Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Е. ЛЕВИН, Л.Н. ПАТРИКЕЕВ

ДИНАМИКА МАШИН

Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве конспекта лекций

НОВОСИБИРСК
УДК 621.01:53(075.8)

Л 363

Рецензент д-р техн, наук, профессор ВТ. Атапин

Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов
для студентов направления 150300 «Прикладная механика»

Левин В.Е.

Л 363 Динамика машин : конспект лекций / В.Е. Левин, Л.Н. Патри-
кеев. 11овосибирек : Изд-во НГТУ, 2009. - 139 с.

978-5-7782-1352-4

В конспекте представлены материалы, достаточно подробно иллюстрирую-
щие приложения аппарата теории вероятностей к описанию поведения конструк-
ций, подверженных действию случайных факюров. Рассмотрены важные вопро-
сы расчета в стохастической постановке конструктивных элементов, звукоизо-
ляции и виброзащиты.

В прочностном расчете летательного аппарата при действии внешних нагру-
зок определенное внимание уделяется акустическим воздействиям. Их природа
имеет случайный характер, и для проведения количественных оценок приходится
привлекать аппарат теории случайных функций.

УДК 621.01:53(075.8)

18ВМ 978-5-7782-1352-4

© Левин В.Е., Патрикеев Л.Н., 2009
© Новосибирский государственный
технический университет, 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ

1.	Основные задачи динамики машин...................................5

2.	Основные положения теории случайных процессов....................7

2.1.	Стационарные эргодические случайные процессы...............  7

2.2.	Основные статистические характеристики случайных процессов..8

2.3.	Совместные характеристики случайных процессов...............17

2.4.	Нагрузки ~ случайные функции координат и времени............21

5. Характеристики внешних динамических воздействий на конструкции
летательных аппаратов........................................    23

3.1.	Спектральные характеристики турбулентной атмосферы..........23

3.2.	Вибрационные нагрузки.......................................25

3.3.	Акустические нагрузки.....................................  27

3.3.1.	Единицы измерения акустических нагрузок...............28

3.3.2.	Шум реактивного двигателя...............  ............30

3.3.3,	Шум турбулентного пограничного слоя...................33

3.4.	Посадочные нагрузки.........................................35

1 Внешние нагрузки, действующие на транспортные средства, машино-
строительные конструкции и сооружения..........................  36

4.1.	Транспортные нагрузки.......................................36

4.2.	Ветровые нагрузки.......................................    40

4.3.	Сейсмические нагрузки.......................................42

< Влияние шума и вибраций на организм человека.................    45

5.1.	Влияние вибрации на организм человека.....................  46

5.2.	Влияние шума на организм человека.........................  48

о. Линейные динамические системы при детерминированном нагружении ...51

6.1.	Реакция линейной системы на гармонические возбуждения..........51

6.2.	Реакция линейной системы на периодическое возбуждение.......55

6.3.	Вынужденные колебания распределенных систем.................57

/. Вынужденные случайные колебания линейных систем.................63

< Звукопоглощение........................................          75

8.1.	Волокнисто-пористые материалы.........................      77

8.2.	Резонансные поглотители.................................    80

8.3.	Мембранные поглотители..................................... 81

8.4.	Штучные поглотители.....................................    82

8.5.	Расчет снижения шума в помещении........................    82

9.	Звукоизоляция...........................................        84

9.1.	Прохождение звука через границу раздела двух сред...........85

9.2.	Прохождение звука через слой конечной толщины...............86

9.3.	Звукоизоляция одностенной конструкции.......................90
9.4.	Прохождение звука через гибкую пластину......................  92

9.5.	Звукоизоляция двухстенной конструкции..........................96

9.6.	Влияние промежуточных опор на звукопередачу.................  101

10.	Виброзащита и виброизоляция....................................  102

10.1.	Постановка задачи.............................................. 102

10.2.	Эффективность виброзащиты..................................  104

11.	Нелинейные колебания виброизоляторов..............................110

11.1.	Нелинейные явления в виброизоляторе с одной степенью
свободы..............................................................111

11.2.	Нелинейные явления в виброизоляторе с сухим трением
и линейным упругим элементом................ ...................... .114

11.3.	Виброизолятор с демпфером сухого трения и нелинейным
упругим элементом....................................................116

11.4.	Виброизолятор с внутренним трением и нелинейным упругим
элементом............................................................116

11.5.	Нелинейные явления при полигармонических и случайных
воздействиях.......................................................117

12.	Защита от ударных воздействий.....................................119

12.1.	Уравнение движения системы при ударе.........................120

12.2.	Ударные характеристики виброизолятора........................121

12.3.	Поведение линейной недемпфированной системы при ударе........122

12.4.	Ударные спектры простого осциллятора.......................  126

13.	Активные системы виброизоляции...............................    127

13.1.	Управление по отклонению.................................    128

13.2.	Управление по возмущению.................................    131

14.	Методы виброакустических измерений............................    132

14.1.	Основные понятия.................................................................132

14.2.	Акустические измерения..................................     133

14.3.	Вибрационные измерения.......................................137

Библиографический список .......................................      138
I.	Основные задачи динамики машин

Курс «Динамика машин» объединяет широкий спектр дисциплин,
связанных с анализом динамических характеристик различных меха-
низмов и машин, с расчетом динамических реакций сооружений на
действие динамических нагрузок. В некоторых случаях динамические
нагрузки являются определяющими и их влияние должно непременно
считываться. Типичными примерами таких динамических нагрузок
ч в л я ются следующие.

А	. Аэродинамические нагрузки, действующие на самолет при поле-
। с в неспокойной атмосфере; акустические и вибрационные нагрузки.

Б. Нагрузки, действующие на экипаж, движущийся по дороге или
но рельсам.

В	. Сейсмические и ветровые нагрузки, действующие на высотные
мания, ферменные конструкции и т. д.

Неотъемлемой частью как летательных аппаратов, так и транспорт-
пых машин являются средства управления и автоматики, радиоэлек-
тронная аппаратура и различное бортовое оборудование. Динамиче-
ские нагрузки, действующие на машины и летательные аппараты, не
юл ько сокращают срок службы этого оборудования, но и существенно
। чияют на качество его работы. Поэтому анализ, прогнозирование
вибрационного состояния и, самое важное, виброзащита этого обору-
дования - одна из главных проблем динамики машин.

При работе любой механизм служит источником шума и вибраций,
\ ровни которых могут достигать высоких значений и оказывать вред-
ное воздействие как на окружающую среду, так и на людей. В случаях,
когда не удается снизить шум и вибрации традиционными методами,
приходится решать проблему звуко- и виброизоляции.

Все упомянутое выше - далеко не полный перечень проблем, кото-
рые включает в себя курс «Динамика машин».

Существует множество специализированных курсов, изучающих
/щнамику машин и транспортных средств определенного типа.
В данном конспекте лекций рассматривается ряд проблем, общих
для большинства специализированных курсов по динамике машин
К таким проблемам относятся:

•	исследование поведения машин и конструкций при действии ди-
намических нагрузок;

•	звукоизоляция источников шума;

•	виброзащита и виброизоляция оборудования, аппаратуры, ма-
шин;

•	идентификация источников шума и вибрации, измерение их ха-
рактеристик;

•	вибродиагноетика систем.

Известно, что успех любого расчета зависит от удачного выбора
расчетной схемы и описания нагрузок. Расчетная схема конструкции
должна быть достаточно простой, логически безупречной, допускаю-
щей математическую обработку, и в то же время хорошо соответст-
вующей реальной конструкции. Современные численные методы рас-
четов позволяют создавать расчетные схемы с максимальным прибли-
жением к реальным конструкциям.

Для описания внешних нагрузок можно использовать расчетные
схемы, построенные на основе анализа физической природы нагрузок
и экспериментальных измерений. Практически все внешние нагрузки,
действующие на машины, сооружения, по своей природе являются
случайными функциями времени и пространства, поэтому теоретиче-
ские исследования и практические методы расчета таких конструкций
базируются на вероятностных моделях, в основе которых лежит теория
случайных процессов. Эти методы позволяют с определенной сте-
пенью точности оценить действующие нагрузки, реакцию, прочность и
долговечность конструкции.
2.	Основные положения
теории случайных процессов

2Л. Стационарные эргодические случайные процессы

Внешние нагрузки, действующие на летательный аппарат, являются
ц чайными величинами. Они изменяются по времени или другому ка-
кому-либо параметру. Например, в каж-

• ый момент времени величина х(0 при- х(*)

ннмает случайные значения (рис. 2.1), Л /\Л л/ \л
распределение которых подчиняется не-	V / к/м V

! <.порому закону.	______

Другими словами, случайный про-	*1 + 7 *

(гее - это непрерывное изменение ка-	рис 2 ]

। ой-либо физической величины по вре-

мени случайным образом. Случайный процесс можно характеризовать
< редпим значением процесса и средним значением квадрата процесса.

Рассмотрим ряд реализаций случайного процесса (рис. 2.2).

чъ 41 Ч(о 11

‘1	I {Д	I

Рис. 2.2
Среднее значение случайного прогресса в момент времени I находит-
ся посредством суммирования мгновенных значений каждой реализа-
ции и деления этой суммы на число реализаций:

)=

1 и

Пт —УхДа) .

Аналогично определяется среднее значение квадрата процесса:

--------	1 Я

х1 (ц ) = Пт — У х2 .

К	д/—>со ТУ	1 ' 17

Если эти характеристики процесса остаются неизменными во времени,
то процесс называется стационарным.

При изменении любой из этих статистических характеристик по
времени процесс называется нестационарным.

Когда все статистические характеристики процесса определяются
из одной его реализации, то такой процесс называется эргодическим.
Эргодические случайные процессы составляют очень важный класс
случайных процессов. В практических задачах можно считать, что
большинство случайных процессов обладает свойством эргодичности.

2.2.	Основные статистические характеристики
случайных процессов

Любой случайный процесс может быть описан следующими стати-
стическими характеристиками:

•	средним значением процесса;

•	средним значением квадрата процесса;

•	плотностью распределения;

•	корреляционной функцией;

•	спектральной плотностью.

Среднее значение процесса, или математическое ожидание, опре-
деляется в виде

__	] т

40=

Т~^Т о

(2.3)
Среднее значение квадрата процесса определяется в виде
---------------------- 1 Т

х2(г) = ^пп ~ р2(г)Л .	(2.4)

Абсолютная величина корня квадратного из среднего значения
квадрата называется среднеквадратичным значением.

Зачастую удобно характеризовать случайный процесс статической
составляющей (математическое ожидание) и динамической состав-
ляющей. Динамическая составляющая определяется дисперсией про-
цесса.

Дисперсией процесса называется величина Р(х), равная среднему
* вадрату отклонений его ординат от среднего значения:

Положительное значение корня квадратного из дисперсии называ-
< । с я среднеквадратичным отклонением или стандартом и:

<2-6)

На практике часто применяют формулу, выражающую дисперсию
через математическое ожидание и среднеквадратичное значение:

(2.7)

Плотность распределения случайного процесса позволяет находить
вероятность того, что значения процесса будут заключены в опреде-
ленном интервале времени.

Рассмотрим некоторый случайный процесс (рис. 2.3).

х<0 а,	Д»2	Л13	ДЦ  	хих-  Рис. 2.3
Вероятность того, что значение х(Г) попадает в интервал от х до
(х + Ах) можно найти, вычисляя отношение Тх /Т, где Тх - суммарная
продолжительность нахождения процесса в интервале (х, х + Ах) за
время наблюдения Г, а

Тх=^-
к

Тогда	р  Р[х < х(^) < х +	= Пт ~,	(2.8)
а функция	, .	Т’Гх < х(/) < х + Ах I  р(х)~ Пт —		-  х 7 Дх->о	Дх	(2-9)
называется одномерной плотностью распределения.		

Плотность распределения /?(х) всегда есть действительная, неот-
рицательная функция.

Среди множества распределений случайных величин важное значе-
ние имеет нормальное^ или гауссовское, распределение. Его плотность
вероятности имеет вид

р(х)~—==-е 2су2 .	(2.10)

о>/2л

Вероятность того, что мгновенное значение х(/) не превышает не-
которой величины х, характеризуется функцией распределения /'(х):

Л(х) = ?[х(/)<х] =

-со

(2.11)

Вероятность попадания х(1) в некоторый интервал (хь х2) определя-
ется формулой

х2

<х(/)<Х2] = /?(х2)-^(х1) = ]р($)сК,.

Л

(2.12)
Среднее значение функции х(7) и среднее значение квадрата функ-
ции х2 (/) можно выразить через плотность распределения следующим
образом:

____ ОО

т(/) = ^хр(х}с1х\

—оо

______ оо

Х2(/)= |х2/?(х)4/х.

—00

(2.13)

(2.14)

Чтобы понять, какое практическое значение имеет плотность рас-
пределения, рассмотрим четыре различные реализации случайного
процесса (рис. 2.4). Для удобства принимаем, что среднее значение
равно нулю.

МАМАААА

Гармонический процесс

Гармонический процесс +
случайный процесс



Узкополосный случайный
процесс

Широкополосный случайный
процесс

Рис. 2.4
На рис. 2.5 изображены графики плотности распределения для этих
процессов.

Гармонический процесс

Гармонический процесс +
случайный процесс

ф)

и

Р(х)

Узкополосный случайный
процесс

Широкополосный случайный
процесс

Рис. 2.5

Часто в практике описания случайных процессов используют поня»
тие моментов, которые бывают двух видов: начальные и центральные.

Для непрерывной случайной величины Х(/) начальным моментом
5-го порядка называется интеграл

т6.(х)- $х^р(х)Лх,	(2.15)

—00

а для центрального момента имеем интеграл

Л/5(х)= ^(х~тхУ р(рс^с1х.	(2.16)

Тогда математическое ожидание процесса ~ это начальный момент
первого порядка, среднее значение квадрата процесса - начальный мо-
мент второго порядка, а дисперсия процесса - центральный момент
второго порядка.
Для более подробного описания распределения применяются мо-
менты высших порядков.

Для оценки асимметрии закона распределения амплитуд относи-
тельно оси, параллельной оси ординат и проходящей через среднее
значение случайной функции применяется центральный момент 3-го
порядка. Коэффициент асимметрии определяется как

[м1

(2.17)

Для симметричного закона распределения М3 = 0 и К = 0.

Центральный момент 4-го порядка определяет коэффициент экс-
цесса (крутости кривой).

М4 .

у=—т-3.

Л/2

(2.18)

У нормального закона у = 0. Этот коэффициент дает возможность
сравнивать характер вершины некоторой симметричной кривой с кри-
вой нормального закона. Если у > 0, то вершина данной кривой более
высокая и узкая, чем у нормального закона. Число 3 вычитается из от-
ношения Л/4 /	, потому что для нормального закона это отношение

равно 3.

Очень важной характеристикой случайного процесса является ав~
токорреляционная функция, которая устанавливает некоторую усред-
ненную связь между значением случайного процесса в некоторый мо-
мент времени от значения в другой момент.

Рассмотрим процесс х(1) (рис. 2.6).

Оценку величины автокорреляционной функции, связывающей
значения х(0 в моменты времени и /2 > можно получить, вычисляя
произведение этих ординат и усредняя величину произведения в пре-
делах времени наблюдения Т\

______________ т

Лх(т) = х(^)х(/ + т) = Нт [х(Нх(/ +т)<7/.	(2.19)

7*-ЬГГ) *

Величина /?Л(т) - всегда действительная четная функция с максиму-
мом в точке т = 0 (рис. 2.7):

7?/т) = ^(-т)

(2.20)



При т = 0 значение /?х.(т) равно сред-
нему квадрату процесса. Графики зависи-
мости 7?х(т) от т называется автокоррело-
граммами. Очень часто вводится в
рассмотрение нормированная корреляци-
онная функция, или коэффициент корре-
ляции

Когда т = 0, то Кх (0) = х2 (г) .

Значение коэффициента корреляции меняется от-1 до +1.

Надо сказать, что автокорреляционная функция является очень
мощным средством для выявления детерминированных процессов, ко-
торые могут маскироваться случайным фоновым шумом. Например, на
рис. 2.8, а показана автокоррелограмма гармонических колебаний с
частотой со0, имеющая вид косинусоиды, которая описывается соот-
ношением

х2

(2.22)
Важная особенность этой коррелограммы заключается в том, что ее
(|юрма периодически повторяется во времени с тем же периодом, что и
период гармонических колебаний. На рис. 2.6, б показана типичная
-пггокоррелограмма случайного широкополосного шума, а автокорре-
юграмма суммы гармонического сигнала и шума представляет собой
просто сумму автокоррелограмм этих двух процессов. Поэтому по
внешнему виду коррелограмм можно судить о наличии гармонических
составляющих.

Спектральная плотность случайного процесса характеризует рас-
пределение мощности случайного процесса по спектру частот.

Среднее значение квадрата процесса в интервале частот от со до
(со + Асо) можно получить, подавая эту реализацию на вход полосо-
вого фильтра с узкой полосой пропускания Асо и усредняя возведен-
ную в квадрат функцию на выходе фильтра. Тогда, согласно опре-
делению

т

8Х (®) - Нт А- Нт 1 (со, .	(2.23)

Дсо-»0 АСО Т->оо 1 *
Величина 5х(щ) - всегда действительная, неотрицательная функ-
ция.

Важное свойство спектральной плотности заключается в ее связи с
автокорреляционной функцией.

Известно, что абсолютно интегрируемые функции /(/), т. е. функ-
ции, удовлетворяющие условию

оо

{/ (/)<* <00,

—со

могут быть представлены в виде интеграла Фурье:

00

/(/) = {

(2.24)

I 00

1

—со

Функция Лу®) называется преобразованием Фурье или комплекс-
ным спектром функцииДО-

Определим понятие спектральной плотности ^(со), как преобразо-
вание Фурье от корреляционной функции /?(т):

5(со) = — Г К(х)е /С0Тб?т-—[Л(т)со8(«т)б/т,	(2.25)

2лоо	71 о

следовательно,

Я(т) = |$(с1))е'ояЛо) = 2 |5,(®)со8(®т)с?<о.	(2.26)

-оо	О

Полагая в выражении (2.26) т = О, получим

х2(/) =	(2.27)

—СО

Иногда 5(со) называют спектральной мощностью^ так как для элек-
трических величин х2(0 дает оценку энергии или мощности.
Рассмотрим некоторые свойства спектральной плотности. Если
#(т) - монотонно убывающая функция от т, то /?(со) ~ также монотонно
убывающая функция от со. Чем уже функция А(т), тем более пологой и
широкой является функция 5(со). Если К(т) стремится к нулю в течение
короткого промежутка времени Дт, то 5(со) сохраняет приблизительно
постоянное значение до частоты порядка 2л7Дт. Такой спектр называ-
ется белым спектром. Предельный случай, когда Л'(со) ~ сопзС, соответ-
ствует отсутствию всякой корреляции между последующими значе-
ниями х(/).

23.	Совместные характеристики случайных процессов

Часто возникает необходимость описать некоторые общие или сов-
местные характеристики двух или более реализаций случайных процес-
сов. Например, нас могут интересовать вибрации конструкции в различ-
ных точках, акустические нагрузки в различных точках пространства.

Для описания совместных характеристик реализаций двух случай-
ных процессов используются вероятностные функции трех основных
гипов:

•	совместная плотность распределения;

•	взаимная корреляционная функция;

•	взаимная спектральная плотность.

Совместная плотность распределения двух случайных процессов
определяет вероятность того, что ординаты процессов в определенный
момент времени будут заключены одновременно в двух определенных
интервалах их значений (рис. 2.9).
Вероятность того, что одновременно значения х(/) заключены в ин-
тервале от х до (х + Дх), а значение у - в интервале от у до (у + Ду), мож-
но найти, вычисляя отношение Тху / Т, где Тху - суммарная продолжи-
тельность одновременного нахождения значения х(1) и у(1) в интервалах
(х, х + Дх) и (у, у + Ду) за время наблюдения ДГ. Поэтому совместную
плотность распределения можно определить теперь как величину

1 Т

р(х.у) ~ Пт -------Пт .	(2.28)

Дх,Ду~»0 ДхДу т~»ОО Т

Вероятность того, что мгновенные значения х(1) и у(/) не превыша-
ют некоторых величин х и у, характеризуется совместной функцией
распределения

х у

Е{х,у) = Р\х(Д<х,у{1}<у\= | |.	(2.29)

-СО —00

В случае, когда два рассматриваемых процесса статистически неза-
висимы, то

/?(х,у) = р(х)р(у),	(2.30)

т. е. совместная плотность распределения равна произведению одно-
мерных плотностей распределения.

Совместная плотность распределения применяется для вероятност-
ного описания явлений, которые характеризуются двумя процессами,
некоторым образом связанными между собой. Например, совместная
плотность распределения применяется для прогноза соударения двух
упругих конструкций, которые колеблются случайным образом, при-
чем эти колебания частично зависят друг от друга.

Взаимная корреляционная функция двух случайных процессов ха-
рактеризует общую зависимость значений одного процесса от значе-
ний другого. Рассмотрим два процесса х(/) иу(/) (рис. 2.10).

Оценку величины взаимной корреляционной функции, связываю-
щей значение функции х(/) в момент времени I и функции у(/) в момент
/ + т, найдем, вычисляя средние произведения этих двух значений за
время наблюдения:
1е Кху(х) - всегда действительная величина, которая может быть по-
южительной и отрицательной. Эта функция не обязательно имеет мак-
 имум при т = 0 (не обязательно является четной). Однако функция
•Л.(т) обладает свойством антисимметрии'.

