С. Г. МИXЛИН
ЛЕКЦИИ
по
ЛИНЕЙНЫМ
ИНТЕГРАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
Допущено
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебного пособия
для механико-математических
и физико-математических
факультетов университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1959

Соломон Григорьевич Михлин
Лекции по линейным интегральным уравнениям
Редактор Я. Е. Зубер.
Технич. редактор Р. Г. Польская Корректор Е. А. Максимова.
Сдано в набор 15/V 1959 г. Подписано к печати 29/VIII 1959 г. Бумага 84X108 уи.
Печ. л. 11,89. Уч.-изд. л. 11,52. Тираж 25 000 экз. Цена 4 р. 45 к. Т-06375 Зак. 385.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71. Ленинский проспект, 15.
Типография JV? 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., '29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Краткий исторический очерк 7
Глава I. Уравнения Фредгольма
§ 1. Понятие об интегральных уравнениях 14
§ 2. Скалярное произведение и норма. Ортогональность 16
§ 3. Оператор Фредгольма и его степени.
Итерированные ядра 29
§ 4. Метод последовательных приближений 36
§ 5. Уравнения Вольтерра 41
§ 6. Уравнение Абеля 46
§ 7. Понятие о резольвенте 51
§ 8. Системы линейных алгебраических уравнений ... 56
§ 9. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами . 59
§ 10. Общий случай уравнения Фредгольма 62
§ 11. Сопряженное уравнение Фредгольма 72
§ 12. Теоремы Фредгольма 77
§ 13. Резольвента 81
§ 14. Случай многих независимых переменных 88
§ 15. Уравнения со слабой особенностью 90
§ 16. О непрерывности решений интегрального уравнения 101
§ 17. Системы интегральных уравнений 108
§ 18. Примеры нефредгольмовских интегральных
уравнений 112
Глава II. Уравнения Риса — Шаудера
§ 19. Основные понятия об операторах 118
§ 20. Метод последовательных приближений для
уравнений, содержащих ограниченный оператор 124
§ 21. Вполне непрерывные операторы 127
§ 22. Решение уравнений Риса — Шаудера 132
§ 23. Распространение теорем Фредгольма 135

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Симметричные интегральные уравнения
§ 24. Симметричные ядра 137
§ 25. Основные теоремы р симметричных уравнениях. . 138
§ 26. Теорема существования характеристического числа 140
§ 27. Теорема Гильберта — Шмидта 146
§ 28. Решение симметричных интегральных уравнений . 154
§ 29. Билинейный ряд 157
§ 30. Билинейные ряды для итерированных ядер .... 160
§ 31. Резольвента симметричного ядра 163
§ 32. Экстремальные свойства характеристических чисел
и собственных функций 165
Глава IV. Приложения интегральных уравнений
§ 33. Интегральные уравнения теории потенциала в
трехмерном пространстве 167
§ 34. Решение краевых задач теории потенциала .... 174
§ 35. Решение внешней задачи Дирихле 178
§ 36. Уравнения теории потенциала в многомерных
пространствах 180
§ 37. Уравнения теории потенциала на плоскости . . . 183
§ 38. Краевая задача для обыкновенного
дифференциального уравнения 190
§ 39. Собственные числа и собственные функции
обыкновенного дифференциального оператора 197
§ 40. Обоснование метода Фурье 205
§ 41. Функция Грина для оператора Лапласа 209
§ 42. Собственные функции задачи о колебании
мембраны 217
Упражнения 223

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой расширенное
изложение лекций, читанных автором в Ленинградском
университете. Теория Фредгольма строится на основе аппроксимации
(но без последующего предельного перехода) данного ядра
вырожденным; такое построение, помимо его простоты,
привлекательно еще тем, что оно очевидным образом
связывает уравнения Фредгольма как с линейными алгебраическими
системами, так и с более общими уравнениями,
содержащими вполне непрерывные операторы. В пользу данного
построения теории Фредгольма говорит и то, что оно
принято в ряде книг, появившихся за последние годы; упомянем
в этой связи вышедшие одновременно в 1947 г. «Лекции
по интегральным уравнениям" И. Г. Петровского,
„Уравнения математической физики" С. Л. Соболева и монографию
автора „Приложения интегральных уравнений", а также
недавно вышедшую книгу Ф. Трикоми (F. G. Tricomi, Integral
equations, Interscience Publishers, New York, London, 1957),
По сравнению с ранее вышедшими курсами интегральных
уравнений настоящая книга имеет ряд особенностей. Прежде
всего, здесь не различаются случаи конечного и бесконечного
промежутков интегрирования. Ядро уравнения подчиняется
условию квадратичной суммируемости по основному
квадрату. В некоторых случаях налагается дополнительное
требование ограниченности однократного интеграла от квадрата
ядра; при этом условии удается доказать регулярную
сходимость ряда Неймана и ряда Гильберта — Шмидта, а также
некоторые теоремы об ограниченности или непрерывности
решений интегральных уравнений. Подробно исследуются
уравнения со слабой особенностью в многомерных
пространствах, что важно для многих приложений.
Другим новшеством является включение в книгу
небольшой главы, посвященной уравнениям, содержащим вполне
непрерывный оператор; автор называет их уравнениями

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Риса — Шаудера. Вполне непрерывный оператор в классе
квадратично суммируемых функций определяется как
оператор, который допускает разложение на сумму двух
операторов— вырожденного и сколь угодно малого по норме;
после этого теория Фредгольма почти автоматически
переносится на новый вид уравнений. Как частные случаи
получаются уравнения Фредгольма с квадратично суммируемым
ядром и уравнения со слабой особенностью; тем самым
дается еще один способ доказательства теорем Фредгольма
для уравнения со слабой особенностью.
Чтобы не увеличивать объема книги, автор в гл. III
рассматривает только симметричные уравнения Фредгольма,
оставляя в стороне симметричные интегральные уравнения,
содержащие вполне непрерывный оператор. Впрочем,
перенесение основных результатов на этот случай не встречает
особых затруднений.
В гл. IV, посвященной приложениям, несколько больше
внимания, чем обычно, уделяется многомерным задачам.
Задачи теории потенциала рассматриваются как на плоскости,
так и в трехмерном пространстве; указывается возможность
распространения основных результатов на многомерные
пространства. Задача о собственных числах и собственных
функциях рассматривается не только для обыкновенного
дифференциального оператора, но и для оператора Лапласа
на плоскости; результаты исследования используются для
обоснования метода Фурье.
В конце книги приведено небольшое количество
упражнений. Большая часть их — доказательство теорем, не
вошедших в основной*текст.
Автор воспользовался рядом замечаний, сделанных
акад. В. И. Смирновым и доц. Г. П. Акиловым, и
выражает им обоим свою глубокую благодарность.
Доц. Е. В. Маховер предоставила в распоряжение автора
подробные записи его лекций, чем облегчила работу над
книгой. Автор рад выразить Е. В. Маховер свою
искреннюю признательность.
Автор будет благодарен всем лицам, которые укажут
ему недостатки настоящей книги.
Ленинград
февраль 1959 г.
С. Михлин

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
Интегральными уравнениями обычно называют уравнения,
содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла.
Это определение достаточно нечеткое, поэтому вряд ли
возможно строить теорию интегральных уравнений вообще —
приходится исследовать отдельные, четко отграниченные
классы интегральных уравнений. В последующем речь будет
идти только о линейных интегральных уравнениях; более
точные ограничения, позволяющие с необходимой четкостью
выделить интересующий нас класс интегральных уравнений,
будут приведены в свое время.
Систематическое исследование интегральных уравнений
началось только в конце XIX в.; до этого работы по
интегральным уравнениям носили случайный характер. Один из
первых, если не первый, результат, который можно связать
с интегральными уравнениями, это формулы обращения
Фурье (1811)
оо
/(*) = -j/~i- fgtf) cos txdt, (1)
О
оо
g (х) =.|/"4 // (О cos '* dt- (2)
о
Можно считать, что формула (2) дает решение
интегрального уравнения (1), в котором g(x)— неизвестная,
a f(x)— данная функция. Другое интегральное уравнение
было получено Абелем, который рассматривал такую задачу:
материальная точка под действием силы тяжести движется
в вертикальной плоскости (?, т)) (черт. 1) по некоторой
кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы
материальная точка, начав свое движение без начальной скорости

8
КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
в точке кривой с ординатой у, достигла оси \ за время
t = f(y), где функция f(y) задана заранее.
Абсолютная величина скорости движущейся точки
v =Y2g(y — т)). Обозначая через а угол наклона
касательной к оси ?, имеем
Отсюда
77Г = — У2ё (У — Ч)sin а-
dt
dt =
V 2g (У —П)si" а '
Интегрируя в пределах от 0 до у и обозначая ^-7 = <р С*)),
_1^
sin а
получаем интегральное уравнение
Абеля
I
y==-V4f(y). (3)
которого будет дано
решение
в § 6.
Уравнение Абеля — одно из
сравнительно немногих^нтеграль-
ных уравнений, к которым непо-
Черт. 1 средственно приводит постановка
той или иной конкретной задачи
физики, механики и т. д. Значение интегральных
уравнений в первую очередь заключается в том, что к ним могут
быть сведены многочисленные задачи, относящиеся к
дифференциальным уравнениям.
Важным моментом в изучении линейных интегральных
уравнений явилась работа Волыперра (1896), в которой он
исследовал уравнения вида
<?(x) — lfK(x, s)<?(s)ds = f(x),
(4)
где <f(x) неизвестная функция, К(х, $) и/(з) данные функции,
X — численный параметр, и доказал, что если К(х, s) и/(з)
непрерывны в некотором сегменте [a, ft], то в этом сегменте
уравнение (4) имеет при любом значении X одно и только

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
9
одно непрерывное решение, которое можно построить по
методу последовательных приближений. Уравнения вида (4)
принято называть уравнениями Вольтерра,
Более трудными для исследования оказались
интегральные уравнения вида
ь
9(х) — \ f К(х; 4)<t(s)ds=f(x). я<*<&, (5)
а
которые отличаются от уравнений Вольтерра только тем,
что переменный верхний предел интеграла х заменен
постоянным пределом Ь. Уравнения вида (5) теперь называют
уравнениями Фредгольма. Необходимо, впрочем, указать,
что задолго до Фредгольма уравнения (5) изучали еще Лиу-
вилль и К. Нейман, которые применяли для решения этих
уравнений метод последовательных приближений; при таком
методе решение интегрального уравнения получается в виде
ряда, расположенного по степеням X („ряд Неймана").
В общем случае ряд Неймана сходится, если параметр X
достаточно мал, но для некоторых классов уравнений
Фредгольма сходимость имеет место в более общих условиях.
Так, упомянутый выше результат Вольтерра можно
сформулировать следующим образом: ряд Неймана для
уравнения (4) сходится при всех значениях X и, следовательно,
представляет собой целую функцию от X, если только ядро
и свободный член уравнения (4) непрерывны.
Заслуга Фредгольма состоит в том, что он исследовал
уравнение (5), в предположении непрерывности ядра K(x,s)
и свободного члена /(#), при всевозможных значениях X.
К основным результатам Фредгольма можно прийти
следующим путем. Интеграл в уравнении (5) заменяется
интегральной суммой; точное уравнение (5) заменяется
приближенным
<Р(х)-X2 К{х9 sj)ср(sj)bsj =/(*); (6)
полагая в формуле (6) лг = $ь s2t •••• sn* получаем
алгебраическую линейную систему относительно неизвестных
п
?(*<)—*2 К {Si, st) ср (sj) Asj =/(54); /=1,2 п. (7)

10
КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
Условия разрешимости системы (7) достаточно просты.
Именно, определитель этой системы
Dn(k) =
11 — XК (sb st) Дsi; — IK (sb 52) As2; ...; — lK(sb sn) Asn I
— X/((s2, siJAsx; 1 —X/<(s2, s2)As2;...; — X/C(s2, sn) AsJ
— XК (sn> «i) A«i; — Х/С($п. 52> W, ... 1 — X/C (5n, 5n) Asn I
есть полином относительно X; если X отлично от корней
этого полинома, то система (7) разрешима. Решив ее и
подставив полученные значения cp(5j) в формулу (6),
получим приближенное решение уравнения (5):
9(x)^f(x)^\Q(x'Sl'^-'Sn'l) , (8)
где Q и Dn — полиномы относительно X.
Пусть теперь max Asj-* 0. Оказывается, что если К(х, s)
и f(x) непрерывны, то Числитель и знаменатель второго
члена в формуле (8) стремятся соответственно к пределам
ь
if D(x, s; l)f(s)ds и D(X),
a
где D(X) и D(x, s; X) — некоторые целые функции от X;
если ввести так называемую „резольвенту Фредголъма"
L[xt s9 к)— D(k) ,
то формула
ь
<р(*) = /(*) + х/Г(*. s; l)f(s)ds (9)
а
определяет решение уравнения (5) для всех значений X, при
которых D(X) Ф 0.
Строгое обоснование упомянутых выше предельных
переходов довольно затруднительно, и в своих работах
Фредгольм обходится без такого обоснования; вместо этого
он дает способ непосредственного построения функций D(X)
и D(xt s; X) в виде рядов, расположенных по степеням X
(„ряди Фредголъма") и доказывает, что при D(X)=£0

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
11
формула (9) дает решение, и притом единственное,
уравнения (5).
Последующий анализ привел Фредгольма к важному
выводу, что для уравнений рассмотренного им типа
(„уравнений Фредгольма") справедливы основные теоремы*линей-
ной алгебры; к ним добавляется еще теорема Фредгольма
о распределении характеристических чисел — так
называются те значения X, при которых уравнение Фредгольма
может не иметь решения.
Фредгольм распространил свою теорию на системы
интегральных уравнений, а также на интегральные уравнения,
ядра которых не непрерывны, а имеют, по нашей
терминологии, „слабую особенность" (см. § 15).
Дальнейшие исследования линейных интегральных
уравнений проводились в основном в трех направлениях. С одной
стороны, выявлялись новые классы уравнений, для которых
верны основные теоремы линейной алгебры (с добавлением
теоремы Фредгольма о распределении характеристических
чисел). Так, оказалось, что нет необходимости предполагать
ядро непрерывным; достаточно, чтобы существовал двойной
интеграл
ь ь
f / \К(*> s)\2dxds. (10)
а а
Карлеман доказал, что при этом условии остаются
в силе фредгольмовские разложения в, ряды функций D(X) и
D(x, s\ X) и что эти функции остаются целыми; другое
доказательство, пригодное и для случая бесконечного
промежутка (a, b)t было дано автором настоящей книги. Общие
теоремы Фредгольма, а также формулы для „рядов
Фредгольма" D(X) и D(xts\ X), были затем распространены на
новые классы интегральных уравнений.
Решающий шаг в направлении дальнейшего
распространения теории Фредгольма был сделан Ф. Рисом, который
показал, что эта теория в своих основных чертах остается
справедливой для уравнений, в которых интегральный
оператор Фредгольма
ь
f K(xt s)<((s)ds
а

12
КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
заменяется произвольным так называемым вполне непре*
рывным оператором, действующим в некотором
пространстве ^Банаха, а данная функция f(x) и искома^ ср(дг) —
данным и искомым элементами того же пространства.
Результаты Риса были существенно дополнены /О. С. Шаудером,
который полностью распространил теорию Фредгольма на
уравнения с вполне непрерывными операторами.
Второе направление связано с теорией ортогональных
разложений и заключается в исследовании симметричных
интегральных уравнений, для которых К(х, s) — K(s, х).
Фундаментальные результаты в этом направлении были
получены в первом десятилетии нашего века Гильбертом и
Э. Шмидтом. Коротко эти результаты можно
охарактеризовать следующим образом. Тгория симметричных интегральных
уравнений может быть построена независимо от теории
Фредгольма, хотя симметричные уравнения и являются
частным случаем уравнений Фредгольма. Для симметричных
интегральных уравнений установлены следующие основные
факты: характеристические числа таких уравнений
вещественны, а соответствующие им так называемые собственные
функции ортогональны. Всякая функция вида
ъ
f K(xt s)<p(s)ds,
а
где <p(s) — квадратично суммируема, разлагается в ряд по
собственным функциям ядра К(х, s); на этом основан,
между прочим, очень простой способ решения
симметричного интегрального уравнения, если только известны его
характеристические числа и собственные функции.
Дальнейшее развитие идей Гильберта, особенно в работах Карле-
мана, Ф. Риса и-Я. Неймана, привело к созданию теории
операторов в гильбертовом пространстве, играющей в
настоящее время столь важную роль в анализе и в теоретической
физике.
Третье направление связано с исследованием таких урав-
йений, для которых неверна одна из основных теорем
линейной алгебры, а именно теорема о том, что два
сопряженных однородных уравнения имеют равные количества
линейно независимых решений. Важным классом таких
уравнений являются так называемые сингулярные интегральные

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
13
уравнения) входящий в такое уравнение интеграл расходится
в обычном смысле и должен быть понимаем в смысле его
главного значения по Коши. Основы теории таких
уравнений заложены в работах Гильберта, Пуанкаре, Карлемана
и Нетера\ эта теория, обстоятельно разработанная рядом
позднейших исследователей, была затем распространена на
широкие классы уравнений в банаховских пространствах.
Отметим еще, что в последнее время получила
значительное развитие теория нелинейных интегральных
уравнений, основы которой были заложены трудами А. М.
Ляпунова, Э- Шмидта, Я. С. Урисона и Гаммерштейна.
Ко всему сказанному здесь следует добавить, что
большое количество исследований было посвящено
всевозможным приложениям интегральных уравнений. Объем и
разнообразие этих исследований столь велики, что
охарактеризовать их, даже очень кратко, здесь не представляется
возможным.

ГЛАВА 1
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
§ 1. Понятие об интегральных уравнениях
Мы будем рассматривать интегральные уравнения вида
ъ
<f(x) — f К(х, s)<f(s)ds=f(x)t
а
в которых неизвестной является функция ср (дг); функции f(x)
и К(х, s) предполагаются данными. Пределы
интегрирования а и Ь, вообще говоря, постоянны и йогут быть как
конечными, так и бесконечными; мы примем также, что
переменная х меняется в том же промежутке (a, b)t по
которому совершается интегрирование.
Функция fix) называется свободным членом
интегрального уравнения, функция К(х, s) — его ядром. Ядро K(xts)
определено на плоскости (a;, s) в квадрате а < х, s < bt
который мы будем далее называть основным. Основным же
мы будем называть и промежуток (а, Ь).
Обычно рассматривают не одно интегральное уравнение,
а семейство таких уравнений
6
<Р(*) — */*(*. s)<f(s)ds = f(x), (1)
а
где X произвольная численная величина, называемая пара"
метром уравнения (1).
Заметим, что переменные х и s мы считаем
вещественными, тогда как параметр X, функции ср(лг), f(x) и K(xt s)
могут принимать как вещественные, так и комплексные
значения.

§ 1] ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 15
Уравнения типа (1) принадлежат к классу линейны*
уравнений. Подробнее об этом будет сказано в § 3.
Уравнение (1) называется однородным% если /(a;)sO,
и неоднородным, если f(x)£Q.
Во всем последующем будем предполагать, не
оговаривая этого, что все рассматриваемые функции измеримы по
Лебегу; все интегралы также считаются лебеговыми.
Эквивалентные (т. е. почти всюду равные между собой) функции
считаются равными тождественно.
Уравнение (1) называется уравнением Фредгольма
второго рода, если его ядро и свободный член квадратично
суммируемы, первое — в основном квадрате, а второй —
в основном промежутке. Уравнением Фредгольма первого
рода называют уравнение вида
ъ
f K(xt s)<?($)ds = f(x)
а
при тех же предположениях относительно ядра и
свободного члена; эти уравнения большого значения не имеют, и
мы ими почти не будем заниматься.
По самому определению уравнения Фредгольма, его ядро
подчинено условию
ъ ъ
f f\K(xt s)\*dxds = В2<оо, (В)
а а
из которого вытекает, в силу теоремы Фубини, что интеграл
ъ
f\K(x, s)\*ds
о
существует для почти всех х£(а, Ь) и суммируем в (а, Ь)\
точно так же суммируем в (а, Ь) определенный для почти
всех $£(я, Ь) интеграл
ь
f\K(x, s)\*dx.
а
В некоторых случаях мы будем накладывать на ядро
следующее дополнительное условие:

16
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. J
Существует такая постоянная А что для всех
#€ (#. Ь) выполняется неравенство
ь
f\K(xt s)\*ds^A. (А)
а
Если промежуток (а, Ь) — конечный, то выполнение условия
(А) влечет за собой выполнение условия (В); в этом случае
постоянные А и В связаны очевидным соотношением
В*^А(Ь — а); (2)
в случае бесконечного промежутка условия (А) и (В)
независимы.
Как уже было указано, согласно определению уравнения
Фредгольма его свободный член f(x) квадратично суммируем
в основном промежутке (я, Ь), так что интеграл
ь
f\f(x)\*dx
а
конечен. Аналогичное требование наложим и на искомую
функцию: мы будем рассматривать только квадратично
суммируемые в основном промежутке решения уравнения
Фредгольма, т. е. только такие его решения, для которых
интеграл
ь
f\<?Wdx
а
имеет конечное значение.
§ 2. Скалярное произведение и норма. Ортогональность
Материал настоящего параграфа относится к тому
разделу теории функций вещественной переменной, в котором
изучаются квадратично суммируемые функции и ряды Фурье.
Мы приводим здесь, для облегчения ссылок, основные факты
из упомянутого раздела; ряд теорем мы даем без
доказательства. Подробное изложение относящихся сюда вопросов
можно найти, например, в курсе И. П. Натансона „Теория
функций вещественной переменной" (1957).

§ 2J СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И НОРМА 17
п°1. В настоящем параграфе мы рассматриваем функции,
квадратично суммируемые в промежутке (а, Ь). Пусть f(x)
и g(x) Две такие функции. Докажем, что интеграл1)
ъ
ff(x)g(X)dx
а
существует. Действительно, очевидное неравенство
l/w^wKyil/wp+kwi2]
показывает, что функция \f(x)g(x)\ не превосходит
суммируемой функции у [|/(лО|2-Н£(х)|2] и» следовательно,
сама суммируема. Упомянутый интеграл называется
скалярным произведением функций f(x) и g(x) п обозначается
символом (/, g), так что
ь
(/, g) = ff(x)J(x)dx. (1)
а
Легко доказываются следующие свойства скалярного
произведения.
1). (g,f) = (Tg)'
2). Если аи аъ .... ап — постоянные, то
( 2**/*. *)== 2 «*(/*. в).
так что скалярное произведение линейно относительно
первого сомножителя. Используя свойства 1 и 2, легко получим
формулу
\ Л-1 / Л-1
Полагая п = 1, находим (а — постоянная) (a/, g) = а (/, g);
(/. cig) = a(ft g).
3. (/, /) >- 0. Действительно,
6
!) Черта сверху означает комплексно сопряженную величину.

18 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ.I
4. (/,/) = О тогда и только тогда, когда /(x)2s0.
Величина
I 2
Ь
11/11=V (/./) = ! f|/(*)N*
|=/(/./) = [/|
(2)
называется нормой функции/(д:). Отметим простые свойства
нормы.
°0 11/11^-0» ПРИ этом 11/11 = 0 тогда и только тогда,
когда /(л;) = 0.
т) Г(/. в)1<11/11-11«г11.
Свойства а) и (3) непосредственно вытекают из свойств
скалярного произведения; свойство f) есть известное
неравенство Буняковского. Наконец, свойство 8) называется
неравенством треугольника.
Приведем доказательства неравенства Буняковского и
неравенства треугольника. Заметим прежде всего, чтоесли/(лг)
и ё(х) — квадратично суммируемые в промежутке (а, Ь)
функции, a X и jx — постоянные, то функция tf (х)-\-pg (х)
также квадратично суммируема в этом промежутке.
Действительно, в силу элементарного неравенства1)
1" + *12<2(|и|2 + М2)
имеем
|У(*) + МГ(*)12< 2 [|ЧЧ/(*)124ЧМ21#(*)12];
функция |X/(jc)-|-[i^(x)|2 не превосходит суммируемой
функции 2 [ |X|2|/(jc)|2-H Н21#(*)121 и» следовательно, сама
суммируема.
Пусть теперь f(x) и g(x)— квадратично
суммируемые функции и X — произвольная вещественная постоянная.
Очевидно,
ъ
/[|/(*)1 + Ч£(*)|№><>.
»2(|«|Н-ЬР).

Л 2] СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И НОРМА 19
Раскрывая скобки и пользуясь определением нормы,
получаем
ь
\\f\\2 + ^f\f(x)\-\g(x)\dx+\4g\\*>0.
а
Написанный слева квадратный трехчлен неотрицателен
при любых значениях X. Но тогда необходимо
ь
f\fM\-\g(x)\d*^\\f\\.\\g\\.
а
Замечая, наконец, что
ъ I ь
1С/. g)\ =
ff(x)g(x) dx < /\f(x) I • | g(x) | dx.
приходим к неравенству Буняковского.
Совсем просто доказывается неравенство треугольника.
Имеем
\\f+g\\2 = (f-t-g. f+g) = (f. /) + (/• *g) + (g> f)+(g. g)>
или, если принять во внимание определение нормы и
свойство 1 скалярного произведения,
H/ + g1l2 = ll/l|4-2Re(/. «)-H|ff||«<||/||4-2|C/. g)\+\\g\\2.
Применяя неравенство Буняковского и извлекая корень,
придем к неравенству треугольника.
Напомним определение сходимости в среднем. Пусть
функции у(х) и уп(х), п = 1, 2, ... квадратично
суммируемы в промежутке (а, Ь) (или на каком-либо другом
измеримом множестве); если
Ит||<Р„-?И=0.
П>оо
то говорят, что <рп (*) ~* ? С*) в среднем (точнее, в среднем
с показателем 2). Одна и та же последовательность не может
сходиться в среднем к двум различным функциям: если
lim||?n-cp||=0, Ит||?»-ф|| = 0,
П>оо п>оо

20
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
ТО
отсюда ||<|> — <р|| = 0 и + (*) — ?(*)•
Известна следующая теорема: для того, чтобы
последовательность квадратично суммируемых функций (cpn(jc)}
сходилась в среднем, необходимо и достаточно, чтобы
Ряд
Ит ||cpw— cpw||=0.
т, п->оо
2Фп(*).
(*)
= 0.
члены которого квадратично суммируемы в промежутке
(а, Ь), сходится в среднем и имеет суммой квадратично
суммируемую функцию ty(x), если к этой функции
сходится в среднем последовательность частичных сумм
данного ряда. Для того чтобы ряд сходился в среднем,
необходимо и достаточно, чтобы
II Я+Р I
N + oo\\n**N+l |
Если ряд сходится в среднем, то его можно
интегрировать почленно, предварительно умножив на любую
квадратично суммируемую функцию. Действительно, пусть ряд(*)
сходится в среднем, и пусть функция f(x) квадратично
суммируема. Оцедим разность
Ь N Ь Ь оо
о n-1 a a n-iV+i
По неравенству Буняковского
Ь оо
//(*) 2 №)dX
< ii/ii
2*»
п=ЛЧ1
По определению сходимости в среднем, для любого е > 0
найдется такое N (е), что
2 ♦.
<Ш' N>N®-

§ 2J СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И НОРМА 21
Отсюда
О -it v
a n—1 a
что равносильно равенству
b со
<s для W>W(s).
/S*»<*)/wrfx=sS f*nW(*)*x-
a n-1 n-1 a
Полагая /(*) = £(*)» можно последнее равенство
представить в виде
(СО \ 00
п-1 / п-1
(Фп. в)-
Таким образом, сходящийся в среднем ряд можно
почленно скалярно умножать на любую квадратично
суммируемую функцию.
п°2. Две функции называются ортогональными, если их
скалярное произведение равно нулю. Функция, норма которой
равна единице, называется нормированной. Конечная или
бесконечная последовательность функций
<PiC*0, <?г(х) ?«(*). •..• (3)
называется ортогональной, если эти функции попарно
ортогональны, и ортонормированной, если указанные функции,
кроме того, нормированы. Ортонормированные функции,
следовательно, удовлетворяют соотношению
(0 при ]фк.
<"-*>ejl при J = k. W
Ортогональная система (3) называется неполной, если
существует отличная от тождественного нуля квадратично
суммируемая функция, ортогональная ко всем функциям
системы; в противном случае система (3) называется полной.
Ортонормированные функции, взятые в любом конечном
числе, линейно независимы. Действительно, если функции

22 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
?i(*). <?г(х)> •••» Фп(*) ортонормированы и
п
2 ЗД* (*)в 0, а* == const,
то, умножая последнее тождество скалярно на %(х) и
пользуясь соотношениями (4), найдем, что все коэффициенты ак
равны нулю.
Если функции срх(л:), ср2(л:), ..., <рл(*) ортонормированы и
п
ср (дг) = 2 Дл% (*), aft = const,
то, как легко убедиться,
11<р||а=2К12. (б)
Если дана конечная или бесконечная последовательность
линейно независимых функций
u>i(x), а)2(лг) (оп(х), ...,
то можно построить ортонормированиую последовательность
?i(*). фгС*) ?n(4 .-•
так, чтобы каждая функция срЛ(лг) линейно выражалась через
<*>i(*)» <*>2(л;), ..., ®п(х) и, наоборот, каждая функция a>w(а:)
выражалась бы линейно через срх(лг), ср2(лг) <PnC*0- Это
построение выполняется с помощью следующего процесса
ортогонализации: полагаем
если функции срх (дг), ..., <рЛ_х (*) уже построены, то
полагаем далее
фЛ(*) = шл(х) — J] К, Тл) <рл (х), «р., (х) = %^р.
Л-1
Деление всегда выполнимо: если бы было ||фп||=:0,
то шп(дг) линейно зависела бы от срх(л:), <р2(лг), •••» Tn-iM»
а следовательно и от ш^д:), ш2(л:), ..., u>n_i(x)t что
невозможно. Из построения видно, что последовательность

§ 2J СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И НОРМА 23
cpiC*). ftW <pft(4 ••• ортонормирована и что срп(лг)
линейно выражается через (^(л;), а>2(х) (оп(л;). В то же
время о)п(л:) линейно выражается через срх (л:), ср2 (*),..., <рп (л:).
Действительно,
П-1
<*>п (*) = II Фп || ?n (*) + 2 К. 9к) <?к (*) •
п°3. Пусть система (3) ортонормирована, и пусть f(x)
некоторая функция, квадратично суммируемая в
промежутке (а, Ь). Поставим задачу: подобрать коэффициенты а1э
а2 ал так, чтобы величина
II п |р / п п \
/—2ад* =(/—2 ^ср •, /—2ед>*)
I Л-1 II \ j-1 ' Л-1 /
была минимальной. Обозначим
(/» 9л) = %-
Числа аЛ называются коэффициентами Фурье
функции /(*) относительно ортонормированной системы (3).
Простые преобразования дают
8п=11/И2+2|«*-я*12-2Ы2.
Отсюда видно, что 8Л будет наименьшей, если аА = дА.
При этом
(8n)mto=ll/ll2-S|a*l2.
и, так как эта величина неотрицательна, то
SKI8<II/II».
fc—1
Отсюда видно, что ряд
оо
fc»l
сходится и
2Ы2<11/112. (6)
Л-1

24 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Неравенство (6) называется неравенством Бесселя. Если
в (6) имеет место знак равенства, то получается так
называемое уравнение замкнутости.
Ряд
оо оо
71 = 1 П-1
называется рядом Фурье функции f(x) по ортонормирован-
ной системе (3),
Ряд Фурье любой квадратично суммируемой функции
сходится в среднем. Это утверждение есть частный случай
более общей теоремы, известной под названием теоремы
Риса — Фишера.
Если {<?п(х)}—ортонормированная система, и
числовой ряд
2KI2 (8)
П-1
сходится, то ряд
со
2*п9п(*) (9)
W-1
сходится в среднем. При этом ряд (9) является рядом
Фурье для своей суммы, для которой имеет место
уравнение замкнутости.
Доказательство: По формуле (5)
2 ап9п\ = 2 Kl2-
Цп-АГ+1 || n-iV+l
Правая часть есть остаток сходящегося числового ряда (8)
и потому стремится к нулю при N-^oo. Но тогда ряд (9)
сходится в среднем.
Обозначим через ср(лг) сумму ряда (9). Умножая почленно
скалярно этот ряд на <fk(x) и учитывая, что система {<prt(*)}
ортонормирована, найдем, что ал = (ср, срл), ft=l, 2, .. .
Таким образом, ряд (9) есть ряд Фурье своей суммы.
Умножив ряд (9) скалярно на <р(х), найдем также
1Ы12=2м?». ?) = 2К12;
п—1 n—1
это означает, что для суммы ряда (9) имеет место
уравнение замкнутости.

§ 21 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И НОРМА 25
Вернемся к ряду (7). Докапаем, что, если ортонорми-
рованная система {<?п(х)} полна, то сумма ряда (7)
равна f(x). С этой целью обозначим указанную сумму
через g(x) и положим f(x) — g(x) = о)(х). Имеем
(о), срл) = (/, сря) — (gt <fn) = an — an = 0.
Будучи ортогональной ко всем функциям полной системы,
со (а:) тождественно равна нулю. Отсюда f(x) = g(x)t или
П=-1
Почленно умножая это равенство скалярно на /(*),
найдем
11/112=2|(/. т»)12.
п-1
Таким образом, если ортонормированная система
полна, то для любой квадратично суммируемой функции
имеет место ypaettenue замкнутости.
п°4. Все сказанное в настоящем параграфе, очевидным
образом и без изменений переносится на функции многих
переменных, квадратично суммируемых в какой-либо области
или, вообще, на каком-либо измеримом множестве: надо
только каждый раз интеграл по промежутку заменять
интегралом по области (по измеримому множеству), в которой
функции определены. В частности, если Р означает точку
некоторой (вообще говоря, многомерной) области D и
dV — элемент объема, то скалярное произведение
функций /(Р) и g(P), квадратично суммируемых в D,
определяется как интеграл
(f.g) = J/P)g(P)W-
v
п°5. В последующем будет использовано приводимое ниже
специальное построение последовательности, ортонормиро-
ванной и полной в основном квадрате. Это построение
без труда распространяется на случай многих переменных.
Пусть <?п(х), я=1, 2,...—полная ортонормированная
в промежутке (а, Ь) система. Докажем, что система
?*(*)?*•(*); *. «=1. 2, ... (10)

26 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
ортонормирована и полна в квадрате a^x^b, a^s^b.
Рассмотрим две функции системы (7): срл (х) срт ($) и
срр (л;) ср^ (s). Эти функции равны между собой, если
одновременно k = pt m = q> и различны в противном случае.
Составим их скалярное произведение
(%(*)?«(*)- <Рр (*)?«(*)) =
ъ ъ
а а
Ь Ъ
—/ ?* мчШ <** / ?ш оом*) *•
а а
Так как в промежутке (а, Ь) функции <pn(je) ортонорми-
рованы, то последнее произведение равно единице при
& = /?, m = q и нулю в остальных случаях. Этим доказано,
что в квадрате а^х^Ь, #<$<;# система (7)
ортонормирована.
Докажем теперь, что эта система полна. Пусть
функция а)(д\ s) ортогональна ко всем функциям (7).
(ш(*. 5), <?k(x)<fm(s)) =
ъ ъ
= Г J о)(а:, £)<р*(х)фт(£)4*<?5 = 0; А, т=1, 2, ...
а а
ИЛИ
6 6
Г <Р* («*) dx [ ы (х, s) cpw(s) Л = 0; /г, m = 1, 2, ...
а а
Зафиксируем номер /л и положим
ь
/ <*> (.v, s) cpw(S) rfs = 0)ш (X).
a
тогда
Г <от (х) срл (л:) dx = 0; к = 1, 2, . ..
a
Функция (ож(л:) ортогональна в промежутке (a, Ь) ко всем
функциям полной системы {?*(*)} и потому тождественно

J 2J СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И НОРМА 27
равна нулю
ь
J(i)(at, $)cpm(s)rf$2s0; m = l, 2, ...
а
Зафиксируем произвольно х. Последнее равенство
показывает, что функция от s, равная а>(лг, s), ортогональна
ко всем, функциям полной системы {<pw(s)j. Отсюда а) (л:, $)=е0,
и полнота системы функций (10) доказана.
п°6. Приведем некоторые примеры полных ортонорми-
рованных систем. Рассмотрим сперва случай конечного
промежутка (а, Ь). Из теории рядов Фурье известно, что
система функций
sin я/; п= 1, 2, ...
ортогональна (но не нормирована) и полна в промежутке (0, тс).
От промежутка (0, тс) перейдем к произвольному
промежутку (а, Ь) подстановкой t= * j*~a'\ в новом
промежутке ортогональна и полна система функций
stn ь-а > "=1А...
Чтобы сделать ее нормированной, достаточно каждую
функцию системы разделить на ее норму, квадрат которой
равей
/
sin ь — а ах Г^'
Таким образом, функции
T»W = /SsiniIT^5 п = 1. 2. ... (11)
образуют в конечном промежутке (а, Ь) ортонормированную
полную систему.
Перейдем к случаю бесконечного промежутка. Если а
конечно, то можно заменой х' — х— а сделать а = 0.
Система функций
/■
2
-sin/tf; п= 1, 2,

28 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
ортонормирована и полна в промежутке (0, тс), так что
1С
/2 ., . ,, f 0 при кфт%
я |1 при * = «.
ъх
Замена t= , « переводит промежуток 0 < £ < тс в
бесконечный промежуток 0<jc<oo; формула (12)
преобразуется при этом к виду
при кф т%
при k = m.
оо
/2 , knx . тях . I О
__sln__sl„ ^=
о *
Отсюда видно, что функции
»»(*)=» (^+2i) sln^qrr? п=1. 2, ... (13)
ортонормированы в промежутке (0, оо). Докажем, что в этом
промежутке система (13) полна. Допустим, что квадратично
суммируемая в упомянутом промежутке функция/(л:)
ортогональна ко всем функциям (13)
или, если сделать подстановку t =
пх
х + 1 '
тс
/т=Г>(г=7)Л,я<Л = 0- (14)
О
Функция ^7Г7/(^Г7) квадратично суммируема в
промежутке (0, тс), так как
1С оо
/(d^|/(^)f dt = ±f\f(X)?dX< оо;
О о
из равенства (14) видно, что эта функция ортогональна
К полной системе {sin я*} и потому тождественно равна

§ 3]
ОПЕРАТОР ФРЕДГОЛЬМА И ЕГО СТЕПЕНИ 29
нулю. Но тогда и /(л:)=5 0 и, следовательно, система (13)
полна.
Если а = — оо, &= -(-оо, то можно исходить,
например, из системы
_LV<*<; п = 0, ±1, ±2, ...
ортонормированной и полной в промежутке ( ~, ~);
замена x = tgt приведет нас, как и выше, к системе
1 „«»«*»«. я = 0. ±1, ±2, ...
/*(! + **)
ортонормированной и полной в промежутке (—оо, + оо).
Другим примером системы, ортонормированной и полной
в промежутке (0, оо), является система функций
e-*»Ln(x): /г = 0, 1, 2
где Ln(x)— так называемые полиномы Лагерра
fc=0
В промежутке (— оо, +°°) образуют ортонормиро-
ванную полную систему функции
е-**»Нп(х) ^
2nl2Yn\fy* '
где Нп(х) — полиномы Эрмита
Ня(х) = (-1Ге*££^; п = 0, 1, 2, ...
§ 3. Оператор Фредгольма и его степени.
Итерированные ядра
Пусть ядро К(х4 $) квадратично суммируемо в основном
квадрате; это допущение, если только не оговорено
противное, предполагается выполненным во всем последующем.
Введем обозначение
б
/Сер = f К (х, s)<f(s)ds. (1)

30
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
Пусть функция ср(лг) квадратично суммируема в
промежутке (а, Ь). Докажем, что в этом случае интеграл (1)
существует при почти всех х £ (я, Ь) и представляет собой
функцию, квадратично суммируемую в том же промежутке.
Имеем
\К{Х. «)?(«) |<-j|/С (*. 5)|2 + ||?(5)|2.
Первое слагаемое справа суммируемо по $ при почти
всех л:£(а, b), а второе слагаемое просто суммируемо по s
в промежутке (а, Ь). Отсюда следует, что в указанном
промежутке подынтегральная функция в интеграле (1)
суммируема при почти всех х£(а, Ь) и, следовательно, интеграл
(1) есть функция от х, определенная почти всюду в (а, Ь).
Далее, по неравенству Буняковского
ь ь ь
|Кср|2</ \K(X,S)\*dsf |<р(*)РЛ=|М|«/ \К(Х9 8)\*d89
а а а
и, так как ядро квадратично суммируемо в основном
квадрате, то функция /С<р квадратично суммируема в
промежутке (а, Ь)\ интегрируя последнее неравенство и извлекая
корень, получаем
II*pK*IMI; (2)
Величина В определена формулой (В) § 1.
Таким образом, если квадратично суммируемая функция
ср (л:) задана, то интеграл (1) определяет новую (также
квадратично суммируемую) функцию. Можно сказать, что
интеграл (1) задает некоторый закон, по которому каждой
квадратично суммируемой функции ср(лг) приводится в
соответствие, и притом единственным образом, новая функция /Сер.
Вообще, если дан закон, по которому любой функции из
некоторого данного множества единственным образом
привобится в соответствие некоторая новая функция,
то говорят, что на данном множестве функций
определен оператор1). Из сказанного следует, что если ядро
/С(х, s) квадратично суммируемо в основном квадрате, то
интеграл (1) определяет некоторый оператор на множестве
1) По поводу определения оператора см. также § 19.

