МГУ-ШКОЛЕ
Алгебра
и начала
математического
анализа
•	. >в	„	„ "Z -	•	 • ,
КЛАСС
УЧЕБНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ
УЧРЕЖДЕНИЙ
Базовый и профильный уровни
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
8-е издание
Москва
« Просвещение »
2009
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я72
А45
Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году
Авторы:
С. М. Никольский, М. К. Потапов,
Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 10106—5215/15 от 31.10.07)
и Российской академии образования (№ 01—208/5/7д от 11.10.07)
Условные обозначения:
— начало материала, необязательного для
® базового уровня
— окончание материала, необязательного для
базового уровня
1.7* — пункт для профильного уровня
— факты, свойства, определения, формулы, которые
нужно помнить
1.2 — задания для базового уровня
2.5 — задания для профильного уровня
4.9° — задания для устной работы
5.4* — задания повышенной трудности
Ill — задания для повторения
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс :
А45 учеб, для общеобразоват. учреждений : базовый и профил.
уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетни-
ков, А. В. Шевкин]. — 8-е изд. — М. : Просвещение, 2009. —
464 с. : ил. — (МГУ — школе). — ISBN 978-5-09-021970-9.
Дополненное издание соответствует федеральным компонентам Госу-
дарственного стандарта общего образования по математике и содержит ма-
териал как для базового, так и для профильного уровня. По нему можно
работать независимо от того, по каким учебникам учились школьники
в предыдущие годы.
Учебник нацелен на подготовку учащихся к поступлению в вузы.
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я72+22.161я72
ISBN 978-5-09-021970-9
© Издательство «Просвещение», 2002
© Издательство «Просвещение», 2008,
с изменениями
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2008
Все права защищены
Глава I_________________
1 _	>	• f •
Функции. Производные. Интегралы
f(x) = X
§ 1. Функции и их графики
1,1. Элементарные функции
Напомним определение функции. Пусть каждому числу х из
множества чисел X в силу некоторого (вполне определенного) закона
поставлено в соответствие единственное число у. Тогда говорят, что
у есть функция от х, определенная на множестве X; при этом х на-
зывают независимой переменной или аргументом, а у — зависимой
переменной или функцией от х, множество X — областью определе-
ния функции.
Таким образом, чтобы задать функцию, нужно указать способ
(закон, правило), с помощью которого для каждого значения аргу-
мента х е X можно найти соответствующее значение у. Обычно этот
закон обозначают одной буквой, например Д и тогда пишут
у = f(x), х е X.
(1)
Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что у зависит от х, вместо
у пишут г/(х), а для сокращения записи (1) пишут у — f(x) или /(х).
Закон f также называют функцией f и говорят: задана функ-
ция f на множестве чисел X или, коротко, задана функция Д
Отметим, что вместо пары букв х и у в определении функции
могут участвовать любые другие пары букв. Например, функцию Д
определенную на множестве чисел X, можно записать как в виде (1),
так и в виде и = f(v), v е X, или даже в виде х = f(y\ у е X. Все эти
записи характеризуют одну и ту же функцию f.
Число, соответствующее х0 е X для данной функции у(х), назы-
вают значением функции в точке х0 и обозначают z/(x0). Если функ-
ция записана в виде (1), то это число обозначают /(х0).
Пусть функция у = F(u) определена на множестве G, а функция
и = ф (х) определена на множестве X и множество всех ее значений
содержится в множестве G. Тогда любому х е X функция <р ставит
в соответствие число и е G, а этому числу и функция F ставит в соот-
ветствие число у, т. е. у является функцией от х на множестве X.
Другими словами, получена функция у — Р(ф(х)), определенная
на множестве X. Эту функцию называют функцией от функции или
сложной функцией. Сложную функцию называют также суперпози-
цией двух функций (р и F.
Например, если у = 2й и и = х3, то для любого действительного х
определена сложная функция у = 2х3 .
Можно указать сложную функцию, в образовании которой уча-
ствует более двух функций. Сложными будут, например, функции
у = е*х + х2, у = cos(2х + 3х), у = (х -	+ tgx, у = log2(3x + 4),
У = log3(sinx + 2), у = sin(3 + log2x).
Ранее уже изучались функции
у = хп (п е N), у = х~п (п е АГ), у = л/х, (n е N, п 2),
у = ха (a g jR+), у = х~а (а е R+),
у = sinx, у = cosx, у = tgx, у = ctgx,
у = ах (а > 0, а * 1), у = logax (а > 0, а Ф 1).
Все эти функции называют основными элементарными функ-
циями.
Функции, полученные из основных элементарных функций с
помощью конечного числа арифметических операций и примене-
ния конечного числа суперпозиций, принято называть элементар-
ными функциями. Элементарными функциями, например, явля-
ются функции у = sinx + cosx, у = -sin2(x - 5).
1.1° а) Сформулируйте определение функции.
б)	Какую функцию называют сложной?
в)	Перечислите основные элементарные функции.
г)	Какие функции называют элементарными?
1.2	Выпишите основные элементарные функции /(х) и g(x), с по-
мощью которых задана сложная функция:
a) f(g(х)) = yligx; б) f(g(x)) = Inx4.
1.3	Выпишите основные элементарные функции f(x), g(x) и <р(х),
с помощью которых задана сложная функция:
a) f(g(<p(x))) = sinVx3; б) /(g(<p(x))) = (Vsinx)3.
1.4	Даны элементарные функции: /(х)=7х, ср(х) = х2, g(x) = log5x.
Запишите сложную функцию:
а) Лф(х));	б) (p(g(x));	в) /(g(x));	г) g(g(x));
Д) £(Ф(Л*)));	е) ф(^(/(х)));	ж) /(g((p(x))); з) f(g(f(x)J).
Функции и их графики
1.2. Область определения и область изменения функции.
Ограниченность функции
Из определения функции следует, что функция у = f(x) должна
задаваться вместе с ее областью определения, которая дальше будет
обозначаться X или D(f). При этом подчеркнем, что область опреде-
ления функции может задаваться либо условиями решаемой задачи,
либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математиче-
скими соглашениями.
Однако часто, задавая функцию аналитически, т. е. формулой,
не указывают явно ее область определения. В таких случаях приня-
то рассматривать функцию на ее полной области определения.
Полной областью определения функции у — f (х), заданной ана-
литически, называют множество всех действительных значений не-
зависимой переменной х, для каждого из которых функция прини-
мает действительные значения. Иногда полную область определения
называют областью существования функции.
В тех случаях, когда функция задана формулой и не указана ее
область определения, областью определения функции считают об-
ласть ее существования.
Областью изменения (областью значений)
функции /(х) назы-
вают множество всех чисел f(x), соответствующих каждому х из
области определения функции; область изменения функции f(x)
обозначают E(f) или У.
ПРИМЕР I. Пусть дана функция у = ^/log2 sinx. Так как
log2 sinx 0 лишь при условии sinx = 1 (в этом случае log2 sinx = 0),
то область определения (существования) данной функции — мно-
жество всех чисел xk
- + 2л:/г, /ге Z
2
Область изменения функции состоит из одного числа нуль, т. е.
У={0}.
ПРИМЕР 2. Пусть дана функция у = V1 - х2. Область опре-
деления (существования) этой функции — отрезок X — [-1; 1] —
находится из условия 1 — х2 0. Область изменения — отрезок
У = [0; 1]- находится следующим образом: так как —1 х С 1, то
0 х2 1, -1 -х2 0, 0 С 1 - х2 С 1, значит, 0 V1 - х2 С 1. При
этом у принимает все значения из промежутка [0; 1].
ПРИМЕР 3. Пусть дана функция у =
-	Область определе-
71 - х2
ния (существования) этой функции — интервал X = (—1; 1) — нахо-
дится из условия 1 - х2 > 0. Область изменения функции — проме-
6
жуток Y = [1; +оо) — находится так: если -1<х<1, то 0 < Jl- х2 1,
поэтому
1. При этом у принимает все значения из проме-
жутка [1; +оо).
ПРИМЕР 4. Пусть дана функция у =	1 с областью опреде-
д/1 - X2
ления X = О;
. Ее область изменения есть отрезок Y = [1; 2].
Функцию у = /(х), определенную на множестве X, называют
ограниченной снизу на множестве X, если существует число А, та-
кое, что А f(x) для любого х е X.
Например, функция у = х2 ограничена снизу на всей области су-
ществования .R, так как х2 0 для любого действительного х.
Функцию у — f(x), определенную на множестве X, называют
ограниченной сверху на множестве X, если существует число В, та-
кое, что /(х) С В для любого х е X.
Например, функция у = V1 - х2 ограничена сверху на всей облас-
ти существования [-1; 1] , так как V1 — х2 1 для любого х g [-1; 1].
Функцию у = /(х), определенную на множестве X, называют
ограниченной на множестве X, если существует число М > 0, такое,
что | /(х) | М для любого х G X.
Например, функция у = sinx ограничена на всей области су-
ществования В, так как jsinx| С 1 для любого действительного х.
Про функцию у = f (х) говорят, что она принимает на множестве
X наименьшее значение в точке х0, если х0 g X и /(х0) С f (х) для
всех х g X.
Говорят также, что функция у - f(x) принимает на множестве X
наибольшее значение в точке х0, если х0 g X и f(x0) f (х) для всех
ПРИМЕР 5. Функция у = л/1 — х2 на промежутке [-1; 1] прини-
мает наибольшее значение у = 1 при х = 0 и наименьшее значение
у = 0 при х = -1 и при х — 1.
ПРИМЕР 6. Функция у = х2 на промежутке (-оо; +оо) принимает
наименьшее значение у = 0 при х = О, не принимает наибольшего
значения и не ограничена сверху.
ПРИМЕ!* 7. Функция у = 2х на множестве (—оо; О] принимает
наибольшее значение у = 1 при х = 0, не принимает наименьшего
значения, но ограничена снизу числом О.
ПРИМЕР 8. Функция у = log2 на множестве (0; +оо) не при-
нимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Функции и их графики
ПРИМЕР 9. Функция у = [х] — целая часть числа х (наиболь-
шее целое число, не превосходящее х) не принимает ни наиболь-
шего, ни наименьшего значения.
ПРИМЕР 10. Функция у = {х} — дробная часть числа х({х} =
= х - [х]) принимает наименьшее значение у = 0 при любом
х е Z, не принимает наибольшего значения, но ограничена свер-
ху числом 1. •
1.5° Что такое: а) область существования функции; б) область опре-
деления функции; в) область изменения функции?
1.6° Пусть функция у = f(x) определена на множестве X. В каком
случае говорят, что на этом множестве она ограничена сверху;
ограничена снизу; ограничена? Приведите примеры.
Докажите, что функция у = 1 - х ограничена на множестве
Найдите область определения функции:
1.9
а)	у = log21 х |;
г) у = 2^;
б)	,y = |log2x|;
д) у = \2Х;
1.10 Найдите область изменения функции:
ч	30 V г Q и.
г) у = -	 , X = [-8; 1];
7100 - х2
е) у = log2 7х2 - 1;
; з) у = log2 71 - х2.
1.11	* Какая из функций в предыдущем задании на области ее опре-
деления является: а) ограниченной снизу; б) ограниченной
сверху; в) ограниченной?
1.12	Покажите, что на полной области определения функция:
а)	у = х* 1 2 з не является ограниченной сверху;
1
б)	у = —5- не является ограниченной снизу;
в)	у = log2 х не является ограниченной.
1.13	Докажите, что если функция у = f (х), определенная на множе-
стве Ху ограничена и сверху, и снизу на этом множестве, то
она ограничена на этом множестве.
1.14	Имеет ли наибольшее (наименьшее) значение функция:
Если имеет, то укажите точку (точки), в которой оно дости-
гается.
1.3.	Четность, нечетность, периодичность функций
Функцию у = f(x) с областью определения X называют четной,
если для любого х е X число (~х) е X и справедливо равенство
/*(-х) = /(х).
Приведем примеры четных функций:
у = cosx, у = х2, у = 71 - х2, у = — 2
1 +
График любой четной функции у = jf(x) с областью определения
X симметричен относительно оси ординат, так как для любого х g X
точки плоскости (х; f(x)) и (—х; ?(х)) симметричны относительно
оси Оу,
Функцию у = /(х) с областью определения X называют нечет-
ной, если для любого х е X число (—х) е X и справедливо равенство
/(-х) = —/ (х).
Приведем примеры нечетных функций:
з 1
У = X, Z/ = S1HX, Ц-X, У - —у
у = tgx.
График любой нечетной функции у = /(х) с областью определе-
ния X симметричен относительно начала координат, так как для
любого хеХ точки плоскости (х; /*(х)) и (-х; -/(х)) симметричны
относительно начала координат.
Наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не
являющиеся ни четными, ни нечетными.
Например, функции у = 2х + 3, у = х2 + 2х + 3, у = л/х, у = 1g х,
у = 2х не являются ни четными, ни нечетными.
Функции и их графики
Кроме того, есть функции, которые являются одновременно
и четными, и нечетными. Например, функция /(х) = 0 является
и четной, и нечетной, так как для любого действительного числа х
справедливы равенства:
/(-х) = 0 = fix) и fi-x) = О = -0 = -fix).
Функцию у = f(x) с областью определения X называют перио-
дической, если существует число Т 0, такое, что для любого х е X
число (х + Т) е X, число (х - Т) е X и справедливо равенство
fix+T) = fix).
Число Т называют периодом функции f (х).
Заметим, что для периодической функции имеет место равенство
fix - Т) = f(х).
Действительно, функция у = fix) определена в точке х — Т и
справедливо равенство fix) = /((х — Т) + Т) = f(х — Т).
Если функция f, рассматриваемая на множестве X, принимает
действительные значения и имеет период Т Ф 0, то очевидно, что она
имеет также период —Т, поэтому достаточно рассматривать положи-
тельные периоды.
ПРИМЕР 1. а) Функция i/ = sinx определена на множестве
X = (-се; 4-оо) и имеет периодом число Т = 2л, так как для лю-
бого х g X числа х + 2л и х - 2л принадлежат множеству X и
sin (х 4- 2л) = sin х.
б)	Функция у = tgx определена на множестве X всех х, кроме
ТС
чисел xk = — + /?л, k g X, и имеет периодом число Т = л, так как для
любого х е X числа х + л и х — л принадлежат множеству X и
tg (х + л) = tg х.
в)	Функция у = {х} (дробная часть числа х) имеет период Т = 1,
так как она определена для любых х g R и {х + 1} = {х}.
г)	Функция у = sinVx не является периодической, так как ее
область определения X = [0; +оо) и, например, для числа х = 0 число
х - Т (если Т > 0) не принадлежит X — области определения этой
функции.
д)	Функция у — С (константа) имеет периодом любое число
Т*0.
Число Т называют главным периодом функции, если оно явля-
ется наименьшим среди всех ее положительных периодов.
ПРИМЕР 2.
а)	Функция у = sin х имеет главный период Т = 2л.
б)	Функция у = tg х имеет главный период Т = к.
в)	Функция у — {х} имеет главный период Т — 1.
г)	Функция Дирихле, определенная следующим образом:
У =
если х — любое рациональное число
если х — любое иррациональное число,
имеет периодом любое рациональное число Т Ф 0. Она не имеет глав-
ного периода.
д)	Функция у — С (см. пример 1д)) не имеет главного периода.
Пусть дана функция у = f(x) с областью определения X. Пусть
дано число а, такое, что а 0. Тогда функция у = /(ах) имеет об-
ласть определения Хп которая характеризуется свойством: для лю-
бого хеХ{ число ах е X, а для любого х е X число -еХр При
этом если функция у = /(х) имеет период Т, то функция у = /(ах)
Т
имеет период —. Действительно, для любого х е Хг справедливо ра-
венство
= / (ах + Т) = / (ах),
откуда следует, что число — есть период функции у = /(ах), а зна-
чит, и число
а
есть период функции у = f(ax).
а) Функция у = sin х имеет область определения X = (-оо; +оо)
и период 2л. Для любого числа а (а 0) функция у = sin ах имеет
—	z	ч	2л
область определения Xi = X = (-оо; +оо) и период :—г.
|а|
= tg х имеет область определения X (X — это все
7t
— + kn, k е Z) и период л. Для любого числа а
= tgax имеет область определения Xj (Xi
— + — п, п g Z) и период т—,.
это
б) Функция у
х е К, кроме xk =
(а Ф 0) функция у
все х, кроме хп —
Сумма, разность, произведение и частное двух функций, каждая
из которых имеет область определения X и период Т, также есть
функция с областью определения X и с периодом Т. (Предполагает-
ся, что функция-делитель отлична от нуля на множестве X.)
Поэтому, например, функция у = sin х + sin 2х - sin Зх, опреде-
ленная на множестве (—оо; +оо), имеет период 2л, так как каждое
слагаемое имеет область определения (—оо; +оо) и период 2л.
Функция у = sinх + tgx, определенная на множестве X всех х,
кроме чисел xk =	+ kn, k е Z, имеет период Т = 2л, так как каждое
слагаемое имеет область определения X и период 2л.
Функции и их графики
Однако нельзя утверждать, что если каждая из двух функций
имеет главный период Т, то их сумма, разность, произведение и
частное имеют всегда главный период Т.
Например, каждая из функций у — sin х и у - cos х имеет глав-
ный период 2я, но их произведение, т. е. функция у = sin х cos х =
1
= — sin 2х, имеет главный период л, а их сумма, т. е. функция
Л
у = sinx + cosx = V2 sinl х + — |, имеет главный период 2л. •
I 4 1
1.15	° а) Какую функцию называют: четной; нечетной?
1.16	Докажите четность функции:
а) у = х4 — 5х2 ч- 8 cos х; б) у = 7х6 + 6х4 — 5.
1.17	Докажите нечетность функции:
а) у = х5 - 5х - 4 sin х; б) у = 4х7 — 5х3 - 5х.
1.18
Определите, является ли четной или нечетной функция
(1.18—1.20):
. х4 + 4	х3 — Зх
а)	у = -2^;	б) у =
5х3 — Зх
_ 5х3 + sin х
У ~ Зх3 - х
1.19 а) у = |х-4| + |х + 4|;
б) i/ = |x-8| + |x + 8|;
Д) у = 7(х-3)(х + 2) + Л/(х + 3)(х-2);
е) у = 7(х - 1) (х - 7) + 7(х + 1)(х+7).
1.20 а)
х2 - 5х + 1
х2 + 7х + 1
1.21	На рисунке 1, а—г изображена часть графика функции
У — Постройте весь график, если известно, что эта функ-
ция четная.
1.22	Решите задачу 1.21, если функция у — f(x) нечетная.

IS Рис. 1
1.23	Докажите, что если функция у — f(x) определена на множест-
ве X и для любого х е X число (-х) е X, то функция:
х Z х f(x) + /(-X)
а)	<р (х) =---—-----четная;
/х f(x) ~ f(-x)
б)	ф (х) = ---------нечетная.
1.24	Докажите, что если функция у = /(х) определена на множест-
ве X и для любого х е X число (—х) g X, то эту функцию мож-
но представить в виде суммы двух функций, каждая из кото-
рых определена на том же множестве X и одна из которых
четная, а другая нечетная.
1.25	Представьте функцию у — 2х, определенную на всей числовой
оси, в виде суммы четной и нечетной функций.
1.26	Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух
четных функций есть четная функция на общей части (пересе-
чении) областей определения этих функций.
1.27	а) Выясните, четной или нечетной функцией является сум-
ма, разность, произведение и частное двух нечетных функ-
ций на общей части (пересечении) областей определения этих
функций.
Функции и их графики
б)	Выясните, является ли четной или нечетной функцией сум-
ма, разность, произведение и частное четной и нечетной функ-
ций на общей части (пересечении) областей определения этих
функций.
1.28	° а) Какую функцию называют периодической?
б)	Какое число называют главным периодом периодической
функции?
в)	Всякая ли периодическая функция имеет главный период?
1.29	Приведите пример периодической функции:
а) имеющей главный период л; 2л; 1;
б)	не имеющей главного периода.
1.30	Докажите, что если число Т есть период функции /, то число
пгТ, где тп е N, также будет периодом этой функции.
1.31	На рисунке 2, а—г изображена часть графика функции y = f(x).
Продолжите построение графика функции, если известно, что
период данной функции Т = 2.
В Рис. 2
14
Определите, является ли функция периодической. Если да, то
укажите ее период (1.32—1.35):
1.32
а) у = sin2 х;
г) у = 1 + tg х;
ж) у = cos 7-х;
1.33
а)	у = | sinx |;
г) у = | ctgx |;
ж) у = tg|х|;
б)	у = cos2 х;
д) у = 1 + ctgx;
з) у = tg 7х;
б) у = | cosx |;
Д) У = sin|x|;
з) у = ctg |х|.
в) у = sin2 х - cos2 х;
е) у = sin 7х;
и) у = ctg V-x.
в) у = | tgx|;
е) у = cos |х|;
1.34
а) У = [х];
б) у = {х};
в) у =

1.35
a)	i/ = [sinx];
г) у = {cosx};
ж) у = | [cosx] |;
б)	i/ = {sinx};
д) у = | [sinx]|;
з) у = | {cosx} |.
в) у = [cos х];
е) у = | {sin х} |;
1.36 Определите период функции:
а) у = sin Зх + cos 8х;	б) у = sin 7х cos 5х + sin 5х cos 7х;
в) у = sin 4х + cos 10х; г) у = sin 7х cos 5х — sin 5х cos 7х.
1.4.	Промежутки возрастания, убывания,
знакопостоянства и нули функций
Функцию у = /(х), определенную на промежутке X, называют
возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и
х2 из этого промежутка из неравенства хг < х2 следует неравенство
№1) < /(*2)-
ПРИМЕР 1.
а)	Функция у = х возрастает на промежутке (-оо; +оо).
б)	Функция у = х2 возрастает на промежутке [О; +оо).
в)	Функция у = sin х возрастает на промежутке
л
2
Функцию у = /(х), определенную на промежутке X, называют
убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел xt и х2
из этого промежутка из неравенства хг < х2 следует неравенство
/4*1) > f{x2).
Ж 15
Функции и их графики
ПРИМЕР 2.
а)
б)
Функция у = х2 убывает на промежутке (-оо; 0].
Функция у =
убывает на промежутке (—оо; +со).
в)
Функция у = sin х убывает на промежутке
Возрастающие функции и убывающие функции называют стро-
го монотонными функциями.
Сумма возрастающих на промежутке X функций, очевидно, яв-
ляется функцией, также возрастающей на X, а сумма убывающих
на промежутке X функций является функцией, убывающей на X,
ПРИМЕР 3.
а)	Функции у = 4х и у = у[х — возрастающие на полуинтервале
[0; +оо). Функция у = Vx + yfx также возрастающая на этом полуин-
тервале.
б)	Функции у = log2 х и у = 2х — возрастающие на интервале
(0; +оо). Функция у = log2 х + 2х также возрастающая на этом интер-
вале.
в)	Функции у — —х и у = V—х — убывающие на полуинтервале
(-оо; 0]. Функция у = -х + V—х также убывающая на этом полуин-
тервале.
г)	Функции у = iog0 5 х и у — 0,5х — убывающие на интервале
(0; +оо). Функция у = logo>5x + 0,5х также убывающая на этом ин-
тервале.
ЕН Функцию у = /(х), определенную на промежутке X, называют
неубывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел
Xi и х2 из этого промежутка из неравенства хг < х2 следует нера-
венство f(Xi) /(х2).
ПРИМЕР 4.
а) Функция у =
жутке (-оо; +оо).
0 при х < 0 является неубывающей на проме-
б) Функция у = -у/х + | х| является неубывающей на промежутке
Функцию у = /(х), определенную на промежутке X, называют
невозрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел хт
и х2 из этого промежутка из неравенства хг < х2 следует неравенство
f(Xi) f(x2).
ПРИМЕР 5.
а)	Функция у =
межутке (-оо; +оо).
х2 при х < 0
0 при х > 0
является невозрастающей на про-
б)	Функция у = VI х| - х является невозрастающей на проме-
жутке (—оо; +00).
Возрастающие функции, а также убывающие, невозрастающие
и неубывающие функции называют монотонными функциями.
Число х0, принадлежащее области существования функции
У = называют нулем этой функции, если f (х0) = 0. Для того
чтобы найти все нули функции у — /(х), надо найти все корни урав-
нения f(x) = 0.
Говорят, что функция у = f(x) в точке х имеет знак «+», если
в этой точке /(х) > 0, и знак «-», если в этой точке /(х) < 0.
Если для всех х из промежутка, принадлежащего области опре-
деления функции у = /(х), соответствующие значения этой функции
имеют один и тот же знак, то этот промежуток называют промежут-
ком знакопостоянства этой функции.
Промежутки знакопостоянства функции у = /(х) — это, во-пер-
вых, промежутки, на которых
/(х) > 0,
а во-вторых, промежутки, на которых
f(x) < 0.
(1)
(2)
Поэтому для того, чтобы найти все промежутки знакопостоянст-
ва функции у = /(х), надо найти все решения неравенств (1) и (2).
Если найдены все промежутки знакопостоянства функции у — /(х),
то говорят, что определено распределение знаков этой функции.
Далее на рисунках цветными сплошными точками изображе-
ны нули функции, а кружками («выколотыми» точками) — точки,
в которых функция не определена.
ПРИМЕР 6.
а)	Функция у - ех определена и положительна на промежутке
(-оо; +оо), т. е. она имеет знак «+» в каждой точке этого проме-
жутка. Нулей у этой функции нет.
б)	Функция у = In х определена на промежутке (0; +оо), имеет
единственный нуль (х0 =1), распределение знаков этой функции
изображено на рисунке 3.
в)	Функция у = у[х определена на промежутке [0; +оо), имеет
единственный нуль (х0 = 0), имеет знак «+» в каждой точке проме-
жутка (0; +оо).
(х + 1)(х - 3)
(х + 2)(х - 4)
г) Функция у =
определена на объединении проме-
жутков (-оо; —2) U (—2; 4) U (4; +оо), имеет два нуля (х! = —1 и х2 - 3).
Распределение знаков этой функции изображено на рисунке 4.
х -2 -1
 Рис. 4
3 4 х
•SS 17
Функции и их графики
д) Функция у —
(х- 1)(х-2)2(х- 5)
х-3
12 3	5
определена на объединении проме- ц рис> 5
жутков (-оо; 3) U (3; 4-оо), имеет три
нуля (хх = 1, Х2 = 2 и Х3 = 5). Распределение знаков этой функ-
ции изображено на рисунке 5.
1.37	° Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. В каком
случае ее называют: возрастающей, убывающей, строго моно-
тонной на промежутке X?
1.38	* Пусть функция у = /(х) определена на промежутке X. В каком
случае ее называют: неубывающей, невозрастающей, монотон-
ной на промежутке X?
1.39	а) Докажите, что сумма возрастающих на промежутке X
функций является функцией, также возрастающей на X,
б) Докажите, что сумма убывающих на промежутке X функ-
ций является функцией, также убывающей на X.
1.40	* а) Докажите, что если функция у = f(x) определена на проме-
жутке X и возрастает на нем, то для любой пары чисел хх и х2
из промежутка X из справедливости неравенства /(хг) > /(х2)
следует справедливость неравенства хг > х2.
б) Докажите, что если функция у = /(х) определена на проме-
жутке X и убывает на нем, то для любой пары чисел хх и х2 из
промежутка X из справедливости неравенства /(х1)>/?(х2)
следует справедливость неравенства хх < х2.
в) Докажите, что если функция у = f (х) определена и строго
монотонна на промежутке X, то для любой пары чисел хх и х2
из X из справедливости равенства f (хх) = f(x2) следует спра-
ведливость равенства хх = х2.
1.41	Докажите, что функция у = | х | на промежутке:
а) [0; +оо) возрастает; б) (—оо; 0] убывает.
1.42	Докажите, что функция у = х2 — 2х на промежутке:
а)	[1; +оо) возрастает; б) (—оо; 1] убывает.
1,43	Докажите, что функция у — —х2 + 4х на промежутке:
а) [2; ч-оо) убывает; б) (-оо; 2] возрастает.
1.44	При каких значениях k функция у = kx 4- b является:
а) возрастающей; б) убывающей?
1.45	При каких значениях а функция у = а(х — х0)2 4- у0 является:
а) возрастающей на промежутке [х0; 4-оо);
б)	убывающей на промежутке [х0; 4-оо);
в)	возрастающей на промежутке (-оо; х0];
г)	убывающей на промежутке (-оо; х0]?
1.46 Докажите, что функция:	п
а) у = logxx; б) у = в) у = Vx; г) у = х * 1 2
2
строго монотонна на полной области определения.
Укажите промежутки строгой монотонности функции:
1.48 Укажите промежутки монотонности функции:
а) у = х - [х];	б) у = [х] + х;
в) У = \х — 4 | + | х + 4 |; г) у = \х — 8| — | х + 8 |;
д) у = ^х2 + 2х +1 + ^х2 — 2х +1;
е) у = ^/х2 + 6х + 9 — д/х2 — бх + 9.
1.49
Укажите промежутки знакопостоянства функции:
1.50 Функция i/= sgn х (читается «сигнум икс» —знак числа х)
определяется так: если х > 0, то у = 1; если х = 0, то у = О;
если х < 0, то у = — 1. Определите промежутки монотонности,
промежутки знакопостоянства функции:
a) z/ = sgnx;	б) у = sgn (х2 - 4);
в) у = sgn (1gх);	г) у = sgn
1.51 При каких значениях Ъ и с функция у = х2 + Ьх + с принимает
отрицательные значения только при х g (-4; -2)?
1.5. Исследование функций и построение их графиков
элементарными методами
Если для данной функции у = /(х) изучены перечисленные
в пп. 1.2—1.4 свойства, то говорят, что проведено исследование
функции у = f (х).
Таким образом, при исследовании функции необходимо отве-
тить на следующие вопросы:
1) Какова область определения функции?
2) Какова область изменения функции?
Функции и их графики
3)	Ограниченная ли эта функция?
4)	Принимает ли функция наибольшее и наименьшее значения?
5)	Является ли эта функция четной (нечетной)?
6)	Периодическая ли эта функция?
7)	Есть ли у функции промежутки, где она возрастает (убывает)?
8)	Есть ли у нее промежутки знакопостоянства?
Именно по такой схеме ранее исследовались, по мере их введе-
ния, основные элементарные функции.
Исходя из свойств функции можно построить ее график, для по-
строения которого полезно также знать точки его пересечения с ося-
ми координат.
Напомним, что графиком функции у = /(х) называют множест-
во тех и только тех точек А(х; у) координатной плоскости хОу, ко-
ординаты хи у которых удовлетворяют условию у = f(x).
Например, графиком функции у — х является прямая — бис-
сектриса первого и третьего координатных углов.
Отметим, что существуют функции, график которых изобразить
невозможно. Такой, например, является функция Дирихле.
Если график функции у = /(х), заданной на промежутке, есть
непрерывная линия, полученная непрерывным движением каран-
даша без отрыва его острия от бумаги, то эту функцию называют
непрерывной на этом промежутке.
Можно сказать и так: функцию называют непрерывной на про-
межутке, если в каждой точке этого промежутка она определена
и малому изменению аргумента х соответствует малое изменение
функции у.
Например, функция у = х1 2 непрерывна на промежутке (—оо; +оо);
функция У — ~ непрерывна на промежутке (0; +оо), кроме того, она
непрерывна на промежутке (—оо; 0).
Формальное определение непрерывности функции будет дано
в § 2. Согласно этому определению каждая из функций у = х2 и
1
у = — непрерывна на любом промежутке из области ее существо-
X
вания. •
ПРИМЕР. Исследуем функцию
(1)
и построим ее график.
Из формулы (1) можно вывести основные свойства функции
_z 6
f U) = -5—7-
1) Функция (1) определена для любых действительных чисел,
т. е. область ее определения D(f} = (-оо; +оо).
2) Эта функция четная, так как
xeD(f).
6
(-xf+ 2
для любых
3)	Функция (1) всюду положительна, ограничена снизу чис-
лом 0, а сверху числом 3, так как f (х) 3 для любых х g D(f).
4)	Наибольшее значение 3 функция f(x) достигает в точке О,
наименьшего значения функция не имеет.
5)	Область изменения функции у — f(x) есть промежуток
Е (/) = (0; 3], так как у принимает все значения из промежутка (О; 3].
6)	Функция f (х) на промежутке [О; +оо) убывающая. Действи-
тельно, пусть 0 Хх < х2, тогда 0 < xf + 2 < х2 + 2. И поскольку
,	6	_	„
функция у = - убывающая для и > О, то справедливо неравенство
6	6
14+Т	/( 11 f( г)'
7)	У этой функции нет нулей, но есть точка (0; 3) пересечения
с осью Оу.
Для построения графика функции вычислим координаты не-
скольких точек графика для х 0:
X	0	1	2	3	4
У	3	2	1	6 11	1 3
 Рис. 6
Учитывая перечисленные свойства
функции (1), построим ее график снача-
ла для х 0, а потом симметрично отра-
зим его (так как функция четная) отно-
сительно оси Оу (рис. 6).
График иллюстрирует все свойства функции у —
1.52	° На какие вопросы надо ответить при исследовании функции?
1.53	° Что называют графиком функции?
1.54	На рисунке 7, а, б изображен график функции у = /(х).
Укажите: область определения, нули, промежутки возраста-
ния (убывания), промежутки знакопостоянства этой функции.
Исследуйте функцию и постройте ее график (1.55—1.57):
1.55 а) у = | х ;
ч 1
г) у = Тз •
21
Функции и их графики
а)	б)
Рис. 7
1.56* а) у =
Д) у = Vcosx;
ж) у - 72*";
в) У =
е) у =
1 — 2х1 2 * .
3+х2 ;
1.57* а) у = sin2 х;
з) У = 71о&2 х-
б) у = ctg2 х; в)
, \2
г) у = log j X .
1.6. Основные способы преобразования графиков
1. Симметрия относительно осей координат. Функции у = /(х)
и у = -f (х) имеют одну и ту же область определения. Их графики
симметричны относительно оси Ох (рис. 8), так как точки (х; /"(х))
В Рис. 8
 Рис. 9

Ук
и (х; —/(х)) симметричны относительно оси Ох. Поэтому график
функции у = -/(х) получается из графика функции у = /*(х) симмет-
ричным отражением последнего относительно оси Ох. Постро-
им этим способом графики функций i/ = -x2 (рис. 9) и у = —log2x
(рис. 10).
Функции у = /(х) и у — f(-x} имеют области определения, сим-
метричные относительно точки О. Графики этих функций симмет-
ричны относительно оси Оу (рис. 11), поэтому график функции
у = f (~х) получается из графика функции у = f (х) симметричным
отражением последнего относительно оси Оу.
Построим этим способом графики функций у = 2~х (рис. 12) и
i/ = log2(-x) (рис. 13).
2. Сдвиг вдоль осей координат (параллельный перенос). Функ-
ция у = f(x - а), где а =# 0, определена для всех х, таких, что (х - а)
принадлежит области определения функции у = /(х), график функ-
ции у = f(x - а) получается сдвигом вдоль оси Ох на величину \а |
графика функции у = f(x) вправо, если а > 0, и влево, если а < 0.
Функции и их графики
Действительно, пусть некоторая точка Мо (х0; у0) принадлежит
графику функции у — /(х), т. е. пусть yQ = /(х0). Возьмем точку
Мх(х0 + a; i/o)* Так как ее координаты удовлетворяют условию
У о = /((х0 + а) ~ а)» то точка Мх принадлежит графику функции
У = fix - а). Следовательно, каждая точка Мх графика функции
У — f (х - а) получается из соответствующей точки Мо графика
функции у = fix) сдвигом этой точки вдоль оси Ох на величину а.
При этом если а > 0, то сдвиг производится вправо на величину а;
если а < 0, то влево на величину | а |. О
Построим этим способом графики функций у = (х — 2)2 (рис. 14),
у = log2 (х + 3) (рис. 15) и у = cos
(рис. 16).
I Рис. 15
 Рис. 14
 Рис. 16
Функции у = f(х) + В, где В 0, и у = fix) имеют одну и ту же
область определения. График функции у = fix) + В получается сдви-
гом графика функции у = fix) вдоль оси Оу на величину |В | вверх,
если В > 0, и вниз, если В < 0.

Действительно, пусть некоторая точка Мо (х0; у0) принадлежит
графику функции у = fix), т. е. пусть yQ = /(х0). Возьмем точку
М1(х0; Уо + £)• Ее координаты удовлетворяют условию у0 + В =
= fix^) + В. Следовательно, чтобы получить точку М19 надо точ-
J 24
 Рис. 17	 Рис. 18
 Рис. 19
ку Мо сдвинуть вдоль оси Оу на величину В. При этом если В > 0, то
сдвиг производится вверх на величину В; если В < 0, то вниз на ве-
личину В |. Ф
Построим этим способом графики функций у = х2 — 4 (рис. 17),
у = log2 х — 3 (рис. 18) и у = sin х 4- 2 (рис. 19).
3. Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат. Функ-
ции у = f (х) и у = В/(х), где В > 0, имеют одну и ту же область опре-
деления. График функции у = Bf(x) получается растяжением в В раз,
1
если В > 1, и сжатием в — раз, если О < В < 1, вдоль оси Оу графика
В
функции у = f(x).
25
Функции и их графики
Щ Действительно, пусть некоторая точка Мо (х0; у0) принадлежит
графику функции у = /(х), т. е. пусть yQ = /(х0). Возьмем точку
Af1(x0; Bi/0). Ее координаты удовлетворяют условию ByQ = Bf{x^
поэтому точка Мх принадлежит графику функции y = Bf(x).
Рассмотрим возможные случаи в зависимости от числа В,
а) В > 1. Точка (х0; ByQ) получается из точки Мо (х0; у0) уве-
личением модуля ординаты точки Мо (х0; у0) в В раз, и график
функции y = Bf(x) получается из графика функции у = /(х) уве-
личением модулей ординат всех точек в В раз, т. е. растяжением
в В раз вдоль оси Оу графика функции у — /(х).
б) О < В < 1. Точка (х0; Ву0) по-
лучается из точки Мо (х0; у0) уменьше-
нием модуля ординаты точки Мо (х0; у0)
1
в — раз, и график функции у = Bf (х) по-
В
лучается из графика функции у = f(x)
уменьшением модулей ординат всех то-
чек
в — раз, т. е. сжатием в — раз вдоль
оси Оу графика функции у = f (х). С
Если В < 0, то В = —|В|, и построе-
ние графика функции у = Bf(x) разби-
вается на два этапа: 1) построение гра-
фика функции i/ = |B|/(x) по графику
функции у = /(х); 2) построение графи-
ка функции z/= —123 |/(лг) по графику
функции у = |В|/(х).
Построим этим способом графики
функций у = -2х2 (рис. 20), у = 2sinx
(рис. 21) и у = — cosx (рис. 22).
4л
 Рис. 20
Ук
Рис. 21
26
 I
Уц
1 у=cosx
 Рис. 22
Функция у = f(kx), где k > 0, определена для всех х, таких, что
число kx принадлежит области определения функции у = /(х). Гра-
фик функции у = f (kx) получается сжатием в k раз к оси Оу, если
k > 1, и растяжением в — раз от оси Оу, если 0 < k < 1, графика
функции у = f (х).
М
Действительно, пусть некоторая точка Мо (х0; у0) принадле-
жит графику функции у = f(x), т. е. пусть г/0 = /(х0). Точка
принадлежит графику функции y = f(kx), так как
ее координаты удовлетворяют условию у$ = f k
Рассмотрим возможные случаи в зависимости от числа k.
a) k > 1. Точка Мх I —; у0 получается из точки Мо (х0; у0)
\ k j
уменьшением модуля абсциссы точки Мо в k раз, и график функции
у = f (kx) получается из графика функции у = f (х) уменьшением мо-
дулей абсцисс всех точек в k раз, т. е. сжатием в k раз к оси Оу гра-
фика функции у = f(x).
б) О
k < 1. Точка М, —; t/0 получается из точки Мо увеличе-
' k ' 1
нием модуля абсциссы точки Мо в — раз, и график функции
у = f(kx) получается из графика функции у = f (х) увеличением мо-
1	1
дулей абсцисс всех точек в — раз, т. е. растяжением в — раз от оси Оу
k	k
графика функции у = f(x).
Если k < 0, то k = -| k |, и построение графика функции у — f(kx)
разбивается на два этапа: 1) построение графика функции г/ = /(|fe|x)
по графику функции у = /(х); 2) построение графика функции
у — f (— | k | х) по графику функции у = f (| k | х).
Функции и их графики
Построим этим способом гра-
фики функций i/ = sin2x (рис. 23),
I/= cos| |х | (рис. 24) и у = log2||
I £	}	у о J
(рис. 25).
4. Построение графика функ-
ции у = Af (fe (х - а)) + В по графику
функции у = f (х). График функции
у = Af(k(x - а)) + В строится по гра-
фику функции у = f (х) последова-
 Рис. 23
тельным применением рассмотренных выше преобразований графи-
ков. Например, так:
У = fM -> у = f(kx) у = Af(kx)
у = Af (k (х-а))
у - Af (k (х - а)) + В.
Покажем применение этого способа на нескольких примерах.
УК
 Рис. 24
Рис. 25
 Рис. 26
ПРИМЕР 1. Построим гра-
фик функции у = 7х + 3.
Наметим этапы построе-
ния этого графика:
и построим его (рис. 26).
ПРИМЕР 2. Построим график функции у = sin
Наметим этапы построения этого графика:
у = sin х —* у — sin 2х
и построим его (рис. 27).
5. Симметрия относительно прямой у = х.
Любые точки А (х0; у0) и В (у0; х0) координатной плоскости сим-
метричны относительно прямой у = х.
Действительно, если у0 = хо» то точки А и В совпадают и при-
надлежат прямой у = х, так как имеют одинаковые координаты.
В этом случае они симметричны относительно прямой у = х.
Пусть теперь у0 * х0, тогда точки А (х0; у0) и В (у0; х0) различ-
ны (на рисунке 28 показан случай, когда у0 > х0 > 0). Рассмот-
рим треугольник ОАВ, где О (0; 0) — начало координат. Этот тре-
угольник равнобедренный (ОА — ОВ), так как
о А = у[(х0 - О)2 + (1/0 - О)2 = 7*0 + У о >
ОВ = 7(° - //о)2 + (0 - *о)2 = 7*о + </о •
Координаты середины С отрезка АВ
равны, так как каждая из них вычис-
х0 + у0 _
ляется по формуле —-—. Это означает,
что отрезок ОС, принадлежащий пря-
мой у = х, является медианой равнобед-
ренного треугольника О АВ, проведен-
ной к его основанию, тогда ОС является
высотой треугольника ОАВ и точки А
и В симметричны относительно прямой
 Рис. 28
29
Функции и их графики
Ук
б)
в)
 Рис. 27
 Рис. 30
 Рис. 29
Пусть дана функция у = f(x) и пусть точка Мо (х0; у о) — произ-
вольная точка графика функции у = f(x), тогда у0 = f(x0). Рассмот-
рим точку Mi (хА; г/i), координаты которой отличаются от координат
точки Мо лишь порядком (т. е. хх = у0, уг = х0). По доказанному
выше точка Mt симметрична точке Мо относительно прямой у = х.
Для координат точки Mi справедливо равенство хх = /(t/i)- Так как
Мо — произвольная точка графика функции у = /(х), то каждой та-
кой точке Mq соответствует точка Мj, симметричная точке Mq отно-
сительно прямой у = х. Это означает, что график функции x = f(y)
симметричен относительно прямой у = х графику функции у =f (х)
(рис. 29).
ПРИМЕР 3. В системе координат хОу построим графики функ-
ций у = х2 и х = у2.
Сначала построим график функции у = х2, затем отразим его
симметрично относительно прямой у = х. Получится график функ-
ции х = у2 (рис. 30).
Замечание. Подчеркнем, что у рассмотренных выше функций
х = f(y) и х = у2 независимой переменной является у, а зависимой
переменной х.
В системе координат
(1.58—1.64):
хОу постройте графики функций
1.58
а) у = х3 и у = -х3;
в)	у = 3х и у = -3х;
б) у = х4 и у — —х4;
г)	у = log 1 х и у = -log j х;
з
д) у = sin х и у = -sin х;
е)
у = tg х и у = -tg X.
Функции и их графики
1.59
1.60
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
а) у = хг и у = (-х)3;
в) у = 3х и у = 3 х;
д)	у = sin х и у = sin (-х);
а) у = х3 и у = (х + I)3;
в) у = 3х и у = 3х - 2;
д) у = sin х и у = sin (х - 1);
а) у = х3 и у = х3 + 1;
в) у = 3х и у = 3х - 2;
д) у = sin х и у = sin х - 2;
а) у = х3 и у = 2х3;
в) у = 3х и у = -2 • 3х;
д) у = sin х и у = 3 sin х;
а) у = х3 и у = (2х)3;
в) у = 3х и у = 32х;
д) у = sin х и у = sin Зх;
а) у — х3 и х = I/3;
в) у = 3х и х = Зу;
д) у = sin х и х = sin у;
Постройте график функции:
а) у = х2 + 2х + 3;
в) i/ = 2-3x + 1-6;
у = -2 tg х -
Дан график функции у — f(x) (рис. 31, а, б).
б) у = х4 и у = (—х)4;
г) у = logjx и у = log, (-х);
3	3
е) у = tg х и у = tg (—х).
б) у = х4 и у = (х - I)4;
г) у = logiх и у = log1(x + 2);
е) у = tg х и у = tg (х + 2).
б) у — х4 и у = х4 - 1;
г) у = logiх и у = log,х + 2;
е) У = tg х и у = tg х + 2.
б) у = х4 и у = -2х4;
г) у = logiX и у = 21ogiх;
3	3
е) У — tg х и у = -2 tg х.
6) у = х4 и у = (—2х)4;
г) у = logiX и у = logi(—2х);
3	3
е) у = tg х и у - tg (~2х).
б) у = х4 и х = у4;
г) у ~ ну = log^y;
3	3
е) у = tg х и х = tg у.
б)
г)
е)
у = 2 (х - I)3 - 3;
у = 2 log! (—2х + 3) - 4;
УЬ
У и

б)
 Рис. 31
Постройте график функции:
a) y = -f(x); б) y = f(-x); в) y-f(x-2);
Д) У = f (х + 1) - 2; е) у = f (х - 2) + 1;
з)	у = i /(х);	и) у = f (2х);
г) у = f(x+ 3);
ж) у = 2f(x);
ч /Г1 )
к) г/ = / -х .
X	J
1.67
Постройте график функции:
1.68* Уравнение окружности с центром О (0; 0) радиуса R имеет вид
х2 + у2 = .R2, поэтому графиком функции у — yjR2 — х2 является
верхняя полуокружность (рис. 32).
Постройте график функции:
а)	у = 74- х2;
б)	у -	- х2;
в)	У = 79~ (х- 1F;
г)	у = - д/э - (* +1)2;
Д) у = 716-(х + 2)2 - 2;
е) у = -725-(х-3)2 +1.
R
 Рис. 32
1.69 Постройте график функции:
в) у = 12- 7125 - х2 - 20х; г) у = -5+ 7б9 — х2 + 20х.
Укажите область определения, нули, промежутки знакопосто-
янства, промежутки возрастания (убывания) этой функции.
1.70
Постройте график функции:
д) х = sin у, -
в)
е)
х = 2У; г) х =
X = 71- If-
2
1.71	Дан график функции у = /(х) (рис. 33, а—г). Постройте гра-
фик функции х = f(y).
1.72	Придумайте пример функции у = /(х), график которой совпа-
дает с графиком функции х = f (у) при изображении этих гра-
фиков в одной системе координат хОу.
33
Функции и их графики
 Рис. 34
1.73	На рисунке 34, а—е изображена полуокружность. Является ли
эта полуокружность графиком функции у = f(x) или х = <р (г/)?
Если да, то задайте эту функцию формулой.
1.74	На рисунке 35, а—е изображена парабола. Является ли эта па-
рабола графиком функции у — f(x) или х = ф(г/)? Если да, то
задайте эту функцию формулой.
 Рис. 35
1.7*. Графики функций, содержащих модули
Пусть дан график функции у = f(x). Требуется с его помощью по-
строить график функции у = | f(x) |.
Если для всех х из некоторого множества X функция у = f(x)
принимает неотрицательные значения (f(x) О), то на всем этом
множестве график функции у — | f (х) | совпадает с графиком функ-
ции у = f (х), так как для каждого х из этого множества справедливо
равенство | f(x) | = f (х).
Функции и их графики
Если же для всех х из некоторого множества функция у = f(x)
принимает отрицательные значения (f(x) < О), то на этом множестве
график функции у = | /(х) | получается симметричным отражени-
ем графика функции у = /(х) относительно оси Ох, так как для каж-
дого х из этого множества справедливо равенство /(х) | = — /(х).
Таким образом, для построения графика функции у — | f (х) | надо
сохранить ту часть графика функции у = f(x), точки которой нахо-
дятся на оси Ох или выше этой оси, и симметрично отразить относи-
тельно оси Ох ту часть графика функции у = f (х), которая располо-
жена ниже оси Ох (рис. 36).
Заметим, что график функции у = | /(х) | не имеет точек, лежа-
щих ниже оси Ох.
Построим этим способом графики функций у
у — | log2x | (рис. 38), у — | sinx | (рис. 39).
Пусть теперь дан график функции у = f(x), определенной на
множестве X, и с его помощью требуется построить график функции
= |х2 - 11 (рис. 37)
Заметим, что если точка х принадлежит области определения
функции у = f (| х |), то и точка —х также ей принадлежит, так как
|— х | = | х |. Тогда для любого х из области определения функции
2*
Для всех х О, х е X график функции у = f (| х |) совпадает с гра-
фиком функции у = f(x), так как для каждого х >0, х е X справед-
ливо равенство /(|х|) = /(х). Это правая часть графика функции
У — /(I х |), а левая его часть симметрична правой относительно оси
Оу, так как функция у = /(| х |) четная.
Таким образом, для построения графика функции */ = f(|x|)
надо сохранить только ту часть графика функции у — /(х), точки ко-
торой находятся на оси Оу или справа от нее, и симметрично отра-
зить эту часть относительно оси Оу (рис. 40).
Построим этим способом графики функций у = 2l * I (рис. 41),
у = log2 I х I (рис. 42), у = sin | х | (рис. 43).
Ук
 Рис. 40
Рис. 41
у = log2 |х|
Рис, 42
Рис. 43
Теперь построим более сложные графики функций, содержащих
модули.
2
ПРИМЕР 1. Построим график функции у — ----+1 .
Сначала построим график функции <р(х) =---F 1. Это гипербо-
2 Х ~ 2
ла, полученная сдвигом гиперболы у = — на 2 единицы вправо и на 1
1 единицу вверх (рис. 44).
Функции и их графики
 Рис. 44
S Рис. 45
Для построения графика функции у =
сохраним ту
часть графика функции у = ф (х), точки которой находятся на оси Ох
или выше ее, и симметрично отразим относительно оси Ох ту
часть графика функции у = <р (х), которая расположена ниже оси Ох
(рис. 45).
ПРИМЕР 2. Построим график функции у =
+ 1 (см. рис. 44).
Сначала построим график функции ф (х) =
Для построения графика функции у = ф (| х |) сохраним ту часть гра-
фика функции у = ф (х), точки которой находятся на оси Оу или
справа от нее (рис. 46). Затем симметрично отразим эту часть отно-
сительно оси Оу (рис. 47).
S Рис. 47
 Рис. 46
Ф-; 38
ПРИМЕР 3. Построим график
-4
функции у = г——- + 2 .
+ 2. Это гипербола, по-
Сначала построим график функ-
z х -4
ции © (х) =-
X +
лученная сдвигом гиперболы у = —
на 1 единицу влево и на 2 единицы
вверх (рис. 48).
Затем описанным выше способом с помощью графика функции
у = ф(х) построим сначала график функции у = ф(х), х > О, потом
график функции у = ф(| х |) (рис. 49), а с помощью этого графика по-
строим график функции у = | ф (| х |) | (рис. 50). Это и будет график
функции у =
-4
1.75°
Как построить график функции ?/ = |/?(х)|, если дан график
функции у = /(х)?
1.76
Дан график функции у — /(х) (рис. 51, а, б). Постройте график
функции у = | /(х) |.
1.773
Как построить график функции г/ = /(|х|), если дан график
функции у = /(х)?
1.78 Дан график функции у = /(х) (см. рис. 51). Постройте график
функции у = /(| х |).
Функции и их графики
УЬ
У^
а)
 Рис. 51
б)
1.79
1.80
1.81
1.82
1.83
Постройте график функции (1.79—1.83):
. о .	_	4	.
а)
в)
Д)
ж) у = sin | х ;
з) у = | cos | х |
а) у = [sin х];
г) у = {cos х};
ж) у = | [cos х] |;
б) у = {sin х};
Д) У = I [sin х] |;
з) у = | {cos х} |.
в) у = [cos х];
е) у = | {sin х} |;
а) у =
sinx
| sin х | *
б)
COS X
I COS XI ’
в)
sin х cos х
| sin x |	I cos x | ’
г) у = sin x +
sin x |;
д) у = cos x + | cos x |.
1.8*. Графики сложных функций
1.	График суперпозиции функций. Рассмотрим примеры, пока-
зывающие, как построить график сложной функции z/ = /(<p(x)),
если дан график функции и = ф(х) и известны свойства функции
У = №).
ПРИМЕР 1. Построим график функции у = 2sinx.
Область определения функции у = 2sin х — множество всех дей-
ствительных чисел. Поскольку функция у = sin х периодическая
с периодом 2л, то функция у = 2sinx также периодическая с перио-
дом 2л. Поэтому построим сначала график функции у = 2sin х на про-
Г л Зл 1
межутке
, затем продолжим его периодически.
На промежутке — —;
функция у — sinx возрастает от —1 до 1
значит, функция у = 2s,n х возрастает на этом промежутке от — до 2.
л Зл
На промежутке
значит, функция у =
функция у = sinx убывает от 1 до — 1
убывает на этом промежутке от 2 до —.
Перечисленные свойства позволяют построить схематический
график у = 2sin х
на отрезке
Зл
затем продолжить его перио-
дически (рис. 52).
ук
 Рис. 52
ПРИМЕР 2. Построим график функции у = log2 sinx.
Область определения функции у = log2 sin х — множество всех
действительных чисел х, для каждого из которых sin х > 0. По-
скольку функция у = sin х периодическая с периодом 2л, то функ-
ция у = log2 sin х также периодическая с периодом 2л. Поэтому сна-
чала построим график функции у = log2 sinx на промежутке (0; 2л],
затем продолжим его периодически.
На
промежутке
функция у = sin х возрастает от 0 до
значит, функция у = log2 sin х возрастает на этом промежутке от
-оо до 0.
На промежутке
0
—; л функция z/ = sinx убывает от 1 до
U	/
значит, функция у — log2 sin х убывает на этом промежутке от 0
до -оо.
Функции и их графики
На промежутке [я; 2я] функция у = sin х неположительна, по-
этому функция у = log2 sin х на этом промежутке не определена.
Перечисленные свойства позволяют построить график функции
у = log2sinx на промежутке (О; 2я], затем продолжить его периоди-
чески (рис. 53).
х=-3я х=-2п х = -Я	х=я х=2л х=3я
у — log2 sin х
SI Рис. 53

2.	График суммы функций. Пусть даны функции у = f(x) и
у = g(x), Тогда функция у = f(x) + g(x) имеет область существова-
ния X, которая есть общая часть (пересечение) областей существова-
ния функций у = f(x) и у = g(x). Пусть
принадлежит грас^ику функции у - f(x),
лежит графику функции у = g(x). То-
гда точка Мо (х0; уг + у2) принадлежит
графику функции у = f(x) + g(x). Зна-
чит, для построения графика функции
у = f (х) + g(x) следует:
а)	оставить только те точки гра-
фиков у = f(x) и у = g(x), у которых
х е X;
б)	произвести сложение ординат
точек графиков у = f (х) и у ~ g (х) для
каждого х е X.
Построим таким способом графики
двух функций у = 4х + л/1 - х (рис. 54)
и у = х + sin х (рис. 55).
х0 g X и точка (х0; уг)
а точка М2 (х0; z/2) принад-
Ук
 Рис. 54
3.	График произведения функций. Пусть даны функции y = f (х)
и у — g(x). Тогда функция у = f (х) • g(x) имеет область существова-
ния X, которая есть общая часть (пересечение) областей существова-
ния функций у = f (х) и у = g(x). Пусть х0 g X и точка М1 (х0; у у)
принадлежит графику функции у = f(x), а точка М2 (х0; у2) при-
надлежит графику функции у — g(x). Тогда точка Мо (х0; у1 • у2)
И 42_____________________________________________________
Рис. 55
 Рис. 56
принадлежит графику функции
У = f(x) • g(x). Значит, для построе-
ния графика функции у = /(х) • #(х)
следует:
а)	оставить только те точки гра-
фиков у = /(х) и у = g(x), у которых
х € X;
б)	произвести умножение орди-
нат точек графиков у — f(x) и у = £(х)
для каждого х е X.
Построим таким способом гра-
фики двух функций у = 4х • 71 — х
(рис. 56) и у — xsinx (рис. 57).
4.	График кусочно-заданной функции. Простейшим примером
кусочно-заданной функции является функция г/ = |х|, которая опре-
деляется так:
если х > О
если х < О.
43
Функции и их графики
 Рис. 57
Еще один пример кусочно-заданной функции — это функция
у = sgnx («сигнум» х — знак х), которая определяется так:
1, если х > О
sgn х = s 0, если х = О
I -1, если х < 0.
Графики этих функций изображены на рисунках 58 и 59.
 Рис. 58
Рис. 59
УК
у = sgn X
1р ------—
44
Графики более сложных кусочно-заданных функций строятся
на каждом промежутке по той формуле, которой задается функция
на этом промежутке (см. рис. 60 и 61).
4, если -2 х < — 1
 Рис. 60
log5 х, если 0 < х < 5
2х " 5, если х 5
Ук
 Рис 61
1.84
Постройте график функции (1.84—1.89):
а) у = 1g cos х;	б) у = д/ctgx +1;
в) ;/ = 2tgI;	г) у = (log2Vx- I)3.
1.83
1.86
1.87
а)
в)
а)
в)
а)
б)
в)
г)
у = tg х - log3 х;
б) у = 2х + sin х;
г) у = ctg х + \х
б) у = 2х • sin х;
г) у = ctg х • vx2.
у = д/х2 — 2х + 1 — ^/х2 + 6х + 9;
1.88
1.89
а)
а)
2х,
если х —1
Зя
если х ——
2
если —1 < х < О
если х О;
б)
cosx, если
О
х2 +1, если 0 < х < 1
log2(x + 3), если х > 1;
Предел функции и непрерывность
если х С 2
если -2 < х < О
если О х < 4
log2 х, если х > 4;
г)
л	п
cos х, если х —
6	4
Зл
sinx, если л х .
2
§ 2. Предел функции и непрерывность
2.1. Понятие предела функции
Рассмотрим функцию у = —Она определена для всех х, кроме
х = 0.	х
Посмотрим, как изменяются значения этой функции при неог-
раниченном возрастании х.
X	1	2	4	8	10	ю2	105	1О10
1 У ~ уЗ А/	1	1 8	1 64	1 512	1 1000	1 106	1 ю15	1 1О30
Очевидно, что значения функции у = стремятся (приближа-
х’
ются) к нулю, когда независимая переменная х неограниченно воз-
1
растает, оставаясь положительной, т. е. —
писывают так: lim
0 при х —* +оо. Это за-
л ... 1
= 0, и говорят, что пределом функции у = —
при х, стремящемся к +оо (х -* +оо), является число нуль.
Аналогично рассуждая, получим, что -> 0 при х —► —оо. Это
1 х
записывают так: lim —- = 0.
Х-> -<х>Х4
Рассмотрим теперь функцию у = х3. Она определена для всех х.
Посмотрим, как изменяются значения этой функции при неог-
раниченном возрастании х.
X	1	2	4	8	10	ю2	105	101°
у = X3	1	8	64	512	103	106	1015	ю30
Очевидно, что значения этой функции неограниченно возраста-
ют, т. е. стремятся к +оо, когда независимая переменная х неограни-
46
ченно возрастает, т. е. х
lim х3 =
* +оо. Это записывают так:
оо, и говорят, что пределом функции у = х3 при х —► +оо
Аналогично рассуждая, получим, что х3 -оо при х	—оо. Это
записывается так: lim х3 = —оо.
X —> -ОО
Рассмотрим теперь функцию г/ = /(х), определенную для всех
х > М, где М — некоторое неотрицательное число.
Говорят, что пределом функции у — f(x) при х —► +оо является
А, если из того, что х неограниченно возрастает, следует, что соот-
ветствующие значения функции f(x) стремятся к А, т. е. если
f (х) —► А при х +оо. Это записывают так: lim /(х) = А.
Аналогично определяется lim f (х) = А.
X —> —СО
В этих определениях А может быть или любым числом, или +оо,
или —оо.
ПРИМЕР 1. Функция у = — определена для всех х
> 0 и для всех
х < О. Нетрудно видеть, что
lim — = 0 и
lim — = 0.
х —> —оо X
ПРИМЕР 2. Функция у =
----+ 2 определена для всех х Ф 1.
х - 1
Нетрудно видеть, что
= 2 и lim
х —► -оо
ПРИМЕР 3. Функция у = х5 определена для всех х. Нетрудно
видеть, что lim х° = + оо и lim х5 = -оо.
X —► +ОО	X —> -СО
Рассмотрим функцию у = х°. Она определена для всех х, кроме
х = 0, так как запись 0° не имеет смысла.
Так как для всех х #= О соответствующие значения этой функ-
ции равны 1, то очевидно, что когда х стремится к нулю (х —► О),
то соответствующие значения этой функции, равные 1, стремятся
к 1, т. е. х° —> 1 при х —> О. Это записывают так: lim х° = 1, и гово-
х—> О
рят, что пределом функции у = х° при х, стремящемся к О, является
число 1.
Она определена для всех
Рассмотрим теперь функцию у =
х, кроме х = 2. Для всех х 2 соответствующие значения этой функ-
ции положительны, и при х 2 они неограниченно возрастают, т. е.
-------► +оо пои х —► 2. Это записывают так: lim ;-— = +оо, и го-
47
Предел функции и непрерывность
ворят, что пределом функции у — ?----г при х, стремящемся к 2,
I х - 2|
является +оо.
Аналогично рассуждая, получаем, что
—оо при х
Это записывают так: Иш
= -оо, и говорят, что пределом функ-
ции у =
при х, стремящемся к 2, является —оо.
Рассмотрим теперь функцию у = f (х). Пусть она определена
в некоторой окрестности точки х = а за исключением, быть может,
самой точки а, т. е. пусть она определена для каждого х, удовлетво-
ряющего неравенствам а — 8 < х < а + 8 при некотором 8 > О, за ис-
ключением, быть может, самой точки а. Говорят, что пределом
функции у = /(х) в точке а является А, если из того, что х —* а, оста-
ваясь в окрестности точки а, следует, что соответствующие значения
функции f(x) стремятся к А, т. е. если /(х) -* А при х —► а. Это за-
писывают так: lim f(x) = А.
х —► а
В этом определении А может быть или любым числом, или +оо,
или —оо.
ПРИМЕР 4. Функция у — х2 определена для всех х; в частности,
она определена в любой окрестности точки 2 (включая саму точ-
ку 2). Нетрудно видеть, что если х —► 2, то соответствующие значе-
ния функции у = х2 стремятся к 4. Следовательно, пределом функ-
ции у = х2 при х —► 2 является число 4: limx2 = 4.
ПРИМЕР 5. Функция у = —7 определена для всех х, кроме х = О,
х
поэтому, в частности, она определена в любой окрестности точки О,
за исключением самой точки О. Ясно, что если х —► О, то соответст-
, 1
вующие значения функции у = —т- остаются положительными и He-
x'1
ограниченно возрастают. Следовательно, пределом функции у — —=-
xz
1
при х —► О является +оо: lim —= +оо.
о хг
Замечание. Часто вместо слов «пределом функции является А»
говорят «функция имеет предел А» или «предел функции равен А».
В частности, говорят «функция у = :------г при х —► 2 имеет пре-
| х - 2|
-1
дел -оо» или «предел функции у = ?-------г при х —► 2 равен -оо».
Так как +оо и -оо не являются действительными числами, то слово
48
«равен» применительно к ним употребляется лишь для упрощения
речи.
Пишут, что х оо (не ставя знак «+» или «—» перед симво-
лом сю), если известно, что |х| —* +оо. Поэтому можно написать:
lim — = 0, lim I—-— + 2 1=2. Пишут также, что limf(x)=oo,
х —> оо X	х —* со \ X — 1	)	х —* а
если известно, что lim|f(x)| = +оо.
х а
Поэтому можно написать:
lim х5 = оо, lim х5 = оо, lim х5 = оо, lim — = оо, lim г--—т = оо.
х -* +оо	х —* - оо	х —> оо	х —* О	х —> 2 J X — 21
ПРИМЕР в. Так как lim
х —» О
= +оо, то lim — — оо.
х —> о х
2.1 Дана функция /(х) = 5 + —. Заполните таблицу и определите
ОС-
к какому значению стремятся значения функции при х -* а
X	1	10	100	1000	10 000	100 000
У = fM						
		-10	-100	-1000	-10 000	-100 000
У =						
X		0,9	1,01	0,99	1,001	0,999
у = /(х)						
lim
х—* 1
Чему равны пределы:
2.2
Объясните, что означает запись:
lim
lim
б) lim х2 = 9;
х— -з
lim
= оо.
1
49
Предел функции и непрерывность
2.3 Объясните, почему верно равенство:
а)
Иш 7----
х —* 1 I X - 1
б)
г)
lim ------ = оо.
— -2 х + 2
Определите, чему равен предел (2.4—2.5):
2.4 a) lim х3; б) lim sinx; в) lim cosх; г)
х -* 2	г —* —	х—
2
2.5* a) lim (—1)1*1 . х3;
X -» +СО
б) lim (-1)1*1 -х3;
X —* — оо
в) lim
х О
X
г) lim —
х—»о х2
д)
lim (-2)1*1;
е)
lim (-71)1*1.
2.2. Односторонние пределы
Рассмотрим функцию у = Sin -. Она определена для всех х О,
х
ее график изображен на рисунке 62.
Ук
I Рис. 62
Посмотрим, как изменяются значения функции при х —> 0.
X	0,50	0,10	0,05
sin х У = v Л*	0,9589	0,9983	0,9996
Как видно из таблицы, значения функции у =
sinx
----стремятся
к 1, когда независимая переменная х стремится к нулю, оставаясь
положительной.
50
 Рис. 63
Этот факт можно получить из геомет-
рических соображений. На рисунке 63
изображена окружность радиуса 1 с цен-
тром в начале системы координат хОу.
Пусть угол АОС равен а радиан, где
Л
О < а < —. Тогда длина дуги АС равна а
('-'АС = а). Из точки А проведем к окруж-
ности касательную. Пусть она пересечет
ось Ох в точке D. Опустим из точки А
перпендикуляр на ось Ох. Пусть он пере-
секает ось Ох в точке В, а окружность в
точке Е. Из треугольников О АВ и ОАО
следует, что В А = sin ос, AD = tg а.
Так как длина дуги окружности
больше стягиваемой ею хорды и меньше
объемлющей ее ломаной,
то 2АВ < 2 (^АС) < 2AD. Поэтому
2 sin а < 2а < 2 tg
1 а 1
sin а cos а *
а. Так как sin а > О,
то отсюда получаем, что
Так как все члены в этом двойном неравенстве положительны, то
sin а
Если теперь а устремлять (приближать) к нулю, то cos а будет
, тт	sin а
стремиться к 1. Но числа ——— находятся все время между числами
1 о	sin а	л
cos а и 1. Это показывает, что —— стремится к 1, когда а стремится
к нулю, оставаясь положительным.
Тот факт, что функция у = sin—
ся к 0, оставаясь положительным, записывают так:
стремится к 1, когда х стремит-
lim
х—>0
х>0
sm х
и говорят, что предел функции у —
sin X
(1)
когда х стремится к нулю,
принимая положительные значения, равен 1.
Но если х —► О, принимая отрицательные значения, то указан-
ный предел все равно существует и равен 1. Это получается из равен-
ства (1) посредством замены переменной х = — и, в силу которой если
х —> 0, х < О, то и О, и > О и
sin г
lim
х —► о
<0
sin (- х)
(-х)
lim
и —»• О
sin и
и
(2)
и > О
51
Предел функции и непрерывность
sin X
Равенство (2) означает, что предел функции у =------------ равен 1,
эс
когда х стремится к нулю, оставаясь отрицательным.
1
Рассмотрим функцию у = (1 + х)х для таких значений х, что
О < | х | < 1. Можно показать, что
£
lim (1 + х)х = е и
х-*о
х > О
2
lim (1 + х)х — е,
х — о
х < о
где е — иррациональное число, приближенно равное 2,71828... .
Рассмотрим теперь функцию у = f(x). Пусть она определена
в некоторой правой окрестности точки а, т. е. пусть она определена
для каждого х, удовлетворяющего неравенствам а < х < а + 8, при
некотором 8 > 0. Говорят, что эта функция имеет правый предел
в точке а, равный А, если из того, что х стремится к а, оставаясь
в правой окрестности точки а, следует, что соответствующие значе-
ния /(х) стремятся к А, Это записывают так:
lim f(x) = А.
Пусть функция у = f(x) определена в некоторой левой окрестно-
сти точки а, т. е. пусть она определена для каждого х, удовлетво-
ряющего неравенствам а - 8 < х < а при некотором 8 > 0. Говорят,
что эта функция имеет левый предел в точке а, равный В, если из
того, что х стремится к а, оставаясь в левой окрестности а, следует,
что соответствующие значения /(х) стремятся к В. Это записывают
так:
lim f (х) = В.
х —* а
х < а
В этих определениях А и В могут быть или любыми числами,
или +оо, или -оо.	.
Выше найдены правый и левый пределы функции у =----------
в точке нуль, оба равные 1, и указаны правый и левый пределы
1
функции у = (1 + х)х в точке нуль, оба равные числу е.
Легко проверить, что существуют правый и левый пределы
,1
функции у = — в точке нуль, оба равные +оо, и что существуют пра-
х 1
вый и левый пределы функции у = —:—г в точке нуль, оба рав-
| х|
ные -оо.
Отметим еще, что правый и левый пределы функции в точке а
могут и не совпадать.
ПРИМЕР
1. У функции у =
если х > О
если х = О
если х < О
правый предел в точке О есть 1,
а левый предел есть —1.
ПРИМЕР 2. У функции у = — правый предел в точке О равен
+оо, а левый предел равен -оо.
ПРИМЕР 3. У функции у = tg х левый предел в точке — равен
4-оо, а правый предел равен -оо.
Наряду с определением предела функции в точке, приведенным
в п. 2.1, можно дать и такое определение:
Если существуют левый и правый пределы функции у — f(x)
в точке а и оба они равны А, то говорят, что эта функция имеет
предел в точке а, равный А, и пишут:
lim f(x) = А.
а
В этом случае само собой разумеется, что функция у = f(x) опре-
делена в некоторой (полной) окрестности а — 8<х<а + 8 точки а за
исключением, быть может, самой точки а.
Qin V
ПРИМЕР 4. Функция у =----------определена
за исключением х = 0. Выше показано,
для всех значений х
sinx л
что lim -----= 1 и
lim
х —о
х<0
sin х
= 1, следовательно, эта функция при
х — о х
х >о
х —> 0 имеет предел,
равный 1:
lim
х >0
sinx
Этот предел называют первым замечательным пределом.
1
ПРИМЕР 5. Функция у = (1 4- х)х определена для таких х, что
О < | х | < 1.	£	£
Выше указано, что Ит(1+х)х —е и lim(l+x)x = е. Таким
х —► О	х -* О
х > 0	х < О
образом, эта функция имеет предел при х —► 0, равный е:
lim (1 4- х)* = е.
х —о
Этот предел называют вторым замечательным пределом.
53
Предел функции и непрерывность
ПРИМЕР 6. Функция у = 2х определена для всех х.
Можно доказать, что для любого х0 lim 2х = 2Х° и lim 2Х=2Х°.
х -> х0	х -* х0
X > х0	X < х0
Таким образом, для любого х0 эта функция имеет предел при
х —* х0 и он равен 2Х°:
lim 2х = 2Х°.
X — х0
Отметим, что выше (см. пп. 2.1, 2.2) приведено определение
предела функции на интуитивном уровне. Ниже приведены два фор-
мальных (принятых в математическом анализе) определения преде-
ла в случае, когда А — число (определение «на языке е — 5» и опре-
деление «на языке последовательностей»).
р Говорят, что функция у = f(x) имеет предел при х —> а, равный
И? числу А, если она определена в некоторой окрестности точки а,
исключая, быть может, саму точку а, и если для любого поло-
жительного числа е найдется такое положительное число 5, что
для любого х, такого, что 0 < | х — а | < 5, выполняется неравен-
ство | f (х) - А | < е. При этом пишут: lim f (х) = А.
х—* а
Используя только что приведенное определение предела «на
языке £ - 8», докажем, что lim 2х = 2.
х->1
Так как функция у = 2х определена для всех х, то она определе-
на и в любой окрестности точки а — 1. Возьмем
ложительное число £ и выберем число 6 = log2(l +
8 > 0. Возьмем теперь любое х, такое, что 0 < | х -
х 1 из промежутка 1-8<х<1 + 8. Ясно, что
произвольное по-
. Очевидно, что
| < 8, т. е. любое
Эти неравенства означают, что | 2х - 2 | < £. Итак, для любого
£ > 0 нашлось 8 > 0, такое, что | 2х - 2 | < € для любого х, такого, что
0 < I х - 11 < 8. По определению это и означает, что lim 2х = 2.
X —* 1
Замечание. В только что рассмотренном примере не объяснено,
( £ ।
как было найдено 8 = log2 1 и— • Задача нахождения 8 по заданно-
му £, вообще говоря, довольно трудная.
Говорят, что функция у — f (х) имеет предел при х —> а, равный
числу А, если она определена в некоторой окрестности точки а, ис-
ключая, быть может, саму точку а, и если для любой последователь-
ности {х„}, имеющей предел, равный а, и такой, что хп ф а для
всех и, соответствующая последовательность {f(xn)} имеет предел,
равный А.
Используя только что введенное определение, докажем, что
функция у = sin-i не имеет предела при х —► О. На рисунке 64 изо-
бражен график функции у — sin —, которая определена для всех зна-
чений х Ф 0. Она определена, таким образом, в любой окрестности
точки х = 0 за исключением самой точки х = 0. Эта функция не име-
0, потому что последовательность отличных от
) стремится к нулю, а соот-
ет предела при х —i
нуля значений xk =
п (2k — 1)
ветствующая им последовательность значений функции yk = sin —
(1, -1, 1, —1, ...) не стремится при k -> оо ни к какому пределу. •
Замечание. Наряду с определением предела функции в точке,
приведенным в п. 2.1, в этом пункте приведены еще три опреде-
ления предела функции в точке. Очевидно, что пределы функции
в точке, найденные по любому из этих определений, совпадают.
2.6
Найдите левый и правый пределы функции у = f(x) при х —> а,
если (2.6—2.8):
a)	f(x) = х3, а — 1;	б) f(x) = х~2, а =
2.7
2.8
в) f (х) = sin х, а = л;
а)
в)
/(х) =
/(х) =
a)	f(x) = -Д-, а = 0;
sm х
в) f(x) = ctg х, а = 2л;
г)
f(x) = cos х, а =
б)	=	1	, а = 2;
(х - 2г
Г) /(*) = —а = 0.
£ 1
б) /(х) = tgx, а=
г) /(х)= —, а =
cos х 2
Найдите предел функции у = f(x) при х —> а, используя поня-
тия левого и правого пределов, если (2.9—2.10);
2.9
a) f(x) = -х5, а - С
в) /(х)= sinl x + -j
б) f(x) = х4,
г) f (х) = cos
55	Предел функции и непрерывность
Ук
1
Я (СО
Рис. 64
56
2.10
2.11
a) fix) = ----2 , a = 2;
(x - 2)z
в) fix) = | tgx|, a ~
Найдите левый и правый
6)	f(x) - j----a = 1;
| x - 1|
r) fix) = I Ctg x a = tl.
пределы функции у = fix) при
x —> а, если:
a) fix) = a = 0;	6) /(x) = -—a = -2;
| x |	x + 2
B) fix) = -^-r, a = 0; r) fix) = a = 0.
X I	I X I
Существует ли предел функции у = fix) при х —> а? Если су-
ществует, то чему он равен?
2.12
Вычислите:
а)
, sin 2х
lim —-----
с — о 2х
б)
3 sin -jr
lim ------
х—* О	X
в)
lim
х —о
sin тех
кх
2.13* Докажите, используя определение предела «на языке Е — 6»
или «на языке последовательностей», что:
a) lim (Зх - 7) - 5;
х —> 4
в) lim (—х + 2) = 4;
х— -2
д) lim (Зх + 10) = -2;
х —> —4
б) lim(5x— 9) = 1;
х —2
г) lim (-2х + 7) = 1;
X— 3
е) lim (2х - 1) =-11.
х —* —5
2.14* Определите, чему равен предел функции у = fix) при х —► а,
если:
a) fix) = х2, а = 1;	б)	fix) = х2, а = 2;
в) f(х) = х-1, а = 2;	г)	fix) - х-2, а = 3;
д) f ix) = 3* х, а = 1;	е)	f ix) = log3 х, а =	2.
Докажите правильность своего ответа с помощью определения
предела «на языке е — 8» или «на языке последовательностей».
2.3. Свойства пределов функций
Если lim fix) и lim ср(х) — действительные числа, то справед-
х —► а	х —* а
ливы следующие свойства пределов:
lim ifix) + <р (х)) = lim f (х) + lim (х);
х—* а	х-* а	х-* а
lim ifix) - ф (х)) = lim fix) - lim ф (х);
а	а	х—* а
.^.57
Предел функции и непрерывность
lim (f (х) • ф (х)) = lim f (х)  lim ф (х);	(3)
ЯЯ4-* a МЯЯЯЯЯвГ *• \Х^Ч1<ЯЯЗЯШКИМ1М***Я1ЙКЯ**«Я18ЯЯЯЯ<Ш12
Hs£!wSB§Ss8W88Sig-g-MM»M«SKt8B8gissg«Mag«*as »|*|'
SSSKSSlM’SaSSs’SSSK^KM^KT^-F^SSSSSSSSoSS’SSSISSSS <4>
®и«£и«каэвижаяввякияивйНлгФ Iх)	^1Пг Ф ^^Эвмвеайвийякяч^ШяЕйвк*»®
Я)ЯЯЦЯЖВ*ЦЯ1ЦЖ]КВВВ9КВМЯЯВВВВВВВВВ11*ВВмВВВВВЯВЖВВВ*ВВВВВ**В&ЛЯ1ВЖ^1£^
если lim ф (х) О.
пшш*92%мНИге«а^*яя» шми»5южж?!?ш S S*« и Й2 иЛ «*«£*< •же?»?»
Отметим, что если f(x) = С (постоянная), то
lim С = С.	(5)
х^ а
Замечание. В приведенных равенствах а может быть или чис-
лом, или -f-оо, или -оо, или оо.
Из свойства (3) следует, что
lim (/(х))2 = lim (/(х)- f (х)) = lim /*(х)- lim f(x) = I lim /(x)
x—*a	x—* a	xa x—> a	\ x - ► a
(7)
И
lim (C ip (x)) = C lim ф (x)
где C — постоянная.
Для функции f (x), такой, что f(x) ^0 в окрестности точки а,
справедливы свойства:
если lim f(x) = оо, то lim ——- - О;
-’• и х —* а	; ‘ щ* .v х —* а / (х)
ш
й!0вИМК18|
если lim f (х) = 0, то lim —— = оо.
х~* а	х-* a f (х)
ПРИМЕР 1. Если х0 е R то, применяя свойства (1), (5), (6) и (7),
имеем
lim (ах2 4- Ьх 4- с) = lim (ах2) 4- lim (bx) 4- lim с =
X — х0	X — *0	X — х0	X -> х0
к 2
lim х
4- b lim х 4- с = ахд 4- bxG 4- с.
х— xQ

ПРИМЕР 2. Применяя свойства (4), (1) и (7), имеем
2 , А	lim (х2 4 4)	lim х2 4 lim 4	А , А
х2 + 4 X_2V 7	х-2	х-2	44-4
пт-------= —-------— = —-----------=------ =
х —2 х + 2 lim(x + 2) Ит х 4 lim 2	2 4 2
х —► 2	х —*2	х —>2
В этих примерах, чтобы вычислить предел функции при х а,
где а — число, достаточно подставить в нее а вместо х. В частности,
в примере 2 это можно сделать, потому что как числитель, так и зна-
менатель стремятся к конечным пределам и при этом предел знаме-
нателя не равен нулю.
Приведем примеры вычисления пределов функций, когда отме-
ченные выше свойства пределов нельзя применить.
ПРИМЕР 3. Найдем lim
Здесь нельзя применить свойство (4), выражающее, что предел
частного равен частному пределов, потому что предел знаменателя
равен нулю. С другой стороны, можно доказать, что если числитель
дроби стремится к конечному числу, не равному нулю, а знамена-
тель стремится к нулю, то дробь стремится к бесконечности. Поэто-
X 4" 2
му lim------ = оо.
ПРИМЕР 4. Найдем lim
В данном случае числитель и знаменатель дроби стремятся к
нулю и соображения, приведенные в примере 3, тоже неприменимы.
— 4
Но вот как можно поступить. Для любого х * 2 имеем------= х + 2,
а так как при определении предела при х —► 2 не принимается во
— 4
внимание значение функции в точке х = 2, то lim--— = lim(x + 2).
х-+ 2 х - 2 х— 2
Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более сложной
функции
достаточно вычислить предел более простой функ-
ции х + 2. Последний при х —► 2, очевидно, равен 4, так как
lim (х + 2) = lim х + lim 2 = 2 + 2 = 4.
х —* 2	х —► 2	х —► 2
Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обыч-
но записывают следующим образом:
lim ——— = lim (х + 2) = lim х + 2 = 4.
х —* 2 х — 2 х—2	X —2
Подчеркнем, что функции /(х) =
и ф (х) = х + 2 являются
разными функциями. Первая из них определена для всех х 2, в то
время как вторая определена для всех х без исключений. Графи-
ки этих функций изображены на рисунках 65 и 66 соответственно.
Однако при вычислении предела функции при х —> 2 нас совершен-
но не интересует, определена или не определена эта функция в са-
мой точке х = 2, и так как f (х) = ф (х) для всех х * 2, то lim f(x) =
= lim ф (х) = ф (2).	х “* 2
х—> 2
Предел функции и непрерывность
Рис. 65
 Рис. 66
2.15 Вычислите:
а)
в)
lim (sin х + cos х);
. . п
2
1 - cos 2х
д)
lim
х —о
ж)
2
2.16
Докажите, что:
a) lim----= 1;
х->0 х
б)
г)
е)
з)
б)
lim (х4 - 2х2 + х + 1);
sin (х + 2) а
х + 2	*
lim
х-* -2
lim(l + Зх)х;
х —♦ О
lim =1.
х — о sin х
Вычислите (2.17—2.19):
2.17 a) lim	б)
х — о 7х
ч ..	sin х
г) lim ——;	д)
х->о 5х
ж) lim ;	з)
х — о sin х
1. tg5x
lim
xr — О Юх
lim
x—» O
sin3x
2x
и) lim
x -* О sin 5x
(	1 Л з*
2.18 a) lim 1 + -	;
х —* оо у	X )
fl ^2х
1 4---
5х J
lim 1 + —	;
x-co	3x )
(	1 ^2x
lim 1-------
x * oo	4x k
i 7
2.19 a) lim ~~ -' ;
X —* oo 2X + 1
4 .. Зх3 - 5x2 + 7
в) hm ——T——--------;
x-* +oo 5x2 + 7x — 5
x3—8
д) hm------
x-*2 x - 2
r)
6)
Зх4 + 5x - 1
2x3 + 3x2 + 9x + 1 ’
lim
X —* — oo
e)
2.4. Понятие непрерывности функции
На рисунке 67 изображен график функции у = /(х). Его естест-
венно назвать непрерывным графиком, потому что он может быть
нарисован одним непрерывным движением карандаша без отрыва от
бумаги.
Зададим произвольную точку (число) х0, принадлежащую ин-
тервалу (а; Ь). Близкая к ней другая точка х может быть записана
в виде х = х0 + Дх, где Дх есть число положительное или отрицатель-
ное, называемое приращением аргумента в точке х0. При этом име-
ется в виду, что Дх такое, что х0 + Дх е (а; Ь).
Разность Д/ = &у = /(х0 + Дх) - f (х0) называют приращением
функции f в точке х0, соответствующим приращению Дх. На рисун-
ке 67 Дх > 0 и Дг/ равно длине отрезка ВС.
Будем устремлять Дх непрерывно к нулю, тогда для рассматри-
ваемой функции, очевидно, и Дг/ будет стремиться к нулю:
Дг/ —► 0 при Дх -> О.
(1)
Рассмотрим теперь график функции у = f(x)t изображенный на
рисунке 68. Он состоит из двух непрерывных кусков РА и QR. Одна-
ко эти куски не соединены непрерывно, и поэтому график естествен-
но назвать разрывным. В точке х0 нам надо как-то определить нашу
функцию; условимся, что значение /(х0) равно длине отрезка, со-
 Рис. 67
Я Рис. 68
Предел функции и непрерывность
единяющего точку А и точку х0 на оси Ох, точка А принадлежит
графику, она изображена на рисунке 68 жирной точкой. Точка Q не
принадлежит графику, она обведена кружком. Если бы точка Q при-
надлежала графику, то функция у = f (х) принимала бы два значе-
ния в точке х0, что противоречит определению функции, приведен-
ному в п. 1.1.
Придадим теперь аргументу х0 приращение Дх и определим со-
ответствующее приращение функции:
Д/= /(*0 + Ах) ~ /Ч*о)-
Если мы будем Дх устремлять непрерывно к нулю, то теперь уже
нельзя сказать, что Д/ будет стремиться к нулю. Для отрицательных
Дх, стремящихся к нулю, это так, но для положительных вовсе не
так: из рисунка видно, что если Дх, оставаясь положительным, стре-
мится к нулю, то соответствующее приращение Д/ при этом стремит-
ся к положительному числу, равному длине отрезка AQ.
После рассмотрения этих примеров естественно ввести следую-
щее определение. Функцию у = /(х), определенную на интервале
(a; fc>), называют непрерывной в точке х0 этого интервала, если при-
ращение функции в этой точке, соответствующее приращению аргу-
мента Дх, стремится к нулю при любом способе стремления Дх к
нулю (здесь имеется в виду Дх, такое, что (х0 + Дх) е (а; &)). Это
свойство (непрерывности в точке х0) записывается в виде (1) или
в виде
lim Дг/ = 0.	(2)
Дх —0
Запись (2) читается так: предел Дг/ равен нулю, когда Дх стремится
к нулю по любому закону. Впрочем, выражение «по любому закону»
обычно опускают, подразумевая его. В частности, Дх может про-
бегать любую стремящуюся к нулю последовательность, члены ко-
торой могут быть как положительными, так и отрицательными
числами.
Если определенная на интервале (а; Ъ) функция у = f (х) не яв-
ляется непрерывной в точке х0 этого интервала, т. е. в этой точке
для нее не выполняется свойство (2) хотя бы при одном способе
стремления Дх к нулю, то она называется разрывной в точке х0.
Функция, график которой изображен на рисунке 67, непрерывна
в любой точке х интервала (а; Ь), функция же, график которой изо-
бражен на рисунке 68, непрерывна в любой точке интервала (а; &),
за исключением точки х0, потому что для последней равенство (2) не
выполняется, когда Дх —► 0, оставаясь положительным.
Из равенства (2) следует, что
lim / (х) = lim (f(x0) + (f(x) - f(x0))) =
X — x0	X — x0
= lim /(x0) + lim (f(x) - Л*о)) = /(xo) + ° = /(^o)>
X — x0	X — x0
т. е. получилось равенство
lim /(х) = /Чх0),
х — х0
(3)
которое может служить другим эквивалентным определением непре-
рывности функции у = /(х) в точке х0:
Функцию у = /(х) называют непрерывной в точке х0, если она
определена в окрестности этой точки, в том числе и в самой точке
х0, существует предел функции у = /(х) в точке х0 и выполняется
равенство (3).
Равенство (3) можно записать в виде
lim f(x0 + Дх) = /(х0).
Дх-* О
Функцию, непрерывную в любой точке интервала (а; 6), назы-
вают непрерывной на этом интервале.
Функция, график которой изображен на рисунке 67, непрерыв-
на на интервале (а; Ь). Функция, график которой изображен на ри-
сунке 68, непрерывна на интервале (а; х0) и на интервале (х0; Ь).
 Равенство (3) можно записать еще и так:
lim /(х) = f( lim х).
Приведем пример на применение равенства (4).
Докажем, что
lim ln(1+ -х) = 1.
х —О	X
(4)
(5)
Сначала преобразуем дробь:
In (1 + X) lizi.x 1/1.4-
------= — In (1 + х) = In (1 + х)х.
Так как lim (1 + х)* = е и функция у — In и непрерывна в точке
х— о
п0 = е, то lim In и = In lim и - Ine = 1. Поэтому
и —► е	и—*е
,.	1п(1 + х)
lim----------
1 1
lim In (1 + х)* = In lim (1 + х)х = Ine = 1.
х —О	х —О
В качестве следствия равенства (5) докажем, что
ех -
lim----
х— о х
Предел функции и непрерывность
Обозначим ех — 1 = t, тогда ех = 1 + t, t > —1, х = In (1 + t) и
t -* 0 при х —* 0. Применяя равенство (5), имеем
x — 0 X
= lim --------
f-»oln(l + t)
ln(l + t)
t - о t
Приведем теперь определение непрерывности функции в точке
«на языке е — 5».
Говорят, что функция у = f(x) непрерывна в точке х0, если эта
функция определена в окрестности этой точки и в самой точке х0
и для любого положительного числа е найдется такое положитель-
ное число 8, что для каждого х, такого, что | х - х01 < 8, выполняется
неравенство | f (х) — f(xQ) | < £.
Введем понятие непрерывности справа и слева функции в точке.
Говорят, что функция у = f (х) непрерывна справа в точке х0,
если она определена в правой окрестности этой точки х0, в том числе
и в самой точке х0, и lim f (х) = /(х0).
X —» Хо
X >х0
Говорят, что функция у = /(х) непрерывна слева в точке х0,
если она определена в левой окрестности этой точки х0, в том числе
и в самой точке х0, и lim /(х) = f (х0).
х — х0
х<х0
Функция, график которой изображен на рисунке 67, непрерыв-
на слева в точке Ъ и непрерывна справа в точке а. Функция, график
которой изображен на рисунке 68, непрерывна слева в точках х0 и Ь,
непрерывна справа в точке а (в точке х0 она не является непрерыв-
ной справа).
Функцию называют непрерывной на отрезке [а; Ь], если она не-
прерывна в любой точке интервала (а; Ь), непрерывна справа в точке
а и непрерывна слева в точке Ь. Аналогично определяются функции,
непрерывные на полуинтервалах [а; Ь) и (а; д].
Функция, график которой изображен на рисунке 67, непрерыв-
на на отрезке [а; Ь]. Функция, график которой изображен на рисун-
ке 68, непрерывна на отрезке [а; х0] и на полуинтервале (х0; &]. •
График функции, непрерывной на промежутке, есть непрерыв-
ная линия. Поэтому определение непрерывности функции на проме-
жутке, которое использовалось нами ранее, не противоречит приве-
денному в п. 2.4 определению.
2.20° Какую функцию называют непрерывной на промежутке?
2.21 Что называют: а) приращением аргумента; б) приращением
функции?
64
Вычислите приращение Д/ функции у = /(х) в заданной точке
х0 и при заданном приращении аргумента Дх (2.22—2.24),
если:
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
f (х) = 2х.
а) х0 = 3, Дх — 0,1;
в) х0 = 0, Дх = 0,1;
f (х) =-2х + 1.
а) х0 = 0, Дх = 0,1;
в) х0 = 1, Дх = -0,1;
/(х) = х2.
а) х0 = 0, Дх = 0,1;
в) х0 = 1, Дх = -0,1;
б)	х0 = 4, Дх = -0,1;
г) х0 = 1, Дх = 0,01.
б)	х0 = 1, Дх = 0,1;
г) х0 =-1, Дх = 0,01.
б)	х0 = 1, Дх — 0,1;
г) х0 = 2, Дх = 0,1.
Найдите приращение Д/ функции у = f(x), соответствующее
приращению аргумента Дх, в точке х0:
а) /(х)=2х; б) /*(х) = —2х + 1; в) f(х) = х2.
К чему стремится Д/ при Дх —* О? Зависит ли ответ на этот во-
прос от выбора точки х0?
Является ли непрерывной на интервале (-оо; +оо) функция:
a) f(x) = С; б) f (х) = kx + b; в) f (х) — ах2 + Ъх + с?
Ответ обоснуйте.
2.27	Докажите, что в любой точке х0 g R непрерывна функция:
а) у = х2; б) у = х3;	в) у = 2х3 - х2 + х.
2.28	Докажите, что в любой т^чке х0 е (0; +оо) непрерывна функция:
а) у = log2 х; б) z/ = х 2 .
2.29	Докажите, что функция /(х) = апхп + ап_ гхп ” 1 + ... + а^х + а0
непрерывна в любой точке х0 е R.
2.30	Докажите, что если функции у = f(x) и у = ф(х) непрерывны
в точке х0, то в этой точке непрерывна также функция:
а) у = f(x) + ф (х); б) у = f (х) - ф (х);
/(х)
в)	у = /(х) - Ф (х); г) у = —— при условии ф (х0) * 0.
Ф(х)
2.31 Докажите непрерывность функции у = /(х) в произвольной
точке х0 е R:
a) f(x) = sin х; б) f(x) = cos х.
Укажите промежутки непрерывности функции:
б)
I COS X I
у = —I—;
COS X
в)
sin х
sin х
г)
д) у = tg х;
е) у - ctg х.
65
Предел функции и непрерывность
2,5. Непрерывность элементарных функций
Каждая из рассмотренных ранее основных элементарных функ-
ций непрерывна в каждой точке области существования этой функ-
ции. Данное свойство означает, в частности, справедливость следую-
щих равенств:
1)	lim хп = xg (п е .W, х0 g R);
х — х0
2)	lim х~п — Xq11 (п eN, х0 0);
X— XQ
3)	lim х“ = Xq (а > 0, х0 > 0);
х — х0
4)	lim х"а = Xq а (а >0, х0 > 0);
X — х0
5)	lim ах = ах° (а > 0, а ф 1, х0 е В);
х-> х0
6)	lim logax = logax0 (а > 0, а Ф 1, х0 > 0);
Х-* Х0
7)	lim sinx= sinx0 (х0 е Л);
х-* х0
8)	lim cosx= cosx0 (х0 g Ry,
x — x0
9)	lim tg x = tg Xq (x0 * — + Kfe, k e Z);
x- x0	2
10)	lim ctgx= ctgx0 (x0 Ф Tin, n g Z).
x-* x0
Из приведенного выше утверждения следует также, что каждая
из основных элементарных функций непрерывна на каждом проме-
жутке, содержащемся в области существования этой функции. Так,
в частности:
а)	каждая из функций у = хп (n g N), у = ах (а > 0, а * 1),
у = sin х, у = cos х непрерывна на промежутке (-оо; +оо);
б)	каждая из функций у = х-" (а > 0), у = loga х (а > 0, а 1) не-
прерывна на промежутке (0; +оо);
в)	функция у = ха (а > 0) непрерывна на промежутке [0; +оо);
г)	функция у — х~п (п g N) непрерывна на каждом из промежут-
ков (-оо; 0) и (0; +оо);
д)	функция у = tg х непрерывна на каждом из промежутков
2	2	'	'
е)	функция у = ctg х непрерывна на каждом из промежутков
пп < х < п (п + 1), п g Z.
З-Никольский, 11 кл.
.66
I
При вычислении пределов функции надо учитывать, что если
функция х = ф (и) непрерывна в точке и0, а функция у = f(x) не-
прерывна в точке х0 = ф (и0), то суперпозиция этих функций,
т. е. функция F(u) = /(ф(и)), непрерывна в точке и0, Ведь, при-
меняя равенство (4) из п. 2.4, можно записать:
lim F (и) = lim f (ф (u)) = f (lim ф (и)) =
и—> U0	U —> Ug	U—*Uq
= Нф(Пти))= f(ф(u0))= F(ug).
U->-Uq
ПРИМЕР 1. Функцию у = sin х3 можно записать как суперпози-
цию двух непрерывных на R функций у = sin и, и = х3, поэтому она
тоже непрерывна для всех х е (-оо; +оо).
ПРИМЕР 2. Функцию у = V1 — х2 можно записать как суперпо-
зицию функций у = Ju, и = 1 - v, v = х2. Первая из этих трех функ-
ций непрерывна для и О, вторая непрерывна для всех v, третья не-
прерывна для всех х. Это показывает, что исходная функция непре-
рывна для всех тех х, для которых 1 - х2 0, т. е. для всех х, удов-
летворяющих неравенствам -1 х 1. •
Сформулируем теорему о промежуточных значениях непрерыв-
ной функции.
ТЕОРЕМА. Пусть функция у —f (х) непрерывна на отрезке
[а; Ь] и пусть f (а) = A, f (Ь) = В, А * В. Тогда для любого числа С,
находящегося между числами А и В, найдется по крайней мере
одна точка х0 е (а; Ь), для которой f (х0) = С (рис. 69, а, б).
Эту теорему можно сформулировать и так:
Непрерывная на отрезке [а; Ь] функция принимает все проме-
жуточные значения между ее значениями на концах отрезка [а; Ь].
УЬ
Ук
о
 Рис. 69
67
Предел функции и непрерывность
Доказательство этой теоремы основывается на свойстве непре-
рывности действительных чисел (см. п. 1.2 учебника 10 класса). Оно
выходит за рамки школьной программы и поэтому опускается.
2.33	Определите какой-либо промежуток, на котором непрерывна
функция:	з
а) у = sin 2х; б) у = tg^; в) у = х 2; г) у = logj (х + 1).
2
2.34	Определите все промежутки, на которых непрерывна функция:
a)i/=2^"*; б) у = logi tgx; в) у = log2(х + 1).
2
2.35	° а) Сформулируйте теорему о промежуточном значении непре-
рывной функции.
б) Пусть функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь]
и /(а) > 0, f(b) < 0. Ha каком основании утверждают, что на
интервале (а; Ь) найдется точка с, такая, что f(c) = 0?
2.36 Объясните, почему у функции у = f(x) на указанном отрезке
имеется нуль, если:
a) f(x) = 5х + 2, [-1; 2]; б) f (х) = х* 1 2 + 6х - 1, [0; 1];
в) /(х) = х3 * + 6х2 - 4х - 1, [0; 1].
2.37* Докажите, что уравнение х5 - 55 = 0 имеет корень на отрезке
[2; 4].
2.38* Докажите, что уравнение х3 + 5х2 — 7х - 1 = 0 имеет корень на
отрезке [1; 2].
2.6*. Разрывные функции
Пусть дана функция у = /(х), определенная во всех точках ин-
тервала J, Напомним, что эта функция:
1) непрерывна в точке х0 е если в этой точке
lim f(x)= f(x0);	(1)
х-> х0
2) непрерывна на интервале J, если эта функция непрерывна
в каждой точке интервала J;
3) разрывна в точке х0 е если для нее не выполняется усло-
вие (1).
ПРИМЕР 1. Функция у =
1, если х > 0
0, если х = 0
— 1, если х < 0
определена в каждой
точке интервала J = (—оо; +оо). Она разрывна в точке х = 0 e J, так
68
И Рис. 70
как в этой точке не выполнено усло-
вие (1). График ее приведен на рисун-
ке 70. На нем очевиден разрыв функ-
ции в точке xQ = 0.
Разрывные функции описывают
скачкообразные процессы, встречаю-
щиеся в природе. Например, при ударе
скорость тела меняется скачкообразно.
Многие качественные переходы сопро-
вождаются скачками.
ПРИМЕР 2. Упругий шарик двигался прямолинейно и равномер-
но со скоростью Vq, В момент времени £0 он ударился о стенку и после
этого стал двигаться в противоположном направлении с той же ско-
ростью Vq. Можно считать, что скорость в момент #0 изменилась мгно-
венно: в момент времени f0 она еще равнялась и0, а при t > t0 стала
равной -Vq. Итак, имеем функцию,
определяемую следующим образом:
р0, если 0 < t < t0
—г0, если t > t0.
у = V(t) =
Эта функция определена в каж-
дой точке интервала J = (0; +оо). Она
разрывна в точке t = t0.
График этой функции приведен
на рисунке 71. На нем очевиден раз-
 Рис. 71
рыв функции в точке t = f0.
ПРИМЕР 3. Функция у
определена в каж-
3, если х = 1
— 1
дой точке интервала (-оо; +оо). Так как lim-------= 2, а у (1) = 3,
х -» 1 X — 1
то очевидно, что эта функция разрывна
в точке Xq = 1. График ее приведен на
рисунке 72.
Отметим, что если видоизменить
функцию из примера 3 только в одной
точке х = 1, положив ее равной чис-
лу 2 в этой точке, то получим новую
функцию, непрерывную на интервале
(—оо; +оо):
если х Ф 1
2, если х = 1.
к *
Предел функции и непрерывность
Рассмотрим теперь функцию, определенную для всех х, за ис-
ключением одной точки х0, т. е. определенную на объединении двух
интервалов (—оо; х0) и (х0; +со). Вместо этой функции можно рас-
смотреть новую функцию, определенную уже в каждой точке интер-
вала (—оо; +оо); для этого надо доопределить эту функцию в точке х0
любым способом.
ПРИМЕР 4. Функция у = х° опреде-	yi
лена для всех х, кроме х = О (рис. 73).	]Т
Если доопределить эту функцию в точке "
х = О следующим образом:
/ х°, если х Ф О	---------77----------^7
I/ = <	и	х
(1, если х = О,
В Рис. 73
то полученная функция будет непрерыв-
ной на интервале (—оо; +оо). Если ее доопределить в точке х = О дру-
гим образом: у = с (с 1) при х = 0, то новая функция будет разрыв-
на в точке х = О.
ПРИМЕР 5. Функция у = — определена для всех х, кроме х0 = О.
Как бы ее ни доопределили в точке х0 = О, полученная функция
если х & О
если х = О,
где а — любое данное число, будет
иметь разрыв в точке х0 = О (рис. 74).
Рассмотрим функцию, определенную
на некотором интервале за исклю-
чением отдельных точек Хр х2, ..., х„
этого интервала. Вместо этой функции
можно рассмотреть новую функцию,
определенную в каждой точке интерва-
ла J, для этого надо доопределить эту
функцию в точках xlf х2, ...» х„ любым
способом.
 Рис. 74
ПРИМЕР 6.
Функция у =
X2 + 1
(х + 3)(х - 2)
определена для всех х,
кроме Xi = — 3 и х2 = 2. Как бы ее ни доопределяли в точках хг = —3
и х2 = 2, новая функция, определенная в каждой точке интервала
(-оо; +оо), будет иметь в этих точках разрывы.
ПРИМЕР 7. Зависимость Q = /(х) между температурой t одного
грамма воды (льда) и количеством Q калорий находящегося в ней
^70
Рис. 75
тепла, когда t изменяется между —10° и
10°, выражается следующей формулой:
„ _ f(t\— J 0,5^ + 5, если -10 < t < 0
w - Tit) - |f + 85> если 0 < t < 10
При t = 0 эта функция оказывается не-
определенной. Можно для удобства ус-
ловиться, что при t = 0 она принимает
вполне определенное значение, напри-
мер /(0) = 45. Функция
f0,5# + 5, если -10 < t < 0
Q = f (t) = -{45, если t = 0
t + 85, если 0 < t < 10
определена в каждой точке интервала
(-10; 10), она разрывна в точке t = 0.
График ее приведен на рисунке 75, на
нем очевиден разрыв в точке t0 = 0.
Как бы мы ни доопределяли функцию в этой точке, новая функция
будет иметь в этой точке разрыв.
Замечание. Если функция у — f(x) имеет в точке х0 разрыв и
при стремлении х к х0 справа и слева для функции у = f(x) сущест-
вует один и тот же предел — число А, то говорят, что разрыв функ-
ции в этой точке устраним. Для этого достаточно переопределить эту
функцию в точке х0, положив f(x0) = А, Новая функция будет не-
прерывной в точке х0. Такой разрыв называют устранимым. В при-
мерах 3 и 4 разрывы устранимы.
Если при стремлении х к х0 справа и слева для функции у = /(х)
не существует одного и того же предела — числа А, то говорят, что
в этой точке у функции неустранимый разрыв (она будет иметь раз-
рыв, как бы ее ни доопределяли в этой точке). Функции в примерах
1, 2, 5, 6 и 7 имеют неустранимые разрывы.
Ул
У = {х}
//77///.
-3-2-10	12 3 х
 Рис. 76
 Рис. 77
71
Предел функции и непрерывность
В заключение приведем примеры функций, имеющих бесконеч-
но много разрывов.
ПРИМЕР 8. Функция у = [х] определена для всех х е R. В каж-
дой точке х = п g Z она имеет разрыв (рис. 76).
ПРИМЕР 9. Функция у — {х} определена для всех х g R. В каж-
дой точке х — п е Z она имеет разрыв (рис. 77).

