Автор: Никольский С.М. Потапов М.К. Решетников Н.Н. Шевкин А.В.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика учебник
ISBN: 5-7853-0550-Х
Год: 2006
Текст
Учебник для
9 класса
общеобразовательных
учреждений
Рекомендовано Министерством
образования и науки
Российской Федерации
З-е издание
«Просвещение»
.ОАО «Московские учебники»
Москва 2006
Учебники серии «МГУ — школе»
позволят учащимся получить хорошее
базовое образование и помогут
выработать правильный взгляд на
основы научного знания. Это важно.
Большинство школьных предметов —
фундамент Здания Науки. Лучше сразу
понять, как он устроен, чтобы потом,
при изучении верхних этажей,
не возвращаться к исследованию
фундамента.
Учебники серии «МГУ — школе» пишут
опытные школьные учителя вместе
с профессорами и преподавателями
Московского университета.
Надеюсь, что учеба по этим книгам
принесет школьникам как пользу,
так и удовольствие.
Ректор
Московского
университета
академик
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
А45
Авторы:
С. М. Никольский, М. К- Потапов,
Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин
Условные обозначения в учебнике:
0— наиболее легкие задания, предназначенные для устной работы;
* — задания повышенной трудности и пункты, предназначенные
для изучения в классах с углубленным изучением математики;
О и • — знаки, отмечающие начало и конец текста, необязательного
при работе по обычной программе.
Алгебра: учеб, для 9 кл. общеобразоват. учреждений /
А45 (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников,
А. В. Шевкин].— З-е изд.— М. : Просвещение, АО «Москов-
ские учебники», 2006.— 255 с. : ил.— isbn 5-7853-0550-Х
Книга является продолжением учебников алгебры для 7—8 классов тех же ав-
торов. Это учебник нового типа, который содержит материал как для общеобразова-
тельных классов, так н для классов с углубленным изучением математики.
УДК 373.167.1:512
ББК22.14я72
ISBN 5-7853-0550-Х
© Издательство «Просвещение», 2001
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2001
Все права защищены
© Художественное оформление обложки:
Издательство «Просвещение» —
ОАО «Московские учебники», 2006
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
1.1.Неравенства первой степени с одним неизвестным
Неравенство вида
kx + b > 0 (1)
или
kx + Ь < 0, (2)
где k и 6 — данные числа, причем fe# 0, называют неравенством
первой степени с одним неизвестным х.
Число k называют коэффициентом при неизвестном, а число b —
свободным членом неравенства.
Решением неравенства с одним неизвестным х называют такое
число х0, при подстановке которого в неравенство вместо х получается
верное числовое неравенство.
Решить неравенство — значит найти все его решения или дока-
зать, что их нет.
Здесь и далее рассматриваются неравенства с неизвестным х, хотя
вместо х можно писать любую букву: t, v, у, ... .
Пример /. Решим неравенство
2х + 5<0. (3)
Чтобы его решить, можно рассуждать так.
Пусть некоторое число хоесть решение неравенства (3). Подставим
его вместо х в неравенство (3). Получим верное числовое неравенство
2х0 + 5 < 0. (4)
Прибавляя к обеим частям этого неравенства число —5, получим верное
числовое неравенство
2х0 < — 5. (5)
1* Алгебра g класс.
3
Деля это неравенство на положительное число 2, получим верное число-
вое неравенство
х„<4- (6)
Обратно: пусть некоторое число х0 удовлетворяет неравенству (6).
Умножив это неравенство на положительное число 2, получим верное
числовое неравенство (5). Прибавляя далее к обеим частям неравен-
ства (5) число 5, получим верное числовое неравенство (4), т. е.
получим, что х0 удовлетворяет неравенству (3).
Итак, множество всех решений неравенства (3) есть множество
всех чисел, удовлетворяющих неравенству х< —~ . Можно еще ска-
зать, что все решения неравенства (3) образуют интервал 1-)»
или множеством всех решений неравенства (3) является интервал
—оо
Ответ: J-oo; —
Аналогичные рассуждения можно провести н при решении любых
неравенств первой степени (1) и (2). Из этих рассуждений вытекает
следующий способ решения неравенств первой степени с одним неиз-
вестным:
перенести свободный член этого неравенства в правую часть
(изменив знак числа b на противоположный);
разделить обе части полученного неравенства на коэффициент при
неизвестном (при этом если k > 0, то знак неравенства не изменяется;
если k < 0, то знак неравенства изменяется на противоположный).
Полученное неравенство и дает ответ.
Пример 2. Решим неравенство
—4х+ 13 <0. (7)
Перенеся свободный член в правую часть, получим неравенство
—4х< —13.
Разделив обе части этого неравенства на отрицательное число —4,
получим неравенство
Х>Т
(обратите внимание на изменение знака неравенства). Таким
образом, множество всех решений неравенства (7) образует интер-
вал (у; 4- оо).
Ответ: * + °°1-
4
1. Изобразите на координатной оси интервал:
а) (-2; 7); б) (-17; 34); в) (1234; 1398);
г) (-оо; 0); д) (0; ); е) (-со; -3);
ж)(2; +оо ); з) ( — со; +оо ); и) (X; 0,51
Ч w /
2. Указанные иа рисунке 1 интервалы запишите с помощью знаков
неравенств.
q/////////a*. /////////////^ м э
1 х Ох — 1 3 х
а) б) в)
Рис. 1
3. На координатной оси изобразите все числа, удовлетворяющие
неравенству:
а) х > 0; б) х < 3; в) х > 3579;
г) х < — 2; д) х > —1748; е) х < 0,00000006;
ж)х>л/5; з) х < я; и) 0 < х < 72;
к) —2 < х < —0,5; л) |х| < 1; м) |х - 11 > 1.
4. Какой знак (=, А <, >) следует поставить между а и Ь, если
разность а — Ь:
а) положительное число; б) отрицательное число;
в) натуральное число; г) ие равна нулю;
д) равна нулю?
5. Какое число больше:
а) а или а + 3; б) 6 + 1 или 6 + 2;
в) а — 5 нли а + 2; г) b — 7 или 6 — 6?
Здесь а н 6 — любые данные числа.
6°. Можно ли указать:
а) наименьшее решение неравенства х > 0;
б) наибольшее решение неравенства х < — 2;
в) наименьшее целое решение неравенства х > —5;
г) наибольшее целое решение неравенства х < 1?
7. Сравните с нулем разность х — а, если:
а) х >а; б) х< а.
8. Запишите какое-нибудь неравенство первой степени с одним
неизвестным. Назовите коэффициент при неизвестном и свобод-
ный член этого неравенства.
9°. а) Что называют решением неравенства с одним неизвестным?
б) Что значит решить неравенство с одним неизвестным?
10. Является ли число 3 решением неравенства:
а) х > 0; б) х > —2; в) х < я;
г) —3 < х < 3; д) х < а/10 ; е) 787 < х < 79Д?
5
11. Решите неравенство (11—25): a) x - 1 > 0; 6) x + 5 < 0; в) х — 0,5 < 0;
г) 3 + x > 0; д) 7 + х > 0; е) х — 14 < 0- м
12. a) x + 4 > 7; г) x - 6 < 6; 6) х — 11 < —7; д) 4 + х > 2; в) х + 7 > 7; е) 3 + х < —6.
13. a) x — 2 > 0,2; г) x “ 2 > —0,6; б) х-3,5 <4; д) х + 10,7 >7,9; в) 2,1 + х < 7; е) 5,013 + х < 0,13.
14. a) X—1783 <-l; и б)х + | <199; в) - +х > 2-4; 7 7 2
е)1|+х>71|.
15. а)х - 3,6 > 2|; б) 7,4+х>7|; в) х — 12^- < 15,3.
16. а) 2х > 4; г) —Зх < 9; б) 7х< -14; д) —2х > —2; в) —5х < 100; е) —Зх > —6.
17. а) Зх < 2; г) — 5х > 1; б) —2х< 11; д) -17х > -2; в) —4х > —2; е) 13х < 3.
18. а) 2х > 0; г) —х < 0; б) —2х<0; д) -х > —2; в) —х < 2; е) -х > 1.
19. а) |х< 3; б)|х<1; в) -4х > -1;
г) |х>0; д) 2х >|; О е)-4х<^.
20. а)|х<|; в) -2х< 1 4 ; и
г)2|х>3; д) 11 * > -Ц; e)-3|x<-3|.
21. а) 0,2х > 3; б)3х>1,8; в) —0,001х< 1.
22. а) 0,2х > б)1,5»<£; в) - 1,1х< 4|;
г)5>3; д) т > —; 7 4 12 e)-f<-8.
23. а) 2х - 4 >0; г) 7х + 4 < 0; б) Зх - 1 <0; д) 4х + 3 > 0; в) -2х — 4 > 0; е) —4х + 3 < 0.
24. а) 1 + -|х < 0; б) |-Зх<0; в) 1|-|х>0:
Г) 4|-8|х>0: ; д) 2-|х-3| < 0; е) |х-| >0.
25. a) 0,003x - 20 < 0; 6) 4x + 0,0001 > 0;
в) 1,35 - 27x > 0; r) 0,15 - 150x< 0;
д) —0,3x — 13 >0; e) -0,17x-51 <0
6
1.2. Применение графиков к решению неравенств
первой степени с одним неизвестным
Покажем, как можно, используя график линейной функции, ре-
шать неравенства вида
kx + b > 0 (1)
или
kx + b< 0, (2)
где k и b — данные числа и k * 0.
В декартовой системе координат хОу рассмотрим прямую
у = kx + b. (3)
На рисунке 2,д изображена такая прямая при k > 0, а иа ри-
сунке 2,6 — при k < 0.
Рис. 2
Решить неравенство (1) — это значит найти все значения х, для
каждого из которых соответствующая точка прямой у = kx + b рас-
положена выше оси Ох.
Пусть точка А — точка пересечения прямой (3) с осью Ох. Абс-
циссу точки А обозначим через х0. Так как ее ордината равна нулю,
то х0 удовлетворяет уравнению 0 = kxQ + Ь, откуда
Обратимся к рисунку 2,а, соответствующему случаю k > 0. Мы
видим, что точки прямой у = kx + b расположены выше оси Ох для
всех х, находящихся правее точки х0, т. е. для всех х из интервала
(х0; +оо).
Итак, при k > 0 множество решений неравенства (1) образует
интервал (х0; + оо), а множество решений неравенства (2) образует
интервал (-оо; х0).
При й<0 (рис. 2,6),* наоборот, множество решений неравенства
(1) образует интервал,(-оо; х0), а множество решений неравенства (2)
образ’ует интервал (х0; + оо ).
1«
7
Пример /. Используя график линейной функции, решим неравен-
ства
2х 4- 1 > О (4)
и 2x4- 1<0. (5)
Рассмотрим в декартовой системе координат хОу прямую
у = 2х 4- 1. (6)
Для этого нужно знать две ее точки. В качестве первой точки
возьмем точку пересечения нашей прямой с осью Ох. Полагая в
формуле (6) у = 0, получим уравнение 0 = 2х 4- 1. Его решение х0 =
=-| — есть абсцисса точки А — точки пересечения прямой с осью
Ох. Итак, А О
В качестве второй точки можно взять точку В пересечения нашей
прямой с осью Оу. Ее абсцисса х — 0, а ордината у = 2 0 4- 1 = 1.
Итак, В (0; 1).
Через точки А и В проводим прямую. Это и есть прямая
£/ = 2x4-1 (рис. 3). Из рисунка 3 видно, что множество решений
неравенства (4) образует интервал 4-оо ), а множество решений
неравенства (5) образует интервал
Пример 2. Решим неравенство
kx 4- b > 0, (7)
если известно, что прямая у = kx+ b пересекает ось Ох в точке А (3; 0)
и ее угловой коэффициент положителен.
Учитывая, что угловой коэффициент прямой у = kx + b положите-
лен и прямая пересекает ось Ох в точке А (3; 0), можно показать
схематически, как расположена прямая в координатной плоскости
(рис. 4). Из этого рисунка видно, что множество всех решений
неравенства (7) есть интервал (3; 4-оо ).
Ответ: (3; 4- со ).
8
26°. Как можно решить неравенство первой степени с одним
неизвестным, используя график линейной функции?
27. Постройте график функции:
а) у = х — 4; б) у = 2х + 2; в) у = ~3х - 3;
г) у = 5х - 6; д) у = - 0,5х +1,5; е) у = 1 ~ х - 0,3.
С помощью графика определите интервал, иа котором функция
принимает положительные значения; отрицательные значения,
28. Запишите интервал, на котором функция, график которой
изображен на рисунке 5, принимает положительные зна-
Рис. 5
29. Решите неравенство, используя график:
а) х + 2 > 0; б) — х + 2 > 0; в) 2х — 1 < 0;
г) -2х — 1 < 0; д) 0,2х + 1 > 0; е) -1 х + 5 < 0;
ж) 400х + 100 > 0; з) 200х — 500 > 0; и) 0,01х — 0,05 < 0.
1.3. Линейные неравенства с одним неизвестным
Неравенство, левая и правая части которого есть многочлены
первой степени относительно х или числа, называют линейным
неравенством с одним неизвестным х.
9
Следующие неравенства могут служить примерами линейных
неравенств с одним неизвестным х:
2х + 7<х-5, 0х-3<0,
7 < 2х + 9, | х + 0,7 > 2| х + 5,
2х 4- 7 > 2х + 5, Зх + 2 + х>х-14-х,
Ох + 2 > 0, Эх + 2 < 0.
Ясно, что любое неравенство первой степени есть частный случай
линейного неравенства.
Члены многочленов в левой и правой частях линейного неравен-
ства называют членами этого неравенства.
Число х0 называют решением линейного неравенства с неизвест-
ным х, если при подстановке его вместо х получается верное число-
вое неравенство.
Два неравенства с одним неизвестным X называют равносиль-
ными, если любое решение первого неравенства является решением
второго и, наоборот, любое решение второго является решением
первого. Любые неравенства, не имеющие решений, считаются
равносильными.
При решении неравенств пользуются утверждениями:
1) Члены неравенства можно переносить с противоположными
знаками из одной части неравенства в другую.
Иначе говоря, если какой-нибудь член неравенства перенести с
противоположным знаком из одной части неравенства в другую, то
получится неравенство, равносильное исходному. Например, равно-
сильны неравенства
2х - 7 < 0 и 2х<7,
Зх + 5 > 2х — 9 и Зх — 2х+5>— 9.
2) В неравенстве можно приводить подобные члены.
Иначе говоря, если в левой нли правой частях неравенства
привести подобные члены, то получится неравенство, равносильное
нсходиому. Например, равносильны неравенства
Зх — 41 + 5х--^>0 и 8х - 5 > 0,
2х + 3-1<х-2х + 2 и 2х + 2 < -х + 2.
3) При умножении (или делении) неравенства на положитель-
ное число знак неравенства сохраняется.
Иначе говоря, если обе части неравенства умножить (или разде-
лить) на положительное число и сохранить знак неравенства, то
получим неравенство, равносильное нсходиому. Например, равно-
сильны неравенства
~х>2 и х>8,
Зх + 5 < 0 и х4--~<0.
10
4) При умножении (или делении) неравенства на отрицатель-
ное число знак неравенства меняется на противоположный.
Иначе говоря, если обе части неравенства умножить (или разде-
лить) на отрицательное число и изменить знак неравенства на проти-
воположный, то получим неравенство, равносильное исходному.
Например, равносильны неравенства
7х — 3 > О и 3 — 7х < О,
5х + 4 < ~3х + 2 и — 5х — 4 > Зх — 2.
Пример /. Решим неравенство
4х-7<-2х + 5. (1)
Перенеся все члены неравенства (1) в левую часть, получим
неравенство
4х — 1 + 2х — 5 < О,
равносильное неравенству (1). Приведя подобные члены в левой час-
ти полученного неравенства, получим неравенство первой степени с
одним неизвестным
6х- 12 < О,
равносильное неравенству (1). Все его решения образуют интервал
(-оо;2). Следовательно, множество всех решений неравенства (1)
образует интервал (-со ; 2).
Ответ: (-со; 2).
Пример 2. Решим неравенство
7x4-5 <7х — 1. (2)
Перенеся все члены неравенства (2) в левую часть, получим
неравенство
7х + 5 - 7х + 1 < 0, (3)
равносильное неравенству (2). Приведя подобные члены в левой час-
ти неравенства (3), имеем
0-х + 6<0. (4)
Очевидно, что нет ни одного числового значения х, которое удовлет-
воряло бы неравенству (4). Следовательно, неравенство (4) н равно-
сильное ему неравенство (2) не имеют решений.
Ответ: нет решений.
Пример 3. Решим неравенство
Эх — 5 > Эх — 6. (5)
Перенеся все члены неравенства (5) в левую часть, получим не-
равенство
Эх - 5 - Эх + 6 > 0, (6)
11
равносильное неравенству (5). Приведя подобные члены в левой час-
ти неравенства (6), имеем
0-х 4- 1 >0.
Получилось неравенство, справедливое для любых значений х, это
означает, что решением неравенства (5) является любое действи-
тельное число, т. е. множество всех решений неравенства (5) образу-
ет интервал (-оо; 4-оо).
Ответ: (—оо; +оо).
30? а) Какое неравенство называют линейным неравенством с
одним неизвестным?
б) Что называют членами линейного неравенства?
в) Какие неравенства называют равносильными?
г) Сформулируйте утверждения о равносильности нера-
венств.
31. Приведите неравенство к виду kx 4- b > 0 илн kx 4- b < 0:
а) Зх — 2 > 7х 4- 5; б) 4 - 6х < 9 — х;
в) 7 > 0,2х; г) 8 — 2(3—2х) < 1.
32. Является ли число, указанное в скобках, решением неравен-
ства:
а) 4х - 4 > Зх 4- 3 (-1); б)24-12х<-х4-3 (-2);
в) 5х — 7 > 9 4- х (100); г) 72х — 18 < — 13х (—10)?
33. Являются ли равносильными неравенства:
а)2х—1>6 и 6>2х— 1; б)х<3 и х 4-2 < 5;
в) 2х >4 и х< 2; г) 2х>5 и х — 7> —2 — х;
д) 2 < 7 — х н Зх<54-2х; е) <к-7>5 н — Зя 4- 7< — 5?
Решите неравенство (34—44):
34. а)х4-4>5х; б)х-2<3х;
в) 2х 4- 1 < х; г) 7х - 13 > 9х.
35. а) 2х — х — 1 < 2; б) 3 < 7х — 5 — 4х;
в) 5х — 2х — 8х 4- х — 12х > 7 — 2х;
г) 8 — 9х > х — 3 — Зх 4- 4х 4- 15.
36. а) х — 2 < х; б) х 4- 5 >х;
в) 6 — Зх > 1 — Зх; г) 12 4- 4х < 3 — х 4- 5х.
37. а) х 4- 2 < х; б) х — 5 > х;
в) 4 — 8х < —8х 4-4; г) х — 3 4- 2х < 4 4- Зх — 1.
38. а) ~х~ ±х 4- 5 > lx- 1;
4 6 3
б) |х-3<2-|х;
л О
в) 1 - |X-5< 6-|х-^х;
г) 2х~ |х >1^х-т- - -jx 4- 2;
12
д) 2Л-1 < Зл_ 13.
5 4 20 ’
е) 3 - |х + jx < 14 + ±х.
39. а) 1,2 — 2,6х — 5 > 3,2х — 3;
б) х- 1,2 <0,3*+ 3,7;
в) 7 — 0,2х < 21,28 — 1.6л;
г) 0,8х + 0,12 - 0,Зх > 76,2 — 0,1х + 0,6л;
д) 1,52 — 2,8л < 1,72 — 5,2л;
е) 0,014 - 12,5л > 1,25 - 0,5* + 1,086 - 12%.
40. а) 2л + (Зх — 1) > 4; б) х — 16 < (5 - 2х) - х — 1;
в) 2х — (х — 1)<3; г) (2х-3)-(х+ 1)> 1.
41. а) (х + 1) — (2х + 3) — (1 — 7х) < х — (8 — 5х);
б) (Зх - 11) — (5 — 9х) + (х - 1) > 1 - 4х - (12 + х).
42. а) 2(л —1)<4; б) 3(2х-1)> 12;
в) 4 (1 + х) < 8 — 4х; г) 25 — 10х > — 5(2х — 7).
43. а) х(2 - х) < (3 - х)(3 + х);
б) 3(х — 1)(л + 1)>3(1 +ха);
в) (х — 2) (х — 3) + (4 — х) (х + 2) > 0;
г) (2х — 1)(х + 2) — (х — 5) (2х+ 1) > 0.
44. а) < 1;
V
2Л < £ _ 1
ъ> У 4 *•
Д)
□ V
мг’к X- 1 х X , Х-2
’ ~~ 4 6 +
б) f-f >2;
г) f + £-^>8;
\ 2х + 1 9 Зх + 2 .
7 4 3’
з) ^>1_^ + 2±х.
45? Может ли неравенство первой степени с одним неизвестным:
а) быть верным при любом значении неизвестного;
б) ие иметь решений?
46? Может ли линейное неравенство с одним неизвестным:
а) быть верным прн любом значении неизвестного;
б) не иметь решений?
1.4. Системы линейных неравенств
с одним неизвестным
Если требуется найти все числа х, каждое из которых есть реше-
ние одновременно нескольких данных линейных неравенств с одним
неизвестным х, то говорят, что надо решить систему линейных
неравенств с одним неизвестным х.
Для того чтобы решить систему линейных неравенств, надо
решить каждое неравенство этой системы, а затем найти общую
часть (пересечение) полученных множеств решений — она н будет
множеством всех решений данной системы.
13
Обычно неравенства системы записывают в столбик одно под
другим и объединяют их слева фигурной скобкой.
Рассмотрим примеры решения систем линейных неравенств.
Пример /. Решим систему неравенств
[2х + 3>0, .
1-4х + 5<0.
Решив первое неравенство системы (1), получим, что множество
всех его решений составляет интервал +°°) . Решив второе
неравенство системы (1), получим, что множество всех его решений
составляет интервал + ©о) . Теперь найдем те значения х, для
которых одновременно превращаются в верные числовые неравенст-
ва оба неравенства системы (1), т. е. найдем общую часть интервалов
+°°) и (j; + ©о) . Для этого отметим на координатной оси Ох
оба интервала. Из рисунка 6 видно, что общая часть этих интервалов
есть интервал ч-оо}.
_ 3 5 х
2 4
Рис. 6
Следовательно, множество всех решений системы неравенств (1)
образует интервал +©о) .
Ответ: .
Пример 2. Решим систему неравенств
Г 5х-23<0,
Ц2х- 13 >0.
Решив каждое неравенство системы (2), найдем, что множест-
вом всех решений первого неравенства являются все х, меньшие
23 ( 23 А
lx < “I, а множеством всех решений второго — все х, большие
э 5 *
13 . 13А
12 И i2J '
Множеством всех решений системы (2) будет множество всех тех
х, для каждого из которых одновременно превращаются в верные
числовые неравенства оба неравенства системы (2). Следовательно,
14
13 23 X 3 X
12 5 2 а
Рис. 7 Рис. 8
это будут те xt которые больше чем -, но меньше чем , т. е. все
о
х из интервала || < х < (рис. 7).
1^ о
Итак, множество всех решений системы (2) образует интервал
(13.23^
\ 12 ‘ 57 '
Ответ: .
к12 57
Пример 3. Решим систему неравенств
(3)
[2х-3< 0.
Решениями первого неравенства системы (3) являются все х > 5,
а решениями второго — все х < .
Решениями системы (3) могут быть только те х, которые больше чем
5, но меньше чем j . Ясно, что таких х не существует (рис. 8). Следова-
тельно, система (3) ие имеет решений.
Ответ: нет решений.
Систему неравенств иногда можно записать в виде двойного
неравенства. Например, систему неравенств
J2лс — 5 > 0,
| 2х ~ 5 < 7
(4)
можно записать в виде двойного неравенства
(5).
Поэтому двойное неравенство можно решать двумя способами.
I способ. Запишем двойное неравенство (5) в виде системы
неравенств (4) и решим эту систему:
Г2х-5>0, Г2х>5, (х> 2,5,
(2х-5<7; (2х<7 + 5; [х<6,
т. е. 2,5 < х < 6.
II способ. Решаем двойное неравенство (5):
5 < 2х < 7 + 5,
2,5 < х < 6.
15
Следовательно, решения двойного неравенства (5) образуют ин-
тервал (2,5; 6).
Ответ: (2,5; 6).
Заметим, что на самом деле второй способ решения двойного
неравенства есть краткая запись первого способа.
47? Что значит решить систему линейных неравенств с одним
неизвестным?
48. Найдите хотя бы одно общее решение неравенств:
а)х>3 и х > 2; б)х<—2 и х<—1;
в) х + 1 > О н х - 1 > 0; г)х-2<0 и х + 2 < 0;
д) 2х > - 4 и х + 2 < 0; е) Зх < 9 н х + 3 > 0.
Отметьте на координатной оси все решения системы
неравенств, если они существуют (49—51):
. [х>3,
49. а)
[х > 1;
[ х < 7
50. а) ’
[х < 2;
К1 х Iх > 1,
51. а)
[х < -1;
х < -5,
х < -16.
Г)
х < О,
х > -5.
52. Запишите какую-либо систему неравенств, все решения ко-
торой образуют интервал, отмеченный на рисунке 9 двойной
штриховкой.
-5 4 х
а)
___^///////^^^.
О 3 х
б)
Рис. 9
53.
Является лн решением системы неравенств число, указанное
в скобках:
2х + 3 > О,
7-4х>0
б)
5х > 10, ,о.
(3);
6х + 1 < о
54.
. (8-х<0,
в) 1
|3х > 3
(72);
г) !7х 10 < 0,(7сГб)?
|3х + 1 > О
Для неравенства 2х< 1 подберите другое неравенство так,
чтобы система этих неравенств:
а) не имела решений;
б) имела множеством всех решений интервал (-оо; 0,5).
16
Решите систему неравенств (55—56):
„ . ГЗ >х,
55. а) 4
[х < 4;
f 6х > 6,
В> |1 >3-2х;
б)
4х > 1,
-7 < х + 5:
Гб-2х>5,
Г [3-2х> I;
|х-4>0,
[2х-8>0;
е)
5х + 3 < 8,
7-Зх>2;
2х - 1 > Зх 4- 1,
5х-1 > 13;
(7х< х-6,
[2 > 5 + Зх.
56. а) < 2х 4- 7 > 3 - х, -х- 1 > 2х- -; i3 4 б) |1х>8’
в) < 1 < 1 2 4-Х>£^5. 3 ’ г) < 2х + 1 3-х 3 2 ’ £ _ 1 < -~8х 7 4 ‘
57. а) Найдите все х, для каждого из которых значение функции
у = 2х — 3 больше значения функции у = — х + 4.
б) Найдите все х, для каждого нз которых значение функции
у = 1 — х больше значения функции у = 0,5х 4- 5.
58. а) Найдите все х, для каждого из которых функции у = Зх и
у = 1 —х одновременно принимают отрицательные значения,
б) Найдите все х, для каждого из которых функции
у — 0,4х + 1 н у = — 2x4-3 одновременно принимают поло-
жительные значения.
в) Найдите все значения х, для каждого из которых значения
функции у =« х — меньше значений функций у = х и
у = — 2х 4- 3.
г) Найдите все значения х, для каждого из которых значения
функции х/=х4-4 больше значении функций -х и £/=2x4-3.
59. Даны функции £/ = 5х — 8 и t/ = - 5x4-8. Определите интер-
вал оси Ох, на котором:
а) обе функции положительны;
б) обе функции отрицательны;
в) функция у = 5х — 8 больше нуля, а функция у = — 5х 4- 8
меньше нуля;
г) значения функции у = 5х — 8 больше соответствующих
значений функции у = —5х 4- ?.
17
60. На рисунке 10 приведены графики линейных функций, обозна-
ченных н у2. Определите все значения х, при которых:
a)yt>y2; б) yt<y2.
Рис. 10
61. Решите систему неравенств, используя графики функций:
-5х < 0,
3— х< 0;
(4х 4- 2 > О,
в) S
7 |х + 1 <0;
[Зх-6 >О,
Г> |2х-4<0;
Y (2х 4- 4 > 0, (2х 4- 4 < О,
Д) д е) \
[х4-3<0; [х4- 3 >0;
(0,5х4-3>0, [0,5х 4- 3 < О,
ж) { з) i Л Л
[х4-2>0; ’ [х4-2<0.
62. Решите двойное неравенство двумя способами:
а) 0 < Зх < 2; б) -1 <|х< 8;
в) 1 < х 4- 4 < 2; г) —7 < х — 6 < -2;
д) 0 < Зх - 7 < 3; е) —8 < 0,5х 4- 1 < —4.
18
§ 2, НЕРАВЕНСТВА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
2.1. Понятие неравенства второй степени
с одним неизвестным
Неравенство вида
ах2 4- Ьх 4- с > 0 (1)
или „
ах 4- Ьх 4- с < 0, (2)
где а, Ь и с — данные числа, причем а # 0, называют неравенст-
вом второй степени с одним неизвестным х.
Число а называют коэффициентом при х\ число b — коэффи-
циентом при х. Выражения ах2, Ьх и с называют членами нера-
венств (1) и (2), число с — свободным членом.
Дискриминант D = Ь2 — 4 ас квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с
называют также дискриминантом неравенств (1) и (2).
Примерами неравенств второй степени с одним неизвестным х
могут служить неравенства
Зх2 — 4х 4- 5 > О, —х2 — 1 > О,
—бх2— 2х + 1 < О, -2Х2 < 0.
Напомним, что решением неравенства с одним неизвестным х назы-
вают такое число х0, при подстановке которого в неравенство вместо х
получается верное числовое неравенство; решить неравенство —
значит найти все его решения или доказать, что их нет. При решении
неравенств второй степени будут использоваться утверждения о равно-
сильности неравенств, приведенные в предыдущем параграфе, где эти
утверждения иллюстрировались на примере линейных неравенств. На са-
мом деле они верны и для многих других неравенств, в частности для
неравенств второй степени.
Заметим, что если а — отрицательное число, то, умножив нера-
венство (1) на —1, получим на основании утверждения 4 п. 1,3 рав-
носильное ему неравенство
(-а)х24- (~Ь)х 4- (-с) < 0
уже с положительным коэффициентом при х2.
Аналогично если а — отрицательное число, то, умножив неравен-
ство (2) на —1, получим на основании утверждения 4 п. 1.3 равно-
сильное ему неравенство
(—а)х24- (~Ь)х 4- (-с) > 0
также с положительным коэффициентом при х2.
Учитывая это, дальше будем рассматривать решения неравенств
(1) и (2), считая, что а — положительное число, В следующих пунк-
тах будет рассмотрено решение этих неравенств отдельно при усло-
виях D > 0; D = 0; D < 0.
19
63? а) Какой вид имеет неравенство второй степени с одним не-
известным х?
б) Что называют дискриминантом неравенства второй степе-
ни ах2 + Ьх + с > О (а * 0)?
в) Что называют решением неравенства с одним неизвест-
ным х?
г) Что значит решить неравенство с одним неизвестным?
д) Что значит, что два неравенства равносильны?
е) Сформулируйте утверждения о равносильности неравенств.
64. Является ли неравенство:
а) 3 - 2х > 0; б) <1; в) х2 - 5х + 1 < 0;
□
г)7х-^>0; д) 4х — 5х2 > 0; е) Зх2 + 7 < 0
неравенством первой степени; линейным; второй степени?
65. Приведите неравенство:
а) 4х + 2Х2 — 1 > 0; б) 6 + х2 < 0;
в) ^-х + 0,2<0; г) 1-7х+^>0
о Л
к виду ах2 + bx -I- с > 0 или ах2 -I- Ьх + с < 0, назовите
коэффициент при х2 и свободный член,
66. Вычислите дискриминант неравенства:
а) хй - 7х + 10 > 0; б) х2 + 9х + 20 < 0;
в) хй — х — 7 < 0; г) х2 + х — 5 > 0.
Является ли число, указанное в скобках, решением неравен-
ства (67—68):
67. а) х2 — Зх + 4 > 0 (I); б)х2-2х + 3<0
в) 2х2 — 5х — 1<0 (-2); г) Зх2 - Зх + 1 > 0 (-3);
д) |?-|х+|<0 (15); е) ^+х-|<0 (12)?
68*. а) хй- 11,7х + 17 < 0 (73); б) х2- 11,4х+ 14 > 0 (Л);
в) хй + х — 12>0 (л); г) х2 — 2х — 15 < 0 (-л) ?
69. Напишите неравенство с положительным коэффициентом
при х2, равносильное неравенству:
а) —х2 + 5х + 7 > 0; б) —2х2 — 4х + 8 < 0;
в) -4 х2 + 9 > 0; г) -|х2-5<0,
70. Напишите неравенство с коэффициентом 1 при х2, равно-
сильное неравенству:
а) -|х2 + Зх-5 > 0; б) |х2-8х + 3<0;
Z о
в) |х2-5х + 7 > 0; г) + -х - 1 < 0.
' 5 '42
20
71. Разделив правую и левую части неравенства на общий дели-
тель свободного члена и коэффициентов при /и при х, напи-
шите неравенство, равносильное неравенству:
а) 4х2—6x4- 10 >0; б) -6/ - 12х-6<0;
в) -9/- 90х - 81 > 0; г) 10/ - 20х 4- 30 > 0;
д) 12/— 16х 4- 8 < 0; е) -11/- 44х - 33 < 0.
2.2. Неравенства второй степени
с положительным дискриминантом
Пусть надо решить неравенство
ах2 + Ьх + с > 0, (1)
где а, b и с — данные числа, причем а > 0, D = Ь2 — 4ас > 0.
Как мы зиаем, в этом случае
ах2 + Ьх + с = а (х — х,)(х — х2), (2)
где х, и х2 — корни трехчлена ах2 + Ьх + с. Поэтому неравенство (1)
можно переписать в виде
а (х - xj (х - х2) > 0. (3)
Так как а — положительное число, то неравенство
(х — xj(x - х2)> О (4)
равносильно неравенству (3).
Заметим, что точки х = х, и х = х2 не удовлетворяют неравенст-
ву (4). Так как D > 0, то х, * х2. Для определенности будем считать,
что X] < х2. Отметим на координатной оси Ох точки xt и х2 (рис. 11).
-------о------------о------►
Xi х2 х
Рис. 11
Эти точки делят ось Ох на три интервала: (—oo;Xj), (xt;x2),
(х2; 4-оо).
Пусть х принадлежит интервалу (х2; 4-оо), тогда
х — Xj > 0 и х — х2 > О,
и, следовательно, (х — х,) (х — х2) > 0.
Пусть далее х принадлежит интервалу (х^хД тогда
х — Х[ > 0 и х — х2 < О,
и, следовательно, (х — xt)(x — х2) < 0.
Пусть х принадлежит интервалу (—оо; х(), тогда
х - Xj < 0 и х — х2< О,
и, следовательно, (х — х,) (х — х2) > 0.
21
Поэтому множество всех решений неравенства (1) состоит из двух ин-
тервалов (—oo;Xj) н (х2; +оо). Его записывают с помощью знака
объединения множеств (U): (—оо;x,)U(x2; +оо) — и читают так:
«Объединение интервалов (—оо;хЕ) и (х2; 4-оо)».
Отметим, что множество всех решений неравенства
ах2 4- bx -I- с < 0 (а > О, D > 0) (5)
образует интервал (хЕ; х2).
Результат, к которому мы пришли, можно также получить, исполь-
зуя график квадратичной функции
у = ах7 4- Ьх 4- с (а > 0). (6)
Рис. 12
Учитывая, что а > О, D > 0 и
Xt < х2, покажем схематически, как
расположен график функции (6) в
координатной плоскости (рис. 12).
Очевидно, что для тех х, для которых
соответствующие точки параболы рас-
положены выше оси Ох, выполняется
неравенство (1), а для тех х, для
которых они расположены ниже оси
Ох, выполняется неравенство (5). Из
рисунка 12 видно, что множество всех
решений неравенства
ах2 4- Ьх 4- с > О
состоит из двух интервалов (—оо;хЕ) и (х2; 4-оо), а множество всех
решений неравенства ох2 4- Ьх 4- с < 0 образует интервал (хЕ; х2).
Таким образом, чтобы решить неравенство
ах2 4- Ьх 4- с > 0 нли ах2 4- Ьх 4- с < О
при £)>0, надо найтн корни хЕ и х2 (хЕ<х2) квадратного трехчлена
ах2+Ьх+с, определить знак трехчлена на интервалах ( —оо; хД (х,; х2)
и (х2; 4-оо) н записать в ответ интервал (или объединение интервалов),
на котором неравенство выполняется.
Пример /. Решим неравенство
х2—5x4-6 <0. (7)
Для неравенства (7) дискриминант D = 1 > 0 и трехчлен х2 — 5х 4- 6
имеет два корня: х, — 2 и х2=3. Поэтому неравенство (7) можно
переписать в виде
(х-2) (х-3) < 0. (8)
Отметим на координатной оси Ох точки 2 н 3 (рис. 13). Легко
видеть, что выражение (х — 2)(х — 3) положительно для любого X,
расположенного правее точки 3, отрицательно для любого х, распо-
22
о
2
Рие. 13
ложенного между точками 2 н 3, положительно для любого х, распо-
ложенного левее точки 2.
Поэтому множество всех решений неравенства (8), следовательно,
и равносильного ему неравенства (7) образует интервал (2; 3). Этот же
результат можно получить, используя график функции у = х — 5х + 6
(рис. 14).
Ответ: (2; 3).
Пример 2. Решим неравенство
—х2 —х + 6<0. (9)
Умножив неравенство (9) на —1, получим равносильное ему неравен-
ство
х2 + х- 6 > 0, (10)
в котором коэффициент при х2 уже положителен.
Дискриминант этого неравенства D = 25 > 0. Корни квадратного
трехчлена х2 + х — 6 есть xt = — 3 н х2= 2. Отметим на координатной
осн Ох точки —3 и 2 (рис. 15). Рассуждая, как при решении примера 1,
йолучим, что множество всех решений неравенства (10), а значит, и
неравенства (9) образует объединение интервалов (—оо; —3) н
(2; +оо), К этому же выводу приходим с помощью рисунка 16, на
котором изображена парабола у =х2 + х — 6.
Ответ: (— оо; —3)U(2; +оо ).
23
72. а) Как решается неравенство второй степени с положитель-
ным дискриминантом?
б) Как используется график квадратичной функции для реше-
ния неравенства второй степени?
в) Имеют ли решения неравенства ах2+ Ьх + с > 0 н ах2 + Ьх +
+ с < 0, если а > 0 и их дискриминант больше нуля?
73. Приведите неравенство:
а) -х2 - 5х - 6 < 0; б) -х2 - 7х + 8 > 0;
в) Зх2 - 15х - 18 > 0; г) -2х2 - 8х + 10 > 0
к виду (х — xj(x — х2) > 0 или (х — Х|)(х — х2) < 0.
74. На рисунке 17 отмечены числа 1 и 3, обращающие произве-
дение (х — 1)(х — 3) в нуль. Определите, какие знаки имеет
каждый множитель и их произведение на интервалах Г, П, III.
75. Составьте неравенство второй степени с одним неизвестным,
все решения которого отмечены на рисунке 18 штриховкой.
76. Решите неравенство и определите, является ли число, ука-
занное в скобках, решением неравенства:
а) 9х2 - 10х + 1 < 0 (0,(3)); б) Зх2 - 14х + 8 > 0 (3,(8));
в) 5х2 - 6х — И <0(75); г) 6х2 - 5х - 4 > 0 (1,(3)).
77. Решите неравенство н отметьте на координатной оси его
решения:
а) (х — 9) (х — 2) > 0; б) (х — 8)(х - 19) < 0;
в) (х + 3) (х - 5) < 0; г) (х - 4)(х + 7) > 0.
Решите неравенство (78—83):
78. а)(2х — 1)(Зх + 5)<0;
в) (4х + 3) (5х + 2) > 0;
б) (1,2х — 0,5)(7х — 1) < 0;
г) (1 + Х)(0,7х + 4) > 0.
I II III
-------о-------------о------>-
1 3 х
Рис. 17
+ ~ + + — +
-------»
2 5 х 4 7 х
а) б)
-3 ~1 X -17 -5 X
Рис. 18
24
79. а) х2 — х > 0; б) х2 +х< 0; г) Зх2 + х> 0;
в) 5х2-х< 0;
д) 4х2 + 7х> 0; е) Зх-2х2< 0.
80. а) х2 - 4 > 0; в) х2-100<0; б) х2-9<0; г) 1-х2>0.
81. а) х2-3>0; в) 2-х!<0; б) ха-5<0; г) 13-х2 >0.
82. а) 0,5х2 - х < 0; в) З-j-x -х2 > 0; б) 1,3х2 — 2х < 0; г) |х2- 1| > 0.
83. а) 2х2-3< 0; в) 5 - 0,2х2 >0; б) 7х2- 1 >0; г) 1,2- Зх2 < 0.
84. 85. Решите неравенство, используя график: а) х2-Зх + 2 >0; б) х2 + 4х + 3<0; в) х2 + 5х + 6 < 0; г) х2-5х + 4>0; д) Зх2-2х-5<0; е) 4х2-х-3<0; ж) 7х2 + 2х-5>0; з) 10х2 + Зх-1>0. Решите неравенство: а) 0,25х2-4х+ 12> 0; б) 0,5х2 + 8х + 24< 0; в) 3-х + tVx2< 0; г) 4х + ~х2 +12 > 0; д) 5х2-х-7<0: е) 8х2-3~2х>0; ж) 2х2 + 5 - 17х> 0; з) 15х + 3 + 4х2< 0.
86. При каких значениях х а) у = х2-6х+8; в) у = —х2+2х+3; расположены выше осн точки графика функции: б) у = х2—2х—8; г) у= -х2+х+12 Ох? ниже оси Ох?
87. Укажите все значения х, а) у = х2 + 1,5х - 1; в) у = 4х2 + 19х - 5; д) у = -2х2 + 5х + 3; , при каждом из которых функция: б) у = х2— 3,5х + 2; г) у = Зх2 - 5х - 2; е) у = -Зх2— 8х + 9
принимает положительные значения; отрицательные значения.
2.3. Неравенства второй степени
с дискриминантом, равным нулю
Пусть надо решить неравенство
ах2 + Ьх + с > 0, (1)
где а, Ь и с — данные числа, причем а > О, D — Ь2 4ас ~ 0.
25
Как мы знаем, в этом случае
ах2+ Ьх + с = а(х — х0)2,
где х0 — корень квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с. Поэтому
неравенство (1) можно переписать в виде
а {х — х0)2 > 0.
При х = xQ многочлен (х — х0)2 равен нулю. При любом же числовом
значении х * х0 многочлен (х — х0)2, а значит, и многочлен а (х — х0)2 при-
нимают положительные значения. Следовательно, решением неравен-
ства (1) будет любое число х, кроме х = х0. Иначе говоря, множество
всех решений неравенства (1) состоит из двух интервалов (— оо; х0) и
(х0; +оо), где х0 — корень квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с.
Из сказанного следует также, что прн тех же условиях на числа
а, Ь и с неравенство
их2 + Ьх + с < 0 (2)
не имеет решений.
Эти же выводы можно получить, используя график квадратичной
функции
у = ах2+ Ьх + с. (3)
Так как а > 0, D = 0, то можем изобразить схематически, как
расположен график функции (3) (рис. 19), откуда сразу видно, что неравен-
ство (1) справедливо для всехх, кроме x=t xQ = — ~ , а неравенство (2) не
имеет решений.
Таким образом, чтобы решить неравенство
ах2 + Ьх + с > 0
или
ох2 + Ьх + с < 0
прн D = 0, надо найти корень х0 квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с,
определить знак трехчлена на интервалах (—оо; х0) н (х0; +оо) н
записать в ответ (—оо; x0)U(x0; +оо), если неравенство выполняется
на каждом из этих двух интервалов, или «нет решений», если неравен-
ство не выполняется.
Пример. Решим неравенства
4х2 + 4х + 1 > 0, (4)
4х2 + 4х + 1 < 0. (5)
Находвм дискриминант неравенств (4) и (5):
D = b2- 4ас = 42-4 4-1 = 0.
Так как дискриминант равен нулю, то квадратный трехчлен
4х2+ 4х + 1 имеет единственный корень х0=-^ и 4х2+ 4х + 1 >0 прн
26
всех х*-~ , откуда видно, что решением неравенства (4) будет любое
, т. е. множество всех решений неравенства (4) состоит из двух
интервалов (-00; -1) и + оо). Неравенство же (5), очевидно,
ие имеет решений. На рисунке 20 в плоскости хОу изображена
парабола
у - 4х2 + 4х + 1.
Вся она, кроме точки 1;О), расположена выше осн Ох. Из рисун-
ка 20 видно, что решением неравенства (4) являются все х, кроме
х а неравенство (5) решений не имеет.
88°. Имеет ли решения неравенство второй степени, если его
дискриминант равен нулю? Какие случаи возможны?
89. С помощью графика квадратичной функции объясните, почему
неравенство ах2 + Ьх + с < 0 при а>0н£) = 0не имеет решений?
90. Найдите все х, прн каждом из которых выражение:
а) 2х2; б) -у ; в) (х + З)2; г) (х - I)2
принимает положительное значеине,
91. Существуют ли х, при которых выражение:
а) -х2; б) -Зх2; в) (2-х)2; г) -(х + 4)2
принимает положительное значение?
92. Определите, является ли решением неравенства число, ука-
занное в скобках:
а) 25х2-10х+1<0 б) 4х2 + 12х + 9>0 (-2,5);
в) х2-х + 0,25>0 (л/3); г) х2 + х+-^<0 (-1,7).
27
Решите неравенство (93—94):
93. а) (х-4)2>0; б) (х + 1)2>0;
в) (2х-3)2>0; г) (7-4х)2>0.
94. а) х2-4х+4>0; б) х2-2х+1>0;
в) х2 4-10х + 25< 0 ; г) х2-8х+16<0.
95*. Решите неравенство, используя график квадратичной функции:
а) х2-2х+ 1 >0; в) х2 + 4х + 4 < 0; б) х2 + 6х + 9 < 0;
О 4х2 - 4х + 1 > 0.
96. Решите неравенство: а) 4х2 + 20х + 25 < 0; б) 9х2- 36х + 36 > 0;
в) 49х2 + 14х + 1 > 0; О 25Х2 - 1 Ох + 1 < 0 ;
д) 2х2 + Зх + 11 > 0; О е) 9х2- 10х + 2{ < 0. У
97. Найдите все значения k, при каждом из которых неравенство:
а) х2 -24х + k > 0 верно при всех х, кроме х = 12;
б) 64х2 + kx + 9 > 0 верно при всех х, кроме х=—| •
98. Найдите все х, при каждом из которых неверно неравенство:
а) х2 + 8х + 16 > 0; б) 9х2 - 6х + 1 < 0.
2.4. Неравенства второй степени
с отрицательным днскрнмннантом
Рассмотрим неравенство
ах2 + Ьх + с > 0 (1)
где а, Ь и с — данные числа и а > О, D = Ь2 — 4ас < 0.
Выделяя полный квадрат из трехчлена ах2 + Ьх + с. получим
ах2 + Ьх + с =а (х + . (2)
2а) 4а
Из равенства (2) следует, что неравенство (1) можно переписать
следующим образом:
откуда, учитывая, что а>0 и D<0, видно, что неравенство (1) выпол-
няется для любого х, т. е. на интервале (-оо; +оо).
Отсюда также следует, что при указанных выше условиях (а > 0,
D < 0) неравенство ах2 + Ьх + с < 0 не имеет решений.
При а>0 и /)<0 график функции
у = ах2 + Ьх + с
28
у = 5х2- 6х + 2
г/л
5
Рис. 22
схематически изображен на рисунке 21. Вся парабола расположена
выше оси Ох, и поэтому неравенство (1) справедливо для любого
значения х.
Таким образом, чтобы решить неравенство
ах2 + Ьх + с > О
или
ах2 + Ьх + с < О
при D < 0, надо определить знак трехчлена на интервале (-оо; +оо) и
записать в ответ (-оо; +оо), если неравенство выполняется на этом
интервале, или «нет решений», если неравенство не выполняется.
Пример. Решим неравенства
5хг-6х + 2>0, (3)
5хг-6х + 2<0. (4)
Дискриминант каждого из этих неравенств D = —4 < 0, значит,
трехчлен 5х2 — 6х + 2 не имеет корней и на интервале (—оо; +оо)
имеет знак «+». Поэтому неравенство (3) выполняется для любых х,
т. е. на интервале (—оо; +оо), а неравенство (4) не имеет решений.
На рисунке 22 изображена парабола у = 5х2 — 6х + 2, Из рисунка
видно, что неравенство (3) справедливо для любого х, а неравенство
(4) не имеет решений.
99п. Имеет ли неравенство второй степени решения, если его
дискриминант меньше нуля? Какие случаи возможны?
100. С помощью графика квадратичной функции объясните,
почему неравенство ах2 + Ьх + с < 0 при а > 0 и D < 0 не
имеет решений.
101. Решите неравенство, используя график квадратичной функции:
а) х2-х + 3>0; б) х2 + 2х + 2<0;
в) х2 - Зх + 4 < 0; г) х2 + х + 5 < 0 .
29
Решите неравенство (102 —104):
102. а) Зх2-2х+ 1 >0; б) 5х2-4х + 2 < 0;
в) -4х2 + х-6<0; г) -7х2 + Зх-1>0.
103. а) О,2х2 — х+ 100 >0; б) 1,7х2 + х+ 10 <0;
в) 4-v + 8<°; г) ^ф£-12>0-
104. а) х2 — 4,8х — 1 < 0; б) ха + 3,5х-2>0.
105. Укажите все значения т, при каждом из которых неравенство
верно при любом значении х:
a) 2x2-x + zk>0; б) Зх2 + 2х + т>0.
2.5. Неравенства, сводящиеся к неравенствам
второй степени
Часто приходится решать неравенства, левые и правые части ко-
торых являются многочленами.
Для решения таких неравенств можно применять утверждения,
приведенные в п. 1.3. На основании этих утверждений после переноса
всех членов неравенства в левую его часть и приведения подобных
членов получится неравенство, равносильное исходному. В правой
части полученного неравенства будет стоять нуль, а в левой — мно-
гочлен. Дальше в этом пункте будут рассмотрены примеры решения
неравенств, сводящихся к неравенствам второй степени.
Пример 1. Решим неравенство
х2-2х + 3 > 2х2-3-х. (1)
Перенеся все члены неравенства в левую его часть, получим
неравенство
х2-2х + 3 - 2х2 + 3 + х > 0 , (2)
равносильное неравенству (1).
Приведя в неравенстве (2) подобные члены, прнходнм к неравен-
ству
— х2 — х + 6 > 0 , (3)
равносильному неравенству (2). Умножив его на —1, получим равно-
сильное ему неравенство второй степени с положительным коэффи-
циентом при х2:
х2+х- 6 < 0. (4)
Дискриминант неравенства (4) D = 25 > 0. Квадратный трехчлен
х2 + х — 6 имеет два корня: xt = — 3 и х2 = 2. Поэтому неравенство (4)
можно записать в виде
(х - (-3))(х- 2)< 0. (5)
30
Отметим на координатной оси Ох точки —3 и 2 (см. рнс. 15). Легко
видеть, что выражение (х —(—3)) (х — 2) положительно для любого х,
расположенного правее точки 2, отрицательно для любого х, распо-
ложенного между точками —3 н 2, положительно для любого х, рас-
положенного левее точки —3.
Следовательно, множество всех решений неравенства (5), а значит,
и равносильного ему неравенства (1) образует интервал (—3; 2).
Этот же результат можно получить, используя график функции
у = х2 + х — 6 (см. рнс. 16).
Ответ: (—3; 2).
Пример 2. Решим неравенство
х2>5. (6)
Перенесем 5 в левую часть неравенства (6), получим неравенство
второй степени
х2 — 5 > 0, (7)
равносильное неравенству (6). Разлагая на линейные множители мно-
гочлен х2—5, приходим к неравенству
(х-(-75))(х-75) >0. (8)
равносильному неравенству (7).
Отметим на координатной осн Ох точки -75 и J5 (рнс. 23, а). Рассуж-
дая, каки выше, получим, что множество всех решений неравенства (8),
а значит, и неравенства (6)
образует объединение интервалов
(-оо;-75) и (а/5; +оо). Этот же
результат можно получить, ис-
пользуя график линейной функции
у = х2 — 5, изображенный на
рисунке 23, б.
Ответ:(-оо;-75)и(75 ; +00}
Пример 3. Решим неравенство
<J £ о
Перенеся все члены неравен-
ства (9) в левую часть, получим
неравенство
-lxi + lx + |>0, (10)
равносильное неравенству (9).
Так как производить вычисления с
31
________►
Х1 х2 х
Рис. 24
целыми коэффициентами удобнее, то умножим неравенство (10) иа
число —30. Получим неравенство
10х2-6х- 15 < 0, (11)
равносильное неравенству (10).
Так как квадратный трехчлен 10х2-6х- 15 имеет два корня:
_ 3-7159 _ 3 + 7159
1о~ и х‘2----10 ’
то неравенство (11) равносильно неравенству
(х - xj (х - х2) < 0.
(12)
Рассуждая, как выше (рнс. 24), получим, что множество всех
решений неравенства (12) образует интервал (х,; х2).
Следовательно, множество всех решений неравенства (9) образует
интервал
.. f 3-7159 3+7159^1
’ ( 10 ’ 10 г
106°. Как решают неравенства, левые н правые части которых мно-
гочлены?
107. Являются ли равносильными неравенства:
а) 3 -х + х2 > 0 и
б) х2 - 5 < Зх и
в) +lZ£<4 н
г) х2 + 5х-7 > 0 н
х2 > х — 3 ;
4х2- 12х< 20;
Зх2-21х - 24 < 0 ;
0,01х2-0, 07 + ---U?
108. Приведите неравенство:
а) 7>3х-5х2; б) 2х>-3 + 2х2;
в) 13х2-5<х; г) 4х + 5 > х2
к виду ах2 + Ьх + с > 0 или ах2 + Ьх + с < 0.
109. Приведите неравенство:
а) 10х-х2>1; 6) 4х2-6>9;
в) 7<14х + 2х2; г) 5х2>13х-8
к виду ах2 + Ьх + с < 0.
32
ПО. Приведите неравенство:
а) -х2>7-3х; б) -х2<5х-6; в) -1,2х < 3-0, 5х2
к виду х2 + рх + q > 0 или х2 + рх + q < 0 .
Решите неравенство (111-115):
111. а) 0,5х2>х; б) 1,3х2<2х;
в) 3^х<х2; г) {х> 1|х2;
Л О D
д) 7 >4х2; е) 5 < -х2;
ж) 2х2 < 3 ; з) Зх3 > -5 .
112. а) 10х2>3 + 5х; б) 12х2>8х + 3;
в) 23х < 9х2 + 8 ; г) 7х2 - 6 > 25х.
113. а) 5(х-1/> 5(1-х)-х;
б) 2(х + I)2 < 2 (2х + 1) -(х — 1)(х +1);
в) (х-1)2 + (х- 2)2 < 1 ;
г) (х + 3)(х-2) > Зх + 10-(х + 2)2.
114. а) х2 > 6х-9;
в) 4- Зх < 1 -2х2;
д) х2 - 7х + 5 > Зх2 - 5х;
б) 16х2 < 8х- 1 ;
г) 6х > 12 - 5х2;
е) 4х2 + 8х > 7х- 12 .
115. a) Д + 0, 2х2< 1 ;
б) х2 - 7 21 > 0,2 ;
4
в\ (х-1)(х-2) х + 1 7 15 5 _ £ . Г1 12-х2 3 ’ ’ 4 _ х < 3 * - (^-З)2 12 '
116. Найдите область определения функции:
а) у = ; б) у Д-; Jx- I в) У jrrx ’
Г) у == _£ ; д) у= ; е)
Ух2 Ух2 -1 Ух2 + 4
ж) у ; 7х -4 з) у = 9х ; ' Ух2 + 3 и) п= ~12
Ух2 - 14х + 4
к) и = 1 — * л) у = ; м)
14) У f 5 *
л/2-Зх-х Л2-з УЪ-j?
117. Найдите область определения функции:
У ix-l| б> У |х*1|: в) у= Ы :
г) Ц = 3 ; д) Ц = 1.~ • ; е) ,/ = ....*2-9..
} У Ух2-2х+\ Ух2 + 4х + 4 Ух2 - 6х 4 9
2 Алгебра 9 класс
33
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
3.1. Метод интервалов
Отметим иа координатной оси Ох число х0 (рис. 25).
Точка х0 делит ось Ох иа две части:
1) для любого х, находящегося справа от точки х0, двучлен х — х0
положителен;
2) для любого х, находящегося слева от точки х0, двучлен х — х0
отрицателен.
Это свойство двучлена лежит в основе метода интервалов. Пусть,
иапрнмер, требуется решить неравенство
(х-х,) (х-х2) (х-х3) >0 (1)
нли неравенство
(x-х,) (х-х2) (х-х3) < 0, (2)
где Xi< х2< х3.
Отметим на оси Ох точки хр х2 и х3. Они делят ось Ох на четыре
интервала: (-оо; х,), (х^ х2), (х2; х3), (х3; +оо) (рис. 26).
Рассмотрим выражение
А(х)- (х-х,)(х-х2)(х-х3). (3)
Очевидно, что для любого х, находящегося справа от х3, любой
двучлен в произведении (3) положителен, твк квк точке х находится
правее всех точек x]f х2, х3. Поэтому и А (х) > 0 для любого х, принад-
лежащего интервалу (х3; + оо ).
Для любого х, находящегося между точками х2 и х3, последний
сомножитель в пронзведеиии (3) отрицателен, так как х находятся
левее точки х3, а любой из оставшихся сомножителей положителен,
так как х находятся правее точек xt и х2. Поэтому А (х) < 0 для любого
х из интервала (х2; х3).
Аналогично рассуждая, получим, что А (х) > 0 для любого х из
интервала (х(; х2) н А (х) < 0 для любого х из интервала (-оо; Xi).
На этом рассуждении основан метод интервалов решения
неравенств (1) и (2), состоящий в следующем: иа оси Ох отмечают
точки X], х2, х3, над интервалом (х3; +оо) ставят знак «плюс», иад
интервалом (х2; х3) ставят знак «минус», иад интервалом (х^ х2) —
знак «плюс», над интервалом (-оо; xj — знак «минус» (рис. 27).
Тогда множество всех решений неравенства (1) будет состоять из
всех интервалов, иад которыми поставлен знак «плюс», а множество
всех решений неравенства (2) будет состоять из всех интервалов, над
которыми поставлен знак «минус».
-о--------------► -----о---------о----------о-----------►
Хо х Х1 Х2 XI X
Рнс. 25
Рнс. 26
34
-о------------о--------------о-------------►
ЛС1 Х2 *3 х
Рис, 27
12 3г
Рис, 28
Отметим, что сами числа хи х2, х3 не являются решениями неравенств
4(х)>0 н А(х)<0. Этим объясняется, что множество решений этих
неравенств состоит из интервалов, а не из отрезков или полуинтервалов.
Подобным образом можно решать неравенства
(X - Х])(Х - х2)... (х - х„) > О
и
(х — X]) (х — х2)... (х — хя) < О,
где х, < х2< ... < хл, п — натуральное число.
Отметим, что фактически этим же методом мы решали неравенст-
ва второй степени с положительным дискриминантом.
Пример /. Решим неравенство
(х — 1 )(х — 2) (х — 8) > 0. (4)
Будем решать неравенство (4) методом интервалов. Отметим на осн
Ох точки 1, 2, 3. Над интервалами (— оо; 1), (1; 2), (2;3), (3; + оо)
справа налево поочередно расставим знаки «плюс» н «минус» (рис. 28),
начиная с «плюса». Из рисунка видно, что множество всех решений
неравенства (4) состоит из двух интервалов (1; 2) н (3; +оо). (На ри-
сунке они отмечены дугами.)
Ответ: (1; 2)U (3; +эо).
Пример 2. Решим неравенство
(2 - х) (х2 - 4х + 3) (х + 1) > 0. (5)
Разлагая квадратный трехчлен х2 — 4х + 3 на множители:
х2 — 4х 4- 3 = (х — 1)(х — 3),
получим, что неравенство (5) можно записать в виде
(х — ( —1))(2 — х)(х — 1)(х — 3) > 0. (6)
Умножая неравенство (6) на —1, получим, что оно равносильно
неравенству
(х-(-1)Г(х- 1)(х-2)(х-3)<0. (7)
Поэтому остается решить неравенство (7). Оно уже записано в нуж-
ном для метода интервалов виде. Отметим на осн Ох точки —1, 1, 2,
2а Алгебра 9 класс.