§ 3) ОПЕРАТОР ФРЕДГОЛЬМА И ЕГО СТЕПЕНИ 31
функций, квадратично суммируемых в промежутке (а, Ь).
Этот оператор называется оператором Фредголъма.
Оператор Фредгольма обладает следующим очевидным
свойством: если ах и о^ — постоянные, a cpt (jc) и ср2(л;)—
квадратично суммируемые функции, то
Операторы, обладающие этим свойством, называются
линейными; таким образом, всякий оператор Фредгольма —
линейный. В соответствии с этим интегральные уравнения
Фредгольма также называются линейными.
Пусть дан еще один оператор Фредгольма
ь
Lcp = f L(xt s)<f(s)ds.
a
По определению, двойной интеграл от | L (х, s)\2 конечен;
положим
ъ ь
f f\L(x, s)fdxds = B'\
а а
Составим выражение L/Ccp = L (/Сер). Такое выражение
уместно назвать произведением операторов Фредгольма К
и L. Нетрудно видеть, что умножение операторов
ассоциативно. Действительно, если К, К', К" — три оператора
Фредгольма, то оба выражения К,г(К'Ку) и K"Kf(Ky) означают,
что над функцией ср(лг) произведена операция /С, над
полученной функцией /Сер произведена операция К и, наконец,
над функцией /С'/Сср произведена операция К".
Докажем, что произведение операторов Фредгольма
также есть оператор Фредгольма. Составим выражение L/Ccp.
Для этого в интеграле (1) надо х заменить на s; в связи с
этим придется в этом интеграле изменить обозначение
переменной интегрирования — обозначим ее через t. Теперь имеем
ь ь
L/Ccp = f L (*, s) ds f K(s, t) cp (0 dt. (*)
a a

32 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. 1
Повторный интеграл
ъ ь
f \L(x, s)\dsf |K(s. О<Р(01 dt (**)
а а
существует. Действительно, по доказанному выше,
внутренний интеграл есть квадратично суммируемая функция от s,
а тогда ее произведение на квадратично суммируемую
функцию \L(x, s)\ суммируемо при почти всех х. Из
существования интеграла (•#•*) вытекает, как известно,
суммируемость функции \L(x, s)K(st О?(О| в квадрате а < s, t < bt
и, в силу теоремы Фубини, в интеграле (*) можно изменить
порядок интегрирования:
ь ь
LK<f = f <?(t)dt f L{x, s)K(st t)ds.
a a
Заменив обозначение s на t и наоборот, имеем
ь ь
LK<?=± f <?(s)ds f L(x, t)K(t, s)dt
a a
и> если обозначить
ь
f L(x, t)K(t, s)dt = M(x, s), (3)
TO
L/Ccp == f M (x. s) <p (s) ds. (4)
a
Далее, по неравенству Буняковского
6 ь
\M(x9 *)|2</ \L(x. t)\2dt f\K(t. s)\*dt. (5)
a a
Интегрируя это по основному квадрату, получим
ь ь
f f \М(х, s) |2 dx ds < В*В'2, (6)

§ 31
ОПЕРАТОР ФРЕДГОЛЬМА И ЕГО СТЕПЕНИ 33
Таким образом, ядро М(х, s) оператора LK квадратично
суммируемо в основном квадрате; по о тределению, данному
в § 1, оператор LK есть оператор Фредгольма.
Формулы (3) и (4) показывают, что умножение
операторов Фредгольма в общем случае не перестановочно: если
через N (х> s) обозначить ядро произведения операторов АХ,
то, по формуле (3),
ь
N(xt s)= f К (jc, О L С s) dt, (7)
a
и очевидно, что, вообще говоря, M(xt s) ф N (х, s). Пусть,
например, а = 0, ft=l, К(xt s)=l, L(x, s) = x — s.
Тогда
(x9 s) = j (x — t)dt = x — Y>
0
1
(x, s) — j (t — s)dt = ~2—s.
l
О
Если ядра операторов К и L удовлетворяют еще и
условию (А) (см. § I), то ядра произведений АХ и LK
удовлетворяют тому же условию. Действительно, пусть
ь ь
f \К(х, s)|*<fe<A f\L(x. s)Ns<A/.
а а
В этом случае неравенство (5) дает
ь
\М(х, s)\*<A' f\K(t, s)\>dt;
а
интегрируя это по st получим
ь
f\Mix.8)\*ds<A'ff. (8)
а
Исходя из формулы (7), найдем аналогично
ъ
f\N(x, s)\*ds<CAB'2; (9)

34 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
ядра операторов LK и KL удовлетворяют условию (А) с
постоянными А'В2 и АВ'~ соответственно.
Очевидно, произведение нескольких операторов
Фредгольма также есть оператор Фредгольма. Произведение п
одинаковых операторов Фредгольма К называется л-ой
степенью оператора К и обозначается через К". Очевидно,
А^ср ==/С(АГср). .... /Спср = АГ(/Сп-1ср).
Так как умножение операторов ассоциативно, то верна общая
формула
Кп^ = Кт(Кп-т^\ 0<т<п. (10)
Из сказанного выше следует, что степень оператора
Фредгольма есть оператор Фредгольма. Обозначим через
Kn{xt s) ядро оператора /С*, тогда
ь
/^ср= f Kn(xt s)<?(s)ds. (И)
а
Очевидно, Ki(x, s) = K(x, s).
Ядро Kn(xt s) называется п-ым итерированным ядром
по отношению к К(xt s).
Из формулы (3) мы непосредственно получаем
рекуррентную формулу для итерированных ядер
ъ
Кп(х, s)= f К(х. t)Kn-i(t s)dt. (12)
а
Так как Ki(x, s) — K{x, s), то, в частности,
ь
К2(х, s)= fK(x, t)K(t, s)dtt
a
b
K3(x, s)= f K(x, t)K2(tt s)dt
a
и Т. Д.
Если применить формулу (3) к операторам Кт и Кп"т
и воспользоваться формулой (10), то получится более общее

Л 3] ОПЕРАТОР ФРЕДГОЛЬМА И ЕГО СТЕПЕНИ 35
соотношение
ь
Кп(*. s) = f Кт(х, t)Kn.m(t, s)dt. (13)
a
Положив здесь /ю=1, опять получим формулу (12); при
т = п—1 получим еще одну полезную формулу
ь
Кп(хш s)= fKn_x(x, t)K(t, s)dt. (14)
a
Заменяя в этой формуле ядро Кп_х по той же формуле (14),
можно понизить номер ядра под интегралом. Проделав эту
операцию достаточное число раз, мы придем к формуле,
непосредственно выражающей итерированные ядра через
данное
6 6 6
*»(*.*) = // .-• fK(x>tl)K(l1,t2)...K(tn_vs)X
а а а
ХЛ|Л»...Л,.1. (15)
Обозначим через В%, интеграл
ь ь
В2п= f f\Kn(x, s)\2dxds.
а а
Полагая в формуле (6) L = Kn~l, получим рекуррентное
соотношение Вп^.В2Вп-и из которого далее следует В„^
<В4В^2<...<В2/\ или
Вп<Вп. (16)
Применив теперь неравенство (2) к оператору К",
получим важное для последующего неравенство
1|КЯ<Р||<ЯЯ|М|. (17)
Если ядро К(х, s) удовлетворяет еще и условию (А), то
тому же условию удовлетворяют и итерированные ядра.
Имея это в виду, найдем оценку для величины
6
An = sup f\Kn(x, s)\2ds,
а

36 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
В формуле (3) положим L(x, t) = Kn_x(x, t). Тогда, как
это следует из формулы (14), M(xt s) = Kn(x, s), и
неравенство (8) дает
ь
f\Kn(x, s)\2ds^An^B\ (18)
а
так как, очевидно,
ь
/l*n-i(*. s)\2ds^An_v
а
Заменив в (18) левую часть ее точной верхней границей,
получим Ап4САп_1В2. Отсюда легко находим Ап <[ АВ2п~2,
и окончательно
ь
f\Kn(xts)\2ds^AB2^2. (19)
а
§ 4. Метод последовательных приближений
Уравнение Фредгольма
ь
ф(х) —X fK(x, s)9(s)ds=f(x) (1)
а
попытаемся решить по методу последовательных
приближений. Перепишем наше уравнение в виде
?w=/w+«?. (2)
За начальное приближение примем ср0(л:)=/{л;); далее,
если некоторое приближение yn_i(x) уже построено, то за
следующее приближение примем результат подстановки
функции <pw_i(.xO в правую часть уравнения (2):
cpn(*)=/(*) + X/C<Pn-i. (3)
Имеем, следовательно,
«pi (*>=/(*> -ь w?o=/(*> 4- т.

§ 4] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 37
и т. д. По индукции легко получаем
что можно также представить в виде
?»(*)= 2 МС*/. (4)
m«=0
Выясним, при каких условиях последовательные
приближения имеют предел прия-юо. Функцию cprt(jc) можно
рассматривать как частичную сумму ряда
со
2 H*Kmf; (5)
задача, следовательно, состоит в установлении условий
сходимости этого ряда, который обычно называют рядом Ней"
мана.
Теорема 1. Если ядро интегрального уравнения
квадратично суммируемо и | X | < g-, где
ъ ь
Д2= J f\K(x, s)\2dxds.
а а
то ряд Неймана для этого уравнения ^сходится в сред-
нем к квадратично суммируемому решению уравнения (/).
Такое решение — единственное.
Оценим величину
II N+p II
2 W7.
II га-АГ+1 ||
Применяя неравенство треугольника и неравенство (17)
§ 3, получаем
«N + P II N+p N+p
S.W/k 2 1Ч1кт<р||<11<р|| 2 (|Х|В)"<
w-JV+l II ?w-iV+l m-N+1
<M 1 (1ЦД)"-11т11(1^тГ-
m-N+l l 1KI о
При N достаточно большом последняя величина может
быть сделана сколь угодно малой; отсюда следует, что ряд
Неймана сходится в среднем к некоторой квадратично сум-

38
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
мируемой функции, которую мы обозначим через <f(x), так
что || <Рп —<Р 11-^0.
я>со
Докажем, что функция ср(дг) удовлетворяет уравнению (1).
В формуле (3) положим п -► сю. Левая часть имеет
пределом ср (х), и нам достаточно доказать, что Kyn_i —> /Сер в
среднем. Но это очевидно: по неравенству (2) § 3
11^»-1-л:?11 = 1|л:(?„-1-?)11<5||?„-1-?11-^о.
П->оо
Остается доказать, что построенное нами решение —
единственное. Пусть уравнение (1) имеет два квадратично
суммируемых решения ср (л:) и ф(*). Тогда справедливы два
тождества ср(*) — Х/Сср =/(*), ф(х) — МСф = /(*).
Вычтем их почленно. Обозначив ср (х)— ф (л;) = о> (*), найдем
в силу линейности оператора К
а) (л:) — Ш) = 0. (6)
Таким образом, разность двух решений удовлетворяет
соответствующему однородному интегральному
уравнению; это замечание пригодится нам и в дальнейшем.
Докажем, что а)(лг)^0. Имеем ш(д:) = Х/Са). Отсюда,
||а)||=|Х|. Ц/СшЦ и, по неравенству (2) § 3, Н|<|Х|£Н|.
или (1 — |Х|5)||о)|К0. По условию теоремы |Х|В<1,
выражение в скобках положительно и поэтому необходимо
||со 11 = 0. Отсюда о)(х) = 0 и, следовательно, ф(х) == ср (х).
Теорема 2. Если ядро уравнения (/) не только
квадратично суммируемо, но и удовлетворяет условию (А),
и |Х|В< 1, то ряд Неймана сходится регулярно1) на
сегменте [а, Ь].
Для доказательства оценим общий член ряда (5). По
неравенству Буняковского
[х^/Г/Ы^
/ Кт{х, s)f(s)ds
ъ у/%
<\Цт\ [\Km(X.S)\>ds\ i|/||
/
*) Ряд называется регулярно сходящимся, если ряд из его
абсолютных величин сходится равномерно. Такой ряд, очевидно,
сходится абсолютно и равномерно.

§ 4] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 39
и, в силу неравенства (19) § 3, при /я>Л
|х-/с-/|<^-ц/||(|Х|вЛ
Правая часть этого неравенства есть общий член
геометрической прогрессии, знаменатель которой, равный |Х|В,
меньше единицы. По известной теореме Вейерштрасса, ряд (5)
сходится регулярно.
Замечание. Если ядро ограничено, \К(х, s)|^M,to
можно указать более простую, хотя и более грубую, оценку
для радиуса круга сходимости последовательных
приближений. Так как
ь ь
В*= f f\K(xt s)\2dxds^(b — a)2M\
а а
то последовательные приближения сходятся в круге |Х|<
^ (Ь — а)М '
Возникает такой вопрос: нельзя ли утверждать, что
последовательные приближения сходятся при всех значениях \ или, что они,
по крайней мере, сходятся в круге (с центром в точке \ = 0)
радиуса, большего, чем -„? Оказывается, что это не так: для
наудачу взятого интегрального уравнения Фредгольма последовательные
приближения могут расходиться при | X | > -^, хотя и существуют
классы интегральных уравнений (например, уравнения Вольтерра),
для которых последовательные приближения сходятся" при любом
значении параметра.
Рассмотрим следующий пример. Пусть дано интегральное
уравнение
1
?(x)-xj\(s)ds = l. (7)
о
Здесь а =* 0, Ь = 1, f(x) =* 1, К(х, s) = 1, £ = 1; по теореме 1
настоящего параграфа, последовательные приближения для
уравнения (7) сходятся в круге | X|< 1. Однако, это уравнение можно
легко решить, не прибегая к методу последовательных
приближений. Чтобы решить уравнение (7), заметим, что интеграл
1
f<t(s)ds
о

40
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. !
является некоторой, хотя и неизвестной, постоянной. Обозначим ее
через С, тогда из уравнения (7) следует, что
9(*)=1 + XC, (8)
и дело сводится к отысканию неизвестной постоянной С. Подставляя
выражение (8) в (7), получаем после очевидных упрощений
(1—Х)С=1. (9)
При X =21 это уравнение неразрешимо и, значит, при X = 1
интегральное уравнение (7) решения не имеет. Отсюда уже следует,
что в круге радиуса, большего единицы, последовательные
приближения для уравнения (7) не могут сходиться.
Интересно, что в то же время уравнение (7) разрешимо, если
только X Ф 1, даже тогда, когда 'последовательные приближения
расходятся. В самом деле, если X Ф 1, то из уравнения (9) находим
С= = г- и, следовательно, у(х) = = =-; подставив это в
уравнение (7), найдем, что уравнение удовлетворяется.
Рассмотрим еще уравнение
1
ср(*)_Х f<?(s)ds = f(x), (10)
в котором, в отличие от уравнения (7), свободный член есть
произвольная квадратично суммируемая в промежутке (0, 1) функция.
Полагаем по-прежнему
1
*=f<?(s)ds,
что дает нам ср (*) = /(.*) + 1С; проинтегрировав это в пределах
от 0 до 1, получим уравнение для определения С:
1
(l-\)C = ff(x)dx. (11)
о
Если X ф 1, то
1
<р (X) = / (х) + -^ ff (х) dx,

§51
УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА
41
подстановкой убеждаемся, что эта функция удовлетворяет
уравнению (Ю), которое, следовательно, разрешимо и имеет единственное
решение при X ф 1.
Пусть теперь X = 1. Уравнение (11) принимает вид
/
f(x)dx=0.
(12)
Если функция f(x) такова, что равенство (12) не имеет места,
то уравнение (10) не имеет решения; так было, как мы видели, при
/(*) = 1. Если же равенство (12) выполнено, то постоянная С
остается неопределенной; подстановка показывает, что при X = 1
уравнение (10) имеет бесчисленное множество решений вида ср (х) =
==/(■*) + £> гДе С —произвольная постоянная.
§ б. Уравнения Вольтерра
Уравнение Фредгольма будем называть уравнением
Вольтерра, если нижний предел интегрирования а конечен, а ядро
обращается в нуль при s > х (т. е. в заштрихованной части
основного квадрата — черт. 2), Поэтому в уравнении
Вольтерра
$
/Сер ==]>(*, s)<f(s)ds =
а
х
= fK(.x, s)<?(s)ds-\-
а
Ъ
+ f К(х, s)y(s)ds =
X
X
= J К (xt s)<? (s) ds.
-*»x
Черт. 2
Формально, следовательно, уравнение Вольтерра
отличается от уравнения Фредгольма общего вида переменным
верхним пределом интегрирования; уравнение Вольтерра
можно записать я виде
¥(*) — Х//С(*. s)<f(s)ds = f(x).
0)

42
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
Для упрощения рассуждений будем рассматривать
уравнение Вольтерра при дополнительном предположении, что
его ядро ограничено, когда х меняется в некотором
конечном промежутке (а, Ь), так что
\K(xt s)|<М = const, а < х < Ь.
При этом предположении справедлива
Теорема: Если свободный член уравнения Вольтерра
суммируем в промежутке (а,Ь), то это уравнение имеет
суммируемое в том же промежутке решение, которое
при любом значении параметра X можно построить по
методу последовательных приближений. Суммируемое
решение уравнения Вольтерра единственно.
Как и в случае уравнения Фредгольма общего вида,
предел последовательных приближений совпадает с суммой
ряда Неймана
/W+2WV; (2)
наша задача сводится поэтому к доказательству того, что
ряд (2) при любом фиксированном значении X сходится
регулярно по отношению к х.
Докажем прежде всего, что если Кт(х, s) есть /#-ое
итерированное ядро, то
Кт (#, s) = О при s > лг,
х
Кт (х, s) = j /Cw_! (лг, t)K(tt $) dt при s<x.
(3)
Пусть /я = 2. Имеем
ь
Кг(х, s) = //С(л:, 0 K(t% s) dt. (4)
а
Если s > лг, то при / < s второй множитель под знаком
интеграла в (4) равен нулю, если же / > st то тем более
t > х и тогда обращается в нуль первый множитель под
знаком интеграла. В обоих случаях подинтегральная функция
равна нулю и Кг (#, $) = 0.

§ 5) УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА 43
Пусть теперь s < х. Промежуток интегрирования
разобьем на три: (a, $)t (s, я), (а:, Ь). Тогда
8 х
К2(х, s) = JK(.x, f)K(t, s)dt + fK(x, f)K(t, s)dt +
a e
b
+ /*(*, t)K(t9 s)dt.
x
В первом интеграле / < st значит, во втором множителе
под интегралом второй аргумент больше первого и этот
множитель равен нулю. В третьем интеграле / > х и
первый множитель под знаком интеграла равен нулю. В
результате
X
К2(х, s) = fK(x, f)K{t, s)dt,
8
и формула (3) доказана для /и = 2. По индукции ее легко
получить для любого т.
Докажем теперь, что при 5 < х имеет место следующая
оценка:
I^^.^K^lf""1. (5)
Оценка (5) очевидно верна при /и = 1, так как в этом
случае она выражает просто тот факт, что ядро К(х% s)
ограничено; величина М представляет собой верхнюю
границу ядра. Пусть теперь оценка (5) установлена для
некоторого индекса т—1
\Km-llX. ,)\<М (ff[l2)f .
По формуле (3) получим
,„ , ч1 . rMm(x-t)m-2.. Мт{х
-s)m-1 1
=1)1 '
так что оценка (5) имеет место и для индекса т. Заменив
в формуле (5) разность х — «9 ее наибольшим значением

44 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [гл.
Ь — а, найдем
!*.(*, .)!<££
а)
т-1
■1)!
Оценим теперь общий член ряда (2)
\\mKmf\ = \l1'
/кт(х. s)f(s)ds
<
а
Как мы видим, общий член ряда (2) не превосходит
общего члена показательного ряда, следовательно, ряд (2)
сходится регулярно по х при любом X.
Как и в случае уравнения Фредгольма общего вида,
последовательные приближения связаны рекуррентным
соотношением
которое в данном случае можно представить в виде
х
?„ (х)=/ (х) + X f К(х, s) <ря_, (s) ds. (7)
Сумму ряда (2) обозначим через ср(лг). Как только что
было показано, уп(х)-+у(х) при я->оо равномерно. Ядро
К (xt s) ограничено, поэтому
K(xt s)cPn_1(s)lr_>A:(A;, 5)cp(s)
равномерно относительно s. Отсюда следует, что в
соотношении (7) можно перейти к пределу под знаком интеграла.
Выполнив предельный переход, найдем, что
ь
<?(x)=f(x)+\fK(x,s)<?(s)dst
а
т. е. что сумма ряда (2) есть решение уравнения Вольтерра.
Это решение суммируемо, так как оно получено сложением
суммируемой функции f(x) и ограниченной функции
2 lmKmf;
W-1

§ 5) УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА 45
ограниченность этой функции сразу следует из оценки (6):
w«l I a w-l
Ь
= \\\Me"<\xi*-*)f\f(s)\ds.
а
Перейдем к доказательству единственности решения.
Пусть уравнение Вольтерра имеет два суммируемых
решения <?(х) и Ф(а:). Их разность а) (х) = ср \х) — ф (л:)
удовлетворяет однородному уравнению
О) (аг) = ХА>. (8)
В правую часть этого уравнения подставим вместо ш
равную ей величину Х/Сю. Это приведет нас к уравнению
о» (л:) = Х2/С2о). Заменяя опять справа а> на X/fu>, получим
уравнение а) (*) = Х3/С3ш и т. д. Проделав эту подстановку т раз,
найдем, что ш(х) удовлетворяет уравнению u)(;e) = Xw/(wu)»
или, в более подробной записи,
ъ
ш (х) = Xw f Кт (xf s) a) (s) ds.
a
ш(л:) сама суммируема, как разность суммируемых
функций; в силу оценки (6)
ъ
I«>(^)i <:i—!—(m_1}! J \v(s)\ds9 (9)
a
каково бы ни было т. Полагая в (9) т -> оо, получим
| и) (а:) | ^ 0, откуда следует, что о> (л;) =5 0.
Возникает интересный вопрос: остается ли в силе теорема
о единственности решения, если отказаться от требования его
суммируемости? Оказывается, что тогда теорема единственности
перестает быть верной. П. С. Урысоном были построены примеры
уравнений Вольтерра, имеющих, кроме одного суммируемого решения,
еще бесконечное множество решений несуммируемых. Приведем

46
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
один из примеров П. С. Урысона. Положим а = О, £ = 1, /(лг)ЕгО
и зададим ядро формулой
K(x,s) =
xt хе х* < s < х,
О, s > *.
В основном квадрате 0<jc<1, 0<!s<l ядро ограничено, так
как, очевидно,
0<К(лг, s)<jc<1.
Уравнение
х
<р (*) — j К(х, s) ср (5) ds = О
имеет суммируемое решение ср (jc) = 0; в силу теоремы настоящего
параграфа других суммируемых решений это уравнение не имеет.
В то же время оно имеет бесконечное множество несуммируемых
решений
9 W = ■£ .
где с — произвольная постоянная. В этом легко убедиться простой
подстановкой.
§ 6. Уравнение Абеля
Одно из первых интегральных уравнений было изучено Абелем;
его уравнение имело вид
У х —s
а
Будем также называть уравнением Абеля несколько более
общее уравнение
где а — постоянная, 0<<х<1. Функцию f(x) будем считать
непрерывно дифференцируемой на некотором сегменте [а, Ь].
Уравнение (1) можно рассматривать как уравнение Вольтерра первого рода
с неограниченным ядром весьма специального вида.

§ 6] УРАВНЕНИЕ АБЕЛЯ 47
Уравнение Абеля решается следующим приемом. Допустим, что
существует решение этого уравнения. Заменим в уравнении х на /,
обе части полученного равенства умножим на — и
проинтегрируем по t в пределах от а до х:
J (x-t)l-aJ (t-s)a J {x-tf~a
a a a
Слева изменим порядок интегрирования, пользуясь известной
формулой Дирихле, Это приведет нас к уравнению
X X
f<t(s)ds f -^ = F(x);
J J {x-tf-'V-sf
(2)
где
a
Во внутреннем интеграле (2) сделаем подстановку t = 5 -\-
-f- у (х — s), тогда
X 1
<ft /» dy тс
(дг — /)1-а(/ — S)a~ J у* (I — У)1'а ~~ sina*'
8 О
Теперь из уравнения (2) следует
Y п п dx J (x-t)1-'
a
(4)
Таким образом, решение уравнения (1), если оно существует,
необходимо представляется формулой (4); отсюда, между прочим,
слеаует единственность решения уравнения Абеля.
Докажем теперь, что функция (4) на самом деле решает
уравнение Абеля. Подставим эту функцию в левую часть уравнения (1)
и положим
X
sin атс /» F1 (s)
J (x-sf
• g (*)• (5)
достаточно доказать, что g(x)=f(x). Рассматривая равенство (5)
как уравнение Абеля с неизвестной F' (х) и применяя к этому

48 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
уравнению только что описанный прием, получим
X х
f F'(s)ds = F(x)-F{a)= f -J^L^dt (6)
а а
Выполнив в интеграле (3) подстановку t = а -(- у (х — д), найдем
J (1—У)1 "
о
откуда следует, что Z7 (а) = 0, и равенство (6) дает
F(x) = f—^Щ—dt,
J (x-t)1-'
a
сравнив это с формулой (3), получим
х
I
0)(0— л «а со (о = ^(о-/(о. (7)
(х-о
Уравнение (7) есть однородное уравнение Абеля с
неизвестной а) (л:); оно имеет очевидное решение <м (х) ЕЕ 0, которое, как
доказано выше, единственно. Таким образом, из уравнения (7)
необходимо следует, что о)(л:)=гО и g (х) =/(*).
Нетрудно изучить уравнения, аналогичные абелевым, но с
большим числом независимых переменных. Для примера рассмотрим
уравнение
_,(,,,)*,«,—/(лкул (8)
//
У(Уо-у)*-(*о-х)*
где а0 — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой
на оси ОХ и с вершиной в точке (х0, у0) (черт. 3). Чтобы решить
уравнение (8), умножим обе его части на
dx0 dy0
Y(yi-yo)*-(xi-Xo)*
и проинтегрируем по области аь представляющей собой
равнобедренный прямоугольный треугольник в плоскости x0i у0, имеющий
вершину в точкте (xlt ух) и гипотенузу на оси ОХ0 (черт. 4). В
результате получим
<р (х, у) dx dy dx0 dy0
VO'i-JoF-to-^o)* У(Уо-у)*-{хо-х)* =
= 8(*ьУ& (9)
iff/

§ 61
УРАВНЕНИЕ АБЕЛЯ
49
мы ввели обозначение
'^-ffvtB
f(x0,y0)dx0dy0
•Уо)2-(^1~^о)3
Изменим порядок интегрирования. Нетрудно убедиться, что
Черт. 3
Черт. 4
тогда точка (х, у) будет изменяться в треугольнике <зь а точка
(*о» Уо) —в прямоугольнике х (черт. 4). Теперь имеем
//
X
ffvur-
9 (*, у) dx dy X
dx0 dy0
У о)2 - <*i - *о)2 /(Уо-у)2 - (*0- *)* '
'- 8 (*ь УО-
(10)
Для вычисления внутреннего интеграла введем вместо хо и Уо
новые переменные
> = (Уо — У) + (*о — х) (Уо — У) — (*о — х)
(У1-У) + (*1-х)' * (Ух-у)-.<<х1-х)-
В прямоугольнике х каждая из переменных X и jx меняется в
пределах от 0 до 1. В новых переменных внутренний интеграл в
уравнении (10) сводится к такому:
1 1
//
d\ d\i
о о
и уравнение принимает вид
W (1-Х) <1-|1)
и
4(x,y)dxdy=-sg(xl,y1).
(И)

50
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
Чтобы решить уравнение (11), повернем оси координат на —135°
Формулы преобразования имеют вид
Y2
-(5-1), У=-
Y2
=г(* + ч).
Положим еще
1
*1 = — утГ&~- ^>» У1 = —y=-(6i + 'ni).
Треугольник ^ (черт. 4) преобразуется в треугольник на черт. 5.
Обозначим
<? С*, У) = Ф (5, 1), -^ S (*i> Уг) = <? (6i. 1Ц).
тогда
-^
-е
Ч^
Черт. 5
Дифференцируя, найдем
Ф(51, %) =
#i <Э*]1
или, если вернуться к старым переменным и писать хну вместо
*i и уь
(12)
1 / <ЭV <? V \
Как и в случае одной независимой переменной, можно доказать,
что функция (12) на самом деле удовлетворяет уравнению (8).
Уравнение (8) .встречается при исследовании отражения волн
от прямолинейной границы.
Вернемся к формуле (4). Положив в ней а = -^- и заменив f(x)
на — V^gf(y)y получим решение задачи Абеля, упомянутой в
историческом очерке
те ау
•г V у — ч
Интересен частный случай задачи Абеля, когда /(у) = t0 = const
в этом случае тяжелая материальная точка достигает наинизшего
положения за один и тот же промежуток времени /0, независимо
от того, на какой высоте эта точка начала свой путь. Кривая,
решающая задачу Абеля в этом случае, называется таутохроной.
Найдем уравнения таутохроны.

§ 7] ПОНЯТИЕ О РЕЗОЛЬВЕНТЕ 51
Имеем
<р (у) = ■
*oV2g d
J V v — in f v
* *У { Vy—Л
*5
где положено с = ^y. Если a — угол между касательной к
таутохроне и осью х, то
sin a = ——- = — у
9(у) Г 2с '
Дифференцируя, найдем tfy = 2с sin 2a rfa, откуда при
подходящем выборе постоянной интегрирования следует
у = с(1 — cos 2а). (*)
Далее, dx = ctg ady = Ac cos2 a tfa; выбирая опять должным
образом постоянную интегрирования, найдем
X = С (2a + Sin 2а). (**)
Полученные уравнения показывают, что таутохрона есть циклоида,
§ 7. Понятие о резольвенте
Вернемся к уравнению Фредгольма
ь
ср(х) - X JV(*, s) ср (s) ds = / (х). (1)
a
Пусть |Х|< -^-. Тогда уравнение (1) имеет единственное
квадратично суммируемое решение, которое можно
представить в виде ряда Неймана
<p(je) = 2xw/C17
7И-0
или, более подробно,
оо b
<?(x) = f(x) + 2l\mfKm(x,s)f(s)ds. (2)
m=l а
Нашей ближайшей целью является доказательство того,
что в ряде (2) можно переставить порядок суммирования и

52 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ.I
интегрирования. Выполним пока эту перестановку формально;
это приведет нас к выражению
Ь со
/(*)+»■ / 2Т-хКт(х, s)f(s)ds. (3)
Докажем, что ряд
2*",~Х(*. 5) (4)
m=l
сходится при |Ч<1Г в среднем в основном квадрате.
Действительно, норма \\K(xt s)\\ ядра, рассматриваемого как
функция переменных х и s в основном квадрате, равна
величине В\ неравенство (16) § 3 означает, что \\Km(xt s)\\^Bm.
Теперь
п+р II п+2>
2 х—Х. (*.*)< 2 |xf_4|Kr»(*. *)Н<
п+р оо
< 2 |хг1^-< 2 1хг1^=^^^^>о.
wi—n+1 w—n+i
и наше утверждение доказано.
Сумма ряда (4) называется резольвентой ядра К (х, s),
или уравнения (1), и обозначается обычно через Г (а:, $; X),
так что
Г(х, s;X)== 2 Хт'Х (*,*)• (5)
Будучи суммой сходящегося в среднем в основном
квадрате ряда, резольвента квадратично суммируема в основном
квадрате.
Заметим, что ряд (5) определяет резольвенту в круге
|Х|<-^- комплексной Х-плоскости.
Теперь докажем, что ряд (5) можно интегрировать
почленно по s, предварительно умножив его на
произвольную квадратично суммируемую функцию /(s), иначе говоря,

§71
ПОНЯТИЕ О РЕЗОЛЬВЕНТЕ
5а
что справедливо равенство
ъ
fT{x. s; l)f(s)ds =
а
со ft со
2 X—1 / Кт(х, s)/(s) ds = 2 Х"1"1^/. (6)
т = \
т=1
Для доказательства достаточно оценить норму разности
между левой частью формулы (б) и частичной суммой ее
правой части. Имеем
]*Г(*. s; ^)f(s)ds-^\m^fKm(xt s)f(s)ds
m=i a
b со
f 2 X""X(*. s)f(s)ds
■n+l
b\ b oo
e/ / 2 ^"f<m(x, s)f(s)ds
a m^n+l
a | a m-n+1
A*.
Внутренний интеграл оценим по неравенству Буняков-
ского. Используя затем неравенство треугольника и
неравенство (17) § 3, получим
b | b со 12
a I a m=n+l
& 61
а а | ?ю«= n+l
f\f 2 хто-х.(*. 5)/(5)ds
t+i I
6 61 CO
<ll/||2// 2 ^KmiX.S)
I ?и«=п+1
CO
2 ^т-'Кт{х, s)
<ii/iim >; ixr-1^) =n/i|2
= llf 112
oo \2
2 ixi*-^*) =i
m-n+i /
dx ds =
<
J X |2П~2 д2П
(1—|X|£)2 n->oo
>0.

54 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Тем самым равенство (6) установлено. Теперь формуле (2),
дающей решение уравнения Фредгольма, можно придать
новый вид
ъ
<?(x) = f(x)+\fT(xt s; \)f(s)ds. (7)
а
Применение формулы (7) избавляет от необходимости
проводить процесс последовательных приближений.
Введя упрощенное обозначение
ъ
/Г(*, s;*)f(s)ds = TJ,
а
можно формулу (7) представить в виде
?(*)==/(*)-RTxA (8)
В заключение сделаем некоторые замечания относительно
характера зависимости резольвенты от параметра. Ряд (5)
определяет резольвенту в круге 1Ч<7Г комплексн°й
Х-плоскости для почти всех значений х и s. Строго говоря,
резольвенту, хотя она и представляется степенным рядом,
нельзя считать аналитической функцией от X в упомянутом
круге, так как при некоторых х или s ряд (5) может и
расходиться. Легко видеть, однако, что если f(x) и g(x)—
произвольные квадратично суммируемые в промежутке (а, Ь)
функции, то интеграл
(6 \ ь ь
fY(x, s; \)f(s)dst g(x)) = ffT(x, s; X)f (s)g&)dsdx
a I a a
есть аналитическая функция от X в круге |Х|<-о-.
Действительно, мы выяснили выше, что ряд (5) можно
интегрировать почленно! предварительно умножив его на
произвольную квадратично суммируемую функцию f(x); полученный
в результате ряд
со Ъ со Ь
Ц^"1/*»**' s)f(s)ds = ^i\n-1Knf = fV(x, s; \)f(s)ds
n-1 a n-1 a (Q\

§ 7] ПОНЯТИЕ О .РЕЗОЛЬВЕНТЕ 55
сходится в среднем по xt если только |^|<-тг» Составим
теперь скалярное произведение
(ъ \ ь ь
/Г(х, s; \)f(s)ds. g(x)\=f fT(x, s; l)f(s)£(x)dxds=
a ' a a
b oo
a n=»l
где ^(л:) — произвольная квадратично суммируемая функция.
Докажем, что последний ряд можно интегрировать почленно.
Действительно, по неравенству Буняковского
b.N+p I г- &| N+p 12 -,1/,
а п-ЛГ+1 I L« I n-#+l | J
что стремится к нулю при N->oo в силу сходимости
в среднем ряда (9). Теперь имеем
Ъ Ь оо
f fT(x, s; \)f(s)J(x)dxds = ^l\n-1(Knf, g). (10)
a a n-1
Ряд (10) есть степенной ряд с числовыми
коэффициентами, сходящийся в круге |M<-/f. и его сУмма есть
функция от X, аналитическая в упомянутом круге. В этом
смысле мы впредь и будем говорить, что резольвента есть
аналитическая функция от X в кр^е |^|<-о-.
В последующем нам придется рассматривать функции
вида а(х\ X) или А(х, s; X). Будем говорить, что функция
а(х, X) аналитична (соответственно, мероморфна) в
некоторой области Х-плоскости, если в этой области аналитично
(соответственно, мероморфно) скалярное произведение
ь
(а(х; X), g(x)) = f а(х; l)gjx)dxt
а
какова бы ни была квадратично суммируемая функция g(x).
Точно также будем называть функцию A{xt s; X) аналити-

56
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. Г
ческой или мероморфной в данной области Х-плоскости,
если при любых квадратично суммируемых функциях f(x)
и g(x) в указанной облахти аналитичен или мероморфен
интеграл
ъ ъ
f fA(x, s- l)f(s)^F)ds.
a a
§ 8. Системы линейных алгебраических уравнений
В теории интегральных уравнений большую роль играют
известные из линейной алгебры теоремы, относящиеся
к решению систем линейных алгебраических уравнений.
В настоящем параграфе мы приведем, большей частью без
доказательств, те теоремы теории линейных алгебраических
систем, которые нам понадобятся дальше. Подробно эта
теория изложена, например, в „Курсе высшей математики"
В. И. Смирнова, т. III, ч. 2-я.
Будем рассматривать системы, в которых число
уравнений равно числу неизвестных, т. е. системы вида
п
^актхт = Ьк; £=1,2 п. (1)
Числа хъ х2 хп и bit b2 bn будем трактовать
как координаты векторов-столбцов х и Ь, а коэффициенты акт
как элементы квадратной матрицы л-го порядка Л*=||дЛя1||.
Тогда систему (1) можно записать как одно векторное
уравнение
Ах = Ь. (2)
Напомним построение сопряженной матрицы: чтобы
получить матрицу Л*, сопряженную с Л, достаточно построить
транспонированную матрицу и заменить ее элементы
комплексно сопряженными. Таким образом, если Л=||аАш||,
то Л*=||а7пЛ||, Система уравнений
или, в развернутой записи,
2аялЯл = **5 к=\% 2 п (3)
т*»1

§ 8] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 57
называется сопряженной с системой (1); вектор с, входящий
в правую часть сопряженной системы, может быть каким
угодно.
Определители двух сопряженных матриц суть величины
комплексно сопряженные и потому они одновременно
обращаются или не обращаются в нуль; сопряженные матрицы
имеют один и тот же ранг.
Будем считать известными следующие теоремы о
линейных алгебраических системах.
Теорема 1. Если определитель системы отличен от
нуля, то как данная система, так и система, с ней
сопряженная, разрешима при любых свободных членах,
и решение той и другой системы единственно.
Однородная система имеет в этом случае только тривиальное
(нулевое) решение.
Теорема 2. Если определитель системы равен нулю,
то однородные системы Ах = 0 и Л*у = 0 имеют каждая
р = п — г линейно независимых решений, где г—ранг
матрицы А. —
Заметим, что если лг(1>, х&\ .. ., лг^> и у^1\ у{2\ ..., у№
суть линейно независимые решения систем Ах = 0 и А*у = 0
соответственно, то общие решения этих систем имеют вид
где f;. и 7* произвольные постоянные.
Теорема 3. Для того, чтобы неоднородная система (1)
имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы А не изменялся от прибавления к ней столбца
свободных членов.
Заметим, что если определитель системы (1) равен нулю,
а система разрешима, то она имеет бесконечно много
решений: прибавив к какому-либо решению системы (1)
любое решение соответствующей однородной системы, мы
опять получим решение системы (1). Если определитель
системы (1) равен нулю, и при этом ранг матрицы А равен г,
то общее решение системы (1) имеет вид
* = *<«>+2 Т,*<Л, (5)

58
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. 1
где #(°) —частное решение системы, а х^\ J— 1, 2 р —
линейно независимые решения однородной системы Ах = 0.
Теорему 3 можно заменить следующей ей эквивалентной,
которой мы и будем пользоваться.
Теорема 4. Для того, чтобы неоднородная система (/)
линейных алгебраических уравнений была разрешима,
необходимо и достаточно, чтобы вектор свободных
членов этой системы был ортогонален ко всем решениям
сопряженной однородной системы.
Приведем доказательство этой теоремы *). Предварительно
напомним, что векторы х и у ортогональны, если
п _
(*. У) = ЦхкУк = 0-
А-1
Обозначим через Ак вектор, образованный элементами
й-го столбца матрицы А:
k=l, 2 п.
Систему (1) можно записать в виде
^j Хт^т — *>
»-1
эта запись показывает, что система (1) разрешима тогда
и только тогда, когда вектор b есть линейная комбинация
векторов Аъ иначе говоря, когда вектор Ъ принадлежит
подпространству, порожденному векторами Аи Аъ ,.., Ап.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы вектор b был
ортогонален к каждому вектору, ортогональному ко всем
векторам Ак. Пусть у такой вектор, и пусть уи у2,..., уп—его
составляющие. Требование {у, Лл) = 0, йр=1, 2, .... л,
равносильно тому, что
п __
2Яти*.Ут = 0, Л=1, 2 /i,
m—1
1) Приводимое ниже доказательство было указано автору
Д. К. Фаддеевым.