(2.32)

^ху (т) Кух ( т).

Существуют два неравенства:

КИ|2 ^(0)^(0);

|Мф||Л(0)+*,(’)]•

Когда Кху(т) = 0, то функции х(/) иу(0 некоррелированны. Взаимная
। ^реляционная функция применяется во многих важных задачах. На-
пример, обнаружение и восстановление сигнала в постороннем шуме.

Понятие взаимной спектральной плотности двух случайных про-
цессов вытекает из определения взаимной корреляционной функции.

Взаимная спектральная плотность двух реализаций представляет
преобразование Фурье взаимной корреляционной функции.

Поскольку взаимная корреляционная функция не обладает свойст-
вом четности, взаимная спектральная плотность есть обычно ком-
плексная величина

$ху ($0 Суу (со) (со) .

(2-33)
Действительная часть

(2.34)

называется коспектральной плотностью, а мнимая часть

(2.35)

называется квадратурной спектральной плотностью.

Удобно выражать взаимную спектральную плотность через модуль
и фазовый угол следующим образом:



где

^ху (Ю)	($0|

еЛ>,(о)=а1ё

0^}
^ху (®)

(2.36)

(2.37)

При рассмотрении физических задач вводится понятие функция ко-
герентности. которая всегда является действительной величиной,

Уху (°)

I / \!2

(СО)|

(2.38)

График типичной взаимной спектральной плотности показан на
рис. 2.11.
Второй способ определения взаимной спектральной плотности -
но непосредственное преобразование Фурье случайных процессов.

Пусть х(/) и ХО ~ Два стационарных эргодических случайных про-
цесса. Преобразование Фурье каждого процесса определяется в виде

1	00

27Г

-со

еЧю‘с1(;

1 т

2 Л _

(2.39)

Тогда взаимная спектральная плотность имеет вид

71

I ->ОО /

(2.40)

2.4.	Нагрузки ~ случайные функции координат и времени

Нагрузки, действующие на распределенные системы (объемы, по-
верхности, балки), как правило, представляют собой функции корди-
нат и времени.

В общем случае такие нагрузки можно записать в виде вектора-
функции д(х, I). В случае объема интенсивность нагрузки будет функ-
цией времени I и радиуса-вектора х = (хь х2, х3). Для поверхности ра-
диус-вектор х = (X], х2), где Х1 и х2 могут быть криволинейными коор-
динатами. В случае балки нагрузка д(х, /) является функцией времени I
и координаты х. Такое поле можно описать несколькими способами.

Первый способ. Задается полная система совместных распределе-
ний значений вектора (] для любой совокупности точек поля хь
\ е Г и любых моментов времени ^2, ... е Т. Эта система распре-
делений начинается с одноточечного, двухточечного и многоточечного
распределений:/?(д; х, /),/?(Чь 42; хь х2,/2) ...

Другой способ основан на задании математических ожиданий и
полной системы моментных функций от значений поля в различных
точках и в различные моменты времени:

<Ч(х,/)>, <я(Х|,/,)>® д(х2,/2)),

<д(Х1,/])>® д(х2,/2)>® д(х3,
Здесь угловые скобки означаю! усреднение по множеству реализаций
поля, а символ 0 означает тензорное умножение.

В рамках корреляционного приближения ограничиваются заданием
математического ожидания ноля ( (| (х, ()) и корреляционного тензора
ноля Д7(хь б; б)> равного математическому ожиданию от тензорно-
го произведения значений центрированного поля:

д(х,0 = Ч(х,/)- <Ч(х,0>

в двух различных точках поля и в два различных момента времени:

Л; х2, 6) = < Ч (хь Л)® ч(х2, /2)) 	(2.42)

Для многих практических задач считается, что случайное поле яв-
ляется стационарным по времени и однородным по координатам. Если
поле ц (х, Г) задано на Т = (-оо, оо) и стационарно по времени, то вместо
корреляционного тензора ДДх^ б; х2, /2) можно ввести результат соот-
ветствующего преобразования Фурье (т = б ~

^(хь Х2; (0) = -!- Г (Ч (х15 О® Ч (х2,1 + Т)> е ‘таг. (2.43)

2К-оо

Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в разделе анализа реак-
ции панельных конструкций при действии акустических нагрузок.
к Характеристики внешних
динамических воздействий
на конструкции
летательных аппаратов

При эксплуатации любого летательного аппарата отмечаются ин-
нсивные колебания его конструкции и бортового оборудования. Эти
колебания возникают при полете в неспокойной атмосфере, при работе
силовых установок, при взлете и посадке, при обтекании конструкции
потоком воздуха. Для того чтобы оценить уровень этих вибраций и их
опасность для прочности конструкции, а также бортового оборудова-
ния, необходимо знать характеристики внешних воздействий.

VI. Спектральные характеристики
турбулентной атмосферы

В атмосфере всегда происходит движение воздушных масс. Из-за
перепадов температурных полей и скорости ветра происходит турбу-
лизация воздушных течений.

При анализе нагрузок, действующих на самолет в случае полета в
неспокойной атмосфере, принято различать перемещения воздуха по
градиенту скорости. Если скорость движения воздуха возрастет до
максимального значения в течение большого периода времени полета
<более 2 секунд, т. е. на протяжении более 300...500 м), то такие пе-
ремещения масс называются потоками. Перемещения воздуха с
большим градиентом нарастания скорости называются порывом.

Процессы, происходящие в турбулентной атмосфере, являются слу-
чайными, поэтому функцию изменения скорости порывов в простран-
стве можно представить как случайную.
При изучении непрерывной турбулентности предполагается, что
атмосфера в определенной зоне высот изотропна, т. е. компоненты
скорости пульсаций воздуха по трем координатным осям одинаковы в
статистическом отношении.

Функция спектральной плотности порывов, выраженная через
среднюю квадратическую величину скорости порывов и волновое
число О. (пространственная частота), имеет вид



Ь 1 + ЗП2!2
”(| + й2Л2)2'

(3.1)

Здесь I - протяженность волны порыва; О = 2я/1.

Область больших чисел Г2 (более 0,1 рад/м) соответствует масштабу
турбулентности менее 50 м, а область малых (менее 0,01 рад/м) -
более 1000 м.

При анализе воздействия турбулентной атмосферы на самолет це-
лесообразно в качестве аргумента спектральной плотности использо-
вать круговую частоту со = ПГ, так как она определяет частотные ха-
рактеристики самолета.
Тогда

5(М)=-5(П);

х(т) = °>и-7

&>Ь
т

(3.2)

На рис. 3.1 показана типичная кривая спектральной плотности по-
рывов для больших высот. Для малых высот характер кривой такой
.вс, только точка перегиба смещается вправо. Однако на малых час-
ютах имеется существенное отличие от гипотезы изотропности атмо-
 феры.

Т2. Вибрационные нагрузки

Источниками значительных механических вибраций самолетов
обычно являются двигатели и воздушные винты. Эти механические
вибрации возникают из-за несбалансированности вращающихся узлов.
Кроме того, в самом турбореактивном двигателе в результате действия
периодических сил давления газа, колебаний воздушного потока воз-
никают колебания лопаток компрессора и турбины. Когда собственная
частота лопаток является кратной частоте вращения, могут возникнуть
их резонансные колебания.

Возмущающие силы, возникающие при работе силовых установок,
шляются периодическими. Частота двигательной вибрации линейно
пшеит от оборотов двигателя и определяется по формуле

। че т - номер гармоники; п - число оборотов; г ~ число лопаток (или
юпастей винта).

Типичный спектр таких сил показан на рис. 3.2.
Для винтовых двигателей диапазон
частот механических вибраций состав-
ляет 60...500 Гц. Для реактивных само-
летов диапазон частот механических
вибраций более широкий и доходит до
5000 Гц. Эксперименты показывают, что

рис	на тяжелых самолетах с реактивными

двигателями в местах, удаленных от
двигателя, двигательная вибрация практически отсутствует.

Для современных самолетов с турбовинтовыми двигателями остро
стоит вопрос о вибрациях, вызванных воздействием винта на фюзеляж.
Зона повышенных вибраций бортов фюзеляжа обычно простирается на
1,5...2 м по обе стороны от плоскости вращения винта.

Рассчитывать такие механические вибрации практически невоз-
можно. Поэтому при разработке, доводке и испытаниях нового двига-
теля тщательно изучают вибрацию всех узлов. Надо сказать, что при
нормальной работе двигателей характеристики вибрации (амплитуда,
частота) довольно стабильны, поэтому в начале испытаний самолета
определяют характеристики вибрации конструкции и в местах уста-
новки оборудования.

Насыщенность бортовым оборудованием современных летательных

аппаратов все время возрастает, поэтому соответственно увеличивает-

ся и вероятность его отказа. Одна из основных трудностей при проек-

тировании и испытаниях нового оборудования возникает из-за отсут-
ствия необходимой информации об ожидаемых характеристиках
вибрации в местах установки этого оборудования. В связи с этим вста-

ет вопрос о задании (нормировании) таких нагрузок для проведения

виброиспытаний оборудования.

Принцип нормирования вибронагрузок
сводится к следующему. Все самолеты раз-
биваются на группы по назначению и по
типам силовых установок. Затем типовой
самолет каждой группы разбивается на ряд
зон (рис. 3.3).

Для этих зон указываются нормы вибра-
ций - диапазон частот колебаний и величи-
ны амплитуд, смещений или ускорений.

Эти нормы определяются на основе обоб-
щения результатов измерения вибраций при летных испытаниях мно-
гих самолетов соответствующей группы.
Для оценки вибраций в какой-либо
не самолета результаты измерения
мбраций наносят на один график и по
очкам строят огибающую максималь-
-ых значений (рис. 3.4).

Нормы вибраций представляются в
н.ще таблиц и графиков. Графики
лично строятся в координатах «ампли-
|’ да смещения - частота» или «ампли-
\ да ускорения - частота».

Обобщенные результаты измерения
• нбрации в местах размещения обору-

зания существующих самолетов переносят на вновь создаваемые
иолеты, относя их к той или иной группе. Такой метод оценки виб-
ций будущих самолетов делает необходимой проверку нового само-
га для оценки действительных вибрационных условий.

Нормы указывают вибрации
конструкции самолета в местах
размещения оборудования. Для
неамортизированного оборудо-
вания нормы вибраций относятся
к основанию прибора. Для амор-

тизированного - к месту крепле-
Рис. 3.5	ния амортизаторов (рис. 3.5).

Кроме вибраций нормиру-
• -ся «ударные» нагрузки, например, возникающие при посадках са-
; иста. Эти нагрузки могут быть названы «ударными» условно, так
.к под воздействием внезапно приложенных сил конструкция совер-
1ет неустановившиеся колебания.

^3. Акустические нагрузки

С появлением в эксплуатации турбореактивных двигателей стал
• 1мечаться массовый характер усталостных повреждений тонкостен-
ных конструкций самолетов, нарушения работы бортового электрон-
ного и пилотажного оборудования, работы гидросистем. Причиной
;> ?го этого явились высокоинтенсивные акустические нагрузки, созда-
। н мые выхлопными реактивными струями. Эти акустические нагрузки,
• ини.к но нриро/и\ обладают широким равномерным спектром
< и н1 и 1НННМ с о! единиц герц до десятков килогерц и вызывают ре-
"н.иг пик колебания практически всех тонкостенных конструкций,
н.1\очящихся в зоне их действия, и последующее их усталостное раз-
|>\ шепис.

11омимо реактивных струй, источниками акустических нагрузок на
самолете являются компрессоры и вентиляторы, воздушные винты,
пульсации давления в пограничном турбулентном слое, срывные пото-
ки. Интенсивность действия каждого из них зависит от конструкции
самолета и режимов его эксплуатации.

Например, при разбеге и взлете максимальные акустические на-
грузки создаются реактивными струями и компрессором двигателя,
при полете со сверхзвуковой скоростью - пульсациями давления тур-
булентного пограничного слоя.

3.3.1.	Единицы измерения акустических нагрузок

Для оценки акустических нагрузок (шумов) используют понятия:
звуковое давление и сила звука.

Звуковое давление - обычно измеряется в паскалях (Па).

Сила звука (интенсивность) .3- является энергетической характери-
стикой и показывает количество энергии, проходящее в единицу вре-
мени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению
распространения звука, и определяется по формуле

рс

(3.4)

где р - плотность среды, с - скорость звука в среде.

В природе давление меняется в очень широком диапазоне: от 2-10 5 Па
(соответствует порогу слышимости человеческого уха) до 6103 Па (со-
ответствует шуму реактивного двигателя). Поэтому для удобства оценки
шума вводится логарифмическая шкала измерений. В этом случае при-
нято говорить об уровне звукового давления в децибелах (дБ):

1-201ё

Р

(3.5)



где	= 2-10 5 Па - порог слышимости человеческого уха.
В децибелах измеряется и сила звука

Г Л

А = Ю1ё у- ,

< 1е ,/0 = 10 12 Вт/м2.

По аналогии с уровнем силы звука принят уровень звуковой мощно-
- ши источника

IV

Аг=ю1ё—,

^0

। 1е Ид -10~12 Вт соответствует потоку звуковой энергии с
/0 ~ 10~12 Вт/м2 через площадку в 1 м2 .

Логарифмический масштаб применяется в акустике и для оценки
частоты колебаний. Весь частотный диапазон разбивают на интервалы
частот, равные октаве или третъоктаве. Для октавы верхняя частота
в два раза больше нижней /н, для третьоктавы

/в/ан = 3/2=1,26.

Средние частоты интервалов являются среднегеометрическими
лечениями граничных частот:

• для октавы

• для третьоктавы

/ср=7т2б/н=1,124.

Уровни звукового давления в
полосе шириной 1 Гц называют
« нейтральной плотностью, а в поло-
 ах другой ширины называют соот-
ветственно уровнями звукового
|.авления в октавных, третьоктавных
и многооктавных полосах (рис. 3.6)

Зависимости уровней звука от
частоты называют спектром шума.
3.3.2.	Шум реактивного двигателя

Основным источником шума на самолете является двигатель.
Мощность акустических нагрузок, создаваемых при работе двигателя,
составляет около 1 % мощности реактивного двигателя

В реактивных двигателях шум образуется во всех его узлах: в ком-
прессоре (вентиляторе), в камере сгорания, в турбине и реактивном
сопле. Доля шума от каждого этого источника зависит от типа двига-
теля и режима его работы.

Основным источником шума у реактивных самолетов является вы-
хлопная струя. Шум возникает при перемешивании частиц горячего
газа струи с окружающим воздухом.

Звуковое поле реактивной струи разделяется на две области: даль-
нее звуковое поле, расположенное в пространстве на расстоянии более
40е/с. от оси струи и в котором действуют только акустические возму-
щения, и ближнее поле, в котором присутствуют также гидродинами-
ческие пульсации.

Основы теории аэродинамического шума были заложены Лайтхил-
лом, который вывел формулу, устанавливающую связь звуковой мощ-
ности струи IV в дальнем поле с ее параметрами:

=	,	(3.6)

6>0

К - безразмерная константа.

Рис. 3.7

где р0 - плотность окружающей среды; с0 - скорость звука в окру-
жающей среде; б/с - диаметр сопла; 17с - скорость истечения струи;

В свободной турбулентной дозву-
ковой струе (рис. 3.7) можно выде-
лить: ядро постоянной скорости 7;
начальный участок 1 длиной 4...6<7С;
участок развитой турбулентности 2
или основной участок длиной 20б7с;
участок распада турбулентности 3
длиной 40 б/с.

Расчеты и эксперименты показывают, что звуковая мощность, из-
лучаемая начальным участком звуковой струи, составляет 75 % всей
вуковой мощности струи, а основная часть энергии (-98 %) излучает-
я участком струи, составляющим первые десять калибров от среза
опла.

Эксперименты показывают, что различные участки струи излучают
вуковые давления разной частоты, которые имеют направленный ха-
рактер распространения. Высокочастотные акустические давления из-
учаются вблизи сопла, и угол наклона максимального излучения дос-
ягает 40...45°, низкочастотные давления излучаются зоной развитой
>; рбулентности и носят менее направленный характер.

С точки зрения прочности звукоизоляции конструкции самолета,
наибольшее значение имеют акустические поля в непосредственной
близости от источника шума, расчет которых представляет большую
< южность.

В ближнем акустическом поле скорость истечения струи не так
резко сказывается на уровне шума и его спектр не является таким
равномерным, как в дальнем поле, а имеет ярко выраженный пик в
каком-то узком диапазоне частот. Положение этого пика зависит от
к «ординат вдоль оси струи, что позволяет при расчетах заменять
•чрую рядом точечных источников, частота которых меняется вдоль
• Фуи. Рассчитать точно аналитически такое ближнее поле невоз-
можно. Поэтому в прочностных расчетах, в расчетах звукоизоляции
используют корреляционные функции звукового поля, определяемые
жспериментальным путем. Такая нормированная корреляционная
функция может быть хорошо аппроксимирована следующим выра-
жением:

Рр(х,у, т) = ехр -а.

-а2|х|-а3 |у|

СО8С00

(3-7)

> >есь Я], а2, аз - эмпирические коэффициенты:

а, = 4500 с4, а2=2м4, а3=1,42м

- характеристическая частота: о>0 = 8000 с~*;

х=х2-х1, У = У2-У\-
Соответственно спектральная плотность будет определяться из вы-
ражения

8рр(х,у, со) = 5 (со)

0ц /л(а2 + сод +со2

а2 + (со-®о)2

«1

+ (со + со0)2

X

х ехр[-а2 |х| - а3 |у| - /сох / с0 ].

(3.8)

Для ряда простейших случаев, кото-
рые, однако, имеют важное практиче-
ское применение, нормированную кор-
реляционную функцию можно получить
расчетом. Например, в случае плоской
панели, на которую падают акустиче-
ские волны (рис. 3.8), нормированная
корреляционная функция записывается
в виде

рр(%, У у С0)=СО8(АхСО8 0сО8у+ ЛуСО808П1у ТСОт).

(3.9)

Здесь 0 - угол падения звуковой волны на панель; у - угол между на-
правлением распространения волны и одной из сторон панели;
к ~ со/с0; Аг - волновое число; со - частота звуковой волны; с0 - скорость
звука.

При анализе реакции замкнутых цилиндрических оболочек, по-
добных корпусу ракеты, принимается, что звуковые давления опре-
деленной частоты излучаются бесконечно тонким слоем сечения
струи (рис. 3.9).
Для этого случая безразмерная корреляционная функция может
 ’ыть записана в виде

Рр(х,у, со) =

—

(х0+^)(л:0+х2)	У0 )

(3.10)

»десь - 27? агссо8(/?о /А), К() - радиус оболочки, К - радиус струи
на расстоянии х0 от среза сопла.

Если 2тг7? - у0 > у2 “ У\ > Уо , то Рр (*> У, со) = 0 .

3.3,3.	Шум турбулентного пограничного слоя

При больших дозвуковых и сверхзвуковых скоростях необходимо
считывать пульсации давления в турбулентном пограничном слое, кото-
рые могут возбуждать сильные колебания обшивки самолета. Эти пуль-
сации давления являются случайными по времени и по поверхности.

Экспериментами на моделях натурных самолетов, в аэродинамиче-
ских трубах установлено, что среднеквадратичное значение пульсаций
явления равно

/7 = 0,006^-,

(3.11)

» че р/? - плотность воздуха на заданной высоте полета; Гп - скорость
полета.

Для расчета спектральной плотности используется следующее со-
< ггношение:

р2 (со) = р2 (лсо0 / 2) 1 1 + (со/со0)2

(3.12)

। де соо - 1,6Елб*, а 5* - толщина вытеснения пограничного слоя.

Среднеквадратическое значение пульсаций давления по /-м октав-
ным полосам рассчитывается по формуле

А2

2 2	СО, /

- р агс1§—г—'-----2----

71	у!2 1 + (®,/со0)2

(3.13)

Здесь со, - средняя частота октавной полосы.
Форма спектра пульсации зависит от положения вдоль оси самоле-
та. В носовой части преобладают высокочастотные пульсации, в хво-
стовой части - низкочастотные (рис. 3.10). Это связано с величиной
размера турбулентных вихрей и толщиной пограничного слоя.

Рис. 3,10

Очень важным параметром пульсаций давления является простран-
ственно-временная корреляция, которую можно представить произве-
дением корреляционных функций, замеренных в продольном и попе-
речном направлении:

у,	0, со)Ар(0, у, со) .	(3.14)

Существует множество выражений для корреляционных функций,
полученных при экспериментальных исследованиях. Наиболее удачно
аппроксимируются нормированные корреляционные функции следую-
щими выражениями:

Кр (л, 0, со) = ехр(~0,10|х|со/ Ук )соз(хсо / Ук )ехр(-0,265|л| / б);

(о, У, со) = ехр(-2|}/|® / КЛ)ехр(-2|у| /8).

(3.15)

Весовые функции ехр(-0,265|х|/3) и ехр(-2|у| / §) учитывают ко-
нечные размеры турбулентных вихрей и толщины пограничного слоя.

Неучет этих весовых функций приводит к существенным ошибкам
при оценке реакции панельных конструкций на действие пульсаций
турбулентного слоя. Это возникает из-за того, что фиктивные низко-
частотные крупномасштабные пульсации эффективно возбуждают в
панелях низкие формы колебаний, которые не могут возбудиться ре-
альными мелкомасштабными пульсациями.