2.39
2.40
Какая функция является:
а)	непрерывной в точке х0 интервала J;
б)	непрерывной на интервале J;
в)	разрывной в точке х0 интервала J?
Имеет ли точки разрыва функция:
' sin х
а)
0, если х = 0;
к.
если х = 0;
I sin —, если х Ф 0
а, если х = 0 (а е
sin—, если х^О
Л);
если
о
2.41
х• sin—, если
х
1, если х = 0;
ж) у = {х} - -
_ J arctg -1
а, если
если х Ф 0
81ПХ	/ ггх
-----, если х пп (n g Z)
sin х
0, если х = пп (п g Z)1
Можно ли доопределить функцию f(x) в точке х0 (в точках xfe)
так, чтобы новая функция стала непрерывной на интервале
(—оо; +оо)? Если да, то как это сделать?
— 5х + 4	х^ — 4
a) №) =----Ц—, х0 = 1; б) f (х) = х0 = -2;
х - 1	х + 2
в) f(x) = 12 х х, х0 = 0;
г) f(x) =
f(x) = COS X tg X, xk =
e) / (x) = sin x ctg x, xk = itk, k e Z;
ж) f(x) = tg x, xk =
з) f(x) = ctg x, xk = nk, k g Z,
72
§ 3. Обратные функции
3.1. Понятие обратной функции
Пусть тело падает с высоты Н м. Тогда, как известно из физики,
путь s м, пройденный телом за t с, равен — t2, где g ~ 9,8 м/с2. Так
как в момент t0 падения на землю s = Н, то t0
изменения s задается формулой
2Н
---, поэтому закон
(1)
Отсюда следует, что если известно время движения f, то одно-
значно находится путь s, пройденный телом за это время.
Если же известен путь з, то однозначно находится и время дви-
жения t:
s е [0; Н].
(2)
Таким образом, если s есть функция от t, заданная форму-
лой (1), то t есть функция от s, заданная формулой (2).
Функцию (2) принято называть функцией, обратной к функ-
ции (1).
Рассмотрим функцию у от х, заданную формулой
у = х2, х е [0; 2].	(3)
Когда х непрерывно возрастает от 0 до 2, то у непрерывно воз-
растает от 0 до 4, пробегая все значения из отрезка [0; 4] (рис. 78).
Следовательно, областью изменения
УЬ
Рис. 78
функции (1) является отрезок [0; 4].
Функция (3) каждому х е [0; 2]
ставит в соответствие единственное
у е [0; 4], причем разным х — разные
у, и для каждого у е [0; 4] существует
единственное х е [0; 2], для которого
у = х2. Это означает, что х есть функ-
ция от у.
Выразив из формулы (3) х через у
для х е [0; 2] и у е [0; 4], найдем эту
функцию:
х = у g [0; <]•	(4)
Функцию (4) называют функцией,
обратной к функции (3). Ясно, что гра-
фики функций (3) и (4) совпадают (см.
рис. 78).
Обратные функции
Теперь рассмотрим функцию
у = /(х), х е J
(5)
которая строго монотонна (т. е. возрастает или убывает) и непре-
рывна на промежутке J и имеет область изменения промежуток Jx.
Проведя рассуждения, аналогичные проведенным выше, полу-
чим, что у функции (5) есть обратная к ней функция. Для нахожде-
ния этой обратной функции надо из формулы (5) выразить х через у
при х е J, у е Jl9 Полученная формула
X = <р (у), у eJ
и будет задавать функцию, обратную к функции (5).
Ясно, что графики функций (5) и (6) совпадают.
ПРИМЕР. Найдем функцию, обратную к функции
X G jR.
(6)
(7)
Так как функция (7) непрерывна и возрастает на промежутке R
и имеет своей областью изменения промежуток R, то она имеет
обратную функцию.
Выразив из формулы (7) х через у для х g R, у е R, получим
функцию
х = %у, У е R,	(8)	у|
обратную к функции (7).	8 - I _ з
Графики функций (7) и (8) совпала-	I У~х
ют (рис. 79).	I x=^Jy
У функций, заданных формулами	-- I
(4), (6), (8), независимой переменной яв-	1
ляется у, 8l зависимой х. Поскольку более	I
привычно записывать функции с незави-	4‘* I
симой переменной х и зависимой у, то в	-	/
формулах (4), (6), (8) можно заменить х	/
на г/, у на х. Получится более привычная	/
запись тех же функций:	” /
у = Vx, х g [О; 4]
у = <р(х), х G J\,
У = у[х, X Е R.
(49
(69
(89
—2 /О
Естественно, что функции, заданные	1
формулами (49, (69, (89, также называют	/
функциями, обратными к функциям (3),	I
(5), (7) соответственно. Часто только их и I"
называют функциями, обратными к функ-	I
циям (3), (5), (7) соответственно.	I
Функцию, обратную к данной и запи- I -8 -
санную в привычном виде, можно найти 1
и другим образом.	 Рис. 79
74
Пусть функция
У = f(x), xeJ	(9)
строго монотонна и непрерывна на
промежутке J и имеет область изме-
нения промежуток «Тр Запишем
формулу
х - f(y), у е х g (10)
которая получится, если в формуле
(9) заменить х на у, а у на х. Вы-
разим теперь из формулы (10) у че-
рез х. Полученная формула
у = ф(х), х G J19 у е J (11)
и будет задавать функцию, обрат-
ную к функции (9) и записанную
в привычном виде. Найденная таким способом функция у = ф (х),
обратная к функции у = f(x), естественно, будет такой же, как
и функция 1/ = ф(х), найденная первым способом. Но второй способ
нахождения функции у = ф(х), обратной к функции y — f{x)9 дает
способ построения графика функции у — ф (х). Так как очевидно, что
графики функций (10) и (11) совпадают, то для построения графика
функции (11) надо построить график функции (10).
Графики функций (4') и (8'), построенные таким образом, изо-
бражены соответственно на рисунках 80 и 81.
3.1	В декартовой системе координат хОу постройте график функции:
а) у = 2х + 1; б) у = 2х + 1, х g [-3; 3]; в) у = х2;
г) у = х2; х g (0; 1]; д) у = х3; е) у = х3, х е (-1; 2).
3.2	Выполнив построение графиков, убедитесь, что в декартовой
системе координат хОу совпадают графики функций:
а)	у — х + 1 и х = у - 1; б) у = 2х и х = — у;
в)	у = х2, х g [0; +оо) и х = у[у, у g [0; +оо);
75
Обратные функции
г)	у = х2, х G (-оо; О] и х = - Jy, у G [0; +оо);
д)	у = х3 и х = ^у; е) у = 2х и х = log2 у,
у е (0; +оо).
3.3	В данной формуле замените х на у, у на х, затем выразите из
полученной формулы у через х:
а) у = Зх + 1;	б) у = 2х - 8;
в) у = х2, х е [0; 3];	г) у = -х2, х е [0; 3];
д) у = 8х3;	е) у = 0,5д/х, х е [0; 25];
з) у = log5 х, х е (0; 25).
3.4
Найдите функцию х = (р (у), обратную к данной функции у = /(х),
и постройте графики обеих функций в одной системе координат:
а) у = х2, х е [-1; 0];
в) у = ------, х е [0; +оо);
1 + х
д) у = 6х + 5, х е (-оо; +оо);
б) у = х3, х е [0; 2];
3.5 В задании 3.4 найдите функцию i/ = <p(x), обратную к данной
функции у = /(х), постройте графики обеих функций в одной
системе координат.
3.2*. Взаимно обратные функции
Пусть дана функция
у = /(х), х е [а; 6],
(1)
непрерывная и возрастающая на отрезке [а; 5]. Когда х непрерыв-
но возрастает от а до Ъ, то у непрерывно возрастает от с до d, пробегая
все значения из отрезка [с; d], где с = f(a), d = f(b) (рис. 82). Следова-
тельно, областью изменения функции (1) является отрезок [с; d].
Функция (1) каждому х е [а; 6] ставит в соответствие единствен-
ное у е [с; d], причем разным х соответствуют разные у и для каждо-
го у е [с; d] существует единственное х е [а; Ь], для которого у = f (х).
Это означает, что х есть функция от у. Выразив из формулы (1)
х через у ддя х е [а; &] и у е [с; dj, най-
дем эту функцию:
X = <р (у), у е [с; d}.	(2)
Функцию (2) называют функцией,
обратной к функции (1).
Если задать сначала функцию (2)
и провести для нее рассуждения, ана-
логичные только что проведенным, то
получим, что функция (1) является
функцией, обратной к функции (2).
Поэтому функции (1) и (2), т. е. функ-
ции f и (р, называют взаимно обратны-
ми функциями.
Ук
76
Из равенств (1) и (2) следуют свойства взаимно обратных функ-
ций f и (р:
ф(/(х)) = х, х с [а; 6],	(3)
У(ф (#)) = У> У е [с; d).	(4)
Отметим, что функция <р есть закон, по которому значения зави-
симой переменной определяются по значениям независимой пере-
менной; при этом совершенно неважно, какими буквами обозначены
эти переменные. Поэтому функцию ср, обратную к функции Д можно
задать как формулой
х = ф(г/), у g [с; d],	(5)
так и формулой
у = <р(х), х е [с; d].	(6)
совпадают, то функция <р
Поскольку более привычно функцию записывать так, чтобы не-
зависимая переменная обозначалась буквой х, а зависимая — бук-
вой I/, то часто функцию (р, обратную к функции Д задают именно
формулой (6).
Однако здесь есть некоторая тонкость. Графики функций опреде-
ляются геометрическим соглашением: х выражает абсциссу, а у —
ординату точки графика. В соответствии с этим соглашением функ-
ция <р, записанная в виде (5), имеет
график — линию y — f(x)9 а записанная
в виде (6) — другой график — линию
у — <р(х) (рис. 83).
Очевидно, что формула (6) получа-
ется из формулы (5) заменой х на у и у
на х, поэтому линия у = ср (х) симмет-
рична линии х = <р (у) относительно
прямой у = х. Так как линия х = (р (у)
совпадает с линией у = f(x), то графи-
ки взаимно обратных функций, задан-
ных в привычном виде (у — функция
аргумента х), т. е. в виде (1) и (6), сим-
метричны относительно прямой у = х.
В этом выражается свойство графиков
взаимно обратных функций.
Так как линии х = <р (у) и у = f (х)
также является непрерывной и возрастаю-
щей на отрезке [с; d], а областью ее изменения является отрезок
Отметим, что если функция непрерывна и строго монотонна на
промежутке J и имеет область изменения промежуток Jl9 то, прово-
дя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что эта
функция имеет обратную функцию с областью определения J\ и об-
ластью изменения J.
Обратные функции
Таким образом, если дана непрерывная функция, то достаточ-
ным условием существования обратной к ней функции является
строгая монотонность данной функции. При этом обратная функция
также непрерывна.
ПРИМЕР. Найдем функцию, обратную к функции
з
у = х2, х е [0; +оо).	(7)
Так как функция (7) непрерывна и возрастает на полуинтервале
[0; +оо), то она имеет своей областью изменения полуинтервал
[0; +оо) (рис. 84, а), на котором определена обратная к ней непре-
рывная функция.
Выразив из формулы (7) х через у для у е [О; +оо), х g [О; +оо),
получим функцию, обратную к функции (7):
2
х = f/3, у е [О; +оо).	(8)
Заменив в формуле (8) х на уу а у на х, получим привычную за-
пись функции, обратной к функции (7):
2
у = х3, х е [0; +оо].	(9)
Чтобы построить график функции (9) в декартовой системе ко-
ординат хОуу можно воспользоваться свойством графиков взаимно
обратных функций: сначала построить график функции (7), а затем
отразить его относительно прямой у = х — получится график функ-
ции (9) (рис. 84, б).
УЬ
б)
 Рис. 84
78
3	2
Функции у = х2, х g [0; +оо) и у = х3, х е [0; +оо) — взаимно обрат-
ные функции. Приведем еще примеры взаимно обратных функций.
1)	у =	х2,	х	g	[0; +оо) и у = Vx, х е [0; +оо);
2)	у =	х2,	х	g	(-оо; 0] и у = -Vx, х G [0; +оо);
3)	у =	3х,	х	g	R и у = log3 х, х G (0; +оо).
3.6 а) Какие функции называют взаимно обратными? Какими
свойствами обладают взаимно обратные функции?
б)	Каким свойством обладают графики взаимно обратных
функций у = f(x) и у = ф(х)?
в)	В чем заключается достаточное условие существования
функции, обратной к данной непрерывной функции?
3.7 Найдите функцию х = <р (у), обратную к функции:
а) у = х4, х с [0; +оо);
б)	у - х4; х G (-оо; 0];
в)	у = х2пг, х g (0; +оо), т е N;
г)	у = х2/п, х g (-оо; 0], т g N;
д)	у — х2т + х с (-оо; +оо), т G АГ;
е)	у = ах, х g (-оо; +оо), а > 0, а * 1.
Постройте график данной функции у = /(х). Найдите функцию
у = (р (х), обратную к данной функции, и постройте ее график
(3.8—3.9):
3.9
а) у = л/4 - х2, х с [—2; 0];
в) у = д/21- х2 + 4х, х g [-3; 2];
б) у = V4 - х2, х g [0; 2];
г) у = 4 + у)16- х2 + бх, х g [3; 8];
е) у = 0,5>/х;
ж) у = 3х х;
и) у = log5 (х + 2);
к) у = log0i2 (х - 1).
£79
Обратные функции
3.10
Докажите, что угловые коэффициенты взаимно обратных ли-
нейных функций у = kxx + и у = k2x + l2 (А4 Ф 0, k2 Ф 0) свя-
заны соотношением .
3.11 Приведите пример функции, обратной самой себе.
3.12 Функция у — f(x) задана на отрезке [а; £>]. На каком отрезке за-
дана обратная к ней функция у = ф (х), если функция у = f(x):
а) возрастает на отрезке [а; &];
б) убывает на отрезке [а; £>]?
3.13
Функция у = /(х) задана на интервале (а; Ъ). На каком интер-
вале задана обратная к ней функция у — <р (х), если
У = №):
а) возрастает на интервале (а; Ь);
ункция

б) убывает на интервале (а; &)?
3.14
На рисунке 85, а—г дан график функции у = f (х). Постройте
в той же системе координат
ной к функции у = /(х).
график функции у = <р (х), обрат-
Ук
У=f(x)
б)
Ук	Ук
t
R Рис. 85
80
3.3*. Обратные тригонометрические функции
1. Функция t/ = arcsin х. Если каждому числу х из отрезка
[-1; 1] поставлено в соответствие число arcsin х, то говорят, что
этим определена функция
у = arcsin х.
Областью существования функции (1) является отрезок [—1; 1],
а областью изменения — отрезок
л
2
Перечислим свойства функции (1):
1)	функция ограничена;
2)	функция принимает наименьшее значение у = -
х = -1 и наибольшее значение у = — при х = 1;
4UI
при
3)	функция нечетная;
4)	точка (0; 0) — единственная точка пересечения графика
функции с осями координат;
5)	фУнкЦия возрастает на всей области существования, т. е. на
отрезке [—1; 1];
6)	функция непрерывна на отрезке [—1; 1].
Покажем справедливость этих свойств.
Свойства 1—2 вытекают из определения арксинуса числа.
Свойство 3 вытекает из следующего свойства арксинуса числа:
arcsin (-а) = -arcsin а.
того чтобы показать справедливость свойств
4
6, рассмот-
рим функцию
у — sin х,
которая непрерывна и возрастает на отрезке
л
2
(2)
У этой функ-
ции есть обратная к ней функция. Выразив из формулы (2) х че-
рез у, получим функцию х от у’.
х — arcsin у, у е [-1; 1].	(3)
Эта функция непрерывна и возрастает на [—1; 1], значение х = 0 она
принимает при у = 0.
Заменив в формуле (3) у на х, а х на у, получим функцию
у = arcsin х, х G [-1; 1],	(4)
которая и есть функция, обратная к функции (2), и записанная
в привычном виде. Функция (4) непрерывна и возрастает на отрезке
[-1; 1). Значение у = 0 она принимает лишь при х = 0.
Обратные функции
•a si
_____
Для построения графика функции (1) построим в системе коор-
динат хОу график функции х = sin у, у е
л
2
он и будет графи-
ком функции (1). График функции (1) изображен на рисунке 86.
2.	Функция у = arccos х. Если каждому числу х из отрезка
[-1; 1] поставлено в соответствие число arccos х, то говорят, что
этим определена функция
у = arccos х.	(5)
Областью существования функции (5) является отрезок [—1; 1],
а областью изменения — отрезок [0; л].
Перечислим свойства функции (5):
1) функция ограничена;
2) принимает наибольшее значение у — л при х = — 1 и наи-
меньшее значение у — 0 при х = 1;
3)	функция не является ни четной, ни нечетной;
(	71 А
4)	точки 0; — и (1; 0) являются точками пересечения графи-
ка функции с осями координат;
5)	функция убывает на отрезке [—1; 1];
6)	функция непрерывна на отрезке [—1; 1].
Справедливость этих свойств показывается так же, как и для
функции у = arcsin х. График функции (5) изображен на рисунке 87.
у = arccos х У А
х из интервала
то говорят, что
(6)
множество всех
2
3. Функция у = arctg х. Если каждому числу
(-оо; +оо) поставлено в соответствие число arctg х,
этим определена функция
у = arctg х.
Областью существования функции (6) является
действительных чисел JR, а областью изменения — интервал
Перечислим свойства функции (6):
1)	функция ограничена; п \ '....	:
• 2) функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего зна-
чений;	1
3) функция нечетная;	• • ’ ' *:	Г	> J < t	.
 4) точка (О; О) — единственная точка пересечения графика
функции с осями координат;	л	/
5)	функция возрастает на интервале (—оо; +оо); л < г G '
6)	функция непрерывна на интервале (-оо; +оо).
u • j V , * Ь. ‘  Я* 3-JI»*’	ДГ I •	 * * « > * *• i	Л? J- С- г-4 ** ~ 4 * ".
Справедливость этих свойств доказывается аналогично доказа-
тельству свойств функции у — arcsin х. Для построения графика
функции (6) построим в системе координат хОу график функции
( П ТС 1
х = tgy, у е —; — , он и будет графиком функции (6).
График функции (6) изображен на рисунке 88.
Ук
Рис. 88
4. Функция у - arcctg х. Если каждому числу х из интервала
(-оо; +оо) поставлено в соответствие число arcctg х, то говорят, что
этим определена функция
у - arcctg х.
(7)
Областью существования функции (7) является множество всех
действительных чисел R, а областью изменения — интервал (О; л).
Обратные функции
Перечислим свойства функции (7):
1) функция ограничена; i ‘ " s* 5	> J
. 2) функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего зна-
чений;..
3) функция не является ни четной
Л?. 4) уточка -г0; -5-
функции с осями координат; -
5) функция убывает на интервале (—оо; +оо);
6) функция непрерывна на интервале (—оо; +оо).
ни нечетной;
единственная точка пересечения графика
Справедливость этих свойств доказывается аналогично доказа-
тельству свойств функции у — arcsin х. Для построения графика
функции (7) построим в системе координат хОу график функции
х = ctg у, у е (0; л), он и будет графиком функции (7).
График функции (7) изображен на рисунке 89.
Каждый из графиков обратных три-
гонометрических функций можно было
построить, пользуясь свойством графи-
ков взаимно обратных функций. Напри-
мер, для функции у = arcsin х, область
значении которой
, надо рассмот-
реть обратную к ней функцию
построить график этой обратной функ-
ции и симметрично отразить его относи-
тельно прямой у — х (рис. 90).
84
Аналогично с помощью графиков основных тригонометриче-
ских функций строятся и графики остальных обратных тригономет-
рических функций.
Функции у = arcsin х, у = arccos х, у - arctg х, у = arcctg х назы-
вают основными обратными тригонометрическими функциями. Эти
функции также относят к основным элементарным функциям.
Кроме основных обратных тригонометрических функций, мож-
но изучать другие (неосновные) обратные функции.
ПРИМЕР. Рассмотрим функцию
у = sin х, х е
(8)
Эта функция непрерывна и убывает на отрезке
ласть изменения — отрезок [—1; 1], следовательно, она имеет обрат-
ную к ней функцию.
 Рис. 91
Так как sin х = sin (л — х), то функ-
цию (8) можно задать формулой
у = sin (л - х),
(л — х) е
л
2
Тогда по определению арксинуса име-
ем: л — х - arcsin р, у е [-1; 1]. Выразив
из последнего равенства х через у, полу-
чим функцию, обратную к данной:
х = л - arcsin у, у е [-1; 1].	(9)
Заменив в формуле (9) х на I/, а у на
х, получим функцию у от х:
у = п — arcsin х, х е [-1; 1],	(10)
которая и есть функция, обратная к
функции (8) и записанная в привычном
виде.
График функции (10) изображен на
рисунке 91.
3.15 Дайте определение функции:
а) у = arcsin х;	б) у = arccos х;
в) у = arctg х;	г) у = arcctg х.
Сформулируйте ее свойства, постройте ее график.
Обратные функции
3.16
Найдите функцию у = <р(х),
а)	у = sin х, х е
Зл
__•
обратную к функции:
б)	у = cos х, х е [л; 2л],
и постройте ее график.
3.17 Найдите функцию у = ф(х), обратную к функции:
а) у = arcsin х;	б) у = arccos х;
в)	у = arctg х;	г) у = arcctg х,
и постройте их графики в одной системе координат.
3.4*. Примеры использования
обратных тригонометрических функций
1.	Для любого х е [-1; 1] справедливо равенство
л
arcsin х + arccos х = —.
2
Действительно, так как О С arccos х л, то
л	л	л
— - arccosх —.
2	2	2
Найдем синус числа
— - arccos х
2
пользуясь свойствами синуса:
. Г я
sm------arccos х
I 2
= cos (arccos х) = х.
Итак, число
---arccos х принадлежит отрезку
и его
синус равен х, поэтому по определению арксинуса
— — arccos х = arcsin х
откуда arcsin х + arccos х = —, что и требовалось доказать.
2.	а) Для любого х е [-1; 1] справедливы равенства
sin (arcsin х) = х,
cos (arcsin х) = 71 — х2.
б)	Для любого х е (-1; 1) справедливо равенство
tg (arcsin х) =
(1)
(2)
(3)
в)	Для любого х g [— 1; 0) U (0; 1] справедливо равенство
ctg (arcsin х) =
(4)
Действительно, по определению арксинуса числа х (| х |
если а = arcsin х
1),
и sin а = х. Поэтому справедливо
равенство (1).
Пусть а = arcsin х. Так как а е
то cos а > 0, поэтому
cos а = 71 - sin2 а. Применяя равенство (1), получаем равенство (2).
Из равенств (1) и (2) следует равенство (3) для |х| < 1 и равенст-
во (4) для 0 < |х|	1.
3.	Построим графики функций:
у = sin (arcsin х),
у = cos (arcsin х),
у = tg (arcsin х),
у — ctg (arcsin х).
(5)
(6)
(7)
(8)
Прежде всего найдем область определения каждой из этих функ-
ций. Так как arcsin х определен лишь для |х| С 1, то область опреде-
ления каждой из функций (5) и (6) есть отрезок [-1; 1], область опре-
деления функции (7) есть интервал (-1; 1), область определения
функции (8) есть объединение двух промежутков [-1; 0) U (0; 1].
Применяя равенства (1) — (4), функции (5) — (8) можно переписать
соответственно в виде
2
0
Поэтому графики этих функций будут иметь вид, как на рисун-
ке 92, а—г.
Приведем пример вычислений с использованием обратных три-
гонометрических функций.
4
ПРИМЕР. Вычислим cos arcsin — + arcsin —- + arcsin — .
t 5	13	65 J
_	• 4 Q .5	.16
Обозначим a = arcsin —, p — arcsin ——, v = arcsin —.
5 H	13 1	65
65
5
Обратные функции
Каждое из чисел ос, р и у принадлежит промежутку
4
этому sma = —,
5
16
sm Y - Z7’ cos Y =
65
sinP =
5
13*
Тогда
и no-
cos P =
12
13’
cos (oc + p + y) = cos a cos (p + y) - sin a sin (P + y) =
= cos a (cos p cos у — sin p sin y) - sin a (sin p cos у + cos p sin y) =
3.18 Докажите, что для любого х g R справедливо равенство
,	. л
arctg х + arcctg х = —.
3.19 Докажите, что:
а) для
справедливы равенства
б)
для
любого х е [-1; 1]
cos (arccos х) = х, sin (arccos х) — 71 - х2;
любого х е (-1; 1)
справедливо равенство
X
ctg (arccos х) =	—;
для
любого х g [— 1; 0) U (0; 1] справедливо равенство
tg (arccos х) =
Г) для
tg (arctg х) = х, sin (arctg х) =
любого х g R справедливы равенства
cos (arctg х) =
д)	для любого х Ф 0 справедливо равенство
ctg (arctg х) = —;
е)	для любого х g R справедливы равенства
ctg (arcctg х) = х, sin (arcctg х) = -- 1 —, cos (arcctg x) =
Ft . ~2
ж)	для любого х 0 справедливо равенство
1
tg (arcctg х) = —.
Постройте график функции (3.20—3.21):
у = sin (arccos x);
у = ctg (arccos x);
у = ctg (arctg x);
у = cos (arctg x);
к) у = tg (arcctg x);
м) у = cos (arcctg x).
у = arcsin (cos x);
у = arcsin (ctg x);
у = arccos (sin x);
у = arccos (ctg x);
к) у = arctg (ctg x);
3.20* а) у = cos (arccos х);
в) у = tg (arccos х);
Д) У = tg (arctg х);
ж) у — sin (arctg х);
и) у = ctg (arcctg х);
л) у = sin (arcctg х);
3.21* а) у = arcsin (sin х);
в) у = arcsin (tg х);
д) у = arccos (cos х);
ж) у = arccos (tg х);
и) у = arctg (tg х);
г)
г)
89
Производная
л) у = arctg (sin x);
н) у = arcctg (ctg x);
п) у = arcctg (sin x);
3.22 Вычислите:
м) у = arctg (cos x);
о) у = arcctg (tg x);
p) У = arcctg (cos x).
4	12	ЗА
arccos — + arccos — + arccos — ;
5	13	5)
. 3
arcsin — + arcsin
5	13
5	. 4 ]
4- arcsin — ;
5 J
arctg — + arctg — +
§4. Производная
4.1. Понятие производной
Рассмотрим три задачи.
ЗАДАЧА 1. Пусть материальная точка движется по прямой по
закону
s(t) = 4t2,	(1)
где s — путь, пройденный точкой за время t (t > 0). Путь, время
и скорость измеряются соответственно в метрах, секундах и в мет-
рах в секунду.
Вычислим сначала среднюю скорость этой точки за промежуток
времени от = 2 до t2 ~ 5. Путь, пройденный точкой за время = 2,
равен s(2) = 4 • 22 = 16, а путь, пройденный ею за время t2 = 5, равен
s(5) = 4 ♦ 52 = 100. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток
времени от = 2 до t2 = 5, равен s(5) — s(2) = 100 — 16 = 84.
Средняя скорость точки за промежуток времени от t, = 2 до
+ к	s(5)-s(2)	84	__
t2 = 5 равна и = —-—-— = — = 28.
О —	о
Вычислим теперь среднюю скорость fcp этой точки за промежу-
ток времени от t до t + At. Путь, пройденный точкой за время t, ра-
вен s (t) = 4t2, а путь, пройденный ею за время t + At, равен
s(t + At) = 4(t 4- At)2. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток
времени от t до t 4- At, равен As = s(t 4- At) — s(t) = 4(t 4- At)2 — 4t2 =
= (8t 4- 4At)At. Средняя скорость точки за промежуток времени от t
Л a	As (8t 4- 4At) At rt . . ж
до t 4- At равна ucp = — =-—-----= 8t 4- 4At.
Итак, средняя скорость ocp есть сумма двух слагаемых. Первое
не зависит от At, а второе зависит от At, и при этом оно мало для ма-
лых At.
Таким образом, можно считать, что при малых At средняя ско-
рость гср приближенно равна числу 8t, т. е. иср ~ 8t.
Число v = 8t есть, очевидно, предел, к которому стремится иср
при —> 0. Его называют мгновенной скоростью точки, движущей-
ся по закону (1), в момент времени t,
В общем случае если точка движется по прямой по закону
s(t) = f(i)t то ее мгновенной скоростью v в момент времени t называ-
ют предел (если он существует), к которому стремится ее средняя
скорость на промежутке времени [t; t + Д£] при Д£ -> 0:
v = lim = lim --------------.
at —о ₽ де —о A£
Величину At называют приращением времени, а величину
Af — f(t + At) — f(t) — приращением пути. Другими словами, мгно-
венной скоростью движущейся точки в момент времени t называют
предел (если он существует) отношения приращения пути к прира-
щению времени, когда последнее стремится к нулю:
.. Де
v = lim —.
At — оД^
ЗАДАЧА 2. Пусть кривая Г есть график непрерывной на интер-
вале (а; Ь) функции у = f(x) (рис. 93 или 94). Зададим на кривой Г
точку А, имеющую абсциссу х и ординату у, и точку С, имеющую
абсциссу х + Дх (Дх Ф 0) и соответствующую ординату у + Ду =
= /(х) + Д/, где Д/ = f{x + Дх) - f(x).
Секущая S, проходящая через точки А и С, образует с положи-
тельным направлением оси Ох угол р (здесь и далее угол между
положительным направлением оси Ох и прямой откладывается
от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).
На рисунках 93 и 94 0 < р
р < я соответственно.
Из рисунков 93 и 94 следует, что
tgp =
Ду _ /(х + Дх) - /(х)
Дх	Дх
Будем устремлять Дх к нулю; тогда вследствие непрерывности
функции у = f(x) также будет стремиться к нулю Ду и точка С, дви-
гаясь по кривой Г, будет стремиться к точке А. Если окажется
(а этого может и не быть!), что при этом при любом способе стремле-
Ду
ния Дх к нулю отношение стремится к одному и тому же пределу
(числу) k:
— — k(Ax^- 0),
то тогда и угол Р будет стремиться к некоторому, отличному от —
углу а. Вместе с Р и секущая S, вращаясь около точки А, будет стре-
91
Производная
УК
Дх=АВ,Ау = — ВС
Ах=АВ,Ау = ВС
 Рис. 93
 Рис. 94
миться занять в пределе положение прямой Т, проходящей через
точку А под углом а к положительному направлению оси Ох. Но то-
гда прямая Т есть касательная к кривой Г в точке А и
,. Дг/ ,.	_
lim — = lim tg р = tg а.
Дх —» 0 Дх	Дх —* о
— и — < а < к соответственно.
_	Ди
О отношение — стремится
На рисунках 93 и 94 0 < а
Мы установили, что если при Дх
к конечному пределу, то кривая Г имеет в точке А касательную,
тангенс угла которой с положительным направлением оси Ох равен
этому пределу.
ЗАДАЧА 3. Пусть известна функция Q = f(t), выражающая ко-
личество электричества, прошедшее через фиксированное сечение
провода за время t. За период t + At через сечение протекает количе-
ство электричества AQ = fit + Д£) — f(t). Средняя сила тока при этом
_ AQ fit + ДО - fit)
равна = — =----------------.
ср At	At
Предел этого отношения при At —► 0 дает силу тока в момент
,	т г №
времени t, равную I — lim —.
д/-*о At
Теперь рассмотрим функцию у = /(х), определенную в некото-
рой окрестности точки х. Выберем в этой окрестности произвольную
точку (число), отличающуюся от х на Дх, т. е. точку х
ним, что число Дх называют приращением аргумента, а разность
значений функции в точках х + Дх и х называют приращением
функции. Приращение функции у = fix) в точке х обозначают Af
или Ау:
Дх. Напом-
Ay = Af = f{x + Дх) - fix).
92
ПРИМЕР 1. Приращение функции /(х) = Зх + 2 в любой точ-
ке х, соответствующее приращению Дх аргумента, равно
Д/ = f(x + Дх) - /(х) = (3(х + Дх) + 2) - (Зх + 2) = ЗДх.
ПРИМЕР 2. Приращение функции f(x) = х2 в любой точке х, со-
ответствующее приращению Дх аргумента, равно
Д/ = f (х + Дх) — f (х) = (х + Дх)2 — х2 = (2х + Дх) Дх.
Выше были рассмотрены три задачи (вычисление мгновенной
скорости, тангенса угла наклона касательной к графику функции
и силы тока). Несмотря на то что все они относятся к различным об-
ластям знания — механике, геометрии, теории электричества, их ре-
шение привело нас к одной и той же математической операции, кото-
рую нужно произвести над функцией: надо найти предел отношения
приращения функции к соответствующему приращению аргумента,
когда приращение аргумента стремится к нулю. Число задач, реше-
ние которых приводит к той же операции, можно увеличить. К ним
относятся, например, задачи о скорости химической реакции, о плот-
ности неравномерно распределенной массы и др.
Эта операция получила в математике специальное название —
дифференцирование функции. Результат ее выполнения называют
производной.
Производной функции у = f (х), заданной на некотором интер-
вале (а; Ъ), в точке х этого интервала, называют предел отно-
шения приращения функции в этой точке к соответствующему
приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится
к нулю.
Производная функции f (х) при данном х из интервала (а; Ъ)
(если она в этой точке х существует) есть число. Если производная
функции f(x) существует при каждом значении х из интервала (а; 6),
то производная есть функция от х, определенная на интервале (а; Ь).
Производную функции f(x) обозначают f'(x) и говорят: «эф
штрих от икс». Следовательно,
f'(x) = lim —.
Дх—>0 Дх
Широко употребляются и другие обозначения производной:
,	, dy df(x)
У > Ух9 9 t 9
dx dx
d
dx
f(x).
Предел lim —
Дх—>0 Дх
(если он существует) в точке х, когда рассматри-
вается только Дх > 0 или Дх < 0, называют соответственно пра-
вой производной и левой производной функции f в точке х. Про
функцию /(х), заданную на отрезке [а; &], принято говорить,
П роизводная
что она имеет производную на этом отрезке, если она имеет произ-
водную в любой точке интервала (а; Ъ) и, кроме того, правую произ-
водную в точке а и левую — в точке Ъ. •
Найдем производные для некоторых функций /(х), определен-
ных на интервале (-оо; +оо).
1.	/(х) = х. Для любой точки х приращение функции f равно
Д/ = f(x + Дх) - f (х) = (х 4- Дх) - х = Дх.
Поэтому — = — = 1. Следовательно, производная функции
Дх Дх
/(х) = х в любой точке х равна 1, т. е. х' = 1.
2.	/(х) = С. Постоянную можно рассматривать как такую функ-
цию от х, которая равна одному и тому же числу С для любого х из
интервала (—оо; +оо). Тогда для этой функции приращение функции
f равно
А/ = f(x + Дх) - /(х) = С - С = 0.
f	0
Поэтому — = — = 0. Следовательно, производная функции
Дх Дх
f(x) = С в любой точке х равна 0, т. е. С' = 0.
3.	/(х) = kx + Ь, где k и b — данные числа. Для любой точки х
приращение функции f равно
Д/ = (k (х 4- Дх) + b) — (kx + b) = /гДх.
Поэтому
Д/
/гДх
Дх
= k. Следовательно, производная функции
f (х) = kx 4- b в любой точке х равна k, т. е. (kx 4- by = k. Это означа-
ет, что если точка движется по линейному закону s = kt 4- b, то ее
мгновенная скорость в любой момент времени t постоянна и равна k:
v = (kt 4- by = k. В данном случае говорят, что тело движется равно-
мерно со скоростью fe, при этом скорость точки и ее мгновенная ско-
рость в любой момент времени t есть одно и то же число k.
4.	f(x) = х2. Для любой точки х приращение функции f равно
Д/ = (х 4- Дх)2 — х2 = (2х 4- Дх) Дх.
Д/ (2х 4- Дх) Дх
Поэтому — =-------------=2x4- Дх. Поскольку 2х 4- Дх стре-
Дх	Дх
мится к 2х при Дх 0, то f'(x) = 2х, т. е. в любой точке х
(х2У = 2х.
5.	f(x) = ах2 + Ьх + с. Для любой точки х приращение функ-
ции f равно
Д/ = (а (х + Дх)2 4- Ь(х 4- Дх) 4- с) - (ах2 4- Ьх 4- с) = (2ах + b + цДх) Дх.
Л
Поэтому — = 2ах 4- b 4- аДх. Поскольку 2ах 4- b 4- аДх стремится
Дх
к 2ах 4- b при Дх —► 0, то f'(x) = 2ах 4- Ь, т. е. в любой точке х
(ах2 4- Ьх 4- с)' = 2ах 4- Ь.	(2)
94
Как следует из рассмотренных в начале данного пункта задач,
справедливы следующие утверждения:
1. Если при прямолинейном движении путь s, пройденный
точкой, есть функция от времени t, т. е. s = f(t), то скорость точ-
ки есть производная от пути по времени, т. е. v(t) =
Этот факт выражает механический смысл производной.
2. Если в точке х0 к графику функции у = f (х) проведена ка-
сательная, то число f'(x0) есть тангенс угла а между этой каса-
тельной и положительным направлением оси Ох, т. е. f'(x0) =
= tg а. Этот угол называют углом наклона касательной.
Данный факт выражает геометрический смысл производной.
Ук
ПРИМЕР 3. Найдем тангенс угла
наклона касательной к графику функ-
ции у = 0,5х2 — 2х + 4 в точке с абсцис-
сой х = 0.
Найдем производную функции
/(х) = 0,5х2 - 2х + 4 в любой точке х,
используя равенство (2):
(0,5х2 - 2х + 4)' =
= 0,5 - 2- х — 2 = х — 2.
Вычислим значение этой производ-
ной в точке х = 0:
Л(0) = 0- 2 =-2.
В Рис. 95
Следовательно, tga = -2. График
функции у = /(х) и касательная к ее
графику в точке с абсциссой х — 0 изо-
бражены на рисунке 95.
4.1 Пусть точка движется прямолинейно по закону s = t2. Найдите:
а) приращение времени At на промежутке времени от t± = 1 до
^2 = 2?
б)	приращение пути As на промежутке времени от tY = 1 до t2 = 2;
в) среднюю скорость на промежутке времени от tx = 1 до t2 = 2.
4.2 В задании 4.1 найдите:
а) приращение пути As на промежутке времени от t до t + At;
б) среднюю скорость на промежутке времени от t до t + At;
в)	мгновенную скорость в момент времени t;
г)	мгновенную скорость в момент времени t = 1.
4.3	Пусть точка движется прямолинейно по закону:
1)	s = 3t + 5; 2) s = t2 - 6t.
Найдите:
а)	приращение пути As на промежутке времени от t до t + At;
95
Производная
б)	среднюю скорость на промежутке времени от t до t + At;
в)	мгновенную скорость в момент времени t.
Для какого из указанных законов мгновенная скорость не за-
висит от времени и для какого зависит?
4.4	Дана функция f(x) = х2. Проведите секущую через точки гра-
фика этой функции с абсциссами хг = 0, х2 = 2. Найдите:
а)	приращение аргумента Ах;
б)	приращение функции Af = f(x2) — /(Xj);
в)	тангенс угла наклона секущей tgB = —.
Дх
4.5	Дана функция f (х) = х2. Проведите секущую через точки гра-
фика этой функции с абсциссами х и х + Дх. Найдите:
а)	приращение функции Д/ = f(x + Ах) — /(х);
б)	тангенс угла наклона секущей;
в)	тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой х;
г)	тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой:
х = 0; х = 1; х = -1; х = 2; х = -2.
4.6	° а) Что называют приращением аргумента; приращением
функции; производной функции?
б)	Как вычисляют производную функции в точке х?
4.7	Дана функция f(x) = х2.
а)	Найдите производную в любой точке х е R.
б)	Вычислите значение производной в точке х = 0; х = 1;
х = -1; х = 2; х = -2; х = 3; х = -3.
в)	При каком значении х производная равна: 0; 1; 3?
4.8	Выполните задание 4.7 для функции:
a) f(x) =	3x + 8;	б)	f(x) = 8x-ll;
в)	f(x) =	kx + b;	г)	f(х) = х2 - х + 5;
Д) f(x) =	х2 + Зх	- 1;	е)	/(х) = ах2 + Ьх + с.
4.9° а)
б)
В чем заключается механический смысл производной?
В чем заключается геометрический смысл производной?
4.10	Точка движется прямолинейно по закону s = t2 — 4t.
а) Выразите скорость точки как функцию времени,
б) Вычислите скорость точки в момент времени t = 5.
в) В какой момент времени скорость была равна нулю?
4.11	Дана функция f(x) = х2 — 6х + 11.
а)	Найдите производную функции.
б)	Вычислите тангенс угла наклона касательной к графику
функции у = /(х) в точке с абсциссой: х — — 1; х = 0; х = 2.
в)	При каком значении х тангенс угла наклона касательной к
графику функции у — f(x) равен: 0; 1; 3?
4.12	Найдите производную функции у = х3.
96
4.13	На рисунке 96 изображен график
непрерывной функции у = /(х),
х g (-6; 7). Определите знак тан-
генса угла наклона касательной к
графику функции у = f(x) в точке
с абсциссой:
а) -4;	б) -3;	в) 0;
г)	1;	д) 3;	е) 6.
Ук
 Рис. 96
4.14
В предыдущем задании найдите
значения х, при которых:
а) Г(х) = 0; б) /'(х) > 0; в) Г(х) < 0.
4.2. Производная суммы. Производная разности
ТЕОРЕМА 1. Если функции и (х) и v (х) имеют в точке х про-
изводные, то их сумма f (х) = и (х) + v (х) также имеет в этой точ-
ке производную, равную
f'(x) = и'(х) + и'(х).
(1)
Коротко равенство (1) записывают так:
и говорят: производная суммы равна сумме производных.
Доказательство. Придадим данному х приращение Ах & 0. Ему
соответствует приращение функции f в точке х:
А/ = f(x + Ах) - f(x) = (u(x + Ах) + v(x + Ах)) - (u(x) + и(х)) =
= (u(x + Ах) - и(х)) +(и(х + Ах) - и(х)) = Au + Au.
Поэтому
А/
(2)
Учитывая, что по условию функции и и v имеют в точке х про-
изводную, имеем
lim
Ди
и' (х),
lim
= и' (х). Переходя в равен-
стве (2) к пределу при Дх -> 0, получаем
Г (х) = lim — = lim — + — 1
дх—оДх дх—о^Ах Ах у
= lim — + lim — = и' (х) + v' (х).
дх—оАх дх—оАх
Равенство (1) доказано.
ПРИМЕР 1. (х2 + 3)' = (х2)' + (3)' = 2х + 0 = 2х.
97
Производная
ТЕОРЕМА 2. Если функция и (х) имеет в точке х производную
мА — данное число, то функция f (х) — А • и (х) также имеет
в этой точке производную, равную
f'(x) = А • и'(х).
(3)
Коротко равенство (3) записывают так:
(А • и)' = А • и',
и говорят, что постоянный множитель можно выносить за знак про-
изводной.
Доказательство. Придадим данному х приращение Дх * 0. Ему
соответствует приращение функции f в точке х:
Д/ — f(x + Дх) — /(х) = Аи (х + Дх) — Аи (х) =
- А (и (х + Дх) - и (х)) = АДи.
Поэтому — — А— и /'(х) = (Au(x))'= lim — =	—
Дх Дх	дх->оДх дх—>0\ Дх
= A lim = Аи' (х).
дх~»о Дх
Равенство (3) доказано.
ПРИМЕР 2. (5х2)' = 5(х2)' = 5(2х) = 10х.
Из теорем 1 и 2 следует справедливость следующего утвержде-
ния. Если функции tz(x) и и(х) имеют в точке х производные, то их
разность /(х) = и(х) — р(х) также имеет в этой точке производную,
равную
f (х) = и' (х) - v' (х).	(4)
Коротко равенство (4) записывают так:
(u - vy - и’ - и',
и говорят: производная разности равна разности производных.
В самом деле,
f'(x) = (w - »У - (и + (-1) • и)' = и' + ((-1) • и)' = и' + (-1) • и' = и' - и’.
ПРИМЕР 3. (5х2 - Зх)' = (5х2)' - (Зх)' = 5 (х2)' - 3 (х)' = 10х - 3.
ТЕОРЕМА 3. Если каждая из функций (х), и2 (х), ..., ип (х)
имеет в точке х производную и Ах, А2, ...» Ап — данные числа,
то справедливо равенство
(AjU! + А2и2 + ... + АпипУ = А1и1' + А2и2 + ... 4- Алил\
4—Никольский, 11 кл.
*£98
Для п — 1 и п = 2 теорема 3 является следствием теорем 1 и 2,
для любого п она доказывается методом математической индукции.
ПРИМЕР 4.
(2х2 + Зх - 4)' = 2(х2)' 4- 3(х)' - 4' = 2 • 2х 4- 3 - 0 = 4х 4- 3.
Обычно эти вычисления записывают короче: (2х2 4- Зх — 4)' = 4х + 3.
4.15 Сформулируйте теорему о производной:
а)	суммы двух функций;
б)	функции /(х) = Аи(х), где А — данное число.
4.16* Докажите теорему 3.
4.17
Найдите производную функции в любой точке х е R:
а)	у = х2 + х;
г) у = х2 - 15;
ж) у = 5х2 4- Зх;
б)	у = х2 - х;
Д) У = 5х2;
з)	у = Зх2 - Зх 4- 1;
в)	у = х2 4- 14;
е) г/ = -х2;
и) у = ах2 4- Ьх
с.
Найдите производную функции в любой точке х е R, исполь-
зуя задание 4.12 (4.18—4.19):
4.18
а) у = х3 4- х2 4- х;
в)	у = 5х3;
д)	у = 2х3 - Зх2 4- х;
ж) у = -х3 4- 5х2 - 8х 4- 13;
б)
г)
е)
з)
4.19
а)	у = (х 4- З)2;
в) у = (Зх 4- I)2;
Д) У = (х - 2)3;
б)	у = (х - 4)2;
г) у = (х 4- I)3;
е) у — (2х 4- З)3.
4.20
4.21
Вычислите значение производной функции f(x) в точке х0,
если:
а)	/(х) = 4х3 - Зх2 — 2х, х0 = 0;
б)	f (х) = —5х3 4- 7х2 4- х, х0 = 1;
в)	/(х) = -х3 4- 4х 4- 5, х0 =	-1;
г)	f{x) — 4х3 4- х2 — Зх 4- 3,	х0 =	-2.
Определите, при каких значениях х производная функции:
а) у = х2 4- 6х 4- 5;	б)	у =	х3	4- Зх2 -	17;
в) у = ix3 - Зх2 4- 9х — 15;	г)	у =	х3	4- 5х2 -	13х 4- 7
равна нулю; положительна; отрицательна.
4.22* Найдите функцию у — /(х), для которой:
a) f'(x) = 6х;	б) Г(х) = х2 - 1;
в) f'(x) = Зх2 4- 2х — 5;	г) f'(x) = 6х2 - 4х 4- 7.
Производная
4.3*. Непрерывность функции, имеющей производную.
Дифференциал
ТЕОРЕМА. Если функция имеет производную в точке х, то она
непрерывна в этой точке.
Доказательство. Если функция у = f(x) имеет производную
в точке х, то для нее при Дх
л	Ду
О отношение —— стремится к конечно-
му числу f'(x)z
Поэтому
Л(х) (Дх 0).
Ду
Дх
= f (х) + а(Дх),
где а (Дх) стремится к нулю при Дх -* 0.
Но тогда приращение функции Ду можно записать в виде суммы
Ду — Г М Дх + а (Дх) Дх
(1)
двух слагаемых, каждое из которых стремится к нулю при Дх —► 0.
Следовательно, lim Ду = 0, т. е. функция f непрерывна в точке х.
Дх — 0
Теорема доказана.
Обратное утверждение не всегда
верно. Если функция непрерывна в
точке х, то она может не иметь произ-
водной в этой точке. Например, функ-
ция у = | х (рис. 97) непрерывна для
всех х, но в точке х = 0 она не имеет
производной.
В самом деле, в этой точке имеем
.. Ду .	* Л 1.	Ду
lim —— = 1, если Дх > 0, и lim —— =
дх—о Дх	Дх—оДх
УК
« Рис. 97
= -1, если Дх < 0. Это означает, что в точке х = 0 не существует
lim —
Дх —о Дх
при любом стремлении Дх к нулю, т. е. в точке х = 0 функ-
ция не имеет производной.
Первое слагаемое в правой части равенства (1) называют диффе-
ренциалом функции /(х) в точке х, соответствующим приращению
Дх аргумента х. Дифференциал функции f (х) обозначают df или dyz
df = dy = f' (x) Дх.
Так как dx = х' • Дх = Дх, то обычно обозначение приращения
аргумента Дх заменяют на dx (Дх = dx), называемый дифференциа-
лом аргумента, и пишут:
dy = f'(x)dx или df = f'(x)dx.
4*
100
Следовательно, производную функции можно записать как
от-
ношение дифференциалов:
Г (X) =
dy
dx *
Если f* (х)	0, то говорят, что dy и dx имеют один и тот же по-
рядок.
Другое дело — второе слагаемое в правой части равенства (1).
При dx —► 0 оно стремится к нулю быстрее dx, потому что a (dx),
в свою очередь, стремится к нулю при dx —> 0. Поэтому величину
a(dx)dx называют бесконечно малой высшего порядка, чем dx, при
dx = Дх —> 0.
Итак, если функция /(х) имеет в точке х производную, то ее
приращение в этой точке равно сумме дифференциала этой функции
и величины, представляющей собой бесконечно малую высшего по-
рядка, чем dx:
Дг/ — dy + a(dx)dx.
Это дает основание считать, что при малых Дх приращение Дг/
приближенно равно дифференциалу dy.
&у ~ dy, т. е. Д(/ ~ f'(x)dx.
ПРИМЕР. Вычислим приближенно приращение функции у = х2
в точке х = 10, соответствующее приращению аргумента Дх = 0,1.
В любой точке х имеем
Дг/ ~ dr/ = z/' • Дх = (х2)' • Дх = 2хДх.
Тогда в точке х = 10 получим Дг/ ~ 2 • 10 • 0,1 = 2.
4.23е а) Сформулируйте теорему о непрерывности функции, имею-
щей производную в точке х.
б)	Верно ли обратное утверждение?
4.24	Постройте график функции:
а) у = д/х2 + 6х + 9;	б) у = д/4х2 - 4х +1;
в) у — yf-x? + х + 6;	г) у = д/-х2 + 2х + 8.
4.25	Для каждой функции в задании 4.24 ответьте на вопрос:
а)	Является ли данная функция непрерывной в каждой точке
полной области определения?
б)	В каждой ли точке функция имеет производную?
в)	Если нет, то в какой точке производная не существует?
г)	При каких значениях х производная равна нулю; положи-
тельна; отрицательна?
4.26	Найдите дифференциал функции:
а) у = Зх + 5; б) у = х2 + 2х + 4; в) у = х3 — 5х + 11.
101
Производная
Il
4.27	Вычислите приближенно приращение Ду функции
у = х3 — 4х2 + 2х - 10 в точке х, если:
а) х = 1, Дх ~ 0,1;	б) х = 1, Дх = —0,1;
в)	х — 0, Дх = 0,01;	г) х = 0, Дх = —0,01.
4.4. Производная произведения. Производная частного
ТЕОРЕМА 1. Если функции и(х) и и(х) имеют производные
в точке х, то их произведение f (х) = и (х) - v (х) также имеет
в этой точке производную, равную
f' (х) = и' (х) • v (х) + и (х) • v' (х).	(1)
Коротко равенство (1) записывают так:
(uvy = u'v 4- uvr.
Доказательство. В точке х зададим приращение аргумента Дх 0
и вычислим приращения функций Ди и Ди:
Ди = и (х + Дх) — и (х), Ди = и (х + Дх) — и (х),
откуда
и (х 4- Дх) = и (х) 4- Ди, и (х + Дх) = и (х) 4- Ди.
Теперь вычислим приращение функции Д/:
Д/ — и (х 4- Дх) • v (х + Дх) — и (х) • и (х) =
= (и(х) + Ди) • (и(х) 4- Ди) - и(х) • и(х) =
= Ди • и(х) + и(х) • Ди + Ди • Ди.
m	Д/
Тогда —- =
Дх
ДИ / \	\ Д° . Ди А
----и (х) + и (х)--4-----Ди.
Дх	Дх Дх
При Дх
0 имеем
Ди
и'(х), Ди —> 0, так как функ-
ция и(х) в точке х имеет производную, поэтому она в этой точке не-
прерывна (см. п. 4.3). Тогда — -> (и'(х) • u(x) + и(х) • и'(х) + и'(х) • 0),
Дх
следовательно, в точке х f'{x) = u'(x) • u(x) + u(x) • v'(x).
Теорема 1 доказана. S
ПРИМЕР 1.
(x • (x3 - 1))' = x' • (x3 - 1) + x • (x3 - 1)' = 1 ♦ (x3 - 1) + x • Зх2 = 4x3 - 1.
ТЕОРЕМА 2. Если функции u(x) и u(x) имеют производные
и (х)
в точке х и v (х) Ф 0, то их частное f (х) = -  -  • также имеет в этой
v(x)
точке производную, равную
Г (х) =
и' (х) • V (х) - и (х) • V* (х)
(х)
Of-102
Коротко это равенство записывают так:
Доказательство. В точке х зададим приращение аргумента
Дх 0 и вычислим приращение функции Д/:
_ и(х + Дх) и(х) _ w(x) + Ди iz(x) _
у(х + Дх) у(х) у(х) + Ду у(х)
Ди . ч . . Ду
А...	ТТ' v(x)- ZZ(x) • —
(у (х) + Ду) • у(х)
(у(х) + Ду) - у(х)
О, так как функ-
и' (х) • у(х) - и(х) • у'(х)
поэто-
л* 1— ^(х) ~ иМ • т-
m Д/ Дх	Дх
Тогда — =-------------------
Дх (у(х) + Ду) • у(х)
П А	Л	Дп	// V
При Дх —» 0 имеем-----► и (X)
Дх
ция v (х) в точке х имеет производную, следовательно, она в этой точ-
ке непрерывна (см. п. 4.3). Тогда —
му в точке х
у2(х)
и’ (х) • у (х) - и(х) • у' (х)
у2(х)
Теорема 2 доказана, ф
ПРИМЕР 2.
( х—1 'j' _ (x-l)z(x + l)-(x-l)(x4-l)' _ X 4- 1 - (х - 1) _	2
k X +1J	(х + I)2	(х + I)2 (х + I)2
4.28° Сформулируйте теорему о производной произведения двух
функций.
4.29 Из теоремы о производной произведения выведите правило вы-
числения производной функции у = С/(х), где С — константа.
4.30
4.31
В любой точке х е R найдите производную функции (4.30—4.31):
а)	у = (х2 + Зх)(х - 1);	б)	у = (х2 — 8х)(х — 2);
в)	у = (5х2 - Зх + 2)(3х 4- 2);	г)	у = (5х2 4- Зх 4- 2)(3х - 2);
д)	у = (-х2 4- 2)(3х2 4- 2х);	е)	у = (4х2 4- 6х — 1)(х2 — 3).
а) у = х4; б) у = х5; в) у = х6; г) у = х7.
Указание. Представьте данную функцию в виде произведения
двух функций.
Например, (х4)' = (х3 • х)' = (х3)' • х 4- х3 • (х)' = Зх2 • х 4- х3 • 1 = 4х3.
|§103
Производная
4.32	° Сформулируйте теорему о производной частного двух функций
4.33	Найдите производную функции в любой точке х ее области оп
ределения:
4.34	Вычислите значение производной функции /(х) в указанной
точке х0, если:
5	—2 г
a) f(x) =	, х0 = 0; б) /(х) = — —, х0 = 1;
х 4- 1	xz + 2
в) /(х) = ~—|, х0 = -1; г) /(х) = —j, х0 = -2.
х 4- 3	х 4- 4
4.35* Дана функция f (х) = —--. Найдите все значения аргумента,
х + 1
при которых:
а) Л(х) = 0; б) Г(х)>0; в) Г(х) < О.
4.36* Вычислите значение производной функции у = (х + I)10 в точ-
ке х0 = 0.
4.5. Производные элементарных функций
V ВЙ St П М Ж fl fl SAM fl Ж fl	fit ft
D rfl EE| L_K flu IP® < W Я'И fl| flfl <_I м _I 1	r-_ / <1<j Qu Дм ' К * i 11. nr EC_S iZm ^jr 1 ДЖ "1
-ТЕОРЕМА 1. Для любого х е R и любого натурального п & 2
справедлива
(1)
Доказательство. Для п = 2 формула (1) уже доказана (см.
п. 4.1): (х2)' = 2х.
Предположим, что формула (1) верна для натурального п = k:
(xky = kxk-\	(2)
Тогда, применяя формулу для производной произведения двух
функций (см. п. 4.4), имеем (хк + х)' = (хк • х)' = (хк)' • х + хк • (х)' =
= (kxk ~ 2)  х + хк • 1 = kxk + хк = (k 4- 1)х*, откуда на основании прин-
ципа математической индукции заключаем, что формула (1) спра-
ведлива для любого натурального и > 2.
Теорема 1 доказана. S
Й 104
ПРИМЕР 1. (х20)' = 20х19.
ТЕОРЕМА 2. Для любого х е R, кроме х = О, и любого нату-
рального п справедлива формула	_	...
(х~пУ = ~пх~п ~
Доказательство. Воспользуемся формулой производной частного
функций и теоремой 1:
Теорема 2 доказана. О
ПРИМЕР 2. (х“20)' = -20 • х'21.
ТЕОРЕМА 3. Пусть а > 0 и а Ф 1, тогда для любого х е R спра-
ведлива формула
(ахУ = ах In а.
В частности, (ехУ = ех.
Доказательство. В точке х зададим приращение аргумента
Ах Ф 0 и вычислим приращение функции f(x) = ах:
А/ = ах + Дх - ах = ах(аЛх - 1) = ах(е*х '1па - 1) =
€&Х • In а _ I	€а _ 1
= ах ----------Ах • In а = ах ----Ах • In а,
Ах - In а	а
А/ еа — 1
где а = In а * Ах. Тогда — = ах---In а.
Ах	а
Очевидно, что а —* 0 при Ах —> 0 и, как показано в п. 2.4,
- 1
------► 1. Поэтому для любого х имеем
а
(ахУ= lim = ах 1па.
дх —► о Ах
Теорема 3 доказана, •
ПРИМЕР 3. (20х)'= 20х In 20.
ТЕОРЕМА 4. Пусть а > 0 и а Ф 1, тогда для любого х > 0 спра-
ведлива формула
(loga xy = —--.
хша
В частности, (In х)' = —
105
Производная
Доказательство. В точке х > 0 зададим приращение аргумента
Дх Ф 0 (х + Дх > О) и вычислим приращение функции /(х) = logo х:
Д/ = loga (х + Дх) - loga X = log
Пусть t =
Дх
Дх
X
д/
тогда —
Дх
= -i- - In (1 + t)L
xlna
Очевидно, что t —> 0 при Дх —► 0 и ln(l + t)f
Поэтому для любого х > О имеем
1 (см. п. 2.4).
(loge ХУ =
lim
Теорема 4 доказана. •
Формулу (log„ хУ = —-— иногда записывают так:
xlna
(logex)' = ^
ПРИМЕР 4. (1g х)' = (log10 хУ =
1
xln 10
ТЕОРЕМА 5. Для любого х е R справедливы формулы
(sin хУ = cos х,	(3)
(cos хУ = -sin х.	(4)
Доказательство. Докажем формулу (3). В точке х зададим при-
ращение аргумента Дх Ф 0 и вычислим приращение функции
/ (х) = sin х:
X
bf = sin (х + Дх) - sin х = 2 sin-
cos
= 2 sin — cos
2
. Дх
sin—
cos
2
И 106
При Дх —► 0 имеем
sm—
2
1 (см. п. 2.2), и так как cosx —
непрерывная функция, то coslx Ч---
л г
Поэтому (sinx)' = lim — = cosx.
гр
-* cosx. Тогда---------» cosx.
Формула (3) доказана. Формула (4) доказывается аналогично.
Теорема 5 доказана. •
ТЕОРЕМА в. Для любого х — + nk, k е Z, справедлива
ор-
мула
I ” 1
(tgx)' = -----2~.
COS45 X
(5)
Для любого х Ф nk9 keZ, справедлива формула
I!S!*«!S!!SES!SiE»iSSi«t№39!Kl
sin
(6)
(sin х)' ♦ cos х - sin х • (cos х)'
cos2 x
Доказательство. Докажем формулу (5), пользуясь теоремой
о производной частного и формулами (3) и (4):
z. (sin х
(tgx) = --------------
COS X
_ cos2 x - sin x • (- sin x) _	1
COS2 X	COS2 X ’
Формула (5) доказана. Формула (6) доказывается аналогично.
Теорема 6 доказана. О
Таблица производных элементарных функций приведена в при-
ложении 1.
4.37
4.38
4.39
4.40
Запишите формулу для нахождения производной функции:
а) у = хл, п е N; б) у = х"п, п е N.
При каких значениях х справедлива эта формула?
Для любого х е R найдите производную функции (4.38—4.39):
а)	у = х11; б) у = х101;
а) у = 7х4 - 5х3 - х + 25;
в) у = х12 — 5х8 4- 6х4 - 1;
в) у = х1001.
б)	у = -х4 + 8х2 + 2х - 19;
г) у = 12х5 - 20х3 - ЗОх2.
Для любого х Ф 0 найдите производную функции (4.40—4.41):
а) у = х-21; б) у = х-201; в) у = х“2001.
i 107
Производная
2 .
У „25 ’
4.41
4.42
4.43
4.44
4.45
4.46
„	5
В) У = -Т20 •
•А-
Запишите формулу для нахождения производной функции:
a) z/ = ax; б) у = ех; в) z/ = logflx; г) у = 1пх.
При каких значениях х справедлива каждая из формул?
Укажите, при каких значениях х функция f(x) имеет произ-
водную, и найдите эту производную, если (4.43—4.45):
a) f(x)=llx;	б) / (х) = 10х;
в) f (х) = 4х + 8х - 16х;	г) f (х) = 3х + 9х - 27х.
a) /(х)= 4-;	б) f(x)=^‘	в) f(x) = 2 * 4 ;
3х	2х-4х	3х—9х
г) f (х) =----; д) f (х) =--------; е) f (х) =--------;
'	• '	7 OX I QX ’	/ \	/ пх . ЛX ’	/	/ \	/ QX gx >
Igx	Inx	Igx
ж) /(x) = -—;	з) f(x)= ——;	и) /(x)= —-.
Ige	In 10	Ig2
a) /(x) = log2x; 6) f(x) = lgx;
B) f(x) = 41og2x + 31nx — 2Igx;
r) f(x) — 51og3x - 6Inx + 7Igx.
Запишите формулу для нахождения производной функции:
a) z/ = sinx; б) i/ = cosx; в) у = tgx; г) z/ = ctgx.
При каких значениях х справедлива каждая из формул?
4.47* Докажите формулы для нахождения производных функций
у = cosx и у — ctgx.
Укажите, при каких значениях х функция /(х) имеет произ-
водную, и найдите эту производную, если (4.48—4.49):
4.48
в) f(x) = х12 4- 12х;
в) /(х) = Inx - cosx;
Д) /(х) = х12 • 12х;
б) f(x) = х20 — 3 sin х;
г) /(х) = log4x + х-2;
е) /(х) = х25 ♦ 4cosx.
4.49	* а) /(х) = cos 2002xcos 2001х + sin 2001xsin2002x;
б)	f(x) = sin 2002x cos 2001x - sin 2001x cos 2002x;
.	_ tg2002x - tg2001x
“ 1+ tg2002xtg2001x’
4.50	Найдите значения x, при которых производная функции
In х
а) равна нулю; б) положительна; в) отрицательна.
4.51	* Докажите справедливость равенства:
a) (sin2x)' - 2cos2x;	б) (52х)' = 52х • In 25;
в) (cos 2х)'=-2 sin 2х;	г) (In 17х)'= —, х > 0.
108
4.6. Производная сложной функции
ТЕОРЕМА 1. Пусть сложная функция у =f (х) = ф (ф (х)) тако-
ва, что функция у — ф (и) определена на промежутке <7, а функ-
ция и = ф (х) определена на промежутке X и множество всех ее
значений входит в промежуток !7. Пусть функция и =. ф (х) имеет
производную в каждой точке внутри промежутка X, а функция
у = Ф (и) имеет производную в каждой точке внутри промежутка
17. Тогда функция у — f{x) имеет производную в каждой точке
внутри промежутка X, вычисляемую по формуле
Ух = yi ’ <•
(1)
Формулу (1) читают так: производная у по х равна производной
у по и, умноженной на производную и по х.
Формулу (1) записывают еще так:
f (х) = ф' (и) • ф' (х), где и = ф (х).
I Доказательство. В точке х с X зададим приращение аргумента
Дх * 0, (х + Дх) g X. Тогда функция и = ф(х) получит прираще-
ние Ди, а функция у = ф(и) получит приращение Ду. Надо
учесть, что так как функция и = ф (х) в точке х имеет производ-
ную, то она непрерывна в этой точке и Ди —> 0 при Дх —> 0. При
условии, что Ди Ф 0, имеем
Ду _ Ду Ди
Дх Ди Дх ’
(2)
Перейдя в равенстве (2) к пределу при Дх —> 0, получим
Ди
lim —
lim — - lim
— о Ди Дх—оДх
т. е. формулу (1).
Теорема 1 доказана.
Замечание. При доказательстве теоремы 1 предполагалось,
что каждому достаточно малому Дх 0 соответствует Ди Ф 0. Если
случится, что Ди = 0 при некотором Дх, то уже делить и умножать
на Ди нельзя и надо доказывать формулу (1) другим способом. Это
можно сделать, но соответствующее доказательство здесь не приво-
дится. •
ПРИМЕР 1. Для любого х е R найдем производную функции
у = е2х. Полагаем у — еи, и — 2х, поэтому
Ух = (^и)и ' (2х)'х = еи • 2 = 2е2х.
109
Производная
ПРИМЕР 2. Для любого х е R найдем производную функции
у = ех . Полагаем у = еи, и — х2, поэтому
у'х = (е"); • (Х2ух = е“  2х = 2хех\
ПРИМЕР 3. Для любого х g R найдем производную функции
у — sin(£x + Ь). Полагаем у = sin w, и = kx + b, поэтому
у'х = (sin и\и • {kx + b)'x = cos и - k = kcos {kx + b).
£
3»J
ТЕОРЕМА 2.
ормула
Для любого x > 0 и любого а ф 0 справедлива
ИГ Ъ '• MF i ,•» ” 1 7 - Л *** Ж	г -IX.-* *	“IB 'ь »'<- ^SF Д* С? эн л
’••5E22S (ха)'= аха ’ х.
Доказательство. Так как х° = еа ,п х для х > 0 и а 0, то, полагая
ф(и) = е“9 и — ф(х) = alnx, получаем, что у = ха = <р(ф(х)). При-
меняя теорему 1, имеем
ух = {еи )'и • (а 1пх)* = еи • а * ± = ахп •	= аха ~
Теорема 2 доказана. •
ПРИМЕР 4. Найдем производную функции у = ух для любого
0. Применяя теорему 2, имеем
ПРИМЕР 5. Найдем производную функции у —     - для любого
4/д.3
х > 0. Применяя теорему 2, имеем
ПРИМЕР 6. Для каждого х 0 найдем производную функции
У — NX .	2
Если х > 0, то функцию можно записать в виде у — х5, тогда
,	2 --	2	2
Ух~^Х	5^'
5х5
Если х < 0, то функцию можно записать в виде у = ^/(-х)2, а так
2
как -х > 0, то в виде у = (-х) 5. Теперь имеем
ano
5i/5
где и (x) — -x.
2
Итак, у' (x) = —— для каждого х Ф 0.
ПРИМЕР 7. Найдем производную функции у = sin3x2. Полагаем
у = и3, и = sin z, z = х2,
поэтому
у'х = (и3)^ • (sin2)^ • (х2)'х = Зи2 • cos z • 2х =
= 3 sin2 х2 • cos х2 • 2х = 6х sin2 х2 cos х2. Ф
Укажите, при каких значениях х функция f(x) имеет произ-
водную, и найдите эту производную, если (4.52—4.60):
4.52	а) /(х) = лх 4- ех\
в) f (х) =	+ хя;
4.53	а) /(х) = е3х;
г) f(x) = e~2x + 7;
ж) f(x) = 43x-8;
4.54	* a) f(x)=e^-,
г) /(х) = 5~*4;
б) f (х) = хе - хя;
г) f (х) = хе - ех.
б) f(x) = e~4x;
д) /(х) = 25х;
з) jf(x)=5-4x+l;
б) /(х)=('х';
д) f(x) = e8i"x;
в) f(x) = e2x+i;
е) f(x) = 6*3х;
и) f(x) = 2-°-5х'2.
в) f(x) = 3х3;
е) f(x) = 9COS х.
4.55 а) /(х) = log4(12x) - \og2x;
в) flx) = ln(2x);
4.56	* a) f(x) = (cos x)4 - (sin x)4;
в) /(x) = 5 sin lOx cos 8x;
4.57	a) /(x) = sin 2x;
в) f ix) = tg (2x - 3);
4.58	* a) f(x) = sin (x2);
в)	f(x) = tg(x3);
д)	/(x) = (sinx)2;
ж)	f (x) = (tg x)3;
4.59	a) f(x) = In (3x);
в) f (x) = log5(-3x - 1);
4.60	a) f(x) = (2x + I)8;
в) f ix) = (4x - 3)10;
6)
r)
e)
3)
6)
r)
6)
r)
6) f(x) = log4(-x) + log2(-x);
r) f(x) = ln(5x - 10).
6) f(x) = 4 cos 17x cos 13x;
r) f(x) = 6 sin 7x sin 3x.
6) f(x) = cos (3x +1);
r) fix) = ctg(-5x).
f(x) = cos (x4);
fix) = ctg (x5);
f (x) = (cos x)4;
f ix) = (ctg x)5.
f(x) = In (5 - 2x);
f(x) = 1g (2x 4- 4).
f (x) = (-2x - 3)9;
f(x) = (3x 4- 4)25.
4.61	Запишите формулу для вычисления производной функции
у = ха, а — нецелое число. При каких значениях х справедли-
ва эта формула?
Ill
Производная
Укажите, при каких значениях х функция f(x) имеет произ-
водную, и найдите эту производную, если (4.62—4.65):
4.62	а) /Чх) = х0-5;
4
д)	= х3;
б) f(x) = х °’5; в) /(х) = х4’* * 2; г) /(х) = х °’2;
13	ie
е)	f(x)=x3; ж) f(x) = X-3,5; з) f(x)=x3.
4.63	a) f(x)= 4х\	б) f(x) = ?/х;
д) /(х) = -L;	е) f (х) = -Д
'Vx	Vx2
в) /*(x)=Vx^; г) /(х) =
ж) f(%) = х24х‘, з) f(x) =
4.64	* a)	f (х) = Д2	- 3x4-10;	б)
в)	f (х) = д/х2	-Зхч-2;	г)
д)	f (х) — ^х2	- 6x4-9;	е)
ж) f (х) — ^х2 -6x4-5; з)
f (х) = д/Зх2 4- 5х 4- 4;
f (х) = д/4х2 — 5x4-1;
f(x) = ^х2 4- 4х 4- 4;
f (х) = ^х2 4- 4х 4- 3.
4.65	* a) f(x) = 4 sin х cos х;
2tgl000x
в) №) = Ч—;
1 — tg31 ЮООх
б) f(x) = cos2 Зх - sin2 Зх;
г) f (х) = 1Vsin2 7х 4- cos2 7х.
4.66	* Докажите, что если в каждой точке интервала X функция
у = f (х) положительна и имеет производную, то на этом интер-
вале совпадают промежутки знакопостоянства производных
функций у = f (х) и у = y]f(x).
4.67	* Вычислите значение производной функции в указанных точ-
ках Xi и х2:
а)	у = (х — 2)20, хг = 1, х2 = 3;
б)	у = (х 4- 5)21, хх = -6, х2 = -4;
в)	у = (2х - II)100, хг = 5, х2 = 6;
г)	у = (2х - З)1001, Xi = 1, х2 = 2.
4.68	* Для любого х > 0 найдите производную функции:
__________ л-х. cz.\ 1, _ -v-sin х.	», _ ,vcos х
4.69	Докажите, что графики функций /(х) = ех и <р(х) = хе (х > 0)
в точке с абсциссой х = е имеют общую касательную.
4.7*. Производная обратной функции
Пусть функция
у = /(х), X е [а; Ь]9
(1)
является обратной к непрерывной и возрастающей на отрезке [с; d]
функции
X = Ф (у), у G [с; d],
(2)
112
где с = /(a), d = /(&). Как показано в п. 3.2, функция (1) непрерывна
и возрастает на отрезке [а; &].
Если функция (р имеет в точке у интервала (с; d) отличную от
нуля производную, то функция f имеет в точке х = <р(у) интервала
(а; Ь) производную
f (х) =-------
Ф'О/)
Покажем это. Зададим в фиксированной точке х = ф («/) интерва-
ла (а; Ъ) приращение аргумента Дх =# 0: (х + Дх) е [а; Ь], тогда функ-
ция (1) получит приращение Ду. Так как обе функции (1) и (2) не-
прерывны на соответствующих отрезках, то из того, что Дх —> 0,
следует, что Д */ —> 0, а из того, что Ду —► 0, следует, что Дх —► 0. По-
этому, учитывая еще, что <р'(г/) * 0, имеем
f (х) = lim — = lim
Ах —* 0 Дх	Ai/ —» 0
&У
1 1
lim A<P(j/) ~	&>’
Sy -» 0 Ду
что и требовалось показать.
Из изложенного выше следует, что если функция <р имеет отлич-
ную от нуля производную в каждой точке интервала (с; d), то функ-
ция f имеет в каждой точке интервала (а; Ь) производную, вычис-
ляемую по формуле
Г (х) =
ф'О/) ф'(/(*))’
Отметим, что аналогичные утверждения справедливы и для функ-
ций, непрерывных и строго монотонных на любом промежутке J.
ПРИМЕР 1. Найдем производную функции
у = arcsin х, -1 < х < 1.
Функция (3) является обратной к функции
х = sin у, у е
(3)
(4)
Поэтому для каждого х е (-1; 1)
(arcsin х)' = у'(х) =------=---------=-------
х'(у) (sin у)' cosy
Так как < у < —, то cosy>0, и, применив равенство (4)
di	di
имеем cos у = д/1 — sin2 у = V1 — х2. Следовательно,
(arcsin x)' =
(5)
113
Производная
ПРИМЕР 2. Найдем производную функции
у = arccos х, —1 < х < 1.
Для вычисления производной функции у = arccos х можно про-
вести рассуждения, аналогичные рассуждениям, проведенным при
выводе формулы (5). Но можно воспользоваться равенством arcsin х +
+ arccos х = из которого следует, что arccos х = — - arcsin х. Тогда
(arccos х)' =
-— arcsin х
= 0-
2
2
ПРИМЕР 3. Найдем производную функции
у = arctg х, х е R.
Функция (6) является обратной к функции
(6)
(7)
Поэтому для любого X G R
(arctg х)' = у' (х) =------=--------= —=—
*	х'(у) (tgy)' 1
cos2 у
Так как---
то, применив равенство (7), получаем, что
tg2p 00 а Следовательно, (arctg х)' =
ПРИМЕР 4. Найдем производную функции:
а) у = arcsinЗх, хе —
в) у — (arctg х)3, х е R.
Применяя формулы из примеров 1
сложной функции, имеем:
a)	(arcsin Зх)'х = (arcsin Зх)'3х • (Зх)' =
б)	у = arccos х
3 и формулу производной
• (Зх)' =
в)
(arccos х2)^. = (arccos х2)^2 *(х2)' = -
((arctg х))
• 2х =
О/ +	\2 /	4. V з(arctgх)2
= 3 (arctg x)z • (arctg х) =------——
2
j 114
4.70°
4.71
4.72
4.73
По какой формуле находят производную данной функции,
используя производную обратной к ней функции?
Вычислите производную функции у = f(x), используя произ-
водную обратной к ней функции х —
а)	у = Vx, х е (0; +оо)	и	х = г/2, у е (0; +оо);
б)	у = -у/х, х е (0; +оо)	и	х = у2, у е (-оо; 0);
в)	у = In х, х € (0; +оо)
х = еу, у е R.
Найдите производную функции у = arcctg х, х е R.
Найдите производную данной функции:
а)
б) у = arctg х3, х е R;
г)	у = (arcctg Зх)°, х е й;
в)
у = arccos(-2х), хе
и
§ 5. Применение производной
5.1. Максимум и минимум функции
В п. 1.2 было дано определение наибольшего и наименьшего
значения функции у — /(х) на множестве. Наибольшее значение
функции на отрезке [а; &] называют еще максимумом функции на
отрезке [а; &] и обозначают max f (х). Наименьшее значение функции
[«;&]
на отрезке [а; Ь] называют еще минимумом функции на отрезке
[а; 6] и обозначают minf(x).
[а; Ь]
Можно доказать, что если функция у = /(х) непрерывна на от-
резке [а; &], то существуют точки этого отрезка, в которых функция
принимает свое наибольшее и наименьшее значения.
Мы будем считать это важное утверждение очевидным. Напри-
мер, на рисунке 98 изображен график непрерывной на отрезке [2; 6]
функции у = f (х), для которой max /(х) = /(3) = 4, min f (х) = f(2) = 1.
(2; 6]	[2; 6]
Точку отрезка [а; д], в которой функция достигает максимума
на этом отрезке, называют точкой максимума. Значение функции
в этой точке и есть максимум функции на отрезке. Точку отрезка
[а; Ь], в которой функция достигает минимума на этом отрезке, на-
зывают точкой минимума. Значение функции в этой точке и есть
минимум функции на отрезке. В приведенном выше примере х = 3 —
точка максимума, а х = 2 — точка минимума.
Применение производной
Ук
м Рис. 99
Ук
Названия и обозначения максимума и минимума происходят от
латинских слов maximum (наибольшее) и minimum (наименьшее).
На рисунке 99 изображен график непрерывной на отрезке [а; 6]
функции у = f (х). Точка х2 есть точка максимума этой функции на
отрезке [а; Ь]. Кроме точки х2, на рисунке отмечены еще три точки
хь х3, х4. Точка х4 не является точкой максимума на отрезке [а; Ь].
Однако можно указать отрезок [х4 - 8; х4 + 8] (8 > 0), целиком при-
надлежащий отрезку [а; д], настолько маленький, что на нем точка
х4 есть точка максимума этой функции. Такую точку называют точ-
кой локального максимума (от латинского слова lokalis — местный,
свойственный данному месту).
Итак, точку х0 отрезка [а; Ь] называют точкой локального мак-
симума функции у = f(x), если существует отрезок [х0 - 8; х0 + 8]
(8 > 0), целиком принадлежащий отрезку [а; 61, на котором х0 явля-
ется точкой максимума.
Аналогично точку х0 отрезка [а; 6] называют точкой локального
минимума функции у = ?(х), если существует отрезок [х0 — 8; х0 + 8]
(8 > 0), целиком принадлежащий отрезку [а; 6], на котором х0 явля-
ется точкой минимума.
На рисунке 99 хг и х3 — точки локального минимума функции
У = f(x), а х2 и х4 — точки локального максимума функции у = /(х).
При этом х2, кроме того, есть точка максимума этой функции на
всем отрезке [а; Ь].
Точки локального максимума и локального минимума функции
у = f (х) называют точками локального экстремума этой функции.
Подчеркнем, что точки локального экстремума есть внутренние точ-
ки отрезка [а; Ь], т. е. они принадлежат интервалу (а; Ь). Иногда
слово «локальный» в словосочетании «локальный экстремум» опус-
кают, но подразумевают его.
Очевидно, что в точках локального экстремума функции у = f(x),
график которой изображен на рисунке 99, производная этой функ-
ции равна нулю: /'(*1) = 0, f'{x2) = 0, f(x3) = 0, f (x4) = 0 (так как ка-
сательные в этих точках параллельны оси Ох и равны нулю тангенсы
углов их наклона к оси Ох).
116
Однако надо иметь в виду, что об-
ратное утверждение не всегда верно.
Если производная функции у — f (х)
равна нулю в некоторой точке х0, то эта
точка может не быть точкой локально-
го экстремума функции /(х).
Например, производная функции
у = х3 в точке х = О равна нулю, но
функция у = х3 в этой точке не имеет
локального экстремума (рис. 100).
R Дадим формальное доказательство
того факта, что если функция
у -f (х) имеет производную в точ-
ке х0, являющейся точкой ее ло-
кального экстремума, то производ-
ная в этой точке равна нулю.
В самом деле, пусть для определен-
ности функция у = /(х) имеет в точке
х0 локальный максимум. Тогда выпол-
няется неравенство /(х) /(х0) для
всех х, достаточно близких к х0, независимо от того, будет ли х
больше или меньше х0. Следовательно, для точек х, достаточно
близких к х0, выполняются неравенства
/(х) - f(x0) п	п
----------— 0, если х - х0 > 0,
А
(1)
(2)
f(x) - jf(Xo)
х — х0
> 0, если х — х0 < 0.
По условию функция у = f(x) имеет производную в точке х0,
и поэтому существует предел
lim Z(x)~ Z(Xo) = f (х0).
x-x0-o x - x„
Из неравенств (1) следует, что Г(х0) С 0, а из неравенств (2) сле-
дует, что /'(х0)	0. Но это возможно, лишь если f'(x0) = 0. w
Пусть надо найти наибольшее и наименьшее значения функции
У = f(x), непрерывной на отрезке [а; Ь] и имеющей производную на
интервале (а; Ь). Для этого надо найти производную /'(х), прирав-
нять ее к нулю и найти все корни хх, х2, ...» хп уравнения /'(х0) = 0,
принадлежащие интервалу (а; Ь) (мы считаем, что число корней ко-
нечное). Далее надо вычислить значения функции
/(a), /(Xi), /(х2), ..., f(xn)t f(b).	(3)
Наибольшее из чисел (3) есть максимум функции у = /(х) на от-
резке [а; д], а соответствующее ему значение х — точка максимума
на отрезке [а; Ь], наименьшее из чисел (3) есть минимум функции
117
Применение производной
у — f(x) на отрезке [а; Ь], а соответствующее ему значение х — точка
минимума на отрезке [а; Ь].
Объясним, почему так можно отыскивать наибольшее и наи-
меньшее значения, на примере отыскания максимума. Так как по
условию функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; 6], то сущест-
вует точка х0 е [а; &], в которой функция достигает максимума на
отрезке [а; Ь]. Возможны два случая: 1) х0 является одним из кон-
цов отрезка [а; Ь], т. е. х0 = а или х0 = Ь; 2) х0 — внутренняя точка
отрезка [а; Ь], т. е. х0 g (а; &). Во втором случае, как показано выше,
производная функции в точке х0 равна нулю.
ПРИМЕР 1. Вычислим максимум и минимум функции
/(х) = х3 - Зх2 на отрезке [-1; 4].
1)	Найдем производную /'(х):
f'(x) = (х3 - Зх2)' = Зх2 - 6х = Зх(х — 2).
2)	Приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:
Зх(х - 2) = О.
Точки Xj = 0 и х2 = 2 есть точки, в которых /'(х) = 0. Точки х1 и
х2 — критические точки функции, так как обе они принадлежат ин-
тервалу (—1; 4).
3)	Вычислим значения функции в точках —1, 0, 2, 4:
/(-1) = -4, /(0) = 0, f (2) = -4, /(4) = 16.
(4)
4)	Найдем наибольшее и наименьшее из чисел (4):
max /(х) = /(4) = 16, min f(x) = f (— 1) = /(2) = -4.
[-1: 41	[-1; 4]
Таким образом, функция f(x) на отрезке [-1; 4] достигает мак-
симума {у = 16) в точке х = 4, минимума (у = —4) в двух точках:
х = —1 и х = 2.
ПРИМЕР 2. Найдем максимум и минимум функции
/(х) = |х — 2| на отрезке [0; 6].
График этой функции на отрезке [0; 6] изображен на рисун-
ке 101. Как видно из графика,
max f (х) = /(6) = 4,
[0;6]
min /(х) = /(2) = 0.
[0; 6]
Чтобы найти максимум и мини-
мум функции f(x) на отрезке [0; 6]
без опоры на график, надо разбить от-
резок [0; 6] на два отрезка [0; 2]
и [2; 6], во внутренних точках этих
отрезков производная функции не об-
ращается в нуль (а в точке 2 она не

 Рис. 101
118
существует). Следовательно, для отыскания максимума и минимума
на каждом из отрезков [О; 2] и [2; 6] надо сравнить значения функ-
ции на концах этих отрезков, а для отыскания максимума и мини-
мума на всем отрезке [О; 6] надо сравнить значения функции в точ-
ках О, 2, 6.
Итак, для нахождения максимума и минимума функции у = f(x)
на отрезке [а; Ь] надо знать значения функции в точках интервала
(а; Ь), в которых у нее нет производной.
Внутренние точки отрезка, в которых производная функции
f(x) равна нулю или не существует, называют критическими точка-
ми функции f(x) на этом отрезке.
Из изложенного выше следует, что при отыскании максимума
и минимума функции на отрезке надо найти критические точки, ле-
жащие внутри этого отрезка, и сравнить значения функции на кон-
цах отрезка и в критических точках.
Аналогично определяются максимум и минимум функции на
интервале или полуинтервале. Однако здесь имеется существенная
разница. Максимум или минимум функции на интервале или по-
луинтервале может не достигаться. Например, если считать, что на
рисунке 98 изображен график непрерывной функции у = /(х), но за-
данной на полуинтервале (2; 6], то она достигает на этом полуинтер-
вале своего максимума 4 в точке 3, но не достигает минимума ни
в одной точке этого полуинтервала, так как точка 2 исключена из
рассмотрения. В любой точке х19 близкой к точке 2, минимум не
достигается, так как есть другие значения х2 с (2; 6], для которых
f(x2) < f(xr).
ПРИМЕР 3. Найдем максимум и минимум функции
/(х) = |х — 2| на интервале (О; 6).
Минимум функции f(x) на интервале (0; 6) достигается в точке
*
min f (х) = f (2) = 0.
(0; 6)
Максимум функции f (х) на интервале (0; 6) не существует, так
как в точке х = 6 функция /(х) не определена, и поэтому для точек
х, лежащих на оси Ох левее точки 6, но сколь угодно близких к ней,
среди всех значений f(x) не существует наибольшего.
5.1° а) Что называют максимумом функции у = /(х) на отрезке
[а; &], как его обозначают?
б)	Что называют минимумом функции y = f(x) на отрезке
[а; Ь], как его обозначают?
в)	Верно ли, что если функция у = /(х) непрерывна на отрезке
[а; Ь], то существуют точки этого отрезка, в которых функция
принимает свое наибольшее и наименьшее значения?
^119
Применение производной
г)	Какую точку отрезка [а; Ь] называют точкой максимума
функции у = f(x); точкой минимума функции у = Как на-
зывают значения функции в этих точках?
д)	Какую точку отрезка [а; д] называют точкой локального
максимума; локального минимума функции у = /(х)? Как на-
зывают значения функции в этих точках?
е)	Что называют точками локального экстремума функции
У = /(*)?
ж) Верно ли, что если производная функции у = f (х) равна
нулю в некоторой точке х0, то эта точка может не быть точкой
локального экстремума функции у = /(х)? Приведите пример,
з) Какие точки отрезка [а; Ь] называют критическими точками
функции? Как найти эти точки?
и) Объясните порядок отыскания максимума и минимума
функции на отрезке.
к)* Объясните порядок отыскания максимума и минимума
функции на интервале; полуинтервале.
5.2	Функция у = f(x) определена на отрезке [—4; 4], ее график изо-
бражен на рисунке 102, а, б. Найдите критические точки функ-
ции на отрезке [-4; 4]. В каких из них производная функции
равна нулю; в каких не существует?
а рис. 102
5.3	В задании 5.2 укажите:
а)	точки максимума и минимума;
б)	точки локального экстремума;
в)	максимум и минимум;
г)	локальные экстремумы.
5.4	* Выполните задание 5.3, если функция определена:
а) на интервале (—4; 4);
б)	на полуинтервале [—4; 4);
в)	на полуинтервале (-4; 4].
,120
5.5*
Укажите наибольшее и наименьшее значения функции у = f (х)
на отрезке [—2; 2], если:
-х, если х < — 1	(-х + 2, если х < —1
у = < х + 2, если —1 х < 1
б)
< —Зх, если —1 С х < 1
-Зх + 6, если х > 1;
х — 4, если х > 1;
V.	'
а)
г) У = Iх ~ 11 — 12х + 1|.
Найдите критические точки
промежутке, если (5.6—5.9):
5.6 а) у = 2х3 - Зх2, [-3; 3];
В) у = Зх4 + Xs + 7, [-3; 2];
5.7	а) у =	[-1; 1];
в) у = 4-Ух - х, (0; 5];
5.8	а) у = ех - х, [-3; 2];
в) у = sin 2х - х, [-л, л];
5.9	* а) у = ех2 - ех2, [—е; е];
В) у =	(0; л];
функции у = f(x) на указанном
б) у = 5х3 - 15х, [-2; 2];
г) у = х4 - 4х2, [-4; 4].
б) у =	[-2; 2];
г) у = 2-х/х - х, (0; 2].
б) у = 6х - хе, [-2; 2];
г) у = cos 2х + х, [—л, л].
б) у = ех2 " 2х, [—л, л];
г) У = т——, (-1; к].
1 + X
Найдите максимум и минимум функции у = f (х) на указанном
5.10
5.11
5.12
отрезке, если (5.10—5.11):
а) у = х3 - Зх2, [-1; 3];
в) у = 2х3 - 6х2 + 9, [-2; 2];
а) у = 2х3 - х2 [-1; 1];
в) у = 2х3 + 6х2 + 8, [-3; 2];
б) у = х3 + Зх, [-1; 2];
г) у = х3 - Зх, [-2; 3].
б) у = 2х3 + х, [-1; 1];
г) у = х3 + 6х, [—2; 1].
Найдите критические точки функции:
л/з	*	Г~
a)	i/ = cosx + —х; б) у = 2sinx + V2x.
5.13 Определите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) у = х + 1п(-х) на отрезке [—4; —0,5];
б)	у = х + е~х на отрезке [-In 4; In 2].
Можно считать, что In 2 « 0,7.
5.14	* Найдите максимум и минимум функции у —-----2х2 на:
4
а) отрезке [-2; 2];	б) интервале (-2; 2);
в) полуинтервале (—2; 2];	г) полуинтервале [—2; 2).
5.15	* Найдите максимум и минимум функции у = у| х | на:
а) отрезке [-1; 1];	б) интервале (—1; 1);
в)	полуинтервале [-1; 1); г) полуинтервале (-1; 1].
121
Применение производной
5.16	При каком значении а наибольшее значение функции
у — |х - а| на отрезке [—2; 3]:
а) равно 4,5; б) равно 3,5; в) достигается в двух точках?
5.17	Последовательность задана формулой общего члена:
а) хп = п2 - 30,5п + 205; б) хп — п2 - 40,5п + 305.
Найдите наименьший член последовательности.
5.2. Уравнение касательной
ТЕОРЕМА. Пусть функция y-f(х) непрерывна на интервале
(а; Ь) и имеет в точке Xq g (а; b) производную. Тогда график этой
функции имеет в точке (х0; f (х0)) касательную, уравнение кото-
рой у - г/0 = к (х - х0), где у о = /(х0), к = f (х0). ’ '
Доказательство. Геометрический смысл производной заключа-
ется в том, что значение производной функции у — f (x) в точке х0
есть тангенс угла наклона касательной /, проведенной к графику
функции f в точке с абсциссой х0, т. е. k = tga = f'(x0) — угловой
коэффициент прямой I (рис. 103).
Поэтому уравнение касательной
имеет вид
у = kx + b,	(1)
где b — некоторое число, которое надо
определить.
Если (х0; Уо) — точка касания, то
выполняется равенство
Уо = kx0 + 6,	(2)
выражающее, что точка (х0; у0) при-
надлежит прямой I.
Найдя b из равенства (2) и подста-
вив его в уравнение (1), получим урав-
нение прямой с угловым коэффициен-
том k, проходящей через точку с координатами (х0; yQ):
У -	= k(x - Хо),
где k = tga = Л(х0), Уо = /(х0).
Теорема доказана.
ПРИМЕР 1. Напишем уравнение касательной к графику функ-
ции f (х) = х2, проходящей через точку графика с абсциссой х0 = -2.
Функция f (х) = х2 имеет производную f(x) = 2х. Отсюда
Уо = Л*о) = (*о)2 = (~2)2 = 4>
k = f(x0) = 2х0 = 2  (-2) = -4.
и 122
Согласно теореме уравнение касательной имеет вид у - 4 =
= -4(х + 2), т. е. у = -4х - 4.
Касательная к графику функции /(х) = х2 в точке графика с абс-
циссой -2 изображена на рисунке 104.
ПРИМЕР 2. Напишем уравнение касательной к графику функ-
ции /(х) = -х2 + 6х - 7, параллельной прямой у = 4х + 5.
Вычислим угловой коэффициент k = f (х0) касательной к графи-
ку этой функции в точке с абсциссой х0.
Так как f'(x) — (—х2 + 6х — 7)' = — 2х + 6, то k = f'(x0) = ~2х0 + 6.
По условию касательная должна быть параллельна прямой
г/ = 4х + 5, следовательно, ее угловой коэффициент должен быть ра-
вен 4, т. е. -2х0 + 6 = 4, откуда х0 = 1.
Вычислим значение функции у = f(x) в точке х0 = 1:
Уо = 7(х0) = f (1) = -I2 + 6 • 1 - 7 = -2,
тогда согласно теореме уравнение касательной имеет вид
у + 2 = 4 (х — 1), т. е. у = 4х - 6.
а Рис. 104
^123
Применение производной
ПРИМЕР 3. Напишем уравнение касательной к графику функ-
ции f(x) = х2, проходящей через точку М (-1; -3).
Так как /(-1) = (—I)2 = 1 — 3, то точка Л/ не принадлежит
графику функции /(х) = х2.
Пусть х0 — абсцисса точки касания, тогда yQ = f(x0) ~хо»
и так как /'(х) = (х2)' = 2х, то k = /'(х0) = 2х0.
Поэтому уравнение касательной имеет вид у — Xq = 2х0(х — х0),
т. е. вид
У = 2XqX — Xq .
(3)
Точка М(-1; -3) принадлежит касательной, заданной уравне-
нием (3), поэтому, чтобы найти х0, подставим координаты точки М
в уравнение (3). Получим верное равенство
-3 = 2х0(-1)-^.	(4)
Решив уравнение х2 + 2х - 3 = 0, получим, что условию (4)
удовлетворяют числа х0 = 1 и х0 = -3. Это означает, что существуют
две касательные к графику функции /(х) = х2, проходящие через
точку М(-1; -3):
у = 2х - 1 и у = -6х - 9.
Эти прямые касаются графика функции /(х) = х2 в точках
А (1; 1) и В(-3; 9) (рис. 105). 0
5.18 Какими свойствами должна обладать функция у — /(х), задан-
ная на интервале (а; Ь), чтобы в точке с абсциссой х0 е (а; Ь)
ее график имел касательную? Каково уравнение этой каса-
тельной?
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
Напишите уравнение касательной к графику функции у = f (х)
в точке с абсциссой х0, если (5.19—5.30):
/(х) = х2.
а) х0 = 0; б) х0 = 1;
f (х) = х2 + 2х — 3.
а) х0 = 0; б) х0 = 1;
f (х) = х3 — Зх2 + х — 1.
в) х0 = 2; г) х0 = -1.
a) Xq = 0;
/(х) = sinx.
а) х0 = 0;
f (х) = cosx.
a) Xq - 0;
г) х0 = -2
г) Xq — -2
г) Xq = П.
г) х0 = -л
б) Xq = 1;
б) х0=Ь
б) xQ =
124
5.24
5.25
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30
f(x) = tgx.
f(x) = ctg x.
a) xo= ts
/(x) = Inx.
f{x) = log2 X.
f(x) = 2
f(x) = e
f(x) =
6)
6)
x0 = 4; 6) /(x)—
г) xQ = e.
r) x0 — 8.
г) Xq = 3.
r) x0 = 2.
4
4
B) f(x) = sin — + In (2 - x), Xq = 1;
r) f (x) = cos лх - e1 ~ *, х0 = 1.
5.31
В каких точках касательная к графику функции у = f(x) па-
раллельна оси Ох, если:
a)	f(x) = х2 + 4х — 12;	б) /(х) = Зх2 — 12х 4- 11;
в) /(х) = х3 - 12х2 + 36х - 1; г) /(х) = 2х3 + 6х2 - 7?
5.32	* Углом пересечения графика функции у — f(x) и прямой I назы-
вают угол между прямой I и касательной к графику функции,
проведенной в точке пересечения. Под каким углом пересекает
ось Ох график функции у = f(x) в каждой из точек пересече-
ния, если:
а) у = х2 + х - 2;	б) у = 5х2 + 4х - 9;
в) у = 2х3 - 12х2 + х - 6; г) у = х3 + бх2 + 5х?
5.33	* Под каким углом пересекает ось Оу график функции в преды-
дущем задании?
5.34	Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)
в точке с абсциссой х0 = е, если:
а) f(x) = xe; б) f(x) = ex.
5.35	Напишите уравнение общей касательной к графикам функций
fix) = х2 — 2х + 1 и ф(х) = —х2 + 4х — 8. Найдите два способа
решения задачи.
125
Применение производной
5.36	а) При каком значении а прямая у = 7х + а является каса-
тельной к графику функции у = хл + Зх?
б)	При каком значении а прямая у = —10х + а является каса-
тельной к графику функции у = х6 — 4х?
5.3. Приближенные вычисления
Пусть функция f (х) имеет производную в точке х0 и требуется
найти приближенно значение этой функции в близкой к точке х0
точке х = х0 + Дх.
Так как функция f (х) имеет производную в точке х0, то справед-
ливо равенство
Л(х0)= lim
Дх —>0
При Дх, близких к нулю, справедливо приближенное равенство
f (хп) = /(х°+ Дх)~ Л*п),	(1)
которое выполняется тем точнее, чем ближе значение Дх к нулю.
Из приближенного равенства (1) получаем приближенное ра-
венство
f(x0 + Дх) ~ / (х0) + Л(хо)	(2)
Приведем примеры использования равенства (2) для прибли-
женных вычислений.
ПРИМЕР 1. Вычислим приближенно значение функции
f(x) = х10 в точке х = 1,01.
Имеем х= 1 + 0,01. Примем х0 = 1, Дх = 0,01. Тогда так как
fix) = 10х9, то /(х0) = /(1) = I10 = 1, /'(Хо) = /'(1) = 10 • I9 = 10.
Используя равенство (2), имеем
/(1,01) = /(1 + 0,01) ~ /(1) + Г(1) • 0,01 = 1 + 10 • 0,01 = 1,1.
ПРИМЕР 2. Вычислим приближенно д/3,96.
Рассмотрим функцию /(х) = 4х для х > 0. Примем х0 = 4, Дх =
- 1 -- 1
= -0,04. Тогда так как f'(x) = (х2)' = - х 2 = ——, то
2	о./V
/(х0) = f(4) = V4 = 2,
Г(х0) = /'(4) =
1
241
Используя равенство (2), имеем
/(4 - 0,04) « /(4) + /'(4)  (-0,04) = 2 + + (-0,04) = 1,99.
Итак, ^/3,96 ~ 1,99.
126
ПРИМЕР 3. Вычислим приближенно tg46°.
71 К
Рассмотрим функцию /(х) = tgx. Так как 46°= — + —— (ради-
4	180
Тогда так как f (х) = (tgx)' =
ан), то положим х0 = —
4
—» то
COSZ X
f(x0)= f - = tg - = 1
4 /	4
—— = 2.
2 я
cosz —
4
4
Используя равенство (2), имеем
л
180
1,035.
Итак, tg46° ~ 1,035. ф
5.37 Напишите формулу для приближенного вычисления значения
функции f(x) в точке х0 + Дх.
5.38 Вычислите приближенно /(х0 + Дх), если:
a) f(x) = х2, х0 = 5, Дх = 0,01;
б)	f (x) = х3, х0 = 3, Дх = -0,01;
в)	/(х) = Jx, х0 = 16, Дх = 0,02;
г)	f(x) = Inx, х0 = в, Лх = 0,01;
д)	f(x) = 2х, х0 =2, Дх = -0,02.
5.	39 Вычислите приближенно:
а)	5,012;	б)	7,982;	в) 2,993;
д)	735,98;	е)	7124;	ж) 7215;
и)	1,О120;	к)	0,9820;	л) 2,О110;
г) <24,1;
з) 1пЗ;
м) 1,9910.
5.40
Покажите, как из формулы (2) следует формула для при-
ближенного вычисления квадратного корня из числа, близко-
Вычислите приближенно с помощью этой формулы:
а) ^01; б) 71,02; в) 70,99; г) 70,98.
5.41 Покажите, как из формулы (2) следует формула для прибли-
женного вычисления n-й степени числа, близкого к 1:
(1 + Дх)" « 1 + тгДх.
127
Применение производном
в) (1,003/°;
,____x 20
Вычислите приближенно с помощью этой формулы:
а) (1,ОО1)100; б) (О,998)100
71000V°	71000 У °.
Д) 1001	*	998 ) ’
(0,9997/°
7 io ooo A35
I 9997 )
5.42* Вычислите приближенно:
6) sin 2°;
e) cos 61°;
a) sinl°;
д) cos 91°;
5.43* a) tg47°;
в) sin 31°;
ж) cos 59°;
в) ctg 46°;
г)
з)
Г)
sin 29°;
cos 89°.
ctg 88°.
5.4*
Теоремы о среднем
Ниже доказаны теоремы, имеющие большое значение в матема-
тическом анализе, — теорема Ролля и теорема Лагранжа. Их назы-
вают теоремами о среднем.
ы ТЕОРЕМ А 1 (Ролля). Пусть функция f (х) непрерывна _на от-
резке [а; Ь], имеет производную на интервале (а; 6) и принима-
ет равные значения на концах отрезка [а; Ь], т. е. f (Ь) == f (а). То*
гда на интервале (а; 6) найдется хотя бы одна такая точка с,
в которой производная этой
С1ФЯЯ5МГ4Й	ЯМ*К Я*ЯЯ *0k КЯЧК JbBSISM В* VG ЯИЭЯЯЯ W* Ml Л* WkJWJW Л
ункции равна нулю: f (с) — 0
На рисунках 106 и 107 изображены графики функций, удовле-
творяющих условию теоремы Ролля. У первой функции имеется
только одна точка с интервала (а; д), в которой ее производная равна
нулю (Г (с) = 0), у второй функции имеются две такие точки и с2
(Г(С1) = /'(е2) = 0).
Доказательство. Пусть хг и х2 — точки, в которых функция f
достигает на отрезке [а; д] соответственно минимума и максимума.
2 Рис. 106
Рис. 107
128
Если f(xi) < f(a), то тогда f(Xi) < fib), так как f(a) = f(b). Это
означает, что точка хх принадлежит интервалу (а; Ь) и в ней функ-
ция f достигает локального минимума. Но тогда, как мы знаем,
= 0 и можно считать, что с = хх.
Если /(х2) > f(a), то тогда /(х2) > f(b), так как /(а) = f(b). Это
означает, что точка х2 принадлежит интервалу (а; Ь) и в ней функ-
ция f достигает локального максимума. Но тогда, как мы знаем,
f'(x2) = 0 и можно считать, что с = х2.
Остается еще один случай, когда f(xx) = jf(x2). Но тогда так как
/(а) = /(d), то для всех х из отрезка [а; Ь] значения функции /(х)
равны одной и той же константе А = f(a). В этом случае в качестве с
можно взять любую точку интервала (а; Ь) — в ней Г(с} = 0.
Теорема 1 доказана.
ТЕОРЕМА 2. (Лагранжа). Пусть функция f (х) непрерывна на
отрезке [а; Ь], имеет производную на интервале (а; 6). Тогда на
интервале (а; Ъ) найдется хотя бы одна такая точка с, в которой
производная этой функции удовлетворяет равенству -	- -
f (Ь) — f (а)
. ч	жйj*	—Сг_1 = f1 (с\
I. Л	<	\ /
и .ч	• V " 1 - i 2 Л Г7 «Л	Й-Л < < Ш ТЙ Ж8& И ^8
или, что то же самое, равенству
(1)
4 X 9t 4

t (Ь) “ f (<0 — f (с) (Ъ — а) (а<с < Ь).
 £ис. 108
Теорема Лагранжа имеет следую-
щий геометрический смысл (рис. 108).
Левая часть равенства (1) есть тан-
генс угла наклона к оси Ох хорды,
стягивающей точки (a; f(a)) и (b; f(b))
графика функции у = f (х), а правая
есть тангенс угла наклона касатель-
ной к графику в некоторой точке с
абсциссой с, принадлежащей интер-
валу (а; Ь). Теорема Лагранжа утвер-
ждает, что если кривая есть график
функции, непрерывной на отрезке
[а; Ь] и имеющей производную на
интервале (а; Ь\ то на этой кривой существует точка, имеющая абс-
циссу с (а < с < b)f такая, что касательная к кривой в этой точке па-
раллельна хорде, стягивающей концы кривой (а; /(а)) и (b; f (д)).
Доказательство. Рассмотрим функцию
F(x) = (f(b) - f(a))x -(b- a)f(x).
Она непрерывна на отрезке [а; &] и имеет производную на интер-
вале (а; &), равную
F'(x) = (f(b) - f(a)) -(b- a)f'(x).
129
IГрименешю производной
Кроме того, Fib) — -fla)b + af(b), Fla) = fib) a — bfla), и, следо-
вательно, F (a) = Fib). Но тогда по теореме Ролля на интервале (a; b)
существует точка с, для которой F' (с) = О, т. е.
(/(&) - fla)) - (b - a) f (с) = О (а < с < Ь),
откуда следует равенство (2).
ПРИМЕР. Функция f(x)=y/x непрерывна на отрезке [0; 1]
и имеет производную по крайней мере на интервале (0; 1). К ней
применима теорема Лагранжа. Это означает, что существует точка
с е (0; 1), такая, что
р (с) = ft.* 1) ~ /’(°> = 71 - То = 1.	(3)
1-0
Так как (х) =
то----= 1, откуда следует, что с = —. Зна-
24с	4
чит, в точке с = — справедливо равенство (3).
5.44	° Сформулируйте теорему Ролля.
5.45	Не вычисляя производной, объясните, почему внутри указан-
ного отрезка функция /(х) имеет точку, в которой производ-
ная этой функции равна нулю, если:
а) f(x) = -х3 + Зх, [-1; 2]; б) /(х) = х3 + Зх2, [-3; 0].
5.46	Сформулируйте теорему Лагранжа.
5.47	Дана функция /(х). Внутри отрезка [а; Ь] найдите точку с, для
fib)-fla)
которой справедливо равенство f (с) = —-----, если:
Ъ — а
а) f (х) = х3, а = -1, b = 2;	б) fix) = х3, а = —2, b = 1;
в) fix) = ?х, а = 0, b — 27;	г) fix) = у/х, а = -27, b = 0.
5.48 Через две точки А и В графика функции у = х2, имеющие соот-
ветственно абсциссы а и Ь, проведена секущая АВ, Существует
ли точка С графика функции с абсциссой с е. (а; Ь), через кото-
рую можно провести касательную к графику этой функции,
параллельную секущей АВ*!
5.5. Возрастание и убывание функции
Пусть функция fix) непрерывна на промежутке I и имеет
внутри промежутка производную Г1х), Тогда:	: и
1) если /'(х) > 0 внутри промежутка I, то функция f возраста-
ет на промежутке I;
2) если f (х) < 0 внутри промежутка I, то функция f убывает
на промежутке 7.
В самом деле, f'(x) = tga, где a — угол между касательной
к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х и положительным
направлением оси Ох, Но если f'(x) > 0 внутри промежутка Z, то
всюду внутри него угол а острый, что может быть, только если
функция возрастает на промежутке I (рис. 109, а).
 Рис. 109
Подчеркнем, что при этом на концах промежутка I производная
может быть равна нулю или не существовать.
Если же f’ (х) < 0 внутри промежутка I, то всюду внутри него
угол а тупой, что может быть, только если функция убывает на про-
межутке I (рис. 109, б).
Приведенные здесь рассуждения не являются доказательством
утверждений 1 и 2, они лишь дают представление о связи знака про-
изводной функции внутри промежутка I и поведения самой функ-
ции (возрастания, убывания) на промежутке I.
>• "•
Утверждения 1 и 2 являются следствиями следующей теоремы:
ТЕОРЕМА. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке I
и имеет производную Г(х) в каждой точке внутри промежут-
ка I, Тогда:
а)	если f (х) > 0 для каждого х внутри
функция f(x) возрастает на промежутке Г;
б)	если f (х) < 0 для каждого х внутри
функция f(x) убывает на промежутке /;
в)	если f' (х) = 0 для каждого х внутри
промежутка
промежутка
промежутка
то
то
то
функция f(x) постоянная (константа) на промежутке I.