§ 9] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМИ ЯДРАМИ 59
т. е. у есть решение однородной системы, сопряженной
с системой (1). Таким образом, для разрешимости системы (1)
необходимо к достаточно, чтобы вектор b был ортогонален
к любому решению сопряженной однородной системы, что
и требовалось доказать.
§ 9. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами
Ядро К (xt s) называется вырожденным, если его можно
представить в виде конечной суммы произведений дву*
функций, из которых одна зависит только от х9 а другая
только от s. Вырожденное ядро имеет вид
К(х. s) = y2iak(x)bk(s). (1)
Можно считать, что функции ак(х), так же как и
функции bk(s), между собой линейно независимы — в противном
случае можно было бы уменьшить число слагаемых в сумме (1).
Будем считать, что функции ак(х) и Ьк($) квадратично
суммируемы в основном промежутке (а, Ь) — тогда ядро
К(х% s) квадратично суммируемо в основном квадрате.
Подставив в интегральное уравнение
ь
?(*) —х/*(*. s)<?(s)ds—f(x) = 0 (2)
а
вместо K(xt s) его выражение (1), мы приведем это
уравнение к виду
п Ь
<?(x)-\^ak(x)fbk(s)9(s)ds-f(x) = 0. (3)
Л-1 а
Допустим, что уравнение (3) имеет решение. Введя
обозначение
ь
fbk(s)9(s)ds = Ckt (4)
а
получим равенство
?(*)=/(*) + * 2 CiM*), (5)

60
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
из которого видно, что решение интегрального уравнения
с вырожденным ядром сводится к определению
постоянных Ск.
В равенстве (5) заменим обозначение индекса
суммирования k на т> затем обе части этого равенства умножим
на Ьк(х) и проинтегрируем по х в пределах от а до Ь.
Введя обозначения
ь
/ am(s)bk(s)ds:
Лк7П>
ff(s)Bk(s)ds = fk,
(6)
получим систему, которой необходимо удовлетворяют
коэффициенты Ск:
Ск— ^lZ*kmCm=fk* *=1. 2, .... П.
(7)
Если эта система неразрешима, то, очевидно,
интегральное уравнение (2) также неразрешимо. Допустим теперь,
что система (7) имеет решение Сь С2, ..... Сп. Подставим
эти коэффициенты в равенство (5) и докажем, что
построенная таким образом функция cp(je) есть решение уравнения (2).
Для этого подставим в уравнение (2) вместо ср(лг)
выражение (5). Произведя некоторые очевидные преобразования,
мы приведем левую часть уравнения к виду
*2**(*) \ck-{h(s) \f(s)+\^Cmam(s)\ds\,
Л-1 I a L w-=i J J
что равно нулю в силу уравнений (7).
Из сказанного ясно, что интегральное уравнение (2) и
система линейных алгебраических уравнений (7) эквивалентны.
Определитель системы (7) равен
D(X) =
1 — \а1Ь
— ^«21»
■Ь
nli
— Хаг
1 — Ха«
— Ха*
— Ха
— Ха,
1-Ха.
(8)

§ 9) ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМИ ЯДРАМИ 61
D(X) есть полином относительно X степени не выше п\
этот полином отличен от тождественного нуля, так как
II 0 ... 01
D(0)= 0 1 ... 0=1.
|0 0 ... 1|
Но тогда этот полином имеет не более п различных
корней. Если X не совпадает ни с одним из эТих корней,
то наше интегральное уравнение с вырожденным ядром имеет
решение при любом свободном члене, и это решение
единственное; соответствующее однородное уравнение имеет
только тривиальное (т. е. тождественно равное нулю)
решение. Если же X совпадает с одним из корней
определителя D(X), то при произвольно взятом свободном члене
интегральное уравнение, вообще говоря, неразрешимо.
Соответствующее однородное интегральное уравнение имеет при
этом нетривиальные (т. е. отличные от тождественного нуля)
решения.
Нетрудно установить их вид. Если уравнение (2)
однородное, то /(.*)== 0. Тогда Д = 0, ft=l, 2, ..., л, и
система (7) делается однородной. Ее определитель равен
нулю и потому эта система имеет некоторое число /?,
l^Cp^n, линейно независимых нетривиальных решений.
Пусть эти решения суть С$\ k = 1, 2,..., п и j = 1, 2 р.
Тогда функции
*/(*) = 2 ci/W*); ]= 1. 2,..., р (9)
суть нетривиальные решения однородного интегрального
уравнения
ь
?(x) — \fK(x§ s)<t(s)ds = 09 (10)
а
ядро К(х, s) которого определено формулой (1).
Как известно (см. формулу (4) §8), всякое решение
однородной системы, соответствующей системе (7), имеет вид
,/-1

62
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
где у. произвольные постоянные. Учтя эквивалентность
системы (7) и уравнения (2), мы легко убедимся в том, что
общее решение уравнения (10) при значении X, совпадающем
с каким-либо корнем определитель D(l)t имеет вид
,7-1 3 J
где г. — произвольные постоянные.
§ 10. Общий случай уравнения Фредгольма
Решение интегрального уравнения Фредгольма с
невырожденным ядром можно заменить решением двух
интегральных уравнений, одно из которых разрешимо по методу
последовательных приближений, или, что то же, через
посредство резольвенты, а другое уравнение имеет
вырожденное ядро.
Такую замену можно осуществить многими способами;
ниже мы приводим два таких способа, основанных на
разложений ядра в двойной ряд Фурье.
Рассмотрим уравнение Фредгольма общего вида
ъ
9{х) — \{к(х. s)<?(s)ds = f(x). (1)
а
Его ядро квадратично суммируемо в основном квадрате,
так что интеграл
ь ь
f [\К(х, s)\2dxds = B2
а а
конечен.
Пусть. cpfc(jc); k'= 1, 2, ... —ортонормированная и
полная в промежутке (а, Ь) система функций. Тогда, как мы
видели (см. § 2), система
**(*)?«(*); *. « = 1. 2. ... (2)
ортонормирована и полна в основном квадрате, в котором
ядро К (л:, s) квадратично суммируемо и потому разлагается

§ 10] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ФРЁДГОЛЬМ*А 63
в ряд Фурье по функциям (2)
оо
К (Х, S)=" 2 A*m4k(x)?m(S). (3)
k, w-i
сходящийся в основном квадрате в среднем. Так как
система (2) полна, то имеет место уравнение замкнутости,
которое в применении к функции K(xt s) дает
2 \Ат? = &. (4)
k, т—1
Зададим теперь произвольное число R > 0 и будем
рассматривать уравнение (/) только при тех значениях X,
которые лежат в круге |X|<; R.
Из ряда (3) выделим частичную сумму
КГ{х. s)= 2 Akm9k(x)9m(s). (5)
k, m-i
Очевидно, K"(x, s) представляет собой вырожденное
ядро. Положим еще
К (х, s) — К" (х. s) = К' (xt s). (6)
Ряд Фурье функции К' (х, s) представляет собой остаток
ряда Фурье функции K(xt s)
K'(xts)= 2 4km<P* (*)?«(*)• (7)
k > n, m > n
Применяя опять уравнение замкнутости и обозначая
6 ь
B'2 = ff\K'(x, s)\*dxds,
а а
имеем
В'2= 2 И*тР- (8)
к > я, т> п
Ряд (8) есть остаток сходящегося ряда (4) и потому его
)ЧНО
1
W
сумма сколь угодно мала, если только п достаточно велико.
Выберем п столь большим, чтобы было В' < -ятт • Тогда
\МВ'<\.

64 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Таким образом, по формуле (6) ядро К(х, s) разбито
на сумму двух ядер
К(х. s) = К (х, s) + К" (х, s) (6а)
из которых первое имеет характер малого ядра, а второе —
характер ядра вырржденного.
В последующем будем говорить, что формула (6а)
представляет собой разбиение ядра К(х, s) на сумму ядер
малого и вырожденного.
Подставим разложение (6а) в уравнение (1), которое
перепишем следующим образом
ь ь
c?(x) — \fK/(x1s)<?(s)ds=f(x)-\-\fK"(x, s)<f(s)ds. (9)
а а
1. Первый из упомянутых выше способов сведения
уравнения Фредгольма к уравнению с вырожденным ядром
состоит в следующем. Вводим новую неизвестную
функцию <|>(х), полагая
ь
?(*) —X J/C'(*. s)<f(s)ds = ty(x). (Ю)
а
Чтобы выразить ср(лг) через новую неизвестную ф(лг),
надо, очевидно, решить интегральное уравнение (10). Но
|Х|£'<у; по теореме 1 §4 уравнение (10) разрешимо
и имеет единственное решение. Если резольвенту
уравнения (10) обозначить через Г'(х, s; X), то решение этого
уравнения по формулу (8) § 7 запишется в виде
ъ
<р (*) = ф (*) +Х J Г (х, s; X) ф (s) ds. (11)
а
Подставив решение (11) в формулу (9), получим новое
интегральное уравнение, эквивалентное уравнению (1):
ф(х) —xJV(*. *){ф(*)+ь/гЧ*. t\ Х)ффЛ }&=/(*).
а [ a J (12)

§ 10] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 65
Докажем, что ядро уравнения (12) вырожденное.
Преобразуем уравнение (12), заменив во внутреннем интеграле
обозначения переменных интегрирования t% s на s, t и
изменив порядок интегрирования в двойном интеграле
1»(*)-х/Ф(*)|/ГЧ*. *)+
+\ f К"(х,t)ТУ(t,s;V)dt\ds = f(x).
(13)
Ядром этого уравнения является выражение, стоящее
в фигурных скобках.
Как уже было упомянуто, К"{х% $) — вырожденное ядро.
Рассмотрим второе слагаемое:
ь
JK"(x, t)T'{tt s;\)dt =
а
Ь п
= / 2 Akmn(x)<9m(t)Tf(t,s;\)dt =
а к, /и-1
п Ь п
= 2 **<*>/ 2А^^ w F <f- s> х> *•
Л—1 а т—1
Здесь интеграл есть функция только от s, значит и второе
слагаемое в ядре уравнения (13) есть сумма произведений
функций, из которых одна зависит только or xt а другая
только от s.
Введем обозначения:
<Р*(*) = М*).
2 4bi» {?*.(*) + >> /Г7 («. t\ b)<tm<t)dtl=bk{s, X);
w-i I a J

66 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Тогда ядро уравнения (13) принимает вид
п
Jjak(x)bk(s, X),
fc-i
и ясно, что это ядро вырожденное. Уравнение (13) теперь
записывается в виде
ь п
♦ (*> -х / Sа*(дг) **(s*Х) *(s) ds=/(лг)- (14)
а ft-l
Замечание. Резольвента Г' ре^лярна в круге |X| < g>,
но Б' < 2D» поэтому резольвента регулярна в круге | X [ < 2/?
и тем более в замкнутом круге |Х|^/?. Отсюда следует,
что в том же замкнутом круге регулярны и функции
2. Укажем теперь второй способ сведения*общего
уравнения Фредгольма к уравнению с вырожденным ядром.
Правую часть уравнения (9), которую обозначим через F(x),
будем рассматривать как величину известную. Мы получим
тогда уравнение с параметром, удовлетворяющим условию
|Х|В'< 1; решение этого уравнения имеет вид
ь
ср (х) = F (*) + Х f Г' (*. s; X) F (s) ds.
а
Подставив сюда вместо F (х) его значение, получим
ъ
?(*)=/(*) + * /1"<*. s- X)/(s)rfs +
+ Х f K"(xt s)<?(s)ds-\-
a
Ь Ь
+ X2 f T'(x, s; X) ds fK"(s> f)9<t)dt.

§ 10] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 67
или, если в двойном интеграле изменить порядок и
обозначение переменных интегрирования,
*(*)-Х J {*"(*. *) +
+ Х /Г(*. t\ \)K"{t% s)dt lcp(s)rfs =
ь
= f (*) + X / Г (x, s; X)/ (s) Л. (15)
a
Аналогично предыдущему легко доказать, что
уравнение (15) имеет вырожденное ядро. Заметим, что свободный
член этого уравнения равен
ъ
f(x) + \fT,(xlS)\)f(s)ds.
а
Замечание. При практическом решении уравнения (1)
целесообразно остаток К' (лг, s) в разбиении (6а) сделать
столь малым, чтобы цм можно было пренебречь, тогда сразу
получается уравнение с вырожденным ядром для
неизвестной <р(х).
Вернемся к уравнению (14). Обозначим
ъ
Чт= fdm(s)bk(s%\)dst
а
Ь
а
Ь
Л— ff(s)bk(st \)ds.
а
По способу, изложенному в § 9, для коэффициентов Ск
получается линейная алгебраическая система
п
Ск — x2«**A»=/ft; *=1. 2 «. Об)
W—1

68
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
где коэффициенты <хкт суть функции параметра X, регулярные
в замкнутом круге |Х|^/?.
Определитель системы (16)
яла> =
1—Хаи» —Xaw — ^am
— Xa21, 1 — XaM, . .. f — Xa2n
— Xanl> — Xan2» • • •» 1 — ^ann
есть регулярная функция от X в круге |Х|^/?. Если X
таково, что £)д(Х)=^=0, то система (16) разрешима, каковы бы
ни были ее свободные члены fkt и решение ее единственно,
а тогда исходное интегральное уравнение (1) также
разрешимо и имеет единственное решение. Действительно, из
результатов § 9 следует, что в этом случае уравнение (14)
имеет решение, и притом единственное, которое можно
представить в виде
Подставив значение ф(л:) в формулу (11), мы найдем
функцию ср (х), удовлетворяющую данному интегральному
уравнению (1), и ясно, что это решение единственное.
Если Од(Х)=£0, а /(*)== О, то уравнение (1) имеет
только тривиальное решение cp(Ar)s=sO.
Пусть теперь D#(X) = 0. Система (16) тогда, вообще
говоря, неразрешима, а следовательно, вообще говоря,
неразрешимо и данное интегральное уравнение. Предполагая, что
D#(X) = 0, рассмотрим однородное интегральное уравнение:
ь
<р (*) — X f К(х, s) ср (s) ds = 0. (17)
а
Указанным выше способом заменим его однородным
интегральным уравнением для вспомогательной неизвестной ф(л;)
Ь п
*(лг) -х / 2a* wb" <-s) *(s) ds=0: (18>
оно получается из уравнения (14) при/(л:) ==0. Уравнение (18)
в свою очередь сводится к однородной системе линейных

§ 10J ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 69
алгебраических уравнений и, коль скоро определитель этой
системы равен нулю, то она имеет нетривиальные решения.
Если через г обозначить ранг матрицы системы, fb число
линейно независимых решений упомянутой системы будет
равно р = п — r% l^Cp^n.
Обозначим линейно независимые решения однородной
алгебраической системы через
С#>. СК> Cj?; у=1, 2 р.
Зная эти решения, можно по формуле (9) § 9 построить
решения однородного уравнения (18):
tW(*) = *2 <#«*(*). (19)
и тогда решения уравнения (17) найдутся по формуле (11)
ь
срО) (х) = ф(Л (х) + X f Г (*, s\ X) фО) (s) ds. (20)
а
Функции срО*) (дг) и фМ (х), очевидно, связаны между
собой также и соотношением
ф(Л (д:) = ?(Л (*) — X/C'cptf> =
&
= <?U)(x) — \fK'(xt s)<fV)(s)d&. (21)
а
вытекающим из формулы (10).
Докажем, что полученные таким образом решения ср(Я (л:)
линейно независимы. Допустим противное. Пусть существуют
такие постоянные аО\ что
v
2а<Л<р(Л(х)Еа0.
Составим аналогичную сумму для функций <|М(*). В силу
соотношения (21)
v v / р \
2 сДОф(Л (*) = 2 a(i)cP0) (*) — W 2 «(Л<РШ = 0- (22)

70 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Подставляя в тождество (22) вместо tyW(x) их
значения (19) и меняя порядок суммирования, получим
Так как функции ал(лг) линейно независимы, то отсюда
необходимо следует равенство нулю коэффициентов при ак (х):
Sa^dP^O; *=1. 2 п.
Последние равенства равносильны одному векторному
равенству
в котором С^ означает вектор с составляющими
r(i) r(f) rU)
Так как векторы С^ линейно независимы, то необходимо
аО') = 0; у=1, 2 /? и, следовательно, функции ср(/)(лг)
линейно независимы.
Итак, если Dr (X) = 0, то однородное интегральное
уравнение (17) имеет р линейно независимых решений ср^)(л;), где
У=1, 2, ..., /?; 1</?<я.
Непосредственной подстановкой в уравнение (17) можно
убедиться, что линейная комбинация этих решений
ф(*) = 2 b9{j)(x) (23)
также является решением уравнения (17). Очевидно,
формула (23) содержит все решения однородного интегрального
уравнения (17).
Рассмотрим теперь неоднородное интегральное
уравнение (1), предполагая, что D^(X) = 0. Это уравнение в
общем случае неразрешимо; докажем, что если оно имеет
хотя бы одно решение <?о(х), то таких решений бесконечно
много.

$ 10] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 71
Введем новую неизвестную функцию Ф(*)> положив
ср(*) = ?о(*) + Ф(*). (24)
Подставив выражение (24) в уравнение (1), получим:
То (*) + Ф (х) - Х/Ссро - \КФ = / (*).
Но по условию у0(х) есть решение неоднородного
уравнения (1), поэтому
и, следовательно,
Ф(х) — \КФ = 0,
что означает, что новая неизвестная функция Ф (#)
удовлетворяет однородному интегральному уравнению. Так как
Дд(Х) = 0, то это уравнение имеет бесконечно много
решений, даваемых формулой
ф(*) = 2т/р(/)(*).
Но тогда неоднородное уравнение (1) имеет бесконечное
множество решений: все они содержатся в формуле
9 (*) = То (*) + 2 W(/) (*)• (25)
в которой ty суть произвольные постоянные.
Как уже, было отмечено выше, Dr(K) есть регулярная
функция от X в круге |Х|<^/?; она отлична от
тождественного нуля, так как Од(0)=1, и потому в круге |Х|^/?
она имеет только конечное число нулей.
Введем теперь следующие определения. Значения
параметра X, при которых однородное интегральное уравнение (17)
имеет только тривиальное решение, будем называть
правильным, а значение того же параметра, при котором
однородное интегральное уравнение имеет нетривиальные
решения— характеристическим числом данного ядра K(xt s)
или соответствующего ему интегрального уравнения.
Нетривиальные решения однородного интегрального уравнения
называются собственными функциями этого уравнения или
его ядра, соответствующими данному характеристическому
числу.

72
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. t
Из проведенного выше анализа сразу вытекает:
а) характеристические числа, расположенные в круге
| X | ^ /?, совпадают с расположенными в этом круге
корнями определителя Ьд(Х),
б) при правильном значении X неоднородное
интегральное уравнение разрешимо, каков бы ни был его
свободный член; решение интегрального уравнения в этом
случае — единственное.
в) данному характеристическому числу
соответствует только конечное число линейно независимых
собственных функций,
г) если при характеристическом значении X
неоднородное интегральное уравнение разрешимо, то оно имеет
бесчисленное множество решений.
§11. Сопряженное уравнение Фредгольма
Пусть дано уравнение
?(*)— Х/Сср =/(*),
или, более подробно,
ь
ср (х) - X f K(xt s) ср (s) ds = f(x). (1)
о
Ядро К* (х, $), получаемое из данного ядра К(х, s)
перестановкой аргументов и заменой полученного выражения
на комплексно сопряженное, называется сопряженным с
данным ядром. Таким образом, по определению
K*(xt s) = K(s, х). (2)
Например, если K(xt s) = x-\-ist то
K*(xt s) = (s + tx) = s — ix.
Если ядро вещественное, то К*(х, s) = K(s, х).
Уравнение
ь
u(x) — lfK*(x, s)u(s)ds = g(x)9 (3)
а

§11] СОПРЯЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА 73
в котором g(x)— какая угодно квадратично суммируемая
функция, называется сопряженным с данным уравнением (1).
Оператор /С*, определяемый формулой
ь
fC<f= JV(*. s)<f{s)ds, (4)
а
называется сопряженным с оператором
ъ
/Сср= fK(xt s)<?(s)ds.
а
Если К—оператор Фредгольма, то К* тоже есть
оператор Фредгольма; постоянная В для сопряженных ядер одна
и та же.
Сопряженные операторы связаны между собой важным
тождеством: если ср(*) и ФС*) произвольные квадратично
суммируемые функции, то
(/Сер, ф) = (?, ку). (С)
Доказательство очень просто. По определению
скалярного произведения
ъ ъ ь
(/Сер, ф) = fW)K<fdx = f fK(x, s)<?(s)J(x)xlxds.
а а а
Заменяя обозначения переменных интегрирования х на s
и наоборот, получаем
ь ь
(/Сер, Ф) = //^(*. х)ч(х)Шёхй8 =
а а
Ь Ь
= Jy(x)dxfK(s, x)^)ds —
а а
Ъ ~Ъ " Ь
===Jcp(x)rfjcjK4^)t(5)^ = Jcp(Ar).^^ = (cp, /С*ф),
а а а
что и требовалось доказать.

74
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
Важно отметить, что сопряженный оператор полностью
определяется соотношением (С), именно, если некоторый
оператор L удовлетворяет тождеству
(/Сер, ф) = (<р,1ф), (С а)
в котором ср и ф произвольные квадратично суммируемые
функции, то L<|> = /(*<|>. Действительно, вычитая из
тождества (Са) тождество (С) находим (ср, Lty—/С*ф)=0. Зафиксировав
как-либо функцию <|>, видим, что разность Lty — K*ty
ортогональна к любой квадратично суммируемой функции ср.
Но тогда эта разность ортогональна и к самой себе. По
свойству 4 скалярного умножения (§ 2), £ф = /(*ф.
Установим некоторые простые свойства сопряженных
операторов.
1. Пусть К и L — два оператора Фредгольма. Имеем.
(/С?| ф) = (ср, /СЧО: (L?, ф) = (ср, L*%
отсюда
(/ccp+icp, 4»=(«р, K^+ity.
Теперь тождество (С) дает
(К+1)* = ** + !*. (5)
2. Пусть X — постоянная. Имеем
(Х/Сср, -ф) = (/Сер, Хф) = (ср, к* йо) = (?, х/счо,
и из тождества (С) следует, что
(Х/С)*=Х/С.
3. Повторное применение тождества (С) дает
(/CLcp, 4» = (1<р, /С*ф) = (ср, Г/Гф).
Отсюда
(KL)* = L*K*. (6)
т. е. оператор, сопряженный произведению, равен
произведению сопряженных операторов, взятых в обратном порядке.
Полагая L = /C, находим, что (К2)* = (/С*)2. По индукции
легко получается общее соотношение (/С*)* = (К*)п, откуда
следует соотношение для итерированных ядер
К*п(х, s) = Kn(s, х).
(J)

§ И] СОПРЯЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА 75
Если |Х[ <-g-> то уравнение (3) разрешимо по методу
последовательных приближений, и решение его единственно.
Это решение можно построить через резольвенту Г* (л:, s; X)
уравнения (3) по формуле
ъ
со(*) = g(x) + Х f Г(*, s; l)g(s)ds = g(x) + ХГ^.
a
Резольвента вычисляется по формуле
оо
T(jc, s;l)=2?X(x, s).
Так как Kn{xt $) = Kn(s, x), то
Г(*. s; Х) = Г(5, л:; X).
Отсюда, между прочим следует, что операторы Гх
и 1\— сопряженные.
Обратимся к исследованию сопряженных интегральных
уравнений. Если ядро уравнения (1> вырожденное,
то, как мы знаем, это уравнение сводится к системе
алгебраических уравнений
п
с*—*2«*«А,=Л: * = 1. 2 я. (8)
т=1
где
&
«*m=/ew(*)ftft(*)rf*.
а
Уравнение, сопряженное с уравнением (1), имеет вид
<*>(*) — lJCa = g(x).
Его ядро тоже вырожденное
п
К*(х, s)='2lbm(x)a^(s),
т=>1

76
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
а в таком случае сопряженное уравнение сводится тоже
к алгебраической системе. Построим эту систему. Имеем
п Ь
о) (х) — X ^] bm(x) Jат($)a)(s)ds = g(х).
w—1 а.
Обозначим
ь
fam(s)u(s)ds = cm.
а
Тогда уравнение перепишется в виде
п
со (л:) — X2 стbm(x) = g(x).
Умножав обе части этого равенства на ак(х) и
проинтегрировав в пределах от а до Ь, получим
_ w
Ск — b^ctml<cm = gk\ Л=1, 2 nt (9)
w—1
где
ь
gh = fcik(x)g(x)dx.
a
Очевидно, системы (8) и (9) линейных алгебраических
уравнений, соответствующие сопряженным интегральным
уравнениям с вырожденными ядрами, суть системы
сопряженные.
Докажем, что и в общем случае невырожденного ядра
можно свести сопряженные интегральные уравнения (1) и (3)
к сопряженным линейным системам. Для этого предварительно
сведем уравнения (1) и (3) к интегральным уравнениям
с вырожденными ядрами. Применив к уравнению (1) первый
из способов § 10, получим уравнение [см. уравнение (13) § 10]
X ♦(*)<**=/(*)• (Ю)

§ 12] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 77
Чтобы преобразовать уравнение (3), заметим, что если
ядро K(xt s) разбито на сумму
К(х, s) = K'(x, s)+K"(x, s)t
то соответственно
К* (xt s) = К'* (xt s) + К? (jc. $\
причем ядро К' (a:, s) вырожденное и
ь ь ь ь
/J|/C'*(Jt, s)?dxds=ff\K'(x. s)\24xds = B'2.
а а а а
Теперь запишем уравнение (3) в виде
ъ ь
<*> (х)—X f К'* (*, s) со (s) ds = g(x) + \f К"* (х. s) со (s) ds.
а а
Применив второй из способов, указанных в § 10,
получим [см. уравнение (15) § 10] интегральное уравнение с
вырожденным ядром
о, (JC) _ X f | К»* (xt s) + Х f Г* (*, t; X) К? (*, s)dt\m (s) ds=
ь
= g(x)+Tfr\xts;l)g(s)ds. (11)
a
Из формулы (6) следует, что вырожденные ядра
уравнений (10) и (11) — сопряженные, а в таком случае, как было
сказано выше, эти уравнения сводятся к сопряженным
алгебраическим системам.
§ 12. Теоремы Фредгольма
Теорема 1. Уравнение Фредгольма имеет не более
счетного множества характеристических чисел, которые
могут сгущаться только на бесконечности.
В комплексной Х-плоскости проведем окружности с общим
центром в начале координат и с радиусами 1, 2, 3# ....

78
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
Эти окружности разбивают Х-плоскость на счетное множество
областей.
Как мы уже видели, в круге любого радиуса п
содержится только конечное число характеристических чисел.
Но тогда в каждом кольце п < | X | ^ п -\- 1 их, очевидно,
тоже содержится конечное число; множество всех
характеристических чисел представляет собой сумму счетного
множества конечных множеств, а такая сумма, как известно,
либо счетная, либо конечная.
Точка сгущения характеристических чисел не может
находиться на конечном расстоянии от начала — в противном
случае нашелся бы круг н'а плоскости X, который содержал бы
бесконечное множество характеристических чисел.
Теорема 2. Если значение X правильное, то как данное
интегральное уравнение, так и сопряженное с ним
уравнение, разрешимо при любом свободном члене и решение
каждого из этих уравнений единственно. Соответствую-
щие однородные уравнения имеют только тривиальные
решения.
Для данного уравнения теорема 2 была уже
сформулирована и доказана в § 10. Чтобы доказать эту теорему для
сопряженного уравнения, достаточно напомнить, что
сопряженные уравнения сводятся к сопряженным линейным
системам. Если значение X правильное, то определители этих
систем оба отличны от нуля; отсюда вытекает, что не только
данное, но и сопряженное интегральное уравнение разрешимо
и его решение единственно.
Теорема 3. Если значение X характеристическое, то
однородное интегральное уравнение, так же как и
сопряженное с ним однородное уравнение, имеет
нетривиальные решения. Число линейно независимых решений
однородного интегрального уравнения конечно и равно
числу линейно независимых решений однородного
сопряженного уравнения.
Однородные сопряженные интегральные уравнения
сводятся к однородным же сопряженным алгебраическим
системам. Значение X — характеристическое Поэтому определители
указанных систем равны нулю, обе системы имеют
нетривиальные решения и число линейно независимых решений
одно и то же для обеих систем. Но каждому решению
алгебраической системы отвечает решение соответствующего

* 12] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 79
интегрального уравнения, и наоборот, а линейно независимым
решениям алгебраической системы отвечают линейно
независимые решения интегрального уравнения. Отсюда и следует,
что при X характеристическом однородные сопряженные
интегральные уравнения имеют нетривиальные решения,
причем числа линейно независимых решений конечны и
совпадают для обоих уравнений.
Теорема 4. Для того, чтобы неоднородное
интегральное уравнение било разрешимо, необходимо и достаточно,
чтобы его свободный член был ортогонален ко всем
решениям соответствующего однородного сопряженного
интегрального уравнения.
Таким образом, если данное интегральное уравнение
имеет вид
9 (л)— Х/Сср = /(*), (1)
то теорема 4 утверждает, что необходимым и достаточным
условием разрешимости уравнения (1) является равенство
(/.«0 = 0. (2)
где о) (а:) — любое решение уравнения
ш(*) —Х/С*ш==0. (3)
Теорема 4 тривиальна, если значение X правильное: в этом
случае о) = 0, так что условие (2) выполняется
автоматически; в то же время, в силу теоремы 2, уравнение (1)
разрешимо при любом свободном члене.
Пусть X — характеристическое. Уравнение (1) сведем,
по первому способу § 10, к уравнению с вырожденным ядром
фф—*(^ + ^Г0ф = /(*). (4)
Пусть ядро этого уравнения имеет вид
п
Повторяя рассуждения § 9, мы сведем уравнение (1) к системе
п Ь
Ск — Х ^ *кп£т = Л*, /к = / / (*) Ьк (X) dx\ (5)
w—1 о
к—\, 2 п.

80 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Для разрешимости системы (5), а с ней и уравнения (1)г
необходимо и достаточно выполнение равенств
2/л = о, (6)
где у*» А = 1, 2 п — любое решение однородной
системы
__ п
Тл_Х2«Тда = 0, (7)
сопряженной с системой (5). Остается только показать, что
условия (6) и (2) тождественны. Но условие (6) сразу
приводится к виду
Ь п I п \
//(*>2тА<*>** = (/. 2тА) = о.
a ft-1 V fc-1 /
а функции
п
как легко видеть, совпадают с решениями уравнения (3).
Действительно, уравнение ХЗ) имеет вид
п Ь
*(x) — bj^bm(x)fam(s)u(s)d8=*0.
m=»l а
Обозначим
ь
f am(s)(s>(s)ds = imt
а
тогда
__ п
(■>(*) — X2Tm*mW=0.
w-1
Умножая на ал(х) и интегрируя, придем к системе (7). Тем
самым установлена тождественность условий (6) и (2), а вместе
с тем и справедливость теоремы 4.
Из теорем Фредгольма вытекает так называемая альтер»
натива Фредгольма, которой чаще всего пользуются при
исследовании интегральных уравнений.

§ 131
РЕЗОЛЬВЕНТА
81
Либо неоднородное уравнение разрешимо, какова бы
на была его правая часть, либо соответствующее
однородное уравнение имеет нетривиальные решения.
Первая часть альтернативы имеет место, если данное
значение параметра правильное, вторая—если оно
характеристическое.
§ 13. Резольвента
Будем рассматривать общее уравнение Фредгольма
ь
?(*) — */*(*. s)<f(s)ds=f(x). (1)
а
В § 7 было установлено, что если | X | < _, то существует
функция Г(лг, s; X) — резольвента уравнения (1), — зная
которую, можно сразу построить решение этого уравнения:
ь
<р(*)=/(*) + Х Jl4*. s'> *)f(s)ds; (2)
о
при упомянутых значениях X резольвента разлагается в
степенной ряд
Т(х. s; ^) = Ъ>-П'Х(х, s), (3)
П = 1
и является регулярной функцией параметра X в круге |Х| < -д.
В настоящем параграфе будет показано, что аналогичную
функцию можно построить для всех правильных значений X,
иначе говоря, что резольвенту можно аналитически
продолжить на всю комплексную Х-плоскость за исключением
характеристических чисел ядра К(х, s).
Зададим некоторое число R > 0 и будем рассматривать
уравнение (1) при правильных значениях X, расположенных
в круге |Х (<;/?.
Как об этом многократно говорилось выше, ядро К(х, s)
можно разбить на сумму ядер К (х, s) и К" (xt $)t из
которых первое удовлетворяет неравенству
ь ь%
ff\K>ix,s)\>dXdS<1^,
а а

82 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
а второе вырожденное; будем писать его в виде
*"(*. s) = ^uk(x)vk(s).
Путем введения вспомогательной неизвестной
ь
♦ (*) = ?(*)-*]>(*. S)<f(8)dS
а
уравнение (1) сводится к алгебраической линейной системе (16)
§ 10; решая ее по формулам Крамера, найдем
п
где Д^т(Х)— алгебраическое дополнение элемента
определителя Dr (X), стоящего на пересечении &-го столбца и /я-й
строки.
Зная коэффициенты Ckt найдем
п
ft-i
и
ь
cp(x) = <Kx) + xJr'(*. s\ Х)ф(*)& =
а
п
= f(*) + ^Ckuk(x) +
Ъ п
+ xj>(*. s; X) \f(s) + l%Ckuk(s) \ds. (5)
Выражение (5) преобразуем, заменив коэффициенты Ск
их значениями (4), а числа fm — по формуле (6) § 9, в
которой следует заменить bm{st\) на
ъ
а

§ 13]
РЕЗОЛЬВЕНТА
83
так что
ъ
fm=ff(s)vm(s.\)ds =
а
bib \
= ff(s)ivm(s) + l JV(*. s;\)vm(t)dt\ds.
Все слагаемые, содержащие интегрирование, объединим;
там, где это необходимо, изменим обозначения переменных
интегрирования так, чтобы везде под знаком интеграла
аргумент функции / был обозначен буквой $. Наконец,
под знаком интеграла вынесем f(s) за скобку; выражение
внутри скобки, которое, очевидно, зависит от xt s и X,
но не зависит от свободного члена f(s), обозначим через
T(xt s\ X) и назовем резольвентой ядра К(х, s) при значении
параметра X. Теперь формула (5) приводится к следующей
ь
?(*) = /(*) + х/г(*, s\ \)f(s)dst
а
по форме совпадающей с формулой (2).
Только что описанные преобразования нетрудно
выполнить фактически, и они приводят к представлению
резольвенты, годному в круге |Х|^/?:
Г(х, s\ Х) = Г(*., s; X)-f-
n
+ D^JT) ^J ^^k(xA)Vm(S9\)9 (6)
где
b
uk (x. X) = uk (x) + X f Г (x, t; X) uk (t) dt. (7)
a
Из формул (6) и (7) легко усмотреть, что при любом
правильном X резольвента квадратично суммируема в
основном квадрате.
Докажем теперь, что резольвента единственна, если она
существует. Точнее говоря, докажем следующее
предложение: пусть X — правильное значение параметра, и пусть
существуют две функции Тх(х, s; X) и Г2(л:, s; X),

84
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. 1
квадратично суммируемые в основном квадрате и такие,
что при любом свободном члене f{x) решение уравнения
(1) представимо каждой из формул
ь
<?(x) = f(x) + \fTl(x, s; \)f(s)ds (8)
а
И
Ь
?(*)=/(*) + ь/г8(*, s; \)f(s)ds. (9)
а
Тогда при данном X необходимо Тг (х, s; X) = Г2 (х, s; X).
Для доказательства вычтем равенство (9) из равенства (8).
Это приведет нас к тождеству
ь
flTxix, s; Х)-Г2(*, s; X)] /(.9)<fe езО,
a
верному для любой квадратично суммируемой функции f(s).
Разность Тг(х, s; X) — Г2(лг, s; X) двух квадратично
суммируемых функций сама квадратично суммируема в основном
квадрате; по теореме Фубини эта разность квадратично
суммируема по s в основном промежутке (а, Ь) при почти
всех х. Произвольно зафиксируем такое х и возьмем
f(s) = T1(xt s; X) — Г2(*, s; X).
Тогда последнее тождество дает
ъ
J\Tx(x. s; X) — Г2(х, s; \)\2ds = 0t
а
откуда и следует наше утверждение.
Отметим следующие свойства резольвенты,,
1. Резольвента мероморфна на всей Х-плоскости. Для
доказательства заметим, что определитель Dr (X),
алгебраические дополнения Д*Ш(Х), функции uk(xt\)t vm(st\) и
резольвента Г'(a:, s; X) регулярны в круге |Х|^/?, а тогда
формула (6) показывает, что в этом круге резольвента
регулярна всюду, за исключением разве лишь расположенных
в этом круге нулей определителя Dr (X). Таким образом,

* 13J РЕЗОЛЬВЕНТА 85
в любом круге | X | ^ R резольвента может иметь в
качестве особых точек только конечное число полюсов, а это
и означает, что резольвента мероморфна на всей плоскости.
2. При малых X резольвента определяется рядом (3).
Это непосредственно следует из доказанной выше
единственности резольвенты.
3. Полюсы резольвенты совпадают с
характеристическими числами ядра.
В круге |Х|<^/? полюсами резольвенты могут быть
только нули определителя DR (X), которые суть
характеристические числа интегрального уравнения. Докажем, что,
наоборот, всякое характеристическое число есть полюс
резольвенты. Допустим противное. Пусть в
характеристическом числе Хо резольвента регулярна. Обозначим через ы0(х)
какое-либо нетривиальное решение однородного
сопряженного уравнения
а) (л:) — Х0Л> = 0.
В силу теоремы 4 Фредгольма уравнение
<р(*)-Хо/Сср = а>0(*) (10)
неразрешимо. Пусть теперь X — правильная точка, близкая
к Xq. Уравнение
<f(x) — \K<t = <*o(x) (11)
имеет решение, которое получается из общей формулы (2),
если в ней заменить f(x) на to0(x)
ь
ср(лО = о>0(л;)4-Х /Г(л\ s\ \)u0(s)ds.
а
Подставив это в уравнение (11), получим тождество, которое
после элементарных упрощений принимает следующие} вид:
ь ъ
JT(xt s; X)uQ(s)ds — f K(xt s){v0(s) +
a a
-1-Х (T(s, t; X)w0(0<#UsssO.
i J

86 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Для краткости обозначим левую часть последнего
тождества через и(х, X), так что это тождество принимает вид
и(х, Х)==0.
Умножив это скалярно на произвольную квадратично
суммируемую функцию g(x), имеем
ь ъ
0 = (в(х, X), g(x)) = ffT(x, s; X)i»0(s)£Wdxds —
а а
Ь Ъ
— fj К(х, s)о)0(s)g(x)dxds +
a a
b b
+ ^//r(s, t\ \)u0(t)h(s)dsdt, (12)
a a
где функция
b
h(s)= f Kj^Ts)g(x)dx
a
квадратично суммируема.
По предположению резольвента Г (л:, 5; X) регулярна
в точке Xq. В силу определения, данного в конце § 7, это
означает, что правая часть тождества (12) есть функция
от X, аналитическая в точке Xq. В таком случае в этом
тождестве можно перейти к предел^ при X->Xq, что дает
Полагая здесь g(x) = u(x, Xq), получим \\u(xt Х0)||2 = 0.
Отсюда и(х, 1^ = 0, или
ь ь t
JT(xt $; \>)<»0(s)ds — f K(xt s)l <o0(s)-|-
a a I
+ \> fr(s, t; l0)u>0(t)dt)ds=sO, а<д:<*.
a J

§ 13] РЕЗОЛЬВЕНТА 87
Последнее тождество показывает, что уравнение (10)
имеет решение, равное
ъ
ЮоМ + ^/гС*. s; \0)(o0(s)ds.
а
Полученное противоречие показывает справедливость нашего
утверждения.
Замечание. Как и всякая мероморфная функция,
резольвента может быть представлена в виде отношения двух целых
функций. Можно доказать, что
1 С*.*.*)-—£>(Х) •
где функции D (х> s; X) и D (X) суть целые функции от X, которые
выражаются так называемыми рядами Ф'редгольма
оо
D (х, « X) = J Цг~ В* (*• s>Х"»
п-о
(-1)"
Здесь
D(X)==24Fc"xn-
С0=1, £<>(«*> s) = /CC*, 5),
ь
Cn^fBn-^x, x)dxt л>0;
а
Bn(xt s) = f ... f Ьп(х, 5, tflf..., *я)Лъ ..., dtn, п>0;
Д» (■*. 5, ^,..., *н) =
/СЛ, 5), /C(*i, у, .... /T(/i, /n)
Можно доказать также, что корни „знаменателя Фредгольма*
D (X) совпадают с характеристическими числами ядра К (•*• 5).
Ряд (3) для резольвенты есть ряд Тейлора
аналитической функции Г (л:, $; X) в окрестности точки Х = 0. Из
общих теорем теории функций комплексной переменной
известно, что радиус сходимости ряда Тейлора равен

88
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ.1
расстоянию от центра круга до ближайшей особой точки
разлагаемой функции. Но особые точки резольвенты суть
характеристические числа данного ядра. Поэтому, если Хх—
наименьшее по модулю характеристическое число, то ряд
(3) сходится в круге |*|<|М. ^ том же кРУге»
очевидно,*-Сходятся и последовательные приближения для
уравнения (1).
Следствие: Если в некотором круге |Х|</? нет
характеристических чисел уравнения (1), то в этом круге
последовательные приближения сходятся. Очевидно также,
что в круге радиуса, ббльшего чем |Х1|, последовательные
приближения сходиться не могут.
§ 14. Случай многих независимых переменных
В приложениях часто приходится решать интегральные
уравнения, в которых неизвестная функция зависит от
нескольких независимых переменных. Теория Фредгольма
с естественными изменениями распространяется и на такие
уравнения.
Пусть дано уравнение
f(P)-lf .£. fK(P, Q)f(Q)dVQ=f(P), (1)
в котором D — конечная или бесконечная область (не
обязательно связная) /я-мерного пространства; Р и Q — точки
области D, dVq—элемент объема в указанном
пространстве; значок Q внизу указывает, что интегрирование
совершается по переменной точке Q, тогда как точка Р остается
при этом интегрировании неподвижной. Далее, ср (Р)
означает неизвестную, а /(Я) — данную функцию, X— данный
численный параметр. Для краткости будем интегрирование
по области D обозначать одним знаком интеграла, в
соответствии с чем будем записывать уравнение (1) в виде
ср(Я)_х|/С(Р, Q)<?(Q)dVQ=f(P). (la)
D
Уравнение (1) назовем уравнением Фредгольма, если
f f\K(P, Q)\2dVP dVq = В2 <oo. (В)
D D

л 14J СЛУЧАЙ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 89
Условие (А) для случая многих переменных принимает та-
кой вид
f\K(P. Q)\2dVQ^A = const. (А)
D
Сопряженное ядро определим равенством
к*(P. Q) = K(Q7P).
Для уравнения (1), ядро которого удовлетворяет
перечисленным выше условиям, справедливо все сказанное в
предшествующих параграфах. Так, это уравнение разрешимо по
методу последовательных приближений, если | * | < д-, и Ре"
шение в этом случае единственно. Уравнение с
вырожденным ядром, т. е. с ядром вида
к p. Q)=ikdk(P)i>k(Q)
сводится к алгебраической линейной системе; путем
разбиения ядра на вырожденное и малое можно общее уравнение
Фредгольма свести к уравнению с вырожденным ядром
и таким путем установить справедливость четырех теорем
Фредгольма. Доказательства всех этих утверждений
получаются простой перефразировкой доказательств, приведенных
в предшествующих параграфах, и мы предоставляем это
сделать читателю.
Часто приходится иметь дело с интегральными
уравнениями вида
f(P)-\ff<(/>, Q) <р (Q) dSQ = f (Р), (2)
где S — некоторая поверхность, dSq—элемент ее площади.
Уравнение (2) просто сводится к виду (1). Для этого
достаточно ввести параметрические уравнения поверхности 5 и
затем в качестве независимых переменных и переменных
интегрирования ввести параметры, определяющие положения
точек Р и Q.