35
3 (рис. 29). Применяя метод интервалов, находим, что множество всех
решений неравенства (5) состоит из двух интервалов: ( — 1; 1) и (2; 3).
О т в е т: (-1; 1) U (2; 3).
О Пример 3. Решим неравенство
(х - 1 )3(ж - 2)а (х - З)4 (х - 4) < 0. (8)
Неравенство (8) нельзя решать, как предыдущие неравенства, так
как не все двучлены в его левой чвстн находятся в первой степени.
Для решения таких неравенств обычно применяется общий метод
интервалов, состоящий в следующем: на осн Ох отметим точки 1, 2,
3, 4, а звтем в каждом нз интервалов
(-оо; 1), (1;2), (2; 3), (3; 4), (4;+оо) (9)
исследуем знак многочлена
А (х) = (х - 1 )3 (х - 2)2 (х - З)4 (х - 4). (10)
Над промежутком справа от наибольшего корня многочлена А (х)
ставят знак «плюс», так как иа этом промежутке все миожители
положительны. Затем, двигаясь справа налево, при переходе через
очередной корень меняют знак, если соответствующий этому корню
двучлеи возведен в нечетную степень, и сохраняют знак, если он
возведен в четную степень, так как знаки двучлена н его нечетной
степени совпадают, а четная степень двучлена всюду положительна,
кроме корня этого двучлена. Над каждым интервалом ставят най-
денный знак «плюс» нли «минус». Тогда множество всех решений
неравенства (8) будет состоять нз всех интервалов, иад которыми
поставлен знак «минус».
Исследуем знак многочлена (10) в каждом нз интервалов (9). Над
интервалами (9) должны стоять знаки, как на рисунке 30, так как при
х > 4 все миожители положительны; в точке 4 произведение меняет
знак, так как разность (х — 4) возведена в нечетную степень 1; в точ-
ках 3 н 2 произведение не меняет знака, так как разности (х — 3) и
(х — 2) возведены в четную степень; в точке 1 произведение меняет
знак, так как разность (х — 1) возведена в нечетную степень. Поэтому
множество всех решений неравенства (8) состоит из трех интервалов:
(1; 2), (2; 3), (3; 4).
Ответ: (1; 2)U(2; 3)0(3; 4). •
Рнс. 30
36
-4
х
1
Рис. 31
Пример 4. Решим неравенство
(4-Зх-х2)(х2-4х + 5)(х- 1)< 0. (И)
Прежде всего исследуем квадратные трехчлены в левой части
неравенства (11). У квадратного трехчлена 4 — Зх — х2 дискриминант
£) = 25 > 0, поэтому этот квадратный трехчлен имеет два корня
X, = — 4 и х2 = 1 и справедливо тождество
4-Зх-х2=-(х- 1) (х + 4). (12)
У квадратного трехчлена х2 — 4х + 5 дискриминант D = — 9 < 0,
поэтому этот квадратный трехчлен не имеет корней и для любого х
справедливо неравенство х2 — 4х + 5 > 0.
Используя тождество (12)* перепишем неравенство (II) в виде
— (х2 — 4х + 5) (х + 4) (х — 1 )2 < 0. (13)
Это неравенство можно решить учитывая, что для всех х
множитель х2 — 4х + 5 положителен. Для этого отметим на оси Ох
точки —4 и 1 и определим знак левой части неравенства (13) на
каждом из полученных интервалов (рис. 31).
Получаем, что множество всех решений неравенства (11) есть
множество (—4; 1) U (1; +оо ).
Ответ: (—4; 1) U (1; + оо ).
118°. а) В чем заключается метод интервалов решения неравенств?
К неравенствам какого вида он применим?
б) Равносильнылннеравенствах>2их — 2>0?
в) Верно ли, что если х > 1, то х — 1 > 0?
г) Верно ли, что если х < 1, то х — 1 < 0?
119. Если число х расположено на координатной оси левее чис-
ла 5, верно ли, что: а) х — 5 < 0; б) х — 5 > 0?
120. Если число х расположено на координатной оси правее чис-
ла —2, верно ли, что: а) х — ( — 2) <0; б) х + 2 > 0?
121. 1) Если число х расположено на координатной оси левее числа
4, верно ли, что: а) х ~ 5 < 0; б) х — 2 < 0?
2) Если число х расположено на координатной оси правее
числа 10, верно ли, что: а) х — 11 > 0; б) х — 9 > 0?
122. а) Если число х расположено между числами 1 и 3, то какие
знаки имеют двучлены х — 1 и х — 3?
б) Если число х расположено между числами —3 и -1, то
какие знаки имеют двучлены х + 3 и х + 1?
37
123. Дан двучлен х — 6. Прн каких значениях х этот двучлен
принимает:
а) значение, равное нулю;
б) положительные значения;
в) отрицательные значения?
124. а) Если число х расположено между числами 2 и 5, какие
знаки имеют двучлены х — 2 и х — 5; какой знак имеет
выражение (х — 2) (х — 5)?
б) Если число х расположено левее числа 7, какие знаки
имеют двучлены х — 7нх — 8н выражение (х — 7)(х — 8)?
125. На координатной осн отмечены числа 1, 2 и 3. Определите
знаки каждого двучлена х — 1, х — 2, х — Зн знак выраже-
ния (х — 1)(х — 2)(х — 3) на интервалах ( —оо;1), (1;2),
(2; 3), (3; +оо).
126. а) Найдите все такие х, что выражение (х — 1)(х — 3)(х — 4)
принимает значение, равное нулю.
б) Определите интервалы, на которых выражение
(х— 1)(х —3)(х —4) принимает положительные значения; от-
рицательные значения.
Решите неравенство методом интервалов (127—133):
127. а) (х — 1) (х — 3)(х - 5) > 0; б) (х — 1 )(х — 2)(х - 4) < 0;
в) (х + 1)(х — 1) (х — 2) > 0; г) (х + 2) (х + 1 )(х — 3) < 0.
128. а) (х2 + х)(5х + 5) < 0;
б) (Зх + 12)(2х+ 10)(х2-2х)> 0;
в) (6х2 — 12х)(х + 4) < 0;
г) (2х2 — 16х)(4х + 4)(7х — 21) > 0.
129. а) (2 — х) (х + 3) (х — 7) < 0;
б) (5 — х)(х — 3)(х + 12) > 0;
в) (Зх —4)(1 — х)(2х + 1)>0;
г) (2х - 5)(7х + 3)(х + 8) < 0;
д) (5х — 6)(6х - 5)(1 — х)(3х + 1) > 0;
е) (10х - 1) (х + 2) (7х — 4) (7х + 5) < 0.
130. а) (х - 3) (х2 - Зх + 2) > 0;
б) (2 — х) (х2 — х — 12) < 0;
в) (х2 — Зх — 4)(х2 + х — 12) < 0;
г) (х2 — 5х - 6) (х2 + 2х — 15) > 0.
131. а) (х2- 16) (х2 — х — 2)(х + 2) > 0;
б) (4 + х)(9 — х2) (х2 — 2х + 1)< 0.
132. а) (х - 2)2(х — 1) > 0; б) (х + 4) (х + З)2 < 0;
в) (Зх — If (х + 1) > 0; г) (х + 2)(5х + З)2 < 0.
133. а) (2 — 4х) (х2 — х — 2) < 0;
б) (—4 — Зх) (х2 + Зх — 4) > 0;
в) (Зх — 7)(х2 + 2х + 2) < 0;
г) (5х — 8) (х2 — 4х + 5) > 0;
д) (х2 + 4х + 5) (х2 — 4х + 3) (х - 1) < 0;
е) (-х2 + 6х - 10)(х2 - 5х + 6)(х - 2) > 0.
38
3.2. Решение рациональных неравенств
Пусть дана алгебраическая дробь
многочлены относительно х.
Неравенство
>0
В(х)
где А(х) н В(х) —
(О
называют рациональным неравенством.
Напомним, что решением неравенства с одним неизвестным х
называют такое число х0, при подстановке которого в неравенство
вместо х получается верное числовое неравенство.
Решить неравенство (1) — значит найти все его решения или
доказать, что их нет.
Легко видеть, что любое решение неравенства (1) есть решение
неравенства
Д (х) * В(х) > 0. (2)
Действительно, если число х0 есть решение неравенства (1), то
справедливо числовое неравенство >0, означающее, что чнс-
о(Х0)
ла А (х0) н В (х0) одного знака, т. е. что
Л (х0) - В (х0) > 0,
а это означает, что х0 есть решение неравенства (2). Аналогично
показывается, что любое решение неравенства (2) есть решение
неравенства (1). Следовательно, неравенства (1) н (2) равносильны.
Будем сначала рассматривать лишь тот случай, когда многочле-
ны А (х) и В (х) разлагаются в произведение разных двучленов вида
х — х0. Тогда неравенство (2) можно решить методом интервалов.
Поэтому обычно не повторяют для неравенства (1) рассуждения, проведен-
ные ранее для многочленов, а сразу к неравенству (1) применяют метод
интервалов.
Пример /. Решим неравенство
т5|>о. (3)
Применяя метод интервалов (рнс. 32), находим, что множество
всех решений неравенства (3) состоит нз даух интервалов: ( — оо ; ,2) н
(3; + оо).
Ответ: (— оо; 2) U (3; + оо ),
2 3 х
Рис. 32
39
Пример 2. Решим неравенство
х2 - Зх + 2
Разложим на линейные множители квадратные трехчлены
х2-2х-3 (5)
и ,
? - Зх + 2. (6)
Квадратный трехчлен (5) имеет два корня: Xj = —!, х2 = 3 н
разлагается на линейные множители:
х2 - 2х - 3 = (х ~ (-1)) (х — 3).
Квадратный трехчлен (6) имеет два корня: Xj = 1, х2 ~ 2 и
разлагается на линейные множители:
х2 - Зх + 2 = (х - !) (х - 2).
Следовательно, неравенство (4) можно переписать в виде
(х-(-1))(х-3) < „
(х- 1) (х-2)
Применяя метод интервалов (рис. 33), находим, что множество всех
решений неравенства (4) состоит из двух интервалов: ( — 1; 1) и (2; 3).
Ответ: (-!; 1) U (2; 3).
Пусть даны алгебраические дроби и где А (х)’ А (х),
лДх)
А3(х), В2(х) — многочлены относительно х. Неравенство
3i(x) > Л2(х)
Д|(х) Ва(х)
(/)
также называют рациональным неравенством. Для его решения надо
перенести все его члены в левую часть, вычесть дроби в левой части
и, не сокращая числитель и знаменатель дроби на общие множители,
привести неравенство (7) к виду
£g>°. (8)
где А (х) и В (х) — многочлены относительно х.
Затем решить неравенство (8). Так как неравенства (7) н (8)
равносильны, то все решения неравенства (8) будут всеми решениями
неравенства (7).
-1 1 2 3 х
Рис. 33
40
Рис. 34
О)
нера-
(Ю)
нера-
(Н)
Пример 3. Решим неравенство
х > _1_
2х + 3 х ‘
Перенеся дробь - в левую часть неравенства (9), получим
венство х
_*_____1 > О
2х + 3 х
равносильное неравенству (9).
Вычитая дроби в левой части неравенства (10), получим
венство
а-2 - 2л- 3 > g
х(2х + 3)
равносильное неравенству (10). Разложив квадратный трехчлен х2 — 2г — 3
на множители, перепишем неравенство (И) в виде
(х + 1) (х-3> > g /12)
2(х-0)(х +
Применяя к неравенству (12) метод интервалов (рис. 34), получим, что
множество всех его решений состоит из объединения интервалов
(-°0 ; " 1; 0), (3; + оо ).
Ответ: (-оо U (— 1; 0) U (3; + оо ),
134°. Какие неравенства называют равносильными?
135. Равносильны ли неравенства:
а) Зх > 0 и - >0; X б) -5х > 0 и - • X <0;
в) *±1<0 х + 2 и (х + 1) (х + 2) - < 0?
Решите неравенство (136—149):
136. а) >0; X б) -- < 0; X R1 1 < 0; [ >0.
х-1 г) 2х + 1
137. а) >0; х-2 б) ^<0; х-2 В) < х - 5 0; г) х- 7 > х + 8 -0.
138. а) У^>0; 2-х б) —~<0; 7 х-9 r1 + 4 В) 4х + 2 <0; Г) Зх + 6 9х-3 >0.
41
139. a) 2x + 3 n. x-4 6> 4x-3 >0; в) г> с 0.
140. a) (x-I)(x + 2) x-3 >0; 6) jx+l)U-2) <0. х + 3
в) (x+ l)(7-x) (8 + x)(x-5) <0; г) (х-_6)(4-х) >0 (X- 1)(1 + х)
141* a) srf >0: 6) ^гг<0:
в) 13x-2x2 4x-x2 ’ г) 15х -бх2 л 12х-3? '
142* a) ——J- > 0; x+4 б) ^<0; х-3
в) x2 - 4x + 4 < q. x-1 ’ Г) „ >0. х2 - 6х + 9
143* a) О A l Ф H 1 1 б) 16-х2 < л. ?-5x-6<U’
в) x2-7x + 6 < o- 0 25Х2 - 1 _ п
(3x2-12)(x- 1) ’ 5х2-26х + 5
144* a) *?-x + 2 < xi-7x + 6 0; б) х2 + 4х-21 л. х*-2х + 5 ’
в) x2-3 7X2 + Зх + 2 >0; Г) 4Х2 + 5х + 3 q 5-х2
145. a) 1>1; б) А<1; X
в) x + 1 > ।. X ’ Г) 1. X
146* a) X < 1- X-l X ’ б) 3 5х. х 3 ’
в) x+ 1 < 3. X-l X ’ Г) 2 >х-2 х 3 -х'
147* a) xa-6x + 4 > x-l 0; б) sf + fo + 6 <Q- х + 2
в) х*-5 < 2х2-зх-г 0; Г) зтУ_ >0 Зх2-4х- 1 '
148* a) (x-l)2(x-2) (x-3)2 >0; б) (£±lf <Q- х + 3
в) (x-1)2(x-2) (x-3)2 >0; г) (х + 1_)(х-2)3 < 0 х + 3
149* a) (x+ 1)2(x-2) (x + 3)2 >0; б) ,(х-Ц2(х + 2^ 0. х + 3
в) (x-3)2 >0; Г) (х + 1 )(х + 2)э < 0. х + 3 ’
д) (x-l)2(x-3) x + 3 >0; е) (х-21а(х + 4) < о х-4
42
3.3. Системы рациональных неравенств
Если надо найти все числа х, каждое из которых есть решение
одновременно всех данных рациональных неравенств, то говорят, что
надо решить систему рациональных неравенств с одним неизвест-
ным х.
Для того чтобы решить систему рациональных неравенств, надо
решить каждое неравенство системы, затем иайти общую часть
(пересечение) полученных множеств решений — она и будет мио*
жеством всех решений системы.
Пример 1. Решим систему неравенств
(х- 1)(х-5)(х-7)< О,
(х-2)(х-3) > 0
х-4
(1)
Применяя метод интервалов, находим, что множество всех реше-
ний первого неравенства системы (1) состоит из интервалов ( — оо; 1)
н (5; 7) (рис 35, а), а множество всех решений второго неравенства
системы (1) состоит из интервалов (2; 3) и (4; 4-оо ) (рис. 35, б).
Отметим на координатной оси Ох первое и второе множества (рис. 36).
Общая часть этих множеств — интервал (5; 7). Следовательно, мно-
жество всех решений системы (1) составляет интервал (5; 7).
Ответ: (5; 7).
Пример 2. Решим систему неравенств
х2-6х + 10 < 0,
х9 - х3 + х + 2 > п
х4-х2+1
(2)
Применяя метод выделения полного квадрата, можно иаписать,
что х~ 6х + 10 = х2- 2 х- 3 + З2- З2 + 10 = (х - З)2 + 1.
1
2 3
43
Поэтому первое неравенство системы (2) можно записать так:
(х-3)2+1<0,
откуда видно» что оно не имеет решений.
Теперь можно не решать второе неравенство системы (2), так как
ответ уже ясен: система неравенств (2) не имеет решений.
Ответ: нет решений.
150°.
151.
а) Что значит решить систему рациональных неравенств?
б) Как решают системы рациональных неравенств?
Является лн какое-нибудь нз чисел: —1, 1, 0, 2 — решением
системы неравенств:
(х-3)2>0, б) Г(х + 4)(х- 4) > 0,
[(х-2)(х- 5) < 0; / 1(х+ 5)г > 0;
х2 - Зх + 5 > 0, £±1 >5,
-4 <2; X-4 Г) х'-бх-б < 0?
Решите систему неравенств (152—158):
152.
153.
154.
155.
а)
а)
в)
(х+ 1)(х-3)< : 0, J х(х + 5) < 0,
(х + 2)(х-1)< с 0; и) |(х-1)(х-4)< 0;
(х + 2)(х + 1): >0, С(х-5)(х-6)> 0,
(х + 6)(х-3) < : 0; о |(х + 3)(х-4)< :0.
(х- 1)(х-2)< 0, 61 ((х + 10)(х — 13 )>о,
х(х-З) > 0; |(х + 8)(х- 12) <0;
х2 - 4 < 0, тЛ Jx< -2,
х > 9; г) [х2-9>0.
(х-1)(х-2) > 0, б) Г(х + 3)(х + 2)- <0,
(х- 1) (х- 3) > 0; |(х-4)(х + 2): >0;
(х + 1)(х — 1) - >0, Г(х + 4)(х-6) > о,
(х + 1)(х-3) < : 0; 1 f [ х2 - 1 < 0.
(х- 5)(Х + 1)5 -0, f(x + 2)(х + 3) <0,
(х- 10)2 > 0; [(х + 2)2>0;
х2 - 4х + 3 > 0, т* \ Г(х2 - 1) (х + 3): >0,
х2(х-7)2 > 0; г) |(х + 5)а(х- I)2 >0.
44
(х-2)(х-3) > 0, (X + 2)(х + 10) <0,
156. а) х + 2 >0. б) Х-3 < Q.
(х-4)(х + 4) ' (х + 4)(х+7) '
Xs > 4, / < 25,
в) ^-9 > о- г) /-18 <0
ха-8х+16 им. U, Г + 6х + 9
х-5 . п X + 3 П
г
х + 3 „ х-4
157. а) , б)
х + 7 а. х + 8 п.
1 — < и. _ > и,
х - 3 х-7
4^<о,
в) х V г> X + 1
х-4 к 1 1 Г0 КЗ V с>
х2 - 3| х| + 2 > 0, №-5|х| + 4 < 0,
158*. а) 10 >0; б) И<0;
X *
[ш > 0 |х| + 2 и’ 'ЩИ >0 |х| — 4
в) г)
1* 1 ~ 3 < А. 1*1-5 < п
[1*1+4 |х| + 0,1 ' °’
3.4. Нестрогие рациональные неравенства
Рассмотрим решение нестрогих неравенств
4^ >0 (1)
В(х) ' '
и
^*1 < о
В(Х)
где А (х) н В (х) — многочлены относительно х.
Если некоторое число х0 есть решение неравенства (1), то
справедливо числовое неравенство
Л(*о)
Я(х0)
>0.
Тогда в силу определения знака нестрогого неравенства справед-
ливо или числовое неравенство
> Q
45
или числовое равенство
Л(*р) = п
В(х0)
Иначе говоря, если число х0 либо решение неравенства есть решение неравенства (1), то оно
dM >0, S(x) (2)
либо решение уравнения = о. В(х) (3)
решение
Заметим, что любое решение неравенства (2) н любое
уравнения (3) есть решение неравенства (1).
Следовательно, множество всех решений неравенства
есть объединение множества всех решений неравенства
>0
В(х)
4(Х) > Q
В(х)
и множества всех решений уравнения = 0.
Аналогично множество всех решений неравенства
есть объединение множества всех решений неравенства
В(х)
В(х)
и множества всех решений уравнения = 0.
Заметим, что если многочлен В (х), стоящий в знаменателе
гебранческой дроби , есть число 1, то приведенные выше рас-
суждения применимы и для решения неравенств А (х) > 0 н А (х) < 0,
где-А (х) — многочлен относительно х.
Пример 1. Решим неравенство
Зх - 7 > 0.
Сначала решим уравнение
Зх - 7 = 0.
Его единственное решение х0 = .
□
Затем решим неравенство
Зх - 7 > 0.
Множеством всех решений неравенства (6) являются все х > 1 .
Объединяя множества всех решений неравенства (6) и уравнения (5),
получаем, что множество всех решений неравенства (4) составляет
полуинтервал ;
Ответ: Г —:
L3 ’
ал-
(4)
(5)
(6)
4- оо .
< О
46
Пример 2, Решим неравенство
2х?-х- 1 <0. (7)
Сначала решим уравнение
2/-х - 1 -0. (8)
Оно имеет корни х} “ -1 и х,- I,
Теперь решим неравенство
2х?-х-1<0, (9)
Так как квадратный трехчлен 2л2 — х — 1 имеет корни xt =* -1 н
х2 -* 1, то неравенство (9) можно записать в виде 2
1)<0.
Решая его методом интервалов (рис. 37, а), получаем, что множество
всех решений неравенства (9) составляет интервал •
Объединяя множества всех решений неравенства (9) н уравне-
ния (8), получаем (рнс. 37, б), что множество всех решений неравен-
ства (7) составляет отрезок fj.
Ответ: 1J.
Пример 3. Решим неравенство
Эл^-бх-Ь 1 <0. (10)
Сначала решим уравнение
9? -6х+ 1 =0. (11)
Оно имеет единственный корень хя=~7г-=7Н=4.
Теперь решим неравенство
Эх2 -6х + 1 <0. (12)
Так как квадратный трехчлен 2х* — х — 1 имеет единственный корень
х0 — 1 то неравенство (12) можно записать в виде
О
9(х-1)2<0-
___±_____________1____
_1 1 X „11 X
2 2
а) б)
Рис. 37
47
Следовательно, нет ни одного действительного числа х, удовлет-
воряющего этому неравенству (квадрат любого действительного числа
не может быть отрицательным). Поэтому неравенство (12) не имеет
решений.
Итак, неравенство (10) имеет единственное решение X = |.
Ответ: |.
Пример 4. Решим неравенство
(х + 2)(х-4) Q
(х + 3)х
Сначала решим уравнение
(х + 2)(х-4>_ q
(х + 3)х
Легко видеть, что оно имеет корни х^—2 и х2=4 и других корней не
имеет.
Теперь решим неравенство
(х + 2)(х-4) 0
(х + 3)(х-0)
(13)
(14)
(15)
Применяя метод интервалов (рис. 38, а), найдем, что множество всех
решений неравенства (15) составляет два интервала: ( —3; —2) и
(0:4).
Объединяя множества всех решений уравнения (14) и неравен-
ства (15), получим (рис. 38,6) множество всех решений неравен-
ства (13): (-3; —2] U (0; 4].
Ответ: (-3; -2] и (0; 4].
159 . Как решают нестрогие неравенства?
Решите неравенство (160—166):
160. а) 2х — 3 < 0;
в ) 5х — 8 > Зх — 1;
161. а) х2 - 12х + 32 < 0;
в) 2х2 + х — 7 > 0;
б) 4х - 3 > 0;
г) 2х — 4 < 4х - 3.
б) х + 8х + 12 < 0;
г) Зх2 — 5х — 1 <0.
48
162. a) — x2 + 2x — 1 >0; в) Зх2 + 18x + 27 <0; 163. a) x2 — Зх + 5 > 0; в) 8x2 - x + 1 <0; 164. a) (x2 - 1) (x + 3) > 0; в) (12 - 5x) (x2 - 4x + 4) > 0; 165. a) -L- > 0; x-l B) Л."8 > Q. 7 2x + 3 6) -x1 + 4x - 4 < 0; r) 2x2 — 20x + 50 > 0. 6) x2 + 7x + 10 < 0; r) 4x2 - 5x + 6 > 0. 6) (7 -x) (4 -x2) < 0; r) (x2 — 5x + 6) (x — 3) < 0. 6) 0; 2-x Г) c q 7 5 + x
166*. а) x2 - 9 B) 1 —A-; ' x-3 6) 0; r) — _ 4 < 2x + 3 X X- 1
Решите систему неравенств (167- 169):
167. a) < [(х-1)(х-2)>0, Г(х + 3)(х + 2) <0,
[(х 4- 1)(х-3)<0; (х (х- 4) <0;
х2 - 5х + 6 < 0, х2 + 5х + 6 >0,
в) , г) х2 + х-2>0; 7 х2 - 4х + 3 < 0.
\х + 2)(х-1) < q (х-2)(х + 3)
168. a) х+1 б) X- 1
х + 3 >0; х + 2 > 0;
I'iJ-co, k + _L >0,
х2-9 X2- 1
В) 0 . Г)
х ~16 >0
х 4- 2 [ х-4
| х| < 2, Пх| >4,
169*. a) ’ б)
[(х-3)(х-2) >0; ' [(х + 5) (х - 4) <0;
^-±.6 < 0, (х-3)2 <0,
в) 2х2 - Зх + 1 г) < Зх2 - 5х + 2
х2-4 < 0; х(х-4) < 0;
(х + 1 )(х2-х- 6) >0, (х + 1) (х2 + 8х + 15) < 0,
д) < (х - 1 )(х2 - 5х + 6) < 0, е) - (х + 2)(х2 + 10х + 24) >0,
l(x + 3)(х2-4)>0; (х + 3)(х2 + 9х + 20)>0.
49
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
1. Доказательство числовых неравенств
Для числовых неравенств справедливы следующие утверждения:
1. Для любых действительных чисел а, b и с из справедливости
неравенств а < b и b < с следует справедливость неравенства а < с
(свойство транзитивности неравенств).
2. Для любых действительных чисел а, Ь, с и d из справедливо-
сти неравенств а < b и с < d следует справедливость неравенства
а + с < b + d (одноименные числовые неравенства можно складывать).
3. Для любых положительных чисел а, Ь, с и d из справедливо-
сти неравенств а < b н с < d следует справедливость неравенства
ac<bd (одноименные числовые неравенства с положительными
членами можно почленно перемножать).
4. Для любых действительных чисел af b и с из справедливости
неравенства а < b следует справедливость неравенства а + с<Ь + с(к
обеим частям неравенства можно прибавить любое число).
5. Для любых действительных чисел а, b и любого положительно-
го числа с из справедливости неравенства а< Ь следует справедливость
неравенства а-с < be (неравенство можно умножить или разделить на
любое положительное число).
Все эти утверждения являются следствиями основных правил,
которым подчинены действительные числа. Отметим, что утверждения
1—5 остаются справедливыми, если в иих знаки строгих неравенств
заменить на знаки нестрогих неравенств.
Поскольку не существует общего приема доказательства
неравенств, то рассмотрим лишь примеры доказательства неравенств
с помощью свойств 1—5.
Пример 1. Докажем, что для любых положительных чисел а и b
справедливо неравенство
(1)
Так как Ja и Jb — действительные числа для любых положи-
тельных чисел а н 6, то неравенство
(Ja-Jb)2>0 (2)
справедливо для любых положительных чисел а н Ь (квадрат действи-
тельного числа неотрицателен).
Применяя формулу квадрата суммы и учитывая, что для любых
положительных чисел а и b верны равенства (Та) = а и (Jb) = b,
перепишем неравенство (2) в виде
a-2*/ab + b>Q. (3)
Из утверждения 4 следует, что из справедливости неравенства (3)
следует справедливость неравенства
a + b>2j^b. (4)
50
Из утверждения 5 следует, что из справедливости неравенства (4)
следует справедливость неравенства (1), что н требовалось доказать.
Отметим, что левую часть неравенства (1) называют средним
арифметическим чисел а и Ь, а правую часть — средним гео-
метрическим чисел а и Ь. Поэтому часто свойство, выраженное
неравенством (1), формулируют так:
Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше
их среднего геометрического.
Неравенство (1) между средним арифметическим и средним гео-
метрическим часто используют для доказательства неравенств.
Пример 2. Докажем, что для любых положительных чисел х
справедливо неравенство
х+^>2. (5)
Рассмотрим неравенство
в левой части которого записано среднее арифметическое положи-
тельных чисел хи - , а в правой — их среднее геометрическое. Сле-
довательно, неравенство (6) справедливо на основании свойства
среднего арифметического и среднего геометрического.
Из утверждения 5 следует, что из справедливости неравенства (6)
следует справедливость неравенства (5), что и требовалось доказать.
Пример 3. Докажем, что для любых положительных чисел а, Ь и с
справедливо неравенство
(а 4- b)(b 4- с)(а 4- с) >8abc. (7)
Из справедливости неравенства для среднего арифметического и
среднего геометрического двух положительных чисел следует справед-
ливость неравенств
а 4- b>2jab,
а4- ,
b+ c>2.Jbc.
Перемножая почленно эти неравенства, на основании утвержде-
ния 3 получим, что справедливо неравенство (7), что и требовалось
доказать.
Часто при доказательстве неравенств бывает полезно использо-
вать различные формулы, оценки, группировку слагаемых и т. п.
Пример 4, Докажем, что для любых положительных чисел а и b
справедливо неравенство
4(а3 + Ь3)>(а + Ь)3. (8)
51
Рассмотрим выражение А = 4 (а3 + Ь3) ~ (а + Ь)3, преобразуем его:
А = 4 (а + Ь) (а2 - ab + 62)-(а + b)(a2 + 2аЬ + Ь2) =
- (а + b)(4a2 -4ab + 4b2 - a2~2ab~ Ь2) =
= (а + &)(3а2-6а£> + 3£>2) =3(а + b)(a-b)2.
Теперь очевидно, что А > 0, если а > 0 и Ь > 0, т. е. доказана спра-
ведливость неравенства
4(а3 + Ь3)-(а + 6)3>0. (9)
По утверждению 4 из справедливости неравенства (9) следует
справедливость неравенства (8), что и требовалось доказать.
Пример 5. Докажем, что для любого натурального п справедливо
неравенство
____2__<_L------1_. (Ю)
(2п + I)2 2п 2п + 2 v 7
Левую часть неравенства (10) можно записать в виде —.— ----,
4л2 + 4л + 1
2
а правую — в виде —----.
4л2 + 4п
Так как 4л2 + 4п + 1 > 4л2 + 4л для любого натурального л, то
2 2
4л2 + 4л + 1 4л2 + 4л 1
что и требовалось доказать.
Пример 6. Докажем, что для любого натурального числа л
справедливо неравенство
Применяя неравенство (Ю) и утверждение 2, получаем, что
справедливо неравенство
2(1 + -L + +___1_1 <(1_Г)+(1_Г) +
^9^25 ” + (2л + I)2/ V2 4) U 6^
1 _ 1 = 1 _ 1
2л 2п + 2' 2 2л + 2 *
(12)
Для любого натурального числа л справедливо неравенство
1-—1—<1.
2 2п + 2 2
Теперь, используя транзитивность неравенств (утверждение 1), по-
лучаем, что справедливо неравенство
2(1 + -L + +
V9 25 *"
1
(2п + I)2'
£
2’
(13)
52
Умножив правую и левую части неравенства (13) на -1, получим
на основании утверждения 5, что справедливо неравенство (11). Тем
самым неравенство (11) доказано.
Пример 7. Пусть а и & — любые действительные числа, такие, что
д 4- b = 2. Докажем, что
а4 * * 4-&4 > 2. (14)
Для доказательства обозначим а = 1 4- с, тогда b = 1 — с, где с —
некоторое действительное число.
Поэтому, применяя формулы сокращенного умножения, имеем
а4 + &4 =(1 4- с)4 4- (1 — с)4 = 2 4-12с2 4-2с4. (15)
Так как очевидно, что 2 4-12с2 4-2с4 > 2, то из справедливости
равенства (15) следует справедливость неравенства (14), что и требо-
валось доказать.
Отметим, что справедливость некоторых неравенств можно доказать с
помощью метода математической индукции. Даже такое очевидное
неравенство, как неравенство (12), надо доказывать с помощью метода ма-
тематической индукции.
Докажите неравенство (170—173), где а, Ь, с — действи-
тельные числа:
170. а) 4с2 4- 1 > 4с; б) (а 4- 6)2 > 4а&;
в) а3 4- й3 > а2Ь 4- ab2 (а + b > 0);
г) а 4- > 2 (а > 0); д) а2 4- > 2 (а 0);
е) -тгт<1; ж) ^4-->2 (а& > 0).
7 а7 + 1 7 b а v 7
171. a) Jab > , если а > 0, Ь > 0;
б) (а + 6)(- 4-11 > 4 , если а > 0, Ь > 0;
Ча Ь)
в) (1 4- а)( 1 4- > 4 , если а > 0;
г) 2а2 4- Ь2 4- с2 > 2а (Ь 4- с);
д) # + + если а>0'ь>0’
е) (а2 — &2)2 > 4а& (а - &)2.
172. а) а2 + Ь2 + с2 > ab + ас + bct
б) ab + <!£ + ^.>a + b + c, если а > 0, b > 0, с > 0;
7 с b а
в) - J2< а + b < J2 , если а2 + Ь2 = 1.
53
173. a) |a +< |a| + |£>|; 6) |a-fe|<|a| + |6|;
в) ||а| -I&II < |а - Ь\ .
174. Докажите, что:
а) сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше
куба гипотенузы;
б) а" < Ьп, если 0 < а < b и п — натуральное число.
175. а) Задача Паппа Александрийского (Ш в.). Докажите, что
если а, &, с и d — положительные числа и •£ > -з , то выпол-
ет а
ияется неравенство ad > be.
б) Задача Евклида (/// в. до н. э.). Докажите, что если а, Ь,
с, d — положительные числа на — наибольшее число в
пропорции | = £f то выполняется иеравеиство а + d > b + с.
2. Производные линейной и квадратичной функций
Мгновенная скорость. Начнем с примера.
Пример /. Пусть материальная точка движется прямолинейно по
закону
$(/) = 4t\
где $ (м) — путь, пройденный ею за время / (с).
Спрашивается: какова средняя скорость этой точки за промежуток
времени от /, = 2 до /2= 5?
Путь, пройденный за время ^=2, равен:
s(2) = 4 22 = 16,
а путь, пройденный за время /2 = 5, равен:
$(5) = 4-52 = 100.
Но тогда путь, пройденный за промежуток времени от ff = 2 до
/2=5, равен:
s (5) - $(2)= 100 - 16 = 84.
Средняя же скорость точки за промежуток времени от /( = 2 до
t3=5 равна:
v _^(5)-s(2) = 84 = 28
я>- 5-2 3 0 ‘
Пусть точка движется прямолинейно по закону
S = /(/).
Чтобы вычислить ее среднюю скорость за промежуток времени от
момента i до момента t + h, рассуждаем аналогично.
Путь, пройденный точкой за время t, равен /(/).
Путь, пройденный точкой за время t + Л, равен f(t + А).
54
Но тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени от t до
/ + й, равен:
/(/ +Л)-/(/).
Следовательно, средняя скорость точки за промежуток
времени от t до t + Л равна:
„ « /« + *)-/«) (,
** А '1'
Введем теперь понятие скорости точки в момент времени t, или
мгновенном скорости в момент времени /.
Обратимся к примеру 1.
Итак, пусть точка движется по закону s (/) = 4t*.
Зададим момент времени t в 3.
Будем вычислять для разных малых h среднюю скорость движения
нашей точки за время от/ = 3до/ = 3 + й. Результаты вычислении
сведем в таблицу.
h |/; f+A] Ср.
0,01 [3; 3+0,01] 24,04
0,001 [3; 3+0,001] 24,004
0,0001 [3; 3+0,0001] 24,0004
0,00001 [3; 3+0,00001] 24,00004
0,000001 [3; 3+0,000001] 24,000004
Из этой таблицы видно, что средняя скорость оср точки на отрезке
времени [3; 3 + й] для малых h приближенно равна 24:
о ~ 24.
Ср.
Это приближение тем лучше, чем меньше й. Можно еще сказать,
что оср стремится к 24 при й, стремящемся к нулю, т. е.
“* 24 при й —* 0.
В данном случае число 24 называют скоростью точки в момент
времени t = 3.
В общем случае если точка движется прямолинейно по за-
кону
то ее скоростью, или мгновенной скоростью, в момент времени t
называют число v, к которому стремится ее средняя скорость
на промежутке времени [/; t + й] при й 0:
/(/ + *)-/(/) . п
оср в -—о при Л — 0.
Пример 2. Найдем мгновенную скорость и точки, движущейся пря-
молинейно по закону s(t) = 4ts, в момент времени t.
55
Средняя скорость за промежуток времени [/; t + h] равна:
о « 4(f + = 3/4. 4^
р п
Отсюда 8/ + 4ft 8i при ft -* 0. Следовательно, v = 8t. Например;
v «16 при t = 2,
v = 24 при t = 3.
Производные линейной и квадратичной функций. Пусть функция
У = f(x) определена на интервале (a; ft). Пусть х — любая точка этого
интервала. Рассмотрим еще точки x+h того же интервала.
Число, к которому стремится отношение
f(x + h)-f(x)
h
при ft, стремящемся к 0, называют производной функции f в точке
х и обозначают f (х) (читается: эф штрих от х):
f(x + Л)-/(х) о. _
Если производная при данном значении х существует, то она есть
определенное число. Таким образом, если производная от функции
существует при каждом значении х из интервала (a; ft), то она есть
функция от х, определенная на интервале (a; ft).
На основании приведенных выше рассуждений можно сказать, что
мгновенная скорость и в момент времени t точки, движущейся по
закону s^f 0), равна производной функции f в точке t, т. е.
Вычислим производные для некоторых функций, определенных на
интервале (—со; +оо).
1 )f(x}^x. Для любой ТОЧКИ X
Дх + ft) -/(х) (х + ft) — X = ft.
Поэтому
/(х+ /г)-/(х) _
h - г
Следовательно, производная функции / (х) = х в любой точке х рав-
на 1, т. е. х' = 1.
2) /(х) = С1. Постоянную можно рассматривать как такую функ-
цию от х, которая равна одному и тому же значению С для любого
значения х из интервала (— оо; +оо). Поэтому для этой функции
/(х) =/(х + й) “ С,
/(х+/)-/(%) _
h " и
1 Обозначение С для постоянной происходит от лат. constans (constantis) — посто-
янный.
56
Следовательно, производная постоянной f(x) = С в любой точке рав-
pta нулю, т. е. С' = 0.
3) f(x) = kx + b, где k и b — данные числа.
Для любой точки х имеем
/(х+ _ (fc(A: + Zt) + fe)-(fex + b) e .
h h R'
Следовательно, производная линейной функции/(х) = kx + Ь в любой
точке х равна числу kt т. е.
(kx + b)’ = k.
Отсюда следует, что если тело движется по линейному закону s = at + b,
то его мгновенная скорость V в любой момент времени t равна:
v=/'(0~a,
т, е. его скорость в этом случае постоянна.
4) f(x) = х2. Для любой точки х имеем
f(x + h) — f(x) = (х + h)2 — х2e 2xh + h2.
Поэтому
Л
Поскольку 2х + h стремится к 2х, когда h стремится к 0, то
Г (х) = 2х.
Следовательно, производная функции f(x) = х2 в любой точке
равна 2х, т. е.
(х2)'= 2х.
5) f (х)=ах2+Ьх+с, где а, b и с — данные числа, причем а 0. Для
любой точки х имеем
f(x + /г) —f(x) = (a(x + h)2 + b(x + h) + с) — (ax2 4- bx + c) = 2axh + bh + ah2.
Поэтому
Лх + /9г-/(х) = 2ах + Ь 4- ah.
h
Поскольку 2ax + b + ah 2ax 4- b, когда h —► 0, to
/' (x) = 2ax 4- b.
Следовательно, производная квадратичной функции /(х) = ах2 4- Ьх 4- с
й любой точке х равна 2ах 4- Ь, т. е.
(ax2+bx+c)'=2ax+b. (2)
Замечание. Так как
(ах2)' = 2ах, (Ьх)' = Ь, с' = 0,
то равенство (2) может быть записано в виде
(ах2 4- Ьх 4- с)' = (ах2)' 4- (Ьх)' 4- с'.
57
Это равенство означает, что произ-
водная суммы слагаемых ах, Ьх, с рав-
----------------------► на сумме их производных.
О х Это утверждение верно и в общем
случае: (f{x) + Ф(х))' - /' (х) 4- (х),
но мы не останавливаемся на его обо-
зи сновании.
6) Из фнзнки мы знаем, что если
Рнс. 39 тело падает под действием силы тяжес-
ти с нулевой начальной скоростью с не-
которой высоты, то, поместив начало координат в начальную точку и
направив положительную полуось Os к земле (рис. 39), получим закон
движения этого тела*.
где g — ускорение силы тяжести (g «= 9,8 м/с2). Но тогда мгновенная
скорость падающего тела в момент времени t равна: v = s’ (t) = gt.
Мы получили известную в физике формулу для определения скорости
этого движения в любой момент времени /: v — gt.
Первообразная для линейной функции. Производная функции х2
равна функции 2х: (х2)' — 2х.
Но говорят также, что функция х2 есть первообразная для функ-
ции 2х,
Вообще функцию F(x) называют первообразной для функ-
ции /(х), определенной на интервале (а; Ь), если производная
функции F(x) равна /(х) на этом интервале:
F'(x)-/(x).
Заметим, что если F(x) есть первообразная для функции /(х), То
сумма F(x) + С, где С — любая постоянная, также есть первообраз-
ная для/(х), потому что
(F(x) 4-С)Г = F'(x) + С =/(х).
Таким образом, любая первообразная для функции/(х) имеет вид
F(x)4-C.
Например, ие только х2 есть первообразная для 2х, ио и х2 + С,
где С — произвольная постоянная, есть первообразная для 2х.
Отметим равенства
С = 0, (х4-С)' = 1, ff + cj -х, +bx + cj~ax + b.
Из этих равенств следует, что функции
С, х + С, у + С, + Ьх + С,
где С — произвольная постоянная, являются соответственно перво-
образными для функций 0, 1, х, ах 4- Ь.
58
Выше по закону движения определялась скорость движения тела
в любой момент времени. Часто требуется решить и обратную задачу:
Зная скорость движения тела, определить закон движения этого тела.
Отметим сразу, что для решения этой задачи требуются еще до-
полннтельные данные о том, где находилось тело в момент начала
движения. При решении этих задач существенно используется поня-
тие первообразной. Покажем на примерах, как решают такие задачи.
Пример 3. Пусть тело движется прямолинейно с постоянной
скоростью а. Найдем закон движения этого тела з "/(/), считая, что
s ® 0 при t = 0.
Так как производная f (/) равна скорости движения, то
/'(0 = «
и/(/) есть первообразная для а, но тогда
з =/(/) = at + С,
где С — неизвестная постоянная.
Так как з = 0 в момент t = 0, то С = 0. Поэтому искомый закон
движения определяется равенством
з = at.
Пример 4. Пусть тело движется прямолинейно со скоростью
и = gt + а,
где t — время, отсчитываемое с начала движения. Найдем закон дви-
жения з “/(/)» считая, что з = 0 при t = 0.
Так как производная /' (/) равна скорости движения, то
Г (0 = £* + <* (3)
и/(/) есть первообразная для функции gt + а. Но тогда
s — /(/) = + at + С,
где С — неизвестная постоянная.
Так как з = 0 в момент t = 0, то С = 0. Поэтому искомый закон
движения определяется равенством
з = + at.
Заметим, что v = a при / = 0 (см. (3)). Это показывает, что в
момент начала движения тело имело начальную скорость v = а.
176], Как вычисляют среднюю скорость движения тела и за
промежуток времени от t до t + h, если известен закон
прямолинейного движения тела з(/)?
В заданиях данного пункта время измеряется в секундах, путь — в метрах, а
скорость — в метрах в секунду.
59
177. Какова средняя скорость уср за промежутки времени
[5;5 + То]’ [5; 5 + Too] ’ [5:5 + ю боб]
для тел, законы прямолинейного движения которых таковы:
a) s (0 » 5/ + 3; б) s (/) » З/2 + 4?
178°. Что называют мгновенной скоростью точки, движущейся
прямолинейно по закону s “/(/), в момент времени /?
179. Какова мгновенная скорость v в момент времени t для тел,
законы прямолинейного движения которых таковы:
a) s (0 =5/4-3; б) з (/) » З/2 4- 4?
180. Дан закон прямолинейного движения материальной точки:
a) s(t) = 2t; б) з (/) = 2/ 4-3.
Вычислите мгновенную скорость v точки в момент t0 = 0; 1; 5.
Выразите v как функцию t и постройте график этой функции,
если t € [0; 5].
181°. Что называют производной функции / (х) в точке х?
182°. Чему равна мгновенная скорость тела, движущегося по зако-
ну s =/(/)?
183°. Чему равна производная постоянной?
184°. Чему равна производная функции у = kx 4- Ь?
185. Какова производная в точке х функции:
а) у - 2х 4- 3; б) у - -2 - Зх;
в) у « 2х2 - Зх 4- 1; г) у = -х3 4- 2х - 1?
186. Закон прямолинейного движения точки определяется функ-
цией:
а) 3/; б) З/2 4- L
Какова скорость ее движения в момент времени /, в частнос-
ти t = 2?
187°. Что называют первообразной для функции f (х)?
188°. Однозначно ли определяется первообразная для дайной
функции?
189. Чему равна первообразная для функции:
а)/(х) = 0; б)/(х)=1; в) /(х) = х; г) /(х) = ах 4- 6?
190°. Для решения каких физических задач применяется перво-
образная?
191. Чему равна первообразная для функции:
а) 2; б) Зх — 2; в) х 4- 1; г) —х — 4; д) 2 — 2х?
192. Скорость материальной точки определяется формулой:
а) у (0 = 3; б) v (0-2/; в) v (0 = 2/ 4-1.
Задайте формулой закон движений материальной точки з(/),
еслн известно, что з (0) = 0.
193. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной ско-
ростью у0, задается формулой v (/) = у0 — gt, а высота Н —
формулой H(t) = 4- vot — ~ , где g ~ 9,8 м/с2 — ускоре-
60
ние земного притяжения, Нс, м — начальная высота. Дока-
жите, что:
а) функция v(t) есть производная функции
б) функция H(t) есть первообразная функции о СО-
194. Зависимость пути з от времени t при прямолинейном движении
точки задана графически (рис. 40). Постройте график зависи-
мости скорости v от времени t на промежутке t е [0; 2].
195. Зависимость скорости v от времени t при прямолинейном дви-
жении точки задана графически (рис. 41). Постройте график
зависимости пути 5 от времени t на промежутке / € [0; 2].
61
3. Исторические сведения
Понятия равенства н неравенства чисел возникли в глубокой
древности. Так, задачи на доказательство равенств и иеравеиств
встречаются у великих математиков прошлого, которые для обо-
значения равенства и неравенства нспользовалн слова или специаль-
ные обозначения, происходившие от сокращения этих слов. Еще
более 2000 лет до н. э. было известно неравенство Jab< , где
а > 0, Ь > 0. Это неравенство обращается в верное равенство при
условии а = Ь.
Современные специальные знаки для обозначения равенства и не-
равенства стали применять сравнительно недавно. Знак равенства =
ввел в 1557 г. английский математик Р Рикорд. Он мотивировал это
так: никакие два предмета не могут быть более равными, чем два
параллельных отрезка. Знаки неравенства > и < ввел в своей книге
«Практика аналитического искусства» (1631) английский ученый
Харрит. Знаки нестрогого неравенства > (не меньше) и < (не боль-
ше) введены в 1734 г. французским математиком П. Буге.
Задачи, связанные с неравенствами, встречаются в V книге «На-
чал» Евклида (IV в. до н. э.). Там доказано, что если а, Ь, с и d — по-
ложительные числа и а — наибольшее число в пропорции ~ то
выполняется неравенство а + d > b + с. В основном труде Паппа
Александрийского (Ш в.), названном «Математическое собрание»,
доказывается, что если а, Ь, с и d — положительные числа и
то выполняется неравенство ad > be.
4. Задания для повторения
196. Отметьте на координатной осн числа:
а) 0; 0,1; 0,2; 0,35; 0,7; 0,95; 1,05;
б'I 1- 1- 3 . 2 . j_. _5 . 7 . 4 .<
' 2 ’ 4 ’ 4 ’ 4 ’ 8 ’ 8 ’ 8 ’ 8 ’ 16'
197. Сравните числа:
а) 6 и 4; б) 7,1 и 7,(09); в) 1 н 0,25; 4
г) | и 0,6; д) -2 и -2,2; е) -3,(5) и -3,5;
198°. 199. ж) 0,125 и 1; з) л/2 и 1,41; и) л и 3,14. О Прочитайте записи: а) 7 > 2,5; б) -10<3<7,1; в) 5,2 * 5,(2); г) х > 2; д) —2 < х < 4; е) х < —9; ж) |х| > 8; з) |х + 11 < 4; и) |х-2| = 2. Запишите, используя буквы и знаки неравенств, все числа: а) большие 5; б) не превышающие —2;
62
в) большие 1, но меньшие И; г) не меньшие 12;
д) не большие —6; е) положительные.
200. Получится ли верное неравенство, если обе части неравен-
ства 9 > 6:
а) увеличить на положительное число;
б) уменьшить на положительное число;
в) умножить на положительное число;
г) разделить на отрицательное число?
201. а) Запишите верные неравенства, полученные умножением
неравенства 4 > —2 на: 3; —3; 1|.
б) Запишите верные неравенства, полученные делением
неравенства —3 < 7 на: 2; —2; |,
□ о
202. а) Запишите верные неравенства, полученные прибавлением
к обеим частям неравенства —2 < 5 числа 3; числа —8.
б) Запишите верные неравенства, полученные вычитанием
из обеих частей неравенства —7 < —3 числа 1; числа —1.
203°. Верно ли неравенство:
а) 8 > 8; 6) 7 > 6; в) -1 < 2; г) -9 > -8?
204°. а) Могут ли одновременно выполняться неравенства а > b
и а< 6?
б) Могут ли одновременно выполняться неравенства а < b
и b < а?
205. а) Если а > Ь, то всегда ли выполняется неравенство
ас > be? Приведите примеры.
б) Если а > Ь, то верно ли неравенство —а < — Ь?
в) Известно, что с < d. Верно ли неравенство
с (а2 + 1) < d (а2 + 1), где а — любое действительное число?
206. а) Докажите, что если a>bnc>d, то a + ob + d.
б) Докажите, что если а > b н с < d, то а — с > b — d.
в) Дано неравенство а > Ь. Всегда ли а2 > Ь2? Приведите
примеры.
207. а) Справедливо ли неравенство а2 + Ь2 > а2 при любых дей-
ствительных значениях а и Ь?
б) Справедливо ли неравенство а2 + Ь2 > ft2 прн любых дей-
ствительных значениях а и Ь?
208. а) Может ли неравенство а2х > а (а — любое данное дей-
ствительное число) не иметь решений?
Докажите неравенство (209—211), где а, Ь, с — действи-
тельные числа:
209. а) — < т , если а > b, ab > 0; б) — > ± , если а > b, ab < 0.
' a b ' a b
210. (а + b + cf > а(Ь + с — а) + Ъ (а + с — Ъ) + с (а + Ь — с).
211, а) а2 + Ь2 > |, если а > 0, Ь> 0, a + i« 1;
63
212*. а) Автомобилист ехал некоторое время со скоростью а км/ч,
потом точно такое же время со скоростью b км/ч. Выразит^
через а и & среднюю скорость движения на всем пути (обо-
значьте ее V]),
б) Автомобилист проехал некоторое расстояние со ско-
ростью а км/ч, потом точно такое же расстояние со ско-
ростью b км/ч. Выразите через а и b среднюю скорость дви-
жения на всем пути (обозначьте ее у2).
в) Сравните о, и v2 ( см. предыдущие задания).
г) Для положительных чисел а и & различают: среднее ариф-
метическое чисел а и b — число А = ; среднее геомет-
рическое чисел а и b — число G = Jab\ среднее гармони-
1 + 1
« г j I а Ь
ческое чисел а и о — число и, такое, что = —%—» откуда
Я = . Докажите, что для чисел G, Н и А выполняется
неравенство Н< G <А.
213*. В какую погоду самолет, летящий из Москвы в Санкт-Пе-
тербург и обратно, выполнит быстрее рейс: в безветренную
или при ветре, дующем с постоянной скоростью от Москвы в
направлении Санкт-Петербурга?
214. Докажите, что сумма квадратов двух различных положитель-
ных чисел больше удвоенного произведения этих чисел.
215. Какое наименьшее значение может принять выражение а2 + Ь2.
если а > О, b > 0, а + b = 2?
216. Если система двух линейных неравенств не имеет решений,
то следует ли из этого, что каждое неравенство системы не
выполняется ни при каких значениях неизвестного?
217. Одна сторона треугольника равна 6 м, а сумма двух других
14 м. Определите возможные длины сторон треугольника,
если они выражаются натуральными числами.
218. Найдите все значения х, при которых имеют смысл выраже-
ния:
а) б) х; в) —Ц-; г) —Ц- .
7 х ’ ’ х~ 1 ' х + 12
Найдите область определения функции (219—221)
219. а) у =Jx~7 ; б) у = 2 + 712 -х; в) у = 71 - Зх ; г) у = .
220. а) у = 7х + 1 ; б) у = 73 - 2х; в) у = Jx + 7х- 1 ; г) у =73 + 4х + J7x~ 5 .
221. а) у = —; б) у = - -3~ ; ’ у х-5 ’ 1 у х + 6 3-7х ’
64
В) У = *К-3>х + ; г) у = + J5-X ;
ЛгЛ лДл ~f~ 1
д) у = 72х - 3 ; е) у = 73х + 5 ;
ж) у = л/ха - 1 ; з) у = Jx2 + 5 .
222. Решите неравенство, считая, что а — данное число:
а) ах > 0; б) ах > 1; в) ах + 1 > 3;
г) ах — 8 < 11; д) ах > х; е) ах + 1 > х.
223. Докажите, что полупериметр треугольника больше каждой из
сторон этого треугольника.
224. Докажите, что если |х| < а , то — а < х < а.
225*. Запишите неравенство в виде двойного неравенства:
а) |х-0,5| < 3; б) |х- 3| < 1 ; в) |х + 21 < 5 .
226*. Укажите на координатной оси все решения неравенства:
а) |х — 0,51 < 3; б) |х + 2,51 < 1 ; в) |2х- 11 < 2 .
227*. Решите неравенство:
а) |х - 1| < 1 ; б) )х + 1| < 2 ; в) |2х + 11 < 4; г) |3х -2| < 5.
Например: 12х - 11 < 3 .
— 3 < 2х - / < 3, —2 < 2х < 4, так как 2 > 0, то -1 < х < 2.
Ответ: (— 1; 2).
228*. Решите неравенство:
а) |х- 11 > 1 ; б) |х + 11 > 2 ; в) 11 + 2х| > 3; г) 17х — 3| > 1 .
229. При каких значениях х значения функции у = 5х — 3:
а) больше 1; б) меньше 5;
в) не меньше —2; г) не больше —5?
230*. Найдите все значения t, при которых уравнение имеет два
различных корня:
а) х2 - 6х + t = 0; б) (t + 3)ха + 2(t - 1)х + t = 0.
231*. Найдите все значения при которых уравнение не имеет
действительных корней:
а) х2 + 4х + 6/ = 0; б) tx2 — 2 (I - 2)х + t = 0.
232*. Найдите все значения t, при которых квадратное уравнение
2х2 — 5х — t = 0 имеет два положительных различных корня.
233. Покажите при помощи графика, что уравнение х2 — 2х + t = 0:
а) при любом t < 0 имеет два действительных корня разных
знаков, при этом абсолютная величина положительного
корня больше абсолютной величины отрицательного корня;
б) при любом 0 < t < 1 имеет два различных положительных
корня;
в) при любом t > 1 не имеет действительных корней.
234*. При каких значениях а уравнение х2 + ах + 4 = 0 имеет раз-
личные корни?
235*. При каких значениях т уравнение ие имеет действительных
корней:
. а) 2х2 — Зтх +1=0; б) Зтх2 — х + т = 0;
в) (т + 1) х2 + тх + 3 + т = 0?
1 Алгебра 9 класс.
65
236. На рисунке 42 изображены графики двух квадратичных функ-
ций, обозначенных у^ и у2. При каких х выполняются
неравенства:
a)#, j/2>0; б) ^-<0?
237. При каких значениях т уравнение имеет два равных положи-
тельных корня; два равных отрицательных корня:
а) Зх2 + 4тх 4-1=0; б) mx2 - (т + 1 )х 4- 2 = 0?
238. При каких значениях t уравнение х2 — 2/х 4- г — 1 = 0 имеет
два различных корня, заключенные в интервале:
а) (0; 3); б) (1; 4); в) (-4; 0); г) (-5; -2)?
239. При каких зиаченних t уравнение (Z4- 1) х2 4- 2 (£ — 1) х 4- / —
—3 = 0 имеет два действительных корня:
а) отрицательных; б) положительных;
в) разных знаков, причем положительный корень имеет
большую абсолютную величину;
г) разных знаков, причем отрицательный корень имеет боль-
шую абсолютную величину?
240. Напишите какое-либо неравеистно второй степени с одним
неизвестным, решение которого может быть проиллюст-
рировано: а) рисунком 43, а; б) рисунком 43, б.
241°. Решите уравнение:
а) (х - 2)(х - 1) (х — 3) = 0; б) (х 4- 1) (х 4- 2)(х - 5) = 0;
в) (2х — 3) (4 — Зх) = 0; г) (5х - 1)(2х + 7) = 0.
242. Решите неравенство:
а) > 0; б) 44М- < °;
' х + 5 ' х2-2х + 3
243*. При каких значениях т уравнение (т — 2)х2 4- (т 4- 2)х 4- т = 0
имеет различные корни?
244. Запишите с помощью неравенства утверждение, что знаки
чисел а и Ь:
а) различные; б) одинаковые.
245*. При каких значениях р один из корней квадратного уравнения
х2 4- рх ~ 5 = 0 больше 1, а другой меньше 1 ?
246*. На рисунке 44 изображены парабола у — ах2 4- Ьх 4- с н па-
раллельные прямые т и /, пересекающие параболу в точках
А и В, С и D соответственно. Докажите, что прямая, прохо-
дящая через середины отрезков АВ и CD, параллельна оси
Оу.
247. Упростите выражение и найдите его значение при заданном
значении буквы:
а) (!£гт-ф1-тг)-тт^ прНт-4;
б) (£1 + 2a):(4-fl2)-f4 приа-f.
66
248. Докажите алгебраическое равенство:
а) + Ji-=5xS;
7 х + у \5x-5y а а ) х — у 3
б1! Д-5 I 4(а + I) .( 9а а + 4 \ _
6-За а2 + 4а \а2-16 а2-4а J 6
249. Докажите, что значение дроби равно нулю:
(1,08-1,33)- 18 + 0,6:-— (2,14- 1,39). 1,2-0,75:|
а) 20,1 • 0,1-2,1 ’ б) 12,1=0,1-1,2 '
250. Докажите, что выражения:
(*-3)3 (х + З)3 9 (х2 + 3) .
Э) —2 2 и “ 4 ’
б) (V/+Н4н
не являются тождественно равными на множестве всех дей-
ствительных чисел.
Упростите выражение (251—254):
251. а) (—----*К__; б) (И±1-^Ц- +
252. a) (-*- + -£-Y4 + 4-2'1; б) (iWi + xuYl + i).
kx-y х + уАу' xi ) ' \ х^у 3Дх у)
253-а) G + i)(x-»)+(jc+4bl);
б)
9^4 Л \ (k + I k~ I \С 1 k_ _1_у т3 + т2п + тпг + п3 . т4 - п4
аЦТТ"* + 1Д2_4“4*? 0) ’ т!+'2тп + Л!
За Алгебра 9 класс.
67
255. Докажите, что число (1027 + 5) делится нацело на 3.
Решите уравнение (256—260):
256. а) х + 3 _ х + 5 = х-6 . х2-х х + х2 1-х'’
б) 5х 1 аи 1 2. Зх + 1 ” 9х + 3 6 '
257. а) 1 + 4 = 5 . 2х+х3 + 1 х + 2х2 + х3 2х+2х2 ’
б) 7 + 3 = 15 бх + 30 4х-20 2хй-50 '
258. а) 2х^Зх±х3 = q. XI1 -х) = 6. х2 - 2х + 1 ’ 7 1 + х
в) 1 । 2 = 2 + х . 1 । 5 __ 5 + х х + 1 х - 1 х2- 1 ’ ' х + 1 х - 1 х2- 1 '
259. а) 2 1 = 10 . х2-10х+25 х + 5 х2-25 ’
б) 2 _ 1 = 12 х3 + 12х + 36 х-6 х2- 36
260*. а) 1 . 1 . 1 . 1 = п. х-8 х~6 х + 6 х + 8 ’
б) |ео сч| i 1 Н -i; И ’Г] 1 1 ч 1 |сч col 1 1 Ч
Решите систему уравнений (261—265):
261. а) * 2х + Зу = 4, 4х-6у = 5; б) |9х- 10«/ = 3, [2x-3i/ = 6;
в) [5х + 4у = 6, [7х + Gy - 10; г) 5х + Зу = 15, Юх- Gy = 0.
