я
III I lilHWM»*—MP^M
ОСНОВАТЕЛИ
КИНЕТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ МАТЕРИИ
СБОРНИК
РАБОТ
©НТИ'1937
^ Г

ОСНОВАТЕЛИ КИНЕТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ МАТЕРИИ
СБОРНИК СТАТЕЙ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
А. К. ТИМИРЯЗЕВА
ПЕРЕВОД В. С. ГОХМАНА
4
8
в
ю
см
ОБЪЕДИНЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1987 ЛЕНИНГРАД

*Г 14-M
TKK № 87
Редакция С. С. Суворова. Оформление Я. Я. Костиной.
Корректура Л. А. Муйжель.
Учеты. № 4580. Тираж 6000. Сдано в набор 3/XI—36 г. Подп. в печ. 19/Ш—37 г.
Формат бумаги 62X94. Уч.-авт. л. 13,38. Бум. лист. 67/8. Печ. зн. в бум.
листе 101.000. Заказ № 1885. Уполном. Главл. № Б-13801. Выход в свет апрель
1937 г.
3-я тип. ОНТИ. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник посвящен истории кинетической теории
материи. Составлен он из отрывков тех основных работ, в которых
впервые была установлена кинетическая теория в ее современной
форме. Эта область физики в зачаточном виде существовала уже
в глубокой древности. Мы встречаемся с основными положениями
этой теории уже у Демокрита и Левкиппа две с лишним тысячи
лет тому назад. В нашем сборнике эти зачатки представлены их
позднейшим изложением в знаменитой поэме Лукреция: «О
природе вещей» (Книга И, стихи 112—141). Далее, на протяжении
веков эти мысли почти исчезают. Вновь в значительно более
развитой форме они появляются в XVIII в. у Даниила Бернулли и
М. В. Ломоносова в 1738 и 1745 гг., но и эти мысли, содержащие
уже количественные формулировки, не получили широкого
распространения.
Минуя ряд проблесков тех же самых идей в трудах Герапата
и Крёнига, мы непосредственно переходим к небольшому мемуару
Джоуля и к первому обстоятельному связному изложению
кинетической теории газов, принадлежащему Рудольфу Клаузиусу.
Эту классическую работу Клаузиуса мы даем в ее наиболее
современной форме, приданной ей самим Клаузиусом в III книге его
трехтомного сочинения «Механическая теория тепла». Эта часть
носит заглавие «Кинетическая теория газов». Нам представляется,
что именно этот труд, а не те отдельные статьи Клаузиуса, из
которых он получился, будет всего полезнее для читателя, так как
в смысле изложения он более доступен и в то же время эти
улучшения и вместе с тем упрощения в изложении были внесены
самим Клаузиусом1*, являющимся одним из творцов современной
кинетической теории.
Последняя часть этого сборника посвящена докладу Максвелла
на съезде Британской ассоциации в 1859 г. В этом докладе,
дающем также систематическое изложение кинетической теории,
впервые дается знаменитый максвелловский закон распределения
скоростей между молекулами.
Этим, можно сказать, завершается первый период развития
кинетической теории материи, и после этих работ можно считать
фундамент всего величественного здания этой ветви физики за-
*) Часть работы была даже начисто переписана самим Клаузиусом,
остающаяся часть была издана М. Планком и К. Пульфрихом на основе
черновой рукописи, оставшейся после смерти автора (24/VIII 1888).

4
ПРЕДИСЛОВИЕ
вершенным. Все остальные части этого здания, разросшиеся до
исключительных размеров, по существу опираются на этот
фундамент. Вот почему приведенные в сборнике работы представляют
нечто как бы совершенно законченно^ и по праву могут
называться основами современной кинетической теории материи.
Но помимо этого непосредственного интереса, история
развития кинетической теории заключает в себе очень много других
сторон, крайне поучительных. Особенно поучительным является
тот факт, что основы этой теории, в зачаточном виде
высказывавшиеся на протяжении белее чем двух тысяч лет, дали
некоторые плоды только в середине XIX в.
Это находится в прямой связи с развитием
производительных сил.
После промышленной революции XVIII в., когда, (выражаясь
словами Маркса, паровая машина «стала необходимой, а потому
и возможной», появилась насущная потребность изучить
теоретически вопрос о преобразовании тепловой энергии в механическую,
так как без этой теории невозможно было сколько-нибудь
рациональным образом ставить вопрос об усовершенствовании паровых
и вообще тепловых двигателей. А теоретическая задача о
преобразовании теплового, т. е. молекулярного, движения в работу
механического двигателя упиралась в основы кинетической теории.
Пожалуй, мало найдется еще других областей физики, где бы
связь между развитием производительных сил и так называемой
«чистой наукой» выступала с такой прозрачностью, как в данном
случав.
История возникновения кинетической теории материи
интересна еще и тем, что в этой истории впервые были изучены
случаи так называемой «статистической закономерности», — впервые
в этой теории на почве физики столь широко была приложена
статистика. На первых псрах развития кинетической теории, когда
мы еще не располагали возможностью на опыте учитывать
действия отдельных молекул, самое представление о молекулярном
строении вещества было всего лишь гипотезой. В эту пору
применение статистического метода к молекулярному миру требовало
большой смелости мысли. Ведь, в самом деле, самая постановка
статистических исследований е физике в корне отличалась от
постановки статистических исследований в области общественных
наук первой половины XIX в. Отдельные процессы, из которых
складываются статистические выводы в области общественных
явлений, воспринимаются нами непосредственно; сами выводы,
получающиеся в результате исследования, могут иногда казаться
парадоксальными лишь тому, кто видел только ограниченное число
фактов, из которых получается вывод. В кинетической же теории,
наоборот, мы не воспринимаем непосредственно тех элементарных
событий, например, ударов отдельных молекул о стенку, из
которых слагается, скажем, давление газа. Наоборот, статистическая
«редняя величина — результат большого числа ударов молекул
о стенку — надш непосредственно воспринимается. По этой при-

ПРЕДИСЛОВИЕ
»
чине самая вюзможностъ применения статистики к чему-то
невидимому и необходимость наблюдаемое явление изобразить как
статистический результат огромного количества элементарных
невидимых глазу процессов требовала от основателей кинетической
теории огромного напряжения мысли и необычайной смелости
воображения. Читатель сможет в этом убедиться по тем
первоисточникам, которые приведены в этом сборнике.
А. Тимирязев.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
А. К. ТИМИРЯЗЕВ Предисловие , 3
ЛУКРЕЦИЙ КАР
О природе вещей. Перевод Ф. А. Петровского 9
ДАНИИЛ БЕРНУЛЛИ
Гидродинамика, часть десятая. О свойствах и движениях упругих
жидкостей, в особенности же воздуха . . 13
М. В. ЛОМОНОСОВ
Попытка теории упругой силы воздуха 1745 19
Добавление к размышлениям об упругой силе воздуха 28
Д. П. ДЖОУЛЬ
Некоторые замечания о теплоте и о строении упругих жидкостей ... 31
Р. КЛАУЗИУС
Кинетическая теория газов 39
Глава I. Род движения, который мы называем теплотой 41
§ 1. Особое, независимое от общих выводов, представление
о теплоте 41
§ 2. Движения, которые можно допустить в газообразных телах 43
§ 3. Соотношение между различными одновременно
существующими движениями 44
§ 4. Объяснение давления газа 45
§ 5. Основания, вследствие которых газы не следуют точно
закону Мариотта и Гей-Люссака 47
§ 6. Поведение молекулы в трех агрегатных состояниях . . 48
§ 7. Объяснение процесса испарения 49
§ 8. Влияние на испарение газа, находящегося над
поверхностью жидкости 51
§ 9. Затрата теплоты и получение ее с помощью внешней
работы 52
§ 10. Затрата теплоты и получение ее с помощью
внутренней работы 64
§ 11. Объемные соотношения сложных газов 55
§ 12. Объемные соотношения простых газов и общий закон . 56
§ 13. Математическое определение давления газа 59
§ 14. Поведение молекул по отношению к движущейся стенке 62
§ 15. Живая сила и скорость поступательного движения
молекул 65
§ 16. Отношение между живой силой поступательного
движения молекул и энергией газа I , . 67

ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Стр.
§ 17. Закон скоростей молекул 60
§ 18. Некоторые выводы из закона скоростей Максвелла ... 72
Глава II. О средней длине пути молекул газа 76
§ 1. Особые предпосылки о силах, проявляемых молекулами 76
§ 2. Упрощение рассуждений 78
§ 3. Число столкновений и средняя длина пути точки,
движущейся внутри пространства, которое содержит произвольное
число поверхностей, препятствующих движению 80
§ 4. Число столкновений и средняя длина пути точки,
движущейся внутри пространства, в котором содержатся сферы
действия многих молекул 83
§ 5. Учет объема молекул 85
§ 6. Учет того обстоятельства, что движется не одна только
молекула, а в движении находятся все молекулы ....... 88
§ 7. Учет влияния оболочки, окружающей газ 92
§ 8. Пути, фактически проходимые отдельными молекулами 95
§ 9. Общее число столкновений и связанные с ним величины 98
§ 10. Средняя относительная скорость и средняя длина пути
молекул с заданной скоростью и обусловленный ими закон
скоростей испускаемых молекул 99
Глава III. О внутреннем трении газов . . „ 107
§ 1. Различные исследования по вопросу о трении газов . . 107
§ 2. Определение случая, подлежащего исследованию . . . 107
§ 3. Состояние движения согласно кинетической теории
газов и в частности поведение испускаемых молекул 108
§ 4. Исключение влияния, оказываемого различием массового i
движения на прохождение молекул через газ ..* Ш
§ 5. Положительные количества движения массового
движения, проходящего через плоскость yz I4 114
§ 6. Выражение коэфициента трения 115
§ 7. Анализ приведенного выше уравнения . . г 117
§ 8. Определение интеграла, входящего в выражение vj, на
основе максвелловского закона скоростей 118
§ 9. Дальнейшие преобразования полученного выражения . . 121
Глава IV. О теплопроводности газообразных тел . . . . 123
§ 1. Мотивы, побудившие предпринять это исследование . . J 23
\
I. Поведение молекул, испускаемых в рассматриваемом случае
бесконечно тонким слоем 124
§ 2. Установление случая, подлежащего исследованию ... 124
§ 3. Определение теплового тока, возникающего вследствие
проводимости ... • 125
§ 4. Два вида различия между движениями молекул .... 126
§ 5. Общий характер различий, обусловленных частным
случаем 128
§ в. Математические формулы для движений испускаемых
молекул - 130
II. Определение массы, количества движения и живой силы,
проходящих через плоскость 133
§ 7. Вероятность того, что молекула, испускаемая
бесконечно тонким слоем в заданном направлении, достигнет и
перейдет через заданную плоскость, перпендикулярную к оси х 133

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
§ 8. Определение массы, положительного количества
движения и живой силы, проходящих через рассматриваемую
поверхность 137
§ 9. Дальнейшая обработка выведенных уравнений 139
§ 10. Условия, которым должны удовлетворять величины Е, F
я О, я вытекающее отсюда дальнейшее упрощение их выражений 142
III. Обратное рассуждение для определения р о помощью q . . . . 144
§ 11. Состояние движения молекул, одновременно
находящихся в слое 144
ч§ 12. Выражение числа и положительного количества
движения молекул, сталкивающихся в течение единицы времени
в слое и испускаемых им после столкновения 147
§ 13. Выполнение интегрирования в уравнениях (31) и (32). . 151
§ 14. Сопоставление вывода, полученного в предыдущем
параграфе, с принятым в § 6 допущением, и вытекающие отсюда
следствия 153
IV. Окончательные итоги 154
§ 15. Состояние газа 154
§ 16. Преобразование формулы теплопроводности 155
§ 17. Выводы о теплопроводности * . 157
§ 18. Сравнение различных двухатомных газов 158
§ 19. Определение числового значения теплопроводности . . 159
| 20. Числовое определение К. . . -161
| 21. Сравнение приведенного выше значения с
теплопроводностью металла . 162
§ 22. Сводка полученных выводов 163
Р. КЛАУЗИУС
О РАЗМЕРАХ И ВЗАИМНЫХ РАССТОЯНИЯХ МОЛЕКУЛ 165
Р. КЛАУЗИУС
Проверка возражений, выдвинутых Гирном против кинетической
теории газов ' . 171
ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
Пояснения к кинетической теории газов • .... 185
Часть I. О движениях и столкновениях совершенно упругих шаров 187
Часть II. О процессе взаимной диффузии двух или более родов
движущихся частиц 203
Часть III. О столкновении совершенно упругих тел любой формы . , 21§

ЛУКРЕЦИЙ КАР
О ПРИРОДЕ ВЕЩЕЙ
ПЕРЕВОД Ф. к. ПЕТРОВСКОГО

Образ того, что сейчас описано мной, и явленье
Это пред нами всегда и на наших глазах происходит.
Вот посмотри: всякий раз, когда солнечный свет проникает
В наши жилища и мрак прорезает своими лучами,
Множество маленьких тел в пустоте ты увидишь; мелздая,
Мечутоя взад и вперед в лучистом сиянии света;
Будто бы в вечной борьбе они бьются (в сраженьях и битвах,
В схватки бросаются вдруг rto) отрядам, не зная покоя,
Или сходясь или врозь постоянно опять разлетаясь.
Можешь из этого ты уяснить себе, как неустанно
Первоначала вещей в пустоте необъятной мятутся.
Так о великих вещах помогают составить понятье
Малые вещи, пути намечая для их постиженья.
Кроме того, потому обратить тебе надо вниманье
На суматоху в-телах, мелькающих в солнечном свете,
Что из нее познаешь ты материи также движенья,
Происходящие в ней потаенно и скрыто от взора.
Ибо увидишь ты там, как много пылинок меняют
Путь свой от скрытых толчков и опять отлетают обратно,
Вечно туда и сюда разбегаясь во всех направлениях.
Знай же: идет от начал всеобщее это блужданье.
Первоначала вещей сначала движутся сами,
Следам за ними тела из малейшего их сочетанья.
Близкие, как бы сказать, по сшщм к началам первичным;
Скрыто от них получая толчки, начинают стремиться
Сами к движенью, затем понуждая тела покрупнее.
Так, исходя от начал, движение мало-помалу
Наших касается чувств, и становится видимъим также
Нам и в пылинках оно, что движутся в солнечном свете,
Хоть незаметны толчки, от которых оно происходит.
(Пер. Ф. Л. Петровского, Книга //, стихи 112—141.)

ДАНИИЛ БЕРНУЛЛИ
ГИДРОДИНАМИКА
ЧАСТЬ ДЕСЯТАЯ
О свойствах и движениях упругих жидкостей,
В ОСОБЕННОСТИ ЖЕ ВОЗДУХА

§ 1. Переходя fenepk it рассмотрению упругих жидкостей, иЫ
позволим себе приписать им такое строение" которое находится
в соответствии со всеми до сих пор установленными их
свойствами, и ташгм образом открывает возможность подойти и к
остальным их свойствам, до сих пор еще недостаточно изученйым.
При этом в основание положены следующие важнейшие свойства
упругих жидкостей: 1) что они обладают тяжестью, 2) что они
распространяются во все стороны, если только они не ограничены,
и 3) что они дают себя сжать'все больше и больше при
увеличении оилз давления. Таково именно строение воздуха, к которому
преимущественно и относятся наши нынешние* рассуждения.
§ 2. Итак, представьте себе вертикально поставленный
цилиндрический сосуд ACDB (фиг. 1) и в нем подвижную крышку EF,
поверх которой лежит груз Р. Пусть в пространстве EuDF
содержатся мельчайшие частицы, движущиеся чрезвычайно быстро
в различных направлениях; таким 'образом
частицы, ударяясь о крышку JSF и
поддерживая ее своими непрерывно повторяющие .
мися ударами, образуют упругую жидкость, f
которая при удалении или уменьшении
тяжести Р расширяемся, а при ее увеличении
сжимается и которая тяготеет к горизон- е
талъному дну CD совершенно так же, как
если бы она совсем не была одарена
свойством упругости; ибо находятся ли
частицы в поккю или же движутся, они не из- п
меняют своей тяжести, так что дно должно
выдерживать как тяжесть жидкости, так и
ее упругость. Итак, подобную жидкость, Фиг. 1.
отвечающую главнейшим свойствам
упругих жидкостей, мы поставим на место воздуха и таким: образом
объясним другие свойства, уже открытые у воздуха, а дальше
поясним еще иные, до сих пор недостаточно исследованные его
свойства.
§ 3. Мы будем считать, что число частиц, заключенных в
пространстве цилиндра, как бы бесконечно велико, и когда они
занимают пространство ECDF, мы будем говорить, что они образуют
естественный воздух, к мерам которого надлежит все относить;
тогда вес груза Р, удерживающего крышку в положении EF, не
отличается от давления находящейся наверху атмосферы, кото-
|х>е поэтому в дальнейшш мы и будем обозначать через Р.
'' t с ; ^ "с* ' •>. .\ о

и
ДАЙИИЛ вернуллй
Следует, однако, отметить, что это давление только
Минимально равно абсолютному весу вертикального цилиндра воздуха,
расположенного в атмосфере над крышкой EF, как это до сих пор
непродуманно утверждают авторы; в дейстивтельности же это
давление равно четвертой пропорциональной между поверхностью
земли, величиной крышки EF и давлением всей атмосферы на
поверхность земли.
§ 4. .Требуется теперь определить величину груза тх, который
в состоянии сжать воздух ECDF до объема eCDf, в
предположении, что скорости частиц в том и другом воздухе, т. е.
естественном и сжатом, равны. Пусть ЕС=*1, a eC = s.
Когда крышка EF перемещается в положение ef, она, конечно,
испытывает со стороны жидкости повышенное давление по двум
причинам: во-первых, вследствие того, что число частиц по
отношению к пространству, в котором они заключены, становится
теперь большим, и, во-вторых, вследствие того, что каждая частица
чаще повторяет свой удар. Для торо чтобы правильно произвести
расчет повышения давления, происходящего вследствие первой
причины, мы будем рассматривать частицы, как если бы они
находились в покое, а число частиц, прилегающих к крышке в
положения EF, мы положим равным я; тогда соответствующее число
их для положения крышки в ef равно ^:(w»)3 , или = тг:$8 •
Следует здесь отметить, что жидкость в нижней части сосуда
мы не считаем более сгущенной, чем в верхней: это происходит
вследствие того, что вес груза Рк как бы бесконечно больше веса
самой жидкости. Отсюда ясно, что по этой причине силы давления
жидкости относятся между собою, как числа % и п: $3, т. е. как
$г к 1. Что же касается другого увеличения, происходящего от
второй причины, то оно определяется путем рассмотрения
движения частиц. Очевидно, что удары будут происходить тем чаще, чем
ближе друг к другу расположены частицы; числа ударов будут,
конечно, обратны средним расстояниям между поверхностями
частиц. Эти средние расстояния определятся следз^ющим образом.
Допустим, что частицы имеют сферическую форму, и
назовем средние расстояния между центрами шариков при
положении крышки EF через D; диаметр шарика мы обозначим
через d. Тогда среднее расстояние между поверхностями
шариков равно D— d. Конечно, ясно, что при положении крышки
ef среднее расстояние между поверхностями шариков равно
D^/J—d. Итак, вследствие второй причины сила естественного
воздуха ECDF будет относиться к силе сжатого воздуха eCDf,
как —-— к —5-7==— t или как JD л/ls — d к D — d. Если же объ*
я— a Df/ s — d v
единить обе причины, то вышеупомянутые силы будут отно-
ситься, Ktffe s3(Df/s — d) к В—d.

О СВОЙСТВАХ И ДВИЖЕНИЯХ УПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 17
Отношение D к d мы можем заменить другим более понятным.
X именно, если бы мы представили себе, что крышка EF,
прижатая бесконечно большим грузом, снизилась до положения
ят* при котором все частицы соприкасаются, и обозначили бы
линию тС через т, то D будет относиться к d, как 1 к \/т
Бели подставить это отношение, то силы естественного воздуха
ECDF и сжатого eCDf будут относиться, как s* •((/$— Y™}
к 1—у/т> или как s — f/W* к 1—]/т. Таким образом
S — у WS3
§ 5. На основании всех явлений мы можем считать, что
естественный воздух может быть очень сильно уплотнен и моз^ет быть
сжат до бесконечно малого объема; следовательно, если положить
рг)
га =^ О, то п = ~; таким образом сжимающие грузы находятся
между собою почти в обратном отношении к объемам,
занимаемым воздухом, сжатым в различной степени, что многократно
подтвердилось на опыте. Это правило может быть, конечно,
полностью принято и для воздуха, более разреженного, чем]
естественный. Но может .пи оно быть также принято для воздуха,
значительно более сгущенного, это я считаю еще недостаточно
выясненным. Ведь до сих пор еще не было поставлено опытов с такой
степенью точности, какая требуется в данном случае. Вся задача
вводится к тому, чтобы определить значение буквы т, но тем
точнее следует эту задачу наладить и притом с воздухом
чрезвычайно сжатым; степень же теплоты воздуха во время его сжатия
должна тщательно поддерживаться неизменной.
§ 6. Между-тем упругость воздуха повышается не только
вследствие сгущения, но и вследствие увеличения теплоты, ибо
известно, что везде, где возрастает внутреннее движение частиц,
теплота повышается; отсюда следует, что увеличение упругости
воздуха, не изменяющего своего объема, дает основание
предполагать повышение .интенсивности движения частиц, что хорошо
согласуется с нашей гипотезой. Ведь ясно, что для удержания
воздуха в положении ECDF требуется тем больший груз Р, чем
<5 бшъшей скоростью движутся частицы воздуха. Больше того,
нетрудно видеть, что груз Р должен следовать второй степени
этой скорости, ибо с повышением скорости увеличивается как число
ударов, так равно и их интенсивность, причем и то и другое
пропорционально грузу Р.
1) Таким образом, так как 8 = ■—- есть отношение объемов, мы в первом
чрибдижениж полагаем nvs = Pv%y т. е. закон Бойля-Мариотта. Ред.

18
ДАНИИЛ БЕРНУЛЛИ
Итак, если обозначить скорость частиц воздуха через v, то
груз, которого достаточно для удержания крышки при ее поло-
жениив EF, равен v2P, а при положении в ef он равен
—1 —L -v2P или приблизительно — , ибо, как мы видели, пр
s—Vms* s
представляет собою число чрезвычайно малое по сравнению*
с единицей и с числом s.
§ 7. Такова теорема, которую я обосновал в предшествующем
параграфе; она ук&зьша^т, что во всяком воздухе любой плотности^
по обладающем одинаковой степенью теплоты, упругости пропори
циональны плотностям и что поэтому и приращения упругости,
происходящие от одинаково возросшей теплоты, пропорциональны
плотностям.

М. В. ЛОМОНОСОВ
ПОПЫТКА ТЕОРИИ УПРУГОЙ СИЛЫ ВОЗДУХА
1745
ДОБАВЛЕНИЕ К РАЗМЫШЛЕНИЯМ
ОБ УПРУГОЙ СИЛЕ ВОЗДУХА

ПОПЫТКА ТЕОРИИ УПРУГОЙ СИЛЫ ВОЗДУХА
1745
§ 1. После того, как стало известным применение воздушного
насоса, естественные науки получили удивительное развитие,
особенно! в той части, которая обнимает уче}ше о природе воздуха.
Действительно, свойства его, совершенно неизвестные сто лет тому
назад, ныне мы не только знаем, но и с удивлением видим их
как определенные математические законы, возведенные до самой
вершины ясного познания. Упругая сила воздуха чаще прочих
свойств его составляет предмет физических сочинений и
представляется каждому, приступающему к изучению естественных наук,
одним из важнейших свойств в естествознании; однако причина
ее совершенно не расследована, и изобретательность даже
знаменитых естествоиспытателей безрезультатно изощрялась для
объяснения ее. Поэтому физические писатели нередко, не
затрагивая причины упругости, сходятся лишь в описании ее действий.
А если кто и дает эти причины, то они опираются на непрочную
почву и недостаточны для объяснения явлений, подмеченных для
упругости воздуха. Нередко они уже потому не имеют никакого
значения, что ничего в" себе не заключают, кроме самого вопроса,
изложенного только иными словами.
§ 2. Из всех гипотез, предложенных до сих пор для
объяснение упругой силы воздуха и известных нам из сочинений
физиков, наиболее правдоподобными кажутся основанные на- законах
центральных движений. Действительно, в них не выдается за
самую причину основной вопрос лишь в измененных словах, и они
не чуждаются правил движения. И мы, предприняв этот труд,
будем действовать так же, так как видтм, что в этой
прекрасной мысли кое-чего еще не достает, а ксе-что можно правильно
иеложить.
§ 3. Именно мы считаем излишним призывать на помощь при
изложении причин упругости воздуха тот своеобразный
странствующий газ, какой часто употребляют для объяснения
естественных процессов многие, — по обычаю века, плодовитого
тонкими материями. Довольствуясь тонкостью и легкостью самого
воздуха, мы приписываем причину упругости собственному его
веществу; что мы вправе сделать это, поймет всякий,
прочитавший наши размышления о причине тепла, при сравнении с ними
доощдующего.
§ 4. Чтобы развивать предпринятое нами в должном порядке*
жачнем с ясного понятия об упругости воздуха; поэтому мы пред-

22
м. в. ломоносов
посылаем изложению определение и заявляем, что сила упругости
заключается в попытке воздуха расширяться во все стороны.
Из этого мы заключаем, что нечувствительные частички воздуха
удаляются друг от друга, как только, по устранении, препятствий,
он расширяется сам собой; следовательно, надо рассмотреть
собственную природу частичек и ту силу, которой они отодвигаются
друг от друга.
§ 5. Частички воздуха можно себе представить двояко: или
каждая так устроена, что стремится в силу своего сложения или
организованного строения расширить те части, из коих
составлена, то-есть каждая отдельная частичка может в большем или
меньшем пространстве раздаваться или сжиматься; или,
лишенные всякого физическош сложения и организованного строения,
они проявляют упругую силу не порознь, но все вместе.
§ 6. Первое, кроме того, что весьма несовместимо с крайне
простою изобретательностью природы, повидимому, уничтожает
прозрачность и несокрушимое постоянство воздуха, В самом делю:
в сложном и организованном должны быть части, которые должны
все более и более возбуждаться силою теплоты для приобретения
большей упругости. Поэтому, когда воздух разрежается от тешооты
солнца, лучи его должны проникать в каждую частичку; они
должны перейти бесконечное числю раз из эфирной среды (или,
если предпочитаешь, пустоты) ов твердые частички, в ней
находящиеся и удельно более тяжелые; но могут сделать это толькю,
если преломятся в каждой частичке воздуха при входе и выходе.
И хотя подобное преломление в частичках совершается случайно
и бесконечно мало, однако свет, преломленный в бесконечно боль-
шом числе частичек от поверхности атмосферы до самой земли,
будет так ослаблен, что нам пришлось, бы пребывать в постоянной
ночи. Это подтверждается простым примером: частички или
молекулы воды, стоженные из атомов ее, составляют облака; и хотя
каждая в отдельности преломляет свет очень мало, и они в
незначительном пространстве не нарушают прозрачности воздуха,
однако, собравшись гуще и выше, делают небо черным, как смола,
и иногда вполне мешают пользоваться полуденным светом.
§ 7. Затем, когда мы рассматриваем происходящие под
давлением всей атмосферы перемены'воздуха, быстрейшее движение,
частые столкновения, сильнейшее трение о твердые тела и
припоминаем опыты Робервалля, который е течение 15 лет держал:
воздух сильно сжатым и все-таки нашел упругость его
неизменившейся, то не можем себе представить, "чтобы отдельные
частички его были очень нежными, организованными или
сложенными и состояли из многих частей изумительной тонкости, весьма
подвижных и оттого очень слабо взаимно связанных. Поэтому мы
принимаем сказанное в конце! § 5 и нисколько не сомневаемся,
что частички воздуха, именно стремящиеся отойти друг от друга
при проявлении упругой силы, лишены всякого физического
сложения и организованного строения и, чтобы быть в состоянии
подвергаться таким переменам и производить удивительные дей-

ПОПЫТКА ТЕОРИИ УПРУГОЙ СИЛЫ ВОЗДУХА
стиия, должны быть весьма твердыми и не поддающимися какому-
либо изменению; поэтому по справедливости их надо называть
атсхмами. Так, как они действуют на телесные предметы по
законам природы, то они по необходимости должны быть телесными
и иметь протяжение.
§ 8. Что касается фигуры атомов воздуха, то мы считаем, что
только близкая к шарообразной больше всего отвечает легкости,
крепости, простоте и нежной природе воздуха; это можно прямо
заключить и из наблюдений над отражением воздуха в
эллиптических сводах. Так как теплый воздух нагревает холодные
предметы, окруженные им, то его атомы возбуждают в частичках
соприкасающихся тел вращательное движение, составляющее
теплоту. Это может происходить лишь при возникновении между
ними трения, а последнее может проявляться только, если атомы
воздуха будут шероховатьими.
§ 9. Это весьма согласно с природою вещей. Так, во всех
телах мира, целых или частичных, фигура, свойственная каждому,
никогда не встречается настолько выравненной, чтобы не было
на ней каких-нибудь неровностей. Конечно, последние находятся
дай того, чтобы сама фигура, вследствие ничтожнейшего
отношения их (к целому, сохранила свой наружный вид. Таким образом
природа наделила для своих надобностей шар нашей земли
горами и частичные его тела — даже весьма легкие для чувств и по
сравнению с ним ничтожнейшие пылинки — шероховатостями;
также следует по аналогии, что и атомы воздуха, хотя и не имеют
физического сложения, но по трудолюбию той же природы, столь
иокусной в своей простоте, снабжены ничтожнейшими, но весьма
крепкими и полезными для действия шероховатостями.
§ 10. Атомы воздуха, производящие y½yгyю силу, удаляются
друг от друга или каким-нибудь непосредственным взаимодей-
<ггвием, или при помощи какого-нибудь газа, обращающегося
между ними и состоящего, поэтому, из гораздо меньших частичек.
Нам нужно решить, которое из этих двух предположений отвечает
действительности при возникновении упругости. Для этой цел(и
нам послужит главное из свойств воздуха, а именно то, что
воздух обладает тем большей упругой силой, чем больше он сжат
внешнею силою и чем ближе атомы его подходят друг к другу.
§ 11. Положим сперва, что частички воздуха расходятся от
действия какого-нибудь тончайшего газа, находящегося между
ними. Когда воздух в каком-нибудь твердом сосуде сжимается
в меньшее пространство, то названный газ или сжимается вместе
<> ним: шш нет. Если предположить перЕое, то: 1) стенки твердого
оосуда будут непроницаемы для тончайшего этого газа, а тогда
частички его не будут гораздо меньше атомов воздуха, что
противоречит высказанному в § 10; 2) газ этот сам будет действовать
на заключающий era сосуд; но в этом случае частичкам воздуха
незачем плавать в том газе, так как одного его достаточно для
произведения действия на тела; 3) частички газа1 будут стрек
питься удалиться друг от друга; в этом случае надо будет опять

24
м. в. ломоносов
давать объяснение этому явлению, и таким образом поднятый;
вопрос останется без ответа. Если Еозьмем второе предположение*
то 1) названный гав не будет действовать на крепкие стенки
сосуда, а посему не будет в состоянии действовать и на тончайшие
атомы воздуха, без труда по своей легкости и круглости
избегающие всякой силы; 2) когда сгустится сжатый в сосуде воздух,
то при постоянной плотности газа, допустим, — свободно
проникающего в сосуд, количество атомов воздуха будет в большем
отношении к количеству газа, чем былю раньше, до сжатия.
Поэтому сила газа, в отношении его количества, будет меньше, и он
будет оказывать меньше действия на атомы воздуха;
следовательно, будет уменьшаться упругая сила воздуха, сжатого
внешнею силою в меньшее пространство.
§ 12. Все это весьма ясно показывает, что упругая сила
воздуха не может происходить от какого-то газа, обращающегося
между частичками его. Так как названная сила при прочих
равных условиях всегда возрастает и уменьшается в отношении
плотности собственной материи воздуха, то нет сомнения, что сила
эта происходит от непосредственного взаимодействия его атомов-
§ 13. Одно тело не может действовать непосредственно на
другое, если не касается его; поэтому необходимо, чтобы атомы
воздуха, действующие друг на друга, были в соприкосновении. Но
так как наш атмосферный воздух может от внешней силы занять
более тридцати раз меньшее пространство, то должны! быть между
атомами его промежутки, свободные от собственной материи, в
которых могли бы содержаться многочисленные атомы;
следовательно, последние не соприкасаются. Эти два кажущиеся
противоречивыми положения, —■ которые оба, однако, совершенно
справедливы,— можно примирить только тем, что эти два
противоположных состояния атомов воздуха отличаются по времени, т. е.,
что атомы находятся в этих состояниях попеременно. Это чередю^
вание непременно должно происходить так, чтобы не было во
всех атомах одновременно одинакового состояния и чтобы каждое
не продолжалось заметное время; чтобы одно производило очень
часто огромные перемены в протяжении, другое, наоборот, делшю»
расширения воздуха медленными и спокойными. Отсюда ясно, что
отдельные атомы воздуха в нечувствительные промежутки
времени сталкиваются с другими, соседними, в беспорядочной
взаимности, и когда они находятся в соприкосновении, другие
отпрыгивают друг от друга и снова сталкшпваются с другими, болеет
близкими, снова отскакивают, так что стремятся рассыпаться во все-
«тороны, постоянно отталкиваемые друг от друга такими очень
частыми взаимными ударами.
§ 14. После этого остается показать, каким образом атомы
воздуха действуют друг на друга таге, что один отталкивает другой.
Для этого достаточно привести в доказательство главное свойство
того же упругого воздуха: прекрасно, ведь, известно, что при
увеличении теплоты воздуха растет и его упругость, а при
уменьшения тепла он делается более слабым, так что при прочих равных

ПОПЫТКА ТЕОРИИ УПРУГОЙ СИЛЫ ВОЗДУХА
©
условиях при самом большом известном нам тепле упругость его
наибольшая, а при самом малом, т. е. наибольшем холоде, до сих
яор наблюденном, мы видам ее, согласно постоянному закону,
наименьшей. Посему очевидно, что атомы воздушные действуют
друг на друга при взаимном касании сильнее или слабее в
зависимости от увеличения или уменьшения теплоты, и если тепло-
могло бы совершенно уничтожиться, то они должны были бы
лишиться всего своего изложенного действия. Отсюда следует, что
взаимодействие атомов воздуха происходит только от тешиоты.
§ 15. Тепло состоит во вращательном движении частичек
теплового тела1), так что действие теплоты происходит от
вращательного движения частичек его, и таким образом и
взаимодействие атомов воздуха зависит от их вращательного движения.
Однако два шарообразных тела с совершенно гладкими
поверхностями, помещенные тесно друг возле друга и приведенные в
очень быстрое враща
тельное движение, не
могут так
взаимодействовать, чтобы
оттолкнуться. Снова, значит,
подтверждается
доказанная в § 8 истина
и проявляется
изобретательность
заботливой природы,
которая одним и тем же
средством часто
производит в телах
разнообразные действия: так, здесь, благодаря шероховатости атомов она.
сообщает теплоту другим телам и производит упругую силу.
§ 16. Пусть два атома воздуха А и В (фиг. 1) отстоят друг от
друга настолько, насколько А выше В. Пусть оба очень быстро
вращаются так, чтобы часть поверхности атома А, обращенная,
к В, неслась по направлению, противоположному тому, к
которому направляется часть поверхности атома В> обращенная к Д
как обозначено стрелками. При постоянном вращательном движе
нии атом ]fA опускается от силы тяжести на атом В\ при касании
(фиг, 2) неровности так совпадают, что или выпуклость а атома А
жопадает в углубление Ц атома В, как на фиг. 2, или будет давить
па выпуклость d атома А, как изображает фиг. 3. В первом
случае выпуклость а атома А при подъеме из углубления Ъ должна
лреовзойти выпуклость / (фиг. 4), так что атомы А ж В отойдут
друг от друга на расстояния gf или аЪ в течение того мзгновения,,
кока направляющиеся в противоположных направлениях
поверхности А и В пробегут дугу да. Во всяком, случае атомы да
тех пор будут итти в соприкосновении один возле другого,,
шока выпуклость а атома А (фиг. 3) не попадет во впадину е
Фиг. 1.
Фиг. 2.
Фиг. 3.
*) См. Размышления о причине теплоты.

26
М. В. ломоносов
атома В; а затем произойдет все то, что должно совершиться в
предыдущем случае.
§ 17. При этом необходимо, -так как каждый атом воздуха
имеет вес, — чтобы он от силы тяжести падал на другой.
Обладая, однако, весьма быстрым вращательным движением, они тот
час же оттолкнутся после прикосновешш так, как объяснено в
предыдущем параграфе. Но при огромном числе атомов
невозможно, чтобы каждый упал на высшую точку поверхности ниж
него атома, и их отталкивателъиое движение должно очень часто
совершаться по линиям более или менее наклонным к горизонту,
и таким образом упругая сила воздуха должна обнаруживаться
во все стороны.
§ 18: Разъясненное до сих пор действие атомов показывают
волчки,* которыми мальчики обычно играют на льду. Два о|дина
Фиг. 4.
ковые волчка, быстро вращающиеся, после того, как медленно
приблизились и соприкоснулись, всегда тотчас отскакивают; это
отражение происходит от неровностей поверхностей, и чем
извилистее поверхности волчков, тем сильнее отскакивают последние.
Это может случиться с двумя волчками три или даже четыре раза,
прежде чем они упадут от прекращения вращения, что случается,
когда перестают побуждать их кнутом.
§ 19. Хотя предложенная здесь теория опирается на достаточно
прочные доказательства, но она станет еще более очевидной, если
можно будет объяснить при помощи ее свойства воздуха и
язвления, в нем наблюдаемые, так, что будут ясно видны иж определзен-
ные причины. Наилучшей является, конечйо, та теория, которая
не только не иротлворе|чит какому-либо сшойству чхж>, для оКхьяю-
нения чего она предложена, но и пользуется для объяснения
свойств надежнейшими доказательствами, подтверждающими
самое теорию, поэтому мы исследуем в последующем нашу теорию,
рассматривая главные свойства воздуха и разные явления в нем.
§ 20. Атмосфера состоит из бесчисленного числа атомов вое--
духа; нижние отталкивают падающих на них штерх к тшверхвоюгги

ПОПЫТКА ТЕОРИИ УПРУГОЙ СИЛЫ ВОЗДУХА 27
Атмосферы настолько же, насколько прочие, поднявшиеся до
верхней поверхности атмосферы, падают. Чем дальше остальные
атомы отстоят от земли, тем меньше препятствия встречают они
дай поднятия в задерживающей силе имеющих вес атомов; так
что находящиеся на самой поверхности верхней атмосферы
тяжестью своею увлеокаются вниз, отталкиваются от ближайших
нижних и настолько несутся вверх, насколько приобретенная от
отталокивания инерция превосходит их тяжесть. Как только
последняя одерживает верх, они опять падают, чтобы быть снова
оттолкнутыми и т. д. Отрюда следует, что 1) воздух тем реже., чем
дальше 'он от центра земли, 2) атмосфера не простирается до
бесконечности: должна быть граница, где сила тяжести самых
верхних атомов воздуха превосходит силу, приобретенную ими от
взаимного столкновения.
§ 21. Чем быстрее поверхности атомов воздуха А я В (фиг. 4)
пробегают дугу ад, тем скорее сами атомы пробегают пространство
аЬ{ или fg при взаимном удалении, тем большую скорость приоб-
р&шут они ацж отражении, сильнее действуют на пр)Кивостоящи)е
тела и по удалении их тем дальше отпрыгивают друг от друга. Но
при быстрейшем движении поверхностей вращаются и атомы
воздуха, а при ускоренном вращательном движении увеличивается
таълота1) неудивительно посему, что более теплый воздух имеет
и большую у/другую 'силу.
§ 22. Затем опыт показал, что наибольший холод, на!блюдае-
мый в расположенных к зимнему заходу солнца чужеземных
странах, превышается суровостью зимы этого нашего крал,
уступающей, однако, лютому морозу Якутской области,
сковывающему почти все жидкое, кроме воздуха. Рассуждением же мы
заключаем, как показано в наших размышлениях о причине тепла
и холода, что нигде на этом земйом шаре не может юуществовадъ
абсолютный холод, и потому и у атомюв воздуха никогда не может
прекратиться: вращательное движение, и никогда, очевидно, нельзя
иметь воздух без упругой силы.
§ 23. Звук производится, когда какое-нибудь тело,
возбужденное в колебательное движение, сообщает его соседним с ним
частичкам воздуха, которые с последующими непрерывным рядом
передают его на расстояние, пропорциональное силе удара. Так
кшс атомы воздуха по большей части не соприкасаются, то
необходимо, чтобы каждый алюод для возбуждения другого к
звуковому движению, воспринятому им от звучащего тела, сперва к
нему подошел и затратил бы бесконечно малое время на
движение, шжа нанесет другому удар: а эти бесконечно малые времена,
затраченные почти бесконечно большим числом атомов для
последовательного сообщения, на более значительном расстоянии,
взятые бесконечно большое число раз, составят заметное время.
Посему необходимо, чтобы звук после производящего его удара
был слышен издали через заметный промежуток времени.
*) Размышления о теплоте.

ДОБАВЛЕНИЕ К РАЗМЫШЛЕНИЯМ ОБ УПРУГОЙ СИЛЕ
ВОЗДУХА
§ 1. Когда размышления наши об упругой силе воздуха были
прочитаны в Академическом собрании, славный Рихман напомнил
нам, что мы пропустили главное свойство упругого воздуха, а
именно в нашей теории не дали объяснения, почему упругая сила
воздуха пропорциональна плотностям его. Я ответил, что
пропустил это, смущенный сомнением, и обещал удовлетворить
впоследствии. Сомнение же! об этом законе возникло прежде) «всего от
несогласия нашей теории с ним, и сомнение это значительно усилили
слова знаменитого Бернулли.
§ 2. Бернулли же заключил по метанию пушечных ядер, что тот.
упругий газ, который получается из зажженного пороха, — или
необыкновенный воздух или что упругости возрастают в большем
отношении, чем платности: плотность воздуха, рождающегося от
воспламененного пороха, не может.превосходить более чем в
тысячу раз, плотность обыкновенного Еоздуха, даже если бы порох
весь состоял из сжатого воздуха (это он вывел по удельному весу
пороха). Он утверждает, что упругость того газа должна была быть
гораздо больше, если весь порох, уптребленный для взрыва в
пушках, сгорал мгновенным пламенем.
... Посмотрим, как относится к этому напНа теория.
§ 11. Пусть имеем две массы воздуха одинакового веса А ж В
и пространства, в которых колеблются частички массы А» относя-
1циеся к пространствам колебания между частичками массы В, как
а к а — Ь; объем массы В будет относиться к объему массы А как
а8: (а — Ь)3. Так как шарики воздуха тем чаще повторяют свои
движения, чем меньшие имеют пространства колебания, то число
ударов между шариками будет "относиться обратно
пропорционально пространствам. Поэтому отношение числа ударов" между
всеми шариками воздушной массы А по всем трем направлениям
к числу ударов между всеми шариками воздушной массы В будет
равно (а ■— Ь)3: а3. Но чем чаще взаимные удары шариков
воздуха,, тем сильнее отталкиваются они друг от друга и тем больше
должна возрастать упругая сила воздуха. Посему упругая сила
массы воздуха А будет относиться к силе воздушной массы В,
как (а — Ь)3: а3, и упругости будут относиться обратно
пропорционально объемам," то-есть, что то же самое, пропорционально
плотностям.

ДОБАВЛЕНИЕ К РАЗМЫШЛЕНИЯМ ОБ УПРУГОЙ СИЛЕ ВОЗДУХА 29
§12. Это было бы совершенно справедливо, если бы
двигающиеся взад и и вйеред шарики воздуха В и С (фиг. 5) поел©
каждого столкновения при отскакивании всегда сразу же сталкивались
с каким-нибудь близким шариком А, а да проходили бы очень
часто мимо них, отпрыгивая Ч1ерез промежутки к другим, более отда-
лшцбнм шарикам, попадающимся им навстречу; очевидно, что в
этом случае они будут позже делать удар и уклоняться от
выведанного выше отношения. А так как достаточно очевидно, что
сделанное выпйе предположение недопустимо, то необходимо, чтобы
было другое отношение. А в чш оно состоит и как выражается, мы
мояаем определить при болед внимательном расешхгрейвсии различий
в колебаниях.
DQ
\ А
D
о-
Фиг. 5.
§ 13. Никто не сомневается, что частички воздуха Б и С после
столкновения чаще будут выскакивать через пространства АА, не
затрагивая частичек Л, и что диаметры частичек воздуха будут
тем больше по отношению к пространствам колебаний, чем больше
будет сжат воздух. Вследствие бесконечного числа колебаний
должно существовать какое-нибудь соотношение между
колебаниями, производящими! удары в близкие шарики А, и теми, при
которых через промежутки шарики сталкиваются с более
отдалёнными D. Очевидно, что отношение это будет равно отношению
числа воздушных шариков, которые могут собраться между
шариками А на поверхности сферы, описанной полукругом АААВ,—
к числу шариков А, отстоящих друг от друга так же далеко, как
и от центра В. При увеличивающейся плотности воздуха шарики А
ближе подойдут друг к другу, промежутки между ними
уменьшатся, число колебаний шариков, не сталкивающихся с
шариками А, уменьшается, так что отношение колебаний, при которых
шарики, выпрыгивающие в промежутки АА, наталкиваются на
более отдаленные Д будет меньше относительно числа колебаний
шариков, ударяющих в ближайшие шарики А. Отсюда к большему
числу ударов, произошедшему от меньшего расстояния между
шариками воздуха, присоединится и то, что вследствие
уменьшения промежутков АА между близкими шариками воздуха будут
происходить и более частые взаимные удары, и по этому самому.

30
у. в. ломоносов
сопротивление упругого Еоздуха увеличится сверх выведенного опч
ношения (§ 11). При той степени сжатия воздуха, кода
пространства колебаний меньше диаметров шариков, все столкновения
шариков будут происходить с ближайшими А так как через
промежутки АА они не будут в состоянии свободно пройти. Из
сказанного ясно, насколько, при очень большом сжатии воздуха,
отношение упругостей вшдуха должно отличаться от отношения
плотностей.

Дав. П. ДЖОУЛЬ
некоторые замечания о теплоте
и о строении упругих жидкостей
Доложено на собрании членов Манчестерского
литературного и философского общества 3
октября 1848 г. h напечатано в мемуарах общества
в ноябре 1851 г.

Издателям Philosophical Magazine and Journal of Science
Манчестер 22 августа ШТ.
Джентльмены,
Если вы найдете это достаточно интересным, я буду вам очень
обязан за напечатать прилагаемой статьи, о которой упомянул
профессор Клаузиус в евсей работе «О природе движения, которое
iMbi называем теплотой», помещенной в последнем вашем номере.
По поводу подстрочного примечания на стр. 109 я позволю себе
отметить, что Мемуары Манчестерского литературного и
философскою общества в настоящее время регулярно высылаются
главным научным обществам Европы и Америки.
Имею честь остаться с совершенным
к вам уважением
Джемс Я. Джоуль.
В своей работе «О теплоте, выделяющейся при электролизе
воды», которая была опубликована в седьмом томе Мемуаров
данной) общества, я указал, что магнитоэлектрическая машина дает
нам возможность обратить механическую силу в теплоту и что я
нисколько не сомневаюсь в том, что при включении
магнитоэлектрической машины в цепь вольтаической батареи будет
наблюдаться уменьшение количества теплоты, выделяющейся в
качестве эквивалента химической реакции, и что это уменьшение
будет пропорционально полученной механической силе.
Результаты опытов, произведенных для проверки указанных
положений, были доложены Британской ассоциации для развития
науки в 1842 г.1). Они показали, что во всех случаях, когда
электрический ток получался с помощью магнитоэлектрической
машины, количество теплоты, развиваемой током, находилось в
постоянном отношении к силе, необходимей для вращения этой машины.
а с другой стороны, что во всех случаях, когда машина
приводилась в движение вольтаическим током, развиваемая сила
получалась за счет тепловой силы батареи при данном
потреблении цинка, причем произведенный механический эффект
1) Phil. Mag., vol. XXIII, p. 263, 347, 435.

34
Д. П. ДЖОУЛЬ
нахадшгся в определенном отношения? к теплоте, потерянйой в
вольталческой батарее.
Из этих опытов вытекал совершенно явный вывод, что теплота
ж механическая сила обратимы одна в другую, и, следовательно,
стало очевидно, что теплота является либо vis viva (живой силой)
весомых частиц, либо некоторым состоянием притяжения или
отталкивания, способным порождать vis viva (живую силу).
Тогда представилось важным установить механический
эквивалент теплоты с такой степенью точности, какой требовала его
важность для? физического знания. Магнитный аппарат не был
очень хорошо приспособлен для этой цели, поэтому я стал искалъ
средства для получения точных результатов в теплоте, вызванной
трением жидкостей. Я нашел, во-первых, что затрата известного
количества механической силы, для того чтобы привести в
движение данную массу жидкости, дает вполне определенное количества
тепла и, во-вторых, что количество теплоты, развивающейся при
трении жидкостей, совершенно не зависит от природы
примененной жидкости; так, вода, масло и ртуть, эти столь отличные друг
от друга жидкости, какие только можно было подобрать, дали
почти один и тот же результат, а имепно, что количество теплоты,
способное поднять на 1° температуру фунта воды, эквивалентна
механической силе, развиваемой грузом в 770 фунтов при паде-
пии его с высоты 1 фута по отвесу 1).; »
Будучи убежден, что открытие эквивалента теплоты дало
средство для объяснения различных интересных явлений, я весною*
1844 г. начал некоторые опыты по изменению температуры
атмосферного воздуха путем его разрежения п сжатия2). Давно была
известно, что воздух, будучи подвергнут Сильному сжатию,
выделяет теплоту и, наоборот, что при расширении воздуха происхот
дит поглощение тепла. Для того чтобы объяснить эти явления*
полагали, что данный вес воздуха, будучи сжат в небольшом;
объеме, обладает меньшей теплоемкостью, чем когда он занимает
больший объем. Небольшого количества опытов было достаточна
для того, чтобы показать неправильность этой гипотезы. Так, я
нашел, что если 2 95G кубических дюймов воздуха, находящегося
под обычным атмосферным давлением, сжать до об ьема в 1З6У2 ку:
бических дюймов, то выделяется 13°,63 теплоты на фунт воды;
в то же время при обратном процессе, когда этому сжатому
воздуху давали расшириться через кран в атмосферу, поглощалось
только 4°,09; а между тем согласно общепринятой гипотезе
следовало ожидать, что будет поглощено 13°,63 теплоты. Я также:
нашел* что когда сильно сжатому газу давали возможность
вытечь в пустоту, вообще не наблюдалось никакого охлаждения,—
факт опять-таки находящийся в противоречии с общепринятой
гипотезой. Наоборот, теория, которую я взял на себя смелость
*) Эквивалент, который я установил после этого, равен 772 футо-фунтаии
См. Phil Trans., 1Я50. part 1.—Май 1851, Дою. П. Дж.
2) Phil. Mag., то1. XXVI.

ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕПЛОТЕ И О СТРОЕНИИ УПРУГИХ. ЖИДКОСТЕЙ 35
отстаивать *), находилась в полном согласии с этими явлениями;
а именно, теплота, выделявшаяся при сжатии воздуха, оказалась
эквивалентной приложенной механической силе, и, обратно,
теплота, поглощавшаяся при разрежении, оказалась эквивалентной
развивавшейся механической силе, определенной по» весу столба
смещенногб атмосферного воздуха. В том случае, когда сжатый
воздух расширялся в пустоту, то — так как при этом не
производилось никакой работы —не ожидалось и не было найдено
какого бы то ни было поглощения теплоты. М-р Сегвин
подтвердил эти выводы для случая водяного пара^
Изложенные принципы привели, конечно, к более близкому
ознакомлению с правильной теорией паровой машины, так как они
дали нам возможность оценить тепловой эффект от трения пара
при прохождении его через различные клапаны и трубки, равно
как от трения поршня о стрелки цилиндра; они же уяснили нам»
что пар во время своего расширения в цилиндре теряет теплоту
в количестве, точно пропорциональном произведенной
механической работе2).
Опыты с изменениями температуры, вызванными разрежением
и сгущением воздуха, бросают также свет на строение упругих
жидкостей, так как они показывают, что теплота упругих
жидкостей представляет собою ту механическую силу, какой они
обладают; а если известно, что температура газа определяет упругую
силу, то отсюда следует, что упругая сила, или давление, должна
представлять собою эффект движения часгиц, из которых
составлен всякий г£3. Это движение может осуществиться несколькими
путями, и оно может объяснить явления, представляемые упругими
жидкостями. Деви, которому принадлежит славная заслуга
осуществления первого опыта, доказавшего с абсолютной достоверностью
невещественную природу теплоты3), высказал прекрасную гипотезу
о вращательном движении. Он заявил: «Если допустить, что в
твердых телах частицы находятся в постоянном состоянии
колебательного движения, представляется возможным принять для всех
явлений теплоты, что частицы наиболее теплого тела движутся с
наибольшей скоростью и на наибольших расстояниях; что в
жидких телах и в упругих жидкостях помимо колебательного движения,
которое в последних должно быть наибольшим, частицы обладают
еще некоторым движением вокруг своих собственных осей с раз*
личными скоростями, причем частицы упругих жидкостей движутся
О Позднее я узнал, что еще раньше подобную же гипотезу защищал
м-р Майер, не сделавший, однако, никаких попыток экспериментально
подтвердить ее правильное!ь.~Aimaleri of Wohler and Liebig for 1S42 — Май 1851,
Дою. II Дою.
) Полная теория движущей рилы теплоты была недавно доложена
профессором Томсопом королевскому Эдннб>ргскому обще<тву. В этой работе
приведен очень важный закон, согласно которому доля теплоты,
обращающаяся в силу в идеальной машине, равна разнос!и температур, разделенной
на высшую температуру, отсчитываемую от абсолютного нуля.-Май 1851,
Дою. П Дж.
3) То-ееть доказавшего, что теплота не является невесомой жидкостью. Ред^

36
Д. П. ДЖОУЛЬ
с наибольшей (жоростью, и что в эфирных веществах частицы
движутся вокруг своих собственных осей и независимо друг от
друга, проникая через пространство по прямым линиям.
Температуру можно себе представить зависящей от скорости колебаний,
причем увеличение способности к движению осуществляется на
большем пространстве, а понижение температуры во время
превращения твердых тел в жидкие или газообразные тела может быть
объяснено идеей о потере колебательного движения в результате
поворота частиц вокруг их осей в тот момент, когда тело становится
жидким или газообразным, или же вследствие уменьшения
скорости колебания в результате движения частиц на большем
пространстве» 1). Я лично попытался показать, что вращательное
движение, аналогичное описанному сэром Деви, способно объяснить
закон Бойля и Мариотта, а также и другие явления, представляемые
упругими жидкостями2). Тем не менее, принимая во внимание, что
гипотеза Герапата, — в которой допускается, что частицы газа
постоянно летают во всех направлениях с большой скоростью и что
Давление газа обязано своим происхождением натиску частиц на
всякую поставленную против них поверхность. — несколько проще,
я воспользуюсь ею в своих последующих замечаниях о строения
упругой жидкости; при этом, однако, я буду исходить из
предположения, что гипотеза вращательного движения в равной мере
хорошо сопцасуется с этими явлениями.
Представим себе оболочку, имеющую объем и форму
кубического фута, наполненную водородным газом, который при 60°
температуры и 30 дюймах барометрического давления будет иметь
вес 36,927 грана. Представим себе далее, что указанное количество
газа раздельно на три равные и бесконечно малые упругие
частицы, имеющие каждая до 12,309 грана веса, и далее, что каждая из
этих частиц колеблется между противоположными сторонами куба,
причем она обладает все время постоянной скоростью, за
исключением момента удара. Требуется определить, с какой скоростью
должна двигаться каждая? частица для того, чтобы вызвать атмо-
сферно$ давление в 14 831 712 гран на каждую квадратную
сторону куба. Прежде всего известно, что если телу, движущемуся со
скоростью 32Ve фута в секунду, противопоставить в течение одной
секунды давление, равное его весу, то его движение прекратится,
если же давление будет продолжаться на одну секунду дольше, то
частица приобретет скорость 327в фута в секунду в
противоположном направлении. При подобной скорости частица весом в
12,309 грана будет в течение каждых двух секунд 3276 раза
ударяться о каждую сторожу кубического сосуда, и вызванное этим
давление составит 12,309 X 32Ve = 395,938 грана. Отсюда,
поскольку ясно, что давление будет пропорционально квадрату
скорости частиц, мы получим для скорости частиц,необходимой для
*) Elements of chemical philosophy, p. 95.
2) М-р Ранкин в своей работе .0 механическом действии газов и паров*
дал полное математическое исследование действия вихрей.

8АМЕЧАНИЯ 0 ТЕПЛОТЕ И О СТРОЕНИЯ УПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 37
того, чтобы вызвать давление в 14 831 712 гран на каждую
сторону кубического сосуда, выражение
v = |/^3J~-32V6 = 6 225 футов в секунду.
Приведенная скорость будет признана равно способной вызвать
атмосферное давление независимо от того, будут ли частицы
сталкиваться друг с другом до того, как они дойдут до стенок
кубического сосуда, будут ли они ударяться о стенки наклонно и,
в-третьих, между каким числом частиц будут распределены
указанные 36,927 грана водорода.
Еоли в кубическом сосуде будет находиться только половина
веса водорода, т. е. 18,4635 грана, а скорость частиц будет равна
попрежнему 6 225 футов в секунду, то, очевидно, давление
составит только половину прежнего, откуда следует, что из данной
гипотезы естественно вытекает закон Бойля и Мариотта.
Указанная выше скорость представляет собою скорость
водорода при температуре 60°. Но мы знаем, что давление упругой
жидкости при 60° относится к ее давлению при 32°, как, 519 и 491.
Следовательно, скорость частиц при 60° относится к их скорости
при 32°, как Vbl9 к j/^491, откуда следует, что их скорость
при температуре замерзания воды равна 6 055 футов в секунду.
В приведенных расчетах допускалось, что частицы водорода не
имеют заметного размера, в противоположном случае скорость,
соответствующая, тому же самому давлению, была бы уменьшена.
Так как давление газа возрастает с температурой в
арифметической прогрессии и так как давление пропорционально квадрату
скорости частиц или, другими словами, их vis vwa (живой силе),
to отсюда следует, что абсолютная температура, давление и vis viva
пропорциональны друг х другу и что нуль температуры лежит на
491° ниже точки замерзания воды. Далее, абсолютная теплота газа,
или, другими словами, его теплоемкость, выражается общей суммой
vis viva при данной температуре. Следовательно, удельная теплота
газа может быть определена следующим простым способом.
Скорость частиц водорода при температуре) 60° была*
определена в 6 225 футов в секунду; эта скорость соответствует
падению по отвесу с высоты 602,342 фута. Скорость при 61°равна
6 225 у |^ = 6230,93 фута, что соответствует падению с высоты
603,502 фута. Разность между приведенными высотами составляет
1 160 футов; следовательно, последнее представляет собою то
расстояние, на протяжении которого давление в 1 фунт должно
действовать на каждый фунт водорода, чтобы поднять его
температуру на один градус. Но наш механический эквивалент теплоты
показывает, что 770 футов — это та высота, которая представляет
силу, необходимую для поднятия температуры воды на один
градус. Отсюда следует, что удельная теплота водорода раюна 7^0 ==.
=»1,506, если удельную теплоту воды принять за единицу.

38
Д. П. ДЖОУЛЬ
Удельные теплоты газов могут быть легко выведены из удель-
вой теплоты водорода: ведь общая сумма vis viva и теплоемкости
равных объемов различных газов между собою равны, а скорости
частиц обратно пропорциональны квадратным корням из их
удельных весов. Следовательно, удельпая теплота должна быть обратно
пропорциональна удельному Еесу, — закон, который был
экспериментально установлен Деларивом и Марсе.
В нижеследующей таблице я привел удельные теплоты
различных газов, определенные вышеуказанным образом, наряду
с экспериментальными данными Деляроша и Берара, сведенными
к постоянному объему.
Экспериментальна* Теоретическая
удельная теплота удельная те илот а
Водород 2,352 1,506
Кислород 0,168 0,094
Азот 0,195 0,>07
Углекислота 0,158 0,068
Экспериментальные данные Деляроша и Берара неизменно
выше величин, требуемых гипотезой. Следует, однако, иметь в
виду, что хотя опытные исследования Деляроша и Вграра и
считаются лучшими из Ъюех произведенных до сих пор, однако они
сильно отличаются от исследований других ученых. Однако- я
уверен, что исследования, предпринятые м-ром В. Реньо для
французского правительства, охватят и важную проблему о
теплоемкости тел и что мы можем в скором времени ожидать новой
серии определений удельных теплот газов, отличающейся всей той
точностью, какой вполне заслуженно прославился этот замена-'
тельный последователь. А до этого времени бызд бы, пожалуй,
лучше воздержаться от каких-либо дальнейших видоизменений
динамической теории, с помощью которых ее выводы могли бы
быть приведены в более полное согласие о данными опыта1).
*) Если мы допустим, что частицам газа противоставляется равномерное
сопротивление до тех пор, пока их движение не прекратится, и что после
этого их движение возобновляется в противоположном направлении под
влиянием продолжающегося действия той же причины, как в случае
бросания вверх и последующего падения вниз тяжелого тела,—то максимум
скорости частиц будет относиться к равномерной скорости, требуемой согласно
принятой в тексте теории, как корень квадратный из двух к единице, и
сравнение теоретической удельной теплоты с экспериментальной примет
следующий вид:
Экспериментальная Теоретическая
удельная теплота удельная теплота
Водород 2,352 3,012
Киспород 0.1П8 0,188 '
Азот 0,195 0,214
Углекислота 0,158 0,136
Я только что узнал, что опыты Ррньо над удельной теплотой упругжх
жидкостей находятся накануне их опубликования; я не сомневаюсь, что их
точность даст нам возможность притти к окончательному решению о
правильности изложенной выше гипотезы.—Июнь 1851, Дою. II. Дэю*

Р. КЛАУЗИУО
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
О РАЗМЕРАХ И ВЗАИМНЫХ РАССТОЯНИЯХ
МОЛЕКУЛ
ПРОВЕРКА ВОЗРАЖЕНИЙ, ВЫДВИНУТЫХ
ГИРНОМ ПРОТИВ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ГАЗОВ

ГЛАВА 1
РОД ДВИЖЕНИЯ, КОТОРЫЙ МЫ НАЗЫВАЕМ ТЕПЛОТОЙ
§ 1. Особое, независимое от общих выводов,
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ТЕПЛОТЕ
В первом томе настоящей книги, при изложении механической:
теории теплоты, был оставлен незатронутым вопрос о том, какой
род движения следует допустить для объяснения теплоты. Вое
сделанные там выводы основываются на некоторых общих
законах, которые можно признать правильными, не* делая никаких
определенных предположений о природе теплоты. Даже в том
случае, когда первое начало механической теории теплоты, т. е.
закон об эквивалентности теплоты и работы, рассматривают не как
начаш, имеющее силу только для теплоты, а как следствие
общего закона механики об эквивалентности между живою силою
и работой, исходя при этом из предположения, что теплота есть
движение, — все-таки нет нужды связывать себя определенным
видом движения, так как упомянутый закон механики
действителен для воех видов движения. Поэтому во всех изложенных
мною до сих пор выводах — чтобы исключить возможность
какого-либо сомнения в их независимости от особых гипотез — я
прилагал особое старание к тому, чтобы оставить совершенно
незатронутым вопрос о роде движения, которое мы воспринимаем
в качестве теплоты,.
Однако в действительности мои исследования не были столь
свободны от мысли о некоторой гипотезе, вашему уму свойственна
потребность связывать общие понятия с частными
представлениями, и norojMy уже в начале своих работ, относящихся к
теплоте, я попытался разобраться во внутреннем состоянии
движения нагретого тела и составил себе об этом некоторое
представление, которое еще до первой своей печатной работы о теплоте я
применил к различным исследованиям и исчислениям. Это
представление было настолько отлично от всего того, что я до сих пор
слышал о воззрениях других физиков, что я его считал
совершенно новым.
Позднее, во время случайной беседы с Вильямом
Сименсом (William Siemens), которому я изложил свою идею
о газообразном состоянии, я от последнего узнал, что подобную
яое мысль высказал Джоуль (Joule). Хотя Сименс не мог мне
более подробно сообщить об отдельных положениях статьи Джоуля^

42
Р. КЛАУЗИУС
а помимо этого у кеня не прдстагжлюсь совершенно случая
ознакомиться с упомянутой статьей *), тем не менее из этого
сообщения для меня стало ясно, что моя точка зрения не столь нова,
как мне это показалось, и я поэтому не счел нужным особенно
торопиться с ее опубликованием.
Но когда в 1856 г. появилась статья Крёнига под заглавием
««Очерки теории газов»2), в которой я снова нашел изложение
части йюих воззрений, мне уже показалось необходимым
изложить и ту часть моих воззрений, которой я в ней не нашел или
которые расходились с ее содержанием; это и было сделано мною
в статье!, появившейся в 1857 г, в «Pogg. Annalen» (т. 100,
стр. 353), содержание которой, пополненное некоторыми
дополнительными прибавлениями, и составляет предмет настоящей главы8).
*) Джоуль доложил свою статью в 1843 г. в Манчестерском литературном
я философском обществе и затем опубликовал ее в мемуарах этого общества
(т. IX, стр. 107, 1851), которые в Германии очень мало распространены.
-Лишь значительно позднее, в 1857 г., он, согласно высказанному мною
Пожеланию, еще раз дал ее напечатать в Phil. Mag. (4-я серия, т. XIX, стр. 211).
2) Сначала в виде отдельной работы в издании А. В. Гагена (Kronig,
Grundziige einer Theorie der Gase, 1856), а затем—в Pogg. Ann., т. 99, стр. 315.
3) После того как с появлением новейших печатных работ к этому вопросу
было привлечено внимание более широких кругов, и в более старых работах
-стали находить места, где излагаются аналогичные воззрения, и стали
проявлять повышенный интерес к ним.
Сам Джоуль упоминает Герапата (Herapath) в качестве своего
предшественника Позднее П. дю Буа-Реймон (P. da Bois Reymond) указал, что уже
Дан. Бернулли (D. Bernoulli) высказал ту же точку зрения и довел ее до
известной степени развития. Спустя некоторое время мое внимание обратили
на книгу, изданную Прево (Deux Traites de Physique mecanique, publics par
Pierre Prevost, Geneve et Paris, 1818), в которой имеются две статьи, одна
написанная Г. Л. Ле Сажем (G. L. Le Sage), изданная Прево после смерти
автора, и затем статья самого Прево, в которой он дальше развив *ет
воззрения Ле Сажа. В этих статьях тоже излагается и подвергается обсуждению
мысль, что молекулы газов находятся в поступательном движении; и ecjfH
по вопросу о происхождении и сохранении этого движения там встречается
нема то такого, что сильно расходится с моими воззрениями, тем не менее
прием, с помощью которого на этой основе объясняется расширительная сила
газа, по существу один и тот же.
Ле Саж в свою очередь указывает ряд авторов, у которых уже до него
были аналогичные идеи; на стр. 126 он говорит буквально следующее:
„Следы подобного воззрения на природу воздуха и даже некоторых других
жидкостей встречаются у различных авторов, которые предшествовали мне:
Лукреций (Lucrece) книга 11, стихи 112—141. Гассенди (Gassendi), в первой
части своей физики, середина 8 главы 4 книги и начало 4 главы 6 книги.
Бойль (Boyle) в своих „Н)вых физико-математических опытах над. упругой
силой воздуха и их результатах", р*вно как и в его „Трактате о жидком
и твердом состоянии". Паран (Parent) в Истории Парижской Академии наук,
за 1708 г., в связи с .Изменениями, наблюденными в законе Мариотта при
расширении воздуха", „Форономия" Эрмача (Herman), книга II, глава 6. Дан.
Бернулли, в 10-й части своей .Гидродинамики". И, наконец, Дан. и Йог.
Бернулли в одной из работ, представленных ими в 1746 г. для соискания
-премии Парижской Академии наук".
Едва ли мне необходимо здесь указывать, что в то время, когда я писал
-«вою статью, я совершен» о ничего не знал об этих прежних попытках
объяснения газообразного состояния; в противном случае я конечно не
преминул бы упомянуть о них наряду с работами Крёнига и Джоуля. При много-

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
4ft
§ 2. Движения, которые можно допустить
в газообразных телах
Новая теория газов, получившая название' кинетической,
допускает, что молекулы тагов не колеблются около определенных
положений равновесия, но движутся прямолинейно с постоянной
скоростью, — до тех пор, пока они нз ударятся о другие молекулы
газа или же о непроницаемую стену; после этого вследствие
отражения они получают новые направления движения, причем,
однако, живая сила их движений в среднем сохраняет ту же
величину, какую она имела до столкновений.
Этими именно ударами молекул газа о всякую стену,
оказывающую сопротивление их движению, объясняв гзя давление газа,
как об этом дальше будет изложено более подробно. Однако то
обстоятельство, что поступательного движения атомов оказывается
достаточно для объяснения давления, еще не доказывает, что
это — единственное существующее в газе движение: наряду с ним
одновременно могут существовать и другие виды движения, при
чем имеются даже определенные основания, говорящие за
допущение подобных движений.
Прежде всего напрашивается мысль допустить наряду с
поступательным движением и вращательное движение, так как при
каждом взаимном ударе двух тел, если только случайно этот удар
не будет центральным и прямым, помимо поступательного движе
ния ^возникает и вращательное.
Далее я полагаю, что внутри отдельных масс, находящихся
в поступательном движении, имеет место и некоторое колебатель
ное движение. Подобные колебания можно себе представить в раз
личном виде. Если даже ограничиться рассмотрением только
весомых атомов и принять, что последние являются абсолютно
неизменными, то все-таки ещ& возможно, что молекула, состоящая
из нескольких атомов, не образует уже абсолютно неизменной
м&ссы, но что отдельные атомы в ней способны двигаться в
известных границах и, следовательно, могут колебаться друг
относительно друга.
". Вместе с тем я еще хочу отметить, что допущение
существования движения самих весомых атомор не исключает возможности
того, что каждый весомый атом обладает еще и некоторым
количеством более топкой материи и что последняя, не отделяясь от
атома, может поблизости от него совершать некоторые движения.
численности авторов, которые были уже упомянуты в связи с данным
вопросом, к которым, вероятно, можн > будет прибавить еще и ряд других
авторов, но которые, как я подозреваю,—хотя, правда, сам я не читал более
старых авторов,— частью высказались, вероятно, только в довольно
неопределенных выражениях,—было бы конечно трудно с полной уверенностью
указать лицо, которому следует прип'сать первенство в установлении данной
гипотезы; повидимому, можно лишь бучет выяснить, сколько сделали отдель-
кые авторы для того чтобы эту неопределенную идею развить в
приемлемую физическую теорию.

44
Р. КЛАУЗИУС
С помощью математического исследопвания, изложенного в
жонце настоящей главы, можно доказать, что живая сила
поступательного движения слишком мала для того, чтобы полностьк>
представить собою всю заключающуюся в газе теплоту; таким
образом уже одно это обстоятельство, помимо прочих соображен
ний, основанных на теории вероятности, побуждает нас допустить
существование еще одного или нескольких других видов
движения. Согласно этому исчислению превышение всей живой силы
над живой силой одного лишь поступательного движения особенно
ззвлико у газов сложного химического состава, у которых в состав
одной молекулы входит большое количзеклшо атомов.
§ 3. Соотношение между различными одновременно
существующими движениями
Поступательное движение всей молекулы и различные
движения, которыми сверх того обладают отдельные составные части
молекулы (последние я вкратце буду называть движениями
составных частей), у газов, постоянных по Своей природе и составу,
всегда находятся между собою в постоянном отношении.
Если представить себе некоторое количество молекул,
составные части которых находятся в оживленном движении, но
которые не обладают каким-либо поступательным Движением, то
последнее возникает само собой, так как две соприкасающиеся
молекулы оттолкнутся друг от друга вследствие движения и*
составных частей; при этом, конечно, движение составных частей
должно будет понести соответствующий ущерб в своей живой
силе. Наоборот, если бы некоторое число молекул, находящихся
•в посггупадальном движении, не имело в своих составных частях"
никакого движения, то последнее вскоре возникло бы вследствие
ударов молекул друг о друга и о твердые стенки. Только в тбм
олучае, когда все движения, которые вообще могут возникнуть,
находятся между собою в определенном соотношении, зависящем
от строения молекул, они в дальнейшем уже на будут друг
друга увеличивать или уменьшать.
Это не значит, что указанное определенное отношение между
различными движениями наступает у каждой отдельной молекулы
и чтр при дальнейших ударах оно остается неизменным; здесь
речь идет лишь о среднем значении, относящемся к очень
большому количеству молекул, а именно о среднем значении живых
сил движений.
Когда две молекулы, составные части которых находятся
в Движении, (взаимно сталкиваются, то они отскакивают друг от
друга на по обычным законам упругости, подобно двум упругим
шарам, но их скорости и направления, по которым они отлетают
друг от друга, зависят, помимо движений, которыми целые
молекулы обладали перед столкновением, еще от существующего в это
мгновение движения составных их частей, которые в момент удара
наиболее близко подходят друг к другу. Но после того как разлет-

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 46
вне движения однажды выравнялись настолько, что
поступательное движение в среднем уже не увеличивается и не уменьшается
под влиянием движений составных частей, то при исследаваниж
совокупного действия большого количества молекул можно
пренебречь неправильностями, имеющими место при отдельных
столкновениях, и полагать, что по отношению к поступательному
движению молекулы следуют общим законам упругости.
§ 4. Объяснение давления газа
Для того чтобы объяснить давление газа, представим себе;, что
некоторое количество последнего заключено в неподвижном
сосуда и рассмотрим небольшую часть внутренней поверхности
стенки сосуда. Об этот элемент поверхности непрерывно ударяются
молекулы, направления движения которых образуют угол меньший
90° с нормалью, проведенной наружу к рассматриваемому
элементу поверхности. Каждая из этих молекул по истечении очень
короткого времени снова оставляет стенку и летит назад во
внутреннее пространство сосуда. Если бы молекула вела себя
совершенно аналогично упругому шару, ударяющемуся о твердую
стенку, то при оставлении поверхности она облгтдала бы той же
самой скоростью, какую она имела при налете, и направление ее
движения составляло бы с нормалью, направленной внутрь сосуда,
тот же самый угол, какой направление движения налетающей
молекулы составляло с нормалью, направленной вовне сосуда.
Однако в действительности этот процесс не протекает столь
правильно. Так как палетающая на стенку молекула состоит из
атомов, которые помимо общего движения всей молекулы обладают
еще особыми движениями и так как, дальше, и сама стенка
состоит из молекул и атомов, которые вопреки видимому покою
стенки все-таки проделывают небольшие движения, то при ударе
мы имеем дело не только с простым взаимодействием всей
молекулы и неподвижной стенки, но и с особым взаимодействием
составных частей, ближайшим образом подвергшихся влиянию
удара; в зависимости от фаз, в которых находятся движения
последних в момент удара, они могут различным образом повлиять
на движение всей молекулы, возникающее в результате удара.
Однако сказанное относится только к отдельным молекулам.
В общем же случае, в предположении, что все возможные'
соответственно данным обстоятельствам движения находятся друг к
другу в указанном выше; отношении, можно принять, что после
отражения молекулы в среднем обладают той же самой живой
силой, какую они имели в момент налета, и что среди отраженных
молекул все направления движений по* отношению к стенке
представлены совершенно так же, как были представлены
направления движения налетевших на стенку молюкул. Коль скоро
последнее признается твердо установленным, то при определении
давления совершепно безразлично, если вместо среднего лишь
равенства допустить существование равенства при каждом отдельном

46
Р. КЛАУЗИУС
ударе, т. е. если допустить, что молекулы отражаются согласно
тем же законам, что и упругие шары от неподвижной стенки.
Представим себе теперь, что подобный шар налетает в каком-
либо направлении на стенку; тогда мы можем его поступательное
движение разложить на две составляющих, из которых одна
параллельна к стенке, а другая перпендикулярна к последней.
Первая под влиянием удара не изменяется, вторая же, наоборот,
превращается в иную, которая равна ей по.величине, но
противоположна по направлению. Это превращение можно понимать таким
образом, что шар, под влиянием силы, проявленной по отношению
к нему со стороны стенки, приобретает направленное внутрь
количество движения, которое вдвое больше первоначально бывшего
у него движения, направленного вовне. Первая половина его
служит для того, чтобы уничтожить направленное наружу количество
движения, а вторая после удара сохраняется. При этом стенка
вследствие реакции получает направленное наружу нормальное
количество движения, которое точно так же вдвое больше того,
какое имел вначале шар1).
Тот же процесс имеет место при каждом ударе молекулы.
Следует, однако, при этом отметить, что действие каждого отдельного
удара вследствие малой массы молекул очень незначительно, цо'
зато число ударов, приходящихся в течение единицы времени
даже на самый малый элемент поверхности, доступный нашему
наблюдению, очень велико. Отсюда для нашего восприятия сой-
дается ложное впечатление, будто стенка получает сообщенное
ей количество движения не благодаря отдельным толчкам, а под
влиянием постоянно действующей силы, направленной изнутри
наружу. Эта сила и есть та самая, которую мы называем давлет
нием газа. Она должна быть уничтожена другой противоположна
действующей силой; только при этохМ условии стена под ее
влиянием не придет в движение.
Что касается величины давления, то уже путем поверхностного
исследования можно до известной степени выяснить, от каких
обстоятельств она зависит и каков должен быть характер этой
зависимости.
догда плотность газа увеличивается и в соответствии с этим
количество молекул, находящихся в единице объема, возрастает»
то благодаря этому и количество ударов тоже должно
увеличиться, а именно при прочих равных зг'сло,в;иях число ударов
должно возрасти в тем же самом отношении, как и число
молекул, находящихся в единице объема. Согласно этому давление
должно возрасти пропорционально плотности, что соответствует
вакону Мариотта (Mariotte).
Далее, когда общая скорость движения молекул изменяется»
то вследствие этого по отношению к ударам наступает двоякого
3) Крёчиг при своем определении давления принял в расчет лишь
однократное количество движения молекул, ударяющихся о стенку; поэтому и для
давления он получил лишь половину той величины, какую она имеет в
действительности.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 4Т
рода изменение. Во-первых, вместе со скоростью возрастает и
количество ударов, а именно, при прочих равных условиях — в том же
самом отношении, что и скорость. Во-вторых, возрастает
интенсивность ударов, причем и это возрастание происходит в том же
отношении, что и увеличение скорости. В силу этого давление,
возникающее в результате общего действия ударов, должно
увеличиваться соответственно квадрату скорости. Если допустить, что
абсолютная температура представляет собою м>еру живой силы
поступательного движения молекул и, следовательно, что она
пропорциональна квадрату скорости, то изложенный выше вывод
приводит нас к закону Гей-Люссака (Gay-Lussac).
Для того чтобы получить возможность определить и численное
значение давления, исходя из числа и скорости молекул, следует
произвести некоторое математическое исследование; однако
последнее в настоящем месте слишком прервало бы ход нашего
рассуждения, вследствие чего мы ему уделим место только в конце
настоящей главы наряду с другими математическими выкладками.
§ 5. Основания, вследствие которых газы не следуют
точно закону Мариотта и Гей-Люссака
Оказанное до сих пор им'еет силу только для трудно сжимае-
ишх газов, которые раньше называли постоянными газами, но
и для них — только приближенно. Причину небольших
наблюдавшихся отклонений можно, по крайней мере в общих чертах,,
понять без труда.
Для того чтобы законы Мариотта и Гей-Люссака, а также
законы, находящиеся с ними в Связи, строго выполнялись, газ с
•дочки зрения своеяо молекулярного состояния должен
удовлетворять следующим условиям.
1) Пространство, действительно заполненное молекулами газа,
должно быть исчезающе мало по сравнению со всем
пространством, занимаемым газом.
2) Время одного столкновения, т. е. то время, которое требуется
для молекулы при ударе ез о другую молекулу или о твердую
стенку для того, чтобы изменить свое движение именно так, как.
это происходит в результате столкновения, должно быть исче-
зающе мало по сравнению со временем, протекающим между
двумя ударами.
3) Влияние молекулярных сил должно быть исч°(затоще; мало.
В последнем положении заключается два условия. Прежде взего,
требуется, чтобы сила, с которой все молекулы взаимно еще при-
тягившотс'я на средних своих расстояниях, была ничтожно мала
по сравнению с давлением, проистекающим вследствие дшжения.
Однако мол 1кулы нэ всегда находятся на средних расстояниях
друг от друга, но во время движения молекула зачастую
вплотную приближается к другой молекуле или к неподвижной стене,
равным образом состоящей из деятельных молекул; в подобные-
моменты времени естественно начинают действовать молекулярные

48
Р. КЛАУЗИУС
<жлы. Поэтому второе требование заключается в том, чтобы те части
описываемого молекулой пути, на которых эти силы влияют на
движение молекулы, заметно его изменяя в смысле направления
пли величины скорости, были исчезающе малы по сравнению с
теми частями ее1 пути, на которых эти силы мотут считаться
утратившими свое действие.
Когда эти условия не выполняются, происходят отступления
ют простых законов газов, которые могут проявиться в различных
направлениях, поскольку указанные обстоятельства имеют своим
последствием частью увеличение, частью же! уменьшение
давления. Отступления становятся тем болев значительными, чем меньше
^молекулярное состояние газа удовлетворяет указанным условиям.
Когда я ознакомился с появившимися в 1847 г. знаменитыми
исследованиями Реньо г) над отклонениями газов от законов Ма-
риотта и Гей-Люссака, я попытался с помощью только что
указанных положений из характера отклонений, установленных Реньо
у отдельных газов, сделать некоторые заключения о том, какие
размеры следует приписать пространству, заполненному молекулами,
времени столкновения и молекулярному притяжению у* газов,
лсследованных Реньо. Однако выводы, которые можно было
сделать на основе одних только наблюдений Реньо, в силу
незначительного интервала примененного в этих опытах увеличения
давления, были слишком ненадежны, чтобы я их мог тогда признать
годными для опубликования. Позднее другие физики произвели
наблюдения, при которых сжатие газов было доведено до гораздо
более высокой степени, и эти наблюдения обещают создать более
надежную базу для подобных выводов. Поэтому в дальнейшем,
мы еще раз подробно остановимся на данном вопросе2).
Пока же мы, как и раньше, во всех случаях, когда речь будет
итти о газах, будем всякий раз рассматривать такой газ, который
полностью удовлетворяет указанным выше условиям; так как все
реально существующие газы дают только приближение к этому
газу, то Реньо называет последний идеальным газом, в пашем
же изложении он обычно именуется совершенным газом.
§ 6. ПоВЕДЕНИб МОЛЕКУЛЫ В ТРЕХ АГРЕГАТНЫХ СОСТОЯНИЯХ
После изложенных соображений о газообразном состоянии сам
«собою встает вопрос о том, чем отличаются твердое и жидаое
состояния от газообразного. Хотя удовлетворительное во всех
деталях определение этих состояний потребовало бы гораздо более*
полного знания отдельных молекул, чем это мы имеем до сих пор,
тем не менее я полагаю, что некоторые основные различия могут
быть указаны с довольно большой вероятностью.
Движение молекулы имеет место при fcoex трех состояниях.
J) Regnault, Mem. de ГАс. des Sc. Т. XXI.
2) Эти измерения послужили основой для работ Ван-дер-Ваальса, отжо-
<ящихся к семидесятым годам XIX века. Ред.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
4*
При твердом состоянии движение происходит таким образом,
что молекулы движутся около известных положений равновесия,
не оставляя последних окончательно до тех пор, пока на них не
воздействуют посторонние силы. Таким образом у "Твердых тел это
движение/ можно было бы охарактеризовать как колебательное*. В
действительности же оно может иметь гораздо более сложный вид.
Во-первых, могут колебаться составные части молекулы друг по
отношению к другу и, во-вторых, могут колебаться целы® молекулы
как тажо*вые, причем эти последние колебания могут в сшю
очередь состоять в прямолинейных качаниях центра тяжести и во
вращательных колебаниях около центра тяжести. В тех случаях,
когда йа тело действуют внешние силы, например при
сотрясениях, молекулы могут и навсегда перейти в другие положения.
< В жидком состоянии молекулы уже; не имеют постоянного
положения равновесия. Они могут совершенно повернуться около
своего центра тяжести, а последний моя£ет совершенно сместиться
ср своего положения. Однако разъединяющее действие движения
не настолько велико по сравнению со взаимным притяжением мо*
дакул, чтобы совершенно отделить их друг от друга. Правда,
молекула уже более не пристает к определенным соседним молекулам,
до она и не покидает их сама, а лишь при содействии сил,
которые она испытывает со стороны других молекул, по отношению
к которым она затем попадает в такое же самое положенно, как
к своим прежним соседним молекулам. Итак, в жидкости имеет
место колебательное, вращательное и поступательное движение,
но оно происходит таким образом, что под его влиянием молекулы
не разбегаются во все стороиы и даже при отсутствии какого-либо
внешнего давления остаются «в пределах определенного объема.
Наконец, в газообразном состоянии молекулы под действием
движения совершенно выходят из сфер взаимного их притяжения
и улетают по прямолинейным путям согласно обычным законам
движения совершенно выходят из сфер взаимного их притяжения
сталкиваются, то как общее правило они отлетают друг от друга
с той же быстротой, с какой они летели навстречу друг другу;
это может осуществиться тем легче, что молекула притягивается
другой единичной молекулой с гораздо меньшей силой, чем она»
притягивается целой массой молекул, какую она в своем
соседстве имеет в жддком или твердом состоянии.
§ 7. Объяснение процесса испарения
При разработке кинетической теории газов мне представлялось
оообшно интересным объяснить процесс испарения, который
совершенно не был рассмотрен авторами, занимавшимися до меня
этой теорией.
В результате своих размышлений на эту тему я даднет до того,
что составил себе особое представление о процессе испарения,
очень сильно отличающееся от обычных прежних объяснений
подобных процессов. А именно, раньше эти объяснения обыкновенно

50
Р. КЛАУЗИУС
основывались на допущении таких сил, которые действуют
непрерывно и равномерно во всем теле; мое яоз объяснение1
основывается на допущении тшких движений и связанных с ними сил,
которые претерпевают очень большие изменения наиболее
беспорядочным, подверженным случаю, образом — от молекулы к моле-
куле, от момента к моменту—(и которые подчиняются только
общим законам вероятности. Это объяснение, с которым
находилось в связи и данное мною вскоре после тою объяснение
электролитической проводимости1), постепенно начало получать все
большее признание, а положенный в его основание принцип был
позднее различными авторами перенесен и на диссоциацию, а также
и на иные аналогичные процессы2). Я полагаю, что могу себе
позволить изложить здесь свое объяснение просто в его
первоначальном виде.
Выше было указано, что в жидкостях молекула при своем дви-
ябейии остается в сфере притяжения соседних своих молекул или
же, если она оставдяет последние1, то с .тем, чтобы доцадгь в такое
же положение. по отношению к другим соседним молекулам.
Однако это верно только для средних величин движения, а так
как эти движения совершенно беспорядочны, то можно додустить,
что скорости отдельных молшул в очень широких пределах
отклоняются в обе1 стороны от среднего их значения.
Если теперь обратиться к рассмотрению поверхности какой-
либо жидкости, то я допускаю, что среди многообразия
различного рода движений наступает и такой случай, когда какая-либо
молекула в результате благоприятного сочетания постулательного,
колебательного и вращательного движений отбрасывается от
соседних своих молекул с такой стремительностью, что она уже
выходит из сферы их действия раньше, ч*ем полностью потеряет эту
свою скорость под действием их притяжейия, и тогда она
продолжает свое1 движение в пространстве, находящемся над жидкостью.
Представим себе, что это пространство ограничено и что
первоначально оно было пусто; в таком случае оно постепенно будет
все больше и больше (заполняться подо%ьвщ оторвавшимися
молекулами. Эти молекулы ведут себя 'в указанном пространстве1
совершенно подобно газу и поэтому при своих движениях они
ударяются о стенки. Однако одна из этих стенок образуется самой
жидкостью; когда молекула ударится о жидкость, то последняя,,
вообще говоря, не оттолкнет от себя молекулы, но под влиянием
притяжейия, которое прочие молекулы тотчас же снова проя?вят
при приближении нашей молекулы, жидкость ее удержит и
присоединит к себе. Тз,ким образом состояние равновесия наступит
тогда, когда в пространстве* над жидкостью будет столько
молекул, что в среднем в течение единицы времени ровно столько
молекул будет ударяться о поверхность жидкости и удерживаться
1) Pogg. Ann., В. 101, S. 338, 1857.
3) Смотри в особенности интересную, статью Пфаундлера, Pfaundler, Bei~
trage zur chemischen Statik, Pogg. Ann., B, 131, S. 55, 1867.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
51
последней, сколько других молекул будет уходить с ее
поверхности. Таким образом установившеюся состояние равновесий не
является состоянием покоя, при котором испарение уже
прекратилось, а таким состоянием, при котором непрерывно происходит
испарение! и сгущение, причем оба эти процесса протекают с
одинаковой интенсивностью и потому взаимно компенсируются.
Плотность пара, необходимая для этой компенсации, зависит
от того* сколько молекул в единицу времени отрывается от
поверхности жидкости, а это последнее число в свою очередь
зависит от интенсивности движения внутри жидкости, т. е. от
температуры последней.
То, что выше было сказано об отношении поверхности жидкости
к находящемуся над нею "пару, в равной мере относится и к дру-
шм стенкам, ограничивающим пространство, заполненное паром.
Сначала на них осаждается некоторое количество пара, а затем
последний сам тоже начинает испаряться; и здесь в конце
концов должно наступить состояние, при котором испарение и
конденсация становятся равными друг другу. Необходимое для этого
количество пара, конденсировавшегося на поверхности, зависит от
плотности пара в, замкнутом (пространстве, от температуры
пара и стенки; а также от силы, с какой ш^юлекулы пара,
притягиваются стенкой. Максимум в данном случае может
наступить тогда* когда стенка полностью смачивается осевшей на ней
жидкостью; а после того, как, это произошло, стенка ведет себя
совершенно так же, как поверхность той же самой жидкости.
§ 8. Влияние на испарение газа, находящегося
над поверхностью жидкости
Отсюда может быть выведено вполне удошетюрительное
объяснение/ и для такого явления, когда присутствие другого газаь
над жидкостью не препятствует, а, пожалуй, может даже
способствовать испарению, и когда кипение начинается только при
определенной температуре; между тем обычно раньше применявшееся
при рассмотрении этого- явления положение Дальтона (Dalton) —
что пространство, заполненное каким-либо газом, ведет себя по
отношению к другому газу, как пустое пространство —
представляет собою не объяснение, а только видоизмененное описание
данного явления.
Давление газа на жидкость »заключается лишь в том, что
отдельные молекулы газа то здесь то там ударяются о
поверхность жидкости. Вообще же пространство над жидкостью — ведь
фактически молекулы заполняют собственно лишь очень малую
долю последнего — можно считать пустым и свободно
проницаемым для молекул жидкости. Как общее правило, последние будут
сталкиваться с молекулами газа лишь на относительно далеких
расстояниях от поверхности и будут тогда по отношению к ним
вести себя подобно молекулам любого иного примешанного газа.
Поэтому следует полагать, что жидкость выделяет <2вои молекулы

52
Р. КЛАУЗИУС
и в пространство, залосненное газом, и что количество пара,
примешивающегося таким путем к газу, в данном случае* тоже
возрастает до тех пор, пока на поверхность жидкости не падает ж
ею не поглощается такое же количество молекул, какое она
посылаем, и что необходимое для этого количество молекул пара на
единицу объема почти что одинаково во всех случаях
независима от того, занято ли пространство сверх того еще каким-либо
лизом или же нет.
Однако иное влияние оказывает давление газа на внутренние
части жидкости. И здесь,,—а равно в тех местах, где массы
жидкости ограничены стенкой сосуда, — может случиться, что моле
кулы отскочат друг от друга с такой силой, что на мгновение
связь массы будет нарушена. Однако образующееся при этом
небольшое свободное пространство оказывается окруженным со
всея: сторон массами, которые закрывают выход для движущихся
молекул; поэтому оно только в том случае может увеличиться до
размеров шарового пузыря и в этом виде сохраниться, если
внутренние стенки жидкости непрерывно выбрасывают в несго столько
молекул, что 'возникшее благодаря этому внутреннее давление*
пара оказывается в состоянии уравновесить внешнее давление,
<яремящее<ся сжать образовавшийся пузырь. Таким образом
давление замкнутого газа должно быть тем больше, чем' больше
давление, под которым находится жидкость; отсюда становится
ясной зависимость температуры кипения от давления.
Когда газ, находящийся над жидкостью, сам способен
конденсировать^ и образует жидкость, которая смешивается с данной
жидкостью, то, конечно, благодаря тому, что в данном случае в4
качестве новой силы появляется стремление двух веществ к
смешению, условия осложняются. Однако в рассмотрение этих
явлений я здесь входить не буду.
Аналогично жидким телам легко себе представить возможность
испарения и у твердых тел; однако отсюда еще не следует
обратное: что на поверхности всех тел должно происходить испарение.
Можно себе вполне представить, что молзтсулы какого-либо тела
настолько прочно связаны друг с другом, что покуда температура
этого тела не перешагнет черев из»вестную границу, даже самое
благоприятное сочетание различных молекулярных движений не
в состоянии уничтожить эту связь.
§ 9. Затрата теплоты и получение ее с помощью
ВНЕШНЕЙ РАБОТЫ
Когда тело изменяет свое состояние таким образом, что при
этом имеет место положительная или отрицательная работа, то
должно быть затрачено или получено соответствующее количество
теплоты. Это положгние может быть выведено из общего
механического закона об эквивалентности живой силы и работы, который
в данном случае — ввиду того, что всякие другие движения

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
63
исключены из рассмотрения, — следует применить к живой силе
молекулярных движений, т. е. к теплоте. Интересно, однако,
представить себе наглядно этот процесс для различных видов работы.
Мы начнем с внешней работы, причем рассмотрим ее прежде
всего для случая совершенного газа. Когда газ cq всех сторон
ограничен неподвижными стенками, то налетающие на такую
стенку молекулы, как общее правило, отскакивают от не© с той
же самой скоростью, с какой они на нее налетели, так что их
живая сила при этом не претерпевает никакого изменения. Но когда
одна из отенок движется наружу или внутрь, и объем газа
вследствие итого увеличивается или уменьшается, то подобной неиз-
Йейносгга живой силы мы уж:е иметь не будем. Бели стенка
движется наружу, т. е. в том же направлении, что и налетающие на
нее молекулы, то последние после отскакивания, как общее
правило, имеют меньшую скорость, чем* до удара; если же стенка,
наоборот, движется внутрь, т. е.. навстречу налетающим молжулам,
то скорость последних при оставлении стенки бывает больше, чем
при ударе. Поэтому в первом случае происходит уменьшение/ жи-
шй силы, которое можно обозначить как затрату теплоты, а во
втором — увеличение живой силы, которое можно рассматривать
*сак получение теплоты.
Что затрата и получение теплоты, объясненные
вышеупомянутым образом, и по своей величине в точности соответствуют
полученной или затраченной внешней работе, это в дальнейшем
предстоит еще особо доказать.
Если стенка Движется настолько медленно, что давление газа
на движущуюся стенку имеет ту же величину, что и на
неподвижную стенку, то при определении работы скорость стенки не
принимается в расчет, а учитывается лишь путь, пройденный ею в
целом. Если же, наоборот, скорость стенки настолько велика, что
благодаря ей поблизости от стенки происходит заметное сгущение
или разрежение газа, то при расчете следует всегда принимать
ш внимание да'влшие, фактически производившееся газом во
время движения.
Когда газ перетекает из одного сосуда в другой, причем до
этого в .обоих сосудах газ имел различную плотность или же в
одном из союудш сначала газа совсем не было, то, рассматривая
явление в целом, можно сказать, что при этом никакой работы
не производится, и поэтому в данном случае не может произойти
какого-либо изменения общего наличного количества теплоты.
Однако это не значит, что в каждом из обоих сосудов в
отдельности не произойдет никакого изменения количества теплоты, ибо
пасса газа, молекулы которой движутся, — причем в их движении
преобладает определенное направление, — ведет себя по
отношению к граничащим с ней массам газа как подвижная стенка, а
когда движущиеся массы газа ударяются Ч> неподвижную стенку,
то при этом возникает в форме теплового движения ровно столько
теплоты, сколько поступательное движение, общее для вюей маосы
fаза, теряегг в живой силе.

64
Р. КЛАУЗИУС
Совершенно так же, как при изменениях объема газообразных
тел, и в других случаях следует принимать во внимание
внешнюю работу, например работу, которая тратится при испарении
жидкости на то, чтобы пар при своем возникновении освободил
для себя место путем оттеснения (внешнего сопротивления. У
^твердых и жидких тел, которые испытывают лишь незначительные
изменения объема, внешняя работа тоже большей частью
незначительна, хотя, правда, и здесь бывают случаи, когда ее влияние
становится заметным.
§ 10. Затрата теплоты и получение ее с помощью
внутренней работы
Совершенно аналогично внешней работе и ■внутр!енн1яя работа
вызывает затрату теплоты и ее получение, которые частью еще
значительнее, чем затрата и получение, вызванные внешней работой.
Когда молекулы теща или же те составные части, из которых
составлены самые) молекулы, изменяют свое взаимное
расположение, то это происходит либо в том направлении, в котором их
стремятся двигать присущие молекулам внутренние силы, либо —
в противоположном (Направлении. В первом случае силы сообщают
молекулам или их составным частям, при их перемещении иэ
одного положения в другое, известную скорость, живая сила
которой тотчас же превращается в теплоту; в последнем случае,
поскольку мы здесь пока отвлекаемся от посторонних
экстраординарных сил, молекулы или их составные части приводятся в
движение теплотой в направлениях, противоположных направлениям
внутренних сил, и замедление, которое при этом молекулы испы-
тыважл? под влиянием противодействующих сил, проявляется в
виде уменьшения теплового движения.
Когда твердые и жидкие тел& расширяются под действием
теплоты, то, как было уже отмечено, внешняя работа при этом
обычно бывает незначительной, между тем как внутренняя работа
может достичь значительной величины. У газообразных же тер
имеет место прямо противоположное отношение. У этих тел
взаимное притяжение молекул, вследствие значительно больших
расстояний их друг от друга, очень незначительно, поэтому при еще
большем удалении их друг от друга производится лишь очень нзевна-
чительная внутренняя работа; последнее оправдывается тем IB
большей степени, чем дальше газ находится от своей точки
сгущения и чем, следовательно, его состояние' больше приближается
к состоянию совершенного газа, у которого внутреннюю работу,
произведенную при расширении, можно считать равной нулю.
Хотя при переходе* из твердого^ состояния в жидкое молекулы
не выходят из сфер взаимного их действия, однако согласно
указанным выше допущениям они переходят из определенного
положения, соответствующего молекулярным силам, в другие беспол
рядочные положения, и при этом должны быть преодолены силы,
стремящиеся удержать их в первоначальном положении.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
55
При испарении происходит полное отделшие единичных
молекул от остальной массы, что, очевидно, опять-таки создает
необходимость преодоления противодействующих сил.
В еще большей мере, чем при изменении агрегатного состояния,
происходит затрата и получение работы при образовании
химических соединений и при химических разложениях; в соответствии
с этим количества тепла, получаемые при химических соединениях
и затрачиваемые при разложениях, гораздо больше
соответствующих количеств тепла, получаемых при изменениях агрваитного
состояния.
§ 11. Объемные соотношения сложных газов
В заключШие я позволю себе остановиться еще на одном явле
нин, объяснение которого представляется? особо важным, а именно
на существующем у газообразных тел отношении между удельным
весом и молекулярным весом, или между объемом и молекулярным
числом.
В § 4 было указано в качеств вывода из кинетической теории
газов, что давление, производимое газом на единицу поверхности
своей оболочки, должно быть пропорционально, с одной стороны,
числу мол)е1кул, содержащихся в единице1 объема, а с другой
стороны, живой силе поступательного движения отдельных молекул.
Спрашивается теперь, может ли и каким именно образом этот
закон привести к объяснению указанного Выше соотношения.
баймемся сначала только сопоставлением сложных газов.
Возьмем в качестве примера для рассмотрения два соединения
кислорода и азота, а именно соединение одного объема кислорода и
одного объема азота в окись авота и одного объема кислорода с
двумя объемами авота ев азотноватую окись, которые, как известно,
занимают одинаковый объем. Если сделать наиболее вероятное по
своей простоте предположение, что атомные» числа в молекулах
этих двух соединений соответствуют объемным числам вступивших
,р соединение простых газов, что, следовательно, молекула окиси
азота состоит из одного атома кислорода и одного атома азота, .а
мооиекула азотшватой окиси состоит из одного атома кислорода
ir двух атамюв азота, то отсюда следует, что равные объемы обоих
газов содержат одинаковое число молекул. А так как давления
обоих газосв одинаковы, то мы должны из приведенного выше
положения кинетической теории газов сделать тот вывод, что отдельг
ные молекулы обоих газов, хотя одни из них соогоят из двух ато-
щхв, а другие — из трех атомов, обладают одинаковой живой силой
поступательного движения.
К тому же заключению мы приходим по отношению к
большинству других сложных газов; что касается тех случаев, когда
газы йе подчиняются этому правилу, то мне представляется, что
эти отступления можно объяснить либо тем обстоятельством,, что
соответствующий газ при определении его объема не был еще

56
Р. КЛАУЗИТС
достаточно далек от точки его сжижения, либо же тем
обстоятельством, что применяющаяся до сих пор химическая формула дает
неправильное указание о том, каким образом здесь атомы
соединяются в молекулы.
§ 12. ОБЪЕМНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРОСТЫХ ГАЗОВ И ОБЩИЙ ЗАКОН
Однако если мы тшерь сравним сложные газы с простыми, из
которых они образовались, то мы натолкнемся на своеобразное
затруднение. С первого взгляда мы склонны допустить, что у лро-
стых газов каждый атом движется сам но себе или, другими
словами, что у простых газов каждая молекула состоит'из одного-
атома. Но если бы мы это допущение связали с законом, что в
равных объемах различных газов содержится одинаковое
количество молекул, то мы пришли бы к выводу, что в тех случаях,
когда один объем простого газа соединяется с одним или
несколькими объемами другого простого газа, это соединение должнр
занимать только один объем, между тем как в действительности это
соединение обычно занимает два объема.
Размышляя над причинами этого явлений и вообще) над общим
законом объемного отношения газов, я остановился на следующей
.точке зрения, которую я считаю наиболее вероятной; я позволю
себе изложить ее ученому миру хотя бы в качестве гипотезы, за-
служивающей дальнейшей проверки.
Я допускаю, что сила, которая вызывает образование-
химических соединений и которая, вероятно, заключается в некотором
вида полярности атомов, проявляется уже и в простых телах и что
в последних тоже несколько атомов соединяются в одну молекулу.
Простейшим, а потому и наиболее вероятным случаем такого
соединения было бы соединение в о;щу молекулу двух атомов, и
этот случай дает объяснение упомянутого выше объемного огнс^
шеаия, которое было приведено в качестве отступления от правила
Пусть, например, даны два равных объема кислорода и азота.
Когда эти газы смешиваются, то в их смеси имеется? известное
количество молекул, состоящих либо из двух атомов кислорода, либо
из двух атомов азота. Представим себе теперь, что эта смесь пере*
ходит в химическое соединение; тогда последнее содержит такое
же точно количество молекул, которые лишь составлены иначе, а
именно каждая из йих состоит из одного атома кислорода и одного
атома азота. Если же даны один объем кислорода и два объема
азота, то в их смеси каждая молекула состоит из двух атомов,
а в химическом соединении каждая молекула состоит из трзх
атомов. Таким образом, благодаря тому, что произошло химическое
соединение, число молекул уменьшилось в отношении 3 :2,
поэтому в том же отношении должен был уменьшиться и объем.
Как известно, существуют некоторые простые вещества, которые
в газообразном состоянии занимают не Tot объем, какого можно
было бы ожидать по их атомному весу и по объему их соединений,
а иной, в большинстве случае© меньший, который находится &

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
57
простом отношении к первому. Более* детальное исследование этих
веществ было бы здесь тем менее уместно, что два из этих
веществ — сера и фосфор, — благодаря многообразию состояний,
которые они могут принять, проявляют и в другом отношении столь
странные свойства, что, пожалуй, следовало бы выждать, пока
химия даст еще свои оообые заключения об этих телах. Эти
заключения, может быть, объяснят наряду с другими
неправильностями и неправильности, проявляющиеся в объеме их паров. Тем
не менее я все-таки хотел бы напомнить об одном обстоятельстве,
которое в некоторых случаях, быть может, способствовало бы вы-
ясйению вопроса, а именно о том, что упомянутое выше!
допущение, согласно которому молекулы простых веществ состоят каждая
из двух атомов, является хотя и наиболее простым, однако не
единственно возможным*).
Если сопоставить вбе случаи простых и сложных газов, то
нельзя ожидать, чтобы (всюду можно было тотчас же найти полн
ное соответствие; однако я полагаю, что при той неуверенности,,
какая еще существует по вопросу о внутренней структуре многих
тел, в особенности тел сложного' химического состава, не следует
придавать, слишком большого значения отдельным отступлениям;
я считаю вероятным, что с помощью приведенной выше гипотезы
о составе молекул простых веществ удастся все объемные
отношения газов свести к закону, согласно которому отдельные
молекулы всех газов по отношению к своему поступательному
движению обладают равной живой силой."
Когда в «Pogg. Annalsn» за 1857 г. появилась моя статья о роде
движения, которое мы называем теплотой, из которой зшмство-
зано буквально приведенное выше объясиение), то извлечение из
дугой статьи, появившееся в «Ann. de chim. et de physique», а также
перевод ее, напечатанный в «Archives des Sciences phys. et nat.»
были снабжгны примечаниями Верде (Verdett) и Мариньяка (Ma-
rignac), в которых было отмечено, что уже раньше Дюма (Dumas),
Лоран (Laurent) и Жерар (Gerhardt) высказали ту точку зрения,.
что молекулы простых газов состоят из нескольких атомов. Мне,
конечно, было очень приятно, что мое внимание обратили на это
остававшееся мне до тех пор неизвестным обстоятельство, а затем
упомянутые выше господа были настолько любезны, что указали
мне более точно те места, где встречаются подобного рода
высказывания. Из них я усмотрел, что наиболее! определенные в этом
смысле высказывания имеются у Жерара (в четвертом томе его-
«Органической химии»), который пришел к этой точке зрения,
исходя из совершенно иных, чисто химических соображений, что*
свободный водород следует рассматривать как водородистый
*) Как известно, Сент-Клер Девилль (Saint-Clair Devjlle) и Tpycm (Troosty
в 1859 г. установили путем наблюдений над серой, что неправильность в объеме
ее паров наблюдается в известных температурных границах и что при очень
высоких температурах она отсутствует; согласно/ сказанному выше, это
обстоятельство может быть объяснено вызванным теплотой распадом более-
сложных молекул на более простые.