90
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
§ 15. Уравнения со слабой особенностью
Будем рассматривать сразу случай многих независимых
переменных, изменяющихся в некоторой конечной области D
/и-мерного пространства, и в соответствии с этим писать
интегральное уравнение в виде
ср(Я)-Х //С (Я, Q)<r(Q)dVQ = f(P). (1)
D
Обозначим через г расстояние между точками Я и Q.
Ядро К (Я, Q) назовем ядром со слабой особенностью,
если существует такая постоянная а, 0 <; а < т, что
произведение raK(P, Q) ограничено. Ядро со слабой
особенностью можно, следовательно, представить в виде
К(Р. Q) = AiP;aQ) ; 0<a<»t, (2)
где Л (Я, Q) ограниченная функция. Если К (Я, Q) — ядро
со слабой особенностью, то мы будем называть уравнение (1)
и входящий в него интегральный оператор соответственно
уравнением а оператором со слабой особенностью.
Если a < ~y t то оператор со слабой особенностью есть
в то же время и оператор Фредгольма, ядро которого
удовлетворяет условию (А).
Действительно, пусть | А (Я, Q) | ^ С = const, тогда
J\K(P. Q)\2dVQ^C>f^.
D D
Введем сферические координаты с центром в точке Я.
Тогда, как известно, dVQ=rm'xdrdS, где dS — элемент
площади поверхности гиперсферы радиуса единица.
Обозначим эту гиперсферу через 5, а площадь ее поверхности
через IS]1). Наконец, через h обозначим диаметр области D.
Тогда при любом положении точки Я область D лежит внутри
гиперсферы радиуса h с центром в точке Я. Отсюда
D г<h S О
2тгш/2
*) Напомним, что I S I = ——^«
Г {т/2)

§ 15J
УРАВНЕНИЯ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ
91
f\K(Pt Q)\2dVQ^A; А =
a\s\hm-2a
т — 2а
Итак, ядро K(Pt Q) удовлетворяет условию (А); раз
область D конечная, то это ядро также и квадратично
суммируемо. По определению, оператор
/*(Р, Q)v<Q)dVQ
есть оператор Фредгольма.
Теорема 1. Пусть К(Р% Q) ядро со слабой
особенностью. Интеграл
ф(Я)= J/C(P, Q)<f(Q)dVQ
существует при почти всех P£D, если функция ср(Р)
квадратично суммируема в D, и представляет собой
функцию, также квадратично суммируемую в D.
Доказательство разобьем на четыре части.
п° 1. Интеграл
/^
D
ограничен при любом положении точки Q внутри или на
границе области D. Действительно, обозначим, как и выше,
через h диаметр области D, тогда, повторяя
предшествующие рассуждения, найдем
/
dVP <\S\hn
г* ^ т — а
II
п°2. Очевидно, существует „двойной" интеграл
imidVpdvQ =
г*
Ъ 5
= f |?(Q)|*rfK«fd^<]~Sr II?»2

92 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
1о теореме Фубини почти всюду в D существует и
суммируема в D функция точки Р, задаваемая интегралом
п°3. Функция /С(Р, Q)cp(Q) суммируема почти при всех
P£D. Действительно, если |Л(Р, Q)|<C, то
\KV. Q)t(Q)KcMgll.-L<|{'^>i!+l}.
По доказанному в п°1 и п°2 первое слагаемое справа
суммируемо при почти всех P£Dt второе — при всех P£D
а тогда произведение /С(Р, Q)<f(Q) суммируемо при почти
всех P£D. Тем самым доказано, что функция <|>(Р)
определена почти всюду в области D.
п°4. Функция ф(Р) квадратично суммируема в D.
Действительно,
\vnr«>{f *&>■■£«,}•<
1)
По доказанному в п°2 правая часть последнего
неравенства, а с ней и функция |ф(Р)|2, суммируемы в D; при
этом
imi={ /m/oiwp}'/a<c|^7a н?и- (3)
h
Теорема 2. Пусть
\К(Р. Q)|<£. |I(P. Q)l<^.
где Сх и С2 — постоянные и0^а</я, 0 <^ р < /я. Тогда
ядро
М(.Р. Q)= {К{Р. R)L(R9 Q)dVB (4)
D

& 151 УРАВНЕНИЯ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ 93
имеет оценку
\M(Pt Q)\<
с, а + р < mt
с\ In г |-f-clt <х-{-ф = т,
(5)
где с и Ci — некоторые постоянные.
Заметим, что M(Pt Q) есть ядро произведения
операторов, ядра которых суть /С(Р, (?) и L(Pt Q).
Приступим к доказательству теоремы. Обозначим через h
диаметр области D, через г0 и гх — расстояния между
точками Р, R и Q, R соответственно. Тогда
\м(Р. Q)\ <са J -^<са J ^. (6)
Поместим начало координат в точке Р и проведем ось xt
через точку Q так, чтобы направление от Р к Q было
положительным. Тогда точки Р и Q имеют координаты
(О, 0, . . ., 0) и (г, 0, ..., 0). Координаты точки R
обозначим через xv хъ .... хт.
В этих обозначениях имеем
т т
В интеграле (6) сделаем подстановку xk = ryk; ft=l,
2, .. ., m.
771
Полагая р2 = 2 у!» имеем
I * C. Q) I < ,,+p-* jf pa(p2-_2yi+1)P/2 • (7>
Оценим интеграл (7). Прежде всего
dyi dy2, ..., dym = p77»-1 rfp rfS.
Далее, p2 — 2yL + 1 >(p — 1 )2. Нетрудно видеть, что
при р > 2 справедливо неравенство (р — I)2 > ~ р2.

94 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Действительно,
(p-l)2-|p2 = |(3p-2)(p-2).
что положительно при р > 2. Отсюда
\м(р pi < с'с* Г С r-'-dfds
2<р< —
Заметим, что первый интеграл справа есть величина
постоянная, которую мы обозначим через а. Если <х-\-$<т,
то, вычисляя второй интеграл справа, получаем
|М<Р, Q)|<ОД|S|[„г"—'+ *h2~Z\] <
<c1e*--'is|(.+lr4=?).
Если а + р = /я, то
|Л*(Л Q)|<C1C2|5|(a + 2plnA).
Наконец, если а-|-р>/я, то
/ h/r
<
n/r \
f <? )
J pcH-(i+l-rw \
CiQlSj / . op f tfP \_CtC,|S|/ . 2"»- \
Таким образом, оценка (5) установлена во всех случаях.
Следствие. Если ядро имеет слабую особенность, то
все его итерированные ядра, начиная с некоторого,
ограничены.
Действительно, если ядро К (Я, Q) имеет вид (2), то,
как это следует из только что доказанной теоремы, /г-ое

§ 15]
УРАВНЕНИЯ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ 95
итерированное ядро имеет оценку
\Кп(Р, Q)\<{ г™-{п'1)т
I Ся, па — (п — 1)т<0,
где Сп некоторая постоянная. Таким образом Kn(Pt Q)
ограничено, если
п>——. (8)
Замечание. Для последующих приложений достаточно
было бы предполагать, что п > о(т —аГ Тогда па—
— (п — 1) m < -^ и ядро Кп (Р, Q) удовлетворяет условию (А).
Обратимся к уравнению (1), которое будем также
записывать короче следующим образом. Прежде всего
интегральный оператор в этом уравнении будем обозначать
через /Сер. Далее, введем в рассмотрение тождественный
оператор /, определяемый соотношением /<р=эср(Р). Теперь
уравнение (1) запишется так:
(7_лХ)ср=/(Р). (9)
Выражение / — Х/С можно рассматривать как многочлен
первой степени относительно /С Можно составлять
относительно К многочлены более высокой степени; такие
многочлены можно складывать и умножать по обычным правилам
сложения и умножения многочленов, если при этом
обращаться с / как с единицей.
Введем в рассмотрение целое число п, такое, что п > __ ,
и число е = е п; к обеим частям уравнения (9) применим
оператор
(/_ еХ/С) (I — &K) ... (/ — е*-а/С) =
= /+МГ+л2/С24- ... + 1п-ХКп~\ (10)
Мы получим тогда уравнение
(/_х^/с^)ср=/(Р)4-хтс/+х2А:2/4-... +хЛ-1/сп-1/,

96
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[гл. I
или, обозначая правую часть через F (Р)
¥ (Р) -V1 fKn(P. Q) ? «?) dVQ = F(Р). (11)
D
Мы преобразовали тем самым уравнение (1) в
уравнение (11) с /1-ым итерированным ядром; в силу условия
(8) ядро уравнения (11) ограничено и, так как область D
конечна, то это уравнение фредгольмовское. Очевидно,
всякое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению
(11); обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Перейдем к доказательству теорем Фредгольма для
уравнения (1). Для уравнений со слабой особенностью введем
некоторые понятия, аналогичные тем, которые были введены
в свое время для уравнений Фредгольма. Значение \
называется правильным для данного ядра /С(Р, Q), если
однородное уравнение
(/ — Х0/С) ср = 0 (12)
имеет только тривиальное решение, и характеристическим,
если это однородное уравнение имеет нетривиальные решения.
Такие решения^ мы будем называть собственными функциями
ядра К(Р, Q),' отвечающими характеристическому числу Xq.
Заметим еще, что определение и свойства сопряженного ядра
распространяются и на ядра со слабой особенностью.
Теорема 1. Ядро со слабой особенностью имеет не
более чем счетное множество характеристических чисел,
с единственной возможной точкой сгущения на
бесконечности.
Сформулированная теорема равносильна утверждению,
что в любой конечной части комплексной Х-плоскости имеется
не более конечного числа характеристических чисел.
Доказательство. Применив к обеим частям
уравнения (12) оператор (10), в котором положено Х = Х0, мы
придем к однородному уравнению Фредгольма
(/ — Х£/Г)ср = 0. (13)
Ему удовлетворяет каждое решение уравнения (12),
поэтому, если Xq есть характеристическое число уравнения (12),
то Хо есть характеристическое число уравнения (13).
Рассмотрим круг |Х|^/?, где R произвольно
зафиксированное число. По теореме 1 Фредгольма ядро Кп(Р, Q)

§ 15J УРАВНЕНИЯ CO СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ 97
имеет в круге радиуса Rn с центром в начале только
конечное число характеристических чисел, а тогда в круге
радиуса R с центром в начале уравнение (12) также имеет только
конечное число характеристических чисел. Этим для ядра
со слабой особенностью доказана теорема 1 фредгольма.
Мы уже говорили, что всякое решение уравнения (1)
удовлетворяет уравнейию (11). Докажем, что можно выбрать
число п так, чтобы оно удовлетворяло неравенству (8) и
чтобы всякое решение уравнения (11) удовлетворяло
уравнению (1), так что эти уравнения будут равносильными.
Покажем, прежде всего, что число п можно выбрать так, чтобы
оно удовлетворяло неравенству (8) и чтобы ни одно из чисел
еХ, е2Х, ..., еп_1Х, где г = е п , не было характеристическим.
Допустим, что это невозможно. Обозначим через ръ ръ
2тс£
р3, ... простые числа, большие, чем ——-, и пусть е^ = е PJ.
В силу нашего допущения, для любого j найдется такой
к
показатель kjt l<Cfy</ty, что число еУХ будет при
данном X характеристическим для ядра K(Pt Q). Так как числа pj
простые, то среди чисел
2icift.
i
нет равных. Но тогда на окружности с центром в начале
и радиусом X у ядра К(Р, Q) окажется бесконечно много
2*1 & .
характеристических чисел ej\ = e pj X, что противоречит
J
теореме 1 Фредгольма. Поэтому существует такое простое
число pj > ———, что соответствующие ему числа е^Х,
^К •••, s*?i-1X все правильные. Примем n = pj.
Уравнение (11) можно записать в следующей форме:
(/ — eX/Q (/ — е2Х/Г) ...(/ — е^Х/С) (/ — Ж) <р =
= (/ _ еХ/О (/ — е2Х/С)...(/ — е»-1Х/0/.

98 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. !
Перенося свободный член налево, получим
П-1
Ц(/ —e'MO[(/-UC)<p—/1 = 0.
Положив (/—Х/С)ср—/=о), приведем последнее уравнение
к виду
П-1
Ц (/ — е^ХАГ) со = 0. (14)
Обозначая далее
П-1
представим уравнение (14) в виде
(/ — гкК)щ = 0.
Так как еХ правильное число для ядра К (Я, Q), то
о^ееееО, т. е.
П-1
П(/--е/МОа> = 0.
Полагая
п-1
Ц(/_е^ХАГ)о>= а>2
j-3
и пользуясь тем, что значение е2Х правильное, найдем, что
о)2 = 0. Продолжая этот процесс, мы в конечном счете
найдем, что о> = 0, то есть, что
Таким образом, всякое решение уравнения (11)
удовлетворяет уравнению (9). Это значит, что указанные уравнения
эквивалентны. Полагая теперь /(Р)==0, найдем, что
уравнения (12) и (13) эквивалентны и, в частности, имеют одно
и то же число линейно независимых решений.
Докажем теперь, что для уравнений со слабой особен»
ностью верна третья теорема Фредголъма.
Напишем сопряженные с (12) и (13) уравнения
(/~УГН=0, (15)
(/ — Xjff*n)a>=0. (16)

§ 15)
УРАВНЕНИЯ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ
99
Уравнение (13) типа Фредгольма и число его линейно
независимых решений конечно. Обозначим это число через г.
Тогда уравнение (16) имеет тоже г решений. 'Обозначим
через г* число линейно независимых решений уравнения (15).
Всякое решение уравнения (15) удовлетворяет также и
уравнению (16), поэтому
Если теперь рассматривать уравнение (15) как исходное,
а уравнение (12) как ему сопряженное, то точно так же мы
придем к выводу, что
г 41 г*.
Окончательно получаем
r = r*t
т. е. сопряженные уравнения (12) и (15) имеют одинаковое
число линейно независимых решений. Теорема 3 Фредгольма
доказана.
Перейдем к доказательству четвертой теоремы
Фредгольма. Докажем сперва необходимость условия теоремы.
Пусть уравнение (1) разрешимо и пусть ср(Я) какое-либо
его решение. Рассмотрим однородное сопряженное
уравнение (15) и пусть ф(Я) какое-либо решение этого нового
уравнения. Покажем, что (/, ф) = 0. Действительно,
(/, ф) = (<р — Х/Сср, ф) = (ср, ф) — X (/Сер, ф).
Но в силу соотношения (С) (см. § 11)
X (/Сер, ф) = X (ср, /Сф) = (ср, Х/Сф)
и, следовательно,
(/. 40 = (Т. Ф) - (<Р. WC40 = (?, ф — Х/Гф) - 0.
Теперь докажем достаточность условия теоремы 4. Выше
было показано, что можно выбрать такое целое число п%
чтобы ядро Кп (Р, Q) было ограничено и чтобы уравнение (11)'
было равносильно исходному. В силу этого для
разрешимости уравнений (1) и (11) будут достаточными одни и те же
условия. Но для разрешимости уравнения (11) по четвертой
теореме Фредгольма достаточным является условие

100 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. t
где о) — любое решение сопряженного с (И) однородного
уравнения (16), в котором следует заменить Xq на X, a F(Р)
имеет следующее значение:
П-1
F(P)=/+}j(f+\2K2f+ ... 4-хя-,/сп~1/=П(л-в'М0А
Уравнение (16) мЬжет быть переписано в виде
__ П-1
(/ _ \пк*п) о) = Ц (/ — lj\K*) о) = 0.
i-o
Выделим множитель, соответствующий индексу У=*=0.
Тогда последнее уравнение запишется так:
— П-1
(/ — Х/Г) П (' — №*)» — 0.
j-i
Если мы обозначим
П(/—^> —ф, от)
то получим, что
(/—Т/ги — о.
Отсюда видно, что ф есть решение однородного
сопряженного с (1) уравнения.
Преобразуем теперь условие (F, а>) = 0, являющееся,
как мы выяснили, достаточным для разрешимости
уравнения (1). Пользуясь опять соотношением (С), получаем:
с7, «о=( Ц е—«ywo/. «О=(/. Ц(/—ё^/о со
и достаточное условие разрешимости уравнения (1)
принимает вид
(/, тО-0.
Как мы видим, это условие состоит в том, что
свободный член / должен быть ортогонален к тем решениям
однородного сопряженного уравнения, которые могут быть
представлены в виде (17). Но тогда, тем более, будет
достаточным требование ортогональности свободного члена ко
всем решениям сопряженного однородного уравнения. Этим
теорема 4 Фредгольма доказана полностью.
)=(/.«■)

Л 16] О НЕПРЕРЫВНОСТИ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 101
Нетрудно видеть, что выражение (17) исчерпывает все
решения однородного сопряженного уравнения — в противном
случае мы пришли бы к противоречию с необходимым
условием разрешимости уравнения (1).
Вторая теорема Фредгольма утверждает, что если
значение X правильное, то как уравнение (1), так и
сопряженное с ним уравнение, разрешимы при любом свободном
члене и решение каждого из них единственно. Покажем,
что это имеет место и в случае уравнения со слабой
особенностью.
Докажем разрешимость уравнения (1) при правильном X.
В этом случае уравнение (15) имеет единственное решение
ф = 0. Тогда необходимое и достаточное условие
существования решения выполняется тождественно, так как (/, ф) =
= (/, 0) = 0 при любой функции /(Я). Единственность
решения следует непосредственно из условия, что X —
правильное. Точно так же доказывается существование и
единственность решения сопряженного уравнения.
§ 16. О непрерывности решений интегрального уравнения
В приложениях интегральных уравнений Фредгольма
особый интерес представляют непрерывные решения. Поэтому
желательно выяснить те условия, при которых решение
интегрального уравнения будет не только квадратично
суммируемым, но и непрерывным.
Интегральное уравнение
ь
9(х)—\ f К(х9 s)<t(s)ds=*f(x) (1)
а
будем рассматривать в предположении, что основной
промежуток (а, Ь) конечен, а ядро не только квадратично
суммируемо, но и удовлетворяет условию (А):
ь
f\K(x,s)\*ds<A. (А)
а
Теорема 1. Если свободный член интегрального
уравнения (/) ограничен, а само уравнение разрешимо, то
любое его решение ограничено.

102
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
Если f(x) ограниченная функция, то она тем более
квадратично суммируема. Напомним, что решение ср(лг)
квадратично суммируемо в силу требования, наложенного
нами (см. § 1) на искомые решения уравнения Фредгольма.
Переписав уравнение (1) следующим образом
ъ
ср.(х) = / (*) + X f К (я, 5) <р (s) ds.
(2)
мы представим решение уравнения (1) в виде суммы двух
слагаемых; первое из них, /(л:), ограничено, и достаточно
доказать ограниченность интеграла. Но это сразу вытекает
из неравенства Буняковского
, ъ
f K(x,s)<?(s)ds
<
Kix.s^dsVlflvisWds'
<v^imi.
Следствие. Если ядро удовлетворяет условию (А),
то его собственные функции ограничены. Действительно,
собственные функции это решения интегрального уравнения,
в котором /(*)== 0, но в таком случае/(х) —
ограниченная функция.
Будем говорить, что ядро K(x,s) непрерывно в целом,
если оно удовлетворяет следующему условию: по данному
е>0 можно найти такое Ь > 0, что если \xt— *2|<&» то
ъ
f\K(xlt s) — K(x2ts)\ds<s.
Укажем несколько простых случаев, когда ядро
непрерывно в целом.
I. Если ядро непрерывно по совокупности переменных х
и 5 в замкнутом квадрате а^Сх, s^b, то оно, очевидно,
непрерывно в целом.
II. Если ядро, удовлетворяющее условию (Л), разрывно
в основном квадрате только вдоль конечного числа п линий,
представимых уравнениями s = gk(x); k = 1, 2, . .., п, с не-

в 161 О НЕПРЕРЫВНОСТИ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 103
прерывными функциями gk(x), то это ядро непрерывно
в целом.
Для простоты ограничимся случаем одной кривой
разрыва s = g(x) (черт. 6). Возьмем произвольную точку
х С [я. Ь\ и положим sx=g(xx). Окружим точку хх
интервалом 'хх —- h < х < *i-|-A; число h выберем столь малым,
чтобы в точках этого интервала было | g (х) — sx | < г\ = g^4 *
Черт. 6
Где е — произвольное положительное число. В
прямоугольниках
*!—А <:*<!*!-Ms a<5<5l —2т], 5t4-2Ti<s<ft (*)
(на черт. 6 они заштрихованы) ядро непрерывно.
Пусть \х2—*i|<fr. Имеем
ь
J\K(xit s)—K(x2, s)\ds =
а
8,-2i) s,+2i)
/
5,— i-Ц ^iTu'j w

104 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. \
Далее,
А< f \К(хь s)\ds+ f \К(хь s)\ds.
По неравенству Буняковского
8, + 2т) С 8J + 2T) \]_
8, + 2т) С 8J + 2T)
J |К(*. s)|<fe<2Vi| / \К(х, s)
-2t) l8i-27)
Отсюда У2 ^ 4-. Выберем теперь число 8 < h так, чтобы
при |лг2 — *il<& подынтегральная функция в Jx и У3 была
по модулю меньше, чем 2/а_ ,', это возможно благодаря
непрерывности ядра в прямоугольниках (*). Теперь
ь
\К(хи s) — К(х2, s) | ds < е, ~ | х2 — хх \ < 5,
а
/|
что и требовалось доказать.
III. Пусть по-прежнему ядро удовлетворяет условию (А).
Непрерывность в целом не нарушается, если, кроме
конечного числа линий разрыва, ядро имеет в основном квадрате
еще и конечное число изолированных точек разрыва.
Теорема 2. Если свободный член уравнения (1)
непрерывен на сегменте [а, Ь], а ядро непрерывно в целом,
то любое решение уравнения (1) непрерывно на сегменте
[а, Ь].
Достаточно доказать непрерывность интеграла в
соотношении (2). Обозначим
и(х)= С К(х, s)(f(s)ds.
Непрерывная на сегменте [а, Ь] функция f(x) ограничена;
по теореме 1 настоящего параграфа решение <?(х)
уравнения (1) также ограничено: | ср (х) \ ^ М = const. Зададим

§161
О НЕПРЕРЫВНОСТИ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 105
еперь число е > 0 и подберем такое 8 > 0, чтобы при
т ' ' * было
ъ
j \K(xit s) — K(x2, s)\ ds<-^.
.Xl —*8|<8 было
I b
Тогда
ь
\u{xl) — u(x2)\ =
f[K(xu s) — K(x2t s)]<f(s)ds
<e.
что и требовалось доказать.
Следствие. Если ядро непрерывно в целом, то его
собственные функции непрерывны.
Рассмотрим уравнение со слабой особенностью
Т(Я) —X J к {P. Q)<?(Q)dVQ = f(Py, (3)
D
под D будем понимать замкнутую конечную область /я-мер-
ного пространства.
Ядро уравнения (3) имеет вид
K(P,Q)=A{Pr:Q) , 0<a<m,
где числитель Л (Я, Q) ограничен, когда точки Я и Q
пробегают область D\ пусть
М(Р, Q)|<C. (4)
Напомним введенное в предшествующем параграфе
обозначение
/ЧР) =/(/>)-f-x/c/+x2/c74-... н-х"-1*"-1/, (5)
где, как обычно,
/Сер = f К (Я, Q)<f(Q)dVQ.
D
Исследование решений уравнения со слабой особенностью
опирается на следующие леммы.
Лемма 1. Если функция /(Я) ограничена в D, то и
функция F(P) ограничена в D.

106 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Пусть /(Р) ограничена
|/(Я)|<сх.
Докажем прежде всего, что функция Kf также
ограничена. Действительно,
\к/\ =
J'^^-fiQXiVgl^CC, f
dVQ
Обозначим через h диаметр области D. По неравенству
п° 1 § 15
CCx\S\hm~a
\т<-
т — а
и, следовательно, функция Kf ограничена. Теперь нетрудно
доказать ограниченность последующих слагаемых в
выражении (5). Действительно, K?f = K(Kf)\ так как Kf
ограничена, то по только что доказанному и /С2/ ограничена. Так
же доказывается ограниченность /С3/и т. д. до Kn~lf. Теперь
ограниченность функции F (Р) очевидна.
Лемма 2. Если функция f(P) ограничена в D, а
функция А(Р, Q) непрерывна в Ь, то функция Kf
непрерывна в D.
Обозначим Kf=g(P). Имеем
g(Pi)-g(P2)= f[K(Pit Q) — K{P2t Q)]f(Q)dVQ.
D
Обозначим через o> шар с центром в точке Рх и
радиусом t\, который будем предполагать достаточно малым;
расстояние между точками Рх и Р2 будем считать меньшим,
нежели г\. Разбив область D на области о> и D — о>, легко
получим
I^O-^^KC, /|/С(Рь Q)-K(P2, Q)\dVQ +
через rx и г2 обозначены расстояния от точки Q до точек
Р! и Р2 соответственно, а через Сх — верхняя граница |/(Q)|.

§161 О НЕПРЕРЫВНОСТИ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 107
Оценим каждый из интегралов (6). Имеем
J Л ~ J r\ •
U) 1 Г,</Г) l
Введя полярные координаты с центром в Рь получим
ш * 0
Далее, r2 = |P2Q|< | Р2Р{ | + 1 Л<?|< ij + 'i. поэтому
ш 2 Г, < т) ra < 2t] 2
Теперь ясно, что при достаточно малом -ц сумма второго
и третьего слагаемых в (6) будет, независимо от положения
точки Ри меньше е/2, где е — произвольно малое
положительное число. Зафиксируем таким образом т) и обратимся
к первому интегралу в (6). В области D — о> величина
ri>Tl>0; в силу непрерывности функции А(РУ Q) можно
выбрать такое 8 > 0, чтобы при | Р±Р2 | < 8 было
\K(PuQ)-K{P2t Q)\< 2Ci|D|>
где \D\ — объем области D. Тогда первое слагаемое в (6)
меньше е/2, и
\g(Pl)-g(P2)\<B.
Лемма доказана.
Теорема 3. Если свободный член уравнения со слабой
особенностью ограничен, то любое решение этого
уравнения ограничено.
Возьмем п столь большим, чтобы ядро Kn(Pf Q) было
ограничено. Решение ср (Р) уравнения (3) удовлетворяет также
уравнению ФредгоЛьма
ср (Р) - >.* f Кп (Р, Q) ср (0 dVQ = F (Р). (7)
D
По лемме 1, свободный член уравнения (7) ограничен,
а тогда, по теореме 1, ограничено и решение этого
уравнения.

108
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
Теорема 4. Если свободный член уравнения со слабой
особенностью и функция А(Р, Q) непрерывны в Д fho
любое решение этого уравнения непрерывно в D.
Будучи непрерывной в замкнутой области D, функция
f(P) в ней ограничена. По теореме 3 решение ср(Р)
уравнения (3) ограничено; по лемме 2 функция /Сер
непрерывна в D. Но тогда и функция 9 (Р) = / (Р) -)— Х/Сср
непрерывна в D.
Следствие. Если функция А(Р, Q) непрерывна в D,
то собственные функции ядра со слабой особенностью
K(P,Q)= A{P^Q) 9 0<сс<ю
непрерывны.
§ 17. Системы интеградьных уравнений
Система интегральных уравнений Фредгольма второго
рода с одной независимой переменной имеет вид
п Ь
<&(*)—*2 fKflix. s)9l(s)ds = fj(xyt 7=1, 2,..., п. (1)
'Z-l а
Примем, что ядра К#(х, s) квадратично суммируемы
в основном квадрате, а свободные члены fj(x) квадратично
суммируемы в основном промежутке; от искомых функций
4>j(x) также потребуем, чтобы они были в основном
промежутке квадратично суммируемы. На такие системы
полностью распространяется теория, развитая в
предшествующих параграфах. Так, нетрудно показать, что для системы (1)
последовательные приближения сходятся в среднем к
решению системы, если X удовлетворяет неравенству
IM<-g-' <2>
где на этот раз
п ь ь
В*= %ff\Kfl(x. s)\*dxds. (3)

СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 109
Если ядра Kji(x, s) удовлетворяют еще и условию (А):
ъ
f I Kji (х, s) |2 ds < AJX =*= const,
а
то последовательные приближения сходятся регулярно.
Если все ядра Kji(x, s) вырожденные, то система (1)
сводится к линейной алгебраической системе. В общем
случае можно также осуществить такое сведение с помощью
разбиения каждого ядра К^{х% s) на сумму ядер
вырожденного и малого; таким путем можно установить, что для
системы интегральных уравнений Фредгольма справедливы
все четыре теоремы Фредгольма. Для этого необходимо
должным образом определить понятие сопряженной системы
интегральных уравнений и понятие ортогональности.
Сопряженной с системой (1) называется система интегральных
уравнений
т b
<*>,(*) — X]J2 /Ku(st х)o>j (s)ds = gj(*),
2-1 a
где функции gj(x) произвольны; две системы функций fj(x)
и gj(x)\ /=1, 2 п, или, если угодно, две вектор-
функции
/(*)={ А (*). А(*) /»(*)}.
g(*)={g\(x). ft(*). .... gn(x)\
называются ортогональными, если
п ь
(А 0 = 2 ///(х)gj(xjdx -. 0;
J-i а
самое число
п ь
(А 0=2 /А(х) eiWdx
i—1 а
называется скалярным произведением вектор-функций f(x)
и g{x), а число ||/||=/(А /) —нормой вектор-функции
f(x). Все сказанное без труда распространяется на случай
любого числа независимых переменных.

ПО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. t
Мы не станем на этом останавливаться более подробно,
так как можно легко обойти все трудности, связанные
с построением теории Фредгольма для системы
интегральных уравнений вида (1). Именно, такую систем); легко
преобразовать в одно интегральное уравнение типа
Фредгольма. Докажем это. Определим функции Ф(*) и
F(x) в промежутке (а, пЬ—(п—1)а), положив
Ф(х) = ъ(х-U-\)(Ь -а)\
F(x)=fj(x-U-l)(b-a)).
если
(]-\)Ь— U — 2)a^x<jb — (J— \)а.
Точно так же зададим ядро К(х, s) в квадрате а^дг<[
^.nb— (п — \)а\ a^s^nb—(п—1)д, положив
K(xt s) = /C,7(x — U — 1)Ф-а). s — (l — \)(b-a))t
если
(У-П*-а-2)а<х</6-С/-1)а,
(/_!)& — (1 — 2) a <s <lb — {l— 1) а.
Теперь система (1) записывается в виде одного
уравнения Фредгольма
пЬ-(п-1)а
Ф (х) — X f К (х, $) Ф (s) ds = F (х). (4)
а
Выше было принято, что ядра Kji(x, s> квадратично
суммируемы в основном квадрате, а свободные члены
fj(x) — в основном промежутке (а, Ь). Нетрудно видеть, что
построенное нами ядро К(х, s) квадратично суммируемо
в новом квадрате
а< дг< nb — (/г — 1) а; а < s < nb — (п — 1)а,
а свободный член F(x) квадратично суммируем в проме-

£ j 71 СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 111
жутке (a, nb — (п— 1)а). Действительно,
nb-(n—1)а г»Ь-(/г-1)а
f f \К(х, s)\2dxds =
а а
;, г-i (i-i)6-(i-2)o (г-пь-(г-2)а
п b b
jt l**\ а а
+ (/—1)0 —a))|*Ae<fc =
n b b
= 2 / f \Kfl{x, s)\*dxds = В* <oo.
j, г-l а о
Точно так же
nb-(n-l)a n b
J \F{x)\*dx='£f\fi(x)rdx<oo.
a j-1 a
Докажем еще, что ядро К(х, s) удовлетворяет
условию (А), если этому условию удовлетворяют ядра системы (1).
Рассмотрим интеграл
nb-(n-l)a п J6-(Z-l)a
jf |/С(*. s)|2rf* = 2 / \K(x,s)\*ds =
J-i (7-1) 6-0-2) a
п Ь
= £JV(*. * + <* —1)(*-*)N*.
Z=l a
Пусть (У— 1)* — (y — 2)a<*</* — (у — l)a. Тогда
в 1-ом слагаемом последней суммы
K{x,s + (l — l){b-o)) =
= Kfl{x-U-l)(b-a), s) = К„(*', *),

112 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. t
где х' = х — (j—\)ф— а). Очевидно, а^х'^.Ь. Теперь
nb-{n-i)u п b п
f \К{Х, 5)1^5 = 2 /l^« *)|2^<2^,</1,
а 2-1 а 2-1
где
п
А=ж max 2 ^л«
j 2-1
§ 18. Примеры нефредгольмовских интегральных
уравнений
В настоящем параграфе мы приводим несколько
примеров интегральных уравнений, для которых делаются
неверными те или иные теоремы Фредгольма. Естественно, во
всех этих примерах требование квадратичной суммируемости
ядра в основном квадрате оказывается нарушенным.
п°1. Рассмотрим уравнение
?(*) —X / e-i*-*\<f($)ds = f(x). (1)
— 00
Ядро этого уравнения K(xt s) = e~|a?"*8' не квадратично
суммируемо. В самом деле,
+оо +оо +0О +оо
[ f \К(х, s)\2dxds = f dx f e-z^-»Us. (2)
— OO —OO —OO —00
Вычислим внутренний интеграл:
-fOO CO OO
С *-2i*-8irf5= Сe-2<x-8)ds-\- f e-*b~x)ds=\\ (3)
— OO —OO X
ясно, что интеграл (2) бесконечен. Любопытно, что ядро
£-1®-8| удовлетворяет условию (А) — это видно из
формулы (3).
Уравнение (1) решается следующим образом. Обе его
части подвергнем преобразованию Фурье, для чего умножим

§ 181
ПРИМЕРЫ НЕФРЕДГОЛЬМОВСКИХ УРАВНЕНИЙ 113
1 ~-ixt
это уравнение на е-™* и проинтегрируем по л: в
пределах от —оо до +оо. Обозначим
+оо
1
п
1С
00
+ СО
-^L- f e-**tf(x)dx = F(t)
и вычислим двойной интеграл
+оо +оо
' —оо —«о
+ 00 +00
= -г~=г f <?(s)ds J e-ixt-\x~*\dx.
Во внутреннем интеграле сделаем подстановку x = s-\-y.
Тогда
+оо +оо
Г e-ixt-\x-s\dx = е~ш Г e-W-W^dy.
—оо —оо
Последний интеграл легко берется:
-foo 0 оо
j e-ivt-\v\dy= feW-Wdy + f e-v^+^dy^j^-.
—оо —со О
Теперь
+00
/=-^2 - f'-ut9(s)d8 = T±1r*(()9
V"2«(l + *«)j/ Т 1+'
очень простому уравнению
и мы приходим к очень простому уравнению
2Х

114 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
1 2Х
Если Х< -^ то 1 — i4-*a ^ ®' В этом слУчае
ф(0= 14!,t-2xf('> (5)
и, применяя обратное преобразование Фурье, мы приходим
к решению уравнения (1):
+ оо -f со
-с© -со
(6)
Если же Х^-у» то Функция Ф(/), определяемая
формулой (5), будет, вообще говоря, несуммируемой, а в таком
случае уравнение (1) неразрешимо. Итак, значения
параметра, при которых нефредгольмовское уравнение (1) не
всегда имеет решение, не изолированы, а заполняют луч
Х^.-^. Напомним, что для уравнений Фредгольма такое
явление невозможно: из теорем 1 и 2 Фредгольма
вытекает, что значения X, для которых уравнение Фредгольма
не всегда разрешимо (это суть характеристические
значения X), расположены изолировано.
Заметим еще, что значения X > -^-, при которых
уравнение (1) может оказаться неразрешимым, не суть
характеристические числа этого уравнения. Действительно, если
/(jt) = 0, то F(t)==Ot а тогда из уравнений (5) и (6)
вытекает, что необходимо <р(л;)===0. Таким образом, при
любом X однородное уравнение (1) имеет только тривиальное
решение; это значит, что упомянутое уравнение не имеет
характеристических чисел.
Сходные результаты можно получить для более общего
уравнения
+СО
ср(лг) —X f K(x-s)<?(s)ds=f(x),
— СО
если его ядро удовлетворяет условию
+СО
J* \K(x)\dx<оо.

§ 18) ПРИМЕРЫ НЕФРЕДГОЛЬМОВСКИХ УРАВНЕНИЙ 115
п° 2. Пусть Г — гладкий замкнутый контур,
расположенный в комплексной плоскости. Интеграл
г
расходится в. обычном смысле, однако, он существует
в весьма широких условиях, если его рассматривать как
„главное значение интеграла" или „сингулярный интеграл*.
Вырежем точку t окружностью радиуса е с центром в £;
оставшуюся часть контура Г обозначим через Г,.
Сингулярный интеграл определяется формулой
Г шт»т
е
Сингулярные интегралы вида (7) играют большую роль
в теории функций комплексного переменного и в
приложениях этой теории благодаря известной теореме а
предельных значениях интеграла типа Коши, доказанной Сохоц-
ким и, позднее, Племелем. Пусть z — произвольная точка
комплексной плоскости, не лежащая на Г. Положим
г
Пусть z-+t£T. Предельные значения функции Ф(2),
когда z-±t соответственно изнутри или извне Г, обозначим
через $>i(f) и Фе(0- По теореме Сохоцкого — Племеля 1)
г
г
Пусть функция ср (z) регулярна внутри Г и непрерывна
вплоть до Г. Тогда Ф(г) = 0 вне Г, и Фе(/)=гО, или
Г
1) См., например, А. И, Маркушевич, Теория аналитических
функций, 1950.

116 УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Эта формула показывает, что Х=1 есть характеристическое
число „сингулярного" интегрального уравнения
Г
и этому характеристическому числу соответствует
бесконечное множество линейно независимых собственных
функций — ими являются предельные на Г значения функций,
регулярных внутри Г и непрерывных вплоть до Г.
Пусть теперь cp(z) регулярна вне Г и ср(оо) = 0. Тогда
Ф(г)«0 внутри Г, Ф{(/)иэО и
г
Это равенство означает, что уравнение (9) имеет еще
одно характеристическое число Х = —1, которому также
соответствует бесконечное множество линейно независимых
собственных функций; на этот раз ими являются
предельные значения функций, регулярных вне Г, обращающихся
в нуль на бесконечности и непрерывных вплоть до Г. Для
уравнения (9) неверна теорема 3 Фредгольма, по которой
каждому характеристическому числу соответствует только
конечное число линейно независимых собственных функций.
п° 3. Пусть Г — окружность радиуса единица с центром
в начале координат, и пусть |Х|> 1. Рассмотрим
сингулярное интегральное уравнение
г г
Докажем, что этому уравнению удовлетворяет функция
Имеем
/л l _i_ 1
<Р^ = Т+Х(Ц-1)-
Функция ср1(<г) = у регулярна внутри Г, а функция
ср2(z) = m _.. регулярна вне Г и обращается в нуль на

§ 18] ПРИМЕРЫ НЕФРЕДГОЛЬМОВСКИХ УРАВНЕНИЙ 117
бесконечности; обе функции непрерывны вплоть до Г. По
формулам (8) и (10)
г г
Отсюда
± Г у (о д-* 1
те/ «/ С — * X X (X/ — 1) ш
г
Кроме того,
2я/ ./ С ^ X
г
Подставив это в левую часть уравнения (11), получим
IF^rr+'-xF^i—<-°-
Мы выяснили, следовательно, что при любом X,
превосходящем единицу по модулю, однородное уравнение (11)
имеет нетривиальное решение (12); это значит, что любое X,
|Х|>1, есть характеристическое число уравнения (11), и
совокупность этих чисел заполняет всю внешность
единичного круга. Для уравнения (11) неверна теорема 1 Фред-
гольма.

ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ РИСА —ШАУДЕРА
Ф. Рис и Ю. С. Шаудер распространили теорию Фред-
гольма на широкий класс уравнений, которые отличаются
от уравнений ФредголЬма тем, что в них оператор Фред-
гольма заменен так называемым вполне непрерывным
оператором. В настоящей главе мы будем рассматривать вполне
непрерывные операторы, действующие в классе квадратично
суммируемых функций.
§ 19. Основные понятия об операторах
Будем, как и в гл. I, рассматривать множество
функций, квадратично суммируемых в конечном или бесконечном
промежутке (at Ь)\ в настоящей главе мы будем
систематически пользоваться обычным обозначением этого
множества L2(a, b). Будем говорить, что на L2(a% b) задан
некоторый оператор Л, если каждой функции y(x)£L2(at b) по
некоторому закону приводится в соответствие одна и только
одна функция ф(л:) = Лср, и если ty(x)£L2(at b). Говорят,
что оператор А переводит, или преобразует функцию ср (а:)
в функцию ф (х) = Лср.
Сумма А-\-В и произведение АВ двух операторов
определяются соотношениями
(А + В) ср = Лср -+- £ср, ЛВср = А (Вер).
Степени оператора А определяются формулами
АХ = А, Ап = ААа'\

§ 19] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБ ОПЕРАТОРАХ 119
Оператор А называется линейным, если для любой пары
квадратично суммируемых функций ср(л:) и ф(лг) и любых
постоянных а и b справедливо тождество
А (аср +- йф) = аЛср -f bAty. (1)
По индукции легко доказывается, что линейный оператор
удовлетворяет и более общему тождеству
/ п \ п
где п— конечное число, а$ — постоянные и cpj С-^) —
квадратично суммируемые функции. Полагая в тождестве (1) Ь = 0,
найдем, что Л(д<р) = аЛср; при а = О получаем Л0 = 0. Таким
образом, всякий линейный оператор переводит функцию,
тождественно равную нулю, в ту же самую функцию.
Линейный оператор называется ограниченным, если
существует такая постоянная С, что, какова бы ни была
квадратично суммируемая функция у(х), имеет место неравенство
И?||<С||<р||. (2)
Постоянные С очевидно неотрицательны и потому их
множество ограничено снизу и имеет точную нижнюю границу.
Тонная нижняя граница постоянных С в неравенстве (2)
называется нормой оператора А и обозначается
символом || А ||. По определению точной нижней границы, каково бы
ни было число е > 0, найдется такая постоянная С,
удовлетворяющая неравенству (2), что С<||Л||4-е» Но тогда тем
более удовлетворяется соотношение
И?1К(И|+е)||<р||;
полагая в нем е -> 0, приходим к важному неравенству
1И?К1И11 • 11<р||. (3)
Очевидно теперь, что норму оператора А можно
определить и как наименьшую из постоянных С,
удовлетворяющих неравенству (2).
Важным примером ограниченного оператора является
оператор Фредгольма
ь
K<t=fK(x. s)<?(s)d$f (4)
а

120
УРАВНЕНИЯ РИСА — ШАУДЕРА
[ГЛ. II
ядро которого подчинено условию
ь ь
//|К(х, 5)j2dxds = £2 <оо. (В)
а а
Линейность этого оператора очевидна, а ограниченность
■ытекает из неравенства (2) § 3; из этого неравенства
вытекает также, что
\\К\\<В. (б)
Ограничен, очевидно, и тождественный оператор /.
Действительно, он линеен и, кроме того, так как /ср = <р (х), то
II'<Р 11=1? II- Отсюда
||/|| = 1. (6)
Ограниченный оператор А непрерывен в следующем
смысле: если <Pn C*0 ""* ? W» т0 ^?п~>^сР'» здесь и ниже,
во всей гл. II, под сходимостью понимается сходимость
в среднем. Доказательство непрерывности ограниченного
оператора весьма просто:
||Afc,-Ap|| = 1И(?»-?)||<|И|| • ||<Pn-<Pllir^0-
Если А и В ограниченные операторы, то Л + Б и АВ
также ограничены, причем
1И-+-В1К1И11 + ЦВЦ, ||Ав||<||дц. цац. (7)
Действительно, по неравенству треугольника
и и-над = и?-н*<р||<1И?ц -н
+ 1|я?К(И1+ 11*11)11 <р||.
Точно так же
1ИВср||<|иц. ||в<р||<|И||. цвц. цсрц.
Как следствие получается неравенство для нормы
степени оператора
1ИК1М1Г. (8)
Для /1 = 2 это неравенство получается из (7) при В = А;
для произвольного натурального п оно получается по индукции.

§ 191
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБ ОПЕРАТОРАХ
121
Ниже мы будем рассматривать, не оговаривая этого,
только линейные ограниченные операторы.
Оператор А* называется сопряженным с оператором Л,
если для любой пары квадратично суммируемых
функций ср(лг) и ф(лг) справедливо тождество
(Ар, ф) = (ср, Д*ф). (9)
Так, для оператора Фредгольма (4) сопряженным является
оператор
ь
/С*ср= fK(st x)<f(s)ds.
а
Оператор не может иметь более одного сопряженного:
если оператор А имеет два сопряженных Ах и А2> то для
любой пары функций <f(x)£L2(a, b) и ty(x)£L2(a, b) имеем
(Ар, ф) = (ср, А*$) = (ср, Л2ф).
Отсюда (ср, Аг$—Л2ф) = 0. Так как это тождество верно
для любой функции ср £ L2 (а, Ь), то положим ср = А$ — Л2ф.
Это дает нам ЦАф— Л2ф|| = 0 и, следовательно, A1ty = A2ty9
что и требовалось доказать. Очевидно сопряженность
ограниченных операторов есть свойство взаимное, так что
А** = А.
Сопряженный оператор линеен. Действительно, пусть а
и b — постоянные. Имеем
(Ар, аф4"*а>) = (?. Л*(аф + 6а))).
С другой стороны,
Ар, аф -f- fta)) = а (Ар, <|>)-j-6(Ap, а)) =
= а(ср, Л*ф) + 6(ср, Л*а>) = (ср, аЛ*ф + М*«>)-
Из только что доказанной единственности сопряженного
оператора следует
А* (аф + М = Д^*ф + МЧ
что и требовалось доказать.
Исходя из определения сопряженного оператора, нетрудно
доказать, что (А1-\-А2)* = А\*-\-А*2, (АгА2)* = А*2А*и (ХЛ)* =
= ХЛ*, где X— постоянная; в частности (ЛЯ)* = (Л*)П.

122 УРАВНЕНИЯ РИСА ШАУДЕРА [ГЛ. II
Теорема. Всякий ограниченный оператор имеет
сопряженный, который также ограничен и имеет ту же
норму, что и данный оператор.
Пусть срп(лг), м=1, 2, ...—полная ортонормирован-
ная в L2(a, b) последоватедьность и А — данный
ограниченный оператор. Зададим произвольную квадратично
суммируемую в (а, Ь) функцию ф(дг) и составим числа
an = 04cp„, ф) = (ф, А<?п).
Докажем, что ряд
оо
сходится. С этой целью составим функцию
п
^)(х)=У>а^к(х)
к = 1
и рассмотрим скалярное произведение (>Wn), ф). Имеем
п п
(Ло>(*), <Ю = 2 ак(Ас?к, ф) = 2 \ак\К
С другой стороны
|(AoW. t)|<|Hu,(»)|| • ЦФК1ИЦ • ||u,(»)|| • ЦФЦ.
Но
||ш№||2 = («,(*>, «,(»)) = (2 ci?i. 2 а*<рл) =
n n
= 2 tyM<&. <р*)=2Ы2.
Отсюда
n
[, следовательно,
»»I*<IM
n
2 I «* l:
ill • \\n ■
2<1И|2
• 2K
U-i
• 11ФИ2.
'f
Л-1

§ 19J ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБ ОПЕРАТОРАХ 123
Таким образом, отрезки ряда (10) ограничены, а тогда
самый ряд сходится. Но в таком случае ряд
оо
2 Здп (*)
П = 1
сходится в среднем к некоторой квадратично суммируемой
функции <d(X); это означает, что
lim ||о)Л — со || = 0.
П->оо
Таким образом, по каждой заданной квадратично
суммируемой функции ф(лг) мы строим новую квадратично
суммируемую функцию о) (л:); тем самым мы определили опера-
хор £ф = о)(л:). Докажем, что В = А*.
Пусть <?(x)£L2(at b). Разложим <р(л;) в ряд Фурье
оо
? (*) = 2 ч«?к (*). «л=(?. <ы.
Л-1
и положим
так что
Имеем
Л-1
lim ||сря-ср|| = 0.
П-> оо
п п
(Ар(п>, ф)= 2 «*И%. ф)= 2 а*аЛ.
С другой стороны,
п п _ / п \
2 «*л*= 2 лА(ср, срЛ)=(ср, 2 «*?*)==(?' <°(п)).
Таким образом,
(ЛсрМ, ф) = (ср, w(w)).
Докажем, *то в пределе, при п -> оо, это равенство
переходит в следующее
(Лср, ф) = (<р, со) = (ср, Вф). (11)

124
УРАВНЕНИЯ РИСА — ШАУДЕРА
[ГЛ. И
Действительно,
| (А?, ф) - (V>. ф) | = | (А (9 - <р<">). ф) | <
<|И(?-?<»))|| • ЦФК1ИЦ • ||ф|| • Цср-ср^Ц^^^О;
|(9, а>)-(9. »«»))| = |(9. ««-^KIlTll-lh-^'ll-^s-O.
Из формулы (11), в силу определения сопряженного
оператора, вытекает, что оператор Л*, сопряженный с Л,
существует и равен В.
В тождестве (9) положиц ср = Л*<|>, что дает нам
|КФ||» = (А4*ф..ф).
Оценивая правую часть по неравенству Буняковского,
имеем
IHW<IH^i Ч1Ф1К1ИЫИЧЫШ1-
Отсюда |И*ф||^||Л|| • ||ф||. Это неравенство показывает,
что оператор А* ограничен и что 1И*||<;||Л||. Полагая
теперь в (9) ф = Лср, точно так же найдем, что ||Л||<;||Л*||
и, окончательно, ||Л*|| = ||Л||.
Все сказанное в настоящем параграфе без изменений
переносится на тот случай, когда рассматриваемые функции
зависят не от одной, а от нескольких независимых
переменных и, в соответствии с этим, квадратично суммируемы не
на отрезке, а в некоторой области, или, вообще, на
некотором измеримом множестве пространства любого числа
измерений.
§ 20. Метод последовательных приближений
для уравнений, содержащих ограниченный оператор
Рассмотрим уравнение
?(*) —L4?-/(*)5 /(*)€**(«. by, (1)
оператор Л предполагаем линейным и ограниченным.
Теорема. Если |Ч<||Л||~\ то уравнение (1) имеет
решение y(x)£L2(a, b), и притом единственное. Это
решение может быть получено как предел
последовательных приближений, которые сходятся к cp(jc) в среднем.
За начальное приближение ср0 (лг) примем свободный
член /(#). Если приближение <Pn-i(*) уже построено, то

Л 20] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 125
следующее приближение срп(лг) определим формулой
TnW=/W + WTn., (2)
Нетрудно видеть, что
(x)=/(jc) + M/-f ХМУ-f- ... + ХМя/ = S ^*/. (3)
Tn fc-0
Докажем, что последовательность \уп(х)} сходится в
среднем к некоторому пределу. Для этого оценим разность
Имеем
||<Рл —<Pn-lll =14 • II^Tn-i —ЛТп-2|| =
= 1ЧЧИ(?п-1-срп-2)11;
по неравенству (3) § 19
1И(?п-1-?п-2)||<1И11 • llTn.i-9n.all
и, следовательно,
ll9»-T»-ill<IM'IHH-|l«Pn-i-?»-2l|.
Применив эту оценку к разности <ря-1 — срл_^, получим
llT»-T»-ill<l^l*IHir-ll?»-t-?»-.ll;
продолжая этот процесс, получим в конечном счете
11т»-?»-1||<(1М-1И11)я'1Н?.-%1|. (4)
Теперь нетрудно оценить разность срЛ — cpw. Пусть для
определенности п > /я. Тогда
II п I! п
2 (?* — <Pk-i) <,2 11% — ft-i||<
< 2 ||<р*-«
fc-m+i
и по неравенству (4)
lT.-ft.IK \l-\uA!Z \\b-9ol
Так как |Х|. ||Л||< 1, то
lim II Tn — ?«||—0.
п, т •> оо

126
УРАВНЕНИЯ РИСА ШАУДЕРА
[ГЛ. II
а это означает существование предела
<р(*)= lim <рп(*). (5)
П-> со
Из формулы (3) ясно также, что
9{х)=%\тАт/; (5а)
т=»0
ряд (5а) сходится к своей сумме ср(лг) в среднем.
Формула (5а) задает ср (лг) как значение некоторого оператора
над /; мы его будем записывать в виде
<р(*)=/(*)+>-Гл/; Гх/= 2 \m-'Amf. (6)
m«i
Если |Х|<||Л|| , то оператор Гх ограничен.
Действительно, по неравенству треугольника
lirJK 2 NOT-1N7[|;
применив неравенство (8) § 19, получим
11г^1<1-1М-"уЛ|| И/И-
Это и доказывает, что оператор Гх ограничен, причем
Нетрудно видеть, что функция ср(лг), определяемая
формулой (5), удовлетворяет уравнению (1). Действительно,
положим в соотношении (2) п -> оо. Левая часть сходится
к ср (а:), а правая, в силу непрерывности ограниченного
оператора Д сходится к f(x)-\-\A(f.
Чтобы завершить доказательство теоремы, остается
убедиться, что решение (5) — единственное. Пусть уравнение (1)
имеет еще одно решение ф(#). Тогда
?(*) = /(*)+М<р, )(х) = /(х) + Щ.
Вычитая и полагая <р(лг) — ф (х) = со (х), получим
ш(л:) = ХЛа).

с 21] ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 127
Отсюда
1!Ч1НЧЧИЧ1<1Ч-1И1ЫН1,
или N1(1—|Х|. 1И11Х°- Так *ак N» 1И||<1. то
необходимо || а> ||= 0 и, следовательно, ф (х) == ср (х).
Уравнение
a(x)—kA'u = g(x) (8)
называется сопряженным с уравнением (1). Так как ||Л*|| =
= ||/4||, то уравнение (8) разрешимо по методу
последовательных приближений при том же условии |^|<|И||"1;
решение имеет вид
<*(*)= 2 S^-v, (9)
что, очевидно, можно представить в такой форме:
^(x) = g(x)+T(TxTg. (Ю)
§ 21. Вполне непрерывные операторы
Оператор Т называется вырожденным или
конечномерным, если он может быть представлен в виде
п
7\р=2(<р. **)«*(*). (1)
где число п конечное, ак(х) и Ьк(х)—данные функции,
квадратично суммируемые в (я, Ь). Заметим, что
вырожденный оператор есть интегральный оператор с вырожденным
ядром
ь
7ср= f/((x9 s)ff(s)dst
а
где
п
К{х% s) = ^ak(x)bk(s).
Оператор Т называется вполне непрерывным, если его
при любом заранее заданном е > 0 можно представить
в виде
Гер = Гер + Гер, (2)

128 УРАВНЕНИЯ РИСА ШАУДЕРА [ГЛ. Ц
где Г"? вырожденный оператор и ||7"|| <ех).
Приведем два важных примера вполне непрерывных
операторов.
1. Оператор Фредгольма вполне непрерывен. Это
непосредственно вытекает из полученного в § 10 разложения
ядра оператора Фредгольма на сумму ядер малого и
вырожденного и из неравенства (5) § 19.
2. Если область интегрирования D — конечная, то
оператор со слабой особенностью вполне непрерывен. Пусть
K(P,Q)=A{Pr:Q)\ 0<а</»,
где т — размерность области Д и пусть еще
И (P. Q)|<C = const.
Зададим число т) > 0 и положим
К(Р. Q) = L(Pt <?) + Af(P. Q),
где
цр. Q> = IK<P- <*>>'>*
I 0, г<ц
M{P> Q)==[ °. r>4.
К (P. Q), r<fi.
Обозначим через К, L и M интегральные операторы
с ядрами К(Р, Q), LAP, Q) и М{Р, Q) соответственно.
Тогда К = L + М. '
Докажем, что при ц достаточно малом ||Ж|| <4-> где е
любое наперед заданное положительное число. Имеем
|М<р|2 =
Г<Т) I 1г<Г) >
1) Обычно принимается другое определение: вполне
непрерывным называется оператор, который переводит любое ограниченное
множество в компактное. В рассматриваемом нами случае
оператора, вполне непрерывного в классе L2y оба определения
эквивалентны.

* 21J ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 129
Далее,
dVg
г О» Г < Т)
Последний интеграл просто вычисляется. Введя сферические
координаты с центром в точке Pt имеем
Я£-У,«/'--~*-Ч£?.
Г<т] S О
где 5 — сфера радиуса единица в /я-мерном пространстве
и |5| —площадь ее поверхности. Теперь
'<1
Последнее неравенство проинтегрируем по D:
D D D
или, если воспользоваться неравенством п°. 1 § 15,
H%ll<-|SL(y,' Ят11-
Отсюда
2
и ясно, что если т] достаточно мало, то ||Ж|| < -|-.
Зафиксируем т\ так, чтобы это неравенство выполнялось
Ядро L(P, Q) ограничено и тем более квадратично
суммируемо, оператор L есть оператор Фредгольма и, по дока-

130 УРАВНЕНИЯ РИСА — ШАУДЕРА [ГЛ. Ц
занному, вполне непрерывен; его можно разбить на сумму
вырожденного оператора, который мы обозначим /С", и
оператора Z/, ||Z/|| <у. Положим теперь U4-М = /С'. Тогда
/(=/(' +/С", причем К' — вырожденный оператор, и
||K'|| = ||I' + Af||<||I'|| + ||iW||<..
3. В качестве третьего примера можно указать
интегральный оператор
fK (P. Q)<?(Q)dVQ,
D
ядро которого допускает представление
А^. Ч)— ^[1 + |1пг|На] ■
где а > 0 и функция А (Р, Q) ограничена; m-мерная область D
по-прежнему предполагается конечной. Доказательство
полной непрерывности проводится так же, как и для ядра со
слабой особенностью; мы не будем на этом останавливаться
подробнее.
Отметим некоторые свойства вполне непрерывных
операторов.
1. Вырожденный оператор вполне непрерывен.
Действительно, вырожденный оператор можно представить в форме
(2) — достаточно положить V = 0.
2. Вполне непрерывный оператор ограничен. Пусть
Г<р=2 0р, bk)ak{x) и ||Г||<е.
ft-i
Тогда
F?ll<ilOp. &*)I-II«*IH-«IMI:-
отсюда, по неравенству Буняковского,
™<IHl[JjM-11**11+ •]•
Это неравенство означает, что оператор Т ограничен и
11ЛК.2 \Ы -11**11 -И.

§211
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 131
3. Оператор, сопряженный с вполне непрерывным, также
вполне непрерывен. Действительно, если
п Ь
У? = S (ср' **)а*(*) + 7"<Р = /к(*, s)f(s)ds + T'?,
где ||Г||<е и
71
K(xt s)= 2 flfcWMs),
то
7> = J /C(s. х) ср (s) rfs + Г V
а
Первый член справа есть вырожденный оператор, так как
b п
fK(S9 X) <р (s) <fe = 2 <?• **)**(*)'.
a k™l
в то же время, по теореме § 19, |J7"*|| = \\Т'\\ < е.
4. Сумма конечного числа вполне непрерывных
операторов вполне непрерывна. Доказательство очевидно.
5. Произведение двух операторов, из которых один вполне
непрерывен, а второй ограничен, вполне непрерывно.
Пусть Т вполне непрерывный, а В ограниченный
оператор. Докажем, что операторы ТВ и ВТ вполне непрерывны.
Зададим произвольное положительное число s и
представим Гер в виде
п
7-9 = 2 (?. Ъй'иМ + Т'Ч' IIПК у-
Тогда
ГВ<р = 2 (*Р. Ьк)ак(х) + Т'В9= 2(?,В***)в*(х) + ГДт.
Л-1 А-1
Здесь £*£л суть вполне определенные квадратично
суммируемые функции, и сумма справа есть вырожденный
оператор. Далее, \\Т'В\\ < \\Т'\\ . ||В|| < е. Отсюда следует, что

132 УРАВНЕНИЯ РИСА ШАУДЕРА [ГЛ. Ц
оператор ТВ вполне непрерывен. Аналогично, исходя из
представления
п
57*9= 2 (Т. Ьк)Вак + ВТ'Ъ
можно доказать полную непрерывность оператора ВТ.
§ 22. Решение уравнений Риса — Шаудера
Уравнениями Риса — Шаудера мы будем называть
уравнения вида
<р(*) — Х7\р =/(*). (1)
где Т вполне непрерывный оператор. Как всегда, считаем,
что f(x)£L2(a, b) и cp(jc)£L2(a, b)\ —со^а<^< + °^-
Уравнения Риса — Шаудера можно решать тем же приемом,
который в § 10 был применен к уравнению Фредгольма
с невырожденным ядром. Зададим число R > 0 и будем
рассматривать только значения X, расположенные в круге
|Х|<;/?. Оператор Т разобьем на сумму Т—Т'-\-Т" так,
чтобы ||7*'||<2о и чт0^ы опеРатор Т" был вырожденным:
ГТ=2 (Т. Ьк)ак{х). (2)
к = 1
Уравнение (2) запишем в виде
cpW_X7> — ХГ<р =/(*). (3)
Введем новую неизвестную функцию <]>(*), положив
?(*)-ХГ<р = ф(д). (4)
Так как | X | • || V \\ < R . ^ = у, то уравнение (4) можно
решить относительно cp(*):
введя обозначение

§22]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РИСА ШАУДЕРА 133
представим это в виде
?(*) = Ф(*) + Щф. (5)
Подставив это в уравнение (3), получим уравнение для
неизвестной ф(*):
ф(х)-ХГ(/4-ХГ0Ф=/(х). (б)
Оператор 7"(/-{-^Гх) вырожденный.
Действительно,
= 2 (ф. **)«*(*)-Н 2 (г#. **)«*<*>•
Далее, (Г^ф, 6Л) = (Ф» Г^*6Л), поэтому, полагая
Ck(x) = bk(x) + Xr£bkt
получаем
и уравнение (б) оказывается интегральным уравнением с
вырожденным ядром
b п
♦ W-^/twSe*W^*=/(4 (7)
a fc = i
которое мы решать умеем. Дальнейшие рассуждения
протекают так же, как в §§ 9 и 10.
Заметим еще, что уравнение Риса — Шаудера можно
свести к уравнению с вырожденным ядром и другим
приемом (ср. § 10). Перенесем в уравнении (3) член ХГ"ср
направо и будем временно рассматривать полученную правую
часто как известную. Тогда уравнение (Зг) решается по
методу § 20:
ср(х)=/(х) + ХГср4-ХГ;(/ + ХГср).
Это приводит к уравнению
Т (*) - X (Г + ЩТ") ?=/(*) + XT'J, (8)

134 УРАВНЕНИЯ РИСА ШАУДЕРА [ГЛ. II
в котором оператор Г"-f-лГ^Г" вырожденный.
Действительно,
KT"f = K 2 (=Р. bk)ak= 2 (Т. Ьк)Гхак.
Полагая теперь
gk(x) = ak(x) + \T\akt
имеем
(Г+хг;г)ср= 2 (?.**) &(*).
и уравнение (8) есть уравнение с вырожденным ядром:
ь п
9(x)-\f y(s)%gk(x)b^)ds=f(x) + \T[f. (9)
Для дальнейшего важно следующее замечание. Рассмо-*
трим уравнение
<o(jc) — \T*a = g(x)t (10)
сопряженное с уравнением (1). Разобьем Г на сумму Т —
= 7' +Г" по формуле (2) § 21. Тогда разложение 7* =
= Г'* + 71" соответствует той же формуле, так как Т"*
вырожденный оператор, а ЦТ7"!! = \\Т'\\ < е. Если теперь
уравнение (1) свести к уравнению с вырожденным ядром
первым из описанных выше приемов, а уравнение (10) —
вторым, то мы придем к сопряженным интегральный
уравнениям с вырожденными ядрами. В самом деле, действуя
так, как указано, мы сведем уравнение (1) к уравнению (6),
а уравнение (10) — к уравнению
<°(*)-Ц/ + нО T"** = g(x)+lT[*gl
и остается только заметить, что Т" (I -\-\VA и (/-(-^ГМГ"
суть сопряженные операторы; то, что эти операторы
вырожденные, было выяснено выше. Напомним еще, что
сопряженные интегральные уравнения с вырожденными ядрами
сводятся к солряженным линейным алгебраическим системам.

§ 23] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕОРЕМ ФРЕДГОЛЬМА 135
§ 23. Распространение теорем Фредгольма
Будем опять рассматривать уравнение Риса — Шаудера
<Р(*) — М? = /(*). 0)
где Т вполне непрерывный оператор. Будем называть
значения X правильными, если однородное уравнение
ср(х)-Х7> = 0 (2)
имеет только тривиальное решение, и характеристическим,
если это уравнение имеет нетривиальные решения;
последние называются собственными функциями оператора Г,
отвечающими данному характеристическому значению X.
Для уравнений Риса — Шаудера справедливы четыре
теоремы Фредгольма, сформулированные в § 12. Мы не станем
приводить доказательств этих теорем для уравнения (1), так
как это привело бы к дословному повторению рассуждений
§ 12; укажем только, что основные факты, на которые
упомянутые рассуждения опирались, имеют место и для
уравнений Риса — Шаудера. Эти факты следующие:
1) в круге |Х|^ ||ГЦ" решение уравнения (1) есть
аналитическая функция от X,
2) при произвольном X уравнение (1) можно свести к
эквивалентной алгебраической системе,
3) сопряженные уравнения (1) и
ш(д) —ХГш = £(*) (3)
могут быть сведены к сопряженным алгебраическим системам.
Прибедем формулировки теорем Фредгольма для
уравнений Риса — Шаудера.
Теорема 1. Вполне непрерывный оператор имеет не
более счетного множества характеристических чисел,
которые могут сгущаться только на бесконечности.
Теорема 2. Если значение X правильное, то как
уравнение (1), так и сопряженное с ним уравнение
u>(x) — \T*i» = g(x)
(4)

136
УРАВНЕНИЯ РИСА — ШАУДЕРА
[гл. И
разрешимо при любом свободном члене и решение
каждого из этих уравнений единственно.
Теорема 3. Если X— характеристическое, то сопря-
ж е нны е однородные уравнения (2) и
со (х) — ХГ со = 0 (5)
имеют одно и то же конечное число линейно
независимых собственных функций.
Теорема 4. Для того, чтобы уравнение (1) было
разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы его свободный
член был ортогонален к любому решению однородного
сопряженного уравнения (5).
Для уравнений Риса — Шаудера остается в силе
вытекающая из теорем Фредгольма (см. конец § 12)
альтернатива Фредгольма. Остается, разумеется, в силе формула (25)
§ 10, дающая общее решение уравнения (1), если оно
разрешимо, при характеристическом значении X.

ГЛАВА III
СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 24. Симметричные ядра
Ядро К(х, s) называется симметричным, если оно равно
своему сопряженному. Симметричное ядро, следовательно,
характеризуется тождеством
К{х, s) = *•(*, s) = K(s, х). (1)
Если ядро вещественное, то определение упрощается.
Симметричное вещественное ядро определяется равенством
К(х, s) = K(st х). (2)
Оператор Фредгольма с симметричным ядром будем
называть симметричным оператором. Если оператор К
симметричен, то, очевидно, К = К*. Для симметричного
оператора тождество (С) (см. § 11) принимает вид
(АГср, ф) = (ср, Щ. (D)
Интегральное уравнение, ядро которого симметрично,
будем называть симметричным интегральным уравнением.
На протяжении всей III гл. мы будем, не оговаривая
этого, рассматривать только ядра, квадратично
суммируемые в основном квадрате.
Если ядро К(х, s) симметрично, то все итерированные
ядра тоже симметричны. Действительно, общее соотношение
(см. § 11) (Кп)* = (К*)п в данном случае принимает вид
(/С71)* = /Сп. Но тогда ядра операторов (К*1)* и Кп совпадают,
т. е.
К\(х, s) = Kn(x, s).

138 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Для симметричного оператора /С7* имеет место
тождество (D), которое в данном случае дает
(KV ф) = (?, /Спф); д=1, 2, ... (3)
Примеры: Ядра К(х, s) = 1, L(x, s) = In | x— s\, M(x, s)=
= x2-\-s2 симметричны — они вещественны и не изменяют
своего значения при перестановке аргументов. Симметрично
также и ядро N(x, s) = /(at— s)t так как
N(s, х) = — i(s — х) = / (х — s) = N (х, s).
Ядро P(xt s) = i(x-\-s) несимметрично: в этом случае
Я(5, x)=z — i(s-\-X) = — Р(*, 5).
§ 26. Основные теоремы о симметричных уравнениях
Теорема 1. Характеристические числа интегрального
уравнения с симметричным ядром вещественны.
Пусть Xq — характеристическое число, а <р0(х)
соответствующая собственная функция. Тогда
?oW = ^% С1)
По самому определению собственной функции сра(лг) ф О,
поэтому ||<Ро112>0. Заметим еще, что \ Ф 0 — в противном
случае из уравнения (1) следовало бы, что ср0 (л:)
тождественно равна нулю.
Умножая обе части уравнения (1) скалярно на %(*)» по"
лучим
(?о. ?о) = хо(^?о» То)»
откуда * _ (Кро. <Ро) (2)
0ТКуДа Хо~ || то II2 ' ( }
и достаточно доказать, что скалярное произведение (/Сср0, ср0)
вещественно.
В силу тождества (D) имеем (/С<р0, 9о) = ((Ро» К?о)» н0 на
основании свойства 1 скалярного произведения (см. § 2)
(?о. АГср0) = (/Сср0, сро)-
Таким образом (К<р0, q>0) == (^То. УоУ* будучи равным своему
сопряженному, число (/Серо» ?о) вещественно. Теперь из
формулы (2) вытекает, что характеристическое число Xq
вещественно.

§ 25] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СИММЕТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЯХ 139
Теорема 2. Собственные функции уравнения с
симметричным ядром, соответствующие различным
характеристическим числам, ортогональны между собой.
Пусть \ Ф Х2 — характеристические числа симметричного
ядра К (х, s) и yi(x), ср2(лг) — соответствующие им
собственные функции. Это значит, что
?i С*) = ККъ. Ъ (*) = М^Рг-
Первое тождество умножим скалярно на ср2 (л:):
(?ь ?2) = (^Л?1. <P2) = M<Pi. А^ср2).
Но /Сср2 == т— ср2, следовательно,
(?i. ^?г) = (?ь х; ^) == ^ (?l. ?2>.
так как по теореме 1 число Х2 вещественно и потому оно
выносится за знак скалярного произведения без изменения.
Теперь
(<Pl. ?2)=]Г(<РЬ ?2>
или
(1-^'*>я,°'
Но Xj =£ Х2 и, следовательно, необходимо (<plt <р2) = 0.
Собственные функции можно сделать нормированными:
достаточно каждую из них разделить на ее норму. Далее,
если одному и тому же собственному числу соответствует
несколько собственных функций, то их можно сделать
ортогональными между собой и нормированными, применив к ним
процесс ортогонализации. Собственные функции,
соответствующие разным характеристическим числам, ортогональны
в силу теоремы 2. Отсюда вытекает важнейшая для всего
последующего теорема о последовательности собственных
функций.
Теорема 3. Последовательность собственных функций
симметричного ядра можно сделать о рто нор миро ванной.
В дальнейшем всегда будем считать, что
последовательность собственных функций симметричного ядра ортонор-
мирована в соответствии с теоремой 3. Условимся еще,
выписывая последовательность характеристических чисел,

140 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ill
повторять каждое из них столько раз, сколько ему
соответствует линейно независимых собственных функций. Мы можем
тогда считать, что каждому характеристическому числу
соответствует только одна собственная функция; при этом
среди характеристических чисел могут оказаться равные.
Условимся также нумеровать характеристические числа в
порядке возрастания их абсолютных величин. Таким образом,
если
К >-2. .... К. •••
— последовательность характеристических чисел некоторого
симметричного ядра, и ей соответствует последовательность
собственных функций
?lW. ?2(*). •••> <Рп(*) •••
так что
<Р»(*)-*п*<Рп = 0. (3)
то
[ 0 при ] Ф к9
\ 1 при J = k
I4<l*tl<--. <l*»l< ... (5)
Если характеристических чисел бесконечно много, то,
по теореме 1 Фредгольма, они сгущаются только на
бесконечности и потому Хп-юо.
П->00
Совокупность всех характеристических чисел и
соответствующих им ортонормированных собственных функций
симметричного ядра будем называть системой
характеристических чисел и собственных функций данного ядра.
Очевидно, в системе характеристических чисел каждое такое
число повторяется столько раз, сколько ему соответствует
линейно независимых собственных функций.
§ 26. Теорема существования характеристического
числа
Лемма 1. Совокупность характеристических чисел
второго итерированного ядра совпадает с совокупностью
квадратов характеристических чисел первого ядра.
Заметим, что эта лемма верна и для несимметричного
ядра.

§26] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ЧИСЛА 141
п°\. Пусть \ — характеристическое число ядра К(х, s)
и <?о(х) соответствующая собственная функция. Тогда
<Ро С*) — хоК<р0;
подставив в правую часть вместо ср0 равную ей величину
).0Куо, получим
?о (*) — *оК2<Ро
или, подробнее,
ъ
?о (х) — ^JK2 (х, s) ср0 (s) ds = 0.
а
Это равенство показывает, что Хо есть
характеристическое число ядра К2(х, s) с соответствующей собственной
функцией уо(х).
п°2. Пусть (х0 характеристическое число второго
итерированного ядра К2(х, s) и ср0(лг) соответствующая
собственная функция. Тогда
<Ро(*) — р.о^2?о = 0.
чго можно также представить в виде
(/—fx0/C2)cp0 = 0.
Полиномы от оператора К можно складывать и
умножать по обычным правилам; имея это в виду, разложим
левую часть на множители:
(/+Vf0K) (/- Ун к) ср„ = о. (1 >
Положим
(/—У^К)?о = Ф(*). «)
Может случиться, что ф (jc) ^ 0. Тогда из равенства (2)
следует, что Yv-o есть характеристическое число ядра К(х, s)
с соответствующей собственной функцией ср0(лг); в этом
случае лемма доказана. Если же ф (л:) ^ 0, то из
уравнения (1), которое теперь принимает вид
(/4-/SkH = o
вытекает, что — У^о есть характеристическое число ядра
K(x,s), а ф(лг) — соответствующая собственная функция.
Лемма доказана и в этом случае*.

142 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Замечание. Нетрудно было бы доказать, что при
любом п совокупность характеристических чисел я-ro
итерированного ядра совпадает с совокупностью /г-ых степеней
характеристических чисел первого ядра.
Следствие из леммы 1. Если ядро К(х, s)
симметрично, то характеристические числа второго
итерированного ядра положительны. Это следствие, очевидно,
сразу вытекает из леммы 1 и из того, что
характеристические числа симметричного ядра вещественны.
Теорема существования характеристического числа.
Всякое отличное от тождественного нуля
симметричное ядро имеет по крайней мере одно
характеристическое число *).
Доказательство состоит из двух частей: из вывода
основного неравенства и собственно доказательства теоремы.
Мы докажем, что ядро К2(х, s) имеет по крайней мере
одно характеристическое число, а тогда, по лемме 1, будет
иметь характеристическое число и ядро К(х, s).
Рассмотрим плоскость \ и некоторое положительное
число [а, обладающее тем свойством, что в круге |Х|^(х
нет характеристических чисел ядра К2(х, s).
Возьмем произвольную функцию ср(л;)фО и построим
новую функцию
ъ
/(*) = ? (*) — (i/C2cp = ср(х) — [XJV2 (я, s) ср (s) ds. (3)
а
Очевидно, f(x) ф О, иначе ц было бы
характеристическим числом ядра К2(х% s).
Мы можем рассматривать уравнение (3) как
интегральное уравнение относительно функции ср (л:), считая f(x)
известной функцией. Решив это уравнение, найдем
ъ
?(х)=/(х) + р]Г(х, s\ v)f(s)ds,
а
где через Т(х, s; (л) обозначена резольвента второго
итерированного ядра K2(xt s). Умножив это равенство скалярно
ХХ Приводимое ниже доказательство принадлежит И. П. Мы-
совских. См. УМН, 11, в. 2(68), 1956, стр. 199—200.

§ 26] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ЧИСЛА 143
на /(*), получим
ь ь
(?. /)=II/II2 + h//f(*. s; v)f{s)TWdxds. (4)
Наша ближайшая цель—установить, что интеграл в
формуле (4) неотрицателен. С этой целью заметим прежде
всего, что в круге |Х|^|х нет характеристических чисел
ядра /С2(*. s) и потому в этом круге резольвента Г (л:, s\ X)
регулярна в том смысле, в каком это понятие установлено
в § 7: двойной интеграл
ь ь
f fr(xt s\ l)f(s)g(x)dxds
a a
регулярен в указанном круге, каковы бы ни были
квадратично суммируемые функции f(x) и g(x). В частности,
в упомянутом круге регулярен интеграл
ъ ь
Jjr(*, s\ \)f(s)JTx)dxds.
а а
который, следовательно, разлагается в ряд по степеням X:
6 6 оо
J Jr (х, s, Х)/(«)Д*) dx ds = ]£ ««V*-1. (5)
a a 7i«i
Полагая здесь X = |x, получаем
6 6 оо
f /Г (x, s; (i)/(5)Tix) dxds^^ «„(*»-». (6)
a a n—l
Для наших целей достаточно установить, что ап^0.
Коэффициенты ап легко найти из следующих
соображений. При X, достаточно малых по модулю, резольвента
Г (л:, s; X) разлагается в ряд по итерированным ядрам; так
как (К2)п = К2п, то л-ое итерированное ядро для ядра
К2(х, s) есть К2п(х> 5). поэтому
оо
Г (*. s; X) = J] Хп~ 1К*п (*. 5). (7)

144 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
При малых X ряд (7) можно, умножив на квадратично
суммируемую функцию, интегрировать почленно. Это дает
нам значения коэффициентов ая:
ь ь
an=ffK*n(x> s)f(s)f(x)dxds. (8)
а а
Упростим выражение (8). Имеем
ь
JV2n(*. s)f(s)ds = K*»f.
а
Отсюда
ап = (^2яА/) = (/Сп(/СпД /);
по формуле (3) § 24
an = (KV, /CV)= ||/CV||2>0.
Теперь выражение (4) приводится к виду
оо
(т. /)=н/112+51«1"||^пя12- (9)
п-1
Из формулы (9) вытекает, что (ср, /)>0.
Вернемся к уравнению (3). Обе его части умножим ска-
лярно слева на ср(дг):
(?. /) = (?. ?) — ?(<?, К2?).
В силу тождества (D) § 24
(ср, К*<р) = (<р. /С(/С?)) = (/Сср, /Сер) =||/Сер||2
и, следовательно,
(?./)= II?II2-M|k<pII2. (Ю)
Так как (ср, /)>0, то выражение (10) положительно.
Отсюда вытекает неравенство
ll*?ll<V-ll<Pll. (И)
верное для любой квадратично суммируемой функции ср(*).

