:
G(x,t) gC jR" х (0;оо)|. Более того, из ее вида следует, что для
любого мульти-нндекса а — (а1,..,ап,ал+1) справедливо следую-
щее выражение для производной f)G(x - t) при t > 0:

G(x-5,t) =
________gW__________
(ах1)а,...(ех")а'еГ’
где P - многочлен от своих аргументов. Следовательно, для любой
точки (Xq, t0) нз Rn х (0; со) существуют постоянные С > 0 и
К > 0 такие, что для произвольной точки е Rn выполняется
неравенство
112
|О°е(х-и)Ц,(ф МС^)е<р(-К$2), (ХО е Д(^)х(у2<0;й0).
Здесь М = supji/0| < с® , р - многочлен, Ц(х0) = {х: |х- х0| < 1} —
R”	'	j
единичный шар с центром в точке х0. В соответствии с мажорант-
ным признаком это означает, что несобственный интеграл
/р“Ле(х-5.0чт
Rn
сходится равномерно в цилиндре Щх0) х (}£f0;2f0). Следователь-
но, при t > 0 существуют все производные
D“i()l4xO= J^GCx-^Oum (15.6)
Rn
Таким образом, бесконечная дифференцируемость функции
<4*. О , задаваемой формулой (15.5), доказана
2)	Поскольку G(x,t) удовлетворяет однородному уравнению те-
плопроводности (15.3), то с учетом соотношений (15.6) следует,
что и функция u(x,f) из формулы (15.5) удовлетворяет этому урав-
нению при t > 0.
3)	Проверим выполнение начального условия, для чего дока-
жем, что функция (/х,/), задаваемая при t > 0 формулой (15.5) и
равная Ц)(х) прн t = 0, непрерывна в произвольной точке (хо,О).
Воспользуемся свойством 2) функции источника G(x, f) и сделаем
следующие оценки для (х, 1) е Rn х (0; оо):
|u(x,t) - u(x>,0)| = |и(х,0 - ц>(х0)| =
t/х, 0 - ц,(х0) J G(x - t)<£,
R"
f G(X -1 О(ц>(0 - 4(Xo)H * fa* ~ S’ f)K(S) -	
R"	R"
Из непрерывности функции uQ следует, что для произвольных
Хо g Rn и е > 0 существует S > 0 такое, что |ц,(х0) Ц,(£,)| < е
при £, е B2s(x0) - |х : |х - х0| < 25}. Преобразуем с учетом этого
оценку для модуля разности ji/fx, О - и(*о.О)| при |х - х0| < 5 :
113
|Цх, t) - u(xo,O)| s jG(x- - 4>(x0)te +
|x-^|i6
+ {б(х-иШ)-Ц,(Хо)|^2М /G(U)cC + e/GK,f)ct
|х-фг	|фв	Rn
= 2M (GK,f)ot; + E,
й«
где - x - E,. Из свойства 3) функции источника следует, что су-
ществует число tQ > 0 такое, что Jg(UXC < _JL ПрИ о < t < t0.
Итак, для произвольных х0 е Rn и е > 0 существуют числа
& > 0 и tQ > 0 такие, что |фсЛ)-и(*о.О)| < 2s при
(х, 0 е Вй(х0) х (0; t0). Следовательно, функция м(х/) непрерывна в
точках (хо,О)
Замечание 1. Если функция Ц,(х) равномерно непрерывна, то
сходимость u(x,f) к Ц(х) при t -> +0 является равномерной.
4)	Необходимо все же проверить тот очевидный факт, что по-
строенное решение и(х, t) ограниченная в области R" х (0; «>)
функция. Это вытекает из следующей оценки:
|</х, 0| = f 4,(5)G(x - t}<% < М |G(x - f)dj - М
Rn
R"
5)	Единственность решения и его непрерывная зависимость от
начальных данных являются следствием принципа максимума в
неограниченной области (см. §12) и обсуждались в §13 
Пример 1. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводно-
сти
5(х1)2 -12(х2)2 + 7(х3)2
ц(х,0-ЗАхи(х,0 =	xeR3, t>0 (15,7)
с начальными условиями
tfx.O) = ехр|^-2(х1)2) sin(2x2 + х3).	(15.8)
Решение. Прежде всего сведем уравнение (15.7) к однородному
114
ц(х,О = ЗДяц(х,0,	(15.9)
для чего представим решение u(x,f) задачи (15.7),(15.8) в виде
и(х, t) = и(х, t) + t(x, t), где й(х>0 “ решение уравнения (15.7),
удовлетворяющее однородным начальным условиям ь(х,О) = 0.
Для нахождения функции и(х, f) заметим, что правая часть урав-
нения (15.7) представима в виде f(x)(fo(O> причем функция Дх)
является гармонической (Af-O). По этой причине функцию
П(х, 0 имеет смысл искать в виде 0(х, t) - f(x)g(t), где g(f) - не-
известная функция, которая согласно уравнению (15.7) должна
удовлетворять равенству
g'(O = &(t) = ^-^	(15.Ю)
аг 'F* 4
Более того, 9(0) = 0, так как й(х,0) - 0. Решая задачу Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения (15.10), находим
1 . 3f
S(0 = ^a-ctg—,
6	2
откуда
«ХкО = ^агс1д~ 5(х’)2-12(х2)2 + 7(х3)2 .
Найдем теперь функцию П(х, t) - решение задачи Коши для одно-
родного уравнения теплопроводности (15.9) с начальными данны-
ми (15.8), вид которых наводит на мысль о разделении перемен-
ных: u(x,t) = v^x1.t)l4^X2,X3>f). Подставим t/(x,f) в равенства
(15.9) и (15.8), получим
ЦИ/+ VW, - 3vxVw+ 3vA^,x^w,
ь(х1,0)и(х2, х3,0) = expf-2(x1)2] sn(2x2 + х3)
Эти уравнения будут выполнены, если потребовать, чтобы
Ч(п.0 = ЗуФ1(М), vfM>0,	(15.11)
Ип,0) = е’2,,г,	(15.12)
н
115
1УД^Г) = ЗД^,0. ^R2, t>0,
*(ад srf^+^v
(15.13)
(15.14)
Для решения задачи (15.11),(15.12) воспользуемся теоремой 1:
.2 Л
exp(-2X2)c9i =
1 *
" гТзл? •
dX
l)2 + 24Л2?
12f
В показателе экспоненты выделим полный квадрат из членов, со-
держащих переменную интегрирования X:
X2 - 2Ат| + Л2 + 24Х2? = Х-ч/1 + 24? —=Д____
L	V1 + 24?
п2
2 24J
+ п ГГЙР
и сделаем замену переменных а = XV1 + 24?-----—. Тогда
л/1 + 24?
,	1	( 2т)2 ’I 1	*? J a2L
Ил.О = —7==®<м------!— ,  exp---------Ufa =
2-j3nt A 1 + 24t) 71 + 24? J, A 12?J
~ 2jM 'WfG1 + 24?) 71 + 24?	“
= 1 ехрМП
71 + 24? A 1 + 24?J
Функцию же f) будем искать в виде ~ ВД sin^1 + ^2),
отметив, что sn(2^ +^2) ~ собственная функция оператора Лап-
ласа, отвечающая собственному значению -5. Тогда для неиз-
вестной функции времени Й(0, получаем уравнение
h’(t) = -15Щ)
и начальное условие /)(0) - 1. Следовательно, h(t) = e-1Sf, откуда
и^,0 = e15,sr^2;1 +С2).
Итак, найдено решение
116
и(хА) =
зг(2х2 + x3)
Vi + 24/
exp -
1 + 24/
-15/
>
4 ad9y • [X*')2 - i2(x2)2+x*3)2, •
Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводно-
сти в R3
ц(х, 0 = Дхфс 0 + е *(х1)4, х е R3, / > 0	(15.15)
с начальными условиями
и(х,0) = ехр^-^х1 - х2 + xf|	(15.16)
Решение. Сначала найдем частное решение Й(х,/) неоднород-
ного уравнения. Заметим, что функция e"f является собственной
д
для оператора ~, поэтому частное решение имеет смысл искать в
виде
й(х, t) = е~* f(x1).
Подставляя u(x,t) в уравнение (15.15), получаем уравнение, кото-
рому должна удовлетворять функция/
-фс1) = f"(x1) +(х1)4
Существует частное решение этого уравнения, являющееся много-
членом четвертой степени
f(x1) = ^(*1)4 + ^(х1)2 + С’
коэффициенты которого легко вычисляются.
Д = -1, В=-12Д С = ~2В
Таким образом, найдено частное решение
й(х, /) = е“^-(х1)4 + 12(х4)2 - 24
Тогда решение задачи Коши (15.15),(15.16) можно представить в
виде суммы tXx.O = Й(Х,О + С(х,/), где <ХХ, 0 - решение задачи
Коши для однородного уравнения теплопроводности
117
£it(x,t) - k&X't), xeR3, t>0
с начальными условиями
£(*,0) - exp^-2(x1 - x2 + xf | + (x1)4 - 12(x1)2 + 24.
Решение £(x, t), в свою очередь, будем искать в виде суммы двух
решений £(x,f) = v(x,t) + w(x,t), где функции v(x,f) и w(x,f)
удовлетворяют однородному уравнению теплопроводности, при-
чем vfx.O) = ехр|-2(х1 - х2 + х3)2} и w(x,0) - (х1)4 - 12(х1)2 + 24.
а)	Для нахождения функции v(x, t) введем новую переменную
Л = х1 - х2 + х3 и будем искать решение в виде
Их,0 = v(n,f).
После подстановки в однородное уравнение теплопроводности
получаем:
4(n.0 = 3vnn(n»0,
причем
v(ti,0) - е-2”2,
то есть v(t).O - это найденное в примере 1 решение задачи
(15.11),(15.12):
..	1	2т)2
V1 + 24/	1 + 24?
Следовательно,
И*.0 =
1
-Л + 24/
2(x1-x‘ + x3)
1 + 24/
б)	Для нахождения функции ю(х, t) выпишем решение в виде
степенного (относительно переменной /) ряда. Аналогично п. б)
примера 2 из §6 можно доказать, что степенной ряд
#2 *
ю(х,0 = f/Aw0(x) = w0(x) + fAw0(x) + — A2w0(x)+... (15.17)
является решением задачи Коши
wt = Ахи/, t > 0,	(15.18)
118
Ч-о = %
(15.19)
в предположениях о равномерной сходимости почленно продиф-
ференцированного ряда (15.17) ’). Это предположение заведомо
справедливо, когда ряд (15.17) конечен. В нашем случае
%(х) = (х1) - 12^) + 24, поэтому
ю(х, 0 ~ (х1)4 - 12(х1)2 + 24 +
|^12(х')2 - 24]t * 12f2.
Выпишем общий результат:
и(х,0 = ((х1)4 - 12(х1)2 + 24)(1 - е ') + (l2(x1)2 - 24)/ +12/2 +
1	(х1 - х2 + х3)
+  ехЫ -2-------------------
Vi + 24/	1 + 24/
15.3. Скорость распространения тепла. Из формулы Пуассона
(15,5) можно сделать формальный вывод: скорость распростране-
ния тепла бесконечна. Но такое утверждение противоречит посту-
лату Эйнштейна о существовании конечной максимальной скоро-
сти распространения энергии.
Ошибка формальной трактовки полученного результата состоит
в том, что любой процесс переноса является статистическим про-
цессом, а следовательно, неизбежно сопровождается флуктуация-
ми. По этой причине небольшие изменения температуры, возни-
кающие на больших расстояниях от начального возмущения, ре-
ально невозможно зарегистрировать. Если же изучать подобные
тонкие эффекты, то следует пользоваться другим уравнением.
Физическое значение имеет следующий результат. Рассмотрим
точечный выброс единицы тепла в начальный момент времени
’) Формально ряд (15.17) можно получить, рассмотрев задачу (15.18),(15.19) в
случае, когда A=AX и - числа. Тогда задача Коши для обыкновенного диффе-
ренциального уравнения (15.18) легко решается:
W~ d&W0
Остается разложить экспоненту в ряд Тейлора:
f2
w= % + /Д% + —A2w0+...-
119
t - 0 в начале координат х — 0. Тогда согласно физическому
смыслу функции источника в последующие моменты времени рас-
пределение температуры в пространстве есть гауссовы кривые
Дальность распространения тепла удобно характеризовать
шириной этих кривых. Например, можно вычислить среднее зна-
чение квадрата расстояния, на котором сосредоточена энер-
гия в момент времени t > 0.
= 4a2t~ - 2na2t.
2
Здесь а - вспомогательный параметр, введенный для вычисления
интеграла.
, получаем, что она пропор-
Таким образом, если принять за среднее значение координаты
‘теплового фронта” величину
циональна vf, то есть скорость распространения тепловой энер-
гии со временем убывает как
. Для сравнения вспомним, что
волновой фронт распространяется с постоянной скоростью, кото-
рая определяется только характеристиками среды. Тепло же рас-
пространяется со скоростью, пропорциональной градиенту темпе-
ратуры, который со временем убывает.
§16. Принцип Дюамеля для уравнения
теплопроводности
16.1. Принцип Дюамеля. Зная решение задачи Коши для одно-
родного уравнения теплопроводности, можно иайти решение и для
120
неоднородного.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности
Ц(х, 0 - а2Дхи(х, о = f(x, 0, (х, t) е G - Rn х (0; <ю)	(16.1)
с начальными условиями
Ц,х,О) = ио(х).	(16.2)
Из линейности уравнения (16.1) следует, что решение u(x,f) пред-
ставимо в виде
и(х, 0 - v(x, t) + w(x, 0,
где v(x, t) — решение задачи Коши для однородного уравнения
теплопроводности с начальными условиями (16.2), и{х,0 - реше-
ние задачи Коши для уравнения (16.1) с однородными начальными
условиями w(x,0) = 0
Найдем функцию и(х,0 из класса c:,’(g) п C(S). Для этого
рассмотрим следующую вспомогательную задачу Коши, завися-
щую от параметра т > 0:
р,(х. t, т) - а2Дхр(х, t, т) = 0, х g Rn, t > т,	(163)
р(х, т, т) = Г(х. т).	(16.4)
Утверждение 1 (принцип Дюамеля). Если существует решение
p(x.t,x) вспомогательной задачи (16.3),(16.4) из класса С2,?°(7И),
где М — |(х, f,x) : хе Rn, т > 0. t > т|, то функция
t
w(x, 0 = Jp(x, t, z)dt удовлетворяет поставленным требованиям,
о
Доказательство утверждения 1. В соответствии с предположе-
нием о гладкости функции p(x,f,T) справедливы следующие ра-
венства:
1) И(х.0)=0;
2) wf(х, 0 = р(х, t, t) + Jpt(x, t, x)dc = f(x, 0 + |а2ДXp(x, t, т)ск -
о	о
t
= f(x, 0 + а2Дх J p(x, f, x)dc - f(x, t) + а2Дхw(x, t), t > 0.
0
121
Из 1) и 2) следует утверждение 
16.2. Формула Дюамеля. Пусть функция f(x, t) принадлежит
классу C2f(Rn х [Qoo)j, причем производные D*f(x,t), |а| < 2
ограничены по х при каждом фиксированном t > 0, а сама функ-
ция f(x,t) ограничена на всевозможных множествах вида
Rn х [Q Т], Т > 0. В этом случае для нахождения решения
р(хД,т) задачи (16.3),(16.4) можно воспользоваться формулой
Пуассона (15.5):
|2 \
р(хДл) =
с^,	(16.5)
Обоснуем гладкость функции р(х,Г,т), требуемую в сформули-
рованном выше утверждении 1. Определенные технические про-
блемы связаны только с доказательством непрерывности функции
р(х, 1, т) по переменной т на множестве М и гладкость р(х, t, т)
при t= т
Утверждение 2. В указанных выше предположениях о гладко-
сти и ограниченности функции f(x.t) функция р(хЛ,т) непре-
рывна по переменной т на множестве М .
Доказательство утверждения 2. Необходимо показать, что для
произвольной точки (x,f,T0) из М и произвольного числа Е>0
существует б > 0 такое, что из выполнения неравенств
|т - т0| < б,	0 < т < t следует выполнение неравенства
|р(х,Г,т)-р(хД,т0)|<Е.
Преобразуем интеграл, входящий в формулу (16.5), следующим
образом:
и	(
. 'п f ^л)е*Р
47ia2(f-r)l к"	X
Р(х, t, т) =
4а (f - т)
122
(Л)" 4
£ _ х
где С, ---------- — новая переменная интегрирования. Далее оце-
2ShJt - х
ним разность |р(х, t, х) - р{х, t, т0)|:
W
Rr
R"
—L;2C Ь
(VtT) К|>с
Tqi то
< oo, а число и > 0 выбрано так, что
•—	' И3 непрерывности

1 f d
+-—I Лх +
(Vn) ids»
Здесь С= sup |
(§л)еЯ"х[О;Я
выполняется неравенство
|ф°
функции Г(£,т) вытекает ее равномерная непрерывность в огра-
ниченной окрестности точки (х,т0), следовательно, число 5>0
можно выбрать так. что выполняется неравенство
X	/7 Т _ г .. п. — е при |т _ XJ < g,
|С) < о. Таким образом, показано существование 8 > 0 такого, что
\p(x,t,т) - р(х,t,т0)| < е при |т - т0| < б 
Утверждение 3- & указанных выше предположениях о гладко-
сти н ограниченности функции f(x,t) функция р(х,{,т) дважды
непрерывно дифференцируема по переменной х и один раз по пе-
ременной tпри t> т.
Доказательство утверждения 3. Бесконечная дифференцируе-
мость функции р(х, t т) по переменным хи/ при t > х непосред-
ственно следует из теоремы 1 §15. Обоснуем требуемую гладкость
123
при t = т, для чего преобразуем интеграл, входящий в формулу
(16.5), воспользовавшись симметричностью свертки.
1	Г ы2 л
=	Р(х-5л)ехр	—г (£,, t>i.
^4^(1 - т) r"	V 4a<f-T)J
С учетом промежуточных результатов доказательства теоремы 1
§15 и свойств функции f(x,t) справедливо равенство
ВДхД.т)-
- jD“ f(x - 5,т)ехр
I R"
I4I2
4a2(t - т)
Поскольку функции цДх) = D“ f(x, т), |а| < 2 при фиксированных
значениях т > 0 удовлетворяют всем требованиям теоремы I §15,
ТО
D*p(x, t, т) -> D“ f(x, т) при t -> т + 0, |а| < 2.
Непрерывность же производной —р(хД,т) при t = т в свою оче-
dt
редь следует из выполнения для р(х, f, т) уравнения (16.3):
lim —= a2 lim Дкр(х,(,т).
t—»т+0 Qi	>т+0
Воспользуемся теперь принципом Дюамеля. Получаем формулу
для решения задачи (16.1),(16.2) с непрерывными ограниченными
начальными данными ц{х):
1	( Ix-fI i
(цД)ехр -	•	(16.6)
Ы4ла2г R" к ча 7
Замечание 1. На практике можно избежать вычисления инте-
грала Дюамеля, если удается как-то подобрать частное решение
124
неоднородного уравнения теплопроводности, как. например, в
примерах 1 и 2 из §15.
§17. Смешанная задача для распространения тепла в
полуограниченном стержне
17.1.	Метод отражений. Рассмотрим задачу о распространении
тепла в полуограниченном однородном стержне с заданной зави-
симостью от времени температуры на конце:
ц(х,0 = a2uM(x,t), х > 0, t > 0,	(17.1)
и{х,О) = ^(х), х > 0,	(17.2)
140,0 = v(f), t>0.	(17.3)
Это смешанная задача для уравнения теплопроводности (17.1) с
начальными условиями (17.2) и граничными условиями первого
рода (17.3). Должно выполняться условие согласования
Ц>(0) = v(0).
В случае, когда граничные условия являются однородными
(v(0^0), смешанную задачу (17.1),(17.2),(17.3) можно свести к
задаче Коши для уравнения теплопроводности при помощи метода
отражений, основу которого составляет следующая
Лемма 1. Пусть G - {(x,f) : XeR, t > 0}, w(x, f) - функция из
класса Cj,'(G)r.C(G)^S(G), являющаяся решением задачи Ко-
ши для уравнения теплопроводности
wf(x, 0 = a2wxx(x, t). (х, 0 6 G	(17.4)
с начальными условиями
w(x,0) = %(х),	(17.5)
где w0(x) - заданная нечетная функция из класса C(R) B(R)
Тогда w(x,f) является нечетной по х функцией, то есть для любых
(х, t) е G выполняется равенство 0 = -w(-X, t).
Доказательство леммы 1. Пусть w(X,f) — решение задачи
(17.4),(17.5). Рассмотрим функцию w(X,t) ~ -w(-X,t). Она так же
является решением, поскольку
125
I)	wt(x,t) - -iv((-x,f) = -a2iv„(-x,/) = a^w^tx.t), (x.t) eG;
2)	й(х,О) = -wf-x.O) = -w0(-x) = w0(x)
Из единственности решения получаем
wfx, t) = w(xt t) = -w(-x, 0,
что и требовалось доказать 
Следствие 1. Пусть ц,(х) - заданная функция из класса
C(R) п S(R), v(x) = 0, ц,(0) - 0. Тогда функция
(х + £)2
t > 0
-exp
Мх, 0 - - ЛпаН о _
*(*), t = О
является решением смешанной задачи (17.1),(17.2),(17.3) из класса
CK2J((Q оо) х (Q оо)) п C([Q оо) х [Q оо)) п B([Q со) х [Q оо)).
Доказательство следствия 1. Достаточно рассмотреть задачу
Коши
(17.4),(17.5) с
начальными
данными
%(Х) =
ЦДХ), Х>0
-цД-х), X < О
. Согласно формуле Пуассона ее решение
при
t > 0 есть
причем из леммы I следует, что w(0,0 = 0- По этой причине
u(x,t) = w(x,0|x.o ” решение задачи (17.1),(17.2),(17.3)И
17.2.	Прмицми Дюамеля. Решим теперь смешанную задачу
(17.1),(	17.2),(17.3) в случае однородных начальных условий:
ц(х, 0 - а2цсх(х, 0, х > 0, t > 0,	(17.6)
о(х,0) = 0, х>0,	(17.7)
126
МО, О = V(t), t>0.
(17.8)
Лемма 2. Пусть функция t/(x, t) принадлежит классу
C([Q co) x (Q oo)) n C^((0; oo) x [Q oo)J и является решением сме-
шанной задачи (17.6),(17.7),(17.8) с граничными данными, тожде-
ственно равными единице. Тогда функция

-r)v(T)cft, х>0, (гО
1о5'
(17.9)
ЦО. X = о, t > о
принадлежит классу A/^((0;oo) х (Q oo))nC([Q, ОО)х[0, оо)) и явля-
ется решением смешанной задачи (17.6),(17.7),(17.8) с произволь-
ными непрерывно дифференцируемыми на [Qoo) граничными
данными v(f), удовлетворяющими условию согласования
v(0) = 0.
Доказательство леммы 2.
1)	Прежде всего преобразуем формулу (17.9) для t > 0, X > 0 с
учетом гладкости функции v:
f Я
М*. =	^х* * “ T)v(t)<ft - - v(t)L/(x, t ~ x)f +
J	1т—O
t	t
-t- jt/(x,f - т)у'(т)Л = J(J(x,r - T)v'(T)cfc.
о	0
В последнем равенстве мы учли, что 1/(х,0) = 0 и v{0) = 0. Из
полученного выражения для функции Цх, t) следует, что она при-
надлежит классу C((Q ОО)*[а со)) и удовлетворяет начальным
условиям (17.7)
2)	Для произвольного фиксированного t > 0 можно сделать
следующую оценку модуля разности |Цх, 0 - МО, ()|:
О
о
127
о
о
Устремим х к нулю справа и учтем, что t/(0, t) ~ 1 при t > 0. По-
лучаем |l(x, f) - t(0, f)| -> 0 при х -> +0. Следовательно, функция
и(х, 0 непрерывна на множестве [Q оо) х [0, оо) по каждой из своих
переменных, что, как известно, влечет ее непрерывность на этом
множестве по совокупности переменных. Таким образом, доказа-
ли, что и g C([Q оо)х[а оо)) и выполняются граничные условия
(17.8).
3)	Поскольку для произвольных х > 0 и t > 0 справедливы
преобразования
Ц(х,0 =	- T)v'(T)rt =	- T)v'(x)dt +
о	1st
f	^2	Г fl?
+ л/(0Цх,О) = Ja2 —-j U(x, t - T)v'(T)dr = a2 J—U(x, t - т)у'(т)Л,
о	0
и
^2 t	* a2
Ц«(х. 0 = TT f и(*. * - ’)v’ <T)A = fz-, U(X, t - T)v'(T)rt,
ox 0	0 ox
то функция u(x, t) принадлежит классу C2 J((Q oo) x (Q co)) и удов-
летворяет однородному уравнению теплопроводности (17.6) 
Следствие 2. Пусть функция v(x) задана и непрерывно диффе-
ренцируема на множестве [0;°о), причем выполнено условие со-
гласования v(0) - 0. Тогда функция
u(x,t) =
y(t), х = 0, t > 0
х > 0, t > 0
(17.10)
является решением смешанной задачи (17.6),(17.7),(17.8) из класса
C2;((Q оо) х (Q оо)) n C([Q оо) х [Q оо)).
Доказательство следствия 2. Построим функцию U(x, t) при
помощи автомодельного решения (см. формулу (14.10)):
128
4a2 J
dk + C2, x> 0, t> 0.
Константы Ci и C2 выберем из условий U(0, f) = 1 и U(x,0) - 0:
p = t/(0,0 = C2
J	f I2	I---
10 = U(x,Q) = Q | exp ——у dk + C2- C^Jna2 + C2'
[	о к 4a4;
откуда
Таким образом, получаем функцию
l/(x,t) =
х>0, t>0
Вычислим ее производную по времени:
1 X / X2 1

0, х > 0, t = 0
Таким образом, построенная функция U(x,t) удовлетворяет всем
требованиям леммы 2. Следовательно, функция Цх, t), определяе-
мая выражением (17.10), является решением смешанной задачи
(17.6),(17.7),(17.8)И
5 В. Уроев
129
§18. Решение смешанной задачи для уравнения
теплопроводности на отрезке методом Фурье.
Существование и единственность классического
решения
(18.1)
18.1. Построение формального решения. Применим метод
Фурье, описанный в §11, к смешанной задаче для уравнения теп-
лопроводности на отрезке.
Рассмотрим в прямоугольной области G = (Q /) х (О; Т) сме-
шанную задачу для уравнения теплопроводности
ц(х, f) - а2цД х, 1) = Дх, Г), (х, О е G
с начальными условиями
и(х,0) = и0(х)
и однородными граничными условиями первого рода
u(O,f) = u(/,t) = O.
Необходимо найти решение (4х, 0 из класса C2,t1(G) n C(G).
Замечание 1. Для решения смешанной задачи с неоднородными
граничными условиями достаточно воспользоваться приемом,
описанным в §11, чтобы получить задачу (18.1),(18.2),(18.3).
Как и в случае волнового уравнения, будем искать решение
Ll(x,t) в виде функционального ряда по собственным функциям
d2
^7 с
(18.2)
(18.3)
Хк(х) = sin—— х, к g N дифференциального оператора
граничными условиями Хк(0) = Хк(1) = 0:
со	UD
(18.4)
t g[QT]
Цх, 0 - £ ТДОХДх) = £ WOsn^ х,
Л=1	1
где Tk(t), к g N - неизвестные функции переменной
Найдем Tk{t), к g N .
Пусть функция Ц,(х) принадлежит классу ЛУ[О;/], существует
кусочно непрерывная на отрезке [О; /] производная t£(x), и вы-
полнены условия согласования Ц>(0) = cz0(/) = 0. Тогда ряд Фурье
функции Ц)(х) сходится равномерно к ней самой:
130
Lb(x) = 2^aAsn—-x,
k=1	'
(18.5)
где ~ |ц(х)эп —xd* - коэффициенты Фурье. Причем
о
*=1
для функции f(x, f) предполагаем, что
— кусочно непрерывная по х
любом фиксированном t из отрезка [QT], и
ак = ~ и числовой ряд ]Г |а* | сходится.
К	к=1
Аналогично
f(x,t)eC(G), существует fx(x, t)
функция при
f(0,0 = f(J, t) s 0. Тогда для каждого фиксированного значения
времени t из отрезка [Q 7] функция f(x, t) раскладывается в рав-
номерно сходящийся по х ряд Фурье
ю	ттк
Г(х.0 = £в„(()эп^х.	(18.6)
k=1	•
Л I	I.
где еА(0 = - J f(x, Osn—xdx е QQ 7] и
'о	'
2 ' д/с 2	'
sup sup |ВД0| = sup sup - Г f(x, f)sin—xdx < — sup f| f(x, t)\dx <
keN ЩО.Т]	fceN	t<0;7]	/	J	I	I	f^O;T} ’
<2ap|f(x,f)| = q,
(x.f)eG
причем постоянная Q конечна, так как f(X, t) gCIGL G — ком-
пакт.
Подставляя ряды (18.4), (18.5) и (18.6) в задачу (18.1),(18.2),
(18.3), и учитывая свойства функций Хк{х), получаем:
Z TiWXM + a2Z ХЛ('К(х) = Z ВДОХДх). (х, о е G,
к=1	fc=1
Y Tt(0)Xk(x) = £ цЛ(х). х е [Q /]
*=1	k=1
(возможность почленного дифференцирования ряда будет обсуж-
даться в следующем пункте). Потребуем почленное выполнение
131
написанных равенств:
Т„'(0 + а%Л(О = ВА(0. Т„(0) = а„, к е N.	(18.7)
Решая для каждого натурального числа к, задачу Коши для ли-
нейного неоднородного дифференциального уравнения первого
порядка (18.7), находим
t
Tk(t) = ак exp(-Xfca2f) + j ВДт) exp(-Xka2(f - т))л.	(18.8)
о
Отметим, что функции Tk(t) непрерывны на отрезке [0:7].
Итак, формально построили ряд
ОО Г	t
Е а» «Р( -М2*) + JS,(t) exp(-lja2(t - т))<#г
*=i L	о
. пк
sn—х.
/
(18.9)
18.2. Классическое решение. Покажем, что функциональный
ряд (18.9) сходится равномерно к некоторой непрерывной на G
функции, для чего оценим его Л-й член следующим образом:
+|д>| < sup |В„(0|  sup fexp(-Xlta2(t - r))dc + |aj < |ц,| +
мал	М°;По
+С, sup -j— (1 - exo -Х*а2Н) < aJ +	= ~y + -—<
1 нал a2Xk V	П	। а^к к (auk)2
i~ |2	1 l2C.
к2 (auk)2
Здесь в последнем неравенстве мы воспользовались соотноше-
нием между средним геометрическим и средним арифметическим.
л	COf?sf|
Поскольку числовой мажорирующий ряд / I |ak| + ~ 2~ I схо~
дится, то функциональный ряд (18.9) сходится равномерно на G к
некоторой функции U{X, t):
MX. t) = Ё ТМЪМ 
(18.10)
132
Более того, u{x,t) eC(G^, так как члены ряда Tk(t)Xk(x) непре-
рывны на G
Теперь докажем возможность почленного дифференцирования
в G ряда (18.9) в двух следующих случаях:
а)	дополнительно потребуем, чтобы f(x, t) g c;?(g) , и сущест-
вовала производная /^(х, t) - кусочно непрерывная по х
функция при любом фиксированном t из отрезка [0,7];
б)	дополнительно потребуем, чтобы f(x,t) g C^G).
Достаточно	доказать равномерную сходимость рядов
ХТМХ„(х),	И ^Tt(f)^'(x) в некоторой окрест-
*=1	Л=1	*=1
ности произвольной точки (x,f) gG, тогда будет обоснована воз-
можность почленного дифференцирования, и, поскольку
тмхм е c;:;(g) для любого натурального fc, сразу получим,
что u(x,t)eC‘j(G)
В случае а) для коэффициентов справедливо равенство
|Я(0
|адл = 4г-,
ГХ
2 /	f_
где ВДО = - [ f„(x,t)sn—xdx и
1 о	1
sup sup B*(t)| <. - sup [| f„(x, f)|dx < 2 supj f„(x, f)| = C2 < oo.
*eN ЩО.77	1	/ MQTJ о	(x.OeG
Выберем и зафиксируем произвольное малое t0 > 0. Оценим Л-й
со
член ряда У Tk(t)Xk(x):
а=1
sup	< supk'a)
sup
4^.7]
-a’Xjftexpl-Xjfft) + B,(0 -
a% |B*(T)e(p(-XAa2(f - t))dr
0
133
СЮ
Получили, что ряд 7^(f)Xfc(x) мажорируется числовым сходя-
Л=1
щимся рядом, следовательно, он сходится равномерно на множе-
стве [0: /] х [f0; Т], что в силу произвольности t0 означает сущест-
вование ц(х,7) = £ Г/(0Х„(х) е С([О, /] х (0,7])-
Л=1
cP	С©
Аналогично для ряда £ Тк (f)Xj'(x) =	•
*=1	л=1
sup |хкТА (ОХДхЙ sup 1хлГк (()! =
<М)4ШИ10.Т)1	1	(4(,.Т)'	1
= sup Х„ая expf-X.a2!
t
Ч {ВДт)ехр(-Х(|аг(< - т))Л
О
Отметим также, что для членов ряда Тк (0Х(х) справедливо
*=1
следующее неравенство:
&|р|т,(ох;(х)^1|хл(г)|,
а модуль оценили выше.
134
Таким образом, доказали, что в случае а) построенный ряд
(18.9) можно необходимое число раз почленно дифференцировать
и его сумма u(x, t) принадлежит классу C2;J(G).
В случае б) коэффициенты БД О непрерывно дифференцируемы
2 р	лк
Bk(t) = — J /Дх, Osn—xdx gC[Q7], keN,
о	1
причем
sup sup tool £ sup - fl ft(x, t)\dx < 2 sup J ft(x, 0| = C3 < o>.
*cN f«|0;7T	MO;TJ I Q	(x.t)eG
Выберем и зафиксируем произвольное малое t0 > 0. Оценим к-й
OL'
член ряда £ T’(t)Xk(x):
*=i
sup \rk{t)Xh{x)\< sup Т'(0 =
(х,Д^О;/]хЦо,Т}	tetto.Tt
t
= sup -a2Xkak ехр(-Хка2^ + Bk(t) ~ a2!* JВк(т) exp^-X^ft - z)]cft <
/еЦ;,Т]	q
t


t
т=0
о
+ sup ВДО - ВДт)ехр(-Хка2(г - т))
= sup ВДО - ВДО + ВД0)ехр(-Хка2г) + f ВДт) ехр^М^ - *)>*
’ f _х2
j В’М ехр(-^а2(Г - г))ск =
о
О
t
па
2
2
Здесь
Л _ ( na^
-1“
для
2
удобства
ч 2
3\алк)
введено
. Получили, что ряд
обозначение
*=1
135
мажорируется числовым сходящимся рядом, следовательно, ряд
сходится равномерно на множестве [О,7]х[/о;Т],
<о > 0. Таким образом, существует ц(х, t) g С([0; /] х (Q Т]).
Вторая производная по х требует более тонких рассуждений.
Для произвольного фиксированного t g (Q Т] сделаем следующие
выкладки
suplWOxM <;
xeJO;/]	1

?.k|aJe<p(-X„a2f) +
о
t
+К /вДт)ехр(-).ка2а-т))Л =
О
p(-?.ka2(Z -1
Из гладкости функции f(x,f), потребованной при построении
формального решения, следует, что
, причем ряд
V11 "	2	—
2J8/X0 сходится при любом фиксированном t из отрезка [Q 7]
fc=i'
Следовательно, справедлива следующая цепочка неравенств:
а2к2
Полученный мажорирующий ряд при фиксированном t g (Q Т]
является числовым н сходится. Следовательно, существует
136
uxx(x, О = X	, (х, О е G. Поскольку 7(х, 0 g C(G),
Л=1
ц(хД) g C(G) (сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных
"I
функций) и u^xj) = —2 (ц(хД) - f(x, f)] (по построению «(х,0),
то u^X'f) gC(G}.
18.3.	Итог. В заключение сформулируем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть функция Uq(x) задана и непрерывна на отрез-
ке [О; /], существует кусочно непрерывная на отрезке [Q /] произ-
водная l/q(x) , и ц>(0) = ц(/) - 0: функция задана и удовле-
творяет одному из условий:
a)	f(x,t} eCx°t(G), существует fM(x,t) g BfG'j - кусочно не-
прерывная по х функция при любом фиксированном t из отрезка
[Q 7], и f(0, t) = f(l, t) = 0 при всех t g [0.Л;
б)	f(x.t) gC°x^G^, существует fx(x,t) - кусочно непрерывная
по х функция при любом фиксированном t из отрезка [Q 7], и
f(0, t) = Г (/, 0 = 0 при всех t g [Q Т].
Тогда смешанная задача (18.1),(18.2),(18.3) имеет в классе
функций C(g) n CXf(Gj единственное решение, причем ряд (18.9)
сходится равномерно на G к этому решению
Доказательство теоремы 1. Единственность решения доказана
в §13, а существование решения - в пункте 2 данного параграфа 
Пример 1. Решить смешанную задачу
ц(х,0-4ца(х,1)= f(x,t)==sn2p xg(Q2tc), f g(Q73,
фс,0) = ^(х)=: л-|х-л|,
г4О,0 = г42л,0 = О.
Решение. Заметим, что функции, участвующие в этой задаче,
удовлетворяют условиям теоремы 1. По этой причине можно стро-
ить решение w(x»0 в виде ряда (18.9). Найдем коэффициенты ak и
S,(f) разложения в ряды Фурье функций ц,(х) и f(x, t) соответ-
137
ственно:
и
вА(0 = — [sin2 ^sin ~ dx - — [sn2£-sin/(£-	-
71 0	2	2 ni
0, k=2n
= ~,r8 2\  k 2n-1’neN-
лЦ4 - к2)
При вычислении коэффициентов Bk(t) мы сделали замену X = 2£
н воспользовались результатом, полученным в примере 1 §11.
Подставляя полученные коэффициенты в выражение (18.9) и учи-
тывая, что
jexp(-fc2T)dt =	-1].
находим
+------- ---------—--[l — ехр(-(2л- 1)2t)l sin^^——.
л(2п -1)3(4 - (2n -1)2 П	“ ' 'Л 2
Пример 2. Решить смешанную задачу
ц(х, 0 - и^х, t) = xd + 2t, х G (а л/2), t > 0,
фс.О) = х+ 2sin2xcos3x,
tX0,0 = f2, ц(п/2,0 = 1.
Решение. Прежде всего перейдем к смешанной задаче с одно-
родными граничными условиями, для чего сделаем замену
138
U(X,t} = t2 + x + v(x, t). Тогда для неизвестной функции v(x, t)
получаем смешанную задачу
vjxj) - vXK(x, Q = xd, xg(Qtc/2), f>0,	(18.11)
v(x,0) - sinSx-sinx,	(18.12)
v(O,f) = O, vx(tc/2,0 = 0	(18.13)
Найдем собственные функции Xk{x) дифференциального опера-
d2	-
тора-----2 с граничными условиями Хд(0) - 0 и Хк(п/2) = О
dx
-^'(Х) = ХД(х),	(18.14)
Х„(0) = Х'(л/2) = 0	(18.15)
Решение дифференциального уравнения (18.14), удовлетворяющее
условию при х = 0, есть Хк = sn-Jk^X. Условие на правом конце
х = л/2 приводит к равенству
^| = (2k-1)^, keN,
откуда
Хк sin(2k - 1)х, Х„ = (2k -1)2, к е N
Функцию v(x, t) будем искать в виде ряда
Их,0~£Гд(0*4(х).	(18.16)
*=1
Получим уравнения на неизвестные функции 7Д0, для чего раз-
ложим функцию х, входящую в уравнение (18.11), по системе
{яп(2к-1)х}“_,:
x=£qsin(2k 1)х,	(18.17)
*=1
где
4л/г	4	4-(-1)*+1
ск = - fхяп(2к - Dxcfe =	fсо^2к - Dxcfc =	.
Далее, подставим ряды (18.16) и (18.17) в смешанную задачу
139
(18.11),(18.12),(18.13):
X (t)X,(x) + £ (2k -1)2fk(f)Xk(x) = S ,
fc=1	k=1
S T^(0)XA(x) = X3(x) ~ X\x).
k=1
Потребуем почленного выполнения написанных равенств:
при к = 1
при к ~ 3
'1 V/ т ~~	’
t(0) = -1;
t3'(0 + 25T3(f) = ^-e',
Zon
t(0) = 1;
при кФ 1:3 %(t) + (2k-1)4(0 =	-2 (-1)**1,
fk(0) = 0
Решая полученные задачи Коши для дифференциальных уравне-
ний первого порядка, находим
W) = -e'-fl + -')e-',
Л
г3(0 = -^-в' +
325л
о / -n*+i
л.
е',
325л
_Ь/ _ о-(2*-1)аГ
ТМ =	---------7|0-0 и
я(2к - 1)2(2к2 - 2к +1) I	J
Учтем, что полученные таким образом ряды ^^(f)Xk(t),
Л=1
^Tk(t)X’k(t) и ^Tk(t)Xk(t) сходятся равномерно
*=i	*=1	*=1
на множестве [0; /] х [Q оо), так как для произвольного Т > 0 ма-
жорируются на множестве [0; /] х [Q 7] числовым сходящимся
140
10 QQflSt
рядом £ —— • Следовательно, решение z/x, t) можно записать в
к-1
следующем виде:
и(х, t) = t2 + х+ 2ё sin 2xcos3x
(-1)**1
(2к-1)2(2к2-2к + 1)
ef_e<2*»’<lsin(2fc-1)x.
Глава IV 
Некоторые свойства оператора Лапласа.
Функции Бесселя и их применение
§19. Ортогональность собственных функции
симметричного оператора. Формулы Грина для
оператора Лапласа. Правильная нормальная
производная. Симметричность и положительная
(неотрицательная) определенность оператора “-Д” с
граничными условиями Дирихле (Неймана)
19.1.	Собственные значения линейных операторов. Для
дальнейшего будут полезны следующие утверждения и понятия из
области функционального анализа
Пусть Н - линейное пространство над полем действительных
(комплексных) чисел, М - линейное многообразие ьН,А- линей-
ный оператор, отображающий МкН.
Определение 1. Действительное (комплексное) число X назы-
вается собственным значением (числом) оператора А, если суще-
ствует ненулевой элемент ср из М такой, что Д<р = Хер. Элемент <р
в этом случае называется собственным вектором (или собствен-
ной функцией в случае, когда И является функциональным про-
странством)
Замечание 1 Одному собственному значению могут отвечать
несколько линейно независимых собственных векторов (их коли-
чество называется кратностью собственного значения).
Определение 2. Собственное значение называется простым, ес-
ли существует единственный линейно независимый собственный
142
вектор, отвечающий ему
Если Н — (предгильбертово пространство '), тогда можно вве-
сти следующие понятия.
Определение 3. Оператор А называется симметричным на мно-
гообразии М, если для любых двух элементов ср и из М выпол-
няется равенство (Atp, ip) = (ср, Аср)
Теорема 1. Пусть А - линейный симметричный оператор, тогда
все его собственные значения (если таковые существуют) являют-
ся действительными
Замечание 2. Утверждение теоремы I содержательно, конечно,
только в случае, когда Н - (предгильбертово пространство над
полем комплексных чисел.
Доказательство теоремы 1. Пусть X - собственное значение
оператора А, ср - собственный вектор, отвечающий ему. Восполь-
зуемся свойствами скалярного произведения и симметричностью
оператора А.
Х(ф, ф) = (Ар. ф) = (ф. ^ф) = (ф. М = Цф. ф)
Следовательно, Х(<р,ср) = Х(ср, ср), причем (ср, ср) * 0, так как ср О
по определению 1. Получили равенство X = X 
Теорема 2. Пусть А - симметричный оператор, тогда, если и
Х2 - различные собственные значения оператора А, то собствен-
ные векторы ср, и ср2, отвечающие им, ортогональны, то есть
(ф1.Ф2)=°-
Доказатеяьство теоремы 2. Пусть А<р, = Х,ср4 и Ар2 = Х2ср2,
причем X, Х2, тогда справедлива цепочка равенств
X, (ср,, ср2) = (А<р,  Ф — (ф,, Аф 2) = Х2(ср,, ср2) = Х2(ср,, ф 2).
В последнем равенстве мы воспользовались теоремой 1. Следова-
’) Линейное пространство Н называется предгильбертовым, если в Н опреде-
лено скалярное произведение (ср.чО двух любых элементов и у Гильбертово
пространство — это полное предгильбертово пространство (метрическое про-
странство называется полным, если в нем любая фундаментальная последователь-
ность сходится к элементу этого иространства).
143
тельно,
(Л.,	— О-
Учтем, что X, - Х2 * 0. Получаем (9,,92) = О 
Определение 4. Оператор А называется положительно (неот-
рицательно) определенным на многообразии М, если для любого
ненулевого элемента 9 из М выполняется неравенство (Ар, 9) > О
(соответственно (Ар, 9) £ 0).
Теорема 3. Все собственные значения положительно (неотрица-
тельно) определенного линейного оператора А положительны (не-
отрицательны).
Доказательство теоремы 3. Пусть X - собственное значение
положительно (неотрицательно) определенного линейного опера-
тора А, 9 - собственный вектор, отвечающий X. Тогда
Х(<р, <р) = (Ар, 9) > 0 (соответственно Х(9,9) = (Ар, 9) > 0 ), еле
довательно, Х>0 (Х>0), так как (9.9)>0 по определению
скалярного произведения 
Замечание 3. В случае, когда Н - (предгильбертово простран-
ство над полем целых чисел, из положительной (неотрицательной)
определенности оператора вытекает его симметричность.
Это утверждение легко доказывается (см. [2]).
Пример 1 Рассмотрим в гильбертовом пространстве L2(0,l) ')
линейное многообразие АЗ, состоящее из функций и(х), принадле-
жащих классу C2(Q/)nC[Q/], i/'(x) eL2(O,l) и удовлетворяю-
щих условиям на концах /qu(O) -1/(0) =	+ t/(/) = 0, k, > 0,
/<2 > 0,то есть
’) Пространство - пространство функций с интегрируемым на измери-
мом множестве О квадратом модуля, в котором введено скалярное произведение
(ць) = Ji(xjvfxjcfcc Строго говоря, элементами гильбертова пространства LJP)
о
являются классы эквивалентных функций (две функции называются эквивалент-
ными, если они равны друг другу всаде за исключением точек множества меры
ноль), при этом каждый класс эквивалентных функций однозначно определяется
любой одной функцией, входящей в него.
144
М = {й(х) . и е C2(Q /) n C’[Q /]. d' g L2(Q /)} гл
n{t/(x): МО) - t/(O) = k2t\l) + ^(f) = O)
Надо доказать симметричность и положительную определенность
d2
дифференциального оператора А =----у на многообразии Л/,
fir
Решение. Для произвольных функций и(х) и И*) № М спра
ведливы равенства
I ________________ __ I __________
(Au,v) - -|t/'(x)v(x)dK = -t/(x)v(x)|o + |t/(x)i/(x)cic =
о	о
= -</(/)Й0 + </(0)Й0) + р(х)7Й* =
о
= МПФ) + МОМО)+(</У),
и
!	_ __I ___________
(и, Av) = - Ju(x)v"(x)cfr = - iXx)i/(x> + Jt/(x)vZ(x)d)f =
О	° о
		_ I _
=______________________________+ f t/(x)v/(x)cfr =
0
= МОИЙ + MOW+(<*9 -
Следовательно, (At/, v) = (ц Av), то есть оператор А на линейном
многообразии М симметричен. Если и = v и отличны от тождест-
венного нуля, то
(Au,u) = #Cj|40)j2 + fc>|iX/)]2 + (1/, l/j > О.
Следовательно, оператор А на многообразии М положительно оп-
ределен.
&
Замечание 4. Еще проще доказываются для А = —симмет-
сЬг
рнчность и положительная определенность с граничными усло-
виями первого рода й(0) = t//) = О, симметричность и неотрица-
тельная определенность с граничными условиями второго рода
145
i/(O) = t/(O = o.
19.2.	Формулы Грина. Пусть D — ограниченная область в Rrc
кусочно гладкой границей QD, обозначим: п - внешняя единичная
нормаль к dD
Теорема 4 (первая формула Грина). Если функции и(х) и Цх)
принадлежат классам C’(d) и С2(О)г', С’(0) соответственно,
причем Ди G L^O) '). то выполняется равенство
(Ш)
Доказательство теоремы 4. Рассмотрим произвольную область
D с кусочно гладкой границей 8D такую, что De D. Запишем
для векторной функции Р = ugradv и области D формулу Остро-
градского-Гаусса-
jdivPdx=
О	№'=1
. Л ди	dv	dv ;	dv	л
Учтем, что dlvP= U&.V+ > —;----г	и У	—7 п	=—	Получаем
£ ax'	ax'	ax'	an
fuAi/dx = -ГУ —<
i	l&dx’dx1
fu—ds
Все подынтегральные функции в последнем равенстве по условию
интегрируемы в области D, что позволяет сделать предельный
переход, устремляя D к D 
Теорема 5 (вторая формула Грина), Если функции ЦХ) и Цх)
принадлежат классу C2(D) n C1(D) , причем Ди g Z^(d) и
’) Класс L,(D) - множество функций, модуль которых интегрируем по Лебегу
на измеримом множестве О Отметим, что в случае, когда множество D обладает
конечной мерой mesD, класс L,(D) содержит в себе класс L2(D) в качестве
подмножества, так как для любой функции и из L2(D) можно записать
||rj|cfcr = jl ЩсЬг < I jebej f = (mesD)|jb|2dx <
D	D	\D '	'	D
146
Ди g L,(D) , то справедлива формула
dv
U----V
dn
(19.2)
'-dx+ fv— ds.
1 i Эп
D	3D
Доказательство теоремы 5. Поменяем в первой формуле I рина
(19.1) местами функции и и V.
г . . ди dv .	[ ди .
Вычитая данное равенство из равенства (19.1), получаем вторую
формулу Грина (19.2) 
Теорема 6 (третья формула Грина). Если функция и(х) принад-
лежит классу C2(D)nC1(Dj, причем AueL^D), то справедлива
формула
(19-3)
2	,
. еди .
dx+ |и—ds.
о	и. - -	' во ап
Доказательство теоремы 6. Достаточно в первой формуле Гри-
на (19.1) положить v=i/B
19.3.	Симметричность и положительная (неотрицательная)
определенность оператора “—А” с граничными условиями Ди-
рихле (Неймана). Пусть по-прежнему D - ограниченная область в
Rn с кусочно гладкой границей дО. Рассмотрим в гильбертовом
пространстве L2(D) линейные многообразия
M2 = Mrv
4*)-^ =°’«
M3
= 0, R>Ok
ао
где М =	• и € C2(D) n C1(D), До е L2(d)} , « - внешняя (по
отношению к D) единичная нормаль к дО. Линейные многообра-
зия МЛ, М2 и М3 состоят из функций, удовлетворяющих гранич-
ным условиям соответственно первого рода (Дирихле), второго
147
рода (Неймана) и третьего рода.
Теорема 7 Дифференциальный оператор А - -Д на линейных
многообразиях Ми М2 и М3 симметричен, причем на линейных
многообразиях и М3 он положительно определен, а на М2 -
неотрицательно.
Доказательство теоремы 7
Симметричность. Рассмотрим две произвольные функции о(х)
и Цх) из М и запишем для и и v вторую формулу Грина (19 2)'
(Ди, v) - (ц Av) = f(-Ди  v + и Ду)
о

