АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
Ю. Н. КАФИЕВ
АНОМАЛИИ
и
ТЕОРИЯ СТРУН
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
И. Ф. Гинзбург
НОВОСИБИРСК
«НАУК А»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1991

УДК E39.12 + 530.145) : 51 —7
Аномалии и теория струн/Ю. Н. Кафиев.— Новосибирск:
Наука. Сиб. отд-ние, 1991.— 245 с.
ISBN 5—02—029689—9.
В монографии излагаются основы теории струн. Рассмотрены вопросы
абелевых и неабелевых аномалий и связь между ними, бозонная струна,
спиновая струна и суперструна Грина — Шварца, компактификация
замкнутой бозонной струны и гетеротическая струна, функциональные ме-
методы, струна Полякова, двумерные конформные теории поля. В приложе-
приложениях дается подробный обзор методов вычисления функциональных детер-
детерминантов и доказывается теорема Квиллена.
Книга предназначена для специалистов в области квантовой теории
поля, студентов старших курсов и аспирантов, а также для математиков,
интересующихся приложениями математики в современной физике.
Ил. 33. Библиогр.: 257 назв.
Рецензенты
доктора физико-математических наук
Э. А. Кураев, В. В. Серебряков
Утверждено к печати
Институтом математики СО АН СССР
К
1604040000—171
042@2) — 91
ISBN 5—02—029689—9
250—91 I полугодие
Издательство «Наука», 1991
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......,.., 5
Глава 1. АНОМАЛИИ 7
§ 1. Понятие аномалии ¦ —
§ 2. Абелевы аномалии 10
§ 3. Метод Фудзикавы , 13
§ 4. Теорема об индексе 18
§ 5. Неабелевы аномалии 24
§ 6. Условие Весса — Зумино 27
§ 7. Построение неабелевой аномалии 29
§ 8. Гравитационные аномалии 34
§ 9. Гравитационная аномалия в D = 2 38
§ 10. Гравитационная аномалия и теорема об индексе ... 41
Глава 2. ТЕОРИЯ БОЗОННОЙ СТРУНЫ 44
§ 1. Экскурс в историю —
§ 2. Бозонная струна 50
§ 3. Ковариантное квантование 55
§ 4. Квантование на световом конусе 64
§ 5. Когерентные состояния. Статсумма струны 70
§ 6. Взаимодействие струн. Древесные диаграммы .... 74
§ 7. Алгебра Виразоро и отщепление духовых состояний в дре-
древесных диаграммах 81
Глава 3. СПИНОВАЯ СТРУНА И СУПЕРСТРУНА 88
§ 1. Фермионы в дуальной теории. Модели Рамона и Неве'—
Шварца —
§ 2. Ковариантное действие спиновой струны 95
§ 3. Проекция GSO ' 97
§ 4. Суперструна Грина—Шварца 101
§ 5. Низкоэнергетигческий предел и типы суперструн .... 104
Глава 4. ГЕТЕРОТИЧЕСКАЯ СТРУНА 108
§ 1. Сокращение аномалий в суперструне I —
§ 2. Калибровочные группы суперструн ИЗ
§ 3. Алгебры и решетки 114
§ 4. Алгебры из вершинных операторов 117
§ 5. Замкнутая струна. Механизм Креммера — Шерка . . . 124
§ 6. Построение гетеротической струны 127
§ 7. Модулярная инвариантность 132
§ 8. Спиновая структура и проекция GSO 139
Глава 5. СТРУНА ПОЛЯКОВА 146
§ 1. Интеграл по поверхностям —
§ 2. Конформная аномалия 149

§ 3. Фиксация калибровки J*j^
§ 4. Комплексный тензорный анализ |^
§ 5. D = 26 как следствие Вейль-инвариантности .... 1Ь»
§ 6. Амплитуды рассеяния и аналоговая модель .... 1°^
§ 7. Духи и С/ A) аномалия. Теорема Римана — Роха . . . 1Ьо
§ 8. Нулевые моды и пространство Тейхмюллера .... 17*2
§ 9. Дифференциалы Бельтрами, квадратичные дифферен-
дифференциалы и модули 1JJ.
§ 10. Теорема Белавина — Книжника 1°*
§ 11. Тензор энергии-импульса двумерной теории поля . . . 1°4
§ 12. Поля и операторные разложения . 1°»
§ 13. Аномалии и операторное разложение 1^
§ 14. БРСТ формулировка бозонной струны 197
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ И
МЕТОДЫ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 207
А.1. Функциональные детерминанты —
А.2. ^-функция и ядро уравнения теплопроводности . . . ^0У
А.З. Разложение Швингера — Де Витта — Си ли 211
А.4. Две леммы Рэя —Зингера— Шварца 21,5
А.5. Разложение Вальяна — Блока ~1э
А.6. Калибровка Швингера. Нормальные координаты . . . 217
А.7. Детерминант как мера конформной аномалии .... 219
А.8. Детерминант двумерного оператора Дирака .... f/0
А.9. Детерминанты лапласианов в струне Полякова . . . ***
А.10. Функция Грина двумерного оператора Лапласа при со-
впадающих аргументах 2-о
А. 11. Детерминант двумерного оператора Вейля гг°
Приложение Б. ТЕОРЕМА КВИЛЛЕНА 230
Список литературы ^оо
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой расширенный курс лек-
лекций по теории струп, прочитанных в Новосибирском государ-
государственном университете и Институте математики Сибирского от-
отделения АН СССР. Учитывая специфику курса лекций, мы ста-
старались отобрать вопросы, принявшие более или менее «класси-
«классический» вид. В последнее время появилось немало обзоров и
книг, посвященных аномалиям, и особенно теориям суперструн.
Однако большинство из них издано за рубежом и малодоступно
советским читателям. К тому же многие из них адресованы спе-
специалистам и подразумевают у читателя знание множества во-
вопросов, которого трудно ожидать от студента или аспиранта.
Исходя из этого, мы старались как можно яснее изложить идей-
идейную сторону развития теории струн, опуская ради этой цели
трудные и тем более до сих пор не разрешенные проблемы.
Для чтения книги достаточно знакомства с основами квантовой
теории поля, например в объеме монографии Рамона *. Изложе-
Изложение технической стороны построено таким образом, что читатель
будет в состоянии самостоятельно воспроизвести вывод (почти)
всех формул.
При своем появлении в конце 60-х гг. теория струн отпуги-
отпугивала многих физиков не в последнюю очередь потому, что опи-
опиралась на целые новые разделы математики, относительно плохо
известные в то время физикам. Позже, особенно после появления
теории струны Полякова, стало ясно, что теория струн идеально
вписывается во многие разделы теории римановых поверхностей,
алгебраической геометрии, теории характеристических классов,
пространств Тейхмюллера и даже теории чисел, подобно тому
как некогда уравнение Шредингера оказалось классическим при-
примером задачи Штурма — Лиувилля на собственные значения. Но
все перечисленные выше математические дисциплины никогда
не читались студентам физических (а часто и математических)
факультетов, поэтому овладение теорией струн требует от сегод-
сегодняшнего читателя не меньших усилий, чем овладение квантовой
* Рамон П. Теория поля.— М.: Мир, 1984.

механикой читателем 20-х гг. Разумеется, сколько-нибудь под-
подробное изложение необходимых разделов математики безумно
увеличило бы книгу, так что нам приходилось ограничиваться
минимумом основных понятий и ссылками на доступную ли-
литературу.
Автору хотелось бы выразить глубокую благодарность
Н. А. Гусевскому и С. Л. Крушкалю, познакомившим его с тео-
теорией пространства Тейхмюллера, В. В. Серебрякову за постоян-
постоянную поддержку и Н. Г. Плетневу за обсуждения. Особой призна-
признательности заслуживает Э. А. Кураев, по чьей инициативе эта
книга написана.
Глава 1
АНОМАЛИИ
§ 1. ПОНЯТИЕ АНОМАЛИИ
Аномалией в квантовой теории поля называется любое нару-
нарушение классического закона сохранения на квантовом уровне.
Известны абелевы, неабелевы, гравитационные, глобальные, кон-
конформные аномалии [1]. Некоторые из них полезны, присутствие
других означает математическую несогласованность теории. На-
Например, нам трудно представить реалистическую четырехмерную
теорию поля без конформной аномалии. Можно сказать, что вся
физика задается конформной аномалией. Абелева аномалия, ко-
которую мы изучим в § 2, также исключительно полезна: она по-
позволяет решить U A) проблему, дает решающий тест проверки
числа цветов в квантовой хромо динамике. В то же время при-
присутствие в теории неабелевой (калибровочной) аномалии делает
ее математически несогласованной *, поскольку означает потерю
калибровочной инвариантности и связанную с ней унитарность и
перенормируемость. Это относится и к гравитационным аномали-
аномалиям, которые сигнализируют о нарушении лоренц-инвариантности
(или общекоординатной инвариантности), и к глобальным ано-
аномалиям.
Абелева аномалия, называемая и аномалией Адлера — Бел-
Белла— Джакива (АБДж), была впервые исследована в 1951 г.
Швингером в его знаменитой статье [4], оказавшей позже боль-
большое влияние на развитие квантовой теории поля, причем вполне
современным способом. Однако этот результат остался незамечен-
незамеченным вплоть до 1969 г., когда проблема аномалии вновь всплыла
в связи с распадом л° -*- 2f- Запишем амплитуду этого процесса
(рис. 1):
М = ge^p^T(к2) 8ll(i>) 8,(д). A.1.1)
В рамках алгебры токов нетрудно показать, что благодаря (ча-
стичпому) сохранению аксиального тока [1] Т(к2)-~ к2, т. е. об-
обращается в нуль для безмассовых пионов. Поскольку реальная
* Существует мнение, что можно развить процедуру квантования тео-
теорий поля с неабелевыми аномалиями. Такую точку зрения поддерживают
Л. Д. Фаддеев с сотрудниками [2] и некоторые зарубежные физики [31.
Насколько нам известно, эта процедура сталкивается с трудностями уже
в двумерном случае. Ниже мы излагаем общепринятую точку зрения.

механикой читателем 20-х гг. Разумеется, сколько-нибудь под-
подробное изложение необходимых разделов математики безумно
увеличило бы книгу, так что нам приходилось ограничиваться
минимумом основных понятий и ссылками на доступную ли-
литературу.
Автору хотелось бы выразить глубокую благодарность
Н. А. Гусевскому и С. Л. Крушкалю, познакомившим его с тео-
теорией пространства Тейхмюллера, В. В. Серебрякову за постоян-
постоянную поддержку и Н. Г. Плетневу за обсуждения. Особой призна-
признательности заслуживает Э. А. Кураев, по чьей инициативе эта
книга написана.
Глава 1
АНОМАЛИИ
§ 1. ПОНЯТИЕ АНОМАЛИИ
Аномалией в квантовой теории поля называется любое нару-
нарушение классического закона сохранения на квантовом уровне.
Известны абелевы, неабелевы, гравитационные, глобальные, кон-
конформные аномалии [1]. Некоторые из них полезны, присутствие
других означает математическую несогласованность теории. На-
Например, нам трудно представить реалистическую четырехмерную
теорию поля без конформной аномалии. Можно сказать, что вся
физика задается конформной аномалией. Абелева аномалия, ко-
которую мы изучим в § 2, также исключительно полезна: она по-
позволяет решить U A) проблему, дает решающий тест проверки
числа цветов в квантовой хромо динамике. В то же время при-
присутствие в теории неабелевой (калибровочной) аномалии делает
ее математически несогласованной *, поскольку означает потерю
калибровочной инвариантности и связанную с ней унитарность и
перенормируемость. Это относится и к гравитационным аномали-
аномалиям, которые сигнализируют о нарушении лоренц-инвариантности
(или общекоординатной инвариантности), и к глобальным ано-
аномалиям.
Абелева аномалия, называемая и аномалией Адлера — Бел-
Белла— Джакива (АБДж), была впервые исследована в 1951 г.
Швингером в его знаменитой статье [4], оказавшей позже боль-
большое влияние на развитие квантовой теории поля, причем вполне
современным способом. Однако этот результат остался незамечен-
незамеченным вплоть до 1969 г., когда проблема аномалии вновь всплыла
в связи с распадом п° -*¦ 2*{. Запиваем амплитуду этого процесса
(рис. 1):
1V1 — && PaQ$-i \it ) &v. \P) ?v \y / • V ¦ /
В рамках алгебры токов нетрудно показать, что благодаря (ча-
стичпому) сохранению аксиального тока [1] Т(к2)~к2, т. е. об-
обращается в нуль для безмассовых пионов. Поскольку реальная
* Существует мнение, что можно развить процедуру квантования тео-
теорий поля с яеабелевыми аномалиями. Такую точку зрения поддерживают
Л. Д. Фаддеев с сотрудниками [2] и некоторые зарубежные физики [31.
Насколько нам известно, эта процедура сталкивается с трудностями уже
в двумерном случае. Ниже мы излагаем общепринятую точку зрения.

•АЛ'
к =
Рис. 1. Распад
Рг,"
Рис. 2. Распад п° —>- 2у в линей-
линейной о-модели с фермионами.
масса пиона очень мала, обеспечить нужное значение
соответствующее экспериментальной ширине распада Г (я0 - ^)
~9 эв, может только аномально быстрый рост функции Т (к2)
от 0 до пгт противоречащий обычным гипотезам гладкости. С дру-
другой стороны, амплитуду распада я0 -*¦ 2*f можно вычислить, на-
например, в рамках линейной о-модели, взаимодействующей с элек-
электромагнитным полем:
Аксиальный ток
A.1.2)
A.1.3)
сохраняется классически, дцД = 0, и все гипотезы алгебры токов
выполнены. Распад я0 -*• 2f возникает благодаря треугольной
диаграмме. Эта диаграмма была впервые вычислена еще в 1949 г.
Штайнбергером и Фукуда и Миямотой [5], которые обнаружи-
обнаружили, что она отлична от нуля при к2 = 0 и вполне удовлетвори-
удовлетворительно описывает процесс я0 -*-2^. Поскольку а-модель A.1.2)
удовлетворяет требованиям алгебры токов, мы получаем явное
противоречие. Треугольная диаграмма (рис. 2) была подробно
проанализирована Адлером, Беллом и Джакивом [6], которые
и нашли причину парадокса. Дело в том, что диаграмма (см.
рис. 2) линейно расходится и ее необходимо регуляризовать.
Не вдаваясь в детали истории, мы хорошо понимаем сегодня,
что ее нужно регуляризовать калибровочно-инвариантным спосо-
способом, например методом Паули — Вилларса. После регуляризации
получаем, что благодаря линейной расходимости диаграммы
вклад регуляторов дает конечный остаток, приводящий к нару-
нарушению сохранения аксиального тока A.1.3):
^«в. A-1.4)
1вя*
Уравнение A.1.4), описывающее абелеву аномалию, и является
типичным уравнением квантовой аномалии. Знак <. . .>, означа-
означающий взятие вакуумного среднего в присутствии внешних полей,
в данном случае можно просто понимать как учет квантовых
поправок. В левой части уравнения A.1.4) стоит дивергенция
тока /ц, равная нулю классически, в правой —«аномалия», т. е.
вклад в дивергенцию вследствие квантовых поправок. В этой
книге мы будем рассматривать только такие аномалии. Глобаль-
Глобальные аномалии, которые непредставимы в виде A.1.4) и обуслов-
обусловлены более сложными топологическими причинами, исследовать-
исследоваться не будут. Конформные аномалии мы изучим подробно в
главе 5.
Итак, мы будем заниматься аномалиями двух типов. Чтобы
лучше понять разницу между ними, рассмотрим два лагран-
лагранжиана
„) Мр;
», Av];
А,
2
A.1.5)
A.1.6)
Внешне они мало отличаются, однако в A.1.5) входят дираковы
фермионы тр, а в A.1.6) — вейлевские двухкомпонентные спи-
спиноры т^:
¦фь = р—— "ф> ip = урь + 'Фд! 'Фн = о—— Ч>- ('1 -1 -7)
Лагранжиан 3?\, помимо калибровочных преобразований, инва-
инвариантен относительно глобальных ?7A). вращений
ур-^е^'ур. A.1.8)
Этой симметрии, как обычно, соответствует сохраняющийся не-
теровский ток
= 0,
A.1.9)
который, как мы уже видели, имеет аномалию. Однако в данном
случае аномалия не приводит к катастрофическим последствиям:
в самом деле, ток Д не связан ни с каким калибровочным по-
полем и тот факт, что (d^j^) =Ф 0, означает всего лишь сужение сим-
симметрии лагранжиана. Физически это может приводить, как, на-
например, в модели Швингера (безмассовой двумерной электроди-
электродинамике), к появлению массы у фотона или к другим каким-ни-
каким-нибудь эффектам ввиду нарушения 45-инвариантности, но сама тео-
теория типа «S^i продолжает оставаться разумной и математически
согласованной.
Иное дело лагранжиан iZV В нем аксиальный ток (а более
\ у \
5
точно
левый ток V — A) J^, =
2
Хатр непосредственно

связан с калибровочным полем А%. Уравнения движения выве-
выведенные из лагранжиана 9?2, имеют вид
„Яь = о.
A.4.10)
Учитывая антисимметрию F^, имеем тождественно S^^SDyF ^ =
1 1
= -g- W_SD\x^ &>ч], F^y] = -g- [jF^v, i^jivl == 0, откуда вытекает важное
следствие калибровочной инвариантности: (SD^Jv)a = 0. Если
3!)*]». ?= 0, то калибровочная инвариантность, а с ней унитарность
и перенормируемость нарушены и наша теория с лагранжианом
¦2^2 математически несогласованна. Приведенный вывод нестрог,
поскольку мы оперировали классическими величипами, однако
ниже мы покажем, что он легко переносится на квантовый язык.
Таким образом, аломалии первого типа — к ним относятся
абелевы и конформные аномалии — характеризуются тем, что
ток, сохраняющийся классически, но не сохраняющийся на кван-
квантовом уровне, не связан с калибровочным полем и его несохра-
несохранение не приводит к нарушению основных принципов теории,
хотя и сужает ее симметрию.
Наоборот, в случае аномалий второго типа — неабелевых и
гравитационных — ток, сохраняющийся классически, но не сохра-
сохраняющийся на квантовом уровне, связан с калибровочным полем
и его несохранение приводит к нарушению калибровочной инва-
инвариантности. Заметим также, забегая вперед, что абелева анома-
аномалия возникает и для дираковских фермионов: в лагранжиане
3?\ нет матрицы ^5, тогда как аномалии второго типа возникают
только в том случае, когда в лагранжиане явно присутствует мат-
матрица л(з- Как известно, матрица ^5 может быть определена только
в пространстве-времени четной размерности, поэтому в нечетно-*
мерных пространствах нет аксиального тока, стало быть, и ано-
аномалий. Ниже мы везде рассматриваем только четномерные про-
пространства *.
§ 2. АБЕЛЕВЫ АНОМАЛИИ
Изучим лагранжиан взаимодействия дираковских фермионов
с калибровочным полем А^, в качестве которого для простоты
возьмем абелево (электромагнитное поле). Вычисления для полей
Янга — Миллса рассмотрим в следующем параграфе. Лагранжиан
имеет вид
;, 3>„= дп + А1Л. A.2.1)
* Далее всюду используем обозначение Ys для матрицы *{d+i =
= —t'l+1YoYi • ¦ - Т»-ь D = 2п, в D-мерном пространстве, поскольку это
нигде не приведет к путанице. Наша матрица ^5 нормирована таким обра-
образом, что A ¦+- Ts)/2 является проекционным оператором на верхнюю ком-
компоненту дираковского спинора.
Здесь и далее мы не выписываем кинетического члена tr F^F^,
предполагая, что поле А^ является внешним классическим полем.
Этого вполне достаточно для вычисления аномалий, поскольку,
как мы убедимся ниже, они обусловлены фермионными петлями.
Лагранжиан A.2.1) инвариантен относительно глобальных U(l)
вращений
\|э —э- егаУъ^, (J .2.2)
с которыми связан сохраняющийся нетеровский так у^ =
A.2.3)
Однако при рассмотрении квантовых поправок к уравнению
dyjl, = 0 возникают расходящиеся диаграммы, и мы должны ввести
регуляторы. Выберем в качестве регуляторов поля Паули — Вил-
ларса фермионы W большой массы М, функция Грина которых
отличается знаком от функции Грина безмассовых фермионов
¦ф. Теперь, благодаря присутствию массового члена — MWW, ко-
который, очевидно, не инвариантен относительно A.2.2), аксиаль-
аксиальный ток /? не сохраняется и мы имеем
~ . A -2.4)
Наша задача — вычислить выражение в правой части во внеш-
внешнем электромагнитном поле А^ в пределе М -*¦ °с Если оно ока-
окажется отличным от нуля, то аксиальный ток имеет аномалию.
Перелишем правую часть в виде — 2гЖТг ys^F (x)W (xr), где
знак Tr означает одновременно взятие следа по спинорным ин-
индексам и следа в функциональном пространстве, в данном случае
просто х = х' (см. прил. А, в котором подробно обсуждены_ функ-
функциональные методы). Далее, поскольку величина <Wa(x)W»(x^)y,
по определению, является функцией Грина фермионов W, мы
получаем
<^7Д> = - 21М Тг {уъСм (х, х')), A.2.5)
где функция Грина тяжелых фермионов GM удовлетворяет обыч-
обычному уравнению
[i^id^ + A^-MjGuix, x')=-8(x-x'). A.2.6)
Разложение функции Грина в ряд по А» проще всего вывести,
определив свободную функцию Грина Go(x, х') тяжелых фер-
фермионов ~Ч?:
[ird*-M]G0(x, x')=-8(x-x'); A.2.7)
Вычисления удобно проводить в евклидовом пространстве. Ком-
Комбинируя уравнения A.2.6) — A.2.7), нетрудно получить интег-
10
11

ральное уравнение теории возмущений (см. (А.5.8) — (А.5.9))
Gm (х, у) = Go (х, у) + J dzG0 (х, z) гу^Ар (z) GM (z, у). A.2.9)
Итерируя его, мы получаем искомое разложение функции Грина
GM(x, у) тяжелых фермионов во внешнем поле в виде ряда по А^.
Теперь мы можем приступить к вычислению Tr 4sGM(x, x').
Заметим, что /с-й член в разложении A.2.9) содержит в числи-
числителе максимум 2к— 1 ^-матриц, от которых мы должны взять
след с матрицей ^5- В пространстве 2п измерений матрица "fs яв-
является произведением 2п у-матриц, таким образом, след может
быть отличен от нуля только при условии 2к — 1 > 2п. Например,
в четырехмерном пространстве, которое мы сейчас и будем рас-
рассматривать для определенности, вычисление ряда A.2.9) необхо-
необходимо начинать с третьего члена, поскольку след первых двух
с *f5 равен нулю. Благодаря этому важному обстоятельству при
вычислении аксиальных аномалий не возникает расходимостей,
которые неизбежно возникли бы в отсутствие матрицы ^5- Таким
образом, в D = 4 нам нужен третий член в разложении A.2.9).
Его вклад в аномалию имеет вид
— 2iM Tr y.oGM (х, у) = + 2ъМ tr уЛ-^
J Bя
4
r -—ip(x—y)—iq(.V—z) — ir(z—x
Bт
)AiX(y)Av{z)y^
X
х
v — iM
q — iM
r — iM
r24-M2
A.2.10)
Интеграл A.2.10) содержит три фермионных пропагатора и два
поля А,л и отвечает, очевидно, треугольной диаграмме (рис. 2).
Он вычисляется следующим образом: сделаем сдвиг переменных
интегрирования д~^д~^р, г-+г + р, после чего фейнмановакий
интеграл по р может быть выделен и мы получаем
2i
Г d4,
J BлL
X
J
BлГ
M tr
n (y) Av (z) exp [— iq (y — z) — ir (z — x)] X
( p — iM) JVjj, ( p + q — iM) iyv ( p -f- r — tM) ^4р
Af3l
-. A.2.11)
(p2 + M2) Up + qf + M2] [(p + /-.
Вычисление матричного следа дает для интеграла по р вы-
выражение
d4P
+ М2) 1(р + qf
гJ + М2] BЯ)
. A.2.12)
Предел интеграла по р при М -*¦ оо мы предоставляем вычислить
читателю в качестве упражнения. Ответ должен быть просто
1/8 BяJ. Таким образом, в D = 4 отличный от нуля вклад дает
только третий член. Подставляя значение фейнмановского ин-
интеграла A.2.12) в A.2.11) и вычисляя оставшиеся тривиальные
интегралы по д, г, у, z, получаем окончательно
,Р\а- A.2.13)
Здесь мы рассмотрели простейший случай электромагнитного по-
поля. В § 3 мы покажем, что формула A.2.13) имеет точно такой
же вид и для полей Янга — Миллса, только перед FnpFva надо по-
поставить знак следа. Уравнение A.2.13), выражающее нарушение
классического закона сохранения абелева аксиального тока 7ц
на квантовом уровне, и носит название абелевой (аксиальной,
АБДж) аномалии. Проделанное вычисление может вызвать два
вопроса: 1) не является ли результат A.2.13) следствием не-
неудачно выбрапной регуляризации; 2) не могут ли старшие пет-
петли, например учет внутренних фотонных линий (если включить
кинетический член калибровочного поля), перенормировать урав-
уравнение аномалии. Что касается первого вопроса, то в принципе
можно придумать регуляризацию такую, что (d^j^g} = 0 [1],
однако при этом мы получим неизбежно <?м/й Ф 0, где /и = 'ф'^ц'ф —
векторный ток, т. е. нарушим калибровочную инвариантность.
Как мы уже обсуждали, нарушение калибровочной инвариантно-
инвариантности приводит к фатальным последствиям и мы должны стараться
всеми силами избежать его. Использованная регуляризация Пау-
Паули — Вилларса — калибровочно-ннвариантная процедура, и она
автоматически приводит к dj» = 0, хотя и в дивергенции аксиаль-
аксиального тока появляется аномалия, связанная с отличным от нуля
вкладом регуляторов в пределе М -*¦ оо. С учетом сделанных ого-
оговорок заключение о возникновении аномалии является однознач-
однозначным. В следующем параграфе мы вычислим дивергенцию у^, из
совершенно других соображений и подтвердим ответ A.2.13).
Ответ на второй вопрос дает знаменитая теорема Адлера — Бар-
Бардина *, согласно которой все старшие петли могут быть регуля-
ризованы таким образом, что их вклад в (р&]%те^) не содержит
расходимостей и превращается в нуль после снятия регуляри-
регуляризации, иными словами, треугольная диаграмма (рис. 2) пол-
полностью задает аксиальную аномалию.
§ 3. МЕТОД ФУДЗИКАВЫ
В предыдущем параграфе мы вычислили абелеву аномалию
исходя из теории возмущений. Интересно было бы понять ано-
аномалию в рамках метода функционального интегрирования (ФИ).
В самом деле, метод ФИ является идеальным инструментом для
вывода тождеств Уорда, и, казалось бы, аномалия A.2.13) долж-
должна естественно возникать в этом подходе. Запиваем ФИ для тео-
Adler S. L., Bardeen W. A. / Phys. Rev.— 1969.— V. 182.— P. 1517.
12
13

рии с лагранжианом A.2.1) в 2/г-мерном евклидовом про-
пространстве:
W(A) = ^^е-^(д»+А^П\ A-3.1)
где мы вновь рассматриваем калибровочное поле А» как внеш-
внешнее, под которым мы теперь понимаем произвольное поле
Янга — Миллса. Хотя ток /Ц не связан с А^, мы вполне можем
определять вакуумное среднее его дивергенции обычной
формулой
ехр
{- J
d2nx
(Э + 5) гр -
]} Ц.
A.3.2)
Интегрируя во втором члене экспоненты по частям, мы видим,
что возникающий добавок к действию — <9маф7м75^ — может быть
убран киральным вращением фермионов:
\р —>• е 1(з, г?> —>• \ре ° (т.о.о)
и, следовательно, интеграл A.3.2) не зависит от а.. Мы получаем
\<9ц/м./ = 0, таким образом, никакой аномалии в рамках ФИ нет!
Поскольку функциональный интеграл A.3.1) содержит в себе
всю информацию о теории возмущений, мы приходим к явному
противоречию. Долгое время после открытия аномалий считалось,
что ФИ по тем или иным причинам ее не охватывает. Более
осторожные авторы [7] при выводе аномальных тождеств Уорда
руками вписывали в правую часть аномалию, вычисленную с
помощью теории возмущений, авторы, настаивавшие на адекват-
адекватности метода ФИ, приходили к выводу, что аномалий вообще не
должно быть, поскольку они не возникают в рамках этого ме-
метода [8]. Полную ясность здесь внесла замечательная работа
Фудзикавы [9] (см. также [10]). Он заметил, что киральное
вращение A.3.3) не совсем безобидно, поскольку фермионы г|), т|з
задают меру интегрирования в ФИ и дри этом преобразовании
она может меняться. Попытаемся учесть эффект 'замены пере-
переменных A.3.3). Рассмотрим снова ФИ A.3.1) и сделаем в нем
замену переменных A.3.3). Согласно вариационному принципу
Швингера, функциональный интеграл не должен меняться при
замене переменных, и мы получаем тождество Уорда
6И7ба = 0, A.3.4)
где ^
W (а.) = \ SDip^DipJ ехр ¦!— \ d2nx ^^iy^S^^ip + ^^n^Jf- A.3-5)
Здесь / — якобиан перехода от переменных интегрирования г|), \р
к if)', я|/, определенным согласно A.3.3). Для вычисления / диа-
14
гонализуем меру. Введем полный набор собственных функций
оператора Дирака: .25 = у,„Д\, 3>» = д» + А»,
A-3.6)
н разложим переменные интегрирования по полному набору:
¦Ф = 2 яифп; ijj = 2 ФпЬ„. A.3.7)
Подчеркнем, что, поскольку мы работаем в евклидовом простран-
пространстве, грассмановы переменные ап и Ьп никак не связаны между
собой. Дело в том, что в евклидовом пространстве происходит так
называемое «удвоение фермионов», т. е. фермионы if), if» являются
теперь независимыми и не связанными, в отличие от простран-
пространства Минковского, соотношением ty = ¦ф+'уо- Функции срп мы мо-
можем выбрать ортонормированными, тогда якобиан перехода от ч|>,
г|; к а„, Ьп, совпадающий, как легко видеть из A.3.7), с опреде-
определителем Грама — Шмидта функций срп, равен единице. Мы по-
получаем
= П dandbn. A.3.8)
Выполним киральное преобразование A.3.3)
¦ф = 2j а«Фп = е 5я|5 = е 5 2j «пфп,
откуда с учетом ортонормированности ц>„ находим зависимость
коэффициентов а„ от параметров кирального преобразования:
/ С -L- ^OtV(-
ап = J Фп в 5Ф
1
ха
A.3.9)
Для вывода тождеств Уорда нам достаточно вычислить *??„,„ при
малых ее. Разлагая A.3.9) с точностью до первого порядка,
имеем
Ътп = бпш + г j" Oi (X) ф+75фтЙ2ПХ + . . . . A.3.10)
Отсюда
JJda'n =(det
где обратная степень det^7 обусловлена грассмановостыо пере-
переменных ап. Далее
(det
= e
-TTln<S>
= ехр (— i j a
Точно такой же фактор вносит якобиан перехода от Ьп к Ъп. Та-
Таким образом, якобиан замены переменных A.3.3) оказывается
равным
= ехр (— 2г J а. (х) ф+
1x
A.3.11)
15

Подставляя A.3.11) в A.3.5) и беря вариационную производную,
получаем окончательно
8W
6а
а=о
= О
0.
Итак, при корректном учете изменения меры интегрирования
при киральных преобразованиях мы получаем что-то вроде урав-
уравнения аномалии:
=s.s#. A.3.12)
Теперь нам нужно вычислить бесконечную сумму в правой ча-
части. Заметим, что, в сущности, мы ее уже вычислили. В самом
деле, поскольку сумма, задающая s4-, плохо определена, мы
должны ее регулярнзовать. Применим простейшую регуляриза-
регуляризацию, а именно: представим ее в виде
2фп+
п = — 2i lim
A.3.13)
Этот трюк, помимо того, что он регуляризует сумму, позволяет
свести ее к функции Грина тяжелых фермиопов W (регуляторов
Паули — Вилларса). Напомним, что, по определению функции
Грина Gm, мы имели
М) Gm (x, у)=-Ь(х-у).
С другой стороны, с учетом свойства щп A.3.6)
2
поскольку ф„ образуют, по условию, полный набор собственных
функций. Отсюда
- %i lim М
= - 2i lim M Тг
, у)), A.3.14)
а это выражение как раз и равно аномалии в рамках регуляри-
регуляризации по Паули — Вилларсу в теории возмущений. Регуляри-
Регуляризация A.3.13) дает возможность связать метод теории возмуще-
возмущений с методом ФИ. Тем не менее вычисление предела функции
Грина GM в теории возмущений — довольно трудоемкая задача.
В § 2 мы вычислили ее в четырехмерном пространстве, причем
только для абелева (электромагнитного) поля. Фудзикава указал
чрезвычайно простой способ вычисления бесконечной суммы
A.3.12), задающий аномалию в пространстве произвольной раз-
размерности, для произвольных калибровочных полей, в том числе
и неабелевых. Регуляризуем, следуя Фудзикаве, сумму A.3.12),
введя экспоненциальное обрезание
-{Ш
Ф«75е V Фп- A-3.15)
2 фпуье Кы) Фп = Jim
i Поскольку в экспоненте стоит ковариантная производная, эта
регуляризация автоматически сохраняет калибровочную инвари-
инвариантность. Сумму A.3.15) теперь можно вычислить, переходя в
импульсное представление и беря в качестве волновых функций
импульсного представления плоские волны
= — 2i lim 2 Фп (х) уье
\
м}
срп (х)
= — 2i lim
= — 2г lim
LimJ-
BлJ"
= — 2г lim Г -^
J Bл)
= — 2* lim d „t Tr Vs exP
J Bл)
Тг<к\х}уье
-±-
[2 (ik» + DJ*
A.3.16)
где мы использовали тождество [2)», SDv\ = F».-,. Делая (формаль-
(формальный) сдвиг переменной интегрирования к» -+¦ А;„ + SD^ и переопре-
переопределяя затем к' -*¦ А;/ЛГ, получаем
= - 2* Игом2" Тг ?5 ехр (-
|4, Y2]
BлJ
-е =
Tr v.
В 2/г-мерном пространстве отличен от нуля след произведения
матрицы "f5 с как минимум п матрицами о*^ = — [у^, yv\. Нее
старшие члены обращаются в нуль в пределе М -+¦ °°, и мы полу-
получаем общее выражение для аномалии
)- -По и м
_ 1'1 г /r-^"tr р тг а я 17">
Dл) /г! х
Итак, мы установили, что в рамках метода ФИ аномалия воз-
возникает как следствие неинвариантности меры интегрирования
в функциональном интеграле относительно соответствующих пре-
преобразований (в данном случае — киральных вращений A.3.3)).
Можно показать, что любая из упомянутых в § 1 аномалий вы-
вычисляется методом Фудзикавы. В некоторых случаях, как, на-
например, в данном, этот метод является наиболее простым и эф-
эффективным и позволяет не только определить вид аномалии,
но и зафиксировать численный коэффициент перед ней, как
в A.3.17).
16
2 ю. Н. Кафиев
17

Заметим, что мы можем формально избавиться от меры в
A.3.1) (прил. А) и проинтегрировать по фермионам. Тогда стат-
сумма W(A) выразится через бесконечномерный функциональ-
функциональный детерминант
W(A)=deti&, A.3.18)'
который теперь и будет содержать всю информацию об анома-
аномалиях. Этот подход в применении к данному кругу задач разви-
развивался в работах А. С. Шварца с сотрудниками [10, 11] еще до
открытия метода Фудзикавы и также является весьма общим
и мощным инструментом вычисления аномалий. Мы рассматри-
рассматриваем его подробно в приложении А. Можно сказать, что оба
метода позволяют взглянуть на задачу с разных сторон и уг-
углубляют наши знания о структуре функциональных интегралов.
§ 4. ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕ
Читатель, знакомый с теорией инстантонов (см., например,
[12, 13]), несомненно встречался с простейшей формой теоремы
об индексе. Напомним, что если поместить безмассовый фермион
в поле инстантона А^, то фермион приобретает нулевую
моду [14] _
З = 0,
причем разность числа нулевых мод г|>о с положительной кираль-
костыо N+, т. е. vs^o = +"фо, и нулевых мод с отрицательной ки-
ральностью N-, "fs^a = —гро, равна
N+ -N- =
Г
о
tr F
.4.
т. е. задается так называемым «индексом Понтрягина» инстап-
тона *
9 =
Нетрудно сообразить, что выражение A.4.2) в точности совпа-
совпадает с абелевой аномалией A.3.17) в D = 4. Формула A.4.1)
представляет собой простейший пример теоремы об индексе. В об-
общем случае теорема об индексе связывает индекс дифференци-
дифференциального оператора, т. е. разность числа нулевых мод (или раз-
размерность ядра оператора, как говорят математики) оператора и
числа нулевых мод сопряженного оператора (размерность кояд-
коядра), с топологической характеристикой калибровочного поля или
пространства-времени [15—17]. Мощь теоремы об индексе в том,
что она сопоставляет ипформацию о свойствах локальпых реше-
* Хотя это название традиционно в работах по теории инстантонов, оно
не совсем точно. В математической литературе принято название «индекс
Чжепя», которого мы и будем придерживаться.
кий дифференциальных уравнений с глобальной топологической
информацией. В § 4 мы выведем теорему об индексе для дира-
ковских фермионов в поле Янга — Миллса и приведем без до-
доказательства общую теорему об индексе для оператора Дирака
на произвольном римановом многообразии. Эти результаты по-
понадобятся нам ниже при выводе неабелевой аномалии и при
обсуждении сокращения аномалий в суперструне Грина —
Шварца.
Рассмотрим вновь в пространстве (D = 2п) -измерений дпра-
ковские фермионы, взаимодействующие с внешним полем Янга ¦—
Миллса. Произвольный спинор можно разложить по полному
набору фупкций ф„, определяющихся из уравнения на собствен-
собственные значения:
Ч>„. A.4.3)
антикоммутирует с у$, т. о.
.« = Я„-,'5фп- A.4.4)
Отсюда следует, что спинор 75ф,п также является решением урав-
уравнения на собственные значения, по со значением энергии, рав-
равным —Я„! Таким образом, ф„ и "узфп ортогональны при Хп Ф 0.
Когда \кп = 0, это не так. В данном случае мы всегда можем
наложить на собственные функции Фо, отвечающие Я = 0, условие
•у5Фо = ± Фо- Обозначим эти функции через ф±г, в соответстви
со знаком:
Заметим, что оператор Дирака
78Ф+ = + Ф+, г = 1, 2 ... N+;
=0.
A.4.5)
Мы предполагаем, что функции ф± ортонормированы. Рассмот-
Рассмотрим вновь регуляризованную сумму A.3.15) и запишем для нее
уравнение аномалии
lim j d2
= —— I d2nx?
(Ап)пп\ J
у,
F
. . . г и
A.4.6)
Поскольку при Яп ^ 0 ф„ и Ч5ф™ ортогональны друг другу,
в сумме остаются только нулевые моды
&2nx S Ф^ТьФо = J d2nx S (фГФ; - Ф^-+ф1) =
18
2*
19

Учитывая ортонормировку нулевых мод <р±, мы приходим к тео-
теореме об индексе
В таком виде формула выглядит очень громоздко. Мы вряд ли
сможем продвинуться дальше, если по-прежнему будем пользо-
пользоваться координатной записью. Несравненно удобнее работать в
формализме дифференциальных форм. Мы предполагаем, что чи-
читатель знаком хотя бы с его начатками, поэтому опускаем тра-
традиционную вводную часть, касающуюся алгебры Грассмана, оп-
ределепия внешнего дифференцирования и т. д. С этим материа-
материалом можно познакомиться по любому современному курсу диф-
дифференциальной геометрии, например [17—19].
Итак, выведем для начала 1-форму А [20] :
A=>A»dx», A.4.9)
где А» — поле Янга — Миллса, иными словами, А — 1-форма в
^-пространстве и матрица в изотопическом (цветовом и т. д.)
пространстве. Из определения внешней производной имеем
АА = дцАуйа? Д dxv = i- (dlxAv — dvA^) dx* Д d^v- A-4.10)
С другой стороны,
A~ = AvAvda? Д dxv = \ [A», Av] Ax» Д dxv.
Отсюда
dA + A*^± {dllAv — dvA^ + [A», Av}} da? Д dxv = \ F^dx» Д dxv.
A.4.11)
Обозначим эту 2-форму напряженности поля F^v через F: F =
= cL4 + А2. Введем теперь ковариантную внешнюю производную
согласно
Например, действуя D на 2-форму F, получаем
dAA-AdA
A.4.12)
= 0, A.4.13)
где мы использовали d2 = 0, [А, А2] = 0. Уравнение A.4.13), за-
записанное в координатном виде
е^оЗУха = 0, A.4.14)
хорошо известно как тождество Бианки. Обычным способом оно
выводится гораздо длиннее.
При калибровочных преобразованиях
формы А и F преобразуются как
или, в инфипитезимальном виде, g ~ 1 + v,
А -* A + dv+[A, v] = A+ Dv;
F-*F-[v,F].
2n
g~lAlxg + g~ld)Xg
A.4.1b)
A.4.16)
Напомним, что 2я-форма d^1 Д d^2 . . . Д dx2n является формой
объема в 2?г-мерном пространстве, которую можно интегрировать
по всему пространству. Учитывая это, мы можем записать:
¦J
tr d2nx
2п Bп)пп\
... Fu
= Г
fcr Fn = N
A.4.17)
Bn)nn\
Введем так называемый характер Чженя [16, 17, 21, 22]
ch(F)= treiF/2lt. A.4.18)
Он представляет собой простой пример характеристического мно-
многочлена, т. е. калибровочно-инвариантного многочлена от 2-фор-
мы F, все члены в разложении которого замкнуты (это мы по-
покажем ниже). Инвариантность ch(F) при калибровочных пре-
преобразованиях A.4.15) очевидна. Заметим также, что характер
Чженя (как и всякий характеристический многочлен) — конеч-
конечный многочлен, поскольку в 2я-мерном пространстве все к~фор-
мы с к > 2я равны нулю, т. е. ряд A.4.18) обрывается. Легко
видеть, что абелева аномалия в 2я-мерном пространстве как раз
и является я-м членом в разложении характера Чженя, и можем
записать уравнение аномалии как
j d2^<^7t> = — 21 J [ch (F)]2n = — 2i {N+ — NJ), A.4.19)
где квадратные скобки означают, что мы оставляем только 2п-
форму в разложении характера Чженя. В таком виде теорема
об индексе для оператора Дирака возникает в теории характе-
характеристических классов [15—17].
Предположим теперь, что наши фермионы г|; помещены в гра-
гравитационное поле с метрикой ^v, тензор кривизны которой ра-
равен i?Mvx<j. Как известно [23], при рассмотрении фермионов в
кривом пространстве метрическое описание не адекватно и не-
необходимо задавать тетрады е? . Мы будем обозначать, как обыч-
* Тетрадами они, собственно говоря, называются только в четырехмер-
четырехмерном пространстве («тетра»). В статьях зарубежных авторов для обозначе-
обозначения тетрады в пространстве произвольной размерности используется немец-
немецкое слово Vielbeini— «многоножка». Здесь мы решили придерживаться
названия «тетрада», надеясь, что читатель будет обращать внимание на фи-
физический смысл, а не на греческий корень.
20
21

но, латинскими буквами плоские (касательные) индексы, а гре-
греческими — криволинейные (мировые) индексы. Метрический тен-
тензор выражается через тетрады так:
Определяя обратную тетраду
мы можем построить из них обратный метрический тензор g'|iV:
glxv = еа^а- Тетрады et подчиняются соотношениям е^е\, = ба>
ea^v = ^v- Метрический тензор имеет в /)-мерно!м пространстве
D(D+l)/2 независимых компонент, в то время как тетрады,
очевидно, D2 компонент. Дело в том, что уравнения, задающие
тетрады, заданы с точностью до локального SO(D) вращения
в касательном пространстве, т. е.
Ь%(х)е*(х), A.4.20)
е«(х)
где матрицы Z," задают представление группы SO (D). Посколь-
Поскольку эта группа имеет D(D — 1)/2 параметров, локальная лоренц-
инвариаптпость A.4.20) оставляет нам D2 — D(D — 1)/2 =
= D(D-\~1)J2 независимых компонент, как и должно быть.
Определим по аналогии с полем Янга — Миллса ковариант-
ную производную в кривом пространстве как Я5М = д^ + со^, где
величины соц строятся из условия ковариантности SD^ при обще-
координационных преобразованиях
х» -»- р (xv).
Можно показать, что о>м, определенная как
a-r-iv
A.4.21)
где Vn — обычная ковариантная производная, действующая на
кривые индексы согласно [23], vu = д„. + Гм; Гц — символ Кри-
стоффеля
rv = — у
A.4.22)
обеспечивает правильные трансформационные свойства ковари-
антной производной SD^. Величины о>ц называются коэффициен-
коэффициентами спиновой связности. Теперь мы можем ввести 1-форму (?>ъ>
аналогичную 1-форме А:
<Bb = <,xd^, A.4.23)
и 2-форму кривизны R'b, аналогичную F:
RI = ± Rlcdec Д^= dcog + ю? Д
A.4.24)
еа = e^dx11. Подставляя определение A.4.22) спиновой связности,
можно убедиться, что Rtcdi вычисленный с помощью A.4.24),
равен
где R^\a — обычный тензор кривизны в кривом пространстве,
вычисленный с помощью [V,,, Vv] [23]. Таким образом, мы оп-
определили ковариантные величины, которые преобразуются тен-
тензорным образом при преобразованиях A.4.21). При переходе
к кривому пространству необходимо учесть только, что .D-форма
объема dx1 Д . . . йх° должна множиться на Уg = е, где е = dete?.
Запишем лагранжиан взаимодействия дираковских фермионов с
внешним гравитационным полем и полем Яига — Миллса:
+ Asx+ ^ occd>lxo
Оператор SD может иметь нулевые моды, которые мы вновь ра-
разобьем на спиноры положительной и отрицательной кирально-
стп. Пусть число их равно соответственно N+ и N-. Теперь мы
приведем без доказательства общую теорему Атьи — Зингера об
индексе для оператора Дирака:
N+ — iV_ = ind i§b = \\А (М) ch (F)]
м
2п-
A.4.25)
Поясним входящие сюда величины: интеграл в A.4.25) берется
по 2ге-мерному многообразию М; ch (F) — характер Чженя поля
Ар,; знак [...] 2» означает, что мы берем только 2?г-форму в раз-
разложении подынтегрального выражения. Опишем характеристиче-
характеристический многочлен А(М), называемый род Дирака [16, 17]. Он
зависит от 2-формы кривизны следующим образом: поскольку
форма кривизны антисимметрична по а, Ь, мы можем привести
ее к каноническому кососимметричному виду
< 0 xt
— хг О
О х2
аЪ —хо 0 . A.4.26)
д
2я
О
где «собственные значения» Хг, ? = 1, 2, . . ., п, являются 2-фор-
мами. В терминах Хг род Дирака запишется следующим образом:
А(М) =
х,/2
A.4.27)
22
23