Доказательство. Пусть Xj и х2 — любые точки промежутка I,
такие, что хх < х2. Рассмотрим отрезок [х^ х2]. Так как [хх; х2] с I,
то функция f(x) непрерывна на отрезке [xt; х2] и внутри его имеет
производную. Применяя теорему Лагранжа, получаем, что на интер-
вале (хх; х2) найдется такая точка с, что
/(х2) - /(хг) = f'(c)(x2 - хх).
(1)
131
Применение производной
а)	Если f'(x) > О для всех х внутри промежутка I, то f'(c) > О,
и тогда из равенства (1) следует, что
f (Х2) > /(%!).	(2)
Так как хх и х2 — любые точки промежутка /, то неравенст-
во (2) означает, что функция f возрастает на промежутке I.
б)	Если Г(х) < 0 для всех х внутри промежутка I, то Г (с} < О,
и тогда из равенства (1) следует, что
f(x2) <	(3)
Так как хг и х2 — любые точки промежутка I, то неравенст-
во (3) означает, что функция f убывает на промежутке I.
в)	Если же /'(х) — 0 Для всех х промежутка I, то f’(c) = О, и то-
гда из равенства (1) следует, что
f(x2) = f (Xj).
(4)
Так как xz и х2 — любые точки промежутка /, то равенство (4)
означает, что функция /(х) = С для всех х промежутка /, где
С = /(хг). •
ПРИМЕР 1. Найдем промежутки возрастания функции
f(x) = х3.
(5)
Функция (5) непрерывна и имеет производную для всех х е R.
Так как f'(x) = (х3)' = Зх2, то /(х) = О при х = 0 и f’(x) > 0 при х Ф 0.
По утверждению 1 функция (5) возрастает на каждом из проме-
жутков (-оо; 0] и [0; +оо). Но тогда функция (5) возрастает и на всем
интервале (—оо; +оо).
В самом деле, пусть Хх < х2, тогда если х2 с (-оо; 0] или
Xj g [0; +оо), то уже доказано, что /(Xj) < f (х2). Остается случай
Xi < 0 < х2. В этом случае из возрастания функции на промежутках
(-оо; 0] и [0; +оо) следует, что /(х^ < /(0) и f(0) < f(x2), но тогда
/(хх) < /(х2). Таким образом, функция (5) является возрастающей на
всем интервале (-оо; +оо).
ПРИМЕР 2. Найдем промежутки возрастания (убывания) функции
f (х) = 1п(х2 - 3).
(6)
Функция (6) определена при х2 - 3 > 0, т. е. на объединении ин-
тервалов (—оо; —у/3) и (V3; +оо). На каждом из этих интервалов функ-
ция (6) имеет производную. Так как
Г (х) =
2х
(х — л/3)(х + л/3)
то ни в одной из точек этих интервалов производная функции (6) не
обращается в нуль.
132
Так как f'(x)>0 для любых х > у/З и f'(x)<0 для любых
х < --Уз, то по утверждениям 1 и 2 функция (6) возрастает на проме-
жутке (л/З; +оо) и убывает на промежутке (-оо; — 7з). Она не опреде-
лена на отрезке [-V3; VS].
Утверждения 1 и 2 позволяют определять, является ли критиче-
ская точка, в которой производная равна нулю, точкой локального
максимума или точкой локального минимума.
Пусть функция fix) имеет производную внутри промежутка I
и критическая точка х0 лежит внутри I, тогда:
а)	если в точке х0 производная меняет знак с «+» на », то
х0 — точка локального максимума;
б)	если в точке х0 производная меняет знак с «-» на «+», то
х0 — точка локального минимума.
Рассмотрим случай «а». Действительно, так как производная
слева от точки х0 (в левой ее полуокрестности, т. е. в интервале
(х0 - 5; х0), где 3 > 0) положительна, то функция возрастает на про-
межутке (х0 - 3; х0]. Так как производная справа от точки х0 (в пра-
вой ее полуокрестности, т. е. в интервале (х0; х0 + 8), где 8 > 0) отри-
цательна, то функция убывает на промежутке [х0; х0 + 3). Значит,
в точке х0 она принимает наибольшее значение среди всех значений
в ее окрестности, т. е. точка х0 — точка локального максимума.
Если обозначить возрастание функции знаком Z, а убыва-
ние — знаком \, то схематически проведенное рассуждение можно
изобразить так, как на рисунке 110.
Рассуждая аналогично, получим, что в случае «б» точка х0 —
точка локального минимума (рис. 111).
ГМ
fix)
—I—
^0
max
Г(х) ~
f(x)	xQ	X
min
 Рис, ’ИО
ПРИМЕР 3, Найдем промежутки возрастания (убывания) и точ-
ки локального экстремума функции
fix) = х3 - 6х2 + 9х — 1.
Функция fix) имеет производную для всех х е Й. Так как
f'ix) = (х3 - 6х2 + 9х - 1)' = Зх2 - 12х + 9 = 3(х - 1)(х - 3), то:
f'ix) = 0 при х = 1 и при х = 3;
f'ix) > 0 при х е (-оо; 1) и при х е (3; +оо);
f'ix) < 0 при х g (1; 3).
133
Применение производной
По утверждениям 1 и 2 функция
f(x) возрастает на каждом из проме-
жутков (-оо; 1] и [3; +оо), убывает на
промежутке [1; 3] (рис. 112).
Следовательно, в точке х = 1
f'(x) +
------------1---------н—
f(x) ^1^3
max min
Я Рис. 112
функция f(x) имеет локальный максимум, а в точке х = 3 — локаль-
ный минимум.
5.49 Функция f(x) непрерывна на промежутке I и имеет внутри
промежутка производную f'{x). Объясните, как по знаку про-
изводной можно заключить, возрастает или убывает она на
промежутке I.
5.50
Докажите, что функция f(x)
возрастает на указанном проме-
жутке, если:
а)	/(х) — Зх + 4, х g R\
в) f(x) = х2, х е [0; +оо);
Д)
ж)
f(X) = sin х, х g
f (х) — 2х, х g JR;
б)	f (х) = kx + I, k > 0, х g R;
г) f (х) = -х2, х е (-оо; 0];
е) f(x) = cosx, х е [я; 2л];
з) f(x) = log2x, х е (0; +оо).
5.51
Докажите, что функция /(х) убывает на указанном промежут-
ке, если:
а)	/(х) = -Зх + 8, х g R;
в) /(х) = -х2, х с [0; +оо);
Д) /(х) = sinx, х <=
ж) f (х) = (0,5)х, х е R;
б)	/(х) = kx + Z, k < 0, х g jR;
г) ft*) — х2, х g (-оо; 0];
е) /(х) = cosx, х g [0; л];
з) / (х) = log0>5 х, х g (0; +оо).
5.52 Докажите, что функция:
а)	/(х) = 2х + cosx; б) f(x) = х + sinx
возрастает на промежутке R.
5.53	Докажите, что функция:
a) f(х) = -2х + cosx;	б) /(х) = —х + sinx
убывает на промежутке R.
5.54	Докажите, что функция /(х) = — убывает на каждом из проме-
жутков (—со; 0) и (0; +оо).
5.55	Докажите, что функция /(х) = х3 - 6х2 + 9х — 1 возрастает на
каждом из промежутков (—оо; 1] и [3; +оо).
134
5.56	а) Докажите, что функция у = In (4 - 2х) убывает на полной
области определения.
б)	Докажите, что функция у = In (2х — 6) возрастает на полной
области определения.
5.57 Найдите критические точки, промежутки возрастания и убы-
вания функции:
а) у = 2х3 - Зх2 - 12х + 6; б) у = х3 — 6х2 + 9х + 3;
в)	t/ = 5x2-lnx;	г) z/ = lnx-2x2.
5.58 Для функции /(х) найдите промежутки непрерывности, про-
межутки возрастания (убывания), если:
х - 2,5	х - 5
a) /(*) = ——б) f(x) = ----------------2’
xz - 4	9 - xz
в) /(х) = 2х2 - Inx; г) f(x) = Inx - 4,5х2.
5.59* Докажите, что функция
f(x) = ix3 - х2 - 8х + 1
на отрезке
[-1; 3] имеет единственный нуль. Сколько нулей на промежут-
ке (-оо; ч-оо) имеет функция f(x)? Определите точки локально-
го экстремума функции f(x).
5.60* Определите точки локального экстремума функции:
a) f(x) =	б) f(x) =
Достигает ли функция f(x) в точках локального экстремума
своего наибольшего (наименьшего) значения?
5.61* Докажите, что функция /(х) = х4 + 4х3 + 28 принимает поло-
жительные значения для каждого х е R.
5.6. Производные высших порядков
Пусть функция /(х) имеет производную f'(x) в каждой точке
интервала I. Тогда f'(x) есть функция, также определенная на ин-
тервале I. Если функция f'(x) имеет производную в каждой точке
интервала /, то ее называют второй производной функции f(x) и
обозначают так: f"(x)> Тогда f"(x) также есть функция, определен-
ная на интервале /. Аналогично определяются производные высших
порядков f(n)(x) (n g N, п> 3) функции /(х).
Отметим, что f'(x) — производную функции /(х) — называют
иногда первой производной функции f(x).
ПРИМЕР 1. Найдем вторую производную функции
f(x) = х4 + х
Применение производной
Так как функция f(x) определена и имеет производную в каж-
дой точке интервала (-оо; +оо), то функция
/'(х) = (х4 + х3 + х2 + х + 1)' = 4х3 + Зх2 + 2х + 1
также определена в каждой точке интервала (-оо; +оо). Она имеет
в каждой точке этого интервала производную
/"(х) = (4х3 + Зх° + 2х + 1)' = 12х2 + 6х + 2.
ПРИМЕР 2. Найдем четвертую производную функции
= sinx.
В каждой точке интервала (-оо; +оо) имеем
f'(x) = (sinx)' = cosx, f”(x) = (cosx)' = -sinx,
f”' (x) = (-sin x)' = -cos x, /(4) (x) = (-cos x)' = sin x.
Отметим, что в механике движение называют равномерным,
если его скорость постоянна, и движение называют равноускорен-
ным, если его ускорение постоянно.
Пусть точка движется по прямой по закону
s = /(О-
Первая производная функции (1) есть скорость точки:
s' = f(O.
(1)
Вторая же производная функции (1) есть скорость изменения
скорости, т. е. ускорение точки:
s"=/"(0.
Таким образом, если точка движется по закону (1), то механиче-
ский смысл второй производной заключается в том, что вторая про-
изводная определяет ускорение этой точки.
Если точка движется по прямой по линейному закону
s = at + Ь
где а и Ъ — данные числа и а 0, то это движение равномерное, по-
тому что его скорость s' = а постоянна.
Если точка движется по прямой по квадратичному закону
s = at2 + bt + с
где а, Ъ и с — данные числа и а * о, то это движение равноускорен-
ное, так как его скорость s' = 2at + b зависит от времени, а ускоре-
ние s"= 2а постоянно.
Подчеркнем, что если точка движется по прямой по закону
$ = f (0> то s' и s" есть функции времени. Только в случае если точка
движется по прямой по линейному закону, s' есть постоянная, т. е.
136
движение равномерное, и только если точка движется по прямой
по квадратичному закону, s" есть постоянная, не равная нулю,
т. е. движение равноускоренное.
5.62 а) Что называют второй производной функции /(х)? Как ее
обозначают?
б) Как находят производные высших порядков?
5.63°
5.64
а)	Какое движение в механике называют равномерным; рав-
ноускоренным?
б)	В чем заключается механический смысл второй производной?
at2
в)	Точка движется по прямой по закону s (t) =--1- vot + s0.
2
Какой механический смысл имеют числа а, и0, з0?
Точка движется по прямой по закону s (£)• Выразите скорость и
точки и ее ускорение а как функцию времени t. Определите и
и а в момент времени t, если:
a)	s(£) = St2 - 10£ +1, t — О, t = 2, t = 4;
б)	s(t) = 2t2 — 8t + 1, t = 0, t = 1, t = 5;
в)	s(f) = t3 — 2t2 + t + 1, t = 0, t = 2, t = 3.
Определите в каждом случае момент времени, когда скорость
точки равна нулю.
5.65	* Пусть при прямолинейном движении тела его координата х
(в метрах) меняется по закону:
а) х(0 = 5t + sin3£ - 2cos—; б) x(t) = 3t — cos2z + 3sin —,
где t — время (в секундах), t 0. Найдите начальную скорость
и начальное ускорение тела.
5.66	Найдите f"(x), если:
a) f(x) = |х3 - х2;
в) f (х) = 5х3 - 4х2 + 7х — 13;
б) /(х) = |х3 + |х2;
О
г) f (х) = -13х5 + 4х3 — х.
5.67	* Найдите производные порядков 1, 2, 3 функции
/(х) = апхп + ап_ тхп~ 1 + ... + агх + а0, где п > 2.
Запишите полученный результат для и = 2, п = 3, п = 4.
5.68	Найдите производную порядка 200 функции:
a) f(x) = sinx; б) f(x) = cosx; в) /(х) = ех.
5.69	* Найдите производные порядков п и (п — 1) функции
/(х) = апхп + ап_ гхп 1 + ... + агх + а0, где п > 2.
Применение производной
5.70	* Найдите производную порядка п функции:
а) f (х) = (х + 2)п;	б) /(х) = е* * * * * * * * * х;
в) /(х) = 3х;	г) / (х) = (х - 2)".
Докажите полученные формулы с помощью метода математи-
ческой индукции.
5.71	* Найдите производную порядка п функции
/(х) = (х + а)т, где т е N, т> п.
Выпуклость графика функции
Рассмотрим функцию у = f (х),
имеющую на интервале (а; Ь) вторую
производную f"(x).
Вторая производная функции
/(х) есть первая производная функ-
ции f'(x), поэтому:
1) если f"(x) > 0 на интервале
(а; &), то первая производная f'(x) на
этом интервале возрастает;
2) если f"(x) < 0 на интервале
(a; fe), то первая производная Г(х) на
этом интервале убывает.
На рисунках 113—115 изобра-
жены графики функций, соответст-
вующие случаю 1.
Объясним это. Для каждого из
этих трех графиков при возрастании
х от а до b тангенс угла между каса-
тельной к графику функции и осью
Ох возрастает. На рисунке 113 угол а
острый для всех значений х из интер-
вала (а; д); с возрастанием х угол а
увеличивается и его тангенс (положи-
тельный) увеличивается. На рисун-
ке 114 угол а тупой; с возрастанием х
угол а увеличивается и его тангенс
(отрицательный) увеличивается. На-
конец, на рисунке 115 тангенс снача-
ла растет, принимая отрицательные
значения на интервале (а; с), обраща-
ется в нуль в точке х = с, а затем рас-
тет, принимая положительные значе-
ния на интервале (с; Ь),
Так как в любой точке х € (а; Ь)
имеем tga = f'(x), то рост тангенса
£ Рис. 115
138
угла а означает, что на интервале (а; Ь) функция у = f'(x) возрастает.
Возрастание же первой производной, т. е. возрастание tg а, вызвано тем,
что вторая производная функции / положительна на интервале (а; Ь).
Во всех трех рассмотренных случаях график расположен выше
касательной, проведенной в любой его точке.
График функции называют выпуклым вниз на интервале (а; Ь),
если он расположен выше касательной, проведенной в любой его
точке интервала (а; &). На рисунках 113—115 изображены графики
функций, выпуклые вниз.
 Рис* 116
 Рис. ИВ
График функции называют вы-
пуклым вверх на интервале (а; д),
если он расположен ниже касатель-
ной, проведенной в любой его точке
интервала (а; Ь). На рисунках 116—
118 изображены примеры графиков
функций, выпуклых вверх.
Справедливо утверждение 1, вы-
ражающее геометрический смысл
второй производной: если функция
f (х) на интервале (а; Ь) имеет поло-
жительную вторую производную
то на этом интервале график
функции у = f (х) имеет выпуклость
функция f(x) на ин-
вниз; если же
тервале (а; Ь) имеет отрицательную
вторую производную f”(x), то на
этом интервале график функции
у — f (х) имеет выпуклость вверх.
В случае 1 это утверждение уже
разъяснено, а в случае 2 его разъяс-
нение следует из рассмотрения гра-
фиков на рисунках 116—118.
Справедливо утверждение 2.
Пусть функция /(х) имеет в окрест-
ности точки х0 непрерывную вторую
производную f”(x). Если f (хо) = О,
f"(xQ)<0, то фУНК11ия f(x) имеет в
точке х0 локальный максимум. Если
же ff (х0) = О, /" (х0) > О, то функция
f (х) имеет в точке х0 локальный ми-
нимум.
Справедливость утверждения 2
следует из доказанной ниже теоремы,
если учесть, что из того, что вторая
производная отрицательна в точке
х0, в силу предположения о ее непре-
рывности следует, что она отрица-
139
Применение производной
тельна в некоторой окрестности этой точки. Из того что вторая про-
изводная положительна в точке х0, в силу ее непрерывности также
следует, что она положительна в некоторой окрестности этой точки.
ТЕОРЕМА. Пусть
функция f (х) имеет вторую производную
f" (х) на интервале (х0 - 8; х0 + 8) (8 > О) и пусть первая производная
этой функции в точке х0 равна нулю: f (х0) = О. Тогда:
а)	если f" (х) > О на интервале (х0 - 8; х0 + 8), то функция f (х)
в точке х0 имеет локальный минимум;
б)	если /"(х)<0 на интервале (х0 - 8; х0 + 8), то функция /(х)
в точке х0 имеет локальный максимум.
Доказательство.
а)	Пусть f"(x) > 0 на интервале (х0 - 8; х0 + 8) и f'(x0) = 0. Так
как вторая производная есть первая производная от первой произ-
водной: f"(x) = (/'(*)У> то на основании теоремы (п. 5.5) функция
Г(х) на интервале (х0 - 8; х0 + 8) возрастает, но f'(x0) = 0, поэтому
f (х) < 0 на интервале (х0 - 8; х0) и f'(x) > 0 на интервале (х0; х0 + 8),
т. е. первая производная при переходе через точку х0 меняет знак
с «-» на «+». Но это означает, что функция f в точке х0 имеет ло-
кальный минимум.
б)	Подобным образом доказывается теорема и в случае f"{x) < 0,
приводящем к локальному максимуму в точке х0.
Говорят, что точка х0 есть точка перегиба кривой — графика
функции у = /(х), если существует достаточно малое 8 > 0, такое, что
для всех х е (х0 - 8; х0) кривая находится по одну сторону касатель-
ной к кривой в точке с абсциссой х0, а для всех х е (х0; х0 + 8) — по
другую. Иными словами, если при переходе х через х0 точка кривой
переходит с одной стороны касательной на другую.
Если функция f (х) в каждой точке окрестности точки х0 (вклю-
чая и точку х0) имеет вторую производную fix'), а в точке х0 вторая
производная меняет знак с «+» на «—» или с «—» на «+», то точка х0
является точкой перегиба ее графика.
Чтобы найти точки перегиба графика функции у - f(x) на ин-
тервале (а; Ь), надо найти вторую производную f"(x) и решить урав-
нение
Г(х) = 0.	(1)
Те корни уравнения (1), которые принадлежат интервалу (а; Ь)
и в которых вторая производная меняет знак с «+» на «—» или с «—»
на «+», и являются точками перегиба графика функции у — f(x).
ПРИМЕР. Найдем промежутки выпуклости вверх (вниз) и точ-
ки перегиба графика функции
/(х)=|х3-х2.	(2)
<5
^140
 Рис. 119
Функция (2) определена для всех х е R.
Вычислим вторую производную функ-
ции (2). Так как f'(x) =
то f"(x) = (х2 - 2х)' = 2х - 2 = 2 (х - 1).
Очевидно, что вторая производная
функции (2) обращается в нуль в единст-
венной точке х = 1, отрицательна на ин-
тервале (—оо; 1), положительна на интер-
вале (1; +оо). Следовательно, точка х = 1 —
точка перегиба графика функции (2).
На интервале (—оо; 1) график функ-
ции (2) имеет выпуклость вверх, а на ин-
тервале (1; +оо) — выпуклость вниз.
На рисунке 119 изображены график функции (2) в окрестности
точки х = 1 и касательная, проведенная к графику в точке с абсцис-
сой х = 1.
5.72	* В каком случае график функции у = f(x) на интервале (а; Ь)
называют: а) выпуклым вниз; б) выпуклым вверх?
5.73	Объясните, как по знаку второй производной функции у = /(х)
на интервале (а; Ь) определить выпуклость вверх (вниз) графи-
ка этой функции на интервале (а; Ь).
5.74	’ Объясните, как по знаку второй производной функции у = f (х)
в точке х0, в которой f'(xo) — O, определить вид локального
экстремума этой функции в точке х0.
5.75	е Какую точку называют точкой перегиба кривой — графика
функции у = f (х)? Как найти точку перегиба графика функ-
ции у = f(x)?
5.76
Определите промежутки выпуклости вверх (вниз), точки пере-
гиба (если они есть) графика функции у — /(х), если:
a) f (х) = х3 + Зх2;	б) /(х) = х3 — Зх2 + 5х - 4;
в) f (х) = —2х3 + Зх2;	г) f (х) = —4х3 — 6х2 + 7х;
Д) /Чх) = 5*;
ж) /(х) = log2x;
к) /(x) = cosx;
е) f(х) = (0,5Г;
з) f(x) = log0 7 х;
л) f(x) = tgx;
и) /(x) = sinx;
м) f(x) — ctgx.
5.77
Верно ли, что если в некоторой точке вторая производная
функции у = f (х) равна нулю, то эта точка является точкой пе-
региба графика функции у = f(x)?
141
Применение производной
5.78	Определите промежутки выпуклости вверх (вниз) графика
функции у = f (х), если:
a) f(x) = |х2 — 11; б) f(x) = |sinx|; в) f(x) = |tgx|.
Есть ли у графика этой функции точки перегиба?
5.8*. Экстремум функции
с единственной критической точкой
Пусть на промежутке I с концами а и b определена функция
/(х). Требуется найти ее локальные экстремумы на промежутке I.
Промежуток I может быть отрезком, интервалом или полуинтерва-
лом. При этом подразумевается, что а либо действительное число,
либо -оо; Ь либо действительное число, либо +оо.
Мы знаем, что внутреннюю точку х0 промежутка I, т. е. точку,
принадлежащую интервалу (а; Ь), называют критической точкой
функции f(x), если производная /'(х) в этой точке равна нулю или
не существует. С другой стороны, если в точке х0 е (а; Ь) функция
достигает экстремума, то производная в этой точке равна нулю или
не существует, т. е. точка х0 критическая.
Пусть функция /’(х) непрерывна на промежутке I вместе со сво-
ей производной /'(х). Рассмотрим случай, когда внутри промежут-
ка I нет критических точек. Тогда производная f'(x) на интервале
(а; Ь) должна иметь один и тот же знак, так как если бы в двух раз-
ных точках хг и х2 интервала (а; Ь) производная f'(x) имела бы раз-
ные знаки, то вследствие ее непрерывности между точками х} и х2
нашлась бы точка с, в которой f(c) = О (см. п. 2.5), что невозможно,
так как на интервале (а; Ь) нет критических точек.
Но если производная на всем интервале сохраняет один и тот же
знак, то функция f (х) возрастает на промежутке I, если f'(x) > О,
или убывает на промежутке I, если Г(х) < О, т. е. функция f (х)
строго монотонна на промежутке I.
Пусть теперь на промежутке I с концами а и b функция f (х) не-
прерывна вместе со своей производной f'(x) и на интервале (а; Ь)
имеется единственная ее критическая точка х0. В этом случае про-
межуток I делится на два промежутка — один с концами а и х0,
другой с концами х0 и b (рис. 120).
Внутри этих промежутков критических точек нет, поэтому
к ним применимы только что приведенные рассуждения.
Поскольку точка х0 — критическая, то в ней производная равна
нулю. Это возможно только в четырех случаях, они изображены на
рисунках 121—124.
На рисунке 121 изображен гра- ______________________
фик функции f (х), имеющий единст- J	Т	I х
венную критическую точку х0 на	0
промежутке с концами а и & и в этой  Рис. 120
142
 Рис. 123
Рис. 122
точке достигается минимум на промежутке с концами а и Ь. При
этом /'(х) < 0 слева от точки х0, т. е. на интервале (а; х0), и f’(x) > О
справа от точки х0, т. е. на интервале (х0; Ь).
На рисунке 122 изображен график функции /(х), которая в точ-
ке х0 достигает максимума на всем промежутке с концами а и Ь, при
этом f'(x) > 0 слева от точки х0 и /'(х) < 0 справа от нее.
На рисунках 123 и 124 изображены графики функций, у кото-
рых в точке х0 нет ни максимума, ни минимума.
Приведенные выше рассуждения говорят о справедливости сле-
дующего утверждения 1:
Пусть на промежутке I с концами а и b функция f (х) непрерыв-
на вместе со своей производной f' (х) и х0 — единственная точка на
интервале (а; Ь), в которой /' (х) = О. Тогда если на интервале (а; Ь)
найдутся точки хг и х2, такие, что х1 < х0 < х2 и:
а)	Г(хг)>0, f'(x2)<0, то в точке х0 функция /(х) достигает
своего максимума на промежутке I;
б)	f (хх) < О, f (х2) >0, то в точке х$ функция f (х) достигает
своего минимума на промежутке I.
Подчеркнем, что этот экстремум единственный.
143
Применение производной
ПРИМЕР 1. Найдем максимум
функции /(х) = х + -i — на интерва-
ле (-со; 0).
Функция f определена для всех
Дх) -1 о
шах
& Рис. 125
х из этого интервала. Найдем первую производную функции
L (х - 1)(х + 1)
2
2
На интервале (-оо; 0) функция f имеет единственную критиче-
скую точку х = -1, в которой производная f'(x) обращается в нуль.
В этой точке производная f'(x) меняет знак с «4-» на «—» (рис. 125),
следовательно, в точке х = -1 функция имеет максимум на интерва-
ле (-оо; 0).
Таким образом, max f(x) = /(-1) = -2.
(-оо; 0)
Справедливо утверждение 2:
Пусть на промежутке I с концами а и b функция f (х) непрерыв-
на вместе со своими первой и второй производными и х0 — единст-
венная точка на интервале (а; Ь), в которой f (х) = 0. Тогда:
а)	если f" (х0) > 0, то точка х0 есть точка минимума функции
f (х) на промежутке Г;
б)	если /" (хо) < 0, то точка х0 есть точка максимума функции
f (х) на промежутке 1.
Доказательство утверждения 2 основано на утверждении 2 из
п. 5.7, из которого следует, что при данных условиях в точке х0
функция f(x) имеет локальный минимум в случае «а» и локальный
максимум в случае «б». Но так как х0 — единственная критическая
точка на промежутке I, то в точке х0 функция /*(х) имеет минимум
в случае «а» и максимум в случае «б» на всем промежутке I.
ПРИМЕР 2. Найдем минимум функции /(х) = 4х2 4- — на интер-
30
вале (0; +оо).
Функция f (х) определена для всех х > 0. Вычислим первую про-
изводную функции /(х):
1	8х3 - 1
Г(х)=8х-4=^4-^.
X xz
На интервале (0; +оо) функция f имеет единственную критиче-
1
скую точку х = —, в которой производная f'(X) обращается в нуль.
Вычислим вторую производную функции f:
Г"(Х) = 8 +
Очевидно, что на интервале (О; +оо) вторая производная поло-
жительна, т. е. f"(x) > О, следовательно, х = i
точка минимума.
Таким образом, min f(x) — f — 1 = 3.
(О; +оо)	\ у
Выше были рассмотрены случаи, когда в критической точке
внутри промежутка производная равна нулю.
Если же в критической точке производная не существует, то
аналогичными рассуждениями можно доказать, что справедливо
утверждение 3:
Пусть на промежутке I с концами а и Ь функция f (х) непрерыв-
на, а ее производная f'(x) существует, непрерывна и отлична от
нуля во всех точках интервала (а; &), кроме точки х0, в которой про-
изводная не существует. Тогда если на интервале (а; 5) найдутся
точки хл и х2, такие, что xt < х0 < х2 и:
a)	Г(*1)>0, f'(x2)<0, то в точке х0 функция f(x) достигает
своего максимума на промежутке Z;
б)	f' (Xj) < О, f' (х2) >0, то в точке xQ функция f (х) достигает
своего минимума на промежутке I.
Подчеркнем, что этот экстремум единственный.
5.79	° Если на промежутке I с концами а и b функция /(х) непрерыв-
на вместе со своей производной fr(x) и х0 — единственная ее
критическая точка на интервале (а; Ь), то как определить, дос-
тигает ли функция в этой критической точке максимума (ми-
нимума) на этом промежутке?
5.80	Если на промежутке I с концами а и Ъ функция f (х) непрерыв-
на, а ее производная f’(x) существует, непрерывна и отлична
от нуля во всех точках интервала (а; Ъ), кроме точки х0, в ко-
торой производная не существует, то как определить, достига-
ет ли функция в этой критической точке максимума (миниму-
ма) на этом промежутке?
5.81	Как с помощью второй производной определить, является ли
данная критическая точка точкой максимума (минимума) на
промежутке?
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /(х) на
указанном промежутке (5.82—5.85), если:
5.82	a) f(x)=x + ^ (0;+оо); б) /(х) = х +	(-оо; 0);
А
в)	f (х) = 8х2 - -J-, (-оо; 0); г) f(x) = 8х2 +	(0; +оо).
4х	4х
W 145
Применение производной
а)
/(«) =
f(*) =
f (x) = — x + sinx, [л; 2л];
л Зя
f(x) =
COSX
5.84
f(x) =
[0; +oo);
fM =
f(x) =
[0; +oo);
f(x) =
2 — x + 4
5.86
5.87
5.88
Для каждого значения а найдите наименьшее значение функ-
ции f(x) — х - а на отрезке [-1; 1].
Для каждого значения а найдите наибольшее значение функ-
ции f(x) = |х — а| на отрезке [—1; 1].
а)	Для каждого значения b найдите наименьшее значение
функции /(х) = (х — Ь)2 на отрезке [-1; 1].
б)	Для каждого значения b найдите наибольшее значение

функции /(х) = (х - Ь)2 на отрезке [—1; 1].
5.89	* Для каждого положительного значения b найдите наибольшее
х + Ъ
значение функции /(х) = —на отрезке [1; 2].
7х2+1
5.90	* Для каждого отрицательного значения b найдите наименьшее
6 — X
значение функции f (х) =-----на отрезке [1; 2].
7х2+1
5.9. Задачи на максимум и минимум
ЗАДАЧА 1. Из чисел отрезка —; 2 найдем такое, для которо-
2
го разность утроенного числа и его куба наименьшая.
Пусть х — любое число из отрезка
2 . Составим разность
утроенного числа х и его куба: Зх - х3. Требуется найти такое число
3 о~|	Л д
х0 е —; 2 , для которого выражение Зх - х достигает наименыпе-
го значения.	г о
Рассмотрим функцию f (х) = Зх - х3 на отрезке ——; 2 . Так как
/'(х) = (Зх — х3)' = —3(х — 1)(х + 1), то f'(x) = 0 в двух точках — 1 и 1,
принадлежащих интервалу —; 2 . Функция f (х) на отрезке —; 2
имеет две критические точки: х = —1, х = 1.
146
Сравним числа: f
( Q	Q
“ =-£;/(-1) = 3 • (-1) -
- (-1)3 = -2; /(1) = 3 • 1 - Is = 2; f(2) = 3 • 2 - 23 = -2.
ке
Функция /*(х) достигает своего наименьшего значения на отрез-
3	1
——; 2 в двух точках х = —1 и х = 2 (см. п. 5.1).
Следовательно, на отрезке
—; 2 имеется два числа —1 и 2,
2
для каждого из которых разность утроенного числа и его куба наи-
меньшая .
Ответ. —1 и 2.
 Рис. 126
ЗАДАЧА 2. Дан квадратный лист
жести со стороной а см. В его углах вы-
резают одинаковые квадраты (рис. 126)
и, загибая края по пунктирным линиям,
делают коробку. Выясним, при каких
размерах квадратов объем коробки будет
наибольшим, и найдем этот объем.
Длину стороны каждого из вырезае-
мых квадратов обозначим через х см.
Тогда объем коробки равен
V — х{а - 2х)2 (см3).
Рассмотрим функцию
Тг(х) = х (а - 2х)2, О
Найдем точки локального экстремума функции V(х) на интерва-
Гл а>1 тл
ле 0; — . Имеем
V 2J
V'(x) = (а — 2х)2 - 4х(а - 2х) = (а - 2х)(а - 6х).
Приравняв V’(x) к нулю, получим два корня уравнения: xY = —
и х2 = —. Из них только х2 принадлежит интервалу 0; — .
6	\	2 .
V(x)
Очевидно, что при переходе через точку х2 = — производная
6
.	—	функции У(х) меняет знак с «+» на
«—» (рис. 127), следовательно, в точ-
ке х2 функция достигает локального
максимума на интервале 0; — .
\	2 /
6
max
 Рис. 127
2
147
Применение производной
Критическая точка — на интервале 0; — единственная, следо-
6	\	2)
вательно, по утверждению 1 из п. 5.8 она является точкой максиму-
ма на всем интервале 0; — .
'	'	« а
надо вырезать квадраты со стороной — см.
2 «э . О.
— а6 (см3).
27
Итак
Объем
Ответ.
коробки равен V
CL	2 о о
— см, —а*5 см .
6	27
см.
а -
 ЗАДАЧА 3. Из всех прямоугольных параллелепипедов заданно-
де го объема V, в основании которых квадрат, выберем параллеле-
г пипед, имеющий наименьшую полную поверхность.
Пусть длина стороны основания прямоугольного параллеле-
пипеда, в основании которого квадрат, равна х (х > 0). Тогда вы-
V
сота такого параллелепипеда равна —, а полная поверхность равна
xz
4V
х е (0; +оо). Найдем точ-
х2
4V
Рассмотрим функцию S (х) = 2х2 -I--
ки локального экстремума функции S (х) на интервале (0; +оо). Имеем
4V
£'(х) = 4х --Ц
2
Приравняв S'(x) к нулю, получим единственный корень уравне-
3/—
ния: х0 = v V, т. е. интервалу (0; +оо) принадлежит единственная
3/77
критическая точка х0 = v V.
Вычислим вторую производную S" (х) = 4х -
8V m
—7. Так
V есть точка
2
как S"(x0) > 0 для всех х из интервала (0; +оо), то х0 = ?
локального минимума, она единственная на интервале (0; +оо), сле-
довательно, по утверждению 2 из п. 5.8 в ней функция £(х) достига-
ет минимума на всем интервале (0; +оо).
Это означает, что прямоугольный параллелепипед заданного
объема V, в основании которого квадрат, имеет наименьшую полную
поверхность, если сторона его основания равна л/v. Так как высота
3/77
прямоугольного параллелепипеда в этом случае равна v и, то указан-
з/—
ным свойством обладает куб с ребром y/V.
Ответ. Указанным свойством обладает куб с ребром уУ. G
5.91	Найдите два положительных числа, сумма которых равна 1,
а произведение наибольшее.
5.92	а) Число 54 представлено в виде суммы трех положительных
слагаемых. Первое в два раза больше второго. Какими должны
быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим?
б) Число 48 представлено в виде суммы трех положитель-
ных слагаемых. Два слагаемых равны между собой. Какими
должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наи-
большим?
5.93	Парабола задана уравнением у = 3 — х2. В нее вписан прямо-
угольник наибольшей площади так, чтобы одна его сторона
лежала на оси Ох, а две вершины — на параболе (рис. 128).
Определите стороны этого прямоугольника.
5.94	а) Среди всех прямоугольных треугольников с данной гипоте-
нузой с найдите тот, площадь которого наибольшая.
б)	Докажите, что прямоугольник с данной диагональю d име-
ет наибольшую площадь, если он квадрат.
5.95	Из круглого бревна диаметра d надо вырезать балку прямоуголь-
ного сечения с основанием а и высотой h (рис. 129). При каких
значениях а и h площадь сечения балки будет наибольшей?
5.96	Из круглого бревна диаметра d надо вырезать балку прямо-
угольного сечения с основанием а и высотой Л (см. рис. 129).
При каких значениях anh прочность балки будет наибольшей,
если известно, что прочность балки пропорциональна ah2?
5.97	Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании ко-
торого лежит квадрат, равна Зл/З, а высота принимает значе-
ния, принадлежащие отрезку [1,5; 3,5]. Найдите параллелепи-
пед, имеющий наибольший объем.
5.98	* Корабль К стоит в 9 км от ближайшей точки В прямолиней-
ного берега (рис. 130). С корабля нужно послать курьера в ла-
герь L, находящийся на берегу и расположенный в 15 км (счи-
 Рис. 128
9 Рис, 129
149
Применение производной
 Рис. 130
 Рис. 131
тая по берегу) от точки В. В каком пункте Р берега курьер
должен пристать, чтобы попасть в лагерь за кратчайшее вре-
мя, если он идет пешком со скоростью 5 км/ч, а на веслах —
4 км/ч?
5.99	На изготовление открытого бака заданного объема V в форме
прямоугольного параллелепипеда, в основании которого
квадрат, хотят затратить наименьшее количество металла.
Какова должна быть ширина и высота бака? Решите задачу
в общем виде. Получите ответ в случае, если:
a) V = 4; б) У=32.
5.100	В некотором царстве, в некотором государстве подорожала
жесть, идущая на изготовление консервных банок. Эконом-
ный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать
свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом V
с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите
диаметр основания и высоту такой банки.
5.101	* Статуя высотой а м возвышается на постаменте высотой b м
(рис. 131). На каком расстоянии от основания статуи должен
встать наблюдатель, рост которого до уровня глаз см, с < Ь,
чтобы видеть статую под наибольшим углом? Шириной по-
стамента пренебречь. Решите задачу в общем виде, получите
ответ в случае, если:
а) а = 3, Ъ — 2,5, с = 1,5; б) а = 6, Ъ = 3,7, с = 1,7.
5.10*. Асимптоты. Дробно-л и ней на я функция
• * * * * ‘ * — '  * * * 1 ' •      г.  	I Г— I . Г .-411 . Ill —I , | —
Нам уже встречались функции, точки графика которых при
удалении в бесконечность неограниченно приближаются к некото-
рой прямой. Такие прямые называют асимптотами графика функ-
ции (от греческого слова «асимптотос» — несовпадающий). На-
. 1
пример, при х —► +оо и при х —оо точки графика функции у = —
> ISO
 Рис. 132
неограниченно приближаются к пря-
мой у — 0, а при х —* 0 — к прямой
х = 0, т. е. прямые у = О и х = О явля-
ются асимптотами графика функции
У = (рис. 132).
Далее приводятся определения на-
клонной, горизонтальной и вертикаль-
ной асимптот.
Пусть дана функция у = /(х),
имеющая график — кривую Г, и пусть
прямая L задана уравнением
у - kx + b,
которое число. Если при х
где k и b — некоторые числа.
Пусть функция у = f(x) непрерыв-
на на интервале (Af; +оо), где М — не-
-* +оо расстояние от точки А(х; f(x))
кривой Г до точки В (х; kx + b) прямой L стремится к нулю, то пря-
мую L называют асимптотой кривой Г (при х —* +оо).
Расстояние между точками А(х;/(х)) и B(x;kx + b) равно
| jf (х) — (kx + Ь)|, поэтому если для функции y — f(x) выполняется
условие
lim (f(x) - (kx + b)) - О,
х—* +оо
(1)
то прямая у = kx + b является асимптотой графика функции у = f (х)
при х —► +оо.
Приведем способ вычисления коэффициентов k и b асимптоты.
Если выполнено условие (1), то
lim
/(х) - (kx + Ъ)
lim (f (х) - (fex + b)) • lim — = О.

С другой стороны,
v f(x)-(kx + b) .. f(x)	1	f(x)
lim -----—-------- - hm —— - k - b lim — = lim--------------k.
x —♦ +oo	X	x —* +oo X	x —» 4-oo X x —*• +oo X
С л ед овате л ьно,
k= lim	(2)
Из равенства (1) также следует, что
Ь = lim (f (х) - fex).
(3)
151
J	ПроИЗПОДНОЙ
Из сказанного ясно, как найти асимптоту кривой — графика
функции у = f(x) при х —► +оо — или доказать, что данная кривая
не имеет асимптоты при х —► +оо. Надо вычислить предел (2). Полу-
ченное число k и будет угловым коэффициентом асимптоты. Затем
для найденного числа k надо вычислить предел (3), дающий число Ь.
Найденные числа k и Ъ и определяют асимптоту у = kx + Ъ данной
кривой при х —► +оо.
Но не всегда эти пределы существуют. Если не существует хотя
бы один из пределов (2) и (3), то у графика функции у = f(x) нет
асимптоты (при х —> +оо).
Аналогично определяется асимптота при х —> -оо для кривой —
графика функции у = /(х), непрерывной на интервале (-оо; N), где
N — некоторое число. Если выполнено условие
lim (f (х) - (kx + d)) = О,
х —> — оо
то прямую у = kx + Ъ называют асимптотой графика функции
у - f(x) при х —> -оо. Коэффициенты k иЬ можно вычислить следую-
щим образом:
k = lim
Х-» —оо X
Ь = lim (/(х) - kx).
X —* — СО J *,г‘“	‘ г
(2')
(3')
Если не существует хотя бы один из пределов (2х) и (3'), то у гра-
фика функции у = f (х) нет асимптоты (при х —► -оо).
Если k О, то асимптоту у = kx + Ъ называют наклонной. Если
k = 0, то асимптоту у = kx + Ъ называют горизонтальной.
Отметим, что если существует предел
lim f(x) = b,
X —* +ОО
(4)
где b — конечное число, то тогда
lim = lim f (х) • lim — = b • 0 - О.
X—>4-00 X	X —* +оо	X —* ч-оо %
Следовательно, при выполнении условия (4) у графика функции
У — f(x) есть горизонтальная асимптота у = b при х —► +оо.
Аналогично если существует предел
lim f(x) = b,
х —* —оо
где b — конечное число, то тогда у графика функции у = f(x) есть
горизонтальная асимптота у = Ъ при х —► —оо.
ПРИМЕР 1. Выясним, есть ли наклонные и горизонтальные
асимптоты у графика функции у = е~х.
152
Для этого вычислим пределы:
е~х	1
lim ----= lim -------- О,
х » +оо X х—* +оо€х • X
1
lim (е х-0-х) = lim е х - lim — = О,
X —► 4-00	X —*+оо	X—> +оо£
х>-х	рх	рх
Ча	1 •	С»	а „	V>
lim ---= lim — = - lim — = —оо,
X -* - co X X—* +oo — X	x —> +oo X
т. e. при x —> +oo имеем k = 0, b = 0 и урав-
нение асимптоты имеет вид у = О (это го-
ризонтальная асимптота при х -> +оо). На-
клонных асимптот у графика этой функ-
ции нет, так же как нет и горизонтальной
асимптоты при х —оо (рис. 133).
ПРИМЕР 2. Выясним, есть ли на-
клонные или горизонтальные асимпто-
ты у графика функции у = х6.
Так как lim — = +оо, lim —— = —оо,
х—*4-оо X	х—► — оо X
то у графика этой функции нет ни гори-
зонтальной, ни наклонной асимптот
(рис. 134).
Если функция у = /(х) непрерывна
на интервале (а; 5) и если
lim / (х) = +оо или lim f(x) = —оо,
х —* а	х—* а
х > а	х > а
то говорят, что прямая х = а является
вертикальной асимптотой графика
функции у = /(х).
Если функция у = f(x) непрерывна
на интервале (с; d) и если
lim f (х) — +оо или lim /(х) = —оо,
х —» d	х—* d
х < d	х < d
то говорят, что прямая х
графика функции у = f (х).
= d является вертикальной асимптотой
ПРИМЕР 3. Найдем вертикальные асимптоты графика функции
у = log2 (х + 3).
График этой функции имеет вертикальную асимптоту х = — 3,
так как эта функция непрерывна на интервале (—3; +оо) и
lim log2(x + 3) = -оо.
Применение производной
 Рис. 135
' Рис. 136
Других вертикальных асимптот у графика этой функции нет
(рис. 135).
ПРИМЕР 4. Выясним, есть ли асимптоты у графика функции
Для этого сначала вычислим пределы:
Аналогично lim
и lim
Таким образом
ной асимптоты (при
3
уравнение наклон-
X —► +оо и при х —► —оо).
Так как lim —F — х + 2 = +оо и lim —F — х + 2 = -оо, то пря-
X->оI X 3	)	х >olx 3 J
х > О	х<0
мая х = О является вертикальной асимптотой графика этой функции
и других вертикальных асимптот нет (рис. 136).
ПРИМЕР 5. Найдем асимптоты графика функции
gj| 154
Так как
то график этой функции имеет го-
ризонтальную асимптоту у = О (при
х —► +оо и при х —► —сю) и вертикаль-
ную асимптоту х = -1 и других асимптот не имеет (рис. 137).
Замечание. Определение вертикальной асимптоты отличается
от определений наклонной и горизонтальной асимптот. Однако если
функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на интервале
(а; д), то тогда зависимость у = f(x) можно задать в виде х = ф(у),
где (р — функция, обратная к f. Прямая х = а будет асимптотой
графика функции х = ф (у) в смысле определения горизонтальной
асимптоты (только с заменой х на у и у на х).
В качестве еще одного примера функций, графики которых име-
ют асимптоты, рассмотрим дробно-линейные
функции. Каждая из
них задается формулой
(5)
где a, bt с, d — данные числа, причем с 0 и ad — be Ф О.
Эти условия существенны, так как если с = 0 и ad - be * 0, то
,	/к\	**	а Ь
функция (5) линейная: у — —-хч-—.
Если ad - be = 0 и с = 0, то функция постоянная: у — —.
а
Если же ad - be = 0 и с * О, то функция (5) определена для
a	d
но она постоянная: у = — для всех х —.
с	с
be Ф О функцию (5) можно задать формулой
всех х, кроме х = -
В случае с Ф О и ad -
, be — ad	d	а _
где к =----—, х0 — —, Уо— — - Тогда, используя описанные выше
с*	с	с
приемы, найдем, что график функции (5') имеет горизонтальную
асимптоту у = у0 и вертикальную асимптоту х = х0 и других асимп-
тот не имеет. Тот же результат можно получить переносом гипербо-
лы у = — на х0 вдоль оси Ох и на у0 вдоль оси Оу.
х0
155
Применение производной
ПРИМЕР 6» Найдем асимптоты и
2 зс “Ь 5
построим график функции у =----—.
Так как
фик этой функции можно получить
«	1 о
переносом гиперболы у = — на 3 еди-
ницы влево и на 2 единицы вверх. То-
гда новый график будет иметь асим-
птоты у = 2 и х = — 3. Найти эти
асимптоты можно и вычислениями.
= 2, то у графика функции
Так как
lim
lim
у = /(х) есть горизонтальная асимптота у = 2
(при х —* -оо и при
Так как
, 2х + 5	. 2х + 5
lim ------= —оо, lim --------
х —-з х + 3	х-»-3 х + 3
х > -3	х < -3
-boo, то у графика функ-
ции у = f(x) есть вертикальная асимптота х = — 3. Других асимптот
график функции у = f (х) не имеет (рис. 138).
5.102	! Что называют асимптотой кривой?
5.103	“ Объясните, как найти асимптоты графика функции у = /(х).
5.104	Найдите асимптоты графика функции:
5.105	Какую функцию называют дробно-л инейной функцией?
5.106	Является ли дробно-линейной функция:
ч 2х + 5	2 ч 2х 4- 5
а) У = ——; б) у = -	 ; в) у = —-;
10	4х 4- 10	4х
г)
2х 4- 5 9
4х 4- 10 ’
Найдите асимптоты графика функции и постройте этот гра-
фик (5.107—5.109):
\	% —	z-ч 2х 4" 3
5.107	а) у = ——;	б) у = -----
X + 1	X - 1
5.108	а) у = ^4j; б) у =
156
5.110
5.109
Постройте график функции:
5.111
5.112
Постройте график функции:
ч -2х+12
а) У =-----—;	б) у =
х — 4
ч -2|х|+12
в) У = —1~i г) У =
I х| — 4
_	,	- , X “ЗХ -
Дана функция f (х) =------
х + 1
а) у = f(x); б) у = |/(х)|; ]
. Постройте график функции:
• f/ = /(|x|); г) у = |/(|х|)|.
5.11. Построение графиков функций
с применением производных
В простых случаях, как, например, при исследовании квадра-
тичной функции или дробно-линейной функции и построении их
графиков, можно обойтись без применения производной, так как
свойства и графики этих функций легко получаются из свойств
и графиков функций у — ах2 а 0) и у — — (& ^ 0).
В более сложных случаях исследование функции элементарны-
ми средствами можно дополнить нахождением промежутков моно-
тонности (возрастания и убывания), экстремумов, промежутков вы-
пуклости графика вверх (вниз), точек перегиба и асимптот графика.
Рассмотрим примеры исследования функций и построения их
графиков с применением производных.
ПРИМЕР 1. Исследуем функцию
(1)
и построим ее график.
Функция f (х) = — х4 — 4х2 + 1
определена и непрерывна для
всех х.
1 = f (х), то функ-
ция (1) четная, следовательно, ее график симметричен относительно
Применение npQir.JBO 1ной
оси Оу. На интервале (—оо; +оо) функ-
ция имеет производную
f' (х) = 2х3 — 8х = 2х (х + 2) (х — 2).
Ясно, что f'(x) = O в точках
х = 0, х =-2, х = 2, т. е. у функ-
ции (1) имеется три критические
точки. Причем f(x) > 0 на интерва-
лах (-2; 0) и (2; +оо) и f'(x) < 0 на
интервалах (—оо; —2) и (0; 2), следо-
вательно, функция (1) возрастает
на промежутках [-2; 0] И [2; +оо)
и убывает на промежутках (-со; -2]
и [0; 2]. Функция (1) достигает сво-
его локального максимума в точке
х = 0 и локального минимума в двух
точках х = —2 и х = 2 (рис. 139).
Вычислим координаты несколь-
ких точек графика:
X	0	1	2	3
	1	-2,5	-7	5,5
Построим график функции (1),
учитывая проведенное выше иссле-
дование: сначала для х > 0, затем
симметрично отразим его относи-
тельно оси Оу (рис. 140).
ПРИМЕР 2. Исследуем функ-
цию
2- 1
(2)
и построим ее график.
Функция f (х) = —
определе-
она непрерывна на каждом из
на для всех х, кроме х = 1 и х = — 1,
интервалов
(-оо; -1), (-1; 1) и (1; +оо).
(3)
Так как /(-х) =
— —/(х), то функция (2) нечетная, следо-
вательно, ее график симметричен относительно начала координат.
Так как lim /(х) = lim /(х)= 0, то график функции (2) имеет
Х~►+оо	X—оо
горизонтальную асимптоту у = 0 (при х —► +оо и при х —> —оо).
158
У графика функции (2) при х > О есть вертикальная асимптота
х = 1, так как функция (2) непрерывна на интервалах (0; 1) и (1; +оо)
и lim/(x) = —оо и limf(x) = + оо. Других асимптот на промежутке
X—1	X—1
X < 1	X > 1
[0; +оо) у графика функции (2) нет.
На интервалах (3) функция (2) имеет производную
Ясно, что f'(x) < 0 при любом значении х из интервалов (3), сле-
довательно, функция (2) убывает на каждом из этих интервалов, по-
этому она не имеет точек локального экстремума.
Вычислим вторую производную функции (2) на каждом из ин-
тервалов (3):
Г (х) =
f х2 + 1 Y _ 2х(хг + 3)
( (х2 — I)2 J (х2 — I)3
Вторая производная f"(x) обращается в нуль в единственной
точке х = 0. Определим знак f"(x) на интервалах (-оо; —1), (—1; 0),
(0; 1), (1; +оо):
X	(-оо; -1)	(-1; 0)	(0; 1)	(1; +оо)
Знак f"(x)				
Вторая производная меняет знак с «+» на «—» только в одной
точке х = 0, принадлежащей области определения функции, следо-
вательно, график функции (2) имеет только одну точку перегиба х0.
На каждом из интервалов (-оо; —1) и (0; 1) график функции (2) име-
 Нис. 141
ет выпуклость вверх, а на каждом из
интервалов (-1; 0) и (1; +оо) — вы-
пуклость вниз.
Вычислим координаты несколь-
ких точек графика:
X	0	1 2	2	3
fix)	0	2 3	2 3	3 8
Построим график функции (2),
учитывая проведенное выше исследо-
вание: сначала для х 5* 0, затем сим-
метрично отразим его относительно
точки 0(0; 0) (рис. 141).
Применение нролзвлянон
ПРИМЕР 3» Исследуем функцию
(4)
и построим ее график.
Функция f (х) =------ + х - 3 определена для всех х, кроме
(х - 1у
х = 1, она непрерывна на каждом из интервалов
(—оо; 1) и (1; +оо).
(5)
Так как f (-х) Ф f (х) и /(-х) —/(х), то функция (4) не является
ни четной, ни нечетной. Выясним, есть ли у графика функции (4)
наклонные и горизонтальные асимптоты. Так как
lim (/ (х) - /?х) = lim
и аналогично
lim
Г(х)
— ОО
lim (/(х) - kx) — -3,
X —► —оо
то график функции (4) имеет наклонную асимптоту у = х — 3 (при
х —* +оо и при х —> -оо).
У графика функции (4) есть вертикальная асимптота х = 1, так
как функция (4) непрерывна на интервалах (О; 1) и (1; +оо) и
hm /(х) = hm /(х) = +оо.
X —► 1	X 1
Х<1	Х>1
Других асимптот у графика функции (4) нет.
Вычислим производную функции (4) на интервалах (5):
Приравняв производную к нулю, получим уравнение
имеющее единственный корень х = 3. Так как производная f (х) су-
ществует в каждой точке интервалов (5), то функция (4) имеет
единственную критическую точку х = 3.
гт	ч „	( 2 V (х-3)(х2+5)
Ясно, что f (х) = 1 - - =-------------
17 tx- 1J (х- I)3
> 0 при х > 3 и при
х < 1, а Л(х) < 0 при 1 < х < 3.
160
Следовательно, функция (4) возрастает на промежутках (-оо; 1)
и [3; +оо) и убывает на промежутке (1; 3], в точке х = 3 она имеет
локальный минимум.
X	(-оо; 1)	(1; 3)	3	(3; +оо)
Знак f'(x)			0	
/(х)			1	
			min	
Вычислим вторую производную функции (4) на каждом из ин-
тервалов (5):
Очевидно, что на каждом из этих интервалов f"(x) > 0, следова-
тельно, на каждом из них график функции (4) имеет выпуклость вниз.
Ук
 Рис. 142
161
Применение производной
Вычислим координаты нескольких точек графика:
X	-1	0	2	3	4
fM	-3	1	3	1	13 9
и построим график функции (4), учитывая проведенное выше иссле-
дование (рис. 142). •
5.113
5.114
5.115
Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстре-
мума функции и постройте ее график:
а)	у = —х2 (х — 4)2; б) у = 4х2(х — 2)2.
4
Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию и по
стройте ее график:
а) у = х3 - Зх2 - 1;
б) у = х4 — 2х2 + 3;
г) у = х3 — Зх2 + 1;
ч	1 3 о 2 гг о
е) у — —х3 + Зх2 - 7х — 2.
Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстре-
мума функции, постройте ее график. Найдите наибольшее и
наименьшее значения этой функции на указанном отрезке:
а) у = -2х4 + 4х2 + 3, [-2; 0,5];
б)	у = х3 - Зх + 3, [-0,5; 3];
в)	у = (х - 1)2(2х + 4), [-2,5; 1,5];
г)	у = (2х - 4)(х + I)2, [-1,5; 2,5];
д)	у = |(х + 3)(х - З)2, [-2; 1];
О
е)	i/ = i(x-3)(x + 3)2, [-4;-1].
4
5.116* а) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, точки
перегиба, промежутки выпуклости вверх или вниз графика
функции у = ^-(4 + х)3. Постройте график этой функции.
У
б) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, асимп-
тоты графика функции w = — - 2х и постройте ее график.
х
5.117*
Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у = -х2(0,5х2 - 4); б) у = (х2 - I)2;
162
Д)
ж)
5.118	* Найдите множество значений функции и постройте ее график:
3
5.119	* Найдите точки перегиба графика функции у = — х4 — х3 + 2.
1п X
5.120	Исследуйте функцию у = и постройте ее график. Сравни-
те числа: а) Зк и л3; б) е3 и 3е; в) еп и ле.
5.121
5.122*
Исследуйте функцию у =f (х) и постройте ее график, если
(5.121—5.122):
а)
1 + j
в) f(x)= 7П
г)
f(x) = л/1^
fM =
2
г)
5.12*. Формула и ряд Тейлора
Пусть функция /(х) имеет производную в некоторой окрестности
точки х = 0. Пусть отрезок [0; а], где а > 0, принадлежит этой окре-
стности. Тогда, применяя теорему Лагранжа (см. п. 5.4), получим,
что для любого х g [0; а] справедливо равенство /(х) - /(0) = xf'(c),
где с — некоторое число из промежутка 0 < с < х. Это равенство
можно переписать так:
/(x) = f(0) + xr(c).	(1)
Пусть теперь функция /(х) имеет не только первую, но и вто-
рую производную в некоторой окрестности точки х = 0. Пусть отре-
зок [0; а], где а > 0, принадлежит этой окрестности. Тогда для любо-
го х е [0; а] справедливо равенство, которое называют формулой
Тейлора:
f (X) = f (0) + X +	х2,	(2)
где с — некоторое число из промежутка 0 < с < х.
11римешшие произволном
Выведем формулу (2). Зададим х из отрезка [0; а]. Найдем такое
число Р, чтобы выполнялось равенство
f(x) = f(0) + f(0)x + Px2.	(3)
Можно было бы решить это уравнение относительно Р. Но нас
интересует другое — мы хотим неизвестное Р выразить через вто-
рую производную от функции /(х). Для этого будем рассуждать сле-
дующим образом.
Заданное значение х определяет при помощи равенства (3) чис-
ло Р. Введем функцию от переменной и, заданную на отрезке [0; х]:
F(u) = f(u) + f'(u)(x - и) + Р(х - и)2.	(4)
Будем помнить, что здесь х и Р фиксированы и это выражение
есть функция от переменной и. Функция F(u) имеет на отрезке [0; х]
производную, потому что по условию f(u) имеет вторую производ-
ную, и, следовательно, можно найти производную не только функ-
ции f(u), но и функции f'(и). Кроме того, функция F(u) имеет рав-
ные значения на концах отрезка [0; х]. Ведь Р(0) = /(0) 4- Г(0) х +
+ Рх2 = f(x) (см. равенство (3)) и Р(х) = f(x). Поэтому согласно тео-
реме Ролля (см. п. 5.4) существует точка с, удовлетворяющая нера-
венствам 0 < с < х, в которой производная функции F равна нулю:
Р'(с) = 0.
Нам остается лишь, пользуясь формулой (4), вычислить произ-
водную F'(u), равную
F'(u) = /'(и) - f(u) + Г(и)(х - и) - 2(х - и)Р,
и положить в ней и = с:
F'(c) = f"(c)(x - с) - 2(х - с)Р.
Так как F'(c) = 0 и х - с Ф 0, то f'(c) = 2Р, откуда Р =
Подставляя найденное значение для Р в равенство (3), получим
искомую формулу Тейлора (2).
Рассуждая аналогично, можно доказать более общее утвержде-
ние. Пусть функция f(x) имеет производные до порядка и включи-
тельно в некоторой окрестности точки х = 0 и пусть отрезок [0; а],
где а > 0, принадлежит этой окрестности. Тогда для любого х е [0; а]
выполняется равенство

(Л - I) (0)
(п-1)! Д
(5)
где R„ =-------- хп (0 < с < х) и с
п!
X и п G N.
некоторое число, зависящее от
Это равенство называют формулой Тейлора. Величину Rn назы-
вают остаточным членом
формулы Тейлора.
164
Заметим, что, рассуждая аналогично для функции, заданной на
отрезке [а; 0], где а < 0, принадлежащем окрестности точки х = 0,
получим, что формулы (1), (2), (5) остаются верными при х G [а; 0],
где с — некоторое число из промежутка х < с < 0.
Мы не знаем точно, чему равен остаток, потому что про число с
известно лишь, что оно находится где-то между 0 и х. Но и этой ин-
формации бывает достаточно, чтобы формула Тейлора имела прак-
тическое значение. Практический смысл формулы Тейлора заклю-
чается в том, что в ряде случаев удается заключить, что ее остаток
мал настолько, что им можно пренебречь, и тогда получим прибли-
женное равенство
/(х) ~
/(0) +
Г (0) Г (0) 2
— X ч——— х
f'n - 11 (0) ГП - 1
у
которое дает возможность вычислить /(х), если можно вычислить
/(0), Г(0), Г(0), ...,
ПРИМЕР 1. Рассмотрим функцию /(х) = sinx. Напишем для нее
формулу Тейлора для п = 5. Имеем
/(х) = sinx, f’(x) - cosx, f"(x} = -sinx,
f'"(x) = -cosx, /(4)(x) = sinx, ?(5)(x) = cosx;
/(0) = 0, /'(0) = 1, Г(0) = О, /"'(0) = -1, Л“(0) = о, /<3»(с) = cost.
cose к
----х°
120
тт	•	Х . о / х	г» Z X COSC
Поэтому sinx = х - — + Т?5(х), где Л5(х) = ——
Для значений х, удовлетворяющих неравенству 0 х < —
. , 4
120
400’
(6)
Следовательно, имеет место приближенное равенство
х3
sin х ~ х---
3!
1
с точностью до —-.
400
Если в разложении sin х по формуле Тейлора взять больше чле-
нов, то получим многочлен более высокой степени, приближающий
sinx еще точнее.
ПРИМЕР 2. Напишем формулу Тейлора для функции
f(x) = cosx для п = 6. Имеем
/(х) = cosx, f’(x) — -sinx, /"(х) = -cosx, f’”(x} = sinx,
Л4)(х) — cosx, /(5)(х) = -sinx, f(6)(x) = —cos х;
/(0) = 1, /-(0) = О, /"(0) = -1, Г'(0) = о, /<4>(0) = 1,	(0) = о,
f(6)(e) = -cose.
165
II рнугснение производной
X2
Поэтому COS X = 1 - —
4!
-- имеем | Rq (х) |
+ Л6(х), где Rq(x) = ^-С-
О!
z хб
720
2500
Таким образом
cosx
4!
(7)
с точностью до ,__ .
2500
ПРИМЕР 3. Напишем формулу Тейлора функции f (х) = ех для
п = 5. Имеем
fix) = ех, f’(x) = ех, f"(x) = ех, f’"(x) = ех, Л4,(х) = ех, f{i>(x) - ех;
f(0) = 1, Л(0) = 1, /"(0) = 1, Г'(0) = 1, /<4>(0) = 1, /<5’(с) = ес.
Поэтому <?х = 1 + ^ + ^ + ^7 + 7Т + гДе Ri^ = f?*5
(0 < с < х).
Для х g [0; 1] имеем | Я5(х)|	.
40
Таким образом,
х*1 X4 _	___
ех~1 + ± + ±_ + ^ + ±_ (O^x^l)
1!	2!	3!	4!
1
с точностью до ——.
40
ПРИМЕР 4. Вычислим приближенно числа:
ч . 1	1
a) sin—; б) cos—; в) е.
10	5
а)	По формуле (6) имеем
. 1	11 10/	1	1	1
sin — -----------— =-------------- —
10	10	3!	10	6000	10
с
точностью до ——
400
б)	По формуле (7)
имеем
5
49
cos—
4!
6000	50
с точностью до
2500
в) По формуле (8) имеем
1
с точностью до---.
40
Если функция /(х) имеет в некоторой окрестности точки а про-
изводные сколь угодно высокого порядка, то для нее формально
можно написать ряд
f(a) + ^(x-a) + -^(x-a)2 + ...,	(9)
И
который называют рядом Тейлора функции f(x) по степеням (х- а).
Для данных значений а и х он может сходиться или расходить-
ся. Особенно важен случай, когда ряд Тейлора функции /(х) сходит-
ся к самой функции, т. е. имеет суммой /(х). Это имеет место тогда
и только тогда, когда стремится к нулю при п —* +оо остаточный
член Вл(х) в формуле Тейлора
f(x) = S„(x) + Rn(x),	(10)
где S„ (х) = f (а) + (х - а) + (х -а)2 +... + f— - (х - а)" " Ч
Действительно, если lim Rn (х) = 0 для некоторого значения х,
п —- оо
то из равенства (10) следует, что для этого значения х lim S„(x) =
п —♦ оо
=/(х), и так как Sn(x) есть сумма первых п членов ряда (9), то
ряд (9) сходится и имеет своей суммой f (х):
/(х)= f(a) + ^(x-a) + ^(x-a)2 + ... .	(11)
Обратно, если известно, что для некоторого значения х имеет
место равенство (11), т. е. известно, что ряд (9) при этом значении х
сходится и имеет своей суммой /(х), то это означает, что для указан-
ного значения lim Sn(x) = /(х).
п -* ОО
Но тогда из равенства (10) следует, что 7?„(х) —► 0 при п -» оо.
Можно показать, что для любых х с (-оо; +оо) имеют место сле-
дующие разложения в ряд Тейлора:
з
3!
cos х = 1 - —
2!
v -2
4!
4!
167
Первообразная и интеграл
5.123 Напишите формулу Тейлора	для	функции:
а)	у = sinx для п = 7;	б)	у = cosx для п =	7;
в)	у = tgx для и = 5;	г)	у = ех для п = 8;
д)	у - In (1 + х) для п =	5;	е)	у =   - для п =	5.
1 + х
5.124 Вычислите с точностью до 10-4 с помощью формулы Тейлора:
a) sin0,2; б) cos0,1; в) tgO,l; г) е; д) е) In2.
§ 6. Первообразная и интеграл
6.1. Понятие первообразной
Мы знаем, что постоянное число С, рассматриваемое как функ-
ция от х, имеет производную, равную нулю для всех х. Обратное ут-
верждение также верно: если про функцию известно, что ее произ-
водная равна нулю для всех х, то она есть постоянная.
С точки зрения механики это утверждение совершенно очевидно.
В самом деле, пусть функция а = f(t) выражает закон движения точ-
ки по прямой, причем ее скорость равна нулю: v — f'(t) = 0. Тогда
точка стоит на месте и расстояние s от нее до начальной точки равно
постоянной при любом t. Впрочем, это утверждение следует из теоремы
Лагранжа (см. п. 5.4). Тот факт, что в этом рассуждении мы х заме-
нили на t, не имеет значения: время тоже можно обозначать через х.
Рассмотрим функцию /(х), непрерывную на интервале (а; Ь).
Функцию F (х) называют первообразной для функции f (х) на интер-
вале (а; Ь), если на нем производная функции F равна f:
F'(x) = f(x).
Аналогично определяется первообразная для функции f(x) на
отрезке [а; Ь]. Нужно только под производной в точке а пони-
мать правую производную, а в точке Ь — левую производную:
v F(a + h)-F(a)	F{b+h)_F{b)
г (а) = lim--------—----, г (о) = lim---------------. 9
h-*o h	л— о	h
h>0	h<0
Очевидно, что если функция F (х) есть первообразная для функ-
ции /(х) на интервале (а; Ь), а С — фиксированная постоянная, то
функция F(x) + C также есть первообразная для функции f(x) на
том же интервале, потому что
(F(x) + СУ = Г'(х) + С' = F'(x) = f (х).
Обратно, если F и Ft — первообразные для функции f(x) на ин-
тервале (а; Ь), то они отличаются друг от друга на всем интервале
(а; Ь) на некоторую постоянную С:
Fr (х) = F(x) + С.	(1)
168
В самом деле, (Fr (х) - F (х))' = F}' (х) — F'(x) = f(x) - /(х) = 0. Но
тогда, как отмечалось выше, существует такая постоянная С, что
Fx (х) - F(x) = С на интервале (а; Ъ), откуда следует равенство (1).
Итак, мы установили важный факт: если функция F (х) есть
какая-либо первообразная для функции f (х) на интервале (а; Ь), то
и функция F (х) + С, где С — некоторая постоянная, также есть пер-
вообразная для функции /(х) на этом интервале.
ПРИМЕР I. Из равенств
С' = 0; (х + СУ = 1; (х2 + С)' = 2х; (sinx + СУ = cosx
следует, что функции С; х + С; х2 + С; sinx + С, где С — некоторая
постоянная, являются первообразными соответственно для функций
0; 1; 2х; cosx на интервале (—оо; +оо).
Дадим теперь следующее определение.
Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале
(а; Ь) функции f (х) называют некоторую ее первообразную. Неопре-
деленный интеграл от функции f(x) обозначают так:
f(x)dx.
В этой записи функцию f (х) называют подынтегральной функцией,
а выражение f(x)dx — подынтегральным выражением.
Из сказанного следует, что если функция F (х) есть какая-то
первообразная для функции f (х) на интервале (а; Ь), то
j f (х) dx = F (х) + С
где С — некоторая постоянная.
(2)
ПРИМЕР 2. Для любых х с (-оо; ч-оо) справедливы равенства:
Jldx = х + С, Jx"-*dx= —+ С (л = 2, 3, ...),
г , sin ах _ .	г . п , cosax . Л. /оч
cos ах ах =----1- С (а 0), smaxax =-------Ь С (а Ф 0), (3)
J	a	J	а
где С — некоторая постоянная.
В самом деле, так как
п
sin ах
cos ах
= — (sinахУ = —(a cos ах) = cos ах
— (cos ах)' = — (—a sin ax) = sin ax
то функции, находящиеся в правых частях этих равенств, есть пер-
вообразные для подынтегральных функций и поэтому справедливы
равенства (3).
169
Первообразная и интеграл
Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на
интервале (—оо; +оо), то для k ф 0 справедливо равенство
f(kx + b)dx — —F(kx + b) + С,
J	k
где С — некоторая постоянная.
В самом деле,
— F(kx + b)
— (F(kx + b))' = -f(kx + Ь)  (kx + b)' = f(kx + b).
k	k
Если (x) и /2(х) — непрерывные на интервале (а; Ъ) функции
и Аг и А2 — постоянные, то имеет место равенство, выражающее
основное свойство неопределенного интеграла:
J(A1/1(x) +
A2/2(x))dx = А/ fY(x)dx + А2 f f2(x)dx + С
(4)
где С — некоторая постоянная.
В самом деле, по определению неопределенного интеграла слева
в равенстве (4) стоит какая-то одна из первообразных для функции
АЛ(Х) + А/гОО* С другой стороны, имеет место равенство
Z	\ 9
4 (х) dx + А2 f f2 (х) dx —
= A f/i(x)dx + А2 (f2(x)dx =
Alf1(x)+ A2f2(x),
потому что интегралы fxdx и | f2dx обозначают соответственно не-
которые первообразные для функций f1 и f2. Поэтому правая часть
равенства (4) есть также первообразная для функции
Ayfi (х) + A2f2(x),
но тогда она отличается от левой части равенства (4) на некоторую
постоянную С.
Свойство (4) по индукции распространяется на любое конечное
число непрерывных на интервале (а; Ь) функций Д, /2, fn
и постоянных А2, ..., Ап*.
{(АЛСх) + A2f2(x) + ... + Ал/„(х)) dx =
= Аг f/JxMx + А2 f/2(x)dx + ... + Ап (х) dx + С,
где С — некоторая постоянная.
170
Как следствие при Aj = 1, А2 = ±1, п = 2 получаем равенства
а при Aj = А и А2 = 0, f\ — f — равенство
[ Afdx = Aj fdx + С.
где С — некоторая постоянная. •
В дальнейшем при рассмотрении неопределенных интегралов
будет подразумеваться, что подынтегральная функция непрерывна
на некотором интервале (а; Ь), но писать это мы не будем.
Таблица основных неопределенных интегралов, составленная
непосредственно из формул производных элементарных функций,
приведена в приложении 2.
6.1° Какую функцию называют первообразной для функции /(х) на
интервале (а; &)?
Докажите, что функция Fix) есть первообразная для функции
f(x), если (6.2—6.3):
6.2
a) f(x) = 0, F(x) = С;
в) /(х) = С, F(x) = Cx;
д) fix) — x2, F(x) = ^~;
б) f (х) = 1, F{x) - х;
г) /(х) = х, F(x) = ^-;
е) /X*) = хп, F(x) = х—~ (п € N).
6.3
a)	fix) = sinx, Fix) = —cosx;
в) fix) = —1—, F(x) = tgx;
cos x
Д) fix) = ex, F(x) = ex.
6)	f(x) = cosx, Fix) = sinx;
1
r) fix) = —r-T—» Fix) = ctg x;
sin X
6.4° Верно ли, что если функция F(x) является первообразной для
функции fix), то и функция Fix) + С есть первообразная для
функции fix)"!
Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции
fix), если (6.5—6.6):
6.5 a) f(x) = (Зх + 7)10, F (х) = 1 -(3х + 7А! + С;
о 11
171
Оеркоойралнлч и ипгрграл
б) f(x) = cos(2x - 1),
в) f(x) = sin
F(x) =
F (x) =
i sin(2x - 1) + C;
1	(„	тс A _
-—cos 7x-----+ C.
7	I	4 I
6.6 a) f(x) =	1
cosz (3x + 11)
6)	= - 27TT7?
siir (~4x + 7)
F(x)= itg(3x + ll) + C;
О
F(x)= ictg(-4x+7) + C;
4
в)
f(x)= e
5x- 2
F(x) =
± p5x - 2
5
6.7
Для функции f(x) найдите ту первообразную, график которой
проходит через точку А:
a) f(x) = х, А (2; 0); б) f(x) = х2, А(3; 6);
в) f(x) = x3, А(—2; 3);
г)
f(x) = sinx, А
Найдите первообразную для функции /(х), если (6.8—6.10):
6.8
a)	f(x) =
г) f(x) =
ж) /(х) =
(5х - 2)20;
2зх-1;
б)	f (х) = Vx- 5;
д) №)= 3*;
з) fix) = > \ 9;
-5х + 2
в)	f(x)= 2х;
е) /(х)=32х + 7;
и) f(x) = ——л.
6.9 а)
г)
f(x) =
/*(х) =
6.10* а) /(х) =
г) f(x) =
1 + (Зх)2 ’
б) /(х)=	\2 ;
х 4
д) f(x) = ^1(7х - 9)2;
б) /W = ГТ-2;
1 + Х^
д) f (х) =	— —;
71 - 9х2
в)
е)
в)
е)
f(x) =
/(х) =
Лх) =
/(х) =
1
71 - (2х)2 ’
1
1 + 4х2 ’
6.11° а) Что называют неопределенным интегралом от непрерывной
на интервале (а; Ь) функции f (х)?
б)	Как обозначают неопределенный интеграл?
в)	Как проверить правильность нахождения неопределенного
интеграла?
г)	В чем заключается основное свойство неопределенного
интеграла?
g 172
—. _
6.12
Найдите неопределенный интеграл (6.12—6.17):
a)
в) fx3dx;
r)
J sinxdx;
и)
6.13
a)
6.14
a)
6)
6.15* a)
Г)
6.16* a)
r)
6.17* a)
r)
| cosxdx;
COS2 X
sin2 x
м)
IVxdx.
2
f I Sin" X J	J	X
j(5x< - 4x3 + 3x2 — 2x + l)dx;
J (10x4 + 5x3 - 2x2 + 3x - 7)dx;
f(3sinx + 4cosx — 5Vx)dx; i
sin2x—3cos— dx;
3
cos2(x - 1)
dx;
dx.
dx.
5
-----e
1 dx;
cos2 x - sin2 x) dx;
J 1 + cos 2x J 1 - cos 2x
J sin x cos x dx; д) J (sin 5x cos 4x + sin 4x cos 5x) dx;
J (cos 2x cos 3x — sin 2x sin 3x) dx.
г dx	f dx	ч г dx
r----6> 7TT3-;	B) -7=
Д)
dx
Ж) J
Jax — 4x2	^x + ^%x +
6.18* Докажите справедливость равенства:
2
173
Первообразная и интеграл
6.2*. Замена переменной. Интегрирование по частям
При нахождении неопределенных интегралов нередко пользу-
ются методом подстановки или замены переменной.
Пусть функция ф(х) имеет непрерывную производную, а функ-
ция f(u) — непрерывная функция, тогда
f/(Ф(х))ф'(х)б2х = J f(u)du + С, где и = ф(х).
(1)
Эту формулу надо понимать так. Если подынтегральное выраже-
ние в неопределенном интеграле удалось представить в виде
/(ф(х))ф'(х)б2х,
то в этом интеграле можно произвести замену переменной и = ф (х),
du = ф'(х)</х, найти первообразную F(u) для функции f(u), а затем
заменить и на ф(х).
Поясним формулу (1) на примере:
k cos (kx) dx = cos и du = sin и
+ C = sin kx + C.
Мы сделали подстановку и = kx, тогда du = (kx)* dx = kdx,
и наш интеграл превратился в табличный.
Чтобы доказать формулу (1), найдем производную по х от ее ле-
вой части, а затем производную по х от [ f(u)du, где и = ф(х):
(J /Чф(х))ф'(х)^х)*= f (ф(х))ф'(х),
(j f(u)du)(J f(u)du)u
ufx = /(и)ф'(х)= f (ф (х)) ф' (х).
Так как производные равны, то первообразные отличаются на
постоянную, что и записано в равенстве (1).
Приведем несколько примеров на применение метода подста-
новки.
ПРИМЕР 1. fe,adx = fe' — dt = - fe'dt = ^е' + С= — + С
J	J k kJ k	k
(подстановка kx = t, откуда kdx = dt и dx = —dt).
k
ПРИМЕР 2. J	= -jdt = -t + C = - yja^ - x2 + C
л/(F
(подстановка t = Ja2 - x2, откуда dt = — - • ).
7a2 - x2
174
ПРИМЕР 3. f cos (kx) dx = т fcos (^x) dx = — [ cos udu =
1	1	kJ	&J
= — sin и + C = — sin (kx) + С (подстановка и = kx, откуда du = k dx).
± j 71 + x2 • 2xdx = J Vu • du -
ПРИМЕР 4. \xyjl + x2dx
2
du = 2xdx).
4- С (подстановка и = 14-х2, откуда
- f x ,	1	f 2x , lr du liii
ПРИМЕР э. ------z- dx = — --5- dx = — — — — In Ы + C =
J 1 + x2 2 J 1+ x2 2 J и 2	11
= — In 11 4- x2 | +C (подстановка и = 1 + x2, откуда du = 2xdx).
Пусть функции u(x) и u(x) имеют производные, тогда справед-
ливо равенство
[udv + j vdu = uv + С,	(2)
где С — некоторая постоянная.
Действительно, так как dv = v'dx, du = u'dx, то равенство (2)
можно записать так:
J uv' dx + J vu' dx — uv + C.	(3)
Чтобы доказать формулу (3), найдем производные:
(j uv' dx 4-
(uv)' = u'v 4- uv'.
vu'dx) = uv' + vu';
Так как производные равны, то первообразные отличаются на
постоянную, что и записано в равенстве (3).
Из равенства (3) получим
j и dv = uv - j vdu + С,	(4)
где С — некоторая постоянная.
Нахождение интеграла с помощью равенства (4) называют
интегрированием по частям.
Приведем два примера применения метода интегрирования по
частям:
ПРИМЕР 6. I xsinxdx = x • (-cosx) - J (-cosx)dx 4- С = —xcosx 4-
4- sinx 4- С (здесь и = x, du = dx; dv = sinxdx, v = -cosx).
ПРИМЕР 7. \xe*dx = x- eT
xex - ex +C
(здесь и = x, du = dx; dv — ex dx, v = ex).
175
Первообразная и интеграл
Найдите неопределенный интеграл,
менной (6.19—6.23):
используя замену пере-
6.19
6.20
6.21
6.22
а)	I e3xdx;
г) [cos4xdx;
б)	^92xdx;
д) J у/7х- 2 dx;
в)	J sin 7xdx;
е) j^(2x + l)2dx.
4xdx
1 + х2 ’
3xdx	. г 2xdx
	; в) J	;
Л/25 - х2	79“ 4x2
б) /5x71 + 4х2 dx;
г) f х л/о + х2 dx.
xdx
а)
б) J V4- г2 dx;
г) J д/1 — 9х2 dx.
Найдите неопределенный интеграл, используя интегрирование
по частям (6.24—6.25):
6.24 a) lx cos xdx;
6.25* a) j x2exdx;
г xdx ч г xdx . г i-------------— ,
б) —7—;	в) . 9 ; г) xvx-7dx.
J cosz х	J sirr X	J
[x2 sinxdx; в) |x2 cosxdx.
6.3. Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция у = f(x) неотрицательна и непрерывна на отрез-
ке [а; &]. График ее изображен на рисунке 143. Поставим задачу оп-
ределить понятие площади фигуры, ограниченной кривой — графи-
ком функции у = f(x), осью Ох, прямыми х = а, х = Ъ, и вычислить
площадь этой фигуры, называемой криволинейной трапецией.
Поставленную задачу естественно решать так. Произведем раз-
биение отрезка [а; Ь] на п частей точками:
Q — Xq <1 Xj <
... < хп = b,
(1)
выберем на каждом из частичных отрезков [х;-; ху+1] (у = 0, 1, ...
..., п - 1) по произвольной точке с. и составим сумму
Sn = Л^Ахо + f(c1)Ax1 + ... + f(cn_ 0Axra_ n
где Дх;- = Xj + 1 - х;-.
Эта сумма, очевидно, равна сумме площадей закрашенных пря-
моугольников (см. рис. 143).
 Рис. 143
S Рис. 144
Устремим теперь все Дху к нулю, неограниченно увеличивая
п (п —* +оо), и притом так, чтобы длина самого большого частичного
отрезка разбиения стремилась к нулю. Если при этом величина Sn
стремится к определенному пределу S, не зависящему от способа
разбиения (1) и выбора точек с. на частичных отрезках, то величину
S называют площадью данной криволинейной трапеции. Итак,
lim (/(с0)Дх0
шах Дх,- —> О
/?(С|)Дх1 + ... + f(Cn_ 1)Дхл_ 0.
Пусть теперь функция у = /(х) неположительна и непрерывна
на отрезке [а; Ь] (рис. 144).
Рассмотрим функцию у = —/(х). Она непрерывна и неотрица-
тельна на отрезке [а; Ь]. Криволинейные трапеции A^CDj и ABCD,
ограниченные соответственно кривыми у = —f(x) и у = /(х), а также
осью Ох и прямыми х = а и х = Ь, симметричны относительно оси
Ох. Поэтому естественно считать, что трапеция ABCD имеет пло-
щадь Sj, равную площади S2 трапеции A^BCD^ т. е.
S1 = S2= lim (-f(c0) Дх0 + (-/(сх)) Axj + ... + (-/(сл _ 0) Дхл _ х) =
шах Дху —*• О
= - lim (/(с0)Дх0 + /(сОДх! + ... + /(сл_1)Дхл_1).
шах Дх;->0
Сумму
S„ = f(c0)Axv + /(с.)Дх. + ... + /(с,, - 1)Ax„ . j
(2)
называют интегральной суммой.
Таким образом, площадь криволинейной трапеции, расположенной:
а) над отрезком [а; д] оси Ох, есть предел интегральной суммы
8Л, когда max Дху- —> 0;
б) под отрезком [а; &] оси Ох, есть взятый со знаком «минус»
предел интегральной суммы Sn, когда max Дху —> 0.
Первообразная и интеграл
и 177
——J—L
6.26
а)	Что называют криволинейной трапецией?
б)	Что такое интегральная сумма?
в)	Как вычисляют площадь криволинейной трапеции с помо-
щью интегральных сумм?
6.27
Рассмотрим функцию у = х на отрезке [О; 1]. Разделим отрезок
[0; 1] на п равных частей и в качестве интегральной суммы
возьмем
S„ = Z(O)-i + rf-l
п \nJ
п слагаемых
а) Вычислите интегральную сумму:	S2; <S3; S4 (рис. 145).
 Рис. 145
б)	Упростите формулу для вычисления Sn,
в)	Имеет ли последовательность интегральных сумм S2,
S3,...»Sn ... предел при п -* +оо? Если имеет, то чему он равен?
г) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми
у = х, у = 0, х = 1?
6.28	Рассмотрим функцию у = -х. Разделим отрезок [0; 1] на п рав-
ных частей и в качестве интегральной суммы возьмем
п слагаемых
а)	Чем отличаются интегральные суммы в заданиях 6.27
и 6.28?
178
б)	Чему равен предел интегральной
суммы в задании 6.28?
в)	Чему равна площадь фигуры,
ограниченной прямыми у = — х, у - О,
х = 1 (рис. 146)?
6.29	* а) По плану задания 6.27 вычисли-
те интегральные суммы S1? S2, S3,
S4 для функции у — X + 1, X € [0; 1].
б) Существует ли предел интеграль-
ной суммы Sn при п —► +оо? Если да,
то чему он равен?
в) Чему равна площадь фигуры, ог-
раниченной прямыми у = х + 1,
у — 0, х = 1?
6.30	* Рассмотрим функцию у = х2 на от-
резке [0; 1]. Разделим отрезок [0; 1]
X Рис. 146
на п равных частей и в качестве интегральной суммы возьмем
S„ = /70)’- + /(iy - + Я-L - + ... + /[—L- =
п \п) п \п) п	у п ) п
а) Упростите формулу для вычисления Sn, пользуясь ранее до-
2 _ п(п + 1)(2п + 1)
казанным равенством I2 + 22
б)	Существует ли предел интегральной суммы Sn при п —» +оо?
Если да, то чему он равен?
в)	Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2,
у = 0, х= 1?
6.4. Определенный интеграл
Рассмотрим функцию у = /(х), непрерывную на отрезке [а; Ь].
Она может быть положительной, отрицательной или может менять
знак на нем.
Рассмотрим предел интегральной суммы Sn (см. формулу (2) из
п. 6.3), т. е. выражение
lim (/(Со)Дхо + /(cJAXi + ... + f (сп _ ОЛхп _ 0.
Отвлекаясь от задачи нахождения площади, можно смотреть на
него как на некоторую операцию, при помощи которой по данной
!79
Первообразная и интеграл
yk
ь
f(x)dx = —S
Я Рис.
147
ЭЕ
функции у = /(х), заданной на отрезке [а; 6], определяется число I.
Эту операцию называют интегрированием функции f(x) на отрезке
[а; д], а результат этой операции называют определенным интегра-
лом от функции /(х) на отрезке [а; Ь] и записывают так:
I = lim (/(с0)Дх0 + /(с1)Дх1 + ...
max Дх:-*О
b
+ f(cn _ х) Дхл _ 1) = J f(x)dx.
а
Итак, определенным интегралом от функции /(х) на отрезке [а; &]
называют предел интегральной суммы, когда длина максимального
частичного отрезка разбиения стремится к нулю. Число а называют
ъ
нижним пределом (число Ь — верхним пределом) интеграла f f(x)dx.
а
В теории определенного интеграла доказывается, что всякая не-
прерывная на отрезке [а; Ь] функция интегрируема на нем.
Геометрический смысл определенного интеграла заключается
в том, что:
а)	если f(x) > О на отрезке [а; 6], то определенный интеграл
f f(x)dx равен площади криволинейной трапеции, ограниченной ли-
а
ниями у = /(х), у = 0, х — а9 х = b (рис. 147, а);
ь б) если /(х)	0 на отрезке [а; 6], то определенный интеграл
J f(x)dx равен взятой со знаком «минус» площади криволиней-
ной трапеции, ограниченной линиями у = f(x), у = О, х = а, х — Ъ
(рис. 147, б).
П РИМЕР 1. Вычислим определенный интеграл fxdx, пользуясь
-2
геометрическим смыслом определенного интеграла.
180
а определенный интеграл J
-2
Рассмотрим функцию у = х на от-
резке [-2; 0]. На этом отрезке она не-
положительна (рис. 148). Очевидно, что
о
определенный интеграл Г х dx равен
-2
взятой со знаком «минус» площади
треугольника АВО, т. е.
f , _ о _ АВ АО _ 2-2 _ „
j xdx - -SABO— -	-	— — -2.
IB ПРИМЕР 2. Вычислим определен-
2 _______________________
f	j—-—-
щ ный интеграл jV4— x2dx, пользу-
-2
ясь геометрическим смыслом опре-
деленного интеграла.
Рассмотрим функцию
у = 74- х2.	(1)
Функция (1) определена на отрезке
[-2; 2] и принимает неотрицательные
значения. Она имеет график — верх-
нюю половину окружности х2 + у2 = 4,
4 — х2 dx равен площади половины кру-
га радиуса 2 (рис. 149), которую вычислим по известной из геомет-
рии формуле S = — л • 22 = 2л.
2
2
Итак, j 74 - x2dx = S = 2л. &
-2
6.31° а) Что называют интегрированием функции f(x) на отрезке
[а; 6]?
б)	Как называют результат интегрирования функции f(x) на
отрезке [а; £]? Как его обозначают?
в)	Что называют определенным интегралом от функции /(х)
на отрезке [а; Ь]?
г)	В чем заключается геометрический смысл определенного
интеграла?
181
Первообразная и интеграл
Пользуясь геоме
вычислите (6.32
2
6.32	a) jxdx;
о
4
г) ixdx;
о
4
6.33	a) J (1 - x)dx;
2
1
6.34	* a) J71 - х2 * I dx;
-1
о
в) J 79 - x2dx;
-з
О	л
6.35	* a) fsinxdx+j*!
-п	О
шческим смыслом оп{
6.36):
2
б) j(— x)dx;
о
3
д) J(l-x)dx;
1
з
б) J(2x + l)dx;
о
1
б) J (- 71 - х2 ) dx;
-1
4
г) I (-716 - х2 )dx.
о
R
т
ixdx; б) J cosx
п
” 2
деленного интеграла,
о
в) jxdx;
1
е) j(2x + 2)dx,
з
в) f(3x-l)dx.
2
Зя
2
+ J cosxdx.
п
~2
2
6.36* a) J|x|dx;
-2
о
4
в) JIIх “ 2| — l|dx.
о
6.5*. Приближенное вычисление
определенного интеграла
Пусть функция f(x) непрерывна, неотрицательна и возрастает
на отрезке [а; 5]. Вычислим приближенно интеграл
I = j f(x)dx.
Разобьем отрезок [а; Ь] на п равных частей точками:
а = х0
< хх < ... < хп = Ъ.
Так как функция /(х) возрастает на каждом из частичных
отрезков [х.; х;- + J, то на каждом из них в точке ху она принимает
наименьшее, а в точке Х; + j наибольшее значение на этом частичном
отрезке.
Составим две интегральные суммы, для первой из них в качест-
ве точки Cj возьмем точку Ху, а для второй — точку ху + х:
S„ = (/(Хо) + /(*1) + ••• +	- 1)) Дх
(1)
s„ = (/(Xi) + f(x2) + ... + /(х„))Дх,	(2)
Ь — CL
где Дх =---.
п
Суммы (1)
и (2) называют соответственно нижней и верхней
интегральными суммами.
Так как функция f(x) возрастает и неотрицательна на отрезке
[а; Ь], то на каждом частичном отрезке [х;-; ху+1] истинное значе-
ние площади Sj под графиком функции у — /(х) заключено между
/(ху)Дх и f(Xj + 1)Дх и его можно считать приближенно равным сред-
нему арифметическому этих чисел:
(3)
Поэтому площадь криволинейной трапеции S, ограниченной
графиком функции у — f (х), осью Ох и прямыми х- ан х = Ь, и рав-
ный ей интеграл I заключены между нижней и верхней интеграль-
ными суммами Sn и Sn и их можно считать приближенно равными
среднему арифметическому этих сумм:
или
S = / = (Лх,) + ... +/(Х„ _ !)+
(4)
(5)
При вычислении площади криво-
линейной трапеции на каждом частич-
ном отрезке [х,; х. + J по формуле (3)
мы фактически заменяем площадь кри-
волинейной трапеции площадью тра-
пеции ABCD (рис. 150), поэтому опи-
санный здесь метод приближенного вы-
числения интеграла называют методом
трапеций.
Мы рассмотрели приближенное вы-
числение интеграла I для неотрица-
тельной и возрастающей функции. Те
же рассуждения можно провести для
любой другой непрерывной на отрезке
[а; Ь] функции f (х). Только следует
учесть, что на каждом частичном отрез-
И 183
Первообразная и интеграл
ке надо брать наименьшее значение функции при вычислении ниж-
ней интегральной суммы и наибольшее значение при вычислении
верхней интегральной суммы. 
Во всех случаях будет справедливо двойное неравенство Sn < I < Sn
и определенный интеграл можно вычислить приближенно по форму-
ле (4).
Следует учесть также, что если функция f(x) на отрезке [а; 6]
непрерывна и неположительна, то нижняя и верхняя интегральные
суммы отрицательны, но все приведенные выше рассуждения, свя-
занные с приближенным вычислением интеграла Z, сохраняют силу.
Только если в этом случае мы захотим вычислить приближенно пло-
щадь криволинейной трапеции описанным методом, то надо учесть,
что она равна интегралу, взятому со знаком «минус»:
1
ПРИМЕР 1. Вычислим приближенно интеграл x2dx.
о
Для этого разобьем отрезок [0; 1] на 10 равных частей точками:
0 < 0,1 < 0,2 < ... < 0,9 < 1 и, учитывая, что функция у = х2 на от-
резке [0; 1] непрерывна, неотрицательна и возрастает, составим
нижнюю и верхнюю интегральные суммы:
= (О2 + 0,12 + 0,22 + ... + 0,92) • 0,1 = 0,285,
= (0,12 + 0,22 + ... + 0,92 + I2) • 0,1 = 0,385.
Вычислим интеграл I по формуле (4):
= 0,335.
Полученный результат отличается от точного, равного —
больше чем на 0,5%.
ПРИМЕР 2. Вычислим приближенно интеграл
Для этого разобьем отрезок 0; —
и вычислим приближенно интеграл
2л
9л
ками 0
Я
7

I = sin х dx по формуле (5)
о
синуса:
2
sinxdx.
о
на 10 равных частей точ-
воспользовавшись таблицами значений
184
sin —
20
2я
20
Л sin 0 + sin —
9л	2
—— ~ 0,998.
20
Полученный результат отличается от точного, равного 1
больше чем на 0,2%.
6.38
Что называют:
а)	нижней интегральной суммой;
б)	верхней интегральной суммой?
В чем заключается метод приближенного вычисления опреде-
ленного интеграла?
Вычислите приближенно определенный интеграл:
2
а) \2xdx;
6.41
б) J3xdx.
з
а) В предыдущем задании вычислите определенный интеграл
как площадь треугольника и сравните результаты вычислений,
б) Объясните, почему для линейной функции приближенный
метод вычисления определенного интеграла дает точный ре-
зультат.
Вычислите приближенно определенный интеграл:
2	2
В предыдущем задании сравните результаты вычислений для
функций у = х2 и у = -х2. Объясните, почему они отличаются
только знаком. Чему равна площадь криволинейной трапеции
на отрезке [1; 2] в случае «а»; в случае «б»?
Вычислите приближенно
ном Дх:
определенный интеграл при задан-
Я
в)
п
"2
Почему в предыдущем
равны нулю?
J cosxdx, Дх =
о
задании все определенные интегралы
Первообразная и интеграл
6.6. Формула Ньютона—Лейбница
Лейбница. Пусть функция f (х) непре-
ТЕОРЕМА Ньютона
рывна на отрезке [а; Ь] и пусть F (х) есть какая-либо ее первооб-
разная. Тогда справедливо равенство
ъ
\f(x)dx = F(b)-F(a).
а
Это равенство называют формулой Ньютона—Лейбница.
(1)
ь
Обычно пишут: | f(x)dx = F(x)
2
Ь =F(b)-F(a).
2	“
ПРИМЕР 1. ]x2dx =
О
О3
3
о
ПРИМЕР 2. jsinхdx = (-cosx)
О
о
ПРИМЕР 3. J sin х dx = (-cos x)
о
0
= -cos 0 - (-cos (-тс)) = -1 — 1 =—2.
-it
Результаты вычисления интегралов в примерах 2 и 3 отличают-
ся знаком. На интервале (0; л) функция у — sinx принимает положи-
Я
тельные значения и J sinxdx есть площадь криволинейной трапе-
о
ции, ограниченной графиком функции у = sinx, прямыми у = 0,
х = 0, х = л (рис. 151).
На интервале (—тс; 0) функция у — sin х принимает отрицатель-
ные значения и J sin х dx есть взятая со знаком «минус» площадь
± Рис. 151
186
криволинейной трапеции, ограниченной гра-
фиком функции у — sin х и прямыми у = О,
х = 0, х = —л.
ПРИМЕР 4. Вычислим площадь фигуры,
ограниченной линиями у = х2, х = 2, у = 0.
Искомая фигура на рисунке 152 закраше-
на, ее площадь равна
. Г	г . X3 2	23	О3	8	.	.
8 = х*ах = — - —---------— = - (кв. ед.),
о	3 0	3	3	3
ПРИМЕР 5. Вычислим площадь фигуры,
 Рис. 152	ограниченной линиями у — х2 и z/ = х + 2.
Сначала определим абсциссы точек пере-
сечения графиков функций у — х2 и у = х + 2,
решив уравнение х2 = х + 2.
Корни этого уравнения хх = — 1, х2 = 2. Искомая фигура на ри-
сунке 153 закрашена. Ее площадь вычислим как разность площадей
трапеции ABCD и криволинейной трапеции ABOCD, где В(—1; 1),
С (2; 4). Так как
&ABCD ~
ЛВ + CD	5 _	_ „ .	.
---------AD = - • 3 = 7,5 (кв. ед.),
„	f 2	х:! 2	23	(-D3	81 О < ч
Sabocd = I X dx = ^~	= V--5— = о + о = 3 <кв- е«-)>
о _ 1 м	о	Оо
то S - SABCD — SABOCD -
7,5- 3 = 4,5
(кв. ед.).
Рил 153
О Pnt. 154
187
Первообразная и интеграл
ПРИМЕР 6. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линия-
ми у = х3 и у = х.
Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций у = х3
и у = х, решив уравнение х3 = х. Его корни хх = — 1, х2 = О, х3 = 1.
Данная фигура на рисунке 154 закрашена. Так как обе функции
у = х3 и у = х нечетные и их графики симметричны относительно на-
чала координат, то и фигура симметрична относительно начала ко-
ординат, а площади симметричных частей фигуры равны. Поэтому
искомая площадь равна
*4
Докажем формулу Ньютона—Лейб-
ница. Пусть /(х) есть непрерывная
положительная функция на отрезке
[а; Ь] и пусть и есть произвольная
точка интервала (а; Ь) (рис. 155).
Определенный интеграл
Ф(г/) =
и
f (х) dx
а
О а и u+h b
Рис. 155
от функции f(x) на отрезке [а; и] есть
площадь фигуры, закрашенной сиреневым
цветом. Если верхний предел интеграла
есть переменная величина и, то интеграл Ф(и) есть функция верхне-
го предела.
В частности, Ф(а) = О, Ф(&) = S, где S — площадь криволиней-
ной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (х) и прямыми
у = 0, х = а, х = Ь.
Приращение функции Ф в точке н, соответствующее прира-
щению h (h > 0) аргумента и, есть площадь фигуры, закрашенной
серым цветом:
и + h
Ф(и + h) - Ф(м) = J f(x)dx.
и
Обозначим через т наименьшую ординату, а через М наиболь-
шую ординату точек графика функции у — /(х) на отрезке [и; и + Л].
Очевидно,
mh Ф(и + h) - Ф(и) < М/г,
или
Ф(и + /г)-Ф(и)
т	2И.
h
Если h устремить к нулю, то т —► f (и), М —> f(u), следователь-
но, существует производная
Ф(и+Ь)-Ф(и) ч ,z ч
hm —---------— = Ф (u) = f(u).
h-*G h
Мы доказали, что производная интеграла (как функции верхне-
го предела) равна подынтегральной функции:
f и
J f(x)dx
\а
= /Ч“).
Подчеркнем, что это равенство верно в предположении, что
подынтегральная функция f(x) непрерывна.
Таким образом, Ф(х) есть первообразная для функции f(x).
Любая другая первообразная отличается от нее на постоянную С.
Возьмем какую-либо первообразную F(x), tqvrsl F(x) = Ф(х) 4- С,
откуда
Ф (х) = F (х) - С.
Так как Ф (а) = F(а) - С и Ф (а) = 0, то получим, что С — F(а). Но
ь
тогда J f (х) dx = Ф (Ь) = F (b) — С = F(b) — F (а), и мы доказали форму-
а
лу Ньютона—Лейбница:
ъ
j f (x)dx = F(b) - F(a).
a
Доказательство формулы Ньютона—Лейбница для неположи-
тельных функций проводится аналогично.
Дадим толкование формулы Ньютона—Лейбница с физической
точки зрения. Будем считать, что х есть время, а функция у = F(x)
выражает закон движения точки по прямой, т. е. у есть координата
точки в момент времени х. Тогда F'(x) = f(x) — скорость этой точки.
Путь, пройденный точкой за промежуток времени от х = а до
х = &, очевидно, равен
S = F(b) - F(a).
(2)
Термин «путь, пройденный точкой» не совсем точно выражает
данное явление. Если, например, закон движения таков, что точка
сначала продвинулась вправо, пройдя путь а затем влево, пройдя
путь S2, то S = Si - <S2.
Но этот путь можно вычислить иначе. Разделим промежуток
времени [а; &] на части точками: а = х0 < хг < ... < хл = Ь. В силу не-
прерывности функции /(х) скорость точки на отрезке времени
[х;, Ху + J можно считать приближенно постоянной, равной числу
189
Первообразная и интеграл
f(xj). Тогда путь, пройденный точкой на этом отрезке времени, будет
приближенно равен /(хЛАх., а весь путь будет приближенно равен
сумме f (х0)Ах0 + /(Х|) AXi + ... + f(xn _ OAx„ _ v
Если max Ах. —► 0, то эта сумма стремится к числу, равному ис-
тинной величине пути, пройденного точкой за промежуток времени
[а; 6]. В то же время это число есть, очевидно, определенный инте-
грал от функции /(х) в пределах от а до Ь:
ь
S = lim (/(х0)Ах0 + /(xj Ах! + ... + f(xn _ JAxn _ i) = f f(x)dx.
max Ax.-—>0	J
1	a
Но тогда из последнего равенства и равенства (2) следует равен-
ство (1). Ф
6.45	° Сформулируйте теорему Ньютона—Лейбница.
Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите опреде-
ленный интеграл (6.46—6.51):
6.46
6.47
6.48
а)
xdx\
о
| x2dx;
а)
J x3dx;
о
6.49 а)
6.50 а)
Я
f sinxdx;
о
~2
J cosxdx;
о
п
~2
б) fsinxdx;
п
2
Я
б) Jcosxdx
о
В)
2я
J sinxdx.
о
к
~2
J cosxdx;
п
~ ~2
6.51
а)
б)
в)
о
2
з
з
2
Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите площадь
фигуры, ограниченной линиями (6.52—6.58):
6.52	а) у = х2, х = О, х = 2, у = 0; б) у = sinx, х = О, х = л, у = 0;
Л
в) у = cosx, х — 0, х =—,£/ = 0.
190
г_-____
6.53	а)	у = х2, х = 3, х = 5, у = 0;	б)
в)	у = —, х = 1, х = 4, и — 0.
6.54	а)	у = х2 - 4х + 6 и у = 6;	б)
в)	у = х2 + 1 и у = 3 - х;	г)
6.55	а)	у = х2-2х + 3иу = 3 + 2х;	б)
в)	у = х2 + 2х + 4 и у = 4 — 2х;	г)
6.56	а)	у = sinx, х = -л, х = л, у =	0;
б)	у = sinx, х = 0, х = 2л, у =	0;
.	л Зл л
в)	у = cosx, х = —, X = —, у = 0;
г)	у = cos х, х = 0, х = 2л, у = 0.
6.57 а) у — х3, х = 1, у = О;	б)
в)	у = х3, х = -1, х = 1, у = 0.
6.58* а) у - х2 = 0 и у2 - х = 0; б)
в) у = (1 - х)(х - 5), у = 4 и х - 1;
г)	у = (х + 1)(3 - х), у = 4 и х = 3.
У = х3, х = 1, х = 2, у = 0;
у — -х2 - 4х + 5 и у = 5;
у = 4 - х2 и у = х + 2.
у - х3, х = -1, у = 0;
у — х2 = 0 и у2 + х = 0;
6.59* а) Найдите ту первообразную для функции f (х) = 2х + 4, гра-
фик которой касается прямой у = бх + 3. Вычислите площадь
фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной
и прямыми у = 6х + 3 и у — 0.
б)	Найдите ту первообразную для функции /(х) = 2х - 2, гра-
фик которой касается прямой у = -4х. Вычислите площадь
фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной
и прямыми у = —4х и у = 0.
6.60* Точка движется по прямой. Зависимость ее скорости от време-
ни задана формулой v = f(t). График функции v изображен на
рисунке 156, а—в.
а)	Какой физический смысл имеет площадь S фигуры, закра-
шенной на рисунке?
 Рис. 156
v = v0+at
191
Первообразная и интеграл
б)	Определите по рисунку путь, прой-
денный точкой за промежуток време-
ни: [0;	[0; t2]; [<i; <г1» считая, что
1 единица на оси Ot соответствует 1 с,
1 единица на оси Ov соответствует 1 м/с.
6.61	* В задании 6.60 определите путь S,
пройденный точкой за промежуток вре-
мени [0; £]. Верно ли, что в каждом
случае площадь закрашенной фигуры
равна S - S (tyf!
6.62	* На рисунке 157 изображен график
функции v = /(t), выражающий зави-
симость скорости точки, движущейся