Эти соотношения справедливы для скоростей полета самолета с
числом Маха от 0,5 до 2,6.
У 4. Посадочные нагрузки

Процесс вибрационного нагружения конструкции самолета при
движении по взлетной полосе является нестационарным, статистиче-
ские характеристики которого сильно меняются из-за множества фак-
иров. Аналитическое определение характеристик колебаний самолета,
<обенно высокочастотных (выше 20 Гц), является весьма затрудни-
. пьной задачей из-за отсутствия точных значений возмущающих сил,
ействующих на шасси при движении самолета. Вследствие этого экс-
периментальные методы в настоящее время составляют основу для
। тактического решения проблемы.

При рулении самолета преобладающие колебания, возникающие
- за местных неровностей поверхности рулежной дорожки, имеют
низкие частоты, примерно 1...3 Гц. Эти частоты соответствуют собст-
венным колебаниям самолета на шасси и первой форме колебаний
। ; ыла и фюзеляжа тяжелых самолетов. При повышении скорости ру~
.•ния частота колебаний достигает 5...10 Гц.

Величина амплитуд колебаний зависит от скорости руления, со-
< шяния рулежной дорожки и от действий тормозами. При обычных
' киростях руления по ровной полосе перегрузки в центре тяжести са-
1 >1ста не превышают 0,2^ в вертикальном направлении. При рулении
н > шероховатой (грунтовой) полосе величина ускорений не превышает
" ' -.0,6^.

Спектр частот преобладающих колебаний при разбеге самолета
шире, чем при рулении, и его верхняя граница достигает 25 Гц.

Упругие колебания при взлетах и посадках для современных само-
н юв являются относительно большими и намного превышают по ам-
н н пудам (практически на тех же частотах) колебания, возникающие в
им юте. При этом, например, перегрузки концов крыла и фюзеляжа
г- .растают в 3...5 и более раз по сравнению с перегрузками в центре
। । нести самолета.

Колебания, возникающие при взлете и посадке, действуют относи-
। "ьно короткое время, но они вносят значительную долю усталостных
м.шряжений в элементы конструкций самолета и его оборудования,
в ряде случаев усталостная прочность конструкции самолета опреде-
гются именно этими колебаниями и создаваемыми ими динамически-
ми нагрузками.
4.	Внешние нагрузки,
действующие
на транспортные средства,
машиностроительные конструкции
и сооружения

4.1.	Транспортные нагрузки

Основным источником возбуждения сильных вибраций всех тран-
спортных средств (автомобили, железнодорожные вагоны и т. д.) яв-
ляются неровности путей. Высота и протяженность у этих неровно-
стей носит случайный характер (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Другими словами, профиль дороги является случайной функцией ее
протяженности, удовлетворяющей следующим допущениям:

•	функция эргодична;

•	распределение ординат микропрофиля дороги (высота неровно-
стей) подчиняется нормальному закону;

•	длины неровностей ограничены по верхнему и нижнему пределам.

Как и для каждого случайного стационарного процесса, статистиче-
скими характеристиками профиля дороги являются корреляционная
функция и спектральная плотность.

Корреляционная функция Хг/(хЛ.) дает представление об изменении
микропрофиля дороги, а спектральная плотность 5(0) - о частоте
повторения неровностей. Аргументом спектральной плотности являет-
। гак называемая частота дороги 0 = 2л/5, где Я - длина неровностей.

| гии разделить ординаты графиков Кд(хх) и 5^(0) на дисперсию 1)^ по-
|\чим нормированные значения корреляционной функции и спек-
«ральной плотности. Типичные графики этих нормированных функций
и жазаны на рис. 4.2.

ад

х5,М

Рис. 4.2

Но графику корреляционной функции можно судить о характере
покрытия дороги. Так, на рис. 4.2, а кривая 1 характерна для булыжно-
о покрытия. Это быстро убывающая монотонная функция. Кривая 2 —
медленно убывающая монотонная функция. Она характерна для бе-
•энного и асфальтового покрытий при наличии неровностей в виде
।чинных волн. Кривая 3 - сложная функция, представляющая комби-
нацию монотонно убывающей и колебательной функций, свидетельст-
н\ет об износе и смещении дорожного покрытия. Графики спектраль-
пплотности получают расчетным путем по известным соотно-
шениям:

^(х5.)=2рДе)со8(ех5)б7е,

0	(4-1)

I 00

(е) = - .К (*Эс°8(е^ Ж-

Я 0

На графике (рис. 4.2, б) кривая 1 соответствует плохой дороге, а
кривая 2 - хорошей.

При динамических расчетах конструкции приходится переходить
<н случайной функции д(х) к случайному процессу (/(/). В этом случае
клоке перестраиваются графики корреляционной функции Т?(хА)
в график /?(т), а график спектральной плотности 5(0) - в график 5(о>).
Здесь т = хх/У, где V- скорость движения транспортного средства. При
переходе от 5(0) к 5(со) необходимо заменить масштаб по оси ординат
и абсцисс:

® = КО, 8д (со) = 5^0 / V.	(4.2)

По существующим рекомендациям для оценки среднеквадрати-
ческих неровностей с погрешностью 5 % достаточно проанализиро-
вать процесс продолжительностью 50...60 с, т. е. длина участка для
легкового автомобиля должна быть 2...2.5 км, а для грузового
500...600 метров.

При расчетах колебаний автотранспорта профиль дороги моделиру-
ется двумя методами. При первом методе микропрофиль дороги сво-
дится к волнообразному гармоническому профилю или к единичным
неровностям. При этом считается, что радиус колеса значительно вы-
ше высоты неровностей, а упругая шина сглаживает резкие очертания
неровностей. Тогда для текущего значения протяженности дороги
профиль неровности дороги длиной 5 и высотой 2</0 описывается вы-
ражением

1 — СО8



(4.3)

а при равномерном движении транспорта со скоростью V-

?~?о(1“со8ю0-

(4.4)

При единичных неровностях понятие частоты теряет смысл, и тогда
величину о» связывают со временем переезда неровностей

Т = —
(О

При бесконечном волнистом профиле и исправных амортизаторах
устанавливается режим вынужденных колебаний. Это самый тяжелый
режим эксплуатации. Тяжелый режим эксплуатации устанавливается
также при движении автомобиля по бетонному шоссе, состоящему из
плит одинаковой длины.
При втором методе проводится статистическое моделирование
фофиля дороги. В этом случае нормированная корреляционная функ-
ция дороги аппроксимируется следующим выражением:

Рд (Ф = 4^*’' + СО§Рх5 .

(4.5)

Для аппроксимации кривых 7 и 2 можно ограничиться только пер-
вым слагаемым

р9 (х5) = 4^а‘^-

(4.6)

Например, для асфальтового покрытия

Л, = 0,85;	=-0,2; а2 = -0,05; р = 0,6.

Нормированная спектральная плотность для общего случая записы-
вается в виде

1	<о2+Г2 (а2+р2)

<?2 л О)2 + Г2а2 %	р+г2(а2+р2Д2+4К4а2р2’

Для случая (4.6)

М<*>) ДКа, 1

^2 л ®2 + Г2а2

При движении транспортных средств по дороге в конструкции
возбуждаются продольно-угловые и поперечно-угловые колебания.
Продольно-угловые колебания возникают вследствие вращения
транспортного средства вокруг поперечной оси, когда передние и
задние колеса попадают на неровности, а поперечно-угловые колеба-
ния возникают из-за того, что правая и левая колея имеют различный
характер неровностей. Очевидно, что эти два колебания не зависят
друг от друга.
4.2.	Ветровые нагрузки

Расчеты конструкций промышленных и гражданских зданий на
действие ветровых нагрузок обычно проводились с учетом только ста-
тического воздействия ветра, хотя добавочная ветровая нагрузка, обу-
словленная динамическим эффектом пульсаций скоростного напора и
динамическими свойствами самого сооружения, имеет большое значе-
ние в оценке прочности и устойчивости.

Практически ветровую нагрузку
на поверхность сооружения можно
представить как установившееся,
почти постоянное среднее давление,
на которое накладываются пульса-
ции давления ветра, носящие слу-
чайный характер (рис. 4.3).

Случайный характер порывисто-
сти ветра обусловлен различными
отнести неоднородность атмосферы,

рельеф местности и т. д.

Изменение скорости ветра V и скоростного напора б/ по высоте со-
оружения описывается следующими выражениями:

Чо

1,с

Рис. 4.3
факторами, к которым можно

I	1

И = гф(я/яф)^, д0=дф(Н/Нфу,

(4.8)

где Нф, Иф - высота установки флюгера и скорость ветра на этой вы-
соте. Показатель степени в этих выражениях изменяется в зависимости
от атмосферных условий в пределах от 0,25 до 0,1. В России принято
X = 4, в Америке 5 = 7.

Ветровая нагрузка представляет собой случайное поле давлений,
неоднородное по высоте сооружения. По времени пульсации ветровой
нагрузки принимаются как стационарный процесс.

Так как в настоящее время не удалось вычислить пространствен-
но-временные статистические характеристики ветрового поля давле-
ний, приближенно принимают, что пульсации давления по высоте
сооружения некоррелированны, а их интенсивность равна произведе-
нию стационарной случайной функции по времени на функцию коор-
динат.
Статистическая обработка пульсаций скоростного напора показы-
вает, что они близки к нормальному закону распределения, а нормиро-
ванные корреляционные функции и спектральные плотности, записан-
ные в различных точках Земного шара, близки между собой.

Типовые графики нормированной корреляционной функции р(/(т) и
спектрапьной плотности Л'р(и) показаны на рис. 4.4.

В основу практических методов расчета положен усредненный гра-
фик нормированной спектральной плотности пульсаций ветрового
давления, который описывается выражением

Лу (т) = 2а

2	2

со +т

4 7	7———4

а» + 2асо + т

(4.9)

5десь т2-а2+р2; а = а2-р2; а = 0,42 (1/с); р-0,369 (1/с).

Соответствующая нормированная корреляционная функция была
шпроксимирована выражением

Рг (Т)“е ^СОЗрТ .

(4.10)

Действующие строительные нормы со-
тавлены в предположении, что расчетная
схема высотного сооружения соответствует
< истеме с п степенями свободы (рис. 4.5).

На этом рисунке яг, - масса /-й точки,
/ ,(/) - стационарное случайное возбуждение.
1 акая схема удобна для практических расче-
тов и довольно полно отражает динамические
свойства сооружений.

Рис. 4.5


4.3.	Сейсмические нагрузки

Записи сейсмографами колебаний почвы при землетрясениях пока-
зывают, что этот процесс - типичный случайный нестационарный
процесс. Кстати говоря, наиболее информативными являются сейсмо-
граммы ускорений. Эти сейсмограммы имеют различные доминирую-
щие частоты и формы спектров, что привело к необходимости созда-
вать различные статистические модели сейсмического процесса.

Известно, что все землетрясения можно разделить на три типа.

1	тип. Кратковременные землетрясения импульсного характера с
небольшой магнитудой в зоне эпицентра. Математической моделью
таких землетрясений является гармонический процесс или его супер-
позиция с весьма узкополосным случайным процессом.

2	тип. Нерегулярные колебания средней продолжительности. Для
этого типа землетрясений характерно преобладание высокочастотных
составляющих вблизи эпицентра и низкочастотных - при удалении от
эпицентра.

3	тип. Колебания почвы большой продолжительности (2...4 мину-
ты), в которых преобладают низкочастотные составляющие.

С учетом этих типов был предложен ряд моделей сейсмических ко-
лебаний.

Система случайных импульсов. Сейсмическое движение основа-
ния представляется в виде последовательности импульсов синусои-
дальной формы с равномерным распределением на фиксированном
интервале.

Дельта-коррелированный случайный прогресс используется для
максимальной сейсмической реакции динамической системы. Эта
задача требует минимальной информации о вероятностных характе-
ристиках сейсмического процесса (в основном данных по его интен-
сивности).

Модель стационарного случайного процесса. Ускорение основания
сооружения рассматривается как стационарный случайный процесс, а
процесс движения упругой системы исследуется в переходном режиме
при нулевых начальных условиях:

Л7)/>0"

О 1<
На основе обработки диаграмм ускорений М.Ф. Бернштейн пред-
ложил следующую корреляционную функцию для процесса:

= Ох-е сок Рт .

(4.Н)

Здесь Ох- -дисперсия ускорения; а = 6 ... 8 с Р = 14 ... 20 с"1.

Эта модель движения основания дает возможность определения
верхней границы сейсмической силы.

На рис. 4.6 показаны примеры нормированной корреляционной
функции и спектральной плотности сейсмической силы.
А/<•»><• //. нестационарного случайного процесса движения основания
пр. । к» 1.СН.1 В В Ьолотиным. В этой модели ускорение грунта аппрок-
< им11|)\<1сч произведением детерминированной функции времени
с\р( 1 /) и стационарного случайного процесса

*»(') =

Др'р(1)1>0

О /<0

(4.12)

Здесь Д) и е - константы, зависимые от интегральных признаков зем-
летрясения. Можно принять = 1; 8 - 0,3 ... 0,7 с \ Пример этой
функции показан на рис. 4.7.

Эта модель учитывает затухание сейсмического процесса по
времени, однако спектральный состав землетрясения остается неиз-
менным.

При использовании любой из указанных моделей необходимо знать
такую важную характеристику, как усредненная степень затухания
сейсмического процесса. Однако по этой величине нет еще достаточно
верной информации, поэтому при расчетах используют гипотезу ста-
ционарности.
5.	Влияние шума и вибраций
на организм человека

В своей обыденной жизни мы все находимся в определенной мере
под воздействием шумов и вибраций, которые вредно воздействуют на
наш организм. Медицинскими исследованиями установлено, что дли-
тельные вибрационные нагрузки даже слабого уровня могут вызвать
виброболезнь, поражающую нервную, сердечно-сосудистую и двига-
тельную системы человека. Под действием вибраций рассеивается
внимание, снижаются функциональные возможности человека как
оператора, повышается утомляемость.

Достижения научно-технического прогресса во много раз умножа-
ют возможности человека, но и создают новые серьезные проблемы,
связанные с нормализацией условий труда и охраной окружающей
среды. Другими словами, чем выше уровень индустриализации, тем
больше действуют на окружающую среду и на наш организм нагрузки,
не предусмотренные природой. Например, в США вдоль скоростных
магистралей стали гибнуть деревья. Первоначально этот факт объяс-
нили действием выхлопных газов, но затем выяснили: деревья гибнут
из-за вибрации, создаваемой тысячами проносящихся автомобилей.
Можно привести множество аналогичных примеров. То же самое
можно сказать и о шуме. Во многих производствах без шума пока не
обойтись. Еще недавно глухота была профессиональным заболеванием
клепальщиков, ткачих и машинистов. Если шум неизбежен, то необхо-
димо принимать специальные меры предосторожности. Если сильный
шум действует не постоянно, а время от времени, то его влияние не-
значительно. Однако множество людей постоянно подвергаются дей-
ствию шума, и с годами понижение слуха переходит в глухоту. Шум
раздражает, вызывает психические расстройства, понижает работоспо-
собность. Механизм вредного воздействия шума пока еще не до конца
раскрыт.
Биологическая опасность окружающей среды заключается не в том,
что загрязнение среды, пищи, воды, действие вибрации и шума в мил-
лионы раз превышают допустимые пределы. Опасность лежит глубже.
Весь этот комплекс динамических факторов влияет на генетический
аппарат клетки.

Рассмотрим более подробно влияние этих факторов.

5.1.	Влияние вибрации на организм человека

Если отвлечься от анализа биологических факторов, то тело чело-
века можно представить в виде сложной динамической конструкции, с
изменяющимися во времени параметрами (рис. 5.1) и имеющей свою
частотную характеристику (рис. 5.2).

Рис. 5.1

Наиболее существенно влияют на человека-оператора вибрации с
частотой 1... 10 Гц. В основном именно в этом диапазоне расположены
спектры частот вибраций различных транспортных средств. Влияние
вибрации на человека зависит от ее спектрального состава, направле-
ния и места приложения. Так, при частоте около 5 Гц возникает мак-
симальная реакция тела. Область резонанса головы сидящего человека
20...30 Гц, глаз - 12...27 Гц, горла- 6...27 Гц.
Теоретически кажется, что безразлично, каким образом создается
вибрация. В действительности характер профессии определяет некото-
рые особенности в протекании болезней. Например, у шоферов широ-
ко распространены желудочные болезни, у пилотов - потеря остроты
зрения. Вибрация при частотах от 4 до 10 Гц искажает речь. Уже при
уровне вибрации 0,3 дБ трудно поддерживать разборчивую речь. Это
отражается и на связи летчиков с землей.

У летчиков, шоферов, машинистов возникают также признаки виб-
рационной болезни. Низкочастотные колебания, возникающие при по-
лете, плохо гасятся организмом и разрушают нервную систему. У лет-
чиков нарушения нервной и сердечно-сосудистой системы встречают-
ся в 4 раза чаще, чем у людей других профессий. Вибрационная бо-
лезнь вызывает тяжелые поражения костей и суставов. При длитель-
ном воздействии вибраций перестраивается костная ткань.

В связи со сказанным выше условия труда характеризуются сле-
дующим образом:

•	комфортные, когда вынужденные вибрации не вызываю! раз-
дражающего действия;

•	сохранение работоспособности, когда вибрации утомляют, но не
снижают производительности труда;

•	вибрационная безопасность, когда вибрация не оказывает на ор-
ганизм вредного влияния;

•	вибрационная опасность, когда действие вибраций на организм
может вызвать вибрационную болезнь;

•	вибрационное поражение, когда действие на организм вибрации
непереносимо или создает опасность травмирования.

Поэтому для оценки условий труда существует так называемое
нормирование вибраций машин, оборудования, транспорта. Оно за-
ключается в ограничении уровней вибрации элементов машин, с кото-
рыми соприкасается тело человека (сиденья машин, рукоятки ручных
инструментов).

Существующие нормативные требования допустимых вибрацион-
ных воздействий основаны на оценках субъективного восприятия виб-
раций человеком, а также реакции его организма.

Действие вибрации на организм человека характеризуется сле-
дующими параметрами вибрационного процесса: интенсивностью,
спектральной плотностью, длительностью воздействия, направлением
действия.
В качестве показателя интенсивное ш ппорлпии наряду с размер-
ными величинами используются ло1арн<|>мич< < кис \ровни вибрации в
децибелах (дБ):

(5.1)

Здесь 5 — изменяемый парам** |р (1нюр<»ц< -р<.-мспвние, виброскорость,
виброускорение), а л’о начальное иьгн пн< ною параметра: для пере-
мещения Ло - 8-10 м; для шюроскоро» ш I (1 з 10 8 м/с; для вибро-
ускорения #0 = 310 4 м/с’’.

При нормировании виораиии сс * иск ।рапьиыи состав оценивается в
октавных или грел ъоктавпых поносах

В нормативных материалах допустимые уровни вибрации установ-
лены для продолжи ।слыюс ги их воздействия в течение 8 ч. При воз-
действии вибраций, ирсвы1иа1О1цих установленные нормативы, про-
должительность воздействия вибраций на человека за рабочий день
следует уменьшить в соответствии с таблицей.

Превышение Л, дБ, норматива	0	3	6	9	12
Длительность рабо- чего дня, мин	480	120	60	30	15

Допустимые уровни вибраций для различных специальностей рег-
ламентируются госстандартами.

Международный стандарт СТП 2631-74 устанавливает допустимые
среднеквадратические значения виброускорений в диапазоне от 1 до
80 Гц по трем основным критериям условий работы:

•	обеспечение безопасности и здоровья;

•	обеспечение производительности труда;

•	обеспечение комфорта.

5.2.	Влияние шума на организм человека

Как упоминалось выше, постоянное воздействие шума на человека
понижает работоспособность, ухудшает условия жизни. Длительное
воздействие сильных шумов является причиной глухоты.
Устройство уха достаточно сложно. Самый громкий звук, воспри-
нимаемый им, в 10 триллионов раз (1013) сильнее самого слабого. Ухо
анализирует звуки, различаемые по частоте в 1000 раз.

Звуки разной частоты неодинаково воспринимаются человеком.
Наибольшую опасность для человека представляют инфракрасные ко-
лебания. Они вызывают у человека чувство глубокой подавленности и
страха. Особенно опасен инфразвук с частотой около 8 Гц из-за его воз-
можного совпадения с биоритмами мозга. Еще в 1930-е годы академик
В.В. Шулейкин открыл инфразвуковые колебания «голос моря», возни-
кающие в штормовом районе. Распространяющаяся со скоростью
1200 км/ч инфразвуковая волна намного опережает движение народив-
шего ее урагана. Некоторые животные и птицы хорошо улавливают эти
звуки и проявляют беспокойство, предупреждая людей об опасности.

В любом организме существуют собственные колебания низкой
частоты, например, в системе кровообращения. Если период инфра-
звука близок к периоду этих колебаний, то возникает резонанс. Ам-
плитуда сердечных сокращений увеличивается настолько, что проис-
ходит разрыв артерий. Если эти колебания находятся в противофазе, то
кровообращение тормозится и сердце останавливается. Инфразвук
средней мощности может вызвать слепоту, инфразвук с частотой 7 Гц
смертелен для организма (во время шторма генерируется инфразвук с
частотой 6 Гц). В нашей жизни очень слабые инфразвуки, порождае-
мые, например, городским транспортом, входят в общий шумовой фон
города и служат основной из причин нервной усталости жителей
больших городов.