Хотя функция 1/sh x разлагается в бесконечный ряд по х, этот
ряд обрывается на п-м члене, поскольку xt — 2-формы, а все
vfc-формы в 2и-мерном пространстве равны нулю при к > 2п.
В теории характеристических многочленов доказывается, что ряд
A.4.27) может быть выражеи через свертки тензора кривизяы
[16, 17] и род Дирака принимает вид
+ 4Aotri?2tri?4+-56Wtri?6]+-- С1'48)
Заметим важное для дальнейшего обстоятельство: в разложении
А (М) отличны от нуля только 4&-формы, к — 1, 2, . . ., так как
tri?2* =0. Мы предоставляем доказать это свойство читателю
в качестве упражнения (указание: записать след в коорди-
координатном виде).
В общем случае, когда А11?= 0, со ?= 0, в разложении A.4.25)
появляются члены, зависящие одновременно от калибровочного
и гравитационного полей, так называемые смешанные аномалии.
Поскольку характер Чженя имеет разложение
A.4.29)
где г — размерность представления калибровочной группы (ины-
(иными словами, число калибровочных бозонов), чисто гравитацион-
гравитационный вклад в аномалию пропорционален г. Приведем для примера
полную аномалию в D = 8:
м
¦ tr i?4
608" V""' "г" 760 их " У* A,4.30)
Теперь, зная разложение рода Дирака A.4.28) и характер Чже-
Чженя A.4.29), мы можем вычислить абелеву аномалию в простран-
пространстве произвольной размерности. Видно, что это выражение бы-
быстро разрастается с увеличением размерности пространства. Пока
что вид аномалии нам безразличен, поскольку мы имеем дело
с полезной или, во всяком случае, «не вредной» аномалией.
В следующих параграфах, когда выяснится связь между абеле-
вой и неабелевой аномалиями, нам придется взглянуть на дело
иначе.
§ 5. НЕАБЕЛЕВЫ АНОМАЛИИ
Рассмотрим вновь лагранжиан взаимодействия дираковских
фермионов с внешним неабелевым калибровочным полем
27=^(^ + ^)^ A.5.1)
где теперь
s^i,= Vll + A^5, A.5.2)
У„ и .4ц — независимые поля Янга — Миллса. Лагранжиан
A.5.1) удобно переписать в терминах киральных, т. е. вейлев-
вейлевских, спиноров я|з+ и г|5_:
и V ± А комбинаций поля бФ*.
A.5.3)
A.5.4)
fjT) *_. A.5.5)
В этих переменных он принимает вид
Лагранжиан A.5.5) инвариантен относительно системы обычных
калибровочных преобразований
5 6
Упражнение: параметризуйте инфинитезимальные преоб-
преобразования g и h следующим; образом:
g= l + ia(x)+i$(x);
h = 1 + Ь-х (х) — i§ (x)
и рассмотрите подробно законы преобразования полей if±, л);, ?&^,
Уц, 4№. Изучите различные частные случаи. Покажите, например,
что при чисто киральных преобразованиях (а = 0) система с
одним аксиальным током А^ не является калибровочно-инвари-
антной.
Из упражнения следует, что мы можем рассматривать систе-
системы полей я|з+, ¦S^jf и ij)~, s&\i совершенно независимо. Ограниче-
Ограничение, например, только левыми полями значительно упрощает все
выкладки. Поэтому мы займемся лагранжианом типа
& = Ъ-П,>(.д# +А*)Ъ-, A.5.7)
где Ау, — произвольное поле Янга — Миллса. Лагранжиан A.5.7)
внешне ничем не отличается от обычного tyivjD^, с той, однако,
немаловажной разницей, что в A.5.7) входят вейлевские (левые)
спиноры. Ввиду проекционных свойств матрицы A — Ys)/2 мы
можем вместо A.5.7) рассматривать лагражиан, тождественный
ему:
v +
A.5.8)
в котором явно показано, что поле А^ — левое, т. е. (V — ^4)-
поле. Уравнение движения на поле ^4^ имеет вид
?5„/" = 0, A.5.9)
24
25

где
v' 2 <5/ -ф— A.5.10)
В отличие от кирального 17A) (т. е. синглетного) тока ¦ф'УиТй'Ф
ток /ц. содержит матрицу Я", т. е. является несинглетным калиб-
калибровочным током и в закон сохранения A.5.9) входит ковариант-
ная производная, а не обычная, как для U A) тока /Ц, Теперь
ток /ц прямо связан с калибровочным полем А^, и нарушение
закона сохранения A.5.9) означает нарушение калибровочной
инвариантности теории. Как хорошо известно, калибровочная ин-
инвариантность обеспечивает унитарность и перепормируемость тео-
теории [25, 26] и нарушение ее недопустимо. Поэтому появление
аномалии в законе сохранения A.5.9) означало бы математиче-
математическую несогласованность данной теории.
До сих пор мы имели дело с классическими величинами, и на-
наши рассуждения надо перевести на квантовый язык, поскольку
аномалии, как мы уже знаем,— это существенно квантовое явле-
явление. Рассмотрим ФИ для теории A.5.7):
W (А) = f
_ exp
— J
Выполним калибровочное преобразование А„
числим вариацию функционала W(A):
W (А + 8А) = W (А) +
^ +
и вы-
выС другой стороны,
8W _ _ Г
6А% ~ J
Таким образом, если
^x = W {A) — J ай>„. -—- d2nx.
A.5.11)
-&y-JZ exp
то W(А + 8А)^ W(А) и функционал W(A) калибровочно неин-
неинвариантен. Назовем величину Ga — аномалию в неабелевом ка-
калибровочном токе Jfx — неабелевой аномалией. В D = 4 она была
впервые вычислена Бардином [27] (поэтому неабелеву анома-
аномалию называют иногда аномалией Бардина), который нашел
24л2 I
Та —
VS> JJ.
+ 4
Заметим, что это выражение можно записать в виде
A.5.12)
A.5.13)
26
В то время как U(l) аномалия A.2.13), как хорошо известно
из ннстантонной физики, также может быть представлена в виде
полной производной
Ц ( 4 )] '. A -5.14)
Очевидно, что внешне эти выражения очень похожи, что часто
служит причиной путаницы. Помимо отличия численных коэф-
коэффициентов перед вторым членом, важными являются присут-
присутствие А-матрицы под знаком следа в A.5.13) и значение коэф-
коэффициента 1/24 перед неабелевой аномалией. Мы знаем из общего
выражения для абелевой апомалии A.3.17), что численный ко-
коэффициент перед ней равен l,/(Z)/2)! и в D = 4 фактор 1/24
возникнуть никак не может. Зато он возникает в D = 6. Как мы
увидим ниже, это не случайно.
Таким образом, неабелева аномалия в принципе возникает
всегда, когда у нас есть вейлевские фермионы, взаимодействую-
взаимодействующие с неабелевым калибровочным полем. Если мы хотим, чтобы
наша теория имела смысл, мы должны постараться любым спо-
способом сократить ее. Например, в модели Вейнберга — Салама со-
сокращение аномалии достигается введением четвертого (чарми-
рованного) кварка [7]. Как известно, первоначально четвертый
кварк был введен для подавления нейтральных токов с измене-
изменением странности [28] и его введение обеспечило одновременно
и сокращение аномалий. Предположим, что введение четвертого
кварка позволяло подавить нежелательные нейтральные токи,
но не обеспечивало сокращения аномалий. Тогда модель Вайн-
берга — Салама, хотя и имела бы хорошие феноменологические
свойства, была бы математически несогласованной и ее бы при-
пришлось отбросить. Наоборот, если бы модель Вайнберга — Салама
не имела аномалий, но плохо описывала нейтральные токи, это
была бы неинтересная с точки зрения слабых взаимодействий,
но вполне согласованная теория, которая могла бы пригодиться
в других аспектах. Таким образом, хотя исторически требование
сокращения аномалий оказалось «вторич:ным», с точки зрения
существования теории оно несомненно важнее отсутствия ней-
нейтральных токов с изменением странности.
§ 6. УСЛОВИЕ ВЕССА — ЗУМИНО
Хотя неабелева аномалия A.5.9) в наших обозначениях вы-
выглядит довольно просто, вычисление ее — весьма трудоемкая за-
задача. Особенно усложняется она, если рассматривать аномалию
для полного лагранжиана A.5.1) с А^=^0, V» =#= 0. После появ-
появления работы Бардина [27], который нашел полную аномалию
для лагранжиана A.5.1) в теории возмущений, вышло еще
несколько работ [29], в которых также вычислялась аномалия
в SDpIu. несколько другими способами и результаты оказывались
27

отличными от результатов Бардина. Положение оставалось не-
неопределенным до тех пор, пока Весе и Зумино [30] не открыли
условие, которому должна удовлетворять произвольная неабелева
аномалия. Оказалось, что апомалия Бардина A.5.9) удовлетво-
удовлетворяет этому условию и является правильной формой неабелевой
аномалии в D = 4, в то время как другие выражения — нет. Это
условие, которое получило название условия самосогласованно-
самосогласованности Весса — Зумино,— важнейшее и очень общее уравнение, ко-
которому должна удовлетворять любая неабелева аномалия. Мощь
не только в том, что оно позволяет определить, верно или нет
то или иное выражение для аномалии; будучи неоднородным
по калибровочному полю, оно представляет собой на самом деле
уравнение, которое позволяет эффективно вычислять аномалию
исходя из низшего, почти всегда известного члена. Для вывода
условия Весса — Зумино введем генераторы калибровочной ал-
алгебры, записанные в виде функциональных производпых:
Мы предполагаем, что оператор Ха действует на функционалы
от -4ц, примером которых может служить сама аномалия. Оче-
Очевидно, оператор Ха генерирует калибровочные преобразования.
Он удовлетворяет обычным коммутационным соотношениям ал-
алгебры Ли калибровочной группы:
\Ха{х), Хъ(у)] = UcXc(z)8(x- у). A.6.2)
A.6.3)
Поскольку, как мы определили выше,
1_ W = Ga = — XaW,
6-Af
из A.6.2) легко выводим уравнение на Ga:
[Ха, Xb] = UcXeW = -fabcG' = -(XaGb - XbG*). A.6.4)
Уравнение во второй строчке A.6.4) и называется условием Вес-
Весса -— Зумино. Заметим, что оно, по сути дела, является след-
следствием тождества Якоби на генераторы калибровочной группы
и справедливо всегда, когда тождество Якоби не нарушено. Наш
вывод условия Весса — Зумино пригоден для лагранжианов вида
A.5.7), когда имеется только одно калибровочное поле и, сле-
следовательно, одна калибровочная симметрия. Первоначально Весе
и Зумино [30] выводили его для полного лагранжиана A.5.1)—¦
A.5.2), налагая условие са'мосогласованности только на калибро-
калибровочные преобразования векторного поля V^. Этого оказывается
достаточно для определения формы аномалии. Подчеркнем сразу,
что уравнение A.6.4), будучи однородным по аномалии Ga, не
может зафиксировать коэффициент перед ней.
Таким образом, в нашем распоряжении уже два способа вы-
вычисления аномалии: а) обычный, с помощью теории возмущений;
б) исходя из условия Весса — Зумино, причем, что касается пер-
28
вого способа, то ан очень громоздок даже в размерности D = 4.
Поэтому когда возникла задача вычисления неабелевой аномалии
в пространстве произвольной размерности, то выяснилось, что не-
несравненно проще и надежнее искать ее с помощью условия Вес-
Весса — Зумино. Более того, мы вполне можем поставить это усло-
р.ие во главу угла, принимая отныне, что неабелева аномалия —¦
по определению, функционал поля А^, удовлетворяющий условию
Весса — Зумино. В следующем параграфе мы построим неабелеву
аномалию исходя из этой идеологии.
§ 7. ПОСТРОЕНИЕ НЕАБЕЛЕВОЙ АНОМАЛИИ
Для вывода неабелевой аномалии нам необходимо ввести важ-
важное для дальнейшего понятие формы Чженя — Саймонса [31].
С этой целью рассмотрим более подробно известную уже нам
абелеву аномалию, которая в 2п измерениях задается 2п-формой
Q2n = trFn. A.7.1)
Покажем теперь, что форма 3&2п замкнута, т. е. удовлетворяет
условию d Q2n = 0. Мы уже упоминали выше, что замкнутость —
общее свойство дифференциальных форм, возникающих при раз-
разложении характеристических многочленов. Доказательство в об-
общем случае читатель может найти в обзорах [17, 20, 31]. В на-
нашем случае доказательство совсем просто:
dQ2n = dlrFn = ntrdF-Fri-1 = ntc([F, A]F«-l)=0, A.7.2)
где мы использовали тождество Бианки A.4.13) DF — 0. Урав-
Уравнение A.7.2) справедливо в пространстве любой размерности
(очевидно, 2я-форма тривиально замкнута в 2п-мерном прострап-
стве). Далее, по лемме Пуанкаре [17, 18], всякая замкпутая
форма локально может быть представлена как внешняя произ-
производная некоторой Bп — 1)-формы «"n— i
Qan = d<oSn-i. A-7-3)
Для нахождения т%п—х достаточно проварьировать A.7.1), и мы
находим после небольшого вычисления
б?22„ = п d tr 6A ¦ Fn~K
Это уравнение можно проинтегрировать, взяв, например, At = tA,
6At — A d t, Ft = t d A + t2A2, после чего мы имеем
Qan = d<o2n-i, A-7-4)
i
©§„_! = и J d* г" tr U (d.4 + tA2)n-x].
0
Bn—1)-форма o>2n—i называется формой Чженя — Саймонса.
Из A.7.4) следует, что абелева аномалия в пространстве любой
29

размерности может быть записана в виде полной производной.
Например, з 5 = 4 получаем хорошо известную из инстантонной f,
физики формулу A.5.14) |
<oS = 2 f dtttr(AdA + ^2)= tr ^AdA + ^ А3). A.7.5) [
о i
BD = 6 соответствующая формула имеет вид f
со* =
A-7.6) |
и т. д. Подчеркнем еще раз, что все эти выражения имеют место ?
лишь локально. Это проявляется в том обстоятельстве, что фор- %
ма Чженя — Саймонса co^n^i не является калибровочно-инвари- р
антиой и при калибровочных преобразованиях изменяется как '¦'
C0°n_x (A8, F8) = <0»п-1 (^ Л + :
+ (-
Bге — 1)!
da.
A.7.7)
Вид формы d а не важен, поскольку это точная форма и ее ип- '¦¦'¦
теграл по замкнутому многообразию без границы равен нулю
по формуле Стокса; однако второй член tr (g~l d gJn~1, хорошо
известный из теории инстантонов, имеет отличный от нуля ин-
интеграл по Bи — 1)-мерному пространству. Например, в D = 4
[32] ;
q = —
определяет топологический заряд д. Таким образом, если калиб-
калибровочное преобразование g глобально нетривиально, интеграл от
соответствующим образом нормированной о%п—\ по Bп—1)-мер-
Bп—1)-мерному пространству получает целое приращение. Доступное изло-
изложение связи формы Чженя — Саймонса с характеристическими
классами расслоений можно пайти в обзорах [1, 17].
Далее, удобно, следуя [20], применять условие Весса — Зу-
мино в проинтегрированном виде. Для этого введем вариацию,
зависящую от инфинитезимального калибровочного параметра v":
б„= J d2nxva(x)Xa(x),
а также свертку аномалии с va
d%nxva{x)Ga{x). A.7.8)
Тогда условие Весса — Зумино можно представить в виде
6uG(v, A)-6vG(u, A)=G([u, v], A), A.7.9)
где и = u"Xa и т. д.
Нашей целью является нахождение неабелевой аномалии в
D = 2и измерении. Исходя из интуитивных соображений, Зуми-
Зумино [20] предложил «подняться» в 2п + 2 измерения и рассмот-
рассмотреть в нем абелеву аномалию, которая затем связывается с не-
неабелевой аномалией в 2 измерениях очень красивым способом,
получившим название метод спуска. Свое оправдание и объясне-
объяснение этот метод получил несколько позже в работах Атьи — Зин-
Зингера [33], Альвареса — Гоме и Гинспарга [34] и Фаддеева —
Шаташвили [246]. Мы приведем их аргументы в конце этого па-
параграфа, а пока опишем подробно сам метод спуска.
В 2п+2 измерениях абелева аномалия задается Bи +2)-фор-
+2)-формой &2п+2, которую мы выразим через Bи+1)-форму Чженя —
Саймонса
Q2n+2 (A) =
(A).
Сейчас мы не претендуем на определение численного коэффи-
коэффициента перед аномалий, интересуясь только ее функциональной
зависимостью от калибровочного поля, поэтому мы опускаем вез-
везде численные множители типа 1/Bя)™, стоящие перед tr Fn.
Из калибровочной инвариантности Q2n+2 следует цепочка равенств
6oQan+a = 0 = 6cdo>°n+1 = d (б„о>^п+1). A.7.10)
Таким образом, форма 8„сй2п+1 замкнута, и вновь мы можем по
лемме Пуанкаре представить ее локально в виде дифференциала
некоторой 2и-формы
которую нам предстоит найти:
A.7.11)
Покажем, что мы можем отождествить искомую аномалию с ин-
интегралом от (неизвестной пока) формы <?>\п
G (v, A) = J d%nxvaGa = J" a>\n (v, A). A.7.12)
Для этого представим себе пространственно-временную картину
происходящего: мы находились первоначально в 2и-мерном евк-
евклидовом пространстве Е2п. Удобно компактифицировать его, до-
добавляя точку на бесконечности. При этом, как хорошо известно
из топологии, наше евклидово пространство Е2п становится 2п-
мерной сферой S2n: Е2п + {°°} — S271, которую мы можем мыслить
как границу Bи + 1)-мерного шара B2n+l. Предположим теперь,
что наши калибровочные поля А^ зависят гладко от некоторого
(фиктивного) параметра, который мы можем считать дополни-
дополнительной Bи+ 1)-й координатой шара В2п+1, например его радиу-
радиусом, причем они могут быть гладко1 продолжены на границу
шара S2n, т. е. в наше физическое пространство. Введем теперь
функционал
U(A)= f (Ап+г{А). A.7.13)
В2П + 1
30
31

Его вариация легко находится с помощью A.7.11):
8VU(A)= f 8v(o°2n+1 (A) = j dio\n = J coL, A-7.14)
jg2n+l S2n.
где в последнем равенстве мы использовали теорему Стокса. От-
Отсюда мы получаем
8U8VU (А) = 6U J «an (р, А),
8V8UU(A) = 8V
Вычитая одно равенство из другого и учитывая калибровочную
алгебру, которая в проинтегрированном виде гласит:
[8и, бг,] = 8 [и, v],
мы видим, что функционал \ w^n. (v, А) удовлетворяет соотно-
8U J ы1п(v, А) — б„ J <о|„(и, А) = j (oln([u,v],A), A.7.15)
шению
которое и в самом деле совпадает с проинтегрированной формой
условия Весса — Зумино A.7.9). Таким образом, мы вправе при-
принять функционал J o>2n за искомую неабелеву аномалию, по-
поскольку он удовлетворяет нашему главному требованию — усло-
условию самосогласованности Весса—Зумино. Для вывода A.7.15)!
было важно то обстоятельство, что doign может быть записан
в виде вариации от некоторого калибровочно-неинвариантного
функционала и>^п+1. Для явного нахождения аномалии нам не-
необходимо вычислить 2и-форму о>|„. Это вычисление довольно гро-
громоздко, и мы его приводить не будем, отсылая к оригинальным
работам [20]. Ответ имеет вид
1
- ©!„ = (л + 1) j dt {Str (у, F?) — t (t — 1) Str (A, [v, A], Ff)},
A.7.16)
где симметризованный след определен согласно
Str (^ . . . Кд = -±- 2
tr
. Xin).
Здесь сумма берется по всем перестановкам (ii...in) из A,
2 ... п). Симметризованные следы часто встречаются в теории
характеристических классов [17, 31]. Например, в частном слу-
случае и = 2 мы получаем из A.7.16) после приведения подобных
членов
— (х>\ = tr
да вывод демонстрирует также причину появления Х-матрицы
сод знаком следа: от нее зависит калибровочный параметр
v = V А .
Таким образом, мы построили неабелеву аномалию в D = 2ге
исходя из абелевои аномалии в D = 2п + 2 методом спуска. Сам
I метод состоял в следующем: им:ея 2п + 2 замкнутую форму
& Fn+l в 2п + 2 измерениях, мы последовательно спустили ее
в 2п + 1 измерение до формы Чженя — Саймонса, взяли ее ка-
калибровочную вариацию, которая вновь оказалась локально-пол-
локально-полной производной, и спустились с помощью теоремы Стокса в 2га
измерение, где полученная таким образом 2/г-форма совпала с
неабелевой аномалией. Иными словами, если данная теория име-
имеет абелеву аномалию в 2ге + 2 измерениях, то она имеет неабе-
неабелеву аномалию в 2п измерениях. Ввиду этой непосредственной
связи, поскольку сам процесс «спуска» является теперь вполне
стандартной процедурой, неабелевой аномалией в 2п измерениях
часто называют соответствующее выражение для абелевои ано-
аномалии в 2п + 2 измерениях. Мы будем придерживаться этой
идеологии в § 1 главы 4 при обсуждении механизма сокращения
аномалий Грина — Шварца.
Приведенный вывод неабелевой аномалии с помощью метода
спуска был скорее эвристическим, чем конструктивным. Мы объ-
объяснили, как связаны между собой абелевы и неабелевы ано-
аномалии, однако не дали ответа на самый главный вопрос: почему
они между собой связаны и именно таким образом? Ответ на
эти вопросы дает довольно сложное построение, открытое в рабо-
работе Атьи — Зингера [33] и подробно описанное в обзорах [1, 34].
Мы лишены возможности воспроизводить построение Атьи —
Зингера в деталях и ограничимся кратким пояснением самой
идеи. С точки зрения функционального интеграла A.5.11) не-
абелева аномалия заключена в детерминанте оператора Дирака,
действующего на вейлевские спиноры. Нетрудно видеть, что опе-
оператор Дирака, действуя на киральные спиноры, переводит пра-
правый спинор в левый и наоборот. В самом деле, если -ф— — левый
спинор, т. е. ^ъ^>~ — —ф-, то выражение i25if>,_ является правым
спинором: "f5iZH|x- = iZ^-, поскольку оператор Дирака антиком-
мутирует с матрицей "f5. Таким образом, для вейлевских спино-
спиноров обычная задача на собственные значения ?Dty- =lij)_ не име-
имеет смысла, и мы не можем определить детерминант кирального
оператора Дирака как произведение собственных значений Хп
(см., например, A.3.6)). Эта трудность — главная причина по-
появления аномалий в ФИ A.5.11). Поскольку, например, квадрат
оператора Дирака уже имеет корректную задачу на собственные
значения, так как переводит левые спиноры в левые и правые
в правые, то детерминант его уже имеет смысл и мы можем
задать детерминант оператора Вейля как корень квадратный из
детерминанта оператора Дирака [1, 38]. Очевидно, что он ока-
оказывается определенным с точностью до фазы. Аномалию в де-
детерминанте Вейля можно описать в виде фазы w, появляющейся
32
3 ю. Н, Кафиев
33

при обходе по замкнутому контуру в пространстве полей А11(х, 0),
где в — некоторый параметр (фиктивная координата), пробегаю-
пробегающий значения О «S 9 < 2л. Анализ функционала w показывает,
что он отличен от нуля в том случае, когда фермионы имеют
нулевую моду в «диске» AlL(x, в, t), где t — параметр, пробегаю-
пробегающий значения 0 =sg t ^ 1. Диск задается из тех соображений,
чтобы «окружность» (х, 0), 0 ^ 0 ^ 2jx, была его границей. Но,|
как мы знаем, число нулевых мод связано с абелевой аномалией,!
иными словами, с соответствующим характером Чженя. |
Итак, неоднозначность детерминанта зависит от абелевой ано-*
малии поля А»(х, 0, t), т. е. калибровочного поля в пространстве
2п + 2 измерений, где й и t играют роль дополнительных изме-
измерений. Если в 2п + 2 измерениях абелева аномалия отлична от
нуля, то фермионы обязательно имеют нулевые моды в описан-
описанном диске и обход вокруг нулей порождает аномальную вариа-
вариацию фазы. Таким образом, функциональный интеграл A.5.11)
определен неоднозначно и не имеет физического смысла. Конк-
Конкретный вывод метода спуска исходя из этих соображений чита-
читатель может найти в работах [1, 34].
§ 8. ГРАВИТАЦИОННЫЕ АНОМАЛИИ
Развитие подхода Калуцы — Клейна к гравитационным взаи-
взаимодействиям, включая всевозможные варианты супергравита-
супергравитации *, привело, помимо всего прочего, к тому, что мы стали. с
большей свободой обращаться с пространствами различного числа
измерений. Двумерное пространство-время исключительно полез-
полезно с точки зрения изучения различных точно решаемых моде-
моделей, имитирующих поведение нашего четырехмерного мира, вдо-
вдобавок, как мы увидим в главе 4, двумерные конформно-инвари-
конформно-инвариантные теории поля имеют важные приложения в статистической
физике, а некоторые из них описывают теорию струн. Простран-
Пространства высшей размерности оказываются столь же дееспособными,
поскольку одно из них может оказаться пространством Великого
Объединения, которое после компактификации образует наш че-
четырехмерный мир. Таким образом, на сегодняшнем этапе наших
знаний мы имеем дело не с одним выделенным пространством
размерности 4, как нам казалось в течение десятилетий, а с це-
целым набором (почти) равноправных пространств, которые мы
и должны изучать с равной осмотрительностью. Уже тот факт,
что неабелева аномалия в реальной четырехмерной теории, на-
например в той же модели Вайнберга — Салама, связана с топо-
топологическим инвариантом в шестимерном: пространстве, убеждает
нас, что мы не можем отныне рассматривать явления, имеющие
* Читатель, интересующийся более подробным изложением идеи Калу-
Калуцы— Клейна, может обратиться к обзорам f35—371.
34
место в пространствах высших размерностей, как нечто, нас не
касающееся. Гравитационная аномалия, открытая Альваресом-Го-
ме и Виттеном в 1984 г. [38],— классический пример такого яв-
явления. Дело в том, что гравитационных аномалий нет в четырех-
четырехмерном пространстве, и это, несомненно, одна из причин, почему
они так долго оставались незамеченными. Однако они появля-
появляются в пространствах размерности D = 4& + 2, и, значит, некото-
некоторые физически интересные теории в D = 6, 10... могут быть ано-
аномальны. Особенно важной окажется гравитационная аномалия
в D = 2, 10.
Чтобы понять причину возникновения гравитационных ано-
аномалий, рассмотрим вейлевский фермион, взаимодействующий с
гравитационным полем согласно A.4.24),
2? = Щ
A.8.1)
в пространстве D = 2п измерений. Всегда ли возможно такое
взаимодействие? Например, мы знаем, что в D = 4 наше физиче-
физическое нейтрино, являющееся вейлевским (левым) спинором, не-
непременно должно сопровождаться антинейтрино — правым спи-
спинором. Если мы не хотим вступать в конфликт с теоремой СРТ,
то мы должны вместе с лагранжианом A.8.1) учесть аналогич-
аналогичный ему лагранжиан взаимодействия антинейтрино — правого
спинора с гравитационным полем. Складывая оба лагранжиана,
чтобы получить СРТ инвариантное взаимодействие, мы видим, что
он приобретает вид
2 ш = 3?v + 3?~v = u?v« (W + 4 <*^°Cd) *. A -8-2>
где 4jJ = ( v )—дираковский спинор. Лагранжиан A.8.2) уже не
содержит матрицы ^s! Интуитивное соображение, что гравита-
гравитационное поле, как истинно нейтральное, должно взаимодейство-
взаимодействовать с нейтральной комбинацией нейтрино, привело к тому, что
в лагранжиане взаимодействия исчезла матрица f5 и взаимо-
взаимодействие оказалось, как говорят, вектороподобным. Возникает
вопрос: не зависит ли наш вывод от того «случайного» факта,
что левое нейтрино имеет правого партнера? В D = 4 теорема
СРТ говорит нам, разумеется, что этот факт вовсе не случаен.
Чтобы лучше понять происходящее в пространстве произвольной
размерности, рассмотрим более подробно свойства матрицы fs
отдельно в Ак + 2 и Ак измерениях. Выше мы определяли мат-
матрицу "Y5 так, чтобы она была всегда эрмитовой, т. е. ("YsJ = 1-
Теперь нам удобно определить ее в пространстве любой размер-
размерности одинаково:
J5 =
где [Yn, ¦ Tv] = 2ть»,, t1m.v = A, -1, -1, -1...-1)". Вычисляя квад-
квадрат матрицы ^5, находим
(УьТ = (-
Р—2
\ 2
A.8.3)
3*

Таким образом, в D = Ак + 2 ("fSJ = +l, а в D = Ак (ТзJ = —1,
т. е. в D = Ак + 2 собственные числа vs суть ±1, а в
D = Ак — соответственно =Ы. Отсюда следует, что в D =
= Ак + 2 собственные значения не меняются при комплексном
сопряжении, а в D = Ак представляются местами, иными слова-
словами, в пространстве размерности D = Ак операция СРТ меняет
знак спиральности фермиона. Чтобы не нарушать СРТ, мы долж-
должны в D = Ак случае к лагранжиану фермионов одной кирально-
сти прибавить аналогичный лагранжиан с фермионами противо-
противоположной киральности. Полученный лагранжиан не будет вовсе
содержать матрицу v5 и, стало быть, по нашей общей идеоло-
идеологии, не может иметь калибровочных аномалий. Иное дело D =
= Ак + 2. В этом случае лагранжиан взаимодействия киральных
спиноров с гравитационным полем не нарушает теоремы СРТ
и вполне может существовать сам по себе. Киральные спиноры
в D = Ак + 2 истинно нейтральны в отличие от нашего привыч-
привычного четырехмерного нейтрино. Поскольку теперь лагранжиан
явно содержит матрицу "f5 (вейлевские спиноры), он может иметь
аномалии калибровочного типа.
Калибровочными преобразованиями для гравитационного взаи-
взаимодействия являются общекоординатные преобразования. Рас-
Рассмотрим инфинитезимальное преобразование координат
при этом метрика преобразуется следующим образом [29, 34]:
6gwv = -(V^v + Vv^). A.8.4)
Действуя по аналогии с неабелевой аномалией для калибровоч-
калибровочного поля, изучим инвариантность функционального интеграла
(эффективного действия) относительно общекоординатных пре-
преобразований A.8.4). ФИ для теории A.8.1) в D = Ак + 2 имеет
обычный вид
W (g) = J ?5ф_?I|з_ exp (—^2? V~gdDx). A.8.5)
Вычислим вариацию действия S = \ 2? (x)y gd x при преобразо-
преобразованиях A.8.4):
f* r\ r~w
x. A.8.6)
где мы предположили симметричность Twv. Отсюда из A.8.5)'
следует
8W = — 2 J VgdDxlvVxl(Tl>-v'). A.8.9)
Таким образом, вариация эффективного действия W{g) относи-
относительно общекоординатных преобразований пропорциональна ко-
вариантной производной от вакуумного среднего тензора энергии-
иМцудьса. Если общекоординатная инвариантность нарушается
благодаря квантовым поправкам, то это проявляется в несохране-
нии операторного среднего тензора энергии-импульса, иными сло-
словами, в нарушении закона сохранения энергии. Излишне гово-
говорить, что такая перспектива еще менее приятна, чем нарушение
калибровочной инвариантности. Нарушение общекоординатной
инвариантности для теории A.8.1) в D = Ак + 2 с вейлевскими
фермионами и называется гравитационной аномалией. Теория,
в которой гравитационные аномалии не удается сократить под-
подбором фермионов, является несамосогласованной и должна быть
отброшена.
Как показали Альварес-Гоме и Виттен [38], в D = Ак + 2
| гравитационные аномалии могут возникать не только для вейлев-
| ских фермионов спина 1/2, но и для вейлевских фермионов спи-
спина 3/2, а также — что является наиболее поразительным их свой-
свойством — при взаимодействии антисимметричного бозонного поля
удовлетворяющего условию самодуальности
Поскольку, как хорошо известно, вариация действия относитель-
относительно метрики дает (классический) тензор энергии-импульса Та»
[175, 227, 240]
1 6S =Т„Л„ A.8.7)
V~g
MA»
с гравитационным полем. Причиной является то обстоятельство,
что все три типа полей в D = 4/е + 2 преобразуются по комп-
комплексным представлениям группы Лоренца SO(Ak + 2) и могут
давать отличный от нуля вклад в аномальную фазу W. Таким
образом, гравитационная аномалия вносит уточнения в наши
рассуждения на тему «аномалия есть везде, где есть матрица ^5»-
В случае антисимметричного бозонного поля пет не только мат-
матрицы "f5, но и вообще фермио-
фермионов, а аномалия есть! С точки
зрения теории возмущений ано-
аномалиями являются диаграммы
(рис. 3), где все внешние кон-
цы — гравитоны, а вдоль замк-
замкнутой петли распространяются
вейлевские фермионы спина
1/2, 3/2 или поля F, а внеш-
внешние гравитоны симметризованы
с учетом статистики Бозе.
мы имеем
65 = —
»*-2f
A.8.8)
Рис. З. Диаграмма, приводящая к
гравитационной аномалии в D =
= Ак + 2.
36
37

§ У. ГРАВИТАЦИОННАЯ АНОМАЛИЯ В D=2
Вычисление гравитационной аномалии при произвольном D =
= Ак + 2 очень громоздко. Однако мы можем понять все суще-
существенные идеи на простейшем примере двумерной теории, кото-
которая, согласно общей формуле, также должна иметь аномалию.
Приведем вначале, следуя работе [38], общие соображения, до-
доказывающие присутствие аномалии. Этот пример окажется также
очень полезным при обсуждении конформной, гравитационной а
аналитических аномалий в бозонной струне в главе 5.
Рассмотрим для этого взаимодействие вейлевского фермиона
спина 1/2 с гравитационным полем в двумерном евклидовом про-
пространстве с метрикой A.1) и введем комплексные координаты
z = х + it, z = х — it. Лагранжиан имеет вид
3? = ~2 ty+el?.iya.dix.ty+ A.9.1)
(в D = 2 спиновая связность не дает вклада из-за статистики
Ферми). Запишем двумерное уравнение Дирака (Вейля) в пло-
плоском пространстве
4adaty+ = О, Y5^+ = Ф+ A.9.2)
и перейдем к комплексным обозначениям z, z. Для этого введем
¦у* = y1 + pf2, yz= T1 — *Т2> а также обычные операторы Коши —
Римана
_д_ = ±(Л_ ¦ JL\ JL. _ _! (JL. j_ ¦ JLA
dz ~ 2 [ дх l dty д~ ~ ~2 \ дх + 1 ~дГу
Тогда уравнение A.9.2) перепишется как
A.9.3)
Далее, имея в виду определение матрицы Ys — Щ2к{1 и то обстоя-
обстоятельство, что правый вейлевский спинор всегда можно записать
Л~Уь
г|)+, мы получаем
в виде ty+ =
и уравнение A.9.3) упрощается:
= 0, гр+ =
:). A.9.4)
Таким образом, в двумерном пространстве безмассовый вейлев-
вейлевский спинор зависит только от z, являясь, согласно A.9.4), ана-
аналитической функцией z (или в пространстве Минковского дви-
движется вправо вдоль оси х со скоростью света, аналогично левый
спинор движется влево). Мы установили общее свойство двумер-
двумерных безмассовых полей: все они могут быть разбиты на кираль-
ные «половинки», каждая из которых зависит только от z(z) ж
38
не зависит от z(z). Вследствие этого в работах по двумерной кван-
квантовой теории поля оператор Коши — Римана также часто назы-
называют «киральным», хотя, как мы увидим в главе 5, его «кираль-
яость» связана с совсем другим его свойством. Подчеркнем, что
описанные свойства присущи исключительно двумерию: в четы-
четырехмерном пространстве правое нейтрино может, разумеется,
двигаться в какую угодно сторону.
Вернемся к лагранжиану A.9.1) и разложим тетраду еО11 при
малых значениях гравитационного поля как
&а\х. — Оац Л о"
A.9.5)
Зафиксировав «возмущение» hav., мы тем самым заморозили ка-
калибровочную свободу относительно локальных 0B) лорепц-
вращений. Теперь, по аналогии с теорией гравитационных волн
[24], мы можем считать, что наше пространство плоское, и рас-
рассматривать haVL как некоторое слабое поле. Лагранжиан A.9.1)
принимает при этом вид
где 7V» — тензор энергии-импульса свободного фермионного поля:
Расписывая TV» по компонентам в евклидовом пространстве, мы
убеждаемся, что ввиду свойств yzty = д-^ = 0 Tuv имеет только
одну ненулевую компоненту и зависит также только от z:
Tzz = \^yzdz^=T{z). A.9.6)
Как будет показано в § 11 главы 5, это также общее свойство
двумерных конформно-инвариантных теорий. Рассмотрим сле-
следующую двухчастичную функцию Грина:
U (р) = J d2zeipI+i*z <0 | Т (Т (z) Т @)) | 0>, A.9.7)
где р =(/?! + ip2)/2. Теперь, поскольку закон сохранения энергии-
импульса применительно к Т(z) A.9.6) имеет вид
d-T(z) = 0, A.9.8)
мы должны получить для функции Грина U(p) очевидное тож-
тождество Уорда
pU (р) = i J &zeiv~z+iiz @ | Т (д-J (z) T @)) | 0) = 0. A-9.9)
При выводе A.9.9) мы не дифференцировали Г-произведение,
поскольку наивно <0i [T(x, t), Т(х', *)]Ю>=0. В § 11 главы 5
мы увидим, что это не так и в коммутационных соотношениях
39

Рис. 4. Гравитационная аномалия в
D = 2.
при равных временах появляется
аномалия, которая окажется свя-
связанной с нарушением конформ-
конформной инвариантности. В данном
контексте мы интерпретируем ее как гравитационную.
Таким образом, из наивного тождества Уорда A.9.9) следует
равенство нулю двухчастичной функции Грина U(p), что абсурд-
абсурдно, поскольку U(р) — функция Грина двух эрмитовых операто-
операторов и в нуль обращаться не может. Мы видим, что тождество
Уорда, связанное с сохранением тензора энергии-импульса, нару-
нарушается, что свидетельствует о существовании аномалии.
Найти аномалию в D = 2 можно проще всего, явно вычислив
двухчастичную функцию U(p), которая задается диаграммой с
двумя внешними гравитонами (рис. 4). Это вычисление подроб-
подробно проделано в работе Альвареса-Гоме и Виттена, и мы его по-
повторять не будем. Важно то, что аномалия не может быть сокра-
сокращена подбором локального контрчлена и ее присутствие в самом
деле сигнализирует о нарушении закона сохранения энергии-им-
энергии-импульса. Таким образом, внешне вполне безобидная теория
взаимодействия двумерных вейлевских спиноров с гравитацион-
гравитационным полем является аномальной, иными словами, математи-
математически несогласованной и не существует как квантовая теория
поля.
В общем случае в D = 4А; + 2 вычисление гравитационной
аномалии в рамках теории возмущений — очень сложная и изо-
изощренная процедура, однако двумерный случай привлекателен
также и тем, что здесь двумерный вейлевский детерминант мо-
может быть вычислен точно [39] и вариация его дает нам замкнутое
выражение для гравитационной аномалии (диаграмма рис. 4, как
легко видеть, определяет аномалию в линеаризованном прибли-
приближении) . Схема вычисления детерминанта оператора Вейля при-
приведена в приложении А.11. Ответ имеет вид
A.9.10)
v * »•* "¦ 96я ч
Любопытное отличие гравитационной аномалии от неабелевой
состоит в том, что гравитационная аномалия существует как бы
в двух ипостасях: как аномалия в общекоординатных преобразо-
преобразованиях, когда V^y^ Ф 0, или как аномалия в локальных лорен-
цевых вращениях, когда Таъ ^ Тъа, где а, Ь —: плоские (касатель-
(касательные) индексы. Как показали Бардин и Зумино [40], добавлением
локального контрчлена всегда можно добиться, например, восста-
восстановления общекоординатной инвариантности, т. е. ^Уц„ = 0, од-
однако при этом появится аномалия в локальных лоренцевых вра-
вращениях — и наоборот.
40
§ 10. ГРАВИТАЦИОННАЯ АНОМАЛИЯ
И ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕ
Выше мы установили, что неабелева калибровочная аномалия
в D = 2п задается абелевой аномалией в D = 2п + 2, которая,
в свою очередь, определяется теоремой Атьи — Зингера об ин-
индексе. В § 4 мы выписали полное выражение для дивергенции
аксиального тока в присутствии полей Янга — Миллса и грави-
гравитационного. Поскольку пас здесь интересует лишь гравитацион-
гравитационная часть аномалии, положим А^ = 0, т. е. i*V» = 0, ch(F)—1 и
запишем теорему об индексе для спина 1/2:
ind
= М(М)=77^г-*г
Квадратные скобки показывают, в пространстве какого числа из-
измерений данный член дает вклад. Читатель, решивший упражне-
упражнение из § 4, может доказать, что в разложении рода Дирака в ряд
по R отличны от нуля члены, соответствующие размерности про-
пространства D = Ак. В то же время мы установили, что гравитаци-
гравитационная аномалия возникает только при D = Ак — 2, и подтвердили
это прямым вычислением при к = 1. Напрашивается аналогия со
случаем неабелевой аномалии: мы вправе заподозрить, что грави-
гравитационную аномалию в D = 4& — 2 можно вычислить, стартуя
от аномалии в аксиальном токе A.10.1) в D = 4.к и применяя
аналог метода спуска. Это действительно так, хотя сама процеду-
процедура в данном случае значительно сложнее.
Приведем идею вывода Альвареса-Гоме и Виттена [38], кото-
которые применяли к этой задаче обычный метод Фудзикавы. Для
этого рассмотрим ъ D = 2п функциональный интеграл
W (g) = j
-2)^- ехр
(— J Vg
A.10.2)
который берется по вейлевским фермионам, 3? — лагранжиан
A.8.1). Мы хотим изучить возможную неинвариантность функ-
функционала W относительно общекоординатных преобразований.
Сделаем локальное лоренцево вращение спинора "ф
бф = —nevet|>. A.10.3);
Действие в A.10.2) инвариантно относительно лоренц-преобразо-
ваний, так что вся неинвариантность обусловливается изменени-
изменением меры интегрирования. Разложим, как обычно, переменную
интегрщювания_^ФИ -ф_ в ряд по собственным функциям опера-
оператора (i2)-) + @2))-, которые обозначим через^ф„, а г|э- — в ряд по
собственным функциям оператора (гФ—) {i2D)— (фп). Действуя
по аналогии с выводом аномалии из § 3, мы получаем для яко-
41

биана инфинитезимальной замены координат A.10.3) выражение
A.10.4)
Поскольку г|з„ — верхние компоненты спинора, а ф„ — нижние,
удобно переписать правую часть A.10.4), введя оператор Дирака
2D — -ij- @)+ + ?>—). Регуляризуя бесконечную сумму введением
экспоненциального подавления, получаем простой ответ:
ln/= lim
M
М2
A.10.5)
Если закрыгь глаза на фактор г\а^а, то предел в правой части
должен давать род Дирака AM, поскольку это выражение в рам-
рамках метода Фудзикавы как раз равно дивергенции аксиального
тока в присутствии гравитационного поля. Альварес-Гоме [41]
предложил красивый вывод теоремы об индексе для различных
эллиптических операторов с помощью функционального интегра-
интеграла по вспомогательной одномерной системе. В данном случае
соответствующей системой является двумерная суперсимметрич-
суперсимметричная а-модель [42], редуцированная в одно измерение. Идея вы-
вывода была подсказана выражением для индекса Виттена в супер-
суперсимметричных теориях [130]. Дело в том, что индекс Виттена, ко-
который первоначально вводился из чисто физических соображений,
с целью выяснить, имеется ли в системе спонтанное нарушение
суперсимметрии, имеет широкое приложение в математике,
в частности индекс Атьи — Зингера прямо выражается через ин-
индекс Виттена, который, как показали Чекотти и Джирарделло
[168], может быть выражен в виде функционального интеграла.
Таким образом, вычисление якобиана A.10.5) сводится к вычис-
вычислению рода Дирака, «подпорченному» присутствием фактора T]aVe.
Альварес-Гоме и Виттен переписали правую часть A.10.5) в ви-
виде ФИ по вспомогательным (одномерным) фермионам ifo и пока-
показали, что интеграл отличен от нуля только при D = 4fc — 2, а са-
сама гравитационная аномалия получается подстановкой в род
Дирака:
VaT]b —
A.10.6)
и удержанием члена первого порядка по ц. Этот член содержит,
очевидно, на два фермиона меньше, чем член с ц = 0, который
пропорционален роду Дирака, умноженному на 4А; фермионных
переменных. Соответственно член с ц ?= 0 пропорционален 4.7с — 2
фермионным переменным и после грассманова интегрирования
по фермионам * он один выживает в D = Ак — 2. Например,
* Под вспомогательными «фермионами» в данном случае можно пони-
понимать просто элементы грассмановой алгебры da:4, «интегрирование» по ко-
которым означает вычеркивание соответствующих координат.
42
X) = 4 род Дирака имеет вид
Делая в нем замену A.10.6) и удерживая только член первого
порядка по ц, получаем выражение
A.10.7)
где теперь все индексы |х, v, Л, а ... пробегают значения 1, 2.
Вспоминая, что в двумерном случае тензор кривизны R^xa выра-
даается через метрический тензор как [23, 24]
-ЯцгЛа = ~2~ (gvkgixo — gixkgvo), A.10.8)
и подставляя A.10.8) в A.10.7), мы находим
Интегрируя в этом выражении по частям и не забывая умно-
даить на i в евклидовом пространстве, мы получаем для анома-
аномалии в D = 2 выражение
которое в точности совпадает с приведенным в предыдущем па-
параграфе.
Явно метод спуска для гравитационной аномалии был выве-
выведен в работе Бардина и Зумино [40], которые подтвердили более
простую процедуру Альвареса-Гоме и Виттена и показали, что
вычисленная таким образом аномалия удовлетворяет гравитаци-
гравитационному аналогу условия Весса — Зумино. Внешне гравитацион-
гравитационный метод спуска почти не отличается от того, каким мы вывели
неабелеву аномалию, поскольку выраженные в терминах форм
доля Янга — Миллса и спиновая связность преобразуются совер-
совершенно аналогично относительно калибровочных преобразований.
Различным является исходное выражение, причем род Дирака
значительно сложнее класса Чженя. Вот почему гравитационные
аномалии кажутся даже более опасными, чем неабелевы,— они
более громоздкие, и, стало быть, их труднее сократить. Мы вер-
вернемся к этому вопросу в § 1 главы 4 при рассмотрении сокра-
сокращения аномалий в низкоэнергетическом пределе суперструны
Грина — Шварца и там же более подробно рассмотрим сокраще-
сокращение гравитационных аномалий в различных интересных теориях.