58
Р. КЛАУЗИУС
воЩород (Н,Н), а свободный хлор — как хлористый хлор (С1, СИ)
(ом. § 2451 и 2457 упомянутого выше сочинения). Там сначала
отмечается, что процесс, при котором сернистый калий при
обжигании превращается в сернокислый калий, следует
рассматривать как двойное разложение между кислородом и сернистым
калием; после этого мы там читаем следующее: «Молекула
свободного кислорода, состоя воз нескольких атомов (по меньшей мере —s
и;з двух), образуется путем двойного разложения безводной серной
кислоты и окиси калия; но эти два продукта остаются связанными
и могут быть в дальнейшем разъединены, как в случае
голландской жидкости
SK2-f030= S08+K20
^- ^ -*
остаются связанными.
В этом химическом уравнении формула 030 должна,
невидимому, представлять собою упомянутую выше молекулу свободного
кислорода, состоящую из нескольких атомов. В другом м)есте (©
$ 2457), где кислород только очень бегло упомянут наряду с
другими веществами, для свободного кислорода даетсй формула 00,
причем причина расхождения этой формулы с только что
приведенной не указывается. Поэтому создается вптатление, что у
Жерара как будто были сомнения по вопросу о структуре
молекулы свободного кислорода. Точно так же и у других указанных
выше авторов я не нахожу определенных указаний о числе
атомов, (входящих в состав молекулы кислорода. В моей же теории
-сделано определенное допущение по поводу молекул обыкновенного
кислорода, а имвдно, что каждая из них состоит из двух атомов;
последнему я должен приписать тем большее значение, что это
допущение является исходным пунктом для приведенного мною
«иже объяснения природы озона.
Еще менее определенными, чем мнения упомянутых выше
авторов, являются высказывания, встречающиеся !в некоторых более
«старых статьях Авогадро (Avogadro) *); ко времени опубликования
упомянутых выпш мнений эти идеи Авогадро были настолько
основательно забыты, что в появившемся в 1863 г. справочнике Погген-
дорфа (Poggendorff, Biografisches Handworterbuch) даже не
упомянуто имя Авогадро, и на эти идш снова обратили внимание
толька теперь, после того как объемные отношения газов бьига
освещены с других точ£1к зрения. И в этих статьях уже идет речь о
том, что молекулы простых газов могут быть разлюженщ, однако
число частей, на которые они могут распасться, там оставлено
•большей частью неопределенным; если где-нибудь для примера и
приводится какое-нибудь число, то это обычно бывает число че-
чире; последнее обязано своим происхождением тому
обстоятельству, что в одной из своих статей о кристаллизации Ампер
*) Journal de physique par de Lametherie, июль 1811 и февраль 1814, a
также Memorie della R. Accademia delle scienze di Torino, T. XXVI 1821,
стр. 1 и 440.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
59
<Amp6re) высказали мнение, что молекула простого вещества,
как общее правило, состоит из четырех частиц простейшего вида,
которые располагаются по вершинам тетраэдра.
Что касается вообще объемного отношения газов, взятых при
pgtBHOE температуре и под одинаковым давлением, то Авогадро
выразил его с помощью закона, что в равных объемах различных
газов содержится одинаковое число молекул; я же предложил закон,
согласно которому молекулы различных газов имеют равную
живую силу поступательного движения. Оба эти закона приводят к
одним и тем же объемным числам, но они отличаются друг от
друга тем, что закон Авогадро устанавливает отношение шжду
объемюй и числом молекул просто как факт, между тем как пред-,
ложенный мною закон дает возможность выяснить и
механическую причину этого отношения.
§ 13. Математическое определение давления газа
В § 4 было дано объяснение давления газов, причем это
объяснение ставило себе целью лишь наглядно показать ьовникновеше
этой силы и зависимость ее от условий, (при которых газы
находятся. Теперь же/ следует ввдеюти и математическое выражение
для величины давления.
При этом и здесь, подобно тому, как это было сделано и объяс-
Шно раньше, мы допустим, что отражение молекул от неподвижной
стенки происходит согласно тем же законам, что и отражение
упругих шаров.
Далер мы предположим, что -имедо дало с совершенным газом
и что, следовательно, во-первых, молекулы его настолько малы, что
их объемом можно пренебречь по сравнению с объемам,
занимаемое всем газом, и, во-вторых, молекулы проявляют силы
взаимодействия лишь находясь в непосредственной близости друг от
друга. Выполнение последйечю условия одновременно влечет за
собою выполнение третьего условия, указанного в § 5, что время од-;
нюго удара должно быть исчезают^ малым по сравнению с
временем, протекающим меркду двумя ударами. При наличии таких
предпосылок мы можем мысленно заменить модасулы упругими
материальными точками.
Наконец, мы сделаем еще одно упрощающее допущение,
касающееся скорости молекул. Фактически между скоростями
отдельных молекул имеются очень большие различия, изменяющиеся
при каждом ударе. Однако в данном исследовании мы можем всем
молекулам приписадъ Некоторую определенную среднюю скорость.
Но, как будет ясно из последующей формулы, выражающей
величину давления, эту среднюю скорость следуегг взять йе так, чтобы
она являлась средней арифметической всех отдельных скоростей,
но таким образом, чтобы ее квадрат был средним арифметическим
квадратов всех отдельных скоростей, или, другими словами,—
такте образам, чтобы из нее для живой силы всех молекул

60
Р. КЛАУЗИУС
получалось то же самое значение, кжое получается из
фактически существующих скоростей.
Для того чтобы определить давление, производимое газом на
ограничивающую его стенку, представим себе единицу площади
етенки в виде плоскости; затем направим свое внимание на
бесконечно тонкий слой газа, граничащий с этой единицей площади;
толщину этого слоя, повсюду равного, мы обозначим через dx.
Объем рассматриваемого слоя, площадь основания которого
равна единице, выразится тоже просто через dx, а отсюда следует,
что число молекул, одновременно находящихся в этом„ слое, равно
Ndx, если N обозначает число молекул, находящихся в единице
объема газа. Эти ,Ndx молекул движутся» во всех возможных
направлениях, так что любое направление столь же вероятно, как
и все прочие. В силу этого число тех молекул, направления
скоростей которых составляют углы, лежащие между *> и 0-f-<#K
с нормалью, проведенной к стенке наружу, относится ко всему
числу всех находящихся в данном слое молекул, как шаровая
зона, соответствующая угловому интервалу от Одо&-Ь<^
относится ко всей поверхности шара, т. е. как 2тс sin & db: 4*.
Обозначив соответствующее число молекул через Р, мы таким образом
получим следующее уравнение:
4ic 2
Входящий в эту формулу угол может иметь любое значение
от о до тг, причем он больше или меюыие ~ в зависимости от того»
движется ли ооотвеггствующая молекула по направлению к стенке
или яде она удаляется от последней. Но так как в поставл?енной
нами задаче объектом исследования являются лишь те» молекулы,
которые движутся по направлению к стенке;, то нам в расчет
следует вводить лишь значения, меньшие! -|-.
Путь, который молекула, пролетающая слой под углом &,
должна пройти, чтобы достичь стенки, равен —^. Если, далее,
скорость молекулы мы обозначим через и, а время, Koropctei она
употребляет на то, чтобы пролететь черев слой, обозначим черев т,
то для даредедоения последней величины мы получим следующую
формулу:
dx
и cos Ь'
Если подобных молекул, ка&здая из которых для пробега черев
смой требует времени х, мыв слое постоянно имеем в количестве»
Р, то отсюда также легко вывести, какое число подобных молекул
пробегает в течение единицы времени через слой и, следовательно,
достигает стенки; это число мы обозначим' через Q. Если бы т
равнялось 1, то мы имели бы Q = P\ если же т имеет значение
отличное от 1, то 0 должно относиться к Р, как 1 к т,и, следовательно,

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 61
для определения величины Q можно составить следующее
уравнение:
Если в последнее вставить для Рит приведенные выше и*
значения, по получается:
или по упрощении:
Q = ~Nucosbsmbdb.
Каждая из этих молекул под влиянием силы, с которой на нее
действует стенка во время удара, теряепг составляющую своеих)
движения, перпевдикулярную к стенке., величина которой равна
и cos ft, и затем снова получает такой же величины составляющую
скорости, имеющую противоположное направление, или, что
то же, получает скорость 2м cos.tt в отрицательном нормальном
направлении.
Если ввести в рассмотрение массу т молекулы^ то изложенное
Ножно выразить и таким образом, что во время удара молекуле
сообщается количество движений 2ти cos ft в отрицательном
нормальном направлении. Но так* как силы, развивающиеся между
стенкой и молекулой во время удара, являются взаимными,
действующими с одинаковой интенсивностью в противоположных
направлениях, то можно также, и наоборот, сказать, что стенка под
действием удара получает количество движения 2mu oos Ь в
положительном нормальном направлении.
Если этот вывод распространить на все число Q ударов, то для
всего положительного количества движения, сообщаемого всеми
этими молекулами стенке, получается следующее выражение:
Q-2wwcosa,
которое после подстановки приведенного выше значения Q
переходит в
~ Nu cos & sin & d& • 2mu cos 0 = Nmu* cos2 & sin 0 db.
Это выражение относится лишь к тем молекулам, направление
движения которых составляет с нормалью угол, величина которого
лежит мшкду *> и tt-j-^- Для того чтобы из него получить все
количество движения, которое сообщают стенке в единицу
времени вое» молекулы, двигающиеся под любыми углами по отношен
нию к единице площади этой стенки, следует это выражение
проинтегрировать по 9 от 0 до —-, а так как это количество движения
представляет собою давление^ производимое! газом на стенку, то

62
Р. КЛАУЗИУС
для опреде|лшия давлшия, которое мы обозначим буквой р, мы
получаем уравнещгие:
тс
р = Nmu2 I cos2 Ь sin 8 d§
о
или после выполнения интеграции:
Вместо того, чтобы допускать, как это было сдалз» выше, что
единица площади стенки является плоской, и затам определять
давление, производимое на эту единицу площади, можно, коншно,,
форму стенки оставить ншпредалшной и затем ограничить свое
исследование элшштом ее площади du>. Если обозначить давлшие^
щроизводамое на этот элшшят, че|ре1з р d<s>, то мы для р получим
то зев 'самое! выражении, что и раныад.
То обстоятельство, что в это ^выражение скорость йходит
множителем во второй степени, и я&шеггся тем основанием, в силу
которого принятая для всех молекул общая скорость и должна
быть выведена из фактически имеющихся различных
скоростей именно тем путем, какой был указан в началве настоящего
параграфа.
§ 14. Поведение молекул по отношению
к движущейся стенке
При изложенных выше исследованиях предполагалось, что
стенка, о которую ударяются молшсулы, находится: в шжюа В этом
случае! давление, производимое молшулами на стеонку, не
совершает никакой работы. Далее, так как в этом случае мол№улы„
как общее правило, отражаются от стенки с той яю скоростью,
с какой они на доа налегают, то живая сила мол!е(кул (под
влиянием ударов не испытывает никакого изменения.
Предположим теперь, что стенка находится в движении; так
как движешяе/происходящзе параллельно плоскости стенки, ничего
Hjei изменило бы в полученных нами до сих пор выводах, то
избранному для наших рассуждений очень малому элементу площади
мы припишем движение, параллельное перпендикуляру,
восстановленному к этому элементу площади. Обозначим скорость этого
движения через w и будем ее считать положительной .или
отрицательной *в зависимости от трго, будет ли этот элемадт стенки
двигаться изнутри наружу или снаружи внутрь.
Представим себе, что по направлению к этой стенке движется
молекула, обладающая скоростью, направление движения которой
составляет с проведенной "вовне нормалью угол 0. Следует
определить, какое изменение претерпит движение этой молекулы под
действием удара, причш, как и выше, мы допустим, что удар

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
б&
происходит совершенно так же, как если бы по направлению
к стенке л*етел упругий шар.
Для того чтобы определить взаимодействие» стенки и молекулы,
разложим скорость молекулы на две составляющие, параллельную»
и пердандикулярную к стенке, которьие будут представлены
величинами и sin *> я и cos &. Первая из них под влиянием удара не
изменяется; вторая жв претерпевает .следующие изменения. Сна-
чала мооиекула прижимается к сотка до тех пор. пока под
влиянием встречной силы, действующей со стороны стенки, нормаль-
ная составляющая ее скорости не снизится до значения w, т. е.
уменьшится на величину mcosu — w, а затем во время отхода,
молекулы от стенки 1ей снова сообщается нормальная
составляющая скорости— (ttcos&—w). Таким образом в общем итоге
молекула благодаря удару получает нормальную составляющую
скорости— 2(и cos *>—w) и, следовательно, для нормальной
составляющей скорости, которую молекула им*г после удара, получается
сждующею выражение1:
ttcosO—2 (м cos О—w) = — ucosb-±2w.
Отсюда легко можно определить величину живой силы, какой
молекула обладает после удара. А именно последняя составляет:
-у- [(и sin 0)2 + (—и cos Ь -f 2w)*)
или после преобразования:
~- (и2 — Ши cos » + 4W2).
Таким образом удар привел к тому, что живая сила
молекулы, которая первоначально была равна -у^2, возросла на
величину
— 2mw (и cos 0 — w).
При рассмотрении этой формулы следует принять во внимание,.
что разность и cos ft — w может быть только положительной, так
как молекулы,, у которых нормальная составляющая скорости
и cos ft меньше w, вообще не могут настичь рассматриваемого эле-
мшта площади. В силу этого значение формулы отрицательно или
положительно в зависимости от того, является ли положительным
или отрицательным w> таким образом в том случае, когда стенка
.движется наружу, имеет место уменьшение, а когда она движется
внутрь, — увеличение живой силы ударяющихся о нее молекул.
Определим теперь работу, которую совершает давление,
производимое молекулами во время их удара о стенку.
Как выше уже было отмечено, во время удара молекуле
сообщается в отрицательном нормальном направлении составляющая
скорости 2(t*cosft— w). Соответствующее этой скюрости количе-

44
Р. КЛАУЗИУС
<лво движения равно 2rn(ucosb — w). Но в то время, когда
молекула под влиянием взаимодействия между нею и стенкой
получает это количество движения в отрицательном нормальном
направлении, стенка в свою очередь получает такое же точно
количество движения в положительном нормальном направлении.
Давление на стенку, которое молекула развивает во время удара и
которое является источником возникновения этого 'количества
движения, очень изменчиво, а именно оно сначала увеличивается
от нуля до некоторого максимального значения, а затем снова
уменьшается до нуля. Однако можно определить среднее значение
этого давления в течение рассматриваемого времени, если все
вызванное им количество движения разделить на время. Для этого
обозначим через т очень малый промежуток времени от начала
взаимодействия между молекулой и стенкой и до его окончания,
который мы назовем временем удара; в таком случаю среднее давление,
производимое молекулой на стенку во время удара, будет равно
^(wcosft—w).
Для определения величины pa/боты следует это среднее
давление помножить на путь -мп, пройденный стенкой за время *.
Тогда для искомого значения работы мы получим следующее
выражение*:
— (и cos Ь — w)wx — 2mw (wcos Ь—w).
При сопоставлении этого выражения с выведенным раньше
выражением для уменьшения живей силы молекулы оказывается, что
оба они по абсолютной вешичшш равны, но противоположны по
знаку, как это и должно быть согласно закону об эквивалентности
м!ежду живой силой и работой.
То, что здесь было выведено для каждого отдельного удара,
имеет силу и для всех ударов, которые рассматриваемый элемент
поверхности степы испытывает в течение единицы времени.
Поэтому, выведя значения величин, относящихся к совокупности
всех ударов, из соответствующих величин для отдельного удара
путем проставления впереди последних знака суммирования, мы
можем представить работу, произведенную в единицу времени
над элементом поверхности стены, а также одновременно
происшедшее изменение живой силы молекул, налетавших на стенку,
с помощью следующих выражений, в которых множитель w9
ввиду его равенства для всех ударов, выведен за знак суммы:
w"V2m(ttCos& — w) и ^w*S2m(ucosb—w).
Приведенная в этих выражениях сумма обозначает количество
движения,, сообщенное элементу поверхности стенки в течение
единицы времени, которое равнозначаще давлению,
производимому на элемент поверхности стенки. Следовательно, если мы

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
65
обозначим давление, отнесенное к единице площади, через р и
величину элемента поверхности стенки через а, мы можем написатб:
2 2т (и cos 9 — w) = pa,
вследствие чего приведенные выше выражения получат
следующий вид:
горл и — грр*.
Когда скорость w стенки очень мало по сравнению со скоростью
и молекул, то давление, испытываемое движущейся стенкой
со стороны молекул, можно считать равным тому давлению, какое
испытала бы неподвижная стенка. Если же скорость w имеет
заметное значение по сравнению с и, то следует принимать во
внимание и изменение давления, вызываемое движением стенки,
которое может происходить в отрицательном или положительном
смысле — в зависимости от того, положительно ли или
отрицательно w, т. е. в зависимости от того, движется ли элемент
поверхности стенки наружу или внутрь.
Однако во всех случаях при правильном определении
фактически существующего давления остается в силе закон, что
произведенная работа равна убыли живой силы молекул.
§15. Живая сила и скорость поступательного
движения молекул
Вернемся теперь к инертному состоянию газа и рассмотрим
живую силу поступательного движения всех заключающихся в
нем молекул!.
Под (1) было дано следующее уравнение для определения
давления р:
Nmv?
* = —*->
где N обозначает число молекул, содержащихся в единице
объема. Если это уравнение написать в следующем виде:
Nmu* з /rt4
-2-в2"*' (2)
то левая часть представит живую силу поступательного
движения молекул, заключающихся в единице объема.
Если вместо количества газа, занимающего единицу объема,
желательно рассмотреть количество газа, занимающего объем v,
то, обозначив число молекул этого газа через п, мы получим:

66 *. ИЛАУЗИУС
благодаря чему уравнение (1) переходит в
пти2 /ft4
которое можно написать и в следующем виде:
пти2 3 ^л% ,.ч
"Гв2№ (4>
где левая часть снова представляет живую силу поступатель*
ного движения молекул данного количества газа.
Так как, далее, согласно законам Мариотта и Гей-Люссака,
если через Т обозначить абсолютную температуру,
где р0 — давление одной атмосферы, Т0—температура
замерзания воды и ^0 — соответствующий этим условиям объем
рассматриваемого количества газа, то можно также написать:
Отсюда следует вывод, который был уже указан выше, что
живая сила поступательного движения молекул пропорциональна
абсолютной температуре газа.
Приводимое ниже уравнения могут быть использованы для
того, чтобы определить величину и, которая обладает тем
свойством, что квадрат ее представляет собою среднее арифметическое
квадратов скорости всех молекул. Разрешив последнее уравнение
относительно и2, получаем:
и2 = — -^° Т
пт Т0 '
Произведение пт представляет собою массу заданного
количества газа, которая получается, если вес этого газа разделить на
силу тяжести д, так что если q обозначает вес газа, то пт = -~,
благодаря чему приведенное выше уравнение переходит в
и
""доизберем для данного случая в качестве единицы длины мютр,
а в качестве единицы веса килограмм. Так как согласно Реньо
килограмм воздуха под давлением одной атмосферы и при точке'
замерзания воды занимает объем в 0,7733 л*8, то, если через р
обозначить удельный вес газа, объем v0 определится с помощью
уравнения:
0,7733 „
щ = —г— q%

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
:**
благодаря чему приведенное раньше уравнение переходит в
^2 = ^0,7733 37.
Если, далее, мы примем во внимание, что р0—давление одной
атмосферы — составляет 10 333 кг/м2, и если сверх того мы
вместо д подставим его значение 9,80896, а вместо Т0 — число
273, то получим:
^==3.9,80896-10 333.0,7733-=235130^-,
а следовательно:
« = 485»У^. (6)
Если частное значение и, соответствующее точке замерзания
воды, обозначить через щ, то для последнего мы получим
упрощенное уравнение:
485от
YF
400" /Р7Ч
Щ=—7=-, (7)
а из последнего получаются, между прочим, следующие
значения:
для кислорода • . . 461т
» азота • • 402ш
п водорода 1844"*
§ 16. Отношение между живой силой поступательного
ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ И ЭНЕРГИЕЙ ГАЗА
Мы уже раньше останавливались на том, что поступательное
движение молекул не является единственным видом движения,
существующего в газе, и что наряду с ним должно существовать
и вращательное движение молекул, а у сложных молекул сверх
того составные части каждой отдельной молекулы должны
совершать колебания друг относительно друга. Живая сила всех этих
движений вместе с внутренней работой, связанной, быть может, с
повышением температуры, образует энергию газа. Спрашивается, в
каком отношении находится часть энергии, представленная живою
силою поступательного движения, ко всей энергии.
Если мы будем считать газ совершенным и соответственно с
этим будем считать в достаточной мере точно выполненным
условие, что во время своего расширения при постоянной температуре
газ поглощает только такое количество теплоты, которое
затрачивается на производимую при этом внешнюю работу, то согласно
соображениям, изложенным в главе II, § 3 первого томг настоящей
книга, мы должны считать энергию U функцией одной лишь
температуры. В таком случае приращение энергии,
соответствующее повышению температуры на dT, равно количеству теплоты,
которое газ принимает, когда он нагревается на dT при постоянном

68 Р. КЛАУЗИУС
давлшии, т. а да производя при этом никакой внешней работы.
Отсюда, если принять, что заданное количество газа
представляет собой единицу веса, мы получаем уравнение
dU=cvdT,
где cv обозначает удельную теплоту газа при постоянном объеме.
Далее, если живую силу поступательного движения
обозначить через Ку то согласно уравнению (5) мы должны положить
откуда следует:
тт 3 PqVq гр
йК = \Щ^йТ.
Если это диференциальное уравнение разделить на
выведенное выше уравнение, получается:
du~ 2 cvT0' W
Этому уравнению можно придать еще иную форму, более
удобную для численного расчета. Дробь -^^-, для которой мы
большей частью применяем единообразное обозначение JB, равна,
согласно главе II, § 4 первого тома, разности ср — cv, где ср
обозначает удельную теплоту при постоянном давлении. В силу
этого приведенное уравнение можно представить в следующем
виде:
£-4£-0- <9>
У газов, молекулы которых составлены из двух атомов и
состояние которых не слишком сильно отклоняется от состояния
совершенных газов, дробь —имеет общее для всех них значение,
Су
которое приблизительно равно 1,410. При подстановке этой
величины получается:
g= 0,615.
У газов, молекулы которых состоят более чем из двух ато-
мов, дробь — меньше 1,410 и тем больше приближается к еди-
Су
нице, ч> м больше число атомов, входящих в состав одной мо-
dK
лекулы. В соответствии с этим и величина дроби ^ тем меньше,
чем больше число атомов в одной молекуле.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 6&
§ 17. Закон скоростей молекул
Выше уже многократно указывалось, что ни вое молжулы
обладают р[авными скоростями и что с точки зрения скоростей здесь
существует большое многообразие. Однако из этого не следует, что
фактически существующие скорости во взаимном своем отноше-
йии являются совершенно неопределенными; нужно допустить, что
при наличии очшь большого числа молекул устанавливается при
одинаковых условиях в общем и целом одинаковое состояние; при
этом число молшул, скорости которщ: лежат в определенных
заданных пределах, может быть выражено при посредстве величины,
определяшой с помощью этих пределов. Обозначив отдельные
скорости чвреа % и допустив, что расстояние между указанными
пределами можно рассматривать как величину бесконечно малую, мы
можем придать положению, служащему для определения
состояния движения, слЕ|пующий вид: число молекул, скорости которых*
лежат в пределах от и до и -j- du, выражается в виде доли всего
наличного количества молекул с помощью произведения
f (и) du.
Вид входящей в это выражение функции f(u) ъ определяет
закон скоростей, имеющий силу для молшул; поэтому
спрашивается, в какой мере эта функция поддается определению и какой
вид она.при этом принимаем
Этот вопрос был главным образом разработан Максвеллом (Мах-
well) в его известной превосходной р'аботе i860 т.1)] открытый им
закон, а также некоторые применения его будут здесь вкратце
йзлажшы.
Максвелл исходит из допущейия, что составляющие! скорости
по каким-ли?бо трем взаимно перпендикулярным направлениям
совершенно независимы друг от друга; в качестве выражения для
в1^роятности, что у любой избранной для наблюдения мол!е!кулы
составляющая скорости го оси х в данное мгновение л!ежит между
величинами х и х + dx> он дает формулу
_.*!
Ае *а dx,
где е представляют собою основание натуральных логарифме©, а А
и а—другие две постоянные величины. Константа а определяет
скорость движшия, поэтому она должна оставаться в формула.
Константу же А можно определить путем расчета. А именно, так
как величина составляющей скорости по оси х должна лежать в
пределах от—оо до +. °°ДО приведенное выше выражение, будучи
проинтегрировано от — со до + оо, должно дать единицу. Но, как
известно,
J Ае ^dx = AoiV~i,
—ОО
») РЫ1. Mag, 4-Ш ser., vol, ХВД. 19 и vol. XX, Р 21,

70 Р. КЛАТЗИУС
следовательно, для того чтобы эта величина была равна
единице, следует положить
в силу чего приведенная формула принимает следующий вид:
—x-j=.e *' dx.
ayiz
Совершенно так же для вероятности того, что составляющая
скорости по оси у лежит в пределах от у до y-\-dy, получается
формула
а у тс
и для вероятности, что составляющая по оси z лежит между z
и z-\-dz\
-l—e~^dz.
а у tz
С помощью этих формул, выведенных для отдельных
направлений координат, можно, далее, определить, чему равна
вероятность того, что одновременно составляющая по оси х
будет лежать в пределах от х до x-\-dx, составляющая по оси
у — в пределах от у до у ^-dy и составляющая по оси#— в
пределах от z ro z-\-dz. А именно, эта вероятность выражается
при помощи произведения трех приведенных выше выражений
и, следовательно, она равна
—- е а" dx dy dz.
Так как сумма ж2+^/2 + 02 равна квадрату всей скорости и
молекулы, то предыдущее выражение можно представить и в
таком виде:
—- е if dx dy dz.
Если представить себе, что составляющий скорости по осям
х, у я z изображены графически с помощью координат
примененной прямоугольной координатной системы, то произведение dx dy dz
образует элемент объша, а и даст длину направляющего луча,
проведенного из начала координат к этому элшшту. В таком
случав приведенное выражение определяет шроятность того, что
выправляющий луч, гфедстлеляющдй как по шдячине, ущ ^ ^ на.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
71
правлению скорость некоторой произвольно выбранной молекулы,
кончается как раз в указанном элементе объема.
Указанное значение этого выражения остается неизменным, если
эшшнт объешь выразить с помощью полярных координат. С этой
целью мы обозначим угол, образуемый направляющим лучом и с
осью 2, ч«ефга О, а угол, образуемый плоскостью, проходящей через
ось £-ов и через направляющий луч с плоскостью zx, через <р.
Тогда мы получим в качестве выражения для элемента объема
произведшие*
и2 sin » db dy duf
с помощью которого отражение вероятности принимает следующий
вид:
и?
—Lи2е *а s*n 8 d§ df du.
а3гс
Проинтегрируем это выражение по <р от 0 до 2к и по 0 от О
до тг, тогда мы имеем:
-±=и*е * du.
Полученное таким путем выражение; представляет вероятность
тоео, что скорость избранной для наблюдения молекулы лежит
между и и и + du. Оно, таким образом, равнозначаще с f(u)du,
откуда следует, что согласно теории Максвелла надо положить
f(u) = -^=u*e ". (10)
а3 у 7U
Это уравнение представл&ет собою столь много
интерпретировавшийся максвелловский закон скорости мше&ул!.
Многие, в том числе и некоторые выдающиеся физики,
оперируют с этим: зашном таким образом, как если бы он был
абсолютно верным. Однако с этим я не могу вполне согласиться.
Как уже было указано выше, вывод этого закона основан на
допущении, что составляющие движения, взятые по трем» взаимно
перпендикулярным направлениям координат, независимы друг от
друга, и исходной точкой его вывода является рассмотрение!
поведения твердых- упругих шаров, у которых указанное допущение
выполняется*)• В противовес этому я позволяю себе отметить, что
уяоя в дервых сшоих статьях о кинетической теории газов,
появившихся за лекжолыко лет до статьи Максвелла, я указал на то
обстоятельство, что отношшие мюлежул друг к другу, хотя и схоже- с
отцопвеидам друг к другу твердых упругих шаров, но не вполне»
ТооддекЯШННО С НЕМ.
Если молекулам, помимо движения центров их тяжести,
приписать епда особъйе движшия их составных частей и если допустить,
*) В настоящее время мы имеем несколько основанных на опыте
доказательств того, что в газе действительно имеет место з&кон Максвеллу. Ред.

72
Р. КЛАУЗИУС
что эти последние) движшия происходят столь быстро, что при
столкновении двух молекул различные составные части обеих
молекул вступают во взаимодействие!, то придется признать, что
посл!е столкновения скорости центров тяжести обеих молекул
зависят ш только от скоростей центров тяжести до столкновения, но
что на них должно оказать влияние! и движение составных частей
молекул, причем это влияние должно приводить к некоторому
выравниванию, в результате! которого такие скорости, которые очень
сильно отклоняются от среднего значения, встречаются менее» часто,
чем это имело бы место яри отсутствии подобного влияния.
При этом и скорости составных частей претерпят изменения.
Когда доз1 мюлшулы налетают друг на друга с очень большой
относительной скоростью, то часть живой силы этого движения
молекул п)е(ре)йдет к их составным частям, так что последние начнут
двигаться быстре»е1, относительная же скорость самих молекул при
удалении их друг от друга окажется меньше, чем при их
сближении. Обратно, когда сталкиваются две молекулы с очень малой
относительной скоростью, то относительная скорость этих молекул
возрастает за счет движгаия их составных частей.
•Отсюда следует, что у тех молшсул, у которых движение
составных частей образует значительную долю их общего движения,
закон относительных движений молекулярных пар может быть не
вполне тождественен с тем, какой наблюдается у твердых упругих
шаров, у которых не существует упомянутого выше
выравнивающего влияния. Вместе с тем совершенно понятно, что, когда
относительные скорости молекулярных пар претерпевают изменение,
изменяются и абсолютные скорости отдельных молекул, которые,
следовательно, тогда уже) не могут в точности следовать закону
Максвешла.
Таким образом закон Максвелла не следует рассматривать в
качштш такого закона, который при всех условиях точно
соответствует действительности *). Тем не менее он имеет очень большую
ценность, так как по крайней мере для одного специального случая
он ясно и определенно выражает очень сложное взаимное поведе»-
ние многих свободно движущихся тел, а для других случаев ой
дает, если не вполне точную, то приблизительно'в}ерную картину
этого поведения. Поэтому представляется целесообразным
ознакомиться ближе с этим законом и вытекающими из него выводами.
§ 18. Некоторые выводы из закона скоростей Максвелла
Изложенный в предыдущих параграфах закон Максвелла в
случае применения его к очень большому числу N молекул может
быть сформулирован еще и следующим образом: среди N молекул
*) Совершенно правильное замечание. Если в газе имеются движения
(отдельных частей его как целое или если через газ передается поток тепла)»
то распределение скоростей, как это бьдло пояазано.Больцадандм будет отли <
чадъоя от максвелловекдго, Ред.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
73
число тех молекул, скорости которых лежат между и и и + du,
равно
а3 у тс
С помощью этого выражения легко определить среднее значение
любой степени и. Действительно, для того чтобы определить
среднее значение п-й степени и, достаточно это выражение помножить
на и", затем проинтегрировать от и = 0 до ц = со и, наконец,
разделить интеграл на N. Так как множитель N остается при
интегрировании без изменения и затем при делении сокращается, то его
можно уже наперед опустить; затем, если искомое среднее
значение, согласно предложенному мною способу обозначения,
представить в виде ип, то для его определения получается следующее
уравнение}
с» й»
(11)
зюда
и
и*
<х3 V"te J
следует:
2
1_аз.
ип+2е~
м» =
й* =
'•*л
2
!5 л
:—а*
4
(12)
Максвелл исследовал аналогичным образом и относительные
скорости молекулярных пар, образующихся путем любого
сочетания двух молекул, и дал для этих скоростей закон, который от
соответствующего закона для абсолютных скоростей отличается
лишь тем, что чвместо константы а в него входит жшстанта |/2 ос.
А именно, этот закон утверждает следующее: Если взять
произвольно две каких-либо молекулы, то вероятность того, что их
относительная скорость лежит между величинами г и г + dr,
выражается формулой
В этой формуле следует лишь дать постоянному множителю
вид r-\sv~ > чт0^ы убедиться, что она фактически совпадает
с формулой, данной для и> — только с заменой постоянной а
через "|/2а.
Из этой формулы можно получить средние значения различных
степеней г оовершездо тш же, вдда бьшщ выведены да прежней

и
Р. КЛАУЗИУС
формулы ередние значения степеней и; этим путем получаются,
между прочим, следующие выражения:
(13)
В заключение рассмотрим еще одну формулу, данную
Максвеллом в предложении VIII его работы. Если взять для рассмотрения
молекулу, скорость которой равна % то все прочие молекулы имеют
по отношению к ней различны® относительные! скорости; можно
поэтому поставить вопрос о том, какому закону подчиняются эти от-
носювдьнъие! скорости., |Этот закон Максвелл установил в
следующем виде: Вероятность того, что у произвольно взятой молекулы
относительная скорость по отношению к заданной молекуле, обладаю-
щей скоростью и, лежит между величинами г и г.+' dr, выражается
с помощью формулы
fr-«g _£W
~±-*-(е " -е " W.
а у п и \ J
Для того чтобы из этой формулы вывести среднее значение
скоростей всех прочих молекул по отношению к заданной
молекуле, обладающей скоростью и (это среднее значение мы обозначим
символом гв), следует ее помножить на г и затем проинтегрировать
от г = 0 до г=1оо. Этим путем получаем:
г о
Указанная здесь интеграция может быть выполнена отдельно
для каждого из обоих членов.
При выполнении этого действия над первым членом мы
введем переменную я, имеющую следующее значение:
г — и
£ = -^-,
благодаря чему получается:
.. ('-ц)а
г*е а3 dr = 0L(a222-\-2zuz+u2)e * dz.
Так как при интегрировании пределам 0 и оо, установленным
для г, соответствуют пределы — — и оо для #, то
во __ (г—и)* оо з
Г r2e а* dr = а Г (a2s2 + 2аиг + и2) f * dz •

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 75
Бели принять здесь еще во внимание, что можно положить
z4~*dz = -\d (ге~*) + у е~*dz,
то путем выполнения интеграции по частям сначала получаем
уравнение
Г гъе *~dr = у а?и<Г ^+ ос (|- а? + и') С ё~* dz.
а
Далее, здесь можно положить
и
со О оо а
Г е dz = Iе zdz-\~ j e~z dz = Je"z dz -j-~|- ]/ir,
а а
благодаря чему уравнение принимает следующий вид:
с» (г—и)* и3
/
г*е * dr = ±-tfue "' +
U
+ *{т*2 + и%)(/в *dz+±V*) • (15)
В результате совершенно аналогичной обработки второго
члена, стоящего под знаком интеграла уравнения (14),
получается следующее уравнение:
со __ (r-ftt)3 __ J?
J r2e *' dr = —\<#ue "+
u
и
a
+ а(1.а2+м2)(_уе-г'^+^). (16)
О
Оба выражения, стоящие в правых частях уравнений (15) и
(16), следует подставить в (14), и тогда получается искомое
значение гц, а именно:
1 uVt. J
a» 4- 2ма /* — *
* УЪ ' мК* Q

76
Р. КЛАУЗИУС
ГЛАВА II
О СРЕДНЕЙ ДЛИНЕ ПУТИ МОЛЕКУЛ ГАЗА
§ 1. Особые предпосылки о силах, проявляемых молекулами
В предшествующей главе была изложена теория, согласно
которой молекулы газообразных тел находятся в таком состоянии
движения, что каждая молекула в целом движется прямолинейно до
тех пор, пока она на столкнется с другой молекулой или с
неподвижное стенкой, а отскочив, она* начинает новое прямолинейное
движШие в ином направлении. Тогда возникаем вопрос, какова в
среднем величина того пути, который молщула пробегает от
одного столкновения до следующего.
Для того чтобы облегчить исследование этого вопроса,
представляется цедаоообразным предварительно сделать йеюколько зам^
чаний по вопросу о том, в каком вида можно себе представить
молекулярные силы. Этих замечаний не следует, однако,
рассматривать как существенную составную часть изложенных ниже
выводов; они должны служить только для того, чтобы дать известную
опору для наших рассуждений.
Если мы отвлечемся от сил химического сродства и будем
рассматривать только такие молекулы, которые химически индифе-
ренгсш по отношению друг к другу, то, мне кажется, нам придется
еще различ!ать две силы, а именно нам придется допустить, что
при сближении двух молекул сначала действует сила притяжения,
которая на Шкотором расстоянии становится уж& заметной и за-
нем по м!ере умшьшенил расстояния растет; но что в тот момент,
когда молекулы приходят в непосредственное соприкосновение,
возникает сила, которая стремится их отдалить друг от друга. Для
намеченного здесь исследования безразлично, в каком виде мы
представим себе! эту последнюю силу, так ли, как у твердых упру,
гих тел, которые, только находясь в действительном соприкосновен
нии и будучи сжаты с определенной силой, стремятся снова
разойтись с той же1 самой силой, или же в таком виде, что эта сила
возникает еще до фактического соприкосновения молекул. Равным
образом мы оставляем здесь без рассмотрения вопрос о
происхождении этих сил, а именно, следует ли обе эти силы приписать
самим весовым частицам материи или же одну из них следует
приписать некоторому бол1ее тонкому вшцеству, которым, быть
может, наделюны весомые! частицы материи.
Вообразим себе* теперь две молекулы, которые движутся в таких
направлениях, что если бы они сохранили неизменными эти
направления!, то они не столкнулись бы друг с другом, но прошли
бы на некотором расстоянии друг от друга; тогда здесь возможны
различные случаи. Если это расстояние очень мало, то молекулы,
еще более сближающиеся под влиянием силы притяжения,
которое действует уже с некоторого расстояния, подходят настолько
близко друг к другу, что между ними начинает действовать едла
отгалкйшшя и молекулы отскатав&ют друг от друга. Е§щ jkq

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОМЯ ГАЗОВ
77
упомянутое расстояние несколько больше, то пути молекул
испытывают под действием силы притяжения лишь некоторое
изменение направления, сила же отталкивания при этом не может
проявить своего действия. Наконец, при еще больших расстояниях
взаимное влияние молекул уже может совершенно не
приниматься в раочет.
Каковы должны быть вшичины этих расстояний для того, чтобы
имэдю место то или иное явление, ншовможно было бы определить
даже и в том случае, если бы мы имели точное знание природы
молекулярных сил, так как в данном случае должны иметь влияние
скорости движетия молекул, а такж\е взаимный наклон их путей;
тем на мшее есть возможность указать средние величины этих
расстояний. Поэтому допустим, что в кач!е(стве1 такой средней
величины дано расстояние а, образующее границу шжду первым и
вторым случаем; значение последнего мы еще постараемся не<-
сколько более определенно выяснить нижеследующим образом. В
тех случаях, когда центры тяжести двух молекул имеют такие
направления движений, при которых они, двигаясь прямолинейно
в этих направлениях, прошли бы мимо друг друга на расстоянии
большем о, то молекулы под влиянием взаимного притяжения
лишь несколько изменяют направления своих путей, причем сила
взаимного отталкивания между ними еще не возникает; если же,
наоборот, указанное расстояние меньше о, то и эта последняя
сила вступает в действие и тогда молекулы отскакивают друг
оя друга.
Вели под столкновением двух моле/кул мы будем понимать
только последний случай, оставляя бей внимания изменения
направлений, которые! при больших расстояниях вызываются силой
притяжения, то для намечшного нами исследования мы можем шар,
описанный около цейтра тяжести молекулы радиусом, равным <т,
назвать сферой действия молекулы.
Я хочу еще раз подчеркнуть, что сделанные до сих пор
специальные допущения о природе молекулярных сил не следует
рассматривать как необходимое условие правильности последующих
выводов; они должны служить лишь для того, чтобы создать
известную опорную точку для нашего представления и тем облегчить
понимание. В кжюм бы виде мы ни представляли себе те силы, под
влиянием которых молекулы взаимно изменяют направления своего
движения, но если только допустить, что их действия бывают
заметными лишь до тек пор, пока молекулы находятся друг от друга
на очеень малых расстояниях, —всегда можно некоторое! расстояние
принять в кач!естве предельного значения, с тем условием, что
действия на больших расстояниях могут быть оставлены без внимания
и лишь действия на меньших расстояниях должны приниматься в
расчет; тогда шар, описанный радиусом, равным этому расстоянию,
можно назвать сферой действия.
Если ближе рассмотреть процесс столкновшия и отражения
молекул, то леогко увидеть, что этот процесс должен протекать
различно в зависимости от того, как быстро нарастает при взаимном

78
Р. КЛАУ8ИУС
сближшии молекул отталкиватальная сила, которая вызывает
отскакивание. В качества предельного в одном направлшии можно
принять тот случай, когда молекулы ведут себя по отношению
друг к другу, как два, очень твердых упругих шара*, между
которыми при их сближении не действует никакой силы до тех пор,
пока их поверхности не» придут в (х>прикосновшше1; но в этот
последний момент внезапно возникает сила отталкивания, которая
при дальнейпшм сближении нарастает столь быстро, что процесс
столиашвшия и отскакивания протекает на незамета> малом
отрезке! пути и длится йз1зам№но короткое щтя.
§ 2. Упрощение рассуждений
Хотя согласно заключительному замечанию предыдущего
параграфа тот случай, когда молекулы ведут себя по отношению друг к
другу подобно твфдым упругим шарам, и образуем только
предельный случай среди других возможных случаев, тш не мшею
благодаря своей простоте он представляет столько преимуществ для
рассуждения, что он является наиболее пригодным для того, чтобы
дать до известной стегаени наглвдноз. предоставление о вае|м процеюсе,
который очень слож/ен благодаря многообразию происходящих при
нем движений.
Итак, допустим, что в заданном пространстве множество упру-
гих щаров беспорядочно летит во всех направлениях и что при
взаимном столкновении шары отскакивают друг от друга согласно
законам упругости. Мы можем пока отвлечься от существования
офаничивающей газ неподвижной стенки, если представим оебе,
что пространство, в котором мы рассматриваем настоящий процесс,
образует лишь часть некоторого большого пространства,
заполненного газом. Если теторь один из шаров избрать в качшше! объекта
особого исследования, то вопрос сводится к тому, чтобы определить,
какое в средьадм расстояние может пролшеть этот шар, пока он
столкнется с каким-либо из других шаров.
Однако мы не будем йерзходить непосредственно к разрешению
этого вопроса, а вшсто этого предварительно поставим другой,
насколько более, простой вопрос, который связан с нашим вопросом
таким образом, что разрешение! одного из них дает возможность
составить заключение! о друщм.
А именно, мы допустим, что не! вое1 находящиеся в
пространстве молекулы, имеющие согласно нашей предаосылюе!
шарообразную форму, находятся в движетии, а что движется лишь одна
молекула, избранная в качестве объекта исследования, между тем
как все прочие молекулы пребывают в состоянии покоя. В таком
случае движущаяся моясекула то там, то здесь будет
наталкиваться на одну из йеиодвижных моле&ул и будет от нее»
отскакивать таким образом, что скорость йэ движения буд#г оставаться
Деизменной и будет лишь изменяться налравлшие/ fete) движения.
Число ударов,, которое при этих условиях испытает движущаяся
молекула, не столь велико, как число ударов, какое она испытала

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
79
бы, еолй быз и другие молекулы находились в движении, та в
остальном эти процессы в обоих случаях настолько схожи между
собою, что не приходится сомневаться в известном совпадении
относящихся к ним законов.
Кроме этого упрощения введем едща и другое, которое) явлжггся
не столь существенным, а касается лишь формы исследования. А
именно, вместо того, чтобы рассматривать движение всего шара, мы
можем ограничить свое исследование рассмотрением движения
его центра.
Вввду того, что центр любого шара, мож№ сблизиться с центром
другого шара настолько, что их взаимное расстояние! становится
равным диаметру этих Шаров, то можно себа (вообразить, что
вокруг каждого из недодвижньвх шаров описана вторая
концентрическая шаровая поверхность, радиус которой раве|н диаметру
заданного неподвижного шара: она совпадает с той шаровой
поверхностью, которая раньше» здесь была названа сферой действия
заданной молекулы. Эти лишь мысленно описанные вокруг неподвижных
молекул шаровые* поверхности можно, следовательно,
рассматривать как нододаижные поверхности, ограничивающие! свободное
пространство, доступное для движения точней: коснувшись их,
точка отскакивает от них по закону упругого удара. При этих
условиях нам придется иметь дело лишь с материальной точкой,
летающей в различных направлениях между неподвижными
стенками, благодаря чшу исследование очшь обле)гчдагоя.
Однако при введении шаровых поверхностей с удвоенным
радиусом, описанных вокруг неподвижных шаров, возникает одно
своеобразное обстоятельство, на котором следует остановиться.
Если бы все неподвижные шары были настолько удалены друг от
друга, что расстояние; м|е|жду их центрами было бы больше учет-
военной величины их радиуса, то вое шаршыю поверхности, опи-
сашше вокруг них удвоенным радиусом, расположились бы coBie'p-
шенно свободно, не пересекая друг друга. Но в том случае, когда
два неподвижных шара находятся настолько близко друг от друга,
что расстояние между их центрами меньше учетверенной длины
их радиусу, то шаровые поверхности, описанные вокруг них
двойным радиусом, взаимно пересекаются. В этом случае у каждой
шаровой поверхности часть ее лежит внутри другой, в силу чего
движущаяся тзчка не может столкнуться с этой частью
поверхности.
Но так как в нашем случае допускается, что неподвижные шары
занимают совершенно произвольные положения, которые
подчинены лишь одному условию, что в равных объемах
пространства измеримой величины содержится равное количество шаров,
то следует допустить, что среди множества пар,, по два шара в
каждой, имеются и такие пары шаров, у которых расстояние
между центрами меньше учетверенной величины радиуса, в
соответствии с чем, в силу упомянутого выше взаимного проникновения
описанных вокруг шаров концентрических поверхностей,
суммарная величина поверхностей, от которых может отскочить движу-

80
Р. КЛАУЗИУС
щался точка, будет меньше той, какой она была бы при
отсутствии этого обстоятельства.
Одна.ко у газов, находящихся лишь под умеренным давлением,
это уменьшение мкотет быть только очшь ншначительным. Это
величина такого же порядка, как отношение пространства,
заполненного сферами действия молжул, ко всему пространству,
занимаемому газом, а это отношение со своей стороны представляет
собою величину такого яоа порядка, как отклойениа газов от законов
Мариотга и Гей-Люссака. Поэтому во Bceix тех случаях, когда
рассматриваем)^ газ слвдует законам Мариотга и Гей-Люссака еще
настолько точно, что мы можш пренебрегчь е|го отклонением от
этих законов, мы можем также пренебречь и указанным выше
.уменьшением поверхности, доступной для движущейся точки. Но
если газ сжат настолько сильно, что отклонением его от законов
Мариотга и Гей-Люссака уже не представляется возможным
пренебречь, то нельзя пренебречь и упомянутым уменьшением
поверхности.
В изложенных вслед за этим рассуждениях мы примем, что от
этого уменьшения поверхности мы имеем право отвлечьсях).
§ 3. Число СТОЛКНОВЕНИЙ И СРЕДНЯЯ ДЛИНА ПУТИ точки,
ДВИЖУЩЕЙСЯ ВНУТРИ ПРОСТРАНСТВА, КОТОРОЕ СОДЕРЖИТ
ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПРЕПЯТСТВУЮЩИХ ДВИЖЕНИЮ
Пусть дано пространство, определенные части которого
ограничены неподвижными поверхностями. Эти представленные в
большом количестве поверхности пусть будут расположены не
регулярно на определенных расстояниях друг от друга, а занимают
совершенно произвольные положения. Пусть в этом пространстве
движущаяся точка находится в произвольном месте, так что для
всех одинаковых по своему размеру частей пространства
вероятность того, что точка попадет в них, одинакова. Пусть эта точка
совершает бесконечно малое движение в каком-либо
направлении, так что все возможные направления равновероятны. Чему
при этих условиях равна вероятность того, что точка при своем
бесконечно малом движении натолкнется на поверхность?
Рассмотрим сначала отдельный элемент ds поверхности и
спросим, какова вероятность того, что точка попадет как раз на этот
.элемент поверхности.
Пусть dl представляет собою бесконечно малый путь, который
прохюдит точка; вообразим себе теперь, что точка остается в
покое и что, наоборот, элемент поверхности ds перемещается в
противоположном направлении на расстояние dl При этом элемент
поверхности описывает бесконечно малое призматическое
пространство, и вероятность, что точка лежит как раз в этом пространстве,
1) На этом обрывается чистовая копия рукописи, подготовленная самим
автором. Немецк. издатп.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
81
совершенно тождественна с вероятностью, что точка при своем
движении попадет на данный элемент поверхности.
Для всех тех случаев, когда воображаемое) движшие элемента
поверхности направленно из ограниченного пространства наружу,
так что описанное элементом поверхности малое пространство
лежит вне заданного пространства, вероятность того, что точка
находится в этом малом пространстве, равна нулю. Для: тех же
случаев, когда воображаемое движение элемента поверхности
направлено внутрь, так что описанное им малое прюстранство образует
часть заданного пространства, вероятность того, что точка
находится как раз в этой части пространства, выражаемся с помощью
дроби, числителем которой является эта часть пространства, а
знаменателем — все пространство.
Пусть & представляет собою угол, образуемый направленном
движения элемента поверхности с внутренней нормалью,
проведенной к этому элементу: тогда величина этого малого пространства
может быть прдаетавлша с помощью выражения
cos » ds dl,
которое являйся положительные или отрицательным в зашсимо-
сти от того, лежит ли малое пространство внутри или вне
заданного пространства. Поэтому если мы еще} обозначим все
пространство, свободное для движения точки, через W, то относительно
подашжащей определению вероятности мы мюжш сказать: для
таких направлений деижшия, при которых приведенное выпи©
выражений становится отрицательным, вероятность равна нулю, а для
?ех направлений движения, при (Которых это выражение
становится положительным, ве|роятность равна
cos 0 dsdl
W '
Для того чтобы исчислить среднюю вероятность для всех
возможных направлений движения, нам следует принять во
внимание еще! и закон вероятности по.отношению к углу. Вероятность
того, что угол, образуемый направлением движения с нормалью,
лежит в промежутке между заданным значением & и бесконечно
мало от нзеопо отличающимся значшиш ft + db, выражаетея
отношением площади шарового пояса с полярным углом *> и
шириной d Ъ всей [поверхности шара, т. е. она выражается с помощью
дроби
An "~~~ 2
Эту дробь следует помножить на приведенную выше} дробь и:
затем проинтегрировать для всех значений**, для которых cos&
положителен, т. а от 0 до ^. Таким образом вероятность того,
что точка, перемещаясь на расстояние dl в любом направлении,

82
Р. КЛАУЗИУС
встретится при этом с элементом поверхности ds, выражается
чюроз
Вероятность, имеющая силу для какою-нибудь определенного
элемента поверхности, имеет силу и для всякого другого элемента
поверхности такого же точно размера. Поэтому по отношению к
любому избранному для рассмотрения конечному участку s
поверхности или даже по отношению ко всей поверхности, которую мы
обозначим через S, прямо получается следующий закон: Если в
пространстве W, ограниченном поверхностью S, точка с любого
места перемещается в любом направлении на бесконечно малое
расстояние dl, то вероятность того, что она при этом встретится
с определенной частью s поверхности, выражается с помощью
формулы s ,7
а вероятность того, что она при этом встретится вообще с
поверхностью, выражается с помощью формулы
8 л
1wdL
Примем теперь, что точка не только перемещается на
бесконечно малый промежуток пути dl, но что она обладает
определенной скоростью и, с которой движется до тех пор, пока не встрек
тится с поверхностью, и что от последней она отражается по
законам упругости, после чего продолжает свое движение в другом
направлении, сохраняя щетшюю свою скорость. При этом мы
допустим, что сила, которую поверхность проявляет по отношению к
точке, действует лишь при непосредственном их сближении, так
что изменение направления движения при ударе происходит в
незаметно короткое время, вследствие чего, вопреки отклонению,
имеющему место во время удара, величину скорости точки можно
считать постоянной.
В таком случае мы можем в приведенном выше законе элемшт
пути dl заменить произведением udt и сказать: Вероятность того,
что точка в течение бесконечно малого промежутка времени dt
встретит поверхность, выражается формулой
Su ,,
jWdt
Отсюда для средяего числа столкновений, происходящих в
единицу времени, которое мы обозначим через Р\ получается
следующее урашданЕр ^ _ su ( ч
Г~ Jw9 V'
а для средней длины пути V мы путем деления и на I*
получаем уравнение АШ

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
83
§ 4. Число СТОЛКНОВЕНИЙ И СРЕДНЯЯ ДЛИНА ПУТИ точки,
ДВИЖУЩЕЙСЯ ВНУТРИ ПРОСТРАНСТВА, В КОТОРОМ СОДЕРЖАТСЯ
СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ МНОГИХ МОЛЕКУЛ
Теперь допустим, что ограниченные неподвижными
поверхностями части заданного пространства представляют собою сферы
действия очень многих молекул, занимающих неизменные
положения, и что движущаяся точка при встрече с этими поверхностями
от них отскакивает.
Для определения поверхности одной сферы действия мы
воспользуемся величиной <з, введенной в § 1 настоящей главы для
радиуса сферы действия (диаметр молекулы, которая мыслится в
виде шара). Тогда поверхность одной сфефы действия равна 4тг<т2.
Если обозначить через N число молекул, находящихся в данном
пространстве, то число молекул, которые согласно предположению
остаются неподвижными, равно N—1, в силу чего общая сумма
поверхностей сфер действия выражается произведением
(N—1) 4тг<т2; ввиду огромности числа N стоящая рядом с ним
единица может быть без ущерба опущена, и тогда приведенное
выражение принимает простой вид
Как было отмечено в § 2, для движущейся частицы доступна
не вся поверхность сфер действия; часть последней остается для
частицы недоступной ввиду того, что сферы действия взаимно
друг друга' пересекают. Но так как у газов, находящихся под
умеренным давлением, эта часть поверхности очень мала, то мы
пока ее не будем принимать во внимание и будем считать, что
для движущейся точки остается доступной полностью вся
совокупность поверхностей всех сфер действия. В таком случае
приведенное выше произведение N4kg2 представляет собою выражение
поверхности, обозначенной в предыдущих параграфах через S.
Далее следует отметить, что коль скоро при определении площади S
мы приняли в качестве допустимого указанное только что
упрощение, то и при определении величины свободного пространства»
доступного для движения точки, мы имеш право пренебречь
величиной такого же. порядка: вместо свободного для движения точки
пространства, которое мы в предыдущем параграфе обозначили
через W, мы мюжем для расчета взять просто все пространство,
занятое! газом, которое назовем У. Тогда уравнения (1) и (2) для
рассматривае«мого случая принимают следующий вид:
r = ^fu = ^u, О)
Последнее уравнение тождественно с теас, которое я выгйей для
рассматриваемого- случая в своей первой статье по вопросу о сред-

84
Р. КЛАУЗИУС
в!е|й длит пути («Pogg. Ann»., Bd. 105, s. 239—258, 1858), но
только там были избраны несколько иные! обозначения. Вместо
величин V и N там была введена в формулу некоторая длина,
которая представляет большое, удобство для сравнения с другими
длинами, встречающимися при этом исследовании. А именно,
эта длина представляет собою расстояние между центрами двух
рядом лежащих молшсул, в предположении, что молекулы
расположились по кубической системе: это расстояние было названо
средним расстоянием между соседними молекулами и было
обозначено буквой X. При подобном расположении молекул легко
установить, что число N имеющихся молекул определяется тем,
скользко раз А3 содержится во всем пространстве! У, и что поэтому
V
дробь -^ может быть замшена чере!з X3.. При таком измшшин
обозначзеишя уравиейвда (4) переходит в
в этой именно форме настоящее уравнение и было представлено
в упомянутой выше статье, но только радиус сферы действия,
который раныйе| был обозначен через р, теперь назван <з1).
В приведенных выше рассуждениях пространство V
рассматривалось лишь как избранная для рассмотрения часть большего
пространства, заполненного газом. Но если бы пространство было
окружено твердой оболочкой, то движущаяся точка должна была
бы наталкиваться и на нш, вследствие чт> и она должна была бы
войти в состав общей поверхности, обозначенной через S. Если
поверхность оболочки обозначить черш s, то слвдует положить
в результате чего из (1) и (2) вместо уравнений (3) и (4)
получаются следующие:
р, _ т™* + в
г — w и>
1>. 4Г
ЖтсаЗ + 8
Следует, однако, тут же отметить, что у газа, кото(рый
находится не в оче(аь разрэженном состоянии, например, у газа, нахо-
*) Следующее вслед за этим изложение влияния поверхности оболочм
произведено более детально в § 7 (стр. 96). Кроме того, из заметок на полях
рукописи видно, что у автора было намерение весь конец этого параграфа
перенести в самый конец настоящей главы. Сверх того, следующие три
параграфа предполагалось поместить в таком порядке, что после введения
относительных скоростей, как это сделано в § б, сначала следовало рассмотрение
влияние объема молекул, а затем уже поверхности оболочки. Но так как
подобное изменение порядка прямо невыполнимо в силу общей связи, то мы
решили сохранить порядок изложения, принятый в рукописи. Немецк. издат

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
85
дяпчехюсяс под атмосферцым давдйением, и при такой форме сосуда,
при которой поверхность не очень веюика по сравнению с объемом,
например, при кубической форме, поверхность s сосуда можно
рассматривать, как величину очень малую по сравнению с общей
1суммой поверхностей сфер действия, выраженной через N4 к а2
Поэтому как, общее правило едва ли есть необходимость в том,
чтобы в формулу вводить величину s. Лишь в том случае, когда
газ очейь разрежен или же когда форма сосуда такова, что при
данном объеме он обладает очень большой поверхностью,
необходимость учета величины s может сказаться даже при умеренных
требованиях: по части точности.
§ 5. Учет объема молекул
При изложенном .выше определении срВДйеЙ длины пути
движущейся точки были оставлены без внимания те обстоятельства,
что не все занятое газом пространство свободно для движения
точки и что Hie воя поверхность сфер действия доступна для этой
точки. Как уже бшю выше указано, отсюда проистекла некоторая
неточность, которая в качества? доли всей средней длины пути
представляв величину такого же порядка, как дробь, которую
составляет пространство, заполненное молекулами, по отношению
ко всему 'Пространству, занятому газом. Теперь нам следует
попытаться Припять в расчет и эти обстоятельства1), причем, однако,
мы ограничимся лишь определением того дополнительного члена,
который по отношению к объему молекул является членом первого
порядка, оставляя без внимания члены более высокого порядка.
По отношению к пространству, свободному для движения
точки, учет объема молекул легко осуществим. Действительно,
для этого достаточно просто вычесть сумму объемов всех сфер
действия и звсего объема, занятого газом, и, следовательно, вместо
W = V положить:
W=V—Nf™*=V\ 1 --^-I. (5)
Что касается уменьшения поверхности сфер действия,
доступной для движущейся точки, то его можно определить следующим
*) То обстоятельство, что не весь объем, занятый газом, свободен дня
движения молекулы, было впервые учтено Ван-дер-Ваальсом (Van der Waals,
Over de continuiteit van den gas-en vloeistoftoestand, Leiden 1873, перев. на
немецкий язык F. Roth, Die Continuitat des gasformigen u. flussigen Zu-
standes, Leipzig 1881); однако примененный им метод учета этого
обстоятельства не совпадает с моим; сверх того, он не учел еще другое обстоятельство,
влияние которого требует поправки такого же порядка, а именно, что часть
поверхностей сфер действия молекул перекрывается сферами действия дру*
г их молекул.