г 26] ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ЧИСЛА 145
Напомним, что в неравенстве (11) ц таково, что в круге
iXl-O нет характеристических чисел ядра K2(xt $).
Допустим теперь, что ядро K2(xt s) не имеет ни судного
характеристического числа. В таком случае число |х можно
взять сколь угодно большим; более того, можно считать,
чт0 jx-* со. Выполнив в неравенстве (11) этот предельный
переход, грлучим, что ||/Сср||<0.
Отсюда /Сер s 0, т. е.
ь
fK(xt s)y(s)ds=*0. (12)
а
Нетрудно доказать, что в таком случае ядро К(х, s)s3 0.
Действительно, произвольным образом зафиксируем число х,
но так, чтобы при этом значении х интеграл
b
J\K(x. s)\*ds
а
существовал. Раз точка х фиксирована, то К(х, s) есть
функция только от s. В качестве функции ср (s) возьмем
К(х, s). Эта функция квадратично суммируема в силу
выбора точки х. Из равенства (12) следует теперь, что почти
для всех х £ (а, Ь)
ь
f\K(xt s)|2d№0
а
и, следовательно, К (xt s)=sO.
Итак, если ядро К2(х, s) не имеет ни одного
характеристического числа, та ядро К(х, s) тождественно равно
нулю. Следовательно, если К (х, s) отлично от
тождественного нуля, то ядро К2(х, s) имеет по крайней мере одно
характеристическое число, а тогда по лемме 1, исходное
ядро также имеет по крайней мере одно характеристическое
число. Теорема доказана.
Вернемся к неравенству (11). Оно справедливо, если
в круге |Х|<С|а нет характеристических чисел ядра K2(xt s),
иначе говоря, если [л меньше наименьшего характеристи-

146 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАПЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Щ
ческого числа этого ядра. Пусть Хх— наименьшее по модулю
характеристическое число ядра К(х, s), тогда Хх есть
наименьшее характеристическое число ядра Кг(х, s)\ неравенство
(11) справедливо, если (x<Xj. Переходя к пределу в (11)
при [а-*Хь приходим к весьма важному неравенству
11*е11<-р^-11?11. (13)
В неравенстве (13) знак равенства достигается:
достаточно положить <р (а:) = ух (*), где срх (х) — собственная
функция ядра K(xt s), соответствующая
характеристическому числу Х1% Действительно, в этом случае cp1(x) = X1/Ccpl;
отсюда Кух = -J- ср^д:) и \\K<fX\\ ^j^j IM-
Из сказанного следует, что норма симметричного
оператора Фредгольма равна ||/С|| ==-ту-г-, где \х —
наименьшее по модулю характеристическое число этого оператора,
§ 27. Теорема Гильберта —Шмидта
Рассмотрим симметричное ядро К(х9 s); пусть известна
система его характеристических чисел и собственных функций
Xi, Х2, ..., кт, ...
?i(*). Ы*) ?»W •••
Будем считать, что собственные функции ортонормиро-
ваны, а характеристические числа расположены в порядке
возрастания абсолютных величин, так что
1М<1Ч<—<1ХтК...
Составим новое ядро
№{x.s) = Kix.s)-f2&p®. (2)

с 27] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА 147
Ядро /С(л) С*. s) симметрично. Действительно,
так как ядро К(х% s) симметрично и Х;- вещественны.
Лемма 1. Последовательности
*п+ь Хл+2» • • •
<Pn+i(*). ?п+г(4 •••
образуют систему характеристических чисел и
соответствующих им собственных функций ядра К^п) (xt s).
Действительно, возьмем какие-либо соответствующие
друг другу \т и cpw(jc) из последовательности (1) и пусть
т > п. Составим выражение
ъ
* (х) = <?т (х) - Xw JV<*> (х. s) <?т (s) ds. (3)
а
Заменив в нем KW (л:, s) его значением (2), получим
ъ
«(*) = [?«(*) — *»/*(*. s)<?m(s)ds] +
а
п ь
VI 9 4 (х) Г
+ К 2d~~T~~J У™ ^ Ь (5) dS'
i-l J а
Выражение в квадратных скобках равно нулю потому,
что ут(х) и Xw суть собственная функция и
характеристическое число ядра К(х% s). Далее,
ь
а
в силу ортогональности србственных функций. Таким
образом а(л:)=эО. Но выражение (3) есть левая часть
однородного интегрального уравнения с ядром /C(n) (х, s), и,
следовательно, Xw и срт(лг) при т>п суть собственные числа
и характеристические функции ядра К{п) (*, $).

148 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. Ш
Докажем обратное: если взять характеристическое число
и собственную функцию ядра /C(n) (х, s)t то они найдутся
среди элементов последовательностей (1) при т > п.
Пусть |х и ф(лг) характеристическое число и
соответствующая ему собственная функция ядра /С(п) (л:, $). Тогда
ь
$(х) — \!.Ск(пЦх, s)ty(s)ds = 0.
а
Подставив вместо К^п){х, s) его выражение (2), получим
ь ь
ф (х) - *]К(х% s) <]> (5) ds + ix 2 П!тУ*(5) ^ rf5 = °'
ИЛИ
и
*(х)-\ьЩ + р%^^Ь(х) = 0. (4)
>-i J
Умножим скалярно обе части уравнения (4) на <?i(x),
1 < / < п:
(Ф. Ь) - V т. ь) + Р S ^х^" <*'• ^ = °- (5)
i-i j
Упростим это выражение. В силу тождества (D)
(Кф. ?/) = (ф. *?*) = (*. 17^) = Т7(*' ?l)i
так как
?i(*) — Х/Ссрг = 0.
Далее,
i-i
в силу ортогональности и нормированности функций <fy(X).
Таким образом, второе и третье слагаемые в уравнении (5)
взаимно уничтожаются и, следовательно,
(ф, срг) = 0; /=1,2 /г. (6)
Теперь уравнение (4) принимает вид
ф(х) —р^ф = 0.

§2Л
ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА
149
Из последнего равенства непосредственно следует, что р.—
характеристическое число и ф(лг) — собственная функция
ядра К(х, s), а в таком случае они содержатся в
последовательности (1). Но по соотношению (6) функция ф(лг)
ортогональна ко всем функциям ср^(лг), где j = 1, 2, . . ., п,
а в таком случае она может совпадать только с какой-либо
функцией последовательности (1) с индексом /я > я.
Следствие 1. Наименьшее по модулю
характеристическое число ядра K^n)(xt s) есть ХЛ41, если только ядро
К{х, s) имеет более п характеристических чисел.
Рассмотрим частный случай, когда данное ядро имеет
только конечное число характеристических чисел Хь Х2, .... \т.
Тогда ядро /С<т> (л;, s) не имеет ни одного
характеристического числа; по теореме существования характеристического
числа, /С(7Л) (*, s) == 0, или
п
К(Х<8)=^1Щ1^. (7)
Формула (7) показывает, что ядро К(х, s) вырожденное.
Вспоминая (см. § 9), что всякое вырожденное ядро имеет
только конечное число характеристических чисел, приходим
к следующему заключению.
Следствие 2. Для того чтобы система
характеристических чисел и собственных функций симметричного
квадратично суммируемого ядра была конечной,
необходимо и достаточно .чтобы это ядро было вырожденным,
В этом случае ядро мооюет быть представлено в форме (7).
Следствие 3. Какова бы ни была квадратично
суммируемая функция ср (л:), имеет место соотношение
lim ЦАГ^срЦ =0. (8)
Равенство (8) очевидно, если ядро К{ху s) вырожденное:
в этом случае при п достаточно большом К^п) (х, s) = 0
и /(McpssO. Если ядро К(х, s) невырожденное, то Хп+1
есть наименьшее по модулю характеристическое число
ядра KW(x, 5). По неравенству (13) § 26
и, так как ^_^*о, то и ||/с<»>?||-^^+0.

150 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Теорема 1 (Гильберта—Шмидта). Пусть К(х, s)
симметричное ядро, и пусть h(x)— произвольная
квадратично суммируемая в основном промежутке (а, Ь)
функция. Тогда функция
ь
f(x) = Kh = fK(x, s)h(s)ds (9)
а
разлагается в сходящийся в среднем ряд Фурье по
собственным функциям ядра К(х, s).
Функции, которые можно представить по формуле (9),
часто называют представимыми через ядро. По существу же
такие функции представляют собой значения оператора К.
Составим ряд Фурье функции h(s) по последовательности
собственных функций ядра К(х, s):
оо
A(s)~2An<Pn($). АЛ = (А. ?п).
Напомним, что в силу неравенства Бесселя ряд
оо
2KI2
сходится.
Далее, составим ряд Фурье функции f(x)
оо
/(*)~ 2/„?»(*) (Ю)
и вычислим его коэффициенты. Имеем /„ = (/, <рп); но
f(x) = Kh,- следовательно,
/» = (*А. <Р*) = (А. /Серп),
а так как /Сфп = т~ Tn (*). то окончательно
и ряд (10) принимает вид
П=1

г 27] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА 151
Так как h (х) квадратично суммируема в основном
промежутке, то в том же промежутке квадратично суммируема
й функция f(x) (см. § 3). В данном случае ее ряд Фурье
(12) сходится в среднем. Докажем, что сумма этого ряда
равна /(л;).
Положим
п
Тогда
ь
/(*) —«>п(*)== fK(xt s)h(s)ds —
а
Сумма о)п(лг) конечная, поэтому можно переставить порядок
суммирования и интегрирования. Это приводит к равенству
ь
f(x) — о>я (х) = JV<n> (х. s) h (s) ds = /f<»>ft.
a
В силу следствия 3 из леммы 1
Отсюда
оо
Теорема Гильберта — Шмидта доказана.
Замечание. В теореме Гильберта — Шмидта полнота
системы собственных функций {<?п(х)} не предполагается.
Наоборот, как мы увидим ниже, теорема Гильберта — Шмидта
сама позволяет во многих случаях устанавливать полноту
тех или иных ортогональных систем.

152 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1Ц
Как мы видим, теорема Гильберта — Шмидта позволяет
утверждать, что любая функция, представимая через ядро,
разлагается в ряд Фурье по собственным функциям этого
ядра, причем в общем случае полученный ряд сходится
в среднем. Представляет интерес выяснение условий, при
которых ряд (12) сходится не только в среднем, но и
регулярно. Мы покажем (см. ниже, теорема 2), что для этого
достаточно, чтобы ядро удовлетворяло условию (А).
Доказательство опирается на следующую лемму.
Лемма 2. Пусть симметричное ядро удовлетворяет
условию (Л), и пусть \п и српХ*;), п = 1, 2, ... , обозначают
систему характеристических чисел и соответствующих
им ортонормированных собственных функций этого ядра.
Тогда имеет место неравенство
2
9п(*)1*
2—<Л- (13)
п-1 п
При фиксированном х ядро К(х, s) есть квадратично
суммируемая функция от s. Приведем этой функции в
соответствие ее ряд Фурье по ортонормированной системе
оо
/С(ЛГ, S)~ 2 «nW?n(4
п-1
Вычисляя коэффициенты этого ряда, находим
ь
*n(*) = / К(х, s)<?n(s)ds= jj- срЛ(лг).
а
Таким образом, ядру К (л:, s) приводится в соответствие ряд
Фурье по его собственным функциям
w-l
называемый билинейным рядом ядра К (л:, s). Теперь по
черавенству Бесселя
п = } п а

§ 27] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА— ШМИДТА 153
Замечание 1. Разложение (14) выясняет структуру ядра
К{п)(х* $). определенного равенством (2): это ядро
представляет собой разность между ядром К(х, s) и частичной
суммой его билинейного ряда.
Замечание 2. Члены ряда (13) положительны, и его
можно интегрировать почленно» Проинтегрировав
неравенство (13) в пределах от а до Ъ и пользуясь тем, что
функции <?п(х) нормированы, получаем
П-1 П
Ниже (§ 29) будет показано, что в формуле (15) на
самом деле всегда имеет место знак равенства. Заметим
также, что если ядро несимметрично, то имеет место
неравенство
s
1-,<в\
п-1 ' п'
это так называемое неравенство //. Шура.
Теорема 2. Если симметричное ядро удовлетворяет
условию (А), то ряд Гильберта — Шмидта сходится
регулярно.
Оценим остаток ряда (12), для чего воспользуемся
неравенством Коши
12яА12<2к1221**12;
это неравенство очевидно вытекает из того факта, что
квадратный трехчлен
2(К1х-1**!)2
неотрицателен при любых значениях вещественной
переменной X. Полагая
п 1*1 ь 19а(дг)1
Ч = I hk » h = -т— »
I "k |

154 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ {ГЛ. lit
имеем
[п + р
S
п+р
п+р
h = n+l '
к = п+1
k=n+l
оо
fe~n+l
ft-l
На основании леммы 2
Л«=п + 1
<1^
Справа написан остаток сходящегося числового ряда,
поэтому при достаточно больших п сумма слева будет сколь
угодно мала независимо от х. Отсюда и следует, что ряд
Гильберта — Шмидта сходится регулярно.
§ 28. Решение симметричных интегральных уравнений
Симметричное интегральное уравнение есть частный
случай общего уравнения Фредгольма, и для его решения можно
воспользоваться общими методами гл. I. Здесь мы ставим
задачу по-иному: требуется решить симметричное
интегральное уравнение, предполагая известной систему его
характеристических чисел и собственных функций. Как
мы сейчас увидим, эта задача решается особенно просто.
Пусть дано симметричное интегральное уравнение
ь
ср(х) — X fK(x, s)<t(s)ds = f(x)t (1)
а
свободный член которого квадратично суммируем в
промежутке (а, Ь). Обозначим, как обычно, через \и Х2, ...
..., Хл> ... и cpt (*), ср2(лг) <р»(*). • • • систему
характеристических чисел и собственных функций ядра К(х, s).
Напомним, что решение интегрального уравнения ищется в классе
квадратично суммируемых функций.

§ 28]
РЕШЕНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ 155
Рассмотрим сперва случай, когда значение X правильное.
Тогда уравнение (1) имеет квадратично суммируемое
решение ср(лг), интеграл
ь
f K(x,s)y(s)ds
а
есть функция, представимая через ядро, и для нее имеет
место теорема Гидьберта — Шмидта: если функции ср (л:)
соответствует ряд Фурье
оо
? (*) ~ 2 сп<?п С*); сп — (ср, срп),
71=1
то по теореме Гильберта — Шмидта
] К (х, s) ср (s) ds = 2 g- cpn (х). (2)
a n=l
Подставим значение интеграла в уравнение (1):
со
?(*)-*2 £-?»(*)=/(*)• (3)
п-1
Уравнение (3), очевидно, определит искомое решение ср(дг),
если мы сможем вычислить коэффициенты сп.
Умножим уравнение (3) скалярно на ут(х). Пользуясь
тем, что функции <рп(лг) ортонормированы, получим:
°т (l ~ ^nl= fm'y fm = V> ?«>• (4)
Так как X— правильное число.то г 1^0 и
^т
Подставив это в уравнение (3), получаем решение
уравнения (1) в следующей форме
оо
Рассмотрим теперь случай, когда X — характеристическое
число. Пусть
X = \р = Х^+1 = ... = Хд.

156 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
Допуская, что уравнение (1) все же разрешимо, мы
опять придем к соотношению (4).
Если т не совпадает ни с одним из чисел /?, р -{- 1, ..., qt
то 1 —г- ф О и по-прежнему
r ^mfm
Если же т равно одному из чисел /?,/?+-1 q, то из
соотношения (4) получаем fm==0 или, что то же,
(/. ?ш)=0; /» = р. p+L, .... ?. (б)
Таким образом, если X— характеристическое число, то
для разрешимости интегрального уравнения необходимо,
чтобы его свободный член был ортогонален ко всем
собственным функциям ядра, отвечающим данному
характеристическому числу.
Если условия (6) выполнены, то уравнение (4) обращается
в тождество при значениях т = р, р+1, . .., q. Уравнение
(Л) в таком случае имеет; бесчисленное множество решений,
которые имеют вид
оо q
«Р (*) =/(*) + * ST А^Т Ъ<*> + S С»Ч» W- <7>
п=1 п = р
Штрих в первой из сумм (7) означает, что должны быть
опущены члены с номерами п = р, р-\- 1, .. ., qy при
которых числитель fn и знаменатель Хя— X обращаются в нуль;
коэффициенты сп во второй сумме суть произвольные
постоянные.
Мы пришли к следующему результату: если значение
X — характеристическое и этому характеристическому числу
соответствуют собственные функции
ТР(4 <Pp+i(*) ?«(*).
то необходимым и достаточным условием разрешимости
уравнения (1) является условие ортогональности свободного
члена уравнения к соответствующим собственным функциям
данного ядра.

§ 29] билинейный ряд 157
Этот результат находится в полном согласии с теоремой 4
Фредгольма, так как в данном случае однородные
сопряженные интегральные уравнения совпадают.
§ 29. Билинейный ряд
Билинейный ряд
П = 1
был введен нами в § 27. Здесь {\п} и {?„(*)} система
характеристических чисел и собственных функций
симметричного ядра К(х, s). Напомним, что билинейный ряд был
получен как ряд Фурье ядра К(х, s) по ортонормирован-
ной системе функций {cpn(s)j.
Теорема 1. Билинейный ряд сходится в среднем
в основном квадрате и его сумма равна данному ядру.
Система функций
при k Ф т,
при k = m.
?*(*)%(*): Л=1. 2. ... (2)
ортонормирована в основном квадрате. В самом деле,
ь ь
// % (*) ft (*) TmW 9m (s) dx ds =
a a
ь b /0
= JftW?mW^/?«WftW dS= j i
a a *
Ядру /С(a:, s) приведем в соответствие его ряд Фурье
по функциям (2):
оо
п=1
Коэффициенты Ля нетрудно вычислить:
ъ ъ
Ап = (АГ(лг, s), срл (л:) ^) )=ffK(x,s) ?„(*)?„ (s) rfs =
а а
= / <Рл (*) <** / * I*. 5) сря (S) Л.

158 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. III
Внутренний интеграл равен г- уп(х). Отсюда
ь
4. = £/|<Р»(*)М* = 5[; Ы12 = £.
а
И
П-1
Выходит, что билинейный ряд есть ряд Фурье ядра К(х, s)
по функциям (2); как и всякий ряд Фурье, он сходится
в среднем в соответствующей области, в данном случае —
в основном квадрате, и его сумма в этом квадрате
квадратично суммируема.
Составим теперь ядро
со
цх,$) = К(х,8)-%ЪЦ^±,
которое, очевидно, квадратично суммируемо в основном
квадрате. Докажем, что ядро L(x, s) не имеет
характеристических чисел. С этой целью рассмотрим однородное
уравнение
ь
^(x) — \fL(x,s)4t(s)ds = 0, (3)
а
ИЛИ
Ь оо
ф(*) —МСф + хУ ]£ 9n(xYn{s) Hs)ds. (За)
а п=1
Докажем, что ряд в (За) можно проинтегрировать
почленно. При почти всех х£(а, Ь) существует интеграл
ь
f\K(x,s)\*ds;
а
для таких х% как было показано при доказательстве леммы
2 § 27, ряд (1) есть ряд Фурье ядра K(xf s),
рассматриваемого как функция от s, по функциям {yn(s)\. Такой ряд

* 291 билинейный ряд 159
сходится в среднем по s; в § 2 было показано, что его
можно интегрировать почленно, предварительно умножив
его на любую квадратично суммируемую функцию. В данном
случае такой функцией является ty(x).
Выполнив в уравнении (3) почленное интегрирование,
получим уравнение
ф(*)_ХКф + Х 2^1^ ?»(*). <4>
п-1
По теореме Гильберта — Шмидта,
*Ф = 2<4£8>*Ю,
и уравнение (4) сразу дает нам ф(л;)=2 0. Таким образом,
уравнение (3) при любом X имеет только тривиальное
решение и, значит, ядро L(x, s) не имеет характеристических
чисел. По теореме существования характеристического
числа, L(x, s)==0 и, следовательно,
/Г(*.*)=ЦУП(11"(5)- (5)
П=1
Теорема доказана.
Умножая равенство (5) на К(х, s) и интегрируя по
основному квадрату, получим формулу
ь ь
Jb£r=ff\K(x.s)\*dxd8 = B*. (6)
п-1 Л а а
Теорема 2. Пусть {<РпС*)} ортонормированная система
функций и {Хп} — последовательность вещественных чисел,
таких, что ряд
оо
п-1 *
сходится. Тогда ряд (1) сходится в среднем в основном
квадрате и сумма этого ряда есть симметричное ядро,
для которого числа Хп и функции срп (л:) образуют си-
стему характеристических чисел и соответствующих
им собственных функций.

160 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. UI
Сходимость ряда (1) непосредственно следует из теоремы
Риса — Фишера. Положим
%»<#*><»-Kix.* (7)
П-1
квадратичная суммируемость и симметричность ядра (7)
очевидны.
Умножим равенство (7) на Kn^m(s) и проинтегрируем
по s в пределах от а до Ь. Как уже было выяснено,
интегрировать можно почленно, и мы получаем
ь
Фт(*) — *»/*(*.*) 9т (S) dS.
а
Отсюда видно, что Хт и ут(х) суть характеристическое
число и соответствующая ему собственная функция ядра (7).
Допустим теперь, что это ядро имеет еще одну
собственную функцию <р (х), ортогональную (см. теорему 3 § 25) ко
всем функциям уп(х), и пусть X соответствующее
характеристическое число, так что
b
9(x) = \fK(Xt S)<?(s)dS.
а
Заменяя ядро K(xt s) его выражением (7) и интегрируя
почленно, получаем
Отсюда следует, что функции <?п(х) образуют систему
собственных функций ядра (7). Теорема доказана.
§ 30. Билинейные ряды для итерированных ядер
Формулу Гильберта — Шмидта запишем в виде
/(*) = /*(*.0*(0Л = 2£?п(*) (1)
a n-i

§ 30]
БИЛИНЕЙНЫЕ РЯДЫ ДЛЯ ИТЕРИРОВАННЫХ ЯДЕР 161
и положим в ней h(t) = K(tt s). Это можно сделать, так
как при фиксированном s ядро K(t, s) квадратично
суммируемо по t почти для всех s. При этом
ъ ь
= /*(М)М0 Л = £?»<*).
так как ядро K(xt s) симметрично и уп{х) — его
собственная функция. Теперь формула Гильберта — Шмидта дает
«2(*.*)=£УИ(-У5): (2)
П«1 п
по теореме Гильберта — Шмидта ряд (2) сходится в среднем
по х при почти всех фиксированных s. В силу симметрии ядра
ряд (2) сходится также в среднем по $ при почти всех
фиксированных х. Более того, ряд (2) сходится в среднем
в основном квадрате, так как из формулы (6) § 29 следует,
что ряд
оо
2d т?
П-1 п
СХОДИТСЯ.
Если в (1) положить h(t) = K2(tt s), то таким же путем
получим
оо
П-1 Л
по индукции легко получается общая формула
Km(x.s)=^^h^-. (3)
л-1 п
п-1
Ряд (3) сходится в среднем в основном квадрате; из
теоремы Гильберта — Шмидта вытекает, что ряд (3) сходится

162 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Щ
в среднем по одной из переменных при почти всех фикси*
рованных значениях другой переменной.
Формула (3) показывает, что ядро Кт(х, s) разлагается
в ряд Фурье по функциям <pn(s). В таком случае имеет
место уравнение замкнутости
п а
Члены написанного здесь ряда положительны, и его можно
интегрировать почленно. Принимая во внимание, что
собственные функции нормированы, получим
ь ь
2^= 19f\K^(x9s)\^dxd8. (4)
w«=l п а а
Формула (4) является основой некоторых методов
приближенного вычисления характеристических чисел симметричного
ядра.
Как это следует из теоремы 2 § 29, формула (3) дает
разложение итерированных ядер в билинейные ряды. Отсюда
вытекает следующая теорема.
Теорема 1. Если ядро К(х% s) симметрично, а {Хп} и
{фпС*)! — система его характеристических чисел и
собственных функций, то при т^2 числа {Х^} и функции
{срп(х)} образуют систему характеристических чисел и
соответствующих этим числам собственных функций,
т-го итерированного ядра Кт{х, s).
Более сильное утверждение о сходимости ряда (3) можно
получить, если ядро удовлетворяет условию (Л).
Теорема 2. Если ядро K(xt s) удовлетворяет
условию (Л), то при т^Ъ ряд (3) сходится абсолютно и
регулярно в основном квадрате.
Числа Хп расположены в порядке возрастания их
абсолютных величин, поэтому
1
Л \jk[x)\-\lk(8)\_
*-»+! 'ХЛ|
^|Х_..1"»-2 2d
**<»>
h

л 31] РЕЗОЛЬВЕНТА СИММЕТРИЧНОГО ЯДРА 163
в силу неравенства Коши и леммы 2 § 27
£ |У>(*)|•!?»(*>■ ^
2л —~т~^ ^
<
IV"»-2'
лП+1 I
и утверждение теоремы сразу вытекает из того
обстоятельства, что Хп+1 -> оо.
п -> 00
Следствие. Если симметричное ядро непрерывно в
целом, то итерированные ядра, начиная с третьего,
непрерывны в основном квадрате.
Действительно, в этом случае собственные функции <fn(x)
непрерывны (см. § 16) на сегменте [a, b]t а ряд (3), как
было только что показано, сходится равномерно.
Отметим, не приводя доказательства, что если ядро
непрерывно в основном квадрате, а его характеристические
числа положительны, то билинейный ряд этого ядра сходится
равномерно. Это так называемая теорема Мерсера.
§ 31. Резольвента симметричного ядра
В формуле (5) § 28, дающей решение симметричного
интегрального уравнения при правильных значениях
параметра, заменим коэффициент /п его выражением в виде
интеграла
&
/» = </. 9n)=ff(s)^ji)ds;

164 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
упомянутая формула тогда примет вид
,(*)=/(*) + Х £ p»lx^f(s)ds. (1)
n-l а
Докажем, что в формуле (1) можно переставить порядок
суммирования и интегрирования. Рассмотрим ряд
у Уп (*) Уп (s) ^ ^2)
шт Хп — X
"•П
W-1
Функции (fn(x)(fn(s), /1 = 1, 2, ... ортонормированы в
основном квадрате. Далее, ряд
2 |Л»-Х|» (3)
п-1
сходится. Действительно, Хп->оо, поэтому при п
достаточно большом | Xrt | > 21X |; отсюда | X | < Цр , | Хя—X | >
> Ц?-*- и п гг^ггт» теперь сходимость ряда (3)вы-
I | Ап — A j | An I
оо
текает из доказанной ранее сходимости ряда V -^-(см. § 27).
Из теоремы Риса — Фишера вытекает, что при любом
правильном значении \ ряд (2) сходится в основном
квадрате в среднем. Повторяя рассуждения, примененные при
доказательстве теоремы 1 § 29, найдем, что ряд (2) можно
интегрировать почленно по $, предварительно умножив его
на любую квадратично суммируемую функцию от s. Но это
и означает, что в ряде (1) можно переставить суммирование
и интегрирование; такая перестановка дает нам новую форму
решения
ь да
?<*>=■/(*)+*//wS *^5^*-
О П-1

§ 32) ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ 165
Сравнив это с общей формулой (7) § 7, убедимся, что сумма
ряда (2) есть резольвента симметричного ядра К(xt s):
r(;c,*;X)=S?"ffjy>. (4)
Из формулы (4), между прочим, вытекает, что
резольвента симметричного ядра имеет только простые полюсы.
§ 32. Экстремальные свойства характеристических чисел
и собственных функций
По теореме Гильберта — Шмидта, если функция h(s)
квадратично суммируема в промежутке (a, b)t то
ь
W-1
и
Умножим это равенство скалярно на h(x). Написанный ряд
сходится в среднем, поэтому скалярное умножение можно
произвести почленно:
(/СА,/0 = 2((Ар><рл,А).
*-1
Вынося постоянный множитель * ' ™ за знак скалярного
произведения и используя свойство 1 скалярного
произведения (§ 2), получаем
(/СА>А)=|;кмш!. (1)
Пусть, как обычно, числа \к расположены в порядке
возрастания их абсолютных величин, так что наименьшую
абсолютную величину имеет число Xt. Тогда из формулы (1)
вытекает
оо
ККА./ОКр^-^Кй,^)!»
п-1

166 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
или, если воспользоваться неравенством Бесселя,
|(/СА,А)|<«.
Для нормированных функций h(x) это неравенство
принимает вид
\(Kh, А)|<т^1. ||А|| = 1. (2)
В неравенстве (2) знак равенства достигается при h (х) = срх (х).
Действительно, так как cpi(jc) — собственная функция,
отвечающая характеристическому числу \г то cpi (■*) = M^Pi-
Умножив это скалярно на ух(х), получим
Из сказанного вытекает справедливость следующей теоремы.
Теорема 1. На множестве нормированных функций
величина \(Kh, h)\ имеет максимум, равный тт—г. Этот
максимум достигается при h{x) = yx(x).
Рассмотрим теперь множество нормированных функций,
ортогональных к первым т—1 собственным функциям:
1|А|| = 1. (Л. ?i) = (A. <Р*) = • •• =(А. ?«.-!> = 0. (3)
Тогда
»-S¥ftW.
Повторяя предшествующие рассуждения, убедимся в
справедливости следующей теоремы.
Теорема 2. На множестве функций, нормированных
и ортогональных к первым т — 1 собственным функциям
ядра К(х, s), величина \{Kh, h)\ имеет максимум, равный
п—г. Этот максимум достигается при h(x)=*ym{x).
На теоремах 1 и 2 основано применение методов
вариационного исчисления к отысканию характеристических
чисел и собственных функций симметричного ядра.

ГЛАВА IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 33. Интегральные уравнения теории потенциала
в трехмерном пространстве
Метод интегральных уравнений оказывается весьма
полезным при решении основных краевых задач теории
гармонических функций. Применение этого метода опирается на
некоторые факты теории потенциала, которые мы изложим
без доказательства.
Пусть 5 — замкнутая поверхность. Буквой Q будем
обозначать переменную точку поверхности S, буквой Р —
произвольную точку пространства. Через г, как всегда, будем
обозначать расстояние между точками Р и Q. Иногда нам
-> —>
придется рассматривать вектор r = PQ; мы всегда будем
считать, что он направлен от точки Р к точке Qi Внешние
нормали к поверхности S в точках Р и Q будем
обозначать через л и v соответственно.
Будем считать, что поверхность S удовлетворяет
известным условиям Ляпунова. Напомним эти условия.
1. В каждой свдей точке- поверхность S имеет
определенную нормалЪ.
2. Существует такое число d > О, что сфера радиуса d
с центром в любой точке Р поверхности 5 вырезает из
нее такую часть, которая не более чем в одной точке
пересекается с каждой прямой, параллельной нормали в точке Р.
3. Пусть Р и Q — произвольные точки поверхности S9
Ь — угол между нормалями к поверхности в этих точках.
Существуют такие постоянные а > 0 и а > 0, что & <^ аг*.
Число а назовем показателем Ляпунова поверхности S.

168 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
4. Телесный угол1), под которым из любой точки
пространства видна любая (связная или несвязная, безразлично)
часть поверхности S, ограничен. Аналитически это свойство
выражается неравенством
//
Г
~57
dSQ < С = const.
Пусть ji(Q) и о(Q) — непрерывнее функции,
определенные на 5. Функция точки Р
V(P)=f fp(Q)±dSQ (1)
s
называется потенциалом простого слоя, а функция
^(P) = //0(Q)"af^ (2)
8
— потенциалом двойного слоя. Функции jx (Q) и o(Q)
называются плотностями соответствующих потенциалов.
Потенциал двойного слоя можно также представить в виде
W
{P) = -ff0(Q)t21<^dSQ. (2.)
Обозначим через D{ и De области, заключенные внутри
и вне S соответственно. Потенциалы простого и двойного
слоев суть функции, гармонические как в Dit так и в De.
Для дальнейшего полезно заметить, что при стремлении
точки Р к бесконечности имеют место оценки
V(P) = 0(i), W(P) = o(^),
где R — расстояние от точки Р до начала координат.
Если в формуле (2) Р означает точку поверхности 5,
то, как известно, интеграл в этой формуле сходится.
Значение потенциала двойного слоя при P£S называется
прямым значением этого потенциала.
1) Определение телесного угла дается в курсах математической
физики.

§ 33] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 169
Для потенциала двойного слоя с единичной плотностью
справедлива так называемая теорема Гаусса
я
д1 (-4* при P£Dit
dv
r ds = {
— 2тг при P£St (3)
О при P£De.
Для потенциала двойного слоя с произвольной
непрерывной плотностью o(Q) справедлива теорема о скачке
потенциала двойного слоя
Wi(P0)==VnP9)-2^(Po). .
We(^o)=W(/50) + 21T3(P0), / (4)
где Р0—^ точка на поверхности 5, а
ЩРд = -f f»(Q) c^r*dSv. r = \QP0\ (5)
s
— прямое значение потенциала двойного слоя; через W{(Pq)
обозначено предельное значение потенциала W(Р)% когда
точка Р-+Р0 изнутри S, через We(P0) — предельное
значение потенциала, когда Р -+ Р0 извне S.
Разность предельных значений потенциала двойного слоя,
как это следует из (4), равна
Wt (Р0) - We (Р0) = - 4™ (Р0). (6)
Потенциал простого слоя непрерывен во всем
пространстве.
Производная по нормали от потенциала простого слоя
равна
t^l = ff,{Q)^AdS. (7)
Назовем значение интеграла (7), когда точка Р лежит
на поверхности 5, прямым значением нормальной произ-
dV(P)
водной потенциала простого слоя и обозначим его , •
Обозначим через —д и , соответственно
предельные значения нормальной производной от потенциала
простого слоя, когда точка Р-+Р0 изнутри или извне S,

170 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Для нормальной производной потенциала простого слоя
имеют место следующие равенства
(8)
выражающие теорему о скачке нормальной производной
потенциала простого слоя. Скачок этой производной
равен
дУ(Р0) дУ(Р0)
dnt
дпв
4^(Р0)
(9)
Как известно, ядра интегралов (5) и (7) имеют слабую
особенность, именно, если обе точки Р и Q лежат на
поверхности S, то
cos (г, v)
<
I cos (г, п)
<
(Ю)
где С — некоторая постоянная, а — показатель Ляпунова
поверхности S.
Мы будем заниматься решением задач Дирихле и
Неймана. Напомним постановку этих задач.
Пусть некоторая поверхность S ограничивает извне об*-
ласть Diy изнутри — область De. Пусть на поверхности 5
заданы непрерывные функции /(Q) и y(Q).
Внутренняя задача Дирихле: требуется найти
функцию W(P), гармоническую в области D{ и непрерывную
в замкнутой области Dj-f-S так, чтобы
w (Q)=/(Q). Q€S.
(П)
Аналогично внешняя задача Дирихле состоит в
определении функции, гармонической в De, непрерывной в De-\-S
и удовлетворяющей тому же условию (11).
Внутренняя задача Неймана: требуется найти
функцию V(P)t гармоническую в Dit такую, чтобы ее
нормальная производная при Q£S принимала на поверхности
заданное значение <p(Q):
^ = cp(Q). (12)

§ 33] ТЕОРИЯ ПОТ-ЕНЦИ\ЛА В ТРЁХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 171
Аналогично внешняя задлча Неймана состоит в
определении гармонической в De функции V(P), нормальная
производная которой на поверхности S удовлетворяет
условию (12).
Как доказывается в математической физике, из этих
четырех задач три имеют единствеяное решение: обе
задачи Дирихле и внешняя задача Неймана. Для
разрешимости внутренней задачи Неймана необходимо, чтобы
ff9{Q)dS = 0. {Щ
s
и если внутренняя задача оказывается разрешимой, то она
имеет бесчисленное множество решений, отличающихся
друг от друга на постоянное слагаемое.
Мы будем рассматривать задачи Дирихле и Неймана
в предположении, что S есть поверхность Ляпунова.
Решение задач Дирихле будем искать в виде.потенциала
двойного слоя с неизвестной плотностью, а решение задач
Неймана — в виде потенциала простого слоя, также с
неизвестной плотностью. Тем самым мы удовлетворяем
требованию гармоничности искомых решений.
Несколько изменим предыдущие обозначения: если точка Р
стремится изнутри или извне к некоторой точке на
поверхности, то предельную точку будем в дальнейшем обозначать
той же буквой Я.
Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле. Предельное
условие (11) означает, что
Wi(P)=f(P)t p^s.
По первой из формул (4) имеем
WjP)— 2*з(Р)=/(Р), P£S.
Заменив прямое значение W(P) по формуле (5) и разделив
обе части равенства на —2тг, найдем, что искомая
плотность о(Р) должна удовлетворять интегральному уравнению
о(Р)+^//££Ц^-о«3)^ = -^/(Р). (14)
S
Как это следует из оценки (10), ядро этого уравнения имеет
слабую особенность.

172 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Выведем интегральное уравнение внешней задачи Дирихле.
Из предельного условия (11) следует, что We(P) = /(P) или,
если воспользоваться вторым равенством (4),
2тго(Р) ±-W{P)=f(P).
Разделив на 2it и воспользовавшись формулой (5), получим
интегральное уравнение внешней задачи Дирихле:
'M-RffZ^'WS^yiP). (15)
Краевое условие внутренней задачи Неймана имеет вид
dV
--— = ср(Р). Как уже было сказано, решение задачи
Неймана ищется в виде потенциала простого слоя. Первая из
предельных формул (8) позволяет записать краевое условие
в виде
2^(P) + ^- = <f(P).
Разделив это на 2тс и заменив прямое значение нормальной
производной по формуле (7), получим интегральное
уравнение внутренней задачи Неймана
^ + ±f f'-^^tWdS^^iP). (16)
Подставляя во второе предельное уравнение (8) прямое
значение потенциала простого слоя (7) и предельное условие
получим интегральное уравнение внешней задачи Неймана
MP)_^J|cos^)KQ)^ = __L(p(p) (17)
Уравнения (14) и (15) имеют одно и то же ядро
K(P.Q) = ^C-^^-,

§ 33] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 173
по отличаются значениями параметра X, соответственно
равными — 1 и -f-1. Точно также имеют одно и то же ядро
1 cos(г, п)
но различаются значениями параметра, уравнения (16) и (17).
Докажем, что уравнения (14) и (17), а также
уравнения (15) и (16) — сопряженные между собой.
Так как ядро К (Я, Q) вещественное, то
К* (P. Q) = K(Q, Р),
т. е. в сопряженном ядре точки Р и Q переставлены
местами, а тогда при построении сопряженного ядра надо
нормаль к поверхности строить в точке Р и направление г
Черт. 7
брать от точки Q к точке Р (черт. 7). При этом угол (г, v)
заменится на тг— (г, я), и мы получим
v*,d п\— Х cos (п — (г, п)) __ 1 cos (г, п)
к (/л ад —й -ja — — 25—^—.
что и требовалось доказать. Таким образом, интегральные
уравнения внутренней задачи Дирихле и внешней задачи
Неймана — сопряженные между собой; точно также
сопряженными являются интегральные уравнения внешней задачи
Дирихле и внутренней задачи Неймана.
В заклкнение параграфа докажем, что если какое-либо
из уравнений (14) — (17) разрешимо, то его решения

174 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
непрерывны. Для примера рассмотрим уравнение (14). Его
ядро можно представить в виде
1 cos (г, v) r~g/2 cos (г, v)
bz Г* ~ г2-«/2
Для поверхности Ляпунова 5 имеет место оценка
| cos (г, v) | ^ Сга, поэтому произведение г_а/2 cos (r,v) -> О
при P^Q\ в то же время это произведение очевидно не-
прерывно при Р Ф Q. Таким образом, ядро уравнения (14)
представлено в виде отношения непрерывной функции и
степени г с показателем, меньшим 2. Имея в виду, что сво-^
бодный член уравнения (14) непрерывен по самой постановке
задачи Дирихле, заключаем на основании теоремы 4 § 17,
что любое решение (если оно существует) интегрального
уравнения (14) непрерывно. Аналогично доказывается
непрерывность решений (в предположении, что они
существуют) уравнений (15) — (17).
§ 34. Решение краевых задач теории потенциала
В предыдущем параграфе мы вывели интегральные
уравнения краевых задач теории потенциала. В силу оценок (10)
§ 33 эти интегральные уравнения являются уравнениями со
слабой особенностью и, следовательно, к ним применима
теория Фредгольма.
Рассмотрим интегральное уравнение внутренней задачи
Дирихле [уравнение (14) § 33]
°(p)+i/1'S21PA °(Q)<tsQ=-±f(P) (i)
u сопряженное с ним уравнение (17) § 33 внешней задачи
Неймана
докажем, что они разрешимы при любых свободных членах.
В силу их сопряженности доказательство, очевидно,
достаточно провести для какого-нибудь одного из
них—докажем разрешимость уравнения внешней задачи Неймана,

§ 34] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 175
Напишем соответствующее уравнению (2) однородное
уравнение
^P)~i/ /2£1Tr}lV-o(.Q)dSQ = 0 (3)
s
и пусть |Aq(P) какое-либо его решение. По теореме 4 § 17
функция [а0(Я) непрерывна на поверхности S (см. конец
§ 33). Введем в рассмотрение потенциал простого слоя
с плотностью [х0(Р):
Ko(P) = /Ao(Q)^T' (4)
8
тогда определяемое формулами (7) и (8) § 33 предельное
значение нормальной производной -^-^ равно нулю, в силу
уравнения (3):
дп
^ = -2,MP)+f f^^^Q)dSQ = 0.
Функция V0(P) гармонична в De\ по теореме
единственности внешней задачи Неймана V0(P)=bO; P£De.
Устремляя точку Р к поверхности 5, находим, что V0(P)==0,
P£S.
Пусть теперь P£Di# Функция V0(P) гармонична и
в'области Di\ на границе 5 этой области она
обращается в нуль (напомним, что потенциал простого слоя
непрерывен на поверхности S). По теореме о
единственности решения внутренней задачи Дирихле VQ(P) = 0,
P^Di. Но тогда -j-^esO, и на основании формулы (9) § 33
мч-±(4&-4£)-*
Таким образом, однородное уравнение (3) имеет только
тривиальное решение; следовательно, значение параметра
X = — 1 правильное и уравнение (2) всегда разрешимо. Это
значит, что если S — поверхность Ляпунова и заданные
значения нормальной производной решения на поверхности S
непрерывны, то внешняя задача Неймана всегда имеет решение, и это
решение можно представить в виде потенциала простого слоя.