и = f(t)
 Рис 157
прямолинейно, от времени движения.
а)	Определите приближенно путь, пройденный точкой за про-
межуток времени от 1 до 6.
б)	Каким способом в задании «а» можно получить ответ, если
функция v = f(t) задана формулой?
6.7. Свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла выражаются фор-
мулами
ОСО
J f(x}dx = J f(x)dx + j f{x}dx^
а	а	с
b	b
J Af(x)dx — A f(x)dxy yrs A — данная постоянная
a	a
b	b	b
J (f (x) + (p (x))dx — J f(x)dx + | <p (x)dx.
Свойство (1) (для случая a < с < b}
означает, что площадь криволинейной
трапеции над отрезком [а; д] равна пло-
щади трапеции над отрезком [а; с] плюс
площадь трапеции над отрезком [с; 5]
(рис. 158).
Свойство (2) означает, что пло-
щадь криволинейной трапеции, опреде-
ляемой функцией /(х), увеличивается
в А раз (А > 0) для функции Af(x).
Свойство (3) означает, что пло-
щадь криволинейной трапеции, опреде-
ляемой суммой /(х) + ф(х), равна сумме площадей, соответствую-
щих слагаемым /(х) и ф(х).
Конечно, в этих пояснениях мы неявно предполагали, что функ-
ции /(х) и <р(х), так же как и число А, неотрицательные. Ведь если,
ft
например, /(х) < 0 на [а; д], то интеграл J f(x)dx равен площади CO-
fl
ответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком «минус*.
Но и в этом, и вообще в других случаях свойства (1) — (3) верны.
Из равенства (2) следует, что
ь	ь
\(-f(x))dx = - J f(x)dx,
а	а
а из равенств (2) и (3) следует, что
ь	ь
j (Af (х) + Вф (х)) dx = (Af (х) dx +
JВф(x)dx = AJ f(x}dx + в| ф (x)dx
а	а	а	а	а
где А и В — данные постоянные.
Равенство (3) по индукции можно распространить на любое ко-
нечное число слагаемых.
1	ill
ПРИМЕР 1. J(х2 - 2х + l)dx = jx2dx - 2fxdx + fldx =
0	0	0	0
я
2
ПРИМЕР 2. J (2 cos x + 3 sin x) dx =
о
= 2 sinx
к
7
- 3cosx
^=2+3=5.
7t	К
2	2
2  cos x dx + 3 J sin x dx
о	0
2	2
ПРИМЕР 3. J(x2 - 3x + 5)dx - j(x2 - 5x + 4)dx =
о	0
2	2
= j (x2 - 3x + 5 - x2 + 5x - 4) dx = j (2x + 1) dx = (x2 + x)
о	0
= (22 + 2) - (02 + 0) = 6.
2
0
Рассмотрим пример вычисления площади фигуры, которую пе-
ресекает ось Ох.
193
Первообразная и интеграл
ПРИМЕР 4. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками
функций у = —х2 + 2 и у = х2 - 2х - 2.
I способ. Графики данных функций пересекаются в точках с
абсциссами -1 и 2, которые найдены как решения уравнения
—х2 + 2 = х2 - 2х — 2.
Графики данных функций изображены на рисунке 159, и, оче-
видно, сложно вычислить площадь фигуры S обычным способом.
Выполним параллельный перенос графиков на 4 единицы вверх,
чтобы на отрезке [-1; 2] обе функции принимали положительные
значения, т. е. найдем площадь равной фигуры, но ограниченной
уже графиками функций у = — х2 + 6 и у — х2 — 2х + 2 (рис. 160).
Так как
2
J (—х2 + 6) dx
2
= 15 (кв. ед.),
2
S2 = J (х2 - 2х + 2) dx =
-1
= 6 (кв. ед.), то S = iSj - S2 = 15 — 6 = 9 (кв. ед.).
II способ. Как видно из первого способа вычисления площади
фигуры, эта площадь равна
2	2
S = j (-х2 + 6) с/х - j (х2 - 2х + 2)dx.
-1	-i
К Рис. 159
194
Применив свойства (2) и (3) определенного интеграла, имеем
2	2
J (—х2 + 6)dx — J (х2 — 2х + 2)dx =
-i	i
2	2
= J ((-х2 + 6) — (х2 - 2х + 2))dx —
-1
j ((-х2 + 2) - (х2 - 2х - 2))dx.
Таким образом, для вычисления площади фигуры, ограничен-
ной графиками функций у = — х2 + 2 и г/ = х2 — 2х — 2, можно вычис-
лить определенный интеграл:
2	2
S = J((-х2 + 2) - (х2 - 2х - 2))dx = j(-2х2 + 2х + 4))dx =
 Рис. 161
9 (кв.
ед.).
Аналогичное рассуждение можно
провести для функций у — /(х) и у = ф (х),
графики которых пересекаются в точ-
ках с абсциссами а и Ъ (а < д), если эти
функции непрерывны на отрезке [а; &]
и f(x) > (р(х) на всем интервале (а; Ь).
В этом случае площадь фигуры, ограни-
ченной графиками функций у = /(х) и
у = <р(х) (рис. 161), вычисляется по фор-
муле
ь
S = J(/(x) - ф (x))dx.
Рассмотрим еще одно свойство определенных интегралов. Пусть
функция ф(х) имеет непрерывную производную на отрезке [а; д],
а функция f(u) непрерывна на отрезке [с; d], где с = ф(а), d = ф(&),
тогда справедлива формула
b	d
S = j f (ф (х)) ф'(х) dx = J f(u)du
где и — ф(х).
Действительно, если функция F(u) — первообразная для функ-
ции f(u), то (2?(ф(х))Уд. = /*(ф(х)) ф'(х), поэтому
d	d	b
\f(u)du=F(u) = F(d) - F(e) = F(<p(b)) - F(<p(a)) = F(<p(x))	=
J	c	a
c	b
= f ЛфМ) ф'(*Мх.
a
195
Первообразная и интеграл
л
2	П
ПРИМЕР 5. J sin 2х dx = - J
О
О
Я 1
sin и du = - (-cos и)
(подстановка и = 2х, откуда если х = 0, то и = 0, если х = —, то и = л).
6.63 Каковы основные свойства определенных интегралов?
Примените основные свойства интегралов при вычислении ин-
тегралов (6.64—6.66):
6.64
6.65
6.66
1	з
a)	fxdx+fxdx;
о	1
1	2
д) jsinxdx + jsinxdx
о	i
л	2л
6)	J sinxdx + J sinxdx;
О	л
1	2	3
r) (exdx + f exdx + jexdx;
о	1	2
К
+ j sinxdx.
2
3	2
a) [3xdx; 6) [(— 2x4)dx;
2	-i
2
a) f(3x-l)dx;
1
2
в) J (2x2 + 5x — 6)dx;
о
6)
з
j (x2 - 2x)dx;
-2
r) f(-2x2 - x + 8)dx.
-2
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (6.67—6.71):
6.67	а) у =	х=1, х = Зиг/ = 0; б) у - *j2x, х = 1 и у = О.
6.68	а) у = — и у = 3 — д-—; б) у = х2 - 6х + 10 и у = 6х — х2.
4	2
6.69	а) г/ = х2 - 5 и // = -0,5х2 + 1;
б)	у = х2 — 4х + 1 и у = -2х2 + 8х+ 1.
6.70	* а) у = х2 - лх и у = sin х;
_	л 5л
б)	у = sinx, у - cosx, х = — и х = —.
4	4
6.71	а) у = 4 - 0,5х3 и у = 4 - 2х; б) у = 0,5х3 + 8 и у = 2х + 8.
6.72	а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией у =
= 4 + 0,5х2, касательной к ней у = 2х + 2 и прямыми х = 0 и х = 3.
б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией у =
= 8 — 0,5х2, касательной к ней у = 2х + 10 и прямыми х = 0 и х = —3.
6.73
Вычислите определенный интеграл, используя замену пере-
менной:
п
2
a) Jcos2xdx;
о
Г X
sin —dx;
i 3
я
Я
2
6.74* Вычислите определенный интеграл:
П	7
a) J| sin2002x|dx; б) J||||x|—4|-2|-l|dx.
о	-7
6.8*. Применение определенных интегралов
в геометрических и физических задачах
ПРИМЕР 1. Площадь круга. Уравнение
У к
 Рис* 162
окружности радиуса R с центром в начале
системы координат хОу (рис. 162) имеет вид
х2 + у2 = R2, Следовательно, ее часть, распо-
ложенная выше оси Ох, есть график функции
у = Jr? - х2 (-R х « R).
Но тогда площадь круга радиуса R равна
r
S = 2 J -^R2 — х2 dx. Заменим переменную в этом
-R
7Г	71
интеграле: х = Bsin0, 0	. Тогда при
£	£л
возрастании переменной 0 от до — переменная х возрастает от -R
до R. При этом cos0 ^0 и dx = Rcos0d0. Поэтому получим
Я	ГС
2* ___________________________ Т
S = 2 J 7д2 - д2 sin2 0 -R cose de = 2R2 J cos2 e de =
л	я
197
Первообразная и интеграл
cos 20
dO = 21?2 -0 + -sin20
I 2	4
= itR2.
Итак, S = nR2.
ПРИМЕР 2. Объем тела вращения. Пусть Г есть график непре-
рывной положительной функции у = /(х) (а х < Ь) в прямоуголь-
ной системе координат хОу. Вычислим объем V тела вращения,
ограниченного поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х и
плоскостями, проходящими через точки х = а, х = b перпендикуляр-
но оси х (рис. 163). Произведем разбиение отрезка [а; Ь] на части
точками: а = х0 < х1 < ... < xn = b — и будем считать, что элемент
объема ДРh тела вращения, ограниченный плоскостями, проходя-
щими через точки xk и xk + j перпендикулярно оси х, приближенно
равен объему цилиндра высоты ДхЛ = xk + ! — xk и радиуса основания
У к = f(xhy.
&V,, ~ пу2)Ахк = Tt(f(xk))2&xk.
Но тогда объем V может быть записан при помощи приближен-
п — 1
ного равенства V ~ л (f (х^))2Дх^. Чтобы получить точное равенст-
ь= о
во, надо взять предел
lim
k= о
ь
К J (/ (x))2dx,
а
и мы получим формулу для объема тела вращения
ь
V = л J(/(x))2dx.
Ц198
В качестве примера применения формулы (1) докажем, что
объем V шара радиуса R равен
В самом деле, окружность радиуса R в плоскости хОу имеет
уравнение х2 + у2 = R2. Тогда функция у = -yfR2 - х2 (-R х С R)
имеет графиком верхнюю полуокружность Г.
Если вращать полуокружность Г вокруг оси Ох, то получим по-
верхность шара. Но тогда согласно формуле (1) объем шара
V = л J(у/R2 - x2)2dx = л J (R2 — х2) dx = л [ R2x —
4
Приведем другие примеры практических задач, решение кото-
рых сводится к вычислению определенных интегралов.
ПРИМЕР 3. Работа. Пусть к движущейся по прямой точке при-
ложена направленная вдоль этой прямой переменная сила F = /(х),
где f (х) есть непрерывная функция от х — координаты движущейся
точки. Работа силы F при передвижении точки от а до b равна
п - 1	Л
W = lim У/(х.)Дх. = f/(x)dx,
max Дх;-*О . Л J J J
1 J = и	a
где a = х0 < Xi < ... < xn = b, &Xj = Xj+\ - xy-. В самом деле, в силу
непрерывности функции /(х) произведение f(Xj)&Xj близко к истин-
ной работе на отрезке [ху; Ху + х], а сумма таких произведений близка
к истинной работе на отрезке [а; Ь], и притом тем ближе, чем мень-
ше наибольший из всех Дх..
ПРИМЕР 4. Масса стержня переменной плотности. Будем счи-
тать, что отрезок [а; 6] оси Ох имеет массу с переменной линейной
плотностью р(х) > 0, где р(х) — непрерывная на отрезке [а; д] функ-
ция. Общая масса этого отрезка
М =
lim У р (х.)Дх, = I р (x)dx
где а = х0 < Xj <
< Хл = Ь, ДХу = Xj+ ! - Ху.
ПРИМЕР 5. Работа электрического заряда. Пусть с и сг — два
заряда, находящиеся на прямой на расстоянии г друг от друга. Сила
взаимодействия F между ними направлена вдоль этой прямой и рав-
на F = (а = kcc^, где k — постоянная). Работу W этой силы, когда
заряд с неподвижен, а заряд сг передвигается по отрезку [.Hp К2]>
199
Первообразная и интеграл
можно подсчитать, разбивая отрезок [Pj; В2] на части длины Дг;. На
каждой из них приближенно считаем силу постоянной, тогда работа
на таком участке равна —^-Дг,-. Делая части разбиения все более ко-
/
роткими, убеждаемся, что работа
л-1	«2
а
г?
ЛГ/= J (0</?!<B2).
«1 г
Этот интеграл вычисляем, принимая во внимание, что
откуда W = —
В частности, работа, выполненная силой F при передвижении
заряда с19 находившегося сначала на расстоянии Rr от заряда с, на
бесконечность равна
W = Иш а
ПРИМЕР 6. Давление жидкости на
стенку. Бассейн высоты Н наполнен во-
дой. Вычислить давление воды на пря-
моугольную стенку бассейна с основа-
нием а.
Делим высоту Н на п равных ма-
лых частей Д/г. Стенка разделится на
«элементы» (один из них закрашен на
рисунке 164). Так как кубометр воды
весит тонну, то давление столба жидко-
(О < RJ.
fl Рис. 164
сти высоты hi 1л на площадку, имею-
щую площадь 1 м2, равно /г^ тоннам.
Давление же воды на элемент, находящийся на глубине hit рав-
но произведению /г, на площадь элемента: hiO&h. Величина давления
на стенку приближенно равна
п - 1	п — 1
Р ~ aht&h = а >
i = i	1=1
где сумма распространена на все Д/г. Точное же ее выражение равно
п - 1	Н	2
h-.&h = a hdh -а —
—) 2
аНг
2
200
ПРИМЕР 7. Центр тяжести. Центр тяжести системы материаль-
ных точек yr)t (х2; г/г)» (xn> Un) с массами т2, ...» mN
соответственно имеет координаты
Эти формулы распространяются на непрерывно распределенные
по площади массы. Роль конечных сумм играют тогда интегралы.
Найдем центр тяжести сегмента параболы у = 1 — х2 с равно-
мерно распределенной по нему массой, ограниченного снизу осью х
(рис. 165). Для этого отрезок [-1; 1] оси х разделим на п равных час-
тей длины Дх. Одна такая часть более ярко закрашена на рисун-
ке 165. Ввиду малости Дх можно считать, что масса закрашенного
элемента сегмента равна р/(х,)Дх = рг/хДх и она сконцентрирована
в точке
плотность распределения массы.
Ввиду симметрии сегмента абсцисса его центра тяжести равна
х0 = О. Ординату же можно приближенно записать в виде
п - 1
где сумма распространена на все частичные отрезки деления [—1; 1].
Точное выражение для ординаты центра тяжести фигуры полу-
чим, перейдя к пределу при Дх —► О:
Уо~
lim
Дх —»
п - 1
ь
\y2dx
а
~Ь
jydx
(2)
У*
201
Первообразная и интеграл
где в данном случае а = -1, b = 1. Таким образом,
Уо =
1 i
— ((1 - xz)2dx
2 \
11
J (1 - х2)с?х
-1
8
15 _ 2
Т” 5
3
Выражение (2) можно рассматривать как общую формулу для
ординаты центра тяжести фигуры, изображенной на рисунке 166,
с равномерно распределенной по ней массой. Соответствующая фор-
мула для х0 имеет вид
ь
\ydx
6.75	Множество точек координатной плоскости хОу, удовлетворяю-
х2 и2
щих уравнению —т- +	= 1 (а Ь), называют эллипсом.
а 1г
Вычислите площадь фигуры, ограниченной эллипсом:
а) х2 + 9г/2 = 9 (рис. 167); б) 4х2 4- у2 = 4 (рис. 168).
 Рис. 163
6.76	Какова формула для вычисления объема тела вращения?
6.77	Используя формулу объема тела вращения, получите формулы
для вычисления объемов цилиндра и конуса.
6.78	Вычислите объем тела, полученного вращением кривой — гра-
фика функции у = sin х, 0 х тс, вокруг оси Ох,
6.79	Вычислите объем тела, полученного вращением кривой — гра-
фика функции г/ = х2, -2^х<2, вокруг оси Оу,
6.80	К движущейся по прямой точке приложена направленная
вдоль этой прямой сила F = f(x), где х — координата движу-
202
щейся точки. Вычислите работу силы F по перемещению точ-
ки от точки х = а до точки х = Ь, если:
a) f(x) = 2х - 1, а = 0, b = 3; б) f (х) = -х2 + 4, а = 0, b = 2.
6.81	Плотность стержня на отрезке [а; Ь] есть функция р(х) коор-
динаты х (а х С Ь). Вычислите массу стержня, если:
а) р(х) = х + 1, а = 0, & = 2; б)р(х) = 0,Зх2, а = 0, Ъ = 3.
6.9*. Понятие дифференциального уравнения
При решении многих задач, прежде всего физических, встреча-
ются уравнения, в которых неизвестной является некоторая функция.
Уравнения, в которые входят производные искомой функции,
называют дифференциальными уравнениями. Например, уравнения
у + 16/ - X5 = 0,	(1)
Зх2 = у" - у'	(2)
являются дифференциальными уравнениями, так как в них надо
найти функцию у = у (х) и в этих уравнениях содержатся производ-
ные этой функции.
Если в дифференциальное уравнение входит производная толь-
ко первого порядка, то такое уравнение называют дифференциаль-
ным уравнением первого порядка. Если в дифференциальное урав-
нение входит производная второго порядка и не входят производные
порядка выше второго, то такое уравнение называют дифференци-
альным уравнением второго порядка и т. д. Поэтому дифференци-
альное уравнение (1) — первого порядка, а дифференциальное урав-
нение (2) — второго порядка.
Решением дифференциального уравнения называют любую
функцию у — у{х), при подстановке которой в дифференциальное
уравнение получается тождество.
Например, функция у = х2 есть решение дифференциального
уравнения
У’ = 2х.	(3)
Действительно,
у'(х) = (х2)' = 2х.
Отметим, что любая функция вида
у = х2 + С,	(4)
где С — некоторая постоянная, также является решением диффе-
ренциального уравнения (3), так как у'(х) = (х2 + С)' = 2х. Никакая
другая функция не является решением уравнения (3).
Функцию (4) называют общим решением дифференциального
уравнения (3). Давая С какие-либо значения, будем получать част-
ные решения дифференциального уравнения (3).
203
Первообразная и интеграл
Так, функции у = х2, у = х2 + 14, у = х2 - 200 (при С = 0, С = 14
и С = -200 соответственно) являются частными решениями диффе-
ренциального уравнения (3).
Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка име-
ет вид
у' = <р(х),	(5)
где <р(х) — непрерывная на всей оси элементарная функция.
Ясно, что решением уравнения (5) будет любая первообразная
для функции (р(х):
у = |(p(x)dx = F(x) + С,	(6)
где F(x) — некоторая первообразная для функции <р, а С — некото-
рая постоянная, и никакая другая функция не является решением
уравнения (5).
В рассмотренном выше примере <р(х) = 2х, и поэтому по форму-
ле (6) общее решение дифференциального уравнения (3) действи-
тельно выражается формулой (4).
Формула (6) выражает общее решение дифференциального урав-
нения (5), отдельные частные решения уравнения (5) получаются,
если постоянной С придавать различные значения.
Если дано дифференциальное уравнение у" = <р(х), то его общее
решение всегда можно найти так, как показано в следующем примере.
ПРИМЕР 1. Найдем общее решение уравнения
у” = 6х.	(7)
Обозначим у' = z, тогда уравнение (7) можно переписать в виде
г* = 6х. Его решение есть функция z = [бхс?х = Зх2 + С1Э где Сг — не-
которая постоянная.
Так как функция z - у’, то получаем уравнение у' - Зх2 4- Ср
Его решение, а значит и решение уравнения (7), есть функция
у = J (Зх2 + C^dx = х3 + Схх + С2,	(8)
где С2 — некоторая постоянная.
Итак, общее решение уравнения (7) есть функция
где Су и С2 — некоторые постоянные, которые можно задавать неза-
висимо друг от друга.
Давая и С2 какие-либо значения, будем получать частные ре-
шения уравнения (7). Например, функции у = х3, у = х3 — 100,
у = х3 — 8х, у = х3 + 10х +15 являются частными решениями урав-
нения (7).
Как видно из рассмотренных примеров, дифференциальное
уравнение имеет бесконечно много частных решений. Для нахожде-
204
ния какого-либо конкретного частного решения надо задать допол-
нительные условия.
Например, найдем частное решение уравнения (3), т. е. функ-
цию ^ = z/(x), такую, чтобы точка 0(0; 0) принадлежала графику
этой функции. Подставляя в равенство (4) координаты точки О, по-
лучим, что С = 0, т. е. искомое частное решение есть функция
У = х2.
Найдем частное решение уравнения (7), т. е. функцию у = у(х),
такую, что г/(0) = 0, у(1) = 2.
Из равенства (8) следуют равенства у (О) = 0 = 0 +Cj - 0 + С2;
у (1) = 2 = 1 + Cj‘l + С2, откуда С2 = О, Сг = 1. Следовательно, искомое
частное решение есть функция у = х3 + х.
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
У' • ф(0 = /?(х),
(9)
которое является частным случаем дифференциальных уравнений
с разделяющимися переменными.
Покажем, как можно найти общее решение уравнения (9). Учи-
тывая, что у = у{х) есть функция от х, перепишем уравнение (9)
в виде
ф(!/(х))г//(х) = /(х).
Если равны функции, то неопределенные интегралы от них от-
личаются лишь на некоторую постоянную, т. е.
[ Ф (f/(х)) ' (х) dx = \f(x)dx + C,	(10)
где С — некоторая постоянная.
Применяя метод замены переменной (т. е. заменяя y'(x)dx на
dy), перепишем равенство (10) в виде
J<p(y)dy ~ J f(x)dx + C.	(11)
Если функции f(x) и ф(^) — элементарные функции, непрерыв-
ные на всей оси, то и интегралы в обеих частях равенства (11) нахо-
дятся в явном виде, т. е. равенство (11) перепишется в виде
Ф(у) = Лх) + С,
(12)
где Ф(у) — первообразная для функции <р(у), a F(x) — первообраз-
ная для функции f(x). Теперь из равенства (12) выразим у через х.
Полученная функция у(х) и будет общим решением уравнения (9).
ПРИМЕР 2. Найдем общее решение дифференциального урав-
нения
У'У2 = х(1 + х2),	(13)
а затем частное решение дифференциального уравнения (13), удов-
летворяющее условию 1/(0) = 2.
205
Первообразная и интеграл
Применив формулу (11), получим:
(14)
Так как
2»
то из
4
равенства (14) следует равенство =
2 х4
-4- — + С, откуда находим
общее решение уравнения (13):
З3х2 Зх4
V 2 +"Т
(15)
где С — некоторая постоянная.
Для нахождения частного решения уравнения (13), удовлетво-
ряющего условию 1/(0) = 2, подставим в равенство (15) х = 0, у = 2,
получим 2= ^ЗС, откуда С = —. Следовательно, искомое частное
решение есть у =
Отметим, что выше рассмотрено лишь несколько простейших
дифференциальных уравнений. Естественно, что, кроме них, суще-
ствует много других дифференциальных уравнений.
Например, уравнение
= си/,
(16)
где а — данное число, имеет решение у = Се0^, где С — некоторая
постоянная.
В самом деле, у' = аСеах = az/, т. е. функция у — Се^ есть реше-
ние уравнения (16).
Рассмотрим еще одно дифференциальное уравнение
y"+k2y = O,	(17)
где k > 0 — данное число.
Уравнение (17) имеет решение у = A sin kt + В cos kt, где А и В —
некоторые постоянные. Действительно,
z/' = Akcoskt - Bksinkt, у" — —Ak2 sinkt — Bk2coskt.
Подставляя выражения для у и у" в уравнение (17), убеждаемся,
что функция у = Asin&£ + В сов kt есть решение уравнения (17).
6.82
а)	Какое уравнение называют дифференциальным уравнением?
б)	Какое дифференциальное уравнение называют дифферен-
циальным уравнением первого порядка; второго порядка?
в)	Что называют решением дифференциального уравнения?
г)	Что называют общим решением дифференциального урав-
нения; частным решением дифференциального уравнения?
206
.J
Покажите, что функция у = у(х) является решением диффе-
ренциального уравнения, если (6.83—6.84):
6.83	а) у' = х3, у = — х4 + 5; б) у' — sinx, у = —cosx — 1;
в)	у' = cosx - 7, у = sinx - 7х + 2;
г)	у' = 3sinx + 4cosx + 7, у = -3cosx + 4sinx + 7х - 3.
Укажите общее решение дифференциального уравнения.
6.84	а) у’ = 5у, у = е5х;	б) у" = 25г/, у	= е5х;
в) у" = 16г/, у = е~4х;	г) у" = -9г/, у	= sin (Зх + 5).
6.85	Покажите, что функция	у = cos сох +	С2 sin сох является	ре-
шением дифференциального уравнения у" = —со1 2?/.
6.86	Найдите частное решение дифференциального уравнения,
удовлетворяющее условию:
а) у' = 4х3, i/(0) = 1;	б) у' = 5sinx, г/(0) = 0;
в) у’ = 6cosx, г/(л) = 5;	г) у' = 7sinx — 8cosx, у
д) г/"=66х, г/(0)= 1» г/'(0) = 3; е) г/"=-36х, г/(0) = 0; г/'(0) = 2.
6.87
Для дифференциального уравнения у" + 4 г/ = 0 найдите реше-
ние, удовлетворяющее условиям:
а) г/(0) = 2, г/'(0) = 3; б) у(0) = 2, г/'(0) = 0;
в) 1/(0) = 0, г/'(0) = 3.
6.10*. Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
1. Нахождение закона движения тела по его скорости. Пусть
точка движется по оси х. Ее скорость — заданная функция времени
v = и надо найти закон движения точки, т. е. зависимость ее
координаты х от t (t 0), или, как говорят, зависимость пути от
времени.
Пусть искомый закон движения определяется формулой x = F(t).
Производная от х по t равна v = /(<)» где f(t) — непрерывная функ-
ция, т. е.
F\t) = f(t).	(1)
Мы получили дифференциальное уравнение относительно иско-
мой функции F(t). Решить уравнение (1) нетрудно: F(t) есть перво-
образная от f(t). Следовательно,
F(t)= $f(t)dt + C,
207
Первообразная и интеграл
где С — некоторая постоянная. Чтобы найти С для конкретного за-
кона, надо знать дополнительно, где находилась точка в некоторый
момент времени, например при t = 0.
ПРИМЕР 1. Пусть точка движется по оси х. Ее скорость равна
v = 3f2 — 2t (м/с). Найдем закон движения точки х = x(t), если
х(0) = 2.
Пусть искомый закон движения определяется формулой х = F (t).
Тогда F'(t) = 3t2 - 2t и
х = F(t) = J(3i2 - 2t)dt = t3 - t2 + C.	(2)
Подставив t = 0, x= 2 в равенство (2), получим О3 — О2 + С = 2,
откуда С = 2.
Итак, х = £3 - t2 + 2 (м).
2.	Нахождение закона движения тела по его ускорению. Пусть
точка движется по оси х равноускоренно с ускорением, равным дан-
ному числу а, и надо найти закон ее движения.
Пусть искомый закон движение определяется функцией х = F(t).
По условию ее вторая производная равна а:
F"(t) = а.
Но первая производная есть первообразная для второй произ-
водной, поэтому
F'(£) = Ja dt = at + Ь,
где b — некоторая постоянная. Искомая же функция F(t) есть пер-
вообразная для F'(0, поэтому
F(t) = f(at + b)dt =	- + bt + C,
где С — некоторая постоянная.
Итак, общий закон движения выражается формулой
х = F(t} = ^- + bt + c,	(3)
&
где b и С — некоторые постоянные. Таким образом, имеется беско-
нечно много законов движения, служащих решениями поставлен-
ной задачи — каждой паре b и С соответствует свой конкретный за-
кон. Чтобы его найти, надо, например, знать дополнительно, где
находилась точка в некоторый момент времени t0 и какова была ее
скорость в этот момент.
ПРИМЕР 2. Из винтовки выстрелили вверх. Напишем закон
движения пули, считая, что ускорение земного притяжения прибли-
женно равно 10 м/с2, а скорость вылета пули из винтовки 800 м/с
(сопротивлением воздуха пренебрегаем).
Ось х направим вертикально вверх, пусть ее начальная точка
совпадает с точкой вылета пули, за единицу длины примем метр.
Ускорение силы тяжести и сила тяжести направлены вниз, поэтому
в наших расчетах ускорение силы тяжести считаем отрицательным
и равным приближенно —10.
На основании формулы (3) закон движения выражается функ-
цией х — —5t2 + at + С. Так как пуля в момент t = 0 имела координа-
ту х = 0, то 0 = 0 + 0 + С, откуда С = 0. Поэтому х = —5/2 + at.
Чтобы определить а, возьмем производную от х по t:
dx
dt
—10/ + a.
При t = 0 производная равна скорости вылета пули 800 м/с.
Поэтому а = 800 и закон движения имеет вид
х ~ -5/2 + 800/.
3.	Охлаждение тела. Тело, имеющее температуру То, помеще-
но в среду с температурой (То > Найдем закон Т = T(t) зави-
симости его температуры от времени t.
„	dT
Из курса физики известно, что скорость охлаждения тела ——
dt
пропорциональна разности Т - Тх температур тела и окружаю-
щей среды. Учитывая, что функция T(t) убывающая, получим
dT
dt
= —k(T — TJ,
(4)
где k — коэффициент пропорциональности.
Так как dT = d(T - 7\), то, обозначив 0 = Т - Т
уравнение (4) в виде
dt
перепишем
(5)
Мы получили дифференциальное уравнение относительно функ-
ции 0 = Т - 7\ от t.
Уравнению (5) удовлетворяет функция
0 = Аек‘,	(6)
где А — некоторая постоянная.
Можно доказать, что формула (6) исчерпывает все решения
уравнения (5).
Формула (6) дает бесконечно много решений поставленной зада-
чи, соответствующих разным значениям постоянной А:
откуда Т = Тх + Ае kt. Для нашей задачи Т = То при t = 0, поэтому
А = То - Тх и решение данной задачи имеет вид
Т =	+ (Т0-
Из полученной формулы видно, что Т = То при t = 0, затем
с увеличением t температура Т тела весьма быстро уменьшается.
При t +оо она стремится к Тг (Т —* Т1 при t +оо).
209
Первообразная и интеграл
ПРИМЕР 3. Кипящий электрический самовар вынесли на воз-
дух, и за 10 мин он остыл до 60°. Температура воздуха 20°. За сколь-
ко минут самовар остынет до 25°?
dT
Здесь То = 100, Тх — 20, поэтому для функции Т = T(t) верно ра-
dT
венство —— = — k(T — 20), или
dt
ddt 20> = ~k(T ~ 20)’
(7)
Уравнению (7) удовлетворяет функция Т — 20 + Ае kt, где А —
некоторая постоянная.
Из условия задачи следует, что
Т(0) = 20 + Ae~°k = 100 и Т(10) = 20 + АгГ10А = 60.
Из первого условия имеем А = 80, тогда из второго условия
-k _
. Теперь для ответа на вопрос задачи надо решить уравне-
12
ние 25 = 20 + Ae~kt относительно t. Так как е~к =
5= 80-
откуда находим t = 40.
то получаем
2
Итак, самовар остынет до 25° через 40 мин.
4.	Радиоактивный распад. Радиоактивное вещество в момент
времени t = 0 имеет массу /п0. Требуется найти закон m = m (t) изме-
нения массы этого вещества от времени t.
Из курса физики известно, что скорость радиоактивного распа-
dm
да — пропорциональна имеющейся в данный момент массе вещест-
dt
ва. Учитывая, что функция m(t) убывающая, получим равенство
dm	„
— = -Zezn, где k — коэффициент, зависящий от свойств взятого ра-
dt
диоактивного вещества.
Дифференциальное уравнение такого вида мы уже рассматрива-
ли (см. уравнение (5)). Этому уравнению удовлетворяет функция
m — Ае kt, где А — некоторая постоянная. Значения А и k находят
из условия задачи.
5.	Гармонические колебания. К висящей пружине снизу при-
креплен груз массой т. Ось х направлена вниз (рис. 169). В непод-
вижном положении груз находится в начальной точке оси х. Выве-
дем пружину из равновесия, сжав или растянув ее, и отпустим ее
в момент времени t = 0. Груз будет колебаться в вертикальном на-
правлении. Требуется найти закон x — x{t) изменения координаты
груза от времени t.
По закону Ньютона в любой момент произведение массы т на
ускорение х" равно силе, действующей на груз в этот момент. Это
 Рис. 169
сила упругости, равная по закону Гука
произведению некоторого постоянного
коэффициента а на величину отклонения
груза от положения равновесия. Силы эти
противоположно направлены, поэтому
справедливо равенство тх" = —ах. Обо-
о О-
значив k- —, получим дифференциаль-
ное уравнение
х" + k2x = О.
(8)
Это дифференциальное уравнение
второго порядка. Функция
х (£) = A sin kt + В cos kt,
(9)
где А и В — некоторые постоянные,
является решением дифференциального
уравнения (8).
Мы видим, что дифференциальное
уравнение (8) имеет бесконечно много ре-
шений, соответствующих произвольным
парам чисел А и В. Каждая конкретная
функция х(£) находится заданием двух
условий. Обычно в качестве этих условий задают х0 — отклонение
груза в момент времени t = О и Xq — скорость, сообщенную грузу
в момент времени t = 0.
Например, пусть х0 0 и xj = 0 при t = 0, тогда из формулы (9)
следует, что х0 = В и х'(0 = kAcoskt — xQksh\kt, 0 = kA, А = 0.
Поэтому груз колеблется по закону
х(£) = x0coskt.
Формулу (9) (для А2 + В2 > 0) можно записать в виде
x(f) = С cos(kt — а)
(С > 0).
(10)
Число С = у/а2 + В2 называют амплитудой колебаний. Отклоне-
ние груза х(0 удовлетворяет неравенствам —С С x(t) < С, и при этом
существуют значения t, для которых х = С и х = —С. Число k назы-
2 тс
вают частотой колебаний. Функция (10) имеет период, равный —.
О	1	k	CZ ~ Т-Г
За единицу времени происходит 1: — = — колебании. Наконец,
k 2тс
число а называют фазой колебаний.
Замечание. Формула (10) моделирует процесс колебания пружи-
ны неточно. Она пригодна только для достаточно маленького проме-
жутка времени [0; t0], при ее выводе не учтены силы трения, возни-
кающие при колебании пружины, и сопротивление воздуха. Выше
Г 211
Первообразная и интеграл
установлено, что функция (9) является решением дифференциально-
го уравнения (8), но не показано, как найти такое решение. Нахож-
дение решения уравнения (8) требует знания комплексных чисел.
6.88 Точка движется по оси х со скоростью:
a) v — 3; б) v = а; в) и = 2t; г) и = at; д) v = cost; е) v =
Найдите возможные законы движения точки. Определите сре-
ди этих законов тот, для которого х = 0 при t = 0, а также тот,
для которого х = 1 при t = 1.
6.89 Нарисуйте график функции х = —5f2 + 800f, задающей закон
движения пули, выпущенной вверх, и определите:
а) наибольшую высоту, на которую поднимется пуля;
б)	момент времени, когда пуля достигнет наибольшей высоты;
в)	момент падения пули на землю;
г)	скорость пули в момент ее падения на землю.
6.90	Материальная точка падает с высоты 1000 м. Через сколько
секунд она упадет на землю и с какой скоростью? Сопротивле-
нием воздуха пренебречь и считать ускорение силы тяжести
приближенно равным 10 м/с2.
6.91	На высоте 2000 м от земли выстрелили из винтовки вверх.
Скорость вылета пули 800 м/с.
а)	Напишите закон движения пули, нарисуйте его график.
б)	Какой наибольшей высоты достигнет пуля?
в)	Через какое время пуля достигнет наибольшей высоты?
г)	Через какое время пуля упадет на землю?
д)	С какой скоростью пуля упадет на землю?
Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение силы
тяжести приближенно равным 10 м/с2.
6.92	В задаче 6.91 считать, что выстрел направлен вниз и ускорение
земного притяжения равно 10 м/с2, а скорость вылета пули из
винтовки 800 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
а)	Через какое время пуля достигнет земли?
б)	С какой скоростью пуля упадет на землю?
6.93	Кипящий электрический самовар отключили от сети и вы-
несли на воздух. За 12 мин он остыл до 52°. Температура воз-
духа 28°. Какой будет температура самовара через 24 мин?
6.94	Кипящий электрический самовар вынесли на воздух, и за
10 мин он остыл до 60°. Температура воздуха 20°. За сколько
минут самовар остынет до 30°?
6.95	* Первоначально в баке было 100 л раствора, содержащего 10 кг
соли. В бак непрерывно вливается 5 л чистой воды в минуту,
и столько же раствора выливается из бака. Весь процесс про-
исходит при тщательном перемешивании раствора. Сколько
килограммов соли останется в баке через 1ч?
212
Исторические сведения
Развивая идеи
В своем сочинении «Квадратура параболы»
Архимед пользовался методом исчерпывания
для вычисления площади сектора параболы,
этот же метод или его варианты он применял
для определения площадей и объемов других
фигур. Он вычислял площадь сегмента парабо-
лы, вписывая в нее подходящие многоугольни-
ки с неограниченным возрастанием числа их
сторон. Вершины этих многоугольников он вы-
бирал так, чтобы иметь возможность вычисле-
ния пределов.
предшественников, Архимед определил длину
окружности и площадь круга, объем и поверхность шара. В работах
«О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах» он
показал, что определение объемов шара, эллипсоида, гиперболоида
и параболоида вращения сводится к определению объема конуса
(значит, и объема цилиндра). Архимед разработал и применил мето-
ды, предвосхитившие созданное в XVII в. интегральное исчисление.
Фактически Архимед ввел понятие интегральных сумм (верх-
них и нижних) и объем полуэллипсоида как общий предел этих
сумм при п -* оо. Используя современный язык, Архимед определил
следующие интегралы:
J (х2 + Ъх) dx =
о
i J sin <р dtp = 1
л о
J sin ф </ф = -cos а + 1.
о
Конечно, у Архимеда не было еще общих понятий предела и ин-
теграла, общего алгоритма интегрального исчисления. Его выклад-
ки связаны только с решением конкретных геометрических задач
без указания на то, что в основе их решения лежит общий прием
арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигур.
Символы J, dx и название «интеграл» были введены Лейбницем.
В то время знак суммирования X писали обычно в виде S, и символ J
представляет собой просто стилизацию буквы S.
В XVII в. математики уже умели вычислять площади многих
фигур с кривыми границами и объемы многих тел. Они умели также
вычислять мгновенную скорость и наклон касательной к кривой
в разных частных случаях. Эти работы составили основу для созда-
ния общего математического анализа, но сначала они представляли
собой разрозненные результаты, не объединенные общей теорией.
Исторические сведения
А общая теория была создана во второй половине XVII в. в тру-
дах английского математика Исаака Ньютона (1643—1727) и немец-
кого математика Готфрида Лейбница (1646—1716). Ньютон и Лейб-
ниц являются основателями дифференциального и интегрального
исчислений.
Они открыли важную формулу (Ньютона — Лейбница):
ь
J f(x)dx = F(b)~ F(a),
а
где f(x) — функция, интегрируемая на отрезке [а; 6], F(х) — одна
из ее первообразных (неопределенный интеграл).
Сделанное Ньютоном и Лейбницем открытие органической свя-
зи между понятиями интеграла и производной установило связь ме-
жду дифференциальным и интегральным исчислениями, способство-
вало небывалому развитию математической науки.
В XVIII в. крупнейшим представителем математического анали-
за был Леонард Эйлер (1707—1783) — академик Российской акаде-
мии наук.
Рассуждения, которые приводили Ньютон и Лейбниц, несовер-
шенны с точки зрения современного математического анализа. Чет-
кого определения понятия предела и понятия функции тогда еще не
существовало. Эти понятия совершенствовались в XVIII в., в частно-
сти, в трудах Эйлера.
Только в начале XIX в. были окончательно созданы понятия
предела последовательности чисел, предела функции, непрерывно-
сти функции, на которых основывается современный классический
математический анализ. Обычно при этом отмечаются заслуги фран-
цузского математика Огюстена Коши (1789—1857), которому при-
надлежат четкие формулировки указанных понятий.
Отметим, что наряду с производной и интегралом (определен-
ным и неопределенным) очень важными понятиями в математиче-
ском анализе являются формула и ряд Тейлора, названные так
в честь английского математика Брука Тейлора (1685—1731).
Например, значения элементарных функций ех, In х, sin х и др.
на практике вычисляют именно при помощи формулы Тейлора
(см. п. 5.12).
Глава II
Уравнения. Неравенство. Системы
2х+5 — (х+2)?
х+2 О
Ранее рассматривались рациональные, показательные, логариф-
мические, тригонометрические уравнения и неравенства, а также
системы рациональных уравнений и неравенств.
В этой главе будут сформулированы утверждения, с помощью
которых решают более сложные уравнения, неравенства и системы.
Доказательства многих из этих утверждений аналогичны, поэтому
далее приводятся доказательства лишь некоторых из них.
§ 7.	Равносильность уравнений и неравенств
7.1.	Равносильные преобразования уравнений
Пусть даны два уравнения f(x) = g(x) и (р (х) = (х). Если любой
корень первого уравнения является корнем второго, а любой корень
второго уравнения является корнем первого, то такие два уравнения
называют равносильными. Другими словами, два уравнения равно-
сильны, если совпадают множества всех корней1 этих уравнений.
В частности, два уравнения равносильны, если каждое из них не
имеет корней.
Например, уравнения х3-1 = 0их5-1 = 0 равносильны, так как
каждое из них имеет единственный корень 1. Уравнения х2 + 1 = О
и х4 + 1 = 0 равносильны, так как каждое из них не имеет кор-
ней. Уравнения х3 - 1 = О и х2 - 1 = 0 не равносильны, так как пер-
вое из них имеет единственный корень 1, а второе — два корня: 1 и -1,
т. е. так как не совпадают множества корней этих двух уравнений.
Замену одного уравнения другим равносильным ему уравнением
называют равносильным преобразованием уравнения.
1 В дальнейшем слово «всех» во фразе «множество всех корней» для крат-
кости опускаем, но подразумеваем его.
215
Равносильность уравнении и неравенств
Если при решении уравнения совершено равносильное преобра-
зование уравнения, то множество корней преобразованного уравне-
ния совпадает с множеством корней исходного уравнения.
Перечислим основные равносильные преобразования уравнений.
Начнем с преобразований, которые уже применялись ранее.
1.	Перенос члена уравнения (с противоположным знаком) из
одной части уравнения в другую.
2.	Умножение (деление) обеих частей уравнения на отличное от
нуля число.
3.	Применение тождеств, т. е. равенств, справедливых для каж-
дого х е R.
Отметим, что при применении преобразований 1—3 часто даже
не пишут, что получилось уравнение, равносильное исходному, а пи-
шут: «перепишем исходное уравнение в виде...».
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
3cos2x = 1 - 2cos2x.	(1)
Применив тождество cos 2х = 2 cos2 х — 1, перепишем уравне-
ние (1) в виде
3 cos 2х — -cos 2х.	(2)
Перенеся все члены уравнения (2) в левую часть, а затем разде-
лив обе части полученного уравнения на 4, перепишем уравнение (2)
в виде
cos 2х — О.	(3)
Все корни уравнения (3), а значит, и равносильного ему уравне-
ния (1) составляют серию решений xk =	keZ.
Ответ. — + —, k е Z.
4	2
Замену уравнения f{x) = g(x) уравнением fn (х) = gn (х), где
п g N и п 2, называют возведением уравнения в степень п.
Замену уравнения /(х) = g(x) уравнением ^//(х) =	где
п g N и п 2, называют извлечением корня степени п из обеих час-
тей уравнения.
Замену уравнения af^ = agtx\ где а>0 и а^1, уравнением
f(x) = g(x) называют логарифмированием показательного урав-
нения.
Перечислим еще несколько равносильных преобразований урав-
нений.
4.	Возведение уравнения в нечетную степень.
5.	Извлечение корня нечетной степени из обеих частей урав-
нения.
6.	Логарифмирование показательного уравнения.
216
s____
Равносильность преобразований 4—6 следует из утверждений:
1.	Пусть 2т + 1 (т е N) — фиксированное нечетное число,
тогда равносильны уравнения
f(x) = g(x)
и
(4)
(х) =	+
‘(х).
(5)
2.	Пусть 2 т + 1 (me N) — фиксированное нечетное число,
тогда равносильны уравнения
f(x) = £(х) и 2,71 + Уf (х) = 2771 *V^(x).
3.	Пусть фиксированное число а таково, что а > О и а Ф 1,
тогда равносильны уравнения
^/(х) _ ag (х) и =
I
Так как доказательства всех этих утверждений аналогичны, то
приведем только доказательство утверждения 1.
 Пусть число х0 — любой корень уравнения (4), т. е. пусть суще-
ствуют числа f(x0) и g(x0), для которых справедливо числовое
•с равенство /(х0) = £(х0). Но если равны числа, то равны и их лю-
бые нечетные натуральные степени, т. е. справедливо числовое
равенство
fZm +1 (х0) = g2m + 1 (х0).
Полученное равенство означает, что любой корень уравнения (4) яв-
ляется корнем уравнения (5).
Докажем обратное.
Пусть число хг — любой корень уравнения (5), т. е. пусть суще-
ствуют числа f{Xi) и ^Cxj), для которых справедливо числовое ра-
венство
/2т + 1 (Xi) = g2"1 + 1 (Х1).
Из равенства чисел следует равенство корней любой нечетной нату-
ральной степени, т. е. справедливость числового равенства —
= g(Xi). Полученное равенство означает, что любой корень урав-
нения (5) является корнем уравнения (4).
Из доказанного выше следует, что если хотя бы одно из уравне-
ний (4) и (5) имеет корень, то эти уравнения равносильны.
Покажем, что если уравнение (4) не имеет корней, то и уравне-
ние (5) не имеет корней.
Предположим противное, т. е. предположим, что уравнение (5)
имеет хотя бы один корень х2. Тогда по доказанному выше число х2
является корнем уравнения (4), что противоречит условию: уравне-
ние (4) не имеет корней. Следовательно, наше предположение невер-
но, т. е. уравнение (5) не имеет корней.
Аналогично показывается, что если уравнение (5) не имеет кор-
ней, то и уравнение (4) не имеет корней.
Равносильность уравнений и неравенств
Следовательно, если хотя бы одно из уравнений (4) и (5) не име-
ет корней, то эти уравнения равносильны.
Итак, утверждение 1 полностью доказано. •
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
fl2x2 - 28х + 8 = 2- х.
Возведя уравнение (6) в третью степень, получим уравнение
12х2 - 28х + 8 = (2 - х)3,
(6)
(7)
равносильное уравнению (6). Уравнение (7) имеет три корня: -8; 0; 2.
Следовательно, равносильное ему уравнение (6) имеет те же корни.
Ответ. —8; 0; 2.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
(х - 5)11 = (2х + 4)11.	(8)
Извлекая корень 11-й степени из обеих частей уравнения (8),
получим уравнение
х — 5 = 2х + 4,	(9)
равносильное уравнению (8). Уравнение (9), а значит, и равносиль-
ное ему уравнение (8) имеют единственный корень —9.
Ответ. -9.
ПРИМЕР 4. Решим
уравнение
gx2 - 2х _ gx - 2
(10)
Логарифмируя показательное уравнение (10), получим, что оно
равносильно уравнению
х2 - 2х = х — 2,	(11)
имеющему два корня: 1 и 2. Следовательно, и равносильное уравне-
нию (11) уравнение (10) имеет те же корни.
Ответ. 1; 2.
При решении уравнений часто приходится применять несколь-
ко равносильных преобразований.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
(х2 - 8х + 2х - I)7 = (х2 - 2х - I)7.	(12)
Извлекая корень 7-й степени из обеих частей уравнения (12),
получим уравнение
х2 - 8х + 2х - 1 = х2 - 2х - 1,	(13)
равносильное уравнению (12). Перенеся все члены уравнения в ле-
вую часть и приведя подобные члены многочлена, перепишем урав-
нение (13)в виде
2 • 2х - 8х = 0.
(14)
218
Так как справедливы тождества 2 • 2х = 2х + 1 и 8х = 23х, то урав-
нение (14) можно переписать в виде
2х+1 = 23х.	(15)
Логарифмируя показательное уравнение (15), получим равно-
сильное ему уравнение
(16)
имеющее единственный корень —. Следовательно, и равносильное
уравнению (16) уравнение (12) имеет тот же корень.
л 1
Ответ. —.
ПРИМЕР 6. Решим уравнение
5х + 1 = 2х + 2.
Перепишем уравнение (17) в виде
gx+l _ g(x + 2)log52>
(17)
(18)
Логарифмируя показательное уравнение (18), получим равно-
сильное ему уравнение
х + 1 = (х + 2)log52.	(19)
Уравнение (19), а следовательно, и равносильное ему уравнение (17)
имеют единственный корень log2 50,8.
Ответ. log250,8. ф
7.1° а) Какие два уравнения называют равносильными?
б)	Какие преобразования уравнения называют равносильными?
Приведите примеры равносильных преобразований уравнения.
7.2	* Докажите утверждения:
а)	об извлечении корня нечетной степени из обеих частей урав-
нения;
б)	о логарифмировании показательного уравнения.
7.3	Объясните, почему равносильны уравнения:
а) х + 5 = 2х-Зих-2х+5 = -3;
— х2
2
ж)
з) sin3 х = — и sin х = —
219
Равносильность .уравнении и неравенств
Решите уравнение (7.4—7.12):
7.4	a) cos 2х - cos2 х — sin х = 0;
в) cos2x + cos2x — 0,5 = 0;
7.5	а) ^х3 + 3x15 = х;
в)	^/х3 - Зх - 1 = х - 1;
7.6 а) у/х = х;
в) 4 ^/х + 2 = х 4- 2;
б) cos 2х - cos2 х + sin х = 0;
г) cos 2х - sin2 х + 0,5 = 0.
б) у'х3 - Зх - 4 = х;
г) ^х3 — Зх +1 = х +1.
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
а)
в)
а)
в)
а)
г)
а)
в)
д)
а)
а)
в)
Д)
(2х - З)7 = (х + I)7;
(Зх2 - 4х)9 = (х2 - 8х)9;
(5sin2x - 4)n = (sin2x - I)11;
(4х - 5)" = (3 • 2х - I)99;
0,5 • 21,2 + 2х;
О1 4 Зх
-------= 27 • 3’ -2х;
9
(0,81)~2х =
21- 1 = 3х; б) 2х = Зх + 1; в)
кх + sin х
_ fjsin х + 2.
(х2 - sinx)101 = (х2 + 1)
101.
5
б) (Зх + I)5 = (х + 9)5;
г) (5х2 + 4х)3 = (х2 + 2х)3.
б) (5 cos2x - I)7 = (cos2x + I)7;
г) (9х - I)95 = (3х + 5)95.
б) 42х-7 = 4х"1;
д) 25х+1 =5х2+3х;
ок0,2
б) 0,2  50.2х + 3 = £1
е)
2х-2=3х-3. г) 2х-3 = 3х-2
б) 6’VX +1 = 6^х ~ ‘;
г) (х7 + cosx)103 = (х7 - I)103;
sin2 х + 4х — 6 — Vsin2 х — 2х;
е) л/sin2 х + 9х = ^/-cos2 х + 3х + 7.
7.13* При каком значении параметра а уравнение 3х2 2х + а = 9х
имеет единственный корень?
7.2. Равносильные преобразования неравенств
Пусть даны два неравенства f (х) > g(x) и ф(х)>\|/(х). Если
любое решение первого неравенства является решением второго,
а любое решение второго неравенства является решением первого,
то такие два неравенства называют равносильными. Иными слова-
220
ми, два неравенства равносильны, если совпадают множества всех
решений1 этих неравенств. В частности, два неравенства равносиль-
ны, если каждое из них не имеет решений.
Например, неравенства х > 1 и х3 > 1 равносильны, так как мно-
жество решений каждого из них одно и то же: (1; +оо), а неравенства
х2 + 1<0их4 + 1<0 равносильны, так как каждое из них не имеет
решений.
Замену одного неравенства другим равносильным ему неравен-
ством называют равносильным преобразованием неравенства.
Если при решении неравенства совершено равносильное его пре-
образование, то множество решений преобразованного неравенства
совпадает с множеством решений исходного неравенства.
Перечислим основные равносильные преобразования неравенств.
Начнем с преобразований, которые уже применялись ранее.
1.	Перенос члена неравенства (с противоположным знаком) из
одной части неравенства в другую.
2.	Умножение (деление) обеих частей неравенства на положи-
тельное число.
3.	Применение тождеств.
Отметим, что применение к неравенству преобразований 1—3
приводит к неравенству с тем же знаком. При этом часто даже
не пишут, что получилось неравенство, равносильное исходному,
а пишут: «перепишем исходное неравенство в виде...».
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
х3 - 4 > 4х - х2.	(1)
Перенеся все члены неравенства в левую часть (1), перепишем
его в виде
х3 + х2 — 4х — 4 > 0.	(2)
Разложим на множители левую часть неравенства (2):
х3 + х2 - 4х — 4 = х2(х + 1) - 4(х + 1) = (х + 1)(х - 2)(х + 2).
Применяя это тождество, перепишем неравенство (2) в виде:
(х + 1)(х - 2)(х + 2) > 0.	(3)
-2 -1
 Рис. 179
Применяя метод интервалов (рис. 170),
получим, что множество решений нера-
венства (3), а значит, и равносильного ему
неравенства (1) есть объединение двух
промежутков: (—2; -1) U (2; +оо).
Ответ. (-2; -1) U (2; +оо).
Замену неравенства f(x)>g(x) неравенством fn (х) > gn (х), где
п е N и п 2, называют возведением неравенства в степень п.
1 В дальнейшем слово «всех» во фразе «множество всех решений» для крат-
кости опускаем, но подразумеваем его.
221
Равносильность уравнений н неравенств
Замену неравенства f(x) > g(x) неравенством r\]f (х) > r\[g (х), где
п g N и п 2, называют извлечением корня степени п из обеих час-
тей неравенства.
Замену неравенства af^>a8^ неравенством f(x)>g(x) (при
а > 1) или неравенством /(х) < £(х) (при 0 < а < 1) называют лога-
рифмированием показательного неравенства.
Перечислим еще несколько равносильных преобразований нера-
венств.
4.	Возведение неравенства в нечетную степень.
5.	Извлечение корня нечетной степени из обеих частей неравен-
ства.
6.	Логарифмирование показательного неравенства.
Отметим, что применение к неравенству преобразований 4 и 5
приводит к неравенству с тем же знаком; применение преобразова-
ния 6 при а > 1 приводит к неравенству с тем же знаком, а при
О < а < 1 — к неравенству с противоположным знаком.
Равносильность преобразований 4—6 следует из утверждений:
1.	Пусть 2т +1 (т е N) — фиксированное нечетное число,
тогда равносильны неравенства /(х) > g(x) и f2m + 1 (х) > g2m + 1 (х).
2.	Пусть 2т + 1 {т е N) — фиксированное нечетное число,
тогда равносильны неравенства /(х) > g(x) и Zm+tff(xj >	' \]g(x).
3.	Пусть а — фиксированное число. Тогда если а > 1, то рав-
носильны неравенства аЛх) > ag и f(x) > g(x); если же 0 < а < 1,
то равносильны неравенства	и /(х) < £(Х).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
х — 1 > ^/х3 - 2х2 + 4х - 7.
(4)
Возведя неравенство (4) в третью степень, получим неравенство
(х - I)3
(5)
равносильное неравенству (4).
Применив формулу куба разности, перенеся все члены неравен-
ства в правую часть и приведя подобные члены многочлена, полу-
чим неравенство
х2 + х - 6 < О,	(6)
равносильное неравенству (5), а значит, и неравенству (4). Решив
квадратное неравенство (6), найдем множество его решений — ин-
тервал (—3; 2). Так как неравенство (6) равносильно неравенству (4),
то множество решений неравенства (4) составляет тот же интервал.
Ответ. (-3; 2).
222
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
(2х2 - Зх + I)7 < (х2 + х + I)7.	(7)
Извлекая корень 7-й степени из обеих частей неравенства (7),
получим неравенство
2х2 - Зх + 1 < х2 + х + 1,	(8)
равносильное неравенству (7). Неравенство (8), а значит, и равно-
сильное ему неравенство (7) имеют одно и то же множество реше-
ний — интервал (О; 4).
Ответ. (О; 4).
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
Зх2 - х < 91 - х	(9)
Неравенство (9) можно переписать в виде
3х* - х < 32(1 - х)	(Ю)
Логарифмируя показательное неравенство (10), получим, что
оно равносильно неравенству
х2 - х < 2(1 - х),
множество решений которого есть интервал (—2; 1). Следовательно,
этот интервал есть множество решений и неравенства (10), а также
равносильного ему неравенства (9).
Ответ. (-2; 1).
При решении неравенств часто приходится применять несколь-
ко равносильных преобразований.
ПРИМЕР 5. Решим неравенство
1	- 3х + 52х > 1 Уэх - 3х + 53х.	(11)
Возведя неравенство (11) в 11-ю степень, получим равносильное
ему неравенство
9х - 3х + 52х > 9х - 3х + 53х.	(12)
Перенеся члены 9х и -3х неравенства (12) в левую часть и поль-
зуясь тождествами 9х - 9х = 0 и 3х - 3х = 0, получим равносильное
ему неравенство
52х > 53х.	(13)
Логарифмируя показательное неравенство (13), получим, что
оно равносильно неравенству 2х > Зх, множество решений которо-
го, а значит, и равносильного ему неравенства (11) есть интервал
(-оо; 0).
Ответ, (-оо; 0).
223
Равносильность уравнений и неравенств
Наряду со строгими неравенствами часто встречаются нестрогие
неравенства.
Для решения нестрогого неравенства
f(x)>g(x)	(14)
надо: 1) решить уравнение
/(х) = я(х);	(15)
2) решить неравенство
f(x)>g(x)t	(16)
и тогда множество решений неравенства (14) есть объединение
всех решений уравнения (15) и всех решений неравенства (16).
ПРИМЕР 6. Решим неравенство
(17)
Сначала решим уравнение
(18)
Логарифмируя показательное уравнение (18), получим, что оно
равносильно уравнению
1 — 2х — -х + 5,
имеющему единственное решение х0 = —4.
Теперь решим неравенство
(19)
Логарифмируя показательное неравенство (19), получим, что
оно равносильно неравенству
1 - 2х < -х + 5,
множество решений которого составляют все х > — 4.
Объединяя решения уравнения (18) и неравенства (19), находим
все решения неравенства (17) — они образуют промежуток [—4; +оо).
Ответ. [-4; +оо).
7.14	° а) Какие два неравенства называют равносильными?
б)	Какие преобразования неравенства называют равносильны-
ми? Приведите примеры равносильных преобразований нера-
венств.
224
7.15	* Докажите утверждения:
а)	о возведении неравенства в нечетную степень;
б)	об извлечении корня нечетной степени из обеих частей не-
равенства;
в)	о логарифмировании показательного неравенства.
7.16	* Докажите, что если число а > 0, то неравенства f(x)>g(x)
и af(x) > ag(x) равносильны.
7.17	* Докажите, что если число а < 0, то неравенства f(x)>g(x)
и af (х) < ag(x) равносильны.
7.18	° Объясните, почему равносильны неравенства:
а) х2 — 2х > - 1 и х2 - 2х + 1 > 0; б) Зх > 6 и х > 2;
в) х2 < 2х + 1 и -х2 > —2х - 1; г) х2 - 4х + 4 > 0 и (х - 2)2 > 0;
д) х2 — 4х + 5 + 2х<0 и х2 - 2х + 5< 0; е) л/х > 2 и х > 8;
ж) х7 > 3 и х > з) 0,1х2 ” 2х > 0,1х и х2 - 2х < х;
и) 5sin х < 5COS х и sin х < cos х.
7.19
Решите неравенство (7.19—7.32):
а)	х3 - 5х2 + 4х > (х — I)3;
б)	х3 - 6х2 + 9х > (х - З)3;
в)	х3 + 5х2 — 6х - 2 < Зх2 - Зх + 4;
г)	2х3 + Зх2 - 4х - 6 > х3 - 2х.
7.20	* a) cos 2х + 3 sin2 х + 2 sin х < 4; б) cos 2х — cos2 х — 2 cos х < —2.
7.21	а) 4х + 2х + х2 < х2 + 6; б) 27х + 9х > 3х + 6 + 27х.
7.22	а) ^Зх3 - Зх2 - х + 5 > ^2х3 - 4х2 + х + 5;
б)	^/бх3 — 6х2 + Зх + 1 < ^4х3 — х2 — Зх +1.
7.23	а)	х + 1 > ^/х3 + 2х2 - Зх - 4;	б)	х + 2 < ^х3 + 5х2 + 7х + 2.
7.24	а)	(5х - 2)9 < (Зх - 14)9;	б)	(Зх - 7)7 > (5х - II)7;
в)	(х2 - бх)11 > (2х2 - 7х)п;	г)	(Зх2 + х)33 < (х2 + Зх)33.
7.25	a) (6sin2x — б)13 < (2sin2x — 2)13;
б)	(6cos2x — З)3 > (2cos2x - I)3;
в)	(2х + 7)9 > (3  2х + I)9; г) (2 • 3х - I)51 < (3х + 8)5'.
7.26	а)	2Х + 1 > 2х2"5;	б)	(0,3)2х + 5 > (0,3)х2 +	2;
в)	б2х-9< 5х2-12;	г)	(0,5)4х-7 < (О.б)^-4.
7.27	a)	42x-7>23x + i;	б)	б^'^гб"141;
в)	75х + 1 < 49х - 2;	г)	8х + 1 > 64х.
Л' ранней ия - с ледстн н я
7.29 а) 5х " 1 > 4х; б) 4х < 5х * Ч
7.30 а) 5х* - 2х > 2х - 2;	б)
в) 3х - х > 5х'1;	г)
б) 16^х^°<1б''2х + 20;
г) (х8 + cosx)13 < (х8 - 0,5)13;
7.31* а) 34х + si“ х > 3sin х + 2;
в) (х2 — sinx)17 > (х2 + 0,5)17;
д) ^/з sin2 х + 4х - 3 > ^-3cos2 х + 2х;
е) '^/sin2 х +12 • 3х - 28 < ^/-cos2 х + 9х.
7.32
а)
в)
у/27 • 3"6х2
7.33* При каких значениях параметра а все решения неравен-
ства 2х * 2х и < 4х содержатся в интервале (-1; 1)?
§ 8.	Уравнения-следствия
8.1.	Понятие уравнения-следствия
Пусть даны два уравнения /(х) = g(x) и р(х) = <р(х). Если любой
корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то
второе уравнение называют следствием первого.
В частности, если первое уравнение не имеет корней, то любое
второе уравнение является его следствием.
Например, рассмотрим уравнения 4х = 1 и х2 = 1. Первое урав-
нение имеет только один корень — число 1, которое является кор-
нем второго уравнения, поэтому уравнение х2 = 1 есть следствие
уравнения Vx = 1. Но уравнение х2 = 1 имеет еще один корень —
число -1, которое не является корнем уравнения л/х = 1. Поэтому
уравнения Vx = 1 и х2 = 1 не являются равносильными.
Замену уравнения другим уравнением, которое является его
следствием, называют переходом к уравнению-следствию. При пе-
реходе к уравнению-следствию возможно появление корней, не яв-
ляющихся корнями исходного уравнения, т. е. возможно появление
корней, посторонних для данного уравнения.
226
В то же время при переходе к уравнению-следствию невозможно
потерять корни исходного уравнения (это следует из определения
уравнения-следствия).
Таким образом, если при решении данного уравнения совершен
переход к уравнению-следствию, то необходимо проверить, все ли
корни уравнения-следствия являются корнями исходного уравне-
ния. Иными словами, при таком способе решения уравнения про-
верка полученных корней является обязательной частью решения
уравнения.
Замену уравнения loga/(x) = logag(x) (а 1 — фиксированное
положительное число) уравнением f (х) = g (х) называют потенциро-
ванием логарифмического уравнения.
Замену уравнения = 0 уравнением /*(х) = О называют осво-
g(x)
вождением уравнения от знаменателя.
Замену разности /(х) - /(х) нулем называют приведением по-
добных членов.
Перечислим некоторые преобразования, которые приводят к
уравнению-следствию, а значит, могут привести к появлению посто-
ронних корней.
1.	Возведение уравнения в четную степень.
Например, при возведении уравнения Vx — 1 в четвертую сте-
пень получается уравнение-следствие х2 = 1, имеющее корень —1,
посторонний для исходного уравнения.
2.	Потенцирование логарифмического уравнения logaf(x) =
= l°gag(х) (a> О, а* 1).
Например, потенцирование логарифмического уравнения
1g (х2 - 4) = 1g (4х - 7)
приводит к уравнению-следствию
х2 — 4 = 4х — 7,
имеющему корень 1, посторонний для исходного уравнения.
3.	Освобождение уравнения от знаменателя.
Например, освобождение уравнения
х2 - 5х + 4 _ q
от знаменателя приводит к уравнению-следствию
х2 - 5х + 4 = О,
имеющему корень 1, посторонний для исходного уравнения.
4.	Приведение подобных членов.
Например, после приведения подобных членов уравнения
4х + х + (1 - Vx) = О
получается уравнение х + 1 = 0, имеющее корень —1, посторонний
для исходного уравнения.
Bi 227
У равнения-следствия
Замечание. Отметим, что применение формул (логарифмиче-
ских, тригонометрических и др.) также может привести к уравне-
нию-следствию .
Например, если к уравнению
л/хл/х + 3 = 2
(1)
применить формулу 4ayfb = Vob, то получим уравнение
у/х (х + 3) = 2,
которое является следствием уравнения (1). Оно имеет корень —4,
посторонний для уравнения (1).
Если к уравнению
log2 О - 1) + log2 (х + 1) = 3
(3)
применить формулу log2 а + log2 b = log2 ab, то получим уравнение
log2((x- 1)(х+ 1)) = 3,
(4)
которое является следствием уравнения (3). Оно имеет корень —3,
посторонний для уравнения (3).
Отметим, что если применить те же формулы, но в обратном
порядке, к уравнениям (2) и (4), то при таких преобразованиях по-
лучаются уравнения, не являющиеся следствиями уравнений (2)
и (4), и при этом даже произойдет потеря корней. Так при переходе
от уравнения (2) к уравнению (1) происходит потеря корня -4, а при
переходе от уравнения (4) к уравнению (3) происходит потеря кор-
ня -3.
Существуют и другие преобразования уравнений, которые мо-
гут привести к потере корней исходного уравнения (см. упражне-
ние 8.5). Ясно, что при решении уравнений нельзя применять пре-
образования, приводящие к потере корней исходного уравнения.
8.1° а) Какое уравнение называют уравнением-следствием исходно-
го уравнения?
б)	Являются ли все корни исходного уравнения корнями его
уравнения-следствия?
в)	Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющий-
ся корнем исходного уравнения?
г)	Какие преобразования приводят к уравнениям-следствиям?
д) Является ли проверка полученных корней обязательной
частью решения уравнения, если в процессе решения был со-
вершен переход от уравнения к уравнению-следствию?
228
Объясните, в результате какого преобразования переход от пер-
вого уравнения ко второму приводит к появлению посторонних
корней. Подберите корень второго уравнения, посторонний для
первого уравнения (8.2—8.4):
8.2 а) х = 2, х2 = 4;
б)	log3 х2 = log3 х, х2 = х;
в)	(х - 4) - (2х - 3) = 0 (х _ 4) _ (2х - 3) = О;
X - 1
г)	х2 + Зх + >/х = Vx + 4, х2 + Зх — 4 = О.
8.3* a) Vx 2 Vx - 3 = 0, у/(х — 2) (х - 3) = 0;
в) 21og4x = 1, log4х2 = 1;
г) 3log3 * = х2, х = х2.
д) log2 х + log2 (х + 2) = 3, log2 (х (х + 2)) = 3;
е) log2 х - log2(x + 2) = log2(2x + 10), log2-- = log2(2x + 10).
x + z
8.4* a) 2tg* = 0, sin2x = 0;	6) —= -1, cos2x = -1.
1 + t£T X	1 + ter x
8.5* Объясните, почему преобр;
данной формулы слева наг
посторонних корней (а > 0,
a)	ё(х);
в) alog° И*) = /(х);
Д) logafC*) + logag(x) = log,
е) logaf(x) - logag(x) = logt
1
Ж) -------= loga /(x);
log/(x)a
x 1
и) —— = tgx;
ctgx
. 1 - tg2 x
л) ----о— = cos 2x;
1 + tg2 x
Может ли применение той :
к потере корней?
зование уравнения с применением
раво может привести к появлению
а * 0):
б) = J^;
Jg(x)
г) 2 loga /(х) = loga f2 (х);
(/(x)g(x));
f(*).
з) -— = ctgx;
tgx
2 tgx .
к) -----о— = sm 2x;
1 + tg2 x
. 2 tgx	o
m) -—= tg2x.
1 - tg2 x
се формулы справа налево привести
22!)
Уравнения-следствия
8.2. Возведение уравнения в четную степень
Пусть 2т (т е N) — фиксированное четное натуральное чис-
ло. Тогда следствием уравнения
f(x) = g(x)
является уравнение
(/(х))2"‘ = (g(x))2m.
Очень часто это утверждение применяется при решении ирра-
циональных уравнений, т. е. уравнений, содержащих неизвестное х
под знаком корня.
РИМЕР 1. Решим уравнение
(1)
Возведя уравнение (1) в квадрат, получим уравнение
(х + I)2 = Зх + 7,
(2)
являющееся следствием уравнения (1). Уравнение (2) имеет два кор-
ня: хА = 3 и х2 = -2. Проверка показывает, что число хг являет-
ся корнем уравнения (1), а число х2 — нет. Следовательно, уравне-
ние (1) имеет единственный корень хР
Ответ. 3.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
Vl - sinx = cosx.
Возведя уравнение (3) в квадрат, получим уравнение
1 - sin х = cos2 х,
(3)
(4)
являющееся следствием уравнения (3). Так как cos2x = 1 - sin2x, то
уравнение (4) можно переписать в виде
sinx (sinx — 1) = О.
(5)
Уравнение (5) имеет две серии решений:
Xk = 7Г/?, k 6 Z\
Так как ф - sinxfe = 1, cosx^ = (-1)*; д/1 - sinxn = О, cosxrt = О,
то все числа хп являются решениями уравнения (3), а из чисел хк ре-
шениями уравнения (3) являются только те, для которых k = 2m,
т g Z.
Ответ. —h 2лп, п g Z\ 2пт, т е Z.
; 230
Возведение в четную степень можно применять и при решении
уравнений, содержащих модуль.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
|х2 - Зх - 11 = х2 - 2х - 2.	(6)
Возведя уравнение (6) в квадрат, получаем уравнение
(х2 - Зх - I)2 = (х2 - 2х - 2)2,	(7)
являющееся следствием уравнения (6). Перепишем уравнение (7)
в виде
(х2 - Зх - I)2 - (х2 - 2х - 2)2 = О
или в виде
(х2 - Зх - 1 - х2 + 2х + 2) (х2 - Зх - 1 + х2 - 2х - 2) - О
и найдем его корни хг = 3, х2 = 1, х3 = -0,5.
Проверка показывает, что число хг является корнем уравне-
ния (6), а числа х2 и х3 — нет.
Ответ. 3. •
8.6° а) Объясните, почему возведение уравнения в четную степень
может привести к появлению корней, посторонних для исход-
ного уравнения.
б)* Докажите утверждение о возведении уравнения в четную
степень.
в) Какое уравнение называют иррациональным? Как можно ре-
шать иррациональное уравнение?
8.7
Возведите уравнение во вторую степень, решите полученное
уравнение, проверьте, являются ли корни уравнения-следствия
корнями исходного уравнения:
а) л/х = х - 2; б) ^/Зх = 2х - 3; в) ^2х — 1 - х; г) ^/Зх — 2 = х.
Решите уравнение (8.8—8.11):
8.8
8.9
в) -Jx2 — Зх = у/Ах — 10;
д) д/2х2 - 4х +1 = х + 1;
Уравнен ия - следствия
231
и
8.10	* а) д/logl х + 3 = log2 х - 1;
в) 74х-1-1 - 2х*1 - 3 = 2х +1;
д) Vl - cosх = sinx;
б) д/log 3 х + 5 = 1 - log3 х;
г) д/3  4х - 2хТ2 = 2х + 1;
е) V1 + sinx = cosx.
8.11	* а)	| х2 - 4х + 21 = х2 - 6х + 10;	б)	| х2 - 2х - 21 = х2 - 4х 4- 6;
в)	2Igx — 3 | — 3Igx - 2;	г)	|31gx-4| = 21gx-l;
д)	|2Х+1 - 7| = 5 - 2х;	е)	|2Х + 1 - 7| = 2х + 1.
8.12	* При каких значениях параметра а	уравнение д/х2 4- 6х — 2а =
= х + 2 имеет единственный корень?
8.3.	Потенцирование логарифмических уравнений
Пусть а — данное число (а > 0, а 1). Тогда следствием урав-
нения	т . г а •« .Л:1! KJ, 25
; i°ga/(x) = i°gag(x) |ЛЯ835вИ388!ц (i)
является уравнение	'	7.‘ЛЕе;	“	i, . ;.J',.' '--
:::^£ss:»s:£sisssss^d^Hxa^:::s^:n:::£:s:::>«... ..
. Ml fit#  : -Ы «X tt . ЙГ ЯМ 1 „j Ш г' В М 5Ю НЕМ 54 Л L* Is V. л> И ‘ “ f X '	1 Г'	г MV ' t' __ M С2 i МШ 5 1 Е fli ЙЕ.В ММЧ ВЯ ** • . £ И ! < Г
Доказательство. Пусть число х0 — некоторый корень уравне-
ния (1), т. е. пусть существуют числа logaf(x0) и logag(x0), для
которых справедливо числовое равенство loga /(х0) = logag(x0).
Но если логарифмы двух чисел по одному основанию равны,
то равны и сами числа, т. е. справедливо числовое равенство
f(x0) = g(x0). Следовательно, число х0 является корнем уравне-
ния (2). Такое рассуждение можно провести для любого корня урав-
нения (1), следовательно, любой корень уравнения (1) является
корнем уравнения (2), т. е. уравнение (2) является следствием урав-
нения (1).
Если же уравнение (1) не имеет корней, то тогда, как отмечено
в п. 8.1, уравнение (2) есть следствие уравнения (1). Утверждение
доказано полностью. 6
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
log2 (х5 4- х2 - 4) = log2 (х5 4- 4х — 7).	(3)
Потенцируя логарифмическое уравнение (3), получаем уравнение
х5 4- х2 — 4 = х5 4- 4х - 7,	(4)
являющееся следствием уравнения (3). Перенося все члены уравне-
ния (4) в левую часть и приводя подобные члены многочлена, пере-
пишем уравнение (4) в виде
х2 - 4х 4- 3 = 0.	(5)
232
Уравнение (5), а следовательно, и уравнение (4) имеют по два
корня Xj = 1 и х2 = 3. Проверка показывает, что число х2 является
корнем уравнения (3), а число хг — нет.
Ответ. 3.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
log3 cos 2х = log3 sin х.	(6)
После потенцирования логарифмического уравнения (6) и при-
менения формулы косинуса двойного угла получаем уравнение
1 - 2sin2x = sinx,	(7)
являющееся следствием уравнения (6).
1
Только корни двух уравнений sinx = — и sinx = -l являются
корнями уравнения (7). Все решения этих простейших тригономет-
рических уравнений задаются тремя сериями решений:
Jt	ОТТ	7Г
хт = — + 2л m, m е Z; х = —- + 2лгг, п е Z; хь = —— + 2nk, k е Z,
Проверка показывает, что все числа серий хт и хп являются ре-
шениями уравнения (6), а числа серии xk — нет. Следовательно, все
решения уравнения (6) задаются сериями хт и хп.
Ответ. — + 2пт, т е Z; — + 2лп, п е Z. •
8.13	° Объясните, почему переход от уравнения loga /(х) = Iogag(x),
где а > 0, а 1, к уравнению /(х) = g(x) может привести к по-
явлению корней, посторонних для первого уравнения.
Решите уравнение (8.14—8.19):
8.14	a) log2 (х2 - Зх) = log2 (х - 3);	б) log4 (х2 - 5х) = log4 (х - 9);
в) log5 (х2 + 13х) = log5 (9х + 5); г) log6 (х2 - х) = log6 (6х - 10).
8.15 a) log3(x2 - 2х) = 1;
в) log7(x2 + 1,5х) = 0;
б)
г)
log2 (х2 + 2х) = 3;
8.16*
logs
= 0.
233
У р а в нем и я - с л едсти и я
8.17* а)
б)
в)
г)
8.18* а)
б)
в)
г)
log3(2 • 3х - 5) = log3(3x + 4);
log7(2 - 4х- 3) = log7(4x+ 1);
log5 (4х - 3 • 2х) = log6(3  2х - 8);
log4 (9х - 5 • 3х) = log4 (7 • 3х - 27).
log2(4x - 2Х+1 + 2) = х;
log3(9x - Зх+1 + 3) = х;
log2 (4х + 2Х+1 -8) = х+ 2;
log5(25x + 5х- 5) = х + 1.
8.19* a) log3cos2x = log2cosx;
б) log i cos 2х = log, (cos x + sin x);
2	2
в) log! cos2x = log!(cosx - sinx);
log0 2cos2x = log0,2(sinx - cosx).
8.20* При каких значениях параметра а уравнение 1g (х1 2 + Зх + а) =
= 1g (х + I)2 не имеет корней?
8.4. Другие преобразования,
приводящие к уравнению-следствию
1. Приведение подобных членов уравнения.
t
Следствием уравнения /(х) + (р(х) — ф(х) = 0 является уравне-
ние /(х) = 0.
I _>	— ГЯ ! Ml М < «к 4 Г Me; < t Г1 • - Ж* ’ ‘ ЛК в- Mi'iMmMnna Ml и ' Л"" *Н I Г * '' -л с г* А *' "• -
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
х2 + log2 (х3 + х-1) = х + 6 + log2 (х3 + х - 1).	(1)
Перенося все члены уравнения (1) в левую часть и приводя по-
добные члены, получим уравнение
х2 - х - 6 = 0,
(2)
являющееся следствием уравнения (1). Уравнение (2) имеет два кор-
ня: хх = 3 и х2 = -2. Проверка показывает, что число xt является
корнем уравнения (1), а число х2 — нет. Следовательно, уравне-
ние (1) имеет единственный корень 3.
Ответ. 3.
2. Освобождение уравнения от знаменателя.
Следствием уравнения
/(х)
ё(х)
= 0 является уравнение /(х) = 0.
«234
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
х2 + 2х _	6 + х
cos пх - 1 cos пх - 1 ’
(3)
Перенеся все члены уравнения в одну часть, перепишем уравне-
ние (3)в виде
X2 + X — 6
— -	= 0.	(4)
cos пх — 1
Освобождаясь от знаменателя в уравнении (4), получаем урав-
нение
х2 + х - 6 = 0,	(5)
являющееся следствием уравнения (3). Уравнение (5) имеет два корня:
X! = -3 и х2 — 2, Так как cos nxj = cos (-Зя) = -1, a cos itx2 = cos 2л = О, то
число Xi является корнем уравнения (3), а число х2 — нет, так как
делить на нуль нельзя.
Ответ. -3.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
sin 2х _	sin 4х
cos 2х	cos 4х ’
(6)
Перенося все члены уравнения в левую часть, приводя дроби
к общему знаменателю и освобождаясь от знаменателя, получаем
уравнение
sin 6х = 0,	(7)
являющееся следствием уравнения (6). Уравнение (7) имеет только
одну серию решений xk = —, k е Z. Проверка показывает, что все
6
числа xk являются решениями уравнения (6).
Ответ. —, k g Z.
6
Подчеркнем, что хотя проверка и не обнаружила посторонних
корней, но она является обязательной частью решения уравнения (6).
3. Применение формул.
Пусть дана некоторая формула (логарифмическая, тригономет-
рическая и т. п.), у которой левая часть определена в каждой
точке множества Mj, а правая часть — в каждой точке множе-
ства причем Мх с М2, Тогда если при решении уравнения
применить эту формулу так, что ее левую часть заменить пра-
вой, то получится уравнение-следствие исходного.
Запись Mi cz М2 (множество является подмножеством мно-
жества М2) означает, что каждый элемент множества является
элементом множества М2.
235
У равнения-следствия
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
3log3 (х2 - 4х + 3) = 2х - 5.	(8)
Применив формулу 3log3<x2~ 4х +	= х2 — 4х + 3, правая часть
которой определена для каждого х e R, а левая часть — не для каж-
дого х е R, получим уравнение
х2 - 4х + 3 = 2х - 5,	(9)
являющееся следствием уравнения (8). Уравнение (9) имеет два кор-
ня: хх = 4 и х2 = 2. Проверка показывает, что число хг является кор-
нем уравнения (8), а число х2 — нет. Следовательно, уравнение (8)
имеет единственный корень хР
Ответ. 4.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
——9 - 2 log2 х = О
(logx2)2 е2
(10)
Применяя формулу -----= log2 правая часть которой опреде-
logx 2
лена для всех х > 0, а левая часть — не для всех х > 0, получаем
уравнение
(log2 х)2 - 2 log2 х = 0,	(11)
являющееся следствием уравнения (10). Уравнение (11) имеет два
корня: хг = 1 и х2 = 4. Проверка показывает, что число хг не является
корнем уравнения (10), а число х2 является корнем уравнения (10).
Следовательно, уравнение (10) имеет единственный корень х2.
Ответ. 4.
ПРИМЕР 6. Решим уравнение
2 tgx
2 tgx
1 + tg2 х
sin2 2х.
(12)
Применив формулу
sin 2х, правая часть которой опре-
делена для каждого х е R, а левая часть — не для каждого х е R,
получим уравнение
sin 2х = sin2 2х,
(13)
являющееся следствием уравнения (12). Уравнение (13) имеет две
серии решений: хл = -^ + лп, п е Z и хт = т g. Z. Проверка по-
казывает, что все числа хп являются решениями уравнения (12),
а числа хт лишь для пг = 2k будут являться решениями уравне-
ния (12). Следовательно, уравнение (12) имеет две серии решений:
хп и xk = nfe, k G Z.
It
Ответ. — + лп, n e Z\ nk, k e Z, •
4
236
8.21° а) Объясните, почему могут привести к появлению корней, по-
сторонних для исходного уравнения, преобразования: 1) при-
ведение подобных членов; 2) освобождение от знаменателя;
3)* применение формул.
б)* Докажите утверждения: 1) о приведении подобных членов;
2) об освобождении от знаменателя; 3) о применении формул.
8.28* а)
в)
8.29* а)
в)
IQtel*2 +	- 1) _ Зх + 2;
2
-----—- log5 х = 0;
(log* 5Г
2
-------т + log4 х = 0;
(log, 4У ё 4
б) 10lg(x2- 3х + 1) = х- 2;
г) 5I0K5 (Зх2 + 4х - 1) _ 2х2 _ 4
г)
+ log3 х = 0;
" 1Og6 Х = °
237
Уравнения-следствия
8.30* а)
в)
= cos х — sin2 х;
2 tgx
1 + tg2 х
2 cos2 х -
б)
= cos2 x + sin x;
V2cosx; г)
V2 cos x — 2 cos2 x.
8.31* При каких значениях параметра а уравнение:
а) х - а + л/х - а = 2х + 1 + 7х - а;
б) ° - * 1 2 * * = 1; в) — 1	- 2а - log5 х +1 = 0
ах - 3	(logx °)
имеет единственный корень?
8.5. Применение нескольких преобразований,
приводящих к уравнению-следствию
При решении уравнений часто приходится применять несколь-
ко преобразований, приводящих к уравнению-следствию.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
(1)
Возводя уравнение (1) в квадрат, получим уравнение
х + 1 + 2л/х + 1у/х — 4 + х — 4 = Зх + 1,
(2)
являющееся следствием уравнения (1). Перенося в правую часть
уравнения все слагаемые, кроме корней, и приводя подобные члены
многочлена, перепишем уравнение (2) в виде
2у[х + 1у[х - 4 = х + 4.
Возводя уравнение (3) в квадрат, получим уравнение
4(х + 1)(х - 4) = х2 + 8х + 16,
(3)
(4)
являющееся следствием уравнения (3), а значит, и уравнения (1).
Уравнение (4) имеет два корня: хх = — и х2 = 8. Проверка показыва-
ет, что число х2 является корнем уравнения (1), а число х1 — нет.
Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень х2.
Ответ. 8.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
+ ctgx
4- ctg х.
(5)
^238
Возводя уравнение (5) в квадрат, получим уравнение
2х — 2
+ ctg х =
х + 2
+ ctgx,
(6)
х + 4
являющееся следствием уравнения (5). Перенося все члены урав-
нения в его левую часть и приводя подобные члены, получим урав-
нение
2х - 2
х + 4
(7)
являющееся следствием уравнения (6), а значит, и уравнения (5).
Приводя дроби к общему знаменателю и освобождаясь от знаме-
нателя в уравнении (7), получим уравнение
(2х - 2)(х + 2) - (х - 1)(х + 4) = О,	(8)
являющееся следствием уравнения (7), а значит, и уравнения (5).
Уравнение (8) имеет два корня: xr = 1 и х2 — 0. Проверка показыва-
ет, что число хг является корнем уравнения (5), а число х2 — нет.
Следовательно, уравнение (5) имеет единственный корень хг.
Ответ. 1.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
log2(3x + 1) + log2 (х - 1) = 21og2(x + 3).
Применяя формулы log2 (Зх + 1) + log2 (х — 1) = log2 (Зх + 1) (х - 1)
и 2 log2 (х + 3) = log2 (х + З)2, получим уравнение
log2(3x + 1)(х - 1) = log2(x + З)2,
(Ю)
являющееся следствием уравнения (9). Потенцируя уравнение (10),
получим уравнение
(Зх + 1)(х - 1) = (х + З)2,	(11)
являющееся следствием уравнения (10), а значит, и уравнения (9).
Уравнение (11) имеет два корня: хг = 5 и х2 = -1. Проверка пока-
зывает, что число хг является корнем уравнения (9), а число х2 —
нет. Следовательно, уравнение (9) имеет единственный корень хг.
Ответ. 5. S
Решите уравнение (8.32—8.41):
8.32	а) д/2х- 3 + У4х+1 = 4;
в) ^4х + 8 - у[3х — 2 = 2;
8.33	а) У х + 2 + д/2х - 3 = -fax + 3;
в) д/бх + 1 — Ух — 3 = д/Зх + 4;
б) У2х + 6 = 2 + Ух +1;
г) у/Зх — 2 + У2х + 5 = 5.
б) Ух +1 + Ух + 6 = д/2х +19;
г) У9— 5х — Ух — 1 = 2У2 — х.
239
Уравнепия-елелствия
8.34	а) 7х2 + 3 + log2 х = 2 + log2 х;
12
б)	log2 -z----= bg2 (1 - х);
"“<5 — X
в)	l°gi (х4 ~ 17х2 + log2 х) = logj (19х2 + log2 х);
з	_______ з
г) logs (х2 ~ у/х2 ~ 4 +1) = log3 (х3 - ^х2 - 4 - 6х + 1).
8.36* а)
б)
в)
г)
Д)
е)
8.37 а)
в)
21og4(x + 1) = log4(4x + 9);
21og5(x - 1) = log5(7 - x);
log7(x - 2) + log7(x + 3) = log7(2x2 - 4x);
log6(x + 2) + log6(x - 3) = log6(2x2 - 5x - 6);
lg(x - 2) - lg(x + 3) = 1g - X ;
5x + 3
lg(x + 2) - lg(x - 3) =
X
8.38* a)	1g 2x	- 1g (x + 4) = 1g	0,4;
6)	lg(x	- 4) + lg(x - 6)	= lg8;
в)	lg(x	+ 5) + lg(x - 4)	= lg(x	+	16);
r)	lg(x	- 3) + lg(x + 4)	= lg(7x	-	20).
8.39* a) log3 4x
+ log3 Vx + 8 = 1;
в) log3 Vx + 4 + log3 Vx- 4 = 1;
6) log2 Vx + 3 + log2 Vx + 6 = 1;
r) log4 Vx + 3 + log4 ^/x- 3 = 1.
8.40* a) log2(x + 1) = log4(5x + 1);	6) log3(x - 2) = log9(3x - 6).
8.41* a) -Jl°g2 (x + 2) + log2 (x +1) = ^/log2 (x - 2) + log2 (2x - 1);
6) ^log3 (2x - 1) + log3 (x - 4) = ^21og3 (x-2);
в) >/log2 sin x + 2 = д/l - log2 cos x;
r) Jlog2 (-cosx) + 3 = ^2 - log2 (-sinx).
8.42* Докажите, что при любом значении параметра а уравнение
1g х + 1g (х — 2а) = 1g 4
имеет единственный корень.
§ 9. Равносильность уравнений и неравенств
системам
9.1. Основные понятия
Пусть дано несколько уравнений и несколько неравенств с неиз-
вестным х и пусть требуется найти все числа х, каждое из которых
удовлетворяет каждому их этих уравнений и неравенств. Тогда гово-
рят, что дана система уравнений и неравенств, или, коротко, дана
система. Чтобы записать систему, обычно записывают друг под дру-
гом все входящие в нее уравнения и неравенства и объединяют их
слева фигурной скобкой.
Ниже записаны примеры систем:
sin х Ф О
< cos х > О
| х - 51 — 1g (sin х)
7% - з < i
log । (2х - 3) = О,
log5(x2 - 1) > 1,
1 2х «: 2.
Отметим, что иногда система может состоять только из нера-
венств или только из уравнений.
Иногда вместо какого-либо уравнения или неравенства в систе-
ме записывают множество его решений. Так, например, вместо нера-
венства sin х ф 0 можно записать х # л/г, k е Z, а вместо уравнения
tgx = 2 записать х = arctg2 + л/г, /г g Z и т. п.
Приведем примеры таких систем:
х Ф л/г, k е Z
х + 2 х + 4
х — 3 х — 5
Г
х = arctg 2 + л/г, k g Z
| х — 51 — 1g (sin х)
< cosx > О
< 7х- 3 <1
2х - 3 = 1,
log5 (х2 - 1) > 1,
X е [0; 1].
Иногда решение уравнения или неравенства в системе записыва-
ют в виде условий, указывающих, какому числовому множеству
принадлежат значения некоторой функции от х.
Ниже приведены примеры таких систем:
Jctgх > 3	jig (sin х) > 0
I log5 (х2 — 1) g [0; 1], | 2х2 " х +1 - л/х - 3 g (-1; 1).
241
Равносильность уравнений и неравенств системам
Число х0 называют решением системы, если это число удовле-
творяет каждому из уравнений, неравенств и других условий системы.
Например, число х0 = О является решением системы
< sin х = О
Решить систему — значит найти все ее решения или показать,
что их нет.
Замечание. Так как при решении уравнений, неравенств и сис-
тем рассматриваются только случаи, когда решение — действитель-
ное число, то обычно условие х g R в системах опускают.
Две системы называют равносильными, если каждое решение
первой системы является решением второй системы, а каждое реше-
ние второй системы является решением первой системы.
Например, равносильны следующие системы:
{sinх = О Г х = л/г, к е Z
, Л и .
х - 2 > 0 х > 2.
Говорят, что уравнение (неравенство) равносильно системе, если
каждое решение уравнения (неравенства) является решением системы,
а каждое решение системы является решением уравнения (неравенства),
х — 2 х + 5
Например, уравнение--------=------равносильно системе
(х - 2) (х - 4) = (х + 5) (х - 3)
< х — 3 Ф О
х — 4 О,
а неравенство log2(3x — 1) С 1 равносильно системе