Из граничных условий следует, что
ди_ dv
--V+ и—
дп дп,
= 0, напри-
80
мер, для и и v из М3.
( ди_
I dnV
7 80
Следовательно, (Дц v) - (ц Ду)
Положительная (неотрицательная) определенность. Пусть и{х)
— произвольная функция из М, отличная от тождественного нуля.
Запишем первую формулу Грина (19.1) для функций t^x) и «4х):
(Ди.и)=-|Ди hdx = J|grad^2dx - j— uds.
D	D
Далее рассмотрим три варианта.
....	о	-Su
1)	Пусть и е М,,тогда и—
8П-
= 0, то есть
8D
(Au, u) = J yraduzdx > 0,
D
так как функция, тождественно равная константе, отличной от
нуля, не принадлежит многообразию /И, Следовательно, оператор
Д = -Д положительно определен на М,
148
2)	Пусть и G М2 , тогда и—	= О, то есть
@П 8D
(Аи, и) = J^radu2c6c > 0.
D
Следовательно, оператор Xi - А неотрицательно определен на
многообразии М2, причем равенство (Аи,и)-0 выполняется
только для функций и, тождественно равных константе.
3)	Пусть и е М3, тогда V— - -/dd2| , го есть
дп а, I®
(Аи. и) - j|gradtjjz dx + к J|^2ds > 0.
О	BD
Следовательно, оператор А - Л положительно определен на Мэ

Следствие 1. Собственные функции дифференциального опера-
тора А = -А, заданного на одном из линейных многообразий М,,
или Л42,или М3, отвечающие различным собственным значениям,
ортогональны в L2(D).
Следствие 2. Все собственные значения дифференциального
оператора А = -А, заданного на или Л?3, положительны.
Следствие 3. Все собственные значения дифференциального
оператора А = -Д, заданного на М2, неотрицательны, причем
единственной линейно независимой собственной функцией, отве-
чающей Л = 0, является и = 1.
19.4.	Правильная нормальная производная. В физических
процессах, описываемых эллиптическими уравнениями, гладкое
внутри области и непрерывное на ее замыкании решение может и
не иметь непрерывного на границе градиента. Это условие не тре-
буется даже в случае, когда задается непрерывный “поток” через
границу области, то есть значения нормальной производной. Что
же тогда понимать под этим значением?
Пусть граница области D является не просто кусочно диффе-
ренцируемой, а достаточно гладкой, чтобы отстоящая от этой гра-
ницы 3D на заданное произвольное малое расстояние р поверх-
149
ность 3Dp имела нормаль в каждой точке, которая в параметриче-
ском задании поверхности является непрерывно дифференцируе-
мой векторной функцией параметра а. Такая ситуация, в частно-
сти, реализуется в случае, когда граница dD области D дважды
непрерывно дифференцируема. Поверхность dDp будем называть
эквидистантной, один из вариантов ее задания следующий*
3D. - {х. х + рп е 3D},
где п - внешняя единичная нормаль к поверхности 3D. При пара-
метрическом задании дважды непрерывно дифференцируемой
поверхности 3D функции х* = х* (а), i = 1,.. п принадлежат
классу С2, так что нормаль п - непрерывно дифференцируемая
функция этого параметра а.
Пусть функция р(х) принадлежит классу С2(О), тогда в сде-
ди
ланных предположениях ее нормальные производные — на по-
верхностях 3Dp являются непрерывными функциями, которые
, р > 0. Далее предположим, что эти функции
_ ди
обозначим —
равномерно (относительно параметра а) стремятся к функции
ц(х), х е 3D при р -> +0. В таком случае эту пределыгую функ-
цию ц(х) будем называть значением правильной нормальной про-
изводной функции ы(х) на поверхности 3D
Такое определение правильной нормальной производной
ди
дп
SD
формально можно записать в следующем виде
ди
дп
 ди
lim—


Сформулированные условия существования правильной нор-
мальной производной обеспечивают корректность предельного
150
перехода J v^ds > jv^cfe для veC(D) при стремлении
№g,	3D
границы dDp к dD. Отсюда следует справедливость формул Грина
при меньших требованиях на гладкость функций (правда, требова-
ния на гладкость границы повышаются).
Сформулируем эти утверждения для ограниченной области D с
достаточно гладкой границей dD
Утверждение 1, Пусть функции t/x) и Цх) принадлежат клас-
сам	и C2(O)nC^Oj соответственно, v(x) имеет
dv
г“‘....“ sn
dv
i.
го дп
и — , причем Ди и Av принадлежат L,(D}. Тогда спра-
dn3D
du dv
правильную нормальную производную — , причем —г, ——,
дп	дх дх1
I = 1,... п принадлежат Г2(О) , AveL,(D). Тогда справедлива
первая формула Грина (19.1).
Утверждение 2, Пусть функции f/x) и v(x) принадлежат клас-
су C2(D) г» C(d), имеют правильные нормальные производные
ди
дп
ведлива вторая формула Грина (19.2).
Утверждение 3 Пусть функция ц(х) принадлежит классу
С2(О) nC^Dj, имеет правильную нормальную производную
ди
дп
Тогда справедлива третья формула Грина (19.3).
Следовательно, и свойства оператора Д”, обсуждавшиеся в
предыдущем пункте, справедливы на более широких линейных
многообразиях, а именно в определении многообразий А4,, Мг и
М3 можно заменить М на многообразие М функций ь(х), при-
надлежащих классу C2(O)nC(Dj, имеющих правильную нор-
ди
, причем —j, i = 1, .. п принадлежат L2(D), /хи е MD)
го	дх
151
ди
мальную производную —
дп
ди . л .
, причем —7, / = 1, .. п и Ди при-
№
надлежит L2(D)
§20. Дифференциальное уравнение Бесселя.
Неограниченность в нуле общего решения. Функции
Бесселя первого рода
20.1.	Задача на собственные значения, приводящая к урав-
нению Бесселя. Для того, чтобы использовать метод Фурье для
решения смешанных задач для волнового уравнения и уравнения
теплопроводности в круговых областях, необходимо найти собст-
венные функции дифференциального оператора А - -Д в круге
D=|x = (x\x2J 1х| <	
-ДЦх’,х2) = Х-Цх1,х2j, [х1,х2) еD,	(20.1)
удовлетворяющие соответствующим однородным условиями на
границе:
(*’•4»=°-	_	<М2>
Будем искать функции и в классе С2(О) п и потребуем,
чтобы Ди е  Тогда, в соответствии с результатами преды-
дущего параграфа, поставленная задача может иметь нетривиаль-
ные решения только при Х>0
Перейдем к полярным координатам (г, <р), сделав замену
g(r,9) = ^(rcos^.rsn^)
Задача на собственные значения (20.1),(20.2) перепишется в этом
случае следующим образом:
1	1
-(rgAr, ф)), + р-ф) + W.Ф) = о, г е [0, R),	(20.3)
9(^ф) = о.	(20.4)
Найдем решения вида
152
g(r,<p) = 2(г)Ф(ф),
^2
где Ф{ф) - собственная функция оператора--------2 на отрезке
do
[0,2л1:
-Ф"(Ф) = цФ(ф) -	(20.5)
Из гладкости исходной функции и следует, что Ф(ф) еС2[0;2л],
причем Ф(0) = Ф(2л) и Ф*(0) = Ф/(2л) (тогда из уравнения (20 5)
будет следовать, что и ф"(0) - ф"(2л) ). Общее решение уравне-
ния (20.5) есть
Ф(ф) = С. sin + С2 cos^po,
где С, и С2 - постоянные. Учтем условия на концах;
С2 = С, ап Лц27г + С2 cosJp.2n
' г~ г~ г~ Г- . Г-	(20 6)
Jp-C, ~ JpC, cos7p2n - sn^p2n
Далее рассмотрим два случая
1) ц = 0. Тогда Ф(ф) есть тождественная константа, которую
мы выберем равной единице:
Ф0(ф) = 1.
2) ц ~г 0. Тогда поделим второе уравнение системы (20.6) на
С, эп^12л + C2^cos^i.2n - ij - 0
C^cos7p2k - 1 j - C2 sin 7Й2л = 0
Получили линейную однородную систему относительно Cf и С2.
Она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее
определитель равен нулю:
0 = -sn2 Jp27r - cos2 7ц2п + 2 cos-Jp 2л -1 = 2^cos.Jp2n - ij,
то есть
COs7p2z = 1
Следовательно, ц = п2, п е N. Выберем две линейно независимые
153
собственные функции, соответствующие ц = пг, следующим об-
разом:
Фл1(ф) = СОЭЛф, Фп2(ф) = ЯП Лф
Вернемся к уравнению (20.3)’
Г л .	.. „г ч
1 I гг
~(rZ‘(r)) - ^Z(r) Ф(ф) + Л2(г)Ф(ф) = 0, п е N u{Q,
где Ф(ф) — собственная функция, отвечающая собственному зна-
чению р = л2. Следовательно, функция Z(r) должна удовлетво-
рять дифференциальному уравнению
1	(	п^\
Z”{r) t Z'(r) t Z - 4 Z(r) - 0	(20.7)
г	к	г)
Получим уравнение, не зависящее от X, для чего сделаем замену
переменных
И$) =
(напомним, что имеет смысл рассматривать лишь Х>0). Тогда
уравнение (20.7) перейдет в дифференциальное уравнение Бесселя
1 Г л2’
+	1-72 иа = о
(20.8)
г'"-'	1
1 ™ ч
Из условий на функцию и следует, что необходимо найти реше-
ние уравнения (20 8) из класса C2j0; n С1|0; F?Vxj, удовле-
творяющее равенству
(20.10)
ЦШХ] = 0.	(209)
20.2. Дифференциальное уравнение Бесселя. Уравнение
1	Г V2’
+	1-тт УЮ = 0
$ LSJ
(здесь v - произвольное действительное число) называется диф-
ференциальным уравнением Бесселя. Всякое решение этого урав-
нения, отличное от тождественного нуля, называется цилиндриче-
ской функцией.
154
Ограничимся рассмотрением £ > 0 Проведем анализ поведе-
ния около нуля решений уравнения Бесселя (20.10). Пусть уДЕ,) и
У2Ю - два произвольных решения. Тогда согласно формуле Лиу-
вилля определитель Вронского при Е, > С равен
V1

Zn £

УДО у2Ю
где Е,о > О - произвольная фиксированная точка. Для линейно не-
зависимых у.(^) и у2(^), определитель Вронского не обращается
в ноль ни в одной точке, в частности W(E,0) * 0, следовательно,
hm W(£,) — со, так что для каждого фиксированного v существует
не более одной линейно независимой цилиндрической функции,
ограниченной в нуле вместе со своей производной.
Цилиндрические функции можно построить в виде суммы сте-
пенного ряда, а можно строить численными методами (например,
методом Рунге-Кутта). Первый подход широко описан в литерату-
ре. Здесь же обсуждается второй.
1) Рассмотрим вначале случай v= 0, тогда уравнение (20.10)
имеет вид
(20.11)
/(и+^Уй)+№) = о.
Построим нетривиальное решение, для которого >(0), /(0) и /(0)
конечны Из уравнения (20.11) следует, что
У(У = Ч[/(О + Ж)] -> 0, то есть /(0) = О. Чтобы решение
было отлично от тождественного нуля, необходимо у(0) & О. По-
лежим у(0) — 1. По правилу Лопиталя получаем -—-> ^(0),
что в совокупности с уравнением (20.11) дает 2/70) +1 - 0. Та-
ким образом,
И0) = 1, У(0) = о, /(0) = -Я-
Этого достаточно, чтобы построить решение численными мето-
дами.
155
Полученное таким образом решение обозначим через Jo(£) (см.
рис 12(a)). Оно ограничено в нуле вместе со своими двумя первы-
ми производными.
2) Перейдем теперь к случаю v>0. Приведем уравнение
(20.10) к виду уравнения (20 11) при помощи замены
ИО = ^). а>0.
В результате уравнение (20 10) перейдет в
о(о - 1)Г'2^) + 2^-У (О +	+
( v2A
з|1-^2К) = 0,
или
2//Ю + ^’2'(^)+ 1 +
о(о -1) + о - v2
tF
40 = 0.
Потребуем, чтобы коэффициент при z(E,) был равен единице:
о2 - vz = О,то есть о = v > О. Тогда
ЛО+2¥^^)+2(0 = о
Аналогично со случаем v = 0: У(0) = 0> ХО) * 0. По общему
соглашению полагают
где Г(v) - J^v1e f,d^ = |l In— I dx - гамма-функция ')- Тогда
о	tA £
') Напомним простейшие свойства гамма-функции
1 r(v + 1) = vr(v),
2 Г(1) = Г(2) = 1,
3 если v е К, то Г(у) = (v — 1)!	j
156
^(0)(1 + 2v + 1) + 40) = 0, что дает г"(0)	
1 (V 4-
Построенное таким образом решение = £'4£) обозначим
W-
Определение 1, Цилиндрическая функция 4(0, v > 0 называ-
ется функцией Бесселя первого рода порядка (или индекса') v
Рис 12(a). Функции Бесселя 4(0 и J((£J
Рис 12(6). Функции Бесселя 4(0 > 4(0 > 4(0 и 4б(0 
157
Отметим, что функция Бесселя Jv(£), v > О ограничена в нуле,
но ее производная, вообще говоря, не является ограниченной (на-
пример, функция ведет себя около нуля как ). Однако,
для целого положительного v функция Jv(^) принадлежит классу
С^О, со) и является единственным линейно независимым решени-
ем уравнения (20.10) из этого класса.
Замечание I. Требование v > 0 необходимо с точки зрения
обозначений, поскольку через J„v(x), v > 0 в литературе обозна-
чают функции Бесселя второго рода, которые неограниченны в
нуле и равны сумме функционального ряда, которая не вычисляет-
ся описанным выше способом.
20.3. Собственные функции оператора Лапласа в круге.
Вернемся к уравнению (20.8). Из требований на гладкость функ-
ции у(^) вытекает, что >(0), У(0) и УУ(0) должны быть конечны.
Следовательно, с учетом свойств функций Бесселя первого рода, с
точностью до постоянного множителя можно записать для реше-
ния ИО уравнения (20.8) равенство
Ж) = W-
В следующем параграфе будет доказано, что функция Бесселя
первого рода JV(O для любого v > 0 имеет счетное число нулей.
Занумеруем положительные нули в порядке возрастания:
f v)	( v)
р., , Hz •	, то есть
о< mV’ < mV’ < •< mV’ Jv(uV’) = о.
Следовательно, задача (20.8),(20.9) имеет решения только при су-
ществовании к g N такого, что -JkR =	.
Итак, собственные функции оператора А — —Д в круге D ра-
диуса R с однородными граничными условиями первого рода
имеют следующий вид:
Гн(0) А
ajk(r’9) = Jo о
\ ГХ )
158
cos/xp
snn<p
(uln)
= J
A R
а соответствующие мм собственные значения есть
2
,keN, neNo{0}
,(n)
I М*
•n.Jt —
k,n eN
R
Отметим, что при n — 0 кратность Х„ к равна единице, а при
л* 0 — двум.
В заключение сформулируем и докажем следующую теорему
Теорема I. Пусть п — неотрицательное целое число. Тогда
fu(n) А
функции Бесселя первого рода JJ г и
\ R J
пои т*к
A R
ортогональны с весом г на отрезке [0J?], то есть справедливо ра-
венство

R
о
1 (ilw I
Г	dr = O
J I R J
(20 12)
Доказательство теоремы I. Рассмотрим функции
Гц<Л)	А
&(Лф) = JA -*-г соэлф и gt>(r,<p) = Jj 'АН cosrxp.
\ К J	\ R )
Они являются собственными для оператора А = -Д в области D с
однородными граничными условиями первого рода и отвечаю!
Гц(А2
различным собственным значениям: X, = и -1
\ R )	х. R )
Следовательно, в соответствии с результатами предыдущего пара-
графа функции gi и g2 ортогональны:
R/2it	>
°=	= fl fw<*p <* =
о	<Д с J
R/2r	"I Гп(л)	>
= J Jcosznpdp Ш-~А Нг =
лкл	) \ К J \ К J
I59

откуда следует равенство (20.12) 
В следующем параграфе теорема 1 будет доказана в более об-
щем случае.
§21. Существование счетного числа нулей функций
Бесселя первого рода. Ортогональность функций
Бесселя
21.1. Нули ') функции Бесселя первого рода. Зафиксируем
произвольное v > О и рассмотрим дифференциальное уравнение
Бесселя
/(^) + 7У(0 +
£
V2
(211)
Напомним, что функция Бесселя первого рода Jv(^) - это не-
тривиальное ограниченное при ^ = 0 решение уравнения (21.1)
Изучим свойства нулей этой функции.
Лемма 1, Множество нулей функции Jv(£) не может иметь ко-
нечную предельную точку
Доказательство леммы 1. Допустим противное: пусть сущест-
вует конечная точка такая, что в сколь угодно малой ее окрест-
ности есть нуль функции Jv(£) Рассмотрим два случая
1) Если £0 0, то с учетом гладкости функции Jv(£) получаем,
что Jv(^0) = ^v(^o) = 0. Согласно единственности решения задачи
Коши для линейного дифференциального уравнения второго по-
рядка (21.1) из условий Jv(^0) = JvUo) = 0 следует, что Jv(£) = 0.
Получено противоречие с определением функции Jv(£).
2) Из представления Jv(£) =ljvz(£), z"(0)*0, полученного в
пункте 2 предыдущего параграфа, вытекает, что точка £0 - 0 тоже
') Точка £о называется нулем функции/^), сслиД^о)=0
160
не может быть предельной для нулей функции Бесселя 
Следствие 1 Множество нулей функции Л(^) не более, чем
счетно.
Доказательство следствия 1 Любой отрезок [О; N], N = 1,2, .
содержит только конечное число нулей функции JV(E,) (иначе на-
шлась бы предельная точка нулей на этом отрезке). Следователь-
но, все нули можно последовательно “занумеровать” с помощью
натурального рядаВ
Для более подробного анализа расположения нулей функции
Бесселя первого рода Л(^>) удобно воспользоваться теоремой
сравнения Штурма, для чего необходимо привести уравнение
(21 1) к виду, в котором отсутствует первая производная. Этого
можно достичь стандартной подстановкой
В результате уравнение (21.1) перейдет в уравнение для y(t,) со
следующим коэффициентом при у,(О:
2f(yefK,+-ef(«,
который в силу наших стремлений должен равняться нулю, то есть
2£
1
Выберем f(£) = -—I г 4, тогда
Подстановка выражения (21.2) в уравнение (21.1) дает
= 0
у"(«+(1-2^Л]у(У = о.
(21.2)
(21.3)
Уравнение (21.3) называется приведенным уравнением Бесселя.
6 В. Уросв
161
Отметим, что все положительные нули функций JV(E,) и
совпадают.
1) Рассмотрим уравнение

и возьмем сле-
дующее его решение:
Ж) = яп^.
Положительные нули функции есть = <j2.nk, к е N. При Е,
таком, что > ^v2 — X) выполняется неравенство
V 2
Следовательно, по теореме сравнения Штурма для любого доста-
точно большого натурального к на отрезке K*.£fc+1J есть нуль
функции Jv(^), являющейся решением уравнения (21.3), а следо-
вательно, и нуль функции Jv(£). Таким образом, функция Jv(£)
имеет бесконечное число нулей.
Итак, доказана
Теорема 1. Функция Бесселя первого рода JJ&) имеет счетное
число нулей
Как и в предыдущем параграфе, занумеруем положительные
нули функции Jv(£) в порядке возрастания (без пропусков):
2)	Рассмотрим уравнение + 2у(^) = О и возьмем следую-
щее его решение:
ИУ = ЯП^.
Положительные нули функции у(£) есть пк, к е N . При
таком, что V - X _ v2 выполняется неравенство
Следовательно, по теореме сравнения Штурма для любого нату-
162
рального к > «о, где натуральное число таково, что
-Х-у2> отрезок [р*р^г] содержит, как минимум, два
нуля функции у(^), то есть
Pfe*2-t4V)
Рассмотрим ряд X?------Y-Л1Я него можно записать
*=1 (р* J)
Итак, доказана следующая
”	1
Теорема 2. Ряд У ---у
... (ц«)
сходится.
21.2. Ортогональность. Рассмотрим линейный дифференци-
альный оператор
L +
v dr2 г2 ’
заданный	на	линейном	многообразии
Ч = [<р(г) ф(г) = Г^2  у(г). $ е C2[Q R], cp(F3 - о! в L/0, R)
Лемма 2. Для любого действительного v>0 справедливы утвер-
ждения
I)	оператор Lv на линейном многообразии Mv является сим-
метричным,
2) функции
~ ( LL(v)
Ф^(Г) = ЛНН =
X. Г\ /
keN
яв-
163
ляются собственными функциями оператора Lv и отвечают собст-
венным значениям
Доказательство леммы 2.
1) Пусть v > 0, тогда для любых двух функций <р(г) и у/(г) из
линейного многообразия Mv справедливы равенства
(J-WW) = J -4>"(0 +	ф(о| vW" =
= ~ ф'(Оф(Й|" + ftp'frMW + f—.
о	о г
и
(ф.kv) =	v"(0 + V г2^а vO'jjtf =
= - фСОф'И + f<p'0V(r)dr +	фСгМгХ* .
° О	О r
Из условий на концах отрезка [0./?] получаем, что
0 = фЧОуО")^ = ф0')ф/(О| • Следовательно, (tv<p,v) =(<p,Lvv)
что и требовалось доказать
Рассмотрим теперь случай v = 0. Пусть <р(г) и \р(г) - две про-
извольные функции из Мо, тогда в соответствии с определением
Mv справедливы равенства <р(г) - 4гу(г) и у (г) = -Jnp(r), где
функции ф(г) и у(г) принадлежат классу С2[О F?|. Проведем сле-
дующие преобразования:
^"(r) y/r -^rjdr
j<p'(r)vp(r)dr-
о
р	_______ д
-гф'(0ф(0|” + p4'')('V(0)'<fr = Jrv'OOv'tOtf-
о
О
Аналогичные преобразования приводят к равенству
164
R ________
(фЛф) = f'WJvVX*.
0
Следовательно, (Z^<p, ф) = (ф, /-сф)
2) Из приведенного уравнения Бесселя (21.3) и вида оператора
Lv непосредственно вытекает важное соотношение
М>) - -3"(г) +	= W
Следовательно,
, г \	(f4v)
v2"%7(^v)
R
,2

Поскольку Jv(r) = Jrj^r) = Jr - rv - z(r),	z(r) e C^O; <ю) и
ФУД^О = °, T0 Фч*(О e Mv 
Лемма 2 позволяет доказать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть v — произвольное неотрицательное действи-
тельное число. Тогда функции Бесселя первого рода
и
при т/к ортогональны с весом г на отрезке [0;й], то
есть выполняется равенство
(21-4)
(Для целых v данная теорема была доказана в предыдущем пара-
графе.)
Доказательство теоремы 3 Рассмотрим функции <pv(t(f) и
Ф¥П,(г). Это собственные функции симметричного оператора Lv,
165
fu(v,r
отвечающие различным собственным значениям	i
\ RJ
—  Следовательно, <pvJ[(r) и ср¥Л,(г) ортогональны, то есть
\ л /
О = (ф,.*.Фчт) = |фуЛ(г)Ф,,т(г)с&- = Jj f^XMrlcfr.
О	*'0\Г<У\К;
Остается учесть, что plv) *0 и ц£’ * 0, чтобы получить равенст
во (21.4) 
213- Рекуррентные соотношения. Для справки без доказа-
тельства приведем следующие соотношения для функций Бесселя:
	VW	НЧи К).	(21-5)
d	~w~ L v J		(21.6)
Из них легко получить, что
-у W + <i(V = о.	(21.7)
§22. Решение смешанной задачи для уравнения
теплопроводности в круге
22.1. Разложение по функциям Бесселя первого рода. Рас-
смотрим функцию f(r) из класса	Для произвольного
фиксированного v > 0 разложим функцию f(r) в ряд Фурье по
ортогональной с весом г системе
•»	(..(v) Л
Г(г)~£гЫ^-г],
(22.1)
166
— коэффи-
циенты Фурье.
Замечание 1. На практике для вычисления коэффициентов
удобно использовать рекуррентные соотношения (21.5) и (21.6).
Приведем без доказательства следующее утверждение о сходи-
мости ряда (22.1).
Теорема 1, Пусть функция f(r) непрерывна на отрезке [0;Л] и
имеет на интервале (0,/?) абсолютно интегрируемую производную,
причем = 0. Тогда ряд (22.1) сходится равномерно к функции
f(r) на любом отрезке [б; R], О < 5 < R:
I-cd	<22-2)
lt=t \ f' J
22.2. Примеры применения функций Бесселя. Рассмотрим
смешанную задачу для однородного уравнения теплопроводности
в круге D — {х - (х1, хг) : |х| <
ц(х, 0 = а2ДЛй(х, t), (х, Г) е D х (Q оо)	(22.3)
с начальными условиями
и(х,О) = Ц)(х), х е D	(22 4)
и однородными граничными условиями первого рода
й(Х,П]ж=О, t>C	(22.5)
Здесь	х (Qco))n C(D х [О,со)р ц,(х) заданная
функция из класса удовлетворяющая условию согласования
4,(x)L = о.
Перейдем к полярным координатам (г, ф):
х = (rcostp,гапф), г>0, 0<ф<2я
Тогда смешанная задача (22.3),(22.4),(22.5) запишется следующим
167
образом:
^(г,Ф,0 = агДГфи<г,ф,(), 0<r<R, t>0,
м(г,у,О) = w0(r, ф), 0 < г < R,
и<^ф,0 = 0, t>0,
1 д2
~ оператор Лапласа в полярных
(22.6)
(22.7)
(22.8)
где ДГф
i_aj д '
гйг[ ЙГ*
координатах, w(r,q,t) =	и %(г,ф) = tfc(x(r,w)).
Условие согласования примет вид и/0(Я^ф) = О.
Будем искать решение н(г, ф, t) в виде функционального ряда
по собственным функциям оператора А = -Д в области D с одно-
родными граничными условиями первого рода:
(22.9)
где 7x(f) — искомые функции, Хх(г,ф) - решения системы
ЛгЛЛ(г.ф) '^Л(г.ф)
	, ортогональные друг другу в (.ДО).
лх(г<Ф) = и
Прежде всего, разложим функцию vv0(r, ф) в ряд Фурье по ор-
тогональной системе {Х?(г,ф)| в /-2(О)
%(г.ф)~Е^-Хх(г.ф)^
J |иь(г,ф)^(г,ф)Г£*-йр
= -°й2;------------------ко'
J |>^(г,ф)гсУгс*р
О о
(22.10)
D
где а
о
эффициенты Фурье.
Формально подставим ряды (22.9) и (22.10) в уравнение (22.6) и
начальные условия (22.7). Тогда с учетом свойств функций
Х;(г,ф) получим
Е ^(ОХДг.ф) = -а^ХТДПХДг.ф),
к	х
^Ш-фЬ^АМ-
X	X
168
Потребуем почленное выполнение написанных равенств:
Т/(0 + а2ХТД0 = 0, ТД0) = аА,
откуда
ТДО = а, ехр(-ал?).
Далее, воспользуемся результатами §20:
fu(0) A <n(c>V
Х(г.ф) = 4^-7	•
ZfeN;
(22.11)
№
R
Тогда ряд (22.9) запишется следующим образом:
•*>	Л,<°> 'I
Мг.Ф.0-ЕТа«(04|“-'к
*=1
Л (л) А
cosrxp
, X —
snap
2
, n.ReN.
(22 12)
R
R
Если
%('.<P) = EWo D r
k=1 X F< /
EE J4 »	««W + %* SH'M ’
n=1 *=1 V •'	}
( u(°’V
- t
I r)
ТО
”	fn(0) А
M<r,<p,0 = £Wo
fc=1	\ Г< J
” ” (u(n) Y	i Г nV41*
4EEJ4~Df к.*005лф + ап,*яплф I exp - a^- t .
n=i*=i v	L	J
Замечание 2. Целью данного параграфа не является обоснова-
ние возможности нахождения решения в виде такого функцио-
нального ряда. Здесь лишь продемонстрирован принцип примене-
ния цилиндрических функций при решении смешанных задач в
круговой области
Подобным образом решаются и смешанные задачи для волно-
вого уравнения в круге.
Пример 1. Найти решение ф. О смешанной задачи
169
- Ar ,w+ w - cost  cos3cp - j3(2g(^r), 0 < г < y2, t > 0, (22.13)
wfr.9,0) = r(1 - 2r)s
0<r</2,
(22.14)
ivt(r, Ф.0) = 0, 0 £ г < y2,	(22.15)
и(Нф,0 = 0, t^O.	(22.16)
Решение. Будем искать решение и(г,ф, t) в следующем виде
iv ~ Т(/)Л(адл) совЗф + £ Tk(t)J^VjsirL +	- (22 17)
Записав такое выражение для w, мы учли вид правой части уравне-
ния (22.13) и начальных данных (22.14) и воспользовались тем
фактом, что функции соэЗф и 9
являются собственными
для дифференциального оператора---=- и отвечают собственным
dx
значениям л2 = 9 и л2 = 1 соответственно. Разложим функцию
г(1 - 2г), входящую в начальные данные, по системе

41-2г) = Ё^,(2и?г).	(2218)
X
Jr’(1 - 2r)J,(2j.‘"r)dr
где аА =——. Далее, подставим ряды (22.17) и
frJ2(^i(k”f)dr
о
(22.18)	в уравнение (22.13) и начальные условия (22.14),(22.15),
потребовав почленного выполнения получающихся равенств
Т"(0 + [(^о*)2 +1 T(t) = cost, ПО) = О, Г(0) - О;
^(0 + [(^)2+1]7Д0 = О, ТД0) = аА( 7Д0) = О
Решая эти задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
170
уравнений второго порядка, находим
Т(0 = (2и®)^ oxt-
«0 = а.сЦ^(2н1’>)г*1г).
Следовательно,
и(г,<М) = (2р$)”2 cost
со^Зи™)2-*-1 
Пример 2. Решить задачу
Ц1Х.0+*l4x,t) = uxx(x,t) + ^Dx(x,t) + 3t-J2(p(52)x),	(22.19)
0< х <1, t> О,
4*.О) = О, ц(х,О) = J2(j42)x), О < X < 1,	(22.20)
|(40, t)j < оо, и(1, Г) - О, t > О	(22.21)
Решение. Функция Бесселя J2(£) по определению ограничена в
£ - 0 и удовлетворяет уравнению
№+1-to -4 w=-л©
Следовательно,
причем
|Л(°)| < «.	= 0.
а2	1 в	4
Отметим, что оператор —у •+------так же входит в урав-
5х	х ёх
нение (22.19), по этой причине имеет смысл искать решение tXx. t)
в виде ряда
171
СП
*=1
Подставляя этот ряд в уравнение (22,19) и начальные условия
(22.20), получаем
Ё V'Mttf’x) - -ЁН’)2 тмЦ^'х) + 31 - 4и'®х),
*=1	к=1
Ё WP2(m‘»x) = О. Ё IftOM^Px) = Л(ц‘=>х)
к=1	*=1
Потребуем почленного выполнения написанных равенств
Л"(П + (рП2^ = 0* w = °* Г(О) = 1;
V(0 + (p’/fW = X, Т5(0) Г5'(0) = О;
Tk(t) = Q, к^5
Решая задачи Коши для TJt) и T5(t), находим
Следовательно,
Глава V
Первоначальные сведения об уравнении
Пуассона. Задача Дирихле в R2
§23. Уравнение Пуассона. Принцип максимума для
гармонических функций. Корректность постановки
внутренней задачи Дирихле
23.1.	Постановка краевых задач. Перейдем к изучению урав-
нения Пуассона
Ло(х) =
«Хх) = f(x), xeR",
(23.1)
которое, как отмечалось выше, относится к эллиптическому типу.
Пример Адамара (§8) показал, что постановка задачи Коши для
уравнения Лапласа может быть некорректной. На самом деле, по
становка классической задачи Коши для эллиптических уравнений
всегда приводит к некорректным задачам.
Для уравнения (23.1), как и для всех эллиптических уравнений,
рассматривают так называемые краевые задачи, среди которых
выделяют следующие основные.
а)	Внутренняя задача Дирихле Пусть D - ограниченная область
в R", f(x) и Ц,(х) - заданные функции из классов С(О) и C(SD)
соответственно. Требуется найти функцию о(х) из класса
С2(О) n C(D), удовлетворяющую в D уравнению Пуассона
Al4x) = f(x), х е D	(23.2)
и граничному условию первого рода
173
Ц(х) = ц,(х), X<=5D.	(233)
б)	Внешняя задача Дирихле. Пусть D - ограниченная область в
R", А(х) и Ц;(х) - заданные функции из классов C^Rn\D) и
C(SD) соответственно. Требуется найти функцию и{х) из класса
C2(Rn \ Dj n CfR” \ D), удовлетворяющую в R" \ D уравнению
Пуассона
Ли(х) = f(x), х € Rn \ D,
граничному условию первого рода
и(х) = Ц)(*Х Xe5D
и определенному условию на бесконечности.
в)	Внутренняя задача Неймана. Пусть D — ограниченная об-
ласть в R" с достаточно гладкой границей 3D, f(x) и ц(х) - за-
данные функции из классов С(О) и соответственно. Требу-
ется найти функцию и(х) из класса C2(D)r>C[p), имеющую на
границе Ви правильную нормальную производную — и удов-
Sn3D
летворяющую в D уравнению Пуассона
Дц(х) = Г(х). х е D
и граничному условию второго рода
ди
дп
= 4
№
г)	Внешняя задача Неймана Пусть D - ограниченная область в
Rn с достаточно гладкой границей <3D, f(x) и ц(х) - заданные
функции из классов C^Rn \ Dj и С(дЬ) соответственно. Требует-
ся найти функцию н(х) из класса C2(Rn \ Djr\ cfR" \ О), имею-
щую на границе 3D правильную нормальную производную — ,
удовлетворяющую в Rp \ D уравнению Пуассона
Дц(х) = f(x). XeRn\D,
174
граничному условию второго рода
ди
дп
= 4
го
и определенному условию на бесконечности.
Поставленные задачи на плоскости (п = 2) мы обсудим только
для области £>, являющейся кольцом.
Для случая П = 3 эти задачи подробно обсуждаются в седьмой
главе (для шарового слоя) и в десятой главе (для широкого класса
областей).
К основным также относят задачи с так называемыми краевыми
условиями третьего рода:
Гаи
—+ аи
w
= u2, a > 0
где п — внешняя нормаль. — понимается, вообще говоря, как пра-
вд
вильная нормальная производная. Пример такой задачи приведен в
§24.
В этом параграфе ограничимся изучением корректности поста-
новки внутренней задачи Дирихле.
23.2.	Принцип максимума для гармонической функции.
Теорема 1 Пусть D — ограниченная область в Rn, и(х) — функ-
ция, гармоническая в D и непрерывная в D. Тогда справедлив
принцип максимума:
mac и(х) = mac и(х)	(23.4)
ХеО	хеЭО
Доказательство теоремы 1. Прежде всего заметим, что по-
скольку D и 3D — компакты, и функция и(х) непрерывна на них,
то оба максимума в равенстве (23.4) существуют и достигаются
хотя бы в одной точке соответствующих множеств
Допустим, что существует точка Xq е D такая, что й(х^) > С,,
где С, — mac u(x). Рассмотрим вспомогательную функцию
Цх) = и(х)+^^А|х-^|2,
175
где С2 = так|ж — х^|2 (С2 > О, так как 9D — компакт и х0 е dD )
Тогда
так Цх) = та/ и(х) +	—^-|х - хк|21 < С. + Q с2
хеао ' хе»\	С2 '	7	’ С2 2
= <Х*о) = По-
следовательно, максимум функции v(x) не может достигаться на
границе области D, а достигается в некоторой внутренней точке
x’tD. Поскольку l/cC2(D) (см. определение гармонической
функции), то и V е С2(О), а следовательно, согласно необходимо-
му условию максимума должно выполняться
Av(x) £ О,
но с другой стороны
Av(x*) = Ao(xj + ^Х°*~С1л|х- - xj = 2n-^o)~C* > О.
С2	С2
Из полученного противоречия следует, что Цх^) < С, 
Следствие 1. В условиях теоремы справедливы утверждения
min u(x) = mm ц( х),	(23.5)
и
ггвпцх) < u^) < так и(х), VXq е D.	(23.6)
Доказательство следствия 1. Поскольку функция -tJfx) также
является гармонической, то можно записать следующую цепочку
равенств:
m пКх) = - туНХх» = - п«(-Кх)) = mn о(х).
Таким образом, обосновано равенство (23.5). Объединение ра-
венств (23.4) и (23.5) приводит к утверждению (23.6) 
23.3.	О корректности внутренней задачи Дирихле. При по-
мощи принципа максимума докажем следующее утверждение.
Теорема 2. Если существует решение внутренней задачи Ди-
рихле (23.2),(23.3) в классе функции C2(D) п , то оно един-
ственно в этом классе и непрерывно зависит от граничных данных
176
ц, в равномерной метрике.
Доказательство теоремы 2
Единственность. Пусть й(х) и и{х) - два решения внутренней
задачи Дирихле (23.2),(23.3), отвечающие одним и тем же гранич-
ным данным. Рассмотрим их разность
1<х) = й(х) - и(х).
Она принадлежит классу Сг(О)г> и удовлетворяет в D урав-
нению Лапласа и однородным граничным условиям. Следователь-
но, для и(х) можно воспользоваться принципом максимума (23.4)
и его следствием (23.5):
maxtix) = O, mintXx) = O,
ИЛИ
U(X)SU(X),
что и требовалось доказать
Непрерывная зависимость. Пусть теперь и(х) и и(х) - решения
задачи (23.2),(23.3), отвечающие граничным данным Ц, и Ц, соот-
ветственно. Тогда разность l(x) = и(х) — u(x) является решением
внутренней задачи Дирихле
Дй(х) = О, xgD,
t/x) = Ц)(х) = Ц)(х) - %(х), X G 8D
Воспользуемся для п(х) принципом максимума:
max|u(x)l = так max t/x)min tj(x)| =
xeD 1	( ХеО	xeD )
=	Ч>« - ™Ц,(х)] = ^|ч.(х)|
Следовательно,
таср(х) - П(х)| = mat^x) -	•
177
§24. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в
круге в случае непрерывной граничной функции.
Краевые задачи в кольце
24.1.	Случай пепрерывно дифференцируемой граничной
функции. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в
круговой области D = {х = (х1, х2) : Н <
Дй(х) = О, X е D	(24.1)
с граничными условиями первого рода
</х) = Чз(х), х е 8D	(24.2)
Необходимо найти решение и(х) из класса C2(D) п C(D).
В этом пункте будем считать, что ц, е C1(SD)
Перейдем в задаче (24.1),(24.2) к полярным координатам (г,ф):
х = (гСОБф.ГЭПф), г>0.
Получаем
rT-fr V W. ф)1 +	и{г,ф) = О, г е [0; R),	(24.3)
ОТ X СТ /Оф
И<^ф) = %(ф).	(24.4)
Здесь м(Г,ф) = й(х(г,ф)), %(ф) = ц>(х(/^ф)). Из гладкости функ-
ции ц,(х) вытекает, что функция %(ф) принадлежит классу А/1 и
является 2л-периодичной.
Будем искать решение w(r, ф) в виде функционального ряда
^лф)~Е«г>фДф)’
А
где Фх(ф) — 2л-периодичные собственные функции оператора
d2
----2, ортогональные друг другу. Как было показано в §20, соб-
dp
ственные числа X = л2, а соответствующие линейно независимые
собственные функции можно выбрать следующим образом:
Фо(ф) = 1 для Л = 0,
Фп(ф) = соэлф, Ф„(ф) эплф для л е N.
178
1 аким образом, ищем решение задачи (24.3),(24.4) в виде ряда
W ~ Е Z>	+ Ё [z«(f) С050® + Z(r) эп Лф]  (24-5)
х	п=1
Из выше перечисленных свойств функции iv0(ip) следует, что
ее ряд Фурье по ортогональной системе {l.coscp.sinjp,...} сходит-
ся равномерно к ней самой:
%(ф) = Еахфх(ф) + ЕК «»Лф + Ч, 9П Лф], (24.6)
X	Л=1
2п	2я
где Ц> = -^- [%(4>)£*р, ай =-(%(ф)со8л<р<*р, neN и
2л о	71 О
12г
а,, --- f%((p)snfxpdp, neN - коэффициенты Фурье, причем
71 о
а„ = — , а„= — и числовой ряд У (|Ь„|2 + 1ъ„| 1 сходится. Вве-
Л Л	I 12
дем обозначение М - вирта<||ао|,|ал|] < 2sup|%(ip)| < оо
Л	|р
Формально подставим ряды (24 5) и (24.6) в соотношения (24.3)
и (24.4), потребовав почленного выполнения получающихся ра-
венств:
r2Z!‘(r) + rZ((r) - X2Z, (г) = 0,	(24.7)
Z,.(F0 = ai	(24 8)
Эти соотношения необходимо дополнить условиями
|2Д0)|<со	(24.9)
которые вытекают из непрерывности решения и(х) в нуле
Уравнение (24.7) является дифференциальным уравнением Эй-
лера, поэтому существует решение вида Z.(r) = Г*, X = п2. Под-
ставляя в уравнение, получаем
а(а -1) + a - л2 = О,
откуда a - ±л. Для X = п2 > 0, таким образом, найдено два ли-
нейно независимых решения: г” и г~п, так что общее решение
имеет вид
179
(24.11)
ЛИ) = Ч/" + СЛ2г-п,	(24.10)
где Qj и Q.2 “ постоянные. Для 1 = 0 уравнение (24.7) непо-
средственно решается:
Л(^) = Qo.l 4,2	•
Учитывая условия (24.8) и (24.9), получаем
А(0 = л(^) ,Х = пг.
(24.12)
Следовательно,
ФА(Ф) = Ц) +
Докажем, что ряд (24.13) сходится равномерно при 0 < г < R,
для чего оценим его л-й член-
SUP [-й [ancosng>
rdO;W.«,\rV
Ё(^) [а„со5Пф + ч,аппч>]. (24.13)
о
п п
+ аяэппф] <|a„| + |an| =
r40;fq,<p
+ Д-
По мажорантному признаку ряд (24.13) сходится равномерно при
0 <; г < R.
Докажем теперь равномерную сходимость почленно продиффе-
ренцированного к раз по г и I раз по ф ряда (24.13) в произвольном
замкнутом круге О0 - {0 < Г < /^},	< R-
+ Sn ®ПЛф1
^+* /	\ Л-*
а**’
- "1.-Г ‘ 2М,У '
(n-k)l FT
«"₽ ^Г7
Q, СТ Оф
<м
Числовой ряд
п
j сходится для любых фиксированных
lfk g No{Q , так как ^/р> < 1 - Следовательно, почленно продиф-
ференцированный ряд сходится равномерно в Da. Тем самым
180
обоснована возможность почленного дифференцирования ряда
(24.13) при О < Г < R. Отметим, что при этом мы никак не исполь-
зовали непрерывную дифференцируемость функции %(ф).
Итак, доказано, что функция
wfr, ф) = ц, + £[а„ cosntp + д,яплф]	(24.141
является решением поставленной задачи Дирихле, причем
фф = и(г(х),ф(х)) eC(D)n(T(D).
Пример 1. Решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона в
круге
Д«Хх) S U v (X) +	(х) = 2х’х2 + 4jx)2. |х| < 1	(24.15)
с граничными условиями
ц(х) = 4(х1)3, |х| = 1.	(24.16)
Решение. Перейдем к полярным координатам (г, ф):
X = (х’.х2) = (rcoscp.rsncp)
фс(г.Ф)) и^.ф)-
Тогда задача (24.15),(24 16) перейдет в следующую:
1	1
A,;4,w = -(луД + —	= 2г2соБфЭПф + 4г2, 0 < г < 1, (24.17)
w(1,ф) = 4cos3 ф .	(24.18)
Преобразуем правые части равенств (24.17) и (24. (8).
2Г2 СОБфЭПф + 4г2 = r2sn2(p + 4г2
4С0£?ф - СОЗЗф + ЗСОБф
Будем искать решение вида
w - X0(r) + X2(r) sin 2ф + Х| (г) соБф + X3(r) cos3<p, (24.19)
где Х„(г), П- О,.. 3 — неизвестные, ограниченные в нуле функ-
ции, для нахождения которых подставим выражение (24.19) в ра-
венства (24.17) и (24.18):
Х''(г)Лх'(г)-4г2, Хо(1) = О;
181
*!'(r) + Ixfc) - ~x,(r) = О, ХД1) = 3;
+	= Л X2(1) = 0;
*№) + l>^(r) - Дхз(г) = 0, Лз(1) = 1.
Найдем функцию Х0(г):
(гХ^(г))'=4г3,
следовательно,
r^(r>=r*+q,
откуда
X^(f) = V+ Ц1пг+ С2
4
Постоянные С, и С2 найдем из условий Хо(1) = 0 и |Хо(О)| < <х>,
получаем
Х0(г)=1(г--1).
Функцию Х2(г) будем искать в ваде Х^г) = А(г)г2:
А" (г) + 4Д'(г)г + 2Д(г) + А'(г)г + 2Д(г) - W) = г2,
откуда
(гЛ/(г) + 4А(/')У =Г
Следовательно,
гА'(г) + 4А(г) = ^г2 + С2,
где С2 постоянная. Учитывая, что |X2(0)j < со, получаем
1	1
А(г1 = 12+ 4 С* • Постоянную С3 найдем из условия Х3(1) = 1:
1
—, то есть
3