86
Р. КЛАУЗИУС
образом. Рассмотрим одну какую-либо молекулу из числа тех, юо-
т<урш согласно нашему допущению находятся в неподвижном со-
сюянии. Так как положение этой молекулы совершенно
произвольно, то она может лежать настолько близко к какой-либо из
других неподвижных молекул, что часть поверхности ее сферы
действия оказывается внутри сферы действия другой молекулы и
вследствие этого становится недоступной для движущейся точки.
Последнее имеют место в том случае, когда рассматриваемая
молекула располагается настолько близко к другой молекуле, что
расстояние) между их центрами становится меньше двойного радиуса
сферы действия, а так как расстояние мгавду центрами не может
стать меньше радиуса сферы действия, то можно сказать:
частичное! взаимное проникновение сфер действия имйзт мзесто в тех слу-*
чаях, когда величина раастояния между центрами лежит в про-
м№утка между единичным и двойным радиусом сферы действия.
Пусть г — некоторая длина, которая лежит внутри этого про-
м!ежутка. Представим себе, что около центра другой молекулы
описаны две концентрические шаровые поверхности радиусами г
и г + dr. Тогда вероятность того, что центр рассматриваемой
молекулы лежит внутри слоя, заключающегося между этими двумя
шаровыми поверхностями, равна отношению объема слоя ко всему
заданному пространству, следовательно, выражаемся дробью
4гсг2 dr
У-'
При таком положении центра из поверхности рассматриваемой
сферы действия в другую сферу действия попадает часть шара,
которая определяется тем, что плоскость ее пограничной
окружности удалена от центра рассматриваемой сферы действия на у Гт
Сл)е1д,оБательно, если радиус сферы действия мы снова обозначим
че|рез с, то высота этой отрезанной от шара части составит о — -г,
откуда следует, что поверхность этой верхушки равна
2*а(о—§г).
Если эту величину помножить на определенную выше
вероятность, то получается:
2Ч'—И *г-*-*т k-iH dr>
а если затем это выраже)ни$ проинтегрировать от r?=o до г = 2о,
получается величина той части поверхности, которую следует
вычесть из поверхности рассматриваемой сферы действия ввиду
существования другой сферы действия. Но так как наряду с
избранной для рассмотрения неподвижной сферой действия сущег
ствует не только одна, но N — 2 неподвижных сфер действия, то
полученное выше выражение следует еще помножить на N — 2,
лричш и в данном случае, подобно тому как это было раныга

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
87
сдеогала для ДО—1, можно баз ущерба просто взять N. В силу
этого выражение для части поверхности, которую следует вычесть
из пюоаерхности сфер действия, получает следующий вид:
Q
откуда по выполнении интеграции получается:
* 3 V '
Это выражение следует вычесть из 4 ir<r2 для того, чтобы
получить часть поверхности сферы действия, доступную для
движущейся точки, таким образом для последней получается
следующее выражение:
или при другом изображении:
Так как такое же точно выражение должно быть применено
по отношению к каждой неподвижной сфере действия, то для
определения всей поверхности, обозначенной нами раньше
через 8 и доступной для движущейся точки, мы получаем
следующее уравнение:
s=^eMi-^-4- • («)
Применив найденные в (5) и (в) выражения для W и S
в уравнениям (1) и (2), мы получаем:
11 ^Т*"*
(?)
(8)

88 Р. КЛАУЗИУС
если мы произведем здесь деление и отбросим при этом члены,
которые по отношению к —у— имеют порядок выше первого, та
эти уравнения примут следующий вид:
n™* Vх 16 v J '
Если бы вместо сфер действия мы пожвдали рассматривать,
самые молекулы, имеющие согласно допущению шарообразную
фо|рму, то следует лшпь принять во внимание, что для этих
шаров (у представляет собою не) радиус, а диаметр,
Tta же самый уравнения, который здесь были выввдейы для
точки, движущейся между нешодвижнымм сферами действия,
применимы такж1е! и по отаошеиию кс молекуле», движущейся среда
неподвижных молщкул. Следует лишь те упускать из виду, что
данные уравнения, как это совфшенно ясно из их вывода, ш
должны применяться к сильно сгущенным газам. Уравнения (7)
и (8) могут применяться лишь до тех пор, пока заполненное молек
кулами пространство, в качестве малой дробной доли всего
пространства, занятого газом, может быль отброшено по сравнению с
единицей, а уравнения (9) и (ю) — до Tteix пор, пока квадрат этой
дроби может быть отброшен по сравнению с единицей.
§ 6. Учет того обстоятельства, что движется не одна
только молекула, а в движении находятся все молекулы
В приведенных выше рассуждениях было сделано предположен
ние, что" в движении находится лишь одна молекула, все же
прочие молекулы неподвижны. ЧПедарь следует выяснить, какие
произойдут изменения, если, как это имеет место в действительности*
и другие; молекулы находятся в движении, причем это двзшейие
происходит в среднем с той же скоростью, какою обладает
рассматриваемая молекула.
В данном случае число ударов, испытываемых
рассматриваемой мсдакулой, больше, чедо в случае|, разобранном до сих пор*
а именно — во столько раз, во сколько средняя относительная
скорость рассматриваемой молекулы по отношению к движущимся
молекулам больше ж относительной скорости по отношению к
неподвижным молекулам, или, другими словами, во сколько раз ее
относительная скорость больше ее абсолютной скорости.
Обозначим относительную скорость по отновдешто к одной из
движусь
(10>

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
8*
щихся моанекул чедаз г, а среднш значение
оггаосш1е1льных_скоростей по отношению ко всем движущимся молекулам, через г, тогда
нам следует лишь ев выражениях для F заменить и через г, чтобы
получить относящееся к данному случаю число столкновений, ко-
торое мы обозначим через Р. Таким образом, если мы оограничимся
более простым уравнением, указанным под номером (3), мы
подучим:
P=^fr, (11)
а если мы применим более точное уравнение, приведенное в (9);
(Па>
Для того чтобы из числа ударов, исп!ытыва]е1мых молекулой в
(единицу времени, вьшеюти среднюю длину ва пути между любыми
двумя столкновениями, следует принять во вниманщ, что в нашем
изложенном вышв исследовании, в котором скорость и молюкулы
рассматривалась как величина постоянная, эта последняя
представляла просто весь отре|зок пути, проходимый молекулой в
единицу времени. Следовательно, при делении этой скорости на число
столкновений или, что то жв, на число отдельных путей, из
которых составляется упомянутый отрезок, можно прямо получить
среднюю длину отдельных путей. Однако в рассматриваемом
сейчас случае, где предполагается, что все молекулы находятся в
движении, скорость и нельзя считать постоянной величиной, так
как при каждом столкновении с движущейся молекулой скорость,,
вообще говоря, претерпевает измшеиие. Можно, однако,
определить среднюю скорость и молекулы, которая опять-таки дает
величину отрезка, проходимого молекулой в единицу времени, и эту-
то среднюю скорость следует разделить на число столкновений,
чтобы получить среднюю длину цути. Если среднюю длину пути,
определенную таким образом, мы обозначим через I, то в
зависимости от того, применим ли мж первое или второе из двух
приведенных выше выраждаий, мы получим:
или
(12)
(12а>
Что касается входящего в эти выражения множителя ~у то для
определения последнего следует знать закон распределения
скоростей отдельных молекул, откуда затем уже получается закон

•О
P. КЛАУЗИУС
для относитшьных скоростей у различных пар мол)еЖул. К тому
времени, когда я впервые определил среднюю длину пути, по этому
вопросу еще! ничего не было установлено, поэтому я был лишен
возможности произвести точное определение упомянутой дроби.
Однако для того, чтобы получить хотя бы приблизительное
представление о ее величине, я прибегнул к допущению, что все
молекулы движутся с равными скоростями и что лишь
направления их движений различны. В этом случае средняя
относительная скорость может быть очень легко определена
следующим образом.
Для двух молекул, направления движения которых образуют
друг с другом угол <р> в том случае, если бы их абсолютные
скорости были равны и и v, относительная скорость выразилась бы с
помощью уравнения
г = У и2 -f- v2 — 2uv cos <р;
«если же абсолютные скорости молекул равны, то, положив
v = u, мы получаем:
r = uV~2Vi — cos 9. (13)
Представим себе теодерь, что направление одной шхтекулы дано,
а для другой молжулы любое напрашсераие в пространстве
равновероятно; тогда вероятность того, что угол между направлениями
движений обеих молекул лежит в промежутке между ср и
бесконечно мало от него отличающимся значением ср + d?, выражается
с помощью отношения между поверхностью шаровой зоны с
полярным углоу ср и шириной d? и всей поверхностью шара, т. е. о
помэдцью дроби
27с sin ср dfy __ sin ср cfy
Если эту вероятность помножить на выведенную выше
относительную скорость, связанную с углом ср, и затем
проинтегрировать от 0 до те, то получается средняя относительная
скорость. Таким образом получается уравнение
r=/u^^Vl-coscp^2,
о
которое при замене cos 9 простым символом v представляется
в следующем виде:
r = -p= / Vl — vdv, (14)
откуда после проведения интеграции получается:
г = \и. (15)

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
91
Итак, в случае допущения, что абсолютные скорости всех
молекул равны, дробь -^-, фигурирующая в выражении для /,
т
<5ыла бы равна ~.
Спустя год после этого Максвелл опубликовал упомянутый
в § 17 предыдущей главы закон распределения скоростей и,
присущих различным молекулам. Согласно этому закону, если N
представляет собою общее число молекул, имеющихся в дан-
цом объеме, то число тех молекул, скорости которых лежат
в пределах от и до u-^-du, выражается с помощью формулы:
и»
AN ""^а
~^v?e du (ср. стр. 71).
ос у тс
Из этого закона, относящегося к абсолютной скорости, Максвелл
вывел также закон распределения относительных скоростей г,
существующих одновременно у различных пар молекул. Обще® число
N(N—1)
имеющихся пар шшякул равно —Ц^—, вм!е}сто чето можно взять
просто ~2 . Итак, закон Максв1е1лла гласит, что число тех пшр моле^
кул, относительная скорость которых люжит между г и г + dr,
выражаемся с помощью формулы
г*_
N* ^ г* dr (CJK стр ?3)
а» У 2т.
Из закона, составленного для отдельных скоростей и, можно
путем расчета вывести и среднюю скорость и. Для этого следует число
молекул, скорость которых лежит между и и и + du, помножить
на и, затем проинтегрировать от и = о до и = оо и полученное
выражение разделить на общее число N молекул. Итак, следует
подожить
ОО Й^
u = — f и—г-=.иЧ a*du, (16)
о
откуда получается:
й = -^. (17)
Точно таким же образом можно из закона, относящегося
к отдельным значениям г, вывести среднюю относительную
скорость г, положив
*3 -*~wdr9 (18)
аз У 2л
откуда получается:
24ta. (10)

92
Р. КЛАУЗИУС
С помощью этих значений и и г для составленной ив них
дроби-^- получается число -Д= = 0,7071 вместо числа —=0,75,
f» 1/2 4
определяющегося при условии равенства скоростей молекул.
После подстановки указанного числа уравнения (12) и (12а)
переходят в следующие:
J = —Z—, (20)
(20а)
§ 7. Учет влияния оболочки, окружающей газ1)
До сих пор мы допускали, что взятое для рассмотрения
количество газа представляет собою часть некоторого количества газа,
заполняющего довольно значительное! пространство. Если же
рассматриваемое количество газа заключено в неподвижной оболочке,
то молекулы ударяются и о внутреннюю поверхность этой
оболочки, и тогда возникает вопрос, как измшяются формулы для
числа столкновений © единицу времени и для средней длины пути,
еюли принять во внимание и удары молекул о стенки сосуда.
Сначала опять-таки представим се*бе, что только одна мол»#-
кула находится в движении, а все остальные! находятся в покое,
или — что то же самое.— что некоторая точка движется мшду
ншодвижными сферами действия; примвдительно к этому случаю
мы для числа столкновений точки в течение! единицы времени,
обознач1енного нами черш F, дали следующее! выражение (1):
pr_Su
где S обозначает всю доступную для точки поверхность, a W —
пространство, свободное для движения. В рассмотренном до сих пор
случае.1 нам в этом уравнении при определении S приходилось
принимать во внимание только поверхности сфер действия, теперь же
нам следует принять во внимание» еще| и внутреннюю поверхность
оболочки. Для суммы поверхностей сфер действия, поскольку
передние доступны для движущейся точки, мы в уравнении (6)
дали следующее выражение:
VI 2 (1 " * ^
l) По этому поводу ср. стр. 87.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
М
Сюда следует теперь прибавить внутреннюю (пограничную по-
вфхноеть окружающей газ оболочки, которую мы обозначим ч)ен
рез s; тогда для всей поверхности, доступной для движущейся
точки, получается слвдую(ще)е уравнение!:
8 = # W ^1—Ц- "^J + 8. (21)
Строго говоря, следовало бы учесть еще и то обстояшльстю,
что у яех нешдвижных молекул, которые) находятся очень близко
к оболоч&е!, часть поверхности их сферы действия выступает за
пределы внутренней поверхности оболочки, вследствие чщч> она
становится недоступной для движущейся точки. Однако
величина, которую в силу этого обстоятельства следовало бы вычесть
дз предыдущего выражения, должна была бы (иметь вид
где а обозначает нжоторый числшный множитель. Но так как
при обычцых условиях поверхность оболочки гораздо мзеныш
общей суммы поверхностей сфер действия, то заключающаяся в этом
выражении величина гораздо меньш® представленной в ур&вне*-
нии (21) величины
где а обозначает некоторый численный множитель. Но так каа
(которую следует еще принимать в расчет при нашем исчислении.
Поэтому мы можем указанной величиной пренебречь и для опра-
деления S сохранить уравнение (21) в неизмененном виде.
Что касается свободного пространства W, доступного для
движения точки, то покздднш с помощью уранвдения (5) определено
Слвдую(щим образом:
В ньшешнш нашем случае пространство, собственно говоря,
йе<жолько сокращается благодаря тому, что из него следует выц
честь прилегающий к внутренней поверхности оболочки слой тол:-
щиною в g в, так как движущаяся точка, представляющая собою
цейтр молекулы, вое* может приблизиться & оболочке! на
расстояние, меньшее радиуса молекулы. Объем этого слоя составляет ~8(5>
е ©та величина по указанному выше основанию значительно
меньше наименьшего члена N-z-ко*, принятого в расчет в при-

94
Р. КЛАУЗИУС
веденном выше уравнении, в силу чего она может быть
оставлена без внимания.
Итак, мы можем сохранить в неизменном виде прив!еданные
выше1. возражения для S и W, и таким образом для числа ударов,
испытываемых точкой в твденда единицы времени, получадгся
следующее уравнение:
и ny™3
«, (22)
а отсюда для средней длины пути 1\ которая выражается
дробью -р-, получается уравнение^
(23)
J»^li-^ ^4-/ + .
Бели от случая, когда движется только одна молекула, а все
прочие остаются © покое, мы перейдем к тому случаю, когда все
молекулы находятся в движении, то при введении относительной
скорости нам следует принять во внимание то обстоятельство, что
по отношению к неподвижной оболочке) движущаяся точка
обладает да той же самой относительной скоростью, как по отношению
лес остальным молекулам. Средняя относительная скорость по
отношению к неподвижной оболочке равна просто ее средней
абсолютной скорости, т. е. равна и. Следовательно, в уравнении (22) нам
вместо того, чтобы оба члена числителя умножить на % следует
первый член помножить на г, а второй на и, в результате чего
для числа ударов, обозначенного в данном случае через Ра мы;
получим следующее уравнение:
(24)

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
9Ь
а отсюда для средней длины пути получается:
*= r-i '- . (25)
Jr + su
Хотя последнее уравнение благодаря учету объема молекул и
поверхности оболочки несколько повышает степень точности
исчисления по сравнению с первым уравнением, выведенным для I, тем
не менее я полагаю, что при расчетах можно в большинстве
случаев пользоваться первым уравнением, приведенным в (12),.
а именно:
У S" п.
* h
ведь представление!, что молекулы при столкновении ©едут себя
как тв1эрды1е« упругие шары, воекгаки настолько мало надежно, что
едва ли получится значительная польза от тою, что при
исчислении, покоящемся на таком основании, мы будем стремиться
доводить точность напгих расчетов до крайнего предела.
Если мы изберем для исследования не определенное заданное
количество газа, которое в зависимости от обстоятельств может за-
нимать различный объем, а сосредоточим свое внимание*, на еди-
нипэ объема газа, то величина N в этом случае (представит собою*
число молекул в единице объема, и поэтому при одном и том же
газф оно пропорционально плотности последнего. Для этого случая
приведенное) уравнение принимает следующий вид:
JeJ-_.4-, (2в>
Nits* г
кюггорое! оч1ейь удобно для примшения.
§ 8. Пути, фактически проходимые отдельными
молекулами
Посте того как выше была исчислена средняя длина пути
молекул в промежутке между двумя столкновениями, может быть
*) Замечание, сделанное автором на полях рукописи, гласит:
„Опровергнуть замечание Тэта (Tait), что следует взять другое среднее значение 1т.
По всей видимости, здесь речь идет о данном Тэтом в „Trans. Roy. Soc.
Edinb., 33, part 1, стр. 74, 1885—1886, ином определении, согласно которому
для исчисления средней длины пути следует длины путей, соответствующие
определенным скоростям, умножить на вероятности этих скоростей и
полученные таким образом произведения сложить. Тогда вместо максвелловского*
коэфициента —т= ^ °»707 получается число 0,677. Немецк. издат.
У 2

96
Р. КЛАУЗИУС
-еще» поставлен вопрос об отпошшии путей, фактэтяески лроходи-
зщх ими, к средней длине) пути.
Если мы представим себе, что мшекула движется из какой-
либо точки внутри газа, то вероятность того, что молекула
достигнет расстояния s от исходной точки без столкновения с
другими молекулами, мы можем обозначить как функцию 5 через
W(s). Смысл этой функции можно еще выразить следующим
образом: если бы из избранной нами исходной точки вышло очень
большое число Z молеокул, то ZW(s) молекул беспрепятственно прошло
<>ы расстояние s, a Z[l —W(s)] молежул столкнулось бы с другпми
молекулами на отрезки пути от 0 до s.
Отсюда совершенно понятно, что W(s) представляет собою
-функцию, убьивающую с возрастанием s. Для болш точного опрр-
деления этой функции мы можем прибегнуть к следующему
рассуждению. Когда ZW(s) молекул, свободно прошедших расстояние s,
продолжают свое движение, то из их числа на следующем отрезмз
пути, в точности равном предыдущему, с другими молекулами
встретится опять-таки такое количество молекул, что число
молекул, прошедших путь 25, меньше числа тех молекул, которые
прошли путь s, во столько же раз, во сколько W(s) меньше! единицы;
в силу этого число молекул, прошедших беспрепятственно путь 2s,
жижгст быть выражено черев Z[W(s)]2. Но, с другой стороны,
согласно смыслу функции W(s) количество молекул, прошедших
путь 2s, может быть также представлено в виде Z • W(2s). Отсюда
оледует, что функция, выраженная через W, должна
удовлетворять <следующему уравнению:
W(28)=[W(8)]\
Те же рассуждения могут быть применены по отношению
к любым большим отрезкам пути, откуда получается более
общее уравнение для условия, которому должна удовлетворять
функция W:
W(ns)=[W(s)]n,
тде п обозначает любое число. Отсюда, а также из того
условия, что для s = 0 функция имеет значение, равное единице,
■следует, что искомая функция должна иметь следующий вид:
W(s) = e \ (27)
где е — основание натуральных логарифмов, а с представляет
ообою пока еще некоторую произвольную постоянную.
Для определения последней применим условие, что средняя
длина пути молекулы до столкновения ее с другой молекулой
равна I.
Число молекул, длины пути которых до столкновения с
другой молекулой лежат в промежутке от s до s-\-ds9 выражается
в помощью разности
Z*W{s) — Z-W(s + ds)

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГА» OB
97
иди с помощью формулы
Если мы здесь для W(s) подставим функцию, приведенную
в (27), то это выражение примет следующий вид:
Z-e cds.
С
Если это число помножим на соответствующую длину отрезка
пути s, затем проинтегрируем от s = 0 до s = oo и, наконец,
полученный интеграл разделим на все число молекул, то мы
получим среднюю длину пути; таким образом можем положить:
о о
откуда по проведении интеграции получается:
J = c (28)
После подстановки полученного результата в (27) последнее
переходит в
W(s)=*e 1. (29)
Если последнее выражение для W(s) применить, например,
к частному случаю, когда $ = £, получается:
W{l) = e~x = 0,3679,
откуда следует, что из Z случаев только в 0,3679 Z случаях
фактическая длина пути равна средней или превышает последнюю,
между тем как в остальных 0,6321 Z случаях фактичзе/ская длина
пути медьша средней.
Если, далее, поставить вотгрос о числе! случаев, в которых
фактическая длина пути достигает деойной, тройной и т. д. длины
среднего пути или яке превышает последнюю, то можно применить
тот яш прием, что и раньше!. Если соответствующие вероятности
обозначить через W(2Z), W(3Z) и т. д., то получается:
W(2L) = e-\ W(Sl) = e-*
и т. д. Эти числа, очевидно, очень сильно убывают, так, например
е~10 = 0,000045,
отсюда следу№, что хотя и встречаются отдельные случаи, когда
молекула пробегает путь, значительно больший среднего, однако
подобные случаи относительно редки; в подавляющем же
большинстве случае© фактич!еюки1е« пути меньше* или яоа лишь
ненамного больше найденного выше среднего его значения.

98
Р. КЛАУЗИУС
А так как сверх того—в том случае, ковда газ, с которым
имеют дело, не слишком разрежей — средняя длина пути, как это
будет доказано в одной из следующих глав *), представляет собою
чрювычайно малую величину, то ясно, что кинетичюсокая теория
газов ш приводит к тому выводу, что две соприкасающиеся друг
с другом газовые массы должны быстро и бурно смешаться; только
сравнительно небольшая часть молеокул может быстро продвинуться
на значительное расстояние, мшкду тт как основные массы могут
лишь постепенно смюшиваться на поверхностях раздела. Таким
образом в этом отношении кинетич!аская теория газов находится
в полном соответствии с опытам. Этим одновременно опровергаьошся
и вое) прочие) выставлявпшеюя на первых порах против нШ
возражения, базировавшиеся на представлении, будто молекулы
способны беспрепятственно пробегалъ большие пространства.
§ 9. Общее число столкновений и связанные с ним
величины
В изложенных выпна рассуждениях число ударов,
испытываемых молакулой в течение едивдщы вре(м)е|ни, было обозначшо черев
Р, а в § б было определено с помощью следующего уравйеошя (И):
м — v 9
в котором: N обозначаем число молжул, содержащихся в
заданном объеме V. Если жетатешьно свеюти исследование! к единице*
объема, то под N следует подразумевать число молекул в единице
объема и в то ж» вреаш в формуле следует положить V =» 1, ъ р$-
зудьтате чего она иришг следующий вид:
P = N™*r. (30)
Для того чтобы отсюда вывести количество столкнове|ний,
происходящих в течение1 единицы времени мгаеду все!ми молекулами,
находящимися в единица объема, следует это выражение умножить
на число молекул N и разделить на 2. Последнее необходимо
сделать потому, что в каждом столкновении участвуют всякий раз
по двд молекулы. Таким образом для общего числа столкновений
получается выражение
Молекулы, которые разлетаются в разные стороны после
столкновения, мы будем называть молекулами, испускае)мыми
столкновением, а молекулы, разлетающиеся после столкнове(ний,
происходящих в течение» единицы времени в единице) объема, мы будем
кратко называть молекулами, испускаемыми в течение единицы
времени. Число последних мы получим, еюли в приведенном выше
!) Ср. примечание немецких издателей в конце третьей главы.

КИЙЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГА80В 99
выражшии опустим знаменатель 2, так как каждое столкновешце
йдауска/etr две моящкулы. Олвдоватшьно, если мы обозначим
через М число молекул, испускаемых в течение единицы времени в
единице объема, то имеет силу равенство
M=N*™*r. (31)
Если бы для определения входящей в эту формулу
относительной скорости г мы пожелали сделать допущение, что все
абсолютные скорости между собою равны, то согласно (16)
данное уравнение перешло бы в
М = ^ N*™2. и. (32)
Если же определить г, исходя из допущения, что
абсолютные скорости следуют закону Максвелла, то согласно
изложенному на стр. 91 и 92 получается:
M = V2N*™2u. (33)
Для средней длины пути в § в было дано уравнение (12)>
которое, если под N понимать число частиц, содержащихся
в единице объема, принимает следующий вид:
Z = -L-.^. (34)
О помощью этого уравнения можно уравнения (30) и (31}
служащие для определения Р и М9 преобразовать в
следующий вид: _
P=f' <35>
M = N^. (36)
§ 10. Средняя относительная скорость и средняя
длина пути молекул с заданной скоростью и обусловленный
ими закон скоростей испускаемых молекул
При многих теоретичеюких исследованиях бывает достаточно
выразить закон скоростей с помощью общей функции, не приводя
специальной формы этой функции.
С этой целью ;введе(м сначала для скорости обозначение,
которое прямо дает возможность узнать, каково отношение скорости
отдельной избранной для рассмотрения молекулы к средней скорости.
А именно, пусть, как и раньше, и — скорость отдельной молекулой
и и — средняя скорость всех молекул; введем тогда величину г*
определив ее следующим образом:
* = -; (37)
и
таким образом вместо и можно будет подставлять произведение) uz^

100
Р. КЛАУЗИУС
Для того чтобы выразить, каким образом различные
одновременно присущие отдельным молекулам скорости распределяются
около среднего ее значения, установим, что вероятность того, что
скорость какой-либо избранной для рассмотрения молекулы лежит
в промежутке значений иг и и (z + dz), выражается произведением
ty(z)dz;
тх> ям самое* можно выразить отце и следующим образом: среди
очень большого числа N молекул, содержащихся в единице объема,
должносуществовать Nty(z)dz мсхшежул, скорости которых лежат
между uz и и (z + tiz). Входящая в эти формулы функция Ф (г)
служащая выражением закона распределения скоростей1), может
пока остаться неопределенной.
Непосредственно из определения этой функции вытекают лишь
два условия, которым она должна удовлетворять. Так как у всех
имеющихся молекул скорость должна заключаться между 0 иоо,
то отсюда следует, что интеграл выражения N Ф (z) dz должен
представлять собою вое! наличное число молекул, и, 'Следовательно,
должно издать м#ста
оо
/ф(з)<&=1. (38)
о
Дальше, так ка&_сре{цнш значение всехотделышх скоростей,
выраженных че(рез uz, должно равняться и, то интеграл (выражения
uzNty iz) dz должен равняться Nu9 откуда следует, что
/:
О
z\{z)dz = l. (39)
Если взять выведешный Максвеллом закон скоростей,
изложенный нами в первой главе на отр. 71, то функции Ф следует
придала следующий вид:
ф (z) dte==§*2*"*dz, (40)
который получается, если в выражении
f(u) du = —= и7е *" du
уравнения (10) первой главы скорости и заменить
произведением
u = uz==-^Lz. (41)
у п
1) ф (?) связана с функцией скорости f (и\ определенной на стр. 69 с помощью
соотношения ф (z)dz = f(uj du. Немецк. издат.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
101
Легко убедиться в том, что эта формула удовлетворяет обоим
приведенным Еыше уравнениям, выражающим условия доя
функции »>*).
От абсолютных скоростей молекул перейдем вдперь к
рассмотрению относительных скоростей пар молекул.
До сих пор мы рассматривали лишь обозначенное! нами через г
среднее значение всех относительных скоростей для
всевозможных парных комбинаций, которые, могут быть составлены из
имеющихся молекул. Но молекула, обладающая большей абсолют-
ной скоростью, обладает, вообще говоря, и большей относительной
скоростью по отношению к другим молекулам, чт другая моле!-
кула, обладающая меньшей абсолютной скоростью; поэтому можно
говорить й о специальном среднем значении той относительной
скорости, которую по отношению к прочим молекулам имеет молекула,
скорость и которой дана. Для этого специального среднего
значения, чтобы не смешать eiro с общим средним значением г, введем,
особый символ. Для этого мы, в соответствии с введенным в (37)
способом обозначения, представим заданную скорость в виде
произведения иг и затем для молекулы, обладающей этой скоростью,
обозначим через гг среднее, значение! ее относительной скорости
по отношению ко всем остальным молекулам.
Отношение между этим специальным средним значением т2 и
общим средним значением г может быть представлено с помощью
некоторой функции z, поэтому положим
^ = гср{з). (42)
Функция <?(z) должна удовлетворять одному выраженному в
форме уравнения условию, которое непосредственно (вытекает из
ее определения. В самом дела, так как для определения среднего
значения г^имшт силу уравнение*
со
f= fr£(z)dz,
о
то путем подстановки вместо тг приведеЕного выше! произведения
получается уравнение
со
J 9(г)Ф(г)#г = 1.
о
*) Изложенное выше введение к настоящему параграфу было помещено
в первой главе черновика в качестве заключения к § 17, однако, оно не было
перенесено автором в чистовой текст рукописи, так как, повидимому, у него
было намерение совершенно отказаться от примененного им здесь способа
обозначения, и притом из тех соображений, что в теории теплопроводности
допускается равномерная скорость всех молекул, и потому введение
переменной z является излишним. Однако проведение этого плана привело бы
ж, необходимости существенной переработки дальнейшего изложения; ввиду
•того мы предпочли оставить последнее в неизмененном состоянии,
предпослав ему необходимое для понимания введение, которое заимствовано из
черновика первой главы. Лемецк. издагп.

102
Р. КЛАУЗИУС
Сверх того о функции <?(z) мюжно еще» сделать некоторые заклю-
чедая, исходя из общих соображений. С возрастанием z ее значе!-
жт должно увеличиваться, так как с увеличением абсолютной
юкорокяж рассматриваемой молекулы ее средаяя относительная
скорость по отношению к остальным молекулам тоже возрастает.
Однако между <?(z) я z т> может быть простой пропорционально-,
оти. Действительно, когда ^ = 0, ср (z) не может стать равной нулю;
в самом дрщ относительная скорость покошцейоя молекулы по
отнопВДнию к другим молжулам не может быггъ равной нулю, так
как последние находятся в движении. Средняя относительная
скорость неподвижной молекулы по отношшшю ко всем прочим
молекулам равна средней абсолютной скорости последних. Когда г
становится очень большим, средняя относительная скорость^ должна
по своей величине стать очень близкой к абсолютной скорости
рассматриваемой молекулы, т. е. она должна стать равной uz% так
и
;что в етом (случае <р (z) должна приблизиться к величине -=- *£.
г
Волюе точное определение y(z) может быть дано только в том
случае, когда известна функция ty(z), представляющая закон
скоростей. Если взять закон скоростей Максвелла, то для <р (z}
получается следующее) уравве|ние:
?(«)==—т= \е * Н Iе п dz)\ (43)
пк>сл?едн1е|в получается, если в уравнение (42) вместо г подставить
его значение, вычисленное на стр. 74, вместо г г подставить
выражение, данное на стр. 75, обозначенное там через г*, и, навок
нец, если вместо и в соответствии с уравнением (41) ,снова ввесш z.
Вели величину г2 раосмаяривать как заданную, то можно ленто
определить соответствующее ей число столкновений, среднюю
продолжительность времени, протекающего от одного столкновения до
другого, а также* среднюю длину пути.
Если мы пока [предположим, что рассматриваемая молекула
имеет в течение единицы времени постоянно одну и ту же
заданную абсолютную скорость u = uz, а сл£|доватешъно и заданную
относительную скорость г., то она в течение единицы времени
ис1ЩТЕЕвает число Р2 ударов, которое определяются с помощью
уравнения (30)
Рж = Ятео*гж1 (44)
в котором N обозначает число молекул в синице объешь1).
*) Нижеследующие места в рукописи подверглись многократным измене*
виям и поправкам. Мы приводим их с возможным сохранением связи, ча<-
-втично используя при этом зачеркнутые фразы. Немецк. издат.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
103
Отсюда для средшго времши, протекающего между двумя
столкновениями, которое мы обозначим черер тг, пшучаотся:
Т* = ^ = М^' (45^
Далее, отсюда следует, что средняя длина пути 12 для
молекулы, которая все время обладает одной и той же Скоростью их,
определяется с помощью уравнения
(46)
Вели здесь вместо и2 подставить произведение zu, а вместо т2
выражение, указанное в (42), то получается:
jje_!L.JL- = j. JL-. (4ба)
В соответствии с тем, что было выще сказано о функции <?(z),
легко убедиться, что 1г pacreir вмаств с г таким образом, что при
2=4 0 12 тоже» шшет значение, равной нулю, а при сильно
возрастающих значениях z величина 1г приближается к предшшному
значению -^-^.
Но так как в дШствит1е1льности молжула не обладает всегда
одной и той же скоростью и скорость ete» изменяется от одного
столкновения до другого,, а при этом и относительная ее скорость
по отношению к прочим молекулам изменя|ется указанным выше
образом от столкновения до столкновения, то мы вместо' единицы
времени рассмотрим бесконечно малый промежуток времени dt.
Строго рассуждая, по отношению к (бесконечно малому промежутку
времени нельзя говорить о числе столкновений, испытываемых
мошщулой в течение этого времени, так как между двумя
столкновениями проходит, хотя и короткое, но все-таки конечное
время. Больше того, если пожелать выразиться совершенно точно,
следует ввести вместо числа столкновений иную величину, а
именно — вероятность того, что в течение времени dt будет иметь
место столкновение. Эта вероятность выражается с помощью
произведения
P2dt.
Бели яц предпочтение отдается удобству и однородности выра-
жшия тред совершенной точностью словесной его формулировки,
то можно бе^ погрешности в статистическом смысле сказать: если
в течение единицы времени происходит Р\2 столкиовший, то в
течение элемента времени dt имеет место P2dt столкновший. То
обстоятельство, что значение этого произведения не только меньше
единицы, но даже бесконечно мало, не имеет какого-либо
существенного влияния на примшимость этого выражения.

104
Р. КЛАУЗИУС
Если теперь пож&латъ определить число столкновений в
печение единицы времени при действительном процессе!, при
котором скорость рассматриваемой молекулы, а вместе с тем и
величина Р г изменяется от одного столкновения до другого, то для
этого достаточно проинтегрировать для единицы времени дифе^
ренциальное выражение P,dt: таким образом, если чврез Р
обозначить число столкновений, фактически имеющих место в течение
единицы времени, получается уравнение
р= fpgdt. (47)
б
Если здесь вместо Ре подставить его значение, привейедаой в (44),,
to получается:
1
P=N™*frzdt,
о
или же, принимая во внимание, что входящий в это выражение
интеграл представляет собою среднее значение г:
а это уравнение совпадает с приведенным выше уравнением (30).
Далее, если бы было желательно определить среднюю длину
пути I для молшулы, у которой скорость от одного столкновения
до другого изменяется, то этого нельзя было бы осуществить про1^
стым интегрированием произведения Ldt для единицы времени;
Дело в том, что под средней длиной пути мы понимаем суммарную
длину всех отрезков пути, пройденных за определенное* время,
например, за единицу времени, разделенную на число этих отревков.
Если же скорость молшулы в течение элемента времени dt равна
uz% то число отрезков пути, пройденных в течение элемента
времени dt, равно Р dt, и длина одного отрезка равна lz, а следова-
тельно, длина пути, пройденного молекулой в течение времени dt,
составляет l2P2dL Это последнее «выражение и следует проинтегри-*
ровать для единицы времени, чтобы определить в целом весь путь,,
пройденный мол€(кулой за единицу времени. Одновременно, как
уже было отмечено, интетрал выражения Р zdt дает число отрезков
жути, и следовательно, для определения I мы получаем уравнение
1
л*
Интеграл, стоящий в числителе, после введения в него для 1Г

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
10fr
выражения, указанного в (46), принимает очень простой вид*
В самом деле,
и следовательно,
1 1
Jl^2dt^ fu2dt = u.
о б
Далее, интеграл, стоящий в знаменателе, можно согласно (47>
просто заменить величиной Р, и тогда получается:
Z = ^ = _?L,
которое представляет собою уравнение приведенное ранып»
ПОДО (26).
После изложенных рассуждений можно привести еще одно важ^
ной опрсдщшие.
Скорости молекул, испускаемых столкновениями, не! следуют
тому же самому закону, что и одновременно существующие
скорости имеющихся в газе молекул: среущ первых большее скорости
представлены сильнее, чем среди последних, так как молекулы,
обладающие большими скоростями, сталкиваются чаще молекул,,
движущихся медленно, и потому они чаще встречаются среди
молекул, испускаемых столкновениями. Надлежит теперь иссле-
давать, какая связь существует между обоими этими законами
скоростей.
Общею число молекул, испускаемых в течение единицы времени,
мы в § 9 обозначили через М и опре|далили с помощью уравнений^
данных там под (31) и (36): _
Представив снова каждую отдельную скорость и одной из
молекул согласно (\37) в виде произведения uz, мы установим, что
та доля испускаемых молекул, у ко.тор!ых величина z лежит в
промежутке от г до z + dz, определяется с помощью произведения
l№{z)dz,
так что ^(z) представляет собою функцию, выражающую закон
скоростей для испускаемых молекул. Итак, ре>чь идет об опреде-
лшии соотношения м^еокду функциями W(z) и ty(z).
Для этой цели может послужить следующее рассуждение ~
Время, которое молекула;, испускаемая, со скоростью uz, в
среднем употребляв на то, чтобы снова столкнуться с другой моле^
кулой, т. е., другими словами, то время, в течение которого
скорость, с какой молекула испускается, as среднем остается
неизменной, мы выше обозначили через v Отсюда следует, что число
одновременно суще&вующих скоростей, величина которых люскит

106 Р. КЛАУЗИУС
-з промежутке от uz до и (z +cte), выражается с помощью
произведения
MW(z)dz-T2.
Яо, с другой стороны, число молекул, у которых одновременно
существующие скорости лежат между иг и и■ (г + dz), выражается с
помощью формулы стр. 100:
N\(z)dz\
таким образом мы получаем уравнение
MW(z)dZ'T2 = N^(z)dzf
или . м
MW(z)dz = N^ldz. (48)
Если подставить сюда для чг выражение, данное в (45), получается:
; ll№ (z) dz = NP£ (z) dz = №ка*гД (z) dz. (48a)
Для iz можно также подставить значение =J-t вытекающее
щ
из уравнения (46), в результате чего получается:
MW {z) dz = N™ ф (z) dz. (49)
Оба приведенных выше выражения можно написать еще и
следующим образом:
ЛЯГ (z) dz = NWF |ф (в) dZy (49а)
MVQs)dz = N±j-sty (z) dz, (49b)
а так как для М имеют силу следующие уравнения:
то для определения W(z) получается уравнение:
Щг) = г±*{2)=Лг*{г), (50)
r h
или же, если, пользуясь уравнением (42) либо (46а), ввести
функцию <?(z), уравнение:
Щг) = 9(*Щг). (51)
Если желательно применить закон скоростей Максвелла,
следует вместо ф (z) подставить выражение, приведенное выше
в (40), и вместо <?(z)—выражение, данное в (43); тогда
получается:
*ю=Ч?[л~*+(*н4*)в~"*Л~"*л]* (б2)

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
107
ГЛАВА Ш
О ВНУТРЕННЕМ ТРЕНИИ ГАЗОВ
§ 1. Различные исследования по вопросу о трении газов
Максвелл в многократно уже упоминавшейся нами работе
i860 г. исследо|В1ал и трание газов; он вывей для коэфициейта
трения выраашниа, которое принципиально можно признать
правильным; оно правильно выражают законы, которым подчиняется
трение* газов, но оно содержит в себе некоторую неточность,
влияющую на числшное! значвдие коэфициента трешш. А именно, в
данном случае в расчет входят, с одной сторощы, скорость, а с
другой стороны—длина пути моле&ул. Обе эти величины не
являются независимыми друг от друга, но взаимно связаны между
собою таким образом, что молекулы, обладающие! большими
скоростями, как общее правило, проходят и большие пути. Максвелл
не привял во внимание этого различия и применил эти вешичины
*гак, как если бы ъ расчет следовало ввести только сроднее
значение каждой из этих величин. Благодаря этому вычисление сильно
облегчается, но зато математическая точность его несколько
страдает
После Максвел1ла BonpqcoM о трении газов занимались многие
другие! авторр, из которых я здесь упомяну только О. В. Мейера1)
и Тэта2); первый из них приложил к своим теоретическим
изысканиям очшь ценные* экспериментальный исследования, а второй
спейрально исслвдовал упомянутую выше! неточность в формуле
Максвелла.
В нижеизложенном будет дан прежде всего краткий вывод
соответствующего уравнения.
§ 2. Определение случая, подлежащего исследованию
Пусть дана масса газа, обладающая наряду с беспорядочным
движением молекул еще и движением всей массы и притом
движением, направление! которого во воек частях газа одинаково, но
скорость которого в различных частях газа различна. По
отношению к последней мы «duel введам упрощающе^ условие!,
заключающее в том, что скорость изменя1ется только в определенном
направлении, перпендикулярном к направлению движения. Это
последнее направлшие мы примш в качестве направлешгя оси х,
а направление движения — в качестве оси у прямолинейной
системы координат; тогда мы сможем выразить условие,
поставленное по отношению к скорости, сказав, что скорость является
функцией х.
г) О. Е. Meyer, Die kinetische Theorie der Gase. Breslau, 1877, Ср. дальше
Pogg. Ann., 125, 177, 1865.
a) Tait, Trans. Roy. Soc. Edinb., 33, part I, p. 65, 1885—1886.

108
Р. КЛАУЗИУС
Если мы изберем для рассмотрения какую-нибудь плоскость,
перпендикулярную к направлению х, которую — принимая во
внимание, что начало координат произвольно — мы примем за
плоскость yz координатной системы, и если мы обозначим через v0
значение которое ишет скорость у в этой плоскости, то для любой
другой плоскости, параллельной плоскости yz, абсцисса которой
равна #, мы сможем выразить значение v известным образом с
помощью ряда, а именно:
Так как в дальнейшем в рассмотрение1 будут введены лишь очень
малые значения х, одного порядка со средней длиной пути молф
кул, то мы можем оставить бее внимания все* члены, порядок
которых по отношению к х выше первого, и в соответствии с этим
принять:
i dv
Для большей определенности мы примем, что -£- положительно,
что вполне допустимо, так как мы еще можем свободно избрать
направление, в котором мы будем считать х положительным.
Так как массы газа, расположенные по обе стороны плоскости
yz, обладают различными скоростями, то они проявляют друг по
отношению к другу некоторую силу, действующую таким образом,
что она замедляет движение быстрее движущихся масс и
ускоряет движение медленнее1 движущихся масс. Определение именно
этой силы, которая называется внутренним трением газа, и
составляет прз|дмот дальнейшего нашего исследования.
§ 3. Состояние движения согласно кинетической теории газов
и, в частности, поведение испускаемых молекул
• Согласно кинетичеюкюй теории газов молекулы газа,
находящегося в неподвижном состоянии, обладают молекулярными
движениями, которые происходят беспорядочно и подчиняются только
законам вероятности. К этим скорости, имеющим всевозможные
направления, в настоящем случае прибавляется еще скорость v
в положительном направлении у.
Если бы эта последняя скорость внутри газа была всю;ду одна
и та же, то взаимное отношение молекул совершенно не
изменилось бы. В частности, число молекул, испускаемых1) в единице
объема в течение единицы времени, и поведение» этих молекул по
отношению к скорости беспорядочных движений в движущемся
газе! были бы те\ же, что и в неподвижном газе. Это поведение мы
выразим с помощью нижеследующих данных. Пусть, как и раньше*
общее число молекул, испускаемых в единице объема в единицу
*) Ср. стр. 102.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
109
Бряшни, виражается о домощью буквы М, а числе тех молекул
из их состава, у которых скорости беспорядочных движений
лежат в промежутке от и до и + du, пусть выражается с помощью
формулы
А тшерь нам следует рассмотреть, как будут себя в&сти
испускаемые; в .результата столкновений молекулы в газе, в котором
движение масс не всюду одинаково, но в различных местах
варьирует отиоанным выша образом. Для рассмотрения мы вместо
единицы объе/ма изберем теперь бесконечно тонкий слой между двумя
плоскостями, абсциссы которых равны х и х + dx. Если мы войь-
мш участок этого слоя, соответствующий единицу площади
пограничной поверхности, то объем этого участка слоя будет равен
просто dx, а количество испускаемых в тачшие единицы времени
из этого участка слоя молекул, скорости которых лежат в
промежутке от и до и + du, было бы представлено, — если бы
движение масс во ©сек ч;астях газа было одинаково, — с помощью
выражения
MF(u)dudx.
Но спрашивается, как изменится это выражение1 в том случае,
когда движение масс во всех частях газа неодинаково.
Для этого нам необходимо предварительно изложить
некоторые общие» соображения о поведении молекул при столкновении.
Это поведение не> является совершенно тождественным пове/дению
сталкивающихся упругих шаров, те(м не менее во многих отношег
ниях можно получить полезную ориентировку в поведении моле1-
кул, е)слж исходить из рассмотрения упругих шаров. Взаимное
действие* двух упругих шаров при их столкновении было
представлено в хорошо обозримом виде в упомянутой выше работе
Максвелла. Я изложу здесь только несколько положений, которые
вообще тоже можно считать достаточно известными:.
Когда два равных упругих шара летят в противоположных
направлениях с равными скоростями и притом так, что их центры
движутся по одним и тем же прямым линиям, и шары вследствие
этого сталкиваются центрально, то они отскакивают друг от друга
таким образом, что каждый шар летит с одинаковой скоростью
обратно в том же направлении, откуда он прибыл. Если же шары
до столкновения движутся хотя бы'и в противоположном
направлении, но таким образом, что траектории их центров леокат не на
одних и тех же прямых, а на двух параллельных прямых и что
таким образом шары сталкиваются нецентрально, то хотя они
опять-таки отскакивают друг от друга с равными скоростями и
центры их опять движутся в противоположных направлениях по
*) Выражение F (и) du тождественно с выражением ЧГ (z) dz, приведенным на
стр. 105.Поэтому произведенное там исследование функции Сможет быть
непосредственно применено к функции F; благодаря этому, в частности,
уравнение (48а), если принять во внимание замечание на стр., 104, переходит в
MFM^NPfiu).

