К.ХЕПП
ТЕОРИЯ
ПЕРЕНОРМИРОВОК
Перевод с французского
В. Н. СУШКО
Под редакцией
М. К. ПОЛИВАНОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
Москва 1974

530.1
X38
УДК 530.1
К. НЕРР
THEORIE
DE LA RENORMALISATION
SPRINGER- VERLAG
BERLIN - HEIDELBERG—NEW YORK
1969
В курсе лекций, прочитанных швейцарским физиком-теоретиком К. Хеп-
пом в парижской политехнической школе, излагаются физические идеи и мате-
математические методы теории перенормировок — фундамента современного кван-
тово-полевого способа описания элементарных частиц. Удачная форма изло-
изложения, основанная на анализе различных квантово-полевых моделей (моделей
Ли, взаимодействий фермионных и бозонных полей в дву- и трехмерном про-
пространстве-времени и др.), позволила автору рассматривать самые сложные
физические проблемы теории, оставаясь на твердой почве строгих математи-
математических построений, использующих разнообразные результаты функциональ-
функционального анализа и алгебры, теории обобщенных функций и функций многих
комплексных переменных. Книга К. Хеппа, без сомнения, будет полезна
как широкому кругу научных работников, интересующихся квантовой тео-
теорией поля, так и студентам и аспирантам физико-математических специаль-
специальностей, приступающим к изучению этой сложной науки.
20302—141
053 @2)-74
69-74
Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1974.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к переводу 4
Предисловие к русскому изданию 7
Глава 0. Введение 9
Глава 1. Пространство Фока 19
Глава 2. Ряды теории возмущений ... 42
Глава 3. Модели Ли 61
Глава 4. Локальные гамильтонианы ... 99
Глава 5. Спасительный оазис 157
Глава 6. функции Грина 178
Эпилог 242
Приложение. Оценки 243
Литература 250

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРЕВОДУ
Мы все привыкли смотреть на перенормировки в кван-
квантовой теории поля как на неизбежное зло- Люди, настро-
настроенные пессимистично, считают их неустранимым недо-
недостатком методов счета, а «оптимисты» предпочитают под-
подчеркивать свою надежду на то, что в «настоящей теории»
перенормировок вовсе не будет. При этом и те и другие
не считают необходимым особенно разбираться в их при-
природе и структуре. Книга К. Хеппа представляет проти-
противоположную точку зрения — точку зрения, которая мо-
может быть названа реалистической.
Действительно, единственный способ описания кван-
квантовой динамики, который до сих пор приводил к осяза-
осязаемым результатам, основан на представлении о «свобод-
«свободном» движении, тем или иным способом «возмущаемом»
взаимодействием. Последовательная реализация этой идеи
применительно к квантовым системам с переменным числом
частиц требует отделения эффектов самодействия от эф-
эффектов действия частиц друг на друга. Но учет самодей-
самодействия неизбежно приводит к изменению ряда параметров
свободного движения, иначе говоря, к перенормировке.
Таким образом, перенормировки оказываются неотъем-
неотъемлемой частью теории систем с бесконечным числом степе-
степеней свободы, основанной на идее возмущения свободного
движения, а изучение их структуры позволяет глубже
понять природу элементарных взаимодействий.
В таком изложении физическая идея перенормировок
вряд ли выглядит слишком отталкивающей, но, к сожале-
сожалению, реальное воплощение этой общей программы в кон-
конкретных ситуациях до недавнего времени целиком осно-
основывалось на вычислительных схемах, связанных с
разложением интересующих теорию величин в, вообще
говоря, расходящиеся ряды по степеням константы взаи-
взаимодействия, и в случае локальных релятивистских систем

сопровождалось появлением расходящихся интегралов
в каждом нетривиальном порядке теории возмущений.
В попытке избавиться от подобных неприятностей
за последние двадцать лет было создано несколько аксио-
аксиоматических схем построения теории, отказывающихся от
самой идеи перенормировок. И в этом направлении было
получено много важных результатов, устанавливающих
прямые связи между наблюдаемыми на опыте величинами.
Но все зти методы мало чувствительны к динамике. В луч-
лучшем случае оказалось возможным вводить только очень
общие условия динамического типа, позволяющие отли-
отличать свободную теорию от теории с взаимодействием (и
может быть чуть больше). Неудивительно поэтому, что
в рамках такого направления развилась потребность
в «нетривиальной динамической модели», в которой,
с одной стороны, отсутствовали бы всякие расходимости
и выполнялись все общие постулаты аксиоматической
теории, а с другой — содержался бы конструктивный
принцип описания динамики модели.
В последние годы эта задача эффективно решается вне
рамок разложений по затравочной константе связи в так
называемой конструктивной теории поля. Работы этого
направления, синтезирующего физические идеи и дина-
динамические принципы теории перенормировок с математи-
математическими методами и достижениями аксиоматического
подхода, привели недавно к построению желанной нетри-
нетривиальной модели, описывающей взаимодействующее ска-
скалярное нейтральное поле в двумерном пространстве-
времени.
Книга К. Хеппа является превосходным введением
в эту новую быстро развивающуюся область теоретиче-
теоретической физики. Главная цель книги — продемонстрировать
читателю используемые в конструктивной теории поля
способы борьбы с основными расходимостями квантовой
теории поля: ультрафиолетовыми, объемными и много-
многочастичными, т. е., ипаче говоря, познакомить его с сов-
современной формой теории перенормировок. Но поскольку
математически безупречные методы перенормировок, вы-
выходящие за рамки обычной квантово-полевой теории воз-
возмущений, пока еще разработаны лишь применительно
к сравнительно простым взаимодействиям, автор в по-
последней главе книги излагает формализм J^-операции
Боголюбова — математически корректную основу совре-
современной квантово-полевой теории возмущений. Как

показывает новейшее развитие теории поля, именно J^-опе-
рация оказывается той формой теории возмущений, ко-
которая наиболее удобна при исследовании и сингулярно-
стей квантово-полевых операторов, и асимптотик фейн-
мановских амплитуд, и асимптотической масштабной
инвариантности, и т. д.
Освоение изложенного в книге материала позволит
читателю не только составить себе достаточно ясное пред-
представление об одном из интереснейших направлений разви-
развития квантовой теории поля, но и самому принять участие
в решении центральных проблем квантовой физики.
И хотя малоподготовленному читателю при беглом
взгляде может показаться, что математические подроб-
подробности заливают все поле зрения и до физических подроб-
подробностей не добраться, внимательный читатель увидит,
что автор строгой рукой во всех случаях приводит линию
математических рассуждений и построений к центральным
задачам физической теории.
Denn als Geister
Ruft euch nur,
Tin seinem Zwecke,
Erst hervor der alte Meister *).
Эта книга создавалась в 1968—1969 годах, и поскольку
она касается интенсивно изучаемых в настоящее время
проблем, для русского издания в ней пришлось кое-что
изменить. Нам приятно отметить, что эта работа проте-
протекала в самом тесном сотрудничестве с автором: некоторые
изменения внес сам Клаус Хепп — такие изменения вне-
внесены в текст без специальных пометок; в других случаях
небольшие добавления внесены нами. Как правило, они
обсуждены с автором и включены в текст с его согласия —
такие добавления всюду соответствующим образом отме-
отмечены. Мы благодарны К. Хеппу за такое внимательное
отношепие к нашей работе.
М. К. Поливанов, В. Н. С ушко
1) Духи, лишь колдун умелый
Вызывает вас для дела.
(В. Гете, Ученик чародея. Перевод Б. Пастернака.)

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Перевод на русский язык лекций по теории перенор-
перенормировок, которые я читал в l'Ecole Polytechnique в Па-
Париже зимой 1968/69 года,— большая честь для меня.
Эта книжка писалась в тот год, когда теория возмущений
для лагранжианов квантовой теории поля и идеальная
структура аксиоматической теории поля только начинали
нетривиально пересекаться в работах по конструктивней
теории поля. Соответственно мои лекции, ставшие теперь,
благодаря совершенному переводу М. К. Поливанова и
В. Н. Сушко, доступными русскому читателю, никак не
претендовали на то, чтобы быть монографией по реляти-
релятивистской квантовой механике, но отразили беззаботную
радость того, кто, играя на морском берегу, отыскивает
обкатанные камушки и пускает их скакать по волнам х).
С тех пор и конструктивная теория поля и теория воз-
возмущений для полевых лагранжианов достигли серьезных
успехов, которые я не могу включить в свою книгу, не
переписывая ее полностью. В частности, найдено связу-
связующее звено между функциональным анализом в простран-
пространстве Минковского и теорией случайных процессов в ев-
евклидовом пространстве, что позволяет вернуть конструк-
конструктивный подход от графов Фридрихса обратно к графам
Фейнмана; в исследованиях экзотических лагранжианов
нелинейной теории поля утвердились методы современной
дифференциальной геометрии и т. д. Все это и многое
другое не вошло в мою книгу. Поэтому изучающие ма-
математическую физику должны рассматривать эти, уже
несколько устаревшие лекции под углом зрения крити-
критическим и прагматическим, воспринимая их как не-
некоторую образовательную основу для своих будущих
*) «... В то время как великий океан истины лежит передо мной,
еще девственно непознанный» — так завершается этот образ в из-
известном высказывании Исаака Ньютона. — Прим. перев.
7

исследований и пользуясь ими как справочным материа-
материалом, пока не появится монография Глимма и Джаффе по
конструктивной теории поля и еще чей-нибудь трактат
по современной лагранжевой теории возмущений —
Hat der alte Hexenmeister
Sich dock einmal wegbegeben]
Und nun sollen seine Geister
Auch nach meinem Willen leben*).
Алушта, апрель 1973 Клаус Хепп
\ Старый знахарь отлучился\
Радуясь его уходу,
Испытать я власть решился
Над послушною природой.
(В. Г е т е, Ученик чародея. Перевод Б. Пастернака.)

Глава О ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время существует два полярных подхода
к задачам релятивистской квантовой механики: феноме-
феноменологический и аксиоматический. Первый базируется
на приближенных, допускающих численное решение мо-
моделях (...периферическая модель, полюсы Редже, ...),
оправдание которых скорее извлекается из эксперимен-
экспериментальных данных и их удачной параметризации, чем вы-
выводится из общих теорий. Перенесение любой из этих
схем в область применимости другой сопряжено с опас-
опасностью прихода к противоречию. Аксиоматический метод,
напротив, исходит из построений математических и почти
священных, где общие свойства, такие как лоренц-ин-
вариантность, причинность и унитарность, выражаются
в виде отношений между бесконечным числом амплитуд.
Если к ним добавляют еще некоторые допонительные све-
сведения о наблюдаемых частицах, такие как спектр масс
и правила отбора, то в результате приходят к нетривиаль-
нетривиальным и очень общим соотношениям между измеряемыми
на опыте величинами.
Ясно, что эти два уровня описания будут сосущест-
сосуществовать еще на протяжении очень долгого времени, так что,
несмотря на все хорошо известные трудности, имеет
смысл строить модели, заполняющие пропасть между фе-
феноменологическим и аксиоматическим миром. В отсутствие
лучших идей мы собираемся искать в этом курсе интер-
интерполяцию, основанную на формальных моделях кванто-
квантованных полей, взаимодействие между которыми описы-
описывается полиномами по квантованным полям. Удовлетво-
Удовлетворительная трактовка такого рода взаимодействий требует
постоянного обращения к «deux ex machina» — проце-
процедуре перенормировок. Требуя, чтобы решения уравнений
движения давали правильные значения некоторых на-
наблюдаемых величин, таких как энергия основного состо-
состояния, масса, заряд, мы вынуждены вводить во взаимодей-

ствие контрчлены более высокого порядка по константе
связи, чем затравочное взаимодействие. Для большей
части взаимодействий эти перенормировки бесконечны,
но, к счастью, они не меняют радикально структуру
теории. В первых великих трудах по теории перенорми-
перенормировок (..., Дирак, Штюкельберг, Томонага, Швингер,
Фейнман, Дайсон, Паули, Челен, Боголюбов, ...) этот
метод был развит для рядов теории возмущений. Недавно,
в конструктивной квантовой теории поля (КТП) эти
рецепты были оправданы с помощью многочисленных
нетривиальных теорем (..., Фридрихе, Вайтман, Сигал,
Симанцик, Нельсон, Глимм, Джаффе, Саймон, ...). Реаль-
Реальность расходимостей КТП установлена теперь и вне
рамок формальных рядов теории возмущений, а теория
перенормировок получила математическое основание,
которое позволяет нам не начинать всякий раз с нуля
в очередном приступе отчаяния.
Материал этого курса подобран так, что он дополняет
известные монографии по КТП (например, [В7, В4, S17,
J7, В*1] *). Этот субъективный выбор, недостаток вре-
времени и невежество автора объясняют, почему многие сто-
стороны релятивистской квантовой механики совсем не
затронуты здесь, или появляются лишь в искаженном
карикатурном виде. Если же говорить подробнее, то наш'
план таков. Это введение мы закончим краткой качест-
качественной характеристикой КТП. В главе 1 мы познакомим
читателя с основными обозначениями и введем некоторые
важнейшие операции в пространстве Фока. В главе 2
будут изучаться ряды теории возмущений для гладких
взаимодействий. Различные модели Ли, разбираемые
в главе 3, снабдят нас замечательными примерами конеч-
конечных и бесконечных перепормировок. Затем (глава 4)
в рамках канонического формализма мы рассмотрим
примеры квантово-полевых моделей, последовательное
описание которых может быть проведено на основе ло-
локальных гамильтонианов. Глава 5 будет посвящена как
точному, так и совершаемому с помощью рядов теории
возмущений переходу от гамильтонова формализма к фор-
формализму функций Грина. Завершение этого перехода будет
сделано в последней главе, где на уровне теории возму-
возмущений будет развита общая теория перенормировок.
х) Звездочкой попечена литература, добавленная при перево-
переводе. — Прим. персе.
10

Что же такое релятивистская теория квантованных
нолей? Прежде всего — ото логически ц физически необ-
необходимое обобщение формализма нерелятшзистской кван-
квантовой механики. Следуя наиболее прямому методу обоб-
обобщения, хотелось бы, например, в случае электромагнит-
электромагнитного поля, описывать как само поле F^ (х), так и соот-
соответствующие токи Jlx (х) операторами, действующими
в гильбертовом пространстве квантовых состояний и
удовлетворяющими там коммутационным соотношениям,
служащим средством выражения фундаментальных огра-
ограничений, которым подчиняются одновременные измере-
измерения. Если при этом описывать поле F^ (x) потенциалами
AV- (х) и связывать электрический заряд с полем Дирака
VF (х), то уравнения Максвелла приобретают вид
(id — т) VF (x) = еА (х) lF (x). ¦
При этом соотношения неопределенностей, выраженные
в виде перестановочных соотношений типа
[доА? (О, х), А* @, у)\ = - ifi^fi (х - у), @.2)
выступают как начальные данные при х° = 0.
Нелинейные уравнения полей с большим трудом под-
поддаются изучению даже в классической теории. Напри-
Например, до сих пор в классической электродинамике макс-
велловых и дираковых полей известны лишь локальные
по времени решения задачи Коши с весьма регулярными
начальными данными (см. [G23]). (Исключение состав-
составляют уравнения в пространстве-времени двух измерений.)
Положение в квантовой теории полей еще сложнее. Здесь
сингулярная задача @.2) приводит к решениям, являю-
являющимся операторными обобщенными функциями, для ко-
которых само умножение, необходимое для определения
правых частей уравнений движения, оказывается в выс-
высшей степени деликатной операцией. Произведение невза-
невзаимодействующих локальных квантовых полей еще может
быть определено с помощью простой вычитательной про-
процедуры, например, такой:
: Фо (хJ: = lim {Фо (Xl) Фр (х.г) - (<р0, Фо (Xl) Фо (*а) Ф„)}
@.3)
11

(см. [W6] и гл. 1). Но процедура определения произве-
произведений взаимодействующих полей типа произведений,
входящих в @.1), весьма сложна, и хотя ее можно извлечь
из современной теории перенормировок (см. [VI, W7,
Z2, В12 W*l]), мы оказываемся в порочном круге: чтобы
определить полевые уравнения, нужно качественно знать
свойства их решений, которые в свою очередь весьма син-
сингулярным образом зависят от вида уравнений дви-
движения.
Вместе с тем в первые же дни существования квантовой
теории поля (см. [НЗ]) было сделано блестящее открытие,
позволившее получать уравнения движений, в которых
кинематические переменные определяются без знания свойств
решений самих уравнений. Речь идет о так называемой
процедуре канонического квантования полевых систем.
Для простоты мы обсудим ее на примере скалярного
уравнения вида
О + гп2) Ф (х) = -ХФ (х)п. @.4)
Непрерывным аналогом соотношений коммутации между
квантово-механическими координатами и импульсами qi}
Pj служат соотношения
[Ф @, х), Ф (О, у)] = [П @, х), П @, у)] = О,
[П @, х), Ф @, у)] = -*6 (х - у), @.5)
В классической теории уравнение @.4) есть уравнение
Эйлера, отвечающее гамильтоновой плотности следующего
вида:
Н (Ф (х), П (х)) = Но (Ф (х), П (х)) +~{Ф (хГ1 = Н (х),
@.6)
Но (Ф (*), П (х)) = 4"
Канонический формализм позволяет свести @.4) к про-
проблеме линейного функционального анализа. Заметим, что
Но (Фо (ж)' По 0*0) есть гамильтонова плотность свобод-
свободного поля Фо (х), удовлетворяющего уравнению
(П + «г2) Фо (х) = 0. @.7)
Возьмем теперь решения свободного уравнения @.7),
12

подчиненные условиям @.5), и положим по определению
Ф @, х) = Фо @, х\ И @, х) = По @, х),
х:Фо@,хГ':, @.8)
x :Я0(Фо@, х), По@, х)):,
определяя, в частности, :Ф0 @, эс)п+1: соотношением типа
@.3) (см. теорему 1.4). При таком подходе мы получим
решение динамической задачи @.4) — @.5), если сможем
доказать, что гамильтониан II из @.8) — самосопряжен-
самосопряженный оператор. Действительно, в этом случае можно будет
ввести поля
П (х) = е^°нП0 @, х) е^х"и, @.9)
Ф (х)п = eix°H :Ф0 @, х)п: НЛ°Я
и с помощью соотношений коммутации между Фо и По
получить (во всяком случае формально) нужные урав-
уравнения движений
% @.10)
_ ф (х) = (А — т2) Ф (х) — ХФ (х)п.
Дополнительное упрощение, возможное в таком под-
подходе, было независимо открыто Генином [G24] и Сигалом
[S5]: они заметили, что локальность плотности гамиль-
гамильтониана И (х) позволяет заменить гамильтониан Н, вхо-
входящий в @.9), @.10), на гамильтониан
Фо@,хГ1:, @.11)
описывающий систему с пространственно обрезанным
взаимодействием, в котором пространственное обрезание
g — произвольная неотрицательная функция из У (Rs),
равная единице в окрестности области {у ЕЕ Rs| | x —
— У I ^я0}. Свойства обрезанного гамильтониана Н (g)
существенно отличаются от свойств Я и в то время, как
с гамильтонианом Я уже в простейших квантово-поле-
вых моделях нельзя связать никакого самосопряженного
оператора, если для поля Ф0(х) выбрано фоковское пред-
представление коммутационных соотношений @.5), ситуация
с обрезанным гамильтонианом значительно лучше (см.
13

гл. 4 и 5). Что касается локальности гайзенбергова поля
Ф (х I g)i определяемого гамильтонианом Н (g), то ра-
равенство
[Ф (х\ g), Ф (у \g)\ = 0 при (х-у, х - 2/)< 0 @.12)
в «весьма далеких» областях изменения аргументов может
выполняться независимо от наличия пространственного
обрезания (подробнее см. гл. 5).
Гамильтониан типа @.8) естественно возникает и в
том случае, если мы рассматриваем другую схему опи-
описания релятивистского взаимодействия. Свободное поле
Фо (х) может быть определено при помощи непрерывного
унитарного представления Uo (а, Л) неоднородной группы
Лоренца lh\ (иначе, группы Пуанкаре 5Р+), задаваемого
соотношением A.56). Пусть Р% и Л/Г — инфинитези-
мальные генераторы этой группы, в частности Но = Ро-
Мы хотели бы «возмутить» свободный гамильтониан Но:
H0-+H = Ha-\-V @.13)
таким образом, чтобы оператор Н мог бы стать одним из
десяти генераторов, Н = Р°, нового унитарного пред-
представления группы IL+. Это формально возможно, если
V = [dxV0@,x), @.14)
где Fo (х) есть эрмитова, т. е. Уо (х)* = Fo (x), и ска-
скалярная, т. е.
[P$,V0{x)] = -idV-V0{z), Q1
Г ^ {)] i {*д* W) V (x)
[Л/Г, ^о {х)] = i {х*д* - xW) Vo (x),
плотность, удовлетворяющая условию
[Fo @, х), Vo @, у)] = 0. @.16)
Действительно, если положить (к, 1=1, 2, 3)
—. IYIq , ST — X-Q, q ._
= P°o + V, M^ --= Mf + [ dx xW0 @, x),
то Р^ и Mkl уже имеют правильные коммутационные со-
соотношения. Например,
[Ро, М*1\ = [Pi М^] -i{dx (х*д1 - xldls) Vo@, x) = 0.
@.18)
14

С другой стороны, в силу @.16)
[Л/о*, ро] = [Mf, Р°] + [М°\ V] + §dxx*V0 @, х), Pi] +
+ [JdxxW0 @, x), F] = iPl -i^dxxkd°V0@, x) +
+ i^dxxkd°V0@, x) + ^dxdyx* [Vo@, x), V»@, y)\ =
= iPk. @.19)
Аналогичным образом получаются и остальные соотно-
соотношения алгебры Пуанкаре.
Но, к несчастью, мы не знаем скалярной плотности
Vo (x), которая при условиях @.16) определяет коррект-
корректный оператор в фоковском пространстве состояний. Три
принципиальные трудности, препятствующие этому, мо-
могут быть указаны на примере Vo (х) = :Ф0 (х)к:.
(а) Характерный вклад в Vчлена только с операторами
рождения имеет вид
\ dx Ф+ @, х)* ~ \ П ^ё= б B Р3) П а* (Pi)- @-20)
Этот член рождает к частиц с волновой функцией
B Pi) П (f*i)
+
норма которой из-за наличия бB1рл бесконечна. Этой
j=i
(объемной) расходимости, связанной с неограниченностью
объема взаимодействия (говоря точнее: с трансляционной
инвариантностью и поляризацией вакуума), можно из-
избежать, переходя к гайзенберговым полям и вводя про-
пространственное обрезание g (x) в Н.
(Р) Величина :Ф0 (х)к: с к ^> 2 и фиксированной вре-
временной переменной х0 является операторной обобщенной
функцией по пространственным переменным х только
в пространстве-времени двух измерений. Во всех других
случаях область определения оператора
V(g) = [dxg(x)V0@,x)
тривиальна вследствие ультрафиолетовых расходимостей
к
(слабое убывание II (Hj)'2 при «высоких частотах»). Методы
3=1
15

борьбы с этими расходимостями посредством пере-
перенормировок — центральная тема этого курса.
(у) Даже в пространстве-времени двух измерений
из-за множественного рождения частиц оператор
Idxg (ас) :Ф0 @, ас)к: при к > 2 есть сингулярное возму-
возмущение Но, и наоборот. Для такого взаимодействия мо-
может расходиться, например, ряд теории возмущений (см.
теорему 6.16)*).
Локальным гамильтонианом мы назовем форму2)
0,x), @.21)
если Vo (x) есть виков полином по свободным полям, типа
Фо (ж), симметричный и четный по фермионным полям.
Несмотря на трудности (а), ([$), (у), мы собираемся опре-
определять динамику, исходя из @.21), поскольку @.21)
есть единственный способ записи квантового взаимодей-
взаимодействия, который мы понимаем хотя бы в смысле теории воз-
возмущений. Самосопряженный оператор Ягеп, каким-то
образом ассоциированный с Н, позволил бы разрешить
уравнения движения типа уравнения Шредингера
гф = #reni|)
и, в каноническом формализме, нелинейные уравнения
для полей. Однако ясно, что одни только гайзенберговы
операторы поля еще не дают описания природы. Экспе-
Экспериментальные данные выражаются через средние значе-
значения произведений Ц-4; (xi) полей в физических состоя-
i
ниях <р:
(П4(*0ф) @.22)
Мы будем характеризовать связь между физическими со-
состояниями и операторами поля в квантовой теории поля
г) В теориях с частицами нулевой массы покоя возможны еще
F) инфракрасные расходимости, связанные с сингулярностью
некоторых интегралов теории возмущений при «низких частотах». —
Прим. перев.
2) Формулой @.21) в пространстве Фока g (см. гл. 1) задается
неограниченная симметричная билинейная форма, которая, как
правило, в квантовом релятивистском случае не порождается ника-
никаким самосопряженным оператором в g. Одна из центральных за-
задач теории — связать с @.21) корректный самосопряженный
оператор Ягеп, действующий, быть может, в другом, отличном от $5,
пространстве 3%геп физических состояний. — Прим. перев.
16

аксиомами Вайтмана TS17] и Лемана, Симанцика, Цим-
Циммермана (ЛСЦ) [L5]. Для упрощения обозначений сфор-
сформулируем их на примере одного нейтрального скалярного
поля с одним тином асимптотических бесспиновых частиц
массы т > О *).
A) В гильбертовом пространстве Ж теории существует
унитарное сильно непрерывное представление U (а, А)
группы Пуанкаре. Спектр трансляций
V (а, 1) = е*рЛ = [ dE (p) е^.») @.23)
есть множество
s = {0} и {ре R4|р°> о, (р, р) = т>} и
LJ{peR4|P°>0, (p, p)>4m»}. @.24)
Проектор Ео, отвечающий точке {0}, одномерен:
Е,Ж= {Ью| Ц еа || = 1 >. @.25)
Вектор ю называется вакуумным состоянием.
B) Для всех /е^1 (R4) существует оператор Ф (/)
с инвариантной областью определения D:
O(f)DciD, U(a,A)DczD, tael». @.26)
При этом для всех ф, ty^D, f -*¦ (ф, Ф (/) г))) = (Ф(/) ф,\р)
есть обобщенная функция умеренного роста (distribu-
(distribution temperee) из У (R4) (в более общем случае —
строго локализуемая обобщенная функция — см. [J5]).
C) В смысле обобщенных функций на области D вы-
выполняются соотношения
U (а, А) Ф (x)U (а, А)-1 = Ф (Ах + а), 0
[ Ф (х), Ф (у)] = 0 при (х - у, х-у)< 0. lU^ ;
D) Пусть Ех — проектор, отвечающий части спектра
{peR4|jD°>0, (p, р) = т2}. Тогда ^Ф (х)ш ф 0.
Аксиомы А, В, С, D обеспечивают существование сво-
свободных асимптотических полей Ф1п (х) и Фоиг (ж) (в со-
соответствии с теоремой Хаога [HI] и Рюэля [R5]):
п п
s-1 im Д Ф (А, 0* и = II <W (/i Кгг1/2) со, @.28)
х) Более подробное и общее обсуждение аксиом Вайтмана см.,
например, в [В*1].
17,

причем
/(х, 0 = с \dp~f (р) exp {i [fx (p) t - (р, х)]},
-J _ @.29)
f(p)=f (I* (p), P), с > 0, /i?^ (R*),
E) Пусть Жы и ^fout — подпространства Ж, по-
порождаемые асимптотическими состояниями. Тогда
Ш = Ж™ = ^out. @.30)
Это соотношение обеспечивает унитарность .^-матрицы,
определяемой равенством
В аксиоматике ЛСЦ используется еще один постулат
F) Существуют запаздывающие произведения R (xv ...
. . ., хп), представляющие собой операторные обобщенные
функции умеренного роста, отображающие область D
в себя, обладающие свойствами
R (х) = ф (х),
R(xv . . ., хп)* = R {хг, . . ., хп),
U (a, A)~XR (Axt + a, . . ., Лхп + a) U (а, А) =
= Н \Х^, • . ,, хп),
R (xl7 Хг.B), . . ., ХП(П)) — R (Хх, ¦ • -, Хп),
где л — произвольная перестановка аргументов {х2, . ¦ ¦
. . ., хп), и удовлетворяющие тождествам
R (х, у, zv . . ., zn) — R {у, х, zv . . ., zn) =
= ij [R (x, ZL), R (y, ZR)\, @.32)
где суммирование идет по всем разбиениям множества
{z1, . . ., zn} на два подмножества Zl, и Zn, одно из кото-
которых может быть пустым. Носитель функций R (xv . . .
. . ., хп) должен содержаться в переднем световом конусе
по каждой из разностей хх — хк, 21 <^ к ^ п.
Мы рассчитываем, что среди локальных взаимодейст-
взаимодействий существуют взаимодействия, порождающие реляти-
релятивистские квантованные поля, которые в основном удов-
удовлетворяют перечисленным аксиомам и при этом обла-
обладают нетривиальной 5-матрицей.

Глава 1 ПРОСТРАНСТВО ФОКА
Опыты с частицами высоких энергий показывают, что
в области, охватываемой релятивистской квантовой меха-
механикой, во взаимодействии участвует сразу много частиц
и число их не сохраняется. В основе формализма, про-
простейшим образом описывающего системы с переменным
числом частиц, лежит пространство Фока. Операторы рож-
рождения и уничтожения, действующие в этом конкретном
гильбертовом пространстве, позволяют дать компактное
описание линейных операторов, среди которых мы ищем
операторы релятивистского взаимодействия. Эта глава
будет посвящена функциональному анализу таких опе-
операторов.
Обозначения. С, R, Z — множества комплекс-
комплексных, вещественных и целых чисел, соответственно. Пусть
Z+ = {п GE Z | п > 0}
и
z;=z+u {0}.
Пространство-время Rs+1 (s ЕЕ Z+) факторизуем следую-
следующим образом:
Rs+1 = R1xR3E3x==(x0,sc), A.1)
где х° — временная, а ас — пространственная компоненты
точки х. Соответствующим образом разложим меру Ле-
Лебега: dx = dx°dx. Билинейную форму Минковского вы-
выберем в виде
s
(х, у) = х°у° — ху= 2 ёу-^У- (I-2)
li,v=0
Симметричное (нерелятивистское) пространство Фока %
представляет собой симметричную тензорную алгебру
19

над L^R8I):
5 = 0 8„, So = С, Si = L2 (R8), gn =
n—o
Элементы ф ЕЕ S — такие последовательности симметрич-
симметричных функций [ф0, ф1( ..., фп, . . .], фпЕ/^^Я8"), что
оо
(Ф. ф) = I Фо |2 + 2 (Фп, Фп) < оо,
_ п=1 A.4)
кх... dlcn<?n (fei, ¦ ¦ ¦, fcn) Ч\г (Ль • • •, fen)-
В дальнейшем мы будем отождествлять фп ЕЕ 5п c
[О, . . ., О, ф„, 0, . . .]. Элемент ф0 = 1 ЕЕ 50 называют
вакуумом (без взаимодействия). Пусть ©„ = 55 (R™) (~|
П Sn, ^"n = У (Rsn) П 5„ — пространства Шварца [S4]
бесконечно дифференцируемых симметричных функций
с компактным носителем (в случае <Dn) или быстро убы-
убывающих на бесконечности (в случае ?Рп ). Положим
© = e'S«c^ = ©'^ncs° = e'SnC:g, A.5)
П—0 71=0 П~0
где ф' означает, что векторы ф из 55, У или S0 имеют
лишь конечное число отличных от нуля компонент фп.
Снабдим 55 и У локально выпуклой топологией прямой
суммы (см. [К8, S*2]). Их сильные дуальные сутъУ иЭ':
пС153' = П©п. A-6)
п=0 п=о
т. е. прямые произведения ([К8, S*2l) пространств сим-
симметричных обобщенных функций умеренного роста или ?5П.
Операторами рождения и уничтоокения а* (к) и а (к)
называются линейные отображения У —*¦ У, задаваемые
соотношениями
(a (fe) фп) (fej,..., кп-г) = /йфп {къ ..., fen_b к),
(а* (к) qv,) (кг,. . ., кп+1) = A.7)
1 п+1 ^.
о (fe fej) фп (Лг1;..., fej,. . . , fen+i),
J) Здесь и всюду ниже через Z2 (Rs) обозначено гильбертово
пространство заданных на Rs комплексных квадратично суммируе-
суммируемых по мере Лебега dx функций. — Прим. перев.
20

где символ kj означает, что переменная kj отсутствует
среди аргументов функции фп. Если ф ?Е if, т.о а (к)ц> ?Е if,
а при / е L? (Rs) величина
A.8)
где а* (к) = а (к) или a* (fc), является корректно опре-
определенным на 5° неограниченным оператором: a*(/) 5°CZ5°-
Сужение а* (/)|п оператора а* (/) на подпространства Щп
является ограниченным отображением §„ в 5п±и обла-
обладающим нормой
|| a (/) („,„_! = || a* (/) ||n_]in = Vn\\ f I. A.9)
Наконец, справедливо очевидное включение
а* (Л С «(/)*, A.10)
в котором а (/)* — оператор, сопряженный оператору
a(f).
[Равенствами A.7) отображения а*(к) определены как оператор-
операторные обобщенные функции, которые только после «сглаживания»
с пробными функциями / приводят к плотно заданным, допускающим
замыкание операторам а* (/), действующим в фоковском простран-
пространстве g. При этом запись операторов а* (/) в виде A.8) аналогична
символической записи, принятой в теории числовых обобщенных
функций, и призвана подчеркнуть линейный характер зависимости
операторного функционала а* (/) от пробной функции /. Явное же
действие операторов а* (/) на элементы <pn e gn дается формулами
(а*(/)Фп)„+1 (fci
1 "+1 _ -.
которые могут служить определением операторов а* (/). Вместе с
тем первое из равенств A.7) показывает, что а (к) & С SP и, следо-
следовательно, а (к) без всякого сглаживания являются операторами в
фоковском пространстве, область определения которых содержит
множество SP. При этом, правда, эти операторы не замкнуты и не до-
допускают замыкания, а сопряженные к ним операторы а* {к) имеют в
фоковском пространстве область определения, состоящую лишь из
нулевого вектора. Тем не менее для всякой пары векторов ф, ч|; 6Е Sf
справедливо равенство (а (к) ф, 1|)) = (ф, а* (к) г|)) и операторные
обобщенные функции а* (к) задают на множестве ?F X У билиней-
билинейную форму — простейшую из определяемого и изучаемого ниже
21

класса виковых билинейных форм. Изучение отображений а* (к)
как операторных обобщенных функций можно найти, например, в
[К* 3]. Свойства операторов а* (/) в фоковском пространстве неодно-
неоднократно изучались в самых разнообразных работах. Классической
ссылкой является статья Кука [С*2] (см. также, например, работу
Араки [А5]). —Прим. перев.]
Операторы а* (к) определяют (в смысле операторных
обобщенных функций) на 5° представление канониче-
канонических коммутационных соотношений (ККС):
[а (к), а (I)] = [а* (ft), а* A)\ = О,
la (к), а* A)\ = б (ft- I), K '
причем а (к) <р0 = 0.
Пусть N — оператор числа частиц, действующий в S:
(ЛГ<р)„ = гирп A.12)
Из A.9) следует, что
A-13)
где 95 (§) — банахово пространство линейных ограни-
ограниченных операторов, отображающих Ъ в себя (с топологией
нормы). Из A.13) следует, что для всех ф е 5" и г ё С
Это означает, что §° — плотное множество аналитиче-
аналитических векторов [N2] для а* (/), так же как и для полевых
операторов
Ф(/) = -ка*(/) + а(/)],
Поэтому операторы Ф (/), П (/) при / = / е Z-2 (R8)
в существенном самосопряжены на области g° и благо-
благодаря ККС в форме A.11) удовлетворяют на 5° следующим
перестановочным соотношениям:
[ф (/), ф (*I = in (/), п (g)l = о,
Ш (/), Ф (*)] = -г (/, g). { ' '
Замыкания Ф (/)~, П (f)~ операторов Ф (/), П (/) опре-
определяют регулярное представление канонических коммута-
22

ционных соотношений в форме Вейля, т. е. отображения
(IER)
t-> U (f/) = exp {iФ (tf)-},
*->7(f/) = exp {Ш (</)"},
сильно непрерывные в нуле, со значениями в t — 1,
удовлетворяющими перестановочным соотношениям вида
U{f)U(g)= U(f+ g),
V (/) V (g) = V (/ + g), A.17)
g) U(f).
Во введении уже отмечалось, что структура, задава-
задаваемая соотношениями A.16), важна в гамильтоновой ди-
динамике. Далее мы увидим, что существует множество
попарно унитарно неэквивалентных представлений KKG
(см., например, [G1]), и в гл. 4 и 5 встретимся с приме-
примерами представлений, не эквивалентных фоковскому; их
появление в теории — характерное проявление неко-
некоторых бесконечных перенормировок.
[Далее в этой книге неоднократно будет заходить речь о пред-
представлениях ККС, их свойствах и роли в решении динамических за-
задач квантовой теории поля. Поэтому приведем ряд основных опре-
определений теории представлений ККС. Пусть $?г — множество проб-
пробных функций, наделенное структурой вещественного предгильбер-
предгильбертова (т. е. необязательно полного гильбертова) пространства, а &? —
гильбертово пространство состояний квантовой системы. Пара
отображений / -» Ь (/), / -» Ь* (/) множества $?г в множество ли-
линейных (неограниченных) операторов, действующих в пространстве
36, называется представлением ККС в форме Гайаенберга, если для
всякой пары пробных функций /, gEb операторы Ъ (/), Ь* (g)
определены на общей плотной в 2f? области D такой, что
b{i)DdD, b*(g)DCZD,
[b(f), b(g)]<p = [b*(f), b* (g)]cp = O,
[Ь (/), b*(g)] Ф = (/, g)r Ф,
F* (/) Ф, ф) = (Ф, Ь (/) ф)
для любых ф, t|) из D. Представлением ККС в форме Вейля называ-
называется пара отображений / -* U (/), / -* V (/) множества $?г в мно-
множество унитарных операторов на 3€ таких, что для всех /, g6Sr
выполняются соотношения A.17) и функции t -> U (tf), t —> V (tf)
слабо непрерывны в точке * = 0. Последнее свойство означает, что
всякое представление в форме Вейля порождает семейство операто-
операторов Ф (^-, II (/)-, удовлетворяющих соотношениям A.16), т. е.
фактически представление ККС в форме Гайзенберга. Обратное ут-
утверждение в общем случае — неверно: существует множество пред-
представлений ККС в форме Гайзенберга, которые не могут быть «экс-
поненцинрованы», иначе говоря, порождены соответствующими
представлениями ККС в форме Вейля. Пусть, например, $?r = R
23

и &б = ?2 ([0,1]) — множество квадратично интегрируемых по мере
Лебега функций на отрезке [0, 1]. Пара отображений R ЕЭ / -» /<Ь
Эф
R Э /->/>, где (?ф) (ж) = х ф (ж), (?q>) (х) = — i-^-, задает на
D = {ф 6 С°° @, 1) | ф @) = ф A) = 0} представление ККС в форме
Гайзенберга, которому не отвечает никакое представление в форме
Вейля (см., например, [N 2].) Представление ККС называется цик-
лическим, если в В С 2№ существует вектор ф0 (называемый цикличе-
циклическим вектором) такой, что множество векторов b* (fi) ... Ь*(/П)фо
с всевозможным выбором Д, ..., /n, п = 0,1, ... плотно в &6\
неприводимым, если в &{ не существует нетривиальных инвариант-
инвариантных относительно действия операторов Ь* (/) подпространств; фо-
ковским, если представление циклично и циклический вектор обла-
обладает свойством: Ь (/) ф0 = 0 для всех / ?Е ?г- Два представления
';*(/)> / = 1»2, действующие в пространствах 2%}, назваются уни-
унитарно эквивалентными, если существует унитарный оператор
W: &б\ -» &бг такой, что для всех / ?Е %Т справедливо равенство
Ь*(/) = Wbf (/) W-1. Переход от представлений ККС в форме Гайзен-
Гайзенберга к представлениям в форме Вейля сильно суживает класс рас-
рассматриваемых представлений. Например, в случае конечного числа
степеней свободы, когда dim ?r <С °о, любые два неприводи-
неприводимых представления ККС в форме Вейля унитарно эквивалентны
(теорема фон Неймана). Вместе с тем в случае квантово-полевых си-
систем, когда dim %г = оо, существует большое количество унитар-
унитарно неэквивалентных представлений ККС даже в форме Вейля (см.,
например, [Z*l]).— Прим. перев.]
Произведение Д a*(i> (fcj) операторов рождения и
г
уничтожения, вообще говоря, не задает отображения
У -»- У (например, а (к) а* (к) не имеет смысла). В то
же время П a (kt) У а У, П a* (kt) У С #". Воспользо-
I г
вавшись этим, определим ваково произведение1), отвеча-
отвечающее произведению Ц а*<& (kt) следующим равенством:
i
П fcp.) ¦ • • «*(Рп> (*рп). A-18)
в котором (/?!, . . ., pn) — такая перестановка чисел
A, . . ., п), что в равенстве A.18) все операторы рожде-
рождения стоят слева от всех операторов уничтожения. В силу
A.11) это определение однозначно. Однако применение
ККС под знаком викова произведения :...: недопустимо,
х) По имени Г. Вика, впервые исследовавшего алгебраические
свойства таких произведений [W*2]. В физической литературе про-
произведения, определяемые равенством A.18), обычно называют нор-
нормальными. — Прим. перев.
24

так как их использование может привести к противоречию,
например,
:а (к) а* (I): ф :а* (I) а (к): + б (к - I). A.19)
Если А — полином по а* (к), то :А: получается разбие-
разбиением А на мономы без использования A.11) и преобразо-
преобразованием каждого монома в соответствии с определением
A.18).
Пусть w e ©' (Rsn). Тогда
W =
1,..., К) :
A-20)
т
есть линейный оператор, отображающий © в ©'. One
ратор W называется мономом Вика с числовым (приведен-
(приведенным) ядром w (klt . . ., kn) и операторным (приведенным)
п
ядром w(kv . . ., fcn)IIa*A)(fci)'
i=i
Область определения D (W) викова монома W есть
множество всех фЕ® таких, что Wq> GE §. Если W =
= Wm,n содержит т операторов рождения и п уничто-
уничтожения, то область D (W) нетривиальна, если для какого-
либо 0 Ф фу ?Е %, / > п,
W(pj e S- Например, если W
состоит только из операторов
рождения, то D (W) = Э°,
если ||Wcpof < оо, или ес-
если Sw e L* (ROT) (S — сим-
метризатор).
В дальнейшем мы будем
представлять операторы Wm,n
так называемыми графами Фридрихса, состоящими из
одной вершины и т линий, уходящих налево (линии
рождения), и п линий, уходящих направо (линии уни-
уничтожения) (см. рис. 1.1 и [F7]), при этом мы часто не будем
делать различия между мономами Вика и их фридрих-
совскими графами.
Рассмотрим теперь произведение двух мономов Вика.
Теорема 1.1. Пусть Va>b и Wm>n — два монома
Вика, ядра которых vatb и wmyn раздельно симметричны
по переменным, относящимся к операторам рождения и
25
Рис. 1.1.

уничтожения. Тогда х)
Va,bWm>n = : Va,bWm,n : + S Ve,b-o-Wm,n,A.21)
(=1 '
где емкое локол» :Fa>bWm,n5 == 7а>ь —о— Wm>n имеет своим
о
числовым ядром функцию vajb (g) u>m,ru а моном
V и— о— W
' а,Ь " т,т»
a+m—f b-f-n—(
П (dPi^(Pi)) П (<*g,-«(ft))и*(М) A-22)
— функцию (р = </>!, . . ., i)m>, <1 = (qx, • • -, Qn
7) *! S П
X va,b (pi,.. ¦, pa; fei, • • ¦ , Jet, qx, . . ., qb-t) X
(&1, . • . , kt, pa+1, ..., Pa+m-l, Qb-m, • • • , ffb-J+n). (l-23)
произведение обобщенных функций va>b (...; fcx, . . .
. Л, fc(, . . .) wm>n (klf . . ., kt, . . .) неинтрегрируемо по
k±, . . ., kt, то следует положить ut (j), (\) = oo.
Доказательство. Убеждаемся по индукции,
что
Ь in m b
П а (*i) П «* (Pi) = П а* (Л) П а (*i) +
1=1 3=1 3=1 1=1
min{b,m} (
+ 2 2 П«№(«-1»Л*))П'а*(РпI1'а(и A-24)
f=l a(O*=i a (() a(«)
где a (t) изменяется по всем подмножествам {i A), . . .
.... *@>С{1,.. .,6}, {/A), .... 7@>С{1, • • ., т}, а
произведения П' и П" берутся по {1, . .., m}\{j A), . . .
о(П о(О
..., /(*)}и {1, . . ., Ъ) \ {i(l)f . . ., i(<)}-
Симметрия ядер позволяет не отмечать специально
переменные, по которым происходит интегрирование
в A.23), и говорить просто о произведении Va)b —°— Wm>n
х) В физической литературе представление произведения вико-
виковых мономов в виде A-21) называется операцией приведения к нор-
нормальной форме.— Прим. перев.
га

с t спариваниями. Если же va>b и U7m>n несимметричны, то
спаренные переменные специфицируются посредством
а («).А
Пример. При некоторых дополнительных пред-
предположениях произведение Va,bWmin конечно, ассоциа-
ассоциативно и дистрибутивно. Отметим два таких важных част-
частных случая:
m + n>0; A.25)
а Ъ
A.26)
«W(M) = SBPi— 2ft)UW(*). <1).
4=1 j=l '
причем va)b и U7m,n квадратично суммируемы на области,
а Ь m n
выделяемой условиями 2 Pi == 2лЯз и 2 Pi— ^j ft> a +
i=l 3=1 г=1 j=i
-j-ft^>0, (a, й, тга,/г) =jfc @, fc, Ь, 0).
[Выше виковы мономы были определены как отображения мно-
множества 35 в ЗУ. Полезно однако иметь в виду и другую характери-
зацию мономов Вика. Именно, как ясно непосредственно из опреде-
определения викова произведения A.18) и свойств отображений a* (fc) для
любых векторов ф, i|) из if, функция (ф, a* (pi) ... а* (рт) a (q\)...
... a (qn) г|)) лежит в ^ m+n и потому для всякой обобщенной функ-
функции wm n S У'т^п моном Вика Wm n, определяемый формулой
A.20), задает в пространстве Фока g билинейную форму W: if X
X if -> С. При этом мпогие важнейшие величины квантовой тео-
теории поля, в частности, описываемые ограниченными и некоторыми
неограниченным!! операторами в пространстве 5, представляются
рядами по полиномам Вика, сходящимися в $ в смысле билиней-
билинейных форм (см., например, [0*1]). Произведение двух билипейных
форм (мономов Вика) VW не есть в общем случае моном Вика, по-
поскольку операторы уничтожения из V стоят перед операторами рож-
рождения из W. Но используя коммутационные соотношения A.11),
произведение Va bWm n можно «привести к нормальному виду»,
когда все операторы рождения предшествуют всем операторам унич-
уничтожения. Результат такой операции, даваемый формулой A.21),
при условии и( (р, q) ф <х>, t — 1,2, ..., min{6, m), можно понимать
как равенство между билинейными формами, действующими в про-
пространстве Фока Щ. Вместе с тем в задачах квантовой теории поля
типична ситуация, когда для некоторых t ядра wj (p, q) = оо, так
что произведение Va b Wm n не имеет смысла. Поскольку однако
тензорное произведение va ъ ® wm п определепо и лежпт в 5"'г,
г = я + 6 + т + л, для любых двух обобщенных функций из
27

<5"^+ь и &'т+п, соответственно, виков моном : Va iWm п: сущест-
существует и определяет билинейную форму даже тогда, когда произведе-
произведение Vab Wn т не существует. Пусть, например, Фа +(ж) — моном
Вика с операторным ядром [Bя)я2[х (р)]~^2ехр {ipx} а*{р)%а(р),
где с, х—параметры, а %а SE^R8), сг<оо. Пусть, далее, Фа _{х) =
= Фя + (ж) * и Ф^ 0 (х) = Ф + (х) + Фо>_ (ж). В соответствии с ра-
равенством A.21) имеем Ф 0 (ж)*=: Ф 0(ж)8: +Фо>_(ж)— о— Фо +(я>),
причем единственное спаривание имеет числовое ядро щ (ст, ж) =
1^р12ц(р)]-г | Ха (р) | 2. Если теперь «/„ -¦ 1 при ст -¦ оо,
так что Ф^ 0 (х) описывает свободное скалярное поле в нулевой мо-
момент времени (см. формулу A.44)), то mi(oo,?c) = ооиФа 0 (жJ не су-
существует даже при s = 1. При этом :Фв 0 (жJ:, естественно, сущест-
существует и определяет локальный виковский полином (см. ниже). Переход
от произведения VW к нормальной форме : VW: служит при-
примером простейшей перенормировки, широко используемой в кванто-
квантовой теории поля. — Прим. перев. ]
Введем теперь графическое представление для раз-
разложения A.21), которое часто будет использоваться
в дальнейшем (см. рис. 1.2). Произведение Уа>ъ]?т,п
представим двумя графами такого же типа, как и на рис.
1.1, но Va>b расположим слева от \Ут<п. Каждый член
Рис. 1.2.
Уа,ъ —°— Wm,n получается соединением t линий уничто-
уничтожения из Vatb с t линиями рождения из Wm,n. Все ос-
остальные линии уходят вправо или влево от диаграммы.
Очевидно, что подынтегральное выражение
va,b (• - ¦; *>j, • • м Jet, . . .) wm>n (kv . . ., kt, . . .)
в A.23) и графы рис. 1.2 содержат больше сведений, чем
приведенное числовое ядро щ (J), <|). В дальнейшем в слу-
случае, когда произведение »„,,, (...; I, . . . ) wm,n (I, . . .)
будет лишь локально интегрируемо по ки . . ., Jet, мы
будем вводить в интегралы типа A.23) контрчлены (делать
28

перенормировку). При этом va>b (...;!,...) wm>n (f, . . .)
все равно будет называться числовым ядром произведе-
произведения Vab—°— Wmn.
t - .
Линию графа (диаграммы) назовем внутренней, если
она связывает две вершины. В противном случае линия
называется внешней. Любую линию (внутреннюю или
внешнюю), выходящую или входящую в вершину Vj,
назовем линией, опирающейся на вершину Vj. Всякая
внутренняя линия, благодаря б-функциям из A-24),
«несет» определенный импульс, по которому идет инте-
интегрирование при вычислении приведенного числового ядра
щ (р, <\) произведения Fa,b — ° — Wm,n.
t
Итерацией можно определить разложение Wv . .
. . . Wn по мономам Вика:
УУ 1 • • • ГУ п — ^j У У 1- . . УУ т. . . УУ „, \1.<Ы )
(я)
а(т,п)
где 2j распространена по всем возможным схемам спари-
ваний. Естественно, линии уничтожения из W% могут
соединяться только с линиями рождения из Wi+i • • •
. . . Wn. Приведенное ядро каждого члена получается
из w1 (х) . . . (х) wn отождествлением (спариванием) неко-
некоторых переменных в соответствии со схемой спаривания
(а) и интегрированием по импульсам внутренних линий.
Каждая схема (а) дает один граф G (а) с л вершинами
Vlf . . ., Vn и числом L = L (а) линий /,, . . ., h,.
Каждое непустое подмножество {FJ, . . ., Vm) с:
d {Fj, . . ., Vn} вершин Vj со всеми опирающимися на
них линиями определяет подграф Н d G. Говорят, что
два подграфа Нг и Hz из G не связаны, если они не имеют
общих вершин. Они могут иметь общие линии, внутрен-
внутренние для G и внешние для Н1 и Нг.
Пример. См. рис. 1.3.
Замечание. По сравнению с диаграммами Фейн-
мана (гл. 6) класс графов Фридрихса, топологически эк-
эквивалентных заданному графу G, сужен. По принятому
нами условию порядок вершин Vlt . . ., Fn слева направо
соответствует порядку Wx . . . Wv, и из каждой вершины
линии рождения идут налево, а линии уничтожения —
направо (см. рис. 1.3).
29

Граф G называется связным, если все его вершины свя-
связаны цепочкой внутренних линий. Граф G называется
к-частично неприводимым (кЧЩ, к ЕЕ Z+, если разрыв
любого числа п <; к линий не превращает его в несвяз-
несвязный. Б противном случае граф G называется к-частично
приводимым (кЧЛ).
Пример. Граф :W1 . . . Wn: не имеет связных под-
подграфов с более чем одной вершиной.
Определение. Wx J_ 'W2 ¦ ¦ ¦ Wn: (соответ-
(соответственно :W2 ¦ ¦ ¦ Wn: J_ WJ есть сумма всех виковых
мономов из W1 :W2 ¦ ¦ ¦ Wn: (соответственно из :W2 • • •
. . . Wn'.Wj), графы которых связны1).
Положим
п—0
что хорошо определено как отображения ?)-*?)'. Если
все спаривания существуют в смысле теоремы 1.1, то сле-
следующая лемма (см. [F7]) утверждает равенство между па-
парами отображений Э—>5У.
Лемма 1.2. Пусть V и W — мономы Вика, тогда
справедливы равенства
V :ехр W: = :(Vj. :exp W.) exp W:, „
:ехр W: V = :(:ехр W:J.V) exp W:. K '
Доказательство. Пусть г — число операто-
операторов уничтожения в V. Каждое произведение V:W": есть
сумма вкладов, в которых V спарено с т факторами из
J) Величину W\ J_ : W% ... Wn : (величину : W% ... Wn : J_
_l_ Wi) часто называют левым (правым) связным произведением моно-
мономов W\ и : \?г .,.Wn: (см., например, [F7]). —Прим. перев,
30

:W":, 0 <[ m <J min {n, г}. Вклад с т спариваниями равен
(m) :(V 1 :Wmi) Г"™:. A.30)
Значит,
V :exp W: = 2 ^r S L ) :(
oo
- 2 ^¦¦(V2:Wm:)Wn:. A.31)
n,m=o
Введем теперь семейство самосопряженных операторов,
которые часто будут использоваться при различных оцен-
оценках. Пусть теЙ'и
ЛГ, = [dfo [i (fc)V (к) а (к). A.32)
Оператор Щ самосопряжен, причем No = N — оператор
числа частиц, a Nx = Но — согласно @.8) и A.15) —
свободный гамильтониан. Если ввести в пространствах
Щп лоренц-инвариантное скалярное произведение (см.
1.54)), то ф„ (pv . . ., рп)можно интерпретировать как
олновые функции п скалярных релятивистских свобод-
свободных бозонов с энергией 2^»:
N
lt ...,рп) = ехр {— it 2 l*i| ф„ (рд, • • •, рп)-
A.33)
Пользуясь коммутационными соотношениями, найдем, что
= ^df w(I) Д а*(*,) П «(*ЛB l*i - 2 I*J) • A-34)
Если ти + n ^> 0 и если числовое ядро w достаточно ре-
регулярно :), можно определить операции Г±, в определен-
определенном смысле обратные к ad Ho:
т п т п
(t) П«* W П«(%) B R - 2 W±*0)~\ A.35)
l il j
3=1
См. примечание переводчика после доказательства леммы 1.3.
31