Как говорилось выше, для оценки силы звука применяется шкала
децибел. По шкале, например, шелест листвы соответствует 40 дБ,

шум реактивного двигателя - 140 дБ и выше. Шум с уровнем 120 дБ
вызывает болезненные ощущения и может повредить слух.

В зависимости от характера дея-
тельности людей допустимые уровни
шума, как и вибрации, жестко регла-
ментируются ГОСТ 12.1.003-83.

Характеристикой постоянного шу-
ма на рабочих местах являются уров-
ни звукового давления в децибелах в
октавных полосах со среднегеометри-
ческими частотами 31,5, 63, 125, 250,
500, 1000,2000, 4000, 8000 Гц.
В акустике существует такое ноняик кш< < чышимости. Это
такая величина звукового давления, коюрач < ны ыметна на слух при
отсутствии всяких других мешающих шумов и шум»в. Порог слыши-
мости очень сильно зависит 01 час ни и (ри< • <)

На рис. 5.3 кривая 1 показывас! п<»р<»1 < иышимос ги, кривая 2 - по-
рог болевого ощущения, кривая { X ровни Р-1В11ОН I ром КОСТИ.

При повышении звукового л.шт Нич ночи н1С1ся ощущение боли в
ушах. Звуковое давление, при коюром пл< «унаст болевое ощущение,
называется порогом болевою ошупк нпч I 1а । раннцах области слыши-
мости (около 20 Гц и 20 к1 н) кривые ч.к 10111011 зависимости порога
СЛЫШИМОСТИ И порога болевою ошупи НИИ СХОДЯТСЯ.

Сравнение двух звуков но уровню оказывается невозможным, если
частоты этих звуков разные < Ъню и ю >кс число децибел уровня ощу-
щения для звуков разных час но можп 01 носиться к равным по силе
ощущению звукам Дня устранения мою неудобства введена величина
уровня громкоегн Иссис/юваниями выпи найдены кривые зависимо-
сти интенсивноеги <и чаенны для равно! ромкпх чистых тонов. Это так
называемые кривые равной громкости. которые деля г область слыши-
мости ог порога слышимости до порога болевого ощущения.
6.	Линейные динамические системы
при детерминированном нагружении

Во многих технических задачах не всегда можно исследовать пове-
дение конструкций с желаемой степенью точностью. Поэтому на прак-
тике эту проблему изучают на моделях или аналогах, которые выби-
рают из условий компромисса между условиями аналитического
анализа и сходством с реальной конструкцией. Наиболее полезным
аналогом при анализе вибраций является линейная система с одной
степенью свободы и вязким демпфированием.

6.1.	Реакция линейной системы
на гармонические возбуждения

Первоначально вспомним основные положения теории колебаний
линейной системы при действии силового и гармонического возбуж-
дений (рис. 6.1).

а	б

Рис. 6.1

Дифференциальное уравнение смещения тела массой т для случая
силового возбуждения (рис. 6.1) записывается в виде

л/ид +Ъг-	(6.1)

где к - жесткость, а с - демпфирование.
Если Р(1) есть сила, изменяющаяся по гармоническому
(Рц С08СО/), то ее можно представить в комплексной форме:

/*'(/) Р{} созсо/ - Ке/^е/С0/,

где Ке означает действительную часть этого выражения.
В дальнейшем этот значок можно опустить и тогда

Решение уравнения (6.1) ищем в виде
гг(/) =	,

закону

(6.2)

(6.3)

(6-4)

где - комплексное число.

Подставляя выражения для м>(/) и Р(1) в уравнение движения (6.1),
находим

/7

Л)е

(6.5)

или

(6.6)

Комплексное число (-со2/и 4- дос + Л) = 2 , которое называется пере-
даточной функцией, может быть записано в виде |2|е/<р, где

к-с^т

2	2 2

| + со с , а ср =

с
к-е^т

(6.7)



я

В этом случае уравнение (6.6) может быть записано в виде

ГР —	...г-

\А

(6.8)

или как

и> =

/?0со8(а)/-ф)

|2|

(6.9)

Из этого выражения видно, что смещение массы отстает от возбуж-
дающей силы на некоторый фазовый угол ф.
Рассмотрим, каким образом меняется отношение	в зависи-

мости от частоты возбуждающей силы. Из соотношения (6.9) получим

(6.10)

Это отношение называется коэффициентом динамичности.

Учитывая, что собственная частота системы равна	а

безразмерный коэффициент демпфирования - с I сс ( сс ~ 2\1кт -
критическое демпфирование), соотношение (6.10) записываем в виде

(6.И)

График этой функции показан на
рис. 6.2.

При со = 0 (сила статическая) м/Е =

\!к. Здесь и'.,. - статическое смеще-
ние. На этом графике есть еще одна
характеристика - добротность сис-
темы ~ (д — 1/2^.

Другой важной характеристикой
является ширина полосы резонансного
ника. Границы полосы резонансного

ника Део определяются как разница значений частот, при которых ам-
плитуда равна 1 /х/2 максимального значения.

^ = 2^1
®о

(6.12)

Иногда представляет интерес для практических задач изменение
амплитуды скорости или амплитуды ускорения, которые можно опре-
делить из соотношений

|й| = ®|и], |и| = со2 |м].

(6.13)
Используя соотношение (6.1 I ), нюни к ин инн получим
|й/| _ 1 2С,(<•)/(.)0)	|и|	| ((п/(1)0)2

\/\/к	/() /// \/\/к

Графики этих функций покалапы нл |»и< . 6 > и 6.4.

I
I	I

со,,
Рис. 6.3	Рис. 6 4

Видно, что при со —> оо функция скорости стремится к нулю, а

функция ускорения - к \/т. На резонансной частоте

_ 1 Н юо

/’о ®ос’ Ро с’ Го с '

Для частот ниже со0

|м'|	1 |й>| о |и>| _ со2

Для частот выше соо

И_ 1 Н_ 1 Н__1

т<и2 ’ Ро та’ Ро т

В случае кинематического возбуждения основания л(/), на котором
установлено исследуемое тело (см. рис. 6.1, б), абсолютное перемеще-
ние этого тела будет описываться следующим дифференциальным
уравнением:

щй' + с(й'-5) + А;(м'-з) = 0.

(6.15)
Это уравнение можно переписать в виде

тгг 4- сю+ к\к~с$ + кз

и сумму ск + к$ рассматривать как приведенную вынуждающую силу.

В некоторых случаях, например при расчете прочности пружины,
представляет интерес не абсолютное, а относительное движение мас-
сы. Если через м'г обозначить относительное перемещение массы в
системе координат	, связанной с подвижным основанием, то

уравнение движения будет иметь вид

тю" + сюг + кюг = -тх".	(6.16)

Таким образом, кинематическое возбуждение всегда может быть
заменено некоторым эквивалентным силовым возбуждением.

Передаточная функция позволяет вычислить реакцию системы на
1юбое возмущение, которое может быть представлено в виде суммы
синусоид или комплексных экспонент, так как вследствие суперпози-
ции реакция линейной системы на суммарное внешнее воздействие
равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности.

6.2.	Реакция линейной системы
на периодическое возбуждение

Рассмотрим более общий случай вынужденных колебаний линей-
ной системы, когда возбуждающая сила - периодическая функция
времени (рис. 6.5).

Для нахождения вынужденных колебаний системы в установив-
шемся режиме очень эффективен метод разложения возбуждающей
силы в ряд Фурье. Эту силу можно разложить в ряд Фурье и записать в
виде
	1(1) У (</„	,	(6.17)  II 1
где  91	э	2	2я/7  </„	(/' (/)СОХЪ„ = —	, со,, 		.  Н	Л ' '	”	• ' гр 2 X '	''	ГГ  ' 0	1 о	1  го разложение можно записать в комплексном виде  оо  Л(/) = Ке2(О„-(А,(6.18) п-\
или	^С?„С05(СО„Г + Е„).  Н=1

Тогда

	•>7  4Ч“И')''44'	<6 1’)  1 0

Общая реакция системы получается суперпозицией ее периодиче-
ских составляющих, возбуждаемых составляющими силы. С учетом
(6.18) получим

	.„ = КеЦ^	<«0)  7(®„)

и определим общую реакцию системы

или	^=Хи'п=Ке 7( \ ’  »=1  №	" А„со5(т,/ + е -Ф„)
Здесь 1§<р„ =аг§7(®п). Так как срл, является функцией частоты, то
каждая составляющая реакции системы будет отставать от соответст-
вующей составляющей силы на разные углы. Функция |7(со„)| будет
иметь минимальное значение, когда значение будет близко к зна-
чению резонансной частоты системы ®0.

6.3.	Вынужденные колебания распределенных систем

Распределенная система подразумевает, что масса, жесткость и
демпфирование распределены в системе по какому-либо закону. При-
мером распределенной системы являются балка, пластина, оболочка.

Рассмотрим для примера вынужденные колебания балки. Исполь-
зуем метод разложения прогиба по формам собственных колебаний.
Тогда прогиб балки можно записать в следующем виде;

4х’ 0 = X Я,- (ОЛ (*) 	(6-22)

Г=1

Здесь (?,.(/) - обобщенная координата, соответствующая форме про-
। иба /г(х), поэтому задача определения	будет сводиться к оп-

ределению обобщенных координат Можно сказать, что когда
система нагружена внешней силой, являющейся функцией времени,
обобщенная координата #г(7) любой из форм колебаний определяется
по формуле

Ч Яг + СГС{С1 + К,.дг = Рг (/).	(6.23)

Здесь параметры Мг. Сг. Кг, Рг называются обобщенная масса,
обобщенный коэффициент демпфирования, обобщенная жесткость,
обобщенная сила, которые соответствуют г-й форме колебаний.

Обобщенная масса Мг:

м,. = [ц/г2(х)Ос.	(6.24)

ь

Например, для балки ц - масса единицы длины балки. Интегрирова-
ние проводится по длине балки.
Обобщенная .ясс( тк<>< пн. К)

(6.25)

Например, для балки Е1- изгибная жесткость балки; Ь - длина балки.
Обобщенный коэффициент демпфирования Сг :

Сг = |сгЛ2(х)Л-
ь

(6.26)

В данном соотношении считается, что величина вязкого демпфирова-
ния зависит от формы колебаний.

Обобщенная сила Ег(ф) - это такая сила, которая на некотором вир-
туальном перемещении ?щг выполняет такую же работу, как все
внешние силы, приложенные к системе при виртуальном перемещении
бдг/,.(х),т. е.

МО8^ = ^Р(х,1)бдг/Г(х)с1х,
I.

(6.27)

или

л-(0= \р{хф)/г(хУх-

I

Если обобщенная сила Рг (/) периодическая, то обобщенная коор-
дината цг (/) определяется по формуле

.	(6.28)

л=1 %г\®п)

Здесь 2{ (сол) - обобщенная комплексная передаточная функция
г-й формы колебаний на частоте со?7:

(®„) = (Кг - Мга>2„) + /®„СГ.	(6.29)
Тогда, как и для обычной линейной системы с одной степенью сво-
боды, можно записать:

|^| = ^

+ 4С2

сог

(6.30)

где <ог - собственная частота формы колебаний /,.(х), со,. =у[к^7Мг .

Если распределенная система возбуждается гармонической силой,
го обобщенная координата г-й формы колебаний определяется из вы-
ражения (в действительной форме)

Ц СО$(сО/— ф..)

(631)

л общее перемещение системы в любой точке согласно (6.22), опреде-
ляется как

М'(х,/)=	Е^С08((0/-фг).	(6.32)

г=1 |А|

Если надо определить напряжение в определенной точке системы,
необходимо знать напряжение в этой точке при ее единичном переме-
щении на г-й форме колебаний (х) . Тогда

о(х,г) =	~со§(оз/ - ср,.).	(6.33)

г=1	|^|

Если возбуждение системы носит периодический характер, ио не
! армоиический, тогда

= X Еь-7-^4СО8(®^-Фгл)-	(6.34)

л-1г=1 \^г \®п/|

Из сказанного выше видно, что решение задачи сводится к опреде-
лению величины обобщенной силы.

Пример 1

Определить обобщенную силу для различных форм колебаний
плоской однородной свободно опертой по контуру плоской прямо-
угольной панели и различном распределении внешнего давления
р(х, /)•

Для свободно опертой панели форма колебаний записывается в
виде

г ( X МТКХ . ППу	/хосх

/И1И(х»Л = 8,п 81П——— ,	(6.35)

а Ъ

где а, Ь - линейные размеры панели; т, и - число полуволн в продоль-
ном и поперечном направлениях.

Внешнее давление, действующее на панель и равномерно распреде-
ленное по ее поверхности, представим в виде

р{х^ у, 1} - рц СО$0)Г .	(6.36)

Тогда обобщенная сила Ртп(1) с учетом (6.27) будет:

„ , х г	. тих . пт , ,

Лял V ) = IР® со$ оэ/ 8Ш-$111 —~ ахау,

а	а Ъ

или

/ \ Л	/

рпт V) = 4Ро	п ~ нечетные),

птп	(6.37)

Ртп (0 “ 0 (т, п - четные)

Если на эту панель действует гармоническое давление, амплитуда
которого изменяется по синусоиде вдоль длины панели, т. е.

/?(х, /) = /?0 СО801/81П----,

и любом П.

Пример 2

Определить обобщенную силу плоской
звуковой волны, падающей на упругую сво-
бодно опертую прямоугольную панель под
углом 0 (рис. 6.6). Рассматривается случай,
когда фронт звуковой волны параллелен
стороне Ъ.
Давление такой звуковой волны в произвольной точке поверхности
панели и в произвольный момент времени записывается в виде

ч	2та

X, I) = р0 СОЗ со/ - -— + (р

I )

(6.38)

Здесь р0 - амплитуда давления звуковой волны; ® - частота звуковой
волны; \ - проекция длины волны на ось х; <р - фазовый угол.

Представив форму колебаний панели в виде

тпх . ку

/тп(х’У) = 8[п---8‘П“Г’

получим выражение для обобщенной силы

(0 = Просоз

00 V М

(6.39)

При интегрировании отношение а/т заменяем на / 2 , где 'кт -
половина длины волны колебаний панели вдоль оси х. Тогда

соз(со/ -г е) при т - нечетном,

соз(со/ + е) при т - четном.
Эти выражения могуч быть записаны в общем виде:

иО"ААсоФ/+Е)-

(6.42)

Произведение у^лЛсов(соГ + е) дает значение силы, действующей
на панель, когда звуковое давление равномерно распределено по по-
верхности панели, а коэффициентпоказывает, какая часть этой силы
в зависимости от формы колебаний может восприниматься и перехо-
дить в соответствующую обобщенную силу.

График изменения коэффициента]т показан на рис. 6.7.

Определив можно рассчитать обобщенную координату дт(1):

<3т = Ро^Ь^1со5(т{ + Е - Фт ) •

(6.42)

Из этого выражения видно, что максимальная реакция панели на
определенной форме колебаний будет иметь место на резонансной
частоте со/?/, когда 2т будет иметь минимальное значение, а ]т дос-
тигнет максимального значения при /X, =1. Это так называемый
«эффект совпадения», когда проекция длины звуковой волны на па-
нель совпадает с длиной волны т-й формы колебаний панели.
7.	Вынужденные случайные колебания
линейных систем

Рассмотрим случай, когда на простейшую динамическую систему
действует сила, случайная по времени. Для анализа поведения системы
необходимо знать спектральную плотность силы во всем частотном
диапазоне или ее среднеквадратическое значение и спектральную
плотность в ограниченном частотном диапазоне.

Поведение этой системы описывается уравнением

тм + суи + кю^	(7.1)

Проведем преобразования Фурье левой и правой частей этого урав-
нения, используя соотношения



В результате получим

и>(г<в)1-яко2 + 1С(д + к I = /(ко),

или

м>(ко) =

/(/о)	/(/со)

( & - яко2 ) + 1са>	2 (го)

(7.2)

(7.3)

(7.4)

(7.5)

2л _
Вводя выражение для уг(/со) в (7.3), получаем

М="[/М^
° 2 4»)

Из теории случайных процессов известно, что спектральная плот-
ность смещения 5^ (со) связана со спектром Фурье соотношением

Пт

/ ->00

я|м>(ко)|

т

(7.7)

Поэтому, вводя в это соотношение значение и'(ко), получаем

МЮ) =

(7.8)

|2(Ш)|2 

Здесь <$у(а>) - спектральная плотность случайной силы. Среднеквад-

ратическое значение и> - и?2 (/) может быть определено как

-уТТ / х
и>2(/) = |	((1))<7со = 21—------уб/со,

-оо	о|/(®)|

(7.9)

так как 5у(®) и |2(со)|2 являются четными
функциями (0.

В случае, когда демпфирование систе-
мы мало, а график спектральной плотно-
сти в области резонансной частоты отно-
сительно пологий (рис. 7.1), этот интеграл
можно вычислить с помощью теории вы-
четов. Тогда

ЛС	/V С,
Эта формула была получена впервые Майлсом в 1950-е годы, когда он
исследовал реакцию самолета на воздушные порывы, и известна как
формула Майлса.

Для оценки реакции системы, помимо метода разложения возбуж-
дающей силы на гармонические составляющие, существует альтерна-
тивный метод, при котором возбуждающая сила заменяется рядом им-
пульсов и определяется реакция системы на каждый импульс с
последующим суммированием результатов. Эти два метода дают абсо-
лютно идентичные результаты, однако последний метод более нагляд-
но показывает природу реакции.

Когда на простую линейную систему с одной степенью свободы,
находящуюся в покое, воздействует импульс /, скорость системы будет
определяться соотношением

= — е	соз(у]}

т	\

(7.Н)

Перемещение системы в момент времени I после воздействия им-
пульса определяется соотношением

(7.12)

Действительная часть комплексного выражения в фигурных скоб-
ках (7.10), представляющая собой реакцию системы на единичный им-
пульс, называется импульсной переходной функцией и обычно обозна-
чается как Л(^)

Л(Г) = 0 для I < 0.

(7.13)

Если импульс воздействует на систему в момент времени I - т, то
реакция системы в момент I будет



(7.14)
Используя это соотношение, можно определить реакцию системы,
представляя возбуждающую силу набором импульсов (рис. 7.2).

Величина импульса, действующего в момент времени тл, равна
Т^Ат^ . Реакция системы на действие этого импульса в момент I будет

к

а общая реакция на действие силы

Л

При Лт„ -> 0 суммирование заменяется интегрированием и тогда

м>(/) = |——Л(/ -	.	(7.15)

о к

Это соотношение справедливо, когда воздействие силы началось в мо-
мент I = 0. Если процесс возбуждения непрерывный, т. е. начался в
момент I = - оо, то

—ОО

Пример 1

Определим обобщенную силу плоских случайных акустических волн,
падающих на жесткую балку длиной I под углом 0. Давление звуковых
волн в произвольной точке пространства можно представить в виде

Я0 = 1ХСО8(®иг + си)-	<7-14)

п-\
Тогда распределение давления р((, х) по длине балки можно запи-
сать в виде

ОО

/2=1

+ Е„

(7.17)



где с - скорость звуковой волны; 0 - угол падения звуковой волны на
балку; сои - частота звуковой волны.

Используя преобразование Фурье, запишем р(1, х) в виде

ИО Г-81П 0

р(1-х)=	с

ат.

(7.18)

Тогда суммарная нагрузка, действующая на балку, определяется как

I+<®	/«>(/—5111 б]

| | /(ко)е с	= /,(/).	(7.19)

О	0-оо

Интегрируя по х и принимая во внимание, что

получим

4-со	.у

'•(')= 1/(»е

271

/2 л/

-1

(7.20)

е



Находим преобразование Фурье от !(/):

+оо

Т(/) = |	.

-оо

(7-21)

Сравнивая (7.21) и (7.20), находим

/X,
2л

/2 л/

е

(7.22)
В этом случае спектральная плотность 5Л((о) обобщенной силы 1(7)
определяется по выражению

1УД(о)-?11ту|/(г(о)|2

(7.23)

Вводя в это	выражение значение /(ко)		из уравнения		(7.22), находим
	Мю)= Ут 7|/(«°)|2  7 ->со [		81П(7С/ /X,) л/ / \		2  /2.	(7.24)
Так как					
	Пт —I / (?’®)|2 т-^Г ' 71		=«,(»).		(7.25)
то		81П	к1 /X,	2  I2	(7-26)

Обозначая выражение в квадратных скобках как

8111(71//^)	2

выражение (7.26) запишем в виде

5Дсо) = ^(Ю)72/2.

График функции у2 показан на рис. 7.3.

(7.27)

(7.28)

Рис. 7.3
Выражение (7.26) показывает, что балка выполняет функцию вол-
нового фильтра.

Пример 2

Аналогичным образом можно определить энергетический спектр
обобщенной силы для упругой свободно опертой балки.

Принимая форму колебаний балки в виде 81п(тлх//), где т - число
; юлуволн вдоль балки, / ~ длина балки, обобщенную силу можно запи-
сать как

с!х,

(7.29)

। де нагрузка /?(б *) описывается выражением (7.17).

Выполняя описанный выше процесс, получаем выражение для
спектральной плотности обобщенной силы с учетом упругости балки:

4/2

71

(7 30)

-1

хцесь - проекция длины звуковой волны на балку; Хт ~ длина вол-
ны балки, ~ 21 / т.