Глава 2
ТЕОРИЯ БОЗОННОЙ СТРУНЫ
§ 1. ЭКСКУРС В ИСТОРИЮ
В конце 60-х гг. физики, занимавшиеся теорией сильных
взаимодействий, открыли в них (приближенную) дуальность
[43—52]: было обнаружено, что амплитуда, например, процесса
2 —>- 2 (рис. 5) может быть с одинаковой точностью представле-
представлена как бесконечная сумма резонансов в s-канале (s = (pi + Р2J =
= (^з + РаJ) или в i-канале (t = (pi + PiJ =(р2 + РзJ), а при
высоких энергиях ведет себя как sait), где функция <x(t) при ма-
малых передачах импульса линейна: а(?) ^ с&о + cc't. Диаграммы
получаются друг из друга циклической перестановкой импульсов
Ри Р2, Рз, Pi- Амплитуда равна одной из диаграмм, но не сумме
их. В настоящее время все понимают, что равенство, изображен-
изображенное на рис. 5, весьма приближенное и вряд ли может быть поло-
положено в основу всеобщей теории сильных взаимодействий, как
надеялись в 60-х гг. Скорее всего, физик наших дней не стал бы
упорствовать в идеях дуальности — но тем большее уважение
вызывает заслуга тех, кто, проявляя временами поразительную
интуицию и преодолевая огромные трудности, построил теорию
сильных взаимодействий, основанную на точном выполнении
требования дуальности, реджевского поведения, факторизации,
отсутствия духовых состояний и лоренц-инвариантности. Хотя,
как оказалось позднее, к сильным взаимодействиям, как таковым,
эта теория имеет мало отношения, она, известная ныне под на-
названием «теория суперструн», претендует на роль Теория Вели-
Великого Объединения [53].
Рис. 5. Дуальность амплитуд сильного взаимодействия.
44
Развитие дуальной теории шло следующим образом: после
ряда полуфеноменологических работ важнейший шаг вперед был
сделан Венециано [54], который открыл модельную амплитуду,
в точности удовлетворявшую всем перечисленным требованиям:
,,. f, Г (-<»(»)) Г (-«(«)) Bii)
f{s,t) — Г(-а(<)-а(О) ' У '
Нетрудно. показать, что при больших s и малых t амплитуда
f(s, t) действительно имеет реджевское поведение saW, а благо-
благодаря нулям Г-фупкции имеет бесконечное число полюсов как в
s-, так и в ^-канале. Оба эти свойства имеют место только в том
случае, если функция a,(s) — реджевская траектория — строго
линейна:
и не имеет мнимой части. Кроме того, как обнаружил уже сам
Венециано, при весьма естественных предположениях о совпаде-
совпадении внешних частиц с одним из полюсов амплитуды (иными сло-
словами, предполагая, что внешние и внутренние состояния равно-
равноправны с точки зрения сильных взаимодействий) амплитуда
B.1.1) описывает рассеяние тахионов, т.е. частиц с отрицатель-
отрицательным квадратом массы. Надеясь исправить эти недостатки в буду-
будущем, физики принялись обобщать амплитуду Венециано на слу-
случай произвольного числа частиц. Вскоре была построена произ-
произвольная ЛГ-хвостка [55] (см. также [43, 44]), которая описы-
описывала явно факторизуемое взаимодействие TV частиц, вновь тахи-
тахионов (рис. 6). Причем каждая подамплитуда 2 -»- 2 удовлетворяет
уравнению дуальности, а вся амплитуда (рис. 6) инвариантна
относительно циклической перестановки всех N импульсов (чи-
(читатель легко проверит с помощью рис. 5, что в случае взаимо-
взаимодействия 2¦-*¦ 2 это и есть первоначальное условие дуальности).
Дуальную iV-хвостку (рис. 6) часто называют амплитудой Кобы —
Нильсена. Мы также будем придерживаться этого названия.
Уже при построении амплитуды Кобы — Нильсена было от-
открыто важнейшее свойство дуальных амплитуд — Мёбиус-инвари-
Мёбиус-инвариантность, которую мы подробно рассмотрим ниже. Поскольку все
эти амплитуды были получены в предположении a,(s) = oco + a, s,
резонансы, ими описываемые, располагались эквидистантно:
гп\ = (п — ао)/а% Это наводило на мысль, что их будет удобнее
описывать в терминах обычных осцилляторных операторов рож-
рождения и уничтожения а%, а„. Построенная теория и получила
название «дуальной операторной модели» (более детальный исто-
исторический обзор читатель сможет найти, например, в обзорах
[43—47] ). Она была прямой предшественницей теории струн,
а во многих случаях вполне исчерпывает ее содержание и до се-
сего дня.
Модель с бесконечным числом осцилляторов напрашивается
на дальнейшее обобщение. В самом деле, как известно со времен
Пифагора, бесконечный набор колебаний, частоты которых крат-
45

Рис. 6. Древесная диаграмма
рассеяния N частиц.
иы некоторой основной
частоте, может быть опи-
описан как колебание струны.
Эта идея применительно к
дуальной модели была вы-
высказана Намбу [56], Ниль-
Нильсеном [57] и Сасскиндом
[58], которые предложи-
предложили — вначале просто в це-
целях наглядности — описы-
описывать сильновзаимодейст-
вующие резонансы в тер-
терминах колебаний некото-
N.
N.
Рис. 7. Мировая поверхность струны от
момента времени ti до Тг.
рой микроскопической ги-
гипотетической струны. Двигаясь в пространстве-времени, струна
заметает двумерную поверхность (рис. 7), задание которой вполне
характеризует ее движение. Со своих концов струна может ис-
испускать «колебания»—резонансы любой «частоты» (т. е. массы),
кратной 1/ct'. Струна может соединиться концами, образуя замк-
замкнутую струну; может, наоборот, разорваться, соединиться с дру-
другой струной и т. д. (рис. 8).
Важно, что взаимодействие струн происходит всегда в точке,
что позволяет избежать конфликта с принципом причинности.
Струнная теория дает удивительно простое и наглядное объясне-
объяснение дуальности: в самом деле, если рассматривать взаимодей-
взаимодействие струн в терминах заметаемых ими поверхностей (их при-
принято называть мировыми поверхностями, по аналогии с мировой
линией, заметаемой при движении отдельной частицей), то ам-
амплитуда s-канального рассеяния будет описываться процессом,
изображенным на рис. 9. Очевидно, эта поверхность топологи-
топологически ничем не отличается от приведенной на рис. 10.
Условие дуальности (см. рис. 5) налицо не только для рас-
рассеяния отдельных возбуждений струн, но и для всего бесконеч-
бесконечного набора резонансов. Поэтому в первое время после появле-
появления струн их называли иногда «резиновыми лентами» [58], ставя
во главу угла не саму струну, а ее мировую поверхность, кото-
которую мы можем деформировать, подобно резиновой ленте, не
нарушая ее топологии.
Другим важным результатом в операторной дуальной модели
было включение фермионов. Рамон [59] и несколько позже Неве
и Шварц [60] ввели в дуальную теорию согласованным образом
фермионные операторы рождения-уничтожения и построили мо-
46
О
-р
4-
Рис. 8. Некоторые характер-
характерные процессы взаимодействия
струн.
дели с более широким
спектром. Вскоре было об-
обнаружено, что между фер-
мионами и бозонами в
этих моделях существует
новая двумерная симмет-
симметрия, которая несколько
позже, в применении к че-
четырехмерным теориям по-
поля, получила широчайшее
развитие под именем су-
суперсимметрии [61, 62].
В целом струна того
времени использовалась
лишь для единого вывода
операторных правил из
струнного лагранжиана и
ничем от операторной ду-
дуальной модели не отлича-
отличалась *. Дальнейшее разви-
развитие дуальной модели пока- „*» . . «...
зало, что требование ее
непротиворечивости приводит к теории, которая единственна в
высокой степени и не допускает каких-либо модификаций или
улучшений. Вершины взаимодействия, пропагаторы, калибровоч-
калибровочные условия, гарантирующие отсутствие духовных состояний,—
все эти величины задавались единственным образом для получе-
получения математически непротиворечивой и физически осмысленной
теории. Конечно, в этом нет ничего плохого: единственная теория,
даже если она несколько хуже описывает сегодня эксперимент,
всегда была мечтой физиков, однако в данном случае энтузиазм
несколько охлаждался тем обстоятельством, что эта замечатель-
замечательная теория существовала в числе измерений ни мало ни много —
26, причем никак не могла обеспечить описания важнейшего по-
полюса Редже — померона. Число 26 получило название критиче-
критической размерности бозонной струны. Для фермионных моделей Ра-
мона и Неве — Шварца критическая размерность оказалась рав-
равной 10.
Всякое время имеет свои табу, переступить которые мало кто
отваживался. Физику 70-х гг. несравненно более важным каза-
* В 1974 г. Мандельстам [63] и Каку и Киккава [641 построили теорию
взаимодействия струн на световом конусе в терминах функционального
интеграла, однако их работы не получили широкого распространения в то
время. К ним вновь обратились совсем недавно, когда выяснилось, что эта
формулировка оказывается исключительно полезной для доказательства
Унитарности струны Полякова Г245].
47

Рис. 9. Взаимодействие струн в терцинах
мировых поверхностей.
Рис. 10. Амплитуда t-ка-
нального рассеяния в
терминах мировых по-
поверхностей.
лось то обстоятельство, что пространство-время имеет размер-
размерность 4, а никак не 26, и он ни за что бы пе пожертвовал четы-
рехмерностью ради какой-то конформной инвариантности, кото-
которая в реальном четырехмерном мире настолько сильно нарушена,
что о ней можно вообще не вспоминать. Поэтому как совершенно
непонятное число 26, так и увеличивающаяся сложность струн-
струнной модели отпугнули от нее почти всех физиков, кроме не-
нескольких одиноких энтузиастов, и в продолжение нескольких лет
она находилась в тени. Между тем в работах Шерка и Шварца
[65] и Йонейи [66] в 1974 г. было высказано смелое предполо-
предположение, что струнная модель с большим успехом может описывать
не сильные, а гравитационные взаимодействия: действительно,
безмассовое состояние со спином 2, возникающее в замкнутой
струне, которое ннкак не хотело описывать физический померон
(точнее, вакуумный канал в дифракционном рассеянии), отлично
описывало гравитон; в частности, Шерк и Шварц показали, что при
низкоэнергетическом разложении дуальных амплитуд в низшем
приближении возникает лагранжиан общей теории относитель-
относительности Эйнштейна. С другой стороны, начиная с середины 70-х гг.
происходило интенсивное возрождение старой идеи Калуцы —
Клейна [35], согласно которой все взаимодействия возникают
в результате компактификации геометрического лагранжиана об-
общей теории относительности из размерпости 4 + D в наше четы-
четырехмерное пространство-время. Эта идея получила двоякое раз-
развитие. С одной стороны, она используется в чисто прагматических
целях для упрощения вывода лагранжианов расширенных супер-
супергравитаций и супер-Янга — Миллса. Этот подход получил назва-
название размерной редукции (обзор работ в этом направлении см. в
сборнике [67]), в нем D + /))-мерное пространство появляется
как чисто вспомогательный объект и все поля, входящие в перво-
первоначальный D + D)-мерный лагранжиан, предполагаются не за-
48
висящими от дополнительных координат. Авторы, придерживаю-
придерживающиеся второго подхода, настаивают на реальности D + D) -мер-
-мерного пространства. В частности, если мы захотим применить идею
Калуцы — Клейна к бозонной или фермионной струне, мы не
можем ограничиваться размерной редукцией, поскольку все поля
первоначально существенным образом зависят от всех 26 или
10 координат. В рамках второго подхода предполагается, что
радиусы дополнительных измерений очень малы: R ~ \/МР, где
Мр — масса Планка, МР ~ 10~5, т. е. массивные возбуждения, воз-
возникающие из-за зависимости полей от D дополнительных коор-
координат, имеют массу порядка пМР, п = 1, 2, . . ., и ненаблюдаемы.
D дополнительных координат вместе должны образовывать ком-
компактное пространство (отсюда и термин «компактификация»).
Явный вид его, разумеется, не произволен, поскольку компакти-
фнкацпя должна удовлетворять требованию устойчивости, т. е.
метрика .D-мерного пространства должна быть решением соот-
соответствующих уравнений движения. Благодаря распространению
идеи Калуцы — Клейна отличие критических размерностей струн
от 4 перестало пугать, хотя сами значения 26 и 10 оставались
совершенно не расшифрованными. В пионерских работах 1976 г.
Креммер и Шерк [68] рассмотрели компактификацию бозонной
струпы и выяснили некоторые ограничения, накладываемые ком-
пактификацией.
Важное продвижение в теории струн произошло благодаря
известной работе Льоцци, Олайва и Шерка [69], которые показа-
показали, что возможно согласованным образом отобрать часть состоя-
состояний из струны Неве — Шварца и струны Рамона так, что полу-
полученная модель не будет содержать тахионов и будет удовлетво-
удовлетворять пространственно-временной суперсимметрии на каждом
уровне.
До сих пор, как мы уже подчеркивали, операторные методы
и струпное описание шли рука об руку, ничем, по сути дела,
друг от друга не отличаясь. В 1981 г. Поляков [70] впервые
сформулировал подход к струне, основанный на интегрировании
по мировым поверхностям, который можно назвать истинно
струнным, поскольку в нем адекватным языком для описания
взаимодействия являются геометрические объекты, а не операто-
операторы. Полякову удалось объяснить происхождение критических раз-
размерностей как размерностей, при которых струны не имеют кон-
конформных аномалий. Струна Полякова во многих отношениях
проще и нагляднее операторных методов, особенно это касается
петлевых диаграмм, хотя работа с ней требует хорошего зпания
теории римаповых поверхностей, пространств Тейхмюллера и т. д.
Любопытно, что в последнее время вновь предпринимаются по-
попытки вернуться к операторным методам, но уже исходя из гео-
геометрических объектов, присущих струне Полякова,— с целью
изучения непертурбативных эффектов [71 — 73]. Эта программа
еще далека от завершения.
Авторам [69] не удалось получить лагранжева описания по-
построенной ими дуальной суперсимметричной модели. Это было
Ю, Н. Кафиев
49

сделано несколько лет спустя в серии классических работ Грина
и Шварца [74]. Вначале ими был построен струпный лагранжиан
в световой калибровке, который явно давал спектр дуальной мо-
модели Льоцци, Олайва и ПГерка (GSO), а затем они нашли и ко-
вариантный лагранжиан [75]. Критическая размерность для
суперструны Грииа — Шварца равна 10, как и для струн Рамона
и Неве — Шварца, «куском» которых она является, а в низко-
низкоэнергетическом пределе суперструп возникают различные вариан-
варианты десятимерной супергравитации. Феноменологический интерес
представляют открытые суперструны, но они-то и должны содер-
содержать как калибровочные, так и гравитационные и смешанные
аномалии. Представлялось совершенно невозможным, что все эти
громоздкие аномалии, возникающие в разложении индекса опе-
оператора Дирака в 12-мерном пространстве, могут быть сокращены.
Тем больший энтузиазм вызвало открытие Грина и Шварца в
1984 г. [76, 77], что для двух калибровочных групп SO C2) и
Е8 X Ее аномалии могут быть в точности сокращены хитроумным
механизмом. Таким образом, теория суперструны, включающая
в себя единым и строго определенным образом все четыре вида
взаимодействия, не имеющая аномалий и (как многие надеются)
не содержащая расходимостей, стала с этой минуты единствен-
единственной теорией, серьезно претендующей па роль Теории Великого
Объединения.
§ 2. БОЗОННАЯ СТРУНА
Теперь, когда читатель знаком отчасти с историей развития
струнной теории, мы будем действовать более формально, выводя
следствия из первых принципов. Мы используем метрику Мин-
ковского T]liv = (l, —1, —1, ..-), оговаривая те случаи, когда
переходим к евклидовой метрике A, 1, 1, ...). Для описания
струны введем координату точки на струне х*(а, т), где а — па-
параметр струны; т — собственное время. Пространственно-времен-
Пространственно-временной индекс jx пробегает значения 0,1, . . ., D — 1, где D — раз-
размерность пространства, которую мы пока никак не фиксируем.
Рассмотрим вначале более простой случай открытых струн, т. е.
струн с концами. Мы всегда можем нормировать а так, чтобы
область изменения а на струне была ограничена: 0 ^ а ^ тс. Та-
Таким образом, точки ^(О, х) и х*(л, х) описывают движение кон-
концов струны. Мы будем часто использовать стандартные обо-
обозначения
х» = ~ х»' = "-?-. B.2.1)
<Эт да v '
Одна из компонепт вектора х* также является временем, посколь-
поскольку х* — обычная релятивистская координата. В нашей метрике
это а;0. Выбрав систему отсчета, в которой х° = т, мы получаем
*?. = 1 _ (*А
' di \дх
50
Здесь и далее латинские индексы пробегают значения 1, 2 ...
..?) —1. Требуя, чтобы ни одна из точек струны не двигалась
со скоростью, превышающей скорость света, т. е. (dxVdxJ ^ 1,
мы приходим к условию
С ДРУгой стороны, в этой же системе координат мы имеем
Эти неравенства понадобятся нам при построении лагранжиана.
Более подробное обсуждение классической динамики релятивист-
релятивистской струны читатель найдет, например, в обзоре Шерка [47],
мы же прямо приступим к построению лагранжиана. Попытаем-
Попытаемся действовать по аналогии с релятивистской механикой точеч-
точечной частицы [24]. Как известно, в качестве лагранжиана точеч-
точечной частицы выбирают элемент длины ее траектории, т. е. дей-
действие частицы пропорционально длине траектории. Это действие
привлекательно тем, что оно инвариантно относительно репара-
метризаций собственного времени — переменной интегрирования
в действии. Намбу [56] и Гото [79], исходя из этой аналогии,
предложили в качестве действия свободной бозонной струны
выбрать площадь поверхности, заметаемой струной при ее дви-
движении. Подобно длине траектории, эта величина имеет прозрач-
прозрачное геометрическое происхождение и явно инвариантна относи-
относительно репараметризаций — в данном случае относительно заме-
замены координат мировой поверхности
а-/(а, т), t-+g(o, т). B.2.4)
Для описания поверхности введем метрику
Таь = дах* ¦ дьх»,
а, 6 = 1, 2; di = д/дх; д2 = д/да. B.2.5)
Как известно из курса элементарной дифференциальной геомет-
геометрии (см., например, [18, 19]), эта метрика описывает вложение
двумерной поверхности, заданной координатами т, а в ZJ-мерное
объемлющее пространство. Явно у<хь имеет вид
(Х&XV- XV-X&' \
х»хч' xv-'xv-'J
B.2.6)
Площадь поверхности в данном случае задается простым выра-
выражением j Vy dnx. Исходя из этих соображений, мы определим
действие Намбу — Гото в виде
Я Т2
Sng = 2Ш7- J da j dx У— У' V = det yab.
B.2.7)
О X
4*
51

Оно, очевидно, инвариантно относительно преобразований B.2.4),
а также Лоренц-преобразований в /^-мерном пространстве-вре-
пространстве-времени. Используя свойства B.2.2) — B.2.3), нетрудно убедиться,
что —"f S2 0. В терминах координат х* лагранжиан, стало быть,
записывается как
S™ = ШГ V(*W)* - (*»У (*ц')а- B-2.8)
Константа а', введенная пока что для обезразмеривания дей-
действия, имеет размерность т. Ее происхождение станет ясным
несколько позже.
Лагранжиан Намбу — Гото B.2.8) сложно и непривычно за-
зависит от координат af, которые мы можем рассматривать как фи-
физические поля, поэтому уравнения движения в общем случае
принимают громоздкий вид. Введем «импульсы»:
B.2.9а)
аг.
1
2па'
('х-х')х»' — (x'f'x»
PS = -
dL
('х.х')х
» —
2ка'
B.2.96)
Тогда уравнение движения, выведенное из действия B.2.7), при-
принимает вид уравнения непрерывности
дР^/дх + 8Р$/8а = 0.
Это уравнение нужно дополнить граничным условием на концах
струны: требованием обращения в нуль поверхностного члена при
вариации действия B.2.7) — B.2.8). При рассмотрении обычной
теории поля в бесконечном пространстве мы привыкли не обра-
обращать внимания на поверхностные члены (кроме, конечно, топо-
топологических эффектов), однако для струны, которая является
протяженным и конечным объектом, учет этих членов совершен-
совершенно необходим и очень важен. Мы получаем для открытой струны
условия
Pg@,T)«PS(n, т)-0. B.2.10)
Далее, импульсы Р% и ?*о удовлетворяют тождествам
/о
= 0,
= 0.
B.2.11)
То обстоятельство, что между импульсами существуют связи
B.2.11), говорит нам, что лагранжиан Намбу—Гото вырождена
ный. Причина вырождения — локальная симметрия B.2.4). Мы
можем, воспользовавшись ей, выбрать на двумерной поверхности
удобные координаты, которые упростят вид метрики ^аь и позво-
52
лят явно решить уравнения движения. Наиболее удобным, оче-
очевидно, является выбор ортогональных (в евклидовом случае их
называют обычно «изотермическими»— см. гл. 5) координат,
в которых метрика уоь принимает диагональный вид
Та6 ~ цаь, B.2.12)
где г]аб=A, —1) — метрический тензор Минковского. В теории
двумерных поверхностей доказывается, что такой выбор всегда
возможен [18]. Подставляя B.2.12) в B.2.6), мы видим, что эти
условия эквивалентны следующим:
& • х*' = 0, х2 + х'2 = 0. B.2.13)
В этих координатах лагранжиан 3?nG и уравнения движения не-
несравненно упрощаются:
граничные условия приобретают вид
x'v. @. т) = х'ц (я, г) = 0,
B.2.14)
B.2.15)
B.2.16)
а уравнения движения совпадают с обычным уравнением Да-
ламбера
решения которого хорошо известны:
B.2.17)
—г).
) й1( )
Разложим функции / и g в ряд Фурье по cos па и sin па. Однако
граничные условия B.2.16) приводят к тому, что в разложении
допустимы только косинусы. Таким образом, общее решение
уравнений движения в координатах B.2.13) с учетом граничных
условий имеет вид
- (а, т)
П—О
хп (т) cos па.
B.2.18)
Подставляя B.2.18) в B.2.17), находим уравнение :
х»(т) — п*х»(х) = 0.
Решая его, мы имеем окончательно
х^ (а, т) = х» + 2а,'р»т + УШ г У I — е~Ыт — —'
B.2.19)
53

Здесь для дальнейшего удобства мы выбрали коэффициенты
Фурье в виде гап/п. Выражение B.2.19) удовлетворяет требова-
требованию вещественности х*. Коэффициент при т (нулевая мода в раз-
разложении по cos па) выбран согласно B.2.15), причем рп совпада-
совпадает с импульсом центра масс струны:
» = j
Y2ct' перед суммой выбран из соображений размерности: мы хо-
хотим, чтобы коэффициенты Фурье а? были безразмерными. Для
дальнейшего удобно положить 2а' = 1. При этом в теории во-
вообще не будет размерных параметров. Мы всегда можем при же-
желании восстановить размерность, введя соответствующую степень
«'. Например, масса тахиона, которая окажется равной тп0 =
= — 1/<х', в этих переменных будет пг0 = — 2.
Теперь мы должны учесть условия «калибровки» B.2.1). За-
Заметим, что их можно единым способом записать как
или, еще проще, распространив (формально) область значений
переменной а на интервал —л; =^ а =^ я по симметрии:
х (—о) = х (<г), х' (—а) = —х' (а).
Тогда калибровочное условие B.2.13) примет вид
(х + х'J = 0, B.2.20)
где мы предполагаем теперь —я ^ а ^ я.
Выражая х? через Рх согласно B.2.17), мы можем записать
калибровочное условие в виде, который нам понадобится ниже:
я
Lf = 5Г J da/ <a>[лР* + *'1" = °* B.2.21)
—я
Здесь /(о)—произвольная пробная функция. Для того чтобы яв-
явно выразить условия связи через коэффициенты Фурье a?j, под-
подставим разложение B.2.19) в комбинацию ас + х'. Мы имеем
B.2.22)
2
n=l
Удобно переписать B.2.22), вводя новые обозначения:
тогда
2 ве-
ве—in(T+a)
B.2.23)
54
нечную серию условий связи на коэффициенты Фурье а„Г
со
Lf=eina = Ln = _ _ ^ <_ma^= 0, B.2.24)
в частности
n=i
B.2.25)
Эта связь определяет массу струны согласно
Л=1
.«й- B.2.26)
Очевидно, сумма в правой части не является положительно опре-
определенной.
§ 3. КОВАРИАНТНОЕ КВАНТОВАНИЕ
До сих пор мы рассматривали классическую механику реляти-
релятивистской струны. Для перехода к квантовой механике нам необ-
необходимо найти гамильтониан системы. Он находится по общим
правилам: подставляя лагранжиан 3?ng в формулу
дх»
мы находим в калибровке B.2.12) — B.2.13)
а(я2^ + я/2) = 0. B-зл)
о о
Таким образом, гамильтониан совпадает с условием связи и ра-
равен нулю. Это свойство хорошо известно для механики систем со
связями [80]. Если мы теперь наложим обычные скобки Пуассо-
Пуассона между координатами и импульсами, то можем, как показал Ди-
Дирак [SO], прийти к противоречию, поскольку на эти динамические
переменные теперь наложены нетривиальные соотношения связи.
Существуют два способа квантования таких систем.
1. Ковариантное квантование [80]. Мы предполагаем, что
переменные х* и Pv удовлетворяют обычным скобкам Пуассона,
а связи накладываются после раскрытия всех скобок Пуассона.
Гамильтониан может быть выбран в виде
0
где <рт(р, q) — первичные связи:
B.3.2)
55

Мы должны проверить, что уравнения связи не меняются со вре-
временем, т. е.
фт = {фт, Н0) + С„{фт, фЛ. B.3.3)'
Эти уравнения в общем случае приводят к появлению вторичных
условий связи и т. д. Процесс нужно продолжать до тех пор, по-
пока алгебра всех связей фт, среди которых теперь находятся также
вторичные и т. д, связи, не замкнется, т. е., вычисляя скобки
Пуассона B.3.3), мы придем к тождеству 0 = 0. Заметим, забегая
вперед, что в случае струны такого не возникает.
Приведем хорошо известный пример системы со связями, по-
подробно разобранный в книге Дирака [80],— электродинамику
Максвелла. В этом случае первичная связь Р° = 0 (Р* = F*0)
дает вторичную: dtAi = 0 (закон Кулона). Метод Дпрака явно
ковариантен, однако в нем возникает индефинитная метрика,
с которой приходится бороться окольными процедурами, приме-
примером которой может служить известный формализм Гуптьт —
Блейлера [81] в электродинамике.
2. Метод полного исключения зависимых переменных. В не-
некоторых случаях мы можем разрешить уравнения связи фт = 0
и найти полный набор независимых динамически переменных,
относительно которых мы предполагаем, что они удовлетворяют
каноническим скобкам Пуассона. Скобки Пуассона между зави-
зависимыми переменными находятся дополнительно. Этот метод име-
имеет то преимущество, что в нем мы с самого начала работаем
только с независимыми, физическими переменными (например,
с поперечными компонентами электромагнитного потенциала),
однако он может вести к потере ковариантности.
Рассмотрим вначале ковариантный подход. Выпишем вновь
координаты
- (а, т) = х^ + р»х + г
_ZL g—in-z cos na
n
B.3.4)
ж импульсы Р^(о, т) = х~ ——,
оо
Р» (Ст, т) = 4" 2 *"™Х cos ™J, Рц = <¦ B.3.5)
Наложим па ж", Pv канонические соотношения Пуассона
{яЧо, т), х*(а', т)} = {Р*(а, x),Pv(a', т)> = 0,
{^(о, т), Pv(o', T)}=—n"v6(o-o'). ^-d-b)
Нетрудно догадаться, что в качестве гамильтониана Н мы можем
выбрать выражение B.3.1) (напомним, что пока мы не накла-
накладываем связей)
56
В самом деле, уравнения Гамильтона, вычисленные с помощью
B.3.о), дают нам
= {>, Л} = - -5_ J
d(J'
B.3.7)
т. е. правильное соотношение. Канонические соотношения B.3.6)
приводят к следующим скобкам Пуассона для коэффициентов
Фурье р*\ xv0, о?:
[аи, cfin) = imf™6n,-m, n, т=??=0,
[х0, р } = — ц
B.3.8)
B.3,9)
(напомним, что мы иногда пишем р^ = а^). Эти соотношения лег-
легко вывести из B.3.6), используя формулу суммирования Пуас-
Пуассона
со
_1_ 2 е*»<*-о'> = б (о- — а').
П=—оо
Пока что мы рассматриваем a?, /?v как независимые переменные,
хотя из B.2.4) видно, что они связаны бесконечным набором со-
соотношений связи. Выражая гамильтониан Н B.3.1) через фурье-
коэффициенты ос%, получаем
' = L. „г _ V1 „у. „v. =
П=Х
B.3.10)
Проверим еще раз уравнения Гамильтона, т. е. вычислим зави-
зависимость коэффициентов а„(т) B.2.18) от времени. Мы имеем
ай(т) = {ай, Н} = — i
откуда а-п (т) = a}J @) е~гпх, как и должно быть.
Теперь переход к квантованию можно осуществить обычным
способом — заменой скобок Пуассона на коммутаторы по правилу
{А, В} -* -г[А, В]. B.3.11)
При этом мы получаем следующие коммутационные соотношения:
[«?, аЦ] = — m\»n,-m, B.3.12)
[х», pv] = -irf\ B.3.13)
Выпге мы показали, что требование вещественности (эрмитовости
в случае операторов) приводит к условию осп = &—п- Таким обра-
образом, операторы cx,^Ln являются эрмитово сопряженными операто-
операторами и коммутационные соотношения B.3.12) можно переписать
как
[ой, а?+] = — nr\^6m,n, m,n>0. B.3.14)
57

Если теперь ввести на минуту операторы а? согласно а? = r-^=t
то для них мы получим
[oft, С4+] = — Г\^&тп, B.3.15)
[ft
т. е. обычные коммутационные соотношения для операторов рож-
рождения-уничтожения релятивистского осциллятора. Теперь нам
нужно ввести пространство состояний, на котором действует бес-
бесконечный набор осцилляторов а^-
Определим вакуум \0У согласно
= 0, п>0; <0|0> = 1. B.3.16)
о?|0> ?|>
Действуя на вакуум операторами рождения a^Ln, п > 0, мы стро-
строим пространство Фока. Произвольное состояние имеет вид
^Ц1!^ \l0> B.3.17)
1 ^щ; \2п2 . . . \x.knky = Ц
Согласно B.3.16), вакуум 10> имеет импульс 0. Состояние с про-
произвольным импульсом строится следующим образом:
10, fe> = е*-0>, р»Ю, fc>=fc"lO, fe>. B.3.18)
К сожалению, среди состояний 1 [iini ... [iknhy есть множество со-
состояний с отрицательной нормой, или, как их обычно называют,
«духов». В самом деле, поскольку коммутатор временных компо-
компонент имеет неправильный знак из-за лоренц-ковариантности, то,
например, простейшее возбужденное состояние
1> ^|0>
имеет отрицательную норму
<0, 110, 1> = - 1.
Теперь настал момент включить в игру условия связи, которые
классически выглядели как Ln = 0. До сих пор, в согласии с об-
общей идеологией ковариантного квантования, мы предполагали,
что переменные ос^ совершенно независимы. В методе первич-
первичного квантования связи должны быть наложены на волновые
функции, иными словами, на состояния Im-i^i . . . \ihnhy. Рассмот-
Рассмотрим величины Ln, которые, согласно B.2.4), имеют вид
-4-2*-
Z+ = L-
n.
Переходя к квантовой теории, мы должны прежде всего нормаль-
нормально упорядочить Ln, иначе мы не сумеем добиться даже Ln|0> = 0.
Итак, мы определим
B.3.19)
Ln = 1-
58
знак нормального упорядочения : ... : означает, как обычно, что
в Ln все операторы рождения стоят слева от операторов уничто-
уничтожения. Особое внимание надо обратить на оператор Lq:
:с?пай:- B.3.20)
Поскольку операторы a?, ai!ln не коммутируют, при нормальном
упорядочении в Lq возникает неопределенная бесконечная кон-
константа <хо- Поэтому условие на физические состояния, которые мы
будем обозначать символически как lphys>:
Lo!phys> = 0,
надо заменить на
(Lo - a0) lphys> =- 0. B.3.21);
Константу «о нам предстоит определить из условия отсутствия
духовых состояний. Для остальных операторов Ln этой особен-
особенности не возникает, и мы получаем бесконечный набор условий
A,lphys>=0, пФО, -оо<ге<оо. B.3.22)
Операторы Ln были впервые введены Виразоро [247] в рамках
дуальной модели и носят название операторов Виразоро. Исполь-
Используя скобки Пуассона B.3.8), нетрудно найти скобки Пуассона
между классическими величинами Ln'.
{Ln, Lm} — — i (n — m) Ln+m.
Переходя к квантованию, мы должны были бы получить, в духе
принципа соответствия,
[Ln, Lm] = (re — m) Ln+m,
однако это не так. Нетрудно показать, что из-за требования нор-
нормального упорядочения в правой части возникает дополнитель-
дополнительный с-числовой член, называемый аномалией или центральным
зарядом:
[Ln, Lm] =
n+m
L
n (re2 —
B.3.23)
Мы предоставляем вывести это соотношение читателю в качестве
упражнения (указание: аккуратно расписать нормальное
произведение).
Коммутационные соотношения операторов Виразоро Ln
B.3.33) задают нам бесконечномерную алгебру, которая называ-
называется алгеброй Виразоро. Центральный заряд, возникающий при
квантовании, представляет собой еще один пример квантовой
аномалии. Мы подробно рассмотрим алгебру Виразоро с этой точ-
точки зрения в главе 5.
Присутствие аномалии в алгебре Виразоро имеет важные по-
последствия для спектра состояний струны. В самом деле, теперь
мы не можем требовать выполнения всего набора условий
59

B.3.22), поскольку, например,
D
LnL_n \ phys> = -Ц- (rc2 — 1) n | phys> Ф 0.
Из вида операторов Виразоро легко увидеть, что мы можем по-
потребовать Lnl0> = 0, п > 0, в то время как L_ni0> Ф 0. Поэтому
мы вправе наложить лишь половину условий на физические со-
состояния. Итак, определим следующие калибровочные условия на
физические состояния, возникающие благодаря инвариантности
лагранжиана струны Намбу — Гото относительно репараметри-
заций:
Lnlphys> =0, п > 0, B.3.24а)
(Lo - «о) lphys> = 0, B.3.246)
или их можно записать тождественно, как
<phys|Ljphys> =0, п Ф 0,
так как операторы Виразоро удовлетворяют условию эрмитово-
сти Ln = Ь—п- Напомним, что точно такая же ситуация имеет
место и в квантовой электродинамике [81], когда мы не можем
наложить на физические состояния условие калибровки
9цЛц|рЬуэ> = 0, которое привело бы к обращению в нуль двух-
двухчастичной функции Грина, а налагаем лишь «половину» условий,
а именно: д^А^ | phys> = 0, где А^ — отрицательно-частотная
часть потенциала.
Таким образом, мы имеем спектр состояний B.3.17), содержа-
содержащий первоначально бесконечное число духов. Нам нужно дока-
доказать, что условий Виразоро B.3.24) достаточно для отщепления
всех состояний с отрицательной нормой. Только в этом случае
струна Намбу — Гото окажется разумной физической теорией,
наподобие квантовой электродинамики. Полное доказательство
отщепления нефизических состояний при наложении условий Ви-
Виразоро было получено Брауэром [82] и Годдардом и Торном [83].
К сожалению, оно очень громоздко и требует изощренных алге-
алгебраических построений. Более современное доказательство [84] >
основанное на знании так называемого детерминанта Каца [85],
также весьма сложно. В этой книге мы ограничимся простыми
наводящими соображениями. Заметим прежде всего, что состоя-
состояния вида
| КтУ = lhnjhn2 . . . L*Xk I Phys>, B.3.25)
где все Пг > 0, заведомо не могут удовлетворять условиям Вира-
Виразоро ввиду аномалии в алгебре B.3.23). Состояния |Хг«г> вида
B.3.25) называются шпурионными. Они ортогональны физиче-
физическим состояниям, в самом деле:
\ phys>' = \phys |
0,
60
так как LJphys> = 0 „ > 0. Можно доказать, что все простран-
пространство состоянии B.3.17) разбивается в ортогональную сумму «bS-
зических состоянии, удовлетворяющих условиям Виразоро и
шпурионных. Сектор физических состояний является поперечныл*
т. е., грубо говоря, он состоит из векторов вида ¦""**,
все ih = 1, ... D — 2. Временные (\х = 0) и продольные
(fi = D — 1) осцилляторы отщепляются. Эти состояния имеют,
очевидно, положительную норму. Результат Браузра — Годдар-
да — Торна (его часто называют no ghost теоремой) справедлив
лишь при следующих ограничениях на значения ао и D:
«о «? 1, D < 26.
Забегая вперед, скажем, что вычисление петлевых диаграмм в
дуальной (струнной) теории — также важный критерий проверки
унитарности теории — позволяет зафиксировать «о и D одно-
однозначно [86, 87]:
ао = 1, D = 2&. B.3.26)
Обзор алгебр Виразоро и спектров состояний при схо < 1, D < 26
читатель найдет в работах Торна [84].
Приведем простейший пример того, как работают условия
Виразоро. Хотя он и не заменит полного доказательства no ghost
теоремы, он все-таки даст представление о методе индукции, ко-
которым она доказывается. Положим оо = 1. Тогда условие на мас-
массы состояний есть
(Lo - 1) l-mm . . . ]xhnk>
или, подставляя явно Lo B.3.20),
0
B.3.27)
— ~ М* +
-п«й — 1
поскольку оператор N, равный
n=l
является оператором числа частиц, т. е.
N =
щ,
мы получаем формулу массы состояний
М% = 2 (N — 1)
(или М% = Jr(N— 1),
• • • Vknhy = 0; B.3.28)
B.3.29)
B.3.30)
B.3.31)
a7
если восстановить размерность).
61

Таким образом, благодаря возникновению константы нормаль-
нормального упорядочения <хо = 1, низшее состояние с N = 0, т. е. ва-
вакуум Ю>, оказывается тахионом с массой
Ml = — 2.
Вакуум 10>, по определению, удовлетворяет условию Виразоро
Ln 10> = 0 и имеет положительную норму. Рассмотрим теперь пер-
первое возбужденное состояние
B.3.32)
Согласно B.3.31), его масса равна нулю. Таким образом, «поле»
А*(р) описывает безмассовое векторное состояние. Наложим те-
теперь условия Виразоро. Оператор Ь\ имеет вид
Lx = — ajja? + • . - = — p^cii + . . •,
где опущенные члены автоматически аннигилируют состояние
|1>. Мы получаем, что условие LiU> = 0, равнозначно уравнению
на поле А*(р)
рМ"(р) = О. B.3.33)
Нетрудно видеть, что остальные условия Ln\l>—0, n > 1, вы-
выполняются тривиально. Таким образом, условия Виразоро приво-
приводят к тому, что поле А* оказывается безмассовым калибровочно-
инвариантным полем, аналогом фотона. Мы получили исключи-
исключительно важный и до конца не понятый факт: репараметризацион-
ная инвариантность лагранжиана струны (т. е. условия Виразоро,
из нее следующие) автоматически приводит к калибровочно-инва-
риантному взаимодействию.
Для нормы Н> имеем
D1
— (Л0J
АгА\
Она неположительно определена. Но, как хорошо известно из
электродинамики, выбирая импульс «фотона» jp", р2 = 0 в виде
p*=(j?, О, 0, . . .р), получаем из B.3.33)
ЛО __ /1D-1
т. е.
V—2
Благодаря калибровочной инвариантности в норму дают вклад
только поперечные, физические состояния, и она явно положи-
положительно определена.
Рассмотрим следующее состояние с JV = 2, M2 = 2. Вычисле-
Вычисления удобно проводить в системе покоя, в которой импульс р"
имеет вид
pv. = ( УХ 0 ... 0), р* = Ml = 2.
B.3.34)
62
Общий вид состояния с N = 2, М\ = 2 есть
-,)|0>. B.3.35)
В этом случае нам необходимо учесть уже два условия Виразо-
Виразоро с L\ и L<2. Соответствующие операторы имеют вид
B.3.36)
)'
Действуя ими на |2>, получаем два уравнения:
U12> = 0 =>- р>А*" + Bv = О,
?2,|2> =0^^-2/ЛВ» = 0. B.3.37)
Вновь остальные условия Виразоро удовлетворяются тождествен-
тождественно. Подставляя /?" в виде B.3.34), их можно свести к виду
B.3.38J
А" = 5А00, В» = -
Норма состояния !2> равна
<212> = 2 ]
= 2 [ (А00J + AijAij - 2А°'АШ - (В0J + В1В1].
Она вновь неположительно определена. Подставляя условия
B.3.37), мы упрощаем выражение для нормы:
<2 | 2>
±
B.3.39)
Дифференцируя правую часть, мы находим, что она имеет мини-
минимум при следующих значениях компонент А11:
Ац = О, i?=j; Ап= А22 ==...= А.
Подставляя, наконец, эти значения в B.3.39), мы имеем для ми-
минимума нормы выражение
<2 I 2> = 2 \{D — 1) А2 — 4-- (D — 1J1 = 2 (Д ~}> ^ B6 — D).
B.3.40)
Таким образом, норма состояния |2> положительно определена
только при D ^ 26. Мы предоставляем читателю самостоятельно
проанализировать спиновое содержание состояния |2>.
Мы установили, что в рамках метода ковариантного кванто-
квантования критическая размерность бозонной струны D = 26 возни-
возникает из условия отсутствия духовых состояний. Струна Намбу —
Гото является осмысленной физической теорией в 26-мерном про-
пространстве при условии, что константа нормального упорядочения
«о = 1. Однако даже и в этом случае она не совсем безупречна,
поскольку страдает от присутствия тахиона. В заключение заме-
заметим, что в качестве квантового гамильтониана после выполнения
63

нормального упорядочения мы можем выбрать выражение
Я = ?о-1- B.3.41);
Гамильтониан равен нулю на физических состояниях, и условие
fllphys) =0 определяет нам их массы.
§ 4. КВАНТОВАНИЕ НА СВЕТОВОМ КОНУСЕ
Чтобы упростить действие струны и сделать возможным ре-
решение уравнений движения, мы выбрали ортогональную систему
координат
Tab = РЦаЬ, Р = X2 = —Ж'2. B.4.1)
Нетрудно заметить, что этот выбор не полностью фиксирует ко-
координаты мирового листа о, т и калибровка B.4.1) инвариантна
относительно обширной группы непрерывных координатных пре-
преобразований. В самом деле, интервал d s2 в метрике B.4.1) име-
имеет вид
ds2 = p(dx2 — do2) = pd(x — a)d(x + o).
Очевидно, при заменах координат
т-о->- /(т —о),
т + а->-g(r + ,a), B.4.2)
х» -*- Xй-
метрика Таь переходит в уаъ-
УаЪ = g'1'УаЬ = g'f'mab,
т. е. новая метрика по-прежнему удовлетворяет условию ортого-
ортогональности. В евклидовой области это хорошо известные конформ-
конформные преобразования координат. Мы будем рассматривать их под-
подробно в главе 5. В метрике Минковского преобразования B.4.2)
соответствуют заменам координат светового конуса.
Для того чтобы полностью зафиксировать свободу в выборе
координат, мы должны наложить на них дополнительное условие,
не инвариантное относительно B.4.2). Заметим, что одна из ком-
компонент х* имеет смысл времени и ж" не меняется при преобразо-
преобразованиях B.4.2). Поэтому свободу B.4.2) можно заморозить, на-
например объявив какую-нибудь времениподобную комбинацию ж"
собственным временем. Обычно вводят светоподобный вектор пл:
п" = A, 0, ..., -1)
и
накладывают условие [88, 89]
B.4.3)
где X — произвольный параметр. Поскольку
64
условие B.4.3) совместно с уравнением движения на х*(о, х).
Теперь калибровочная свобода зафиксирована полностью. Оче-
Очевидно, условие B.4.3) не может противоречить также и B.2.13),
так как наложено после его выполнения (это можно проверить
н явным вычислением [47]). Введем следующие комбинации:
B.4.4)
А» — произвольный вектор. Тогда условие B.4.3) сведется к
х+(а, т)=У2Ат. B.4.5)
Далее, по определению импульса Р" мы имеем
х+ (а, т) = -L Р+,
откуда следует У 2 X == — Р , т. е. уравнение B.4.5) можно
переписать, введя константу р+:
B.4.6)
Ввиду того что калибровка B.4.3) задается светоподобным век-
вектором п* и мы оперируем конусными переменными х+, Р+, . . .,
она называется калибровкой светового конуса. Теперь в соответ-
соответствии с программой нековариантного квантования мы должны
разрешить условие B.2.13) и выразить все переменные через
независимые. Эта задача упрощается благодаря тому, что импульс
в направлении + является константой.
Скалярное произведение двух векторов в конусных перемен-
переменных имеет вид
= А+В- + А-В+ - А*А*,
B.4.7)
где теперь индекс i = 1, 2 ... D — 2 нумерует только поперечные
направления. Подставляя B.4.6) — B.4.7) в условиях ортого-
ортогональности
&х»' = 0, х2 + х'2 = 0,
мы находим
B.4.8а)
—^р
B.4.86)
Лагранжиан в калибровке светового конуса принимает простой
вид
и уравнения движения вновь являются уравнениями Даламбера,
5 Ю, ВС, Кафиев 65