262. а) \х2 + у = 4, [х + у = 2; б) Jx + у = 5, [х + у2 = 13.
263. а) ху(х + у) = 6, LX3 + y3 = 9; б) [х + у = 2, |ха + у2-2 = 0.
264. а) < = 1 х+ 2 3 ’ ху + Зх + 4у = 0; б) _+_ + = 2 у-1 х 2х - Зу = 5.
265. а) х + ху + у = 11, х2у + ху2 = 30; б) [х2 + ху + у2 = 4, 1х + ху + у = 2.
266. Постройте график функции: а) у = х2 — 7х\ в) у = х2 — 5х — 6; б) у = 3 - х2; г) у = Зх2 - х + 1.
68
267. Решите графическим способом систему уравнений:
а) Р г+1’ U - X + 7; к — К 11 "о? оГ 1 к к । । II II Ю
г) Р = 2х-'’ ’ [у - 2х‘- 1; 45 45 II II *1- \ 1 ГО Ь: + п> » II 1 1 н |оо Н
268. Трое рабочих выполняют одинаковую работу: первый за 12 ч,
второй за 15 ч, третий за 20 ч. Сколько часов затратят
рабочие на выполнение этой работы совместно?
269*. Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать шоссе
за 18 рабочих дней. Если первая бригада, работая одна, вы-
полнит | всей работы, а вторая бригада — оставшуюся
часть, то на ремонт шоссе понадобится 40 дней. За сколько
дней каждая бригада, работая отдельно, может выполнить всю
работу?
270. Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня.
Первая и вторая бригады вместе могут вспахать это поле за
6 дней, а первая н третья вместе — за 8 дней. Какая
бригада — вторая или третья — может вспахать больше за
день и во сколько раз?
271. На первом участке пути в 96 км поезд шел со скоростью на 2 км/ч
большей, чем на втором участке в 69 км. Весь путь был прой-
ден за 3 ч 30 мин. Определите скорость поезда на втором
участке пути.
272. Моторная лодка, собственная скорость которой 20 км/ч,
прошла расстояние между двумя пунктами на реке туда н
обратно, не останавливаясь, за 6 ч 15 мин. Расстояние между
пунктами равно 60 км. Определите скорость течения реки.
273. Для перевозки 75 т груза выделили несколько грузовиков.
Однако 5 грузовиков перевели на другой участок, поэтому в
каждый из оставшихся грузовиков пришлось погрузить иа 0,5 т
груза больше, чем предполагалось. Сколько грузовиков ис-
пользовалось в перевозке груза?
274. Если поезд, идущий из города А в город В, уменьшит скорость
движения на 10 км/ч, то время, за которое он пройдет рас-
стояние от А до В, увеличится на 25%. Определите скорость
движения поезда.
275*. Сопротивление цепи двух параллельно соединенных провод-
ников равно 15 Ом. Первый проводник имеет сопротивление
на 16 Ом больше, чем второй. Определите сопротивление
каждого проводника.
276* На термометре Цельсия температуры таяния льда и кипения
воды обозначаются соответственно 0° и 100°. На термомет-
ре Фаренгейта эти температуры обозначены соответственно
69
—32° и 212°. При какой температуре оба термометра будут
показывать одинаковое число градусов?
277*. Для производства одного электродвигателя типа А использу-
ется 2 кг сплава, содержащего 20% свинца и 80% меди. Для
производства одного электродвигателя типа в используется 2 кг
сплава, содержащего 60% свинца и 40% меди. Прибыль
от производства одного электродвигателя типа А или типа в
составляет соответственно 8 р. или 12 р. Сколько нужно
изготовить электродвигателей каждого типа, чтобы получить
1000 р. прибыли, израсходовав при этом не более 84 кг
свинца и не более 111 кг меди?
278. Найдите такие четыре числа, чтобы суммы, образованные
тремя из них, были соответственно равны 20, 22, 24, 27.
279. Суммы сторон четырехугольника, взятых последовательно по 3,
равны соответственно 130, 135, 147, 152 см. Определите дли-
ну каждой стороны четырехугольника.
280. По окружности длиной 100 м движутся две точки. Прн дви-
жении в одном и том же направлении они встречаются каждые
20 с, а при движении в противоположных направлениях они
встречаются каждые 4 с. Определите скорость каждой точки.
281. На 720 р. должны были приобрести несколько радиоприем-
ников, но цена каждого из них снизилась иа 24 р., поэто-
му купили на один радиоприемник больше, чем планиро-
валось. Сколько купили радиоприемников, если их цена
одинаковая?
282. При постройке здания требовалось вынуть 8000 м3 земли в
определенный срок. Работа была закончена раньше срока иа
8 дней, так как бригада ежедневно перевыполняла план на 50 м3.
Определите, в какой срок должна была быть выполнена рабо-
та, и определите ежедневный процент выполнения плана.
283. Бригада трактористов должна была вспахать участок целины
площадью 120 га. Однако бригаде удалось увеличить норму
дневной выработки на 2 га. В результате срок вспашки
сократился на 2 дня. Каково было дневное задание бригаде и
в какой срок нужно было выполнить работу?
284. Бригада лесорубов должна была в несколько дней по плану
заготовить 216 м3 дров. Первые три дня бригада работала по
плану, а затем каждый день заготовляла на 8 м3 дров больше
плана. В результате уже за день до срока было заготовлено
232 м3 дров. Сколько кубометров должна была заготовлять
бригада в день по плану?
285. Автомобиль с грузом проехал 140 км с некоторой постоянной
скоростью. На обратном пути, двигаясь порожняком, автомо-
биль увеличил скорость на 20 км/ч. В результате ва обратный
путь он затратил на 48 мин меньше. Определите перво-
начальную скорость автомобиля.
286. Из винтовки произведен выстрел вверх. Скорость пули при
вылете из ствола винтовки равна 800 м/с. Считая, что вы-
70
стрел произведен при t — О в точке s = О оси Os, напишите
закон движения пули в случае, если:
а) ось Os направлена вверх; б) ось Os направлена вниз.
287. С какой высоты падала на землю (начальная скорость рав-
на 0 м/с) материальная точка, если ее падение продолжа-
лось 5 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
288. Сколько времени будет падать на землю материальная точка
с высоты 10 000 м? Ответ дайте приближенно с точностью до
1 с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
289. Материальная точка падает на землю по закону h = 5/2 (й из-
меряется в метрах, t — в секундах). Определите приближен-
но среднюю скорость точки за промежутки времени между:
а) г, = 0 и г2= 0,1; б)Г,-1нГ:= 1,1;
в) t{ = 2 и /2= 2,1; г) = 3 н = 3,1.
290. Закон прямолинейного движения материальной точки задан
формулой:
а) №5Л б) s= 10/+ 5г2, />0;
в) s= юг- 5?, г>о.
1) Нарисуйте график движения.
2) Определите s в момент времени t = 0.
3) Определите скорость точки в момент времени г = 0.
4) Укажите, в какую сторону направлена сила, действующая
на точку.
291. Материальная точка движется с поверхности земли верти-
кально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Сколько времени
точка будет находиться в движении н на какую высоту от
поверхности земли она поднимется? Сопротивлением воздуха
пренебречь.
292. С поверхности земли вертикально вверх брошен камень с
начальной скоростью v0 (м/с). Через сколько секунд камень
упадет на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь. Реши-
те задачу, если: а) п0= 15 м/с; б) п0= 25 м/с.
293*. Спелеолог для выяснения глубины подземной полости бросил
вниз без начальной скорости камень. Звук от падения кам-
ня на дно полости дошел до спелеолога через 3 с. Какова глу-
бина подземной полости, если принять скорость звука равной
330 м/с и пренебречь сопротивлением воздуха?
294*. Парашютист покинул летящий самолет иа высоте 3 км и через
3 мни приземлился. Определите время его снижения до
раскрытия парашюта н с раскрытым парашютом, если сред-
няя скорость снижения с раскрытым парашютом равна 6 м/с.
Сопротивлением воздуха прн снижении без парашюта пре-
небречь.
295. Задача-шутка. В некотором царстве, в некотором госу-
дарстве Иванов в несколько раз больше, чем Петров. Кого в
этом царстве-государстве больше:
а) Иванов Ивановичей или Петров Петровичей;
б) Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?
71
4.1. Свойства функции у—хл
Функции у = х2, утх\ у = х\ ... имеют ряд одинаковых свойств.
Поэтому в общем случае рассматривают функцию
У = хг\ (1)
где п (п>2) — некоторое данное натуральное число.
Функция у = хл определена для любых х, т. е. область определения
этой функции есть множество /?.
Как мы знаем, график функции у ж х2 называют параболой. Теперь
мы назовем этот график параболой второй степени.
Г рафик функции
у = х” (п>2)
называют параболой гг-й степени или. коротко, параболой у = хп.
Отметим свойства функции у “ т" («>2) пока только для не-
отрицательных х.
1) Если х = 0, то у = 0.
2) Если х = 1, то у — 1.
3) Если х > 0, то у > 0.
4) Функция у = хл является возрастающей для неотрицательных х.
5) Если X оо , то у —*+ оо .
6) Функция у — хЙ непрерывна.
Свойства I и 2 непосредственно следуют из формулы (1). Гео-
метрически они означают, что парабола у = хл проходит через начало
координат и точку (1; 1).
Свойство 3 следует из того, что если х > 0, то хл > 0. Свойство 3
означает, что парабола у = хл для х > 0 расположена выше оси Ох.
Свойство 4 следует из того, что если 0<х,<х2, то х? <Хач
72
Свойство 5 очевидно. В самом деле, если х стремится к + оо,
пробегая натуральные числа 1, 2, 3, 4, .... то у = ха тоже стремится
к + °°, пробегая числа Г, 2Г|, 3", ... . Для остальных чисел х справед-
ливость этого свойства сохраняется.
Свойство 6 для п = 2 становится очевидным, если, например,
считать, что у есть площадь квадрата со стороной х. Ясно, что малое
изменение стороны квадрата влечет за собой малое изменение пло-
щади, а это и означает непрерывность функции у = я2 для положи-
тельных X.
Для п = 3 свойство 6 также становится очевидным, если, например,
считать, что у есть объем куба со стороной я. Ясно, что малое изменение
стороны куба влечет за собой малое изменение его объема, а это и означает
непрерывность функции у = я3 для положительных я.
Для других п свойство 6 надо доказывать, но это доказательство
мы проводить не будем.
Свойство 6 означает, что график функции у = я"— непрерывная
линия.
3 а м е ч а н н е. Доказательства свойств 3 и 4 требуют при-
менения метода математической индукции (см. п. 1 Дополнений к
главе III),
296°. Как называют график функции у = я"?
297°. Возрастает ли функция у = я" для неотрицательных я?
298п. Дана функция у = я". К чему стремится у при я—* +°° ?
299. Как изменяется хп с увеличением натурального показателя п
при фиксированном я, если:
а) 0 < я < 1; б)я>1; в) я = 1; г) я - О?
300. Функция задана формулой у =я3.
а) Назовите зависимую и независимую переменные.
б) Какова область определения данной функции?
в) Вычислите для данной функции значения z/(0), у(1), у (2),
у (3), у (0,5), Решение оформите в виде таблицы.
301. Функция задана формулой у = я1. Заполните таблицу значе-
ний функции при я, равном 0: 1; 2; 3; 0,5; 0,25; 1,5.
302. Функция задана формулой у = х°. Верно ли равенство:
а) £/(!) = 5; б) у (1)М; в) у (2) =32; г)//(0) = 0?
303. Составьте таблицу значений объема куба, если длина его реб-
ра (в метрах) принимает значения от 0,2 до 2 через 0,2.
304. а) Дана функция у = я4. При каких значениях я значения
функции равны 0; I; 4; 16?
б) Дана функция у=х\ При каких значениях я значения
функции равны 0; 1; 8; 64?
305. При каких значениях я выполняется неравенство ^(я) < £/г(я),
если:
а) у{(х) = я6, //а(я) = я3; б) у,(х) = я5, //2(я) = я2?
73
4.2. График функции у = хп
На рисунке 45 в одной н той же декартовой системе координат
изображены графики функций
у = х2, у = х\ у = х* (1)
пока только для неотрицательных значений х (х > 0). Эти графики от-
ражают отмеченные в предыдущем пункте свойства функций (1).
Сделаем пояснения к рисунку 45.
На интервале (0; 1), т. е. для значений х, для которых
0 <х < 1,
выполняются неравенства
1 > X > X2 > х3 > х* > ... . (2)
Действительно, умножая неравенство 1>х на х, где х — положи-
тельное число, получим неравенство х >х?; умножая это неравенство
иа х > 0, получим неравенство х2 > х3 и т. д.
В силу неравенств (2) график функции у = х3 на интервале (0; 1)
расположен ниже графика функции у = х , график функции у = х* рас-
положен ниже графика функции у = х3 и т. д.
Далее, на интервале (1; 4- оо), т. е. для значений х, для которых
1 < х, выполняются неравенства
1 < х < х2< х3< ... . (3)
Действительно, умножая неравенство 1 < х на положительное число
х, получим неравенство х < х2. Умножая это неравенство на х (х > 0),
получим неравенство X2 < х3 и т. д.
Неравенства (3) показывают, что на интервале (1; +°°) график
функции у = х3 расположен выше графика функции у = X2, график
функции у = х4 расположен выше графика функции у = х3 и т. д.
74
Рассмотрим теперь свойства
функции у = х" на всей области ее
определения, т. е. для х, принадле-
жащих интервалу (— °° ; + °о ).
Очевидно, что
(—х)2 = х2, (—х)4 = х4, (—х)6 = х\
Вообще если п = 2tn (m$N)
есть четное натуральное число, то
(_х)2'" = х2-.
Действительно,
= ((-1)2Г • х2т = Г х2т = х2т.
Следовательно, функция у = хп
при четном п четная и график ее Рис. 47
симметричен относительно оси Оу.
На рисунке 46 изображены графики функций у = х2 и у = х4 для
любых действительных значений х.
Для степенных функций с нечетными степенями выполняются уже
другие равенства:
(—х)Л = — х3, (“Х)5 =—х°, (~х)7 = -х7.
Вообще если п = 2т +1 (т € JV) есть нечетное натуральное число, то
(—x)2m+1 = —x2m+1
Действительно,
(~x)2m+1 = (-x)2m(-x) = x2m(-l) x = - x m+1.
Следовательно, функция у = хп при нечетном п нечетная и
график ее симметричен относительно начала координат.
На рисунке 47 изображены графики функций у = х, у * х3 и у = х°
для любых действительных значений х.
Отметим, что если п = 2т (mtN) — четное натуральное число,
то функция у = хт является убывающей на промежутке ( — 00; 0] и
возрастающей на промежутке [0; +°°). Для всех х эта функция прини-
мает все значения из промежутка [0; +°°).
Если п = 2т + 1 (щ € .V) — нечетное натуральное число, то функ-
ция у « x2m+l является возрастающей на интервале (— сю ; + °о ). Эта
функция принимает все значения из интервала ( —+ °°).
306°. Для каких натуральных значений п функция у = хп четная?
307°. Для каких натуральных значений п функция у = хп нечетная?
308°. Относительно чего симметричен график функции у = х”:
а) при п четном; б) при п нечетном?
75
309, Функция задана формулой у = х3. Вычислите значения у (0),
У (1), У(-1), У (-2), у(|), У (-0,5), у(|), Решение
оформите в виде таблицы.
310. Функция задана формулой у = х4. Заполните таблицу значе-
ний функции при х, равном 0; 1; — 1; 2; —2; 3; —3; j ; —0,5;
1; -0,25; 1|; -1|.
311, Функция задана формулой у = х5. Верно ли равенство:
а) у (1) = 5; б) у (-1) = -1; в) у (0) = 0; г) у (-2) = 32?
312. Вычислите значения функции у = х3, взяв х от —1 до 1 через
0,2. Решение оформите в виде таблицы.
313. При каких значениях аргумента значение функции:
а) у = х4 равно 0; 1; —1; 16;
б) у = х3 равно 0; 1; — 1; -8; 64?
314. Какова область значений функции: а) у = х4; б) у = х3?
315. Дана функция у — х3.
а) Какие значения принимает данная функция, если х > 0,
х < 0?
б) В каких четвертях расположен график данной функции? От-
вет обоснуйте.
в) Является ли данная функция четной (нечетной)? Ответ
обоснуйте.
г) Покажите, что данная функция возрастает на интервале
( — оо; +оо),
д) Постройте точки (х; х3), взяв х от -1,5 до 1,5 через 0,5.
е) Постройте в тон же системе координат точки (х; х3), взяв
х от —0,5 до 0,5 через 0,2.
ж) Учитывая непрерывность функции у = х3, постройте ее
график.
з) Укажите с помощью графика функции у = х3, при каких х
значения функции больше 1; меньше — 1.
316. Дана функция у = х4. Исследуйте эту функцию по схеме
предыдущего задания и постройте ее график.
317. Учитывая четность (нечетность) функции, постройте ее гра-
фик (для построения графика достаточно определить четвер-
ти, в которых он расположен, и примерное его расположение
с помощью нескольких точек):
а) У - х6; б) у = х • в) у = х*;
г) У - х ; д) у - х ; е) у = х .
318. Постройте график функции:
а) у - х20; б)у = х100.
319. Принадлежит ли графику функции у = х5 точка:
а) А (-1; -1); б) В(2;64)?
320. Принадлежит ли графику функции у = х6 точка:
а) А (-2; 64); б) В(-1; 1)?
76
321. В одной системе координат постройте графики функций у ~ х* \\
у = х\
а) Какие значения принимают эти функции, если х > 0, х > 1,
х > 2, 0 < х < 2?
б) При каких значениях х значения каждой из данных функ-
ций больше 0; меньше 0; больше 1; меньше 1?
в) Существуют ли такие значения х, прн которых значения
функции у = х3 больше соответствующих значений функции
У = х4?
г) При каких значениях х каждая из данных функций является
возрастающей; убывающей?
322. В одной системе координат с единичными отрезками 10 см иа
интервале ( — 1; 1) постройте графики функций у = х, у = х2,
У = х3, у = х4.
323. Сравните значения функций у = х и у = х при значениях
аргумента:
а) 0 < х < 1; б) х > £; в) — 1 < х < 0; г) х < — 1.
324. Сравните значения функций у = х4 и у = х6 при значениях
аргумента:
а)х>1; б) х< — 1; в) — 1 < х< 0; г) 0 < х< 1.
325. Дана функция у = х12. Что больше:
a) 4/(1) или у(2); б) у (—2) или у{ — 1);
в)^(-З) или 1/(3); r)z/(O) или //(5)?
326. Дана функция у = х\ Сравните:
а) у(-1) и |/(1); б) у (-2) и 4/(0);
в) 4/(4) и //(-5); г) 1/(6) и у(3).
327. Сравните с единицей значения функции у = х :
а) 4/(0,5); 6) 4/({); в)'//(-2);
Г) 4/(6); д) 4/(0); е) у (-1).
4.3. Понятие корня степени п
Пусть п есть натуральное число и п > 2.
Корнем степени п из числа а называют такое число (если оно
существует), п-я степень которого равна а.
Мы уже знаем, что корень степени 2 называют также квадрат-
ным корнем. Корень степени 3 называют еще кубическим корнем.
Пример /. Равенства
О3 = 0, 13 = 1, 23 = 8, З3 = 27,
(-1)3 = -1, (-2)3- -8, (-З)3 = -27
показывают, что числа —3, —2, —1,0, 1, 2, 3 есть кубические корни
соответственно из чисел -27, —8, —1,0, 1, 8, 27.
Пример 2. Равенства
0s = 0, Is = 1, 25 = 32, З5 = 243,
(-1)5 = -1, <-2)5= -32, { —3)5 = —243
показывают, что числа —3, —2, —1,0, 1, 2, 3 есть корни степени 5
соответственно из чисел —243, —32, —1,0, 1, 32, 243.
77
Таким образом, показано, что существуют корни 3-й и 5-й степе-
ней из действительных чисел.
Пример 3. Равенства
О* = 0, 14= 1, 24 = 16, З4 = 81,
(-1)4 = 1, (-2)4- 16, (-З)4 = 81
показывают, что есть два числа +1 и —1, которые являются корнями
четвертой степени из 1; есть два числа +2 и —2, являющиеся корнями
четвертой степени из 16; есть также два числа +3 и —3, являющиеся
корнями четвертой степени из 81. Далее, 0 есть корень четвертой
степени из 0.
Таким образом, показано, что существует корень 4-й степени из
неотрицательных чисел. Не существует корня четвертой степени
из отрицательного числа, потому что четвертая степень любого
действительного числа есть число неотрицательное.
В следующем пункте будут получены общие заключения, которые
согласуются с рассмотренными выше частными фактами.
328°. Что называют: а) квадратным корнем; б) кубическим корнем;
в) корнем пятой степени; г) корнем степени п (п>2, n€N)
из числа Ь?
329°. а) Сколько существует корней 4-й степени из числа 1; 81; 0?
б) Сколько существует корней пятой степени из числа 0; 1;
-1?
330. Выпишите все натуральные числа, кубы которых ие превы-
шают 10 000.
331. Выпишите все целые числа, четвертые степени которых ие
превышают 10 000.
332. Сколько существует натуральных чисел, шестая степень ко-
торых не превышает 1 000 000?
333. Найдите ребро куба, если его объем равен:
а) 1 м1; 6)8 см3; в) 27 дм3;
г) 64 мм3; д) 1000 км3; е) 1 000 000 м3.
334°. Найдите число, куб которого равен:
а) -1; б) -8; в) 0,001; г) ± .
335. Докажите, что число:
а) 3 есть корень третьей степени из 27;
б) —0,5 есть корень четвертой степени из 0,0625;
в) 7 — корень четвертой степени из 2401;
г) _ ] X — корень третьей степени из —2-|у .
336. Определите кубический корень из числа:
а) 1000; б) 64 000 000; в) 125 000 000 000;
г) -0,001; д)3|; О -1st-
Докажите правильность решения.
78
337. Найдите корень четвертой степени из числа:
а) 0; б) 160 000; в) 62 500 000 000;
г) -0,0001; д) 1 10“8; е) 1,6- 1(Г3.
Докажите правильность решения.
338. Существует лн корень шестой степени из данного числа и
единственный ли это корень:
а) 1; б) 0; в) -1; г) 1,2; д) -1,8- 106; е) 7,2- 10”6?
339. Всегда лн существуют два корня четной степени нз одвого и
того же неотрицательного числа?
340. Проверьте, является ли число:
а) 6 корнем шестой степени нз 46 656;
б) —3 корнем седьмой степени из 2187;
в) —3 корнем седьмой степени из —2187;
г) —0,4 корнем пятой степени нз .
4.4. Корни четной и нечетной степеней
Теорема 1. Существует, и притом единственный, корень
нечетной степени из любого действительного числа а, при этом
корень нечетной степени: а) из положительного числа есть
число положительное; б) из отрицательного числа есть число
отрицательное; в) из нуля есть нуль.
Доказательство. Применим графический метод. Отметим,
что любое нечетное число, большее 1, можно записать в виде 2т + 1,
где т — натуральное число.
Построим в прямоугольной системе координат хОу график функ-
ции //=x2“ + l (рис. 48). Это есть непрерывная кривая, проходящая
через начало координат, симметричная относительно начала коорди-
нат. Для каждой точки этой кривой прн возрастании ее абсциссы х от
-оо до +«> ее ордината у тоже возрастает от -оо до +оо.
Зададим произвольное число а. Через точку В (0; а) проведем
прямую у = а, параллельную оси Ох. Она пересекает параболу у = х2"1 +1
79
в одной и только в одной точке М. Точка М имеет ординату у = а.
Обозначим ее абсциссу через х = Ь.
Таким образом, полученное число b есть единственное, для ко-
торого выполняется равенство 62'й + 1 = а.
Если а > 0, то b > 0 (рис. 48).
Если а < 0, то b < 0 (рис. 49).
Наконец, если а = 0, то и b = 0.
Итак, показано, что для любого действительного числа а сущест-
вует, и притом одни, корень степени (2m +1), ои обозначается так:
2m+ l/a .
Теорема 1 доказана.
Примеры.
V8 = 2, О’ = - 2.
VIоб ООО = 10, V-100 ООО = -ю.
Теорема 2. Существуют два и только два корня четной
степени из любого положительного числа, которые отличаются
только знаками. Корень четной степени из 0 единственный,
равный нулю. Корня четной степени из отрицательного числа
не существует.
Доказательство. Отметим, что всякое положительное чет-
ное число можно записать в виде 2m, где т — натуральное число.
Если любое число, отличное от нуля, возвести в четную степень 2m,
то получится положительное число. Если же нуль возвести в степень
2m, то получится нуль. Это и доказывает, что корень степени 2m из
нуля единственный, равный нулю и что корня четной степени из
отрицательного числа не существует.
Чтобы доказать первое утверждение теоремы, применим графи-
ческий метод.
Рассмотрим график функции
У =
Рис, 50
(1)
Это непрерывная кривая, про-
ходящая через начало координат,
симметричная относительно оси Оу
(рис. 50). Для точки этой кривой
при возрастании ее абсциссы х от
0 до +оо ее ордината у также
возрастает от 0 до +°° .
Зададим произвольное положи-
тельное число а (а > 0). Через точ-
ку В (0; а) проведем прямую,
параллельную оси Ох. Эта прямая
пересекает параболу у = х2т в двух
и только в двух точках М и N,
имеющих одну и ту же ординату а.
Абсциссы их в силу симметричности
80
графика относительно оси Оу имеют противоположные знаки. Точка
V имеет положительную абсциссу, обозначим ее через b(b > 0). Тогда
точка М имеет отрицательную абсциссу, равную (—Ь).
Очевидно, что Ь2т = (—Ь)2т = а.
Итак, показано, что существуют два и только два корня степени
2т нз любого положительного числа а. Один из них b — положи-
тельный — обозначают так: . Другой, отрицательный корень сте-
пени 2т из а (а > 0) обозначают так: (~2^/а ).
Корень степени 2т из числа 0 (как показано выше, единственный,
равный 0) обозначают так: 2V0 = 0.
Теорема 2 доказана.
Примеры.
УТб = 2, #1 000 000 = 10, 76 = 0,
-УТб = -2, -W00 000 = “Ю.
Замечание. Записи
У-Тб. О1, ^-1 000000, «У-13Д, У-ОД
не имеют смысла, потому что корень четной степени из отрицатель-
ного числа ие существует.
Подведем итоги. Пусть т — данное натуральное число.
Существует, и притом только один, корень степени (2т + 1) нз
любого действительного числа а. Его обозначают так: Zrri*tfa , при
этом
если а > 0, то 2т+1/а > 0,
если а = 0, то 2m¥tfa = 0,
если а < 0, то 2т+^/а < 0.
Существуют два и только два корня степени 2т из любого поло-
жительного числа а, они отличаются только знаками.
Положительный корень обозначают так: , а отрицательный
корень так:
Нуль есть единственный корень степени 2т из числа нуль, его
обозначают так: 2|^/б. Таким образом, 2mjQ= 0.
Корень степени 2т из отрицательного числа не существует.
Замечание. При подробном изучении комплексных чисел по-
казывается, что корни четной степени из отрицательных чисел яв-
ляются комплексными числами. Слова «корень четной степени из
отрицательного числа ие существует» означают, что ие существует
действительного числа, являющегося корнем четной степени из
отрицательного числа.
81
341°. а) Сколько существует корней нечетной степени из любого
действительного числа?
б) Может ли корень нечетной степени из положительного
числа быть числом отрицательным?
в) Будет ли корень нечетной степени из отрицательного числа
числом отрицательным?
г) Чему равен корень нечетной степени нз нуля?
342. Как обозначают корень нечетной степени из числа а?
343°. Для любого ли действительного числа существует корень чет-
ной степени?
344°. Существует ли корень четной степени: а) из положительного
числа; б) из нуля; в) из отрицательного числа?
345°. Чему равен корень четной степени из нуля?
346. Как обозначают положительный корень четной степени из
положительного числа? Приведите пример.
347. Как обозначают отрицательный корень четной степени из
положительного числа? Приведите пример.
348°. Почему ие существует корней четной степени из отрицатель-
ного числа?
349. Покажите с помощью графика функции у = х3, что существует
единственный кубический корень из числа:
а) 1; б) 5; в) 0; г) —3.
350. С помощью графика функции у = х3 найдите с точностью до
единиц:
а) 2/2; б) 2/7; в) 7^3; г) 2/=5 .
351°. Прочтите выражение:
а) 75; б) -7=2; в) *77; г) -7=7 •
352°. Имеет ли смысл запись:
а) 75; 6)4^5; в) 75; г) 7^5; д) ТО; е) 7=04 ?
353. Верно ли равенство:
а) ^<=27-“-3 ; б) 4^6 = -2; в) 7б4 = -4; г) 7б25=-5?
354. Найдите значение выражения:
а) (Й)5; б) (У12)7; в) г) ('.!/=3>" .
Вычислите (355—357):
355. а) 7^; б) 75*; в) 7(^4)*; г) 7(-0,5)3;
д) 78^4; е) 781 * 27; ж) 7-3,6*0,06; з) 7-5* 25.
356. а) 71000; б) 710 000 000 000;
в) 73200000; г) 7-343 000 000.
357. а) б) в) г)
358. При помощи графика решите уравнение:
а) х3 = 8; б) х3~ 125; в) ? = 32; г) х7 = 1;
д)х3=-27; 6)^ = 2; ж)х3=-1; з) х3 = -7.
82
359. Покажите с помощью графика функции у = х\ что:
а) существуют два действительных корня четвертой степени
из числа 3;
б) существует единственный действительный корень чет-
вертой степени из числа 0;
в) не существует действительных корней четвертой степени
из числа — 1.
360. Докажите, что число:
а) 10 есть корень шестой степени из 1 000000;
б) —2 есть корень четвертой степени из 16;
в) 0,5 есть корень шестой степени из ;
г) —х есть корень четвертой степени из Д-.
3 81
361. Найдите корень и докажите правильность решения:
а) б> в> г>
362. Верно ли равенство:
а) 716 = -2; б) 71 = 1 ; в) ТЛб = -2; г) 716 = 2 ?
363. Имеет лн смысл выражение:
a) V35-62; б) 727-5^ ; в) 7^2? ; г) ТГвр ?
364. Проверьте, является ли число:
а) 5 корнем пятой степени из 3125;
б) —2 корнем восьмой степени из 256;
в) 1,1 корнем четвертой степени нз 1,4641;
г) -% корнем шестой степени нз .
365. Покажите с помощью графика функции у = х4, что сущест-
вуют следующие корни, и укажите их значения с точностью
до единиц:
а) 73; б) -73; в) 72 ; г) -72 ;
д) 70; е) ТОД ; ж) -Т^Д".
366. Вычислите корни:
а) Дб; б) Д0000; в) ; г) .
367. Вычислите:
а) 5 + 71; б) 764+3; в) 716-1; г) 8 - 78* ;
д) 727 - 781; е) 74^ + 7-425 ; ж) 716* ;
з) 725*; и) 72~32; к) 716. 256.
368. При помощи графика решите уравнение:
а) х4 = 1; б) х4 = -1; в) х6 = 0;
д) х4 = 4; е) х4 = 25; ж) хб = 1;
г) х4 = 81;
з) х6 = 8.
83
4.5. Арифметический корень
Пусть п — натуральное число, п > 2.
Неотрицательный корень степени л из неотрицательного числа
а (а > 0) называют арифметическим корнем степени л из числа а.
Как уже отмечалось в пункте 4.4, для нечетного п существует
только одни корень из любого числа а. При этом он неотрицательный,
если а неотрицательно. Поэтому понятия корня нечетной степени из
неотрицательного числа а и арифметического корня той же степени
из того же самого числа а совпадают.
В случае же четного л, как уже отмечалось в пункте 4.4, сущест-
вуют два корня степени п из положительного числа. Одни из них:
1/а — положительный, т. е. арифметический корень степени п из а,
а другой равен ему по абсолютной величине, ио противоположен по
знаку: -tfa . Корень степени п (п >2) из нуля по определению есть
арифметический корень степени п из нуля:
Vo = o.
Подчеркнем, что:
1) если а — неотрицательное число, а п — любое натуральное
число (п >2), то запись tfa означает арифметический корень степе-
ни п из числа а;
2) если а — отрицательное число и п = 2т + 1 (т ё N) — нечет-
ное число, то запись + означает корень степени 2т + 1 из чис-
ла а, ио этот корень не является арифметическим корнем;
3) если а — отрицательное число, а п = 2т (meN) — четное
число, то запись не имеет смысла.
Примеры. 1) Записи 73, ^/б, Д/5, У8 —записи арифметических
юрней.
2) Записи -л/3, V-4, -^/5, V-8 — записи корней, которые не
являются арифметическими корнями.
3) Записи л/=3, , £/-11, -*Р\ ие имеют смысла.
Теорема 1. Для натурального числа п (п > 2) и неотрица-
тельного числа а справедливы равенства
(Й)п = а, (1)
^Гя=а. (2)
Доказательство. Так как а — неотрицательное число, то tfa
по определению неотрицательное число, п-я степень которого есть а.
Это и выражается равенством (1).
Так как а > 0 — неотрицательное число, то, как показано в пунк-
те 4.1, а" > 0 и Да" по определению неотрицательное число, п-я
84
(ЗЮ
(4Ю
степень которого есть а". Таким числом является а, что н записаноо
при помощи равенства (2). Другого неотрицательного числа, п-я сте-
пень которого равняется ап, нет.
Теорема 1 доказана.
Примеры.
($)*-2, (W=7, (2У1)21=1,
^ = 3, 100, ^=0.
Теорема 2. Для натурального числа п (п>2) и неотрица-
тельных чисел а и b из равенства ап = Ъп следует равенство а = Ь..
___Доказательство. Из равенства ая = Ьп следует равенства)
= ДГ. Учитывая, что о>0нЬ>0, и используя равенство (2),о
получаем, что
Дап = а н = b.
Следовательно, а = Ь.
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Для натурального числа п(п>2) и неотрица--
тельных чисел а, b и с (с * 0) справедливы равенства
?ja- b = tfa tfb,
Га _ Уа
п/ — — .
N с аДс
Доказательство. По свойству (1) имеем
(Да- Ь)п = ab,
(п4а- ДЬ)Л = (1/а)п (nJb)n = а - b.
Правые части этих равенств равны. Следовательно, равны н левые
нх части:
(^а~~ЬУ = (tfa nJb)n.
Так как числа b и 1/а ДЬ неотрицательны, то, применяя теоре-
му 2, получаем, что справедливо равенство (3). Аналогично доказы-
вается равенство (4).
Теорема 3 доказана.
Примеры.
V48 = УТб~3 = У16 */3 = 2 V3,
£/24 = = ^8 • V3 =2^3,
4/Т = з/5 = = ^5
4 81 4/8Т 3 ’ N8 з/g 2 '
Замечание. Если п — нечетное число, то теоремы 1, 2 и 3
справедливы для любых действительных чисел а, b и с (с # 0).
8S5
Кроме того, для натурального числа т и любого действительного
числа а справедливо равенство
2m+V-a = -
потому что
2m+V=a = 2т+У(-"|)а = 2",+Уч =
= (-1)2т+Уа = -2т+Уа •
Примеры.
У^27 = -3У27 =-3 , УЛ = -УТ = -1,
3УЛ = -У8 = 2 , У-100 000 = -УТСГ5 = -10.
Свойства корней степени п используют для вынесения миожителя
из-под знака корня, внесения множителя под знак корня и при осво-
бождении дроби от иррациональности в знаменателе.
Примеры.
1) УЛ35 — V135 «-У^З3 =-Уз3-У§ --ЗУ5:
2) -2 УЗ = -У24-Уз = -У2<3 = -У48;
2 = 2- УЗ = 2 УЗ = 2_УЗ
Уэ Уз5 3Уз Уз3 3
369п. а) Что называют арифметическим корнем степени п (я >2)
из числа а?
б) Для каких действительных чисел определен арифме-
тический корень степени п (п > 2) из данного числа?
в) Сколько существует арифметических корней степени п
(ft > 2) из данного числа?
370°. Верны ли для любого неотрицательного числа а и любого
натурального числа п (ft > 2) равенства
Л? = (Уа)" =о?
371°. Если ап = Ьп, то всегда ли а = Ь?
372. Чему равен корень степени п (п >2) из:
а) произведения неотрицательных чисел;
б) частного положительных чисел?
373. Чему равен а'п+УЛ , если а — любое действительное число?
374°. Является ли следующая запись записью арифметического
корня:
а) УЦД; б) -^/3; в) ^(=2р; г) УЦЗр ?
375. Вычислите арифметические корни:
а) У(-8)2 ; б) УТЬ000 ; в) УГТб ; г) УэУвТ.
86
Вычислите (376—380):
376. 377. 378. 379. 380. 381. 382. 383. 384. а) 7’1000 - 7160000; б) 73200000 + 78000; в) уо,008 + У0,0625; г) jE-a/X. а) 78 - 727; б) 7125- 27; в) 716 - 7625; г) 781. 16; д) 7§- 74; е) 716 72; ж) 75 7125; з) 79 724. а) 72(74 + 7500); б) 75(72000 - 7125); в) ТодТ- ТОД; г) 78- 71250. а) 78- 74; б) 74- 716; в) 74- 78- 7=2; г) 7=7- 749- 749. а) (7=2)* + (78)5; б) ТЛ-7=8. Вынесите множитель из-под знака корня (381—383): а) 740; 6) 7^64; В) 7=96; Г) 754. а> оЯ- а) 732; б) 7243; в) 71296; г) 750625. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: a’i; 6)i: B)i: r)ir
385. а) Запишите числа, арифметические корни пятой степени ко-
торых равны 2; 3; |; 0,2.
б) Запишите числа, арифметические корни четвертой степени
которых равны 2; 3; |; 0,2.
386. Вычислите:
а>^; в> г)^1-
Докажите числовое неравенство (387—388):
387. a) ТТ0>2; б) 3<УГ00; в) 77>ТТб; г) 781<Т10.
388. а) 73>74; б) */3< ^/4;
в) 72 <75; г) Л >720-
389. Сравните числа:
а) 2 и 77; б) 712 и 2; в) 73 и 1,5; г) 775 и 3.
390. Найдите два последовательных натуральных числа, между ко-
торыми заключено число:
а) 7§; б) 74; в) 72; г) 73.
87
391. Найдите число х, удовлетворяющее равенству:
а) Уг=2; б) Ух = 2; в) Ух= 1; г) tfx = 1.
392. Вычислите:
а) То2?; б) 7Ь5?; в) 7(72-1 Л,
г) 7(72-2/'; д) 7(72-73)2; е) 7(Тб-Т7)2.
393. Упростите выражение:
a) У32; б) УЖ); в) 30 з^ + | з/| + 5 УТ44 ;
г) У48-У75 + У32-У40; д) Д/80; е) 4/405;
ж) Ув1 (4 - л/Г7)4 ; з) УбДОТ - УО,000064 .
394. Упростите выражение:
а) У/п*; б) У(-т)4;
в) У(х- 1 )2, если х < 1; г) 7(1 -х)г, если х > 1
(т, х — действительные числа1).
395. Для каких чисел а имеет смысл выражение:
a) б) Уа-i ; в) У^а; г) У1 -а ?
396. Найдите область определения функции:
а) у ~ УЗх ; б) у = У-5х; в) у = У2х-Л ; г) у - У4~-5х.
397. Для каких чисел /г справедливо равенство:
a) J{k - 1 )2 = 1 ~k; б) 7(1 +k)2 = -1 - Л?
398. Упростите выражение У(х + 1 )4, если:
а) х > — 1; б) х < - 1, где х — действительное число.
4.6. Свойства корней степени п
Теорема 1. Для натуральных чисел т, п (п>2, т>2) и
неотрицательного числа а справедливы равенства
(7a)m = УЖ (1)
"Уа™ = Та , (2)
'ТУа = т7а . (3)
Доказательство. Заметим, что, в силу того что а > О,
числа, стоящие в левых и правых частях (пока предполагаемых)
равенств (1) — (3), неотрицательны.
Метод доказательства этих равенств основан иа применении
теоремы 2 пункта 4.5, в силу которой если п-е степени неотрицатель-
ных чисел равны между собой, то и сами числа равны между собой.
1 Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выра-
жения имеют смысл.
88
Если возведем отдельно левую и правую части предполагаемого
равенства (1) в п-ю степень, то получим равные числа:
((Та)"1)" “ ((7а)У = a™, (То")" = а™.
Следовательно, равенство (1) верно.
Если возведем отдельно левую и правую части предполагаемого
равенства (2) в степень тп, то получим равные числа:
= ((7а)У =ат.
Следовательно, равенство (2) верно.
Если возведем отдельно левые и правые части предполагаемого
равенства (3) в степень тп, то получим равные числа:
[ч/%/а) =(V«)" = a, ('"ТаГ" - a.
Следовательно, равенство (3) верно.
Теорема 1 доказана.
Примеры.
= (74) - 2Э, = (уТ) = 1 = А- ,
764 = 7? = 7? = 2 72, 77^ - ТГ2 , УТЛ) = 716 = 2 .
Замечание. Если т и п— нечетные числа, то теорема 1
справедлива для любых действительных чисел а, необязательно не-
отрицательных.
Теорема 2. Для натурального числа т и любого действи-
тельного числа а справедливо равенство
'2Да*"' = |а|. (4)
Доказательство. Пусть а есть произвольное действительное
число. Тогда
>0 .
Поэтому в силу равенства (2) п. 4.5
^Ja2™ = 2Д\а\2т = |а|,
что и требовалось доказать.
Теорема 2 доказана.
Примеры.
Тьзр = 1-31 = 3 , 754 = ]5| = 5.
Замечание. Для любого натурального числа т и любого
действительного числа а справедливо равенство
2т++ = а
Справедливость этого утверждения следует из замечания на с. 85.
89
Теорема 3. Пусть а — положительное число, р — целое
число и п — натуральное число, п> 2.
Тогда справедливо равенство
я4а' = (У«У. (5)
Доказательство. Если р — натуральное число, то равен -
ство (5) уже доказано (см, (I)).
Если р = 0, то
УР = УТ = 1, (У5У“ 1
Следовательно, ?/ар = (Уа)₽.
Если р < 0, то р = — |р|, где |р| — натуральное число. Тогда, ис-
пользуя определение степени с отрицательным целым показателем н
свойства арифметических корней степени л, получаем:
- ,/Т = = - (^)^' = .
Теорема 3 доказана.
Примеры.
I/ZF = (У27У4 = 3" , Уэ3 » (У9)3 = З3.
399. а) Сформулируйте свойства корней степени л.
б) Чему равен 2т+Уа^1, если а — любое действительное
число?
в) Чему равен , если а — любое действительное чис-
ло?
г) Справедливо ли равенство ^ар = {^1а)р, если л — нату-
ральное число, л > 2, р — целое число, а — положительное
число?
Вычислите (400—402):
400. а) (У§)2; б) в) VT255; г) УвГ3;
д) л/495; е) У2?: ж) УТб'3; з) У324.
401. а) У92; б) У§52; в) Ув2; г) УГб3;
д) 5/2?; е) УвГ3; ж) ”’5/49га; з) *У125100.
402. а) У81; б) У625; в) V160000; Г) У0,0625;
д) 5/729; е) V64000000; ж) У0,000 729.
Например: Уб4 = УУб4=У8 »2.
403 . Вынесите множитель из-под знака корня:
а) У80; б) У81; в) Д/250; г) У-648;
1 Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выраже-
ния имеют смысл.
90
д) Vo7^; е) Д/16csz/6, если с > 0, d > 0;
ж) ТбР, если х < 0; з)
Например: lji6x4y^ = Ц2*х4у6 = iJ/25 • х3 - (у2)3 2х —
= 7(2ху2)3 • l[2x - 2ху2 l[2x.
Упростите выражение (404—405):
404. а) 72-74 ; б) V3-VT8 ;
в) 5 72а-74b; г) Та-2 Та4 -
405. a) l/2c2‘lf$c ; б) ТОх-ТЭр ;
в) ‘Ta-’Tb-’Vc ; г) i[a-lfa2*?lx .
Внесите множитель под знак корня (406—407):
406. а)3^|; 6)2^; в) 5 ; г) 7 .
407. а) b ; б) с ;
Упростите выражение (408—411):
408. а) б) в) . г) Ут7пъ i/m^n
409. а) б) (Tw)s; в) (ТаГ4)2; г) (У4х3у2)2
410. а) Та2; б) Та3; в) ^а2Ь2; г) Та4^2.
411. а) 727; б) 716; в) 7б4; г) ‘781-
412. Запишите Ja (а > 0) как корень:
а) четвертой степени; б) шестой степени;
в) десятой степени; г) шестнадцатой степени.
413. Запишите Д(х>0)как корень:
а) восьмой степени; б) двенадцатой степени;
в) двадцать четвертой степени; г) тридцатой степени.
414. Упростите числовое выражение:
а) 7275; б) Й7Р в) ДТЗ;
г) ; Д) е) .
415. Запишите в виде корней одной и той же степени три числа:
a) 73, 72 и 75; б) Уб, 715 и 750.
Запишите в ваде корней одной и той же степени и упростите
выражение (416—419):
416. а) Та • Та ; б) 7b • l/b ; в) Ja-tfb ; г) l[x- 11[у .
417. *а) б) ; в) /Е . ; г) з/F - Д .
У8 УТО N n N т ' *iq *1р
91
418. а) Йа ; 6) 3Jt/b; в) ; г) .
419. a) Ja Уа ; б) Ух^/х; в) Jxjxjx', г) й tfbz/c,
420. Найдите число х, удовлетворяющее равенству:
а) Ух + 5 =2; б) Ух + 79=3; в) 2^=3; г) ^^=5.
421. Упростите выражение:
3/~W~ • / 16a16feL2
> fea12*9’ > 4 81j<W '
422. Используя свойства корней степени п, запишите число так,
чтобы под знаком корня было целое число:
а> 4Л ’ б> *Л • в>5 Л; г) л
423. Упростите выражение:
a) (!/a-lW/a+ 1); б) (!/i + H/y^t/x-tTy');
в) (i[tn - + l[m); г) (i[p-3Jpi)CJpi + №) •
4.7*. Корень степени л из натурального числа
Пусть п (п>2) — натуральное число. Очевидно, что степень п
натурального числа b есть натуральное число. Но не всякое натураль-
ное число есть степень п некоторого натурального числа.
Например, среди натуральных чисел, не больших 100, только
четыре, т. е. 4%, являются кубами натуральных чисел, а именно
I3, 23, З3, 43.
Среди натуральных чисел, не больших 1000, только 10, т. е. 1%, яв-
ляются кубами натуральных чисел, а именно
I3, 23, З3, ..., 103.
Мы видим, что среди больших натуральных чисел редко встречаются
степени натуральных чисел.
Отметим следующий факт: арифметический корень степени л
(л > 2) из натурального числа может быть или натуральным числом,
или иррациональным числом.
Таким образом, например, корни
72, Тб, 7з, 77, 719
есть числа иррациональные.
Конечно, это утверждение при любом п >2 надо доказывать. Оно
доказывается так же, как было доказано ранее при п = 2.
Если данное натуральное число не есть степень п ( п > 2) натураль-
ного числа, то из этого числа корень степени п точно ие извлекается.
Покажем, как можно приближенно извлечь корень степени п из на-
турального числа, не являющегося степенью п натурального числа.
Ограничимся примером.
92
Вычислим приближенно с точностью до второго знака после запя-
той число У17.
Мы знаем, что это число положительное. Оно имеет некоторое
десятичное разложение: УТ7 — Оо^с^сСз....
Вычислить приближенно с точностью до второго знака после за-
пятой (с недостатком) число У17 — это значит вычислить точно числа
°Ь’ а>’ 3 3 3 3
Рассмотрим числа 0 , 1 , 2,3 чтобы найти два стоящих рядом,
между которыми находится число 17. Очевидно,
8 = 23 < 17 < З3 = 27.
Следовательно, 2 < У17 < 3 и о^= 2.
Теперь рассмотрим числа 23; 2,13; 2,23; 2,33; 2,43; 2,93; З3,
найдем среди них два стоящих рядом, между которыми находится число
17. Имеем
15,625 = 2,53< 17 < 2,63 = 17,576,
откуда
2,5<У17< 2,6,
и, следовательно, 0^= 5.
Теперь рассмотрим с той же целью числа
2,53; 2,513; 2,523; 2,593; 2,63.
Оказывается, что
16,974... = 2,573< 17 < 2,583 = 17,173...,
следовательно, = 7.
Итак, У17 = 2,57... .
Как видно, использованный метод вычисления простой, но гро-
моздкий.
Электронные калькуляторы эти вычисления производят мгновен-
но. Точность результата определяется техническими возможностями
данного калькулятора.
Приближенные значения квадратных н кубических корней из чисел
также можно получить, используя соответствующие таблицы.
424°. Может ли быть рациональным числом корень степени п
а) нз простого числа; б) нз натурального числа?
425. Что значит вычислить с точностью до третьего знака после
запятой (с недостатком) %/N, где jV— простое число?
426°. Если натуральное число N не есть куб натурального числа, то
является лн число иррациональным?
427.* Имеются ли среди натуральных чисел от 100 до 200 четвертые
степени каких-либо натуральных чисел?
93
428°. Является ли кубом натурального числа:
а) 0; б) 1; в) -8; г) 1000?
429*. Докажите, что не существует рационального числа, куб ко-
торого равен:
а) 2; б) 3; в) 4; г) 5.
430*. Докажите иррациональность числа:
а) 72; б) 7я, где п — простое число.
431. Является ли рациональным число:
а) 74; б) 7б4; в) 75; г) Тб4 ?
432. Для каждого из чисел 7; 10; 17 найдите:
а) наибольшее натуральное число, куб которого меньше дан-
ного числа;
б) наименьшее натуральное число, куб которого больше дан-
ного числа;
в) наибольшее натуральное число, четвертая степень кото-
рого меньше данного числа;
г) наименьшее натуральное число, четвертая степень кото-
рого больше данного числа.
433. Найдите приближенное значение кубического корня с точно-
стью до 0,1 из следующих чисел:
а) 3; б) 6; в) 8; г) 10.
434. Вычислите с точностью до 1:
а) 7175; б) 7241; в) 7105; г) 7273.
435. Проверьте справедливость неравенств:
а) 3< ^/30<4; б)7<Т350 <8;
в) 5,1 < 7135<5,2; г) 3,5 < 745 < 3,6.
436. Какое число является лучшим приближением 796 :
а) 4 или 5; б) 4,5 или 4,6?
437. Вычислите с точностью до третьего знака после запятой:
а) 73; б) 75; в) 77.
438. Вычислите с точностью до первого знака после запятой:
а) 73; б) 77; в) 78.
4.8*. Функция у= tfx (х > 0)
Пусть п (л >2) — натуральное число. Каждому неотрица-
тельному числу х поставим в соответствие число у, равное
арифметическому корню степени п из х. Иными словами, на мно-
жестве неотрицательных чисел зададим функцию
у=я/х. (1)
Таким образом, область^ определения функции (1) является мно-
жество неотрицательных чисел: х > 0.
Отметим следующие свойства функции (1).
1) Если х — 0, то у = 0.
94
2) Если х > 0, то у > 0.
3) Функция y=tfx возрастает.
4) Если х + оо, то у —► +оо.
5) Функция у = aJx непрерывна.
Свойство 1 следует из того, что корень степени п из нуля равен
нулю.
Свойство 2 следует нз того, что арифметический корень степени
п нз положительного числа есть число положительное.
Докажем теперь свойство 3, т. е. докажем способом от противного,
что если 0 <х{<х2, то tfxi < tfx*. Предположим, что найдутся числа
х, и х2, такие, что
0 < xf < х2, но tfxi > tfx2.
Учитывая, что эти числа неотрицательные, получим, что
(Й)" > (^у,
т. е. х, > х2, что противоречит неравенствам 0 < хг < х2. Следователь-
но, наше предположение неверно, а верно свойство 3.
Если х стремится к плюс бесконечности, пробегая числа
Iя, 2я, 3я, 4я...т", ... ,
то у = tfx пробегает числа
1, 2, 3, 4..т, ...
и, очевидно, также стремится к плюс бесконечности. Для других значе-
нии х это свойство сохраняется.
Доказательство свойства 5 будет следовать нз рассмотрения
графика- функции (1).
Перейдем к построению графика функции у = tfx (х > 0) в декар-
товой системе координат хОу.
Рассмотрим сначала степенную функцию
х = / (у>0) (2)
и изобразим ее график в той же
системе координат хОу.
Чтобы получить произвольную
точку этого графика, имеющую ор-
динату у (у > 0), отметим на осн Оу
точку (0; у) (рис. 51), проведем через
нее прямую, параллельную осн Ох,
и на последней возьмем точку А,
имеющую абсциссу х — у".
Точка А будет иметь координаты
А (уп; у). Это н есть точка графика
функции (2).
95
Совокупность точек А (уп\ у), соответствующих любым неотрица-
тельным у, есть график функции х = у'1 (у > 0).
Но так как для у > 0 и х > 0 равенства х = уп и у = Jx выражают
одну и ту же зависимость между х и у, то координаты точки А можно
записать в виде А (х; Jx").
Это показывает, что А — точка графика функции (1) — одновре-
менно является и точкой графика функции (2).
Но очевидно и обратное: если А — точка графика функции (2), то
она является и точкой графика функции (1).
Итак, график функции у = Jx (х > 0) есть часть параболы степени
п х = у'1 для у > 0.
Легко видеть, что график функции (1) отражает свойства 1—5
функции ( 1 ).
Действительно, график функции (1) проходит через начало коор-
динат— свойство 1; график функции (1) расположен выше оси Ох
для х > 0 — свойство 2; график изображает возрастающую функцию —
свойство 3; при х —* + °° ординаты соответствующих точек графика функ-
ции неограниченно возрастают — свойство 4; график функции (1) есть
непрерывная кривая — свойство 5.
Приведем еще некоторые свойства арифметических корней.
1) Если х >1, то >1.
2) Если 0<х<1,то0<гУх<1.
На интервале (0; 1), т. е. для значений х, для которых 0<х< 1,
выполняются неравенства
х < Jx < Jx < Jx с... . (3)
Например, для этих х очеввдны неравенства
(л/х)6 = х3 < х2 = (^/х)6,
откуда и получаем, что Jx < Jx. Аналогично доказываются и осталь-
ные неравенства (3).
В силу неравенств (3) график функции у ~ Jx на интервале (0; 1)
расположен выше графика функции у ~ х, график функции у = Jx
расположен выше графика функции у ~ Jx и т. д.
Далее, на интервале (1; + оо) выполняются неравенства
х > Jx > Jx > Jx >... . (4)
Например, для этих х очевидны неравенства
(л/х)6 = X3 > х2 = (&)6,
откуда получаем, что Jx > Jx. Аналогично доказываются и остальные
неравенства (4).
В силу неравенств (4) график функции у = Jx на интервале
(1; + оо) расположен ниже графика функции у = х, график функции
у = Jx расположен ниже графика функции у = Jx ит. д.
96
Справедливость свойства 2
следует из того, что
^6=0, УТ= 1,
и того, что функция
y=tfx (х >0)
возрастает.
На рисунке 52 в одной и той
же декартовой системе координат
хОу изображены графики функ-
ций
у = х; y-Jx-, у=£/х(х>0).
Рис. 52
439. а) Какова область определения функции у = %/х?
б) Каковы свойства функции у = %/х (х > 0)?
в) Какая кривая является графиком функции у = %/х (х > 0)?
440. Используя график функции
У = х3 (х > 0),
определите приближенно %/у для следующих значений у\
а) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;
б) 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5.
Постройте график функции (441—442):
441. а) х = 2у; б) х = - 5у; в) х = у2; г) х = у3;
д) х = 2у - 4; е) х = у + 5; ж) х = 2у2; з) х = 5у3
для у > 0.
442. а ) у = %/х; 6)y=Vx; в) у = %/х; г) у = %/х
для х > 0.
443. Используя графики функций у = 1/х и y = i[x, сравните
значения функций (единичные отрезки по 3 см):
a) V4 и </4; б) ^Зи </3;
в) <5 и ^5; г)ЖЗиУО.
444. Известно, что:
a) б) Va<l.
Верно ли, что а больше единицы' больше нуля?
445. Постройте график функции у =ух. С помощью графика най-
дите:
а) при каких х справедливо неравенство х4 > 1;
б) при каких х справедливо неравенство х4 < 1.
446. Используя график функции £/х, покажите, что:
а) У10>^5 ; б) У? >^4;
в) г) Уо/ЬУод.
4 Алгебра 9 класс.
97
447. Сравните натуральные числа tn (tn > 2) и п (п > 2), если:
а) ^/5>^/5; б) ^/8>^/8;
в) г) '^ОЭ < t/Q#.
448. а) Сравните с единицей положительное число а, если:
1) Уа>Усг, 2) Уа<Уа\ 3) %[а>Уа\ 4) Уа<Уа.
6) Каким может быть натуральное число п (п > 2), если:
1) ^16 < 4; 2) ^16 < 4?
449*. Постройте график функции:
а)^ = л/Й: б) у = 1|;
г) у = 7^; д) у =
ж)у=У\х\; з) у = Ух-8.
в)у = -Ух;
е) у = 7^4;
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
1. Понятие степени с рациональным показателем
Ранее уже было введено и изучено понятие степени с целым
показателем р (а?}, т. е. когда показатель р — целое число (положи-
тельное, отрицательное илн нуль). Теперь определим степень с рацио-
нальным показателем, т. е. с показателем £ , где р — целое число, а
q — натуральное число, q > 2.
Пусть а — положительное число, а — рациональное число
q > 2. По определению а в степени равно арифметическому кор-
ню степени q из а в степени р, т. е. по определению
= Уар.
Например:
2. 3. J. 3_
53 = У&, З2 = Тз5, 75 = У?, 2 4 = V233.
Теорема. Пусть а — положительное число, р — целое
число, kuq — натуральные числа, q > 2; k > 2. Тогда справедливы
равенства
£
а4
ар = а 4 .
(1)
(2)
(3)
98
Доказательство. По определению степени с рациональным
показателем
а4 = 1/ар.
Применяя теорему 3 п. 4.6, имеем
4Jap = (Va)₽.
Опять используя определение степени с рациональным показателем,
получим, что
С/а)Р = (а’) .
Из этих равенств вытекает равенство (1).
Докажем теперь равенство (2). По определению степени с рацио-
нальным показателем
a1 = qJap. (4)
С другой стороны, в силу того же определения и свойств корней
степени q имеем
ачк = 4tfap* = ч#(арУ = 1/ар . (5)
Так как правые части равенств (4) и (5) равны, то равны и левые
части, тем самым доказано равенство (2).
Применяя определение степени с рациональным показателем и
свойства корней степени я, получим, что
£1 ______________
а 4 = = ар.
Тем самым доказано равенство (3).
Теорема доказана.
Примеры,
27’Т = (27У') = Зч , 6У=6\ 2Э=2“Т, 5'3 = 5’^.
Замечание 1. Если k н q — натуральные числа, ар — целое
число, то справедливо равенство £ Поэтому если г= то
г= для любого натурального k.
Равенство (2) показывает, что определение степени с рациональ-
ным показателем а не зависит от формы записи числа г, а зависит лишь
от самого числа г. При любой форме записи данного рационального числа
определение а приводит к одному и тому же числу. Если бы это было не
так, то определение степени с рациональным показателем было бы проти-
воречиво.
Замечание 2. Равенство (3) показывает, что определение
степени с рациональным показателем содержит в себе определение
степени с целым показателем.
4» Алгебра 9 класс.
99
450°. а) Что понимается под степенью с рациональным показате-
лем (q >2) положительного числа а?
б) Сформулируйте теорему, доказанную в этом пункте.
в) Почему в определении степени с рациональным показате-
лем нет противоречия?
Запишите в виде степени с рациональным показателем1
(451—453):
451. а) 72, 75, 77, Д, Д|;
б) ^4, V7, ^/0Д, ^1, ЛЛ,
в) */22, V3\ Л5, Л\ Л-
452. а) Л3, Л, а/*, Л, Л3',
б) ЛЛ V573, ЛЛЛ ЛЛь\
453. a) Да - 1 ; б) Vm + п; в) У(х + 1 )2; г) V(^-4)3.
Запишите в виде корней (454—456):
454. а) а1; а1 ; b\ (ас)1; (kl)To;
б) (х+1)т; (а-b)1; (т + 3)*; (х-у)т.
455. а) 3’; 4'; 6’; 7’; 10м;
। 2 J л т_
б) а 3; с1,4; хл; х2; у",
где п и tn — натуральные числа и п > 2.