Пример 3

Определим энергетический спектр обобщенной силы для упругой
плоской панели. Так, в частности, рассматривая свободно опертую па-
нель и задавая форму ее колебаний в виде

/	\	( тпх ] . ( лу

ИДЯ, у ~81П -- 81П —

К	7	I а ) {Ь

(7.31)
где а, Ь - линейные размеры пластины, получаем выражение для спек-
тральной плотности обобщенной силы

5'Д<о) = 5Д<й)

(7.32)

которое можно переписать в виде, аналогичном (7.28):

5Дщ) = 5Дсо)(^)272.	(7.33)

В данном случае было принято, что звуковая волна распространяет-
ся вдоль длинной стороны панели.

Пример 4

В реальных условиях звуковая волна падает на панель произволь-
ным образом, форма колебаний панели, в силу условий ее закрепления
по краям, не обязательно имеет вид синусоидальной волны, а сама зву-
ковая волна не обязательно должна быть плоской.

Обобщенная сила в этом случае записывается в виде

4(0 = 1/г(х’У)р(х’У’1)АА,
А

(134)

где р(х, у, /) - давление по поверхности панели; (х,у) -г-я форма
колебаний панели; А ~ площадь панели.

Спектр Фурье в этом случае имеет вид

I,- ('“) = Ит [ (Л (х> у)р(х> У> 1)е,<я1с1А^1 =	(х,у)Ж4, (7.35)

А

где /(/&>) - спектр Фурье давления р(х, у, /).
Тогда спектр обобщенной силы 5) (со) записывается в виде

5^(/со) = Нт — |/г (/со)|2 = Пт —/г (/со)/* (/со) =

;	/0~>ОО/д

= ,Нт 7~ 11/г(ад)Л(^т2)х

4п А А

х| | р(х1У\1\)р(х2У2(2)е(а^'	•	(7.36)

“'О -Го

Обозначая координаты х^^ как х1,х25>У2 как *2> а
перепишем (7.36) в виде

54 = Пл(*1Щ*2) Нт гт" 11+х)х

хе-'“Тс//1с/тс/Л1с/Л2.	(7.37)

I (ОСЬ

Пт
/0-><ю

] +/0

— I р(х1’ 11 )р(х2^1 + Т)<7/1 = кр (Т], х2, т) (7.38)

2Г0 -Со

взаимно-корреляционная функция давлений в точках Х| и х2. Иногда
ина называется пространственно-временная корреляционная функция.
Тогда

I +о°

е~'югс7т - 8р (х], х2, ®).

(7.39)

Здесь 8р (х], х2, со) - взаимная спектральная плотность давления.

В результате соотношение (7.34) можно записать в следующем виде:

М(^2^(^1Л2,0))^2.	(7.40)

А А
Если поле случайных давлений однородное, соотношение (7.37)
имеет вид

Д. (<°) = 8р (®) \/Г (*1) /Л (*2 И*! > *2> <^)^АА2 	(7-41)

А А

Здесь р(%|, х2, со) - нормированная взаимная спектральная плотность.
Она имеет форму коэффициента корреляции и является функцией час-
тоты со.

Интеграл |А(*2)р(*1> *2> т)^2 имеет размерность площади и
А

может трактоваться как площадь корреляции. В однородном поле
р(*и*2>со) является функцией расстояния между координатами
Дх - - л2 и Ду = у! - у2 , а не самих координат.

Уравнение (7.31) можно переписать в виде

со) = 8р (со) А2 <	ДЛ (*1)/(*2)р(*1> *2>	>. (7.42)
	[ а2 )	

Обозначив выражение в фигурных скобках через у“г, будем иметь

(7-43)

Определив спектральную плотность обобщенной силы для одной
формы колебаний панели, можно перейти к оценке общей реакции па-
нели. Средний квадрат реакции системы можно вычислить, суммируя
средние квадраты реакции системы на определенных формах колеба-
ний. Это можно делать, если реакции системы при этих формах коле-
баний статистически независимы. В действительности, это практиче-
ски невозможно. Пульсации давления на определенных частотах могут
возбуждать сразу несколько форм колебаний.

Из известного соотношения (7.6), в котором заменяем спектр Фурье
/(/со) силы Г(/) на спектр Фурье 1г(йй) обобщенной силы /Д/), на-
ходим обобщенную координату дг (/):

Д/ю)е*°'
(/со)

-с1ы.

(7.44)
Тогда смещение точки панели с координатами х при г-й форме ко-
лебаний будет определяться как

.	.	74б’ю)/,-(х)е'со/

му (х,1) = дг (/)Л(х)=	---«Гео.	(7.45)

-оо Vе0;

В этом случае спектральная плотность прогиба пластины со)
определяется из выражения



.. Л

|ПТ1 ~

Т->со Т

(7.46)

или

5„(х,®) =

Т^°Т г=!

1_г (^)Л (*) у С (^/г (*)
7Г(/Ю) %

(7-47)

После перемножения получаем следующее выражение для спек-
фальной плотности прогиба:

со	/—А

5)Р (х, со) = X ^2 !& (*!)	(у2 ) 8Р (*1, Х2, со) с!Ахс1А2 +

г-1 |7Г (<в)| А А

РИх.)	(7.48)

г=ь=17Д(о)/Д®)л А

Когда корреляция между формами колебаний мала, собственные
частоты форм колебаний разделены, вторым слагаемым можно пре-
небречь. В этом случае

г—1 \АГ (®)|

(7.49)

Используя это выражение, можно определить прогибы панели при
любом виде случайных стационарных нагрузок, если известны спек-
тральная плотность и корреляционная функция этих нагрузок.
Чтобы определить средний квадрат прогиба панели, необходимо
выражение (7.46) проинтегрировать во всем частотном диапазоне от
—со до 4-00.

Обычно при анализе панелей требуется определить средний квад-
рат напряжений, возникающих в ней при действии нагрузок. В этом
случае правую часть выражения (7.49) умножаем на которое
означает квадрат напряжений, возникающих в точке х при ее единич-
ном перемещении. Тогда спектральную плотность напряжений можно
определить из следующего соотношения:

5'о(х,®) = Л25/,(<й)^

Л2(*Н(*)
|7»|

(7.50)

Интегрируя это соотношение по всему частотному диапазону, по-
лучаем значение среднего квадрата напряжений.
8.	Звукопоглощение

Как указывалось выше, отдельные механизмы и машины являются
источниками высокоинтенсивного шума, который вредно влияет на
окружающую среду и людей. Поэтому проблема снижения шума весь-
ма актуальна и требует комплексного подхода.

Применяемые в современной технике методы борьбы с шумом
можно условно разделить на активные и пассивные.

К активным относятся методы, при которых снижение шума осу-
ществляется воздействием на механизм шумообразования того или
иного источника. Например, в авиации снижение шума достигается
применением двухконтурных двигателей, специальных насадок на вы-
хлопные сопла, звукопоглощающих облицовок в каналах воздухоза-
борников и газовых трактах.. В турбовинтовых самолетах используют
малошумные винты, применяют синхронизацию и синхрофазирование
вращения винтов.

Среди пассивных методов, прежде всего, следует отметить рацио-
нальную компоновку шумящих механизмов в рабочем помещении. К
пассивным методам относятся также хорошо известные в акустике ме-

г оды звукопоглощения и звукоизоляции.

Метод звукопоглощения предполагает ис-
пользование звукопоглощающей способности
материалов и конструкций.

Известно, что звуковая энергия, распро-
страняющаяся в воздушной среде, при встре-
че с ограждениями частично отражается или
поглощается ими. Некоторая часть звуковой
энергии проходит за ограждения и излучается
в воздух соседнего помещения (рис. 8.1).

Отбирая акустическую энергию падающих

волн, звукопоглощаю-

щие материалы превращают ее в тепловую энергию. Процесс превра-

щения акустической энергии в тепловую происходит за счет вязкого

трения воздуха в узких порах рыхлого материала или за счет внутрен-
него трения в материале гибких панельных конструкций, колеблю-
щихся под действием звуковых волн.

Способность материалов и конструкций поглощать звуки оценива-
ется коэффициентом звукопоглощения а:

пад

где Д10гл ~ энергия, поглощаемая материалом; Епад - энергия, падаю-
щая на материал.

Коэффициент звукопоглощения а для различных материалов опре-
деляется экспериментально, а его значение зависит от частоты и угла
падения звуковых волн.

Отношение отраженной энергии от поверхности материала к
падающей энергии Епад называется коэффициентом отражения Р:

Р = ^-.	(8.2)

^пад

Отношение энергии, проникающей через материал, Епрон, к па-
дающей, называется коэффициентом звукопроницаемости т :

т = ^Е2«.	(8.3)

^пад

Отсюда

а + ₽ + т = 1.	(8.4)

В строительных конструкциях энергия, проходящая через преграду,
ослабевает в тысячи раз, т. е. т « 0,001, тогда как аир выражаются
десятыми долями.

Поэтому при анализе звукопоглощения и отражения звука внутри
помещения с точностью, приемлемой для практики, можно считать

а + р = 1.	(8.5)

Для плоской звуковой волны, направление падения которой состав-
ляет угол 0 с нормалью (рис. 8.1) к поверхности конструкции, коэффи-
циент звукопоглощения
а0=!-

7сО80-ре

7со50 + рс

(8.6)

где 2 - удельный импеданс звукопоглощающей конструкции, пред-
ставляющий собой отношение звукового давления р на поверхности
конструкции к нормальной составляющей колебательной скорости
воздуха :

(8.7)

Так же как и а, импеданс 2 является функцией частоты звуковой
волны

На практике обычно имеют дело главным образом с диффузным
акустическим полем. Коэффициент звукопоглощения а в диффузном
ноле рассчитывается по формуле

Л

2

|аезт 20б/0,	(8.8)

о

1 де ссе - коэффициент звукопоглощения материала при угле падения
звуковой волны 0.

Теоретические расчеты коэффициентов звукопоглощения для раз-
личных конструкций и материалов дают лишь приблизительные их
значения. Наиболее надежными являются значения коэффициентов
шукопоглощения, определенных экспериментально в реверберацион-
ных камерах.

Все звукопоглощающие материалы и конструкции по характеру по-
глощения звука подразделяются на четыре класса:

•	пористые (волокнисто-пористые);

•	резонансные;

•	панельные:

•	штучные.

8.1.	Волокнисто-пористые материалы

К этим материалам относятся войлок, фетр, вата, стекловолокни-
стые плиты. В авиации известны материалы типа АТМ, созданные на
основе стекловолокна, и ВТ-4 -- на основе капрона. Одной из основных
характеристик этих материалов является коэффициент пористости, ко-
торый определяется как отношение объема сквозных пор к общему
объему звукопоглотителя. Для волокнистых материалов пористость
составляет 0,65...0,99. Эти материалы изготовляют на заводах в виде
матов, рулонов, плит, панелей, блоков.

Падающие на эти материалы звуковые волны вызывают колебания
воздуха в узких порах - каналах материала. В воздушных капиллярных
трубках возникает трение и, как следствие, необратимые термодина-

мические потери.

Рис. 8.2

Необходимая толщина И волокнисто-
пористого материала (рис. 8.2) выбирается
из следующих условий: амплитуда давления
звуковой волны, отраженной от жесткой
стенки, при выходе из слоя не должна пре-
вышать 6 % от амплитуды падающей волны.

Для соблюдения этого условия толщина слоя /? должна быть не ме-
нее следующих значений, если средняя пористость будет иметь поря-
док 0,8, а нижняя граничная частота 100 Гц:

(8.9)

и

, 260

/? =----

г

(8.10)

Здесь г - сопротивление продуванию на всю толщину материала. При
г >10 дин-с/см4 расчет ведется по (8.9), а при г <10 дин-с/см4 -
по (8.10).

В пористых материалах коэффициент звукопоглощения растет с
увеличением частоты. Наибольшее значение этого коэффициента по-
глощения наблюдается при частоте

Е—

1 5,28й

(8.И)

Здесь с - скорость звука в воздухе, см/с, Л - толщина материала, мм.

Для частот ниже наблюдается спад коэффициента звукопогло-
щения, на частотах выше - поглощение звука приблизительно по-
стоянно.
Следует указать, что для каждого звукопоглощающего материала
есть предельная толщина, увеличение которой не приводит к росту
поглощения звука на средних и особенно на высоких частотах.

Одним из способов смещения часто-
ты максимального звукопоглощения в
низкочастотную область является созда-
ние воздушного промежутка за волокни-
сто-пористым материалом (рис. 8.3).

Звуковые волны, падающие на жест-

Рис. 8.3

кую стенку, совместно с отраженными

волнами, образуют систему стоячих волн. Ближайшая пучность коле-
бательной скорости частиц находится на расстоянии четверти длины
волны 0.25Х от отражающей поверхности.

Максимальное поглощение звука такой конструкцией наблюдается
в случае, когда середина волокнисто-пористого материала находится в
пучности колебательной скорости, т. е.

(8-12)

Пористые звукопоглощающие облицовки нередко покрывают жест-
кими перфорированными экранами из фанеры, металла, пластика, что
позволяет увеличить эффективность звукопоглощения на низких час-
тотах. Это обусловлено увеличением толщины облицовки и наличием
вязкого трения в перфорации. Площадь перфорации принимают рав-
ной 15.. .20 % от площади экрана, а диаметр отверстий - 3... 10 мм.

Такая облицовка позволяет получить требуемое звукопоглощение
для различных частот. Резонансная частота таких покрытий определя-
ется по формуле

(8.13)

Рис. 8.4

где Ъ - толщина пористого материала; к -
толщина перфорированного слоя; р -отно-
шение площади перфорации к общей пло-
щади покрытия (рис. 8.4).
8.2.	Резонансные поглотители

Рис. 8.5

Резонансные поглотители представляют собой специальные кон-
струкции, основанные на акустических свойствах резонатора Гельм-
гольца.

Классический резонатор Гельмгольца со-
стоит из воздушной полости К, соединенной
каналом с окружающей средой (рис. 8.5).

Если размеры резонатора малы по сравне-
нию с длиной падающей звуковой волны, то
столб воздуха в канале резонатора можно рас-
сматривать как жесткий поршень, совершаю-
щий под действием воздуха возвратно-поступа-
тельное движение. Этот поршень играет роль

массы колебательной системы. Полость системы, заполненная возду-
хом, представляет собой упругое сопротивление. Собственная частота
такого резонатора определяется по формуле

г = ±. К
р 2л\/кГ

(8.14)

где и 1К - площадь и длина канала резонатора. В длину канала ре-
зонатора, кроме толщины стенки Ьк, включены концевые поправки
44=0,88^.

В случае совпадения частоты звука с собственной частотой резона-
тора в последнем возбуждаются и резко возрастают вынужденные коле-
бания объема воздуха. Эти резонаторы применяются для поглощения
шумов, имеющих ярко выраженные дискретные составляющие. Вклю-
чение в канал пористого материала резко повышает его эффективность.

Звукопоглощение такого резонатора эквивалентно некоторому ко-
личеству квадратных метров поверхности, полностью поглощающей
падающую на нее звуковую энергию. Приблизительно эту площадь А
можно оценить по формуле

А = 0,16

(8.15)
Например, для К = 103 см3, г = 1 см, I = 5 см /р = 155 Гц, тогда по
формуле (8.15) Л = 0,76 м2.

На практике обычно вместо штучных резонаторов применяют резо-
нансные панели ~ перфорированные экраны, которые представляют
собой перфорированные листы, расположенные на некотором расстоя-
нии от твердой стены (рис. 8.6).

Рис. 8.6

На внутренней стороне экрана приклеивается ткань.

Если перфорация распределена равномерно, то резонансная частота
такой конструкции определяется по формуле

с I

(8.16)

83. Мембранные поглотители

Мембранные поглотители представляют собой раму, на которой
укреплены тонкие листы фанеры, металла, пластика. Под действием
падающих волн гибкие элементы колеблются и за счет внутреннего
трения происходит превращение кинетической энергии их колебаний в
тепловую. Такие щиты крепятся к ограждающим конструкциям с зазо-
ром (рис. 8.7).

пластина

Рис. 8.7

Данные конструкции обладают хорошим звукопоглощением в об-
ласти низких частот. Максимальное звукопоглощение достигается при
величине зазора Ц равного примерно четверти длины падающей волны.
8.4.	Штучные поглотители

Рис. 8.8

В больших помещениях, в цехах около источников
интенсивного шума подвешивают штучные носители,
имеющие форму куба, конуса, шара (рис. 8.8).

Группа таких поглотителей разного размера может
создать многорезонансную систему с широким диапазо-
ном частот.

8.5.	Расчет снижения шума в помещении

Звук, излучаемый в помещении, распространяется иначе, чем на от-
крытом воздухе. Поле, создаваемое источником звука в свободном
пространстве, называется свободным полем. Убывание плотности зву-
ковой энергии на расстоянии К от источника шума в этом случае опре-
деляется формулой

Я =	(8.17)

ОАс

где Жо - излучаемая звуковая энергия; Ф - коэффициент направленно-
сти излучения; О - телесный угол, в котором происходит излучение;
с " скорость звука.

В закрытом помещении происходит отражение и поглощение зву-
ковой волны стенами. Полное поглощение А этими поверхностями оп-
ределяется по формуле

п

А =	(8.18)

м

где а и 5 - коэффициент поглощения и площадь каждой поверхности.

Источник шума мощностью И7, равномерно излучающий энергию
по всем направлениям, создает в помещении плотность рассеянной
энергии

4 И7

— -	(8’9)

сА
Эта формула справедлива для прямоугольных помещений. После
прекращения излучения шума плотность энергии в помещении будет
убывать по закону

сЛ(

Е^) = Е^,	(8.20)

где /Г01 - плотность звуковой энергии при установившемся равнове-
сии; V- объем помещения.

Важной акустической характеристикой помещений служит время
реверберации Тн . Это время затухания звуковой энергии после вы-
ключения источника. Стандартное время реверберации подразумевает,
что плотность энергии затухает в 106 раз, т. е.

-ЗИ-зНО6.	(8.21)

М')

После логарифмирования соотношения (8.20) получаем

Тн = 0,162—.	(8.22)

А

Это есть известная формула Себина, выведенная в предположении на-
личия в помещении диффузного поля. Используя эту формулу, можно
найти звукопоглощение покрытия помещения.

Определив из эксперимента 7}6 по формуле (8.22) можно рассчи-
тать полное поглощение А.
9.	Звукоизоляция

Звуковые волны, падающие на какую либо преграду, вызывают ее
движение. Преграда любого типа, являясь системой с распределен-
ными параметрами, т. е. системой, имеющей бесконечный ряд собст-
венных частот, переходит в состояние вынужденных колебаний и са-
ма становится источником шума, излучая его в окружающее
пространство. Однако значение этой излучаемой мощности в сотни и
более раз меньше звуковой мощности, падающей на преграду от ис-
точника. В тех случаях, когда частоты возмущений и собственных
колебаний преграды совпадают, наступают резонансные колебания, и
преграда работает менее эффективно, т. е. звукоизоляция его пони-
жается.

Существует расчетная модель: преграда разделяет две среды; шум в
первой среде возбуждает колебания преграды, и соответственно пре-
града излучает шум во вторую среду.

Звукоизолирующая способность преграды характеризуется коэф-
фициентом звукопроницаемости т, который определяет отношение
звуковой энергии, прошедшей через преграду, к величине энергии, па-
дающей на нее:

т = ^-,	(9.1)

Л

где - интенсивность звука, прошедшего через преграду; - ин-
тенсивность звука падающего на преграду.

Величина К~ 10 1§(1/т) называется звукоизоляцией или потерями
при прохождении.

В случае плоских звуковых волн, падающих на преграду, и одина-
кового волнового сопротивления среды рс по обе стороны имеем


(9.2)

где рх, р2 - давление падающей на преграду и прошедшей через нее
звуковой волны.

9Л. Прохождение звука через границу раздела двух сред

Рассмотрим плоскую звуковую волну, па-
дающую на границу раздела двух сред,
имеющих соответственно волновое сопро-
тивление и р2с2 (рис. 9.1).

Пусть Рх 1 - давление в волне, падающей
на границу раздела; Р12 - давление в волне,
отраженной от границы раздела; Р21 - давле-
ние в волне, прошедшей через раздел. Эти
давления записываются в виде

Рн =41ехр[/(®4-^1хх-Л12г)];

Р12 = Ап ехр[/(ю/ - кХхх + ?)];	(9.3)

Р21 = 4,ехр[/(ю/-^х-Л22г)].

Здесь к[х - кх ып 01; сов 0!; к2х ~ к2 $ш 02; к2г = к2 сок 02; кх, к2 ~
волновые числа, кх -со/с1? к2 = со/с2; 0! - угол между волновым век-
тором падающей звуковой волны и нормалью к границе раздела; 02 ™
угол между волновым вектором прошедшей звуковой волны и норма-
лью к границе раздела; сх, с2 ~ скорость распространения звука в пер-
вой и второй средах; со - частота звуковой волны. Если с\ &с2, то
сх 8Ш 62 = с2 8П1 ©!.

На границе раздела (г = 0) необходимо соблюдать равенства давле-
ний и компонентов колебательных скоростей

^11 + ^12 = ^2Ь

^11 + и12 “г/21-
Учитывая, что для прямой волны Р - +рси, а для обратной Р = -рсг/,

имеем:	Р11+Д2=Р21;	(9.4)  =	(9.5)  2]	22

Здесь	, 72 = Р— ~ нормальные акустические импедансы.