по теперь только на поперечные компоненты х':
**-^ = 0' B.4.10)
х\ @, т) = х\ (зт, т) = 0.
Решая B.4.10) с учетом граничных условий, мы получаем раз-
разложение хг по нормальным модам, которое имеет знакомую уже
нам форму
ж* (а, т) = х1 + рН + i 2 -^ e-iTlTcos no. B.4.11)
Точно такое же разложение мы можем написать для х~, только
теперь х~ (т. е. <%п в его разложении по нормальным модам)
выражается через а,', р+ согласно B.4.8). Проделав несложные
выкладки, находим
оо
LmCCm- B.4.12)
а^" напоминает оператор Виразоро Ln, однако не совпадает с
пим, поскольку суммирование в B.4.12) идет только по попереч-
поперечным компонентам осцилляторов. Разумеется, в нековариантном
подходе у нас нет никаких условий Виразоро, поскольку все свя-
связи явно разрешены.
Найдем с помощью B.4.7) оператор массы
М2 = р2 = 2Р+Р- - 1»Р*.
Подставляя сюда формулу B.4.12), получаем
оо Т>—2
B.4.13)
2 2
П=1 4=1
Это выражение явно положительно определено.
Из лагранжиана на световом конусе B.4.9) мы легко нахо-
находим соответствующий гамильтониан
н - -
Подставляя B.4.86), мы убеждаемся, что он пропорционален
компоненте импульса Рц. Как и следовало ожидать,
= Р+Р~.
B.4.15)
В терминах независимых осцилляторов гамильтониан на свето-
световом конусе выглядит как
оо D—2
Н = -J- pi + 2
66
т. е. Н = \р\ + М2)/2— аналог обычного релятивистского-гамиль-
тониана свободной частицы.
После этой предварительной работы переход к квантованию
можно производить стандартным способом. Мы определяем скоб-
скобки Пуассона между независимыми переменными каноническим
образом:
[х0 , Р } = — 1, B.4.16)
{х*(о, х), Р*(в', %)} = б«б@- а'),
находим отсюда скобки Пуассона между независимыми осцилля-
осцилляторами а„, а}т и заменяем их на коммутатор по общему правилу
B.3.11). При этом мы получаем коммутационные соотношения
на световом конусе:
[х\ Р>] = - i8ij.
B.4.17)
Вновь оператор массы B.4.13) плохо определен, поскольку вхо-
входящие в него операторы не коммутируют между собой, и мы
должны нормально упорядочить его. В формуле для массы воз-
возникает неизвестная константа нормального упорядочения <хо:
М* =
а
о-
B.4.18)
тг=1
Перейдем к изучению спектра состояний в рамках квантова-
квантования на световом конусе. В качестве вакуума можно взять со-
состояние B.3.16) с нормой, равной единице. Произвольный вектор
пространства Фока будет иметь вид B.3.17), однако теперь мы
действуем на вакуум только физическими, поперечными опера-
операторами рождения. Очевидно, что все эти состояния имеют, со-
согласно B.4.17), положительную норму. Например, первое воз-
возбужденное состояние является поперечным вектором
масса которого равна -g-M? = (l—а0). Как известно, для того
чтобы теория взаимодействия поперечных векторов была реля-
релятивистски инвариантна, эти векторы должны иметь нулевую мас-
массу, т. е.
а0 = 1.
Мы вновь приходим к известной уже константе нормального
упорядочения. В рамках нековариантного квантования мы име-
имеем красивую возможность «вычислить» эту константу прямо из
ее определения. Это вычисление, хотя оно может показаться не-
нестрогим, поучительно тем, что не только позволяет почувствовать,
5*
67

каким образом формируется отрицательный вклад в массы со-
состояний за счет нормального упорядочеиия, но и связать между
собой загадочные цифры «двадцать шесть и одна», встречавшие-
встречавшиеся доселе разве что в художественной литературе (см. одноимен-
одноименный рассказ М. Горького) или истории.
Приведенное ниже вычисление пригодно для произвольных
бозонных и фермионных гамильтонианов, записанных в терми-
терминах физических (независимых) осцилляторов, поэтому мы при-
приведем его в деталях. Рассмотрим бесконечную сумму
Она отличается от суммы 2 а1„а'„, определяющей оператор
П=1
массы, на число
D—2 оо °°
П.
B.4.19)
i=l n=\
Льоцци [90] предложил регуляризовать входящую сюда беско-
бесконечную сумму с помощью ^-функции. Имея в виду приложения
к фермионной струне, запишем вместо B.4.19) более общее
выражение
оо
2 (n + v) = ?(—l,v), B.4.20)
n=l
где v Ф — 1, —2 ... и функция ? задается рядом [91]
; (s, v) = S (n + v)
71=1
B.4.21)
В литературе функцию ?(s, г;) обычно называют обобщенной ?-
функцией. Она совпадает с обычной ^-функцией Римана при
v = 0. Ряд B.4.21) сходится при Re s > 1 и определяет меро-
морфную в комплексной плоскости s функцию с единственным
полюсом при s = 1. Ее можно аналитически продолжить в точки
s = —1, —2 .... В частности [91], при s = — 1 мы имеем
B2(v) — 2-полином Бернулли,
1
6 -
Мы советуем читателю самостоятельно рассмотреть очень схожую
регуляризацию
Е^О "" ^=!
68
н вычислить явно предел суммы в правой части. При такой ре-
регуляризации предел суммы содержит бесконечный член —1/е2.
Как показали Бринк и Нильсен [92], его можно убрать перенор-
перенормировкой скорости света. Таким образом, мы получаем общее вы-
выражение для константы нормального упорядочения, которое нам
еще неоднократно пригодится:
B.4.22)
в частности при v = 0 (бозонная струна Намбу — Гото) мы по-
получаем
12
B.4.23)
Поскольку ао > 0 (иными словами, бесконечная сумма положи-
положительных чисел 2 п равна после регуляризации отрицательному
числу —1/12), вклад вакуумных колебаний всех осцилляторов
дает отрицательный сдвиг энергии, в результате чего в спектре
и появляется тахион. Чтобы получить теперь нужное значение
ао = 1, мы должны положить
D = 26.
Мы вновь приходим к критической размерности.
Приведенные выше соображения, основанные на манипулиро-
манипулировании бесконечными суммами, могут показаться нестрогими, од-
однако они подтверждаются прямой проверкой лоренц-ковариант-
ности в поперечной калибровке. Дело в следующем: поскольку
оператор аи квадратичен по независимым осцилляторам <хгп
и имеет виразороподобный вид B.4.12), коммутационные соотно-
соотношения ссп усложняются, в частности из-за необходимости нор-
нормального упорядочивания вновь появляется аномальный
член [47, 88]
„,_т [- р а0 + ^(р+Г п {п* - 1)]
B.4.24)
Для подтверждения Лоренц-ковариантности нам необходимо про-
проверить коммутационные соотношения лоренцевой алгебры
[М»\ МХа] = rfW™ — ц^М4*- + цч°М»х — цчХМ^. B.4.25)
Оператор Лоренц-преобразований
в световой калибровке кубичен по осцилляторам, поэтому про-
проверка коммутационных соотношений нетривиальна. Оказывается,
что все коммутаторы имеют правильный вид, кроме [М*~г Ms~],
69

который должен быть равен нулю согласно B.4.25), однако в
действительности из-за аномалий имеет в общем случае сложный
вид [88, 89]
-?2
B.4.26)
Очевидно, что единственный способ приравнять его нулю — это
положить oto = 1, D = 26. Таким образом, взаимодополняющие
простые аргументы, основанные на требовании безмассовости по-
поперечного векторного состояния и вычислении константы нор-
нормального упорядочения с помощью ^-функции, дают правильный
ответ. В дальнейшем мы будем безбоязненно прибегать к ним.
Изучив оба типа квантований, мы убедились, что при D = 26
и «о = 1 струна Намбу — Гото является полностью (за вычетом
тахиона!) согласованной, лоренц-ковариантной и не имеющей ду-
духов теорией — пока лишь свободной. 24 поперечные степени сво-
свободы являются физическими, подобно двум физическим степеням
свободы фотона в D= 4. Это заставляет подозревать, что в рамках
ковариантного подхода предыдущего параграфа возможно ввести
духовые поля, которые подобно духам Фаддеева — Попова в тео-
теории Янга — Миллса восстановят унитарность, явно отщепляя вре-
временные и продольные состояния. Соответствующая процедура не
была сформулирована в первые годы развития струнной теории,
хотя Вринк и Олайв [93] нашли проекционный оператор на фи-
физические состояния. Вычисления с этим оператором были очень
громоздки и требовали больших ухищрений. При современном
подходе вводятся духовые поля и БРСТ-генератор Q [94, 95],
условие нильпотентности которого выполняется только в D = 26.
Отрицательный вклад в энергию в БРСТ-подходе обусловлен ну-
нулевой модой одного из духовых полей. Мы вернемся к вопросу
в главе 5.
§ 5. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ.
СТАТСУММА СТРУНЫ
В этом параграфе мы построим необходимую для дальнейше-
дальнейшего технику работы с функциями от осцилляторных операторов
aJJ и с когерентными состояниями. Введем для удобства вместо
аи операторы
а,п = Ynan, [an, at] = 6m,n- B.5.1)
В этом параграфе лоренцевый индекс будет играть тривиальную
роль, поэтому мы его не выписываем. Операторы ап являются
70
обычными квантово-механическими осцилляторами [96] и дей-
действуют на вакуум как
а»|0> =0, гс 3*0. B.5.2)
Оператор числа частиц равен
N
2
П=1
па%ап.
B.5.3)
Введем пространство чисел заполнения обычным способом [96]:
B.5.4)
1 ' "' У ml
Состояния \т: пУ ортонормированны:
<тп; п\тп; пУ = 1
и образуют полный набор
" г; п \.
B.5.5)
B.5.6)
формулы B.5.3) — B.5.6) и т. п. не зависят от номера осцил-
осциллятора гс.
Введем когерентные состояния (по поводу детального обсуж-
обсуждения свойств когерентных состояний и их приложений в физи-
физике см., например, [97])
| X; пу = еХа" | 0>, <ц; гс | = <0 | е*°», B.5.7)
где X, ц — произвольные комплексные числа. Когерентные со-
состояния не ортонормированы и образуют переполненный набор
состояний. Из B.5.7), B.5.4) мы имеем
B.5.8)
В дальнейшем мы будем часто пользоваться формулой Бейкера —
Хаусдорфа для операторных экспонент
TiA'B\ B.5.9)
справедливой в том случае, когда [А, [А, В] ] = [В, [А, В] ] = 0.
Применяя ее к когерентным состояния B.5.7), мы находим зна-
значение их скалярного произведения
<]х; п\К; пУ = е»\ B.5.10)
Кроме того, имеют место очевидные формулы
ап\Х; пу = А,|Я; и>, е^ | X; и> = | и- + А,; п>. B.5.11)
Для вычисления следов полезна формула полноты, записанная
71

в терминах когерентных состояний
^ | X; пу<Х; п \ е~Ы2 =
Г
' n> <m'> n I = ^ B-5-12)
т
Ее легко доказать с помощью соотношения B.5.8), если ввести
полярные координаты Х=1Л,1егф [97]. Наконец, мы часто будем
иметь дело с функциями от оператора числа частиц N, которые
всегда можно выразить через функцию хап Оп.
Упражнение. Вывести формулу
+ + +
х—<*п а^Хац д,ап ап __
(указание: записать дифференциальное уравнение для функ-
функции f(X),
Л»4"
B.5.13)
f(X) ^=x~ananeKanxan'
Из формулы B.5.13) следует, например,
ха2^п | А,; п> = е^°" | 0> = 1 хХ; п>.
B.5.14)
Формула B.5.14) имеет место и в более общем контексте,
а именно:
/"an/ (an, at) х-а"а" = /(апх-\ а+х). B.5.15)
Если мы используем вместо операторов ап обычные струнные
операторы <хп, то в формулах типа B.5.15) везде нужно заменить
X -*¦ Хп.
В качестве первого приложения развитой здесь техники мы
хотим вычислить вырождение уровней с заданным N. Напом-
Напомним, что
N 1 щ^; . . . 7zfeu.fc> = N \ п^; . . . пкцку, B.5.16)
При заданном N мы имеем множество состояний, которые полу-
чаются с помощью действия различных а_ ni на вакуум. С ро-
ростом N число таких возможностей, т. е. вырождение уровня N,
быстро растет. Метод вычисления вырождения уровней хорошо
известен [98]: нужно найти статсумму Тг qB (в статистической
физике q = ехр(—\/Т), в данном случае просто вспомогательный
параметр) и разложить ее в ряд по q, коэффициент при qN и даст
число состояний с заданной энергией N, т. е. вырождение. Таким
образом, нам нужно найти
d—г
па+агп
B 517)
72
где мы уже вычли из N константу нормального упорядочения.
След
Тг дй =
n.=l
мы вычисляем относительно полного набора состояний \тп; «> и
берем произведение по всем п. Обозначим qn = хп. След хпп °п,
по определению, имеет вид
Тг ха"-а"
; n |
°" 1 тп;
B.5.18)
Воспользовавшись формулой B.5.12), мы выразим след в терми-
терминах когерентных состояний: ?
Тг х$ап =
^ е-l^l2 <0 |
; п
X;
J
Подставляя сюда B.5.10), B.5.13), мы получаем
Тг xajan = J^ e-W2(i—n) = (i _ *„)-!.
J^ B.5.19)
Беря произведение по всем п, i, мы находим статсумму бозонной
струны
Z (д) = Тг qH
y-i Тг д^ = г-1
71=1
B.5.20)
где в соответствии с анализом, проведенным выше, мы предпо-
предположили, что вклад в статсумму дают только физические, по-
поперечные степени свободы числом 24, (поэтому мы возвели про-
произведение в 24-ю степень, а не в 26-ю. При современном БРСТ
инвариантном подходе этот результат получается автоматически
(см. § 14 главы 5). Разлагая теперь Z(q) в ряд по q, запишем
Z{q) = q-i 2 dim (TV) g*
где функция dim (N) определяет вырождение уровня с заданным
N. Предел ее при N -*¦ °° задается знаменитой формулой Хар-
дд — Рамануджана [99, 100]
п=о
lim p (п) =
ехр
73

арифметическая функция р(п) называется в теории чисел чис-
числом разбиений и равна числу представлений целого числа N в виде
суммы положительных целых чисел. В сущности, именно эту
задачу мы и решали с самого начала. Однако проделанное на-
нами упражнение не было бесполезным: мы не только приобрели
опыт работы с когерентными состояниями и вычислили нужную
нам в последующем статсумму бозонной струны, но и решили
попутно известную задачу из теории чисел! Наше вычисление —
первый и простейший, но далеко не единственный пример воз-
возникновения многих глубоких результатов теории чисел в струн-
струнной теории. Их связь остается одной из волнующих загадок тео-
теории струн.
Разумеется, формулу B.5.19) можно было вывести а обыч-
обычным способом, суммируя геометрическую прогрессию 2 ж™-
т=о
то
Статсумма Z(g) B.5.20) сингулярна при q — О. Эта сингуляр-
сингулярность вызвана, очевидно, присутствием тахиона в спектре. Под-
—), мы видим, что Z(g) пропорциональна
растущему по энергии вкладу. Ниже мы увидим, что эта син-
сингулярность приводит к возникновению инфракрасной сингуляр-
сингулярности в однопетлевой диаграмме.
§ 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СТРУН.
ДРЕВЕСНЫЕ ДИАГРАММЫ
До сих пор мы изучали свободную струну. В этом параграфе
мы построим теорию взаимодействия на древесном уровне. В от-
отличие от теории поля введение взаимодействия не очевидно.
Исторически оно вводилось из тех соображений, чтобы получен-
полученные амплитуды рассеяния явно обладали свойством дуальности и
факторизуемости, и в частности в случае рассеяния 2 -*- 2 дава-
давали формулу Венепиано B.1.1). Позже было обнаружено, что
найденные из этих соображений вершины и прошагаторы — един-
единственно возможные, не нарушающие свойств самосогласованно-
самосогласованности свободной струны.
Простейшим мыслимым процессом является излучение стру-
струной низшего состояния — тахиона с массой Мо = — 2. Произволь-
Произвольное состояние может излучаться только из концов струны,
в противном случае, поскольку внутри струны все точки равно-
равноправны (связаны репараметризацией о), мы вступим в конфликт
с локальностью. Будем действовать по аналогии с теорией поля
[49]. Волновая функция свободной частицы с импульсом к име-
имеет вид е*"". Попробуем обобщить это выражение на случай стру-
струны. Введем вершину излучения частицы — пока не известно ка-
какой — струной
т)=:еа-(в-°-т):, B.6.4);
74
где в соответствии с вышеизложенным мы рассматриваем излуче-
излучение из конца струны (о = 0). Мы должны выяснить, среди про-
прочего, излучению какого состояния соответствует вершина
B.6.1), какие амплитуды возникают при взаимодействии этих
состояний и удовлетворяют ли полученные амплитуды обычным
требованиям, налагаемым на теорию струны, как то отсутствие
духов, лоренц-инвариантность и т. д.
Оператор х*(о = 0, т) получил в дуальной модели специаль-
специальное название [101]:
х» (а = 0, т) = Q» (т) = х* + р»т + i 2 ^~- e~inx, B.6.2)
т. е. <2*(т) является оператором координаты. Оператор импульса
задается уравнением
B.6.3)
так как pv- = сс^. Для дальнейшего удобно ввести комплексную»
переменную z = e" и переписать операторы Q* и Р* в ее тер-
терминах:
Q» (z) = xv- — ipv- In z + i 2 ^- s-1! B.6.4)
(z) = iz
p» +
«и*""-
B.6.5)
Имея в виду использовать аналогию с функциональным интегра-
интегралом, мы сделаем евклидовский поворот, т. е. заменим т -*¦ —ti,
Тоща
z = e*. B.6.6)
В терминах евклидовского времени t асимптотическое in-состоя-
ние (t = —°°) соответствует z = 0, в то время как out-состояние
(? = +°°) соответствует z = °°. Упорядочение по t отвечает с точ-
точки зрения z радиальному упорядочению. Рассмотрим свойства
вершины V (к, z). Расписывая явно нормальное произведение,
получаем
n,) exp L
X
B.6.7)
В первом факторе в правой части операторы а;" и />" не комму-
коммутируют, потому с этой экспонентой надо обращаться осторожно.
75

Используя формулу Бейкера— Хаусдорфа B.5.9), мы находим
_ eik.Xzk.Pz-ky2 = zh.veih-=czh2l2^ B.6.8)
поэтому, действуя на вакуум, F(fe, z) порождает состоящие с
импульсом к
p"F(/c, z) \0> = k»V(к, z)lO>. B.6.9)
В пределе z.-*¦ О мы имеем из B.6.7) — B.6.8)
HmF(fc, z)|0> =z-ft2/a10, /с>
Z-iO
B.6.10)
i
т. е. с точностью -"до z~k '2 F(fe, z) порождает асимптотическое
in-состояние с импульсом к. Заметим, что состояние HmV(k, z)|0>
'¦ z->oo
не определено. Аналогично для состояния <0| имеем
lim<0|F(/c, z) = zft2/2<0, fcj, B.6.11)
т. е. в пределе z-*-<» (?-*--Ь°°) оператор F(fc, z) порождает
out-состояние с импульсом к.
Рассмотрим алгебраические свойства вершины. Прежде всего,
нетрудно найти коммутационные соотношения операторов Q*\
W*Ui), <?v(z2)] = — 2iTi"vln(zi— z2), \zi\<\zi\. B.6.12)
Используя явный вид вершины F(fc, z), мы находим коммута-
коммутационные соотношения F(fc, z) с операторами Виразоро
, z).
B.6.13)
Теперь по аналогии с квантовой механикой [102] определим в
качестве матричного элемента амплитуды рассеяний N частиц
.4Г(т1...тя) = a,w<0lF(ifc», xw)...F(fcb tiI0>, B.6Л4)
где времена %i упорядочены согласно Ti ^ Т2 =^ •.. =^ xN. Сама
амплитуда задается как интеграл по всем временам [46, 102]
от матричного элемента с учетом упорядочения
А (кг . . .
(*!... trr),
или, подставляя * = ln z, мы получаем окончательно
¦<O|F(fcw,
ZN
B.6.15)
В случае открытых струн, которые мы сейчас рассматриваем, все
Zi вещественны и упорядочены вдоль вещественной оси (если
76
Рис. 11.
Кинематика
Л^-хвостки.
дуальной
использовать вещественное вре-
время т, то мы получим упорядо- &г—*
чение Кобы — Нильсена вдоль
окружности). Действуя оператором р* на состояние
V(kt, z,)F(fc-b zi-1)...V(ku z,)lO>,
легко убедиться, что оно имеет импульс к\ + ... кг-\ + kt, иными
словами, амплитуда B.6.15) описывает процесс, аналогичный
приведенному на рис. 11. Добавление каждого нового оператора
V(kj, Zj) добавляет импульс kt в промезкуточном состоянии. Для
того чтобы подтвердить вид амплитуды, изображенной на рис. 11,
мы должны еще доказать, что амплитуда B.6.15) имеет полюсы
по каждой энергетической переменной (fei + feJ, (к\ + к% +
+ кзJ. ¦ .. Используя для вершины выражение
V{k, z) = eih-xzh-Pz-bzl*Y(k, z),
е "* х
где теперь оператор V(к, z) зависит только от осцилляторов аи,
заменяя импульс р* на его значение, вынося произведение фак-
= 0, мы получаем
2
торов е "*¦ х и опуская его, поскольку 2
. . . <0 \V(kN, zN) . . . У(кг, ej | 0>.
B.6.16)
Вакуумное среднее операторов V (k(, Zi) вычисляется вновь с
помощью формулы Бейкера — Хаусдорфа еАев = eBeAelA-Bi
- Zi кг
Z
n=1
- п -~" V ь т т S? ,, а~т т v ^ а—п —п
г—^~zi 2л М-л."^—4-х 2л hi—^—4-i - 2. hV-ZTzi
em=i m=i п1 п
2л
em=i
X ехр
п=1
2 fti-r
-п - ^ \-fcifci_i
1 — 2=!) . B.6.17)
z"
Протаскивая все операторы expJV&i1—- z" с п > 0 налево, мы
получаем для амплитуды выражение
оо L&?_!
XN \ dZl .. . dzN П Zi 2 г П (Zi - Zi)-fti^". B.6.18)
J n=l i<i
Заметим важность упорядочения (евклидова) времени ti(zt).
77

В самом деле, если бы мы имели z4 > Zj_i, то ряды для логариф-
логарифмов не сходились бы и выражение B.6.16) было бы бессмыслен-
бессмысленным. Ниже мы убедимся, что при произвольных к\ амплитуда
A.(ki ... kN) расходится и не имеет физической интерпретации.
Исключение составляет случай, когда все hi = — 2, т. е. все
внешние частицы — тахионы. Положим поэтому в B.6j18) к\ =
= — 2, тогда амплитуда А значительно упростится:
A (*х . . . kN) = X
N
П
B.6.19)
Замечательным свойством полученной амплитуды является ее
циклическая симметрия. Если мы переставим kN —»- к\, к\ —»- к%, ...
..., kN-i -*¦ kN, а затем циклически переобозначим z, (что не на-
нарушает упорядоченности), то получим то же самое выражение:
А(к1...к„) = А{кн,к1...к1г-1). B.6.20)
Но это условие есть не что иное, как обобщение на iV частиц
условия дуальности (см. рис. 5), которое в случае рассеяния
2 ->- 2 мы можем изобразить как
А(ри Р2, Pz, р*) = А(р4, ри Рг, рз)-
Другое важнейшее свойство амплитуды B.6.19)—ее Мёбиус-
инвариантно стъ — не столь очевидно. Для доказательства Мёби-
Мёбиус-инвариантности подвергнем все переменные интегрирования
гг мёбиусовскому, т. е. дробно-линейному, преобразованию
Z*^S7T^' ad-bc^°- B.6.21)
В случае произвольного дробно-линейного преобразования [103]
коэффициенты а, Ь, с, d — произвольные комплексные числа, од-
однако в данном случае мы можем рассматривать только веще-
вещественные дробно-линейные преобразования, поскольку мы не
имеем права покидать вещественную ось, вдоль которой упоря-
упорядочены переменные интегрирования z4. Мы всегда можем пере-
переопределить параметры а, Ь, с, d так, чтобы
ad— Ъс=1. B.6.22)
Свойства дробно-линейных преобразований подробно обсуждают-
обсуждаются, например, в книге Форда [103]. В частности, нетрудно уста-
установить, что они образуют группу. Далее, из B.6.22) мы по-
получаем
B.6.23)
г zj
(ext + d) (cz. + d)
78
Выполняя преобразование Мёбиуса под знаком интеграла в
B.6.19), мы находим, что подынтегральное выражение приоб-
приобретает множитель
N
П (czi + d)-* П (cz
d) {cz.- + d)Y
П
B.6.24)
N
Поскольку ^jkj = 0 и к\ = —2» все выражение B.6.24) равно
1
1, таким образом, интеграл B.6.19) действительно инвариантен
относительно преобразований Мёбиуса. Условие к\ = — 2 явля-
является необходимым условием инвариантности. Однако теперь мы
встречаемся с трудностью: так как «объем группы Мёбиуса»
(иными словами, область изменения параметров а, Ь, с, d) бес-
бесконечен, выражение B.6.19) расходится. Чтобы получить конеч-
конечное и осмысленное выражение, мы должны в соответствии с об-
общим рецептом Фаддеева — Попова отфакторизовать этот беско-
бесконечный объем из интеграла B.6.19). Для этого нам понадобятся
некоторые факты теории дробно-линейных преобразований [103] :
как известно, любые три точки zi, Z2, гз можно перевести преоб-
разованием
в три наперед заданные точки, други-
другими словами, мы можем зафиксировать (в согласии с выбранной
упорядоченностью) любые три точки, заменив интегрирование
по ним интегрированием по трем независимым параметрам груп-
группы Мёбиуса. Кроме того, ангармоническое отношение четырех
точек:
B-б-25)
инвариантно, как легко убедиться, при дробно-линейных преоб-
преобразованиях. Устремляя, например, z\ -*¦ Z2, мы видим, что вы-
выражение
c-vfa-.) <2-6'2в)
также инвариантно относительно B.6.21). Теперь, чтобы выде-
выделить объем группы Мёбиуса, возьмем три произвольные точки,
например Zn-i, zNj z\, и выразим интегрирование по dzi dzN-i dzN
через параметры группы Мёбиуса. Общий вид бесконечно мало-
малого преобразования Мёбиуса есть, например,
be = 1,
т. е.
а = 1 + а, Ъ = р,
с — у, d = 1 — а,
— yz\ + о (а2, р2, у2).
B.6.27)
79

Вычисляя с помощью этой формулы якобиан перехода ox z\,
Zk-i, zN к а, р\ ч, находим
dzi dzjf_idzjf = {zN— zi) (zN — zN-i) (zjt-i — Zi)dad[}d"f, B.6.28)
где мы выбрали знак якобиана в соответствии с принятым упо-
упорядочением. Таким образом, мы можем сделать следующую за-
замену в подынтегральном выражении:
= dadpy (N — zx) (zN_x — zx) (zN — zN_x). B.6.29)
Выражение в квадратных скобках, равное элементу объема груп-
группы Мёбиуса, инвариантно, согласно B.6^26), относительно дроб-
дробно-линейных преобразований, поэтому оставшаяся часть подын-
подынтегрального выражения, умноженная на (z& — zN-i) (zN—zi)X
X (zjf_i — zi), также должна быть инвариантной. Теперь мы мо-
можем зафиксировать три точки zN, zN-\, z\ и «проинтегрировать»
по da d^ df, иными словами, просто опустить эту бесконечную
константу, ни от чего не зависящую. После чего мы получаем
JN—2
Ц dzi (zN — zjy-i) (zN — zx) X
i=2
X
v-i — *i) И
i<3
—fe *fe '
> г 3
B,6.30)
с^еипхем слДе рассеяния 2 - 2. Удобно выбрать
Z4 = OO) Z3 = l, Zl = 0. B-6.31)
В пределе z4 -*¦ °° мы имеем
1 dz,zlz7ft^-^*3** A - *,Г*Л* ^ С2-6-32)
Используя fef = — 2, мы убеждаемся, что B.6.32) конечтао и
равно
1
"*^* B.6.33)
1
A (fci . . . fe4) = J da: A —
о
Введем стандартные переменные ? = (&2 + АгзJ, s =(ki + feJ =
= (A;3 + ^4J и восстановим размерность, вводя в экспоненту фак-
фактор 2а'. При этом масса тахиона есть —1/а'. Тогда амплитуда,
выраженная в терминах обычных размерных величин, приобре-
приобретает вид
1
А (к^ к21 /с3, fe4) = J dx A — x\
(— a (t), —
B.6.34)
где a(s) = <Zo + <x's, ao = 1 в соответствии с требованиями ло-
ренц-инвариантности и отсутствия духов. Мы получили ампли-
амплитуду Венециано [54], которая была угадана им в 1968 г. и дала
толчок всему раевитию дуальной (струнной) теории. Благодаря
нулям Г-функции амплитуда Венециано имеет бесконечное число
эквидистантных полюсов в обоих каналах.
Нам осталось доказать, что общая амплитуда Кобы — Нильсе-
Нильсена имеет правильную структуру полюсов. Этим мы займемся в
следующем параграфе.
§ 7. АЛГЕБРА ВИРАЗОРО
И ОТЩЕПЛЕНИЕ ДУХОВЫХ СОСТОЯНИИ
В ДРЕВЕСНЫХ ДИАГРАММАХ
Нам предстоит не только выяснить свойства амплитуды Ко-
Кобы — Нильсена, но и доказать, что в промежуточных состояниях
на массовой поверхности * нет духов. Мы знаем, что благодаря
условиям Виразоро духов нет в спектре свободных струн, одна-
однако далеко не очевидно, что взаимодействие оставляет это важ-
важное свойство в силе. Прежде чем приступать к анализу ампли-
амплитуды Кобы — Нильсена, полезно прояснить роль алгебры Вира-
Виразоро. Напомним, что скобки Пуассона классических условий
связи имели вид
{Ln, Lm}=(n — m)Ln+m, B.7.1)
а при квантовании в коммутационных соотношениях Ья появи-
появилась с-числовая аномалия, вызванная нормальным упорядо-
упорядочением
[Ln, Lm] = (n — m) Ln+m + ^In(n2— 1) 6n,_m. B.7.2)
Форма аномалии, как нетрудно показать [145], диктуется тож-
тождеством Якоби на операторы Виразоро.
Мы определили физические состояния согласно
Z,Jphys>=0, тг>0, B.7.3)
(Lo— l)|phys> = 0.
Важным свойством алгебры Вираворо оказывается то обстоя-
обстоятельство, что для п — 0, =ь1 аномалия равна нулю. Таким об-
образом, операторы Z^, L\, L-\ образуют замкнутую подалгебру,
являющуюся обычной алгеброй Ли:
[Lo, L{\ = —L\,
[Lo, L-A'-L-u B.7.4)
[Lu ?_!]=2?0.
* Теория струн в основном развивалась в рамках 5-матричного подхода.
Продолжение дуальных амплитуд вне массовой поверхности встречает
значительные трудности и пока что изучено довольно плохо Г2691.
80
6 Ю. Н. Кафиев
81

Нетрудно сообразить, что эта алгебра Ли совпадает с алгеброй
sZB, Я), т. е. алгеброй Ли трехмерной группы Лоренца SOB,1),
причем L±\ играют роль повышающих и понижающих операто-
операторов. Блатодаря обращению в нуль аномалии при п =—1 мы мо-
можем выбрать вакуум sl{2, К) инвариантным способом, добавляя
к B.7.3) условие
г. ,1п> = 0. B.7.3')
^_!Ю> = 0. (
Вернемся к коммутационным соотношениям Ln с V(k, z). Мы
имеем
( ^ ^pj V (к ) B.7.5)
[Ln, V {к, z)] = zn (z -^ - ^pj V (к, г).
Рассмотрим оператор
Т = 1 + 2 Lnsn,
B.7.6)
где е„—бесконечно малые параметры. Оператор Т следующим
образом действует на вершину V{k, z):
TV(k z)T~l = V + 277)
TV(k,
B.7.7)
6F =
Сумма в правой части имеет следующий смысл: рассмотрим тен-
тензор ?, который при конформных преобразованиях *
z-^-w(z)
преобразуется как ft.-дифференциал
t(z) (dz)" = inv,
B.7.8)
т. е.
()
Отсюда при инфинитезимальных преобразованиях переменной z
B.7.10)
мы получаем
6*
8**П [zllr + fe (ге + Щ г <z>-
B.7.11)
Таким образом, ft-дифференциал t (или, как часто говорят, тен-
тензор веса h) преобразуется при инфинитезтамальных конформных
* В случае открытых струн переменная z вещественна, однако для
замкнутых струн, когда частицы могут излучаться из любой точки струны
(т. е. о ф 0, я), z естественно оказывается комплексной величиной. Имея
в виду возможные обобщения на случай замкнутых струн, удобно с самого
начала рассматривать произвольные конформные преобразования.
82
преобразованиях согласно B.7.1.1). Чтобы сравнить законы пре-
преобразования B.7.11) с B.7.6), нужно слегка «подправить»
V(k, z), введя новую вершину
U (z) = zhV2V (г).
B.7.12)
Коммутационные соотношения U(z) с операторами Виразоро
будут, разумеется, такими же самыми, а из B.7.6) мы получаем
ьи
2 г^п [z ik -
и-
Таким образом, вершины U(z) (V(z)) преобразуются как тензо-
тензоры веса —к2/2 при конформных преобразованиях (скалярная
fe2/2
функция z , конечно, не меняет веса вершины), т. е. опера-
оператор Ln генерирует конформное преобразование
z -»- z+ ezn+1.
С другой стороны, мы можем реализовать алгебру конформных
преобразований обычными дифференциальными операторами
ТЕГ-
B.7,14)
[Ln, Z/m] = (/i — m)Ln+m,
однако эта алгебра совпадает с алгеброй Виразоро только с точ-
точностью до аномалии. Особый интерес представляет подгруппа
Мёбиуса, для которой аномалия исчезает. Она, согласно B.7.4),
задается операторами Lq, L±i, т. е. произвольное преобразование
Мёбиуса генерируется оператором
Т = 1 + e_iZ/-i
&Z = 8-1 +
+ г\Ь\,
B.7.15)
Эта формула совпадает, разумеется, с B.6.27), выведенной из
явного вида преобразований Мёбиуса. Мы видим, что группа
Мёбиуса изоморфна трехмерной группе Лоренца,— хорошо из-
известный факт теории групп Ли [149, 151]. Подчеркнем очень
важное обстоятельство: имея алгебру генераторов Lo, L±i, мы,
не задумываясь, построили из нее группу, например обычным
экспоненциированием. Разумеется, такой процесс является закон-
законным: хорошо известно, что каждой алгебре Ли соответствует
группа Ли, однозначно задающаяся коммутационными соотно-
соотношениями алгебры. Однако этот факт имеет место только в ко-
конечномерном случае. Бесконечномерным алгебрам в общем слу-
случае не соответствует никакая группа Ли, в частности не суще-
существует «группы Виразоро» [247].
Теперь мы можем более глубоко обсудить конформные свой-
свойства амплитуды B.6.15). Согласно B.7.3), вакуум Ю> инвари-
83

антен относительно действия оператора Т, но не инвариантен
относительно произвольного генератора конформсных преобразо-
преобразований Т B.7.6). Мёбиус-инвариантность вакуума и то обстоя-
обстоятельство, что амплитуда B.6.15)
J i=l zi
при к\ = — 2 является конформной плотностью нулевого веса
согласно B.7.13), обеспечивают Мёбиус-инвариантность древес-
древесной диаграммы.
Роль конформной инвариантности в струпной теории долгое
время была не совсем понятной. В частности, смущает аномалия
в коммутационных соотношениях операторов Виразоро, которые,
с одной стороны, являются генераторами конформных преобра-
преобразований, а с другой — не могут быть выражены через обычйые
генераторы Ln B.7.14). Эта проблема была разрешена только
после появления работы Полякова [70], показавшего, что сум-
суммарная аномалия операторов Вираворо полей Qv-(xv-) и духов
обращается в нуль при D = 26 и в этой размерности конформная
симметрия восстанавливается. Полные операторы Вираворо удов-
удовлетворяют тогда правильным коммутационным соотношениям
B.7.14). В старом струнном (а по сути дела, операторном дуаль-
дуальном) подходе роль D = 26 в восстановлении конформной сим-
симметрии очень завуалирована. Мы вернемся к роли конформной
инвариантности в главе 5.
Рассмотрим, наконец, проблему факторизации амплитуды Ко-
Кобы— Нильсена. Заметим, прежде всего, что, согласно B.7.15),
оператор Lo является генератором дилатации
или, поскольку z = е', сдвига по времени. Найдем, исходя из
уравнений Гейзенберга, вершину в нулевой момент времени, т. е.
при z—1:
V (к, z) = zL°V (к, 1) z~L\ B.7.16)
Это уравнение следует, разумеется, и из коммутационных соот-
соотношений
Использование вершины V(k, 1) удобно для выражения ампли-
амплитуды в фактортазованном виде. Запишем вновь общую амплитуду
Кобы — Нильсена с отфакторизованным объемом группы Мё-
Мёбиуса и выберем zN = °°, z«-_i = 1, z\ = 0. Мы имеем
...kN) =
i=2
i
-j) X
X
у
Z1ZN—1. N
84
Воспользуемся теперь формулами B.6.10) — B.6.11) при kf =
= —2. Мы видим, что в пределе z\ -*- 0, Zn ~*" °° выражение
B.7.17) конечно и равно
-g^l <0| kN | у (kN-lt
z2<z3 . . . <Zjv_2. B.7.18)
Подставим сюда V (k2, z2) = z20 V(k2,l)z2y ° ' и т. д. Посколь-
Посколь(L1) !0 A> 0
Под юд B, 2) 2
ку (Lo— 1) !0, Ai> = 0, мы имеем
П" ~ <f0, kN | V (**_!,
=2 zi \
X
I z Vo
Здесь удобно ввести переменные Чана [104]
B.7.19)
обратно
Ъ±. . . . х = Jl, B.7.20)
V-2 Z3
N—2
'—3' • • m2j = JL_? ^i-
г=2
Якобиан перехода от JJ Т7~ к JJ ~^~ равен единице. Легко ви-
видеть, что область изменения всех параметров хг есть [0, 1]. Отсю-
Отсюда цолучаем
; jv-2
N [ll~<0,kN\V(kN_1,
г 2 г
L*V (kN_2,1) ^-Гз1 . . .
Оператор
D(p) =
o (р) - 1 '
B.7.22)
очевидно, играет роль пропагатора. Он имеет полюсы на физи-
физических состояниях, удовлетворяющих (Lo—l)lphys> = 0. По-
Поскольку
оо
l0 -1 = - i. p* + 2 «^п«й -1 = - 4 О2 -
85

оператор D(p) совпадает при каждом р2 = М% с обычным цро-
пагатором частицы. Мы специально ввели импульс р в опреде-
определение B.7.22), чтобы подчеркнуть, что каждый пропагатор
зависит от своего импульса к\ + кг + .. - kt, согласно его располо-
расположению в амплитуде B.7.21), которая теперь имеет явно выра-
выраженную полюсную структуру, изображенную на рис. 11, и удов-
удовлетворяет условию факторизации [46].
Предположим теперь, что мы разрезали одну из внутренних
линий рис. 1,1 и отобрали произвольное состояние с массой
2(N—1), которое мы обозначим через liV>. Все ли эти состоя-
состояния физические? Легко видеть, что любое состояние вида
\N, n>=L-n\N — n>, B.7.23)
где состояние \N'¦—пУ имеет массу 2(iV — п — 1), также имеет
массу 2(iV — 1). В самом деле, поскольку
[Lo, L-n] = nL-n,
условие на массу (Lo— 1) \N, n> = 0 дает
(?„ —l)L_n|JV —п> =?_„(« — 1 + L0)\N — n} =
_ L_n [n _ 1 _--*. p*
N
— n) \N - n} = 0,
B.7.24)
т. e. p2 = 2 (N — 1) и все состояния вида B.7.23) вполне могут
давать вклад в промежуточные состояния на данном уровне N.
В то же время все они являются шпурионными, поскольку не
удовлетворяют условию Виразоро: Ln\N, пУ Ф 0 из-за аномалии.
Мы должны доказать, что все состояния вида B.7.23) отщепля-
отщепляются. Для этого рассмотрим вклад произвольного пшуриона
B.7.23) в промежуточное состояние B.7.21). Он задается мат-
матричным элементом
Д
— n\LnV(ki,
где р4 = ki + &2 + ... ki-i, pi-i = ki + k2 +.. .кг-2 и т.
тельство отщепления проводится обычно с помощью
трюка: из B.7.24) вытекает уравнение на состояние
(L0(p)+n — 1)\N — «> = 0,
p2 = 2(N—1). Поэтому вместо состояния <N—n\Ln
рассматривать тождественное с ним <iV — п\ (Ln —
Коммутационные соотношения операторов Вираеоро
V(k, 1) имеют вид при к2 = —2
[Ln,V(k,l)]~nV(k,l),
[Ln-L0, У (ft, l)] = nV(ft, 1).
Отсюда
(Ln — Lo — n + l)V(k, l)=V{k, ±)(Ln
86
&!>, B.7.25)
д. Доказа-
Доказаследующего
B.7.26)
мы можем
Lo — п + 1).
с вершиной
B.7.27)
B.7.28)'
Далее, нетрудно проверить тождество
(Ln — L0 + l)-zfzn = Lo + n-i (Ln-L0-n + 1). B.7.29)
Оно следует немедленно из коммутационных соотношений B.72).
В формулах B.7.28) — B.7.29) мы не выписывали импульсов,
которые при протаскивании операторов меняются соответствую-
соответствующим образом. Комбинируя B.7.28) — B.7.29), мы получаем важ-
важное тождество
(Ln - Lo - п + 1) V (к, 1) -Г4ГТ =
= V (к, 1) Lo+1n_i (Ln- L0-n + 1),
т. е. после протаскивания через V(k,l)j j- оператор (Ln —
— Lo — п + 1) самопроизводитоя! Протаскивая его направо, мы
находим после коммутации с последней вершиной F(/e2, 1)
выражение
<N~"\V L0 + n-lV L0+\-l ¦•¦V(Ln-Lo+l)\O,k1>,
которое равно нулю в силу Ln\0, к\У —{Lo — 1) Ю, &i> = 0. Мы
доказали, что все шпурионы B.7.23) не дают вклада в проме-
промежуточные состояния древесной диаграммы. Доказательство от-
отщепления духовых состояний в петлевых диаграммах на старом
языке дуальной модели очень сложно [93], и мы его приводить
не будем. Вообще в ранний период развития струнной теории
петлевые диаграммы строились очень громоздкой процедурой
сшивки. При этом их существенные черты, такие как модуляр-
модулярная инвариантность, были не очевидны. Мы вернемся к построе-
построению петлевых диаграмм на современном языке в рамках функ-
функционального интеграла Полякова в главе 5.