2_
456. а) а-0,5; Ь 3; с-2,5; г41-5;
_2. _Х
б) (a2~b) 2; (х + 2#)-0’75; (1 - 2у) 5; (т-п2) п ,
где п > 2 — натуральное число.
Вычислите (457—458):
457. а) 25“; 497; 27у; 16025; 10005;
б) 16т; 27"; 252-5; 87; 27";
в) 8~; 1664 "; 32-°<
458. а) (!)•.б) (0,01)4 (6,25)-»».
1 Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выраже-
ния имеют смысл.
100
459. Объясните, почему для любого числа а > 0 верно равенство:
/ —\3 - / -\2 -
a) (a3 J = а; б) (а3)3 = а; в) f a2 j = а; г) (а2)2 = а.
2. Свойства степени с рациональным показателем
Теорема 1. Положительное число а в степени с любым
рациональным показателем г положительно:
аг > 0. (1)
Доказательство. Запишем число г в виде
г = £,
где q— натуральное число, q > 2, а р — целое (положительное,
отрицательное или нуль).
Так как а — положительное число, то, используя определение
степени с рациональным показателем и свойства корня степени q,
получим, что
а?=^>0,
т. е. верно неравенство (1) при р = 1.
Используя свойства степени положительного числа с целым пока-
зателем, имеем при любом целом р
z /
аг =ая = (а* J > 0,
т. е. неравенство (1) доказано.
Теорема 2. Пусть а — положительное число, arltrtur —
рациональные числа. Тогда справедливы свойства;
1) При умножении степеней с рациональным показателем од-
ного и того же положительного числа показатели степеней
складывают:
а1 -аГ2 = а^ + Г2. (2)
2) Число а в степени (—г) равно единице, деленной на а в
степени г:
(3)
аг
3) При делении степеней с рациональными показателями од-
ного и того же положительного числа показатели степеней
вычитают:
а'1 : а'2 = а1"2. (4)
4) При возведении степени с рациональным показателем по-
ложительного числа в рациональную степень показатели сте-
пеней перемножают:
{а = а 1 '2 . (5)
4а*
101
Доказательство. Пусть rt и г2 — рациональные числа. За-
пишем их в виде
= — и г2 = —,
п 2 п
где т и k — целые числа, п — натуральное число, п > 2. Используя
определение степени с рациональным показателем, свойства арифме-
тических корней и свойства степеней с целым показателем, получим:
а'1-а2 = ап • ап = • nJak = ^ат -ак =
m + Л от ft
= t/am + k = а~п~ = ая " = а1 + <2,
т. е. равенство (2) доказано.
Теперь на основании свойства 1 имеем
а • а' = а° = 1,
откуда и следует равенство (3).
Далее, в силу свойств 1 и 2
аг> : а"2 = а'1 -а'2 = аг‘ + (~''2) = а1 \
н равенство (4) тем самым доказано.
Теперь докажем равенство (5).
Пусть Г) и — рациональные числа. Запишем их в виде
г, - * и г, -
1 л 2 I
где т и k —целые числа, п и I натуральные числа, п > 2, I > 2.
Используя определение степени с рациональным показателем и свой-
ства арифметических корней, имеем
и равенство (5) доказано.
Теорема 2 доказана.
Примеры.
-1-1 -1-1 1 1 --- 1
2 4 • 2 4 = 2 4 4 = 21 = |, З2 : З4 - З2 4 = З4 = Д/З,
/ .1у4 (-
(3 2J = 3 = 3a=s9.
Теорема 3. Пусть а и b — положительные числа, аг —
рациональное число. Тогда справедливы свойства:
1) Степень с рациональным показателем произведения по-
ложительных чисел равна произведению тех же степеней со-
множителей:
(ab)r = аг • Ьг. (6)
102
2) Степень с рациональным показателем частного положи-
тельных чисел равна частному тех же степеней делимого и
делителя:
(7)
q > 2, а р — целое число. Тогда, используя определение степени с
рациональным показателем и свойства арифметических корней, по-
лучаем, что
(ab)r = (аЬ)я
i/tab)p = Уа^Р =
£ £
= & • ilbp = а4 -Ьч = ar b'f
н равенство (6) доказано.
Аналогично доказывается равенство (7).
Теорема 3 доказана.
Примеры.
(0,125) 3 - 83 = (0,125-8) 3 = 1’3 - I,
(4,4)* : (0,55)* - (^L)’ - 8* - V8 - 2.
Теорема 4. Пусть число а> 1, а г — рациональное число.
Тогда
ar > 1 при г > 0,
0 < а' < 1 при г < 0.
Доказательство. Запишем г в виде
где q {q > 2) — натуральное число, а р — целое число.
Если а > 1, то верно неравенство
а4 = 4Ja > 1.
Если теперь г > 0, то р > 0 н
£ ( _!ЛР
а' — aq « Vй v > 1.
Если же г < 0, то р - -|pl < 0, |р| > 0 н
Теорема 4 доказана.
4-
ЮЗ
Теорема 5. Пусть число а > \, а рациональные числа г} и г2
удовлетворяют неравенству
г} < г2- (В)
Тогда
< а'2. (9)
Доказательство. Используя свойства степени с рацио-
нальным показателем, получаем, что
дг2 — ari = ari (ar2~ri- 1).
На основании теоремы 1 а'1 >0 для любого рационального числа
rt (положительного, отрицательного или нуля), аГг~Г] - 1 > 0 на осно-
вании теоремы 4, потому что г2 — г, > 0. Следовательно, д'2— а'1 > 0.
Теорема 5 доказана.
Теорема 6. Если число а из интервала 0 < а < 1, а рацио-
нальные числа rt и г2 удовлетворяют неравенству
г, < г2,
то
af} > а2. (10)
Доказательство. Если 0 < а < 1, то a'L > 1, Теперь, при-
меняя теорему 5, имеем:
< (а-1)'2,
откуда
Так как а1 >0 и а'2 > 0, то, умножая неравенство (11) на а' • а'2,
получим справедливость неравенства (10).
Теорема 6 доказана.
Примеры.
1 д
1) 23 < 22 , так как 2 > 1 и | |.
1 1
2) > (1У • так как 0 < | < 1 и 1 < 1.
х,^1/ \ Z / Z qZ
460°. Может ли быть отрицательным числом степень с рациональ-
ным показателем положительного числа?
461. По какому правилу: а) умножают; б) делят степени с рацио-
нальным показателем одного и того же положительного чис-
ла?
462. По какому правилу возводят в степень с рациональным пока-
зателем степень положительного числа?
104
463.
464.
465.
466.
467.
468.
469.
470.
471.
472.
473.
474.
Чему равна степень с рациональным показателем;
а) произведения положительных чисел;
6) частного положительных чисел?
Если а>1, то каким должно быть рациональное число Л
чтобы выполнялось неравенство:
а) а' > 1; б) ar < 1 ?
Сравните а4 и а2, если а > 1 н рациональные числа rt и г2
таковы, что Г) > г2.
Сравните а'1 и а2, если 0<а< 1 и рациональные числа г\
н г2 таковы, что г, > г2.
Упростите выражение1 (467—473):
А 1 А
\ 0 5 0,25 3 G \ 8 „-0,5 .
а) х • х ; б) а -а ; в) г х ;
а) а5 -а; б) аъ -а 8 ; в) у2 • у4 • у3 ; г)
а) 12515 25 7 ; б) 21'25 • 1678 ; в) х2 Jr;
2 -1
а) а 2 : Ja; б) г3 : J?; в) Цт: т 2 ;
г) Ь-Ь 3.
1 А
з 4 6
г • z z
г) Jr ‘ Х+ ,
г) $[а : а 6
а) (а*) ; б) (.О ; в) G3)6; г) G920 ‘
/ A-2 ( J. Y1 ( 1 Лу ( 1 Ат
а) ; б> U'41 ; в> [3a2&3J ; г) l^xVj
Вычислите:
а) (У*+(2,/2)’3) (УЁП-(2 72)^) ;
б) ((5 75А + V8PJ ' ((5 V5p -81"’)
Упростите выражение (475—476):
475. а) х2у2 Gj-yO i б) (а*-1)Са1+0;
г)^ + 3)Ц-з).
476. а) (2?-р%* + 2Л); б) (зт'-л*)(п’+3т‘
в) (х‘-б)(х‘ + s);
г) (зСх’ХзЧх1)-
1 Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выраже-
ния имеют смысл.
105
Представьте выражение в виде произведения (477—478):
477. а) а — 1; б) b — 3; в) х — у, г) 5 — т.
478. ^аГ) 4а - Ь3 ; б) а3 - Ь3 ; в) л3 — Jy; г) Jx-Jy .
Например:
Представьте в виде суммы (479—481):
479. а) (а* 2 + Jbj ; б) (л3 ; в) (т3 - л2) ;
г) (?-/)
2
480.
-а
481.
а) (л3
1ч3
-у '1
2.3
Сократите дробь (482—483):
482.
а) б)
27^-2
АгЛ* ; в)
3x2+3
(gf>)2 - а .
л/а
Г)
(2ху)2 + 2х
483.
а) ~Нт: б)
аМ2
Упростите выражение (484—488):
в)
___zJL •
*2
484.
д2 -2
а- 1
Д2 +-1
£
Д2
а + 2а 2 + 1
485.
х2 + 3/
X 1
,х-2х 2 у 2 + у
1 и-а
X2 -Зу2
*-у
2~у2
2
-2
486.
487.
*2У
_> _л<Н
7 а I
* У J
488.
а + 1 а- 1 ¥
2 1 1
а3 -а3 + 1 а-а2;
106
489.
490*
491.
Сравните числа (489—491):
а) У15 и л/3^; б) 2^3 и 3^2;
в) (273)^ и (Зл/2)*; г) 3^4 и 4^.
1 1
а) 82 и 124 ; б) У12 и ^5;
1 2 11
в) 122 и 183 ; г) 643 и 362 .
а) fi')1 и (W; б)-^и-^;
^5' ^57 6/2
В) и 7) (±Г и
3. Исторические сведения
Как известно, греки знали квадратные корни задолго до новой эры.
Способы извлечения корня степени п также известны давно. На-
пример, хорезмский математик Бнруни (972—1048) в своей книге
«Ключи к арифметике» описывает способ извлечения корня с любым
натуральным показателем. Впрочем, способ этот громоздкий н неудоб-
ный. Начиная с XIII в. итальянские и другие европейские математики
обозначали корень латинским словом Radix (корень) или сокращен-
но R. Так, Н. Шюке в XV в. писал R42 вместо принятого теперь У12.
Немецкие математики в рукописи 1480 г., написанной, как это
было тогда принято, на латинском языке, обозначали корень квадрат-
ный знаком (О), корень четвертой степени знаком (ОО), корень ку-
бический знаком (ООО).
В 1626 г. нидерландский математик А. Жирар ввел близкое к
современному обозначение для квадратных, кубических и т. д. корней:
2 з
v, v, ... . Выдающемуся итальянскому математику Д. Кардано
(1501 —1576) принадлежат формулы решения кубических уравнений,
в которых используются кубические корни.
Равенство а° = 1 (для а # 0) применял в начале XV в. самарканд-
ский ученый ал-Каши. Независимо от него нулевой показатель ввел
и Н. Шюке.
В XVI в. фламандский ученый С. Стевин (1548— 1620) предложил
понимать как степень числа а с дробным показателем — , т. е.
х
nJa = an .Систематически нулевые, отрицательные и дробные пока-
затели стал применять И. Ньютон (1643—1727),
Рациональная степень числа позволила определить показатель-
ную функцию у = а*, существенный вклад в изучение которой внес
Л. Эйлер (1707—1783).
107
Обобщив неравенство д > Jab на случай п положительных
чисел, знаменитый французский математик О. Коши (1789—1857)
доказал в 1821 г. неравенство
О) + а2 + й3 + ...+ а„ л —
---------------------- “2^3"
П
(О
называемое теперь неравенством Коши. Классическое доказательство
неравенства Коши довольно трудное и здесь не приводится.
и й| + ай + а3 + ...+„/-----------
Числа —--------1 и пл1а{а2а^..ап называют соответственно
п
средним арифметическим и средним геометрическим положительных
чисел а,, а2, а 3, ап. Поэтому свойство, выраженное равенством (1),
читают так:
Среднее арифметическое нескольких положительных чисел не
меньше их среднего геометрического.
С помощью неравенства (1) можно доказать, например, что для
любого натурального числа п верно неравенство
4. Задания для повторения
Вычислите (492—493):
492. а) 25; б) 26; в) (-2)4; г) (-2)5;
Д) й3; е) (-!)•; ж) (-!)•; з)
493. а) 23:42—( —2)3; б) (-З)2 + З3: 92;
в) (12,5)2- 1; г) (1±у_(1±у.
Пусть через а, Ь, с, т, п, х, у, z обозначены отличные от нуля
числа, при которых выражения имеют смысл. Упростите
выражения (494—501):
494. а) а3-а; б) а5-а7; в) х10*х10;
г) х°х4; д) ab2-a2b\ е) а263-а567;
ж) х'уЪ-ху', з) х°£/10’Х°£/3.
495. а) х4: х3; б) х2: х; в) пт17: пт8; г) пт41 : т14;
д) • е) — • ж) ~ • з1
496. а) (а2)3; б) (х3)5; в) (-х2)3; г) (-а3)2;
д) (2х2)2; е) (За2)3; ж) (1/)* ; з) (-2х2)3.
497. а) (а5-а2-а):(а3-а7); б) (х4х3 х): (х3-х6);
в) (аб2)3: (а264); г) (m3n5)3: (т*пи).
108
498. a) m 1 • m2;
г) Ь^Ь~4;
ж) a-10: a“’°; з
499. a) (2ab2?)3;
в) (-(-aV1)-')5;
б) x’2-x“3; в) a’10-a'10;
- дг:д~2; e) x~2: x“3;
b*: b~4.
6) (3aV)2;
r)(2(-x2i/T')“2.
500. a)
48m2afe .
26ma263
64x</3z5 .
I8x2yz3 ’
128д°6-М .
32a66-2<r9 ’
121x3j/>Z~5
77х-8у-4г-2
501 a) 38fl7Mc12 6) 144x^9ztl •
f 144ab*<* ’ f 24x^7z '
. Г(5а3(6 + с»2- (c-fr^y1. x (-l(-2a)2. fe)2
' I (62 + 2bc + c2) - 10a4 ) ’ 7 (-2a2)3 - b*
502. Сравните числа, укажите их положение иа координатной оси:
а) 0,26; (~|)2; (0,(24))“; б) (-{У; -(0,(1))“; -0,12;
в) (Л)2; я2; ( —1,2)г;
г) (—З)2; JSI -, 4^8
503. Вычислите:
) (-Л- + — (^ + 1);
V^-i 2-ТбУ
б)
г > \-2
4 22 + 9 [I]
у2
+ (1-3°)2 .
)
504. Докажите неравенство:
а) т +— >6, если т — положительное число;
т
2
б) х — 1 < 4- , если х — любое действительное число;
4
В)* p-f1)"’
505. Разложите на множители.
а) х2 -а2х+ | (а4 - Ь4)' б) 4? - 12йх - 4а2 + 96г;
в) 4л2 — Зах + (2а2 — ab — b2); г) 8х2 — (1 — 2Ь)х — ;
Д) 1; е) х2+^4^х+ 1.
ab ab
506. Найдите значение выражения:
а> пРих-|;
109
507. Докажите, что:
а) 5< а/26; б) 3 < JT3; в) Т7<2,7;
г) УН < 3,4; д) 1,09 <7Й2< 1,1; е) 1,4 < 72J < 1,45.
508. Какое из чисел больше:
а) л или 72 + 73; б) 77 + ТЗ или 78 + 72?
509. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) 7§; б) 728; в) 7320; г) 732;
д) Л75; е) ./96; ж) ; з) .
510. Внесите множитель под знак корня:
а) 5^6; 6) 11 Д; в) |7б; г) j Д .
511. Пользуясь приближенным значением:
а) 72 1,41, вычислите приближенно ; 7+Д;
512.
б) 78 2,45, вычислите приближенно .
Преобразуйте дробь таким образом, чтобы знаменатель не
содержал числа под знаком корня:
а) — ; б) — ; в) — ; г) — ; д) —-
' 7з 7з * 72 ' 72 ' з +
Упростите выражение (513—515):
1
72 + Тз “
513. а) 78 + 579-378 + 577 + 278-67?;
б) 7712-5^7 + 8748 - 6775 + 27108;
в) 273-а^7 +3712-27243; г) 750-5^ + 72 + 7128-
514. а) 73’712; б) 710 715; в) ТбО : 75 ; г) 772-ТЗО-
515. а) ((7Т2-5Тб)-(ЗТ8-4724))-372;
б) ((2А^0-778)-(375-ЗТ18))-4710.
516. Возведите выражение в степень:
а) (73-72)!; б) (Тб + 72)1 2.
517. Докажите справедливость равенства':
а) Та + 6 _ 1 = 12 . 7t________3 + х _ 3
а-36 7^ + 6 а-36 * 7 Лг-6 7^ + 6 36-х ^-6 ‘
518. Внесите множитель под знак корня:
а) (а - 1) 1—-^ , 0 < а < 1; б) (2 - а) , а > 2.
У 1 - а2 у а - 2
1 Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выраже-
ния имеют смысл.
ПО
519.
520*
521*
522*
523.
524.
525.
526.
527.
528.
529.
530.
Упростите выражение:
в) _ х-Гх~У-Гу - Г) Jm _ 4 + т
f Jx-Jy Х~У ’ f -[т-7 Jm + 7 49-т '
Докажите справедливость равенств
Ja + Jb “ 4- Jn и Ja- Jb = Jm - Jn ,
где tn = Q + ^fl2-fc , n =
Используя равенство, рассмотренное в предыдущем задании,
упростите выражение:
а) 78 4-728; б) 79-717; в) 77 4-27§; г) 711-2710.
Укажите, если возможно, натуральное число, квадратный ко-
рень нз которого заключен между:
а) 4000 и 4001; б) 400,0 н 400,1; в) 40,00 н 40,01;
г) 1002 н 1003; д) 100,2 н 100,3; е) 10,02 и 10,03.
Найдите число х, удовлетворяющее равенству:
a) fJx = — 3; 6) 7-^=3;
в) 72x4- 1 = 2; г) 71 -х == 3.
Решите систему уравнений:
J|x — 1| 4-у=0, (1у-4|==х,
a I 5 ois
1 [2х-у-1; ’ [Зх4-у=1.
Постройте график функции:
а) у = х; б) у = —2х 4-1; в) у = | х - 2; г) у = -2,5х - 1.
О
Найдите числа а и Ь, при которых прямые х 4- у = — b и
х - ау — 2 = 0:
а) пересекаются в точке (1; 1);
б) параллельны и ие совпадают;
в) совпадают.
Постройте график функции у = Зх — 1. Замените х на у, а у
на х и постройте график полученной функции в той же сис-
теме координат.
Постройте график функции у = Зх2 4- 1. Найдите с помощью
графика:
а) У (1); б) у(-2);
в) х0, такое, что у (х0) =1; г) х0, такое, что у (х0) = 2.
Принадлежит ли точка (—0,2; 0,4) графику функции у = х2?
Решите графическим способом систему уравнений:
2х 4- у = 4,
х + у = 2,
а) iX —у = —1,
б) ^-2х 4- у = 5,
[У = 2;
2х 4- Зу = 7
111
УК
2
1
А
-3
Е*
О
3 х
D
-1
Рис. 53
531. Запишите координаты и по-
стройте точки, симметричные
относительно оси Оу точкам:
а) Л (4; 3); б) 5(5; 0);
в) С (-3; 2); г) £> (—6; 0).
532. Запишите координаты и по-
стройте точки, симметричные
относительно начала коорди-
нат точкам:
а) Л (2; 5); б) 5(3; -1);
в) С(—2; 5); г) D(-4; -4).
533. На рисунке 53 отмечены точки А, В, С, D, £, К. Имеются ли
среди них точки, симметричные относительно какой-либо оси
координат (если имеются, то укажите ось симметрии); сим-
метричные относительно начала координат?
534. Постройте графики функций у = х и у = х2. Имеются ли
точки, принадлежащие графикам этих функций, обладающие
свойством симметричности относительно: а) оси абсцисс; б) оси
ординат; в) начала координат?
535. Существуют ли х, такие, что х3 = х?
536. Решите с помощью графиков уравнение:
а) х3 = х2; б) х4 = х3; в) х5 = х2 - 4; г) х - 1 = х2.
537. Решите с помощью графиков неравенство;
а) х3 > х; б) х2 < х5; в) х4 > х2;
г) - > х2 — 4; д) - < х; е) х > - — 3.
538. Постройте график функции:
а)у-М; 6)p-j4;
в) У = х4 + 1; г) у = х3 — 1.
539. Докажите, что функция у = —х'’ является убывающей.
540. Постройте график функции у = (х — I)3.
541*. Найдите значение аргумента, при котором значения функций
у = \х\ и у = 2х — 1 равны между собой.
542. Выбрав удобный масштаб, постройте точки (х; х”) при /1=1,
п = 2, п = 3, п = 4, если:
а) х = 2 и х = —2; б) х = 3 и х = —3;
в) х = 1 их =-1 ; г) х = и х = — 1
} 2 2'3 3
543. Упростите выражение:
д) Ja2 \ б) i/a2; в) ^/а*; г) .
544. Верно ли равенство 7*2-2х+~1 = 1 — х, если х< 1?
545. При каких а и b верно равенство Ja^b — \a\Jb7
Упростите выражение (546—548):
546. а) б) • tT~x\
112
В) У1 -72 Уз + ГЛ; г) 4а^\ 4V^a - (-7^7).
547. а) 5У16 4- 3^54-6^=128 + 7^250 4-27432;
б) 7724 + 5 781 + 4^H92 + 2^375-Vl029.
548. а) 7Тх-4Т* + 5Ух-67х-4*2 4- Jx3;
б) а 4- ‘2.4а 4- 37а 4- 47а - 4а2 - ЗТЕ2 - Уо"3 •
549. Сократите дробь:
а) УТо + УТ5 .
735-714 ’ 78+ 712
в\ Ух*у-Уху* . г\ пУт-т3Уп
Уах-Уау Ут* + Уп^ + 2 Утл.
550. Решите для х > 0 графическим способом уравнение:
а) 4х = х; б) Ус = — х; в) 7х = х — 1; г) 3Jx = — х 4- 1.
Упростите выражение (551—552):
55|-а)У1Т?; б) 1^/? 7¥:(х3у)-
552. а) (4a + 4b)-4a2; б) (4аэ~4а) ' 4а;
в) (a4b + b 4а) Уа2Ь2; г) (4a~4b)(4a 4- 4b)
553. Найдите значение выражения:
а) 2^5748 + 3^40 J12-2715727;
б) 30 з/Х 4- 3^ з/| 4- 5 7144 4- 2 Т0Д25 4- 70,0016.
N 2 2^3
554. Упростите выражение:
a) (ТТ^ТТВ)3; б) ^16^8^) 73272 72?4Ж
555. Докажите справедливость равенства:
а) 17^5 + Л = д/5 + .
7з75-з72 '
б) t?-47:=(4'3-V2)(V3 + V2)(V3 +72).
7з + У2
Найдите число х, удовлетворяющее равенству (556—557);
556. a) 4x=s -1; б) 4^— 2;
в) 7х 4- 1 =2; г) 72х_ 1 “ 0.
557. а) х2 — Зх 4- 2 = (1 — х)7х; б) ~ ~^= I.
Ух
Упростите выражение (558—562):
558. а) 7Р; б) TF5; в) 716^ ; г) ТбГ3;
д) *7F; е) *74^; ж) УЛЕ3; з) TF.
из
559. а) JP • 6) VT7 • VT7;
в) J/fP ‘ */6^; г) tfP VF2.
560. a) ^iVs5; 6) V9:V9^;
в) t/P:4JP; r) VF’0:^1’2.
561. а) V^'W5; б) да-^/T6;
в) дар-да; г) да-да.
562. а) 6) ; в) М т) .
да да да да
Упростите выражение (563—565):
тп . ( Ja + Ja-b Ja-Ja b\ la-b
563> a) J-a + J^bH— >
a2b~l -a~2b3 . g-lb-ab~l
a3b~l + ab a3&“’
564. a) (J/108a4b~l - 3j32a~2b5): */4a& ;
6)(xV^2 + jl^):^.
566. Найдите число x, удовлетворяющее равенству:
12 1
a) x3 = 2; б) x3 = 3; в) х5 = —1;
1 -2 1
г) X 3 = 2; д) х3 = 1; е) х5 = —2.
567. Упростите выражение:
/ 1 1\ / 1 1\ /2 2Л / 2 2Л
а) I т2 + n2jlffi2-п21 ; б) f а3 4- Ь3 И а3-b3J ;
в) -п2^(т + т2п2 + п); г) (а* + b^(a-a2b? + b
568. Сократите дроби:
а> 6>^Т; В)4^Г;
X2 -у2 X2 4“ у2
Г) a^ + b^ . V х-хО^ + у . . ab5_fri,5
a + b * ' х‘.5 + ‘ ' а + а°’56°'5 + b ‘
114
569. Упростите выражение:
(х°’5 + t/°-5)(x0’5 + 5t/°'5)- (х0-5 + 2гЛ5)(х°-5 — 2t/0-5) .
37j/(2 Jx + 3j£)
В)
г)
+ х 3 + 1^х3 + х 3 - )
гх {х + +у ^у2 + у2 _ о)1 + 1
I (& + ^)2 ) x^vs-i‘
Решите уравнение (570—572):
570. а) х(х + 1) = |х + -И +1 ; б) 6х(х - 1) 4- 51 х — i| = “ ;
в) х2 + 5|х + 2| =-4(х + 2); г) х2 + 4х = 2 — \х + 2|.
571. а) 4х4 ~ Их2 -3 = 0; б) 4х4 - 7? - 2 = 0.
572. а) х--^=-^~; б) —I-= х;
! 4-х х-4 ' 3-х х-3
ч 1 + Ю = 1 х 2 12 = 1
' х2 — 10х + 25 25-х2 х + 5 ’ ' х2 + 12х + 36 36-х2 х-6
573. а) Если длину прямоугольника уменьшить на 1 м, а его
ширину увеличить на 1 м, то площадь прямоугольника уве-
личится на 5 м2. На сколько метров длина прямоугольника
больше его ширины?
б) Если бы папа был на 2 года моложе, а мама на 2 года
старше, то произведение их возрастов было бы на 6 больше,
чем сейчас. На сколько лет папа старше мамы?
574*. а) Обнаружив в 64 метрах от себя уползающую черепаху,
Ахиллес начал ее преследовать. Сократив расстояние до
черепахи в 8 раз и осознав свое превосходство, он прекратил
погоню. Какой путь проделал Ахиллес с начала погони, если
его скорость в 15 раз больше скорости черепахи, причем
движение Ахиллеса и черепахи происходило по прямой?
б) До приближающегося Ахиллеса оставалось еще 6 м, когда
черепаха поняла, что ей не уйти от погони, н она обреченно
остановилась. Какой путь с начала погони проделала черепа-
ха, если ее скорость в 17 раз меньше скорости Ахиллеса,
расстояние между ними за время погони сократилось в 9 раз
н нх движение происходило по прямой?
575. Под посев пшеницы отведено 3 участка пашни, общая пло-
щадь которых в 3 раза больше площади второго участка. За
день были засеяны половина первого, второго н весь тре-
тий участок. Площадь, оставшаяся незасеянной, в 2 раза
115
меньше площади третьего участка. Какую часть отведеииой
под посев площади составляет площадь, засеянная за день?
576. На заводе сначала работали 2 цеха — первый и второй. Затем
был пущей третий цех, в результате чего завод увеличил
ежемесячный выпуск продукции в 1,6 раза. Во сколько раз
больше продукции дает в месяц третий цех, если известно,
что за 2 месяца первый и третий цеха вместе выпускают
столько продукции, сколько второй за полгода?
577. Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют
бассейн за 4 ч. Для наполнения бассейна наполовину первому
насосу требуется время иа 4 ч большее, чем второму насосу
для наполнения бассейна иа три четверти. За какое время
может наполнить бассейн каждый из насосов в отдельности?
578. Диаметр шкива электромотора, делающего 1200 оборотов в
минуту, равен 180 мм. Как надо изменить диаметр шкива,
чтобы при уменьшении числа оборотов до 1080 в минуту
скорость движения приводного ремня не изменилась?
579. Два шкива соединены ременной передачей. Выразите форму-
лой зависимость между длинами их окружностей С, и С2 и
числом оборотов г, и г2, которые делают шкивы в единицу
времени. Выразите каждую из четырех величин через осталь-
ные три.
580. Одни сплав состоит из двух металлов, входящих в него в
отношении 1 :2, а другой содержит те же металлы в отноше-
нии 2:1. Сколько частей каждого сплава надо взять, чтобы
получить третий сплав, содержащий 50% каждого металла?
581. Груз весом 60 кг производит некоторое давление на опору.
Если вес груза уменьшить иа 10 кг, а площадь опоры — иа 5 дм2,
то давление увеличится на 1 кг/дм2. Определите площадь
опоры.
582*. Латунь состоит из меди и циика. Кусок латуни весом 124 г,
погруженный в воду, теряет в весе 15 г, а кусок меди весом
89 г, погруженный в воду, теряет в весе Юг. Кроме того,
известно, что кусок цинка, погруженный в воду, теряет ±
веса. Определите, сколько меди и сколько цинка содержится
в 250 г латуни.
583*. Сплав золота и серебра весом 13 кг 410 г при погружении в
воду стал весить 12 кг 510 г. Определите количество золота
и серебра в сплаве, если известно, что плотность золота равна
19,3 г/см3, а серебра 10,5 г/см3.
584. Теплоход за 10 ч может пройти ПО км по течению и 70 км
против течения реки или 88 км по течению и 84 км против
течения реки. Определите скорость теплохода относительно
воды и скорость течения реки.
585. Путь из села в город идет сначала 15 км в гору, потом 6 км
с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной
постоянной скоростью, с горы — с другой. В один конец ои
116
ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. Какова скорость велосипедиста в
гору и с горы?
586, Старинная задача. Для молотьбы хлеба были наняты не-
сколько рабочих. Если бы их было тремя меньше, то они
проработали бы двумя днями дольше. Если бы наняли
четырьмя рабочими больше, то работа была бы окончена
двумя днями раньше. Сколько было рабочих и сколько дней
онн проработали?
587. Грузовая машина выехала из Л в В. Спустя 2 ч из В в А
выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже,
чем грузовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая
2 -ч
машина, если к моменту встречи она проехала всего пути?
588. Велосипедист проехал расстояние от Л до 6 и обратно с
постоянной скоростью. Мотоциклист проехал расстояние АВ
со скоростью, в п раз большей, чем скорость велосипедиста.
Он оставил мотоцикл в пункте В и вернулся в А пешком со
скоростью, в п раз меньшей, чем скорость велосипедиста. Кто
из них был дольше в пути и во сколько раз, если:
а) п = 2; б) п = 5?
§ 5. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ИХ СВОЙСТВА
5.1. Понятие числовой последовательности
Если каждому натуральному числу п (п = I, 2, ...) поставлено в
соответствие по некоторому закону число хп, то говорят, что задана
последовательность чисел
Хр ( 1)
или, короче, задана числовая последовательность {х„}.
Числа х2, хп, ... называют членами последовательности, а
член с номером п — ее п-м членом, его еще называют общим членом.
Задать последовательность — это значит указать закон, по ко-
торому можно вычислить ее л-й член хп для каждого натурального п.
Этот закон может выражаться разными способами: формулами,
словесными описаниями и т. п.
Рассмотрим числовую последовательность, п-к член которой задан
формулой
(л-1,2, 3, ...). (2)
Пользуясь этой формулой, можно вычислить любой член последо-
вательности (2), соответствующий данному конкретному номеру п.
Например:
х4 = 42 = 16, х18 = 12й = 144, х17 = I72 = 289.
Последовательность (2) записывают следующим образом:
1, 22, 3й, ..., л2, ...,
или
1, 4, 9, ..., п\ ... .
В этой записи приведено несколько первых членов последователь-
ности и ее п-м член.
118
Пример 1. Пусть числовая последовательность записана в виде
(О:
i х -1 1 (-1)д
’ 2 ’ 3’4’ п ............
Тогда ее общий член задан формулой
г = у'
* п
Пример 2. Пусть числовая последовательность задана формулой
л-го члена:
Тогда ее можно записать следующим образом:
1 1 1 1 ну
’ 4 ’ 27 ’ 256 ’ '
Иногда (в очевидных случаях) числовую последовательность за-
дают ее несколькими первыми членами, имея в виду, что законо-
мерность получения каждого следующего члена сохраняется и для всех
остальных членов последовательности.
Пример 3. Пусть числовая последовательность задана нескольки-
ми ее первыми члеиамн:
2, 4, 6, 8, 10, ... . (3)
Тогда, очевидно, что формула ее л-ro члена есть ая = 2л.
Числовая последовательность упорядочена: у каждого ее члена
есть последующий член и у каждого ее члена, кроме первого, есть
предшествующий член.
Пример 4. Пусть задана последовательность {а„}: 1, 3, 5, 7, ... .
Тогда, например, у члена последовательности а3 = 5 есть после-
дующий член а4 = 7 и есть предшествующий член а2 = 3.
Замечание. Числовую последовательность можно задать ре-
куррентио1, т, е. задать одни или несколько первых членов последова-
тельности и формулу, выражающую любой ее член через один или
несколько предшествующих. Например, последовательность (3) мож-
но задать так:
at = 2; ап+ , = а„ + 2, п = 1, 2, 3, ... .
Известная последовательность чисел Фибоначчи задается так:
ut = и2 = 1, un + 2 = un + l + и„, п = 1, 2, 3, ... . Вычислим несколько
первых ее членов:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
1 Рекуррентный — от лат. recurrens (recurrentis) — возвращающийся.
119
589°. а) Что называют числовой последовательностью, членами
числовой последовательности? Приведите примеры последо-
вательностей.
б) Что значит задать числовую последовательность?
в) Какие способы задания числовых последовательностей вы
знаете?
590. Дана последовательность чисел {хлу. 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... .
а) Назовите ее первый, второй, третий, четвертый, пятый и
шестой члены.
б) Запишите формулу общего члена последовательности.
Найдите х7, х8, х20.
591. Запишите формулу общего члена последовательности:
а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...; 6) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 ...;
в) 4, 8, 12, 16, 20, 24, г) 1,1, 1,1'1,
Z о 4 О о
д) 1, -1, 1, -1, 1, -1, е) -1, 1, -1, 1, -1, 1, ... .
592. Дана формула общего члена последовательности:
а) ап = Зл — 1. Найдите л2; л5; а100;
б) ап = 3 + 2 (л — 1). Найдите at; а3; л12; а^.
593. Найдите сумму первых шести членов последовательности, за-
данной формулой общего члена:
а) ап = Зл + 2; б) а„ = (“1)я-л.
594. Числовая последовательность {хл} задана формулой общего
члена хп = 10 4- 2п.
а) Найдите хр х10, х100.
б) Запишите формулы последующего и предшествующего
членов последовательности для хя.
в) Запишите формулу члена последовательности, имеющего но-
мер п + 2.
595. Последовательность задана формулой л-го члена:
а) а, = Зя - 2; б) Ь. - 16-(|)“; в)с,-(-2)".
Вычислите три первых и десятый члены этой последователь-
ности.
596. Последовательность задана первыми членами: 1, 5, 9, ... .
Запишите формулу ее общего члена.
597. Последовательность задана рекуррентным способом:
a) at = 2, ап + . = ап + 3; б) bt = -2, Ьп + , = 5
в) с{ = 4, cn + j = сп - 8; г) х, = 8, хп + , - 0,25 • хп.
Запишите пять первых ее членов.
598. Последовательность задана рекуррентным способом:
а) а, = 3, ап + , = ап + 2; б) 6. = -5, Ьп + , = 2 • Ьп;
в) tj-8,ce + l=tn-4; г) = 9,х„ + 1 = 0,3-х„.
Задайте последовательность формулой л-го члена, вычислите
пять первых ее членов.
120
599. Последовательность задана первыми членами:
а) 5, 10, 15, 20, б) 32, 16, 8, 4, в) 2, -2, 2, -2, ... .
Задайте последовательность рекуррентным способом, вычис-
лите ее 8-й член.
600, В предыдущем задании задайте последовательность формулой
л-го члена, вычислите ее 9-й член.
601. Числовая последовательность задана формулой л-го члена:
а)а„-5п; 6) 6. - 27 • (1)’; в) с„ - (-0,5)’.
Задайте последовательность рекуррентным способом.
602. Последовательность задана формулой л-го члена:
а) ая = 177 - Зл; б) Ьп = 125 - 7л;
в) хп = 23 - 1,5л; г) уп = 100 - .
О
Сколько положительных членов у этой последовательности?
603. Последовательность задана формулой л-го члена:
а) ап = -117 + Зл; б) Ьп = -222 + 1,5 л;
в) х„ = -237 + 5л; г) уа = -100 + у .
Сколько отрицательных членов у этой последовательности?
604. Найдите числа Фибоначчи: л10 и л15.
605*. Докажите, что для любых натуральных л последовательность
чисел Фибоначчи {и„} обладает свойством:
а) и, + и2 + ... + ип~ ия + 2- 1;
б) л, + «J + «s+... + a2,.l“ u2rt;
в) и2 + и4 + и6 + ... + л2я = и2п + 1 - 1;
г) и2 + л2 + «з + ... + и2~ ип-ип + }.
5.2*. Свойства числовых последовательностей
Последовательность {х„}, для которой при каждом натуральном л
выполняется неравенство
X < Хя . |,
ft fl + 1 ’
называют возрастающей (строго возрастающей).
Каждый следующий член возрастающей последовательности боль-
ше предыдущего.
Примером возрастающей последовательности служит последова-
тельность {ал}, для которой
ап “ Зл, ап + ] - 3 (л + 1) = Зл + 3.
Неравенство ап<ая + 1 выполняется для каждого натурального л,
так как Зл < Зл + 3 при любом натуральном л.
Последовательность {хл}, для которой при каждом натуральном л
выполняется неравенство
> Х„.
П Л т L ’
называют убывающей (строго убывающей).
121
Каждый следующий член убывающей последовательности меньше
предыдущего.
Примером убывающей последовательности служит последователь-
ность {}, где
(1)
и + n i . Неравенство с„>сп + 1 выполняется для каждого на-
турального п, так как
при любом натуральном п.
Последовательность {хп}, для которой прн каждом натуральном
п выполняется неравенство
называют неубывающей.
Примером неубывающей последовательности служит последова-
тельность чисел Фибоначчи.
Последовательность {х„}, для которой прн каждом натуральном
п выполняется неравенство
Хп >хя + 1,
называют невозрастающей. Примером не возрастающей последова-
тельности служит последовательность {£„}: 5, 5, 4, 4, ..., которую
можно задать так:
-1 rt 1 , 2, 3, .
Последовательности возрастающие, убывающие, невозрастающне
и неубывающие называют монотонными.
Рассмотренные выше последовательности и последовательность
чисел Фибоначчи являются монотонными, а последовательность
ие является монотонной, так как, например, у{ < у2> а > z/3.
Последовательность {х„} называют ограниченной сверху, если
существует такое число В, что для каждого члена последовательности
выполняется неравенство хп < В.
Ограниченной сверху, например, является последовательность (1),
так как для каждого ее члена выполняется неравенство сп < 1.
Последовательность {хл} называют ограниченной снизу, если
существует такое число А, что для каждого члена последовательности
выполняется неравенство ха > А.
Ограниченной снизу, например, является последовательность
чисел Фибоначчи, так как для каждого ее члена выполняется неравен-
ство иа^ 1.
Последовательность {х„} называют ограиичениой, если она
ограничена и снизу, и сверху.
Ограниченной, например, является последовательность (1), так
как для каждого ее члена выполняется неравенство 0 < са < 1.
Замечание. Числовая последовательность всегда имеет беско-
нечное число членов. Иногда бывает удобно рассматривать числовую
последовательность с номерами ее членов, пробегающими конечное
число значений 1, 2, ..., п. Тогда принято говорить, что задана ко-
нечная последовательность с числом членов п.
Например, последовательность простых чисел средн первых двад-
цати натуральных чисел конечна, она содержит 8 членов:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (я = 8).
Последовательность же всех простых чисел бесконечна. Этот факт
был доказан еще Евклидом.
Последовательность {ая} , заданная формулой я-го члена
ап — Зя,
бесконечная — любому натуральному п соответствует член последо-
вательности Зя.
Этой же формулой можно задать конечную последовательность,
если п принимает лишь несколько первых натуральных значений.
Например, последовательность
Ьп = Зя (я = 1, 2, 3, 4)
конечная. Она содержит 4 члена 3, 6, 9, 12.
Первый н последний члены конечной последовательности назы-
вают крайними членами последовательности.
606°. Какую последовательность называют:
а) невозрастающей; б) неубывающей;
в) монотонной; г) ограниченной сверху;
д) ограниченной снизу; е) ограниченной;
ж) возрастающей; з) убывающей?
Приведите примеры.
607. Последовательность задана формулой я-го члена:
а)а„ = 7я—11; б) Ьл = 6"; в) сп = -3 + (1,2)";
г)а„=2 + 3я; д)6п = 3-2л; е) сп = -3-(0,2)л.
Докажите, что последовательность является возрастающей и
ограниченной снизу.
608. Последовательность задана формулой я-го члена:
а) а„ = -2я+ 1; б) Ьп = (0,2)"; в) ся = 3 —(1,1)л;
г) а„ = 3-2я; д) Ьп = 9• (1)"; е) с„ = -16• 2".
4 О z
Докажите, что последовательность является убывающей н
ограниченной сверху.
609. Последовательность задана формулой я-го члена:
*а)а„ = (—2)"; б) Ьп = 2-(-1)"; в) = я-(-1 )я;
123
Г) «.= (4)": Д) Х, = 2+ (-!)“; е) (/„ = (-!)".
Покажите, что она не является монотонной. Какие из приве-
денных последовательностей являются ограниченными?
610. Придумайте свой пример последовательности:
а) монотонной; б) немонотонной;
в) ограниченной снизу; г) ограниченной.
611. Верно ли, что всякая возрастающая последовательность огра-
ничена снизу, а всякая убывающая последовательность
ограничена сверху?
612. Докажите, что последовательность десятичных приближений
числа п с недостатком 3; 3,1; 3,14; 3,141; ... является
ограниченной.
613*. Задайте формулой последовательность:
а) 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ...;
б) 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ...;
в) 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, ... .
614*. Последовательность задана формулой л-го члена:
а) ап = ; б) Ьп = 2.” + ? в) xn = + ; г) уп = .
7 п п 7 * 2п + 5 7 4л + 7 7 77 2л-1
Докажите, что последовательность является возрастающей и
ограниченной.
615*. Последовательность задана формулой л-го члена:
а) ап = ; б) Ьп = ~~ ; в) хп = ; г) уп = .
7 n n f “ 2л + 3 7 п 4л + 1 7 л Зп-2
Докажите, что последовательность является убывающей н
ограниченной.
616*. Последовательность задана формулой л-го члена:
а) ап = + 5 ; б) Ьп = 2” + ,1 ; в) хп = 5 ; г) уп = + * .
7 п 2л-1 7 Зл-5 7 п 2л-1 777 Зл + 5
Является лн последовательность возрастающей, убывающей,
ограниченной?
617*. Укажите все значения Ь, прн которых последовательность,
v IQQQ/? -1- h
заданная формулой ап = 2ооон , является:
а) возрастающей; б) убывающей.
§ 6. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
6.1. Понятие арифметической прогрессии
Арифметической прогрессией называют числовую последователь-
ность, каждый последующий член которой равен предшествующему,
сложенному с постоянным для данной последовательности числом.
Это число называют разностью арифметической прогрессии.
124
Таким образом, если числовая последовательность {а„} есть
арифметическая прогрессия, то для нее существует такое число d —
разность арифметической прогрессии, что
+1 " + d
Л "Г J Л
для любого натурального числа п.
Например, последовательности
1, 2, 3, 4.п..... (1)
3, 1, -1, -3..5 - 2л, ... (2)
являются арифметическими прогрессиями. У арифметической прогрес-
сии (1) разность d = 1, а у арифметической прогрессии (2) разность
d=-2.
Отметим некоторые свойства арифметической прогрессии.
1. Для любой арифметической прогрессии ее я-й член ап
выражается через ее первый член а, и разность этой прогрессии d
при помощи формулы
ап = а, + (я — 1) d,
называемой формулой л-го члена арифметической прогрессии.
В самом деле
а2 = а{ + d,
а3 = а2 + </ » (а{ + d) + d = at + 2d,
at = as + d = (at + 2d) + d = + 3d,
Ha (n — 1)-м этапе этих рассуждений получим, что
ап = а{ + (п — 1 )d.
2. Любой член арифметической прогрессии, кроме первого,
есть среднее арифметическое предшествующего и последующего
членов, т. е.
ап =* Дл~’ + 1 , где п = 2, 3, ... .
В самом деле, = аа — d, ал + 1 = ап + d, тогда
1 + Д/1 -и = Qn-d + an + d = а
2 2 я'
Например, если известны два члена арифметической прогрессии
аг = —3 и ад = 1, то можно найти as:
= =_L
8 2 2
Замечание. Полное доказательство свойства 1 требует
применения метода математической индукции (см. п. 1 Дополнений к
главе III).
125
618°. а) Какую последовательность называют арифметической про-
грессией?
б) Что называют разностью арифметической прогрессии?
619. Запишите формулу л-го члена арифметической прогрессии.
620. Какими свойствами обладает арифметическая прогрессия?
621. Дана последовательность 2; 7; 12; 22; 27; ... .
а) Определите разность между каждым последующим членом
и предыдущим.
б) Является ли последовательность {а„} арифметической про-
грессией?
622. Арифметическая прогрессия {а„} задана формулой общего
члена ап = at + (п — l)rf, где а, = 3, d = 2. Найдите пять
первых членов прогрессии.
623. Дана арифметическая прогрессия 1; 7; 13; ... .
а) Найдите разность арифметической прогрессии.
б) Найдите а7; а8; а9; at0.
624, Является ли арифметической прогрессией последователь-
ность:
а) -5; —2; 1; 1; 4; 7; 10; ...; б) 7; 0; -7; -14; -21; ...;
в) 11; 11; 11; 11; 11; г) -1; 4; 9; 14; 19; 24; ...?
2 3 4 5 6
625, Запишите четыре первых члена арифметической прогрессии,
если а, = 2, d = —3.
626, Найдите пятый член арифметической прогрессии {art}: 2;
4|;
627. В арифметической прогрессии найдите:
а) а2 и d, если а3 = 5; = 9;
б) а1 и d, если а2 = 7; а3 = 4;
в) а5 и d, если а6 = 8; ак = 12;
г) а7 и d, если а6 = — 15; а8 = — 11.
628. Докажите, что в арифметической прогрессии {а„} разность d
можно вычислить по формуле
d = a?n а-к t т* k.
m-k
В арифметической прогрессии {а„} найдите (629—631):
629. а) а2 и d, если а, = 5, а3 = 13;
б) а1 и d, если а2 = 3, а|0 = 19;
в) а2 и d, если а12 = —2, а3 = 7;
г) ai01, если а12 = 20,5, аТ = 10,5.
630. а) а2 + а9, если а, + а10 = 120;
б) + а21, если а2 + = 24;
в) а3, если а, + а5 — 48;
г) а6, если а3 + а9 = 160.
126
631. a) «17, если «15 + «18 = 12;
6) «20, если «19 + a21 = —20;
в) as, если «3 + a7 = 6;
г) «8, если а2 + «14 = 28.
632. Является ли число 12 членом арифметической прогрессии:
а) -10; -8; -6; ...; б) -11; -8; -5;
в) -3; 0; 3; г) 44,5; 43; 41,5; ...?
Если «да», то укажите его иомер.
633. Является ли число 34 членом арифметической прогрессии —47;
—44; —41; ...? Если «да», то укажите его номер.
634. Сколько положительных членов имеет арифметическая про-
грессия:
а) 3,8; 3,5; 3,2; ...; б) 7,1; 6,9; 6,7; ...;
в) 14 13|; 13; ...; г) 151; 141; 121; ...?
3 3 4 4 4
635. Сколько отрицательных членов имеет арифметическая про-
грессия:
а) -3,9; -3,7; -3,5; ...; б) -8,2; -7,9; -7,6;
в) -18|; -15|; г) -1б|; -15|; ...?
636. Докажите, что последовательность, заданная формулой обще-
го члена;
а) ап “ Зя — 7; б) а„ = —Зл + 5;
в) ап = 2п + 8; г) ая - -2л - 3,
является арифметической прогрессией.
637*. Верно ли, что арифметическая прогрессия:
а) возрастает и ограничена снизу, если d > 0;
б) убывает и ограничена сверху, если d < 0?
6.2. Сумма л первых членов
арифметической прогрессии
Число, равное сумме первых л членов арифметической прогрессии
{«„}, обозначают Sn, т. е.
S„ = а. + «9 + ... + а„ . + а.
л 1 / Л J л
Сумма первых л членов арифметической прогрессии {ля} равна
произведению полусуммы первого и л-го ее членов иа число ее
членов, т. е. справедлива формула
tn
Действительно,
= Sn + Sn = («! + а2 + ... + а„) + («! + а2 + ... + ап) =
= («] + ая) + («2+ + ... + («„ + «!).
127
Поскольку а2 + ап „, = at + d + ап — d = + ап,
аг + ап_2 = а} + 2d + ап - 2d = а} + ап
ит.д., то получаем
2S„ = («i + ал)-п.
Отсюда следует справедливость формулы (1),
Если в формуле (1) заменить ап на а, + (п — 1) d, то получим
другую запись формулы для вычисления суммы первых п членов ариф-
метической прогрессии:
.п (2)
Пример 1. В арифметической прогрессии { заданы первый член
at = 11 и пятнадцатый член а18 = 27. Вычислим сумму первых пятнад-
цати членов арифметической прогрессии.
По формуле (1) имеем
$ = ^-+а.15 • 15 = • 15 = 285.
15 2 2
Пример 2. В арифметической прогрессии {ап} заданы первый
член а, = 9 и разность d = 2. Вычислим сумму первых десяти членов
арифметической прогрессии.
По формуле (2) имеем
S10- 2fl| + (10-l)d • 10 = (2• 9 + 9 2)’ 5 = 180.
Замечание. Полное доказательство формулы (1) требует
применения метода математической индукции (см. п. 1 Дополнений к
главе III),
638. Запишите формулу для вычисления суммы первых п членов
арифметической прогрессии по ее:
а) первому и л-му членам;
б) первому члену и разности прогрессии.
639. Вычислите сумму:
а) 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100;
б) 30 + 31 + 32 + ... + 38 + 39 + 40;
в) 11 + 12 + 13 + ... + 87 + 88 + 89.
Дана арифметическая прогрессия . Вычислите (640—
642):
640. a) S20, если а, = 1, а20 — 20;
б) Ззо, если а, = —10, а.м = 20;
в) З13, если а, — 17, а13 = 13;
г) Sl7, если at = 11, а17 = 19.
641. а) 320, если at — 1, d = 1; б) S+o, если а} = 2, d = 2;
в) S, если ах — —2, d = 4; г) Sl5) если ai = —3, d = 3.
642*. а) $10, если а2 = 1, d = —2; б) 35, если а6 = 4, d — -1;
в) $]7, если а9 = 2; г) 319, если а]0 = 4.
128
643. а) Определите сумму первых 40 четных чисел.
б) Определите сумму всех трехзначных чисел.
в) Определите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100,
кратных 3.
644. Сложили несколько первых членов арифметической про-
грессии {а„} и получили 430. Сколько членов сложили, если
tt.--7.rf-3?
645. Сколько ударов сделают настенные часы за сутки, если они
бьют только один раз в час, отбивая число часов?
646. а) В арифметической прогрессии {а„}: а5—11, а8 “ 17.
Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.
б) Придумайте задачу иа нахождение суммы п членов ариф-
метической прогрессии.
647* а) Выразите сумму (2п — 1) членов арифметической прогрес-
сии {а„} через п и ап.
б) Для арифметической прогрессии {ал} вычислите S^., если
fli00l = 2000.
648. Задача Пифагора (580—500 гг. до н. э.). Найдите сумму п
первых нечетных натуральных чисел:
1 + 3 + 5 + ... + (2п — 1).
649. Задача из папируса Ахмеса (XVIII—XVII вв. до н. э.). Раз-
делите 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между
количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующе-
го составляет меры.
О
650*. В арифметической прогрессии сумма т первых членов равна
сумме п первых членов. Докажите, что сумма (т + п) первых
членов равна нулю.
§ 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
7.1. Понятие геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называют числовую последователь-
ность, каждый последующий член которой равен предшествующему
члену, умноженному иа отличное от нуля, постоянное для данной
последовательности число. Это число называют знаменателем гео-
метрической прогрессии1.
Таким образом, если последовательность {а„} есть геометриче-
ская прогрессия со знаменателем qt то у * 0 и ап + , — ап • q для любого
натурального числа п. Например, последовательности
2, 4, 8, 16, 32.2".................... (1}
1, -1, 1, -1, 1.(-1)л + 1................ (2}
-------;--
' Обычно рассматривают геометрические прогрессии с первым членом, отличным от
нуля.
5 Алгебра 9 класс.
129
1 __L _L —L l.f-lV’1
7 ’ 21 ’ 63 ’ 189 ’ 7 I 3j ’ ••• { J
являются геометрическими прогрессиями. У геометрической прогрес-
сии (1) знаменатель q — 2, у прогрессии (2) знаменатель q = — 1, у
прогрессии (3) знаменатель Я ™ •
Отметим некоторые свойства геометрической прогрессии.
1. Для любой геометрической прогрессии {ал} ее л-й член ап
выражается через ее первый член at и ее знаменатель q при помощи
формулы
_ _ Д - 1
называемой формулой л-го члена геометрической прогрессии.
В самом деле
а2 = а, • q,
az = a2-q = ax-q\
= a3-q = (a{-q2)-q = a.-q\
На (п — 1)-м этапе рассуждений получим, что
an = arf~l.
2. Любой член геометрической прогрессии с положительными
членами, кроме первого, есть среднее геометрическое предшест-
вующего и последующего членов, т. е.
= 1 ‘ + 1 •
В самом деле,
л/^л - I ' + 1 = ' О>п‘ Я = V = »
так как ап > 0.
Например, если известны два члена геометрической прогрессии
с положительными членами а1 = 32 и ад = 2, то можно найти as:
as = Ja7 а9 = 732 2 = 8.
Замечание. Полное доказательство свойства 1 требует
применения метода математической индукции (см. п. 1 Дополнений
к главе III).
651. а) Какую последовательность называют геометрической про-
грессией? Что называют знаменателем геометрической про-
грессии?
б) Запишите формулу га-го члена геометрической прогрессии.
Какими свойствами обладает геометрическая прогрессия?
652*. Верно ли, что геометрическая прогрессия с положительными
членами:
а) возрастает и ограничена снизу, если q > 1;
130
б) убывает и ограничена сверху, если 0 < q < 1?
653*. Определите, возрастает или убывает геометрическая прогрес-
сия {а„}:
а) если а, < 0, q > 1; б) если а, < 0, 0 < q < 1.
Является ли она ограниченной?
654. а) Задана последовательность {ал}: 2; 4; 8; 16; ... . Опреде-
лите частное от деления каждого последующего члена на
предшествующий.
б) Является лн последовательность {а„} геометрической про-
грессией?
655. а) Дана геометрическая прогрессия 1; 3; 9; 27; ... . Найдите
знаменатель прогрессии и ее пятый, шестой и седьмой члены,
б) Геометрическая прогрессия задана формулой общего чле-
на а„ = 3 • 1. Найдите пять первых членов этой прогрессии.
656. Является ли геометрической прогрессией последовательность:
а) 1; 8; 15; 21; 26; ...; б) 4; 2; 1; 0,5; 0,25; ...;
в) —2; 2; -2; 2; -2; ...; г) 0; 4; 16; 64; 256; ...?
657. Запишите четыре первых члена геометрической прогрессии
{а„}, если at = 2, q = 0,25.
658. Найдите пятый член геометрической прогрессии 3; 1; 1;
О
9.....
659. Задана геометрическая прогрессия {ап}. Вычислите:
а) а3, если а, » 0,5, q = —2; б) а4, если а, » —2, q — 3;
в) а3 и q, если а, — 3, а2 — 4; г) а3 и q, если а, — —4, а2 = 6;
д) at и q, если а2 = — 1, а3 = 2;е) а, и q, если а2 = —3, а3 = —2;
ж) q, если а5 = 4, а8 — 108; з) q, если а4 = 5, а7 = 320.
660. Даны три последовательных члена геометрической прогрес-
сии:
а) 7; х; 63. Найдите х, если х > 0;
б) 2; х; 18. Найдите х, если х < 0;
в) 3,2; х; 0,2. Найдите х.
661. а) Найдите at и q геометрической прогрессии {а„}, если:
а) а4 — а2 = 18 и а5 — а3 = 36;
б) at+a4=30, а2+а3=10.
662. Докажите, что для любой геометрической прогрессии {£„} верно
равенство:
а\ ь9 + ь|0 _ ьи + ь12. ь5 + ь6 + ь7 = ьн + ь|2 + Ь|3
Ьу + Ь8 ьв + Ь10 * Ь8 + Ьд + Ь10 6ц + 615 + Ь|б
663*. Задачи И. Ньютона (1643—1727). а) Даны четыре последо-
вательных члена геометрической прогрессии. Сумма двух край-
них членов равна 13, двух средних 4. Определите эти члены,
б) Даны три последовательных члена геометрической про-
грессии. Их сумма равна 19, а сумма их квадратов 133. Опре-
делите эти члены.
Sa Алгебра 9 класс.
131
7.2. Сумма л первых членов
геометрической прогрессии
Число, равное сумме л первых членов геометрической прогрессии
{а„}, обозначают 5„, т. е.
5„- а{ + а2 + ... + a„_t + ап.
Сумма первых л членов геометрической прогрессии {ак} со
знаменателем q равна:
S, = па{ при q = 1; (1)
S„ - “I при?*1. (2)
В самом деле, при q = 1 формула (1) очевидна.
Пусть теперь 1. Справедливы очевидные равенства
S„ (1 — q) = 5„ — Saq = а} + atq + ... + aAq —
—(a}q + at(?2 + ... + + a{qn) = at — alqn = (1 — qn).
Следовательно,
S„(l “?) = a((l ~qn),
и так как q* 1, то
s =
n 1-9 ‘
Формула (2) доказана.
Заметим, что формулой (2) удобно пользоваться, если q < 1. Если
же q > 1, то удобно пользоваться другой записью формулы (2):
\ = °''^т^- <3*
Пример 1. В геометрической прогресии {ал} ai = 8, q = , вычис-
лим сумму первых пяти ее членов.
По формуле (2) имеем
5 efi-f—У) я 31
$5 = ElILz*) = 1^22 = = 15,5.
1 — q 1 1 1 и
2 2
Пример 2. В геометрической прогрессии at=8, ^=2, вычислим
сумму первых пяти ее членов.
По формуле (3) имеем
5 = аг(?5-О = 8(25- 1) = 248
5 2-1
Замечание. Полное доказательство формулы (2) требует
применения метода математической индукции (см. п. 1 Дополнений к
главе Ш).
132
664. По какой формуле вычисляют сумму п первых членов геомет-
рической прогрессии?
665. Найдите сумму пяти первых членов геометрической про-
грессии, если: а) а, — 5, q — 2; 6) G] “ 4, q - -3;
W 1 1 ГО -Ci 1 1. q- -2;
д) a2 = 4, a3 = 7; e)a3 = 2, at = 1.
666. В геометрической прогрессии {aj вычислите 56, если а, — 48,
667. В геометрической прогрессии {а„} = 1, q = — 1.
Вычислите: а) 5]00; б) S101.
668. Вычислите сумму первых десяти членов геометрической прог-
ресии:
а) -32; 16; -8; 4; б) 32; 16; 8; 4; ... .
669. В геометрической прогрессии {aj вычислите:
a) Sl0, если a, =-^-, q = 2; б) 510, если а, =-^ , q - -2;
в) 56, если а, =-^, q = 3; г) 56, если =~, q = -3.
670*. Вычислите сумму шести первых членов геометрической
прогрессии, если:
а) разность между вторым и первым членами прогрессии равна
4, а между четвертым и третьим равна 16;
б) разность между вторым и первым членами прогрессии рав-
на 3, а сумма трех ее первых членов равна 21;
в) сумма трех первых членов прогрессии равна 111, а куб ее
знаменателя равен 4.
671*. Сумма десяти членов геометрической прогрессии равна 64,
произведение первого и десятого членов равно 16. Найдите
сумму чисел, обратных членам этой геометрической прогрес-
сии.
7.3*. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
Геометрическую прогрессию
a,, .... а . ...