СО80]	со§02

Из уравнений (9.4) и (9.5) имеем

^12 “

^11(^2 ~^1)

+/2

_ 2РН22

И _---------

г1+/2

(9-6)

Так как интенсивность звука в падающей волне равна сумме интен-
сивностей звука в отраженной и прошедшей волнах

(|Л,|)2	(|лг|)2 . (|Р2.|)2

27,{	221	222 ’

то выражение для отношения интенсивностей /2 /./[ будет иметь вид

Л ! 1^2-г.|2

/1	|22+21|2

(9.7)

Из формулы (9.7) видно, что для снижения проницаемости т надо
увеличивать различие между нормальными акустическими импедан-
сами двух сред.

9.2.	Прохождение звука через слой конечной толщины

Рассмотрим теперь прохождение плоской звуковой волны из одной
среды в другую через слой конечной толщины И (рйс. 9.2).

Каждая из сред, а также промежуточный слой имеют свои волновые
сопротивления. Давление в волнах записывается в виде:
= Лнехр[/(®г-Л1хх-Л1г.г)]: Р12 = 42ехр[/(ю/-*1хх + *1гг)];

Р2| =Л1ехр[г(®?-А2хх-^2г2)]; Р22 = ^22ехр[/(го/-А2хх + Л2г2)];

Р31 = Л3]ехр[/(<о/-А3хх-^3гг)].	(9.8)

Здесь /г]х=4:151пе1, Аг,г=^СО50], Л2х=^81П02, Л2.= /г2СО802, Л3х=^81П03,
/с3г =/т3со803, к\=<о/с{, к2=к>/с2, к3-а)/с3.

Рис. 9.2

Аналогично (9.4) и (9.5) записываются граничные условия на гра-
ницах раздела сред 1-2 и 2-3 в виде

Рп +Р}2 =Р2Х +Р22;	=^~ — при 2 = 0;

Р21+Р22=Р31;	Р21 ?22 =^- при 2 = Л. (9.9)

/2 /3

Здесь =-ВЙ-; 72 =-Р^; 73 =^_

СО80[	СО802	СО803

Из этих соотношений и условия

Я = 101§

И1|2г3

_Из|2^.

(910)
определяем звукоизоляцию

Ке =Ю1ё

1+А

СО82 (А:2Лсо802) +

?2,2,
-----I	
к 23-% 2 )

2
81П2 (Л2/?СО802) — .

(9.Н)

Когда по обе стороны пластины находится одна
(2, = 72=70),то

л?0 =ю

СО82 (А2/?СО802 ) + — —+ —

4 V	)

81П2(А:2/гсо802)

среда

(9.12)

Из этой формулы видно, что на определенных частотах, когда выпол-
няется равенство

А2Асо802 (/1 = 1,2...),	(9.13)

звукоизоляция слоя равна нулю, т. е. звуковая волна полностью прохо-
дит через слой, - это так называемый эффект резонанса толщины. Это
явление имеет место, когда проекция 1/4 волны (нечетное число 1/4
волны) на нормаль к слою равна его толщине, т. е. когда выполняется
равенство

Л2Асоз02 =

2и + 1
-----7Г

(9.14)

звукоизоляция имеет максимумы, не зависящие от частоты звука.

= 20 1ё| ^-+^-1-6

(9.15)

При нормальном угле падения звуковых волн (01 = 02 =03 =0) вы-
ражение (9.11) принимает вид

к Рзсз у

у

со8 к2И +

Р2С2

<Рзсз

2?о =1018

А2

Р1А -2/7 Рзсз
22-1- 81П Л2/;

Р2С2)	Р1с1

(9.16)
В случае, когда к2к«1, р1с1«р2с2; р3с3«р2с2, что всегда
практически выполняется для тонкостенных конструкций в воздухе, с
учетом А2с2-ю, р2к = т (т - поверхностная масса)

Яо = Ю1ё

/	\2

РА + Рзсз Рзс‘з

Рзсз

2Р2С2 ) РА 12РзсЗ) Р]С’]

(9.17)

На практике обычно интересуются не величиной звукоизоляции
в соответствии с определением 1Л = 12т“|), а величиной

в этом случае определяется как

А р

кпеуш- = |о|8

И1Г

/ , \2 (
РА + Рз*з +|

< 2р2с2

(9.18)

I 2РзС3 2

11ервый член под знаком логарифма значительно меньше второго,
I юэтому

1018—
Ы

= 201ё

(ЙОТ

(9.19)

Если Р|С, = р3с3=р0с0, то

Яо = Ю1ё

2РзсЗ )

Здесь р0 - плотность воздуха; с0 ~ скорость звука в воздухе.

Эта формула выражает так называемый «закон массы» в звукоизо-
ляции ограждающих конструкций.
9.3.	Звукоизоляция одностенной конструкции

Рассмотрим простейший случай. На плоскую безграничную пре-
граду нормально к ее поверхности падает плоская звуковая волна
(рис. 9.3), которая вызывает ее синфазные колебания.

2

Рис. 9.3

Волновое сопротивление среды роСо по обе стороны преграды счи-
тается одинаковым. Звуковое давление в падающей, отраженной и
прошедшей через преграду звуковой волне Рц, Р12, Р21 записывается

в виде	Рц = 41ехр[/(о/-Л0х)];  Р12 = Д2 ехр[/(®/ + Ло2)] 1	(9-21)  Р21 = 4л ехр[/(<о/ - Ло2)],

где = со / с0.

В случае чисто инерционного движения преграды под действием
звуковых волн уравнение движения

	о2  ^-? = (Л1+^12 + ^1)|2_о-	<9’22)  дг

Учитывая соотношение

	р^. = _^	(9.23)  д( дг

где р - плотность среды; и - скорость частиц; Р - давление звуковой
волны, а также равенство скорости колебаний преграды гг и скоро-
сти и, из уравнения (9.21) находим
< 2Росо >

и Ао-Ю1ё

0)Ш

2росо >

(9.24)

? , е. «закон массы».

При выводе уравнения (9.23) имеем в виду, что м = -0ф/&,
Р - р0Эф / д!, ф ~ потенциал скорости (ф = А ехр/(<о/ - кг)} .

Оценим влияние упругости преграды и рассеивания в ней энергии
на звукоизоляцию. Считаем, что силы упругости при движении пре-
। рады являются реакцией равномерно распределенных на ее поверхно-
I ги «пружин» с жесткостью В, Для учета рассеивания энергии в пре-
। раде принимаем В = В(\ 4- /т|).

Тогда уравнение движения преграды будет

А2™

т—— 4-
А2

в(1+/п)^-(р11 + 712-р21)|2=0.

(9-25)

В этом случае получаем

2рососо }

ю----

со

2р0с0

(9.26)

Нели пренебречь рассеиванием энергии, то

х0 =

В
ты----

со

2Т1

2росо

(9.27)

При резонансной частоте сор = 4в/т имеет место полное прохож-
дение звука (эффект упругого резонанса). При частоте возбуждения
со»сор получаем для выражение, соответствующее «закону мас-
сы», а при со «сор
Яо = Ю1ё

^2р0с0со^

(9.28)

Для звукоизоляции с учетом рассеивания энергии в общем случае
имеем

(	2

соптп
^=1018 1+-^------

2р0с0ю I

тсо
2р0с0

1

2
со

(9.29)

На резонансной частоте

( соптт|
у^=201§ 1+~——

V 2росО)

(9.30)

Рис. 9.4

На рис. 9.4 показан график зависимости от ®/ 0)р с учетом рас-
сеивания энергии.

9.4.	Прохождение звука через гибкую пластину

При решении задачи о прохождении звука через гибкую пластину
обычно учитывают продольные и поперечные колебания, симмезрич-
ные и асимметричные, разбивая воздействующую акустическую на-
грузку на симметричную и асимметричную. Однако, как показывают
расчеты, уже при сп! / >4й, где сп =1,35(с0У};)1/2, влияние продоль-
ных волн на звукоизоляцию можно не учитывать. Это положение
справедливо для тонкостенных авиационных конструкций во всем час-
тотном диапазоне.

Рассмотрим бесконечную тонкую пластину, на которую действуют
звуковые волны. Волновой вектор звуковой волны направлен под уг-
лом 0 к нормали пластины (рис. 9.5).

Рис. 9.5

Тогда выражения звуковых давлений в падающей, отраженной и
прошедшей волне , Рп, Р2\ записываются в известном виде

Л1 = А1 ехр[/(<Щ - кхх - к2г)\ ;

Р12 = А12 ехр[/(<Щ - кхх + кгх)];

Р21 = Я21 ехр[/(®/ - кхх - V)],

(9.31)

з де кх = к() 8Ш 0; к2 - к0 созО;	= р2с2 = росо.

У равнение вынужденных колебаний пластины

дх

+ /”^?“(Р|1+7‘2“Р211=о

Решение этого уравнения ищем в виде

= уут ехрр(со/ -	•

(9.32)

(9.33)

Замечая, что

9	9

м' = ы//о) и д XV/д( =1(х>и,
получаем отношение разности между звуковым давлением по разные
стороны пластины к колебательной скорости пластины в направлении,
перпендикулярном ее поверхности,

_(/11+/12-^21)|г=0

Аю ------------------

- иып

(1 + /Г])4 Аф 81П4 0

1

(934)

и

Здесь кц = со /с0, ки - 2я / кт.

Величина называется импедансом безграничной пластины для
вынужденных изгибных колебаний при падении звуковых волн под
углом 0. При нормальном падении звуковых волн (0 = 0) импеданс
= /сот.

Граничные условия по обе стороны пластины записываются в виде

И1-^2)г=()	_	^21 г-о а

--------—со80 = и,-------=^-со80 - и .

Росо	Росо

Тогда с учетом (9.33) и (9.34) имеем

। 2*еС05е

^21	2р0С0

(9-35)

(9.36)

Подставляя выражение для 2^ из (9.34), получаем

7?е = 101ё

Л1
^21

, „ , Г, АЖ0Т1&П 8<П4 0СО80

= 10 1§	1 +---—------д----

\ 2рос<Л

/ИГО СОЗ 0

2Росо >

&о81П40^

Р

Ки 7

(9.37)

Пренебрегая рассеиванием энергии в пластине (т| = 0), имеем

Ке=101ё

отсосозО
< 2росо

л-4 ст4 А^2

Л0 ЫП V

Ки 7
Когда к() 81П0 = ки, т. е. когда след падающий на пластину звуковой
волны равен длине свободной изгибной волны в пластине, наблюдает-
ся полное прохождение звука — эффект волнового совпадения. Частота
при которой наблюдается это явление, называется частотой волно-
вого совпадения

1рк

с

(9.38)

Перепишем выражение (9.37), вводя в него ®с:

?ч22
тыг\ сок 0 со

2р0с0 ®2 >

При частотах © «<ос

Ле=Ю1ё

гтшсо80

< 2Росо

/ пЛ2
/ЖОСО80

< 2Росо >

(9.39)

(9.40)

’)то выражение иногда называют «законом масс» для углового падения
звуковых волн.

При частотах о»озс и малых значениях т|

„	ЛКО3СО80

Ло=2О1ё-------г.

гросо^е

(941)

Из соотношения (9.39) виден более интенсивный рост Ка по мере
увеличения со, чем рост в соответствии с законом масс. При

= 201/1 +

ч

ЮсЩТ]СО80
2р0с0

(9.42)

1

Зависимости от (л/а>с и Г| приводятся на графике (рис. 9.6).
Рис. 9.6

В практике обычно угол 0 не является постоянным. Как правило,
мы имеем дела с диффузионными полями. В этом случае коэффициент
звукопередачи т представляет собой статистически усредненную вели-
чину, которая связана с коэффициентом звукопередачи т0 формулой
Пэриса:

л

2

Т = |т(О)81П0б/0.

О

9.5.	Звукоизоляция двухстенной конструкции

В настоящее время для звукоизоляции широко используются кон-
струкции, состоящие из двух тонких пластин с воздушным промежут-
ком (1 между ними, частично заполненным мягким пористым материа-
лом (рис. 9.7).

Такие пористые материалы состоят из тонких стеклянных, базаль-
товых, капроновых волокон или легкого вспененного полиуретана.
Предполагается, что упругость воздуха существенно выше упругости
самого материала, поэтому звуковая волна, распространяющаяся по
скелету материала, быстро затухает и в практических расчетах звуко-
изоляции ею можно пренебречь. Такой звукопоглощающий материал
характеризуется одной постоянной распространения у - р + /а .
Рассмотрим случай прохождения звуковых волн через такую конст-
рукцию. Пусть вектор падающих звуковых волн составляет с нормалью
। (ластины угол 0. Тогда звуковое давление в каждой из сред и в проме-
жуточных слоях, опуская сомножитель ехр(лвг), запишем в виде

71 = Р\ । + Р12 = А1 ] ехр[/Аг] (-Х81П0] - гсоз0])] +

+Л12 ехрр&] (-х 81П0] + гсо80[)];

Р2 = Р2) + Р& - т421 еХр[/А:2 (-Х81П 02 - 2СО802 )] +
+А22 ехр[/&2 (-Х8Ш02 + 2СО802)];

/>3 =Р31 + Р32 = Л31ехр[у(-х81п03 -гсо803)] +
+Л32ехр[у(-х8т03 + гсо803)];

(9-43)

Р4 = Рщ + Р42 = А41 ехр[/&4 (-Х81П04 - гсо804)] +
+Я42 ехр[/Л4 (-Х8Ш04 + 2СО804)];

Р5 = Л51 ехр[/^5(-х81п05 -гсо805)].
Нормальные составляющие колебательных скоростей будут иметь
вид

_сове,,	,  М1 -	ип ЛгЛ  Р|с1	
_ 00802 г» _р у  и2 -	(г21	'227’  Р2С2  Рзс3	х 0) у	(9.44)
,00804,	у  Щ -	('41	'42)’  Р4О4	

«5 =

со§е5 п

'51'

Р5С5

Поскольку толщина тонких пластин мала по сравнению с длиной
звуковой волны в материале пластины, колебательная скорость пла-
стин практически не меняется вдоль их толщин. Такие тонкие пласти-
ны можно считать пластинами нулевой толщины (но не при вычисле-
нии их импеданса). Тогда имеют место равенства:

= и2 при 2 = 0;
щ - и5 при г = с/.

(9.45)

На границе воздуха и слоя мягкого пористого материала условие
непрерывности нормальной составляющей колебательной скорости
дает соотношения

- и?, при г = <72;

м3 = м4 при 2 = й?2 +	(9.46)

Запишем уравнения пластин через их импедансы:

р\~р2=2и\и\ ПРИ 2 =	(947)

Р4 - Р5 = 2и2и5 при г~с1.
На границе раздела двух сред (воздуха и мягкого пористого мате-
риала) на основании третьего закона Ньютона существуют соотноше-
ния

Р2 -Р3 при 2 = б/2;

= /4 ПрИ 2 = б/2 4- б/3.

(9.48)

! 1одставляя в эти восемь уравнений соответствующие выражения для
звуковых давлений и нормальных составляющих колебательных ско-
ростей, получим систему восьми уравнений и найдем отношение зву-
кового давления в падающих на конструкцию звуковых волнах и про-
шедших через нее волн (7^ /Т^). Когда параметры среды по обе
< гороны конструкции и в промежутках <72 и сЦ одинаковы, а

= 02 = 04 = 05 = 0О? получим

^11 _ еЧ'з+'(<Рз-ф) (23 +

”	47073

7	1	7 (

—и! е*Ч>2 "I

270 )	270

73 + 70 ?

е~^2

1+^2.

2^о )

^и2 |

I + 20,

е-/ф4

Ал
2А

А^
А + А >

е'Ч>2 _

Ал -1<Р2
270

А + А >

е'Ф4 А/2 С~>Ф4
270

е-2(уз+/<р3)

(9.49)

В этой формуле используются следующие обозначения:

4|/3 - Р<73 сок 0О; (р - к0<1 соз 0О; <р2 = кос12 со§ 02;

Ф3 - а.с13 соз03; ф4 = к0с!4 соз 0О; 70 = росо / сое 0О;

А " Рзсз / со8®з ’ СО8 03 = - (с3 / с0)2 81П2 0О ;

03 - агсз1п

А
а2 +р2

(а + /р)81п0о

а2 + р2
а + /р
%и\ “ 7

сош2 -

ЕХ1Х (1 + /Г)! )со3 81П4 0О

адО + Йг)®38»14^

тщ =	; т2 = Р2*$2 ’ Л ” 5? ^2; /2 ~ я2 ^2;

ри р2,	Е2, Пн П2’ Ни ц2 - плотность материала, модуль упру-

гости, коэффициент потерь, коэффициент Пуассона соответственно
для первой и второй пластин.

Звукоизолирующая способность такой конструкции определяется
выражением

П1
^51

а звукоизоляция -

К = 201ё

Л1
^51

(9.50)

При диффузном падении звуковых волн звукоизолирующая спо-
собность конструкции равна

|сО80о 81пбос/0о
г =_0__________________

? 00800 8Ш0О

г

О

СО80о8П1Оо

(9-51)

где г - звукоизолирующая способность конструкции при падении зву-
ковых волн под углом 0О . Верхний предел 0 берется обычно меньше,
чем л/2, так как реальное звуковое поле не бывает идеально диффуз-
ным.
Звукоизоляция конструкции при диффузном падении звуковых
волн рассчитывается по формуле

/?(/ = 101егб/=-101§ [?--П^-С-?8еР.4/е0-3.	(9.52)

о г

Из соотношения (9.49) можно рассчитать звукоизоляцию двухстен-
ных конструкций с воздушным слоем между пластинами со слоем зву-
копоглощающего материала между пластинами.

9.6.	Влияние промежуточных опор на звукопередачу

В случае, когда пластина жестко закреплена на промежуточных
опорах, сами опоры практически не вносят дополнительных возмуще-
ний в звуковое поле, а влияют на условия, при которых происходят
колебания пластины. В этом случае звукоизоляция пластины с проме-
жуточными опорами выше звукоизоляции пластины без опор, особен-
но на частотах, значительно превышающих первую резонансную час-
тоту ячейки пластины.
10.	Виброзащита и виброизоляция

10.1.	Постановка задачи

Обеспечение надежности и долговечности работы машин, оборудо-
вания, аппаратуры в условиях вибрации и ударов требует решения во-
просов виброизоляции и виброзащиты.

Виброизоляция, виброзащита, амортизация, демпфирование, вибро-
гашение, вибропоглощение - далеко не полный набор задач, возникаю-
щих в различных отраслях промышленности. Каждая из этих задач -
специфическая, но у них есть общее: стремление ограничить изменение
параметров колебательных процессов (смещение, перегрузки) опреде-
ленными рамками.

Объект виброизоляции совместно с устройствами, помещенными
между ним и основанием, образует виброзащитную систему. Поэтому
задача виброизоляции заключается в установлении функциональных
связей между параметрами объекта и внешними возмущениями. Наи-
более типичные примеры.

1.	Двигатель на фундаменте имеет неуравновешенный ротор. Зада-
ча виброзащиты - уменьшить колебания фундамента.

2.	Прибор установлен на самолете. Задача ~ уменьшить колебания
корпуса прибора. Объект защиты - прибор.

3.	Защита водителя, тракториста от вибрации.

Существуют пассивные и активные виброзащитные системы. К пер-
вым относятся механические системы, состоящие из масс, упругих эле-
ментов и элементов, рассеивающих энергию. Ко вторым относятся сис-
темы, содержащие устройства для использования внешних источников
энергии. Практически все виброзащитные системы можно разделить на
два класса: регулируемые и нерегулируемые системы. Нерегулируемые
системы можно разделить на амортизаторы, динамические гасители
вибраций, демпферы.
Амортизаторы в зависимости от конструктивных особенностей
могут быть резиновыми, резинометаллическими, цельнометалличе-
скими.

Динамические гасители бывают с демпфированием, без демпфиро-
вания, ударные гасители направленного действия.

Регулируемые виброзащитные устройства могут быть как пассив-
ными, так и активными, со ступенчатой, плавной, ручной, автоматиче-
ской настройкой.

В зависимости от принятой математической модели задачи теории
вибрации разделяются на линейные и нелинейные.

В расчетной модели виброзащитной системы можно выделить три
основные части: источник возмущения, объект защиты, виброизоли-
рующее устройство (рис. 10.1)

источник	объект

Рис. 10.1

В большинстве случаев масса одного из элементов системы суще-
ственно превышает массу другого. Например, на рис. 10.2, а объект
имеет большую массу. Поэтому надо говорить о защите здания, со-
оружения, перекрытий, возбуждаемых работающим оборудованием.

а	б

Рис. 10.2

Схема на рис. 10.2, б используется для защиты приборов, точных
механизмов, т. е. оборудования, чувствительного к вибрациям.
10.2.	Эффективность виброзащиты

Рис. 10.3

Рассмотрим классическую модель про-
стейшей виброзащитной системы с одной
степенью свободы (одноосный виброизоля-
тор) (рис. 10.3).

Дифференциальное уравнение движения
такой системы при силовом возбуждении
имеет вид

х" + 2пх' + а>^х =	(Ю.!)

т

где п-с 12т - коэффициент демпфирования; <а0 = (к/т)1/2 - частота
собственных колебаний.

Для такого виброизолятора реакции К и К' равны по величине и
представляют сумму 2пх' + а^х.