Г л а в а 3
СПИНОВАЯ СТРУНА И СУПЕРСТРУНА
,§ 1. ФЕРМИОНЫ В ДУАЛЬНОЙ ТЕОРИИ.
МОДЕЛИ РАМОНА И НЕВЕ — ШВАРЦА
В предыдущей главе мы установили, что бозонная струна об-
обладает высокой степенью единственности. По-видимому, включе-
включение фермионов долокно быть непростой задачей. Заранее вообще
не ясно, -возможно ли введение новых полей в жесткие рамки
дуальной теории. Между тем без этого никак не обойтись. Во-
первых, фермионы существуют в природе и любая модель, пре-
претендующая на сколько-нибудь разумное описание физического
мира, должна допускать в своих рамках существование фермио-
фермионов; во-вторых, бозонная струна в любом случае не может счи-
считаться полностью удовлетворительной теорией, поскольку содер-
содержит тахион. Задача согласованного введения фермионов в рамки
дуальной модели была поставлена и решена в 1971 г. Рамоиом
[59] и Неве и Шварцем [60], которые построили дева новых ти-
типа дуальной модели с критической размерностью, равной 10.
В этой главе мы опишем построение фермионэных дуальных мо-
моделей и связанных с ними суперструн Грина — Шварца.
Итак, одной из неприемлемых черт бозонной струны явля-
является наличие в ней тахиона. Как мы установили, тахион возни-
возникает благодаря бесконечной сумме нулевых мод осцилляторов
оо
которая после перенормировки вносит конечный от-
рицателъныи вклад
D
в сгаектр масс, так что энергия низ-
низрицателъныи вкл51
шего состояния оказывается меньше нуля. Попытаемся избавить-
избавиться от этой трудности, вводя фермионные переменные. Из курса
квантовой теории поля известно [81], что при квантовании
фермионов вакуумная энергия их имеет обратный знак по срав-
сравнению с бозонами. В сушерсимметричаых теориях эта особен-
особенность выражается хорошо известным свойством суперсимметрич-
суперсимметричных лагранжианов [61]
&*=:&:, C.1.1)
т. е. точным сокращением вакуумной энергии бозонов и фер-
фермионов, возникающей при взятии нормального упорядочения *.
* Исторически Суперсимметрия была открыта как раз благодаря дуаль-
дуальной фермионной модели, так что здесь мы придерживаемся в педагогиче-
педагогических целях скорее антиисторического подхода.
88
Соображения, основанные на вычислении вакуумной энергии,
действительны только в том случае, когда мы имеем дело с фи-
физическими переменными, т. е. на световом конусе, поэтому вве-
введем на световом конусе набор фермионных осцилляторов dxn, на
которые, по аналогии с бозонами, мы наложим следующие (ан-
ти) коммутационные соотношения:
[di, dL]+ = 6ij6n,-m; Ul
= 0,
C.1.2)
оде i, /=1, 2 .. . (D — 2). Размерность пространства D нам пока
не известна. Построим с их помощью гамильтониан системы
бозонов и фермионскв обычным способом:
Н = 2 ain«; + 2 ndLndl
п=г
C.1.3)
Мы предполагаем выполнение условия эрмитовости dn+ = d!_n.
Выберем вакуум в виде
dl | 0> = с4 | 0> = 0, п > 0.
Тогда из C.1.3) следует, что вакуумная энергия равна
/ оо оо \
*.-^B»-2»)-о.
т. е. тахиона в спектре нет!
Построим теперь с помощью осцилляторов dj, свободное фер-
миовгное поле Я1 (о, т):
Я*(а,т)=2 die-in«-°\
C.1.4)
C.1.5)
По построению эти поля удовлетворяют граничным условиям
К @, т) = Х\ @, т), C.1.6а)
Х{ (я, т) = Х\ (я, т). C.1.66)
Нетрудно написать действие на световом конусе, которое давало
бы гамильтониан C.1.3). Для этого достаточно прибавить к дей-
действию бозонной струны B.4.9) двумерное действие Дирака:
Х2
= ~~ 2?г J
dT 1da
где мы ввели двухкомшонентный спинор Хг =
и использо-

вали майорановское представление двумерных матриц Дирака ра:
Здесь и далее индексы ос, $ пробегают значения 1, 2 и нумеру-
нумеруют координаты мирового листа: д\ = дх, ch = д„ (обычно в метри-
метрике Минковского). Из C.1.7) в качестве уравнения движения
для поля А,* мы получаем, разумеется, обычное уравнение Ди-
рака р-ал'-о, C.1.9)
откуда с учетом C.1.8) мы видим, что Х\ (т, а) = Х\ (т — о)г
XI (т, а) = Х\ (т + о). Заметим сразу, что граничные условия,
возникающие при выводе уравнений движения из лагранжиана
C.1.7), допускают и второе, отличное от C.1.6) решениеу
а именно:
Х\ (О, т) = А! (О, т),
Я1(л, т) = — К(п, т).
C.1.10а)
C.1.106)
Однако при таких граничных условиях разложение решения в
ряд Фурье C.1.4) —C.1.5) уже неверно. Чтобы решить урав-
уравнения движения совместно с граничными условиями C.1.10),
введем новый набор антикоммутирующих осцилляторов Ьгг, где
индекс г пробегает теперь полуцелые значения г s Z + -g"i
и запишем
К (т, а) = 2 ^e-ir(T-0), C.1.11a)
Г
4 (т, а) - и &^-1рСТ+о). C.1.И6)
г
Разложение C.1.11) теперь удовлетворяет граничным условиям
C.1.40). Наложим на Ъ\ обычные антякоммутациоыные соот-
соотношения
[К, Н]+ = 6iJ6r,_s, [к, <xL] = о C.1.12)
и рассмотрим вновь суммарный гамильтониан бозонных и фер-
мионных осцилляторов, удовлетворяющих граничным условиям
C.1.11). Из действия C.1.7) следует
тт "VI 1 1
n=l
Теперь вакуумная энергия равна
D — 2
rblrb|:
C.1.13)
Ml
2»-
n=l
l/2
90
«Вычисляя» конечную часть расходящихся сумм с помощью об-
общей формулы B.4.22), мы получаем
Таким образом, этот сектор фермионной модели также содержит
тахион.
Модель с dn -осцилляторами, не имеющая тахионов, была
построена впервые Рамоном [59] и носит название струны Ра-
мона, а модель с К -осцилляторами, содержащую тахион, откры-
открыли Неве и Шварц [60]. Следуя установившейся терминологии,
мы будем называть ее струной NS. Ниже мы увидим, что обе
модели тесно связаны между собой, поэтому весь лагранжиан
C-1.7), содержащий в себе одновременно оба сектора, называ-
называется лагранжианом «сатиновой струны» или струны Рамона NS.
Рассмотрим подробнее свойства обоих секторов.
Прежде всего, исходя жз осцилляторов а? и dn, мы можем
построить два типа Виразоро-'подобных операторов. Первый из
них мы определим как обобщение гамильтониана C.1.3) на слу-
случай произвольных п (предполагая, что гамильтониан совпадает,
как обычно, с нулевым оператором Виразоро), а в качестве вто-
второго возьмем единственно возможную билинейную по -ос, d ком-
комбинацию осцилляторов
'
~<Г 4mt' dn
C.1.14)
Г п —
Коммутационные соотношения операторов ?„, Fn между сабой
описывают так называемую супералгебру Вираеоро
D
[Ln, Lm] = (п — т) Ln+m + -g- п (п2 — 1) бп>_то,
[Ln, Fm] = {j—
C.1.15)
[Fn, Fm]+ = 2Ln+m + -у п28т>—п.
Благодаря присутствию фермионов в операторах Ln аномалия в
их коммутационных соотношениях имеет теперь другой коэффи-
коэффициент: -g-re(re2 — 1) вместо -j^-n(n2—1) в бозонном случае. Это
приводит к изменению критической размерности.
Мы не выписываем соответствующих операторов в секторе
NS: можно показать, что после тривиального переопределения
они удовлетворяют точно такой же алгебре, что и Ln, Fn.
91

Поскольку мы работаем сейчас на световом конусе, для про-
проверки самосогласованности построеннных моделей мы должы
выяснить, удовлетворяют ли они условию Лоренц-'ковариантно-
сти и когда. Изучение коммутационных соотношений генерато-
генераторов группы Лоренца, которые в этом случае, разумеется, имеют
еще более громоздкий вид, показывает [105], что Лоренц-кова-
Лоренц-ковариантность выполняется только вО = 10, причем константы нор-
нормального упорядочения должны быть в секторах Рамона и NS~
соответственно 0 и —1/2, что совпадает со значениями, вычис-
вычисленными нами выше из других соображений.
Опишем кратко ковариантное квантование спиновой струны
в той мере, в какой мы можем сделать это, не зная пока кова-
риантного лагранжиана. По аналогии с чисто бозонным случа-
случаем мы имеем теперь поля х*(о, т) и Я"(о, т), где ц = 0, 1...(jD —
— 1) и Яц — набор из [х штук двумерных спиноров. Разлагая Xю
и Л," по осцилляторным переменным и вводя вакуумное со-
состояние 10, т2 = 0> в модели Рамона и |0, т2 = —1/2> в модели
NS, мы мажем определить пространство Фока:
= 0>, C.1.16)
\ . . . аИ^-Ч • • • <?-тн 1 0,
C.1.17)
Как доказано в работах [83, 106, 107], обобщение условий Ви-
раеоро, а именно:
Z,Jphys>=0, тг>0,
Fjphys>=0, rc 3=0,
Lolphys>=0, Ramond,
(Z,0-l/2)!phys>=0, NS
C.4.18)
отщепляет из спектра C.1.16) — (ЗЛ.17) все состояния с отри-
отрицательной нормой и спектр !phys> содержит только состояния
с положительной нормой при D = 10.
Таким образом, в D = 10 мы получаем две повые дуальные
модели, которые вместе с D = ,26 бозонной струной исчерпыва-
исчерпывают список физически интересных струнных теорий *. Заметим,,
однако, что в этой главе мы рассматриваем только невзаимодей-
невзаимодействующую спиновую струну. Построение взаимодействия для
нее, в частности аналога вершины V(k, z) испускания фермио-
на в секторе Рамона, натолкнулось на значительные трудности,
которые в первые годы развития теории обходились исключи-
исключительно сложными построениями [108]. Проблема фермионной
* В работах pll] построена N = 2 суперсимметричная спиновая стру-
струна, критическая размерность которой оказывается равной 2. Ввиду этого ей
трудно придать прямой физический смысл.
92
вершины была понята лишь совсем недавно в работах [109,
110]. Более подробное обсуждение этой интересной темы увело
бы нас за рамки настоящей книги.
Изучим спектр спиновой струны. В частности, до сих пор мы
не выяснили даже, какими состояниями являются вакуумы
[0, т2 = 0> и 10, т2 = —1/2>. Нас интересуют, разумеется, про-
пространственно-временные, т. е. десятимерные, свойства состояний,
о которых двумерные спиноры Я" мало что могут сказать. Рас-
Рассмотрим вначале спектр Рамона. Заметим прежде всего, что ос-
осцилляторы &п имеют нулевую моду d^, которая, согласно C.1.2),
удовлетворяет антикоммутационным соотношениям
K,d?]+ = -rr. C.1.19)
Таким образом, do" пропорционально ч" — десятимерной Ч"матРи-
це. Это обстоятельство является решающим для определения
спекпра Рамона. Ив C.1.15) мы находим
Fo = 2L0,
C.1.20)
причем ^о, согласно C.1.14), имеет вид .Fo = p^d^ + . . .. Таким
образом, Fo оказывается, согласно C.1.29), квадратным корнем
из гамильтониана, т. е. аналогом оператора Дирака. В своей
оригинальной работе [59] Рамон исходил как раз из идеи по-
построения бесконечномерного аналога оператора Дирака. Физи-
Физические состояния должны удовлетворять условию
Fo | phys> =
phys> = 0
и, очевидно, являются фермионами. Выберем в качестве вакуума
низшее состояние с нулевой массой
10,
= \ОУи(р), Р2 = О,
C.1.21)
где и(р)—некоторый с-числовой спинор (коммутирующий). Ус-
Условие FolO, тп2 = 0> = 0 сводится к уравнению на спинор и(р)
Ч»РМР)=О, C.1.22)
т. е. обычному безмассовому уравнению Дирака. Вакуум сектора
Рамона оказывается пространственно-временным (десятимерным)
спинором. Поскольку вое состояния пространства Фока сектора
Рамона должны удовлетворять аналогу уравнения Дирака
Folphys> —0, все они оказываются фермионами. Таким образом,
действие двумерного фермиона dn на состояние не меняет- его
пространственно-временных десятимерных свойств. Это и в са-
самом деле довольно необычная ситуация. Наконец, из вида га-
гамильтониана C.1.3), содержащего только осцилляторы с целы-
целыми уровнями энергии, легко заключить, что все состояния
C.1.16) в секторе Рамона имеют целую неотрицательную массу.
Перейдем к спектру модели NS. Здесь операторы for описы-
описываются полуцелым уровнем энергии г и, в частности, не имеют
93

нулевой моды. Это обстоятельство радикально меняет свойства
¦спектра. Вакуум
|0, т2= —1/2 >
удовлетворяет условию I LQ — у 11 0, тп2 — — 1/2> = 0, которое,
как легко видеть, является уравнением Клейна — Гордона для
частицы с массой, равной тп2 = —1/2. Таким обраеом, вакуум и
все состояния в секторе NS оказываются бозонами. Не случайно
модель при своем по'явлении была названа «дуальной пионной
моделью» и предназначалась для описания сильных взаимодей-
взаимодействий пионов и резонансов типа со, р.... В настоящее время
ясно, что к реальным сильным взаимодействиям она имеет мало
отношения, хотя в начале 70-х гг. нередко с успехом к ним при-
применялась.
Действуя на вакуум
1 \
0, — у у- оператором b!L1/2, мы получа-
получаем безмассовое векторное состояние
11, 0> = в^/а ! 0, — 1/2>,
C.1.23)
где е" — обычный вектор поляризации. Это состояние тривиально
удовлетворяет условию Виразоро (Lo—1/2I1, 0>=0, другое же
существенное условие d^ll, 0> = 0, где оператор G\/2 имеет вид
дает уравнение р^е" = 0. Состояние 11, тп2 = 0> оказывается, как
и в бозонной струне, безмассовым калибровочно-инвариантным
векторным бозоном. Заметим, что, пользуясь уже применявшим-
применявшимся в случае бозонной струны нестрогим аргументом, мы можюм
и в данном случае определить критическую размерность моде-
модели NS из требования безмасеовости поперечного векторного со-
состояния. В самом деле, масса тахиона в секторе NS равна
отсюда масса векторного бозона C.1.23) есть
16
Лоренц-инвариантность требует, чтобы поперечное векторное со-
состояние было безмассовым, отсюда D = 10. Очевидным отличием
спектра модели NS от спектра модели Рамона является присут-
присутствие в нем состояний как с целым, так и с полуцелым квадра-
квадратом массы. Состояния, получающиеся действием нечетного числа
операторов VLr и произвольного числа операторов a!inHa вакуум,
имеют целую массу, в то время как состояния с четным числом
fo-возбуждений имеют полуцелую массу. Удобно ввести опера-
операторы, разделяющие обе серии. Для этого, следуя Неве и Щвар-
цу, припишем вакуусмгу квантовые числа физического пиона,
а именно псевдоскалярную четность и отрицательную G-четность.
94
Определим далее оператор G-четности Неве — Шварца согласно
G = — (— 1I/2 . C.1.24)
Поскольку в экспоненте стоит оператор числа частиц Ъ, то, дей-
действуя на физические состояния, оператор G разделяет состояния
с четным и нечетным числом Ь-возбуждений согласно
G|phys> = (-l)Wb+1|phys>.
В частности, вакуум в соответствии с нашим выбором знака в
C-1.24) имеет отрицательную G-четность. Введем теперь про-
проекторы
i>± = -f(l±G). C.1.25)
Р+, действуя на физические состояния, отбирает башню состоя-
состояний с целой массой, в то время как проектор Р- отбирает со-
состояния с полуцелой массой. Эти операторы понадобятся нам
ниже при обсуждении проекции GSO и вычислении однохгетле-
вой статсуммы.
§ 2. КОВАРИАНТНОЕ ДЕЙСТВИЕ СПИНОВОЙ СТРУНЫ
При введении спиновой струны мы использовали лагранжиан
C.1.7) на световом конусе. Очевидно, его нельзя обобщить на
ковариантный случай, просто распространяя суммирование с
D — 2 поперечных компонент на D ковариантных компонент, такт
как мы хорошо знаем, что выражение да.х*да.х*, (х — 1, 2...D,
не является лагранжианом струны. Поэтому задача ковариант-
ного обобщения лагранжиана C.4.7) далеко не тривиальна,
и она была решена только после построения четырехмерной
N=1 супегравжтации [112]. Оказалось, что искомый ковариант-
ковариантный лагранжиан суперструны, приводящий к действию C.1.7)
и калибровочным условиям C.4.46) в ковариантной калибров-
калибровке, представляет собой не что иное, как двумерную суперграви-
супергравитацию, связанную с «полями материи» в виде струнных полей
х*(о, х) и Я"(ст, т). В этом параграфе мы придерживаемся праг-
прагматического подхода и не будем излагать соображений, привед-
приведших к посроению ковариантного лагранжиана, имея в виду
также, что нам придется обсуждать его еще раз в главе 5 при
квантовании бозонной струны по Полякову. Поэтому мы просто
вьшишем его и рассмотрим его свойства.
Ковариантный лагранжиан суперструны, построенный в рабо-
работах Бринка, Ди Векья, Хоу [113] и Дезера, Зумино [144], име-
имеет вид
S = — 4г Г do-dre
+ *««
95

Здесь е" — двумерная тетрада с двумерными криволинейными
индексами а, р и плоскими двумерными индексами а, Ь; ц, v —
пространственно-временные индексы, \л, v = 1, 2 ... 10; g =
= <?„е?, е = det <?„ = (det gapI/2. Поля г|за являются двумерным
гравитино. Лагранжиан C.2.1) инвариантен относительно об-
общекоординатных преобразований a->-f(o, т), r-»-g"(o, т)*, Ло-
Лоренц-преобразований в 10-мерном пространстве, локальных пре-
преобразований суперсимметрии
6ж* = taX* 6eS = ~ 2iapa*pa, C 2 2
и вейлевских преобразований
1/2
<? ->- Л @, т) el, ij)p-> A1/2 (a, т
Кроме того, благодаря двумерному тождеству
рарьр° = 0
действие не меняется при замене
г|?а -*¦ life + раф.
C.2.3)
C.2.4)
Лагранжиан C.2.1) необыден в том смысле, что поля еа и ^
являются нединамическими, так как входят без производных.
Поэтому уравнения движения на е" и г|?« оказываются уравне-
уравнениями связи. Покажем, что эти связи приводят в рамках кова-
риантного квантования к суиерусловияад Виразоро C.1.18). Ва-
Вариация действия C.2.1) по еаа дает связь
К = 0, C.2.5)
где Г» — тензор энергии-импульса, а по г|з9
4a = 0.
i т
~2
C.2.6)
Используя симметрии действия C.2.1), можно показать [113,
114], что оно допускает выбор так называемой сушерконформной
калибровки
ga.t = e"*r\af, C.2.7а)
^« = Р«Ф, C.2.76)
в которой зависимость действия от полей еа (ga,$) и г|эа полностью
исчезает, и мы получаем для действия выражение
Ssuperconf = - -^ j
dadT
C.2.8)
* Напомним, что в двумерном пространстве-времени, ковариантная про-
производная сводится к обычной.
96
Связи C.2.5)]—'C.2.6)' принимают теперь вид
дах»д$х» + гЛ^Рад^ — i. Пар (dyxf = 0, C.2.9)
рар*дах»Х* = 0. C.2.10I
Мы легко поймем смысл условия C.2.9), если на минуту опу-
опустим поля Я", тогда оно гласит:
т. е.
= 0,
C,2.11);
C.2.12)]
Условия C.2.11) — C.2.12) есть обычные калибровочные условия
для бозонной струны, приводящие, как мы знаем, к условиям
Вяразоро в методе ковариантного квантования.
Упражнение. Используя разложение з? и № в ряд по
гармоническим осцилляторам, показать, что условия C.2.9) —
C.2.10) приводят к уравнениям C.1.18), причем условие C.2.9)'
дает условие на Ln, а C.2.10) — на Fn и операторы сушералпеб-
ры Втараеоро Ln и Fn задаются разложениями C.1.14).
Условия C.2.7) не полностью фиксируют калибровку. Ла-
Лагранжиан C.2.8) инвариантен относительно конформных, т. е.
аналитических, преобразований координат (в евклидовой об-
области)
z = a + ix-+f{z). C.2ЛЗ)'
Кроме того, условие C.2.76) допускает остаточную грущпу ло-
локальных аналитических сушерагреобразований [70]. Используя
эту свободу, можно избавиться от продольных и временных ком-
компонент полей ж" и Л,", положив Х+ = 0 и х+ (а, т) = х+ + р+х, пос-
после чего лагранжиан C.2.8) принимает вид C.1.7). Таким об-
образом, ковариантный лагранжиан суперструны C.2.1) в кова-
риантной калибровке дает нам суперусловия Виразоро, а в ка-
калибровке светового конуса, где все связи полностью разрешены,
мы получаем простой лагранжиан C.1.7). Заметим в заключе-
заключение, что лагранжиан C.1.7) инвариантен относительно преобра-
преобразований глобальной двумерной суперсимметрии на мировом
листе. Эта симметрия, названная первоначально не совсем кор-
корректно «суперкалибровочной» [248], и привела к открытию про-
пространственно-временной сушерсимметрии [61, 62], которая в на-
настоящее время составляет основу для построения Единых Тео-
Теорий Поля.
§ 3. ПРОЕКЦИЯ GSO
Спиновая струна, построенная в двух предыдущих парагра-
параграфах, несомненно, может вызвать неудовлетворение по многим
причинам. Мы использовали странные поля А," — шространствен-
но-временные векторы и двумерные фермионы; их появление
7 Ю, Н. Кафиев
97

лишь косвенным и не совсем понятным образом влияет на спектр,
который может быть как чисто фермионным, так и чисто бо-
зонным. Последний из них, сектор NS, имеет вдобавок в своем
спектре тахион; наконец, мы хотели бы лучше понять про-
пространственно-временные свойства спиновой струны, в частности
решить вопрос, можно ли определить с ее помощью суперсиммет-
суперсимметричную в D = 10 модель струны. На эти вопросы (хотя и не до
конца) ответила работа Льоцци, Олайва и Шерка [69] (GSO),
которые показали, что из всего спектра состояний спиновой стру-
струны можно согласованным образом отобрать суперсимметричный
спектр без тахионов. Процедура отбора получила название «про-
«проекции Льоцци, Шерка, Олайва», сокращенно —«проекции GSO».
Этим общепринятым названием мы и будем пользоваться.
Для введения ее напомним определение проекционного опе-
оператора Р+ в модели NS:
2 ъ_тът
_(_ l)i/2 J. C.3.1)
Действуя на физические состояния, Р+ отбирает состояния с це-
целой массой, в частности
р+|0, тп2 = —1/2 > = 0,
т. е. в секторе модели NS, полученном действием проектора Р+.
на все пространство Фока, тахиона нет. Низшим состоянием в
этом секторе является безмассовый поперечный вектор
1 Л Г)\ с^ /г,\ 7)^ , 1 П 7Г72 1 >9\ n'V' О П2 О
] X, \Jу о \JJ) и 1/2 1 ' ^1 / 1 }г ' Jr
На световом конусе в D = 10 состояние II, 0> имеет, как обыч-
обычно, 10 — 2 = 8 компонент. Рассмотрим низшее состояние |0, р>
и и(р) в модели Рамона. Оно, как мы установили, является
40-мерным спинором и имеет 210/2 = 32 независимых (веществен-
(вещественных) компонент. В общем случае можно уменьшить вдвое число
компонент, взяв в качестве низшего состояния вейлевский или
майорановский спинор, что возможно в любом четномерном про-
пространстве. Авторы [69] покавали, что в пространстве размерности
D = 8к + 2 можно одновременно наложить на спинор условие
майорановости (вещественности) и вейлевости, что уменьшает
число компонент в 4 раза. Таким образом, если в качестве низ-
низшего состояния сектора Рамона в D — 10 выбрать майорана-вей-
левский спинор, то оно также будет иметь 8 компонент. Совпа-
Совпадение числа бозонных и фермионных компонент в вакуумных со-
состояниях бозонного и фермионного секторов — первый признак
суперсимметрии. Однако это свойство нужно проверить на всех
уровнях каждого сектора. Для проверки вычислим статсуммы в
обоих секторах и покажем, что они совпадают.
В секторе Рамона статсумма есть
r (q) = о I г q = ^j ujfj ( п) q , \о.о.<и)
98
где мы учли 8-тсратное вырождение основного состояния, в то
время как в секторе NS мы получаем с учетом проекция GSO
ZNS = Тг ± A + G) qHNS
(п) дп.
C.3.3)
Здесь dB(n) и dNS(n) — числа заполнения на каждом уровне. Га-
Гамильтонианы HR и Hnb мы уже определяли:
hns =
+
rblrbl-±.
C.3.4)
C.3.5)
Поскольку операторы а« и dj,(b') действуют в разных гильбер-
гильбертовых пространствах, мы можем вычислять частя статсуммы,
обусловленные бозонными и фермионными осцилляторами, от-
отдельно. Очевидно, что боаонная часть статсуммы для обоих сек-
секторов совершенно одинакова. Собственно говоря, мы ее уже зна-
знаем (см. B.5.20)). Поскольку в данном случае мы иомеем 8, а не
24 поперечные компоненты х\ бозонная часть статсуммы Zx рав-
равна кубическому корню из Z B.5.20), т. е.
U
Тогда полная статсумма в каждом секторе есть
ZNS(q)i=Zx(q)Zb(q),
C.3.6)
C.3.7)
где статсуммы Zd и Zb задаются теперь только фермионными ос-
осцилляторами d и Ъ. Эти статсуммы также легко вычислить. Вы-
Выпишем фермионные гамильтонианы
71=1
C.3.8)
П тая =
tws= jTj rb_rbr — -i-. C.3.9)
r=l/2
Константы 1/3 и —1/6 подобраны из тех соображений, чтобы
полный гамильтониан давал правильное условие на массы
Lolphys> = 0 и \L0 jj | phys> = 0 соответственно. Мы предо-
предоставляем читателю возможность самостоятельно проверить их с
помощью формулы B.4.22). Для вычисления следов заметим,
что в след
C.3.10)
99

и аналогичный для осцилляторов Ъгт ввиду фермионной природы
dln (&*) могут давать вклад только числа заполнения 0,1, так
что мы имеем
1«> = |о>, dLm|O>.
Отсюда в секторе Рамона мы находим, учитывая, что все \тгУ —
фермионы, так что не возникает ра!зности в знаке из-за различи
ной статистики |0>, d]_m | 0> (ср. [48])
= A + qm). C.3.11)
Произведение по всем i дает восьмую степень; беря, наконец,
произведение по всем m и учитывая 1/3 в C.3.8), мы находим
оо
Z/_\ о„1/3 I | (л I ^таЧ8 /оо jo\
Комбинируя это выражение с C.3.6) — C.3.7), получаем полную
статсумму сежтора Рамона, редупированното по GSO:
(?) = П
C.3.43)
Статсумма Zb{q), отвечающая гамильтониану НNs C.3.9), есть
днЬ"8 C.3.14)
и вычисляется совершенно аналогично, только теперь «частоты»
осцилляторов, т. е. числа г в сумме 2 rbLrb\, — полуцелые. Мы
получаем, беря проекцию GSO и умножая статсумму осцилля-
осцилляторов Ъ на Zx C.3.6),
C-3-15)
Статсуммы C.3.13), C.3.15) содержат в себе всю информацию
о спектре секторов Рамона и NS. Числа состояний dn{n) и dNs{n)
могут быть равны на каждом уровне только в том случае, если
статсуммы C.3.13) и C.3.15) в точности совпадают. Оказыва-
Оказывается, это и в самом деле так! Комбинаторное тождество, обес-
обеспечивающее равенство статсумм,
8 П A + <1п? =
n=l
Й (
п1 ч
l +
- П (l - ЧП~
C-3.16)
100
было известно еще Якоби [116—118] и носит его имя. Тожде-
Тождество Яжоби часто записывают еще так:
е* (о, т) + е| @, т) *
@,
C.3.17)
где 6(z, т) — тэта-функция Римана; q = ехрBтс?т). В таком виде
его называют тождеством Римана [117, 119).
Таким образом, на каждом уровне G-четного сектора модели
jVi? и модели Рамона с майорана-вейлевскими спинорами одина-
одинаковое количество состояний, соответственно бозонных и фермнон-
ных. Это серьезный аргумент в пользу того, что модель струны,
включающая согласованным образом только отобранные проек-
проекцией GSO состояния, будет сушерсвмметрвгаиой в D = 10. Для
согласованности: модели необходимо в любом случае условие
инвариантности проекции GSO при взаимодействии. При этом,
например, должно быть запрещено рождение пары G-нечетных
состояний в Cr-четном сетггоре. Подгчер:кнем, что проекция GSO
не является единственно возможной проекцией, приводящей к
согласованным струнным теориям. Можно построить модели, в
которых секторы с G = -Ы и G = —1 взаимодействуют между
собой [120—122], однако эти модели не обладают простраисгвен-
но-временной суперсимметрией, хотя некоторые из них также не
имеют тахионов [122].
§ 4. СУПЕРСТРУНА ГРИНА—ШВАРЦА
Спиновая струна, подвергнутая редукции GSO, не совсем яс-
ясна дазке с точки зрения дуальной модели. Ее пространственно-
временные свойства, в частности Ю-мерная сушерсимметрия,
сильно завуалированы, поскольку она по-прежнему формулиру-
формулируется в терминах полей жц, Яц на мировом листе. Авторам [69]
не удалось найти адекватный формализм для описания про-
пространственно-временных свойств, и задача была решена через
несколько л>ет Грином и Шварцем, которые вначале в серии ра-
работ [74] построили лагранжиан суперструны на световом кону-
конусе, а затем нашли ковариантный лагранжиан [75]. Внешне
сушерструна Грина — Шварца выглядит просто, хотя выяснение
ее самосогласованности, например подтверждение Лоренц-кова-
Лоренц-ковариантности, требует громоздких вычислений.
Итак, нам нужно построить лагранжиан струны, который со-
содержал бы только GSO проекцию спиновой струны и не содер-
содержал бы ненужных состояний, в том числе и тахиона. С этой
целью Грин и Шварц ввели фундаментальный объект — «пинор
SaA(<y, т), который является спинором как на мировом листе
(-4 = 1,2), так и в пространстве-времени (индекс а). В D = 10
свободный спинор, удовлетворяющий уравнению Дирака, имеет
2Ю/2 _ 32 вещественные компоненты; учитывая индекс А, мы
получаем, что спинор SaA (.4 = 1, 2, a = 1, 2... 32) имеет 64
вещественные компоненты. В D = 40 мы можем, как и раньше,
101

наложить на SaA- условие Майораны — Вейля, что оставляет нам
64:4 = 16 компонент. Грин и Шварц предложили в качестве
аналога калибровки светового конуса для бозонной координаты
х+(о, -с) — х+-{-р+т следующее условие на SaA:
= 0, C.4.1)
где "/* = Y° ± Ч9- Мы обозначили 10-тмерньие 7"'матРиЧы через y,
а двумерные будем обозначать как р. Определим сопряженный
сшжнор согласно
u<b(p0)BA- C.4.2J
Действие суперструны Грина — Шварца на световом конусе за-
записывается как
l-C- = — 2F J do- dr [даХгдаХ1 —
1 i^y-
C.4.3)
Это действие инвариантно относительно преобразований глобаль-
глобальной 10-мерной суперсимметрии
=lf.?,
Х» е (ЗЛА)
где грассманов параметр суперсимметрии еаЛ является также
двумерным спинором и 10-мерным спинором Майораны — Вейля.
Уравнения движения на Xi имеют обычный вид
дадаХ* = О,
в то время как для SaA- мы имеем уравнение
О
или, в компонентах,
C.4.5)
Отсюда мы получаем разложение по нормальным модам
Sal = 2 Sle
C.4.6)
Чтобы выяснить, какие п допустимы в C.4.6), мы долакяы рас-
рассмотреть граншчные условия. Для открытой суперструны мы
получаем, как обыгано,
5-»@, т)= «-«(О, т),
5в1(я т)т1^2(л т); ( ;
102
где ц = ±1. Однако нам нужно выяснить, какой из выборов зна-
знаке, сохраняет сушерсимметрию. Заряд суперсимметрии выводится
из C.4.3) — C.4.4) нетеровской процедурой и равен
C.4.8)
Поскольку 4+S = 0, то компонента Х~ не входит в определение
QAa. В случае открытых струн требование сохранения глобаль-
глобальной суперсимметрии приводит к требованиям: 1) ц=+1,
2) sal = —еа2 и 3) киральности Sal и Sa2 должны совпадать. За-
Заметим, что спиноры еаА определяют с точки зрения десятимерия
дг=2 суперсимм'етрию (А = 1, 2), однако для открытых супер-
суперструн из-за требования е1 = —е2 выл«ивает только iV=l супер-
суперсимметрия и остается только одна сохраняющая комбинация
суперзарядов
Q°- = (<31а + Q2") /2.
Таким образом, в разложении C.4.6) суммирование идет по
целым модам. Мы вернемся к классификации открытых и зам-
замкнутых суперструн в следующем параграфе.
Каноническое ква-нтование спиноров S проводится способом,
аналогичным квантованию полей d\ (К) в спиновой струне. Не-
Некоторое усложнение вносит лишь Ю^мерная алгебра у-матриц.
Предполагая, например, что обе компоненты Sal и S — правые
спиноры, мы находим
I <->m>
= IV A + Y5) 1
аЪ
O?n,—га?
C.4.9)
где Sn = (S?y°)b. Гамильтониан системы мы найдем, подстав-
подставляя разложение C.4.6) в лагранлсиан C.4.3), интегрируя по о
и добавляя хорошо известный гамильтониан бозонных полей X*.
Отвеет есть
Н =
71=1
- с.
C.4.10)
Как показали Грин и Шварц [74], требование Лоренц-ковари-
Лоренц-ковариантности приводит к условию с = 0. Это же условие легко вы-
вывести обычным способом регуляризации с помощью ^-функции,
рассматривая нормальное упорядочение C.4.10) с учетом ком-
коммутационных соотношений C.4.9). Поскольку гамильтониан
эрмитов и положительно определен в отсутствие констант нор-
нормального упорядочения, мы получаем М2 5= 0 и тахиона в спект-
спектре суперструны Грина— Шварца быть не может. Отсюда сле-
следует, в частности, что ее спектр уже, чем спектр спиновой стру-
струны. Грин и Шварц нашли преобразование, выражающее осцил-
103

ляторы Sn в терминах вершин испускания фермиона в модели
Рамона. Мы отсылаем за деталями к обзору Шварца [48].
До сих пор мы работали с лагранжианом C.4.3) на световом
конусе. Существует ли ковариантный лагранжиан, приводящий
к C.4.3) после фиксирования калибровки и разрешения всех
связей? Такой лагранжиан был найден в работе [75], хотя до
сих пор не нашел себе применения. Дело в том, что этот лагран-
лагранжиан содержит в себе условия связи, которые не могут быть раз-
разрешены лоренц-каварианатным способом [123], что делает про-
проблематичной возможность его квантования. Предпринимаются
попытки проквантовать его, вводя более сложное суперпростран-
суперпространство [124], присущее расширенным теориям супергравитапии
или супер-Янга — Миллса [249]. На сегодняшний день програм-
программа квантования суперструны Грина — Шварца далека от своего
завершения, поэтому при работе с суперструной обычно предпо-
предпочитают использовать ковариантный и имеющий красивое гео-
геометрическое описание лагранжиан спиновой струны, налагая
явно проекцию GSO. Мы вернемся к этому вопросу в § 7 главы 4.
§ 5. НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
И ТИПЫ СУПЕРСТРУН
Отсутствие ковариантной процедуры квантования суперстру-
суперструны ничуть не обесценивает, разумеется, ее латранжиан на све-
световом конусе, которого вполне достаточно для изучения спектра
суперструн. В этом параграфе мы кратко опишем все возмож-
возможные типы суперструн и их свойства.
Сотласно C.4.10), вакуумом, т. е. низшим состоянием супер-
суперструны, является безмаюеовое состояние. Оно, как и любой дру-
другой уровень, должно быть инвариантным относительно преоб-
преобразований суперсимметрии C.4.4). Следуя Грину и Шварцу
[74], выберем в качестве вакуума состояния U> и \аУ, где г ==
= 1, 2 ... 8 — поперечные компоненты безмаосового векторного
бозона, а а = 1, 2 ... 32 — спинорньш индекс безмассового спино-
спинора Майораны — Вейля, имеющего 8 независимых компонент.
Фермионное состояние |а> связано с бозонным состоянием со-
соотношением
. _ C.5.1)
U> = -§-0V*+)a|a>.
Теперь роль спинора S очевидна — это оператор, переводящий
бозонные состояния в фермиокные и наоборот. Состояния !г> и
1а> нормированы следующим образом:
<il/>=6«,
C.5.2)
104
Вместе они образуют мультиплет N = 1, D = 10 теории супер-
Янга — Миллса, если мы обычным способом Чана — Патона
[125] присоединим на концы струны квантовые числа (припи-
(приписывая ему А,-матрицу). Напомним, что в сунерсим'метричной тео-
теории Янга — Миллса как «кварки», так и «глюоны» преобразуют-
преобразуются по присоединенному представлению калибровочной группы
[61].
Уровень с N = 1 формируется четырьмя возможными спо-
способами:
<xLx | />, iSlj | by бозоны
аг—х | а>, S—! j /> фермионы
Здесь мы имеем 64+64=428 бозонов и 64 + 64 = 4i28 фермио-
нов (на световом конусе). Фермионы имеют спин 3/2, бозоны
нее описывают симметричное тензорное поле gts D4 компонен-
компоненты) и антисимметрический тензор Ацн (84 компоненты). Вместе
с фермионами этот набор совпадает с набором полей 14-мерной
супергравитации [37], хотя здесь мы имеем дело с массивными
частицами. Вообще, поскольку масса всех массивных состояний
в струнных теориях пропорциональна 1/Уа', т. е. массе Планка,
они представляют лишь академический интерес, а реальное фи-
физическое приложение с точки зрения «низкоэнергетической» фи-
физики (т. е. в области энергий меньше 1 ТэВ) могут иметь только
безмассовые состояния, которые приобретут массу за счет неиз-
неизвестного пока механизма. Впрочем, не исключено, что будущее,
как это много уже раз бывало, перевернет наши представления.
Рассмотрим кратко замкнутые суперструны. Здесь нет гра-
граничных условий на концах струны C.4.7) и единственным усло-
условием является требование периодичности полей SaA(<s, т) по а
t),
т),
C.5.2)'
и аналогично для Х\ Отсюда следует, что теперь Sal и SaZ никак
не связаны между собой и могут иметь как одинаковую кираль-
ность, таж и разную. Если киральность их одинакова, т. е. систе-
система инвариантна относительно перестановки i5al -<->- S, то этот
сектор- по-прежнему имеет только N = 1 суперсимметрию. Такие
замкнутые струны возникают при взаимодействии открытых
струн (соединение концов) и вместе с ними образуют так на-
называемую суперструну типа I (SSTI).
Замкнутые струны сами по себе образуют отдельный сектор —
суперструны типа II (SSTII). При их взаимодействии не возни-
возникает открытых суперешрун и спектр их существенно отличается
от спектра суперструн типа I. Поскольку в секторе суперструн
II нет открытых струн, то для них полностью реализуется не-
независимость iS, Sa2 и этот сектор имеет уже N = 2 суперсим-
105

метрию. Его можно разбить на два важных подсектора: На —
с разными киральностями — и 116 — с одинаковыми кирально-
стями. Суперструна На относится к числу так называемых век-
торолодобных теорий, которые, хотя и содержат киральные фер-
фермионы, не могут иметь аномалий, поскольку они в точности со-
сокращаются между правыми и левыми фермионами. Наоборот,
теория SSTII6 истинно киральна.
Рассмотрим спектр безмассовых состояний замкнутых супер-
суперструн. В общем случае они описываются бозонными состояния-
состояниями U, j>, 1а> ЬУ и фермионньши \i, a> и |Ь, ]У, которые вновь
связаны между собой преобразованиями суперсимметрии. Бозон-
ные состояния разбиваются на симметричные по i, / (гравитон),
антисимметричные и след (безмассовое скалярное состояние,
именуемое дишатоном). Вместо тозго чтобы описывать спектр
каждой теории, мы для удобства читателей приведем полную
сводку. Для этого нам необходимо скавать несколько слов об
ориентируемости струн. Ориентируемость струны проще всего
понять, определив струну как ориентируемую в том случае, ког-
когда при своем движении и взаимодействии она может заметать
лишь ориентируемые поверхности, и как неориентируемую в
противном случае. Например, открытая струна, очевидно, явля-
является неориентируемой. При ее движении ничто не мешает ей
перевернуться и образовать неориентируемую поверхность — лист
Мёбиуса. Сектор замкнутых суперструн может быть как ориен-
ориентируемым, так и неориентируемым, в зависимости от кирально-
сти фермионов. Теперь мы можем дать полную классификацию
суперструн.
Суперструна I (SSTI) включает в себя открытые сушерстру-
ны плюс замкнутые сугаерструны, возникающие при взаимодей-
взаимодействии открытых. Эти струны ориентируемы. Посредством меха-
механизма Чана — Патона («варки на концах) в них можно ввести
квантовые числа. Безмассовый сектор состоит из D = 10 N = 4
лагранжиана супер-Янга — Миллса и N = 4 сушергравитации.
Все фермионы по определению киральны. В модели присутству-
присутствуют все три типа аномалий: калибровочная, гравитационная и
смешанная.
Суперструна На (SSTIIa). Замкнутые сушерструны с проти-
противоположными киральностями фермионов в правом и левом сек-
секторах. Струна неориентируема. Нивкоэнергетический предел:
N = 2 супергравитация. В модели нет гравитационных анома-
аномалий, поскольку в ней, по сути дела, нет киральности.
Суперструна 116 (SSTII6). Замкнутая суперструна с одина-
одинаковыми киральностями фермионов в правом и левом секторах.
Струна ориентируема. Низко:эснергети<ч:е1ский предел: киральная
N = 2 супергравитаиия. В модели есть гравитационные анома-
аномалии, однако они в точности сокращаются [38].
Из трех типов суперструн SSTIIa, по-видимому, наиболее
нереалистична, поскольку не содержит киральных фермионов.
Суперструна SSTII6 содержит киральные фермионы, однако в
106
стве.
таком уровне нахотти™^^. 12-мерном простран
для построения гетеротической сто™ %J Ш& использована
рям в следующей главе стРУны. Эти вопросы мы рассмот-

Глава 4
ГЕТЕРОТИЧЕСКАЯ СТРУНА
§ 1. СОКРАЩЕНИЕ АНОМАЛИЙ
В СУПЕРСТРУНЕ I
В конце предыдущей главы, описывая возможные разновид-
разновидности суперструн, мы кратко обсудили их аномалии и структуру
соответствующих эффективных лагранжианов. Из всех типов
суперструн феноменологически наиболее привлекательной явля-
является модель открытой струны SSTI с киральными фермионами,
которая в шшкоэнергетическом пределе сводится к D = 10,
N = 1 супергравитации, взаимодействующей с N =¦ 1 теории су-
пер-Янга — Миллса. Однако эта модель нехороша тем, что со-
содержит все три типа аномалий и, казалось бы, имеет мало шан-
шансов оказаться математически согласованной теорией.
Возникает вопрос, чем плохи теории замкнутых суперструн,
которые, как мы уже упоминали, не имеют аномалий, почему
бы не положить их в основу Теории Великого Объединения, ко-
которая после компактификации даст нам реалистическую четы-
четырехмерную теорию. Действительно, с точки зрения оригинальной
идеи Калуцы — Клейна «всё из гравитации», модели замкнутых
суперструн даже более привлекательны, чем открытая супер-
суперструна, поскольку в D =• 10 они не содержат ничего, кроме (су-
(супер) гравитации. К сожалению, анализ компактификации пока-
показал, что первоначальная всеобъемлющая идея Калуцы — Клейна
не в состоянии описать многих черт низкоэнергетического' физи-
физического мира и нам приходится идти на компромисс, вводя поля
Янта — Миллса уже на уровне многомерного пространства, до
компактификации. Одна из главных трудностей, с которой стал-
сталкивается чистая теория Калуцы — Клейна,— это проблема ки-
ральных фермионов. Дело в том, что для того, чтобы получить
киральные фермионы в D = 4, недостаточно стартовать с ки-
ральных фермионов в D =¦ 4 + ./V. Нетрудно показать, например,
что если взять киральный фермион в D = 6, имеющий 4 компо-
компоненты, и компактифицировать его в D = 4, то в общем случав
мы получим не два вейлевских фермиона, а один дираковский,
т. е. киральность, иными словами, асимметрия право-лево, теря-
теряется при компактификации. В то же время модель Вайнберта —
Салама, которая прекрасно описывает низкоэнергетические ела-
бые и электромагнитные взаимодействия лептонов и кварков,
учит нас, что четырехмерные фермионы должны быть кираль-
108
ными, причем левые и правые фермионы преобразуются по раз-
различным представлениям калибровочной группы (см., например,
[53]). Это различие левых и правых фермионов имеет важные
следствия и с точки зрения Теории Великого Объединения, по-
поскольку позволяет понять малость масс фермионов. Следуя об-
общепринятым представлениям, мы будем считать, что лептоны и
кварки имеют нулевую массу (что очень недалеко от истины, ес-
если сравнивать их массы с массой Планка!) с точки зрения ком-
компактификации, а реальные малые массы возникают за счет не-
неизвестных пока механизмов спонтанного нарушения суперсим-
мегрии и т. п. В то же время нам известен очень красивый спо-
способ получения киральных фермионов в рамках обычной (супер)^
гравитации. Из теоремы Атьи — Зингера об индексе мы знаем,
что если поместить фермионы в топологически нетривальное
гравитационное поле, то нулевые моды (т. е. безмассовые со-
состояния) имеют определенную киральность, причем киральная
асимметрия задается топологическим инвариантом многообразия
компактификации. Возникает, казалось бы, привлекательная воз-
возможность, действуя в ортодоксальном духе Калуцы — Клейна,
стартовать с фермионов, помещенных в гравитационное поле в
пространстве М± X S, где ? — некоторое компактное многообра-
многообразие, a Mi — наше пространство Минковского. Если S имеет не-
нетривиальную топологию и дает ненулевой вклад в индекс опе-
оператора Дирака (или Рариты—Швинтера), то мы можем «зара-
«заработать» в D = 4 нужные нам киральные фермионы. Однако
наше рассуждение не проходит по нескольким причинам. Преж-
Прежде всего, гравитационное поле ничего не знает о квантовых чис-
числах фермионов, поэтому киральные фермионы, возникающие при
компактификации, будут преобразовываться одинаковым обра-
образом относительно калибровочной группы [130] (напомним, что
и сами калибровочные бозоны появляются как «лишние» компо-
компоненты метрики). Проблема моральности была подытожена Вит-
теном, который сформулировал ее в виде no go теоремы [131],
согласно которой невозможно получить реалистическую низко-
низкоэнергетическую теорию исходя из чистой супергравитации и не-
необходимо с самого начала ввести в лагранжиан поля Янга —
Миллса, которые также должны давать ненулевой вклад в ин-
индекс Дирака (Рариты— Швингера).
По этой причине теория замкнутых суперструн была призна-
признана нереалистичной, в то время как полезность теории открытых
суперструн также вызывала подозрения по причине ее аномаль-
аномальности. Сокращение аномалий в сулерструне I казалось невоз-
невозможным по причине большого числа членов. В это критическое
время Грин и Шварц [76] сделали свое замечательное откры-
открытие, обнаружив, что для двух групп — SO C2) и Е8ХЕ8 — все
аномалии могут быть сокращены остроумным механизмом. Ниже
мы подробно опишем его.
Бозонная часть лагранжиана Чаплина — Мантона [132], т. е.
D = 10 супергравитации, взаимодействующей с N => 1 теории су-
109