Менее сингулярна, чем операции Г± Фридрихса [F7]
операция Г Глимма [G7]. Пусть т ^> 0, тогда по опре-
определению
Г (Wm, п) = 5 dt w(t) П
Отметим, что Г — регуляризующая операция, так
как для областей определения операторов Wm>nn T(Wm>n)
справедливо соотношение
D(T(Wm,n))^D(Wm,n), m>0. A.37)
Лемма 1.3. Пусть W = Wmtn. Если т + п > 0, то
[#0,:еХр
Если т > 0, то
Н0Т (W) = W + :Т (W) Но:,
#0:ехр {Г(И0}: = :(Я0 + ИО ехр {Г (W)}: l '
Доказательство. В силу теоремы 1.1 имеем
Н0Т (W) = :Я0Г (W): + Яо -о- Г (ИО A.40)
и Но —о— Г (ИО = W. Пользуясь A.29), получим
1
Яо ;ехр {Г (W)}'< = :(Я0 ^ :ехР {Г (W)}:) ехр {Г (W)}i =
= ;(Я0 + W)exV{T(W)}i A.41)
Вследствие A.35) имеем
[Яо, Г± (ИО] = W = Яо -о- Г± (W) - Г± (W) -о- Яо,
A.42)
и A.29) дает
.[Яо, :ехр {Г± (W)):\ - :[Я0 -о- Г± (W) -
-Г±(^)-о-Я0]ехр{Г±(^)}:. A.43)
1
[Здесь, видимо, полезно привести в качестве характерного при-
примера условие регулярности, которое можно наложить на ядра wm< n,
для того чтобы все вышеприведенные манипуляции имели точный
смысл в пространстве Фока § (подробнее см., например, [Н 10]).
Пусть &б (RK) — пространство непрерывных по Гёльдеру функций,
32

убывающих на бесконечности вместе с соответствующими гёльде-
ровскими разностями быстрее любой степени || а> If-1, т. е.
= U
где ^?[А) г (Rk) — банахово пространство всех функций /: Rk —» С
с конечной нормой
Пусть g° {Щ = ®'&б (Rsn) C\ fin * wm n — моном Вика с ядром
п '
•"m, n- ЕСЛИ
а) т + п > 0 и wmtn (p, q) e 26(RsCm+n>) или
п» п
i=l j=l
ТО
и утверждения леммы 1.3'имеют точный смысл на §° (&6).
Операции Г+ тесно связаны с адиабатическим пределом в неста-
нестационарной теории рассеяния (см. подробнее следующую главу),
причем на g° {Ж) эта связь имеет следующий точный смысл:
¦ ±оо
— Прим. перев.]
Важный класс полиномов Вика составляют локаль-
локальные виковы полиномы. Простейшими и важнейшими среди
них являются свободные локальные поля. Пусть
()
Ф_ (х) = Ф+ (*)', Фо (х) = Ф+ (х) + Ф_ (ж).
При всех / = /e^(Rs+1), Ф„ (/) = J dx f (х) Фо (ж) -
симметрический оператор из <У в <У и / -*- (ф, Фо (/) ^)
есть обобщенная функция умеренного роста при ф, \|) е <^-
2 к. хепп 33

В смысле обобщенных функций имеем на У:
= [Ф_(х), Ф_(у)]= О,
-«), Ф_(-У)] = A-45)
f
Благодаря ^-инвариантности меры dQ (к) = (ц)
= б ((/с, к) — т2) 9 (к0) dk при (ж, ж)< 0 имеем А± (ж) =
= Л-j. (— ж). Поэтому поле Фо (ж) локально:
[Ф0(ж), Ф,(у)] = 0 при (х-у, х-у)<0, A.46)
ковариантно относительно действия унитарного оператора
eitH; описывающего трансляции по времени
0 (х) <г«н° = Фо (х° + t, x), A.47)
и является решением уравнения Клейна — Гордона
О + ™?) Фо (ж) = 0. A.48)
В гл. 5 мы познакомимся с экзотическими свободными
локальными полями, которые в § удовлетворяют A.46)
и A.48), но для которых A.47) имеет более сложный
смысл.
Величины, вводимые следующей принадлежащей Гор-
дингу и Вайтману [W6] теоремой, дают общий вид ло-
локального викова полинома.
Теорема 1.4. Пусть Ао (ж), Во (ж),. . . — виковы
полиномы
а
Ао (х) = 2 са: ЯадФо (ж)... Da,r w Фо (х):,
«7 A-49)
Яо (*) = 2 d* :ДРдфо (*)• • • А*, 1 C) фо (ж):
a
с дифференциальными мономами A*,i, Др, j no т~р
0 < ц ^ 3. Я^и / е У (Rm) сглаженный полином
A0(f) — J с?ж /(ж) Л 0 (ж) есть линейное отображение
У -*¦ У. В смысле обобщенных функций имеем на &
[Ао (ж), Во (у)] = 0 при (ж - у, ж - у)< 0. A.50)
34

Доказательство. Пусть / Ez У (R8+1) и f —
ее преобразование Фурье. Тогда
г в
\dxf(x) П ВД>(*) П ^Фо(«) =
г ,
\ ПЦт=-А(*Л
= const
X П (
j=r+i
Г в Г S
l i=r+l i=l 3=r+l
Когда A.51) действует на фе CV, мы получаем режущий
фактор по переменным рг+1, . . ., ps, а следовательно и
по [гх + • • • + Цг> так как f ?=• <^(R8+1)) и следовательно
по plt . . ., f>r. Вот почему
>| da; / (х) А 0 (ж)
A.52)
) Ао (х°, х)<р<=?Р,
даже если мы интегрируем лишь по временной переменной
с функцией h ЕЕ У (R1) (см. [В9]). В локальности A.50)
можно убедиться, пользуясь A.49) (упражнени е!).
В силу теоремы 1.1 имеем
:Ф„(*)Г: :Ф0(у)8: =
min (r, s}
= 2
mln {г, s} /\ 53)
[ :Ф« (*)г:, :Фо (уI:] = 2 ^' (j) (j) [Д+ (* ~ г/)' -
Виковы полиномы A.49) (образующие при s ^> 1 класс
Борхерса поля Фо (х) — см. [В.8, Е4]) послужат нам ма-
материалом для построения релятивистской квантовой те-
теории. Для того чтобы выявить их лоренц-инвариантность,
можно реализовать ККС A.11) в симметричном простран-
2* 35

ствеФока 5 над одночастичным пространством Ьг (Rs, dQ),
которое несет неприводимое унитарное представление
группы &>\ с массой т и спином 0:
L2 (Rs, dQ),
A.54)
8 =
Sn =
oo
e
n=o
n-1
So
раз
J8j.
Операторы рождения и уничтожения о* (р), отвечаю-
отвечающие новой реализации пространства Фока, связаны с пре-
прежними операторами а* (р) соотношениями
Цр) = р{РрЩр), вГ{р) = УЩр)аГ(р), A.55)
используя которые, можно легко проверить, что для опе-
операторов а* (р) выполняются канонические коммута-
коммутационные соотношения и что а* (/) CZ а, (/)*. Легко также
убедиться, что преобразование
A-56)
п
= exp ft S (Pi*»)} Фп (Л!»!, • •., Аг*рп) к
1 j=l J Pi *i
задает унитарное представление (а, Л) -> Uo (а, А)
группы Пуанкаре S8^ в g, которое следующим образом
преобразует операторы рождения:
A.57)
Это соотношение обеспечивает ковариантность викова
полинома Ло (х) и, в частности, дает закон преобразова-
преобразования локального викова монома
U0(a, Л) :Ф0(х)к. Uo (а, ЛГ1 = :Ф0 (Ах + а)к:. A.58)
Для того чтобы построить свободные локальные ферми-
онные поля, нам требуется антисимметричное простран-
пространство Фока. Релятивистское пространство Фока для 9м-
раковского нейтрального поля массы т ^> 0 и спина */г
есть антисимметричная тензорная алгебра над прямой
36

суммой L2 (R3, dQ) 0 L2 (R3, dQ):
8 = 0 8n. §o = C,
Фп €E 5n тогда и только тогда, когда
Фп(Ри Si,..., р„, sn) = а
2 п
(Фп. фп) = 2 S П dQ
81 sn=1 i=1
A.60)
Пространство 5 несет представление канонических анти-
антикоммутационных соотношений (К АС) ({А,В} = А В -f- jB4):
{Ь(р, в), 6(/, s')> = F*(Р. s), Ь*(р', О> = 0,
A.61)
{b(p,s), b*(p',s')} = 8ss.8(p-p'),
где
(Ь (^, s) yn)(Pi, Si, . . ., j?n-i, sn_i) =
= у ^щ Фп (P. s, Pi, Si,..., pn_x, sn_i),
F* (P, S) фп) (Pn Si, . . ., Pn+1, Sn+1) =
n+1
= l/ -jqS S (-lK"^ (p - Pj) в„ mn (pi, «i, • •., Pj,lj, ¦ ¦ .
¦ ¦ •> Pn+i, sn+1). A.62)
ле Дирака (нейтральное) есть операторная обобщенная
функция вида
+ b*(p,s)v(p, з)хеПР,*Ц, A.63)
где в (р, s)a, у (р, s)a определяют (см. [В4]) так, чтобы
f * (х)а. были локальны, ISL B, С)-ковариантны:
Uo (а, А) То (x)J70 (а, А)~1 = 5вв. (А)-*?о (Л (Л) а; + а)Л.
A.64)
37

и имели минимальный рост в р-пространстве:
I «* (Р, «)а \ + \» (р, S)a |< С VJffi. A.65)
Для s = 2 и 1 локальные фермионные поля получаются
уменьшением размерности импульсного пространства
в A.63). Для s=l приводимое представление Дирака
можно упростить, если воспользоваться представлением
Глимма [G6]. Пусть
8= Ф8„, 5о = С, g1 = L»(RSdQ)>
"=° A.66)
8„ = 8i ® • • • ® Si
a a
и Ь* (fc) определены как в A.62), но с йб R1:
{Ь(к), Ь{1)}= {Ь*(к), Ь*A)} = 0,
A.67)
{6 (Л), ь
Тогда равенства
.= [ dk е^ [|/У-^ 6 (Л) e-*«V + j/ii^. У (-Л)
A.68)
зададут двухкомпонентное локальное фермионное поле
Упражнение. Убедиться в локальности поля
Т„ (х).
Пусть 1Д -- {Л {а) | a e R1} с
Л (а): (х'\ jc)->(j;ocha —acsha, x choc — zusha). A.69)
Показать, что
,(а,Л(а))|ч,_;^|С/0(о,Л(а))-1 =
о (Ах + о).
38

вводит в 5 представление 3й+. Убедиться в том, что
:(F0(a:)i lF0 {x)t: - скаляр. А
Для фермионов виково произведение определяется так:
A-71)
где (pv . . ., рп) есть такая перестановка, при которой все
операторы рождения в A.71) оказываются слева от опе-
операторов уничтожения, ор — сигнатура такой перестановки.
С помощью фермионных операторов Ь1* (к) (опускаем
индекс s) можно построить ограниченные операторы n 3,
которые не сохраняют числа частиц. Например, пусть
/Si2(R'). Тогда Ь* (f)b(f) + b (/)&*(/) И ft при-
причем вследствие положительности обоих членов
1&*(/I = |6(/I = |/Ь- A-72)
Следующая теорема доставляет простое достаточное усло-
условие того, что виков моном W — ^dt w(t) :JJb* (кг): будет
ограничен в §'.
Теорема 1.5. Пусть g™
причем l^ria^l- Для (а) =
(а)
Пусть ю = 2 с(«) ?(*) S jf>2 (Rsn),
L2(Re), 1 <_m<п,аеZ+,
ц ..., ап) 6= Z+ положим
виков моном
ТГ =
i, • • •, К) :
(a) i=l J
принадлежит 35 (S) ц ря9 A.74) сходится в топологии
нормы.
39

Доказательство. Последовательность
u>n= S c(a)g(a) A.75)
<ч,—, an^N
сходится в L2 (R*") к гр, поскольку для N > М ->• оо
< S |в(«)|-*0. A.76)
«I,» П
<х.>М
Пусть у — число рождений в : Дб*A)(Й!{):. Пустыег.,..
Операторы Wn Jr и T^F" |r суть ограниченные отображения
5г -»• Sr+aj-n- При ф,е1г,г>в- U норма | (TF — WN)
оценивается с помощью неравенства
3 т
dfci П
X фг (fcj+i, ••-,*!„, pn-j+i, • . ., pT) I2 < С (Г) IW — WH 1Г || Фг Р•
A.77)
Следовательно,
0. A.78)
JV-
п
Поскольку Л: Д&* (?*.)• |^1> то Для всех б^>0 суще-
t=i *
ствует такое т](е)<^оо, что
|| WM - WN ||<в при М< N> л (е). A.79)
Значит, существует оператор VPe= 35 (g) такой, что
lim \\WN —W\\ = 0 и W: gr -> §г+2з-„-
N-»oo ^
Следовательно, из A.78) вытекает, что W\r=W\Tt a
значит, f^ = W. ±
Пример. Функции Эрмита hm, m e Z+, образуют
ортонормированный базис в La (R1)- Возьмем в качестве
базиса {На} в I? (Rs) тензорные произведения функций
Эрмита. Известно [S4], что функция w лежит в У (R8")
тогда и только тогда, когда последовательность коэ<]
40

циентов C(tt) ее разложений в L2 (Rsn) по Н(Л) быстро
убывает:
(а)
для всех N е= Z+, | а | = 1^ + • . . + ап |. Значит,
(а)
Пусть Щ (R)8" — множество функций weiJ (R*"),
удовлетворяющих условию теоремы 1.5 для некоторого
семейства {g?}. Тогда <S (Rsn) ID & (Rm).

Глава 2 РЯДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
В этой главе мы будем изучать ряды теории возмуще-
возмущений для различных физических величин [F7, КЗ, А51.
Мы будем исходить из гамильтониана вида
Я, = Я0 + ЯУ, B.1)
где Но — свободный гамильтониан, а У — симметричный
полином Вика с числовым ядром из if. Для того чтобы
как можно меньше вдаваться в формальности, в первой
части главы мы выберем V ограниченным. Такой класс
возмущений (приводящих к неизлечимо нерелятивист-
нерелятивистским теориям) обладает тем достоинством, что для него
осмыслены (в каждом порядке по Я) все формальные ма-
манипуляции, принятые в теории возмущений КТП, и,
кроме того, оказываются сходящимися некоторые раз-
разложения по Я. В связи с этим мы хотим обратить внима-
внимание на формализм Фридрихса как средство изучения
адиабатического формализма нестационарной теории рас-
рассеяния [F7, L1, К2, К5, НЮ, A*l, A*2, L*l]. В гл. 5 мы
привлечем ряды теории возмущений к описанию более
сингулярных взаимодействий.
Пусть 5 — пространство Фока одного вида фермио-
нов и
m, n
B.2)
*0 П (b(Pi)dp})vmtn{l, D),
причем ядра vm>n принадлежат if (Rs(™+™) и эрмитовы:
um-,n K^V • * •) '•'m? jfl' • • ч jK7i/ —
wmyti \triii • • •» /'it '•'mi • • •» ™\)я \"'^/
42

Пусть vm> „ = 0, если т -|- п нечетно. По теореме 1.5
оператор V ограничен, а из B.3) следует, что V* = У.
В таких условиях одна из теорем Като [КЗ] гарантирует
самосопряженность на области D (Но) гамильтониана Н^
и его ограниченность снизу: Hj, > — | % | || V ||. Следую-
Следующая теорема дает качественную характеристику динамики
соответствующей гамильтоновой системы.
Теорема 2.1. Пусть rm,,, e if (Rs(m+™>). Если
vm,o — vo,m = ^ для 0 ^ т =С. г, то существуют волно-
волновые операторы
удовлетворяющие условиям
Й*е-"н», B.5)
1. B.6)
Оператор Q*(Q*)* есть проектор на подпространство
да котором Нк унитарно эквивалентен Но. Для
V общего вида и всех / GE L? (Rs) существует предел (по
норме)
Ит Их (О Ь* (/) Ок (О = Ь* ± (/), B-7)
(-Ч-О0
{Ьх, ±(р), Ьх.±(*)} = {bl, ±(p), bl,±(k)} = О,
(Ч ± (р), Ь*х, ± (Л)} = S (р - Л), B.8)
Пространство Щ может быть разложено в произведение
5 = 5?® gf, B.9)
г9е gf есть пространство Фока поля свободных фермионов
с массой т и
Нк = Яо О И + И (g) Я?. B.10)
Доказательство. Пусть tfm,0 = ^o,m = 0» ины-
иными словами, Н\ не поляризует вакуум: .Я^фо = 0. (Эта
гипотеза всегда нарушается в случае локального гамиль-
гамильтониана @.21).) Поскольку | пх @1 = 1 для всех t,
43

достаточно установить сильную сходимость B.4) на ©.
Пусть (реЭ и 0 < s < t. Тогда
^ФИ- B.11)
Значит, оценки | 7т)Пе-|тН»ф || < с A + И 1)~3/2 доста-
достаточно для того, чтобы установить, что {Q* @ ф} есть
последовательность Коши. Типичный член в
m, n
имеет
m
вид
г
j=n+l
т-\-п
i=m+i
m+n
\—iX
1 i=
j Фг
i=m+i J
B.12)
(откуда, кстати, видна необходимость условия vm>0 = 0).
При п ^> 0, ф?Э и принятых ограничениях на vm>n
необходимое убывание ?2-нормы выражений типа B.12)
будет следовать из свойств регулярных решений уравне-
уравнения Клейна — Гордона (см. [R5, В*1]), что докажет B.4).
Свойства B.5) и B.6) суть прямые следствия сильной схо-
сходимости, так как Qx@*^x@ = 1 и
еч'НхЙ? = s-lim fix (t + х) е~гШо = п$е~Ш°'¦ B.13)
А
Обобщение B.7) — B.10) на случай vm 0 Ф 0 было сде-
сделано Хое-Кроном [Н12, Н*1 - Н*6].
Далее мы увидим, что для ограниченного возмущения
V, ||F||<^oo, некоторые важные физические величины
аналитичны вблизи А, = 0, а иногда даже суть целые
функции Я, а пока чисто формально введем:
оператор эволюции без адиабатического обрезания
Ux (t, s) = eiW°e-«'-s> яхе-гзн, B.14)
44

и такой же оператор с адиабатическим обрезанием
t
UK ? {t, «) = И - tk jj ЛУ, (t) tf x, e (t, S),
B.15)
7е (т) = е-*М e«ff.Fe-i'HOi
гайзенберговы поля
Ах @ = е*(ЯМечш\ 4е» (8), B.16)
резольвенту
i?x (z) = (z - Ях), z^ [-1 К ] i 71|, оо), B.17)
основное состояние гамильтониана Н\ (если оно сущест-
существует) — физический вакуум q>*
НКЩ = Б*фх, 1 фх I = 1, Ях > 8Л, B.18)
средние по вакууму или функции Вайтмана
(Фь ^ (*i)---^п)(г„)фх), B.19)
функции Грина
Л^ (О) фх) = а,(фх, ^ (*Р1). • •
^ С2-20)
(если fp,^> . . . ^> tVn ж ар — сигнатурный множитель транс-
транспозиций операторов фермионов),
обобщенные волновые операторы Т^ такие, что
ЯхГ? = ГхЬ(Я0+8х), B.21)
перенормировку амплитуды J^Zx» определяемую равен-
равенством
{TtyT$ = Zl4. B.22)
Рассмотрим последовательно свойства введенных ве-
величин. В соответствии с диаграммой рис. 2.1 центральной
величиной всей теории является оператор С/х,е (t, s),
основные свойства которого сформулированны в следую-
следующей, доказанной Ландфордом [L1] теореме.
Теорема 2.2. Пусть е^>0 и — oo^s, ?<|oo
или 8 = 0и — oo<^s, t <^ оо. Пусть | V || <^ оо. Тогда
45

уравнение B.15) имеет итерационное решение вида
B.23)
(
fl (t, s) = (- i\)n JdTl... J <*т„У. (Ti) • • • Fe (t,,).
s s
B.23) сходится в Э5 (g) к целой аналитической по
X и сильно непрерывной по s и t операторной функции,
ux{ta
„царскщ. .
путь- ЩЫНхц
х-*~ функции Spans. -* Ahm
Рис. 2.1.
значения которой U\tt (t, s) обладают свойствами:
) = 1, B.24)
Xit (т, <) UKl («, t) = ?7М (т, *), B.25)
Для фЕ^
s-lim Г1 [е-«н«г7л>0 (*, 0) — 1 ] q> = Я^(p. B.27)
Замечание. Поскольку операторы Яо и Ях в су-
существенном самосопряжены на с? (см. [КЗ]), инфинитези-
мальный генератор унитарной группы ехр {— itH0}U\, 0 (t,0)
равен Ях, и мы получаем равенство
е-инх = ^«я.?7Х|0(^ 0) = е-**. X
X [1 + 2 (- ^rjdtx... ^ dxnV0 (Tl)... Fo (тв)] . B.28)
11=0 0 0
46

Доказательство. Центральный пункт со-
составляет оценка
B.29)
Из B.29) следует сходимость по норме ряда B.23), ана-
аналитичность по Я, и сильная непрерывность по s, t. Отсюда
следует также, что мы можем изучать B.25) — B.27)
в каждом порядке по X,. Пусть ф, г|? е §. Тогда B.26)
вытекает из равенства
(ф, Utl (t, s) яр) = {U$ {t, s)' ф, ty -
dtn... J dt! (У. (tn)... 7,
= (?^(*,*)Ф,*). B-30)
Для проверки B.25) достаточно убедиться в справедливости
соотношения
Правая часть B.31) равна
-с -с т
и, «п-2 т -5 "п-1
^ ^ ^ ^ dua... ^ dun) X
X У, (и,). • • Ft (un)]
8 S 8
B.32)
47

По индукции проверяем, что выражение в квадратных
скобках равно
иП-1
dunVt(u2)...Vt(un), B.33)
а сумма двух членов в B.32) дает С/х% (t, s).
Унитарность Uxit(t, s) есть следствие B.24) — B.26).
Существование предела B.27) на if показывается по-
почленно на основе ряда B.23). Д
Ряд для гайзенберговых полей А\ (t) выводится с по-
помощью теоремы 2.2. Если ввести оператор Ах (t) =
= ехр{—НН0}Аь (t) exp {НН0}, для которого справед-
справедливо уравнение
t
Ль (t) = А + i% J ds [Vo (- s), Ях («)], B.34)
о
то прямой итерацией B.34) можно получить ряд Дайсона—
Швингера для поля Ax(t):
м С).
п=о
B.35)
sn [Vo (Sl), [...[Vo (sn), Л
Связь между резольвентой й^г) и exp {itHj,} дается
операторным исчислением (см. [D7]):
Imz>0,
, Im z < 0,
B.36)
(z) dz,
где Гх — контур, окружающий в положительном на-

правлении спектр оператора Н^. С помощью соотношений
B.36) можно перестроить ряд для ехр {ННк} в ряд для
Да, (г) и наоборот. Однако при исследовании проблем
сходимости чаще исходят из уравнения
Дх (г) = До (г) + Шо (г) VRx(z), B.37)
итерационное решение которого
оо
Дх (г) - 2 %nR0 (г) (VR0 (z))n B.38)
n=o
представляет собой ряд Неймана (иначе — ряд Борна).
Теорема 2.3. Пусть d (z) — расстояние между
точкой г комплексной плоскости и множеством {0} (J
U 1т, оо) на вещественной оси. При
IM|FI<d(z) B.39)
B.38) сходится в Э5 (g).
Доказательство. Достаточно воспользовать-
воспользоваться оценкой
tXVR0(z)\^\X\\\Vld(z)-1. B.40)
А
Пусть Г — замкнутая спрямляемая жорданова кри-
кривая, ориентированная в положительном направлении
и пересекающая вещественную ось вне спектра самосо-
самосопряженного оператора Н%. Тогда (см. [КЗ, D7])
суть спектральный проектор для части спектра оператора
#\, содержащейся внутри области, ограниченной кривой
Г. В частности, пусть Г = {г€Е С | | г | = т/2}. По-
Поскольку для точек z на Г расстояние d (г) = т/2, то при
| Я 11| F|| <^ т/2 резольвента R%{z) аналитична на Г,
а проектор i\ аналитичен по %:
B.42)
B.43)
49
2ni
1
|2|=йп/2

Поскольку два проектора Р, Q такие, что || Р —
имеют одинаковую размерность и поскольку
dim i\|x=0 = dim Po = 1, B.44)
то dim Ph = 1 при | % | < у || V\. Оценим, далее,
норму
се
= 1 + 2 Ь" -Щ- \ (фо' /?
П=1 ?
n=l
что положительно при
B.46)
Отсюда и из теоремы 2.2 следует
Теорема 2.4. При | Я | <^ Яо гамильтониан И%
обладает невырожденным основным состоянием (физиче-
(физическим вакуумом)
-> <2-47>
с энергией
«л = (Фо. Я^хф0)/|Рхф0р; B.48)
и/ж этол» величины B.47), B.48), так же как средние
B.19) по вакууму ф^,, аналитичны по X при \ X \ <^ Хо и
непрерывны по (tx, . . ., tn) e= Rn- A.
Результирующий ряд теории возмущений для функций
Грина есть сложное частное, числитель и знаменатель
которого составлены из произведений многочисленных
рядов. В частности, при замене V на локальное взаимо-
взаимодействие из такого ряда весьма трудно выделить диаграм-
диаграммы Фейнмана с обычными функциями распространения
(см. гл. 6). Тем замечательнее, что ряды Гелл-Манна и
Лоу (ГМЛ) IG31 позволят нам убедиться в возможности
такой редукции.
Мы видели, что
(ffx.. (О, + оо) ф0) А$ (к)... А$ («n) f/x,e @, - ос) Фо) B.49)
50

и
(tf>.,e @, + *>) фо, С\г (О, - х>) ф0) =
B.50)
суть целые функции Я при е > 0, при этом B.50) отлично
от нуля при достаточно малых | Х\, а B.49) при tx^> t2^>
^> • • • l> tn может быть записано в весьма изящном виде:
(?/>.,е @, + ~) фо, ?/*,* @, tx) A^ ft) T\t (h, tt)...
. . . Ux,t (tn-l, t,,) 4'V) (tn) UKt (tn, 0) Ux,t @, - ») ф0) =
¦-(Фо, UxA+ ». <l)^lil)(«l) ^Х.е(^,<2)..-4П)(«,.)^,е(<,1,-^)фо)-
^ ( шм Г ? "e ^|Sil
= 2-4?- W ^
X (Фо, T (Vo (S]) ...Vo (sm) 41' (*i) • • ¦ 4n) (tn)) Фо), B.51)
где мы использовали B.25) и B.26) и симметризовали
в каждом порядке по К вклады рядов B.23) в интегралы
по s15 . . ., sm. Результаты следующей теоремы были
получены де Виттом [W8] и Ланфордом [L1].
Теорема 2. 5. При |Х,|<^Х,1 = т7—4-41IIУц оператор
Р\* = Ux,t @, + оо) P0UKt (± оо,0) B.52)
принадлежит 35E). Проектор А,е и средние
(Фо, UKl @, ± оо) Фо), B.53)
(Фв. UKl (+ оо, _ оо) Фо) B.54)
аналитичны по К и непрерывны по её[0, оо), причем
lim Рь е = Р>,, о средние B.53) и B.54) отличны от нуля.
Ej.0
Кроме того, существуют следующие пределы:
s.lim , УУГ*?0 . = , РТ 1 - B-55)
^хд @.- °°) Фо) (Фо, г/х,. (°. + °°) Ф») , D
Доказательство. При е ^> 0 оператор-
операторная функция ?/х,е @, — оо) Ро Uitt (— оо, 0) — целая
51

аналитическая по к. Поскольку
п
al @,— оо) ф0 = (— Щп \ ds1... \ dsn e i=l X
—oo — oo
0 0
— / j\\n \ Af4 [ Af pfibtxpiUHaY у
—oo —oo
= %nДо (me) F^o (i (и - 1) e) V... До (™) V <pOl B.57)
мы получаем, что
?7x,e @, - оо) P0UKt (- оо, 0) =
0(in е) V.. .Ro (ie) VP0VR0 (- ie)...Ro (- ime) =
m,n=o
= Po + 2 bn {Ro (we) F... До (ie) FP0 f poVR» (- И • • •
n—1
... VR0 (- me) + 2 #0 (iAe) F. .. Ro (ie) VP0VR0 (- ie)...
ao
... VR0 (- »(» - k) e)> = 2 ^"P^ = Px... B.58)
п=0
Согласно теореме о вычетах
Р?] - -J=r [ dzRo (^ + ine) VR0 (z + i (n - 1) e)... УД0(г)
B.59)
с контуром ГП[е, изображенным на рис. 2.2.
Нас интересует равномерная оценка | Р^ \\ при е ^> 0.
Вклады от Г^, U Г^, оцениваются величиной B||F|//w)nf
тогда как длина Г;Ц у r?>t есть пт. Длина Tijt \J T^>t
есть 2/ге и для геЦс у rt>t
min {| Ro (г) ||, | До (* + те)
52.

и I i?u iz + г^6) I ^ — ПРИ 0 ^ A <; п. В итоге получаем
к(^ч"A+4) B-61)
и ряд B.58) сходится в §5 (g) равномерно при [ "к
?L | у || и
, оо), а проектор /\е аналитичен по
-гв ¦
-2»
-/res
Рис. 2.2.
Я и непрерывен по е. Сравнение соотношений B.58),
B.59) с B.42), B.43) дает
norm-lim UKi @, + оо) РО?7Х , (+ оо, 0) = Рх. B.62)
Действуя левой и правой частями этого равенства на
вектор ф0, получим
s-lim С7Х)Е @, ± ос) ф0 (ф0, С7х,Е@, ЧЬ ос) ф0) = РХф0, B.63)
lim | (ФО, UKz @, ± оо) Фо) р = (ф0, Рхфо). B.64)
Из B.61) выводим, что при в ?Е [0, оо) и |Я | <^i
оо
I (Фо, UKt @, ± оо) ф0) |« > 1 - 21 Я. Г || Ре(п) || > 0. B.65)
П=1
53

Аналогично, среднее
(фо> Ux,t(+ оо, — °о)ф0) =
(<Р°' - *™ B.66)
(фо, ?/\ е@, -\- оо) фо) (фо, U-^ @, — оо) фо)
отлично от нуля при е е [0, оо) и | к | < Kv Наконец,
B.63) и B.64) дают нам B.55) и B.56). ^
Так мы пришли к теореме Гелл-Манна и Лоу, простота
которой оправдывает труды, затраченные на ее доказа-
доказательство.
Теорема 2.6. При \ % \ < Х1 и еб№, оо) отно-
отношение
те!
X
m=o
X —
. . . dsme x (Фо, Т A„ («,) ... l^'1) (tn)) <p»
dsi...dsme l (фо,
sm
B.67)
есть аналитическая по % и непрерывная по г и (tv ...
• • •, tn) E R" функция. Предел этого выражения при
е 1 0 равен (ф*. Г (Л(хх) (fx) . . .Дп) («„)) Ф0-
Доказательство. При — оо <^ t, s <^ oo
функции Е7Л)е (f, s) — целые по к и непрерывные по
е GE [0, оо) в' SB (g). Воспользуемся теоремой 2.5. Для
^ . . > fn имеем
о, Ux @,
= lim (ф0, C/x,e (+ оо, — оо) фо)-1 (<р0, C/X,e (+ оо, tj х
X 4l) (*i) ?^М («1. ««)••• 4П> (*п) ^Х,е (*„, - «о) ф0). B.68)
А
54

До сих пор мы предполагали, что взаимодействие V —
ограниченный оператор в пространстве состояний. С не-
некоторыми модификациями технического характера (на-
(например, с использованием различных сходимостей в про-
станстве й (§бя, 95р) линейных операторов из банахова
пространства 55а в банахово пространство 95р (95Я С
С %>р CI S)) предыдущие результаты переносятся на вза-
взаимодействия, линейные по боэонным операторам а* с чис-
числовыми ядрами из У (см. [L1, К2, К5, К*11). Анализ
более сложных взаимодействий, рассматриваемых, в ча-
частности, в следующих главах, требует более сложной
техники, и мы закончим эту главу некоторыми предвари-
предварительными формальными построениями. Далее V будет
означать симметричный, четной степени по фермионным
полям полином Вика с ядром из У.
Определение. Пусть Wv ¦ ¦ ., Wn — полиномы
Вика. Вклад в произведение Wx . . . Wn от всех связных
графов из этого произведения назовем связной частью
(Wi ¦ ¦ ¦ Wn)c. Связной безвакуумной частью (\?г . ¦ ¦ Wn)h
произведения Wt ¦ ¦ . Wn назовем величину
(Wt. ..Wa)tl=(Wx... Wn)c-(9o» {Wx... Wn)c9o),
B.69)
т. е. вклад в Wx . ¦ ¦ Wn всех связных графов с хотя бы
одной внешней линией.
Следующая теорема («linked cluster theorem») утвер-
утверждает чрезвычайно важное тождество в теории возмущений
для более чем двух частиц.
Теорема 2.7. Следующие равенства между фор-
формальными рядами по % корректно определены при е _> О
и — оо <; s, ? <J + оо или при 8>0и — оо <^ s, t <d оо:
UkA(t,s) =
= :ехр 2 (- ^Г Jdtx... 5 dxn (Vt fa). .. F, (тп))с:,
n=l s s
B.70)
У()
4>o)
oo I
= :exp S (- iX)n J dtx... ^ dxn (Vt (тх)... Vt (tn))L:.
B.71)
55

Доказательство. Воспользовавшись раз-
разложением A.27), приведем ряд B.23) к нормальной форме.
Каждый граф G из произведения Vz (тх). . . Fe (тп) может
быть разложен на связные компоненты:
G = S щНк, B.72)
где Нк входит пк раз в G и почти все щ = 0.
Поскольку всякий Vmn Ф 0 содержит четное число
фермионных операторов, относительный порядок вершин
в произведении со спариваниями не имеет значения. На-
Например,
= :Vt (tO F,(TO _o_ F? (t8)... F« (tn):. B.73)
Если проссуммироватьпо всем графам с учетом разложе-
разложения B.72), то в B.23) получим произведение вкладов связ-
связных графов Нк, деленное на щ\ и проинтегрированное по
{«< 4,i < ••• < 4,№ < *Ь гДе t*,i> • • •' тм(М — вре-
мена, соответствующие вершинам в Нк. В силу свой-
свойства B.73) это очевидно, если щ — О, 1. Перестановка
двух одинаковых связных компонент не приводит к новым
схемам спаривания. Благодаря этому можно просумми-
просуммировать по всем перестановкам одинаковых компонент
и потом поделить на \\пк\. Суммирование С/[Пе(?, s) по
к
всем п приведет к B.70). При этом скалярные вкла-
вклады приведут к множителю exp {^j (фо> (• • -)с Фо)} =
= (ф0, U\tt(t, s) ф0), что с учетом B.69) даст искомое
соотношение B.71). Д
Применим теперь доказанную только что теорему для
диагонализации гамильтониана Н% = Но + XV. При не-
поляризующем вакуум взаимодействии имеем
Q? = s-lim eitH*<ritH' = s-lim UKo @, t) B.74)
и на D (#o) —
ЯХЙ? = Й?ЯО. B.75)
56

Теорема 2.8. Пусть s > 3. Для каждого члена,
формального ряда
UKl @, ±ео) _
(фо, ?/\ е (О, J; оо) фо)
оо 0 хп-1
= :ехр g (— ikf { dx!... [ dxn (Vt(тх) ...Vt (xn))L:
"=1 +» ±00
B.76)
существует предел при е | 0:
удовлетворяющий соотношениям
Hxif = Tt- (Яо + ex), B.78)
(?f )* T7? - Zx'fl =Т?(Т?)\ B.79)
00
ex = 2 (- ^)m (Фо, (^Г (F... Г (V)))e Фо), B.80)
m=i
Zx1 = ||exp 2 (- Цт(Т (V . . . r(F)))CR<pof, B.81)
m=l
гЗе m — число Г, с (. . .)cr — «клад части (. . .)l, содер-
содержащей лишь операторы рождения.
Доказательство. При е > 0 интегрирование
по tj, . . ., тп может быть проделано с помощью равен-
равенства
»=r±t(W)(T), B.82)
±оо
где W — моном Вика. Г±е (W) определяется посредством
замены w (!) (ядра W) на
Т±еи; (() - w (I) (S ^ - S И-i ± *еГ . B-83)
С А
гДе 21» J — суммы по переменным, отвечающим, соот-
с а
ветственно, операторам рождения и уничтожения.
57

Значит, B.76) переходит в
оо
Tt-t = : ехр 2 (- ЬУТ±„е (^Г+(П_1)Е (V .. .Г±1 (V).. .))ь :.
п=1
B.84)
Для связных графов с внешними линиями ни один зна-
знаменатель в B.84) не обращается в нуль тождественно при
е I 0. Мы покажем что каждый граф из произведения
Г±м (Vr±{ll_1)t (V... rtl (F).. .))ь B.85)
определяет отображение ??-*¦%, которое сильно непре-
непрерывно при е > 0, если ядра v принадлежат У.
^ Рассмотрим граф G рис. 2.3.
Ядро G содержит шесть знаменателей Du . . ., Dt.
Видно, что Dt и D2 не сингулярны при е \ 0, потому что
подграфы G (Fx) и G (F2) Fx) не имеют внешних линий
уничтожения, а для любого графа G без внешних линий
уничтожения все знаменатели Di принадлежат классу С00
яри е ]> 0. Если Dj не есть результат применения послед-
последней операции Г±, то Dj сингулярен, если G (У,, . . ., Fx)
уничтожает частицы. Последний знаменатель сингуля-
сингулярен, если G (Vn, . . ., V]) создает и уничтожает частицы.
При е ^> 0 мы представим сингулярный знаменатель
Dm в виде
± fjjdtm ехр {+ itm (ЕтС - ЕтА± ism)}, B.86)
где ЕтС и ЕтА — суммы энергий порожденных и уничто-
уничтоженных частиц. Тогда произведение сингулярных зна-
знаменателей из рис. 2.3 при Г± = Г+ и цг = ц (р{) примет
58

следующий вид:
в <х> то „ в
П а» = \ ¦. Л п Л-ехр (- 2 *»»тв)х
О О т=з
га=3
в 5 в
i=4 г=4 г=3
Н {к + к) + цв«в]} . B.87)
г=3 J
Если мы применяем G к ф Е ^, то переменные ра, ¦ • •
. . ., р9 становятся переменными ядра из $Р. При е> О
можно изменить порядок интегрирования. При s > 3
каждый интеграл
\ dPi ехр {+ щг 2 W (• • • Pi • • •)} B-88)
согласно лемме Рюэля [R5] дает убывание ~ | ^tn |~"a.
Следовательно, после интегрирования по р3, . . ., р9
произведение B.87) становится абсолютно интегрируемым
по t равномерно по е > 0. Волновая функция (<?ф) (pv
р2, е) непрерывна в смысле Гёльдера и быстро убывает
по pv р2 (см. [Н8]).
Произвольный связный граф с внешними линиями,
который уничтожает частицы, можно трактовать таким
же образом. Убывание по tn для последнего знаменателя
происходит от импульсов внешних аннигилирующих
линий. Если G — связный граф, то остальные fn_i, • • -
. . ., ti: входят в сумму 2^; (см. B.88)) п — к различных
внутренних импульсов.
Полином Вика в B.76) обладает, очевидно, теми же
свойствами, так как каждая связная часть B.85) действует
на различные переменные.
Получаем
00
Т? -: ехр 2 (- ^Г (Г h (V ... F.t (V)))L:. B.89)
Далее, при е ^> 0 мы имеем
UKi@, ± ос)' f/x>e(O, ± оо) = i = UKt@, ± ^с)С/х,е(О, ± оо)\
B.90
Поэтому
f i = T? (If )\ B.91)
59

После применения Т% к ф0 выживают только члены
Г±(УГ±(. . .))сд и поэтому в B.89) можно опустить
операцию: . . . :; это даст B.81).
Поскольку т?- имеет форму :ехр Г± (Q$):, применение
леммы 1.3 дает
оо
Н0Т$ = Т$Н0 + : S (- ^-Г (^Г± (v ¦ • -))l Г?: B.92)
= : 2 (~ *)" (Fr+ (F • • •))l?1x±: + (Фо, (XV ^ Г?) Фо) Гх* •
B.93)
Простой графический анализ показывает, что
(Фо, (М^Г?)Фо) = вх B.94)
имеет голдстоновскую (см. [G.22]) форму B.80), причем
Г+ (...) Фо = г- (•••) Фо = г (•• •) Фо вследствие того,
что только вклад операторов рождения отличен от нуля.
Это естественно, так как по физическому смыслу ех есть
смещение нижней границы спектра Ях относительно
нижней границы спектра Но. Такое спектральное свой-
свойство Н\ не должно зависеть от того, считаем ли мы его
в ортонормированном базисе сходящихся (Т1) или уходя-
уходящих (Т\) частиц. ^
Другой вывод теоремы 2.8 был дан Фридрихсом [F7].
Для уяснения связи с его формализмом предложим сле-
следующее
Упражнение, а) Показать, что
Т$ = :ехр {- Г+ (Qt)}: B.95)
есть итерационное решение уравнения
Qf = %V ± :ехр {- iT± {Q$)y. -
- ^ (Фо, V ± :ехр {- Г±(<??)}: ф0). B.96)
Ь) Доказать теорему 2.7, исходя из соотношений
U\,% (t, s) = :ехр ?/х,е {t, s)c:,
4г и^ С> sh = ~ iWt (t) 1 :ехр UK, (t, s)c:, B.97)

Глава 3 МОДЕЛИ ЛИ
В предыдущей главе мы обсудили комбинаторные труд-
трудности квантовой теории поля, проистекающие из-за рож-
рождения и уничтожения неограниченного числа частиц. Их
анализ мы провели на примере весьма регулярных взаимо-
взаимодействий, числовые ядра которых по всем переменным
принадлежат пространству У. Теперь мы начинаем рас-
рассматривать взаимодействия, ведущие к ультрафиолетовым
расходимостям. В этой главе мы изучим модели Ли, в ко-
которых благодоря хитрой комбинации операторов рожде-
рождения и уничтожения во взаимодействии можно избежать
объемных и многочастичных расходимостей (проблем
(а) и (у) в терминах гл. 0) и изучать ультрафиолетовые
перенормировки в чистом виде.
Пусть Ь — пространство Фока для конечного числа
типов бозонов:
8 = <§> 8* C-1)
г=1
с операторами рождения и уничтожения а? (к) и массами
п
тг > 0, 1 < i < п. Пусть Но = 2 #о, где Н\ — свобод-
г=1
ный гамильтониан бозонов 1-го типа.
Взаимодействие Ли V представляет собой полином
Вика в пространстве 5, отвечающий взаимодействию
только конечного числа частиц. Пусть д^ ^> 0 — аддитив-
аддитивный заряд частицы ?-го типа, 1 <^ i <^ п. Пространство
5 может быть разложено в прямую сумму подпространств %q
с полным зарядом q:
8 = 0 8„ C-2)
q
5g= © Si,®... 0 8?. C.3)
2j siqi = q
61

Пусть Eq — проектор на 5„. Очевидно, что для любого
выбора qx, . . ., qn ^> 0 гамильтониан Но коммутирует
со всеми Eq.
Определение. Полином Вика V в простран-
пространстве Щ является взаимодействием Ли, если для некото-
некоторого выбора зарядов q1: . . ., qn ^> 0:
п
[V, Eq] = 0 для всех q = ^j s^. C.4)
г=1
Условие 3.4 выполняется тогда и только тогда, когда
каждый моном Вика, входящий во взаимодействие V,
рождает точно такой же полный заряд, какой уничто-
уничтожает.
Пример. При взаимодействиях, инвариантных от-
относительно группы Галилея, полная масса определяет
правило суперотбора (см. [Bl, L6]). Следовательно,
4i = Mi'
Легко видеть, что взаимодействие Ли V не поляризует
вакуум ф0 е §:
11] I Т/\ т IT m П /О П
\" о ~т~ ' ) фо = Л( фо = и W""/
и динамика модели Ли может изучаться раздельно в каж-
каждом секторе gg, где полное число частиц ограничено.
При этом за отсутствие трудностей (а) и (у) придется
расплачиваться нерелятивистским характером динамики.
Пусть Фг± (х) — части A.44) свободного поля Фг0(х),
отвечающие рождению и уничтожению. Мы будем изучать
модели Ли с взаимодействиями вида
XV = x\dxV(x), lER',
V
п п
V И = S С(«), №) П Ф+ (X)a(i) П Ф- (Х)Ч}) = ^ (Ж)*' C-6)
i=l j=i
которые обладают определенным сходством с локальными
взаимодействиями @.21), багодаря чему они смогут
познакомить нас со всем арсеналом ужасов, присущих
ультрафиолетовым расходимостям. Мы ниже увидим,
что большая часть плотностей C.6) неперенормируема:
в физическом пространстве Жхеп невозможно найти
удовлетворительный оператор Нтеп, представимый в не-
некотором смысле в виде Нтеп — Но + XV -\- О (X2). С дру-
другой стороны, некоторые менее сингулярные взаимодей-
63

ствия типа C.6) допускают проведение довольно простой
математически корректной процедуры перенормировок
и доставляют поучительные для общей теории примеры.
Начнем с пространства-времени размерности s + 1 = 2,
где взаимодействия Ли хорошо определены без всякой
перенормировки.
Теорема 3.1. Пусть s — 1 и V — взаимодействие
Ли типа C.6). Пусть V\q — сужение V на §,. Тогда
A) V\q: Sg -*• 8? ограничено для каждого q,
B) #о + kV является самосопряженным оператором
на области
. C.7)
Доказательство. Типичное приведенное чи-
числовое ядро монома, входящего в V, имеет вид
п I п I
со B Pi - 2 **) П ("&> + рЪ-™ П Л) + а?)-172. C-8)
4=1 у=1 i=i j=i
где п ^> 0, Z^>0. По относительным импульсам рож-
рождаемых и уничтожаемых частиц функция C.8) лежит
в I? и ее норма равномерно ограничена для всех
значений полного импульса. Так как для s = 1
то сужение V\q ограничено для каждого q и оператор
(#0 -+- ^V)|, — самосопряжен на D (Но) П 50, что дает
C.7). А
Для s ^> 1 существует два типа интересных взаимодей-
взаимодействий Ли, модели ХиУ. Модель X с плотностью взаимо-
взаимодействия
Vx (х) = Ф+ (зсJФ_ (асJ C.10)
в пространстве Фока частиц одного типа описывает вза-
взаимодействие между парами частиц посредством сепара-
бельного сингулярного потенциала. Модель Y впервые
была изучена Т. Д. Ли [L2]. Мы уберем некоторые физи-
физические украшения (наименования N, в, V для частиц
и т. п.) и введем упрощенное взаимодействие
VY (ж) = Ф:(зсJФ^(зс) + Ф+ (ж) Ф!(хJ. C.11)
63

В таком случае пространство Фока g = Ща (g) gb будет со-
содержать состояния частиц двух типов а и 6 с массами
пга = ть = т^> 0, зарядами <?а = ^ <?ь = 1 и опера-
операторами рождения и уничтожения а* (к), Ь# (к).
Модель Ys+1. Пусть % е С°° (R1), 0 < х < 1.
% (t) = 1 при J ^ —1 и % (t) = О при ? > 0. Пусть
а>0 и
Х„ (Л) = % (fc2 - а2). C.12)
Введем обрезанные взаимодействия
Уi. о = \ П !/-— ^ (Pi — Pi — Рз) &* (i>i) а (р2) а (р3), C.13)
а г=1 *
3 .
У*>а = ) П -у="б (Pi + Pa ~ Рз) а* (Pi) Л* (i>a) Ь (Рз).
где символом \ обозначено интегрирование с формфак-
а
тором П Хо {Pt)- При конечном обрезании а операторы
Vi>a ограничены в каждом секторе, а оператор Но + %Vo
самосопряжен. При а-> оо моном Вика F1>0 задает в про-
пространстве % оператор с областью определения D (Fli(M),
содержащей множество Э, плотное в §, но предельный
моном Fa, оо при s ^> 1 не имеет в пространстве § нетри-
нетривиальной области определения. Обсудим проблемы, к ко-
которым это приводит, рассматривая последовательно s =
= 2, 3, 4.
Случай s=2. Мы увидим, что сумма Но -%- %Va
может быть определена на области Da, плотной в простран-
пространстве g при всех а, включая а ¦= оо, правда, при ст = оо
пересечение области Do с областью определения сво-
свободного гамильтониана будет тривиальным в том смы-
смысле, что
Область Da будет получена из оласти Э действием оде-
одевающего преобразования («dressing transformation») Т„,
представляющего собой приближенный вариант опера-
операторов Ть из равенства B.89). Переход к приближенному
преобразованию необходим ввиду того, что сходимость
64

ряда в B.89) сомнительна во всех случаях кроме регуляр-
регулярных потенциалов с малой константой связи (см. [Р4, К4,
Н4]). Для того чтобы выпуклее продемонстрировать
свободу в выборе исходной (до замыкания) области опре-
определения перенормированного оператора энергии, обсудим
две кандидатуры на роль одевающего преобразования:
а)}, C.14)
в)}. C.15)
Оператор Т\ — прототип преобразования Глимма ив
следующей главы — не годится для точного вычисления
интересующих физику величин. Оператор Т\ — более фиви-
чен и его выбор подсказывается теорией рассеяния.
В каждом секторе Щп преобразования Т\ и Tl суть
полиномы степени <^/2, и нормы | Г (F2,o) |n | и
IJ Г+ (V2>о) |п || равномерно ограничены для о ^ оо и
4: '
C.16)
C.17)
для ф„ €= $1п- Точная верхняя грань в C.16) явно конечна
при сг ^ оо. Неравенство C.17) будет обсуждаться в при-
приложении. Легко видеть, что на носителе б (рг + Рг — р)
функция [цх + Ц2 — Ц ± iO]-1 == [цх + Цг — цГ1 регу-
регулярна (стабильность частицы по отношению к распаду
Ъ -> 2а). Отсюда Г+ G,.„) = Г^ G,,„).
При сг<оо благодаря леммам 1.2 и 1.3 получаем,
что на © справедливы равенства
(Яо + %V%a) Т\ = -.TlHo: = Т\Нй + T\T{Viia) ~о~Н0,
1
(H0 + XV^a)Tl^TiH0, C.18)
* \о Л Г,(Vг,„) +
3 К. Хепп 65

где i = 1, 2 и Гх = Г, Г2 = Г+. Виковы мономы
(см. рис. 3.1) Vua-°-Tt(V2,a) и Flia^r;(F2)OJ
1
при и^оо is<4 задают на © корректно определен
ные операторы. Что же касается виковых мономов
t4--°-r(F2jO) и
2
C.19)
_2_
ИР) J
входящих в VUa J. r,(F2,a)! то согласно приложению
sup та (р) < оо'при s < 3, так что при фиксированном
Р, ч
-О- -
i a
Рис. 3.1.
геи a<oo сужения Мо|„ и V1H — о— Г (F2,0)|n рав-
2
номерно ограничены. По этой причине при s = 2 спра-
справедлива
Теорема 3.2. Пусть i = 1, 2, s = 2, ф?Э м
Д"га = Яо + A,F0. Тогда существуют пределы
s-lim Г'вф = 21ф, C.20)
s-lim (#0 + A,F0) Г*„ф = .Htrlcp C.21)
м i/L — вещественный оператор с областью определения
71©, плотной в g. Для ХфО
(Ti&)f)D(H0) = ?)a®4. C.22)
Доказательство. Сильная сходимость есть
следствие теоремы об ограниченной сходимости (см. [D7]).
66

Действительно,
I (Яо + XV„) 7> - (Яо + XV п)
... + W || (:ГХ р./ Г+ G2, рJ: -
-:TlVlia2T+(Vt,ay:)<fi, C.23)
а каждое подынтегральное выражение, отвечающее каж-
каждой норме в C.23), ограничено для всех р, а функцией
из 1} и при р, а -> оо сходится равномерно на компактах
к нулю. Это дает C.20) и C.21). Каждый из операторов
Нгх симметричен, поскольку при о* < оо и ф, г]) ?Е 25
справедливо равенство
(Гоф, (Яо н- XVвO>) ¦= ([Я» Н- Х7„] Гвф, ВД,
веществен и обладает самосопряженным расширением,
так как коммутирует с комплексным сопряжением К:
(Кц>п) {рп . . ., рп) = фп(— Pi, • • •. — J>n)-C.24)
Ограниченность Гг (F2a)L влечет ограниченность на
каждом Sn оператора
V2,a)}, C.25)
что с учетом плотности области 55 в g означает плот-
плотность в 5 множества Т\ 55. Пусть, наконец, ф е 55 \ 25°,
так что 6 (&)ф =^= 0. В ?>' имеем Я0Г^ф = Т2кН0(р —
-Л,Г^2,-Ф и ПЯ0фе5, a ||rlF2,^||=oo. A
Рассмотрим теперь связь оператора Т\ с состояниями
рассеяния — связь, которая прояснит необходимость и
смысл некоторых перенормировок. Довольно очевидно,
что a*(p)ip0 является обобщенным собственным состоя-
состоянием оператора Нга:
#*а*(р)Фо = Яоа*(р)Фо= V(p)a*(p)<po. C.26)
Для Ь* (р) ф0 при 0< оо имеем
_Я>* (р) ф0 = ц (р) fo* (р) Ф0 + ^F2,0&* (р) ф0,
Я^Г^(р) Фо = :Г^(Яо-XWlt„-о-Г(F2,„)): &* (р)Фо, C.27)
2
Ь' (р) фо =
= v- (р) т1ь* (р) Фо - х*мат1ъ*
3* 67

Это показывает, что «голые» одночастичные состояния
Ъ* (р) ф0 не входят в область определения оператора #»¦
В то же время состояния Tlb*(p)<p0, i = 1, 2, при всех
0-^оо лежат в области определения Н^, хотя и не явля-
являются собственными векторами этого оператора. С дру-
другой стороны, видно, что состояние Т\Ъ* {p)(f0 — обоб-
обобщенный собственный вектор оператора
На = Н0 + XVa + Х*Ма е= Н\, i = I, 2,
поскольку @ < =о)
Hatfb* (р) фо = \i (Р)Т1 Ъ* (р) Фо. C.28)
Для новых гамильтонианов HI теорема 3.2 по-прежнему
справедлива, так что для всех ф ?Е 2)
О—>оо
Следовательно, перенормировка массы, т. е. переход
обеспечивает существование одночастичных физических
состояний с физической массой т- Вычисление нормы х)
такого состояния
(Tib* (р) Фо, Tib* (g) Фо) - A + ^2по (р)) Ь(р- д),
2 ,._ /3.301)
10 v/^y |* (р) J ii ^ (|ii +1*« - (i)a
выявляет другую конечную перенормировку в рассма-
рассматриваемой модели — перенормировку амплитуды, с по-
помощью которой может быть исправлена нормировка мно-
многочастичных состояний. Пусть отображение Аа: © -*- D
определено равенством
ИоФл, д(Ри ¦ ¦ •» 2V' </i. ¦ • •' qt) -
i
= П A + X»ne Gj))"*4 г (Pi- • • •' Pk> ffi. ¦ • •» «i). C.31)
х) Здесь и часто ниже речь идет о «нормировке на б-функцию»
обобщенных собственных векторов, отвечающих точкам непрерыв-
непрерывного спектра самосопряженного оператора. — Прим. персе.
68

если cpfc)I €E 8° ® 8j. Отображение. Лв коммутирует
с Но и на каждом подпространстве §п при всех а <^ оо
ограничено, обратимо и положительно. Легко проверить,
что
Аа =-- (:ехр ft2r+ (F2, „)•-»_ Г+ (F2, в)}:)-'/г C.32)
2
И ЧТО СОСТОЯНИЯ
Т\Ава* (р) Фо = а* (р) ф0 и Г*40Ь* (р) ф0
представляют собой нормированные одночастичные обоб-
обобщенные собственные векторы оператора Hi, a^oo, от-
отвечающие энергии \i(p)- Действуя в духе Хаага и Рюэля
(см. [Н4], гл. III), можно ввести операторы рождения
физических одночастичных состояний:
а* (р) = а* (р),
C.33)
Ь* (р) = A + Vna(p))~nb* (р)-ЛГ+Gг>0N*(р)].
в
Я
таком случае
п
\Аае~™, Ца'(рг
(=1
п
= ехр{— it\2 \>
*- Li=l
г
)Ць*й
Г,-) Фо =
г
2 i*(fl
п
г,)]} Да
1'(л)П*
3=1
'* (^) Фо
C.34)
представляет собой состояние рассеяния в канале, харак-
характеризуемом наличием п свободных физических частиц
типа аи 2 свободных физических частиц типа Ъ. Есть на-
надежда, что при ^-v + oo C.34) превратится в состояние
-гш!
C.35)
Это ожидание оправдывается следующей теоремой.
Теорема 3.3. Пусть s — 2 и За — самосопряжен-
самосопряженное расширение оператора Hi, а <^ оо. Тогда существуют
волновые операторы
Qt = s-lim е^аТ1Аае-»н', C.36)
69