110
Р. КЛАУЗИУС
двум параллельным прямым, но направление) этих нрямех ужо
отлично от направления тех прямых, по которым центры двигались
до столкновения. Это новое! направление) зависит от положения,
какое на обедах поверхностях занимает точка удара, а так как
шары могут столкнуться в бесконечно большом количестве
различных точек своих поверхностей, то и налравлщия их обратных
двшшний могут быть бесконечно разнообразны, и можно легко
доказать, что для движения шаров после их столкновения любое
возможное направление в пространстве равновероятно.
Допустим теперь вообще, что два О1дднаковых шшра движутся
до столкновения с любыми скоростями по любым направлениям.
Разложим движение каждого шара на дае) составляющих. В
качестве первой составляющей примем движение! общего центра тя-
тжги обоих шаров, тогда вторая составляющая представит собою
относитшьное движение соопйе^ствующею шара по» оггношшию
к общему цешстру тяжести. Первое движшшое) одинаково для обоих
шаров по своей величине и одинаково направлено, второе для обоих
шаров одинаково по величине, но направлено в противоположные
стороны. Первое движение под влиянием столкновения не
изменяется, второе же изменяется совершенно таким образом, как если
бы только одно оно существовало, а общего движения совсем не было.
По отношению к нему применимо то, что перед этим было сказано
о .случае, когда два шара движутся навстречу друг другу по двум
параллельным линиям и в результате столкновения могут принять
различные направления в зависимости от точки удара. Отсюда
ясно, в какой мере) у беспорядочно сталкивающихся шаров
движения поош столкновений зависят от их движений до столкнюш-
ний и в какой мере они от них да. зависят. Движен/ue каждого
шара состоит из двух составляющих, из которых первая
полностью определяется по величине и направлению движениями до
столкновения, а вторая тоже имеет определенную величину, но она
может иметь бесчисленное множество различных направлений,
причем любое направление в пространстве равновероятно.
Применяя этот вывод к столкношниям, происходящим мшзду
молекулами, мы можем допустить, что и здесь из движений, ко-
торда две стачивающиеся молжулы имеют до столкновения,
остается неизмененной лишь та часть, которая является общей для
обеих молекул, а именно — движение их центра тяжести; вторая
же составляющая движений может изменить совоа направлшие
столь различным образом, что для не!е любое направление в
пространстве является равновероятным.
Если мы рассмотрим всю массу модакул, сталкивающихся
в ^единицу времени в нашем бесконечно тонком слое, то они
попадают в этот слой частью с положительной и частью с
отрицательной стороны. У тех молекул, которые попадают © слой с
положительной стороны, скорость v имеет величину бблыпую той,
какая соответствует положению слоя, а у молекул, попадающих
с отрицательной стороны, она имеет меньшую величину. Поэтому
если мы составим среднее значение v для всех молекул, сталки-

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
111
ваюшдхоя в слое, то мы получим число, которой будет очшь
близко к числу, соответствующему положению слоя; остающееся
еще одежду ними различие можер быть лишь такой величиной,,
которая пк> отношению к средней длине пути является шличиной.
более высокого порядка, чем различия, встре(чающие1ся у
отдельных молекул, и которая поэтому может быть оставлена без.
внимания.
То, что имеет силу для сталкивающихся молекул, имеют силу
и для исщускаэмых молекул; поэтому состояние движения
молекул, испускаемых из участка слоя, соответствующеих) единице
площади, мы можш математически определить следующим
образом. Число тех молекул, у которых молшулярные движения,
идущие по вюе)м: напршвлериям, имшзт скорости, лежащие в
промежутке от и до и+, du, выражается с помощью формулы
MF(u)dudx.
К этим движениям, идущим по воем направладиям, прибавляется
еще движение», идущее по направлщию у, которое имдаг скорость
общую для воесх соответствующих молекуиг, а именно скорость vr
соответствующую пшожшию слоя.
§ 4. Исключение влияния, оказываемого различием
МАССОВОГО ДВИЖЕНИЯ НА ПРОХОЖДЕНИЕ МОЛЕКуЛ ЧЕРЕЗ ГАЗ
После того как было выяснено состояние движения молекул,,
ишуокашых бесконечно тонким слош, следует дале!е определить,
сколэь многие из этих молекул доходят до плоскости уг, не
встретившись предварительно с какими-либо другими молекулами.
Мы ограничимся сначала рассмоа^шшм таких молйкул,
молекулярные скорости которых, независимо от массового движения,,
лежат в промюркутке от и ДО и + du и число которых составляегг
MF(u)dudx.
Так как эти молекулы движутся во всех возможных направле,-
ниях, мы из их числа снова рассмотрим только 'беюконгано малую
долю, имеющую определенно предписанные направления движения.
Для того чтобы можно было указать направление! движения моле*
кулы, мы ваэедам углы 0 и <р. Пусть & обозначает угол, образуемый
с направлшиш #; но так как плоскость уг расположена на
отрицательной стороне от слоя, испускающего молекулы, мы под &
будем понимать угол между направлением движения молекулы и
отрицательным направлением х. Далее, мы проведем плоскость
черев направлшие х и через направление движения молекулы и
другую плоскость через направление! х и через направление у;
угол, образуе|мый этими двумя плоскостями, мы обозначим через ср.
С помощью этих двух углов вполне определяется направление
движения молшулы, а избранную для рассмотрения долю всего числ&
мкишкул мы определим с помощью условия, что эти углы имеют
значения, лежащие в промежутке) от Ь до Ъ-\- db и от <р до <р + cty-

112
Р. КЛЛУЗИУС
Число молежул, у которых углы лежат в указанных пределах,
относится ко всему числу молекул, у которых эти углы имеют
любые значения, как sin bdndv относится к 4?i. В силу этого число
тех молекул, — которые испускаются бесконечно тонким слоем,
у которых молекулярные скорости лежат в промежутке от «до
fu + du и у которых вместе с тем углы лежат в указанных выпив
промежутках, — выражается с помощью сле|дующей формулы:
MF(u)dudx*±^.
Для того чтобы 01феде»штъ, какое количество этих молекул
доводит до плоскости yz, не встретившись с другими молекулами,
мы применим выражение, отличное от того, какое мы вывели
в главе II, стр. 96, а именно вместо длины пути, который
молекуле предстоит пройти, мы введем в расчет необходимое ей
для этого время. Если для напшх молекул, имеющих собственную
скорость движения и, мы обозначим среднюю относительную
♦скорость по отношению- к другим молекулам через гих)> то мы
омож£1м вероятность того, что определенная молекула из их состава
в течейда времени tx не встретится с другой молекулой — для
-случая, когда г„ не зависит от времени, — представить с помощью
выражения е~Рк 2), где Р — число столкновений в единицу
времени — имеет согласно уравнению (44) предыдущей главы
следующее значение:
P = N*fra. (1)
Если же гц, а вместе с тем и Р, зависит от времени, мы должны
шдесто цриведедного выражения составить следующеес
-fPdt
е ° .
Если бы не было никакого массового движения, а
существовали бы лишь молекулярные движения, то г и имело бы значение,
независимое от времени движения, п тогда ту часть упомянутых
выше испускаемых молекул, которая действительно достигает
плоскости yz и проходит через нее, мы представили бы с
помощью выражения
MF{u)dudxs^^-e-pt\
Однако в рассматриваемом ныне случаа к молекулярному
движению прибавляется еще и массовое! движение. Так как последнее
1) Примененный здесь индекс и имеет совершенно то же значение, здч>
ж индекс г, примененный в предыдущей главе. {Прим. иемецк. издат.)
2) Это выражение получается, если в уравнение (29) предыдущей главы
подставить для пройденного пути 8 его значение utt и для длины пути J—-
*го значение -р-, взятое из уравнения (46). (Прим. немецк. издат.)

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
на
происходит по напрашвению у, то оно не оказывает никакого
влияния на составляющую х скорости рассматриваемой шхпекуды;
поэтому вре&ся, ушитребляемое молшсулой на то, чтобы дойти от бес-
кондано тонкого слоя до плоскости yz, находящейся от нее! на
расстоянии х, не изменяется вследствие прибавлшия массового дви-
жшия и сохраняет значзенш, обозначенное чер|е& t±. Однако ина№е
обстоит дело со средней относительной скоростью. Если бы
массовое* движении было одинакового воек частях газа, оно не шедю
бы никакого влияния на среднюю относительную скорость
молекулы по отношению к остальным молекулам. Но так как согласно
допущению скорость массового движшия с увеличшием х
возрастает, то рассматриваШая молекула, выходящая из бесконечно
тонкого слоя с абсциссой х, обладают неюколько большей массовой
скоростью, чт та скорость, которая господствует в промежуточном
пространства (мшеду этим слоем и плоскостью yz. Эту разность
следует принять во внимание при исчислении.
Наибольшего значенш эта разность достигает у плоскости yz,
dv -л
где она составляет ^ х. Но так как значения х, с кюторьши здесь
приходится иметь дело, очень малы, а именно — порядка средней
длины» пути, то и подлежащая учету разность массового
движения здесь всегда столь мала, что при разложении в ряд по
степеням этих велрчин мы можем ограничиться лишь первой степенью,
отбросив члены более высокого порядка.
Рассмотрим теперь, йакое влияние оказывает это различие
массового Движения, присоединяющееся к молекулярному движению,
на выражение, которое нам предстоит вывести. Это влияние
заключается в том, что вследствие указанного различия средняя
относительная скорость рассматриваемой молекулы по отношению
к другим молекулам в различных местах пробегаемого молекулой
пространства неодинакова, в силу чего ги следует рассматривать
как функцию времени. Следовательно, для того чтобы предстаг
вить число молекул, достигающих плоскости yz, нам следует оо-
егавить следующее выражение:
- IPdt
MF(u)dudx8^d9e ° .
Если бы мы захотели математически точно определить
входящий в показатель интеграл для каждого отдельного значения
величин и, Ь и <р, то это вызвало бы необходимость произвести
очень сложные расчеты; однако с помощью прозтых
геометрических соображений можно притаи к выводу, (который даст очШь
большое упрощенна А именно, так как массовое! движшие*
происходит по направлению у, то влияние*, оказываемое! различием
массового движения на величину гц, а вместе с те|м: на все рассма-
тривашвое! ввдаженш, зависит от угаа 9. Для двух значтий <?,
косинусы которых имеют противоположные знаки и равные
абсолютные знач)е(ния, это влияние, вообще* говоря, действует в про-

114
Р. КЛАУЗИУС
тивоположыам направлшии, а по абсолютной вергичиие оно
настолько близко к равенству, что могущее при этом образоваяъсйг
различвд—ло сравнению с действительным различием массового
движений—представляет собою величину порядка выше первого.
Отсюда, далее, сле1дует, что *ли приве(д;е|ннш шшт выражение
проинтегрировать по ? от 0 до 2т, то действующие в проамволо-
ложном направлении влияния различия массового движения $ этом
интеграле до такой степйни друг друга уравно®е|пшваютГ что
суммарной действие этих влияний тожю оказышевхж величиной
порядка, вышй первого пю сразншию с различие^ массового
движения, а следовательно, и по сраюнецию со средний длиной пути.
Так, как мы- установили, что величины столь малого порядка
могут быть при нашем: исчислшии остамойщл без внимания, то
при иниеррироовании по ? мы можш величина ти присвоить то же
самое постоянное значшие, какое» оно имело бы, еюли бы (массовое
движшие! во веет частях Паза было одинаково. Тогда в результате
этого интегрирования мы получа/йм следующее вырадаоеаие:
у MF(u) dudx sin » db e~Pt\
§ 5. Положительные количества движения массового
движения, проходящего через плоскость yz
При дальнейшей разработке настоящего вопроса мы несколько
нзм/ерим ход надцено рассуждения.
Пр|евде всецо, вм)еюто времени tx мы введем величину х. Под tx
подразумеваемся то время, которое! требуется молекуле, имеющей
скорость молекулярного движения и и направлшие! 'дашашния,
составляющее» угол 0 с отрицательньим направлением х, для тош
чтоби от исходного своеш слоя дойти до. плоскости yz. Для опре*
дел1ения этого вре|мгаи мы должны знать составляющую скорости
нашей молекулы по отрицательному направлению х. Как уже Зшше
было ошечшо, массовое движение;, происходящее по направлению
у, не оказрваегг никакого влияния на эту составляющую, но
последняя определяемся прямо из молекулярного движйкия и
выражается с помощью произведения и cos ft. А так как бесконечно
М(алый слой, и| которого исходит молекула, находится от
плоскости yz на расстоянии х, то дая времши tx мы >получаем следующее
выражение:
tl = w-cosO • (?>
В силу этого число мол*е(кул, соответствующих дифер(еращиалал«
dx, du и dft, которые, не овстречаясь с другими молекулами,
достигают плоскости yz и проходят через последнюю, мы можем
представить с помощью сл!еДующфго выражшия:
— Рх
л I/COS&
у MF(и)dudx-sin »dbе

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
115
Однако в дальнейшем нам следуем рассмотреть m только число
этих молекул, но и положительное! количество движения их
массового движшия. Скорость массового движерия в слое», из шго-
dv ~~~ ^
рого выводят молекулы, на -^ х больше», чфс в плоскости yz\ в
соответствии с этим каждая из этих мол!е!кул йри прохождении
чфез плоскость ур приносит с собой избыток ШЛЮЖЙЗВДЬНЮГО ко*,
личеотва движения, который, если т обозначаем массу моатулы,
выражае{гся с шшщью произведения
dv
и переда^ №о от масс газа, находящихюйГ на далюжительной
стороне) плоскости, массам газа, находящимся на отрицательной
стороне. Таким образом весь избыток полюжительнюго количества
движейия, соответствующий указанному выше числу шлекул,
яережхжмый с положшшъной стороны! на отрицательно,
составляв:
Рх
1 dv a cos д
-у Mm -fa F(u)du dx-sinЬdftх- e
Для того чтобы придать этому выраж)едаию более общий вид,
при (котором оно ишюйю бы силу ни только для диферешралзов
dx, du и <J&, но и для любых могущих встроиться значений х>
и и О, ето следует проинп$гри;ровать по а? от 0 до, <», по и точно
так же от 0 до оо % до & от О ДО \.
После интегрирования по х это выражение» принимает ошедужь
щнй вид:
а затем после интегрирования по 9:
1 лж~» dv tt?F(u)du
ТМт-Ш FT—
Интегрирование по и мы пока лишь наметим, положив
u?F(u)du
Р2
§ 6. Выражение коэфициЕНтл трения
Выражжие, совершенно аналогичное» тому, какое! было
приведено в конце! иредыдущерпо параграфа, получаемся и для молекулы,
переводящей чщщ плоскость уг с отрицательной стороны на по-
ложительную. В самом дйие, ле(гко видеть, что все приведенные
выше! рассужде;ния можно применить и к этому случаю, если
противоположное нашравлшие! х принять в качшгве положительного»

116 Р. КЛАУЗИУС
dv
вследствие чж> излиеаится лишь знак -^. Этим путем для дая-
йой молйкулы получается эвыражюйие:
Бели последнее вьгражшие вычесть из предыдущего, то для
разности, которую мы обозначим чере/з Я, получается следующее
н=±-мт*/*ЕШ*.. (з)
Эта величина цредстаавлшг собою обмш количества движения,
происходящего в течений единицы времени 4epej3 единицу площаДи
на плоскости уг по направлению у\ она показывает, насколько
больше количество движения, которое масса газаг находящаяся на
положительной стороне, передает на другую сторону, че{м то
количество движения, которое она получает оттуда обратно.
Это количество движения является в то же время мерой той
силы, с которой масса газа, расположенная на одной стороне
плоскости yz, воздействуем по направлению у на массу газа,
находящуюся на другой сторону; эту силу мы назовем внутренним
трением. Так как это трение! пропорционально дифе(ревдиальному
коэфициенту скорости -^, то мы можем составить уравнение
здесь у\ представляет собою величину, которую называют коэфи-
циентом трения. Если заданное! таким образом значение Н
подставить в предшекггаующйе уравнение, то для определения г\ мы
получаем следующее уравнение:
оо
т|== — Mm J у—. (б)
а
Мы можем придать этому выражению у\ еще иной вид.
Между функциями F(u) и f(u), выражающими законы скорости
для испускаемых молекул и для одновременно происходящих
движений, имеет силу следующее уравнение (см. на стр. 10¾
прим. немецк. изд.):
МF (и) du == NPf (и) du.
С помощью последнего можно предыдущее уравнение
преобразовать в такой вид:
оо
ri^^Nmf^mdu. (в)

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 117
Подставим здесь еще для Р его значение Ш&г»
приведенное в (1), в результате чего это уравнение перейдет в
оо
О
§ 7. Анализ приведенного выше уравнения
Из того обстоятельства, что в это вырвяоеЁйе) не! входит
величина N, вытескаер интересный вывод, к которому пришел уже
Максвелл в свош первом теоретическом исследовании над нну-
трейним трейиш, а шшнно, что величина внутреннего трения не
зависит от плотности газа. Последнее можно объяснить теу об*
стоятельогшм, что у разраженных газов средняя длина пути
молекул становится больше», благодаря чшу взаимное! действие! газо-_
вых масс, расположшных ло обеим сторонам воображаемой
плоскости, усиливается, и это усилеаие! компенсирует то ум^ьпшние
взаимодействия, которое вызывается уменьшение колигайствер-
ного состава мол!е!кул. Слелует, однако, отмюггить, что этот закон
дрим<е)н)им не( до любой стеюеош разрежения газа; © противном
случае моакно было бра притти к недешму выводу, будто в
пустоте тршие* име№ ту же самую величину, что и в пространстве,
занятом газом. Что подобное дошко идущей примдаению это^о
Закона недопустимо, (жду№ из того, что в изложенных выпйе!
выводах, из которых был получай настоящий закон, бывд сделано
допущение, что средняя длина пути молекул настолько мала, что
высшими стеюенями ее можно пренебречь по сравншию с первой
сиетенью. Но когда при разреокёнии газа средняя длина пути
возрастав» то в конце! концов можно дойти до таких efe значений,
при которых отбрасывание высших стеспеией становится уже
недопустимым и, следовательно, по отношению к подобной степени
разрежШЕя выведенные» здесь формулы: уже не могут быть
применены;.
Выражению для ч\ можно придать «еще иной вид, ;в который
вместо величины ^-, обусловливаемой структурой молекулы, вхо*-
дит иная величина, зависящая от природы газа, а именно рас-
смотре(нная в предыдущей глав^ средняя длина пути молекул. Для
этой цеош шшножим л разделим приведенное выпщ емражение» на
■N1^1), так что получится:
и
_ со
'4Л-;/!'мл <9>
Nno* -L о
и
Здесь Nm представляет собою массу газа, заключающегося в
единице объема, т. е. плотность газа, которую мы обозначим
*) Ср* уравнение (20) второй главы.

lie
P. КЛАУ8ИУС
через 8, a JViw2^- является величиной обратной величине
средней длины пути, которую мы раньше обозначили через I;
таким образом получается:
4-i-»4 f^f(u)du. (9)
* U J га
Это выражение напоминает о формуле для % выведенной
Максвеллом. А именно, уравнение Максвелла (Phil. Mag. [4],
19, p. 31, 1860) имеет следующий вид:
*) = у Ы.
Расхождение этого уравнения с приведенным выше
объясняется следующим образом. Интеграл
^f(u)du
О
и2
представляет собою средне® значение дроби — , т. а такую ВВЛИ-
чину, окоторую согласно нашему способу обовначшия следует
изобразить сл!е1дующим образам: №\. Но Максввйл допустил здеюь
недосмотр, заключающийся в том, что при ооставлшии этой дроби
он: m рассматривал и я ги как величины переменные, с тем, чяобы
шлш в ккше!чно(м счете ©зять лишь средней значение этой дробЬ,
а с самки*) начала 'апедзировал только со средним значением мигв
и из последних образовал дробь ^-.
Если в уравнение (9) вместо интеграла подставить эту дробь,
шщучавдся:
1ь.7г(й)2 i&,-
о и Г 6
т. <& уравнение Мадссвшла.
§ 8. Определение интеграла, входящего в выражение %
НА основе максвелловского закона скоростей
Что касаепхзя истинного значения приведенного выше) интеграла,
то последнее! шйствейно мозкет быть опредеииерэоо только тогда4,
когда изавйстна функция /О), выражающая закон скоростей
молекулярных движфий.
Для того чтобы получить представление! о выводах, какие
получаются путам подобных исчислший, мы примем установлеиный

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГЛ80В Ш
Максвеллам закон скоростей, согласно которому, как это было
сделано в уравнении (10) первой главы, аледует положить
f(u)=-*u'e "\ (10)
а3 у тс
Соответствующее этому закону значение га может быть
получено с помощью упомянутой и первой главе формулы, которая
была выведена <фце! Максвеллом. В качестве/ уравнения (17) мы
там дадучшш:
и
У* ' и УЧ g/ v '
Если в интересующий нас интеграл, входящий в выражение ч,
мы вместо f(u) и г (и) подставим выражения, приведенные в (10)
и (11), *о получается:
оо а*
/■£'»*- i f—, *"'*j,—• <12>
t/ а2 Г -**а
о awe +(2w3 + a2)J e <fe
о
Бели ввести сюда еще величину ш, имеющую значение
и_
a
то это уравнение переходит в
6 0 ,.л—а>*
(13)
we-«>a + (2а)^ +1) J* e~*dz
Для исчисления интеграла, входящего в это выражение, а
также для исчисления других связанных с ним интегралов
Тэт*) свою упомянутую выше статью снабдил очень ценными
числовыми таблицами, из которых явствует, что приведенный
выше интеграл имеет значение, равное 0,2095, откуда следует:
оо
(— f(P) du = 0,838a. (14)
J ru
Входящая эдесь величина а определяет скорость
молекулярных движений и может быть заменена различными средними
значениями, зависящими от скорости п.
*) Тэт, названное место, стр. 95.

120 Р. КЛАУЗИУС
Для этой цели мы сначала изберем среднее арифметическое
всех одновременно существующих значений и, т. е. величину,
которую мы выше обозначили через и. Согласно Максвеллу,
аналогично тому, как в уравнении (12) первой главы, имеем:
- 2а
и = ——,
следовательно, __
a = -l^-w==0,8862tt.
2
Это значение, будучи подставлено в приведенное выше
уравнение, дает:
сю
/"■£- /Ч«0 du = 0,7427м.
Что тсасается, далее, дроби -=^-, входящей: в состав уравнения (8)#
то_максвелловский закон скоростей дает для нее значение
V 2 г\ откуда следует, что
4r f—f(u) du= 1,0604«.
Путем подстановки обоих этих значений в уравнения (8) и
(9) получается:
т
7) = 0,2476^, (15)
tj = 0,3501SZw. (16)
Но вместо ср(е{дн:ей арифметической воех одновре|М!е1нно
существующих значений ,и можно избрать и другое! значериа, которое,
будучи подставлено вместо различных значюний и, правильно
выражав какое-либо особо важное действие) газа. Подобным
действием являшчэя производимое газом давлшизе, а это шосладнад
выражаемся да с помощью средней арифметичюкжой окюросшй, а с ш>-
мющью средней арифмеггичеюкой квадратов акоростей.
Следовательно, когда различные! скорости яшают заменить единой вшш-
чиной, дающей то же самое давле|ние, следует дога этого избрать
величину гиш.
Но по ДОаксвешлу согласно уравнению (12) первой главы
и следовательно:
«^-fa2,
а-У±.Г*.
*) Сравн. стр. 92. Немецк. ыэдат.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 121
С помощью этого выражения из (14) получается:
оо
120 /"•?- f(u) du = 0,6842 Vufi,
о
оо
-L- [— f(u) du = 0,9676 VvP.
При подстановке этих аначений приведенные выше уравне-
ния (8) и (9), служащие для определения т), переходят в
Ч- 0,2281^/^, (17)
7) = 0,3225^1^. (18)
§ 9. Дальнейшие преобразования полученного выражения
В главе 1 было выведено следующее уравнение, приведенное
под (3) на стр. 66: _
ПГМ&
в котором v обозначает объем, занимаемый любой массой газа,
а п—число его молекул; отсюда, если N попрежнему обозначает
число молекул, в единице объема, следует:
1» = -з-,
откуда
Nm .5
G помощью этих выражений уравнения (17) и (18) переходят в
следующие: _
,-0,806^/f f (19)
7) = 0,659/ Vpb. (20)
В том случае, когда рассматриваемый газ настолько близок
к состоянию совершенного газа, что к нему применимы закдны
Мариотта и Гей-Люссака, можно положить
где р0 и Г0 обозначают произвольно избранное давление и
произвольно избранную температуру, a N0 обозначает число
молекул, срдержащихся в единице объема под этим давлением иг
при этой температуре. Если рассматриваемый газ может при
температуре замерзания воды находиться под давлением одной
атмосферы, можно под р0 и Т0 понимать именно это давление

122 Р. КЛАУЗИУС
ж эту температуру. Применив уравнение (21), приводим (19) к
следующему виду: _
vo
Это уравнение можно написать и так:
4 = 0,395 VT^-i^-j/f.
и
Если здесь N0m заменить через 80 и N0™2 V 2 через -~, где
30 обозначает плотность газа, а е —среднюю длину пути
молекул газа при давлении jp0 и при температуре Тв, то получается:
т) = 0,5688 У^Л Y^r: (23)
Введем здесь еще вместо плотности Ь0 произведение up, где
$о пусть обозначает плотность атмосферного воздуха под
давлением р0 и при температуре Т0, а р—удельный вес газа по
сравнению с атмосферным воздухом. Тогда мы имеем:
Ч = 0,55888 }/W0 V~9 Y~% • (24>
Численное значение входящего в это выражение корня
VpJo
можно легко определить. Здесь р0—давление одной атмосферы,
а так как последнее равно весу 1033,3 г на квадратный
сантиметр, то мы получаем1):
р0 = 1033,3 • g = 1033,3 • 980,9.
Далее, по Реньо
8о = 0,0012932,
*) Здесь автор пользуется абсолютной системой мер CGS, а в расчетах на
<5тр. 70 он принимал в качестве единицы длины метр и в качестве единицы
силы килограмм. Выведенные там уравнения, переведенные на абсолютную
меру, принимают следующий вид:
^TtMq, w' = -g-773,3 Т,
р0 = 1033,3-980,896,
^ = 3.980,896-1033,3.773,3^^-- = 235130-10^^-,
ulo р л#о р
и = 48500|/ —=-- см в сек. Немецк. издам.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
123
откуда получается:
Ур^= V"l038,3-980,9-0,0012932 = 36,204.
Подставив это выражение, имеем1):
Yi = 20,23eV7|/^. (25)
ГЛАВА If
О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ГАЗООБРАЗНЫХ ТЕЛ
§ 1. МОТИВЫ, ПОБУДИВШИЕ ПРЕДПРИНЯТЬ ЭТО ИССЛЕДОВАНИЕ
•В одной из своих работ я пришел! к выводу, более подробно
изложенному в предшествующей главе*),.что отдельные
прямолинейные участки пути, проходимые молекулой, следует признать
лишь очень небольшими по своему протяжению. После этого бьшги
устранены те возражения против кинетической теорий: газов,
которые опирались на фактически медленно протжающий процесс
диффузии газов; но, с другой стороны, против этой теорий вскоре
было выдвинуто другое возражение, имевщее своей исходной
точкой незначительную теплопроводность газов.
Говорили: хотя молекулы сами по себе пробегают только
небольшие пути, тем' не менее существующая где-либо в газе повы^
шейная скорость движения, — благодаря тому, что при каждом
столкновении она передается от одной молекулы к другой,—
должна была бы настолько быстро распространяться, что местные
разности температур в массе газа должны были бы стать
невозможными. В качестве аналогии указывали на известное явление,
что в раду одинаковых упругих шаров движение, сообщаемое
первому шару, может путем передачи от шара к шару очень быстро
распространяться, между тем как каждый шар в отдельности
пробегает при этом лишь очень малый путь.
Я не мог признать правильности этой параллели и
основанного на ней заключения о быстром распространении теплоты в
газообразных телах, так как при беспорядочности движений
молекул! газа должны выступить совершенно иные явления, чем те,
Ч Этим основным уравнением заканчивается набросок главы,
посвященный трению газов. Нет сомнения, что автор, если бы обстоятельства ему
позволили, исследовал бы это уравнение в различных
направлениях—подобно тому, как он это сделал в следующей главе с формулой для
теплопроводности. Прежде всего он определил бы зависимость трения от
температуры и от удельного веса гэза, далее он указал бы, что это уравнение
представляет собою ближайшее средство для определения величины длины
пути е. Так как согласно этому уравнению е еще значительно меньше, чем
коэфициент трения у\ при средних температурах, то отсюда следует, что е,
выраженное в сантиметрах, представляет собою очень малую величину,—
результат, которым автор неоднократно пользовался в предыдущем
изложении, а также и в последующем, причем он ссылался на настоящее место, как
требующее еще его проработки. Немец/с. издат.
а) Ср. примечание немецких издателей в конце третьей главы.

124
Р. КЛАУЗИУС
какие имеют место в ряду шаров, расположенных по прямой
линии и передающих друг другу движения, происходящие только
по направлению этой линии.
Иным путем была исследована теплопроводность газов
Максвеллом в упомянутой уже раньше на стр. 69 работе, в которой
он вывел закон скоростей молекул; но она была здесь
рассмотрена лшпь вкратце наряду с другими вопросами, относящимися
к; динамической теории газов; кроме того,, мне показалось
необходимым "Выступить с некоторыми существенными возражениями
против примененного Максвеллом метода исследования *)•
При этих условиях мне представилось целесообразным
подвергнуть более внимательной математической разработке
теплопроводность газов на основе той гипотезы о молекулярных-движениях
в газообразных телах, которую я отстаивал в своих
предшествующих работах; существенное содержание, получившееся в
результате этой работы, будет в дальнейшем изложено в несколько
упрощенном и, надеюсь, улучшенном виде. При этом, полагаю,
мне будет дозволено обратить внимание на то обстоятельство, что
те же самые принципы, которые будут предметом нашего
суждения в настоящем исследовании, могут с известными
видоизменениями получить применение во многих других случаях, когда
речь будет итти об изучении внутренних процессов в газовой
массе, и что в этом отношении изложенное ниже исследование
может претендовать на более широкое значение, выходящее за
пределы поставленной- здесь задачи.
I. Поведение молекул, испускаемых в рассматриваемом
СЛУЧАЕ БЕСКОНЕЧНО ТОНКИМ СЛОЕМ
§ 2. Установление случая, подлежащего исследованию
Представим себе некоторое количество газа между дву1мя!
бесконечно) большими взаимно параллельными плоскими стенками,
из которых каждая поддерживается при постоянной температуре.
Если температура одной стенки выше другой, то при посредствб
газа происходит передача теплоты от одной стенки: к другой;
теплота постоянно переходит от более теплой стенки к газу, затем
в последнем она распространяется от слоя к слою и, наконец, из
газа снова переходит на более холодную стенку. Так; как мы
желаем здесь рассмотреть только то движение теплоты, которое
происходит путем теплопроводности, а не то, которое может бьиъ
вызвано течениями, возникающими вследствие того, что более
теплые части газа по своему удельному весу легче более холод-
ч
г) В более поздней своей статье (Phil. Trans, for 1867, part I и Phil. Mag.
Ser. 4, Vol. 35, p. 132, 1868) Максвелл определенно согласился с
правильностью моих возражений против хода его рассуждений, причем он взя* назад
свое исследование о диффузии газов. Он буквально говорит следующее: „Я дал
также теорию диффузии газов, которая, как теперь мне известно, является
ошибочной; кроме того, там было несколько ошибок в моей теории
теплопроводности газов, которые Клаузиус указал в своей детальной работе на эту тему*.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
125
ных, в силу чего первые стремятся переместиться вверх, а вторые
вниз, — мы совершенно отвлечемся от действия тяжести; эта
примерно соответствует тому случаю, когда обе ограничивающие
стенки расположены горизонтально, причем более теплая стенка
помещена наверху, так как в этом случае тоже не возникает
никаких течений.
Когда обе стенки в течение продолжительного времени
поддерживаются при постоянной температуре, то в кодце концов в газе
устанавливается стационарное состояние, при котором температура
в каждом отдельном месте остается пеизменной, но в различных
местах она различна, и именпо, в каждой плоскости, параллель-
яой ограничивающим стенкам, температура всюду одинакова,
но в направлении от более теплой стенки к более холодной
температура непрерывно убывает по определенному закону. Вместе
с тем через газ тогда проходит тепловой ток определенной
неизменяющейся силы.
Вот это-то стационарное состояние газа мы теперь и
рассмотрим и попытаемся определись происходящий при этом тепловой
ток, вызываемый теплопроводностью газа.
§ 3. Определение теплового тока, возникающего вследствие
проводимости
Проведем Между стенками прямую перпендикулярную к ним
линию ж изберем ее в качестве оси абсцисс. Товда температура
внутри газа является функцией абсциссы #. Для того чтобы
тотчас же получить более определенную ориентировку, предположим,
что первая стенка, где абсцисса'имеет наименьшее значение,
является более теплой; в таком случае температура внутри газа с
возрастанием х убывает. Плотность газа ведет себя
противоположным образом, так как при состоянии равновесия плотность должна
быть тем больше, чем ниже температура; следовательно, плотность
является такой функцией х, которая с увеличением х возрастает.
Мы допускаем, что молекулы летят беспорядочно по всем на*
правлениям, причем то там, то здесь они сталкиваются и
отскакивают друг от друга, и далее, что скорость их движения тем
больше, чем выше температура. Если мы вообразим себе плоскость,
проведенную в заполненном газом пространстве параллельно
ограничивающим стенкам, то через нее в течение единицы времени
проходит большое количество молекул с отрицательной стороны
на положительную, и обратно. Молекулы, переходящие с
отрицательной стороны на лоложительйую, обладают, вообще говоря, большей
скоростью, чем те молекулы, которые переходят с положительной
стороны на отрицательную, так как согласно нашему допущению
на отрицательной сто(роне плоскости температура выше, а
следовательно, и скорость- движения молекул больше^ чем на
положительной стороне. Таким образом вся живая сила, переходящая в
течение единицы времени через плоскость в положительном
направлении, больше всей живой силы, которая переходит в отрицательном

126
Р. КЛАУЗИУС
направлении; поэтому,допуская, что равные количества, перемещаясь
щиеся в противоположных направлениях, взаимно друг друга
компенсируют, мы получаем еще некоторый избыток живой <зилы,
переходящей в положительном направлении. Эта живая сила,
проходящая через плоскость, и образует — поскольку мыз живую
силу считаем равнозначащей с теплотой — упомянутый "в предЫг
дущем параграфе тепловой ток, который мы называем
теплопроводностью и который мы в дальнейшем должны исследовать *).
§ 4. Два вида различия между движениями молекул
Мы начнем с того, что несколько детальнее рассмотрим!
характер движения отдельный: молекул.
Представим себе, что перпендикулярно к оси бесконечно близко
друг к другу проведены две плоскости, между которыми обррг
зуется бесконечно тонкий слой. В этом слое, подобно тому, как
и во всех других частях наполненного газом пространства, может
зачастую случиться, что две молекулы столкнутся, а потом снова
отскочат друг от друга. Эти молекулы, которые, потеряв под
действием столкновения свои прежние движения, снова выступают
из слоя с измененными движениями, мы в ооответзтвии со
способом обозначения, введенным во второй главе2), будем! кратко
называть молекулами, испускаемыми слоем, и их даижщия мы теперь
сделаем цредметом нашего исследования.
Эти движения очень сильно отличаются друг от друга, причем,
однако, среди существующих различий мы должны отличать два
независимых друг от друга вида, которые вызываются двумя
независимыми друг от друга причинами и поэтому должны быть
рассмотрены отдельно друг от друга. Один вид состоит та тех
беспорядочных различий, которые всегда присущи молекулярным
движениям, называемым нами теплотой, и которые поэтому имели
бы место и в том случае, если бы газ во всех своих частях имел
одинаковую температуру и плотность. Эти различия мы будем
называть случайными. Различия второго вида возникают
вследствие того, что температура и плотность газа не всюду одинаковы;
они, следовательно, зависят от условий, поставленных для рас-
*) Согласна сказанному выше, при теплопроводности рассматривается
только та теплота, которая свойственна самим молекулам и которая
передается от одной молекулы к другой только посредством взаимного
столкновения. Сверх того, молекулы сообщают друг другу теплоту тем, что каждая
молекула излучает тепло, которое распространяется по эфиру и на своем
пути постепенно частично поглощается другими молекулами. Однако у
веществ со столь незначительным излучением и поглощением^ какими являются
газы, едва ли можно эту передачу теплоты присоединить к проводим ости*
так как при длинных путях, которые тепловые лучи могут пробегать, не
будучи поглощенными, она имеет существенно иной характер. Во всяком
случае мы позволим себе рассматривать здесь только один вид теплового
движения безотносительно к чему-либо другому, в соответствии с чем мы
всегда будем в дальнейшем применять слово „теплопроводность* именно*
в этом смысле.
*) Ср. стр. 98 и стр. 108.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
127
сматрибаемого случал. Поэтому мы можем их назвать различиями,
обусловленными частым случаем.
При объяснении теплопроводности и при выводе общих законов,
касающихся теплопроводности, случайные различия не играют роли;
они оказывают лишь побочное влияние, которое должно
приниматься во внимание преимущественно при численных расчетах.
Дело в том, что при этих расчетах необходимо знать средние
значения определенных величин, входящие в состав 'фор(мул. Так,
например, что касается скорости молекул, необходимо знать не
только среднее значение первых степеней юкоростей, но и среднее
значение их квадратов, а также среднее значение третьих
степеней скоростей. При этом следует иметь в виду, что среднее
значение квадратов не равно квадрату среднего значения
первых.степеней скоростей и среднее значение третьих степеней ^е равно
третьей степени среднего значения первых степеней, скоростей:
между этими величинами существуют различия, которые можно
определить только в том случае, когда известно^ как
распределяются эти случайные скорости. Точно так! же обстоит дело с
относительными скоростями, со средними длинами пути й с другими
величинами, входящими в состав формул.
Ввиду того, что Максвелл, как это было упомянуто в
предыдущих главах, установил закон распределения случайных скоростей,,
возникает вопрос, можно ли и каким образом применить этот
закон при настоящих расчетах.
Собственно, строгий метод расчета заключался бы в том, чтобы
наперед ввести в формулы случайные различия согласно закону
Максвелла ц затем, на основе дополненных таким образом фо$г
мул, произвести все дальнейшие математические расчеты. Однако
при этих условиях математические выкладки стали бы не тольщ>
более пространными, но они также много потеряли бы с точки
зрения обозримости; ибо случайные различия, совершенно не
находящиеся в какой-либо существенной связи с теплопровод
костью — в силу большой трудности их обработки — выступали бы
при матемадических расчетах на передний план в большей мере, чем:
различия, обусловленные частным] случаем, которые однако дая
самого процесса имеют гораздо более существенное значение.
Другой, менее строгий, метод может заключаться в том, чтобы
при первых математических выводах совершенно отвлечься от
случайных различий и приписать всем молекулам, движупсимся
в заданном направлении, одну общую скорость, а затем только
при последующих численных расчетах возможно более точно
определить средние^ значения входящих в формулы величин на.
основе максвелловского закона распределения скоростей.
Мы применим последний метод, а о средних значениях,
которые нам следует избрать, мы поговорим в конце.
Что касается, далее), различий, обусловленных частным случаем,.
то их возникновение в рассматриваемом случае основывается на.
том, что из двух молекул, сталкивающихся в слое, если они
вступили в этот слой с различных сторон, молекула, прибывающая

128
Р. КЛАУЗИУС
с более теплой стороны, в общем обладает большей скоростью, чем
молекула, прибывающая с более холодной стороны. Величина
этой разности зависит от того, насколько далеко от
рассматриваемого слоя находятся те места, откуда начали свои движения
соответствующие молекулы, а так как пу*и, проходимые молекулами
между двумя последовательными столковениями, вообще говоря,
очень малы, то и эта разность должна быть очень малой
величиной — настолько малой, что среднее значение этой разности мы
можем рассматривать как величину такого же порядка, как
средняя длина пути молекул. Нам предстоит определить, какое
влияние это различие, имеющее место до столкновений, оказывает на
движение молекул после столошовений.
§ 5, Общий характер различий, обусловленных частным случаем
Поведение двух молекул при их столкновении не во всех
отношениях тождественно с поведением двух упругих шаров; тем не
менее, если исходить из рассмотрения двух упругих шаров, можно
во многих отношениях хорошо ориентироваться в поведении мххпге-
жул1). Для этого случая имеет силу следующее положение.
После столкновения движение каждого шара состоит из двух
составляющих, из которых первое полностью определяется цр
величине и направлению движениями до столкновения, а второе тоже
имеет определенную величину,, но может иметь бесчисленное
множество различных направлений, причем любое направление в
пространстве равновероятна2).
*) Дальше в черновике автор развивает совершенно те же соображения,
жакие им были изложены в предшествующей главе на стр. 109 при
рассмотрении внутреннего трения, ввиду чего мы здесь ограничиваемся только
изложением выводов, ккЬторым автор пришел в результате своих
рассуждений, в остальном же отсылаем читателя к упомянутому месту. Немецк. ивдат,
3) Из этого вывода можно совершенно ясно увидеть, насколько сильно
отклоняются от действительности, когда при приближенном расчете
принимают во внимание лишь случай центрального удара, как это сделали Иохман
{Jochmann) и Гоппе (Норре); ведь благодаря этому вместо бесчисленного
множества различных направлений, которые могут иметь место после
столкновений, получают только одно определенное направление, которое как раз
особенно благоприятно для передачи живой силы.
Здесь, а также в выше приведенном сокращенно изложенном введении
к настоящей главе, я высказал мнение, что заключение Иохмана и Гоппе,
<5удтог. согласно новой теории газов, теплота в газе должна настолько быстро
распространяться, что местные разности температур в нем становятся
невозможными,—вызвано тем обстоятельством, что реально существующий
случай, когда молекулы движутся беспорядочно во всех направлениях,
а. потому и сталкиваются самым разнообразным способом, они заменили
простейшим случаем, когда движение происходит лишь по определенному
направлению и столкновение является прямым и центральным. В статье
Стефана „Замечания по поводу теории газов" (Sitzungsberichte der Wiener Aka-
demie, Januar, 1863 и Zeitschrift fur Math, und Phys., Bd. VII, S. 355),
опубликованной вскоре после появления моей статьи, автор вначале высказывается
в таком смысле, как будто он собирается опровергнуть приведенное выше
мнение и показать, что и при допущении упорядоченных движений (а именно.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
129
Если мы теперь рассмотрим всю ту массу молекул, которые
сталкиваются в течение единицы времени в бесконечно тонком
слое, указанном в § 4, то о движениях, которыми они обладали
до столкновений, была уже речь в § 4. А именно, среди этих
движений представлены все возможные направления, но молекулы,
прибывающие с более теплой стороны, обладают в общем
несколько большими скоростями, чем прибывающие с более
холодной стороны. Так как согласно нашему допущению температура
с возрастанием х убывает, то более теплая сторона является
отрицательной, т. ё. той стороной, где х имеет меньшие значения, чем
в слое; следовательно, молекулы, движущиеся с отрицательной
стороны на положительную, имеют в общем большие скорости, чем
молекулы, когорые движутся с положительной стороны на
отрицательную, так что если бы сложить движения есох
сталкивающихся молекул, то в итоге получилось бы некоторое небольшое
количество движения в положительном направлении.
Это общее количество движения под влиянием столкновения
не изменяется. Но в остальном происходит полное изменение
направления движений —в том смысле, что молекулы испускаются
по всем без различия направлениям. Поэтому, если до
столкновений различные направления были представлены в движении и
неодинаково, причем для определенных направлений число
движущихся молекул или их скорости были иные, чем для дру-
если рассматривать только такие молекулы, которые движутся вперед и
назад по определенному направлению и сталкиваются таким образом, что при
этом нсегда вновь возникают движения в том же направлении) можно притти
к моему выводу о незначительности величины теплопроводности газов. Однако
дальнейшее содержание его статьи значительно расходится с этим его
заявлением.
После некоторых рассуждений, которые я здесь могу обойти молчанием,
так как они устраняются его же собственными вслед затем изложенными
положениями, он переходит к тому, чтобы несколько более детально
рассмотреть, каким образом, при допущении упорядоченных движений, избыток
живой силы, который может иметься в слое какого-либо газа, должен
передаваться от слоя к слою (при этом он представляет себе эти слои
расположенными горизонтально и допускает, что верхний слой является наиболее
теплым). Это исследование он заключает следующими словами: .Поэтому
при таком допущении невозможно и образование устойчивого теплового тока
в том виде, какой известен нам из опыта, а именно с температурами,
равномерно убывающими сверху вниз". После этого он продолжает: „Однако
совершенно иначе обстоит дело, когда движения молекул происходят
беспорядочно, когда налицо имеются все возможные направления движения и, что
существенно, когда эта беспорядочность движений происходит в результате
того обстоятельства, что столкновения молекул не являются прямыми,
центральными*. С помощью этих беспорядочных движений он затем приходит
к лучшему соответствию с опытом
Таким образом Стефан в конце концов приходит к той же точке зрения,
нто и я, поэтому в содержании его статьи я могу найти только
подтверждение своих мнений, высказанных по данному вопросу.
Шрим. немец*, иэдат. к этой выноске
Из черновика неясно, следовало ли перенести сюда это примечание из
первого издания, или же нет. Возможно, что автор собирался поместить
все подобные заметки в конце своей работы в качестве дискуссионного
материала).

ISO
P. КЛАУЗИУС
гих направлений, то следует допустить, что благодаря столкнове*
ниям это настолько выравнивается, что помимо общего движения
в положительном направлении х не остается никакого различия
между направлениями, и среди новых движений все направления
представлены в равной мере.
Отсюда легко определить характер движения испускаемых
молекул. Для этой цели мы исходим из простого случая, когда во
всех направлениях испускается равпое количество молекул и
скорости последних между собою равны, причем все они .имеют общее
значение и. Представим себе затем, что каждой из этих молекул
сообщается малая, для всех молекул равная, составляющая
скорости в положительном направлении х. Вследствие этого
направления и скорости движений несколько изменяются, и мы
получаем новую систему движений, при которой в различных
направлениях движется различное количество молекул, причем в
зависимости от направлений молекулы имеют несколько отличные
скорости. Отклонения этой системы движения от той простой
системы движения, которая была избрана в качестве исходной
точки, и выражают различия, обусловленные настоящим частным
случаем.
Для того чтобы одновременно представить и случайные
различия, следует лишь применить действующий для них закон
скоростей в том смысле, как это было указано выше,
§ 6. Математические формулы для движений испускаемых
молекул
Выведем теперь формулы для измененной системы движения,
применив указанный выше метод.
В простой системе движения, из которой мы исходим, общая
скорость всех молекул равна и. Составляющая скорости в
положительном направлении х, которую нам следует прибавить, может
согласно сказанному выше быть лишь очень малой величиной,
порядка средней длины пути молекул. Так как последняя
зависит от плотности газа, то она не имеет одинакового значения во
всех точках рассматриваемой нами массы газа; поэтому в
интересах последующего изложения представляется целесообразным
вместо этой переменной величины ввести такую, которая имеет
для каждого газа определенное значение. О этой целью мы для
каждого газа в качестве нормального состояния примш определей-
ное его состояние, например то состояние, когда газ находится
под давлением одной атмосферы и во всех своих частях имеет
температуру замерзания еоды. Соответствующую этому состоянию»
среднюю длину пути мы назовем нормальной средней длиной пути
и обозначим ее через t. Тогда мы можем упомянутую выше
составляющую скорости рассматривать как величину порядка в; в
соответствии с этим мы ее обозначим через ре.
Рассмотрим теперь какую-либо молекулу, направление
движения которой составляет с осью х угол а. Так как в дальнейшем

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОЁ
181
обычно будет фигурировать только косинус того угла, который
составляет направление движения молекулы с осью #, то мы для
краткости назовем его косинусом молекулы и обозначим его
отдельной буквой, которой в данном случае будет X. Если молекуле
сообщается еще составляющая скорости рн в положительном
направлении х, то вследствие этого изменяется ее скорость и ее
косинус; обозначим измененные значения, вступающие на место и
и X, через U и у. Тогда для определения обеих эти! величин мы
имеем прежде всего уравнение
U\i — u\-\-pe. (1)
Далее, так как составляющие скоростей молекул по
направлению у и г остаются без изменения, то, обозначив косинусы с этими
направлениями до изменения через \х и Х2, а после изменения
через Hi и jv мы получим:
и^ = и\ и Up2 — u\2.
Если мы возведем в квадрат эти уравнения, а также
уравнение, приведенное выше, и затем их сложим, то в качестве второго
уравнения, служащего для определения U и у, мы получим
следующее:
U2 = U% + 21ирг -f- рЧ\ (2
Если в. это уравнение вместе- \и подставить получающееся из
первого уравнения значение Up — р, то будем иметь:
U2 = и2 + 2\^ирг —рЧ*.
Если это уравнение решить относительно U, то для последнего
получается два значения, положительное и отрицательное, из
которых, само собою понятно, следует взять положительное,
которое имеет следующий вид:
U =ррг + УП1— p2(l — p2)sa . (3)
Здеюь под знакам корня наряду с и2 находится еще лишь
один член, который по отношению к г являетзя величиной
второго порядка. А так как е представляет собою очень малую
величину, то мы можем без ущерба этим членом пренебречь, в
результате чего корень получит значение и, и тогда для определения U
мы получим уравнение:
U=u-\-p\L*. (I)
Входящие в это уравнение величины и и р могут иметь
различные значения в различных слоях и, следовательно, должны
быть рассматриваемы как функции х.
Что касается распределения молекул между различными
направлениями движения, то легко видеть, что если первоначальная
система движения1) была такова, что по всем направлениям дви-
*) А именно, система движения, к которой еще не была присоединена
малая составляющая, идущая в положительном направлении х.

132
Р. КЛАУЗЙУС
галось одинаковое количество молекул, то в измененной системе
это уже не может иметь места, а именно, по тем направлениям^
для которых н< положительно, должно двигаться большее число
молекул, чем по тем направлениям, для которых у отрицательно.
Для того чтобы получить возможность выразить это
изменение, возьмем в качестве исходной точки нашего исследовалия
упомянутую выше первоначальную систему движения и
определим число тех молекул, направления движения которых образуют
с осью х углы, лежащие между двумя бесконечно мало друг от
друга отличающимися значениями а и a + da. Для этой цели
представим себе шаровую поверхность, описанную радиусом,
равным единице; изберем в качестве полюса точку, в которой эта
поверхность пересекается прямой линией, проведенной из центра
в положительном направлении х, и опишем около этого полюса на
шаровой поверхности два круга радиусами а и a + da, между
которыми образуется бесконечно узкая зона. Тогда число тех
молекул, направления движения которых образуют с осью $ ушы,
заключающиеся между а я a + da, — в виде "доли всего числа
молекул, движущихся по -всевозможным направлениям, —
выразится тем же самым числом, которое выражает площадь только
что упомянутой шаровой зоны в виде доли всей шаровой
поверхности, т., е. с помощью
2rcsinada
ИЛИ
у sin a da.
Но так как sin a da = —dcosa =— dr, можно сказать и так:
число тэх молекул, косинусы которых лежат между X и l-\-dkt
выражается в виде доли всего числа молекул с пошщьцо
Для того чтобы аналогичным образам выразить в измененной
системе движения чисто молекул, косинусы которых лежат в
промежутке между 1* и к + dy, нам следует видоизменить приведенное
выше выражение путем присоединения к нему множителя,
зависящего от у. Если мы этот множитель обозначим через Я, то новюр
выражение будет иметь следующий вид:
Множитель Я может быть опредлен следующим образам. Так
как косинус X путем присоединения к нему составляющей
скорости ре превращается в у и соответственно X-f-dX превращается
в J* + dy, то для молекул, косинусы которых после изменения
лежат в промежутке от у до у + dp, остается в силе то же самое
число, что и для тех молекул, косинусы которых до изменения

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
133
лежали в промежутке от X до \-{-d\; поэтому мы можем
положить
откуда следует:
*-$• <*>
Но согласно уравнению (1)
и и '
таким образом мы получаем — принимая во внимание, что и, р
и s независимы от р:
Н = ±^Ш. (5)
и dp
Если здесь вместо U подставить его значение, приведенное в
(I), получается:
тт 1 d(u\x + ру.4)
JL1 = j ,
и dp '
или после выполнения диференцирования:
Н= 1+2-1-,«. (П)
С помощью этих двух уравнений (I) и (II) выражаются
различия, обусловленные частным случаем.
П. Определение массы, количества движения и живой силы
ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ плоскость
§ 7. Вероятность того, что молекула, испускаемая бесконечно
тонким СЛОЕМ в заданном направлении, остигнет и пройдет
ЧЕРЕЗ ЗАДАННУЮ ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНУЮ К ОСИ X
После того, как мы выяснили в необходимой для нас степени
поведение молекулы, испускаемой бесконечно тонким слоем, мы
обратим свое внимание на* ее движения после выхода из слоя для
того чтобы посмотреть, какое количество из всего состава этих
молекул беспрепятственно, т. е. без предварительных столкновений
с другими молекулами, достигнет и пройдет через некоторую
воображаемую плоскость, проведенную параллельно слою поблизости
от последнего.
Столкновения с другими молекулами происходят у различных
испускаемых слоем молекул неодинаково скоро после их выхода,
но вообще говоря, пути, ^проходимые молекулами до
столкновения, очень малы; поэтому мы допустим, что и расстояние шо
о&бста: от слоя является соответственно малым.