182
Функции X,(r) и Х3(г) в соответствии с выражением (24.12) рав-
ны соответственно Зг и г3. Таким образом, найдено решение
W- - ij + -^(г2 - 1)г2эп2ф + 3rcostp + г3 cos3<p
Отметим, что задачу (24.15),(24.16) можно было бы решать другим
способом, а именно избавиться от правой части в уравнении Пуас
сона (24.15) при помощи подстановки
Цх) = й(х) + х’(х2)2 + |((х1)4 + (х2)4},
где П{х) - решение задачи Дирихле в круге, но уже для уравнения
Лапласа, то есть для функции П(х) можно воспользоваться резуль-
татом (24.14).
Замечание L В виде ряда (24.5) можно искать решения и других
краевых задач в круге, изменятся только краевые условия (24.8).
24.2. Краевые задачи в кольце. Полученные в пункте 1 ре-
зультаты можно использовать для решения краевых задач в коль-
це, а также во внешности круга, В последнем случае только следу-
ет иметь в виду, что на плоскости внешние задачи для уравнения
Лапласа (Пуассона) решаются в классе ограниченных функций.
Воспользовавшись формулами (24 5), (24.10) и (24.11), получа-
ем следующие результаты.
1)В кольце |(r,<p) : R<r< F^, 0< R<R<<x> решение м(г,<р)
краевой задачи для уравнения Лапласа можно искать в виде
•Цг.ф)-^ +С021пг +
2) Во внешности круга {(С ф) . r>R^ решение И(Г,ф) краевой
задачи для уравнения Лапласа можно искать в виде
и(г,Ф) ~ С01 + X“Ucn2cosnq> + C^sirwl.
л=1 Г	J
Заметим, что после построения формального решения необхо-
димо обосновать сходимость полученного ряда и возможность его
почленного дифференцирования.
183
В приводимых ниже примерах в этом нет необходимости, так
как в решение входит только конечное число слагаемых соответст-
вующего ряда.
Пример 2 Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в
кольце:
ДЦХ) = 0, | < |х] < 1
с граничными условиями
М*) = 1б(х1)2, |х| = |,
Э	9 I I
—цх) = х, Ы = 1, п=х.
дп	' '
Решение. Перейдем к полярным координатам (г.ф)
АсчХСф) = 0. 1<Г<1,
м(4 > ф) = 4COS2 ф - 2 + 2cos2<p,
иф,ф) = ЯПф
В соответствии с результатом I) будем искать решение в след^
щем виде:
С А ( С \
Cj ,г +	I япф +1 Сг1г2 +	соз2ф.
Постоянные С„л найдем из граничных условий
м(|,ф) = 2 + 2сов2ф =
(С	~ (С
-^-+2G12 япф + -^ + 4С221соз2ф,
2	) к 4	)
и^(1,ф) = япф = Со2 + (СП - С12)япф + 2(сг1 - С22)соз2ф,
откуда получаем системы линейных уравнений
С01 — Cg2 If!2 “ 2 Су + 4С| 2 — 0	^21	= ®
Со,2 = 0	С,, - С, 2 = 1	- С22 = о
Их решения есть
~	4 ~	1	8
От = 2, С0 2 — Q С1л = —, С12 — ——, Сг1 - С2^ - ~~
о	о	1 /
184
Таким образом,
w=2 + ^(4r2-l)sng>+^5-(r4 + l)cos2q>.
Пример 3. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в
кольце:
А<4*) = 0, | < |х| < 1
с граничными условиями
^Цх) =-^х2)2. И = |,
£1<х>=(х,)!. i*i=1-
где « — внешняя нормаль.
Решение. Перейдем к полярным координатам (г,<р)'
Л,Л<СФ) = О, |<Г<1,
*%(2«<р) = 2sin2<p = 1 - cos2<p
1 1
И£(1,<р) = cos2 ф = — + — cos2<p.
Следует обратить внимание на то, что
ди Sw] ди dw
—	------ ,а —	——
так как п — внешняя нормаль по отношению к кольцу £ < |х| < 1. В
соответствии с результатом 1) будем искать решение и(г,ф) в
следующем виде.
f С А
и/ = С01 + Со2 Inr +1 С21г2 + cos2<p.
Постоянные С„ к найдем из граничных условий
w, (1. ф) = 1 - oos2q> = 2С0 2 + (С2, 16Сг2) cos2<p,
wr(l<P) = ^ - “ЯПф = С02 + 2(С21 - C22)cos2<p,
откуда получаем системы линейных уравнений
185
2CD2--1 fCz1 -16С22=1
[C02 = V2; t^i-4^2.2 =
Их решения есть
с02 = -; с21 = -, а,-—.
0.2	2«	21 д’ 2.2	12
Таким образом,
иг= С+ ^Inr + ^y(4r* + l)cos2<p,
где С = Со, - произвольная константа.
Замечание 2. Если решение внутренней задачи Неймана суще-
ствует, но оно всегда определено с точностью до постоянного сла-
гаемого, так как в задачу входят условия только на производные
функции.
Замечание 3. Отметим, что для разрешимости внутренней зада-
чи Неймана для уравнения Лапласа в ограниченной области D не-
обходимо выполнение следующего условия
[~ds= Гц(&=0,	(24.20)
го^п во
что следует из первой формулы Грина для функций ин vs 1 (под-
робнее см. §45). В приведенном выше примере 3 условие (24 20)
выполняется*
ff>=- ЙФ- и*=
эои"	|x|-V2	И=1
2я	2х	2к
= -2 Jsn2<p—dp + Jcos?<pdp= Jcos2cpdp-0.
О	2	0	0
что и обеспечило совместность неоднородной системы относи-
тельно С02.
24Л. Интеграл Пуассона. Преобразуем выражение (24.14) с
учетом равномерной сходимости в любом замкнутом круге
Бо = {0 <г < н}. а < R и конкретных выражений для коэффи-
циентов Фурье:
186
” (rY	1 2’
и(/'.<р)-Ц5 + ^1- [^cosntp + ^sn/xp]--- fiv0(vW +
n=i4™	о
| от f
fwo(v)cosny(fy +snnq> [w0(v)snnydp =
'n=i4K/L о	о
12г Г ” (г Y'	]
= —fvvb(v) XloJ (cos^cosnv +an/xpsnny) сЛр +
71 о
+~ ро(у)Лр = jw0(V) | +	«М<Р-v) Л|>.
1.
+--
71 r=1 .. _
4
n 0
4 2ч
*-'v О	“ О
Вычислим для О < г < R сумму, стоящую под знаком интегра-
ла
n=1
Г Лт-*>	L	1 _ L e-«4>-v) |
+ Re—---------= 1 + Re— —— ---------------^2
Re	1-2-^cos(<p-40 + |^
F^-r2
2(f?+r2-2/^cos(<p-v))
Итак, решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге
представимо в виде следующего интеграла Пуассона:
w(r,ф) =	---2	. г е[QR).	(24.21)
2л ^+г2-2^соз(ф-ч/)	4
24.4. Случай непрерывной граничной функции. Оказывает-
ся, что полученная формула (24.21) справедлива и в случае, когда
от граничной функции требуется только непрерывность.
Итак, рассматривается задача (24.3),(24.4) с непрерывной 2л-
периодичной граничной функцией w0(<p).
Поскольку при доказательстве равномерной сходимости по-
членно продифференцированного ряда (24.13) в произвольном
187
замкнутом круге Do - |0 < Г <	< R использовалась лишь
непрерывность функции %(ф), то ряд (24.13), а следовательно, и
интеграл (24.21) удовлетворяют уравнению (24.3) и в рассматри-
ваемом случае.
Осталось доказать выполнение граничного условия.
Лемма 1. Для г с [О, Я) справедливо равенство
Г?-г2 dp
2л J F? + г2 - 2Rr cos(<p - у)
Доказательство леммы 1. Рассмотрим задачу (24.3),(24.4) с
граничной функцией %(<р)  1. Поскольку такая граничная функ-
ция удовлетворяет всем требованиям пункта 1 данного параграфа,
то в силу формулы (24.21) функция
7 X f^~r22r	dp	___
и(г, ф) ------ 1—5---=----—	г е [Q R)
2л ' Я2 + г - 2Ясоз((р\/)
является решением. С другой стороны, функция и(г, ф) = 1, оче-
видно, также является решением. Таким образом, утверждение
леммы есть следствие единственности решения внутренней задачи
Дирихле, доказанной в предыдущем параграфе 
Используя лемму 1, докажем, что функция и(г,ф), задаваемая
при г e[G,R) формулой (2421), равномерно по ф с [О,2л] стре-
мится к граничной функции и/0(ф) при r > R- 0.
Выберем произвольное е > 0 и рассмотрим разность
Lri2}_________ w
2л Jtf + r’-^cosfo-v) °™
Преобразуем выражение для Цг, ф) с учетом леммы 1:
'-^22f	Wo(у) --iv0((p)	<
2л £ R2 + г2 - 2/^соз(ф - ф)
"22* lwo(v) ~ WqM
+ г2 - 2/^соэ(ф - у)
Цг,ф) =
v(r,<p) =
2тг 0
Так как %(ф) g С[0,2л] и [0,2л] - компакт, то функция %(ф)
188
равномерно непрерывна на [0;2п], то есть существует 5 е (Q я)
такое, что |%(ф) - %(\р)] < при |(р - ipj < 8. Тогда, разбивая
интеграл на два, получаем
Цг,ф) < Г sup |%(ф) - %((р)1 J	.---7 +
2тт |v	'Д<5 Fc + г2 - 2W-cos(<p- у)
+- — 2М [	----------<
2л к4|»^+г -^costo-v)
Я2 - г2 е Г __________dp	t
2п 2 |W21<5 f^+rz-2Rr соэ(ф - vp)
। & “f2 одЛ	6 . o>5 R1 -r2
2п 'Я2 + r2 -2/^cosS 2 F? +r -2/^cos8
где M - SLp |%(<p)| < ®. Поскольку для выбранного фиксиро-
<М0.2»1
ванного числа 8 > О
л2 _ 2	1
lim -73--5--------— = —37-------г Нт (F? - r2\ = 0,
/72 +г2 _	cos8 2f?(1 - cosS) r-»R-o\	1
j.2	g
то существует R t (Q R) такое, что 2M —5-=--------< —
Fc +r -2Rrcosb 2
для любого Г e[R.R).
Итак, для произвольного е > 0 существует R е V,R) такое, что
sup Цг,ф)<Е.
г^Я;Я).<р
Доказана следующая
Теорема L Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в
круге в случае непрерывной граничной функции существует, един-
ственно и представимо в виде интеграла Пуассона (24.21).
189
Глава VI
Элементы теории обобщенных функции
§25. Обобщенные функции. Пространства D и D'.
Дифференцирование в 1)
25.1. Обобщенные функции. В этой главе будут даны основ-
ные определения и факты из теории обобщенных функций с при-
мерами применения
Определение 1 Обобщенными функциями называются линей-
ные непрерывные функционалы, заданные на некотором линейном
топологическом функциональном пространстве X (называемом
пространством основных функции).
Хотя все термины, использованные в этом определении, уже
обсуждались в §1, для полной ясности поясним их.
1) Линейность функционала f, заданного на пространстве ос-
новных функций Xt ДХдо, + Х/р2) = A, f(<Pi) + Х2 f(<р2) Для любых
чисел Xi, Хз и функций <рь ф, из X.
Из линейности/следует, что ДО) = О
2) Непрерывность функционала / заданного на X: если после-
довательность функций {ф*}^ с X сходится в пространстве X к
функции ф, то числовая последовательность { Дф*)}^=1 сходится к
числу Дф).
Утверждение 1. Необходимым и достаточным условием непре-
рывности линейного функционала / является непрерывность его в
нуле:
190

Ас—\	/" Ас—
Ф* -> 0 а XI => I Дфк) > О
(25.1)
Доказательство утверждения 1.
Необходимость условия (25.1) очевидна.
Достаточность. Пусть выполнено условие (25.1). Возьмем про-
извольную последовательность {ф«}^, с X, сходящуюся в X к
некоторой функции ф, и рассмотрим последовательность
{ф* “ ф}*-1 • Так как X — линейное пространство, то последова-
тельность {фЛ - ф}™_1 с X сходится к 0 е X. Тогда в соответст-
Ас—>со
вии с условием (25.1) f(<pk -ф) О. Поскольку f линеен, то
Ас—А;—
Цф*) - ^(ф) - ^(ф* - ф) -> О или ДфА) -> Цф), что и требова-
лось доказать 
Общепринятым и удобным является следующее обозначение
действия обобщенной функции f на функцию ф е X-
(^.ф) = ^Ф)-
Наибольшее распространение получили два пространства ос-
новных функций - D и S. Данный параграф посвящен пространст-
ву D.
25.2. Пространство основных функций D.
Определение 2. Обозначим через D = D^R") линейное тополо-
гическое пространство, удовлетворяющее следующим требовани-
ям:
1) элементами D являются финитные функции (вообще говоря,
комплекснозначные) из класса C*(Rn),
2) последовательность функций {ф*(*)}^, с: О сходится к
функции ф(х) t D, если
а)	существует компакт М с: R" такой, что SUppcp* с М для любо-
го натурального к,
б)	для любого мульти-индекса а последовательность функций
191
[ML
равномерно сходится к функции £)“ф(х)
Замечание 1. Топология, порождаемая такой сходимостью в D
не является метризуемой, то есть не существует метрики р в D
такой, что
Л Л->ГС	> f	Л
I <р„ -> о a DI о I р(ф*,ф) -> О].
Утверждение 2. Для любого мульти-индекса а оператор D5,
действующий из D в D, является непрерывным.
Доказательство утверждения 2. Рассмотрим произвольную по-
следовательность	<= D, сходящуюся к некоторой функ-
ции ф(х) в D. Для нее согласно определению сходимости сущест-
вует компакт М такой, что supfxp* с М, и для любого мульти-
индекса а последовательность функций |©“ф/с(х)|” равномерно
сходится к ф(х). Следовательно,
а)	зцррО^ф* с М, k е N;
б)	последовательность функций D“^D₽<pJt(x)j - £>“+₽фд(х) рав-
номерно сходится к О“+₽ф(х) = D“^DWx)J.
к-*<п
Таким образом, ©чр* —> D^cp в D, что и требовалось доказать 
Далее, легко видеть, что так определенное пространство D яв-
ляется линейным, то есть для любых двух чисел X] и Хз справедли-
вы следующие утверждения:
D (Ф1.Ф2 е D) => ((Х,ф, + Х2ф2) е D);
2) (Ф* -> Ф. Ф* -> Ф aDl + Х2фь)Т(Х#ф + Х2ф) ad).
Единственной аналитической в R" функцией из пространства D
является ф(х) = О. В связи с этим возникает вопрос о нетривиаль-
ности пространства D. То есть, существуют ли в D функции, от-
личные от тождественного нуля? Следующий классический при-
мер дает ответ на поставленный вопрос.
Пример 1. Пусть а - произвольное положительное число. Рас-
192
смотрим функцию
фа(х) = а2 - X2)*	< а, х е R.	(25.2)
10, lx! > a
Поскольку supрср е =[-а;а] — компакт, и фа с C*(R) (так как для
любого к е N c{Q справедливы равенства
Ф<*>(-а + 0) = ф'ак)(а - 0) = 0 ), то <р8 е D
Обобщением функции (25.2) на случай Rn является функция
Фв(х) =
еср -
И<а
X G R”
(25 3)
о, |xj2:a
253. Пространство обобщенных функций Df. Согласно об-
щему определению, данному в пункте 1, всякий линейный непре-
рывный функционал /, заданный на пространстве D, называется
обобщенной функцией на D.
Пример 2 Рассмотрим на D функционал б, действующий на
любую функцию ф из D следующим образом
(5,ф) = ф(0).
Этот функционал называется Ъ-функцией (Дирака). Линейность и
непрерывность проверяются непосредственно
1 В. Уроев
193
Пример 3 Произвольная локально абсолютно интегрируемая в
Rn функция fix) порождает обобщенную функцию fi значение
которой на любой основной функции <р задается формулой
(f,<p)= $f(x)<p(x)dx.	(25.4)
R"
Проверим корректность определения (25.4).
1)	Поскольку fix) локально абсолютно интегрируема в R" и
<р е D, то интеграл, стоящий справа в равенстве (25.4) существует*
f f (x)q(xW < f[ f (x)]|<p(x)]cbc < supj<p(x)[ J| f(x)\dx < co.
R"	suppv	КОРФ
2)	Линейность f следует из линейности интеграла.
3)	Непрерывность/ Пусть	-> <р в D Тогда существует ком-
пактМтакой, что supptp* с М, к е N, sup|q> — <рл| —* 0. Следова-
R"
тельно, из оценки
- (*»] = |(Л<Р* - <р)| =
f f(x)[<pk(x) - <p(x)]dx <
R"
< J| Г(х)Цф*(х) - <p(x)]cbc < su^<pk - <p| f 1 f(x)\dx
M	M	M
вытекает, что (Л<Р*)-»(Лф)
Определение 3. Обобщенные функции, определяемые локально
абсолютно интегрируемыми в Rn функциями по формуле (25 4),
называются регулярными обобщенными функциями. Остальные
обобщенные функции называются сингулярными.
Утверждение 3 5-функция является сингулярной обобщенной
функцией
Доказательство утверждения 3. Допустим противное: сущест-
вует локально абсолютно интегрируемая в Rn функция fix) такая,
что для любой ф е D справедливы равенства
<р(0) = (5,<р) = j f(x>p(x)dx-.
R"
194
Следовательно, и для функций <р3, а>0 (см (25.3)) справедливы
равенства
= <Ра(0) = p(x)<pa(x)dx
6	R"
Учтем, что |<р8(х)| < - и lirn J| f{x)]dx = 0(в силу локальной аб-
е а'* |х|<а
солютной интегрируемости), получаем
|x[sa
что невозможно 
Замечание 2 Часто даже для сингулярных обобщенных функ-
ций чисто формально пишут равенство
(^ф) = p(x)<p(x)<fr,
R"
обобщая запись (25.4)
Замечание 3 Далее вместо слов: регулярная обобщенная функ-
ция, порожденная локально абсолютно интегрируемой функцией
f(x), будем для краткости писать просто, регулярная обобщенная
функция У(х) (например, регулярная обобщенная функция snx)
Определение 4 Пространством обобщенных функций Е/ назы-
вается множество обобщенных функций на D с введенной в нем
поточечной сходимостью-
/ к->оэ	Л Л	\
f fk —> f a Dz I о I (4,<р) -> (Лф), V<p 6 Dj.
Единственность предела в ГУ следует непосредственно из един-
ственности предела числовой последовательности.
Легко проверить, что пространство еУ с введенными операция-
ми сложения и умножения на число по формуле
(fa ff + Х24.ф) = ^-i( А'ф) + ^2(4»ф)- Уф е О
является линейным пространством.
Приведем без доказательства следующую теорем}
Теорема 1 (полнота пространства ГУ). Пусть последователь-
195
ность {4}*=1 с D' является фундаментальной в смысле поточеч-
ной сходимости, то есть для каждой функции <p е D числовая
последовательность {(4.9))“, является фундаментальной (или,
что тоже самое, сходящейся). Тогда функционал / на D, задавае-
мый равенством
(^.9) = [^(4.9). VtpeD,
является линейным и непрерывным, то есть f е О'.
25.4.	Дифференцирование в D'.
Определение 5. Производной Daf обобщенной функции /на-
зывается функционал, действующий на любой элемент <р с D по
формуле
(ОпЛф) = (-1)и(ЛОаф)
Так определенный функционал Da f является линейным (в си-
лу линейности дифференциального оператора Dn) и непрерывным
(как композиция непрерывных отображений О!!(из D в D) и/(из D
в R или С)). Следовательно, Dnf е D'
Обсудим вопрос о том, что означает такое определение диффе-
ренцирования для регулярных обобщенных функций. Для просто-
ты рассмотрим одномерный случай: D = D(R). Произвольная
функция fix) из класса C1(R) порождает в соответствии с форму-
лой (25.4) обобщенную функцию f.
( f. ф) = j f(x)<fix)dx, Х/ф е D.
Найдем действие на произвольную основную функцию ф € D
обобщенной функции, порожденной f'(x)
4-<х>	Ъ
J f1 (x)tfix)dx = f(x)<p(x)? - J f(x)<p'(x)dx = Сф'),
в
где [а;/)] - отрезок, содержащий носитель функции ф. Следова-
тельно, функция f'(x) порождает обобщенную функцию, являю-
I96
щуюся согласно определению f1
Но
(Лф)= J7'(x)<p(x)dc.	(25.5)
Для f(x) е C*(R) путем последовательного дифференцирова-
ния легко получить обобщение формулы (24.5):
(- J f‘M(x)(p(x)dx.
В n-мерном случае это равенство примет вид
(О“ Лф) = J(Da Г(х))ф(х)Л. f(x) g C^R")
R"
для любого мульти-индекса а
Обозначим через в регулярную обобщенную функцию, порож-
денную локально абсолютно интегрируемой функцией
, v (1, х>0
е(х) = ^ n,xcR
О, х<0
(функция Хевисайда).
Пример 4. Найти б7.
Решение По определению для произвольной основной функции
Ф можно записать
+<0	+ой
(е'. ф) = -(е, ф ) = - |0(х)ф'(х)<& - |ф'(х)<& = ф(0) - (5, ф) .
—СП	О
Следовательно, б' = 5.
Пример 5. Найти результат действия производной DaS на про-
извольную функцию ф g D
Решение.
(Dn5, ф) = Оаф) = (-if'DXO).
Перечислим основные свойства дифференцирования в D'.
1)	Любая обобщенная функция из Df бесконечно дифференци-
руема.
2)	Результат дифференцирования в Df не зависит от порядка
дифференцирования
197
3)	Операция дифференцирования £>° для любого мульти-
индекса а есть линейное и непрерывное отображение из В? в (У.
LT,
4)	Если	в ГУ'), то для любого мульти-индекса а спра-
«»
ведливо равенство Da f = £ Da fk в D'
k=l
Доказательство свойств.
Свойства I) и 2) следуют непосредственно из гладкости основ-
ных функций.
Свойство 3). Линейность очевидна. Для доказательства непре-
к-ко
рывности достаточно показать, что из сходимости fk —» f в D
для произвольного мульти-индекса а следует сходимость
кчкя	г	k-*<jy
D* fk -> Da f в EX Если fk —> f в[У, то для любой основной
функции (р e D и любого мульти-индекса а будет выполняться
|(О“ Г„ф) - (О" Г,ч>)\ = К f„ О-ф) - (f. О"ф)|‘Т 0,
к—ы»
так как Da<p е D, Следовательно, Da fk Da f в D\
Свойство 4) есть прямое следствие свойства 3) 
25.5.	Другие операции в Dz.
а)	Умножение обобщенных функций.
Определение 6. Пусть а(х) е C(R") и Ее Dz. Определим
функционал a f на В следующим образом.
(а-Е.ф) = (f,ap), VtpeD.
Поскольку умножение на а(х) g CK^Rn) есть линейное и не-
прерывное отображение из В в В, то функционал a- f линеен и
непрерывен (как композиция линейных и непрерывных отображе-
') Обобщенная функция f называется суммой ряда обобщенных функции
£ (что обозначают f —	), если Sj —► f в Гг, где - у — частич-
*=1	* 1	*=i
ныесуммы
198
ний), то есть a f & D
Смысл этого определения для регулярных обобщенных функ-
ций очевиден: если Дх) локально абсолютно интегрируема, то и
g(x) = а(х) f(x) локально абсолютно интегрируема, причем
(& <р) = J(a(x) f(x))(p(x)dx = J Г(х)(а(х)ф(х)П = ( Л ар) = (а - f, <р)
R"	R"
Пример 6. Доказать, что а - б = а(О)б для а(х) е C^R")
Решение. Для произвольной основной функции <р справедливы
равенства
(а 5, ф) = (б, ар) = а(0)ф(0) = а(0)(б, ф) - (а(0)5, ф).
б)	Линейная замена переменных в обобщенных функциях
Определение 7. Пусть f g Dz, X = Ах + b - линейная невыро-
жденная замена переменных (detZl^C). Обозначим через
f(Ax + Ь) обобщенную функцию, действующую по правилу
(f(Ay+b),q) =
, ’ |*М .
Х/ф е D
(25.6)
Для регулярных обобщенных функций равенство (25.6) есть не
что иное, как правило замены переменной интегрирования
X- Ах + Ь:
f Г(Лу+ Ь)<Ху)<?И= f Лх)ф(Л'(X -	
Пример 7 Найти результат действия смещенной б-функции
б(х - х0) на произвольную основную функцию ф.
Решение.
(б(х - Х0),ф) = (б,ф{Х + х0)) = ф(Х0) .
§26. Пространство Шварца S. Пространство S7.
Преобразование Фурье
26.1.	Преобразование Фурье. Напомним основные сведения о
преобразовании Фурье, известные из курса математического ана-
199
лиза.
Определение 1, Отображение F, ставящее в соответствие функ-
ции f(x), xgR” функцию, обозначаемую (Ff)(y), yeRn или
и определяемую формулой
(FfXH ?(И = V р Jf(x)d'^dx,	(26 1)
R"
называется (прямым) преобразованием Фурье. А отображение F 1,
действующее по правилу
(F-1 f)(И = ?(У) - 7^v‘ Р I fMe^dx, (26.2)
(2л) R<
— обратным преобразованием Фурье
Функция (Ff)(y) называется образом Фурье функции/(х). Пре-
образование Фурье, так же как и обратное, определяется для всех
функций, для которых существует интеграл в смысле главного
значения (26.1), соответственно (26.2), в частности, для всех абсо-
лютно интегрируемых в R' функций
Свойства преобразования Фурье.
1)Если функция f(x) непрерывно дифференцируема и абсо-
лютно интегрируема в Rn, то
2)	Если функцияДх) абсолютно интегрируема в R", то
Ff = (2n)nF_1(f(-x))
3)	Для любого мульти-индекса а справедливо утверждение: ес-
ли функция f(x) g C1“l(Rri), и все ее частные производные вплоть
до порядка |а| включительно абсолютно интегрируемы в Rn, то
(F1Dnf)(y) = />“'/(F-1f)(>),
200
где
4)	Для любого мульти-индекса а справедливо утверждение: ес-
ли функция f(x) eC^R"), и функции f(x), . .jxj^'ffx) абсолютно
интегрируемы в R", то существуют производные D“(Ff) и
Da(F 1 fj, причем
Da(Ff)^(i)MF^f(x)},
Da[F--,f) = H}^F-\xaf{x))
5)	Прямое и обратное преобразования Фурье являются линей-
ными отображениями множеств функции, на которых они опреде
лены.
6)	Если функция/х) абсолютно интегрируема в Rn, то
(F/(x-xc))(y) = ^V0W
26.2.	Пространство Шварца основных функций S. Для рас-
пространения понятия преобразования Фурье на обобщенные
функции (по аналогии с операцией дифференцирования) необхо-
димо, чтобы преобразование Фурье существовало для всех элемен-
тов пространства основных функций и не выводило за пределы
этого пространства.
Поскольку для любой функции <р е D образ Фурье Ftp есть ана-
литическая в R" функция '), a D не содержит аналитические
функции, отличные от тождественного нуля, то преобразование
Фурье выводит за пределы пространства D По этой причине вво-
дят еще одно пространство основных функций.
Определение 2. Обозначим через S линейное топологическое
пространство, удовлетворяющее следующим требованиям:
1) элементами S являются функции из класса C~(Rn), убы-
’) Функция называется аналитической в точке, если в некоторой окрестности
этой точки она представима степенным рядом Функция называется аналитиче-
ской в области, если она является аналитической в каждой точке этой области
201
вающие при |х[ -» <® вместе со всеми своими производными быст-
рее любой степени |х[ \ то есть
(<р(х) е Б)
Ф е CM(R")
I IP	М->«>
|x]pDr4p(x) -> 0, Vp е Nu{Q}, Va
2) последовательность функций {ф*}Г-1 cz S сходится к (р в S,
если для любых мульти-индексов аир имеет место равномерная
сходимость последовательности функций fx₽D“cpk(x)J^ к функ-
ции хрО“ф(х)
Легко видеть, что пространство S содержит D в качестве под-
множества, и из сходимости последовательности {ф*}*-, с D bD
следует ее сходимость в S. Но D*S
Пример 1. Функция ф(х) = ехр|-|х|2| принадлежит пространст-
ву S и не принадлежит пространству D.
Определение 3 Функция а(х) называется функцией медленного
роста, если существуют постоянные R> О, С > О и р>0 такие,
что |а(х)| < С]х|₽ при |х] > R.
Перечислим основные утверждения, справедливые для про-
странства S.
1)	Оператор дифференцирования О₽ для любого мульти-
иидекса р является непрерывным линейным отображением S в S
2)	Операция умножения на функцию а(х) е C каждая
производная которой является функцией медленного роста, есть
линейное непрерывное отображение S в S
3)	Невырожденная линейная замена переменных х = Ау+ Ь
есть линейное непрерывное отображение S в S.
4)	Каждая функция из S является абсолютно интегрируемой в
R".
5)	Преобразование Фурье F и обратное преобразование F1 не-
202
прерывно и взаимно однозначно отображают S на себя
Доказательство утверждений
1)	Пусть ф е S, тогда функция Орф так же принадлежит S, так
как для любых неотрицательного целого числа р и мульти-индекса
а из принадлежности ф е S следует, что
D“(DMx)) = |Л",рф(х)	0 при |х| -> «
Для доказательства непрерывности оператора Dp на S рассмотрим
последовательность с S, сходящуюся к некоторой функ-
ции ф в S. Тогда последовательность функций
<D“(D4(x)) = |x|₽D“+4(x) сходится равномерно к функции
|х]рОа+₽ф(х) = |х|₽О,1(орф(х)) для любых р и а. Следовательно,
£>рфк -> Орф в S
2)	Поскольку для любого мульти-индекса а. производная
D“a(x) есть функция медленного роста, то существуют постоян-
ные ft > О, Са > 0 и ра > 0 такие, что |Daa(x)| < Cn|x|A при
*-+гО
|х| > ft. Следовательно, если ф е S, то и atpeS, и если ф* -> ф
в S, то для любых мульти-индексов аир последовательность
функций х₽О“[а(х)(ф,[(х) - ф(х))| равномерно сходится к нулю
при л -юо, то есть афк -> аф в S.
3)	Тот факт, что линейная замена х - Ау+ Ь непрерывно ото-
бражает S в S, следует из следующих выкладок:
М’О;>р(Ду+ Ь) = |А-’(х - Ь)|	S С(|х| + И) Еч,О,’ч>(х)
1рН«1	Н-М
где сй - постоянные коэффициенты, зависящие от матрицы А, С
- максимум модулей собственных чисел матрицы А'1.
4)	Если ф € S, то согласно определению существует предел
п+1	, 1*НЮ
|Х| ф(х) -> О. Следовательно, существует постоянная R>0 такая,
203
что |х)П+1|ф(х^ < 1 при |х| > R. Поэтому можно записать
J|cp(x)]cfxr = J|(p(x)jcbf-r f|tp(x)]cfr< VRsupjq>(x)] +
R"	И<Я	|x>R	|X|,'F
f
И>«Г1
где \/R - объем n-мерной сферы радиуса R.
5)	Линейность преобразований F и F1 на S следует из свойст-
ва 5), приведенного в предыдущем пункте.
Докажем, что преобразование Фурье F отображает S в S, то есть
(ММ е S для произвольной ф(х) е S. Для простоты рассмотрим
одномерный случай. Пусть <р(х) с S(R). Оценим для произволь-
ных неотрицательных целых чисел р и q модуль выражения
f(x4(p(x))t₽t1,dxyJ < j|(xQtp(x))(₽,1>|c£K =
J E c> Л(п,) w * E |g J pV°(xXfr,
-o>
/.rn
где Ctjm - постоянные коэффициенты ( / = 0,...q и m= 0, p + 1).
Так как tp(x) g S, to каждый из интегралов в полученной сумме
сходится. Следовательно,
|rv<p)(<n(tf|<c,	(20,
где С - постоянная, откуда
|>f (F<p)<Q,(y) - > 0 при |yj
Таким образом, (F<p)(y) gS. Аналогично доказывается, 
Тот факт, что преобразования F и F 1 отображают S на S, п«м-
чем взаимно однозначно, следует из равенств
F’1(F<p) = <p, р(ГЛр) = ф.
204
Действительно, для любой функции <р из S найдется функция
V = F '<р е S такая, что ф является образом ip при преобразова-
нии Фурье F, то есть F отображает S на S. Допустим теперь, что
Ftpy = v и F<p? = ip , тогда
О = F“’(v - v) = F '(F<h - F<?2) = F ’F(<p, - ф2) = ф, - ф2.
Следовательно, преобразование F взаимно однозначно отображает
S на S Аналогично для F-1.
Осталось доказать непрерывность этих отображений. Так как
преобразование .F линейно, то для доказательства его непрерывно-
сти на S достаточно доказать его непрерывность в нуле. Пусть
последовательность {ф*(х)}*. cz S(R) сходится к нулю в S(R).
Для двух произвольных неотрицательных целых чисел р и q вос-
пользуемся неравенством (26.3)
s с„,
где Ск =	Учтем’ что ф* —> О в S, получаем
»т
СА -> О. Действительно,
с* * XIе/J	•
1т	*
dx
Таким образом,
sup|(1 +	-> О
^\F9k)W(^ О,
что означает сходимость последовательности |уфЛ)(у)|л ч к нулю
bSB
263. Пространство обобщенных функций медленного роста
S'.
Определение 4. Пространством обобщенных функций медлен-
ного роста Sz называется множество линейных непрерывных функ-
205
ционалов на S с введенной в нем поточечной сходимостью:
Г* -> f 3 SJ <-> I (4.<p) -> ( f,ф), Vcp eSj
Легко проверить, что пространство Sz с введенными операциями
сложения и умножения на число по формуле
(ЛД + X2fz,<p) =	+ Х2(/21ф). Vw eS,
является линейным пространством.
Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема 1 (полнота пространства Sz). Пусть последовательность
{4}^=1 с S является фундаментальной в смысле поточечной схо-
димости, то есть для каждой функции ф е S числовая последова-
тельность |(^,ф)}А1 является фундаментальной (или, что тоже
самое, сходящейся). Тогда функционал/на S, задаваемый равенст-
вом
(Л<р)= Нт(4.ф)> W eS,
является линейным и непрерывным, то есть f е S.
Пример 2. 5-функция определяется как и в пространстве D
(5,ф) = ф(0), Х/ф eS.
Пример 3 Любая локально интегрируемая функция fix') медлен-
ного роста определяет обобщенную функцию f е S’ по формуле
(Лф>= J f(x)<p(x)dx. VocS.
R"
Данный пример раскрывает смысл названия пространства S'.
Поскольку пространство S содержит D в качестве подмножест-
ва, и из сходимости последовательности {ф*}^ с D в D следует
ее сходимость в S, то пространство D* содержит Sz в качестве под-
множества (для функционалов на S условия линейности и непре-
рывности накладывают больше ограничений, чем в случае D).
По аналогии с предыдущим параграфом определяются сле-
дующие операции в Sz.
206
1)	Производная D° обобщенной функции f eSz:
(ойЛф) = (-1)|а1(^0>), VcpeS
2)	Умножение на функцию а(х) eC J^Rr j, каждая производная
которой является функцией медленного роста (например, а(х) -
полином):
(а Л<р) = (f,ap), V<p gS.
3)	Линейная замена переменных х = Ау+ b, det А z О
. f <р(Л-1(х - Ь)Г
( f(Ау+ Ь), ф) = f,	—J-	g S
Поскольку дифференцирование D", умножение на а(х), заме-
на переменных х = Ау+ b линейно и непрерывно отображают S в
S, то функционалы Da f, а f, f(Ay+ b) являются линейными и
непрерывными на S, то есть принадлежат S1.
В Sz остаются справедливыми свойства дифференцирования,
перечисленные в предыдущем параграфе для ГУ.
26.4. Преобразование Фурье в S7.
Определение 5 Для обобщенной функции f её се преобразо-
ванием Фурье Ff и обратным преобразованием Фурье F' f назы-
ваются функционалы на S, действие которых на произвольную
Ф 6 S определяется равенствами
(Н.ф) = (Г,Бр),
(F’f.qO-p.F’v)
Поскольку F и F 1 линейно и непрерывно отображают S на се-
бя, то функционалы Ff и F-1 f принадлежат S7 (линейны и непре-
рывны как композиции линейных и непрерывных отображений)
Пусть Xх) ~ локально абсолютно интегрируемая функция мед-
ленного роста. Она порождает обобщенную функцию f её, дей-
ствующую по формуле
207
(f,4>)= J f(x)cp(x)dx, Vw e S
R"
I
t
Найдем обобщенную функцию, соответствующую (Ff(x))(y) •
Г	Л
f(Ff(x))(yMtf<^ J<p(y) ff(x)^x’dxdK=
R"	R" LR"
R"
R"
= J J f(x)^<yjt,(p(y)dxdK = Jf(x)	dx =
RnRn	Rn	|_R*
R"
то есть в соответствии с введенным определением преобразования
Фурье в S7 функция (Ff(x))(y) определяет обобщенную функцию
Ff.
Преобразование Фурье в S' обладает следующими свойствами:
1) Преобразование Фурье F и обратное преобразование F 1
отображают пространство Sz линейно непрерывно и взаимно одно-
значно на себя.
2) Для произвольной обобщенной функции f е S справедливы
равенства:
a)	F~\Ff) = F[f' f) = f ;
6)	Ff = (2nTF \f(-x)\ F' f = -7^F(f(-x));
(2n)
в)	Da(Ff) = F'F^ fj, Da(F~4) = (~i)MF \xa f),
r) (FD« f)(tf - (-/ГУ (Ff)(0. (F-'D” f)(y> = /'“У(F-1 f)(»;
Д) (Ff(x - xc))(H =	.
Доказательство свойств.
Свойство I). Принадлежность функционалов Ff и F"1 f про-
странству S' обсуждалась выше Поэтому преобразования F и
F-1 отображают S' в S' Проверим линейность этих отображений.
Пусть fy и f2 — обобщенные функции из S' , X, и Х2 - числа ,
208
тогда для любой основной функции <р е S можно записать
(Ffa f. +Х2 f2). <р) = (X, + Х2 f2, Ftp) = Х,( fu Ftp) + Х2( f2, Ftp) =
= K(Ffv ф) + А2(Н2,ф) = (X,(F0 + Х2(ЯГ2),ф),
то есть F(X, + Х2 f2) — X,(F0 + X2(Ff2) . Аналогично для F 1.
Далее, для произвольной обобщенной функции f gS спра-
ведливы равенства
F(F ’f)= f. F \Ff)= f
так как
(F(F-1f)1V)=:(riF-1(F9)) = (f.9)1 Уф gS,
(F-,(Ff).<p)=(f.F(F-^)) = (f^)1 Уф gS.
Следовательно, преобразования F и F'1 отображают S’ на S,
причем взаимно однозначно.
Осталось доказать непрерывность преобразований F и F"1 на
S’. Пусть последовательность {с S' сходится к некоторой
обобщенной функции f в S . Тогда для произвольной функции
ф g S можно записать
к—><л
(Н,. ф) = ( Яр) -> ( f. F<t>) -	,
k-¥ta
так как Ftp g S. Следовательно, FfK -> Ff в S. Аналогично дяя
F"1.
Свойство 2) доказывается на основании определения преобра-
зования Фурье в S1 и соответствующих свойств преобразования
Фурье из пункта 1. Для примера докажем первое равенство в (в)"
(Da(Ff),<p) = (-1),а|(РЛ Опф) = (1)|а|( f, F(d-'V)) =
М)|а|( F(-/)|u,xa(F<p)(x)) = (/,а,ха f, Ftp) = (/|a|F(xa /), ф), Уф e S
Здесь функция х“ удовлетворяет всем требованиям, наложенным
на а(х) при определении произведения a- f, поэтому x“f g S' 
Пргшер 4. Найти преобразование Фурье от 5-функции.
209
Решение. Для произвольной функции <р из S справедлива це-
почка равенств
(FS.cp) = (6, Ftp) = (F<p)(U) |<p(x)d<xy,ctK = J<p(x)rfx = (1, <p)
R"	y=o R"
Следовательно, F8 = 1. Обобщая с учетом свойства 2.д), запишем
(F5(x-x0)X» = ^-
Пример 5. Найти преобразование Фурье единицы
Решение.
F1 = (2к)пР'1 = (2nyF~\Fd) = (2л)"5
Пример 6. Найти преобразование Фурье регулярной обобщен-
ной функции x2sn2x
Решение
[г(х2эп2х)](у) =	(Fsn2x)(0 =
= л/^-[(р-1е^)(У) -(F-Vx)(y>] = ™^[б(У+ 2) - б(у- 2)] -
= л(б"(У+2)-8"(у-2)].
§27. Прямое произведение и свертка обобщенных
функций
27.1. Носитель обобщенной функция. Введем несколько по-
нятий, необходимых для определения свертки обобщенных функ-
ций.
Определение 1. Говорят, что обобщенная функция f е D7 рав-
на нулю в области G cr R", если для любой основной функции
<р е D такой, что suppcp cz G, выполняется равенство (f,<p) = 0.
Лемма 1. Пусть |G | — семейство областей в Rn, g=Ug, -
V
210
область. Тогда необходимым и достаточным условием равенства
обобщенной функции f <= О' в области G является равенство f
нулю в каждой области Gr
Доказательство леммы 1.
Необходимость условия очевидна (если suppcp <_ Gr, то
suppcp с G).
Достаточность Пусть обобщенная функция f е D' равна нулю
во всех областях Gy. Рассмотрим произвольную основную функ-
цию <р е D такую, что К -supfxp с G. Так как К — компакт, и
^Gy J есть открытое покрытие К, то по лемме Гейне-Бореля суще-
L	L
ствует конечное подпокрытие |Gy( I L<cd:K(z{JGj,.B до-
полнении к данному параграфу будет доказано, что функцию <р(х)
L
можно представить в виде суммы <о(х) = £(р;(х). где <р, eD.
причем supptp, cGy,. Следовательно, в силу линейности функцио-
нала f и равенства/нулю в областях Gy( можно записать
(Л<р) = (лЕф,1-Йсф,) = о,
X |=1	7	1=1
что и требовалось доказать 
Определение 2. Если обобщенная функция f g D' не равна ну-
лю ни в какой окрестности точки х0, то х0 называется существен-
ной тонкой для f.
Пример 1. Для регулярной обобщенной функции/ порожден-
ной f(x) = х2, точка х0 = О является существенной, хотя в ней
f(x) = O.
Определение 3. Совокупность всех существенных точек назы-
вается носителей обобщенной функции.
Для регулярной обобщенной функции / порожденной кусочно
непрерывной функцией f(x), носитель совпадает с замыканием
211
множества, на котором f (х) * О, то есть с suppf(x)
Утверждения.
1)	Если пересечение носителей обобщенной функции f е D' и
основной функции <р е D пусто, то (f,4>) = 0.
2)	Пусть К — носитель обобщенной функции f е D;. Если ос-
новные функции ф1 и ф2 совпадают в некоторой окрестности
множества К, то ( f, ф,) = ( f, <р2)
3)	Носитель 8-функций есть {0}.
Доказательство утверждений.
1)Есть непосредственное следствие определений и приведен-
ной выше леммы 1
2) Так как функция ф, - ф2 является основной и ее носитель не
пересекается с К, то согласно утверждению 1) справедливо равен-
ство ( f,<р1 - ф2). Следовательно, ( f,ф,) - ( f, ф2).
3) Вытекает из определения 5-функции: (5,ф) — ф(0) 
Благодаря утверждению 2) можно определить естественным
образом значение обобщенной функции на некоторых неосновных
функциях.
Пусть f е D' и К - носитель f Рассмотрим функцию
ф(х) е C' ^R“j с носителем М - эиррф. Если Kr\ М есть ограни-
ченное множество, то определим значение/на ф следующим обра-
зом:
(Лф)-(Г.Ф)	(27.1)
где функция Ф(х) удовлетворяет следующим требованиям
Ф е D, эиррФ<2 М, значения функций Ф(х) и ф(х) совпадают в
некоторой окрестности множества Ко М
Равенство (27 1) для феП следует из утверждения 2, а для ос-
тальных ф его следует понимать как определение, причем коррект-
ность такого определения (независимость от конкретной реализа-
ции Ф) также является следствием утверждения 2.
Необходимо еще доказать существование функции Ф(х), удов-
212
летворяющей перечисленным выше требованиям. Рассмотрим для
произвольного измеримого множества G функцию
>%(х) = Св1 (хе*Фв)(х), где а — фиксированное положительное
[1, х е G
число, xG(x) = 1 q q индикаторная функция множества G,
Ce — Jtpa(x)ok - нормировочная постоянная. Так как функция
R"
фв(х), задаваемая равенством (25 3), бесконечно дифференцируе-
ма и является финитной, то е C~(R") и носитель suppA^ со-
держится в замыкании a-окрестности множества G '), причем, если
точка хтакова, что ва = {у	с G, то /\;(х) = 1. Следо-
вательно, в качестве функции Ф(х) можно взять ^(х)ф(х), где G
- 2а-окрестность множества К гл М
27.2. Прямое произведение обобщенных функций. Следую-
щим шагом к определению свертки является введение операции
прямого произведения.
Рассмотрим обобщенные функции f(x) е D'(Rk) и
<Ху) е D^R"1). Построим из них обобщенную функцию
/Хх.у) eD'(Rk*m), для чего возьмем произвольную основную
функцию <р(х, у) е D^Rk*m j и зафиксируем х. Тогда ф(х, у) есть
функция только у, причем бесконечно дифференцируемая и фи-
нитная, следовательно, определено значение (£Мф(*И), зави-
симость которого от параметра х мы выразим функцией ф(х):
ф(х) = (<Ху), ф(х, у)). Покажем, что функция ф(х) бесконечно
дифференцируема, воспользовавшись непрерывностью функцио-
нала g и гладкостью функции ф
') о-окрестностью множества G называется множество
{х:	<а, yeG}
213
4у(х)=»тУ(х+Дх>~У<*> =
дх'	Лх’-»о Дх^
Ax'-xoV
Ax'
\	Ax’ ' \ dx’ )
где Ax’ ~0 при I / j. Следовательно, существует непрерывная
производная —yt|/(x), так как функция <р(х, у) равномерно непре-
дх
рывна на своем носителе вместе со всеми своими производными
Существование непрерывных производных D“v|/(x) доказывается
последовательным дифференцированием. Таким образом,
V(x)eCe(Rk).
Далее, легко видеть, что функция ц/(х) является финитной.
Следовательно, у е D^Rk), и к ней можно применять функционал
Дх). Итак, выражение
(Д*)>(9(ПФ(*.У)))
имеет смысл для произвольной функции <р(х,у) из D(Rk+rn) и за-
дает некоторый функционал на D^Rk’,T1).
Определение 4. Прямым произведением обобщенных функций
Дх) е D^Rk) и g(y) е D^Rm j называется функционал
У) = Дх) * <Ху) > заданный на пространстве D[Rk‘rT') и дейст-
вующий по правилу
( f х g <р) = ( Дх),(д(У), <р(х, У))), V<p g D(Rk+m) (272)
Очевидно, что f х g является линейным функционалом. Более
того, можно показать, что функционал f х g непрерывен (следует
из непрерывности/и g). Следовательно, f х g е D^Rk,,T,j.
Рассмотрим действие функционала f х g на основные функции
214
вида
Ф(х. $ = фДхЫЯ ф,(Х> е D(RK). ф2(у) е D(Rm). (27.3)
В этом случае, из линейности функционалов/и g получаем, что
( f х д, ф(х, у)) = ( f(X),(0(У>- ФДХ>Ф2(У>)) =
( Дх), фДхХвДО. Ф 2(У>)) = ( Л Ф1Х& Фг) •
Пример 2. Доказать, что 5(х) х 5(у) = 6(х, у).
Решение Для произвольной основной функции ф(х, у) спра-
ведливы равенства
(б(х),{5(у),<р(х, у))) = (8(х),<р(х,0)) = Ф(0,0) =- (2(х.у),ф(х,у)).
Свойства прямого произведения.
1)	Носитель Н функционала h— f хд есть прямое произведе-
ние FxG носителей F и G функционалов/и g соответственно
2)	Прямое произведение коммутативно:
Дх) х g(y) = д(у) х Дх).
3)	Прямое произведение линейно, то есть для любых двух чисел
X, и Х2 и любых двух обобщенных функций А,(х) и f2(x) из
D^Rkj выполняется равенство
(X, А(х) + Мг(*)) * 9(И = Ц^(х) х g(y)) + X2(f2(x) х д(у))
(Аналогично для второго аргумента ввиду коммутативности.)
Доказательство свойств.
1)	Проверьте данное утверждение самостоятельно по определе-
нию носителя обобщенной функции
2)	Поскольку функционалы Дх) х д(у) и <Ху) х Дх) непре-
рывны и линейны, то коммутативность достаточно доказать для
множества основных функций, линейная оболочка которого плот-
на в D^Rk*n'j. Возьмем в качестве такого множества все функции
вида (27.3), а для них коммутативность следует из равенств
(Дх) х д(у), <р(х, у)) = ( Дх) х g(y), ф1(х)ф2(у)) = ( f. <PiXs Фя),
и
(s(tf X Дх), ф(х. У)) = (s(y) X Дх), Ф2(у)фХх)) = (ДФгХ^Фз) •
3)	Для доказательства линейности подействуем функционалом
215
+ 7^2 ВД) X на произвольную основную функцию
ф(х,у) g D(Rk+ni).
((Xi ГДх) + X2f2(x)) х £О),ф(х, JO) =
= (х, ВД + х2 вд, (еку>, ф(х, у))) = х,( вд, (g(y), ф(х, у)))+
+х2( ВД,(sM, ф(х, у))) = Х,(ВД X дДО, ф(х, у)) +
+Хг(4(х)хд(у)1ф(х1У}) =
= (ЦВД * £(0) + МВД х 904).ф(х>у))-