обладающие следующими свойствами:
еи"°&± = Q$eitH\ C.37)
(Q±)'Q± = 1, C.38)
fij (Q*)* — проектор на QB~5.
Доказательство. Как и в случае теоремы
2.1, достаточно доказать сходимость лишь на плотном
в 5 множестве, поскольку сужение
равномерно ограничено. Пусть ф е S. Тогда
*) С D (Я.)
и
- Х%,„ -о- Г+ (F2, „) + ? VuaJ.r+ {V^f):Aae-™^. C.39)
Справа всегда имеется связанная часть с двумя опера-
операторами уничтожения типа F1)O> которая действует на
Аа ехр {— ИН0} ф. При этом типичный вклад в норму
вектора C.39) от | Vh<,Aa ехр {—itH0}q> | 2 имеет вид
\jdpdqdk^{p,q,h) ехр {it [\jl (q/2 + р) +
+ |i (g/2 — j>) — p. (g/2 -f k)-\i (q/2 - k)}}. C.40)
Легко убедиться, что
2+p g/2-p 341
»l* " 'J ~"
-j- P) |» (ff/2 - p)
и C.41) не нуль на носителе функции г|), если носитель
фтг.г {Рг, ¦ ¦ ¦, Рп'> Pn+i, ¦ ¦ •, Pn+i) не содержит точек,
определяемых равенствами
РМ = ^/Иу. 1 < i < / < я + I. C.42)
Для волновых пакетов ф, в которых скорости частиц
не перекрываются, интегрированием по частям легко по-
показать (см. [Н4]), что
\\\\eCN(l + \t\)-N C.43)
70

t константой CN < oo для всех N ЕЕ Z+. Множество та-
таких функций плотно в g, так что C.36) и C.37) оказыва-
оказываются доказанными.
Для вычисления (Q^)* (Qcf) возьмем векторы ф, i|> GE ©
с носителями, не содержащими точек, задаваемых равен-
равенствами C.42). Для них
(Ф, (Q±)'Q±i|») = lim (ф, еи^Аа (Т1)'Т1Аае-»н^). C.44)
Все графы произведения Т\ Т\ с частями, содержащими
более двух внешних линий, дают нулевой вклад в пределе
(—>-j-oo. Следовательно,
S? = Aa :exp {^2Г+ (V2t„)*—°— T+ (F2,„)}: Aa = I. C.45)
2
A
Случай s = 3. Мы видели, что одевающее преобра-
преобразование Tl, сопровождаемое перенормировками массы и
амплитуды, необходимо для построения правильно нор-
нормированных асимптотических состояний, причем это от-
относится и к случаю а < оо или s = 1, когда D {Н„\п) =
= D (Н0\п), поскольку, из-за членов F2,e, произведение
ехр {ИЙа} ехр {—itH0} не сходится сильно при
t-^-^oo. В модели У4 одевания Т\ еще дают плотную
область определения для операторов HI = Но + ~кУа +
+ №Ма, но в этом случае Ма при о*->оо становится
бесконечной перенормировкой.
Теорема 3.4. Пусть s = 3 и ф ?Е ©. Тогда суще-
существуют пределы
s-lim TlAa<? = Т1АХЦ>,
"^ 2 C.46)
и Н%, — вещественный симметрический оператор с плотной
областью определения TloAxS). Для самосопряженного
расширения Ях оператора Н%, остаются справедливыми
о отношения C.36), C.37) и C.38). В C.46) Т\Аа и
Н\Т\Ав можно заменить на Т\ и НгаТ1а, i = 1, 2.
Доказательство аналогично доказательству тео-
теорем 3.2 и 3.3. А
Замечание. Явления, связанные с наличием
«духов» [К1] в статической модели У4, отсутствуют (даже
71

в пределе «локального взаимодействия» — при а -*- оо)
в модели У4 с правильной (релятивистской или нереля-
нерелятивистской) кинетической энергией. Для релятивистской
кинематики это было открыто Индуреном [Y2], для нере-
нерелятивистской — Леви-Леблондом [L6] и Шрадером [S2].
Полученные до сих пор результаты еще не полностью
удовлетворительны. Хотелось бы знать, ограничены ли
операторы Н^, i = 1, 2, снизу и самосопряжены ли они
в существенном на области Г^©- Для того чтобы обсу-
обсудить эти вопросы и получить более полную физическую
интерпретацию модели, мы изучим перенормированный
ряд Неймана:
а»
Ra (z) = (z - Я,) = R, (z) 2 [(Wa + X«M.) Ro (z)]n. C.47)
Поскольку сужения Va\m и Ма\т ограничены при
в < оо и | Ro (z) I ^ — (Re z) для Re z < 0, существует
б (Я,, m, a) •< оо такое, что C.47) сходится в 85 (gm) для
всех Я. е R1, mEZt, Re z < —б (Я, т, а) и а < оо.
Мы установим существование б (р, т) < оо такого, что
C.47) как ряд по X будет сходиться в 95 (gm) для всех
| % | < р и Re z < — б (р, т).
Характерная черта моделей Ли с сепарабельным взаи-
взаимодействием C.6) состоит в том, что Ra (z)|m может быть
явно вычислено в первом нетривиальном секторе. В под-
подпространстве g2 ряд C.47) принимает вид
П=0
X [До (z) (Vlf aR0 (z) Vt, „ + M„)]» До (z) (^,ylt aR0 (z) + 1) |2,
°2 C.48)
где явно обозначены спаривания только между F1)O и
V2,a- Графически ситуация изображается на рис. 3.2.
Сравнение выражений C.19) с
-о 1
2 C.49)
¦>,
та(р, z) = =-* " --- л-"--^1 — р)
Ji=i
72

дает та (р) — — та (р, \х), и Vlt aR0 (z) У2> „ + М„ имеет вид
C.49), где та (р, z) заменено величиной та (р, z) — та (р, \л),
сходящейся при а —> оо:
I* JiLi •*¦ (I*-l*i-N(«-1*1-1*») #
Если ввести новую величину Та (z) |2 равенством
ОО
Яо (z) Го (г)|а = 2 Wn [До (z) (Fj, аЯ0 (z) У,, „ + Ма)]п |2 =
п=о
(p, г) |а, C.51)
то суммирование геометрической прогрессии из C.51)
Рис. 3.2.
приведет к следующим выражениям для ta (p, z) и
и
ta (P, z) = \t - A,2 —^ j C.52)
. (z) |a= (i + XRo (z) У2, „) i?o(z) ^(г) До B) (H + ^^i, <Л>B)) |>-
C.53)
Упражнение. Прямым вычислением оператора
Ra {z)\n при п = 2 убедиться в справедливости следую-
следующих утверждений:
отображение i?0(z)|n: 5„-> 8П инъективно-, C.54)
Ra (Z)\n --= Ra (Z)\n, C-55)
73

Ra (Zl)\n - Ra (z2)|n = (z2 - z,)Ra (zJ\nRa (z2)\n, C.56)
Tiorm-lim zRn (z) |„ = H C.57)
Re z->—<x>
при ст< oo и zl7 z2, z^?[2tw, oo). Показать, что g2 = Йо5г=
= Qa$2 и что оператор Sa\2 (определение: SaQtq> = ?2аф)
унитарен.
Формула C.50) позволяет дать новую интерпретацию
перенормировке массы. Пусть
Ь* (р, t) =
= exp {it (Но + XVa)}b* (р) exp {-it (Но + W,)} C.58)
и Ga (t, p; t', p') — двухточечная функция Грина:
Ga (t, p; t', p') = (Ф0, Т(Ъа(р, t) bl (р1, <'))фо) =
_ |(Фо, Ь(Р) е-'^Х^^-'Ь^рОфо), <>«', C 59)
~\ 0, «<«'
Преобразование Фурье выражения C.59) по переменной
t — t' дает матричные элементы резольвенты. Пусть
Im z > 0. Тогда
-i\dse^Ga(s, p\ 0, р') = Ь(р- р')Ъа(р, z) =
= (Фо. Ь (р) (z-H0~ W.YW (р') ф0), C.60)
где коэффициент при Я,2 имеет следующий вид:
(Фо, Ъ (р) Ro (z) Vlt оД0 (Z) F2, оД0 (г) b* (р1) фо) =
Перенормировка массы т0 (/>, г) -> ти0 (р, г) — т0 (/>, |Д.)
приводит к тому, что в каждом порядке по константе
связи А. взаимодействие не выводит простой полюс функ-
функции (ф0, Ь (р) (z — ЯО)~ХЬ* (р)ф0) из точки z = ц (р).
Теорема 3.5. Для каждого mE Z+ и р < оо су-
существует б (р, т) < оо такое, что при \ К \ <; р,
Re z < — б (р, т) и 0 <; а <^ оо ^>я5 в правой.части C.47)
сходится в %> E) к аналитической по % и z функции, не-
непрерывной к тому же по о. Сужение Ra (z)\m удовлетворя-
удовлетворяет соотношениям C.54)—C.57). Сугцествует самосопря-
74

женный оператор Н^ такой, что #L \ т^> — б (р, т) и
norm-lim Ra (z) |m =* norm-Iim (z — На)~г \m = (z — Hi,) \m
C.62)
для всея Rez< —б (р, т).
Доказательство. Мы будем следовать мето-
методу Шрадера [S21, проводя некоторые упрощения, связан-
связанные с тем, что модель Yt с релятивистской кинематикой
Рис. 3.3.
менее сингулярна, чем модель с нерелятивистской зависи-
зависимостью энергии от импульса.
Пусть а < оо, т. ЕЕ Z+, | Я| < р и Re z < —б (р, т, а).
Применим теорему Вика к произведению
До (z) Fi (i),o i?o (z). • • V{ (k),e i?0 (z); г (у) = 1,2, 1< у
для того, чтобы заменить в нем каждый фактор Vh aBQ {z)V2, a
на сумму членов
Vi, *R0 (z) F2, „ + Flt 0/?o (z) F2> „ + Fi, oi?0 (z) F2, „, C.63)
0 12
графы которых приведены на рис. 3.3. Тогда получим
оо 2
¦"о (Z) \т == 2л " ^—I '• (Z) ИгA),а- • •1'г(п), о-По (Z))ren|m>
п=0 г A),..., i(n)=l
C.64)
где (До (z) Fj (d, с.. .До (z))ren получается из До (z) F, A), „...
• • • Vi (п), пДо (z) путем замены каждого фактора F1( „До (z) F2i 0
на
Flt „До (z) F2, о + Vlt „До (z) F2, о + {Vh оД0 (z) F2, n)ren,
I о 1 I о 1 I о 1
0 12
C.65)
(Vlt оД0 (Z) V% n)ren = Fi, „До (Z) Vtt „ + Ma.
—I I —I
2 2
75

Пусть -j>&J>0, а, Р>0, е==а+р. В при-
приложении будет доказано существование констант С (е),
С (т) < оо таких, что для О^а^оо, Rez^O
lVlteR0(z)~rU<C(e)C(m), C.66)
C.67)
1 До (z)'Vlt aR0 (z) Vt, „Ro (zf \m\\<C (tfC (mf, C.68)
I 1
0
1 Ro (z)aVu „До (z) F,, „До (zH U К С (ьJС (m)a, C.69)
l
II Ro (z) (Vb „До (z) V% o)ren UK С (zfC (mf \z p1+e, C.70)
II Vi, aR0 (?) (Vi, aR0 (z) V2, a)TenR0 (z) Fg,. |m ]|<
I ° I
2
^ С (8) L A71) I Z I . (O./l)
Произведение До (z)F;A), aR0 (z) ¦ . . VnnhaR0 (z) можно
представить графически распределением п «спинов», на-
направленных вдоль (в случае F1H) или против (в случае
V2 о) линейной цепочки, ориентированной от 1 к л (см.
рис. 3.4):
Vi V± Vs Vs Vt V*
Рис. З.4.
Если произведение, входящее в сумму C.64), не содержит
множителей Vlt oi?0 (z) F2>aj то, факторизуя резольвенту
Ro (z) в произведение Ro (z)'1"^2/?,, (z)*1^6)/2 и используя
оценки C.66) и C.67), легко получить неравенство
» • • ^i(n). ЯЛо (Z))ren |m|<C (в)пС (m)n | Z
C.72)
Для множителей F1)O/?0 (z)F2j0 перенормировка C.65)
дает три члена. Рис. 3.4 показывает, что для членов
^i, oRq B)F2,ai г = 0, 1, всегда можно найти степень
1 о 1
Г
76

/?0 (z)e примыкающей резольвенты, позволяющую исполь-
использовать оценки C.68) и C.69). Фактор
Vit aRn (z) (Vh aRn (z) F2, a)renR0 (z) V}, „
можно свести к C.66), C.67) и C.70), если (i, j) ф A, 2),
и к C.71) — в противном случае. Поскольку в каждом
члене п-го порядка возможно не более чем и/2 множите-
множителей VhaR0 (z)^2,a, неравенство C.72) после добавления
в его правую часть множителя Зп'2 останется справедливым
и в общем случае.
Мы видим, что при т = 2, 3, . . .; 0 < е < 1/4, 1ёС
ряд C.64) равномерно сходится в 95(i?m) к оператору
R« (z) Im Для всех z с
))x~e. C.73)
Если a ->- a', 0 ^ a, a' ^ <x>, то каждый член ряда
C.64) для Ra (z)|m сходится в 95 (gro) к соответствую-
соответствующему члену аналогичного ряда для Ra-(z)\m. С помощью
равномерной по а оценки C.72) легко доказать непре-
непрерывность Ra (z) |m по а. Более того, резольвента Ra (z) |m
аналитична по Я,, z при | Я, | < р и Re z < — S (p, m).
Наконец, C.72) показывает, что
lim j z | S I Л- |nS II (до (z)Vi A), 0- ¦ .До (z))ren |m |h О,
Re z_>—so n=1 (i)
C.74)
a это устанавливает C.57).
При a<ooHleR оператор Д„ (z)|m представляет
собой резольвенту самосопряженного оператора На\т и
удовлетворяет C.54)—C.56). Два последних соотноше-
соотношения по непрерывности переносятся на Rx (z)|m.
Пусть 91 (z)m = {(pegm|i?Oo (z)|ro ф = 0}. Соглас-
Согласно C.56) множество 91 (z)m не зависит от z, a C.57)
означает, что 31 (z)m = {0}. Отсюда вытекает инъектив-
ность отображения Rx (z)|m. Воспользовшись этим,
определим на множестве Rx (z) |m gm отображение
Пусть вектор ф е STO ортогонален R^ (z)|m5m. В силу
C.55)
77

для всех г|з <= %т. Поскольку Щг)т = {0}, то ср — 0 it
D (Нос (г)|т) = Лх (z)|mgm плотно в gm. Тождество
Ф = Д» (zi) |тг|з = RK (z2) |тг|> + (z2 - zO i?<x (z2) |ПЛ
C.76)
показывает, что область определения оператора Н^ (z)\m
не зависит от z, а применение H^(zi)\m и ffoc(z2)|m
к C.76) выявляет существование оператора Й%,\т =
= Я,» (z)|m, не зависящего от z (\X \ <C р, Re z <
<-б(р, m)).
Заметим теперь, что если Т: Ж -*¦ Ж — линейный
плотно заданный оператор в гильбертовом пространстве Ж
и отображение Т'1 существует и также определено на
плотной в Ж области, то (Г*)-1 = (Т'1)* (см. [D7]).
Равенства C.75), взятые при z = z, и C.55) тогда дока-
доказывают самосопряженность оператора Н%,\т, а предыду-
предыдущие оценки означают, что операторная функция Roc (z)|m —
= (z—/flLlmI к^к резольвента Hlc\m аналитична
по z при Im z Ф 0 и Re z ^ —б (р, т). Но тогда
Я-1т>-в(Р.и0, C-77)
т. е. оператор Я1|т ограничен снизу.^
Теперь у нас есть три кандидата на роль гамильто-
гамильтониана, описывающего динамику перенормированной мо-
модели Ли: самосопряженные расширения вещественных
симметрических операторов я!, из теорем 3.2 и 3.4
(i = 1, 2) и самосопряженный ограниченный снизу опе-
оператор /7;L из теоремы 3.5. Любовь к теории возмущений
побуждает нас предпочесть Я^,, но в случае локальных
гамильтонианов, изучаемых в следующей главе, строгая
процедура построения возможна, к сожалению, только
для операторов типа #L- Утешением может служить
следующая теорема — первая среди теорем, описываю-
описывающих связи между #L и Н%,.
Теорема 3.6. Оператор #L является расшире-
расширением Нос'
Hlz)Hl; i = l, 2.
Доказательство. При о<С оо легко вычислить,
что область определения D (На\т) совпадает с D(H0\m),
а сужение На\ т на D (#0|m) представляется суммой
78

#0|m и ограниченного оператора Wa\m + )?Ma\m. Для
(рЕЙ и а< оо 7'гаф е Z> (Яо), и при а -> оо
сильно сходится на g к (г — Я^Ор.
В таком случае
71ф = s-lim Г'ф = - s-lim Ra (z) Ra (г^Г'ф =
= Esx,(z)(z-Hl)Tl<p,
так что
Z? (Я1) = Гм© с Z> (Я^). C.78)
Остается вычислить Я^Г^Ф при ф е 55- В силу принятых
определений (в частности, определения C.75)) и теоре-
теоремы 3.3
Я^ПоФ = HlR^ (г) (z - Hi) Г1Ф =
= (zRx (z)-i)(z- Hi) 7iq> =
= s-lim (z7?a (Z) - 11) (г - Ha) Kq> = Яг^711ф, C.79)
где мы опустили обратимое отображение Аа: © -> 25. Д
Следующая теорема показывает, что динамика моде-
модели Ли полностью характеризуется операторами ffix.
В частности, мы увидим, что область определения Н%,\т
равна TloD (H0\m) и что на ней Н%,\т есть конечная
сумма явных и хорошо знакомых операторов (член
TlT (V2) —°—Яо (Tly1 ^присутствует только при ? = 1):
Я^ |т = TlHa (Г1) |т + к -JlV,: (Tl)-i \m -
- V -.TlV, -о- Г, (У2): (fi)-1 |m +
i
+ у :TlV11 Г, {V.f: (fL)-1 |m (Г^Г (F2) -о- Яо (Г1.) |m).
C.80)
Это соотношение будет служить нам опорой в том присту-
приступе сомнений, который скоро нас охватит.
Теорема 3.7. На областях Т^-О, ? = 1, 2,
операторы Я^ в существенном самосопряжены. Их
79

замыкания (Hlo)~ удовлетворяют соотношениям
D((Hl)-\m) = TlD(H0\m),
(Hi)- = (Hi)* = (HI)" = Hl. K '
Операторы, стоящие в правой части C.80), бесконечно
малы по отношению к 2I«-H'0BIi))~1|m, и на области
TloD (Н0\тУ[оператор Я^ равен сумме C.80).
Доказательство. Согласно теореме 3.4 для
всех фёЭ
х - WVX -о- Г+(У2) +
^r],. C.82)
Оператор Tl,H0\$ в качестве замыкания имеет опера-
оператор Г^Я0|т с областью определения!) (Я0|т). Оценки
е
C.66)—C.69) показывают, что -.TlV^. R0{zI+T и
¦ TIoV-l —о— Г+ (F2): Ro (ZY являются ограниченными оке-
раторами на каждом 5т. Наконец, легко видеть, что
:T\>{VX ± Г+ (F2J:|m лежит в % (gm). Отсюда для всех
а ]> 0 существует Ь <; оо, такое, что для всех фЕ©
C.83)
т. е. оператор
- W, - о _ Г+ (F2) + -у- ^ jr Г+
бесконечно мал (см. [КЗ]) по отношению к 7
По этой причине областью определения оператора
(H%,Tl,)-\m является множество D ((Hl,TV)~\m) =
= D (TlHQ\m) = D (H0\m), и для всех Фей (Я0|ж)
вектор (Д1оГ?о)~ф определяется суммой C.82). Посколь-
Поскольку Tl\m есть биекция, (HlTl)-\m = {Hl)-Tl\m, а тогда
Я((Я1)-|т) = ВД(Яок). C-84)
80

Согласно теореме 3.6 Hi = (Hl,)~ Z) Hi, и потому
#1 Z) (Hi,)-. Остается показать, что!) (#L) CZ D((Hl,)-),
или что #«, (z) 5m <z2t,Z> (#0|m), или что
(Tl)-1^(z)Ът = exp{Г+ G,)}#~(z)gmCfl(Яо|m) C.85)
для некоторого z с Re z< — б(р, яг). Это нас подводит
к оценкам, аналогичным оценкам теоремы 3.5.
Пусть ст<оо. Резольвента C.47) как ряд по % в ка-
качестве типичного члена тг-го порядка имеет слагаемое вида
(если i A) =... = * (Л) = 2, i (к + 1) = 1)
(До (z) FiA)> 0... Fi(n), оЛ0 (z))ren = Но (z) F2, oi?0 (z)...
Яо (z)... Fi(n)itI Яо (z))ren- C.86)
При разложении (Г^'^о (z) в ряд по степеням % коэффи-
коэффициентом при Хп будет
*) F«i)," • • • Vm>° Ro (z))ren + Г+ (F2, 0) X
(i)
X S (до (z) FiB), „... Fi(n),o Яо (z))ren + •
(i)
n—l
+ -^Г+ (F2i „)»До(z) =22{№ (z) F2,
k=o (i) l
X (Яо (z) FlitI До (z) Fi(ft+1),o... Fi(n)iO До (z))ren +
+ {(До (z) F2, „)» + ... + -L Г+ (F2, „)»} До (z), C.87)
так что
Яо {(До (z) F2, .)• + ...+ -i- Г+ (F2, „)*} x
X №(z)FMfio(z)Fi(fc+2),tI...Fi(n)ttIfio(z))ren = [z{...} /?o(z)-
- {•••}] (VhaR0(z) Fi(ft+2),a... Fi(n),ЯДО(z))ren. C.88)
Пусть [т/2] = п при яг = 2ra + 1. Ясно, что на ^m
члены из C.87) с /с ^> [яг/2] равны нулю. Иначе оценки
C.66) — C.71) означают существование константы
d (т) < оо такой, что при 0 <; о <^ оо норма
|| Яо { . . . } (До (Z) FM До (Z) Fi(k+2),o . . . Vm,a До (Z))ren |,„ II
не больше
d (m) [С (8) С (т)]п~[гп/г11 z |-('l-tm'2l»-?)/2; C.89)
81

если re ^ [т/2], и не больше d (m) — в противном случае.
Это влечет за собой соотношение (Г»)??» (z) Щт d
d D (Но) для всех Re z < — б (р, т).
При рассмотрении Tl достаточно учесть, что
[Яо, Г G2) „)] = У2, „ + Г G2> „) - о _ Яо C.90)
и Г (F2,e) — °— Яо/?о (z)e|m ограничено при е > 0.
Это означает, что дополнительные члены в C.87)—C.89)
не опасны. А
Случай s = 4. Здесь появляется новая трудность:
D (Г, G2,О)) = {0} при 0-> оо C.91)
и ma (p, z) линейно расходится. Мы обсудим несколько
возможностей в описании динамики модели Уь.
а) Выберем Т\Аа таким образом, чтобы
(Ф0, Ъ (р) Аа {TlYTlAJf (р1) фо) = 6(р-р').
Это ведет к теореме, являющейся сверхупрощенным
вариантом основного результата Глимма в теории Ф\
(см. теорему 4.15).
Теорема 3.8. Пусть s — 4 и <р, if e ©. Тогда
lim B* ЛзФ, Г24вя|») = (ф, i|)), C.92)
О—>СХ>
lim (ГМоф, Я„Г*^в*) = (Ф, Я0Ч>), C.93)
= (Ф, (Я? + ^2F2) x-o- F1( со)ф). C.94)
о—»-со
1
Замечание. TlAaq> не сходится сильно при
Ф ЕЕ ©. Легко видеть, что перенормировка амплитуды
А а слишком сильна для модели У, и приводит к триви-
тривиальной динамике. Одновременная перенормировка за-
заряда К —>• Ка ничего не меняет, поскольку к входит в Аа
в виде
)-Ч. = аа (р).
Доказательство. Пусть ф, ар е ©, ф GE 8" ®
® $), "ф е 5т ® 5п, /с + 2/ = т + 2/г и (без огра-
ограничения общности) Я = 1. На (компактном) носите-
носителе векторов ф, ф при a-v оо а0 (р) -*¦ 0 равномерно
82

относительно р. Рассмотрим
(Г+ (F2, о)МсФ, Г+ (F2, a)( А.*), C.95)
где s< I, t < п. Произведение Г+ G2,а)*5Г+ (F2, „)' есть
сумма графов
:Сг,а(Г+G1,о)'-<>-Г+Gг,о))'-:, C.96)
где (ф, Gr< atp) остается ограниченным при а —> оо и <р,
ij) e S. Аналогично,
.2
«Pi tip — m — pt) ^л /о о7\
равномерно на носителе векторов ф и гM. Следовательно,
-^j- (Г+ (V2t a)sAay, Г+ (F2, „)' Л^) _> 0 C.98)
при о -> оо для всех s, t, кроме s = I = t = п, для ко-
которых получим (ф, г|э). Это доказывает C.92). Далее,
Первый член справа дает C.93). Обсудим второй член,
например,
(r+(FIie)Mecp, :T+(V2>ay VUa: АаЦ). C.100)
Условия к + 21 = m + 2n, m > 2, s+l<Z, ^^ra
запрещают появление спариваний Г+(Т2,а)* —°— Г+ (F2j0)
2
в количестве, достаточном для компенсации всех фак-
факторов аа {р), что ведет к обращению в нуль соответствую-
соответствующих членов при а-> оо. Ситуация с другими членами в
C.99) — аналогична. Наконец,
C.101)
83

Первый член справа дает (Я0<р, #ог])), второй есть нуль,
тогда как в третьем — только F2>o —°— F1)O не имеет
внешних линий типа Ъ. Д
Ь) Вместо изучения Яомы можем исследовать оператор
ТаНаТа. Ограничимся секторами g2 и 5з> применительно
к которым положим
Яо = Но + %Va + №Ма a0
Mo = FliO-o-r+(F2ifl),
2
N.^Vba-o-mVi,), C.102)
2'o = l-?.r+V2iO).
Простые выкладки ведут к равенству
TlHoTa\m = TlTaH0 \m + К (Wlta - KWUa -о- r+(F2>o) -
- %*NaHo)\m = [Яо + %Н0Г+ (F1; „) - %Т+ (F2, а) Яо -
C.103)
где мы использовали соотношения Г+ (W)* = —T_(W*)
и FliO -о- I* (Va,e) = - r+(FliO) -о- Г+Gа,о). Послед-
2 2
ние два члена в C.103) равны нулю при m = 2 и могут
быть представлены в явно симметричном виде:
-о_ Г+ (F2,„) - №Т+ (Vltо)Я0Г+ (F2;„) +
+(F1,1o)-o-F2>0. C.104)
i
Таким образом, в C.103) при а -> оо одно только сла-
слагаемое Г. G2)О)Я0 не имеет плотной в Щт области опре-
определения. Введем второе «одевающее» преобразование
C.105)
[Я0,5о]|т = ?,Г+G2,о)Я0|т.
84

Теорема 3.9. В обозначениях C.102) и C.105)
для ф е Эт, тп = 2, 3, имеем
s-lim ^оф = ^ооф,
а->оо
C.106)
s-lim faHJaSay = Я^ф,
О—>оо
5сх)©т плотно в $т и Яоо — вещественный симметриче-
симметрический оператор на SJ?)m:
ХЯ0Г+ (Fj, в) ф -
a)-\- Г+ (F2) „) ЯоФ +
1
u 0) - о _ It (F2j 0) ЯоФ
1
1
-о- Г2+ (У,,0)Яоф. C.107)
+
2
Кроме того, существует s-lim HaTaSа<р.Д
Каковы же физические свойства гамильтониана
? Для Иг=2 мы можем вычислить сумму ряда
#оо L Д
Неймана явно:
(z) |я = i?o (z) 2 [(^#оГ4 G1§ 0) - М\ (F2i а) Я0) Ло (г)Г Ь =
=:(l-Xi?o(Z)Г+(F2)а)Яo)i?o(z)X
X Го (z) До (г) A + ЬЯ„Г+ (Fli0)) |„ C.108)
7о (г) До (z) |t - ^ dpb' (р) Ъ (р) ta (p, z) |,
а
Заметим теперь, что при замене H0T+(V1>a) на Fli<r и
—Г+ (Fa „)Я0 на F2,<j C.108) переходит в неперенормиро-
ванный ряд До (zJ(^Fai?0 (z))n. При Im й ^ 0 Д„(г)|,
удовлетворяет соотношениям C.54)—C.57). Следова-
Следовательно,
Я~ |2 = z - Я.0 (z) [г1 C.109)
85

определяет самосопряженный на Нх (z) g2 d &г опера-
оператор — кандидата на роль гамильтониана, описывающего
динамику модели У5 без обрезаний. К сожалению (это
легко вывести из C.108)), оператор #»|2 не ограничен
снизу при X Ф 0. По этой причине мы вынуждены отверг-
отвергнуть #i|m: этот оператор не может дать удовлетвори-
удовлетворительного решения проблемы перенормировок.
с) Вместо мультипликативной перенормировки Аа мы
можем ввести вторую аддитивную перенормировку в
функцию Грина, подобно тому, как это будет проделано
в общем случае в гл. 6. та (р, z) линейно расходится, и
после перенормировки массы XV 0 -> XV а -j- Х2М0 в C.60)
еще остается логарифмическая расходимость. Ее нельзя
компенсировать заменой XVа на оператор XVа -\-№Wa,
не зависящий от z. Действуя в духе обычной теории пе-
перенормировок КТП (см. F.41)), мы можем заменить
та(р, z) на
/Я \
1Щ (р, Z) — 77?„ (р, Ц) — (z — |Х) \-^- Ш0 {р, Z) \z=vj =
hPi--p) /3
В случае функции Грина C.60) эта замена порождается
преобразованием
Wa -> XVа + Х*Ма + XWa (z - Яо). C.111)
Воспользовавшись тем, что i?o(z)|2 может быть вычислено
явно, получим (в смысле билинейных форм на Э х 25)
=A + ЬДо (z) F2i „) Ло (Z) f 0 (z) Ло (z) (И + ^х, offo(z)) It,
C.112)
где fo(z)/?0(z)[2 имеет вид j dpb* (p)b (p)ta (p, z)|2
с ядром
dpi
Теперь легко понять, что перенормировка C.111)
86

обладает крайне неприятными свойствами: хотя ряд
(z)-1) Ro (z)]n \m C.114)
аналитичен по!иг при фиксированном а < се и | Я, | < р,
Re z ¦< —6 (р, т, а), его сумма больше не удовлетворяет
равенству C.56). Это означает, что Ra(z)\m не является
резольвентой никакого линейного оператора Н0 и теория
выходит за рамки гамильтонова формализма. Существует
еще более яркое проявление этой же трудности. Если бы
R«> BIг было резольвентой какого-либо самосопряжен-
самосопряженного оператора #оо|2) его спектральная мера давалась бы
следующим выражением (см. [D7]):
= w-lim -z—r (ф, {fie (x — ie) U — R^ (x -f- ie) |2} i|)),
C-H5)
Но пусть в таком случае Ф = 1|з е So ® 8?. Тогда
(ф, dEx (x) |2ф) =
= hm-5—г W» ф (да)п = г~-—г • C.116)
При х <J (х
УкЦх-у.) Г-гг dp.
Г-гг dp. Ь{р
J Уг ~ (* - и -
и становится как угодно большим при х-*-—се. Следо-
Следовательно, при X Ф 0 tx (p, z) обладает полюсом в точке
z = х0 (р) < [х (р), вклад которого в C.116) равен
-\dp\<p(p)\4(x-xo{p))p(p),
C.118)
Х
С
Сгг dPi Ь(р
87

так что C.118) несовместимо с положительностью меры
((p,^dEx(x)\2 ф). Говорят, что состояние, соответствую-
соответствующее этому полюсу, является «духом» (см. [К 1]). Таким
образом, перенормировка C.110) несовместима с поло-
положительностью метрики в гильбертовом пространстве и
функции Вайтмана, связанные с (ф0, Ъ (p)Rcx> (z) |2 b* (p')q>0),
не задают скалярного произведения.
Вывод, к которому мы приходим, состоит в том, что
с моделью Yb нельзя связать удовлетворительной дина-
динамики.
Модель Zs+1. Введем обрезанное взаимодействие
с A dp
= i 11 "тЛГ б.(^ +^2 —i>3 —Pi) a* {Pi) a* (p2) a (p3) a (
C.119)
Но -J- XVо будет представлять собой шредингеровский
гамильтониан с сепарабельным потенциалом, который
сингулярен при сг —*- оо и s ^> 1. Мы увидим, что модель
Ха обладает такими же хорошими свойствами, как и
модели Y3 и Yt, тогда как в Х4 проявится дополнитель-
дополнительная (но хорошо известная для потенциалов типа
S Яб (ocj — х}) при s ^> 1 — см. [F5]) трудность.
г<;
Теорема 3.10. Пусть s = 2, mEZ+, p < с».
Существует б (р, т) < с» такое, что ряд
оо
До B) |т = 2 ад W?o B)Г1т C-120)
п=о
сходится в % {%m)i его сумма аполитична по % и z и не-
непрерывна по а при | Я | < р, Re z < — б (р, т) и
0 <; о* <; с». Сумма C.120) удовлетворяет соотношениям
C.54)—C.57). На J?oo(z)g можно задать самосопряженный
оператор #L такой, что
Лес (z) |m = (z - Я1)-11,„, 7/L U = z - Д» (z) |m C.121)
Re z < —б (р, т).
Доказательство. Для всех е ^> 0 существует
С (б) < оо, такое, что
\
dq
sup
P, о J 1+ —

По этой причине
1 Л» (z)E VaR0(z)*\m I < С (г) ('?) C.123)
для всех Re z <J 0. Обладая этой информацией, можно
повторить доказательство теоремы 3.4 применительно
к нашему теперешнему случаю. J^
' Вычислим Ra (z) |2 явно, что поможет нам понять'важ-
ные свойства гамильтониана (Но -{- XFa)|2. Пусть
. 1 -y= S (Pi + P2-P3- Pi) X
2
X а* (рг) a* (p2) a (p3) a (pA) va (py + jh, z), C.124)
Тогда
До (z)|, = Ro (z)\2 + Ro (z)Ta (z)R0 (z)|a,
*
о i=i К (г
X a* Bh) a* (p2) а (Рз) a (Pi) ta (Pi + Рч, z), C.125)
Отсюда видно, что гамильтониан (Но + %Va) |2 полностью
соответствует тому, что ожидается с физической точки
зрения. Для X ;> 0 и z ^ [2/п., оо) функция 2*„ (z) |а
голоморфна, и при таком отталкивающем взаимодействии
не существует связанных состояний. Для Л < 0 и о* <! оо
всегда найдется z (p) < 2/п. такое, что
1, C.126)
поскольку при j> =0иг< 2т
и при z -»- 2/п. интеграл логарифмически расходится
в точке д = 0.
Построим теперь одевающее преобразование Та, с по-
помощью которого, без обращения к борновскому ряду
для резольвенты Ra (z), получим другой гамильто-
гамильтониан Н%-
89

Пусть р ^> 0 и
'О ~ » р, О ~т ' Р,О»
D(
D(p, о) i=l К ^г
в(р4)- C.128)
В C.128) интегрирование \ идет по области, опреде-
определяемой произведением характеристических функций
4
П Ха (Pi)% B [ц3 +1**1 + Р - Hi — !*»)• Для! импуль-
импульсов из этой области
4
1 1-т 1
lf*i + Нг — Нз — М ^ '^ тг^ 11 —пг (ол^у;
V Р i=l (И1! )
с константой С < оо, не зависящей от [гх, . . ., [г4. Для
всех weZ4 Г+ (V'p,a) \т е » (gm), a Fp,0|m обладает
плотной в 5т областью определения, содержащей
е>0
Теорема 3.11. Для всех 10 > 0, m e Z+ существует
р (Яо, т) ¦< оо такое, что преобразования
оо
Т | ^ / 7 \пт! /т/' р /т/ \ \ | /о /I ОЛ\
1Р,«\т= Zi \~ К) 1 + (|/Р, "• • • 1ЛУ9, я) • • Olm» (O.1OU)
оо
Т! inr ^ r /f ^ v' \\ (
СЛ л х + \ ¦ ' ¦ х + \ ' Р,п/ " • ¦ ' Р, <*) Ira v
u = S
n=o
аполитичны no X при | Я, | < Яо и непрерывны в S5 (gm)
/го p, с 5ля всеж р ^> р (Х.о, т), 0 ^ с ^ оо. Лри з/поле
в 33 (gm)
lim Гр, „ |m = lim Г-^ |m = 1, C.132)
р—>оо р—
Р, о |т -1 Р, о |т — D — 1 р, п |т ¦* р,
и для всея (рей (Яо|т) ц 0< о < оо
(Яо + ХУр,в) Гр,яф - Гр, пЯоф, C.134)
90

s-lim У; aTPt „<p - Ур, ооГр.^ф. C.135)
о—>оо
Доказательство. Дело сводится к оценке норм
||Г+(У;,а...Г4(У;,о))|т||, C.136)
разлагающихся в сумму членов, содержащих по п сомно-
сомножителей. В %т каждый такой член даст не более чем С (т)п
ненулевых графов. Рассмотрим для примера рис. 3.5.
-о ¦
1
Рис. 3.5.
Применение операции Г+ приводит к появлению знаме-
знаменателей
(N + Ц9 — Цъ — И-e) (М-х + М-7 + Ц9 — М-4 — ^5 — Цв) X
х (|*i + Ц2 + Из - Н — V'b - ЦвГ1. C.138)
которые в области интегрирования могут быть мажори-
мажорированы величиной
г=1
C.139)
В итоге каждой вершине будет отвечать фактор C.139).
Это же справедливо и для всех других графов, так что
для норм C.136) и C.137) легко получить оценку вида
d (m)n р-"/2, что повлечет за собой сходимость рядов
C.130) и C.131) для всех р > (Kod (m)f и рядов
C.132), C.135). Для а < оо на D (Яо) выполняются соот-
соотношения
[Но, Тра] = ^,Ур) аТр<а, [Но, Tpta] = ^р, о^-Ур, о C.140)
91

Равенства C.140) эквивалентны соотношению C.134) и
влекут C.135). Для того чтобы получить C.133), доста-
достаточно воспользоваться рядами для Тр>а и Tpfa и следую-
следующим тождеством:
п
S (-1)*Г± (А1... Г± (А,)) Г± (... Г± (Л*+1)... Ап) - 0,
C.141)
которое справедливо в случае, когда А1 . . . Ак (к > 0) и
Ак+1 . . . Ап (к < /г) не дают тривиальных скалярных
вкладов (например, если все At содержат по крайней
мере один оператор рождения и один — уничтожения).^
Упражнение. Доказать C.141).
Множество ГРHЭт плотно в 5т и
T;%Ra(z)$mCZD(H0\m), C.142)
поскольку C.140) влечет за собой при а < оо соотно-
соотношение
H0T~%Ra (zr) |т = Тр,1,, (Яо + %V'P, „) Ло (z) |m =
= Ур,1. (z Дв (z) - И - XF; „Дв (z)) |т C.143)
и члены справа представляют собой ограниченные опера-
операторы даже при сг-> оо. Действуя точно так же, как при
доказательстве теорем 3.6 и 3.7, получаем следующий ре-
результат.
Теорема 3.12. Пусть оператор Hlt<x\m задан на
Tp.oJ&m соотношением
ti а, оо \т == -* Р, ооЛ 07 р, оо |т Т~ Л К Р) оо |m (O.l-i4)
с р ^> р (Яо, т), | Я | < Яо. Тогда он самосопряжен в су-
существенном, область определения его замыкания Н1,х\т
равна
V ) - D (Я1^ |т), C.145)
U)
a XFp.oolm бесконечно мало по сравнению с ТР1<хН0Тр% \т.
Сверх того,
Яргос|т =Hl\m, C.146)
92

и для всех 0 ^ а ^ оо существуют волновые операторы
Q? = s-limelН»ГР ae~im\ C.147)
удовлетворяющие B.5) и B.6).
В модели Xi обнаруживается новая, впрочем, типич-
типичная для перенормируемьтх, но несуперперенормируемых
взаимодействий, трудность. Обсудим сначала явное ре-
решение в секторе 5а. Пусть v (р) < 2\i (р/2) — точка вы-
вычитания логарифмически расходящейся величины va(p, z).
Пусть
/ЛP. z, v) = уо(р, z) — va(p, v) =
^^ б(Р + рР)(ЗЛ48)
v) V '
Действуя по индукции, легко обнаружить, что для сходи-
сходимости произведения
VaR0(z)Va...VaR0(z)Va
2 2 2
необходимо добавлять в каждом порядке п ^> 2 новые
контрчлены вида
Vn,a - (- i^VJto (v) Va... VaR0 (v) Va C.149)
2 2 2
с ядрами [—ya B>, v)]"-1. Тогда замена
n=2
проведенная в C.119), приведет к замене va (p, z) на
/„ (р, z, v) в C.125).
Оператор Wa (Я,), определенный рядом по К, сходится
в 95 Eт) для всех or и достаточно малых | Я, |. В итоге
получаем
4
(к) = X [ Д -^= б (Pl + in - р3 - Pi) a* (Pl) a* (p2) x
4
il К ч
X a (p8) a B?4) [1 + ^"a (Pi + !»». v)], C.151)
93

что хорошо определено и аналитично по Я при я<оо и
Я ф [0, оо). Но при Я > О существует сг (Я) < оо такое,
что D(Wa(K)) = {0} для всех о">о"(Я). Резольвента
Ra (z)l2 = (z — Но — Wa (Я))^ имеет вид C.125), но с
va (/?> z)i замененным на fa (р, z, v). Для Imz^O и
0 <J а <; оо сужение -ftff (z)|2 принадлежит 35 (?з) и
удовлетворяет соотношениям C.54) — C.57). Следова-
Следовательно, существует гамильтониан #о|2 модели Х4, пере-
перенормированной посредством замены C.150). Однако спектр
Hl\2 весьма критичным образом зависит от Я и выбора
точки вычитания v (р).
При Я < 0 и z < v (р) функция ta (p, z) не порождает
сингулярности, отвечающей связанному состоянию, но
для v (р) < z < 2ц (р/2) и />, Я достаточно малых такое
состояние всегда существует. Для Я ^> 0, v (р) = 0 и всех
p?R3 существует z (р) такое, что Я/^ (р, z (р), 0) = 1
и lim z (/>) = —оо. В этом случае оператор /?L|2 не огра-
ничен снизу. Между тем, для ^>Ohv(jo) = ц (р) суще-
существует константа С = С (к) < оо такая, что Л^,|2 > —С
Разница между двумя вычитаниями условно называется
конечной перенормировкой. Мы видим, что такая операция
может резко изменять спектр перенормированного
гамильтониана! Заметим также, что D (Wa (Я, 0) —
— Wа (Я, v)) = {0} при Я > 0 для конечных, но доста-
достаточно больших о".
Перенормировка C.150) называется перенормировкой
заряда. «Черырехточечная функция» (/> = рг -\- р%)
(Фо. а (lh)a ilh) Kz -Ho- %Va)-1 -
-Ло(гIа*(^з)я*(/>4)Фо) C.152)
для всех сг < оо, z ф, [2|я(;>/2), оо), является аналитиче-
аналитической по Я около точки Я = 0. Постулат о том, что при
z = v (р) эта функция тождествена как ряд по Я функции
(ф0, a (Pl)a (рг)А0 (z)XVaIi0 (г)о* (р3)а* (р4)фо). C-153)
приводит нас к перенормировке C.150). В теории кванто-
квантованных полей заряд в общем случае определяется как
значение некоторой функции Грина в определенной точке
вне области сингулярностей. Такое определение может
иметь физический смысл, так как функции Грина посред-
посредством редукционных формул ЛСЦ F.181) связаны
с амплитудами рассеяния. Например, электрический за-
94

ряд в квантовой электродинамике определяется таким
образом, чтобы формула Томсона оставалась точной в
каждом порядке теории возмущений.
В секторах §m, m ^> 2, модели Х4 выявляется еще
одна трудность: все графы ряда Неймана или «одеваю-
«одевающего» преобразования C.130) корректно определены по
отдельности, но мы не можем доказать сходимости всего
ряда в целом.
Сначала убеждаемся, что для а достаточно малого,
а —Re z достаточно большого
Я° (?) U = 2 Яо (z) (W& (X) До (z))n |m =
ОС
= S Яо (z) EГ„ (г) До (г)Йт |«- C-154)
«=о
До (z) Gта(г)Д0B))геп состоит из всех графов
величины i?0 (z) (Га (z) i?0 (z))n, где никакие смежные пары
операторов Та (z) не связаны двойными спариваниями:
/ll 21 • • Ч /п-1, П < <^-
Теорема 3.13. Для z с Im z Ф 0 или с Re z 5o-
спгаточно малым (к > 0, v (р) = ())
|ee(n,/,z)|mi<c(n) C.156)
u.Ga (и, /, z)|m аполитично по z и непрерывно по а <^ оо.
Доказательство. В рассматриваемой области
произведение
1+гь 1+п
i?0B)^~ ^B)^B) 2 C.157)
лежит в S5 Eт) и непрерывно по а. Легко видекь, что
п -j- 1 резольвэнт i?0 (z) в C.155) могут быть «эффектив-
«эффективно» (см. теорему 3.5) факторизованы на п операторов
Та (z) и п факторов вида C.157). ±
К несчастью, константа С (п) очень быстро растет с
увеличением п. Было бы интересно изучить графы
рис. 3.6 — единственные графы, дающие нетривиальный
вклад в У/?о (z)(ra(z)i?0(z))ren]3, и доказать расходи-
расходимость ряда C.154) для Я <С 0 и всех вещественных z.
95

Ввиду этих двух серьезных трудностей: нелогарифми-
ческой расходимости и бесконечности числа контрчле-
контрчленов список моделей Ли со степенью полиномов взаимо-
взаимодействия типа C.6) выше 2, допускающих снятие ультра-
ультрафиолетового обрезания, крайне беден (см. рис. 3.7).
Рис. 3.6.
s
1
I
S
(кюдвфш
-<
-<
ВзаимодейстВип
ШштЗиятипа E.8)
'-€'Х'
Рис. 3.7.
Естественно, для этих моделей функции Вайтмана
существуют и являются обобщенными функциями уме-
умеренного роста по пространственным переменным и непре-
непрерывными функциями по временным переменным:
3=1
(Фо,
о оч
¦ ¦. фГ>
C.158)
Это, в частности, следует из того, что в этих моделях
не существует проблемы описания областей определения
полевых операторов: eitH оставляет инвариантным каждый
сектор gm, а в них $ Фог) (x)ft (x) dx, ft 6= У (Rs) являются
ограниченными операторами.
Прежде чем закончить эту главу, отметим, что суще-
существует класс нерелятивистских взаимодействий, зани-
занимающих промежуточное положение между моделями Ли
и локальными взаимодействиями. Это — так называемые
96

консервативные, т. е. не поляризующие вакуум взаимодей-
взаимодействия. Типичным примером может служить взаимодей-
взаимодействие
V - J dx (<К (эе) Ф'; (х) Ф! (ав) + Ф" (эе) ФЧ (ж) ФЧ (ас)), C.159)
сумма которого со свободным гамильтонианом Но опи-
описывает вариант модели Нельсона [N31 с релятивистской
кинематикой. Другим, к тому же чуть более сингуляр-
сингулярным примером является взаимодействие
V - 5jdx Гф+ О»J ф- И + ф+ («)ф- (явJ1- C.160)
Методами настоящей главы с гамильтонианами Но -\- V,
в которых V имеет вид C.159) или C.160), при s <J 3
можно связать перенормированные гамильтонианы Нх,
определяющие вещественные симметрические операторы
с плотной в пространстве 5 областью определения. Вся-
Всяческой похвалы заслуживало бы продвижение в изуче-
изучении этих операторов до такой степени, как это сделано
в моделях Ли, в частности, доказательство того, что га-
гамильтонианы Ню — самосопряженные операторы и что
для них существует корректная теория рассеяния.
[В модели, исследованной Нельсоном [N3] (нерелятивистский
полярой), взаимодействие задается полиномом Вика вида
, з ,
уо = \ П Pi б (р, -ь р2 - гъ) т* (р.) я (Р4)
-я. с,
где фермнонные операторы рождения п уничтожения ?* (да), ? (р)
описывают нерелятивистское «нуклонное» поле с энергией ^тт а бо-
зонное поле Ф (х) обладает энергией У р2 + и.2. Нельсон доказал,
что в каждом Л'-нуклонном подпространстве jjy пространства Фока
З^Г ® S'a существует самосопркжешшц ограниченный снизу
оператор Н^ такой, что при всех вещественных t справедливо
равенство
е °°=s-limexp{if [/7o+F0 — NEa]},
а—>оо
1'Де Ра ~ — \ B.1/1.1 (рJ -¦)- f.i (p)fc2] dk —логарифмически расхо-
дящаяся перенормировка энергии. Дальнейшее исследование этой
модели было проведено Кэнноном [С 2] и Хое-Кроном [Н*3], где, в
частности, изучены асимптотические поля. Весьма обстоятельное
А К. Хепп 97

изучение подели Нельсона с «релятивистскими» нуклонами (реляти-
(релятивистская модель полярона) было проведено в работе Гросса [G*2|,
где построены пространство однополяронных состояний Ж}еп н nopt'-
нормировапный гамильтониан #^, задающий самосопряженный ог-
ограниченный снизу оператор .энергии в ?%1еп- Там же рассмотрены со-
соответствующие представления ККС. Работой Укмана [Е1] была на-
начата серия работ, посвященных консервативным взаимодействиям
C.159). В отличие от модели Нельсона, здесь необходима оператор-
операторная перенормировка массы типа C.19). Экман доказал существова-
существование перенормированного гамильтониана ЯД и волновых операторов.
Более полное исследование нестационарной теории рассеяния для
взаимодействия C.159) было проведено Альбеверио в [А1]. Фрслих
[F 8, F 9] подробно изучал нефоковские представления канонических
коммутационных соотношений, описывающие «фотонное» облако
одетых нуклонов в релятивистской модели Нельсона с безмассовыми
бозонами, которая в некотором смысле представляет собой трасля-
ционно-инвариантное обобщение модели Паули —Фирца (см., напри-
например, [В 5]). Нестационарная теория рассеяния для модели Ли с ре-
релятивистской кинематикой была развита в работе Арефьевой [А*1].
В [А*1] были построены контрчлены перенормировки массы Мд и
унитарное одевающее преобразование Wa такие, что Wa {Нв + Va +
+ Ма) W~x = Но -f- Va ~ На, где новое взаимодействие Vа не содер-
содержит слагаемых с числом операторов уничтожения, меньшим двух.
Затем для пары операторов Но и На было доказано существование
пределов Ua (+ °°) = s-lim exp {it На} ехр {— itHB}. Построенные та-
fffc
ким образом волновые операторы Ug (± оо) совпадают с волновыми
операторами Q J из C.36). Это иллюстрирует тот общий факт, что при
решении задачи рассеяния использование неунитарных одевающих
преобразований типа Т\ эквивалентно применению унитарных пре-
преобразований W3. Идея использования унитарных одевающих пре-
преобразований для отделения эффектов рассеяния от эффектов само-
самодействия и построения обобщенных волновых операторов в кванто-
во-полевых задачах с трансляционно-инвариантными гамильтониа-
гамильтонианами в общей форме была выдвинута Фаддеевым в работе [F* 1].
Аксиоматическое определение одевающих операторов и изучение их
связи с волновыми операторами в случае трасляционно-инвариант-
пых квантово-полевых взаимодействий общего вида было проделано
Фатеевым и Шварцем [F*2]. —Прим. перее.]