134
Р. КЛАУЗИУС
Сначала мы ограничимся рассмотрением тех испускаемых
слоем молекул, у которых конус угла, образуемого направлением
движения с осью х, лежит в промежутке от у до р + dy.
Пусть абсцисса избранной для рассмотрения плоскости равна аг.
Абсциссы точек, лежащих вне этой плоскости, мы обозначим на
положительной стороне через х + £. а на отрицательной — через
х — £, гд^< i всегда представляет собою положительную величину.
Положение слоя, испускающего молекулы, мы определим тем, что
обозначим значения Е, соответствующие его пограничным
плоскостям, через V и S'-4-tf£'. При этом следует еще указать, будет
ли слой лежать на положительной или на отрицательной стороне
от рассматриваемого сдоя; по данному вопросу мы сначала
сделаем допущение, что он лежит на
отрицательной стороне.
Когда из такого слоя выходит молекула,
направление движения которой составляет с
осью абсцисс угол меньший 90°, так-что
косинус угла, обозначенный через у, имеет
фиг 1# положительное значение, то она, быть
может, дойдет до рассматриваемой плоскости,
и длина пути, который она при этом пройдет, выразится
с помощью дроби -. Но вероятность того, что молекула
действительно дойдет до плоскости, не встретившись предварительно с
другой молекулой, тем меньше, чем длиннее участок пути -.
Если бы газ всюду имел одинаковую плотность и
температуру, так что средняя длина пути молекул для всех частей газа
и для всех направлений движения имела бы общую величину J,
то вероятность того, что молекула беспрепятственно пройдет
участок пути - и, следовательно, достигнет плоскости, была бы
представлена согласно уравнению (29) второй главы с помощью
выражения
Но в настоящем случае мы не имеем права рассматривать
среднюю длину пути как постоянную величину, мы должны принять
во внимание по отношению к ней двойную зависимость. Во-первых,
движение молекулы газа не является одинаковым по всем
направлениям, но по определенным направлениям молекулы движутся
в большем количестве и с большими скоростями, чем по другим
направлениям. В соответствии с этим и средняя длина пути
зависит от направления движения, а именно — от угла, образуемого
направлением движения, с осью х, косинус которого мы
обозначили через у. Во-вторых, в нашем случае газ имеет в различных
местах различную плотность, причем эта плотность является
функцией абсциссы. В соответствии с этим и средняя длина путц
должна зависеть о? абсциссы.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
185
На ближайшее время, пока мы допускаем, что направление
движения рассматриваемой молекулы наперед задано, нам
приходится считаться лишь с только что упомяпутой зависимостью
от абсциссы. Для того чтобы сделать это различие заметным
внешне, мы среднюю длину пути, соответствующую абсциссе #, — т. е.
среднюю длину пути, с помощью которой определяется плотность
газа возле абсциссы х,— обозначим через I, а среднюю длину
пути, соответствующую абсциссе х—S, мы обозначим через Z«.
Рассматривая молекулу, испускаемую бесконечно тонким слоем,
мы должны прежде всего обратить внимание на бесконечно малый
отрезок пройденного ею пути. Допустим, что молекула уже прошла
некоторый участок s, в результате чего от абсциооы х—V она
дошла до абсциссы х — з; спрашивается, сколь велика
вероятность того, что она пройдет и следующий затем участок ds, не
будучи задержана какой-либо другой молекулой. По основаниям,
изложенным в § 8 второй главы, эта вероятность может быть
выражена с помощью формулы
ds
Однако для того чтобы отсюда получить расширенную формулу,
выражающую вероятность того, что молекула беспрепятственно
пройдет весь участок от слоя до рассматриваемой плоскости,
недостаточно будет просто заменить элемент пути ds всем отрезком
пути, который молекула должна пройти до плоскости и который
равен —, но диференциальное выражение — следует проиитегри-
ровать от $ = О до s=a—. Для этого интеграла мы введем
единый знак и HanmneiM:
L= >*L; (6)
8 h
тогда искомую вероятность мы сможем выразить с помощью
формулы
Если в уравнение (6) вместо ds подставить его
значение -у то оно переходит в
L—/й*
J *h
которое мы можем написать и так
L
о
-/*■

136
Р. КЛАУЗ ИУС
Для того чтобы получить возможность произвести
интегрирование, разложим величину 1^ относящуюся к абсциссе х— Е, в
ряд, исходя и» значения I, соответствующего абсциссе х, а именно:
7—7 dl l _L_ 1 &l t-9
1^ = 1 — тг~^ + E2—и т. д.
d« ' 2 dx^ n x A
Что касается величины $, то хотя последняя, взятая сама по себе,
и не ограничена только малыми значениями, но в нашем расчете,
относящемся к таким расстояниям, с которых молекулы могут
дойти до плоскости, речь идет только о малых значениях 6 одного
порядка со средним путем Z, так как вероятность существования
более крупных величин исчезающе мала. Поэтому, в соответствии
с допущенной раньше степенью точности, мы можем ограничиться
тем, что зтримем в расчет два члена указанного, выше ряда
и напишем:
».-'-£t
В силу этого мы можем также написать:
1 dl
откуда, далее, следует:
1 _ 1 . 1 dl >
и ~ l + Р dx К}
о
и после выполнения интегрирования:
Это значение L следует подставить в формулу вероятности
тся:
Z-( ) ( е \ г dl *'*\
е L, тогда получается:
или иначе:
p./ 2^/2 \dx *
е • е
Если мы еще разложим в ряд степень е, образующую второй
множитель, и опять-таки примем в расчет только два члена этого
ряда, мы получим, наконец, следующий вывод: Вероятность того,
что молекула, испускаемая бесконечно тонким слоем под углом,
косинус которого равен ц, достигнет рассматриваемой плоскости,
не встретившись с другой молекулой, выражается формулой
(л l_J!LviYe **

кинетическая теория газов
137
§ 8. Определение массы, положительного количества движения
и живой силы, проходящих через рассматриваемую поверхность
После того как была определена вероятность для отдельной
молекулы, испускаемой бесконечно тонким слоем в
направлении р, что она достигнет рассматриваемой поверхности, мы можем
тотчас же указать, сколь многие из молекул, испускаемых слоем
под углами, косинусы которых лежат в промежутке от р до
Iх;+' dp, достигают поверхности.
Для этого нам следует сначала обозначить число тех молекул,
которые испускаются частью бесконечно тонкого слоя,
соответствующей единице площади. Объем части слоя толщины d'V,
соответствующей единице площади, выражается через d'£'.
Количество молекул, испускаемых е течение единицы времени
подобным объемом, мы обозначим — для случая, когда этот объем
находится в месте, абсцисса которого равна х, — через М dV. Но так как
объем находится в месте, абсцисса которого равна х — £', мы
должны вместо М ввести измененное значение М — -р- V, так что
выражение для испускаемого числа молзкул принимает
следующий вид:
(*-£)*•
Из этого числа молекул нам при нашем исчислении следует
принять во внимание лишь ту часть, у которой косинус лежит в
бесконечно малом интервале от у до у + dp. Эта часть, в виде
доли всего количества молекул, выражается через 4- Hdp, где Н —
и
величина, которая определяется с помощью уравнения (II), а
именно:
Я = 1-4-2-^3.
1 и г
В этом выражении множитель ~ , входящий во второй член,
следует рассматривать как функцию абсциссы, поэтому собственно
и у него нам следовало бы принимать во внимание различие
между абсциссами х и х— V. Но так как множитель этот
помножается на очень малую величину е. то изменение, которое
следовало бы ввести в связи с различием абсцисс, составило бы малую
величину более высокого порядка, которой можно пренебречь.
В силу этого мы можем применять величину Я, не подвергая ее
каким-либо изменениям.
Этим путем мы получаем для числа тех молекул, которые
испускаются участком бесконечно тонкого слоя, соответствующим
единице площади, — и притом таким образом, что их косинусы
лежат между р ж р + dp, - - следующее выражение:

138
Р. КЛАУЗИУС
Далее, для того, чтобы определить, сколь многие из этих
молекул доходят до плоскости с абсциссой х9 нам следует это
выражение еще помножить на выражение вероятности, приведенное в
конце предыдущего параграфа; тогда мы получаем:
или после раскрытия скобок:
Если мы помножим это выражение на массу т однбй
молекулы, то оно представит массу, испускаемую рассматриваемым
слоем в течепие единицы времени через плоскость в
рассматриваемых направлениях. Обозначим через Е ту массу, которая в целом
проходит через нашу плоскость в единицу времени с
отрицательной стороны на положительную; тогда масса, которая
испускается через плоскость определенным слоем толщины dV fc
направлениях, соответствующих диференциалу косинуса ф,
выразится формулой
и тогда мы получим уравнение
Wr^TmH[M-^~W^ )е • (9)
К этому уравнению мы можем тотчас же присо'Эдикить два
других. Когда молекула с массой т проходит со скоростью U через
плоскость по направлению, образующему с осью х угол, косинус
которого равен у, то положительное количество движения этой
молекулы, взятое по направлению х, которое при этом тоже проходит
через плоскость, — равно mUp. Далее, живая сила
поступательного движения молекулы равна ™ U2. Однако это не вся живая
сила молекулы, так как помимо поступательного движения всей
молекулы существуют еще и движения составных частей
молекулы по отношению друг к другу. Однако в силу того, что было
сказано в первой главе, следует считать, что живая сила
поступательного движения составляет некоторую определенную часть
всей живой силы молекулы. Сообразно с этим можно последнюю
обозначить через к у U2, где к множитель (> 1), имеющий для
каждого рода газа некоторое определенное значение.
Если мы теперь обозначим Есе положигельное количество
движения и всю живую силу, — которые вместе с молекулами
проходят в течение единицы времени через плоскость с отрицательной
стороны на положительную, — через F и G, то мы можем тотчас
зде внвесщ из приведенного выше выражения диференщщииьци©

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
139
коэфициенты этих величин, соответствующие диференциалам dV
и dp; для этого нам следует, только заменить величину т, с одной
стороны, выражением т[/>, а с другой стороны — выражением
к у t/2, причем надлежит иметь в виду, что U следует
рассматривать при исчислении как функции абсциссой и косинуса j*1).
Указанным путем мы получаем:
di'dp
§ 9. Дальнейшая обработка выведенных уравнений
Для того чтобы из приведенных выше уравнений, которые
относятся только к молекулам, испускаемым определенным
бесконечно тонким слоем и притом в определенных направлениях,
вывести те уравнения, которые определяют всю проходящую через
плоскость массу, положительное количество движения и живую
силу, следует их проинтегрировать по V и \».
Первое интегрирование следует произвести от V ===== О до такого
— L/
значения S', для которого множитель е * становится уже столь
малым, что величину диференциального выражения можно
признать исчезающе малой. Вследствие незначительности величины Z,
стоящей в знаменателе, это осуществляется уже при очень малых
значениях V. Тем не менее мы можем сказать, что проводим
интегрирование по 5 от V = 0 до £' = оо, так как все большие
значения V нисколько не изменяют значения интеграла. Указанным
путем мы получаем из уравнения (9):
Это уравнение можно написать и в таком виде:
ЬЕ 1 тт 1 141 d(Ml)\ /10Ч
- = ^тЩ1[М-у.-ж-). (12)
Точно так же из уравнений (10) и (11) получается:
т
г) То-есть вместо т следует подставить не просто wZ7{x и —- U2k, но т
( ^— -5— £') н- и, соответственно, —- [ Z72 — —— £' J fc, отбросив щи величины
$ojjee вдоозого порядда.

140
Р. КЛАУЗИУО
f = |teW(^.-,=). (.4,
Для того чтобы теперь получить возможность произвести
интегрирование также и по р, следует вместо величин U, Н ъ I,
которые все являются функциями ja, подставить их выражения.
Для U и Н эти выражения даны в уравнениях (I) и (II), а именно:
и
Я= 1 + 2-2-1«.
Для величины / выражение ее функциональной зависимости
от у, вообще говоря, еще не определено, однако вид этой функции
в той мере, как это необходимо для данной цели, может быть
установлен с помощью общих соображений. То обстоятельство, что
средняя длина пути по различным направлениям неодинакова,
имеет свое основание исклЪчительно в том, что молекулы по
различным направлениям движутся в неодинаковом количестве и с
различными скоростями. Так как различие, возникающее в связи
с численностью и скоростью, может быть выражено тем, что к
значению, независимому от направления, прибавляется еще член с
множителем ^ , мы^можем нритти к заключению, что и различие,
возникающее в связи со средней длиной пути, может быть
выражено путем прибавления подобного же члена. Мы будем впредь
обозначать через 1^ значение средней длины пути, зависящее от
Hs а под простым I 'будем понимать среднее значение ее для всех
направлений. В таком случае мы можем положить
^ = 1(1+01«), (15)
где д представляет собою независимую от у величину, которая
подобно величине I зависит только от абсциссы.
Указанные выражения для U, Н и h яам следует подставить
в уравнения (12), (13) и (14), причем все члены, имеющие по
отношению к I и е порядок выше второго-, мы можем отбросить.
Этим путем мы получаем:
»_i»{ie»>+[№(«$ + »)—««Hi].*}. ) (1в)
Эти выражения мы еще упростим, подставив вместо величины
I и произведения Ml их значения.
Величина I — это средняя длина пути для того случая, если бы
газ всюду имея плотность, какая имеется у абсциссы #. Эту

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГА80В 141
Среднюю длину пути легко свести к нормальной средней длине
пути е. В самом деле, согласно уравнению (26) второй главы
, 1 и
Nno* г
Если мы это выражение применим к нормальному состоянию
газа, при котором предполагается температура 0° и давление
одной атмосферы, и если мы обозначим через N0 число молекул,
заключающихся при этом состоянии в единице объема, мы
получим: _
е
NqIZG* г
Так как мы можем допустить, что дробь -¥- не зависит от
температуры и давления, мы из последних двух уравнений
получаем:
1 = $: (17)
Что касается, далее, величины М, то согласно уравнению (36)
второй главы *) имеет силу равенство
M=Nj, '
откуда следует:
Ml = Nu. (18)
Если это значение ввести вместо произведения Ml,
многократно представленного в уравнениях (16), и если вместо h
которое после этого входит только в состав одного члена в каждом:
из этих уравнений, подставить выражение, приведенное в (17), то
эти уравнения примут следующий вид:
дЕ 1 Л7Г I /о i N0d(Nu)\ о 1 }
dp
(19)
И, наконец,- для того чтобы получить самые величины Е, F
и Q, эти уравнения следует еще проинтегрировать по ^ в
пределах от —1 до -|-1, в результате чего получается:
Е^Щгр+ди)-^]., )
F=YmNu2>
а-±Ьт[я*{4р+ди)-%У%р\ъ
(20)
1) Вместо и здесь берется и* Немецк* издат.

142
Р. КЛАУЗИУС
Три выражения, приведенные здесь для величин Е, F и G,
имеют по отношению к малой величине е различный порядок:
второе из них является величиной нулевого порядка, а первое и
последнее — первого порядка. Объясняется это тем, что
отношение количества движения к знаку иное, чем отношение массы
и живой силы. В самом деле, количество движения молекулы,
проходящей через плоскость в отрицательном направлении,
само по себе отрицательно, а так как вследствие
перемещения в отрицательном направлении оно еще должно быть снабжено
отрицательным знаком, то благодаря этому оно снова становится
положительным; таким образом в данном случае положительные и
отрицательные переходы суммируются, между тем как в двух
других случаях они вычитаются одно из другого.
§ 10. Условия, КОТОРЫМ ДОЛЖНЫ УДОВЛЕТВОРЯТЬ ВЕЛИЧИНЫ Е, F и
6г, И ВЫТЕКАЮЩЕЕ ОТСЮДА ДАЛЬНЕЙШЕЕ УПРОЩЕНИЕ ИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Из допущения, что газ находится в стационарном состоянии,
можно тотчас же вывести следующие закономерности, касающиеся
величин 2?, F и G.
1) Масса газа, проходящая через плюскость,
должна быть равна нулю. В самом деле, так как вся
наличная масса газа заключена между двумя стенками, то в случае
если бы газ проходил через промежуточную плоскость в одном
направлении, плотность его на одной стороне должна была бы
увеличиваться, а на другой уменьшаться, что противоречит ■
предпосылке.
2) Положительное количество движения,
проходящее в течение единицы времени через нашу
плоскость, должно быть независимо от
положения плоскости, т. е. должно быть постоянно по.
отношению к х. В самом деле, представим себе слой,
ограниченный какими-либо двумя параллельными плоскостями; тогда
количество движения, поступающее в этот алой через одну
плоскость, должно быть равно тому количеству движения, которое
уходит через другую плоскость: в противном случае количество
движения, имеющееся в слое, должпо было бы изменяться, что
противоречит условию стационарного состояния.
3) Живая сила, проходящая в течение единицы
времени через плоскость, должна быть по
отношен ию к х постоянной — по тем же основаниям, которые
выше были приведены для положительного количества движения.
Таким образом можно составить три следующих уравнения,
выражающих указанные выше условия:
Я = 0,
F= const., \ (21)
Q = const.,

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
143
которые мы теперь и применим к выражениям, полученным для
Е, F и G.
Второе из этих уравнений, а именно F=* const, имеет очень
простой физический смысл. В самом деле, формула -у mNu2,
которая по уравнению (20) дает величину F, выражает согласно
уравнению (1) § 13 первой главы давление газа; это
уравнение говорит, таким образом, что давление внутри
рассматриваемой здесь мадэсы газа всюду одинаково, к чему можно было бы
притти и без математических выводов, путем простых заключений.
Вытекающее отсюда уравнение
Nu2 = const.
может быть теперь использовано для того, чтобы придать первому
и последнему из уравнений (20) несколько [измененный вид. А
именно, легко видеть, чтс вместо обоих произведений Nu та. Nu*,
диференциальные коэфициенты которых по х входят в состав
первого и последнего уравнения, можно написать:
Nu2-- и Nu2-u.
и
Если эти выражения продиференцировать по х, рассматривая
при этом Nu2 как величину постоянную, получается:
dx ~ 1Уи v?dx~ iV dx>
d(Nu*)_N du
dx ~iyu dx'
благодаря чему первое и последнее из уравнений (20)
принимают следующий вид:
E = *±mN[2p + gu + %»]*
(22)
Далее, если применить к ним первое из приведенных выше
уравнений, выражающих особые условия, а именно JS = 0,
получается:
2p+^+§g = 0. (23)
Это уравнение можно использовать для того, чтобы исключить
неизвестную величину д из второго уравнения (22), в
результате чего получается:
(? = ifcm^(p-fg)e. (24)
Наконец, мы можем применить еще и последнее из приведен-
ных выше условий, а именно, что G должно быть постоянной
величиной. Так как мы уже знаем, что Nu*— постоянная вели-

144
Р. КЛАУ8ЙУС
чина, то и» последнего условия вытекает, что величина, стоящая
в скобках в уравпении (24), тоже должна быть постоянной. Таким
образом мы можем написать:
*-Nd£=* (Ш)
пользуясь этим выражением, мы можем дать уравнению,
служащему для определения искомой величины G, следующий крайне
простой вид:
G = ^TrniNu*q*9 (IV)
где q представляет собою некоторую постоянную величину.
III Обратное рассуждение для определения р с помощью q
§11. Состояние движения молекул, одновременно находящихся
в слое
Полученное в конце предыдущего параграфа выражение для G
содержит вновь введенную величину q9 о которой по ходу наших
выводов нам известно, что она должна быть постоянной, т. е.
независимой от х, но значения которой мы еще не знаем. Для того
чтобы определить это значение, мы прибегнем к рассуждению,
которое в известном смысле противоположно прежщш. А именно,
там мы рассматривали р как заданную величину и с ее помощью
получили выводы, которые побудили нас ввести величину q,
теперь же, наоборот, мы примем q в качестве заданной величины и
с ее помощью попытаемся определить р. С этой целью мы вернемся
к уравнениям (19), которые в связи с указанными в предыдущих
параграфах условиями, имеющими силу для величин Е, F и G,
точно так же принимают более простой вид.
Благодаря условию, что F, а следовательно и произведение Nu2
должно быть постоянно, эти уравнения принимают следующий
вид: I
g = \ mNu [щ* + (Зр + ди) ? е],
% = ±ша* [щ+ (4p+«r»-f £) Н •
Благодаря другому условию 23 = 0, из которого вытекает
уравнение (23), с помощью которого может быть исключено д,
эти уравнения упрощаются и принимают следующий вид:
дЕ 1 ,т

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
145
N du
Если здесь еще Вхместо разности р — ~, которая, в силу
условия 0 = const., должна быть постоянной величиной,
подставить введенный для нее символ д, то эти три уравнения
принимают следующий весьма простой вид:
дЕ 1 ЛТ
OF 1
OF 1
_ = _ mNuv.2 (и -f- g(xe).
= у kmNu2 p (u + 2#[*e).
d\x 4
(25)
Представим себе еще, что мы помножили эти уравнения
на dp, тогда выраженные с их помощью величины
дЕ , OF , dG,
щд*9 ^ и —dp,
представят массу, положительное количество движения и
живую силу тех молекул, которые проходят в течение единицы
времени через единицу площади, проведенной у абсциссы х
перпендикулярно к оси х, по таким направлениям, которые лежат внутри
пространства, ограниченного двумя конусами, у которых косинусы
углов (при вершине) лежат между р и у + dp. Но отсюда можно
определить и поведение тех молекул, которые находятся
одновременно в воображаемом бесконечно тонком слэе, расположенном* в
том же месте и перпендикулярном к оси х.
Представим себе слой, у которого одна попраничная плоскость
имеет абсциссу, х, а другая — абсциссу х +' dx, так, что,
следовательно, толщина этого слоя равна dx. Молекула, проходящая
через этот слой в направлении, косинус которого равен у, проходит
в нем путь — и поэтому остается в слое в течение некоторого
промежутка времени, который можно определить, если этот путь
разделить на скорость молекулы.
Скорости молекул, проходящих через плоскость в
определенном направлении, — даже при нашем упрощенном исследовании,
при котором мы отвлекаемся от случайных различий, —нельзя
признать совершенно одинаковыми, так как, молекулы приходят с
различных расстояний и, следовательно, приходя? из мест, в
которых температуры несколько отличаются «друг от друга. Но так
как образующееся вследствие этого различие может быть только
величиной порядка г," то для предстоящего вывода нет
необходимости принимать во внимание это различие; мы можем
довольствоваться тем, что для каждого направления введем среднее
значение скорости. Поскольку мы отвлекаемая от членов, порядок
которых по отношению к в выше первого, мы можем допустить,
что для определенного направления среднее значение скорости
молекул, проходащих в течение единицы времени через одну из

146
Р. КЛАУЗИУС
плоскостей, равно среднему значению скорости молекул,
находящихся одновременно в слое; это среднее значение скорости, мы
обозначим через V. При заданном х эта величина V является
функцией у, точно так же, как рассмотренная раньше скорость U,
которая относилась к молекулам, испускаемым слоем.
Если применить для скорости символ У, то для времени, в те-
dx
чение которого молекула находится в слое, получается дробь —у-.
Отсюда, далее можно сделать нижеследующие выводы, для более
удобного изложения которых мы предварительно отметим, что
они относятся к молекулам, косинусы которых лежат в
промежутке от у до f* + dp, к единице площади пограничной
плоскости и к соответствующему участку бесконечно тонкого слоя.
Выводы эти таковы:
1) Так как масса, проходящая в течение единицы
времени через каждую из обеих пограничных плоскостей, выра-
жается через-^-0^, то масса, одновременно находящаяся в слое,
dx дЕ л
равна -.-^.
2) Так как положительное количество движения молекул,
проходящих в единицу времени через обе пограничных плоско-
dF ,
сти, выражается через -^- ф, то соответствующее этим
молекулам одновременно находящееся в слое положительное коли-
dx of ,
чество движения равно —у -j- dp.
Если, далее, принять во внимание, что пдложительное
количество движения заданного числа молекул равно произведению их
маосы на среднее значение составляющей их скорости по оси х,
то получается следующее уравнение:
dx дЕ -. тг dx dF,,
которое можно привести к следующему упрощенному виду:
OF
v ~ р дЕ '
dp
Если здесь вместо у и ^- подставить выражения,
указанные в (25), то для определения V получается уравнение
F=w + gix3. (V)
Далее, для того чтобы выразить, каким образом все
одновременно находящиеся в слое молекулы распределяются по
различным направлениям, обозначим число тех молекул, косинусы
которых лежат в промежутке от у* до у+ dp в виде доли всего числа

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 147
имеющихся там молекуй, через -у J dp1). Тогда мы можем
написать;
dx дЕ ,
|/ф= *У* " . (27)
dx I —= -3- du.
J pV dp r
—1
dE
если в это уравнение подставить вместо ^- и 7 их значения
из (25) и (V), то оно переходит el следующее:
d^
1 -4
1 W
+1
—1
и r
или, если мы дробь i+ —и-е еще разложим в ряд по е и при
этом отбросим члены порядка выше первого:
t — — рг\ dp
/(
U J
-1
Интеграл, стоящий в знаменателе, как легко видеть, равен 2,
в соответствии с чем мы, наконец, получаем следующее
уравнение, служащее для определения J:
^1-^ (VD
и
§ 12. Выражение числа и положительного количества
движения молекул, сталкивающихся в течение единицы
времени в слое, и испускаемых им после столкновения
После того, как с помощью уравнений (V) и (VI) было
определено состояние движения молекул, находящихся одновременно в
воображаемом бесконечно тонком слое возле абсциссы #, можно
сделать некоторые выводы и о столкновениях молекул, происхо-
*) Величины J и V полностью соответствуют величинам Н и 77,
указанным в (1) и (11), относящимся к испускаемым молекулам. Вообще
заслуживает внимания последовательно проведенный в обозначениях и формулах
дуализм между величинами, относящимися с одной стороны к молекулам,
находящимся в некотором пространстве, а с другой стороны к молекулам,
испускаемым этим пространством. Немецк. издат.

148
Р. КЛАУЗИУС
дящих в слое; между прочим, можно определить число и
положительное количество движения молекул, которые в течение единицы
времени сталкиваются в участке слоя, соответствующем единице
площади, и после столкновения испускаются слоем.;
Для того чтобы иметь возможность указать направление
движения молекулы в таком виде, чтобы это было удобно доя
дальнейшего, представим себе шаровую поверхность, описанную
радиусом, равным единице," и в ней радиус, проведенный в
направлении движения молекулы. Так как направление этого (радиуса
определяется точкой, в которой он пересекает шаровую поверхность*
мы можем сказать, что каждая точка шаровой поверхности
представляет некоторое направление движения.
Пусть на шаровой поверхности даны два каких-либо элемента
поверхности dw и dw'; изберем для исследования те молекулы,
направления движения которых пересекают точки внутри этих
элзементов.
Назовем угол, образуемый направленпями, соответствующими
обоим элементам, Через <р, а скорости, соответствующие обоим
этим направлениям, пусть будут V и V. Тогда относительная
скорость R двух молекул, движущихся по этим направлениям,
выразится с помощью следующего равенства:
R = yv*+V'* — 2VV'co3<t. (28)
Если, далее, косинусы углов, образуемых направлениями, со*
ответствутрщими обоим элементам, с направлением х, мы пощреж-
нему обозначим через у и у', то согласно (V) для V и V имеют
силу следующие уравнения:
V=u + qv*,
Если мы подставим эти значения вместо У и V и вместе с тем
введем для cos ? символ v, то приведенное выше равенство
примет следующий вид:
В = V{u + q\»)* + (U + №' s)2 — 2 (и + ate) (* + «*' •) v ;
после выполнения квадратур и умножения, если при этом
отбросить члены, порядок которых относительно в выше первого, это
равенство примет следующий вид:
fi = |/2^[l + ^(^ + /)e](l-v),
или же, если корень разложить в ряд по е:
в = ф + £(Р + »*>] ^2(1—v). (29)
Число тех молекул в слое, направления движения которых,
представленные радиусами, пересекают шаровую поверхность

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
149
внутри элемента dw и которое мы назовем п, определяется с
помощью уравнения *):
H~tfefc£j-tf«te£(l-f»); (30)
точно так же аналогичное число молекул, соответствующих
элементу dw\ которое мы назовем п', определяется с помощью
уравнения
«r = Ndx%J>-Ndx%(l-iv.'*). (30а)
После того, как определены оба количества молекул и их
взаимная относительная скорость, можно с помощью уравнений
второй главы определить и число столкновений, которое происходит
между ними в слое в течение единицы, времени.
Если мы представим себе, что в каком-либо пространстве,
которое мы пока обозначим через v, движутся две группы молекул,
число которых равно п и п\ то на основании соображений,
изложенных в § 6 второй главы, легко указать, какое количество
столкновений происходит в течение единицы времени между любой
молекулой .одной группы с кшюй-дабо молекулой второй .группы.
Число столкновений отдечНьной молекулы группы п с
молекулами группы п выражается согласно уравнению (11) второй
главы с помощью фор!мулы
М7С3 2 -
v '
а отсюда следует, что число столкновений всех молекул группы пГ
с молекулами группы п выражается с помощью формулы
П'П* тга2 —
Y
V '
где г обозначает среднюю относительную скорость молекул одной
ipynnbi по отношению_к другой группе. Для нашего случая
следует теперь заменить г величиной R, определенной в уравнении
(29), далее, п и п' — значениями, приведенными в (30) и (30а), и,
наконец, v — объемом участка нашего слоя, соответствующим
единице площади, т. е. dx\ тогда мы получаем:
или, после преобразования:
VJ N* dx At.dw dw'\ 1 — ± (ц + у/) в] VT^v .
*) Так как из общего числа N dx молекул, находящихся в слое,
определенная доля, выражаемая через — Jd\x, имеет направление движения, ко-
и
синус которого лежит в промежутке от р. до p. + dp., а из этой части опять-таки
некоторая доля в размере —^— направлена к элементу dw. Немецк. издат-

150
Р. КЛАУЗИУС
Дл1я того чтобы из этого выражения получить общее число
столкновений, происходящих в слое в течение единицы времени, его
следует еще проинтегрировать по всей шаровой поверхности как
по w, так и по w\ и затем от полученного таким образом
интеграла взять половину. Последнее является обязательным ввиду
того, что в двойном интеграле любая комбинация двух элементов
dw dw' представлена дважды. Но если вместо числа столкновений
желательно определить число сталкивающихся молекул, следует
принять в расчет не половину, а весь двойной интелр&л,. так как в
каждом столкновении принимают участие две молекулы,
количество молекул, сталкивающихся в слое, одновременно
представляет собою и число молекул, испускаемых слоем. Итак, если
через Mdx мы обозначим число молекул, испускаемых в единицу
времени участком слоя, соответствующим единице объема, мы
получим следующее уравнение:
М = У^№о*и ffdwdu/\l~±to + }t')*]VT=^i. (31)
Сумма количеств движения обеих еталккеающихся молекул,
взятых в направлении х, выражается для каждого столкновения
с помощью mVp + wVV> причем эта величина под влиянием
столкновения молекул не изменяется, так что мы можем
рассматривать ее и как сумму количеств движения молекул,
разлетающихся после столкновения. Для того чтобы получить
положительное количество движения Есех испускаемых молекул, нам
следует помножить на эту сумму приведенное выше число
столкновений, приходящееся на оба элемента dw и dw', полученное
этим цутем выражение опять-таки проинтегрировать по w и w'
по всей шаровой поверхности и от найденного таким образом
интеграла взять половину. Следовательно, если через Щ мы
обозначим положительное количество движения молекул, испускаемых
в течение единицы времени участком слоя, соответствующим
единице поверхности, мы получим следующее уравнение:'
W^^N^4mffdwdto'[l-{u^ + ^)e]x
Для дальнейшей обработки этого выражения разложим
приведенный двойной интеграл на два двойных интеграла,
соответствующих обеим частям последнего множителя, в результате чего
настоящее уравнение примет следующий вид:
W=lAN2o^mulf fdwdw'\l — ±(*+ ?.')*] • /n=~vFfi +
+ ffdwdwr[l-±fr + v.')*\- VT^V'r'}.
В обоих последних двойнык интегралах оба интегрирования
по w и w следует произвести по одной и той же поверхности, так

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
151
что взаимная замена го и w' в интеграле ничего не меняет.
Поэтому для значения двойного интеграла совершенно безразлично,
входит ли е выражение, подлежащее интегрированию, множитель
v>, относящийся к элементу dw, или же соответствующий
множитель УУ, относящийся к элементу dw'. В силу этого мы аю-
жем вместо суммы двух интегралов езятъ- дважды один двойной
интеграл, причем для этой цели мы возьмем первый и!з них. В
результате этого получается следующее уравнение:
W=^£ N2 abnu ffdw dw' Г1 — ± (|х + /) е] /П^ Vp.
Наконец, подставим еще здесь вместо Fero значение и-^д^г
из (V), вследствие чего уравнение примет следующий вид:
W=^N2o2mu2ffdwdw'[l +^(^^)4^11^. (32)
§ 13. Выполнения интегрирования в уравнЕниях (31) и (32)
Для того чтобы выполнить двухкратное интегрирование по
шаровой поверхности, указанное в уравнениях (31) и (32),
выразим элементы dw и dw' с помощью диференциалов некоторых
углов.
Для того чтобы выразить dw,
изберем ось х, проведённую
через центр нашей шаровой
поверхности в качестве оси полярной
системы координат и назовем
через Ь угол, образуемый с этой
осью радиусом, проведенным к
нашему элементу, имеющий
косинус, равный \х, и через ф —
угол, образуемый плоскостью,
проведенной через радиус и ось,
с какой-либо неподвижной
плоскостью, проведенной через ось.
Тогда мы можем положить
dw = sin & db dty. Фиг. 2.
Для того чтобы выразить dw', изберем радиус, щюведенный
к элементу dw, в качестве оси полярной системы координат и
обозначим через <р угол, образуемый радиусом, проведенным к
элементу dw', с радаусом, проведенным к эл!ементу dw, имеющий
косинус, равный v, и через / — угол, образуемый плоскостью,
проходящей через оба радиуса, с плоскостью, проведенной через
радиус, идущий к элементу dw, и через ось х. Тогда мы можем
положить:
dv/1== sin <р d<p cfy.

152 Р. КЛАУЗИУС
С помощью углов Ъ, ? и х мы можем определить и косинус
угла &', образуемого радиусом, проведенным к dw\ с осью #, т^ е.
тот косинус, который в наших формулах обозначали через у.
Действительно, <р, Ь и Ь' образуют три стороны сферического
треугольника, в котором сторона 8 противолежит углу х- Отсюда следует,
что можно положить
cos 0' = cos & cos ср -f- sin & sin cp cos x-
Если в этих трех уравнениях мы введем применявшиеся
нами до сих пор обозначения, а именно, cos & = ^, cos<p = v и
соответственно с этим sin 0 = УХ— [х2, sin &' = J/"i — р/2, то эти
уравнения примут следующий вид:
dw == — dy> dty,
dw'— —dvdx,
p/ = jjlv -f- 1^ 1— H-2 }/l—v2 COS x-
Эти значения dw, dvf и ^ подставим в уравнения (31) и (32),
вследствие чего они примут следующий вид:
4-V^i —p.2j/l—-у2cosх]4 /l— vйрd!vйфих,
IT- ^£ NWmu>ffff {1 + А И1 -») -
— j/l—^2jA — v2cosx]el p.V^l — vфdvd<£c?x-
Интегрирование здесь следует произвести по ц и v от —1 до
4-1, а< пр Ф и х от 0 до 2v7r.
Интегрирование по ф дает для каждого из этих выражений
просто множитель 2тс. При интегрирований~по х члены,
содержащие множитель cosx» становятся равными нулю, а остальные
члены получают множитель 2п. В результате этого, приведенные
уравнения принимают следующий упрощенный вид:
W= -^N*v#mt#f f [|х.+ Ца2(1 — v)el VT^vdjidv.
Если мы эти уравнения проинтегрируем по р от—1 до + 1,
то в каждом уравнении один «из двух членов, из которых состоит
интеграл, опять становится равным нулю, в результате чего мы
получаем:
U = ^~ № «о» uj VT~v d%
W= ^~ N2 tc<j2 muqef (l — v):8 dv.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
153
Наконец, если мы здесь произведем интегрирование по ^
от —1 до +1» то получим искомые выражения для М и W, а
именно:
М = у N2™*u, (33)
W=^N2%^muqe. (34)
Выражение для М не зависит от д. Отсюда следует, что оно
сохранило бы силу в том же самом виде, если бы внутри газа не*
было никаких разностей температуры и плотнозти, и во всей,
массе газа существовала та же самая температура и плотность,,
какая имеется в рассматриваемом слое у абсциссы х. В самом
деле, это выражение совпадает и с тем выражением, которое было*
выведено во второй главе на осноге допущения, что все
абсолютные скорости между собою равны, и которое там было приведено
под уравнением (32).
Если мы обратимся ко второму уравнению и если для
дальнейшего его упрощения используем первое уравнение, то оно примет
следующий вид:
W=^Mmqs. (VII)
§ 14: Сопоставление вывода, полученного в предыдущем
ПАРАГРАФЕ, С ПРИНЯТЫМ В §6 ДОПУЩЕНИЕМ И ВЫТЕКАЮЩИЕ
ОТСЮДА СЛЕДСТВИЯ
Согласно окончательному выводу предыдущего параграфа
положительное количество движения молекул, испускаемых в
течение единицы времени из участка слоя толщиной dx,
соответствующего единице поверхности, равно
~ Mmqz dx.
Но эта же величина, согласно § 6, при условии применения
величины р, выражается через
Мтрг dx *).
Из сопоставления обоих этих выражений получается:
Р = у«. (VIII)
Благодаря последнему выражению величина р,
определяющая согласно (1) состояние движения молекул, испускаемых
тонким слоем, сводится к величине q, которая согласно (V)
1) Так как каждая из М dx испускаемых молекул обладает помимо
произвольно направленной скорости и, пе принимаемой здесь в расчет, еще-
•коростью ре в направлении оси х. Немецк. издат.

154:
Р. КЛАУЗИУС
определяет состояние движения молекул, одновременно
находящихся в тонком слое.
Если теперь вернемся к уравнению (III) § 10, которое гласит:
N0du
и поставим в нем вместо р приведенное выше значение, то мы
получим:
IV. Окончательные итоги1)
§15. Состояние газа
После того как выше были определены необходимые коэфи-
•циенты, можем перейти к тому, чтобы из полученных уравнений
-сделать выводы о состоянии газа и о происходящей в нем тепло-
тфоозодности.
В § 10 мы нашли, что q должна быть постоянной величиной,
поэтому, подставив вместо q его значение, мы можем написать:
Далее, из того же параграфа мычзнаем, что
Nu? == const.
Путем перемножения этих двух равенств получаем:
и* ^ = const. (35)
Так как величина и2 пропорциональна абсолютной
температуре Т, можно положить
и = const. У"т9
благодаря чему предыдущее уравнение принимает следующий
вид:
V~T^ = const. (36)
Путем интегрирования этого уравнения получаем уравнение
следующего вида:
Tf=<fc + Clt (37)
где С и d — постоянные величины.
Таким образом масса газа, заключенная между двумя
стенками заданной температуры, ~ не приходит, как это можно был©
*) Вся эта глава с небольшими изменениями перенесена в набросок из
первого издания „Механической теории теплоты*. Немецк. издат.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
155
бы ожидать с первого взгляда, в такое состояние, что температура
образует линейную функцию абсдиссы, но изменение температуры
от одной пограничной плоскости до другой происходит по не-
сколько более сложному закону, при котором степень Г 2
выражается с помощью линейной "функции абсциссы.
_ Когда постоянные числа С и Сг в уравнении (37) определены
с помощью двух заданных температур пограничных плоскостей,
можно вычислить температуру для любой иной точки газа. Так
как, далее, произведение температуры на плотность внутри газа
должно быть постоянным, то если дана плотность газа в одной
какой-либо точке, можно вычислить плотность и температуру его
для всех прочих точек; таким образом состояние газа "с точки
зрения его температуры, плотности и давления оказывается вполне
известным.
§ 16. Преобразование формулы теплопроводности
Подставив найденное выражение q в уравнение (IV), мы
получим для теплопроводности газов G следующее уравнение:
G = -Afcmiv0^gsi). (X)
*) Максвелл дает для живой силы, которая вследствие молекулярного
движения в течение единицы времени проходит в положительном
направлении через единицу площади плоскости, перпендикулярной к оси
х,—следующее выражение [Phil. Mag. Vol. XX, p. 32):
где l обозначает среднюю длину пути молекул при той плотности, которую
газ имеет в рассматриваемом месте. Если вместо I подставить его значение
согласно (17)
получается
° = ~¥ Ш(i kmN°u4 ) = -1 kmN°u* Se-
Это выражение отличается от приведенного выше лишь тем, что вместо Via
здесь стоит 1/2. Но если проследить тот путь, каким Максвелл пришел к
уравнению (А), станет ясно, что это приблизительное совпадение его вывода
с моим является лишь кажущимся.
Если Е обозначает, массу газа, проходящего в течение единицы времени
в положительном направлении через упомянутую единицу площади, то
Максвелл выводит следующее уравнение (указ. место стр. 23):
Е=-тш(шт1)- (В)
Для того чтобы вместо проходящей массы получить проходящую живую
силу, Максвелл в приведенном уравнении просто заменил массу т молекулы
ее живой силой 112 кти? и таким образом получил уравнение (А). Но если

156
Р. КЛАУЗИУС
Для более удобного прщденсния мы это уравнение еще
несколько преобразуем. Если скорость молекул при нормальном
состоянии газа мы обозначим чедэаз м0 и абсрлютную температуру —
через 2V то -имеем:
м2 __ т
< ~ г0 '
поэтому
и-Ау-г (38)
dx 2 У TQ Т фх '
С помощью этого выражения приведенное выше уравнение
принимает следующий вид:
5 kmN0 и%е /IF ат ,лпх
G = - 24 Го V 2¾ dto • (40>
Если в качестве температуры нормального состояния газа мы
Примем температуру замерзания воды, то приближенно 7\> = 273
и T=273 + t> где t обозначает температуру, отсчитываемую
от точки замерзания. Если далее, как это обычно делается, мы
мы рассмотрим поближе уравнение (В) и подставим в нем точно так же вме-
дг
сто4 его значение --£-£, то получается
N
Это уравнение гласит, что в том случав, когда температура газа в на-
* du
правлении х изменяется* так что -т— имеет заметное значение, должно
происходить перемещение масс в направлении х, а именно, через данную
плоскость проходит в одном направлении большее количество молекул, чем
в противоположном направлении. Таким образом, это уравнение находится
в противоречии с допущением, которое мы должны делать, когда говорим
о теплопроводности, так как под теплопроводностью понимают перемещение
теплоты без перемещения массы.
В силу этого, независимо от того, является ли уравнение (В) вообще
приемлемым, мы должны по необходимости притти к. одному из двух
следующих выводов: либо Максвелл при составлении своих уравнений имел
в виду совершенно иное состояние газа, чем то, какое мы допустили при
теплопроводности, а именно,—такое состояние, при котором масса газа
перемещается по определенному направлению; в таком случае его уравнение
(А) не дает того, что мы понимаем под теплопроводностью и что
представлено в моем уравнении (X), но дает перемещение теплоты^ связанное с
перемещением массы и частично осуи^естеля?мое при посредстве
последнего: либо Максвелл действительно имел в виду то состояние, при котором
происходит перемещение теплоты без перемещения массы, но тогда
уравнение (В) неверно, и выведенное из него уравнение (А) лишь потому стала
приблизительно верным, что две ошибки частично взаимно уничтожили друг
друга.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
157
обозначим коэфициент расширения постоянных газов, а именно
1/27з> через <*, то мы можем написать:
e__'i=3J«VlT3£. да,
И наконец, если мы еще введем символ К, придав ему
следующее значение:
^-24 273^—' (Х11>
то наше уравнение примет такой вид:
dx *
G = -KVl+*t£. (ХШ)
§ 17. Выводы О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Множитель К содержит лишь такие величины, которые
относятся к нормальному состояние газа; таким образом он
представляет собой постоянную величину, зависящую лишь от природы
рассматриваемого газа. Поэтому на основании вида последнего
уравнения можпо тотчас же сделать два общие вывода.
Во-первых: Для каждого заданного значения ^-х
теплопроводность возрастает вместе с температурой, которую газ имеет в рас-
сматриваемом месте, причем она увеличиваемся в том же) отнопве1-
нии, в каком увеличивается скорость звука с повышением
температуры, а именно — пропорционально величине Vl[+'dt
Во-вторых: Теплопроводность не зависит от давления, под
которым находится проводящий газ. Поюледнее объясняется тем
обстоятельством, что-хотя у газа, сгущенного повышенным
давлением, число молекул, способных переносить теплоту, становится
больше, но зато пути, проходимые отдельными молекулами,
становятся меньше.
Это последнее положение могло бы привести к нелепости, если
бы мы вздумали допустить, что оно сохраняет свою силу для
любой степени сгущения или разрежения газа. Следует, однако,
принять во внимание, что применение этого положения к таким
состояниям, которые очень сильно отличаются от среднего, имеет
свои вполне понятные границы: с одной стороны, газ не должен
быть сгущен до такой степени, чтобы при этом получились
слишком большие отклонение от законов совершенных газов,
положенных в основание всех выводов, а с другой стороны, газ не
должен быть разрежен настолько сильно, чтобы средняя длина пути
достигла таких размеров, при которых отбрасывание высших
степеней ез оказалось бы уже недопустимым.

158 р. клаузиус
§ 18. Сравнение различных двухатомных газов
Когда мы желаем сравнить между собою различные газы
с точки зрения их теплопроводности, у нас возникает
затруднение, заключающееся в том, что множитель /с, входящий в
выражение К, не имеет значения, общего для всех газов. Но есл!и мы
ограничимся теми газами, у которых каждая молекула состоит из
двух атомов, то у них можно принять величину к равной для
всех газов, гак что она из отношения между \К и К' исключается.
Если мы и прочие относящиеся к обоим газам величины будем
отличать друг от друга тем, что символы величин одного гащ
снабдим штрихом, а символы другого оставим без штриха, то для
упомянутого отношения мы получим:
™Ч*о8 •'
К mNQu{z
(41>
Далее, если р и р' обозначают удельные веса газов, отнесенные
к воздуху, то с их помощью можно составить два уравнения. Во-
первых, согласно определению удельного веса само Ьобою
понятное уравнение
mN'Q р
wN0 р
и, во-вторых, уравнение, вытекающее из уравнения (7) первой
главы*):
щ J/ р'
С помощью этих двух уравнений уравнение (41) принимает
следующий вид:
К р \р') е У \
Пользуясь этим уравнением, можно вычислить отношение
теплопроводности различных газов, если только известно
отношение средних длин путей е и е'. Каким образом может быть
определена средняя длина пути, об этом быйо сказано в предыдущей
главе2). Я укажу еще здесь, что для кл-слорода и водорода были
определены следующие значения в миллиметрах3):
0,0001059 И 0,0001855.
А так как удельные веса этих газов относятся друг к другу, как
16:1, то получается:
& а 1855_7 0П7
ж = 4-1059 = 7>007;
О О допустимости этого расчета см следующий параграф.
2\ См. примеяание немецких издаг ~
3) Meyer, Theorie der Gase, S. 142.
А См. примеяание немецких^издателей в конце предыдущей главы.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
159
Таким образом водород имеет в семь раз большую
теплопроводность, чем кислород. Этот вывод достаточно хорошо согласуется,
с отношением, экспериментально установленным различными,
физиками.
§ 19. Определение числового значения теплопроводности
При определении числового значения теплопроводности
следует снова остановиться на вопросе, уже рассмотренном в § i
Дело в том, что в приведенных выше расчетах мы совершенно н£
принимали во внимание случайных различий в движениях моле-
кул и для случая, когда з газе нет никаких различий в
температуре, приписали всем молекулам одну общую скорость %. Точно>
так же и для пути, проходимого молекулами между двумя
столкновениями, было принято в расчет лишь одно среднее для всех
молекул значение, которое для нормального состояния газа было-
обозначено через е; между тем молекулы, которые движутся более
быстро, все-таки в общем описывают более длинные пути, чем
молекулы, которые движутся медленнее.
Различия между средними путями н& столь велики, как раз-^
личия между скоростями. В самом деле, если мы определим
средние длины пути отдельно для каждой скорости, то мы найдем*.
что при скорости, равной нулю, средняя длина-пути тоже имеет
значение нуль, и далее, что при возрастании скорости средняя
длина пути, правда, увеличивается, но б меньшей степени.
Действительно, представим себе;.что скорость возросла до бесконечна
большого значения; в этом случае средняя длина пути
увеличивается до определенного конечного значения. Псэтому мы здесь
не будем входить в рассмотрение различий между средними
длинами пути быстрее движущихся и медленнее движутцихся
молекул, а также того влияния, какое оказал- бы учет этих различий
на вид наших уравнений: под е мы будем просто понимать
общее среднее значение всех путей.
Большее значение имеет выбор среднего значения для
скорости молекул. В нашу указанную в (XII) формулу для К,—
которая была выведена без учета случайных различий, т. е. на
основе допущения, что в массе газа, имеющей всюду одну и ту
же температуру, скорости движения и для всех молекул равны, —
входит множитель и03 *). Опрашивается, что следует понимать под
этим множителем, если отдельные значения и0 неодинаковы. Для
того чтобы ясно видеть различия, какие могут возникнуть в связи
*) В этом месте наброска автор сделал следующую отметку: „Этого и% не*
упоминать, но вернуться к уравнению G = —— kmN0u2 -^- е (X, стр. 155),
приняв во внимание «г3. В самом деле, в силу уравнения q = a~~w~^~ ДО)
следует особо заняться выражением -=- *. Немецк. издат.

160
Р. КЛАУЗИУС
с этим, мы, как и раньше, будем обозначать среднюю арифмети-.
ческую некоторого количества величин с похмощью горизонтальной
черты, проведенной над знаком, обозначающим отдельные
величины. Тогда могут быть составлены, например, следующие
величины:
з^
К)3; и1'> и1щ\ (и0У; а^о + (1 — а)(й0)3,
число которых может быть еще произвольно увеличено и которые
имели бы общее значение и039 если бы отдельные значения и9
были между собою равны. Но если отдельные значения щ не
равны, то эта величины отличаются друг от друга. Однако, если
спробитъ, какие из этих величин или из других соответствующих
величин, которые еще можно составить, следует применить, то
получение совершенно точного ответа на этот вопрос
наталкивается на брлъшие трудности, так как здесь приходиися иметь
дело не только с теми случайными различиями, которые имеют
место в газе с одинаковой всюду температурой; здесь и
величина р, зависящая от температурных различий, существующих
при проведении теплоты, а также определяемая ею величина q,
точно так же содержат случайные различия. Так как указанное
в (IX) выражение для q содержит множитель ^ который согласно
(39) заменен выражением
1 щ dT
2 VTjr dx'
то и входящий сюда множитель и0 содержится в упомянутой выше
третьей степени u0s; спрашивается, следует ли при образовании
среднего значения этот множитель трактовать совершенно так же,
как два остальных множители щ, входящих в состав и<?, или же
он требует какой-либо особой трактовки?
.Следует, далее, отметить, что входящий в выражение для К
множитель /г, а также множитель е могут быть численно
определены лишь с некоторой неточностью, поэтому нет нужды в том,
чтобы при выводе среднего зпачения и»* стремиться к крайней
точности.
В силу этих обстоятельств я в своей работе о
теплопроводности отвлекся от специальных поисков наилучшего метода вывода
среднего значения и удовлетворился тем, что применил некоторое
среднее значение, которое поддается наиболее легкому
определению и которое помимо того играет особенно важную роль нри
расчетах, относящихся к газам.
А именно, среднее значение квадратов скоростей, т. е.
величина Й2, связано с давлением газа Р0 следующим простым
соотношением1): лг —о
Ар _MtfnuZ
2И°~~~ 2
*) Ср. уравнение (2) первой главы.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
161
Так как правая сторона этого равенства представляет живую силу
поступательного движения, то величина ц% находится в
ближайшей авязи и с теплотой, седоржащейся в газе. Поэтому я и ©зял
эту величину в качестве исходной, и при определении К применил
получающееся из нее среднее значение щ, т. е. величину V и%.
§ 20. Числовое определение К
При определении u0i указанном в конце предшествующего
параграфа, произведение -у kN0mUo2 получает простой смысл, а
именно, оно выражает живую силу, содержащуюся при
нормальном состоянии в единице объема газа, или содержащееся в
последней количество теплоты. Эта теплота, если y —• удельная
теплоемкость единицы объема газа при постоянном объеме,
выражается через уТ0 или же, если в качестве нормальной
температуры взята температура замерзания воды, — приближенно через
Y • 273. Благодаря этому уравнение (XII) принимает следующий
вид:
К=^щг, (42)
причем с помощью этой формулы, если y выражено в обычных
тепловых единицах, теплопроводность тоже выражается в
обычных единицах тепла. Из выведенной мноно уже раньше формулы
дл!я скорости движения молекул величина щ определяется в
следующем виде:
485т
VJ
Щ =^7=-> (43>
где р обозначает удельный вес рассматриваемого газа, отнесенный
к атмосферному воздуху. Благодаря этому приведенное выше
уравнение переходит в
К= 202,1--L=s. (XIV)
V р
У простых постоянных газов, а также у тех сложных газов,
У которых при соединении не произошло никакого изменения
объема, удельная теплоемкость y имеет то же самое значение, что
и у атмосферного воздуха, а именно, если в качестве единицы
объема взять кубический метр, содержащий при нормальном
состоянии 1,2932 кг атмосферного воздуха, то
у = 0,1686 • 1,2932 = 0,21803. (44)
С помощью этого значения для упомянутых газов получается:
К = ^г.\ (XV)

162
Р. КЛАУЗИУС
Отсюда для трех простых постоянных газов, а также для
атмосферного воздуха, который с точки зрения теплопроводности
следует трактовать как простой газ, получаются следующие
значения:
Для атмосферного воздуха 44,06 -е
, кислорода 41,90« е
„ азота 44,71-е
п водорода • 167,49-е
Для окончательного числового определения этих значений
следовало бы еще знать величину множителя в для каждого из
газов. Непосредственное теоретическое определение этой величины
на основе изложенных выше принципов невозможно ввиду того*
что для этой цели следовало бы знать величину радиуса сферы
действия с; поэтому для определения е следует прибегнуть к
другим даняым*).
Максвелл, исходя из данных о трении движущихся масс
воздуха и о диффузии газов, исчислил средние длины пути молекул
и в обоих случаях получил числа, которые очень близки к
4ooWo англ. дюйма или j^JL— метра.
Не высказываясь здесь по существу о степени надежности этого
числа, я все-таки полагаю, что мы можем Ъго применить с тем,
чтобы получить примерное представление о характере величин,
о которых" здесь идет речь. Путем подстановки этого значения
мы получаем для атмосферного воздуха:
44 = " (45)
16 000000 4 000 000 ' v '
Эта величина дает то количество теплоты, выраженное в
обычных тепловых единицах, которое проходило бы в течение 1 сек*
через площадь в 1 до2, если бы имело место равенство gj- =— 1*
т. е. если бы вблизи рассматриваемого места температура убывала
по направлению оси абсцисс так, что на расстоянии 1 м она
понижалась бы на 1° С (конечно, если бы подобное уменьшение
температуры происходило на большем участке).
§ 21. Сравнении приведенного выше значения
с теплопроводностью металла
Для того чтобы сравнить приведенную теплопроводность с
теплопроводностью металлов, мы можем воспользоваться данными
наблюдений Пекле (Peclct). Последний путе«м наблюдения над
*) Ср. стр. 158. При формулировке этих положений автор еще не написал
третьей главы (см. предисловие). Немецк. издат.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
163
количеством теплоты, проходившим через свинцовую (пластинку,
установил, чтб если бы большая масса свинца была поставлена
в такие услкхвия, что на отрезке в 1 м температура убывала бы
на 1° С, то чорез площадь в 1 л2 проходило бы в течение одного
часа 14 единиц теплоты1). Для «сравнения этого числа с числом,
найденным для воздуха, нам следует последнее — ввиду того, что
оно отнесено к одной секунде, взятой в качестве единицы
времени, — помножить на число секунд, содержащихся в одном часе,
в р«езультате чего мы получаем:
11-3600 _ 1
4 000 000 — 100 '
Таким образом настоящий расчет приводит нас к
теплопроводности, которая в 1 400 раз меньше теплопроводности свинца2).
Хотя степень точности этого числа и невелика, так что его
можно рассматривать лишь как приближенное значение
теплопроводности, тем не менее с его помощью можно считать
установленным, что теплопроводность, которую можно теоретически вывести
из гипотезы о молекулярных "движениях газов, положенной в
основание настоящей работы, гораздо меньше теплопроводности
металлов, — вывод, который находится в полном согласии с
опытом. Таким образом /возражение, заключающееся в том!, будто
указанная гипотеза приводит к столь быстрому распространению
тепла, что при нем местные различия теплоты в газовой массе
стали бы невозможными, оказывается совершенно
необоснованным* Больше того, из сказанного следует, что как раз данное
явление, которое с особой силой выдвигалось в качестве довода
против1 нашей гипотезы, можно было бы привести в качестве
аргумента в пользу этой гипотезы.
§ 22. Сводка полученных выводов3)
В заключение, подытоживая вкратце полученные нами
выводы, мы можем изложить их следующим образом.
1) Газы проводят теплоту значительно хуже металлов.
Приблизительный числовой расчет, при котором было использовано
*) Peclet, Traite de la chaleur, t. I, p. 391.
3) Максвелл полупил совершенно иной результат, а именно, что воздух
проводит в десять миллионов раз хуже, чем медь. Но это объясняется тем,
что в его числовых расчетах содержатся две ошибки. Во-первых, .вместо
чисел Пекле, выражающих теплопроводность металлов во французских мерах,
он воспользовался числами, выведенными из них Ранкиным (Rankine) для
сопротивления проводимости и выраженными в английских мерах (Manual
of the Steam Engine, p. 259). Ho эти числа не совсем верны: их следует еще
помножить на 0,4536—отношение 1 английского фунта к одному килограмму,-т-
и только тогда они будут соответствовать числам Пекле. Кроме того, числа,
относящиеся к одному часу, как единице времени, Максвелл применил таким
образом, как если бы они относились к одной секунде.
8) Этот заключительный параграф первого издания не был включен в на-
аосок. Возможно, что автор собирался его еще переработать и расширить.
?мецк. издат.