27.3. Оператор свертки в D. В §15 было введено понятие
свертки двух функций, заданных в R" Обобщим его.
Пусть Дх) и д(х) - две абсолютно интегрируемые функции в
Rn, для которых существует свертка
ft(x) = (f*g)(x) = р(!;)<Хх-$)<*;,
R"
также являющаяся абсолютно интегрируемой в Rn функцией. Рас-
смотрим обобщенную функцию h, порожденную сверткой Л(х).
Для произвольной основной функции ф е D действие на нее
функционала h можно преобразовать следующим образом-
(Лф)= ]7)(х)ф(х)сД = J f Д^х-Е,)^ o(x)cfx =
R'	НТВ"
= {р(Шх-ОФ(х)с*оС=Ч p(0s(i№ + W =
R',»R'1	R%R"
= pte) |901)ф(£ + П)сЛ1 €^ = (<Ю.(£1(л).Фи + ’1))),
R" 1_В"
то есть
(Д ф) = ( ffc),(fi(n). Ф(£ + »!))) = (^) x 9(n).<Pte + Л)) -
Проблема обобщения такой формулы заключается в том, что
функция ф(£ + т]) не является финитной.
Определение 5. Пусть/и g - обобщенные функции из D* с носи-
216
телями F к G соответственно. Если для любой основной функции
cpeD множество (FxG^nS£pp(%+1l) является ограниченным, то
определяют обобщенную функцию f*g, называемую сверткой.
действие которой на ереD определяется по формуле
( f* в, ф) = (	х g(Ti), <р(£ +1])),	(27.4)
что следует понимать в смысле (27 1)
Замечание I Легко проверить, что так определенный функцио-
нал f* д является линейным. (Непрерывность в общем случае не
обсуждаем.)
Возникает вопрос: при каких условиях существует свертка
обобщенных функций? Следующие утверждения дают пример
таких условий.
Утверждения.
1) Если носитель хотя бы одной из обобщенных функций Лили
g ограничен, то существует свертка f* д е D
2) В одномерном случае (/,gd)(R)): если носители обобщен-
ных функций / и g ограничены с одной стороны, то существует
свертка f* д е D'.
Доказательство утверждений. В обоих случаях не будем дока-
зывать непрерывность функционала f*g. Докажем только, что
для любой функции (peD множество (F х G) пя|рр(£+*1) является
ограниченным.
1) Так как функция <р финитна, то носитель suppep содержится в
некотором шаре BR = |xj < Я^>. Пусть, для определенности,
ограничен носитель F обобщенной функции / то есть F содержит-
ся в некотором шаре Вг =	|х| < г|. Тогда
(FxG) n suppcp(^ + Г]) с (F X Rnj n suppcpG; + т))<-
c {U,T1) eF, |^ + T]| < c {(i,,q) |£,|<r, |i]| < R+f] =
— Bf x BR+I
- ограниченное множество. Аналогично для ограниченного G.
2) Поскольку функция ф финитна, то существует положитель-
217
ное число а такое, что suppcp с [-a, а]. Для определенности будем
считать, что носители F и G ограничены слева. Тогда, как видно из
рис. 14, (Fx(^napxp^+T]) есть ограниченное множество 
Свойства свертки обобщенных функций.
1)	Линейность: для любых чисел и Х2 справедливы утвер-
ждения
(Э$* д, 3f2* д) => (Э^f, + Х2f2)* д = д) + Х2(f2* д)),
(ЭГ* g. If* g,) => (ar* (X,g + X2g^ = X,( f* g) + X2(f* &)).
2)	Коммутативность (симметричность):
(3f* g) => (3g* f, f*g = g*f).
3)	Дифференцируемость:
(af* g e D'j => (d"( f* g) = f* (Dag) = (D“ f)* g).
Доказательство свойств
1)	Линейность свертки следует из линейности прямого произве-
дения.
2)	Поскольку функция ф(£ + rj) симметрична относительно
218
вхождения £ и tj, то
(£,!]) С [F X G) гл suppcpte + п) <=> (пЛ) е (G х F) гл suppcp^ + rj)
Поэтому из ограниченности множества (F х G) n sippt^E, + т]) сле-
дует ограниченность и (G х F) гл5цэрф(£ + т]), то есть существова-
ние свертки g* f. Равенство f*g= д* f в этом случае является
непосредственным следствием коммутативности прямого произве-
дения.
3)Для произвольной функции <peD справедлива цепочка ра-
венств
(Da(f*^l<p) = (-1)'“l(f*g,D°<p) =
= M)kl( f (О. (flOl).	+ n))) = (-1)'“'(	+ n))) =
= (f(O.(Deg(n),<p(^ + n))) = (f*(Das),<p),
то есть
Oa(f*g)= f*(Dag).
С учетом коммутативности свертки получаем
f*(D“g)=(Dof)*g,
что и требовалось доказать 
Пример 3. Найти свертку произвольной обобщенной функции
/еГ/с D('5.
Решение. Так как носителем 5-функции является {0}, то свертка
f * 5 определена и
(Г*5,ф) = (^),(б(п}.ф(^ + п)) = (^).фЮ) = (Лф). W cD,
то есть
f*5= f.
Дифференцируя это равенство с учетом свойства 2), получаем
f*(Da5) = Daf	(27.5)
При рассмотрении обобщенных функций, зависящих от пара-
метра будет полезна следующая
Лемма 2 (непрерывность свертки по своим аргументам). Пусть
219
последовательность обобщенных функций {4}*., <= D' сходится к
обобщенной функции f в D. Тогда 4*9* * 9 в О', если выпол-
нено одно из следующих предположений:
а)	все носители функционалов 4 содержатся в одном ограни-
ченном множестве Л/;
б)	носитель обобщенной функции g ограничен.
Доказательство леммы 2. По определению свертки для любой
основной функции <peD справедливо равенство
(4* 9. ф) - (4(4). (sKn), ф(4 + Ч))) •
В случае а) функцию ф(^) = (д(ч).ф(4 + л)) можно заменить со-
гласно определению (27.1) основной функцией Ф такой, что
БНррФ с Биррф и значения функций Ф(х) и ф(х) совпадают в
некоторой окрестности множества М. Поэтому
(4*йф)-(4.ф) ->(4ф) = (^*&ф)>
то есть 4* д > f*g вгУ.
В случае б) функция Ф(^) = (д(Г)), ф(4 + л)) есть основная
функция, для которой справедливы написанные выше выражения
а
27.4.	Оператор свертки в S'. Поскольку DcS и Soli, то в S'
естественно определить свертку обобщенных функций следующим
образом.
Пусть f,gGS и обобщенная функция g (как функционал из D)
имеет ограниченный носитель. Тогда под сверткой f*g будем
понимать функционал, действующий по правилу (27.4).
Приведем без доказательства (и не будем использовать) сле-
дующее свойство свертки в Sz, связанное с преобразованием Фу-
рье:
Ф»э)=(^)
27.5.	Дополнение. Пусть ф(х) - функция из пространства D, Л/
- ее носитель, - конечное открытое покрытие множества
220
М: М d^jGy Докажем, что существуют функции фДх),
/ = 1, .. L такие, что
причем ср, g D и supptp, с М, / = 1... L
Прежде всего заметим, что существует открытое покрытие
множества Л/такое, что Gt с Gt, I =	. Действитель-
пусть построены множества Gv . GA_, такие, что
G^.G*,. Gl образуют открытое покрытие М, тогда множе-
является компактом и
но,
Q
ство К — М \	. G*_, vj Gfc+1*u С
содержится в открытом множестве Gh, следовательно, в качестве
G* можно взять достаточно малую открытую окрестность множе-
ства К, замыкание которой содержится в G^. Выполнив описан-
ный процесс последовательно для к -1 L получим покрытие
Далее, согласно рассуждениям, приведенным в конце пункта 1,
существуют бесконечно дифференцируемые функции AW,
I = 1, - L такие, что Щх) - 1 в Gt и suppA с: Gt. Рассмотрим
функцию
Ах) = ЕА(х).
/=i
Ее значение в каждой точке х множества М не меньше единицы,
так как множества Gt образуют покрытие Л/ и 7^(х) =1 в G,. Сле-
довательно, в качестве функций ф,(х) можно взять
'А(х) / 1 и
ф(х), X е М
Ф,(х) = Ах)
О, х е М
221
§28. Фундаментальное решение линейного
дифференциального оператора. Фундаментальное
решение оператора Лапласа в R3
28.1. Элементы теории. Рассмотрим линейное дифференци-
альное уравнение £-ого порядка относительно функции
y<x)eC*(R")
^a„(x)D“Xx) = b(x)
Hs*
Если коэффициенты а„(х) eCw^R”j, то все операции, фигури-
рующие в данном уравнении, определены в Г), и можно записать
для обобщенной функции/fcD уравнение
Lf 1аа(х)1ГМ = Ь(х), b е D1	(28.1)
Ms*
Это есть линейное дифференциальное уравнение с обобщенными
функциями. Его решением является всякая обобщенная функция/
для которой выполнены равенства
Е(-1П^О“(а«(х)ф(х))) = (Ь,9)( v9eD.
ia|S*
Пусть все коэффициенты а„ являются константами.
Определение I Фундаментальным решением оператора L. (или
дифференциального уравнения (28.1)) называется обобщенная
функция Е е Dz, удовлетворяющая дифференциальному уравне-
нию
ЕЕ = 8.	(28.2)
Замечание 1. Фундаментальное решение определено, вообще
говоря, неоднозначно - с точностью до слагаемого, являющегося
решением однородного уравнения.
Смысл введенного понятия раскрывает следующая
Теорема I. Пусть Е е D фундаментальное решение операто-
ра £, и обобщенная функция b такова, что существует свертка
Ь* Е е Dz. Тогда обобщенная функция
f = Ь*Е	(28 3)
является решением уравнения (28.1).
222
Доказательство теоремы 1 Действительно, из свойств свертки
следует, что
Lf = ЦЬ*Е ) =b*(Lt ) =	= b.

28.2. Пример применения. Получим формулу для решения за-
дачи Коши
/(х) + Ц2И*) - ВД. х g [Q со).	(28.4)
ЯС) = j/(0) = 0,	(28.5)
где В(х) 6 QQ со) — заданная функция, Xх) с C2[Q «>) - искомая
функция, ц > О - постоянный коэффициент.
Перейдем от уравнения (28.4) к уравнению в R для обобщенной
функции feD!:
(d2	А
Lf = -=^ + ц2 \f = Bd.	(28.6)
\c6r	J
Будем искать фундаментальное решение Е оператора L в виде
Е = zB, где Дх) g C"'(R) - неизвестная функция, G(x) =
- регулярная обобщенная функция. Вычислим первую производ-
ную фундаментального решения:
Е ' = 2б +	= 2б + 2б = 2б + 20)5 -
Положим 20) — 0 > тогда справедлива следующая цепочка ра-
венств:
Е" = 2'е + 2е' = 2'е + 28 = Ze + 2(0)5,
в завершение которой полагаем 2 (0) - 1.
По определению фундаментальное решение удовлетворяет
уравнению (28 2) с оператором L из формулы (28.6), то есть
Е" + >Л = 8,
или
2'6 + 8 + Цг2б = 8,
что выполняется при условии 2'(х) + p2z(x) = 0. Вспомним, что
1, х>0
0, х<0
223
z(0) = 0 и /(0) = 1, тогда zfx) = —эпцх и фундаментальное ре-
Ц
темпе есть
[(х) = ^П^0(х)
р
- регулярная обобщенная функция.
Поскольку носители обобщенных функций f и BQ ограничены
с одной стороны (х>0), то существует свертка [ •(«) , являющая-
ся регулярной обобщенной функцией, порожденной
-но	-но
f(x)= fE(x-OB(^)0m= fE(x-^)B(U^ =
-«о	0
= -]япц(х-£)ВДс£
Но
Функция ((х) принадлежит классу С2[Цда) и удовлетворяет
уравнению (28.4), причем /(0) = ('(0)- 0. Следовательно, при
х>0 она является решением задачи (28.4),(28.51
Итак,
/X) - - j sn ц(х -	.
И о
Полученный результат формулировался как лемма 1 §11.
28.3. Фундаментальное решение оператора Лапласа.
Теорема 2. Фундаментальным решением дифференциального
оператора L = -Л. в R3 является регулярная обобщенная функция
=	(28.7>
Доказательство теоремы 2. Можно было бы проверить утвер-
ждение теоремы непосредственной подстановкой, но мы покажем,
как найти фундаментальное решение (28.7).
Фундаментальное решение Е по определению удовлетворяет
уравнению
-ДЕ =б.
Произведем преобразование Фурье над обеими частями равенства,
224
предполагая, что t е S(r’)
|^(я)щ=1
-|
Функция (Н )(£) = —2 порождает регулярный функционал, так
как для произвольной функции <р е S[ R3) интеграл
R3 |Я
сходится (особенность ₽ нуле является интегрируемой, поскольку
при переходе в сферические координаты (г,<р,б) появится допол-
нительный множитель Г2 = J^j2 из якобиана г2япб ).
Произведем теперь над функцией (Н )(£,) - —обратное пре-
образование Фурье:
Сделаем поворот, совмещающий ось Е,3 с направлением вектора х,
и перейдем от переменной интегрирования £ к сферическим коор-
динатам (г, <р,б), при этом угол 6 будет являться углом между
векторами £ их(0<6<тг)
1	“ "о-,'Игс“0	и «а--ДОгаие
Е w - (S7 r!anM
= _2_]9П|± _ _2_(?П5сГ = J_
(2k)2 J №	(2к)2й1Т^	4кИ
dr -
о
Замечание 2. Приведенное доказательство опирается на сле-
дующий факт, обычно не доказываемый в курсах математического
анализа: обратное преобразование Фурье можно вычислять как
интеграл в смысле главного значения не только в классическом
8 В. Уроев
225
N N N
смысле (v.p. J«cy= lim J J j»dftfy2 df).
R"	-N-N -N
v p f«dV- lim f»dy.
J	R-»w> J
R"	|y|sR
Замечание 3. Для справки: при п>2 фундаментальное решение
оператора L = -Л в R" является регулярной обобщенной функ-
цией
I, но и в смысле
Е п(х) =-----— ,	. xeR”,
(п- 2)$|xjn-Z
2л1^2
где	- ПЛО1дадь единичной сферы в R” '); при п = 2
с .	1.1	—2
Е2(х) = —Inr-, xeR
2л |х]
§29. Фундаментальное решение задачи Коши для
простейших эволюционных уравнений
29.1.	Обобщенные функции, зависящие от параметра. Пусть
каждому значению скалярного параметра I из промежутка Т по-
ставлена в соответствие обобщенная функция из D4 Rj. Запишем
') Для вычисления площади S„ п-мерной единичной сферы можно воспользо-
ваться следующим приемом Вычислим интеграл Je^d* Двумя способами с
одной стороны
R"	-»
а с другой
Je dx = Je1 '’s.r'-’d- = ifeг(г2р ’cP = §,l (ry2)
R”	0	0
Следовательно о „	___
1(П'2)
226
это следующим образом. f(x,t) с D'(x е Rnj, t сТ. Тогда f(x.t)
называется обобщенной функцией, зависящей от параметра t.
Как и для обычных функций вводятся понятия предела, непре-
рывности и дифференцируемости f(X,f) not.
Определение 1. Обобщенная функция f(x) е С/ называется
пределом f(x,t) при t > t0, что обозначают f(x,t) -> f(x) или
lim f(x,t) = f(x) если для любой последовательности
<-»г0
w;., <= r\{i0} , сходящейся к t0, f(x,tk)X f(x) BD'
Замечание 1. Единственность предела следует из единственно-
сти предела в D.
Из определения сходимости в D* следует, что
[ f(x. t) -> f(x)J о |v<p(x) e D ( f(x, О.ф(х)) -> ( f(x).<p(x))J .
Определение 2. Функция f(x, t) называется непрерывной по па
раметру t в Gc:T, если для любого t0 е G
t—
f(x,t) -> f(x,tD)
Из непрерывности операции дифференцирования £)“ в Г)' следу-
ет, что если f(x,f) непрерывна по t, то и D*f(x. fl непрерывна по г
для любого мульти-индекса а.
Определение 3. Если для точки tD еТ существует предел
,	f(x,t)-f(x,t0)
lim—-—-— ------—, то он называется производной функции
f(x, 0 по t в f0 и обозначается — f(x, tD)
dt
Производные высшего порядка определяются из равенства
dtM '	7
227
Утверждение 1, Для существования производной — f(x, t0) не-
8t
обходимо и достаточно, чтобы числовая функция
Ц,(0 = (Дх,(),ф(х)) для любой основной функции <p(x)gD была
дифференцируемой в точке t0
Доказательство утверждения 1.
Необходимость очевидна
Достаточность Рассмотрим на D функционал g, действующий
по правилу
(&<Р) = 4(0 =	v<pе D
Из полноты пространства I)' (теорема 1 §25) следует, что gfcD и
* to
Определение 4 Функция Дх/) называется дифференцируемой
по параметру t в G, если для любого значения параметра t0 eG
д »
существует производная — f (х, г0).
dt
Утверждение 2 Пусть f(x) е D'(R). Тогда обобщенная функ-
ция f(x,t) = Дх + t), зависящая от параметра I, является беско-
нечно дифференцируемой по I, причем
f(k>(x+n^eN
dt
Доказательство утверждения 2. Подействуем функционалом
f‘(x + t) на произвольную основную функцию ф(х) g D(R) и вос-
пользуемся определением линейной замены переменных:
(f‘(x + 0,<р(Х)) = ( f'(x),<p(X- О) = -(Дх),ф'(х-1)) =
= {/(х).^(ф(х- 0)) =|(^).ф(х^))^(Дх+/),<Р(х))
В равенстве (*) мы воспользовались непрерывностью функционала
f(x). Следовательно, в соответствии с утверждением 1 существует
228
— причем —- f(x,f) f'(x + t) Утверждение для произ-
dt	dt
водных высшего порядка доказывается последовательным диффе-
ренцированием 
Утверждение 3. Если fix,f) дифференцируема по параметру t, то
и D" f(x, t) дифференцируема по /, причем
=	(29.1)
dt	dt
Доказательство утверждения 3. Для любой основной функции
<peD числовая функция
w(t)=(о? цх. $,<?(*))=(-iH п*. о. оа<р(х))
дифференцируема и имеет производную
4 НО =	0. 0“9(x)l = [d; I f(x,n.<p(x)l
at	xdt	J ' dt	J
что доказывает равенство (29.1) 
Из леммы о непрерывности оператора свертки по своим аргу-
ментам (лемма 2 §27) следует
Утверждение 4. Пусть функция f(x,f) е СУ{х е R"), feT диффе-
ренцируема по t в точке f0, де , причем выполнено одно из
условий:
а)	существует окрестность (J точки tD такая, что носители
обобщенных функций f(x, t) для любого t eU г»Т содержатся в
одном и том же ограниченном множестве;
б)	носитель g ограничен.
Тогда результат свертки /(х,/)*д(х), являющийся обобщенной
функцией, зависящей от параметра t, дифференцируем по t в точке
to)*9(х)) = f(x, t0)j*g(x) (29.2)
29.2.	Фундаментальное решение задачи Коши. Рассмотрим
задачу Коши для простейшего эволюционного уравнения
229
и(х, t) = L,u(x, t). х е Rn. t > 0	(29.3)
с начальными условиями
l/x.O) = ц(х), / = 0, к -1,	(29.4)
где LK-	- линейный дифференциальный оператор, к и т
- фиксированные натуральные числа.
В классической задаче Коши на функции Ц(х) накладываются
условия ц(х) g C’t-14(Rn) ,1 = 0, . к -1, и требуется найти реше-
ние и(х, Г) е C^k(R° х (Q «)) n C^R" х [Q ®)).
Аппарат обобщенных функций позволяет рассмотреть задачу
(29 3),(29.4) в более широком смысле Пусть tz eD^Rn),
I - 0, k-1 и требуется найти U{x,t) gD'^xeR'1}, t>0, к раз
непрерывно дифференцируемую по параметру t.
Определение 5. Функция E(x,t) е[У(хе R"), t > 0 называется
фундаментальным решением задачи Коши (29 3),(29.4), если она
удовлетворяет уравнению (29.3) и начальным условиям
Н(х.О) - . = Е(х.О) = 0, Е(х.О) = 5(х).
ст	ст
Полезность введения такого понятия демонстрирует следующая
Теорема 1 Пусть Е(х,0 - фундаментальное решение задачи
Коши (29.3),(29 4), и выполнено одно из условий
а)	для любого t0 > О существует окрестность O(f0) такая, что
носители обобщенных функций Е(х, t) для всех t е С/((о), f > О
содержатся в одном и том же (для данного t0) ограниченном мно-
жестве,
б)	носитель обобщенной функции ограничен.
Тогда свертка t<x,f) = Е(х, ,(х) является решением задачи
Коши (29.3),(29.4) с ц, = = ик_2 = О и Uk_, е D^R")
230
Доказательство теоремы 1. В предположениях теоремы можно
пользоваться леммой о непрерывности свертки по своим аргумен-
там. Следовательно,

И
4*.О) =	H(x,O)J* ц.Дх) = О* ц Дх) = 0, / = 0,.... к 2,
сХх.О) = E(x,O)j* (Цх) = 6(х)* ^.Дх) = ^(х),
что и требовалось доказать 
Решение задачи (29.3),(29.4) для заданных обобщенных функ-
ций ц,(х), .,ик^(х) можно построить следующим образом
Функция t^Jx.f) - E(x,t)* ик_Л(х) согласно теореме удовлетворя-
ет уравнению (29.4) и начальным условиям
4_i(x,0) - =	ик_Л(х,0) = 0, ^тц(_1(х,0) = ц^(х).
Тогда функция
Ц<-2(х. О = ^(Е(х- *)* Ч-гЮ) = Н(х,о)* Ч-2(х)
удовлетворяет тому же уравнению и условиям
Ц<_2(х.О) = =	йк_2(х.О) = 0,	<4_2(х,0) = uk_2(x).
Следовательно, у функции
Ц-2(х,0 = й4-2(х. О - Н(Х. t)*^rr Чс-2(х,0)
О1
при t = 0 отлична от нуля только производная
0К-2
—14_2(х,0) = йА_2(х). Учтем, что
CI
^ГТЧ<-2(х.О) = [“Г Е(х,0)1*14_2(х) = (LxE(x,0))*i4_2(x) = О
231
следовательно,
ЧЛ*. О = Н(х. О |* t4_2(x).
Продолжая этот процесс в предположении существования всех
сверток, получим решение
it*, f) = 4_i(x. О + Ц,_2(х, 0+.. +Ц,(х, Г).
Итак, для решения задачи Коши (29.3),(29.4) получаем формулу
4*. О = [“к-Г Е(х, f))* Ч(х)+ Е(х, oj* 14-2(х) + Е(х. О* и^(х).
29.3.	Связь между фундаментальными решениями задачи
Коши и соответствующего оператора. Рассмотрим задачу Коши
(29.3),(29.4) при к = 1:
— u(x. Е) - Lxu(x, 0 = 0,	(29.5)
dt
4х,0) = ч,(х)	(29.6)
В уравнение (29.5) входит дифференциальный оператор
t = — -Z. = — - У^О“
Для него фундаментальное решение Е (х, t) согласно определению
есть обобщенная функция из D^Rn+1j, удовлетворяющая уравне-
нию Lt (х, Е) = &(х,Е) Оказывается, что зная фундаментальное
решение Е(х,Е) задачи Коши (29 5),(29.6), можно построить фун-
даментальное решение Е (х.Е) операторах
Теорема 2. Пусть Е(х,Е) - фундаментальное решение задачи
Коши (29.5),(29.6). Тогда
Е (x,f) = e(f)xE(x,f)	(29 7)
является фундаментальным решением оператора L.
Замечание 2. Формула (29.7) нуждается в дополнительных по-
яснениях Так определенная Е (х, Е) является функционалом на
D(Rn+,)5 цействующим на произвольную функцию
Ф(х,() е D^Rn+1j по правилу
232
(G(Ox Е(х.О,ф(х,/))= f(E(x,n,q>(xJ))rf.
О
Здесь (Е(х,/),ф(хД)) есть функция параметра t, равная результату
действия обобщенной функций Е(х, t), зависящей от параметра t,
на основную функцию ф(х, t) при фиксированном t. Предполага-
ется, что E(x,f) обладает достаточной гладкостью по /, чтобы
v(n={E(x1f)1<j>(x,n)eD(R) для любой <р(х.f) е D[Rn+1), и
0(f) х Е(х, f) е D^R™1)
Замечание 3. Формула (29.7) справедлива для любого натураль-
ного к. Требование к = 1 наложено для краткости и ясности дока-
зательства
Доказательство теоремы 2. Прежде всего покажем, что
6(0 х Е(х, 0 = 5(Х, 0, для чего подействуем функционалом
5(0 х Е(х,0 на произвольную функцию ф(хД) с D^R11*1)
(5(0 х Е(х.0,<р(х,0) = (Е(х,0.<Хх,0)|г=о = (Е(х,0),ф(х,0)) =
= (8(х). ф(хД) = <р(0,0) = (5(х, 0. Ф(х. 0) 
Следовательно,
Цб(0 X Е(Х, 0] - -^[6(0 х Е(х. 0] - Ц6(0 X Е(х, 0] =
= е'(0 X Е(х, 0 + 0(0 х [-1 Е(х, о] - 0(0 х (L Е(х, 0) =
\dt 7
= 5(0 х Е(х. 0 + 0(0 х (LE(x, 0) - 8(х,0 + 0(0 х 0 = 5(х, 0,
что и доказывает теорему 
Теорема 2 используется при решении задачи Коши для неодно-
родного эволюционного уравнения.
§30. Фундаментальное решение задачи Коши для
уравнения теплопроводности
ЗОЛ. Функция источника. Рассмотрим задачу Коши для урав-
нения теплопроводности в R"
233
u(x.t) - агДхи(х, 0 = 0. х е R", t > 0,	(30.1)
4х,0) = Ц>(х)	(30 2)
Построим ее фундаментальное решение E(x,t). По определению
Е(х.О есть обобщенная функция из D^x е Rr), зависящая от
параметра t и удовлетворяющая уравнениям
—Е(х, 0 - а2АхЕ(х, 0 = 0	(30.3)
dt
Е(х,0) = 5(х)	(30 4)
Предположим, что Efx.f) cS(xg Rr), t>0, и произведем
преобразование Фурье по х для обеих частей равенств (30.3) и
(30.4). Тогда
^(re)fe,l)+a2H!(FE)(4,f) = 0, (FE)g,0) = (F5)(l;) = 1	(305)
Здесь мы воспользовались тем, что преобразование Фурье I не-
прерывно отображает S7 на Sz, и
J - а’	I	- J а’	1
f(a„e)(u) = F, Е (и) = Дг Е (U) -
(«.i[ax*) J	м ua<) ;
= Z(^)2(F^fc-f) = WE)(^0-
fc=1
Уравнениям (30.5) при каждом />0 удовлетворяет регулярная
обобщенная функция из Sz, зависящая от параметра i
По формуле обращения при />0 находим
Е(Х.О = fexp( а?|с|2^ехр( /(хЛМ =
(2я) Rn
234
При вычислении интеграла мы пользовались известным результа-
том. Jexp|-+	—— для любого Х>0 и любого цеС.
—со
Итак, получено фундаментальное решение, являющееся при
значениях параметра t > 0 регулярной обобщенной функцией
е(х',,=(^4Ш'>0
(30.6)
- функция источника (см. §14).
30.2.	Формула Пуассона. Если носитель обобщенной функции
Ц,(х) ограничен, то согласно результату §29 функция
Цх.О = E(x,t)*q,(x)
является решением задачи Коши (30.1),(30.2). Для регулярной
обобщенной функции ц,(х) и t > О можно записать
u(x,f)= {ц,ЮЕ(х-и)^ = 7-—/цЮехр
R"	|2у na2f R"
- формула Пуассона.
В § 15 было показано, что для непрерывной ограниченной ц,(х)
функция ufx, t), даваемая формулой Пуассона, является решением
классической задачи Коши (30 1),(30.2).
30.3.	Интеграл Дюамеля. Рассмотрим неоднородное уравнение
теплопроводности
235
и(х, 0 - а2Лхи(х, о = f(x, 0, х е R", t > О. (30.7)
dt
Пусть - регулярная обобщенная функция из D/(Rn+1J.
Тогда уравнение (30.7) можно записать следующим образом:
Щх, 0 = |-^ - агАх | Щх, I) = f(x, t)O(f), (х, f) е Rn+1.
\ct J
Согласно результатам предыдущего параграфа обобщенная
функция
E(x,0=6(f)xE(x,t)
является фундаментальным решением оператора L. Учитывая кон-
кретный вид Е(х, f), получаем
Тогда
0, Е<0
— регулярная обобщенная функция из
u(x,f) = f(x,t)*t (x,t) есть решение уравнения (30.7), что для аб-
солютно интегрируемой в Rn+1 функции f(x, t) можно переписать
следующим образом:
,,Г	А
ц(х, 0 = J |0(т) fU, т)0(1 - т)Е(х - U - -Ос*; dr =
- интеграл Дюамеля (см §16).