Пусть дано несколько систем с неизвестным х и пусть требуется
найти все числа х, каждое из которых является решением хотя
бы одной из этих систем. Тогда говорят, что дана совокупность
систем, а любое такое число х называют решением совокупности
систем. Решить совокупность систем — значит найти все ее ре-
шения или показать, что их нет.
Отметим, что множество решений совокупности систем есть объ-
единение множеств решений этих систем.
Говорят, что уравнение (неравенство) равносильно совокупно-
сти нескольких систем, если любое решение уравнения (неравенства)
является решением совокупности систем, а любое решение совокуп-
ности систем является решением уравнения (неравенства), т. е. если
совпадают множества решений уравнения (неравенства) и совокуп-
ности систем.
ПРИМЕР 1. Уравнение |х
сти систем
(х + 1 О
1x4-1 = 2х - 3
4- 1| = 2х - 3 равносильно совокупно-
х + 1<0
-х - 1 = 2х - 3.
(1)
и
ПРИМЕР 2. Неравенство (х - 1) (х - 2) > 0 равносильно совокуп-
ности систем
[х-1>0 Jx-l<0
|х-2>0 И 1х-2<0.	( J
Иногда для записи совокупности систем их записывают друг под
другом и объединяют квадратной скобкой.
Так, например, совокупность систем (1) записывают так:
а совокупность систем (2) записывают так:
Иногда для записи равносильности уравнения (неравенства) со-
вокупности систем применяют знак равносильности <=>.
Так, например, равносильность уравнения и совокупности сис-
тем в примере 1 записывают так:
а равносильность неравенства и совокупности систем в примере 2 за-
писывают так:
(х- 1)(х-2)>0
х-1>0
х - 2 > О
х — 1 < О
х — 2 < 0.
Равносильность уравнений и неравенств системам
Замечание. Понятие совокупности используют не только для
систем, но и для уравнений (неравенств). Так, например, говорят,
что уравнение | х | = 2 равносильно совокупности уравнений х = 2
и х — -2, т. е.
х = 2
х — —2,
а неравенство
и х < -2, т. е.
х | > 2 равносильно совокупности неравенств х > 2
|х| > 2
9.1° а) В каком случае говорят, что дана система уравнений и нера-
венств?
б)	Как записывают систему уравнений и неравенств?
в)	Какое число называют решением системы?
г)	Что значит решить систему?
9.2	а) В каком случае говорят, что две системы равносильны?
б) В каком случае говорят, что уравнение (неравенство) равно-
сильно системе?
9.3	Запишите систему неравенств, равносильную неравенству:
а) |х| < 5; б) |х| < 4.
9.4	е а) В каком случае говорят, что дана совокупность нескольких
систем?
б) В каком случае говорят, что уравнение (неравенство) равно-
сильно совокупности нескольких систем?
в) Как записывают равносильность уравнения (неравенства)
системе?
9.5
9.6
Запишите совокупность уравнений, равносильную уравнению:
б) |х| = 4.
Запишите совокупность неравенств, равносильную неравенству:
а)
б) х > 4.
9.7
Равносильно ли уравнение | х + 21 = 2х + 3 совокупности систем
9.	2 Решение уравнений с помощью систем
.! ;1. Для любого четного числа 2т (т е N) уравнение 2/^/7(х)=£(х)
В®Р4КЯ5ЧЯвйН1Ив!Кв2«5!«в2жИ8м5вяК5*5а£»»ж5?а§вв«я5*а1
i!ap2:-«!!»>|SsS!Sp« V(x)
244
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
(1)
Уравнение (1) равносильно системе
( 2х + 29 = (3 - х)2
I 3 - х > О.
(2)
Решив квадратное уравнение, найдем два его корня: = -2 и
х2 = 10. Очевидно, что первый из них удовлетворяет неравенству
3 - х 0, а второй — нет. Следовательно, система (2) имеет единст-
венное решение хь которое является единственным решением урав-
нения (1), равносильного системе (2).
Ответ. —2.
2.	Для любого четного числа 2 т, т g N уравнение
'	- -	2mJfto = 2mjg (х)
равносильно системе
ff(x) = Я(х)
< g(x) > 0	т ;
И(х)>0.
Замечание. В этой системе любое из неравенств можно опустить.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
''$х2 — 2х — 7 = '^2х2 - 9х- 15.
Уравнение (3) равносильно системе
х2-2х-7 = 2х2-9х-15
х2 — 2х — 7	0.
(3)
(4)
Система (4) имеет единственное решение хг = 8. Следовательно,
уравнение (3), равносильное системе (4), имеет единственное реше-
ние хР
Ответ. 8.
3.	Пусть число а таково, что а > 0, а Ф 1. Тогда уравнение
loga/(x) = logag(x) равносильно системе
/ (х) = g(x)
4g(x)>0	(5)
7(х)>0.
Замечание. В системе (5) любое из неравенств можно опустить.
2-15
Равносильность уравнении и неравенств системам
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
1g (х2 - 4) = 1g (6х + 4).
(6)
Уравнение (6) равносильно системе
(7)
Уравнение системы (7) имеет два корня: хт = 3 4- -J17 и х2 =
= 3 - V17. Так как 6xt + 4 = 22 + 6V17 >0, 6х2 + 4 = 22 - бТ17 < 0,
то система (7), а значит, и равносильное ей уравнение (6) имеют
по единственному решению хР
Ответ, 3 + у/17.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
,	( л
= log 1 -----——
з 2V2
Уравнение (8) равносильно системе
( л А 1 + cos 2х — sin 2х
log ! COS X + —
3V4
cos х
0.
(8)
(9)
Поскольку для любого а справедливы формулы 1 + cos 2а =
= 2 cos2 a, sin 2а = 2 sin а cos а, cos а - sin а =
то систе-
ма (9) равносильна системе
(Ю)
0.
К 4 /
Система (10) равносильна системе
cos х = 1
cos х
(И)
Решения уравнения системы (11) задаются серией хп = 2лп,
п е Z. Так как cos f х„ + — = cos f — + 2пп = cos ^7 = — > 0, то все
L 4 7 I4 /	42
числа хп являются решениями системы (11) и, следовательно, равно-
сильного ей уравнения (8).
Ответ. 2яп, и е Z. •
4
? 246
4.	Уравнение f(x) + ф(х) - ф(х) = 0 равносильно системе
где £>(<р) — область существования функции ф(х).
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
lg(x2 + 2х - 4) + 4х + 8 = 6 • 2х + 1g(х2 + 2х - 4).
Уравнение (15) равносильно системе
(4х - 6-2х +8 = О
I х2 + 2х - 4 > 0.
(12)
(13)
Уравнение системы (13) имеет два корня: хг — 2 и х2 = 1. Пер-
вый из них удовлетворяет неравенству системы (13), а второй — нет.
Следовательно, система (13), а значит, и равносильное ей уравне-
ние (12) имеют по единственному решению хх.
Ответ. 2.
9.8	* Докажите справедливость утверждений 1—4.
Решите уравнение (9.9
9.9	а) ^/2х + 1 = х - 1;
в) д/147 — 2х = х - 2;
9.10	а) х2 - 1 = д/^2х;
в) д/х2 - 7 = д/-2х - 6;
9.11	а) д/х3 - 5х2 + 7х-17 =
б) д/х3 - 8х2 - 7х + 2 = д/
-9.14):
б) д/2х - 1 = х - 2;
г) д/—8х +108 = х — 3
б) д/х2 + Зх = Vx + 1;
г) д/х2 + х = 71 - х.
д/х3 - 4х2 - Зх + 4;
3 - 7х2 - 18х + 20.
9.12
9.13
9.14
а)
в)
а)
в)
а)
б)
в)
Г)
71og3x + l = д/logl х - 5;
11 - 4log! х = /б- log2 х;
V	2 V	2
lg(x2- 17) = lg(llx - 45);
lg(25 - х2) = lg(2x - 10);
6) 72log4 x = д/log^ x- 8;
r) /2- log! x = -log2 x - 4.
V з V з
6) lg(x2 - 7x+14) = lg(3x - 16);
r) lg(x2 - 5x - 24) = lg(8 - x).
lg(x2 - x - 6) + 4х +16 = 17- 2х + lg(x2 - x - 6);
д/х2 - 9 + 1g (x2 + 3x) = 1 + д/х2 - 9;
д/-х2 + 4x- 3,5 + 9х + 243 = 36 • 3х + д/-х2 + 4x - 3,5;
lg(x2 + 21x)+ tg
2+ tg
247
Равносильность уравнений и неравенств системам
9.3. Решение уравнений с помощью систем (продолжение)
5. Множество решений уравнения
есть объединение множеств решений двух систем
Isssisssssssssss: ( а со=о у г /2 <х> = о ligsiiiilisiss (9.
tssssBIsssxxsssas: Iх ,е 9 ) и Iх е D >|ШШBsssuss(’
где 2) (А) — область существования функции Л(х), а Р(/2) —
область существования функции/2(х).	**««•!«’
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
4х (х +1) = 0.	(3)
Множество решений уравнения (3) есть объединение множеств
решений двух систем
Первая из этих систем имеет единственное решение хг = О,
а вторая не имеет решений.
Следовательно, уравнение (3) имеет единственное решение хР
Ответ. 0.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
(sinx — l)(tgx — 1) = 0.
Множество решений уравнения (4) есть объединение множеств
решений двух систем
sinx - 1=0
X * — + Л/г, k € Z
2
(5)
0
(6)
Уравнение системы
(5) имеет серию решений
+ 2л/г,
k с Z. Ни одно из чисел xk не удовлетворяет второму условию этой
системы, значит, система (5) не имеет решений.
It
Уравнение системы (6) имеет серию решений хп - — + лп, n e Z,
каждое из которых удовлетворяет второму условию этой системы.
Значит, только числа хп являются решениями системы (6). Следова-
тельно, только числа хп являются решениями и уравнения (4).
Ответ. — + лп, n g Z.
4
248
Отметим, что если использовать понятие совокупности систем,
то утверждение 5 можно сформулировать так:
Уравнение (1) равносильно совокупности систем (2).
Доказательство. Пусть число х0 — любое решение уравнения (1).
Это означает, что имеют смысл оба числовых выражения ^(хо) и
/2(х0) и хотя бы одно из них равно нулю. Иными словами, число х0
есть либо решение уравнения fx (х) = 0, входящее в область сущест-
вования функции f2 (х), либо решение уравнения f2 (х) = О, входящее
в область существования функции ft(x). Следовательно, число х0
есть решение хотя бы одной из систем (2).
Итак, любое решение уравнения (1) является решением сово-
купности систем (2).
Если же число Xj есть любое решение совокупности систем (2),
то либо (х2) = 0 и выражение /2(^1) имеет смысл, либо /2(^1) = 0
и выражение f\ (х^ имеет смысл. Это означает, что число хг являет-
ся решением уравнения (1).
Итак, любое решение совокупности систем (2) является решени-
ем уравнения (1).
Можно показать (методом от противного), что если уравне-
ние (1) не имеет решений, то и совокупность систем (2) не имеет ре-
шений, а если не имеет решений совокупность систем (2), то не име-
ет решений и уравнение (1).
Следовательно, во всех рассматриваемых случаях множество ре-
шений уравнения (1) совпадает с множеством решений совокупности
систем (2).
Утверждение 5 доказано полностью.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
log2(3 + 2х - x2)sinVx = 0.
Уравнение (7) равносильно совокупности систем
I log2 (3 + 2х — х2) = 0
1 х > 0
sin-Ух — 0
3 + 2х - х2 > 0.
(7)
(8)
(9)
Система (8) равносильна системе
которая имеет единственное решение Xj = 1
ма (8) имеет единственное решение хР
+ -Уз. Поэтому систе-
249
Равносильность уравнений и неравенств системам
Система (9) равносильна системе
4х = пп, п е Z
—1 < х < 3.
(10)
Для п < 0 ни одно из уравнений vx = Tin не имеет корней. Для
п 0 каждое из уравнений Vx = пп имеет единственное решение
хп = (тш)2, и = 0; 1; 2; ... . Из этих чисел хп неравенству системы (10)
удовлетворяет лишь одно число х0 = 0. Поэтому система (10), а зна-
чит, и равносильная ей система (9) имеют единственное решение х2.
Следовательно, совокупность систем (8) и (9), а значит, и урав-
нение (7) имеют по два решения Xj и х0.
Ответ. 1 + л/З; 0. ф
6. Уравнение
fM
g(x)
= 0 равносильно системе
(№)=0
1 g(x) ф о.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
sin 4х _ cos 4х
sin х cos х
(И)
Перенося все члены уравнения в левую часть и применяя фор-
мулы синуса разности двух углов и синуса двойного угла, перепи-
шем уравнение (11) в виде
sin3x
sin 2х
(12)
Уравнение (12) равносильно системе
I sin Зх = 0
[ sin 2х Ф 0.
Все решения уравнения системы (13) задаются серией xk =
к g Z. Так как
(13)
Т’
sin 2xfc - sin 2тш = 0 при k = Зп,
sin 2xk =
sin 2тт +
Ф 0 при k = Зп
sin 2xk = sin 2тиг —
Ф 0 при k = Зп — 1,
то неравенство системы (13) выполняется лишь при условии k Ф Зп,
п е Z. Следовательно, система (13), а значит, и равносильное ей
уравнение (П) имеют две серии решений:
х
<1
П G Z И
gji 250
n E Z,
которые можно объединить в одну серию:
= ± — + ЯП, п G Z.
3
л
Ответ. ± —F яп,
3
п Е Z.
Отметим, что под записью £(х) Ф 0 понимают множество всех та-
ких чисел х, каждое из которых удовлетворяет условиям: 1) выра-
жение g(x) определено; 2) число g(x) * 0.
ПРИМЕР 5. Решим
уравнение
х2 — 4х + 3
(14)
Уравнение (14) равносильно системе
(15)
Уравнение системы (15) имеет два корня: хг = 3 и х2= 1. Так
как число хх - 2 = 1 > 0, то определено выражение ^хх — 2 и
^/хх - 2 = 1	0, поэтому число хг является решением системы (15).
Так как число х2 - 2 = -1 < 0, то не определено выражение д/х2 — 2,
и поэтому число х2 не является решением системы (15).
Следовательно, система (15), а значит, и равносильное ей урав-
нение (14) имеют по единственному решению хР
Ответ. 3.
Иногда при решении уравнения приходится применять несколь-
ко преобразований, приводящих к системе, равносильной исход-
ному уравнению. Рассмотрим примеры применения нескольких
преобразований, приводящих к системам. Решение запишем
с помощью знака равносильности (<=>) и знаков совокупности ([)
и системы ({).
ПРИМЕР 6. Решим уравнение
Ответ. 3.
251
Равносильность уравнений и неравенств системам
ПРИМЕР 7. Решим уравнение
Решение.
(cos 2х - 2 cos х
f cos 2x - 2 cos x +
I loc q (x + 5) - 2 > 0
+ 1) д/log3 (x + 5) - 2 = 0
1 = 0
2 cos2 х - 2 cos х = О
cos х = О
COS X = 1
х = 2яп, п е Z
2
х = 2пп, п & N
Л
Ответ. 4; —h nk, keN; 2nn, n e N.
2
9.15* Докажите справедливость утверждения 6.
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
Решите уравнение (9.16—9.23):
а)	(д/36х2 + 7 - д/35х2 +16) V2- х = 0;
б)	(д/26х2 +1 - д/25х2 + 17) >/3- х = 0.
а)
б)
а)
в)
а)
б)
в)
а)
в)
а)
(х2 - 7х + 12) log31 (х + 5) = 0;
(х2 + Зх - 4) log32(3x + 7) = 0.
sinx logu (4 - х2) = 0;	б) cosх log12(9 - х2) = 0;
tgx log13(x2 - x - 6) = 0;	г) ctgx log14(x2 + x - 12) = 0.
(cos 2x - 3 cos x - 1) /log i (x - 2) + 2 = 0;
(cos 2x + 7 cos x + 4) /log i (x - 3) +1 = 0;
V 2
(44"X-2X-I)log2x = 0; r) (45"x-2x~1)log3x = 0.
sin x (tg x - 1) = 0;
(tgx + l)cosx = 0;
6) tg x (sin x — 1) = 0;
r) (ctgx — 1)sinx = 0.
252
9.22
г)
Зх2 - Юх - 8
д/9х2 + 12x + 4
Зх2 - 19x + 20
-^Ox2 — 24x +16
9.23 a) = 0;
X
6)
sin2x cos2x л
------+-------= 0
sin x cos x
9.24* Докажите, что равносильны уравнение и система:
7(х)>0
g(x)>0, ГД
a)	loga f(x) + logd g(x) = loga (/(x) • g(x)) и
/(х) = ф (х)
/(х) > О
б)	!ogg (Х) f (х) = logff (х)ф(х) и <
ф (х) > О
g (х) > О
Я(х) Ф 1.
9.25* Докажите, что равносильны уравнение и совокупность двух
систем:
a)	|/(х)| = <(х); te^Q(X) и
f (х) = -g (х)
g(x) 0;
б)	y[f&) +	= y[f\x)Tg\x);
f(x) = О
g (х) О
Jg(x) = О
0.
Решите уравнение (9.26—9.32):
9.26* a) log2(x - 2) + log2(x - 3) = log2(x2 — 5х + 6);
б) log3(x - 3) + log3(4 - х) = log3 (-х2 + 7х - 12);
в) 1g (х2 — 5х + 6) + 1g (5х - х2 - 4) = 1g((х2 - 5х + 6) (5х - х2 - 4)).
9.27* а)
в)
9.28* а)
logx(2x2 - 2х - 3) = 2;
logx(x + 2) = 2;
х2 - 4х + 21 = -х2 + 6х - 6;
|х2-2х-8| = х2 + 2х- 10;
в)
б) logx(x3 - эх + 7) = 3;
г) logx(x + 6) = 2.
б) | х2 - 2х - 11 = -х2 + 4х - 1;
г) | х2 — 3х - 11 = х2 + 3х - 7.
9.30* а) ^2Х - 4 + 72д - 8 = ^2Х л 1 - 12;
б) д/Зх - 9 + 7ЗХ - 3 = л12-Зх - 12;
Ранногилыпнть уравнений и неравенств системам
в) х-1 + т]2х - 2 ~ Jlog5 X + 2х - 3;
г) yj\og6 х-1 + д/зх - 9 = ^log6 х + 3х - 10.
9.31* а)
в)
9.32* а)
б)
log, _х(7х2 + 2) = logi _х30; б) log2 _ Х(3х2 - 1) = log2 _ х74;
log3 -х<4х2 - 5) = log3_x59; г) log4 _ Х(2х2 + 3) = log4_x75.
logx _ ! (х2 + 2х) = logx _ j (2х2 - 8х + 16);
1о£х-2(2*2 - 9х + 21) = logx_2(x2 + х).
9.33 Сколько корней имеет уравнение:
a)	sin (1g (х + 5) + 1g (400 - х)) = 0;
О	______________
л(х-З) l(x	Зх'I „
б)	cos -5——- -1 200 - - = О;
1	/ X	)
в)	sin — (lg (х + 3) + lg(300 - х)) = 0;
4
.	л(х-2) l( х	2x^
г)	cos ——- J — + 1 150---= 0?
4 П8 Д 3 J
9.34* При каких значениях параметра а уравнение
2
= —---г- имеет единственный корень?
хг - аг
х — а
9.4*. Уравнения вида f(u. (х)) - f(p(x))
1. Пусть область существования функции f(u) есть промежу-
ток М и пусть эта функция строго монотонна (т. е. возрастает
или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение
Aa(x)) = f(P(x))	(1)
равносильно системе
а (х) — р (х)
< а (х) е М
р (х) е М.
(2)
Замечание. В системе (2) любое из условий а(х) g М или
Р(х) g М можно опустить.
Доказательство. Если число х0 — решение уравнения (1), то для
него имеют смысл числовые выражения = а(х0) и и2 — РС^о)» каж-
дое из которых принадлежит области существования функции /(и),
т. е. промежутку М, и f (uj) = /(u2). Покажем, что отсюда следует ра-
венство ос(хо) = р(х0). Пусть функция /(и) возрастает на промежутке
М. Тогда если иг < и2^ то f (zzx) < /(и3)^ если ил > и2, то f(uA) > f(u2),
254
что противоречит условию f(ux) = f(u2). Следовательно, действитель-
но Ui = u2, т. е. а(х0) = р(х0).
Аналогично показывается, что а(х0) = Р(х0), если функция f(u)
убывает на промежутке М. Сказанное выше означает, что любое ре-
шение уравнения (1) является решением системы (2).
Пусть теперь число является решением системы (2). Это озна-
чает, что имеют смысл числовые выражения = а(хх) и и2 = p(xj),
причем Uj = и2 € М, Тогда так как функция определена на проме-
жутке М, то справедливо равенство /(их) = /(п2). Справедливость ра-
венства /(«(Xj)) = /(р(х^) означает, что число хг есть решение урав-
нения (1). Сказанное выше означает, что любое решение системы (2)
является решением уравнения (1).
Таким образом, показано, что уравнение (1) и система (2) равно-
сильны в случае, если известно, что либо уравнение, либо система
имеют решения.
Покажем, что если уравнение (1) не имеет решений, то и систе-
ма (2) не имеет решений. Предположим противное, т. е. что система
(2) имеет решения, но тогда, по доказанному выше, и уравнение (1)
имеет решение, а это противоречит условию, что уравнение (1) не
имеет решений. Аналогичными рассуждениями показывается, что
если не имеет решений система (2), то и уравнение (1) не имеет ре-
шений. Следовательно, и в этом случае уравнение (1) равносильно
системе (2).
Утверждение полностью доказано.
В качестве следствий этого утверждения получим утверждения
2 и 3 из п. 9.2.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
arccos(х2 — 15) = arccos (х + 5).
(3)
Область существования функции f(u) = arccos и есть промежу-
ток [-1; 1]. Так как функция на этом промежутке убывает, то урав-
нение (3) равносильно системе
х2 — 15 = х + 5
-Кх + 5^1.
Уравнение системы имеет два решения: х1 = — 4 и х2 = 5. Число
X] удовлетворяет неравенству системы, а число х2 — нет. Следова-
тельно, система, а значит, и равносильное ей уравнение (3) имеют по
единственному решению Xj.
Ответ. —4.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
>/sin х + vsinx + Vsinx =
6/----
vcosx +
л/cos х +
Vcosx.
(4)
255
Равносильность уравнений и неравенств системам
Область существования функции f (и) = 4й + 4й + 4и есть проме-
жуток [0; +оо). Так как эта функция возрастает на этом промежут-
ке, то уравнение (4) равносильно системе
sin х = cos х
sin х 0.
(5)
Уравнение системы (5) имеет серию решений
Так как sinx„ =
то при любом п = 2fe,
k е Z, число хп удовлетворяет неравенству системы (5), а при любом
п = 2k 4- 1, k g Z, число xn не удовлетворяет этому неравенству. Это
означает, что система (5), а значит, и равносильное ей уравнение (4)
имеют серию решений xk =
Ответ. — + 2лЛ, k g Z.
4
— + 2nk, k с Z.
4
Отметим частный случай утверждения 1.
2. Пусть R — область существования функции f(u) и пусть эта
функция строго монотонна на R, тогда. равносильны уравнения
7(а(х)) = f (р (х)) и а(х) = р(х).
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
2
2-Зх-1.
(6)
Область существования функции f(u) =
2
как эта функция убывает на R, то уравнение (6) равносильно урав-
нению
х2 - 2х + 5 = 2х2 - Зх - 1.
(7)
Уравнение (7) имеет два корня: хх = -2 и х2 = 3, тогда и равно-
сильное ему уравнение (6) имеет те же корни.
Ответ. -2; 3.
9.35 Докажите, что каждое из уравнений arcsin f(x) — arcsin ^(х) и
arccos f(x) = arccos g(x) равносильно системе
7(x)= g(x)
< -1 C f(x) C 1
1 C g(x) C 1.
256
9.36 Какое из неравенств в системе (задание 9.35) можно опустить?
Почему?
9.37
9.38
9.39
9.40
9.41
9.42
Докажите, что каждое из уравнений arctg /(х) = arctg g{x) и
arcctg f(x) = arcctgg(x) равносильно уравнению f (х) = g(x).
Решите уравнение (9.38—9.42):
a)	arcsin (х2 - 80,5) = arcsin (х - 8,5);
б)	arccos(х2 - 9) = arccos (7х 4- 21);
в)	arctg (х2- 1) - arctg (5х - 5);
г)	arcctg (х2 - 1) = arcctg (6х - 6).
а)
б)
/ _ \ tg х ___ / 1 \ ctg X
log0,5tgx+ -	- Vtgx = log0t5ctgх + -	- Vctgx;
у О у	у О *
log0.2 sin x ~ 5sin x - vsinx = log02 (-cos x) - 5"cos * - ^/-cosx.
6)	- x - 3 + yjx2 - x + 5 = ^/2x + 1 + д/2х + 9;
в)	д/sin x - 0,1 + Vsin x 4" 0,9 — д/cos X 4" 0,9 4~ д/cos X 4~ 1,9,
г) ^tgX 4- д/tg X 4- 1 = ^/2 - ctgx 4- д/з - ctg X.
a)
6)
a)
6)
в)
r)
вх* - 4.r + 5 + 3/x2 _ 4X + 5 = е2^ - Зх + 7 + з/2х2 - 3x 4-7;
R x2 + 1000 + 9/x2 + 1000 = n 2002.x - 1001 + ^2002x - 1001;
9.5. Решение неравенств с помощью систем
1. Для любого четного числа 2т (т е N) неравенство
равносильно системе
7 (х) < (g (х))2"1
</(х) О
kg(x)>0.
W 257
Равносильность уравнений и неравенств системам
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
д/б — х2 < х - 1.
(1)
Неравенство (1) равносильно системе
* О
О,
которая равносильна системе
х2 - х - 2 > О
1 < X < л/б.
Все решения системы (2) составляют промежуток (2; д/б].
Следовательно, все решения неравенства (1), равносильного сис-
теме (2), составляют тот же промежуток.
Ответ. (2; -Уб].
2. Для любого четного числа 2т (т g N) множество решений
неравенства 
> g(х)	(3)
- .^4 ж, *  • .	. х ц,. f • rS *1 Hr	IB Я
есть объединение множеств решений систем
(№)>te(x))2m	(№)>о
[g(x)>0	|g(x)<0.
(4)
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
4л/х + 6 > х + 1.
(5)
Множество решений неравенства (б) есть объединение множеств
О
О.
решении двух систем
О
и
Все решения первой системы составляют промежуток [—1; 19),
а все решения второй системы составляют промежуток [—6; —1).
Следовательно, все решения неравенства (б) составляют множе-
ство [-6; -1) U [-1; 19) = [-6; 19).
Ответ. [—6; 19).
Используя понятие совокупности систем, утверждение 2 можно
переформулировать так:
Для любого четного числа 2т (т g N) неравенство (3) равно-
сильно совокупности систем (4).
258
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
Решение.
4х2 - 13х + 3 < О
2х - 2 О
5х + 1 5= О
-0,2
-0,2
Ответ. [—0,2; 3). •
3.	Для любого четного числа 2т (т е N) неравенство
равносильно двойному неравенству
|:||| ||:ю < / й < (x):s|is||sh:gs :|!
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
Неравенство (6) равносильно двойному неравенству
Л х + 3 «к
0 ------ < х + 5,
х + 2
которое равносильно системе
х2 + 6х + 7
Множество решений системы есть объединение двух промежут-
ков: (-3- д/2; -3] и (-3 +V2; +оо). Следовательно, множество всех
решений неравенства (6), равносильного системе, есть множество
(-3 - V2; -3] и (-3 + л/2; +оо).
Ответ. (-3 - V2; -3] U (-3 + V2; +со).
259
Равносильность уравнений и неравенств системам
4.	Неравенство
loga/(x) > logag(x)
при а > 1 равносильно двойному неравенству
/(х) > g(x) > О,
а при 0 < а < 1 равносильно двойному неравенству
О < /(х) < g(x).
ПРИМЕР 5. Решим неравенство
logo,5 (Л3 - X2 - 2х) > log05 (X3 - 3).
(7)
Неравенство (7) равносильно двойному неравенству
О < х3 - х2 - 2х < х3 - 3
которое равносильно системе
f х2 + 2х — 3 > О
I х (х2 - х - 2) > О.
Множество решений первого неравенства системы есть объеди-
нение двух промежутков: (-оо; -3) и (1; +оо), множество решений
второго неравенства системы также является объединением двух
промежутков: (-1; 0) и (2; +оо). Поэтому множество решений систе-
мы составляет промежуток (2; +оо). Следовательно, множество ре-
шений неравенства (5), равносильного системе, составляет тот же
промежуток.
Ответ. (2; +оо).
5.	Неравенство
/(х) + <р(х) - <р(х) > 0
равносильно системе
(f(x)>0	-V •-
1х е Р(ф),
где Х>(ф) — область существования функции ф(х).
ПРИМЕР (>. Решим неравенство
х2 + 2л/х - 1 < (у[х +1)2.	(8)
Применяя формулу квадрата суммы, перенося все члены не-
равенства в левую часть и приводя подобные члены, получим, что
Q	(х2 —х—2<0
неравенство (8) равносильно системе . >
Множество решений системы, а значит, и равносильного ей не-
равенства (8) есть промежуток [0; 2).
Ответ, [б; 2).
260
9.43* Докажите справедливость утверждений 1—5.
9.44
9.45
9.46
Решите неравенство (9.44—9.50):
а) ^2х - 1 < х - 2;	б)
а) д/2х - 1 > х - 2;
а) д/х2 -llx + 31 > д/х - 4;
в) д/х2 — 36 > ^5х;
б) у/2х 4-1 > х - 1.
б) ^х2 - 9 > *д/9х 4-1;
г) д/х 4-19 > ^49 — х2.
9.48 a) log2(x2 - 5х - 34) > log2(x 4-6);
б)	log0t5(x2 - 16) > log0>5(3x 4- 38);
в)	log3(x2 - 4) < log3 (44 - 2х);
г)	log0>5(x2 - 22) < log0>5(3x 4- 18).
9.49 a) log2 (х - 2) 4- д/З - х <3 4- д/З — х;
б)	log2 (х - 2) 4- д/З - х < log2 (х - 2) 4- 2.
9.50
а)
б)
пх । “1 « л ЛХ “1 от — 1 « 1 7СЛГ
9х 4- 1 4- ctg— < 10 • 3х 1 4- ctg-—;
Л	&
лy . о х ЛХ -н. оу — 1	1 ЛХ
4х 4-2 4-tg—< 9 • 2х J + tg—.
9.6» Решение неравенств с помощью систем
(продолжение)
6. Множество решений каждого из неравенств
/ (х) • g(x) >0 и
есть объединение множеств решений двух систем
f/(x)>0
fM
f(x)<Q
7.
Множество решений каждого из неравенств
/(х) • g(x) < 0 и
^<0
g(x)
есть объединение множеств решений двух систем
?’ г •	(/(х) >0	[f (х) < 0
(g(x)<0 И [g(x)>0.
(1)
(2)
(3)
(4)
261
Равносильность уравнений и неравенств системам
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
cosx • lg(x 4- 1) < 0.
(5)
решений двух систем
Множество решений неравенства (5) есть объединение множеств
cos х > 0 J cos х < 0
lg(x + 1) < О и I lg(х + 1) > 0.
Множество решений первой системы есть интервал (—1; 0), а все
решения второй системы составляют серию промежутков
Зл
2лп; — 4- 2лп
2
2
Следовательно, все решения неравенства (5) составляют объеди-
нение найденных промежутков.
Ответ. (-1; 0);
2лп;
2
п g N.
Используя понятие совокупности систем, утверждения 6 и 7
можно переформулировать так:
6\ Каждое из неравенств (1) равносильно совокупности сис-
тем (2).	:	' z
7'. Каждое из неравенств (3) равносильно совокупности сис-
тем (4).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
lg(4x 4- 7) - lg8
4 4- Зх — х2
(6)
Решение.
lg(4x + 7) - lg8
4 4- Зх - х2
I lg(4x 4- 7) - lg8 > 0
[4 + Зх - х2 > 0
(lg(4x4-7) - lg8 < 0
14 4- Зх - х2 < 0
1g (4х + 7) > 1g 8
х2 — Зх - 4 < 0
1g (4х 4- 7) < 1g 8
х2 - Зх - 4 > 0
Ответ.
262
9.51	* Докажите справедливость утверждений 6 и 7.
9.52	* Докажите справедливость утверждений:
а)	Неравенство | /(х)| < g(x) равносильно двойному неравен-
ству -g(x) < f(x) < g(x).
б)	Неравенство |f(x)|>g(x) равносильно совокупности двух
неравенств f(x) > g(x) и f(x) < -g(x).
в)	Неравенство log^(x) f(x) < logg (Х)ф(х) равносильно совокуп-
ности систем
0< f(x)<
g(x) > 1
/ (х) > <р (х) > О
О < g(x) < 1.
Решите неравенство (9.53—9.64):
9.53
9.54
а) (1 - x)lg(x + 2) < О;
в) (х - 3)log5(5 - х) < О;
а)	(3 - V10- x)(Jx - 2) < О;
в) (л/З - х - l)lgх < О;
б)	(2 - х) logo,5 (х + 3) > О;
г) (4 + x)log0,2(3 - х) > О.
б) (2 - V9-x)(Tx - 1) > О;
г) (V^-l)lg(3-x)<0.
9.58* а)
в)
|х+1|<х2-2х+1;
Зд/х-5|> Тх-1;
6) | x + 11 > x2 + 4x + 1;
r) 12-Ух - 71 > Vx - 2.
9.59* а)
в)
|21og8x - 3| < log8х + 1;
2 log2 х — 31 > log2 x + 3;
9.60* a)
в)
1	< 9x - 20
+ 3x- 7 "" 3x - 7 ’
_ 3 < 10x ~ n.
5x — 4 5x — 4 ’
6)
r)
6)
r)
263
Равносильность уравнений и неравенств системам
9.61* а) | X ] +
Зх2 + 6х - 23
х2 + 2х - 8
I	2	< 4х* 1 2 - 12х - 38
х2 — Зх — 10 х2 — Зх — 10
г)
logx(9x + 1) < logx| 10х — 11;
logx (12х + 1) < logx 113х - 11;
logx(6x + 1) < logx| 7x - 11;
logx(17x 4- 1) < logx| 18x - 11.
9.63* a)
6)
в)
Г)
log21 x I (X2 - 10x 4- 21) C log21 x | 5;
log2;x । (x2 - 13x + 36) log2|X 6;
log|x. (x2 + 25) 2 + log|x| 226;
log|xl (x2 + 361) 2 + log xj 362.
9.64* a)
logx
8x - 7
8x + 13
iogx
14x - 9
8x + 13’
6) logx
9x - 8	,	17x - 10
-------> logv----------;
9x 4-14 x 9x 4- 14
в)
logx
10x-9
6x4- 11
logx
20x-ll
6x + ll ’
r) logx
llx-10	17x —12
-------> logv--------.
5x4-12	5x4-12
9.65* При каких значениях параметра а все решения неравенства
Jx — 2а > 4^-^х содержатся в интервале (0; 5)?
9.7* Неравенства вида f (<х(х)) > f (р(х))
Пусть область существования функции f(u) есть промежу-
ток М. Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Если функция f(u) возрастает на промежутке М, то нера-
венство /(а(х)) > /ЧР(х)) равносильно системе -251 ;
< а (х) е М
р (х) е М.
2. Если функция f(u) убывает на промежутке М, то неравенство
/(а(х)) > /(р(х)) равносильно системе
< а (х) g М
р (х) е М.
264
В качестве следствий этого утверждения получим утверждения
3 и 4 из п. 9.5.
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
arccos (х + 2) > arccos (Зх + 6).
(1)
Так как область существования функции f(u) = arccos и есть
промежуток [-1; 1] и на этом промежутке функция f{u) убывает, то
неравенство (1) равносильно системе
(х + 2 < Зх + 6
-1 х + 2 1
-1 Зх + 6 1.
Множество решений этой системы есть промежуток
Следовательно, множество решений неравенства (1), равносильного
системе, есть тот же промежуток
Ответ.
-2; -
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
х + 2	-2.г + 3
л/х + 2 + log117(x + 2) + 31 2 > У~2х + 3 + log)!7 (-2х + 3) + 31 2 . (2)
6	~
Область существования функции f(u) = 4й + log117 и + 31^ есть
промежуток (О; +оо). Так как на этом промежутке функция f(u) воз-
растает, то неравенство (2) равносильно системе
х + 2 > —2х + 3
< х + 2 > О
-2х + 3 > 0.
Множество решений этой системы есть промежуток
. Сле-
довательно, множество решений неравенства (2), равносильного сис-
теме, есть тот же промежуток.
Отметим частный случай утверждений 1 и 2.
>>	' JL	. v	К к	. Л ; \	Л	ш
Пусть R — область существования функции jf(u), тогда:
3.	Если функция f(u) возрастает на R, то равносильны нера-
венства /(а(х)) > /(Р(х)) и а(х) > р(х).
4.	Если функция f (и) убывает на R, то равносильны неравен-
ства f(a(x)) > /(Р(х)) и а(х) < Р(х).
265
Равносильность уравнений и неравенств системам
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
3
(3)
3/—
Область существования функции f(u) — У и + еи есть R. На этом
множестве функция f(u) возрастает, поэтому неравенство (3) равно-
сильно неравенству
< х 4- 2, которое можно переписать в виде
> О.
(4)
Множество всех решений неравенства (4), а значит, и равно-
сильного ему неравенства (3) составляют два промежутка: (— V2; 1)
и (V2; +оо).
Ответ. (— V2; 1) U (V2; +оо).
9.66
9.67
Докажите справедливость утверждений 1—4.
Докажите, что равносильны неравенство и система:
a)	arcsin/(х) > arcsin g(x) и
7(х)> g(x)
< -1С f(x)^l
-1 =$ g(x) 1;
б)	arccos f(x) > arccos g(x) и
fix) < g(x)
< -1 fix) 1
-1< g(x)^l.
9.68	Какие из неравенств в системах (задание 9.67) можно опус-
тить? Почему?
9.69	Докажите, что равносильны неравенства:
a)	arctg fix) > arctg g(x) и f(x) > g(x);
6)	arcctg fix) > arcctg g(x) и f(x) < g(x).
9.70
Решите неравенство (9.70—9.73):
a) arcsin (x
2 — 2x) < arcsin (x2 + x - 1);
arccos------< arccos (x“ - 4x
2
arctg (2x2 + 1) > arctg (2x2 -
, x - 2	, 4 — x
arcctg —-— > arcctg —-—.
9.71
a)	71og2(x- 3) + 10loe2(x~ 3>< 71og2(x^3x)+10log2(x2- 3x>;
6)	;iog5 (x +1) + 3logi><x + *> < Jlogs | + 3,ofe
(х + >/2)(х - V2)
х - 1
266
5 - 2х
§ 10.	Равносильность уравнений на множествах
10.1.	Основные понятия
Пусть даны два уравнения: f (х) = g(x) и р(х) = <р(х) — и пусть
дано некоторое множество чисел М. Если любой корень первого урав-
нения, принадлежащий множеству М, является корнем второго урав-
нения, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множест-
ву М, является корнем первого уравнения, то такие два уравнения
называют равносильными на множестве М. При этом, в частности,
подразумевается, что если каждое из этих уравнений не имеет корней
на множестве М, то такие два уравнения равносильны на множестве М.
Замену одного уравнения другим уравнением, равносильным
ему на множестве М, называют равносильным переходом на множе-
стве М от одного уравнения к другому или равносильным на мно-
жестве М преобразованием уравнения.
Например, рассмотрим уравнения Vx = 1 и х2 = 1. Как отмеча-
лось в п. 8.1, эти уравнения не являются равносильными на множе-
стве всех действительных чисел. Но эти уравнения равносильны на
множестве всех неотрицательных действительных чисел, так как на
этом множестве каждое из них имеет только один корень — число 1.
Рассмотрим уравнения 21og2x = 1 и Iog2x2 = !• Первое уравне-
ние имеет единственный корень хг = V2, а второе имеет два корня:
хг = 42 и х2 = -42. Следовательно, эти уравнения не равносильны на
множестве всех действительных чисел. Но эти уравнения равносиль-
ны на множестве всех положительных чисел, так как на этом множе-
стве каждое из данных уравнений имеет только один корень хт = 42.
Если два уравнения равносильны на множестве всех действи-
тельных чисел, то в таких случаях говорят, что уравнения равно-
сильны, опуская слова «на множестве всех действительных чисел».
Равносильные преобразования уравнений уже были рассмотре-
ны в § 7.
Равносильность уравнений на множествах
Перечислим основные преобразования уравнений, приводящие
исходное уравнение к уравнению, равносильному ему на некотором
множестве чисел.
1.	Возведение уравнения /(х) = g(x) в четную степень 2т (т е N)
приводит к уравнению, равносильному исходному на том множест-
ве М, на котором обе функции f и g неотрицательны.
2.	Умножение (или деление) обеих частей уравнения на функ-
цию ф приводит к уравнению, равносильному исходному на том мно-
жестве М, на котором функция ф определена и отлична от нуля.
3.	Потенцирование логарифмического уравнения
loga/(x) = logag(x) (а > О, а Ф 1)
приводит к уравнению f(x) = g(x), равносильному исходному на том
множестве М, на котором положительны обе функции f и g.
4.	Приведение подобных членов (ф (х) - <р (х) = 0) приводит к
уравнению, равносильному исходному на том множестве Л(ф), на
котором определена функция ф(х), т. е. на области существования
функции ф(х).
5.	Применение некоторых формул (логарифмических, тригоно-
метрических и др.) приводит к уравнению, равносильному исходно-
му на том множестве М, на котором определены обе части применяе-
мой формулы.
10.1
а) Какие уравнения называют равносильными на множестве М?
б) Что называют равносильным на множестве М переходом от
одного уравнения к другому?
в) Какие преобразования приводят к уравнению, равносиль-
ному исходному на некотором множестве М?
г) В каком случае говорят, что уравнения равносильны?
10.2
Определите множество М, на котором равносильны уравнения:
\ X2 + X 2 Л	п	лл /-•ч	/	•*	9	-«
а) ---------= 0 и х2 + х - 2 = 0; б) Vx = 1 и х — 1;
х + 2
в)	х3 + 2х2 — 1 = 0 и >/х(х3 + 2х2 — 1) = 0;
г)	х2 + 5х + Vx = Vx — 4 и х2 + 5х + 4 = 0;
д)	1g (х2 — 1) = Igx и х2 - 1 = х;
е)	log2 х + log2 (х + 2) = 3 и log2x(x + 2) = 3;
ж) log2 X - log2 (х - 3) = 2 и log2
10.3 Какими условиями задается множество М, на котором равно-
сильны (а > 0, а Ф 1) уравнения:
а) = Ф (х) и /(х) = g(x) ф(х); б) д/Л*) = Ф (х) и f(x) = ф2(х);
26«
в)
г)
д)
е)
Jf(x)yjg(x) = <р (х) и yjf(x)g (х) = <р (х);
У/(х)
-	= ф (х) и
ё{х)
= ф (х);
Дх) + 7#(х) = ф (х) + 7^(х) и Дх) = ф (х);
7(/(х))2 = Ф (х) и f(x) = ф(х);
ж) loga Дх) = logag(x) и Дх) = g(x);
з)
и)
к)
л)
loga Дх) + logflg(x) = Ф(х) и loga(f(x)g(x)) = Ф(х);
f (х)
logaf(X) - logag(x) = ф(х) и loga —— = ф(х);
-—-— = Ф (х) и loga Дх) = Ф(х);
Ioga(/(X))2 = Ф(х) и 21oga|/(x)| = ф(х);
м) 21oga Дх) = ф(х) и loga(/(x))2 = ф(х);
н) aloge = ф(х) и Дх) = ф(х);
о)
= ф (х) и cos 2х = ф (х);
п)
2 tgx
= ф (х) и tg 2х = ф (х)?
10.2
возведение уравнении в четную степень
Пусть 2т — четное натуральное число (m g N) и пусть в каж-
дой точке множества М обе функции Дх) и g(x) неотрицательны,
тогда на этом множестве равносильны уравнения Дх) = £(х)
и (f (х))2"‘ = U(x))2“.
ПРИЛИЛ* 1. Решим уравнение
^/1 - 2х = л/1 - х.
(1)
Все корни уравнения (1) содержатся во множестве М, состоя-
щем из чисел, удовлетворяющих неравенствам 1 — х^0и1 — 2x^0,
т. е. содержатся во множестве М =
ства М обе функции f (х) = ^/1- 2х
2
. В каждой точке множе-
и g(x) = V1 — х неотрицательны.
9
Поэтому уравнение (1) равносильно на множестве М уравнению
(^/1 - 2х)6 = (71 - х)6.
(2)
Уравнение (2) можно переписать в виде
(3)
Ра впо с илы I ость уравнений на множествах
Уравнение (3) имеет три корня: = О, х2 =
Из них хх и х2 принадлежат множеству М, а х3 — нет. Следователь-
но, на множестве М уравнение (2) имеет два корня х1 и х2. Поэтому
и равносильное ему на множестве М уравнение (1) имеет те же два
корня.
Ответ. 0; —-
2
Л
Возведение в четную степень можно применять и при решении
уравнений, содержащих модуль.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
1 + sinx = |cosx|.
(4)
Обе части уравнения (4) определены и неотрицательны на множе-
стве всех действительных х. Поэтому после возведения уравнения (4)
в квадрат получаем равносильное ему уравнение (1 + sinx)2 = cos2х,
которое можно переписать в виде
2 sinx(l + sinx) = 0.
(5)
Уравнение (5) имеет две серии решений:
Все эти числа, и только они, являются решениями уравне-
ния (4), равносильного уравнению (5).
71	А
Ответ. + 2тш, п е Z; л/г, k е Z, О
2
10.4* Докажите утверждение о возведении уравнения в
степень.
четную
Решите уравнение (10.5—10.13):
10.5 а) л/х +1 = ^2х - 5;
в) д/2х + 11 = Jix + 1;
10.6	а) - 5 = Убх + 9;
в) д/Зх2 - 13 = ^5х - 1;
б) л/х - 1 = ^/2х + 5;
г) -J2x - 9 = ^4х + 3.
б) %2хг - 1 = ^/Зх - 2;
г) 74*2 - 11 = 713х + 31
10.7	а) 4х + 1 = х - 2;
в) 4х + 3 = х + 2;
10.8	а) д/-2х = | х + 11;
в) л/2 — х = I х — 3
j 270
10.9	* a)
10.10	* a)
в)
10.11	a)
в)
10.12	a)
в)
10.13	* a)
в)
J2- 2sin-^ = 1;
1 + cosx = | sinx|;
71 - cos x = | sin x |;
7x — 4 7x + 4 = Тб;
7x - 5 7x 4- 5 = 72;
7x — 7x - 4;
\x + 3 = 7x - 1;
73 - 2x = 72 - x;
7x +1 = 7x - 3;
6) 72 cos Зх + 2 = 1.
6) 1 - sin x = I cos x ;
r) 71 4- sin x = I cos x I.
6) 7x- 3 7x4-3 = 75;
r) 7x — 2 7x 4- 2 = 78.
6) 7x = 72 - x;
функцию
10.3*. Уииожение уравнения па
Пусть в каждой точке множества М функция ф (х) определена
и отлична от нуля. Тогда на множестве М равносильны уравнения
и
• Flf -1:	S> №) Ф (*) Т <(Х> Ф (*К
(1)
(2)
Доказательство. Пусть Xq — любой корень уравнения (1), при-
надлежащий множеству М, тогда существуют числа /(х0) и g(x0)
и справедливо числовое равенство
/(х0) = £(х0).	(3)
Так как в каждой точке множества М функция ф (х) определена
и отлична от нуля, то существует число ф(х0) Ф 0, поэтому, умножив
числовое равенство (3) на число ф(х0), получим, что справедливо чи-
словое равенство
f (х0) ф (х0) = g (х0) ф (х0).	(4)
Равенство (4) означает, что число х0 является корнем уравне-
ния (2). Следовательно, любой корень уравнения (1), принадлежа-
щий множеству М, является корнем уравнения (2).
Покажем обратное. Пусть хг — любой корень уравнения (2),
принадлежащий множеству М, тогда существуют числа /(х^, g“(xj)
и ф(хх) (причем ф(хг) Ф 0) и справедливо числовое равенство
/(х1)ф(х1) = ^(х1)ф(х1).	(5)
Так как число ф(хх) отлично от нуля, то, разделив числовое ра-
венство (5) на число ф(хх), получим, что справедливо числовое
равенство f{x-^ — £(хх), означающее, что число хх является корнем
271
Равносильность уравнений на множествах
уравнения (1). Следовательно, любой корень уравнения (2), принад-
лежащий множеству Af, является корнем уравнения (1).
Из доказанного выше следует, что если хотя бы одно из уравне-
ний (1) и (2) имеет корень, принадлежащий множеству Af, то эти
уравнения равносильны на множестве М.
Методом от противного можно показать, что если хотя бы одно
из уравнений (1) и (2) не имеет корней, принадлежащих множест-
ву М, то эти уравнения равносильны на множестве М.
Итак, утверждение доказано полностью.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
2 sin х	1
(6)
2
ому, умножив уравнение (6) на
Все корни уравнения (6) содержатся во множестве М всех тех х,
для каждого из которых 4 - Зх — х2 > 0, т. е. содержатся во множестве
М = (-4; 1). В каждой точке множества М функция <р (х) = ^4 — Зх — х
определена и отлична от нуля, пост
эту функцию, получим, что на множестве М уравнение (6) равно-
сильно уравнению
(7)
ОДНО число
sin х = —
2
Уравнение (7) имеет две серии решений: х„ = — + 2тш, п е Z
5тс
и xk = — + 2л&, k е Z. Из чисел хп множеству М принадлежит лишь
7Т
— (при п = О), а из чисел xk множеству М принадлежит
6	7 к
число —— (при k = -1). Следовательно, уравнение (7) на
ЯуГ 6	л 7л _
М имеет лишь два корня: — и------. Поэтому равносиль-
6	6
ное ему на множестве М уравнение (6) имеет те же корни.
Ответ. —; ——.
лишь одно
множестве
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
|х - 2| — |х|
(8)
Так как функция <р (х) — (| 2х — 11 + | х |) (| х — 21 + | х |) определена
и не равна нулю при каждом х 6 Л, то, умножая уравнение (8) на
функцию (р(х), получим уравнение
(х - 2)2 - х2 = (2х - I)2 - х2,	(9)
равносильное уравнению (8). Уравнение (9) имеет два корня: хг = —1
и х2 = 1. Тогда и равносильное ему уравнение (8) имеет те же корни.
Ответ. -1; 1.
A 272
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
16 cos х cos 2х cos 4х cos 8х = 1.
(10)
Обе части уравнения (10) имеют смысл на множестве всех х.
Функция <р (х) = sin х также определена на этом множестве и отлич-
на от нуля для всех х xfe, где xk = nk, k е Z. Так как
16 cos xk cos 2xk cos 4xfe cos 8xk = 16 • (-1)Л =£ 1,
то числа xk не являются решениями уравнения (10). Следовательно,
все решения уравнения (10) содержатся во множестве М всех чисел
x^xk. В каждой точке множества функция 9(x) = sinx определена
и отлична от нуля, поэтому, умножив уравнение (10) на функцию
ф(х), получим уравнение
16 sin х cos х cos 2х cos 4х cos 8х = sin х,
(11)
равносильное уравнению (10) на множестве М.
Применяя 4 раза формулу синуса двойного угла, перепишем
уравнение (11) в виде
sin 16х = sin х.	(12)
Перенося члены уравнения (12) в левую часть и применяя фор-
мулу разности синусов, перепишем уравнение (12) в виде
о . 15	17
2 sin — х cos —
2	2
(13)
О	2л
Это уравнение имеет две серии решении: хп = — n, п е Z и хт -
15
л 2 л	т?	* <-
— + — тп, т е Z. Из этих чисел во множестве М содержатся те хл,
для которых п Ф 15Z, I g Z, и те хт, для которых т 17р + 8, р g Z.
Поэтому уравнение (13) на множестве М имеет две серии ре-
w	2л	л 2л	__
шении: х„ = -—и, neZ, 15Z, I е Z\ хт =---------1--тп, т е Z,
15	17	17
т 17р + 8, р с Z.
Следовательно, и равносильное ему на множестве М уравне-
ние (10) имеет те же самые решения.
Ответ. — п, п g И, п Ф 15Z, I g Z; —+ — тп, т g Z, т Ф 17р + 8, peZ.
15	17 17
Решите уравнение (10.14—10.22):
Л 4 V	3	О	1
10.14 а)---------------F-------------=------;
(2х + 6)(х - 1) (Зх + 5)(х - 1) х - Г
1	7	1
б) ------------+-------'-----= ——-.
(Зх + 5)(х - 1) (х + 7)(х - 1) х - 1
273
Равносильность уравнении на множествах
10.15
10.16
10.17
10.18
10.19
10.20
10.21
10.22
а)
а)
б)
а)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
Д)
а)
в)
г)
2д/0,5 - х
(х-4)(х+1)
д/0,5 - х
(х —2)(х + 2)*
б)
(х + 1)(х1 2 * + 1)(х4 * * + 1)(х8 + 1) =
(х - 1)(х2 + 1)(х4 + 1)(х8 + 1) =
3-7 х - ю
(х — 3)(х - 2) ’
4у]х - 10
(х - 4)(х + 3)
х1С + х2 + 5х + 3
(х - 1)(х2 + 1)(х4 + 1) = х7;
б) (х + 1) (х2 + 1)(х4 + 1) = х7.
1х —21 —1x1	12х — 11 — 1x1	l2x—3 l — Sxl	l3x —2l —Ixl
Bcosx + 4sinx = 0;	6) 2sinx - cosx = 0;
2 sin2 x — 3 sin x cos x + cos2 x = 0;
3 sin2 x - 5 sin x cos x + 2 cos2 x = 0.
a)	4 cos x cos 2x = 1;
в) 8 cos x cos 2x cos 4x = 1;
6)	4 cos x cos 2x = -1;
r) 8cosxcos2xcos4x = -1.
10.4*. Другие преобразования уравнений
1. Потенцирование и логарифмирование уравнений.
Пусть фиксированное число а таково, что а > Оиа * 1, и пусть
в каждой точке множества М обе функции f (х) и g(x) положи-
тельны. Тогда на множестве М равносильны уравнения
logaf(x) = log„g(x)	(1)
/*(х) = £(х).	(2)
Переход от уравнения (1) к уравнению (2) называют потенциро-
ванием логарифмического уравнения (1), а переход от уравнения (2)
к уравнению (1) — логарифмированием уравнения (2).
274
ПРИМЕР 1, Решим уравнение
lg (1 - х2) = lg 2х.
(3)
Все решения уравнения (3) содержатся во множестве тех х, для
каждого из которых 1 - х2 > 0 и 2х > 0, т. е. во множестве
М = (О; 1). В каждой точке множества М положительны обе функ-
ции f (х) = (1 - х2) и g(x) = 2х. Поэтому уравнение (3) равносильно
на множестве М уравнению
1 - х2 = 2х,	(4)
имеющему два корня: хх - -V2 - 1 и х2 = V2 - 1.
Число х2 принадлежит множеству М, а число х1 нет. Поэтому
уравнение (4) на множестве М имеет только один корень х2. Следо-
вательно, и равносильное ему на множестве М уравнение (3) имеет
тот же корень.
Ответ. у 2 — 1.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
= (х - l)sin х.
(5)
Все корни уравнения (5) содержатся среди тех х, для каждого из
которых справедливо неравенство х - 1 > 0, т. е. содержатся во мно-
жестве М = (1; +оо). В каждой точке этого множества определены
и положительны обе функции f (х) = - и g (х) = (х - l)sin х. По-
Jx - 1
этому, логарифмируя уравнение (5), получим, что оно равносильно
на множестве М уравнению
1g (х- l)sinx.
(6)
5л
Применяя свойства логарифмов, получим, что уравнение (6) рав-
носильно на множестве М уравнению lg(х - l)fi + sinx = О, все ре-
шения которого, принадлежащие множеству М: х0 = 2; хЛ =	+ 2я/г,
5л	6
k е N; хп =	+ 2лп, п g N. Следовательно, и равносильное на мно-
6
жестве М уравнение (5) имеет те же решения.
Ответ. 2;	+ 2л/г, k с N; - Л . _,___
6	6
2. Приведение подобных членов.
Пусть в каждой точке множества М определена функция <р(х).
Тогда на множестве М равносильны уравнения
£*5ы5й"«5**8в!И7(х) + фОО - <р(х) = 0;и f
'<11 * 41 Ж‘ Л М * -X V W v? V С* V 11 СГ	>4 95 "Ж
275
Равносильность уравнений на множествах
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
х2 - 2х + log2 х = 3 + log2 я.
(7)
Очевидно, что если уравнение (7) имеет корни, то эти корни
удовлетворяют неравенству х > 0, т. е. принадлежат множеству
М - (0; +оо).
Так как в каждой точке множества М определена функция (р (х) =
= log2x, то уравнение (7) равносильно на множестве М уравнению
х2 - 2х - 3 = 0.	(8)
Уравнение (8) имеет два корня: хг = — 1 и х2 = 3. Число х2 при-
надлежит множеству Af, а число хх нет. Следовательно, уравне-
ние (8) на рассматриваемом множестве имеет единственный корень
х2. Так как уравнения (7) и (8) равносильны на множестве Af, то
уравнение (7) имеет только тот же корень.
Ответ. 3.
3. Применение формул.
Пусть в каждой точке множества М определены обе части не-
которой формулы (логарифмической, тригонометрической и т. п.).
Тогда, применив эту формулу при решении уравнения, получим
уравнение, равносильное на множестве М исходному уравнению.
«ABV	i	Hu	Brifb BAA	4В^в
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
3log3(2x-5) =х2_4х + 1_.
(9)
каждого из которых 2х — 5 > 0
Все решения уравнения (9) принадлежат множеству тех х, для
т. е. принадлежат множеству
Af = I +оо I. В каждой точке множества М определены обе части
формулы 3log3 (2х ” 5) = 2х — 5. Поэтому на множестве Af уравнение (9)
равносильно уравнению
2х - 5 = х2 - 4х 4- 1,	(10)
имеющему два корня: хг = 3 - у 3 и х2 = 3 4- V3. Число х2 принадлежит
множеству М, а число хх нет. Поэтому уравнение (10) на рассматри-
ваемом множестве имеет единственный корень х2. Следовательно,
и равносильное ему на множестве Af уравнение (9) имеет только этот
корень.
Ответ. 3 4- уЗ.
(11)
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
Ох	1
2 ctg х = ——
COS X
Все решения уравнения (11) содержатся во множестве Af всех
—, k е Z. Так как в каждой точке множества Af определены обе
276
части формул ctg х =
= 14- tg2x, то уравнение (11) равно-
сильно на множестве М уравнению
(12)
Так как уравнение — = 1 4-12 имеет только один действительный
корень t - 1, то уравнение (12) равносильно уравнению tgx = 1.
Множество решений последнего уравнения составляет серию
71
хп = — 4- пп, neZ, Так как все эти числа принадлежат множест-
ву М, то все они и будут решениями уравнения (12) на множест-
ве М. Поэтому уравнение (11), равносильное уравнению (12) на мно-
жестве М, имеет те же решения.
Ответ. — 4- лп, п е Z.
ПРИМЕР 6. Решим уравнение
log2x =14- 21ogx2.	(13)
Все корни уравнения (13) принадлежат множеству М — (О; 1) U
U (1; 4-оо). В каждой точке множества М определены обе части
1
формулы logr 2 = ----,
log2 х
множестве М уравнению
поэтому уравнение (13) равносильно на
(14)
logo х - ------1 = 0.
log2x
2
Так как уравнение t — — — 1 = 0 имеет только два корня: —1 и 2, то
только корни двух уравнений log2 х = -1 и log2 х = 2 являются кор-
нями уравнения (14). Следовательно, уравнение (14) имеет два кор-
ня: хг = — и х2 = 4. Числа хг и х2 принадлежат множеству М. Поэтому
уравнение (14) на множестве М имеет два корня Xj и х2, но тогда и
равносильное ему на множестве М уравнение (13) имеет те же корни.
Ответ. —; 4.
2
10.23* Докажите справедливость утверждений о потенцировании и
логарифмировании уравнений, о приведении подобных чле-
нов и о применении формул.
Решите уравнение (10.24—10.30):
10.24 a) 1g (х2 - 4) = lg (х - 1);	б) log2(x2 - 9) = log2(2 - х) 4- 1;
в) 1gЗх2 = 1g(2х 4- 1);	г) log2(16-x2) = log2(l 4-х) 4-1.
277
Равносильность уравнений на множествах
10.25
10.26
10.27
10.28
10.29
10.30
а)
в)
Д)
а)
в)
а)
б)
в)
г)
а)
в)
а)
в)
а)
log2 х = log4(x + 2);	б)	log9 (х + 8) = log3(x + 2);
log25<9x + 7) = log5(3 + x); г) log4(x + 9) = log2(x - 3);
log2 (x + 3) - logi (x + 3) = 4; e) log3 (x + 2) - log!(x + 2) = 2.
x2 + 2x + log2(x + 1) = 15 + log2(x + 1);
x2 — 6x — log3(l - x) = 7 - log3(l - x);
x2 + log4x = 7x + log4x;
x2 - log5(-x) = -6x - log5(-x).
4log4(2x + l)= x2 +3x_ 5.	6) 5log5(x-2) = x2+4x_30;
6log6(l-x)=x2 + 3x_20; r) 7bg7(2-x)=x2_3x_13
log3 x = 4- 31ogx 3;
log3 x - 2 = 31ogx 3;
sinx;
6)
r)
6)
log4 x + 2 = 31ogx 4;
log2 x + 61ogx 2=5.
= cos x — 1;
в)
= cosx;
sinx.
10.5*. Применение нескольких преобразований
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
4 log4 (х + 2) = log2 (2х + 1) + log2 х.	(1)
Все корни уравнения (1) принадлежат множеству М = (0; +оо).
В каждой точке множества М определены обе части формул
41og4(x + 2) = log2(x + 2)2 и log2(2x + 1) + log2x = log2(2x2 + х).
Поэтому уравнение (1) равносильно на множестве М уравнению
log2 (х + 2)2 = log2 (2х2 + х).	(2)
В каждой точке множества М положительны обе функции
f (х) = (х + 2)2 и g(x) = 2х2 + х. Поэтому уравнение (2) равносильно
на множестве М уравнению
(х + 2)2 = 2х2 + х,	(3)
имеющему два корня: хг = 4 и х2 = -1. Число Xj принадлежит мно-
жеству М, а число х2 — нет. Следовательно, уравнение (3) на мно-
жестве М имеет единственный корень xlt поэтому и равносильное
ему на множестве М уравнение (1) имеет тот же корень.
Отве т. 4.
278
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
а4х = 5 +	4х.	(4)
Все корни уравнения (4) содержатся во множестве М — [О; 11,25].
Так как в каждой точке множества М обе части уравнения (4)
неотрицательны, то возведя уравнение (4) в квадрат, получим урав-
нение
16х = 25 + 10^45 - 4х + 45 - 4х,	(5)
равносильное уравнению (4) на множестве М. Перепишем уравне-
ние (5)в виде
2х - 7 = ^45- 4х.	(6)
На множестве М правая часть уравнения (6) неотрицательна, по-
этому корни уравнения (6), принадлежащие множеству М, надо ис-
кать среди тех х, для которых справедливо неравенство 2х - 7 > 0.
Поэтому корни уравнения (6), а значит, и уравнения (4) принадлежат
множеству Mi = [3,5; 11,25], причем Мх с М. Следовательно, урав-
нение (6) равносильно на множестве уравнению (4).
Возведя уравнение (6) в квадрат, получаем уравнение
4х2 - 28х + 49 = 45 - х,
(7)
равносильное уравнению (6) на множестве Мг. Уравнение (7) имеет
два корня: хг = 3 + 2л/2 и х2 = 3 - 2д/2.
Так как хх е Мх, ах2 М19 то число хх является корнем уравне-
ния (6), а число х2 — нет. Следовательно, уравнение (6) имеет на
множестве единственный корень хх, поэтому и равносильное
ему на множестве Мг уравнение (4) имеет единственный корень хх.
Ответ. 3 4- 2>/2.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
(8)
Все корни уравнения (8) принадлежат множеству тех х, для
каждого из которых х(х-1)>0, т. е. принадлежат множеству
М = (-оо; 0) U (1; +оо).	______
В каждой точке множества М функция (р (х) = ^х(х - 1) опреде-
лена и отлична от нуля. Поэтому, умножив уравнение (8) на эту
функцию и применив формулы
обе части каждой из которых определены на множестве М, получим
л/х^ + у/(х - I)2 = 3,
уравнение
(9)
равносильное уравнению (8) на множестве М.
И 279
Равносильность уравнений на множествах
Применяя формулу уа2 = |а|, получим, что на промежутке (-оо; 0)
уравнение (9) равносильно уравнению -х — (х - 1) = 3, имеющему
единственный корень хх = -1, принадлежащий этому промежутку.
Применяя формулу у/а^= |а|, получим, что на промежутке (1;+оо)
уравнение (9) равносильно уравнению х + (х - 1) = 3, имеющему
единственный корень х2 = 2, принадлежащий этому промежутку.
Следовательно, уравнение (9) имеет на множестве М два корня:
xt = -1 и х2 = 2. Так как уравнения (8) и (9) равносильны на множе-
стве М, то уравнение (8) имеет те же два корня.
Ответ. -1; 2.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
logx + 3(8 - х) = 21ogx + 3(x + 4).	(10)
Все корни уравнения (10) содержатся во множестве всех тех х,
для каждого из которых х + 3 > 0, х + 3 * 1, 8 — х > 0, х + 4 > 0,
т. е. содержатся во множестве М — (—3; —2) U (—2; 8).
В каждой точке множества М определены обе части формул
lg(8 - х)	lg(x + 4)2
log* + з (8 - х) = --и 2 logr . з (х + 4) = --—.
бх + 3	7 lg(x + 3) 5X + 3V 7 lg(x + 3)
Поэтому уравнение (10) равносильно на множестве М уравнению
1g(8 - х) __ lg(x + 4)2
lg(x + 3) lg(x + 3) *	1	'
В каждой точке множества М функция <р (х) = 1g (х + 3) опреде-
лена и отлична от нуля. Поэтому уравнение (11) равносильно на
множестве М уравнению
lg(8 - х) = lg(x + 4)2.	(12)
В каждой точке множества М функции /(х) = 8 - х и g(x) =
= (х + 4)2 положительны. Поэтому уравнение (12) равносильно на
множестве М уравнению
8 - х = (х + 4)2,	(13)
имеющему два корня: Xj = -1 и х2 = —8. Так как хг е М, а х2 С М, то
уравнение (13) имеет на множестве М единственный корень хг. Сле-
довательно, и равносильное ему на этом множестве уравнение (10)
имеет тот же корень.
Ответ. -1.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
(14)
Все корни уравнения (14) принадлежат множеству М - [1; +оо).
В каждой точке множества М определена функция <р (х) = Vx - 1,
определены обе части формулы х— 2log2X. Поэтому уравнение (14)
равносильно на множестве М уравнению
(15)
280
Логарифмируя показательное уравнение (15), получим, что
уравнение (15) равносильно уравнению log2 х + 21og2 х= 3, имеюще-
му два корня: хх = 2 и х2 =
Так как число jq принадлежит множе-
ству М, а число х2 нет, то уравнение (15) на множестве М имеет
единственный корень хР Поэтому и равносильное ему на множест-
ве М уравнение (14) имеет тот же корень.
Ответ. 2.
10.31
10.32
Решите уравнение (10.31—10.47):
а) д/2х + 1 = 2Vx- 1 +1;	б) 2^3х + 7 = 3^2х + 2 + 2;
в) -у/бх - 3 - 2л/х = 1;	г) д/2х - 1 - 7х = 1.
7________.
7(х + 2)(х - 3) ’
10
7(х + 1)(Х - 5) *
10.33
10.31
10.35
10.36
a)	log2(x + 2) + log2(3x + 2) = log2(5x + 22);
б)	log3(x - 5) + log3(x + 1) = log3(3x + 3);
в)	log5(x - 6) + log5(2x + 11) = log5(3x + 4);
r) log4 (2x + 6) + log4 (3x - 14) = log4 (3x + 1).
a)	log5(x - 5)2 = 21og5Vx;
в) lg (x - 2)2 = 21g^3 - x;
6)	log3(x - 3)2 = 21og3Vx;
r) lg(x - I)2 = 21g^/2 - x.
a)	lg (8x + 11) + Vx = lg(x2 + 2) + Vx;
6)	lg (x + 8) + V-x = lg (x2 + 2) + V—x.
10	.37 a) lg (x - 1) + V9 - x2 = lg (x - 1) + Vx + 5;
6) lg (1 - x) + V25 - X2 = lg (1 - x) + 4x + 16.
10.38
10.39
a)	log2 x = 2 log2(x - 3) + 2;
в) log3(x-2)-31ogx_29 = l;
6)	log5 x = 2 log5 (6 — x) + 1;
r) log2(x- 3) + 3logx_ 34 = 5.
a)
6)
log3x-
log2 X -
2	_	6
1 + log, 27	3 + log3 x1
8 - 4
2 + log2 x 1 + log, 4 ’
281
Равносильность уравнений на множествах
10.40 а)
б)
10.41 а)
б)
10.42 а)
10.43* а)
б)
log2(8x2 - х) • log4x(8x - 1) = 2;
logs (х — 2)’1о£/х710 5= 1; в> 1о£з(х“ !)’	3 * = !•
log3(5x2 — х) • log3x(5x — 1) = 1;
log4(20x2 - х) • log16x(20x - 1) = 2.
б) х2 - Ч2 * - ’8 х'2
10.44
10.46
log^ 2х
(2х + 9)' 8х“ х2“15;
= (7х - 20)'24х “ 4х
log 1 ( 8 + 2х - х2 )
а) -=- = (х-1)	;
- 1
log-| (1 + 1х - 2х2)
б) -----	= (2х - 1) *
J2x - 1
10.45
= log х | (х2 + 7).
a)	log)X । (1 + х) = log х । (х2 - 5);
б)	log|x । (9 + х)
10.47
При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственный корень?
2	2
xz - сг
х - 4
10.6*. Уравнения с дополнительными условиями
Довольно часто требуется решить уравнение при некоторых
условиях. Дополнительные условия обычно означают, что надо
решить уравнение на том или ином множестве. Иногда эти условия
облегчают решение уравнения.
ПРИМЕР 1. Найдем все корни уравнения
|х2 + х - 11 = 2х — 1,	(1)
Vi
удовлетворяющие неравенству х < —.
3
Прежде всего заметим, что левая часть уравнения (1) неотрица-
тельна при любом действительном х. Это означает, что корни урав-
282
—, т. е. при-
. Так как в каждой точке этого
квадратный трехчлен х2 + х — 1 принимает только отри-
значения, то на множестве М уравнение (1) равносильно
-(я2 + х - 1) = 2х - 1, имеющему два корня: хх =
V17
---. Из этих чисел только х2 принадлежит множеству М,
нения (1) удовлетворяют условиям 2х - 1 О и х
надлежит множеству М =
множества
нательные
уравнению
2
следовательно, только х2 удовлетворяет условию задачи.
Ответ.--------.
2
Часто дополнительное условие не облегчает решение уравнения.
В таких случаях обычно сначала решают уравнение, а потом отбира-
ют из найденных решений те, которые удовлетворяют условию.
ПРИМЕР 2. Найдем все корни уравнения
(2)
принадлежащие отрезку
6	3
Применив формулу квадрата косинуса угла, перепишем уравне-
ние (2)в виде
(2<'os гху + 2.2COS гх - 3 = 0.	(3)
Так как уравнение у2 + 2у — 3 = 0 имеет два корня: уг = 1 и у2 = — 3,
то множество всех решений уравнения (3), а значит, и уравнения (2)
есть объединение множеств решений двух уравнений
2COS 2х _ ! и 2с°з 2х _ -3
(4)
Первое из уравнений (4) имеет серию решений xk = — + — k, keZ,
4	2
а второе не имеет решений, так как 2COS 2х > 0 для любого х. Таким
образом, уравнение (2) имеет единственную серию решений хк. Те-
перь из этих чисел надо отобрать те, которые принадлежат отрезку
Г"	*1
2л
— удовлетво-
Так как двойному неравенству —— < — + —
ряет единственное целое число k = — 2, то условию задачи удовлетво-
ряет лишь одно число х_2 = —
Зл	4
Ответ. ——.
4
283
Равносильность нераненств на множествах
10.48
Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанно-
му промежутку (10.48—10.53):
a)	sin 2х + 2 sin х - >/3 cos х = 7з, (0; л);
б)	sin 2х - 2 sin х + л/3 cos х = л/з,
л . Зя
2; Т
10.49
10.50
10.51
10.52
10.53
а)
б)
а)
а)
а)
б)
а)
sin2x - sin2x - 3cos2x = 0,
5 sin2 x - 2 sin 2x ~ cos2 x = 0,
x4 + x3 + x2 - 3x = 0,
[-2; 0];
6) |x2 - 2x - 8| = x + 2, [0; 4].
6) x4 + x3 + x2 - 14x = 0, [3;7].
(x - log3 75) (x - log2 22) = 0, [3; 4];
(x - log2 17)(x - log2 71) = 0, [4; 5].
6) 3cos2x — 5cosx = 1, [0; 2л].
§11. Равносильность неравенств на множествах
11.1.	Основные понятия
Пусть даны два неравенства: f(x)>g(x) и р(х)><р(х) и пусть
дано некоторое множество чисел М. Если любое решение первого
неравенства, принадлежащее множеству М, является решением вто-
рого неравенства, а любое решение второго неравенства, принадле-
жащее множеству М, является решением первого неравенства, то
такие два неравенства называют равносильными на множестве М.
При этом, в частности, подразумевается, что если каждое из этих
неравенств не имеет решений на множестве М, то такие два неравен-
ства равносильны на множестве М.
Замену одного неравенства другим неравенством, равносильным
ему на множестве М, называют равносильным переходом на множе-
стве М от одного неравенства к другому, или равносильным на мно-
жестве М преобразованием неравенства. Например, неравенства
7х >1 и х2 > 1 не являются равносильными на множестве всех дей-
ствительных чисел, но они равносильны на множестве всех положи-
тельных чисел, а неравенства х > 1 и х3 > 1 являются равносильны-
ми на множестве всех действительных чисел.
Если два неравенства равносильны на множестве всех действи-
тельных чисел, то в таких случаях говорят, что неравенства равно-
сильны, опуская слова «на множестве всех действительных чисел».
284
Равносильные преобразования неравенств уже были рассмотре-
ны в § 7.
Перечислим основные преобразования неравенств, приводящие
исходное неравенство к неравенству, равносильному ему на некото-
ром множестве чисел.
1.	Возведение неравенства в четную степень, т. е. замена нера-
венства f(x)>g(x) неравенством (f (х))2"’ > (£(х))2т, meN, приво-
дит к неравенству, равносильному исходному на том множестве М,
на котором обе функции f(x) и g(x) неотрицательны.
2.	Умножение обеих частей неравенства на функцию (р(х), т. е.
замена неравенства /(х) > g(x) неравенством f(x)<p(x) > g(x)<p(x),
приводит к неравенству, равносильному исходному на том множест-
ве М, на котором функция <р(х) положительна.
3.	Потенцирование логарифмического неравенства
logaf(x)> logag(x),
т. е. замена этого неравенства при а > 1 неравенством f (х) > g(x),
а при 0 < а < 1 неравенством /(х) < g(x), приводит к неравенству,
равносильному исходному на том множестве М, на котором обе
функции /(х) и g(x) положительны.
4.	Приведение подобных членов, т. е. замена разности /(х) — f (х)
нулем, приводит к неравенству, равносильному исходному на том
множестве М, на котором определена функция f(x).
5.	Применение некоторых формул (логарифмических, тригоно-
метрических и др.) приводит к неравенству, равносильному исход-
ному на том множестве М, на котором определены обе части приме-
няемой формулы.
11.1' Какие неравенства называют равносильными на множестве М?
11.2° а) Что называют равносильным переходом на множестве М от
одного неравенства к другому?
б)	В каком случае говорят, что неравенства равносильны?
11.	3° Приведите пример неравенств, равносильных:
а)	на множестве положительных чисел;
б)	на множестве отрицательных чисел;
в)	на множестве всех действительных чисел.
11.	4е Перечислите основные преобразования неравенств, приводя-
щие данное неравенство к неравенству, равносильному ему на
некотором множестве чисел.
11.5
Объясните, в результате какого преобразования из первого не-
равенства получено второе:
a) sin х > cos х, sin2 х > cos2 х;
в)	log3 tg х > log3 Vi, tg x > 73;
б) х4 > 5,
г) log0,2(x2 +
3) > log0 24х, х2 + 3 < 4х;
285
Равносильность неравенств на множествах
д) sin х + ylx > sin 2х + Vx, sin х > sin 2х;
з) log2x + log2(x + 1) > 1, log2(x2 + х) > 1;
В каждом случае выясните, на каком множестве равносильны
первое и второе неравенства.
11.2. Возведение неравенства в четную стелен г»
Пусть 2т — четное натуральное число (т е N) и пусть в каж-
дой точке множества М обе функции /(х) и g(x) неотрицательны,
тогда на этом множестве равносильны неравенства
f(x)>g(x)	(1)
USS*SJ5!5SS5!88S5S!«S!HS«r''~-;	^B*****S*a*S*
> (g(x))2m.	(2)
Доказательство. Пусть число Xj принадлежит множеству М и
является решением неравенства (1), т. е. пусть существуют не-
отрицательные числа f (хг) и gCxj), для которых справедливо чи-
словое неравенство
/(Xj) >g(Xj).
Но если одно неотрицательное число больше другого, то п-я сте-
пень первого числа больше n-й степени другого, т. е. справедливо
числовое неравенство (f (xx))2zn > (g(Xj))2m. Это означает, что число хх
является решением неравенства (2).
Такое рассуждение можно провести для любого решения хг е М
неравенства (1), следовательно, любое решение неравенства (1), при-
надлежащее множеству М, является решением неравенства (2).
Покажем теперь обратное. Пусть теперь число х2 принадлежит
множеству М и является решением неравенства (2), т. е. пусть суще-
ствуют неотрицательные числа /(х2) и g(x2), для которых справед-
ливо числовое неравенство (/ (x2))2m > (g(x2))2/n.
Но если одно неотрицательное число больше другого, то корень
четной степени 2т из первого числа больше корня той же степени из
другого, т. е. справедливо числовое неравенство f(x2) > g(x2). Это
означает, что число х2 является решением неравенства (1).
Такое рассуждение можно провести для любого решения х2 g М
неравенства (2), следовательно, любое решение неравенства (2), при-
надлежащее множеству М, является решением неравенства (1).
286
Таким образом, если хотя бы одно из неравенств (1) или (2) име-
ет решения, принадлежащие множеству М, то они равносильны на
множестве М.
Если же число хх принадлежит множеству М и не является ре-
шением неравенства (1), и числа f{xx) и g(xj) неотрицательны, то это
означает, что выполняется либо равенство f(Xi) = g(xt), либо неравен-
ство f(Xi) < g(Xj). Но тогда по доказанному ранее выполняется либо
равенство (/(х!))2"'= ^(Xi))2"1, либо неравенство (f(xl))2m<(g(xl))2mt
т. е. хх не удовлетворяет неравенству (2). Это означает, что если нера-
венство (1) не имеет решений на множестве М, то и неравенство (2) не
имеет решений на этом множестве.
Если же неравенство (2) не имеет решений на множестве М, то
аналогично показывается, что и неравенство (1) не имеет решений
на этом множестве.
Таким образом, если одно из неравенств (1) или (2) не имеет ре-
шений на множестве М, то и второе неравенство не имеет решений
на множестве М.
Итак, неравенства (1) и (2) равносильны на множестве М и
утверждение полностью доказано, ф
ПРИМЕР I. Решим неравенство
4х < л[х + 6.	(1)
Все решения неравенства (1) содержатся во множестве
М = [0; +оо). в каждой точке множества М обе функции /(х) = л/х и
4 /
g(x) = Ух+ 6 неотрицательны. Поэтому неравенство (1) равносильно
на множестве М неравенству
(Ух)4 < (Ух + 6)4,
которое можно переписать в виде
х2 - х - 6 < 0.	(2)
Все решения неравенства (2) составляют промежуток (-2; 3), из
них множеству М принадлежат все х из промежутка [0; 3). Следова-
тельно, все решения неравенства (2) на множестве М составляют
промежуток [0; 3). Поэтому и равносильное ему на множестве М не-
равенство (1) имеет те же решения.
Ответ. [0; 3).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
Vx + l>V3x + l.	(3)
Все решения неравенства (3) содержатся во множестве
М = [-1; +оо).
1) Очевидно, что все х е М, для которых Зх + 1
1^1
х g -1; — являются решениями неравенства (3).
0, т. е. все
287
Равносильность неравенств на множествах
2) В каждой точке множества =
обе
f (х) = ух + 1 и g (х) = ^/Зх + 1 неотрицательны. Поэтому
функции
неравен-
ство (3) равносильно на множестве Мг неравенству
(л/ГТЕ)6 > фх + 1)в
которое можно переписать в виде
х(х2 — 6х - 3) > 0.
(4)
Все решения неравенства (4) составляют два промежутка:
(3- V12; 0) и (3 + V12; +оо). Из них множеству Мх принадлежат все х
из двух промежутков:
и (3 + V12; +оо). Следовательно, все ре-
шения неравенства (4) на множестве составляют два проме-
жутка
—; 0 и (3 + V12; +оо). Поэтому и равносильное ему на мно-
жестве Afx неравенство (3) имеет на этом множестве те же решения.
Объединяя решения, найденные в пп. 1) и 2), получим, что мно-
жество решений неравенства (3) составляет два промежутка: [-1; 0)
и (3 + д/12; +оо).
Ответ. [-1; 0) U (3+ V12; +оо).
Возведение в четную степень можно применять при решении не-
равенств с модулями.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
х — 4| > |х 4- 6
(5)
Обе части неравенства (5) неотрицательны для любых х, поэто-
му, возведя неравенство (5) в квадрат, получим неравенство
(х - 4)2
> (х + 6)2,
(6)
равносильное неравенству (5). Множество всех решений неравен-
ства (6), а значит, и равносильного ему неравенства (5) есть множе-
ство (-со; -1).
Ответ, (-со; -1). S
Решите неравенство (11.6—11.16):
11.6 а) 7^*- 2 <х; б) д/4х- 3 <х; в) fix- 4 < х;
11.7 а) -^2х-1 <х; б) 2fi- 1 <х; в) fix- 9 <х;
г) 2^2
288
11.8
11.9
11.10
11.11
11.12
11.13
11.14
11.15
11.16
в) -jx + 1 > *^2х + 1;
6) Vx + 4 > x - 2;
r) y[Sx + 4 > x - 2.
б) -Уб — x > Зх - 4;
г) V4 - x > 2x - 5.
6) yfix + 6 > x + 2;
г) л/х < ^/Зх - 2.
б) 1 - cos х > | sin х ;
г) 1 + cos х < | sin x |.
а) 1 + sinx >
в) 1 - sin х <
cosx ;
cosx |;
11.3*. Умножение неравенства на функцию
Пусть в каждой точке множества М функция ф (х) определена
и положительна. Тогда на этом множестве равносильны неравен-
ства f(x)>g(x) и /(х) <р(х) > ^(х) ф(х).
Г	|
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
х2 < 2х + 3
^4 - х2	У4 - х2
(1)
Все решения неравенства (1) принадлежат множеству тех х, для
каждого из которых 4 - х2 > 0, т. е. принадлежат множеству
М = (-2; 2). В каждой точке множества М функция ф (х) = V4 - х2
определена и положительна, поэтому, умножив неравенство (1) на
Равносильность неравенств на множествах
**
эту функцию, получим, что на множестве М неравенство (1) равно-
сильно неравенству
х2 < 2х + 3.
(2)
Все решения неравенства (2) составляют интервал (—1; 3). Из
них множеству М принадлежат лишь х из интервала (-1; 2). Следо-
вательно, все решения неравенства (2) на множестве М составляют
интервал (-1; 2). Поэтому и равносильное ему на множестве М нера-
венство (1) имеет те же решения.
Ответ. (-1; 2).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
-Jx2+ 4 + 21 х |
у2х - | х |
(3)
Все решения неравенства (3) содержатся во множестве М = (0; +оо).
В каждой точке множества М функция <р (х) = (х 2х +1 х |)(7х2 + 4 + 2| х |)
определена и положительна. Поэтому, умножив неравенство (3) на
эту функцию, получим, что на множестве М неравенство (3) равно-
сильно неравенству
х2 4- 4 - 4х2 > 2х - х2.
(4)
Множество решений неравенства (4) составляет интервал (-2; 1),
из них множеству М принадлежит лишь х из интервала (0; 1). Следо-
вательно, все решения неравенства (4) на множестве М составляют
интервал (0; 1). Поэтому и равносильное ему на множестве М нера-
венство (3) имеет те же решения.
Ответ. (0; 1).
Докажите утверждение об умножении неравенства на функ-
цию.
11.1,9
Решите неравенство (11.18—11.22):
10--Никольский, 11 кл.
290
11.4*. Другие преобразования неравенств
1. Потенцирование логарифмических неравенств.
Пусть в каждой точке множества М обе функции f (х) и g(x)
положительны, тогда на множестве М равносильны неравенства:
1) logaf(x) > logag(x) и /(х) > g(x), если а > 1;
2) loga/(x) > logag(x) и /(х) < g(x), если 0 < а < 1.
ПРИМЕР I. Решим неравенство
1g 4х < 1g (1 - х* 1 2).
(1)
Все решения уравнения (1) содержатся во множестве тех х, для
каждого из которых 4х > О и 1 - х2 > О, т. е. во множестве
М = (О; 1). В каждой точке множества М обе функции /(х) = 4х и
g(x) = (1 - х2) положительны. Поэтому неравенство (1) равносильно
на множестве М неравенству
4х < 1 - х2.	(2)
Множество решений неравенства (2) составляет интервал
(-2 - Тб; -2 4- Тб). Из них множеству М принадлежат лишь х из про-
межутка (0; -2+ Тб). Следовательно, и равносильное ему на множе-
стве М неравенство (1) имеет те же решения.
Ответ (0; — 2 + д/б).
2. Приведение подобных членов.
Пусть в каждой точке множества М определена функция <р(х).
Тогда на множестве М равносильны неравенства
f(x) + ф(х) - <р(х) > 0 и /(х) > 0.
291
Равносильность неравенств на множествах
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
(Vx +1)2 >
5х2 - Зх + 2vx.
(3)
Все решения неравенства (3) содержатся во множестве
М = [0; +оо). Применяя формулу квадрата суммы и учитывая, что
в каждой точке множества М определена функция <р (х) = Vx, полу-
чим, что неравенство (3) равносильно на множестве М неравенству
5х2 - 4х - 1 < 0.
(4)
Множество всех решений неравенства (4) есть интервал
(-0,2; 1). Из этих чисел множеству М принадлежат лишь х из про-
межутка [0; 1). Так как неравенство (3) равносильно на множестве
М неравенству (4), то все решения неравенств (3) и (4) на множестве
М совпадают. Следовательно, все решения неравенства (3) составля-
ют промежуток [0; 1).
Ответ. [0; 1).
3. Применение формул.
Пусть в каждой точке множества М определены обе части не-
которой формулы (логарифмической, тригонометрической и т. п.).
Тогда, применив эту формулу при решении неравенства, получим
неравенство того же знака, равносильное на множестве М исход-
ному неравенству. 'Як
ПРИМЕР
3. Решим неравенство
log9 х2 4- 2 log з 4х
(5- я)1ог5-Л
(5)
Все решения неравенства (5) содержатся во множестве тех х,
для каждого из которых х > 0, 5 — х > 0 и 5 — х 1, т. е. содержат-
ся во множестве М — (0; 4) U (4; 5). В каждой точке множества М
определены обе части формул log9 х2 = log3 х, 2 log 3 Vx = log 3 х,
(5- x)log5-x2 = 2. Поэтому неравенство (5) равносильно на множест-
ве М неравенству
21og3x > 2,
множество решений которого составляет интервал (3; +оо). Из них
множеству М принадлежат лишь х из двух промежутков: (3; 4) и
(4; 5). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (5)
имеет только те же решения.
Ответ. (3; 4) U (4; 5).
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
cos х
0
(6)
10*
Ц292
Все решения неравенства (6) содержатся во множестве М —
nk
всех х Ф —
2
части формулы
k g Z. В каждой точке множества М определены обе
cos х .	_	_,
----= sinx. Поэтому на множестве М неравенство
(6) равносильно неравенству
2sinx > 0.	(7)
Множество решений неравенства (7) составляет серию проме-
жутков (2л&; я + 2nfe), k е Z. Из них множеству М принадле-
жат лишь х из двух серии промежутков:
2
k g Z, Следовательно, множество решений нера-
венства (7) на множестве М составляют эти две серии промежутков.
Поэтому и равносильное ему на множестве М неравенство (6) имеет
те же решения.
Ответ. 2тг/г: — + 2nk : — + 2л/г: л + 2itk . k g Z.
ПРИМЕР 5. Решим неравенство
logx 3 > 2 - log3 х.
(8)
Все решения неравенства (8) содержатся во множестве
М = (0; 1) U (1; +оо). В каждой точке множества М определены обе
части формулы logx 3 =
поэтому неравенство (8) равносильно
на множестве М неравенству
log3x
>2 - log3x,
которое можно переписать в виде
(log3 х-1)2
log3 *
(9)
Множество решений неравенства (9) составляет два промежут-
ка: (1; 3) и (3; +оо). Оба эти промежутка принадлежат множеству М,
следовательно, являются решениями неравенства (8) на множест-
ве М. Так как неравенства (8) и (9) равносильны на множестве М, то
решения неравенства (8) составляют те же промежутки (1; 3) и
(3; +оо).
Ответ. (1; 3) U (3; +оо).
-	293	Равносильность неравенств на множествах
11.23 Докажите утверждение: 1) о потенцировании логарифмиче-
ского неравенства; 2) о приведении подобных слагаемых;
3) о применении формул.
11.24
11.25
Решите неравенство (11.24—11.33):
a)	log25(x2 - 7) > log25(x - 1);
б)	log7(x2 - 4) > log7(3x + 6);
в)	log j (х2 - Зх) > log! (2х - 4);
7	7
г)	log 1 (х2 - 4х) > log ] (2х - 5).
25	25
a) log^j (1 - Зх) < 2;	б) log^(2x - 1) > 2;
в) logout*2 - 1) > -2;	г) log0*5(*2 + 1) < -1.
11.26
а)
в)
log3243 • log08(3x - 5) > 0;
log5 625
log9 (5х - 4)
logo.4 0>064
г) log0,6 0,216 • log5(5 - 2x) < 0.
11.27
11.28
11.29
11.30
11.31
11.32
11.33
a)
log31 (8x - 9)2 > log31 (9x - ll)2;
log i (4x - 5)2 > log ! (5x - 7)2.
31	31
a)
в)
a)
в)
a)
в)
a)
в)
a)
a)
tgx + x2 < tgx + 2x + 3;	6)
ctgx + x2 < ctgx + x + 6; r)
(2-Jx + I)2 > 5x2 + 4a/x - 63; 6)
(3Vx + 2)2 > 6x2 + 12yfe - 2; r)
COS X
----+ sin X <
ctgx
tg x ctg x > 2 sin x;
41ogx3 > log3 x - 3;
tgx + x2 + 2x > tgx + 3;
ctgx + x2 + x > ctgx + 6.
(2ylx - I)2 < 2x2 - 4Vx -125;
(37х - 2)2 < 4x2 - 12>/x - 5.
sin x	Л
6)-------1- cos x > 0;
tgx
r) tg x ctg x < 2 cos x.
6) 3bg3(7- 4x) > 27.
6) 2 logx 5 > log5 x - 1.
294
11.5*. Применение нескольких преобразовании
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
log2 2х + log4 (х + I)2 + 7х - 1 > 2 log2 (х + 1) + л/х- 1.
(1)
Все решения неравенства (1) содержатся во множестве тех х,
для каждого из которых справедливы неравенства 2х>0, х + 1 > О
и х - 1 > О, т. е. содержатся во множестве М = [1; +оо). В каждой
точке множества М определена функция ф (х) = Vx - 1 и определены
обе части формул
log4(x + I)2 = log2(x + 1) и 21og2(x + 1) = log2 (х + I)2.
Поэтому неравенство (1) равносильно на множестве М неравенству
log22x + log2(x + 1) > log2(x + l)2.
(2)
В каждой точке множества М определены обе части формулы
log22x + log2(x + 1) = log22x(x + 1).
Поэтому неравенство (2) равносильно на множестве М неравенству
log22x(x + 1) > log2(x + I)2.
(3)
В каждой точке множества М положительны обе функции
f(x) = 2х(х + 1) и g(x) = (х 4- I)2. Поэтому неравенство (3) равно-
сильно на множестве М неравенству
2х(х + 1) > (х + I)2.
(4)
Множество решений неравенства (4) составляет интервал
(1 - Тб; 1 + Тб), из них множеству М принадлежит лишь х из проме-
жутка [1; 1 + 4в). Поэтому и равносильное ему на множестве М
неравенство (1) имеет те же решения.
Ответ. [1; 1 + Тб).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
4х - 1 > ух2 + хТх - 2х + зТх — 7.
Возведя неравенство (5) в куб, получим неравенство
(Тх - I)3 > х2 + ху[х - 2х + зТх - 7,
(б)
(6)
равносильное неравенству (5). Обе части неравенства (6) определены
для всех х О, т. е. на множестве М = [0; 4-оо). Следовательно, все
решения неравенства (6) принадлежат множеству М. Применяя
формулу куба разности, перенося все члены неравенства (6) в пра-
вую часть и приводя подобные члены, получим неравенство
х2 + х - 6 < 0,
которое на множестве М равносильно неравенству (6).
(7)
295
Рашим'ильность неравенств на множествах
Множество всех решений неравенства (7) есть интервал (—3; 2).
Из этого интервала множеству М принадлежат лишь х из промежут-
ка [0; 2). Следовательно, эти х и есть все решения неравенства (5).
Ответ. [0; 2).
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
2 Iх-2 Iх-3 ;	7
Vх - 3	\х-2	_ 2)(х - 3) '
(8)
Все решения неравенства (8) содержатся во множестве тех х,
для каждого из которых справедливо условие (х — 2) (х — 3) > 0, т. е.
принадлежат множеству М = (-оо; 2) U (3; +оо). В каждой точке мно-
жества М функция (р (х) = 7(x “ 2) (х - 3) положительна, поэтому,
умножив неравенство (8) на эту функцию и применив формулы
,	Лх - 2) (х - 3) = у1(х - 2)2 и	" 2) <х - 3) = 'Я* - З)2,
ух-3	V х — 2
обе части которых определены на множестве М, получим неравенство
2д/(х - 2)2 -	- З)2 < 7,	(9)
равносильное неравенству (8) на множестве М.
а)	Если х принадлежит множеству = (-оо; 2), то применяя
формулу у[а^ = |а|, получим, что неравенство (9) равносильно на
множестве М\ неравенству
2(2-х)-(3-х) <7,	(10)
решения которого составляют промежуток (—6; +оо). Из этих чисел
множеству Afj принадлежат лишь х из промежутка (—6; 2). Следова-
тельно, неравенство (10) имеет на множестве решения, состав-
ляющие промежуток (-6; 2). Поэтому и равносильное ему на множе-
стве неравенство (8) имеет те же решения на множестве Мх.
б)	Если х принадлежит множеству М2 = (3; +оо), то применяя
формулу 7а^ = |а|, получим, что неравенство (9) равносильно на
множестве неравенству
2 (х - 2) - (х - 3) < 7,
(И)
решения которого составляют промежуток (-оо; 8). Из этих чисел
множеству М2 принадлежат лишь х из промежутка (3; 8). Следова-
тельно, неравенство (11) имеет на множестве М2 решения, состав-
ляющие промежуток (3; 8). Поэтому и равносильное ему на множе-
стве М2 неравенство (8) имеет те же решения на множестве М2.
Объединяя решения, найденные в случаях а) и б), получаем, что
множество решений неравенства (8) есть объединение промежутков
(-6; 2) и (3; 8).
Ответ. (-6; 2) U (3; 8).
н 296
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
logx_2(9 - х) > logx_2(x + 1).
(12)
Все решения неравенства (12) содержатся во множестве тех х,
для каждого из которых справедливы неравенства х - 2 > О, х - 2 1,
9 — х > 0, х + 1 > О, т. е. содержатся во множестве М = (2; 3) U (3; 9).
В каждой точке множества М определены обе части формул
log х — 2 (^ х)
1g (9 - х)
lg(x - 2)
и logx_ 2(х + 1) =
1g (х + 1)
lg(x- 2)‘
Поэтому неравенство (12) равносильно на множестве М неравенству
lg(9 - х) > lg(х + 1)
lg(x -2) lg(x - 2)'
(13)
а)	В каждой точке множества = (2; 3) функция f (х) — lg (х — 2)
определена и отрицательна, поэтому неравенство (13) равносильно на
множестве М1 неравенству
lg(9 - х) < lg(х + 1).
(14)
В каждой точке множества обе функции <р(х) = 9 —х и
g(x) = х + 1 положительны. Поэтому неравенство (14) равносильно
на множестве неравенству
9 — х < х + 1.
(15)
Множество решений неравенства (15) составляет интервал
(4; +оо). Ни одно из чисел этого интервала не принадлежит множест-
ву Поэтому неравенство (15) не имеет решений на множест-
ве М±. Следовательно, и неравенство (12), равносильное неравенству
(15) на множестве Ml7 не имеет решений на множестве
б)	В каждой точке множества М2 = (3; 9) функция f(x) =
= 1g (х - 2) определена и положительна, поэтому неравенство (13)
равносильно на множестве М2 неравенству
lg(9 - х) > lg(х + 1).
(16)
В каждой точке множества М2 обе функции ф (х) = 9 - х и
g(x) = x+ 1 положительны. Поэтому неравенство (16) равносильно
на множестве М2 неравенству
9 - х > х + 1.
(17)
Множество решений неравенства (17) составляет промежуток
(—оо; 4), из которых множеству М2 принадлежат лишь х из проме-
жутка (3; 4). Следовательно, неравенство (13) имеет на множестве
М2 решения, составляющие промежуток (3; 4). Поэтому и равно-
сильное ему на множестве М2 неравенство (12) имеет те же решения.
297
Равносильность неравенств на множествах
Так как в случае а) неравенство (12) решений не имеет, то все
решения, найденные в случае б), составляют множество решений не-
равенства (12).
Ответ. (3; 4).
ПРИМЕР 5. Решим неравенство
х4 > 2loei X + 3.
(18)
Все решения неравенства (18) содержатся во множестве
М = (0; +оо). В каждой точке множества М определены обе части
формул х4 = 2log2 *4 и 2log2 *4 = 241og2 х, поэтому неравенство (18) рав-
носильно неравенству
(19)
Логарифмируя показательное неравенство (19), получаем, что
оно равносильно неравенству
4 log2x > logo х + 3,	(20)
решения которого составляют промежуток (1; 3). Все эти числа при-
надлежат множеству М, Следовательно, неравенство (20) имеет на
множестве М решения, составляющие промежуток (1; 3). Поэтому
и равносильное ему на множестве М неравенство (18) имеет те же
решения.
Ответ. (1; 3).
1134
11.35
Решите неравенство (11.34—11.46):
а)
5
7(х - 4)(х - 1)
9
V(x + 2)(х + 3) ’
11.36
713х + 25
| х — 2|
11.37
11.38
а)
^6х2 - 31х + 25
э
б)
| х2 — 10х + 91
| х2 - 91
^298
11.39
11.40
a)
в)
a)
б)
в)
г)
11.41 а)
в)
11.42 а)
11.43 а)
б)
11.44 а)
в)
4х + 3 7x4-8 >2х + 4;	б) 7х 4- 3 Ух 4- 6 < х 4- 4;
у/2х 4- 3 -у/Зх 4- 7 >2x4-4;	г) д/2х - 1 д/Зх - 2 < 4х - 3.
lg(X 4- 1) 4- 1g(х - 8) > lg(2x - 8);
log2(x 4- 1) 4- log2(3x - 1) > log2(9x 4- 5);
logi(3x 4-1) 4- log, (2x - 1) < logi (5x - 1);
log 1 (4x 4-1) 4- log 1 (2x - 1) < log 1 (lOx 4- 7).
3	3	3
1Ogi > 1Og± 3^ 6) 1Og4 > log»
1Og± ZT17 > 1Og± Z^40: r) 1Og13 Z^22 > 1Og13 4ГЛ3 •
21g(x- 1) < lg(x + 1);	6) 21g(x + 3) < lg(x + 5).
-Jx2 + 1 - | cos x |	J2x — | cos x |
42x + | cos XI	7x2 + 1 + I cos XI
д/х2 — 4 - | sin x| < v 3x - | sin x|
V3x4-|sinx| 7*2“ 4 + |sinx|
<0;
6)
logx
Зх - 1
14x — 5
0;
logx
r)
loSx
16x - 11
5x - 1
0.
11.45* а)
б)
11.46* а)
б)
2+log^(tti) >log*2 - 2x - з<*2 -2x - 2>2;
2 +log ,	> log_x2+13x 36(x2 - 10x + 32,93)2.
^-X4+13x-36 X —9	X +loX oO
_	_1_______________
(4 - xy2 - 9- sin2 10° < (4 - x)'og<;o’,0°	;
____1____
(5 - xy2 - 4- cos2 2002° < (5- хУ°е™гоог’.
11.47 При каких значениях параметра а все решения неравенства
loga(x - 2) > loga(8 - х) содержатся в интервале (1; 5)?
11.6*. Неравенства с дополнительными условиями
Довольно часто требуется решить неравенство при некоторых
условиях. Дополнительные условия обычно означают, что надо ре-
шить неравенство на том или ином множестве. Иногда эти условия
облегчают решение неравенства.
299
I’rtBiKx n.it.HOCTb неравенств па множествах
ПРИМЕР 1. Найдем все решения неравенства
sin 2х - cos х + V2 sin х >
!л . 2л
з~; Т ’
Перенося все члены неравенства в левую часть и применяя фор-
мулу синуса двойного угла, перепишем неравенство (1) в виде
г~ 42
2 sin х cos х — cos х + 42 sin х —— > 0, или в виде
принадлежащие отрезку
2 sin х - —
2
(2)
2л. 2л
Т’ ~зГ
О, то на множестве М неравенство (2) равносильно нера-
Так как для всех х е. М =
венству
1
sinx > —.
2
справедливо неравенство
Все решения неравенства (3), принадлежащие множеству Af, со-
/ л 2л
ставляют промежуток
. Так как на множестве М неравен-
ство (1) равносильно неравенству (3), то искомые решения неравен-
ства (1) составляют тот же промежуток.
Ответ.
Часто дополнительное условие не облегчает решение неравенст-
ва. В таких случаях обычно сначала решают неравенство, а по-
том отбирают из найденных решений те, которые удовлетворяют
условию.
ПРИМЕР 2. Найдем все решения неравенства
(4)
9л. Зл
~2 ’	2 ’
'И1
Перепишем неравенство (4) в виде
принадлежащие отрезку
(5)
^300
Все решения неравенства (5) составляют серию промежутков
Из них отрезку
9л Зл
~2’ Г
«—а
л/г >-----
2
принадлежат те, для которых
Зл
Следовательно, надо найти целые k, которые удовлетворяют
13	7
двойному неравенству —— С k < —Это k = -2, k = -3, k = -4.
3	4
Итак, условию задачи удовлетворяют лишь х из промежутков
Найдите все решения неравенства, принадлежащие указан-
ному промежутку (11.48—11.54):
11.48
11.49
11.50
11.51
а)
sinx —
cosx +
cosx -
> 0, (0; л);
а)
б)
а)
б)
а)
б)
(х - log375)(x - log222) > 0, [3; 4];
(х - log217)(x - log271) < 0, [4; 5].
х4 + х3 + х2 - Зх > 0, [-2; 2];
х4 + х3 + х2 - 14х < 0, [1; 3].
ч	. ПХ	ПХ	. ЛХ лМ -	г 1 г-4
11.52* a)	sin — +	V3 cos — +	sin —- + —	> О,	[-1; 5];
&	тс	__
. ЛХ	ГТ ПХ	ГТ . ПХ	V6	о гег <оч
б)	sin — +	V2 cos — +	V3 sin — +	— <	0, [5; 13].
О	О	О Z
Равносильность неравенств на множествах
301
• > • •
 ‘ »-!  
11.53
11.54
a)
б)
a)
sin2 x + sin2x - 3cos2 x > cosx - sinx,
sin2 x - 2 sin2x + 3cos2 x > sinx — cos x,
cos3x > |cosx
5л
9л
6) sin3x > |sinx|,
11.7*. Нестрог ие неравенства
В п. 7.2 уже рассмотрено утверждение о решении нестрогих не-
равенств. Используя понятие совокупности, его можно переформу-
лировать так:

g(x)
f(x)= g(x)
f(x)> g (x).
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
(x - 2) -Jx-1 > 0.
Неравенство (1) равносильно совокупности
(х - 2) Vx - 1 = 0
(х - 2) 4х - 1 > 0.
(1)
(2)
(3)
Уравнение (2) имеет два корня: xt = 2 и х2 = 1. Так как число 1
не является решением неравенства (3), то все решения неравен-
ства (3) содержатся во множестве М = (1; +оо). В каждой точке мно-
жества М функция ф (х) = Vx - 1 определена и положительна. Поэто-
1
му, умножив неравенство (3) на функцию ---------, получим, что
Ф(х)
неравенство (3) равносильно на множестве М неравенству
х — 2 > 0,
(4)
множество всех решений которого составляет промежуток (2; +оо).
Все эти х принадлежат множеству М. Следовательно, неравен-
ство (4) имеет на множестве М решения, составляющие промежуток
(2; +оо). Поэтому и равносильное ему на множестве М неравен-
ство (3) имеет те же решения.
Объединяя все решения уравнения (2) и неравенства (3), получа-
ем, что все решения совокупности (2) и (3), а значит, и равносильно-
го ей неравенства (1) составляют множество {1} U [2; +оо).
Ответ. {1} U [2; +оо).
302
__-____
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
log!(2 - х - х2) < -1.	(5)
2
Неравенство (5) равносильно совокупности
logx (2 - х - х2) = -1	(6)
2
logi(2- х — х2) < -1.	(7)
iiHMP
2
Потенцируя логарифмическое уравнение (6), получим уравнение
2 - х - х2 = 2,	(8)
являющееся следствием уравнения (6). Уравнение (8) имеет два кор-
ня: х1 = 0 и х2 = -1. Проверка показывает, что эти числа удовлетво-
ряют уравнению (6). Итак, уравнение (6) имеет корни хг и х2.
Неравенство (7) равносильно неравенству
2 — х - х2 > 2.	(9)
Множество всех решений неравенства (9), а значит, и равно-
сильного ему неравенства (7) составляет промежуток (-1; 0).
Объединяя все решения уравнения (6) и неравенства (7), получа-
ем, что все решения неравенства (5) составляют промежуток [—1; 0].
Ответ. [—1; 0].
Решите неравенство (11.55—11.64):
11.55
11.56
а)	(х2 - 4х + 3) Vx - 2 > 0;
в) (х2 - 2х — 15) >/х + 4 С 0;
б)
г)
(х2 - Зх - 10)V3- х > 0;
(х2 + х — 6) Vx + 5 С 0.
11.57
11.58
а)
в)
а)
а)
в)
д/х2-9(х + 8)	0;
д/х2 - 16 (х - 5) > 0;
12 - х - х2 < д/12 - х - х2
2х + 7 ~	х-5
д/18- Зх- х2 < д/18-Зх- х2 '
х - 2	"" 2х + 3
(2х + 3)д/х — 2	5д/х — 2 .
х - 6,6	х - 5
(2х - 7)д/х - 1 9д/х - 1
х- 3	5 - х ’
б)	(х - 4) д/х2 — 4 С 0;
г) (х+ 7) д/х2 - 25 С 0.
б)
г)
Зх + 1	1
(2х+1)72-х	(x+1)V2-x ’
1	<	4- х
(х + 1) д/9- х (8- х) д/9- х
303
Метод промежутков для уравнений и неравенств
11.59 а) 0,0625 • 4х 64*;
11.60
11.61
11.62
11.63
11.64
a) \gx + 1g (х 4- 3)	1;
в) log2 х + log2(x - 2) 3;
а)
в)
а)
в)
а)
в)
711x4- 5 JlOx + 13 .
| х - 201	| х - 201 *
^9х 4- 19 Jllx + 31
|х + 2|	| х + 21
д/41g х - 24 9 - 1g х;
^41gx - 16 > 7 - 1gх;
log6x(x2 - 17х + 60)	1;
log12x(x2 ~ 19х + 84)	1;
б) Тз2 • 2“4х2 83х;
б) logjx + 8) + logi х > -1;
г) logi(х + 6) + log! х > -3.
3	3
710х +17	78х + 11
б) |х-1|	" |х-1| ;
д/8х + 21 < VlOx 4- 41
| X 4- 11 ""	|х4-1|
б) д/Olgx - 3	1 - 41g х;
г) 7121g х - 8 С 1 - 31gx.
б) log6x(x2 - 15х + 54) > 1;
г) log7x(x2 — 16х + 60) > 1.
§ 12. Метод промежутков
для уравнений и неравенств
При решении некоторых задач удобно применять метод проме-
жутков, заключающийся в том, что по тем или иным соображениям
координатная ось разбивается на некоторое количество промежут-
ков, а затем на каждом из них исследуется рассматриваемая задача.
В этом параграфе метод промежутков применяется для решения
уравнений и неравенств.
12.1. Уравнения с модулями
Пусть дано уравнение
f(x) = 0,	(1)
такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций
|А(Х)1» |/2(*)1> •» |/п(х)1‘
304
Для решения таких уравнений обычно применяют метод проме-
жутков, суть которого заключается в следующем.
Пусть дано уравнение (1). Сначала решают каждое из уравнений
/1(х) = 0, f2(x) = 0, fn(x) = 0,
затем отмечают на координатной оси все найденные корни.
Таким образом, вся координатная ось разбивается на неко-
торое число промежутков (каждый из концов промежутка включа-
ют в один из двух соседних промежутков). Будем считать, что на
каждом промежутке все функции (х) непрерывны, тогда на каждом
интервале между точками деления все функции Д(х) знакопосто-
янны. Поэтому для них на этом промежутке или | ft (х) * = /Дх), или
| fi (х) | = —/Дх). В результате на каждом таком промежутке уравнение
заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков абсолютной
величины и равносильное исходному уравнению на этом промежутке,
затем отыскиваются корни того уравнения, которое на этом проме-
жутке получается. Наконец, отбираются те из них, которые принад-
лежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравне-
ния на рассматриваемом промежутке. Все корни уравнения (1) полу-
чают, объединяя все его корни, найденные на всех промежутках.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
х - 1| + |х-2| + |х-3| = 6.
(2)
----,	.	9Сначала решим уравнения х — 1 = 0,
1------------------2-3 х х-2 = 0их-3 = 0и отметим на коор-
 Рис. 171	динатной оси полученные корни: хх = 1,
х2 = 2 и х3 = 3 (рис. 171). Получим че-
тыре числовых промежутка: (-оо; 1), [1; 2), [2; 3) и [3; +оо).
Решим уравнение (2) на каждом из этих промежутков.
1)	На промежутке (—оо; 1) по определению абсолютной величи-
ны |х - 11 =-(х — 1), |х — 21 = —(х — 2), |х — 31 =-(х — 3), следова-
тельно, на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению
—(х — 1) — (х — 2) — (х — 3) = 6, имеющему единственный корень хх = 0.
Это число принадлежит промежутку (—оо; 1), следовательно, уравне-
ние (2) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень 0.
2)	На промежутке [1; 2) по определению абсолютной величи-
ны | х - 11 = х - 1, | х — 21 = —(х — 2), | х - 31 = —(х — 3), следователь-
но, на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению
х — 1 - (х — 2) — (х — 3) = 6, имеющему единственный корень х2 = —2.
Это число не принадлежит промежутку [1; 2), следовательно, урав-
нение (2) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.
3)	На промежутке [2; 3) по определению абсолютной величи-
ны |х-1|-х-1, |х-2| = х-2, |х - 3| =-(х - 3), следователь-
но, на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению
х-1 + х — 2 — (х — 3) — 6, имеющему единственный корень х3 = 6.
Это число не принадлежит промежутку [2; 3), следовательно, урав-
нение (2) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.
305
Метод промежутков для уравнений и неравенств
4)	На промежутке [3; +<х>) по определению абсолютной величи-
ны |х-1| = х- 1, |х—2| = х-2, |х —3| = х —3, поэтому на этом
промежутке уравнение (2) равносильно уравнению х—14-х — 24-
+ х - 3 = 6, имеющему единственный корень х4 = 4. Это число при-
надлежит промежутку [3; 4-оо), следовательно, уравнение (2) на рас-
сматриваемом промежутке имеет единственный корень 4.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: хг = 0
и х2 = 4.
Ответ. 0; 4.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
(х+ 2) • 22-1х-21 - х = (х + 1)|2Х - 1| + 2х + 1.	(3)
Сначала решим уравнения 2х - 1 = 0 и х — 2 = 0 и отметим на ко-
ординатной оси полученные корни хг = 0, х2 = 2 (рис. 172). По-
лучим три числовых промежутка:
(-оо; 0), [0; 2] и (2; +оо).
Решим уравнение (3) на каждом из
этих промежутков.
О 2
Рис. 172
1) На промежутке (-оо; 0) по определению абсолютной величи-
ны | х - 21 = 2 - ху 12х — 11 = 1 - 2х. Поэтому на промежутке (-оо; 0)
уравнение (3) равносильно уравнению (х 4- 2) • 2х - х = (х 4-1) (1 - 2х) +
4- 2х 4- 1, которое можно переписать в виде 2 (2х - 1)(х 4- 1) = 0.
Это уравнение имеет два корня: = — 1, х2 = 0, из которых толь-
ко X] принадлежит промежутку (-оо; 0). Следовательно, на проме-
жутке (-оо; 0) уравнение (3) имеет единственный корень хг=— 1.
2) На промежутке [0; 2] имеем: | х — 21 = 2 — х, 12х — 11 = 2х — 1.
Поэтому на промежутке [0; 2] уравнение (3) равносильно уравнению
(х 4- 2) • 2х — х = (х 4- 1)(2Х - 1) 4- 2х 4- 1, решением которого являет-
ся любое х. Следовательно, любое х из рассматриваемого промежут-
ка является решением уравнения (3).
3) На промежутке (2; 4-оо) имеем: |х-2| = х-2, |2Х- 11 = 2х — 1.
Поэтому на промежутке (2; 4-оо) уравнение (3) равносильно уравне-
нию (х 4- 2) • 24 _ х — х = (X 4- 1) (2х- 1)4- 2х 4- 1, которое можно пере-
писать в виде (24 _ х - 2х) (х 4- 2) = 0.
Это уравнение имеет два корня: х3 = 2, х4 = -2, не принадле-
жащие рассматриваемому промежутку. Следовательно, на проме-
жутке (2; 4-оо) уравнение (3) не имеет корней.
Итак, решением уравнения (3) является хх = -1 и любое х из
промежутка [0; 2].
Ответ. {-1} U [0; 2].
Заметим, что иногда особенности решаемого уравнения могут
подсказать более короткий способ решения.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
х - 11 = 2|х| - 4.
(4)
306
Заметим, что левая часть уравнения (4) неотрицательна для лю-
бого корня уравнения (4), поэтому все корни уравнения (4) должны
удовлетворять условию 2|х| - 4 0, т. е. условию |х|	2. Это означа-
ет, что все корни уравнения (4) принадлежат множеству М, являю-
щемуся объединением двух промежутков: (—со; -2] и [2; +оо). Решим
уравнение (4) на каждом из этих промежутков.
1) На промежутке (—оо; —2] имеем |х—1 =-(х — 1), |х| = -х,
следовательно, на этом промежутке уравнение (4) равносильно урав-
нению —(х - 1) — -2х - 4, имеющему единственный корень хх = -5.
Это число принадлежит промежутку (-оо; -2], поэтому уравнение (2)
на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень -5.
2) На промежутке [2; +оо) имеем |х - 11 = х - 1, |х| = х, следо-
вательно, на этом промежутке уравнение (4) равносильно уравнению
х - 1 = 2х - 4, имеющему единственный корень х2 = 3. Это число
принадлежит промежутку [2; +оо), следовательно, уравнение (4) на
рассматриваемом промежутке имеет единственный корень 3.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: хх = — 5
и х2 = 3.
Ответ. —5; 3.
Отметим еще специального типа уравнения с модулями. Их ре-
шают с помощью следующего утверждения.
Уравнение |/(х)| + |g(x)| = /(х) + g(x) равносильно системе
f f(x) > О
1 £(х) > О.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
12х - 4| + |3х - 15| = 2Х — Зх + 11.
(5)
Если обозначить /(х) = 2х - 4, g(x) = —Зх +15, то /(х) + g(x) =
= 2х- Зх + 11, т. е. к уравнению (5) можно применить сформули-
рованное утверждение. Поэтому уравнение (5) равносильно системе
2х - 4 > О
-Зх + 15^ 0.
(6)
Решения системы (6) составляют промежуток [2; 5]. Следователь-
но, и уравнение (5), равносильное системе (6), имеет те же решения.
Ответ. [2; 5]. ф
Решите уравнение (12.1—12.9):
12.1 а) |х- 11 = 2х + 4;
в) |х-1| + |х + 1| = 4;
д) |х-1| + |х-2| + |х-3| = 2;
б) |х - 2| = 2х + 1;
г) |х —3| + |х + 3| = 8;
е) | х + 1
+ |х — 3| + |х — 5| = 7.
307
Метод промежутков для уравнений и неравенств
12.2	а)
в)
12.3	а)
в)
12.4	а)
в)
12.5	а)
в)
12.6	а)
в)
12.7	а)
б)
9 - Зх| + |х - 6| = 3х - х + 9;
27 - Зх| + |х - 5| = 3х - х + 14.
12.8
Докажите, что
сильно системе
уравнение
f(x) > О
g (х) > 0.
12.»
Решите уравнение:
б)
г)
б)
г)
б)
г)
б)
| х2 — 2х — 21 = х2 — 4х + 6;
| х2 - 4х + 21 = х2 - 6х + 10.
г)
|2х - 1| - |х - 51
| х + 1| - х - 1
б)
г)
!/(*)! + |g(x)| = f(x) + я(х) равно-
sin х - -
2
cosx -
2
1 + 7з
= sin х + cos х------—;
2
б)
sinx —
2
sinx -
в) 12х - 4| + 14 - л/х
г) |log3x - 21 + |х1 2 - Их + 181 = log3x - х2 + Их - 20.
12.2. Неравенства с модулями
Пусть дано неравенство
/(х) > 0,	(1)
такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций
1Л(х)|, |/2(х)1> •••» |/п(х)1-
Для решения таких неравенств обычно применяют метод проме-
жутков, суть которого заключается в следующем.
Пусть дано неравенство (1). Сначала решают каждое из уравне-
ний f1(x) = О, /2(х) = 0> • ••♦ /п(х) = 0, затем отмечают на координат-
ной оси все найденные корни.
Таким образом, вся координатная ось разбивается на некото-
рое число промежутков (каждый из концов промежутка включают
в один из двух соседних промежутков). Будем считать, что на
каждом промежутке все функции ft (х) непрерывны, тогда на каждом
интервале между точками деления все функции fi(x) знакопосто-
янны. Поэтому для них на этом промежутке или |/Дх)| = /Дх), или
| (х)| = -/; (х). В результате на каждом таком промежутке неравенст-
во заменяется на другое неравенство, не содержащее знаков абсолют-
ной величины и равносильное исходному неравенству на этом
промежутке, затем отыскиваются все решения того неравенства, ко-
торое на этом промежутке получается. Наконец, отбираются из них
те, которые попадают в данный промежуток. Они и составляют мно-
жество всех решений исходного неравенства на рассматриваемом
промежутке. Для того чтобы выписать множество всех решений ис-
ходного неравенства, объединяют все его решения, найденные на
всех промежутках.
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
х2 - 41 + | х + 11 - 3 > 0.	(2)
в Рис. 173
Получим четыре
Сначала решим уравнения х2 - 4 = 0
и х + 1 = 0 и отметим на координатной
оси полученные корни: — -2, х2 = -1
и х3 = 2 (рис. 173).
числовых промежутка: (-оо; -2], (-2; -1),
[-1; 2), [2; +оо).
Решим неравенство (2) на каждом из этих промежутков.
1)	На промежутке (-оо; —2] по определению абсолютной величи-
ны |х2 - 41 = х2 - 4, |х + 11 = —х - 1. Следовательно, на этом проме-
жутке неравенство (2) равносильно неравенству
х2 - 4 - х - 1 - 3 > 0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество его
решений есть множество —оо;
Из этого множества в
промежутке (-оо; —2]
содержится
лишь интервал
. Следовательно, множество решений
1- Тзз
2
неравенства (2) на промежутке (—оо; —2] составляет интервал
2
№309
Метод промежутков для уравнений и неравенств
2)	На промежутке (—2; —1) имеем |х2 — 41 = — х2 + 4, |х+1| =
= —х — 1. Поэтому на этом промежутке неравенство (2) равносильно
неравенству — х2 + 4 - х — 1 - 3 > 0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество
всех его решений составляет интервал (-1; 0). Ни одного числа из
этого интервала не содержится в промежутке (—2; —1). Следователь-
но, на промежутке (—2; —1) неравенство (2) не имеет решений.
3)	На промежутке [—1; 2) имеем |х2 — 4| = —х2 + 4, |х + 11 =
= х + 1. Поэтому на этом промежутке неравенство (2) равносиль-
но неравенству -х2 + 4 + х+1-3>0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество
всех его решений составляет интервал (-1; 2). Все это множество со-
держится в промежутке [-1; 2). Следовательно, множество всех ре-
шений неравенства (2) на промежутке [—1; 2) составляет интервал
(-1; 2).
4)	На промежутке [2; +оо) имеем |х2 —4| = х2 —4, |х+1| =
= х + 1. Поэтому на этом промежутке неравенство (2) равносильно
неравенству х2-4 + х+1-3>0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что множество
всех его решений есть множество (-оо; -3) U (2; +оо). Из этого мно-
жества в промежутке [2; +оо) содержится лишь интервал (2; +оо).
Следовательно, множество всех решений неравенства (3) на проме-
жутке [2; +оо) составляет интервал (2; +оо).
Объединяя множества решений, найденные на рассмотренных
промежутках, получаем, что все решения неравенства (2) составля-
ют множество
U (-1; 2) U (2; +оо).
1 — л/чч
Ответ. —оо; ---------- U (-1; 2) U (2; +оо).
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
(х + 4) • З1 - 1 х - 1 1 - х < (х + 1) • 13х - 11 + 3х + 1 +
(3)
Сначала решим уравнения х - 1 — 0 и
3х - 1 = 0 и отметим на координатной
оси полученные корни: хх = 1 и х2 = 0
(рис. 174).
----о----
о
Рис. 174
Получим три числовых промежутка: (—оо; 0), [0; 1], (1; +оо).
Решим неравенство (3) на каждом из этих промежутков.
1)	На промежутке (—оо; 0) по определению абсолютной величи-
ны | х - 11 = 1 - х, 13х- 11 = 1 - 3х. Поэтому на этом промежутке нера-
венство (3) равносильно неравенству
(х + 4) • 3х - х <
(х+ 1)(1 - 3х) + 3X+1 + 1,
310
которое можно переписать в виде
2(х + 1)(3Х — 1)<0.
(4)
Так как для любого х из рассматриваемого промежутка
3х - 1 < 0, то все решения неравенства (4) есть решения неравенства
х 4- 1 > 0, т. е. все х е. (-1; +оо). Из них рассматриваемому проме-
жутку принадлежат только х из интервала (-1; 0). Следовательно,
множество всех решений неравенства (3) на промежутке (—оо; 0)
составляет интервал (—1; 0).
2)	На промежутке [0; 1] имеем |х - 11 = 1 - х, 13х - 11 = 3х - 1.
Тогда на этом промежутке неравенство (3) равносильно неравенству
(х + 4) • 3х - х < (х + 1) • (3х - 1) 4- 3х + 1 4- 1, которое можно перепи-
сать в виде
(х 4- 4) • 3х < (х 4- 4) • 3х.	(5)
Очевидно, что нет ни одного х, удовлетворяющего неравен-
ству (5). Следовательно, на рассматриваемом промежутке неравенст-
во (3) не имеет решений.
3)	На промежутке (1; 4-оо) имеем |х- 11 = х — 1,13х — 11 = 3х — 1.
Тогда на этом промежутке неравенство (3) равносильно неравенству
(X 4- 4)  З2 “ х - X < (X 4- 1) • (3х - 1) 4- 3х + 1 4- 1,
которое можно переписать в виде
(х 4- 4) • (З2 " х - 3х) < 0.
(6)
Так как для любого х из рассматриваемого промежутка
х 4- 4 > 0, то все решения неравенства (6) есть решения неравенства
32 а < 3х, которое равносильно неравенству
2 - х < х.
(7)
Множество решений неравенства (7) есть интервал (1; 4-оо). Все
эти х принадлежат рассматриваемому промежутку. Следовательно,
множество всех решений неравенства (3) на промежутке (1; 4-оо) есть
весь этот промежуток.
Объединяя решения, найденные выше, получаем, что множест-
во всех решений неравенства (3) есть объединение двух интервалов:
(-1; 0) и (1; 4-оо).
Ответ. (-1; 0) U (1; 4-оо). ф
Решите неравенство (12.10—12.16):
12.10 а) | Зх - 61 > х 4- 2;	б) 12х - 51 < х - 1;
в) |3х - 7 > 2х - 3;	г) |2х - 7| < 0,5х 4- 2.
_311
Метод промежутков для уравнений и неравенств
12.11	а)
в)
12.12	а)
в)
12.13	* а)
в)
12.14	а)
в)
12.15	а)
б)
в)
г)
12.16	* а)
б)
|х - 1| + 10
4|х- 1| + 3
|х - 3| + 6
2|х - 3| + 1
>2;
<4;
|х + 11 + |х + 31 < 8;
|х + 3| + |х - 2| > 5;
| х2 - 91 + | х + 41 7;
21 х | (х2 - 4х + 3) + х | х2 - 4х + 31 > 0;
21| х — 11 (х2 — 4х + 3) + (х - 1) | х2 — 4х + 31 < 0;
21 х | (х2 - 5х + 6) + х | х2 - 5х + 61 0;
21 х - 11 (х2 — 5х + 6) + (х - 1) | х2 - 5х + 61 0.
(х + 2) • 22"1Х"21 - х < (х+ 1) • |2Х - 1| + 2Х+ 1;
(х + 2) • 41"|х’11- х < (х + 1) • |4Х— 1| + 4х + 1.
12.3. Метод интервалов для непрерывных функций
Пусть надо решить неравенство /(х) > 0 (или /(х) < 0). Пусть
М — область существования функции /(х) — состоит из объеди-
нения конечного числа промежутков Xk, k = 1, 2, ..., п, занумеро-
ванных в порядке следования слева направо. При этом если п > 1,
то промежутки Хг и Хп могут быть бесконечными: (-оо; а) или
(-оо; а] и (Ь; +оо) или [Ь; +оо), а промежутки Х2, ..., Хп . х соответст-
венно могут быть отрезками [с; d], полуинтервалами [с; d), (с; d]
и интервалами (с; d), где а, Ь, с, d — данные числа и с < d,
В случае же п — 1 множество Xj может быть любым из перечис-
ленных промежутков, а также промежутком (-оо; +оо).
Рассмотрим случай, когда на каждом из промежутков Xk функ-
ция f(x) непрерывна и имеет конечное число нулей.
Сначала проверим справедливость неравенства в каждой точ-
ке — конце отрезка или полуинтервала Xk, k — 1, 2, ...» п. Затем,
исключив из множества М все эти концы отрезков и полуинтервалов
и все нули функции /(х), получим множество Ml9 состоящее только
из интервалов (при этом некоторые из промежутков Xk могут раз-
биться на конечное число интервалов). На каждом из полученных
интервалов функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль. Зна-
312
чит, на каждом из них она сохраняет постоянный знак, т. е. для
каждого х из этого интервала она принимает либо только положи-
тельные, либо только отрицательные значения. Выбирая в каждом
из них некоторую точку х0 и определяя знак /(х0), этот знак ставят
над каждым интервалом. Тогда решения неравенства f(x) > 0 на
множестве составляют объединение тех интервалов, над которы-
ми поставлен знак «+», а решения неравенства /(х)<0 на множе-
стве составляют объединение тех интервалов, над которыми по-
ставлен знак «-». Объединяя решения, найденные на множестве Мг
и в точках — концах отрезков и полуинтервалов, получим множе-
ство всех решений данного неравенства.
ПРИМЕР 1. Решим неравенство
-1 (4 _ X)log3(3 + х) > 0.
Область существования функции
(1)
fix) = 2
(4- x)log 3(3 + x)
(2)
множество М, состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих
условиям х2 — 1	0 и 3 + х > 0, т. е. множество М есть объедине-
ние промежутков (—3; —1] и [1; +оо). Так как f (— 1) — 5log32 > 0,
/(1) = 31og34 > 0, то точки хг = -1, х2 = 1 — концы полуинтерва-
лов — удовлетворяют неравенству (1).
Нули функции (2) есть х3 = 4,
х4 = -2. Исключив их и концы полу-
интервалов из множества М, полу-
чим множество Mj, состоящее толь-
ко из интервалов (—3; —2), (—2; — 1),
(1; 4), (4; +оо) (рис. 175). Функция
-3 -2 -1
3 Рис. 175
/(х) непрерывна на каждом из этих интервалов. Определим знак
функции (2) на каждом из этих интервалов.
Поскольку -2,5 g(-3;-2) и /(-2,5) < 0, -1,5 g (-2;-1) и
/(-1,5) > 0, 2 g (1; 4) и /(2) > 0, 5 g (4; +оо) и /(5) < 0, то на интерва-
лах (-3; -2) и (4; +оо) функция принимает отрицательные значения,
а на интервалах (—2; —1) и (1; 4) — положительные значения.
Следовательно, множество всех решений неравенства (1) есть
объединение интервалов (-2; —1) и (1; 4) и точек хг = — 1, х2 = 1.
Ответ. (-2; -1] U [1; 4).
Если надо решить нестрогое неравенство /(х) > 0 (или /(х) С 0),
то к полученному описанным выше способом множеству всех решений
неравенства /(х) > 0 (или /(х) < 0) надо добавить все нули функции.
 ПРИМЕР 2. Решим неравенство
(2х + 5) 16х- 2
(4’- 32)7^ + 5
(3)
313
Метод промежутков для уравнении и неравенств
Область существования функции
/ 1 \
(2х + 5)1 16* — 2
f (*) =----------------------—=
(4х- 32)7* + 5
состоит из всех х, которые одновременно удовлетворяют условиям
х > -5, 4х Ф 32 и х Ф 0, т. е. множество М есть объединение трех ин-
тервалов: (-5; 0), (0; 2,5) и (2,5; +оо).
Нули функции f(x) есть хх = -2,5, х2 = 4. Исключив их из мно-
жества М, получим множество
(-5; -2,5), (-2,5; 0), (0; 2,5), (2,5; 4)
и (4; +оо). Функция f(x) непрерывна
на каждом из этих интервалов. Опре-
состоящее из интервалов
делим знак функции /(х) на каждом рИ£. 176
из них (рис. 176).
Поскольку -3 е (-5; -2,5) и f(-3) < 0, -1 е (-2,5; 0) и f(-l) > 0,
1 е (0; 2,5) и /(1) < 0, 3 е (2,5; 4) и /(3) > 0, 5 6 (4; +оо) и /(5) < 0, то
на интервалах (-5; -2,5), (0; 2,5) и (4; +оо) функция принимает от-
рицательные значения, а на интервалах (—2,5; 0) и (2,5; 4) — поло-
жительные значения.
Следовательно, множество всех решений неравенства (3) есть
объединение интервалов (-2,5; 0), (2,5; 4) и чисел х1 = —2,5 и
х2 = 4 — нулей функции /(х).
Ответ. [-2,5; 0) U (2,5; 4]. •
12.17° Объясните на примере, в чем заключается метод интервалов
для непрерывных функций.
12.18
Решите неравенство (12.18—12.23):
(х - 2)(х2 - 2х + 11)	_
а) -------------------> 0;
х - 7
ч (х - 3)(х2 - дх + 5) Л
в) ------------------> 0;
(х - 3)(х2 — 5х + 8)
(х + 1)(х2 - ех + 4)
0.
12.19
12.20
а)
в)
а)
в)
(2х-8)(lgx - 1)
(log1 х + 1)712- х
2^2(x-l),(logo2x+ 1}
| х - 417б - х
(х2 - 4х) 79 — х2 0;
(х2 — 6х + 8) д/х2 — 9 > 0;
б)
(3х - 81)(log2 х - 2)
(log 1 х + 1) 7$ - х
<0;
3
10|e!»-3l-(log0.25x +1)
г) ----------------==— < 0.
(log2 х - 3) 78 - х
б) (х2 - х - 30) 7-^2 - 4 < 0;
г) (х2 - х — 12) ^х2 — 4 > 0.
314
12.21
iogo.s X)
0;
(Зх -1)2(х-3)	0.
Их + 10)(lgx - 1)
12.22
б)
2- 4х— 26
з
б)
(6 - х) log2 (12 + х) > 0.
§ 13*. Использование свойств функций
при решении уравнений и неравенств
Имеется довольно много уравнений и неравенств, которые мож-
но (и нужно) решать не описанными выше методами, а с использова-
нием свойств функций, входящих в это уравнение или неравенство.
Часто оказывается, что такой метод дает возможность решить урав-
нение или неравенство проще, чем с помощью описанных выше ме-
тодов, а иногда решить их в тех случаях, когда эти методы не дают
такой возможности.
В данном параграфе приведено несколько методов решения
уравнений и неравенств с использованием свойств функций.
13.1*. Использование областей существования функций
Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется,
что обе его части определены на множестве М, состоящем из одного
или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо
преобразования уравнения (неравенства), достаточно проверить, яв-
ляется или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения
(неравенства).
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
3''4“ X2 = lg(l + ^х2 _ 4) + Зх _	_ 1е	(1)
Обе части уравнения (1) определены лишь для таких х, которые
удовлетворяют системе неравенств
< 315 Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
Все решения системы (2) состоят из двух чисел: = 2 и х2 = -2.
Поэтому если уравнение (1) имеет решения, то они могут быть толь-
ко среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число хх удов-
летворяет уравнению (1), а число х2 ему не удовлетворяет. Следова-
тельно, уравнение (1) имеет единственный корень х,.
Ответ. 2.
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
(7«2 - 6х + 5 + 1)log5 f + -<М2х ~ 2х2 - 10 +1) > 0.
О X
(3)
Обе части неравенства (3) определены лишь для таких х, кото-
рые удовлетворяют системе неравенств
х > 0
х2 — 6х + 5^0
12х-2х2 — 10^ 0.
(4)
Системе неравенств (4) удовлетворяют лишь два числа: хх = 1
и х2 = 5. Поэтому если неравенство (3) имеет решения, то они могут
быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число
х2 удовлетворяет неравенству (3), а число хх — нет. Следовательно,
неравенство (3) имеет единственное решение х2.
Ответ. 5.
Если множество М, на котором определены обе части уравнения
(неравенства), окажется пустым множеством, то ответ в таком слу-
чае ясен — уравнение (неравенство) не имеет решений.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
71 - х2 > 1g (х - 2).
(5)
Обе части неравенства (5) определены лишь для таких х, кото-
рые удовлетворяют системе неравенств
1 — х2 0
х - 2 > 0.
Эта система неравенств не имеет решений. Поэтому множество,
на котором определены обе части неравенства (5), — пустое множе-
ство. Следовательно, неравенство (5) не имеет решений.
Ответ. Нет решений.
Иногда знание множества М, на котором определены обе части
уравнения (неравенства), помогает его решать даже в случае, когда
множество М — бесконечное множество чисел.
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
+ log2(x2 + 1) > sinx + 1.
(6)
316
Обе части неравенства (6) определены лишь для таких х, для ко-
торых cosx 1. Учитывая, что cosx 1 для любого х, получаем, что
обе части неравенства (6) определены лишь для таких х, для которых
cosx = 1, т. е. для xk = 2nk, k е Z. Поэтому если неравенство (6) име-
ет решения, то они могут быть только среди этих чисел х*. Так как
2vCOSX* -1 + iog2^x2 +	1 + log2(4/e27t2 + 1), a sinx* +1 = 1,
то остается выяснить, для каких k справедливо неравенство
log2(4A?27t2 + 1) > О.
(7)
Очевидно, что для k = 0 неравенство (7) не выполняется, а для
любого k О выполняется. Следовательно, все решения неравен-
ства (6) составляют числа х* = 2л/г, keZ, k 0.
Ответ. 2л/г, k е Z, k 0.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
(8)
Обе части уравнения (8) определены лишь для таких х, которые
удовлетворяют системе неравенств
т. е. на множестве М = [v2; +оо). Поэтому если уравнение (8) имеет
решения, то они принадлежат множеству М. ___________
Для каждого х g М имеем ^х3 + 2 + -Jx3 - 2 д/х3 + 2	2, т. е.
любое х е М не удовлетворяет уравнению (8). Следовательно, урав-
нение (8) не имеет решений.
Ответ. Нет решений.
Решите уравнение (13.1—13.2):
13.1 а) бд/-*2 + 9х - 14 - 2^/х2 - 5х - 14 - 1 = sin^;
б)	3-^—х2 + Их - 30 - 4^/х2 - 7х + 6 = sin дх;
в)	2001 ^/х2 - 9 + 2002^9- х2 = cos—;
г)	2003 ^х2 - 4 + 2004 А - х2 = tg .
13.2 а)	+ 3 = lg(1 + -\х2 - 16) + х;
б)	9'*~ j2 - 2 = lg(1 + 7х2 - 1) + х;_
в)	fx3 + 8 + Vx3 ~ 8 = 2; г) ^/х5 - 32 +	+ 32 = 2.
:И7 Использование свойств функций при решении уравнений и неравгшгь
13.3
Решите неравенство (13.3—13.5):
а) е^1 х2 + д/х2 - 7х - 8 > -6; б) л ^4 *2 +
в) д/х2 - 4х - 5 + lg (1 + yjsx — 2х2 + 10) < 6;
г) д/х2 — х - 6 +10^4~ х2 + 51g (12 + х) 6.
13.4	a) (д/х2 - 81 + 2)log3|x | + ^(V81-xz +1) > 4;
б)	(д/х2 - 16 + l)log3(x2 - 7) - f (д/16 - х2 + 3) < 0;
в)	д/х2 - 7х + 10 > lg(77x - X2 - 10 + 2);
г)	д/х2 + 7х + 10 < 1g (-5х + д/-х2 - 5х — 6).
13.5	a) 3^sin Л “ 1 + log3(х2 + 3) > cosx + 2;
б) 4Vcosх - 1 + |Og3 > cosх + j
13.2*. Использование неотрицательности функций
Пусть функция F(x) есть сумма нескольких функций
F{x) = Л(х) + ... + /л(х),
каждая из которых неотрицательна для любого х из области ее
существования. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) Уравнение F (х) = 0 равносильно системе уравнений
f2 (х) = О
(1)
I * .	- i »	-< *	.	* ч I А' V _	» -Ь*' А .* wL г.> хмй »<*
б) Неравенство F (х) < 0 равносильно системе уравнений (1).
Например, уравнение f2(x)+ /|(х)+ ... + /2(х) = 0 и неравенство
Л(х). + 1/г(х)1 + -•• + |/п(х)| 0 равносильны системе уравнений (1).
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
х4 + 5 • 4х + 4х2 • 2х - 2 • 2х + 1 = 0.
Перепишем уравнение (2) в виде
(х2 + 2 • 2х)2 + (2х - I)2 = 0.
(2)
(3)
318
Каждая из функций (х2 + 2 • 2х)2 и (2х - I)2 неотрицательна для
любого х g R, поэтому уравнение (3) равносильно системе уравнений
2х - 1 = О
х2 + 2’2х= 0.
(4)
Первое уравнение системы (4) имеет единственное решение
хх = 0, которое не удовлетворяет второму уравнению системы (4).
Следовательно, система (4), а значит, и равносильное ей уравне-
ние (2) не имеют решений.
Ответ. Нет решений.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
1 - 71 _ х2 - х4 + log2(l + х2) = 0.	(5)
Каждая из функций 1 - ^1 — х^ - х4 и log2(l + х2) неотрицатель-
на для любого х из области ее существования.
Поэтому уравнение (5) равносильно системе уравнений
71 - х2 - X4 = 1
Iog2(l + X2)= О,
(6)
имеющей единственное решение Хх = 0.
Следовательно, уравнение (5), равносильное системе (6), имеет
единственное решение Xj.
Ответ. 0.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
jx2 - 7х +12 + 1g2(х2 - 4х + 1) < 0.	(7)
Каждая из функций у = у]х2 — 7х + 12 и у = 1g2 (х2 — 4х + 1) неот-
рицательна для любого х из области ее существования. Поэтому не-
равенство (7) равносильно системе уравнений
(х2 - 7х + 12 = 0
[1g2 (х2 - 4х +1) = 0.
Первое уравнение системы (8) имеет два решения: х± = 3 и
х2 = 4. Из этих чисел только число х2 удовлетворяет второму уравне-
нию системы (8). Следовательно, система (8), а значит, и равносиль-
ное ей уравнение (7) имеют единственное решение х2.
Ответ. 4.
Решите уравнение (13.6—13.9):
13.6 a) (log2(x - 5) — sinjtx)2 + (х — б)2 = 0;
б) log3 (х - 2) - sin
2
2
319
Использование свойств функций при решении уравнений р ле равенств
13.7	а)	9х - 2 • 6х + 2 •	4х - 2 • 2х + 1 = 0;
б)	25х	- 5 • 10х +	29 • 4х - 1 - 4 • 2х + 4 = 0.
13.8	a)	-Jx2	- 5х - 14 +	|log0g(x2 - 14х + 50) | = 0;
б)	д/х2	- 8х +15 +	|log0 7(х2 - 10х + 26)| = 0.
13.9 a) log2(x2	+	2х + 2) + log3(x6 + 2х5 + х4 + 1) =	0;
б)	log4(x2	+	4х + 5) + log5(x6 + 4х6 + 4х4 + 1) =	0;
в)	log6(x2	+	6х + 10) + log? (л/х + 2 + 2) = 0;
г)	log8 (х2	+	8х + 17) + log| (Vx - 28 + 3) = 0.
Решите неравенство (13.10—13.11):
13.10 а) (х2 + 4х 21)2 + lg(x2 - 6х + 10) < 0;
б) (х2 - Зх - 4)2 + 1g (х2 - 8х + 17) « 0.
13.11 a) Jx2 - 8х + 15 + 1g(х2 - 10х + 26) < 0;
б) yjx2 - 6х + 8 + 1g (х2 - 8х + 17) О.
13.12 Докажите, что не имеет корней уравнение:
а) х6 + 2х5 + 2х4 + 2х3 + 2х2 + 2х + 2 = О;
б) х6 + 2х5 + 2х4 + 2х3 + 2х2 + 4х + 4 = 0.
13.3*. Использокагше ограниченности функций
Пусть множество М есть общая часть (пересечение) областей
существования функций /(х) и g(x) и пусть для любого х е М
справедливы неравенства /(х) > А и g(x) А, где А — некоторое
число. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) Уравнение /(х) = g(x) равносильно системе уравнений
: ; \g(x)= A.
б) Неравенство f(x) g(x) равносильно системе уравнений (1).
- ‘ 4 »	,	4*
ПРИМЕР
1. Решим уравнение
л 9 л	12
4xz + 4х + 17 = —5-----.
хг - х + 1
(2)
Обе части уравнения (2) определены для всех х. Перепишем
уравнение (2) в виде
(3)
Очевидно, что для любого х справедливы неравенства
/(х) =
4;
ё(х) =
Следовательно, уравнение (3) равносильно системе уравнений
Эта система не имеет решений. Следовательно, и равносильное
ей уравнение (2) не имеет решений.
Ответ. Нет решений.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
cos2 (х sinx) = 1 + |log5(x2 — х + 1)|.
Пусть множество М есть общая часть областей существова-
ния функций cos2(хsinx) и 1 + |log5(x2 — х + 1)|, тогда для любого
х G М имеем
cos2(хsinx) < 1; 1 + |log5(x2 - х + 1)|	1.
Следовательно, уравнение (4) равносильно системе уравнений
cos2 (х sin х) = 1
|log5(x2 - х + 1)| = 0.
(5)
Второе уравнение системы (5) имеет два корня: х1 = 0 и х2 = 1-
Из этих чисел только число х} удовлетворяет первому уравнению
системы (5). Следовательно, система (5), а значит, и равносильное ей
уравнение (4) имеют единственное решение хг.
Ответ. 0.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
1g (х2 + 2х + 2) + 5 4 - 2х - х2.	(6)
Обе части неравенства (6) определены для всех действительных
чисел х. Для любого х имеем 1g(х2 + 2х + 2) = lg((х + I)2 + 1)^0,
поэтому 1g(х2 + 2х + 2) + 5 > 5; 4 - 2х - х2 = 5 - (х + I)2	5. Следо-
вательно, неравенство (6) равносильно системе уравнений
flg(x2 + 2х + 2) + 5= 5
14 - 2х — х2 — 5,
32 ii Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
которая, в свою очередь, равносильна системе уравнений
f 1g (х2 + 2х + 2) = О
1(х + 1)2= О.
(7)
Единственное решение второго уравнения системы (7) есть
хх = —1. Это число удовлетворяет первому уравнению этой же систе-
мы. Следовательно, система (7), а значит, и равносильное ей нера-
венство (6) имеют единственное решение хт.
Ответ. —1.
ПРИМЕР 4. Решим неравенство
|lg(x - 2)| + 1 —cosлх.	(8)
Обе части неравенства (8) определены на множестве М = (2; +оо).
Для любого х € М имеем
11g(х - 2)| + 1 > 1, -cosrcx < 1.
Поэтому неравенство (8) равносильно системе уравнений
flg(x-2)=O
1 cos ЛХ = —1.
(9)
Первое уравнение системы (9) имеет единственное решение
х0 = 3, которое удовлетворяет второму уравнению этой системы.
Следовательно, система (9), а значит, и равносильное ей неравен-
ство (8) имеют единственное решение х0.
Ответ. 3.
При решении уравнений (или неравенств) часто применяют раз-
личные числовые неравенства. Например, неравенство
а + Ъг,	(10)
справедливое для любого положительного числа а.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
2х + 2~х = 2 cos
(11)
Обе части уравнения (11) определены для всех х. Для любого х,
применяя неравенство (10), получаем, что справедливо неравенство
2х + 2~х > 2.	(12)
Для любого х справедливо неравенство
2 cos
11 Никольский, 11 кл.
2.
(13)
6
i’322
Из справедливости неравенств (12) и (13) следует, что уравне-
ние (11) равносильно системе уравнений
2х + 2~х = 2
X2 + X
cos —-— = 1.
6
(14)
Решим ее. Первое уравнение системы (14) имеет единственное ре-
шение хг = О, которое удовлетворяет и второму уравнению этой же
системы. Поэтому система (14), а значит, и равносильное ей уравне-
ние (11) имеют единственное решение xt.
Ответ. 0.
ПРИМЕР 6. Решим неравенство
tg2 х + ctg2 х С 2 cos2	- х2.	(15)
Пусть М — общая часть областей существования функций tg2 х,
[л2
ctg2x и cos2,/---х2. Тогда для любого хеМ, применяя неравен-
V 16
ство (10), имеем
tg2x + ctg2 х 2.
Очевидно, что для любого х е М
2 cos2 J—— х2	2.
V 16
Следовательно, неравенство (15) равносильно системе уравнений
tg2 х + ctg2 х = 2
2 К 2	'
cos V16  х к
Из последнего уравнения
Xi = — и х2 = -—. Подставляя
системы (16) находим его решения
эти числа в первое уравнение систе-
мы (16), получаем, что они являются его решениями. Поэтому числа
Xi и х2 являются решениями системы (16). Следовательно, неравен-
ство (15), равносильное системе (16), имеет те же решения.
Ответ. —;
л
4*
Ограниченность функций на том или ином множестве — части
области существования функции — также может использоваться
при решении уравнения или неравенства.
ПРИМЕР 7. Решим неравенство
log2 (х + 2) >
х
х + 0,5
(17)
323 Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
Обе части неравенства (17) определены для всех х, удовлетворяю-
щих системе неравенств
х4- 2>0
х Ф —0,5,
т. е. на множестве М = (—2; —0,5) U
U (-0,5; +оо). Следовательно, все решения неравенства (17) содержат-
ся во множестве М,
Рассмотрим неравенство (17) сначала на множестве
= (-2; -0,5). Для любого х е имеем
log2 (х 4- 2) < logo - < 1; ——— = 1 — „ * „ > 1.
52	'	&2 2 х 4- 0,5	2х+1
Следовательно, среди этих х нет решений неравенства (17).
Теперь рассмотрим неравенство (17) на множестве М2 = (-0,5; 0).
Для любого х g М2 тлеем
3
log2 (х + 2) > log2 - > 0;
X
х 4- 0,5
Следовательно, любое х из множества М2 является решением
неравенства (17).
Наконец, рассмотрим неравенство (17) на множестве
М2 = [0; 4-оо). Для любого х g М2 имеем
log2(x4-2)> 1;
Следовательно, любое х из множества М3 является решением
неравенства (17).
Объединяя все полученные выше решения, получаем, что все
решения неравенства (17) составляют промежуток (-0,5; 4-оо).
Ответ. (—0,5; +оо).
13.13
13.14
13,15
Решите уравнение (13.13—13.17):
a)	1g (х2 4- 1) 4- 1 = cos7rx;
б)	lg(1 4-1 х — 21) + 2 = 11 4- cos7tx|;
в)	3 - 1g (х2 - 10х + 26) = д/х2 - 10х + 34;
г)	2 - lg(1 + |х - 6|) = д/х2 - 12х + 40.
а) х2 - пх 4--= sinx-l; б) х2 - 4ях 4-4л2 = cosx - 1;
4
в) х2 4- 2пх + л2 = sinx - 1; г) х2 - 2пх 4- л2 = cosx — 1.
а)
б)
2 cos2 (х sin лх) = 2 4- log2 (х2 - 4х 4- 5);
3sin2
3 4- log3 (х2 -6x4-10).
11*
ч. 324
13.16
13.17
13.18
13.19
13.20
13.21
а)	11g (х - 3) | + 2 = | cos их + 11;
б)	11g (х - 2) | + 1 = -cos ях;
в)	11g (х - 5) | + 2 = ^4 - (х - 6)2;
г)	I lg (х -4)1 + 3= д/9 - (х - 5)2.
а)
б)
2 cos2 (х sinx) = 2 + |log2(x2 — 4х + 1) |;
= 3 + log3(x2 — 6х + 10).
Решите неравенство (13.18—13.20):
а)	х2 - ях + — С 3sinx — 3;
б)	-х2 + 2ях — п2 2 cos х + 2;
в)	1о£г(х2 + 4х + 5) -4 — 4х — х2;
г)	log0 6 (х2 - бх + 10) > х2 - 6х + 9.
a) log2(x + 2) > 1 - х;	б) log2(x + 4) < -1 - х;
в) log0>5(x - 2) > х - 3;	г) log0,5(x + 2) < х - 1.
а)	l°go,2(—я2 + бх — 8) -9 + 6х — х2;
б)	3cos2x 3 + |log5(x2 - 4х + 1)|.
Решите уравнение (13.21—13.23):
а)
2 — sin2
2001х е
2002 ’
13.22
б)
в)
г)
(log2 3)х + (log3 2)х = 2 - cos2 -
1 + cos 2ях;
1 - cos ях.
а)
б)
в)
г)
sin2 х + 5) (cos2 х + 4);
5) (sinx + 6);
2
325 Использование свойств функций при решении ураннснин и неравенств
13.23*
a) tg2 х + ctg2 х = 2 sin
б cos2 2х + sin8 х
sin8 x cos2 2x
2
„2
Решите неравенство (13.24—13.26):
13.24*
6)
2 - sin2nx.
2
6)
2
3 sin x + 2 cos x
13.26*
a)
6)
2.
I tgx |
I Ctg X I
2
2 nx
+ ~2~~
9 ЛХ
X ——
2	16
16
~2
13.4*. Использование монотонности
и экстремумов функций
При решении уравнения или неравенства часто бывает полезно
доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функ-
ций, в него входящих. При этом часто пользуются следующим
утверждением.
Пусть функция /(х) возрастает, а функция g(x) убывает на
промежутке М — общей части (пересечении) областей существо-
вания этих функций. Если число х0 е М и справедливо равенство
f(x0) — Я(х0), то х0 — единственный корень уравнения
f(x) = g(x).	(1)
Доказательство. Пусть число Xj е М. Тогда:
если Xj < х0, то /(xj) < f (х0) = g(x0) < g{xx), т. е. /(Xj) < g(xj);
если Xj > х0, то /(хО > f(x0) = g(x0) > g(xj), т. e. /(Xj) > g(xx).
*026
Это означает, что ни одно из чисел х * х0 из промежутка М не
может быть корнем уравнения (1), а так как справедливо равенство
/(х0) — £Г(х0), то х0 — единственный корень уравнения (1). Тем са-
мым утверждение доказано.
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
^2х + 7 = 719 - х.
(2)
Функция f(х) = Ц2х + 7 возрастает, а функция g(х) = 719-х
убывает на промежутке М = (-оо; 19] — общей части областей су-
ществования этих функций. Проверка показывает, что число 10 е М
и является корнем уравнения (2). Тогда в силу доказанного утверж-
дения этот корень единственный.
Ответ. 10.
Для доказательства возрастания (убывания) на некотором про-
межутке функции, входящей в уравнение (неравенство), часто ис-
пользуют производную этой функции.
ПРИМЕР 2. Решим неравенство
20х7 + 28х5 + 210х - 35sin2x > 0.
(3)
Перепишем неравенство (3) в виде
20х7 + 28х5 > 35 sin 2х - 210х.	(4)
Рассмотрим функции /(х) = 20х7 + 28х5 и g(x) = 35sin2x — 210х на
R — области существования этих функций. Функция /(х) возраста-
ет на R как сумма функций, возрастающих на R. Функция g(x) убы-
вает на Л, так как ее производная g'(x) = 70cos2x - 210 отрицатель-
на на R. Следовательно, уравнение
20х7 + 28х5 = 35 sin 2х - 210х	(5)
имеет не более одного корня. Число xt = 0 удовлетворяет уравне-
нию (5), следовательно, это уравнение имеет единственный корень xv
Поскольку функция /(х) возрастает на R, а функция g(x) убыва-
ет на R, то для каждого х > О справедливы неравенства f (х) > / (О) = О,
£(х) < g(0) = 0, откуда следует, что /(х) > g(x) для каждого х > 0.
Аналогично показывается, что /(х) < £(х) для каждого х < О.
Следовательно, решения неравенства (4), а значит, и равносильного
ему неравенства (3) составляют промежуток (0; +оо).
Ответ. (0; +оо).
ПРИМЕР 3. Выясним, сколько действительных корней имеет
уравнение
х3 - х2 - х + 0,1 = 0.	(6)
Рассмотрим функцию /(х) = х3 — х2 — х + 0,1. Она на интервале
(-оо; +оо) имеет производную fz(x) = Зх2 - 2х - 1.
X- 327
Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств
Производная обращается в нуль в двух точках: хт = и х2 = 1.
Это точки локального экстремума функции fix). Так как f'ix) > О
для любого х из интервалов
промежутков I -оо; -—
fix) < 0 для любого х из интервала
то на каждом из
то на промежутке
и [1, Ьоо) функция fix) возрастает. Так как
1 функция fix) убывает.
Так как lim fix) = lim х311 — — —
то на интервале 1Г =
3
функция fix) возрастает от -оо до по-
ложительного числа f . Поскольку функция fix) еще и непре-
V	>
рывна на интервале то каждое свое значение она принимает толь-
ко в одной точке. Следовательно, на интервале есть единственная
точка, в которой эта функция обращается в нуль.
Аналогично показывается, что функция fix) обращается в нуль
в единственной точке на интервале
—; 1 ив единственной точке
3	,
на интервале (1; +оо). Следовательно, функция fix) имеет три нуля,
а это означает, что уравнение (6) имеет три корня.
Ответ. Уравнение имеет три корня.
ПРИМЕР 4. Решим уравнение
ех - 1 - х = 0.
(7)
Функция fix) = ех - 1 - х имеет производную f'ix) = ех - 1 на
интервале R. Причем f'ix) = 0 только для хг = 0, fix) < 0 для каждо-
го х < 0 и f'ix) > 0 для каждого х > 0. Следовательно, функция убы-
вает на промежутке (-оо; 0], возрастает на промежутке [0; +оо) и точ-
ка хх = 0 — единственная точка минимума этой функции на R.
Поэтому fix) > fix^) — 0 для каждого х Ф хг и /(хх) — 0 только для
х = хР Следовательно, уравнение (7) имеет единственный корень xv
Ответ. 0.
ПРИМЕР 5. Решим уравнение
Vx- 2 + ^4- х -2=0.	(8)
Рассмотрим функцию f(x) — Ух - 2 + т/4 — х — 2. Область су-
ществования этой функции есть отрезок [2; 4]. Найдем максимум
328
и минимум этой функции на отрезке [2; 4]. Функция /(х) =
= vx — 2 + у4 - х - 2 на интервале (2; 4) имеет производную
f(x)=	1	--	1 —, которая обращается в нуль в единст-
4^(х - 2)3	4 V(4 - х)3
венной точке х0 = 3. Так как функция непрерывна на отрезке [2; 4],
то она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значе-
ний. Они находятся среди чисел /(2) = t/2 - 2, /(3) = 0, f(4) = л 2 — 2.
Так как /(3) > /(2) = /(4), то наибольшее значение О на отрезке [2; 4]
функция принимает в точке х0 = 3, а наименьшее значение л2 — 2 на
отрезке [2; 4] функция принимает в двух точках: Xj = 2 и х2 = 4.
Следовательно, функция обращается в нуль в единственной точке
х0. Поэтому уравнение (8) имеет единственный корень х0.
Ответ. 3.
Решите уравнение (13.27—13.31):
13.27
13.28
13.29
13.30
13.32
13.33
13.34
a) log2 х = 1 — х;
в) logo,5 х = х - 3;
а) iJ/Зх - 1 - л/19- х = 0;
а) Ух3- 7 + Ух4 - 8 = 3;
в) д/х3 + 8 + V8 - х3 = 4;
а) х5 + х3 + 1 - V10- х = 0;
3
а) х2 - 1 = 2 In х; б) х2 (1 -
б) log3 х = 4 - х;
г) log0>3 х = х - 1.
б) У9х + 5 -	У25 - Зх = 0.
б) Ух3 + 5 +	^х4 - 17 = 6;
г) Ух — 1 + Уз - х = 2.
б) Xs + х3 -	37 - у/25 - 8х	= 0.
6 [3	х2 .	i
*) = в) V = 1п<х + 1)*
Решите неравенство (13.32—13.33):
а)	12х5 + 10х3 + 35х - 17 sin 2х > 0;
б) 10х5 + 25х3 + 39х + 11 - 11 cos 2х > 0.
а) Зх5 + 10х3 + 15х + 1g х - 28 > 0;
б)	х5 + х3 + 10х + log2x - 61 > 0.
Сколько действительных корней имеет уравнение:
а) 2х4 - 4х2 + 1 = 0;	б) 2х4 - 8х + 1 = 0?
13.5* Использование свойств синуса и косинуса
Достаточно много уравнений (и неравенств) можно решить, если
использовать ограниченность тригонометрических функций sin ах и
cospx. Для решения таких уравнений (и неравенств) часто применя-
ют способ «рассуждения с числовыми значениями».
329 Использование свойств функций при решении уравнен им п неравенств
ПРИМЕР 1. Решим уравнение
sinx cos4х = 1.
(1)
Если число х0 — решение уравнения (1), то либо sinx0 = 1, либо
sinx0 = -1. Действительно, если бы было справедливо числовое нера-
венство |sinx0| < 1, то из числового равенства sinx0 • cos4x0 = 1 сле-
довало бы, что |cos4x0|>l, что, естественно, невозможно. Но если
sinx0= 1, то cos4x0 = 1; если же sinx0 = -1, то cos4x0 = -1. Следова-
тельно, любое решение уравнения (1) является решением совокупно-
сти двух систем уравнений
sin х = 1
cos 4х = 1
sin х = —1
cos4x = -1.
(2)
(3)
Легко видеть, что любое решение системы (2) и любое решение
системы (3) есть решение уравнения (1).
Следовательно, уравнение (1) равносильно совокупности систем
(2) и (3). Решим эти системы.
Первое уравнение системы (2) имеет серию решений
xk = —h 2 л/г, k е Z. Все они удовлетворяют второму уравнению сис-
2
темы (2), т. е. являются решениями системы (2).
Первое уравнение системы (3) имеет серию решений
Л
хт =----F 2izm, т е Z. Ни одно из этих чисел не удовлетворяет вто-
2
рому уравнению системы (3). Поэтому система (3) не имеет решений.
Итак, все решения уравнения (1) совпадают со всеми решения-
ми системы (2).
Ответ. + 2 л/г, k е N.
2
ПРИМЕР 2. Решим уравнение
3^cos4х - 2З/sinx = 5.
(4)
Если число х0 — решение уравнения (4), то справедливо число-
вое равенство
2^sinx0 = 3 ^cos 4х0 - 5.	(5)
Так как cos4x0^ 1, то из числового равенства (5) следует, что
^sinXq < -1. Так как sinx0 -1, то из этих двух неравенств следует,
что sinx0 = —1, но тогда cos4x0 = 1. Поэтому любое решение уравне-
ния (4) является решением системы
sin х = -1
cos4x = 1.
(6)
ь : 330
л'
Легко видеть, что любое решение системы (6) есть решение
уравнения (4). Следовательно, уравнение (4) равносильно систе-
ме (6). Решим эту систему.
Первое уравнение системы (6) имеет серию решений xk — -
k g Z. Все они удовлетворяют второму уравнению системы (6), т. е.
составляют множество решений системы (6), а значит, и равносиль-
ного ей уравнения (4).
Ответ. + 2nk, ktZ.
2
Рассуждения, аналогичные приведенным выше, могут приме-
няться и при решении неравенств.
ПРИМЕР 3. Решим неравенство
sin4 2х + 4 cos 8х 5.
(7)
Если число xq — решение неравенства (7), то cos8x0 = 1, так как
в противном случае было бы справедливо неравенство | sin 2х01 > 1,
что невозможно. Но тогда | sin 2х01 = 1. Поэтому любое решение нера-
венства (7) является решением системы уравнений
| sin 2х | = 1
cos8x = 1.
(8)
Легко видеть, что любое решение системы (8) есть решение не-
равенства (7). Следовательно, неравенство (7) равносильно систе-
ме (8). Решим эту систему.
Первое уравнение системы (8) имеет серию решений xk — “г + —,
4 Л
k g Z, Очевидно, что все эти xk удовлетворяют второму уравнению
системы (8), так как cos 8
Итак, всеми решениями системы (8), а значит, и равносильного
ей неравенства (7) являются числа xk.
Ответ. — + —, k g Z.
4	2
Решите уравнение (13.35—13.36):
13.35	a) sinxcos8x=l;	б)
в) sin Зх cos 12х = 1;	г)
13.36	a) 2sin82x - 5cos74x = 7;	б)
в) 3 sin3 2х - 7 cos4 4х = -10;	г)
sin 6х cos 4х = -1;
sin 4х cos 16х = -1.
5 sin7 Зх + 2 cos4 2х — 7;
7 sin4 Зх + 4cos82x =11.
331
Системы уравнений с несколькими неизвестными
Решите неравенство (13.37—13.38):
13.37	а) 3 sin8 2х - 8 cos7 4х > 11;	б) 11 sin73x - 2cos42x С -13;
в) 5 sin7 2х — 9 cos4 4х С —14;	г) 13sin43x + 2cos82x > 15.
13.38	a) 7sin32x - 10cos54x + 13cos78x > 30;
6)	3sin4—+ 11 cos62x + 16cos34x > 30.
7	2
114. Системы уравнений
с несколькими неизвестными
В этом параграфе рассматриваются системы уравнений с не-
сколькими неизвестными. Ранее рассматривались лишь системы ра-
циональных уравнений, теперь к ним добавятся системы, содержа-
щие корни, степени, логарифмы, тригонометрические функции.
Для простоты изложения будем рассматривать в основном системы
двух уравнений с двумя неизвестными.
14.1. Равносильность систем
Основные понятия. Напомним основные понятия, необходимые
при решении систем уравнений с несколькими неизвестными.
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными
А (*; У) = Si (х; у)
f2 (*; у) = ё2 (*; у)
называют такую упорядоченную пару чисел (х0; г/0), при подстанов-
ке которой (х0 вместо х, а у0 вместо у) в каждое из уравнений систе-
мы справедливы числовые равенства
Л (*о> Уо) =	(х0, уо),
/г(хо» Уо) = §2(х0’ Уо)'
Отметим, что справедливость рассматриваемых числовых ра-
венств предполагает, что обе их части определены для указанных
значений неизвестных.
Аналогично определяется решение системы п уравнений с п не-
известными (n g N, п 3).
Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее ре-
шений. Заметим, что это множество может быть и пустым. В этом случае
говорят, что система не имеет решений или что система несовместна.
Две системы уравнений называют равносильными, если совпа-
дают множества всех их решений. Равносильность систем обознача-
ют знаком <=>.
Утверждений о равносильности систем много. Поэтому приве-
дем здесь лишь несколько простейших утверждений о равносильно-
сти систем, которыми особенно часто приходится пользоваться.
1.	Если уравнения системы поменять местами, то получится
система, равносильная исходной.
2.	Если в одном из уравнений системы перенести члены урав-
нения (с противоположными знаками) из одной части уравнения
в другую, то получится система, равносильная исходной.
3.	Если обе части одного из уравнений системы умножить на не
равное нулю число, то получится система, равносильная исходной.
4.	Если одно из уравнений системы заменить суммой этого
уравнения и какого-либо другого уравнения системы, то полу-
чится система, равносильная исходной.
5.	Система, равносильная исходной системе, получается так-
же, если в одном из уравнений:
а)	привести подобные члены многочлена; , /
б)	применить формулы сокращенного умножения многочленов;
в)	применить формулы
VF = |/|, /2 = И2» af + g = afas, а'-*= (aty = а* (а > О, а * 1).
as
В дальнейшем при применении этих преобразований часто не
будем писать о равносильности систем, а будем писать: «перепишем
систему в виде».
Метод подстановки — основной для решения систем уравнений
с несколькими неизвестными. Для систем двух уравнений с двумя
неизвестными этот метод основывается на утверждении:
6.	Если в одном из уравнений системы выразить одно неиз-
вестное через другое и подставить полученное выражение вместо
первого неизвестного во второе уравнение, то получится система,
равносильная исходной.
При решении систем этим методом с помощью утверждений
1—5 система приводится к виду, где одно из уравнений есть, напри-
мер, у = F (х) (т. е. в одном из уравнений у выражен через х), после
чего применяется утверждение 6 и задача сводится к решению урав-
нения /(х, F(x)) = g (х, F(x)) с одним неизвестным х. Решив это
уравнение, т. е. найдя его корни xz (их может быть и бесконечно
много), подставим их в уравнение у = F (х). Тем самым для каждого
х^ найдем соответствующее ему значение у}. Все пары чисел (xz; yt)
и составят все решения исходной системы уравнений.
Аналогично метод подстановки применяется для решения сис-
тем п уравнений с п неизвестными (п е N, п 3).
Отметим, что ранее этим способом уже решались системы ра-
циональных уравнений.
333
Системы уравнений с несколькими неизвестными
ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений
— = 200.
(1)
Выразив х через у из первого уравнения, перепишем систему (1)
в виде
= 200.
(2)
Применяя утверждение 6, получаем систему уравнений
= 200
(3)
равносильную системе (2). Систему (3) можно переписать так:
[10^= 1000.
Из второго уравнения этой системы находим, что у = 3. Подстав-
ляя 3 в первое уравнение вместо у, находим, что х = — 2. Следова-
тельно, система (1) имеет единственное решение (-2; 3).
Ответ. (-2; 3).
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений
|х + у = 1
|log3X = log3(l - у).
Выразив у через х из первого уравнения системы и подставляя
1 — х вместо у во второе уравнение, получаем уравнение log3 х =
= log3x. Решениями этого уравнения являются все положительные
числа. Каждому такому значению х = а (а > 0) соответствует значе-
ние у = 1 - а. Следовательно, решениями исходной системы являют-
ся все пары чисел (а; 1 — а), где а — любое положительное число.
Ответ, (а; 1 - а), а > 0.
ПРИМЕР 3.
Решим систему уравнений
tg х tg у = 5 - 2>/б
(4)
через х из второго уравнения системы: у =---х.
4
Подставляя — — х вместо у в первое уравнение, получаем уравнение
Выразим у
(5)
4
к* 334
Так как
sin х sin
cos 2x-------
I 4
- cos-
cos х cos x
4
cos 2x-------
I 4
то уравнение (5) перепишется в виде
cos 2х-------
I 4
/2
2
(6)
2
cos 2х-----
4
2 —2~
Уравнение----— = 5 - 2V6 имеет единственный корень z =
/3
2
следовательно, уравнение (6) равносильно уравнению
cos 2х-----
4
/3
2 ‘
Это уравнение имеет две серии решений:
л тс	_ тс л
— + — + лп, n е Z; хт — — — — + ж т е
8	12	т 8	12
Теперь находим соответствующие значения у:
л л	_,	л л
Уп = —------- - лп, п g Z; Ут ~ — + — - Ж т g Z.
Уп 8	12	т 8	12

Следовательно,
Ответ.
5л
все решения системы (4) составляют пары
+ лп;
5л
Ж —---ш
24
т g Z.
Линейные преобразования систем. При решении систем уравне-
ний часто помогает метод линейных преобразований систем. Он ос-
нован на утверждениях 3 и 4 и заключен в следующем. Одно из
уравнений системы заменяют суммой этого уравнения, умноженного
на некоторое отличное от нуля число, и какого-либо другого уравне-
ния системы, умноженного на отличное от нуля число.
Применение этого утверждения иногда позволяет привести сис-
тему к такой системе, равносильной исходной, решение которой уже
не представляет трудностей.
335
Системы уравнений с несколькими неизвестными
ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений
(х2-3|г/|4-|х| = 12
1 У2 + 3|х| 4- | у | = 9.
(7)
Заменяя второе уравнение системы (7) суммой этого уравнения
и первого уравнения, умноженного на -1, т. е. вычитая из второго
уравнения первое, получаем систему
{х2 - 31 г/1 + |х| = 12
у2 - х2 4-3(|х| + |г/|)+ Ы - |х| = -3,
равносильную системе (7). Так как у2 — х2 = (; г/| - |х 1МЫ + 1 х|), то
можно переписать второе уравнение системы в виде
(\у\-|х| + 3)(|r/| + |х|+ 1) = 0.
Поскольку |х| + [г/| 4- 1 =£ 0 для любой пары чисел (х; у), то сис-
тема (8) равносильна системе уравнений
(х2-3|г/| + |х| = 12
1Ы - |х| 4-3= 0.
Умножая второе уравнение на 3 и складывая его с первым, по-
лучим систему, равносильную исходной системе:
(х2-2|х|-3=0
11 у | — I X | 4-3 = 0.
Корни первого уравнения последней системы: хг = 3 и х2 = — 3.
Подставляя их во второе уравнение последней системы, находим
У1 = 0, у2 = 0. Следовательно, решениями исходной системы являют-
ся две пары чисел: (3; 0) и (-3; 0).
Ответ. (3; 0), (-3; 0).
14.1° а) Что называют решением системы уравнений?
б) Какие системы уравнений называют равносильными?
в) Какие преобразования уравнений системы приводят к сис-
теме, равносильной исходной? Приведите примеры.
14.2
14.3
Является ли пара чисел (1; 2) решением системы:
ч fx-i/ = -l	fxy+x2=6
J [х2 - ху = 1; J \2х + у = 4?
Среди трех пар чисел (1; 1), (1; 5) и (5; 1) найдите решения
системы:
б)
у]х2 + у2 — 1 = 5
xy 4- X 4- У = 11.
336
14.4
14.5
14.6
Докажите, что система уравнений не имеет действительных
решений (14.4—14.5):
{х - 2и = 3	I ху = 3
2 _1_ 2 1 1 л	6)]2_i_2 л
х + у + 1 = 0;	[х + у — 4.
(л/2 - х + 7 = х 4- у
log2 (х-2)+ yly -1 = 0;
COS X + cos2 у = 1
sin2 х + sini/ = 2.
Равносильны ли
{sin х = cos у
tg X = tgl/
I 2x + 3w = 1
6> x-4j/ = 5
системы:
J tgx = tgl/
и < .
I sinx = cos^;
f 2x + 3y = 1
и s A . к.
lx = 4y + 5
г)
Vx - sin у = 1
и
2х +Sy = 1
y/x = sin у + 1;
sin2 x = у
cos2 x = у2 + 1
sin2 x = у
у2 +y = 0?
14.7
Решите систему уравнений методом подстановки:
а)
47	2
1
sinxsmi/ = —.
14.8
Решите систему уравнений,
ч I sin2 х + J г/ - 2 = 2
а) 1 о г----------
[cos х + у]у — 2 = 3;
{sin х cos х + cos у = 1
sinxcosx - cos у = 0;
. | sin2 (2cos x) + y2 = 5
Д 1 cos2 (2 cos x) + 2y — 4.
используя сложение уравнении:
g. flogs (x-2)+ y[y +1 = 2
[log3(x- 2)- Jy + 1 = -2;
r)
sin x cos x — y]y = 1
sin у cos x + -Jy = 0;
14.9
Решите систему уравнений
fx2 - 4x - 2y — 1 = 0
[у2 - 2x + 6y + 14 = 0;
. ( x2 — 6x — 3y — 1 = 0
1 y2 + 2x + 9y + 14 = 0;
(14.9—14.17):
- f x2 - 4x + 4y + 27 = 0
\y2 + 2x + 8y + 10 = 0;
fx2 + 7x-i/ + ll=0
[у2 + Зх — у + 15 = 0.
Системы уравнений с несколькими неизвестными
337
 мм!. !>
14.10
г/ - log3 х = 2;
х - log2 у = 2;
2х = 12
log2 У ~ x = 2.
14.11
21og4 х - log4 (2y - 1) = 0,5;
2x — у = 19
log9 (2x - 1) - log9 у = -0,5.
14.12
14.13
2= 13
2 = 3
2
2
2
14.14
14.15*
14.16*
sinx = 2 sin у;
tgxtgi/
sin* * 2 x + sin2 у
5л
x + у = ——.
y 12
3
4
14.17*
14.2. Система-следствие
Основные понятия. Систему уравнений
I Ф1 (х; У) = К (х; у)
1ф2(х; !/) = h2^ у)
называют следствием системы уравнений
f А (х; у) = gi (х; у)
I f2 (х; У) = У\
(1)
(2)
если каждое решение системы (2) является решением системы (1).
Ш 338
Справедливо следующее утверждение:
7.	К системе-следствию приводят следующие преобразования:
а) замена в уравнении системы разности f(x; у) — f (х; у)
нулем (т. е. приведение подобных членов); Г’- mS	wflj
б)	возведение одного из уравнений в четную степень;
в)	освобождение от знаменателя в одном из уравнений системы;
г)	потенцирование хотя бы одного уравнения системы.
I
Замечание. Отметим, что применение некоторых формул также
может привести к системе-следствию. Например, к следствиям
приводят замены:
Jf-JgHSL	на	на	на
(2r\ff)2n на A loga f + logag на loga(f • g), 21oga/ на logajf2,
alog« f на д где a > q, a >
Если в процессе решения системы уравнений выполнялись толь-
ко указанные выше преобразования, то все решения исходной систе-
мы уравнений содержатся среди решений последней в цепочке пре-
образований системы. Чтобы отобрать решения исходной системы,
нужно определить, какие из найденных пар чисел удовлетворяют
ей. Поэтому проверка полученных решений обязательна при таком
методе решения систем уравнений.
Приведение подобных.
ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений
(3)
Эта система на основании утверждений 2 и 6 равносильна системе
Перенеся во втором уравнении все члены в левую часть и приве-
дя подобные члены, получим систему
jy = 1- х
| х2 + х - 2 = О,
являющуюся по утверждению 7а следствием системы (3).
Решением последней системы являются две пары чисел: (1; 0)
и (-2; 3). Проверка показывает, что пара (1; 0) является решением
системы (3), а пара (-2; 3) не является решением системы (3).
Ответ. (1; 0).
, 339
Системы уравнений с несколькими неизвестными
Возведение в четную степень.
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений
{у/х + у - 1 = 1
х ”1" 2 = 2х ~~' 2.
(4)
Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получим систему
х + у — 1 = 1
у - х + 2 = 4х2 — 8х + 4,
(5)
являющуюся на основании утверждения 76 следствием исходной
системы (4).	/3 ч \
Решениями системы (5) являются пары чисел (0; 2) и —; — . Про-
верка показывает, что системе (4) удовлетворяет только пара
2
Ответ.
Освобождение от знаменателей.
ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений
= 2
ху
(6)
ху
Перейдем от системы (6) к системе
{х2 + у2 — 2ху
х3 - у2 = ху,
(7)
которая является по утверждению 7в следствием исходной системы.
Поскольку х2 + у2 - 2ху = (х - у)2, то система (7) равносильна системе
X = у
х3 - у2 = ху.
(8)
Решениями системы (8) являются пары чисел (0; 0) и (2; 2).
Проверка показывает, что из них системе (6) удовлетворяет только
пара (2; 2).
Ответ. (2; 2).
Потенцирование.
ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений
< logs ХУ = l°g3 ~
„3..2 । „4 _ о
340
Потенцируя первое уравнение системы (9), получим систему
уравнений
(Ю)
являющуюся следствием системы (9) по утверждению 7г. Система
уравнений
ху2 = х
х3у2 + у4 = 2
(И)
является по утверждению 7в следствием системы (10). Множество
всех решений системы (11) есть объединение всех решений двух систем:
х = 0
х3у2 + у4 = 2
(12)
(13)
Решениями системы (12) являются пары чисел (0; у2) и (0; — V2).
Решениями системы (13) являются пары чисел (1; 1) и (1; -1). Провер-
ка показывает, что исходной системе удовлетворяет только пара (1; 1).
Ответ. (1; 1).
Применение формул.
ПРИМЕР о. Решим систему уравнений
Применяя формулу 2log2a = а, получим систему
(14)
(15)
являющуюся (см. замечание) следствием системы (14). Вычитая из
второго уравнения системы первое, получаем систему
\ху = х*у-2
] Зх2*/2 - ху - 4 = 0,
которая равносильна системе (15). Поскольку Зх2*/2 — ху — 4 =
= (Зх*/- 4)(х*/+ 1), то множество всех решений системы (16) есть
объединение множеств всех решений двух систем:
Зху — 4=0
ху — х2у — 2
(17)
341
Системы уравнений с несколькими неилшттпыми
ху + 1 = О
ху = х2у — 2.
(18)
Решением системы (17) является пара чисел
системы (18)
является пара чисел (—1; 1). Проверка показывает
что пара
является решением исходной системы
пара
(-1; 1) — нет.
Ответ.
ПРИМЕР 6. Решим систему уравнений
у2 + х2 - 1 = 2ху.
(19)
Используя формулы
перейдем от системы (19) к системе
являющейся
в виде
(20)
следствием системы (19). Перепишем систему (20)
(21)
Подставляя 1 вместо |х — у \ в первое уравнение системы (21), по-
лучим систему
7|х + yl (х - 6) = 0
|х - у \ = 1,
(22)
342
равносильную системе (21). Множество всех решений системы (22)
есть объединение множеств решений двух систем
J[x + y\ = О
|х- </| - 1
(23)
(24)
так как все функции в системах (23) и (24) определены при всех хну.
Решая каждую из этих систем, получаем решения системы (20):

— . Проверка показывает, что из этих пар
чисел системе (19) удовлетворяют только пары (6; 5)
2
Ответ. (6; 5)
14.18 а) Объясните, какие преобразования уравнений системы
приводят к системе-следствию.
б) Почему после перехода к системе-следствию необходима
проверка всех решений, полученных при решении систе-
мы-следствия?
14.19 Является ли вторая система следствием первой системы:
log2(x 4- 2у) = log2(2x + у) и I х + 2у = 2х 4- у
х2 — у - 2 = Q	И [х2 - у - 2 = 0'
logy (х + у} + logy (х - у) = 1
log7((x 4- у)(х - у)) = 1
Д)
и
343
Системы уравнении с несколькими неизвестными
14.20
Решите систему уравнений (14.20—14.26):
(х + у = 2
[2х2 — 4>/х + х = у2 + 13 + (2 — Vx)2;
б {х + у = 3
[Зх2 - 6л/х + х = у2 + 2 + (3 - Vx)2;
j х + у - 4
[1g (Зх + у) + 2х2 + 7 = (у - 2)2 + 1g (Зх + у);
(х + у = 5
[ д/х + Зу + х2 — 40 = (2у +1)2 + д/х + Зу.
14.21	а)
в)
14.22	* а)
в)
14.23	а)
в)
14.24	* а)
в)
14.25	* а)
д/х - t/ + 3 = 2
д/i/ - х + 10 = у +1;
д/2г/ — х + х + у — 3
д/б^ - х + х = 3;
log3 ХУ = 1о£з -
х2 - Зху = у2 - 1;
logs = logs
х2 + ху = у2 - 19;
3iog8(x- у) _ 1
log3(2x - у) + log3 у = 1;
3Х2 - ву = ду.
2i+ iog2(x+i/) _ 24
21og0>5 у - log0t5 х = -1;
^2х - Зу = 1
д/2е/ — Зх +10 = у - 2;
| д/Зг/ — х + х + у = 2
[ д/8г/ - х + х = 2.
~ log4 ху = log4 -
б)	У
х2 - Зу = у2 - Зх;
log6 XI/3 = log6 -
г) '	У
[4х2 - 1 = 2ху + у2.
{2log2 (х- у) _ |
log2(2x - у) + log2 у = 1;
( 2Х2 + ху = 1
г) 1
\2\og2y = log2 (х + 6).
б) fo,21 + log°’2(!z’x)= 0,8
|log2i/- 21og2x= -1.
344
14.26* a)
б)
31 + log3(x - 2y) _ g
log3(x- 2y) + log3(x + 2y) = 1 + 21og3 5;
gl + log5 (2x + y) _ 25
log5 (2x - y) + log5(2x + y) = 1 + 21og5 3.
14.3. Метод замены неизвестных
В некоторых случаях с введением новых неизвестных система
сводится к системе, которую можно решить изложенными выше ме-
тодами. Метод замены неизвестных основан на следующем утверж-
дении, которое мы приведем только для систем двух уравнений
с двумя неизвестными.
8. Пусть дана система уравнений
(/Ч«(х; у), Р (х; г/)) = О
|£(а(х; у), р(х; у))= О
и пусть система
I f(u; v) = О
[g(u; и) = О
имеет k различных решений: (иг; v^, (п2; и2), ..., (uk; vk). Тогда
множество решений системы (1) есть объединение всех решений
каждой из k систем: J	•	- *	’ .
|a(x;i/)=uj	|a(x;i/)=u2 ta(x;y)=uk
IP (x; y)=	|P(x; y) — p2, ..., 1 p (x; y) = vk.
ПРИМЕР 1. Решим
систему уравнений
З^х + у = log3 9х
< о4/---- 1	27
2у1х + у = log3 —.
Сделаем замену неизвестных: и = ^]х + у, p = log3x. Так
27
log39x = 2 + log3x, log3 — = 3 — log3x, то получим систему
X
|3и = 2 + v
I 2и = 3 - и.
(2)
как
Эта система имеет единственное решение и = 1, v = 1. Поэтому
на основании утверждения 8 система (2) равносильна системе
J log3 х = 1
[^/х + у = 1.
(3)
345
Системы уравнений с несколькими неизвестными
Система (3), а значит, и система (2) имеют по единственному ре-
шению (3; —2).
Ответ. (3; -2).
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений
4 X	(4)
З2 - 2 2 = 7.
х	у2
Сделав замену неизвестных: и = З2, v = 2 2 , получим систему
уравнений
(и2-и2=77	((и — и)(и + и) = 77 (и + и=11 (и = 9
I и - v = 7 I и - v = 7	I u — v — 7 I v = 2.
По утверждению 8 система (4) равносильна системе
У
2 2 = 2.
и
Система (5), а значит, и система (4) имеют по два решения: (4; у/2)
(4; -V2).
Ответ. (4; V2); (4; —V2).
ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений
Сделав замену неизвестных: и = у2 - у, v = х2 — х, получим сис-
тему уравнений
(7)
Вычтя из второго уравнения первое, получим систему
{v2 - v = и
и2 - и2 = О,
равносильную системе (7). Из второго уравнения следует, что либо
v = и, либо v = — и. Следовательно, множество всех решений систе-
мы (7) есть объединение множеств решений двух систем:
v2 — v = и
v — и
и2 - v = -v
v = -и.
и
Первая система имеет два решения: щ = 0,	= 0 и и2 = 2,
и2 = 2, а вторая — одно решение: и3 = 0, v3 = 0. Это означает, что
346
система (7) имеет два решения: = 0,	= О и и2 = 2, и2 = 2. Для
отыскания всех решений системы (6) надо объединить все решения
двух систем
Это будут пары (-1; -1), (-1; 2), (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1), (2; -1),
(2; 2).
Ответ. (-1; -1), (-1; 2), (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1), (2; -1), (2; 2).
ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений
14 sin у - 6\ 2 cos х = 5 + 4 cos2 у
I cos 2х = 0.
(8)
Обозначим cosx через u, a sint/ через v. Тогда
cos2x = 2cos2x — 1 = 2uz — 1, cos2t/ = 1 — sin2t/ = 1 — v
и систему (8) можно переписать в виде
2
2и2 - 1 = 0.
(9)
Из второго уравнения этой системы находим их =
V2	V2
в первое уравнение системы (9), получаем
2
з
уравнение 4и2 + 4и - 15 = 0. Это уравнение имеет два корня: ^ = —,
Подставляя их =
5 гч
v2 =	. Это значит, что пары чисел
2
2	2
являются ре-
шениями системы (9).
Подставляя и2 = —
в первое уравнение, получаем уравнение
= 0. Это уравнение имеет два корня: v3 = —
3
2/
Множество решений системы (8) есть объединение множеств ре-
шений следующих четырех систем уравнений:
Значит, система (9) имеет еще два решения:
2
cosx =
cosx =
cos х = -
1
cos х =-----
3
smt/ =
25
siny = --
sint/ =
3
Sint/ =----
347
Системы уравнений с несколькими неизвестными
m	3	5
Так как числа —, —
2	2
3
2
не принадлежат области значений
функции sini/, то первая, вторая и четвертая из этих систем урав-
нений не имеют решений. Следовательно, множество решений сис-
темы уравнений (8) совпадает с множеством решений третьей систе-
мы, откуда следует, что система (8) имеет решения х = ±-F 2лп,
4
71
п е Z; у = (-1)т — + пт, т е Z.
( ч
Ответ. I ± — + 2лп; (—1)т— + пт
4	6
14.27
14.28
14.29
14.30
14.31
14.32
14.33
п е Z; т е Z,
Решите систему уравнений (14.27—14.37):
а)
а)
в)
а)
а)
[ху + х - у = 13
[ху - Х + у = 7;
(ху2= 12
(х + у2 = 7;
а)
б)
^2х - 1 + Vj/ + 3 = 3
2ху - у + 6х - 3 = 4;
г)
х2 - у = 23
х2у — 50;
ху (х + у) = 30
х3 + у3 = 35.
'	2	3	_ 1
2х - у х — 2у 2
2_______1	_ J_
2х — у х — 2у 18 *
f д/бх- 6 + ^1/ + 6 = 5
(5x1/ - бу + ЗОх = 72.
15	2	_ 10
у[х + 8 y/бу + 1
ю	+ 6	= 3.
yjx + 8 y/бу + 1
42у + 32х _ 82
3х - 4У = 8;
+ -^-=5
+ 1
+ -™-=3
л14У + 1
25
23.
. (J2y + 712ctgx = 4
[V8z/ - V27 ctgx = 1;
348
14.34* a)
14.35* a)
14.36* a)
14.37* (
I ?/x3 + x* 2i/ - xy2 — i/3 =12.
14.4*\ Рассуждения с числовыми значениями
при решении систем уравнений
При решении систем уравнений с несколькими неизвестными
часто бывает трудно следить за равносильностью преобразований
уравнений системы. В таких случаях помогают рассуждения с чи-
словыми значениями. При этом иногда используют такие же свойст-
ва (неотрицательность, ограниченность и т. п.), как и при решении
уравнений с одним неизвестным методами с использованием свойств
функций.
ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений
|х2у2 - 2х + у2 = О
[2х2 - 4х + 3 + у3 = 0.
Пусть пара чисел (х0; z/0) есть решение системы (1), т. е. пусть
справедливы числовые равенства
Xq у1 - 2х0 + уд = 0	(2)
и
2xq — 4х0 + 3 + у3 = 0.	(3)
Запишем равенство (2) в виде
2
Уо = гг<
(4)
Из справедливости неравенства (1 — х0)2 > 0 следует справедли-
2хл ч __
вость неравенства---1. Учитывая это неравенство, из равенст-
1+ *о
ва (4) заключаем, что уд 1, т. е. что | у01	1.
349
Системы уравнен nit <• несколькими иси.ткестпымн
Запишем теперь равенство (3) в виде
2(х0 - I)2 + 1 + у3 = О.
(5)
Так как |г/0| С 1, то 1 +	> 1 - | г/013 > 0. Теперь очевидно, что
левая часть равенства (5) есть сумма двух неотрицательных чисел
2(х0 - I)2 и 1 + уц> но их сумма равна нулю лишь тогда, когда каж-
дое из этих чисел равно нулю, т. е. для х0 = 1 и yQ = -1.
Итак, показано, что если система (1) имеет решения, то это мо-
жет быть только пара чисел (1; -1). Проверкой легко установить,
что эта пара чисел обращает каждое из уравнений системы (1) в вер-
ное равенство. Следовательно, система (1) имеет единственное реше-
ние (1; -1).
Ответ. (1; —1).
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений
t/3 - 9х2 + 27х - 27 = 0
< z3-9y2 + 27y-27 = 0
х3 - 9z2 + 27z - 27 = 0.
(6)
Пусть тройка чисел (х0; yQ; z0) есть решение системы (6), т. е.
пусть справедливы числовые равенства
Уо = 9х2 - 27х^ + 27,
z03 = 9у2 - 27i/0 + 27,	(7)
х3 = 9z2 - 27zq + 27.
+ — > 0 для любого числа t, то из
Поскольку t2 — 3£ + 3 = I £ — —
равенств (7) следует, что у$ > 0, z% > 0, Xq > 0, т. е. что yQ > 0, z0> 0,
х0 > 0. Складывая равенства (7), получим, что справедливо равенство
(х0 - З)3 + (1/0 - З)3 + (г0 - З)3 = 0.	(8)
Сначала рассмотрим случай, когда х0 3. Тогда из последнего
равенства (7) получим, что Zq — 3z0 0, откуда, учитывая, что
z0 > 0, получим, что z0 3. Теперь из второго равенства (7), рассуж-
дая аналогично, получим, что г/0 > 3.
Итак, в рассматриваемом случае х0 5* 3, у0 > 3, z0 3.
Таким образом, левая часть равенства (8) есть сумма трех неот-
рицательных чисел, поэтому равенство (8) возможно лишь тогда, ко-
гда каждое из этих чисел равно нулю, т. е. лишь для х0 = у о =	= 3.
Если же х0 < 3, то, рассуждая, как выше, получим, что у0 < 3
и г0 < 3. Но тогда в равенстве (8) слева сумма трех отрицательных
чисел, а справа нуль, что невозможно.
Итак, если система (6) имеет решение (х0; у0; z0)f то это может
быть только в случае х0 = yQ = Zq = 3. Проверка показывает, что эта
^350__________________________________________
тройка чисел обращает каждое уравнение системы в верное равенст-
во. Следовательно, система (6) имеет единственное решение (3; 3; 3).
Ответ. (3; 3; 3).
ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений
у + z - (3 - х)3
(2z-i/)(i/ + 2)= 9 + 4</
х2 + (л/zj4 = 4х.
(9)
Пусть тройка чисел (х0; у& z0) есть решение системы (9), т. е.
пусть справедливы числовые равенства
Уо + 2о = (3 - ХО)3, (2z0 - у0)(у0 + 2) = 9 + 4г/0, х§ +	= 4х0. (10)
Перепишем третье из равенств (10) в виде
(х0-2)2 = 4-(7^)4,	(И)
откуда следует, что
z0 > 0 и 4 -	0.
Перепишем второе из равенств (10) в виде
(Уо ~ 2о+ З)2 = 2% - 2г0,
откуда следует, что
- 2z0 0.
(12)
(13)
(14)
Неравенствам (12) и (14) удовлетворяют только два числа: z0 = 0
и Zq = 2. Если zQ = 2, то из равенств (11) и (13) найдем, что х0 = 2
и у0 = —1. Если zQ — 0, то из равенства (13) найдем, что у0 = -3, а из
равенства (11), что х0 = 0 или х0 = 4.
Итак, если система (9) имеет решения, то они содержатся толь-
ко среди трех троек чисел: (2; —1; 2), (4; —3; 0), (0; -3; 0). Проверка
показывает, что первая и вторая тройки чисел обращают каждое
уравнение системы (9) в верное равенство, а последняя тройка чисел
не удовлетворяет уже первому уравнению системы (9). Следователь-
но, система (9) имеет два решения: (2; -1; 2), (4; —3; 0).
Ответ. (2; -1; 2), (4; -3; 0).
Отметим, что рассуждения с числовыми значениями позволяют
перейти от данной системы к более простой, являющейся ее следст-
вием.
ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений
I (1 + 2 log 2) • logx+ „хг/ = 1
1х - у = 1.
(15)
351
Системы уравнений с несколькими неизвестными
Пусть пара чисел (х0; у0) есть решение системы (15), т. е. пусть
справедливы числовые равенства
(1 + 2 log X()i/0 2)  log Хо + хоуо
хо-Уо= 1.
(16)
(17)
Из справедливости равенства (16) следует, что имеют смысл вы-
ражения logX()yo 2 и log Хо + хоуо, но тогда числа х0 и у0 удовлетворя-
ют условиям xoyQ > 0, хог/о * 1, х0 + у0 > 0, х0 + у0 Ф 1.
Для таких чисел х0 и у§ справедливо равенство
logx°+уо хог/о = 1	(Хо + Уо).
и поэтому равенство (16) можно переписать в виде
1ойад„ 4хоУо = 1о£х0й)	+ У0)>
откуда следует, что
4хог/о = х0 + у0.	(18)
Из равенств (17) и (18) следует, что каждое решение системы
уравнений (15) является решением системы уравнений
(19)
т. е. система (19) является следствием системы (15).
Система (19) имеет два решения (хх; г/г), (х2; z/2), гДе
Следовательно, все решения системы (15), если они есть, содер-
m	1- Тб Л
жатся среди этих пар чисел. Так как х2 + у2 = —-— < О, то пара чи-
сел (х2; у2) не удовлетворяет первому уравнению системы (15). Про-
верка показывает, что пара чисел (хх; у^ удовлетворяет каждому
уравнению системы (15). Следовательно, система (15) имеет единст-
венное решение (хх; уг).
Ответ.
-1 + 75^
ПРИМЕР 5. Решим систему уравнений
^(logx у)2 +1
х
х
logx2.
(20)
1 +
Й352
Пусть пара чисел (х0; у0) есть решение системы (20), т. е. пусть
справедливы числовые равенства
1 + |log*o уо
Уо
х0
1 ^^Xq
е/0)2 + 1
9
1°ёх0 2-
(21)
(22)
Так как мы предположили, что имеют смысл выражения
logx0Z/o и 1°ёх0
то это означает,
что
*о > 0» Уо > 0» хо * 1» &Уо
.2
о-
(23)
Но при условиях (23) для чисел х0 и у0 равенства (21) и (22)
можно записать в виде
logX0 »о (1 + | logxo »0 ’	? (logxn У о > 2 + 1
х0	=ХО	•	(24)
logxo (-х0 + 3Уо) = logxo 2 	(25)
Так как число х0> 0 и х0* 1, то из равенств (24) и (25) следует
справедливость равенств
logX0 уо = 1>	(26)
+ Зр0 = 2.	(27)
Из справедливости равенства (26) следует справедливость равенства
*о = Уо-
(28)
Из равенств (28) и (27) следует, что каждое решение системы
уравнений (20) является решением системы уравнений
3i/= 2,
(29)
т. е. система (29) является следствием системы (20). Система (29)
имеет два решения (хх, yj, (х2; у2), где хг = уг = 2 и х2 = у2 = 1.
Следовательно, все решения системы (20), если они есть, содер-
жатся среди этих пар чисел. Так как х2 = 1, то пара чисел (1; 1) не
удовлетворяет ни одному из уравнений системы (20). Проверка по-
казывает, что пара чисел (2; 2) удовлетворяет каждому уравнению
системы (20). Следовательно, система (20) имеет единственное реше-
ние (2; 2).
Ответ. (2; 2).
Иногда бывают системы, в которых число уравнений меньше
числа неизвестных. В таких случаях обычно структура уравнения
скрывает какие-либо дополнительные ограничения на неизвестные,
которые и позволяют решить эту систему уравнений.
Системы уравнений с несколькими неизвестными
ПРИМЕР 6. Решим систему уравнений
{8 cos xcos у cos (х — у) + 1 = О
z = х + у.
(30)
Пусть тройка чисел (х0; z/0; г0) есть решение системы (30), т. е.
пусть справедливы равенства
8cosx0 cosz/o cos(x0 - z/0) + 1 = 0, 20 = x0 + z/0.	(31)
Применяя формулу 2 cos a cos P = cos (a + P) + cos (a — P), полу-
чим, что тогда справедливы и равенства
8 cos х0 cos у о cos (х0 - z/0) + 1 =
= 4 cos2 (х0 - z/0) + 4 cos (x0 - y0) cos (x0 + y0) + 1 =
= (2cos(x0 - z/0) + cos(x0 + z/o))2 + (1 - cos2 (x0 + z/0)) =
= (2cos(x0 - z/0) + cos (x0 + z/o»2 + Sin2(xo + y0).
Поэтому равенства (31) можно переписать в виде
(2cos(x0 - уq) + cos (х0 + z/0))2 + sin2(x0 + z/0) = 0, z0 = x0 + z/0,
откуда следует, что рассматриваемая тройка чисел (х0; z/0; г0) одно-
временно удовлетворяет равенствам
2 cos (х0 - z/0) + cos (х0 + z/0) = 0,
sin2(x0 + z/0) = 0,
го = хо + Уо’
(32)
(33)
(34)
Из равенства (33) получаем, что числа х0 и yQ удовлетворяют
условию х0 + у0 = nk, keZ. Но тогда, подставляя
yQ = nk - х0, k g Z
в левую часть равенства (32), получим, что она равна
2cos(2x0 - kit) + cos&k = (~l)*(2cos2x0 + 1).
Поэтому равенство (32) означает, что cos2x0=-—,
± —ь ли, п е Z.
3
(35)
т. е. что
Подставляя эти значения х0 в равенство (35), а затем в равенст-
во (34), получим, что любое решение системы уравнений (30) содер-
жится среди троек чисел
или
12 “Никольский, 11 КЛ,
354
Проверка показывает, что все эти тройки чисел удовлетворяют
системе уравнений (30). Следовательно, все они являются ее реше-
ниями .
Ответ. — + ли; + л (k - п); nk ,	+ пт; ^- + п (k — т); nk I,
\3	3	/13	3	/
п е Z, т е Z, k е Z.
Решите систему уравнений (14.38—14.45):
2
14.38
2
5
12х- 8 = 0
14.39
2
2
14.40
а)
185
(х2 + ху + 2у2)у)х2 + у2 = 145
(2х2 - ху + у2)у/х2 + у2 = 230;
(Зх2 4- 2ху + у2)у]х2 + у2 = 6л/2
(х2 - 2ху 4- Зу2)у1х2 4- у2 = 2у[2;
г)
(х 4- у) л/х2 4- I/2 =221
(х-у)у1х2 +у2 = 91.
14.41
а)
21ogi_ х (-ху - 2х 4- у 4- 2) 4- log2 +
logi-х (у + 5) - 1о^2+ У (х + 4) =
(х2 - 2х 4-1) = 6
*
flog1 + x(z/2- 2у 4"l)4-log1_ у(х2 4-2x4-1)= 4
I log! + х ^2У + !)+ 1о£1- У <2х + !) = 2;
121og3+ х (ху 4- X 4- Зу 4- 3) 4- log1 + у (х2 4- 6х 4- 9) = 6
В) log3+ X (0,5 - у) + logl + у (Зх + 8) = 1.
355
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
14.44
14.43
Iogx 4.
а)
tg2x + ctg2x = 2 sin2 у
sin2// + cos2z = 1;
14.45
3 + 2cos(x - у) Г ~	7 9 x - у . 9 x - у
--------  — = J3 + 2x- x2 cos2 - 4- sin2 -
2	y	2	2
z2 + 2x2 - 2z - 1 - 4(x - 1).
§ 15*. Уравнения, неравенства и системы
с параметрами
Задачи с параметрами нередки в школьном курсе математики.
Так, например, задача решить (относительно х) квадратное уравне-
ние общего вида ах2 + Ьх + с = 0 является примером задачи с тремя
параметрами а, Ъ и с. В этом случае говорят, что надо решить урав-
нение с параметрами а, Ъ и с.
Задача решить (относительно х) линейное неравенство общего
вида ах + Ъ > 0 является примером задачи с двумя параметрами а
и Ь. В этом случае говорят, что надо решить неравенство с парамет-
рами а и Ь.
Задача решить (относительно х и у) систему уравнений
Г ~2 . ,.2 _ 1
является примером задачи с одним параметром а. В этом случае го-
ворят, что надо решить систему уравнений с параметром а.
В данном параграфе рассматриваются уравнения, неравенства
и системы с одним параметром.
15.1*. Уравнения с параметром
Решить уравнение с параметром — значит для каждого значе-
ния параметра найти множество всех корней данного уравнения (это
множество может быть и пустым).
Основной принцип решения уравнения с параметром можно
сформулировать так: необходимо разбить область изменения пара-
метра на участки, такие, что при изменении параметра на каждом
356
из них получающиеся уравнения можно решить одним и тем же ме-
тодом. Отдельно для каждого участка находятся корни уравнения,
выраженные через значения параметра. Используемые для этого
приемы в точности таковы, как и при решении уравнений с число-
выми коэффициентами. Поскольку каждый из методов представля-
ет собой последовательность определенных действий, которые могут
выполняться по-разному в зависимости от значений параметра, то
выбранные первоначально участки его изменения в процессе реше-
ния могут дробиться, с тем чтобы на каждом из них рассуждения
проводились единообразно. Ответ задачи состоит из списка участков
изменения параметра с указанием для каждого участка всех корней
уравнения. Сложность задач с параметром заключается в том, что,
как правило, вместе с изменением параметра меняются не только
коэффициенты, но и ряд других характеристик, связанных с пара-
метром. Обычно это приводит к тому, что при разных значениях па-
раметра приходится использовать различные методы решения.
ПРИМЕР 1. Для каждого значения параметра а решим урав-
нение
(а + 1)х = а2 - 1.	(1)
Рассмотрим два случая: а = -1 и а Ф -1.
Пусть а = -1, тогда уравнение (1) имеет вид О • х = 0. Этому
уравнению удовлетворяет любое действительное число.
Пусть а Ф -1, тогда уравнение (1) является уравнением первой
степени и его единственное решение, так как а + 10, есть
х0 = а - 1.
Ответ. Для а — -1 любое число есть корень; для каждого а Ф -1
единственный корень: х0 = а — 1.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение с параметром а
(2)
Многочлен х2 + 1 положителен при любом х. Поэтому для каж-
дого значения параметра а уравнение (2) равносильно уравнению
х + 1 = а(х2 4-1), или уравнению
ах2 - х + а-1 = 0.
(3)
Если а = 0, то уравнение (3) становится линейным: —х —1 = 0 —
и имеет единственный корень х0 = -1.
При а Ф 0 уравнение (3) есть квадратное уравнение, и в зависи-
мости от знака дискриминанта £)= 1 + 4а - 4а2 оно имеет решения
или не имеет их. Для всех значений а, удовлетворяющих неравенству
D = 1 + 4а - 4п2 < 0,	(4)
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
уравнение (3) решений не имеет. Множество чисел а, удовлетворяю-
щих неравенству (4), состоит из двух промежутков:
2
и
Если а =
или а =
то дискриминант D равен нулю и
уравнение (3) имеет единственный корень х0 = —
Для каждого значения а
из промежутков
0;
справедливо неравенство D > 0, и уравнение (3) имеет два
корня: хх =
Ответ. Для каждого а g
для а = —-— или а —
2
корней нет;
единственный корень х0 = —-; для а = 0
единственный корень х0 = -1; для каждого a g
два корня: хх =
1- 4d
----- ИХ2 =
4а — 4а2.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение
с параметром а
2ах + 3
(5)
Перепишем уравнение (5) в виде
2ах + 3
(6)
Пусть а = 0, тогда уравнение (6) принимает вид
0 и не
имеет решении.
Пусть а * 0. Сначала решим уравнение 2ах + 4 - а = 0.
г\	~	а ~ 4 т>
Оно имеет единственный корень х0 =----. Выясним, при
2а
значениях а число х0 обращает в нуль знаменатель дроби в уравне-
нии (6), т. е. найдем, для каких а справедливо равенство
2ах0 + 3 = 0.
каких
—; о
2
и
2
U
2
; 0 U 0;
2
(7)
358
Равенство (7) справедливо только для а = 1. Следовательно, при
а = 1 число х0 не является корнем уравнения (6).
При а * 0 и а 1 уравнение (6) имеет единственный корень х0.
Ответ. Для а = 0 и а — 1 корней нет; для каждого а 0 и а Ф 1
а — 4
единственный корень х0 = ———.
ПРИМЕР 4. Для каждого значения параметра а решим урав-
нение
7х - а = ^2х -1 +а.	(8)
При каждом значении параметра а уравнение
х-а = 2х-1 + а
(9)
будет следствием уравнения (8). Осталось выяснить, при каких усло-
виях для параметра а единственное решение х0 = 1 — 2а уравнения
(9) будет решением уравнения (8).
Подставляя х0 = 1 - 2а в обе части уравнения (8), находим, что
его левая часть равна ^/(1 — 2а) — а = 71- За, правая часть равна
72(1- 2а)- 1 + а = За. Конечно же, было бы неправильным за-
ключить в этот момент, что х0 = 1 - 2а будет решением уравне-
- 1
ния (8) при каждом значении параметра а. Ведь при а > — выраже-
О
ние 1 — За, стоящее под корнем, будет отрицательным. Это значит,
что при каждом а
— найденный корень х0 = 1 - 2а уравнения (9)
3
уравнения (8). При каждом а - выражение
не является корнем
г/1 - За имеет смысл, поэтому число х0 = 1 — 2а будет корнем уравне-
ния (8) при каждом таком значении параметра а.
Ответ. Для каждого а ~ единственное решение х0 = 1 - 2а; для
каждого а > - решении нет.
ПРИМЕР 5. Выясним, сколько действительных корней для каж-
дого значения параметра а имеет уравнение
2х3 - Зх2 - 12х = а.
(Ю)
Рассмотрим функцию /(х) = 2х3 — Зх2 — 12х. Она непрерывна и
имеет производную на интервале (-оо; +оо). Найдем точки локально-
го максимума и локального минимума этой функции, для этого сна-
чала найдем производную функции /(х):
f'(x) = 6х2 - 6х - 12
gg 359
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
fW +
f(х)
max min
 Рис. 177
О на интервале
'и приравняем ее к нулю:
6х2 - 6х - 12 = 0.	(11)
Уравнение (11) имеет два корня:
хх = — 1 и х2 = 2. Так как функция /(х)
непрерывна на интервале (—оо; +оо) и
f'(x) > 0 на интервалах (-оо; -1) и (2; +оо), /'(х)
(-1; 2) (рис. 177), то точка хх = -1 есть точка локального максимума
а х2 = 2 — точка локального минимума функции f(x).
Найдем /(—1) — 7, /(2) — — 20, lim/(x) = lim х3| 2———	=+о<
X—>+оо	х-*+оо у X Xd J
и lim f (х) = -оо.
X —> —оо
Используя все написанное выше, получим, что схематический
график функции у — /(х) будет таким,
Функция у = f (х) на промежутке
(-оо; -1] возрастает, принимая все
значения от —оо до 7 только один раз,
на промежутке [-1; 2] убывает, при-
нимая все значения от 7 до -20 толь-
ко один раз, а на промежутке [2; +оо)
возрастает, принимая все значения
от -20 до +оо только один раз. По-
этому:
1)	если а < -20 или а > 7, то пря-
мая у = а пересекает график функции
у = /(х) только в одной точке;
2)	если а = 7 или а = —20, то пря-
мая у = а пересекает график функции
У — f(x) только в двух точках;
3)	если —20 < а < 7, то прямая
у = а пересекает график функции
как на рисунке 178.
Ук
/(х) = 2х3-Зх2-12х
 Рис. 178
у = f(x) только в трех точках.
Следовательно, уравнение (10) имеет единственный действи-
тельный корень при а g (-оо; -20) U (7; +оо); только два действитель-
ных корня при а — 7 и при а — -20; только три действительных кор-
ня при а g (-20; 7).
Ответ. Для каждого a g (—оо; —20) U (7; +оо) единственный дейст-
вительный корень; для а = 7 и для а = -20 два действительных кор-
ня; для каждого a g (—20; 7) три действительных корня.
Для каждого значения параметра а решите
(15.1—15.8):
15.1 а) (а - 2)х = а2 - 4;	б) (а + 2)х = а2 - 4;
в) (а + 3)х = а2 - 9;	г) (а - 4)х = а2 - 16.
уравнение
360
15.6
15.7
15.8
15.9
15.2
a) Jx2 - 6x - a = x - 3;
Для каждого значения
ней имеет уравнение:
а) х3 — Зх2 + а = О; б)
параметра а определите, сколько кор-
х4 — 2х2 + а = 0.
15.2*. Неравенства с параметром
Решить неравенство с параметром — значит для каждого зна-
чения параметра найти множество всех решений данного неравенст-
ва (это множество может быть и пустым).
При решении неравенств с параметром используются те же сооб-
ражения, что и при решении уравнений с параметром.
ПРИМЕР 1. Для каждого значения параметра а решим нера-
венство
ах2 < 1.	(1)
Рассмотрим три случая: а = 0, а > 0 и а < 0.
При а = 0 неравенство (1) превращается в неравенство 0 • х2 < 1,
верное при любом действительном х.
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
При а > О неравенство (1) равносильно неравенству х2
все
решения которого составляют промежуток
При а < 0 неравенство (1) равносильно неравенству х2
спра-
ведливому при любом действительном х.
Ответ. Для каждого а С О любое х е Я; для каждого а > О любое
ПРИМЕР 2. Для каждого значения параметра а найдем все ре-
шения неравенства
(2)
Дискриминант квадратного неравенства (2) D = а2 - 4.
Рассмотрим три случая: D < О, D = О, D > О.
При каждом а е (—2; 2) дискриминант D < О, поэтому решением
неравенства (2) является любое действительное число.
При а = 2 и при а = — 2 дискриминант D = О, поэтому решением
неравенства (2) является любое действительное число.
При каждом а е (-оо; -2) U (2; +оо) дискриминант D > О, поэтому
множество решений неравенства (2) имеет вид (—оо; xj U [х2; +оо),
где Xj =
Ответ. Для каждого а е [—2; 2] любое х е R; для каждого
а е (-оо; -2) U (2; +оо) любое хе -оо;
ПРИМЕР 3. Решим неравенство с параметром а
logfl(7-x)>21ogfl(x-l).	(3)
По определению логарифма при а = 1 и каждом а С О не имеют
смысла обе части неравенства (3), поэтому при каждом из этих зна-
чений а неравенство (3) не имеет решений. Остается рассмотреть все
возможные значения параметра а из двух промежутков: О < а < 1
и а > 1.
При каждом значении а из этих промежутков обе части нера-
венства (3) имеют смысл только на интервале (1; 7) и на этом интер-
вале неравенство (3) равносильно неравенству
loga (7 - х) > loga (х - I)2.	(4)
Если О < а < 1, то функция у = loga t убывает на своей области
определения и на интервале (1; 7) неравенство (4) равносильно не-
равенству 7 - х < (х - I)2, т. е. неравенству х2 — х — 6 > О. Множест-
362
во всех решений последнего неравенства есть множество (—оо; —2) U
U (3; +оо). Из этих чисел интервалу (1; 7) принадлежат лишь числа
из интервала (3; 7). Эти числа и составляют множество решений не-
равенства (4) при 0 < а < 1.
Если а > 1, то функция y = \ogat возрастает на своей области
определения. Поэтому неравенство (4) равносильно на интервале
(1; 7) неравенству 7 - х > (х — I)2, т. е. неравенству х2 — х — 6 < О.
Множество всех решений последнего неравенства есть интервал
(-2; 3). Из этих чисел интервалу (1; 7) принадлежат лишь числа из
интервала (1; 3). Эти числа и составляют множество решений нера-
венства (4) при а > 1.
Ответ. Для а = 1 и для каждого а 0 нет решений; для каждого
О < а < 1 любое х е (3; 7); для каждого а > 1 любое х е. (1; 3).
Для каждого значения параметра а решите неравенство
15.10
15.11
(15.10—15.23):
а) (а — 1)х > а2 - 1;
в) (а + 3)х > а2 — 9;
а2 — 4;
а2 — 16.
15.12
15.15
15.16
15.17
15.18
а) ах2 < 4;
в) ах2 < -9;
б) (а + 2) х >
г) (а — 4) х <
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
а(х2 — х) > 0; б)
а(х2 + х) > 0; г)
ах2 - х < 0; б)
ах2 + х 0; г)
х2 + ах + 4 > 0; б)
х2 — ах + 4 > 0; г)
х2 + (а + 1)х + а > 0;
х2 + (а - 3)х - За > 0;
а (х2 - х) 0;
а (х2 + х) < 0.
ах2 — х > 0;
ах2 + х 0.
х2 + ах + 9 < 0;
х2 — ах + 9 0.
б) х2 + (а + 2) х + 2а < 0;
г) х2 + (а - 4)х - 4а < 0.
б)
х2 - а2
в)
а)
<0;
а) (х - а) Vx - 1 > 0;
в) (х - 3) ух - а > 0;
б) (х — а) Vx — 2	0;
г) (х - 4) 4х-а 0.
15.19
в)
363
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
л
15.20
15.21
15.22
15.23
а)
в)
а)
в)
а)
в)
а)
в)
б) Ух 4- а
г) л/х - а
> 713-х;
л/ЗЗ - х.
log2(x - а) > log2(13 - х);
log4 (х - а) log4 (9 - х);
loga(x - 2) > loga(13 - х);
loga(4 - х) > loga(3x - 15);
loga (х - 1) > 2 loga (3 - х);
loga(7 - х) > 21oga(x - 5);
15.3*.
Системы уравнений с
6) log3(x - a) > log3(ll - x);
r) log5(x - a) log5(7 - x).
6) loga (x - 3) > loga (15 — 2x);
r) loga (5 - x) > loga (4x - 35).
6) loga (x - 3) 2 loga (5 - x);
r) loga(13-x) > 21oga(x-1).
параметром
Решить систему уравнений с параметром — значит для каждо-
го значения параметра найти множество всех решений данной систе-
мы (это множество может быть и пустым).
ПРИМЕР 1. Для каждого значения параметра а решим систему
уравнений
(1)
Из первого уравнения системы (1) находим, что у =---
Подставляя у =--------вместо у во второе уравнение системы, по-
лучаем, что для каждого значения параметра а система (1) равно-
сильна системе
(2)
где d — лю-
Если a = О, то система (2) несовместна, так как второе уравнение
этой системы запишется в виде 0 • х = —6. Если а = 3, то система (2)
Л 5" ’
имеет бесконечно много решении вида х = d, у =---
2
бое число.
Если а Ф 0 и а & 3, то система (2) имеет единственное решение
Ответ. Для каждого а 0 и а & 3 единственное решение
; 0
для а = 3 бесконечно много решений вида d;
, где
d е R; для а — 0 нет решений.
fi364
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений с параметром а
(„2 . „2 _ Л2
(3)
Из второго уравнения системы (3) находим, что у = 1 — х. Под-
ставляя 1 — х вместо у в первое уравнение, получаем квадратное
уравнение 2х* 2 * * * - 2х + 1 - а2 = О, которое:
а)	не имеет корней, если его дискриминант D = 8а2 — 4 < О, т. е.
। V2
если а < —;
2 1
б)	имеет один корень Xj = —
если D = 0, т. е. если | а | =
ч	2 — 4d 2 + 4d
в) имеет два корня: хх =
2
4
4
если | a |
Следовательно, если | a |
если
—, то система (3) не имеет решений;
2
то система (3) имеет одно решение
если
то система имеет два решения:
и
Ответ. Для каждого | а |
— нет решении;
для
2
одно решение
для каждого
два решения:

и
ПРИМЕР 3. Для каждого значения параметра а решим систему
уравнений
(4)
Так как а2 + 1
I sinxcos2у — а*
[sin 2y cosx = a,
1 для любого значения a, a sinx cos2y 1 для
любых x и у, то система (4) имеет решения только в случае а = 0.
При а = 0 система (4) перепишется в виде
{sinxcos2i/ = 1
sin 2у cos х = 0.
(5)
365
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
Складывая и вычитая уравнения системы (5), получим, что она
равносильна системе
sin(x + 2у) = 1
sin(x - 2у) — 1.
(6)
Система (6) имеет решения х = — + л (k + л); у = — (k — п),
2	2
п е Z, Следовательно, все эти решения являются решениями
мы (4).
f тс	тс А
Ответ. Для а — 0 решения •— + л (/? + n); — (k - п) , k е Z,
систе-
для каждого а 0 нет решений.
ПРИМЕР 4. Для каждого значения параметра а решим систему
уравнений
у]х2 + у2 = х + у
(2х +1)2^ + 1 = а.
(7)
Возведя первое уравнение системы (7) в квадрат, получим, что
для каждого значения а система
Iх2 + у2 = (х + у)2
[(2х +1)2" + 1 = а	’
является следствием системы (7). Множество решений системы (8)
для каждого значения а есть объединение всех решений двух систем
х = О
(2х +1)2V+1 = а
(9)
*/ = 0
(2х +1)2У+1 = а.
(Ю)
Система (9) равносильна системе
х = 0
2</ + 2 = а.
(И)
Система (11) при каждом а 0
а > 0 имеет единственное решение:
не имеет решений, а при каждом
х = 0, у = log2a - 2. Система (10)
равносильна системе
У = 0
2Х + 1 =
а - 2.
(12)
Система (12) при каждом а 2 не имеет решений, а при каждом
а > 2 имеет единственное решение: х = log2(a — 2) — 1, у = 0.
Итак, система (8) при каждом а 0 не имеет решений; при каж-
дом а е (0; 2] имеет единственное решение (0; log2a — 2); при каж-
Й? 366
дом а > 2 имеет два решения: (О; log2a - 2) и (log2(a — 2) - 1; 0). Так
как система (8) есть следствие системы (7), то теперь надо прове-
рить, какие из найденных решений системы (8) являются решения-
ми системы (7).
Подставляя пару чисел (0; log2 а — 2) в первое уравнение систе-
мы (7), получаем, что равенство 7(log2a - 2)2 = log2 а - 2 справедли-
во лишь если log2a - 2 0, т. е. если а 4.
Подставляя пару чисел (log2 (а — 2) — 1; 0) в первое уравнение сис-
темы (7), получаем, что равенство 7(log2(a- 2)—I)2 = log2(а - 2) - 1
справедливо лишь в том случае, если log2 (а - 2) - 1	0, т. е. если
а 4.
Проверка показывает, что обе пары чисел при любом а > 4 удов-
летворяют второму уравнению системы (7), причем при а = 4 эти
пары чисел совпадают. Следовательно, система (7) при каждом а < 4
не имеет решений, при а = 4 имеет единственное решение (0; 0),
а при каждом а > 4 имеет два решения.
Ответ. Для каждого а < 4 нет решений; для а = 4 единствен-
ное решение
(, а — 2 Л
iog2 -5-; о
к
(0; 0), для каждого а
4 два решения:
0; log2-
и
Для каждого значения параметра а решите систему уравне-
ний (15.24—15.29):
15.24
15.25
а)
в)
а)
в)
(а - 1)у -
х + у — а;
(а - 1)1/ =
х - у — а;
а + 3
б)
(а + 1) у = а + 2
х + у = а;
(а +1) z/ = а + 4
х — у = а.
(а + 1)у = а2 -1
х + у = а\
(а + 1) у = а2 - 1
х - у = а.
15.26
15.27
15.28
(а - 1)у =
х + у = а;
(а - 1)у =
х — у = а;
г)
sin2xcosz/ = -а2 - 1
sin i/cos 2х = а;
{sin3xcos2i/ = -а2 - 1
sin 2у cos Зх = а + 1.
367
Уравнения, нсранеиетва и системы с параметрами
15,29
3 sin — + cos у = 4;
2
2
15.4", Задачи с условиями
В этом пункте рассматриваются задачи, в которых требуется
найти все значения параметра, при каждом из которых выполнено
некоторое условие.
ПРИМЕР 1. Найдем все значения параметра а, при
которых любое действительное число является корнем
(ах2 + 2) = 21og7 + 2а (5 -	- 2а).
каждом из
уравнения
Пусть число а удовлетворяет условию задачи. Тогда решениями
заданного уравнения будут все действительные числа. В
и число х = 1 является решением этого уравнения.
Значит, верно равенство loga + 2 (а + 2) = 2 log7 + 2а (5
т. е. равенство ^7 + 2а = 5 — у/б — 2а. Рассматривая это
как уравнение относительно а, находим его корни at = 1
Таким образом, все возможные значения а, удовлетворяющие усло-
вию задачи, содержатся среди этих чисел. Проверим, какие из них
действительно являются решениями задачи.
Подставляя a = 1 в исходное уравнение, получаем уравнение
(х2 + 2) = 2 logg 3, которому удовлетворяют все действитель-
частности
- ^6- 2а),
равенство
и а2 = -
3 2
— х^
2
log^
ные числа, так что a = 1 является решением задачи,
тт	3
При а = исходное уравнение имеет вид log L
2	*2
Этому уравнению, в частности, не удовлетворяет число х = О, так
3
что а = не является решением задачи.
Ответ, a = 1.
ПРИМЕР 2. Найдем все значения параметра а, при каждом из
которых неравенство
выполняется для всех х, принадлежащих отрезку [2; 4].
(1)
И 368
II. 	!»!<
Задача заключается в нахождении таких значений а, при каж-
дом из которых множество решений неравенства (1) содержит отре-
зок [2; 4]. Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого
надо нанести на ось Ох точки х = а и х — 8а, В зависимости от того,
каким может быть число а, эти точки будут по-разному располагать-
ся на оси Ох, а в зависимости от этого будут по-разному записывать-
ся и решения неравенства (1) (рис. 179, а, б),
х
Если а — О, то неравенство (1) перепишется в виде — < 0 и оно не
имеет решений.
Если а > О, то множество решений неравенства (1) есть интервал
а < х < 8а (см. рис. 179, а).
Если а < 0, то множество решений неравенства (1) есть интервал
8а < х < а (см. рис. 179, б).
а > О
а < О
а)
£ Рис. 179
В случае а < 0 неравенству (1) удовлетворяют только отрицатель-
ные числа. Поэтому ни одно из этих а не удовлетворяет условию зада-
чи. В случае а > 0 множество решений содержит отрезок 2 х < 4
только тогда, когда одновременно а < 2 и 8а > 4, т. е. если 0,5 < а < 2.
Ответ. Любое а е (0,5; 2).
ПРИМЕР 3. Найдем все значения параметра а, при каждом из
которых система уравнений
имеет единственное решение.
Пусть а — некоторое число, удовлетворяющее условию задачи,
и (х0; i/0) — решение данной системы уравнений при этом а. Очевид-
но, пара чисел (у0; х0) также будет решением системы. Так как ре-
шение единственное, то yQ = х0, и из первого уравнения получаем,
что либо х0 = у0 = — и тогда а, = — = 72, либо х0 = у0 = —— и то-
72	72	72
гда а2 = -72. Таким образом, все возможные значения а, удовлетво-
ряющие условию задачи, содержатся среди чисел аг = 72 и а2 = — V2.
Решая систему уравнений при а1 = 72 и а2 = -72, убеждаемся, что и
в том и в другом случае она не имеет решений, отличных от уже
указанных.
Ответ, а = 72, а = —72.
36$)
..
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
ПРИМЕР 4. Найдем все значения параметра а, при каждом из
которых равносильны уравнения
sin2x = i	(2)
28 sin2 х = 2а + 9 + (2а - 5) cos 4х.
(3)
Применяя формулу косинуса двойного угла, получаем:
cos 4х = 2 cos2 2х - 1 = 2 (1 - 2 sin2 х)2 -1 = 8 sin4 х - 8 sin2 х + 1.
Учитывая это равенство, уравнение (3) можно переписать в виде
2 (2а - 5) sin4 х - (4а - 3) sin2 х + (а + 1) = О.	(4)
5	5
Рассмотрим два случая: а — — и а -.
1) Если а = —, то уравнение (4) перепишется в виде -7 sin2 х 4- — = О
2	2
т. е. уравнения (2) и (3) совпадают.
5
2) Если а , то рассмотрим квадратное уравнение
2(2а - 5) z/2 - (4а - 3)^ + (а + 1) = О,
Следовательно, уравне-
которое имеет два корня: уг = — и у2 =
2
ние (4) равносильно совокупности двух уравнений
1	.9	а + 1
- и sin x = -----.
2	2а- 5
существует значения а, при котором
что, для того чтобы уравнения (2) и (3)
sin2 х =
Легко видеть, что не
1 а + 1
- = ----Отсюда следует,
2	— о
были равносильны, надо, чтобы уравнение sin2 х =
решений. А это возможно в двух случаях:
не имело
или
(5)
или
(6)
Неравенству (5) удовлетворяют все а, такие, что — 1 < а
5
равенству (6) — все а, такие, что —
5
6. Следовательно, уравне-
ния (2) и (3) равносильны для каждого а е
2
Объединяя случаи 1 и 2, получаем решение рассматриваемой за-
дачи: (-1; 6).
Ответ. Любое а е (-1; 6).
ПРИМЕР 5. Найдем все значения параметра а, при каждом из
которых система неравенств
Зх2 4- Юху — 5у2	—2
имеет хотя бы одно решение.
Пусть а0 есть то значение параметра, при котором система имеет
решение, и пусть (х0; z/0) — это ее решение. Тогда справедливы не-
равенства
-xg - 2x0z/0 + 7у$
3xg 4- 1Охог/о - 5г/
о
-4
Умножим первое неравенство на 2 и прибавим ко второму. По-
лучим, что справедливо неравенство х^ + 6х0г/0 + 9z/q С-----, т. е.
ао + 1
-4
Отсюда следует, что ------ > 0, т. е.
неравенство (х0 + Зу0)2
что а0 < -1.
Итак, все искомые значения параметра лежат в области а < — 1.
Докажем теперь, что для каждого а, удовлетворяющего нера-
венству а < -1, система имеет решение. Так как при каждом а < — 1
„	-	2
выполнено неравенство -1 > -14-----, то достаточно доказать, что
1 + а
система уравнений
х2 4- 2ху - Чу2 = -1
Зх2 4- Юху — 5у2 = —2
(7)
имеет решение, поскольку каждое решение системы уравнений (7)
будет также и решением исходной системы неравенств.
Решим теперь систему (7). Умножив первое уравнение на -2
и прибавив ко второму, получим уравнение (х 4- Зг/)2 = 0, откуда
х = -Зг/. Подставляя — Зу вместо х в любое из уравнений системы (7),
получаем одно и то же уравнение 4у2 = 1, которое имеет два корня:
л = |и
что обе
1 w	3
У2 = “р Но тогда хг = --
и х2 = —. Проверкой убеждаемся,
2
пары чисел
являются решениями систе-
мы (7), а значит, и исходной системы неравенств (при а < -1).
Ответ. Любое а < — 1.
£371
Уравнения* неравенства и системы с параметрами
ПРИМЕР 6. Найдем все значения параметра а, при каждом из
которых уравнение
4х - а - 2х + 1 - За2 4 4а = О
имеет единственный корень.
Так как множество значений функции у = 2х есть все у > О
и каждое из этих значений принимается только в единственной точ-
ке х, то задача эквивалентна следующей: найти все значения пара-
метра а, при каждом из которых уравнение у2 — 2ау — За2 + 4а — О
имеет единственный положительный корень. Квадратный трехчлен
/(г/) = у2 - 2ау - За2 + 4а имеет дискриминант D — 16а (а - 1).
При а = 0 соответствующее квадратное уравнение имеет единст-
венный корень у — 0, не принадлежащий множеству положитель-
ных чисел. Следовательно, а = 0 не удовлетворяет условию задачи.
При а = 1 дискриминант D также равен 0 и соответствующее
квадратное уравнение имеет единственный корень у = 1, являющий-
ся положительным числом. Так что значение а — 1 удовлетворяет
условию задачи.
Если выполнено условие D < 0, то квадратный трехчлен f (у) во-
обще не имеет действительных корней, так что среди таких значе-
ний параметра искомые значения не содержатся.
Если параметр а удовлетворяет условию D > 0, т. е. неравенству
а2 - а > 0, то квадратный трехчлен f(y) имеет два различных дейст-
вительных корня. Обозначим эти корни через уг и t/2. Рассмотрим
отдельно случай, когда среди этих корней есть равные нулю. Это воз-
можно лишь в случае —За2 + 4а = 0. Значение а = 0 уже рассмотрено
4
нами. В случае а = — квадратное уравнение f(y) = 0 имеет единствен-
О
ныи положительный корень у = —, так что значение а = — удовлетво-
ряет условию задачи.
Наконец, если квадратный трехчлен f(y) имеет ненулевые кор-
ни ух и у2, то он будет иметь единственный положительный корень
тогда и только тогда, когда произведение у] • у2, равное, согласно
теореме Виета, -За2 + 4а, отрицательно. Итак, в этом случае все
искомые значения параметра а есть решения системы неравенств
ta2 - а > 0
I —За2 + 4а < 0,
множество решений которой состоит из двух промежутков: а < 0 и
4
4
Присоединяя к этим значениям найденные ранее а = 1 и а = —
О
получаем решение задачи.
4
Ответ. Любое а < 0, а = 1, любое а .
3
372
15.30	При каких значениях параметра:
а)	а Ф -3 уравнение 2 sin 2х = —--не имеет корней;
а + 3
"4“ 5
б)	а * 2 уравнение 3 cos х = ---не имеет корней?
а - 2
15.31	При каких значениях параметра а уравнение:
а) х + 2 = afx - 11; б) а | х - 3 = х + 1
имеет единственное решение? Найдите это решение.
15.32	Сколько решений в зависимости от параметра а имеет урав-
нение:
а) |х + 21 = ах + 1; б) |х-4| = ах+2?
15.33	При каких значениях параметра а уравнение:
а)	х2 — (За — 1) | х | + 2а2 — а — 0 имеет четыре различных
корня;
б)	х2 - (4а - 2) | х | + За2 - 2а = 0 имеет ровно два различных
корня?
15.34
При каких значениях параметра а число:_______
а) 0 является корнем уравнения у[аcos2х- 3sin2х = cosx;
п
---является
2
корнем уравнения у[2 sin 2х — a cos 2х = —sinx?
Для каждого такого значения а решите уравнение.
15.35	При каких значениях параметра а уравнение:
а) 7х +1 = х + а; б) л/х + а = х + 3
имеет единственный корень?
15.36	При каких значениях параметра а уравнение:
а)	4х - (5а - 3) 2х + 4а2 - За = 0 имеет единственный корень;
б)	9х — 2 (За - 2) 3х + 5а2 - 4а = 0 имеет два различных корня?
15.37	При каких значениях параметра Ь уравнение:
a)	log2x + 1 (Зх2 — Ьх - 0,256) = 2 имеет два различных корня;
б)	logx _ ь(0,75х2 — х + Ь2 - Ъ) = 2 имеет единственный корень?
15.38	При каких значениях параметра а:
а)	все х > 3 являются решениями неравенства
(а — 2)х2 - 2х — а > 0;
б)	все х > 1,5 являются решениями неравенства
(а - 2)х2 - 2х - За + 10 > 0?
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
15.39
При каких значениях параметра а неравенство:
a) ух2 - 10х + 26 > —-----— выполняется для всех
ст — 2а — 8
б) ^х2 + 8х + 20
2а2 - 4а -3
а2 — 2а - 8
не имеет решений?
15.40	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство:
а)	а2 + а — sin2x — 2аcosx > 1;
б)	13 sin2 х + 2а sin х cos х + cos2 х + а | < 3
выполняется для любого значения х.
15.41	Найдите все значения параметра р, при каждом из которых
множество всех решений неравенства (р — х)2 (р + х - 2) < 0
не содержит ни одного решения неравенства х2 1.
Найдите все значения параметра а, при каждом из
7а2 - а - 2
неравенство х ч-------— < -7а не имеет решении
которых
х, боль-
15.43	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множество решений неравенства 2х2 - Зх ч- а + 12 0 не пус-
то и содержится среди решений неравенства х2 + 10х ч- а С 0.
15.44
При каких значениях параметра а система уравнений:
х + у/у — а — 2 = 0
у2 - х2 = а (2х + а)
имеет два различных решения;
б)
в)
г)
' +lnkl = х
s у	имеет единственное решение;
р + 2 (х ч- а)2 = х ч- 2а ч- 4
имеет единственное решение;
(х - а)2 + (у - а)2 = 1
2 + log 2 У = log2 (х Ч- Зу)
у = х + 2а - 4 + 2(х - а)2
имеет два различных решения?
15.45 При каких значениях параметра а система уравнений:
имеет хотя бы одно решение?
374
Исторические сведения
Уравнения и системы уравнений математики умели решать
очень давно. В «Арифметике» греческого математика из Александ-
рии Диофанта (III в.) еще не было систематического изложения ал-
гебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых при помощи
составления уравнений. Есть в ней такая задача:
«Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96».
Чтобы избежать решения квадратного уравнения общего вида,
к которому приводит обозначение одного из чисел буквой и которое
тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа
10 + х и 10-х (в современной записи) и получал неполное квадрат-
ное уравнение 100 - х2 = 96, для которого указывал лишь положи-
тельный корень 2.
Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индий-
ских математиков уже с V в. н. э.
Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая
книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммеда аль-Хорез-
ми (787 — ок. 850). В нем рассмотрены и решены (в геометрической
форме) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях
только члены с положительными коэффициентами. При этом рас-
сматривались только положительные корни уравнений.
В работах европейских математиков XIII—XVI вв. даются отдель-
ные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слия-
ние этих методов в общее правило произвел немецкий математик Ми-
хаэль Штифель (1487—1567), который рассматривал уже и отрица-
тельные корни.
В самом известном российском учебнике «Арифметика» Леон-
тия Филипповича Магницкого (1669—1739) имелось немало задач
на квадратные уравнения. Вот одна из них:
«Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить, и чтобы
та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колико оная баталия будет
иметь в лице и в стороне?», т. е. сколько солдат надо поставить по
фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было
в 2 раза больше числа солдат, расположенных им в затылок?
В древневавилонских текстах (3000—2000 лет до н. э.) встреча-
ются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, со-
держащих и уравнения второй степени. Приведем одну из них:
«Площади двух своих квадратов я сложил: 25 — . Сторона второ-
2	е 12
го квадрата равна — стороны первого и еще 5».
Соответствующая система в современной записи имеет вид:
И 375
Исторические сведения
Эту задачу вавилонский автор решает пра-
вильно методом, который мы теперь называем
методом подстановки, но он еще не пользовал-
ся алгебраической символикой.
В XVI в. французский математик Франсуа
Виет (1540—1603), служивший шифровальщи-
ком при дворе французского короля, впервые
ввел буквенные обозначения не только для не-
известных величин, но и для данных, т. е. ко-
эффициентов уравнений. Ф. Виет для обозна-
чения нерасшифрованных букв в донесениях
противника использовал редкие буквы латинского алфавита х, у и z,
что и положило начало традиции обозначать неизвестные в уравне-
ниях буквами х, у и 2. Особенно ценил Виет открытые им формулы,
которые теперь называются формулами Виета. Однако сам Виет
признавал только положительные корни.
Лишь в XVII в. после работ Декарта, Ньютона и других ма-
тематиков решение квадратных уравнений приняло современный
вид.
Вернемся в начало XVI в. Тогда профессор математики болон-
ского университета Сципион дель Ферро (1465—1526) впервые на-
шел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида
+ рх = q,
(1)
где р и q — числа положительные.
Это открытие, по обычаям того времени, профессор держал в
строгом секрете. О нем знали лишь два его ученика, в том числе не-
кий Фиоре. Утаивание математических открытий тогда было обыч-
ным явлением, так как в Италии практиковались математические
диспуты-поединки. На многолюдных собраниях противники предла-
гали друг другу задачи для решения на месте или в определенный
срок. Чаще всего это были задачи по алгебре, которую называли то-
гда великим искусством. Побеждал тот, кто решал больше задач.
Победитель не только награждался славой и назначенным денеж-
ным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпев-
ший поражение часто терял занимаемое место. Вот почему участни-
ку диспута было важно обладать неизвестным другим алгоритмом
решения некоторых задач.
После смерти профессора дель Ферро его ученик Фиоре, кото-
рый сам не был глубоким математиком, вызвал на публичный дис-
пут одного из виднейших математиков того времени Никколо Тар-
талья (1499 —1557). Готовясь к диспуту, Тарталья открыл формулу
для нахождения корней кубических уравнений в радикалах, так
как предполагал, что Фиоре уже обладал этой формулой. Позднее
Тарталья писал: «Я приложил все свое рвение, усердие и уменье,
чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благо-
376
q
О
даря благословенной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до
срока ».
Диспут состоялся 20 февраля 1535 г. Тарталья в течение двух
часов решил 30 задач, предложенных ему противником, а Фиоре не
смог решить ни одной из 30 задач, предложенных Тартальей. После
диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, но продолжал
держать открытую формулу в секрете.
Другой итальянский математик Джероламо Кардано (1501—
1576) узнал от Тартальи правило решения кубического уравнения
(1) и дал «священную клятву», что никому не раскроет этой тайны.
Правда, Тарталья лишь частично раскрыл свою тайну, но Кардано,
познакомившись с рукописями покойного профессора дель Ферро,
получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубли-
ковал знаменитый свой труд «О великом искусстве, или об алгебраи-
ческих вещах, в одной книге», где впервые опубликовал формулу
для решения уравнения (1), а кубическое уравнение общего вида
предлагал свести к уравнению (1).
После выхода в свет этой книги Кардано был обвинен Тартальей
в нарушении клятвы, но формула, открытая дель Ферро и Тарталь-
ей, и по сей день называется формулой Кардано.
Такова полная драматизма история открытия формулы корней
кубического уравнения (1).
В той же книге Кардано привел алгебраическое решение урав-
нения четвертой степени. Это открытие сделал один из его учени-
ков Лудовико Феррари (1522—1565). После этого начались настой-
чивые поиски формул, которые сводили бы решение уравнений
высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»).
Эти поиски продолжались около трех столетий, и лишь в нача-
ле XIX в. норвежский ученый Нильс Хенрик Абель (1802—1829)
и французский ученый Эварист Галуа (1811—1832) доказали, что
уравнения степеней выше четвертой в общем случае в радикалах не
решаются.
Выше речь шла об алгебраических уравнениях, т. е. уравнениях
/(х) = 0, где /(х) — многочлен относительно х.
я—г *»гт
Историчегкш- сведения
Кроме алгебраических уравнений, есть еще и трансцендентные
уравнения: показательные, логарифмические, тригонометрические
и др. Решение трансцендентных уравнений, а также неравенств
существенно опирается на свойства функций, которые изучаются
в математике относительно недавно.
Особое место среди алгебраических уравнений занимают так на-
зываемые диофантовы уравнения, т. е. уравнения, в которых неиз-
вестные предполагаются целыми числами.
Наиболее известными из них являются линейные диофантовы
уравнения. Примеры задач, приводящих к линейным диофантовым
уравнениям, находим в сборнике задач монаха Алькуина, пригла-
шенного в 795 г. Карлом Великим преподавать в первую из извест-
ных школ в г. Аахен. Вот эта задача:
«100 шеффелей (денежных единиц) разделили между мужчина-
ми, женщинами и детьми (число персон 100) и дали при этом муж-
чинам по 3 шеффеля, женщинам по 2 и детям по — шеффеля. Сколь-
2
ко было мужчин, женщин и детей?»
Обозначив количество мужчин за х, количество женщин за у,
1
мы придем к уравнению Зх + 2у + —(100 - х - у) = 100.
2
Общего решения линейных диофантовых уравнений в те вре-
мена еще не знали и довольствовались лишь несколькими решения-
ми, удовлетворяющими условию задачи. У самого Алькуина было
приведено лишь одно решение этой задачи: мужчин, женщин и де-
тей было 11, 15 и 74, а задача имеет 784 решения в натуральных
числах.
Задачи, приводящие к линейным диофантовым уравнениям,
имелись у Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1180—1240), в «Ариф-
метике» Л. Ф. Магницкого.
Диофантовы уравнения играют важную роль в математике.
Л. Эйлер писал: «Диофантовых уравнений анализ немало служит
изощрению разума начинающих и большое проворство в искусстве
приносит ».
Известное диофантово уравнение Пифаго-
ра (VI в. до н. э.) х2 + у2 = z2 решают в нату-
ральных числах. Его решениями служат трой-
ки чисел (х; у; г):
х = (т2 — n2)Z, у = 2mnl, z = (т2 + п2)1,
где zn, n, I — любые натуральные числа (т > п).
Эти формулы помогают находить прямоуголь-
ные треугольники, длины сторон которых яв-
ляются натуральными числами.
Пифагор
г 378
П. Дирихле
В 1630 г. французский математик Пьер Ферма (1601—1665)
сформулировал гипотезу, которую называют великой (или большой)
теоремой Ферма: «Уравнение хп + уп = zn &л.я. натурального п > 3 не
имеет решений в натуральных числах». Ферма не доказал свою тео-
рему в общем случае, но известна его запись на полях «Арифмети-
ки» Диофанта: «...невозможно куб записать в виде суммы двух ку-
бов, или четвертую степень — в виде суммы таких же степеней, или
вообще любое число, которое является степенью большей, чем вто-
рая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня
есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но
поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Позднее в бумагах
Ферма было найдено доказательство его теоремы для п = 4. С тех
пор более 300 лет математики пытались доказать великую теоре-
му Ферма. В 1770 г. Л. Эйлер доказал теорему Ферма для п = 3,
в 1825 г. Адриен Лежандр (1752—1833) и Петер Густав Лежен Ди-
рихле (1805—1859) — для п — 5. Доказательство великой теоремы
Ферма в общем случае не удавалось долгие годы. И только в 1993 г.
Эндрю Вайле доказал эту теорему.
Глава III
Комплексные числа
При рассмотрении действительных чисел отмечалось, что во
множестве действительных чисел нельзя, например, найти число,
квадрат которого равен (-1). При рассмотрении квадратных уравне-
ний с отрицательными дискриминантами также отмечалось, что та-
кие уравнения не имеют корней, которые были бы действительными
числами. Чтобы подобные задачи были разрешимы, вводят новые
числа — комплексные числа.
§ 16*. Алгебраическая форма и геометрическая
интерпретация комплексных чисел
16.1*. Алгебраическая форма комплексного числа
Приведем формальное определение комплексных чисел.
Пусть а и Ъ — действительные числа, i — некоторый специаль-
ный знак. Множеством комплексных чисел называют множество
выражений вида а 4- bi, если они подчинены правилам:
а)	выражения а + Ы и с + di считают равными тогда и только
тогда, когда а = с и b = d, при этом пишут:
а + Ы = с + di;
б)	суммой выражений а + Ы и с + di называют выражение
(а 4- с) 4- (b + d) i, при этом пишут:
(а 4- bi) 4- (с 4- di) — (а 4- с) 4- (Ъ 4- d)i;
в)	произведением выражений а 4- Ы н с + di называют выраже-
ние (ас - bd) 4- (ad 4- be) i, при этом пишут:
(а 4- bi) • (с 4- di) = (ас - bd) 4- (ad 4- be) i;
г)	каждое выражение вида а 4- Oi отождествляют с действитель-
ным числом а, т. е. выражение вида а 4- Oi и число а не различают,
380
при этом пишут: а + Oi = а; в частности, выражение 0 + 01 и число О
не различают и пишут: 0 + Oi = 0;
д)	каждое выражение вида 0 + bi отождествляют с выражением
Ы и пишут: 0 + bi = bi; в частности, выражение 0 + И отождествля-
ют с выражением i и пишут: 0 + li = i.
ПРИМЕР 1.
а)
б)
в)
г)
(3 + 2i) + (-1 + 3i) = (3 - 1) + (2 + 3)i = 2 + 5i;
(-1 + 5i) + (-1 + (-5)i) = (-1 - 1)+ (5 - 5)i = -2 + Oi = -2;
(7 + 2i) + (-7 + li) = (7 - 7) + (2 + l)i = 0 + 3i = 3i;
(4 + (-3)i) + (-4 + 3i) = (4 - 4) + (-3 + 3)i = 0 + Oi = 0.
ПРИМЕР 2.
a)	(3 + 2i)(-l + 3i) = (-3 - 6) + (9 - 2)i = -9 + 7i;
6)	(-1 + 5i)(-l + (-5)i) = (1 + 25) + (5 - 5)i = 26 + Oi = 26.
Каждый элемент множества комплексных чисел называют
комплексным числом. Комплексное число i называют мнимой еди-
ницей. Покажем, что мнимая единица обладает свойством i2 = —1.
Действительно, на основании правил «а» — «д» имеем
i2 = (0 + li)2 = (0 + li)(0 + li) = (0 • 0 - 1 • 1) + (0 • 1 + 1 • 0)i =
= -1 + 0 • i = -l.
Комплексные числа вида Ы называют мнимыми числами. Пока-
жем, что bi есть произведение действительного числа b и мнимой
единицы i. На основании правил «а» — «д» имеем
Ъ • i = (b + Oi) (О + li) = (b • 0 - 0 • 1) + (b • 1 + 0 • 0)i = 0 + bi = bi.
Любое комплексное число а + Ы есть сумма действительного
числа а и мнимого числа bi. Действительно,
(а + Oi) + (0 + bi) = (а + 0) + (0 + b) i = а + bi.
Комплексное число а + bi часто обозначают одной буквой z
и пишут:
z = а + bi.
Правую часть этого равенства называют алгебраической формой
комплексного числа z. Число а называют действительной частью
числа г = а + bi и обозначают Rez = а, а число b называют мнимой
частью числа z и обозначают Im z = b (от франц, reel — реальный,
действительный, imaginaire — мнимый, воображаемый).
Пусть даны комплексные числа zr =	+ frji, z2 = a2 + b2i,
z3 = a3 + &3i, ..., zn = an + bni. Чтобы найти сумму комплексных чи-
сел zx, z2, z3, ..., zn, надо найти сумму первых двух чисел, к полу-
ченной сумме прибавить третье число, к полученной сумме приба-
вить четвертое число и т. д., пока не переберем все слагаемые.
Аналогично определяется и произведение нескольких комплекс-
ных чисел.
381
Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация
Если комплексное число z взято множителем п раз (п > 2), то
произведение z • z ♦... • z называют n-й степенью числа z и обознача-
п раз
ют z", т. е. по определению z • z •... • z = zn . Кроме того, по определе-
V	-
п раз
нию z1 = z, а если z 0, то z° = 1.
Для операций сложения и умножения существуют обратные
операции.
Разностью комплексных чисел zx и z2 называют такое ком-
плексное число z3 = х + yi, которое в сумме с z2 дает zx.
Покажем, что для любых комплексных чисел zx = ах + bxi и
z2 = а2 + b2i их разность z3 = zx - z2 существует, единственна и вы-
числяется по правилу
z3 = (aj - а2) + (&! - b2) L
По определению суммы комплексных чисел z2 + z3 = (а2 + х) +
+ (b2 + y)i. По определению равенства комплексных чисел числа
z2 + z3 и Zj равны тогда и только тогда, когда одновременно справед-
ливы равенства а2 + х = ах, Ь2 + у = Ь1.
Из этих равенств действительные числа х и у определяются,
и притом единственным образом: х = ах - а2, у = Ьх - Ь2, т. е. су-
ществует, и притом единственное, комплексное число
23 = («1 -	+ (ь1 -
которое и является разностью комплексных чисел zx и г2.
ПРИМЕР 3.
а)	(3 + 2/) - (-1 + 30 = (3 + 1) + (2 - 3)i = 4 + (-l)i = 4 - i;
б)	(-1 + 5i) - (-1 + (-5)0 = (-1 + 1) + (5 + 5)i = 0 + 10/ = 10/;
в)	(4 + (-3)/) - (-4 + 3i) = (4 + 4) + (-3 - 3)i = 8 + (-6)i = 8 - 6/.
Частным от деления комплексного числа на комплексное чис-
ло z2 (z2 Ф 0) называют такое комплексное число z3 = х + yi, которое
при умножении на z2 дает Zj.
Можно показать, что для любых комплексных чисел Zj = ах + bxt
и z2 = а2 + b2i (z2	0) их частное существует, единственно и вычис-
ляется по правилу
zx	ах + bxi	(ах + bti)(a2 - b2i)	аха2 + bxb2	bxa2 - axb2	.
—	__—	______ —	_ —___________	-	-	-  . _	Д
z2	a2+b2L	(a2 + b2i)(a2- b2i) a2 + b2 a2 + b2
ПРИМЕР 4.
Каждое комплексное число z = а + Ы имеет единственное проти-
воположное ему число, обозначаемое -z, которое в сумме с числом z
дает 0. Число —z есть —а — bi. В самом деле,
z + (-z) = (а + bi) + (-а - bi) = (а - а) + (b - b) i = 0.
Д 382
Разность комплексных чисел и z2 равна сумме чисел 24
и (-z2). В самом деле, пусть Z} = а + bi и z2 = с + di, тогда
- z2 = (а - с) + (b - d)i = (а + (-с)) + (b + (~d))i =	+ (~z2).
В частности, а - Ы = (а + Oi) - (0 + bi) = (а — 0) + (0 — b)i = а + (-fe)i.
Каждое отличное от нуля комплексное число z = а + Ы имеет
единственное обратное ему число, обозначаемое i которое при
умножении на число z дает 1.
По правилу деления комплексных чисел если z = а + Ы (г Ф 0)
есть любое комплексное число, то
1 _	1	_ а — Ы _ а	b .
z а + Ы (а + Ы)(а — bi) а2 + Ь2 а2 + Ь2 1'
ПРИМЕР 5.
Таким образом, сумма, разность, произведение и частное ком-
плексных чисел (делить на нуль нельзя) являются комплексными
числами. Множество комплексных чисел содержит в себе множество
действительных чисел.
Для комплексных чисел справедливы основные законы арифме-
тических действий (проверьте самостоятельно).
Из изложенного выше вытекает, что все равенства, связанные
с арифметическими действиями, приведенные в п. 1.2 учебника для
10 класса для действительных чисел, а также все тождества, дока-
занные ранее для действительных чисел, остаются справедливыми
и для комплексных чисел. Поэтому арифметические действия с ком-
плексными числами можно проводить так же, как они проводятся
с алгебраическими выражениями, заменяя i2 на -1 и объединяя за-
тем члены, содержащие и не содержащие i.
ПРИМЕР 6. (2 + 3i)2 = 4 + 12Z + 9i2 = 4 - 9 + 12i = -5 + 12i;
(5 + 3i)(5 - 30 = 25 - 9i2 = 25 + 9 = 34.
Если числа zv и z2 различные, то пишут: zr z2.
16.1	В каком случае выражения а + Ы и с + di считаются:
а) равными; б) различными?
16.2	' Что называют множеством комплексных чисел; комплексным
числом?
16.3	При каком условии комплексное число а + bi отождествляется
с действительным числом а?
16.4	' Какое комплексное число называют мнимым числом?
16.5	' Какое комплексное число называют мнимой единицей?
Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация
383
16.6
16.7
16.8
16.9°
16.10
16.11
16.12
16.13
16.14
16.15
16.16
16.17
16.18
16.19
16.20
Что называют действительной частью, мнимой частью числа
г = а + bi? Как обозначают действительную часть, мнимую
часть числа г = а + bi?
Что называют суммой комплексных чисел а + Ы и с + di?
Что называют произведением комплексных чисел а + bi и
с + di?
Как вычисляют сумму, произведение нескольких комплекс-
ных чисел?
Что называют n-й степенью (п е N) комплексного числа г?
Запишите основные законы сложения и умножения ком-
плексных чисел, сформулируйте их.
Докажите справедливость основных законов сложения и
умножения комплексных чисел.
Что называют разностью комплексных чисел zx = а1 + bti и
г2 = а2 + b2i? Докажите, что для любых комплексных чисел
и z2 их разность существует, единственна и вычисляется
по правилу z3 = (ах - а2) + (dx - b2)i.
Что называют частным от деления комплексного числа
г1 = ai + ^1* на комплексное число 22 = а2 + b2i (г2 0 + Oi)?
Докажите, что для любых комплексных чисел и z2 их
частное — существует и единственно.
Вычислите (16.15—16.20):
а) (3 + 22) + (1 + 52);
в) (-5 + 0 + (1 - 42);
д) (-5 + 70 + (5 - 0;
а) (3 + 20 - (1 + 50;
в) (-5 + 0 - (1 - 40;
д) (5 + 7i) - (5 - 0;
а) (3 + 20 • (1 + 50;
в) (-5 + 0 • (1 - 4г);
д) (5 + 22) • (5 - 2);
а) (3 + 22) : (1 + 50;
в)	(-5 + 0 : (1 - 40;
д) (5 + 72) : (5 - 0;
а) (5 + 22)2;	б) (3 -
г)	(3 - 32)2;	д) (4 +
ж) (1 + 2)3; з) (1 -
а) (3 + 2)2 + (3 - 2)2;
в) (-5 + 2)2 - (5 - 2)2;
д)	(3 + 2)3 + (3 - 2)3;
б) (3- 110 +(4+ 152);
г) (8 - 0 + (-8 + 0;
е) (8 - 2) + (4 + 0.
б) (3 - 112) - (4 + 150;
г) (8 + 2)-(-8 + 0;
е) (8-0-(8-2).
б) (3 - 2) • (4 + 50;
г) (8 + 2) • (-8 + 2);
е) (8 - 2) • (8 + 0.
б) (3 - 112) : (4 + 152);
г) (8 + 2) : (-8 + 0;
е) (8 - 2) ; (8 - 2).
202; в) (4 + 02;
42)2; е) (5 - 52)2;
22)3; и) (2 + 2)3.
б) (3 - 22)2 - (3 + 22)2;
г) (6 + 2)2 - (-6 + 2)2;
е) (1 - 203 - (1 + 203.
384
16.21
Упростите выражение:
а)	(х + г) (х — г);
в) (Зх + г/г)(3х — yi);
д) (-5х + 4г/2г) (5х - 4г/2г);
Разложите на множители:
а) х2 + 1;	б) х2 + у2
г) 25х2 + 9г/2;	д) 25х4 +
б)	(х + yi) (х - yi);
г) (х - 2yi) (х + 2yi);
е) (6х3 + yi) (—6х3 + yi).
в)	16х2 + у2;
16г/2; е) Збх6 + 16г/8.
Пусть дано комплексное число z = а + Ы. Какое комплексное
число называют:
а) противоположным числу z; б) обратным числу z (z * 0)?
16.24
16.25
Пусть дано комплексное число z = 12 + 5г. Укажите число:
а) противоположное числу z; б) обратное числу z.
Пусть а и b — действительные
а + Ы выражение:
числа. Приведите к виду
1
е) г3 — 2г2 + г — 1; ж) г80 + г22 + г7 + г5 + г.
16.26
Для какого действительного числа х выражение (3 + хг)2 —
— (4х + 2) г является:
а) действительным числом; б) мнимым числом?
16.27
Для какого действительного числа х выражение (х + 2г)2 +
+ (5 + х)г является:
а) действительным числом; б) мнимым числом?
16.28
Определите все действительные числа а, при каждом из ко-
торых является действительным числом выражение:
а) (1 + 4г)3 + a+-100';	б) (2 - 5г)3 -  —	.
1 + i	1Л
16.2$)
Определите все пары (х; у) действительных чисел х и уъ для
каждой из которых выполняется равенство:
а) (2 + хг)3 = —46 + г/г;	б) (у + 5г) (2г/ + Зг) = х — хг.
16.30
Найдите все комплексные числа 2, удовлетворяющие двум
условиям:
a) z2 = -15 + 8г и Imz > 0; б) z2 = 5 + 12г и Re 2 < 0.
16.2*. Сопряженные комплексные числа
Если 2 = а 4- Ы есть комплексное число, то комплексное число
а - Ы обозначают z и называют сопряженным с числом z и пишут:
2 = bi. Легко видеть, что число, сопряженное числу 2, есть 2,
т. е. 2 = 2, и поэтому числа z и z называют взаимно сопряженными.
385
Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация
Если z = а — действительное число, то г = а, т. е. если г — дей-
ствительное число, то z = г. Верно и обратное утверждение: если
z — z, то z — действительное число. Действительно, если z — а + Ы,
то z = а — bi. Условие z — z означает, что а + Ы = а — bi, откуда следу-
ет, что b = 0, т. е. z — действительное число.
Можно доказать следующие свойства, связанные с сопряженны-
ми числами:
1)	Сумма и произведение взаимно сопряженных чисел есть дей-
ствительное число.
2)	Число, сопряженное с суммой двух любых комплексных чи-
сел, равно сумме сопряженных чисел.
3)	Число, сопряженное с разностью двух комплексных чисел,
равно разности сопряженных чисел.
4)	Число, сопряженное с произведением двух комплексных чи-
сел, равно произведению сопряженных чисел.
5)	Число, сопряженное с частным двух комплексных чисел, из
которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных
чисел.
6)	Число, сопряженное с /г-й степенью (n g N) комплексного
числа г, равно n-й степени сопряженного числа.
В качестве следствия этих свойств имеем следующее утверждение:
Если число z выражено через комплексное число а при помо-
щи произведения, суммы и разности натуральных степеней этого
числа, то, заменяя в этом выражении число а на сопряженное
ему число а, получим число z, сопряженное с числом г.
16.31 Пусть дано комплексное число z — а + Ы. Какое комплексное
число называют сопряженным с числом z? Для каких чисел
равны само число и число, ему сопряженное?
16.32
Укажите число, сопряженное комплексному числу:
a) z=12 + 5Z; б) z = — 1 — 2i; в) z — 2 — i.
16,33 Докажите, что сумма и произведение взаимно сопряженных
чисел — действительные числа.
16.31 Пусть и и и — произвольные комплексные числа. Докажи-
те, что:
а) и + и = и + щ б) и — о = й — и; в) и • v = й -г;
г) I ~ I = если v * 0; д) (ип ) = (и)л, п g N.
\ о I V
16.35 Выполните деление комплексных чисел:
а) (1 + 21) : (2 + Г); б) (1 - 20 : (2 - Z); в) (3 + 20 : (1 - 0;
г) (3 - 50 : (3 + 40; д) (10 + 0 : (3 + 50; е) (10 - 0 : (13 - 50.
13-н И КОЛЬСКИЙ. 11 кл.
386
16.36
Упростите
выражение:
1-2/	3 + 2/	3-2/
3- 4/’	* 12 - 5/ + 12 + 5/*
16.37
16.38
16.39
16.40
Найдите пару комплексных чисел z и и, для которой выпол-
няются соотношения:
а) 2z + и = 11/ и 2z - Зй/ = 17; б) 3z - 2й = 1 и z — iu = —Qi.
Укажите число, сопряженное с комплексным числом z:
а) з = (3 + 2/)+ (1-/); б) z = (3 + 2/) - (1 - /); в) z = (1 + З/)2;
г) z = (1 - 2/)3; д) z = (3 + /)3 + (1 - /)2 - (1 + /).
Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие усло-
вию (16.39—16.40):
a) z2 + 2z + 1 = 0;	б) z2 - 2(z + z) + 4 = 0.
16.3*. Геометрическая интерпретация комплексного числа
Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат хОу.
Каждому комплексному числу z = а + bi поставим в соответствие
точку А (а; Ь) (рис. 180). Тем самым между множеством комплексных
чисел и множеством точек плоскости установлено взаимно однознач-
ное соответствие, при котором каждому комплексному числу соот-
ветствует единственная точка, различным числам соответствуют раз-
личные точки и нет такой точки, которая бы не соответствовала
какому-нибудь комплексному числу. Поэтому можно считать, что
комплексное число z = а + Ы есть точка (точка z) на координат-
ной плоскости. В силу этого соответствия между точками плоско-
сти и комплексными числами координатную плоскость называют
комплексной плоскостью.
Модулем комплексного числа z = а + Ы называют неотрицатель-
ное число
нат. Таким образом, каждое комплексное число z = а
модуль, обозначаемый | z |:
д/а2 + Ь2, равное расстоянию от точки z до начала коорди-
Ы имеет свой

Ъ-
В частности, если z есть действи-
тельное число, то модуль z есть абсолют-
ная величина действительного числа а:
z | = д/а2 + О2 = | а |.
Для чисел z и z справедливы сле-
дующие свойства:
1)	|z| = |z|; 2) |z|2 = z*z.
М Рис. 180
387
Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация
Действительно, |z | = ^/а2 + Ь2, \z | = ^а2 + (— fe)2 = д/а2 + 62, т. е.
|z| = |z|; z • z = (а + Ы)(а — Ы) = а2 + Ь2 = |г|2.
ПРИМЕР 1. Найдем множество точек г комплексной плоскости,
таких, что: a) |z| = 1; б) 2 < |z| < 3.
Согласно геометрическому смыслу модуля комплексного числа
это будут точки:
а)	удаленные от начала координат на расстояние 1, т. е. точки
окружности радиуса 1 с центром 0(0; 0) (рис. 181, а);
б)	находящиеся внутри кольца, образованного окружностями
с радиусами 2 и 3 и с центром 0(0; 0), включая окружность радиу-
са 2 (рис. 181, б).
Я Рис. 181
б)
Комплексное отличное
ривать также как вектор
от нуля число z = а + Ы можно рассмат-
(вектор z), начало которого находится
в начале координат, а конец — в точке
А (а; Ь), изображающей это число. На
рисунке 182 вектор ОА изображает
комплексное отличное от нуля число
z — а + Ы.
Рассмотрим геометрическую ин-
терпретацию сложения и вычитания
двух комплексных чисел zx = а + Ы и
г2 = с + di в том случае, когда точки
О (0; 0), Ai (а; Ь) и А2(с; d) не лежат на
одной прямой.
Я Рис. 182
13*
Рис. 183
Сумма чисел zA = а + bi, z2 = с + di
есть число z3 = (а + с) + (b + d) i. Рас-
смотрим векторы zlt конец которого
находится в точке At(a; b), z2, конец
которого находится в точке А2(с; d),
и z3, конец которого находится в точ-
ке А3 (а + с; b + d). Вектор z3 является
диагональю параллелограмма ОА1А3А2
(рис. 183).
Таким образом, сложение ком-
плексных чисел и z2 можно интер-
претировать как сложение по правилу
параллелограмма соответствующих им векторов zY и г2.
Векторы, изображающие противоположные комплексные числа
z — а + Ы и —z = —а - Ы, симметричны относительно начала коорди-
нат, поскольку концы этих векторов — точки М(а; Ь) и N (-а; -Ь) —
симметричны относительно начала координат (рис. 184).
Пусть даны числа zx = а + Ы и z2 = с + di. Так как zx - z2 = zx +
+ (-z2), то вычитание из числа zx числа z2 можно заменить прибавле-
нием к числу zx числа, противоположного числу z2.
Рассмотрим векторы Zj , конец которого находится в точке
A! (a; b), z2t конец которого находится в точке А2(с; d), и z3, конец
которого находится в точке А3(-с; -d).
Построим параллелограмм АХОА3А4 (рис. 185). Тогда ОА4 =
= + (—z2), т. е. вектор ОА4 изображает разность комплексных чи-
сел гг — z2. Так как четырехугольник АХА2ОА4 также является па-
раллелограммом, то AjA2 = ОА4 = 1— z2|. Это означает, что длина
отрезка А1А2, соединяющего точки, соответствующие комплексным
числам zx и z2, равна Izj - z2| и модуль разности двух комплексных
чисел zx и z2 представляет собой расстояние между точками Аг и А2,
изображающими эти числа.
Рис. 185
ge 389
Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация
Такое геометрическое толкование суммы и модуля разности
двух комплексных чисел часто применяется при решении задач.
ПРИМЕР 2. Найдем множество точек комплексной плоскости,
соответствующих комплексным числам z, таким, что |z - / | = |z + 2|.
Расстояния от каждой искомой точки z до точек I и -2 равны.
Значит, искомое множество точек есть серединный перпендикуляр
к отрезку с концами в точках (О; 1) и (-2; 0) (рис. 186). Его уравне-
ние у = —2х — 1,5.
ПРИМЕР 3. Найдем точки z комплексной плоскости, удовлетво-
ряющие условию
11 = |z — 2| = |z — i|.
Точки, соответствующие числам 1, 2 и г, образуют треуголь-
ник с вершинами (1; 0), (2; 0) и (0; 1) (рис. 187). Условию задачи
удовлетворяет единственная точка — центр окружности, описанной
около этого треугольника. Так как она равноудалена от точек (1; 0)
и (2; 0), то ее абсцисса х = 1,5. Так как она равноудалена от то-
чек (1; 0) и (0; 1), то ее абсцисса равна ординате: х = у. Условию
задачи удовлетворяет единственная точка комплексной плоскости
3 3
т. е. точка (комплексное число) —
-i (рис. 187).
Отметим, что справедливы следующие свойства модулей ком-
плексных чисел:
|zi - z2| С |zj + |z2|.
(1)
(2)
Если Zj az2, то неравенство (1) следует из того, что длина диа-
гонали параллелограмма, построенного на векторах zY и z2, не пре-
вышает суммы длин этих векторов. Доказательство неравенства (1)
для случая zx = az и неравенства (2) проведите самостоятельно.
УК
t Рис. 186
 Рис. 187
*4* 390
16.41	° Каким образом устанавливается взаимно однозначное соот-
ветствие между точками плоскости и комплексными числами?
16.42	° Что называют комплексной плоскостью?
16.43	п Что называют модулем комплексного числа?
16.44	Найдите на комплексной плоскости точку, соответствующую
комплексному числу:
а) 2;	б) -2;	в) I;	г) -i;
д) 2 + i;	е) 2 - i; ж) -2 + г; з) —2 — г.
16.45	Какому комплексному числу соответствует точка комплекс-
ной плоскости:
а) (1; 0);	б) (0; 1);	в) (-1; 0);	г) (0; -1);
д) (-2; 4);	е) (4; -2);	ж) (1; 1);	з) (-1; -1)?
16.46	Какое геометрическое истолкование можно дать сумме и мо-
дулю разности комплексных чисел?
Найдите множество точек г комплексной плоскости, удовле
творяющих условию (16.47—16.50):
16.47
16.48
16.49
16.50
а) | z - 41 = | z + 4/
а) ,	1 > 0,5;
|z- 2|
б) |z| С 4;
б) \z - 3| С 2;
д) \z - i| 2;
з) 1 < | г - i| С 4;
Найдите комплексное число г, удовлетворяющее следующе-
му условию, и соответствующую ему точку комплексной
плоскости (16.51—16.52):
16.51 a) zi = 5 - 2г;	б) -3 + i = г(1 + г)-
16.52 а) г(-3 + 2г) = 5 - 55г;	б) -7 + 1,5г = г(5 - 4г).
§ 17*. Тригонометрическая форма
комплексных чисел
17.1*. Тригонометрическая форма комплексного числа
В системе координат хОу вектор О А изображает комплексное
отличное от нуля число г = а + Ы (рис. 188, а — г). Главным аргу-
ментом этого комплексного числа z называют угол из промежутка
0 С <р0 < 2л, образуемый вектором ОА с единичным вектором оси Ох,
отсчитываемый в положительном направлении (против часовой
391
Тригонометрическая форма комплексных чисел
в)
 Рис. 188
стрелки). На рисунке 188 показан главный аргумент числа z. Глав-
ный аргумент числа z обозначают ф0 = argz.
Если угол <р0 есть главный аргумент числа z, то угол ф0 + 2 ли,
где п — любое целое число, называют аргументом числа z, аргумент
для любого комплексного числа z Ф 0 определяется неоднозначно:
любой аргумент <р числа z Ф 0 вычисляется по формуле
Ф - Фо + 2л&,
где h — некоторое целое число, ф0 = argz.
Аргумент ф комплексного числа z = а + bi (z & О) можно найти
как угол, одновременно удовлетворяющий двум равенствам:
О	Z-f \
СОбф =	И 81П ф = -—	(1)
-Ja2 + д2	+ Ь2
ПРИМЕР 1. Найдем аргумент комплексного числа z — 3 + 41.
„	3	.	4
Напишем равенства совф = — и эшф = —. Ясно, что угол
4	5	5
ф0 = arcsin— им удовлетворяет, и так как О С ф0 < 2я, то ф0 — глав-
5
ный аргумент числа г. Следовательно, аргументом числа z является
любой из углов
Ф = arcsin—F 2тс/г, k g Z.
5
Пусть z = а + bi — некоторое отличное от нуля комплексное чис-
ло. Обозначим через г его модуль, а через (р один из его аргументов.
Тогда, как следует из равенств (1), число z можно записать в виде
z = r(cos<p + isintp).
(2)
Правую часть равенства (2) называют тригонометрической фор-
мой комплексного числа г.
Тригонометрическая форма отличного от нуля комплексного
числа есть запись комплексного числа z в виде (2), где г — положи-
тельное число, равное модулю числа z, косинус и синус берутся от
одного и того же угла (р, равного одному из аргументов числа z, при
этом между cos(p и isincp стоит знак «плюс».
л . . к А
— + I sin — записано в тригонометри-
6	6)
ческой форме, а следующие комплексные числа не записаны в три-
гонометрической форме: z2 = —2
л . . п
zA — cos--i sin—.
4	4	4
Например, число zx = 3 cos
л . . л	. л	л
cos — + I sm — , Z4 = Sin----hi cos —
3	3 J 3	6	6
Запишем те же числа в тригонометрической форме:
о! 4я
= 2 cos —
3
+ i sin
л	.	. л	7л	. . 7л
Zo = cos — +1	sm —,	z4	= cos — +	i sin —.
3	3	3	4	4	4
Действия умножения, деления и возведения в целую степень
над любыми комплексными числами удобнее производить, если они
записаны в тригонометрической форме.
В следующих теоремах под аргументом числа z (z Ф О) понимает-
ся любой из его аргументов.
ТЕОРЕМА 1. Если Zj Ф О, z2 =£ О и = rj (cos (pj + i sin <pt)»
z2 = r2 (cos <p2 + i sin (p2), to:
a)	Z|Z2 = rrr2 (cos ((pi + <p2) + i sin (<pj + <p2));
6)	— = — (cos (<Pi - <p2) + i sin (<p! - <p2)).
Z2 Г2
Доказательство, а) Пусть даны комплексные числа
Zi = ^(coscpi + isincp!), z2 = r2(cos<p2 4- isin<p2).
Рассмотрим число ZjZ2. Применяя правила действия над ком-
плексными числами и формулы для косинуса и синуса суммы двух
углов, имеем
= (ri(cos<Pi + i sin<p1))(r2(cos(p2 + isin<p2)) =
= rxr2 ((cos <Pi cos <p2 — sin (pj sin <p2) + (sin cpj cos <p2 + sin (p2 cos Ф1) 0 =
= /^(COS^! + ф2) + isin((p! + (p2)),
что и доказывает пункт «а» теоремы.
Тригонометрическая форма комплексных чисел
Доказательство пункта «б» теоремы проводится аналогично до-
казательству пункта «а», только предварительно надо умножить
2i
числитель и знаменатель дроби — на (совф2 — isin(p2)-
г2
ТЕОРЕМА 2 (формула Муавра). Пусть z — любое отличное от
нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда
= (г (cos <p + i sin ф))Л = rn (cos пф + i sin пф).
(3)
Доказательство. 1) Для любого натурального п докажем эту
формулу методом математической индукции.
Для п = 1 формула верна. Предположим, что формула верна для
п = k, т. е. предположим, что справедливо равенство
z,{ = (г(созф + 18Шф))Л = rli (cos/гф + zsin/гф).
(4)
Докажем, что из справедливости равенства (4) следует, что фор-
мула (3) справедлива для п = k + 1. Применяя равенство (4), правила
действий над комплексными числами и формулы для синуса и коси-
нуса суммы двух углов, имеем
zk + 1 = zkz = (г*(со8&ф + i sin /?ф)) (z*(cos ф + гз!пф)) =
к + 1 ((cos /гф cos ф - sin kip sin ф) + i (sin /гф cos ф + cos /гф sin ф)) =
= rh + 1(соз(/г + 1)ф + i sin (/г + 1)ф),
т. e. формула (3) доказана для п — k + 1. Следовательно, по принци-
пу полной индукции формула (3) справедлива для любого натураль-
ного п.
2) Если п = О и z О, то по определению z° = 1, поэтому
z° = 1 • (cos Оф + i sin Оф), т. е. формула (3) верна для п = О.
3) Пусть п = — 1 и z 0. Применяя определение степени с целым
показателем и теорему 16, имеем
1	cosO + isinO 1	. .
= - = —------—-----; = -(сов(-ф) + isin(—ф)),
2	r(COS ф + i Sill ф) 1
т. е. для п = — 1 формула (2) верна.
4) Пусть п — любое целое отрицательное число и z Ф 0. Тогда
п = -zn, где т = | п | — натуральное число. Применяя определение
степени с целым показателем, формулу (3) сначала для п = -1, а за-
тем для любого натурального zn, имеем
Итак, формула (3) верна для любого целого п. Теорема доказана.
jg394
ПРИМЕР 2. Вычислим (1 + i)7.
Сначала запишем число z = 1 + i в тригонометрической форме:
2 7 = (V2)7 cos
Теперь возведем его в степень 7 по формуле Муавра:
ПРИМЕР 3. Выразим sin Зх и cos Зх через sin х и cos х соответст-
венно.
По формуле Муавра (cos х + i sin х)3 = cos Зх + i sin Зх. В то же
время по формуле куба суммы получим
(cos х + i sin х)3 = cos3 х + 3 cos2 х (i sin x) + 3 cos x (i sin x)2 +
+ (isinx)3 = (cos3x - 3cosxsin2x) + i (3 cos2xsinx - sin3x).
По правилу равенства комплексных чисел имеем
sin Зх = 3 cos2 х sin х - sin3 х, cos Зх = cos3 х — 3 cos х sin2 х.
Применяя основное тригонометрическое тождество, эти форму-
лы можно записать так:
sin Зх = 3 sin х — 4 sin3 х, cos Зх = 4 cos3 х — 3 cos х.
Используя формулы Муавра и бинома Ньютона, можно полу-
чить формулы для sinnx и cosnx для любого натурального п.
17.1 а) Что называют аргументом отличного от нуля комплексного
числа 2?
б) Как можно найти аргумент комплексного числа 2 (2 Ф О)?
17.2
Приведите пример комплексного числа, записанного в триго-
нометрической форме.
Запишите в тригонометрической форме комплексное число 2,
укажите его главный аргумент (17.3—17.6):
17.3
17.4
17.5
17.6
— I; б) 2 = —sfcos — + isin —
4 )	I 4	4 J
v	. Л . Л	.	Л . . Л
в) 2 = Sin----Fl cos —;	г) 2 = cos----I sin —.
6	6	3	3
a) 2 = 1;	6) 2 = -2;	в) z = i;	r) z = -3i;
д) 2 = 1 + i;	e) 2 = 1 - i;	ж) z = -1 + i;	з) z = -1 - i.
a) 2 =	v3 -hi;	6)	2 = V3 - i;	в)	2	=	-+ i;
r) 2 =	-7з - i;	д)	2 — 1 + V3i;	e)	2	=	1- V3i.
a) 2 =	3 + 4i;	6)	2 = 3 - 4i;	в)	z	=	4 - 3i;
r) 2 =	5 — 4i;	д)	2 — 1 + 2i;	e)	2	=	-3 — 2i.
2 = cos
395
Тригонометрическая форма комплексных чисел
17.7
Выполните умножение комплексных чисел:
cos
cos — + i sm —
б)
3 cos
ол
~т
2 cos
г)
о I 2к
2 cos —-
3 cos
7л
• 4 cos
• 7 cos ——
I 12
17.8 Докажите теорему 16 о частном комплексных чисел.
17.9
17.10
Найдите arg 2,
а) 2=1;
д) 2=1 + 1;
а) 2 = \ 3 + i;
г) 2 = -л/з - I;
если (17.9—17.10):
б) 2 = -1;	в) 2 = i;	г) z = -i;
е) 2=1—1;	ж) z = —1 + I; з) z = —1 - i.
б) г = >/3 - i;	в) г = -7з + I;
д) 2=1 + л/3 /;	е) z = l- \f3i.
17.11
17.12
17.13
17.14
17.15
Найдите множество точек z комплексной плоскости, удовле-
творяющих условию:
а) 0 argz < б) -- < arg г <
4	4
в) arg г С л;
Зл
arg2 >
Запишите формулу Муавра для возведения любого отличного
от нуля комплексного числа 2 = r(costp + isincp) в степень
с целым показателем п.
Возведите в степень 3
. 5л . . 5л
a) cos — + i sm ——;
3	3
f 2л . 2л А
в) 3 cos----1-1 sm— ;
7	3	3
комплексное число
б) 2 [ cos — + i si
I 4
г) 4 cos
4
Возведите в степень с показателем п = 1, 2, 3, 4, 5 данное
комплексное число z и найдите на комплексной плоскости
точки, соответствующие полученным числам:
a) z = 1; б) z =-1; в) z = i;	г) z = —t;
д) z = 1 + i; е) 2 = 1 - i; ж) z = -1 + i; з) z = -1 - г.
Возведите в степень с показателем п = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
комплексное число z и найдите на комплексной плоскости
точки, соответствующие полученным числам:
396
17.16
17.17
17.18
17.19
Докажите, что для любых
ведливо неравенство:
a) l^i + z2| |zj + |z2|;
17.20
комплексных чисел zx и z2 спра-
Выразите через sinx и cosx:
a) sin4x и cos4x; б) sin5x и cos5x; в) sin6x и cos6x.
Вычислите:
а) (1 + i&Y + (1 - iV3)7; б) (7з + <)7 + (7з - О7.
Вычислите:
16/ sin--------z'cos —
„	. к . л
16z sin — + zcos —
v 6	6
б)----------7=----------
а) Пусть z
комплексное число: iz| = 2, arg г =
л
3
Найдите
модуль и
б) Пусть
модуль и
один из аргументов числа г3 - 8/.
1
= arg г =
один из аргументов числа 32г4 + 2д/з/.
z — комплексное число: | z |
—. Найдите
4
17.21
а)	Найдите множество точек z комплексной плоскости, удов-
летворяющих условию z • z = (2 + г)* 2 +
. Среди этих то-
чек найдите такие, для которых выполняется равенство
z| = \z — 2z|, и запишите числа, соответствующие этим точ-
кам, в тригонометрической форме.
б)	Найдите множество точек z комплексной плоскости, удов-
/л 12 .	65
летворяющих условию z • z = (4 - z) +-
. Среди этих то-
чек найдите такие, для которых выполняется равенство
|z| = \z + 4], и запишите числа, соответствующие этим точ-
кам, в тригонометрической форме.
17.2*. Корни из комплексных чисел и их свойства
ТЕОРЕМА. Пусть z — любое отличное от нуля комплексное
число, п — любое натуральное число, п > 2. Существует п различ-
ных комплексных чисел а(, а2, а3, ..., ап, таких, что а = z, где / = 1,
2, ..., п.
Эти числа называют корнями степени п из комплексного чис-
ла z. Для обозначения этих корней нет специальных символов, по-
добных символу, которым обозначается арифметический корень.
397
Тригонометрическая форма комплексных чисел
Доказательство. Пусть z — г(coscp + isinep), z Ф О. Будем искать
комплексное число а = p(cos у + isinip), а О, такое, что а" = 2, где
п — любое натуральное число, п > 2. Покажем, что такое число а
существует. Более того, покажем, что таких различных между собой
чисел только п.
По формуле Муавра z = ап = рл (cos п\|/ + i sin ny).
По определению модуля комплексного числа | z | =
откуда р = л
z О числа риг положительны, поэтому символ арифметического
корня здесь употреблен правильно).
Применяя определение равенства двух комплексных чисел, по-
лучаем, что одновременно справедливы равенства
{cos пф = cos <р
sinnvp = sintp.
г (по определению модуля комплексного числа для
Эти равенства одновременно выполнены тогда и только тогда,
когда пф = ср + 2л/г, где k — любое целое число, т. е. только для
ср + 2л/?
w =-------, где k — любое целое число. Значит, числа а, такие, что
п
каждое из них удовлетворяет равенству ап = r(costp + i sinep),
ществуют и могут быть записаны в виде
п /— ( <р + 2 л/?
а = \г cos-----------
п
cy-
(1)
. . ср + 2nk j ,
+ I Sin z---- , k G
n J
Обозначая через ap корень, вычисляемый по формуле (1) для
k = р, получаем:
<p
Ф
n
«1
COS
n
COS
I sin
п
<р + 2л (п - 1)
COS ---------------
cos
= «о»
п
cos
а
&-2п	«0»
• ••, (X п CXq,
398
Отсюда легко видеть, что для любого целого р справедливы ра-
венства CX.Q	ССХ &рп + 1» ^2 ^рп + 2» •••» ^"п — 1 арп + п — 1"
Итак, различных корней ровно п: ос0, <хх, а2, ...» ап _ х. Они могут
быть вычислены по формуле
п
ak= л
cos
где k = 0, 1, 2, ...»
п - 1. (2)
то
ПРИМЕР 1. Найдем корни третьей степени из числа z =
Поскольку для числа г имеем г — 2, а <р
cos
где k = 0, 1, 2
3
з
зп: (	25л	. . 25л
а <> = у 2 cos----+ i sin----
2 I	18	18
Рассмотрим частный случай: отыскание корней степени п,
и > 2, из единицы, т. е. найдем все числа aft, такие, что а£ = 1. Рас-
смотрим число z=l + Oi. Поскольку для него г = 1 и ф = 0, то
2лЛ . . 2л/г / л 1 п	1
ak = cos —— + i sm ——, где k = 0, 1, 2, ..., n — 1.
Если n = 2m (четное число), то среди этих корней существуют
только два действительных корня: а0 = 1 и ат = -1. Если же
п = 2т + 1 (нечетное число), то существует только один действитель-
ный корень а0 = 1.
Приведем еще геометрическую интерпретацию корней степе-
ни п (п 5s 3) из единицы:
. . 2л
+1 sm—,
а0 = 1, ах = cos
6л . . 6л
а о = cos — + i sm —
А п	п
4л . . 4л
а? = cos — + i sm —
п	п
2л (п - 2)	. . 2л (п - 2)
а п _ 2 = cos--------+ i sin---------
П £	п	п
2л (п - 1)	. . 2л (п - 1)
а „ _ 1 = cos-------+ i sin---------
п 1	п	п
Очевидно, что точки а0, oq, а2, а3, ...» ал_2, ал _ i являются вер-
шинами правильного zz-угольника, вписанного в единичную окруж-
ность, одна из вершин которого — точка Aq(1; О).
Тригонометрическая форма комплексных чисел
ПРИМЕР 2. Пусть п = 3, тогда
а0 = 1, а [ = cos
2л . . 2л
— + i sin —
3	3
. . 4л
+ ism —
3
Точки Ао(1; 0),
4л
а2 = cos —
являются вершинами правильного тре-
угольника A0AjA2, вписанного в единичную окружность (рис. 189).
 Рис. 189
А(0; 1)
|А3(0; -1)
а Рис. 190
ПРИМЕР 3. Пусть п = 4, тогда а0 = 1, щ = i, а2 = -1, а3 = —i.
Точки Ао(1; 0), Л1(0; 1), Д2(-1; 0), А3(0; -1) являются вершинами
квадрата А0А1А2Аз, вписанного в единичную окружность (рис. 190).
Приведем теперь формулу для корня степени п (п > 2) из — 1.
Рассмотрим число z = -1 + 0i. Так как для него г = 1 и ф = л, то
л + 2л&	. . л + 2л/г
a h = cos---------+ i sin---------
n	n
где k = 0, 1, 2, ...» n - 1.
(3)
Отсюда видно, что если п = 2т (четное число), то среди ak нет ни
одного действительного корня. Если же п — 2т + 1 (нечетное число),
то существует только один действительный корень ат = —1.
Отметим, что при zi > 3 точки а0,	а2, ...» ап _ 2, otrt _ i, вычис-
ленные по формуле (3), также являются вершинами правильного
n-угольника, вписанного в единичную окружность.
ПРИМЕР 4. Пусть п = 3, тогда ot0=cos^- + :
О
5л
/3
2
cq = -1, а2 = cos
—. Точки Ап
2	0
3
являются вершинами правильного треугольника А0А]А
2'	2
л2
вписанного в единичную окружность (рис. 191).
400
 Рис. 191
Ш Рис. 192
Пусть п = 4, тогда а0 =
ПРИМЕР 5.
V2 . V2
----I—,
Точки
являются вершинами квадрата
ляются по формуле bk=r\j\a\
. Если п = 2m, то
ЛоА1А2Л3, вписанного в единичную окружность (рис. 192).
Вообще для любого положительного числа а и любого четного
натурального числа п существует только два действительных числа
Ь1 и fe2» таких, что Ь" =	= а.
Действительно, поскольку для любого положительного числа
а = jn|(cosO + isinO), то все корни степени п из этого числа вычис-
2nk . . 2nk
cos--------------------------------1-1 sin-
n	n
среди этих корней только два действительных корня: Ьо = VI и
Ьт = — Vlal» что и требовалось доказать.
Аналогично можно доказать справедливость следующих утверж-
дений:
1)	Для любого положительного числа а и любого нечетного на-
турального числа п существует только одно действительное число
b = такое, что Ьп = а.
2)	Для любого отрицательного числа а и любого нечетного нату-
рального числа п существует только одно действительное число
b = ~Vlal» такое» что Ьп = а.
3)	Для любого отрицательного числа а и любого четного нату-
рального числа п не существует ни одного действительного числа Ь,
такого, что Ьп = а.
401
Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел
17.22
17.23
17.24
Сколько существует различных корней степени п (п 2) из
комплексного числа z = r(cos<p + isincp) (z ф 0)? Напишите
формулу для вычисления этих корней.
Найдите корни степени
. . ( 4п . . 4тсА
а) 4 cos —— + i sm — ;
V 3	3 J
ь OKf Зтс . Зл")
в) 25 cos— + isin— ;
I 4	4
2 из комплексного числа:
_ 2тс . . 2л
б) cos-------Ь i sm —
3	3
г) 36 cos
4л
+ i sin
Найдите корни степени 2 из комплексного числа и найдите
на комплексной плоскости точки, их изображающие:
а) 1;	б) -1; в) 4г;	г) -4i;
д) 1 + i;	е) 1 - i; ж) 1 + /л/З;	з) 1 - f л/з.
5
17.25
Найдите корни степени 3 из комплексного числа и найдите
на комплексной плоскости точки, их изображающие:
а) 1;	б) —1;	в) 8Z;	г) —8i;
д) 1 + i;	е) 1 — i;	ж) 1 + дл/З;	з) 1 — д>/3.
17.26 Пусть — корни степени п (п > 2) из 1 (k = 0, 1, ..., п - 1).
Докажите, что:
*0 I I — 1	~	+ т» В) “	& k— т*	Л ^km*
т
11.21 Вычислите корни степени 4 из комплексного числа:
§ 18*. Корни многочленов.
Показательная форма комплексных чисел
18.1*. Корни многочленов
Ранее уже рассматривались многочлены Рп (х) степени п (п е N,
п 1) относительно х:
Рп (х) = апхп + ап_1хп~1 + ... + агх + а0,	(1)
коэффициенты а„, ап_ 1? ..., alt а0 которого — данные действитель-
ные числа, причем ап Ф 0. При этом корнем многочлена (1) называли
действительное число а, такое, что Рп (а) = 0.
Теперь обобщим понятие корня многочлена (1).
Действительное или комплексное число а называют корнем
многочлена (1), если Рп(а) = 0, при этом иногда если а — действи-
тельное число, то корень называют действительным корнем, если
а — комплексное число, то корень называют комплексным корнем.
14-Никольский, 11 кл.
^э.->
402
Например, многочлен х - 1 имеет действительный корень 1, мно-
гочлен х2 + 1 имеет два комплексных корня i и -i, многочлен х2 + х
имеет три корня — один действительный корень О и два комплекс-
ных корня i и —i.
ТЕОРЕМА 1. Любой многочлен (1) степени п (п е N, п 1) име-
ет хотя бы один корень.
В теореме 1 имеется в виду любой (действительный или ком-
плексный) корень. Доказательство теоремы 1 выходит за рамки
школьного курса математики и поэтому опускается.
Теорему 1 называют основной теоремой алгебры. Эта теорема
справедлива и тогда, когда коэффициенты ап, ... а0 (ап Ф 0) много-
члена (1) — данные комплексные числа.
Если многочлен (1) можно переписать в виде
Рл(х)= а„(х- di/’Cx- а2)*2 •... • (х-ат)Ч
где kx + k2 + ... + km = п и среди чисел ах, а2, нет равных, то
говорят, что каждое из чисел ау, является корнем кратности kj мно-
гочлена Рп (х).
Следствием теоремы 1 является следующая теорема:
ТЕОРЕМА 2. Любой многочлен (1) степени п (n е N, п 1) име-
ет п корней, если каждый из его корней считать столько раз, какова
его кратность.
Например, многочлен х4 + х
сти 2, I и -I
2 имеет четыре корня: 0 кратно-
каждый кратности 1.
Рассмотрим квадратный трехчлен
„2
(2)
где р и q — данные действительные числа.
Покажем, как найти корни этого многочлена. Преобразуем
квадратный трехчлен, выделяя полный квадрат:
„2	/	„2
2	( «2
4
(3)
Если
если < 0, то
2
1
где знак арифметического корня
употреб-
деистви-
лен правильно: под знаком корня стоит неотрицательное
тельное число.
Итак, равенство (3) можно переписать так:
4
4
2
403
Корни многочленов- Показательная форма комплексных чисел
Из этих равенств следует, что многочлен (2) всегда имеет два
корня. Возможны три случая:
-.4	Р
1) если —
деист-
вительные и разные;
если — <0, то х, = —— + L----
4	1	2 V 4
— и оба корня
комплексные и различные (сопряженные числа);
оч	Р	р
3) если — = 0, то хг = х2 = — — и оба корня действительные
4	2
Р
2
и совпавшие,
ности 2.
поэтому корень хг = -
и называют корнем крат-
ТЕОРЕМА 3. Если многочлен
Рп (х) = алхп + ап _ гхп 1 + ап _ 2хп ’ 2 + ... + ахх + а0 (ап * О)
с действительными коэффициентами ап, ап_!, ..., а0 имеет комп-
лексный корень а + Ы (Ь* О), то он обязательно имеет и корень
а — Ы.
Доказательство. Пусть число z0 = а + bi (b*0) — корень
многочлена Рп (х). Тогда Рп (z0) = 0, т. е. справедливо равенство
“п2о + ап - 120 “ * + — + “120 + <*0 = 0-
Возьмем теперь сопряженные числа от левой и правой частей
равенства, получим, что Z^(zo)=O. Теперь учтем, что сопряженное
число к сумме равно сумме сопряженных чисел к слагаемым, а так-
же тот факт, что для действительных чисел а. справедливы равен-
F
ства a^Q = ci:Zq= a;(z0)y.
Поэтому получим равенство