176 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Уравнение (1) — сопряженное с уравнением (2), а в таком
случае оно также разрешимо при любой правой части.
Поэтому, если S — поверхность Ляпунова, то внутренняя
задача Дирихле всегда имеет решение и решение этой задачи
может быть представлено в виде потенциала двойного слоя.
Перейдем к рассмотрению сопряженных между собой
уравнений внешней задачи Дирихле [уравнение (15) § 33]
и внутренней задачи Неймана [уравнение (16) § 33].
Докажем, что для этих уравнений значение параметра Х=1
является характеристическим. Рассмотрим, соответствующее
уравнению (15) § 33, однородное уравнение
°o(P)-T*f f S21p:1°o(Q)dSQ = 0. (5)
Нетрудно видеть, что это уравнение имеет собственную
функцию <з0(Р)=1, так как по теореме Гаусса
6 S
Таким образом, однородное уравнение (5) имеет
нетривиальное решение, Х=1 есть характеристическое число ядра
/С(Р, Q) = Yn°S(r* ^ иУРавнения О5) и 06) § 33
разрешимы не всегда.
В силу теоремы 3 Фредгольма однородное уравнение
имеет собственную функцию, которую мы обозначим через
ц0(Р). Докажем, что уравнение (6) не имеет собственных
функций, линейно независимых с р0(Р).
Пусть щ(Р)— какая-нибудь собственная функция
уравнения (6); достаточно доказать, что ^(Р) только
постоянным множителем отличается от [а0(Р). Запишем, что [а0(Р)
и И-1 (Р) суть собственные функции уравнения (6):
H(.P)-\-^f ft-S1j^LH(Q)dSQ^0;k = 0,l. (7)
s

§311 РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕЧЦИ\ЛА 177
Рассмотрим потенциалы простого слоя
УЛР) = J/ы<?)^; * = <>. 1; Р£А-
s
Предельные значения производных по нормали от этих
потенциалов определяются первым из равенств (8) § 33:
S
что равно нулю в силу тождеств (7). Потенциалы Vk(P)
гармоничны в D^ по теореме единственности внутренней
задачи Неймана в этой области функции Vk(P) суть
постоянные:
Vk(P) = Ck; * = 0, 1; Р£Д.
Покажем, что Ск Ф 0. Предположим противное. Тогда
Ул(Р) = 0, Р £ Ь{; в силу непрерывности потенциала
Vk (Р) = 0 на поверхности 5.
В области De потенциал Vk (Р) гармоничен и, так как
Vk(P) = 0 на 5, то Vfe(P)==0 вОе, в силу теоремы
единственности внешней задачи Дирихле. Но тогда -^==0 и по
равенству (9) § 33
Мы пришли к противоречию с условием, что \*<к(Р)
собственная функция. Тем самым доказано, что СкфЬ, & = 1,2.
Составим функцию
Р2(Р) = С1[ъ(Р)-С0р1(Р)
и соответствующий ей потенциал простого слоя
V2 (P) = ff V* (Q) v- = CtV0 (Р) - C0V, (Р).
S
Очевидно, V2 (Р) = 0, Р £ D{. Повторяя предшествующие
рассуждения, найдем, что во всем пространстве V2(P) = 0;
отсюда, как и выше, следует, что |а2(Р)^0, или
|i, (Я) = 5-|Ч) (Я).
что и требовалось доказать.

178 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
По теореме 4 Фредгольма, для разрешимости уравнения
(16) § 33 — интегрального уравнения внутренней задачи
Неймана, — необходимо и достаточно, чтобы
свободный член уравнения, -^-ср(Р), был ортогонален ко всем
решениям сопряженного однородного уравнения (5). Но
уравнение (5), как мы доказали, имеет одно линейно
независимое решение о0(Р)==1; необходимые и достаточные
условия сводятся к единственному равенству
f f<?(P)dS = 0. (8)
s
Мы доказали тем самым достаточность необходимого
условия (13) § 29 разрешимости внутренней задачи Неймана.
Итак, если условие (8) выполнено, то уравнение (16) § 33
разрешимо, и решение внутренней задачи Неймана можно
представить в виде потенциала простого слоя с плотностью
§ 35. Решение внешней задачи Дирихле
Мы уже видели, что интегральное уравнение внешней
задачи Дирихле [уравнение (15) § 33], вообще говоря,
неразрешимо. Это означает, что получить решение внешней
задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя в общем
случае невозможно. Это можно было предвидеть заранее,
так как потенциал двойного слоя убывает на бесконечности
как R~2 (/? — расстояние от начала координат до точки Р),
тогда как произвольная гармоническая функция убывает на
бесконечности как R~l. Поэтому будем искать решение
внешней задачи Дирихле в виде суммы потенциала
двойного слоя с неизвестной плотностью o(Q) и гармонической
функции
S
убывающей на бесконечности как R~l; начало координат
мы помещаем внутри поверхности S. Таким образом, иско-

Л 35J РЕШЕНИЕ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 179
мая функция имеет вид
W(P)=ff 0(Q)"5f d5Q + hf J0{Q)dSQ> P^D*-
s s
(1)
На поверхности S должно выполняться краевое условие
внешней задачи Дирихле
We(P)=f(P), (2)
и предельная формула (4) § 33 приводит нас к уравнению
для неизвестной плотности
S
Ядро этого интегрального уравнения состоит из двух
слагаемых: первое имеет слабую особенность, второе слагаемое —
непрерывная функция. Таким образом, уравнение (3) есть
уравнение со слабой особенностью; в соответствии с
теорией Фредгольма для его разрешимости необходимо и
достаточно, чтобы соответствующее ему однородное уравнение
имело только тривиальное решение.
Исследуем однородное уравнение
°°(P>-i//P^-^b(^<>= 0. (4)
S
Пусть о0(Я) какое-либо его решение. Левую часть
уравнения (4) можно рассматривать как разделенное на 2тс
предельное значение гармонической функции
Wo(P) = JI °o(Q)~£dSQ + ± f f o0(Q)dSQ
на поверхности S. Отсюда следует, что W0(P) на
поверхности S равна нулю; по теореме о единственности решения
внешней задачи Дирихле №0(Я)===0, или
/f °o(Q)-£dSQ + ± f f o0(Q)dSQ = 0t P£D,. (5)

180 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Умножая обе части равенства (5) на R, получим
R ff *о Ю) if dS* + ff Qo (Q) dSQ шж 0, Р g De.
Первое слагаемое при R-+oo стремится к нулю,
следовательно,
ff°o(Q)dSQ = 0 (6)
s
и уравнение (4) сводится к уравнению (5) § 34. Будучи
решением этого уравнения, o0(Q) есть некоторая
постоянная; о0(Р) = С0. Подставив это в (6), найдем, что С0 = 0
и, окончательно, о0(Я) = 0.
Таким образом, однородное уравнение (4) имеет только
тривиальное решение. Но тогда уравнение (3) всегда
разрешимо и, следовательно, всегда разрешима внешняя задача
Дирихле, решение которой может быть построено в форме (2).
§ 36. Уравнения теории потенциала в многомерных
пространствах
В теории уравнений в частных производных
рассматриваются гармонические функции любого числа переменных.
Определение и основные свойства гармонических функций,
известные для случая трех переменных, распространяются
на случай многих переменных с одним лишь изменением:
от функции и(Р), гармонической в бесконечной области,
расположенной вне некоторой поверхности, требуется, чтобы
на бесконечности она убывала как т__§, где т — число из-
мерений пространства и R—расстояние от точки Р до
начала координат. В частности, функция двух переменных,
гармоническая вне некоторого контура, должна быть только
ограничена на бесконечности.
Понятия и методы теории потенциала, развитые в §§ 33—35,
без изменений переносятся на случай, когда число
измерений пространства т > 3. Пусть S — замкнутая
т—1-мерная поверхность, удовлетворяющая условиям Ляпунова,
Р — произвольная точка w-мерного пространства (она может

§ 36] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 181
лежать и на поверхности S), Q — точка поверхности 5,
г—расстояние между точками Р и Q, v — внешняя нормаль
к 5 в точке Q. Интегралы
V(P) = j\(Q)^§T (1)
д 1
W
W = fo(Q>^aSQ = -f9(Q)2ggdSQ (2)
называются потенциалами, соответственно, простого и
двойного слоя; их плотности (a(Q) и o(Q) будем считать
непрерывными. При P^Q функция -j^zy удовлетворяет
уравнению Лапласа по координатам точки Р\ отсюда следует,
что потенциалы простого и двойного слоя гармоничны как
Внутри, так и вне 5, причем потенциал простого слоя
убывает на бесконечности как т, а потенциал двойного
слоя—как т_1. Справедливы теоремы, аналогичные тео-
ремам § 33, с той разницей, что входящая в формулы (4)
и (8) § 33 величина 2тс заменяется половиной площади
поверхности единичной сферы; как известно, эта площадь
2ят/2
равна г, /2ч, где Г — эйлеров интеграл второго рода; в
соответствии с этим в формулах (6) и (9) § 33 следует за-
2пт/2
менить 4тг на г . .^. Если п — внешняя нормаль к 5,
проходящая через точку Р, то аналогично формуле (7) § 33
имеем
д V (Р)
дп ''
■fHQ)c^dSQ.
Если решения задач Дирихле и Неймана искать в виде
потенциала соответственно двойного и простого слоя, то

182 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
мы получим интегральные уравнения
я /рч + Г (т/2) Г cos (г, у) q _ _ Г (m/2) f (р
^i^^^^-i*^^, (Н)
где /(Р)— заданное на поверхности S значение искомой
гармонической функции в задаче Дирихле, а ср(Р) — также
заданное на 5 значение нормальной производной искомой
гармонической функции в задаче Неймана; верхние знаки
соответствуют внутренним задачам, нижние — внешним.
Анализ уравнений (Д) и (Н) проводится так же, как
и в § 34, и приводит в точности к тем же результатам.
Именно, внутренняя задача Дирихле и внешняя задача
Неймана всегда разрешимы; для разрешимости внутренней
задачи Неймана необходимо и достаточно, чтобы
J<?(P)dSP = 0.
8
Интегральное уравнение внешней задачи Дирихле в общем
случае неразрешимо; как и в случае трехмерного
пространства, это связано с тем, что не всякую гармоническую
вне S функцию можно представить в виде потенциала
двойного слоя, так как последний слишком быстро убывает
на бесконечности. Внешнюю задачу Дирихле можно решить,
отыскивая решение в виде
д 1
fm^dSQ + ^faiQidSo.
s * s
где R — расстояние от точки Р до некоторой
фиксированной точки внутри S. Такое представление приводит к
интегральному уравнению
р Г (т/2) /\/РчГсо5(г,у) _J_]jon —lWbf(p\
S
которое всегда разрешимо,

§ 37] УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА НА плоскости 183
§ 37. Уравнения теории потенциала на плоскости
Случай т = 2 представляет в теории потенциала
некоторые особенности. При т = 2 функция -^у обращается в
единицу, потенциалы простого и двойного слоя делаются
постоянными и для них становятся неверными предельные
теоремы, которые в случае трехмерного пространства
выражались формулами (4) и (8) § 33. В связи с этим
оказывается необходимым изменить определения
потенциалов для интересующего нас случая т = 2. Роль функции
-^■^— так называемого сингулярного решения уравнения
Лапласа — играет в данном случае функция In —, которая,
как легко проверить, при т = 2 удовлетворяет уравнению
Лапласа, если только Р ф Q. Соответственно этому
потенциалы простого и двойного слоя на плоскости
определяются формулами
V(P) = f\i(Q)\n±d8Q. (1)
L
W(P) = fo(Q)-^dsQ = -fo(Q)S2l^dsQ. (2)
L L
Здесь L — контур, о котором мы предположим, что он
замкнут и удовлетворяет условиям Ляпунова, v — нормаль
к контуру L в точке Р, dSQ — элемент длины контура U
Потенциалы (1) и (2) принято называть логарифмическими,
в отличие от рассмотренных в § 33 ньютоновских
потенциалов. Логарифмический потенциал двойного слоя
гармоничен как внутри, так и вне L; на бесконечности он
обращается в нуль. Логарифмический потенциал простого слоя
гармоничен внутри L\ существенное различие со случаем
т > 2 заключается в том, что этот потенциал, вообще
говоря, негармоничен вне L, так как функция,
гармоническая в бесконечной области на плоскости, должна быть
на бесконечности ограниченной, а потенциал простого слоя
в общем случае растет на бесконечности как In R.

184 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Для потенциалов (1) и (2) справедливы теоремы,
аналогичные теоремам § 33: потенциал простого слоя
непрерывен на всей плоскости (кроме, может быть, бесконечно
удаленной точки); имеют место предельные соотношения для
потенциала двойного слоя
(3)
WdPo) = W(P0)-™(P0), 1
We(P0) = W(Po)-\-™(Po) J
и для нормальной производной потенциала простого слоя
дУ(Р0) ^дУ(Р0)
дп{ дп
дУ(Р0) =дУ(Р9)
дп0 дп
(4)
здесь п — внешняя нормаль к контуру L в точке Р0. Имеет
место теорема Гаусса в следующей фор>ме:
- 2тг внутри L,
-те на L, (5)
О вне L.
.ainl
/4^=-/^*Н
Задачи Дирихле и Неймана ставятся как обычно; мы
сохраняем также старые обозначения /(Р) и ср(^) Для
данных в этих задачах функций. Важно отметить, что внешняя
задача Неймана на плоскости отличается некоторыми
особенностями. Прежде всего, ее решение неоднозначно; теорема
единственности для этой задачи состоит в том, что два ее
решения могут отличаться только на произвольное
постоянное слагаемое. Очевидно и обратное: две функции,
гармонические вне L и различающиеся на постоянное слагаемое,
решают одну и ту же внешнюю задачу Неймана.
Другая особенность внешней задачи Неймана на плоскости
определяется следующей леммой.
Лемма 1. Для того, чтобы внешняя задана Неймана
на плоскости имела решение, необходимо, чтобы
f<t(P)dsp = 0. (6)
L

§ 37] УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА НА ПЛОСКОСТИ 185
Пусть функция V(P) гармонична вне L , и пусть на L
dV
дп
= <Р(Я).
Обозначим декартовы координаты точки Р через х и у
и положим z = x-\-ly. Пусть F(z)— аналитическая
функция, вещественная часть которой равна V (Я). Докажем
прежде всего, что функция F (z) однозначна и на
бесконечности ограничена. Производная
™-£-«£
однозначна вне I; в окрестности бесконечно удаленной
точки она разлагается в ряд Лорана
П-=— СО
отсюда
F(z)=a_l\nz+ 2 bnz\ (*)
постоянная а__х необходимо вещественна — в противном
случае функция V(Р) = Re [F (Z)} была бы неоднозначной.
Положим z = Reiet *л = ап~ЫРп' Тогда в окрестности
бесконечно удаленной точки
+оо
V(P) = a_llnR-+- 2 (ancos/i9 — pnsin/i6)#\ (**)
n=x—со
Так как на бесконечности гармоническая вне L функция
V(P) ограничена, то необходимо а«1 = 0и ая = [3я = 0,
л > 0. Докажем это.
Прежде всего докажем, что в ряде (*) отсутствуют
положительные степени z. Допустим противное. Может
случиться, что таких степеней будет только конечное число;
пусть тогда k — наибольший из положительных показателей
при z в ряде (*). Коэффициент Ьк Ф 0, и можно выбрать
такое О, чтобы ак cos &8 — рЛ sin £0 Ф 0. Зафиксировав В
таким образом, возьмем R столь~ большим, чтобы в ряде (**)
слагаемое (aAcos^B — $ks\nk&)Rk по крайней мере вдвое

186 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
превосходило по абсолютной величине сумму остальных
слагаемых; тогда при выбранном нами в
l^|>y|a*cosft9 —PfcSinfcei^-g^s^oo,
а это невозможно, раз функция V ограничена. Остается
допустить, что ряд (*) содержит бесконечно много
положительных степеней z. В этом случае точка z —
oo—существенно особая для ряда (*), и можно указать такую
последовательность гт->-оо, что F(zm)— a_llnzm имеет
пределом любое наперед заданное число. Пусть | V | < М
при достаточно больших z. Выберем последовательность zm
так, чтобы
2М, если а^х^-О,
*m> — "-i*»~m-+\ 2Mf если fl-1<0.
F{*m) — Л-ПП^
■{.
При m достаточно больших в первом случае
V(zm)>a_l\n\zm\+M^Mt
а во втором случае
V(zJ<a^\n\zm\-M<—M;
и то, и другое невозможно. Итак, необходимо Ьп = 0, или
ап=рп = 0, я>0. Но тогда из ограниченности функции
V на бесконечности необходимо следует, что а_х = 0.
Теперь
откуда и вытекает однозначность и ограниченность на
бесконечности функции F (z). Раз эта функция однозначна, то
Г Im {F' (z) dz) = Im f F' (z) dz = 0.
L L
Ho
lm[F'{z)dz} = £dy-$dx=$£dsp = 9{P)dsp9
и необходимость условия (6) доказана.
Как и в общем случае, будем искать решение задачи
Дирихле в виде потенциала двойного слоя (2), а решение

§ 37] УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА НА ПЛОСКОСТИ 187
задачи Неймана — в виде потенциала простого слоя (1),
и это приведет нас к интегральным уравнениям
.m±|/.(o^*e-;|/m (Д)
L
для задачи Дирихле и
р(Р) ± i/ МО) c-^^-dsQ= ±1<р(Р) (Н)
для задачи Неймана; верхние знаки соответствуют
внутренним задачам, нижние — внешним. По-прежнему уравнение
внутренней задачи Дирихле сопряжено с уравнением
внешней задачи Неймана, а уравнение внешней задачи Дирихле —
с уравнением внутренней задачи Неймана. Отметим только
ту особенность наших уравнений, что их ядра ограничены,
если показатель Ляпунова контура L равен единице; нетрудно
доказать, что эти ядра непрерывны, если контур имеет
непрерывную кривизну.
Исследование интегральных уравнений теории потенциала
на плоскости мы проведем, опираясь на следующую лемму.
Лемма 2. Если интегральное уравнение внешней
задачи Неймана
*(P)~f MQ)^^dsQ = -l?(P) (7)
L
разрешимо, а функция ср(Р) удовлетворяет условию (6),
то потенциал простого слоя (/) дает решение внешней
задачи Неймана.
Пусть уравнение (7) разрешимо. Взяв его решение за
плотность потенциала (1), мы получим функцию,
удовлетворяющую краевому условию внешней задачи Неймана
и гармоническую вне L всюду, кроме, может быть,
бесконечно удаленной точки, где потенциал может оказаться
неограниченным, рстается доказать, что если условие (6)
выполнено, то потенциал (1) ограничен на бесконечности.
Обе части уравнения (7) умножим на dsp и
проинтегрируем по L. Учтя условие (6), получим
f (х (Р) dsp -1 ff р (<?) ™S[iH dsQ dsP = 0. (8)

188 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
В двойном интеграле переставим обозначения Р и Q. Тогда
направление вектора г изменится на противоположное,
cos (г, п) перейдет в —cos (г, v), и двойной интеграл
примет вид
L L
L L
Теперь из равенства (8) следует
fp(P)dsP = 0.
L
Заменим в равенстве (9) обозначение Р на Q, умножим это
равенство на In/?, где R — расстояние от точки Я до начала
координат, и сложим с равенством (1). В результате получим
V(P) = j\(Q)ln^dsQ;
L
при R -> оо последнее выражение ограничено (оно даже
стремится к нулю).
Последующий анализ интегральных уравнений теории
потенциала проводится в основных чертах так же, как*
и в § 34; вкратце наметим этот анализ.
Прежде всего докажем, что интегральное уравнение (7)
внешней задачи Неймана разрешимо. В соответствии с
альтернативой Фредгольма рассмотрим однородное уравнение
N(P)-~/^o(Q)£^5ir^^Q = 0; (10)
L
пусть |x0(Q) его решение. Свободный член уравнения (10),
равный нулю, очевидно удовлетворяет условию (6); из леммы 2
вытекает, что потенциал
L
решает однородную внешнюю задачу Неймана. По теореме
единственности, решение этой задачи есть постоянная.
-/(Х(Р)^Р.
£
(9)

§ 37) УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА НА плоскости 189
поэтому
V0 (Р) = J (а0 (Q) In у dsQ = С = const, Р вне L.
L
По непрерывности потенциал V0(P) равен С и на
контуре L\ по теореме единственности внутренней задачи
Дирихле заключаем, что V0(P) = C и внутри L. Но тогда
дУр(Р) =дУ0(Р) = {}
дп{ дпв
и из формул (4) следует, что
а (Р)- 1 (ду0(р) ^(РП
Раз однородное уравнение (10) имеет только тривиальное
решение, то неоднородное уравнение (7) всегда разрешимо.
Из леммы 2 вытекает теперь, что условие (6) не только
необходимо, но и достаточно для разрешимости внешней
задачи Неймана на плоскости.
Одновременно с уравнением (7) всегда разрешимо и
сопряженное с ним интегральное уравнение внутренней задачи
Дирихле; отсюда следует, что внутренняя задача Дирихле
на плоскости всегда разрешима.
Исследование уравнений внутренней задачи Неймана
и внешней задачи Дирихле проводится буквально так же,
как и в случае трехмерного пространства, и нет нужды
здесь это исследование повторять; мы приведем только его
результаты: если условие (6) выполнено, то интегральное
уравнение внутренней задачи Неймана разрешимо; условие (6),
следовательно, необходимо и достаточно для разреши*
мости внутренней задачи Неймана; однородное
интегральное уравнение внешней задачи Дирихле
°о(Я)—^f^1"0(Q)dsQ = 0 (И)
L
имеет нетривиальным решением только постоянную.
Решение внешней задачи Дирихле на плоскости можно
построить, отыскивая это решение в виде
д\п-
W(P) = fo (Q) -jJL dsQ + fo (Q) dsQ. (12)
L L

190 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Для плотности о(Р) получается интегральное уравнение
'W-lf^^-tyWdSQ^lfiP)-, (13)
L
докажем, что это уравнение разрешимо.
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
°о(Р)~7/[£217^-1Ь(<3)^в = 0. (14)
L
Если о0(Р)—его решение, то функция
W0{P) = f *Q(Q)~dsQ + f *0{Q)dsq
L L
гармонична вне L и равна нулю на Ц по теореме
единственности внешней задачи Дирихле W0 (Я) ==б 0. Устремим точку Р
в бесконечность, тогда первое слагаемое в W0(P) пропадет,
и мы получим
f°0(Q)dsQ = 0. (15)
L
Но тогда уравнения (14) и (11) тождественны, и потому
необходимо о0(Р) = С = const, подставив это в (15),
найдем, что о0(Р)=зО.
Итак, уравнение (14) имеет только тривиальное решение,
а тогда соответствующее неоднородное уравнение (13) всегда
разрешимо, в силу альтернативы Фредгольма. Подставив
решение этого уравнения в формулу (12), получим решение
внешней задачи Дирихле на плоскости.
§ 38. Краевая задача для обыкновенного
дифференциального уравнения
Настоящий параграф — вспомогательный. Его результаты
будут использованы в следующем параграфе при решении
задачи о собственных числах и собственных функциях
обыкновенного дифференциального оператора.

§ 38] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО УРАВНЕНИЯ 191
Будем рассматривать обыкновенный дифференциальный
оператор второго порядка
ь.=£[рм £]-*<*)«. а)
Относительно его коэффициентов примем, что р(х), р'(х)
и q(x) непрерывны на некотором сегменте [at Ь\ и что на
этом сегменте
Р (*) > А> = c<>nst > 0, q (х) > 0. (2)
Пусть f(x) — функция, непрерывная на сегменте [а, Ь\.
Поставим задачу: найти функцию и(х), непрерывную на
сегменте [а, Ь] вместе со своими первыми двумя производными
и удовлетворяющую дифференциальному уравнению
Lu = -f(x) (3)
и краевым условиям
и(а) = и(Ь) = 0. (4)
Докажем прежде всего, что поставленная нами краевая задача
имеет не более одного решения. Действительно, пусть и(х)
и v(x) — два решения этой задачи. Их разность w(x) —
= и(х) — v(x) удовлетворяет тождеству
Lw = £.[p(x)l%]-q(x)w=0 (5)
и краевым условиям
w(a) = w (b) = 0. (6)
Обе части тождества (5) умножим скалярно на w, иначе
говоря, умножим на w(x) и проинтегрируем в пределах от а
до Ь:
ь ъ
f'«W ъ\?Ют£]*х ~I'l(x)\w(x)\*dx =0. (7)
а 9

192 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Первый интеграл возьмем по частям. Приняв во внимание
условия (6), получим
и и
dw
dx
dx +
\ / \ —7~; dw \ Г , ч I dw
+pix)w(x)-\=-j р(х)\-
dx.
Теперь тождество (7) принимает вид
ь ь
а а
Так как р(х) и q(x) неотрицательны, то каждое из слагаемых
равно нулю; в частности
ь
\dw I
/
р(х)
dx
dx = 0,
но р (х) строго положительно, поэтому необходимо w' (х) = 0.
а тогда w (х) = const, и условия (6) дают ?e/(jt) = 0, что и
требовалось доказать.
Решение краевой задачи, определяемой уравнением (3)
и краевыми условиями (4), можно построить с помощью так
называемой функции Грина данной задачи. К построению
этой функции мы и переходим.
Построим интегралы и^х) и и2(х) однородного
уравнения Lu = 0, удовлетворяющие условиям:
«» = <>, и[(а)ФО\ и2ф) = 0, и'2ф)ФЪ. (8)
Покажем, что их(х) и и2(х) между собой линейно независимы.
Предположим противное, и пусть и2(х) = си1(х), с = const.
Тогда и2 (а) = сих (а) = 0, и функция и2 (х) удовлетворяет
уравнению (5) и краевым условиям (6); в силу только что
доказанной единственности решения краевой задачи, иг(х) = 0,
что противоречит условию и'2ф) Ф 0.

§ 38) КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО УРАВНЕНИЯ 193
Функция Грина определяется формулой
Uj (X) lit (5)
G(x, s) = {
C (9)
"1 (s) Ut (X)
где С — постоянная, значение которой будет указано ниже.
Отметим некоторые свойства функции Грина.
1. G(xts) непрерывна при а^х, $<;&.
2. При х Ф s LO = 0; действительно, если х < st то
LG = ^^ Lux = 0; если же х > s, то
3. Функция Грина удовлетворяет краевым условиям (4)
G(at s) = G(b, s) = 0.
Действительно, если х = а, то x<!s и в формуле (9) надо
брать верхнюю строку; это дает нам
Если же х — Ь, то x^s, и нижняя строка формулы (9)
дает
4. Функция Грина симметрична:
0(x,s) = G(stx).
Пусть, например, х < s. Тогда
0(x.s) = 3if^l(£L.
Для вычисления О (s, а:) заметим, что в данном случае s > xt
т. е. первый аргумент больше второго, и надо
воспользоваться нижней строкой формулы (9), поменяв в ней х и s
местами. Это дает нам

194 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
5. Постоянную С можно подобрать так, чтобы
дх W+0 дх \8=х-0~Р(х) '
Для доказательства вычислим левую часть в (10)
(Ю)
dG
дх
_dG\ _ М£)
где Д (х) = и[ (х) и2 (х) — и'% (х) их (х) есть определитель
Вронского функций и${х) и иг{х). Дифференцируя, находим
Д' (х) = и'[ (х) и2 (х) - < (х) иг (х).
Определив вторые производные из тождеств Lak = 0:
fo подставив их в Д' (л:), найдем
Отсюда Д(л;)= ,0-, где До некоторая постоянная. Теперь
Р\Х)
достаточно положить С = Д0г и формула (10) доказана.
Докажем теперь, что решение уравнения (3) при краевых
условиях (4) даетс^ формулой
ь
и(х)= fG(xys)f(s)ds. (11)
a
Прежде всего, по свойству 3 функции Грина
ъ
u(a)= J О (a, s)f(s)ds = 0
иф)= fG(b. s)f(s)ds = 09

§ 38) КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО УРАВНЕНИЯ 195
так что функция (11) удовлетворяет краевым условиям.
Найдем далее первые две производные этой функции. Имеем
х Ь
u(x)= f G(x, S)f(s)ds-\- f G(x, s)f(s)ds.
a x
Приняв во внимание, что функция Грина непрерывна, а ее
первая производная терпит при s = x скачок, определяемый
формулой (10), найдем
х Ь
а х
х Ь
"''(*)=fj£f&ds+fd-^f^ds+
а х
+{3?L-."^L+.}/We
х Ь
а х
Умножим и"(х) на р(х), а' (х) на р'(х), и(х) на —q(x) и
сложим. Учтя свойство 2 функции Грина, найдем
х Ь
Lu= ff(s)LGds-\- ff(s)LGds—f(x) = —f(x),
а х
что и требовалось доказать.
В приложениях часто встречается случай, когда
уравнение (3) решается при краевых условиях, отличных от
условий (4). Мы рассмотрим еще краевые условия вида
и' (а) — аи (а) — 0, и' (Ь) + ри ф) = 0, (12)
где а и р — неотрицательные постоянные. Отдельно
рассмотрим два случая.
I. Одна из постоянных а, р отлична от нуля. Пусть а > 0,
р >- 0. В этом случае предшествующие рассуждения в основном
сохраняются, и мы отметим только необходимые изменения.

196 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Во-первых в доказательстве единственности решения,
при интегрировании по частям в формуле (7), внеинтеграль-
ный член не исчезает, а принимает вид
р (b) wf (b) w(b) — р (a) wf (a) w (а).
Исключив производные с помощью соотношений
wf (а) — olw (а) == 0, w' (b) + $w (b) = О,
которым удовлетворяет функция w (х) = и (х) — v (х), так
как каждое из решений и(х) и v(x) удовлетворяет
условиям (12), мы приведем тождество (7) к виду
ъ
f{p(x)\w'(x)\2 + q(x)\w(x)\*}dx + ap(a)\w(a)\* +
+ $p(b)\w{b)\* = 0. (13)
Отсюда необходимо w' (х)=0 и w(a) = 0; как и выше,
отсюда заключаем, что w(x)^0 и, следовательно, решение
единственно.
Во-вторых при построении функции Грина следует
условия (8) заменить такими:
и[(а)-<хи(а) = 0, иг(а)фО; u'2(b) + $u2(b) = 0, и2(Ь)фО.
В-третьих, свойство 3 функции Грина на этот раз
записывается так
dG (xt s)
I -*G(a, e) = 0; dGi*' S) 1 +$G(b, s) = 0.
И, a = p = 0, так что краевые условия имеют вид
и'(а) = и'(&) = 0. (14)
В этом случае условия (2) необходимо усилить, заменив их
такими:
Р(*)>А) = const >0, q (х) > q0 = const > 0. (15)
Доказательство единственности решения в этом случае
проводится так. Тождество (13) принимает вид
ь
f{p(x)\w'{x)\* + q(x)\w{x)\*}dx = Q.
а

§ 391 СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА 197
Отсюда
ь
jq(x)\w(x)\2dx = 0
а
и, так как q(x) строго положительно, то необходимо
?#(#)== 0. Остальное протекает, как в только что
разобранном случае I.
§ 39. Собственные числа и собственные функции
обыкновенного дифференциального оператора
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
Lu + \r(x)u = £[p(x)£]-q(x)u + \r(x)u = 0 (1)
при краевых условиях
и(а) = и(Ь) = 0. (2)
Функции p(x)t р' (х), q(x)t г(х) будем считать
непрерывными на сегменте [я, Ь]. Далее, будем предполагать, что
p(x)>A) = const >0, <7(*)>0, r(A:)>r0 = const>0. (3)
При любом значении X существует, очевидно, тривиальное
решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям (2).
Поставим задачу: найти такие значения X, при которых
уравнение (1) имеет нетривиальные решения,
удовлетворяющие краевым условиям (2).
Эти значения X называются собственными числами,
а соответствующие решения — собственными функциями
уравнения (1), или дифференциального оператора Lt при
краевых условиях (2).
Поясним происхождение нашей задачи. Рассмотрим
неоднородную струну, которая в состоянии равновесия занимает
отрезок [а, Ь] оси х. Допустим, что струна подвержена
действию натяжения и восстанавливающей силы, которые
постоянны во времени, но меняются вдоль струны. Пусть
в точке х линейная плотность струны равна г(х), а
действующее на струну натяжение равно р(х). Из физических
соображений очевидно, что /?(лг)!>0, r(x)>-0. Принятое
нами условие г(лг)^г0>0 соответствует допущению, что

198 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
ни одно из поперечных сечений струны не вырождается
в точку. Другое условие, р(х)^р0 > 0, означает, что
натяжение струны нигде не обращается в нуль; это условие
выполняется во многих случаях. Наконец, обозначим через q(x)
восстанавливающую силу в точке х: это значит, что если
в точке х струна отклонилась от положения равновесия на
величину (У, то к участку струны (х, x-\-dx) приложена
сила, численно равная q(x)Udx и направленная
противоположно смещению (У. Очевидно, следует считать д(х)^0.
Обычным способом (например, из принципа Гамильтона
или путем подсчета сил, приложенных к участку (jc, x-\-dx)
и последующего применения второго закона Ньютона)
нетрудно вывести дифференциальное уравнение колебаний нашей
струны; оно имеет вид
где U(xt f) — смещение точки струны с абсциссой х в
момент времени /.
Пусть в начальный момент / = 0 нам известны
смещения и скорости точек струны
^U=?(*). тяг|,_0=♦<*>• <5>
и пусть концы струны неподвижно закреплены:
"U-0="L-6 = o- (6)
Поставим задачу об интегрировании уравнения (4) при
начальных и краевых условиях (5) и (6). Будем решать эту
задачу по методу Фурье: будем искать отличные от
тождественного нуля решения уравнения (4), которые имеют вид
U(x% t) — u(x)T(t) и которые удовлетворяют краевым
условиям (6). Разделяя переменные, легко убедимся, что
функция и(х) должна удовлетворять уравнению (1) и краевым
условиям (2) и быть отличной от тождественного нуля, т. е.
что и(х) должна быть решением поставленной в начале
параграфа задачи о собственных числах и собственных
функциях уравнения (1) при краевых условиях (2).
К той же задаче сводится, в числе многих других, задача
об охлаждении неоднородного стержня, отдающего тепло
в окружающую среду как через поверхности оснований, так

39] СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА 199
и через боковую поверхность. Не останавливаясь на выводе,
укажем, что в этом случае температура U(x, f) стержня
в точке с абсциссой х в момент времени t удовлетворяет
дифференциальному уравнению параболического типа
UpM%r)-<ix)U = rV>*. (7)
где коэффициенты р(х), q(x) и г(х) удовлетворяют
упомянутым выше требованиям. Если на концах стержня
поддерживается постоянная, равная нулю температура, то U (х, t)
удовлетворяет краевым условиям (6). Будем считать данной
температуру ср(л;) в начальный момент, тогда должно быть
удовлетворено еще и начальное условие
^ 1,.о =?<*)■ (8)
Отыскивая по методу Фурье частные решения вида
U (х$ l) = u(x)T(t)t
найдем, что функция и(х) должна быть, как и в случае
задачи о струне, решением задачи о собственных числах
и собственных функциях уравнения (1) при краевых
условиях (2).
Для доказательства существования собственных чисел
и собственных функций нашей задачи сведем эту последнюю
к решению некоторого интегрального уравнения. С этой
целью перепишем уравнение (1) в виде
Lu = — Хг (л:) и (х),
что совпадает по форме с уравнением (3) § 38 при
/(*) = — Хг (*)«(*);
оба уравнения решаются при одних и тех же краевых
условиях. Применяя в нашем случае формулу (11) § 38,
получаем
ъ
u(x) = lj r(s)G (х, s)и ($) ds. (9)
а
Мы получили однородное интегральное уравнение,
которое равносильно совокупности дифференциального уравне-

200 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
ния (1) и краевых условий (2); в этом уравнении и(х)—
неизвестная функция, X— параметр. В силу симметрии
функции Грина, ядро уравнения (9), равное r(s)G(x, s),
симметрично, если г(х) еэ const, и несимметрично в противном
случае. Однако, всегда можно преобразовать уравнение (9)
в уравнение с симметричным ядром. Для этого обе части
уравнения (9) умножим на Уг(х) и введем новую
неизвестную функцию
?(*) = У7(*)"«(*). (Ю)
Положив еще
Vr(x)r(s) 0(*. s) = K(xt s). (11)
мы придем к уравнению
ъ
<р(*) — X f К (х. s) <р (s) ds = 0 (12)
а
с симметричным ядром (11). Ниже будет показано, что это
ядро имеет счетное множество характеристических чисел,
которые, в силу теоремы 1 Фредгольма, стремятся к
бесконечности при бесконечном увеличении номера. Заметим,
что ядро (11) ограничено и, тем более, удовлетворяет
условию (А).
Если Хь Х2, ..., Хя, ...—характеристические числа
уравнения (7) и срх(л:), <р2(-*0» •••. ?nW. •••—соответствующие
собственные функции, то, очевидно, что Хь Хз Хл, .. .
суть собственные числа уравнения (1) при краевых
условиях (2), а соответствующие собственные функции
определяются соотношением
»«М = 7Й§- (13)
Нетрудно доказать, что собственные функции ип(лг)
ортогональны и нормированы с весом г(х). Действительно,
собственные функции интегрального уравнения (9) ортогональны:
/[ 0 при ]фк>
*<*>**<*>" = { 1 при j = k,

§ 39) СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА 201
Подставив вместо <fn(x) их значения (13), получаем
/[ О при }Фк%
а '(*>«,<*>«*(*>**={, „J,, J=sK 04)
что и требовалось доказать.
Теорема разложения. Пусть w(x)— функция,
непрерывная вместе со своей первой и второй производной на
сегменте [а, Ь\ и пусть на концах* сегмента w(a) —
= w(b) = 0. Тогда эта функция разлагается в регулярно
сходящийся ряд по собственным функциям обыкновенного
дифференциального уравнения (1) при краевых условиях (2).
Функция
f(x) = — Lw = — ^(pw')-\-qw
непрерывна на сегменте [а, Ь], и по условию теоремы
w(a) = w(b) = 0. В таком случае w(x) можно
рассматривать как решение уравнения
Lw=~- f(x)
при краевых условиях (2). Но тогда w(x) можно
представить по формуле (11) § 38
ь
w(x)= [G(x, s)f(s)ds.
а
Умножим обе части этого равенства на Yr(x)'> в силу
определения ядра К(х, $) имеем
ь
VTI*)w{x)= Ск(х, s)JM=. ds. (15)
J У г (s)
f(s)
Отношение -v непрерывная и, тем более, квадратично
у г (s)
суммируемая функция. В таком случае равенство (15)
означает, что функция "J/V (л:) w (х) представима через ядро К (xt s)>
а тогда по теореме 2 § 27 эта функция разлагается в
регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям
ядра К (*, s)
со
Vr{x) w(x)= 2сясря(*).
n-l

202 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Отсюда
Чх) = ^сп^й^=г = ^спип(х). (16)
п-1 ' ■ ^' п=1
Функция г(х) строго положительна: г(х)^г0>0,
поэтому функция г. ограничена. Умножение на такую
V/•<■*)
функцию не нарушает регулярной сходимости ряда, и ряд (16)
также сходится регулярно.
Коэффициенты сп вычисляются по формуле
ь
сп — (Vrw, сря) = f VHF) «(*) <ря(х) **
а
или, так как функции уп(х) вещественны и
4n(x) = Vr(x)Un(x).
ъ
сп= fr(x)w(x)un(x). (17)
а
Следствие. Множество ортонормированных
собственных функций задачи (1) — (2) счетное.
Допустим противное: пусть существует только конечное
число т этих функций. Если w(x) — любая функция,
удовлетворяющая условиям теоремы разложения, то, по формуле (16),
т
«W- 2 спип{х).
Но это равенство означает, что среди функций,
удовлетворяющих условиям теоремы разложения, имеется только т
линейно независимых. Это, однако, неверно: функции
. пп(х — a) t п
sin—j '-: л=1, 2,...
удовлетворяют всем названным условиям: они непрерывны
вместе со своими первыми и вторыми производными и
обращаются в нуль на концах сегмента \а% Ь\\ в то же время
эти функции, взятые в любом конечном числе, линейно
независимы.