§31. Фундаментальное решение задачи Коши для
волнового уравнения
31,1.	Фурье образ фундаментального решения. Рассмотрим
задачу Коши для волнового уравнения в Rn:
236
^гй(Х,0-а2Дхи(х,Г) = 0( xeR", t>0,	v31.1)
4x,0) = цДх), |^х,О) = ц(х).	(31.2)
dt
Фундаментальное решение E(x,f) есть обобщенная функция,
зависящая от параметра IО и удовлетворяющая уравнениям
^-Е(х,0-а2ДхЕ(х,0 = 0,	(31.3)
Е(х,О) = 0, f;E(x,O) = ё(х)	(31 4)
dt
Предположим, что E(x,f) eS?(x eR"j, t>Q. Тогда в результате
преобразования Фурье по х уравнения (31.3) и (31.4) перейдут в
следующие:
+ a2|^(FE)fe,t) = О,	(31.5)
(FE)ft,0) = 0, £{F^0) = 1	(31.6)
Предположим, что при каждом 1>0 (/-£)(£,() есть регулярная
обобщенная функция из S'(Rrj. Тогда решая задачу Коши
(31.5),(31.6) для обыкновенного дифференциального уравнения,
получаем
=	(317)
Следовательно,
Конкретный вид E(x,f) мы найдем в двух случаях- п = 1 и
П- 3.
31.2.	Одномерный случай. В случае П = 1 выражение (31.7)
можно преобразовать следующим образом
237
_ F(6(x- af)) - F(8(x + at))
2X
С другой стороны
F^-E(x,f)j =	= F^(x+at)-5(x-at)j
Поскольку 6' = 6, то
E(x, t) = e(x+at>2ae^X~at)	(31 8)
- фундаментальное решение задачи Коши для волнового уравне-
ния на прямой
Следовательно, для любых обобщенных функций ц, и ц,
функция
'X*, О = (I? £<х’ *> )* 4»W + Е(Х’ 0* ц(*)
является решением задачи Коши (34.1),(34.2). Если при этом
обобщенные фvнкции Ц, и Ц являются регулярными, то можно
записать
ф(, 0 = (Ч>(* + at) + 1ф( ~ at))+ -^~ Jц(£)Х,
Z	“ x-at
так как
д .. аО'(х+ at) + ae'(x-at) 1Zc, „ s, ЛЧ
— E(x, t) = —*----= -(6(x + at) + 5(x- at))
Итак, получена уже известная формула Даламбера (см. §4).
31.3.	Сферический слой. Перейдем теперь к рассмотрению
трехмерного случая ( п = 3). Введем обобщение 8-функции.
Определение 1 Функционал (а е R3>	О), действую-
щий на произвольную основную функцию (р(х) по правилу
(б5(а^.ф)= ЯфМ^,
lx-el=R
238
называется сферическим слоем.
Легко проверить, что g S' с (У .
Найдем результат преобразования Фурье сферического слоя:
(FS^.<р) = (бЯа. F<p) - Д(Вр)(х)с^ =
Ц-аНЯ
= Я	= JJJ<p(of Я^(^к
|x-a]=RV R’	R3 V|x-a]=R	'
Следовательно,	есть регулярная обобщенная функ-
ция, равная
(гач.,ч)© -	п^-5’^
|x-a]=R	|xf=R
Сделаем поворот, совмещающий ось х3 с направлением вектора
и перейдем к полярным координатам (г, ф, б) (то есть в — угол ме-
жду векторами х и £,):
Jdpf^^snece =
о о
- 2nd™ f^a^dcose =	- е'™) =

Итак,
(FS^)K> = 4^<вЛ) S-^	(31-9)
Возвращаясь к задаче Коши (31.1),(31 2) и формуле (31.7), по-
лучаем, что
H(X,0 = 4^f6s,°^	(31Л0)
- фундаментальное решение задачи Коши для волнового уравне-
ния в пространстве.
239
Следовательно, для любых обобщенных функций ц, и ц
функция
<<х, О =	Г)]* ц(х) + E(x,t)* ц(х) =
Kot	J
= ^(E(x,t)* ц,(х)) + E(x,f)* ц(х)
является решением задачи (31.1),(31 2). Если ц, и Ц являются
регулярными обобщенными функциями, то
t(x,0*4j(x) = -~-
* |х-?|=а»
(Е(х,0*Ц)(х).<р(х)) =	+ П»)
= [Ч(У’4^1	+	=
\	1ч1=Л
Я”
|х-£|=аг
R3
= ^?Ш ЯчЙМхХад =
47ld 1 R3 1x-5|=«t
^Я1 Ямуч>(х)<ча = ЯНх>
ада ‘ R3 lx-g=a!	R’
4^t Яч-®^
4яа 1 |ХЧ|=*
Таким образом, для решения получаем формулу Кирхгофа (см §6)’
ЧЛ<Я 1 |х-Ц=а>
‘<Х',) = Ы 4^ ь®*
Глава VII
Свойства гармонических функции. Задача
Пуассона. Задача Дирихле в R3
§32. Оператор Лапласа в сферических координатах.
Интегральное представление для гладких функций
32.1.	Оператор Лапласа в сферических координатах. Для
дальнейшего потребуется вид оператора Лапласа в сферических
координатах. По определению из §1 оператор Лапласа “Д” в Rn
" g2
есть Д» = 2,-—-j •. Зафиксируем произвольную точку Xq е R” и
i=1 (ax')
перейдем в сферические координаты	(г, у,©,. ), где
Jn	2
£(х' - xQ , <р,0, - угловые координаты вектора
/=1
х- х0. Тогда оператор Лапласа перепишется в следующем виде:
д (8г д	ау а	ае а
£axf lax1 ar	ax' a®	ax' ае	)
2 a2 w, a2y a
5f2 (а/)2
a
ауУ а2
ax'J ау2
п
а2г a f ar
(ax-pr Aax'.
л ® IrrJ2 S2 . 3	|2 a2
= Ar—• + Vr —=• »+&y—•+|v<p —=-
ar 1 1 ar2 a® J 1 ay2
241
X — X
Замечание 1. Поскольку Vr = : - 3 и <p,G - угловые коор-
динаты вектора х - х0, то (Vr, V<p) = О, (Vr, VG) = О,...
Вычислим лапласиан г(х):
n
,2Л
i=1
П г2 _ п -1
г -
Следовательно,
/	п-1 д д1
Д* =------—•+—-
г dr дг2
.3
. д <	.2 дг
+A<px;*+iv<pl
Оф	Оф
ИЛИ
л 1	5 Г п-
Д* = “ГТ—
г" дг V
Здесь введено обозначение Дфв
зависящей только от углов ').
Найдем явный вид Дф е в случае п = 3. Переход к сфериче-
записывается следующим образом:
д
дг
.2 v.e
(32.i;
для части оператора Лапласа
1
ским координатам в R3
х1 -х0 = rsnGcostp, х2 - х0 = гэпвапф, x3-x^ = roosG
.2 '
Выразив ф и в через х и проведя непосредственные вычисления,
получаем
Дф = о, |vd2 = 2-12 де - 4"^^’ lvel2 = 1
1 r2an2G г2 апв ' '
Следовательно,
л	’ д ( - n s
Дт0« ~-------апО—
‘₽е anGdel де
Определение 1- Оператор “ ДсН
ласа~Бельтрами.
1	1___
J + sin2 6 5ф2
называется оператором Лап-
(32.2)
') Уместность множителя Ур перед оператором можно понять из со-
ображений размерности
242
32.2.	Теоремы об интегральных представлениях. Пусть D -
ограниченная область в R3 с кусочно гладкой границей SD. За-
фиксируем произвольную точку х0 е D и перейдем в сферические
координаты.
..	,	1	1
Заметим, что функция - — -г——7 является гармоническом в
г ]х-х0|
1	1 3 f д *lA
области R3 \ {х0}. Действительно А — = -g — |г2 —-J =
Возьмем замкнутый шар Bf = jx : |х- х0| < е| достаточно ма-
лого радиуса е (чтобы Bt c D) и выпишем для области D\ Bt
вторую формулу Грина (см §19), считая, что
U(x) е C2(D)n С1(о), AiXx) е L2(D).
- (д» -	; - (£1».
где п - внешняя единичная нормаль по отношению к области
D \ Ц. (см рис. 15). Оценим интегралы, стоящие в этом равенстве,
и выполним предельный переход при е —> +0
1	—
Поскольку А — = 0 в D\B£, а функция дм непрерывна на D и,
г
следовательно, ограничена на В( с D, то справедлив следующий
243
предельный переход при е -> +0:
=
ощ '
= Щ(Л1/)-эп6г2с1рсЙс(г^ Д|(ди)1<&.
о\ц г	о г
Далее оценим интегралы по 8D. Первый из них обращается в
ноль при £ —> +0:
fjSHlJdfL 0«1JS [(Wl
4	£->+0
ds<sup|Vd--£2 -> 0
D е
Здесь равенство (*) следует из того, что и - внутренняя нормаль по
отношению к шару ВЕ (см. рис. 15), а г = |х- х0|, следовательно,
д 8
— * -	• Для второго интеграла по теореме о среднем пре-
дельный переход приводит к следующему результату:
uds-~ jjuds -> 4л^х0).
е Ъ
гвс
Таким образом, мы приходим к интегральному представлению
для Цх0)-

дО
D 'J
v 3D
Итак, доказана
Теорема 1. Пусть функция и(х) е С2(О) п C^D),
A(Xx)eL2(D), причем t^xj^ = t/0(x),
= uM>
no
Au(x)| = f(x). Тогда для произвольной точки х е D справедли-
во следующее интегральное представление:
<х)=+-
244
 Я1 s J,(x)+Л(х) ~л(х)) 02 3)
Определение 2. Jt - потенциал двойного слоя, потенциал
простого слоя, Д - объемный потенциал с плотностями ut, f
соответственно').
Следствие 1. Если и{х) — гармоническая в D функция из класса
С1(о), удовлетворяющая на границе dD условиям *4y)jrC - Цэ(х),
Эфе)] , .	_
——	- ц<х), то для х е D справедливо интегральное пред-
8п да
ставление
(324)
Замечание 2. Если в формулу (32 4) подставить произвольные
функции «а(х) и М|(х), то полученная функция w(x), вообще говоря,
не будет гармонической! На самом деле для гармонической а(х)
значения и\ однозначно определяются функцией ий в силу доказан-
ной единственности решения внутренней задачи Дирихле.
Теорема 2 Для функции и(х), удовлетворяющей условиям тео-
ремы 1, справедливо следующее интегральное представление:
иМ = - Дц3ю/-с(хл)^ + Дц(адх.о^ -
го °П1,	да
- Jfff(yG(x,y^, xeD	(32.5)
о
1	_
где G(x,£) = —j--у + g(x,£), g(*£) - функция на D х D, кото-
4я|х-^|
рая при каждом фиксированном X «= D является гармонической в
D по переменной и принадлежит классу .
Доказательство теоремы 2. Запишем вторую формулу Грина
’) Подробнее о потенциалах см §46
245
для функций м£) и g(x£) (хе D):
fff(s(x.OAei«) - чК)Д4д(хЛ))<*, -
D
-
ж	х. да
Учитывая, что Д?д(х,^) — 0. приходим к следующему равенству.
|[[д(хЛ)Д<ХО^ = ДО9(*Л)^Ц -
о	го	да
Остается сложить последнее равенство с формулой (32.3):
+++

Замечание 3 Результаты этого пункта полностью переносятся
на случай n-мерного пространства. Все доказанные выше формулы
будут верны и в случае D из R", если в них заменить функцию
1
на фундаментальное решение оператора “-Д” в R (см.
следующий пункт).
Замечание 4 Результаты этого пункта верны и для функций из
класса CZ(D), не принадлежащих С’(о), но имеющих правиль-
ную нормальную производную на достаточно гладкой границе dD
области D (см. § 19).
32.3. Интегральное представление как свертка с фундамен-
тальным решением оператора Лапласа. Доказанный в этом па-
раграфе результат (32.3) можно было легко получить, владея тех-
никой работы с обобщенными функциями
Пусть теперь D — ограниченная область в Rn с кусочно гладкой
границей, функции ня(х) и щ(х) заданы и непрерывны на dD. Опре-
246
'аэ>Ф
= ц(х), At(x)]D = f(x). Определим
ао
делим в пространстве D'(R") функционалы и^№ и и0 — 8Ж,
' '	дп
которые действуют на произвольную функцию <р(х) из основного
пространства D^Rrj но правилам-
(цз».<р) =
сО
V дп J I дп.
Здесь, как всегда, - внешняя единичная нормаль к границе dD
области D. Линейность и непрерывность этих функционалов про-
веряются непосредственно
Справедлива следующая
Теорема 3. Пусть l/х) е C2(D) n C’(d), AlXx) е L2(D) , причем
функцию и(х) следующим образом:
ufx), X <= D
О, x?D
Тогда регулярный функционал и, порожденный функцией и(х),
является решением уравнения в обобщенных функциях
= f - Цбда - Ц)—бао,
дп
регулярный функционал, порожденный функцией
ft \	х G D
f(x) -
O,xeD
k.
Доказательство теоремы 3. Вычислим значение функционала
Ди на произвольной функции <р е D^R" j:
(Ли,ф) = (-1)2(и,Дф)= р(ОД<р(^= ftXOA«pm =
R"	О
u(x) =
где
247
= |[-фЮ^+	+ J<PG)Auft)c*i =
)	D
( ,	d t 7 >
~ I и&го «0 a + '•<₽]
к	дп J
Здесь мы в очередной раз воспользовались второй формулой Гри-
на 
**
Поскольку носители обобщенных функций f, Цб,,, и и0—бж
дп
содержатся в D, а следовательно, ограничены, то согласно теоре-
ме 1 §28 получаем
Следствие 2. В условиях теоремы 3 справедлива формула
U = -Е 7- Цб» - J,	(32 6)
\	дп /
где Е - фундаментальное решение оператора *-А” в R" (см. п.З
§28).
Для п=3. пользуясь явным видом Е в Rd и регулярностью
обобщенных функций Е , feu, получим из следствия 2 формулу
(32.3), для чего подействуем левой и правой частями равенства
(32 6) на произвольную основную функцию <p е D[R3), воспользо-
вавшись симметричностью свертки:
(4<р) = ffftf(x)<p(x)ck = ((цбдо)(Щ£ (Л),<Р(Л + £))) +
R3
+ +^)) - (?<^(£ (т1)’ + ^))=
Mitt
<р(4 + п)^п -
<р(£ + Г])сЛ] -
248
—J-|<pte + ri)dii <£
Произведем в интегралах замену переменных, перейдя от т] к
х = ^ + п. тогда получим равенство
jfp(x)<p(x)dx= |[ц(у JJJ
к3	ао V R3
X
<p(x)rfx d^
)
1

- <p(x)dx'.
В силу произвольности функции <р(х) и равенства и(х) - о(х) в D,
отсюда следует формула (32 3).
§33. Гармонические функции: бесконечная
дифференцируемость, теорема о среднем, принцип
максимума, теорема о стирании особенности
33.1.	Бесконечная дифференцируемость. Результаты преды-
дущего параграфа дают возможность доказать основные свойства
гармонических функций. Пусть функция а(х) является гармониче-
ской в области D с: R". Докажем, что функция гфх) Б этом случае
бесконечно дифференцируема в D, то есть принадлежит классу
С”(О).	•
Проведем все рассуждения для случая п=3, чтобы не использо-
вать общий вид фундаментального решения оператора Д” в R"
249
который приводился в §28 без доказательства.
Выберем и зафиксируем произвольную точку х0 € D с R3 И
рассмотрим шар Br = |х : |х- xD| < rj с D достаточно малого
радиуса г. Тогда согласно формуле (32.4) для функции
ц(х), х с Вг можно записать
’ j1® 'ЧРЧ*4)'
По теореме из курса математического анализа интеграл
/(«)=	на компакте Л/ можно дифференцировать по
м
параметру а! е R, формально дифференцируя подынтегральную
функцию ((£,, а), если последняя удовлетворяет следующему дос-
таточному условию.
Xf(^a)eC(MxU)
(ЛХ
Здесь U — некоторая окрестность точки параметра, в которой про-
изводится дифференцирование.
В нашем случае х - параметр, В, - окрестность точки диффе-
ренцирования х0, дВг компакт, по которому производится ин-
тегрирование Функция
1
но, непрерывны на множестве
и все ее производные по х, очевид-
х) : £ 6 дВ,, X е . Функции
не зависят от параметра (то есть от х). Таким
«М, и
образом условия теоремы выполнены для обеих подынтегральных
функций, более того, они будут выполнены и после сколь угодно
кратного дифференцирования по х в точке х0
Итак, в силу произвольности выбора точки х0 е D получили,
что и(х) е С"(О).
33.2.	Теорема о среднем. Для начала докажем вспомогатель-
250
ную лемму.
Лемма 1. Пусть D — ограниченная область в R” с кусочно глад-
кой границей, «(х) - гармоническая в D функция из класса C1^Dj
Тогда выполняется равенство
(33.1)
ао 5пг
Замечание 1 Физический смысл этой леммы очевиден: поток
вектора напряженности электростатического поля через замкну-
тую поверхность, ограничивающую свободный от зарядов объем,
равен нулю.
Доказательство леммы 1. Выпишем вторую формулу Грина
для области D и функций w(x) и Цх) = 1 •
f(vAu - ti\v}dx = О = [fv— -и—]ds= Г—ds.
о	дп Sn' £дп

Теорема 1 (о среднем) Пусть Цх) - гармоническая в шаре
BR = |х ’ |х— х0| < F^> <z R" функция из класса С1(вя). Тогда
справедлива следующая формула:
<Хх0) = -Л	(33.2)
2л^г
где ^5% = р|,у2) 11 ~ площадь сферы дВя. В частности, для
п=3
Ф0 =

(33.2*)
Замечание 2 Сравните с теоремой о среднем для функций, гар-
монических на плоскости, из курса теории функций комплексного
переменного.
Доказательство теоремы 1. Как и раньше ограничимся рас-
смотрением случая п=3.
Для области Вк и функции w(x) воспользуемся интегральным
представлением (32.4)’
251

4*о)=~ Я
‘	1	Г( /м 8	1
<п ч’Д«Чь-хоП'
Найдем производную по нормали:
Э 1	=_0t	_J_
Следовательно,
<4*Ь) = -?-
1_
4л I R
Я я«>*
1с-*ь1=я отч п |е*>]=*	/
(331>
(331)	1
= 4^ Я^)<*4-
к~^=я
33.3.	Строгий принцип максимума. Утверждение теоремы I
§23 (принцип максимума для гармонических функций) можно уси-
лить.
Теорема 2 (строгий принцип максимума). Пусть D - ограничен-
ная область в R", iz(x) - гармоническая в D функция из класса
С(о) . Тогда, если существует точка х0 е D, в которой достигает
ся максимум (минимум) функции н(х) на D, то
и(х) = const - и(х0) в D.')
Доказательство теоремы 2. Сначала докажем вспомогательное
утверждение: если С = mac и(х) достигается в центре х0 шара
хевя
BR с_ D, то ц(х) = и(х0) в Вд
Действительно, рассмотрим произвольную сферу Sr с центром в
точке Хо и радиусом r<R. Проведем рассуждения от противного
Если и(х) не равна тождественно «(хо) на сфере Sr, то в силу непре-
рывности и(х) с учетом теоремы о среднем справедливо неравенст
') Отметим в очередной раз, что поскольку D — компакт, и и(х) е C[D), то
максимум (минимум) функции и(х) на D существует, конечен и достигается хотя
бы в одной точке из &
252
во:
ад=~ ted* < Лс’с§=ад
$ ц
Таким образом мы пришли к противоречию, что доказывает наше
утверждение.
Теперь перейдем к общему случаю с помощью стандартного
рассуждения. Пусть в точке х0 области D достигается максимум
С = птах i/x)  Рассмотрим произвольную точку х е D Поскольку
D - область (связное открытое множество), то точки х0 и х можно
соединить непрерывной кривой Г, лежащей в D. Далее, построим
для каждой точки кривой Г шар с центром в этой точке, лежащий
вместе со своим замыканием в D, после чего выделим конечное
покрытие кривой Г (это можно сделать по лемме Гейне-Бореля).
Теперь измельчим это покрытие так, чтобы центр каждого сле-
дующего шара лежал внутри предыдущего, разместив при этом
центр первого шара в точке х0 (см. рис. 16). Это можно заведомо
сделать, так как в конечном покрытии найдется шар минимального
радиуса.
По доказанному вспомогательному утверждению получаем, что
в первом шаре функция г^х) — константа. Но тогда в центре х,
следующего шара опять достигается максимум С - и(х0) = (/xj,
поэтому и в этом шаре функция и(х) постоянна. Продолжая этот
253
процесс, мы за конечное число шагов достигнем последнего шара,
в котором содержится точка х. Получаем, что в произвольной точке
х е D значение функции ц(х) равно й(х0) = С. Следовательно, с
учетом непрерывности и на D функция и(х) = const = и{х0) в D
Для того, чтобы получить утверждение теоремы для минимума,
достаточно рассмотреть функцию -ы(х) (также является гармони-
ческой) и записать следующее равенство-
mm tXx) = - math
xeD	xeD V
Следствие 1, Если в условиях теоремы гармоническая функция
и(х) отлична от тождественной константы в D, то
min < и(х) < max i4£,), vx g D.
33.4.	Теорема о стирании особенности. В следующем пара-
графе мы перейдем к изучению функции Грина задачи Дирихле в
R3, и там будет полезен следующий результат
Теорема 3 (о стирании особенности). Пусть D - область в R",
точка х0 с D. Если функция и(х) является гармонической в облас-
ти D \ {х0}, причем и(х) - о(Е (х - х0)), х -> х0, где Е (х) - фун-
даментальное решение ') оператора “-Д” в R”, то н(х) имеет ко-
нечный предел в точке х0, и после доопределения ее по непрерыв-
ности, функция w(x) становится гармонической во всей области D.
Доказательство теоремы 3. Проведем все рассуждения для
т	/ И
случая п-3, когда и(х) = о т—-—-т , х -> х0.
|x-x0|J
Пусть Д; и Д - шары с центрами в точке х0 и радиусами R и е
соответственно, причем с D и c<R. Для произвольного фикси-
рованного А>0 рассмотрим функции м’+ и и»_‘
’) Точнее сказать, локально интегрируемая функция, порождающая регуляр-
ный функционал, который является фундаментальным решением.
254
W±(x) = ±(u(x) - v(x)) +
где v(x) - решение следующей задачи Дирихле:
Av(x) о аеЛ, v(x)^ = (4x)^.
Существование такой функции т(х) будет доказано в конце курса
(конечно без использования этой теоремы).
Для точек х е бй \ В£ выпишем очевидные соотношения:
(	1
Aw±(x) = ±(Ди- Av) + И ------г - A—I - 0,
\ P ~ xo|
в силу того, что каждое слагаемое равно нулю.
Оценим функции w±(x) на границе SBR v области BR\B^.
Для одной поверхности результат очевиден.
W*(*U Ф(*) - Их))|^ + 4^ - = °-
Введем обозначение С = max]v(x)| (С < со, так как vfx) - функция
непрерывная на компакте Вд). Далее, получаем
- ±(<х*> - 'mju+г
Чг кЬ	- дМ - Gr 4
Поскольку по условию max|t4x)J =	£ -* +0, то существует
е0 (0 < е0 < R) такое, что для любого положительного в < ес
выполняется неравенство тах]и(х)] < —, то есть
к f к Л
Таким образом, при фиксированном к>0 д ля произвольного поло-
255
жительного е <
mini к
Т°’2(^К+С)‘
= Е, выполняется условие
Из принципа максимума (в данном случае минимума) для
функций, гармонических в ограниченной области (в данном случае
Д?' Д )> получаем, что для всех положительных значений е < с,
выполняется неравенство
iv±(x)>0 3fi£\B£
или, что тоже самое,
й'{х)>0а6я\{хс}.
Таким образом, пришли к тому, что
+(и(х)-1(х))Цj—1—xe5\{xj,
то есть
|Ux) - '(ргд “ х е 'W •
Фиксируя произвольную точку X G 6Я \{х0] и устремляя к к нулю,
получаем, что u(x)=v(x) в Вд\{х0]. Теперь доопределение функ-
ции и(х) в хо очевидно:
<Х*о) = И*о)

Замечание 3 Это доказательство без труда обобщается на слу-
чай R", используя вид функций [ (х), приведенный в §28,
§34. Функция Грина задачи Дирихле. Симметричность
функции Грина. Решение задачи Дирихле с помощью
функции Грина
34.1. Определение функции Грина. Перейдем теперь к изуче-
нию задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в R3.
256
Определение I. Пусть D — область в R3. Функцией Грина зада-
чи Дирихле (оператора Лапласа) для этой области называется
функция G(x,E,), определенная для любых X еО и еО, £ х,
принадлежащая при каждом фиксированном х из Г классу
c3(d \{x))^C4(D\{х}) по переменной Е, и удовлетворяющая
следующим требованиям:
2) Д5С(хЛ) = О, £ gD\{x};
1	( 1 А
3) ад = *п-------д + 0
4л|х-£| \|х-ф
при £ X .
Замечание 1. Обратим внимание на то, что х здесь выступает в
роли параметра.
Введем функцию g(x, :
fl(x,U = G(x,U--
4n]x-q
Для фиксированного х е D эта функция принадлежит классу
'W)^4(D'W) и является гармонической в области
D \ {х} по переменной как разность двух функций, обладающих
этими свойствами. При £ -> х функция <Хх,^) = о|т—^—J Сле-
довательно, по теореме о стирании особенности </х, Е,) имеет пре-
дел при £ -> X и после доопределения по непрерывности в точке
Е, = х становится гармонической по Е, во всей области D
Таким образом условия 2 и 3 эквивалентны условию
1
2’) G(x,Ej) =	+ д(хД), где при каждом фиксированном
X е D функция </х, £,) является гармонической в области D функ
цией переменной Е, из класса Ц(О)
Следовательно, построение функции Грина эквивалентно реше-
9 В. Уроев
257
нию задач Дирихле
д(х, Е) е C*(D) n C^D),	(34 I)
Д^хЛ)=О,^ еО,	(34.2)
^U = -4^	Р«>
для каждого х с D
34.2.	Физический смысл функции Грина. Пусть граница dD
области D — заземленная электропроводящая поверхность, в точке
X е D расположен единичный электрический заряд. Тогда G(x,£)
есть значение потенциала, индуцированного в точке Е, е D (см.
рис 17).
Это дает возможность использовать для построения функций
Грина для областей со свойствами симметрии метод отражения,
известный из курса общей физики.
Пример 1. Найти функцию Грина для полупространства
D- {х • X3 > о}
Решение. Симметричной к точке x = (x1,xz,x3j относительно
плоскости dD - (х: х3 - 0| является точка X = (х1, Xz,-X3j. Бу-
дем искать функцию Грина в следующем виде
258
что соответствует помещению в точку X воображаемого заряда Q
(см. рис. 18). Постоянную Q найдем из условия G(x,£)|ieaD = О,
которое, как легко видеть, выполняется при Q--1. Следователь-
но,
кГ
4л|х-£| 4л|х-£]
Итак, построена функция Грина для полупространства. Отметим
интересное свойство полученной функции - симметричность
G(x,y = G&x)
Этот пример получит дальнейшее развитие в конце параграфа.
34.3.	Свойства функции Грина. Естественно возникает вопрос
о существовании, единственности и симметричности функции
Грина.
Теорема 1. Пусть D - ограниченная область в R3 с такой доста-
точно гладкой границей dD, что можно определить правильную
нормальную производную на dD (см §19) Тогда
1)	существует и притом единственная функция Грина G(x,E,)
для области D;
2)	функция G(x,E,) имеет на границе dD области D правиль-
ную нормальную производную------G(x,£), (х,£) е D х dD\
Sf\
3)	функция G(x, £) является симметричной:
Gfx,^) = G(£,x) для х ё eD, х * £;
4)	функция G(x, является непрерывной на множестве
М = {(х, у . х g О, е D, X *	.
Доказательство теоремы 1
1)Для доказательства существования и единственности вос-
пользуемся тем фактом, что построение функции Грина эквива-
лентно решению для каждого х g D внутренней задачи Дирихле
1
(34.1),(34.2),(34.3). Заметим, что функция	входящая в
граничное условие, является непрерывной по £ на dD для всех
259
X & D. Следовательно, решения этих задач Дирихле существуют
(этот факт будет доказан в завершение курса в §47). Единствен-
ность же функции Грина следует из единственности решения
внутренней задачи Дирихле, доказанной в §23.
2)	Факт существования правильной нормальной производной
оставим без доказательства (см. [7]).
3)	Вопрос о симметричности является содержательным, так как
на функцию Грина по переменной х никаких ограничений не на-
кладывалось Пусть х( и х2 - произвольные внутренние точки об-
ласти D, х, * х2. Рассмотрим две функции переменной
№) = Ф,Л)и ВД) = С(х,Л).
Пусть и В2 - непересекающиеся шары с центрами в точках х1 и
х2 соответственно, лежащие вместе со своими замыканиями внутри
области D. Учтем, что функции f и/j являются гармоническими в
области О\ (В, о в,). и воспользуемся второй формулой Грина
для этой области, разбив интеграл по поверхности на три (по
dD, dBf ё дВ;,)
О JJJ( 4(уд«0 - 4(^)Д4(4))^
(ff г t ^4^ и Г(Г f f ^41
= I 4-- ft — ds+ II 4-- ft — cfc+
"12 an ' дп) M гдп 1 дп)
Cv	CO)
(з4-4)
JJ\ dn dnJ
где л - внешняя единичная нормаль по отношению к области
D \ (Д о fiQ. Интеграл по dD равен нулю, так как
MOL =	= 0 и «еЯао =	= О. Далее вое-
пользуемся теоремой 2 из §32 для функций/i и/?:
«Ч) = - ff	+ Д<Э(*г.Э^ЙЦ =
“	» а^
260
аналогично
4(х.)=Пг2|<й^,|Л
Здесь учтено, что - внешняя нормаль по отношению к шарам Bi
к Вг, а п - внутренняя. Объединяя эти выражения с равенством
(34.4), получаем
О — ^(х,) — ^(х2) = G(x2, xt) — G(x,,x2) .
4)	Непрерывность является следствием симметричности. Дей-
ствительно, пусть (х0,£,0) и (х,£) принадлежатМ, тогда
'G(x,0 - G(x0,So)] < |G(x,0 - G(x,£0)] + jG(x,^0) - G(xfl>^)| =
= |G(x. О - G(x, £0)] + |G(^0, x) - G(U x0)].
Остается устремить (x.f,) к (х01£,0) и учесть, что по определению
функция G(x,£) непрерывна по переменной Получим
|G(x^)- G(x0,^0)| -> О при (х,0 -> (х0Л0)
Замечание 2. Для изучения свойств функций Грина для неогра-
ниченных областей необходим более тонкий анализ
34.4. Использование функции Грина для решения задачи
Дирихле. Перейдем к обсуждению главного вопроса - целесооб-
разности построения функции Грина.
Теорема 2. Пусть D - ограниченная область в R3 с достаточно
гладкой границей dD, G(x,£) - функция Грина для D,
l/0(x) eC(dD) и f(x)eC(D) r\ L2(D) - заданные функции. Если
решение п(х) внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона
&tj(x) = Дх), х е D	(34.5)
с граничными условиями
1<Х)}Ю - 1/0(х)	(34.6)
существует в классе С2(о) п Цо), причем и(х) имеет на границе
261
dD области D правильную нормальную производную ---------, то
справедлива следующая формула.
<4х) =	- Jff ftt)G(x,4)^, х е D (34.7)
го	D
Доказательство теоремы 2. При условии существования реше-
ния для него можно воспользоваться теоремой 2 из §32:
ес	х го О1\
-ffp(UG(x,yd;, xeD.
о
Учитывая, что G(x, ^):,cSD - 0, получаем формулу (34.7) 
Замечание 3 Подчеркнем, что сформулированные требования
на функцию fix) не обеспечивают, вообще говоря, существования
решения
Замечание 4 Хотя теорема 2 сформулирована и доказана для
случая ограниченной области , формула (34.7) иногда оказывается
справедливой и для неограниченных областей (при дополнитель-
ных условиях на функции/и ), что иллюстрирует следующий
Пример 2 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в по-
лупространстве D = |х х3 > о}
Аи(х) ~ О, х3 > 0;
/Хх)Ь=о = 4>(х). Чз(х) g С({х х3 = О))
Решение. В примере 1 была построена функция Грина для об-
ласти D
1	1
G(X, =-----;---;----п;
4я|х-^| 4«jx-^|
о	c>G(x,£)
Вычислим производную----------по внешней нормали д к ди.
262
dG(x^) dG(x,E)| = x3 x3
Sf\ e=D Uo 4Hx~tf 4Ф-4|3
Далее, рассмотрим в D функцию и(х), задаваемую формулой
(34.7):
ф<)=т
4лЛ v
1__	1
|х-^ + ]х-^
<^Ч2-
Легко видеть, что в случае, когда функция ц, является, например,
финитной, так построенная функция и(х) является гармонической в
£>, а выполнение граничных условий можно проверить, совершив
предельный переход при х3 -> +0.
§35. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в
шаре (интеграл Пуассона). Преобразование Кельвина
35.1. Функция Грина для шара. Построим функцию Грина для
шара Вя с_ R3 радиуса R с центром в точке О, в которую перене-
сем начало координат
Пусть X* - образ точки х * 0 при инверсии относительно сфе-
ры аВд,тоесть
х* —^Х.Х^О.	(35.1)
И
Замечание 1 Обратным к этому отображению является оно са-
мо:
/ .V Ft . Ft Ft
М =|xf КУИН
Покажем, что для фиксированной точки х * 0 отношение рас-
k"zl
стояний —-р при Е, е dBR равно константе, и найдем эту кон-
станту
263
к - 4=КГкГ -	И=«“+£ - **)£=
Iх! Iх!
следовательно,
к-*1 r „,0 ЕеЯВ
|4-х| “К ‘ 5	’
Поместим в точку х* воображаемый заряд Q, в каждой точке
границы шара Вк “уравновешивающий” поле единичного заряда,
расположенного в точке х:
Отсюда находим
Следовательно, функция Грина G(x,£) для шара/?я при хф О
имеет вид
Q/x £) _ _L __1______&
Доопределим ее для х - 0 по непрерывности:
1 Г 1 R 1
---- i---7 - ГП--—’Т , х 7t О
4л 1х~Ч
Gfx.£) = j	1	1	(35.3)
1 fl
—- гт----> х -- О
4яЩ R)
Построенная функция G(x,^) удовлетворяет всем свойствам
функции Грина:
1)	она тождественно равна нулю при е 8BR\
264
2)	A?G(x,£) = О,
3)	для фиксированного х g BR при Е, -> х
^•ад + ^=4^Ц|хЫ-
функция
35	.2. Интеграл Пуассона. Найдем производную функции
G(x,^), определяемой равенством (35.3), по внешней единичной
£
нормали = — к поверхности dBR шара BR. Для этого зафикси-
R
руем произвольную точку yeR3 и проведем вспомогательные
вычисления:
_а_1 f 1	( t-y (уЛ)-Я8
Чч.,.' 'iwr' »ц->г
Следовательно, для х * О справедлива цепочка равенств
_5_G(xm	_ 1 9	1______R д 1
8п< * 4п 8ъ - *1 4лИ 8% К - х’|
я1 •?(<**>-*- *)
4л/^х -	Fc\	f)
а для х = О
_а_ахЕ)
8п<	" 4" И 4<
Объединяя, получаем
265
^-G(x,0
Применение этой формулы в сочетании с теоремой 2 из §34 да-
ет интегральное представление для функции, гармонической в
шаре.
Теорема 1. Пусть функция ц,(х) непрерывна на сфере
ЙВД - {х : |xj =	. Тогда решение и(х) задачи Дирихле для урав-
нения Лапласа в шаре BR = |х . |х] <
Д<Хх) = 0, X е BR
с граничными условиями
4x)U = tJo(x)
представляется следующим интегралом Пуассона-.
4л/?
Замечание 2. Формула (35.4) получена в предположении, что
решение существует. Однако гармоничность функции, задаваемой
формулой (35.4), внутри шара Вк очевидна, а выполнение краевых
условий можно было бы проверить непосредственным предельным
переходом при |х| -> R- 0
Упражнение 1 Убедитесь, что при Ц,(х) s 1 по формуле (35.4)
получается следующая функция:
(35.4)

R
353. Преобразование Кельвина. Заметим, что функция ы(х),
задаваемая формулой (35.4), является гармонической и вне замы-
кания шара BR, то есть при X г R3 \ Вк или, что то же самое,
X* е BR. Это следует из того, что функция
является
266
гармонической по х в областях R3 \ BR и BR, и лапласиан можно
вносить под знак интеграла из формулы (35 4) по компакту dBR
Пусть v^Z) - функция переменной X*, определенная для х‘ eBR
и задаваемая формулой (35 4). Выразим мх‘ I через функцию и{х} •
*Ч*Т f( W	. 7? ~ *7и2 и3 ГГ <Ш)
™ Д|х--^Г	/?(Д|х-^
_ИИ2-*2 ff ц,ю
R 4-R Дм3
Полученное соотношение дает основания для введения сле-
дующего понятия.
Определение 1. Пусть D и D* - области, симметричные отно-
сительно сферы 5^ - |х: |х| =	’), причем 0 & D и 0 g £>*. Пре-
образованием Кельвина называется отображение, переводящее
произвольную функцию и(х), определенную в области D, в функ-
цию v( Z), определенную на О’ и задаваемую формулой
(35 5)
Свойства такого преобразования устанавливает следующая
Теорема 2. Пусть £) и D' - области, симметричные относитель-
но сферы 5^ = |х : |xj -	7 причем О g D и 0 g О'. Тогда
I) преобразование Кельвина функций, заданных на области О’,
является обратным к преобразованию Кельвина функций, задан-
ных на О;
2) если функция и(х) является гармонической в D, то ее образ
ЧХ*1 при преобразовании Кельвина — гармоническая в D* функ-
') То есть точках принадлежит £> тогда и только тогда, когдах’е£>*
267
ция.
Доказательство теоремы 2
1) Пусть произвольная функция w(x), заданная на D, при преоб-
разовании Кельвина перешла в функцию v^x’j, которая, в свою
очередь, при повторном преобразовании Кельвина перешла в
функцию Ц^(х‘) ) 55 w(x). Тогда из формулы (35.5) вытекает сле-
дующая цепочка равенств:
так как |xj • |х‘| =	~ &
2) Справедливость этого утверждения для случая, когда область
D является шаром с границей dD = 8^, следует из рассуждений,
приведших к введению понятия преобразования Кельвина. Для
произвольной области D необходимы более тонкие соображения
Отметим, что преобразование Кельвина локальное, то есть связано
с поведением функции только в окрестности точки, в которой оно
производится. Кроме того, равенство нулю лапласиана в данной
точке для преобразованной по Кельвину функции формально явля
ется фактом чисто алгебраическим, вытекающим из формул пре-
образования частных производных, которые от вида области никак
не зависят. Следовательно, какова бы ни была форма области £>,
при преобразовании Кельвина образ гармонической в D функции
гармоничен в D' 
Преобразование Кельвина применяется при решении задач Ди
рихле для уравнения Лапласа в неограниченных областях.
Пример I Рассмотрим еще один раз задачу Дирихле для урав-
нения Лапласа в полупространстве D = |х х3 >	:
Дй(х) = О, х3 > О;	(35.6)
= Ч>(*)’ 4>U) е с((х - = °})-	(35 ?)
Для решения этой задачи поступим иначе, чем в примере 2 из §34.
268
Пусть - сфера радиуса Я с центром в точке х0 = (0,0,-R). Про-
ведем преобразование Кельвина относительно этой сферы Для
начала заметим, что
О = BfD2 ~ !х — “2 Хо| < g .
Действительно, пусть х G dD и |xj — С, проверим выполнение
уравнения сферы для х* (см. рис. 19):
я
2,
2
С2/Г 4-^Я6 -^КУ+^С4 _ Я2 ff + 2КУ + С4
(tf+C2)2	“4‘ (tf + C2)2
Таким образом, задача (35 6),(35.7) перейдет в следующую
Д*{х‘) “ 0, х* е D' = Вк2;	(35.8)
- '«и-	<35-9>
Ц) х0 +
где v0(x,)=j—
(х* -х0) , причем функция
)
V0(x*) определена и непрерывна в точке X* - х0 только при усло-
вии существования конечного предела
269
1
lim v0(x’) = - lim|x - х0|ц>(х).
X €0Bfif2	X^—0
(35 10)
Следовательно, если выполнено требование (35 10), то для зада-
чи (35 8),(35.9) можно воспользоваться теоремой I;
Далее остается только совершить обратное преобразование Кель-
вина, чтобы вернуться к исходным функциям. После всех преобра-
зований и упрощений из окончательной формулы для w(x) должен
исчезнуть радиус R, который изначально был выбран произволь-
ным
§36. Регулярность гармонической функции на
бесконечности. Задача Пуассона: единственность
решения, формула Пуассона
36.1. Регулярность гармонической функции. Условие (35 10),
возникшее в примере 1 предыдущего параграфа, является далеко
не случайным
Пусть D — ограниченная область в R3.
Определение 1. Функция п(х), гармоническая в R3 \ D, называ-
ется регулярной (на бесконечности), если выполнены следующие
условия:
и(х) = о(|х)	|vu(x)| = с(|х]~2) при |х| -> со.
Теорема 1. Если на бесконечности гармоническая в R3 \ D
функция и(х) стремится к нулю, то она регулярна
Доказательство теоремы 1. Пусть t/x) —> 0. Произведем пре-
образование Кельвина относительно сферы единичного радиуса:
270
х	II/ \	х“-»о
Тогда х* ~ j-p —> 0, а следовательно, |х jv|xj = и(х) -> 0, то
есть
при х* -> 0. Поэтому по теореме о стирании
особенности из §33 функцию v^x' j можно доопределить в нуле по
непрерывности, после чего она станет гармонической в окрестно-
сти х’ = О. Следовательно, существует проколотая окрестность U
точки X* - 0 и постоянные Ci и Сг такие, что
Произведем повторное преобразование Кельвина, которое пере-
ведет функцию v^x") в исходную функцию w(x). Тогда
Ux)=='
...	8и(х)	„„
1 еперь оценим частные производные -р, j = 1,2,3 в окрест-
ности х — со ( х е С*):
8и(х') _ д_____1 ( х 1
дх‘	дх1 |jxj \|х]21
*\ла 1 f е [х'
И4 ' И « «(«•)'
ЧПГ & |х-х’П с, 9С,
а(х-)' । W2 W*) ~ И2 И’ ’
где 5,J = Sj; =
. - 8-символ Кронекера. Следовательно,
для модуля градиента и(х) в окрестности х = со справедливо нера-
венство
271
1 4	и2
27C2
И3 ’
то есть
|V£Xx)] = o(|xr2), |х|-*«>.

36.2. Задача Пуассона формулируется следующим образом.
для данной непрерывной в R3 функции fix) найти функцию л(х) из
класса C2(Rs), стремящуюся к нулю на бесконечности и удовле-
творяющую в R3 уравнению
-Дфф=Г(х).	(36.1)
Изучим вопросы существования и единственности решения
этой задачи.
Теорема 2. Если решение задачи Пуассона существует, то оно
единственно.
Доказательство теоремы 2. Пусть ц(х) и и2(х) - два решения
задачи Пуассона (36.1). Тогда их разность и(х) - ц(х)-и2(х) -
гармоническая в R3 функция, причем й(х) -* О при |xj -> <ю. Рас-
смотрим шары Вг и Вк с центрами в начале координат и радиусами
г и R соответственно, R>r. Воспользуемся для функции й(х) и
шара Вк принципом максимума:
max]D(x)| < max[u(x)| < max Л(х)|.
хеЦ.	хеЕ^	xtcfip
Сделаем предельный переход при R-> <х>:
f^u(x)]<ma<|D(x)j -> О
xeq.	xeStfe
Следовательно, и(х) = 0 в Вг, что в силу произвольности радиуса г
означает равенство ц(х) = и2(х) в R3 
Следствие 1, Единственной гармонической во всем пространст-
ве и регулярной на бесконечности функцией является функция,
тождественная нулю.
Теорема 3. Пусть fix) — финитная функция из класса C2(R3).
Тогда задача Пуассона разрешима, причем решение представляет-
272
ся следующей формулой:
<36-2>
4л J" |х -
Доказательство теоремы 3.
1)	Приведем рассуждения, из которых получается представле-
ние (36.2). В предположении, что решение задачи Пуассона суще-
ствует, для негр можно воспользоваться интегральным представ-
лением (32.3), выбрав в качестве области D шар Вц с центром в
нуле и радиусом R:
4п J"|x-5|
- X ff	<40-2—L_ ds
Найдем порядки убывания при |^| -> « некоторых подынтеграль-
ных функции, пользуясь регулярностью на бесконечности функ-
ции гДх) (Дх) - финитная, поэтому iz(x) в некоторой окрестности
бесконечности является гармонической и по условию стремится к
нулю):
1 ад 1 а 1	1 о 1С1
i---при ^=£1-*°°
****
ds, <-^4nF^ -> О,
Гх
Остается сделать предельный переход при f?~> со и учесть, что
rr[ ’	1
где С — постоянная, а неравенство справедливо для достаточно
больших R.
Отметим еще раз, что выражение, стоящее справа в формуле
(36.2), является объемным потенциалом с плотностью/.
2)	Заметим, что из единственности представления (36.2) также
следует единственность решения задачи Пуассона, но для функций
fix) из более узкого класса, чем в доказанной выше теореме 2
3)	Сложнее доказать, что решение поставленной задачи сущест-
вует. Сделаем это непосредственной проверкой всех условий для
273
функции w(x), задаваемой формулой (36.2)
Стремление iz(x) на бесконечности к нулю очевидным образом
следует из ограниченности и финитноети функцииДх).-
|{Xx)]<-1mes(suppf) sup ffc). sup	О ')
Далее, перепишем формулу (36.2), пользуясь симметричностью
свертки:
Интеграл, стоящий справа в этом равенстве можно два раза диф-
ференцировать по параметру, внося знак дифференцирования под
знак интеграла. Действительно, существует число /% > О такое,
что suppf с = |х. |xj <	. Выберем произвольную точку
Хо е R3. Тогда для х из достаточно малой окрестности V точи х0
интегрирование сводится к интегрированию по компакту
М - {Ji, : |Е,[ < 2/% + [х0||. Остается перейти в сферические коор-
динаты
и(х) = у- JJJ f(x- ^(r,(p,0))ranficfr-dpc6
4^ м
Теперь подынтегральная функция дважды непрерывно дифферен-
цируема по х в U х М.
Итак, функция и(х), задаваемая формулой (36.2), принадлежит
классу C2(R3), и
Мх)=i	а- '(х -	Л<,(х -	
Пусть BR = {х : |х| < и Й - |х . |xj < е| - шары, R> е . Тогда
Дц(х) можно представить как следующий предел:
*) mesD - мера множества D
274
Мх) = lim fffД л f(x - tjct
ПР<*-«дьН+
471	pl
А—«х-а-«х-э—A
Интеграл по границе ЭВД равен нулю для достаточно больших
радиусов R, поскольку функция/- финитная. Интеграл по области
—	1
вя\Ц также равен нулю, так как функция - гармоническая
Далее преобразуем оставшийся интеграл по 0Ве, учитывая, что на
сфере 0В.П£- |?|. й-Е.0П;Н-еа
,(х -я-?'<х-
свс '« Ч	*
Необходимый результат получаем, воспользовавшись теоремой о
среднем:
дцх) = -J- lim] -~ Дх - ^£) - Л f<* ~ U |4*s2 = - fM,
4л дп.	Е	)
где точка лежит на сфере дВг 
Замечание 1. Теорема 3 справедлива для правой части из более
широкого класса функций. Именно, достаточно только непрерыв-
ности функции/х), а вместо финитности - следующее требование
па скорость убывания на бесконечности.
Дх) = 0(|х]“2'8у |х|->«о
при каком-нибудь положительном ё.
Замечание 2 С точки зрения теории обобщенных функции тео-
рема 3 является следствием теоремы 1 §28.
275
§37. Собственные функции оператора Лапласа-
Бельтрами на двумерной сфере (сферические функции)
1.	Симметричность и неотрицательная определенность опе-
ратора Лапласа-Бельтрами. Целью данного параграфа является
построение сферических и шаровых функций, которые использу-
ются при решении краевых задач для уравнения Лапласа в облас-
тях, обладающих сферической симметрией, например, в шаровом
слое \ В^ -	< |х) < F^| с R3.
Перейдем в сферические координаты и рассмотрим дифферен-
циальный оператор Лапласа-Бельтрами
* . JL±f -	____1___?
*e* эпеж аЛ sn2ea<p2*
Ф е[0;2я], 0 е[О;л],
действующий на функции, заданные и дважды непрерывно диффе-
ренцируемые на единичной сфере S2
Теорема 1 Оператор Лапласа-Бельтрами симметричен и неот-
рицательно определен.
Доказательство теоремы 1 Рассмотрим две произвольные
функции Цф.О) и Цф,6) из класса C2(S?j. Доопределим их на
шаровом слое D = {(г,ф,0) 1 < г < 2, (ф,6) е
£/(Г,ф,6) = Ц(ф,6), v^r, ф,в) — Цф,в)
Для доказательства теоремы надо установить следующее
О ||Д„в1/-Гс&= fluids;
2) ~ fjA,eu vds>0
s'
Здесь ds = япОфсА)
Сделаем вспомогательные выкладки, учтя, что функции
v(r, ф,0) и и{г, ф,6) не зависят от радиуса г
JJJvAuotx = J J jf-у—fг2 — uj + A^ujvr2 sinedrdpdS -
D	1 OCTf \	' Г	'
276
(2 V л
= f	- Ы1 J[w^efxfc| = fJvA^uds
too	M J\g	<?
1) Докажем теперь симметричность, используя вторую формулу
Грина;
Jf Афви- vds- JJuA^pWfc = JJJau• vdx - jjJuAvdx =
S5	&	D	D
2) Для доказательства неотрицательной определенности вос-
пользуемся первой формулой Грина для функций V и V
~ JfA^.Vds=-JffAv^= ff^vds=
S'	D	D	bdcu
= fff|Vvfdx>°.
о