Глава 4 ЛОКАЛЬНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ
Теперь мы собираемся рассмотреть одновременно труд-
трудности, проистекающие от ультрафиолетовых и много-
многочастичных расходимостей (т. е. проблемы (Р) и (у) в тер-
терминах гл. 0) для класса локальных гамильтонианов @.21)
с пространственным обрезанием.
Пусть Vo (х) — локальная, симметричная, четной сте-
степени по фермионным полям плотность, заданная поли-
полиномом Внка в фоковском пространстве 5, a VB (х) — уль-
ультрафиолетово обрезанная плотность, получаемая из
Fo (х) заменой свободных локальных полей Фо (х),
^о (х), ... на свободные обрезанные поля
ф„ (ж) = —1_ С dpXg(P) [е-«р. *)а (р) + е^> *V (p)],
D.1)
и т. д.
Пусть функция g(x) обладает свойствами
<= ^ (Rs), ^ (ж) > 0, g (-ас) = * (ас) и
a@, ж). D.2)
В таком случае пространственно и ультрафиолетово
обрезанный гамильтониан
Н„ (g) = Но + VB (g)
задает на области 2) симметрический оператор. Согласно
теореме 2.8 существуют волновые операторы 7"± (Fa (g))
и перенормировки энергии основного состояния е (Va (g))
4* 99

и амплитуды Z (Vo (g)) такие, что
Шо + Va (g) - b{Va{g))\T±{Va{g)) = Т± (Va (g))H0, D.3)
T± GO (g))*T± GO (g)) = Z (Fa (g))"* 1. D.4)
При этом согласно равенствам B.81) и B.89) справедливы
соотношения
Г± GО (g) - е GО (g))) = Г± GО (g)),
Z G„ (g) - е GО (*))) = Z (Va (g))
и замена
К (g) -> Fo (g) - e G„ (g))
необходима для получения формальной эквивалентности
между Яо + У о (g) и //0 даже при а < оо (см. B.78)).
Подобная диагонализация подсказывает систематиче-
систематический метод обращения с ультрафиолетовыми расходимо-
стями типа (Р), возникающими при стремлении о к беско-
бесконечности. Предположим, что существует семейство
симметрических операторов Ra (g), Ra (g) CZ Да (g)*, с об-
областями определения D (Д„ (g)) Z) ©, 0 <! <т < оо, имею-
имеющих при формальном разложении в ряд по g степень
не ниже второй (например, как разложение е (Уа (g))),
и таких, что преобразование
If Of) = :exp { 2 (- 1)" [Г± (G„ {g) + Ra (g)).. .
П=1
D.5)
остается корректно определенным линейным отображе-
ниема из © в ©' и при о = оо. (Сейчас все наши утвер-
утверждения следует понимать в смысле формальных степен-
степенных рядов по g.) В таком случае в качестве кандидата на
роль перенормированного гамильтониана естественно рас-
рассматривать оператор
HRa (g) = Но + Fa (g) +Ra(g) - е GО (g) +/?a (g)), D.6)
задающий и при о -> оо линейное отображение области
Tf(g)?> в ЗУ, ибо в виду равенства D.3) для него при
о" < оо будет выполняться соотношение
0. D.7)
Встав на такую точку зрения, мы, конечно, еще ничего не
выиграли, так как затравочный гамильтониан Но -\-
100

+ \dxV0 @, ж) с самого начала имеет смысл линейного
отображения из S в ЗУ. Но соотношения D.3) и D.4)
с обрезанным взаимодействием Va (g), замененным на
обрезанное перенормированное взаимодействие Va (g) +
-f- Ra (g), позволяют пойти дальше. При этом, правда,
пути развития и результаты оказываются различными
в зависимости от типа затравочного взаимодействия.
Тип В. Предположим, что затравочное взаимодей-
взаимодействие Vo (x) таково, что величина
Za (g) = Za (Va (g) + Ra (g)) D.8)
остается конечной при а — > oo. Поскольку при а < oo
области T-f (g) SD и H!j (g) Та (g) Э лежат в пространстве
5, так что определены скалярные произведения векторов
из этих областей, то, убедившись, что для ср г".' Э векторы
Tir 0?)ф и Н^ {g) Та (g) Ф образуют последовательности
Коши, можно надеяться, что пределы
s-iimя;4(g)rf (g)ф = nt(g)Tt(g)<f • ( ' }
существуют в § и определяют симметрический на области
Т^ (g) ?> перенормированный оператор энергии Я^ (g)
без ультрафиолетового обрезания. Более того, можно
ожидать, что замыкание Я* (g)" = H^(g) этого опера-
оператора будет самосопряжено в 5 (п D.9) IIz (g)T™ (8) ф =
= Tt (g)H0<p и T±(g) - обратимо).
Тип С. Если Z^ (g) J -*¦ с» при a ->- oo, то D.9)
больше не выполняется. Между тем при перенормировке
амплитуды
Tf (g) -> Za (g)' >Т± (g) D.10)
можно надеяться на существование следующих пределов:
s-lim Za (g) (T$ (g) Ф, Tt (g) ф) = <Tf (g) ф, Г? (g) t|)>,
a~>oo
s-lim Za (g) (Г? (g) ф, ЯaR (g) Г± (g) ap) =
± >, D.11)
101

В таком случае мы получим возможность определить по-
посредством D.11) перенормированный гамильтониан
H^(g) как линейный симметрический оператор H~i (g):
"» (g)?> -*• ffl±(g) в новом гильбертовом пространстве
)
Определение. Будем говорить, что локальное
взаимодействие V имеет тип А, если D (Vcc(g)) ZD ©,
тип В, если при некотором выборе Ra (g) d Ra (g) * по-
порядка >2nog Tt (g)- © -> ©' и Za (g) остаются кор-
корректно определенными при сг->оо, mww G, если при
некотором выборе Ra (g) С i?o (g)* порядка > 2 no g
Та- (g): © ->- D' остается корректно определенным при
a —> оо, но lim Za (g) = оэ. Во всех остальных случаях
взаимодействие F относится к типу DEF (см. гл. 6).
[Эквивалентная, но более удобная в применениях редакция
только что приведенной классификации взаимодействий типов
А, В, С фактически содержится в теореме 4.21 этой главы. Типич-
Типичными примерами таких взаимодействий служат (верхний индекс —
степень взаимодействия, нижний — размерность пространства-вре-
пространства-времени)
для типа А — взаимодействия Ф™, п Е: Z+,
для типа В — (ФЙJ, Ф|, Ojj, Ф|,
для тина С - Ф», Ф», (VW)n>3, a»f|>5.
Дальнейшая детализация типов взаимодействий, отнесенных сей-
сейчас к одному разряду DEF, и соответствующие примеры будут даны
в гл. 6. —Прим. перев.]
В этой главе мы будем обсуждать различные примеры
взаимодействий типов А, В и С и их неформальную пере-
перенормировку.
Характерным представителем моделей типа А служат
полиномиальные взаимодействия между скалярными по-
полями в пространстве-времени размерности s -\-1 =2.
Теорема 4.1. Пусть s = 1 и V0(x) — вещест-
вещественный полином Вика по свободным массивным ска-
скалярным полям Ф(ои (х), . . ., ф?п) (х). Тогда Vao(g) =
= J dx g (х) Vo @, х) — симметрический оператор на ©.
Доказательство. См. теорему 3.1 или [J3].'^
Нельсон [N5] и Глимм [G8] показали, что при
S ^,:Ф«И"г:, Ь*п>0 D-12)
т=о
102

симметрический оператор H^ig) ~ Но -\-Voc(g) огра-
ограничен снизу и
D(Hx(g)-)^D(H0) ПО (Л).
Взаимодействие (ФЧ)Ч)'J. Более интересный
пример дает взаимодействие Юкавы, при s = 1 относя-
относящееся к типу В. Первоначально эта модель была изучена
Глиммом [G6, G5], который опирался на ограниченность
фермионных операторов (обобщение теоремы 1.5 на более
сингулярные, чем рассмотренные в ней, ядра). Мы вос-
воспользуемся более прямыми методами, которые к тому же
применимы (см. [Н7]) и к взаимодействиям типа
Vo (х) -= У»1' (х) + У02) (х): ?0 (х) То (х):, D.13)
где V(q} (x) и Vf (x) удовлетворяют требованиям теоре-
теоремы 4.1. (Аналогичный метод применим и к взаимодей-
взаимодействию Ф*, т. е. к Уо (х) = КФ0 (хK при s -\- 1 = 3.)
Пусть
rza ,о\ се Ь
= о 09 о ,
8а — симметричное пространство Фока бозонов массы
го)>0 с операторами рождения и уничтожения а* (к)
и инвариантной мерой dkl\i (к), 5D — антисимметричное
пространство Фока фермионов массы т ]> 0 1) с опера-
операторами рождения и уничтожения Ь* (к) и мерой dkl\i (к).
Локальные свободные поля Фо (х) и ?0 (x)t, i = 1, 2,
определим как в A.44) и A.68). Плотность взаимодействия
Юкавы (ФТТJ в таком случае принимает вид
Уо (х) - Я, :Ф0 (х)"Т0 (ж) ^о (х): =
х [Т(кг,к3)Ь*(-к.2)Ь(к3) +
}, D.14)
1) Предположение о равенстве бозонпоп и фурипонной масс
(в отличие от требования их строгой положительности), так же как и
предположение о нейтральности ферминиого ноля, носит неприн-
непринципиальный характер и сделано лишь для упрощения внешнего ви-
вида формул. В оригинальных работах Глимма, Джаффе и др. обычно
рассматривается общий случай. — Прим. перев.
103

где
5(ft2, fc3)-
= a. sgn (k2 - A-3) /2 (цгця -
D.15)
С < схэ. F (g) = F получается путем замены в D.14)
:s
на #[2/l!;) (где g1 — фурье-преобразо-
3=2 3=2
ванне пространственного обрезания g), a Va — путем
ограничения интегрирований в D.14) областью {|&;|<1а,
nil _ л/18|*
Рис. 4.1.
1 ^ i ^ 3}. Fn представляет собой сумму шести качествен-
качественно различных членов (см. рис. 4.1)
У о = V? + W + VV + VI0 + К + V™. D.16)
Vf +V°al — взаимодействие Ли, не требующее ника-
никакого пространственного обрезания. Пусть Ма =
- V°al A) -о- Г (Vf A)). Тогда IIа + К20 A) +
г
+ Vl1 (I) -\- Ма ведет себя как гамильтониан модели У4-
Но -\- F" + ^а° — гамильтониан консервативной модели
(см. конец гл. 3) — не требует никаких обрезаний
(о = схэ, g = 1). Наиболее сингулярный вклад вносят члены
Va1 + VV, ведущие к поляризации вакуума и требующие
бесконечной перенормировки массы и энергии (вакуума).
Для того чтобы хотя бы формально остаться в рамках
теорий с локальными гамильтонианами (при а -*¦ схэ),
мы будем искать контрчлены вида
Ма г= ,Па \ dx g (жJ :Ф3 (жJ:, Еа = еа J dx g (xf D.17)
104

(ma, ear~ R1), компенсирующие расходимости и позволя-
позволяющие построить формально локальный оператор энергии.
Следующая теорема в существенном основывается на
идеях работы IG7].
Теорема 4.2. Существует семейство {Т9< „} одеваю-
одевающих преобразований @ *^ а '<^ оо, р (Е: Z+) со свойствами:
7"р> „: Э—> 5 обратимо, D-18)
s-lim Гр, „<р = fPieo<p (ФЕЙ), D.19)
а—>оо
s-lim 7р, оф = Ф (Ф GE ©). D.20)
Существует перенормированный гамильтониан На =
= Но -\- Va -f Ма + •?'" (с -Л^о) ^о бМ^а D.17) и бесконечно
растущими при а -*¦ оо параметрами т„, е„) такой, что
предел
s-lim //07\ „ф -¦¦= ^оо7'Р, псФ D.21)
а—*оо
существует для всех фёЭ upE Z+. Замыкание D (Нх)
линейной оболочки \J TPj<x,?) плотно в Ъ- Нх является
симметрическим вещественным ограниченным снизу ли-
линейным оператором на D (Нх). D {Нх) |~| D (Яо) = {0}.
Доказательство. Оператор
V"a = Vl° + Vf + F»° D.22)
при о <. оо определен на области S в J. Пусть Va =
= Vo - Va. Тогда
ядро ГG?) == « (fc« + fa-^Н *»¦-*'! , D.24)
ядро Г (УУ) ¦_¦= /(fri-l-fct-^g't-A-t.-A-») _ 425)
> [ii (hi 4- \ч)
Для всех дальнейших оценок весьма полезна следующая
Л е м м а 4.3. Пусть функции /: R*" -^- С и g: Rs ->- С
кусочно непрерывны и подчиняются неравенствам
105

n ni
в которых Xi = ^jdijlCj, d^EER- Если a^>s-{- 2lai|'"'°
3=1 i=l
существует константа d <C ^° такая, что справедлива
следующая оценка:
т
^ПA + |!Л|)"'". D.27)
п
где i/i =
Эта лемма (доказательство которой приведено в при-
приложении) позволит нам во всех выкладках обращаться
с обрезаниями g (к) как с б (&)-функциями.
Возвращаясь к доказательству теоремы, заметим, что
для функций S и Т из D.15) справедливы оценки:
| S |< 2, | Т | < 4, и потому ядра D.23)—D.25) квад-
квадратично интегрируемы и при а < оо любая степень
Г (Fa) определена на области ©. Переходя к а = оо,
выделим ультрафиолетово расходящиеся величины сна-
сначала формально, т. е. в каждом порядке в разложениях
по степеням g. Для этого введем одевающее преобра-
преобразование
оо
* а = ^J * п, а»
Т0,о=Ъ,° D.28)
Соотношение A.39) Н0Т (W) = W + :Г (И0Я„: дает
(H0 + V'a)Ta = :TaH0:, D.29)
Для всех ф?Э векторы TVp и :ТаН0: (р не содержат рас-
ходимостей при о—»оо. Напротив, F02'0 содержит опас-
опасные спаривания
V"aT(V'a...r<y'a)...) =
-Г (^) • • ¦) D.30)
(i, / — число спариваемых фермионных и бозонных one
раторов). Одним из следствий доказываемой ниже теоре-
теоремы 4.5 будет утверждение о том, что единственными
106

расходящимися при а —> оо членами в D.30) являются чле-
члены с i = 2 и что для этих членов разности
V"a -о-Г (Fir(Ya ... Г(V'o))...) Ф -
2, 3
- Va -о- T{V'a)T(V'a... Г (К).. .)Ф D.31)
2,3
сильно сходятся при а-^-оо и србЕ©. В таком случаемы
получаем следующее равенство:
V"aTa = Sa-V?-°-T(VI1)Та -
2,1
- (VI0 + О -«- г (У2ОХ + vS°) г1» D.32)
2,0
с «вполне приличным» оператором Sa.
и
-О-
к
2,0
Рис. 4.2.
Выберем ?¦„ равным спариванию 7° — о_ ГG„), что
при g^=0 имеет вид D.17). Спаривание V°a — о— T(Vf)
2,0
(см. рис. 4.2) имеет форму
f ^a V(Pl)b(p2)fa(Pi, ft), D.33)
, 2iS" (рз, p&ft g (рз 4- Pi — Pi) g (pi — Юз — ;
= \upsdpi г
,. 2S I — p + q,-^
- ) dpdq-Л -fl—
1 1 , ..
-j- p + q,-r-p-q) g(pi — p)g(p — Pi)
— p + q)\v\ — p->
D.34)
cD(a) = {{p, <?} | |Ti> +g|< с}. Следуя Глимму,
107

введем контрчлен Мп с
та Сё * S) (.'-'I - Р-г) = '"о \di>g{ ih — P)g(p — Pi) =
¦„ . lb la, — q) g(Pi — p) g(p — р-г)- D.oo)
Лемма 4.4. Для каждого г ^> 0 uN < оо существу-
существует константа С — С (е, N) такая, что
U (Ри — ^2) - та (g :» g) (/>t -|- ^2) | <
<r(i + \p1 + P^\)~N\h^- D.36)
Доказательство см. в приложении. ^
Благодаря этой-лемме и аналогичным оценкам осталь-
остальных членов, получаем, что величина
Ма - (F°o° + Vf) - о - Г (F^1 + F'f) == Ло D.37)
2,0
есть сумма трех операторов
Л,-, а = ^ dPi dA 8; (Pi> Pi) a* (- P\) ¦¦¦a*(—pi)a (pi+1). ..
D.38)
i = 0, 1, 2, где 6j (ft, ^^ИгИг подчиняется оценкам
типа D.36), так что 6j принадлежит L2.
Изучим теперь поведение Т„ц>, АаТ„ц>, :Н0Т„: ф, Soq>
при ф ЕЕ S и а -*¦ оо. При зтом, имея в виду наши даль-
дальнейшие нужды, мы несколько расширим рамки исследо-
исследования. Все графы, возникающие от операторов Га_ „ Га, п,
Т*вгПЬ1ьаТап, Га%7* VaTa, п = 0, 1, 2, . . .,' назо-
назовем допустимыми. Некоторые из графов операторов
Та, vVaVaTai п расходятся при а ->- оо. Пусть 6 ^> 0 —
произвольно, но фиксировано. Допустимый граф назовем
8-регуляризованным, если его ядро (вида A.23)) умножено
на величины, задаваемые нижеследующими предписания-
предписаниями (а), (Ь), (с), (d):
(a) Каждое двойное фермионное спаривание между
вершиной Vt и вершиной Т (Vn)* (переменные соответ-
соответствующих линий />-i, рг) — на фактор (цх •{- [!2)~8.
(b) Спаривание Уп —°— Va (переменные соответствую-
щих линий pv р2) — на фактор (/лх + щ)~8> а спарива-
108

ние типа, представленного на рис. 4.6,— на фак-
фактор fi75-
(c) Спаривание Va — о— Va (переменные рг, рг,
2,1
1Н) — на фактор (цх + |л2 + Ha)"8.
(d) Все остальные спаривания умножаются на 1.
Следующая теорема Глимма!07] играет основную роль
при математически корректном описании перенормиро-
перенормировок в теории локальных гамильтонианов.
Теорема 4.5. Для всех 8 _> 0 существуют констан-
константы К = К F) < оо и L = L F) ^> 0 такие, что для каж-
каждого допустимого и Ь-регуляризованного графа Ga порядка
п для всех 0<^e^L, 0^a<;oo справедлива оценка
Infill*8. 11Ы !,<*". D-39)
ext int
Замечание. В формулировке теоремы ga обозна-
обозначает ядро графа Ga вида A.23), a go — его б-регуляриза-
цию. Произведения II и П распространяются на все внеш-
ext inl
ние и (соответственно) внутренние линии графа Ga, ин-
интегрирование в D.39) идет по переменным внутренних
линий, а ?2-норма берется по переменным внешних
линий.
Перед доказательством этой теоремы проверим с ее
помощью, что после перенормировки членов из D.32)
векторы Гаф и НаТау будут определяться формальными
рядами, каждый член которых имеет смысл при а-*- оо.
Действительно, после использования неравенства Швар-
Шварца и того, что Но из :Н0Та: ср действует только на ф,
остается оценить только следующие, входящие в|ЯаГаф||
члены:
(()...)ф|Р (i,j)=hB, 1), B,0), D.40)
г, j
\\Vl _о_Г(КГGа.. .))Ф - V"a -о -T{V'a)T(V'e. ..) ф||2.
2, 3 2, 3
Для любого ф ?Е D и каждого графа Ga существует кон-
константа С = С (ф) <; оо такая, что
S1 D-41)
109
6' |
ext

По теореме 4.5 первые три члена в D.40) не требуют ника-
никакой регуляризации, и величина справа в D.41) остается
конечной при о ->- оо. В последнем члене регуляризация
вытекает из следующей оценки:
1 1
Bb
i + B A
где А — сумма энергий частиц, родившихся в первой вер-
вершине Va, стоящей под знаком самой левой операции Г
из нормы D.40), а В — сумма энергий частиц, родивших-
родившихся, но не уничтожившихся во всех остальных вершинах
под знаком операции Г. Если б ^> 0 достаточно мало, то
множитель В& компенсируется быстрым убыванием ядер
вершин, расположенных правее первой вершины Va.
Доказательство теоремы 4.5. Пусть G —
граф с ядром g. Для упрощения оценки нормы
Пи
K.G)
где / (G) — область изменения внутренних переменных
графа G — пространство весьма высокой размерности,
мы представим граф G как объединение непересекающихся
подграфов Нг, ..., Hj (характеризуемое разбиением сово-
совокупности вершин графа G). Если \ g \ можно мажорировать
произведением Hgj, где ядра gi зависят только от пере-
г=1
менных, отвечающих линиям подграфов Hi, то
ji4 <nli(Wl . <*•«)
где / (Hx), ..., I (Hj) — области изменения внутренних
переменных подграфов Нг, ..., Hj, а символы ext (G)
и ext (Hi) показывают, что //2-нормы берутся по внешним
переменным графа G или подграфов Hi- Действительно,
в силу неравенства треугольника
ext(G) || п т-.. р next(G)
'KG) '" ке)/икн4) i цнг)
Цтт
Ш
г 1(Я4)
110

Далее равенство
Шп r,ext(G) „i с цех КС)
4 -п $ 4 ^
i 1A1$ l г /(/Г;)
и неравенство [Aварца показывают, что правая часть
D.45) мажорируется правой частью D.44).
Неравенство D.44) доказывает теорему 4.5 в случае
графов G, отвечающих произведениям Т„ m Тп> п или
Т"а тА*АпГа1 „, поскольку в этих случаях G можно
представить в виде объединения подграфов, сводящихся
к одной вершине. В таких ситуациях ядро ga будет мажо-
мажорироваться произведением ITgj, где g-t — ядра Г {Vx)+
или А*, в знаменателях которых опущены энергии ро-
родившихся, но не уничтожившихся частиц. Согласно
D.23) — D.25) и D.38) эти ядра остаются в L2, если их
умножить на П(л-? с е <; 1/6.
ext
Пусть теперь G — регуляризованный граф из произ-
произведения Та< mVlVaTat n. Определим подграф Н1 как граф,
содержащий Va, Va и самое большее две вершины типа
А ~ Г (Уто)*. D.47)
Граф G будет разлагаться на подграфы Нг, Я2, ..., Hj,
где Яг, i > 2, — вершины типа A, a gi — ядра типа
D.23) — D.25), умноженные на
II tf u, D-48)
gx — gba будет ядром Нг (после упрощения энергетиче-
энергетических знаменателей), умноженным на произведение фак-
факторов [i~1/l2, отвечающих каждой внешней линии подгра-
подграфа #i, являщейся внутренней для графа G, и факторов ц~1,
если такая линия является внешней для G.
Если 2 <^ i <^ j, то
4 D-49)
ext
для всех 0 < в < ех и 0 < Ej < х. Найдем L такое, что
О < L ^ ъг и для всех е, 0<^e<^L, и всех о*, 0<^о <^сю,
Ш
ext int
111

Поскольку число подграфов, образованных двумя верши-
вершинами типа V и не более чем двумя вершинами типа А, ко-
конечно, из D.49) и D.50) прямо следует доказательство
теоремы 4.5 в рассматриваемом сейчас случае 2 ••¦;. i < /.
Остается рассмотреть 2 > i > /'. Все основные труд-
трудности проистекают от фермионных линий, принадлежащих
(А)
А V* V* А Е V* V* А
- (Б) (Е)
Рис. 4.3.
V* А V* А
Рис. 4.4.
о о о-
f С* Л
(К1
Рис. 4.5.
V* и F. Классифицируем фермнонные спаривания в
^т.о^о^а^'п.а следующим образом. Будем говорить, что
1) расстояние между V* и V равно нулю в случаях
(А) - (F) (см. рис. 4.3);
2) расстояние между V* и V равно единице в случаях
(G) - (I) (см. .рис. 4.4);
3) расстояние между V* и V больше единицы в случаях
(J) — (L) (см. рис. 4.5).
Линия о— может быть внутренней для G п опираться
на вершину А или внешней для G и опираться на верши-
вершину Е (умножение на (i). На каждую вершину типа А
112

или V опирается одна бозонная линия с возможными внут-
внутренними спариваниями.
Рассмотрим сначала диаграммы (А), (В), (С), (F) и
(G). Здесь внешними линиями являются бозонные линии
с факторами [i 2 " или фермионные линии, внешние
для G, с факторами ц <, ц 2 ' т 2 ' • Так как
_-L_x
Пт 2 еД D.51)
ext
достаточно проверить, что интегрирование по внутренним
переменным равномерно сходится при а ^ оо. Между
тем каждая вершина вносит фактор ф
g Bj zrki), каждая внутренняя бо-
бозонная линия — фактор jx, а каж-
каждая вершина А — знаменатель
(Sr)- Регуляризации в случаях
(а), (Ь), (с) доставляют дополнитель-
дополнительные множители (S^i)''- Типичный
случай представлен на рис. 4.6.
Здесь А обязательно равно Г (Vf) * и даст знаменатель
(|i2 + Цз + Hd)- Регуляризация типа (Ь) дает фактор
(х75- После тривиальных оценок выражений D.15) полу-
получаем, что вклад рассматриваемого графа мажорируется
величинами
X
+ Р2 Г Pi) g (Pi \- Р* — Pi) g (Pi + Рз — Pa) _^-
---z
2
D.52)
с С„, C'y, < 00 для всех т) > 0 и B + 6) A — т)) > 2.
Для оценки (С), (F) и (G) необходимо считаться с по-
порядком следования вершин в T*m^VeVаТп,а-, который ве-
ведет к тому, что все критические переменные входят в зна-
знаменатели А.
Если более чем одна фермпоиная линия оказывается
внешней для Нх и внутренней для G, одного фактора \i ~у-
ИЗ

недостаточно для получения приведенного ядра, лежаще-
лежащего в U1. Для того чтобы использовать вариант леммы 4.3,
можно заменить произведение
(ki, j/j — внутренние и внешние импульсы в вершине s
подграфа Н^) на
JП B~- >*\ + 2± »;) • D-53)
Приближенное сохранение импульса, даваемое функцией
gfii Pi), ведет к быстрому убыванию по внешней пере-
переменной 2j i /**•
Графам (D) и (J) свойственно неприятное поведение,
типичное для графов с двумя внешними фермионными
линиями. В (J) (см. рис. 4.7)
линии 1 и 5 не опираются на
вторую вершину V, так как
расстояние между V* и V
не меньше 2. Пусть Н — под-
подграф, состоящий из V и левой
вершины А. Если линии 2 иЗ
не спариваются, ядро под-
подграфа Н (в силу леммы 4.3) мажорируется величиной
A
1
6
'ис.
I
1
V*
4.7.
7
4
1
A
+ P-2 + Рз — Рч) (ИгЫ 2 (HiH7)~x X
X \^{g(Pi+ P2 ~ Ре)
< C4g (Pi + Pi + Ps - Pi) (И-гИ-s) 2 (t*it*?)-x X
X {Ц (A + P:)"-1 + t* (P» - i>7)r-1} D-54)
и, следовательно, лежит в U- при достаточно малом т] ^> 0.
Если линии 2 и 3 спариваются, то необходимо отождествить
рг и р3 в D.54), умножить D.54) на ji22x и проинтегрировать
по ^J- На основе оценки
<Г^@""8 D-55)
ii (fe) [X (А: - /)
114

(справедливой при б <^ 1 и ц ^> 0) вместо D.54) получаем
новую, лежащую в L2, верхнюю границу вида
Crtg (Pi - lh) (Н^УЖ {^Т1 + цГ1}, D.56)
что опять ведет к Ь2-ядру.
Для второй вершины V можно найти подграф Н',
аналогичный Е — V или —А — V —. Положим Нх —
— И U Н'. Если бозонные линии, являющиеся внешни-
внешними для Я и Я', не спариваются, D.54) и D.5G) показывают,
что ядро gt подграфа Нх
принадлежит L2. В против- ' ¦ 1 \ ?
ном случае надо повторить ^ А 4 \ ^ (j
рассуждения, ведущие от —*~*—f \ "?—* "S * *
D.54) к D.56). Если две А V* V* А
вершины V расположены ри0. /,.8.
как в (J), (К) или (L), то
всегда можно найти подграф Нх с приведенным ядром
из L2, содержащий обе вершины V и максимум две
вершины типа А. Наконец, (D) имеет вид, изображенный
на рис. 4.8. Если линии 1, 2, ..., 6 внешние, после интег-
интегрирования по 7, 8, 9 получаем оценку
+ P-2 + lh + Pi+ Pb — Рв) (№e)-Z(N-.-(-l5)~Va~XX
X (|Х (Pi + Pi)™ + [X (р8 + Pi + Рь — Рв)™) X
X (|А(р, - Ре)" + Ц (Pi + :Ръ + Рз+ PiY~x), D.57)
и потому соответствующее ядро лежит в LP. При спарива-
спаривании бозонных линий рассмотрение проводится как и рань-
раньше, но только с учетом факторов регуляризации, если спа-
спариваются линии 3 и 4.
Все проведенные оценки останутся справедливыми,
если ввести для каждой линии фактор |хе при е2 > L =
= L (б) ^> 0 и всех 0 <J e <J L. Это завершает доказа-
доказательство теоремы 4.5.^
Возвращаясь к теореме 4.2, воспользуемся теоремой
4.5 для определения сеямейства одевающих преобразова-
преобразований ГР|0, удовлетворяющих условиям теоремы 4.2.
Принадлежащая Глимму идея построения такого усечен-
усеченного одевающего преобразования весьма проста: для про-
процедуры перенормировки достаточно учесть вклад от Г„,3,
соответствующий только большим импульсам. В случае,
если область импульсов, учитываемых в Г„,о, быстро
суживается с ростом п (усечение Тп<а -> ГП|П), можно
115

проверить сильную сходимость 2^«,° на ©• На самом деле,
существует достаточно простора для того, чтобы, с одной
стороны, добиться убывания, нужного для сходимости
У^п,о> а с другой — провести усечение, допустимое с
точки зрения компенсации расходимостей при перенор-
перенормировке.
Пусть v (к) — ядро оператора V в Va. Разложим V в
сумму 2j^(li)! гДе ^0) имеет в качестве ядра функцию
(&), если fcM
D.58)
в противном случае,
где ктах есть максимальная величина | &; | импульсов
частиц, рождаемых оператором V, /У> = [0, 2), если / = О,
и [2J, 2J+1) — в остальных случаях. Если аналогичным
образом определить
оо
у; = 2 уч\ D-59)
3=0
то Fij) == 0 при 2' > а.
Пусть т, 0 < т < 1, произвольно, но фиксировано, а
р -= 1, 2, ... При а <С оо введем конечный ряд
Р'а~~,~0 п'Р'а' °'Р'а~" ' D.60)
Тп,о,а = (- l)n 2f г (^п> • • • г (^.'') • • •).
где УР распространяется на все последовательности (jv . . .
•••»/п) с/| е Z+, /i > р и
т—1
(S/J4in> l<m<n. D.61)
4=i '
В последовательностях (j\, ..., /п), удовлетворяющих та-
таким условиям, /п быстро растет с ростом п: для всякого
т] ^> 0 найдется d ^> 0 такое, что
"" . D.62)
Действительно, в силу D.61) /т > max {1, (т. — 1)Т}
при 1 <^ т <; п. Подставляя это в D.61), получим
116

/n > d2ra<1+T>T, d2 ^> 0, а после повторения этой процедуры
к раз будем иметь
/„>dknis=1 , dfc>0. D.63)
Лемма 4.6. Для всех 0^а< оо, pEZ+, феЭ
сходится и определяет обратимый оператор Тру. © ->¦
->¦ Щ. Яри ф?Э
8-]1тГр,оф = ф D.65)
р—+0О
равномерно относительно 0 ^ о <^ оо.
Доказательство. Оценим при ф ?Е Э, m +
-f- га > 1 величину
(Ф, Т*п,р,а Г„,р,вф) = (ф, Т Ср,„ф), D.66)
гДе Т распространяется на все графы в произведении
Tm,p,afn,f>,a. Так же как при оценке D.41) существует
константа С (ф) < оо такая, что
I (Ф, ер,оФ) I < С (ф) || П ИГ1 $ | ft,-1 ||>. D.67)
ext
Ядро ?р,с графа Gp,a усечено согласно D.61). В соответ-
соответствии с D.62) нижняя грань величины к^ах в Ь-й (справа)
вершине оператора 2"п,р,о удовлетворяет неравенству
mm, и =
Вынося из каждой вершины в операторах 7*,,liP,0 и TniPi
степень (fcrnaximin)"8' ПРИ 4е — L получим
In 2 <
ext ext int
m n
X exp j— e Г 2 da* + 2 ^x
a=l ti=l
< i^m+n exp {- X (P + '»*' + »"')}; «' = -j^ ' D>69)
117

где %= X Oi) ^> 0 не зависит от Gp, „. Выберем 0 < т] <
<тих'= ~^ ^> 1. Число графов GP,a порядка т -\- п
ограничено величиной [3 (т -\- п)]\. Следовательно,
< С (ф) Кт+п [3 (те + и)]! ехр {— х (р + те"' + »«')} D.70)
быстро убывает с ростом т и п и суммируемо по те и п.
Оценка D.70) (равномерная по а при 0 <Г or <^ оо) и
сильная непрерывность ГП)Р)Оф по аир приводят к D.64)
и D.65). Обратимость оператора Тр<а следует из его пред-
представимости в виде
ff,a = 1 + 5р,в1 D.71)
где Sp>a увеличивает число частиц. ^
Заметим, что для доказательства леммы 4.6 достаточно
условия т > 0. Далее, если заменить Vа на ЯУ0, то кон-
константа К в теореме 4.5 заменится на | К \ К. Следователь-
Следовательно, Тр<а (X) — целая функция по К. Из формулы D.65)
вытекает, что область D (Нх) — линейное замыкание
множества (J TPiao^> — плотна в ©, а потому плотна
Следующая лемма показывает, что ограничение 0 <
< т < 1 не было слишком жестким и что область опре-
определения оператора На продолжает существовать в пределе
о —у оо.
Лемма 4.7. Для всех фЕЙ, p?Zt существуют
пределы
s-lim {H0 + V'a)fp<a(p, /4.72)
в—>ао
s-lim (Vl + Ma + E.) Гр,яф. D.73)
а—*оо
Доказательство. Пусть ф ?Е ©, р GE Z+, cr <
р-1
оо f
118

Из-за усечения полной компенсации, как в D.29), больше
не происходит. Сумма УР идет по всем последовательнос-
последовательностям (/\, ...,/„) c/ieZ,, y'i>p и
n—1
(
Поэтому
n—l
V о / V ;
, Tn = ^ LZj /i
4=1
-l0)
Если t < 1, то x?l < Л 2 U + ^ •«' гДе Сц < оо для всех
i=l
т] ^> 0. Поэтому | fcmax 12 можно мажорировать величиной
п-1
П—1
D-77)
с dfl < сю. Следовательно, для достаточно малого
i]>0 в области интегрирования D.74) можно извлечь
из знаменателей ядер операторов Г (V ... Г (V)...) регуля-
ризующие Уя факторы |ft(maxl~2. Тогда применение тео-
теоремы 4.5 и леммы 4.6 доказывает D.72). В D.73) типичный
член имеет вид
(Vf + та J dx Ф+,а (х) Ф„ (х) g2 (х)) Тр,ац>. D.78)
Сначала с точностью до оператора Ао с 1#2-ядром мож-
можно заменить оператор
на V а —о_
2,0
). Разность
2' (- l)n V? - °- Г (У(>> Г (... Г (V(Jl)). . .)) Ф -
3i }п) 2-°
регуляризована по тем же соображениям, что и разность
119

в D.40). Опасен в итоге только член
(- 1)" 2" УЧ,1-о-Г(Уа*>)
(о'п-1>...Г(У*)...)Ф, D.80)
который, однако, регуляризуется вследствие D.75).
Каждый вектор tyx E^ D (HJ) представим в виде
1С
^ -= s-lim \|>e, i|)o == 21 ^P!f;.iTi. <Pi eE ©, D.
и мы охотно определили бы Нх на J9 (Я^) формулой
Я^ср» = s-lim На$в. D.82)
Для этого нужно только убедиться, что D.82) задает ли-
линейный оператор из D (Н^) в 5, т. е. надо доказать, что
для всякого \Jj0 вида D.81) 0^ = 0 s-lim Hatya = 0.
а—>-о
Пусть ОбЭ и рЕ Z+. Тогда симметричность #„ при
(Т < оо дает
B"р,»е, s-lim Н„%) (> )
а—>оо а—»-<х
= lim (#"аГр,А \|)о) = (lim ЯаГр>ое, lim i]jo) = 0. D.83)
Поскольку множество {TP<X,Q | 0 е ©, pEZ+> плотно
в S, получаем, что s-lim Яа^а — 0.
а—*сс
Оператор Я^ веществен и симметричен на Z) (Я^).
То, что он ограничен снизу даже после конечной перенор-
перенормировки массы, было установлено при помощи совершенно
другой техники Глиммом [G5].
Теорема 4.8. Пусть N^ = \dk \i~ (а* (/с) а (к) -f-
+ 6* (к)Ъ Aс)), % < 1. Для всех а = [0, 1/2), Ъ = R1 cj/-
ществует с = с (а, Ь) такое, что
0 < a.VT < W, -\- h ^ rfx r (ж) :Фа (ж): + с D.84)
при 0 <, a <J оо.
120

Доказательство в [G5] не требует даже существования
Нх и завершает доказательство теоремы 4.2. Д
Дальнейший по сравнению с теоремой 4.2 прогресс в
изучении взаимодействия (Ф??), был достигнут в работах
Глимма и Джаффе [G14, G15, G17]. Они доказали схо-
сходимость по цорме резольвенты Ra (z) = (z — Н' а)~х при
а ->¦ се, что позволило (подобно тому, как это было сдела-
сделано в теореме 3.5) определить на естественной области оп-
определения самосопряженный оператор Нх (g), отвечаю-
отвечающий перенормированному пространственно обрезанному,
но не содержащему ультрафиолетового обрезания га-
гамильтониану модели Юкавы, и исследовать порождае-
порождаемую им эволюцию во времени гайзенберговых полей
(см. гл. 5).
[В работах Глимма и Джаффе было, кроме того, доказано, что
неотрицательный самосопряженный оператор Н^ (g) обладает един-
единственным (при малых величинах константы взаимодействия) вакуум-
вакуумным вектором Q (g) и что спектр оператора Яю (g) лежит в промежутке
[О, min {ть, mf}], где пц, —масса бозонов, а т/ — масса фермио-
нов, чисто дискретен и имеет конечную кратность. Основываясь на
этих результатах, Димок [D*l] доказал, что непрерывный спектр
оператора Н^ (g) в точности совпадает с непрерывным спектром сво-
свободного гамильтониана Яо, т. е. [min {ть, mj), ос) с Sp Hx (g).
Метод, примененный в [D*l], опирался на доказательство существо-
существования пределов
где с* (/) — операторы рождения и уничтожения либо бозонов, либо
формпонов. Исследование спектра полного гамильтониана с помо-
помощью асимптотических операторов с^ (/) впервые было проведено в
случае простого регулярного квантово-полевого взаимодействия в
работах Като и Мугибаяши [К 5, К*1], а затем широко применялось
при изучении все более и более сингулярных взаимодействий, вклю-
включая взаимодействие Р (ФJ и (Ф?УJ, Хое-Кроном [Н*1 — Н*6].
Гамильтониан в модели Ф* был изучен также Като и Мугибаяши
[К*2] и независимо Якымивым [J*l]. Для взаимодействия Юкавы
с пространственным и ультрафиолетовым обрезаниями доказатель-
доказательство существования асимптотических операторов cj (/) было не-
независимо получено Хое-Кроном [Н* 5] и Якыыивым [J* 2]. Отме-
Отметим заодно, что другими более прямыми функциональными метода-
-ми спектральные свойства обрезанных гамильтонианов для весьма
широкого класса взаимодействий, включающего взаимодействие
Юкавы и бозонное самодействие, выяснялись в работе Джаффе,
Ланфорда и Вайтмана [J* 1]. Естественно, доказательство сущест-
существования операторов с* (/) полезно не только с точки зрения изуче-
изучения спектра полного гамильтониана, но и для описания рассеяшш.
121

При этом, конечно, 5-матрицы, отвечающие асимптотическим полям,
найденным в цитированных выше работах, описывают рассеяние в
системах с пространственным обрезанием. Теория рассеяния для
трансляционно-инвариацтных сингулярных взаимодействий была
построена Арефьевой [А*2], которая рассматривала трансляцион-
но-инварнантпое взаимодействие Юкавы (iWFJ с ультрафиоле-
ультрафиолетовым обрезанием (см. подробнее прим. нерев. па стр. 161). —
Прим. перев.]
Взаимодействие Ф* [G7, G19]. Это взаимо-
взаимодействие доставляет пример уже модели типа С. Пусть
S — пространство Фока скалярных бозонов и
2^, ,,_
i=o D.85)
${Й()}а'(-й) П *&,)¦
о 3=1 l V ^ V /J j=l 3=1+1
Прежде всего убеждаемся, что при о* <J oo
D(Vi)Z)®, i = 0,1
. D.86)
D(T(Vl))Z)®, i = 0,1,2,3
и что Jlim Г (Vt)(p | = оо для всех фёЭ, ф ф 0. Ряды
B.89) и B.80) для Т± (Va (g)) и е (Va (g)) подсказывают
вид контрчленов Ra (g).
Во втором порядке теории возмущений находим, что
в операторе (—1JГ± (Va (g)T± {Va (g)))L логарифмически
расходится член
(V°a + Vl)-o-r±(Vl + Vt). D.87)
3
Введем перенормировку массы
После доказательства леммы 4.9 мы увидим, что разность
между D.87) и Ма имеет предел, когда о*->- оо. Замена
Va -»¦ Va + Mo исключит все ультрафиолетовые расхо-
расходимости в B.89). Наконец, мы собираемся также компен-
122

сировать расходящиеся части в —е (V а + М а), появляю-
появляющиеся во втором и третьем порядках теории возмущений:
D.89)
D.90)
(см. рис. 4.9).
Все это наводит на мысль задать перенормированный
гамильтониан На в виде
На = #0 + Va + Ra, Ra = Ма + Еа + El D.91)
Сначала мы собираемся формально компенсировать
ультрафиолетовые расходимости на образе области 5),
глп
Рпс. 4.9.
возникающем при действии на ?) оператора одевания.
Для того чтобы внимательно следить за опасным членом
Г (Va), мы проведем работу в два этапа. Пусть
-Г(У*)). D.92)
Тогда (H0 + Vt)Tl = TlH0 и
(Но + Va + Ra) Tl = Т\ [Но + Vl-V
- VI1 Г (Fa4) + 4- V§ ^ Г (Vlf + Vl
1
G*)
VI
<s
(VI) +
<3
Г (УЗ)- Л
4-v°o л? (у4J -
4 <3
123

где мы использовали леммы 1.2 и 1.3 и определения
=4- м° - v° -
D.94)
Ai3 = -J- Af J — Vi — о— Г (V^).
Символом J_ обозначен символ J_ i относящийся к графам
с числом спариваний между двумя вершинами, меньшим
трех.
Ядра 8lj {рх, р2) операторов &.У обладают сле,цующим
свойством.
Лемма 4.9. Для всех е > О, N е Z+ существует
константа С — С (е, JV) < оо такая, что для всех
0
I 6? (Рх, лI<СA+1й± Л1)~" (ИхШ)^. D-95)
Доказательство будет дано одновременно с дока-
доказательством леммы 4.3 в приложении. ^
Среди операторов, стоящих справа от Т\ в D.93),
оператор
Wa = VI - VI 2T(Vt) + VI - Vl J.T(V$) +
+ ^-Vl J.T(Vif-V М* D.96)
при а —*¦ оо не имеет нетривиальной области определе-
определения в Э.
Сингулярности этого выражения будут компенсиро-
компенсироваться на образе второго одевающего преобразования
Т"а сингулярностями, возникающими на этом образе от
оператора Йо, и бесконечными контрчленами, оставшими-
оставшимися в D.93). Преобразование Т\ суть формальное решение
уравнения
(#0 + Wa)T* = :Т2аН0:. D.97)
124

Как и в D.28), имеем
оо
?! _ V т! т2 —
D.98)
,n = (-l)nT(Wa...T(Wa)), м>0,
Ж = Т \ :TlH0- + T\ {Vl -VIJ.T (V*a) +
<з
4 Vl JT{Vtf -4rVle _LT(V$f + Vl - Vl
b <
¦-^V°aJ.V (V\f - 4-F" J. Г (Vtf f ~ V\± Г (F*L + Д«4-
В D.99) подчеркнуты все опасные при а -> оо члены. По-
Поскольку все расходимости носят логарифмический харак-
характер, их все можно изолировать (см. D.32)) и компенсиро-
компенсировать в следующих комбинациях:
-VI-о- V(Vl) Tl + ±-M\T\ = A™Tl
я z
Vl -о- T(Vsa -о- T(V$))T? -\М\ J.T(V$) Tl -
3 1 Z
_ v°a -о- Г (Vl) Tl + M\Tl = bfTl,
3
V°a - о _ Г (Vl - о - Г G*)) Г^ L M%± Г (V*) Г?,
3 1
D.100)
F* - о - Г (VI - о - Г (V*)) Г? + ElTl,
1
125

Упражнение. Проверить, что кратность каждо-
каждого из двух графов в парах D.100) одна и та же.
Мы видим, что комбинаторные трудности сейчас зна-
значительно выше, чем в модели (ФТТJ. Для того чтобы за
деревьями не потерять леса, начнем с неформальной пере-
перенормировки следующего упрощенного взаимодействия:
На = Но + V°a + Vi + — MI + Е'а. D.101)
В таком взаимодействии остаются интересные аспекты
ультрафиолетовых расходимостей модели Фд и его изу-
изучение дает замечательную подготовку перед нелегким
чтением работ Глимма [G7] и Остервальдера [02].
Построение области определения предельного гамиль-
гамильтониана На при а -> оо основано на использовании усе-
усеченного варианта преобразования Т%. Пусть, как в D.59),
F* = 2 v^- D.102)
Пусть для / е Z+
exPj {x} = 2 -7Г • D-ЮЗ)
При а < оо бесконечное произведение
D.104)
сходится на S, поскольку почти все множители в D.104)
равны 11. Пусть
А. = Г@*-о_ Г (У*) = 4! || Tyj В- D.105)
Предел Та при <*-> оо характеризуется следующей тео-
теоремой.
Теорема 4.10. Для любых ф, т|) ее © предел
lim е~Л" (Тац>, 7'aib) = W (ц>, гЬ) /а цлк\
126

существует и определяет положительную билинейную
форму на Э хЭ:
W (ф, ф) ^ О ИРМ Ф ^ °> D.107)
(ф, СС]^ + а2яр2) - ахИ/ (гр, яЫ + a2W (ф, я|>2).
Доказательство. Используя коммутативность
Г (Vi1'), i Ei Z+, легко увидеть, что Го на самом деле яв-
является усечением оператора D.92):
ос
Ф X1 '/' 7' <il
1 а — ^_1 1 a,ni 1 а,0 — ^ >
п=---0
D.108)
где суммирование распространяется на все последова-
последовательности (Д, ..., /п) ЕЕ Z+ такие, что / ?Е Z+ появляется
самое большее / раз.
Новый аспект теоремы 4.10 состоит в появлении мно-
множителя ехр {—Ло} с логарифмически расходящимся
Л,- IW6V
Рис. 4.10.
Ло. Эта перенормировка волновой функции имеет вид
D.10), поскольку ехр {—Ло} является суммой всех рас-
расходящихся членов из Z (V„ + -^о)! и будет компенси-
компенсировать при а -*- оо все расходящиеся графы произведения
{Тац>, Гоф), расходимость которых не более чем логариф-
логарифмическая. Следовательно, доказательство нетривиальнос-
нетривиальности формы W (ф, я|з) требует бесконечного частичного сум-
суммирования графов перед переходом к пределу о-^-оо.
Пусть G,->0 — граф из Ta,m±jTa<ni.j(будемговорить: граф
порядка (т -\-/', п +/)) с точно j вставками Ло (см. рис.
4.10). Подграф G0,o без всех вставок Ло назовем скелетной
частью графа Gj)t3.
127

Для каждой скелетной части Go,о с ядром gl)i<3 (р) мы
вычислим частичную сумму всех графов (?;,«, имеющих
Gu,a в качестве своей скелетной части.
Пусть gji<3 (р, q) — ядро графа G\.a с переменными р,
относящимися к линиям в &,,„, п q — к вставкам Л. Пусть
— частично приведенное ядро графа Gj,a, полученное ин-
интегрированием по переменным вставок Л.
Лемма 4.11. Для каждой скелетной части GQ<a,
а < оо,
#0,а (Р) = С ' ° g0)O (t>) + Zi i ft." С3'
з>о Л
. в)
D.110)
с Ло' = 4! | T^'i'la и 'O'iP)i определяемым D.113)-.
Доказательство. Скелетная часть G0,a поряд-
порядка (т, п) имеет вид
Go,, =
""" (Г (VtY ... Г (VlY Г (F*)... Г G4п))усече„ • D.111)
т\п\
I
_ О 1
со схемами спариваний а, Ъ, с без вставок Л. Если фикси-
фиксировать импульсы р всех линий графа Goz, его ядро go,a (p)
совпадает с ядром оператора
;';Г • • • Г A*У)' Г (ПЛ))... Г (F'jV)) D.112)
с тем же выбором переменных. Разумеется, выбор после-
последовательности (iv ..., im, j\, ...,/„) зависит от р. Для
каждого / ЕЕ Z+ обозначим через г (/, р) число ix, ..., im,
совпадающих с /', а через s (/, р) — число fv ..., /п, совпа-
совпадающих с /, и
t (/, »>)=/ — max {r (/, р), s (/, »)}. D.113)
128

При фиксированном р почти всегда t (/, р) = /. Вместо
суммирования всех графов С?|П со скелетной частью С0,я мы
вычислим сумму всех графов из произведения
оо оо оо
2л«>}П ехр,{-Г(У<?>)}П exPj {- Т (V(j%
3=0 i=0 i=0
D.114)
имеющих в качестве скелетной части ядро D.112).
Частично приведенное ядро атой суммы в точке р равно
/?0,"(»>)-
Пусть (к) = (fc0, /clt ..., km, ...), (Z) = (Zo, ..., lmjL...) —
две последовательности такие, что для всех m ?Е Z+, fcm,
^m е Z+, Zm < m
0 < &m — г (те, p) = Zm — s (те, p). D.115)
При 0 < оо оператор
1 П Mr1" D.116)
i=o » i=o i
равен нулю, исключая тот случай, когда почти все kt и
I] равны нулю. Оператор D.116) содержит графы со скелет-
скелетными частями D.112). Сумма по всем этим графам равна
произведению D.112), умноженному на
оо
П [(кг - г (i, j,))!]-i (Л(/>)(*^«*», D.117)
поскольку после перестановки вершин Г (V^)* между
собой и Г (Fa') между собой D.112) есть сумма всех гра-
графов из
Dл18)
со скелетной частью
Y... Г (F(jm) Г Г (У<Р)... Г (Flin>).
о 1 о 1 о 1
а Ь г.
Среди (—Г (V^))ki и (—Г (F^)'J надо выбрать по
kt — г (i, р) = lt — s (i, p) множителей и спарить
5 К. Хепп 129

всевозможными способами множители из разных групп.
Это даст
\(кг-га,х>))\ D.119)
возможностей. Остальные вершины долншы быть спарены
согласно схемам скелетной части. Фактор D.119), умно-
умноженный на (&;! hi)-1, даст [г (?, р)! s (i, р)! (/сг — г (i, р))П~\
что является правильным множителем для получения
произведения D.112), умноженного на D.117).
Суммирование по всем последовательностям (к), (Г),
удовлетворяющим D.115), приведет к D.112), умноженно-
умноженному на
D.120)
j=o
после чего умножение на ехр {—Ло} дает частично при-
приведенное ядро, равное D.110) в точке p. j^
Заметим, что аналогичное частичное суммирование
«флуктуации вакуума» было использовано в доказатель-
доказательстве теоремы 2.8.
Функции g0)O (j>) и g0)O (J)) в D.110) кусочно С°°-непре-
рывны и, после несколько измененной процедуры усече-
усечения, стали бы полностью С^-непрерывными. Для доста-
достаточно больших а и фиксированного р функция go, о (Р)
постоянна и, следовательно, при а -> оо сходится равно-
равномерно на компактах к кусочно С°°-непрерывной функции
go (*>)•
Лемма 4.12. Существует кусочно Сх-непрерывная
функция g0 (J)) такая, что
limg0,o(j») = g0(j») D.121)
о—>оо
равномерно на каждом компакте. При 0 <^ а «^ оо
D-122)
Доказательство. Основная оценка базирует-
базируется на следующей мажорации (доказанной в приложении):
sup A«)<Jt<oo. D.123)
О
130

При х ^> 0 используем неравенство
оо
x=i-e-* 2 ^^-ТТ
ni+l ' v
Это доказывает, что для всех /?eZ+h0<^g<^oo
ехр{-Л<3''} exp,aw {Л<?>} < 1 D-125)
и I go, « (Р) I < I ga, о (Р) I < I g0 (») I- Поскольку для всех
р из компакта t (/, J)) = / почти всюду, D.123) и D.124)
означают равномерную сходимость бесконечного произ-
произведения в D.110) при 0 <; о" <^ оо. Д
Пусть рх, ..., рп />г+1, ..., ps, ps+1, ..., pi — пере-
переменные г операторов рождения, s — г операторов унич-
уничтожения и t — s внутренних линий скелетной части.
Пусть
go,* (Pi, • • ¦, Ps) = ^dpa+1 ...dpt go,a (рь ...,pt) D.126)
— приведенное ядро суммы графов, отвечающих скелет-
скелетной части Gos (умноженное на ехр {— Л„}). Рассмотрим
wa(Pi, ...,p,; pr+i, ¦¦-, ps) = 2ero,o(Pi. • • • . Ps), D.127)
гДе S распространяется на все скелетные части с г рожде-
рождениями и s — г уничтожениями. Покажем, что D.127)
поточечно, а в топологии L2 — равномерно, сходится при
0 <| a <; оо и (pv ..., ps) из компакта. Функции wa бу-
будут кусочно С^-непрерывны, а w^ будет ядром били-
билинейной формы W из D.106).
Пусть ф, г|) е Э и G0) a — скелетная часть с ядром
gU)«,. Определим кр | е д равенством |ср |n (D) = | фп (») |, и пусть
| Go | — моном Вика с ядром |go|. Лемма 4.11 немедленно
дает
| G'яФ> 7\1>) | е-л. < 2 (I Ф М Со | | ^ |), D-128)
где 2 берется по всем скелетным частям произведения
ТаТа. Для них оценка типа проведенной в теореме 4.5
(см. [02]) ведет к следующему результату.
Лемма 4.13. Для всех т) ^> 0 существуют L ^> О,
А -< оо такие, что ядро g0>a скелетной части порядка
5* 131

(m, n) произведения Т'аТа удовлетворяет неравенству
D-129)
ext int
при всех 0 <^ е < L, 0 <; <х <! оо.
Доказательство. При некоторой константе
С = С (ф, г|э) ¦< оо справедливо неравенство
ext
; D.130)
и сходимость левой части D.128) после учета эффекта усе-
усечения^ вытекает из неравенства D.129). Действительно,
пусть /еA>, ... к{т\ IW, ..., Z<n> — максимальные значения
импульсов в вершинах скелетной части Go порядка (т, п).
Рассмотрим пересечение носителя функции g0 с множест-
множеством, задаваемым неравенствами
<---<i ' D.131)
^^ ^t ^^
Усечение предполагает, что
I C-Dl \ I 3C+1) \
fed) > 2; Л»), few > 22; fe 2+1 ,.. ., fe 2 > 2;'
D.132)
или что
fe(') >d^, Z0\> d^ D.133)
с некоторой константой d ^> 0.
Получив для m!rc! различных способов упорядочива-
упорядочивания импульсов feA>, ..., fe(m> между собой и импульсов
Z*1', ..., Z^n) между собой аналогичную оценку снизу, най-
найдем, что
ЦП У7"$1*о1 < mlnlAB™ exP{- сB /Г+ 2 //)}<
< m!ft! Л5т+" ехр {— D (т> + п"'1)} D.134)
с константами А, В < оо, С, Z) > 0, не зависящими от
GOja. Поскольку число скелетных частей порядка (т, п)
ограничено величиной [4 (т -f- «)]!, легко^видеть, что
3 (I Ф 1> I ^о I 1^ I) быстро сходится. Пусть s ^> 0. В силу
132

только что отмеченной сходимости существуют т (е) <^ оо
иге(?)<оо такие, что вклад всех скелетных частей порядка
(т, п) с т > т (е) или п ^> п (е) в ехр {— Ло} (Гоф, Гат|))
меньше е/2 равномерно относительно 0 <^ а «^ оо. Благо-
Благодаря лемме 4.12 можно утверждать, что существует а (е) <;
< оо такое, что конечная сумма по всем остальным ске-
скелетным частям Go отличается от предельного ядра g0 на
величину, меньшую е/2, что доказывает D.106).
Пусть Ет — проектор на Ът- В итоге мы имеем,
что для всех г, s — г ЕВ Z+
Ег A -|- /Л,Г"г^7тве-Л» A + //nrr'(s"r)/i,_r D.135)
сходится в 95 (g) к оператору, ядром которого, по сути
дела, служит woo(p1, ..., ?»s). Сходимость в D.127) будет
следствием оценок, аналогичных оценкам D.129) и D.134).
Эрмитовость формы W (ф, я|э) и ее линейность по я|>
очевидны. Остается доказать лишь положительную опре-
определенность W, т. е. тот факт, что W (ф, ф) .> 0 для всех
Ф ев ?>, ф ф 0.
Пусть ф = @, ..., фт, ..., ф„, ...) с фт ф 0 и фг == 0
для всех i < т. Пусть р — положительное число, боль-
большее максимального значения энергии частицы в состоя-
состоянии ф. Пусть и>р и
— ортогональное разложение вектора Гоф, определяе-
определяемое следующим образом:
0> если г <^ m или если в состоянии (Тац>)г боль-
больше, чем тп частиц обладает энергией <^ р,
(Гаф)г (В) в остальных случаях. D.137)
В силу ортогональности]
!1ЗД2>1№р,а12- D-138)
Поскольку Та содержит только операторы рождения, ком-
компоненты фг при 1>тне дают вклада в 4>р,„ (ф* Ф 0 вно-
вносят вклад от самое большее тп частиц с энергией, меньшей
р). В состоянии \J)P>a все частицы, рождаемые в каждой из
вершин графа оператора Та, имеют энергию, не меньшую
133

р. Вклад в I i|)p, af суммы У по всем нетривиальным ске-
скелетным частям Go мажорируется величиной
(IФ |, Г I Go | 1г|> |) Л.* < Ср-5елр.°, D.139)
где С не зависит от р и
$ # I ТУ<Й(*) I2- D-140)
е должно быть достаточно мало для того, чтобы было при-
применимо D.129). Вклад тривиальных скелетных частей мож-
можно вычислить явно. Он равен
оо
Пехр3.{Л<Ля}||ФтГ. D.141)
Далее,
ехр {— Лр>„}
.7=0
Ввиду того, что Лр'.'а = 0 при 2J+l ^ р, оценки D.123) и
D.124) дают, что D.142) стремится к нулю при р -*¦ оо рав-
равномерно относительно 0 <^ а ^ сю. Это следует из того,
что
f
> ехр {Лр,а - Ло} (|| Фт f -o(l)- Cp-). D.143)
Фиксируем р достаточно большим так, чтобы V21| ф,п |2 ^>
> | о A) + Q'~? I- Поскольку Ла — Лр, „ < Ср < оо
для всех р <^ а ^ оо, получаем
4. D.144)
^
Пусть Ж — пополнение Э по норме W (ф, фI'2 и
ТХ:?>->Ж D.145)
¦— каноническая инъекция © в Ж. Ж является гильбер-
гильбертовым пространством: каждый элемент ф ЕЕ Ж представ-
134