При силовом гармоническом возбуждении Еоз\па>1, а
2,(1) = 0, цель защиты состоит в уменьшении амплитуды силы, пе-
редаваемой на неподвижное основание:

= (102)

^®2 - со2 ) + 4и2®2
или в уменьшении амплитуды колебаний:

х„= ,	(10.3)

~ ®2) + 4и2®2

Вводя безразмерные параметры г = ®/ю0 (коэффициент расстрой-
ки) и V = п / ®0 (относительный коэффициент демпфирования), пере-
писываем выражение (10.3) в виде

Х,=-Г,	— =	(Ю.4)

/с^(1-22) + 4у222
Здесь цп~Р{}1 к - статическое смещение системы под действием ста-
тической силы, равной амплитуде возмущающей силы Р(1).

Величина Лд. (коэффициент динамичности) имеет вид

(10.5)

Усилие, передаваемое на основание (10.2), в безразмерных пара-
метрах записывается в виде

Къ = ^0Хх/1 + 4у2/ .

(10.6)

Поэтому коэффициент передачи усилия на основание равен

1	1 + 4у2х2

р'о ^(1-.г2) + 4у222 К

Иначе он называется коэффициентом виброизоляции.

Аналогично отношение

называется коэффициентом динамичности.
В случае кинематического возбуждения

Р^-0;	=

(10.8)

цель защиты состоит в уменьшении амплитуды абсолютного ускоре-
ния (перегрузки) объекта:



^осо2-^©^ + 4н2со2

(Ю.9)

или в уменьшении амплитуды его колебаний относительно основания:
В этом случае рассматриваем отношения

1 + 4уУ

Юо4о	+4у222

Хр =
^(1-?)2+4у2?

А.У0 ______1______

р° ^(1-?)2+4у222

(10.11)

(10.12)

(10.13)

Коэффициенты кк, кх, к'х характеризуют качество виброзащит-
ной системы при силовом и кинематическом возбуждении. Рассмот-
рим зависимость кК от коэффициента расстройки г.

Эффективность виброзащиты по критерию кр < 1 обеспечивается
при любом демпфировании в частотном диапазоне х > л/2 , причем
эффективность тем выше, чем слабее демпфирование. Наилучшей эф-
фективностью обладает идеально упругий виброизолятор.

Эффективность виброзащиты по критерию кх < 1 обеспечивается в
диапазоне 7 > у/2 при любых значениях V, при V > 1 / л/2 виброзащита
эффективна во всем диапазоне частот 0 < 2 < оо, а при V < 1 / л/2 эф-
фективность имеет место в диапазоне частот х>^2^1-2у2^. При
фиксированном значении г эффективность повышается с ростом
демпфирования.

Эффективность виброзащиты по критерию кх < 1 обеспечивается
во всем частотном диапазоне, если V > 1 / л/2, а при V < 1 / >/2 - в диа-
пазоне 0<2<^2^1-2у2) . На фиксированной частоте степень эффек-
тивности повышается с ростом демпфирования.
На рис. 10.4 представлен график зависимости коэффициента виб-
роизоляции кн от расстройки г.

Удобной формой описания свойств линейной системы в условиях
вибрационных воздействий являются операторы динамической подат-
ливости	связывающие силу	приложенную в точке В

объекта, с проекцией перемещения хА (/) точки А на некоторое на-
правление:

ХА (1) = 1ВА	

(10.14)

Обратные операторы КВА= (/?) называются операторами дина-
мической жесткости.

Операторы 1л(р) и Кл(р) связывают силу, приложенную в точке

4 с перемещением той же точки на направление этой силы.

Рассмотрим виброзащитную систему общего вида (рис. 10.5)

'ИО

1

0.1

Рис. 10.5

Уравнение движения этой системы

тхх +(с' + с1)х1 +	= сх^кх + Р^~/{1/)	(10.15)

перепишем в виде

/(')=—5--------—т-г=*(')’	(Ю.16)

тр +ср + с\р + к + к1
где выражение

—-------!----ГТ='М	<|017>

тр +ср + с{р + к + к1

является дробно-рациональной функцией оператора р = (1/(11.
При кинематическом возбуждении оператор динамической подат-
ливости будет иметь вид

= —----С— - - ,	(10.18)

тр + ср + с1р + к + к1

а при динамическом

/2(р) = —----’----—(10.19)

тр +ср + с\р + к + к\

т. е. кинематическое возбуждение х(1) может быть заменено эквива-
лентным силовым х(1)(ср +к).

Выражения операторов 1Вд(р) > СД-Р) совпадают с преобразовани-
ем Лапласа для преобразуемых операторами функций, т. е.

1ва(р)~

хй(0]

Л(')]

^ХА(1)е~р,а

о

00

1/в(1)е-р‘сН

О

(10.20)

Ь

1

В силу свойств преобразования Лапласа, где Л^(/) -импульсная
переходная функция, являющаяся реакцией системы в точке А на
приложенное в точке В воздействие в виде 5-функции.

Отсюда

ха (0 = \кЬа 0 ~ Т)А (ХНТ = \}1Ьа (Т)Л (' "	’

О	о

ОО

О

(10.21)

(10.22)

ГП		|Х1(1)
к1Ц 1  1	=“		*с1	Ту©
/7'7/77	ь	1  |х(1) / //

Рис. 10.6

Дня механических систем преобразование
Лапласа при р = /со переходит в преобразование
Фурье.

Как говорилось выше, вычисление реакции
объекта на заданное воздействие может прово-
диться как во временных, так и в частотных
представлениях. Реакции систем на вибрацион-
ные воздействия удобнее вычислять в частотных
представлениях для гармонических и полигар-
монических воздействий, амплитудные и фазовые значения рассчиты-
ваются для каждой гармонической составляющей.

Для случайных стационарных процессов

।	|2

$ха (<$) \$ВА 0$0|	($0 >

(10.23)

тогда среднеквадратическое значение реакции будет

(10.24)

В практике расчетов некоторых одномассовых виброзащитных сис-
тем (например, пневматического типа) используют расчетные схемы,
подобные показанным на рис. 10.6.

Такая схема не приводится к простейшей, показанной на рис. 10.3.
Однако эффективность виброзащиты в этом случае оценивается теми
же параметрами X, т|, для которых сохраняется физический смысл.
11.	Нелинейные колебания
виброизоляторов

Нелинейность виброизоляторов обусловлена несколькими причина-
ми. Во-первых, свойствами материала, из которого изготавливается уп-
ругий элемент. Упругие элементы, изготовленные из резины,имеют уп-
ругую характеристику, показанную на рис. 11.1, а. Во вторых, конструк-
тивными особенностями упругих элементов. Такими нелинейными ха-
рактеристиками обладают, например, конические пружины (рис. 11.1, б),
упругие элементы с начальным натягом (рис. 11.1, в). Кроме того, часто
в виброизоляторах устанавливают ограничительные упоры (рис. 11.1, г),
тогда упругая характеристика приобретает ломаную форму.

Нелинейный характер могут иметь и диссипативные силы, возни-
кающие в виброизоляторах при их деформации.

Рис. 11.1
11.1.	Нелинейные явления в виброизоляторе
с одной степенью свободы

Рассмотрим типовую систему виброизолятора с нелинейным упру-
гим элементом при силовом гармоническом воздействии (рис. 11.2).

Рис. 11.2

Уравнение движения такой системы записывается так:

тх +Ьх +Е[х^ = С0со8(>)1.	(11.1)

Вводя обозначения

А = 2„; ^ = /(х);	(11.2)

т	т	т

получаем уравнение (11.1) в виде

х + 2пх + /(х) = #0со8ац.	(11.3)

В этой системе после некоторого переходного процесса, обычно
кратковременного, устанавливаются периодические колебания, имею-
щие период Т= 2я/со либо период аТ, где 8 - целое число. Субгармони-
ческие колебания реализуются только в нелинейных системах.

Периодическое решение этого уравнения обычно оказывается близ-
ким к гармоническому процессу и поэтому в первом приближении ра-
зыскивается в виде

х = а0 + асо8(<Ш + ф),	(11.4)
где а0 - смещение средней линии амплитуды колебаний от положения
статического равновесия; а - амплитуда колебаний, ср - сдвиг по фазе
между колебаниями и возбуждающей силой.

Связь между «о и а получается из условия равенства нулю постоян-
ной составляющей силы /(х), которая может быть приведена к форме

2 71

|/(а0 +асо8ф)<7(р^/0(а0, а) = 0.
о

(И.5)

Из этого уравнения можно определить зависимость ао(а). Амплиту-
да колебаний

а =	ьо	.	(п.б)

^Х2(а)-©2^ + 4л2©2

Здесь функция Х(а) выражает зависимость частоты свободных ко-
лебаний массы т на нелинейной пружине Г(х) от амплитуды, причем

I

Х2(а) =— |/[<70(а) + асо8(р]созфб/(р.	(И-7)

ла 0

Зависимость Л.(а) называется скелетной кривой системы.

После определения амплитуды а из уравнения (11.6) можно найти
сдвиг по фазе <р:

ШФ =

2л©

X2 (а) - ©2

(Н.8)

Определив периодическое решение (11.4), можно получить коэф-
фициент виброизоляции, характеризующий в данном случае отноше-
ние амплитуд первых гармоник соответствующих сил, ускорений или
перемещений:

зД2(а) + 4и2©2
—

^Л2(а)-©2^ + 4и2©2

(П-9)

При фиксированном значении © уравнение (11.6) может иметь не-
сколько решений (аь аг, аз), которым соответствует несколько различ-
ных периодических движений системы с одинаковым периодом 2л/ю.
Решив уравнение (11.6) при различных значениях со, строим резо-
нансную кривую (рис. 11.3).

Рис. 11.3

В точках А, В, С резонансная кривая имеет вертикальную касатель-
ную. Точки А, С практически совпадают с точками пересечения ске-
летной кривой со = к(а). Участки АВ и СР) соответствуют неустойчи-
вым решениям. На этом рисунке построена кривая со = 21/2Х(я). Все
точки резонансной кривой, расположенной правее этой линии, соот-
ветствуют периодическим режимам, при которых обеспечивается ус-
повие виброизоляции (К& < 1). Для остальных режимов условие виб-
роизоляции не выполняется.

При оз < СО] в системе возможен только один периодический режим
периода Г, поскольку одному значению со соответствует одно значение
и. Однако при колебаниях на этом режиме виброизоляция объекта не
выполняется.

При СО] < со < С02 имеются три периодических решения периода Т.
Одному из них соответствуют колебания малой амплитуды. Однако
существование устойчивого режима с большой амплитудой приводит к
недопустимости работы системы в этом диапазоне. Случайный толчок
может вывести систему на этот режим; при этом величина кн окажется
значительно больше единицы.

В диапазоне со2 < со <со3 существует только одно периодическое
движение, при котором К& < 1. В этом частотном диапазоне виброизо-
лятор эффективен.

На режиме со > со3 вновь создается опасность выхода системы на
режим большой амплитуды.
В зависимости от вида нелинейности и закона изменения ам-
плитуды вынуждающей силы до при измерении частоты со резонансные
кривые могут иметь различную форму.

В случае кинематического возбуждения системы (см. рис. 11.2, б)
О = /я&о®2.

Возможность возникновения резонансных периодических колеба-
ний на частотах, лежащих в рабочем диапазоне виброизолятора
(со > соо21/2), может быть исключена двумя способами:

1)	увеличением области линейности виброизолятора, т. е. его сво-
бодного хода. Однако расширение области линейности приводит к
увеличению габаритов виброизолирующего устройства;

2)	увеличением коэффициента сопротивления т|.

11.2. Нелинейные явления в виброизоляторе

с сухим трением и линейным упругим элементом

Уравнение движения такой системы записывается в следующем
виде:

+	- #0(со)со8(Щ.	(11.10)

Здесь Л = Н/т - отношение силы сухого трения к массе объекта. Счита-
ется, что трение на контактах поверхности подчиняется закону Кулона.

В зависимости от соотношения между амплитудой вынуждающей
силы и силой сухого трения в системе могут возникать различные ви-
ды движения.

1.	Если ^о(со) < Л, система «заперта» сухим трением. Это означает,
что при нулевых начальных условиях объект колеблется вместе с ис-
точником.

Рис. 11.4

2.	Если Л < #о(со) < 4/г/л, в системе происхо-
дят движения с остановками, которые могут
быть периодическими с периодом Г=2я/а).
При движениях с остановками максимальное
значение абсолютного ускорения движущейся
массы лишь незначительно отличается от ^о(со),
т. е. виброизоляция оказывается неэффектив-
ной.
3.	Если <70(со0)>4Л/л, то в системе при со = соо возникает резо-
нанс, при котором амплитуда колебаний теоретически может неогра-
ниченно возрастать. Чтобы резонанс не возрастал, система должна ос-
таваться запертой при со = соо.

Оценивая эффективность виброизолятора с сухим трением при
со > соо, надо иметь в виду следующее обстоятельство: с ростом со ве-
личина ^о(со) обычно остается ограниченной, поэтому амплитуда а
относительных колебаний уменьшается.

Коэффициент виброизоляции, рассчитанный по первой гармонике,
равен

где

^(со) +—Л2
л

2	2

СО -<о0

(11.12)

С ростом со коэффициент Кк стремится к предельному значению.



(П-13)

Для схемы, показанной на рис. 11.4, демпфер включается на часто-
тах, при которых

Г \	1	®

^о(со)> 1----у

соо

4/г

(Н-14)

Приведенные формулы позволяют оценить виброизоляции к сухим
трениям.
113. Виброизолятор с демпфером сухого трения
и нелинейным упругим элементом

Данная система описывается дифференциальным уравнением

X + /78§П% + /(%) - 2() 008(0/ ,	(11.15)

приближенное периодическое решение которого можно искать в фор-
ме (11 .4). При этом сохраняется условие (11.5), связывающее с/(} и а .

Амплитуда колебаний тогда

2/ \ 56 . 2  АМ<°)	2Л  У._____л  |х2 (а) - а»21	(11.16)

где X2 (б?) определяется по формуле (11.7).

11.4.	Виброизолятор с внутренним трением
и нелинейным упругим элементом

При колебаниях, близких к гармоническим, сила внутреннего тре-
ния в материале упругого элемента может быть линеаризована и пред-
ставлена в форме

(0	(11.17)

где а. со - амплитуда и частота колебаний; Р, ц - параметры, характе-
ризующие свойства материала, из которого изготовлен упругий эле-
мент.

Уравнение движения такой системы имеет вид

-	• г/ \  X + —	X + /(%) = СО8С0/ .  тсо	(11.18)

Периодическое решение ищется также в виде (11.4), тогда ампли-
туда колебаний будет:
&)(«>)

^(»)-ш2)2+р]я2<1‘-|>'

(11.19)

где р1 - р/ш.

Для определения формы резонансных кривых достаточно найти
точки пересечения скелетной кривой (11.7) с линией предельных ам-
плитуд:



а~

Р1

(11.20)

11.5.	Нелинейные явления при полигармонических
и случайных воздействиях

При произвольном динамическом воздействии 6(0 уравнение дви-
жения системы записывается в виде

х + 2пх + / (х) = 8 (О’

(11.21)

где #(0 = 6(/)/т.

Рассмотрим некоторые особенности поведения этой системы при
стационарном воздействии #(0-

Пусть периодическая функция имеет вид

со

(11.22)

Тогда установившееся движение тоже будет периодическим. В пе-
риодическом решении периода Т обычно преобладает первая гармони-
ка. Высшие гармоники имеют существенное значение лишь в тех слу-
чаях, когда они могут вызвать резонансные колебания.

В первом приближении установившееся движение системы (11.21)
может разыскиваться как полигармонический процесс:

со

х = а0 + ^ак соз (о>к( + ак +6Ц.
к=1

(11.23)
Уравнение (11.21) можно решать различными методами. Наиболее
простым оказывается метод эквивалентной линеаризации нелинейной
функции /(х) по функции распределения процесса (11.23)

Если - стационарный нормальный процесс с заданным матема-
тическим ожиданием и спектральной плотностью (со), то при-
ближенное решение уравнения (11.21) разыскивается в виде стацио-
нарного случайного процесса, также обладающего нормальным рас-
пределением. В соответствии с методом статистической линеаризации
функция /(х) заменяется линейной функцией

/(^) = /о + ?(х“"/х)’	(11.24)

где тх - математическое ожидание искомого процесса, а коэффициен-
ты /о и выражаются через тх и дисперсию решения о* следующим
образом:

1	00

/о =-7—-

2о2

(11.25)

Я = - 7== 2 1/(^)(^-«'х)ехР
^2п<Ух

2о2

(11.26)

Заменяя в (11.21) /(х) по (11.24), получаем линейное уравнение.
Решая его, выражаем спектральную плотность, дисперсию и матема-
тическое ожидание решения через коэффициенты линеаризации:

М®)=

\а - о2 + / • 2и®|

(11.27)

,	1 “ бЛсо)

;2=_ Г---------(11.28)

* О,. 3 I >	I2

-мк-аг +/-2исо

/о = т8 •

(11.29)

Уравнения (11.25), (11.26), (11.28) и (11.29) образуют систему, из
которой определяются о2, тх,
12.	Защита от ударных воздействий

В механике силовым ударом называют результат воздействия на
гело сил бесконечно малой длительности, вызывающих мгновенное
изменение его скорости на конечную величину. В технике понятие
удара трактуют более широко. Ударом называют силовое или кинема-
тическое воздействие относительно малой продолжительности и отно-
сительно большой интенсивности.

Анализ поведения виброзащитных систем при ударе показывает,
что имеется ряд параметров ударного воздействия, в наибольшей сте-
пени влияющих на движение виброизолированного объекта. К их чис-
лу относятся (рис. 12.1): о0 - пиковое значение; т - длительность им-
пульса; б'д - полный импульс ударного воздействия.

Эти величины связаны между собой:

т

о

Формы импульсов, применяемые при расчетах, показаны на
рис. 12.2.
Рис. 12.2

В реальных условиях длительность всякого импульса ограничена;
поэтому считают о(/) = 0 при I < 0 и I > т.

Иногда для удобства аналитического описания формы импульса
применяют аппроксимирующие функции, не обращающиеся в нуль ни
при каком значении /. Для этого вводят понятие длительности импуль-
са на уровне о*, считая длительностью промежуток времени 0 < I < т*
(см. рис. 12.1).

12.1.	Уравнение движения системы при ударе

Расчетная модель пассивной виброзащитной системы с одной сте-
пенью свободы состоит из твердого тела, движущегося вдоль оси х, и
безынерционного виброизолятора, состоящего из пружины, демпфера
и основания (рис. 12.3).

При силовом возмущении, когда к телу т приложена внешняя сила
ДО, направленная по оси х, основание считается неподвижным и явля-
ется объектом защиты.

При кинематическом возмущении, когда основание двигается по
закону Д/)> тело т будет объектом, который подвергается воздействию
со стороны виброизолятора, создающего силу К (х', х'), где х' - отно-
сительная координата объекта т,х' = х -
Рис. 12.3

Таким образом, уравнение движения тела т при силовом возмуще-
нии Д7) имеет вид

х + г(х, х) = о(/),	(12.1)

. К(х, х) , х Г((}

где г(х9 л:)-— ---ош = ——.

т	т

При кинематическом возмущении движение объекта т относитель-
но подвижного основания имеет вид

х' + г(х',х') = а(г),	(12.2)

где ст(/) = -^(г).

12.2.	Ударные характеристики виброизолятора

При ударе материал упругого элемента виброизолятора работает в ус-
ловиях, существенно отличающихся от режима статического или гармо-
нического возбуждения. Поэтому ударная силовая характеристика
виброизолятора, представляющая зависимость его ударной реакции от
деформации, отсчитываемой от равновесного положения под статиче-
ской нагрузкой, может в значительной степени отличаться от соответст-
вующих статической или динамической характеристик (рис. 12.4).

Ударные характеристики являются нелинейными функциями де-
формации упругого элемента; однако, при относительно небольших
деформациях допустима их линейная интерпретация:

7?(х,х) = с,х.	(12.3)
Коэффициент с* в этом выражении называется ударной жестко-

стью виброизолятора и в неявной форме содержит информацию о па-
раметрах удара, внутреннем трении в материале и т. д. Если удар со-
провождается значительной деформацией, то необходимо учитывать
нелинейность характеристики 7?(х, х).

Рис. 12.5

Силовая характеристика демпфированных изоля-
торов может описываться в виде

Я(х,х) = с,х + ф(х),	(12.4)

где ср (х)-демпфирующая составляющая реакция.

Например, для виброизоляторов типа АФД или
АПН, имеющих вид, показанный на рис. 12.5, и со-
стоящих из двух конических пружин: (р = //§§пх,
где Н ~ сила сухого трения, составляющая 15...25 %
от статической нагрузки.

12.3.	Поведение линейной недемпфированной системы
при ударе

Дифференциальное уравнение движения такой системы относи-
тельно основания записывается в виде

х + а>»х-о(/),	(12.5)

где со* = с, / т; о(1) - закон изменения ускорения основания (штрих
при х опущен). Обычно полагают, что удар действует на покоящийся
объект (х = 0, х = 0), поэтому решение этого уравнения имеет вид
1 * х(/) = — (0) 8Й1 со» - 0)<70. со» 0  Если ударное воздействие имеет длительность т, т.е.	(12-6)
VI н  Л VI  О  О' О'  О и	(12-7)

то решение принимает вид

1	1  	|сг(0)81ПСО»(/-0)с/0, 0</<т, /д ®* 0  40 = 1  Iх  	(0)81П СО» (/ - 0) с/0, 1>Х.  При 1 > т происходят свободные колебания объекта.	(12.8)

Абсолютное ускорение объекта х(/) связано с координатой х соот-
ношением х(^) = и*х(?), тогда

1  со, |о(0)8тсо, (?-0)с/0, 0</<т,	(12.9)

со» |о(0)81Пй),(/-0)с/0, 1>х.