Доказанная теорема в сочетании с результатами §19 приводит к
следующему утверждению
Следствие 1, Собственные значения оператора Лапласа-
Бельтрами неотрицательны. Собственные функции, отвечающие
различным собственным значениям, ортогональны.
37.2.	Собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами.
Найдем теперь собственные функции V£(cp,0) е C^S2) оператора
“Ае”
~АФЛ(ф.О) = *2К(ф.в)
Произведем разделение переменных, то есть будем искать собст-
венные функции вцда Х(ф> 6) = Ф(ф)^(0);
-’о	=^е)ф<<р)
япбаЭх ад / яп 6 ар
Из гладкости функции YK(<p, 0) следует, что Z(G) е C2[Q л] и
277
ФМеС2^), где S1 - единичная окружность (то есть
Ф(ф) е С2[0;2л] и Ф(Я)(0) = Ф№(2л), к = 0,1,2).
Далее потребуем, чтобы функция Ф((р) была собственной для
d2 ,
оператора “ -	” В §20 было показано, что такими функциями
являются Ф„(<р), п € Z :
причем
ф„(ф) =
cosntp, п>0
sn|4p, п<0’
--ТГФ"(Ф) = «2фп(Ф)
Таким образом, приходим к следующему уравнению:
_1__d
sn© d9
Де)]
n2Z(0)
sin2©
= X2Z(6)
(37 1)
Из всех решений этого уравнения интерес представляют лишь
функции из класса A/2[Q л].
Лемма 1. Для фиксированных н и А не может быть более одного
линейно независимого решения уравнения (37.1) из класса
Я’[0; я]
Доказательство леммы 1 Запишем формулу Лиувилля для оп-
ределителя Вронского Щ0) двух решений Z,(0) и Z2(0) обыкно-
венного дифференциального уравнения (37 I):
И46) = Z'(G) Z(6) = ехр[~
М») Z2V’)	V *!2 J 9пе
Для линейно независимых решений И^л/2) ф 0, следовательно,
вронскиан 1/Ц0) неограничен в окрестности точек 0 - 0 и 0 - л,
что невозможно в случае, когда обе функции Z, (G) и Z2(0) непре-
рывны на отрезке [0; л] вместе со своими производными первого
порядка 
Сделаем часто применяющуюся при работе в сферических ко-
ординатах замену переменных: t = COS0, t	Тогда опера-
278
тор дифференцирования по 0 преобразуется следующим образом
с/	с/
—• = - sn6 — •. Вводя обозначение Zfe(f)) - X(f), получаем на
Угг	*	*
функцию X(f) уравнение
4[-an20(f)-4^)1
at\	dt )
' ,, Х(0 = A2X(t)
ап2 0(0
или
(1 - Н£*<0 - 2t~X(t) + (а2 -= О. (37.2)
Лемма 2. Нетривиальное решение X(f) уравнения (37.2), удов-
летворяющее условию Z(0) = X(COS0) e C’lQnJ, является либо
четной функцией (когда Х(0) + 0), либо нечетной функцией (ко-
гда Х(0) - 0).
Доказательство леммы 2. Заметим, что уравнение (37.2) инва-
риантно относительно замены t на -t, следовательно, функция
Х(-7) так же является решением этого уравнения. И из леммы 1
получаем, что Х(0 = ccX(-f), где а - постоянная.
Если Х(0) 0, то Х(0) ~ аХ(0) * 0, то есть а = 1.
Если Х(0) = 0, то Х'(О) Ф О, так как функция X(t) отлична оз
тождественного нуля Следовательно, Х(0) = -аХ7(0) * 0, откуда
получаем, что а = -1 
Эта лемма позволяет обсудить взаимосвязь чисел п и А.
Утверждение 1. Если для данных и и X существует нетривиаль-
ное решение Х(?) уравнения (37.2), удовлетворяющее условию
Z(0) « X(COS0) е C1[Q л], то выполняется неравенство г?<7?.
Доказательство утверждения 1. Допустим противное: для дан-
ных п и А существует нетривиальное решение X(f) уравнения
(37.2), причем Z(0) -- X(COS0) е C^Q л] и Тогда из равен-
ства X’1 (0) - (п2 - А2)Х(0) следует, что вторая производная Xй(О)
имеет тот же знак, что и Х(0). Далее рассмотрим два случая.
279
1)	Х£0) = О. Тогда Х'(0) О, и следовательно, существует
число £ с(0;1) такое, что Х(с)Х (с) > 0.
2)	Х(0) Ф 0. Тогда согласно лемме 2 функция Х(/) является
четной, поэтому точка t = 0 является либо точкой минимума при
Х(0)>0 (Xf/(0)>0), либо точкой максимума при Х(0) < 0
(Х;/(0) < 0). Следовательно, в этом случае также существует
е е (0/1) такое, что Х(е)Х'(е) > 0.
Итак, Х(б)Х (е) > 0, но Из уравнения (372) вытекает, что
Х(1) = 0, иначе производная Х(1) обращалась бы в бесконеч-
ность (л2 > X2 > 0, то есть л2 / 0). Следовательно, на интервале
(е,1) есть точка t0 максимума (рис 20(a)) или минимума (рис.
20(6)), в которой X(t0)X"(t0) < 0, что невозможно в силу уравне-
ния (37 2).
cP n2-X2(l-f2)
^X<W = —
а (1 - <»)
так как по предположению л2 - X2(l - f2j > л2 - X2 > 0 
Естественно задаться вопросом, существует ли при данных п и
X (л2 <Х2) нетривиальное решение уравнения (37 1) из класса
функций А/2(0; л]. Без доказательства приведем следующий ре-
зультат; уравнение (37 I) имеет такое решение только при сле-
дующих значениях параметра X.
280
X2 = X2 -к{к + 1), к t N и {0}
Из утверждения 1 следует, что кратность собственного значе-
ния X2 равна 2£+1. Действительно, при данном значении X2 = X2
параметр п должен удовлетворять неравенству л2 < к{к +1), то
есть п = -к,„.,-1.0.1 . к - всего 2£+1 линейно независимых
функций Ф„(ф).
Выпишем ограниченные решения уравнения (37.2). При каждом
значении пары параметров (х2,п) получаем свою функцию X*(f),
однако при фиксированном и для всех значений параметра
X2 = к(к +1) > л2 справедлива общая формула для вычисления
этой функции.
При п = 0 уравнение (37.2) выглядит следующим образом:
_г
(1 - (2)-^Х?(П - 2f^(t) + к(к + 1)ХД0 = 0.	(37.3)
'	' dt	dt
Утверждение 2. Ограниченным частным решением уравнения
(37.3) является полином Лежандра степени к;
=	(37.4)
2k'
Замечание 1. Коэффициент '^^2 ПРИ старшей степени t вы-
бран так, чтобы выполнялось условие Рк(Л) - 1.
Замечание 2. Полиномы Лежандра Pk(t) получаются также в
результате ортогонализации системы функций о с нормиров-
кой, указанной в замечании 1.
Утверждение 3, Ограниченным частным решением уравнения
(37.2) для X2 = к{к +1), 0 < П < к является присоединенная функ-
ция Лежандра порядка к:
K(t) = W = (1 -12/2 ~	-	(37.5)
В справедливости этих утверждений легко убедиться непосред-
ственной подстановкой.
281
Для наглядности выпишем некоторые полиномы Лежандра
Рк (0 и присоединенные функции Лежандра F£(t)
для п = О: F^(t) = Pk(t), в частности,
^(0 = 1,
P?(t) ~t = cose,
^(0 Ц(»2 -1) = (3cos20 +1),
^(0 = ^(5f3 - 3t) = ^(5cos36 + 3cose):
для П — 1: Pk(t) = Vi - f2 — Pk(t), в частности,
dt
^(0 = Vi-f2 =sne,
282
F*(t) = 3/Vl -t2 |sn2G,
<2
для П- 2: Ff(t) = 0~'W.(o , в частности,
/*(/) = 3(l-f) = |(1-cos20)
Итог подводят следующие определение и теорема.
Определение ]. Функции Х”(ф. 6) следующего вида.
W) =
/^(cosSJcosncp, п>0
^(COS6)si^(p, П<0
(37 6)
neZ, kcNu{0}, |nj<fc
называются сферическими функциями.
Теорема 2. Сферические функции ^(ф,6) являются собствен
ными функциями дифференциального оператора Лапласа-
Бельтрами, отвечающими собственным значениям X2. - k(k +1)
соответственно. Кратность X* равна 2 £+1.
Обсудим теперь некоторые свойства полиномов Лежандра,
присоединенных функций Лежандра и сферических функций.
Теорема 3, При фиксированном п > 0 присоединенные функ
ции Лежандра или полиномы Лежандра F£(t) (k = п л +1 3
ортогональны на отрезке [-1;1].
Доказательство теоремы 3. Согласно следствию 1 сферические
функции, отвечающие различным собственным значениям, орто-
гональны на единичной сфере №. Следовательно, для к> Л и
к > п, к* к справедливо равенство
откуда
2л	R
| cos2 ncpdp | F£(co5Q)F% (cosB) s n 0d) = 0
о	0
Производя замену переменных t = cos6, получаем
283
SFMW)dt = Q.
1

Вообще справедлива формула
fefflflw-jrL2,6**' при к./,1 ini о.
_*	*	(к-п)!2к + 1
Можно доказать, что присоединенные функции Лежандра или
полиномы Лежандра при фиксированном п > О образуют полную
ортогональную систему	в L2(“t1) - Как следствие, сфе-
рические функции образуют полную ортогональную систем}
{ХГ\ <0 в ^г(^) (ортогональность сферических функций с
разными п следует из ортогональности системы функций
{ФДФЙХ— на окружности S4).
Каждая функция lX<p,6) е ^(S2) может быть разложена по
сферическим функциям в ряд Фурье
со к
H)n=-k
где
(	2 Y1
ff(K) cfc JpATcfc - коэффициенты Фурье.
W / &
37.3.	Шаровые функции. Найдем гармонические в области
R3 \ {0} функции вида	.
о=4W)-
Получаем на функцию f^(r) уравнение
ИЛИ
гг 7F я<г>+ъ w к{к+1)f4(r)=0
Это уравнение Эйлера и его частными решениями являются функ-
284
ции^(г) = г*и ^2(г) = Г*’
4
Определение 2 Функции вида г*\£'(ф,()) и к<1 ^(ф>^) назы-
ваются шаровыми функциями.
Обратим внимание на доказанное свойство шаровых функций.
1
Утверждение 4. Шаровые функции	являются гар-
моническими в R3 \ {0}, a г*\£’(ф,О) — во всем R3
1
Более того, функции ~7-тХГ(ф,6) являются регулярными на
бесконечности
Теперь можно обсудить применение построенных сферических
и гармонических функций при решении краевых задач для уравне-
ния Лапласа.
а)	В шаре. Найдем гармоническую в шаре Вк (r<R) функцию
(/Г.ф.б), непрерывно дифференцируемую в Вд и удовлетворяю-
щую граничным условиям
(	пд
СШ + В-U
\ дг >
Для этого разложим функцию Ц>(ф,6) в ряд Фурье по сфериче-
ским функциям:
ц>(ч>.в)~Ё1:в*хг(Ф.в)-
к=Оп=-К
Тогда решение </г,ф,6) можно пытаться формально построить в
виде суммы ряда
цг,Ф.е)-^^АпгхГ(Ф.е),
К=ОЛ=-*
где коэффициенты находятся из условий
A"(aR* + pktf1) = а;
(требуем почленное выполнение граничных условий), то есть
= а2 + р2 > О
r=R
(37.7)
(37.8)
285
*=о аг< +рк\ги я=_к
Сходимость и дифференцируемость такого ряда в общем случае
мы обсуждать не будем (такой вопрос представляет интерес лишь
при необходимости доказательства существования решения по-
ставленной задачи, что будет сделано в конце курса для широкого
класса областей).
б)	Вне замыкания шара. Найдем теперь гармоническую вне за-
мыкания шара Вя (f>R) функцию (/г, ip,O), ре[улярную на беско-
нечности, непрерывно дифференцируемую в R3 \ BR и удовлетво-
ряющую граничным условиям (37.7) Для этого опять разложим
функцию Ц)(Ч>, 6) в РаД (37.8). Тогда с учетом условия регулярно-
сти решение (/г,ф,6) можно пытаться строить в виде суммы ряда
<Хг,ч>.в)-£х A"^-Vto.e).
*=0п=-* г
Здесь коэффициенты находятся из условий
Следовательно,
<о	D (Ef\K+1 *
в)	В шаровом слое Найдем гармоническую в шаровом слое
В^\£^	функцию и(г,ф,0), непрерывно дифференци-
руемую в \ 8^ и удовлетворяющую граничным условиям
Для чего разложим функции Ц(<р,6) и ц(ф,0) в ряды Фурье по
сферическим функциям:
286
ц«,е> - £ Z <V<4>.e).	~ ЁI W(v.e).
k=0n=-*	*=On=-k
и построим формальное решение в виде суммы ряда
<Хг,ч>.в) - Ё £(+ -frl W.6)
k=on=-fck '	7
Пара коэффициентов	найдется из системы уравнений

Sr-(*+<)-&
Проиллюстрируем эти соображения простыми примерами.
Пример 1. Найти гармоническую вне замыкания шара
функцию <Хг,ф,6)
Ди = О, г > R,
регулярную на бесконечности, непрерывно дифференцируемую в
R3 \ бл и удовлетворяющую граничным условиям
л А
*+в)
д '
и----и
дг >
= ЯП0СО^— sin '
2 '
Решение. Заметим, что функция sinl ф + — I является собствен-
\	67
ной функцией оператора “----j-”, отвечающей собственному зна-
.	,6
чению л =1. Следовательно, функцию sin©COS. — надо раскла-
дывать в ряд по системе | г* (COSH)J
6 1	11
sine cos?— - — sn6(1 + cos0) = — sn6 + — ап2Э -
= - f?1(cos6) +—f^(cosO).
2	6
287
ф+6^
о(г,Ф.е) -
Как результат, решение следует искать в виде
sr^
Для постоянных Л и В из граничных условий получаем уравнения
А 2Д_1_6 ЗВ_1
+ Я3 " 2’ Я5 + Я4 ~б’
Я3	Я*
из которых находим, что А------- и В =-------. Следова-
4+2R	18 + 6Я
тельно,
и=(д^яЙ ^(C0SG) + 18T6«® ^<cosG)]ar(<I) + |)’
\ч+ лк\г s	io+опчг/	j \ о/
или
и = [—	I sne + R 1 sn©COS©] siп[ ф + -] .
{4+2R\rJ	6+2Я\г/	) V 6J
Пример 2. Найти гармоническую в шаровом слое \ В, функ-
цию Uf, Ф,6):
Да = О, 1 < г < 2,
непрерывно дифференцируемую в В? \ Ц и удовлетворяющую
граничным условиям
Г	д А ни	1
3u + — uf“ = ц =15sn26cos29, и =ц,=-соб20
к	дг	4
Решение. Прежде всего разложим функции Ц и ц, входящие в
граничные условия, по сферическим функциям:
Ц - —(1 - cos26)(1 + cos2<p) ~ —(1 - соб29)Фо(ф) +
4	4
15
+-д (1 - со820)Ф2(ф) = (-5^(cos6) + 5^(созе))Фо(ф) +
5
+- ^(СО89)Ф2(Ф) = -5tf +	+1 yf,
Ц2 = ^СО520Фо(ф) = Q^icose) - J Pc(cose)K0((p) =
•	'О	I ь	z
288
3	12 0
Далее, будем искать решение в виде суммы соответствующих ша-
ровых функций:
Для постоянных 4 и В(, г 1,2,3 из граничных условий получаем
три линейных системы уравнений:
3Д + 23 = 5
л В/	1
А + — =---
4 2	12
1;
з
СЛ 5
5А = 2
4А‘ + Т
4А+^ = 0
Здесь верхние уравнения в системах соответствуют граничным
условиям при г - 1, а нижние - при Г = 2. Решения этих линей-
ных систем выглядят следующим образом.
21	104	1
-1,вг=2^;А-^.^ = -1б
О
А = -у. в,
Следовательно,
( 16
21
и=------+ —
I 3 2г-
2
Пример 3 Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в пе-
ресечении шара Вц с полупространством:
ди = о, r<R, о<е<^,
с граничными условиями
1^я = ц, = со£?0, о|е_, =0
2
Решение Заметим, что значение функции ц, не зависит от угла
<р, а следовательно, ц, надо раскладывать по полиномам Лежанд-
ра, причем из граничного условия = 0 получаем, что подхо-
2
дят только полиномы Лежандра Pk(t), обращающиеся в ноль при
10 В. Уроев
289
t = COS— — 0. что выполняется для нечетных степеней Л:
к=2/ + 1, / = 0,1,2..
(^и+1 ~ нечетные функции t, Р7. четные). Далее, продолжим
функцию Ц)(0(0) = /2 на отрезок [-1;0] нечетным образом, тогда в
ее разложении по полиномам Лежандра все коэффициенты при
четных полиномах будут равны нулю:
Uq = cos? 6 ~ £ в^Ру +1(cos0)
1=0
Вычислим коэффициенты для £>]
{4l + 3)]t2P^{t)dt
о
47 + 3
22/>1(2/ т 5)?
2 ~4,~3	-if*'
-47-3 cP 2
__	J V | X ’ Z"v " /2т/ и\2/+1-т I _
2=^(2/+ 1)r^-4£	1 } J/=c"
= (-1)'*’2^ТС-(И-2)'
Здесь мы взяли интеграл по частям (необходимое число раз). Пре-
образуем последнее выражение с учетом того, что для произволь-
ного натурального числа р справедливы равенства р! = рЧ(р -1)!!
и 2₽р! = (2р)П '):
а, -(1Г	* + 3	f2! 2V
2141	2^(2/ +1)1 (/-1)!(/ + 2)Г2/
=	4/-тЗ(2/-2)И(2/-3)Н =	,+1 4/ + 3 (2/-3)!! =
2й (/-1)!(/ + 2)!	2+1 (/ + 2)!
') По определению (2р)!! = 2• 4. А2р), (2р+1)!! = 1 - 3 (2р+1)
290
(-1),+1(8/ + 6)(2/ Э)П
'(2/ + 4)И
Если договориться, что (-3)4 =-1 и (-1)4=1, то полученная
формула справедлива и для / = О, 1 (это легко проверить, непо-
средственно вычислив интегралы для 1 = 0 и / = 1) Следователь-
но,
е = ЁМ)“(8/ + 6)(a + 4)i'ip^(cos9)
(ряд, стоящий справа, сходится равномерно и абсолютно на отрез-

ке
так как
{е1 + е>&А-----1)
(2/i 4)Н (2/)(2/ + 2)(2/ + 4) /г
Решение и будем искать в виде ряда
tXr,<p.e) ~ £ Wa+’^+i(cos0),
где коэффициенты находятся из равенств
^2i+i^+* = За+1 •
Итак,
Полученный ряд сходится абсолютно и равномерно при г < R,
О < 6 < —, и для произвольного фиксированного положительного
числа 8 этот ряд, сколь угодно раз почленно продифференциро-
ванный по г и G, сходится абсолютно и равномерно при г < R~ 5,
0<0<л/2.
291
Глава УШ
Теория Фредгольма для интегральных
уравнений
§38. Интегральные уравнения Фредгольма второго
рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма
38.1.	Общие определения. Перейдем к изучению интегральных
уравнений Фредгольма второго рода
Пусть М - компакт в Rn, комплекснозначная функция К(х,у)
задана на М х М и принадлежит классу L2(M х М). Введем ин-
тегральный оператор К, действующий на функцию <р(х) е 1-2[М)
по формуле
(Кф)(х)- f*(x.(38.D
м
При этом функция К(х,у) называется ядром интегрального опера-
тора К.
Определение 1. Интегральным уравнением Фредгольма второ-
го рода с ядром К(х,у) называется уравнение вида
<р(х)= fK(x,yW)c?y+ f(x)	(38.2)
м
или, что тоже самое,
(Е-К)ф=Г,	(38.2’)
гдеДх) - заданная на М функция из класса L2(M), Е - тождест-
венный оператор.
Если f(x) = О, то уравнение (38.2) называют однородным.
292
Определение 2. Ядро К(у, х) называется (эрмитово) сопряжен-
ным к К(х,у) и обозначается К'(х,у). Уравнение с ядром К'(х,у)
называется союзным (к уравнению (38.1)).
Интегральный оператор с ядром К'(х,у) обозначим через К*
(пока это просто обозначение, подробнее см. §40).
Определение 3. Пусть функция <р(х) с X2(/W), отличная от тож-
дественного нуля, удовлетворяет однородному интегральному
уравнению Фредгольма второго рода с ядром ХК(х, у):
(Е-ЛК)<р = 0,	(38.3)
где X - комплексное число. Тогда tp(x) называется собственной
функцией интегрального оператора К (или ядра К(х,у)), а X - ха-
рактеристическим числом.
Замечание 1 Функция <р(х) из определения 3 является собст-
венной функцией оператора К в смысле общего определения из
§19, отвечающей собственному значению 1/X (Х/0, так как
<р(х) отлична от тождественного нуля), но в определении 3 мы
отказываемся от нулевых собственных значений.
Замечание 2 Не все операторы вида (38.1) имеют собственные
функции. Рассмотрим, например, компакт М - [а; 6] с R и инте-
гральный оператор Вольтерра
ь
(К<р)(х) = f <р(У)с?И
X
с ядром
(1,а<х<у
0, у<х<Ь
Тогда уравнение (38.3) принимает вид
ь
<p(x) = xjq>(y)dy.
К
Следовательно. <р(х) дифференцируема и фу(х) = -Хср(х), причем
ь
(?(Ь) - X |<p(y)dy = О, откуда получаем, что <р(х) = 0
293
Определение 4, Ядро К(х,у) называется вырожденный, если оно
представимо в виде конечной суммы
= £^(х)л;(И,
7=1
где дДх), hJ(y), j =1,...т - непрерывные на компакте М функ-
ции.
Замечание 3
Каждая из систем функций
И
ИС-
без ограничения общности, может считаться линейно
т-1
независимой Действительно, пусть /?т(у) =	тогда
можно перейти к новым системам функций	j и
l^(X)}>i ’ГДО = 9'(х) +	'
к(х. у) = £ ^(х)/?(у) = £	+ sUx)£ цХ(у) =
= ^д;(х№(У)
При этом, если система функций {ф(х)|^ j линейно независима,
то система {^(x)J "* также будет линейно независимой
38.2.	Уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным
ядром. Опишем алгоритм решения интегральных уравнений с вы-
рожденными ядрами.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода
(Е - ХК)ср = f	(38.4)
с вырожденным ядром ХК(х, у) = A.^gy(x)ftj(y), (х,у) е М х М,
А - комплексное число. Здесь будем предполагать, что
Г(х)еС(М).
294
Обозначив интегралы
f^(y)(p(y)dy = а\ j =
м
приходим к уравнению
т
чМ =	+ ^(*)
(38.5)
В предположении существования решения с помощью простых
преобразований можно получить систему линейных уравнений
относительно т переменных а', а именно:
aJ = J^'(y)4>(yW= {й;(У)[^Еа*9<(^ + f(y)W=
т
*ЕХ	J fWWWdy
*=1 м	м
Вводя обозначения cf/ = |9ХуУ5Чу)с?У' и Р = J ^(У)^(У)с^, по-
м	м
лучаемдля а' систему линейных уравнений
*=i
что в матричной форме записи выглядит следующим образом
где
(38.6)
, E - единичная матрица


Ц"
С
Следующая цепочка равенств доказывает, что, если набор чисел
a’, J = 1,. .т удовлетворяет линейной системе <38.6), то искомое
решение задается формулой (38.5):
,	(385}
ЧК(Х,у)<?(у)СГу = XJ
м	м
Е sj w <и|( ХЕ а"а<и + ™=
295
= 4 Ё	jtiWgAMy + Ё ffj(*) Jf(У)сМ =
м *=1	м	Мм	'
™	( .п>.	А (38.6) "»	(38.5)
= ^Е^/Х) xEd*a +f‘ = х£&(*)а' = <₽(*)-ад
(=1	V к=1	J j=y
Итак, доказано следующее
Утверждение 1 Решение интегрального уравнения (38.4) с вы
рожденным ядром эквивалентно решению системы линейных ал
гебраических уравнений (38.6).
Для однородного союзного уравнения
(Е лК')и-О	(38.73
аналогично получаем, что
v(x) = ^b*MW,
л=1
где коэффициенты Д - |^(у)Я<(у)ф' должны удовлетворять сис-
м
теме уравнений
А» = хЁьДй^(И -д^ау
М м
или
НА Ь„|-(е-х||^|[)=0	(38.8)
Системы (38 6) и (38 8) союзны в смысле определения из ли-
нейной алгебры.
38.3.	Теоремы Фредгольма для линейных систем. Напомним
некоторые сведения из линейной алгебры.
Теорема 1, Пусть D - прямоугольная матрица / х т Рассмот-
рим систему относительно а1,, .а™
и союзную к ней однородную систему относительно	... Ц
296
НА Ар = О	(38.10)
Тогда справедливы следующие утверждения, называемые соответ-
ствующими теоремами Фредгольма:
1)	в случае, если D - квадратная матрица (то есть I = П?) и
||р|| = 0, однородная система (38 9) и союзная к ней система
(38.10) имеют одинаковое количество линейно независимых реше-
ний (или обе не имеют нетривиальных решений);
2)	для разрешимости системы (38.9) необходимо и достаточно,
чтобы правая часть || f была ортогональна любому решению ||Ь;Ц
/ ___
союзной системы (38.9),то есть £	=0;
/=1
3)	(альтернатива Фредгольма) либо система (38 9) разрешима
при любой правой части ||^||, либо союзная однородная система
(38.10) имеет нетривиальные решения
Доказательство теоремы 1.
1)	Первая теорема Фредгольма вытекает из того, что число ли-
нейно независимых решений однородной системы есть разность
числа переменных и ранга матрицы. Действительно, ранги матриц
Dm D равны, и согласно формулировке количества переменныхт
и I также равны.
2)	Уравнение (38.9) описывает следующую ситуацию в I-
мерном пространстве С(: вектор-столбец || fJj| является линейной
комбинацией столбцов матрицы £>, то есть принадлежит линейно-
му многообразию L, натянутому на столбцы этой матрицы. Систе-
ма (38.10), соответственно, описывает всевозможные векторы
перпендикулярные столбцам матрицы £>, то есть эта союзная сис-
тема задает линейное многообразие L* L — ортогональное дополне-
ние ') L в С1. Воспользуемся тем, что в конечномерном случае
') Множество L1 называется ортогональным дополнением линейного много-
образия L в (предгильбертовом пространстве Н, если
L1 = {a aeH, (a,b) = О Vb е L}
297
прямая сумма подпространств £ и L' является всем пространством
С’, поэтому = L. Следовательно, принадлежность вектора-
столбца || f '|| подпространству £ в точности означает, что этот век-
тор перпендикулярен всем векторам из £х, то есть всем решениям
уравнения (38.10).
3)	Третья теорема Фредгольма является прямым следствием
второй 
38.4. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнении.
Вернемся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
В 1903 году для довольно широкого класса интегральных урав-
нений были сформулированы четыре следующих теоремы Фред-
гольма.
Теорема 2 (первая теорема Фредгольма). Однородные союзные
интегральные уравнения (Е лК)<р-0 и (ЕХК’)ф - 0 при
фиксированном значении параметра К е С имеют либо лишь тож-
дественно равные нулю решения, либо одинаковое количество
линейно независимых решений (конечное).
Теорема 3 (вторая теорема Фредгольма). Для разрешимости не-
однородного интегрального уравнения (Е - ХК)<р = f необходимо
и достаточно, чтобы его правая часть/была ортогональна в £2(М)
любому решению у однородного союзного уравнения
(Е-	= 0, то есть p(x)v(*Xfr = O-
м
Теорема 4 (третья теорема Фредгольма, альтернатива Фред-
гольма). Либо неоднородное уравнение (Е - ХК)(р = f разрешимо
при любой правой части f, либо соответствующее однородное
уравнение (Е - ХК)ф - 0 имеет не равные тождественному нулю
решения.
Теорема 5 (четвертая теорема Фредгольма). Множество харак-
теристических чисел интегрального оператора К не более чем
счетно с единственной возможной предельной точкой на беско-
нечности, то есть в произвольном круге |Х] < R содержится конеч-
298
ное число характеристических чисел оператора К.
Доказательство теорем Фредгольма для случая вырожденного
ядра.
I)	Первая теорема Фредгольма для интегрального уравнения с
вырожденным ядром является прямым следствием утверждения 1
и первой теоремы Фредгольма для линейной системы с квадратной
матрицей D- Е- хЦс^Ц.
2)	Для доказательства второй теоремы Фредгольма опять доста-
точно воспользоваться результатами двух предыдущих пунктов и
заметить, что
(Л V) = f f= j f(x)f	ty/(x) j dx -
M	M \ M '
= J ?<*)&(*№ Pbj,
M M	J-1
причем в случае 1 = 0 уравнения (38 7) и (38.8) имеют лишь три-
виальные решения: ч>(х) = 0 и = 0 соответственно
3)	Третья теорема Фредгольма является следствием соответст-
вующей теоремы из предыдущего пункта и того факта, что для
квадратной матрицы D = Е - l||cf/jj однородные системы уравне-
ний = 0 и Ц^ЦО ~ 0 либо обе имеют нетривиальные реше-
ния, либо обе не имеют таковых.
4)	Четвертая теорема Фредгольма для интегрального уравнения
с вырожденным ядром является даже слабым утверждением, а
именно из эквивалентности уравнений (38.4) и (38 6) следует, что
комплексное число X является характеристическим числом опера-
тора К тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет алгебраиче-
скому уравнению степени т
Л((Е-ф'||) = 0.
Так что для вырожденных ядер число характеристических чисел
конечно 
Замечание 4 Приведенное в предыдущем пункте доказательст-
во трех теорем Фредгольма для линейных систем было бы соблаз-
299
нительно непосредственно перенести на интегральные уравнения,
рассматривая в пространстве функций t2(M) линейное многооб-
разие L = Im(E-XK) значений оператора Е 7.К. Но в беско-
нечномерных гильбертовых пространствах не всегда прямая сумма
L и есть все пространство (необходима замкнутость L, что вы-
полняется, например, для компактных операторов К).
Замечание 5 В §40 теоремы Фредгольма будут доказаны в бо-
лее общем случае - для непрерывных ядер.
Пример 1 Решить интегральное уравнение
<p(x) = Xjcos(x+y)<|)(y)t$y+Asinx+В (38 111
о
где А и В - постоянные
Решение. Ядро уравнения (38.11) является вырожденным:
cos(x i у) = cosxcosy-anxsny,
поэтому будем действовать по схеме п.2:
ф(х) = Ха1 cosx - Ха2 sin х + Asinх + В.
Для коэффициентов а1 и а2 справедливы следующие равенства:
а1 = J(Xa1cosy-Xa2siny4- Asnv+ Bj cos уdy- — Ха1.
о	2
а2 = Дха1 cosy- Xa2sny+ Asny+ B^smydy
о
=	Xa2 + —A + 2S
2	2
Итак, решение уравнения (38.11) эквивалентно решению системы
уравнений
a\2-nk) = 0
а2(2 + лХ) = лА + 4В
(38.12)
Найдем характеристические числа X. Для них должны сущест-
вовать нетривиальные решения однородной системы
а1(2-яХ)-0
а2(2 + лХ) = 0
(38.13)
300
Получаем два характеристических числа Л, = 2/п и Х2 - - 2/л
(отметим выполнение четвертой теоремы Фредгольма). При
X = Х( существует только одно линейно независимое решение
системы (38.13), в качестве которого мы выберем
а1 = 1/Х,, а2 = О, то есть <р,(х) = cosx - собственная функция.
Для X = Х2 аналогично получаем а1 =0, а2 -	, <р2(х) - sinx.
Рассмотрим теперь три случая.
1)	Пусть X * X,.Х2, тогда система (38.12) разрешима при любой
правой части и притом единственным образом:
а'=о.аг-5^.
2 + пХ
и, следовательно,
. . (2 + п + Хл)А +48	_
Ф(х) =  --—— --------япх + В.
2+ Хл
2)	Пусть X = Xj, тогда система (38 12) разрешима при любой
правой части, указанного вада, но не единственным образом:
tp(x) = ^А + В^япх + Сcosx+ Asinx+ В,
где С - произвольная постоянная
3)	Пусть Х = Х2, тогда система (38 12) выглядит следующим
образом.
а2 =0
0 = л А + 4В
Необходимым и достаточным условием се разрешимости является
_	71 .
равенство В = - — А, при выполнении которого
4
tp(x) = Csnx-— А
4
Продемонстрируем теперь выполнение теорем Фредгольма.
Однородное союзное уравнение имеет вид
v|/(x) = X jcosfx + У>(уЖ
о
301
Сравнивая его с уравнением (38.11), получаем, что нетривиальные
решения ц/(х) существуют только при X = X, = X, - и
X = Х2 = Х2 = -	, причем для X - X, существует единственное
линейно независимое решение ц/,(х) = cosx, а для X - Х2 -
ц/2(х) = ЭПХ- Следовательно, первая теорема Фредгольма выпол-
няется. Для проверки второй и третей теорем Фредгольма рас-
смотрим опять те же три случая.
1)	Пусть X Z X,, Х2, тогда \/(х) s 0 и, следовательно, уравне-
ние (38.11) должно иметь решение при любой правой части, что
мы и получили.
2)	Пусть X - X,, тогда необходимым и достаточным условием
существования решения уравнения (38.11) является
О = (Дэпх+ В, у,(х)) = |(Дэпх + B)cosxdx = О,
о
то есть для любой правой части вида Дяпх + В должны сущест-
вовать решения. Это так же согласуется с полученными результа-
тами
3)	Дая Л = Х2 аналогично получаем
’’	„
О = (Дэпх+ В,у2(х)) = J(Asnx + B)snxdx = — А + 2В.
о	2
7t
Следовательно, В =----А (сравните с условием, приведенным
4
выше для соответствующего случая).
§39. Интегральные уравнения с малым непрерывным
ядром. Ряд Неймана. Резольвента и резольвентное ядро
39.1. Норма оператора. Для дальнейшего понадобятся очеред-
ные понятия из функционального анализа - норма и резольвента
оператора.
Пусть Е| и £2 - линейные нормированные пространства с нор-
мами Щ и {|«||2 соответственно. И пусть оператор А действует из
302
£i в Е2 Тогда вводят следующие понятия.
Определение 1. Нормой оператора А называется величина, обо-
значаемая ||Л|[ и определяемая формулой
И-
<₽*0
Оператор с конечной нормой называется ограниченным.
Отметим, что для ограниченного оператора А и произвольного
элемента <р е £, выполняется неравенство ||Ар[|2 < ||/^[ • |{<р|1
Пример 1. Если А - оператор умножения на число R, дейст-
вующий из £, в Е\, то = |Aj. В частности, норма тождественного
оператора Е равна единице
Утверждение 1. Если А - линейный оператор, то
1)И= sup ЦАр^;
Вч»|,=1
2) непрерывность А равносильна ограниченности
Доказательство утверждения 1
1) Данное выражение для нормы очевидно эквивалентно опре-
делению.
2) Пусть А — ограниченный линейный оператор Рассмотрим
произвольную последовательность |<рр|
к некоторому элементу <р0 g Е,. Тогда
р , с Ц- сходящуюся В Е|
II ' "	' "112 fl V 	’ "Д|2	11 « II'	’ "111
что и означает непрерывность А.
Обратно. Пусть А - неограниченный линейный оператор, тогда
существует последовательность
арр|)2 > 44₽ 6 N. Рассмотрим новую последовательность
( >»	1 <Р₽
) Vpf > Vp = “I—|Г» котоРая сходится к нулевому элементу при
'	> р=1	П (п
такая, что
Р=1
р э со. Для этой последовательности справедливо неравенство
303
Следовательно, А не является непрерывным, так как для непре-
рывного Л выполнялось бы ||Дфр||2 -» 0 
Утверждение 2. Множество линейных ограниченных операто-
ров, действующих из Е\ в £2, с введенными в нем операциями сло-
жения и умножения на число (см. §1) и нормой (см. определение 1)
является линейным нормированным пространством.
Доказательство утверждения 2. Линейность такого простран-
ства очевидна. Остается доказать выполнение всех свойств нормы
I) |И|Э sup ~0 что равносильно равенству Ар = О
^|О) Hi
для любого ф е , то есть равенству А = О
2) |(Л4 s sup IfYyk = |Xj sup = |X| ||4 для любого
||ф||,	’^{0} ||<4
числа 1
3)Если А\ и Л2 - линейные ограниченные операторы, то для
нормы их суммы можно записать:
|А + А|| = sup |Аф + Аф||2^ sup 1|Аф||2 + sup м2 =
= |АНА||
Во всех трех случаях мы воспользовались выполнением соответст-
вующих свойств для нормы ||»||2 
Перейдем теперь конкретно к интегральному оператору Пусть
М- компакт в Rn, К - интегральный оператор, задаваемый фор-
мулой (38.1), ядро К(х,у) сС(М х Л4)
Утверждение 3. Если рассматривать оператор К, как действую-
щий из С(М) в С(М) '), то он является ограниченным и
') Нормированное пространство С(М) - лилейное пространство, состоящее из
304
W=	)!*<*
Йе
Доказательство утверждения 3. Докажем, что
м
Пусть <р(х) еС(М) , тогда
(39.1)
ИМ™» = max
II Т11С(М) кеМ
|К(х,И<р(у)ф <
м
max
< maxj(p(y)] • max J|K(x, y)]t/K= |]<p||C(M) max
M	M
Поскольку M x M компакт и K(x,y) gC[M x M), to
max [|К(х,у)]ф< oo. и следовательно, ||Z|| < max J[K(x, y^]oy < 00
xdW
M	M
Приведем теперь идею доказательства того, что
y)joy. Для начала заметим, что существует точка
*еМ м
х0 еМ такая, что max JjK(x, y)jdy = J)K(x0, У)]с{и, так как М -
кеМ М	м
компакт, и К(х, у) е С(М х М). Далее рассмотрим последователь-
ность непрерывных функций	С1РСМЯИ1>’,()СЯ
по норме А.2(Л4) к sgnK(x0,y). Тогда
||К|| > J К(х0, У) fp(y)dy. р е N,
м
и выполняя предельный переход р -> оо, получаем
||Kh
м	Х€ м
непрерывных на М функции, в котором введена норма Ц(р§с(М) = suf^?(x)] (метри-
ка, порожденная такой нормой, называется равномерной).
305
39.2. Резольвента оператора. Пусть £| и £2 - линейные норми
рованные пространства над полем С, причем £| - подпространство
Е2 (чаще всего Et ~Ег) И пусть Л - линейный ограниченный one
ратор, отображающий £| в Е2. Рассмотрим уравнение для <р g Е( 
(Е-АА)Ф=/,	(39.2)
где/- некоторый фиксированный элемент из Е2,А - комплексное
число.
Определение 2. Если для данного А еС существует ограни-
ченный обратный оператор (Е-АА) \ то он называется резоль-
вентой оператора А и обозначается Е^;
Ъ=(Е-М)-'.
Утверждение 4. Если для данного А еС существует резоль-
вента /^,то
1) 1/А (при А уО) не является собственным значением опера-
тора А (если А - интегральный оператор, то А не является характе-
ристическим числом);
2) уравнение (39 2) разрешимо и притом единственным обра-
зом:
<P = /V-
Доказателъство утверждения 4.
1) Допустим противное: существует элемент фх -А О такой, что
(Е- АА)фх — О, но тогда как минимум два элемента из £, (0 и <рл )
в результате действия оператора Е-7А переходят в 0. Следова-
тельно, не может существовать обратный оператор (Е — АА)-1 (см.
определение обратного оператора из §1).
2) То, что <р - f является решением уравнения (39.2), следу-
ет из определения F{. Докажем теперь единственность. Пусть ф, и
Ф2 - два решения уравнения (39.2), тогда их разность <р - ф, - ф2
удовлетворяет однородному уравнению
(Е-АА)ф = 0,
откуда с учетом предыдущей части утверждения получаем <р = О.
306
Следовательно, решение единственно 
Построим далее резольвенту для интегрального оператора К
при помощи ряда Неймана.
39.3. Ряд Неймана. Пусть А — оператор умножения на число к,
отображающий линейное (над полем С) нормированное простран-
1
ство в себя. Тогда решением уравнения (39.2) является <р = -——-
1 — лл
(при Хк * 1). Если |XAj < 1, то есть |Х| • ||>4|| < 1 (см. пример 1). то
1
раскладывая дробь-------в сходящийся степенной ряд, получаем
1 - кк
f + kkf + (кк)г f + ...
или
(39.3)
р^О
Другой подход решать уравнение (39.2) — метод последователь
ных приближений:
<Рр = f + >-Афр-1. Р = 1.2. .
Если положить начальное приближение <р0 - f, то получим для
предела Нт <р_ в точности ряд (39 3).
р->со
Перейдем теперь к интегральному оператору К и воспользуемся
этими идеями. Пусть М- компакт в R*1, ядро К(х,у) еС(Л4 х М).
Как и в утверждении 3 будем рассматривать интегральный опера-
тор К, действующий из С(Л4) в С(М). Тогда уравнение
(E-kK)<p=f,	(39.4)
где X еС и f(x) с С(М), необходимо решать в классе непрерыв-
ных на М функций ф(х).
Определение 3. Ряд (39.3) для интегрального оператора А - К,
определяемого формулой (38.1), называется рядом Неймана.
Естественно поставить следующие вопросы.
1)	Сходится ли ряд Неймана и при каких условиях?
2)	Является ли сумма ряда Неймана в случае сходимости реше-
нием уравнения (39.4)?
307
3)	Единственно ли решение уравнения (39.4) в классе С(1И)?
4)	Будет ли сумма ряда Неймана представима как интегральный
оператор?
Последовательно рассмотрим эти вопросы.
1)	Изучим абсолютную и равномерную сходимость функцио-
нального ряда Неймана
(39.5)
рО
членами которого являются непрерывные на Мфункции. Для этого
сделаем следующие оценки;
sMMri'U ₽-ол
Здесь мы воспользовались утверждением 3. Если потребовать,
чтобы
Н  max J[K( х, yftdy < 1	(39.6)
xt м
то с учетом формулы (39.1) ряд (39.5) будет сходиться абсолютно
и равномерно на компакте Л/ к некоторой функции ф(х) е С(М):
<p(x) = ^X,’(K’f)(x).	(39.7)
р=0
Заметим также, что сумма мажорирующего числового ряда
»	II f||
~Й~Тм ’ П0ЭТ°М-У спРавеДливо сле-
дующее неравенство
<ад
2)	Проверим, что формула (39.7) задает решение уравнения
(394):
(Е - ХК)ср -(£ XK)lim(E+ ХК+.. +X₽K₽)f =
= ||гп(Е-ХКХе+^к+  +^pKp}f = Vim(= B = f.
’	П~+<л\	/
308
Здесь мы воспользовались возможностью внести оператор К (в
составе оператора Е- \К ) под знак предела, так как в случае рав-
номерной сходимости функциональной последовательности ее
можно почленно интегрировать.
Итак, при выполнении условия (39.6) формула (39.7) определя-
ет оператор {Е - ХК) 1, обратный к оператору Е- Ъ.К, причем из
неравенства (39.8) вытекает ограниченность (Е - ХК) 1. Следова-
тельно, доказана следующая
Лемма 1. Если выполнено условие (39.6), то интегральный опе-
ратор К с непрерывным ядром К(х,у), действующий из С(М) в
СО
С(М), имеет резольвенту — ^ХРКР, причем
р=о
“ 1-|хММ
3)	Единственность решения уравнения (39.4) при выполнении
условия (39 6) следует из утверждения 4 и леммы I
Приведем также другое доказательство Пусть <р,(х) и <р2(х)
решения уравнения (39.4) Тогда их разность <р(х) = <р,(х) - <р2(х)
удовлетворяет однородному уравнению
ф(х) = Х(Кф)(х)
Следовательно,
IWN K-FU
что противоречит условию (39.6) в случае, когда ||<р||С(М) * 0 •
4)	Резольвента F{ — ?РКР не представима как интегральный
р-0
оператор из-за прису гезвия тождественного оператора Е= К°
(необходим аналог дельта-функции). Однако все остальные сла-
гаемые можно заменить интегральным оператором.
Покажем, что ряд
91,(39 9)
рИ
309
при выполнении условия (39.6) можно рассматривать как инте-
гральный оператор с непрерывным ядром. Для этого сначала убе
димся в том, что все положительные степени оператора К тоже
являются интегральными операторами.
Лемма 2. Оператор Кр, р>2, является интегральным операто-
ром с непрерывным ядром	которое определяется из
рекуррентных соотношений
у) = JК(х, z)Kp 2(z, yjcfe, К0(х, у) = К(х, у),
м
причем
£ИГ’Их.<|И.«-	(39.10)
Доказательство леммы 2 (по индукции). Справедливость лем-
мы доказывают следующие преобразования
(Крф)= jK(x,z)[K₽-V)(z)cte= fK(x,z)[jKp_2(z,y)f(y)dyU =
м	М	ХМ	Z
Л	\
= J jK(x,z)Kp_2(z,y)<fe	]*Кр ,(х, yV(vW
/	м
и
s	 us fiK<x- =1ММо..»>и s
Для р-2 мы воспользовались тем, что К0(х,у) = К(х,у), а для
р>2 эти преобразования обосновывают справедливость шага
индукции 
Рассмотрим на М х М функциональную последовательность
S₽(x,y) = ^l'K,(x,y), р = 1,2
1-0
Если выполнено условие (39.6), то в силу неравенства (39.10) по-
310
следовательность
сходится абсолютно и равномерно на
М х М к некоторой функции Sfx, у) е С(М х М). Следовательно
и последовательность | f(y)Sp(x, у)} сходится равномерно на
М х М, благодаря чему можно совершить предельный переход
под знаком интеграла:
9i,f-= lim^K + XK+...+X₽K₽)f - lim Jsp(x,y)f(y)dy=
= j I irn Sp(x, у) f(y)dy= JS[x,y)f(y)dy
M
Следовательно, оператор 91, является интегральным с непрерыв
ным ядром 8[х, у) = £ Х₽Кр(х, у)
р=С
Определение 4. Оператор 91, называется интегральной резоль
вентойядра	а его ядро S(x, у) - резольвентным ядром
Именно такая терминология принята в работе с интегральными
уравнениями.
Результаты этого параграфа можно сформулировать в виде еле
дующей теоремы.
Теорема 1, Пусть К - интегральный оператор с непрерывным
ядром К(х,у) еС(М х Д4), действующий из С(М) в С(М). Тогда,
если • [|К|( < 1, то оператор (Е - А.К) обратим, причем обратный
оператор ограничен и может быть представлен в виде ряда Нейма-
на (39.7) или с помощью интегральной резольвенты (39.9):
(Е-А.К)"1 = Е+Х91х.
Определение 5. Ядро К(х,у) называется полярным, если оно
представимо в виде
* К(х, У)
где К(х, у) е С(М х М), М- компакт в R"
Замечание 1. Сформулированная теорема 1 остается справедли-
311
вой и для полярных ядер К(х, у), причем норма оператора К в
этом случае также может быть вычислена по формуле (39.1) (осо-
бенность при X = у интегрируется при переходе в сферические
координаты за счет множителя г"'1 в якобиане).
§40. Интегральные уравнения с непрерывным ядром
Сведение к уравнениям с вырожденным ядром.
Теоремы Фредгольма
40.1.	Сопряженным оператор. Изучим как соотносятся инте-
гральные операторы К и К*.
Пусть Н - (предгильбертово пространство над полем С (R),
оператор А отображает НкН.
Определение 1, Оператор А*, действующий из Я в Я, называет-
ся (эрмитово) сопряженным к А, если для любых двух элементов
ср и ф из Н выполняется равенство
(Ар, у) = (<р,/По-
следующее утверждение перечисляет основные свойства со-
пряженных операторов
Утверждение 1. Пусть А и В - операторы действующие из И в
Я.
1)	Не может существовать более одного сопряженного к данно-
му оператора.
2)	Для тождественного оператора Е существует сопряженный.
Е* = Е.
3)	Если существуют А’ и В", то существует и (АВ)*, причем
(АВ)’ = В*А‘
4)	Если существуют операторы А"’, (А-1) и А’, то оператор
А’ обратим и
5)	Если существуют А* и , то для любых чисел а и р из С
312
(R) существует (ссА + PS)*, причем
(аД + рВ)’ = аА” + рВ*
Доказательство утверждения 1.
1)	Пусть существует два оператора А\ и	сопряженных к Л:
(Ар, Ч') = (ф, А*ф). Фф> Ф е ,
(Ар,у) = (ф,Аф)> Фф>ф е^-
Тогда для любых <р и у из Н справедливо равенство
(ф>(А-А)ф) = о.в частности для <р = (Д’ - А)ф получаем
((А А)ф. (А - А)ф)=0. Фф € Н,
что с учетом свойств скалярного произведения равносильно равен-
ству
(д -	= Q Фф е Н
Следовательно, Д’ - А = О
2)	Очевидно
3)	Для любых ф и Ч' из //справедлива цепочка равенств
(Абср.ч') = (Вер, Д’ч') = (<р,в*А’ф).
Следовательно, (А8)‘ - 8‘ А
4)	Для доказательства достаточно проверить, что Е = (А1) А’
и Е=А’(А’1)’
Е= Е* = (АА-1)* =(А-1)’А‘,
Е=Е*=(Д-1Д)’ =А’(Д-5)‘
5)	Следует из свойств скалярного произведения 
Утверждение 2. Пусть К - интегральный опера юр с ядром
К(х, у) е С2(М х /И) (Л/- компакт в Rr ), действующий из /_2(М)
в Сг(М) . Тогда сопряженным к К является интегральный оператор
К’ с ядром К*(х, у) = К(у х).
313
Доказательство утверждения 2. Пусть ф(х) и ф(х) - две про-
извольные функции из Z_2(M). Тогда справедлива следующая це-
почка равенств-
(	Л____ X ______________ А
(Кф.ф)= J jK(x,yMyWk(x)dx J |К(х,уМхХИф(У)Ф =
лАм	'	ы\м	/
= Jq>(y) JK(X,y)\p(x)dx|dy = (<P,K’y)
М	'