164
Р. КЛАУЗИУС
вычисленное Максвеллом значение средней длины пути молекул,
для воздуха вблизи точки замерзания воды дает
теплопроводность, которая в 1400 раз меньше теплопроводности свинца.
2) Теплопроводность зависит от температуры газа и
увеличивается с повышением температуры в том же отношении, как ско-
рость звука.
3) Теплопроводность в известных границах не зависит от
давления, под которым находится газ.
4) У более легких газов способность к проведению тепла выше,
чем у более тяжелых; поэтому у водорода она должна быть
значительно выше, чем у других газов.

О РАЗМЕРАХ II ВЗАИМНЫХ РАССТОЯНИЯХ МОЛЕКУЛ
Ответ на письмо г. Жюля Бур-
дена (по немецкой рукописи
статьи, появившейся в 9La Lumiere
Electrique* № 32, стр. 241—244
1885).
Милостивый государь и многоуважаемые коллеги!
Вы оказали мне честь, прислав мне от своего имени и от имени
группы электриков письмо1), касающееся сделанного мною
доклада 2), которое я прочитал -о большим интересом. Содержащиеся
в нем остроумные соображения охватывают весьма обширную
область, поэтому в кратком но необходимости ответе было бы
невозможно обсудить их с желательной полнотой. Позвольте мне
поэтому ограничить свой ответ вопросом, которому, повидимому, и
вы придаете наибольшее значение, а именно, вопросом о том,
следует ли помимо весомой материи допустить существование еще
другого более тонкого вещества.
В своем докладе я оказал, что очень малые колебания,
образующие свет и лучистую теплоту, не могут распространяться при
посредстве воздуха или вообще какого-либо газа, так как газы,
состоящие из атомов, имеют слишком грубое распределение массы.
Вы оспариваете правильность этого утверждения, говоря: «Мы не
оолласны с обвинением в грубости и недостаточной тонкости,
которое выдвинуто Гюйгенсом против весомой материи; мы полагаем,
что материя сама по себе в состоянии приспособиться к
колебаниям световым, тепловым или электрическим столь же легко,
а когда речь идет об известных телах,—-даже лучше, чем она
приспособляется к передаче зовутковых колебаний».
Для того чтобы получить возможность разобраться в правилоь-
ности того или другого из этих мнений, следует иметь опорные
точки для оценки величины атомов и их взаимного расстояния.
Вы по этому поводу говорите: «Никто до сих пор не взял на себя
смелости измерить ни атома, ни атомного расстояния». Если слово
*) La Lumiere Electrique 30 мая 1885, N 22, p. 419.
2) Имеется в виду известная ректорская речь »0 связи между зеднкЗДЯ
лачадами природы*, Бон» 1885. иемецк. издат,

166
Р. КЛАУЗИУС
«измерить» вы хотите понимать в совершенно строгом смысле, как
определение, проведенное путем непосредственного йаблюденЕЯ,
или как совершенно точное и достоверное определение
соответствующих величин, то я, копечно, должен согласиться с
правильностью этого положения. Но приближенное определение этих
величин может быть осуществлено с помощью различного рода
умозаключений. В № 23 этого журнала г-ном Дешарм был сообщен
один способ определения, примененный Афанасием Дюпре. Я
позволю себе здесь обратить ваше внимание на метод заключения,
примененный многими другими авторами, который, как мне
кажется, дает еще более определенные результаты.
Прием этот основан на кинетической теории газов. Эта теория
допускает, что каждая молекула газа движется прямолинейно до
тех пор, пока она не встретится с другой молекулой и не будет
вынуждена изменить направление своего движения.
Взаимодействие двух встречающихся молекул безусловно не так просто, как
взаимодействие двух твердых шаров, которые сталкиваются и
отскакивают друг от друга; однако для приближенного
исследования можно, конечно, исходить из идеи, что молекулы предстал
вляют собою твердые упругие шары, и затем можно поставить себе
задачу, исходя из свойств газоЕ, определить величину этих шаров
и их взаимное расстояние.
В работе, появившейся в 1858 г.1), я установил связь между
диаметром молекулы и средней длиной пути, которую молекулы
проходят от одного столкновения до следующего; эта связь может
быть выражена следующим образом: Умноженная на 8 средняя
длина пути относится к диаметру молекулы, как пространство^ в
целом занятое газом, относится к пространству, фактически за/полу
ненному молекулами. При выводе этого закона было допущено, что
все молекулы обладают равными скоростями. Если же жела*
тельно, как это позднее сделал Максвелл, учесть и фактически
имеющиеся различая между скоростями отдельных молекул,
следует множитель 8 увеличить в пропорции V%'-у, в результате
чего он превращается в 8,485 или приблизительно в 8,5.
Для того чтобы математически выразить этот закон,
предположим, что пространство, занятое газом в целом, представляет
собою единицу объема. Если затем мы обозначим пространство,
фактически заполненное молекулами, через о\ диаметр молекулы
через s, то этот закон выразится с помощью следующего уравнения:
8,5 г _ 1
l) Pogg. Ann., 105, 239 (и Theorie mecaniqne de chaleur, par R. Clausim,
traduite par F Folie, t. II, p. 230).
Ulan, названный там «сферой действия*, имеет вдвое больший радиус ж,
следовательно, в восемь раз больший обт»вДэ ЧЪЧ ШЩ который 'здесь рас*
енатриваетоя в, отеотвв мо^ку-щ*

О РАЗМЕРАХ И ВЗАИМНЫХ РАССТОЯНИЯХ МОЛЕКУЛ 167
откуда следует:
^ = 8,5/81). (1)
Что касается, прежде всего, средней длины пути молекул I, то
ее можно определить как из скорости диффузии двух газов, так
и из трения двух слоев газа, движущихся с различными
скоростями,^-так как оба эти явления основаны на том, что молекулы
дерелвтают из одного слоя в другой и проникают в них до
известной глубины. Этим путем определили средние длины пути
молекул для многих газов, и величины, полученные различными
наблюдениями, находятся в столь хорошем взаимном согласии, что
на атом основании можно считать, что они уже мало отклоняются
от действительности.
В качестве примера для рассмотрения возьмем углекислоту.
В статье А. Обермайера2) мы находим для углекислоты под
давлением одной атмосферы и при температуре 0D следующие
значения 1, выведенные из опытов различных наблюдателей: 0,000049 мм;
0,000050 мм; 0,000056 мм. Для углекислоты, находящейся. под
давлением одной атмосферы и при температуре 20°, 0. Е. Мейер
приводит (на стр. 42 своего известного замечательного труда
«Кинетическая теория газов») для I значение в 0,000068 мм, откуда
пурем ( приведения к температуре в 0° получается значение в
0,000063 мм. В качестве среднего из четырех значений,
относящихся к температуре 0°, мы получаем величину I в
0,0000545 ад (2)
Что касается, далее, величины е, а именно пространства,
фактически заполненного молекулами газа, то исходные точки для
его определения тоже находятся в кинетической теории газов.
А (именно, из этой теории Следует, как я это подробнее изложил
в своей первой работа3) на эту тему, что отклонение газов от за-
котов Мариотта и Гей-Люссака объясняется различными
причинами, из которых одна заключается в том, что пространство,
фактически заполненное молекулами газа, не является исчезающе
малым по сравнению с пространством, в целом занятом газом. ТЪо-
этому на основании указанных отклонений можно судить о
величине пространства, заполненного молекулами. Особенно надежные
данные для подобного заключения получаются из тех опытов,
которые недавно были произведены г. Эндрюсом по вопросу о
поведении газов при очень больших разностях давления.
3 4
' 4тга^8 3
откуда
~Т~ е ' Ред.
*) Repertorimn fur Experimental Physik, herausgegeben von Ph. Karl,
Bd. XIII, S. 157. „ „f
*) P°gg. Ann. 1857, 100, 859 (и Theory mecaniqus фе chajeur, par R, Gl№
m$, tt№\tt par ?. Folio, t, Ц, p. Ш),

168
Р. КЛАУЗИУС
Для того чтобы выразить с помощью формулы те результаты,
которые он получил для углекислоты, я составил следующее
уравнение:
Р Т с ш
здесь р обозначает давление в атмосферах, Т — абсолютную тем*
пературу и v — объем углекислоты, причем в качестве единицы
принят тот объем, который занимает то же самое количество
углекислоты под давлением одной атмосферы и при 0°. Буквы R, с,
а и р обозначают постоянные величины, имеющие следующие
значения:
В = 0,003688,
с = 0,0935,
а = 0,000843,
Р = 0,000977.
Одна из этих постоянных величин, а именно а, находится в
тесной связи с величиной е, входящей в уравнение (1). Она
представляет то минимальное пространство, в котором молекулы газа
возможно могли бы быть сжаты путем увеличения давления, так
как если в приведенном выше уравнении положить v=*a, то
получается р= > . Но пространство, содержащее в себе некоторое
количество шаров, если последние сближены до взаимного
соприкосновения, лишь немногим больше того пространства, которое
фактически заполнено шарами. Соотношение между обоими этими
пространствами несколько" варьирует в зависимости от способе
укладки шаров. При самой тесной укладке оно приблизительно
равно отношению 7:6. Поэтому, допустив наиболее тесную
укладку, мы можем положить
е = у а.
Если мы здесь вместо а подставим приведенное выше
значение, то получим:
е = у. 0,000842
ИЛИ
е = 0,000723. (8)
Путем постановки значений I и е, указанных в (2) и (3)
уравнение (1) приводится к следующему виду:
8 == 8,5 • 0,000723 • 0,0000545 ММ,
откуда следует:
8 = 0,000000335 мм, (4)
или иначе
^~ 8000000 ЛШ% **а)

О РАЗМЕРАХ И ВЗАИМНЫХ РАССТОЯНИЯХ МОЛЕКУЛ 169
После того, как диаметр молекулы определен, можно легко
получить и число молекул, находящвхся в 1 лш3. А именно,
оно равно числу шаров, сумма объемов которых равна е; поэтому,
обозначив число шаров через JV, мы можем составить
следующее уравнение:
Если мы здесь вместо е и 8 подставим значения, указанные
в (3) Ж (4), то получается:
^=37-10^)- (5)
Это число действительно и для всех прочих газов, так как
согласно Авогадро в равных объемах всех газов при равной
температуре и при равном давлении содержится одинаковое число
молекул.
Если известно количество молекул в единице объема, можно
себе составить некоторое представление и о среднем взаимном
расстоянии между двумя соседними молекулами. В самом деле,
если представить себе, что молекулы расположены в кубическом
порядке, т. е. если представить себе, что объем кубического
миллиметра разбит на N малых кубических объемов, и допустить, что
центры молекул находятся в вершинах углов этих кубов, то
сторона подобного малого куба представит взаимное расстояние
между центрами двух соседних молекул. Согласно сказанному,
если это расстояние обозначить через X, получается уравнение:
Если вместо N подставить сюда приведенное выше его
значение, получается:
Х = 0,000003 мм. (6)
Это расстояние, конечно, очень мало и соответствует очень
тонкому распределению массы; однако для распространения
световых волн в мировом пространстве это распределение массы все
же является еще слишком грубым.
Если бы мы захотели себе представить, что вещество, при
посредстве которого световые волны распространяются в мировом
пространстве, является весомым гхзом, то последнему пришлось
бы приписать чрезвычайно высокое разрежение, чтобы объяснить
незначительное сопротивление, встречаемое мировыми телами при
их движении. Во всяком случае плотпость, которая составила бы
одну миллионную часть той плотности, какая имеется при 0° и
при давлении одной атмосферы, была бы еше слишком большой,
и все-таки даже при такой далеко еще не достаточной степени:
*) По еовремешшм даишад W8^ 2,78^0^9 w сиА

170
F. КЛАУЗИУС
|»зрежеш1я расстояние между соседними молекулами достигло
бы величины, очевидно, совершенно несовместимой с распростраг
нением световых волн. В самом деле, оно было бы во сто раз
больше длины, указанной в уравнении (6), так что для этого
разреженного газа следовало бы положить:
к = 0,0003 мм.
Это расстояние было бы уже почти равно длине волны
фиолетового света. Но совершенно немыслимо, чтобы регулярное волновое
движение распространялось в такой среде, в которой ближайшие
частицы находятся друг от друга на расстоянии длины волны.
Поэтому, если мы хотим объяснить распространение световых
волн в небесном пространстве, мы вынуждены допустить
существование вещества, имеющего гораздо более тонкое
распределение массы, чем весомые газы. Этим веществом является то, что
до сих пор называли эфиром и что, по моему мнению,
представляет собою не что иное, как электричество.

ПРОВЕРКА ВОЗРАЖЕНИЙ, ВЫДВИНУТЫХ ГИРНОМ
ПРОТИВ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
(Перевод статьи Елаузиуса
„Ехатеп des objections faites par
M. Him a la theorie cinetique des
gaz*, опубликованной в „Bulletins
de VAcademie royale de Belgique*,
3-me serie, t. XI, N 3, 1886).
В двух переданных Бельгийской академии
работах,—-«Экспериментальные исследования над отношением между
сопротивлением воздуха и его температурой» и «Экспериментальные и
аналитические исследования над законами истечения и удара газа
в дх связи с температурой», — Гирн, с одной стороны, описывает
целйй ряд опытов, а с другой стороны, строит на результатах
этих опытов некоторые теоретические заключения, которые
приводят его к тому выводу, что кинетическая теория газов
противоречит опыту.
Представляя со своей стороны Академии изложение моей точки
зрения по этому вопросу, которая существенно расходится с
точкой зрения Гирна, я определенно заявляю, что моя критика ни
в коем случае не направлена против экспериментальной стороны
его исследований.
Описываемые им опыты были хорошо продуманы; они
проводились в течение ряда лет с достойной внимания настойчивостью,
и & не сомневаюсь в том, что тщательность и искусность их
выполнения находились на такой же высоте, так что полученные
с их помощью результаты заслуживают полного доверия; их
ценность является достоянием науки и совершенно не зависит от той
оценки, которая дается выводам, сделанным из них Гирном.
Среди этих выводов особенно выделяются по своей
определенности выводы, касающиеся удара газов. Мы обратимся прежде
всего к этим выводам.
Гирн выпускал из газометра, наполненного сжатым воздухом,
воздушную струю через трубку, которая недалеко от конца С|ьгла
изогнута вниз под прямым углом и на самом конце имела
отверстие, из которого газ вытекал.
Под этим отверстием на некотором расстоянии была располго-
№№ гордзойтадьяо яа чашке весов я^дад цластишш, т

172
Р. КЛАУЗИУС
которую струя воздуха падала под прямым углом. Дл!я того
чтобы уравновесить давление на пластинку, другую чашку весов
нагружали гирями, которые служили мерой величины
производимого газом давление.
Эти опыты были произведены частью с воздухом комнатной,
температуры, частью с воздухом более высокой температуры,
несколько выше 200°. При этом было установлено, что давление,
производимое воздушной струей на пластинку, зависит только от
количества воздуха, вытекающего в течение единицы времени, и
от скорости его истечения, но не зависит от его температуры.
Гири полагает, что этот результат опыта находится в
противоречии с кинетической теорией газов.
Обоснование этого мнения изложено в § 7 (стр. 97) его второрй
статьи. Однако при просмотре этого места его работы можно
убедиться, что его выводы содержат в себе существенные ошибки.
Прежде всего отметим, что Гирн делает слишком широкое
употребление из некоторых упрощающих гипотез, которые могут
применяться в определенных случаях для облегчения пониманий.
Согласно кинетической теории газов молекулы некоторой массы
газа, пребывающей в состоянии видимого покоя, находятся в
быстром и многообразно изменяющемся движении. Они движутся по
всем возможным направлениям, но путь, пробегаемый ими в
промежутке между двумя следующими друг за другом
столкновениями, очень короток. Когда газ имеет плотность,
соответствующую давлению одной атмосферы и температуре тающего льд&
средняя величина длины пути у всех газов, за исключением
водорода, меньше одной десятимиллионной доли миллиметра. Далее,
столкновения между двумя молекулами, как общее правило,
происходят под косыми углами и эксцентрично, так что после
удара направления и скорости, движения молекул совершенно
изменяются.
Эти сложные движения Гирн заменяет другими, гораздо
более простыми, допуская, что молекулы движутся только по трем
взаимно перпендикулярным направлениям, так что при движении
они не создают друг другу никаких помех и каждая из молекул;
продолжает свое прямолинейное движение до тех пор, пока она
не ударится о какую-либо неподвижную стенку. Подобные
гипотезы можно применять лишь с большой осторожностью, ибо если
в некоторых случаях они дают точные результаты, то равным
образом при других обстоятельствах они могут ввести в
заблуждение. В дальнейшем станет ясно, что в том случае, который
рассмотрел Гирн, эта гипотеза является в известной части
недопустимой.
В том случае, когда масса газа вместо того, чтобы оставаться в
видимом покое, начинает вытекать, к молекулярному движению
^присоединяется еще иосггупательное движение, и последнее следует
для каждой отдельной молекулы сложить с ее мгновенным
движением для того чтобы получить действительное движение моле-
яута При выполнении этого сложения для струи, вытекающее

ПРОВЕРКА ВОЗРАЖЕНИЙ, ВЫДВИНУТЫХ ГИРНОМ 173
&з отверстия и ударяющейся о пластинку, Гирн допускает
существенную ошибку, которую отметил уже в своем докладе Фоли.
Действительно, Гири' допускает, что у одной трети всех
молекул молекулярные движения происходят параллельно, а у
остальных двух третей — перпендикулярно направлению струи.
Обозначив затем скорость молекулярного движения, которую он
принимает равной для всех молекул, ^через ч и скорость движения
струи через v, он для одной трети молекул, молекулярное
движения которых параллельны струе, составляет сумму и + v9
которую он и принимает в качестве общей результирующей скорости
обоих движений.
Это абсолютно неверно. Если бы мы на одно мгновение и
воспользовались первой гипотезой Гирна, согласно которой все
молекулярные движения происходят по трем взаимно
перпендикулярным направлениям, причем одно из них, которое, скажем, мы
назовем через х, совпадает с направлением струи, то мы все-таки
не имели бы права допускать, что вое молекулярные движения,
параллельные х, протекают в том же направлении, что и струя;
наоборот, совершенно ясно, что половина молекул летит в
положительном направлении #, а другая — в отрицательном
направлении.
Если бы мы пожелали сохранить и вторую гипотезу Гирна,
согласно которой молекулы, взаимно не мешая друг другу,
движутся прямолинейно до удара о неподвижное препятствие, то для
случая, когда и > v, следовало бы молекулам, движущимся в
направлении отрицателных xf приписать совершенно особые
условия движения. В самом деле, эти молекулы летели бы назад по
налравлению к выходному отверстию и проникали бы через
последнее обратно в оосуд вместо того чтобы выходить из последнего
наружу. Отсюда ясно, что вторая гипотеза в рассматриваемом
случае недопустима.
Прежде всего, не следует упускать из виду, что молекулярные
движения представляют собою переменные движения; тогда
получается совершенно иное представление о характере движения тех
молекул, у которых молекулярное движение происходит
параллельно оси х, т. е. направлению истечения.
Представим себе, что струя воздуха пересечена, плоскостью
перпендикулярно к направлению истечения, тогда ясно, что
каждая молекула перейдет эту плоскость не один раз, а
несколько раз, причем она попеременпо будет переходить с
отрицательной стороны на положительную и с положительной на
отрицательную. Число этих переходов будет там больше, чем больше
величина дроби -—-, и всегда будет выражаться нечетным
числом, так как число периодов с отрицательной стороны на аголю-
яштельную на единицу больше числа переходов с положительной
стороны на отрицательную. Если допустить, что два
противоположно направленных перехода взаимно компенсируются, то для

174
Р. КЛАУЗИУС
каждой молекулы останется только один переход с
отрицательной стороны на положительную, что соответствует
поступательному движению вытекающего газа.
Рассмотрим теперь в какое-либо определенное мгновение
молекулы, у которых молекулярное движение происходит параллельно
направлению струи и которые образуют треть всего числа молекул,,
содержащихся в струе. Одна половина этой трети будет
двигаться в том же налравлении, что и струя. Для этой половины
мы в качестве общей результирующей скорости обоих движений
получим сумму и + v; другая половина этой трети имеет молекул
лярные движения, противоположные струе, и. следовательно, мы
должны ее общую скорость, результирующую ее из обоих
движений, выразить с помощью разнести — и ■*- v.
Отсюда ясно, что сумма и 4- v, с помощью которой Гирн вь^
ражает общую скорость всех молекул, у которых молекулярные
движения протекают параллельно направлению струи, ни в коеас
случае не соответствует действительности. Это и является
основным источником тех неверных выводов, которые дальше
встречаются в его статье.
Сначала он исчисляет для единицы объема вытекающего
воздуха живую силу движения, направленного перпендикулярно, к
пластинке, принимая дл5г одной трети молекул упомянутую выше
сумму и -j- v\ для других двух третей, молекулярные движения
которых происходят перпендикулярно направлению струи и, сл|е-
довательно, параллельно^ пластинке, он в качестве скорости дал*
ного движения принимает просто скорость струи v. Обозначив
плотность воздуха, т. е. вес единицы объема, черэз ?! и ускорение
тяжести, как обычно, через д, он получает для живой силы еда-
дующее выражение:
которое приводится к следующему виду:
О помощью этого выражения Гирн определяет давление,
производимое воздухом па пластинку. Поперечное сечение струи- в
том месте, где она обладает максимальной скоростью, выражается
с помощью произведения ms, где s — площадь выходного
отверстия, а т — коэфициент сжатия. Допустив далее, что струя,
ударяясь о пластинку, находится в таком состоянии, которое
соответствует ее местоположению, Гирн из живой силы движения в на*
правлении, нормальном к пластинке, выводит давление на
площадь ms, поставленную на пути струи, совершенно тем же путем,
каким в кинетической теории газов исчисляют давление воздуха.

ПРОВЕРКА ВОЗРАЖЕНИЙ, ВЫДВИНУТЫ* ГИРНШГ 175
находящегося в покое. Он получает при этом следующее
выражение:
Воздух, находящийся на задней поверхности пластинки в
покое, производит там давление, которое для площади того же
самого размера выражается через
lb(ms) тЛ
Это давление следует вычесть из давления, производимого на
переднюю поверхность., и тогда получится тот избыток давления,
вызываемого струей, который непосредственно и наблюдается при
опыте.
Если последний обозначить через р, то Гирн получает для него
следующее уравнение:
p-^^uv + v*), (2)
которое Гирн и рассматривает в качестве вывода, полученного из
кинетической теории газов в применении к данному случаю.
Это уравнение не совпадает с результатом его наблюдений,
согласно которому давление не зависит от температуры, ибо
величина и пропорциональна квадратному корню из абсолютной
температуры. Отсюда Гирн приходит к выводу, что кинетическая те-
щця ,газов противоречит опыту и потому неприемлема.
Следует, однако, посмотреть, что получится, если при расчетах
Гирна учесть то обстоятельство, что только половина молекул, у
которых молекулярные движения параллельны направлению
струи, обладает скоростью и -f- v, другая же половина имеет
скорость — и-\- v. Тогда для живой силы движения
перпендикулярного к пластинка, вместо приведенного выше в (I) выражения,
получается следующее:
Ш1(«+*)2+|(-«+*)2]+у(1-^ (3>
которое можно свести к такому виду:
1(1 и>■ + ••). (за)
Это выражение отличается от выражения (1а) тем, что в нем
отсутствует в скобках членит- №-

176
Р. КЛАУЗИУС
Если последнее выражение применить для определения
давления совершенно тем же путем, каким воспользовался Гирн для
(1а), то вместо уравнения (2) получается следующее:
которое отличается от (2) опять-таки отсутствием члзна,
содержащего в себе множитель и. Так как этот член дает Гирну основание
возражать против правильности кинетической теории газов, то
отсюда следует, что с исчезновением этого члена возражение Гирна
теряет свою силу.
Для того чтобы повысить надежность своих выводов, Гиря
обобщил свои рассуждения. Вместо допущения, что треть bcqx
молекулярных движений протекает параллельно направлению
струи, он сделал это допущение по отношению к неопределенной
доле а всех молекулярных движений; для этой доли он затем
вводит в расчет скорость и 4- v. Однако это обобщение независимо от
того, что оно НИ' на чем не основано, ни в какой мере не в
состоянии исправить допущенной им сшибгси.
Какой бы малой он ни прадполюжил дробь а, он всегда должен
был бы принять скорость и -\- v только для половины этой дроби;
для второй же половины он должен был бьи принять скорость
— и + v, что опять-таки имело бы своим последствием
исчезновение из выражения для р члена, содержащего множитель и.
Быть может, против примененного нами выше метода расчета
можно было бы выдвинуть иное возражение, которое на первый
взгляд производит известное впечатление своей явной простотой и
потому заслуживает некоторого внимания.
В том случае, когда и> v, разность—и + v 'отрицательна и
представляет собою скорость, направленную не к пластинке, а
обратно от последней. Таким образом можно было бы указать, что
если при определении живой силы! движений, происходящих в.
некотором пространстве, следует в одинаковой мере принимать в
расчет как оттрщательные, так и положительные скорости, то при
определении давления, производимого на пластинку, дело обстоит
иначе, так как молекула, обладающая отрицательной скоростью,
совершенно не может дойти до пластинки. Выходит, что из двух
скоростей u + v я — и + v следовало бы принимать в расчет
только первую.
Подобное рассуждение содержало бы в себе серьезную ошибку:
то не учло бы в достаточной мере тех видоизменений, которые
вызываются тем обстоятельством, что воздушная струя ударяется
о пластинку и в этом месте изменяет свое состояние движения.
Для того чтобы иметь возможность проследить за этим
явлением в случае, который удобно поддается раючету, мы пока
воспользуемся гипотезой Гирна, согласно которой воздушная струя,
попадая на пластинку, находится в том же состоянии, в каком:
она была незадолго до этого, и согласно которой каждая молекула,'

ПРОВЕРКА ВОЗРАЖЕНИЙ, ВЫДВИНУТЫХ ГИРНОМ 177
попадающая на пластинку в нормальном направлении,
отскакивает от нее нормально с той же самой скоростью.
Отсюда фактически возникло бы такое состояние, какое в
природе является невозможным. Цилиндрическое пространство с
поперечным сечением ms, содержащее в себе воздушную струю,
идущую по направлению к пластинке, которую мы назовем
поступательной струей, содержало бы в себе и ту струю, которая в
результате отражения молекул удаляется от пластинки и которую мы
назовем обратной струей. В этом случае пространство было бы
заполнено воздухом двойной плотности и содержало бы в себе
две взаимно противоположные струи, которые согласно допущению
не должны были бы мешать друг другу. Хотя в действительности
подобное состояние невозможно, тем не менее можно вообразить,
что оно существует, и поставить вопрос, каково же было бы в
фтом случае давление, оказываемое на площадь ms пластинки.
Хотя это давление и отличается от действительного давления,
но оно находится в простом отношении к последнему, так что по
одному из них можно судить о другом. В действительности
никакой обратной струи не существует, но из середины пластинки
воздух растекается по всем возможным направлениям к краям
пластинки, где он ее и покидает. При расширении благодаря
радиальному движению скорость Еоздуха с удалением от центра
уменьшается, так< что в случае применения пластинки, имеющей
такие же размеры, как в опытах Гирна, скорость воздуха после
оставления им пластинки можно считать очень незначительной и
при вычислениях не принимать ее в расчет. Таким образом
действие, вызванное сопротивлением пластинки, сводится лишь к
тому, что первоначальное движение струи уничтожается; в
идеальном же случае это действие сопротивления должно сверх того
вызвать еще одинаковое движение в противоположном
направлении, вследствие чего это действие должно удвоиться. Далее, в
идеальном случае площадь ms находится в соприкосновении с
воздухом удвоенной .плотности, так что и независящая от
истечения часть давления оказывается вдвое больше того давления,
какое имеет место в реальном случае обычной плотности. Отсюда
ясно, что давление, соответствующее идеальному случаю, вдвое
больше действительного давления.
После того как мы таким образом составили себе
представление о значении идеального случая, мы подвергнем его
математической разработке. Рассмотрим молекулу, молекулярные
движения которой параллельны направлению струи и которая увл:е-
кается поступательной струей воздуха достаточно близко к
пластинке, чтобы в результате своего молекулярного движения
получить возможность достичь последнюю. Эта молекула не один
только раз ударится о пластинку и затем отскочит от нее; после
отражения от пластинки и вступления в обратную струю она
снова ударится о пластинку и затем снова будет отброшена в
обратную струю; после этого она в третий раз налетит на пластинку,
чтобы затем вернуться в обратную струю. Эти процессы, каждый

178
Р. КЛАУ8ИУС
раз связанные с ударом о пластинку, будут п^должатьйя до
тех пор, пока обратная струя ,не увлечет молекулу настолько
далеко от пластинки, что она уже не будет в состоянии достичь
последнюю в результате «своих молекулярных движений. Коли*
чество ударов молекулы о пластинку будет тем больше, чем
больше дробь £.
Пограничная поверхность пластпнки играет здесь ту же роль,
что и перпендикулярная плоскость, которой мы раньше пересекли
струю, — с той лишь разницей, что молекулы вместо того, чтобы
перейти пластинку, отражаются от последней. Можно здесь еще
прибавить, что число ударов выражается нечетным числом, так
как число ударов, переводящих молекулу из поступательной струи
в обратную, на единицу превышаем число ударов, дающих
противоположный эффект. Сверх того, следует отметить, что удары
первого рода происходят со скоростью и + г\ между тем как при
ударах второго рода скорость равна и — v\ последняя в качестве
положительной скорости играет е обратной струе ту же самую
роль, какую скорость — и + v в качестве отрицательной скорости
играет в поступательной струе.
Последнего обстоятельства, а именно, что каждая молекула»
многократно ударяется о пластинку, Гирн не учел, так как он
допустил, что молекулы движутся прямолинейно, не мешая друг
другу, до встречи с неподвижной стеной, откуда должно следо*
вать, что каждая молекула встретится с пластинкой только одан
раз, после чего она тотчас же оставит пластинку. При этих
обстоятельствах он мог приписать влияние на давление только скорости
u + v, которая существует в момент первого удара.
Определим теперь давление, вызываемое ударами о пластинку,
учтя при этом в полном объеме описанное выше явление. Рас*
смотрим сначала те удары, которые переводят молекулу из посту*
нательной струи в обратную и которые происходят со скоростью
и\+ v. Вся масса, принимающая в этом объеме участие в ударах,
приведенная к единице времени (массу многократно ударяющихся
молекул следует ввести в расчет столько раз, сколько подобных
ударов они производят), составляет одну шестую часть массы,
содержащейся в цилиндре с поперечным сечением ms и длиною
1 s
в и + v, т. е. -Q — ms (и + v). Удары уничтожают скорость и + «
этой массы и снова сообщают ей эту скорость в противоположном:
направлении, благодаря чему возникает сила Едвое большая той,
какая необходима для сообщения скорости и + v\ эта сила
выражается удвоенным произведением массы на скорость, т. е. она
равна
Это произведение мы должны рассматривать как выражение
давления, вызываемого упомянутыми ударами о пластинку.

ПРОВЕРКА ВОЗРАЖЕНИЙ, ВЫДВИНУТЫХ ТОРНОМ 179
Точно таю же для удадров, происходящих со скоростью и — v,
мы получаем:
Наконец, если мы обратимся к другим двум третям общего
числа молекул, у которых молекулярные движения происходят
параллельно пластинке, то для их~ удара нам следует принять во
внимание лишь скорость v струи. Для производимого ими
давления мы получаем:
4 8
Если сложить все эти три выражения, то для всего да1вления,
производимого на пластинку, получается следующее выражение:
иди
Это давление, исчисленное для идеального случая, должно,
согласно сказанному раньше, быть вдвое больше действительного
давления. Следовательно, для последнего мы получаем:
Отсюда следует вычесть давление, производимое на заданную
поверхность ms пластинки, которое выражается с помощью
у --msu2, и тогда получится давление, вызываемое
исключительно только струей. Итак, если мы это давление попрежнему
обозначим через р, то для него мы получим равенство
p = jtnsv2,
которое совпадает с равенством (4), приведенным выше.
В действительности здесь отношения гораздо сложнее, чем1 в
том идеальном случае, который мы привлекли для определения
давления и при котором можно легко разобраться в малейших
деталях. Воздушная струя претерпевает изменения раньше, чем
она доходит до пластинки; она задерживается еще до достижения
последней, так как воздух, движение которого заторможено, не в
состоянии достаточно быстро уйти в стороны и освободить место
для следующей порции воздуха. Поэтому прибывадопщй воздух

180
Р. КЛАУЗИУС
должен частично смешиваться с иоздухом, находящимся еще у
пластинки, что не мсжет обойтись без многочисленных столкно*
вений между молекулами обеих воздушных масс в самых
разнообразных направлениях.
Здесь, конечно, уже не может быть речи просто о
прямолинейном и центральном ударе, при котором сталкивающиеся молекулы
просто обмениваются своими движениями; наоборот, здесь
происходят беспорядочные столкновения, при которых направления я
скорости движения многообразно и случайно изменяются, в
зависимости от точек взаимного соприкосновения. Молекулы с
отрицательным движением принимают участие в этих взаимных
изменениях движения, которые непрерывно происходят между всеащ
молекулами, так что и те и другие равным образом влияют на
состояние воздуха, находящегося перед пластинкой и
производящего на нее свое давление.
Если даже не входить в рассмотрение деталей всего этого
явления, легко непосредственно понять, что при определении
давления ни в коем случае не разрешается оставлять без
внимания имеющиеся в воздушной струе отрицательные скорости. А
коль скоро такое разрешение не дано, то и возражения,
выдвинутые Гириом на основе его уравнения (2) против кинетической
теории газов, теряют под собою почву.
Возражения, основанные Гирном на его опытах над
сопротивлением воздуха и над истечением газов, носят тот же характер,
что и его возражение, основанное на ударе воздушной струи о
пластинку.
При сопротивлении воздуха речь идет о случае, совершенно
аналогичном только что рассмотренному нами. Последний
относился к действию движущегося воздуха на тело, пребывающее
в покое, а в данном случае речь идет о действии пребывающего
в покое воздуха на движущееся тело. И возражения Гирна и
соображения, которые он приводит в их подкрепление, являются
в обоих случаях совершенно тождественными. Гирн в своих
опытах установил, что сопротивление воздуха зависит только от его
плотности, но не зависит от его температуры. По мнению Гирна,
этот вывод находится в противоречии с кинетической теорией
газов; но он пришел к этому заключению только потому, что при
теоретическом выводе сопротивления воздуха на основе
кинетической теории газов он принял в расчет только молекулярные
движения, происходящие по направлению к телу, и оставил без
внимания молекулярные движения, имеющие противоположное
направление. Так как неточность этого приема может быть
доказана совершенно тем же путем, что и раньше, нам не приходится
возвращаться к изложенным выше объяснениям.
Что касается истечения газов, то Гирн установил; достаточное
согласие между результатами своих опытов и обычными форму--
лами для скорости истечения. Но он полагает, что согласно шве»

ПРОВЕРКА ВОЗРАЖЕНИЙ, ВЫДВИНУТЫХ ГИРНОМ 181
таческой теории эту формулу следует применить не к скорости v9
а к выражению V 2 oluv -f- гЯ э где а опять-таки обозначает ту
долю всех молекул, у которой молекулярное движение
происходит параллельно "струе газа. Гирн полагает, что недостаточное
соответствие между этим выражением и указанной формулой
представляет собою аргумент против кинетической теории газов.
Обоснование этот заключения совершенно тождественно с тем,
какое он применил при изложенном выше обобщении своего
расчета для определения давления, производимого воздушной струей
на пластинку. Его аргументация основана на том, что из
движений, происходящих параллельно струе газа, он учитывает только
движения со скоростью и + v и оставляет без внимания столь же
многочисленные движения со скоростью — и-г v. Если бы он
учел: эти последние движения, то под корнем исчез бы член
2auv. Таким образом здесь мы снова встречаемся с указанной уже
выше ошибкой, для опровержения которой нам пришлось бы
только снова повторить сказанное нами выше.
Мне представляется необходимым сказать еще несколько слов
по поводу одного утверждения, касающегося истечения газов, в
котором речь идет о соображениях иного) рода.
При описанных в статье Гирна опытах по истечению газов,
разность давления, вызывавшая образование струи воздуха, была
все время мала по сравнению с давлением, господствовавшим как
внутри, так и вне сосуда. Внешнее давление составляло в общем
одну атмосферу, а внутреннее превышало ею только на 10—
27 мл ртутного столба; точно так же и скорости истечения
воздуха были меньше 100 м.
В противовес этому Гирн в одном примечании (стр. 117^
упоминает о позднее проведенных им опытах, при которых, как он
утверждает, им была достигнута скорость в 5 700 м, а именно —■
благодаря тому, что внешнее давление он понизил до 10 мм
ртутного столба, между тем как внутреннее оставалось равным
примерно одной атмосфере.
В прибавлении к своей статье (стр. 198) Гирн дополняет это
сообщение и указывает, что точное значение этой скорости
истечения составляло 4 266 м. Согласно кинетической теории
движения молекул воздуха при этой температуре могут происходить
максимально со средней скоростью в 500 м\ поэтому они не в
состоянии дать скорости, превышающей 4 000 м. Гирн полагает, что
и в этом опыте он тоже нашел решающий аргумент против
кинетической теории, и заканчивает свое рассуждение следующими
словами: «Это соображение содержит в себе решающее
доказательство против кинетической теории в том виде, как она была
разработана до настоящего времени».
После этого, конечно, у нас должен появиться живейший
интерес к тому, чтобы узнать, каким образом Гирн измерял большие
скорости. Но если прочитать продолжение его статьи, можно
увидеть, что он вообще не производил никаких измерений скорости:

182
*♦ КЛАУ8ИУС
оя измерял! лишь коипгчество воздуха, выделявшегоюя в единицу;
времени из сосуда и отсюда исчислял скорость путем теоретиче*
ских заключений.
Опыты показали, что когда внешнее давление постепенно
понижается, между тем как внутреннее остается неизменным на
высоте 750 мм, то количество вытекающего воздуха растет только
до того момента, когда внешнее давление снижается до 400 мм.
При дальнейшем понижении внешнего давления истечение
остается почти постоянным.
То обстоятельство, что с понижением давления количество
вытекающего воздуха стремится к некоторому максимуму, которого
оно в дальнейшем не в состоянии перейти, находится в очень
хорошем согласии с кинетической теорией. В самом деле, исходя
из этой теории, следует допустить, что в том случае, когда внешнее
давление равно нулю, молекулы, приходящие к отверстию в
результате своего молекулярного движения и под действием струи,
образовавшейся поблизости от отверстия, вылетают только с той
скоростью, какой они обладают в тот момент, когда они достигают
отверстия.
При этих условиях через отверстие уходит известное
количество воздуха, определяемое плотностью и внутренними
движениями; это количество и образует максимум. Далее, весьма
возможно, что количество вытекающего воздуха не растет
непрерывно в полном соответствии с уменьшением внешнего
давления, но что, наоборот, оно сравнительно быстро
приближается к максимуму, так что дальнейшее понижение внешнего
давления уже не вызывает сколько-нибудь заметного изменения
этот количества.
Что касается самого процесса истечения, то он различен в за*
висимости от того, вызывается ли он очень малым или же очень
большим внешним давлением. В первом случае не образуется
приблизительно цилиндрической струи, в которой воздух уже вблизи
отверстия имеет плотность, необходимую для того, чтобы
выровнять разность между давлением внутри струи и внешним
давлением. Напротив, в результате того, что при выходе из отверстия
молекулы сохраняют сбои разнообразные направления, струя
быстро расширяется, а так как молекулы на короткое время
задерживаются вблизи отверстия, чтобы уже на этом месте дать вырав-
няться давлению, то их взаимные расстояния поблизости от
отверстия должны быть совершенно отличными от тех, какдмя
они были бы, если бы это выравнивание могло полностью
осуществиться. Эти расстояния зависят почти исключительно
от состояния воздуха внутри приемника и очень мало — от
внешнего давления. Если бы Гирн учел эти обстоятельства, он
усмотрел бы в этом результате своих опытов подтверждение
кинетической теории газов. Вместо этого он развивает совершенно
иные соображения.
В том случае, когда внешнее давление значительно, можно
с помощью известных законов, пользуясь отношением меадду

ПРОВЕРКА ВОЗРАЖЕНИЙ, ВЫДВИНУТЫХ ГИРНОМ 183
внутренним: и внешним давлением', определить зависимость ялют-
цости 8, приобретаемой вытекающим воздухом при
выравнивании давления вблизи отверстия, от плотности его 8 0 в приемнике.
Если сверх того предполагается, что известно поперечное сечение
струи ms и количество воздуха, вытекающего в единицу времени,
можно отсюда определить скорость v. Пусть w0 — объем воздуха,
вытекающего в единицу времени, измеренный в приемнике; тогда
его объем, увеличившийся вследствие расширения, можно
выразить через -^р- . О другой стороны, если бы струя оставалась
постоянной, то воздух, вытекающий в течение единицы времени,
образовал бы цилиндр с поперечным сечением ms и высотой v9
объем которого равен nvsv.
Приравнивая друг к другу эти два выражения для объема,
цолучаям:
msv = -у2,
откуда следует:
v_ тК (б)
Этот метод расчета, который допустим лишь при высоком
внешнем давлении, Гирн совершенно в том же виде применил к
случаю, когда внутреннее давление было равно 750 мм, а внешнее
10 мм, хотя в данном случае характер истечения представляется
совершенно иным. Для поперечного сечения струи он сохраняет
(значение ms, определенное из сжатия для ■высокого давления;
далее, отношение плотностей у- он тоже определяет с помощью
той формулы, которая действительна только для случая высокого
внешнего давления, что в настоящем случае недопустимо, ибо
эта формула предполагает выравнивание давления. Так как
выведенное из этой формулы значение v очень мало и оно
используется в уравнении (5), то полученное отсюда значение v
оказывается чрезвычайно большим, а именно около 4 266 м. Если
бы внешнее давление было равно нулю, то этот расчет дал
бы для v даже бесконечно! большое число. Однако яшо, что
числам, полученным таким путем, нельзя придавать ни малейшего
значения.
В своих общих рассуждениях, занимающих значительную
часть обеих его статей, Гирн горячо восстает против
появляющейся у некоторых авторов тенденции к тому, чтобы
кинетическую теорию, которая свела определенные силы к движениям,
расширить настолько, чтобы вообще подобным образом можно
было объяснить все силы. В этом отношении я вполне согласен
с Гирном и вместе с ним считаю эту тенденцию преувеличением,
которое происходит вследствие того, что .полученному выводу
приписывают слишком большую общность и при этом теряют из вида

184
р. клаузитс
границы его действия. В своих работах по кинетической теория
газов я никогда не высказывал! того мнения, что все силы можно
объяснить с помощью движения. Больше того, я изложил закон,
доказывающий противоположное: я имею здесь в виду закон
вириала. &гот закон гласит, что каждое стационарное движение,
для того чтобы иметь возможность продолжаться, нуждается в
известных силах, которые динамически поддерживают его
равновесие; условие этого динамического равновесия указанный закон
выражает с помощью уравнения, один член которого представляет
собою живую силу движения, а другой — выражение, образуемое
координатами движущихся масс и составляющими сил. Это
уравнение дает возможность с полной уверенностью считать, что без
сил притяжения устойчивое состояние в природе было бы
совершенно невозможно.

ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
ПОЯСНЕНИЯ К ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
ДОЛОЖЕНО НА ЗАСЕДАНИИ БРИТАНСКОЙ АССОЦИАЦИИ
В АБЕРДИНЕ, 21 СЕНТ. 1850.

ЧАСТЬ I
О ДВИЖЕНИЯХ И СТОЛКНОВЕНИЯХ СОВЕРШЕННО
УПРУГИХ ШАРОВ
Из гипотезы, согласно которой мельчайшие части материи
находятся в быстром движении, причем скорость этого движения
возрастает с температурой, может быть выведено так много свойств
материи, в особенности, если ее взять в газообразной форме,—
что истинная природа этого движения является предметом
естественного интереса.
Даниель Бернулли (Daniel Bernoulli), Гарапат (Herapath),
Джоуль (Joule), Крёниг (Kronig), Клаузиус (dautfius) и др.
показали, что отношения между давлением, температурой и плотностью
в совершенном газе могут быть объяснены, если предпатюжитъ,
что частицы движутся с постоянной скоростью по
прямолинейным путям, ударяясь о стенки сосуда, содержащего газ, и
вызывая этим даовлшие. При этом нет необходимооти в допущении, что
каждая частица проходит большое расстояние по одной и той же
прямой линии, так как эффект образования давления остается
тем же, если частицы сталкиваются друг с другом; таким образом
прямолинейный отрезок пути, проходимый частицей, может быть
очень коротким. Клаузиус определил среднюю длину пути,
выразив ее через величину среднего расстояния между частицами, а
также расстояние между центрами двух час/риц в тот момент,
когда происходит столкновение. У нас в настоящее время не
существует каких-либо средств для установления того или
другого из этих расстояний; однако известные явления, как то: вну-
эденнее трение газов, прохождение теплоты через газ, а также
взаимная диффузия газов, повидимому, указывают на
возможность точного определения средней длины пути, проходимого
молекулой в промежутке между двумя последовательными
столкновениями. В целях создания основы для подобных исследований
на строгих принципах механики я изложу законы движения
неопределенного количества малых твердых и совершенно упругих
шаров, действующих друг на друга только во время столкновения.
Если окажется, что свойства подобной системы тел
соответствуют свойствам газов, то этим будет создана важная физическая
аналогия, которая может привести к более правильному познанию
«свойств материи. Бели опыты над газами не находятся в
согласии с гипотезой, дежадей s осцове этих TeopeiM, тоща наша, тео-

188
ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
рия, хотя она и находится в согласии с самой собой, должна быть
признана неспособной' объяснить явления в газах. В обоих
случаях необходимо рассмотреть те следствия, которые вытекают из
этой гипотезы.
Вместо того чтобы говорить, что частицы тверды, шарообразны
и упруги, мы можем, если нам угодно, говорить, что частицы
представляют собою центры силы, действие которой становится
заметным лишь на определенном малом расстоянии, когда она внезапно
проявляется в виде отталкивательной силы очень большой
интенсивности. Совершенно ясно, что оба эти предположения приведут
к одним и там же результатам. Для того чтобы избежать
повторного употребления длинной фразы относительно этих отталкива-
тельных сил, я буду продолжать исходить из предположения о
совершенно упругих шарообразных телах. Если мы предположим,
что подобные собранные в группы молекулы, совершающие
совместно движение, ограничены поверхностью, отличной от
шаговой, тогда вращательное движение системы, как это было
доказано Клауэиуоом, должно аккумулировать известную часть всей
живой силы; в этом случае мы можем считать, что^ удельная
теплоемкость должна быть больше, чем при более простой гипотезе.
О ДВИЖЕНИИ И СТОЛКНОВЕНИИ СОВЕРШЕННО УПРУГИХ ШАРОВ
Предложепие I. Два шара, движущиеся в
противоположных направлениях со скоростями, обратно пропорциональными их
массам, сталкиваются друг с другом; определить их движение
после удара.
Пусть Р и Q положения центров в момент удара; АР\ BQ —
направления и величины скоростей перед ударом: Pa, Qh — то же
самое после удара; тогда, разложив скорости параллельно и
перпендикулярно линии центров PQ, мы найдем, что скорости,
параллельные линии центров, превращаются в прямо противоположные,
а скорости, перпендикулярные к этой линии, остаются без
изменения. Сложив снова эти скорости, мы находим, что скорости
каждого шара остаются одними и теми же до и после удара к что

пояснения lc кинетической теорий газов 189
направления их до и после удара лежат в одной плоскости о
линией центров и образуют с нею одинаковые углы.
Предложение II. Найти вероятность того, что направление
скорости после удара лежит между заданными пределами.
Для того чтобы могло произойти столкновение, линия
движения одного из шаров должна пройти мимо центра другого ншра
на расстоянии, меньшем суммы их радиусов; другими словами,
она должна пройти по кругу, центром которого является центр
другого шара и радиус 5 которого равен сумме радиусов шаров.
Внутри этого круга любое положение одинаково вероятно, поэтому
вероятность, что расстояние от центра заключается между г и
r+dr, равна
2rdr
Далее, пусть ?—угол АРа между первоначальным
направлением и направлением после удара; тогда APN=y? и
r = ssin-2 ср, и вероятность равна
у sin <р d<p•
Площадь сферической зоны между углами полярного
расстояния <р и cp-j-d!<p равна
2и sin ср d®,
поэтому если а> — малая площадь поверхности шара с радиусом,
равным единице, то вероятность, что направление отражения
шара пройдет через эту площадь, равна
(О
таким образом эта вероятность не зависит от <р, т. е. все
направления отражения равновероятны.
Предложение III. Даны направление и величина скоростей
двух шаров до их столкновения, а также линия центров в момент
удара; найти их скорости после столкновения.
Пусть О А, ОВ представляют собою скорости до удара, таль что
если бы между телами не было никакого действия, они в конце
секунды были бы в А и В. Проведем линию А В и пусть G будет
центром их тяжести, на положение которого их взаимное действие
не влияет. Проведем GN параллельно линии центров в момент
удара (необязательно в плоскости АОВ). Проведем aGb в
плоскости AGN таким образом, чтобы NGa = NGA, Ga — GAuGb — GB;
тогда согласно предложению I Ga и Gb будут скоростями
относительно G; сложив их с OG, мы получим Оа и Ob в качестве
действительных скоростей после улара.
Согласно предложению II все направления линии aGb
равновероятны. Таким образом получается, что скорость после удара

190
ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
составляется из скорости центра тяжести и из скорости, равной
скорости шара по отношению к центру тяжести, которая с одина*
ковой вероятностью может иметь любое направление.
Если бы в совершенно упругом сосуде находилось в движении
большое количество равных шаровидных частиц, то между часгга-
цами происходили бы столкновения, и их скорости изменялись бы
при каждом столкновении: таким образом спустя известное вреаля
живая сила распределилась бы между частицами согласно
некоторому правдльному закону, причем можно было бы определить
среднее число частиц, скорости которых лежат между
определенными пределами, хотя скорость каждой отдельной частицы
изменяется при каждом столкновении.
Фиг. 2.
Предложение IV. Определить среднее число частиц,
скорости которых лежат между заданными пределами, после большого
числа столкновений между большим числом одинаковых частиц.
Пусть N — общее число частиц. Пусть х, у, г — составляющие
скорости каждой частицы по трем взаимно перпендикулярным
направлениям и пусть число частиц, для которых х лежит между х
и х + dx, ряшпо Nf(x) dx, где f(x) — некоторая функция от х,
которую следует определить.
Число частиц у которых у лежит между у и у + dy, равно
Nf(y) dy, а число частиц, у которых z лежит между *г и z + dz9
равно Nf(z) dz, где f во всех случгаях обозначает одну и ту же
функцию.
Но существование скорости х никак не должно влиять на
существование скоростей у или г, так как все они находятся под
прямыми углами друг к другу и не зависят друг от друга1);
поэтому число частиц, скорости которых лежат между х и х + dx,
между у и у + dy и между z и z + dz, равно
Nf(x)f(y)f(z)dxdydz.
*) Это положение впоследствии подвергалось сильной критике. Оно
представляет самое уязвимое место этого первого вывода закон Максвелла. В
настоящее время закон Максвелла доказывается более строго многими
другими способами. Ред.