ляет собой класс эквивалентных по отношению к W по-
последовательностей Коши {фт}сГЭ и скалярное произ-
произведение
(<Pj 'Ф) = llm W (фт> 'Фп)
т,п-»оо
не зависит от выбора последовательностей {фт}, {т|зп}.
Равенство D.106) дает
Нте~л°G\,ф, fот|5) = (Гсоф, Т^у. D.146)
Кроме того, легко видеть, что для всех ф, ф Ег Э
Ит(ф, е а Тв1|з) = 0 D.147)
О—>оо
и что сильный предел последовательности е^'^'Т^ не
существует.
На Г,»© сингулярности Я^, компенсируются.
Теорема 4.14. Для любых ф, я|з Ez S существуют
следующие пределы:
f У2O>|2е-А<\ D.148)
А«, D.149)
lim (f„ф, Я0ЗД е"л° = <f^, Я^Г^-ф). D.150)
а—» со
Я,» является линейным вещественным симметрическим на
плотной в Ж области D (Я») = Г^Э оператором.
Доказательство. Пусть ф GE Э, а < оо.
Тогда
(Яо -f Fo4) 7> = Г^оф - 2 ^Л ехрм {- Г (F</')} х
оо оо
X Д exPi {- Г (F(of))} Ф + 2 V? П exPi {- Г (V?)} Ф -
оо
= 7'оЯ0ф+2^)ПУ)Ф, D.151)
где
Tf = П exPi {- Г (У<*>)}.
13о

В соответствии с теоремой 4.10 lim ехр {—Ла} | Га#оф||г
существует. Наиболее опасным членом в D.148) явшяется
e\-p{—A.z}l_\Wtaj)T'f4>f. Мы дадим его (равномерную по
о) оценку типа
оо
e-'v° || W^ fSftp|P < CU\ 2 С0*' < <*>• D.153)
Граф из произведения T^W^'W^T1^ является /-скелет-
/-скелетной частью порядка (т, п), если никакая из его вершин и
никакая Л-вставка не происходят из T''JJ* и T'J\ Как и при
доказательстве леммы 4.11,
е-К | W(pT% |р < 2 (| Ф |, | Gt | | Ф |), D.154)
где суммирование идет по всем /-скелетным частям. В
каждом члене справа можно опустить обрезание о, так
как при фиксированном /и о <J оо И7^ — оператор с яд-
ядром из L2.
Для того чтобы получить хорошую оценку при / -»- оо,
заметим, что па носителе ядра подграфа, образованного
иа Vljf и V'P, | /4ах |, |&шах I e №, 2?'+1]. Следовательно,
ядра /-скелетных частей G^] можно регуляризовать с по-
помощью множителя
d2 D.155)
и равномерной компенсации множителя 24'J+1). Пусть Gq'
есть /-скелетная часть порядка (т, п) с к спариваниями
вида
Г(У(г))*-о-ГG(з)), D.156)
4
где г = s = /. Между Г (У№) и Т^>" или № и Г (V&)
не существует никаких Л-спарпваний ввиду того, что
D.156) при г — / =,- «шшг ф s = j равно нулю. Сумма по
всем таким /-скелетным частям с одной и той же скелетной
мастью Go в соответствии с D.123) дает фактор
(Г (у>-<у _,
D.157)
Для скелетной части Go, регуляризованной посредством
D.155), существуют р ^> 0, К, L < оо (не зависящие от
130

Go) такие, что
»»*-**» exp {- р [/ (j - к + 1) + mh + »'••]}, D.158)
и число таких скелетных частей ограничено величиной
[4 (т + п + 2 (/ — к + 1))]! Отсюда
(A!I [(/-A)!] S Я""п+1У~*+1) X
771 ,П — О
+ »i3/s + пЧ), D.159)
что устанавливает D.153). Ядро частичной бесконечной
суммы по всем графам с одной /-скелетной частью дает
поточечную сходимость при с->оо. Это влечет за собой
D.148).
В D.149) можно заменить ^-М\ на V° — °— Г (Vl),
г з
поскольку До'4 не требует никакой регуляризации. Далее,
{V°a + Vaa -о- Г (У*) + VI -о- Г (у*)} х
3 4
оо оо
X П е*р, {- Г (^)) Ф = S {У" —Г (У?>) +
№ + члены с числом
? -с— Г(У@'?))} y_Z_ у№ф
4
спариваний <^3 между V°a и каждым Г (У*). D.160)
И внО/рь (/I) позволяет провести регуляризацию D.155)
в D.160). А
Полное взаимодействие
На = #0 + Уо +Ма + Яо
может быть проанализировано аналогичным образом (см.
[G7]). Одевающее преобразование Та при этом будет не-
некоторым вариантом усечения D.92) и D.98). Пусть
Оп = П Л- VI - (VI + VI) ± Г(У0») + ±V*2 Г(У^-4-А104 .
D.161)
137

Vl является усечением Vl, при котором vl (А'ц к2, к3, к^)
заменено на нуль, если импульсы А?!, Ла операторов рожде-
рождения удовлетворяют условию [ к± ] -(- ] к2 | <^ 2 (| к3 \-\-
+ I &4 I)- ^ч} определим таким образом, чтобы максималь-
максимальные импульсы частиц, рождаемых операторами У„, Vl,
Vl и A", лежа.та в /(;). Рассмотрим
то
ехр {- Г(О 2 (- 1)"S' Г (<?'>'... Г (<?«'>)...), D.162)
п=0
где ^j берется по всем (Д, . . ., /n) eE Z+ таким, что
п
,"•-1 .V.
( 2 h) </, 2<m<n и 2 =1-
Пусть U) = (/i, /2) e Z?, Л > /а и
_fi;4(Pi, ..., 2?4),если з>тах{|^|}е /°° и min {\рг,\
[О в остальных случаях.
D.163)
Пусть Vo'W) — усечение Vl. Выражение D.162) представ-
представляет собой ряд по Va^ и Та является усечением D.162),
где в Vl для всех (j) оставлены только члены степени
Тонкий анализ, проведенный Глиммом [G7] и Глиммом
и Джаффе [G19], оправдывает формальные манипуляции
D.93) и D.99).
Теорема 4.15. Для любых ср, гр GE S существуют
следующие пределы:
lira е-л° B>, Г„гр) - (Г^Ф, f^ip),
lim ^л" (^ф, //„Г^) = (^ф, Я»?1 ооЦ?), D.164)
Too является обратимым отображением S в гильбертово
пространство $? со скалярным произведением <.,.). /Уоо —
вещественный симметрический ограниченный снизу опера-
оператор с плотной областью определения Тх?). ±
138

[В связи с теоремами 4.2 и 4.15 возникает интересный вопрос об
однозначности определения гамильтонианов с помощью процедуры
«одевания», задаваемом равенстиамн D.21) или D.164). Предвари-
Предварительные результаты в этом направлении были получены в работе
Паррота [Р*2]. Он рассмотрел следующе абстрактные варианты оп-
определения предельных операторов йм. Пусть в сепарабельном гиль-
гильбертовом пространстве Ж заданы семейство {Яо}, 0 < а < оо,
самосопряженных операторов На с областями определения D (Но),
плотная в &6 область D и ограниченные обратимые операторы Та и
Т^ со свойствами:
1. Для всех a TaD CD (Ha).
2. Для всех фЕ^ lim Гф = Txif.
О—>ОО
Вариант А.
3. Для всех ф Е: D существует lim HaTa<p.
а—>оо
Вариант В.
3'. Для всех ф, \J-> e D существует lim (Гоф, 11аТа$).
а—>оо
Определим предельный гамильтониан Н^ равенством
в случае А и предельной билинейной формой
{З'ооФ. ^Ф} - Нт G-оф, HJJ) = <ГооФ, Н^Т^у
в случае В. В обоих случаях гамильтониан II^ представляет собой
симметрический оператор, однозначно определенный при заданных
D и {Та}. Однако такой оператор может, во-первых, иметь при фик-
фиксированных D и Та несколько самосопряженных расширений Яю,
а во-вторых, при изменении Та может меняться сам предельный опе-
оператор Нх. Неоднозначность первого типа не так страшна, посколь-
поскольку подобное же явление возможно уже в сингулярных задачах кван-
квантовой механики. Паррот исследовал случай, когда Як имеет един-
единственное самосопряженное расширение Нх, но меняется семейство
одевающих преобразований Та. В случае А он показал, что если су-
существует семейство {Та} такое, что Яю имеет единственное самосо-
самосопряженное расширение Hx, то любое другое семейство одевающих
преобразований Та ведет к Н^, содержащемуся в йю, В случае В си-
ситуация значительно хуже: пусть Н^ получен методом В и R —про-
—произвольный ограниченный положительный оператор, тогда всегда су-
существует другой оператор Я^ С Н^, получаемый методом В, такой
что Н'х + R может также быть получен методом В. Естественно, что
в конкретных моделях при сужении произвола в выборе одевающих
преобразований ситуация может улучшаться. В частности для моде-
модели Ф* Экман и Остервальдер [Е 3] доказали унитарную эквивалент-
эквивалентность предельных гамильтонианов, получаемых с помощью различ-
различных одевающих преобразований (см. прим. перев. на стр. 146). —
Прим. перев.]
139

Если рассматривать #>,„ = Но -)- kVa -{-к2 (Ма -)-
+ Еа) -\-).3Еа как возмущение гамильтониана Но, то оно
проявляет чрезвычайные патологии. \> частности, для всех
к ^= 0 на области определения оператора Н^ определено
представление канонических коммутационных соотноше-
соотношений (ККС), которое унитарно не эквивалентно прямой сум-
сумме фоковских представлений (см. [Н6]). Подобное явление
в более простых моделях было впервые обнаружено Фрид-
рихсом IFG] и Ван Ховом [Н13]. Детальное изучение
«экспоненциальных представлений» ККС, возникающих в
различных моделях конструктивной теории ноли, било нроле-
дено в диссертации Фабреи [F1] (см. также [F2, Е2, ЕЗ, К7].
Мы приведем здесь лишь некоторые результаты.
Рассмотрим в качестве пространства пробных функ-
функций, над которым будем определено представление ККС,
множество
/ = {/ = / е L2 (В2) | 3 | JX5/1| 2 < оо}. D.165)
5>0
Пусть Вр = {р ЕЕ R2|| р | < р} для всех 0 < р < <х>
и
t, D.166)
|1>|<P m =0
где Ет,р — спектральная мера самосопряженного опера-
оператора Np, задающего число частиц с импульсами, лежа-
лежащими в области Вр.
Пусть {fm} — ортонормированный базис в L2 (Вр) и
t
N9,1 ^^ 2 а* (/») а (/«)• Сейчас нам будут нужны некоторые
новые оценки.'
Теорема 4.16. Пусть ф, if ЕЕ S и
Тогда существует
\ип е~К° (гаср, П A?.*) = Жп(ф,.4„ . . ., АЛ)- D.167)
уь Л = Ф (g), П (g) с [i8|f e ^2 (R2), б > 0, и Nm
равно либо АТ(, либо Npj, тогда справедливы следующие
150

оценки'
| W2m+n (ф, Аи
I W2m+n (ф, Ль
| Wn+i (ф, /4Ь .
. . ., А
¦ ; Ак,
к, А, . .
с, ¦А'р((),
^m.pi «
., А,
• • •''
Акп, . . .,
Piling У™
Nm, Akn,
< cd2m (и
¦ -, ^п, Ч>)
к
«,.
D-
D-
168)
169)
лрA + ЛГ), D.170)
причем постоянные а, Ъ, с, d, с ке зависят от т и g, а е<С
< 2. 5сдм оЗын мз операторов N^i), входящих в D.169),
заменен на Np— Npj, то константу с — сложно выбрать
таким образом, что lim ct = 0 равномерно по т. Кон-
Константа / не зависит от р и для некоторого i, I ^ i ^ 4,
П ^ ЛР = ЛР,ОО. D.171)
Доказательство. Существование предела
D.167) устанавливается так же, как и при доказательст-
доказательстве D.106), D.164): частичная сумма всех графов с одной
и той'же скелетной частью, умноженная на ехр {—Ла}, су-
существует для всех а ^ оо, ее частично приведенное ядро мо-
может быть оценено путем оценки соответствующей скелетной
части. Вклад же скелетных частей возрастающего порядка
ввиду усечения быстро убывает.
Для доказательства D.168) необходимо оценить число
скелетных частей в
(Ф, 2?аГ(У*)*Ч . . . АъАтАЧн. . . AmT(Vt)cTl^)- D-172)
Существуют константы г, s ¦< оо такие, что для всех
а, Ь, с, d ЕЕ Z+, зто число ограничено величиной ([г +
-|- s (а + Ъ + с + d) + 2m]!I/' < m\ 22m ([r -|- s (a + b +
-\- с + d)]])'"-. Обобщая D.129), можно найти постоян-
постоянные А, В, С, для которых при всех / и т вклад
каждой скелетной части из D.172) будет ограничен вели-
величиной АВ<иЬ+с-><1 (С I |x8/|a)am, даже после умножения
ядра на множитель ц|, 0j^ e <^ L — LF) ^>0, отвечающий
каждой линии I. Усечение порождает фактор ехр {— rj (au +
+ Ь9 + с'1 + d0)}. Поскольку Tj >• 0 и В >¦ 1 не за-
зависят от выбора скелетной части, D.168) получается
так же, как D.134).
141

Если в D.177) заменить А2т на iVpf,), число скелетных
частей будет ограничено величиной (lr ~\- s (a -\- b -\- с +
+ d)]l) [r -f s(a Н- b -\- с + d)]2. Для оценки вкла-
вклада каждой скелетной части заметим сначала, что
N9tl -o-Np>t = Np,,-°-Np= Np,t H.iVp-o_iVp = yVp.
Каждая внутренняя линия типа — Np — умножает ядро
на характеристическую функцию множества Bf. Операто-
Операторы iVP)( дают вклад типа
к I t I
p^ldqjdq'jF^^GiP,^ 2 П ?Ч (9j)f*} {4i) =
,SiG(p)Sl (J. D.173)
С помощью неравенства Шварца можно равномерно по t
оценить D.173) величиной
(яр2J1 J dp ( sup | (F (p, q')\\G (р, Й") |. D.174)
Следовательно, вклад каждой скелетной части меньше
ABa+h+CrdC2m. Выбор 2/0 < е < 2 дает D.169).
Если iVP(() заменено на iVp — Nf,i, посредством D.44)
находим подграфы Н' и Н", которые соединяются (Np —
— iVp, ,)-линией и которые обладают равномерно ограни-
ограниченным числом вершин (для всех скелетных частей из
рассматриваемого класса). Если pv ..., рх — импульсы
внешних линий графа Н' [j H", то
х у z+1
SII dPi | S П dq,- П dr'kdrlH (р, «, г') Я"(р, ^, t") X
j=i j=i fc=i
/ Z+l
X 2 П /.к(П)/.к(П)|г. D.175)
s>,...,s2 = l fc=l
S2+l> (
При фиксированных Н<| интеграл /( (р, Q) по г', г" пото-
поточечно сходится к нулю, если <-voo, поскольку {fm} —
ортонормированный базис в L2 (Вр). С помощью оценки
типа D.174) можно ограничить /( (р, q) функцией р — q-
интегрируемой и не зависящей от t. Следовательно,
D.175) сходится к нулю при ?-> оо и, поскольку число
различных графов И' (J И" ограничено числом всех ске-
скелетных частей, в D.169) можно найти с = ct с lim с, = 0.
142

Наконец, рассмотрим D.170), заменив для простоты
Av ..., Ап на 1 и р на 2Г, г ЕЕ Z+. Выберем в
е"Л° (Ф, П;а ехр {- Г (F4.)*} Ет,рехр {- Г (F4)} 7i>c^)yce,ieH
D.176)
член с числом вершин F4-'^' , входящих в Т**а, равным
a.(j)^ji, и числом вершин F4(J), входящих в Tl>d, равным
б (j) < /V Почти для всех (j) a (j) = б (j) -- 0. 13 таком
случае эффект усечения в D.176) сводится к замене
ехр{-ГG04)*}?т,рехр{-Г@ на
П ехРэи){-ГG^У}?т;Р П exPC(j){-r(F4o(j))*}X
i),h<T U),U>r
X П expYO-){-r(F4o(J))}?
m>p П
j),h<r
D.177)
P U) = h — « (.;). Y 0') = /i — S (i)- Поскольку ЛР, х<
< oo, мы можем рассмотреть в качестве скелетных частей
графы без (Л„ — ЛР, 0)-вставок. Тогда с помощью леммы
4.12 легко увидеть, что при суммировании по всем
графам с одной скелетной частью, умноженной на
ехр {— Аа}, расходимости второй строки в D.177) и
ехр {—Ло + Лр,а} компенсируются. Благодаря проектору
Z?m>P каждая скелетная часть дает не более m Лт)Р-вста-
вок и весь множитель равномерно ограничен при
р->- оо.±
С помощью функций Wn (ф, А-у, ..., Ап, ^) можно
построить представление ККС в гильбертовом пространст-
пространстве Ж ZD Ж- Соответствующая общая каноническая про-
процедура принадлежит Гельфанду, Наймарку и Сигалу (см.,
например, [S17, N1, D5]). Пусть X — линейное множест-
множество элементов F (Av ..., Ак,ц>) (=F (ф), если к — 0).
Расширение формы
(F (Alt ..., Ак, ф), F {Ак+1, ..., Ап,
- Wn (ф, А'н, ..., А[, Ак+1, ..., Ап, if) D.178)
дает полуторалинейную форму на X с ядром Ж.
Пусть S = Х1$&—соответствующее факторпространство и
Ж — замыкание © в скалярном произведении <•, •). Мы
143

хотели бы определить линейный оператор Л: © -у -D
посредством линейного расширения операции, задавае-
задаваемой соотношением
?\F{AU . . ., Л,, Ф) = F(A, Ль . . ., А, <р). D.179)
Поскольку
(Р(АЪ ..., Л,, ф), AF(Ak+1, ..., Ап, ф» =
= W,l+i (ф, Л^, . . ., А\, А, Лк+1, . . ., Л„, i|>) =
= <Л V (Л„ . . ., .1,, ф), F (Лкт1, . . ., Л„, т|))>, D.180)
то равенство ^CiF (Л(I, ..., ^4г,s(») Фг) = ® влечет равен-
равенство A^Ci F (AitV ..., AitS(i,, фг) = 0. Отсюда вытека-
вытекает, что А корректно определено и на Э справедливы тож-
тождества
t..., Ак, ф) = 2г ... Л^Го.ф, Т = 1%
fa(f), a(g)] = 0,
И/), 5*(g)] = (/.g), D-181)
[^р, i *(/)] = ± с* (/Р).
Здесь /р (р) = / (р), если | р |< р, и /р (/>) == 0 — в
противном случае. Оценка D.169) с NP(t), замененным на
Np — NPtt, дает, что для всех ф?Эи всех ортонорми-
рованных базисов {/т} в L2 (Вр), р < оо,
т=1
В такой ситуации теорема Дель-Антонио и Доплихера
[D2] приводит к следующему результату.
Теорема 4.17. Предел D.167) определяет локаль-
локально фоковское представление ККС я неограниченными опе-
операторами в пространстве X: для всех р < оо сужение
яр на L2 EР) унитарно эквивалентно прямой сумме пред-
представлений Фока riPiF. ^
При помощи оценок теоремы 4.16 можно продолжать
я до унитарного регулярного представления ККС nw в
форме Вейля.
Теорема 4.18. Все векторы ф ?Э являются ана-
лштпрскпмн для полей Ф (/), П (/) и операторов Npi
/ ЕЕ J, р < оо, построенных обычным образом по о пер ant о-
144

рам о* (/) из D.181). Замыкания Ф (/) ~, И (/)- и Np са-
самосопряжены, а унитарные операторы U (/) = ехр {гФ (/)""}
и V (/) = ехр {Ш (/)"} удовлетворяют ККС в форме
Вейля:
)U(g) fj(f\g) V(f)V(g)f(f + g), DШ)
Если и8/,,, ц5/ ES X2 (R2), б > 0, fn = /п и lim || ц5 (/„ -
-f)\V = О, то
s-lim ф (ДО - С/ (/)) = s-lim (У (/п) - V (/)) = 0. D.184)
П—><х> П—>оо
iV^ обладает спектральным разложением вида
#Р = 2 т^т,Р D-185)
и удовлетворяет для всех / Ez L2 (Вр) равенству
ехр {itN~} I ) ехр {- «^} =
(cos i /) F (sin ^ /) ехр |-|-1| /1|2 cos ^ sin Д \
г- т )• D-186)
4f (cos t /) С/ (— sin t f) ехр U-1 /1|2 cos t sin ф
Представление я^, p < оо, унитарно эквивалентно пря-
прямой сумме фоковских представлений я^р. ?сли 0 ^= ф 6Е
|im,p (<P) S= <ф, ^ш.рф) || ф|Г2 D.187)
— вероятность найти т частиц в состоянии ф с импуль-
импульсами в Вр. Для всех т ЕЕ Z+
lim и.т,р(ф) = 0 D.188)
р—>оо
и nw = я^ унитарно не эквивалентно прямой сумме фо-
фоковских представлений.
Доказательство. Аналитичность векторов
ф есть прямое следствие оценок D.168) и D.169). Далее,
145

используя ряды для одевающих преобразований, можно
вывести коммутационные соотношения D.183) и D.186)
сначала как соотношения между формами на Э X ?Ь
а затем и как операторные тождества. Сходимость в D.184)
можно доказать, рассматривая необходимые ряды на об-
области S и учитывая наличие в оценке D.168) множителя
|| (х5 g ||. Равенство lim ct = 0 ведет к тому, что для всех
s выполняется равенство
s-lim exp {isNpim} = exp {isNp},
которое в свою очередь означает, что последовательность
функций Fm (s) = <ф, exp {isJVp,ril} ф>, фЕ& поточечно
сходится к функции F (s) = <ф, exp {is./Vp}cp>, a
поскольку, справедливо неравенство | Fm (s) | <1 || ф | 2,
то предел F — lim Fm лежите^' (R1), а носитель преобра-
преобразования Фурье от F сосредоточен в Z+. Это дает D.185).
Унитарная эквивалентность представлений ЛрУ при
р < оо прямой сумме фоковских представлений вытека-
вытекает из результатов работ [G4] и [D1]. Наконец, в виду того,
что равенство D.188) прямо следует из оценки D.170)
(поскольку lim Лр = 0), для доказательства нефоково-
сти nw достаточно сослаться на теорему Чайкена [С4].^
Поскольку мы связываем с представлениями nw опре-
определенную физику, они без сомнения заслуживают более
глубокого изучения. Например, интересно знать, являет-
является ли 7"оофо циклическим вектором представления nw?
Совпадает ли СК с Ж1 Является ли nw неприводимым и
дискретным (по терминологии Гординга и Вайтмана [G1])
представлением канонических коммутационных соотно-
соотношений? Как зависят свойства nw от одевающего преобра-
преобразования, в частности, от пространственного обрезания и
константы связи? Исследование подобных проблем было
начато Фабреи [Fl, F2] и продолжено Экманом и Остер-
вальдером [ЕЗ] и Экманом [Е2].
[Экман и Остервальдер исследовали зависимость свойств пред-
представлений nw и предельного гамильтониана Нх (g), получаемого с
помощью одевающих преобразований (см. прим. перев. на стр. 139),
от выбора усечений одевающих преобразований в модели Ф* и ее
упрощенном варианте, задаваемом взаимодействием D.101). Снача-
Сначала они рассмотрели семейства усеченных преобразований Тр а (/, h),
зависящих от двух параметров / и h, определяющих усечение, в мо-
модели D.101). Выбранная ими форма усечения охватывает, по-видимо-
146

му, почти все возможности, для которых проходит сама процедура
построения предельного гамильтониана с помощью Та. Следуя ме-
методу Глимма, подробно описанному выше, Экман и Остервальдер
показали, что каждое семейство {7^ „ (/, К)} определяет в преде-
пределе а —¦ оо гильбертово пространство Ж (/, К), предельный гамильто-
гамильтониан Ъх (f,h) и представление ККС nw(f,h) в УС (f,h). Затем по-
построение аналогичных величин Ж (/, h), Hx (/, h), nw (/, h) было
проделано для одевающих преобразований Тр а (/, h) полной моде-
модели Ф*, после чего было доказано, что и представления л (/, h) и пред-
представления я (/, h) унитарно не эквивалентны фоковскому представ-
представлению, но зато унитарно эквивалентны друг другу и аналогичным
представлениям л (/', h'), л (/', h') с другими значениями парамет-
параметров усечения. Унитарную эквивалентность представлений с различ-
различными / и h осуществляло унитарное преобразование U (/, h; f',h'),
представляющее собой предел преобразований, тождественных на
фоковском пространстве g. С помощью U (/, h; /', h') была доказана
также унитарная эквивалентность замыканий операторов Я^ (/, h)
с различными значениями /, h. Эти результаты позволяют постро-
построить путем отождествления унитарно эквивалентных представлений
я (/, h) и я (/, h) единое перенормированное пространство &геп
и единое вейлевское представление Щ^п в &?теп, не зависящие от па-
параметров усечения. Причем и ^?геп и nj^n могут быть построены с
помощью простых одевающих преобразований "г а (/, К). Вводя
далее область. Dren = (J D (/, h) С Жгеп, где D (/, h) — область оп-
ределения Нх (/, К), можно (используя теперь полное преобразова-
преобразование Тр а (/,Л)), определить на Dren не зависящий от усечения опе-
оператор ' Ягеп, полагая Ягеп | D(/>ft) = Нх (/, h). Исследования
представлений ККС другого плана были проведены Арефьевой и
Кулишом [А*3] и Розеном [R 2]. В этих работах изучались пред-
представления ККС, возникающие при переходе к бесконечному объему
(g —» 1) в модели Юкавы (ФУЧ^ с фиксированным ультрафиолето-
ультрафиолетовым обрезанием (см. [А*3)] и для взаимодействия Ф|+1 (см. [R2]).—
Прим. перев.]
Отсылая читателя за подробностями к цитированным
работам, в качестве простого примера, демонстрирующего
связь между свойствами нефоковских «ультрафиолето-
«ультрафиолетовых» представлений и бесконечной перенормировкой вол-
волновой функции, рассмотрим квадратичное взаимодействие
^о (х) = :Фо (хJ' Эта точно решаемая модель относится
к типу А при s = 1, к типу В при s = 2, 3 и к типу С при
s > 4. Классической ссылкой является работа [J 11 (см.
также [G4, R2, G25, G*l, E*l, Z*l]).
Для облегчения вычислений, мы используем в качест-
качестве пространственного обрезания «периодический ящик»
147

Л с длиной ребра 1. Пусть
Ъ =¦ Ф 8„, Зо = С,
п--=0
5}1 = ifn- Г (оо)"-» С |/ симметрично, (/п, /п)
D-189)
Г (а) = {Л = 2яп | № е Zs, | Л |< а}.
В пространстве g имеем операторы рождения и уничто-
уничтожения, отвечающие полю Ф3 (х):
[а (к), аA)]=.[аГ(к), а"A)] = 0,
[а (к), аГA)] = 6Н,1, D.190)
Фо (х) = S /— [егг(к^ а (к) + е^х) а* (к)].
Мы увидим в гл. 5, что гамильтониан
Я,.,„ = Н0 + %Va, D.191)
/.-ег(оо) л
связан с конечной перенормировкой массы т2 —> т* -\-
+ Л,- Пусть s=4. Тогда область определения величины
Г (Fa) при о ->¦ с» тривиальна. Однако можно ожидать,
что перенормированный гамильтониан
= Нй + XVa + WEa, D.192)
корректно определен на образе одевающего преобразова-
преобразования VZb!a ехр {—%Т (У?)} с перенормировкой волновой
функции
ZM = (Фо, ехр {- %Т (VI)*} ехр {- XT (F*)} ФоГ1-
Упражнение. Проверить это.
Для неформального вычисления заметим, что Fa при-
приводит к взаимодействию мод только с импульсами к и
— /с. Пусть
А(о)= {к^Т(а)\к = 0 или/с1 = ... = к> = 0, Л>+1>0}.
D.193)
«48

Для всех ЛеД (оо) пусть Ёк = V°k — о — Г (VI) и
//„,* = ц (Л) {а* (Л) а (/с) + а* (- fc) а (- *)},
F» = V(oT{а*@J + 2а*@) а @) + а @J>' D194)
+ а (*) а (-*)}.
Пусть .^fc — пространство Фока мод к и —It с вакуумом
Фо, /¦¦ и ¦^'¦•, о CI ."^fc — множество векторов с конечным чис-
числом частиц. Для всех таких /.; что Я,2<16|х GсL, и всех
Фь GE .^fc, п следующие ряды
Т,., кЧ>к = ехр {— XT (Vi)}ifk= s-lim 2j
^iФ*.
m=0
XVk + V%h) Гх. кФ» - D-195)
,Ь + ^Fi - VVl -о- T(F^) + Л.П -
- ^2F? -о- Г (F|) + -^ F^ Г (VI)) щ
i
сильно сходятся. Свойства гамильтониана Ну,а = 2-Ях,й
Д(о)
наиболее просто выявить, реализуя пространство состоя-
состояний как бесконечное тензорное произведение Ж® семей-
семейства гильбертовых пространств Жк, теория которого была
развита фон Нейманом [N8]1).
В основе определения Ж® лежат последовательности
{ф* ?= Жк |fcE А (°°)}. называемые С°-последователь-
ностями, для которых
С каждой такой последовательностью связывается С°-
вектор ср = (g) фй с | ср || = П || ф/с|- Два С°-вектора ф, а|)
()
по определению эквивалентны (ср ж ар), если
2 |(Ф*. Ф*) - 11< ' , D.197)
J) Изложение основных свойств таких произведений и представ-
представлений ККС в них см., например, в [Z*l].
149

и слабо эквивалентны (<р -— i|)), если
Для двух С°-векторов определяется скалярное произве-
произведение
(ф. Ч') =
П
D.199)
О в противном случае.
Путем линейного расширения и замыкания в скалярном
произведении D.199) множества всех С°-векторов полу-
получается гильбертово пространство Ж®, называемое полным
тензорным произведением. Подпространство из Ж®, по-
порождаемое классом эквивалентности С°-вектора ф, назы-
называется неполным тензорным произведением (НТП) и обо-
обозначается через ^Жн-
Пусть ф0 = (g) фо,1е. Обычное фоковское пространство
Ъ отождествляется с НТП вида
(8)Фо Жн- D.200)
л (ос)
Пусть о < оо, но достаточно велико и
ТК°= П Vz^lTKk, D.201)
ZKk = (Гх,йф0,й, Гх^Фо./еГ1 = (l --Щ
Пусть
5° = (фЕ Ж® | ф/с = фо,/с для почти всех fc}.
Элементарное вычисление показывает, что отображение
Т\,а- 5° ->¦ S определено корректно. Пусть
С7(в)= JQ е"
для всех последовательностей в из 5 = {s = [sk] | fc
е 1 (°о), sfc = sfc, Sfc = 0 почти для всех &}.
150

Теорема 4.19. Для всех ф, -ф е^ %п и *, t ЕЕ S
в Ж® существуют следующие пределы:
lim (Ул, вф) Ух, ая|>) = (Г,., „оф, Ух, »Ф), D.203)
lim (Г,., аф, //х, „Ух, „ф) - (Ух, «ф, Ях, -Ух. »ф), D.20/i)
а—>эо
lim (Ух, оф, U(8) V (t) Ух, ояр) = (Ух, ооФ, ?^(e)F (*)Ух, „ф). D.205)
п>., ос — линейный вещественный и симметрический опе-
оператор на области Ух,осЗ°, плотной в НТП
D.206)
Предел D.205) определяет в пространстве D.206) не-
неприводимое представление ККС в форме Бейля, локально
фоковское, но нефоковское глобально.
Доказательство. С учетом D.195) существо-
существование пределов выводится тривиально, поскольку ф& =ц>о,к
и Sfc = 0 почти для всех к. Представление Ст*-алгебры 51,
порождаемой операторами U (s), V (t), в высшей степени
приводимо в Ж®, но
D.207)
неприводимо на каждом НТП (см. [Кб]). 5(ф локально фо-
ково: пусть51* есть С*-подалгебра, порождаемая операто-
операторами U (в), V («) с sk = th = 0 для всех | fc | > р. При
р<« и для А ?Е 91*
(Ф, Лф) = (фР, Лфр),
., если | к | <; р,
fc I Фо, *>, если | к | > р
п фр ?г 5. Согласно теореме Клаудера, Маккенна и Вуд-
Вудса [Кб] 51* и 51Ф унитарно эквивалентны тогда и только
тогда, когда -ф -—¦ ф. Прямым вычислением находим
D.209)
поскольку 1 — V%х,к > Си*4, С ^> 0. ^
151

Сравним этот результат с точной диагонализациеи
оператора Н\ а посредством преобразования Боголюбова
[82].
Пусть
Ь* D- h) .-- ch 0/;л* ( :-- к) ->- sh 0ha (=f к) D.210)
с
ib6» = !' *W (A) = (m* +Xя+ *>•)"'•
Преобразование D.210) унитарно порождаемо, т. е.
Ь* (± Л) = # *, >Vh (± A) ^fc! х; D.212)
#*. >. - ехр {- 9fc [а* (Л) а* (- Л) - о (Л) а (- &)J}
и (//>.,* + EKh)Uh,}. --¦= Uh,xU}.,h, где
Я,., * = М (Л) {6* (ft) Ь (Л) + b* (- А) Ь (- Л)} - ?>., fc =
ЕК и = (М (Л) - (х (fc)J/2(x (A), D.213)
III, и = М{к) {а* (к) а (к) + а* (— А) а (- А)}.
Пусть
UKa= П *7*,>., ^?.,<.= S #",*. D-214)
(о) ' йеД (а)
ЕКк, Ях,а= S (^0)ft + XFft+^x,fc).
я) ЬеД (о)
Тогда, точно так же как теорему 4.19, получаем следую-
следующий результат.
Теорема 4.20. Для всех ц>, ур е 5°, 8, (eS и
0 <^ а ^ оо
lim(?/)., л\ t/>.,o^) = (г/).,«,Ф, ?7?.,«^) = (Ф, ty,
= (^х.ооФ, ?/ (в) V (t) С/х.оо'Ф), D.215)
4') =
ооф, Я,.,,^,^) = (ф, Я?,с4>)-
152

Кроме того,
0^'\Wk = ®*Ч#*, A.216)
где фьХ. = Ux, юфо, фг,л = ^х, «фо- Операторы НКоо п
#>., о» отличаются только на конечную перенормировку.
Доказательство. Прямое вычисление дает
й х
X ехр {- Lh Gfca* (fc) а* (-Л)} ф0, fc, D.217)
— l/i — (th efc)a > c^i (fe)-4, c>o,
поэтому С/х,ооФо и Фо слабо эквивалентны. Остальные ут-
утверждения теоремы вытекают из неравенств
ЛеД (ос)
= 2 /1-Ь2B^Г4 /l-(th0fcJ A-Я. Bц)~2 th Эл)-1 +
+ C<C + d 2 ^5<°° D.218)
\V°a-o-T(yl)-Ex,a\<
a
< 2 \~г(м — \1JB\1)~3(Ь + 2\1(М — V)) <°°- D.219)
A
Замечание. Мы получили прекрасный пример
сингулярного возмущения: при%ф% \ЕХ<Х — Е\,«>\ = оо
и представления %х и %х унитарно не эквивалентны!
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы высказать не-
несколько общих утверждений и предположений о свойст-
свойствах локальных гамильтонианов (см. [G9]). Пусть V°a —
чисто порождающая часть взаимодействия Va = Va (g)
и
Va = VI + VI D.220)
Теорема 4.21. Пусть V (х) — локальное взаимо-
взаимодействие. Vпринадлежит типу А тогда и только тогда,
когда
ЦТСфо | < оо, D.221)
153

типу В тогда и только тогда, когда
|| Vrx <г0 ]| =- оо, „о || Г (F;h01| < оо, D.222)
тиит/ С тогда и только тогда, когда
||Г(П,)Фо| = °°, но ||Г(^)Ф||<оо D.223)
для всех ф ЕЕ ?)•
Доказательство. Если F имеет тип В, то
II У«фо || ^ °°> но l'm % {Va + fia) существует в каж-
а->со
дом порядке по Я и вклад второго порядка в точности равен
| Г (VL)y01| 2- Обратно, ^(Fo) при локальном взаимо-
взаимодействии, удовлетворяющем D.222), содержит только ло-
логарифмические расходимости, для которых существует
Ra = R*a. Аналогичные аргументы применимы и в слу-
случае D.223).А
Гипотеза. Пусть V — локальное взаимодейст-
взаимодействие. Если V относится к типу В, то реализуется ситу-
ситуация теоремы 4.2. Если V относится к типу С, то спра-
справедлив аналог теоремы 4.15 с нефоковскими представле-
представлениями для операторов рождения и уничтожения-
Недавно справедливость этой гипотезы была установ-
установлена Остервальдером [02] для модели Ф4. Как и ожи-
ожидалось, эта модель нефизична, так как перенормирован-
перенормированный гамильтониан даже после добавления к нему беско-
бесконечных контрчленов неограничен снизу.
Что касается моделей типа DEF, то соответствующие
одевающие преобразования обладают весьма патологи-
патологическими свойствами. Рассмотрим, например *), супер-
перенормируемое по терминологии гл. 6 взаимодействие
Уо (ж) ='Фо (ж)8; в пространстве-времени размерно-
размерности s -\- 1 = 5.
Ряд для преобразования Т± (Fo (g)) содержит расхо-
расходящиеся члены вида
(- 1)а Г± (Va (*) - о- Г± (Va (g))). D.224)
2
Вклад графов, изображенных на рис. 4.11, может быть
1) Нетривиальный пример использования одевающего преоб-
преобразования в модели типа DEF содержится в работе [V*l], где мето-
методами конструктивной теории поля получено решение модели Тир-
ринга. — Прим. перее.
154

представлен в следующей форме:
vl(g) -о_ г+
= 5П {-у=
i=3
X
i, а),
. D.225)
П
X
«) g (Рз + Pi - Pi)- D.226)
Антисимметричная часть, отвечающая чистому рожде-
рождению, равна
где
Величина D.227) логарифмически расходится (даже после
Рис. 4.11.
симметризации по рх и р2) и не может быть компен-
компенсирована контрчленом Rl (g) d Rl (g)* второго поряд-
порядка no g. Таким образом, мы убеждаемся, во-первых, что
взаимодействие Ф;? относится к типу DEF (аналогичные
рассмотрение и утверждение справедливы и для
155

взаимодействия (ФЧ'^з), во-вторых, что для таких взаимо-
взаимодействий прямое построение перенормированного гамиль-
гамильтониана с помощью одевающих преобразований и диа-
гонализиции типа D.7) невозможно.
Возникает вопрос: не слишком ли ограничительна
принятая схема построений? Ведь при фиксированном
g возможен более общий подход: можно искать опера-
операторы
D.228)
при условии (ф, /?а,пф) = (#(!,пф, ty) такие, что для всех
Ф, ¦$€=?> существуют пределы
lim G\, аф, Тх, «Ч>) = И\ (ф, ф),
1х,вф|Ях,вГх.о1'), D.229)
Гипотеза. Для моделей DEF равенства D.228)
и D.229) несовместимы уже во втором порядке по Я.
Похоже, однако, что евклидов подход с использова-
использованием диаграмм Фейнмана вместо графов Фридрихса мо-
может существенно помочь в изучении таких взаимодейст-
взаимодействий, как (ФЧ^з-
Итак, мы убедились, что описание релятивистских
квантовых систем в рамках гамильтонова формализма
носит весьма сингулярный характер. В следующих гла-
главах мы познакомимся с другими подходами, основные
величины которых более устойчивы относительно пре-
предельных переходов а -*¦ оо и g-*¦ 1.

Глава 5 СПАСИТЕЛЬНЫЙ ОАЗИС
Как это ни печально, но мы должны констатировать,
что всо хитросплетения предыдущей главы позволяют
сделать только первый шаг на пути построения локаль-
локальной релятивистской квантовой теории. Следующий шаг
должен состоять в переходе к бесконечному объему,
т. е. к g (ас) = 1. В настоящей главе мы опишем основные
черты такого перехода как в отсутствии, так и при на-
наличии ультрафиолетовых перенормировок. При этом,
для того чтобы прийти в себя после утомительных оце-
оценок гл. 4 и перевести дух перед не менее тяжелыми испы-
испытаниями гл. 6, мы просто обсудим, не приводя доказа-
доказательств, некоторые наиболее глубокие, результаты, по-
полученные недавно в конструктивном направлении
квантовой теории поля. А результаты эти достаточ-
достаточно впечатляющи: наконец-то построен нетривиальный
пример (самодействующее бозонное поле в двумерном
пространстве-времени) локальной квантовой теории поля,
в которой при малых константах связи выполняются все
аксиомы Вайтмана и которая обладает канонической
структурой, описанной в гл. V (см. ниже теорему 5.6).
Пусть
P@=S«/> a2iv>0, E.1)
3=1
— полуограниченный снизу полином с нулевым значе-
значением в нуле: Р @) = 0. Пусть п > 0 и
0,x)): E.2а)
— пространственно обрезанное взаимодействие Р (ФJ
в двумерном пространстве-времени. Ниже мы иногда
будем предполагать, что функция gn (х), описывающая
157

пространственное обрезание, такова, что Vn предста-
вимо в виде
Fn= j das:P(O0@,as)): E.26)
—n/2
Согласно теореме 4.1 оператор Vn имеет общую со свобод-
свободным гамильтонианом плотную в пространстве Фока область
определения. Следующая теорема, описывающая более
точно свойства оператора Но -\- Vn, подсказана в значи-
значительной степени теорией возмущений, но по существу,
конечно, выходит далеко за ее рамки, поскольку ни
Vn, ни Но взаимно не малы (см. [G18, G27, R3, G*3]).
Теорема 5.1. Пространственно обрезанный га-
гамильтониан Нп = Но + Vn, отвечающий взаимодействию
Р (Ф)г, определяет в существенном самосопряженный
на области D (Ho) f] D (Fn) оператор, обладающий
единственным основным состоянием срп с энергией гп.
Существуют константы а < 0, р ^> 0 такие, что
-=¦ = а + -А. + о („-1), E.3)
причем при п ->- оо — | а, а (е„ — а„) \ р.
Замечание. Верхнюю границу для еп типа
—у \/ п с у ^> 0 можно получить, например, в модели Ф*
(см. [G10]) с помощью пробной функции вида
г (К) Фо
-7= ,
V и
поскольку существуют постоянные уг, у2 ^> 0 такие, что
для достаточно больших п справедливы неравенства
1 < II 'Фп К Vi и ('Фп, Япг|;„) < —72 Vn. Оценка E.3)
значительно сильнее и говорит о том, что при п -> оо
взаимодействующему квантованному полю присуще
правильное термодинамическое поведение, отвечающее не-
ненулевой плотности голых частиц. Доказательство оценки
E.3) было получено с помощью симметрии Нельсона
[N8, N7, F4], утверждающей равенство
(ФО, е-1Нпфо) = (фо, e-nHi фо) E.4)
для фоковского вакуума ф0 и любых t, n ^> 0. Само же
равенство E.4) представляет собой одно из утверждений
158

теорем «второго поколения» в конструктивной теории
поля, типичные черты которых обусловлены использова-
использованием евклидовых методов квантовой теории поля (см.
[S21, 03]), где самое естественное применение находят ре-
результаты теории многомерных марковских процессов.
Каково же поведение при п —>- оо других интересую-
интересующих теорию величин? Попробуем, так же как в гл. 4,
черпать идеи из изучения рядов теории возмущений.
Заметим прежде всего, что гамильтониан Яо -\- Vn тре-
требует перенормировки (бесконечной при п -*¦ оо):
Яо + Vn -> Я? = Яо + Vn - е„. E.5)
Построение области определения D (Я^) нового гамиль-
гамильтониана Нп с помощью обобщенных волновых операто-
операторов B.89) при п -*¦ оо наталкивается на серьезные труд-
трудности. Действительно, во втором порядке теории возму-
возмущений (например, для взаимодействия Фг) членыг)
М% = VI - о _ г± (VI) + К - о - Г± (F*) E.6)
3 3
вносят вклад Г± (M^)b ряд B.89). Между тем при п-э- оо
lim Mf = к2№[-^-т(р) а* (р)а(р),
E-7)
- (л)=4-Ш ^ 6(s Pi - 1i )
и моном Вика Г+(М(^') расходится при п -*¦ оо. Кроме
того, равенство
Я«Г± = Г±Я0 E.8)
предполагает, что зависимость энергии одночастичных
состояний гамильтониана Я," от импульса имеет вид
V -*¦ Y- (Р) = У^т2 4- Р2> что не выполняется в теории
возмущений. Помня ситуацию в моделях Ли Ys+1, s =
= 1, 2, мы надеемся, что дело можно поправить конеч-
конечной перенормировкой массы. Действительно, замена
Vn - Vf = Vn + Mf E.9)
1) Индекс i в обозначении Vln показывает, что рассматривается
часть взаимодействия, содержащая i операторов рождения.— Прим.
перев.
159

в формулах теоремы 2.8 (которая ие использует сущест-
существенно симметрию полинома V) дает новый волновой опе-
оператор
!?>)...),.}:, E.10)
в котором отсутствуют расходимости порядка Я2. Дейст-
Действуя далее аналогично, мы могли бы рекуррентным об-
образом определить контрчлены М$ как вклады порядка
%к в суммы
21 (-i)mr±(Fri)...r±(Fri0-)L,
E-H)
графов с точно одной внешней линией рождения и точно
одной — уничтожения и построить контрчлен перенор-
перенормировки массы Мп в виде суммы мономов Мп)ш.
Мп =
Но при этом, хотя независимо от знака в операции Г±,
все мономы Мп^ сходятся при п->-оо к мономам М*??
типа E.7), удовлетворяющим условию М^* = М*?\ при
конечных п мономы М„ не симметричны: Мп^=-Мп, и по-
потому, несмотря на то, что правая и левая части равенства
(Яо + Vn + Мп - е (Vn + Мп)) Г* (Vn + Мп) =
= Т* (Vn + Мп)Н0 E.12)
существуют как формальные линейные отображения Э
в ©', рассуждения, основанные на равенствах B.90),
больше неприменимы.
Действительно, произведение
= И - Г± (Vn) -о- Г± <уп) - Г± (Vn) -о- Г± (К„)
4 S
E.13)
160

больше не имеет вида Z,} И, как в теореме 2.8, а ввиду
того, что Г+ (Vn) —о—Г-j- (Vn) ~ п, мы приходим к бес-
i
конечной перенормировке волновой функции (и потому,
вероятно, нефоковскому представлению ККС) и конеч-
конечной перенормировке амплитуды.
Перенормировок массы и амплитуды можно избежать,
если использовать одевающее преобразование Тп, удов-
удовлетворяющее условию
и не полностью диагонализующее гамильтониан Но +
+ Vn — Bn (ср. с прим. перев. ниже). Пусть, например,
m=l
(-l)mr(Fn...r(Fn)...)CRK E.14)
Тогда lira Тп существует как отображение ID в ID' и спра-
п->оо
ведливо равенство
Н*Тп = Тп(Н0+ Wn), E.15)
где Wn не содержит слагаемых с одними операторами
рождения. Однако центральная трудность с использо-
использованием как j±(Fn + Мп), так и Тп остается в пробле-
проблеме сходимости рядов, и для гамильтонианов с взаимо-
взаимодействием, задаваемым локальными полиномами Вика
степени больше двух, нет никакой возможности следо-
следовать дальше по прямой дороге, параллельной той, что от-
открывается операторами одевания в случае ультрафиоле-
ультрафиолетовых расходимостей.
[Вместе с тем отметим, что в некоторых случаях использование
формализма одевающих преобразований при исследовании предель-
предельного перехода к бесконечному объему при фиксированном ультра-
ультрафиолетовом обрезании может быть весьма плодотворным, как это,
например, было продемонстрировано в работах [А*2, А*3]. В ра-
работе Арефьевой [А*2] была развита теория рассеяния для трансля-
ционно-инвариантной модели Юкавы (ФЧГЧГJ о ультрафиолетовым
обрезанием. Сначала при фиксированных ультрафиолетовом а и
пространственном gn обрезаниях в [А*2] были построены ряды для
перенормировок массы Мп (а) и энергии вакуума Еп(в) и ряды для
двух одевающих преобразований: преобразования То (п, а), отве-
J) Здесь и ниже символ (-Ocr обозначает чисто рождающую
часть викова полинома, стоящего в скобках; аналогично, символ
(...)AN будет обозначать чисто уничтожающую часть такого поли-
полинома.— Прим. перев.
6 К. Хепп 161

чающего за перестройку вакуума, и преобразования Т\ (п, а), от-
отвечающего за перестройку одно частичных состояний, и доказана
сходимость этих рядов в пространстве Фока § при малых констан-
константах связи X. Затем с помощью преобразования То (оо, а) было пост-
построено новое, отличное от фоковского, пространство состояний ^?геп,
а при помощи контрчленов М^ (сг) и Еж (а) — перенормированный,
не содержащий пространственного обрезания, гамильтониан
#геп(оо, а), действующий в пространстве ^геп- Наконец, для пары
операторов Ягеп (оо, а) в Но было доказано существование обоб-
обобщенных волновых операторов вида
U (± oo)=s-lim ехр {ИЯгеп (оо, о)} То (оо, о) Тх (оо, о) А (о) ехр {»#„},
где А (а) — некоторый нормирующий множитель. На основе этих
результатов в работе [А*3] были исследованы представления кано-
канонических перестановочных соотношений, описывающие квантован-
квантованные поля модели (ФЧг1Р)а без пространственного обрезания. —
Прим. перев.]
Другая линия развития теории перехода к бесконечг
ному объему связана с исследованием гайзенберговых
полей в конечные моменты времени и основана на прос-
простом наблюдении, очень ясно сформулированном Генином
[G 24]. Хорошо известно, что любой самосопряженный^га-
мильтониан Н описывает эволюцию квантовой системы
во времени в представлении Шредингера посредством
преобразований
^эТ-»Т, = е-м^ %{Ж)^А-*А E.16)
и с помощью преобразований
3A-*At=eitHAe-itH E.17)
в представлении Гайзенберга. Каждая пара преобразо-
преобразований E.16) или E.17) однозначно определяет группу
унитарных операторов ехр{??#}. В нашем случае мы,
конечно, не можем надеяться на то, что последователь-
последовательность операторов [ехр{^Я^}]„ сильно сходится при
п->оо. Тем не менее предел
lim е*'Н» Ле~"Н» = а, (А) E.18)
П-»ОО
может существовать на некотором подпространстве в
95 (Ж}. Рассмотрим, например, ряд Дайсона — Швинге-
ра B.35) для гайзенберговых полей
Фо(г,зс) = ейн'Фо(О, х)емв*
162

в теории ф?. Имеем
оо
Ф« (t, х) = 2 ф«,т (*t аи), Фж, о (х) = Фо (ж),
т=о
п/а
О Sm-l
х 1:Ф0(*1, ?/i)*:» Г- 1:
E.20)
dym x
,Фо(*,*I...]].
Иэ рис. 5.1 видно, что (в силу локальности используе-
используемых полиномов Вика) носитель кратного коммутатора
t
_ч ^
Рис. 5.1.
по переменным ух, ..., уш содержится в множестве
{Уг^^\\т-х\< \t-stl l<i<m}. E.21)
По этой причине, если | t | + | х | < -^ п, мы можем эа-
менить ФП)ТП (t, x) на
t t
X [:Ф0(*1,
«m-i
, l/mL:, Фо(*. «)]-]]¦ E-22)
Здесь следует отметить, что поскольку Нп ?)(jlD (Hn),
постольку ряд по t для Фп (t, x):
Фп (t, х) = Фо @, х) + it [Я*, Фо @, аи)] + .-, E.23)
не определен корректно на -D, тогда как каждый член ря-
ряда E.22) по X представляет собой операторную обобщен-
обобщенную функцию, определенную на Э, и не требует ника-
никакой перенормировки массы и энергии при п ->¦ оо.
6*
163

При Yn ^> I * I + I x I гайзенбергово поле Ф„ (/, x)
со
равно Ф(?, х) — ^Фт {t, x). Трансляции по времени:
ш=0
Ф (t, х) -> ат(Ф(*, х)) = Ф (t + т, яе) E.24)
локально унитарно порождаемы:
1_гтЛ _wi-rW
а, (Ф («, х)) ™ в » Ф (*, х) е " E.25)
(в смысле формального ряда по Я с в > n (R) для | т | +
+ | t \ + | 05 | < i?). Следовательно, E.25) есть *-ав-
томорфизм алгебры полиномов от Ф (t, x). Далее, посколь-
поскольку при t2 < (ае — j/J справедливо равенство
[Фт(«, х), Фо @, у)] = 0, E.26)
то при (t — т)г< (х — у)* в каждом порядке по % спра-
справедливо соотношение
[ФЦг, х), Ф (т, у)] = а, ([Ф(« - т, аз), Фо @,у)]) = 0,
E.27)
означающее локальность поля Ф (t, as). Наконец,
это же поле удовлетворяет уравнениям движения
= е"Н"П0@, аз)е""Я™ = П (t, x), E.28)
E.29)
в смысле, разъясненном во введении (см. 0.9).
Предположение, сделанное Генином, состоит в том,
что в квантовой теории поля без ультрафиолетовых
расходимостей гайзенберговы поля являются оператор-
операторными обобщенными функциями в g даже при п—»оо.
В пользу существования таких хороших свойству у гайзен-
берговых полей совершенно независимые аргументы
приводил и Дирак ID4]. Тем замечательнее, что Глимм
J64

и Джаффе [G15] нашли строгое доказательство этих
свойств ряда теории возмущений (см. также [R3]).
Теорема 5.2. Пусть Нп— гамильтониан, получен-
полученный из гамильтониана теоремы 5.1 перенормировкой E.5).
Тогда поле
Ф„ (t, х) = е{Ш"Ф0 @, х)е~ин* = Ф (t, x) E.30)
не зависит от п при г/^п^> 111 -f- | х |, локально и удов-
удовлетворяет уравнениям движения, аналогичным E.28) и
E.29). Для всех f = / е= © (R2)
ф(/) = I ф (*, ж) /(*, x) dtdx
— самосопряженный оператор.
Доказательство этих фактов в существенной
своей части (см. [S5]) основано на том, что в локальной
динамике любые возмущения распространяются со ско-
скоростью, не превосходящей скорости света.
Пусть А — ограниченная функция от Фо @, /) или
По @, /), локализованная в области {х ЕЕ R | | х | <
< га}, например, U (/) или V (/), у которых supp/c
CI {х ЕЕ R1 | | ас | < га}. Поскольку Нп — самосопряжен-
самосопряженный в существенном на области D(H0) f) D Gп)оператор,
независимость величин An(t)= ехтр{ИНп}Аехтр {—UHn}
от га для достаточно малых | t | выводится из формулы
Троттера [Т4]
"S" HV ^ yn]ft А [Г* "
Ап @ = s-lim [e "S" HV ^ yn]ft А [
В правой части E.31) все величины — функции свобод-
свободных полей, развитие которых во времени управляется
свободным гамильтонианом. Энергия е„, входившая в
Нп, естественно не дает вклада в автоморфизм E.31).
На рис. 5.2 видно, что переход от Фо @, ас) к полю
Фп (t, x) с Нп в качестве гамильтониана уже дает кор-
корректное гайзенбергово поле Ф (t, x) в алмазе {х ее
€= R2 II* I + I x I < "}i гДе нельзя измерить влияние
обрезания gn (у) ф к. Д.
Для того чтобы еще раз подчеркнуть большую по
сравнению с физическими состояниями приспособлен-
приспособленность гайзенберговых полей к предельному переходу
п -*¦ оо, докажем следующую теорему.
№