Из свойства 4 и утверждения 2 получаем
Следствие 1. Пусть при данном X е С существуют операторы
(Е-ХК) и ((Е-ХК) ) Тогда оператор Е - ХК‘ обратим,
причем
(е - хк*)1 = ((Е - хк)1)’
40.2.	Сведение интегрального уравнения с непрерывным
ядром к уравнению с вырожденным ядром. Пусть Л/ - компакт
в R", К(Х, у) - произвольное непрерывное на М х М ядро. По
теореме Стоуна-Вейерштрасса из курса математического анализа
функцию К(х, у) можно сколь угодно точно (в равномерной мет-
рике) приблизить полиномами. А именно, для любого е > 0 суще-
ствуют полином Р(х,у)-	^C'.„x'V ) и непрерывная функ-
|о|«Ч |Р|^ч
ция Ке(х,у) такие, что
К(х, У) = Р(х, У) + Ке(х, у), (х, у) g М х М,
причем
<*•
Отметим, что полином Р(х, у) является вырожденным ядром.
') а = (а1. .
,а") и р = (р\ ,pnj - мульти-ицдсксы. х" = р[(х')с
314
Рассмотрим пространство CL2(M) непрерывных на М функций
с введенным в нем скалярным произведением
(<P.V) J<p(x)v(x)dx.
м
Решим в CL2(M) интегральное уравнение
(Е-ХК)<р=/,	(40.1)
где X g С, f(x) е CL2(M} и К - интегральный оператор с ядром
К(х,у), действующий из CL2(M) в cl2(m)
Обозначим через Pz и Кь интегральные операторы с ядрами
/^(х, У) и КДх, У) соответственно, и перепишем уравнение (40.1) в
этих обозначениях:
(Е- кР-XK^ t.
Выберем при данном X е С число е > О настолько малым, что-
бы выполнялось неравенство |xj-s-mes(M) < 1. Тогда согласно
теореме 1 из предыдущего параграфа оператор Е — l.Kz обратим
Введем обозначение (Е ХКе) ' = и подействуем на обе части
уравнения (40.1) оператором х:
или
= Ы	(40-2)
Уравнение (40.2) имеет те же решения, что и уравнение (40 1), так
как оператор обратим (ffl = Е- ХКе), то есть является вза-
имно однозначным.
Далее заметим, что оператор является интегральным
оператором с вырожденным ядром
(	Л
f	=
лА]а|<П |р]</1	)
315
м
Е cifK.x")/ <киф-
\|«1<Л,И<П:
Следовательно, доказано следующее
Утверждение 3. Для 1 е С и с > 0 таких, что
[А]  е mes(A4) < 1, уравнение (40 1) с непрерывным ядром имеет
те же решения, что и уравнение (40 2) с вырожденным ядром.
40.3.	Доказательство теорем Фредгольма для непрерывного
ядра. Для уравнения (40 2) в §38 была доказана справедливость
теорем Фредгольма. Благодаря утверждению 3 теперь можно про-
вести доказательство и для уравнения (40.1) с произвольным не-
прерывным ядром.
Итак, пусть К - интегральный оператор с непрерывным ядром
К(х, у), действующий из CL2(M) в С/-2(М).
Теорема 1 (первая теорема Фредгольма). Однородные союзные
интегральные уравнения (Е-АК)ср-О и (E-AK‘)v = 0 при
данном ?. еС имеют одинаковое конечное количество линейно
независимых решений (либо оба не имеют нетривиальных реше-
ний).
Доказательство теоремы 1. Зафиксируем произвольное А е С
и выберем е > 0 такое, что выполняется неравенство
|а{-е- mes(M) < 1 Тогда согласно утверждению 3 уравнение
(Е - АК)ц> = 0 имеет те же решения, что и уравнение
(Е-А^Р)ф = 0	(40.3)
По первой теореме Фредгольма для случая вырожденных ядер
уравнение (40.3) имеет столько же линейно независимых решений,
сколько союзное уравнение
(е-Х(/^)‘)х = О.	(40.4)
Согласно теореме 1 из §39 оператор х представим через инте-
гральный оператор /^} = Е+ A93tk, следовательно, сущест-
вует сопряженный оператор - Е+ АЛЙ’х. Преобразуем левую
316
часть уравнения (40.4), воспользовавшись утверждениями 1 и 2 и
следствием 1
(е-ЦД ЛГ)х = (Е-	= ((Е- «<;)/?„ -
Следовательно, уравнение (404) можно переписать в следующем
виде:
(Е-ХК:-А/?)^х = 0	(40 5)
Оператор обратим, то есть взаимно однозначен, поэтому
уравнение (40.5) имеет столько же линейно независимых решений,
сколько уравнение
= 0,
или
(Е-МС)у=0.

Теорема 2 (вторая теорема Фредгольма) Уравнение
(Е - 1К)ф = f разрешимо тогда и только тогда, когда правая
часть f е аг(м) ортогональна любому решению однородного
союзного уравнения (Е —	- 0
Доказательство теоремы 2. Решение уравнения (Е - ХК)ф = Т
сводится к решению уравнения (40.2) с вырожденным ядром. Сле-
довательно, критерий разрешимости - ортогональность функций
К >/ и X» где х - произвольное решение уравнения (40 4). При-
ходим к равенствам
(КД.х)-(лДаИ'.ч')
Но Ч1 -	— эт0 решение уравнения (Е-	= 0 (см дока-
зательство предыдущей теоремы) 
Из теорем 1 и 2 следует
Теорема 3 (третья теорема Фредгольма, альтернатива Фред-
гольма). Либо уравнение (Е - АК)ср = f разрешимо при любой
правой части f	либо соответствующее однородное
317
уравнение (Е - ?.К)о = О имеет нетривиальные решения.
Остается доказать четвертую теорему Фредгольма
Теорема 4 (четвертая теорема Фредгольма). В произвольном
круге |1| < R содержится конечное число характеристических чи
сел интегрального оператора К.
Доказательство теоремы 4. Зафиксируем произвольный радиус
R> О и выберем е > 0 такое, что выполняется неравенство
R-г mes(/Vf)<1. Тогда при |1| < R однородное уравнение
(Е-1К)<р = О равносильно уравнению	= 0 с вы-
рожденным ядром Согласно результатам §38 характеристические
числа должны удовлетворять алгебраическому уравнению
det(E-A|$|) = O,
1де <7/ =	Kx"‘)xP;dx, knj нумеруют все мульти-индексы
м
аир, удовлетворяющие условиям |а| < пе и |pj < Л,. Функции
разлагаются в степенной ряд по 1 при |1[ < R-
jfZ
*Др=О	/	р=0 м
Следовательно, djj(l) - аналитические в круге |Х| < R функции.
Допустим, что характеристических чисел в круге |1| < R содер-
жится бесконечно много, тогда аналитическая функция
(й(Е-фДХ)|) имеет в этом круге бесконечно много нулей, что
согласно теореме единственности из курса теории функций ком-
плексного переменного (ТФКП) возможно только в случае, когда
det^E - s О при |1| < R. Получили противоречие, так как,
например, при 1 = 0 определитель det^E - l|jd/|^ равен единице 
Замечание 1. Все четыре теоремы Фредгольма справедливы и
для полярных ядер (см. [2]).
318
§41. Симметричность интегрального оператора с
эрмитовым ядром. Теорема Гильберта-Шмидта для
истокообразно представимых функций
41.1.	Интегральный оператор с эрмитовым ядром. Пусть М
- компакт в R'!, К - интегральный оператор с ядром
К(х, У) е х М) ’ действующий из L2(M) в t2(^) •
Определение 1, Ядро К(х, у) называется эрмитовым. если вы-
полняется условие К(х, у) = К’(х,у), (х, у) е М х М.
Из утверждения 2 §40 следует, что интегральный оператор с
эрмитовым ядром является симметричным.
Для симметричных операторов в §19 были доказаны свойства
-	все собственные значения симметричного оператора действи-
тельны (для интегрального оператора с эрмитовым ядром- все ха-
рактеристические числа действительны);
-	собственные функции, отвечающие различным собственным
значениям (для интегрального оператора характеристическим чис-
лам) симметричного оператора, ортогональны.
Нам потребуется еще одно свойство.
Лемма 1. Пусть 1 линейное многообразие в (предгиль-
бертовом пространстве Н, симметричный оператор А действует из
Н в Н, при этом образ линейного многообразия L лежит в L (то
есть L - инвариантное относительно А подпространство). Тогда
образ ортогонального дополнения лежит в Lx (то есть LL -
инвариантное относительно А подпространство).
Доказательство леммы 1. Пусть ф - произвольный элемент из
L. Тогда согласно условиям леммы Ар € L , то есть для любого
Ф е Тх выполняется равенство (Ар, ф) = 0, что в силу симмет-
ричности А эквивалентно (<р, Аф) = 0. Следовательно, для любого
Ф е /-1 образ Аф содержится в L1 
Приведем без доказательства следующее свойство симметрич-
ного интегрального оператора (доказательство приведено, напри-
мер, в [2]).
Теорема I. Всякое эрмитовое непрерывное ядро, не равное тож-
319
(41.1)
дественному нулю, имеет по крайней мере одно характеристиче-
ское число, причем, если Z.o - наименьшее по модулю характери-
стическое число, то справедливо равенство
Д = И» W IIMyw
I'M	<р<Д2(М}
Замечание 1 Обратим внимание на то, что в данном случае
норму ||К]| нельзя вычислять по формуле (39 1), так как нормы
пространств С(М) и С2(М) различны (и пространство L2(M)
содержит С(М) в качестве подмножества). Норму интегрального
оператора К, действующего из L2(M) в /_2(М), можно оценить,
воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского:
2
J /К(х,у>р(У№ dx<
м
=
V м
2
I^J dy Л = |l4’(y)nt2(M)||K(xiy)J1L2(M><Mr
1ЦМхМ)
Следовательно,
М-•g.l'MU
Нг(.ои
Замечание 2. Если непрерывное ядро не является эрмитовым, то
оно может и не иметь характеристических чисел. Например, рас-
смотрим для компакта М = [Q2jt] <_ R интегральный оператор К с
непрерывным ядром
f=1	(
(стоящий справа ряд сходится абсолютно и равномерно на [Q2n]2,
так как мажорируется сходящимся рядом /.. у). Для ядер
/и (
Kp_i(x,y) операторов Кр (см. §39) легко получить выражение
320
sin/x-sn(J + p)y
/2(/ + 1)2 (/ + p-1)2’
Mx^=jt₽'E
»=i
P=U
2к
гак как js'nf^ + 1)z-sn/2z-dz- nS£+1. Следовательно, при всех
о
значениях ХеС существует интегральная резольвента 91к с
ядром 5(х, у) = Е Х'^Кр-Дх.у), то есть оператор Е- \К обратим
p=i
для произвольного 1 е С, и уравнение (Е - ХК)<р = О имеет толь-
ко тривиальное решение.
41.2.	Теорема Гильберта-Шмидта. В конечномерных про-
странствах симметричный линейный оператор имеет базис из соб-
ственных векторов Оказывается, что для интегрального оператора
с непрерывным эрмитовым ядром справедливо аналогичное ут-
верждение.
Итак, пусть М- компакт в Rn, К(х,у) - непрерывное эрмито-
вое ядро, отличное от тождественного нуля, интегральный опера-
тор К с ядром К(х,у) отображает С2(М) в С2(М).
Из непрерывности ядра К(х,у) на компакте М х М следует
его равномерная непрерывность. Следовательно, для произвольной
функции <р е l2(m) ее образ Кер является непрерывной на М
функцией.
ККфХх,) - (Кср)(х2)| = J(K(x„ У) - К(х2, у})(р(У)ф <
м
<т=*1К(*<.У)-К(Х2>.0] /МУН -> О,
уе	м
и можно конкретизировать оператор К отображает С2(М) в
сЦм).
Согласно приведенной без доказательства теореме 1 существует
нормированная собственная функция <р0(х) оператора К, отве-
чающая наименьшему по модулю характеристическому числу :
11 В. Уроев
321
^<Лфо = фо и IIVolL^M) = • Отметим, что функция ф0(х) является
непрерывной, то есть <р0 е ССг(М) Рассмотрим в L2(/W) линей-
ное многообразие |{ф0}] и его ортогональное дополнение
[{фо}] = {ф- Ф е ^(М), (<р,фо)-О| Легко видеть, что
L2(W) = [{<Po}]©[{<Po}f , то есть для произвольной функции
Ф е /-2(Л4) справедливо представление следующего вида:
9 = ссфо + <р,
где a eN и ф е[{фо}] Действительно, для этого необходимо
выполнение условия
(<₽ Фо) = <*(фо. Фо) + (ф. Фо) = «.
которому удовлетворяет функция ф - ф - (ф,ф0)ф0, ортогональная
фо-
Введем новый оператор К^1р действующий на произвольную
функцию ф еЛ2(/И) следующим образом:
К(1)Ф = Кф = Кф - (ф,ф0)Кф0 = Кф - ~^ф0
Ло
(композиция проектора на подпространство [{ф0}] ' и оператора
К) Оператор К(1) является интегральным оператором с непрерыв-
ным эрмитовым ядром
^(х, у) = К(х, у) - фо(х)ф^(у).
Из леммы 1 следует, что |{ф0}] _ инвариантное относительно
К(1) подпространство t2(M), так как К(Чф0 -Се [{ф0}]. Это по-
зволяет рассматривать сужение К(1) оператора К(1} на подпро-
странство [{фо}] Для оператора К(1) можно снова воспользо-
ваться теоремой I если К(1) * О, то существует нормированная
322
собственная функция <р, е[{фо}]± оператора К(1), отвечающая
наименьшему по модулю характеристическому числу X,, то есть
~ 9i и М (W) ~ 1 - Более того, <р} является собственной
функцией и оператора К'.
Ко, = Ко. - ^>1,<Рс^ф0 =	= т^-ф,
Ло	Л1
гак как (<pv<p0) = 0 Итак, полученное число X, - характеристиче-
ское для оператора К, поэтому |X,| > |Х2|.
Аналогично оператору К(1) введем оператор К(2), действующий
на функцию <р е (-2(Л4) по формуле
К2)ф = К^р -	.
Тогда выполняются следующие равенства:
- к Дф-Фо)	(ф.Фо)	(ф.фЛ
Кф = КО)<р +	---<р0 = К(2)<р + 	7<р0 + —— о-.
Ло	^0	*4
Далее рассмотрим сужение К(2) оператора К(2) на [{фо.Ф,}] и
продолжим описанный процесс.
Возможны два варианта окончания процесса*
1) на очередном шаге получили оператор с ядром, тожде-
ственно равным нулю:
К(Пн1)(*. У) = К(Х, У) - XФ/(*)фЛИ = о,
»=о А,
что означает вырожденность ядра К{х, у);
2) процесс бесконечен, тогда для образа (К<р)(х) функции
Ф е Цм) возникает ряд
У	с Ф/Й1
/=0
(41-2)
323
с коэффициентами q =(<р,<р,)= |<р(у)фДу)сУ
м
Изучим сходимость ряда (41.2) в метриках L2(M) и С(М)
Сходимость ряда (41.2) к функции (Кф)(х) в (конкрет-
нее в С/_2(М)) доказывают следующие выкладки:
U - Е - |»<„4?(„s
II '-° А' lk(M)
.	(«1>
к(м>
I |'7ь>”
так как |Хт| оо согласно четвертой теореме Фредгольма.
Покажем теперь, что ряд (41.2) для произвольной функции
Ф е t2(M) сходится равномерно на М, то есть имеет место сходи-
мость в С(М). Для этого удобно воспользоваться критерием Коши
равномерной сходимости. Сначала заметим, что при фиксирован-
ном значении переменной х, рассматриваемой как параметр, числа
Ф/(х)/Л,, являются коэффициентами Фурье в разложении ядра
К(х,у) по ортонормированной системе функций (ф,(у)}
Х(х,у)~Е^(хЫу)’
1=0
и
q(x) = ]к<х. 0Ф/(уХ?у= (КфЖх) =	
м	Л/
Сами же числа q = (ф,ф/) являются по определению коэффициен-
тами Фурье разложения функции ф(у) по ортонормированной
системе {фДИ}^- Д™ ортонормированных систем вне зависимо-
сти от их полноты справедливо неравенство Бесселя. Следователь-
но,
324
Zkf ||фС2(м) и £< $\K(x.rf]2dy, х^м
l=o	1=0 Л/ M
Таким образом, для произвольных неотрицательных целых чисел р
и q ( q > р) справедливы оценки:
Из сходимости ряда £|cj|2 и ограниченности функции К(х.у) сле-
1=0
дует, что для произвольного е > О существует натуральное число
/V такое, что для любых р> Nf и q> р, выполняется неравенст-
во
V1	<р/(х)
так Ус <£.
М
Тем самым доказана равномерная сходимость ряда (41.2). Более
того, ряд (4 J .2) сходится к непрерывной функции (Кф)(х), так как
в противном случае получили бы, что ряд (41 2) сходится к двум
различным непрерывным функциям в CL2(M).
Подведем итог.
Определение 2. Функция Г(х) истокообразно представима че-
рез ядро К(х, у), если существует функция ф(у) G такая,
что
f(x) = (Кф)(х) s $K(x,rt<?(y)dy, хеМ.
м
Теорема 2 {Гильберта-Шмидта). Пусть Xo.X,.... - все характе-
ристические числа непрерывного эрмитова ядра К(х, у), располо-
женные в порядке возрастания модуля (|Х0| < p-J <...),
<Pi(x),(p2(x),... - соответствующие собственные функции, норми-
325
рованные в L2(M) (||ф,||мм) = W|MM) =.. = 1). Если функция
f(x) истокообразно представима через ядро К(х,у), то есть
f(x) = (Кф)(х), <р е Т2(М), то ее ряд Фурье по системе {ф,(х)|
сходится равномерно на М к этой функции:
<413)
I л/	/
Доказательство теоремы 2 Осталось обосновать второе равен-
ство в формуле (41 3):
(Лф,) = (Кф,Ф,) = (ф,Кф,) - | ф,у-ф, ] = ^-(ф,Ф,),
\ Ai / Л*
так как \ е R для симметричного оператора 
Замечание 3. Отметим, что при такой формулировке теоремы
потеряны собственные функции оператора К, отвечающие нулево-
му собственному значению (если таковое существует). По этой
причине и присутствует требование истокообразной представимо-
сти функции^ то есть f g Im К.
Определение 3 Ядро К(х, у) называется слабо-полярным, если
оно представимо в виде
... л К(х,у)	И
/<U,y) = r—а<-,
|х-^	2
где К(х,у) - непрерывная на МхМ функция, М- компакт в R".
Замечание 4. Теорема Гильберта-Шмидта справедлива для бо-
лее широкого класса ядер, в частности, для эрмитовых слабо-
полярных ядер (см [2])
413. Заключительное замечание. В завершение данной главы
сделаем следующее замечание, которое будет полезно в дальней-
шем.
Пусть Л/ - компакт в Rn, причем на Af введена мера р. Тогда
под классом Е2(М) понимается множество определенных на М
функций, квадрат модуля которых интегрируем в смысле меры р:
326
f eL2(M)^3j|f]2cfM
м
Можно рассматривать следующий интегральный оператор К с
ядром К(х, у), (х, у) е М х М .
(Кф)(х) = |К(х,у)ф(у)фу.
м
Для интегрального уравнения Фредгольма второго рода с таким
интегральным оператором остается справедливой вся теория, из-
ложенная в этой главе (достаточно заменить все интегралы по ду
на соответствующие интегралы по фу )
Пусть, например, S' - ограниченная кусочно гладкая поверх
ность в Rn, интегральный оператор К действует на функцию ф(у),
у е S по правилу
(Кф)(х) = ]К(х,у)ф(у)ф, х е S,
s
где К(х,у) - заданная на Sx S функция (ядро) Тогда остается в
силе теория Фредгольма. Для ясности отметим, что ортогональ-
ность функций /и ф будет записываться в этом случае следующим
образом
ДуХ/(у^« 0.
s
327
Глава IX
Задача Штурма-Лиувилля
§42. Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля
42.1.	Оператор Штурма-Лиувилля. В главе рассматриваются
оператор и задача Штурма-Лнувилля
Определение 1. Пусть (а, Ь) - конечный или бесконечный ин
тервал, на котором определены непрерывные действительнознач-
ные функции р(х) и q(x), причем функция р(х) непрерывно
дифференцируема на (а;£>) и удовлетворяет на этом интервале
неравенству р(х) > 0. Дифференциальный оператор L, заданный
равенством
=	+	(42-0
их )
и определенный на множестве дважды непрерывно дифференци-
руемых функций (вообще говоря, комплекснозначных) из класса
удовлетворяющих определенным краевым условиям, на-
зывается оператором Штурма-Лиувилля.
Мы ограничимся изучением оператора Штурма-Лиувилля для
конечного интервала (а;Ь), при этом потребуем, чтобы
<Хх) € С[а; б], р(х) е С1[ д £>] и р(х) > 0 для всех х е [а; Ь]. В этом
случае оператор L, заданный равенством (42.1), рассматривается
на следующем подпространстве ML пространства t2(a; £>): множе-
ство ML состоит из функций t(x), принадлежащих классу
С2(а;Ь)г>|С1[ц/)], Lu g L2(a,b) и удовлетворяющих на концах
отрезка [а; £>] следующим условиям-
328
c^ufa) - P,t/(£)) = 0,	(42.2*)
а2и(Ъ) + p2t/(fc) = О,	(42.2**)
где ctj.p, > О и ау + р. > О, / = 1,2.
Замечание 1. Краевые условия (42.2*),(42.2**) являются част-
ным случаем краевых условий вида
a(x)u(x) + P(x)|^(x)	=0,а,р>0,
L	Зп Jxcao
где и - внешняя нормаль к границе dD области D. В нашем случае
область D - это интервал (а; Ь)
Теорема 1, Дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля L
на множестве ML симметричен
Доказательство теоремы 1. Пусть и и v — две произвольные
функции из ML. Преобразуем выражение для скалярного произве-
дения (Lu,у), воспользовавшись правилом интегрирования по
частям:
b	b t ь
[Lu, у) = |Lu- vdx~ - J(p'/) vdx+ Jguvcfc
a	a	a
b b	b
-	+ jpt/y'dx + Jquvdx.
a	a
Аналогично, для скалярного произведения [и, Ly):
ь  	ь	ь
(u,Lv) = JuLick = - upy'| + ju’py dx-t- jugydx
a	a	a
(Lu, у) - (u, Ly) = p( u'y + uv'^
Вычитая из равенства (42.3) равенство (42.4), получаем
| U V ]
Ci/ vJ.
(42.3)
(42.4)
(42 5)
Определитель, замыкающий цепочку равенств, обращается на
концах отрезка [а, Ъ] в ноль, так как его строки в этом случае ли-
нейно зависимы в силу условий (42.2*) и (42.2**). Следовательно,
(Lu, у) = (u, Ly)
для любых функций и и v из множества ML 
329
Теорема 2. Если с/х) > О на интервале (а,Ь), то оператор
Штурма-Лиувилля L на множестве ML положительно определен.
Доказательство теоремы 2 Пусть и ~ произвольная функция из
ML, отличная от тождественного нуля. Воспользуемся формулой
(42.3) для v= и:
[Lu, и) = -	+ J ₽|t/|Z dx + |qju]2 dx
a	a
Первое слагаемое в конечном выражении неотрицательно в силу
граничных условий (42.2*) и (42.2**), второе слагаемое, очевидно,
неотрицательно, а третье - положительно, так как функция и не
тождественна нулю. Следовательно,
[Lu,u)> О.

Полученные результаты в сочетании с теоремами 1-3 из §19
позволяют сформулировать
Следствие 1. Все собственные значения оператора Штурма-
Лиувилля L, определенного на множестве ML, являются действи-
тельными, при этом собственные функции, отвечающие различ
ным собственным значениям, ортогональны
Следствие 2, Если </х) > О на интервале (а; Ь), то все собст
венные значения оператора Штурма-Лиувилля L, определенного на
множестве ML, положительны.
42.2.	Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля: суще-
ствование, единственность, симметричность. В §34 было дано
определение функции Грина G(x,^) дифференциального операто-
ра “ - А ” в R3, и согласно теореме 2 из того же параграфа для ре-
шения и(х) краевой задачи
- At/x) - F(x), х с D,
(4х) = 0, хе ас
справедливо равенство
<4х) = fJjG(x,OF(4)^
D
Построим аналогичную теорию для оператора'Штурма-Лиувилля.
330
Определение 2 Функцией Грина G(x,£.) оператора Штурма-
Лиувилля L, определенного на множестве ML и действующего по
правилу (42.1), называется функция, определенная на [ц£>] х [а; Ъ|
и удовлетворяющая следующим условиям:
1)	при каждом фиксированном хе[цЬ] функция G(X, £) при-
надлежит классу Qa,b]n С1(к,Ь]\{х})пС2((а;Ь)\{х}) по пере-
менной Е,;
2)	для любого X е (а; Ь) выполняются краевые условия (42.2*)
и (42.2**):
a,G(x,a) - p,G;(x,a) = О,
a2G(x,t>) + P2G'(x,6) = 0;
3)Ц6(хЛ) = 0,^е(цЬ)\{х};
4)	на диагонали Х = Е, функция G^(x.^) имеет разрыв первого
рода, причем
G'(x, х + 0) - G/(x, х - 0) = ——.
Обсудим основные свойства функции Грина G(x,£)
Теорема 3. Если существует функция Грина, то она симметрич-
на по (х.Е,) е (а; Ь) х (а; Ь)  G(x,£) - G(^, х).
Доказательство теоремы 3. Пусть Х| и х2 - две произвольные
точки из интервала {&, Ь), х, < х2 Рассмотрим функции
ft(^) = G(xv^) и g2(£) = G(x2,^) переменной Надо доказать,
что д(^) = 92(xi). Для этого разобьем отрезок [а, Ь] на три:
[а; xj, [х,; х2], [х2> Ь], и для каждого из них воспользуемся форму-
лой (42.5), учтя, что Гд - 0 и Lg2 = 0;
о = f(g2U -	- as0£ ° - p(g2sJ -
- ₽(g2g; - 9>s0|*+o =	+ °) -	- °)) -
331
где W =
- P(a)W(a) + p(b)W[b) + p(x2)ft(x2)[g£(x2 - 0) - д£(х2 + 0)),
& g2
s( &
- вронскиан функций g, и g2. Далее заметим, что
^(Xt+0)-g{(x1-0) = G'(x1,x1 + 0)-G'(x1,x1 -0) = —-Ц	и
Р\Х\)
-J
0г(*2 + О) - Й(*2 ~ 0) = —~—г, а вронскиан W в точках а и b
Р(*2)
равен нулю в силу краевых условий. Следовательно,
° = ~д2(^) + Я(х2) = -G(x2, xt) + G(xo х2).
Из симметричности функции Грина G(X,£) следует ее непре-
рывность на [а; £>] х [ц Ь] (аналогичное утверждение доказывали в
§34).
Теорема 4 Если X - 0 не является собственным значением
оператора Штурма-Лиувилля L, определенного на множестве ML,
то функция Грина существует и притом единственная.
Доказательство теоремы 4.
Единственность. Если G^(x,Ej и G2(x,^) — две функции Грина,
то для произвольного фиксированного х функция
t/E,) = G((x,^) - G2(x,^) не имеет особенностей при £ = X и, сле-
довательно, тождественно равна нулю (иначе бы 1(Е>) являлась
собственной функцией, отвечающей X - 0 ).
Существование. Построим функцию Грина. Пусть ц и и2 - не-
тривиальные действительные решения однородного уравнения
Lu = 0, причем ц удовлетворяет краевому условию (42.2*), а и2
- (42.2**) Если бы эти функции оказались линейно зависимыми,
то они были бы собственными функциями оператора Штурма-
Лнувилля, отвечающими значению X = 0. Следовательно, Ц и и2
линейно независимы, и вронскиан
ц£) ч&)
<4(0

332
нигде не обращается в ноль. По теореме Лиувилля выполняется
соотношение
W л! - ад«р[-1п£й>].
А 1 М )	“ ЙаУ ЙО
Следовательно, к = -1/Ц£)р(£) является константой, отличной от
нуля. Легко проверить, что <
2
к
>ункция
Ц(Х)«2(У. а<х<£
и2(*)цЮ. $<*±Ь
удовлетворяет всем условиям, содержащимся в определении
функции Грина 
Из представления (42.6) вытекает
Следствие 3. В условиях теоремы 4 функция Грина G(x, О два-
жды непрерывно дифференцируема на множестве [а; Ь] х [а; Ь] за
исключением диагонали х = £, на которой первые и вторые про-
изводные функции G(x,£,) терпят разрыв первого рода.
Пример I. Построить функцию Грина для дифференциального
оператора
Ы-р-Л
\х+2 )
на отрезке [~1;0] с граничными условиями
i/(-i) = o, i/(0) + <40) = 0.
Решение. В соответствии со схемой, приведенной в доказатель-
стве теоремы 4, решим однородное уравнение
Lg=-/—— t/1 =0.
Vx+2 )
Его общим решением является функция и(х) = С,(хг + 4х) + Сг
Выберем в качестве функции, для которой выполняется краевое
условие на левом конце, функцию Ц(х) = 1. Аналогично
ц(х) ~ хг + 4х - 4, для которой <4(0) + Ц>(0) = 0 Далее вычис-
лим вронскиан:
333
1 V +
ад-
О 2^ + 4
= 2£ + 4=2(i, + 2).
Следовательно, /(= ~p(£)l/V(£) = 2, и