Р **2* """ » л»
называют бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя мень-
ше 1: |ф| < 1. Например, геометрическая прогрессия
1111 ±
’ 2* 4’ 8’ 2Л’ *"
бесконечно убывающая, потому что модуль ее знаменателя меньше 1:
|?|-|< 1.
51*
133
Отметим, что для любой гео-
метрической прогрессии формулу
суммы п первых ее членов можно
переписать так:
Для бесконечно убывающей
геометрической прогрессии вто-
рой член в правой части равенст-
ва (1) при неограниченном уве-
личении п стремится к нулю, но
тогда левая часть равенства
(1), т. е. 5П, стремится к числу
S = (2)
1 -q ' '
Это число 5 - т^~
1
называют суммой бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
at, а2, ... , ап, ...
со знаменателем q (|<?| < 1).
Пишут:
= а. + а, + ... + ая + ....
1-? 1 2 "
где
= a}qn~ (|?| < 1).
Пример 1. Вычислим сумму бесконечно убывающей геомет-
рической прогрессии
- + - + - + — + ....
2 4 8 16
Здесь , q = i . По формуле (2) имеем
5 = -7—
1
1
г'
Если рассмотреть квадрат, площадь которого принята за единицу,
закрасить сначала ^-квадрата, потом 1, потом 1, потом и т. д.
(рис. 54), то станет ясно, что процесс такого закрашивания беско-
нечен и сумма площадей закрашенных частей квадрата неограниченно
приближается к площади данного квадрата (стремится к 1).
Пример 2. Вычислим сумму бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии
134
Здесь at = 1, q = —|. По формуле (2) имеем
с _ Д| _ 1 2
' *'*'*-(-1)'’’
Иногда для обращения периодических дробей в обыкновенные
используют формулу суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Покажем, как это делается, иа примерах.
Пример 3. Обратим бесконечную периодическую дробь 0,(7) в
обыкновенную дробь.
Сначала запишем данную дробь в виде
0,(7) = 0,777... = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ... . (3)
Правая часть этого равенства есть сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии {а„} с первым членом а,=0,7 и знамена-
телем q = 0,1, поэтому по формуле (2) имеем
0 (7) = _Л2_ = 2iZ= 2 .
Л ’ 1-0,1 0,9 9
Пример 4. Обратим бесконечную периодическую дробь 0,1(45) в
обыкновенную дробь.
Сначала запишем данную дробь в виде
0,1(45) = 0,14545... - 0,1 + 0,045 + 0,00045 + ... .
В правой части этого равенства после 0,1 записана сумма беско-
нечно убывающей геометрической прогрессии {art} с первым членом
^=0,045 и знаменателем q = 0,01.
Поэтому по формуле (2) имеем
0 1(45) = 0,1 + °'045---— 4- ^245 = J_ + _45_ = _8_
’7 0,1 ^ 1-0,01 10 0,99 10 990 55
Замечание. Поясним, почему справедливо равенство (3) и
аналогичные равенства для других периодических десятичных дробей.
Пусть задана геометрическая прогрессия
0,7; 0,07; 0,007; ...; 0,7-(0,1)п~*; ... .
Тогда по формуле (2) имеем
S = = 22.= 2 . (4)
1-0,1 0,9 9 v f
Мы знаем, что можно записать в виде бесконечной пери-
одической десятичной дроби 0,(7) = 0,777... . Поэтому считают, что
0,(7) = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ... .
Тогда формула (4) есть формула обращения бесконечной
периодической десятичной дроби 0,(7) в обыкновенную дробь ~ .
5*
135
672°. Какую геометрическую прогрес-
сию называют бесконечно убы-
вающей?
673*. Придумайте пример бесконечно
убывающей геометрической про-
грессии, которая не является убы-
вающей последовательностью.
674. Вычислите сумму бесконечно убы-
вающей геометрической прогрес-
сии (ап}, если:
a) at = 4, 4=|; б) я( = 4,4 = -1;
в) а = 5, о = —; г) я, 5, д = ——.
' 1 ’ 4 10 7 1 4 10
675. Обратите в обыкновенную дробь бесконечную периодическую
десятичную дробь:
а) 0,(3); б) 0,(8); в) 0,(5);
г) 0,(13); д) 0,(27); е) 0,(45);
ж) 0,(123); 3) 0,(456); н) 0,(1999);
к) 0,5(7); л) 0,23(8); м) 0,2(38).
676*. Задача П. Ферма (1601 — 1665). Докажите, что для беско-
нечно убывающей геометрической прогрессии {яп}, имеющей
сумму 5, выполняется равенство
S =
S~at а2'
677*. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии:
а) Л+ 1 . р J3-1 . бх &+ 1 . р Л-1 .
Л-1 ' ’ Л + 1 ’ ’ Л-1 ’ ’ Л + 1
678*. Дан острый угол, величина которого равна а. На его стороне на
расстоянии I от вершины отметили точку Из нее провели
перпендикуляр AtA2 ко второй стороне угла, нз точки А2 прове-
ли перпендикуляр к первой стороне и т. д. (рис. 55). По-
лучилась ломаная с бесконечным числом звеньев. Вычислите
ее длину, если:
а)/ = 1 м, а = 45°; 6)1= 1 м,а = 30°.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
1. Метод математической индукции
Сформулируем принцип полной индукции.
Если свойство, зависящее от натурального я, во-первых, верно
при п — 1 и, во-вторых, из предположения, что оно верно при n = k,
следует, что оно верно при n = k + 1, то считают, что это свойство
верно для любого натурального п.
136
Например, пусть надо доказать, что если а > 0, то
ап > 0 (1)
для любого натурального п.
Согласно принципу полной индукции, чтобы считать верным
неравенство (1) для всех натуральных п, достаточно проверить, что
выполняются следующие два утверждения:
1) неравенство (1) справедливо для п = 1;
2) если допустить, что для некоторого п =* k неравенство (1)
справедливо, т. е. имеет место неравенство ак > 0, то оно справедливо
и для п * k + 1, т. е. имеет место неравенство ak + J >0.
Утверждение 1 действительно выполняется, потому что, положив
в неравенстве (1) п * 1, получим неравенство а > 0, верное по усло-
вию. Утверждение 2 тоже выполняется, ведь если предположить
верным неравенство ak > 0, то после умножения его на положительное
число а получим верное неравенство ак+ 1 > 0.
Таким образом, утверждения 1 и 2 выполняются. Но тогда соглас-
но принципу полной индукции неравенство (1) верно для любого
натурального п.
Доказательство, основанное на принципе индукции, называют до-
казательством по индукции нли доказательством методом математи-
ческой индукции.
Заметим, что не только доказательство приведенного выше свой-
ства, но и определение и-й степени, строго говоря, нужно давать по
индукции.
Например, говорят, что ап прн натуральном п есть такое число,
которое определяется следующим образом:
а' = а и ak + 1 = ak • а (2)
для любого натурального k.
Пользуясь этим определением, получим, например, что
а'' = а' - а = а ' а а = а2 а а а = а а а а а.
Пример /. Докажем по индукции, что
0л = 0 (3)
для любого натурального п. При п = 1 равенство (3) очевидно. Если
допустить, что равенство 0* = 0 доказано, то отсюда будет следовать,
что
0А +1 = 0* 0 = 0 • 0 = 0.
Тогда согласно принципу полной индукции равенство (3) надо считать
верным для любого натурального п.
Пример 2, Докажем, что если 0 < а < Ь, то
ап < Ьп (4)
для любого натурального п. Это утверждение доказывают по индукции
следующим образом.
Прн п — 1 неравенство (4) верно, так как по условию а < Ь.
137
Пусть при п = k неравенство (4) верно, т. е.
ак<Ьк. (5)
Так как по условию а — положительное число, то и а* — поло-
жительное число, что было доказано выше. Умножив неравенство
а < b на ак и неравенство (5) на Л, получим
+ и акЬ<Ьк*\
откуда следует, что a* + l < Ьк + '. Тогда согласно принципу полной ин-
дукции неравенство (4) надо считать верным для любого натурального п.
Пример 3. Докажем, что для любого числа b > 1 и любого
натурального п справедливо неравенство
(1 + b)a > 1 + nb. (6)
Действительно, так как (1 + 6)L = 1 + b, то при п = 1 неравенство
(6) выполняется.
Предположим, что неравенство (6) выполняется при некотором
п = Л, т. е. что неравенство (1 + bf > 1 + kb верно. Так как 1 + b > О,
то
(1 +6)*+L = (l +£)*•(! +6) >(1 +**)•(! +*) =
- 1 +(Л+ l)b + kb2> 1 +(Л+ 1)Ь,
т. е. мы доказали неравенство (6) для п = k + 1.
Следовательно, неравенство (6) верно при любом натуральном п.
Пример 4. Докажем равенство
а • а = а (7)
для любых натуральных тип.
Зададим произвольное т и будем, как говорят, вести индукцию по п.
При п = 1 равенство (7) верно по определению степени с на-
туральным показателем (см. (2)):
т „I „т „ т + I
а • а = а. • а = а
Пусть теперь равенство (7) верно при п -= k:
т „к _ „т + к
а -а = а
Тогда по определению степени (см. (2)) имеем
„т „к + 1 т „k _1 т + к „I т + 4+1
а а = а а • а = а • а = а ,
т. е.
„т „4 + 1 т + 4+1
а • а = а
Согласно принципу полной индукции равенство (7) верно для
любого натурального п при произвольно выбранном т, т. е. равен-
ство (7) верно для любых натуральных тип.
Пример 5. Докажем, что общий член арифметической прогрессии
{а„} вычисляется по формуле
ая = а1 + (п- l)rf. (8)
138
Действительно, так как at = at + (1 — l)rf, то при п =1 равенст-
во (8) выполняется.
Предположим, что равенство (8) выполняется при некотором
п = k, т, е. что = at + (k — 1)с/. Тогда
+ t = + rf = aj + (й — l)rf + rf = al + kd,
т. e. равенство (8) выполняется для n * k + 1. Следовательно, равен-
ство (8) верно прн любом натуральном п.
Пример 6. Докажем, что сумма п первых членов геометрической
прогрессии 1) вычисляется по формуле
(9)
Действительно, так как S, = а'^ = а(, то прн п = 1 равенст-
во (9) выполняется.
Предположим, что равенство (9) выполняется при некотором
п = k, т. е. что Sc = 112 . Тогда
7 - 1
- s. + а.+, - + а19* -
= aig*~ai + + 1 - _ a1g*! + 1 - at _ a1(gA + 1 - 1)
?-1 q~l q-\
т. e. равенство (9) выполняется для п = k + 1. Следовательно, равен-
ство (9) верно при любом натуральном п>
679°. а) В чем заключается принцип полной индукции?
б) Объясните, как доказывают утверждения методом мате-
матической индукции на примере доказательства равенства
Г = 1 для любого натурального п.
680. Докажите методом математической индукции равенство:
a) anbn = (ab)n; б) (ап)т = а™.
681. Пусть а < 0. Докажите методом математической индукции, что:
а) ап > 0 при четном натуральном я;
б) ал < 0 при нечетном натуральном п.
682. Докажите методом математической индукции, что:
а) общий член геометрической прогрессии вычисляется по
формуле а" = а, qtt~
б) сумма п первых членов арифметической прогрессии вычис-
. 2fli + (п - 1) d
лястся по формуле = —5—--------— -я.
683*. Докажите методом математической индукции, что для любого
натурального п выполняется равенство:
а) 1 + 2 + 3 + ... + я =
б) 2 + 4 + 6 + ... + 2я = п(п + 1);
в) 1 + 3 + 5 + ... + (2п — 1) = я ;
139
г) 3 + 12 + ... + 3 4"'1 = 4Л — 1;
д) 4 + 0 + ... + 4 -(2 — п) = 2п(3 — rt);
е) 1 2 + 2’ 3 + 3 4 + ... + rt(rt + 1) = n("+1,)ta + 2) ;
ж) 1-4 + 2- 7 + 3-10 + ... + rt(3rt+ l) = rt(n + 1 )2;
з) J_ + _L + _L + + 1 _ л .
7 1 -2 2-3 3-4 n(n+ 1) n +1 ’
и) -L. + JL + _L_ + ... +-----------1----- = —2----;
' 4-5 5-6 6-7 (л + 3) • (n + 4) 4 (n + 4)
K\ 1 L 4. 1 j- _i___________!_____ — -2 •
f 1-3 3-5 5-7 " (2«-l)-(2/t+ 1) 2л + 1 ’
n\ _ . 4- У 4- 1 4- 4- _____1_____ — —2
f 1 4 4-7 7-10 " (3л-2) (3n + 1) 3л + 1 ’
Указание. Доказать равенство A(n) = B(n) для любого
натурального п методом математической индукции можно так:
1) Убедиться, что равенство А (1) = В( 1) выполняется.
2) Доказать равенство
A(k + I)- A(k) = B(k + 1) ~B(k). (*)
3) Теперь из предположения A(k) = B(k) и нз равенства (*)
следует, что A(k + 1) = B(k + 1). Тогда согласно принципу
полной индукции доказываемое равенство верно для любого
натурального п.
684*. Докажите методом математической индукции, что для любого
натурального п выполняется неравенство:
а) 1 + 2 + 3 + ... + rt < rt2;
б) 2 + 4 + 6 + ... + 2rt < (rt + I)2;
ч 2 . 4 . 6 . . 2n 1 ,
} 3 5 7 " 2n+ 1 2л ’
r\ 1.3. . 5. . 2л-1 < 2n .
} 2 4 6 2л 2л + 1 ’
д) 4n > In - 5;
e) 2я > 5rt + 1, rt > 5.
685* Докажите, что при всех натуральных п выполняется равен-
ство
12 + 22 + З2 + ... + rt2 = -n-<n+ 1>(2” + .U.
6
686*. Докажите, что при всех натуральных п выполняется равен-
ство
I3 + 23 + З3 + ... +ге3 = n2(n+ 1>а .
4
687* Задача ал-Караджи (Иран, XI в.). Докажите, что при всех
натуральных п выполняется равенство
I3 + 23 + З3 + ... + rt3 - (1 + 2 + 3 + ... + nf.
688*. Задача ал-Каши (XIV—XV вв.). Докажите, что для любого
натурального п верно равенство
I4 + 24 + З4 + ... + = 1 (6rt5 + 15rt4 + Юге3 - rt).
□u
140
689* Задача Фаульхабера (Герма-
ния, 1580—1635). Докажите
что для любого натурального п
верно равенство
1' + 2s + 3s + ... + n5 =
- 1 (2n‘ + би6 + 5n* - л’).
Рис. 56
690*. Докажите, что при всех натуральных п:
а) 5я + 3 делится на 4; б) Т + 5 делится на 6;
в) 4я + 6п — 1 делится на 9; г) 5я + 4п — 1 делится на 8.
691*. Докажите, что:
а) 7я + 9 делится на 8 при всех нечетных натуральных п;
6) 3я + 7 делится на 8 при всех четных натуральных п.
692*. На один из трех штырьков насажены п различных колец так,
что большее кольцо лежит ниже меньшего (на рисунке 56
п = 3). За один ход разрешается перенести одно кольцо с
одного штырька на другой, при этом ие разрешается большее
кольцо класть на меньшее. Докажите, что наименьшее число
ходов, за которое можно перенести все кольца с одного
штырька на другой, равно 2я — 1.
2, Исторические сведения
Слово «прогрессия» латинское (progressio), оно означает «движе-
ние вперед» (как слово «прогресс»).
С начала нашей эры известна следующая задача-легенда: «Индий-
ский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего
подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета,
издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски
1 пшеничное зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д.
Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное»
желание Сеты».
В задаче надо иайти сумму 64 членов геометрической прогрессии
1, 2, 2г, 23, .... 263
с первым членом 1 и знаменателем 2. Эта сумма равна
2м - 1 = 18 446 744 073 709 551 615.
Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая пла-
неты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности
Земли.
Задачи на геометрические и арифметические прогрессии
встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском
трактате «Математика в 9 книгах». Так, в одной из клинописных
табличек вавилонян предлагается найти сумму первых девяти членов
геометрической прогрессии
1, 2, 22.. 2я-'....
141
Вот другая задача, которую решали в Древнем Вавилоне во втором
тысячелетии до новой эры: «10 братьев, 1 мины серебра. Брат над
братом поднимается, иа сколько поднимается, не зиаю. Доля восьмого
6 шекелей. Брат над братом — иа сколько ои выше?»
Здесь требуется по сумме первых десяти членов арифметической
прогрессии 1 мииы (1 мина — 60 шекелей) и известному восьмому
члену определить разность арифметической прогрессии.
В папирусе Ахмеса предлагается задача: «У семи лнц по семи
кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает
по семи колосьев, из колоса может вырасти по семи мер ячменя. Как
велики числа этого ряда и их сумма?»
Отметим также, что Архимед знал, что такое геометрическая
прогрессия, и умел вычислять сумму любого числа ее членов. Правило
нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые
встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. Формула
для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии была
известна П. Ферма (XVII в.).
В старорусском юридическом сборнике «Русская правда» (X—XI вв.)
содержатся выкладки количества зерна, собранного с определенного
участка земли; некоторые из них содержат вычисление суммы гео-
метрической прогрессии со знаменателем 2.
Интересные задачи иа прогрессии есть в «Арифметике» Магниц-
кого. Вот одна из таких задач: «Некто продавал коня и просил за него
1000 рублей. Купец сказал, что за койя запрошена слишком большая
цена. «Хорошо,— ответил продавец,— если ты говоришь, что конь
дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за одни
гвозди в его подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И
будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь
полушку (0,25 копейки), за второй гвоздь заплатишь две полушки, за
третий гвоздь — четыре полушки и так далее за все гвозди: за каждый
в два раза больше, чем за предыдущий». Купец же, думая, что заплатит
намного меньше чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли ку-
пец, и если да, то на сколько?»
3. Задания для повторения
693. Вычислите:
, (35,814 : 7,05 + 2,12) 0,15
' 1,6+187,5:(7б,25* • 3,75 - 3,753)’
(0,733 — 0,73 • 0,27г): 0,023 + 2,4
(18,544:3,05 - 1,83) • 0,16
6941. Упростите выражение:
а) f 4(а^2) + . а^4 _ _2_ .
‘ кд2 ~а -6 4-а2/ а-1 а-31
1 Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выраже-
ния имеют смысл.
142
б) 3 + Зу + 12 . ( 2у-1 _ 0-5 1 .
1 у-2 25-02 '^02-25 2 г/2 + 9^-5^ *
С а______8 А . а2-2а . а + 8 .
V-4 а2 + 2а 4~а а + 2*
г\ ( 1 . а + 3 1 , 4а-а2 . а + 8 ,
V-4a а2-16' 0 + 2 а + 4 *
л \ Г а + 3fe , а- 3fel . а2 + 3fe2 .
7 1(а-5)2 a2-b2' ' (а-Ь)2 ’
е\ ( а + 2Ь _ д - 4fel . Ъ2 + 2аЬ
' (а + Ь)2 а2 - Ъ2' (а + Ь)2
695. Решите уравнение:
а) ----2-----— —-— = —2—
7 (2х-1)(х + 2) 5(х + 2) 2х-1
6х 4 _ 2х = 3
7 (Зх- 1)(х + 1) Зх + 3 Зх-1 '
696. Определите, прн каких значениях х выражение имеет смысл,
упростите выражение:
al f Ji — 1 V ( 1 _ У*+ П -
712 2^ ^+1 ^-1J’
б) * ~х~2____2 + х-ъ-х
7 1 1 1 11’
Х2 -X 2 X2 X2 -х"2
697* Задача Архимеда (287—212 гг. до н. э.). Найдите сумму
квадратов первых п натуральных чисел.
698*. а) Найдите сумму квадратов п первых четных чисел.
6) Найдите сумму квадратов п первых нечетных чисел.
699* Старинная задача (Индия, IV в.). Найдите сумму кубов п
первых натуральных чисел.
700. Найдите целое число — значение выражения:
a) j7~-4j3 + б) 711-4^7 - 7в + 27?;
в) 79 - 475 + 714 - 6 75; г) 7? + 2 - 710-47§-
701. Найдите значение р, при котором корни уравнения 2з? — + р = 0
удовлетворяют условию
2 2
X; +Х[ 65
Х[ х2 8
702, Найдите положительное значение д, при котором кории урав-
нения 2х2 + qx — 18 = 0 удовлетворяют условию
J_____I _ 65
X2 г2 324 ‘
Х[ х2
143
703. Найдите значениер, при котором корни уравнения бх2 + Зх — р = 0
удовлетворяют условию
Х[ -Х*2 + Х2-Х* -
0
704. Задача Бхаскары (Индия, XI! в.). Докажите, что
710 + 724 + 740 + V60 = a/2 + J3 + J5 ,
705. Задачи М. Штифеля (Германия, 1486—1567).
а) Проверьте равенство л/Тб + ^/8 = 7У40эВ + 7^4 .
б) Упростите выражение л/45 + л/1682 ,
706. При каких значениях b неравенство неверно при любом х:
а) Зх2 — Ьх — 1 < 0; б) х2 + Ьх + 4 < 0?
707. При каких значеииях т неравенство не имеет решений:
а) х2 — 4х + т < 0; в) х2 — тх + 4 < 0; б) х2 + 2х + т < 0; г) х2 + тх + 9 < 0?
Покажите штриховкой все точки координатной плоскости,
координаты которых удовлетворяют условию (708—710):
708. а) х > 2; б) у < 3; в) х > 2 и у < 3;
г) х > 2 или у < 3; Ы<2, llyl < 2; з) х2 + у2 < 4; . [х2 + у2<4, к) (х2 + у2 > 1; д) х < — 1 или у > 1; . f |х| >2, ж) < llyl >2; и) х2 + у2 > 1; л) (х - I)2 + (у - 2)2 < 4.
709. а) х < — 3; б) у > — 1; в) х < — 3 и у > -1;
г) х < —3 или у > — 1; д) х > — 3 или у < — 1;
е) llyl < 3; з) х2 + у2 < 9; . (ха + у2<9, к) ( v f|х| > 3, ж) < llyl >3; и) х2 + у2 >4; л) (х+ 1)2 + (у + 2)2 > 4.
[х2 + у2 >4; 710. а) (!/>-2х + ' [у>х-2; Гу < -х2 + 4, б) [у >х + 2.
711*. Укажите все точки координатной плоскости, координаты ко-
торых удовлетворяют неравенству
(|х| - 1)2 + (у- 1)2< 1
или системе неравенств
(|х|-1)2 + (|у|-1)2>1,
|х| + |у| < 1.
144
712*. Докажите неравенство:
а) £ + к + £ >3 если а > О, b > 0, с > 0;
b с а
б) gf 4- Ьэ Г q.+.^V ecj]H а > Q > 0;
в) (а + Ь)* > 8а4 + 864;
г) (а + 2)(Ь + 2)(а + b) > 16аЬ, если а > О, b > 0;
д) ab(a + b) < от + b\ если а > О, b > 0;
е) а2 + Ь2 + с2 < 2(ab + Ьс + ас), если а, b и с — стороны не-
которого треугольника.
713. Укажите наименьший член последовательности {*„}, задан-
ной формулой:
а) хп = п — 6л + 5; 6) хп = п2 — 18л + 1;
в) хп = Зл2 — 16л — 1; г) = 7л2 — 50л.
714. Из «Курса чистой математики» Е. Д, Войтяховского.
Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 к.,
за вторую 2 к., за третью 4 к. и т. д. Всего вони получил 655 р.
35 к. Спрашивается число его ран.
715. Группа туристов вышла нз города А в направлении города В,
удаленного от города А на а км. В первый день группа прошла
40 км, а в каждый следующий день она проходила на 1 км
больше, чем в предыдущий. Через t дней нз города В в том
же направлении вышла вторая группа туристов, которая в
первый день прошла 30 км, а в каждый следующий день
проходила на 2 км больше, чем в предыдущий. Через сколько
дней после своего выхода первая группа догонит вторую, если:
а) а = 100, /= 1; б) а= 114, t = 2;
в) а = 91, t = 1; г) а = 131, t = 2?
716. Вычислите:
a) 1+2 + 3 + 4 + ... + 17+18 + 19;
б) 30 + 31 + 32 + ... + 47 + 48 + 49 + 50.
717. Для любого натурального л вычислите сумму
3 + 8 + 13 + ... + (5л 2).
718. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической
прогрессии, второй член которой равен 0,5, а четырнадцатый
равен —33,5.
719. Найдите сумму пятидесяти пяти первых членов арифме-
тической прогрессии, последний член которой равен 5,8, а
сумма двух последних равна 11,5.
720. Найдите разность арифметической прогрессии, четвертый
член которой равен 1,25, а девятый равен .
721. Сумма членов конечной арифметической прогрессии, состоя-
щей из тридцати членов, равна 3645. Первый член этой
прогрессии равен 20. Найдите второй член прогрессии.
722. Сумма всех членов конечной арифметической прогрессии рав-
на 28, третий член равен 8, а четвертый равен 5. Найдите
число членов прогрессии и ее крайние члены.
145
723. а) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 2 нли 3.
б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, не кратных 7.
724. Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 3, но не
кратных 2.
725. Сумма 40 первых членов арифметической прогрессии равна
340, а сумма 39 первых ее членов равна 325. Найдите раз-
ность прогрессии.
726. Даиы две арифметические прогрессии: др д2, .... дд, ... и blt b2,
..., Ьп, ... . Является ли арифметической прогрессией после-
довательность:
а) а} + bv a2 + b2, .... а„ + 6„, ...;
б) Д] — а2 — Ь2> ..., дя — Ьп, ...;
в) Д] Ь., д2 Ь2, ..., ап 6Д, ...,
г) lad, |а2|.. |дл|, ...;
Д) ...(все 6,*0)?
Р] ь2 ья
727. Докажите, что если числа , —!— , —-— являются по-
Ь + с с + а о + а
следовательными членами арифметической прогрессии, то
числа а2, Ь2, с2 также являются последовательными членами
арифметической прогрессии.
728. Числа д, 6, с и числа - , I, - являются последовательными
а о с
членами арифметических прогрессий. Докажите, что а — b = с.
729. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии
др д2, дд, ..., если известно, что:
а) д2 + Д4 = 16, Д] д5 - 28; б) Д! • дн = 44, д2 + д10 - 24.
730. Найдите сумму всех двузначных чисел, не кратных ни 2, ни 3.
731. Запишите первые 11 членов геометрической прогрессии, если
известно, что ее знаменатель равен 1,5, шестой член равен 2.
732. Определите первый член геометрической прогрессии, если ее
знаменатель равен 4, а восьмой член равен 256.
733. Первый член геометрической прогрессии равен 2058, а чет-
вертый член равен 6. Найдите знаменатель этой прогрессии.
734. Между числами 1 и 14 641 найдите три числа, которые вместе
с заданными числами являются последовательными членами
геометрической прогрессии.
735. 15 и 240 — крайние члены конечной геометрической прогрес-
сии. Знаменатель этой прогрессии равен 0,5. Сколько членов
в этой прогрессии?
736. Найдите сумму членов конечной геометрической прогрессии,
знаменатель которой равен 3, а крайние члены равны 20 и
131 220.
737. Первый член конечной геометрической прогрессии равен 7,
знаменатель равен 4. Найдите последний член прогрессии,
если сумма всех членов равна 9555.
738. Найдите последний член конечной геометрической прогрес-
сии, если известно, что сумма первых двух членов равна 4,
146
разность этих же членов равна 2, число членов прогрессии
равно 8.
739, Знаменатель конечной геометрической прогрессии, состоя-
щей из семи членов, равен 2, сумма всех членов равна 635.
Найдите последний член прогрессии.
740. Первый член конечной геометрической прогрессии, состоя-
щей из шести членов, равен 768, последний член прогрессии
меньше четвертого в 16 раз. Найдите сумму всех членов
прогрессии.
741. Первый член конечной геометрической прогрессии равен ,
последние два члена равны соответственно 750 и 7500. Най-
дите число членов прогрессии.
742. Первый член конечной геометрической прогрессии равен 1,
последний равен 64, сумма всех членов равна 127. Найдите
число членов прогрессии.
743. Двенадцатый член геометрической прогрессии равен 1536,
четвертый член равен 6. Найдите сумму первых одиннадцати
членов этой прогрессии.
744, В геометрической прогрессии седьмой член равен 27, десятый
член равен 729. Найдите сумму первых десяти членов гео-
метрической прогрессии.
745. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, в которой
сумма первых двух членов равна 16, а сумма пятого и шестого
членов равна 1296.
746. Запишите первые восемь членов геометрической прогрессии,
в которой произведение первых двух членов равно , а
О
1
произведение первого члена на пятый равно .
747, Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна
28, сумма следующих трех членов равна 3,5. Найдите восьмой
член прогрессии.
748. Найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, если
известно, что первый член равен 9, а сумма трех первых
членов равна 58,59.
749. Несколько одноклассников организовали турнир по шашкам.
Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии,
а всего было сыграно 28 партий. Сколько было участников
турнира?
750*. Шесть мальчиков и четыре девочки организовали турнир по
шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной
партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью — 1 очко,
за проигрыш — 0 очков. Девочки вместе набрали 40 очков.
Кто выиграл больше очков: мальчики у девочек или девочки
у мальчиков — и на сколько?
751*. В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым по
две партии. За выигрыш в партии присуждали Г очко, за
147
ничью — ± очка, за проигрыш — 0 очков. Три лучших игрока
набрали вместе 24 очка, что составило половину от числа
очков остальных участников, вместе взятых. Сколько было
участников турнира?
752*. Несколько учащихся 9 «А» и 9 «Б» классов организовали
турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каж-
дым по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за
ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Учащиеся 9 «А»
Масса вместе набрали 26 очков, а учащиеся 9 «Б» класса,
которых было на 3 больше, набрали очков поровну. Сколько
было участников турнира?
753. а) В нашем классе 32 человека. 23 человека любят кошек,
18 человек — собак. Причем 10 человек любят и кошек, и
собак. Сколько человек нашего класса не любят ни кошек,
ни собак?
б) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили
23 человека, в кино и музей — 6 человек, а 2 человека не
ходили ни в кино, ни на экскурсию. Сколько человек нашего
класса ходили в кино?
754*. В нашем классе 20 учащихся любят либо физику, либо мате-
матику, либо оба эти предмета. Среди любителей физики 50%
любят математику, а среди любителей математики 25% любят
физику. Сколько учащихся нашего класса любят и физику, и
математику?
755*. а) Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 3, ни иа 5?
б) Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 6, ни на 8?
756*. Среди абитуриентов, выдержавших приемные экзамены в
вуз, оценку «отлично» получили: по математике — 96 аби-
туриентов, по физике — 74, по русскому языку — 84, по
математике или физике — 150, по математике или русскому
изыку —152, по физике или русскому языку — 132, по всем
трем предметам — 8. Сколько абитуриентов получили хотя
бы одну пятерку? Сколько среди них получивших только
одну пятерку?
757* Нарисовали ромбы и прямоугольники. Ромбов — в 2 раза
больше, чем прямоугольников. Число ромбов, не являющихся
прямоугольниками, в 3 раза больше числа прямоугольников,
не являющихся ромбами.
а) Определите наименьшее возможное число фигур.
б) Во сколько раз квадратов было меньше, чем ромбов?
в) Сколько квадратов нарисовали, если всего нарисовали
20 фигур?
758*. Колонна солдат длиной I м движется со скоростью х м/мии.
Из конца колонны в ее начало отправляется сержант со
скоростью у м/мии, затем с той же скоростью он возвраща-
ется в конец колонны. На путь туда и обратно сержант
затратил t мни.
148
а) Выразите t\ Z; л; у через остальные величины.
б) Вычислите t, если I = 510, х = 70, у = 100.
759*. Колонна солдат длиной I движется с постоянной скоростью по
шоссе. Курьер из конца колонны отправился в ее начало.
Достигнув начала колонны, он тут же повернул обратно и
пошел в конец колонны с той же скоростью. За это время
колонна прошла расстояние s. Определите расстояние, ко-
торое прошел курьер в оба конца, если:
а) I = 400 м, s = 300 м; б) I = 300 м, s = 400 м.
760*. Колонна солдат длиной I движется с постоянной скоростью по
шоссе. Курьер из конца колонны отправился в ее начало.
Достигнув начала колонны, он тут же повернул обратно и
пошел в конец колонны с той же скоростью. Известно, что
скорость курьера в п раз больше скорости колонны. Опреде-
лите путь колонны за то время, которое курьер потратил на
путь в оба конца, если:
а) I = 250 м, п = 1,5; б) I = 300 м, п = 2.
§ 8. СИНУС, КОСИНУС,
ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС УГЛА
Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «из-
мерение треугольников». Как известно из геометрии, сииус, косинус,
тангенс и котангенс угла используются при решении треугольников,
поэтому формулы для ннх называются тригонометрическими.
В курсе геометрии они рассматривались для углов, не больших
развернутого. В этой главе обобщено понятие угла и на него
распространены понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
8.1. Понятие угла
Введем на плоскости прямоугольную систему координат хОу с
положительной полуосью абсцисс Ох, направленной вправо, и с по-
ложительной полуосью ординат Оу, направленной вверх, и рас-
смотрим окружность радиуса R с центром в начале координат. Пусть
положительная полуось Ох пересекает окружность в точке А, и пусть
на окружности дана еше точка В. Векторы ОА и ОВ образуют угол
АОВ (рнс. 57, а). ___ ____
Будем считать, что наряду с фиксированными векторами ОА и ОВ
есть еще вектор, начало которого — точка О, а конец — точка, дви-
жущаяся по окружности. Этот вектор назовем подвижным век-
тором.
Используя язык механики, можно сказать, что угол АОВ получен
поворотом подвижного вектора от вектора ОА до вектора ОВ (на
рисунке 57, б стрелка показывает, как двигался подвижный вектор).
Отметим, что угол АОВ образован поворотом, при котором конец
подвижного вектора, двигаясь по окружности, прошел дугу, не боль-
шую полуокружности (рис. 57, б).
Однако можно совершить и такой поворот, при котором конец
подвижного вектора, двигаясь по окружности, пройдет дугу, большую
чем полуокружность (рнс. 58, а).
150
Принято считать, что любой поворот подвижного вектора
образует угол.
При повороте подвижного вектора может образоваться угол, меньший
развернутого (рис. 57, б), и угол, больший развернутого (рис. 58, а).
Пусть подвижный вектор совершил такой поворот, что впервые
его конечное положение (вектор ОВ) совпало с начальным положени-
ем (вектором Такой поворот называют полным оборотом
(рис. 58, б).
Поворот подвижного вектора может складываться из нескольких
полных оборотов и поворота, составляющего часть полного оборота
(рис. 5Й, в).
151
Любой поворот подвижного вектора может быть совершен в двух
противоположных направлениях: по часовой стрелке и против часовой
стрелки (рис. 58, г).
Принято считать углы, образованные поворотом подвижного век-
тора против часовой стрелки, положительными, а углы, образован-
ные поворотом подвижного вектора по часовой стрелке, отрица-
тельными.
Если подвижный вектор ие совершил поворота, то будем считать,
что образован нулевой угол.
Пусть подвижный вектор совершил поворот, равный ~~ части
ooU
полного оборота против часовой стрелки. В этом случае говорят, что
образован угол, градусная мера которого равна одному градусу,
или, короче, угол в один градус (пишут: 1°).
Следовательно, совершив полный оборот против часовой стрелки,
получим угол в 360° (рис. 59, а), а совершив одни полный оборот по
часовой стрелке, получим угол в —360° (рис. 59, б).
Совершив поворот в половину полного оборота против часовой
стрелки, получим угол в 180° (рис. 60, а); совершив поворот в чет-
верть полного поворота по часовой стрелке, получим угол в —90°
(рис. 60, б).
Поскольку
450° = 90° + 360°,
152
то, совершив поворот в четверть полного оборота против часовой
стрелки, а затем еще полный оборот против часовой стрелки, получим
угол в 450° (рис. 61, а).
Поскольку —540° = —180° — 360°, то, совершив поворот в поло-
вину полного оборота по часовой стрелке, а затем еще полный оборот
по часовой стрелке, получим угол в —540° (рис. 61, б).
Напомним, что Г (одна минута) равна ~ части градуса, а 1" (одна
секунда) равна части минуты.
Для любого действительного числа а существует, и притом только
один, угол, градусная мера которого равна а.
Отметим, что величину любого угла а можно записать в виде
а = а() + 360° • А,
где удовлетворяет неравенствам 0° < а0 < 360°, a k — некоторое
целое число.
Поэтому при k # 0 угол с градусной мерой а можно получить как
результат двух поворотов: 1) в положительном направлении на угол с
градусной мерой а0 и 2) на ]А| полных оборотов в положительном
направлении при k > 0 и в отрицательном при k < 0.
Пример 1. Так как 2000° = 200° + 5 • 360°, то угол в 2000° можно
получить как результат двух поворотов: 1) в положительном направ-
лении на 200° и 2) в положительном направлении на 5 полных
оборотов.
Пример 2. Так как —2000° = 160° — 6 • 360°, то угол в —2000°
можно получить как результат двух поворотов: 1) в положительном
направлении иа 160° и 2) в отрицательном направлении на 6 полных
оборотов.
Замечание. Из предыдущего ясно, что только в случае, когда
угол, рассматриваемый в тригонометрии, неотрицателен и не больше
развернутого, его можно отождествить с углом, рассматриваемым в
геометрии.
Поэтому введеииое выше понятие угла является обобщением по-
нятия угла, рассматриваемого в геометрии.
153
761°. Какой поворот называют полным оборотом?
762°. а) Какой угол называют нулевым; положительным; отрица-
тельным?
6) Что такое угол в одни градус? Сколько градусов содержит
полный оборот?
763°. Для любого ли числа а существует угол, градусная мера ко-
торого равна а?
764. На рисунке 62 изображен угол ЛОВ, полученный по во ротом
подвижного вектора от вектора ОА до вектора ОВ. Сколько
полных оборотов содержит угол АО В?
765. Изобразите на координатной плоскости угол АОВ, полученный
поворотом против часовой стрелки подвижного вектора от век-
тора до вектора ОВ на:
а)
1 полного оборота;
б) 0,25 полного оборота;
в)
д)
С
~ полного оборота; г) 1,75 полного оборота;
— 1 полный оборот; е) —2,5 полного оборота.
помощью транспортира изобразите на координатной плос-
кости угол АОВ, полученный поворотом подвижного вектора
от вектора до вектора ОВ на угол, градусная мера которого
равна (766—767):
766. а) 60°; б) 120°; в) 200°; г) 245°;
д) 270°; е) 300°; ж) 380°; з) 420°.
Рис. 62
154
767. a) -45°; б) -30°; в) -120°; г) -160°;
д) -270°; е) -300°; ж) -500°; з) -1000°.
768. Запишите градусную меру угла АОВ, изображенного на рисун-
ке 63.
769. Сколько полных оборотов и в каком направлении содержит
угол, градусная мера которого равна:
а) 700°; б) -320°; в) 2000°; г) 3800°;
д) -600°; е) -800°; ж) -1500°; з) -2400°?
770. Определите по рисунку 64, а наименьшую по абсолютной
величине градусную меру углов АОВ, АОС, AOD.
771. Определите по рисунку 64, б — г наименьшую по абсолютной
величине градусную меру углов АОВ, АОС, AOD, АОЕ.
772. Постройте без помощи транспортира в координатной плос-
кости углы:
а) 90°, 180°, 270°, 360°; б) 45°, 135°, 225°, 315°;
в) 60°, 120°, 240°, 300°; г) 30°, 150°, 210°, 330°;
д) -45°, -90°, -135°, -180°; е) -60°, -120°, -240°, -300°.
773. Укажите несколько положительных и отрицательных углов,
образованных такими поворотами, при каждом нз которых
угол между начальным н конечным положением подвижного
вектора равен 30°, —45°, 60°, —90°.
Рис. 63
155
774. Укажите наименьший по абсолютной величине угол среди
данных углов:
а) 30° + 360° п, где п G Z; б) —120° + 360° • п, где п G Z;
в) 270° + 360° п, где п G Z; г) —270° + 360° • п, где п G Z;
д) 400° + 360° п, где п е Z; е) —700° + 360° • л, где п G Z.
775. Представьте следующие углы в виде а + 360° 1 л, где
0 < а <. 360°, л — некоторое целое число:
а) 400° ; б) -500°; в) 600°; г) -900°.
776. Запишите градусные меры всех углов АОВ, АОС, AOD, АОЕ,
изображенных иа рисунке 64. Например, все углы АОВ равны
90° + 360° - л, где л G Z (рис. 64, а).
8.2. Радианная мера угла
Пусть подвижный вектор совершил такой поворот против часовой
стрелки, что его конец, двигаясь по окружности, прошел расстояние,
равное радиусу/? этой окружности. Тогда говорят, что образован угол,
радианная мера которого равна одному радиану, или, короче, угол
в одни радиан (пишут: 1 рад).
Можно также сказать, что радиан — это величина центрального
угла окружности радиуса /?, опирающегося иа дугу длиной /?. Из гео-
метрии известно, что это определение не зависит от R. Поэтому
обычно выбирают R = 1.
156
Поскольку длина окружности радиуса 1 равна 2л, то, совершив один
полный оборот против часовой стрелки, получим угол в 2л рад. Следо-
вательно, угол в 2л рад и угол в 360° — это один и тот же угол. Но
тогда угол в 1° и угол в рад = рад также один и тот же угол.
Поэтому пишут: 360° — 2л рад,
рад-
—360° = —2л рад,
1 рад = « 57° 17'45*» 57,296°.
-5 рад = -| 180° »—286°,
Слово «радиан» в таких записях обычно опускают, но подразуме-
вают его. Например, пишут: 180° = л, —60° = —|, 1 = ,
1°= 0,017453....
1 о U
Поскольку
-Z2E =_1 л - 2л,
2 2
то, совершив поворот в три четверти полного оборота по часовой
стрелке, затем полный оборот по часовой стрелке, получим угол
в —у (рнс. 65, а).
Поскольку
+ 2 2л,
4 4
то, совершив поворот в восьмую часть полного оборота против часо-
вой стрелки, а затем два полных оборота против часовой стрелки,
получим угол в -Ip- (рис. 65, б).
Рис. 65
157
Для любого действительного числа а существует, и притом только
один, угол, радианная мера которого равна а радиан.
Условимся далее вместо слов «угол, радианная мера которого
равна а радиан», говорить коротко «угол а».
Отметим, что любое действительное число а можно записать в
виде
а = а0 + 2я£,
где число а0 удовлетворяет неравенствам
О < а0 < 2п,
a k — некоторое целое число.
Поэтому при k * 0 угол а можно получить как результат двух
поворотов: 1) в положительном направлении на угол а0 и 2) на |А|
полных поворотов (в положительном направлении при & > О и в
отрицательном направлении при k < 0).
Пример 1. Так как
19л = Зл +-2.2п,
4 4
то угол в можно получить как результат двух поворотов: 1) в по-
ложительном направлении на угол у и 2)в положительном направ-
лении на 2 полных оборота.
Пример 2. Так как
--Ц л = — 3 • 2я,
2 2
то угол в -И- п можно получить как результат двух поворотов; 1) в по-
ложительном направлении иа угол | и2)в отрицательном направ-
лении на 3 полных оборота.
777°. а) Что такое угол в 1 радиан?
б) Сколько радиан содержит полный оборот; половина пол-
ного оборота; четверть полного оборота?
778. Выразите в радианах величину угла, градусная мера которого
равна:
а) 360°; 180°; 90°; 270°; 0°; б) 45°; 135°; 225°; 315°;
в) 60°; 120°; 240°; 300°; г) 30°; 150°; 210°; 330°;
д) -45°; -90°; -135°; -180°; е) -270°; -360°; -1800°.
779. Выразите в градусах величину угла, радианная мера которого
равна:
а ) 2л; я; % ; ; 0;
/ ’’2’2’
о\ п . 2л . 4л . 5л .
В J ~ " 1 , 1 * ' 1 1 _
7 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3
_п . .л . _.3л . _5л •
7 2 ’ 12 * 4 ’ 6 ’
п . Зл . 5л . 7л .
4 ’ 4 ’ 4 ’ 4 ’
л . 5л . 7п . 11п .
6’6’6’ 6 ’
_л . _.3л . _п . __ 7п
4 ’ 5’6’ 6 ’
158
780. Считая, что я ~ 3,14159, определите с недостатком с точно-
стью до 0,01 радианную меру:
а) полного оборота; б) половины полного оборота;
в) четверти полного оборота.
781. Известно, что 1 рад- 57°. Изобразите на глаз угол в Г, 2; 3;
4; 5; 6 радиан. Проверьте свой глазомер, измерив построен-
ные углы с помощью транспортира.
782. Какой угол больше:
а) в 3 радиана или в к радиан;
б) в 6 радиан или в 2я радиан?
783, Сколько полных оборотов и в каком направлении содержит
угол, радианная мера которого равна:
а) 4я; —6л; 12л; —7л;
б) —0,5л; З^л; —13,2л; 21,7л?
О
784. Назовите несколько положительных и отрицательных углов,
образованных такими поворотами, при каждом нз которых
угол между начальным и конечным положениями подвижного
вектора равен:
a)f; б)|; в)-|; r)-f.
785. Запишите в виде а + 2л л, где п — некоторое целое чис-
ло (0 < а < 2л), следующие числа:
а) 6,5л; б) |я; в) -12^л; г) -17^я.
786. По рисунку 64 определите:
а) наименьшую положительную; наименьшую по абсолютной
величине радианную меру углов АОВ, АОС, AOD, АОЕ;
б) радианную меру всех углов АОВ, АОС, AOD, АОЕ.
787, а) Постройте окружность радиуса 5 см с центром в начале
системы координат. Точку ее пересечения с положительной
полуосью Ох обозначьте Ао. Считая О40 начальным положе-
нием подвижного вектора, постройте (с помощью транс-
портира) вектор ОАа, где а — градусная мера угла поворота
подвижного вектора. Выполните задание прн а, равном 0°;
30°; 45°; 60°; 90°.
б) Постройте точки, симметричные точкам Аа относительно
осн Ох; оси Оу; начала системы координат. Определите угол
поворота, прн котором точка Аа переходит в построенную
точку.
8.3. Определение синуса и косинуса угла
Далее рассматривается прямоугольная система координат хОу, у
которой положительная полуось Ох направлена вправо, а положи-
тельная полуось Оу направлена вверх. Напомним, что единичным
вектором координатной осн Ох называется вектор, имеющий длину 1,
начало в точке О и направленный вдоль положительной полуоси Ох.
159
Единичной окружностью в тригонометрии называют окружность
радиуса 1 с центром в начале системы координат хОу прн условии,
что единичный вектор ОА оси Ох принят за начальное положение
подвижного вектора н что направление поворота против часовой
стрелки принято за положительное.
Пусть подвижный вектор, совершив поворот от вектора ОА до век-
тора ОВ, образует угол АОВ, радианная мера которого равна а радиаи.
Точку В единичной окружности назовем точкой, соответствующей
углу а, нли точкой а (рнс. 66); отметим, что точка В соответствует
также любому углу а + 2лА, где k € Z.
Число, равное ординате точки единичной окружности, соответ-
ствующей углу а называют синусом угла а и обозначают sin а, т. е.
sin а = у.
Число, равное абсциссе точки единичной окружности, соответ-
ствующей углу а, называют косинусом угла а и обозначают
cos а, т. е.
cos а = х.
Замечание. Для углов, радианная мера которых заключена
между Они, приведенные определения синуса н косинуса угла сов-
падают с определениями, нзвестнымн нз курса геометрии.
Из сказанного следует, что для любого угла ос
а) существует синус этого угла, н притом единственный;
б) существует косинус этого угла, н притом единственный.
Пример 1. Вычислим: sin 0 и cos 0, sin и cos .
Углу поворота 0 радиан соответствует точка 4(1; 0) (рис. 67),
следовательно, sin 0 = 0, cos 0 = 1. Углу соответствует точка
В (0; — 1) (рис. 67), следовательно, sin — = — 1, cos — = 0.
Пример 2. Вычислим: sin и cos ’
Так как = л + у , то, опустив нз точки В, соответствующей уг-
лу , перпендикуляр ВС на ось Ох (рис. 66), получим, что в прямо-
Рис. 66
Рис. 67
160
угольник ВСО равнобедренный, т. е. ВС — ОС. Так как OB — 1, то, ис-
пользуя теорему Пифагора, получим, что ВС = ОС = &. Так как
точка В(х; у) находится в третьей четверти, то обе ее координаты
отрицательны, следовательно, х = —ОС, у = —ВС, т. е. точка В имеет
координаты Так как точка В соответствует углу , то
sin — = —& и cos — = —.
4 2 4 2
Пример 3. Найдем все углы а, для каждого из которых sin а = 0.
Из определения синуса угла следует (рнс. 68), что sin 0 = 0,
sin л — 0, sin (—л) = 0, sin 2л — 0, sin (—2л) = 0, sin Зл — 0, sin (—Зл) =
- 0, ..., т. е.
sin &л = 0
для любого целого числа k.
Таким образом, sin а — 0 для углов а — kit, где k — любое целое
число. Для любых углов а, отличных от kit, sin 0.
Пример 4. Найдем все углы а, для каждого из которых cos а = 0.
Из определения косинуса угла следует (рнс. 69), что cos j = 0,
161
6 Алгебра 9 класс.
COS (“7^ 3 0, COS ) = 0, COS ) = 0, cos = 0, COS (—y-) =“ 0,
..., t. e.
cos + Ая) * 0
для любого целого числа k.
Таким образом, cos а » 0 для углов а = £ + knt где k — любое це-
лое число. Для любых углов а, отличных от ~ + kit, cos а * 0.
Из геометрии уже известны синусы и косинусы углов: 0 = 0°,
~ 30°, j — 45°, = 90°. Ниже приводится таблица синусов и ко-
синусов этих углов.
а 0 л 6 я 4 Я 3 я 2
sin а 0 х 2 2 2 1
cos а 1 £ 2 £ 2 1 2 0
Для других углов, радианная мера которых заключена между
0 и , их синусы и косинусы можно находить с помощью специальных
тригонометрических таблиц или электронных калькуляторов.
В следующем пункте будут получены формулы для sin а и cos а.
С их помощью вычисление косинусов и синусов любых углов можно
свести к вычислению косинуса нли синуса некоторого угла, радианная
мера которого заключена между 0 и ~ .
788°. а) Что в тригонометрии называют единичной окружностью?
б) Какую точку единичной окружности называют точкой, со-
ответствующей углу а?
в) Что называют синусом угла а; косинусом угла а?
г) Для какого угла а существует sin а; cos а?
д) Для данного угла а единственен или нет sin а; cos а?
789. а) Постройте единичную окружность.
б) Какой вектор принимается за начальное положение под-
вижного вектора?
в) Какое направление поворота примято за положительное?
790. Для каких углов a: a) sin а = 0; б) cos а я 0?
791. Найдите:
a) sin 0°; б) cosO; в) sin 90°; г) COS ~‘t
д) sin 180°; е) cos я; ж) sin 270°; з) cos 270°:
и) sin 2п; к) cos 360°; л) cosO°.
162
792. Используя свойства прямоугольных треугольников, найдите:
a) sin 45°; б) cos в) sin 4:
4 4
г) cos 30°; д) sin 60°; е) cos .
5
Построив угол, вычислите (793—795):
793. a) sin 120°; б) cos ; в) sin 135°; г) cos ;
д) sin е) cos 150°; ж) sin л; з) cos 180°.
794. a) sin 225°; б) cos (-^); в) sin (—я);
г) cos ; д) sin ; е) cos .
795. a) sin ; б) cos (—; в) sin ; г) cos .
796. На миллиметровой бумаге постройте систему координат с еди-
ничным отрезком 10 см. Постройте окружность с центром в
начале координат, проходящую через точку (1; 0). Найдите
приближенно (с точностью до сотых):
a) sin 30°; б) cos 60°; в) sin 150°;
г) cos 150°; д) sin 190°; е) cos 250°;
ж) sin 250°; з) cos 300°; и) sin 300°.
797. а) На единичной окружности постройте точки Аа, соответст-
вующие углам а, равным 0, р J.
б) Постройте точки, симметричные точкам Аа относительно
оси Ох; оси Оу; начала системы координат.
в) Определите радианную меру углов, которым соответст-
вуют построенные точки.
Найдите синусы и косинусы следующих углов (k — любое
целое число) (798—799):
798, а) i + 2яА; б) + 2яА; В) я + 2яА;
г) —я + 2яА; д) 2яй; е) 4яА.
799, а) nk; б) — яА; в) 7Г . 2 ’
г) 2 ’ д) + яА; е) -- + nk. 2
800. Верно ли равенство:
a) sin(“1“ -sinб) cosf-^-cos^?
\ 2/ 2 < 4/ 4
801. а) Отметьте на единичной окружности примерное положение
точек, соответствующих углам, радианная мера которых равна 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Определите с точностью до 0,1 значения синусов и коси-
нусов этих углов.
в)* Если отмечать на единичной окружности точки, соответст-
6а Алгебра 9 класс.
163
вующие углам, радианная мера которых равна 1, 2, 3, 4,
могут ли какие-нибудь из этих точек совпасть?
802. Определите знак числа:
803.
804.
805.
806.
807.
a) sin 4; 6) cos-^ ; в) sin[—£); г) cos (—4).
Выполняется ли равенство cos a=*sin а при каком-нибудь а?
Проиллюстрируйте свое решение на рисунке.
Отметьте на единичной окружности точки, соответствующие
углам ос, для которых:
a) cos а > 0; б) cos а < 0; в) sin а < 0; г) sin а > 0.
Что больше (805—806):
a) sin 40° или sin
в) sin 120° или sin 130°;
д) sin 300° или sin 130°;
ж) sin (—400л) или cos 120°; з) cos — или sin
a) sin 3 или sin л; б) cos 4 или cos 5;
в) sin 1 или cos ( — 1); г) sin (—2) или cos 2?
Определите знак произведения:
a) cos 130° sin 170°; б) sin ~ • cos %- ;
4 J
б) cos ~ или cos 60°;
г) cos или cos л;
4
е) cos или cos £ ;
в) sin(~-^Ц • cosf--^]; г) cos-7-л sinf--^L
Упростите числовое выражение (808—809):
808. а) 3 cos 0+2 sin -4 cos ~ -7 sin (-л);
б) cos ~ —3 sin(-“)+4 cos (—2л)-2 sin (— Зл),
809. a) sin £ + cos(~^4-2 sinf--)+2 cos ;
4 k 4 ) \ О ) 6
6) 3 cos £-2 sin-^+7 cosf-~Vsinf-^l
3 3 13/ \4J
810*. Докажите что если точка ^„единичной окружности соответст-
вует некоторому рациональному числу, то она не соответст-
вует никакому другому рациональному числу.
8.4. Основные формулы для sin а н cos а
Теорема 1. Для любого угла а справедливо равенство
sin2 а + cos2 аи 1. (1)
Это равенство называют основным тригонометрическим тож-
деством.
164
Доказательство. Как известно, окружность радиуса 1 с цент-
ром в начале координат имеет уравнение
x2 + f/2= 1. (2)
Как следует из определения синуса и косинуса угла а, точка В (х; у),
принадлежащая этой окружности и соответствующая углу а, имеет
координаты
x=cosa, p = sina, (3)
которые удовлетворяют уравнению (2). Подставляя их значения в урав-
нение (2), получим равенство (1).
Теорема 1 доказана.
з
Пример. Вычислим sin а, если cosa= — $ и а принадлежит ин-
тервалу (л; .
Из основного тригонометрического тождества следует, что sin2 a=
= 1 — cos2 a = 1 — . Для любого угла a нз указанного ин-
тервала sina<0, следовательно, sina= —= — |.
Следствие. Для любого угла а справедливы неравенства
|sina|<l, |cosa|<l. (4)
Действительно, так как cos2 a > 0 для любого угла а, то
sin2 а < sin2 а + cos2 а,
откуда, применяя основное тригонометрическое тождество, получим,
что sin2 а < 1 или | sin а | < 1.
Аналогично доказывается справедливость неравенства |cosa|< 1.
Заметим, что неравенства (4) можно записать так:
— 1 < sin a< 1,
— 1 Ceos a< 1.
Теорема 2. Для любого угла а справедливы равенства
cos (—a)=cos a,
sin (—a)=—sin a.
Доказательство. Точка В,
соответствующая углу а, и точка Blt
соответствующая углу (—а), сим-
метричны (рис. 70) относительно оси
Ох. Поэтому абсциссы этих точек рав-
ны, а ординаты равны по абсолютной
величине, но противоположны по зна-
ку, т. е. ординаты — противоположные
числа. Следовательно, справедливы
равенства (5).
Теорема 2 доказана.
(5)
6»*
165
Примеры.
sin(-£) = “ sin4 = - , cos (-30°) = cos 30° = 4->
\ 6/ 6 2 2
sin (-45°) = -sin 45° = cosf—£) = cos 4 = -^L
2 V 4 / 4 2
Теорема 3. Для любого угла а и любого целого числа k
справедливы равенства
sin (a + 2fen)=sin а,
cos (a + 2fen)=cos а.
Доказательство. Углам а и a+2fen соответствует одна и та
же точка В (рис. 71) единичной окружности. Поэтому справедливы
равенства (6).
Теорема 3 доказана.
Примеры.
sin (-2- + 2л) = sin у = 1, cos (у - Юл) = cos j =0,
cos 300° «* cos(360° — 60°) = cos(—60°) = cos 60° =
sin 660° = sin (720° - 60°) = sin (-60°) = -sin 60° = - &.
Равенства (1), (5) и (6) называют основными формулами для
sin а н cos a.
В дальнейшем нам понадобятся еще следующие формулы:
sin (п + a) = — sin а,
cos (п + а) = -cos а. * 7
Покажем, что эти равенства справедливы для любого угла а.
Действительно, точка В, соответствующая углу а, и точка соответ-
ствующая углу (а+тг), симметричны относительно начала координат.
Поэтому абсциссы и ординаты этих точек — противоположные числа.
Следовательно, справедливы равенства (7) (рис. 72).
166
Примеры.
sin — - sin(л + 4)“-sin £
4 \ 4/ 4 2
cos 225° - cos (180° + 45°) == -cos 45° “ - &,
sin 240° - sin (180° + 60°) - -sin 60° “ -
cos-^ - eosin + ^J“~cos^ “-1.
811. Запишите основное тригонометрическое тождество.
812. Каким числом ограничен: a) |sina|; б) | cos а | для любого
угла а?
813. а) Каковы основные формулы для sin а и cos a?
б) Какие знаки имеют синус и косинус угла а, если точка
единичной окружности, соответствующая углу а, расположе-
на в 1 четверти; во II четверти; в III четверти; в IV четверти?
814. Существует ли такой угол а, для которого:
а) sin a = ~ 1, cos a= 4 I 6) sin a = ^, cos a = —
& 2 z
в) sin cos a“ 4 ; r) sin a = — , cos a = — ~ ?
О О )3 13
815. Возможно ли равенство:
а) sin a“ —л/3; б) cos a“73 —1; B)sina“|-;
г) sin а“-; д)соза“-^; e)cosa“—J?
3 3 3
818. Вычислите sin а, если:
a) cos а = ,0< а< 7 ; б) cos а = -|,л<а<-^.
' 4 2 3 2
817. Вычислите cos а, если:
a) sin а = 0,8, < а < л ; б) sin а — —0,6, < а < 2л.
Упростите выражение (818—821):
818. а) l-sin* 2 3a; б) 1— cos2 а;
в) sin2a-1; r)cos2a —1.
819. а) (1+sina) (1-sina); б) (cosa-1) (1+cosa);
в) cos2a — sin2a+l; г) 1+ sin2a~ cos2a.
820. a) _sin^a_. gx cos2 a . B\ j^sinja r\ cos2a-l
1 + cos a sin a- 1 cos2 a sin2 a
где угол a такой, что знаменатель дроби не обращается в
нуль.
821. а) 1 — sin2 a — cos2a; б) sin4 a — cos4a;
в) sin4 a — cos4 a — sin2 a + cos2 a;
! r) (sin a + cos a)2 + (sin a — cos a)2.
822°. Может ли синус или косинус угла принимать значения, по
абсолютной величине большие единицы?
6-
167
823. Если 0< а и sina = l+fe, то какие значения может при-
нимать £>? Определите cos а.
824. Может ли косинус угла быть равным:
л
а)-|у; б) в) -Х_; г) —|-?
З7 - 1 sin £ COS £
6 6
825. Вычислите:
а) 6 cos - 2 sin f--) — 5 sin f—+ cos f-^Д-);
k 6' k k 6 ' k & /
6) 3 sin (——-) — 4 cos JX.) + 6 sin (7л) + cos ( — 11л).
826. Определите знак произведения:
a) sin 157° sin 275° sin (—401°) sin 910° sin 328°;
6) cos 73° cos 140° cos 236° cos 301° cos ( — 384°) cos 1000°.