Теорема 5.3. Ряд Дайсона — Швингера для по-
полей с самодействием Ф2+1 (s ЕЕ Z+) без обрезаний и] без
перенормировок
<b(t, х) =
fc=o
x
X [:Фо(«1, г/хJ:, [... f:Oo(sfc, ?/*)*:. Фо(*, ас)]-]] E-32)
(как /?я9 векторных обобщенных функций умеренного рос-
роста по х и непрерывных по t) силъпо^сходится на? к целой
it
область, вве
измеримо
Рис. 5.2.
аналитической по К функции. Кроме того, в смысле би-
билинейных форм на У X У справедливы соотношения:
[iHn,O(t, x)] = ^-Ф(«, ж),
Я2 E-33)
\Шп, [Шп,ФЦ, х)]] = -^Ф(*, х) = (Л -т2-2^)Ф(<, ж),
п/2
—Я/2
Замечание. В соответствии с теоремой 4.21 опе-
операторы Нп проходят «круги ада» моделей типа А, В, С
при последовательном изменении размерности простран-
пространства: s = l,s = 2, 3hs> 3. Между тем операторы Нп и Н^
корректно описывают бесконечно малые сдвиги по времени
как слабые дифференцирования гайзенберговых полей,
166

й это сйраведливо в йрострайстве Фока свободйого поли
с яефизической (затравочной) массой. Кроме того, допу-
допускаются комплексные значения Я,.
Доказательство. Вычисляя с помощью A.53)
кратный коммутатор в E.32), получим
Bi)m A(«i — s2, ух — у2). . . ^{sk — t, yk — x) Ф0(в1, уг).
E.34)
Теорема о свертке в У" после умножения E.34) на / (х) ЕЕ
Е= & (Rs) и интегрирования по ух, . . ., ук, х дает
dck \ —j-f (p) sin ц (s2 — s2)... sin ц (sk — I) X
X {a (p) e~is& + a* (— p) eis&].
Пробные функции, входящие в это выражение, принад-
принадлежат по переменным s15 . . ., sk, t классу С°°, а по р ле-
лежат в if (Rs)- Их ?2-норма ограничена величиной ек || /1|2,
е <С оо. Интегрирование по sv . . ., sk дает множитель
^/Л! и приводит к сильной сходимости. E.33) устанавли-
устанавливается в каждом порядке по Я..^
С помощью преобразования Боголюбова D.212) гай-
зенбергово поле Ф (t, ас) в модели Ф|+1 можно вычислить
точно (см. [G 25]). Имеем
где
М = М (р) = К + 2^ + />2)''Ч E зб)
а (р, 0 - [cos Mi - I -^p^- sin М/] а (р) +
а семейство {&(»), Ь* (—р)}Р связано с семейством {а (р),
а* (—р)}р соотношением
E.37)
167

Аналитичность по к очевидна. Следовательно, в простран-
пространстве g существует локальное решение уравнений движения
О + т2 + 2Ц Ф (х) = О, Ф @, ж) = Фо @, ж), E.38)
1 ' ' vl7 I vt- « щ/Lt i
х«=о да
Но автоморфизм, описывающий изменение поля во време-
времени Ф(?, ж)-» Ф (t -f т, ж), больше не порождается не-
непрерывной группой унитарных операторов, генератором
которой служил бы самосопряженный в g гамильтониан.
Рассмотренный пример иллюстрирует тот общий факт,
что гайзенберговы поля без перенормировок и обрезаний
существуют в пространстве Фока g не только при взаи-
взаимодействии V, относящемся к типу А, но также и в случае
тех моделей типа В или С, в которых единственными син-
гулярностями являются расходимости «флуктуации ваку-
вакуума», (например, в моделях с взаимодействием Фз, Ф^-ц).
В таких моделях поля (формально) локальны и являются
решениями релятивистских уравнений движения.
Что же происходит, если локальное взаимодействие
становится более сингулярным? Во-первых, в таких мо-
моделях область определения перенормированных гамиль-
гамильтонианов начинает весьма тонким образом зависеть от
пространственного обрезания. Например, в модели
2, относящейся к типу В,
E.39)
если pEZ+ и g Ф g', так как полной компенсации ульт-
ультрафиолетовых расходимостей гамильтониана Нх (g') на
области Гр, «,(#)?> не происходит. Во-вторых, в моделях
типа Ф*, относящихся к типу С, можно ожидать унитар-
унитарной неэквивалентности представлений перестановочных
соотношений при различных функциях gx). Наконец,
существует и другая неприятность: пусть ?Р — алгебра
полиномов по полям Фо (ж), То (ж), . . ., сглаженным с
функциями из © (Rs). Тогда
E.40)
для всех ф ЕЕ © и некоторых ЛеЗ5. Следовательно, га-
гамильтониан И,*, без ультрафиолетового обрезания не
х) Эту гипотезу интересно сравнить с результатами Экмана и
Остервальдера [ЕЗ], приведенными в примечании переводчика на
стр. 146 — Прим. перее.
168

может служить дифференцированием алгебры ?Р, и ряд
E.23) слишком сингулярен. Между тем все эти труд-
трудности отсутствуют в ряде B.35), где интегрирование по
sv . . ., sn играет роль регуляризующей операции. Точ-
Точнее, пусть Va (g) относится к типу В или С, так что все
расходимости в разложении преобразования Г± (Va (g))
носят логарифмический характер. Пусть Ra (g) CZ
d Ra(g)* — соответствующие контрчлены, необходимые
для перенормировки гамильтониана, a Aajm (g, x) — вклад
порядка т ряда B.35) в гайзенберговы поля Ф„ (g, х),
Wa (g, x), . . ., вычисленные с помощью перенормирован-
перенормированного гамильтониана Яо + Va (g) + Ra {g) и Аа,т (g, t, f) =
= ldxAa,m {g, t, x)f(x).
T e о р е м a 5 .4. Если V — локальное взаимодействие
типа В или С м /,- G ^(R8), I ^ i ^ к, фЕ У, то предел
к к
S-Hm П А°, m(i) (gj, h, f{) ф = Д Ат«) («1» /i) ф E-41)
Я-*1 г=1 i=l
существует и определяет обобщенную функцию умеренного
роста по переменным xt, х2, . ¦ , хк и сильно непрерывную
функцию по переменным tlt t2, . . ., tk.
Замечание. В следующей главе мы увидим, что
функции Грина моделей (ФТТJ и Фз, перенормированные
согласно процедуре Боголюбова, при определенном вы-
выборе контрчленов Ra(g) d Ra(g)* в пределе о-+оо,
g-*- 1 совпадают с рядом ГМЛ. Используя асимптотичес-
асимптотическое условие Лемана — Симанцика — Циммермана, мож-
можно построить (формально) локальные гайзенберговы поля,
которые должны совпадать с произведением П A (xt).
i
Между тем локальность полей из E.41) можно увидеть
непосредственно.
Упражнение. Доказать локальность нужных
полей на основе E.41).
Эскиз доказательства теоремы 5.4.
В первом порядке, например, для взаимодействия Фз
имеем
t
Ф..!^, *,/) = iSdsJdy[:O0,e(в, уL:, Фо(<,¦/)]¦ E-*2)
о
Локальность (приближенная) разрешает переход к g-+¦ 1.
Существование предела на if при о -+- оо доказывается
169

интегрированием по s. Вычислим вклад чисто рождающей
части, которая наиболее сингулярна:
11 . i \1~1 S/
— Pi — Рг — 2>з) X
При s = 2 выражение E.43) очевидным образом хорошо
определено на У и сильно непрерывно по t. При s > 2
E.43) расходится на сУ даже после интегрирования по
? с функцией g (t) > © (R1). Поскольку перенормировка
не сказывается в первом порядке теории возмущений,
мы таким образом открываем для себя новую трудность
гамильтонова формализма в моделях DEF(cp. с утвержде-
утверждениями в конце гл. 4).
Перенормировка величины А^п (t, x) основывается на
теореме 2.7. В модели Фд достаточно лишь перенормиров-
перенормировки массы Ма,п- Анализ графов показывает, что Аа< п (t, x) =
а% (t> ж) имеет вид
/С=0
Aa,n(t, х) = (:e<"(i): A0(t, x) :eQ".«@:)e, E.44)
где (...)с обозначает суммирование по всем связным гра-
графам, а <?*„ (t) имеют вид
со t sm—l
Qa.n(t)= S (-0WW... $ dsm[<ya,n(81) +
m=l 0 0
+ Mo, „(Si)) ... (F0,n(em) + Ma,n(sm))]L, ,5 45)
m=l о О
+ Ma, n (sm))... (Va, n (si) + Me,„
где [. . .]L означает выбор только связных безвакуумных
графов (см. 2.69)). Единственные расходимости в рядах для
(?*п @ возникают от спариваний типа F (s{) —о— F(sj+1).
з
а их можно компенсировать перенормировкой массы.
170

В результате члены каждого порядка по % из Q*n (t)
существуют при а->-оо, п -»- оо как полиномы Вика,
к
а спаривания в E.44) и в ЦЛа>п(?г, Xi) ф существуют
1=1
как обобщенные функции по х15 . . ., хк, сильно непре-
непрерывные по tv ... tH. Модель типа С, отвечающая взаимо-
взаимодействию Ф\ч требует дополнительной перенормировки
Na,n = Па J UXgn (Х)ФВ (X) (СМ. [О1]).,4
Заканчивая обсуждение свойств различных физиче-
физических величин при g->l в рамках теории возмущений,
рассмотрим еще поведение при п -*- оо средних от произ-
произведения гайзенберговых полей, взятых по физическому
вакууму, т. е. так называемых функций Вайтмана.
По теории возмущений эти функции могут быть вы-
вычислены с помощью рядов E.20) и B.55). Для конечных,
но достаточно больших п имеем
,и П фп (<i, aci) ф„) - (ф„, П ф (fi> аО ф„) =
= Нт{(ф0, Un>t(+ оо, — зо)ф0)(ф0, Un,t(+oo, 0)ф0) X
а 10 •-
т
X (Фо, Un, ,@, - оо)Фо) (Фо, eQ™. *ПФ(^ »i)eQ;[' еФ„)},E.46)
i=i
где в качестве Фо (t, x) берется выражение типа E.22) и
171=0
m
—e у т.
m=o О О
...Fn(Tm))AN-
Несложный по идее, но громоздкий по форме комбинатор-
комбинаторный анализ (см., например, теорему 2.7) показывает, что
среднее E.46) равно сумме всех графов из ехр {Qt,t} П ф (?г,
i
хг) ехр {Qn,t}, не имеющих внешних линий, и где каждая
связная компонента спарена с некоторым оператором
171

Фо (^г> scj). Для каждого такого графа (ядро которого
есть обобщенная функция умеренного роста по xv . . ., хт
и непрерывная функция по tv . . ., tm) существует пре-
предел при е I 0, который может быть вычислен точно так
же, как в теореме 2.8. Предел при п -*¦ <х> тоже сущест-
существует и приводит к тем же ядрам, в которых простран-
пространственное обрезание gn(x) заменено на К.
Аналогичное утверждение справедливо и для ряда
Гелл-Манна и Лоу B.67), который, например, в случае
взаимодействия Oj принимает следующий вид:
i
^ П 8«Ы X
т j
X (фо. Т (Д Фо &, Xi) П :Фо {УкГ) Фо)'. E-47)
где (. . .)' означает, что учитываются только графы,
в которых каждая связная компонента спарена с некото-
некоторым оператором Фо (tt, xt). Общее обсуждение предель-
предельного перехода е | 0 и и -»- оо в функциях Грина E.47)
будет проведено в следующей главе. Здесь же мы вычис-
вычислим двухточечную функцию Грина для любимого нами
взаимодействия V0(x) =-^-:Ф0(хL:.
lim (фп, Т (Фп (хг) Фп (яа)) фп) = § dp Xx (р) е~^, ^-^),
Отсюда ясно видно, что средние значения, взятые по физи-
физическому вакууму, обладают свойствами регулярности,
промежуточными между свойствами гайзенберговых по-
полей и свойствами собственных функций гамильтониана:
тх (р) аналитично около X = 0 для | р2 — тг \ > б > 0
(разумеется, как обобщенная функция из &" (R4)).
172

В итоге, осйовываясь на теории возмущений, можно
ожидать, что гайзенберговы поля (и средние от их произ-
произведений) могут служить основой изучения перехода к бес-
бесконечному объему. Удобные математические средства для
такого изучения дает формализм С*-алгебр (см. [D 5»
S*l, N1]). Физическое обоснование возможности исполь-
использования С*-алгебр было дано Хаагом и Кастлером [Н 2],
которые выявили «алгебраическую» структуру квантовой
теории поля. Пусть О — открытые ограниченные области
пространства Минковского Rs+1.
Определение. Семейство {9t @) }0CKs+i С *-
алегбр % (О) с равномерным замыканием их объединения
91= у 31@ E.49)
0CRS+1
и семейство
{авеАиЦМ)|*е0»+!} E.50)
автоморфизмов С*-алгебры 91 определяют алгебраиче-
алгебраическую локальную релятивистскую квантовую теорию, если
a) 91 (Ох) С 91 (О,) для ©х С О2,
b) [91 (Ох), 91 {О%)\ = 0 для взаимно пространственно
подобных областей Ох и 02,
c) а8 (91 (О)) = 9t {gO) для всех g е 3% с gO = {#r}«=0,
d) для всех А ?Е 91 отображение 3s! в 91:
Т>М4)еЕ91 E.51)
непрерывно,
е) С*-алгебра 91 примитивна (т. е. обладает точным
неприводимым представлением).
В теории Р (ФJ С*-алгебры Ш (О) можно образовать
из ограниченных функций от полей Ф (/), /= f ЕЙ (R2),
supp |сб с автоморфизмами, описанными теоремой 5.2.
В таком случае один из главнейших результатов конструк-
конструктивной теории поля может быть сформулирован в следую-
следующей форме.
Теорема 5.5. Существует алгебраическая локаль-
локальная релятивистская квантовая теория взаимодействия
)
При изучении перехода к бесконечному объему в рам-
рамках алгебраической теории поля основным объектом рас-
рассмотрения служит последовательность состояний ю„ на
173

алгебре 3( наблюдаемых (можно, конечно, рассматривать
и последовательности функций Вайтмана или вероятност-
вероятностных мер в евклидовой теории). Состоянием ю на С*-
алгебре 5t называют линейный положительный, нормиро-
нормированный на единицу функционал на 31. Если С*-алгебра
51 задана конкретно: Si (Z 95 {Ж), то каждый элемент
Т множества S~t d 93 (Ж) положительных ядерных опе-
операторов с единичным следом по формуле
сот: А -»- сот (А) = Тг (ТА) E.52)
определяет состояние на алгебре SJ. Конечно, в общем
случае состояния такого типа далеко не исчерпывают
всего множества 5^ всех состояний на алгебре 31. При-
Причем ввиду теоремы Хаага (см. [S 17j) нельзя ожидать,
что состояние Юоо на алгебре теоремы 5.5, отвечающее
лоренц-инвариантному физическому вакууму бесконечной
системы с взаимодействием, будет определяться какой-
либо матрицей плотности на фоковском пространстве 8.
Вместе с тем каждое состояние ю ЕЕ Ш1+ посредством ка-
канонической конструкции Гельфанда — Наймарка — Си-
Сигала (ГНС) определяет представление яш алгебры 31 в но-
новом гильбертовом пространстве Жш с циклическим векто-
вектором фщ таким, что
ю (А) = (срш, лш (.4)фм)
для всех А из 51. Естественно, что в общем случае новое
представление яш унитарно не эквивалентно тождествен-
тождественному представлению алгебры % в старом гильбертовом
пространстве Ж.
К такой именно ситуации и приводит последователь-
последовательность основных состояний фп перенормированных гамиль-
гамильтонианов Нп при стремлении п к бесконечности. Исполь-
Используя оценку E.3), легко показать (см. [G26]), что последо-
последовательность основных состояний (рп для гамильтонианов
E.5) в фоковском пространстве $ слабо сходится к нулю:
weak-lim фп = 0, E.53)
что служит математической формулировкой явления, от-
открытого Ван Ховом [Н13]. Но равенство E.53), конечно,
не означает, что последовательность векторных состоя-
состояний ®п на алгебре 51
А -+ ап (А) = (фл, А(рп), E.54)
174

порождаемых векторами срга, сходится к тривиальному
состоянию. Напротив, для малых констант связи, т. е.
для гамильтонианов Но -j- "KVn с константой связи "К, удов-
удовлетворяющей неравенству О <J % <J cm2 с малой и не за-
зависящей от т постоянной с (случай сильной связи см.
в [G18, G20, S8]), ситуация в высшей степени удовлет-
удовлетворительна.
Теорема 5.6. Для малой константы связи при взаи-
взаимодействии Р (ФJ последовательность состояний ю„ из
E.54) слабо (в смысле слабой топологии в множестве %*)
сходится к пуанкаре-инвариантному предельному состоя-
состоянию го», б котором массовый оператор У (Р0J — Р2 имеет
изолированное однократное собственное значение, равное
нулю. Состояние йв локально нормально, т. е. для каждой
открытой ограниченной области В CZ R1 справедливо ра-
равенство
norm-limcon U(B) = ю» Us» E.55)
в котором символ |сй(В) обозначает сужение состояний
на алгебры фон Неймана Л (В), порождаемые спектраль-
спектральными проекторами полей Ф„ @, х), По @, х), у которых
х €Е В. Предельные функции Вайтмана ю,» (Ф (xt) . ..
. . . Ф (хт)) удовлетворяют всем вайтмановским аксио-
аксиомам (А) — (D), причем (весьма вероятно) в спектре операто-
операторов пространственно-временных трансляций содержится
одночастичный гиперболоид, отвечающий положитель-
положительной массе т0, но отсутствие точек спектра, отвечаю-
отвечающих частицам^ с массой между т0 и 2т0, не гаран-
гарантируется.
Весьма правдоподобно, что оператор рассеяния для
взаимодействия Р (Ф)г отличен и от нуля и от единицы,
но пока весьма трудно доказать условие полноты (Е) из
главы 0. Ряд результатов на пути построения ЛСЦ-фор-
мализма, т. е. построения упорядоченных по времени и за-
запаздывающих обобщенных функций (F) из гл. 0 на основе
функций Вайтмана, был получен Нельсоном [N5]. От-
Отметим также, что многие свойства полевой теории без
обрезаний имеют аналоги в квантовой статистической
механике при нулевой температуре. Поучительный пример
на эту тему обсуждается в [НИ].
В более сингулярном случае модели (Ф*Г4ГJ Глимм
и Джаффе [G17, G15] показали, что пространственно
175

обрезанный, но перенормированный гамильтониан HU (g)
порождает эволюцию во времени, описываемую операто-
оператором эволюции exp{itHU (g)}, отвечающую конечной
скорости распространения возмущений и на основе этого
построили корректную локальную динамику. Шрадер
[S3] получил оценки для энергии е (g) и доказал локаль-
локальную фоковость состояния Юоо и представления лш. Для
модели (ФТТJ также проверены все аксиомы Хаага —
Кастлера, исключая пока лоренцевскую ковариантность
и возможно проведение исследования на уровне аксиом
Вайтмана.
Трудности в изучении модели типа С, отвечающей
взаимодействию Ф*, все еще значительны, но недавно
полученное доказательство (см. [G19]) положительности
гамильтониана #«, {g) делает и эту модель доступной для
исследования современными методами.
Для еще более сингулярных взаимодействий типа
DEF канонический формализм, основанный на гайзенбер-
говых полях Ф (t, х) и П (t, x), получаемых из свободных
полей Фо @, х) и По @, х), взятых в фиксированный
начальный момент времени t = 0, ведет к серьезным
противоречиям уже в первом порядке теории возмущений,
где не может помочь никакая перенормировка.
Мы уже видели, что гайзенберговы поля, определен-
определенные рядом Дайсона — Швингера, в моделях типа DEF
не являются операторными обобщенными функциями даже
после интегрирования по t с гладкой функцией g(t)^
€= © (R1) (см. E.43)). Соответствующие расходимости, назы-
называемые «расходимостями Штюкельберга» [S18], происхо-
происходят из-за осциллирующих множителей exp {±^u1+2+s}.
возникающих при вычислении гайзенберговых полей
Ф (х), П (х) в терминах свободных полей Фо (х), По (х).
И хотя эти множители исчезают после интегрирования
с симметричными пробными функциями, но физически
более удовлетворительный способ борьбы с «расходимо-
«расходимостями Штюкельберга» основан на формализме Янга —
Фельдмана [Y1], где асимптотическое во времени пове-
поведение гайзенберговых полей Ф (t, x) связывается со сво-
свободными in-полями Ф^ (t, у). Для модели Ф\ это озна-
означает, что вайтмановское поле Ф должно удовлетворять
уравнению движения вида
О + >«а) Ф (x) = J (x, %) E.56)
176

и асимптотическому условию Лемана — Симанзика — Цим-
Циммермана
LSZ-lim (УТ® (*, ж) - Фщ (*, ж)) = 0, E.57)
(->—оо
где / (х, X) — перенормированный ток, который в пер-
первом порядке теории возмущений должен быть равен
— 4Я, :Ф1п (xK:, a LSZ-lim содержит перенормировоч-
перенормировочный множитель ]/"Z ( = C из @.29)), который может при-
приводить к трудностям в высших порядках теории возмуще-
возмущений. С точностью О (к2), однако, решение задачи E.56),
E.57) может быть получено в лоб:
+ lim i% \ &хё" \dy [:Ф1п (т, yf:, Ф1п (х)}. E.58)
* 1° —оо
При s + 1 = 4 величина в правой части равенства E.58)
представляет собой хорошо определенную операторную
обобщенную функцию на У (R4).
В следующей главе мы разовьем метод перенормировки
фейнмановских амплитуд, который также будет давать
решение задачи E.56), E.57), но уже в каждом порядке
теории возмущений.

Глава 6 ФУНКЦИИ ГРИНА
Хотя, как мы видели в предыдущей главе, в последнее
время получены прекрасные результаты, касающиеся
существования и физических свойств моделей типа Р (Ф)г,
мы все еще отделены огромным расстоянием от физических
взаимодействий типа
аФ\ + ЪФ\ + с (\Г?ФL + контрчлены, F.1)
которые, судя по численным расчетам (см. [ВЗ]), могут
очень хорошо описывать пион-ну к лонную систему. Даже
если результаты, относящиеся к Р (ФJ, будут распростра-
распространены на все физически разумные сверхперенормируемые
взаимодействия (пока (Т"Ч/"ФKне обладает даже плотно
заданным перенормированным гамильтонианом Нтеп (g)),
зто еще не может рассматриваться как убедительная аргу-
аргументация в пользу существования нетривиальных локаль-
локальных квантовых теорий поля в четырехмерном пространстве-
времени.
В зтом положении все же утешительно сознавать,
что — по крайней мере на уровне формальной теории воз-
возмущений — локальные квантовые теории могут быть по-
построены для всех лоренц-инвариантных полиномиальных
(и для широкого класса неполиномиальных) плотностей
взаимодействия и что эти формальные степенные ряды
удовлетворяют всем аксиомам Боголюбова и Лемана,
Симанцика, Циммермана (ЛСЦ).
Квантово-полевые модели можно строить многими,
внешне весьма различными путями. Самый старый и про-
простейший в вычислительном отношении способ состоит
в построении фейнмановских амплитуд, которые входят
в ряды Гел-Мана — Лоу для функций Грина. Довольно
неожиданно все динамические величины квантовой теории
поля, 5-матрица и гейзенберговы операторы поля выра-
выражаются по теории возмущений через фейнмановские
178

амплитуды в сочетании (которое уже не приводит к новым
трудностям) с произведениями Д+-функций и полиномов
Вика по свободным полям (см., например, [НЮ]). Поэто-
Поэтому мы изложим в этой главе строгую теорию перенорми-
перенормировки фейнмановских амплитуд, следуя рассуждениям
Боголюбова и Парасюка [В7, В6] и автора [Н5]. Мы
упомянем также и о других схемах перенормировки,
отметив несколько подробней изящество и простоту анали-
аналитической перенормировки Спира [S10]. Более изощрен-
изощренные схемы аксиоматической перенормировки Эпштейна
и Глазера [Е7, Е5, Е6] и Штайнмана [S14, S15], которые
могут оказаться полезными в лагранжевых теориях
с дополнительными связями [816], еще только зарожда-
зарождались, когда писались эти лекции. К сожалению, мы смо-
сможем только бегло коснуться этих очень интересных новых
результатов в самом конце этой главы.
Чтобы избежать несущественных для сути дела усложне-
усложнений в обозначениях, мы будем рассматривать теорию одно-
одного скалярного поля Ф (ж) с ненулевой массой т ^> 0 и ло-
локальным полиномиальным самодействием %V0 (x) (степень
которого и количество производных в котором произ-
произвольны). Пусть поле Фо (х) определено как в A.48) и
А
х) = са :D*, ХФО (х)... Da, аФо (х):, {6-2)
где Da, з — дифференциальный моном вида
1=о дх
с Da>(j = 1, если 2 n (a, C, i) = 0. Коэффициенты са та-
i
ковы, что
Vo {х) = Vo (x)*, 4
Uo (а, Л) Vo (х) Uo (а, Л)-1 = Vo (Л х + а).
Сейчас мы изучим усеченные функции Грина сначала
с двумя обрезаниями (см. [HI]):
(Ф„, g, Т (Фо, в (Xl) ...Ф„,й (хп)) Фо, е)т -
= (ф«, g, Т (Фа> 8 (хг)... Ф„, в (хп)) Ф«, 8) -
~ S П (Фа, „ Т (Фо, g {Xftl) ... Ф„, g {Xl r0))) фв, gf. F.5)
P i=i
179

Равенство F.5) представляет собой рекуррентное опреде-
определение, где суммирование распространяется по всем раз-
разбиениям {х[л, . . ., ж?гA)},..., {Хк, 1, • • ., Хк,г(к)} СОВО-
СОВОКУПНОСТИ координат {жх, . . ., хп) с к = к (Р) _>1 и где
(фв( в, Т (Фв, в (х)) фо> g)T = (ф„, g, Ф„, g (г) фв, g).
Аналогичное определение применимо как в случае функ-
функций Вайтмана, так и функций Грина (ср0, Т (Фо (х^) . . ¦
. . . Фо (хт) ... FOj(J (xn)) фо)о^, усеченных по отношению
к фоковскому вакууму.
Лемма 6.1. При а<оо и g = g e if (Rs)
(Ф„, g, Т (Фо, в (Xl) ...Фа,Й (хп)) фв, в)г =
n (d
i=m+l
X (Фо, T (Ф„ (хО ... Фо (жт) Fo, „ (awO - Vo, о (хп)) фо)оТ. F-6)
Доказательство. Если, исходя из F.6),
с помощью обратного к F.5) соотношения вычислить
(фо, g, Т {Фа, g (жО .. . Ф„, g (жт))ф0, g), то возникнет ряд ГМЛ
E.47). А
Результаты гл. 1 показывают, что при а < оо сред-
средние значения полиномов Вика вида
(ф0, Ф0(ж1).. . Ф0(жтO0,а
являются обобщенными функциями из &" (R(s+1)n). Но
при переходе к бесконечному объему (т. е. при g -*• 1)
в F.6) даже при а < оо обнаруживается две трудности.
Во-первых, упорядочивание времен в произведении
(Фо, Т (Фо К) . . F0,e (xn)) Фо)от F.8)
(говоря нестрого) требует умножения обобщенной функции
на характеристические функции типа 6 (ж? — х°2). . .
... 6 (а^_х — а?). Во-вторых, если F.8) существует и
имеет преобразование Фурье тГ'™ {pv • ¦ ¦, pm, pm+i, ¦ • •
. . ., рп) в ^"(R's+1'"), то предельный переход е J, О,
g -*- 1 (говоря нестрого) требует, чтобы сужение т™1 п на
линейное подмножество
m+1 = ...==Pn = 0} F.9)
существовало в ^"(R(s+1)in). Вместе с тем справедлива
180

Лемма 6.2. При гауссовском ультрафиолетовом об-
обрезании
ц = - в, F.10)
средние F.7) принадлежат пространству О и (R(s+Dn)
{пространству Шварца бесконечно дифференцируемых
функций медленного роста). Следовательно, функции F.8)
принадлежат $"(R(s+1)n). Функции г™'п после интегри-
интегрирования по рх, . . ., рт с функциями из У (R(s+«m) бес-
бесконечно дифференцируемы по /Wi» • • » Рп в окрестности
области F.9).
Доказательство. Функцию F.7) можно вы-
вычислить с помощью теоремы Вика. Сопоставим п аргумен-
аргументам х\, . . ., хп п точек (вершин) V\, . . ., Vn на плоско-
плоскости. Двухточечное подмножество
Dfoo, (e) (xm)}, i (I) < / @, F.11)
множества операторов полей
{Фо (хг),..., Фо (хт), Da, ЭФО (хт+1),..., Z)Y, 8Ф0 («„)} F.12)
из произведения Фо fa)... Фо (a:mO(am+l) (жт+1).. . 7(otn) (ж„),
1 ^ «i ^ 4, представим ориентированной линией Z, на-
направленной от (начальной) вершины Vi(i) к (конечной)
вершине F/(j). Тогда F.7) равно
( П Ч
am+i «„ i=m+l G I
F.13)
где сумма 2 берется по всем разбиениям множества F.12)
G
на подмножества типа F.11) такие, что »(Q</@ (так
как F(a> (ж) имеет нормальную форму), и такие, что графы
G=G ф",Щ с множеством вершин V={Vxi • • .» ^п) и мно-
п
жеством линийв^?={/1,..., l^}, L = fm + 2 ei) /2i связаны
m+i
(эффект усечения). Простое вычисление доказывает, что
(фо. О\Ф0> (о) (агг(о) О{Ф0, (о) (хт) фо) =
Х 0 («ад, - Ждг)) F.14)
181

и ре{1, 2}, поскольку G — связный граф. Назовем ли-
линию I внешней, если р = 1, и внутренней, если р = 2.
Граф G обладает т внешними линиями и т внешними
вершинами У{1, . . ., Vim. Из F.13) и F.14) вытекает, что
функции F.7) лежат в Ом (№sn>n) при а <С эо. Следо-
Следовательно, функции F.8) существуют и могут быть вычис-
вычислены путем замены F.14) на
D] (хт) Di {хт) Ар, а {хт — xlw) = А* „ (хщ) — ffw),
g 15
af (x) t !*>»ръ(рГ >¦***>
Pl°W~Bn)'+1J (p,p)-"*+iO •
Функцию F.15) будем называть фейнмановским пропага-
тором линии I, регуляризованным обрезанием а, а произ-
произведение
П AZ
— фейнмановской амплитудой графа G, регуляризованпой
обрезанием а.
Преобразование Фурье от амплитуды F.16) есть сверт-
свертка, которую изучал Брант [В10], показавший (см. приво-
приводимый ниже пример), что т^'" (Pi, • • •, рп) после умно-
умножения на функцию ф (plt . . ., рт) из У1 (R(s+Dm) и инте-
интегрирования по переменным рг, . . ., рт становится бес-
бесконечно дифференцируемой функцией по аргументам
Рт+1> ¦ ¦ •• ^п- ^
При а = ею вычисление средних F.7) с помощью тео-
теоремы Вика корректно и однозначно на пробных функциях
ф?^ (RE+1>m), обращающихся в нуль в е-окрестности
множества
U D = *?}• F-17)
Существует даже целое подпространство Уя (R(m>n), ле-
лежащее в .-У (R(s+1>fl), на котором преобразования Вика
имеют смысл. Для того чтобы уточнить это утверждение,
воспользуемся ковариантной регуляризацией фейнманов-
ского пропагатора Af (x), преобразование Фурье которо-
которого определяется формулой
?f(p)=, *l(p) , F.18)
(l>i p) — т I-t()
182

где Zi (р) — полином по р степени deg Zz (p) — тх. Пусть
е, г^>0. Коварианпгно регуляризованным пропагапгором
Фейнмана назовем функцию
Ясно,
ЛГ(Р)
ЛГ(*
также
что
Г(Р) =
А?
Z, (р) \ daefat(P> p)-m'+*«].
7*
= lim lim A*'r
ЕЕ 0jif (RS+1) и его преобразование Фурье
. i
) 4~
лежит в
Ом (R'
L)^exp {_,[(-) + a(,
s+1). Следовательно,
F.19)
F.20)
7l2-i8)]}
F.21)
обладает преобразованием Фурье, в котором можно изме-
изменить последовательность проведения свертки и интегри-
интегрирования по а. Вычисление гауссовского интеграла три-
тривиально и дает (см. 6.27))
п
X exp {i [ 2 A i (Pv Pi) ~ 2 «г К - te)l}- F-22)
i, 3=1 !
Здесь Л^у = >lj?y (а) — непрерывная, рациональная и од-
однородная (степени один) функция о, аи (а, р) — непре-
непрерывная рациональная функция аир, изменяющихся
в [?•, oo)L х R^+i)»1. Множитель exp {— ej] aJ управ-
управляет сходимостью F.22) на бесконечности.
FlycTbcS^jv (R<s+1)n) — подпространство (с индуцированной
топологией) всех фЕ<^(Ё''+1)Г1) с (Dtp) (жх, . . ., хп) = 0 на
U" {«i = sj} F-23)
для всех D степени, не большей N.
183

Теорема 6.3. Найдется N = TV (G) такое, что
для всех ф е &N (R<s+1)n) предел
({> F.24)
По N'[ /
существует и определяет линейный непрерывный функ-
функционал.
Доказательство будет получено как следствие к
теореме 6.13. А.
Определение. Если в теореме 6.3 N = 0 для
всех графов G из F.8), то
ЕПЛг'' F-25)
в 40 ПО I
есть ковариантное вакуумное среднее (ВС) Т-произведе-
ния F.8).
Замечание. Для (ф„, Т (D Фо (х) D' Фо (х')) ф0)
это определение совпадает с определением Вайнберга
[W 21, т. е. с 7"*-произведением D (x) D (x') AF (x — х').
В общем случае предел F.25) на всем if (R<s+Dn) не
существует. Боголюбов и Парасюк истолковали перенор-
перенормировку как линейное непрерывное расширение функцио-
функционала F.24) с Ум на if. if представляет собой пересечение
банаховых пространств #*»' функций ф d С*, которые
вместе со своими производными степени <^ к убывают
на^бесконечности как A + |]р\)~1- Если аналогичным
образом определить пространства^^'', то теорема 6.3 оста-
останется справедливой после замены if^ на if)qli a if на ifk'l
с достаточно большими к и I. Тогда теорема Хана — Бана-
Банаха (см. [D7]) будет гарантировать существование нужного
для теории перенормировок продолжения, яо, конечно,
без всякой единственности такого продолжения.
Для того чтобы получить соответствие с перенормиров-
перенормировками в гамильтоновом формализме для взаимодействий
типа В или С, необходимо ограничить произвол, возни-
возникающий при продолжении фейнмановских амплитуд с по-
помощью теоремы Хана — Банаха. Существует аксиомати-
аксиоматическая характеризация нужных расширений упорядочен-
упорядоченных (и антиупорядоченных) по времени фейнмановских
амплитуд, основанная на требованиях унитарности, при-
причинности и лоренцевской ковариантности (см. [Н10]).
Такое описание нужных расширений достаточно гибко
184

для того, чтобы с его помощью можно было доказать, что
две аксиоматические схемы перенормировок эквивалентны
при надлежащем выборе конечных перенормировок F.134)
(см. [НЮ, S12]).
В зависимости от выбора представления для амплиту-
амплитуды 11 Af трудности перенормировки проявляют себя раз-
i
личным образом. Наиболее аффективные методы борьбы
с ними, разработанные за последние два десятилетия,
.можно разбить на следующие три группы:
a) Перенормировка в координатном пространстве.
В таком подходе трудности проистекают из-за наличия
у функции AF (ж) сингулярностей типа А б ((ж, ж)) +
+ В {х, ж) -\- С In ((ж, х)) -\- D 0 ((ж, х)) на световом ко-
конусе (типичные ссылки: [Cl, T1]).
b) Перенормировка в импульсном пространстве. Здесь
вредит слабое убывание на бесконечности подынтеграль-
подынтегральных выражений в интегралах свертки. Дополнительная
трудность связана с условным характером сходимости
интегралов в пространстве Минковского (типичные ссыл-
ссылки: ID8, SI, Wl, W9, В4, К9, Z3, W3]).
c) Перенормировка в пространстве параметров а.
Здесь величина R (а, р) из (Ь.22) не всегда локально
интегрируема, если al{1) j 0,.. ., ащ { 0 (типичные ссыл-
ссылки: [В6, В7, Н5, ВЦ, S10]). В дальнейшем мы 'будем
использовать именно это представление, имея в виду сле-
следующие его достоинства: экономичность в выборе контр-
контрчленов (см. дальше пример), элементарность аналити-
аналитических операций в пространстве Минковского и возмож-
возможность строить фейнмановские амплитуды в обычном виде.
Пример. Сначала мы проиллюстрируем метод Бо-
Боголюбова примером, который продемонстрирует экви-
эквивалентность этой феноменологической процедуры перенор-
перенормированному гамильтонову формализму моделей типа
В или С.
Двухточечная функция для взаимодействия Ф*+1 во
втором порядке теории возмущений имеет вид
о, Т (Фо (хг) Фо (я2) :Ф0, „ (я3L: :Ф0>
= (— if 96 ^ dx3dXiAl а (х± — х3) Д? а (х3 — ж4K А^ 0 (ж4 — хг).
F.26)
Подсчитаем Д?„ (хK, используя F.19) и следующее
185

правило вычисления гауссова интеграла:
dt exp {i (at2 + Ы)} ==
™ /—'¦— _ ""
= lim \ dt exp {i (at2 + Ы) — ct2} = Л/ — e~ ~п . F.27)
el°_i, a
Полагая d; = aj — 2ir\ и вспоминая определения F.10),
F.15) и равенства F.18), F.19), F.20), получим
оо оо оо з ехр
i [л/2 — Арг — 5] а{ (m2 — i0) 1}
0 0 0
F.28)
Видно, что при т] ^> 0 функция Fa из F.28) лежит в
^'(R5+1), поскольку (axa2 + c^ctj 4- ааа3I/8 локально интег-
интегрируемо и (ujfij + й^з + a2a8) =?= О ПРИ аг > 0. При
т] = 0 замена переменных
X = ttl + «г + «з. a* = Я0|, F.29)
приводит к локально неинтегрируем ому (при s ^> 1) мно-
множителю Я1-8.
Преобразование Фурье F.26) дает функцию
4 2
(- 0а 96 5 П ^i exp {i S (Pi. 4)} Ai^ - (ДС oK Ai^ a =
= - Bя)-с+«в (pi 4- Ра) (- О2 96 (- inf* Fa (pi) x
X ^.^-т. + д,. F-30)
лежащую, в соответствии с леммой 6.2, в if" (Rs+1) (см.
доказательство теоремы 6.13).
Перенормировка массы при s = 2 превращает Fo (p)
и F.30) в прекрасно определенные лоренц-ковариантные
186

(при о* = оо) функции. Кроме того, согласно гл. 4 выбор
такой перенормировки в виде
Mf = V°a -c_ r+(F*) + Vl -о- Г (V3a) F.31)
3 3
гарантирует (с точностью до второго порядка) совпадение
физической массы с величиной т. При нормировке A.44)
-™1
М?> = ^ ^21 е-™1 2а- (ft) о (р,) т. (ft), F.32)
т. (я) - 48 BЯ)- ^ П (^ .** ) {B тГ» B Я.) +
4 -1 4
г=2 г=2
Пусть
а(р) + а'(-Р)}- F-34)
Тогда Mf = \dx {Фо>:+ (х) Ф„, _ (ае)+Фо, +(ас) ФС) _ (х)} и опе-
оператор
дает перенормировку массы в модели Фз, которую с уче-
учетом пространственного обрезания можно было бы исполь-
использовать в теореме 4.15. Замена Va-*~ Va -\-Ma порождает
во втором порядке теории вовмущений дополнительный
(корректирующий) член вида
(-0 5 dx3 (ф0, Т (Фо (Xl) Фо (х2) :Ф0, „ (х3) Фо, „ (х3):) ф0)ог, F.35)
преобразование Фурье которого дает
Bя)-1 (_ 0 2m0 (ft) б (й + р.) ^7__ii_^nrJ . F.36)
Нудное вычисление, основанное на теории вычетов, дает
m. (ft) = 48 Bя)-«-) 5 Д ^f-nfil* X
х в 12! д-л). F.37)
г=3 1
187

Следовательно, Fa (pt) в F.30) должно быть заменено на
Fo(Pi, Pi) — Fa (ц (Pi), Pi). G помощью формулы
1
= -L\dx A - т)* -^ f (rp + A - т)p«»), F.38)
представляющей в удобном виде разность между функцией
/ (р) и ее разложением в ряд Тейлора до членов к-то по-
порядка около точки р° получаем
1 oo oo 3
0 0 0 i=l
X
X exp {i [л (tp02 + A — т) fi (pJ) —
з
- S «iK - i0)]}- F-39)
При s = 2 предел F.39) при a ->¦ oo существует, лежит
в У" (R3) и ковариантен, поскольку
А (тр°* + A - т) ^2 )_ Л_р2 = Л (т (р, р) + A - т) тп%
Пусть г, е ^> 0 и Fz<r (р) — выражение, получающе-
получающееся из Fa (р) после замены Д?о на пропагатор Afjr, регу-
ляризованный согласно F.19). В таком случае получаем
важное соотношение
lim lim {FE-r ((p, p)) - Г •r K)} =
p)}, F.40)
являющееся хорошим предзнаменованием для локаль-
локальной гамильтоновой теории: предел при a —*¦ оо функций
Грина, вычисленных с помощью нековариантного гамиль-
гамильтониана и нековариантнои расходящейся перенормировки
массы, явно лоренц-инвариантен и совпадает с функция-
функциями Грива, перенормированными методом Боголюбова.
188

Ma = I dx :Ф„ (ас) Фа (ас): с произвольной функцией
та (р) — наиболее общий контрчлен в Но, который во
втором порядке дает вклад типа F.35) и который может
играть роль вычитания в F.30). Отсюда вытекает,
что при s ^> 2 ни один контрчлен в Но не может регуляризо-
вать F.30). Рецепт Боголюбова состоит в замене
/е>г0>) на
о
где р@> — любая точка на гиперболоиде (р, р) = т2 и
d = 2 (s + 1) — 6 F.42)
—«индекс расходимости» интеграла F.28). В связи с тем,
что F*>r (p) = F*<r ((p, р)), получаем, что
&'Г(Р) = -^\dx(l -ту ^Г-'(т(р, р) + A -т)т?) =
о
1 оо со 3
* I [(р, р) - ^2]с+1 X
0 г г i=1
'8+3+2Q
X
(ага2 + с^аз + а2а3) 2 exp {i[A (т (р, р)
з
+ A - т) т2) - S «г (т' - ie)]}. F.43)
Теперь можно перейти к пределу г | 0 и после замены
F.29) осуществить интегрирование по %. Тогда предел
11113
() \\\\
J,о г4,о о 000
S+3+2C
X (PiP, + PiPs + Ш 2 (Р1Р2Р8Г1 [(P, P) - ™2]c+1 X
-i-c-i
X [ A (P) {T (p, p) + A - T)m2} - m2 + Ю] * F.44)
существует в <У (Rs+1) и дает цнтеграл Фейнмаца в при-
привычном виде.
189

Программа. Пусть G {V, X) — фиксированный
граф из произведения F.8) с регуляризованной амплиту-
амплитудой Пде;'г=;гр.г. Мы собираемся определить функцию
i
Г*-г (рх, . . .,рп), которая, без учета множителя 8 BiPi)>
лежит в Ом (R4n)> такова, что <ГЕ>Г, ф> = 0 для всех
Ф 6Е ^"jv (R*n)» и для которой предел
существует для всех ipG^1 (R4Tl) и совместим с фор-
формальной структурой квантовой теории поля (см. тео-
теорему 6.14).
Определение. Непустое подмножество U d V =
= {Fx, . . ., Vn} вершин графа G назовем обобщенной
вершиной. Обобщенную вершину U назовем элементар-
элементарной, если она состоит точно из одной вершины V). Будем
говорить, что линия !е2 содержится в U (писать
I < U), если Vi(l), F/(oe U.
Л Пусть {Ult . . ., Um} — разбиение V и Л С ? — мно-
множество линий, соединяющих различные элементы из
{их, . . ., llm}, I -^ tt/, 1 < / < т. Граф, получаемый
отождествлением всех вершин, лежащих в одном и том же
U^, и стягиванием в точку всех линий I ¦< U;-, I <J / ^ т,
обозначим через G ({й^ . . . Um}, Jf), или, если это не
может привести к недоразумению, через G ({иг, . . .
¦ ¦ ., Пт}, X).
Рис. 6.1.
Пример. На рис. 6.1 Пг = {Flt F3}, tt2 = {F2},
Us = {Vt} и М = X.
Размерностью d (U) обобщенной вершины U =
= {Vx, . . ., Fm} назовем «индекс расходимости» под-
подграфа G ({V[, . . ., V'm), X) графа G {W,X), определяемый
190

формулой
F.45)
где ri = deg (Zt) (см. F.18)) и |U| — число элементов в U.
Пусть deZ, (*«») = (р?\ . .., pf) e R« и Г ?Е
е #" (R4ft) имеет вид
(
), teC-(Rj»).
F.46)
Определим операцию М
, действующую на Т (р):
О, если d <^ О,
F.47)
если
0,
где 6 (t>) — тейлоровское разложение функции т (р) около
точки р@) до степени d.
[Теперь можно сказать, что «вычитание», описанное при обсуж-
обсуждении перенормировки функции Грина F.26), состояло в примене-
применении операции 1 — М (d, p@)) к регуляриаованной амплитуде
Фейнмана Ft<r {p)t что убирало расходимость, связанную с сингу-
сингулярностью подынтегрального выражения в интеграле F.28) при
ах = а2 = аз = 0, и приводило к перенормированной амплитуде
^?е'г (р), не содержащей расходимостей при г —* 0. В общем случае
применение операции 1 — М (d, 0) к амплитуде Жг> т также убирает
расходимости, связанные с точкой ai = ... = aL = 0, но в произволь-
произвольной амплитуде Фейнмана &*'т расходимости интегралов типа F.22)
могут вызываться еще и сингулярностями, обусловленными обра-
обращением в нуль некоторых совокупностей параметров [}, появляю-
появляющихся после вамен типа F.29). Для того чтооы избавиться от этих
«внутренних» расходимостей, необходима целая серия вычитаний,
совокупность которых и задает определяемые ниже контрчлены
Ге>г. —Прим. перев.]
Нвперенормированная (регуляризованная) фейнманов-
ская амплитуда f*-7" = П Af'r графа G {V, %) получа-
i
ется сопоставлением каждой вершине Vj e= W множите-
множителя 1 и перемножением функций Af'r, сопоставляемых
каждой линии /ё2. Контрчлен Ге>г в соответствии с ре-
рецептом Боголюбова — Парасюка строится в ж-пространст-
ве следующим образом.
191

Пусть U = {Vu . . ., Vj) (Z.W — некоторая обоб-
обобщенная вершина и Р — произвольное разбиение
{Uijd), • • •» U?j(S), . . ., Uf(P)i j(k(P))} множества U на к (Р)
непересекающихся подмножеств llf ;-D) = {F^i , . . .
• • •» yf,ju)}> содержащих / (s) элементов, так что
И(Р)
U Uf^j-(S) = U и 2j/ (s) = /. Сопоставим обобщенной
fc(
вершине U обобщенную функцию Ж%г (U) (часто назы-
называемую вершинной частью) с носителем на поверх-
поверхности хх = ... = xj, руководствуясь следующим
правилом:
1, если вершина U элементарна,
О, если G(\X,SS) есть 14 П-граф 1),
& (U) во всех других случаях,
*<р> F.48)
—е г \ ^1 Т~Г -v»? г Р Р Т"Т ? г
*/Ь ?g ( W1 == / i I 1 «Х-^^ V \ ' я 1 ? ¦ ¦ ' ) • s i(s)}) II ^1 9
Р s=l coan
где сумма 21 берется по всем тем разбиениям Р, в которых
р
1 <;А (Р)^]', а произведение П берется по линиям !ёЖ,
conn
соединяющим различные обобщенные подвершины U^)
из фиксированного разбиения {Ui.jd), . . ., U^(P),j(A(p»^
Действуя по индукции, легко увидеть, что функция
Я%х (U) имеет вид F.46), так что операция М =
= М (d (U), 0) на ней корректно определена. Контрчлен
Т%г (V) определяется соотношением
т(Р)
ПггBО = 2Д Xbr(UC«(i)) П Л''Г> F-49)
Р i=l conn
где сумма берется по всем разбиениям {U?n(i), . . .
• • ., Um(P), п(тп(Р»} множества W на т (Р) < п подмно-
подмножеств U?n(i). Более общее определение с произвольным
выбором «конечных перенормировок» будет дано несколь-
несколько позже (см. F.137).
г) Напомним, что сокращение АЧП означает Л-частично приводи-
приводимый, а АЧН — А-частично неприводимый граф. — Прим. перев.
192

[В определении вершинной части •?#*" (U) 1ЧН- и 1ЧП-графы
участвуют принципиально различным образом. Эту разницу легко
цонять, если учесть следующий факт. Любой 1ЧП-граф G может
быть естественным образом разложен на некоторое число 1ЧН-гра-
фов G , ..., G' 'и совокупность единичных линий h, ..., lj. Пусть
Ц^) = {V[k\ ..., Vf^k)}—множество вершин, входящих в С((с),
и у[к) = ж|й)—х^к)ку i = l, ..., j (к) — 1, —переменные линий
I < U(/f'. Пусть еще zm = х^г ,—ж^(, ч—переменные линий
1т, т — 1, ...,;'. Поскольку С есть 1ЧП-граф, переменные у№
и zm линейно независимы и фейнмаповская амплитуда графа G может
быть представлена в виде
К о
Ss'r(G) = Д &*'Г(О^) Д Аг?'г,
где jre>r ((?№) зависят только от переменных {t/f\ ..., ^ц},
а Д>'г —только от переменных zm. Это означает, что gt>r (G) пред-
т
ставляет собой тензорное произведение обобщенных функций и за-
задача фактически сводится к проблеме построения перенормирован-
перенормированной амплитуды для 1ЧН-графов. — Прим. перев.]
Назовем обобщенную функцию
I
перенормированной (и регуляризованной) фейнмановской
амплитудой графа G {ffl, X). Для доказательства того,
что предел lim lim Яг? (V) существует
и лежит в У" (R*n), мы изучим комби-
комбинаторные и аналитические свойства амп-
амплитуды Я%г, рассмотрев сначала про-
простой, но не тривиальный
Пример (см. [S1]). Пусть граф
G (V, X) имеет вид, представленный
на рис. 6.2, и г* = deg Zh (p) = 1 для
линий Z; с номерами i = 1, 2, 3, 4 иг6 =
= de? Zh (p) = 0 для линии 1Ъ, как это бывает при взаи-
взаимодействии (ФТТL. Тогда перенормированная регуля-
ризованная амплитуда J?|?r (W), отвечающая графу
G {1?, ?), может быть представлена суммой членов, изоб-
изображенных диаграммами рис. 6.3, где пунктир обозначает
часть амплитуды, к которой применяется соответствую-
соответствующая операция — Му и где опущены разбиения, цающие
7 к. хепп 183

тривиальный вклад. Ясно, что сумма трех последних графов
равна вершинной части 3c%r {{V±, У2, V3, V^}). В рассмат-
рассматриваемом примере проявляется серьезная трудность: для
+
Рис. 6.3.
сходимости Mt'r при г —> О приходится делать вычита-
вычитания, отвечающие частично перекрывающимся разбиениям:
{{Vt, F2, F4}, {Fs}} и {{VJ, {F2, V,, F4}}, которые
ведут к «перекрывающимся'» расходимостям.
[Основная трудность в исследовании предельного перехода
lim ?R-%r (V) связывалась обычно с существованием только что упо-
мянутых «перекрывающихся расходимостеи», ведущих к вычитани-
вычитаниям, которые необходимо делать для обобщенных вершин U{ и Uj та-
таких, что и, П Uj Ф 0, но и Ц{ ф Uj, Uj ф U|. Вместе с тем простые
примеры показывали, что хотя амплитуда 3V^ {V) в целом может
расходиться при г J 0, некоторые частичные суммы контрчленов
оказываются сходящимися при ограничении области интегрирова-
интегрирования условиями типа <хг1 ^ а[а > ... ;> а. ;> 0. Это приводит к сле-
следующей комбинаторной проблеме: пусть задано некоторое упоря-
упорядочивание линий графа G (W, SS), например h ^> 1г > ... > lL;
можно ли разбить амплитуду 31^ (V) на части, содержащие толь-
только неперекрывающиеся вычитания, с условием сохранения задан-
заданного упорядочивания так, чтобы «правильное вычитание было на
правильном месте»? Развиваемая ниже комбинаторная техника, опи-
описанная впервые в работе [Н5] автора книги, позволяет преодолеть
эту трудпость. Следует, однако, отметить, что к настоящему вре-
времени найдены более простые методы доказательства «конечности
^-операции», в основе которых лежит явное разрешение рекур-
рекуррентных соотношений F.48), определяющих перенормированную ре-
гуляризованную амплитуду &1г? (V) (см. [А2, А*4, Zl, Z4]) —
Прим, перев.]
194

Определение. Множество 3d подмножеств из
V назовем кустом, если
A) Все одновершинные подмножества {Vj}, . . ., {Vn}
лежат в 3d.
B) Если 11;, Uj е 33, то либо \Xt d U,-, либо U;- С
CZ Uj, либо Uj P| t^ = 0 (т. е. либо включение, либо
дизъюнктность).
C) Если обобщенная вершина U ?Е 33 иеэлементар-
на, то G (U, X) есть 1ЧН-граф.
Пример. ЗВ0 = {{Vj}, . . ., {Vn}} — куст (см.
также пример на стр. 217).
Множество 33 частично упорядочено по включению.
Пусть U A), . . ., U (к) — максимальные элементы в
3d и U (/, 1), . . ., 11 (/, /) — максимальные подмножест-
подмножества в U (/), где / = Aц . . ., if) всегда будет указывать
UI111) Ш112) 1H1ZZ3) Ш1) HW-2)
Рис. 6.4.
цепочку включений U (ix) Z) U (i^ i2) 3 ... ID U (/),
однозначно характеризующих U (/). Рис. 6.4 дает при-
пример возможных ситуаций.
Фейнмановская амплитуда $ C3) куста 33 рекуррент-
но определяется следующими правилами:
Г* (ВД) =
1, если вершина II (/) элементарна,
»Л) 11 ^( в противном случае,
conn
F.51)
j conn
где мы опустили индексы е,г ^> 0.
Пример. $ш (Зд0) = П лг-
195