Пояснения к кинйФЁЧЕСкой теорий газов lfll
Если мы предположим, что N частиц вышло в одно и то же
мгновение из начала координат, тогда это будет число частиц
в элементе объема dxdydz спустя единицу времени, а число
частиц, отнесенное к единице объема, составит
Nf(x)f(y)f(z).
Но направления координат совершенно произвольны, поэтому
данное число должно зависеть только от расстояния от начала
координат, т. е.
f(x)f(y)f(z) = <?(x*+y*+z*).
Разрешив это функциональное уравнение, получаем:
f(x) = CeAx\ ?(r2) = (7^Ar8.
Если мы сделаем А положительным, то число частиц будет
Возрастать вместе со скоростью, и мы должны притти к выводу,
что общее число частиц бесконечно велико. Поэтому мы сделаем А
отрицательным и равным —^-, так что число частиц в
интервале от х до x-\-dx будет равно
NCe «Jdx.
Интегрируя от х — — оо до х = оо, мы найдем общее число
частиц
откуда
и таким образом f(x) равно
х1
1 с~«
t—- с? •
о у тг
Отсюда мы можем вывести следующие заключения:
1. Число частиц, скорость которых, разложенная в
определенном направлении, лежит между х и x-{-dx, равно
_**
N—X—r*dx. (1)
a V я
2. Число частиц, действительные скорости которых лежат
между v и v-^-dy, равно:
_**
N * v4 **dv. (2)
а3|/тГ

192
ДЖ. К. МАКСВВЛЛ
3. Для того чтобы определить среднее значение v, следует
скорости всех частиц сложить и сумму разделить на число
частиц, в результате чего получается:
2 ос
средняя скорость = —==. (3)
У ТС
4. Для того чтобы определить среднее значение г;2, следует
все эти значения сложить и разделить на N;
среднее значение v* = у а2. (4)
Последнее больше квадрата средней скорости, как эта действие
тельно и должно быть.
Из этого предложения явствует, что скорости распределяются
между частицами по тому же закону, по которому распределяются
ошибки между наблюдениями в теории «метода наименьших
квадратов». Скорооти лежат в пределах от 0 до оо, однако число
молекул, имеющих большие скорости, сравнительно невелико. В
дополнение к тем скоростям, которые равны во всех
направлениях, может существовать и общее движение переноса всей
системы частиц, которое должно быть присоединено к движению
частиц друг относительно друга. Одно из этих движений мы
назовем движением переноса, а другое — переменным движением.
Предложение V. Две системы частиц находятся в
движении, причем каждая из них движется согласно закону, установи
лепному в предложении IV. Найти число пар частиц, по одной из
каждой системы, относительная скорость которых лежит в
заданных пределах.
Пусть число частиц первой системы равно N и второй системы
ЛГ, тогда общее число подобных пар равно NN\ Рассмотрим только
скорости в направлении х\ тогда согласно предложению IV число
частиц первого рода, скорости которых лежат в промежутке от х
дЪ х + dx, равно
N ■ * е*&с.
аУ тс
Число частиц второго рода, скорость которых лежит между
х-\-у и x-{-y-\-dy, равно
где р представляет собою значение а для второй системы.
Число пар, удовлетворяющих обоим этим условиям, равно

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 193
Но х может иметь любое значение от — оо до + ос, причем
одновременно разность скоростей может заключаться между у
и y-\-dy\ поэтому, интегрируя между указанными пределами,
мы получаем:
NIT-
(5)
для всего количества пар, у которых разность скоростей лежит в
промежутке от у до у + dy. Это выражение, которое принимает
тот же вид, что и выражение (I), если мы заменим N через NN\
а2 через а2 + £2 и х через у, показывает, что распределение
относительных скоростей регулируется тем же законом, что и
распределение самих скоростей, и что средняя относительная скорость
равна квадратному корню из суммы квадратов средних скоростей
обеих систем.
Так как направление движения каждой частицы в одной из
систем может быть заменено противоположным без изменения
распредления скоростей, то отсюда
следует, что скорости, составленные
из скоростей двух частиц, по одной
из каждой системы,
распределяются согласно той же формуле (5), что
и относительные скорости.
Предложение VI. Две
системы частиц движутся в одном и
том же сосуде; доказать, что сред-
няя живая сила каждой частицы
одинакова в обеих системах.
Пусть Р—> масса каждой
частицы в первой системе и Q —т во
второй системе. Пусть р, q — средние
строгой обеих систем до столкновения и р\ q — средние скорости
после одного столкновения. Пусть ОА = р и OB=>q и пусть АОВ
прямой угол; тогда согласно предложению (V) АВ -будет средней
относительной скоростью, OG будет средней скоростью центра
тяжести. Если провести aGb под прямым углом к OG и отложить
aG = AG и hG — BG, то Оа, будучи составлена из 0G и Ga, явится
средней скоростью частицы с массой Р после удара, а аОЪ —
средней скоростью частицы с массой Q после удара.
*) Интегрирование производится следующим путем: за исходную точку
Фиг. 3.
берут / е * du — jfizA и вместо и вставляют переменное х, связанное
уь*
— оо
с уравнением
U == уаЗ+Т3 # +
V** + p*
а в окончательном результате заменяют Л черев ag. Ред.

164
ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
Но
АВ = \Гр* + 9*, AG = ¥f-Vp2-\-i\
+ -QVW+*, OG=^f+W
р —иа— T^Q '
„f — nh — Vi»(p* + <i2) + p2p2+W
q—uo— p + (?
Pp'2 - Qq'2 = (T=$f (Pp2 - Q«2). (6)
Отсюда ясно, что количество Pp2 — Qq2 при каждом
столкновении уменьшается в одном и том же отношении, так что после
многих ударов оно становится равным нулю и тогда
Pp* = Qq*.
Но средняя живая сила составляет у Ра2 = ^- Рр2 для Р и
-g- Qg2 для Q; ясно, что эти величины будут равны, когда
Pp2 = Qq\
Если некоторое количество различных родов частиц,
имеющих массы Р, Q, В и соответственно скорости ру q, г движутся
в одном и том же сосуде, тогда после многих столкновений
РР2 = Qq* _ ДГ2, И Т. Д. (7)
Предложение V1L Частица движется со скоростью г
относительно некоторого количества частиц, число которых в единице
объема равно N; определить число тех частиц^ к которым она
приближается в единицу времени на расстояние не свыше s.
Если мы опишем цилиндрическую поверхность, осью которой
является путь частицы, радиусом расстояния s, то объем,
соответствующий поверхности, описанной в течение едпницы времени,
составит nrs2, а число частиц, содержащихся в этом объеме, будет
равно
Nnrs2. (8)
Это и есть то число частиц, к которым! движущаяся часашца
приближается на расстояние не свыше js.
Предложение V1\L Частица движется со скоростью v
в системе, которая находится в движении согласно закону,
изложенному в предложении IV; определить число частиц, скорости
которых относительно движущейся частицы заключаются между
г и г + dr.

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 195
Пусть и—действительная скорость частицы системы, v —
действительная скорость избранной наше частицы, г — их
относительная скорость и 8 — угол между ю и г; тогда
и* = v1 + г1 — 2vr cos &.
Если, как в предложении IV, мы допустим, что все частицы
одновременно выходят из начала координа+, тогда спустя единицу
времени «плотность», шги число частиц в единице объема, на
расстоянии % составит:
N-
'а»
Отсюда нам следует вывести число частиц в слое, центр
которого находится на расстоянии v, радиус равен г и толщина
равна dr.
{Г-V)* _ (Г + У)*
я^гЛ\'~ " —~ "' }*» «
что и дает искомое число.
Дополнение. Очевидно, что если мы проинтегрируем это
выражение отг = Одог = <х>, мы должны получить общее число
частиц, равное N, откуда мы пблучаем следующий
математический вывод:
00 (X - а)* __ (х + а)*
fdx-x(e " —е в' }=*уТаг*). (10)
о
Предложение IX. Две группы частиц движутся так же%
пак указано в предложении V; определить число пар,
сближающихся в течение единицы времени на расстояние не свыше $.
Число частиц второго рода, скорости которых заключается
между v и v + dv, равно
_у*_
N'—^v2e *'dv = n'.
г) Вводя переменное w3 = v3 + '3 — 2rt?cos9 и взяв за элемент объема
2rcrsinurd&, мы получим (9), проинтегрировав по 0 от 0 до я. Ред.
2) Величину интеграла (10) Максвелл находит исходя из физических
соображений. В данном случае его вычислить не так трудно и непосредственно,
вводя в получающихся двух интегралах новые переменные х — a = z
и х + а =г и. Интегрирование приводится к следующим хорошо известным
интегралам:
РеО.

196 ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
Число частиц первого рода, относительные скорости которых
по отношению к указанным частицам лежат в промежутке от г
и r-\-dr, равно
а число пар, сближающихся в единицу времени на расстояние
не свыше s, составляет;
_^г (»-')' (Р + гу
NN1 ±>s*r*ve р(е *' — е а' jdrdt;.
Согласно последнему предложению мы можем это выражение
проинтегрировать по v, что дает:
А. Л/ г*
NN'—*-^ s7r*e~ ~* + P dr ^
(a* + p3)v
Проинтегрировав снова от r = 0 до r = oo, мы получаем:
2NN' VT" /^4^2 s2, (11)
что дает число столкновений в единицу времени, происходящее
(между частицами различного рода в единице объема, так как $
представляет собою расстояние между их центрами в момент
столкновения. Число столкновений между двумя частицами
первого рода, у которых расстояние между центрами в момент удара
равно s, составляет:
а для частиц второй системы оно равно
Средние скорости частиц обеих систем равны —р= и -~L=,
так что если 1Х и 12 представляют собою средние расстояния,
проходимые частицами первой и второй системы между двумя
столкновениями, то ■
± = KNlV^JJL8,+nN,VYsl
*) Прежде чем применить теорему (10) из предыдущего параграфа, надо
ввести новые переменные в обе показательные функции:
и уже к переменной v' применить результат, полученный в предыдущем
параграфе. Ред.

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 197
Предложение X. Определить вероятность того, что частица
пройдет заданное расстояние до того, как она столкнется с другой
частицей.
Допустим, что вероятность частицы быть заторможенной при
прокождении пути dx равна a dx\ это значит, что если N частиц
пройдут путь х, то Na dx из них будут заторможены до того, как
они пройдут расстояние dx. Если это выразить математически,
получается:
™ = — Na или N=Ce~*x.
ах
Положив N = 1, когда #=»0, мы найдем, что е~** представляет
собою выражение верояятюсти, что частица не столкнется с какой-
либо другой частицей ранее достижения ею расстояния х.
Среднее расстояние, проходимое каждой частицей до
столкновения, равно - = J. Вероятность частицы пройти расстояние nl
без столкновения равна Гп (см. работу Клаузиуса, «Philosophical
Magazine», February 1859). .
Если все частицы, за исключением оданой, находятся в покое,
то в этом случае а имеет следующее значение:
а = та W,
где s — расстояние между центрами в момент столкновения, а
N — число частиц в единице объема. Если i; —-скорость
движущейся частицы по отношению к частицам, находящимся в покое,
тогда числа столкновений в единицу времени составляет
vns2N,
а если vx — действительная скорость, то упомянутое число
столкновений равно v±a, откуда следует:
где Vi — действительная скорость .сталкивающейся частицы, а
v — ее относительная скорость по отношению к тем частицам, с
которыми она сталкивается. Если /действительная скорость
остальных частиц равна vl9 то v= ^1^ + 1¼8. Если vx = v2i то
0 = 1/2*0! и
а = ]/1Гта2Ж
Примечаниех). У Клаузиуса получается: а = -у- *** #•
*) В Philosophical Magazine, I860, vol. I, p. 434—43«. Клаузиус излагает
свой метод, с помощью которого он получил свое значение средней
относительной скорости. Этот метод вкратце сводится к следующему. Если и и v—
скорости двух частиц, то их относительная скорость равна Yu<2 + v*—2 uv cos &•
среднее же значение этой скорости по отношению только к направлению

198
ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
Предложение XL В смеси частиц двух различных газов
определить средний путь каждой частицы.
Пусть Ыг — чисто частиц первого рода и N2 — число частиц
«второго рода IB единице объема. Пусть st — расстояние кежду цен**
ярами в момент столкновения дпвух частиц первого рода, s2 — то
же для частиц второго рода и s' — для пар частиц по одной
каждого рода. Пусть vx и Vi—(скорости, М± и М2 — массы каждой
частицы.
Вероятность, что частица М не столкнется с другой частицей
того же рода до того, как она пройдет путь toL9 равна
Вероятность, что она не столкнется с частицей друпого рода
на том же расстоянии, равна
е
Следовательно, вероятность того, что частица до прохождения
пути х не столкнется с какой бы то ни было частицей, равна
принимая во внимание, что все направления v равновероятны, составляет,
как это доказывает Клаузиус,
1 w3 1 и5
я + -s » когда w<t),Htt + -= , когда и>v.
о V 6 U
В случае v = и эти выражения совпадают. Клаузиус, применяя этот метод
и обозначая через и и v средние скорости, полагает, что средняя отноеи-
тельная скорость представлена выражением совершенно такого же вида, так
что в случае если каждая из средних скоростей равна и, то средняя о#но-
4
сительная скорость составляет — и. Однако этот прием не свободен от
возражений. В самом деле, если мы примем указанные выше выражения
в качестве средних скоростей, рассматривая и и v как скорости двух
частиц, которые могут иметь любые значения от 0 до оо, то для исчисления
средней относительной скорости мы должны поступить следующим образом.
Так как число частиц, скорости которых Лежат между и и и + du> равно
— if!
N — и*е duy
а? у тс
то средняя относительная скорость равна
оо оо /и* т/*\
+#y/~"s+p('+*?)**
О О
2 --^
Это выражение, по выполнении указав ных операций, приводит к —т= у a3-J-g3
что совпадает с выводом, указанным в тексте. Англ. издаш,

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 199
и если lt представляет собою среднее расстояние для частицы
первого рода, то
±=V^^iNi + *yi^&**Nt. (12)
Аналогично, если 12 — среднее расстояние для частицы
второго рода, то
£ = 1Л2 ^A + tc/l + gs'X (13)
Средняя плотность частиц первого рода составляет NiM1**=pu
то же для второго рода N2M2 = р2. Если мы положим
(14)
то
-}- = АР1 + В9г, Ja = CPl + D9s (16)
С Жа»! v\'
(16)
Upедложение XII. Определить давление на единицу
площади стенки сосуда, вызванное ударами частиц о стенку.
Пусть N—количество частиц в единице объема,
М—масса каждой частицы,
v —скорость каждой частицы,
I —средний путь каждой частицы;
тогда число частиц в слое, имеющем площадь, равную единице,
и толщину dzy равно
Ndz. (17)
Количество столкновений этих частиц в единицу времени
составляет
Ndz±. (18)
Количество частиц, проходящих после столкновения путь,
заключающийся между nl и {n-\-dri)l, равно
N^e"ndzdn. (19)
Доля тех частиц, которые сталкиваются на единице
площади на расстоянии я, составляет
**— 1ч (2°)
2nl h
*) На сфере радиуса nl строим кольцо: 2ш1 sin & nl db, после интегриро-
* z
вания в пределахот О до О^имеем %^vpP\\— cos Ь}] величина же cos 02 = -^-. Цод-

200
ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
средняя скорость этих частиц в направлении z равна
v -Щ- >• (21)
Перемножив выражения (19), (20), (21) и умножив их
произведение на М, мы получаем момент при ударе:
MNlSw (пЧ*— я2) ^ndz dn.
Интегрируя по z от 0 до nl, получаем:
±MNv2ne-ndn.
о
Интегрируя по п от 0 до оо, получаем:
±MNv2;
о
таково выражение момента ударяющихся частиц в
направлении z; так как момен* частиц после удара по величине остается
неизменным, но меняет свое направление на противоположное,
то все давление на единицу площади равно удвоенной его
величине, или
p^jMNv22). (22)
Это значение р не зависит от длины пути /. Применяя этот
вывод к теории газов, мы полагаем MN=? и v2 = sk; тогда
р = кр,
что представляет собою закон Бойля и Мариотта. Согласно (4)
мы имеем:
в"-! а»,
откуда
«2 = 2fc. (23)
ставив это значение cosJ^ и разделив на величину поверхности сферы 4гсп3Р,
находим (20). Ред.
г) Среднее значение cos & для частиц (20) получается умножением v cos & на
-^- sin 0 d&, и интегрированием от О до ^ [см. примечание к ур-ию (20) настоя-
щего параграфа] получаем — v 1— cos2 Ьг = — v 1 — -^- , а разделив
это выражение на (20), т, е. на общее число частиц этого сорта, находим
выражение (21). Ред.
2) Этот прием доказательства интересен тем, что он показывает
независимость величины давления от средней длины пути. Ред.

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 201
Мы видели, что яа основании гипотезы об упругих частицах,
движущихся по прямолинейным путям, давление газа может быть
объяснено, если исходить из допущения, что квадрат скорости
прямо пропорционален абсолютной температуре и обратно
пропорционален удельному весу газа при постоянной температуре, так
что при одном й"том1 же давлении и одной и той же температуре
значение MNv2 является общим для всех газов. Но в
предложении VI мы i установили, что когда две группы частиц передают
Друг другу свое движение, то Mv2 в каждой из них имеет одно и
то же значение. Отсюда следует, что N, число частиц в единице
объема, является при равном давлений и равной температуре
одинаковым для всех газов. Этот вывод находится в согласии ю
законом химии, в силу которого равные объемы газов химически
эквивалентны.
Теперь нам следует определить значение I, средней длины
пути частицы между двумя последовательными столкновениями.
Наиболее прямой метод разрешения этой проблемы снован на том
факте, что когда два различных слоя газа скользят .один по
другому о различными скоростяшг, то они действуют друг на друга
с тангенциальной силой, стремящейся пресечь это скольжение, —
а также на аналогичном влиянии газа на трение в промежутке
между двумя твердыми поверхностями, скользящими одна мимо
Другой. Согласно нашей гипотезе объяснение трения газов
заключается в том, что частицы, принадлежащие к одному слою (газа и
обладающие некоторой средней ^ скоростью перемещения, уходят,
из последнего и вступают в другой слой, обладающий иной
скоростью перемещения; сталкиваясь с частицами газа второго слоя,
они воздействуют на них с тангенциальной силой, кото{рая и
образует внутреннее трение газа. Все трение между двумя массами
газа, отделенными друг от друга плоской поверхностью, зависит
от общего действия между всеми слоями, расположенными на
одной стороне от этой поверхности, на все слои, расположенные на
другой сторойе,
П редложение XIII. Определить внутреннее трение в системе
движущихся частиц.
Пусть система частиц разделена на слои, параллельные
плоскости ху, пусть движение перемещения каждого слоя в
направлении х равно и и пусть и = A + Вг. Нам следует рассмотреть
взаимное действие между слоями, расположенными на
положительной и отрицательной сторонах плоскости ху. Опредешшм
прежде всего взаимодействие между двумя слоями dz и dz\
расположенными на расстояниях z и — z' с противоположных сторон
плоскости, причем каждый слой имеет св>им основанием единицу
площади. Согласно (19) число частиц, которые, исходя из dz в
единицу времени, (проходят расстояние от nl до (п + dn)l равно
Nj*-:ndzdn.

202 ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
Число тех частиц, которые заканчивают свой путь в слое dz',
равно
N^~e"ndzdzrdn.
Средняя скорость по направлению х, которой обладает каждая
из этих частиц до столкновения, составляет A-\-Bz, а после
столкновения A-\-Bz'; так как масса частицы равна Af, то
каждая частица сообщает средний момент MB(z—z'). Поэтому
все действие, вызванное этими столкновениями, составляет
NMB -gjp- (z -z') е- п dz dz'dn.
Это выражение следует прежде всего проинтегрировать
по tf от *' = 0 до z'=*z — nl; это дает:
\NMB ^р(пЧ* -z*)e~ndzdn;
последнее представляет собой взяимодействие между слоем dz
и всеми слоями, лежащими по другую сторону от плоскости %у.
Интегрируя затем от z = 0 до z = nls получаем:
±NMBlvn*e~ndn.
о
Интегрируя по п от п = 0 до п = оо, находим, что все трение
между единицами площади, расположенными над плоскостью
и под ней, составляет
где ft —обычный коэфициент трения:
а = — olv = т= ; (24)
Г 3 Y 3*^2 т&* '
здесь р — плотность, I — средняя длина пути частицы и г;
—средняя скорость: v = —-^====21/-,
1/ 7Г " 7С
'~Н/£- (»)■
Профессор Стоке из опытов с воздухом установил, что
/:
£- = 0,116.
Если мы) примем, что |^й?=930 фущв в секунду для воздуха
при 60° и что, следовательно, средняя скорость v — 1 505 футо©
в секунду, то значение /, среднего расстояния, проходимого
частицей между двумя последовательными столкновениями, равно ^^

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 203
части дюйма, и каждая частица испытывает 8 077 200 000
столкновений в секунду.
Уравнение (24) приводит нас к замечательному выводу,
который заключается в том, что если! изложенное здесь истолкование
тршия газов правильно, то коэфициент трения не зависит от
плотности. Этот вывод из математической теории является крайне
поразительным, и единственный опыт, с которым я встретился в
этой области, его как будто не подтверждает. Поэтому в
ближайшем нам придется сопоставить свою теорию с тем, что известно о
диффузии газов и-о прохождении теплоты через газ1).
ЧАСТЬ II
О ПРОЦЕССЕ ВЗАИМНОЙ ДИФФУЗИИ
ДВУХ ИЛИ БОЛЕЕ РОДОВ ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСТИЦ2)
В первой части настоящей работы мы показали, что движения
системы большого количества м^лъгх упруших частиц бывают двух
родов:' одно общее движение переноса всей системы, которое
может быть пазвано массовым движением, и другое переменное или
молекул!ярное движение, в силу которого скорости рахзнределяютея
между, частицами по всем направлениям согласно известному
закону. В тех случаях, которые мы исследуем, столкновения между
частицами происходят стожь часто, что закон распределения
скоростей молекул, будучи нарушен каким-либо образом, тотчас же в
г) Этот вывод, показавшийся Максвеллу парадоксальным, в дальнейшем
блестящим образом подтвердился. Ред.
') Методы и выводы этой работы были подвергнуты критике со стброны
Нлаузиуса в мемуаре, опубликованном в Poggendorfs Annalen, Vol. CXV и
в Philosophical Magazine, Vol. XXIII. Главное возражение его заключалось
в том, что различные условия слоев, рассмотренные в этой работе,
недостаточно полно представлены в уравнениях. В частности, если имеется ряд
перпендикулярных к оси х слоев с различными температурами, то доля тех
молекул, направления которых образуют с осью углы, косинусы которых
лежат в промежутке от jx до ц + dp, равна не — Ф, как это было принято
Максвеллом в его работе, а — Hdpf где И представляет собою множитель,
который следует определить особо. Исследуя стационарную передачу тепла
в газе, Клаузиус допускает, что в дополнение к скорости, имеющейся у
молекулы согласна теории Максвелла, мы должны приписать им еще и
скорость, нормальную к слоям и зависящую от температуры слоев. На основе
этого допущения наряду с другими исследуется множитель Н и определяется
выражение для принятой скорости, исходя из того соображения, что в том
случае, когда течение теплоты происходит стационарно, не происходит
никакой передачи газа. Сочетая свои собственные выводы с выводами
Максвелла, Клаузиус указывает, что выражение, представленное в (28) настоящей
работы, содержит в себе в качестве вывода движение газа. Он оспаривает
также правильность выражения (59) для теплопроводности.
Во введении к мемуару, опубликованному в Phil. Trans. 1866, можно
видеть, что Максвелл выражает неудовлетворенность своей прежней теорией
диффузии газов и признает правильность возражений, сделанных Клаузиусом
против его формулы для теплопроводности. Лнгл. изд.

204
ДЯС. К. МАКСВЕЛЛ
неощутимо короткое время восстанавливается; таким образом:
движение молекул будет все время заключаться в этом определенном:
переменном движении в сочетании с общим движением переноса.
Когда два газа сообщаются друг с другом, то струи обоих газов
могли бы свободно течь в противоположных направлениях, если
бы только не было столкновений, происходящих между
частицами. Следует определить, насколько быстро газы в
действительности проникают друг в друга. Диффузия обязана сво|им
происхождением частью рассеянию частиц при молекулярном движении,
частью действительному движению двух противоположных
течений в массах, вызываемому внешним давлением и сдерживаемому
столкновениями противодоложиых струй. В том случае, когда
плотности равны, диффузии, вызванные
указанными двумя причинами, относятся друг
к ЙРУГУ соответственно как 2 к 3.
Предложение XIV. В системе частиц,
у которых плотность, скорость и т. д. являются
функциями х, определить количество веще-
ства, переносимого через плоскость yz
исключительно благодаря переменному движению.
Если на одной стороне рассматриваемой
Фиг. 4. плоскости количество частиц, их скорость или
средняя длина пути больше, чем на другой
стороне, тогда в одном направлении черод плоскость проходит
больше частиц, чем в другом; в этом случае происходит перенос
вещества через плоскость, величину которого нам следует
определить.
Возьмем слой, толщина которого равна dx и основание равно
единице площади, расположенный на расстоянии х от начала
{коордицат. Число столкновений, происходящих в этом слое в
единицу (времши, (равно
N ^-dx.
Доля тех частиц, которые до своего столкновения с другими
частицами проходят путь от nl до (п -j- dn)l, составляет
e~ndn.
Доля тех частиц, которые проходят через плоскость yz, равна
nl + x 1 nl — X
~2пГ > К0ГДа х лежит между— nl и о, и ^Г~ когда х лежит
между 0 и +п1, в последнем случае взят отрицательный знак,
так как частицы проходят через плоскость в отрицательном
направлении. Масса каждой частицы равна М; поэтому количество
вещества, которое испускается слоем dx пересекает плоскость yz в
положительном направлении и оталкивается с другими часщцами
на расстояниях от nl до (п + dn)l, равно
1¾¾¾) **-•*,. (26)

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 205
где х должен иметь значение, лежащее в промежутке + nl, а
верхний или нижний знак должен быть в^ят в соответствии с тем,
является ли х положительным или отрицательным.
При интегрировании этого выражения мы должны помнить, что
W, v и I являются функциями х не обращающимися в нуигывашоте
о х, величина которых очень мало изменяется при изменении в
пределах от х = — nl р$ x*= + nl
Когда нам представляется случай произвести подобное
интегрирование, мы должны во избежание затруднений здесь указать,
что в том случае, когда U и г являются функциями й?„ не нрчезаю-
щшш вместе с аг, значения которых очень мало изменяются в
пределах о* #;= + г до х =— г, то
f± mmdx=^2 ^ (^-+2). (27)
— г
В, том случае, когда т — число нечетное, следует принимать во
внимание лишь верхнцй знак; если же т — число четное или
нушь, следует фать мрхний знак при положительных значениях
и нижний знак при оарщаяшьных значениях. Применив
сказанное к приведенному овыше случаю, имеем:
-nl
— fit
Теперь нам следует проинтегрировать
со
f-H(MNvl)^e-ndn,
О
причем п следует взять от 0 до оо . Таким образом мы для
количества материи, переносимой переменным движением в единицу
времени через единицу площади, получаем:
« = -isW> (28)
где р = MN представляет собой плотность, v — среднюю скорость
колебательного движения и I — среднюю длину пути.
Предложение XV. Количество вещества, переносимого в
результате движения перемещения, происходящего со скоростью v,
очевидно, равно
Q = v9. (29)
Предложение XVI. Определить результирующий
динамический эффект всех столкновений, происходящих в данном слое.

20C
ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
dx
Фиг. 5.
Если предположить, что плотность и скорость частиц являются
функциями #, тогда в данный слой будет поступать больше
частиц с той стороны, на которой плотность является наибольшей;
а те частицы, которые имеют наибольшие скорости, произведут и
наибольший эффект; таким! образом, как общее правило, слой не
будет находиться в равновесии, и дицамической мерой силы,
приложенной к слою, явится результирующий момент всех частиц,
пребывающих в слое в течение единицы времени. Мы сначала
рассмотрим случай, когда совершенно отсутствует движение переноса,
а затем отдельно рассмотрим эффект, производимый подобным:
движением.
Возьмем в начале координат слой
толщины а (малая величина по
сравнению с I) с площадью, равной единице,
перпендикулярный к оси х, и возьмем
другой слой, толщиной &ес площадью
в одну единицу, на расстоянии х от
первого.
Если М — масса одной частицы, N —
число частиц в единице объема, v — скорость колебательного
движения, I — средняя длина пути, то число столкновений,
происходящих в слое dx, равно.
N^-dx.
Доля частиц, достигающих расстояния от nl до (n-\-dn)l,
равна
e~ndn.
Доля тех частиц, путь которых заканчивается в слое а,
составляет
л
TnV
Скорость этих частиц, отнесенная к направлению #,
составляет
VX
а масса равна М; поэтому, перемножая все эти выражения, мы
для момента частиц, удовлетворяющих указанным выше
условиям, получаем:
Ш^е-'dxdn. (30)
Для определения всего момента нам следует прежде всего
проинтегрировать это выражение по х от х = — vl до х = + nl,
помня при этом, что I может быть функцией х и что она
представляет собою очень малую величину. В результате
интегрирования получается выражение

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИЙ ГАЗОВ 20?
После интегрирования по п от п = 0 до п = оо получается:
— а
d (NMv*
Ли V з
) = аХР, (31)
что дает всю приложенную к слою а результирующую силу,
получающуюся в итоге этих столкновений. Но в силу предло-
лгтт NMv*
жения XII —— =р, поэтому мы можем написать следующее
уравнение:
dx
^-- Х9, (32)
сшюрое предоташвяет собою обычное гидродинамическое <урав-
£ение.
ПредложениеXV11. Определить результирующий эффект
столкновений по отношению к каждой из нескольких различных
смешанных вместе систем частиц.
Пусть М19 М2 и т. д. — массы различных родов чаютиц; Nu N2
и т. д. — чиюло каждого рода частиц в единице объему; vu v2
и т. д. — скорости их колефатеиьного движтия; 1и 12 и т. д.—
средние длины их пути; ри р2 и т. д.—давлшия, вызванные
каждой системой частиц; товда
^ = Арх + Вр2 + и т. д.
X=CfPi-fA>2+ и т. д.
(33)
"2
Число взаимных столкновений ме!жду частицами первого рода в те-
4ieiKBei единицы вре{мгаи составит
Число столкновений между частицами netpooro и второго рода
составит
Л^Вра или N2v2Cp19 ибо v\B = v\C.
Число взаимных столкновений м)ежду частицами второго рода
будет равно N2v2D2 р2 и так далее, — если имеется больше двух
Р|азличных родов чаогиц.
Рассмотрим талеру тонкий слой смеси этих газов, обыейы
которого равей единица
Результирующий момент частиц первого рода, пребывающих
в этом слой в течение единицы вцзшени, равш
dp
dx '
Доля те*х частиц, который сталкиваются с частицами первого*
рода, составляет
Арх1х.
Весь момент этих частиц остается у частиц iretpiBoro рода.

208 ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
Доля тех частиц, которые сталкиваются с частицами
второго рода, составляет
Момент этих частиц распределяется между сталкивающимися
частицами соразмерно их массам; таким образом * всего
■Д*1 -J- Ли.^
момента отходит к частицам первого рода и *— к части-
цам второго рода.
Таким образом эффектом этих столкновений является
возникновение силы
по отношению к частицам первой системы и
по отношению к частицам второй системы.
Эффектом столкновения тех частиц второй системы, которые
сталкиваются внутри слоя, является возникновение силы
по отношению к первой системе и
по отношению ко второй.
Следовательно, общий эффект этих столкновений приводит
к возникновению результирующей силы
-5(4^+^-^)-¾<*Ьц£е;+ "™ <34>
по отношению к первой системе,
-^^^т-^ЫжЫл1"'1^ н т-д-(35)
по отношению ко второй, и так далее.
Предложение XVIII. Определить механический эффект
разности средней скорости перемещения двух систем движущихсл
частиц.
Пусть V* и V2 юоотшетсшвенно средние бкорости перемещения
двух систем, тогда
представляет собою средний момент, утраченный при
столкновении частицей первой системы и приобретенный частицей

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЕ ТЕОРИИ ГАЗОВ 209
второй системы. Количество подобных столкновений в единице
объема составляет
N1Bp2vi или N2CpxV2,
поэтому общий эффект этих столкновений выражается в
появлении силы, равной
- адРЛ 3¾¾ (Vi - v,) (36)
по отношению к первой системе и такой же, но противоположно
направленной силы
+^¾¾¾^^) <37)
по отношению к единице объема второй системы.
Предложение XIX. Найти закон диффузии для случая,
когда два газа диффундируют один в другой через пробку,
сделанную из пористого материала, как в случае Треама.
Греам установил, что когда давлшие, на обеих сторонах проОки
одинаково, то количества газов, проходящих через пробку одно-
времшно в противоположных направлениях, относятся между
собою как квадратные корни из их удельных весов.
Мы можем считать, что действие пористого материала
аналогично действию известного количествта частиц, закрепленных
в пространстве и препятствующих движению частиц дйижущихся
систем,
Если Lx — среднее расстояние, которое должна пройти частица
первого рода до того, как она столкнется с неподвижной частицей,
й L2 — расстояние для частицы второго рода, то средние пути
частиц того и другого рода будут представлены сл;едующими урав-
ншиями:
£-44 + 2^ + ¼. ^ = CPl + Z)P2+^. (38)
Механический эффект, производимый на пробку давлением
газов с той и другой стороны и прохождением газов через
нее, который может быть установлен с помощью предложений
XVII и XVIII, равен
MiNMVj , 3fg#2t?2ra dpt lt dp2 l2 _ ( .
Lt T L2 dx L± dv L2 ~ "> K°*>
и этот эффект должен равняться нулю, если давления с обеих
сторон пробки равны. Но если Qt и Q2 — количества газов,
проносимые через пробку средним движением перемещения, то
Ql—p1Vi = MlNlvu а поскольку согласно закону Греама
Qi — — l/Ш — _ s
Q2~ V М2— vr
мы будем иметь:
M.NiO, Vx = — M2N2v2 F2;,

210 ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
обозначим эту величину через U; так как давления с обеих
сторон равны, то
dp2 _ dpx
dx ~" dx '
следовательно, единственное условие, при котором вообще может
существовать равновесие пробки, сводится к тому, что Lx = L2
и lt = 12. Это предполагает, что А=С я B = D. Но мы знаем~
что t£B = t£C Пусть К=3 —; тогда мы будем иметь:
А = С=\ЩШ B = D = \Kv\ (40)
и
j-i=j = K(vlPl + v2p2) + j;. (41)
Диффузид происходит частью вследствие движения переноса
и частью вследствие переменного движения. Определим ту часть
диффузии,, которая вызывается движением переноса.
Уравнение движения одного из газов чю!рез пробку мож№ быть
найдено, если силы, вызываемые давлениями, прибавить к силам,
вызываемым сопротивлениями, и их сумму (приравнять к
движущим силам, которыми в случав медленных движений можно,
однако, совершенно пренебречь. Сначала мы получаем следующий
ршудьтат:
+^.^.3^(^.-^+^^=0- <42>
Если использовать те упрощения, которые мы только что
нашли, то это выражение примет следующий вид:
Й SFjh? <Ф. + «»А) + Krf&Q (рЛ +ад) U+ i- U, (43)
откуда
тт—_аР Kl WPi + ^¾¾) (лл\
JTi^, (Plt>a + 2ЗД) + -*-—--
Отсюда может быть определена та часть диффузии, которая
обязана своим существованием движению переноса, ибо
Ql=\ и е2=|. (45)

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 211
Для того чтобы определить диффузию, вызванную
переменным движением, нам следует найти значение gt
Id, ,ч L d Pi
2i —— Jdx UWiJ —^ dx 1 + KLiv^ + v^) '
^ = - 5 2{* + ^2 (л +л» • (46)
Аналогично
в. = ^;Й{1 + Шв|(Л+А)}. <«>
Полнив диффузии равны Qt -[- gx и Q2 + q2- Значения qx и g2
содержат в себе член, который не следует закону Греама
квадратных корней из удельных объемов, но следует закону равных
объемов. Че)м плотнее материал пробки, тем мейыпе! этот член будет
влиять на результат.
Наши допущения, что шристая пробка действуем подобно
системе* неподвижных частиц и что закон Греама выполняется тем
точнее, чем компактнее материал
пробки, едва ли достаточно хорошо
подтверждаются, чтобы послужить
основанием для теории газов; если
мы даже примем первоначальное
допущение, что они представляют
собою систему движущихся
упругих частиц, мы до сих пор еще не
располагаем ч достаточно хорошими фиг б
данными длйч определения
отношений между величинами А, В, С и D.
Предложение XX. Определить меру диффузии между
двумя сосудами, сообщающимися с помощью трубки.
Когда диффузия происходит чераз большое отверстие!,
например, через трубу, соединяющую два сосуда, проблема упрощается
благодаря отсутствию пористой пробки; а так как давление
всюду в приборе! остается постоянным, то объемы1 обоих газов,
проходящих одновременно в противоположных направлениях через
трубу, должны быть равны. Количество газа, проходящего через
трубу, частью переносится переменным движение^ подобно тому,
как это бвдго изложено >в предложении XIV, и частью —
движением переноса в соответствии с предложением XV.
Предположим, что объемы обоих сосудов равны а и Ъ, длина
соединяющей их трубы равна с и поперечное сечение последней
равно s. Пусть в начале опыта сосуд а наполнен первым газом,
а сосуд Ъ вторым газом и пусть давление ^ в приборе всюду
равно Р.
Пусть объем у первого газа переходит из а в & и объем у'
второго газа переходит из 6 в а. тогда, если рх и р% представ-

212 ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
ляют собою давления в а, приходящиеся на долю первого и
второго рода газа, а р\ и р\ — то же самое в сосуде &, то
Рг=±=*Р. А = *Р. Р\ = $Р, П = Ь-^Р. (48)
Ввиду наличия в сосудах равновесия
что дает:
у = у и p1-\-p2 = P=p'i+p2- (49)
Мера диффузии, выраженная в объеме газа при давлении Р,
составляет для одного газа -f- -^, а для второго газа — ^. Мера
диффузии первого газа равна
t /7
Ду_, kiqi+Plrt _n-T^^(Pih) + P1vi
dt — Ь p —S -p , (50}
аналогично для второго газа:
~dt~s р • (51>
Кроме того, у нас имеется уравнение, выведенное из
предложений XVI и XVII:
$& {Ahh (Mt + IQ + BpJtMi - Op^Mi} +
+BptWiMt ( V, — F2) = 0. (52)
Из этих трех уравнений мы можем исключить Vi и Г2 и
dv dp,
выразить -щ через р и -££, так что мы можем написать:
*-'(**)■ (")
Так как объем трубы мал по сравнению с объемом сосудов, мы мо-
dy
жем допустить, что -^- имеет постоянное значение по всей длине
трубы. Тогда мы можем разрешить диференциальное уравнение
относительно р п х. Если мы положим р —/ь когда х = 0, и
р = р\ когда #==Цс, и подставим вместо ^ и р\ их значения,
выраженные через у, мы получим диференциальное уравнение
относительно у и t\ решив это уравнение, мы получим количество
газа, лродиффундированного в заданное время.
Решение подобных уравнений будет трудно, если только мы не
сделаем каких-либо допущений об отношениях между величинами
'А, В, С, Д значения которых для случая газов различной ддот>

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 21S
ности еще недостаточно установлены. Допустим, что в частном
случае оба газа имерот одинаковую плотность и что все четыре
величины А, В, С, D шжду собою равны.
Тогда объеме про диффундировавший вследствие переменного
движения частиц, равен
3 Р dxv*9
а объем, продиффундиро^авший вследствие переносного
движения или проникновения обоих газов в противоположных
струях, равен
s_ dp kl
Р dx v
Значения Ь распределяются согласно закону, выраженному
2а
в предложении IV, так что среднее значение v равно ——, сред-
у ТС
12 1
нее значение — равно -j= и значение к равно —а2.
Следовательно, диффузии, вызванные обеими названными причинами,
находятся между собою в отношении 2 к 3 и сумма их равна
dy
dt
4 if2k si dp ittA.
Если мы предположим, что -^ имеет постоянное значение
по всей длине трубы, или, другими словами, если мы допустим,
что в течение короткого времени движение является
стационарным, то -v^ будет постоянной величиной, равной Pl ~Pl-
или, подставив из (48):
откуда
3—\V4&e+*>*-*). «*>
У = Т+ь\1-е I' (56)
Если выбрать пару газов одинаковой плотности и определить
величину диффузии за определенное время, можно в приведенном
выражении определить значение I. Диффузия азота в окись
углерода или двуокиси азота в углекислоту была бы подходящим
случаем для подобного опыта. Единственный произведенный до сих
пор опыт, приблизительно отвечающий этим условиям, — это опыт
Греама, процитированный Герапатом из журнала Брандеса
«Quarterly Journal of Science». Vol. XV11I, p. 76.
Труба длиною в 9 дюймов, диаметром в 0,9 дюйма сообщалась с
атмосферой с помощью трубки длиною в 2 дюйма и диаметром в
0,12 дюйма. В трубе было помещено 152 части этилена; по истече-

214
ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
нии четырех часов в трубе оставалось 99 частей. В данном случае
разность удельных веюов газов не очень велика, и мы имеем а =
= 9Х(0,9)г-|- кубичеоких дюйшв, Ь—-сю, с = 2 дюйма и s =
= (0,12)2 -^- квадратных дюйма.
^ylH^'O-jlOg,^). (57)
откуда
I = 0,00000256 ДЮЙМа = ззсГш) Дюйма- (58)
Предложение XXI. Определить количество энергии,
проходящей в единицу времени через единицу площади, если скорость
переменного движения на одной стороне плоскости больше, чем на
другой.
Энергия отдельной частицы состоит из двух частей — из живой
силы центра тяжести и из живой; силы различных вращательных
движений около центра, а если у частицы могут быть и
внутренние движения, то также и из живой силы этих движений. Мы
сделаем предположение, что вся живая сила находится в
постоянном отношении к живой силе движения центра тяжести, или что
Е = — \?>Mv\
где £ — коэфициент, значение которого согласно
экспериментальным данным ipaiBHo 1,634. Подстаовив в предложение XIV Е вместо
М, мы получим для переноса энергии че»рез единицу площади в
единицу врездш
где J—механический эквивалент теплоты в футо-фунтах, ад —
перенос теплоты в тепловых единицах.
Но MN= р и I = -j-, поэтому MM = jr \ отсюда
Кроме того, если Т—абсолютная температура, то
1 &£ — A JEH •
Т dx v dx '
следовательно
где р должно быть измерено в динамических единицах силы.

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 216
Пусть J =772 футо-фунта; # = 2116 фунтов на квадратный
фут, ^ = jo^ooo Дюйма> ^=1505 футов в секунду, Т=522° или
62° Фаренгейта; тогда
«=Sro> (61)
где q — тепловой поток на один квадратный фут площади,
выраженный в тепловых единицах, а Тг и Т — температуры на двух
сторонах воздушного слоя толщиной в х дюймов.
В работе проф. Ранклина о паровых машинах приведены
(не стр. 259) значения теплового сопротивления, т. е. величины
обратной теплопроводности для различных веществ; эти величины
исчислены по данным , таблицы теплопроводности, составленной
Пакле на осноозании опытов Депрэ.
Сопротивление
Золото, платина, серебро 0,0036
Медь 0,0040
Железо 0,0096
Свинец , 0,0198
Кирпич . 0,3306
Воздух согласно нашему расчету . . . • . . 40 000
Таким образом отсюда слеруен, что сопротивлейие слоя воздуха
передаче тепла почти в 10 000 000 раз больше сопротивления слоя
меди равной толщины. Непосредственное экспериментальное
определение величины тайлащршодности газа предста/вляеФся почти
невозможным, так как теплота, излучаемая стенками сосуда,
оказалась бы гораздо больше теплоты, проводимой газом, — если бы
даже удалось совершенно избегнуть конвекции *).
ЧАОТЬ III
О СТОЛКНОВЕНИИ СОВЕРШЕННО УПРУГИХ ТЕЛ
ЛЮБОЙ ФОРМЫ*)
Когда два совершенно гладких шара сталкиваются друг с
другом, то действующая между ними сила воевда проходит через их
*) Клаузиус в своей работе, упомянутой в предыдущем примечании,
указал на два недосмотра, допущенных в этой работе. Во-первых, числа не были
здесь надлежащим образом переведены на английские меры и их следует
еще помножить на 0,4356—отношение английского фунта к килограмму.
Далее, эти цифры были исчислены, исходя из часа как единицы времени, между
тем как Максвелл применил в качестве единицы времени секунду. Учтя эти
обстоятельства и воспользовавшись своей собственной формулой для
теплопроводности, отличающейся от (59) лишь тем, что на правой стороне у него
1 5
вместо — стоит множитель —^- , Клаувиус установил, что сопротивление
слоя воздуха передаче теплоты в 1400 раз больше сопротивления слоя свинца
равной толщины, или примерно в 7 000 раз больше сопротивления меди.
Англ. изд.
2) Для разбора содержания этой главы необходимы сведения из области
механики твердого тела. Ред.

216 ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
центры тяжести; поэтому их вращательное движение, если таковое
у них имеется, совершенно не подпадает под действие удара1,
почему оно и не входит в наши расчеты. Но в том случае, когда эти
тела не имеют сферической формы, сила удара, вообще говоря,
не проходит по линии, соединяющей их центры тяжести; поэтому
сила удара зависит как от движения центров, так и от
вращательных движений до столкновения, а после столкновения она влияет
на оба эти движения.
Указанным путем скорости центров массы и скорости
вращения действуют и противодействуют друг другу, так что в конце
концов между ними устанавливается некоторое отношение, а та&
как вращения частиц около их трех осей являются величинами,
относящимися друг к другу совершенно так же, как-скорости их
центров, то соображения, содержащиеся в предложении IV,
применимы к вращению совершенно так же, как к CKopqcra, и, следо*
вательно, оба они распределяются согласно закону
dx а}/ тг
Сверх того, согласно предложению V, если х — средняя скорость
одной группы частиц, и у— средняя скорость другой группы,
то среднее значение суммы или разнооги
этих скоростей составляет
V& + V*,
откуда легко видеть, что если в каждом
частном случае
u = ax-\-by-\-cz9
где х, у, z — независимые величины, рас-
Фиг. 7. предел яющиеся согласно приведенному
выше закону, то средние значения этих величин связаны между
собою следующим равенством:
и* = а*х* + Ъ*у* + с*г*.
Предложение XXII. Два совершенно упругих тела любой
формы сталкиваются друг с другом; определить их движения после
удара, если их движения до удара и линия удара даны.
Пусть координаты Г по отношению к Мг равны хи уг, zu а по
MxZt — главные оси первого тела и М2Х2, M2Y2 и M2Z2 — главные
оси второго. Пусть / — точка удара и RJR2 — линия удара.
Пусть координаты / по отношению к Мг равны хи уи ги а по
отношению к М2 пусть они равны х29 у2, г2.
Пусть косинусы направления линии удара RJR2 по отношению
к Мг будут k, m15 п19 а по отношению к М2 — 12ь ш2, п2.

ПОЯСНЕНИЯ. К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 217
Пусть Мх и Ма — массы, a AU[ A, d и А* В2, Сг—моменты
инерции тел относительно их главных осей.
Пусть скорости центров тяжеюти, отложенные по направлению
главных осей каждого тела, составляют:
Uu Vv Wi и Z72, F2, W2 до удара
и
их'> Vi> W/ и J72'> F/, Ж2' после удара.
Пусть угловые скорости около тех же осей равны
Р» 2i> гг и р2, з2, г2 до удара
и
jPi't 2i'> *i' и pj, 3/, г2' после удара.
Пусть JB—сила импульса между телами, измеренная с
помощью момента, который она создает в каждом из них.
Тогда мы имеем следующие уравнения для скоростей центров
тяжести:
tf=^+f; tf-tt-g (62)
и сверх того еще две других пары уравнений для V и W.
Уравнения для угловых скоростей таковы:
р\ =Pl+A (У1щ—я^тх); р2 =р2 — ^ (У2Щ—ягщ) (63)
и сверх того еще две других парц уравнений для q и г.
Условие совершенной упругости заключается в том, что вся
живая сила остается после удара такой же, какой она была до
удара, откуда вытекает следующее уравнение:
Mi(tf-U?) + lb(U?~Tft + Ai(p?-pb +
+ А2 (р2 —р\) + и т. д. = 0. (64)
Здесь приведены Члены, относящиеся к оси х\ члены,
относящиеся к у и £, могут быть легко написаны.
Подставив значения этих членов в соответствии с
равенствами (62) и (63) и разделив на Е, мы получаем:
h (U'l—UJ—hirt— l72) + (yi»i—«ii»i)(Pi+P0 —
— (У2П2 — г2т) (P2 +Ръ) + и т. д. = 0. (65)
Но если vx— скорость точки удара первого тела до
столкновения* ощесенная к линии удара, то
^==^4-(^^-31^0^1+ и т. д.,

218
ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
а если мы через v2 обозначим скорость другой точки удара,
отнесенную к той же линии, и через v[ и V2 те же величины
после удара, то мы можем написать уравнение (65) в виде:
V\ + v\ — v2 — V*2 = 0, (66)
или ж& в виде:
«1—% = t72 — v'l, (67)
откуда сладуер, что скорость расхождения точ!е(к удара, отдасенная
к линии удара, равна соответствующей скорости их сближения.
Подставив в уравнение (65) значения величин, снабженных
штрихами, вошользовавпшсь при этом уравнениями (63) и (64) и
перенеся на другую сторону члены, содержащие #, мы получаем:
2 {Utlx — £У2 -Н>! (ухщ — Zxm^ —i?2 (у2п%—z2m2)} + и т. д. =
»_Л{£ + £^^ (68)
Остальные члены должны быть составлены по отношеиию к # и з
аналогично тому, как эти члены составлены относительно х. Из
этого уравнения мы можем определить значение R\ подставив его
в уравнения (63) и (64), мы можем получить значения всех
скоростей после удара.
Так, например, значение Ut' мы можем определить из
следующего уравншия:
-"Ч"Як + яр 2i "Т :¾г и т.д-^-Ь
4-2^2-2^(1/^-^^) + 2^2(^^2-^^2)-и т- Д- (69)
Предложение XXIII. Определить отношение между
средними скоростями поступательного и вращательного движения после
многочисленных столкновений между многочисленными телами.
Если мы рассмотрим уравнение (39), относящееся к «случаю еда-
жнчного столкновения, мы увидим, что TJx здесь выражается в
качестве линейной функции ии Г/2, р19 р2 и т. д.; а эти величины
таковы, что их значения распределяются между различными
частицами согласно закону, выраженному в предложении IV. Из
предложения V следует, что если мы каждый член этого уравнения воз-
ведам в квадрат, мы получим новое! уравнение между ореднивш
значениями различных величия. Ясно, что после того, как искомые
соотношения будут установлены, они сохранят свой вид
неизменным и после столкновения; поэтому мы можегм в уравнении для.

ПОЯСНЕНИЯ К КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ 219
средних значений положить Z7X'2 == l/ie, тогда уравяенда» шяьду
средними значениями можно написать следующим образом:
(M1vl-M2uh£a+(M1vl-AlPb{mi-iSimiy'+
Но так как столкновения происхо,дят самым различным образом,
так что знач)елия I, т, п и т. д., а также аг, у, z й т. д. беюшнечво
варьируют, это ураввшош может иметь силу, tojemco при условии,
что
MiUi = M2U2==Aipi = A2p2== и т. д.
Таким образом окончательное состояния любого количества
систем движущихся частиц любой формы таково, что средняя живая
сила перемещения вдоль каждой из трек осей во веет системах
одинакова и равна средней живой силе вращщжя около каждой и»
трех главных осей каждой частицы.
Прибавив живую силу по отшпшию к другим осям, мы
увидим, что вся живая сила перемещения равна живой силе вращения
в каждой системе частиц и остается также одинаковой для
различных систем, как это было доказано в предложении VI.
Этот вывод (который остается верным и в том случае, когда
тела почти приближаются к сферической форме, если только
вращательное Движение подвергается воздействию при столкновениях)
является как будто решающим доводом против бееуславного
принятия гипотезы, что газы представляют собою подобные систшш
твердых упругих частиц. Однако тот хорошо известный факт, что т.
(отношение удельной теплоемкости при постоянном давлшии к
теплоемкости при постоянном объеме») равно 1,408, требует, чтобы
отношение всей живой силы к живой силе перемещения равнялось
между тем согласно нашей гипотез* Р *щ 2.
Мы проследили здесь за математической теорией столкновения
твердых упругих частиц в различных случаях, в которых
казалось бы существует алалогия с явлением газов. Мы вывели, как
это уже раньше сделали, и другие, отношения давления,
температуры и плотности для отдельного газа. Мы также доказали, что
когда два различных газа свободно действуют друг на друга (а
это ^бывает, когда они находятся при одной и той же температуре),
то массы отдельных частиц каждого газа обратно
пропорциональны квадрату молекулярной скорости, и что, следовательно, при
равной температуре и равном объеме колшчество частиц в единиц*
объема одинаково.
Далее, мы представили объяснение внутреннего трения газов и
вывели из опытов значение средней длины пути частицы модод
цвдгмя последовательными столкновениями.

22©
ДЖ. К. МАКСВЕЛЛ
Мы щтшжзш эту теорию к закону диффузии газов и вывеш
из опыта над этиленом величину длины пути, которая ш очень
сильно отличается от )ве!личины, выведенной из опытов над трением.
Пользуясь значением длины пути мейкду столкновениями, мы
нашли, что сопротивление воздуха передаче теошса ов 10 000 000
раз больше сопротивления меди,—результат, который нащадгся в
сюгаасии с опытом.
Наконец* при установлении необходимого отношения между по-
ступатеУ1ьжьш движением и вращением всех частиц несферической
фо£>мр, мы доказали, что система подобных частиц никак ж в
состоянии удовлетворить известному для всех газов соотношению
между двумя удельньши теплоемкостямиг).
i и и 11141 'шт-таи
*) Для двухатомных газов обычно исходят от следующей модели: частицу
гава изображают как два связанных между собой упругих шара. Такая
система кроме трех степеней свободы поступательного движения обладает
двумя степенями свободы вращательного движения вокруг двух взаимно
перпендикулярных осей, расположенных в свою очередь перпендикулярно
к §еи молекулы и соединяющих оба шара нашей модели. Ред.