пер-Янга — Миллса (SYM), имеет вид
1
¦^ Н ц-vpH I „
D.1.1)
Здесь и — гравитационная постоянная; g — константа связи по-
поля Янга — Миллса (она может быть поглощена переопределе-
переопределением скалярного поля ср); F^V(A)— напряженность поля Ян-
Янга — Миллса; Н^р — напряженность антисимметрического поля
В^. Запишем для краткости все поля в терминах форм:
F =.
R =
И =
оо2
— Х°
°3,
где Х° —форма Чженя — Саймонса
Х%
30
D.1.2)
D.1.3)
a. fflgyjn и сйд?,—формы Чженя — Саймонса соответственно полей
Япга — Миллса и гравитационного («лоренцева форма Чженя —
Саймонса»). Обозначения знакомы нам из обсуждения неабеле-
вой аномалии в главе 1. Напомним, что формы Чженя — Сай-
Саймонса имеют вид
- Tr (AF - -f ^) -
dA + 4
со°зЬ
= tr (d}R ^-
= tr(cud© +-^-(°3
D.1.46)
Здесь и далее знаком Тг мы обозначаем след в присоединенном
представлении, a tr — в фундаментальном представлении. Это
позволит нам рассматривать сокращение аномалий для групп
SO C2) и Е8 X Е8 одновременно. Как известно, для группы
Е8 X Е8 оба представления совпадают. В DЛ.46) след берется
по индексам а, Ъ коэффициентов спиновой связности, которые
принадлежат алгебре Ли группы Лоренца SO (9,1). Коэффици-
Коэффициент 1/30 в D.1.3) определяется из условий суперсимметрии
[132]. Подчеркнем, что лоренцевский член Чженя — Саймонса
не входил в первоначальное действие Чаплина — Мантона (бу-
(будучи старшего порядка по производным) и был включен руками
Грином и Шварцем как следующий член низкоэнергетического
разложения взаимодействия суперструны /. Последующие вы-
вычисления полностью подтвердили их догадку.
Действие D.1.1) инвариантно относительно локальных ка-
калибровочных преобразований
, л]
D.1.5)
110
ж локальных лоренцевских вращений
При этом
где
б<в
8В -ж
6X1 = _
, 6]
©гг. = — tr @0 d9).
D.1.6)
D.1.7)
D.1.8)
Хотя поле В не имеет калибровочных индексов, иными словами,
«заряда», оно, как обнаружено в работах [132], должно нетри-
нетривиально преобразовываться при калибровочных преобразованиях
D.1.5) для инвариантности лагранжиана D.1.1). С учетом
D.1.7) мы находим
8X°3 =
0,
т. е. член Н^рН^" в самом деле инвариантен. В формулах
D.1.6) — D.1.8) мы приняли обозначения, известные нам из ана-
анализа метода спуска главы 1, когда от замкнутой формы TrFn
мы переходим к ее форме Чженя — Саймонса (первый спуск) и
представляем ее калибровочную вариацию в виде внешней про-
производной формы Х2 (второй спуск). Можно показать, что этот
процесс продолжается неограниченно [133].
Найдем полную аномалию для теории D.1.1). Согласно идео-
идеологии, принятой в главе 1, вместо того, чтобы прямо рассматри-
рассматривать неабелеву аномалию в D =¦ 10, мы рассмотрим абелеву ано-
аномалию в D = 12. Чисто калибровочная аномалия задается
12-формой
^f2M = -^TrF«. D.1.9)
Как заметили Грин и Шварц, для калибровочных групп SO C2)
и Е8 X Е8 имеет место важное тождество
— Тг Fe = — Тг F2 (Тт Fi — (Тт F2Y I (А 1 Ш
15 720 [ 300( } J'' Ht-J-.iu;
иными словами, след шести генераторов алгебры Ли SO C2)
или Е8ХЕз факторизуется в произведение следов меньшего чис-
числа генераторов вполне определенным способом D.1.10) и, стало
быть, не является независимым. Это свойство делает возможным
сокращение калибровочной аномалии.
В чисто гравитационную аномалию дают вклад киральные
фермионы спина 1/2 г)з+, спина 3/2 A,j7 из мультиплета супергра-
супергравитации и п штук фермионов материи («глюино») из N = 1 су-
пермультиплета Янга — Миллса, где п — размерность присоеди-
присоединенного представления калибровочной группы. Полная аномалия
111

вычисляется с помощью соответствующих теорем об индексе и
имеет вид [39]
п — 496
Для ?г = 496 она существенно упрощается и также может быть
представлена в факторизованном виде. Заметим, что 4Уо есть
как раз размерность присоединенного представления групп
SO C2) и Е8 X Е8 — и никаких других.
Наконец, смешанные аномалии при п = 496 имеют вид
. D.1.12)
Складывая выражения D.1.10) —D.1.12), мы находим полную
аномалию для групп SO C2) и Е8 X Е8 (поскольку при п Ф 496
гравитационная и смешанная аномалии имеют нефакторизуемые
члены а калибровочная также не представляется в факторизо-
факторизованном виде, заведомо ясно, что аномалию без выполнения опи-
описанных выше условий сократить невозможно. Поэтому мы рас-
рассматриваем сокращение аномалий только для двух отмеченных
групп). Оказывается, ее также можно представить в виде про-
произведения 4-формы Xi и 8-формы X»:
/total __М D.1-13)
где
1
30
D.1.14)
Здесь мы использовали определение формы Чженя — Саймонса
Х% D.1.3). 8-форма Х8 имеет довольно громоздкий вид:
После чего интегрированием по частям и применением метода
спуска нетрудно показать, что полная неабелева (всех трех ви-
видов) аномалия в D = 10 выражается как
G = const j (XlX8 + 2X^X1).
м1
Эта аномалия может быть сокращена добавлением локального
контрчлена к действию D.1.1)
D.1.15)
Sc = const j (— ЗВХ8 + 2Х°3Х7).
112
В самом деле, вычислим вариацию 8SC с учетом уравнений спу-
спуска и закона преобразования доля В D.1.7):
8Sc = c§ (— 38BXS — 3B8XS + 26Х°Х°7 + 2Х°38Х7) —
= с j (ЗХ\Х8 + 0 — 2dXlX°7 — 2Х% &Х\) = с j (X\XS + 2X±X\) =G.
Таким образом, полное действие S — Sc не имеет аномалии! Под-
Подчеркнем, что решающими обстоятельствами, сделавшими воз-
возможным сокращение аномалий для указанных групп, являются
необычный закон преобразования поля В и присутствие лорен-
цевой формы Чженя—Саймонса в определении D.1.3). Меха-
Механизм сокращения аномалий, основанный на выделении фактора
/ 1 \
Х4 = —Itri?2 ^г-
й последующим спуском на два изме-
измерения ниже, получил название механизма Грина — Шварца. Он
присущ широкому классу теорий поля [166].
§ 2. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ГРУППЫ СУПЕРСТРУН
Мы установили, что суперструна Грина — Шварца типа I
с калибровочными группами SO C2) и Е8 X Е8 не содержит ано-
аномалий, а содержит киральные фермионы, гравитацию и является
первым реальным кандидатом на роль единой теории всех четы-
четырех взаимодействий. Из двух возможных групп феноменологиче-
феноменологически более привлекательной выглядит группа Ее X Е8. Однако эта
привлекательная возможность не может быть реализована в рам-
рамках открытой суперструны /. Наш анализ сокращения аномалий
основывался на анализе эффективной низкоэнергетической тео-
теории, которая возникает при разложении взаимодействий супер-
суперструны / в ряд по обратной массе Планка. В принципе возни-
возникающая таким образом 10-мерная супергравитация, взаимодей-
взаимодействующая с N — А супермультиплетом поля Янга —¦ Миллса, мо-
может быть построена для любой феноменологически интересной
группы, в том числе и для Ее (ее, в частности, и рассматривали
в своей работе Чаплин и Мантон [432]), однако не всякая ка-
калибровочная группа может быть получена в качестве низкоэнер-
низкоэнергетического предела открытой суперструны. Дело в том, что в
рамках струнной теории нам до сих пор был доступен лишь
один способ введения квантовых чисел — метод Чана — Патона
[128], который заключается просто в приписывании концу стру-
струны генератора калибровочной алгебры. Как показано в обзоре
Шварца [48], условия унитарности, дуальности и факторизации
накладывают сильные ограничения на структуру калибровочной
алгебры и им удовлетворяют только группы SOBN) и USp(N),
в то время как унитарные и исключительные группы, в том чис-
числе и Ее, являются недопустимыми. Таким образом, на первый
взгляд кажется, что сокращение аномалий для группы Ее X Ее
не имеет никакого отношения к струне, а только к некоторой
8 ГО. Н. Кафиев
113

(причем предварительно подпорченной) 10-мерной теории поля
ж эта прекрасная возможность пропадает втуне. К счастью, од-
одновременно с развитием теории суперструн математиками Френ-
Френкелем и Кацем [134] и Сигалом [135] был построен механизм
компактификации замкнутых струн, который позволял получать
квантовые числа без приема Чана — Патона. В механизме Френ-
Френкеля — Каца квантовые числа никак не были связаны с конца-
концами струны, а возникали благодаря нулевым модам компактифи-
компактифицированных компонент струны. Правда, выяснилось, что такая
компактификация возможна далеко не всегда, а только для стро-
строго определенных групп, например при компактификации 16 ко-
координат бозонной струны таким образом могут быть получены
только группы SO C2) и Ее X Ее'. Ранг этих групп равен 16.
Важную роль сыграло наблюдение Фройнда [136], который
заметил, что разность критических размерностей 26-мерной бо-
ионной струны и 10-мерной суперструны как раз равна рангу
нужных нам калибровочных групп SO C2) и Е8 X Е8. Возникает
идея компактифицировать 26-мерную струну в D = 10 и извлечь
при компактификации 496 калибровочных бозонов. Конструк-
Конструкция Френкеля — Каца должна обеспечить, чтобы эти бозоны за-
заполнили мультиплет группы SO C2) или Ее X Е8. Эта програм-
программа была с успехом осуществлена в работах Гросса, Харви, Map-
тинека и Рома [137—138], которые построили так называемую
«гетеротическую струну». В настоящее время яспо, что кон-
конструкция Гросса и других не является ни единственной, ни да-
даже наиболее простой. В последнее время более популярны моде-
модели компактификации из -D—'26 прямо в D = 4 без «остановки»
в D = 10. Такого рода компактификации, хотя идейно и более
просты, используют более сложный вариант конструкции Френ-
Френкеля— Каца [251—253]. Тем не менее гетеротическая струна
Гросса и других является прообразом всех новых вариантов тео-
теории суперструн, поскольку все они существеннейшим образом
опираются на основную идею гетеротической струны — асиммет-
асимметричность правого и левого секторов струны. В настоящей книге
мы ограничимся подробным изложением теории гетеротической
струны. Читатель, желающий познакомиться с идеями торои-
тороидальной компактификации Нарайана, может обратиться к ори-
оригинальным работам [251—263].
§ 3. АЛГЕБРЫ И РЕШЕТКИ
Для построения гетеротической струны нам необходимо хо-
хорошо освоить конструкцию Френкеля — Каца. Она имеет доволь-
довольно длинную предысторию. Алгебры Виразоро возникали почти
одновременно и из совершенных разных потребностей у физиков
[140] и у математиков [139]. В то время как в начале 70-х гг.
математики почти не занимались ими, физики, активно разраба-
разрабатывавшие дуальные модели, открыли многие свойства алгебр
Виразоро, доказали теоремы о положительности нормы [82, 83],
114
которые хотя ж возникли из физических потребностей, но на са-
самом деле сводились к изучению чисто математических объек-
объектов — представлений алгебры Виразоро. Из чисто физических
соображений был введен и фундаментальный для дальнейшего
развития теории бесконечномерных алгебр вершинный оператор
тахиона V(k, z). В 1978 г. математики Леповский и Вильсон об-
обнаружили, что вершинные операторы (точнее, коэффициенты их
разложения по некоторому параметру) образуют бесконечномер-
бесконечномерную алгебру Каца — Муди [143] и эта конструкция оказывает-
оказывается очень полезной для построения ее представлений. Вскоре
вершинные операторы возникли при описании бесконечной се-
серии интегрируемых уравнений, так называемой иерархии Кадом-
Кадомцева— Петвиашвили (КП) [142]. В 1980 г. Френкель и Кац
[134] и Сигал [135] показали, что вершинные операторы имеют
более широкое поле применения: с их помощью можно вполне
определенным образом строить представления алгебр и суперал-
супералгебр Ли, Виразоро и Каца — Муди.
В этом параграфе мы ограничимся построением алгебр Ли с
помощью вершинных операторов бозонной струны, что вполне
достаточно для понимания гетеротической струны. Мы будем
следовать в основном работам Годдарада и Олайва, которые пе-
переформулировали результаты Френкеля — Каца на язык, более
доступный для физиков [145, 146].
Напомним некоторые нужные нам сейчас формулы оператор-
операторной формулировки бозонной струны. Мы ввели бесконечный на-
набор боЗОННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ССп, ССп+ — а,—п
\оСп, ССт»! == WT]'ilv6in — п, D.3.1)
IX
Далее, чтобы не путать импульсы с оператором импульса р^ —
= сс?, мы будем обозначать их греческими буквами у11» Р1*! • • -• Со-
Состояние с имяульсом у строится так:
i*i ч _ л ^п D.3.2)
В дальнейшем большую роль будут играть оператор координаты
Qii(z) и связанный с ним оператор импульса Py,(z)
= q* — ipV. In Z + i 2 ^T"
D-3.3)
Вершинный оператор тахиона V(f, z) следующим образом вы-
выражается через Q(z):
T •<?<*)):. D.3.4);
115
4.,

Нормальное произведение в D.3.4) можно расписать явно, вводя
Q% (z) = qv- — ipv- In z,
^— D-3-5)
Тогда
V(y, z) = e*vQ<b)e*vQo<%*'-<i><*>. D.3.6)
С помощью формулы Бейкера — Хаусдорфа перепишем средний
член в правой части в виде
—V2
exp (iy-Q0(z)) = 22
Коммутационные соотношения
выглядели как
[Ln, V (у, 2)] = г» [2 А- - -? п] F
e^v-p. D.3.7)
, я) с операторами Виразоро
D.3.8)
В частности, для тахиона "f2 ==—2 и в D.3.8) появляется пол-
полная производная
[Ln, V (у2 = -
D.3.9)
Введем операторы Дель-Джудиче — Ди Векья — Фубини (ДДФ)
[148] Аъ которые играют фундаментальную роль в операторной
дуальной модели, в частности при доказательстве теоремы о по-
положительности нормы:
r(y, z). D.3.10)
Поскольку вершинный оператор F(y, z) не имеет логарифмиче-
логарифмических сингулярностей, интеграл по контуру вокруг точки z => 0
и мы получаем
[Ln, A,] = 0.
D.3.И);
Таким образом, операторы ДДФ коммутируют с операторами
Виразоро и, стало быть, переводят физические состояния в
физические:
bn^Tlphys> = ^4TbJphys >=•(), n >j 0,
т. е.
= lphys>'.
Однако для этого необходимо, чтобы они были хорошо опре-
определены. Если, например, в матричных элементах F(y, z) появ-
появляются разрезы по z, то операторы ДДФ вообще не определены.
В заключение выпишем нужную нам для дальнейшего формулу
116
перестановки двух операторов типа ехр(?^ -Q(z))
exp
exp
= (* ~ "Т") X
p.<?>(z), l«|>|u;|. D.3.12)
Это соотношение также получается применением формулы Бей-
Бейкера — Хаусдорфа. Мы уже использовали его в § 6 главы 2 при
обсуждении древесных диаграмм в струнной теории.
§ 4. АЛГЕБРЫ ИЗ ВЕРШИННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Предположим теперь, что мы хотим компактифицировать на-
нашу бозонную струну, например поместив часть ее координат в
ограниченный ящик. При этом, как известно, компактифициро-
компактифицированные импульсы квантуются. Проще всего представлять себе,
что компактифицированные компоненты импульсов движутся в
некоем многомерном кристалле. Условие периодичности эффек-
эффективно превращает фазовое пространство кристалла в многомер-
многомерный тор (рис. 12). Тор можно представлять себе как rf-м-ерное
евклидово пространство Rd, отфакторизованное по некоторой
d-мерной решетке Г. Это надо понимать так, что любая точка х,
например евклидовой плоскости (см. рис. 12), перенесенная с
помощью вектора та + пЪ, рде a vs. Ъ — образующие двумерной
решетки, а т, п — произвольные целые числа, идентична с по-
полученной при переносе точкой х'. Набор векторов вида ma + nb,
т, п е Z образует бесконечную регулярную решетку Г. Точно
такую же картину, как на рис. 12, можно мыслить себе при
дальнейшем обсуждении свойств решеток. Рассмотрим волновую
функцию частицы в кристалле — волну Блоха
ехр
¦ty(x) будет однозначной на торе только в том случае, если она
удовлетворяет условию пе-
периодичности ij)(x + a)==
, т. е.
D.4.1)
где а — любой вектор решет-
решетки. Таким образом, если а
Рис. 12. Двумерный тор как па-
параллелограмм периодов.
Сторона I идентична стороне 11,
III идентична IV. Все точки вида х +
+ та -+- пЬ идентичны х, например
х' = х + 2а + ЗЬ = х?..
117

принадлежит решетке Г, то компактифицированные импульсы к
должны лежать в решетке Л, которая является подрешеткой ре-
решетки Г*, где решетка Г* дуальна к исходной решетке Г, ины-
иныб Г* <= Г справедливо условие
шетки Г, где решетка Г дуальна к исходо р ,
ми словами, для любых y e Г* и а <= Г справедливо условие
у .а = Z-
D.4.2)
Заметим, что мы специально ввели решетку Л, так как из
(АЛЛ) в общем случае не следует, чтобы решетка импульсов
совпадала с дуальной решеткой Г*,— вполне достаточно, чтобы
она была подрешеткой дуальной решетки. Мы предполагаем, что
решетки Г и Г* имеют евклидову сигнатуру. Таким образом, мы
выделяем из всего пространства бозонной струны d-мерное ком-
компактное пространство — d-мерный тор, образованный с помощью
евклидовой решетки Г,— и переносим на эти d компонент выпи-
выписанные выше формулы дуальной модели. Теперь оператор коор-
координаты не имеет однозначного определения, так как сама коор-
координата определена лишь по модулю решетки, но оператор сдви-
сдвига благодаря условию D.4.1) задан инвариантно:
еп-в]^'>= \ч + Т'>- D.4.3);
Рассмотрим действие вершинного оператора У (if, z), в котором
все осцилляторы относятся только к d компактифицированным
координатам, на физические состояния. В частности, нас особен-
особенно интересует потенциальный источник сингулярности — оператор
ехр(г'ч -Qo(z)); используя D.4.3), получаем
eiv-Q0(z) | ,у = z~2 v +vv' | у + y'>. (АЛЛ)
Отсюда следует, что действие V(t, z) на физические состояния
хорошо определено только в том случае, если ^ — четное число
и т . Y _ целое число для любых двух if, if <= Л. Решетки, удов-
удовлетворяющие этим двум условиям, называются четными и целы-
целыми. Вдобавок, согласно D.4.2), решетка импульсов Л должна
«быть подрешеткой в дуальной решетке Г*.
Мы хотим построить аналог операторов ДДФ А^ для случая
компактифицированного пространства. Операторы Аг определе-
определены только для т2 = _2. Рассмотрим поэтому точки на целой ре-
решетке Л, имеющие импульс, удовлетворяющий г —+2 (мы бу-
будем обозначать компактифицированные дискретные импульсы
латинскими буквами г, s. Легко видеть, что евклидовы компо-
компоненты импульса тахиона имеют положительный квадрат). Такую
подрешетку мы назовем Лг- Итак, мы запишем
l±V(r,z). D.4.5)
Оператор Ап хорошо определен благодаря условию г — 2 и спе-
специальным свойствам целой решетки Л2. Вычислим коммутатор
[Аг А,]. Согласно D.4.5), он равен разности двух двойных кон-
118
турных интегралов:
dz
dz ,-C. di?>
— 9 ~
dz ?^ дли тт , .
Произведение двух вершинных операторов можно с помощью
формулы D.3.12) записать в виде
D.4.6)
Благодаря обычному требованию сходимости рядов для логариф-
логарифмов здесь возникает неравенство на переменные интегрирования,
кроме того, появляется член (z— iv)rs, который при перестанов-
перестановке z -*-*• w выдает неприятный фактор (—II"". Из-за него мы не
можем определить обычный коммутатор двух операторов ДДФ,
и смысл имеет следующая комбинация:
АА , м,.,1 . * i/bdw?,dz ?, div ^ dz
Для вычисления правой части рассмотрим, например, интеграл
по z. Он берется в первом интеграле по контуру / (рис. 13),
а во втором ¦— по контуру //, где мы изменили его ориентацию
с учетом знака «минус» перед вторым интегралом.
Суммарный интеграл деформацией контуров сводится к ин-
интегралу по малому контуру вокруг точки z = w, и он отличен
от нуля только в том случае, если произведение двух вершин-
вершинных операторов имеет в этой точке полюсы. Анализ D.4.6) по-
показывает, что при г • s ^ 0 полюсов нет и интеграл равен нулю.
Полюсы возникают при г • ,s < 0, причем благодаря условию
г2 = s2 = 2 возможны только два значения скалярного произве-
произведения двух произвольных векторов г, s, а именно г • s = —2 и
r-s = — 1. Вычисляя интеграл при этих значениях с помощью
формулы Коши, мы получаем
(Ar+S, (r-s= —1),
ArAs — (— iy-*AsAr = \r-P, (r-e = —2), D.4.7)
[O, (r-s>0).
Оператор импульса Р" возник при взятии производной в случае
полюса второго порядка. Описанный здесь метод вычисления
коммутаторов носит название метода окружения контуров и ча-
Рис. 13. Метод окружения кон-
контуров.
В первом интеграле интегрирование
идет по контуру I (| z | > | -ш |), во
втором — по контуру II (| z | < | w I).
Разность интегралов после деформа-
деформации контуров сводится к интегралу
по малому контуру вокруг точки
Z = IV.
119
к

сто используется в дуальной модели. Мы будем применять его
неоднократно в главе 5 при изучении конформных теорий поля.
Поскольку оператор ДДФ Аг (или, что то же самое, вершин-
вершинный оператор) переносит импульс г", то, как легко видеть, его
коммутационные соотношения с оператором импульса Р» имеют
обычный вид
[i», Ar] = rMr, |х — 1, 2 <Z. D.4.8);
Перестановочные соотношения Аг с As выглядят необычно из-за
присутствия множителя (— 1)г'3. Его можно убрать с помощью
трюка, введенного Френкелем и Кацем [134]. Для этого введем
так называемый «операторный коцикл» сг, также зависящий от
импульсов на решетке и удовлетворяющий условиям
crcs=( — l)rscscr,
crc-r = 1, D.4.9)
CrCs = Б (Г, S)cr+a,
где в (г, s)=±l. Теперь мы можем ввести новые операторы
Ет = сгАг, перестановочные соотношения для которых будут
иметь обычный вид, свойственный алгебре Ли. Дополняя комму-
коммутационные соотношения D.4.7) — D.4.8) очевидным требованием
[Р», Pv] = 0, мы получаем для операторов Ег, Рц замкнутую
алгебру
8 (г, s) Er+S, r-s=—1,
[Er, Es] =
r-P,
[P*, i>*] = 0,
r -s = — 2,
r-s>0,
D.4.10a)
D.4.106)
D.4.10b)
Мы пришли к алгебре Ли операторов Er, Р\ записанной в бази-
базисе Картана — Вейля. Напомним, что в общем случае мы можем
разбить полупростую алгебру Ли g на полупрямую сумму [149]
где Н — подалгебра Картана, или максимальный тор, как ее еще
называют,— максимальный набор взаимно коммутирующих ге-
генераторов
[Н, НА = 0, г, / = 1, 2, ..., к. D.4.11)
Число к называется рангом алгебры Ли. Коммутационные соот-
соотношения генераторов подалгебры Картана Нг с элементами фак-
фактор-алгебры Т могут быть приведены к виду
Г ff Т 1 ': —... \ * 71 Г- 4: А2 Y
Вследствие сходства этого уравнения с секулярным уравнением
на характеристические значения матрицы величины V называ-
называются корневыми векторами. Согласно D.4.11), V—fe-мерный
120
[Та, Г ] =
вектор. Наконец, из тождества Якоби нетрудно вывести вид ком-
коммутатора двух Та:
ее + р корень
а + р не корень D.4.13)
[Г*, Т-а] = с*Н. D.4.14);
Теперь легко сообразить, что коммутационные соотношения ал-
алгебры, образованной операторами Er, Р*, в точности совпадают с
коммутационными соотношениями алгебры Ли g в базисе Карта-
Картана — Вейля, если отождествить Ht с Р* и Та с Ет. При этом ранг
алгебры (Pw, Ет) оказывается равным числу Р*, т. е. размерно-
размерности компактифицированного пространства d.
Напомним, что коммутационные соотношения D.4.11) —
D.4.15) компактной полупростой алгебры Ли g полностью ее
описывают, а все компактные полупростые алгебры Ли хорошо
известны и полностью описаны [149]. Нам достаточно знать об-
общее число генераторов, чтобы сразу сказать, с какой алгеброй
(совпадения размерности различных алгебр единичны и также
хорошо известны) мы имеем дело. Следовательно, в нашем слу-
случае достаточно определить число независимых Ет, после чего
найдем размерность алгебры согласно
dimg = d + num (Er). D.4.15)
Все генераторы фактор-алгебры Ег задаются общей формулой
D.4.5), где г — произвольный вектор решетки, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию г2 = 2, кроме того, скалярно произведение всех
таких векторов должно быть целым числом. Таким образом, чис-
число независимых генераторов Ег равно числу точек на решетке,
удовлетворяющих этим требованиям. Это уже чисто арифмети-
арифметическая задача, и она решена в общем случае. В качестве попут-
попутного результата мы получили неожиданную и очень красивую
связь между арифметикой решеток и алгебрами Ли.
Теперь мы вполне готовы рассматривать конкретные приме-
примеры. Возьмем для начала простейшую из мыслимых решеток —
решетку целых чисел 2 в d-мерном пространстве. Произволь-
Произвольная точка решетки задается вектором вида
П = {Пг, Uz . . . Ud), Hi <= Z-
Сколько на этой решетке точек, удовлетворяющих условию
п2 ¦= 2? Очевидно, любой вектор п, имеющий две компоненты,
равные ±1, а все остальные нули, удовлетворяет п2 = 2. Число
таких векторов есть
J Г J Л \
= 2d(d— 1).
По формуле D.4.15) мы находим размерность соответствующей
алгебры:
2^1)
121

Как известно из теории алгебр Ли, векторы вида (О, О...±1, ...
.. .±1, ...0) образуют систему корневых векторов алгебры
soBd) [149, 151]. Таким образом, мы пришли к ней исходя из
вершинного оператора дуальной модели, компактифицированного
с помощью простейшей решетки целых чисел!
Описанная конструкция с решеткой целых чисел проходит
для любого d, но, если d кратно 4, мы можем рассматривать бо-
более сложную решетку вида
1 1 1 \
х + -«р щ + -g- . . . nd + -g-J,
которая также оказывается целой. Четной она становится, одна-
однако, только при d = 8Ar, поскольку любой вектор вида п =
1
= (п\, ..., nd), rii^X +~2~i имеет четный квадрат. Рассмотрим
для начала d = 8. В этом случае любой вектор вида п =
= (±1/2, ±1/2 ... ±1/2) удовлетворяет условию п2 = 2, однако
не все они образуют целую решетку. Например, произведение
вектора ( — 1/2, 1/2... 1/2) на вектор A/2, 1/2 ... 1/2) равно
6/4 = 3/2. Очевидно, целой является лишь подрешетка, состав-
ленпая из векторов, которые все имеют четное (или нечетное)'
число +1/2. Эта подрешетка состоит лишь из половины всех
векторов п. Таким образом, ее размерность равна A/2)- 28 = 128.
Рассматривая в d = 8 только точки, принадлежащие Z8, мы мо-
можем построить алгебру so A6), имеющую 15X8 = 120 элемен-
элементов. Прибавляя сюда еще 128 полученных точек с полуцелыми
координатами, мы получаем в сумме 248 точек, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию п2 = 2 и целочисленности скалярного произведе-
произведения. Из теории алгебр Ли известно, что единственной алгеброй,
имеющей размерность 248, является исключительная алгебра Ли
Ее- Из нашей конструкции видно, что алгебра so A6) является
подалгеброй Ее- Таким образом, исходя из вершинного операто-
оператора, мы построили в d = 8 две алгебры Ли: so A6) и Ее-
Перейдем к d = 16. В данной размерности мы можем постро-
построить, исходя из решетки Z16, алгебру so C2), имеющую 16 X
X 31 = 496 генераторов, или две алгебры Ее, имеющие в сумме
248 + 248 = 496 генераторов. Обе эти алгебры имеют ранг 16,
иными словами, из всей совокупности 496 генераторов 16 пред-
представляют собой элементы картановской подалгебры, т. е. им-
импульсы Р*, а 480 обусловлены точками решетки, имеющими:
квадрат, равный 2. Совпадение размерностей алгебр so C2) и
Ее + Ее — одна из причин, почему они часто возникают вместе.
Читатель может задать вопрос, почему мы ограничились слу-
случаем d = 8k. Это ограничение и в самом деле было бы излиш-
излишним, если бы мы интересовались поиском четных и целых реше-
решеток. Но мы забыли о еще одном важном требовании к нашей
решетке, а именно о том обстоятельстве, что импульсы ч долж-
должны лежать на решетке Л, являющейся подрешеткой в решетке-
Г*, дуальной к решетке координат Г. Математики показали, что-
122
такие решетки могут существовать только в размерностях, крат-
кратных 8 [150]. Поясним, как на практике можно определить са-
самодуальность решетки. Выберем базис решетки координат Г еи
удовлетворяющий нужным требованиям, и построим матрицу
скалярных произведений
Л«=(е«-е,). D.4.16)
Мы видели, что даже в простейшем случае 2? векторы базиса
е( не образуют ортонормированнои системы, так что матрица Ati
нетривиальна (т. е. не равна единичной). Поскольку векторы е<
линейно независимы, матрица Ац невырожденна. Поскольку все
вг=2, матрица Ац совпадает с так называемой матрицей Кар-
тана алгебры Ли, имеющей е* в качестве корневых векторов:
Все элементы матрицы Ai5 — целые числа, поскольку мы рас-
рассматриваем сейчас целую решетку, и Аи =(е,- • е<) = 2. С по-
помощью матрицы А мы можем построить дуальный базис е*:
е\ =
ej. D.4.17)
Очевидно, базис ег и в самом деле удовлетворяет условию ду-
дуальности
О* -е,) = Am1 (eh-es) = АТпАм = 8ц.
Нам нужно, чтобы дуальный базис также удовлетворял услови-
условиям четности и целочисленности. Проверим эти условия. Мы
должны иметь (е*-е*) = целое число для всех i, j и (е*-е*) = 2.
Поскольку
(et-e*) = AJj1
и матрица А целочисленна, то такое возможно только в случае,
когда
= ±1.
Это условие совместно с требованием четности дуальной решет-
решетки налагает очень сильные ограничения на размерность прост-
пространства. Как показано в книге Серра [150], такие матрицы, т.е.
четные самодуальные решетки, могут существовать только в
пространствах размерности d = 8к, потому мы и рассматривали
только их. Особенно нас будет интересовать, естественно, <2=16,
поскольку именно она соответствует компактификации 26-мерной
бозонной струны до 10-мерной суперструны и именно в
этой размерности получаются неаномальные группы SO C2) и
Е8 X Е8.
123

§ 5. ЗАМКНУТАЯ СТРУНА.
МЕХАНИЗМ КРЕММЕРА — ШЕРКА
Гетеротическая струна, которую мы собираемся изучать, яв-
является замкнутой. Ниже мы убедимся, что разработанный в пре-
предыдущем параграфе механизм компактификации не дает ничего
интересного в применении к открытым струнам. Прервемся не-
ненадолго и обсудим специфические свойства замкнутых струн,
оставшихся за кадром при обсуждении бозонной струны.
Напомним, что из-за граничных условий х' @, -с)=х'(я, т) =
= 0 в открытой струне координата х*(а, т) разлагается только
по cos па. В замкнутой струне есть только требование периодич-
периодичности, но никаких граничных условий нет, поэтому в ней струн-
струнная координата х»(а, х) разлагается одновременно по cos па и
sin па. Соответственно вместо одного набора осцилляторов а? по-
появляются два набора, которые мы обозначим ос? и ос^- Из этих
осцилляторов обычным способом строятся две серии операторов
Виразоро:
«
П=1
D.5.1)
^
Замечательно, что удвоение числа переменных в замкнутой стру-
струне не приводит к обогащению спектра, наоборот, оказывается,
что в нем возможны только состояния с четным спином. Причи-
Причиной дополнительного ограничения является требование перио-
периодичности. Мы выведем его следствия с помощью не совсем стро-
строгого, но зато наглядного трюка: как мы знаем, пропагатор от-
открытой струны имеет вид
В случае замкнутой струны это выражение видоизменяется оче-
очевидным образом [47]:
^
closed
d2zzL0-2-L0-2_
Вычисляя интеграл в цилиндрических координатах, мы получаем:
-.closed / - 1
^c
» =
124
Таким образом, физические состояния должны удовлетворять
двум условиям в дополнение к обычным условиям Виразоро:
(Z« + ro-2)!phys> = 6, D.5.2)'
(Lo — Lo) lphys>= 0. D.5.3)
Условие D.5.2) является обычным массовым соотношением для
суммарной системы осцилляторов, в то время как D.5.3) пред-
представляет собой новое ограничение на спектр состояний. Благо-
Благодаря ему в спектре запрещены, например, состояния вида
образовывавшие спектр открытой струны. Очевидно, что в спект-
спектре замкнутой струны возможны лишь состояния, содержащие
одновременно возбуждения о?„ и а,—п- Низшим состоянием явля-
является тахион |0> с массой М% = — 8, далее следуют три состоя-
состояния с массой М% = 0: дилатон
Ф«%Й11|0>, D.5.4)
антисимметричный тензор
ITu^SLilO, Д^ = —Д^, D.5.5)
гравитон («померон»)
= 0.
= 0.
D.5.6)
Еще одна особенность появляется в замкнутой ориентируе-
ориентируемой струне при ее компактификации [68]. Предположим, что
мы компактифицируем d компонент замкнутой струны на <2-мер-
яый тор, который есть не что иное, как (U(l))d. Как мы по-
подробно обсуждали выше, при такой компактификации координа-
координата х\ i=l, 2, ..., <2, ничем не отличается от х% + 2япгНг, где
Пг — целые числа, a R, — радиус ?-го тора, поэтому при обходе
вдоль струны мы имеем
х*(а + 2xt, t)= хг(а, т)+ 2nnjii (нет суммирования по i),
iD.5.7)
i = 1, 2, ..., d.
Читатель, знакомый с понятием гомотопии, заметит, что этот
феномен является следствием нетривиальности отображения
замкнутой струны (т. е. многообразия, топологически эквива-
эквивалентного окружности) в одномерный тор (т. е. окружность)
(рис. 14). В случае компактификации D компонент можно мыс-
мыслить отображение как прямое произведение. Такие отображения
распадаются на гомотопические классы, характеризуемые целым
числом rii — степенью отображения [152]. Креммер и Шерк по-
показали, что топологический инвариант nt D.5.7) сохраняется
при взаимодействии замкнутых ориентируемых струн, но не со-
сохраняется при взаимодействии неориентируемых струн. Здесь и
далее мы рассматриваем только ориентируемые струны.
125

Рис. 14. Гомотопически нетри-
нетривиальные отображения 24-й ком-
компоненты координаты замкнутой
струны на окружность компак-
тификадии.
Теперь с учетом D.5.7) общее решение уравнения движения
для компактифицированных координат замкнутой струны при-
приобретает вид
хг (а, т) = q* + рЧ + пгЩо -М
( — e-
in<T+a> +
— е-*"<т-а) ).
n I
D.5.8)
Состояния с Пг ?= 0 оказываются солитонами. Они в точности
аналогичны обычным теоретико-полевым солитонам [12], ста-
стабильным благодаря условиям сохранения топологических ин-
инвариантов.
Заранее очевидно, что, коль скоро параметры тора входят в
выражение для компактифицированных координат, от них не-
нетривиальным образом будет зависеть масса струны. Ниже мы
увидим, что это открывает возможность для получения множест-
множества дополнительных безмассовых состояний в спектре компакти-
компактифицированной замкнутой струны.
Из формулы D.5.8) видно, что возбуждения, соответствую-
соответствующие а^, движутся в отрицательную сторону, а возбуждения аи —
в положительную. Назовем для краткости ос? — левыми, а «п —
правыми возбуждениями. Замечательным свойством замкнутой
¦ориентируемой струны является их независимость. Действитель-
Действительно, единственное условие, связывающее возбуждения правого и
левого секторов,— условие периодичности D.5.3), которое накла-
накладывает ограничение на разность масс правого и левого секторов,
во всем остальном они совершенно независимы. Как известно,
лагранжиан струны (в калибровке светового конуса) является
свободным и он, как нетрудно убедиться, не перемешивает ле-
левые и правые возбуждения. Присутствие массового члена или
члена взаимодействия привело бы ко взаимодействию секторов,
но таких членов в лангражиане нет. Взаимодействие струн воз-
возникает благодаря усложнению топологии мирового листа. Коль
скоро мы рассматриваем ориентируемые струны, полученные
поверхности являются ориентируемыми (римановыми) поверхно-
поверхностями и они вновь не могут изменить ориентации право-лево.
Это наблюдение оказывается решающим для построения гетеро-
гетеротической струны. Мы вернемся к нему также в главе 5 при об-
обсуждении теоремы Белавина — Книжника [153].
126
§ 6. ПОСТРОЕНИЕ ГЕТЕРОТИЧЕСКОЙ СТРУНЫ
Теперь мы вплотную подошли к идее построения гетероти-
гетеротической струны [137]. Интуитивно ясно, что нам нужно исходить
из замкнутой бозонной струны в D = 26 и попытаться компакти-
фикацией ее до D = 10 получить 496 калибровочных безмассо-
безмассовых бозонов, заполняющих присоединенное представление груп-
группы SO C2) или Е8 X Е8. Построенная струна должна обладать
10-мерной суперсимметрией, кроме того, мы должны подобрать
левые и правые секторы так, чтобы условие D.5.3) на их массы
запрещало появление тахиона, который присутствует в D = 26
бозонной струне. В рамках данных условий мы однозначно при-
приходим к следующему набору полей: возьмем на световом конусе
правый сектор 10-мерной суперструны Грина ¦— Шварца в виде:
1) 8 поперечных бозонных координат Х1{х— о), i = 1, 2, ..., 8;
2) 8 майорана-вейлевских спиноров Sa(x — a), а = 1, 2, ...
..., 32.
В качестве левого сектора возьмем 24 поперечные бозонные ко-
координаты:!
1) ХЦх + с), i = l, 2, ..., 8;
2) Х'(х + а), /= 1, 2, ..., 16.
Бозонные координаты Хг(х — о) и Хг(х + о) вместе описывают
координату струны Х1{х, а) в 10-мерном пространстве-времени.
Их присутствие является, разумеется, необходимым, если мы
вообще хотим иметь струну. В правом секторе у нас есть N = 1
супер симметрия, свойственная сушерструне !Грина — Шварца.
В то же время с точки зрения мирового листа этот набор полей
соответствует лишь N — 1/2 суперсимметрии, поскольку в левом
секторе ее нет. Однако этого вполне достаточно, чтобы спектр
струны был суперсимметричным. Наконец, в модели есть ки-
ральные фермионы, необходимые для получения физических ки-
ральных фермионов при дальнейшей компактификации до D — 4.
Описанная модель струны, построенная в работах Гросса и др.
[137], была названа их авторами «гетеротической» (от грече-
греческого слова «гетерозис»—«усиление посредством перекрестного
спаривания»).
Запишем разложение координат гетеротической струны в ряд
по нормальным колебаниям:
хг
хг
sa
(*
(т
-а) =
+ о) =
-о) =
"И
2 ~
оо
2J оп
+ 4
, 1
"¦" ~2
e-2ir
пфо
or) + 4-2 ^-е-
D.6.1)
a) = xi
a) + ±- 2 ^f- e~
127

Коммутационные соотношения всех координат, кроме х1, рт}
имеют обычный вид. Что касается компактифицированных коор-
координат и импульсов, то мы должны учесть тот факт, что Xх не
зависит от т — о, иными словами, (дх — да)Х*= 0. Это приводит
к появлению связи, и скобки Пуассона необходимо модифициро-
модифицировать с учетом рецепта Дирака [80]. Ответ имеет вид
в то время как 10-мерные координаты и: импульсы имеют обыч-
обычные коммутационные соотношения
[х\ рЧг-Я".
Остальные коммутационные соотношения между осцилляториы-
ми переменными ничем не отличаются от хорошо известных со-
соотношений осцжлляторной алгебры, и мы их не выписываем.
Теперь мы можем вычислить оператор массы гетеротической
струны. Согласно D.5.2), (массаJ определяется сложением
(массJ правого и левого секторов. В левом секторе мы имеем
бозонную струну, поэтому ее оператор массы имеет вид Lo — 1,
но правый сектор у нас составляет суперструна Грина — Швар-
Шварца, в которой тахиона нет, так что единицу вычитать не нужно.
Отсюда мы получаем для массы М2 = 2Р+Р~ — (PiJ формулу
ie
-4-м2 = лг + (iv -1) + 4-2 (р*Г> D-6.2)
1=1
где
= 2
ra=l
ТГ
N =
a?n«n)
D.6.3)
D.6.4)
— хорошо известные операторы чисел заполнения соответствен-
соответственно суперструны Грина — Шварца и бозонной струны. Условие
периодичности D.5.3) принимает вид
16
n = F —1 + 4-2 (р1J- D-6-5)
16 левых бозонных координат у нас «лишние», и мы должны их
компактифицировать на 16-мерный тор, используя метод, опи-
описанный в § 4. При этом мы получаем 16 безмассовых ка-
калибровочных бозонов, соответствующих изометриям 16-мерно-
16-мерного тора, т. е. группе (U(d)I6. Этого слишком мало, и нам необ-
необходимо добыть где-нибудь еще 480 бозонов, чтобы заполнить
присоединенное представление SO C2) или Es X Es. Здесь ре-
решающую роль играет солитонный механизм Креммера — Шерка.
Чтобы понять его проявление, рассмотрим, следуя работе [137],
128
простейший случай — компактификацию одной из координат
2б-мерной замкнутой бозонной струны на окружность S1 радиу-
радиуса R- Например, X24 принимает вжд @ ^ а < я)
X24(о, т) = х24 + р24х + 2LRo + осцилляторы, D.6.6)
где р24 = M/R; М и L — целые числа. Оператор массы М2 полу-
получает вклад от компактифицированной 24-й компоненты X24 и со-
джтонного числа L:
~^M2 = N + N — 2+ ~ + L2R\
л АЛ1
D.6.7)
Кроме того, условие периодичности D.5.3) налагает следующую
связь:
N = N + ML. D.6.8)
Рассмотрим спектр безмассовых векторных бозонов, возникаю-
возникающих при компактжфикации. Безмассовые состояния, удовлетво-
удовлетворяющие условию N = N (т. е. М = L = 0), имеют вид a^ctljL | 0>,
из них при компактификации мы получаем в калибровке свето-
светового конуса 2 безмассовых векторных бозона:
ocL^-i I 0>, oi4!^! | 0>. D.6.9)
Предположим_ теперь, что окружность имеет специальный ра-
радиус R = 1/У2 (измеренный в единицах У2а'). Тогда формула
для массы с учетом уравнения связи приобретает вид
2 +
(M+Lf
= 2N — 2 +
(М— Lf
D.6.10)
Теперь при М =_L = ±1, N = 1, TV = 0 мы получаем 2 дополни-
дополнительных бозона ali I М = L — ±1>, а при М=— ? = ±1, JV=1,,
N — 0 еще 2 безмассовых бозона вида aL1|M=—?=±1>, итого,
включая D.6.9), 6 безмассовых векторных состояний, которые
заполняют присоединенное представление группы SUB)X
XSUB). В отсутствие солитоиов мы имели бы всего лишь два
калуца-клейновских бозона. Каков смысл выбора радиуса R =
= 1/У2? Во-первых, квадрат компактифицированного импульса
имеет значение (р24J ¦= 2М2 = 2 в случае солитоиов, во-вторых,
«решетка» компактификации оказывается самодуальной (в дан-
данном случае решетка состоит из одной точки, так что самодуаль-
самодуальность достигается тривиально, более важным оказывается усло-
условие четности).
Описанная конструкция прямо обобщается па случай гетеро-
гетеротической струны. Запишем вновь разложение для компактифи-
компактифицируемых координат с учетом солитонов:
X1 (т, а) = х1 + р'т + 2Ь'а + осцилляторы.
По условию координаты X1 являются левыми, т. е. должны за-
зависеть только от т + о. Чтобы такое было возможно, коэффици-
9 Ю. Н. Кафиев
129