827. Найдите все углы a из интервала (0; 2л), для каждого из
которых справедливо равенство:
а) | sin а | = sin а; б) | cos а | = —cos а.
828. Расположите в порядке возрастания числа:
а) sin ( — 55°), sin 600°, sin 1295°;
б) cos 653°, cos ( — 68°), cos 295°.
Сравните (829—831):
829. a) sin 91° и sin 92°;
в) sin 354° и sin 959°;
830. a) cos 101° и cos 157°;
в) cos 1000° и cos 2000°;
831. а) cos 1,6л и cos 1,68л;
в) cos 5,1 л и cos 5л;
832. Докажите справедливость
а) sin (л — a) = sin а;
в) sin (Зл — а) = sin а;
833. Упростите выражение:
а) sin (—a + л);
в) sin (a + 7л);
834. Вычислите:
б) sin 195° и sin 200°;
г) sin 734° и sin(-1066°).
б) cos 190° и cos 200°;
г) cos 860° и cos 510°.
б) sin 4,5 и 0;
г) sin 1 и cos 1.
равенства:
б) cos (л—a)=—cos a;
г) cos (5л—a)= cos a.
6) cos (л — a);
r) cos (a — 9л).
a) sin (J + Зл) ; 6) cos (X-8л); в) sin(9-|n).
835. Упростите выражение:
я) s‘n(n + a)cos(TC-a) . cos (я-a) cos (тс + a).
' sin(a-TC)cos(a + тс) ’ sin (a-тс) sin (тс + a) ’
в) sin (a — л) sin (a + л) — cos (л + a) cos (a — л);
r) sin (2л + a) sin (3л - a) — cos (3л + a) cos (a — 2л),
где в заданиях «а» и «б» угол а такой, что знаменатель дроби
ие обращается в нуль.
836. Для любого ли угла а справедливо равенство:
а) cos a = cos |a|; 6) sin a = sin |a| ?
168
8.5. Тангенс и котангенс угла
Число, равное отношению sin а к cos а, называют тангенсом
угла а и обозначают tg а,т. е.
tga = ^-2-. (1)
s cos а ' 7
Тангенс угла а определен для всех углов а, за исключением тех,
для которых cos а равен нулю. Поэтому в определении tga должны
быть исключены все углы
a = (2)
где k — любое целое число.
Из определения следует, что для любого угла а, ие совпадающего
ни с одним из углов (2), тангенс этого угла существует, и притом
единственный.
Число, равное отношению cos а к sin а, называют котангенсом
угла а и обозначают ctg а, т. е.
ctga=«sa_. (3)
Котангенс угла а определен для всех углов а, за исключением тех,
для которых sin а равен нулю. Поэтому в определении ctg а должны
быть исключены все углы
a = kn, (4)
где k — любое целое число.
Из определения следует, что для любого угла а, ие совпадающего
ни с одним нз углов (4), котангенс этого угла существует, и притом
единственный.
Из равенств (1) и (3) следует справедливость равенства
tga ctg a = 1 (5)
для всех углов а, для которых существует одновременно и tga и ctg а.
Левая часть равенства (5) существует для всех углов, за исклю-
чением тех, для которых нли sin a = 0, или cos a = 0, поэтому форму-
ла (5) справедлива для всех углов, кроме углов
a=| k,
где k — любое целое число.
Из определения тангенса и котангенса угла следует, например, что
tg45° = -^^S= 1, tg60° = =
ь cos 45° ь cos 60°
169
Тангенс угла не существует, потому что cos ~ = 0, но существует
котангенс угла £.
А»----1-» «О
2 sinj »
Для угла в 0 радиан, наоборот, не существует котангенс, потому что
sin 0 = 0, но существует тангенс:
tgO=^ = T = O.
& cos О 1
Основными формулами для tga являются следующие:
tg(-a) = —tga, (6)
tg (a + ля) = tg a, (7)
где n — любое целое число.
Конечно, эти равенства верны только для таких углов а, для
которых одновременно имеют смысл правые н левые части.
Для любого угла а, для которого существует tga, т. е. для угла,
отличного от угла a = ~ + Ал, где k — любое целое число, имеет
смысл и tg(—а), н tgfa+лл), Покажем справедливость равенств (6)
и (7) для любого такого угла а. Используя формулы для cos а и sin а,
имеем
tg(-a) - ^»!!!« - -tga.
ь' cos (-a) cos а ь
Если я — четное число, т. е. п = 21, где I — целое число, то
tg(a + ял) = tg(a + 2/л) = » tga.
ь ' cos (а+ 2/л) cos а ь
Если п — нечетное число, т. е. п = 21 + 1, где / — целое число, то
tg(a + ял) = tg(a + л + 2/л) = sin <а + л + 2fTt) =
ь' 7 ь v 7 cos (а + я + 21я)
я sin (а 4- л) я -sin а — {да
cos (а + я) -cos а **
Таким образом, равенство (7) доказано для любого целого числа л.
Примеры.
‘8(4) --tgj—1, tg(-|)--tg|— J3,
‘g > “tg (->+") -‘g (-f) —tg | •
tg -tg (зл +1) -tg I - 7з.
170
Основными формулами для ctg а являются следующие:
ctg (-а) = -ctg а, (8)
ctg (а + лп) = ctg а, (9)
где п. — любое целое число.
Конечно, эти равенства верны только для таких углов а, для
которых одновременно имеют смысл правые и левые их части.
Для любого угла а, для которого существует ctg а, т. е. для углов,
отличных от угла а = Ал, где А — любое целое число, имеет смысл и
ctg (—а), и ctg(a+nn). Доказательство справедливости равенств (8)
и (9) для любого такого угла а аналогично доказательству равенств
(6) И (7).
Примеры.
ctg (-7) :—ctg 7 = -1’ ctS (-f) = -ctg -V3>
Ctg = ctg(rt + £) = ctg^ = 1,
ctg = ctg (- j + л) = ctg =-ctg — 1.
837°. Что называют таигеисом угла а; котангенсом угла a?
838°. Для какого угла а не существует tga; ctga?
839°. Для каких углов а справедливо равенство
tg a • ctg a = 1 ?
840°.
841.
842.
843.
844.
845.
а) Если для угла а существует tga, то единственный ли он?
б) Если для угла а существует ctg а, то единственный ли он?
Каковы основные формулы
углов а они справедливы?
Найдите (842—843):
а) tgO°; б) tgn;
д) tg 30°; е) tg
для tga; для ctg а? Для каких
в) tg Зл; г) tg 1440°;
ж) tg з) tg90°.
О
а) ctg б) ctg 270°; в) ctg ~Ь; г) ctg 90°;
Д) ctg 7 ; е) ctg 45°; ж) ctg з) ctg 0.
Какие знаки имеют тангенс и котангенс угла а, если точка
единичной окружности, соответствующая углу а, расположена
в I четверти; во II четверти; в III четверти; в IV четверти?
Определите знак выражения:
а) tg 71° tg 139° tg 235° tg 304° tg (-393°) tg 1000°;
6) ctg 282° ctg (-401 °) ctg (-910°) ctg 140° ctg 240°;
в) cos 1 sin 3 tg 4 ctg 5 tg 2 tg 6;
r) tg 1,5 ctg 4,5 tg (-3,1) ctg (-3,1);
sin6 + cos(—4) ,
tg(—2) • ctg(—4) ’
sin(— 8) + cos 9
cos 11 • tg(-9)
171
846. Для всех а, при каждом из которых правая и левая части
равенства имеют смысл, докажите справедливость равенства:
а) 1 + tg2a = —у- ; б) 1 + ctg2 a = —.
cos2 a sin a
847. Вычислите:
a) sin a, tga и ctg a, если 0 < a < £ и cos a =
6) cos a, tg a и ctg a, если < a < л и sin a = у;
в) sin a, tga и ctga, если л < a < “ и cos a = —0,6;
r) cos a, tg a и ctg a, если “ < a < 2л и sin a = —0,8;
д) sin a, cos a и ctg a, если 0<a< у и tg a = 2,4;
e) cos a, sin a и tga, если j < a < л и ctga = —1;
ж) sin a, если tg a = — ~ и — £ < a < 0;
' & 12 2 ’
з) cos a, если ctg a = 1 и л < a < -у-.
Упростите выражение (848—850):
8481. а) 1 - cos2 a , 1 - sin2 a 6) 3 i sin a - 1 . , 2 ’ 1 - cos a
в) 2 sin a cos a . 1 - sin2 a 0 sin2 a + cos2 a + ctg2 a;
д) cos a e) sin a
ж) sin a sin P . cos a cos p ’ 3) cos a sin p sin a cos p
849. а) sin p ctg 0; 6) tga : ctg a;
в) sin p : tg 0; r) cos atg a;
д) cos2a(l + tg2a); e) 1 - sin2a + ctg2asin2a;
ж) tga + tgp . Ctg a + ctg p ’ 3) 2 2 cos a-ctg a 2 2 * sin a-tg a
850. а) ^V + tgactga; 6) tga
tgactg a + tg2 a
в) sin2 p + tg2 p - —L- ; cos p Г) —— — ctg2 a — cos2 a; sin a
Д) sin a + sin a . 1 - cos a 1 + cos a ’ e) cos P + cos P 1 - sin p 1 + sin p
' В заданиях 848— 854 углы аир таковы, что данные числовые выражения имеют
смысл.
172
851. Докажите справедливость равенства:
a) cos а = 1 ~-'п а при а * 4 + iik, где k — некоторое
1 + sin а cos а 2
целое число;
б) cos Pf* “ I + sin р при р * Ttk, где k — некоторое це-
лое число.
Упростите выражение (852—854):
852. я) tg(°t + T[)-tg(P + 2Tt) • б) ctg (п - а) + tg(-a)
f ctg (-Р)-ctg (-а) ’ 7 ctg (а + 3n)-tg (а + 2п)"
853. a)
б)
sin (2 л а) sin (ex— тс) cos (а-2п) .
cos (2л-a)ctg(л-a) tg (Зя-а) ’
sin (л + a)sin (а-л)cos (2rt-q)tg(3n -а)
cos (л - a)cos (а - 5л)cos (2л + cx)tg (- а - л) '
854. а)
। 4 .4
1 - cos а - sin а .
sin а-2 sin а + 1
3 3
6) cos а - sin а
1 + sin a cos а
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
1. Косинус разности и косинус суммы двух углов
Теорема 1. Для любых углов а и р справедливо равенство
cos (a — Р) — cos a cos p + sin a sin p. (1)
Это равенство называют формулой косинуса разности двух
углов.
Эту теорему можно сформулировать так: косинус разности двух
углов равен произведению косинуса первого угла на косинус второго
угла плюс произведение синуса первого угла на синус второго угла.
Доказательство. Пусть даны два угла а н р. Пусть точка В
на единичной окружности соответствует углу а, а точка С — углу р
(рнс. 73). Тогда, используя определение синуса и косинуса угла, по-
лучаем, что точка В имеет координаты х = cos а, у = sin а, а точка
173
С — координаты х = cos р, у = sin р. Вектор а =СВ имеет координа-
ты (cosa; sin а), а вектор b =ОС имеет координаты (cosp; sin 0).
Вычислим скалярное произведение этих векторов:
а • b e cos a cos р + sin а sin р. (2)
Но, как известно из геометрии, скалярное произведение двух
векторов равно произведению их абсолютных величии на косинус угла
между ними. Обозначим через у угол между векторами а и b .
Учитывая, что |а| = I, получаем
а • b -= cosy. (3)
Отметим, что в геометрии под углом между векторами понимают
неотрицательный угол из промежутка от 0 до я. Поэтому
0<у < п.
Запишем углы а и р в виде
а = а0+ 2fez,
р = р0+ 2/я,
где 0 < а0 < 2я, 0 < р0 < 2п, a k и I — некоторые целые числа.
Тогда можно считать, что точка В соответствует углу а0, а точка С —
У^у р0.
Рис. 74
174
Легко видеть, что либо у = Oq — р0, либо у = р0— а0, либо у = 2п —
— («о — рД либо у = 2п — (р0 — а0) (рис. 74), но в любом из этих
случаев cos у = cos (а0 — рД Так как
cos (а - р) = cos (а0 - р0 + 2 (k - I) п) - cos (а0 - рД
то получим, что
cos (а — р) “ cosy. (4)
Теперь из равенств (4), (3) и (2) следует, что
cos (а “ р) = cos а cos р + sin а sin р.
Теорема 1 доказана.
Пример.
cos = cos = cos cos -J- + sin ~ sin -J =
= _L 7g + 73 7? = 72(1 + 73)
2 2 2’2 4
Теорема 2. Для любых углов аир справедливо равенство
cos (а + р) = cos а cos р — sin а sin р.
Это равенство называют формулой косинуса суммы двух
углов.
Эту теорему можно сформулировать так: косинус суммы двух углов
равен произведению косинуса первого угла иа косинус второго угла
минус произведение синуса первого угла иа сииус второго угла.
Доказательство. Используя формулу косинуса разности двух
углов и формулы для sin а и cos а, имеем
cos (а + р)ж cos (а ~ (—р)) =
= cos а cos (—р) + sin а sin (-р) =
= cos а cos р — sin а sin р.
Теорема 2 доказана.
Пример.
cos ” = cos f ~ + т! = c°s cos £ - sin £ sin 4 =
12 ^6 4/ 6 4 6 4
=,73 72 _1 72 _ 72(73-1)
2'2 2’2 4
855. Запишите формулу:
а) косинуса разности двух углов;
б) косинуса суммы двух углов.
Вычислите, не пользуясь таблицей илн калькулятором (856—
858):
856. a) cos 15°; * б) cos 75°; в) cos 105°.
857. a) cos cos + sin sin ;
б) sin 10° sin 70° + cos 70° cos 10°.
175
858. a) cos ~ cos •—- - sin ~ sin -y-;
6) sin -v- sin - cos --5- cos ~ .
4 4 4 4
859. Упростите выражение:
a) cosfa + t) — cosfa- 4j; 6) cos(£-aj — cos(£ + aj.
x О < x 0< x q / x q /
860. Вычислите cos (a + 0) и cos (a — 0), если sin a - A , cos 0 - A
5 5
и 0< a<|,0< 0<|.
861. Докажите справедливость равенства:
a) cos f-^ -aj *• sin a; 6) cos (j + aj - — sin a;
в) cos f-^ -aj = — sin a; r) cos + aj = sin a.
862. Вычислите cos (a — 0), если тг < a < , -у- < 0 < 2тс и
sin а = — Д , cos 0 =— ,
863. Вычислите cos (а 4- 0), если у < а < л, < 0 < я и cos а “—0,8,
sin 0 = 0,2.
864. Вычислите:
a) cos 2° cos 28°- sin 28° sin 2° .
1 cos 47° cos 2° + sin 47° sin 2° ’
865.
2" 3л „„„ 2л „„„ Зл
sin -z- sin —— cos —- cos —
g) 5___________5_______5_____5
sin sin - cos A cos -^E
8 8 8 8
Упростите выражение:
a) cos (a + p) + cos (a-p) . 6'
' cos (a - p) - cos (a + p) ’
sin a sin p - cos (a - p)
cos (a + p) - cos a cos p ’
где углы a и 0 такие, что знаменатели ие обращаются в нуль.
Вычислите (866—867):
866. а) cos ; 6) cos -А.;
4 12
в) cos ~ ; г) cos .
867. а) cos 75° + cos 15°; б) cos - cos
Упростите выражение (868—869):
868. а) cos f4 + aj cos f4-aj - sin f4-ajsin f4 + a
6)
cos a.
176
869. a) cos2 (60° + p) + cos2 (60° — p) + cos2 p;
6) cos2 (cc---r) + cos2(oc+ +sin2oc.
870. а) Косинус острого угла равен 0,2. Найдите косинус смежного
угла.
б) Синус острого угла равен . Найдите синус смежного
О
угла.
871. а) Найдите cos occos р, если
cos (а + р) = 0,2, cos (а - р) = 0,5.
б) Найдите sinocsinp, если
cos (ос + Р)= -1 cos (а - Р) = |.
*5 О
872. а) Найдите cos (а + р), если cos а = , sin р = , 0 < а < £ ,
Z £ л
л < р < Найдите наименьшее по абсолютной величине
значение (ос + р).
То
б) Найдите cos(oc — р), если sina=-J^-, cos р = — 1,
^ < а < 2л. Найдите наименьшее по абсолютной величине
значение (а — р).
2. Формулы для дополнительных углов
Два угла ос н р, составляющие в сумме у , называют дополни-
тельными углами.
Теорема 1. Для любого угла а справедливы равенства
cos sin а, (1)
sin = cos а. (2)
Доказательство. Используя формулу косинуса разности двух
углов, имеем
cos - ос) = cos cos а + sin sin а =
= 0 • cos а + 1 • sin а = sin ос,
н формула (1) тем самым доказана.
Теперь докажем формулу (2), используя уже доказанную формулу
(1). Обозначим р — £ - а, тогда по формуле (1)
sin р = cos (f-Р)- (3)
177
Теперь, подставляя в формулу (3) у - а вместо р, получим, что
sin f £ - а] -
\2 )
cos а
Теорема 1 доказана.
Пример.
sin ||-sin (* + £)-cos i
873. Докажите формулу:
a) cos (у 4- a) ——sin а; б) sin 4- а) — cos а
Упростите выражение (874—875):
874. a) cos в) cos (к 12 ( я 12 -1): -0 б) cos г) cos| Гд я у ' 4 Р f)
д) cos| [а- е) cos I (— 12 “ а).
875. a) sin (я - -а); б) sin | [а- >)=
в) sin I г) sin ( ' я _ ,2 я у 6/
д) sin ( гя я: у 2)' е) sin ( ?)•
876. Приведите числовое выражение к виду синуса или косинуса
положительного угла, не превышающего 45°:
a) sin 80° - sin (90° - 10°) - б) sin 70°; в) cos 82°.
877. Приведите числовое выражение к виду синуса нлн косинуса
положительного угла, не превышающего 4 :
4
a) sin £ ; б) cos в) sin г) cos -Цг-
О о / □
3. Синус суммы и синус разности двух углов
Теорема 1. Для любых углов аир справедливо равенство
sin (а 4- р) — sin а cos р 4- cos а sin р. (1)
Это равенство называют формулой синуса суммы двух углов.
Эту теорему можно сформулировать так: синус суммы двух углов
равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс
произведение косинуса первого угла иа синус второго.
178
Доказательство. Используя формулы для дополнительных
углов и формулу косинуса разности двух углов, имеем
sin (а + р) = cos (^-а - р) = cos а) - р) =
— cos - а) cos р + sin - а) sin р =
= sin а cos р + cos а sin р.
Теорема I доказана.
Пример 1. Вычислим sin 75° без таблиц и калькулятора:
sin 75° - sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° =
= Л 7з + & 1 = J2 (73+ i)
2'222 4
Теорема 2. Для любых углов аир справедливо равенство
sin (а — Р) = sin а cos р — cos а sin р. (2)
Это равенство называют формулой синуса разности двух
углов.
Эту теорему можно сформулировать так: синус разности двух углов
равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус
произведение косинуса первого угла на сннус второго.
Доказательство. Используя формулу синуса суммы двух
углов и формулы для sin а и cos а, имеем
sin (а — р) = sin (а + (~р)) = sin а cos ( —Р) + cos а sin (—Р)=
= sin а cos р — cos а sin р.
Теорема 2 доказана.
Пример 2. Вычислим sin 15° без таблиц и калькулятора:
sin 15° = sin (45° — 30°) = sin 45° cos 30° — cos 45° sin 30° =
_ 72 73 J2 1 _ 72(73-1)
2’2 2 2 4
878. Запишите формулу:
а) синуса суммы двух углов;
б) синуса разности двух углов;
в) косинуса суммы двух углов;
г) косинуса разности двух углов.
Докажите справедливость равенства (879—880):
879. а) sin (Л + а) = cos а; б) sin (я — а) = sin а;
в) sin - а) = —cos а; г) sin ( ' Зп + oj = —cos а.
880. а) sin (45° + а) = cos (45° ” а);
*6) cos(45° + а) - sin (45° ” а).
179
Вычислите (881—882):
881. a) sin 20° cos 10° + cos 20° sin 10°;
6) sin cos -y- + cos sin -y ;
a) cos 80° sin 10° + sin 80° cos 10°;
r) cos -y sin i + cos sin у -
882. a) sin 75°; 6) sin 105°; в) sin 165°; r) sin 195°.
Упростите выражение (883—884):
883. a) sin fa4-cosfa 4-—V
6) 2 cos fa- -Jl-2 sinf4 + a)-
884*. a) & sin a- -j- cos a; 6) (cos a-sin a);
в) у (sin a + cos a); r) ysina+^cosa.
885. Вычислите:
a) sin (a 4-p), если 0 < a <-у 0<p<^ и sina = y,
cos p = I-;
О
6) sin (a—P), если -|<a<n, я<Р<у и cos a = —0,2,
cos p = 0,1.
886. Докажите справедливость равенства:
a) sin (a — р) + sin (a 4- p) = 2 sin a cos p;
6) sin (a - p) sin (a + p) = sin2 a — sin2 p.
4. Сумма и разность синусов н косинусов
Теорема 1. Для любых углов аир справедливо равенство
sin а + sin Р = 2 sin а+ Р cos .
к 2 2
Это равенство называют формулой суммы синусов.
Эту теорему иначе можно сформулировать так: сумма синусов
любых двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы
этих углов на косинус их полуразности.
Теорема 2. Для любых углов аир справедливо равенство
sin а — sin р = 2 sin ур- cos а + Р .
Это равенство называют формулой разности синусов.
Эту теорему еще можно сформулировать так: разность синусов
любых двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразнос-
ти этих углов на косинус их полусуммы.
180
Теорема 3, Для любых углов а и 0 справедливо равенство
cos а + cos В = 2 cos ®-±_& cos .
н 2 2
Это равенство называют формулой суммы косинусов.
Эту теорему можно сформулировать и так: сумма косинусов любых
двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих
углов на косинус их полуразности.
Теорема 4. Для любых углов а и р справедливо равенство
cos а — cos В = —2 sin “ t.P sin .
2 2
Это равенство называют формулой разности косинусов.
Эту теорему иначе можно сформулировать так: разность косинусов
любых двух углов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произ-
ведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразиости.
Здесь под разностью углов понимается такая разность, когда из
угла, стоящего на месте уменьшаемого, вычитается угол, стоящий на
месте вычитаемого.
Доказательство теорем 1,2,3, 4. Положим:
х= “+£ , у =
2 ’ у 2 ’
тогда
а = х + у, Р = х — у.
Используя формулы косинуса суммы, косинуса разности, синуса
суммы и синуса разности, получим
sin а + sin Р = sin (я + у) + sin (х — у) =
— (sin X cos у + cosx sin у) + (sin х cos у — cos х sin у) =
= 2 sin х cos у = 2 sin “t Р cos ,
» 2 2
sin а — sin P = sin (x + y) — sin (x — y) =
= 2 cos x sin у = 2 cos “t P sin ^4-^ ,
cos а + cos p = cos (x + y) + cos (x — y) =
= 2 cos x cos у = 2 cos at cos ,
" 2 2
cos a — cos p = cos (x + y) — cos (x — y) =
= -2 sinx sin у = — 2 sin at sin .
2 2
Теоремы 1, 2, 3 и 4 доказаны.
Пример. Вычислим:
а) sin + sin ~ =2 sin cos j =2’
б) cos- cos = — 2 sin J sin =-2- |
IX IX 40 X *
181
887. Запишите формулу:
888. а) суммы синусов; в) суммы косинусов; Представьте в виде произвед а) sin 20° + sin 10°; в) cos 70° + соз 20°; б) разности синусов;
г) ения б) г) разности косинусов (888—891): sin 60° — sin 30°; cos 80° — cos 30°.
889. а) JC JC COS 7 - COS 7; 5 4 б) sin 77 4- sin 7 ; 14 0
в) sin 7 - sin 7 ; a 4 Г) cos-IL + cosf.
890. а) sin a + sin 3a; б) cos 3a — cos a;
в) sin 3a — sin 5a; Г) cos 7a + cos a;
д) sin a + cos a; е) cos a — sin a.
891. а) cos 40° + cos 30° + cos 2C |° + cos 10°;
б) sin 5° + sin 10° + sin 15° + sin 20°.
892. Докажите справедливость равенства:
a) sin 50° + sin 10° — cos20° = 0;б) cos48° + sin 18° — cos 12° = 0.
893. Вычислите:
a) cos “ + cos; 6) cos cos
в) sin “ + sin; r) sin^L-sin-^.
Докажите справедливость равенства (894—895):
894. a) cos — + cos 4? ~ 0; 6) sin - sin = 0;
12 12 5 5
в) cos ~ + cos 77 = 0; r) sin 7- - sin 77 =0.
7 14 14 ’ 7 10 10
895. a) sin a cos P " -j- (sin (a — p) + sin (a + P));
6) cos a cos p = j (cos (a — p) + cos (a + p));
в) sin a sin p = -^ (cos (a — p) — cos (a + p)).
896. Вычислите:
a) cos 75° • cos 105°
в) cos cos ;
8971. Упростите выражение:
6) sin 75° sin 15°;
r) sin 105° cos 15°.
cos ( — + a] + cos fa- 7
6) —Li___I____1__L
cos fa +cos f— -a
\ 4 J \ 4 /
f Jt f Jt
sin a 4- — + sin a- 7-
\ 4 J V 4 J
1 В заданиях 897— 900 угол атакой, что знаменатель дроби в нуль не обращается.
182
898. Докажите справедливость равенства:
a) sin 35° + sin 25° “ cos 5°; б) cos 20° — sin 50° = sin 10°;
в) sin 87° — sin 93° — sin 59° + sin 61° — sin 1°.
899*. Докажите, что для любого угла а справедливо неравенство
| sin a+cos <х| <*/2.
Докажите справедливость равенства (900—901):
дад) а) sina+sinp„ctб) cos a + sin a „ t pt + <3
cos a- cos p 2 cos a- sin a \ 4 j
901. a) (sin a + sin 0)2 + (cos a + cos £) 2= 4 cos2 ;
6) (sin a — sin P)2 + (cos a — cos j))2 = 4 sin2 .
902. Представьте в виде произведения:
а) 1 + 2 sin a = 2^-|- + s’n a) = 2^sin + sin aj = ...;
6) 1 — 2 cos a;
в) T3-2sina.
5. Формулы для двойных н половинных углов
Теорема 1. Для любого угла а справедливо равенство
sin 2a “ 2 sin a cos a.
Это равенство называют формулой синуса двойного угла.
Эту теорему можно сформулировать так: синус угла 2a равен
удвоенному произведению синуса угла а на косинус угла a
Доказательство. Используя формулу синуса суммы двух уг-
лов, получим
sin 2a = sin(a+a) =
= sin a cos a + cos a sin a =
= 2 sin a cos a
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Для любого угла а справедливо равенство
cos 2a = cos2 a — sin2 a.
Это равенство называют формулой косинуса двойного угла.
Эту теорему можно сформулировать так: косинус угла 2a равен
квадрату косинуса угла а минус квадрат синуса угла a
Доказательство. Используя формулу косинуса суммы двух
углов, получим
cos 2a — cos (a+a) “
“ cos acos a — sin a sin a™
cos2a— sin2a.
Теорема 2 доказана.
Пример /. Найдем sin 2a и cos 2a, если sin a — -j- на принадлежит
□
интервалу icj.
183
Для любого угла а из указанного интервала cos а отрицателен,
поэтому
cos а = — 71 - sin2 а = — 4 •
□
Следовательно,
sin 2а = 2 sin а cos а=— ,
20
cos 2а = cos2 а — sin2 а = .
Хи
Теорема 3. Для любого угла а справедливо равенство
sin2g = 1~co0sa . (1)
Это равенство называют формулой квадрата синуса половин-
ного угла.
Теорема 4. Для любого угла а справедливо равенство
cos2 “ = 1 + cos а _ /2)
2 2 v '
Это равенство называют формулой квадрата косинуса поло-
винного угла.
Доказательство теорем 3 и 4. Используя формулу косинуса
двойного угла и основное тригонометрическое тождество, имеем
cos а = cos (2« = cos2 ~ - sin2 ,
1 = cos2 — + sin2 .
2 2
Складывая и вычитая эти равенства, получим
1 + cos а = 2 cos2 ,
2
1 — cos а= 2 sin2 — ,
2
откуда и следуют формулы (1) и (2).
Пример 2. Найдем cos .
8
Применяя формулу квадрата косинуса половинного угла, имеем
« - 1 + cosz = 1 + _ 2 + 72
82 2 4
Так как cos — положителен, то
8
COS —
8
2
Пример 3. Найдем sin —, если sin а = — и угол а принадле-
2 У
жит интервалу (я; ,
184
Так как угол а принадлежит указанному интервалу, то cos а
отрицателен, и поэтому
Л 7
cos а = — 71 - sin а = — —
У
Применяя формулу квадрата синуса половинного угла, получаем
sjn2 а = 1 - cos а = $3
2 2 9 '
Легко видеть, что угол у принадлежит интервалу поэтому
sin у положителен. Теперь находим, что sin у •
903. Запишите формулу:
а) синуса двойного угла;
б) косинуса двойного угла.
904. Чему равен квадрат:
а) синуса половинного угла;
б) косинуса половинного угла?
905. Запишите следующие углы в виде 2а, где а— некоторый угол:
а) 30°; б) 90°; в) г) д) 4л; е) л; ж) .
906. Упростите выражение:
а) 2 sin 15° cos 15°; б) 4 sin 22° 30' cos 22° 30';
в) 5 sin ~ cos ; г) cos (- 15° ) sin (— 15° ).
907. Вычислите sin 2а, если:
a) sin а = -i- , 0 < а < ; б) cos а =-т , £ < а < л.
2 2 □ 2
Упростите выражение (908—909):
908. a) cos* 2 * * * *15° -sin215°; б) sin215° —cos215°;
в) cos2 20° — sin2 20°; г) (sin a + cos a) (cos a — sin a),
909. a) sin2 A — cos2 A ; 6)2 sin 50° sin 40°;
7 8 8 7 8
в) cos2 15° — cos2 75°;
r) (sin 80° + sin 10° ) (cos 80° - cos 10°),
910. Выразите cos 2a только через:
a) sin a; 6) cos a.
911. Если 0 < a < то что больше:
a) cos 2a или 2 cos a; 6) sin 2a или 2 sin a?
912. Существуют ли углы a, для которых выполняется равенство
sin 2a = 2 sin а (о< a< у) ?
913. Вычислите:
a) I — 2 sin2 ЛЕ • 6)2 cos2 -ЛЕ_ — 1,
8 7 12
185
914 . Упростите выражение: cos4 a — sin4 a;
а) sin acos acos 2a; 6)
B\ (sin a+ cos a)1 2 . r) cos 2a .
' 1 + sin 2a ’ \ sin 2 a cos 2a , e) sin a- cos a l-tg2a .
sin a cos a ’ ж) ctg«-If ; з) 1 + tg2 a ctg2 a+ 1 .
cos 2a и) tga(l + cos2a); к) ctg2 a- 1 (1 — cos 2a) ctg a;
л) 2 cos2 a — cos 2a; M) cos 2a + 2sin2 a.
915. Докажите справедливость равенства:
а) 2 sin2 - aj sin a = sin 2a; 6) sin4 a — cos4 a - —cos 2a;
в) (sin a + cos a)2 = 1 + sin 2a; r) (sin a — cos af = 1 — sin 2a.
916. Докажите формулу:
a) tg(a+ p) = ; 6) <g(«~ P) = ;
1-tgatgp 1+tgatgp
в) tg 2a = .
1 - tg2 a
917. Найдите tg(a + p) и tg(a — p), если tg a° A , tg p - -j-.
0 0
918. Вычислите:
а) tg39°+tg6° . 6) tg72°-tgl2° .
7 l-tg39°tg6°’ ' 1 + tg 72° tg 12° ’
в) tg75°; r) tg!5°; д) tg!05°.
919*. При каких значениях a верно равенство:
а) tg(45°+а)-±±1К£; б) tg(45’ - а) = Ixlf ?
920. Докажите справедливость равенства:
а) 1!------т"А— = tg 2a; б) sin 2a — tg a = cos 2a tg a.
' 1 - tga 1 + tga b 7 ь b
921. Запишите следующие углы в виде , где a—некоторый
угол: 30°; 180°; я; 2я.
922. Докажите справедливость равенства:
а) 1 + cos а = 2 cos2 ;
в) s‘n а~ s‘n = fa2 а *
} 2 sin а+ sin 2а ё 2 *
б) 1 — cos а= 2 sin2 ;
Г) L.+ dn 2а =tgf4 +, а*
f cos 2a ь k 4 >
1 Здесь и далее имеются в виду такие значения а, при которых рассматриваемые
выражения имеют смысл.
186
2tgf
ж) -----— = tga;
e 2
3)
ctg£-tg£
Б 2 2
etg£ + tg£
Б 2 6 2
= cos a.
923. Вычислите sin % , если cos a = у , 0<a< .
2 о 2
924. Вычислите cos % , если sin a=— у , л < a< .
2 и 2
925. Упростите выражение:
а) 2 sin2 j + cos a; 6) 2 cos2 — cos a;
sin 2a . cos a . p\ 2 sin a— sin 2a
f 1 + cos 2a 1 + cos a ’ 7 2 sin a + sin 2a
926. Вычислите:
a) tg 135°; 6) ctg 120°; в) tg210°; r) ctg 330°;
д) 12 sin 120° tg300° ctg 225°;
e) 20 sin 330° cos(-240°)tg 120° - 2 cos 150° tg( —135°);
ж) cos 20° + cos 40° + cos 60° + ... + cos 160° + cos 180°;
з) tg20° + tg 40° + tg60° + ... + tg 160° + tg 180°.
927. Упростите выражение:
a) sin (л — a) + cos^ + a)~ ^(2л — a) + ctg^-—-aj;
6) sin(90° -a)-cos(180° -a) + tg(180° -a)-ctg(270° +a).
928. Докажите справедливость равенства:
at tg (90° +cos + tt)cos (~a) = sin a
7 ctg (180° - a) sin (270° + a)
для a * 90° k, где k — некоторое целое число;
cos2 ( — + a] 2
6 ) Lf-7 + c°s (-«) = 1
tg(a-2jc) / 3jc>
tgla“Tj
для a # j k, где k — некоторое целое число.
929. Докажите справедливость равенства:
а) tg 3 =_kicoL“ ; б) tg £ = sinot ;
7 Б 2 sin a 7 Б 2 1 + cos a
в) sin 2a (sin 2a + sin 2P) + cos 2a (cos 2a + cos 2P) = 2 cos2(a - P);
r) sin 2a (sin 2a — sin 2P) + cos 2a (cos 2a — cos 2P) = 2 sin2(a — P);
д) cos3 a sin a — sin3 a cos a = -|- sin 4a;
e) 2 sin 2a sin a + cos 3a = cos a;
ж) 1 + 2 cos 2a + cos 4a — 4 cos2 a cos 2a;
з)1+2 cos 3a + cos 6a = 4 cos2 — cos 3a;
и) sin 3a = 3 sin a—4 sin3a;
к) cos 3a = 4 cos3 a —3 cos a.
187
930*. Вычислите:
a) cos £ cos cos ; б) cos ~ cos ~ cos ~ .
У У У 7 г f
931. Найдите:
а) sin a, cos а, tg 2а и ctg 2а, если tg у = 3;
б) sin 2а, cos 2а, tg2а и ctg2а, если tga — у ;
в) sin 4а, если tga — 3.
6. Произведение синусов и косинусов
Теорема. Для любых углов а и (3 справедливы равенства
sin a cos р = у (sin (а + р) 4- sin (а — Р)); (1)
cos асов р = у (cos (а 4- Р) 4- cos (а — Р)); (2)
sin asin Р = | (cos (а - Р) - cos (а 4- Р)). (3)
Доказательство. Выпишем известные формулы синусов и
косинусов суммы и разности двух углов:
sin (a 4- Р) = sin acos р 4- sin р cos a; (4)
sin (a — P) = sin a cos p — sin p cos a; (5)
cos (a4- P) — cos acos p - sin asin P; (6)
cos (a — P) = cos acos P 4- sin asin p. (7)
Сложив почленно равенства (4) и (5), получим
sin (a 4- р) 4- sin (a — Р) = 2 sin a cos p,
откуда получаем справедливость равенства (1).
Сложив почленно равенства (6) и (7), получим
cos (a 4- Р) 4- cos (a — Р) = 2 cos acos p,
откуда получаем справедливость равенства (2).
Вычтем почленно из равенства (7) равенство (6), получим
cos (a - Р) — cos (a 4- Р) = 2 sin a sin p,
откуда получаем справедливость равенства (3).
Формулы (1), (2), (3) используют для преобразования тригоно-
метрических выражений.
Пример 1. Вычислим без таблиц и калькулятора
я Зл
cos -g cos -g- .
Применив формулу (2), имеем
cos cos = у (cos(£ + + cos =
О о 2 \ О J О
-1 (cos j 4- cos (-J J = I (o + .
188
Пример 2. Докажем справедливость равенства
(sin 2а + sin 4а) sin а = sin 2а sin За. (8)
Раскрыв скобки в левой части равенства (8) и применив формулу
(3), имеем
(sin 2а + sin 4а) sin а = sin 2а sin а + sin 4а sin а =
= ~ (cos а - cos За) 4- ~ (cos За - cos 5а) «
= у (cos а — cos За + cos За — cos 5а) = -j- (cos а — cos 5а).
Преобразуем по формуле (3) правую часть равенства (8):
sin 2аsin За = у (cos (2а — За) — cos (2а + За)) =
= у (cos ( — а) — cos 5а) = у (cos а — cos 5а).
Так как правая и левая части доказываемого равенства (8) равны
одному и тому же выражению, то равенство (8) доказано.
932. Преобразуйте в сумму или разность:
a) cos3acosa; б) sin5asin3a; в) sin4acos2a
г) cos a cos 2a; д) sin 2a sin 3a; e) sin a cos 4a
933. Докажите, что:
a) sinf cosf-sinf cosi-l-±sin|;
6) cos cos i-cos & cos =4-
934. Вычислите:
a) sin sin ; 6) cos cos ; в) sin cos
r) -sinisin^;
Д) cos W cos м ~ sin sin
7. Исторические сведения
Понятия синуса, косинуса и тангенса угла возникли в геометрии
и астрономии. По существу, ими оперировали еще древние математи-
ки, рассматривая отношение отрезков в треугольниках и окружностях.
Знаменитый древнегреческий ученый Клавдий Птолемей, живший во
II в., для своих астрономических исследований составил подробную,
весьма точную таблицу синусов углов, в течение многих веков слу-
жившую средством для решения треугольников.
В XI—XIII вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья,
Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии
как отдельной науки. У индийских ученых линия синусов именова-
189
лась «архаджива», что буквально означало «половина тетивы лука».
В Индии были составлены таблицы значений синусов для всех углов
от 0° до 90° через каждые 3°45'. Эти таблицы были точнее таблиц
Птолемея. Об их высокой точности говорит тот факт, что для синуса
и косинуса 3° 45' были вычислены значения и , отличающие-
1529 467
ся от истинных меиее чем иа 0,00000001.
Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной
науки принадлежит азербайджанскому ученому Насиру ад-Дину Му-
хаммаду ат-Туси (1201 —1274). Однако и в его трудах еще не была
введена необходимая символика, и поэтому развитие тригонометрии
происходило очень медленно.
В XV в. немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436—1476), извест-
ный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о
треугольниках всех видов», сыгравший важную роль в развитии триго-
нометрии.
В XV—XVII вв. в Европе было составлено и издано несколько
тригонометрических таблиц. Над нх составлением работали Н. Ко-
перник (1473— 1543), И. Кеплер (1571 —1630), Ф. Виет (1540—1603)
и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы
в 1703 г. при участии Л. Ф. Магницкого.
Современный вид тригонометрия получила в трудах Л. Эйлера.
Он, в частности, вывел все тригонометрические формулы из несколь-
ких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел
единообразные знаки. Впервые в его трудах встречаются записи sin х,
cosx, tgx и др. На основании работ Л. Эйлера были составлены
учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последо-
вательности.
8. Задания для повторения
935. Вычислите:
а)
+ 15 59
18) 60
646.8:21
6)
4
13
28й:2-8-4-Н
г)
Д)
4,58 + 6,275 :(1,253 — 1.252 • 0,45).
49.533= 16,5 - 2,522
________1,476+ 2, 08 • 4,05_______•
49,938 : (0, 16 • 12., 34*-0,163)-0,25 ’
42,5904 = 6,08- 1,245_______
(18,2* - 5,6г + 23,8 • 7,4): 5,95 + 35,2'
Упростите выражение1 (936—941):
936. а) 11 +
vky
+ a. + ]V
x 7 kx у )j k y2 x2 '\y x JJ'
1 Здесь и далее имеются в виду такие значения букв, при которых рассматриваемые
выражения имеют смысл.
190-
б)
д-2 8 4-4 (1-д) 4-д4 I
д(д-2) + 4 8 +а3 ~ 2+ а '
937.
. л — I
а) а: —
а2 + За (a -I) - I
2д2 4- 2д
-4д 4д4 .
д44- 1-2д " д4—I ’
($ С‘- *4+ И <3~х(4х-D-4V х4 4-29x4-78
7 U V х4+ 1J х7 + 6хв-х-6 Л Зх4 4- 12х-36 '
938. а) Г*2"*"6- Ла-4х-5 Y.4X + A6
7 к л2_4 х2-7х + IOJ х-2
A2-3*- tO х2 4-х-12 у 4х+ 10
7 к х2-25 х2-8х+ 15Л 5-х ‘
939. а) (2 -738- 757) • - 719 + 7i2;
10
б) (714-2755)- 7‘ 77 + 720;
в) 7200-1-Т32 +2 772;
г) |Лбб-4^7+775.
5 о
940. а)
д1,8 4- 61,3
аол + />ол
_й0.5/>ОЛ
Д-6
. 2№
д°-6 4- 60-8
5 I
З1-8 J д6 + 3'-*д3
------------ +-----у---j_
(3°^)3дв-д3 L3 +з>)
I I
--------т
а4-6 а 3-а4 Ьг
941. a) fa + 5¥:7aY [JkzJb. + Y3 ;
к ) к /а
бх (j£-V6)2 + 2a2:7^ + 676 + 3j^b~3b
a-Ja + bjb a-b
Найдите значение выражения (942—944):
942. а) (а2 - О ^ттГ’Т+Т + *) ПРИ а~ "°’°3:
б> Ып--}Лт + 7Е77т)- прир--{
943- а) (к^-т+тг)’ 772-77? прн*--1,6;
.Ex д 1 — д4 { t а \ „ _п е
б) I----гт'-» ‘ I » ПРИ ° 2,5.
7 1-д I 4-д4 к(д-2Я l-a2J г
944 а> Gsh + (зТйг)- зЬ "Р" ” “ 21:
ПР-Р-1.5.
191
945. Запишите многочлен, корнями которого являются числа:
а) 1; 2; 3; 4; б) -2; -1; 0; 6.
946. Представьте многочлен в виде произведения линейных мно-
жителей:
а) х3 - 6х; б) х - 5х3 ;
в)Зх2-25; г) х3 — 2;
д) 2х2 + 8х — 7; е) Зх2 — 5х 4- 2;
ж) Зх2 - 6х 4- 12; з) 8х3 + 54х + 36х2 + 27,
Разложите многочлен на линейные множители, считая, что а
и Ь —данные числа (947—949):
947. а) х2 — (1 + а)х + а; б) 4х2 — 2( 1 4- а)х 4- а.
948. а) 2ах2 - (2 4- а)х 4-1; б) 6 4- (2 - За)х - ах2.
949. а) (Ь — 2а)х 4- 2 — abx; б) b — (а 4- Ь2)х 4- abx2.
950. Разложите многочлен на множители:
a) + с)3 + (с- а)3;
б) X 4- х 4- 1;
в) Xе 4- X* 4- 1.
951. При каких значениях р уравнение 2х2 4- х 4- 2р2 = 0:
а) не имеет действительных корней;
б) имеет равные корни;
в) имеет неравные корни?
952. Решите уравнение, считая, что k — данное число:
а) х2 4- 2kx 4- (k - 1 )2 = 0; б) х2 - kx 4- k - 1 = 0.
953. Укажите условия, при выполнении которых квадратное урав-
нение ах2 + Ьх 4- с = 0, где а, Ь и с — рациональные числа,
имеет иррациональные корни.
954. Покажите с помощью графика, что уравнение 2х2 4- Зх 4- т = 0:
а) при т < 0 имеет два действительных корня разных знаков,
причем абсолютная величина отрицательного корня больше
абсолютной величины положительного корня;
б) при 0 < т < 1 уравнение имеет два различных отрица-
тельных корня;
в) при т > 1 уравнение не имеет действительных корней.
О
955*. Исследуйте с помощью графика зависимость числа корней
уравнения от а, где а — данное число:
а) х2 — х 4- а = 0; б) х2 4- х — а = 0;
в) х2 — 4х 4- а = 0; г) х2 4- ах 4- 4 = 0;
д) О^х2 4- 2,1х 4- а = 0; е) Зх2 4- 7ах 4-4 = 0.
956. При каких значениях а, Ь, с (или при каких отношениях между
ними) для квадратного трехчлена ах2 4- Ьх 4- с:
а) сумма корней этого трехчлена равна их произведению;
б) корни этого трехчлена равны по абсолютной величине?
957. Многочлен х4 4- 2х3 4- тх2 + 2х + п является квадратом
другого многочлена. Найдите числа /пил.
958. Какими числами должны быть р и <?, чтобы корни уравнения
х2 4- рх 4- q = 0 были равны р и <??
192
959. При каком значении а сумма квадратов чисел, составляющих
решение системы уравнений
х-2у —а,
2х-у = а + 1,
будет наименьшей?
Решите систему уравнений (960 —964):
960. а) < х + ху + у = 11, х-ху +у= 1; б) [ х3-#3 = 8(х-у), [ х3 + у3 = 8.
961. а) х + у + ху = 7, х2 + у2 + ху = 13; б) ' х3 + ху + у3 = 4, х + ху + у = 2.
962. а) < f (х—у)(х3 + у3) = 447, ху(х - у) = 2\SY, б) < (х + #) = 20, X + у = | ху.
963. а) < х + у2 = 3, б) < ' х3 + ху = у3, х-у3 = 0.
ху “6, Уг~1х’
964. а) . f/z = 3, б) < гх~1у-
xz = 2; ху = 6z.
Решите графическим способом 967): систему уравнений (965—
965. а) ' хг/ = -6, у = -х3 + 5; б) ' у = х3 -4, хг/= 4.
966. а) < у = х3 -2х-3, t У = \х- 1|; б) < ' у = -х3 + 5х- 6, ^ = |х+ 1|.
967. а) < ^ = 2ха-1, у = -х2-Зх-2; б) < ' у = х3 4- 5х + 4, у = - X3 + 6.
968. Решите уравнение:
2х , Зх -1 __ з .
х +1 х2-1 х-1 ’
6 + 2 _ 7
х2-9 х2 + 4х ха + х-12
193
7 Алгебра 9 класс.
Решите неравенство (969—971):
969. а) -Ат-7|т<^г; б) _А___£т>_з_.
970. а) 1 <-^-<2;
' 2х+1
971. а) (1 4-х)2 < |1-х2|;
б) 1 <2.
7 3x4- 1
б) |1-Х!|<(1 -X)2.
972. Докажите, что произведение двух последовательных на-
туральных чисел ие может быть равным 25# + 1 при на-
туральном #.
973. Дан многочлен х3 — бх2 4- 8х. Известно, что если значение х
увеличить иа 1, то значение многочлена не изменится. Най-
дите это значение х.
974. Докажите, что если некоторое число при делении иа 9 дает в
остатке 1 или 8, то квадрат этого числа при делении на 9 дает
в остатке 1.
975. Представьте ab в виде разности квадратов двух выражений.
976. Найдите двузначное число, равное удвоенному произведению
его цифр.
977. Найдите х и у, зная, что ху — 1 и что |х| < 1, |yj < 1.
978. Найдите цифры а и b пятизначного числа 42а46, если из-
вестно, что это число делится нацело иа 72.
979. На какую цифру оканчивается число 7IW?
980. Какой цифрой оканчивается сумма 21* 4- 344 4- 464 ?
981. Докажите, что если п > 1 и п — нечетное число, то число вида
я’2 — п — п + 1 делится нацело иа 128.
982. Один из корней уравнения х2 — х — а = 0 равен а + 1, Най-
дите другой его корень.
983. При каком значении b уравнение
х2 + #2х + З#3 = 2b2x - b + 12 + 2Ь3
имеет корень х = 3?
984. Может ли быть целым числом выражение ° * ^ ? Если да, то
при каком значении а (а — целое)?
985. Какое число больше:
а) „ли б) -£±L- или ‘,
101вв74-1 ю1988 4- 1 а/,+ 14-1 а* + 2+1
где а и п — натуральные числа?
986*. Задача Бхаскары II (1114 — ок. 1178). Решите уравнение
в целых числах:
100x 4-90 — 63#.
987*. Старинная задача. Идет корабль по морю, иа нем мужеска
полу и жеиска 120 человек. Всего заплатили 120 гривен,
мужчины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с
человека. Сколько мужеска полу и жеиска порознь?
194
988*. Задача Л. Н. Толстого. На 100 р. купили 100 скотин —телят
по полтнне, коров по 3 р., быков по Юр. Сколько купили
телят, коров н быков?
989. Постройте график функции:
а) у — —Ц- ; б) у « —!—• ; в) у - —;
' s х-1 ' s х + 2 ' s 1-х
о +1: е> -3;
*т — л Л “ 1 4 "А
Ж) - 1; з)»--^ + 4;
A I X А ” □ Л — 1
к) у = ; л) у - j; м) у = + .
990. Используя график функции, решите неравенство:
а) — > 0; б) 1 < 0; в) > 0; г) -1 < 0;
х х х X
д) - > 1; е) - < 2; ж) - > 3; з) -- > 3.
' X X X X
991. Используя график функции, решите систему уравнений:
. fxy- L f ХГ/--8,
а) х б) <
[ у - х3; [у - х + 1;
Г у «х2-4х-5, Г У = И,
В> « —»; Г)Ь-£.
I» X I X
992. Задача П. Л. Чебышева. Мальчик сказал: «Если мне дадут
еще 40 орехов, то у меня будет столько же, сколько у моего
брата. А если мне дадут 90 орехов, то у меня станет в 2 раза
больше, чем у моего брата». Сколько орехов у каждого?
993. Старинная задача (Китай, / в.). Сообща покупают вещь.
Если каждый человек внесет по 8 (денежных единиц), то избы-
ток равен 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток
равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.
994. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто желает дать
милостыню убогим, дав каждому нз них по 3 пенязн, но не-
достает денег на 3 человека. Если бы дал нм по 2 пенязн,
тогда бы осталось денег на 4 человека. Спрашивается, сколь-
ко было убогих, н сколько у того мужа было денег.
995, Старинная задача (Китай, Не.). Сообща покупают курицу.
Если каждый человек внесет по 9 (денежных единиц), то
останется 11, если же каждый человек внесет по 6, то не
хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.
996. Старинная задача (Китай, Н в.). Сообща покупают буй-
вола. Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных
единиц), то недостаток равен 330. Если же каждые девять
семей внесут по 270, то избыток равен 30. Сколько семей и
сколько стоит буйвол?
195
Г» Алгебра 9 класс.
997. Периметр прямоугольника равен 16 дм, а его площадь равна
15 дм2. Определите стороны этого прямоугольника.
998. Квадрат меньшего из двух натуральных чисел равен их сумме,
а разность этих чисел равна 15. Найдите эти числа.
999. Найдите два числа, если они находятся в отношении 2:3, а
их сумма равна 20.
1000. Найдите значение х, для которого соответствующее значение
у является наименьшим, если:
а) //-(х+ I)2 - 3; б) y-(x-2)2 + 5.
1001. Два каменщика выкладывают стену за три дня. За сколько
дней выполнят эту работу три каменщика, если производи*
тельиость труда у всех рабочих одинаковая?
1002. Найдите два числа, если они находятся в отношении 3 : 2 и их:
а) сумма равна 20; б) разность равна 20;
в) произведение равно 150; г) частное равно 5.
1003. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, а через четверть
часа вслед за ним выехал автомобиль. В середине пути между
А и В автомобиль догнал велосипедиста. Когдв автомобиль
прибыл в пункт В, велосипедисту осталось проехать еще треть
пути. Какое время затратил на путь от Л до В велосипедист и
какое — автомобиль, если известно, что скорости велосипе-
диста и автомобиля постоянны?
1004. Проценты содержания (по массе) красителя в трех растворах
образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый,
второй и третий растворы в отношении 2 : 3 : 4, то получится
раствор, содержащий 32% красителя. Если же смешать их в
отношении 3 : 2 : 1, то получится раствор, содержащий 22%
красителя. Сколько процентов красителя содержит первый
раствор?
1005. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 100 км,
выехал мотоциклист, и одновременно с ним из В в Л выехал
велосипедист. Через некоторое время оии встретились в пунк-
те С, расположенном между Л и В, и, продолжив свой путь,
прибыли в пункты назначения. На следующий день мотоцик-
лист вернулся в Л, а велосипедист — в В, При этом мотоцик-
лист двигался в ~ раза быстрее, чем накануне, и поэтому иа
весь путь из В в Л затратил иа 10 мни меньше, чем иа путь
от Л до С в первый день. Скорость велосипедиста во второй
день была иа 10 км/ч выше, чем в первый день, и на весь путь
от Л до В он затратил в ~ раза больше времени, чем на путь
от В до С в первый день. С какой скоростью двигался мото-
циклист в первый день на пути из Л в В?
1006. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из
пунктов Л и В, расстояние между которыми равно 34 км.
196
В 4 км от пункта А первый пешеход (вышедший из Д) сделал
остановку иа 1 ч 30 мии. После остановки ои увеличил
скорость иа 2 км/ч и встретил второго пешехода в 18 км от
пункта В. Если бы первый пешеход не делал остановки и
шел все время с первоначальной скоростью, то пешеходы
встретились бы иа полпути. Определите скорость второго
пешехода.
1007. Два куска одинаковой ткани стоят вместе 91 р. Когда из
первого куска продали столько, сколько было первоначально
во втором, а нз второго половину того, что было первоначаль-
но в первом, то остаток первого куска оказался на 10 м больше
остатка второго куска. Сколько метров ткани было в каждом
куске, если 1 м ткани стоит 1,4 р.?
1008. Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Отчалив от
пристани А в 9 ч утра, пароход поплыл по течению реки до
пристани В. Простояв у пристани В один час, пароход
отправился в обратный рейс и прибыл в А в 17 ч того же дня.
Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную
скорость парохода, если известно, что и а пути из А в В и из
В в А она была одна и та же.
1009*. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 525 км,
выехал мотоциклист. Через некоторое время из В в А вы-
ехала машина, которая встретилась с мотоциклистом в тот
момент, когда ои проехал у расстояния от А до В. Мото-
циклист н машина продолжали двигаться дальше, и мото-
циклист приехал в В через 3 ч после того, как машина
прибыла в А. Если бы машина выехала из В иа 1,5 ч раньше,
чем в действительности, то она встретилась бы с мотоцик-
листом на расстоянии 180 км от А. Определите скорость
мотоциклиста.
1010. а) Сбербанк России с 1 октября 1993 г. за хранение денег иа
депозитном вкладе в течение года, шести н трех месяцев
выплачивал доход в размере 150, 130 и 120 процентов соот-
ветственно. Какой доход можно было получить при этих ус-
ловиях при двукратном вложении денег на шесть месяцев и
четырехкратном — на три месяца?
б) Через несколько месяцев процентные ставки по депозит-
ным вкладам Сбербанка России были уменьшены и соста-
вили 70, 60 и 50 процентов для депозитных вкладов иа год,
шесть и три месяца соответственно. Какой доход можно
было получить при новых условиях при двукратном вложе-
нии денег на шесть месяцев и четырехкратном — на три
месяца?
1011*. Каким наибольшим целым числом должен выражаться
процент годовых для вкладов на шесть месяцев, чтобы
двукратное использование этого вклада приносило доход
7i‘
197
меньшнй, чем вклад на один год под р% годовых? Каким
наибольшим целым числом должен выражаться процент го-
довых для вкладов на три месяца, чтобы двукратное исполь-
зование этого вклада приносило доход меньший, чем вклад иа
шесть месяцев?
а) Решите задачу в общем виде.
б) Получите ответ для р — 150 и р — 70.
1012*. Проливной дождь лил несколько часов подряд. Когда он на-
полнил некоторую часть открытого бассейна, включили насос
для откачки воды. Он откачал воду за 5 ч, на протяжении
которых дождь продолжал лить. Если бы вместо первого на-
соса включили второй, мощность которого в 2 раза больше,
то он откачал бы воду за 2 ч. За сколько часов откачали бы
воду два насоса при совместной работе? Считайте процессы
наполнения бассейна и откачки воды равномерными.
1013*. а) На лугу растет трава. 20 коров съедят всю траву за 21 день,
а 30 коров — за 7 дней. За сколько дней всю траву на лугу
могли бы съесть 22 коровы?
б) На лугу растет трава. 6 коров съедят всю траву за 6 дней,
а 7 коров — за 4 дня. Сколько коров могли бы съесть всю
траву иа лугу за 2 дня?
в) На лугу растет трава. 60 коров могли бы прокормиться иа
этом лугу в течение 14 дней, а 50 коров — в течение 28 дней.
Сколько коров могли бы пастись иа этом лугу постоянно, пока
растет трава?
1014*. Задача И. Ньютона. Двенадцать быков съедают 3-^ югера1
пастбища за 4 недели; 21 бык съедает 10 югеров такого же
пастбища за 9 недель. Сколько быков съедит траву иа 24 юге-
рах пастбища за 18 недель?
1015. а) Найдите разность арифметической прогрессии, если из-
вестно, что пятый ее член равен 19, а девятый член равен 35.
б) Найдите разность арифметической прогрессии, если из-
вестно, что четвертый ее член равен —13, а десятый член
равен —43.
в) Разность арифметической прогрессии равна 9,5, а двенад-
цатый член равен 105,25. Найдите первый член прогрессии.
г) Числа и — 1 — — первый и двадцатый члены арифме-
Z о
тической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии.
1016. а) Между числами 7 и 35 иа координатной прямой найдите
шесть точек, координаты которых вместе с числами 7 и 35
являются последовательными членами арифметической
прогрессии.
1 1 югер — древняя римская мера площади около 2500 мг.
198
б) Между числами 1 и 6 найдите пять чисел, которые вместе
с заданными числами являются последовательными членами
арифметической прогрессии.
1017. а) Как изменится разность конечной арифметической
прогрессии, если порядок ее членов изменить на противопо-
ложный?
б) Сколько членов в конечной арифметической прогрессии,
если ее крайние члены 10 н 7,5, а разность равна —0,4?
1018. Найдите формулу общего члена арифметической прогрессии
alt а2, ..., ап, .... если известно, что;
а) Й! = 5, а2 = —5; 6) ах = -3, а2 = 0;
в) = 6, а10 = 33; г) й4 = ~4, а17 =—17.
1019. Даны две геометрические прогрессии: ait а2, .... оя, ...
и fr2, ..., bn, .... Является ли геометрической прогрессией
последовательность:
а) at + bit а2 + Ь2, .... ап + Ьп, ...;
б) aj-frp й2-Ь2, ..., ап — Ьп, ...;
в) Й2-Ь2, .... Й„-Ь„, ...;
г) ~ , .... , ... (все bt # 0)?
р2 р„
1020. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрес-
сии b2t ..., Ьп, если известно, что:
а) Ь, + Ь. = “ г J 6) 62 — 6. “ 2, Ь3 — Ь. = 8.
1021. Найдите четыре числа b}, b2, b3, bt, если известно, что числа
Ь2, ^з» образуют конечную геометрическую прогрессию, а
числа Ь., Ь«, Ь, образуют конечную арифметическую прогрес-
сию и bt + Ь4 — 37, Ь2 4- Ь3 — 36.
1022. Найдите три числа Ь1( b2, Ь3, образующие конечную арифме-
тическую прогрессию, если известно, что их сумма равна 30,
а числа bv — 5, b2 — 4, Ь3 образуют конечную геометрическую
прогрессию.
1023. Найдите п — число членов конечной геометрической прогрес-
сии Ь2, ..., Ья, если известно, что bt + Ь3 = 51, Ь2 + Ь6 = 102,
S, = 3069.
1024. Найдите все числа х, удовлетворяющие следующему условию:
1 + 74- 13 + ... + х = 280.
1025. Сумма трех чисел, образующих конечную арифметическую
прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел рав-
на -И . Найдите этн числа.
10^6. а) Сумма второго н девятого членов арифметической прогрес-
сии равна 10. Найдите сумму десяти первых членов этой
прогрессии.