§ 39J СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА 203
Из общей теории интегральных уравнений с симметрич^
ным ядром следугт, что собственные числа \п уравнения (1)
при краевых условиях (2) вещественны. Докажем, что эти
числа положительны. Тождество
умножим на ип(х) и проинтегрируем в пределах от а до Ь.
Взяв первый интеграл по частям и принимая во внимание,
что ип (а) = ип (Ь) = 0, получим
ь ь
- f [Р(*К*(*) + «(*К(*)} ** +К{г(х)иЦх)с1х = 0.
а а
Отсюда по формуле (14)
ь
К = / [р (*) <2 <*)+я (*) «1 (*)}<**> о.
а
Если бы оказалось, что Хл = 0, то необходимо было бы
6
f{p(x)u?(x) + q(x)ul(x)}dx = 0.
а
Повторяя рассуждения, которые мы проводили при
доказательстве единственности решения краевой задачи § 38,
найдем, что ип(х)я&0. Это невозможно, так как
собственная функция ап(х) отлична от тождественного нуля.
Интересно отметить случай, когда одно из условий (3)
нарушается, а именно, когда q(x)t оставаясь непрерывной,
может принимать отрицательные значения. Будучи
непрерывной, эта функция ограничена снизу
Я (*) > — М% М = const > 0.
Положим
М ~
7 = — , Х = {1 —Т, ?(*) = ?(*)-j-v(*).
Очевидно, ?(л:)>0. Уравнение (1) принимает вид
S"(pW-^)-7WeW + ^W«W = o. (18)

204 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. IV
По доказанному, уравнение (18) при краевых условиях (2)
имеет счетное множество положительных собственных чисел цп,
fxn —► оо, и отвечающих им ортонормированных с весом г(х)
П-Усо
собственных функций ип(х). Но тогда при тех же краевых
условиях (2) уравнение (1) имеет счетное множество
собственных чисел
среди которых может оказаться только конечное число
отрицательных; собственным числам \п отвечают только
что упомянутые собственные функции ип(х).
Все сказанное в настоящем параграфе распространяется
на тот случай, когда краевые условия (2) заменены
условиями
uf{a) — сш(а) = 0, в'(*) + Р«(*) = °. а>0, р>0. (19)
Если функции />(-*;), р'(х)9 q(x)t г(х) непрерывны
и р(*)>-А)>0, г (х) >. г0 > 0, то при краевых
условиях (19) уравнение (1) имеет счетное множество стремящихся
к бесконечности собственных чисел Х^ среди которых может
быть только конечное число отрицательных; этим
собственным числам отвечают ортонормированные с весом г(х)
собственные функции ип(х). Для любой функции, непрерывной
вместе с двумя первыми производными и удовлетворяющей
условиям (19), имеет место теорема разложения по
функциям ип(х). Если хотя бы одна из постоянных а или р
отлична от нуля и д(х)^0, то §се собственные числа
положительны. Если же а = р = 0, но выполнено
дополнительное условие q (х) ^q0 = const > 0, то по-прежнему Хп > 0.
В заключение докажем, что собственные функции каждой
из рассмотренных нами краевых задач образуют полную
систему. Для этого заметим, что если функция f(x) не
обязательно непрерывна, а только квадратично суммируема
в промежутке (a, b)t то формула (11) § 38 дает функцию,
которая на сегменте [at Ь\ абсолютно непрерывна вместе
со своей первой производной, удовлетворяет краевым
условиям задачи и имеет почти всюду вторую производную,
которая квадратично суммируема в (а, Ь)\ эта функция почти
всюду в промежутке (а, Ь) удовлетворяет уравнению L# =

§ 40] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ 205
Допустим теперь, что квадратично суммируема* в
промежутке (а, Ь) функция а)(лг) ортогональна ко всем
собственным функциям ядра (11). Функция
ь
v(x)= fG(x, s)Vr(s)v>(s)ds
а
удовлетворяет почти всюду уравнению Lv = — Vr\x) <«>(*)•
По теореме Гильберта — Шмидта
со
Отсюда г; (л;) —0 и о)(*) = — }*1 = 0» что и требовалось
доказать.
§ 40. Обоснование метода Фурье
В § 39 были сформулированы две задачи математической
физики, решение которых по методу Фурье приводит к задаче
о собственных числах и собственных функциях для
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
Опираясь на полученные в § 39 результаты, можно показать,
что при некоторых дополнительных условиях относительно
начальных данных метод Фурье действительно дает решение
соответствующей задачи математической физики.
Мы ограничимся здесь более простой задачей
теплопроводности. Для функции T(t) в результате разделения
переменных получается дифференциальное уравнение T'-\-\nT=Q,
откуда Т = Апе~хп*; решение уравнения теплопроводности
мы ищем в виде
00
U(x, ()=2>Апе-х«(ип(х); (1)
Л = 1
ХЛ и ип(х)— собственные числа и собственные функции
задачи, исследованной в § 39. Если ряд (1) сходится
равномерно в полуполосе а <; х -< b, t^O, то его сумма
удовлетворяет краевым условиям
U (а, 0 — 1/0, 0 = 0;

206 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
если, сверх того, ряд (1) допускает двукратное почленное
дифференцирование по х и однократное — по t, то его сумма
удовлетворяет уравнению теплопроводности. Допуская опять,
что ряд (1) сходится равномерно в полуполосе а^х^Ь,
t^O, положим в этом ряде £ = 0; учтя начальное уело*
вие (8) § 39, получим
00
?(*)= 2а,««(*)- (2)
Отсюда видно, что коэффициенты Лп суть коэффициенты
Фурье функции ср(лг) по отношению к системе
функций {un(x)}t ортонормированных с весом г(х):
ь
К = / г (*) <Р (*) ип (*) dx. (3)
а
Чтобы обосновать метод Фурье для уравнения
теплопроводности, нам остается указать условия, при которых
ряд (1), в котором коэффициенты определяются формулой (3),
равномерно сходится в упомянутой выше полуполосе и
допускает, при / > О, двукратное почленное дифференцировав
ние по л: и однократное — по /.
Теорема. Пусть функция ср(х) непрерывна в
сегменте [а, Ь\ вместе со своими двумя первыми
производными, и пусть ср(а) = cp(ft) = 0. Тогда ряд (1) регулярно
сходится в полуполосе а <; х <] b, * >- 0. При а^.х^Ь,
f > О ряд (1) можно дифференцировать почленно сколько
угодно раз по t и два раза — по х.
Функция ср (л;) удовлетворяет условиям теоремы
разложения § 39, поэтому при а^х^Ь ряд (2) сходится регулярно.
Собственные числа Хп > 0, поэтому е~ »* <; 1 при *>0>
и ряд (1) сходится, также регулярно, в упомянутой в
теореме полуполосе.
Доказательство почленной дифференцируемости ряда (1)
мы проведем, используя сравнительно грубые, но зато просто
получаемые оценки абсолютных величин собственных
функций ип(х) и их производных.

§ 401 ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ 207
Напишем интегральное уравнение, которому удовлетворяет
функция ип(х):
ь
ип(х) = \п fG(xt s)r(s)un(s)ds =
а
Ъ
= К f О (*, s) VF& • V7(sj ап (s) ds. (4)
а
По неравенству Буняковского
IM*) KM f02(x. s)r(s)ds\J\ fr(s)u*n(s)ds\J.
Второй интеграл равен единице [функции ип($) нормированы
с весом r(s)]t а первый ограничен, потому что ограничены
функции G(x, $) и г (s). Отсюда вытекает оценка
абсолютной величины для функций ип:
|«й(х)|<ай; С = const. (5)
Теперь легко доказать почленную дифференцируемость
ряда (1) по t. Формально продифференцировав этот ряд k
раз по t% получим ряд
2(-1)ЯХЯг'~Х»Ч(*). (6)
п-1
Из неравенства Бесселя следует, что Ап —► 0. Отсюда
Я->оо
вытекает, в частности, что коэффициенты Ап ограничены;
пусть | Ап | ^ М. Ряд (6) будем рассматривать в полуполосе
а^С-*К*. t^\ где 8—любое положительное "Число. В этой
полуполосе ряд (6) мажорируется сходящимся числовым
рядом
и потому сходится равномерно, но тогда ^-кратное
почленное дифференцирование по t ряда (1) законно. Так как
8 — произвольное положительное число, то почленное
дифференцирование по / допустимо при любом / > 0.

208 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. IV
Продифференцируем равенство (4) по х:
ь
u'n(x) = lnf£r(s)un(s)ds.
а
Производная -р ограничена; применяя опять неравенство
Буняковского, получаем оценку первой производной
собственной функции:
|<<*)|<СА»: ^ = const. (7)
Вторую производную оценим, используя
дифференциальное уравнение собственных функций
^[P(x)ufn(x)]~\q(x)-\nr(x)]un(x) = 0.
Отсюда
Отношения в правой части ограничены; из оценок (5) и (7)
следует теперь, что
К(*)|<С2Хп'' С2 = const. (8)
Продифференцировав ряд (1) по * формально один или
два раза, получим ряды
SАпе-Х»'<(*); 2 V Vи"п(*),
П-1 П-1
которые в полуполосе a^x^bt t^b мажорируются
сходящимися числовыми рядами
<Х> оо
n-1 n-l
Отсюда и вытекает законность одно- или двукратного
дифференцирования ряда (1) по х.

§ 41] ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 209
§ 41. Функция Грина для оператора Лапласа
Пусть D — конечная область плоскости (х, у),
ограниченная контуром L\ Р(х, у) и Q(S, т|)—произвольные точки
этой области. Функцией Грина области D для оператора
Лапласа называется функция G(P, Q), обладающая
следующими свойствами.
1. о (Р. 0)=я1пт—*(р' Q)»
где г — расстояние между точками Р и Q, a g(P, Q) — rap*
моническая в D функция как координат х% у, так и
координат £, 7].
2. Если P£Lt то G(Pt Q) = 0.
Ограничимся случаем, когда область G— односвязная.
В этом случае функция Грина области D строится просто.
Положим z = x-\-ty, С = 5 + /^, и пусть функция t = w(z)
конформно отображает область D на круг |tf|< 1 плоскости
комплексной переменной t. Тогда
G(P, Q) = i-In\±=^ЩМ
4 ^' 2ть J а) (г) — о) (С)
(1)
Из формулы (1) видно, что функция Грина симметрична *):
G(Pf Q) = G(Q, Р).
Докажем, что функция (1) действительно обладает
свойствами 1 и 2 функции Грина. Формулу (1) преобразуем так:
av. в_-£1.|.-ч+£|.|*=а1!=5И=Е1_
= j_lnI Lin
2те г 2к
«(*)-« (С) |~
.*У)-*<0 I (2)
<*-С)(1-•(*)» (С)>
Рассмотрим функцию под знаком модуля во втором ела*
гаемом. Если Р£Д Q£D + L, то |ш(*)|<1. |со(С)|<1.
Отсюда следует, что при z ф С рассматриваемая функция
!) Из формулы (1) вытекает симметричность функции Грина
только в случае односвязной области; в курсах математической
физики доказывается, что симметричность функции Грина имеет
место независимо от связности области.

210 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. iv
регулярна в D. В точке z = C наша функция имеет устра,
нимую особенность, так как существует предел
этот предел конечен и отличен от нуля, потому что теперь
|о)(С)|-< 1 и, в силу конформности преобразования, а/(С) Ф 0.
Положив рассматриваемую функцию равной величине (3) при
*=С, мы сделаем эту функцию регулярной в области D;
кроме того, она отлична от нуля, так как о> (г) Ф о> (С) при
z ф С, а тогда функция
Z7C
ц(г)-ц(С)
(г-С)<1-«<*)« (С))
гармонична как функция от х hj/ при фиксированных ? и tj.
Будучи симметричной относительно Р и Q, функция #(Р, Q)
гармонична также относительно \ и тг] при фиксированных
х и ^у. Этим доказано свойство 1.
Просто доказывается свойство 2. Если Р£ /,, то | со (:гг) |=1
и, следовательно, —-y = (D(z). Но тогда
Q(P, <Э = ^1п
«(*)-« (С)
со (г)-со (С)
+ ^1п|ш(2г)| = 0.
Заметим, что в силу симметрии функции Грина О (Р, Q)=0,
если Q£L и P£D.
Теорема 1. Если h — диаметр области Д то спра»
еедливо неравенство
0<О(Р, Q)<lny. (4)
Функцию Грина представим в виде
Q(P, Q) = -LlnA_ft(P§ Q); ft(P, Q) = g(P. Q) + ±\nh.
Зафиксируем тачку Р внутри области. Тогда gi(P. Q)
есть гармоническая функция точки Q и потому достигает
минимума на контуре L. Но если Q£L, то G(P, Q) = 0 и

§ 4lJ ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 211
Отсюда следует, что функция gl (Р, Q) неотрицательна.
Теперь
0(Р, <?) = ^,п7
-*«я. QX^inf
Фиксируя по-прежнему точку Р внутри области,
вырежем ее кружком достаточно малого радиуса е с центром
в Р (черт. 8). В оставшейся двусвязной области D9
функция G(Pt Q) гармонична по отнопиению к точке Q и потому
достигает минимума на контуре о бласти Dg. Но О (Р, Q) = О
на L и G(P, Q) имеет сколь
угодно большие
положительные значения на окружности
г = е, если величина е
достаточно мала. Отсюда следует,
что G{Pt Q)>-0. Сопоставляя
полученные неравенства,
придем к неравенству (4).
Пусть теперь область D
такова, что производная
отображающей функции, О)' (z),
непрерывна в замкнутой
области D-\-L и нигде на
контуре L не обращается в нуль.
Тогда из формулы (1) вытекает Рис. 8.
следующее: если точка Р (или Q)
фиксирована внутри области Dn то функция Грина имеет
первые производные по 5 и т) (или по а: и у), непрерывные
в замкнутой области D-j-I за исключением точки Q = P.
Поведение первых производных функции Грина в точках,
близких к точке Р, дается следующей теоремой.
Теорема 2. Если область D такова, что a/ (z)
непрерывна в замкнутой области и нигде на контуре не
обращается в нуль, то существует такая постоянная с, что
— х
dG_\ . с_ \сЮ_
дх | ^ г ' \ду
<7-
<-
дО
<
(5)
Имеем
6G 1__д -
дх ~ 2ъ дх 1П
1 _ со (г) а> (С)
со(г)_а>(£)
= oz-Re£ln
1 — со (г) со (С)
2ti ж^дг"1 со (г)-со (С)

212
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. iv
Положим (u(z) = tt о)(С) = т.
Тогда
д t 1 — со (z) со (С) , . . а . 1—*х
т- In —/ г /Л = <*>' (z) -^ In -j .
oz со (г) — со (С) v ' dt t — г
Производная <*>'(z) непрерывна в замкнутой области и не
обращается нигде в нуль, поэтому существуют две
положительные постоянные а и Ь% такие, что а ^ | a/ (z) | ^ Ь.
Теперь
dG
дх
<£
, , ч д * 1 — Н
* (г)-\п-
at t — v
<
i-hl
2n \t-
\ — tx\
Далее, 11 — /x|> 1 —1/| • |x| > 1 — |x|, так как |/|<1.
Отсюда
dQ\ b(l + \z\) ^ Ь
дх \ ^ 2* 11 — т | ^ я | г — т | *
Пусть 2 = ^(0 — функция, обратная функции / = a>(z).
Тогда У (0 = ,, . и, следовательно, | <|/ (t) | < — . Теперь
r = |z —С| =
/V(«)
</«
<
1*-т|
Отсюда
<
тга
Аналогично доказываются и остальные неравенства (5).
При тех же предположениях относительно отображающей
функции a)(z) справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть U(Q) — функция, непрерывная
вместе со своими первыми производными в замкнутой
области D-\-L и имеющая непрерывные вторые
производные в открытой области D, и пусть эта функция
обращается в нуль на контуре L. Тогда справедлива
формула
U(P) = — J JO{P. Q)A£/(Q)d$rfij. (6)

§ 41] ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 213
К функциям U(Q), G(Pf Q) и к области De (черт. 8)
можно применить известную формулу Грина:
Я'
[£/(<?) ДО (P. Q)-0(P, Q)M/(Q)]dUT) =
L Г-8
здесь v — нормаль к контуру, внешняя по отношению
к области D6. В последнем равенстве исчезают интеграл по
контуру L и первое слагаемое под знаком двойного
интеграла. Отсюда
-ffo(P, <2)Д£/(0)ЛЛ|= f(u™-a™)di. (7)
Положим теперь е->0. Предельный переход в (7) слева
непосредственно приводит к интегралу
D
правую часть формулы (7) рассмотрим подробнее. Заметим
прежде всего, что функция U и ее первые производные,
будучи непрерывными в замкнутой области, ограничены;
существует, следовательно, такая постоянная Mt что | U | ^ М,
\-j-\^M. Введем полярные координаты г и <р с полюсом
в Р, тогда dl\rsm9 = £dy. Второй член в (7) справа
оценивается так:
I 2тс
fo^dl\<C*Mfo{P, <5)rf?<AfelnA-r?o*0.
»s I О
Чтобы выяснить предел первого члена справа в (7), за*
метим, что на окружности г = е внешняя нормаль
направлена про'гив радиуса, поэтому

214 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. iv
Внутри области D функция g гармонична, поэтому
dg
дг
где N—некоторая постоянная. Теперь
2it 2ir
dy.
Второй интеграл по модулю не превосходит величины
2neMN и потому стремится к нулю вместе с е. Первый же
интеграл равен
2*
£1С
j^ I U(x-\-e cos 9, у -)- е sin ср) tfcp,
о
что стремится к U(x% у) при е->0. Сопоставляя результаты
предельных переходов справа и слева в формуле (7),
приходим к соотношению (6).
При прежних предположениях относительно области D
верна следующая теорема.
Теорема 4. Пусть p(Q) непрерывная и непрерывно
дифференцируемая в замкнутой области D-\-L функция.
Тогда функция
и (р>'= ~ i / f ° (р> ® Р «»Л *» <8>
непрерывна вместе со своими первыми производными
в замкнутой области D + L, обращается в нуль на
контуре L, имеет внутри области D непрерывные вторые
производные и удовлетворяет уравнению
Ш^ + ^т. (9,
Подынтегральная функция в (8) непрерывна, кроме точки
P = Q, а интеграл (8) сходится равномерно в силу
теоремы 1. Отсюда следует, что функция U (Р) непрерывна
в D + L. Если P£L, то Q(P% Q) = 0 и U(P) = 0. Фор-

§ 41J ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 215
мальное дифференцирование интеграла (8) по х и у
приводит к интегралам
-тЛдё^)аи^ -5г./У|?р«э**1. (Ю)
D D
которые сходятся равномерно в силу теоремы 2. В таком
случае, как известно, формальное дифференцирование законно,
и функция U(P) имеет в замкнутой области непрерывные
первые производные, выражаемые интегралами (10).
Перейдем к исследованию вторых производных. Имеем
u(p) = iffp(Q)lnrdtd7i+
D
D
Дифференцируя это, например, по х, найдем
D
+<fc/7§f-p«?>^- <»>
D
Второе слагаемое справа в (11) имеет внутри области D
производные всех порядков, так как функция g(P, Q)
гармонична. Исследуем первое слагаемое. Заметим, что
-g-^- = ж-\ подставив это в D и интегрируя по частям,
получим
т£—я/ f %1пг***—&f №"»<>' *>,п'л <12>
D L
Если Р£Д то в контурном интеграле подынтегральная
функция имеет непрерывные производные всех порядков по
х и у; отсюда следует, что упомянутый интеграл также
имеет в D непрерывные производные всех порядков. Что же
касается двойного интеграла в (12), то его формальное
дифференцирование по х или по у приводит к равномерно
сходящемуся интегралу; отсюда следует, что двойной интеграл

216 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ.
ч
в (12) имеет непрерывные в D (и даже bD + Ц первые
производные. Собирая результаты исследования, видим, что
функция (8) имеет непрерывные в D вторые производные.
Остается доказать, что функция U (Р) удовлетворяет
уравнению (9). Имеем
MJ = MJi + UJ2 = MJi-{-ffp(Q)£ipg(Pt Q)dUri
D
и, так как функция g(P, Q) гармонична, Ш = ШХ.
Для вычисления Шх продифференцируем равенство (12)
по а::
дЮх 1 Г Г dp д In г ., . 1 Г /лч , ч д In г „
(13)
Двойной интеграл преобразуем следующим образом:
D D
или, если последний интеграл взять по частям,
-i/p(^Tcos(v- *>Л~К /P(Q>TT «>S (V, *)<«}.
Подставив это в равенство (13) и замечая, что
din г din г
дх ~ ~Щ~*
получим
d">Ui .. 1 Г Г /лчд*1пг .е .
*.
г-*

С 42] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИИ МЕМБРАНЫ 217
Аналогично
Сложим последние равенства, приняв во внимание, что
Д1пг = 0:
^ = -i.U+mo /P«»[~e(v. *)^+cos(v,^]d/.
Имеем
д In г Е-—* cos (г, х) . д\п г у\ — у cos (г, rj) .
отсюда
">•—*»?. у*»2^
а-й.
Но на окружности г = е нормаль направлена против радиуса,
a dl = edyt где ср полярный угол, и мы получаем
окончательно
2%
Д/7 = Д(/1 = 7г- lim / p(AT + ecoscp, 3/-j— еsin ср) cfcp =
l% • > 0 ^
= р(лг, ^) = P(^).
§ 42. Собственные функции задачи о колебании
мембраны
Пусть мембрана в положении равновесия занимает
конечную область D плоскости (х, у). Контур области D
обозначим через L. Допустим, что мембрана неподвижно закреплена
по контуру. Задача о колебании такой мембраны сводится
к интегрированию волнового уравнения
при краевом условии
^Ц = ° (2)

218 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
и начальных условиях
и\м=?(х.у). т?| = «К*. J». (3)
По методу Фурье решение представляют в виде
со
U = 2 {Лп cos a VK t + Вп sin a VK 0 *п (*. Л. (4)
где Фп(аг, .у) суть нетривиальные решения уравнения
ДФ„ + ХяФй = ^ + ^|+Х„Фп=0 (5)
при краевом условии
*Л = 0; (6)
числа Хп должны быть подобраны так, чтобы такие
нетривиальные решения существовали. Функции Фп(л;, у)
называются собственными функциями краевой задачи (5)—(б),
а Хл — соответствующими им собственными числами этой
задачи. Легко доказывается, что собственные числа Хл
положительны, а собственные функции, отвечающие различным
собственным числам, ортогональны. Действительно, умножим
уравнение (5) скалярно на Фя(#, у), иначе говоря, умножим
это уравнение на Фя(*, у) и проинтегрируем по области D:
f f$n№ndxdy+\nf f\Q>n\2dxdy = 0. (J)
D D
По известной формуле Грина
D
здесь v — внешняя нормаль к L. Контурный интеграл
исчезает в силу условия (6), поэтому
//«.«.«^—/./•(l&r+isD"*-

§ 42) СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИИ МЕМБРАНЫ 219
Теперь из уравнения (7) следует
М1£М$Г)**
К= — у-. >о.
J J \<bnpdxdy
D
При этом, если \п = 0, то необходимо
Я(1Ч?Г+1*ГН'-0-
откуда -^ = -—*-== О, Фя = const. Тогда из условия (6)
следует Фя = 0, а это невозможно, так как по
предположению Фп, как нетривиальное решение задачи, отлично от
тождественного нуля. Окончательно, Хл>0. Заметим, что так
как числа Хя вещественны, то собственные функции ФЛ также
можно считать вещественными.
Пусть теперь Х^ Ф \т два собственные числа задачи
(5)—(6), Фя(л:, у) и Фт(х, у)— отвечающие им
собственные функции. Воспользуемся еще одной формулой Грина
J J (vbu — ubv)dxdy= J (tf-57— u^)ds-
D L
Положим в этой формуле и = Фп(х, у), v = Фfn(xt у).
В силу условия (6) контурный интеграл исчезает. Далее, по
уравнению (5)
Фш ДФЯ — Фп ДФМ = (Хя — XJ ФпФт,
и формула Грина дает
Но ХЛ Ф Х^, поэтому (Фп, Фт) = 0, что и требовалось доказать.
Если собственному числу Х^ соответствует несколько
линейно независимых собственных функций, то их можно
подвергнуть процессу ортогонализации (см. § 2), и мы вправе
теперь считать, что функции Фп(л;, у) образуют ортонор-
мированную систему.

220 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV
Допустим теперь, что ряд (4) можно почленно
дифференцировать по tt так что
dt ~
п-1
»Ла Уг» (- л»sin а У^ <+в«cos а У^') ф« (*> ^ (8>
и что в рядах (4) и (8) можно почленно переходить к
пределу при /->0. Выполнив этбт переход и воспользовавшись
начальными условиями (3), получим
<Р (х. у) = S АпФп (х, у); ф (х, у) = 2 о V^ ЯЯФЙ (*. .У). (9)
П=»1 П-1
отсюда легко находим искомые коэффициенты
Ап = (9. фп). Я»=—i=-(<|>. *я).
аукп
Остается выяснить условия, при которых ряды (9)
сходятся и имеют суммы, соответственно равные ср(лг, у) и
ф(л;, у). Мы это- сделаем, сведя задачу (5)—(6) к
интегральному уравнению с симметричным ядром.
Задача состоит в отыскании значений X, при которых
уравнение ДФ-}-ХФ = 0 имеет нетривиальное решение,
удовлетворяющее краевому условию Ф|^ = 0. По формуле (6)
§ 41
Ф(Я) = -//0(Р, (ЯИФ^сКсП!.
D
Но ДФ = —ХФ; подставив это в интеграл, получаем
интегральное уравнение с симметричным ядром
Ф(Я) — Xj*fG(P, Q)O(Q)<ftrfij = 0. (10)
D
Ядро Q(Pt Q) уравнения (10) удовлетворяет условию (А),
Действительно, по теореме 1 § 41,

§ 42] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИИ МЕМБРАНЫ 221
Область D целиком лежит внутри круга радиуса Лис
центром в любой точке области, поэтому
н
D r<h 0
1
= 2к№ ft\n4dt=^-
o
и окончательно
D
Собственные числа и собственные функции задачи о
колебании мембраны одновременно суть характеристические
числа и собственные функции интегрального уравнения (10).
Докажем, что существует обратная зависимость:
характеристические числа и собственные функции уравнения (10) суть
также собственные числа и собственные функции задачи
о колебании мембраны. Пусть X и Ф(Р)—
характеристическое число и собственная функция уравнения (10). По
следствию из теоремы 1 § 16,, функция Ф(Р) ограничена.
В таком случае интеграл в (10) сходится равномерно в силу
теоремы 1 § 41 и представляет собой функцию,
непрерывную в D + L. Отсюда следует, что собственная функция Ф(Р)
непрерывна в D-\-L.
Формально дифференцируя интеграл, входящий в
уравнение (10), по х или по у, получим интеграл, который, в силу
теоремы 2 § 41, сходится равномерно. Отсюда следует, что
Ф(Р) имеет непрерывные в D-\-L первые производные.
Применяя теперь к упомянутому интегралу теорему 4 § 41,
легко убедимся, что Ф |х == 0 и ДФ = — ХФ, т. е. что X
и Ф(Р) суть собственное число и соответствующая ему
собственная функция задачи о колебании мембраны.
К уравнению (10) применима развитая в предыдущей
главе теория симметричных интегральных уравнений. Как
и в § 39, из приводимой ниже теоремы разложения будет
следовать, что ядро О (Р, Q) имеет счетное множество
собственных функций ФЯ(Р), отвечающих характеристическим
числам Х^ п>оо> оо. Выше было доказано, что ХЛ > 0.

222 ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ уравнений [гл. IV
Теорема разложения. Пусть функция U(P)
непрерывна со своими первыми производными в замкнутой
области D-\-Lt тогда как вторые производные этой
функции непрерывны внутри области D и квадратично
суммируемы в ней. Тогда U (Р) разлагается в регулярно
сходящийся ряд по собственным функциям ФП(Р).
Положим h(P) = — MJ(P). По формуле (6) § 41,
U{P) = ffO(P.Q)h(Q)iRdn.
D
Имеем
и, так как по предположению правая часть этого
неравенства суммируема в D, то функция h(P) в D квадратично
суммируема. Теперь наша теорема оказывается
непосредственным следствием теоремы 2 § 27.
Нетрудно указать теперь условия разложимости
начальных функций ср(д:, у) и ф(дг, у) в ряды (9): достаточно, чтобы
эти функции были непрерывны вместе со своими первыми
производными в D + L и чтобы их вторые производные
были непрерывны и квадратично суммируемы в D. При
этих условиях ряды (9) сходятся в D регулярно.

ПРИЛОЖЕНИЕ
УПРАЖНЕНИЯ1)
1. Дано уравнение Вольтерра со слабой особенностью
X
?(*)-* / (A(X'Sl <?(s)ds=f(x),
а {Х ~~ S)
0<а<1, | А(х, $)\ <С; функция f(x) суммируема.
Доказать сходимость последовательных приближений,
существование и единственность суммируемого решения при
любом значении X.
2. Некоторая коническая поверхность, ось которой
параллельна оси хт, может без деформации перемещаться
в /я-мерном евклидовом пространстве координат л^, дг2, ...
..., хт так, что направление оси конуса не меняется. Пусть
Р — произвольная точка верхнего тюлупространства хт > О
и Dp — область, ограниченная гиперплоскостью хт = О
и упомянутой конической поверхностью, вершина которой
совмещена с точкой Р. Доказать, что многомерное
уравнение Вольтерра
ср(Р)-Х fK(P,Q)<?(Q)dVQ=f(P)%
Dp
у которого ядро К (Я, Q) и свободный член/(Я) ограничены,
имеет при любом X решение, ограниченное в любой
фиксированной конечной области полупространства хт > 0; это решение
единственное и может быть получено по методу
последовательных приближений.
3. Дифференцированием по х можно в известных
условиях свести уравнение Вольтерра первого рода
X
f K(x,s)<?(.s)ds=zf(x)
а
к уравнению Вольтерра второго рода. Сформулировать
и доказать достаточные условия существования решения
уравнения Вольтерра первого рода.
*) Более трудные упражнения отмечены звездочкой.

224 УПРАЖНЕНИЯ
4. Свести к уравнению Вольтерра второго рода
уравнение
H(x,s)
/да-»»*-/*»
в предположениях, что Н(х, $) и f(x) непрерывно
дифференцируемы, /(а) = 0, Н(а, а) ФО и 0 < а < 1.
5. Пусть
ъ ъ ъ ъ
f f \К(х. t)\*dxds = B\ f f\Kn(xts)\*dxds = Bl>
a a a a
где Kn(x, $)—/t-oe итерированное ядро по отношению
к ядру К(х, $). Доказать, что если В2 = В2, то и при
любом п будет Вп = Вп. Найти общий вид ядра, для
которого справедливы эти равенства.
6, Доказать, что резольвента ядра К(xt s)
удовлетворяет каждому из интегральных, уравнений
ь
Г(аг, s; Х) = /С(х, s)-f X f К(х9 t)T(t. s; \)dt.
a
b
T(x9 s, Х) = /С(лг, s) + \ f K(t% s)T(xt t; \)dt.
7. Г (a:, s; X)— резольвента некоторого ядра K(xt s).
Доказать, что резольвента уравнения
ь
?(*) — !*/ Г(лг, $\ \)<?(s)ds=f(x)
а
равна Т(х, $; X-j-ji).
8. Доказать, что резольвента удовлетворяет интегро-диф-
ференциальному уравнению
ь
аГуХ) = / Т(х, t; Х)Г(*. *; \)dt.
а

УПРАЖНЕНИЯ 225
9. Пусть Xj и Х2 — неравные между собой
характеристические числа ядра K(xt s). Доказать, что собственные
функции уравнений
ь
?(*) — xi/ К(*. s)<f(s)ds — 0;
а
Ь
ф(лг)— Т2 flC(xts)^(s)ds = 0
а
ортогональны: (ср, ф) = 0,
10. Доказать полную непрерывность интегрального
оператора
ft*
? Г Л (х, s) у (s) ds
* J | jc — f 11 In I jc — s||1+a •
в котором IЛ(x, s)|<;С = const, a>0; b — a<l.
11. К (xt $) — вольтерровское ядро, удовлетворяющее
единственному условию
ft х
j f \K(x, s)\2dsdx<oo.
a a
Доказать, что уравнение Вольтерра
х
<р(дг)—X J К(х, s)<?(s)ds = 0
а
имеет при любом X только тривиальное квадратично
суммируемое решение <p(je) = 0.
(Указание: сперва рассмотреть значения xt близкие к а.)
12. Используя результаты предшествующей задачи и
теорию Фредгольма, доказать, что ряд Неймана для уравнения
Вольтерра
ф
<р(х)-х/ К(х, s)<f(s)ds = f(x)
а
сходится (в среднем) при любом X, если только ядро К(х, s)
и свободный член f(x) квадратично суммируемы.
13. Множество М квадратично суммируемых функций
называется ограниченным, если нормы этих функций огра-

226
УПРАЖНЕНИЯ
[ГЛ. IV
ничены в совокупности: ЦсрЦ^С, если <?(х)£М.
Множество М квадратично суммируемых функций называется
компактным, если из любой его бесконечной части можно
выделить последовательность, сходящуюся в среднем.
Доказать, что вырожденный оператор переводит всякое
ограниченное множество в компактное.
14. Доказать, что вполне непрерывный оператор
переводит всякое ограниченное множество в компактное.
(Указание: использовать диагональный процесс.)
15. А—произвольный ограниченный оператор. Доказать,
что условие теоремы 4 Фредгольма необходимо для
разрешимости уравнения Лср = /(х).
16. А — ограниченный оператор; уравнение Ay = f(x)
разрешимо. Доказать, что уравнения Лср=/, ЛМ<р==Л*/
эквивалентны.
17*. А — ограниченный оператор. Доказать, что радиус
сходимости ряда Неймана для уравнения ср — ХАр = /(#)»
где f(x)— произвольная квадратично суммируемая функция,
равен
llim Vpl}"1-
\ n>oo J
Доказать, что ряд Неймана для уравнения Фред-
18*.
гольма
?(*) —X jK(x, s)?(s) </* = /(*)
а
сходится в среднем в круге
|Х|<~; Г= lim
ь ь
f f \Kn(x,s)\*dxds
2n
19. /1-ым следом ядра К(х, s) называется интеграл
ь
Ап= f К (at, х) dx.
а
Доказать, что для симметричного ядра Фредгольма
отношение
2к + 2
не убывает и ограничено.

УПРАЖНЕНИЯ
227
(Указание: воспользоваться формулой для итерированных
ядер и неравенством Буняковского.)
20*. Доказать, что предел
А2п
lim -г-22—
n>oo^2n+2
существование которого вытекает из результата
предшествующей задачи, если только ядро К(х, s) симметрично,
есть наименьшее характеристическое число второго
итерированного ядра К2 (х, s).
21. K(xts) — симметричное ядро. Доказать, что число п
его характеристических чисел, которые удовлетворяют
неравенству | ХЛ | < Л, не превосходит величины В2А2.
22. Хо — характеристическое число симметричного ядра
K{xts)szp — количество отвечающих этому числу линейно
независимых собственных функций. Доказать, что/?< |Хо|2В2.
23. Ядро со слабой особенностью
K(P,Q)= Л(Ра,<3)
г
симметрично; ХЛ — его характеристические числа. Для каких
показателей jx сходится ряд
00 1
П-1
24. Найти необходимые и достаточные условия, которые
следует наложить на свободный член f(x), чтобы
симметричное уравнение первого рода
ь
JK{xis)^{s)ds = f(x)
а
было разрешимо. Найти общее решение этого уравнения.
(Указание: воспользоваться теоремой Гильберта — Шмидта.)
25. Решить несимметричное уравнение первого рода
ь
fK(x,s)<?(s)ds = f(x)t
а
предполагая его разрешимым. (Указание: см. упражнение 16).

228
УПРАЖНЕНИЯ
[ГЛ. IV
26. Хп — характеристические числа симметричного ядра
K(x9s)t Ат—его следы (см. упражнение 19). Доказать, что
оо
2 тяг = 4- т>2-
27. Из результата предшествующей задачи вывести
формулы
Ду- Urn l/%^2= Ит Уа£.
28. Из точных формул упражнения 27 вытекают
приближенные формулы
V А^ УаГм
для первого характеристического числа симметричного ядра.
Доказать, что первая из этих формул дает приближенное
значение |Xj| с избытком, вторая — с недостатком.
ч 29. Найти билинейные ряды для симметричных ядер
x-\-s и i(x — s). Пределы интегрирования а = 0, b=l.
30. Ядро К(х, s) называется кососимметричным, если
K(x9s) = — /C(x.s).
Предполагая ядро кососимметричным, доказать, что: 1) его
характеристические числа чисто мнимые; 2) если X
вещественно, то решение уравнения
ъ
?(*) —X fK{x. s)<f(s)ds=f(x)
а
удовлетворяет неравенству ||ср|| <; ||/||.
31. Доказать, что теоремы о вещественности
характеристических чисел и об ортогональности собственных функций
справедливы для любого симметричного оператора.
Оператор А называется симметричным, если для любых функций
из области его определения имеет место тождество (Лср, ф) =
= (<Р. А|».

УПРАЖНЕНИЯ
229
32. Доказательство существования характеристического
числа, данное в § 25, распространить на симметричные
вполне непрерывные операторы.
33. Л — ограниченный симметричный оператор; функ-
I Мф ф) I
ция cp0(jc) реализует максимум отношения и. Л •
Доказать, что ср0(дг) — собственная функция оператора А, соот-
ветствующая характеристическому числу (J v .
34*,» Пусть Т — вполне непрерывный симметричный
оператор, и пусть
Iх 5up UyII1
Пусть, далее, tyn(x), л = 1, 2, 3, ... —последовательность
нормированных функций, таких, что Нш | (ГфЛ> фп) | = р..
Доказать, что последовательность фп(л;) компактна, и что
предел любой ее сходящейся частичной последовательности
есть собственная функция оператора Т\ соответствующее
характеристическое число равно либо |i, либо —[х.
35. Для симметричного вполне непрерывного оператора Т
доказать теорему, аналогичную теореме Гильберта — Шмидта:
если [кп) и {<рЛ(л;)} — система характеристических чисел
и собственных функций оператора Т и h(x) — произвольная
квадратично суммируемая функция, то справедливо
разложение
n-l
причем ряд сходится в среднем.
36. Т — симметричный вполне непрерывный оператор, Хп —
его характеристические числа. Доказать теорему: для того,
чтобы оператор Т был оператором Фредгольма с
квадратично суммируемым в основном квадрате ядром,
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
2
_1_
-1 п
П-1 '•
37. А — произвольный ограниченный оператор. Доказать,
что операторы АЛ* и А*А симметричны*

230 УПРАЖНЕНИЯ [гл. IV
38. Т—вполне непрерывный оператор. Доказать, что
уравнения <р = ХГ*7<р и ty = \TT*ty имеют одни и те же
характеристические числа.
(Указание: рассмотреть систему уравнений
? = УТГф; ф = уТГср.)
39*. Доказать, что всякий оператор, вполне непрерывный
в классе квадратично суммируемых функций, имеет вид
79=2
ft-i
где {%(*)} и {<|ъ(*)}—Две произвольные ортонормирован-
ные последовательности, \к — последовательность чисел (их
можно считать положительными), удовлетворяющих условию
Xft —► оо.
к >оо
40. Исходя из результата предшествующей задачи, найти
необходимые и достаточные условия, которые следует
наложить на свободный член уравнения первого рода
7> = /(*),
в котором оператор Т вполне непрерывен, чтобы это
уравнение было разрешимо. Найти общее решение этого уравнения.
41. Задачу Коши об интегрировании линейного
обыкновенного дифференциального уравнения
Уя>+Л(*)У"-1)+ ". +Рп-1(х)У'+Рп(х)У = /(х)
при начальных условиях
У (*) = Л. У (я) = /0 *пшт1) W = ХЛ"1}
свести к уравнению Вольтерра второго рода относительно
неизвестной у(п)(х).
42. Решить обобщенное двумерное уравнение Абеля
l(*,y)dxdy = f(x .
[<*о - *> - (Уо - У)Г К*о -х) + (уо - У)?
Здесь 0<а<1; 0 < р < 1. Символ о0 имеет то же
значение, что и в § 6.

УПРАЖНЕНИЯ
231
43. p(x)t q(x)tr(x) — периодические функции с периодом,
равным единице, строго положительные и непрерывные,
ар(х)еще и непрерывно дифференцируемая, на сегменте [0,1].
Доказать существование собственных чисел и собственных
функций краевой задачи, определяемой дифференциальным
уравнением
и краевыми условиями и(0) — и(1), и'(0) = и'(1),
означающими периодичность решения. Сформулировать
соответствующую теорему разложения.
44. Функция ср (л:) непрерывна на сегменте [0,1] и
удовлетворяет условиям: ср (0) = 0; cp(x)>0 при х > 0;
X
/
dx ^
< оо.
и
Доказать, что функция Грина краевой задачи
Гх{^х)С1£) + Ха = 0' «<0) = «(1)=0
ограничена; установить существование бесконечного
множества собственных чисел и собственных функций этой
задачи и сформулировать теорему разложения.
45. Функция ср (л:) непрерывна на сегменте [0,1] и
удовлетворяет условиям
ср(0) = 0, <р(*)>0 при х>0,
1 1
/dx Г xdx .
?w=°°' J Ж*<0°-
О о
Поставим краевую задачу: -г-(у (x)-j-\ -|-Хя = 0, я(1) = 0;
граничное условие в точке х = 0 не ставится и заменяется
требованием, чтобы искомая функция была квадратично
суммируема в промежутке (0, 1). Доказать, что функция Грина
таким образом поставленной краевой задачи квадратично
суммируема в квадрате 0<а:<1; 0 < $ < 1; сформули-

232
УПРАЖНЕНИЯ
[ГЛ. IV
ровать и доказать вытекающие отсюда следствия о
собственных числах и собственных функциях этой краевой задачи.
46. Найти собственные числа и собственные функции
ядра
jsi 0<*<*<1,
(Указание: доказать, что собственные функции ядра К (л:, s)
удовлетворяют некоторому дифференциальному уравнению
второго порядка и некоторым краевым условиям.)
47. Найти билинейное разложение функции Грина
следующей краевой задачи: У' + Ху = 0; j/(0) = <y(l) = 0.
48. Найти билинейное разложение функции Грина для
уравнения Лапласа в прямоугольнике; на границе
прямоугольника функция обращается в нуль.
49. Найти билинейное разложение функции Грина для
уравнения Лапласа в круге; на окружности круга функция
обращается в нуль.
50. Найти билинейное разложение функции Грина для
уравнения Лапласа в круге при условии, что на окружности
круга нормальная производная функции Грина обращается
в нуль.
(Указание к упражнениям 48—50: для нахождения
собственных функций воспользоваться разделением переменных.)

С. Г. МИXЛИН
ЛЕКЦИИ
по
ЛИНЕЙНЫМ
ИНТЕГРАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
ФИЗМАТГИЗ 1959