. о

При расчетах виброизоляторов необходимо вычислять наибольшие
значения относительного смешения х и абсолютного ускорения х(/).
Для этого соотношения (12.8) и (12.9) удобно представить в виде

1  х(0 = д(/)81п[со,/ - у(^)1 при Г>0,  X (?) = С0,1? (?) 8Ш [со,/ - \|/ (/)],	(12.10)
где

к (4=7 я2 (0+52 (О ; (0=;

(12.11)

г	/

Л(/)~ |а(0)со8О)*0с/0; 5(г)~ |о(0)81псо*Ос/0
о	о

Для воздействий типа (12.7) при / > т

(О - Л(т); ДО - Дт); <р(О = <р(О; ДО =Дт).	(12.12)

Эти процессы х(0,х(^) можно рассматривать как модулированные
по амплитуде колебания частоты со*, а функции 7?(/)/со* и со*7?(/)
играют роль огибающих соответствующих процессов.

Следовательно, наибольшее отклонение объекта и его наибольшее
ускорение не могут превзойти наибольших значений функции
7?(/)/ со* и со*7?(/), превращающихся при I > т в прямые, параллель-
ные оси А

Обозначим через /* момент достижения наибольшего отклонения
тела т относительно основания. Удар, для которого момент /* > т есть
одновременно момент достижения первого максимума |х(/)|3 называ-
ется коротким, в противном случае удар называется длительным. От-
клонение объекта при длительном ударе может иметь несколько мак-
симумов, причем момент I =Т* может превышать или не превышать т.

Таким образом, при коротком ударе

тах, к (7)1 = х - —7?[т1;

1 к 71 со* 1 4	(12.13)

шах, [%(^)| = х = (0*7? (т).

Отметим связь между функцией К(1) и спектральными характери-
стиками о(0-

Запишем спектр Фурье функции сг(О, удовлетворяющей выражению
(12.7):

7^(ко)= { ст(б)е‘'м0б/е.	(12.14)
Вводим текущий спектр Фурье Га (/, /со) для о(/):

Ра (/со) = |о(0)е "оес/0 при 0</<т.
о

(12.15)

Тогда



Г' т

(/, «п)| =	|о(О)сО8СО0б/0

р	У

+ |а(0)81ПСО0с/0 ,
ко	)

I т

[/^ (/со)| ~ 4 |о(0)созсо0с/6

ПО

+ |сг(0)81ПСО0г/0

1о

Таким образом, зная текущий амплитудный спектр |/?а(/,/со)| воз-
действия а(0 и собственную частоту колебаний со*, можно получить
оценку сверху для его наибольшего отклонения х и максимальной пе-
регрузки х(г) при длительном ударе и точные значения х(/) и х(/) при
коротком ударе.

Пример

Вычислим амплитуды послеударных колебаний
при ударе с прямоугольным импульсом.

Имеем

(12.16)

/Д/со) = ао

к'“0с/0 = -^(1-Г'мт
/со'

(/со) = —1(1 - - СОЗ СОТ ) - / 81П сот!

/со1	’

2ап . сот

-——

Внося (12.16) в (12.10) и учитывая (12.15), получим

। 7 Ч| 2о0 . сот
тах,> х(г)	.

со 2

(12.17)
12.4.	Ударные спектры простого осциллятора

Ударным спектром колебательной системы называют зависи-
мость пикового значения ее реакции от частоты системы, периода, от-
ношения периода к длительности ударного импульса.

Аналитических выражений пиковых значений реакции даже для
простейших динамических систем не существует, поэтому ударные
спектры обычно изображают в виде графиков или задают таблично.
13.	Активные системы виброизоляции

Виброизолирующая защита с помощью пассивных систем оказы-
вается малоэффективной при возбуждении в области низких частот, а
также при действии широкополосных вибраций. В этом случае все
большее применение находят управляемые системы виброизоляции,
называемые активными. Управление в таких системах сводится к ком-
пенсации дополнительным источником энергии внешних сил, вызы-
вающих вибрацию защищаемого объема.

Активные системы вибрации применяются для защиты объектов в
тех областях, где предъявляются особо жесткие требования к допусти-
мому уровню вибрации: виброизоляция станков, стартовых платформ
ракет, колебания самолетов.

Активная система содержит чувствительный элемент, управляю-
щие, усилительные и исполнительные устройства.

В качестве чувствительных элементов применяют датчики, регист-
рирующие силы возбуждения, реакцию объекта или его кинематиче-
ские параметры - перемещение, скорость, ускорение.

Системы датчиков используются для формирования сигналов
управления, осуществляемого элементами цепи обратной связи. После
усиления сигналы подаются в исполнительное устройство.

В зависимости от вида исполнительного устройства различают гид-
равлические, пневматические, электромеханические, электромагнит-
ные системы активной виброизоляции.

Выбор типа системы определяется предъявляемыми к ней техниче-
скими требованиями. Так, для обеспечения высокой статической жест-
кости целесообразно использовать гидравлическую систему Пневма-
тические системы позволяют получить малые жесткости.

Электромагнитные системы обладают малой инерционностью и по-
зволяют варьировать амплитудно-частотные характерно гики.
	т1	
У	I А 1	е
	т2	Т ^А,Я|
с	1^!  /7///	ь НО)  //

Рис, 13.1

Рассмотрим задачу активной виброизоляции
при кинематическом возбуждении. Целью виб-
розащиты является уменьшение колебаний
массы т2 (рис. 13.1).

В схему рис. 13.1 введена активная обратная
связь, формирующая управление {/(/), которое
приложено к промежуточной массе гп2 . В этом
случае возможны следующие варианты:

~ управление по отклонению масс или т2 ;

- управление по возмущению ^(/).
Рассмотрим эти варианты.

13.1.	Управление по отклонению

Пусть управление формируется по перемещению 2В массы т2:
и^~Ю?(р)гв,	(13.1)

где	- передаточная функция цепи, включающей датчик и

исполнительное устройство; к - коэффициент усиления.

Обозначим как - движение массы т2 до введения управле-
ния Ц. После введения управления ее движение будет

М'МЛ'МО’И')’	<13-2>

где /2(/0 ~ оператор динамической податливости, связывающий пе-
ремещение массы т2 с силой, приложенной к т{.

Подставляя (13.2) в (13.1), получим

(’3-3)
где передаточная функция замкнутой системы

^(г) = [1 + Ф2И’'	(13.4)

выражает перемещение массы т2 в системе с управлением через пе-
ремещения той же массы в системе без управления;
Ф2 (р) - передаточная функция разомкнутой системы

Ф2Ср)=М/0жСр);

(13.5)

Кг (р) ~ характеризует эффективность активной виброизоляции. Сис-
тема эффективна, если (/>)| < 1.

Оператор динамической податливости 12(р) определяется из
уравнения движения масс т{ и ш2 при приложении сил Л] и Р2
(7.А=др,7в=д2у.

(т2р2' +Ьр + с\д1 + (Ьр + у)(д1 -Яг^Р^,

'	(13.6)

^гРг^г + (^ + у)(?1~д^^Рг^\

решая которые, получим:

Ч\ = Ло С?) \пЧР + Ьр + у}р1 + (Ьр + у)Р2 ;

(13-7)

72 =Л01(/>) (Ьр + у)Р1 +(т{р2 + Ьр + Р/7 + с + у)Р2 ,

где

до(р) =

т^р1 + Ьр + Р/7 + с + у ~($Р + у)

-(Рр + у) т2р2+Ьр + у

Отсюда

4(р) =

__________________Рр+у_________

т{р2 +Ьр + $р + с + у)(т2р2 + &Р + У) ~(Рр + у)2

(13.8)

Если управление формируется по перемещению Т.А объекта, то
управляющее воздействие

V = ~к№(р)ХА.	(13.9)
Поскольку зависимость между перемещением объекта и промежу-
точного тела

2„=----(13.10)

т2р + ир + ^

не меняется при введении управления, эффективность управления
полностью характеризуется изменением перемещения объекта т2, что
соответствует передаточной функции замкнутой системы

^2(/?) = [1 + Ф1(/,)]4	(13.11)

и разомкнутой системы

Ф^ЖЦЖ^/О,	(13.12)

где в соответствии с (13.7)

/,(Г)= ----------------------------------- (13|3)

+ Ьр + $р + с + у)\т2р + Ьр + у )-(Рр + 'у)

Пусть активная виброзащитная система содержит датчик ускорений
и исполнительное пневматическое устройство в виде апериодического
звена с оператором

1Р(р} = _Р—,
к ’ Тр + \

где Т- постоянная времени исполнительного устройства.

Тогда передаточные функции разомкнутых систем будут иметь
следующий вид:

при управлении по перемещению массы тх

л . кР2 к \ кр2(т2р2+Рр + у)
7> + 1/1^	(7> + 1)Д0(Я

при управлении по перемещению массы т2

7> + 1/2^ (7р + 1)Д0(/>)‘

(13.14)

(13.15)
13.2.	Управление по возмущению

Из уравнений движений системы

/„1^27л=_(^ + с)(7л_^)_(Рр + у)(7л_гв)_А_2л,	1б)

^2/?% =-(р^ + у)(7в-2л)

находим зависимость

(Ьр + с) (т2р2 + Ър + ч]

%А =-------------7---С3.17)

л / ч крг

Д0(р) + ———
и ’ Тр + \

Отсюда, используя передаточную функцию (13.9), получим

V = -~^—2А = -Ф-^(Ьр +	.	(13.18)

7> + 1 А 1 + Ф1Ср)К

Выражение (13.18) с учетом (13.11) показывает, что на частотах и,
при которых |Ф1(/ю)| » 1, высокоэффективная виброизоляция обеспе-
чивается управляющим воздействием

1/ = -(Ър + с)^(/),
формирующимся исполнительным устройством с передаточной функ-
цией

12(7?) = -(/>/? +с).

(13.19)
14.	Методы виброакустических
измерений

14Л. Основные понятия

Измерения являются одним из важнейших путей нахождения зна-
чений физических величин с помощью специальных технических
средств. Измерения механических величин составляют неотъемлемую
часть испытаний механических систем. Благодаря измерениям мы мо-
жем составлять эмпирические зависимости, описывающие определен-
ные физические процессы.

Измерения разделяются на статические, при которых измеряемая ве-
личина не меняется по времени, и динамические, при которых измеряе-
мая величина изменяется по времени. Существуют различные подходы
к измерениям параметров гармонических и случайных процессов. Виб-
роакустические измерения относятся к классу динамических измерений.
Измерения акустических и вибрационных характеристик не только важ-
ны для оценки реальных условий эксплуатации, но и дают важнейшую
информацию для составления программ нагружения при проведении
испытаний опытных конструкций в лабораторных условиях.

Типовая измерительная блок-схема измерений шума, вибраций
включает первичный датчик 7, анализирующий блок 2 и блок регист-
рации 3 (рис. 14.1). Рассмотрим особенности методов измерения ха-
рактеристик акустических и вибрационных нагрузок.

1	2	->	3

Рис. 14.1
14.2.	Акустические измерения

а сверху - нели-

При измерении акустических нагрузок определяются уровни звуковых
давлений, спектры. При изучении звуковых полей необходимо знать за-
висимость этих характеристик от пространственных характеристик.

Датчики измерительных давлений, или измерительные микрофоны,
предназначены для преобразования акустических колебаний в газовой
среде в электрические. Наиболее важными характеристиками микро-
фонов являются частотная характеристика чувствительности и дина-
мический диапазон измерения.

Частотная характеристика чувствительности микрофона должна
быть равномерной во всем диапазоне частот измеряемого сигнала и не
должна зависеть от условий окружающей среды.

Динамический диапазон (пределы измерения уровней звукового
давления) ограничен снизу собственными шумами,
нейными искажениями.

В настоящее время наиболее распространены
три типа измерительных микрофонов: конденса-
торные, пьезоэлектрические и электродинамиче-
ские.

Основными элементами конденсаторного ми-
крофона (рис. 14.2) являются мембрана 1 и не-
подвижный электрод 2.

Действие конденсаторного микрофона основано на преобразовании
звукового давления Р, падающего на мембрану, в изменение емкости
конденсатора, образуемого мембраной, неподвижным электродом 2 и
воздушным зазором между ними. Для выравнивания ста । плоского дав-
ления по обе стороны мембраны в корпусе 4 просверлено дренажное
отверстие 3.

Мембрана конденсаторного микрофона выполняется из никелевой
или титановой фольги. В России широко используются микрофоны дат-
ской фирмы «Брюль и Къер» с диаметром чувствительного элемента Г',
1/2", 1/4", 1/8", имеющие частотный диапазон от 4 Гц до 40 кГц и ди-
намический диапазон от 15 до 180 дБ; отечественные микрофоны типа
М-101 и М-201, микрофоны фирмы КТР типа МК 102, МК-201,
МК-301.

Особенностью эксплуатации конденсаторных микрофонов является
необходимость источника напряжения поляризации.
ле, 14.3

1	Пьезоэлектрические микрофоны обладают

очень широким динамическим и частотным диа-
пазоном, но имеют низкую чувствительность к
звуковому давлению. Действие пьезоэлектриче-
ского микрофона основано на возникновении пе-
ременного электрического потенциала на пьезо-
электрической пластине 1 (рис. 14.3) при действии
на нее звукового давления.

Возникающее напряжение подается на вход предусилителя. При
измерении акустических нагрузок используются микрофоны типа ЛХ
(ЛХ-610, ЛХ-516, ЛХ-517).

Существенным недостатком таких микрофонов является их высо-
кая чувствительность к вибрациям. Поэтому широкое распространение
получили пьезоэлектрические микрофоны с виброкомпенсацией. Если
эти микрофоны применяются для измерения акустических нагрузок на
поверхности какого-либо колеблющегося агрегата (например, самоле-
та), то необходимо изолировать конструкцию этого микрофона от ко-
леблющейся конструкции.

В ряде шумомеров второго класса использу-
ют электродинамические микрофоны (рис. 14.4).
Чувствительным элементом этого микрофона
является тонкая диафрагма 1.

При воздействии акустических давлений на
диафрагму связанная с ней звуковая катушка 2
перемещается в радиальном поле постоянного
магнита, в результате чего в катушке индуциру-

ется ЭДС. Напряжение со звуковой катушки 2 подается на вход усили-
теля непосредственно или через трансформатор. Микрофоны этого
класса МД-57, МД-58 имеют малый динамический диапазон (до
125... 130 дБ) и применяются в основном для измерения очень низких
уровней шума.

В последние годы для измерения акустических давлений высокого
уровня на поверхности самолета начали применять миниатюрные пье-
зорезистивные датчики, разработанные в ЛИИ им. М.И. Громова. Чув-
ствительным элементом такого датчика является мембрана из моно-
кристалла кремния, в поверхностном слое которой сформировано
четыре полупроводниковых тензорезистора, образующих тензометри-
ческий мост. Эти датчики позволяют измерять акустическое давление
от 120 до 180 дБ в частотном диапазоне от 0 до 15 кГц. Представите-

Рис. 14.4
лями этого типа являются дачики ДДЗ-018,
ДДЗ-017. Особенностью датчика ДДЗ-017 является
то, что чувствительный элемент устанавливается
на тонкой пластине (рис. 14.5), которую можно
приклеить к поверхности конструкции.

Для усиления сигнала микрофона используют
измерительные усилители или вольтметры. Они
отличаются большим значением коэффициента усиления, возможно-
стью устанавливать требуемое значение этого коэффициента, низким
уровнем собственных шумов, малыми нелинейными искажениями и
строго определенными частотными характеристиками. Для работы с
собственными микрофонами фирма «Брюль и Къер» выпускает усили-
тели типа 2606, 2607, 2608, 2609, имеющие частотный диапазон от

2 Гц до 200 кГц.

Как отмечалось ранее, очень важную информацию о характеристи-
ках случайных процессов можно получить из корреляционного и спек-

трального анализа.

В настоящее время развивается как аппаратурный спектральный
анализ, основанный на использовании специализированных аналого-

вых анализаторов, так и анализ с помощью вычислительных машин.

Среди всего разнообразия анализаторов можно выделить две груп-
пы: это аппаратура, действующая на принципе фильтрации, и аппара-
тура, реализующая преобразование Фурье. Аппаратуру первой группы
можно разделить на аппаратуру с непосредственной фильтрацией, с
предварительным гетеродированием, с временной компрессией.

Аппаратурный анализ с использованием непосредственной фильт-
рации основан на применении узкополосных полосовых фильтров
(обычно третьоктавных и октавных) (рис. 14.6).

Исследуемый сигнал через широкополосный усилитель / подается
на фильтры X] ~2п и затем через коммутатор 3 на регистрирующую
аппаратуру 4. На выходе каждого из полосовых фильтров находятся
квадратичный детектор и интегратор.

Рис. 14.6
Анализаторы спектра с предварительным гетеродированием осно-
ваны на использовании способа смещения частоты настройки одного
узкополосного фильтра. Эти типы анализаторов широко применялись
в 1970-1980-е годы, но эксплуатируются и в настоящее время. Однако
им на смену пришли цифровые спектроанализаторы, в которых ис-
пользуются цифровые фильтры, выполненные на интегральных микро-
схемах. Для расчета текущего спектра сигнала широко применяются
ЭВМ. При этом исследуемый сигнал представляется в виде дискрет-
ных отсчетов, а его текущий спектр рассчитывается с помощью непо-
средственного применения преобразования Фурье. Типичными пред-
ставителями этого класса являются цифровые частотные анализаторы
в реальном времени типа 2123/33 фирмы «Брюль и Къер».

Для записи исследуемых характеристик (спектров, частотных ха-
рактеристик) используются самописцы уровней типа 2305, 2307 фир-
мы «Брюль и Къер».

Типовая блок-схема измерений показана на рис 14.7, где 1 - мик-
рофон, 2 - предусилитель, 3 -- усилитель, 4 - анализатор, 5 - самописец
уровня.

1

Рис. 14.7

На практике, при измерениях на натуре, сигнал с усилителя запи-
сывают на магнитографы 6 (рис. 14.8), а затем в лабораторных услови-
ях сигнал с магнитографа анализируют с помощью анализирующей
аппаратуры.

Для измерения корреляционных характеристик акустических полей
используют корреляционные анализаторы, которые состоят из блока
запаздывания и перемножающе-интегрирующего блока.

Рис. 14.8	Рис. 14.9
14.3.	Вибрационные измерения

2

Рис. 14.10

Типичная схема вибродатчика показана на рис. 14.10.

В качестве чувствительного элемента 1 в та-
ком датчике используются монокристалличе-
ские или поликристаллические материалы, об-
ладающие пьезоэлектрическими свойствами.

Интегрирующий элемент 2, прикрепленный к
верхней части пьезоэлемента 7, при колебании
корпуса 3, вследствие стремления сохранить
состояние покоя, воздействует на пьезоэлемент

и вызывает его деформацию. Деформация пьезоэлемента и возникаю-
щий при этом электрический разряд пропорциональны ускорению.

Существует большое количество моделей пьезоэлектрических виб-
родатчиков, которые можно классифицировать:

•	по виду деформации пьезоэлемента;

•	по способу закрепления на конструкции;

•	по способу крепления пьезоэлемента.

Вибродатчики могут измерять виброускорение от 10 2 до 105 м/с2 в
полосе частот от 0,5 Гц до 50 кГц. Погрешность измерения вибро-
ускорений 2... 10 %. Вибродатчики могут эксплуатироваться в широ-
ком диапазоне частот: от-250° до +750 °С.

Масса вибродатчиков составляет от десятых долей до десятков
граммов. При измерении частотных характеристик тонкостенных кон-
струкций (панелей) датчик не должен вносить искажений формы коле-
баний.

Устанавливают вибродатчики на конструкциях на винтах, клее,
воске.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.	Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. - М.: Наука,
1979.

2.	Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. - М.:
Мир, 1989.

3.	Гудов А.И., Лешаков П.С. Внешние нагрузки и прочность летательных
аппаратов. - М.: Машиностроение, 1968.

4.	Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. -
М.: Наука, 1968.

5.	Светлицкий В.А. Случайные колебания механических систем. - М.:
Машиностроение, 1991.

6.	Макеев В.П., Гриценко Н.И. Павлюк К).С. Статистические задачи ди-
намики упругих конструкций. - М.: Наука, 1984.

7.	Николаенко И.А. Вероятностные методы динамического расчета ма-
шиностроительных конструкций. -М.: Машиностроение, 1967.

8.	Авиационная акустика / под ред. А Г. Мунина, В.Е. Квитки. - М.: Ма-
шиностроение, 1973.

9.	Флексеев СП., Казаков Ф.М., Колотилов Н.И. Борьба с шумом и виб-
рацией в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1970.

10.	Боголепов И.И. Промышленная звукоизоляция. - Л.: Судостроение,
1986.

11.	Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. - М.:
Наука, 1966.

12.	Вибрация в технике: справочник. В 6 т. - М.: Машиностроение 1995.
Левин Владимир Евгеньевич
Патрикеев Лев Николаевич

ДИНАМИКА МАШИН

Конспект лекций

Редактор И.Л. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Дизайн обложки А. В. Ладыжская
Компьютерная верстка Н.М. Шуваева

Подписано в печать 30.12.2009. Формат 60 * 84 1/16. Бумага офсегная
Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 8,13. Печ. л. 8,75. Изд. № 140. Заказ №
Цена договорная

Отпечатано в типографии

Новосибирского государственного технического университета
630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20