Лемма 6.4. Mg (V) = У .f se {33), где суммирова-
суммирование идет по всем кустам 33 из G B^, X).
Ясно, что все амплитуды ^%г (ЗВ) могут расходиться
при г [ 0. Куст с двумя видами обобщенных вершин
(на фейнмановские амплитуды которых будут дейст-
действовать операции A — М) и (— М)) представляет собой
дерево.
Более точно:
Определение. Тройка Л — {33, а, ,М) назы-
называется деревом, если
A) 33 — куст,
B) сг: 33 -*¦ {-\- I, —1} — отображение со следую-
следующими значениями:
a) сг (Ц (/)) = — 1, если вершина U (/) элементарна,
b) a (U (i)) = -j-1, если вершина U (i) неэлементарна,
C) Jl CZ ? содержит п — 1 линию. Для каждой не-
неэлементарной вершины U (I) ЕЕ 33 линии I ЕЕ .М, содер-
содержащиеся в U (/), I ¦< U (/), но при всех i не содержащие-
содержащиеся в U (/, г), I *fc U (/, i), соединяют между собой
U (/, i) без замкнутых петель (см. рис. 6.5). Кроме того,
граф G ({U A), . . ., U (к)}, .М) односвязен.
Пример. См. рис. 6.5.
Обобщенную вершину назовем ветвью, если U (/) 6Е
6Е сг (+1), и побегом, если U (/) ЕЕ з (—1). Фейнма-
новская амплитуда <$ (А) дерева определяется следую-
следующими рекуррентными соотношениями:
1, если U (I) элементарна,
(и (/,{)) ПА,), если U(/) неэлементарна
conn ' HCJ(U(/)) = -l,
= <
A — ЛЛ(ТЪГ Ш/ШГТД,) если U(Z) неэлементарна
i conn и <3(«(/)) = + 1.
F.52)
5" (А) является суммой ^1' ? & C3) амплитуд подмножест-
подмножества кустов, определяющих Я в лемме 6.4. Если G (V, %)
содержит расходящиеся подграфы, перекрывающиеся
196

лишь частично, то каждая амплитуда fgr(iA) может
также расходиться при г { 0.
ш#1)С0 ¦•¦
ШЛ)(
ГО
Рис. 6.5.
;
V
Эта ситуация радикально меняется, если область
интегрирования делится на секторы
Sn,r = {ЩпЦ)) > ад-B)) > •. > ад^ь)) > г}. F.53)
Мы увидим, что в каждом секторе Sn>r можно найти конеч-
конечное число деревьев A*,i, I <^ t ^ / (я)> таких, что
Л")
¦Я*/0>) = 22 5 daf%(J^(a,p)8[2iPi) F-54)
я t=lSn>r
(f % {Л) (а, р) — подынтегральное выражение амплитуды
f lsr (<An,i) (V) без б B (Pi))), и таких, что пределы
lim ^ da#^(X,i)(a,p) F.55)
существуют в Ом (R4n), а пределы
lim lim \ dai%(Jln,i)(a,VN(T(Pi)) F-56)
— в сУ (R4™) со свойствами аналитичности по р, характер-
характерными для обычного фейнмановского интеграла.
Фиксируем поэтому сектор 5П]Г и обсудим подынте-
подынтегральное выражение фейнмановской амплитуды в а-пред-
ставлении. Неравенства в F.53) задают естественное
упорядочивание множества линий X: V ^> I", если V =
= l(n(i)), V = l(n(j)) и i<f.
Пусть А = {S3, а, .М) — дерево. Введем новые обозна-
обозначения: a (I) = a (U (/)); d (I) = d (U (/)); / > /', если
197

U (/) ZD U (/'); / > /', если U (/) => VL (/');
F.57)
U Jf(J).
Следующая теорема позволяет контролировать перекры-
перекрывающиеся расходимости в а-пространстве.
Теорема 6.5. В каждом секторе Sn<r существует
конечное число деревьев Лп,г со свойством F.54). Пусть
ЛпЛ = {^, of, ,^} и I ё Ж \ .М содержится в UeS.
Пусть U (iv . . ., ir) — минимальная ветвь, содержа-
содержащая I, и U (iv . . ., it) — минимальный элемент из Ш,
содержащий I. Тогда
t
I' для всех !'eU Ж (k, ...,is) F.58)
в смысле порядка в Sn<r.
Поскольку доказательство этой теоремы требует неко-
некоторой комбинаторной техники, ознакомимся сначала
с ее основными приложениями.
Теорема 6.6. Пусть Л = {53, <т, ,м} — дерево
из разложения в теореме 6.5. Пусть U (I) ?Е 5$ — ветвь
(от (/) = 1). Тогда подынтегральное выражение fE (U (/))(а, р)
равно конечной сумме членов типа
«( 2 Pi) U^dx(J)Z'(p)QJ(a,x)l[[DJRJ(A')x
X SJ(B')} exp {l 2 T GJ ^y (A, ft) - i 2 «j К - ie)}.
F.59)
Для побега U (I) (a (I) = — 1) ,fE (U (/)) (а, р) имеет
такую же структуру, но с % (I) = 0. В F.59) приняты
следующие обозначения'.
A) Z1 (р) — моном по pi (Fj e U (/)) степени 2х (/) +
+ »(/).
193

B) Q1 (а, т) — функция, рациональная по аг (t •<
•< U (/)) и % (J) (J <^ /) — однородная (нулевой степени)
no а и равномерно ограниченная на
Тп = Тп (I) =
= {(а, " . ., t(J), . . .) | ое 5я,в, 0 <г(/)<1, (/</)}
F.60)
функция,
C) DJ = П DJ2 с функцией Dt = Dt (а, т), рацио-
иалъной по а, т, однородной (степени ~\-1) по а и
такой, что 23г]>а( в Т„,
D) Л7 = (Ai^CVt, Vj G U(/)) — положительная квад-
квадратичная форма с Aitj (а, т) — рациональной функцией
от а, т, однородной (степени -f-1) no а. Существует
a (J) <С оо такое, что в Т„
| Л« |< a (J) max {а, | Z е М" (/)}, F.61)
E) /?J (.4J) — моном по A\j степени х (J),
F) Я? (а, т) A < i, ] < | U (/) | +1 ?' (J)\Jt I) - рацио-
рациональная по а, т, однородная (степени — 1) по а функция.
Существует Ъ (J) < оо такое, что в Тп
|В%|<Ь(J)max{щ1 \1<=%'(J)\ Jf}, F.62)
G) SJ (BJ) — моном no B'lj степени у (J),
(8)*(/), у (/),«(/) eZ+«
x(J) = y (J) = *(/) = 0,
еслм вершина U (/) элементарна,
x (у) > min {A e Z | k >(d (J) + 1 - z (J))/2],
если a(J) = i, F.63)
x(J)^(d(J)~z(J))/2, если вершина VL(J)
неэлементарна и a(J) = — 1,
2y (J) + z (J) < 2 П + 2 B* (/, 0 + г (/, 0).
I<U(J) г
Доказательство. (Путем педантичного вы-
вычисления.) Пусть seZ+ — наибольшее целое, для кото-
которого U (/, iv ..., is) — элементарная вершина, ilt ...
199

...,iseZ+. Пусть S = s (I) — порядок U (/). Если s (I) =
= 0, то U (/) — элементарная вершина, и теорема вы-
выполняется тривиальным образом. Имея в виду индуктив-
индуктивное доказательство, предположим, что теорема 6.6 верна
для всех U (/) е S с s ()) < s (/), т. е. для всех U (/) CZ
С U (/). Опустим далее индексы е и Л и будем рассматри-
рассматривать Д(, g(U(/)), ... как подынтегральные выражения ин-
интегралов по а.
Поскольку Ж (I) связывает U (I, i), не делая замкну-
замкнутых петель, мы легко можем вычислить
П Ai-
' (I)
Согласно теореме о свертке мы имеем интеграл по
\Jl'(I)\ импульсам функций Аг, который тривиально бе-
берется с помощью | Ж (/) | из | Ж (/) | + 1 б-функций,
входящих в f (U (/, i)). В ^-пространстве тогда получаем
сумму членов
( ' S Pi) П I dr (/) П DJRJ (AJ) S* (BJ) П <?('Л («. т) X
V;sU(J) J<I о J<I i
(p) exp {i 2 Л^ (ft, д) - i 2 аг (m' - *e)}. F-64)
X
где
p) (r
— моном no/); (F^^ U (/)) степени не большей, чем
2 r,+2Bs(/,0+«('.0). F-65)
а А$ — линейная комбинация аь I g= ,//¦' (/), и
т/Т Л2. Л(J' {' г re/Т Л i
Используем далее соотношения
_ _ . э .рт.
F.66)
Предположим, что после рассмотрения подмножества
Ж, состоящего из| Ж | линий (,//' (/) С «^* С 55' (/)), мы
200

имеем в F.64) вместо
Z« (р) ехр {i 2 Л# (ft. Л) - »2
сумму членов
+ 2 Щы +22 сй>лгк - 2 «* К - *«*)]>.
k,i=i VeU(T) fc=i г&*°и#(М)
F.67)
где /?| удовлетворяет свойствам, указанным в C), и
Z(n> (—iV) — моном no — i^ , 1 < ; << n, с
(/,0 + z(/,0]+ 2 П, F.68)
удовлетворяет свойствам, указанным в D), В(п) —
в F), а С$ (а, т) рационально по а, т, однородно (степени
0) по а и равномерно ограничено в Тк.
Пусть V ЕЕ 55' (/) \ ЛГ с VV{i) = Va, Fj'(/, = Vb. Ум-
Умножение преобразования Фурье нашего выражения на
At'(xa — хь) при обратном преобразовании Фурье дает
свертку. Пусть
+ l,i = а,
— l,i = b, F.69)
0 в остальных случаях.
Для вычисления свертки надо проинтегрировать на R* ве-
величину
о \
умноженную на F.67) с pt, замененным на Pi + etk. Это
— i- ) ехр {—шг- (т2 —
— ?е)} и действующее на
\ d*ft ехр [i [far + 2 -4«>eiej) (ft, ft) +
+ B2 А$р& + 2 Ci*V* + rn+1) A]} |r=0. F.70)
201

Гауссов интеграл может быть вычислен с помощью F.27).
В результате снова получим выражение вида F.67) с до-
дополнительным фактором — itfDJ?,
Dv = щ- -f- 2j A\j e^j, (Ь.71)
и с величинами
r,&
в® - -f A S сйЧсЯЧ, i < M < *,
F-72)
r, e
t-i,n+i = — L>V Za AH ev
3
заменяющими Z("), A<n\ B<-n\ С<п'. Поскольку Ап > 0,
то Dv > ar в Тп. Кроме того, I'e2\/ и Z' <
< U (J), причем U (/) содержится в минимальной для I'
ветви; поэтому a^' > a; для всех I ЕЕ .М" (I). Поскольку
А^ удовлетворяет условиям D) и D? > а;-, то D^Aip
равномерно ограничено в Тп и А(п+1' удовлетворяет ус-
условиям D). А(П+1'> > 0, так как для всех вещественных
(х) = (*, | f4 e u (/))
[
F.73)
Точно так же проверяется, что 2?(п+1' обладает свойствами
из F) и что С$+1) (а, т) рационально по а, т, однородно
(степени 0) по а и равномерно ограничено в Тп.
В итоге Y[f(K(I,i)) П А* имеет ВИД F-64) с
)
F.67) (jr = 2'(l), n = |U(O| + |S5'(/)\.^|) вместо
202

. Пусть
л!. _ л'п) р!, _ r{;1) /v П г)-2, /к 7Л^
Если теперь продифференцировать по г и положить г = О,
то получатся члены, в которых Z(n) (— iV) заменено на
C(a,T)Z(j))^Er) F.75)
(Q — моном по С'$, Z — моном по рг (F,- ?Е U (/)) степени
z (/) и Sr (В1) — моном по B\i степени у (/)). Поскольку
каждое дифференцирование по гк величины
exp {i S ВЪ,г1сГ1 + S C{*W*} F-76)
дает множитель i BУ 5^г{ -(- У Cu?Pi), а для того чтобы
уцелеть при г = 0 B\lrl должно быть продифференциро-
продифференцировано еще раз, получаем
deg Z + 2 deg 5' = z (/) + 2у (/) < deg Z<»> <
1+ 2 ^- F.77)
Пусть a (/) = — 1. Операция (—M) заменяет
Q (a, т) Z (*) S'(fl') exp {i S 4 (Pl, ft)}
на сумму членов
Q'(a,x)Zi(v)SI(Bi)Ri(Ai), F.78)
где ZJ (p) = 0, если z (I) ^> d (I), или в — противном
случае —
deg Z' = 2x (I) + z (/)< d (I), F.79)
где x (I) — степень монома В1 по 4'. Мономы Zr, (?J, i?J,
57, очевидно, удовлетворяют A), B), E), G) и (8). Если
а (I) = 1, то с помощью F.38) получаем, что 2х (I) -\-
+ *(/)>d +1, где
х (/) > min {к е Z | к >(d (/) + 1 - * (/))/2>. F.80)
А
Теорема 6.6 дает нам достаточно явной информации о
a-подынтегральных выражениях побегов и ветвей и поз-
позволяет доказать F.55).
203

Теорема 6.7. Пусть Л = {33, о, .М) — дерево из
разложения в теореме 6.5. Тогда !jf% (Л) (а, р) абсолютно
а-интегрируемо в ?л> 0 вместе со всеми своими производ-
производными по J) и
$ №п)- F.81)
Доказательство. Подсчитаем для каждого де-
дерева вклады малых а в числителе и больших а в знаме-
знаменателе.
Пусть Я = B | X I). Взяв F.59) для f (U (/)) (а, р),
видим, что произведение
П Dt1 П а* F-82)
локально интегрируемо в ?л> 0. Поскольку множитель
ехр {— i^]ai (m? — ?е)} быстро убывает, а все другие
множители растут медленно, достаточно убедиться, что
для каждой ветви U (/)
С'= П Г П ДГA+Х)][ П а?-х>]д1'D''M''AП
F.83)
непрерывно и ограничено в ?„, 0.
Пусть
U'G) = {UG)|/<J,U(/)n ких U(JC)=0}.F.84)
о (К). 1
Воспользуемся индуктивным доказательством, приняв
следующую гипотезу о С1:
a) если вершина U (/) элементарна, С1 = 1;
b) если а (I) = 1, то
С1 = F1 (а, т) G* (а, т) F.85)
с функциями F1, G1, непрерывными и медленно растущи-
растущими в Гл (см. F.60)). Функция F1 является произведением
П а?№ П (Ar,)^J'r's\ степень которого по аг (I e .//" (/))
и AJr, (U (/) е U" (/)) равна
| F.86)
что в силу F.63) неотрицательно;
204

с) если а (I) = —1 и вершина U (/) незлеыентарна, то
СШЦа, х) F.87)
непрерывно и медленно растет в Тп, если Н1 есть произ-
произведение, степень которого по AJrs (U (J) e U" (/) |J
U VL"(IX) U - U «"('*)) и а, (I е л" (I) и л" (I1) U -
... U Л" Aк)), где U Aк) — минимальная ветвь, содер-
содержащая U (/) и U (Iх) d ... d U (Ik~x) — цепочка побе-
побегов, содержащих U (/) с U (Iй-1) С U (/'"'), равна
4- [d (/) -2x{I)-z(I) + b\2 (I) \), F.88)
что в силу F.63) неотрицательно.
Мы изучим С1, применяя индукцию, основанную на
принятой гипотезе, ко всем U (I, i), при условии, что
вершина U (/) неэлементарна. В таком случае имеем
П DJA+X)) ( П а}-х) R* (A1) S4BI) Ц СУЯ.
) г
F.89)
Для каждой ветви U (/, i) СA>{> имеет вид F.85) с
fW = степени из F.86).
Пусть сначала а (I) = 1. Покажем, что
S D?~%)( П a\-)
°A,г)=1
П F9°)
с #<Г'{> типа F.87), F.88) и К1, непрерывным и медленно
растущим в Тт.. Этого достаточно для доказательства F.85):
для каждого побега U (/, ?) U (/) суть минимальная ветвь,
содержащая U (/, г). Следовательно, если Ш1'^ — про-
произведение а, и AJn (I t= Л" (I) U Л" (I, i); U (J) e
?Е U" (/) [J U" (/, г)) степени i [d (I, i) - 2x (I, i) -
— z(I, i) +k \X (I, i) |], то #<*.*> J5"a.*) непрерывно и
медленно растет в Тп.
Итак,
) П ^A'{) F-91)
. 205

есть произведение at (t е Л" (/)) и AJn (U (/) е U" (/)),
ибо при о- (/, 0 = 1, Л" G, i) С М" G) и U" G, i) С
CZ U" G). F.91) имеет степень
\l-X\\Jf'(I)\ + x(I)+ 2 1*(Л0 +
ч(Г,г)=1
+ |BG,0-^G,0)-Я|ЖG,0|]. F.92)
Используем F.63) для оценки
F.93)
,0]-2.(/G). F.94)
Следовательно, F.92) оценивается снизу величиной
S [^G,0 + 1(^G,0-
+ [х G) + 4- (г G) - d G)) - Ц X G) |] . F.95)
С учетом
| U G) | - | .//' G) | - 1 - J [ | U G, 0 I - Я
F.45) превращается в
= 2 <*(/,*)+ S (O+2)-4|.«'G)|. F.96)
Тогда F.96) и равенство \ X (I)\ = \ X'
преобразуют F.95) в
2 \±(d{I,i)-z(I,i))-
J,i)=-l
-xG, 0 + ^1^G,01} F.97)
206

По этой причине F.91) приобретает вид
pi Y[ НA'%г, F.98)
o(I, i)=-l
где степень U по ah I е Л" (/), и AJrs, U (/) е U" (/), не
меньше у (/) + A + К) 11 2' (/) | - | jT (/) | ].
Согласно теореме 6.6 величины | AJrs | ограничены зна-
значением max {а, | I е Л" (/)} а (/) и М" (J) CZ ^/" (/)
ввиду F.84). Тогда применима теорема 6.5, и U можно
использовать для того, чтобы сделать непрерывным в Тп
расходящийся фактор
( П ЯГ1-*) S1 (В1), F.99)
степень которого равна у (/) +A +Я,) [| X' (/) | —
- I Л' (/) |].
Наконец, пусть а (I) — —1. Гипотеза индукции пока-
показывает, что
R\Al)El П аГХ FЮ0)
1<=М\Х)
суть произведение а, (г е «" (/) U ••• U Л" (/*)) и AJr<s
(U (/) е U" (/) U ¦•• U u" (/*))• Согласно теоремам 6.5
и 6.6 эти множители могут быть использованы для ком-
компенсации (П^Г1^) S1 {В1) и образования множителя
П #(М\ F-101)
о(Г,|)=-1
зависящего от допустимых щ, Атп. Возможность это-
этого доказывает оценка степеней, подобная проведенной
выше. А
Возвратимся к доказательству теоремы 6.5. Для пере-
перераспределения слагаемых в Я без утери контрчленов и
с учетом порядка линий необходимо дальнейшее обоб-
обобщение используемых комбинаторных понятий и опреде-
определений. Сначала мы введем обобщенную ^-операцию.
Пусть {Пх, ..., UJ - разбиение V, Щ = {У1л, ...
• ••¦> Vi.rd)} и носитель Ж (U;) e ^"(R4r(i)) сосредоточен
в (xi,i = ••• = xi,r(i)}i I < i < s- Пусть Л С X. Приме-
Применительно к каждой обобщенной вершине U = Ux (J ...
207

... U U,,
{Ult ..., UJ, определим
3E(Ui), если« = 1,
0^ если G ({U^,..., 11^.}, M) есть 1ЧП-гра$,
— МЯм (Ui, . . ., U;) в остальных случаях, F.102)
(и;,..., п\) =
, F-юз)
Ц
Р j=l
где 2. берется по всем разбиениям {U^ ..., U(} на к > 1
подмножеств, П At берется по всем линиям I e X,
conn
Рис. 6.6.
соединяющим различные U1; ..., U('. M = М (d (Ut (J . . .
... U К])) определяется в F.47).
Замечание. Выбор Jf сказывается только через
1-частичную неприводимость G({UX, . . ., U*}, М), тог-
тогда как X входит в П и в определение d (Ul \J . . .
conn
. . . U Uf). Если ввести понятие обобщенного куста,
полагая в основу минимальные элементы Ux, . . ., Us, то
Я* («1, • • •, U.) = Хм (Ulf ..., U5) + Ям (Ut Us) F.104)
будет суммой амплитуд Фейнмана всех обобщенных ку-
кустов. Если уменьшать -М, то число обобщенных кустов будет
тоже уменьшаться, тогда как амплитуды остающихся ку-
кустов изменяться не будут.
Пример. См. рис. 6.6, где линии I GE Jf С X вы-
выделены жирным. Ям (ffl) содержит меньше контрчленов,
чем Я$е {V). Если .// соединяет вершины Vt, . . ., F4 без
замкнутых петель, то Ям (УР) = П Дг.
conn
20§

Лемма 6.8. Путь G ({tla, . . ., Us}, Л) есть 1ЧП-
граф. Всегда существует единственное разбиение
ГFЛ05)
с s(l), ..., s(r)^> 1 такое, что
Ям ({Ulf • • -, Us}) = ~ММ ({Ul5..., Us}) =
«@) Г
= Ц Ж(ио{)Ц ^ ({Uia,..., и,, .у,» П Д/. F.Ю6)
i=l j=l conn
где П берется по всем линиям, связывающим различные
conn
множества из F.105).
Доказательство. F.105) получается просто
путем внимательного разглядывания графа G({UV . . .
. . ., UJ, .#). Далее, поскольку определение Ям ({^i, ...
. . ., Us}) исключает все разбиения, менее тонкие, чем
F.105) (иначе появился бы хотя бы один 1ЧН-подграф)|
легко получаем F.106).^
Пусть Ul5 . . ., Um — совокупность непересекаю-
непересекающихся обобщенных вершин. Пусть ,М (Z. X и l?i —
линия, связывающая 11г и U;-, I <! i <. j < т. Следую-
Следующая, принадлежащая Боголюбову и Парасюку, лемма опи-
описывает перегруппировку контрчленов при замене в F.102)
Л- на ЛИ = Л' \ {I}.
Лемма 6.9.
,l U • • • U «i. r(i). Щ. (r(i)+l), • • ¦, «j, n,), F.107)
где ^ берется по всем графам G({11jtl,..., VLjtT^}, Jf),
l<^r(/)<;m, являющимся 14 H с учетом линии I и 1ЧП
после замены Jl на J'/l. ЖМц {Uj:1\J . . . \J^,r(i), ¦ ¦ -, %,п)
определяется с помощью F.102), где в качестве исходных
берутся вершинные части X(Ujifc), r(j)<^k^.m, а новая
амплитуда, отвечающая обобщенной вершине Uj-^jJ...
•••Uui,rC> равна
Xm,l (U,, гU • • • U Ч r(i)) = - мЯли (Ui, 1, • ¦ ¦, Uif r(i)), F.108)
Доказательство. (Индукцией по т при фиксиро-
фиксированной линии l^JfdX.) При т = 1 справедливость
209

леммы очевидна. Предположим ее истинность для всех
{U; ..., 1W С {Ui,..., Um}, к</тг. Если G({\XL,..., Um}, .0) -
1ЧП-граф, то G ({Uu ..., Um), ,Mjl) — тем более. Если
?({Ц\ 1» • • •> Uj,r(j)}, #) есть 1ЧН-граф, то он содержится
в некоторой 1ЧН-компоненте графа G({Uj,. .., Um}, .//).
Поскольку /<и,-ли ... Uui,Kj)> BceG({U,-ilU...|jUj,^j),...
..., Vijm}, .if) есть 1ЧП-графы и обе части F.107) обра-
обращаются в нуль.
Пусть G^tti, ¦ ¦., Um}, ,if) является 1411-графом. Тогда
Хм (Ulf..., Um) =
= - м2П %л (и^,..., uj;r(j)) п Д|- F.Ю9)
Р j=i conn
Если Z^U^U-'-UUfro-), то
Другая возможность для подмножества П разбиений Р реа-
реализуется не более одного раза в каждом сомножителе из
F.109). Для каждого такого разбиения Р ЕЕ И можно
предположить, что I •< U^ U • • • U И?гц). Посколь-
Поскольку к ^> 1, гипотеза индукции приводит к соотношению
м (Ux,..., UJ = - МЯМц (Ult..., Um) -
А
-м 2
pen o=i
i=a conn
A
где 2 берется по всем таким 1ЧН-графам G ({tt? a, ц • • •
а=1
• • •> ^i!a,s(a)}> -^)» которые после удаления линии Z стано-
становятся 1-частично приводимыми.
Видно, что F.110) равно F.107):
i,...,Um},.
. .. U Urn) в ПРОТИВНОМ случае. F.111)
210

Второй член в F.110) равен сумме по всем 1-частично не-
неприводимым графам ?({иЛ1, . . ., Ui,r0-)}, Л), г (/) < т,
которые становятся 1ЧП-графами после удаления линии I,
и по всем нетривиальным разбиениям множества {U^ 1 (J ...
• • • U u,.r(i), . . ., ]Xj,n}.A
Лемма 6.10.
Ям (Ux,. • , Um) =
= ~Ялц (U,,..., Um) + % Ди/i (Щ, гU • • • U «i, ro), • •., U,-. т),
j
F.112)
где сумма У берется по всем 1ЧН-графам G ({VLjtl, ...
i
¦ • •> U;, r(j)}, J1), 1 <^ г (j) < m, которые стано-
становятся одночастично приводимыми после удаления ли-
линии I.
Доказательство следует из доказательства преды-
предыдущей леммы. Д
Равенство F.112) послужит основным средством упро-
упрощения доказательства теоремы 6.5. Кроме того, нам, по-
понадобится более тонкая, по сравнению с определением
дерева, классификация членов в Я-? {V).
Определение. Тройку {?В, а, Л} назовем раз-
разросшимся деревом, если
1. 53 — куст.
2. Подмножество линий Л CZ X таково, что для каж-
каждой неэлементарной вершины U (I) граф G ({U (/, i)}, .№)
есть 1ЧН или односвязен; граф G({U(i)}, Ж) одно-
связен.
3. Отображение а: 59->- { + 1, 0, —1} имеет следую-
следующие значения:
а (/) = —1, если вершина U (/) элементарна;
о (/) €3 {+1, 0}, если вершина U (г) неэлементарна;
если а (/) = 0, то G ({U (/, г)}, -Щ есть 1ЧН-граф и
a(I, i) = _1;
если U (/) — неэлементарная вершина и а (/) €Е
е{0,—1}, то G({U (/, i)}, Л) есть 1ЧН-граф.
Определение. Вершину U (/) называем побегом,
если U (/) ЕЕ а (—1), ветвящимся отростком, если
U (/) е а @), и веткой, если U (/) е а~\ +1). Если U (/) =
= U (ilt ..., ih), то h — высота U (/).
211

Амплитуда $ (.А) разросшегося дерева Л определяет^
ся следующим рекуррентным равенством:
1, если U (/) элементарна
— М (Г[ f „ (U (/, i)) FT А.) , если U (/) неэлемен-
\LLSMK \, ))LLa i). тарна He(/)=_li
A - л/) (П .ГЛ (U (/, 0) П а,), если 3 о = + *'
i conn
({U (J, i)}), есл.1с(/) = 0,
F.113)
(
conn
П берется по всем линиям I ^ ?, соединяющим
conn
{U (/, i)}. Ям ({U (/, 0» определяется как в F.102) и
F.103) с ?м (U (/, i)) в качестве амплитуд, отвечающих
обобщенным вершинам U (/, i) (a (U (/, г)) = —1).
Пример. Согласно лемме 6.8 существует разбиение
...,{Vra, ..., Vr,sir)} F.114)
связного графаб?(^, X) на 1ЧН-подграфы G({V}il, . . .
..., Vj, S(j)}, X) такое, что
Яя (Т) = П Яш (У,,!,..., Vit s(j)) П А,. F.115)
3=1 conn
Пусть ^0 — множество, состоящее из подмножеств F.114)
и {У1Л},..., {Fi, sA)},..., {Fr,s(r)}. Пусть о0 ({Ffc}) = - 1 и
Зо ({^з, I»---, Fj, т}) =-- 0. Тогда ^0 = {930, а0, X} — разрос-
разросшееся дерево и Я& {V) = / (^0).
Доказательство теоремы 6.5. Мы только
что видели, что Я се B^) представляет собой амплитуду раз-
разросшегося дерева Лй. Будем строить доказательство, ис-
используя индукцию по числу m = | X | — \ Jl \ линий из
множества X \ .//, приняв следующую гипотезу.
В каждом секторе 5Л) г существуют разросшиеся де-
деревья Ап,и 1 ^ i ^ /(я) < оо, такие, что
^* (^) (а, р) = 2 f (^-. t) (а> »). F-116)
i=l
212

и для каждого такого дерева AT.,i = {Si, cr, Л), каждой
линии I GE X \ Л и всех V ?Е {J Л" (iv ..., is) справедли-
во (в смысле введенного ранее порядка в Sn) соотношение
1>1', F.117)
в котором rut определены тем, что U (ix, . . ., ir) — ми-
минимальная ветвь, содержащая I, и U (ix, . . ., it) — ми-
минимальный элемент из Si, содержащий I. Существует
к €Е /+ такое, что высота h всех ветвящихся отростков
не меньше к.
Эта гипотеза выполняется в случае Я& Bf). Пусть те-
теперь т =|55| -| JK\<n — 1 и Ar.,i = <A = {S3, а, .М-}—
разросшееся дерево с ветвящимся отростком U (/) мини-
минимальной высоты к. По определению а (/, i) = —1 и
?м (U @) = A - М) Я_м (U (/, 1),..., U (/, S)) =
= A - М) ЯЩ1 (U (/, 1),..., U (/, 8)) +
li (U (I, и) у •.. U И (Л мл), • • -, U (/,;,)),
F.118)
где мы использовали F.112) и выбрали наибольшую линию
I E5 М" (I) (которая является наибольшей линией, сое-
соединяющей {U (/, i)}). Сумма ^\ берется по всем 1ЧН-
графам G ({U (I, /х), . . ., U (I, /Vo))}, M), которые ста-
становятся одночастично приводимыми без линии I, 1 <
< г (/) < s.
Пусть {U (/ (/, кг)}, i < а, и {U (/, Л,,,)}, 1< г < Ь,
1 < / < с (i),— разбиение {U (/, /х), . . ., U (/, /Vo))},
определяющее 1ЧН-компоненты графа G ({U (I, /х), . . .
. . ., U (/,/Vo))}, Jt.ll). В силу F.108) и F.106) вершин-
вершинная часть, отвечающая U (I, /x) Q . . . |J U (/, /r(j))i
факторизуется следующим образом:
, (U (/, /х),..., и (/, ии))) =
b
П Ail- F-H9)
conn '
213

Если G ({tt (/, 1), ...,11 (/, «)}, .if II) есть 1ЧП-граф,
то первый член в F.118) представляется в виде
1=1
e
X
П ^Л/г (U (Л А,, 0,..., U (I, /a, /(i))) П А;} • F-120)
I—1
Определим новые разросшиеся деревья A] = {53j, в],
011} такие, что
ч
f (Л) = % ? Ш F.121)
и гипотеза индукции выполняется для всех А].
(а) Если G ({tt (/, 1), . . ., U (/, *)}, ./«//i) есть 1ЧИ-
граф, то
Ао = E8, о, .*/*), F.122)
a Sy = {U;- (/)} и О] определены следующим образом:
U* (/) = U (/), а; (U, (/)) = в, (J), F.123)
еслиЦ(/)эи (/) или U (/)ПU (I) = 0- В противном случае:
u,(/, 1) = u (/, А)и.. -Utt (/. /г(й), ^ («/ (/. 1)) = -1;
U; (/, t) = U (/, /r(i)+(-l), 2 < t < « - Г (/) + 1,
^ (u, (/, *)) = - l, /; (/, t) = (/, /
oj (tt, (/, 1, 0) = - 1, /;- (/, 1, i) = (/, Л,); F.124)
U; (/, 1, a + i) = U (/, ht, OU- • -U U (/, fc,,^,),
a(Uy(/, 1, a +0) = 0, l<i<&;
U, (Л 1, a + i, f) = tt (/, A,,;), 1 < i ., b, 1 < / < с (i),
tf,(U, (/, 1, о + i, /)) = - 1, /; (/, 1, a + i, f) = (/, Л,;).
При / = (/,*), 2 < « < s — r (/) + 1, или /= G, 1, i),
1 < г < a, или / = (/, 1, a + i, /), 1 < i < b, 1 ^ / <
^ с (г), и при ЛГ ЕЕ Z+ определим
tt, (/, К) = tt (/, (/), Z), <г (U, (/, К)) = <г (/, (/), К),
F.125)
если tt (I, (J), К) е 53.
214

(Ь) Если G ({U (/, 1), . . ., U (/, s)}, .411) есть 1ЧП-
граф, определим {Aj} по разложению F.120):
Uo (/) = U (/), если U (/) => U (/) или
U (/)DU (/) = 0, a0 (Uo (/)) = a (/);
Ho (/, 0 = U (I, kt), 1< i < d,
cr0 (Uo (/, 0) = - 1, h (I, 0 = (I, kt); F.126)
Uo (I,d +i) = U (I, kitl) U • • • U« (/. К fit)),
a0 (Uo (I,d +i))=0, 1 < I < e;
Uo (/, d + i, j) = U (/, kitJ), 1 < i < e, 1 < / < / @,
o-o (Uo (/, d+i, j)) = -1, /0 (/, d + i, /) = (/, ft,, ;¦).
Если J = (I,i), 1 < i < d, или / = (/, d + i, /), 1 <
< i < e, 1 < / < / @. и если U (/0 (/), К) е U, то
полагаем
U0(/,Z)=U (/„(/), Я),
cr0 (tt0 (/, Jf)) = <t (/0 (/), Jf). (
Легко проверяется, что в обоих случаях Л), 0 < / ^ q,
суть разросшиеся деревья, у которых высота ветвящихся
отростков не меньше к или к -}-1- Их амплитуды
/f л/г (U; (/)) и f (Aj) определяются рекуррентно с помощью
F.113). В силу выбора I имеем I •? U (/), если U (/) f)
П U (Л = 0. и тогда
)- 0 < / < д. F.128)
Для вершин U (/, i, Z), К = 0, иди Xg Z+, F.128)
по-прежнему справедливо после замены индексов:
fM/l (U, (/, К)) = Гл (U G, (/), ^)), 1 < / < q F.129)
(/ удовлетворяет условиям F.125)),
fMl(n0(I, i, К)) = Гл (UG, г, Я)) F.130)
(случай (а)),
= Гл (U (/о (/), /О) F.131)
(случай (Ь), / удовлетворяет F.127)).
С другой стороны, для всех U (/) Э U (/), *f (/) CZ
Cl-'41 имеем oTj (/) = <т (/) = + 1. Поэтому при 0<
^ 1^: 1 функциональное соотношение между $мп (U/ (/))
и fMjl (Vlj (J, i)) остается таким же, как и между
215

fM (U (/)) и fM (U (/, 0).Следовательно, F.118) -F.120)
означают справедливость F.121).
Остается для каждого Л] проверить отношения по-
порядка между линиями из ЛИ иЖ\ Л/1.
Минимальная ветвь Ц^ ЕЕ 33 j, содержащая I, I ¦< U/,
равна либо U (/), либо U (/, hu ¦) \J . . . \J U (/, hiMi)),
либо U (/, &j)X) (j • • • U И (/, &г,/(г))- При этом Z не при-
принадлежит ни одному из побегов Щ (Z Uj, потому
что каждый из них содержится в некотором U (/, i).
По этой причине Jij (Uj) >¦ I и „#э- (U^) (Z J?" (/), так
что F.117) справедливо ввиду того, что I — максимальная
линия в Л" (I).
Пусть ГеЖ\ Л, V •? U (/). В каждом Л} струк-
структура ветвей Uj таких, что U7- f] U (/) = 0 или U^ 3
3 U (/), тождественна их структуре в А- Поскольку
•М) (I) CZ М" (I), F.117) для линии Г оказывается выпол-
выполненным. Пусть, наконец, Г е Ж \ 1, V < U (/) и
U; — минимальная ветвь, содержащая V.
(a) Если U^ d U (/, i) для некоторого i, то, по-
поскольку редукция не изменяет структуры внутри U (/, i),
упорядочивание сохраняется.
(b) Если U, = U G,Aifl) U • • • U U (/, Л1>сA)) или
Щ = U G, kitl) U ... U U G, kiJ{i)), каждый побег
Uj с U, содержится в некотором U G, г) и U G, h-ltj)
или U G, kij) — такие же побеги. В таком случае
•Mj (U;) CZ Jl" (I). Если линия Г лежит вне всех
побегов, содержащихся в U^, то U7- — минимальный эле-
элемент из 33j, содержащий линию V. Согласно порядку в
А имеем Г ^> I" для всех I" ЕЕ М" (I) и тем более — для
всех линий I" из Mj (Uj). В противном случае, пусть
Uj ЕЕ 33j — минимальный побег, содержащий V. Цепочка
элементов из 33j, соединяющая U,- и Uj, имеет вид
It) <Z IS С . . . С U (/, 0 С Щ, F.132)
где U G, i) — некоторая ветвь и возможен случай
Uj = UG, i). В U G, i) порядок из Л сохраняется: 1'^>1"
для всех I" ЕЕ Л" (U G, 0) U • • • U ^" (ui) и, сверх
того, в силу предыдущих рассуждений I" ЕЕ .Mj (Uj).
(c) Если U^ = U G), то цепочка побегов между U^
и минимальным побегом Uj, содержащим линию V, мо-
может иметь вид
U; С и; с ... С U G, 0 с U, с U,, F.133)
216

где ftj относится к типу U (/, j\) \J . . . \J U (I, frU))
Снова в Uj, . . ., U (I,i) старый порядок не изменяется
при переходе от J1- к J41 при условии, что Jfj (Uj) \J
Рис. 6.7.
Пример. Рассмотрим граф G (V, X), представлен-
представленный на рис. 6.2, в двух типичных секторах.
(а) 1г ^> 12 ^> 13 ^> It ^> h- Здесь имеем
Лх = {33V ov ,МЛ) (см. рис. 6.7),
«1 = {{^i}, • • м {V,}, {V2, F8, V,}, {Vlt . . ., F4}},
Oi({V2, F,, F4}) = +1, ai({Vi, ¦ ¦ -, V,}) = +1.
Линии, входящие в ,МХ, так же как и во все осталь-
остальные J1-] из нижеследующих примеров, обозначены жир-
жирным на соответствующих рисунках.
Jl2 = {З^ч, 0*2, Jf2} (см- Рис- 6.7),
®* = {{Уг}, • • ., {F4}, {Vlt F2f F4}, {Fx, F3, F,, F4}},
^}) = -i, oAW) = +1.
Za ^> lx. Здесь имеем
i, 0*1, X} (см. рис. 6.8),
{Vth {Vlt Vt1 F3, F4}},
o-i (f) = + 1,
= {332> o, /2}(см. рис. 6.8),
• ., TO, {^i, Vv F4}, {F1; Fa, F8, F4}},
F2, F4}) = - 1, ai (Г) = + 1,
= {ЗЗ'з, о-з, М'з) (см. рис. 6.8),
. . ., {V,}, {F2, F,, V,}, {Fx, . . ., F4}},
= +1.
217
(b) Z5 ^> Z4
F,f

Теперь мы собираемся обобщить J^-операцию таким
образом, чтобы иметь возможность учитывать конечные
изменения параметров теории. Конечная перенормировка
Рис. 6.8.
суть отображение, которое ставит в соответствие каждой
обобщенной вершине
обобщенную функцию
$У(У1,..., v'm),
равную 1 при т = 1, равную нулю в случае, когда
G({Vi, . . ., Vm}, ?) есть 1ЧП-граф, и имеющую в ос-
остальных случаях вид
о B а) **>г (л.••-.*>»); F-134)
г=1
при этом Уе> г — полином, обладающий теми же свойства-
свойствами ковариантности, что и П'Лг'г(П'—произведение,
взятое по всем линиям ив G ({Vu . . ., Vm}, X). Степень
этого полинома не больше d({F1? . . ., Fm}), а его коэф-
коэффициенты непрерывны по е, г > 0 н зависят только от
G({V[, ..., Vm), ?).
Положив в основу вершинные части %%Т (U*) попар-
попарно дизъюнктных обобщенных вершинUx, . . ., Us, можно
рекуррентным образом определить вершинные части для
218

других обобщенных вершин {U^ . . ., Uj} с {U^ ..., U5}:
ху (u;,..., ui) =
(^i)t если t — 1,
О, если G( {Ui,..., Ш}, %) есть 1 ЧП-граф,
. — Mffig* (\\[,..., Uj) в остальных случаях,
k(P)
у (u;,..., ut) = 2'n fer («f i» •¦¦- ufr
P j=i
где сумма 2j берется по всем разбиениям, для которых
р
к (Р) > 1, и М = М (d (Ui, . . ., U'm), 0). После триви-
тривиального изменения теорем 6.5, 6.6 и 6.7 легко получить
Следствие 6.11. С точностью до множителя
lim Я*У(р1,.. ., р|) е Ом (R4')- F.136)
А
В наиболее общем виде j^-операция сочетает каждое
вычитание с конечной перенормировкой: пусть {Fx, . . .
1, если т = О,
0, если G({V'V .... F^}, 5?) есть
_ 1 ЧП-граф,
M'Jf?r(Vv...,V'm) +
+ fer (^i, • • ., 7m) B остальных случаях,
F;, . . ., V'm) = F.137)
SД(^1^))П
P j=l conn
%r (V[, ¦ ¦., V'm) = 'm%r (Vi ¦ ¦., Vm) + 'ХУ Gi,.. .;Fm)
T e о р е м a 6.12. С точностью до множителя 61 2j Pi
4=1
lim 'J?^r(Pl,..., p»)e0M(R4"). F.138)
219

Доказательство. Утверждение F.138) вы-
выводится из F.136) и следующих равенств (см. [S10]):
г (vl,..., v't) = 2 fer (uf,..
p
(v[,..., v't) = 2 Ш (uf,..., uP(P)). F.139)
где суммирование идет по всем разбиениям множества
{V[, . . ., Ft'} на А; (Р) обобщенных вершин, 1 <; к (Р)^ t.±
Теперь, наконец, мы можем обратиться к изучению
предельного перехода 8 \ 0. Согласно теоремам 6.6 и
6.7 конечная часть Я% ($>, а, х) некоторого 1ЧН-графа
есть конечная сумма членов вида
F.140)
где ^4 и Q — однородные функции а степени + 1 и t —
— | X | (t^> 0) соответственно, непрерывные и локально
интегрируемые в Тп. При дальнейшем изучении ряда
ГМЛ нам потребуется факт существования предела в
У" (Rim) величины J dxm+1 . . . dxnfl%° (хг . . . хп)) при
8 I 0. Следовательно, нам нужно установить, что для
всех г|) ?Е S1' (R4m) отображение
e(i|)) F.141)
?-*0
задает обобщенную функцию из &" (R4^1), где
, • • ¦, Pm- 0, . . ., 0) х
X \ dadxQ (a, t)exp-U (p, Ay) — >,a, (m2 — ie)\\,
f L L " J.I
» F.142)
г, ;=i
220

Согласно теореме XIII из [S4] нам достаточно установить
существование предела F.141) для пробных функций
\|э е if (Rm). Пусть
щ = ррг, 1<Z<L,
9 @1,..., aL)
Используя однородность А ш Q, можно провести интег-
интегрирование по р. Применение известного равенства (Re x ^>
>0, Imy>0)
оо г
^ dp р*-%*я/ = е2 * Г (ж) г/-х F.144)
о
дает
= S б (SPi - l) <? (P. f) Fe (ф, р, t) ф Л, F.145)
Воспользуемся теперь положительностью т2. Пусть
функция х е= <2м (R1) такова, что
0 при ? <^ ~5- тг,
I F.147)
1 при t > -у т2
и
F.148)
Очевидно, что lim Fs (г|J, Р, т) существует и непрерывен
по р, т. Поскольку область Гя П {PilSPi = О ком-
компактна, существует lim Ft (\jj2). Исследование преде-
ла Fe (г^!, р, т) легко может быть проведено на основе
элегантного метода Спира [S10], использующего
221

аналитичность [(р, Лр) — тг + iel ' по t при е > 0:
|<-5.|=v. ^ ~ ^ I (Pi ^P) — m2 + *el
F.149)
= - 2% (p, A) [(p, Лр) - w2 + ie]-1^1. F.150)
Поскольку (р, Лр)-1 регулярно на носителе г)^, на
11 — %\ = x!-l справедливо равенство
[(J>, Лр) - т* + Щ~>- = (— 2)п [(X. - 1)... (Я, - п)]-1 х
X Г(р, Лр)-12 (Pi, —)f К». Лр) - m2 + ie]"-\ F.151)
L i-=i\ dPiJ\
Пусть п = t + 2. Тогда для всех 0 ^ е < 1 и (Р, т) ЕЕ
ЕЕ Уя П {Р; | УРг = 1} производная — [(р, Лр) — т2 +
+ iel"~x равномерно ограничена по р. Интегрированием
по частям можно перебросить дифференцирование на
\|з и убедиться в непрерывности FE (г|з, р, т) при е>0 и
(М)П {РУр }
В существовании предела для Ft (г|з) также легко убе-
убедиться, если заменить в F.142)
а, т)ехр {г [(р, Лр)
сомножителей то
da1 dt{ Q{i) (а{, r{) ехр {i [(p, Л(!) p) - 2 ai («2 - ie)l] =
на произведение сомножителей того же типа:
П(^а'^@(а*. t*)) X
xexp{i[(D, Л) -22«Ч'»2-'«)]} F.152)
при условии, конечно, что YLQ^ и ПЛ'1' удовлетворяют
гипотезам предыдущего доказательства. Таким образом,
граничные значения перенормированных интегралов Фейн-
мана с «добавкой ie» образуют в У" (Rm) кольцо. Это за-
завершает обсуждение примера F.30) и приводит к следую-
следующему основному результату.
222

Теорема 6.13. Для всех 1 ^ т ^ п и произволь-
произвольной конечной перенормировки cyvfecmeyem предел
lira 'Л5*0(й, • • -, Рт, 0,..., 0), F.153)
принадлежащий пространству У" (R4). Предел F.153)
(т ч
2j Pi) представляет собой конечную
сумму интегралов Фейнмана, аналитичных по рх, . . .
¦ ¦ •> Рт- А
Теперь доказательство теоремы 6.3 получается момен-
моментально. Пусть в, г > 0 и Р — разбиение V на 1 <, к (Р) < п
подмножеств. Если N достаточно велико, то для всех
Ф ?Е &n (R4")
к(Р)
<П ХУ <У*г,. • •• Ч*ь) П А*Е>Г>
3=1 СОПП
поскольку для всех s (/) ^> 1
ЯУ (Yi,v • • •> ^i, s(j)) =
= ZE'r(9) 6 (xftl -xft2)...8 (xf,sUhl - ^ sU)), F.155)
где Z?'r C) — дифференциальный полином порядка
d({V[i, . . ., Ffs(j)}), действующий на переменные, со-
составленные как разности координат. Между тем для до-
достаточно больших N
3l^ <Jf>r, Ф> F-156)
определяет линейный непрерывный функционал на мно-
множестве cS^v с индуцированной топологией.
Ковариантность относительно группы Пуанкаре Sr+
также очевидна: исходная регуляризованная амплитуда
так же, как и конечные перенормировки, была ковариант-
на, а разложение в ряд Тейлора до степени d вокруг точ-
точки (р) = @) ковариантной функции в свою очередь ко-
вариантно.
Нам остается показать, что продолжение \[&1-*-Л
на уровне рядов теории возмущений совместимо с фор-
формальной структурой релятивистской квантовой теории.
Дадим сначала несколько определений.
223

Операторное ядро W (yv ¦ ¦ ., уп) полилокалъно, если
W представляет собой конечную сумму вида
W (уг, ...,;/„) = 2 Щ (г/i. • • ¦» J/n):W/, I Ы- • • ^/,п («/«):,
F.157)
где Wt, t (yt), 1 <; i <! и,— полиномы Вика по свободным
локальным полям и wt 65 <S^' (R4n). В таком случае
^ = 5%1...d2/nPFB/1) . .., Уп)
— билинейная форма на У X ^. Операторное ядро
И7"^, . . ., уп) квазилокалъно, если supp wt CZ {?/i =
= 7/2 = • - • = Уп }• В таком случае
п—1
Щ (Уг, - • ., Уп) = 2 »«, к Ы А, * П б (^ - Vi)' FЛ58)
k j
где w,)fc 6= cS^' (R4), a Duk — дифференциальный моном
по переменным у1 — у2, . . ., уп-х — уп. Операторное ядро
W (ylt . . ., уп) трансляционно-инвариантно, если
U0{t,a)W(yi, . .., yn)U0A,-a) =
^ + а, . . ., уп + а)
для всех а ЕЕ R4. Если И^квазилокально и трансляционно-
инвариантно, то все wttli в F.158) — константы.
Действуя в духе теории перенормировок, хотелось бы
заменить Яо + KV на Яо + Шъ, где Т7Х = V + Я/?х,
так, чтобы ряд ГМЛ ^F-теории, перенормированный ме-
методом Боголюбова, совпал с неперенормированным ря-
рядом ЯИ^х-теории. Боголюбов и его сотрудники [В7] по-
показали, что это почти так, если задать W\ = I W\ @, х) dx
с помощью обобщенной плотности взаимодействия Wx (x)
вида
оо
Wx (х) = S ("У"г \ *ci- ¦ • **»-! An (*, xlt..., *„_!), F.159)
n=i •*
где
A) A, (x) = Fo (ж),
B) Л„(а;1, . . ., xn) — вещественно, квазило-
кально, трансляционно-инвариантно и пол-
полностью симметрично (п > 2). F.160)
224

Если заменить в ряде ГМЛ плотность kV0 (т) ттп плот-
плотность "kW\ (х) и заметить, что supp Лп (xj, . . ., .г„) =
= {хх — . . . = хп}, то в смысле формальных рядов по
л будет справедливо равенство
^r \... dyn (ф0, Т (Фо Ы ... Ф„ (*
... И\
=vo r=ls(l)+...+8(r)=ti
X (Фо. Г (Фо (xi). ¦ ¦ Фо (xn) As а) (г/1,1, • • ., г/i,, A))...
• ¦ • Л» (г) (Уr, V-,yr,s (r))) фо)?1- F.101)
Заметим, что д! [s A)! . . . s (r)! r!] равно числу разбие-
разбиений Р множества {уг, . . ., уп) на г подмножеств, состоя-
состоящих из s(l), . . ., s (r) элементов каждое. Это позволяет
записать F.161) в более симметричном виде
X 2 (Фо, Т (Фо (ал)... Фо (a:m) yVs A) (у^,..., у? ч(]))...
р
• • • Л5 (г) (^ 1,..., Уг, .(г))) фо)Г- F.162)
Характер замены X,F0 ->¦ Я,^х (ж) ясен: во втором порядке
среднее
(ф0, Т (Фо (xj . . . Фо (xm) Vo (У1) Vo (уг)) фо)ог
заменяется на
(Фо, Т (Фо (х,) . . . Ф„ (я!т) [70 Ы F0(y2) +
Ч-Лг^, 2/2)])фо)оТ, F.163)
в третьем порядке среднее
(ф0, Т (Фо (хх) . . . Фо (xm) V0(Vl) V0(y2) Vo (уя)) Фо)Г
заменяется на
(Фо, Т (Фо (хх) . . . Фо (хп,) [7, Ы Fo (y8) Fo (у8) +
+ ^о B/i) Л2B/2, У я) + vo B/г) Л2 (г/х, ?/3) +
+ ^о B/з)Л2 (г/i, ?/з) + Л3 (yv г/2, 2/зI) фо)оТ, F.164)
и т. д.
8 К, Хепи 225

В связи с этим хотелось бы показать, что ори корректном
определении средних значений от Г-произведении вес
необходимые контрчлены можно собрать в последователь-
последовательность {Лп} квазилокальных операторов. Вместе с тем
ясно, что для доказательства подобной теоремы необходи-
необходимо дополнительное правило вычисления F.161). Пред-
Предположим, что коэффициенты wntt(xv . . ., хп) из Ап
зависят от е ^> 0, г ^> 0, т. е. wnii — wlj и что фейн-
мановский пропагатор Л^ регулярпзован как в F.19).
Тогда справедлива (см. [В7])
Теорема 6.14. Пусть (ц>х, Т(Ф(хх) ¦ ¦ ¦ Ф (xm)) q^)ren
дается регуляризованным и перенормированным рядом
ГМЛ (для каждого графа G (V, X) произведение Ц Дг'г
i
заменено на M)gr с произвольным, но фиксированным вы-
выбором конечной перенормировки). Тогда существует по-
последовательность {An'r},i>2 квазилокальных трансляцией-
но-инвариантных (формально вещественных при, г, е J, 0)
и симметричных (относительно перестановки аргумен-
аргументов х) операторов таких, что в смысле формальных ря-
рядов по К будет выполняться равенство
= 2
n=o
X W\:r (У1)... WVr (yn)) ф0)^?'r, (G.1G5)
где Wl'T (у) имеет вид F.159) и не зависит от т €Е Z+.
Доказательство. Пусть G (W, X) — произ-
произвольный граф из (ф0, Т (Фо (хт) . . . Фо (xm) Vo (ух) . • •
¦ • • ^о (Уп)) фо)^- Как мы уже знаем, вычитания
?Cf(Vu . . ., Vt) Ф- 0 связаны с 1ЧН-графами из произве-
произведения Vo (ух) . . . Vo (уп). Если G({VV . . ., Vn}, X) есть
1 !Ш-граф с индексом расходимости d !> 0, то носи-
носитель %%r (Vu . . ., Vn) лежит в {ух = . . . = уп). Следо-
в,;тельно, этот контрчлен должен порождаться операто-
оператором Лп'г. С другой стороны, для того чтобы дать нетри-
нетривиальный вклад в
(Фо, Т (Фо (Xl)... Фо (хт) Леп'г (уъ ..., уп)) Фй)от- '•г, F.166)
226

оператор ".W,,1(?/]) . . . WUn{yn): из F.157) должен со-
содержать член степени т по полю Фо и его производным,
причем если искать операторы W\'r {у), перенормирую-
перенормирующие одновременно все функции Грина, т должно пробе-
пробегать все Z+. В таком случае естественное (хотя и не един-
единственное) правило вычисления Л„'г состоит в следующем:
1) Разложить согласно теореме 1.1 Т (Vo (г/х) . . .
• • • Vo (Уп)) по полиномам Вика с регуляризованнымп
пропагаторами А;'г в качестве спариваний:
F.167)
G I
где WG,i ii/i) — мономы Вика от DUj Фо (г/г).
2) Выбрать все члены, для которых графы G = GB^, X)
с п вершинами Vly . . ., Vn суть 1ЧН, и заменить
ПАГгна'ЭеЕ/G1, . . ., Vn). Тогда
i
, „
F.168)
(сумма берется по всем таким 1ЧН-графам <
. . ., Vn} X), что deg (Wg,! ¦ - . WG,n) ^> 0) удовлетворяют
F.160) и формально вещественны при е j 0, г | 0.
Такое определение гарантирует, что регуляризованное
виково разложение функций
(Фо, Т{Ф0(Х1) • • • Фо(«т) An>r(?/i, • • -, уп)) Фо)оТ'?'г
породит для всех т ЕЕ Z+ все максимальные вычитания,
необходимые для регуляризации
(Фо, Т (Ф„ {з\) . . . Фо (.rm) Vo Ы • ¦ • Fo (у,,)) фо)о'6'г-
F.169)
Ограничение в F.168) условием deg (WG,i ¦ ¦ ¦ WG,n) > "
возможно ввиду использования усеченных функций Гри-
Грина. Появление других членов J^-операции, примененноп
к F.169), в виде
(ФО, Т (Фо (Xi). • ¦ Фо (xm) -V- а» {У?л, ¦••)•••
••. Л4(г)(...,г/?8(г)))Фо)от'?'г F.170)
8* 227