6) Сумма третьего и девятого членов арифметической
прогрессии равна 16. Найдите сумму первых 11 членов этой
прогрессии.
199
7-
027*. В конечной геометрической прогрессии четное число членов.
Найдите ее знаменатель, если:
а) сумма всех членов прогрессии в 4 раза больше суммы ее
членов, стоящих на нечетных местах;
б) сумма всех членов прогрессии, стоящих на четных местах,
в 2 раза больше суммы ее членов, стоящих на нечетных
местах.
1028. При завннчнваннн шестигранной гайки гаечный ключ по-
вернули на «две грани». Выразите в градусах величину угла,
на который повернули гаечный ключ, если учесть, что угол
поворота отрицательный.
1029. Определите в градусах величину угла, описываемого минут-
ной стрелкой часов за:
а) 5 мни; б) 15 мни; в) 45 мнн;
г) 1 ч; д) 3 ч 20 мин; е) полсуток.
1030. На какой угол надо повернуть минутную стрелку часов, чтобы
перевести часы:
а) вперед на 10 мнн; б) назад на 1 ч 12 мнн?
1031. Прн регулировке карбюратора автомашины винт холостого
хода повернули против часовой стрелки на 1,75 полного
оборота. Выразите угол поворота в градусах.
1032. Ведро в колодце поднимается на 2 м, если рукоятку ворота
повернуть иа 5 полных оборотов по часовой стрелке. На какой
угол (в градусах) надо повернуть рукоятку, чтобы ведро:
а) поднялось на 1,5 м; б) опустилось на 3 м?
1033. Окружность морского компаса разделена на 32 равные части,
называемые румбами. Выразите в градусах углы 1, 2, 10, 15
румбов.
1034. Артнллернсты измеряют углы поворота с помощью —— части
полного оборота, называемой тысячной. Выразите в ты-
сячных углы 30°, 60°, 90°.
1035. В 1799 г. Парижская Академия наук ввела метрическую еди-
ницу измерения углов, которая называлась град. 1 град
равен 0,01 части прямого угла. Выразите в градах углы 90°,
120°, 150°.
1036. В астрономии используется единица измерения долготы ме-
ста, называемая часом. Час долготы равен части полного
оборота (360°), на который Земля поворачивается за сутки.
1 час содержит 60 минут, а I минута содержит 60 секунд.
Выразите час, минуту и секунду долготы в градусах, минутах
и секундах.
1037. Углы треугольника относятся между собой как 3:4:5.
Определите радианные меры этих углов с точностью до 0,01.
1038. В равнобедренном треугольнике угол при вершине в 2 раза
меньше угла при основании. Определите радианные меры
этих углов с точностью до 0,01.
1039. Шкив электромотора делает 2000 оборотов в минуту. Опреде-
лите угловую скорость вращения шкива (в радианах в секун-
ду)-
1040. Какую линейную скорость имеет точка, удаленная от оси
вращения на 2 см, если угловая скорость вращения равна j
радиана в секунду?
1041. Запишите все углы, которым соответствуют точки пере-
сечения единичной окружности:
а) с осями координат;
б) с биссектрисами координатных углов.
1042. Как расположены на единичной окружности точки, соответ-
ствующие углам:
а) а и —а;
в) а + л и а - л;
б) «и а + я;
г) а 4- 2лЛ и а;
1043.
1044.
д)|-аи|+а; е)^-ан^+а,
где k — некоторое целое число?
Вычислите:
а) 2 sin £ + 3 cos J - 2 tg -J - 1,5 ctg -J + —~ 4-i;
6 6 6 6 sin £ cos '
6 6
6) 2sin45° +2cos45° —3tg45° - 10ctg45° 4— 2B -——
7 ь b sin 45° cos 45
в) sin -J 4- cos - 2 tg -J - 1,5 ctg -J 4---1--— ;
3 3 3 3 ТС ТС
COS — sin —
3 3
г) sin — - 6 cos 4- 3 tg 0 4- ;
’ 2 2 6 cos 0 ’
Д) 2 sin 180° - 3 cos 180° + 4 tg 180° + - * ;
e) 3 sin- 4 cos+5ctg-y + —1—;
s,n —
К It 7C . ( It \
sin — cos — - COS — sin
ж) —i------2-----i—5^2;
tg!5-sln!|cos*f
______!----+-----1__
3) cos (-30°) sin (-30° )
sln!(-60°>+ '
Найдите все значения угла р (0 < (3 < 2л), при каждом из
которых справедливо неравенство:
a) sill Р cos Р > 0; б) sin Р cos Р < 0.
201
1045. а) Найдите sin a, cos a и ctg a, если tg a=-^ и | < a < л.
б) Найдите cos 0, sin 0 и tg 0, если ctg 0 *= 2 и л<0 < ~ .
1046. Определите знак числа:
а \ cos 10 sin 7-tg 10 . 6) sin (-3) cos 4 tg (-5) .
7 cos (-Л) ctg (-4) ’ 6
B \ (sin 3 cos 4- sin 4 cos 3)(sin3 cos 4 4- sin 4 cos 3)
7 (cos 3 cos 4 - sin 3 sin 4)(cos3 cos 4 + sin 3 sin 4) '
1047. Вычислите:
1048. Докажите справедливость равенства
а) ctg (a + Зл) sin (2л -a) -cos (a -я) -sin (a -я) = sin a
при a * nk, где k — любое целое число;
б) 3 tg (а-5л) cos (я -a) + sin (-a -л) + 2 sin (л -a) = 0
при a * + nk, где k — любое целое число.
1049. Упростите выражение:
а) sin4 а + sin2 a cos2 a + cos2 oq
6) sin4 a + 2 sin2 a cos2 a + cos4 a.
12
1050. Найдите tg(a +0) и tg (a —0), если sin a = 0,6, cos0 e и
|<а<я, л<0<^ -
1051. Найдите tg(a + 0) н tg(a -0), если tg a = sin 0 = 0,8 и
О<0<|.
1052. Вычислите:
а) cos 37° 30' cos 7° 30*;
в) cos 15° cos 75°;
д) sin 15° + tg 30° cos 15°;
7 1-tg 13° tg 17”
и) tglir+tg?*..
' 1-tg 113°tg7° ’
1053. Докажите справедливость равенства:
a) sin 10° cos 20° cos 40° = 1; 6) cos 20° cos 40° cos 80° — 1;
8 8
в) sin i cos ~ — - tg^; r) sin 18° cos 36° = 1.
5 5 4 5 4
6) sin 75° sin 15°;
r) sin §sin
e) tg+ tgff;
3) tgi°-lg46°
7 1 +tg 1° tg46° ’
K) lgl50°-tgl5°
202
1054. Докажите, что если ct, р иу —углы треугольника, то справед-
ливы равенства н неравенство:
a) sin а 4- sin р 4- sin у •« 4 cos £ cos £ cos J;
6) cos а 4- cos p 4- cos у - 4 sin sin £ sin 4- 1;
в) sin2 а 4- sin2 p 4- sin2 у > 2, где а < 90°, p < 90°, у < 90°.
1055. Докажите справедливость равенства:
a) cos 2а (sin а 4- sin За) •« sin 2а (cos а 4- cos За);
б) (sin а cos р 4- cos а sin р)2 4- (cos а cos р — sin а sin р)2 - 1.
1056. Найдите все углы а, для каждого из которых одновременно
имеют смысл обе части равенства:
a) ctg2 а - cos2 а = ctg2 а cos2 а;
б) cos2 а (tga 4- 2)(2 tga + 1) = 5 sin a cos а 4- 2.
Для найденных углов а докажите справедливость равенства.
§ 9. ПРИБЛИЖЕНИЯ ЧИСЕЛ
9.1. Абсолютная величина числа
|а| =•
Напомним, что абсолютная величина числа а есть число |а|, рав-
ное а, если а неотрицательно, и равное —а, если а отрицательно, т. е.
а, если а > О,
-а, если а<0.
Например: |7| = 7, |—7| = 7.
Абсолютная величина числа и есть число неотрицательное. Точнее,
абсолютная величина числа а, отличного от нуля, есть число положи-
тельное, а абсолютная величина нуля есть нуль.
Если отметить на координатной осн (рис. 75) точки а и —а, то |а|
определяет расстояние от любой из этих точек до нулевой точки (на
рисунке 75 а — положительное число, (—а) — отрицательное число).
Перечислим основные свойства абсолютных величии.
1. Абсолютная величина произведения двух чисел равна произ-
ведению абсолютных величин этих чисел:
|а б|-|а| |б|.
Например;
|7-3| = 7 3 = |7| • |3|,
|( —7)-3| = |—7 3| — 7 3 = |—7| • |3|,
|( —7) •(—3)| = |7 3| — 7 • 3 — |—7| • |—3|.
L W W
-а 0 а х
Рис. 75
204
2, Абсолютная величина частного двух чисел равна частному
абсолютных величин этих чисел:
Например:
|7| _ 7 _ [7J
|з| 3 |3|’
Iz7| « I——I _ 7 _ ЬП
I 3 | I 3| 3 (3| ’
1=71 _ 7 = HJ
1-31 3 R|'
3. Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы
абсолютных величии этих чисел:
|а + 6| < |а| + |б|.
В самом деле, если а и 6 оба неотрицательны, то
а + b - +(|а| + |6|);
если же оба неположительны, то
а + 6 - —(fa| + |6|).
Но тогда
|а + 6| - |+(|а| + |6|)| - |а| + |6|
|а + 6| - |-(]а| + |6|)| - |а| + |6|.
Пусть теперь числа а и b разных знаков и для определенности |а| > |6|.
Если а положительно, то
а + 6-+(|а|-16|),
и если а отрицательно, то
а + 6 — (|а| - |6().
Но тогда
|a + 6)-l+(|a|-|6|)|-|a|-|6|<ja| + )6|
и
|a + 6|-|-(|a|-|6|)l-la|-|6|<fa| + |6|
потому, что
-|6|<|6|.
Итак, для любых действительных чисел а и b
|a + b\ < |а| + |6|.
4. Абсолютная величина разности двух чисел не больше суммы
абсолютных величин этих чисел:
|а — 6| < |а| + |6|.
Это свойство легко следует нз свойства 3. Действительно,
|а - 6|-|а + (-6)| < |а| + |-6| -|а| + |6|.
205
1057°. а) Что такое абсолютная величина числа?
б) Всегда ли абсолютная величина числа есть положительное
число?
в) Что определяет на числовой оси абсолютная величина
координаты точки?
г) Каковы основные свойства абсолютных величии чисел?
1058. Укажите абсолютную величину числа:
а)7; 6)0,35; в) 0; г) -1,3;
д) —13; е) 0,(5); ж)-0,(1); з)-я.
1059. Вычислите:
а) |5 — 2| и |2 — 5|; б) |7 + 4| и |-7 - 4|;
в) |7 — 13|; г) |1,25 - 7,76|;
Д) 2-|5-2|; е) |7 - 10| - 3;
о ж) 1-41-1-1 -3|; з) 1-12-31-Ц - 6|.
1060°. а) Может ли число быть больше своей абсолютной
величины?
б) Может ли число быть меньше своей абсолютной
величины?
в) Как называются числа, одинаково удаленные от начальной
точки координатной оси?
1061. Отметьте иа координатной оси числа, абсолютная величина
которых равна: 1; 2; 0,5; 0.
1062. Отметьте на координатной оси числа, удовлетворяющие
условию: а) |х| - 4; б) |х| < 1; в) |х| > 3.
1063. а) Пусть а — Ь. Верно ли утверждение, что |а| — |6|?
б) Верно ли утверждение, что если |а| = |6|, то а - 6?
в) Какой знак неравенства следует поставить между числами
а и |а|?
1064. Справедливо ли при любых действительных значениях а
равенство:
а) |а2| = а2; б) |аэ| = а3;
в) |а2 + 3| = а2 + 3; г) |а+ 1| = а+ 1?
1065. Упростите выражение при х > 0; х < 0:
а) х + |х|; б) х - |х|; в) |х| • х; г) Щ '
1066. Запишите следующие выражения без знака абсолютной
величины, если известно, что а < 0:
а) |-а|; б) |а2|; в) |а3|; г) |а2 + 5|.
1067. Докажите, что при любом действительном значении х верно
равенство:
а) И - |-х|; б) k2 + 3| - I-? - 3|.
1068. Докажите, что если х > 0 н у < 0, то:
a)|x|-t/<0; б) * > 0; в) х + |t/| > 0; г)х-/>0.
ы
206
1069, Отметьте на координатной оси промежутки:
а) |х| < 2; б) |л| > 1;
в) 1,5; г) |х| > 0,2.
1070. Докажите, что если ~а < х <а, то |л| < а.
1071. Докажите, что:
а) (а| - |й| < la - й|;
6) ||а| - |й|| < \а - Ь\.
1072. Покажите, что:
а) если а < с < Ь, то \а — с \ < b ~ а н\Ь ~ с \ < b — а:
б) если а < с < й, то |с — а |< |й — а| и \b — с | < b — а.
9.2. Абсолютная погрешность приближения
Мы уже знаем, что если число а (ас чертой) мало отличается
от числа а, то говорят, что а приближенно равно а, и пишут:
а~а.
Говорят еще, что а есть приближение числа а. Напомним, что
знак «* — это зиак_приближениого равенства.
Величину 1а - а\ называют абсолютной погрешностью прибли-
женного равенства а^а или приближения числа а при номощи
числа а.
Другими словами^ абсолютной погрешностью приближения числа
а при помощи числа а называют абсолютную величину разности этих
чисел.
Всякое число h, большее абсолютной погрешности приближения
или равное ей:
й > \а - а|,
называют оценкой погрешности приближения или, коротко,
погрешностью приближения (а ~ а ).
Очевидно, абсолютная погрешность приближения есть наимень-
шая (самая малая) погрешность приближения.
Ясно, что если число h — погрешность приближения, то любое
большее его число й, (кх > й) также есть погрешность приближении.
Абсолютную погрешность приближения важно знать. Однако иа
практике она далеко ие всегда может быть известна. Поэтому обычно
находят лишь погрешность приближения. При этом стараются, чтобы
погрешность была записана в достаточно простой форме н чтобы она
не была очень завышена.
Если число а удовлетворяет неравенствам
ах < а < а2,
где ах и а2— приближение числа а (ах « а, а2 ®а), то говорят, что ах
есть приближение с недостатком (снизу), а а2 есть приближение с
избытком (сверху) числа а с точностью до а2— ах.
207
Пример 1. Имеет место приближенное равенство
17,32 = 17
с точностью до 1, потому что
|17,32- 17| = 0,32 < 1.
В данном случае абсолютная погрешность равна 0,32, ио в
качестве погрешности мы сочли нужным взять число 1.
Например, если расстояние между двумя автобусными останов-
ками 17,32 км, то во многих случаях мы сказали бы, что оно равно
17 км и иас бы поняли в том смысле, что 17 км есть приближенное
значение расстояния между остановками с точностью до 1 км.
Пример 2. Имеет место приближенное равенство
879 = 900
с точностью до 50, потому что
1900- 879| = 21 <50.
В данном случае абсолютная погрешность приближения равна 21,
но в качестве погрешности мы сочли нужным взять число 50.
Например, при оплате железнодорожного проезда большие расстоя-
ния выражаются с точностью до 50 км.
Пример 3. При измерении температуры больного обнаружили, что
уровень ртутного столба термометра находится между 38,3° и 38,4°.
Пусть Т — истинная температура больного. Тогда говорят, что Т
приближенно равна 38,3° с точностью до 0,1° с недостатком или Т
приближенно равна 38,4° сточиостью до 0,1° с избытком, и пишут:
Т “ 38,3°,
Т = 38,4°.
Точное значение Т нам неизвестно, абсолютная погрешность ука-
занных приближении тоже неизвестна. Однако мы знаем, что
38,3° < Т < 38,4°. Отсюда следует, что
|Т — 38,3°| < 0,1°,
|Т- 38,4°I < 0,1°.
Поэтому приближения (1) имеют место с точностью до 0,1°.
Пример 4. Для числа
а = -13,23089107
имеют место неравенства
-13,231 <а< -13,230,
показывающие, что
а= —13,231 и а = -13,230
с точностью до 0,001 соответственно с недостатком и избытком.
Числа можно приближать с округлением. Напомним процесс
округления иа примерах.
208
Примеры. Приблизим число а с точностью до второго знака после
запятой с округлением и укажем погрешность приближения, если:
1) а = 3,5629; 2) а = 3,56812; 3) а = 3,565.
1) В силу неравенств
3,56 < 3,5629 <3,57
в качестве приближения числа а=3,5629 с точностью до 0,01 можно
взять как 3,56, так и 3,57. Но если мы возьмем среди них ближайшее к
а число, то получим приближение с точностью до -- 0,01 = 0,005. Так
как у числа а третья цифра после запятой есть 2 и 2 < 5, то ближайшее
к а число есть 3,56.
2) Справедливы неравенства
3,56 < 3,56812 < 3,57.
При этом разность 3,57 — 3,56 = 0,01. Но число а = 3,56812 имеет
третью цифру после запятой 8, большую 5 (8 > 5). Следовательно, а
ближе к 3,57, чем к 3,56. Выбирая в качестве приближения число 3,57,
получим погрешность приближения, меиьшую чем 0,005.
3) Верны неравенства
3,56 < 3,565 < 3,57.
Третья цифра после запятой у числа а = 3,565 есть 5, т. е. а нахо-
дится посредине между числами 3,56 и 3,57. Мы берем в качестве
приближения с округлением большее из них: 3,57. Так принято.
Ответ: 1) 3,5629 = 3,56; 2) 3,56812 = 3,57; 3) 3,565 = 3,57.
Погрешность в трех случаях не превышает — • 0,01 = 0,005.
1073°. а) Что такое приближенное равенство?
б) Что такое погрешность и абсолютная погрешность прибли-
жения?
в) Каков знак приближенного равенства?
г) Что называют приближением с недостатком (снизу)?
д) Что называют приближением с избытком (сверху)?
1074. С какой точностью приближает число а} (а2) число а, если
й] < а < аа?
1075. Как иайти приближение числа с точностью до второго знака
после запятой с округлением? Какова погрешность этого
приближения?
1076°. а) Как читают выражение
б) Можно ли считать равенство 3 = 3 приближенным равенст-
вом?
1077°. Какие из чисел можно считать точными, а какие приближен-
ными значениями величин:
а) 7439 м — высоты пика Победы;
б)*16 см — ширина тетради;
209
в) 100 копеек есть один рубль;
г) 12° — температура воздуха?
1078. Укажите абсолютную погрешность приближения для
следующих приближенных равенств:
а) 2,7 *3; б) 5,789 = 5,79; в) 0,83 = 0,8; г) 32*30.
1079. Для следующих приближенных значений числа у укажите
абсолютную погрешность приближения:
а) 0,4; б) 0,5; в) 0,42; г) 0,43.
1080°. а) С какой точностью можно измерять длины с помощью
обыкновенной линейки?
б) С какой точностью показывают время электронные
наручные часы?
1081°. а) Можно ли считать приближение числа а с точностью до 0,01
приближением числа а с точностью до 0,1 ?
б) Можно ли приближение числа а с точностью до 0,01
считать приближением числа а с точностью до 0,001 ?
1082, Укажите иа координатной осн положение всех чисел, соответ-
ствующих приближениям числа 2,185 с точностью до:
а) 1; 6)0,1; в)0,01.
1083°. Какое приближение числа я *3,1415 лучше: 3,14 или 3,15?
1084. Приблизьте числа: 1372,05; 0,000137208; —1,3027;
— 17,002 с округлением с точностью:
а) до одной цифры после запятой;
б) до диух цифр после запятой;
в) до трех цифр после запятой.
Укажите абсолютную погрешность приближения.
9.3. Относительная погрешность приближения
Относительной погрешностью приближенного равенства
а~а
называют отношение его абсолютной погрешности к абсолютной ве-
личине числа а, т. е.
|д-а|
|а| '
Например, если
а= 17,83, а-18,
то получим приближенное равенство
17,83*18
с абсолютной погрешностью
|а-а| = 0,17
210
и относительной погрешностью
к~ ai = < 0а17. ==001
|а| 17,83 17
которая, как мы видим, оценивается сверху числом 0,01.
Если некоторое число превышает данное, то говорят, что оно
оценивает данное число сверху илн является оценкой сверху данного
числа.
Если бы кто-нибудь измерил длину детали, имеющей истинную
длину 10 см, и при этом допустил абсолютную погрешность, равную
1 см, то мы бы сказали, что это измерение плохое — приближение
грубое. Между тем если при измерении длины комнаты, истинная
длина которой 5 м, допустить ту же абсолютную погрешность 1 см, то
мы бы сказали, что это измерение неплохое. Точность приближения,
как правило, характеризуется не абсолютной погрешностью, а отно-
сительной. В примере с измерением детали относительная погреш-
ность равна |^, а в примере с комнатой относительная погрешность
равна . Чем меньше относительная погрешность приближения,
эии
тем более точным считается приближение.
В жизни нам часто приходится упрощать положительные числа,
заменяя в целом числе некоторые его последние цифры нулями нлн
заменяя нулями в десятичной дроби все цифры после запятой, начиная
с некоторой. Если известно, что в городе 253 624 жителя, то обычно
достаточно сказать, что в городе 253 000 или даже 250 000 жителей.
Мы упростим десятичную дробь 0,037123, если заменим в ней
последние три цифры нулями, получим дробь 0,037.
При этом 253 000 является приближением числа 253 624 с точно-
стью до третьей значащей цифры с недостатком; число 0,037—
приближением числа 0,037123 с точностью до второй значащей цифры
с недостатком.
В том случае, когда желают получить более точное приближение
числа, прибегают к округлению. Так, 254 000 есть приближение числа
253 624 с точностью до третьей значащей цифры с округлением. Число
0,037 есть приближение числа 0,037123 с точностью до второй
значащей цифры с округлением.
Возникает вопрос об оценке относительной погрешности при по-
добных упрощениях, которые можно рассматривать как приближен-
ные равенства.
Оценим относительную погрешность приближенных равенств
253 624 = 253 000, (1)
0.037123 = 0,037. (2)
При оценке относительных погрешностей удобно записывать числа
в стандартном виде. Запишем все числа в приближенных равенствах
(1) и (2) в стандартном виде:
2,53624 105 = 2,53 105, 3,7123' 10’2 = 3,7- 10’2.
211
Здесь число 2,53-105 есть приближение числа 2,53624*105 с
точностью до третьей значащей цифры с недостатком, а число 3,7 - 10”3
есть приближение числа 3,7123 • 10”2 с точностью до второй значащей
цифры с недостатком.
Легко видеть, что справедливы неравенства
|2,53624-2,53| <0,01,
|3,7123-3,7|<0,1.
Теперь оценим относительную погрешность приближенных
равенств (1) и (2):
1253624-2530001 = 12,53624-2,531 - 105 0,01 qi
253624 2,53624- 105 2,53624
|0,037123-0,037| = |3,7123-3,7Ь Ю~2 < 0,1 <л i
0,037123 3.7!23- IO’2 VI23
Этн примеры подтверждают справедливость следующего правила:
Если заменить положительное число его приближением с
точностью до k-й значащей цифры с недостатком, то относи-
тельная погрешность этого приближения не превышает 10-(*-0.
Теперь оценим относительную погрешность приближенных равенств
253 624-254 000, (3)
0,037123 » 0,037. (4)
В правых частях приближенных равенств (3) и (4) записаны
приближения чисел, стоящих в их левых частях, с округлением. За-
пишем все числа в равенствах (3) и (4) в стандартном виде:
2,53624- 105 «2,54- 10s,
3,7123 • 10’2-3,7- 10-2.
В этих приближенных равенствах число 2,54 • 10s есть
приближение числа 2,53624-105 с точностью до третьей значащей
цифры с округлением, а число 3,7- 10-2 есть приближение числа
3,7123- 10”2 с точностью до второй значащей цифры с округлением.
Легко видеть, что справедливы неравенства
12,53624-2,541< 1 - 0,01,
|3,7123-3,7|< | • 0,1.
Оценим относительную погрешность приближенных равенств (3)
и (4):
| 253 624 - 254 000J = 12,53624 - 2,54| • 105 2 ’ °’ 01 j n ni
253 624 2,53624- 10® 2.53624 2 ’ U’U ’
10,037123-0,0371 = |3,7123-3,7| • 10~2 < 2 ' 0,1 < 1 л 1
0,037123 3,7123 . i0-2 3,7123 2 ’ U’k
212
Эти примеры подтверждают справедливость следующего правила:
Если заменить положительное число его приближением с
точностью до k-й значащей цифры с округлением, то относитель-
ная погрешность этого приближения не превышает ~ • 10н*-1
Отметим, что число 0,037 является приближением числа 0,037123
с точностью до второй значащей цифры как с недостатком, так н с округ-
лением.
Пример 1. Приближение
0,012316 « 0,01231 (5)
произведено с точностью до четвертой значащей цифры с недостатком
(без округления), его относительная погрешность оценивается так:
11,2316-1,2311 • КГ2 0,0006 . П-3
1,2316-ПГ2 1,2316 <1и
Относительная погрешность приближенного равенства (5) не
превышает 10-<А-1>, где k = 4 — номер значащей цифры, с точностью
до которой произведено приближение.
Если же в равенстве (5) взять приближение с округлением
0,012316 «0,01232,
то его относительная погрешность оценивается так:
11,2316 - 1,2321- 10"2 < 10~3 < j_ 10-з
1,2316 - 10-2 1.2316 2
Пример 2. Оценим относительную погрешность приближения:
а) 32 481 « 32 400; б) 32 481 « 32 500;
в) 0,011756 « 0,01175; г) 0,011756 « 0 01Г76-
д) 9431 «9400.
Относительная погрешность приближенного равенства не превышает:
а)10-!;б)| - 10-*;в) 10"3;г)| • 10"3;д)| ' ЮЛ
Приближение в случаях а) и б) произведено с точностью до треть-
ей значащей цифры, в случае а) — с недостатком, в случае б) — с
округлением; в случаях в) и г) — с точностью до четвертой значащей
цифры, в случае в) — с недостатком, в случае г) — с округлением; в
случае д) — с точностью до второй значащей цифры с округлением.
1085°. а) Что называют относительной погрешностью приближения?
б) Сформулируйте правило оценки относительной погрешнос-
ти при упрощении записи числа.
213
1086. Для следующих приближенных равенств определите аб-
солютную и относительную погрешности:
а) 127 ~ 130; б) 17 — 20; в) 1,2« 1;
г) 0,12 «0,1; д) 0,185 «0,19; е) 1,00384 « 1,004.
1087. Округлите следующие числа до одной цифры после запятой и
определите абсолютную и относительную погрешности
приближения:
а) 0,48; 6) 1,324; в) 17,55;
г) -0,51; д) -1,287; е) -173,6051.
1088. Оцените относительную погрешность приближенного равен-
ства:
а) 23 392 « 23 000; б) 25,136 « 25;
в) 0,324 « 0,3; г) 0,000578 « 0,0006.
1089. Упростите с округлением следующие числа, заменяя послед-
ние две цифры нулями;
а) 71 523; 6) 0,568; в) 0,00328.
Оцените относительную погрешность полученных прибли-
жений,
1090. Округлите число до единиц и определите относительную
погрешность приближения:
а) 17,89; 6) 0,568; в) 0,98347.
1091. Упростите запись числа:
а - 23 807 113, b - 10,002348, с - 0,00238072113,
заменяя цифры, начиная с некоторого разряда, нулями так,
чтобы полученные числа приближали а, Ь, с с относительной
погрешностью, меньшей чем:
а) 0,001; 6) 0,0001.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
1. Абсолютная погрешность приближения суммы
и разности двух чисел
Пусть даны числа а и b и пусть а и b — их приближения. Будем
считать, что сумма а + b и разность а - b соответственно приближают
сумму а + b и разность а — b , т. е. будем рассматривать приближения
а + b« а + b,а — 6 « а-b.
Теорема. Абсолютная погрешность приближения суммы или
разности двух, чисел не превышает суммы абсолютных погрешнос-
тей приближений этих чисел.
214
Доказательство, Так как абсолютная величина суммы
двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, то
|(а + b)-(a + ft)| = |(а- а) + (Ь- Ь)\ <|а- а\ + |&- £|.
В левой части этого неравенства стоит абсолютная погрешность
суммы чисел а и Ь, а в правой — сумма абсолютных погрешностей
приближений этих чисел.
Аналогично
|(a-ft)-(a ~b)\ = |(а- a)- (b-ft)| < |а- а| +
Теперь в левой части неравенства стоит абсолютнаи погрешность
приближения разности чисел а и Ь, а в правой — сумма абсолютных
погрешностей приближений этих чисел, что и доказывает теорему.
Пример I. Приближенное неравенство
3,47086 + (-2,3697) » 3,47 - 2,36 = 1,11
имеет место с точностью до 2 • = 0,02, а приближенное равенство
3,47086 4- (-2,3697) ® 3,47 - 2,37 =1,10
ю-г
имеет место с точностью до 2 • = 0,01, потому что мы приближали
слагаемые с округлением.
Пример 2. Приближенное равенство
-3,(01) 4-(-6,(724)) « -3,0101 4-(-6,7247) = -9,7348
имеет место с точностью до 2 • 0,0001=0,0001, потому что мы
приближали слагаемые с округлением.
1092°. а) Как оценивают абсолютную погрешность суммы, разности
двух чисел?
б) Если приближенно вычисляют сумму нлн разность двух
чисел с точностью до 10~3, то как надо упростить этн числа?
1093. Оцените точность приближенного равенства:
а) 123 784,5 4- 3897 ~ 124 000 + 4000 = 128 000;
б) 0,784 4- 0,385 ~ 0,7 4- 0,3 = 1,0;
в) 2,583012 4- 7,00284 ~ 2,583 4- 7,002 = 9,585;
г) 0,5872 4- 0,3895 ~ 0,59 4- 0,39 = 0,98.
1094. Найдите приближенно а 4- b и а — Ь, приближая а н Ь до
сотых с округлением. Определите точность приближения
а 4- b и а — Ь, если:
а) а = 12,35817, b = 6,9879;
б) а = 7,1723, b = 0,8192;
в) а = 11,1429, b = 3,2872;
г) а = —3,12(27), Ь= 1,22(891);
д) а = 17,23(38), Ь = -21,(136).
215
1095. Найдите с точностью до 0,01 сумму и разность чисел:
а) а = 3,1567, b = 2,0921;
б) а - 17,3281, b = -2,9856;
в) а = -7,0003, Ь~ -2,9812.
2. Абсолютная погрешность приближения
суммы нескольких слагаемых
Теорема о погрешности приближения суммы двух слагаемых обоб-
щается на любое конечное число слагаемых.
Теорема. Абсолютная погрешность приближения суммы
конечного числа слагаемых не превышает суммы абсолютных
погрешностей этих слагаемых.
Доказательство. Пусть имеются приближенные равенства
а ~ а , b ~ b , ..., со- со,
а + b + ... + со ~ а + b + ... + со.
Тогда _ _
|(й + b + ... + со) — ( й + b +.,.+ со | =
= |(й— я) + (Ь — b ) + ... + (со — со)| <
< |й - а | + - b | + ... + |со- со|.
В левой части этого неравенства записана абсолютная погрешность
приближения суммы слагаемых а, Ь, ..., со, а в правой — сумма аб-
солютных погрешностей приближений этих слагаемых, что и доказыва-
ет теорему. z
Пример /. Дана таблица приближений 20 чисел:
йи й2, ,,,, й20.
Первые десять из этих приближений: aL, а2, ..., а 10 даны с точностью
до третьего знака после запятой с округлением. Последующие же
десять приближений; аи, й12, ..., aw даны с точностью до второго
знака после запятой тоже с округлением.
Найдем погрешность приближенного равенства
й1 + й2 + ... + й^ ~ а, + а2 + ... + й2(1 . (1)
Для этого надо сложить погрешности приближенных равенств
Л] ~ О [ , ..., Йщ й]0, й u йц , ..., Й20 а 2/0 .
Каждое из первых десяти приближений имеет погрешность ± - 10’1--
= каждое из последних десяти приближений имеет погрешность
2^ ' = гбо • Поэтому абсолютная погрешность приближенного
равенства (1) не превышает числа
10 -I- +10'-L = -!- + l = Ai_,
2000 200 200 20 200
216
Пример 2. Дано 20 чисел (десятичных дробей):
..., а20.
Вычислим сумму этих чисел приближенно с точностью до 0,1.
Если числа задать с точностью до 10“*, то сумма их будет отличаться от
истинной суммы не более чем на величину h = 20 • 10"*.
При k = 1 получаем, что h = 2.
При k = 2 получаем, что h = 0,2.
При k = 3 получаем, что h = 0,02 <0,1.
Итак, заданные числа надо взять с тремя знаками после запятой.
Если их сложить, то полученная сумма будет приближенно равна
истинной с точностью до 0,02, тем более с точностью до 0,1.
Однако если мы запишем приближения наших чисел с округлением с
двумя знаками после запятой, то эти числа приближают соответствующие
числа с точностью до ~ 10“2. Тогда их сумма будет приближенно равна
истинной с погрешностью, равной
20- 10“2 = 0,1.
Мы видим, что более экономно поставленную задачу можно
решить, беря приближения чисел с двумя знаками после запятой, но
с округлением.
1096°. а) Как оценивают абсолютную погрешность приближения
суммы нескольких слагаемых?
б) Если требуется найти приближенно 20 дробей с точностью
до 0,1, то как лучше их упростить?
1097. У чисел 7,178219; 9,000017; 11,532478; 0,543712 оставьте
три знака после запятой с округлением. Определите, с какой
точностью сумма полученных таким округлением чисел
приближает истинную сумму.
1098. Какие упрощения чисел: 0,378561; 2,235622; 3,789012;
4,251617 необходимо провести, чтобы их сумма была
получена с точностью до 0,1? Выполните сложение данных
чисел.
1099. Пол комнаты состоит из 17 досок, ширина каждой из которых
35 см с точностью до 0,5 см. Какую возможную ошибку мы
сделаем, если будем считать, что ширина комнаты (в
направлении ширины досок) равна приближенно 35 • 17 см?
3. Приближение произведения
Рассмотрим приближенные равенства а ~ а , b ~ b . _
Будем считать, что а^Оиб^Он что произведение а b прибли-
жает произведение ab;
ab~ ab. (1)
217
При оценке относительной погрешности произведения обычно
пользуются следующим правилом:
Относительная погрешность приближения произведения
чисел а и b не превышает суммы относительных погрешностей
этих чисел:
<2’
Замечание. Это правило не совсем точно, но оно широко
применяется в практике вычислений, когда относительные по-
грешности приближений чисел а и b настолько малы, что можно
пренебречь их произведением сравнительно с самими погрешностями.
В самом деле, так как
ab- ab =а(Ь- Ь) + Ь(а-а) =
= a(b-b) + b(a-a) + (b-b)(a-a),
то абсолютная погрешность приближения (1) оценивается следующим
образом:
lab-abl <|fr||a- а| + |a||fr-fr| + |fr-fr||a- а|, (3)
потому что абсолютная величина суммы не превышает сумму
абсолютных величин и абсолютная величина произведения равна
произведению абсолютных величин.
Разделив неравенство (3) на произведение |a||fr|, которое по
предположению ие равно нулю, получим
I afr- a Ь I <1 а - а I д.1 & - Ь I +1 а - я I |б-&| /4)
I ab П а | | b | | а | | b Г * '
Следовательно, относительная погрешность приближения пронз-
ведения двух чисел а и b оценивается при помощи формулы (4).
Обычно приближения чисел выбирают так, что их относительные
погрешности малы настолько, что их произведением можно пре-
небречь сравнительно с нх суммой. Таким образом, в правой части
неравенства (4) можно опустить третий член и мы получим неравен-
ство (2).
Отметим, что при приближенном вычислении произведения чисел
а и b относительные погрешности |£~._41 н надо стараться
сделать равными.
Пример. Найдем приближенно произведение двух чисел
а = 3,7536 и b = 12,289
с относительной погрешностью, меньшей, чем 0,02.
Если приблизить числа а и b с относительными погрешностями,
не большими 0,005, то относительная погрешность приближения
произведения не будет превышать 0,01. Имеем
а = 3,7536 -3,75
218
с относительной погрешностью, не большей 0,005;
Ь = 1,2289-10 «12,3
с относительной погрешностью, не большей 0,005;
^ = 3,75- 12,3 «46,125
с относительной погрешностью, не большей
0,005 + 0,005 «0,01.
Округлим полученное число 46,125 с точностью до третьей значащей
цифры: 46,125 «46,1 (с относительной погрешностью, не большей
0,005). Тогда
ab «46,1 (5)
с относительной погрешностью, не большей
0,01 + 0,005 < 0,02,
и абсолютной погрешностью, не большей
0,02- |а6|< 0,02-4- 12,5 - 1,
так как |а| < 4, |Ь| < 12,5.
1100°. По какому правилу находят относительную погрешность
приближения произведения чисел?
1101. Вычислите приближенно с относительной погрешностью,
меньшей 0,001, произведение двух чисел:
а) 0,12345678... н 2,(7); б) 0,000(7) и 16,723561;
в) 1,(3) и 0,0001436; г) я н 1567,23.
1102. Вычислите приближенно с относительной погрешностью,
меньшей , произведение двух чисел:
а) 7,0(17) и 12,345678;
б) 0,013133133313... н 16,723561;
в) 72 и 73;
г) 75 и 77.
4. Приближение частного
Пусть даны приближения чисел а и Ь, отличных от нуля:
а = а , b = b , Ъ* 0.
Рассмотрим приближение частного этих чисел:
| = (1)
6 ь
Прн- оценке относительной погрешности приближения частного
обычно пользуются следующим правилом:
219
£ _ а
b b
а
b
Относительная погрешность приближения частного чисел а
и b не превышает суммы относительных погрешностей прибли-
жений этих чисел:
е |д-д | 4-
Замечание. Это правило не совсем точно, но оно широко
применяется в практике вычислений, когда число b настолько близко
к числу Ь, что можно считать, что абсолютная величина нх отношения
не превышает
В самом деле, так как
а _ Й _ ab-ab __ ab-ab + ab-ba __ a(b-b) + g- a
b b bb bb bb b ’
то абсолютная погрешность приближения (1) оценивается следующим
образом:
Разделив это неравенство на число |£|, по условию не равное
нулю, получим
Итак, относительная погрешность приближения (1) оценивается
при помощи формулы (3).
Из этой формулы мы теперь получим более простую формулу (2),
если b возьмем настолько близким к б, чтобы можно было считать,
что имеет место неравенство
Далее для оценки относительной погрешности мы будем пользо-
ваться неравенством (2).
Отметим, что при приближенном вычислении частного чисел а и b
надо стараться сделать равными относительные погрешности
Пример. Пусть 12,345, b — 0,7876. Вычислим приближенно
частное ~ с относительной погрешностью, не большей 0,02.
220
Так как a = 1,2345- 10 — 1,23 • 10 с относительной погрешностью,
ие большей 0,005, и b = 7,876 - 10”1 « 7,88 • 10~1 с относительной
погрешностью, не большей 0,005, то
| « 7^3 ' £ - 102-0,15609... = 15,609... (4)
с относительной погрешностью, не большей 0,005 + 0,005 = 0,01.
Округлив число в правой части равенства (4) с точностью до
третьей значащей цифры, получим приближение
15,609 — 15,6
с относительной погрешностью, не большей 0,005. Эту погрешность
тоже придется учесть. Окончательно получаем приближение
| « 15,6
с относительной погрешностью, не большей
0,01 + 0,005 <0,02,
и с абсолютной погрешностью, не большей
0,02 - ||| < 0,02 - = 0,4,
так как |а| < 14, |£>| > 0,7.
1103°. По какому правилу находят относительную погрешность
приближений частного чисел?
1104. Вычислите приближенно с относительной погрешностью,
меньшей 0,01, частное двух чисел:
а) 0,12345678... и 2,(17); б) 12,3(4) н 0,0156;
в) 123,567 и 0,13(7); г) 4,(567) н 31,5(32).
1105. Вычислите приближенно с относительной погрешностью,
меньшей , частное двух чисел:
а) 7,9(17) н 1,234567...; б) 12,(45) н 0,012(4);
в) л/3 и 72; г) 75 и 77.
5. Приближенные вычисления с калькулятором
Практические вычисления, подобные рассмотренным выше,
производят на электронных калькуляторах. Как это делать, подробно
рассказывается в инструкции, которая прилагается к каждому каль-
кулятору. Поэтому мы остановимся только на некоторых вопросах,
связанных с приближенными вычислениями. Сами вычисления каль-
кулятор производит моментально. Однако это не значит, что знания
об абсолютных и относительных погрешностях не нужны тому, кто
пользуется калькулятором. Они нужны, чтобы правильно поставить
задачу, чтобы вычисления не были излишне громоздкими.
221
Кроме того, эти знания помогают правильно читать результаты,
полученные с помощью калькулятора. Если на табло калькулятора, в
который внесены приближенные значения чисел, получено число с
восемью знаками, то они не всегда верные. Надо разобраться в том,
какие из них заведомо верные и какие следует отбросить. В этом
помогут знания об абсолютных и относительных погрешностях.
Отметим, что калькуляторы обычно дают результаты без округ-
ления.
В настоящее время выпускается довольно много различных моде-
лей калькуляторов.
Мы будем далее говорить о конкретном калькуляторе
«Электроника БЗ-38». Но факты, о которых будет идти речь, имеют
место по аналогии и для других калькуляторов.
В калькулятор «Электроника БЗ-38» вводятся числа, каждое из
которых состоит не более чем из восьми цифр.
Например, числа 13,757689; 0,00035; 0,0000001; —2,000002 каль-
кулятор принимает.
Такне числа можно на калькуляторе складывать, вычитать, умно-
жать, делить. На табло калькулятора результат выдается в виде числа,
записанного не более чем восемью цифрами.
Если точный результат выражается не более чем восемью
цифрами, то он и выдается на табло. В этом случае результат получен
точно.
Если же точный результат выражается более чем восемью
цифрами и его абсолютная величина меньше 10е, то иа табло появля-
ется приближенное значение результата, состоящее из первых его
восьми цифр.
Если же абсолютная величина результата будет больше чем 10е,
то приходится уже поступать иначе, применяя запись чисел в
стандартном виде.
Например, воспользовавшись калькулятором, получаем
356 х 781= 278 036, (1)
23,1 х 3,47= 80,157, (2)
35,272 х 62,116 « 2190,9555, (3)
0,00304 х 85,123 « 0,2587739, (4)
20,2 х 187 235- 3 782 147, (5)
23 : 2,1 ~ 10,952381. (6)
В этих равенствах каждое из данных чисел состоит не более чем
из восьми цифр. Такие числа калькулятор принимает.
Равенства (1) и (2) точные, потому что произведение двух чисел,
каждое из которых состоит из трех цифр, само состоит не более чем
из шести цифр. Такие числа калькулятор выдает точно.
Равенство (3) приближенное, верное с точностью до четвертого
знака после запятой. Калькулятор вычислил произведение точно и
отбросил (без округления!) лишние (сверх восьми) цифры:
35,272 х 62,116 = 2190,955552 « 2190,9555.
222
Таким образом, этот приближенный результат получен с
точностью до 0,0001 = 10-4, т. е. с абсолютной погрешностью, мень-
шей чем 10-4.
Аналогично калькулятор вычислит результаты в случаях (4), (5) и (6).
В приведенных примерах считалось, что в калькулятор вводились
точные числа, Одиако иа практике часто приходится вводить в каль-
кулятор результаты измерения некоторых величин, т. е, их приближе-
ния. В этом случае результаты вычислений могут получиться с
большими погрешностями, чем указывалось выше. Как обычно, мы
будем считать, что результат измерения некоторой величины а (длины,
площади, массы ит. д.) произведен с точностью до последнего знака
этого числа.
Пример. Вычислим иа калькуляторе произведение и частное чисел
а и 6, приближения которых 35,1 и 0,871, и упростим полученный
результат с относительными погрешностями, ие большими чем 0,021:
ab~ 35,1 0,871 = 30,5721 « 30,57,
а : Ь « 35,1 : 0,871 = 40,298507 « 40,30.
Пояснение. Имеем а ® 35,1, 6 — 0,871 с относительными
погрешностями, не большими 0,01. Далее, ab — 30,5721 с относитель-
ной погрешностью, ие большей чем 0,01+0,01=0,02, и
30,5721 -30,57 с относительной погрешностью, ие большей чем
0,001. Окончательно ab « 30,57 с относительной погрешностью, ие
большей 0,02 + 0,001 — 0,021.
При делении а : b « 35,1 : 0,871 имеем относительную погреш-
ность, ие большую чем 0,02.
Калькулятор выдал иа табло число 40,298507 с относительной
погрешностью, меньшей чем 0,02. Наконец, мы округлили число
40,298507 с относительной погрешностью, меньшей чем 10-3.
В результате накопилась относительная погрешность, ие большая
чем 0,02 + 10-3 = 0,021. Итак, если а — 35,1, 6 — 0,871, то а:6~
— 40,30 с относительной погрешностью, ие большей 0,021.
6. Исторические сведения
Изучение математических рукописей Древнего Египта и Вавилона
показывает, что еще в глубокой древности возникли некоторые
приемы приближенных вычислений. Под влиянием развития астроно-
мии, мореплавания и техники методы приближенных вычислений
совершенствовались.
Большие заслуги в развитии теории приближенных вычислений
имеет российский академик Алексей Николаевич Крылов (1863—1945),
который писал: «Во всех справочниках, как русских, так и
иностранных, рекомендуемые приемы численных вычислений могут
служить образцом, как эти вычисления делать ие надо... Вычисление
должно производиться с той степенью точности, котораи необходима
для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а
всяка и лишняя цифра — половину ошибки».
223
Чтобы в приближенных вычислениях можно было из самой записи
приближенного числа судить о степени его точности, А. Н, Крылов
предложил следующее правило: «Приближенное число следует запи-
сать так, чтобы все цифры, кроме последней, были бы надеж-
ными», т. е. верными.
А. Н. Крылов был не только видным математиком, но и выдающимся
механиком-кораблестроителем, сделавшим ряд важнейших технических
открытий.
7. Задания для повторения
1106 '. Верно ли неравенство:
а) 2 < 3; б) 5 < 5; в) 0 < 2 <5; г) 0,4 < 0,4 < 5?
1107°. Прочтите запись:
а)7< 12; б)-1 > -10; в)5<5;
г) 2 < 3 < 4; д)3<3<4; е) - 8<0< 10.
1108. Сравните:
а) 3 и 5; б) 2,546 н 2,545; в) —2 и —6;
г) 2,(3) и 2,3; д) | и 0,25; е) 0,12(5) и | ;
ж) и—0,(3); з)-|и—0,6; и)—ли-3,14;
о о
к) 75 и 2,2; л)-73и3"2; м) — 32и3-2.
1109. Известно, что а > Ь. Получится ли верное неравенство, если
обе части данного неравенства:
а) увеличить на 7; 8; б) уменьшить на 3; 2;
в) умножить иа 5; —4; г) разделить на 2; —6?
1110. а) Запишите верное неравенство, полученное умножением
неравенства 15 > 0 на число 2; —3.
б) Запишите верное неравенство, полученное делением
неравенства —12 < —9 на число 2; —3.
1111. Докажите, что если:
а) а 0, то а2 > 0; б) а > b > 0, то а2 > Ъ2.
1112. Для чисел а и b найдите с, такое, чтобы а < с < Ь\
а) а = 0, b = 0,0123(1); б) а = 2,13(4), b = 2,135;
в) а = -1,6 = 0,172; г) а = -3,231, b = -1,17(35).
1113. Справедливо ли двойное неравенство:
а) 0,75757 < 0,75 < 0,75758;
б) 3,023023 < 3,(023) < 3,023024?
1114. Изобразите иа числовой оси числа:
а) 72 и 1,4; б) 1,7 и 73;
в) 73 , 7572+1; г) 7П;3,2;7ТЗ.
Вычислите (1115—1117):
1115. а) (2^-372 + 7б)(7б-^-273) + 873-47б;
б) (78 - 372 + 7Тб)(72 + 75)-275 + 716 - 572.
224
/ Ч \-2 / 1 \2 /1 х-2 2~3- V - —(4 з-1 + (-1,51)°
1116. и ю to + 1 4 сл|- Ч ' О + Cj к СП С* eg to 1 fC
1117. 9 - 1000 + 999 _ 998 . 997 996 , , 1 . ’ 1001 1001 1001 1001 1001 1001 ’ 5- 1002 4- 100J 1000 + 999 998 , . 35 ; 1003 1003 1003 1003 1003 1003 ’
1118. Сумма трех чисел равна 254,772. Если в одном из чисел перенести запятую на две цифры вправо, то получится большее
нз чисел, а если перенести запятую в том же числе на одну
цифру влево, то получится меньшее число. Найдите эти числа.
1119. Сумма трех чисел равна 3898,32. Если в одном нз чисел
перенести запятую на одну цифру вправо, то получится боль-
шее число, а если в этом же числе перенести запятую на одну
цифру влево, то получится меньшее из чисел. Найдите эти
числа.
1120*. Имеется 7 телефонов, и каждый из них должен быть соединен
только с тремя другими. Можно ли это сделать?
1121. Могут ли три человека преодолеть расстояние 36 км не более
чем за 6 ч, если скорость пешехода равна 5 км/ч, но у них име-
ется велосипед (рассчитанный только на одного человека), на
котором можно передвигаться со скоростью 15 км/ч? Если от-
вет положителен, то укажите решение; если ответ отрицате-
лен, то докажите невозможность решения.
1122. Запишите общую формулу чисел, которые при делении и на 3,
и на 4 дают в остатке 1.
1123. Запишите общую формулу чисел, которые при делении и на 10,
и на 7 дают в остатке 2.
1124*. Найдите условие, при котором сумма данного двузначного
числа и числа, записанного теми же цифрами, но в об-
ратном порядке, представляет точный квадрат натурального
числа.
1125*. Найдите условие, при котором разность между данным дву-
значным числом и числом, написанным теми же цифрами, но в
обратном порядке, представляет точный квадрат натурального
числа.
1126. Какой цифрой оканчивается произведение всех нечетных дву-
значных чисел?
1127. Сколькими нулями оканчивается произведение натуральных
чисел от 1 до 20?
1128. Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел
быть простым числом?
1129. Докажите, что сумма двух последовательных четных чисел не
делится на 4.
1130. Докажите, что разность трехзначного числа и числа, записан-
ного» теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.
Делится ли эта разность на 27?
8 Алгебра 9 класс.
225
1131. а) Докажите, что трехзначное число, записанное тремя одина-
ковыми цифрами, делится на 37.
б) Докажите, что четырехзначное число, записанное четырьмя
одинаковыми цифрами, делится на 101.
1132. Докажите, что при любом целом значении k число k3 + 3fe2 + 2k
делится на 6.
1133. Докажите, что если А — любое нечетное число, то число А2 — 1
делится на 8.
1134. Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры
одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и само число де-
лится на 7. ’ .
1135. Докажите, что если В — целое число, то число В2 (В> — 1) де-
лится на 4.
1136. Найдите наименьшее натуральное число, которое при умноже-
нии на 2 становится квадратом, а при умножении на 3 — кубом
целого числа.
1137. Расшифруйте равенство** +*** = ****, если каждое из сла-
гаемых и сумма не изменяются прн чтении их справа налево.
1138. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру
перенести на первое место (на место сотен), то полученное
число будет на 1 больше утроенного первоначального числа.
Найдите это число.
1139. Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить
из 264 белых и 192 красных тюльпанов?
1140. Сумма двух натуральных чисел больше 360, но меньше 400.
Наибольший общин делитель этих чисел — 32. Найдите эти
числа, если ни одно нз них не является делителем другого.
1141. Найдите два целых числа, зная, что их сумма 168, а наибольший
общий делитель 24.
1142. Докажите, что если А + В + С = 0, то А3 + В3 4- С3 = ЗАВС.
1143. а) Докажите, что если число прн делении на 9 дает в остатке 3
или 6, то куб этого числа делится на 9. Делится ли куб этого
числа на 27?
б) Докажите, что если число при делении на 9 дает в остатке 1,
то и квадрат этого числа прн делении на 9 дает в остатке 1.
1144. а) Докажите, что если k — натуральное число большее 4, то
число fe4 — 4fe3 — 4k2 + 16fe делится на 384.
б) Докажите, что если k — натуральное число большее 2, то
число kb — 5fe3 + 4k делится на 120.
1145. Участникам школьной математической викторины было пред-
ложено 30 вопросов. За каждый правильный ответ засчитыва-
лось 7 очков, а за неправильный списывалось 12 очков. Сколь-
ко верных ответов дал участник викторины, если он набрал 77
очков?
1146. В чемпионате области по футболу участвует 30 команд. Сколь-
ко нгр необходимо сыграть, чтобы каждая команда встретилась
с каждой по одному разу?
1147. а) Докажите, что если А< В нС > К, то А — С < В — К.
226
б) Докажите, что если положительные числа А, В, С, К удов-
летворяют неравенствам А < 5 и С > К, то они удовлетворяют
А Я
и неравенству 4 < -р- .
С л
1148. Докажите, что если:
а) а > 0 и а — Ь, то ak — bk при любом натуральном А;
б) а > b > 0, то а* > Ь* при любом натуральном k.
Сформулируйте и докажите утверждения, обратные утвержде-
ниям а) и б).
1149. На координатной осн изобразите множество чисел:
а) |х| < 2; б) |х|> 1; в) |х| < 0,5.
1150. На координатной плоскости изобразите множество точек,
координаты которых удовлетворяют условиям:
а)х = 1,2 < у < 3; б) 1 < х < 4, у = 5;
в) |х| > 2,у < 5; г) |х| < 3, |f/| < 2.
1151. Какой отрезок симметричен относительно оси Ох отрезку, за-
данному условиями: у = 2, 1 < х < 2?
1152. Разложите многочлен иа множители:
а) х4 + 1; б) х3 - 7х — 6.
Решите уравнение (1153—1155):
1153. а) |х|-9; б) |х|= 1,5; в) |х- 1| = 2;
г) х-2|= 1; д) |х + 3| = 1; е) |х+ 11= 3.
1154. а) 2х-1| = 5; б) ]Зх + 2|-4;
в) 7-Зх| = 4; г) |-2-Зх| =5.
1155. а) х2 + 2) |2х- 1| = 0; б) | х4 + 1] = х4 + х;
в) х| = х + 2; г) |х| = 2х + 1;
д) х-3| = х; е) | х + 21 = 2х.
1156. Может ли биквадратное уравнение иметь одни корень; два
кория; три корня? В каждом случае, если ответ положителен,
приведите примеры.
1157. Найдите число х, удовлетворяющее равенству:
a) Jx + 1= 5; б) л/к + 3= 1;
в) 72х -1 = 3; г) 73х- 2 = 4.
Пусть буквами хна обозначены числа, при которых выраже-
ния имеют смысл. Упростите выражение (1158—1159):
1 1 СО я \ 1 + _____1_____ + ____1______L ____1____ _L.
7х(х+1) (х+1)(х + 2) (х + 2)(х + 3) (х + 3)(х + 4)
+-----!----- •
(х + 4)(х + 5) ’
б) —+ 1 ++ 4 + —8— + 1® ,
1-х х + I 1 +х2 1 1 +хв 1 +*»•
1159. а) (1 —(1 — )’“ + (1 -(1 - ab~' )-1 )'2;
б) (а + л/аб) 7^!)'1 + (а-7о^Л)’1.
1160. Докажите, что если ЛВС = 1, то
____I___+______1___+______I____= 1.
1 +4 +4В I+/1C + C 1+В+ВС
В» Алгебра 9 класс.
227
1161. Решите уравнение:
a) -J-,. - 1; б)
В1 2 —*0_____1_.
} х2 + 10х+25 25-х2 х-5 ’
н 1 + 12 = 1
7 ха-12х+36 36-х2 х + 6 ‘
1162. Решите систему уравнений:
а) f(x-5)(x + у) = -20,
Э) ((у-8)(х + у) =-10;
Г(х + 10)(у-12) = 0,
в) | уа-1бо ,0 2х.
1 у-2х
[ хг + у2 + х-у = 44,
д) 1 £. _ 1 = 1 _ К-
^2 х х’
J(jc + Зу-6)у-2х = 0,
[(2х + у- 12)у-2х = 0
[ху + 5 (х-у) = 7,
I х2 + у2 + 5 (х-у) = 10;
(х + у = ху,
1 ху = X2 + у2-
(2х2-4ху + 3у2 = 36, ' Г 2х2-3ху + Зу2 = 128,
[Зх2-4ху + 2у2 = 36; 3 [ 3х2-3ху + 2у2 = 128.
1163. Постройте график функции:
а)у--|х|; б)у=|х-1|; в)у=|2х+1[;
г)у-х+|х|; д)у-х-|х|; е)у = ^1;
1164. Запишите числа в виде десятичных дробей и расположите их в
порядке возрастания: , A t 1L .
1165. а) Запишите в порядке возрастания числа:
3,(007); —0,2303003000...; 3,(0008); 3,(009); -0,23(1);
-0,231(07).
б) Запишите в порядке убывания числа:
-2,(05); -2,0(5); -0,00(1); -0,(001); -2^- ; -0,001.
1166. Округлите до третьего знака после запятой следующие числа:
а) 37,57891; б) 0,002576; в) -117,00992;
г) 0,3(9); д) -31,72(13); е) 0,00(08).
1167. Округлите число 87,5562 до сотых с недостатком и с избытком.
Определите абсолютную и относительную погрешности каж-
дого приближения.
1168. Запишите в виде десятичной дроби с точностью до 0,01 числа:
a) if; б) 2|; в) £; г)
228
1169. Как можно записать, что:
а) приближенным значением числа а является число а, с
точностью до 1;
б) приближенным значением числа а является число с
точностью до h?
1170. а) Если 5,23 < а < 5,27, то чему равны приближения снизу (с
недостатком) и сверху (с избытком)?
б) Если 0,256 < а < 0,253, то может ли а быть равным:
0,2574; 0,2579; 0,256; 0,258?
1171. Известно, что 0,25 < а < 0,27. Приведите примеры возможных
точных значений а.
1172. Вычислите приближенно с точностью до 0,1:
а) 0,385 + 3,7; б) 586,(5) + 3,7(8);
в) 0,38426- 0,151892; г) 78,54289 - 3,78254;
д) 2,875684-0,3867; е) 2,333... • 0,28567;
ж) 78,56634:0,5048; з) 4,2534: 1,38456.
8а*
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
ПО ПРОГРАММЕ 7—9 КЛАССОВ
1. 1) Вычислите (5,25 - 4 : 1,45 - (7 | - 6,875): 0,75.
2) Упростите выражение + * 4 + 1
3) Постройте график функции у = х — 1. Определите интер-
вал, на котором функция принимает положительные значеиня.
4) Сумма двух чисел равна 2, а их произведение равно —35.
Найдите эти числа.
2. 1) Вычислите 5 4 + f3,25 + 2 1): 2,6 — • 2,25.
о \ 6 / 3
2) Упростите выражение ( / + 9 + •
k?-6x + 9 З-aJ х2_9
3) Постройте график функции у = — 2х — 2. Определите интер-
вал, на котором функция принимает отрицательные значения.
4) Произведение двух чисел равно 20, а их разность равна 1.
Найдите эти числа.
3. 1) Вычислите 2: 2,25-
2) Упростите выражение - Х3+f
3) Постройте график функции у = ^х + 1. Определите, прн
□
каких значениях х функция принимает отрицательные
значения.
4) Площадь прямоугольника равна 4 дм2, а периметр 17 дм.
Определите стороны прямоугольника.
) -4,8.
4, 1) Вычислите (4 f : 3,5 + 3,5 :4 |
\ □ □
2) Упростите выражение ~ + ~~ .
3) Постройте график функции у = —0,5х + 2. Определите,
прн каких значениях х функция принимает положительные
значения.
230
4) Одна сторона прямоугольника на 3 м короче другой.
Определите стороны прямоугольника, если его площадь равна
1,75 м2.
12,8 -4,125
5. 1) Вычислите --------.
9 4 . 3
7'35
2) Упростите выражение 2m----„ т~4---:—-—
пг + 8т+16 16-гп
3) Решите систему уравнений графическим способом:
x + y = 3f
Зх-у = 1.
. f^ + i = l
4) Решите систему уравнении < х у
[х-у = 2.
28,8:13 у +6,6 • 1-1
6. 1) Вычислите ----------------— .
1 : 1,35
80
2) Упростите выражение Зх + & + : '
3) Решите систему уравнений графическим способом:
х-у = 4,
2х + у = 2,
4) Решите систему уравнений
х + у = 4,
7. 1) Вычислите (°’29I09)1»25.,.
(i8-7 * 9-|6fH
2) Упростите выражение г’ .