V + 4^-4, -1<Х<£
хг + 4х - 4, £ < х < О
42.3. Обратимость оператора Штурма-Лиувилля. Функция
Грина позволяет построить оператор, обратный к оператору L
Теорема 5, Пусть X = О не является собственным значением
оператора Штурма-Лиувилля L с областью определения ML,
G(x,£) - функция Грина этого оператора. Тогда оператор L взаим-
но однозначно отображает ML на множество С(а, b) r\ L2(a, Ь),
причем обратный оператор - это интегральный оператор G с
ядром G(x,^), функцией Грина.
Доказательство теоремы 5. Образ множества ML заведомо ле-
жит в С(а, £>) n С2(а, t>), поэтому остается доказать, что для любой
функции F(x) с C(a,b) п Lz(a,b) функция
ФО = (GF)(x) - fG(X,4)FG)<£	(42.7)
a
принадлежит множеству ML и является единственным решением
уравнения
Lu=F	(42.8)
из этого множества
Произведем следующие выкладки.
• b	Ь	х
— fG(x,^)F(^ = |е;(хЛ)Н^ = jG'(x,^)F(O^ +
a	s	a
b
+ jg:(x^)f(^,
откуда
= f£(p(x)G:(x^))Fft)^-
a
334
Упростим конечное выражение, пользуясь симметричностью
функции Грина:
G'(x, х - 0) - G'K(x, х + О) = G’(x, х + О) - G'(x, х - 0) = ——
р(х)
Получаем следующий результат:
Lu= JfG(x,£)Fte)cd = f£KG(x,^)F(^+ Их). (42.9)
J а
Остается учесть, что LxG(X,£) = ДС(Х, Е,) = 0
Lu=F.
Существование непрерывных второй производной функции
tXx) = (GF)(x) на интервале (а,Ь), первой производной на отрезке
[а; Ь], как, впрочем, и правомерность проведенных выше выкла-
док, обеспечиваются теоремой о дифференцировании несобствен-
ного интеграла по параметру (см. курс математического анализа).
Действительно, в нашем случае исходный интеграл
ь
fG(x^)F(^ сходится для любого х е производные
а
~(G(x.0F(£)) и —j-(G(X, t,)F(4)) непрерывны на множестве
[ц Ь] х [ц Ь] за исключением диагонали х - Е,, на которой, воз-
можно, терпят разрыв первого рода; а соответствующие, вообще
ь
говоря. несобственные ) интегралы Jg;(x,ofc^ и
b
jG"(x,OF(O^ сходятся равномерно относительно параметра
а
х е [ц Ь], так как справедливы не зависящие от х оценки:
*) У функции F(4) возможны особенности в точках f,=a и t,=b
335
где С, - sup |G*(x,^)) < оо, С, = SuplG^(x,^)] < со, и интеграл
xejajb]	хЦа;Ь]
4«<e,b)	S«4a;i>J
b
сходится; F e /_2(ц b) с L((a. b)
в
Замечание 2. Возможная неограниченность функции Lu (как и
второй производной i/1) на концах отрезка [а; Ь] связана с поведе-
нием функции F на его концах. Действительно, в конечном выра-
жении из цепочки равенств (42.9) первое слагаемое - непрерывная
на отрезке [а; Ь] функция, а вот второе слагаемое, то есть функция
F(x), может быть неограниченно в точках х = а и х — Ь
Выполнение граничных условий (42.2*),(42.2**) для функции
ц(х), задаваемой выражением (42 7), следует из перестановочно-
сти оператора дифференцирования — с интегралом и условия 2)
dx
из определения функции Грина.
Остается доказать, что уравнение (42.8) имеет единственное
решение. Пусть функции ц и и2 - решения уравнения (42 8) из
множества ML, тогда их разность и ~ Ц - и2 принадлежит М( и
удовлетворяет уравнению Lu=O Следовательно, t/sO, в про-
тивном случае функция и была бы собственной и отвечала собст-
венному значению Л - 0, что исключено по условию 
Следствие 4, Ядро G(x, £,) не является вырожденным
Доказательство следствия 4 Допустим противное’ G(x,Q -
вырожденное ядро, тогда образ оператора G есть конечномерное
пространство, что противоречит теореме 5, согласно которой образ
G - это множество ML
Замечание 3. В случае, когда X - 0 - собственное значение
оператора Штурма-Лиувилля, построение обратного оператора
принципиально невозможно, так как нет взаимной однозначности.
Пример 2. Найти функцию и(х) е С2(0;1) гл С[0,1], удовлетво-
ряющую на интервале (0;1) дифференциальному уравнению
- t/'(x) - Дх)	(42 10)
336
и краевым условиям
(42 11)
опреде-
класса
4O) = txi) = o,
где f(x) - заданная функция из класса 0(0,1) п L2(0,1).
cf2
Решение. Построим функцию Грина оператора-----=-,
dx
ленного на множестве ML функций Цх) из
С2(0,1) С’[0,1], d' cz Г2(0,1), удовлетворяющих краевым услови-
ям (42.11). Функции Ц=Хии2-Х-1 удовлетворяют уравнению
- d’ = 0 и краевым условиям на левом и правом концах соответ-
ственно Отсюда находим функцию Грина G(x,^);
X x-V’fxJ^-l), 0<х<;
1	1
GM = -
^(х-1), £<х<1
По теореме 5 искомая функция t/х) представляется интегралом
1	X	1
t/x) = jG(x,E,) f(№ = (1 - х)|^(М + xf(1 - $) f(t№
0	Ox
Замечание 4 Разумеется, решение задачи (42 10),(42.11) можно
было получить, последовательно интегрируя обе части равенства
(42 10), используя краевые условия (42.11) для определения кон-
стант интегрирования.
Пример 3 Найти непрерывное на числовой оси R решение ф(х)
интегрального уравнения
JeМ1<Ж)^ = е’*\ xeR.
(42.12)
Решение.
Первый способ. Перепишем уравнение (42.12) в следующем ви-
де:
р	р>т = е-*\ XeR.
(42.13)
В предположении равномерной сходимости интеграла
337
je,к	на множестве R продифференцируем обе части ра-
венства (42.13) по х, внося знак дифференцирования под знаки
интегралов. После первого дифференцирования получим
X	+<Й
ф(х) - |^'хф(^)с^ - ф(х) +	= -2хе^,
X
то есть
- p'Wcfc +	= ~2хе^
-<*	х
Дифференцируя второй раз, приходим к равенству
-Ф(х) + ]^-хф(£)с£ - <р(х) + рчф(£)с^ = -2е'хг + 4хге-х’,
X
ИЛИ
2ф(х) = |Рх-5|ф(£)(% + 2e~x’ - 4x2ex’ < = }3e'xZ - 4хге"х\
Следовательно,
ф(х) = ^ - 2хг)е-хг
(42.14)
Отметим, что интеграл |ё^х Чр(£,)сЕ, действительно сходится
равномерно на R, так как
sude |хч!ф(£)| <	| - 2^2 е е
xeR1	1	IZ
и интеграл
сходится
Второй способ. Изложенная выше теория Штурма-Лиувилля (в
частности, теорема 5) не может быть буквально применена в дан-
ном случае в силу неограниченности интервала (-и;+оо). Однако
можно сделать обобщение, рассмотрев дифференциальный опера-
тор Штурма-Лиувилля
338
Щх) = -[р(х)£/(х)У + (£х)и(х)	(42.15)
на интервале (-<ю;+ао) с краевыми условиями
Hmu(x) = O,	(42.16*)
hmt/x) = O	(42.16**)
При определенных условиях на коэффициенты р и q и требовании
быстрого убывания функции F на бесконечности формула (42 7)
остается справедливой для решения и уравнения Lu - F на интер-
вале (а,Ь) = (-со;+<ю) с краевыми условиями (42 16*), (42.16**).
Допустим, что ядро е интегрального оператора, входящего
в уравнение (42.12), является функцией Грина G(x,£) оператора
Штурма-Лиувилля на интервале с краевыми условиями (42.16*),
(42.16**) Тогда для решения ф(х) уравнения (42.12) получаем
формулу
<р(х) = Le** = |2xe"*'p(x)j + <Хх)е*\
Построим оператор L, для чего перепишем функцию
Gfx, £,) ~ в следующем виде:
G(W =
е^е4, х<£
е~*&, х>£
откуда следует, что ц(х) - и и2(х) - е* - решения дифферен-
циального уравнения Щх) - 0, причем функция ц(х) удовлетво-
ряег условию (42.16*), а функция и2(х) - условию (42.16**) (см.
доказательство теоремы 4). Найдем функцию р(х):
1 = Ь:
ц(х) Ч(х)
-X
_х р(х) = 2р(х).
откуда
р(х) = 1/2.
Функцию <3(х) нацдем из равенства Тц(х) = 0:
-^(еГГ+<х^=°,
339
откуда
q(x) = V2.
Отметим, что оператор L можно построить, не прибегая к дока-
зательству теоремы 4, а используя непосредственно определение
функции Грина: во-первых,
1
/Хх)
Gjx,x+ 0) - GJx.x- 0) = -1 -1 == -2,
следовательно,
во-вторых, при Z х
Р(х) = 1/2;
0 = l,G(x,« = -|е !-'J +
откуда
<Хх) = 3/2
Т А	.	1 d2 1
1аким образом, построен оператор £_• = -----=-•+—• такой,
2 dx 2
что функция G(x,£) = е'*^1 является функцией Грина оператора
Штурма-Лиувилля L на интервале (-со;-ко) с краевыми условиями
(42.16*),(42.16**). Следовательно, для решения <р(х) уравнения
(42.12) можно записать
<р(х) = Le*' = ^2хех’У +	- 2х^е
что совпадает с результатом (42.14).
Замечание 5. На предложенный второй способ решения уравне-
ния (42.12) можно смотреть как на метод формального построения
функции, претендующей на роль решения, после чего должна быть
сделана подстановка полученной функции в уравнение (42.12) для
проверки.
§43. Сведение задачи Штурма-Лиувнлля к
интегральному уравнению с эрмитовым ядром
42.1. Постановка задачи Штурма-Лиувилля. Сведение зада-
340
чи на собственные значения дифференциального оператора к
задаче Штурма-Лиувилля.
Определение 1. Пусть (в,Ь) - конечный или бесконечный ин-
тервал на числовой оси R, L - дифференциальный оператор
Штурма-Лиувилля, действующий по правилу (42.1) и определен-
ный на некотором множестве ML функций, принадлежащих клас-
су С2(а, b)r\ L2(a,b) и удовлетворяющих определенным краевым
условиям. Задача Штурма-Лиувилля состоит в решении на множе-
стве ML уравнения
Щх) = - р(х) Фф) + <Xx)t/(x) = Xa(x)t<x), (43.1)
dx\ dx 7
еде а(х) - заданная непрерывная функция, а(х) > 0 при X € (а; Ь),
X - комплексный параметр.
Замечание 1. Пусть а(х) = 1. Тогда существование нетривиаль-
ного решения </х) уравнения (43.1) означает, что X - собственное
значение оператора Штурма-Лиувилля , определенного на множе-
стве ML, a t^x) - отвечающая ему собственная функция. Для того,
чтобы каждый раз не оговаривать область определения оператора
L, его собственные значения X называют собственными значе-
ниями соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Функцию Гри-
на оператора L, определенного па множестве М( , также называют
функцией Грина задачи Штурма-Лиувилля
Лемма 1. Пусть L — дифференциальный оператор второго по-
рядка;
£• = -Р(х)^2 • +*Х*) • +q(x) •,
dx dx
где р(х), b(x) и q(x) - непрерывные на интервале (a,b) функции,
причем р(х) > О для всех X с (д £>). Тогда существует такая не-
прерывная функция а(х), а(х) > 0 на (цЬ), что уравнение
Eu(x)=Xu(x)	(43.2)
эквивалентно уравнению (43.1):
341
Щх) =	+ Q(x)Ux) = Ха(х)о(х),
где р(х) = а(х)р(х) и <Хх) = a(x)q(x), то есть
L* = a(x)f •.
Доказательство леммы 1. Умножим обе части уравнения (43 2)
на функцию а(х), получим
- а(х)р(х)-“^ 4*) + a(x)b(x)~iXx) + a(x)5(x)u(x) = а(х)Лц(х).
Для эквивалентности этого уравнения и уравнения (43.1) необхо-
димо, чтобы
а(х)6(х) = ^(а(х)р(х)),
откуда
а(х) = exp - Г^- сГ, ,
да ч
где х0 - произвольная фиксированная точка из интервала (а, Ь).
Отметим, что полученная функция а(х) непрерывна на интер-
вале (а;Ь) и удовлетворяет на нем неравенству а(х) > 0, так что
умножение обеих частей уравнения (43.2) на а(х) решений не ме-
няет 
Замечание 2. Существование нетривиального решения Цх)
уравнения (43.2) из определенного класса функций означает, что
Л - собственное значение, а и(Х) - отвечающая ему собственная
функция оператора L . Таким образом, задачу на нахождение соб-
ственных значений оператора L всегда можно свести к задаче
Штурма-Лиувилля По этой причине задачу Штурма-Лиувилля
часто называют “задачей на собственные значения”
43.2. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному
уравнению. Далее будем считать, что интервал (а, Ь) ограничен,
функции р(х) и </х) принадлежат классам С'[а, Ь] и С[а; соот-
ветственно, причем р(х) > 0 для всех х е [а; Ь], оператор Штурма-
Лиувилля L определен на подпространстве
342
ML = {u. ис C2(a, b) n C’la; Ь}, Lu е t7(a; b). (42 2*),(42.2* *)}
гильбертова пространства L2(a, b).
Теорема 1, Пусть X = О не является собственным значением
оператора Штурма-Лиувилля L с областью определения ML. В
этом случае функция U^x) е ML является решением уравнения
Lu=Xu+ f, f еС(дЬ)п1.2(дЬ)	(43.3)
тогда и только тогда, когда она является решением неоднородного
интегрального уравнения <1>редгольма 2-ого рода
ь	ь
Ч*) = A	+ fG(x^)f(^)^,	(43.4)
а	а
где G(x,£) - функция Грина оператора Штурма-Лиувилля L, опре-
деленного на множестве ML.
Доказательство теоремы 1. Утверждение теоремы 1 является
следствием теоремы 5 из §42: достаточно в предположении суще-
ствования решения f/х) в формуле (42.7) положить
Р(х) = Щх) + f(x) 
Следствие I. Пусть функция t/х) принадлежит ML и удовле-
творяет неоднородному дифференциальному уравнению
Lu = A,u + f,	(43.5)
где L - оператор из леммы 1, f е С(а; b) n L2(a, b). Тогда функ
ция t/x) удовлетворяет интегральному уравнению
(4х) = X Ja(OG(x,O(X^ + fa(yG(x^)7U)^,	(43.6)
a	a
где G(x,£) функция Грина оператора Штурма-Лиувилля
L ~ a(x)L , удовлетворяющего условиям теоремы 1, а(х) - участ-
вующая в лемме 1 функция
Пример I Свести к интегральному уравнению дифференциаль-
ное уравнение
- (х + 2)2о"(х) + (х + 2)t/(x) = Мх) + 7(х), 7 6 Q-1;0] (43.7)
на отрезке [-1;0] с граничными условиями
343
t/(-1) = 0, t/(O) + u(O)-O.
Решение Прежде всего, приведем дифференциальное уравне-
ние к виду, в котором участвует оператор Штурма-Лиувилля (ди-
вергентному виду) Для этого воспользуемся леммой 1, а именно,
умножим обе части дифференциального уравнения на некоторую
функцию а(х):
- {(х + 2)2а(х)ь/(х)У = Aa(x)iXx) + а(х)7(х)
Необходимо выполнение условия [(х + 2)2afx)V = а(х)(х + 2),
которому удовлетворяет функция a(x) = (x + 2)“® Тем самым
приходим к дифференциальному уравнению
<Хх) , 7(х)
(х+2)3 (х + 2)3
1
х+2
Воспользуемся функцией Грина G(x,^), построенной в примере I
из §42. Получаем интегральное уравнение
Lu = -
(43 8)
Другим подходом является формальное применение алгоритма
построения функции Грина к исходному дифференциальному
уравнению, подразумевая под -р(х) коэффициент при t/'(x) (ко-
нечно при этом к уже может зависеть от £,). А именно, решаем
однородное уравнение
-(х + 2)2г/'(х) + (х+ 2)t/(x) = О
с условием на левом конце и получаем ц(х) =1, с условием на
правом конце - t/2(x) = х2 + 4х - 4, Тогда
1 V + 4^-4
* = -рфИ^) = -£ + 2)2
О 2^ + 4
= -2(^ + 2)3,
ё(ХЛ) 2& + 2)3
и
+ 4^ - 4	1 < X < £
х2 + 4х - 4, £ < х < О
Приходим к интегральному уравнению
344
о	о
-1	-1
которое эквивалентно полученному ранее. так как
6(х.0 = ^<3(хЛ)
43.3. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному
уравнению в случае, когда Х=0 — собственное число. В преды-
дущем пункте (как и в §42) мы полагали, что функция </х) непре-
рывна на отрезке [а, Ь]. Следовательно, она ограничена, и сущест-
вует такое число т, что функция Q.(x) = <j(x) + т положительна
на [а, Ь]
Далее заметим, что оператор L, - L + ггтЕ:
сиА dx J
- уже положительно определен, и все его значения положительны
(теорема 2 и следствие 2 из §42) Таким образом, для оператора Д
всегда можно построить функцию Грина G(x,£), и к интегрально-
му уравнению можно сводить уравнение
Ltu-(к + т)и + f,
эквивалентное уравнению (43 3).
Аналогично сводится к интегральному уравнению и уравнение
вида (43.5).
Пример 2. Свести к интегральному уравнению дифференциаль-
ное уравнение (43.7) на отрезке [-1,0] с краевыми условиями
= 0, £?(0) = 0	(43.9)
Решение. Уравнение (43 7) в примере 1 уже было приведено к
дивергентному виду (43.8). Однако X = 0 является собственным
значением задачи Штурма-Лиувилля Lu=7u с краевыми усло-
виями (43.6) (соответствующая собственная функция и = const).
Перепишем тогда уравнение (43 7) следующим образом.
L^i/x) s —(х + 2)2 (/'(*) + (х + 2)t/(x) + т^х) = (X + т)Цх) + 7(х)
Здесь константу т выберем так, чтобы дифференциальное уравне-
345
ние
Ци=О	(43.10)
несложно решалось. Дело в том, что впоследствии при построении
функции Грина будут участвовать решения этого уравнения. В
данном случае мы получаем так называемое уравнение Эйлера,
решения которого имеют вид (х+2)®. Например, если выбрать
IYI = 3, то общее решение уравнения (43.10) есть
цх) = С,(х+2)3 + -^.
х+2
Тогда функция ц(х) = (х + 2)3 +
условиям (43.9) при х=-1, а
х=0.
3
----- удовлетворяет краевым
Х+ 2
йДх) = (х + 2)3 +-^?- - при
х + 2
Аналогично примеру 1 приходим к уравнению
L.t/x) s -f—— t/(x)l +--tXx) = (к + 3)	+ — ^Х\.
\Х+2	)	(х+2)3^ 1 '	'(х+2)3 (х + 2)3
Здесь уже оператор Штурма-Лиувилля L, положительно опре
nett. Уравнения £,17=0 и Ltu—C, очевидно, эквивалентны,
этому функция Грина G,(x,£) оператора L, с краевыми условие
(43.9) имеет следующий вид:
. f(x+2)3 + ~К)^ + 2)3 + -*®Д 1<х<£
п
К + 2)’+^(.
(х+2)з+	3
к+ 2
3
(х+2)2
.3 . 48
< х< 0
где к = -
*+2 3(х + 2)2-
<х+2)3-^
= 180.
1
Искомое интегральное уравнение выглядит так.
346
ЦХ) = (>. + Э	+
(S +_1	(ч +
§44. Свойства спектра задачи Штурма-Лиувилля.
Теорема Стеклова
44.1.	Кратность собственных значении. Пусть по-прежнему
(а; Ь) - ограниченный интервал, L — оператор Штурма-Лиувилля:
dx\ dx J
</x) e Qa; b], p(x) e C1[a; b] и p(x) > О при x e [a, ty. Продолжим
рассмотрение задачи Штурма-Лиувилля для уравнения
Lu = ки
на множестве
ML = {и. и е Сг(а, b) г\ С’[а,b], Lu <= Т2(а; Ь), (42.2*), (42.2* *)).
Согласно общим результатам §42 собственные значения этой
задачи — действительные числа, собственные функции, отвечаю-
щие различным собственным значениям, ортогональны в L2(a, b)
Более того, справедлива следующая
Теорема 1. Спектр оператора Штурма-Лиувилля L на множестве
ML простой, то есть кратность каждого собственного значения
равна единице.
Доказательство теоремы 1. Пусть ц и - две собственные
функции оператора L из класса ML, отвечающие собственному
значению А. Тогда функции ц и 14 являются решениями диффе-
ренциального уравнения второго порядка
Lu-ku = 0.
Заметим, что в точке X = а выполняются краевые условия
а1ц(а)-р1а{(а) = 0,
a1t4(a)-P1t/2(a) = O,
347
откуда W[a) s
ц(а) ц>(а)
4(a) 4(a)
= О, и по соответствующей теореме из
курса дифференциальных уравнений W[x) s 0, то есть решения ц
и 14 линейно зависимы 
44.2.	Теорема Стеклова.
Лемма 1, Пусть X — О не является собственным значением по-
ставленной выше задачи Штурма-Лиувилля, G(x,^) - функция
Грина этой задачи, G - интегральный оператор с непрерывным
невырожденным эрмитовым ядром G(x,£) Тогда функция
4х) е ML является собственной функцией задачи Штурма-
Лиувилля, отвечающей собственному значению X, тогда и только
тогда, когда i/x) является собственной функцией интегрального
оператора G, отвечающей характеристическому числу X
Доказательство леммы I Утверждение леммы 1 является ча-
стным случаем теоремы 1 из §43 
Для оператора G можно воспользоваться результатами преды-
дущей главы: множество характеристических чисел счетно и имеет
единственную предельную точку на бесконечности.
Пусть ХС,Х;, - характеристические числа оператора G (соб-
ственные значения оператора L), занумерованные в порядке воз-
растания (0 < Хо < X, <.. ), Ф1(х),<р2(х),	- соответствующие
нормированные в L2(a, b) собственные функции Рассмотрим про-
извольную функцию t/x) из ML. Ее образ V-Lu принадлежит
классу L2(s;b)r С(й,Ь), и и истокообразно представима через
ядро G(x,£)-
<Xx)=fG(x^№)^.
а
Следовательно, по теореме Гильберта-Шмидта (см. §41) имеет
место следующее разложение в равномерно сходящийся на отрезке
[a, fcj ряд:
4х) =
/=о х,	/=0
348
или
</х) = ^(Мф,)ф,(х)	(44.1)
1=0
Тем самым, в случае, когда А - 0 не является собственным
значением задачи Штурма-Лиувилля, доказана следующая
Теорема 2 (Стеклова). Любая функция и(х) из класса ML раз-
лагается в равномерно сходящийся иа отрезке [цЬ] ряд Фурье
(44.1) по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.
Доказательство теоремы 2. Осталось показать, что теорема 2
остается справедливой и в случае, когда А = О - собственное зна-
чение. Сделаем сдвиг по спектру, рассмотрев оператор
Ц - L-yE, где у - произвольное число, отличное от всех собст
венных значений задачи Штурма-Лиувилля для оператора L. Опе-
ратор L, обратим, поэтому функция ц(х) с ML истокообразно
представима через ядро G|(x,^), функцию Грина оператора L^,
следовательно, и(х) разлагается в равномерно сходящийся на от-
резке [ajfc] ряд (44.1) по собственным функциям оператора
Остается заметить, что у оператора Ц собственные функции те
же, что и у оператора L 
Глава X
Решение краевых задач для уравнения
Лапласа в R3 с помощью потенциалов простого
и двойного слоя
§45. Постановка основных краевых задач для
уравнения Лапласа в R3. Вопросы единственности
45.1.	Внутренние задачи Дирихле и Неймана. В заключение
курса рассмотрим основные краевые задачи для уравнения Лапла-
са в R3. По типу области эти задачи делятся на внутренние и
внешние, а по типу граничных условий - на задачи Дирихле и
Неймана.
Сформулируем основные задачи для ограниченной области
DcR3 с достаточно гладкой границей dD (должно иметь смысл
понятие правильной нормальной производной на поверхности
cD).
Внутренняя задача Дирихле', найти гармоническую в области D
функцию и(х), непрерывную на замыкании D и удовлетворяю-
щую граничным условиям
<««00 =	<45 ’)
где Ц)(х) - заданная и непрерывная на SD функция.
Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области D
функцию t/x), непрерывную на замыкании О, имеющую на по-
ди
верхности ди правильную нормальную производную — и удов-
дп
летворяющую граничным условиям
350
ди(х)
ХеДО
= Ц(х),
(45.2)
где ц(х) - заданная и непрерывная на dD функция, п - внешняя
единичная нормаль к границе dD области D.
Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа
имеет не более одного решения. Разность двух любых решений
внутренней задачи Неймана (если таковые существуют) тождест-
венно равна константе.
Доказательство теоремы 1. Для задачи Дирихле утверждение
теоремы уже доказывалось в §23, исходя из принципа максимума
для гармонических функций.
Для того, чтобы доказать часть утверждения теоремы, касаю-
щуюся внутренней задачи Неймана, воспользуемся третей форму-
лой Грина. Пусть и(х) и и{х) - два решения внутренней задачи
Неймана. Тогда их разность i/x) = и(х) - й(х) является решением
внутренней задачи Неймана с однородными граничными условия-
ми. Следовательно, справедлива следующая цепочка равенств:
0= JJJuAudx =	JJfH2dx = -Jff|V^2dx,
D	80 UI	D	D
откуда получаем, что градиент Vt/ тождественно равен нулю в D,
и следовательно, функция и является константой 
Теорема 2 (необходимое условие разрешимости внутренней за-
дачи Неймана) Для разрешимости внутренней задачи Неймана
необходимо, чтобы граничная функция удовлетворяла условию
Дц(х)^=О	(45.3;
ж
(сравните с леммой I §33).
Доказательство теоремы 2. Пусть решение (/х) внутренней
задачи Неймана существует. Запишем вторую формулу Грина для
функций и(х) и Цх) = 1
0= -iAv)dx-	Я**л.
о	до	до	гого
то есть для ц(х) должно выполняться условие (45.3) 
351
45.2.	Внешние задачи Дирихле и Неймана. Пусть по-
прежнему D — ограниченная область в R3 с достаточно гладкой
границей dD. Рассмотрим задачи для уравнения Лапласа в неогра-
ниченной области R3 \ D.
Внешняя задача Дирихле', найти гармоническую в области
R3 \ В функцию i/x), непрерывную на замыкании R3 \ D, регу-
лярную на бесконечности и удовлетворяющую граничным услови-
ям (45 I)
Внешняя задача Неймана' найти гармоническую в области
R3 \О функцию с<х), непрерывную на замыкании R3 \D, регу-
лярную на бесконечности, имеющую на поверхности dD правиль-
ди
ную нормальную производную — и удовлетворяющую гранич-
ил
ным условиям (45.2).
Замечание 1. Здесь как и в предыдущем пункте нормаль п явля-
ется внешней по отношению к области D (то есть внутренней по
отношению к области R3 \ П ).
Замечание 2 Нормальные производные, участвующие в гра-
ничных условиях внутренней и внешней задач Неймана, являются
по сути разными. А именно, пусть 6Dp = {х • х + рп с dD] эк-
видистантная поверхность (см. §19), тогда граничные условия для
внутренней задачи Неймана запишутся в ваде
.. ди
s lim—
р-иодп
ди
дп
= Ц,
го
а для внешней -
ди
дп+
= Ц-
аог
ди _
го
s lim—
р-*~°дп.
о	с	ди	,
Введенные здесь обозначения --- и ---- будут использоваться в
дп дп
дальнейшем
Теорема 3. Внешние задачи Дирихле и Неймана могут иметь не
более одного решения
Доказательство теоремы 3 Пусть и и и - два решения внеш-
352
ней задачи Дирихле. Тогда их разность (I- U - и является реше-
нием внешней задачи Дирихле с однородными граничными усло-
виями. Рассмотрим два шара Вг и Вя с центрами в начале коорди-
нат и достаточно большими радиусами г и R соответственно, при-
чем R > г и £) с. Вг. Далее воспользуемся принципом максимума
для функции и в ограниченной области \ D:
maxjd < tnaxld < так! maxltl maxld} = maxld.
Я'О	1	( Ж> 1 1 38R 1 *) d6R 1 1
Устремим радиус R к бесконечности и учтем, что функция и явля-
R-+<z>
ется регулярной на бесконечности, и следовательно, -> 0.
Получим [0Э(]ц| = 0, то есть функция и равна тождественному
нулю в Br \ D. Остается учесть, что радиус г может быть выбран
сколь угодно большим, следовательно, и = 0 в R3 \ О
Пусть теперь и и П - два решения внешней задачи Неймана
Тогда их разность и = и - и является решением внешней задачи
Неймана с однородными граничными условиями. Рассмотрим шар
ВЙ с центром в начале координат и достаточно большим радиусом
R (чтобы Е) с: Вй) и выпишем для функции и и области BR \ D
третью формулу Грина.
авр ип го
ян*
Обратим внимание на знак минус перед вторым интегралом в пра-
вой части правильная нормальная производная на границе dD по
отношению к области ВЛ \ D является производной по внутренней
нормали (см. рис. 19). Учтем теперь, что Ли-0 в Вд \ D и
ди
дп
= 0:
3D
ц,\о
(45 4)
12 В. Уросв
353
Рис. 22
Далее устремим радиус R к бесконечности и воспользуемся тем,
что функция и является регулярной, то есть и—
и
Н = о(И*)
при |xj -> <о, поэтому из очевидной оценки
< Ср?-3)  4л/Ч R->oo
вытекает, что левая часть равенства (45.4) стремится к нулю при
R —> оо. Следовательно, стремится к нулю и правая часть равенст-
ва (45.4), что возможно лишь в случае, когда интегрируемая неот-
рицательная функция |Vt^2 тождественно равна нулю во всей об-
ласти R3 \ D. Получили, таким образом, что t/= consf в R3 \ 5,
Н-»™	__
но U -> О, то есть и = О в R \ D 
§46. Потенциалы простого и двойного слоя и их
свойства (без доказательства). Потенциал двойного
слоя в случае постоянной плотности
46.1.	Основные определения. Реализуем идею доказательства
существования решений основных краевых задач для уравнения
Лапласа, состоящую в сведении этих задач к интегральным урав-
нениям Фредгольма второго рода, для которых доказаны одно-
354
именные теоремы. При этом используются потенциалы простого и
двойного слоя.
Пусть S — кусочно гладкая поверхность, являющаяся границей
некоторой ограниченной области De R3.
Определение 1. Пусть функция ц(х) задана и непрерывна на
поверхности S Потенциалом простого слоя с плотностью ц(х)
называется функция У'П)(х), определяемая по формуле
«6.1)
s Iх Я
Физический смысл потенциала простого слоя соответствует его
названию А именно, пусть на поверхности Л" расположены элек-
трические заряды с плотностью р (на единицу площади). Тогда
У°'(х) есть потенциал электростатического поля, создаваемого
заряженной поверхностью S’ в точке х
Определение 2 Пусть функция v(x) задана и непрерывна на
поверхности S Потенциалом двойного слоя с плотностью v(x)
называется функция Ич(х), определяемая по формуле
v(1)(x)=
(46.2)
355
где — внешняя единичная нормаль по отношению к области D
Физический смысл потенциала двойного слоя следующий.
Пусть на поверхности с плотностью v расположены электриче-
ские диполи, с единичным электрическим дипольным моментом
направленным вдоль нормали к S'. Тогда потенциал электростати-
ческого поля, создаваемого такой поверхностью в точке х, равен
(см. рис. 23(a)). Более того, если рассматривать каждый
диполь, как два противоположных заряда, расположенные на исче-
зающе малом расстоянии 25, то И'*(х) - потенциал электростати-
ческого поля, созданного двумя заряженными поверхностями
= {^: ^-n,5 gS} и S£ = {4. S + ^5gS} с плотностями
зарядов v/б и - v/Б соответственно (см. рис. 23(6)). Этим и обу-
словлено название потенциала И1,(х).
При обсуждении свойств потенциалов понадобится следующее
понятие.
Определение 3. Поверхность S в пространстве R3 называется
поверхностью Ляпунова, если выполнены следующие три условия
Ляпунова;
1)в каждой точке х поверхности S существует касательная
плоскость, и следовательно, единичная нормаль П*;
2)	существует такое число г0 > 0, что для каждой точки х часть
поверхности S, заключенная внутри сферы радиуса г0 с центром в
этой точке х, является связным множеством и пересекается не бо-
лее одного раза любой прямой, параллельной нормали пх;
3)	существуют такие числа С>0 и а, О < а < 1, что для еди-
ничных нормалей пк и пу в произвольных двух точках х и у по-
верхности S выполняется неравенство
|«х-Лу]^С|х-у|а
Поверхностями Ляпунова являются, например, дважды непре-
рывно дифференцируемые поверхности.
46.2.	Потенциал двойного слоя с постоянной плотностью.
Изучим свойства потенциала двойного слоя с постоянной плотно-
356
стью.
Теорема 1. Пусть D- ограниченная область в R3, границей ко-
торой является поверхность Ляпунова S. Тогда значение потенциа-
ла двойного слоя И1)(х) с постоянной плотностью v s const зави-
сит только от расположения точки х по отношению к области D
(вне, внутри, на границе), а от самой области не зависит.
Доказательство теоремы 1. Пусть D - произвольная область в
R3, границей которой является поверхность Ляпунова S, причем
"Ж?
De D. Рассмотрим произвольную фиксированную точку х, ле-
жащую вне множества и \ D, и воспользуемся для области D \ D
1
и гармонических в ней функций ц(£) = i-г и Ц^) = const = v
Iх ~"М
второй формулой Грина;
° = Я1К“ -	= flfи -	=
Яс* 1	. fr д 1	,
дп^ +	|х-^Р ’
здесь - внешняя единичная нормаль по отношению к области
D\D.
Далее рассмотрим три случая.
I)	Пусть точка х лежит вне замыкания D . Выберем и зафикси-
руем произвольную точку у g D и окружим ее шаром
Вг = ^Е, . |£, - }| < е| достаточно малого радиуса е такого, что
Bt cz D. В качестве поверхности S выберем границу шара Ц
Тогда
Ип(х) = v -- ; ds = -v f[ g- । 1 d^
Устремим e к нулю, стягивая тем самым поверхность S в точку,
----т----;d& -> О. Следовательно, V'*(х) = О. Отметим,
_0njx-^n
357
что для доказательства этого факта мы использовали только ку-
сочную непрерывность поверхности S.
2)	Пусть теперь точка х лежит на границе S области D. Окру-
жим х шаром В( : |t - xj < ej радиуса е такого, что е < г0 (г0
- число из второго условия Ляпунова для поверхности S), и введем
следующие обозначения: Г = дВЕ о D - часть сферы дВЕ, лежа-
щая внутри области £>, ГЕ = Srr 6Е часть поверхности S, лежа-
щая внутри шара б£ (см. рис. 24) Без доказательства примем
справедливость следующего утверждения:
гс_®____1_
-► О.
(46.3)
Теперь “заменим” часть Гь поверхности S на Г и воспользуемся
результатом, доказанным для предыдущего случая:
О- ff 5	г?" - ff 1 и гг д 1
=(4U	I* -	Да |х - в |х -
а 1
Далее, представим потенциал двойного слоя как сумму двух инте-
гралов:
V”(x) = vffA 1
1Ггп;|х-^

358
Я a 1 fr а 1	.
= v[[ g 1 ds - vl ffds.
c I!
Устремим e к нулю и учтем свойство (46.3)
V”’(x) = -2nv
3)	Остается рассмотреть случай, когда точка х лежит в области
Z>. Выберем в качестве поверхности S сферу малого радиуса е:
S = {Е, : |х - £] = е} . Тогда
и’|(х)==
В ходе доказательства получено
Следствие 1. В условиях теоремы 1 потенциал двойного слоя
равен следующим значениям:
0. xeD
И1)(х) =  -2xv, xeS.
-4nv, х € О
Можно показать (см. [2]), что потенциал двойного слоя имеет
разрыв на поверхности S при любой непрерывной плотности v(x),
причем для точки х0, лежащей на поверхности Ляпунова S, всегда
выполняются соотношения
V(1’(x0) lim И1’(х) = -2nv(x0) + V(1)(x0),	(46.4*)
X-kJQj
xeD
Vf»(x,) = lim И’»(х) = 2nv(x0) + V°’(xD)	(46.4**)
x«D
463. Потенциал простого слоя в частном случае. В отличие
от рассмотренного потенциала двойного слоя, потенциал простого
слоя - функция непрерывная во всем пространстве R3. В качестве
примера рассмотрим опять случай постоянной плотности
(ц = const), но уже для поверхности конкретной формы - сферы
359
с центром в начале координат и радиусом R. Найдем потенциал
в этом случае непосредственным вычислением интеграла
из формулы (46 1), для чего перейдем от переменной интегрирова-
ния £ к сферическим координатам (г,<р,0), выбрав в качестве оси,
от которой отсчитывается угол 0, вектор х
v»w=, ^sne <*=
$JX Я о о vM ~ 2/^x|cos6 + Я2
4лцЯ, х = О
4npR, < R
Для вычисления интеграла по dd мы перешли к переменной
t = COS0
Разрыв, как видно, имеет нормальная производная на сфере
(см рис. 25)
дп
= о.— И°>
Эл+ -
о?

где п внешняя по отношению к области D = Вр нормаль, и ис-
пользованы обозначения, введенные в предыдущем параграфе.
Для точек х, лежащих на поверхности S, рассмотрим интеграл
Он представляет собой формально продифференцированный по-
тенциал простого слоя и не имеет прямого отношения к нормаль-
ной производной, однако в литературе его иногда называют пря-
мым значением нормальной производной на поверхности S. В рас-
сматриваемом случае этот интеграл легко вычисляется:
360
% &>, |x-«P |x-E,p “*
= -2ярЯ f—^O-cosS) 3neo6 =	r «_ =
.(2tf-a?a»e^
- -2лц, x e S
Здесь мы воспользовались теми же приемами, что и при вычисле-
нии И°’(х).
Можно показать (см. [2]), что для произвольной непрерывной
плотности р(х) потенциал простого слоя И°*(х) имеет правиль-
3	с
ные нормальные производные И0) и И01 на поверхности
Ляпунова S, причем для точки х0 е S справедливы следующие
соотношения:
£
V™(X0) = -2Ж(ХО) +	. (46.5*.)
361
46.4.	Свойства потенциалов простого и двойного слоя. Пусть
S'— поверхность Ляпунова, являющаяся границей ограниченной
области D ст R3, ц(х) и v(x) - непрерывные на S' плотности по-
тенциалов простого и двойного слоя соответственно. Тогда спра-
ведливы следующие свойства потенциалов:
1)	потенциалы V*0)(x) и ^’’(х) являются гармоническими в
областях D и R3 \ D функциями;
2)	потенциалы И0)(х) и И1,(х) являются регулярными на бес-
конечности;
3)	потенциал И0)(х) непрерывен в R3, а потенциал И’^х)
терпит разрыв первого рода на поверхности S, причем выполняют-
ся равенства (46 4*) и (46.4**);
4)	правильные нормальные производные —— VTO и —— И0) на
дп дп
поверхности S существуют и подчиняются равенствам (46.5*1 и
(46.5**) соответственно.
Доказательство свойств. Мы уже обсудили и оставили без до-
казательства свойства 3 и 4. Обоснуем теперь остальные свойства.
1
Свойство I очевидно, так как для £, е S функции ——и
являются гармоническими пог в 2) и R3 \ D. и диффе-
ренциальные операторы первого и второго порядков (в том числе и
лапласиан “ Дх”) можно внести под знак интеграла по компакту S.
Для доказательства второго свойства воспользуемся теоремой 1
§36, согласно которой достаточно доказать стремление И0)(х) и
У,1>(х) к нулю при |х| -> со. Поскольку S является компактом и
функции ц(£) и v(^) непрерывны на S, то существует постоянные
Сил такие, что для х, по модулю превосходящих а, выполняются
неравенства
ажЖ<£	<_£
д___1_
аа |x-d
362
Следовательно,
и
|v™(x)|sfl|vK)|-
s
Тем самым доказали стремление У*0)(х) и У*п(х) к нулю при
|х|->со 
Для дальнейшего полезно обратить внимание на следующие
замечания.
Замечание 1 Потенциал И1,(х) не просто регулярная на беско
нечности функция, на самом деле он убывает при [х| -» <ю как
О-
Замечание 2. Из следствия 1 вытекает, что функция
v{x) s cons?, х G S является собственной для интегрального опе-
ратора с полярным ядром К(х,£) = ^~ ।(x,£)gSxS, а
1
число X =	---характеристическим. Позже будет доказано, что
2л
кратность этого характеристического числа равна единице.
§47. Сведение внутренней задачи Дирихле и внешней
задачи Неймана к интегральным уравнениям.
Применение теории Фредгольма
47.1. Сведение внутренней задачи Дирихле к интегральному
уравнению. В этом параграфе считаем, что D - ограниченная об-
ласть в R3, границей которой является поверхность Ляпунова S.
Рассмотрим для уравнения Лапласа в области D внутреннюю
задачу Дирихле с граничными условиями (45 1). Потенциал двой-
ного слоя является гармонической в D функцией, причем для его
363
значений на поверхности S' справедливо равенство (46.4*) По этой
причине имеет смысл искать решение ы(х) внутренней задачи
Дирихле в следующем виде.
Чх) =
И^х), хеО
У0,(х). xeS’

- потенциал двойного слоя с
непрерывной плотностью v(£), которую необходимо найти, исхо-
дя из граничных условий (45.1):
4j(x) = И’Чх) = -2nv(x) +	1 .сЦ, X Е S.
Таким образом, для решения внутренней задачи Дирихле доста-
точно найти решение v(£) е C(S) неоднородного интегрального
уравнения Фредгольма второго рода
v(x) ^(хЛ)^ ~^(x),xeS	(47.1)
с полярным ядром — К,(х,£) - —---7----(х,£) € Sx S.
2п	2п дп^ |х-£[
47.2. Сведение внешней задачи Неймана к интегральному
уравнению. Рассмотрим теперь внешнюю задачу Неймана для
уравнения Лапласа с граничными условиями (45.2). Ее решение
t/x) имеет смысл искать в виде потенциала простого слоя И0>(х),
поскольку существует правильная нормальная производная
---И0) на поверхности S, для которой к тому же выполняется
дп+
равенство (46.5**):
<хх)=1/™(х)=Яиа^сЧ-
Граничные условия (45.2) приводят к следующему уравнению на
плотность р(^)'
364
4(x),^V<»4x> = -2nH(x)+	xeS
Итак, для решения внешней задачи Неймана достаточно найти
решение р(£) е C(S) неоднородного интегрального уравнения
Фредгольма второго рода
(К(*ЛМО<^ =-^-Ц(х), xc-S (47.2)
2п "	4	2п
1	13	1
с полярным ядром — К0(хЛ) =-----—7----Г, (Х,Е) е Sx S.
2п	2л дпх |х -
473. Анализ полученных интегральных уравнений. Конечно
мы рассмотрели пару именно таких краевых задач не случайно
интегральные уравнения (47.1) и (47.2) являются союзными и для
них справедливы теоремы Фредгольма. Следовательно, достаточно
,	1
выяснить, является ли число Л = характеристическим для ядра
2л
К0(х, О или ядра Х,(х. £,). Проще это сделать для ядра К0(х, £,).
1
Лемма 1. Число А - — не является характеристическим чис
лом для ядра К0(х,£), и следовательно, для сопряженного ядра
К,(хЛ)
Доказательство леммы 1. Допустим противное: Л = — - ха-
2л
рактеристическое число для ядра К0(х, £,), ЦО(Е,) - coo i ветл кую-
щая собственная функция, то есть выполняется следующее соот-
ношение-
Мо(*) - flМ*. ЗДчХЗДЧ = °> X € S
S
Рассмотрим функцию и(х), равную потенциалу простого слоя с
плотностью Ро(^):
365
Согласно свойствам потенциала простого слоя сужение w(x)|R3,D
является решением внешней задачи Неймана с однородными гра-
ничными условиями*
д	гг
и(х) = -2тср0(х) + fj Ко(хЛ)М£КЧ = °*
оп	S
Следовательно, по теореме 3 §45 vv{x)JR3XD = О
Вспомним теперь, что и{х) — непрерывная в R3 функция, гар-
моническая в £>, и мы доказали, что w(x)]s « О, поэтому сужение
w(x)lfc можно рассматривать как решение внутренней задачи Ди-
рихле с однородными граничными условиями. Следовательно, по
теореме 1 §45 и(х)1й = 0.
Итак, <л(х) = О в R3 Остается воспользоваться равенствами
(46 5*) и (46.5**):
4лц(х) = — и(х) - ~ и(х) = 0, х е S,
дп дп
то есть р(х) = 0, что противоречит определению собственной
функции 
Из леммы 1 согласно альтернативе Фредгольма вытекает
Следствие 1. Интегральные уравнения (47.1) и (47.2) разреши
мы в классе C(S) при любых непрерывных правых частях.
Тем самым доказана следующая
Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле и внешняя задача Ней
мана разрешимы для любых непрерывных граничных функций
Uq(x} и Ц(Х) соответственно.
§48. Сведение внешней задачи Дирихле и внутренней
задачи Неймана к интегральным уравнениям.
Потенциал Робэна
48.1.	Сведение внутренней задачи Неймана к интегрально-
му уравнению. В этом параграфе будем опять полагать, что D -
ограниченная область в R3, границей которой является поверх-
ность Ляпунова А’
366
Рассмотрим для уравнения Лапласа в области D внутреннюю
задачу Неймана. Ищем решение и(х) этой задачи в виде потенциа-
ла простого слоя И0,(х) с некоторой непрерывной плотностью
(48.1)
Цх)=И0>(х)=||и(^г1-|С^
s Iх Ч
Граничные условия (45.2) в сочетании с равенством (46.5*) приво-
дят к следующему уравнению на плотность	е C(S) •
Ч<Х) = ^И‘’(Х) = 2^(Х,+	*es.
Таким образом, для решения внутренней задачи Неймана доста-
точно решить неоднородное интегральное уравнение Фредгольма
второго рода
Р(х) + Jf Ко(хЛ)Р(Ос^ = ^Ц(х). х 6 S’
0	1
где К0(х,£) =	, (х,^) с Sx S - полярное ядро.
48.2.	Потенциал Робэна. Выясним, при каких условиях на пра-
вую часть интегральное уравнение (48.1) разрешимо. Для этого
рассмотрим союзное однородное уравнение
V(x) + ~ fjK1(x,Ov(^)c^ 0. х еS,
S
0	1
где К,(х,£) = ——.--т, (х,у eSxS - сопряженное к К0(х,£)
(48.2)
ядро
Уравнение (48.2) заведомо имеет как минимум одно линейно
независимое решение v = 1 (см. §46). Согласно второй теореме
Фредгольма для разрешимости уравнения (48 I) необходима орто-
гональность функций Ц и v = 1, то есть выполнение условия
JfmU<^=0.	(48.3)
s
Необходимость этого условия уже доказывалась и из других сооб-
367
ражений (см теорему 2 §45). Обоснуем теперь достаточность ус-
ловия (48.3), показав, что кратность характеристического числа
1
А =	— для ядра /СДх,^) равна единице.
Z7T
Этот факт проще доказать для сопряженного однородного
уравнения
р(Х) +	JJКО(Х, □iXQds = о, X с S. (48.4)
По первой теореме Фредгольма уравнения (48.2) и (48.4) имеют
одинаковое количество линейно независимых решений. Следова-
тельно, достаточно доказать, что существуег только одно линейно
независимое решение уравнения (48.4), которое мы обозначим
р0(х) Ддя этого понадобятся две следующие леммы
Лемма I. Пусть непрерывная на S функция ц(х) удовлетворяет
уравнению (48 4) Тогда потенциал простого слоя И°!(х) с плот-
ностью ц(х) тождественно равен константе в замыкании D
Доказательство леммы 1. Потенциал И°\х) из формулировки
леммы 1 является гармонической в D функцией, причем в силу
равенства (48 4) выполняются следующие граничные условия:
И°’(х) = 2др(х) + ДК0(хЛ)ц(УсЦ - С, х <= S.
Следовательно, И0)(х)1^ решение внутренней задачи Йеймана с
диородными граничными условиями, то есть \/0)(х) = const в О

Лемма 2. Пусть р(х) решение уравнения (48.4), при котором
потенциал простого слоя И0,(х) с плотностью ц(х) обращается в
ноль на замыкании D Тогда функция И0,(х) тождественно равна
нулю во всем пространстве R3, а плотность р(х) тождественно
равна нулю на поверхности S.
Доказательство леммы 2 Потенциал Vt0,(x) из формулировки
леммы 2 является гармонической в R3 \ D функцией, регулярной
368
на бесконечности, причем И0)(х^ = О, так как по условию
И0,(х) f 0 r D. Следовательно, сужение l^0)(x)]R»XD можно рас-
сматривать как решение внешней задачи Дирихле с однородными
граничными условиями, что в силу теоремы 3 §45 означает равен-
ство И°’(х) тождественному нулю в R3 \ D. Таким образом,
И0>(х) = О в R3, Остается учесть, что
4лц(х) = — И°’(х) -	И°’(х) = О, х е S,
дп	дп
то есть ц(х) s 0 на £
Рассмотрим теперь потенциал простого слоя и(х) с плотно-
стью ц0(х). По лемме 1 этот потенциал тождественно равен в D
некоторой константе Со, причем по лемме 2 Со * О, так как р0(х)
- нетривиальное решение. Следовательно, потенциал простого
слоя с плотностью - р.0(х)/С0 будет тождественно равен еди-
нице в D.
Определение 1. Потенциал простого слоя, тождественно равный
единице в замыкании D, называется потенциалом Робэна.
Корректность этого определения очевидна: существование по-
тенциала Робэна мы только что доказали, а его единственность
следует из леммы 2 (в классе C(S) существует единственная
функция, являющаяся плотностью потенциала Робэна).
Более того, лемма 2 позволяет доказать единственность линей-
но независимого решения уравнения (48.4). В самом деле, пусть
ц,(х) - произвольное нетривиальное решение уравнения (48.4),
тогда согласно лемме 1 потенциал простого слоя с плотностью
цДх) тождественно равен константе /Ц в D, причем по лемме 2
Следовательно, функция pJxJ/C, является плотностью
потенциала Робэна, что в силу единственности последнего означа-
ет 1 — з , X е S, то есть функции щ(х) и р0(х) линейно
369
зависимы.
Итак, доказали следующую теорему.
Теорема 1, Интегральное уравнение (48.1) разрешимо в классе
C(S) при любой непрерывной правой части, ортогональной на
поверхности 5 функции, тождественно равной единице.
Следствие 1. Внутренняя задача Неймана разрешима для любой
непрерывной граничной функции ц(х), удовлетворяющей усло-
вию (48.3).
Замечание 1 Факт определенности решения внутренней задачи
Неймана с точностью до постоянного слагаемого в рамках теории
интегральных уравнений вытекает из того, что существует нетри-
виальное решение однородного интегрального уравнения (48.1),
являющееся к тому же плотностью потенциала Робэна.
Обсудим некоторые особенности потенциала Робэна.
Замечание 2. Потенциал Робэна — регулярная на бесконечности
гармоническая функция, поэтому вне области он заведомо отличен
от константы.
Замечание 3 Физический смысл потенциала Робэна следую-
щий. Пусть S - проводящая поверхность, на которую подан еди-
ничный (относительно бесконечно удаленных точек) потенциал.
Тогда электрический заряд сам будет распределяться по поверхно-
сти S. В результате возникнет электростатическое поле, потенциал
которого и будет являться потенциалом Робэна
Пример 1 Пусть потенциал простого слоя на поверхности <S то-
ждественен единице, будет ли он тождественен единице в области
£>?
Решение. Из физических соображений ответ утвердительный.
Формально этот результат следует из единственности решения
внутренней задачи Дирихле с граничной функцией, тождественно
равной единице.
Пример 2. Доказать, что плотность потенциала простого слоя,
равного на поверхности единице, удовлетворяет уравнению (48.4).
Решение. Такой потенциал можно рассматривать, как решение
внутренней задачи Неймана, граничные условия в которой одно-
родны в силу предыдущего примера. Остается воспользоваться
равенством (46.5*)
370
48.3.	Существование решения внешней задачи Дирихле. Ос*
талось рассмотреть внешнюю задачу Дирихле Искать ее решение
в виде потенциала двойного слоя заведомо бессмысленно, так как
этот потенциал слишком быстро убывает при |xj -»со (как
С^|х| 2 j ). Попробуем к этому потенциалу добавить гармоническое
слагаемое, имеющее “утерянный” потенциалом двойного слоя
порядок 0^|х] Именно, решение и(Х) внешней задачи Дирихле
будем искать в следующем виде.
А	[И1)(х), xeD
и(х) = 1---г +
х-х0	v':(x), XeS
где % - произвольная фиксированная точка, принадлежащая об-
ласти D, А - неизвестная постоянная, Ип(х) - потенциал двойне
го слоя с неизвестной плотностью v{x).
Граничные условия (45.1) в этом случае запишутся следующим
образом
А	А	гг А 1
=	' v-’W =	+ 2"v(x) + fvB a^j^j ** ’
ИЛИ
2nv(x) + fjKt(x,£)v{^ = Ц,(х) - 7-^-j. X e S (48.5)
s	Г *o|
Согласно второй теореме Фредгольма и результатам предыдущего
пункта интегральное уравнение (48.5) разрешимо тогда и только
тогда, когда его правая часть ортогональна плотности потенциала
Робэна pR(x):
й[ч>(О-^л]ия(У<^ =0.	(48.6)
По определению потенциала Робэна для точки е D выполнено
равенство
371
*<****.4
поэтому легко выбрать константу А так, чтобы условие (48.6) вы-
полнялось:
А=
s
Доказана
Теорема 2. Для любой непрерывной функции ц,(х) существует
постоянная А такая, что интегральное уравнение (48.5) разрешимо
в классе C(S).
Следствие 2, Решение внешней задачи Дирихле существует для
любой непрерывной граничной функции Ц^(х)
48.4.	Заключительные замечания.
1)	Описанные в двух последних параграфах способы отыскания
решений краевых задач для уравнения Лапласа удобны с теорети-
ческой точки зрения, но не являются единственными *). На практи-
ке иногда используют другие приемы.
Пример 3 Пусть область D с R3 является шаром радиуса R с
центром в начале координат Найти решения внутренней и внеш-
ней задач Дирихле для уравнения Лапласа.
Решение В обоих случаях будем искать решение и(х) в виде
суммы потенциала простого слоя И0,(х) с неизвестной плотно-
стью ц(х) и потенциала двойного слоя Ип(х) с неизвестной
плотностью v(x):
4х) = И°’(х) + V™(x), |хр R
Граничные условия (45 1) приводят к следующим уравнениям:
ц,(х) = И°>(х) + И1)(х) = И0)(х) - 2яу(х) + V'1,(x). |х| = Я
-	для внутренней задачи Дирихле, и
Ц)(х) = И°’(х) + V™(x) = И0)(х) + 2лу(х) + У,1)(х). |х| = Р
-	для внешней задачи Дирихле
’) Это связано с тем. что представление функции в виде суммы потенциалов
простого и двойного слоя не является единственным
372
v	a 1 (x,o-tf
Учтем, что ----7----:	- —-—---=-, и преобразуем полу-
ченные уравнения следующим образом:
Ч(х) ± 2tiv(x) = JJ ----- * -------------Ld%. |xj = R.
4l=R	П* - M
Здесь и везде далее верхний знак соответствует внутренней задаче
Дирихле, а нижний - внешней. Уравнения будут выполнены, если
потребовать
v(x) = T^4j(x) и д(х) = -^v(x).
Z71	ZrY
Таким образом, для решения и(х) получаем выражение
Я Zn|£|=R ПХ~Я
или
Получен уже знакомый результат - интеграл Пуассона (см. §35).
2) Мы рассматривали краевые задачи только для уравнения Ла-
пласа, то есть однородного уравнения Пуассона, без ущерба общ-
ности, поскольку от уравнения Пуассона при условии достаточной
гладкости правой части можно перейти к уравнению Лапласа с
помощью объемного потенциала (см. §36).
3) Можно построить аналогичную теорию и для других размер-
ностей п пространства, например для п - 2. Мы же рассмотрели
случай П = 3 по причине наибольшей практической значимости.
373
Учебное пособие
Владимир Михайлович У роев
Уравнения математической физики
Редактор А Е. Бибичев
ЛР 063994 от 24 марта 1995 г
Формат 60x90 1/16 24 п л.
Тираж 5 000 экз. Заказ 87079
Отпечатано с диапозитивов заказчика В. Секачева
в АО «Молодая Гвардия»,
г Москва, ул. Сущевская, 21