с 1 < г < я есть прямое следствие теоремы Вика и опре-
определения ^-операции.
Заметим, что регуляризованное виково разложение
F.167) обладает свойством
T(W1(x1)...Wn(xn)f-r =
= Т [Т (Wt (хг). .. Wk (x,)f' r...T(W1 (Xl). . . Wn (хп))*>г}1' \
Весьма тщательно отработанное доказательство теоремы
6.14 для случая конечного числа различных бозонных и
фершгонных полей содержится в диссертации Спира
LS1OJ.A
Таким образом, можно сказать, что регуляризованный
и перенормированный ряд ГМЛ А,7-теории совпадает с
регуляризованнквг, но неперенормированным рядом ГМЛ
^Wx-теории. Вместе с тем ковариантная регуляризация
F.19) не учитывает членов, возникающих от дифференци-
дифференцирования разрывных множителей в Г-произведении. По
этой причине эквивалентность формализма Боголюбов;!
перенормировке D.6) локального гамильтониана возмож-
возможна только в моделях типа В или С, где контрчлены не
содержат производных по времени.
Определение. Локальное взаимодействие V
называется суперперенормируемым, если Л„ = 0 для исех
достаточно больших и, перенормируемым, если степень
полинома в Xе/ (Vv . . ., Vn) и deg (WG,i • • • WG,n) рав-
равномерно ограничены для всех Лп'г из F.168) и неперс-
нормируемым — во всех остальных случаях.
На основе этого определения мы можем дать бо-
более тонкую классификацию моделей типа DEF (см.
стр. 102):
локальное взаимодействие V из класса взаимодей-
взаимодействий типа DEF относится к типу D, если V супер-
перенормируемо (пример дают взаимодействия Ф^',
(Фг1п1;):1), к тину Е, если V псронормирусмо (пример:
Ф\, (l-'F4rL), и к типу F, если V неперснормнруемо
(пример: (W)J).
Перенормировка взаимодействий типа D, неуклады-
неукладывающихся в рамки канонического формализма, относи-
относительно проста, но интересно узнать, каковы уравнения
движений в эгих моделях.
Пример 1. 15 модели Ф;] единственный (примитивно)
расходящийся член ряда ГМЛ появляется во втором
228

порядке теории возмущений:
+ 96Д'-Г(
так что
+
К
-16Д
72Д?
" У2? :
'г(Уи
Е, Г/
Ф01
Уг)
У г — yi]
1г — УгУ
ЫФ0(;
= Же'г<
г.ФК
!:Ф2<
:У1)Фо
>1)Ф2
- 24АС>
Фо Ы
(У:
(у
ф
2):
2):
J/i
- ул)\ F.171)
F-172)
Преобразование Фурье от Жг'т (О) имеет вид АЕ'Г б (^j -f
+ Pz) и отвечает логарифмической расходимости (d = 0).
В качестве Ле'г мы выбираем преобразование Фурье про-
произведения (—96 ДЕ'Г (у1 — у2)9) с р1 на массовой поверх-
поверхности: (pv pi) = m2.
Мы видели в F.39), что такой выбор перенормирует
теорию во втором порядке по Я.2 и что при е j 0, г \ 0
двухточечная функция F.40) совпадает с пределом (при
ст -> оо) соответствующего выражения в гамильтоновой
теории, перенормированной согласно Глимму. Теоремы
6.13 и 6.14 теперь приводят к новому результату.
Теорема 6.15. При выборе А\'г в виде F.172) и
Лп'г = 0 при п^> 2 функции Грина, перенормированные
по Боголюбову, тождественны (в каждом порядке по %)
пределу при о —>¦ оо функций Грина модели Фз с локаль-
локальным гамильтонианом, содержащим перенормировку массы
вида F.34). А
Аналогичное утверждение справедливо для модели
(Р + QVWJ.
Пример 2. В теории Ф^ величина Ае'г {хK расхо-
расходится квадратично (d = 2), а величина Де'г(а;J — ло-
логарифмически. В таком случае F.171) приводит к
Л!'г B/1, У*) = Ж6'г О) :Фо Ы Фо Ы= +
+ Г''-(О):Ф«Ы2Ф«B/2J: F.173)
с преобразованиями Фурье вида
Г'г (О) = S (Р! + р2) {# г + [(ft, й) - т2] ^ г},
3f'г(О) - S(й + Рг)С\'г. F.174)
229

В качестве (— С\'г) можно выбрать значение преобразо-
преобразования Фурье величины 72 А6'г (ух — ?/2J в точке рг = 0.
Как и в C.150), такое определение С\'г фиксирует с точ-
точностью А,2 физическую константу мезон-мезонного взаимо-
взаимодействия. В качестве (— А\'г) и (— В\'г) можно выбрать
коэффициенты тейлоровского разложения величины
.f (96 (Ae>r)s) (рг, р2) около точки (рг, рх) = т2. Согласно
F.44) этот вклад в двухточечную функцию аналитичен
в выбранной точке при е | 0. Следовательно, конечная
перенормировка определяется однозначно. А\'т дает пе-
перенормировку массы, В\'г — перенормировку ампли-
амплитуды.
В каждом порядке по п существуют нетривиальные
квазилокальные операторы An'r (yv . . ., уп), имеющие
вид
СЦМ'г(Уг у, - У,О))'-®о(Уч)Фо(УиУ- F-175)
или
^ F-176)
3=1
с 1 <^х,..., ii^n.
Графы G(W,%) являются 1ЧН-графами и d (V) = 2 для
F.175), d (^) = 0 для F.176). Теперь, когда примитивно
расходится несколько графов, значения физических массы
и заряда и нормировка амплитуды поля относительно
многочастичных состояний не фиксируют однозначным
образом конечную перенормировку каждого графа. Ка-
Каноническая процедура предписывает собственную пере-
перенормировку каждого отдельного графа. Пусть
Ш (Ри ¦ ¦., рп) - S Bft) R? (pi, ¦ ¦, Рп)
— конечная часть liA;'r из F.176) перед максимальным
вычитанием. Тогда
?У (pi, - -., Рп) ~- - s (Jpi) nir @, ..., 0).
В случае F.175) мы будем различать две возможности.
Пусть
Ш (и, -.-, Рп) - б (Та) яу (Pi, ..., Рп)
230

— вклад F.175) до максимального вычитапия. Полежим
(iv z2 те же, что и в F.175))
F.177)
6 B
на массовой поверхности (pio ptl) — т2,
разложение /?^г до
Т й ~"
где T)'JU (pt, . . ., pn) — тейлоровское разложение Ii*i
до второй степени около точки @, . . ., ptl, . . ., р,-„, . . .,0)
с Ри — — Pi,
To'r (Pv • • •> Рп) — тейлоровское
второй степени около точки
@, ... ,0). Мотивировка сделан-
сделанного выбора такова: если ix = г2,
то типичный вклад в графы чле-
членов ряда ГМЛ от подграфов
F.175) имеет вид, изображенный
на рис. 6.9. Пусть pv p2 —
внешние импульсы, a kv . , .
. . ., ftg — внутренние. Сохране-
Сохранение импульса в каждой вершине
дает /?х = — р2, и ki могут быть
выбраны независимыми от р1.
Следовательно, граф рис. 6.9
эквивалентен перенормировке
Рис. C.9.
массы (рис. 6.10) вида
(PiJ 8 (Pi + Рг) с g?-r, не зависящим от рг Выбор
F.177) обращает gE>r в нуль.
Типичная ситуация, с гг Ф i2 представлена на
рис. 6.11 и приводит к вкладу типа б {рх + р2) gz'r (p^) с
g*'r (Pi) = g*'r ((Pi, Pi)); F.177) заменяет gs'r((pv Pi)) на
о-, д
lfE'r((Pi'Pi)) — gz'r\m) — UPi' Pi) — m".
ведет к перенормировке массы и амплитуды.
Эту перенормировку можно провести в два зтапа. Сна-
Сначала определить Ж%г (pv . . ., рп) с помощью тейлоров-
тейлоровского разложения около @, . . ., 0). Тогда в ряде ГМЛ
возникнут члены типа б (рх + Рг) gz-r (Pi) с g°'° (р^) =
= lim g*'T (рг) e If' (R4). При (pv pj < 9m2 функция
?°'° (Pi) — g°'° ((Pi' Pi)) голоморфна и ее замена на
F.178)
суть конечная перенормировка типа F.137).
231

Упражнение. Пусть
п
П [(Pi. Pi) - т* + ЮГ1* (Рь • • •' Р»)Т F-179)
г=1
— преобразование Фурье среднего (ф», Г (Ф (%) . . .
А
Рис. 6.10.
... Ф (ж„)) ф»O- Согласно асимптотической теории ЛСЦ,
Хаага и Рюэля функции т (pv ..., рп)Т по формуле
<2>i. • • •> i>ft; out | pm,..., рп\ in> T =
Т F.180)
(Cn e R1) определяют связную часть 5-матрицы
<Ри ¦ ¦ м Ри\ out | jpft+1, . . ., рп; in>T
процесса
P*+i + • • ¦ + Рп -> Pi + • • ¦ + Pt- F-181)
Доказать, что для каждого порядка перенорлшрованного
ряда ГМЛ т — обобщенная функция на массовой поверх-
поверхности (см. [Е7, Н 10]).
Упражнение. Показать, что функции
(фк,, Т (Ф (жх) . . . Ф (хт)) ф«,)т, задаваемые перенормиро-
перенормированным рядом ГМЛ, удовлетворяют (как формальный ряд
по Я) аксиомам ЛСЦ (см. [S15]).
До сих пор мы рассматривали перенормированный ряд
ГМЛ как формальный степенной ряд. Вопрос о его схо-
сходимости имеет лишь частичные решения.
A). В случае скалярных бозонов и s = 1 неперенорми-
рованный ряд определен корректно. Функции Грина, от-
вечающие V (х) = Х^ а} :Ф(х)':, ctj^>0, не аналитич-
ны по Я около Я, = 6 (см. [Н14, Т2, Р2, J2]). В модели
Ф| после частичного пересуммирования, выявляющего
различие между Я, > 0 (когда согласно теореме 5.2
232

Нп ограничен снизу) и "К <С О, результат частичного сум-
суммирования может сходиться в евклидовой области (см.
[S20]).
B). В модели (ФЧ^г перенормированный ряд ГМЛ
сходится около 1 = 0 после двойной регуляризации
(«ящика» объемом F<co и ультрафиолетового обреза-
обрезания а <С оо) (см. [S6]). В модели без обрезаний вопрос
остается открытым [ср. прим. перев. на стр. 161].
Доказательство того, что перенормировка не изменяет
катастрофического характера ряда ГМЛ в целом, в случае
бозонов трудно, в виду того, что (бесконечные при е \ 0,
г I 0) вычитания могли бы привести к компенсации раз-
различных вкладов в заданный порядок по "К. Однако в модели
Фз мы сможем убедиться воочию, что частично просум-
просуммированный ряд ГМЛ расходится при Я, <^ 0.
В модели Фз единственными расходящимися графами
ряда ГМЛ являются графы, содержащие как подграфы
замкнутые петли, ведущие к множителю 96AF (xt — XjK.
По этой причине мы регуляризуем каждый граф, заменяя
один из трех пропагаторов в AF (xt — xjK на новый про-
пагатор, который мы для облегчения вычислений сгладим
методом Паули — Вилларса [Р1], заменяя Am (p) на
\t>M(n\ = - - =
КР> (Р, Р) — '»2 + is (p, р) — М* + it
== i { dx^ aexp{fa[(p, p) — т: + Щda; Мг>пгг. F.182)
Такой замены вполне достаточно, так как
96 \dxxdx% i №"Xi)+i {v" Хг)\г'° (х, - *2JA?'м (х, - хг) =
Мг со 3
:= 126 (pt + рг) \ dx ^ ( Д da{) a3 [axa2 + axa3 + a^sf1' x
Xexp li fa!a2a3 [а^+^аз -f- а^з]'1 (pu px) — (ax + a2) m2 —
3
- аз* + ie S oj)} = i Bn)»2E>Jtf(pi) б (Pl + P%) F.183)
г=1 '
сходится при М2 •< оо, поскольку <х3 [а1а2 + с^ад +
'< (а1а2)-/«ав-'/'. Пусть A%M (у» Уг) =
233

---= Ж°'мC>) ;Фо (Vi) ^o B/г): — контрчлен, проистекающий
от F.183) и вычисленный в точке (plf pt) = m2:
м* 1з з F.184)
= Wf \dx ffi П d№611 ~.?Pi)х
(PiPa
В таком случае F.159) приобретает следующий вид:
W? (х) = 1:Ф0 (хI: + \АМ :Фо {х)\.
Теперь регуляризованный и перенормированный ряд
ГМЛ может быть просуммирован двумя различными спо-
способами.
Рис. 6.12.
(a) Путем суммирования графов, изображенных па
рис. 6.12, что дает пропагатор
DM (р) = i [{р, р)-т*- Я,2 (Ам + 2°'м (р)) + ЮГ1.
F.185)
После замены пропагаторов i [(р, р) — тг + г'О]^1 на
DM (p) регзтляризованный и перенормированный ряд ГМЛ
оказывается формально равным нерегуляризованному н
неперенор.мированному ряду ГМЛ модели Фд, в котором
опущены все графы, содержащие в качестве подграфов
замкнутые петли AF (xt — xjK. В пределе при М -*¦ оо
каждый Дм-граф представляет собой частичную сумму
графов перенормированного ряда ГМЛ без регуляриза-
регуляризации. К сожалению, до сих пор не найдено удобного ин-
интегрального представления для 0°°-графов, позволяющего
эффективно проводить простые оценки.
(b) При М <^ оо менее полное частичное "сумми-
"суммирование основано на графическом тождестве, пзображен-
234

йом па рис. 6.13. В таком случае ряд ГМЛ остается
неперенормированным, хотя и регуляризованным,
а (Л2/2) Лм :Ф0 (хJ'- учитывается с помощью замены
каждого пропагатора Ат (р), не входящего в петли
AF (xt — ж,-)8, на
где ffi- — регуляризованная с точностью до к2 физическая
масса модели Фз, которая в согласии с общим результатом
Лемана (L31 обладает свойством Та1 ^> пг.
-+--СХЗ—+ —
Ряс. 6.13.
Пусть G (W, X) — связный граф такого ряда с п
внутренними (типа Ф4) и 2/внешними вершинами. В таком
случае будем иметь 2га — / внутренних линий и п -\- 1 — /
замкнутых петель. Выделил! в амплитуде Фейнмана вклад
внешних линий
2/ 2/
П I [{Р, Р) - т2 +¦ Щ-Ч Bft) • F-187)
i=i i=i
Пусть fe>0 — число внутренних линий, которым сопо-
сопоставлены регуляризованные с помощью F.182) пропа-
гаторы. С точностью до положительного множителя по-
получим
М» Н <х> к оо 2л—/
{-аг\.. .\ П dy}\...[ П 0«Аз)$ • • -S П ¦ d«; х
m» j=i о з-i о 3=^+1
$ j Г<? (р, q) — S «J (Ti— *e) — 2 Мт2-ге
L з-i i=*+i
F.188)
где @ (р, С|) — квадратичная форма по }), С| с коэффициен-
коэффициентами, линейно зависящими от ctj, . . ., а2л_^. После
вычисления гауссова интеграла возникнет следующее
235

выражение:
n-H—/ м» к то гп—/
(_ а) У (-0 2 $ • • • S Ц dt^ . .. J П ^Z) (а) х
m« з=1 0 3=1
2/ ft an—/
X exp \i Г 2 ^iiCPi'Pj) — S aj(T,—гб) — 2 аз (™2 ~ i
1 4,j=i j=i j-=fc+i
F.189)
в котором D(a) однородно (степени к — 3/2 (п + 1 — /)) по
а. Пусть ри . . ., 7?2/-i лежат в открытом подмножестве
2/-1
/ множества точек Йоста1) и /з2/ = — ^} Ру Пусть / до-
3-=1
статочно близко к началу координат, так что
к 2n—f
-j- т1 < Е (р, а, т) = 2 «Л + S а^'" — (>>' ^Р)-
j=i j=ft+i
Тогда F.189) с учетом F.144) при е | 0 принимает вид
X)...) П da,6A- S aj)^(J), a, t) * D(a).
0 3=1 3=1
F.190)
При отрицательном Я- фаза в F.190) равна el7!'2 и не за-
зависит ни от к, ни от п, подобно тому как это имеет место
в теории без всякой регуляризции и перенормировки
(см. [J2] и (П.2)). Следовательно, при фиксированном / не
может происходить никакой компенсации вкладов от раз-
разных графов ряда ГМЛ. Поэтому, оценивая сумму снизу,
можно ограничиться подклассом графов без замкнутых
петель, дающих вклад вида AF (xt — Xj)s. Действуя таким
образом, Джаффе получил в качестве нижней грани
A/ге!) АВп F.191)
2/-1
) То есть 2 kjpj — пространственно-подобный вектор для всех
3=1
0, 2hj > 0.— Прим. перев.
236

где А,Б ^> 0 равномерно относительно {pv . . ., />2/-i) GEE
2/-1
GE Л P2f = 2j Рл -W2 фиксированно и 0 ^ — ?^?.0< °°i
3=1
причем Хо произвольно, но фиксированно. Число оцени-
оцениваемых графов порядка п ^> 2/ ограничено снизу вели-
величиной
л! (л — 2/+ 1)!!, F.192)
так что сумма
А ^ (и — 2/ + l)!!fin (-?.)" F.193)
расходится при всех 0 ^> X ;> — Я,о.
Теорема. 6.1G. Регуляризоваиный п перепормиро-
ванпый ряд ГМЛ, просуммированный с помощью соотно-
соотношений, вытекающих из графических тождеств рис. 6.13,
расходится при всех X < 0 и (р1г . . ., Р2/-1) ЕЕ J¦
Аддитивная перенормировка Боголюбова и Парасюка
недавно получила новую интерпретацию в рамках анали-
аналитической перенормировки (см. [S10, S12, L4, S11]). Вве-
Введем в А;'г (р) вспомогательную комплексную переменную %:
= Z; (р) Г (к)'1 \ da а>-Ч'хр {ш [(р, р) — т% + is]}. F.194)
Используя (G.144), получим
3, (X, р) = Z, (р) ехр {^} [(Р. Р) - '«2 + «0]"х =
= lim lim A;'r(>., p),
Ei° ri° F.195)
Sf(p) = Ml,/?).
При е и г, ббльшнх нуля, произведение
П F-196)
принадлежит Сд/ попеременным х = (xv . . ., хп) и пред-
представляет собой целую аналитическую функцию по (X,], ...
• • •» ^l) = Л- Преобразование Фурье произведения (G.196)
237

имеет вид
?•г (к, ») = б B Pi) S • • • S (И da, al'i-1 Г (Ь,)) X
Xfl(a,j>)exp{i[(j>, Л») - 2 Щ К - ie)]} . F.197)
Спир довольно просто получил следующий результат.
Т е о р е м а 6.17. Пусть G (F1? . . ., Vn, %) — связный
граф и
9- ={Л6Е C'L| ReX,> Л/ =B + 2 п)(^ - « + i). * <K^}-
F.198)
Тогда для всех X ?Е й существует предел
те (X) = lim тг>г (X) s 5^' (В41г), F.199)
задающий голоморфную по к ЕЕ Q функцию, обладающую
мероморфным продолжением в CL. Произведение
Д гB (h-M))'* F.200)
голоморфно в CL.
После того как снято обрезание г ^> 0 при % ЕЕ ?2, воз-
возникает желание определить переыормироваыную фейнма-
новскую амплитуду с помощью аналитического продол-
продолжения функции т6 (%) в точку h = A, ..., 1) = 1. Если
тЕ (А,) не аналитично в точке 1, то естественная идея, при-
применявшаяся в теории обобщенных функций (см. [Rl, G2]),
состоит в замене «значения» т* A) на его «конечную часть»,
представляющую собой постоянный член в разложении
т5 (к) в ряд Лорана около 1. Простое вычисление, основан-
основанное на требовании %у = %ъ = . . . =kL = к, приводит к
результату, не удовлетворяющему теореме 6.14. Спир
предложил симметричную итерационную процедуру вы-
вычислений, приводящую к правильному результату. Пусть
0 < Rt < . . . <RL и
i—1
% F.201)
Пусть Cj= {z G С | | z — 1 \ <i Rt} — окружности с
положительной ориентацией. Если RL достаточно мало, то,
как показывает F.200), хорошо определена следующая
238

величинаЕ
т1^. F-202)
где сумма распространяется на все перестановки мно-
множества {1, . . ., L). Следующий результат на первый
взгляд выглядит весьма неожиданным.
Теорема 6.18. Существует такой выбор конечных
неренормировок F.134), что 'Я-операция F.137) удовлет-
удовлетворяет равенству
($т)г{Уъ ..., Vn) = \\т'Ж'г<Уь . .., Fn), F.203)
ПО
так что существует предел lim {joXf(Vx, . . ., Vn) =
eJO
= limlim'^'^Fi,.. .,7„).
EiO Г|0
Справедливо и обратное утверждение (см. [Н9]):
Теорема 6.19. Пусть G ({Flf . . ., Vn}, X) — граф
из ряда ГМЛ и {% (U)| U С {Vv . . ., Fn}} — некоторый
выбор конечных перенормировок типа F.134). Тогда су-
существует однозначный выбор конечных перенормировок
{Хе (U) | U d {Vv . . ., Vn}} таких, что операция 'Л, оп-
определенная по 3t\ (U), удовлетворяет равенству
i ллО.О /тт т/ \ Х!' /5P^\0/1t^ 1t^ \ /ft 9Л/.\
J/I ^г 1) • • •) *'nj== ^_J V® / V 1 ' ' ' ¦' '¦"¦ (Р)/' ^D.ZU4j
г9е сг/jWjwa распространяется по всем разбиениям множе-
множества {Vv . . ., Vn}, и в х -пространстве
). F.205)
i=l conn
Итак, аддитивная перенормировка Боголюбова и Пара-
сюка и аналитическая перенормировка Спира определяют
один и тот же класс продолжений амплитуды JIAf.
i
Красота метода Спнра заключается в его глобальном
характере: аналитическое продолжение неперенормиро-
ванной амплитуды остается всегда хорошо определенным
на контуре интегрирования в F.202), так что можно пе-
перейти к пределу (в ,5е" (R4")) при г | 0, причем
F.206)
239

Вычисление всех этих предельных переходов значи-
значительно проще доказательств, ведущих к теореме 6.13.
Вместе с тем подход Спира по-прежнему базируется на изу-
изучении вкладов от различных секторов Sn в F.53) и тон-
тонкий анализ структуры сингулярностей функций тЕ (К),
проведенный в [S10], требует комбинаторной техники, близ-
близкой по своему содержанию методам анализа деревьев,
развитым выше. Кроме того, нужно помнить, что каждая
схема перенормировок имеет свои достоинства. Аналити-
Аналитическая перенормировка дает мощное орудие изучения ана-
аналитической структуры рядов теории возмущений. При
этом, конечно, у нас нет никаких оснований считать ре-
результаты, получаемые с помощью формул F.202), физиче-
физическими величинами, отвечающими «истинному» выбору ко-
конечных перенормировок в неперенормируемых теориях.
Напротив, масса и перенормировка амплитуды должны
быть фиксированы независимо, подобно тому, как это было
проделано в примере на стр. 229, для того, чтобы адиаба-
адиабатическая теорема выполнялась хотя бы в рамках теории
возмущений (см. [НЮ, Е7, S15]). Достоинство аддитивной
перенормировки состоит в простоте связей между вычи-
вычитаниями в J^-операции и контрчленами в плотности вза-
взаимодействия. Другие регуляризации, например, регуля-
регуляризация Паули — Вилла pea [P11, позволяют сохранить
в процессе вычислений определенные формальные симмет-
симметрии, присущие неперенормированной теории (например,
о калибровочной инвариантности см. [В71, гл. 30). С дру-
другой стороны, унитарность S-матрицы и уравнения для
перенормированных полей лучше изучать в р-простран-
стве (см. [VI, W7, Z2, В12] ив особенности [Z4]). Следует
также иметь в виду, что в фундаментальных исследованиях
лагранжевой квантовой теории поля операторный подход
оказывается во многих случаях гораздо более предпочти-
предпочтительным с точки зрения ясности, чем диаграммы Фейп-
мана. В этом направлении тоже достигнуты определенные
успехи. Эпштейн и Глазер применили аксиомы Боголю-
Боголюбова и ЛСЦ — лоренц-инвариантности, причинности и
унитарности — к определению Г-произведений Т (V-^xJ ...
. . . Vn (xn)) локальных функций Vt (x) свободного по-
поля Фо (х). В [Е6| сформулирована индуктивная конструк-
конструкция, опирающаяся на каждом шагу на локальность и
спектральное условие, которая позволяет определить
T{Vy (ж,) . . . Vn (х„)) для случая, когда Vt — полиномы
Вика. Эти авторы также показали, что найденное ими

решение совпадает с частным решением, получаемым сум-
суммированием перенормированных с помощью .^-операции
фейнмановых амплитуд. В работе [Е7] показано, что опера-
оператор S и гейзенберговы операторы поля, которые в теории
возмущений могут быть выражены через Т (Fx (жх) . . .
. . . . Vn (xn)), имеют адиабатический предел в инвариант-
инвариантной области фокова пространства, содержащей состояния,
описывающие конечное число частиц с непрерывными по
Гёльдеру волновыми функциями. В работе [Е5] рекур-
рекуррентное построение Г-произведеннй распространено и на
локальные функции из класса Джаффе [J5]
оо
V(x)= %^:Ф0(х)п;/п\, F.207)
п=0
причем К \<АВппС" и А > 0, В > 0, у>С„>0.
Этот класс достаточно широк, чтобы включить суперпро-
пагаторы (см. [L4]) кирально-инвариантных теорий.
Штайнман [S14, S15] довел до удовлетворительного за-
завершения программу ЛСЦ в теории возмущений. Он по-
построил запаздывающие обобщенные функции (вакуумные
ожидания запаздывающих гейзенберговых операторов
поля) путем рекуррентного решения квадратичных урав-
уравнений унитарности с определенными граничными значе-
значениями. С помощью асимптотического условия ЛСЦ пе-
переход к адиабатическому пределу осуществляется на каж-
каждом последовательном шагу. Опять же это решение может
быть воспроизведено при помощи сумм фейнмановских
амплитуд, перенормированных с помощью Л-операции.
Оба подхода (Эпштейна — Глазера и Штайнмана) — прек-
прекрасные иллюстрации концепций и математических мето-
методов аксиоматической квантовой теории поля.
Лагранжева квантовая теория поля с теорией возму-
возмущений имеет еще много нерешенных и не до конца постав-
поставленных проблем, относящихся к неполиномиальным вза-
взаимодействиям, к частицам с нулевой массой, к дополни-
дополнительным структурам таким, как симметрии и их спонтанное
нарушение, и, в частности, к не абелевым градиентным
группам (см., например, [Т5]). И я очень надеюсь, что
после прочтения этих лекций читатель не чувствует себя
слишком измученным и сумеет применить свой собственный
вкус и инициативу для углубления в обширную литера-
литературу по релятивистской квантовой физике.

эпилог
Друзья советовали мне в заключение этого курса при-
привести несколько цитат из эйфорических трудов кое-кого
из знаменитых наших современников. Но я ведь только
труженик полей и потому не поддался этому литератур-
литературному искушению, хотя и не скрываю своего оптимизма:
синтез современного функционального анализа с качест-
качественной динамической картиной, даваемой теорией возмуще-
возмущений, приведет к созданию квантовой теории полей и прибли-
приблизит ее к физике. Можно ожидать, что строгое изучение ре-
релятивистских взаимодействий вскроет структуры столь же
богатые, как в квантовой статистической механике (см.
[R6]), иди вроде тех, что уже проявились в последних
исследованиях взаимодействия Р (Ф)г-
В конце этих лекций я хотел бы выразить свою глу-
глубокую благодарность:
господину Л. Мочаиу, директору Института высших
научных исследований за гостеприимство, и профессорам
Л. Мишелю и Д. Рюэлю, создавшим там прекрасную на-
научную атмосферу;
Д. Фотиади из центра Теоретической физики Политех-
Политехнической школы Парижа, предоставившего мне возмож-
возможность выступать перед столь блестящей аудиторией;
Ж. Ласку и Марии-Клод, приобщившим меня к кра-
красоте французского языка, и М. К. Поливанову и
В. Н. Сушко за тщательный русский перевод;
и, наконец, мадам Ф. Андало и всем остальным,
кто принял бескорыстное участие в материализации этих
лекций.

Приложение ОЦЕНКИ
Наконец мы приведем оценки, необходимые для теорем гл. 3
н 4. Сразу же отметим, что в этой области царит полная кустарщина.
Было бы весьма похвально приспособить прекрасную теорему
Вайнберга [W1] к нековариантной перенормировке, при которой
область интегрирования зависит от нескольких обрезаний и где
компенсация расходимостей значительно менее элегантна, чем в
функциях Грина, регуляризовашшх ковариаптньш образом. Для
одевающих преобразований (см. теорему 4.5) подобное намерение
было реализовано Экманном. Но нельзя считать удивительным то,
что прямая оценка интегралов, встречающихся в суперперенорми—
руемых теориях, оказывается порой более эффективной, чем провер-
проверка условий теоремы Вайнберга.
Ниже буква с всегда будет обозначать константы, смысл кото-
которых может меняться от формулы к формуле, что, однако, не приве-
приведет к недоразумениям.
т
(а) О ц е н к а па (р). Пусть s = 3, \ р\ = р^ 1 и t — ——.
В таком случае C.30) оценивается величиной
I— W2
X
(П.1)
Пусть 0 < ц < у. Если у > т), то ни один множитель в (П.1) не
обращается в бесконечность при ?2 -> 0, так что соответствующий
вклад в (П.1) остается равномерно ограниченным при всех р «^ оо.
1
Если у ^ т) и х^ -?, то
[...]-*<|> + (*-уJ-г/]-1. (п.2)
Интеграл
Ц^ + Ж2 + ?/)-з/2(i2_г (ж +1J + y)-i:<idy (П_3)
243

расходится только логарифмически при t2 -» 0, что компенсируется
с 1
множителем —-. При j/ ^ г] и 0 ^ a; <sj -rf — Ц имеем
*1 + (*±-г) +у\
(П.4)
если т] > 0 достаточно мало и f2 < г]. В таком случае вклад от (П.4)
не опасен, так как
?
V* <¦ с (П Г))
О
Пусть, наконец, у <^х\ и -кг — ti^^^'Ji1!^^ достаточно мало
1
и (! ^ т|, В этом случае z = -j- — i 6 [0, ч1 и
так что
с ? ,...„ , .,-.f , *2 + 2Л-j- 2_2
поскольку
«. (П-в)
С незначительными изменениями проведенное рассмотрение перено-
переносится на случай s = 1, 2. Тот же метод приложим и к оценке /?го (р)
при s = 1, 2. Например, при s = 2 критическая область J/ ^ т]
и -р — Л*Сг5С'
(Ь) Доказательство C.66) — C.71). Пусть <р _Е g? (
gs> г + 2e = m. С постоянной с = с (т) имеем
y pr, . . . , pr+s), A1.10)
244

где
X \ -.л—;
I Ф (PL • • • , Pr_2, P,, Pr_! - Pr, Pr+1, •... Pr+S) P X
и p. = ^ (p,,.]^ — Pr). Супремум второго множителя по рг_5 не боль-
больше с (еJ, между тем как интегрирование |ф(/л, ..., Pr+S) I2 uo
pi,..., pr+s дает |ф||2 и C.66). Такойже метод применим и в случаях
C.67), C.68). При доказательстве C.69) доходим до оценки
SUP С Д dPi 6(P-Pl-P«)fi(p-P»-P4) < с
;'=" г И !-«ч1 г - t1!" И-2 |2а| z -цз- )i4|2:i|--^i- Цз- ИМ2
(П.12)
F2 a)ren имеет ВИД
1
где
а 21'|Х; — энергия «внешних» частиц. C.70) будет доказано, если для
всех z с Rez «С 0 будет
suPl/. (р,г)Кс|гГ1+Е, (П.14)
р, а
поскольку |z—2Vi Г1+е < I *I~1+V Оценка интеграла (П. 13)
с помощью неравенства \z — jxi — (х2 | -1 ^ | z |~1+* (|МЩ)~Е/2 при-
приводится к оценке интеграла типа (П.1) и может быть проведена мето-
методами пункта (а). Наконец, C.71)получаетсямажорацией \z—EYi —
— [U— Иг I'1 величиной | z p1+2E | 2>i|-E (niH2)-t/2.
(с). Доказательство леммы 4.3. Сначала упростим
произведение
П
с помощью неравенства
A + |о + 6|N<с A+| а|I8|A + |6|)8, 6GR. (П.15)
245

Тогда
dskig(kiI(ki,...,kn)
Если | g (fc) |< с A + | fc |)-°, a > s + 2 | aj |, то D.27) доказано,
(d) Доказательство лемм 4.4. и 4.8. Представим
D.34) и D.35) в виде
(РиР-г)= \
D(
(р,?,/>], р-г),
1
Проведем различные оценки в различных областях, покрывающих
область интегрирования в (П.17). Пусть 0 < т < р < 1 и
Для таких значении р\ и а имеем
< с (а + 1)"№A +| pi - Р2 \)~N In а, (П. 19)
цоскольку в области (П.18)
\giPi- Pt)\ <с{1+ cyN A + | pi - р \)~N. (П.20)
Пусть теперь
Для таких значений /цист
dp dq ф
\ dp dq f < с In a A + | pi — pi \)~N X
|p|>o
UK
и это также влечет доказательство леммы 4.4.
Пусть теперь (/>, q) таковы, что
ИЛИ
J, (П.22)
а. (П.23)
246

Тогда а > | q | > a -
a
\ ~?hr<c5"(|c — ap/2| + l)-i< c A + 3)o-i. (П.24)
о-J-aP
2
Следовательно,
В области
(П.23)
dpdqty
с A -j- а)" A + | л - ^ \)~N. (П.25)
(a),
(П.26)
нужво использовать компенсацию между <р (р, q, pi, p2) и
t (P. 9. />i — Рг)- Имеем
(П.27)
т»
Последний член I—2UmTi СХ0ДитСЯ и в ф и в t[>. Вклад постоянного
члена мы оценим с помощью неравенства
А ~ В
\А-В\
\АВ\
при | А
Отсюда
3 | > 0, так что при | А |, | В \ > О
/1 "~ В
(П.28)
(П.29)
B|г
I* ("f
BЦ
Далее,
-f")- Если
X
. (П.ЗО)
A1.31)
247

то g (pi —- p) поглощает ц (p/2)€. В противном случае
(П.32)
В двух других случаях интеграл оценивается величиной с A
+ I Pi — Рг \)~N, ч™ опять ведет к лемме 4.4.
При q± = q ± р/2, ц± = \i (д±) и | q± | / | ц± | < 1 имеем
Первый член уже оценен. Что касается второго, то
(П.ЗЗ)
РФ- V
1
о ц!
0
Ч*Ч- Яг
V-Ф- V?
я + -
1
—х
1
PI +^(9 —
д+ч- 92
1 "П
/ -1
6
(П.34)
(П.35)
С помощью (П.34) и (П.35) получаем множитель, дающий дополни-
дополнительное убывание, равномерное по р и т. Множитель p2t поглоща-
поглощается убыванием g (pi—р), если jx (р) > ц (piJ, и величиной
ц (рО48 — в противном случае.
Эта оценка навеяна работой Глимма [G7], с помощью которой
можно дать аналогичное доказательство лемме 4.8.
(е) Доказательство D.123). Поскольку теперь нужно
оценить члены типа
S п
g(ki+ ... +kt)
(П.36)
леммы 4.3 недостаточно для доказательства D.123).
Сначала |г (к) < ц (I) + jx (А; + I) дает
(«Г
(П.37)
(ft) |»(i (ft +
248

Тогда мы приходим к необходимости оценить
Л- d*k.
(П.38)
имеем ([F3], лемма II.2)
При а < 2 J < 2 и а -
/ (р) = \ ; р < с A + | р \J~*~16. (П.39)
Поскольку при | р | ^ 1 1 (р) ^с, между тем как при р == | р | ^ 1
/ (р)< ^г? I ? ГI р + я Г0 < />2~а~р \ &д I« Г -у + ff ~P,
(П.40)
(П.38) оценивается с помощью (П.39) величиной
А
<c

ЛИТЕРАТУРА
Al. A 1 b e v e r i о S., Helv. Pliys. Acta 45, ЗОЗ|A972).
A2. A p p 1 e q u i s t Т., Ann. Phys. 54, 27 A969).
A3. A r а к i H., J. Math. Phys. 2, 163 A961).
A4. ArakiH., Varenna Lectures 1968, Acad. Press, N. Y., 1969.
A5. A r а к i H., J. Math. Phys. 4, 1351 A963).
A*l. A p e ф ь е в а И. Я., ТМФ 12, 331 A972).
A*2. Арефьева И. Я., ТМФ 14, 3 A973); 15, 207 A973).
A*3. Арефьева И. Я., К у л и ш П. П., ТМФ 16 A973).
А*4. Аникин С. А., Завьялов О. И., (Поливанов
М. К., ТМФ 17, 189 A973).
81. В а г g m a n n V., Ann. Math. 59, 1 A954).
82. БерезинФ. А., Метод вторичного квантования, «Наука»,
1968.
83. В е s s i s D., PusterlaM., Nuovo Cim. 54A, 243 A968).
B4. В j о r k e n J. D., D г е 11 S. D., Relativistic Quantum Fields,
McGraw-Hill, N. Y., 1965.
B5. В 1 a n с h a r d P., Comm. Math. Phys. 15, 156 A969)
B6. В о g о 1 i u b о v N. N., P а г a s i u k 0. S., Acta Math.
97, 227 A957).
B7. Боголюбов H. H., Ш и р к о в Д. В., Введение в тео-
теорию квантованных полей, Физматгиз, 1957.
88. В о г с h е г s H. J., Nuovo Cim. 15, 784 A960).
89. Borchers H. J., Nuovo Cim. 33, 1600 A964).
BIO. В r a n d t R. A., J. Math. Phys. 8, 1112 A967).
BH. В г a n d t R. A., Univ. Maryland, Techn. Report№ 673A967).
B12. В r a n d t R. A., Ann. Phys. 44, 221 A967); 52, 122 A969).
B13. Bros J., в сб. «High Energy Physics A969) and Elementa-
Elementary Particles», IAEA, Wien, 1965.
B*l. Боголюбов Ы. Н., Логунов А. А., Т о д о р о в
И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории
поля, «Наука», 1969.
С1. С a i a n i е 1 1 о Е. R., G u е г г a R. F., M a r i n а г о М.,
Nuovo Cim. 60, 713 A969).
С2. Cannon J., J. Funct. Anal. 8, 101 A971).
СЗ. С h a d a m J., J. Math. Phys. 9, 386 A968).
C4. ChaikenJ., Ann. Phys. 42, 23 A967).
C5. С h e r n о f f P., J. Funct. Anal. 2, 238 A968).
0*1. ChaikenJ., Comm. Math. Phys. 8, 164 A968).
C*2. С о о k, J. M., Trans. Amer. Math. Soc. 74, 222 A953).
Dl. D e 1 l'A n t о n i о G. F., D о p 1 i с h e r S., R и e 1 1 e D.,
Comm. Math. Phys. 2, 223 A966).
D2. D e 1 ГА n t о n i о G. F., D о p 1 i с h e r S., J. Math. Thys.
8, 663 A967).
D3. D e 1 1' An t о n i о G. F., Comm. Math. Phys. 9, 81 A968).
250

D4. D i г а с P. A. M., Lectures on QFT, Yeshiva Un., N. Y., 1966-
D5. Dixmier J., Les C*-algebres et leurs representations,
Gauthier-Villars, Paris, 1964.
D6. DresdenM., KahnP. В., Rev. Mod. Phys. 34, 401A962).
D7. ДанфордН., Шварц Дж., Линейные операторы, ИЛ,
1962.
D8. D у s о n F. J., Phys. Rev. 75, 486, 1736 A949).
D*l. D i m о с к J., J. Math. Phys. 13, 477 A972).
D*2. D i m о с к J., Ann. Phys. 72, 177 A972).
El. E с к m a n n J. P., Comm. Math. Phys. 18, 247 A970).
E2. E с к m a n n J. P., Comm. Math. Phys. 25, 1 A972).
ЕЗ. Е с к m a n n J. P., О s t e r w a 1 d e r K., Helv. Phys.
Acta 44, 884 A971).
E4. EpsteinH., Nuovo Cim., 27, 886 A963).
E5. EpsteinH., G 1 a s e r V., Comm. Math. Phys. 27, 181
A972).
E6. EpsteinH., G 1 a s e r V., в сб. [G17].
E7. EpsteinH., GlaserV., Ann. Inst. H. Poincare, 1974.
E*l. E а с h u s W. J., S t r e i t L., Reports Math. Phys. 4, 161
A973).
Fl. F a b г е у J., Comm. Math. Phys. 19, 1 A971).
F2. F a b г е у J., preprint, Haward, 1973.
F3. Фаддеев Л. Д., ТрудыМИАН им. Стеклова 69A963).
F4. Feldman J., preprint, Haward, 1972.
F5. FlamandG., Gargese Lectures, 1965.
F6. Friedrichs K. 0., Mathematical Aspects of the QFT,
Interscience, N. Y., 1953.
F7. Фридрихе К., Возмущение спектра операторов в гиль-
гильбертовом пространстве, «Мир», 1969.
F8. F г б h I i с h J., preprint, ETH, 1971.
F9. F г б h 1 i с h, J., Ann. Inst. H. Poincare 19, 1 A973).
F*l. Ф а д д е е в Л. Д., ДАН СССР 152, 573 A963).
F*2. Фатеев В. А., Ш в а р ц А. С, ДАН СССР 209, 66 A973):;
ТМФ 14, 152 A973).
Gl. G а г d i n g L., W i g h t m a n A. S., Proc. N. A. S. (USA>
40, 617, 622 A954).
G2. Г е л ь ф а н д И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции!
и действия над ними, Физматгиз, 1959.
G3. G е 11-М a n n M., L о w F., Phys. Rev. 84, 350 A951).
G4. G i n i b r e J., V e 1 о G., Comm. Math. Phys. 18, 65 A970)..
G5. G 1 i m m J., Comm. Math. Phys. 6, 61 A967).
G6. Glimml,
G7. G li mm J.
G8. G 1 i m m J.
G9. GliramJ.
G10. G 1 i m m J.
Gil. G 1 i m m J.
G12. GlimmJ.
G13. GlimmJ.
G14. GlimmJ.
G15. G 1 i m m J.
G16. G 1 i ra m J
G17. G 1 i m m J,
Comm. Math. Phys. 5, 343 A967).
Comm. Math. Phys. 10, 1 A968).
Comm. Math. Phys. 8, 12 A968).
Varenna Lectures 1968, Acad. Press, N. Y., 1969.
J a f f e A., Phys. Rev. 176, 1945 A968).
J a f ? e A., Ann. Math. 91, 362 A970).
J a f f e A., Acta Math. 125, 203 A970).
Jaffe A., J. Math. Phys. 13, 1568A972).
J a f f e A., Ann. Phys. 60, 321 A970).
J a f f e A., J. Funct. Anal. 7, 323 A971).
J a f f e A., Comm. Math. Phys. 22, 253 A971).
J a f f e А., в сб. «Statistical Mechanics and
QFT, Les Houches Lectures 1970», Gordon and Breach, N. Y.,
1971.
251

G18. GlimmJ., Jaffe А., в сб. «Mathematics of Contemporary
Physics», Acad. Press, London, 1972.
G19. Glimm J., Jaffe A., Fortschritte der Physik 21, 327
A973).
G20. GlimmJ., J a f f e A., S p e n с е г Т., в сб. [W5].
G21. GlimmJ., J a f f e A., SpencerT., в сб. [НИ].
G22. G о 1 d s t о n e J., Proc. Roy. Soc. 239A, 267 A957).
G23. GrossL, Comm. Pure Appl. Math. 19, 1 A966).
G24. G u e n i n M., Comm. Math. Phys. 3, 120 A966).
G25. GueninM., Velo G., Helv. Phys. Acta 41, 362 A968).
G26. G u e г г a F., Phys. Rev. Lett. 28, 1213 A972).
G27. GuerraF., Rosen L., Simon В., Comm. Math. Phys.
27, 10 A972).
G*l. G i d a s B. J., Math. Phys. 12, 1414 A971).
G*2. GrossL., Comm. Math. Phys 31, 25 A973).
G*3. GuerraF., R о s e n L., S i m о п В., Comm. Math. Phys.
29, 233 A973).
HI. H a a g R., Phys. Rev. 112, 669 A958).
H2. H a a g R., К a s 11 e r D., J. Math. Phys. 5, 848 A964).
H3. H e i s e n Ь e r g W., P a u 1 i W., Z. Phys. 56, 1 A929).
H4. X e п п К., в сб. «Brandeis Lectures 1965», Gordon and Breach,
N. Y., 1966.
H5. H e p p K., Comm. Math. Phys. 2, 301 A966).
H6. H e p p К., в сб. «Les systems a un nombre infini de degres
de liberte», С N. R. S. Paris, 1969.
H7. H e p p К., в сб. «Проблемы теоретической физики» (сб.
поев. Н. Н. Боголюбову), «Наука», 1969.
Н8. Н е р р К., Helv. Phys. Acta 42, 425 A969).
Н9. Н е р р К., Comm. Math. Phys. 14, 67 A969).
НЮ. Н е р р К., в сб. [G17].
НИ. Н е р р К., Erice Lectures 1972, Bologua, 1973.
Н12. И о е g h - К г о h n R., J. Math. Phys. 9, 2075 A968).
H13. van H о v e L., Physica 18, 145 A952).
H14. HurstC, Proc. Roy. Soc. 214A, 44 A952).
1-1*1. Hoegh-Krohn R., Comm. Math. Phys. 12, 216 A969).
H*2. Hoegh-Krohn R., J. Math. Phys. 10, 639 A969).
H*3. Hoegh-Krohn R., J. Math. Phys. 11, 185A970).
11*4. Hoegh-Krohn R., Comm. Math. Phys. 17, 179 A970).
H*5. Hoegh-Krohn R., Comm. Math. Phys. 18, 109 A970).
H*6. Hoegh-Krohn R.,Comm. Math. Phys. 21, 256A970).
Jl. Jaffe A., Thesis, Princeton Un., 1965.
J2. Jaffe A., Comm. Math. Phys. 1, 127 A965).
J3. J a f f e A., Math. Phys. 7, 1250 A966).
J4. J a f f e А., в сб. [Н6].
J5. J a f f e A., Phys. Rev. 158, 1454 A967).
J6. Johnson R. \V., J. Math. Phys. 11, 2161 A970).
J7. Й ост Р., Общая теория квантованных полей, «Мир», 1967.
J*l. JaffeA.,LanfordO. E.,Wightman A. S., Comm.
Math. Phys. 15, 47 A969).
J*2. Я к ы м и в Я. М. ТМФ 9, 323 A971).
J*3. Я к ы м и в Я. М. Укр. матем. ж. 24, 21 A972).
К1. К а 1 1 е n G., P a u I i W., Dan Vid. Selsk. Mat. Fys. Medd
30, № 7 A955).
K2. KatoY., Prog. Theor. Phys. 26, 99 A961).
КЗ. К a t о Т., Теория возмущений линейных операторов, «Мир»,
1972.
252

K4. К a t о Т., Math. Ann. 162, 258 A966).
К5. К a t о Y., M u g i b а у a s h i N., Prog. Theor. Phys. 30,
103, 409 A967).
Кб. К 1 a u d e r J., McK enna J., Woods J., J. Math. Phys.
7, 822 A966).
K7. К 1 a u d e r J., J. Math. Phys. 5, 1120 A964).
K8. Kothe G., Topologishe lineare Raume, Springer, Heideberg,
1960.
K9. К u о Р. К., YennieD. R., Ann. Phys. 51, 496 A969).
K*l. KatoY., MugibayashiN., Prog. Theor. Phys.
31, 300 A964).
K*2. Kato Y., MugibayashiN., Prog. Theor. Phys. 45,
628 A971).
K*3. Kristensen P., Ы о j 1 b о L., P о u 1 s e n E. Т., Согага.
Math. Phys. 1, 175 A965).
K*4. К у л и ш П. П., Ф а д д е е в Л. Д., ТМФ 4, 153 A970).
LI. L a n f о г d III О. Е., Thesis, Princeton Un., 1966.
L2. Lee T. D., Phys. Rev. 95, 1329 A954).
L3. L e h m a n n H., Nuovo Cim. 11, 342 A954).
L4. L e h m a n ii 11., 1' о h 1 га е у е г К., Comm. Math. Phys.
20, 101 A971).
L5. L e h m a n n H., S у m a n z i k K., Zimmerman W.,
Nuovo Cim. 1, 205 A955).
L6. Levy-Le blond J. M., Comm. Math. Phys. 4,157 A957).
L*l. Лихачев В. Н-, T ю п к и н Ю. С, Ш в а р ц А. С, ТМФ
10, 63 A972).
M*l. Masson D., Me С 1 а г г у W. К., Comm. Math. Phys.
21, 71 A971).
N1. Наймарк М. А., Нормированные кольца, «Наука»,
1968.
N2. N е 1 s о n E., Ann of Math. 70, 572 A959).
N3. Nelson E., J. Math. Phys. 5, 1190 A960).
N4. Nelson E., в сб. «Mathematical Theory of Elementary
Particles», MIT Press, 1966.
N5. NelsonE., J. Funct. Anal. 11, 211 A972).
N6. Nelson E., J. Funct. Anal. 12, 97, 211 A973).
N7. Nelson E., A.M.S. Symposium on Partial Differential
Equations, 1971.
N8. von Neumann J., Composito Math. 6, 1 A938).
01. Osterwalder K., These, E.T.H. Zurich, 1969.
02. О s t e г w a 1 d e r K., Fortschr Physik 19, 43 A971).
03. Osterwalder K., Schrader R., Comm. Math.
Phys. 31, 83 A973).
0*1. О к с а к А. И.. ДАН СССР 184, 803 A068).
0*2. Osterwalder К., Schrader R.,* Helv. Phys. Ada
4j, 746 A972).
PI. PauliW., VillarsF., Rev. Mod. Phys. 21, 434 A949).
P2. P e t e r m a n n A., Helv. Phys. Acta 26, 291 A953).
РЗ. Р о w e r s R. Т., Comm. Math. Phys. 3, 145 A967).
P4. P г о s s e r R. Т., J. Math. Phys. 5, 708 A964).
P*l. P a r i s VV. G., Comm. Math. Phys. 30, 23 A973).
P*2. ParrottS., Comm. Math. Phys. 13, 68 A969).
1**3. Пискунов В. Н., ТМФ 15, 315A973).
Rl. R i e s z M., Acta Math. 81, 1 A949).
R2. RosenL.,1. Math. Phys. 13, 918 A972).
253

R3. Rosen L., Comm. Math. Phys. 16, 157 A970).
R4. RuelleD., Nuovo Cim. 19, 356 A961).
R5. RuelleD., Heiv. Phys. Acta 35, 147 A962).
R6. RuelleD., Статистическая механика, «Мир», 1971.
R*l. R о sen L., Comm. Pure Appl. Math. 24, 417 A971).
R*2. Rosen L., Simon B,, Trans. Amer. Math. Soc. 165,
365 A972).
51. S a 1 a m A., Phys. Rev., 82, 217; 84, 426 A951).
52. S с h г a d e r R., Comm. Math. Phys. 10, 155 A968).
53. S с h r a d e г R., Ann. Phys. 70, 412 A972).
54. Shwartz L., Theorie des distributions, Hermann, Paris,
1966.
55. S e g a 1 I. E., Proc. N.A.S. (USA) 57, 1178 A967); Ann.
Math. 92, 462 A970)
56. S i m о n В., preprint, Princeton Un., 1968.
57. Simon В., Phys. Rev. Letters 25, 1583 A970).
58. S i m о п В., preprint, Toulon, 1973.
59. S i n h aK., E mchG. G., Bull. Amer. Phys. Soc. 14, 86A969).
510. Speer E. R., J. Math. Phys. 9, 1404A968); Generalized
Feyman Amplitudes, Princeton Un. Press, 1969.
511. S p e e r E. K., Comm. Math. Phys. 23, 23 A971).
512. S p e e r E. R., Lectures on Analytic Renormalization, Techn.
Report № 73—067, Univ. of Maryland, 1972.
513. SteinmannO., Helv. Phys. Acta 33, 257, 347 A960).
514. SteinmannO., Ann. Phys. 29, 76 A964); 36, 267 A966).
515. Steinmann O., Perturbation Expansions in Axiomatic
Field Theory, Springer, Berlin, 1971. [Готовится русский пе-
перевод.]
516. S t о г a R., в сб. «Les Houches Lectures 1971», Gordon and
Breach, N. Y., 1973.
517. С т р и т е р Р., В а й т ман А. С, РСТ, спин и статистика и
все такое, «Наука», 1966.
518. S t u е с k e I b e r g E. С. G., Phys. Rev. 81, 130 A951).
519. Symanzik К., Hercegrovi Lectures 1961.
520. S у m a n z i к К., J. Math. Phys. 7, 510 A966).
521. Symanzik К., в сб. «Local Quantum theory, Varenna
Lectures 1968», Acad. Press, N. Y., 1968.
S*l. S а к a i S., C*-algebras and W*-algebras, Springer-Verlag,
Berlin — Heidelberg — New York, 1971.
S*2. Шефер Х., Топологические векторные пространства,
«Мир», 1971.
S*3. SchraderR., Comm. Math. Phys. 21, 164 A971).
S*4. StreaterP., Comm. Math. Phys. 26, 109 A972).
Tl. ThiessW., J. Math. Phys. 9, 305 A968).
T2. T h i r r i n g W., Helv. Phys. Acta 26, 33 A953).
T3. T r e v e s F., Topologicai Vector Spaces, Distributions and
Kernels, Acad. Press, N. Y., 1967.
T4. Trotter H. F., Pacific J. Math. 8, 887 A958); Proc. Amer.
Math. Soc. 10, 545 A959).
T5. Труды Московской конференции по математическим пробле-
проблемам квантовой статистики и КТП, Москва, 1972.
Т*1. Тюпкин Ю. С, Шварц А. С, ТМФ 10, 259A972).
VI. V а 1 a t i n J., Proc. Roy. Soc. 225A, 535; 226Л, 254 A954).
V*l. В о л о в и ч И. В., С у ш к о В. Н., ТМФ 9, 211 A971).
Wl. WeinbeigS., Phys. Rev. 118, 838 A960).
254

W2. WeinbergS., Phys. Rev. 133B, 1318 A964).
W3. WestwaterJ., Forschr. Physik 17, 1 A969).
W4. W i g h t m a n A. S., Phys. Rev. 101, 860 A956).
W5. «Constructive QFT» Erice Lectures 1973 (ed. by A. S. Wight-
man) Springer, Berlin, 1974.
W6. WightmannA. S.,GardingL., Ark. Fysik. 28, 129
A964).
W7. WilsonK. G., preprint, Cornell Un., 1964.
W8. de W i 11 B. S., Operator Formalism in OFT, UCRL Report,
№ 2884, 1965.
W9. W ii Т. Т., Phys. Rev. 118, 838 A960).
W*l. Wilson K. G., Zimmermann W., Comm. Math.
Phys. 24, 87 A972).
W*2. Wick G., Phys. Rev. 80, 268 A950).
Yl. Y a n g С N., F e 1 d m a n D., Phys. Rev. 79, 972 A950).
Y2. Y n d u r a i n F. J., J. Math. Phys. 7, 1133 A966).
Zl. Завьялов О. И., С т е п а н о в Б. М.. ЯФ 1, 922 A965).
Z2. Z i m m e r m a n W., Comm. Math. Phys. 6, 161 A967).
Z3. Z i m m e r m a n W., preprint, IHES, 1969.
Z4. Zimmerman W., в сб.«Lectures on Elementary Particles
and QFT», Brandeis Lectures 1970, MIT Press, 1971.
Z*l. Завьялов О. И., Сушко В. Н., Неэквивалентные
представления соотношений коммутации в физике бесконеч-
бесконечных систем, в сб. «Статистическая физика и КТП» (под ред.
Боголюбова Н. Н.), «Наука», 1973.