енты перед -с (т. е. импульсы) должны быть нетривиально свя-
связаны с коэффициентами перед о (т. е. с вектором солитонных
чисел). Вектор солитонных чисел состоит из целых чисел п\ где
п1 обозначает накручивание п' раз в 7-м направлении. Этот век-
вектор разлагается, разумеется, по координатной решетке с базисом
е« D.4.14)'.:,
T jU r "г '
i=l *
в то время как импульс — по дуальной решетке с базисом
16
D.6.12>
Таким образом, требование зависимости координаты X1 от т + о
приводит к исключительно важному следствию: решетка им-
импульсов Л должна быть подрешеткой решетки координат Г (сов-
(совладение пока что, строго говоря, необязательно). Теперь, выби-
выбирая вновь i?j = У1/2, мы получаем следующие выражения для
оператора массы и условия связи:
16
~М2 = N + N— 1 + -L 2 (Р1)'2' D.6.13>
= n +
16
4- 2 о>*>я-
D.6.14>
7=1
Напомним, что N — оператор чисел заполнения суперструны-
Грина — Шварца — правого сектора гетеротической струны. Под-
Подставляя D.6.14) в D.6.13), мы находим
1
М2 = 2N > 0.
D.6.15>
Иными словами, спектр масс в гетеротической струне положи-
положительно определен. Условие связи D.6.14) запрещает появление-
тахиона в спектре. Далее, поскольку N, N — целые числа на фи-
физических состояниях, величина 2 (Р1J должна быть четной.
Приступим к анализу спектра безмассовых состояний. Со-
Согласно D.6.15), они возникают только при N = 0. Прежде всего,,
мы имеем 16 калуца-клейновских векторных бозонов, соответст-
соответствующих (р1J = 0, JV = 1, т. е. описываемых в левом секторе
состоянием а—г ! 0>х,, где |0>?.— тахионный вакуум левого секто-
сектора. Сам вакуум исключен из спектра условием D.6.14). Умно-
Умножая это состояние в левом секторе на бозонный вакуум U>R су-
суперструны, мы получаем 16 безмассовых (нейтральных) вектор-
векторных бозонов:
\i>R
130
Далее, мы имеем «заряженные» состояния, соответствующие
JV = 0, 2 (Р1J = 2. Как мы уже знаем, на 16-мерной четной са-
самодуальной решетке таких состояний 480. В сумме мы получаем
496 безмассовых векторных бозонов, которые заполняют присо-
присоединенное представление группы SO C2) или Ее X Ее- Итак,
благодаря компактификации «лишних» координат у замкнутой
струны мы пришли внутренне согласованным образом к нужной
нам калибровочной группе Е8 X Е8, которую невозможно ввести
процедурой Чана — Патона.
Опишем кратко спектр состояний гетеротической струны.
Пространство состояний образуется путем прямого произведения
состояний -правого и левого секторов. На низшем уровне в пра-
правом секторе мы имеем 8 поперечных векторных бозонов \i>R и 8
майорана-вейлевских фермионов \аУа, связанных преобразовани-
преобразованием N — 1 суперсимметрии. В левом имеем 496 безмассовых со-
состояний а?.х | 0>?, \р\ (р1J = 2>z.. Это дает нам 496 безмассовых
калибровочных бозонов
я 496 их суперпартнеров — безмассовых майорана-вейлевских
.фермионов
l I Р1, (Р1J =
Вместе они образуют неприводимый мультиплет N — 1 D = 10
теории супер-Янга — Миллса с калибровочной группой SO C2)
или Ее X Е8. Кроме того, мы имеем обычный мультиплет N = 1
D — 10 супергравитации, характерный для одного из секторов
замкнутой суперструны Грина — Шварца (напомним, что в
замкнутой суперструне, т. е. в обоих ее секторах, присутствует
N = 2 суперсимметрия), с состояниями вида
В низкоэнергетическом пределе безмассовый сектор гетеротиче-
гетеротической струны в точности совпадает с пределом открытой супер-
суперструны с калибровочной группой SO C2) или Ее X Ее, причем,
к&к мы знаем, открытые суперструны на самом деле не могут
включать в себя исключительных групп. В гетеротической стру-
струне они возникают вполне законным образом. Поскольку откры-
открытая суперструна не имеет аномалий для указанных калибровоч-
калибровочных групп, гетеротическая струна также не имеет аномалий и
является новой 10-мерной моделью струны, полностью согласо-
согласованной, не имеющей тахионов и не содержащей аномалий. Ко-
Конечно, гетеротическая струна не является совсем новой, по-
поскольку составлена из «кусков» обыкновенной бозонной струны
и суперструны Грина — Шварца; новым был скорее принцип ее
построения — асимметрическое смешивание правого и левого сек-
секторов. Эта, идея оказалась исключительно плодотворной с точки
¦зрения построения новых моделей струн и поиска новых меха-
9*
131

низмов компактификации. Сама гетеротическая струна, единст-
единственная из всех моделей, допускающая калибровочную группу
Ее X Ее, представляет собой на сегодняшний день наиболее «со-
«солидную» модель струны (нам не хотелось бы употреблять не-
несколько сомнительное в данном контексте слово «перепек^
тивная»).
Возвращаясь к спектру гетеротической струны, отметим, что-
он очень быстро размножается благодаря наличию дополнитель-
дополнительного квантового числа р1. Например, па первом массивном уров-
уровне с N = 1 мы должны рассматривать состояния с 2 (р1J = 4,
а таких точек на данной решетке 69 752, всего же состояний с
N = 1 оказывается 18 883 584 [137]. Впрочем, как мы уже гово-
говорили, массивные состояния суперструн представляют лишь ака-
академический интерес.
Взаимодействие гетеротической струны подробно рассмотрено
в оригинальных работах Гросса и др. [137, 138]. Вершины взаи-
взаимодействия здесь оказываются более сложными, чем в обычной
суперструне, поскольку включают в себя операторный коцикл с
и групповые факторы для «заряженных» бозонов.
§ 7. МОДУЛЯРНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
В настоящей книге мы не касаемся задачи построения петле-
петлевых поправок в рамках операторной дуальной модели, поэтому
обсуждение в этом параграфе будет носить информатив-
информативный характер. Вскоре после открытия амплитуды Венециана
для открытой струны и ее аналога —- амплитуды Виразоро —
Шапиро для замкнутой струны — несколькими группами авто-
авторов [154—157] были построены однопетлевые диаграммы в опе-
операторной дуальной модели, а затем выяснены общие свойства
многопетлевых диаграмм. Не все эти работы были правильными,
поскольку не учитывали вклада духовых полей, но многие из
них предвосхитили позднейшие идеи и оказались исключительно
важными для понимания математической структуры дуальных
многопетлевых амплитуд. В первую очередь нужно указать ра-
работы Лавлейса и Алессандрини [155], выяснивших роль абе-
левых интегралов и функций Грина на римановой поверхности
в рамках аналоговой модели (см. § 4 главы 5); Алессандрини и.
Амати [156], оценивших матрицу периодов вблизи точек вырож-
вырождения римановой поверхности и, по сути дела, вычисливших
расходимости дуальных диаграмм; Каку и Шерка [157], полу-
получивших аналог формулы Сельберга [158] для произвольной:
многопетлевой амплитуды, и т. д.
Одной из главных трудностей, встретившихся на этом пути,,
было обнаружение очень сильных экспоненциальных расходимо-
стей в ультрафиолетовой области. При построении дуальной мо-
модели высказывалось резонное предположение, что, поскольку
масса состояний на траектории Редже неограниченно возрастает,
132
пропагатор должен очень быстро убывать в ультрафиолетовой
области и петлевые диаграммы дуальной теории должны в этой
области иметь значительно лучшее поведение, чем диаграммы
обычной квантовой теории поля. Между тем на практике выяс-
выяснилось, что дуальные диаграммы содержат настолько сильные
расходимости, каких нет даже в неперенормируемых теориях по-
поля. Хотя предлагались рецепты перенормировки расходящихся
диаграмм, однако они выглядели очень искусственно и неубеди-
неубедительно и нисколько не рассеивали замешательства. К счастью,
решение, причем исключительно красивое, было вскоре найдено.
В 1972 г. Шапиро вычислил однопетлевую диаграмму для замк-
замкнутой струны, соответствующую, по сути дела, статсумме. Она
учитывала вклад духов и имела вид
z =
где
(Imt)'
T|(T)|24'
¦ц (т) =
D-7.1)
D.7.2)
Функция ti(t) называется Ti-функцией Дедекинда и играет важ-
важную роль в теории чисел и теории эллиптических функций [99,
118, 160]. Заметим, что в статсумме D.7.1) она возводится в
24-ю степень, что играет решающую роль для дальнейшего. Ес-
Если бы мы не учли вклада духовых состояний и возвели т]-функ-
пию в 26-ю степень, последующие рассуждения не имели бы
места. Интегрирование в D.7.1) ведется по верхней полуплос-
полуплоскости комплексного параметра т. Читатель, знакомый отчасти с
теорией эллиптических функций, сообразит, что т является мо-
модулем тора, т. е. отношением двух периодов ац, a>2 двоякоперио-
дической функции, т = Ш2/001, Im т > 0. Мера интегрирования
A2т/AттJ согласована с так называемой метрикой Пуанкаре
верхней полуплоскости [103]. Подынтегральное выражение в
D.7.1) имеет существенную особенность при т = 0 и расходится
квадратично в области 1тт->-«) (см. ниже). Шапиро [159] сде-
сделал исключительно важное наблюдение: он заметил, что подын-
подынтегральное выражение в D.7.1) инвариантно относительно моду-
модулярных преобразований
стт+ Ь а, Ъ, с, d — целые,
Т-^^7Т^' ad—bc=l. {1 6)
Легко проверить, что модулярные преобразования образуют
группу, являющуюся подгруппой группы Мёбиуса. Группа моду-
модулярных преобразований представляет собой один из характер-
характерных примеров фуксовой группы [103]. Преобразование D.7.3)
возникает в теории эллиптических функций при взаимно обрати-
обратимом преобразовании периодов со2 = асо2 + Ъ<ог, а>г = ссо2 + dcoj,
условие ad — be = 1 возникает из-за требования обратимости
133

[117, 118, 161]. Мера Пуанкаре с12т/AттJ, как легко видеть,
инвариантна относительно D.7.3) (она и строилась из соображе-
соображений инвариантности относительно вещественных дробно-линей-
дробно-линейных преобразований). Что касается функции Дедекинда, то для
установления ее трансформационных свойств относительно моду-
модулярных преобразований заметим, что вся модулярная группа
порождается двумя элементами: Six-*-—1/т (инверсия) и
Т : т -*- х + 1 (сдвиг). Любое преобразование вида (ах + Ъ/ (сх + d)
можно записать в виде конечного произведения STST2 . . .. Если
изображать модулярные преобразования, матрицами целых чисел
с единичным детерминантом
то инверсия и сдвиг в этих обозначениях представляются как
и наше утверждение сведется к просто доказываемому свойству
матриц 2X2 [99]. При сдвигах функция Дедекинда преобразу-
преобразуется, очевидно, как
in
т|(т + 1) = е"т)(т), D.7.4)
л24 инвариантна относительно сдвигов. При инверсиях она
т. е. тс" инвариантна отаисигвлапи ^^
преобразуется нетривиально [99, 160]:
¦). D.7.5)
Таким образом, выражение (Im t)~121ti(t) l24 полностью моду-
лярно-инвариантно. Если это так, то мы в интеграле D.7.1)
много раз интегрируем по одним и тем же точкам, связанным
модулярным преобразованием. Ситуация полностью аналогична .
той, которая возникает при квантовании неабелевых калибровоч-
калибровочных полей, где наивный функциональный интеграл расходится
благодаря присутствию бесконечного объема калибровочной
группы. Нет ничего удивительного, что интеграл D.7.1) также
плохо определен. Следуя общей идеологии Фаддеева — Попова
квантования систем с бесконечной группой инвариантности, мы
должны определить интеграл так, чтобы он брался по области,
никакие две точки которой не связаны модулярным преобразова-
преобразованием. Такая область хорошо известна в теории эллиптических
функций и называется фундаментальной областью модулярной
группы. В качестве ее мы можем выбрать, например, полосу &
(рис. 15). На самом деле, полоса &~ и все параллельные ей по-
полосы являются треугольниками Лобачевского, так как стороны
сходятся в бесконечности. На рис. 15 вся верхняя полуплоскость
разбита на треугольники, или «замощена», как еще говорят,
причем площадь всех треугольников одинакова с точки зрения
134
Рис. 15. Фундаментальная об-
область модулярной группы &~
(изображены только «боль-
«большие» треугольники).
Сторона III идентична стороне IV,
I идентична II; i, p, р'—стабиль-
р'—стабильные точки (ообифолд-точки); то-
топологически &~ эквивалентна сфе-
сфере С ВЫКОЛОТОЙ ТОЧКОЙ Т = I оо.
меры Пуанкаре и равна
я/3. Каждый из этих тре-
треугольников может быть с
равным основанием взят
в качестве фудамепталь-
ной области модулярной группы. Однако особенно просто прове-
проверить свойство фундаментальности выбранной нами полосы ^~.
В самом деле, при сдвигах мы имеем т -*¦ х + 1 и, поскольку
ширина полосы ST равна 1, любая точка из внутренности поло-
полосы ^~ перейдет в соседнюю полосу. Исключение составляют
точки на границе, которые мы, очевидно, должны отождествить.
Далее, поскольку полоса SF находится в области |т! 5s 1, любая
ее точка при инверсии попадает в область |т| *? 1. Что касается
точек на границе 1т1 =1, то, как легко видеть, при инверсии
точки сегмента / переходят в точки сегмента II, так что мы
вновь должны их отождествить.
Таким образом, полоса &~ со сторонами, отождествленными
указанным образом, действительно является фундаментальной
областью модулярной группы и мы можем ограничить интегри-
интегрирование в D.7.1) областью 9Г: —1/2 < Re т < 1/2, |т| > 1. Но
теперь эта область не содержит точки 0 и интеграл сходится в
ультрафиолетовой области! 'Разумеется, в качестве фундамен-
фундаментальной области мы могли бы выбрать любой треугольник, в том
числе, например, &~\ содержащий точку 0, но тогда нам надо
было бы подвергнуть переменную интегрирования инверсии и
интеграл вновь не имел бы никаких особенностей в окрестности
этой точки 0.
Приведенный простой пример демонстрирует нам роль моду-
модулярной инвариантности при рассмотрении петлевых диаграмм
струнной теории. Эти рассуждения можно обобщить на мпого-
петлевой случай [162] и привести аргументы в пользу конечно-
конечности некоторых теорий струп. Подчеркнем, однако, что строгого
доказательства конечности до сих пор не получено. Что касает-
касается статсуммы D.7.1), то, хотя она и не имеет теперь бессмыс-
бессмысленной сингулярности в т = 0, но все же расходится при т -*¦ i°°
из-за наличия тахиона. Чтобы описать эту расходимость, введем
так называемую параболическую модулярную форму веса —12
Д(т) [99, 117]:
Д (т) = Г]24 (т) =
п=1
A — е2тптJ4_
D.7.6)
135

Согласно D.7.5), Д(т) ведет себя при инверсиях как
Д( — 1/т)=т12Д(т)
и инвариантна при сдвигах. В теории модулярных форм обыч-
обычно вводят переменную д = ехрBдат) и рассматривают аналити-
аналитические свойства функций относительно q*. A(q) имеет полюс
первого порядка при q = 0, т. е. при т -»- ?°°. Учитывая, что
-^5- (Im т)~" = f^ X (логарифмы),
мы видим, что интеграл D.7.1) может быть представлен в виде
а Л da ^r- (In | g |)4, D.7.7)
где выражение (qA(q))~l имеет полюс второго порядка при
q = 0. Как показали Белавин и Книжник [153] (см. также
[163]), эта расходимость типична для замкнутой бозонной стру-
пы и возникает во всех порядках теории возмущений. Причина
возникновения расходимости — тахион 26-мерной бозонной стру-
струны [153]. Поскольку тахион присущ только бозонной струне и
его нет в суперструне, это вселяет надежду на то, что в супер-
суперструнах инфракрасных расходимостей быть не должно.
Теперь ясно, что требование модулярной инвариантности —
главное ограничение, накладываемое на структуру петлевых
диаграмм струпной теории. Если та или иная модель струны
приводит к нарушению модулярной инвариантности, то в диаг-
диаграммах теории возмущений возникают бессмысленные расходи-
расходимости и данная модель должна быть отброшена. С точки зрения
низкоэпергетической теории поля нарушение модулярной инва-
инвариантности соответствует появлению глобальных аномалий
[254], что также означает математическую несогласованность
теории.
Рассмотрим модулярную инвариантность гетеротической стру-
струны. При вычислении однопетлевых диаграмм мы должны интег-
интегрировать по импульсу, бегущему в петле. В данном случае
16 компонент импульса компактифицированы па решетку, т. е.
интеграл по компактированным компонентам заменяется на
сумму по решетке. Оставшийся 10-мерный интеграл будет соот-
соответствовать обычной суперструне Грина — Шварца. В обзоре
Шварца [48] показано подробно, что все 10-мерные разновидно-
разновидности суперструн модулярно-инвариантиы. Поэтому мы опустим
часть амплитуды, соответствующую суперструне, и рассмотрим
только часть, отвечающую суммированию по 16-мерной решетке.
Какие ограничения накладывает на структуру суммы требование
модулярной инвариантности?
* Переменная q широко использовалась в ранних работах по петлевым
поправкам в дуальной теории.
136
Типичный вклад от суммы по решетке в одпопетлевую ам-
амплитуду рассеяния N частиц имеет вид [138, 164]
¦±-Ыд Ip-^^QA I, D.7.8)
\ i=l / J
где Кi — компактифицированные компоненты внешних импуль-
импульсов; з = ехрBлгт)—модулярный параметр; zt—переменные
Виразоро — Шапиро (аналог переменных Кобы — Нильсена для
замкнутых струн);
Суммирование идет по всем векторам Р1, которые лежат на ре-
решетке импульсов Г*, т. е.
16
Выражение D.7.8) хорошо известно в теории модулярных форм
и носит название 6-функции решетки Г* [150]. При модуляр-
модулярных преобразованиях вида т -»- т + 1 q переходит само в себя,
так что сумма D.7.8) инвариантна. Рассмотрим инверсии
т —»- —1/т, т. е.
In g — 4я71п g. D.7.9);
Для проверки инвариантности суммы D.7.8) относительно ин-
инверсий D.7.9) используем многомерный аналог формулы сумми-
суммирования Пуассона [150]. Рассмотрим сумму по решетке
&(Х)*= S exp[A(P — Q+ Xf], D.7.10)
РеТ*
где X и Q — <2-мерные векторы и суммирование идет по <2-мер-
ной решетке Г* с базисом е*. Очевидно, сумма 3? (X) периодич-
периодична на торе Rd/T*, т. е.
2 (X) = S (X + ще*),
и может быть разложепа в ряд Фурье по дуальной переменной
М, которая лежит па решетке Г (решетке координат), дуальной
к Г* (решетке импульсов). Элементарное применение преобразо-
преобразования Фурье дает нам формулу суммирования Пуассона
2
Per*
? (« -
*?]. (".И)
где матрица А* — введенная выше метрики решетки Г*, т. е.
матрица скалярных произведений базисных векторов (e^-ej)
(см. D.4.15)). В правой части D.7.11) модулярный параметр
Ing испытал нужную нам инверсию D.7.9), однако, во-первых,
137

суммирование в правой части идет по решетке, дуальпой к ис-
исходной, во-вторых, перед суммой появился член (detyl*)~1/2.
Только в том случае, если решетка Г* самодуальна, т. е. Г* = Г,
detA* = 1, амплитуда 3? инвариантна относительно инверсий.
Таким образом, требование модулярной инвариантности од-
но'Петлевого интеграла гетеротической струны дает нам даже бо-
более сильное ограничение на структуру допустимых решеток,
а именно: решетка импульсов Г* и дуальная к ней решетка ко-
координат Г должны совпадать (напомним, что при построении
гетеротической струны достаточно было, чтобы Л была подре-
шеткой в Г*). Подобная же ситуация возникает в обычной бо-
зонной струне в рамках ковариантного квантования, когда тре-
требование отсутствия духов дает нам условие czo^l, D «S 26,
в то время как требование отсутствия нефизических сингулярно-
¦стей в одной петле дает более жесткое ограничение cto = 1,
?> = 26.
Из этого примера следует, что условия модулярной инва-
инвариантности на однодетлевом уровне вполне достаточно для од-
однозначного определения допустимой решетки компактификации
и оно вполне заменяет собой длинные построения в предыдущих
параграфах. Исходным стимулом к построению гетеротической
струны был поиск струнной теории, допускающей свободную от
аномалии группу Ее X Ее. Наш поиск после длинной цепи рас-
рассуждений, описанных в § 3, привел к 16-мерной четной само-
самодуальной решетке; наконец, мы только что выяснили, что
Э-функция, определенная на этой решетке, удовлетворяет важ-
важному условию модулярпой ковариантности, являясь благодаря
условию самодуальности решетки модулярной формой нужного
веса. Возникает вопрос: какова же связь между исходным и ко-
конечным пунктом рассуждений, иными словами, между сокраще-
сокращением аномалий и требованием модулярной инвариантности? По-
Почему эти условия приводят к одним и тем же калибровочным
группам? Ответ на вопрос, хотя, возможно, и не совсем пол-
полный *, дала замечательная работа Схелекенса и Уорнера [166].
Они рассмотрели широкий класс струнных моделей гетеротиче-
ского типа (хотя общность в какой-то степени была иллюзор-
иллюзорной) и показали, что однопетлевая статсумма для них в общем
случае имеет аномалию при модулярных преобразованиях, при-
причем аномалия пропорциональна фактору Грина — Шварца
D.1.14).
= tr/?2
30
TrF2 .
D.7.12)
Можно определить модифицированную амплитуду, которая не
будет иметь модулярной аномалии, но которая в низкоэнергети-
* Работа Схелекенса и Уорнера основывалась на обобщении теоремы об
индексе для оператора Дирака — Рамона, индекс которого выражается че-
через эллиптический род Дирака. Доступное изложение теории эллиптиче-
эллиптических родов см. в работах Г2701.
138
ческом пределе будет давать калибровочпую аномалию, пропор-
пропорциональную D.7.12). Она, как мы знаем, может быть сокращена
механизмом Грина — Шварца. Требование точной модулярной
инвариантности равнозначно требованию обращения в нуль фак-
фактора Х4, т. е. полному сокращению аномалий, даже без введения
контрчлена D.1.15). Этот результат подтвердила работа Судзуки
и Сугамото [167], которые явно вычислили пизкоэнергетическую
аномалию для гетеротической струны и показали, что она выра-
выражается интегралом по модулярному параметру т от модулярно-
инвариантной функции /(т)
j
дЗГ
Интеграл берется по границе фундаментальной области @~. Вви-
Ввиду модулярной инвариантности /(т) вклады от границ области
взаимно сокращаются и интеграл равен 0, т. е. модулярная ин-
инвариантность обеспечивает сокращение аномалий. Впрочем, на
наш взгляд, этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании.
§ 8. СПИНОВАЯ СТРУКТУРА
II ПРОЕКЦИЯ GSO
В предыдущей главе мы упоминали, что ввиду отсутствия
удовлетворительного ковариантного описания суперструны Гри-
Грина -— Шварца при вычислениях по теории возмущений мы вы-
вынуждены прибегать к ковариаптному лагранжиапу спиновой
струны C.2.1). Его квантование, согласованное с геометрией, бу~
дет изучено в следующей главе, здесь же мы, забегая несколько
вперед, хотим рассмотреть вопрос, тесно связанный с модуляр-
модулярной инвариантностью: какие ограничения накладывает она на
амплитуды рассеяния спиновой струны? Рассмотрим однопетле-
вую статсумму замкнутой спиновой струны C.2.1). В этом слу-
случае мировая поверхность струны является тором, римановой по-
поверхностью рода 1 (рис. 16). В общем случае g— петлевая ам-
длитуда — соответствует римановой поверхности рода g, т. е.
сфере с g ручками. По определению, функцией на поверхности
называется величина, которая не мепяется при обходах вдоль
замкнутых циклов. На рис. 16 нетривиальные гомологические
циклы а и Ъ изображены штриховыми линиями. В частности, на
торе скалярные поля (т. е. функ-
функции) должны быть двоякопериоди-
ческими функциями. В терминах мо-
модулярного параметра предыдущего
Рис. 16. Нетривиальные циклы гомологии
на торе — а и Ъ.
139

Im
Рис. 17. Представление тора ком-
комплексным числом т в верхней
полуплоскости.
параграфа мы можем записать это следующим образом:
где gi, |2 — переменные мирового листа (о, т в прежних обозна-
обозначениях); т — модуль тора, т = со2/<»ь Мы нормировали периоды
так, что одна сторона тора имеет длину 1 (coi = 1), тогда а>2 = т
(рис. 17). Теперь очевидно, что условия D.8.1) есть как раз ус-
условия двоякопериодичности. Переходя к спинорным полям, мы
замечаем, что в общем случае требования D.8.1) являются
слишком ограничительными. В самом деле, граничные условия
для фермионов в секторе NS допускают изменение знака при из-
изменении о на о + л. В данном случае это соответствует обходу
вокруг одного из замкнутых контуров на торе, а или Ъ. Посколь-
Поскольку теперь переменные |i, |2 полностью равноправны, то же са-
самое должно быть возможно и при обходе вдоль второго замкну-
замкнутого контура. Таким образом, при переносе спинора на торе
вдоль нетривиального цикла он может принять то же самое зна-
значение, но может и поменять знак. Соответственно возникают че-
четыре возможности:
ч D.8.2)
Следуя общепринятым обозначениям, мы запишем четыре воз-
возможных типа спиноров в виде
(+, +), (+, -), (-, +), (-, -),
где первый знак в скобках отвечает знаку спинора при обходе
вдоль цикла а, а второй — при обходе вдоль цикла Ъ. Спинорное
поле на римановой поверхности вместе с заданным набором зна-
знаков при обходе вдоль циклов называется спиновой структурой.
В общем случае на поверхности рода g имеется 22s спиновых
структур. Нетрудно видеть, что модулярные преобразования ме-
меняют циклы нетривиальным образом. Например, сдвиг т -*¦ т + 1
соответствует тому, что мы разрезаем тор вдоль цикла а, закру-
закручиваем одну из образовавшихся трубок на 2я и вдоль склеива-
склеиваем. При таком преобразовании цикл а не меняется, а цикл b
переходит в «произведение» а ¦ Ъ (рис. 18). Легко видеть, что мы
не можем получить новый цикл Ъ' непрерывной деформацией
циклов а, Ь, поэтому модулярные преобразования часто называ-
называют «большими диффеоморфизмами»— они представляют собой
класс диффеоморфизмов, не связанных непрерывно с тождест-
140
Рис. 18. Преобразования цикла Ъ
после разрезания тора вдоль
цикла а, закручивания на 2л и
склеивания.
-/ О
Рис. 19. Тор, приведенный на рис. 17,
после модулярного преобразования
т->-— 1/т.
венным. При сдвиге т -*¦ т + 1
структуры (¦+-, + ) и (¦+, —) не
меняются, а остальные две пере-
переходят друг в друга: (—, —)->-
-(-, +), (-, +)"*(-, -)•
Преобразование инверсии описывается несколько сложнее.
Чтобы подвергнуть модуль тора, т. е. параллелограмма, изобра-
изображенного на рис. 17, преобразованию инверсии, поступим следую-
следующим образом: повернем его, как показано на рис. 19, а затем
изменим масштаб в Ixi раз, чтобы сторона Ъ имела длину 1.
Простое вычисление показывает, что т' = —1/т. Но поворот па-
параллелограмма соответствует тому, что циклы а и Ъ меняются
местами. Таким образом, при инверсии т^—1/т спиновые
структуры (+, +) и (—, —) не меняются, а (+, —) и (—, +)
переставляются местами. Мы видим, что все спиновые структу-
структуры можно разбить на две группы: (+, +) и (+, —), (—, +),
(—, —), причем структура (+, + ) инвариантна при модуляр-
модулярных преобразованиях, а три структуры, составляющие вторую
группу, переходят друг в друга. Таким образом, каждая из
групп инвариантна в целом при модулярных преобразованиях.
Из теории римановых поверхностей известно [180, 181], что
метрика тора плоская, поэтому в данном простом случае спино-
спиновые структуры могут быть описаны явно, решением уравнения
Дирака
с граничными условиями D.8.-2).
Упражнение. Ввести комплексные координаты z = |i +
+ i%,2 и найти явное решение для спиновых структур на торе.
Показать, что структуры (+, —), (—, +), (—, —) не имеют
нулевых мод, в то время как структура (+, +) имеет одну нуле-
нулевую моду.
Число нулевых мод спиповой структуры задает ее четность.
Структура с четным числом нулевых мод называется четной,
и наоборот. В данном случае у нас есть одна нечетная спиновая
структура—(+, +), остальные три структуры четные. В общем
случае на римановой поверхности рода g имеется 2*~1BS— 1)
нечетных структур и 2*~'B8+1) четных. Мы видели, что при
модулярных преобразованиях четные структуры переходили са-
сами в себя, то же и нечетные. Таким образом, при модулярных
141

преобразованиях четность структуры не меняется и является по-
понятием инвариантным.
При вычислении амплитуд с помощью лагранжиана спиновой
струны мы должны суммировать по всем возможным спиновым
структурам. Рассмотрим в качестве примера простейший слу-
случай •— статсумму спиновой струны. Мы вычислим здесь часть,
соответствующую фермионам. Выберем в качестве параметра
струны о, например, координату |i на торе. Мы знаем, что фер-
миопы, периодичные по ?i, соответствуют сектору Района, анти-
антипериодичные — сектору NS. Нам нужно вычислить статсуммы
вида
TrAqHR,TrAqHNS,
D.8.3)
где Л — оператор, задающий граничные условия в направлении
%2 (т в прежних обозначениях). Из работ по функциональному
подходу [168] к вычислению индекса Виттена [169] известно,
что в качестве Л нужно взять I для знака «—» и оператор чис-
числа фермионов G = — (— 1)F для знака «+». Тогда амплитуды
для всех четырех спиновых структур записываются как
D.8.4а)
D.8.46)
D.8.4b)
D.8.4г)
HNS
А = Ti Tr q
где Г|±± — неизвестные константы. Мы должны определить их из
требования модулярной инвариантности полной амплитуды. Вы-
Выражения D.8.46) — D.8.4г) мы уже вычисляли при анализе про-
проекции GSO. Новым является лишь D.8.4а). Для вычисления этой
статсуммы заметим прежде всего, что знакомое нам уже опре-
определение «оператора G-четности», т. е. фермионного числа G
C.3.1), является не совсем точным в секторе Рамона. В секторе
NS, в котором справедливо определение C.1.23), фермионы не
имеют нулевых мод, но если мы определим в секторе Рамона
оператор числа частиц обычным способом
то окажется, что он коммутирует с нулевыми модами d0. Однако
этот недостаток легко поправить, например достаточио домножить
G на фактор Йордана — Вигнера и определить в секторе Рамона
модифицированный оператор числа частиц
GB =
D.8.5)
142
который будет антикоммутировать со всеми d\: dnG — — Gdln,
я <= Z- После чего мы получаем, что вклад нулевых мод в стат-
сумму пропорционален
Tr GBgHR — (S <0 j 0> + <0 | d\Gd\ | 0>) = (8 — 8) <0 | 0> = 0.
Таким образом, статсумма сектора с нечетной спиновой структу-
структурой обращается в нуль. Читатель, зпакомый с теорией инстанто-
нов, узнает здесь известное явление — обращение в нуль функ-
щюнальпого интеграла по фермионам в случае наличия у фер-
фермионов нулевой моды в поле инстантона. В данном случае у нас
нет HHGraHTOHOB, но есть граничные условия D.8.2), допускаю-
допускающие нулевую моду
¦ф++(?ь Ь) = const
в спиповой структуре (+, +).
Остальные статсуммы мы уже вычисляли и здесь просто вос-
воспользуемся формулами C.3.12) — C.3.15). Мы имеем
H*
_ = т!+_ Tr qH* = т!+_
Д A + дп)8. D.8.6)
Т!=1
Фактор 16 обусловлен 8-кратным вырождением основного состоя-
состояния. В этой спиновой структуре восьмерки складываются, в от-
отличие от структуры (+, +). Соответственно для фермионов сек-
сектора NS получаем
П-—1
A
q
n-1/2)8
)8.
D.8.7)
D.8.8)
Выразим амплитуды через 9-функции. Здесь мы выпишем 9-функ-
9-функции только в виде бесконечного произведения. Более подробную
информацию читатель найдет в книгах [116—118, 161]. Введем
четыре типа 9-функций:
8i (z, т) = 2т] (т) q1/e sin nz Д A — 2q2n cos
n=l
qin),
oo
92 (z, т) = 2t] (t) ql/e cos nz JJ (l + 2q2n cos 2nz + gin),
nl
93 (z, x) = n (t) q~1/12 П A + 2g2n-x cos 2nz + qin~2),
94 (z, т) = n (т) q~1/12 Д A - 2q2n~1 cos 2nz + qin~*),
D.8.9)
где т](т) — введенная выше т]-функция Дедекинда. z называется
аргументом 9-функции, т — модулем. При модулярных преобра-
143

зованиях Qi переходит сама в себя, в то время как 02, Эз, Э4 пе-
переходят друг в друга. Заметим, что, согласно D.8.9), ri-функция
может быть выражена через 9i (z, т) формулой
|z=0
D.8.10)
Сравнивая D.8.9) со статсуммами D.8.6) — D.8.8), мы получаем
^++~Oi(O, т) = 0, D.8.11а)
1-+ = Л-+ BлL
А = т] Bя)
4/3
F3 @,
D.8.116)
D.8.Ив)
D.8.Иг)
Мы видим, что А++ описывает нечетную спиновую структуру
(+, +) и обращается в нуль при z = 0 вместе с ее статсуммой,
в то время как амплитуды А+-, А—, А-+ описываются соответ-
соответственно 0г, 6з, 64 [120, 170]. Теперь мы должны зафиксировать
константы т]±± из требования модулярной инвариантности. Пре-
Преобразования 0-функций при модулярных преобразованиях приве-
приведены, например, в [118]. Требуя, чтобы при сдвигах т -> т + 1
амплитуда А— переходила в А-+, мы получаем условие
¦п— = -п-+.
При т-»-—1/т мы должны получить А-+
еще одно условие:
А+-. Отсюда следует
Выбирая г\ произвольно: г\—= 1, мы находим из D.8.4), что
полная статсумма, просуммированная по всем спиновым структу-
структурам, задается выражением [120]
±?--TrqHR±. D.8.12)
Таким образом, модулярная инвариантность однозначно приводит
к требованию выполнения проекции GSO в секторе NS. Как под-
подчеркнули Сайберг и Виттен [120], то обстоятельство, что Tr q
входит с обратным знаком, служит подтверждением фермионной
природы состояний в секторе Рамона, поскольку, согласно спий-
статистике, знак фермионной петли противоположен знаку бо-
зонной. Выражение D.8.12) модулярно инвариантно. Более того,
если подставить соответствующие выражения для статсумм в
D.8.12) (см. также § 3 главы 3), то мы получим, что А про-
пропорциональна
е| (о, т) + е* @, т) — е| (О, т) = о,
144
согласно тождеству Якоби — Римаиа [117, 118]. Равенство нулю
статсуммы находится в соответствии с суперсимметрией, уста-
установленной ранее для GSO спроектированной спиновой струны:
из общей теоремы об отсутствии перенормировок в суперсиммет-
суперсимметричных теориях [171] следует, что основное состояние во всех
порядках теории возмущений имеет нулевую энергию. Поскольку
значение статсуммы определяет сдвиг вакуумной энергии, иными
словами, значение космологической постоянной, то в суперсим-
суперсимметричных теориях отличная от нуля космологическая постоян-
постоянная может появляться только за счет непертурбативных эффек-
эффектов. В гетеротической струне космологическая постоянная также
равна нулю во всех порядках теории возмущений [172]. Пока
не ясно, каким образом можно перенести чисто струнное дока-
доказательство работ [172, 173] на язык низкоэнергетической теории
поля с нарушенной суперсимметрией. Поэтому на сегодняшний
день проблема космологической постоянной — одна из многих не-
нерешенных проблем физики высоких энергий.
10 ю. н. кафиев

¦Kl
Глава 5
СТРУНА ПОЛЯКОВА
- § 1. ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ
Излагая историю теории струн,' мы подчеркивали, что долгое
время понятие струны использовалось лишь для наглядности,
а при практических вычислениях применялись исключительно
методы дуальной теории. По-видимому, первую попытку описать
взаимодействие струн с помощью струнпых переменных сделал
Мандельстам [63], построивший функциональный интеграл в ка-
калибровке светового конуса. Эта формулировка была лоренц-кова-
риантной в D = 26 и имела то преимущество, что была явно уни-
унитарной, однако вскоре стало ясно, что она не обладает необходи-
необходимой общностью и с ее помощью невозможно описать диаграммы
произвольного порядка теории возмущений. Интерес к функцио-
функциональным методам вспыхнул вновь в 1981 г., когда Поляков [70]
использовал для квантования струны ковариантный лагранжиан
C.2.1) и построил функциональный интеграл, в котором интегри-
интегрирование ведется по поверхностям. Напомним, что при своем дви-
движении классическая струна заметает некоторую двумерную по-
верхпость, подобно тому как обычная частица чертит путь —
мировую линию. При квантовании классической механики части-
частицы мы вводим функциональный интеграл по путям, в котором
интегрируем по всем возможным путям, ведущим из начальной
точки в конечную [102]. Поляков предложил обобщить эту кар-
картину на случай струн и интегрировать в функциональном ин-
интеграле по всем возможным двумерным поверхностям, характер-
характерным для данного типа струны (открытой, замкнутой, ориенти-
ориентируемой, неориентируемой и т. п.). Движение частицы можно
описать переменной x{t), по которой мы интегрируем в интеграле
по путям, аналогичпо поверхность может быть полностью описа-
описана своей метрикой gab(V, I2), a-> 6 = 1, 2, по которой мы и долж-
должны интегрировать в интеграле по поверхностям. Итак, мы пред-
предполагаем, что нам задан континуум двумерных поверхностей в
.D-мерном пространстве. В этой главе мы всюду считаем, что
метрики двумерной поверхности и ?)-мерного плоского простран-
пространства имеют евклидову сигнатуру. Саму струну мы будем, как и
раньше, описывать координатой х*{%1, %2), \х, = 1, 2...D, где
g1, S;2 — евклидовы координаты поверхности. Поверхность миро-
мирового листа описывается метрикой
146
индуцированной вложением хи в .D-мерное пространство. Рассмот-
Рассмотрим следующий лагранжиан [113, 114]:
E.1.2)
Читатель узнает в нем бозонную часть лагранжиана спиновой
струны Брипка — Ди Векья — Хоу — Дезера — Зумишу (БДВХДЗ)
C.2.1). В лагранжиан E.1.2) входят две метрики: gab и ^аЬ. Мы
можем мыслить метрику ^аЬ как «классическую», описывающую
классическое движение струны, в то время как метрика gab пред-
представляет собой набор «квантовых траекторий», связывающих на-
начальное состояние с конечным. Классическая метрика должна,
как обычно, находиться из условия экстремума действия. Для
нахождения его запишем уравнения движения по gab и уаь- Ва-
Вариация действия по gab аналогична поиску минимальной поверх-
поверхности в теории поверхностей. Из E.1.2) находим уравнения
движения
вм = 0, E.1.3)
= ТаЬ = дах»дьх» - 4
Уравнение E.1.3) имеет решение
gab °°
* = Jab-
E.1.4)
E.1.5)
Подставляя E.1.5) в лагранжиан E.1.2), мы видим, что он сов-
совпадает с обычным лагранжианом бозонной струны Намбу — Гото *
= J 4Й"
-фух d2xf. E.1.6)
При этом уравнения движения для струнной координаты х"-
E.1.4) совпадают, разумеется, с уравнением движения струны
Намбу — Гото. В отличие от лагранжиана Намбу — Гото — весь-
весьма непривычного и не имеющего обычного «полевого» вида —
лагранжиан БДВХДЗ E.1.2) представляет собой двумерный ла-
лагранжиан взаимодействия D скалярных полей х" с гравитацион-
гравитационным полем gab- Поскольку классически он совпадает с лагран-
лагранжианом Намбу — Гото, оба могут быть с равным правом положе-
положены в основу построения квантовой теории бозонной струны.
Рассмотрим симметрии лагранжиана E.1.2). Мы их уже об-
обсуждали кратко в § 2 главы 3, однако здесь нам надо уделить
этому вопросу более пристальное внимание. Лагранжиан E.1.2)
инвариантен относительно:
1) общекоординатных преобразований
о /V7 f. I V7 V Y (O.I.I )
* В этой главе в соответствии со сложившейся традицией мы исполь-
используем несколько отличную от главы 2 нормировку а/, а именно: мы полагаем
«' = 1. Теперь, например, масса тахиона в закрытой струне, равная —4/а'
(т. е. ¦—8 в старых обозначениях), у нас будет равной —4 и т. д.
10*
147

2) конформных вейлевских преобразований
3) ?)-мерных Лоренц-преобразований
E.1.8)
Из курса дифференциальной геометрии известно, что мы всег-
всегда можем привести метрику двумерной поверхности к виду рбаЬ,
вводя так называемые изотермические (или ортогональные) ко-
координаты. Для этого нужно решить уравнение Бельтрами
дтI дгI
=0,
дг?
E.1.9)
gll
+
В новых координатах т\а метрика приобретает конформно-плоский
вид
ds2 = pdrfdi]0, g'ab = рбаЬ. E.1.10)
Подставляя gab = рбаь в E.1.2), мы убеждаемся, что лагранжиан
теперь не зависит от конформного множителя р, что является
следствием вейль-инвариантпости. Как мы уже знаем, хотя при
выборе изотермических координат мы уже зафиксировали коор-
координаты в соответствии с уравнением Бельтрами, метрика E.1.10)
допускает обширный класс координатных преобразований, не
меняющих конформного вида метрики. В самом деле, введем
комплексные координаты
z-^ + ig2, z = ll-it? E.1.11)
E.1.12)
E.1.13)
и перепишем E.1.10) в их терминах:
ds2 = p(z, z)dzdz.
Очевидно, при конформных преобразованиях
метрика E.1.12) переходит в
ds1 -v p (z, i) I ^L
dz di = e° ds2,
E.1.14)
-т-\ - В изотермических координатах действие E.1.2)
где о = In
приобретает простой вид
= 2 Г
J
дх»
2л dz q~z
E.1.15)
Оно, очевидно, также инвариантно относительно конформных
преобразований.
148
Таким образом, классически лагранжиан E.1.2) может быть
выражен в виде конформно-инвариантной двумерной теории поля.
При обсуждении бозонной струны в главе 2 мы подчеркивали,
что конформная инвариантность является необходимым условием
для построения непротиворечивой и унитарной теории взаимо-
взаимодействия струн. Если мы хотим, чтобы квантовая теория имела
столько же степеней свободы, сколько и классическая, то мы
должны настаивать на выполнении конформной симметрии.
В данпом случае конформная симметрия играет роль, аналогич-
аналогичную калибровочной инвариантности в электродинамике или тео-
теории Янга •— Миллса. В то же время это всего лишь аналогия
и вопрос о возможности построения непротиворечивых теорий
струны с нарушенной конформной симметрией остается откры-
открытым. Ниже мы вернемся к проблеме конформной инвариантно-
инвариантности струны Полякова.
Итак, мы рассмотрим следующий функциональный интеграл
с лагранжианом E.1.2):
п л/..11. - \
E.1.16)
Это выражение не определено, пока мы не зададим меры интегри-
интегрирования 2&gab и 2?>х*. Поляков предложил использовать в каче-
качестве определения меры интегрирования следующие ультралокаль-
ультралокальные (т. е. не зависящие от производных) выражения:
E.1.17)
E.1.18)
Выражения E.1.17) — E.1.18) по построению инвариантны отно-
относительно общекоординатных преобразований, в то же время, под-
подставляя метрику в виде E.1.10), мы убеждаемся, что меры ин-
интегрирования зависят от конформного множителя р. К сожале-
сожалению, с этим пичего нельзя поделать. Не существует определения
меры, удовлетворяющего всем симметриям классического дей-
действия. Согласно Фудзикаве (см. § 3 гл. 1), неинвариантность
меры относительно вейлевских преобразований должна привести
к нарушению вейль-инвариантности при квантовании. Пока что
нам приходится смириться с пеипвариантностыо меры и изучить
зависимость функционального интеграла E.1.16) от конформного
множителя, надеясь сократить ее тем или иным способом.
§ 2. КОНФОРМНАЯ АНОМАЛИЯ
Прежде чем приступать к вычислению интеграла E.1.16),
прервемся на некоторое время и обсудим конформную аномалию.
Ранее мы лишь вскользь касались ее, между тем как для пони-
понимания свойств функционального интеграла Полякова она имеет
решающее значение.
149

Напомним определение тензора энергии-импульса квантовой
теории поля [175—177]:
^~ Ve 6*«"' E-Л>
где S — действие. Предположим, что наша теория инвариантна
на классическом уровне относительно конформных вейлевских
преобразований метрики
й»-»-ев<ж)?|»(:г), аГ^аГ. i E.2.2)
Тогда из инвариаптиости S следует
или, подставляя -g- = g
6.9 uv 6;
мы получаем
E.2.3)
Таким образом, след тензора энергии-импульса классической тео-
теории поля, инвариантпой относительно вейлевских преобразова-
преобразований, должен быть равен нулю.
Однако при квантовании теории в ней неминуемо появляют-
появляются расходимости, и мы должны регуляризовать ее. Подчеркнем,
что не существует регуляризации, соблюдающей конформпую ин-
инвариантность. Проще всего рассмотреть размерную регуляриза-
регуляризацию, т. е. квантовать теорию не в D измерениях, а в D — 8. Одна-
Однако если действие конформно инвариантно в D измерениях, то в
D — е измерениях оно уже не инвариантно. Например, взаимо-
взаимодействие EйфJ + А,ф4 инвариантно в D = 4, но при переходе в
4-е константа связи Я становится размерной, Я ~ и.8, где ц, —
некоторый массовый параметр. Поэтому в D — е измерениях след
тензора энергии-импульса в общем случае больше не равен нулю:
E.2.4)
Оператор М- в правой части может содержать расходимости, ко-
которые в методе размерной регуляризации приводят к полюсам
по е [176]
о(е).
E.2.5)
Подставляя E.2.5) в E.2.4), мы находим, что при снятии регу-
регуляризации, т. е. в пределе s -*¦ 0,
(VgK} = s?1. E.2.6)
Наш вывод демонстрировал лишь идею. Однако он вполне общий
в том смысле, что ответ E.2.6) не должен зависеть от регуляри-
регуляризации и оператор s4-\ в правой части — конечный и хорошо
определенный. Существуют теории, такие как знаменитая
150
N = 4 суперсимметричная четырехмерная теория Янга — Миллса,
некоторые двумерные о-модели с членом Весса — Зумино [178],
в которых в силу специальных сокращений s4-\ = 0. Однако в об-
общем случае конформпо-инвариаптная классическая теория имеет
конформную аномалию на квантовом уровне, задаваемую отлич-
отличным от нуля следом квантового тензора энергии-импульса, т. е.
оператором s4-\. В методе Фудзикавы конформная анома-
аномалия, как обычно, возникает из-за неинвариантности меры инте-
интегрирования при конформных преобразованиях. В приложении А.8
мы приводим пример вычисления конформной аномалии с по-
помощью метода, схожего с методом Фудзикавы.
Уравнение конформной аномалии E.2.6) можно красиво за-
записать на функциональном языке. Как известно, среднее любого
оператора в методе функционального интегрирования имеет вид
(ф, У ¦ ¦ ¦)
Г
<?-S(<P,i|>...)
E.2.7)
Определим эффективное действие формулой (см., например,
[255])
Тогда, поскольку
= —L—, мы имеем с учетом E.2.7)
Для следа
1_
Z
мы имеем
8Z
6Г
6Г
E.2.8)
E.2.9)
Таким образом, в методе функционального интегрирования кон-
конформная аномалия проявляется в зависимости эффективного дей-
действия Г от конформного множителя о. Возвращаясь к струне По-
Полякова, мы видим, что нам необходимо исследовать зависимость
¦функционального интеграла по поверхностям E.1.16) от р = еф
и выяснить, можно ли и когда сократить неизбежную конформ-
конформную аномалию.
§ 3. ФИКСАЦИЯ КАЛИБРОВКИ
Для определения интегрирования по S)gab нам нужно выра-
выразить SDgab через параметры общекоординатного и вейлевского
преобразований. Для этого запишем наиболее общую вариацию
метрики в виде
bgab = Vaeb + Vb8a + берега, E.3.1)
151