Рп (г0) = ап (2о)" + а„ -1 (2о)" 1
+ ... +a1(z0) + a0 = P„(z0) = 0.
Мы получили, что число zQi сопряженное к z0, есть корень мно-
гочлена Рп(х). Теорема 3 доказана.
ПРИМЕР 1. Найдем все корни многочлена Р2(х) = х2 + х + 1.
m	Р 1	1	3	п . -
Так как — =--1= —, то многочлен Р2\х) имеет два комплекс-
4	4	4
ных корня:
Эти корни являются сопряженными числами.
14*
404
ПРИМЕР 2. Найдем все корни многочлена
Р3(х) = х3 + х2 + 2х — 4.
Из теоремы 3 следует, что многочлен Р3(х) имеет хотя бы один
действительный корень. Если этот корень рациональный, то он це-
лый и является делителем числа -4. Проверкой убеждаемся, что
Xi = 1 является корнем многочлена Р3 (х). Разложим многочлен
Р3(х) на множители: Р3(х) = (х — 1)(х2 + 2х + 4).
Найдем корни многочлена х2 + 2х + 4:
Таким образом, многочлен Р3 (х) имеет три корня:
Рассмотрим уравнение
Р„(х) = 0,	(4)
левая часть которого многочлен (1) степени п (п е 7V, п > 1), а все ко-
эффициенты — действительные числа. Ясно, что любой корень мно-
гочлена (1) является корнем уравнения (4).
Если п — четное число, то уравнение (4) либо не имеет действи-
тельных корней, либо имеет только четное число действительных
корней (с учетом их кратности).
Если п — нечетное число, то уравнение (4) обязательно имеет
хотя бы один действительный корень (число действительных корней
может быть только нечетным).
Эти утверждения следуют из теоремы 3.
18.1
Убедитесь в том, что числа:
а)	1 4- I и 1 — i являются корнями многочлена х2 — 2х + 1
1 Уз	1 -Уз
б)	— + — г и------i являются корнями многочлена х2 — х
2	2	2	2
18.2
Найдите все корни уравнения (18.2—18.4):
а) х2 - 5х + 2 = 0;
в) х2 + Зх + 6,25 = 0;
д) х2 + Зх + 3 = 0;
18.3
18.4
а) 2х2 + 5х + 2 — 0;
в) 2х2 + 2х + 1 = 0;
д) 5х2 + 7х + 3 = 0;
а) х3 - 5х2 + 8х - 4 = 0;
в) х3 — 1 = 0;
д) х4 + 2х2 + 3 = 0;
б) х2 + х + 1 = 0;
г) х2 - 2х + 5 = 0;
е) х2 + 2х + 2 = 0.
б) Зх2 - х + 2 = 0;
г) 2х2 - 2х + 1 = 0;
е) 6х2 - 2х + 1 = 0.
б)	х3 - Зх2 + 4 = 0;
+ 1 — О*
е) х3 + 5х2 + 17х +13 = 0
405
Кории миогочСлемоя. Показательна» форма комплексных чисел
18.2*. Показательная форма комплексного чиола
Ранее уже было дано определение действительной степени поло-
жительного числа. Теперь определим комплексную степень только
одного числа е = 2,7182818284590... .
Пусть а + 0i — данное комплексное число, где а и 0 — некото-
рые действительные числа, тогда под числом еа + понимают число
ea(cos0 + isin0), т. е.
еа + pi _ e«(cos 0 + i sin	Ц)
Пусть z = а + Ы — некоторое комплексное число, такое, что
а2 + Ъ2 = 1. Это число можно записать в тригонометрической форме
г = coscp + i sin ср.	(2)
Согласно определению (1) правую часть в формуле (2) можно за-
писать в виде е1ф и тем самым получить формулу
е,ф — cos ср + i sin ср.
(3)
Формулу (3) называют формулой Эйлера, который впервые за-
писал ее в XVII в.
Возникает вопрос: почему в левой части формулы (3) написано
число е,ф? Ответить на этот вопрос можно следующим образом.
Разложим в ряд Тейлора каждую из функций у = cos х, у = sin х,
у = ех:
2k
6
COS X = 1-------1---------
2!	4!	6!
v3 v5 ~7
(2Л)!
„2Л-1
(4)
л-i
(2k — 1)1
.л
(5)
2!
4!
(6)
Если в формуле (6) вместо х формально поставим ix, то получим
(7)
Если теперь в правой части формулы (7) написать отдельно дей-
ствительную и мнимую части, то окажется, что правая часть равен-
ства (7) равна сумме правой части равенства (4) и правой части ра-
венства (5), умноженной на число I. Но тогда такое же равенство
должно выполняться и для левых частей равенств (4), (5), (7), а это
и дает формальный повод записать формулу Эйлера
е'ф = coscp + i sin ср.
Отметим частный случай формулы Эйлера: ein = -1.
Действительно, elK = cost: 4- isinyi = —1 + 0 •/ = —!.
406
Отметим важные свойства величины
| е/ф | = | cos <р + i sin ф | = ^/cos2(p + sin2(p = 1 при любом ф.
Н Рис. 193
Это показывает, что точка z = е1<р
комплексной плоскости находится
на единичной окружности, т. е. на
окружности радиуса 1 с центром
в начале координат.
На рисунке 193 единичная
окружность разделена на 12 равных
частей. При этом точка, соответст-
вующая ф0 = 0, входит в число точек
деления.
Ниже приведена таблица ком-
плексных чисел, соответствующих
этим точкам.
ф	0	л 6		со | Я	to | я	2л 3	• ф <	11л 6
е/ф	1	со] to | Н*	♦ 1	1 7з . — + —1 2	2	♦ 1	1 со | м 10 «1	• • •	м со 1 СО | 1-1 г*.
3 .
ТТ	1 V 3
Числа 1, —	Л
2	2	2	2
1 V3 .
2 + 2 '
/3	1 .
-----it записанные
2	2
во второй строке таблицы, есть корни степени 12 из 1.
Если ф непрерывно возрастает от 0 до 2л, то в комплекс-
ной плоскости точка описывает единичную окружность, а при
дальнейшем возрастании ф точка будет продолжать движение по
окружности.
Докажем для любых фх и ф2 формулу
<>Нф1 + Ф2 ) = £>‘Ф1е'Ф2#
Действительно,
е«?хе<Ф2 = (cos ф1 + i sin фх) (cos ф2 + гзтф2) =
= cos (фх + ф2) + isin^ + ф2) = е‘(ф1 + ф2).
что и требовалось доказать.
Аналогично показывается, что
х>*(Ф1 - Фг) =
е«Ф2 *
Пусть теперь z = а + bi — некоторое отличное от нуля комплекс-
ное число. Запишем его в тригонометрической форме
z = а + Ы = г(соБф + /зшф).
407
Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел
Используя формулу Эйлера, число z можно записать в более
компактной форме
z = г •	(8)
Правую часть равенства (8) называют показательной формой
комплексного числа z.
ПРИМЕР. Запишем комплексное число z = 3 + 41 в показатель-
ной форме.	_____
Сначала найдем модуль числа z: \z\ = уЗ2 + 42 = 5.
Теперь запишем его в показательной форме:
z — 51 — + — i | = 5 (cos а + i sin а) = 5eia,
\ 5	5
где а — угол, для которого
3	.	4
cos а = —, sm а = —
5	5
(9)
Будем искать а среди углов, удовлетворяющих двойному не-
равенству 0 < а < 2л. Так как в данном случае cos а > 0, sin а > О,
то а находится в первой четверти. Из равенств (9) следует, что
3
а = arccos—.
Ответ, z — 5ега, где а = arccos—.
5
Рассмотрим теперь отличные от нуля комплексные числа, запи-
санные в показательной форме:
z = г • е£ф, Zj = rj • el<₽1, z2 = r2- et<p2.
Тогда, учитывая написанное ранее, получаем формулы:
Zj • z2 = Г1 • г2 • е|(Ф1 + ф2 \
Zi : z2 = rj : r2 • е1(Ф1“ ф2>,
zn = f1 • е‘фл (n е Z).
Показательная форма комплексного числа позволяет записать
комплексное число очень компактно, формулы умножения, деле-
ния, возведения в целую степень для такой формы записи очень про-
сты. Поэтому показательная форма записи комплексного числа
употребляется в различных приложениях, в особенности в физике.
Замечание. Определение (1) означает, что на самом деле введена
функция
f (z) = ег	(10)
комплексного аргумента z следующим образом: каждому комплекс-
ному числу z = х + yi поставлено в соответствие комплексное число
/(z) = ex(cosy + isiny).
408
Укажем некоторые свойства функции (10):
1) При у = 0 функция (10) является показательной функцией
f (х) = ех, изученной ранее.
2) Функция (10) является периодической с периодом 2ти.
Действительно, для комплексного числа х + yi имеем:
f (г + 2ju) = ег + 2ni
= i (У + 2л) _
- ех (cos (у + 2я) + i sin (у + 2я)) = ех (cos у + i sin у) = е* +
yi =
Представьте в показательной форме комплексное число
(18.5—18.6):
18.5 а) 3 - 4д; б) 1 + д;
д) 5;	е) -3;
18.6 а) 3 (cos а + i sin а);
в) 5 (cos а — i sin а);
г) 1 + 2д;
з) — 31.
б) -4 (cos а + i sin а);
г) -6 (cos а - i sin а).
18.7
18.8
18.9
Запишите в
алгебраической форме комплексное число:
in
б) 2е з ;
2i п
Для комплексных чисел
венство:
a) = г1г2е,'(Ф1 + Ф2); б]
fl
/Л
31П
г) 5е1К;
— r2el<P2 докажите ра-
- Ф2 )
Вычислите:
i л 41 л
б)
in
Д)
In
14е 4 :
Зе14 • 4е 7 ;
in / in
12е“2" : 8е~ь
7ев ;
Исторические сведения
До введения отрицательных чисел можно было говорить, что
уравнение х + 3 = 2 не имеет корней, так как не существовало неот-
рицательного числа, которое обращало бы это уравнение в верное
числовое равенство. Однако после введения отрицательных чисел
это уравнение стало разрешимым.
Точно так же уравнение х2 = -9, не имеющее корней среди
действительных чисел, становится разрешимым после введения но-
вых чисел — комплексных чисел.
Эти числа были впервые введены итальянским математиком
Кардано в середине XVI в. в связи с решением кубического урав-
нения, он назвал их «софистическими» (т. е. «мудреными»). Назва-
|409
Исторические сведения
К, Гаусс
ние «мнимые» (imaginaires) в 1637 г. ввел французский математик
и философ Рене Декарт (1596—1650).
Еще в древности математики в процессе решения задач сталки-
вались с извлечением корня квадратного из отрицательного числа;
в этом случае задача считалась неразрешимой. Однако постепенно
выяснялось, что решение многих задач, задаваемых в действитель-
ных числах, получает простое объяснение при помощи выражений
а + bit где i2 = -1, которые в конце концов тоже стали называть чис-
лами, но уже комплексными (см. § 16). Первое обоснование простей-
ших действий над комплексными числами дал итальянский матема-
тик Раффаэле Бомбелли (ок. 1530—1572) в 1572 г., хотя еще долгое
время к комплексным числам относились как к чему-то сверхъесте-
ственному.
Академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер
(1707—1783) внес существенный вклад в вопросы теории комплекс-
ных чисел. После его работ комплексные числа получили оконча-
тельное признание как предмет и средство изучения. Само название
«комплексное число» было предложено в 1831 г. немецким матема-
тиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855), первое открытие
которого — способ построения с помощью циркуля и линейки пра-
вильного 17-угольника — было связано с извлечением корней 17-й
степени из единицы. Слово «комплексный» означает «сложный»,
« составной », « совокупный ».
Рене Декарт впервые сформулировал в своей книге «Геометрия»
основную теорему алгебры о числе корней уравнения n-й степени
(см. п. 18.1). При этом Декарт допускал существование не только
истинных (положительных) и ложных (меньших, чем ничего, т. е.
меньших нуля — отрицательных) корней, но и воображаемых, мни-
мых, т. е. комплексных корней.
Долгое время не удавалось найти такие физические величи-
ны, над которыми можно было бы выполнять действия, подчинен-
ные тем же правилам, что и действия над комплексными числами,
в частности правилу i2 = —1. Отсюда названия «мнимая единица»,
«мнимое число». В настоящее время известен целый ряд таких
физических величин, и комплексные числа применяются не только
в математике, но также в физике и технике (теория упругости,
электротехника, аэродинамика и т. д.).
Задания для повторения
Данный раздел предназначен для повторения изученного в
одиннадцатилетней школе. В разделе использованы задачи школь-
ных выпускных экзаменов и конкурсных экзаменов в вузы страны.
Список принятых сокращений приведен в конце раздела.
Вычислите (1—3):
(МГУЭСИ). а) --
2— -0,3125
3
0,134 + 0,05
р 21 Y
k10 + 990 /
г)
78-
(11- 1,25): 2,5 ’
2
3
4
5
6
в) 417-
2
10
• 230—- 41-+ 2001: 3.
(МГУЭСИ). а) 90-
б)
а)	Делится ли число 679679 на число 2001? Ответ обоснуйте.
б)	Делится ли на 679 число 20014 — 13224?
а)	Натуральные числа с 1 по 2001 записали подряд без запятых:
123456789101112131415161718...20002001.
Делится ли полученное число на 3; на 9?
б)	Натуральные числа, начиная с 1, выписали подряд без запя-
тых: 123456789101112131415161718192021... .
Какая цифра стоит на 2001-м месте?
Сколько натуральных чисел от 1 до 2001 не делятся ни на 2,
ни на 7?
7 Докажите, что sin 10° — иррациональное число.
8 (СПбГПУ). Найдите натуральные числа п, для каждого из кото-
рых (НОД(п; 4))2 = п, где НОД (п; 4) — наибольший общий дели-
тель чисел п и 4.
9 Докажите, что число:
а) д/7- 4V3 + ^4 - 2-УЗ; б) 7э- 4л/б + 714- б7Ё>
является целым, и найдите это число.
411
Задания для повторения
Вычислите без таблиц и калькулятора (10—15):
10 a) arccos (sin 5) + arcsin (cos 5); 6) arctg (ctg 4) + arcctg (—tg 4).
1	1
11 (МГУ, геол. ф-т), a) tg8x, если tg2x = —; 6) tg4x, если tgx = —.
4	3
12
13
14
(МПГУ). a) tg20° + tg25° + ctg 70° ctg 245°;
6) 2 + log2 sin 7°30' + log2 sin 82°30' - log0>5 sin 75°;
в) sin arccos —
COS
(мгиэт). —4 4
2 sin—tg—
2
. 3л
- sm —
2
2
4
a)	101og3(5+2-Тб) + log3(T2 + 73) + 211og3(T3 - 72);
6)	121og2 (8 + 2715) + log2 (Тб + 7з) + 251og2 (Тб - 7з).
15
16
(СП6ГПУ). a) 3log2 5 • 5-10fe 3;
(МГУ, почв. ф-т). Определите, что больше:
. 43л	. о/
sin-----tg*5
6) (log^ 9)(log8 3)1.
a) arccos ——
’log 81
4л
27
или
2
б) arcctg ——
V3
’.log5^ Hi
9 31л , 29л , 11л
или cosz —— • tg —— • tg-----
17
18
(МГУ, геогр. ф-т). Сравните два числа:
. Зл	4 2л	3
а) — и arccos —; б) —— и arccos —
'10	5	' 10	10
Известно, что:
a) ctg а = л/з. Сравните arccos
19л
и ——
sma----
4
—	/-------- 19 71
3. Сравните arccos (— V— 3 sin а — 1) и-
19
(МГУ, мехмат). Известно, что для некоторой тройки чисел х, у, z
(х Ф у) выражения:
a) log
6) log
и log
(Xy[yz)
равны одному и тому же числу. Найдите это число.
412
20 (МГУ, ФНМ). Найдите наименьшее натуральное число, которое
при делении на 2 дает остаток 1; при делении на 19 дает оста-
ток 3, делится нацело на 7.
Алгебраические выражения
Упростите выражение (21—24):
21
22
5а2 - 5Ь2
а2 + Ь2
(МГУЭСИ). а)
(х - а)(х - Ь) (х - с)(х - Ь) (х - с)(х - а)
(с — а)(с — Ъ) (а — с)(а - Ь)	(Ъ — с)(Ь - а)
б)
4(а + d)2	(а + b)2 — ab (а3—Ь3	44(а — Ь)
---------Io I  ---------: -----—  -------
аЬ-------} ab \ llao ab
а + b
аЬ
г) 21 _а - ь  |(а-’ - b 1)(а-2 + Ь 2)-1
\а — Ь * а 1 + Ъ 1 )
23
24
а)
б)
; найдите его значение при а = —
3
f(a + 2)2 - а2
1^ 4а2 —4 а
(МГУ, ИСАиА).
25 (МИСиС). Сократите дробь и вычислите значение полученного
выражения при указанном значении х:
. х3+4х2 — 9х - 36	_	_ х3+7х2+16х + 12 о
а) з п 5	11	1 q ’	» б) з " 2 о ' л ’	•
хл + 2хг — Их - 12	хА + 5х2 + 8х + 4
- 2аЬ — 6а2Ь2, где а
26
(СПбГПУ). Упростите выражение:
ч 2	11
а) ----- -=-----+	б)
413
Задания для повторения
27 (МЭИ). Упростите выражение:
28	(РЭА). Вычислите:
a)	725 - а2 + 713 - а2, если 725 - а2 — 713 — а2 = 2;
б)	734 + а2 - 77 + а2, если 734 + а2 + 77 + а2 = 6;
в)	^/(2 + Ь)2 (21 + Ь) - ^/(2 + Ь) (21 +1>)2, если ^/21 + b - 112 +Ь = 4;
г)	^(3-2Ь)2(2&-1)- ^(3 - 2b)(l - 2Ь)2 , если %3-2Ь- ^/1-2Ь = 2.
29	(РЭА). Вычислите:
если а = log2 8, Ъ — log2 4;
з
а)
(а - Ь)3 {4а + 4by3 + 2а4а + ъ4ь
а4а + ъ4ъ
В) ((Vp - V<z)“2 + (Ур + №) z) :
если с = 171og23, d = 2 logo^Sl;
если р= log2 3, q = log2 9.
П осл едо вате л ьност и
30	а) В геометрической прогрессии первый член равен 7з, а пя-
тый 7243. Найдите шестой член прогрессии.
б) В геометрической прогрессии первый член равен 72, а седь-
мой 7128. Найдите восьмой член прогрессии.
31 (МГУ, социол. ф-т), а) Найдите первый член и разность арифме-
тической прогрессии, для которой сумма первых пяти членов
с нечетными номерами на единицу больше суммы первых пяти
членов с четными номерами и равна квадрату первого члена.
б) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии,
для которой сумма первых четырех членов с нечетными номера-
ми на единицу меньше суммы первых четырех членов с четными
номерами и равна взятому с отрицательным знаком квадрату
первого члена.
32 (МГУ, ФНМ). а) Знаменатель бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии отрицателен. Найдите все целые числа /п, для
каждого из которых сумма ее членов с нечетными номерами
больше суммы ее членов с четными номерами на величину, рав-
ную произведению ее второго члена и числа вида т2 + Юти + 20.
б) Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии положителен. Найдите все целые числа п, для каждого из
414
- ь	- - --- - -- —	-	- -
которых сумма ее членов с нечетными номерами больше суммы
ее членов с четными номерами на величину, равную произведе-
нию ее второго члена и числа вида 6п — п2 — 7,5.
33 (МГУ, мехмат), а) О первых шести членах возрастающей ариф-
метической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех
этих членов равна нулю, а сумма их четвертых степеней рав-
на 49. Найдите первый член этой прогрессии.
б) О первых семи членах убывающей арифметической прогрес-
сии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна
нулю, а сумма их четвертых степеней равна 51. Найдите седьмой
член этой прогрессии.
34 (МГУ, почв. ф-т), а) Первый, второй и четвертый члены арифме-
тической прогрессии одновременно являются соответственно
первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической
прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать
знаменатель геометрической прогрессии.
б) Первый, четвертый и пятый члены арифметической прогрес-
сии одновременно являются соответственно первым, вторым
и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Най-
дите все значения, которые может принимать знаменатель гео-
метрической прогрессии.
35 (МГУ, почв. ф-т), а) Найдите арифметическую прогрессию, в ко-
торой сумма членов, сколько бы, начиная с первого, их ни взять,
всегда равна утроенному квадрату числа этих же членов.
б) Найдите сумму п первых членов ряда 7 + 77+ 777+....
36 (МГУ, хим. ф-т), а) Последовательность чисел аг, а2, а3 ... устро-
ена следующим образом: ах = 1, каждое последующее число равно
удвоенной сумме предыдущих чисел, т. е. а2 = 2а^ а3 = 2 (пх + а2)
и т. д. Найдите произведение всех чисел от до <22001 •
б)	Последовательность чисел ах, а2» аз> ••• устроена следующим
образом: а1 = 1, каждое последующее число равно утроенной
сумме предыдущих чисел, т. е. а2 = 3<zx, а3 = 3 (<Zj + а2) и т. д.
Найдите произведение всех чисел от ах до a2ooi-
Функции
Постройте график функции (37—46):
37	а)	у =	11 - 2х| + |2х + 3|;	б)	у =	|2х — 3| + 11 — х|.
38	а)	у =	2-х-|х-2| + 2|х|;	б)	у—2+х— 3|2 — х| + 2|х|;
в)	г/=	5 + 2х — |х — 2| — |х+1|;	г)	i/ =	|x + 2| — 2|х-1| —	х.
39	а)	у -	у/(х - З)2 + 7(5 - х)2;	б) у = у[(х - I)2 + 7(3 - х)2.
40 у = у!(х + 2)2 + 7(х - 2)2.
41 а) у = sinx + |sinx|; б) у = -cosx|cosx|.
Задания для повторения
42
43
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
а)	у = sinx - Vsin2x; б) у = cosx - ^cos2x.
у = sin х | sin x | - cos x | cos x |.
у = cos x д/cos2 x — sin x ^sin2x.
у = yl - 4 sin2 x cos2 x - cos2 x + sin2x.
у = ^/sin22x + 2 sinx cosx.
Изобразите на координатной плоскости множество точек, коор-
динаты которых удовлетворяют условию:
а) (у - 1)(х2 - Зх - 18) = 0; б) (у + 1)(х2 + Зх - 10) = 0.
Укажите область определения функции (48—55):
а)
2 - 4
= дДоеИ*2 - 4х - 4).
(МГУ, геогр. ф-т), а) у
б) у ~ -J12- х- х2 • log3 _
(ВШЭ), а) у =
lg(2x + 3)
lg (2х + 3)
(ВШЭ), а) у = 71og2 (ж2 - 2х - 2);
Найдите координаты общих точек графиков функции:
а) у = Vx + 7 и прямой у - х — 1 = 0;
б)	у = Vx - 4 и прямой у - 2х + 9 = 0.
(МГИЭТ). а) Найдите наименьшее значение функции
^416
«=___
б) Найдите наибольшее значение функции
_ х4 — 2х3 + 5х2 - 4х + 5
У ~ х - 2 - х2 *
58
(МГУ, хим. ф-т). Функция f(х) удовлетворяет следующему
условию: для любых чисел а и 6 выполняется равенство
fa+ V /(а) + 2/(6)
I 3	3
. Найдите значение функции /(1999), если:
а) /(1) = 1 и /(4) = 7; б) /(1) = 2 и /(4) = 8.
59	Докажите, что:
а)	р2 > 4q, если известно, что 1 + р + q < 0;
б)	62 > 4ас, если известно, что (а + 6 + с) (а - 6 + с) < О.
60	(МГУ, почв. ф-т), а) Пусть /(х) — периодическая функция с пе-
риодом 8, такая, что /(х) = 8х - х2 при х g [0; 8). Решите урав-
нение /(2х + 16) + 23 = 5/(х).
б)	Пусть /(х) — периодическая функция с периодом 1, такая, что
/(х) = х2 при х е [0; 1). Решите уравнение /(2х + 5) + 2/(х) = 1.
61 (МГУ, хим. ф-т). Найдите /(2001), если функция /(х) для всех х
удовлетворяет уравнению:
а)	/(х + 1) = /(х) + 2х + 1, и известно, что /(0) — 0;
б)	/(х + 1) = /(х) + 2х + 3, и известно, что /(0) = 1.
Линейные и кводратные уравнения
Решите уравнение (62—65):
63 (2 - Зх)2 + (1 + 4х)2 = (5х + 1)(5х - 1).
61 (МИРЭА). а) (21х + 44)2 - 25(21х + 44) + 46 = 0;
б)	(19х + 40)2 - 23 (19х + 40) + 42 = 0;
в)	(17х + 36)2 - 21 (17х + 36) + 38 = 0;
г)	(15х + 32)2 - 19(15х + 32) + 34 = 0.
65 (МИРЭА). а) (х + 97)2 + 34 (х + 97) + 120 = 0;
б)	(х + 79)2 + 43 (х + 79) + 120 = 0;
в)	(х + 93)2 + 35 (х + 93) + 150 = 0;
г)	(х + 86)2 + 44 (х + 86) + 160 = 0.
66	Докажите, что при нечетных р и q уравнение х2 + рх + q = 0 не
имеет рациональных корней.
67	При каких целых значениях k являются рациональными чис-
лами корни уравнения kx2 - (1 — 2k) х + k — 2 = 0?
68	Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициен-
тами, имеющее корень: а) х = 4 — >/3; б) х = 2 + д/з.
417
Задания для повторения
Рационольные уравнени%.
6$)
Решите уравнение (69—76):
17	7
а) ^— = 2——:
б)
3-
2х
-5=0;
Д)
2
70
|РЭА>- *> ЕГ-В
18
б)
= 0;
2 х - 3
1 - 16х2	12х + 3
0;
2
= 0.
(МИРЭА). a) 1 +
2 - 9х + 18
10
(МИРЭА). а)
11
2 - 20х + 75
13
2 - 20х + 84
(МИСиС).
а)
19
2 - 20х + 91
13
2 . „
х - 10
(МИРЭА). а) ------=-----
' (Зх + 5)(х - 1)
4	17
б)
(4х + 3)(х- 1)
(2х + 7)(х - 1)
3
(4х + 5)(х - 1)
18х + 7
(х + 7)(х - 1)
(2х + 5)(х - 1)
(4х - 1)(х- 1)
2 - 20х + 96 ’
418
76 (ИКСИ АФСБ). а) (10х - 5)2(10х - 4)(10х - 6) = 72;
б) (Зх + 5)
(Зх + 7) =
Иррациональные уравнения
77
78
Решите уравнение (77—91):
(МИРЭА). а) х = д/Зх + 40;
в) х = д/5х + 36;
а) 710 - х = 4 - х;
в)	71 + х = 2х - 4;
д)	X + 37х - 5 = 5;
ж)	д/х4 - Зх - 1 = х2- 1;
и)	7х (х ~ 2) (х + 3) = 3 - х;
б) х = 710х + 24;
г) х = 73х + 28.
б) 7х - 1 = х — 3;
79
80
81
82
(МГУ, геогр. ф-т), а) 73х + 3 =
а) х + 1 = 2 - 7х - 1;
(МИРЭА).
а) х2 - 13х + 30 = (73х - 18)2;
в) х2 - 8х +10 = (77х- 40)2;
к)	у/х (х + 4) (х - 3) = 6 — х.
2х - 3; б) 73х + 2 = 2х - 4.
б)	1 — 7х — 2 = х — 1.
б) х2 - 9х +13 = (7бх- 35)2;
г) х2 - 15х + 55 = (7х - 8)2.
(МИРЭА). а) 73х- 5 = 3 - 2х; б) у/4х2 + 4х + 1 = х2 + х - 1;
в)	у/х2 + х + 4 + д/х2 + х + 1 = д/2х2 + 2х + 9;
г)	7б29 - х + 777 + х = 8.
83
(МИРЭА). а) д/х3-5х2 + 7х-17 = д/х3 - 4х2 - Зх + 4;
б)	д/х3 - 8х2 - 7х 4- 2 = д/х3 — 7х2 - 18х + 20;
в)	д/х3 - 4х2 + 20х — 81 = д/х3 — ,3х2 + 6х — 41;
г)	д/х3 - 5х2 + 15х - 77 = д/х3 - 4х2 + 2х — 37.
84 (МГУ, социол. ф-т), а) y/у - 1 = 6- у; б) 7х +1 = 4 - х.
85 (МГУ, геогр. ф-т), а) д/2х2 - 8х + 5 = х- 2; б) 72х2 — 8х + 6 = х— 2.
86 а) б7х- 2 + 37х + 1 + 2х = 17; б) 73х- 2 + 27х- 1 + 5х = 14.
87 а) 73х - 15 - 720 - 4х + 7х = 35; б) 73х + 6-7-Ю- 5х — 0,5х = 1;
в) >/2х-12 + л/30-5х + 1,5х=10.
419
Задания для повторения
88 (МИРЗА), а) ^297 - Зх + д/х-18 = 9; б) ^/200 +2х + д/300-х = 20;
в) ^/б + х + д/35 — х = 6; г) ^/192+ 4х + -J-32 — х = 4.
89 (МИРЗА), а) '^Зх + 20 + ^5х + 4 = ^2х +19 + д/бх + 5;
б)	д'х + 6 + %7х + 10 = ^/2х +15 + ^6х + 1;
в)	^/2х + 5 + ^/5х + 16 = д/х + 8 + ^6х + 13;
г)	^4х + 6 + \5х + 12 = *13х +10 + ^/бх + 8.
90 а) ^х- 2 + д/х + 5 = ^30- х; б) %lx- 1 + ^/2х + 4 = ^31- 2х.
91 а) (МГУ, почв. ф-т). 7б - х2 = 1 - х;
б)	(МГУ, псих. ф-т), д/х + 2 + д/8 - х = д/15;
в)	(МГУ, хим. ф-т). д/4х - х2 + д/4х - х2 - 3 = 3 + ^2х - х2.
92
93
94
95
96
97
Показательные и логарифмические уравнения
Решите уравнение (92—100):
в)	53х+1 = 25х-1;
д)	32х = 27х+6;
ж) 4~х + 1 = 8х;
42х= 1б2х + 5;
g9x + 1 _ дЗх - 1.
64х+ 1 =847х.
а)
в)
д)
а)
в)
^3 - 0.2х
8
0.
- 18-
Л 2 • ₽j0»3x - 4 _	125 .
U,Z &	250’2’х*
3х" 1 - 3х"2 = 18;
4х + 1 _ 22х - 2 = 60.
22х“ 1 • 3х = 0,5 • 124"х;
а)	7 • Зх +1 - Зх + 4 = 5Х + 2 - 5Х + 3;
б)	2х - 2Х + 2 + 2х”1 = (Зх+1 - Зх + 2 + 3х) • |.
a) log3 log Их2 - 4х + 3) = 0; б) log 27 logsf*2 - 2х - 3) = 0;
16	и
в)	logs log6(x2 - 2х - 3) = 0; г) logs logi(х2 - х - 5) = 0.
7	3	2
(МИРЭА). а) 4 log9 (х - 2) + log3(x - 4)2 = 0;
б) log2182- 41og4V5 - х = log2(ll - х) + 1;
в) logxV3 - logxV3 = log327 - logx(3x).
fl 420
98 a) 5lg x = 50 - (1O'B 5)1B x; 6) 31B x = 54 - (101B 3)‘B x.
99 а) (МГУ, физ. ф-т). 18х - 9х + 1 - 2х + 2 + 36 = 0;
б) (МГУ, хим. ф-т)
+	+	+	"& = | + logx(2V6).
100 а)
log3x 4 - log3x 2=1;
б) log2x 9 + loS2x3 = 3-
Тригонометрические уравнения
101
102
Решите уравнение (101—107):
a) sin 2х = у[з cos х; б) sin 2х =
V2cosx.
a)	sin2x
2 sinx = 0. Укажите
Зя. Зл
2~’ ~2 ’
б)	sin 2х + V3 cos х = 0. Укажите
лежащие отрезку [-к; 2л].
все корни уравнения, принад-
лежащие отрезку
все корни уравнения, принад-
103
104
105
106
107
а) sin (0,5л + х) + sin 2х = 0;
a) sin 4х + У3 sin Зх + sin 2х = 0;
(МИРЭА). a) sin2x + tgx = 2;
в) ctg2x + tg2x = 16cos2x.
6) cos (0,5л + x) + sin 2x = 0.
6) cos 3x + sin 5x = sin x.
6) sin x + sin 3x = 4 cos3 x;
(МГУ, почв. ф-т), a) sin2x = cosx;
a) V§sin2 x + 0,5 sin (л + 2x) = 0;
6) cos 2x — sin x.
6)
4% cos2 x - 0,5 cos
108
а) Найдите все решения уравнения
cos 2х = 2 tg2 х — cos2 х,
удовлетворяющие неравенству cos х < —.
б) Найдите все решения уравнения 4 sin4 х + sin2 2х = 2 ctg2 х,
удовлетворяющие неравенству cosx < ——.
109
(МИРЭА). Найдите все решения уравнения:
a)	cosx + cos5x - cos2x = 0, принадлежащие отрезку [-л; л];
б)
ctg2x ctgx
ctgx ctg2x
+ 2=0, принадлежащие отрезку [0; 2л].
Решите уравнение (110—118):
110
111
112
(МГУ,
(МГУ,
(МГУ,
филол. ф-т). 3cos2x + 4sinx = 1.
геол. ф-т), cosx - cos2х - sin2х = 1, х g
физ. ф-т), cos Зх =
cosx — — sinx.
2
2
Ж' 421
Задания для повторения
113
(МГУ,
ИСАиА). 5(sin2x)2 + 8(cosx)3 = 8cosx, хg
114 (МГУ,
115 (МГУ,
116 (МГУ,
117 (МГУ,
118 (МГУ,
хим. ф-т), tgx + tg2x + tgx tg2x tg3x = tg3x + tg4x.
биол.
ф-т), cos I 2x - — I - sin x = —
почв. ф-т), sinx = 2ctgx.
псих. ф-т). 3sin2x — 3cosx - 6sinx + 2sin2x + 3 = 0.
экон. ф-т), cosx + cos3x = V3cos2x.
Уравнения с модулями
Решите уравнение (119—129):
119 a)
120
(МИРЭА). а) 114 - x| = x2 - 196;
в) 119 — x| = x2 - 361;
б) 116 — х| = х2 — 256;
г) 117 - х| = х2 - 289.
121
(МГУ, хим. ф-т)
а) х2 + 1 + | х - 1
а)
в)
= 21 х |;
х2 - 61 х | - 2 = 0;
| х2 - 2х - 11 - х + 1 = 0;
д) + х = х2 + 1;
Iх I
б)
б)
г)
е)
х2 + 41 х | - 1 — 0;
| х2 — 2х — 11 + х — 4 = 0;
— + 2х = х2 + 1.
(МГУ, экон. ф-т). | х2 — 8х + 151 = 115 - х2|.
(МГУ, почв. ф-т). |2х + 3| = х2.
(МГУ,
хим. ф-т).
(МГУ, почв. ф-т)
X	1	1
a)	cos х--= sin х-----
б)	sinx- — =cosx-—.
2	2
б)	д/|1 — ЗлгI = 1- 3|х|.
128 (МГУ, мехмат).
cos — sin —
sin -J cos - J
6	2
129
(МГУ, геогр. ф-т). |cosx| -
3 sin
9л
т
. 5л
- sin]j-
422
Распадающиеся уравнения
Решите уравнение (130—134):
130 а) (2х- 7)д/3х2 - 5х - 2 = 0;
в) (Зх2 - 8х - 11)73х- 5 = 0;
б) (2х - 3) д/4х2 - 5х -~9 = 0;
г) (4х2 + Зх - 22) ^Зх- 15 = 0.
131 (МГУ, ФНМ). а) (7 sinx - 4л/3)(7 sinx - 5^2) = 0;
б)	(5 cos х ЗТЗ)(5 cos х - 2Тб) = 0.
132 (МГУ, хим. ф-т), a) (sinх + cosx - 72)д/-11х- х2 - 30 = 0;
б)	(cos х + sin х + 72) 7-х2 - 7х - 12 = 0.
133 (МГУ, мехмат), а) (2 sin2 х - 3 sin х + l)A/tgx = 0;
б)	(2cos2x - cosx - 1) 7с tgx = 0.
134 74х - х2 - 3 (72 cos х — 71 + cos 2x) = 0.
Разные уравнения
136
Решите уравнение (135—158):
21
a)
40x 4- 1
721- x
137 (МИРЭА). а) И 1------= 1; б) , И 1	= i
717х2 + 8-5	3	J7x2+2-3	2
.	|х| — 1	1 ч |х|-1	1
в)	- '	-— = —; г)	— = —.
710х2 + 6 - 4 3	79*2 + 7 - 4 2
138 а) у[3х + 5---i--= yfbx^S------i--;
7зх + 5	75х~ 3
б) 77х + 1002 - 73х - 1000 =--?----------i----;
77 х + 1002	78х - 1000
423
Задания для повторения
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
е) д/х2 +1 “ л/^*2 -9x4-21 =	—	——=.
у/2х^ - 9х 4- 21 д/х2 + 1
(МГУ, почв. ф-т).
а)	2х 3 + 23 х = —х2 + 6х - 7;
(МГУ, псих, ф-т)
а) xlog7 4 + 5«2log7X - 4= 0;
б)	2х’2 + 22-х = -х2 + 4х-2.
б)	xlogs 9 + 7 • 3log« х - 11 = 0.
(МГУ, хим. ф-т)
. . х 4- 2	,
a)	log2 —т— + log
о
5
б)
5
х + 1
(МГУ, геогр. ф-т)
а) io&ix_ 8(х2 - 2х - 3) = 1;
б)	log5_ 2х(х2 - 6х + 8) = 1.
(МГУ, почв. ф-т). logE | х2 - 11 = log^|x|.
a)	log12 (х - 3) + д/б- 2х + х = 5;
б)	log0 з(10- 5х) + д/Зх- 6 - х = 2.
(МГУ, мехмат)____________
v Jl + cos4x , J. f 9л _ А _ _,ч Jl-cos8х
а) -------+ 3 tg —— 2х = 0; б) 4-------
\l-cos4x у I 2	)	\ 1 + cos8х
(МГТУ), а) 15 - х| + |х + 11 = 6sinx;
б) |х - 2| + |х — 8| = 6sinx; в) |х + 5| + |х - 11 = 6sinx.
(МГУ, геогр. ф-т), а) х2 + 14х + 47 | - 1 = |х+ 7| - 1;
б) ^х2 - 12х + 34| - 1 = |х- 6| - 1.
(МГУ, ВМиК). cos (л (х + sVx))cos(n (2х - Vx)) = -1.
(МГУ, геол. ф-т). -----------= 1.
log9(-5x - 4)
(МГУ, геол. ф-т).
'5 V 2 pV- »_ 125
<б) 7 * J ~ 343 ’
(МГУ, физ. ф-т). 2sin2x cos(5x2) - sin(5x2 + 2х) = 0.
(МГУ
+ 3sin
424
154 (МГУ, мехмат). 4х - 3|х- 1| = 4^/5х + 14 - 3^/бх - 14
6х — 7
155 (МГУ, хим. ф-т), arcsin------= 2п — ях.
2х — 3
1.
156 (МГУ, биол. ф-т), х2 — cos 2х2 +1=0.
157 (МГУ, геогр. ф-т). 4 arcsin (2х — 7) — arccos (5х - 124)
6п
X
158 a) logsin х (3 sin х — cos х) = 0;
3/2 - 6х
159
(РЭА). Найдите больший корень уравнения:
Рациональные неравенства
160
161
162
163
161
Решите неравенство (160—169):
2х + 5 6х — 1
-------------> V 4- 1
а) Зх2 + 2х + 1 > 0;
а)	х3 - Зх - 2 < 0;
б)	-х2 + 2х - 3 > 0.
б)	х3 — Зх2 + 4
0.
165
166
(МИРЭА). — + 1)(* + 3)(* + 3)
v	(х + 4)(3 - х)(2х + 1)
167 а)
б)
42;
Задания для повторения
168 а)
б)
б)
169 (МГУ, фи лол. ф-т)
Зх2 + Их + 10
Иррациональные неравенства
170
Решите неравенство (170—175):
(МИРЗА), а) 712х- 11 < JlOx - 9; б) ^Их-Э < д/9х- 7;
в) JlOx - 7 < yj9x - 5;	г) J16x - 9 < J8x - 7.
(МФТИ), а) д/*2 - 9 < 14 - 2х; б) Jx2 - 6х < 8 + 2х;
в) 2 - Зх < ^4 + 9х - 9х2; г) 4 - 5х <	+ ЗОх - 25х<
(МИРЗА), a) V3- х > х - 2;
173
174
175
(МГУ, псих. ф-т), а) ——— < 1; б) 4*- 2 < 1.
V7x - 4	75х - 2
a)	•jx2 + 5х + yj-x2 - 7х - 10 < V20- х - 5;
б)	^х2 - 1 + 7~х2 - х + 2 > 1 - -Ух.
(МГУ, геол. ф-т). -Jx2 - 8х + 12 > х - 5.
------------▼•   1 . .
Показательные и логарифмические неравенство
Решите неравенство (176—184):
178
180
а)
а)
в)
Д)
а)
б)
а)
а)
в)
logo,5 (3 — 2х) > — log0 5 3;
3log8(3x + 2) < 2;
log^ (1 - Зх) < 2;
3
l°So,5(3 - 2x) > —log0i5 3;
logo,4 (3,5 ~ 6x) > 21og0j40,2 - 1;
1 + 21og20,3 > log2(l,5 - 3x).
б) log2(2x - 5) < -log23
б) 4 log16(4x + 3) < 3;
г) log^(2x- 1) > 2;
е) log2 (2х - 5) < —log2 3
logo,5 (2 ~ 7x) > -2;
log^ (5X+1 - 25х) 4;
logjJ6x + 1-36x)>-2;
V5
6) log2(0,5 - 3x) <-3.
6) log^ (7х + 1 - 49х) C 2;
r) log_L(2x + 2-4x)^-2.
Js
426
181 log2x + log2(x + 1) < log2(2x + 6).
182 (МГУ, почв. ф-т). ilog3x2 > ^log3(-x3).
zu	«5
183 (МГУ, физ. ф-т). log3(x3 + х2 - 2х) - 21og9(x2 - х) < log35.
184 (МГУ, геогр. ф-т). log(^y_ ^у(х2 - 9) 0.
Тригонометрические неравенства
185
Решите неравенство (185—189):
a) tg Зх > 0;
г) ctg 2х С 0;
л/3;
186 а) 5sinx - sin2х > 0; б) 5cosx + sin2x < 0.
187 (МГУ, ИСАиА). 2sinx - 1 < 76sin2* “ 6sinx - 12.
188 (МГУ, геол, ф-т)
a)	16sin2x + ctg2x 7; б) 16sin2x + 9ctg2x С 15.
189 (МГУ, ВМиК). а) л/б- lOcosx- sinx < sinх - cosх, х g [-я; я];
б)	уб cos х - sin х + 4 < sin х + cos х, х g [0; 2л].
Неравенства с модулями
Решите неравенство (190—193):
190 а) 2х>|х|+1; б) х2-6>|х|.
191 (МГУ, биол. ф-т), а) ;—i—7 > 3 - х; б) , 3 , > 2х + 5.
|х + 2|	|х - 1|
192 (МГУ, социол. ф-т)
ч 4|2— х|	„|.п лч н I . 4|х- 1| л
а) ——;—:--х-2^0; б) 1 - х + п—;-------0«
7	4|х|	1	1	1	|х|- 3
193 (МГУ, экон. ф-т). | х2 - 8х + 151 С |15 - х2|.
Разные неравенства
Решите неравенство (194—220):
1	1
194 (МГТУ), а) < 0; б) > 0;
2 + х	х - 2
в)
х + 2
427
Задания для повторения
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
15-|7х4-8|
’ Зх2- 14х + 17	’
в) J8-.L4x.5l
7 4х2- 13х + 11
а) (х2 - 9)Jx + 6 > 0;
в)	ijx2 - 9 (х + 8) > 0;
а)	(х - 2)(х - 3) Vx- 1	0;
в)	(х - 4) (х 4- 3) у[х 0;
(МГУ, почв. ф-т).	> т/у*-
г)	17 -Ц1Х + 61 > 0
6х2 — 15х 4- 10
б)	(16 - х2) V8 - х < 0;
г)	(х — 4) ^х2 - 4 < 0.
б) (х+2)(х 4-3)Vx + ll 0;
г) (х- 8)(х+ 7)Тх 0.
(МГТУ)
(2х - 5)(32х - 4)	>	(2х - 3)(27х - 9)	<
(3х - 8)(х4 4- 4х 4- 20)	' (2х - 5)(х4 - 2х 4- 10)
>0;
<0.
(МГУ, геол. ф-т), а) |2х_3|_5
О;
б)
(МИФИ)
а) (9х2 -
б) (20х - 25х2 - 3) • log3 5х 0.
(МГУ, ИСАиА)
0;
б)
(МГУ, биол. ф-т).
5х - 84
а)
4д/10 - х 4- х - 13
0;
б)
0;
х 4- 2 - 7^6^
0.
428
206
207
208
209
210
211
212
213
211
215
а)	2х + 2lxl^2V2;
(МГУ, почв, ф-т)
a) 3-4'/2‘х + 3< 10-2'^Тх;
б)	3х + з! х I 3.
б) 2-9^“*+2< б-З^3"-б) 7.
(ГУУ). а)
lg(8 - х)
lg(x - 2)2
1g (2 х 4-9) <t
lg(2x + З)2 "
|бх+ 3|- 11
х — 1
д/2х - 1	_
х — 2	’
> -1;
г)
е) —х2 - 2х + 33> 3|х-1|.
(МГУ, физ. ф-т), a) f i 1	• б7"7 >
в)	^21og9(3x2 - 4) > log3^3x2 - 4.
б)
(МГУ, хим. ф-т)
а) (МГУ, филол. ф-т).
1
logj (2х2 — 1)
2
б) (МГУ, экон. ф-т). log2 (2х - 3) • log(4х + 2 - 12 • 2х + 3 + 144) < 32.
(МГУ, ИСАиА). (1 + log3x)
(МГУ, мехмат), а) 1 ~ Z '-------------<
log(1 - х) С24 - 2х - х2)
б) 27х + 24 » 2(7 + Т22)х +12(7 - V22)x;
в) xsS log5(16 • 15х- 151 + 2х)- log3(16 • 5
4
Задания для повторения
216 (МГУ, биол. ф-т). ^g2x 3	2.
61ogx2-l
217 (МГУ, почв. ф-т), a) log(jc_2)*^ log(x-2)4;
б) 2 logK sin х • logn sin 2x - log2 sin 2x C log2 sin x,
218 (МГУ, геогр. ф-т). |x- 6| + ^Зх + 1 < 5.
219 (МГУ, псих. ф-т). log2 log, 3* + 4 С О.
2 4х + 8
220 (МГУ, геогр. ф-т). -4— + Д > 0.
X 4- 1 I X I
Системы уравнений и неравенств
Решите систему уравнений (221—234):
221
(МИРЭА). а)
б)
х — 5у2 = 10
х4-3у2= 18;
х - 7у2 = 9
х + 2у2 = 18;
х — 2у2 — 12
х+7у2 = 21.
222
(МИРЭА). а)
(х - 2)2 + у2 = 10
х + у = 6;
(х — 5)2 + у2 = 5
х + у = 8;
в)
(х - 6)2 4- у2 = 10
X + у = 10;
(х - 5)2 4- у2 = 10
X + у = 5.
X2 + ху + у2 + X + у — 57
1025
1023*
223
(МИСиС). < (х + у)5 + (х - у)5
. (X + у)5 - (х - у)5
2х - у 4- у/ху = 10.
1
Тху 4- 3
226
Г 42а( + 32х = 82
[3х -4У= 8;
(3£'4-52х= 26
15х - З0’5^ = 4.
227
21og3 (у 4- 2) = log3 (5х - 2);
2 log2 (х 4-1) = log2 (Зу - 5).
430
228
229
230
231
232
233
234
235
236
(МГУ, ФНМ). а) Ц
2 log2 (x - у) - log2 У = 1.
2
+ log| у = 504
2з!/ = 84;
2 + logft/ = 702
2
^=117.
х + у I + log2 (| XI - у + 5) - 12 = 0
(х + у)2 - 5(х + у) - log2 (I х I - у + 5) + 41og2 (| х | - у + 5) = 0.
(МГУ, ВМиК). а)
log2 yjy = -з1
3х + log2 у = 1;
3 sin х + cos у = 0
6 cos х - 2 sin у = 7.
(МГУ
| cos х |
COS X
(МГУ
(МГУ
геогр. ф-т).
I COS X
ху
2
10
Решите систему неравенств:
|(1-х)2^ (х+5)(х-1);
т]х2 - Зх - 10 С 2х + 4.
(МГУ, мехмат). Решите систему:
2Х + 2 - 4 С х2(14— 2х + 2) - 2х;
Зх+1-3^ х2(14 - Зх + 1) • 3х.
a 43i
Задания для повторения
237 (МГУ, псих. ф-т). Решите систему:
О
cosx sin у =
sinx cos у = —
Задачи с параметрами
238 (МИФИ). При каких значениях с е R для действительных кор-
ней хг и х2 уравнения х2 + (4с - с2 - 1)х + 2с2 -1 = 0 выполня-
ется равенство Xj + х2 = 6?
239 а) Постройте график квадратного трехчлена у — х2 + Зх + а,
если известно, что его корни связаны соотношением xf + х2 = 5.
б) Постройте график квадратного трехчлена у = х2 - х — а, ес-
ли известно, что его корни связаны соотношением хт3 +	= 4.
240
(ВШЭ). Найдите все значения параметра а, при каждом из кото-
рых уравнение:
а) 2 х + 1 -2|х-2| + |х-6| = х + За имеет ровно один корень;
б) 2 х + 3 — 2|х — 21 + | х — 4| = х + 2а имеет ровно два корня;
в) |х2-8х-а| = 4х имеет ровно один корень, меньший 1,
и хотя бы один корень, больший 11,5;
г) | х2 - 4х + а | = х имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя
бы один корень, больший 4.
241 (ВШЭ ). Для каждого значения параметра Ъ найдите число кор-
ней уравнения:
а)	2х2 + 10х + 16х + 301 = Ъ*	б) 6х2 + 18х + 112х + 361 = Ь;
в) 4х2 + 12х + 8х + 24 = Ъ;	г) 4х2 + 8х + 124х + 481 = Ь,
242 (МИФИ). Для каждого значения параметра с решите уравнение:
г) (2"х + 4 + Зс)(5 - с - 2~х) = 0.
243 (МИФИ). При каких значениях параметра Ъ уравнение
12cosx - 4ft + 3| = |3cosx - Ь| имеет на промежутке
только одно решение?
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
(МИФИ). Найдите все значения параметра а, при каждом из ко-
торых уравнение х — 1 = ^(1 — а) х — 1 + За + 2а2 на промежутке
(-оо; 5] имеет только одно решение.
(МГТУ). Найдите все значения параметра р, при каждом из ко-
торых уравнение 8 + 4р (х — 2) = (х - | х |) х имеет единственное
решение. Найдите все решения при каждом р.
(ИКСИ АФСБ). Найдите все значения параметра а, при каждом
из которых уравнение 144'12х - 11 — 2 • 12'1 2х “ 1 ’ + 12а = 0 име-
ет хотя бы один корень.
Для каждого значения параметра а решите неравенство
(247—248):
(МГУ, ВМиК). 12х + а | х + 2.
(МГУ, физ. ф-т). 3(2х — а) + 5a^2x - а — 2а2 > 0.
(МГУ, хим. ф-т). Для каждого значения параметра а решите
уравнение sin2 х + sin2 2х + sin2 Зх — 2a (sin х + sin 2х + sin Зх) +
+ cosx — cos Зх + 2a2 = 0.
(МГУ, геол. ф-т). При каких значениях параметра a > 1 уравне-
ние sin
tg х = 0 имеет ровно 6 различных корней на отрез-
ке [2ал; (а2 + 1) тс]? Укажите эти корни.
При каких значениях параметра а имеет единственное решение
уравнение 12х + 61 + 12х — 81 = ах + 12?
(МГУ, мехмат). Найдите все значения параметра а, при каждом
из которых система неравенств
имеет единственное решение.
(МГУ, хим. ф-т). Найдите все значения параметра а, при каждом
f х3 - (а + 3) х2 + (За + 2) х - 2а 3* 0
из которых система неравенств < о ' о Л
(x3-(a + 3)x2 + 3ax^0
имеет единственное решение.
(МГУ, биол. ф-т). Найдите все значения параметра а, при каждом
из которых система уравнении <
cosx =
sin х = cos (д/б — 2a2x)
имеет ровно одно решение на отрезке [0; 2л].
433
Задании для повторения
Текстовые задачи
255 (МГУ, почв. ф-т), а) Сумма десяти чисел равна нулю, и сумма
их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма ку-
бов этих чисел?
б)	Сумма двенадцати чисел равна нулю, и сумма их попарных
произведений равна нулю. Чему равна сумма четвертых степе-
ней этих чисел?
256 Старинная задача. У торговца имеется два бочонка вина: емко-
стью 40 л, ценою 7 р. за литр, и емкостью 10 л, ценою 5 р. за
литр. По какому одинаковому количеству вина надо взять из
каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина
за литр в двух бочонках сравнялась?
257 Решите предыдущую задачу, если известно, что цены вина за
литр различны, но неизвестны.
258 У торговца имеется два бочонка вина разной цены за литр емко-
стью т л и п л. По какому одинаковому количеству вина надо
взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы
цена вина за литр в двух бочонках сравнялась?
259 Имеются две бочки бензина разной цены. В одной бочке нахо-
дится 220 л бензина, а в другой — 180 л. Из каждой бочки бе-
рут по одинаковому количеству литров бензина и переливают
в другую, после чего цена литра бензина в бочках стала одина-
ковой. По скольку литров бензина перелили из каждой бочки?
260 Имеются два сосуда, содержащие растворы кислоты разной
концентрации. В первом т л раствора, во втором п л раствора.
Из каждого сосуда взяли по одинаковому количеству раствора
и перелили в другой сосуд, после чего концентрация кислоты
в растворах сравнялась. По скольку литров раствора перелили
из каждого сосуда? Решите задачу в общем виде. Получите от-
вет, если: а) т = 20, п = 30; б) т = 10, п — 30.
261 (МГУ, почв. ф-т), а) Какое количество воды надо добавить в
1 литр 10%-ного водного раствора спирта, чтобы получить
6%-ный раствор?
б) Имеется 1 литр 6%-ного раствора спирта. Сколько литров
3%-ного раствора спирта нужно добавить в первый раствор,
чтобы получить 5%-ный раствор?
262
а)	Из пункта А выехал колесный трактор со скоростью
25 км/ч. Через час вслед за ним одновременно выехали грузо-
вик и легковой автомобиль. Скорость грузовика постоянна и со-
ставляет — скорости легкового автомобиля. Найдите скорость
грузовика, если известно, что он догнал трактор на 10 мин поз-
же, чем легковой автомобиль.
15 Никольский, 11 кл.
и 434
б)	От пристани по водохранилищу со скоростью 10 км/ч нача-
ла двигаться яхта. Спустя полтора часа от той же пристани за
яхтой последовали два катера с постоянными скоростями, при-
чем скорость первого катера составляла — скорости второго.
Найдите скорость первого катера, если известно, что он догнал
яхту на 15 мин раньше, чем второй.
263 а) Из пункта А в одном направлении одновременно отправи-
лись пешеход и велосипедист. Через 2 ч вслед за ними из того
же пункта выехал мотоциклист, скорость которого равна
30 км/ч. Найдите скорость пешехода, если она постоянна и со-
ставляет — скорости велосипедиста и мотоциклист догнал пеше-
хода на 1,5 ч раньше, чем велосипедиста.
б)	Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно
выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового
автомобиля постоянна и составляет — скорости грузовика. Че-
5
рез 30 мин вслед за ними из того же пункта выехал мотоцик-
лист со скоростью 90 км/ч. Найдите скорость легкового автомо-
биля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 ч
раньше, чем легковой автомобиль.
261 а) В озеро впадают две реки. На первой реке, в 35 км от устья,
расположен пункт А. На второй реке, в 60 км от устья, распо-
ложен пункт С. Расстояние между устьями рек 15 км. Мотор-
ная лодка прошла путь от А до С за 10 ч 25 мин, а обратно за
8 ч 45 мин. Какова скорость лодки в стоячей воде, если извест-
но, что скорость течения во второй реке в 1,5 раза больше ско-
рости течения в первой реке?
б) Из порта вышли два корабля. Они двигаются с постоянной
скоростью, причем первый в 2 раза быстрее второго. Через не-
которое время от второго корабля отошел быстроходный катер,
догнал первый корабль и возвратился обратно, затратив на путь
в оба конца 5 ч. Затем он снова догнал первый корабль и воз-
вратился, затратив всего 9 ч. Сколько времени догонял катер
первый корабль в свой первый рейс?
265 В озеро впадают две реки. Теплоход выходит из порта М на пер-
вой реке, плывет вниз по течению до озера, затем через озеро
(где нет течения) и по второй реке вверх (против течения) до
порта N. Затем теплоход возвращается обратно. Скорость теп-
лохода в озере равна и, скорость течения первой реки второй
реки и2, время движения теплохода от М до N равно t, а длина
пути от М до N равна s. Время обратного движения от N до М
также равно t. Какое расстояние теплоход идет по озеру в одном
направлении?
435
Задания для повторения
266 (МГУ, биол. ф-т), а) Два велосипедиста стартуют одновременно
из двух точек круговой велотрассы: первый из точки А, второй
из точки В — и едут в противоположных направлениях с посто-
янными скоростями. Известно, что из их первых 15 встреч на
трассе после старта только первая и пятнадцатая состоялись
в точке В. Найдите отношение скорости первого велосипедиста
к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встре-
чи каждый из велосипедистов проехал не менее одного круга,
б) Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек кру-
говой велотрассы: первый из точки А, второй из точки В —
и едут в противоположных направлениях с постоянными ско-
ростями. Известно, что из их первых 13 встреч на трассе после
старта только третья и тринадцатая состоялись в точке А. Най-
дите отношение скорости первого велосипедиста к скорости вто-
рого, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из
велосипедистов проехал не менее одного круга.
267
а) Три гонщика А, В и С, стартовав одновременно, движутся
с постоянными скоростями в одном направлении по кольцевому
шоссе. В момент старта гонщик В находился перед гонщиком А
на расстоянии — длины шоссе, а гонщик С — перед гонщиком В
3
на таком же расстоянии. Гонщик А впервые догнал гонщика В
в тот момент, когда гонщик В закончил свой первый круг,
а еще через 10 мин гонщик А впервые догнал гонщика С. Гон-
щик В тратит на круг на 2,5 мин меньше, чем гонщик С.
Сколько времени тратит на круг гонщик А?
б) Три гонщика стартуют одновременно из одной точки шоссе,
имеющего форму окружности, и едут в одном направлении с по-
стоянными скоростями. Первый гонщик впервые после старта
догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально
противоположной точке старта, а через полчаса после этого он
вторично (не считая момента старта) обогнал третьего гонщика.
Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй гон-
щик проходит круг не менее чем за 20 мин?
268 (МГУ, ФНМ). а) Из города в деревню одновременно отправились
бегун Б и пешеход Пь а в тот же момент из деревни в город вышел
пешеход П2. Скорости пешеходов были равны. Встретившись,
Б и П2 некоторое время стояли на месте, а затем направились
в деревню. При этом Б побежал с прежней скоростью, равной
12 км/ч, а П2 уменьшил свою скорость в полтора раза. В резуль-
тате в деревню сначала прибежал Б, а затем через промежуток
времени, в два раза больший длительности встречи Б и П2, одно-
временно пришли оба пешехода. Найдите скорость пешехода Пх.
б) Из города в деревню одновременно выехали велосипедист В и
мотоциклист M]i, а в тот же момент из деревни в город выехал
второй мотоциклист М2. Скорости Мх и М2 были равны 30 км/ч.
15*
436
Встретившись, В и М2 некоторое время стояли на месте, а затем
оба направились в деревню. При этом В поехал с прежней скоро-
стью, а М2 уменьшил свою скорость в три раза. В результате Мх
и М2 прибыли в деревню одновременно, а через промежуток вре-
мени, в десять раз больший длительности встречи Б и М2, в де-
ревню приехал В. Найдите скорость велосипедиста В.
Список принятых сокращений
ВШЭ	— Высшая школа экономики
ГУУ	— Государственный университет управления
ИКСИ АФСБ — Институт криптографии, связи и информатики Академии
ФСБ РФ
МГИЭМ — Московский государственный институт электроники и матема-
тики
МГИЭТ — Московский государственный институт электронной техники
(технический университет)
МГТУ — Московский государственный технический университет им.
Н. Э. Баумана
МГУ — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова:
биол. ф-т — биологический факультет
ВМиК — факультет вычислительной математики и кибернетики
геогр. ф-т — географический факультет
геол, ф-т — геологический факультет
ИСАиА — институт стран Азии и Африки
мехмат — механико-математический факультет
почв, ф-т — факультет почвоведения
псих, ф-т — факультет психологии
социол. ф-т — социологический факультет
физ. ф-т — физический факультет
филол. ф-т — филологический факультет
хим. ф-т — химический факультет
ФНМ — факультет наук о материалах
экон, ф-т — экономический факультет
МГУЭСИ— Московский государственный университет экономики, стати-
стики и информатики
МИРЭА — Московский государственный институт радиотехники, электро-
ники и автоматики (технический университет)
МИСиС — Московский государственный институт стали и сплавов (техно-
логический университет)
МИФИ — Московский государственный инженерно-физический институт
(технический университет)
МПГУ — Московский педагогический государственный университет
МФТИ — Московский физико-технический институт (государственный
университет)
МЭИ — Московский энергетический институт
РЭА — Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова
СПбГПУ — Санкт-Петербургский государственный политехнический универ-
ситет
Приложения
1.	Таблица производных
1.	(С)' = 0.
2.	(х)' = 1 (х е R).
3.	(х")' = пхп - 1 (п = 2, 3, 4, 5, х е R).
4.	(х_"У — -пх~п ~ 1 (п е АГ, х Ф 0).
5.	(ха)' = ахп _ 1 (а — нецелое число, х > 0)
6.	(ехУ = ех (х g R).
7.	(ахУ = ах\п а (а > 0, а 1, хе R).
8.	(1пх)' = 4 (х > 0).
9.	(log„x)’ = —-— (а > 0, а*1, х > 0).
х1па
10.	(sinx)' = cosx (х е R).
11.	(cosx)' = -sinx (х е /?).
12.	(tgx)'= ——I x Ф + nk, k e Z |.
cos x \	2	)
13.	(ctgx)' =-----— (x nk, k e Z).
sin x
14.	(arcsin x)' =	*	(-1 < x < 1).
<1-^
15.	(arccos x)' = — *— (-1 < x < 1).
16.	(arctgx)' = -——7 (x e R).
1 + хг
17.	(arcctg x)' = - 1 (x e R). О
1	+ x4
После каждой формулы указаны параметры ее применения.
Отметим, что формулы 2—5 часто объединяют в одну:
(х^)' = рхр 1 (р 0),
но применяется она для каждого конкретного случая для тех значе-
ний х, которые указаны в скобках после каждой из формул 2—5.
438
2	. Таблица интегралов
1.	|Odx = С.
2.	j 1 dx = х + С (х е R).
3.	f xndx = —- + С (п е N, х g R).
J	п + 1
4.	f x~ndx = Х П+ + С (п = 2, 3, 4, 5, х Ф 0).
J	—п + 1
+ С (а — нецелое число, х > 0).
7.	jexdx = ех + С (х е R).
8.	[axdx =	+ С {а > 0, а 1, х е R).
J	In а
9.	Г sinxdx = -cosx + C (x g jR).
10.	J cos xdx = sin x + C (x g R).
= tg x + C
sin x
= -ctgx + C (x Ф nn, n e Z).
13.	-	= arcsinx + C (-1 < x < 1).
J v'l - X2
14.	j ——-j = arctg x + C (x 6 R). •
После каждой формулы указаны параметры ее применения.
Отметим, что формулы 2—5 часто объединяют в одну:
J x^dx =	+ С (Р -1),
J	р + 1
но применяется она для каждого конкретного случая для тех значе-
ний х, которые указаны в скобках после каждой из формул 2—5.
8. Свойства логарифмов
Если а>0, & >0, a^l, d^l,M>0, N>0, yGl?, то:
1. loga (М • N) = logaМ + logaN. 2. loga ^ = logaM-loga7V.
N
logb M
3. logaMY = ylogaM.	4. logaM=-------.
log6 a
439
Приложения
4. Основные формулы тригонометрии
1. sin2a + cos2a = 1.
2.	sin (-a) = -sin a.	3.	cos (—a)	= cos a.
4.	tg(-a)--tga.	5.	ctg (-a)	=—ctg a.
6.	sin (a + 2л/г) = sin a,	k	g Z.	7,	cos (a +	2nk) — cos a,	k g	Z.
8.	tg(a + л&) — tga,	k g Z.	9.	ctg (a +	Ttk) — ctga,	k	e. Z.
10.	cos (a - p) = cos a cos P + sin a sin p.
11.	cos (a + p) = cos a cos P - sin a sin p.
12.	sin (a - p) = sin a cos p - cos a sin p.
13.	sin (a + P) = sin a cos P + cos a sin p.
14.	cos 2a = cos2 a - sin2 a.
15.
16.
17.
18.
19.
sin 2a = 2 sin a cos a.
,	-a o . a + P a-p
sin a + sm p = 2 sm-cos----.
H	2	2
. o o • a - P a + P
sin a — sm p = 2 sm —— cos-—.
r	2	2
,	q o a + p a - p
cos a + cos p = 2 cos ——— cos ———.
K	2	2
a _ . a + P . a-p
cos a - cos p — -2 sm —-— sm ———.
K	2	2
5. Простейшие тригонометрические уравнения
1. sinx = 1, x = + 2лп, n g Z.
2
2.
3.	sinx = 0, x = лп, n g Z,
4.	sinx = a, |a| < 1, а Ф 0,
Xx = arcsin a + 2ли, n g Z,
x2 — л — arcsin a + 2лп, n g Z.
5.	cosx = 1, x — 2лп, n g Z.
6.	cosx = -1, x = л + 2лп, n g Z.
l-r	л	Л	__
7.	cosx = 0, x - —l- ЛП, n G Z.
2
8.	cos x = a, | a | < 1, a & 0,
xt = arccos a + 2лп, n g Zt
x2 = -arccos a + 2лп, n g Z.
9.	tgx = a, a g
x = arctg a + лп, n g Z.
10.	ctgx = a, a g R,
x = arcctg a + лп, n g Z.
Предметный указатель
Амплитуда колебаний 210
аргумент 3
асимптота 149, 150
— вертикальная 152
— горизонтальная 151
— наклонная 151
Возведение неравенства
в степень 220
— уравнения в степень 215
II
Интегральная сумма 176
—	— нижняя (верхняя) 182
исследование функции 18
К
Комплексная плоскость 386
комплексного числа аргумент 391
—	— главный аргумент 390
—	— действительная часть 380
—	— мнимая часть 380
—	— модуль 386
—	— п-я степень 381
Геометрический смысл второй
производной 138
—	— определенного интеграла 179
—	— производной 94
график, выпуклый вверх 138
—	— вниз 138
график функции 19
—	— разрывный 60
Движение равномерное 135
—	равноускоренное 135
дифференциал аргумента 99
—	функции 99
дифференцирование функции 92
дифференциальное уравнение 202
— — второго порядка 202
—	— первого порядка 202
—	— с разделяющимися
переменными 204
Л
Логарифмирование показательного
уравнения 215
— уравнения 273
— показательного неравенства
221
М
Максимум функции на отрезке 114
мгновенная скорость 90
метод подстановки 173
— промежутков 307
— трапеций 182
механический смысл производной 94
— — второй производной 135
минимум функции на отрезке 114
мнимая единица 380
II
Наибольшее значение функции 6
наименьшее значение функции 6
неопределенный интеграл 168
Ц441
неравенства равносильные 219
— — на множестве 283
—	с параметрами 355
неравенство, равносильное
системе 242
—	— совокупности систем 242
О
Область изменения функции 5
— определения функции 3
— существования функции 5
определенный интеграл 179
освобождение уравнения от
знаменателя 226
Параметр 357
первообразная 167
период функции 9
—	— главный 9
площадь криволинейной
трапеции 176
посторонние корни 225
потенцирование логарифмического
уравнения 226, 273
предел замечательный первый 52
—	— второй 52
предел функции 46, 47, 52, 53
приведение подобных членов 226
приращение аргумента 60, 91
—	функции 60, 91
производная 92
—	вторая 134
—	левая (правая) 92
—	обратной функции 111
—	сложной функции 108
промежуток знакопостоянства
функции 16
Р
Равносильное преобразование
неравенства 220
—	— уравнения 214
равносильный переход на
множестве 266, 283
разрыв неустранимый 70
—	устранимый 70
решение дифференциального
уравнения 202
—	— — общее 202
— — — частное 202
— системы 242, 331
ряд Тейлора 166
С
Свойство графиков взаимно
обратных функций 76
система-следствие 337
системы равносильные 242
суперпозиция двух функций 4
Т
Теорема Лагранжа 127
— Ролля 127
точка критическая 118
—	локального максимума 115
—	— минимума 115
—	— экстремума 115
точка максимума 114
— минимума 114
— перегиба 139
трапеция криволинейная 175
У
Угол наклона касательной 94
уравнение иррациональное 229
— равносильное системе 242
— — совокупности систем 242
— с параметрами 355
уравнение-следствие 225
уравнения равносильные 214
— — на множестве 266
Ф
Фаза колебаний 210
форма комплексного числа
алгебраическая 380
— — — показательная 407
— — — тригонометрическая 392
442
формула Муавра 393
—	Ньютона—Лейбница 185
—	Тейлора 162, 163
—	Эйлера 405
функции взаимно обратные 75
—	основные обратные
тригонометрические 84
— — элементарные 4
— элементарные 4
функция 3
—	возрастающая 14
—	дробно-линейная 154
—	монотонная 16
—	невозрастающая 15
—	непрерывная в точке 61, 63
—	— на отрезке 63
—	— на промежутке 19
—	— справа (слева) в точке 63
—	неубывающая 15
—	нечетная 8
—	обратная 72, 75
—	ограниченная 6
—	— сверху (снизу) 6
—	периодическая 9
—	разрывная в точке 61
—	сложная 4
—	строго монотонная 15
—	убывающая 14
—	четная 8
Частота колебаний 210
числа комплексные взаимно
сопряженные 384
— мнимые 380
число комплексное 380
— обратное комплексному 382
— противоположное комплексно-
му 381
— сопряженное с комплексным
числом 384
Ответы
1.2.	a) f(x) = Vx, g(x) = }gx. 1.3. a)/(x) = sinx, #(x) = vx, cp(x) = x3.
1.4.	a) f(<p(x)) = 7х2; 6) <₽(£(*)) = (log5x)2. 1.8. a) [1; +oo); 6) R, в) (-oo; -1] U
U [1; +oo); г) (—сю; -2) U (—2; 2) U (2; 4-oo); д) (—co; 0) U (1; 4-oo); e) (-co; -4) U
U (-4; -1] U [0; 4-co). 1.9. a) (-co; 0) U (0; +oo);
6) (0; +oo);
в)
n e Z; r) [0; +oo); д) Я; e) {-1; 1}. 1.10. a) [0; 1]; 6) [0,5; 1]; в) (0; 1]; г) [3; 5];
д) (1; V2); e) Я; ж) [1; 2]; з) (—оо; 0]. 1.18. а) Нечетная; б) нечетная.
1.19. а) Четная; б) четная. 1.20. а) Четная; б) нечетная. 1.29. a) sin 2х,
cosx, sin2rcx; б) функция Дирихле. 1.32. а) Да, Т = л; в) да, Т = л; г) да,
Т = л, е) нет; ж) нет. 1.33. а) Да, Т = л; б) да, Т - л; в) да, Т = л; г) да, Т = л;
д) нет; е) да, Т = 2л; ж) нет; з) нет. 1.34. а) Нет; б) да, Т = 1; в) да, Т = 1;
г) да, Т = 2; д) да, Т = 2; е) да, Т = 4. 1.35. а) Да, Т = 2л; б) да, Т = 2л.
1.36.	а) 2л; б) —; в) л; г) л. 1.47. в) Функция убывает на промежутке
(-оо; 1,25]; г) функция возрастает на промежутках
убывает на промежутках 2л/г; — + 2nk
k е Z. 1.48. а) Функция возрастает
9
на промежутках [&; k + 1), k g Z; б) функция возрастает на R; в) функция
убывает на промежутке (-оо; -4], постоянная на промежутке [-4; 4], возрас-
тает на промежутке [4; +оо). 1.49. а) у>0 при хе(-оо;—2)U (2; +оо); у < 0
при х е (-2; 2); б) у > 0 при х е (-оо; 0) U (4; +сю); у < 0 при х е (0; 4);
в) у > 0 при х е (-оо; 1) U (4; 4-оо); у < 0 при х е (1; 4); ж) у > 0 при
х е (-оо; -7) U (-3; +оо); у < 0 при х е (-7; -3); з) у > 0 при х е (0; 2); у < 0
при х е (-оо; 0) U (2; +оо); и) у > 0 при х е (0; 4); у < 0 при х е (-оо; 0) U
U (4; +оо). 1.50. а) На промежутках (—оо; 0) и (0; +оо) функция монотонна
(постоянна), у < 0 при х е (-оо; 0), у > 0 при х е (0; +оо); б) на промежутках
(—оо; -2), (-2; 2) и (0; +оо) функция монотонна (постоянна), у < 0 при
х е (-2; 2), у > 0 при х е (-оо; -2) U (2; +оо). 1.74. а) у — 2х2; б) у = -2х2;
в) х = 2у2; г) х = -2i/2; д) у = 2 (х - I)2 + 1; е) у = -2 (х - I)2 + 2.
§ 2
2.4. а) 8; б) 1; в) -1; г) 4. 2.5. а) оо; б) оо; в) оо; г) со; д) сю; е) оо. 2.6. а) 1 и 1;
б) 4 и 4; в) 0 и 0; г) 0 и 0. 2.7. а) —оо и +оо; б) +оо и 4-оо; в) —оо и —оо; г) —оо и
+оо. 2.8. а) —оо и 4-оо; б) 4-оо и —оо; в) -оо и 4-оо; г) -оо и 4-оо. 2.12. а) 1;
б) 1; в) 1. 2.15. а) 1; б) 1; в) 3; г) 1; д) 2; е) е3. 2.17. а) б) 7; в) 1; г) 1; д) 1;
7	2	5
[444
е)ж) 1; з) 5; и)-. 2.18. а) е3; б) с3; в) с5; г) е 2. 2.19. а) —; б)-;
2	5	2 э
в) +оо; г) -оо; д) 12; е) --. 2.22. а) 0,2; б) -0,4; в) 0,2; г) 0,02. 2.24. а) 0,01;
3
б) 0,21; в) -0,19; г) 0,41. 2.32. а) (л/i; л + лл), п е Z; в) (-оо; -2) U (-2; +оо);
п е Z. 2.34. а) [2яи; я + 2п/г],
neZ; в) (-1; +оо). 2.41. а) Да, /(х) =
в) нет; г) нет.
л:\	-г / \	(х — 2, х	2
б) да, fix') = {	_
I х() —	?
§3
3.3.	а) у = - ~ б) у = в) у = Vx, х е [0; 9]; г)у = х е [-9; 0];
О
*Vx
р,)у= —; е) у = 4х2, х е [0; 2,5]; ж) у = log3x; з) у = 5х, х е (-со; 2).
Zu
3.7. а) у = Vx, х е [0; +оо); в) у = 2"*4х, х е (0; +оо); е) у = logux, х е (0; +оо).
3.11. у = 5 - х. 3.12. а) [/(а); /(&>]; б) [/(б); /(а)]- 3.22. а) -А; б) if; в) 1.
4.1. а) Д( = 1; б) As = 3; в) рср ~ 3. 4.2. a) (2t + Ы)Ы; б) 2t + Д/, в) 2t; г) 2.
4.3. 2) a) (2t - 6 + At) At; б) 2t - 6 + At; в) 2t - 6, мгновенная скорость зави-
сит от времени. 4.5. a) Af = (2х + Дх)Дх; б) 2х + Дх; в) 2х, г) 0; 2; -2; 4; —4.
4.7. а) 2х; б) 0; 2; -2; 4; -4; 6; -6; в) 0; 0,5; 1,5. 4.10. а) и = 2t - 4; б) 6;
в) при t=2. 4.14. а)-2; 4; б) (-6;-2) U (4; 7); в) (-2; 4). 4.17. а)2х+1;
б) 2х - 1; в) 2х; г) 2х; д) 10х; е) —2х; ж) 10х + 3; з) 6х - 3; и) 2ах + Ь.
4.18. а) Зх2 + 2х + 1; б) Зх2 - 2х - 1; в) 15х; г) -Зх; д) 6х2 - 6х + 1; з) Зах2 +
+ 2Ьх + с. 4.19. а) 2х + 6; б) 2х - 8; в) 18х + 6. 4.20. а) -2; б) 0; в) 1; г) 41.
4.21. а) у* = 0 при х = -3; у' > 0 при х е (-3; +оо); у’ < 0 при х € (-со; -3);
в) у' — 0 при х = 3; у' > 0 при х G (-оо; 3) U (3; +оо). 4.26. a) dy — Зс/х;
б) dy = (2х + 2)dx; в) dy = (Зх2 - 5)cZx. 4.27. а) -0,3; б) 0,3; в) 0,02; г) -0,02.
4.30. а) Зх2 + 4х - 3; в) 45х2 + 2х; д)-12х3 - 6х2 + 12х + 4. 4.31. а) 4х3;
б) 5х‘; в) 6х5; г) 7х6. 4.33. а) ^1; б) в) -1	; г) ~2	; д) 1 ~	;
х2 хл (х+1)2	(х-1)2	(х2 + I)2
ж)
X2 -ь 2х + 3
(х+1)2
-X2 + 16х + 1
(х2 + I)2
4.34. а) О;
б)-|;	в)-1;	г)--.	4.35. а)-1:1; б) (-1; 1); в) (-оо;-1) U (1;+оо).
9	2	2
4.36. 10. 4.39. а) 28х3 - 15х2 - 1; б) -4х3 + 16х + 2. 4.43. а) 11х • In 11;
в) (2 • 4Х +3 • 8Л - 4 • 16х)1п2. 4.45. а)—?—; б)—i—; в)—^- + -----—;
х1п2 xlnlO xln2 х xlnlO
445
Ответы
г) —-----— + —-—. 4.48. а) 12хп + 12хIn 12, хей, в)- + sinx, хс (О; +оо).
xln3 х xlnlO	х
4.50. а) е; б) (0; е); в) (е; +оо). 4.52. а) лх • In л + ех; б) ехс 1 - лх* ~ *;
в) лх • In л + лх* г) ex' 1 — ех. 4.54. а) х е й, Зх2е^; д) х g R, esin х • cosx.
4.55. а) х g (О; +оо), --—; б) х g (—со; О), —3—. 4.56. а) х g JR, —2sin2x;
2xln2	2х1п2
б)хей, -60sin30x - 8sin4x. 4.57. в) х Ф 6_+_л_+_2л/г g % -------2_------
7	4	cos2(2x-3)
k G Z,
5
sin2 5x
4.62. a) x g (О; +oo), 0,5x в) хе Й, 4,2x3,2.
при x > 0; 6)
при x О; в) —77= при x Ф О; г)------= при
3’Vx	2x7x
_2	_g . 1—~
x g (0; +00); e) — .— при x ф О; з) —xvx2 при x g (0; +00). Указание.
3x:7x2	3
б) При x > 0 имеем:
при x < О имеем: (Vx)' =
= (-V^x)z =----= —J=. 4.64. а) х g jR, —2х 3	; в) х g (-00; 1) U
3’V(-x)2 3VX2	2^/х2 —Зх+10
9 г — Ч	2
U (2; +оо), —;	; д) х G (-оо; 3) U (3; +оо),	4.65. а) х g R,
2у[х2-Зх + 2	зУх-3
4 cos 2х; б) х с Я, -6 sin 6х, в) х * ——— +	, /? g Z, ——; г) х е й, О.
4000	2000 cos2 2000х
4.67. a) f(l) = -20, Г(3) = 20; б) f (-6) = /'(-4) = 21; в) f (5) = -200, /'(6) = 200.
; в) xcos хf —sin х In х + — cos x |.
Rin х
sin х
4.72. -
-15 (arcctg Зх)1
Д)
2	71- л
20 (arcsin 4x)‘*
71— 16x2
3
6; B>
2
§5
5.6.	a) 0; 1; 6) -1; 1. 5.7. a) 0; 6) 0; в) 4; г) 1. 5.8. a) 0; 6) 1; в)
6	6 6
—; г) , -—, —,	5.9. a) -1; 0; 1; 6) 1; в) e; г) О. 5.10. а) О и -4;
6	12	12 12 12
б) 14 и -4. 5.11. а) 1 и -3; б) -3 и 3. 5.13. а) -1 и 21п2 - 4; б) 4 - 21п2 и 1.
5.14.	а) О и -4; б) шах/‘(х) = 0, минимум функции на интервале (—2; 2)
(-2; 2)
не достигается; в) О и -4; г) 0 и -4. 5.15. а) 1 и 0; б) niin f(x) = 0, максимум
(-1: 1)
446
функции на интервале (-1; 1) не достигается. 5.16. а) При а = -1,5 и
а = 2,5; б) при а = —0,5 и а = 1,5; в) при а = 0,5. 5.17. а) х15 = —27,5 — наи-
меньший член последовательности; б) х20 = —105 — наименьший член по-
следовательности. 5.19. а) у = 0; б) у = 2х — 1; в) у = 4х — 4; г) у = — 2х - 1.
5.20. а) у = 2х — 3; б) у = 4х — 4; в) у = -4; г) у = — 2х — 7. 5.22. а) у = х;
б) у = 1; в) у = -1; г) у = п - х. 5.24. а) у - х; б) у = 2х - ~ + 1; в) у = 2х +
+ ^- 1;	= 3Х-^+ 3 • 5-26, а) У = х~ б) у =	1 + 1112; в) у = |х -
-1 + 1ПЗ; r)ji=£. 5.27.	=	б)у = ^-|+1; в) у = ^-=-^ + 2;
е	1п2	21п2	41п2
г)у = ^—1 + 3. 5.28. а)у= (X+1)*n2 + 1; 6)i/ = xln2 + l; b)j/ = 4(x-2)x
о In 2	2
х In 2 + 4; г) у = 8(х - 3)1п2 + 8. 5.29. а) у =	б) у =	в) у = х;
е2	е
г) у = е2(х - 1). 5.30. а) у - х + 6; б) у = ^-х - 3^2; в) у = -х + 2; г) у =
= х - 3. 5.31. а) В точке х = -2; б) в точках х = 2 и х = 6. 5.32. а) В точках
х=1 и х =-2, под углом arctg3; в) в точке х = 6, под утлом arctg73.
5.33. а) —; б) — - arctg 4; в)—; г) — - arctg 5. 5.34. а) у - ее(х - е + 1);
4	2	4	2
б) ее(х - е + 1). 5.35. а) у = -2х + 1; б) у = 4х - 8. 5.36. а) При а = -3; б) при
а = -5. 5.38. а) 25,1; б) 26,73; в) 4,01; г) 1,00; д) 3,94. 5.39. а) 25,1; в) 26,7;
д) 5,998; ж) 5,99; з) 1,1; и) 1,2; к) 0,6. 5.40. а) 1,005; в) 0,995. 5.41. а) 1,1;
6)0,8; д) 0,990; е) 1,03. 5.42. а) 0,0175; г) 0,4848; д)-0,0175; ж) 0,515.
5.43. а) 1,07. 5.47. а) 1; б)-1; в) 3>/3; г) -Зл/з. 5.57. в) Критическая точка
х = 1; (0; 1] — промежуток убывания, [1; +оо) — промежуток возрастания.
5.58. а) (-оо; —2), (—2; 2), (2; +оо) — промежутки непрерывности функции,
[-1; 1] — промежуток возрастания, (—оо; —2), (—2; —1], [1; 2), (2; +оо) — про-
межутки убывания; в) (0; +оо) — промежуток непрерывности функции,
(0; 0,5] — промежуток убывания, [0,5; +оо) — промежуток возрастания.
5.60. а) -л/б — точка локального минимума, в этой точке функция дости-
V5 /г
гает своего наименьшего значения--, V5 — точка локального максиму-
10 /~
ма, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения —
5.64.	a) v(t) = 102 - 10, a(f) = 10; t>(0) = -10, а (0) = 10; о(0 = 0 при t = 1.
5.65. а) о(0) = 8 м/с,	а(0) = 0,5 м/с2.	5.68. a) sinx; б) cosx; в) ех.
5.69.	/(п)(х) = ап • п!; fin ~ п(х) = ап • х • n! + ап _ j - (и - 1)!. 5.70. а) и!; б) ех;
в) 3х(In 3)п. 5.71.	+	. 5.76. а) (-оо; -1) — промежуток выпукло-
го!
сти вверх, (-1; +оо) — промежуток выпуклости вниз графика функции,
Л 447
Ответы
x = — 1 — точка перегиба; и) (2лп; я + 2лл), п е Z — промежутки выпуклости
вверх, (я + 2лл; 2л + 2ли), п е Z — промежутки выпуклости вниз графи-
i л	\
ка функции, х = лл, п е Z — точки перегиба; л)---h лл; лл , п e Z —
промежутки выпуклости ввех
, п е Z — промежутки выпук-
точки перегиба. 5.77. Нет

л ости вниз графика функции, х = л л
например, для функции f (х) = х4 вторая производная равна нулю при х = О,
но х = О не является точкой перегиба графика функции. 5.78. а) (-1; 1) —
промежуток выпуклости вверх, (—оо; —1) и (1; +оо)
сти вниз графика функции, точек перегиба нет; б) (лл; л 4- ля), п е Z —
промежутки выпуклости вверх, промежутков выпуклости вниз и точек
п e Z — промежутки выпуклости вниз гра-
промежутки выпукло-
Tin
перегиба нет; в) (
фика функции, промежутков выпуклости вверх и точек перегиба нет.
Т1П
max
max g
mm
max
У min
max
. 5.84. a) i/max
max
У min
max
min
max
, S/min = 6* 5.86. ЕсЛИ
_ 2л
min «

9
а<-1, то J/mhl = -l-a;
Ут.п = -1 + а. 5.87. Если а
Я-Г 111111
если -1 а 1, то г/пйп = 0; если а > 1, то
< 0, то ym&Ji = 1 - а; если а > 0, то утяк = 1 + а.
5.88.	а) Если b < -1, то t/min = (b + I)2; если -1 < b < 1, то утхп = 0; если
6>1, то z/min = (& — I)2; б) если Ъ 0, то утлх = (b - I)2; если b > 0, то
t/max = (Ь + 1)2« 5.89. Если 0 < b < 0,5, то у1Л&х = если 0,5 Ъ < 1, то
V5
Утах =	1 ? еСЛИ & > 1»
ТО i/max
5.90. Если b < -1,
ТО
Угпш
если -1 < b < —0,5, то i/min = —-dlr + 1; если —0,5 < Ъ < 0, то r/min
. 5.91. 0,5
и 0,5. 5.92. а) 24, 12, 18; б) 16, 16, 16. 5.93. Это квадрат со стороной 2.
5.94. а)

. 5.97. Это куб с ребром 3. 5.98. На рассто-
янии 12 км от пункта В. 5.99. Ширина д/2У, высота з
5.100.	Диаметр и высота цилиндра равны з
м:
а) 2 м; б) 4 м. 5.104. а) у— 2х, b)z/ = 2x-1; д)у=—х----. 5.119.0 и
5.120. а) Зл
з
е
Л
9
448
21
6.7. a)
6.8. a)	—-
105
In 2	31n2
C‘ 6) arctg x + C;
в) —arcsin 2x + C;
2
д) —arcsin Зх 4- C; e) — arctg 2x 4- C.
6.12. a)— + C;
6)	—
3
г)-cosx4-C; A)sinx + C; e)tgx4-C; ж)-ctgx4-C;
In 8
B)-3ctg(x4- 1)4- 7tg(x-l)4-C; r) -(x 4-1)2 - -(x - З)3 + C.
5	5	5
6.16.	a)—tgx + C;	6)——ctgx + С; в)—sin2x + С; r) ——cos2x 4- C;
д) —cos9x4-C; e) — sin5x 4- C. 6.17. в) -= arcsin V2x 4- С; r)
arctg V3x + C;
д) — arcsin(3x 4- 1) + C; e) — arctg(4x - 1) 4- С; ж) —arcsin (2x - 1) + C;
з)-arctg(2x4-3)4-C. 6.19. a)-c3v4-C; 6)—-----
2	3	21n9
Сделайте замену x = sintp,
(х - 7)2 4- С. 6.25. а) (х2 - 2х 4- 2) ех 4- С; б) —х2 cos х 4- 2х sin х 4- 2 cos х 4- С;
15
в)	х2 sin х + 2х cos х - 2 sin х
6.27.	a) = 0
6.28.	а) Только знаком;
в)
6.29.	а) 8, = 1, S2=^, S:i
б.зо.	a) sn =	Г);
11
6л2
г)	8; д) -2; е) 4. 6.33. а) -4; б) 12; в) 6,5. 6.34. а) -; б) --; в)
9л . .
—; г) —4л.
4
J
n
2
2
2
4
1
n
2
3	3
2
449
Ответы
6.35. а) 0; б) 0. 6.36. а) 4; б) 2,5; в) 2. 6.39. а) 3; б) 10,5. 6.41. а) ~ 2,2;
б) ~-2,2. 6.46. а)-; 6)6; в) 20. 6.47. a) i; б)-; в) 3. 6.48. а)6)0;
2	3	3	4
в) 16,25.
б) In 1,5;
6.49. а) 2; 6)0; в) 0. 6.50. а) 1;
в) 1пЗ. 6.54. а) 10 — ; 6)10-; в) 4,5;
6)0; в) 2. 6.51. a) in 2;
г) 4,5. 6.58. а)-; в) 2-.
3	3
25. 6.64. а) 4,5; б) 0; в) 1;
—. 6.68. а) 8; б) 21-. 6.70. а) 2 + —; б) 2^2.
3	3	6
6.59. a) F(x) = х* 2 + 4х + 4; S = 2,25. 6.62. a) S
г) е3 - 1; д) 2. 6.67. а) 4-; б)
3
6.72. а) 1,5; б) 1,5. 6.73. а) 0; б) 1,5; в) —; г) л; д) arctg—; е) 2arcsin—.
2	4	6
6.74. а) 0; б) 7. 6.75. а) Зл; б) 2л. 6.78. —. 6.79. 12,8л. 6.86. а) у = х4 + 1;
2
б) у = -5 cos х + 5; в) у = 6 sin х + 5; г) у = — 7 cos х — 8 sin х + 8; д) у = Их3 +
+ Зх + 1; е) у = —6х3 + 2х. 6.93. 36°. 6.94. За 30 мин. 6.95. 0,5 кг.
§ 7
7.4. а) л&, k е Z; -- + 2л/г, k е Z; в) - + —, /г е Z. 7.5. а) 5; б) --; в) 0; 2;
2	4	2	3
г)-2; 0. 7.6. а)-1; 0; 1; б)-1; 8; в)-10;-2; 6; г)-6; 3. 7.7. а) 4; 6)4;
в)-2; 0; г)-i; 0. 7.8. а)±-+лп, п е Z; 6)- + —, k е Z; в) 2; г) 1.
2	3	4	2
7.10. а) -0,2; б) -2—. 7.11. а)---; б)--i---. 7.12. а) 2; б) 2; в) -- + 2л/г,
11	1— log2 3 log3 2—1	2
k е Z; г) л + 2л£, k € Z; д) 1; е) 1. 7.13. При а = 4.
7.19. а)
б) (-сю; -2) U (-V3; Vi).
— + 2лп; — + 2лп
2	2
п е Z; б) Нет
решений. 7.21.
7.29. а) ----i---
V 1 - log5 4
а) (-оо; 1); б) (1; +оо).
;+оо ; в) (4 + log53;+оо).
7.23. а) (-оо; -5) U (—1; +оо).
7.30. а) (-оо; log52) U(2; +оо).
7.31. а)
—; +оо 1; б) (—оо; 70); в) |	4- 2лп;
2	)	V 6
— — + 2лп ], и g Z; г) I —— + 2лп;
6	)	I 3
1
п g Z; д) (0; +оо); е) (—оо; 1) U (2; +оо).
7.33. [-1; 0) U (0; 1].
§8
8.2. 6) 0; в)-1; г)-4. 8.3. а) 2; 6)1; в)-2; г) 0; д)-4; е)-4, -2,5.
8.4. а) “ + 2лЛ, k е Z; в) — + л/г, k е Z; д) — + л&, k g Z; е) — + л&, k е Z.
8.8. а) 0; 7; б) -4; 1; в) 5; г) нет корней. 8.9. а) 2; б) 2; в) 2; г) -0,25; д) 0; 6;
1^450
е) 1. 8.10. а) Нет корней; б) i; в) 1; г) -1; О; Д) “ + 2тг/г, 2itk, k g Z,
8.11. а) 2; 3; 4; б) 1; 2; 4; в) 10; г) 10; 1000; д) 1; 2; е) 1; 3. 8.12. При
а >-4. 8.14. а) Нет корней; б) нет корней; в) 1; г) 2; 5. 8.15. а) -1; 3;
б) -4; 2; в) -2; -; г) -3; i. 8.16. в) -. 8.17. а) 2; б) 1; в) 2; г) 2. 8.18. а) О; 1;
2	3	2
б) 0; 1; в) 2; г) 1. 8.19. a) 2тс&, keZ; б) 2тс/г, k е Z. 8.20. При а = 2.
8.22. а) Нет корней; б) 1. 8.23. а) Нет корней; б) 2; в) 1; г) 5. 8.24. а) 6;
б) -4; в) 6; г) 4. 8.25. а) б) 5; в) А; г) -2. 8.28. а) 1; б) 3; в) -3; г) -3.
3	3
тс	7 тс
8.30. а) 2тсп, n е 2; б) тсп, п g Z; в) — + 2тсп, п g Z',------------+ 2тпп, т е Z;
12	12
тс	7 тс	1
г)----+ 2тсп, п е Z; — + 2тспг, т е Z. 8.31. а) При	—; б) при а + О,
а 2; в) при а = 1, а = -1. 8.32. а) 2; б) —1; 15; в) 2; 34; г) 2. 8.33. а) 2; б) 3;
в) 4; г) 1. 8.34. а) 1; б)-5; в) 6; г) -2; 3. 8.35. а) 1; б) 5; 6; в) 1; г) 3.
8.36. а) 4; б) 3; в) 3; г) 4; д) 3; е) 4. 8.37. а) 8; б) 9; в) 5; г) нет корней.
8.38. в) 6; г) 4. 8.39. а) 1; б) -2; в) 5; г) 5. 8.40. а) 0; 3; б) 5. 8.41. а) 8; б) 5;
в)— + 2тс&, п g Z; г)-—+ 2тс/г, k g Z,
4	4
§9
9.7.	Да. 9.9. а) 4; в) 13. 9.11. а) 7. 9.12. а) 27. 9.14. а) 4; б) -5; в) 2; г) 4.
9.16.	а)-3; 2. 9.17. а)-4; 3; 4; б) 1;-2. 9.18. а)-73; О; л/З; в) 1~^29;
1+729	,	,	„ , q *>q тс/г ,	„ , . п	ъ 7
-- ; тс&, ft е Z, k & О. 9.23. а) —, k eZ, k & О; о) ±—ь тс&, k g Z.
2	2*3
9.26.	а) (3; +оо); б) (3; 4). 9.27. а) 3; б) 1,4. 9.28. а) 2; 4; б) 1; 3; в) 3; г) 2.
9.29.	а) 2; б) 2; в) 3; г) 3. 9.30. а) 3; б) 2; в) 5; г) 6. 9.31. а) -2; б) -5.
9.32.	а) 8. 9.33. а) 137. 9.34. При а = 1, а = -3. 9.38. а) 9; б) -3; в) 1; 4;
г) 1; 5. 9.39. а) - + nkt k g Z\ б) — + 2тсА?, k g Z. 9.40. a) 3; 6) 4; в) - + 2л/?,
4	4	2
k g И; г) — + ли, n g Z. 9.42. а) Нет корней; б) 1; 2001; в) — + тс^, k g Z\
4	4
г) тс/?,	+ тсА?, k g Z. 9.44. a) (5; +oo); 6) (4; +oo). 9.45. a) [0,5; 5); 6) [-0,5; 4).
; 1 U [4; +oo); 6) -; 1 U[2; +oo); B) {1} U
16
9.46. a) [4; 5) U (7; +oo). 9.47. a)
U [4; +oo); r) {1} U [2; +oo). 9.48. a) (-6; -4) U (10; +oo); 6) (-6; -4) U (4; 9).
9.49. a) (2; 3]; 6) (2; 3]. 9.50. a) (-1; 0) U (0; 1); 6) (-1; 1) U (1; 2). 9.53. a) (-2; -1) U
U (1; +oo);	6) (-3; -2) U (2; +oo); в) (-co; 3) U (4; 5); r) (-co; -4) U (2; 3).
9.54.	в) (0; 1) U (2; 3]; r) [0; 1) U (2; 3). 9.55. a) [0; 1) U (4; +oo); 6) [0; 2) U
U (9; +oo); в) (—oo; —4) U (—2; 0]; r) (—oo; —9) U (—2; 0]. 9.56. a) (—oo; —1) U (1; +oo);
6) (—oo; -2) U (4; +OO); в) (0; 1) U (3; +oo); r) (-oo; -1) U (2; 3). 9.59. a) (4; 4096).
451
Ответы
; 3 . 9.61. а) [-3; 2) U (2; 3]. 9.62. а) (О; 0,1) U (0,1; 1) U
U (2; +оо). 9.63. а) (-0,5; О) U (О; 0,5) U [2; 3) U (7; 8]; в) (-оо; -1) U
О U
U
и (1; +оо).
9.64. а)
б) (1; 3]. 9.71. а) [4; +оо).
. 9.65. а) При а е [-2; 2). 9.70. а)
<	51
9.72. а) Нет решений; б) 1;— ; в) (1; 1,5].
9.73. а)
U (О; 4-сю).
§ 10
10.5. а) 6; б) нет корней; в) 5; г) нет корней. 10.6. а) 7; б) 1; в) 3;
г) -2; 5,25. 10.7. а)	б)	в)
2	2
3+ V5	г~
10.8. а) —2 + 73;
2
б)4-2л/3; 4+2^3; в) нет корней;
10.9. а) — 4- 4тгЛг;
— + 4я/г, k е Z. 10.11. а) 722; б) 714. 10.12. а) 8; б) 1; в) 5; г) -1- 10.13. а) 1;
1— V5 о 3 л/5	\ г? \ 1
—-—; б) 2; —-—; в) 7; г) -1;
Zj	z£
10.14. а) -2,5; б) 10.15. а) -4; 0,5;
б) 10; 12. 10.16. а) 4. 10.17. а) Нет корней. 10.18. а) -1; 1; в) 4. 10.19. а) —;
6
10.20. а) 3; б) 2; в) 2; г) 1; д) 1; е) 2.
Я
10.21. a) -arctg 0,75 4- nk, k g Z; б) arctg 0,5 + nk, k g Z; в) — + тг/г, arctg 0,5 +
4
+ iik, k g Z; r) — + nk, arctg — 4-тс/г, k e Z, 10.22. a) ±— 4- 2nk, ±— + 2nk,
4	3	3	5
±— + 2nkf k g Z; 6) ±- 4- 2я/г, ±- 4- 2л/г; ±— 4- 2л/г, k g Z, 10.24. a)
5	3	5	5	2
6) -1-714. 10.25. д) 1; e) 1. 10.26. a) 3; —4-2яи; —4-2ezi, neZ, n>0.
3	3
10.27. a) 3; 6)-l. 10.28. a) 2; 6)4; в)-7; г)-3. 10.29. a) 3; 27; 6)—; 4;
64
—; 27; г) 4; 8. 10.30. a) — 4-2дп, neZ; — + 2nmt m e Z\ 6) ±— 4-2nm,
3	6	6	3
m g Z; в) — 4- 2лл, n g Z; — 4- 2nzn, m g Z\ г) ±— 4- 2ятп; nzn, m g Z. 10.31. a) 3
6	6	3	__ ___________
10.32. a) 4-2V2; в) 4+2^3. 10.33. a)-3; 4. 10.35. a) 11~^'21; 11
,. 7-V13. 7 + J13	y/17-1	,. -1-V37
О) >	• 10.36. a) 9; 6) -2. 10.37. a)-----------> 6)-----------.
2	2	2	2
10.38. a) 4; 6) 5; в) 29; 2-. 10.39. a) 9. 10.43. a) 3; 4; 5; 6) 3; 3,5. 10.44. a) 2; 3;
452
б) 1;	10.45. а) О;-—; б)-ТЗ; О; ТЗ; в)-1; --; 1; г)-1;0;1.
4	6	6
10.46. а) 3; б) 2. 10.47. При а = 0, а = -4, а = 4. 10.48. а) ; б) -*•, 0;
3	3	3
—. 10.51. а) 0; б) нет корней. 10.52. a) log375.
§ II
U (2; +оо); в) |; 3j U (3; ч-оо). 11.8. а) (3; ч-оо); б) (0; ч-оо). 11.9. а) (-1; 3);
б) [-4; 5). 11.10. а) (-оо; 2); б) (-оо; 2). 11.12. а) (-2- 77;
-3]; б) (-оо; -1].
11.13. а) (-оо; -1) U (1; 4-оо); б) (0; 2). 11.14. а) [0,5; 2) U (2; ч-со); б) (-1,25; 1).
2 J
11.18. a) (—oo; -4) U (4; +oo); б) I 0; ?	. Ц.
J
U^;4-oo). 11.20. a) (-1; 0)U(0; 2). 11.21. a) (1-
в) (-1-V2; —2) U (-2; -14-^2); r) (-9; -5).	11.22. a) (0; 2);
8; 3)U(3; 1 + Тв); б) (-1; 3);
11.24.	а) (3; +оо); в) (3; 4). 11.26. а)
20 11
• _ _ _
17’ 9
. 11.28. а) (-2; 5); б) (-3; 4). 11.29. а)
и (2; 3); в) (-2; 0) и (0; 3)*11’30*а) [0; 4)*1131’ а) I
U | — 4- 2nk; 2nk
I 2
-к ч- 2nk;
11.32. а) (-0,5; 1,5). 11.33. а)
б) 0; -
I 5
U (1; 25). 11.34. а) [0; 1); б) [0; 4). 11.35. а) (-3; 1); б) (-оо; -4) U
U (-0,4; 4-oo). 11.38. a) (0; 1,6) U (2,5; 4-oo). 11.39. a) [-3; 1). 11.40. a) (9; ч-оо);
б) (3; ч-оо); в) (1; ч-оо); г) (2; ч-оо). 11.42. а) (1; 3); б) (-3; -1). 11.44. а) (0,5; 1) U
U (2; ч-оо). 11.45. а) (3; 1 + Тб) U
—; ч-оо). 11.47. При а е (0; 1). 11.48.
. 11.49. a) [3; log30,75). 11.50. a) [-2; 0) U (1; 2]. 11.51. a)
4я
3
; n . 11.52. a)
. 11.53. a) —; я - arctg 3 . 11.54. a)
Зя
U
U
2
2
U
U
U
5n

(0; ^1. 11.55. a) {2} U [3; 4-oo); 6) (-oo; -2] U {3};
453
Oltlt'Tbl
в) {-4} и [-3; 5]; г) {-5} U [-3; 2]. 11.56. а) [-8; -3] U [3; +оо); б) {-2} U [2; 4];
в) {-4; 4} U [5; +оо); г) (-оо; -7] U {-5; 5}. 11.57. а) [-4; -3,5) U {3}; в) [-4; 2].
11.58. а) [2; 5) U (6,6; +оо); б) f-1; U {О}. 11.61. а) (0; 2]; б) (0; 1];
в) (2; 4]; г) (0; 3]. 11.63. а) [107; +оо). 11.64. а) (0;-1 U [3; 5) U (12; 20].
§12
12	.1. а) -1; в) -2; 2; д) 2. 12.2. а) 1; 5; б) -1; 5; в) 0; 6; г) -2; 3. 12.3. а) -1; 0;
б)	-5; -4. 12.4. а) --; --; 0; в) 0; 3. 12.5. а) 3; 7; б) -2; в) 5; г) 2; д) 3; -;
3	2	5
е) --; -2. 12.6. а) (-3; -1); б) (-оо; -4); в) 2,5. 12.7. а) 1; 12; б) 2; 23.
2
12.9	. а)- + 2л/г, k е Z; б) - + 2л/г; - + 2л/г
6	6	3
k g Z; в) [2; 4]; г) 9.
12.10	. а) (-со; 1) U (4; +оо); б) (0; 6); в) (-оо; 2) U (4; +оо); г) (2; 6). 12.11. а)
б) (-0,5; 4,5). 12.12. а) (-6; 2); б) (-6; 0); в) (-оо; -3) U (2; +оо); г) (-оо; -8,5) U
U (0,5; +оо). 12.13. а) (-оо; -4] U [-2; +оо); б) (-оо; 3] U [5; +оо); в) {-2} U [1; 3];
г) {-1} U [0; 2]. 12.14. а) (1; 2) U (2; +оо); б) (6; +оо); в) (2; 4]; г) [5; 8).
12.15. а) (-оо; 0) U (0; 1) U (3; +оо); б) (1; 3); в) {0} U [2; 3]; г) {1} U [2; 3].
12.16. а) (-1; 0) U (2; +оо); б) (-1; 0) U (1; +оо). 12.18. а) (-оо; 2) U (7; +оо);
б) (-1; 3); в) (-оо; -3) U (4; +оо); г) (-5; -1). 12.19. а) (0; 2) U (3; 10); б) (3; 4) U
U (4; 5); в) (1; 4) U (4; 5); г) (0; 3) U (3; 4); д) (-2; -1) U (0; 0,5); е) (0; 0,5) U
U (0,5; 2). 12.20. а) {-3} U [0; 3]; б) [-5; -2] U [2; 6]; в) (-оо; -3] U {3} U [4; +оо);
г) (-оо; -3] U (-2; 2} U [4; +оо). 12.22. а) (-оо; 1] U (2; +оо). 12.23. б) (-11; -4] U[4; 6).
§ 13
13.1.	а) 7; б) 6; в) -3; 3; г) -2; 2. 13.2. а) 4; б) -1; в) 2; г) 2. 13.3. а) -1;
б) нет решений; в)-1; 5; г)-2. 13.4. а) 9; 6)4; в) нет решений; г)-2.
13.5.	а) + 2л/г, k е Z; б) 2nkt k g Z, k > 4. 13.6. a) 6; 6)5; в) 4; г) 3.
13.7.	a) 0; 6) 1. 13.8. a) 7; 6) 5. 13.9. a) -1; 6) -2. 13.10. a) 3; 6) 4. 13.11. a) 5;
6)	4. 13.13. a) 0; 6) 2; в) 5; г) 6. 13.14. a) —; б) 2л; в) нет решений; г) нет ре-
2
шений. 13.15. а) 2; 6)3. 13.16. а) - + 2л&, 2л/г, /г g Z. 13.17. а) 0; 6)3.
2
13.18.	а) —; б) л; в) -2; г) 3. 13.20. а) 3; б) 0. 13.21. а) 0; б) 0; в) 1; г) -1.
2
13.22.	а) л/г, k g Z; б)-+л/г, k е Z; в) 4; -; г) 10; 0,1. 13.23. а);
2	4	4 4
б)	--; -. 13.24. а) -1; 0; б) 1. 13.25. а) -+ л/?, k g Z; б) - + 2л/г; л + 2л/г,
2 2	4	2
454
k g Z. 13.26. a) б) л; в) —; г) 13.27. a) 1; б) 3; в) 2; г) 1. 13.28. a) 3;
2	4	4
б) 3. 13.29. a) 2; б) 3. 13.30. a) 1; б) 2. 13.31. a) 1; б) 0,6; в) 0. 13.32. а) (0; +со);
б) (0; +оо). 13.33. а) (1; +<х>); б) (2; +оо). 13.34. а) 4; б) 2. 13.35. а) - + 2л/?,
2
£gZ; б)--+л/г, k&Z. 13.36. а)-+ —, k g Z; б)-- + 2л/г, k g Z;
4	4	2	2
в)	— — 4- л/г, /г g Z; г) — + л/г, /г g Z. 13.37. a) — + —, /г g Z; 6) — + 2nk, keZ.
4	2	4	2	2
13.38.	a) — + л/г, k g Z; б) л + 2л£, k g Z.
4
§ 14
14.2.	а) Нет; б) да. 14.3. a) (1; 1); 6) (1; 5); (5; 1). 14.6. а) Да; б) да; в) да;
г) да. 14.7. а) (1,4; 0,6); б) [ А; ± 1 в) (3;
б) (3; 3); в)( лп; ±^-+2л/г
+ л/г;
12
+ л/г , k g Z. 14.8. а) (л/г, 6), k g Z;
п g Z, /г g Z; г)
—I- 2пп; 0 , п g Z; д)
2	j
±arccos — + л/г; 2 I, /г g Z. 14.9. а) (3; -2);
4	)
б) (1; -6); в) (2; -3); г) (-5; 1). 14.10. а) (1; 2); б) (2; 1); в) (log2 12; 48).
14.11. а) (4; 4,5); б) нет решений. 14.12. а)(0; 3); б) (1; 1). 14.13. а) (1; 3);
(3; 1); б) (3; 2); (-2; -3). 14.14. а) (1 - J2; -1); (1 + V2; -1); б) (0; 1);
(-2; 1); (-5; 4); (3; 4). 14.15. a)f-i; (2; t). t e R, 6) fii; -H (2; -1).
к 2 4?	к 7	7 J
^ + л/г; J - л/г , /г g Z. 14.17. (log452; log4t54).
4	6	}
14.20.	a) (3;-1); 6) (2; 1); в) (-1; 5); r) (7; -2). 14.21. a) (3; 2); 6) (5; 3);
в) (4; 1); r) нет решений. 14.22. a) (1; 2); 6) (2; 2); в) (1; 1); r) (-1; 1).
14.23. a) (3; 1); (-3; -1); б) (1; 1); (_-l; -1); (-2; -1); в) (1; 5); (-1; 4);
г) (1; 1); (-1; -1). 14.24. а) (2; 1); б) (/З; ^3 - 1); в) (2; 0,5); г) (О; Л); (-2; 2).
14.25.	а) (8; 4); б) (4; 8). 14.26. а) (14; 5,5); б) (3,5; -2). 14.27. а) (3; О);
(-5; О); б) (0,5; 5,5); (1,5; 5,5). 14.28. а) (-2; -5); (5; 2); б) (5; 2); (-5; 2);
в) (4; 4зу, (4; -73); (3; 2); (3; -2); г) (2; 3); (3; 2). 14.29. а) (1; 2); б) (5; -2).
14.30.	а) (1; 1); (2,5; -2); б) (3; 2); (2; 3). 14.31. а) (17; 7); б) (17; 6).
14.32.	а) (2; 0); б) (1; О); в) (1,5; 2). 14.33. а) -+ я*; V2
к 3
keZ; б) Гл/З;- + nk
3
Ответы
14.34.	а) (3; 1);
14.35.	а) (41; 40); б) (12; 4); (34; -30); (103-19V17; -77+25717). 14.36. а) (1; 4);
(4; 1); б) (1; 8); (8; 1). 14.37. (650; -646); (26; 10). 14.38. а) (О; 1); б) (О; 1).
14.43.	(16; 4). 14.44. а)
§15
Ttk
15.1. а) х е R при а= 2; х = а + 2 при а ф 2. 15.2. а) Нет решений при а = 2;
х = а - 1 при а & 2. 15.3. а) Нет решений при а = 0, а = 0,5; х =
при
О; нет решений при а = -10; х = 0,5 при
при —1
—1. 15.6. а) Нет решений
при а = О,
а = о; х =--- при
4а
х = -2 при а = 7; х
а ф 5. 15.7. а) Нет решений при
= -4 при а = 11;
при а =
4
2
при а
*
4; два корня при а = О
2
при а = — 9; нет решений при а Ф -9; б) х g [— 1; +оо) при а = 1; нет решений
при а Ф1. 15.9. а) Единственный корень при а
а = 4; три корня при О < а < 4. 15.10. а) Нет решений при а = 1; х
-2
при а> 1; х < а + 1 при а < 1. 15.11. а) х е R при а 0; —,= < х <
при
О;
0;
О при а < 0. 15.12. а) Нет решений при а = 0; х < О
1 при а > О;
0. 15.13. а) х > О при а = О; О
— при
— при
2
при |а| > 4. 15.15. а)х е R при а =
2
-1 при а
Й 456
при а < 1. 15.16. а) х е (-оо; 1) U (1; +оо) при а = 1; х> а, х < 1 при а > 1;
х < а, х > 1 при а < 1. 15.17. а) -1 < х < 1 и х > 1 при а = ±1; -а < х < 1 и
х > а при а > 1; —а < х < а и х > 1 при 0 <а < 1; а < х<-а их > 1 при а < О;
х > 1 при а = 0. 15.18. а)х>аих=1 при а > 1; х = 1 при а < 1; х > 1 при
а = 1. 15.19. а) х > а при а > 1; х > 1 при а 1. 15.20. а) Нет решений при
а > 3; х = 3 при а = 3; —— х С 3 при а < 3. 15.21. а) Нет решений при
2
а 13; - * - — х < 13 при а < 13. 15.22. а) Нет решений при а О или а = 1;
2
7,5 х < 13 при а > 1; 2 < х 7,5 при О < а < 1. 15.23. а) Нет решений при
а < О или а = 1; 2 х < 3 при а > 1; 1 < х 2 при 0 < а < 1. 15.24. а) Нет ре-
v	. а2 - 2а- I а + 1	.
шении при а = 1; х -----, у =--при а 1. 15.25. а) х = 1 — £, у = t,
а - 1	а - 1
где t с R при а = 1; х = 1, у = а + 1 при а Ф 1. 15.26. а) Нет решений при
2
при а > —;
2 2
при а = —. 15.29. а) (л + 4пп; 2л/г), п е Z, k е Z при а = — 1, а
= 3; нет решений
- |. 15.31. а) х =
единственное решение при — 1 < а С 1. 15.32. а) Пет решений при 0,5 < а 1;
единственное решение при а -1, а = 0,5, а > 1; два решения при -1 <а<0,5.
15.33. а) а е (0,5; 1) U (1; +оо); б) а е
U {1}. 15.35. а) При а < 1,
а = 1,25; б) при а = 2,75, а > 3. 15.36. а) О < а С 0,75, а = 1; б) 0,8 < а < 1,
а > 1. 15.37. а) b < -4; б) |-оо; -- | U f--; о) U -; +оо |. 15.38. а) а 3.
I 7) I 7 ) L7 J
( 11
15.39.	а) а = -1; б) 1 < а < 2. 15.40. а) а е (-2; 2]; б) а е ; 3 .
§16	7
16.15.	а) 4 + 7i; б) 7 + 4ц в) -4 - 3i. 16.16. а) 2 - 3/, б) -1 - 26i; в) -6 + 5/.
16.17.	а) -7 + 17ц б) 17 + 11ц в) -1 + 21г. L6.18. а) 0,5 - 0,5ц б)
241 241
В)	. 16 19 а) 21 + 20/; б) 5 _ 12/; В) 15 + 8г; ж) -2 + 2г; з) -11 + 2г;
17	17
и) 2 + 11г. 16.20. а) 16; б) -24ц д) 36; е) 4г. 16.21. а) х2 + 1; б) х2 + г/2; д) -25Х2 +
+ 16г/2 + 40х£/2г. 16.22. в) (4х + г/г)(4х - г/г). 16.24. а) -12 -
..	12	5 .
аг; о)-----------г.
169 169
16.26.	а) 1; б)-3; 3. 16.28. а)-4; б)-9; 9. 16.29. а) х = 3, у = 9; х = -3,
г/ = -9; б)х = 97,5, у = -7,5; х = 13, у=1. 16.30. а) 1 + 4ц б)-3 - 2г.
16.44. а) (2; 0); б) (-2; 0); в) (О; 1); г) (О; -1); д) (2; 1). 16.45. а) 1; б) г; в) -1;
г) -г. 16.51. a) z = -2 - 5г; (-2; -5); б) г = -1 + 2г; (-1; 2).
Ответы
§ 17
-««о	\ ТС . . ТС ТС п Г 5ТС . • б7С । О ТС
17.3. a) cos — 4-1 sin—; —; б)3 cos— + zsin— ; —
4	4	4	\	4	4/4
г) z = cos
ол
У
. 17.4. a) cosO + i sinO; 0; 6) 2 (cos л + i sin тс); л;
— + isin —; —. 17.6. a) 5 (cos (arccos 0,6) +
+ i sin (arccos 0,6)), arg z = arccos 0,6; д) л/б cos arccos
4-isin arccos —f=
I v5
arccos-J=. 17.7. a) 1; 6)-6. 17.13. a)-l; 6)4^2 - 4^21. 17.18. a) 128; б)-128д/3.
V5	r-
17.20. а) 8л/2;	6) 4;	17.23. a)-l+ V3i; 6)	17.24. a) 1; -1;
6) -i; L
17.25. a)
§ 18
-«о о \ 5 — >/17	5 + >/17 ,». —1 — fл/з —1 + т\ 3 t о л \ i о i о i
18.2. a)---------; ---------; 6)----------; ---------. 18.4. a) 1; 2; 6) -1; 2; в) 1;
2	2	2	2
.я
. 18.5. a) 5ef arwln (-°’6); 6) V2e‘T.
. I к
6)	1 + д/Зт. 18.9. a) -2; 6) 12r‘12 .
18.6. a) 3e'rt; 6) 4e‘ (R + a).
Задания для повторения
1.	a) 144; б) 0,0115; в) 211; г) 395. 2. 679. 3. а) 180; б) 1,8; в) 1. 6. 858.
8.	1; 16. 9. а) 1; б) 1. 12. а) 1; б) -1; в)	14. а) 0; б) 25.
15
15.	а) 1; б) 12. 16. а) Второе число больше; б) первое число больше. 21. 5.
22.	а) 1; б) 1; в) 0,5; г) 2; д) 0. 23. 4-. 25. б) -1. 26. а) ——; б) -2. 27. 0,5а2
3	а - 4
при х > —а'1, х 0, а Ф 0. 28. а) 6; б) 4,5; в) 15; г) —2. 29. а) 1,8; б) 0,6; в) -6.
30.	а) 27 и -27; б) 16 и -16. 32. а) -6; -5; -4; б) 3. 33. а) -5Я—; б) -3 Я—.
V202	V196
34.	а) 1; 2; б) 1; —. 35. а) а1 = 3, d = 6; б) -(777...70 - 7п). 36. а) 22000 • З1999000;
3	9	*
б)	З2000 • 41999000. 48. а) (-оо; -2) U (-2; 2) U (2; +оо). 49. а) 2лп, neZ.
50.	а) (-3; 1].	51. а) [4; 10].	52. а) (-оо; -д/З) U [-1; 1] U [73; +оо) U {1,5}.
53.	а) (2,5; 3) U (3; +оо); в) (-1,5; -1) U (-1; 0] U [3,5; +оо). 55. а) (-3; -2) U
U (2; -1] U [2; 3). 56. а) (2; 3). 57. а) 2. 58. а) 3997; б) 3998. 60. а) 1 + 8п,
п е Z; 7 + 8/n, т € Z. 61. а) 4 004 001; б) 4 008 004. 62. 3. 63. 1,5. 64. а) -2; -1.
65.	а) -127; -101. 67. При k = 0, k = п (n + 1), л е Z, п * 1, л *0. 68. а) На-
458
пример, х2 - 8х + 13 = 0. 69. а) 5,2; б) -0,5; в) 1. 71. а) 4; б) 2; в) 8; г) 5.
72. а) 26; 6)27; в) 32; г) 29. 73.-4; 9. 74. а)-3; |; 6)3; 812715.
75. а) б) -||; в)	г) -у. 76. а) 0,2; 0,8; б) -|;	77. а) 8; б) 12;
в)	9; г) 7. 78. а) 1; б) 5; в) 3; г) 2; д) 5; е) 6; ж) 2; з) -2,5; 2; и) V9; к) Узб.
79. а)	б) 19+V137 , 80 а) 1; б) 2 81 а) 12; б) 8 82 а) Нет кор_
ней; б) -3; 2; в) -1; 0; г) 4; 548. 83. а) 7; б) 9. 84. а) 13~^*; б) 9~^1.
85. а) 2 + л/З; б) 2 + V2. 86. а) 3; б) 2. 87. а) 5; б) -2; в) нет корней. 88. а) 27;
99; 342; б)-600; -100; 156. 89. а)-3; -1; 5; б)-3; -2; 3. 90. а) 3; б) 2.
91. а)-1; б)
6±5>/з.
2
ж) 0,4; з) 1. 93. а) -
в) 2. 92. а)-4; 6)1; 2; в)-3; г)-10; д)-18; е)-1;
18 _ 76
—; б) -—
; в) i; г) 4; д) -i; е) 2; ж) V10; з) 9. 94. а) 2;
2	2
10; г)^.
log29; 6) (72 +/З + V5)2;
(•72 + л/3 +	98. а) 100; б) 1000. 100. а) -; б) -. 101. а) (-1)* - + Ttk,
3	2	3
2л л 4л
л л 9
3 3
б) 2; в) 0. 95. а) -1; б) 2. 96. а) 0,75; 3,25; б) -2; 4; в) 1±
99. a) log3 2;
3
Зл . 5л
—. 103. a)(-l/ +
3
± — + 2лл, л g Z;
— + л/?, k
6
’	4 ’	4
g Z; б) ± - + 2л/г,
3
Л ЛЛ1
24	2
л/г
3 ’
12
2 2	3
k g Z, 104. а) —,
3
—, k g Z. 105. a)
—, k g Z. 108. a) arccos
1	’ 2
^ТГ
б) ± — + 2лл, п g Z. 110. — 4- 2лл, п g Z; (—1)
4	2
Зл л
2 ’ 2
п е Z. 116. ± arccos
лл
arcsin—I- nk
---arccos —t=;-----+ arccos—f=. 112. — + л/г, k g Z
4	2V2	4	2V2	12
—; 2л, 2л - arccos — . 114. л/г, k g Z. 115. ± — — — + 2лл
2	5	3	6
117. 2лл, п е Z; — 4-2л/г,
2
nk
+ 2лл
2
2л/, I g Z; 2 arccos -7= - — + 2ллг, m g Z. 118. —
V5 2	4	2'6
—; 4. 124. -1; 3. 125. 0; ±V2. 126. a) -
4	4
2 arccos -7=
V5
k g Z. 121. а) 1; б) -1. 123. 0;
— + 2nk
2
3
Д 459
Ответы
n e Z; — + 2nk, k g Z; 6) — + 2itn, n g Z; 2nk, k g Z. 128. ± АЁ2Е 4- 3nn,
2	4	34
—1	4л/з
n g Z. 129. ± arccos-7=------1-2лп, n g Z. 131. a) (-1 У1 arcsin—— + nk, k g Z;
V3 + 1	7
6) ± arccos — + 2nn, n <= Z. 132. a) -—; -6; -5; 6) -4; —; -3. 133. a) - + 2nk,
5	4	4	6
k g Z; Tin, n e Z. 136. a) 1; 6) -1. 138. a) 4; 6) 2002; в) 2; г) 1; д) 2; e) 4; 5.
139. ±1. 144. ±—. 145. а) Нет корней; б) нет корней. 146. — + —, k g Z;
2	4	2
_л + ят> mcZ_ 148 a) _9; _g. _g. _5. б) 4; 5. 7. 8 149 (2n - I)2, n e N.
8	2
150.-4. 151.3±V5. 152. i*^1*5*” n = 0, 1, 2, .... 153.	;
5	6
v'164 12. 154. 7. 155. 1,5. 156. 0. 157. 3. 159. a) 3; 6) 2,5; в) 1; г) 0.
6
163. (-4; -3) U (-2; -1) U (-0,5; 3). 166. a) (-8; -2) U (0; 2); 6) (-00; -4) U (0; 4) U
U (6; +00); в) (-3; -1) U (0; 3); г) (-00; -5) U (0; 5) U (9; +00). 168. a) (-00; 0) U
U (0; 3]; 6) (-00;
U [5; +00). 169. a) (-00;
U
-3) U [-2; 0) U (0; +00); в) (-3; 0) U (0; 4]; г) (-00; 0) U (0; 2) U
; -1 U(l; +00).
2
; r) (0; 1,6]. 173. a)
170. a)
171. a) (-00; -3] U [3; 5); 6) (-2; 0] U [6; +00);
4 37 + л/б9^
7*	50
6)
(2 17 + V73
___ • _
k5’	18
шений; б) [-2; -1] U {1}. 175. (-со; 2] U [6,5; +оо). 177. а)
. 174. а) Нет ре-
184. [-Лё; -3) U (3; Ло].
178.	а) (0,58; 0,6); б) (0,44; 0,5). 183. (-со; 0).
186.	(nk; п + nk), k g Z.
187.	-- + 2nn,
2
n e Z.
191. a)
189. a)
1-Л1
o , 1+ <65 n
2 arctg------; —
16	3
190. a) (3; +00);
; —2 U (-2; -1] U [2; +00); 6) (-00; -2] U
6) (-00; -3] U [3; +00).
2 J	4
192. a) (-00; -4) U {0; 2} U (4; +00); 6) (-00; -3) U {0; 1} U (3; +00). 193. [0: 3,75] U
U [4; +00). 194. 6) (-00; 0) U (1; 2).
; 1 . 196. 6) (-6; -3) U (3; +00).
197. a) {1} U [2; 3]; 6) {-11} U [-3; -2]; в) (-co; -3] U [4; +cx>) U {0}; r) (-<»; -7] U
U [8; +00) UJO}. 198. [0; +00). 199. a) (-1; 2). 201. a) (-1; 4); 6) (1; 2] U (7; 8).
203. a)
U [3; 2л/3); 6) {-12} U (7; +00). 204. a) [2; 3] U [6; 9); 6) (0; 3) U
460
U [6; 7); в) [4; 7]; г) (-3; 1) U [5; 6). 205. а) [-5; -3] U (-1; 1]. 207. а) (2 - log* 3; 2];
б) (3 - log| 2; 3]. 210. а) -
;0 . 211. а) 0; —
U 0 U (0; 1]. 212. а) (1; +оо); б) (log249; log27). 213.
v 5	)
2] U
12; +оо); в) (-оо; -1] U [О; log1516 - 1). 215. [2; +оо). 216. -; 1 I
_ 8	)
25-7145^
п е Z. 218.
219. (-со;-8) U (12; 4-оо). 220. (-1; 0) U 0;
/2
2
222. а) (3; 3);
223.
224. (-2; 1);
27
arccos —
17
+ 2тпп; -arcsin — +
28
27 . о	. о 1
;cos — 4-2лп; 7t4-arcsm — + 2пп ,
28	28 J
т е Z. 232. (± arccos (1— л/3) 4- 2пп;
----1- 2тст
2
. 234. (2; 1). 236. а) 0; б) 0.
238. При с = —1. 240. а) а е
. 241. При b < -2 нет корней;
0 По£>7+7^

2
2
♦
U
при b = -2 один корень; при Ъ > — 2 два корня. 242. б) Нет корней при а < 5;
х е [—3; 2] при а = 5; х = ———- и х = ——- при а > 5. 246. Г О; — .
2	2	\	12 _
247. Нет корней при а > 4; х = -2
при а = 4; хе
2 - а
при а < 4.
248. х > 2d2 4- при а < О; х >
а* +
18
а
— при а &
2
0. 249. Нет корней при а & О;
nnt neZ; ke Z при а = О. 250. При а = 3, а е [V10; V11). 251. (-оо; —4] U
U -I U [4; 4-оо). 252. При а = а = -. 253. а е [3; 4-оо). 254. а =
I 3 2 J	4	3	3
±V3, ±1. 255. a) О; б) О. 256. По 8 л. 257. По 8 л. 258. По л.
3	т + п
259. По 99 л. 260.л; а) 12 л; б) 7,5 л. 261. а)-л; 6)i л. 262. а) 75 км/ч;
т 4- п	3	2
б) 40 км/ч. 263. а) 6 км/ч; б) 72 км/ч. 264. а) 12 км/ч. 266. а) 7 : 5; б) 7 : 3.
267. а) 15 мин; б) 3 круга. 268. а) 6 км/ч; б) 15 км/ч.
Оглавление
Г *	____
ГЛАВА I. ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ. ИНТЕГРАЛЫ
§ 1.	Функции и их графики.................................... 3
1.1.	Элементарные функции................................ 3
1.2.	Область определения и область изменения функции.
Ограниченность функции.............................. 5
1.3.	Четность, нечетность, периодичность функций......... 8
1.4.	Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства
и нули функции..................................... 14
1.5.	Исследование функций и построение их графиков
элементарными методами............................. 18
1.6.	Основные способы преобразования графиков........... 21
1.7*	.	Графики функций, содержащих модули............... 34
1.8*	.	Графики сложных функций.......................... 39
§ 2.	Предел функции и непрерывность......................... 45
2.1.	Понятие предела функции........................... 45
2.2.	Односторонние пределы............................. 49
2.3.	Свойства пределов функций......................... 56
2.4.	Понятие непрерывности функции..................... 60
2.5.	Непрерывность элементарных функций................ 65
2.6*	.	Разрывные функции............................... 67
§ 3.	Обратные функции....................................... 72
3.1	.	Понятие обратной функции ......................... 72
3.2	*.	Взаимно обратные функции......................... 75
3.3	*.	Обратные тригонометрические функции.............. 80
3.4	*. Примеры использования обратных тригонометрических
функций................................................. 85
§ 4.	Производная............................................ 89
4.1.	Понятие производной............................... 89
4.2.	Производная суммы. Производная разности........... 96
4.3*	. Непрерывность функции, имеющей производную.
Дифференциал............................................ 99
4.4.	Производная произведения. Производная частного .... 101
4.5.	Производные элементарных функций...................103
4.6.	Производная сложной функции........................108
4.7*	.	Производная обратной функции.....................111
§ 5.	Применение производной.................................114
5.1.	Максимум и минимум функции.........................114
5.2.	Уравнение касательной..............................121
5.3.	Приближенные вычисления............................125
5.4*	.	Теоремы о среднем................................127
5.5.	Возрастание и убывание функции.....................129
5.6.	Производные высших порядков........................134
462
5.7*	. Выпуклость графика функции...........................137
5.8*	. Экстремум функции с единственной критической точкой . 141
5.9.	Задачи на максимум и минимум...........................145
5.10*	. Асимптоты. Дробно-линейная функция...................149
5.11.	Построение графиков функций с применением производных 156
5.12*	. Формула и ряд Тейлора................................162
§ 6.	Первообразная и интеграл....................................167
6.1	. Понятие первообразной..................................167
6.2	*.	Замена переменной. Интегрирование по частям.......173
6.3	.	Площадь криволинейной трапеции.....................175
6.4	.	Определенный интеграл..............................178
6.5	*.	Приближенное вычисление определенного интеграла	...	181
6.6	.	Формула Ньютона — Лейбница.........................185
6.7	.	Свойства определенного интеграла...................191
6.8	*. Применение определенных интегралов в геометрических
и физических задачах..................................196
6.9	*.	Понятие дифференциального уравнения...............202
6.10	*. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям	.	.	206
Исторические сведения............................................212
ГЛАВА П. УРАВНЕНИЯ. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ
§ 7.	Равносильность уравнений и неравенств.......................214
7.1.	Равносильные преобразования уравнений..................214
7.2.	Равносильные преобразования неравенств.................219
§ 8.	Уравнения-следствия.........................................225
8.1.	Понятие уравнения-следствия............................225
8.2.	Возведение уравнения в четную степень..................229
8.3.	Потенцирование логарифмических уравнений...............231
8.4.	Другие преобразования, приводящие к уравнению-следствию 233
8.5.	Применение нескольких преобразований,
приводящих к уравнению-следствию.........................237
§ 9.	Равносильность уравнений и неравенств системам..............240
9.1.	Основные понятия.......................................240
9.2.	Решение уравнений с помощью систем.....................243
9.3.	Решение уравнений с помощью систем (продолжение) . . 247
9.4*	. Уравнения вида /(а (х)) = f(P (х))...................253
9.5.	Решение неравенств с помощью систем....................256
9.6.	Решение неравенств с помощью систем (продолжение) . . 260
9.7*	. Неравенства вида f(a (х)) > /(0 (х)).................263
§ 10.	Равносильность уравнений на множествах.....................266
10.1	. Основные понятия......................................266
10.2	. Возведение уравнения в четную степень.................268
10.3	*. Умножение уравнения на функцию.......................270
10.4	*. Другие преобразования уравнений......................273
10.5	*. Применение нескольких преобразований.................277
10.6	*. Уравнения с дополнительными условиями................281
11463
Оглавление
§11.	Равносильность неравенств на множествах...............283
11.1	. Основные понятия.................................283
11.2	. Возведение неравенства в четную степень..........285
11.3	*. Умножение неравенства на функцию................288
11.4	*. Другие преобразования неравенств................290
11.5	*. Применение нескольких преобразований............294
11.6	*. Неравенства с дополнительными условиями.........298
11.7	*. Нестрогие неравенства...........................301
§12.	Метод промежутков для уравнений и неравенств..........303
12.1.	Уравнения с модулями..............................303
12.2.	Неравенства с модулями............................307
12.3.	Метод интервалов для непрерывных функций..........311
§ 13*. Использование свойств функций при решении
уравнений и неравенств...................................314
13.1	*. Использование областей существования функций .... 314
13.2*. Использование неотрицательности функций..........317
13.3	*. Использование ограниченности функций...........319
13.4	*. Использование монотонности и экстремумов функций . . 325
13.5*. Использование свойств синуса и косинуса..........328
§ 14.	Системы уравнений с несколькими неизвестными..........331
14.1.	Равносильность систем.............................331
14.2.	Система-следствие.................................337
14.3.	Метод замены неизвестных..........................344
14.4*	. Рассуждения с числовыми значениями
при решении систем уравнений.......................348
§ 15*. Уравнения, неравенства и системы с параметрами.......355
15.1	*. Уравнения с параметром..........................355
15.2	*. Неравенства с параметром........................360
15.3	*. Системы уравнений с параметром..................363
15.4	*. Задачи с условиями .............................367
Исторические сведения.......................................374
ГЛАВА III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§	16*. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация
комплексных чисел............................................379
16.1	*. Алгебраическая форма комплексного числа.........379
16.2	*. Сопряженные комплексные числа...................384
16.3	*. Геометрическая интерпретация комплексного числа . . . 386
§	17*. Тригонометрическая форма комплексных чисел...........390
17.1	*. Тригонометрическая форма комплексного числа .... 390
17.2	*. Корни из комплексных чисел и их свойства........396
§ 18*. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел 401
18.1	*. Корни многочленов...............................401
18.2	*. Показательная форма комплексного числа..........405
Исторические сведения.......................................408
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ......................................410
464
Приложения..................................................437
1.	Таблица производных...................................437
2.	Таблица интегралов....................................438
3.	Свойства логарифмов...................................438
4.	Основные формулы тригонометрии........................439
5.	Простейшие тригонометрические уравнения...............439
Предметный указатель........................................440
Ответы......................................................443
Учебное издание
Серия «МГУ — школе»
Никольский Сергей Михайлович
Потапов Михаил Константинович
Решетников Николай Николаевич
Шевкин Александр Владимирович
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
11 класс
Учебник для
общеобразовательных учреждений
Базовый и профильный уровни
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. В. Кузнецова
Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, С. В. Дубова
Художники П.С. Барбаринский, О. П. Богомолова
Художественный редактор О. П. Богомолова
Компьютерная графика А. Г. Вьюниковской, И. В. Губиной,
К. В. Солоненко, О. Ю. Тупикиной
Технический редактор и верстальщик А.Г.Хуторовская
Корректоры Л. С. Александрова, А. К. Райхчин
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 —
953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапозити-
вов 21.05.09. Формат 70х90,/1н. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать
офсетная. Уч.-изд. л. 36,39 + 0,55 форз. Тираж 30 000 экз. Заказ № 22950 ш-го.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Смоленский полиграфический комбинат».
214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1.

sinx
cosx
W ж
Первообразная и интеграл
J Дх) dx = F(x) + С, У(х) = Дх)
j A dx - Ах + С, А е R
J xadx = *~,~т + С, a g R , а ф -1
кл Г JL
=lnlxl + C
* Л
J exdx = ех + С
$axdx = j^+C, а>0, а*1
J sinx dx = - cos х + С
j cos x dx = sin x + C
f_^L = tgx + C
J COS X
f = _ ctgx + C
J Sin X
I
f dx	•	,
-j— — = arcsin x + C
J N 1-x2
Jl^=arctgx+C
j—1—j—I—U.»--<—F--?—‘—4—' V-   j - - J- L_  —
Свойства определенного интеграла
г И  f т >	wiKiirtfu||»lintel'‘niiRiMa»»
b
§Af(x)dx = A$f(x)dx
a	a
a	a	c
b	b	b
J (f(x) + <p(x))dx = J f(x)dx + J q(x)dx
a
a	a
b	<p(ty
I f(<p(x)) • (p'(x)dx = j f(u)du
a	tp(a)
Формула Ньютона — Лейбница
b
\f(x)dx=F(b)- F(a) (F(x) = /(x))
a
Площадь криволинейной трапеции
hi	1b—Bitfwiwegy Я |ЩиД *«-ofc.-’хлбчю iji^oco zirn