Ух-Jy Jx+Jy
3) Решите систему уравнений графическим способом:
{ х + Зу = 5,
[ Зх 4- у = -1.
4) Фрезеровщик должен изготовить к определенному сроку
80 деталей. Если ои будет изготавливать за смену на одну
деталь больше, чем предусмотрено планом, то закончит рабо-
ту на 4 дня раньше срока. За сколько дней планировалось
выполнить работу?
231
8. 1) Вычислите ,
(2,4- 1,3) =4,3
2) Упростите выражение + ^, + *.
3) Решите систему уравнений графическим способом:
j 2х + у = 1,
[х-2у = 8.
4) Скорость товарного поезда на 12 км/ч меньше скорости
пассажирского поезда. Определите время, которое пона-
добится товарному поезду для прохождения участка длиной
52 км, если пассажирский поезд проходит такой участок бы-
стрее товарного на 18 мин.
9. 1) Решите неравенство Зх2< 10х — 3.
z
2) Упростите выражение
3) Решите уравнение
(х + 2)(х- 1)(х + 1)-(х-2)(х-3)(х + 3) + Зх-49 = 0.
4) Решите уравнение %[х2 = р
10. 1) Постройте график функции У= ~-
2) Решите уравнение x0J= 4.
3) Упростите выражение ( 6-д + 3 j ба-3 Л а2-324
а2 + 18а' а2 + 9
4) Решите уравнение
(х2 + 1)(х-2)-(х2 + 3)(х- 1) + 7х-1=0.
11. 1) Два автомобиля выезжают из одного города в другой.
Скорость первого иа 10 км/ч больше скорости второго, поэто-
му он проезжает весь путь на 1 ч быстрее второго. Опреде-
лите скорости автомобилей, если расстояние между городами
равно 560 км.
2) Решите уравнение ~2 - 2*± * = —2х .
3) Решите неравенство 4х2 + 6х < 9х2— 14х.
4) Постройте график функции у = — .
2 2
12. 1) Решите уравнение 2х1 -1= * ~2* + 16
3 о
2) Решите неравенство
2У~16 < Q
У + 7
232
3) Решите уравнение х 5= 0.
4) Сравните числа (27) э 4-(0,36)"°’5 и 27° — (0,75)“’.
13. I) Вычислите НГ И1Г"(0,3)’3 ' (“°’3)4" if ’
/' 1 1 \
2) Упростите выражение ["^Т+’П' -
3) Постройте график функции у = х2— Зх + 1.
4) Произведение двух целых чисел равно 30, а их сумма равна
11. Найдите эти числа.
14.1) Вычислите | 5 + : (2,5 1 - 0,875].
2) Упростите выражение ---
3) Постройте график функции у = 2х — х2.
4) Сумма двух целых чисел равна 6, а их произведение рав-
но — 7, Найдите эти числа.
15. 1) Вычислите 27 - Зл/бб - 15л/(Ь6 + 18JL2^ .
2) Упростите выражение -----------J---------.
^а-2 а + 2 as_4 J + 2
3) Постройте график функции у = 0,2хэ—3.
4) Произведение двух чисел равно 3,5, а их разность равна
6,5. Найдите эти числа.
16. 1) Вычислите (4-£- - 4~] 0,4 + 0,4 .
7 I 12 15J
2) Упростите выражение
X + Зх ( 3 _ х-9 А
х + 3 х-3 9-х2/ '
3) Постройте график функции у = — 0,5х2 + 1,5.
4) Разность двух чисел равна —9,7, а их произведение равно
— 12,3. Найдите эти числа.
X з _3
2- +
17. 1) Вычислите ----5—-------—i—.
12б"3 (0,1)-2 + (0,5)”2
2) Постройте график функции у = .
3) Десятый член арифметической прогрессии равен 17, а пя-
Хый член равен 4. Найдите сумму пятнадцати первых членов
этой прогрессии.
233
4) Решите систему уравнений <
[х + 2^=0.
18.1) Решите графическим способом уравнение
-И-1-х.
X
2) Двадцатый член арифметической прогрессии равен 20, а
сумма первых двадцати членов равна 430. Найдите разность
прогрессии.
3) Найдите область определения функции у = —- .
3 тс
4) Вычислите sin a, tg a, ctg а, если cos а = -^ и j < а< я.
19. 1) Разность арифметической прогрессии равна 0,4, а сумма
первых шести ее членов равна 30. Найдите десятый член
прогрессии.
2) Упростите выражение + ха^+ i +
3) Решите уравнение 12х — 71 = 3. _____
4) Найдите область определения функции у = Jx2 -5х .
20. 1) Первый член арифметической прогрессии равен 1,5, а сум-
ма первых двадцати членов равна 505. Найдите разность
прогрессии. Есть лн среди членов прогрессии число 29?
2) Упростите выражение
с3 + f-v^--2c3 + 1Y
\-3_J /к J
3) Найдите область определения функции
у = 7(х-2)(х-3).
4) Вычислите cos a, tg a, ctg а, если sin а = ~ и £ < а < я.
21. 1) Найдите первый член н разность арифметической прогрес-
сии, если аи + а6 = 22, а7 + а5= 16.
2) Решите уравнение (№ + 2х)2—14(х2+2х) —15 = 0.
3) Решите неравенство < 2.
4) Упростите выражение - cos2а.
22. 1) Расстояние между станциями А и В равно 240 км. Из В в
А вышел поезд. Через 30 мин навстречу ему из А вышел поезд
со скоростью, иа 12 км/ч большей. Найдите скорость каждого
поезде, если известно, что они встретились на середине пути.
234
2) Решите уравнение (х — 1) (х — 2) (х — 3) (х — 4) = 3.
3) Решите неравенство +2 >4.
4) Упростите выражение —sin2 а
23. 1) Первый член арифметической прогрессии равен 10, раз-
ность равна 4. Найдите ее одиннадцатый член и сумму первых
одиннадцати членов.
2) Решите систему неравенств
[5(% + 1)-9х-3 >-6(х + 2),
[3(3 + 2%) < 7х - 2 (х -8).
3) Решите систему уравнений
3(х- 1) = 5(// + 1),
7х-3у = 5х-у х+у
5 3 2 ‘
4) Решите уравнение Зх4 — 28Х2-!- 9 = 0.
24. 1) Найдите сумму шести первых членов геометрической
прогрессии, если формула я-го ее члена &„ = 4-(0,5),’“1.
2) Решите неравенство < 1 •
3) Решите систему уравнений
f^- + -L = 2,
х + у х-у
4) Сравните значения выражений (0,7) 5 и (0,7)°.
25. 1) Найдите сумму семи первых членов геометрической
прогрессии, зная, что прогрессия возрастающая и b5 = ЗЬН,
Ь{ + Ь3 = 15.
2) Решите уравнение (х2 — Зх)2+ 3(х2— Зх) — 28 = 0.
3) Решите систему неравенств
х-9 vх — 1 х-2
4 2 3
2-х< 2х-8.
4) Найдите значение выражения
-—cos2ct + sin2a если sin а = — ^ .
cosa-sin(2Jt-a) 2
235
26. 1) Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую рабо-
ту за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить
всю работу на 5 ч быстрее, чем второй рабочий, работая
отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно,
может выполнить всю работу?
2) Решите уравиеине (х2 — 6х)2 — 6(х2 — 6х) + 9 — 81.
3) Решите систему уравнений
I - £-2
х у
- + —=9
X у
4) Сравните значения выражений 81,2 и 0,5~2.
27. 1) Найдите двузначное число, зная, что цифра его единиц на
2 больше цифры десятков и что произведение этого числа на
сумму его цифр равно 144.
2) Решите графически уравнение х2-4х= — Зх + 6.
3) Решите неравенство Iх- t7) < 0.
4) Найдите значение выражения
1 + cos 2а-sm 2а если cos а « -1 ,
cos а- cos(0,&Jt + а) 2
28. 1) Решите уравнение х ~7х + “= ~х ~3 .
2) Решите неравенство <0.
□X — •
3) Решите уравнение х2 + х~2 — 2.
4) Что больше: (-1,2)° - (0,25 f0,5 или -2,4° + (2,5)“*?
29. 1) Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин и нагнал
опоздание иа перегоне в 80 км, идя со скоростью, на 10 км/ч
большей, чем полагается по расписанию. Какова скорость по-
езда по расписанию?
2) Решите уравнение х4 — 10х3 + 9 — 0.
3) Решите неравенство 0,01(1 — Зх) < 0,02х + 3,01.
4) Найдите область определения функции
у ” Vx-2 + 710 -х .
30. 1) Решите уравнение х4 — 13х2 + 36 — 0.
2) Решите неравенство >0.
236
3) Найдите значение выражения (—0,75)г: (15'(—9) *.
4) Решите графическим способом уравнение х — 1 — £ .
31. 1) Найдите значение выражения (6,25)’0,5 (0,01 )"*.
2) Укажите точки пересечения графика функции у — Jx с ося-
ми координат.
3) Найдите область определения функции у — .
4) Решите систему уравнений
3(х- 1) = 5(i/+ 1),
7х-3у = Ъх-у х±М.
L 5 3 2
321. 1) Найдите значение выражения
а2 — 6 а/5 а - 1 при а - J§ + 4.
2) Решите уравнение
1___। в 1_____6-х _
2-х х-2 Зх2-12 ’
3) На турбазе имеются палатки и домики; всего их 25, В каж-
дом домике живут 4 человека, а в палатке 2 человека. Сколько
иа турбазе палаток и сколько домиков, если иа турбазе отды-
хают 70 человек?
4) С помощью графиков определите, сколько решений имеет
система уравнений:
У = х\
ху = 4.
33. 1) Решите уравнение
2х + 5 2 Зх eQ
X2 + х х X + 1
2) Решите неравенство и укажите, если возможно, одно
значение х, удовлетворяющее неравенству
3) В первом зрительном зале 420 мест, а во втором 480. Во
втором зале иа 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду
на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько
мест в ряду в каждом из залов?
Задания 32—37 содержат задачи из экзаменационных работ для 9 класса
прошлых лет;*звездочкой отмечены задания для классов с углубленным изучением ма-
тематики.
237
4) Решите систему уравнений
[х2 + у2-ху = 16,
1х + у- -2.
34*. I) Вычислите, используя, где возможно, формулы сокращен-
ного умножения °'12q^q|28 — 0,12 • 0,28.
2) В арифметической прогрессии — 17. Найдите — .
^5 ^47
3) Докажите тождество l\ + sifta + / J ~sina = —~ при
' 4 1- sina V 1 + since cosa r
я Зя
2 2 ’
4) Решите систему уравнений
Зх -1 3g-1 _ о
у+ 1 ~ х+ i
3 g + 3 । 2х + 2 = I
Зх-1 Зу-1
35*. 1) Выполните указанные действия:
(1V32-1V3 + 4JT5). УГ2-4л/6-24л/5.
2) Бакобъемом 1 м3 заполняется двумя насосами одновремен-
но. Первый насос перекачивает за 1 ч иа 1 м3 воды больше, чем
второй. Найдите время, за которое каждый насос в отдельности
может наполнить бак, если первому насосу нужно для этого на
5 мин меньше, чем второму.
3) Вычислите cos а, если sin f £ - a) = , J < J - a < it.
kb J о J о
4) Решите систему уравнений
——h х + 1 = 0,
х-у
36*. 1) Решите уравнение 11 + Зх) - |х-1| - 2-х.
2) Упростите выражение ^6х и определите, какие
значения оно может принимать.
3) В геометрической прогрессии первый член равен 72, а
седьмой 7128 . Найдите восьмой член прогрессии.
238
4) Решите уравнение (—1)(х +3) ~ (х-2)(х +4) ° h
37*. 1) Пусть остаток от деления натурального числа я на 9 равен 5.
Найдите остаток от деления на 9 числа 4я2 + 7п + 2.
2) В арифметической прогрессии {ая) имеем at — —85, ап —
ее первый положительный член. Какие целые значения может
принимать разность прогрессии?
3) Вычислите sin 10° (0,5 + sin 70°).
4) Два брокера купили акции одного достоинства на сумму
3375 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть
акций на сумму 2916 р. Первый брокер продал 60% своих
акций, а второй — 70%. Прн этом сумма от продажи акций,
полученная первым брокером, в 1 у раза превысила сумму,
полученную вторым брокером. На сколько процентов возрос-
ла цена одной акции?
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина числа 204
Абсолютная погрешность приближения 207
Арифметическая прогрессия 124
Арифметический корень степени п 84
Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия 133
Геометрическая прогрессия 129
Градус 152
Дискриминант неравенства 19
Доказательство по индукции 137
Знаменатель геометрической Прогрес-
сии 129
Корень степени п 77
Косинус угла 160
Котангенс угла 169
Коэффициент при х 19
— при У 19
— при неизвестном 3
Крайние члены последовательности 123
Метод интервалов 34
-----общий 36
— математической индукции 136
Неравенства линейные 9
— равносильные 10
Неравенство второй степени 19
— первой степени 3
— рациональное 39
— нестрогое 45
Общий член последовательности 118
Окружность единичная 160
Относительная погрешность приближе-
ния 211
Парабола второй степени 72
— д-й степени 72
Первообразная 58
Подвижный вектор 150
Показательная функция 107
Полный оборот 151
Последовательность возрастающая 121
— конечная 123
— монотонная 122
— невозрастающая 122
— неубывающая 122
— ограниченная 122
-----сверху 122
-----снизу 122
— убывающая 121
Приближение числа 207
Принцип полной индукции 136
Производная 56
Радиан 156
Разность арифметической прогрессии 124
Рекуррентный способ задания
последовательности 119
Решение неравенства 3,10, 19,39,43
Свободный член 3, 19
Свойства абсолютной величины числа 204
— корней степени п88
— степени с рациональным показателем 101
Свойство средних арифметического и
геометрического 51,108
Синус угла 160
Системы линейных неравенств 13
— рациональных неравенств 43
Скорость мгновенная 55
Среднее арифметическое 'б 1
— геометрическое 51
Степень с рациональным показателем 98
Тангенс угла 169
Угол нулевой 152
— отрицательный 152
— положительный 152
Формула п-го члена арифметической
прогрессии 125
-------геометрической прогрессии 130
— суммы п первых членов
арифметической прогрессии 127
------------- геометрической прогрес-
сии 132
Числовая последовательность 118
Член последовательности 118
Члены неравенства 10, 19
ОТВЕТЫ
f 9 \
4.а)( 1; 4-оо);б)(—0);в)(— 1; 3).8. а)Нет; б)нет; в)да; — 4;г)да;0.14. а) I -оо; 1782 — I;
X 0 /
б)(-оо;198,8);в) (1 Ц;4-оо};г)(-оо;0,9). 15.а) (б Ц-;+°°^б)(0;+оо);в)(-оо;27,55).
16. а) (2; +оо); б)(-оо;-2); в) (-20; 4-оо),23. а) (2; 4-оо); б) (-оо; Л); в) (-оо;
г)(—0,75; 4-оо).25.а) (-«о; 6666 ; б)(—0,000025; 4-оо),28. а)у > 0 прнх € (— 1; 4-°°);у < 0
прих€(-«>; -1). З4.а)(-оо; 1); б)(-1; 4-оо); в)(-оо,— ]); г)(-оо;-б,5). З5.а)(-оо; 3);
б)
. 36. а) (—оо; +оо); г) нет решений. 37. в) Нет
решений; г)(-оо; +оо). 38. а)(-оо; 24); б)(-оо; 6); в)(-«о; +оо); г) (5; 4-оо); д)(-1; 4-оо);
е) (—°°; +°о). 41. а) Нет решений; б)
(_1_.
к 3 ’
4-оо . 42. а) (-оо;-3); б) (2,5; 4-оо); в)(-<»; 0,5);
г) нет решений. 44. в) ( —оо;—2,4); г) (8; 4-°°); д) (5,25; +°°); е)
2 к
— +оо •
3 ’ )
з) нет решений. 45. а) Нет; б) нет. 46. а) Да; б) да, 53. а)Да; б) нет; в)да; г) да, 55. в)( 1; +°°);
( д ох
г)(-оо; 0,5); ж) нет решений; з)(-°о:-1). 56. а) I —у; —— 1; б)( 12; +оо); в)(-оо; 3);
г) нет решений. 62.а)(о; у Y б)(-3,5; 28);в)(-3;-2); г)(-1; 4); д) V е)(-18; -10),
66. а) 9; б) 1; в) 29; г) 21.67. а) Да; 6) нет. 68. а) Да; б) нет; в) да; г) нет, 78. а) |-; ;
4(0; 4-°°);е)(—оо;0) U (—-; 4-оо).81.а)(-оо; -73) U (73; 4-оо);б) (-75; Тб) ;в) (-оо;-7§) и
U (72 ;+оо);г)(-7ТЗ; 713) .82.а)(0;2);б) (-оо; -U [; 4-о°^.85.а)(—°°;4) U
и (12; +оо);б)(-12; -4); в)(4; 12); г)(-оо;-12)U(-4; +оо);д) ( 1; 1 ;
е) (-оо;-1)и(®;+0о);ж) f-оо; ) и( 3) Г-16-УЙ7.
\ 2) (4 / к 4/к4 /к 8
—1 j go. a) x;*0; б)х^0; в)л* — 3; г) 1,96. а) Нет решений; б)(—оо; 2)U(2; 4-°°);
в) (-оо; j и (-у; 4-оо); Г) нет решений; д) (-оо; U (-—-; 4-оо); е) нет решений.
97. а) При k = 144; б) при k = 48. 98. а) -4; б) х — любое действительное число.
241
102.а)(—«>;+«>); б)нетрешений;в)( —со; +°°); г) нет решений. 105. а) Прит > — ;
О
б) прн т > - .
О
111. 0)U(2; +<»); в) (-оо; 0)U(3,5; +«>); д)
^4)=
е) нет решений; ж) (-713; 713); з) (— оо; +О0). 112. а)
up>±J<S;+«Y 6) (-_оо;2г^й)и(-21213.+0О\ .)
и ; +оо);г)(_ЛХ>; 25 Г и ( 25 ; +«>). ПЗ.аХ“°°;0)и(0Д +ОО^
б) С;Д; ; в)( 1; 2); r)(-oo;-3) U (2; 4-оо). 114. а)(-оо; 3) и (3; 4-ооХ б) нет реше-
\ о о /
ний; в)нет решений; г) f-оо; -З-ТёЭ1) ,/-34-769. +«Лд) [~ 1 ;
\ 5 / х 5 / х 2 2 /
е)(-оо; 4-оо). 127.a)(l;3)U(5; +<»); б)(-°о; 1)и(2; 4); в)(-1; 1)и(2; +«>); г)(-оо;-2)и
U(-1;3). 128. а)(—°о;—1)и(1; 0); б)(—оо;—5)U(—4; 0)U(2; +оо); B)(-oo;-4)U(0; 2);
г) (-оо;-1 )U(0; 3)U(8; +оо). 129. а) (-3; 2)U(7; 4-со); в)
Н4Нг+”)-
130. в)(-4; - 1)U(3; 4); г)(-оо;-5)и(-1; 3)U(6; +оо). 131. а)(-4; -2)U(-|; 2)U
Щ4; 4-оо); б)(—оо;—4)U(—3; l)U(l;3). 132.a)(l;2)U(2; +°°Хб)(-оо;-4). 133.д)(—оо; 1)U
U(l;3);e)(-oo;2)U(2;3). I37.a)(-oo; 1)U(2; 4-oo); 6)(-3; 5). 140. a>(—2; 1 )U(3; 4-oo);
6)(-oo;-3)U(-l; 2). 141.a)(-l;0)u(l; 4-ooj;6)(0; 2)U(3; +oo);B)(0; 4)U(4; 6,5);
r)(—oo; 0)U(0; 3)U(4; +oo). 142. a)(—4; — 1 )U( 1; 4-oo); B)(-oo; |); r)(-7;3)U(3; 4-oo),
143. a)( —oo;—3)u( —1; 2)U(3;+oo); 6)(—°0;—4)U(—1; 4)U(6; 4-oo); B)(—oo;—2)U(2; 6);
r)(-o,2; 0,2)U(0,2; 5). 144. a) (1; 6); б)(-оо;-7)и(3; 4-oo). 145.a)(0; 1); 6)(-w; 0)U
1X1;+°°). 146.a)(0; 1X6) -oo;
”7^1 uf°:
4$) <
-^1 ;в)(0; IX!•)(-«>;-76) U(0; 76)U(3; 4-ooy
75/
147. a)(3 -75; I )U(3 4-75; 4-oo); 6)(-oo;-3-73 )U(-2; -3 4-75 ); b)(-75 ; -0,5) U
148.а)(2;3)и(3;4-ооХб)(-оо;-зхв)(-оо; |)u
U(2;75Xr)^-A-
U(2;3)U(3; 4-oo); r) (-oo;-3)U(-1; 2). 152. a) (-1; 1); б) нет решений; в)(-6; -2)U
U( —1; 3); r)(-3;4). 155. a)(-oo; -l)u(5; 10)U(10; 4-<x>); 6)(-3; -2); в)(-<»; 0)u
U(0; 1)U(3; 7)U(7; 4-°o); r) (-3; -1 )U( 1; 4-oo). !58.a)(0; 1)U(2; 4-oo); 6)(-4; -1);
b)(-3;~1)U(J;+oo); r)(—5; -4)U(4; 5). 169.a)(-oo; 1.5J; 6)[0,75; 4-oo); B)[3,5; 4-oo);
гИ-1,5; 4-00). 101. a)|4; 8]; 6) [—6; -2}; в) C-oo; ~ 1 Г1 иГ7* +^- ; 4-oo\
Г5-737.5 4-737
L 6 ’ 6
. 162. a) l;6)(-oo; 4-oo); B)-3; r)(-°o; 4-00). 163.a)(-oo; 4-00);
6)[—5; —2J; в)нет решений; г)(—°o; 4-оо), 164. а)[—3; —1 ] U [ I; 4-о°); б)(—оо; —4J и [4; 7J
в)(-оо; 2,4]; г)(-оо: 2JU{3). 166.а)(-оо; —3) U [ 1; 3)и (3; 4-оо); б)(~5; 2J; в)(-оо; 3);
г)(-оо; о) и (1; 4-00). 167. а)]-1; 1]U (2; 3J в)|2; 3]. 168. а)]-3; 2)и (-1; IX б)(-2; 1)U
U[2; 4-оо); В)нет решений; г)( I; 4)и (4; 4-оо). 169. а)(—2; 2); б)[—5; —4); в)(—0,5; I) U
U{2);r) ^;lju(31;a)(-2;3);e)(-5)U[-2;-L[.177.a)5; 5; 5;б)30,3; 30,03,30,0003.
242
189. а) С; б)х + С; в) у + С; г) + Ьх + С. 191. а) 2х + С; б) - 2х + С.
192.а)а(/)-3/;б)з(/)=/2;в)з(/)=/2 + /. 212.а)У1=-5-±А км/ч; б) у2 - уу км/ч.
213. В безветренную погоду. 217. 5 м, 6 м, 9 м; 6 м, 6 м, 8 м; 6 м, 7 м, 7 м. 220. в) [ 1; +°°);
. 221. б)(—о»;
и
и
. 222. а) Нет решений, если а = 0; х € (0; +<*>), если а > 0; х € (—оо; 0), если а < 0.
230. а) / € (—°0; 9); б)/€(-<»; -3)U(-3; 0,2). 242. а) (-5; -1)0(3; +<»); б)(-1; 3);
в)(—6; — 1,5)U( 1; 6); г)(—оо; 1). 243. mef ; 2^] и<2; 6 + 1 247. а)2,5; б) 1
251. а) 2; б) 4m2. 252. а) ; б) 2{х2 + у2). 253. а) 0; б) . 254. а) ;
Ху X у 1 4“ Й
б) т+п .256. а)2; 4; 6)1; в) 1; г) 1.258. а) -3; 0; б) -3; -2; в) 0,5; г) 0,2. 259. а) 7;
т — п
б)-12;-10. 260. а)0; -5^2 ; 5 72; б) 5; 2,5. 261. а) (; 1Y б) в)(-2; 4);
\о 4/ \ 7 f /
г) (1,5; 2,5). 262. а) (2; 0); (-1; 3); б) ( 9~^3 . 1 +^/§3 ) . ( 9 +^/33 . 1 - J33 )
263. а) (1; 2); (2; 1); б)(1; 1). 264. а) (-22;; б) (-8; -7). 265. а) (2; 3); (3; 2);
(I; 5); (5; 1); б)(0; 2); (2; 0). 268. 5ч. 269. 45 н 30дней; 24 и 72 дня. 270. Вторая, в Обра-
за. 271, 46 км/ч. 272.4 км/ч. 273. 25. 274. 50 км/ч. 275. 27 и 40 Ом. 276. 22 градуса.
277. 41 типа Л и 56 типа В. 278. 4, 7, 9, 11. 279. 36, 41,53 и 58 см. 280. 10 и 15 м/с.
281. 6. 282. 40 дней, на 125%. 283. 10 га, 12 дней. 284. 24 см3. 285. 50 км/ч. 286. a) s -
= 800/ ; б)х = —800/ + . 289. а) 0,5 м/с; б) 10,5 м/с; в) 20,5 м/с; г) 30,5 м/с.
291.4 с (2 с вверх и 2 с вниз); 20 м. 292. а) Через 3 с; б) через 5 с. 293. 40,6 м. 294. 20,4 с
и 159,6 с. 295. Указание. Считайте, что в любом достаточно большом количестве мужчин,
например среди всех отцов, Иванов больше, чем Петров, в одно и то же число раз. 302. а) Нет;
б)да;в)да; г)да. ЗП.а)Нет;б)да; в)да; г)нет. 319.а)Да;б)нет. 320. а)Да; б)да. 323.а)х>х5;
б)х < х5; в)х < х5;г)х >х5. 324. а)х4 <х6; б)х4 <х6; в)х4 >х6; г)х4 >х6.340. а)Да; б)нет;
в) да. 353. а) Да; б) нет; в) нет; г) нет. 355. д) 2; е) 3; ж) —0,6; з) —5. 358. а) 2; 6)5; в) 2;
г) 1; д) —3; е) 5/2.362. а) Нет; б) да; в) нет; г) да. 367. а) 6; б) 5; в) 1; г) 6; д) 0. 368. а) — 1; 1;
б) нет корней; в) 0; г) —3; 3. 374. а) Нет; б) нет; в)да; г)нет. 376. а)8; 6) 4; г)0,7; д) .
15
377. д) 2; е) 2; ж)5; з)6. 378. а) 12; 6) 5; в)0,9; г) 10. 380. а) 6; 6) 0. 381. а) 2 ^5 ; б) -25/2 .
386. а) 1; б) 389. а)2 > 5/7; б) У12 < 2. 390. а) 1 < 5/3 < 2. 391, а) 8; б) 16; в) 1;
г) 1.392. в) Л“1;г)2-Л;д)Л-^; е)Т7-Т5. 393. в)97 3/Х . 397. а)Л< 1;
Af 12
6)6 < —1. 401. ж) 7; з)5.403. е)2«/ ;ж)—х 5/5 .405. в) }ЦаЬс ; г) а . 414. a) 5/12 ;
243
б) У18;в) У24; г) У128.418. а) % ; б) ; в) %5 ; г) 1/х2.419. в) У? ; г) .
420. а) 3; б) 2; в) г) 10000. 433. а) У5 = 1,4; б) Уб ~ 1,8. 434. а) УГТ5 = 6;
16
б) У244 = 6. 437. а) Уз 53 1,442. 447. а) т < п; б) т > п; в) т > п; г) т < и. 448. а) а > 1;
з 1
б)0<а<1;в)0<а< 1; г) а > 1.458. а) ; б) 4. 471. а) а4 ; б) х8 . 474. а) ;
б) 477. a) p-lYa?+l);6)f5?-3^Y^ + 3^.482. а) ; б) .
484. —— . 485. х + 3& . 493. а) -3,5; б) 9 ; в) 156; г) — . 503. а) 5; б) — .
а-1 х-у 3 36 ' ' 16
505.а) 1 (а3 + 2х - Ь3)(а3 + 2х + Ь2 ). 506. а) 2; б) 14 . 508. а)л<72 + 73;
*т f
б) J7 + J3>J& + J2. 515. а) 6 + 1873; б) 20^ -40 75. 519. а) 2 Ух + 1; б) -1;
в) —; г) 3 Jm + 28 _ 523. а) Нет корней; б)—9; в) 1,5.524. а)(0;—1); б) нет реше-
Jx + Jy т - 49
ним. 541. 1. 547. а) 0; б) ~4Уз. 548. a) Jx + х Jx ; б) а + 4 Уа . 549. а) ; б) .
77 2
556. а) Нет; б) 16; в) 15; г) ~ .557.а) 1;б) 1.563. а) ~ ; б)-а. 569. а) 1; 6)0; в) 1,75;
г) 0. 570. а) 1; -2; б) нет корней. 571. а)-73; 73 ; б) -72 ; 72.572. а) -2; б) -3; в) 6;
7
г) —4. 573. а) На 6 м; б) на 5 лет. 574. а) 60 м. 575. — . 576. В 1,5 раза. 577. 16 ч и 5 ч 20 мин.
582. 89 г меди и 35 г цинка. 583. 8,685 кг золота и 4,725 кг серебра. 584. 18 и 4 км/ч.
585. 10 и 6 км/ч. 586. 24 рабочих, 14 дней. 587. 5 ч. 588. Мотоциклист; а) в 1,25 раза;
б) в 2,6 раза. 591. а) ап = п; б) ап = 2л — 1; в) а„ = 2п; г) ап = —; д) ап - 1 )я +
п
е) ап = ( —1 )я . 593. а) 75; б) 3. 594. б) 12 + 2л; 8 + 2л; в) 14 + 2л. 597. а) 2; 5; 8; 11; 14.
598. а) = 2л + 1; 3; 5; 7; 9; 11; б)ап = -5 • 2я"1; -5; -10; -20; -40; -80.601. a)at = 5;
ая + 1 = 5 + ап. 602. а) 58. 603. а) 38. 625.а) 2; -1; -4; -7.627. a}d = 4; а2 - 1.632. а) Да;
л - 12; б) нет. 639. а) 5050; 6)385; б) 500. 640. а) 210; б) 150. 642. а) 34; б) 76. 659. а) 2;
б) -54. 660. а) 21; б) -6; в) 0,8 или -0,8. 663. 1; 1 ; ~ или ; А ; 1.
5555 5555
665. д) 62; е) 7 + 3^ или 7 - 372.670. а) 252 или 0. 671.4. 674. а) 8; б) 2 ; в) 5;
5 У
г) 4 уу 677. а)( Л + 1) м; б)(2 4- ) м. 693. а) 0,3; 6)25. 694. а) 3; б) -2. 695. а) -2,5;
б)- 1,5.697. 1)(2^+ 1) .698.а) 2л(л + 1)(2л + 1) ;б) (2л + 1)(2л- 1)л
6 3’3
705. б) 3 + 72.706. а) Ни при каких; б) при b € [-4; 4]. 707. а) Прн т > 4; б) при т > 1;
в) при т €(— 4; 4]; г) при т€[-6;6]. 709. У к а з а н и е. Границу заштрихованной области
покажите пунктирной линией — точки, ей принадлежащие, не удовлетворяют условию
244
задачи.713.a)-4;б)— 80;в)— 22; г)—88.714.16ран. 715.а)Через9дней;б)через5дней;
в) через 7 дней; г) через 7 дней. 719. 170,5. 722. п — 8, — 14, а8 — —7. 730. 1620.
736. 196820. 737.7168. 739.320. 740. 1023- ;614-г . 741.5. 742.7. 743. 1535,25;
4 4
-512,25. 744. 1093. 745. -3; 3. 747.0Д25. 748. 475,6419; 237,6099. 749, 8. 750. Де-
вочки; на 8 очков. 751.9участников. 752.11 участников. 753. а) 1 человек; б) 11 человек.
754. 4. 756. 130. 757. а) 5; б) в 4 раза; в) 4. 758. а) / - ; I - ;
у*-х2 2у
X - ; у - / + 7/2 4- tx2 ; б) 20 мин. 759. а)900 м; б) 800 м. 760. а) 600 м; б) 400 м.
775.а)40° 4-360° • 1; 6)220° 4-360° -(-2);в)240° 4-360° 1;г)180° 4-360°-(-3). 778.2л;
я; £; 0;б) 4г. 779.а)360°; 180°; 90°; 270°;0°;6)45°; 135°, 225°;
’2 2 '4 4 4 4 ' '
315°. 791. а)0; б) 1; в) 1; г)0; д>0; е) -I; ж) -1; з) 0; и) 0; к) I; л)0; м) I. 798. а) 1, 0;
б) -I; 0; в)0; — 1; г)0; — I; д)0; 1; е)0; 1.805. a) sin 40° < sin 45°; б) cos-у = cos 60°.
О
815. а) Нет; б)да; в) нет; г) нет; д) да; е) нет. 821. а) 0; б) sin2 а — cos2 а; в) 0; г) 2.
2
833. a) sin а; б) —cos а; в) —sin а; г) —cos а. 835. a) I; б) CQS2a ; в) sin2 a - cos2 а; г) I.
sin а
842. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0; д) е) I; ж) >/3; з) не существует. 847. a) sin a- —; tga- ~;
3 5 3
ctgа - —; в)sin а-—0,6; lgа - —; ctgа - 4 • 849. д) I; е)2 cos2а; ж) tgatgP; 3)ctg4a.
4 4 3
850. а) —; б) sin acosa; в) —cos2 0; г) sin2 а; д) —~ ; е) —. 852. a) —tgatgp;
sin2 a sina C0SP
б) —-—1. 853. a) sin2 а; 6) tg2 а. 854. а) 2 tg2 ос б) cos a-sin а. 856.а) ;
sin2 a- cos а ’
б) V6-72 . 857. а) б) . 859. a)-since 6)/3 sin а 867. а) б) ^-.868. а) 0;
6)0.869.а) 1,5;б) 1,5. 870. а) -0,2; б) . 874. а) ; б) в) г)
882. а) ^6+ . б) fi±.fi. в) fi~.fi ; Г) fi~-fi. . 891. а) 4 cos 5° cos 10° cos 25°;
4 4 4 4
б) 4 cos 2,5° cos 5° sin 12,5°. 893. а) б)- в) r) . 897.a)ctga,6)-ctga
906.a) -j- ;б) У2;в) I ;r)-j .998. a) ; 6) - ; b)cos 40°; r)cos 2a. 909. a)
6)sin80°;e) ;r)—cos 20°. 913. a) ^;6) .914.a) sin 4cq 6)cos 2ct; в) I; r)—sina—
1 2 1
-cos a; д) —5— ; e) cos 2a; ж) ——— ; з) —; и) sin 2a; к) sin 2a; л) l; м) 1.
• cos a sm 2a cos 2a
245
925. a)1;6) I; в) —si^ ; г) * ~ cos a . 926. ж) - 1; з) 0. 927. a) 2 tg a; 6) 2 cos a.
1 + cos a 1 +cos a
93О.а) 1 ;6)-“-934. a) ; 6)-^-. 935. а) -Д- ; 6)0,2; в) 201; r) 5,5; д)0,05.
tS о 4 4 II 6
936. а) тЬ:б)ТТ2 '938'а)"ГГ4 ;б> TTs 950. а)(2; 3); (3; 2); б) (0; 2 72 );
(0; -272 ); (272; 0); (-2 72 ; 0); (2; 2); (-2; -2). 993. 7 человек, 53 денежные едини-
цы. 994. 17 человек, 42 пенязя. 995. 9 человек, 70 денежных единиц. 996. 126 семей,
3750 денежных единиц. 1009. 50 км/ч. 1010, а) 172,5%; б) 185,61 %. 1011. а)Для вкладов
на 6 и 3 месяца — [х]% и [у]% соответственно, гдех = 20 7р + Ю0 — 200, [х] — целая часть
числа х, у — 2072 [х] + 400 - 400, [у] — целая часть числа у; б) при р = 150 — 116% и
102%; прн р = 70 — 60% и 56%. 1012. За 1 ч 15 мин. 1013. а) За 15 дней; 6)10 коров;
в) 40 коров. 1014. 36 быков. 1018. а) 15 — 10п;б)3л — 6; в)3п + 3; г) — п. 1020. а)Ь{ =
Я = ;б)&! = 1;<7 = 3. 1021. 12; 16; 20; 25 и 24,75; 20,25; 15,75; 12,25. 1022.8; 10;
12 или 17; 10; 3. 1023. 10. 1024.55. 1027. а) 3; б) 5. 1028. -120°. 1029. а)-30°; б)-90°;
в) -270°; г) -360=; д) -1200°; е) -4320°. 1030. а) -60°; 6)432=. 1031.630=. 1032. а) -1350=;
6)2700°. 1043. а)7; б) -13. 1049. а) 1; б) 1. 1063. а) Да; б) нет; в) знак а<|а| .
1078. а) 0,3; б) 0,001; в) 0,03; г) 2. 1079. а) X ; б) -L; в) JL ; г) J- .
1* оои / ии
1086. а)3и
б)3м А: в)0,2м 4-; г)0,02и | ;д)0,005и ;е)0,00016и .1О87.а)О,48«О,5;
i£i 17 О и <57 OZ74
10,48-0,51-0,02;^ -^-;г)-0,51 «-0,5; |~0,51-(-0,5)|-0,01; -X2U-2-.
1088. а) б)±.ю-1-1; в) | 10» - | ; г)|-10°-|.
1089. 71 523 «71500 с точностью до ~ Ю2 = -~. 1091- а) а ~ 2,380 Ю7;
£>« 1,000-10; с ~ 2,380-10-3;б)а« 2,381 • 107;&~ 1,000-10; с «2,381 • 10“3.1093. а) 0,505;
6)2; в) 1,5 -10-3. 1097. Если задать четыре данных числа с точностью до 0,01, то число
)0,63 будет приближением суммы этих четырех чисел с точностью до 0,1. 1098. 0,01.
1101. а)0,34291. 1104. а)0,05684. 1112. а) Например, 0,01; б)например, 2,1345. П15.а)0;
б)-2.1117. а) 1“^г ;б) 4-^ . 1118.252; 2,52; 0,252. 1120. Нет.
1UU1 1UUo
Ответы к заданиям для самоконтроля
1.1)-|;2) *2 + ~х ; 4)7и-5, 2.1)5,75; 2) 2х$х + 3) ;4)-5и —4; 4 и5.3. 1)-0,25;
2) ; 4) 8 дм и 0,5 дм. 4. 1)10; 2) ; 4)3,5 м и 0,5 м. 5. 1) 1; 2)
1 + х 3 + а ' т + 4
3)( 1,5; 3,5); 4)(1; — 1); (4; 2). 6. 1) 16; 2) ;3)(2, -2); 4) (2; 2); (6; -2). 7. 1) —0,5;
х 4- 1
246
2) ; 3)(—1;2); 4)за20дней. 8.1)7-Д- ; 2) ^±_П;3)(2; -3); 4) 1,3ч.9.1) Г1; з1;
х~у 11 а - 1 L3J
2) 1 ; 3) —5 — ;3;4)-| ; |. 10.2) 64^4 ; 3) ; 4)0; 5.11.1 )70 км/ч н 80 км/ч; 2) -2;
2 4 8 8 д
1 39
1— ; 3)(-оо; 0)U(4; +00). 12. 1) -7-7 ; 2; 2)(—1; 8); 3) нет корней; 4) первое число мень*
3 13
ше второго. 13.1)-2-£-;2)—Ц;4)5н6.14.1) -в|; 2) ; 4) 7 и-1.15.1)30;
' 4UU 2Х-2 4 и * 4
2) — ; 4) 7 и 0,5; -0,5 и -7.16-1 )0,38; 2) 1; 4) 1,5 и-8,2; 8,2 и -1,5.17. 1) ^-;3) 177;
4 64
4)(—4;2);(4; -2). 18.1)(-3;4);(4; -3);2)d- - ; 3)(-°°; - l)U(-l; +«>);4)sina-
= Т ;tga= ;ctga = 19. 1)а|0 = 7,6; 2)х+Л; 3)2; 5; 4)(-°°; 0]U]5; +<»).
5 3 4
£
20.1) d — 2,5; 29 является членом данной арифметической прогрессии; 2) 1 + с3 ; 3)(—°о; 2]и
U]3; +°°); 4)cos а« - ; tga-- ;ctga = -2,4. 21. 1)а, = 2; d = 1,2 ; 2) -5;-1; 3;
1 «5 1
3) (-0°; 0)uQ; + oo^ ; 4) 0. 22. I) 48 км/ч к 60 км/ч; 2) 5~^ ; 5 +2^; 3)
(111]; 4) 0. 23. 1) а,д - 50; 5,, - 330; 2) (-7; 7); 3) (1; -1); 4) -3; - 3.
\ л o ✓ «5 □
24. 1)56 - 7| ; 2) (-°o; 0)U (1; + oo); 3)(l;0); 4) 0,7“5 > 0,7°. 25. 1) S7 - 381;
2)-1;4;3)негрешеннЙ;4)-Тз.2О. I )3а 10ч и 15ч; 2)3 -/21 ;3-/3;3 + /3;3 + /21;
3)(l;5);4)8l-2>f|V.27. 1)24; 2)-2; 3; 3)(-a>; —7)U(0; 5); 4) -1.28. 1) - 1; 7;
\*7 4
2) ^1 2^; 3) —1; 1; 4) второе выражение больше первого. 20. I) 50 км/ч; 2) —3; —1;
1; 3; 3) (-80; +<»); 4) [2; 10]. 30.1) -3; -2; 2; 3; 2)(-°°; 0)U(0,5; +«>); 3) - ; 4) -2; 3.
31. 1) 40; 2) (0; 0) — точка пересечения графика функции у = Jx с осями координат;
3)(-оо;-1)и[2; +<»);4)(1;-1).32. 1)-10-16 /5 ; 2)-3; ; 3) 15 палаток и Юдоми-
□
ков; 4) 2 решения. 33.1) I; 2)[ —3; 3], 2 — одно из решений неравенства; 3) в первом зале
20 мест в ряду, а во втором — 30; 4) (I; —3), (-3; 1). 34. 1) —0,16; 2) ; 4) (0,6; —0,2),
25
[—^;-т|\з5.1)-2; 2) 15 мин и 20 мин; 3) 2^~^; 4) ; |1(-2; -3).36. 1) -4;
\ & 15 J 6 \ 2 /
0 88
0,4; 2)--— 0,6 при условии х * 1; выражение принимает все значения из множе-
СТВЯ
; -0,б} U(-0,6; +°°); 3) 16н —16;4)-2;0. 37.1)2;2)5;3) -i;
4) на 35%.
ПОСЛЕСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Для повышения уровня математического образования в стране, совершенствова-
ния школьных учебников по инициативе ректора Московского университета академика
В. А. Садовничего разработана Программа «МГУ — школе» и началось издание
учебников для 5— 11 классов, сохраняющих и развивающих лучшие традиции отечест-
венного математического образования.
Учебник «Алгебра, 9» продолжает серию учебников «МГУ — школе» авторов
С. М. Никольского, М. К. Потапова, Н. Н. Решетникова, А. В. Шевкина. Этот учебник
предназначен для общеобразовательных классов, в которых дополнительные материалы
и сложные задачи можно не рассматривать. Если же имеется достаточно часов, если класс
проявляет интерес к математике, то за счет дополнений в конце глав учебника, а также
пунктов и отдельных задач со звездочкой, необязательных в обычных общеобразовательных
классах, можно расширить и углубить содержание изучаемого материала до объема, предус-
мотренного программой для классов с углубленным изучением математики. То есть учебник
можно использовать как в обычных, так и в классах с углубленным изучением математики.
Авторы учебников серии «МГУ — школе» считают принципиально важным вести
обучение школьников в рамках общеобразовательной программы и программы с углуб-
ленным изучением математики по одним и тем же учебникам, начиная с 7 класса. Тогда
переход с одной программы обучения на другую не будет вызывать трудностей ни для
учащихся, ни для учителей. Кроме того, учащиеся, заинтересованные в более глубоком
изучении математики и не обучающиеся в спецклассах, получают реальную возмож-
ность углублять свои познания в математике самостоятельно или под руководством
учителя, а учителя — реальную возможность для организации дифференцированного
обучения.
Учебник «Алгебра, 9» включает пять глав: 1. Неравенства, II. Степень числа,
111. Последовательности, IV. Тригонометрические формулы, V. Приближенные вычисления.
Каждая глава завершается историческими сведениями и дополнениями,
содержащими необязательный материал, не входящий в программу для общеобразова-
тельных классов, а также задания для повторения.
Первая глава начинается изучением неравенств первой степени с одним неизвест-
ным (Ах + b > 0, kx + b < 0, 0). Решение таких неравенств основывается на свой-
ствах числовых неравенств и иллюстрируется с помощью графиков линейных функций.
Затем вводятся понятия линейного неравенства, системы линейных неравенств и
рассматриваются приемы их решения.
Затем изучаются неравенства второй степени с одним неизвестным, вводится понятие
его дискриминанта D, последовательно рассматриваются случаи D > О, D - 0, D < 0.
Решение неравенств основано на определении знака квадратного трехчлена на интервалах
и иллюстрируется схематическим построением графиков квадратичных функций.
При решении рациональных неравенств используется метод интервалов, который по
сути применялся уже при решении квадратных неравенств. Показывается равносильность
А А
неравенств вида — > 0 и -= < 0 неравенствам А В>0 нА В< 0 соответственно, где А и В —
В в
многочлены. Однако переходить каждый раз к произведению не рекомендуется, так как после
изучения нестрогих неравенств такой переход может приводить к ошибкам.
248
После изучения строгих неравенств: линейных, квадратных, рациональных —
рассматриваются нестрогие неравенства всех ранее изученных типов и их системы.
В классах с углубленным изучением математики дополнительно рассматриваются
темы:
Доказательство числовых неравенств,
Производные линейной и квадратичной функций.
При изучении дополнительных вопросов на небольшом числе примеров
формируются представления о производной линейной и квадратичной функций и
первообразной линейной функции, решаются задачи, обеспечивающие потребности
физики при изучении равномерного и равноускоренного движений; демонстрируются
различные способы доказательства неравенств.
В результате изучения главы I учащиеся должны научиться решать линей-
ные неравенства, неравенства второй степени с одним неизвестным, рациональ-
ные неравенства и системы таких неравенств.
Глава II начинается изучением свойств функции у = хл и ее графика. Затем
изучаются корень степени п, арифметический корень и свойства корней степени п. При
работе по первому варианту планирования (в обычных классах) особое внимание следует
уделить функциям у = х3, у = х3, а также изучению свойств арифметического корня сте-
пени п (на примере п=2 и п = 3) и их применению к преобразованию выражений.
В классах с углубленным изучением математики дополнительно рассматриваются
темы:
Функция у= 2fx{x>Q),
Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Следует иметь в виду, что по программе для классов (школ) с углубленным
изучением математики степень с рациональным показателем изучается с опережением,
но уже сейчас учащиеся могут освоить свойства степеней с рациональными показате-
лями и их применение в преобразовании числовых н буквенных выражений.
В результате изучения главы II учащиеся должны изучить свойства
функций у = хп (на примере п=2 и п = 3) и их графики, свойства корня сте-
пени п, выработать умение преобразовывать выражения, содержащие корни
степени п.
При изучении главы III вводятся понятия числовой последовательности,
арифметической и геометрической прогрессий, решаются традиционные задачи, связан-
ные с формулами п-го члена и суммы п первых членов арифметической и гео-
метрической прогрессий.
В классах с углубленным изучением математики дополнительно рассматриваются
темы:
Свойства числовых последовательностей,
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,
Метод математической индукции.
При изучении дополнительных вопросов расширяются представления о последова-
тельностях и их свойствах, показывается важный способ доказательства утверждений в
математике — метод математической индукции, в том числе для арифметической и гео-
метрической прогрессий.
В результате изучения главы III учащиеся должны научиться решать
задачи, связанные с арифметической и геометрической прогрессиями.
Излол&ние материала главы IV опирается на определения и некоторые факты из
249
геометрии, при этом все тригонометрические формулы доказываются. Термины «триго-
нометрические функции» и «формулы приведения» в учебнике не используются, так
как тригонометрические функции не являются предметом изучения. Однако для
облегчения запоминания формул приведения учитель может использовать известное
мнемоническое правило.
В обычных классах материал дайной главы в соответствии с письмом Министерства
образования РФ может не изучаться, поэтому он не выносится иа итоговый контроль.
Этот материал можно изучить ознакомительно. Но в программу для классов с углуб-
ленным изучением математики тригонометрия входит в прежнем объеме. Здесь допол-
нительно изучаются:
Косинус и синус разности и суммы двух углов,
Формулы для дополнительных углов.
Сумма и разность синусов и косинусов.
Формулы для двойных и половинных углов.
Произведение синусов и косинусов.
При изучении дополнительных вопросов в классах с углубленным изучением мате-
матики происходит опережение по сравнению с обычными классами, и к этому вопросу
можно будет вернуться в 10 классе, но уже сейчас учащиеся могут освоить применение
формул тригонометрии для преобразования тригонометрических выражений.
В результате изучения главы IV учащиеся должны освоить понятия
синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, научаться
решать связанные с ними вычислительные задачи н выполнять тождествен-
ные преобразования простейших тригонометрических выражений.
При изучении главы V вводятся понятия абсолютной и относительной погрешнос-
тей приближения.
В классах с углубленным изучением математики показываются приемы оценки
результатов вычислений при сложении, вычитании, умножении, делении.
В результате изучения главы V учащиеся должны освоить понятия
абсолютной п относительной погрешностей приближения, выработать уме-
ние выполнять оценку результатов вычислений.
Особое внимание следует уделить организации обобщающего повторения
изученного в 7—9 классах перед проведением письменного экзамена. При организации
этой работы учитель может воспользоваться Заданиями для самоконтроля из учебника
и известными экзаменационными сборниками.
Ниже приведены три варианта примерного тематического планирования. I вариант —
для работы при 102 ч, 11 вариант — при 136 ч и 111 вариант — для работы в классах
с углубленным изучением математики (170 ч).
9 класс
I вариант: 3 ч в неделю, всего 102 ч
§ 1. Линейные неравенства с одним неизвестным (8).
1.1, Неравенства первой степени с одним неизвестным (2).
1.2. Применение графиков к решению неравенств первой степени с одним неизвест-
ным (1).
1.3, Линейные неравенства с одним неизвестным (2).
1.4, Системы линейных неравенств с одним неизвестным (3).
250
§ 2. Неравенства второй степени с одним неизвестным (10).
2.1. Понятие неравенства второй степени с одним неизвестным (1).
2.2. Неравенства второй степени с положительным дискриминантом (3).
2.3. Неравенства второй степени с дискриминантом, равным нулю (2).
2.4. Неравенства второй степени с отрицательным дискриминантом (1),
2.5. Неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени (2).
Контрольная работа № 1(1).
§ 3. Рациональные неравенства (12).
3.1. Метод интервалов (3).
3.2. Решение рациональных неравенств (3).
3.3. Системы рациональных неравенств (2).
3.4. Нестрогие рациональные неравенства (3).
Контрольная работа № 2(1).
Доказательство числовых неравенств*.
Производные линейной и квадратичной функций*.
§ 4. Корень степени п (17).
4.1. Свойства функции у = хп (2).
4.2. График функции у = хп (2).
4.3. Понятие корня степени п (2).
4.4. Корни четной и нечетной степеней (3).
4.5. Арифметический корень (2).
4.6. Свойства корней степени гг (3).
4.7. Корень степени п из натурального числа (2),
4.8. *Функция у — nJx (х>0).
Контрольная работа № 3(1).
Понятие степени с рациональным показателем*.
Свойства степени с рациональным показателем*.
§ 5. Числовые последовательности и их свойства (2).
5.1. Понятие числовой последовательности (2).
5.2. * Свойства числовых последовательностей.
§ 6. Арифметическая прогрессия (7).
6.1. Понятие арифметической прогрессии (3).
6.2. Суммы п первых членов арифметической прогрессии (3).
Контрольная работа №4(1).
§ 7. Геометрическая прогрессия (7).
7.1. Понятие геометрической прогрессии (3).
7.2. Суммы п первых членов геометрической прогрессии (3).
7.3* . Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Контрольная работа № 5(1).
Метод математической индукции*.
§ 8. Синус, косинус, тангенс н котангенс угла (13).
8.1. Понятие угла (2).
8.2. Радианная мера угла (2).
8.3. Определение синуса и косинуса угла (3).
8.4. Основные формулы для sin а и cos а (3).
8.5. Тангенс и котангенс угла (2).
Контрольная работа № 6(1).
Косинус разности и косинус суммы двух углов*.
251
Формулы для дополнительных углов*.
Синус суммы и синус разности двух углов*.
Сумма и разность синусов и косинусов*.
Формулы для двойных и половинных углов*.
Произведение синусов и косинусов*.
§ 9. Приближения чисел (5).
9.1. Абсолютная величина числа (1).
9.2. Абсолютная погрешность приближения (2).
9.3. Относительная погрешность приближения (2).
Абсолютная погрешность приближения суммы и разности двух чисел*.
Абсолютная погрешность приближения суммы нескольких слагаемых*.
Приближение произведения*.
Приближение частного*.
Приближенные вычисления с калькулятором*.
Повторение (21).
Повторение курса алгебры 7—9 классов (16).
Контрольная работа 71 (2).
Итоговая контрольная работа № 8 (3).
II вариант: 4 ч в неделю, всего 136 ч
1. Линейные неравенства с одним неизвестным (13 ч).
2. Неравенства второй степени с одним неизвестным (14 ч).
3. Рациональные неравенства (17 ч).
4. Корень степени п (18 ч).
5. Числовые последовательности и их свойства, арифметическая и геометрическая
прогрессии (17 ч).
6. Синус, косинус, тангенс н котангенс угла (17 ч).
7. Формулы сложения (15 ч).
8. Приближения чисел (10 ч).
9. Повторение (15 ч).
Ill вариант: 5 ч в неделю, всего 170 ч
1. Линейные неравенства с одним неизвестным (13 ч).
2. Неравенства второй степени с одним неизвестным (14 ч).
3. Рациональные неравенства (22 ч).
4. Корень степени п (22 ч).
5. Числовые последовательности и их свойства, арифметическая и геометрическая
прогрессии (23 ч).
6. Синус, косинус, тангенс н котангенс угла (17 ч),
7. Формулы сложения (17 ч).
8. Приближения чисел (10 ч).
9. Повторение (15 ч).
Резерв. Решение задач (17 ч).
1 Контрольные работы № 7 и № 8 (по повторению) составляются учителем по текс-
там экзаменационных работ прошлых лет.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. НЕРАВЕНСТВА
§ I. Линейные неравенства с одним неизвестным
1.1. Неравенства первой степени с одним неизвестным .................. 3
1.2. Применение графиков к решению неравенств первой степени с одним
неизвестным .......................................................... 7
1.3. Линейные неравенства с одним неизвестным ........................ 9
1.4. Системы линейных неравенств с одним неизвестным ................ 13
§ 2. Неравенства второй степени с одним неизвестным
2.1. Понятие неравенства второй степени с одним неизвестным ........ 19
2.2. Неравенства второй степени с положительным дискриминантом ..... 21
2.3. Неравенства второй степени с дискриминантом, равным нулю ...... 25
2.4. Неравенства второй степени с отрицательным дискриминантом ..... 28
2.5. Неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени ......... 30
§ 3. Рациональные неравенства
3.1. Метод интервалов .............................................. 34
3.2. Решение рациональных неравенств ............................... 39
3.3. Системы рациональных неравенств ............................... 43
3.4. Нестрогие рациональные неравенства ............................ 45
Дополнение к главе I
1. Доказательство числовых неравенств .............................. 50
2. Производные линейной и квадратичной функций ..................... 54
3. Исторические сведения ........................................... 62
4 Задания для повторения ............................................ —
Глава II. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА
§ 4. Корень степени п
4.1. Свойства функции у -х"......................................... 72
4.2. График функции у — х".......................................... 74
4.3. Понятие корня степени п ....................................... 77
4.4. Корни четной и нечетной степеней .............................. 79
4.5, Арифметический корень ......................................... 84
4.6. Свойства корней степени п ..................................... 88
4.7* , Корень степени п из натурального числа ..................... 92
4.8* . Функция у= Ух (х>0) ........................................ 94
253
Дополнения к главе II
1. Понятие степени с рациональным показателем ..................... 98
2. Свойства степени с рациональным показателем ................... 101
3. Исторические сведения ........................................ 107
4. Задания для повторения ........................................ 108
Глава 111. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 5. Числовые последовательности и их свойства
5.1 . Понятие числовой последовательности ........................ 118
5.2 *. Свойства числовых последовательностей .................... 121
§ 6. Арифметическая прогрессия
6.1. Понятие арифметической прогрессии .......................... 124
6.2. Сумма п первых членов арифметической прогрессии .............. 127
§ 7. Геометрическая прогрессия
7.1. Понятие геометрической прогрессии ............................ 129
7.2. Сумма п первых членов геометрической прогрессии .............. 132
7.3* . Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ............ 133
Дополнения к главе III
1. Метод математической индукции ................................. 136
2. Исторические сведения ......................................... 141
3. Задания для повторения ........................................ 142
Глава IV. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
§ 8. Синус, косинус, тангенс н котангенс угла
8. 1. Понятие угла ............................................... 150
8. 2. Радианная мера угла ........................................ 156
8. 3. Определение синуса и косинуса угла ......................... 159
8. 4. Основные формулы для sin а и cos а ......................... 164
8. 5. Тангенс и котангенс угла................................... 169
Дополнения к главе IV
1. Косинус разности и косинус суммы двух углов ................... 173
2. Формулы для дополнительных углов .............................. 177
3. Синус суммы и синус разности двух углов ....................... 178
4. Сумма и разность синусов и косинусов .......................... 180
5. Формулы для двойных и половинных углов ........................ 183
6. Произведение синусов и косинусов .............................. 188
7. Исторические сведения ........................................ 189
8. Задания для повторения ........................................ 190
254
Глава V. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 9. Приближения чисел
9.1. Абсолютная величина числа .................................... 204
9.2. Абсолютная погрешность приближения ........................... 207
9.3. Относительная погрешность приближения ........................ 211
Дополнения к главе V
I. Абсолютная погрешность приближения суммы и разности двух чисел . 215
2. Абсолютная погрешность приближения суммы нескольких слагаемых. 216
3. Приближение произведения ...................................... 218
4. Приближение частного .......................................... 220
5. Приближенные вычисления с калькулятором ...................... 222
6. Исторические сведения ......................................... 224
7. Задания для повторения .......................................... —
Задания для самоконтроля по программе 7—9 классов..................... 230
Предметный указатель.................................................. 240
Ответы ............................................................... 241
Послесловие для учителя .............................................. 248
Учебное издание
Никольский Сергей Михайлович
Потапов Михаил Константинович
Решетников Николай Николаевич
Шевкин Александр Владимирович
АЛГЕБРА
Учебник д ля 9 класса
общеобразовательных учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редакторы Н.Е. Терехина, Т. Г. Войлокова
Младший редактор Н. В. Сидельковская
Художник В. А. Андрианов
Художественный редактор Е. Р, Дашу к
Художественная графика И. А. Шалеев
Технические редакторы С. С. Якушкина, Т. Е. Хотюн
Корректоры Н. В. Бурдина, О. В. Ивашкина
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000.
Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01, Подписано в печать с диапозитивов
21.10,05. Формат 60х90'/1в. Бумага офс, Гарнитура Литературная. Печать офсет-
ная, Усл. печ, л, 16 + 0,38 фора, Уел. кр.-отт, 17,12, Уч.-изд, л. 14,19 + 0,48 форз.
Тираж 19500 экз. Заказ № 707&-
Федеральное государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного
Знамени «Издательство «Просвещение» Федерального агентства по печати и мас-
совым коммуникациям. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Московские учебники
и Картолитография». 125252, Москва, ул. Зорге, 15.
Арифметическая прогрессия
FfCT£X1)b(xj;+^o)
Ьх-^-ц>~0
9
> 9
ах + Ьх + с < О
а
|«|<1
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
нет
решений
нет
решений
(IX +
сф) J
х„=х, + (n-l)d
X —X
а ~ п-т
Геометрическая прогрессия
4?
'^п
1
Основные формулы тригонометрии
• 2 2
sm a + cos a = 1
sin a
cos a
. - cos a
ctga = —--
& sma
2 A
tg a + 1 =----5—
B cos2a
ctg 2a +1 = — 1g-
sin a
- -
sin (а + р) = sin а cos р + sinP cos а '
т
a cos
is pi1- sin В cos a __
|. T| p i , - -J—
is P - sin a siii p
cos (а у р) — cos а cos р + s in ct sin p
a +tgp
tg<a + p>=
1-tgatgP
~т tg(a-p) -
tga-tgp
1 + tg a tg p
sin2a = 2sin acos a
cos2a = cos2a - sina
2tga
tg2a= 7"
1-tga