•ш
где 8а — вариации координат E.1.7); бф — конформный фактор;
р = ехр(ф). Удобно выделить в bgab бесследовую часть
б gab = bhab + 6(p'gab,
bhab = va8b + vb8o _ gabV'Ec, ga
бф' = бф + vcgc.
E.3.2)
Представим 5Aa6 в виде
P\ab =
Pi — дифференциальный оператор первого порядка, переводящий
ковариантные векторы в бесследовые тепзоры. Это еще один при-
пример оператора, переводящего из одного векторного пространства '
в другое. По определению сопряженного оператора мы имеем
J d2g V'gbKbiP^ = J cPg VV (Р+6й)«
откуда для сопряженпого оператора Р* находим
(Р+бй)= = — 2Va6/*ao E.3.4)
Этот оператор переводит, наоборот, бесследовые тензоры в кова-
ковариантные векторы. Подставляя разложение E.3.2) в определение
меры WbgabW2 E.1.17), мы получаем, учитывая ортогональность
gab И 8hab,
\\8gabf =
[2бФа
E.3.5)
Метрический тензор 8gab имеет три независимые компоненты, ко-
которые мы всегда можем выразить через ф и <ео. Воспользовавшись
E.3.5), находим
Of)a , ОГ)гг,ОГ)Ь , &ГIт\СТ)с (riot Р~*~ Р \1/2 /с о ал
=^-^Sao — oi/Yei/fbQj) — =z>v|j =i>&c I uci x ^ x 2 у • l О. О «01
Якобиан перехода от 3)hab к 2)ес оказывается детерминантом опе-
оператора Рх Рх. При этом мы использовали следующее естественное
определение меры llejl2:
||ес||2 = JcPg/igab8aeb. E.3.7)
Очевидно, эта мера не зависит от конформного множителя р и
поэтому не может вносить конформных аномалий. Перепишем
функциональный интеграл E.1.16) в новых переменных:
Z= f «SL ^.^^(detP+PO1'1*-8^, E-3.8)
где мы ввели в меру символические бесконечные множители,
Qw—«объем группы Вейля» и Qdim—«объем группы общекоор-
дипатных преобразований», или, как часто говорят, диффеомор-
152
физмов. Читатель, знакомый с процедурой квантовапия поля
Япга — Миллса по Фаддееву — Попову, узнает здесь обычное вы-
делепие тривиального бесконечного множителя, связанного с объ-
объемом калибровочной группы. Поскольку 2Dza не зависит от кон-
конформного множителя, действие и мера инвариантны относительно
общекоординатных преобразований и мы не предполагаем воз-
возникновения гравитационных аномалий, фактор iZ>eo/?2Diff можно
просто опустить.
Интеграл по ??>х* можно «вычислить». В самом деле, перепи-
перепишем действие S в виде
"У gx11 Ах*, E.3.9)
Д — скалярный оператор Лапласа
л
А =
V S
Тогда интеграл по 3)х* даст
= (det
E.3.10)
В принципе эта формула не совсем точна, так как лапласиан на
скалярных функциях имеет нулевую моду х* = const, но пока что
для нас ее вклад несуществен. Подставляя E.3.10) в E.3.8)
ж опуская фактор ?DsJQi>i«, мы получаем
f ^- (det
(det
E.3.11)
Входящий сюда оператор Pi Px переводит векторы в векторы,
т. е. хорошо определен. Явно он имеет вид
a = Vй
Vaeb -
E.3.12)
и довольно сложно зависит от метрики. В принципе детерминант
оператора Р\Р± можно вычислить, например, в нормальных ко-
координатах, используя методы приложения Л. Однако значительно
проще воспользоваться спецификой двумерия и выразить все
операторы в терминах конформно-плоской метрики E.1.10). Как
известно [174, 179], в конформных координатах операции кова-
риантного дифференцирования приобретают диагональный вид
и вычисления с ними несравненно упрощаются.
§ 4. КОМПЛЕКСНЫЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Поскольку па любой двумерной поверхности мы можем (ло-
(локально) ввести комплексные координаты E.1.11) — E.1.12), по-
поверхность, заметаемая струной, естественно, оказывается одно-
одномерным комплексным многообразием. В топологии доказывается,
¦что каждая двумерная ориентируемая поверхность с конечным
153

Рис. 20. Конформное отобра-
отображение концентрического коль-
кольца с модулем d = Rs/Ri на
кольцо с тем же значением
модуля г2/п.
числом проколов или вы-
вырезанных дисков является
римановой поверхностью,
т. е. такой поверхностью,
координаты которой — комплексные числа, а функции перехода
от одной координатной системы к другой — аналитические функ-
функции координат. В связи с этим комплексный язык естественно
возникает в теории струн (в евклидовой области) и, как мы убе-
убедимся, обеспечивает огромные упрощения. Итак, запишем метри-
метрику в комплексных координатах:
ds2 = pdz dz = gz- dz dz + g-z dz dz, E.4.1)
откуда
gzz = g~ = 0,
P =
Нашей целью в этом параграфе является построение комплексно-
комплексного аналога обычного тензорного анализа. Проделанная здесь ра-
работа с лихвой искупит себя в дальнейшем. Прежде всего под-
подчеркнем важное обстоятельство, о котором мы умолчали выше:
хотя всякая метрика двумерной поверхности может быть приве-
приведена к виду E.4.1), не всякие две метрики gz\ и g^ связаны
между собой конформным преобразованием w — f(z). He вдаваясь
пока в детали, поясним идею: например, как известно из курса
ТФКП, два концентрических круговых кольца могут быть кон-
конформно отображены друг на друга тогда и только тогда, когда
модули их, т. е. отношение d—R<ilR\, совпадают (рис. 20). Таким
образом, все кольца с данным значением модуля d оказываются
конформно-эквивалентным друг другу, или образуют, как гово-
говорят, конформный класс; кольца с другим значением модуля d'
образуют другой класс и т. д. Все кольца разбиваются на классы
конформной эквивалентности, параметризуемые одним веществен-
вещественным числом — модулем d, I < d< °°. To же имеет место для про-
произвольной римановой поверхности рода g, т. е. замкнутой ориен-
ориентируемой двумерной поверхности с g ручками (рис. 21). Все мет-
метрики на ней разбиваются на классы конформной эквивалентности,
параметризуемые 6^—6 вещественными модулями; более того,
это 6^ — 6-мерное вещественное пространство является на самом
деле 3g — 3-мерным комплексным пространством, именуемым
пространством Тейхмюллера [182, 183].
Читателю, который любит аналогии, можно напомнить, что
подобная ситуация возникает при квантовании поля Янга —
154
Рис 21. Риманова поверхность ро-
рода 3 — сфера с тремя ручками.
Миллса. Напомним, что, квап-
туя его согласно Фаддееву —
Попову, мы предполагаем, что
отбираем однозначно представи-
представителя каждой орбиты As, одна-
однако благодаря феномену Грибо-
Грибова [184] каждая орбита разби-
разбивается на классы, не связанные
(несингулярным) калибровочным преобразованием. После фик-
фиксации калибровки остается зависимость поля Аа от пространства
модулей Янга — Миллса [185], которое известно значительно ху-
хуже, чем пространство модулей (Тейхмюллера) римановой по-
поверхности.
В этом параграфе мы предполагаем, что рассматриваем от-
отдельно каждый конформный класс и не касаемся свойств про-
пространства Тейхмюллера. Соответственно все формулы будут
справедливы лишь локально. Рассмотрим произвольный вещест-
вещественный тензор T^vx...! преобразующийся как
-'а'
H'v'X'...
Мы всегда можем представить его в виде набора комплексных
тензоров Tllz.'.., ^zzi ' ^zzi • ¦ • с различным числом z и z ин-
индексов. По определению, тензор с к z-индексами и I z-индекса-
z-индексами преобразуется как
z...z
h
dz
d )
E.4.3)
Заметим, что тензоры с z-индексами можно превратить в тензо-
тензоры только с z-индексами с помощью метрики gx~:
T-Zgz'z = T\ E.4.4)
где тензоры с верхними индексами преобразуются по закону,
обратному к E.4.3):
E.4.5)
dz
dz
Используя закон преобразования метрики gz- при конформных
преобразованиях координат
dz ) \d~z J §zz'
E.4.6)
155

читатель легко проверит, что правило E.4.4) согласуется е
E.4.3), E.4.5) — E.4.6). Условимся при подсчете z-индексов
нижние брать со знаком «плюс», верхние — со знаком «минус».
Тензор с т верхними индексами и п нижними индексами преоб-
преобразуется как
rz...z
Z...Z
dz
rpW.. .W
E.4.7).
Обратим внимание, что наше соглашение о знаке числа индексов:
выбрано в соответствии с правилами преобразования дифферен-
дифференциалов и отличается знаком от соглашения Альвареса [186]. Оп-
Определим, следуя [174, 179], два типа ковариантных производных:
VI =
E.4.8>
Индекс / подчеркивает, что эти производные должны действовать
па тензоры типа +/. Производная VJ переводит тензоры типа /
в тензоры типа / — 1. В самом деле,
поскольку d~z не действует на (~^~) • Производная У3., действуя
на тензоры типа /, переводит их в тензоры типа / + 1. Проверку
этого свойства мы предоставляем читателю. Ковариантные про-
производные VJ и У^не коммутируют. Вычисляя их коммутатор, мы
находим
¦jt^g"d2dzing1/2
- vr'vj) iG) =
J_
2
E.4.10)
Имея тензоры и ковариантпые производные, мы можем строить
ковариантные величины в терминах комплексного тензорного-
анализа (в книге Векуа [174] они называются «ковариантами»).
Введем удобную для дальнейшего терминологию, общепринятую
в книгах по римановым поверхностям. Например, вместо тензора
вида tz...z
мы можем рассматривать выражение
t = tz...z(dz)\
E.4.11)
являющееся инвариантным относительно конформных преобра-
преобразований. При к = 1 t — обычный дифферепциал (на римановож
156
поверхности такие дифференциалы называются абелевыми [180,
181]). Назовем по аналогии со случаем к = 1 тензоры вида tz__z
k.
к-дифференциалами. Имеет смысл рассматривать к > 0 и к < 0.
При к = 0 мы имеем просто функции. Каждый вещественный
вектор |а имеет ^-компоненту и ?- -компоненту. Обозначим век-
векторное пространство 1-дифференциалов -|z через К, а векторное'
пространство комплексно-сопряженных дифференциалов |- че-
через К. Аналогично пространство /-дифференциалов назовем К3,
а сопряженное ему — К3. Элемент из К3 преобразуется как
/-я степень элемента из Х-абелева дифференциала. Смешанные
тензоры типа tz z~ - мы всегда можем перевести в К5 или в К3,
умножая t на соответствующую степень gz~ (см., напри-
например, E.4.4)).
Для дальнейшего нам нужно ввести понятие свертки комп-
комплексных тензоров, иными словами, инвариантный интеграл. Для
/-дифференциалов Т\ S3' определим свертку как
(g^yrS3. E.4.12)
Отсюда легко найти операторы, являющиеся сопряженными к
введенным выше ковариантным производным. Например, рас-
рассмотрим свертку вида
)' (g"d-Tu+1)) S(j) = - J
= - J d2^z2- (gz~zY+1T(j+1\iS(j\
т. е.
E.4.13)
E.4.14)
3
Оператор VJ действует какУ^: К3 —v К3 ", в то время как сопря-
сопряженный оператор—согласно (У|) : К3~1 —*-К3. Теперь мы можем
ввести два типа лапласианов, т. е. операторов второго порядка,
переводящих К3 в К3:
д+ _ 2У3'~гУт-
Из E.4.10) следует, что они просто связаны между собой:
Д+ _ Д- = jR. E.4.16)
Поскольку кривизна римановой поверхности постоянна (положи-
(положительна для сферы, gr = O; равна нулю для тора, g = 1; и отрица-
отрицательна в случае g < 1), эти лапласианы отличаются на констан-
константу. Оба они имеют вид (v)+v, т. е. сопряжены и положительны.
157

щ
Фактор 2 выбран с тем условием, чтобы для / = 0 лапласиан
Ао = До совпадал с обычным А = — 4р
-1 а*
dzdz
До сих пор мы рассматривали только конформные преобра-
преобразования координат, при которых всегда 8gzz = 0, 8g— = 0. Ниаде
нам понадобятся формулы вариации ковариантных производных,
кривизны и т. д. при произвольных преобразованиях координат
вида
6ds2 = 8(pgz-dzdz + 8gzz(dzf + 8g-z-(dzJ. E.4.17)
Преобразования такого вида с 8gzz, отличным от нуля, называют-
называются «деформациями комплексной структуры»: мы выбрали задан-
заданную комплексную структуру, характеризующуюся метрикой
E.4.1), E.4.2), а затем деформировали ее, после чего она уже
не имеет конформно-плоского вида. Очевидно, такого эффекта
нельзя достичь конформным преобразованием координат. Пре-
Преобразования типа E.4.17) называются квазиконформными [182,
183, 204, 205]. Ниже мы увидим, что вся информация о модулях
содержится в 8gzz. В заключение приведем без доказательства
формулы вариации ковариантных величин при преобразованиях
E.4.17). Подробпый вывод можно найти в работе [179]:
= - /V2 (ficp) - 4
-L Vz (8gzz),
+ -^VZ (8gzz),
E.4.18)
8R = (-
- R) бФ -f-
§ 5. D= 26 КАК СЛЕДСТВИЕ
ВЕЙЛЬ-ИНВАРИАНТНОСТИ
Применим аппарат предыдущего параграфа в струне Поляко-
Полякова. Нам нужпо вычислить детерминанты операторов, входящие
в E.3.11):
(detPtP1I/2(detArD/2J E.5.1)
где Д — скалярный лапласиан, a Pi действует на векторы соглас-
согласно E.3.12). Сейчас мы покажем, что эти операторы просто выра-
выражаются через комплексные лапласианы, введенные в § 4. Прежде
всего напомним, что Pi переводит ковариантные векторы в сим-
симметричные бесследовые тензоры 8hab, gab8hab = 0. Поскольку в
конформных координатах gzz — g" = 0, мы получаем 8hz- = 0.
Представим вектор е,, символически в виде е2 ф е-, где ег е К,
e-z ^ К. Удобно записать любой бесследовый тензор ранга j
(/-дифференциал) в виде [186]
E.5.2)
158
в частности
е =
g
Оператор Pi, переводящий столбец е в столбец б/г, может быть
записан в комплексных координатах как
J E.5.3)
т. е. 8hzz = Vzez, 8h-z- = (^JVze2. Мы предоставляем читателю воз-
возможность убедиться в этом другим способом, рассмотрев произ-
произвольный инфинитезимальпый диффеоморфизм z -*• z + е (z, z)
метрики gz- dz dz.
Сопряженный оператор Рг , согласно E.4.14), равен в комп-
комплексных координатах
С} IX E.5.4)
Отсюда мы находим нужный нам оператор
Р+Р -
1 г~~
0
E.5.5)
Отвлечемся на минуту и найдем обобщение оператора Р, на слу-
случай произвольных /-дифференциалов E.5.2). Дело в том, что
при квантовании по Полякову спиновой струны Неве — Швар-
Шварца — Рамона возникают операторы, соответствующие / = 3/2, 1/2,
так что полезно иметь общее выражение. Даже и в нашем слу-
случае бозонной струны мы сможем выразить скалярный лапласиан
и оператор Р^Р% единым образом, если введем следующий опе-
оператор:
0 VL
0
E.5.6)
Определим теперь два типа вещественных лапласиапов Df и Dj—%
[186], действующих на /-дифференциалы
Vi
0
) AZJ
По правилу перемножения детерминантов мы имеем
det Df = det
f det А±, = det Vj+Iv? det
= det' VJVJ+1 det VTi~1VLi,
159
E.5.7)
E.5.8)
E.5.9)

где мы воспользовались тем обстоятельством, что под знаком де-
детерминанта мы можем переставлять операторы. Заметим, однако,
что манипуляции E.5.9) в общем случае имеют лишь формаль-
формальный смысл. Дело в том, что операторы V|+1 и VI определены на
различных дифференциалах и потому могут иметь различные
нулевые моды (см. ниже, § 8). Поэтому равенство
справедливо только без учета нулевых мод. Штрих у знака де-
детерминанта здесь и далее означает, что в нем учтены только
ненулевые моды. Нетрудно показать, с учетом этой оговорки,
что спектр оператора VJVJ+1 совпадает со спектром Vz 3 ~VL3--
В самом деле, пусть (—/)-дифференциалы ц>п3 являются соб-
собственными фупкциями уравнения
V7J'xV-^nJ = К<рп}, E.5.10)
определим (; + 1) -дифференциалы
согласно
E-5.11)
Тогда, действуя на обе части уравнения E.5.10) оператором YL,-
и беря комплексное сопряжение, мы получаем после очевидных
преобразований
?4 E.5.12)
иначе говоря, каждой функции <рп J с собственным значением
Хп ^ 0 соответствует ^п+1 с тем же значением Яп. Напомним, что
все входящие сюда операторы самосопряжены, так что собствен-
собственные числа Я„ вещественны. Далее, поскольку det = IIXn, имеет
место равенство
def V jVj+1 = def Vr'^Vl,-, E.5.13)
т. е.
Применим эти формулы к статсумме струны Полякова. Нам
иужпы детерминанты следующих операторов:
(det A)~D/2 = (def V7xVIYDI2l = (def At)~DI%
(det Р+РгI/2 = def V72VXZ = def Д±х.
E.5.15)
Из равенства E.5.13) следует важное условие для проверки вы-
вычислений: детерминант оператора PfPj должен быть инвариант-
инвариантным при замене / -ч (/+1) [70, 186]. Итак, нам нужно вычис-
вычислить следующую комбинацию детерминантов:
\±г. E.5.16)
160
Детерминант произвольного оператора Д* вычислен в приложе-
приложении А.9. Приложение А содержит также подробное обсуждение
свойств функциональных детерминантов и методов их вычисле-
вычисления. Мы настоятельно советуем читателю, прежде чем идти
дальше, проштудировать его и самостоятельно произвести при-
приведенные там выкладки. Ответ имеет вид
-61ndetA±j=
или, интегрируя по р>,
- In det A±, = 1+6
E.5.17)
1) Jd*ii-
^ J* + ,АЧ, E.5.18)
где р = Т/g = еф, \х2 — некоторая константа размерности массы.
Появляющийся здесь полином 1 + 6/(у+ 1) нам хорошо известен.
Он равен 6^2 (— /), где В2 — второй полином Бернулли. Таким
образом, детерминанты всех операторов Pj Pj имеют универсаль-
универсальный вид, отличаясь только коэффициентом. С точки зрения функ-
функционального интеграла In det А_э- пропорционален эффективному
действию Г-j. Тогда из E.5.17) следует
6Г_, 1 + 6/ (/ + 1) y-gR]
—1
бф
E.5.19)
т. е. уравнение конформной аномалии. Как мы и предполагали,
вся зависимость эффективного действия от фактора ф определя-
определяется конформной аномалией, которая в случае двумерного ска-
скалярного поля имеет вид Vgi? (см. прил. А.8). Наконец, из
E.5.18) следует, что det A~tt равен det А* в 13-й степени. Под-
Подставляя E.5.18) в E.5.16), мы получаем, что вся зависимость
от конформного множителя ф может быть записана как
48Я , E.5.20)
— w
где Sz. — действие Лиувилля:
2? [(даф)а + Ц2еф] • E.5.21)
Таким образом, хотя детерминанты операторов Aj имеют отлич-
отличную от нуля конформную аномалию, при D = 26 она в точности
сокращается между детерминантом оператора Лапласа А и де-
детерминантом Фаддеева — Попова Р^РХ. Мы вновь приходим
к хорошо известной критической размерности, но на этот раз
можем понять ее глубже: условие D = 26 является необходимым
для сохранения на квантовом уровне всех классических симмет-
симметрии, включая преобразования Вейля. При D = 26 зависимость от
Ф исчезает и мы можем опустить фактор ^25ф/?2тг. Из E.5.20)
видно, что D не может быть больше 26, ибо в этом случае эф-
эффективное действие в экспоненте становится отрицательным. При
11 Ю. Н, Кафиев
161

D < 26 конформное поле ф становится динамическим и в прин-
принципе мы можем определить «струну» при D < 26 как теорию
E.5.20) с действием Лиувилля E.5.21). Квантованию теории
Лиувилля посвящена обширная литература [187], хотя, на наш
взгляд, вопрос так до конца и не выяснен. По-видимому, теория
Лиувилля тривиальна как квантовая теория поля [187] и вряд
ли может быть использована для описания какой-либо разумной
теории. С учетом сказанного выше ясно, что в настоящее время
условие D = 26 считается необходимым и нарушение конформ-
конформной симметрии совершенно недопустимо. Ниже мы будем всюду
предполагать, что мы работаем в критической размерности D = 26.
Заметим, забегая вперед, что анализ, проведенный в этом па-
параграфе, справедлив, строго говоряг только для простейшей ри-
мановой поверхности сферы. В общем случае, когда в рассмот-
рассмотрение включаются модули, проверка отсутствия конформной
аномалии требует учета некоторых технических деталей. Тща-
Тщательный анализ, проведенный Муром и Нельсоном [210], пока-
показывает, что при D = 26 конформные аномалии сокращаются на
римановой поверхности произвольного рода. Ниже мы явно по-
построим (хотя и несколько иным способом) меру интегрирования
по модулям и покажем, что при D = 26 она не зависит от кон-
конформного множителя.
§ 6. АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
И АНАЛОГОВАЯ МОДЕЛЬ
В предыдущем параграфе мы выяснили, что статсумма Z,
т. е. сумма всех вакуумных диаграмм, не имеет копформной ано-
аномалии при D = 26. Вообще говоря, этого недостаточно для дока-
доказательства конформной инвариантности струны Полякова в кри-
критической размерности. Нам необходимо доказать, что в рамках
струны Полякова возможно ввести согласованным образом взаи-
взаимодействие так, чтобы амплитуды рассеяния также не содержали
конформных аномалий.
Поляков [70] предложил в качестве вершипы тахиона замк-
замкнутой струны следующее выражение, записанное в общековари-
антном виде:
E.6.1)
Л^ тахионов запишется как вакуум-
вакуумоператоров V(k):
F(*) = J
Тогда амплитуда рассеяния
ное среднее произведения Л^
а (к,... kN) = \л&гУШ)\
E.6.2)
Фактор yg, присутствующий в этих формулах, необходим с точ-
точки зрения общекоординатной инвариантности, в то же время,
поскольку У' g ~ е", возникает подозрение, что вершина F, ас ней
и амплитуда А (к\ ... к&) зависят от конформного множителя и
определение E.6.2) не имеет смысла. Ниже мы выясним, что
это не так и операторное среднее экспоненты <ег**ш> также име-
имеет конформную аномалию, в точности сокращающую фактор е",
проистекающий от Уg. Иными словами, оператор eihx не явля-
является скаляром относительно группы Вейля и преобразуется как
тепзор веса —1:
<гк-х\ —о / Лк-х\
е )eSg = e \е /8-
E.6.3)
Мы выясним это обстоятельство в процессе вычисления ампли-
амплитуды рассеяния E.6.2). Функциональный интеграл Полякова без
вершин мы уже вычислять умеем, а их присутствие впосит литпь
небольшие усложнения. Введем для удобства фиктивный источ-
источник /(§):
E.6.4)
и запишем произведение е
в виде
Теперь сделаем сдвиг переменной интегрирования ж", х* -*¦ х* + rf
ж подберем «классическое» поле г\» из условия сокращения в
экспоненте линейного по х* члена [188]. Это дает уравнение
па rf ...,••.¦•• wes*|
djg{f*dbi\» = -2я/». E.6.5)
Оно легко решается с помощью функции Грина оператора Лап-
Лапласа ^
ф Vh) б2(^Г). E-6.6)
, Г) = -
и решение имеет вид
(g, Г) =
E.6.7)
Теперь интеграл по ?Dx* вновь принимает первоначальный вид
E.1.16). Интегрирование по ?Dx»2Dgab приводит к появлению
действия Лиувилля E.5.20), E.5.21), а в D = 26 вообще дает
константу. Таким образом, в критической размерности после
подстановки E.6.4) — E.6.6) в E.6.2) мы получаем следующее
выражение для амплитуды рассеяпия N тахиопов:
AfG(gi, Ш X
J
J
X ехр Г- 2я S. G (gt> %,) Af- kf\.
E.6.8)
162
li*
163

Локальность вершины V(k) привела к появлению в экспоненте
неопределенной величины (?(!,-, I,-).' Как известно из курса
электростатики [189], двумерная функция Грина при малых
11 — 1 I2 ведет себя как lnll —1'|, т. е. сингулярна в пределе
совпадающих аргументов. Поэтому мы должны прежде регуля-
ризовать ее. Поскольку расходимость на малых рассеяниях свя-
связана с плохой сходимостью ряда для функции Грина в области
больших частот, Поляков предложил следующее регуляризован-
ное выражение:
GTeg(E,, ?') = ^—-—j-2- е п, Аф„==Х„ф„. E.6.9)
п п
Здесь мы можем безбоязненно положить 1 = 1'. Предел Giee при
е "*¦ 0 подробно вычислен в приложении А. 10. Удивительной осо-
особенностью является появление зависимости от ф
Greg(?,g) = — -A Ins— ^-ФA)- E.6.10)
Как хорошо известно [190], при несовпадающих аргументах
функция Грина конформно-инвариантна. Подставляя E.6.10)
в E.6.8), мы получаем, что вся зависимость подынтегрального
выражения от ф имеет вид
N
п«
иными словами, амплитуда конформно-инвариантна только в том
случае, когда все внешние импульсы тахионные, к\ = — 4 . Из
E.6.10) следует также формула E.6.3) для вакуумного среднего
одной вершины. С точки зрения квантовой теории поля функция
Грина оператора Лапласа А есть пе что иное, как вакуумное
среднее произведения полей
о J-l/™* yg ?/\ /\у,№ /?\ «V /?'V \ ^ 1 I f* t'12 ? fc '
а сингулярность функции Грина на малых расстояниях соответ-
соответствует сингулярности в операторном разложении полей ж" [256].
Ниже при рассмотрении двумерных конформных теорий мы бу-
будем интенсивно использовать эту терминологию.
Поучительно сравнить полученные здесь результаты с обсуж-
обсуждением конформных свойств вершины тахиона в § 7 главы 2.
Там, исходя из коммутационных свойств вершины с операторами
Виразоро, мы установили, что вершина является конформной
плотностью веса к212, т. е. —1 для тахиона, здесь мы пришли
к аналогичному результату из совсем других соображений. Пол-'
ностью связь между двумя подходами станет ясной ниже, когда
мы построим операторы Виразоро методами струны Полякова.
* См. сноску на с 147.
164
Вернемся к амплитуде А {к\ ... kN). Поскольку паши выклад-
выкладки никак не учитывали модулей, выведенные формулы имеют
место только для поверхности рода ноль, т. е. сферы. С точки
зрения теории возмущений поверхность рода ноль соответствует
древесным диаграммам. На сфере функция Грина известна явно
где мы вновь ввели комплексные координаты z = l'+il2. Сейчас
мы рассматриваем взаимодействие замкнутых струн, в которых,
как мы знаем, есть правые возбуждения, соответствующие z,
и левые, соответствующие z. Поэтому в формулу E.6.11) входит
квадрат модуля. Подставляя функцию Грииа E.6.11) в выраже-
выражение для амплитуды E.6.8) (где мы можем теперь опустить про-
мы получаем весьма знакомую формулу
изведение ехр ф
уд ()
( &? \
I 1 + — I),
А {К . . . kN) =
E-6.12)
Она напоминает амплитуду Кобы — Нильсена для открытых
струн, хотя и не совпадает с ней. Амплитуда E.6.12) также об-
обладает циклической симметрией, характерной для дуальных амп-
амплитуд, и так же расходится, как и амплитуда Кобы — Нильсена.
Все дело по-прежнему в том, что сфера обладает непрерывной
группой автоморфизмов [181, 190], которая есть не что иное,
как группа Мёбиуса:
z-v^lib, ad-bc = l. E.6.13)
cz -\- a
В отличие от открытой струны, здесь параметры преобразования
а, Ъ, с, d могут быть комплексными. Теперь, действуя совершен-
совершенно аналогично случаю открытой струны (§6 главы 2),' мы вы-
выделяем объем группы Мёбиуса, фиксируем три произвольные
точки и т. д. В простейшем случае рассеяния 2 -*- 2 мы получаем
выражение
A (s, t, и) =
E.6.14)
где теперь а (s) = 2 + -~ s. Здесь, как в формуле Венециано
B.6.34), мы восстановили размерность, введя «'. Амплитуда
E.6.14) была впервые получена в работах Виразоро и Шапиро
[165] как альтернатива амплитуде Венециано. Позже было вы-
выяснено, что эти две формулы исчерпывают список возможных
165

дуальных амплитуд 2 -*- 2, причем формула Венециано соответ-
соответствует открытой струне, а формула Виразоро — Шапиро
замкнутой.
Рассмотрим снова интеграл E.6.8). Выражение в экспоненте
очень напоминает электростатическую энергию системы зарядов
кг, расположенных в точках §,. Поскольку двумерная функция
Грина растет на больших рассеяниях, полный заряд 2 kf дол-
должен быть равен нулю во избежание инфракраспой катастрофы.
Напомним, что требование равенства нулю полного заряда дву-
двумерной системы имеет далеко идущие следствия, обеспечивая,
например, удержание кварков [193]. Сама же амплитуда E.6.8)
может быть проинтерпретирована как статсумма соответствующей
электростатической системы. Таким образом, возникает красивая
аналогия между дуальными (струнными) амплитудами и элек-
электростатикой. Впервые она была подмечена Нильсеном [194] еще
на заре развития дуальной теории и оказала большое влияние
на ее развитие, когда выяснилось, что многие известные резуль-
результаты из теории функций Грина на римановых поверхностях мож-
можно с успехом применять для изучения дуальных амплитуд. За-
Заметим, что если включить в рассмотрение модули, то формула
E.6.8) является совершенно общей и справедливой на любой
римановой поверхности, и если в нашем случае рода ноль ана-
аналогия с электростатикой выглядит почти тривиально, то для
диаграмм с произвольным числом петель она оказывается очень
полезной. Дело в том, что функции Грина на произвольной ри-
маповой поверхности можно выразить в терминах абелевых диф-
дифференциалов с заданными сингулярностями [155, 190, 258, 259]
или же прямо через обобщенные 9-функции Римана [260]. В та-
таком случае задача построения теории взаимодействия струн (или
теории сильных взаимодействий, как полагали физики в начале
70-х гг.) сводится к изучению электростатики на римановых
поверхностях. Крайним выражением этой точки зрения было
шутливое предложение Лавлейса [155] вместо постройки дорого-
дорогостоящих ускорителей ограничиться изготовлением из фольги
римановых поверхностей и измерением распределения токов на
ней. К сожалению, позже природа отобрала у нас прекрасную
возможность сэкономить.
§ 7. ДУХИ И U A) АНОМАЛИЯ.
ТЕОРЕМА РИМАНА —РОХА
Вернемся снова к статсумме струны Полякова Z E.1.16), ко-
которую мы будем изучать отныне в конформной калибровке
E.4.2). Действие БДВХДЗ приобретает вид
Мы предполагаем также, что работаем в D = 26 и можем опу-
опустить интегрирование по .25ф и ?De. После чего статсумма запи-
записывается как
pt V~2yz p—s{*P-) /с п п\
где мы подставили вместо det P^P\ его выражение E.5.15) в
конформных координатах. Детерминант оператора Vz V_x явля-
является детерминантом Фаддеева — Попова, связанным с выбором
координат («фиксацией калибровки»). Пример калибровочной
теории учит нас, что исследование ее несравненно упрощается,
если выразить детерминант Фаддеева — Попова с помощью ин-
интегрирования по фиктивным духовым полям, скалярным фер-
мионам. Напомним правила грассманова интегрирования, соглас-
согласно которым [197]
J d6i ехр
= det А,
E.7.3)
б, — элементы алгебры Грассмаиа, 0,-в}-= — 0Д-. Пользуясь E.7.3),
мы можем представить det Vlx в виде функционального интеграла
по антикоммутирующим духам cz и Ъгг [179]
det
-i = j
ехр (— 6" (b, с)),
E.7.4)
Здесь сг<^К~1, bzz^K2. Имея в виду изучать det Pj Pj при про-
произвольном 7, мы будем рассматривать также и общий фермион-
пый лагранжиан вида
S
+ с. с],
E.7.5)
где Ъа)—/-дифференциал, а с
а~з) —
A — j) -дифференциал. По-
Поdz dz
скольку операторы V] переводят из одного векторного простран-
пространства в другое, в данном случае, в отличие от обычной процедуры
квантования поля Янга — Миллса, нам приходится вводить два
типа духовых полей. Легко видеть, что действия E.7.4), E.7.5)
конформно-инвариантны при произвольном ;. В дальнейшем мы
не будем писать индексы у полей Ь, с. Подставляя V = g д-, мы
получаем
+ с.с), E.7.6)
т. е. S(b, с) вообще не зависит от метрики, подобно действию
S(x) E.7.1). Теперь статсумму струны Полякова можно за-
записать в виде
3)х*3)Ъ2}Ъфс35с ехр (— S (х) — S (Ъ, с)). E.7.7)
166
167

Из E.7.6) следуют уравнения движения на 6, с
д-Ъ = О,
д-с
О,
E.7.8)
в то время как из E.7.1) мы получаем хорошо известное уравне-
уравнение движения струны (уравнение Даламбера), записанное в ком-
комплексных координатах,
dzd-x» = 0. E.7.9)
из этих уравнений движения следует, что поля Ъ и с являются
конформными, т. е. зависят только от z, в то время как х* та-
таковым не является. Одпако, согласно E.7.9), мы можем разбить
хи на две половинки:
x»(z, 1) = x»{z) + x»(z), E.7.10)
где теперь x*(z) — конформное поле. Лагранжиан S(b, с) — про-
простейший пример так называемой конформной теории поля, кото-
которую мы рассмотрим подробно песколько позже. С другой стороны,
с точки зрения обычной теории поля, S(b, с) является фер-
мионным лагранжианом первого порядка по производным, при-
причем фермионы Ь, с и оператор Коши — Римана д- -киральные.
В самом деле, в § 9 главы 1 мы установили, что оператор
Дирака для киралыгых фермионов сводится в D = 2 к оператору
Коши — Римана дг, а сами правые поля зависят только от z (со-
(соответственно левые — от I). Будучи по своей природе фермион-
ным, лагранжиан S(b, с) вполне может иметь присущие фермио-
нам аномалии. Как заметил Фудзикава [195], лагранжиан E.7.5)
инвариантен относительно глобальных U(l) преобразований
eab,
ас.
E.7.11)
Опыт главы 1 заставляет нас заподозрить, что эта симметрия
должна иметь аномалию. Так оно и есть. Чтобы найти ее, опре-
определим «ток числа духов» j (z) согласно
](z) = -bc. E.7.12)
Это нотеровский ток, связанный, очевидно, с симметрией E.7.11),
и классически он сохраняется:
dzj - 0,
поскольку оба поля Ь, с зависят только от z. Аномалию в токе ;
можно вычислить обычным методом Фудзикавы. В данном слу-
случае он особенно поучителен, поскольку демонстрирует связь С/A)
аномалии E.7.11) с конформной аномалией и позволяет заодно
вывести важнейшую теорему Римана — Роха. Для нахождения
аномалии рассмотрим часть статсуммы E.7.7), связанную только
с полями Ь, с:
(J^) E.7.13)
—J2>u2>cexp(—J^
168
Для вывода тождества Уорда сделаем, как обычно, инфинитези-
мальную замену переменных интегрирования функционального
интеграла
Ъ -» еа1'-^Ъ, с -»- е-^^с
и потребуем
E.7.14);
E-7.15)
При замене E.7.14) действие S(b, с) приобретает добавку
- Jar **.-«--Jsr «^-
В то же время мера интегрирования преобразуется как
ас) = J(
E.7.17)
Для вычисления якобиана /(«) заметим, что мы можем фор-
формально рассматривать замену переменных E.7.14) как конформ-
конформное преобразование полей Ь, с. Может показаться, что факторы
еа. и е-<х взаимно сокращаются в E.7.17), однако это не так, по-
поскольку поля бис имеют разную конформную размерность —
соответственно / и 1 — /. Разложим как обычно поля Ъ и с по
ортонормированной системе собственных «функций» фп и ф^
(разумеется, с точки зрения своих трансформационных свойств
они никакие не функции, а дифференциалы соответствующих по-
порядков) E.5.10):
Ъ (z, 5) = 2 Фп (z, z) bn,
с (z, z) = 2 <р(пг-л (z, z)cn,
7
где Ъп и сп — грассмановы элементы (скалярные спиноры); фп —
/-дифференциалы; Фп — A — /)-дифференциалы. Эти диффе-
дифференциалы удовлетворяют, как следует из действия E.7.5), систе-
системе дифференциальных уравнений
E.7.19а)
E.7.196)
откуда мы получаем обычным способом (см. E.5.10) — E.5.12))
уравнения второго порядка на собственные «функции»
и аналогично для ц>71 }
& IO. H. Кафиев
E.7.20)
E.7.21)
169

Теперь якобиан / вычисляется совершенно стандартным спосо^
бом, как в § 3 главы 1, и ответ имеет знакомый вид
ехр
Г-
E.7.22>
Подставляя E.7.22) и E.7.16) в E.7.15) и варьируя, мы нахо>-
дим тождество Уорда
(д-J (*)> = S (ф?<р? - Ф$ГЛФ$ГЛ>- E-7.23)
Входящие сюда суммы мы регуляризуем, как обычпо, вводя
экспоненциальное обрезание *
(d-J (*)>
= lim
lim
= lim 2я
Г*Д^ — Tr e~t&*-l).
E.7.24)
След экспоненты лапласианов Aj мы вычисляли в приложении
А.9, и он уже использовался, разумеется, при вычислении кон-
конформной аномалии E.5.17). Подставляя в E.7.24) разложение
Швингера — Де Витта — Сили в D — 2 (см. А.9.17)
A?
2я Tr e~tA? = ^f + 2яа0 ( Д+) + о (*),
мы видим, что расходящиеся члены 1/2? в разности E.7.24) со-
сокращаются и ответ есть
(d-J (г)) = 2я (а0 (Д+) _ а0 (Д?_,•))• E.7.25)
Заметим в этой связи, что формулу E.7.24) можно переписать
в более привычной форме, в которой будет подчеркнута ее связь
с уравнением абелевой аномалии. А именно: вспомним определе-
определение «спинора» Ф E.5.2), где в качестве нижней компоненты
напишем Vi_j<p ~ . Тогда формула E.7.25) принимает вид
где у
= !
действует на пространстве спиноров Ф. След
в правой частя совпадает с общим выражением для индекса
Виттепа [169], через который, как мы уже упоминали в § 10
* Заметим, что собственные функции ц>3п ортонормированы относи-
относительно меры <12г/2я. Это служит причиной появления фактора 2ir в ниже--
следующих формулах.
170
главы 1, можно выразить индекс любого эллиптического операто-
оператора. Подставляя теперь значение нулевого коэффициента ао(Д^")
(формула (9.11) приложения А)
2ла0 (Д+) = -
L=
V~g R,
E.7.26)
мы получаем окончательно уравнение аномалии для тока числа
духов
E.7.27)
Согласно E.7.25), абелева аномалия в токе числа духов задается
как разность конформных аномалий лапласианов, действующих
соответственно на пространствах /- и A—/)-дифференциалов.
С/ A) аномалия равна нулю только при / = 1/2, когда конформные
размерности полей Ъ и с совпадают, а само действие духов
E.7.6) совпадает с действием Дирака.
Проинтегрированное уравнение аномалии должно дать нам
теорему об индексе для нашего оператора д-. Для вывода ее ис-
используем известную из дифференциальной геометрии формулу
Гаусса — Бонне для замкнутой римановой поверхности 2
E.7.28)
где g — род римановой поверхности. Топологический инвариант
%B) называется индексом Эйлера — Пуанкаре. Для вычисления
используем формулу E.7.23). Поскольку все собственные «функ-
«функции» ср„ ортонормированы и, согласно E.7.19) — E.7.21), каждой
фп с данным Хп'?= 0 соответствует q>n~j) с тем же Я„, все члены
с Хп'^0 сокращаются в разности и вклад дают только нулевые
моды, Хп = 0, т. е. решения уравнений
o = <?;Фо' = 0,
E.7.29)
Vl-M?-* = ^Ф(оХ~Л = 0. E.7.30)
Окончательно мы получаем теорему об индексе
N (фО — N (ф^1-л) = dim ker Vj — dim ker Vf_f = B/ — 1) (g — 1).
E.7.31)
Например, для первоначальных духов & и с (/=2), возникаю-
возникающих в струне Полякова, мы получаем важное соотношение
N(bo)-N(co) = 3g-3. E.7.32I
Хотя E.7.32), как и всякая теорема об индексе, дает нам лишь
значение разности числа нулевых мод оператора и сопряженного
12*
171

оператора, в данном случае возможно явно назвать число нуле-
нулевых мод векторного поля с*. Как известно из дифференциальной
геометрии [18], нулевые моды векторного поля, именуемые
обычно векторами Киллинга, возникают в тех случаях, когда мно-
многообразие, на котором оно задано, обладает непрерывной симмет-
симметрией (их часто называют также изометриями или непрерывными
автоморфизмами). Для римановых поверхностей непрерывные
автоморфизмы легко можно перечислить: для сферы (g — 0) мы
имеем хорошо известное преобразование Мёбиуса E.6.13), кото-
которое при ad — be = 1 описывается тремя комплексными параметра-
параметрами, т. е. комплексный вектор cz имеет три нулевые моды. В этом
случае из E.7.32) следует, что поле bZz вообще не может иметь
нулевых мод. Для тора (g — 1) из формулы Гаусса—Бонне сле-
следует R — 0, и можно развернуть тор на плоскость (что мы и де-
делали неоднократно, рассматривая вместо тора параллелограмм
периодов). В этом случае есть один комплексный вектор Киллин-
Киллинга, отвечающий просто сдвигу плоскости как целой по двум ве-
вещественным направлениям, и из E.7.32) следует iV(&o)=l. Для
g > 1 теорема Шварца [190] гласит, что римапова поверхность
не может иметь непрерывных автоморфизмов, так что при g > 1
всегда iV(co) = 0 и мы получаем
iV(&o)=3g-3, g>l- E.7.33)'
Каков смысл рассматриваемых нами нулевых мод? Условие
V]b{ = 0, т. е.
д-Ъ\ = 0, E.7.34)
означает, что Ь30 является голоморфным j-дифференциалом, ины-
иными словами, всюду аналитическим на римановой поверхности тен-
тензором ранга j. Известно, что на компактной римановой поверхно-
поверхности нет всюду голоморфных функций (кроме константы) [180,
181], но при />0 такие тензоры имеются. Полученная нами тео-
теорема об индексе E.7.31), E.7.32) является частным случаем
знаменитой теоремы Римаыа — Роха, роль которой в теории ри-
римановых поверхностей исключительно велика. Она позволяет
определять размерность векторных пространств функций с задан-
заданными нулями и полюсами, число нулей у абелевых и произволь-
произвольных /-дифференциалов к т. д. и т. п. [180, 181]. В виде E.7.32)
число голоморфных квадратичных дифференциалов при g > 1
равно 3g — 3 — она была известна самому Рима ну [196].
§ 8. НУЛЕВЫЕ МОДЫ
И ПРОСТРАНСТВО ТЕЙХМЮЛЛЕРА
В предыдущем параграфе мы выразили детерминант Фад-
деева — Попова (det P^PjI/2 через функциональный интеграл по
антикоммутирующим духовым полям bzz и cz, причем мы выяс-
выяснили, что эти поля имеют нулевые моды, подчиняющиеся теореме
172
Римана — Роха. Наличие нулевых мод приводит к тому, что
функциональный интеграл E.7.4) в действительности не опреде-
определяет никакой детерминант и просто равен нулю. В самом деле
подставим в действие S(b, с) разложение E.7.18). С учетом орто-
нормированности дифференциалов ср„ мы получаем
S = — 2 ^Г75 ъпСп-
-T2V2
E.8.1)
Поскольку мера интегрирования по Ъ, с имеет вид (см. § 3 гла-
главы 1)
&Ъ2)с = П d bn d с„, E.8.2I
мы находим (мы считаем для простоты g > 1, так что поле c(W)
нулевых мод не имеет)
2>b2>ce-s(-b'c^ = \ ТТ dbs TT du dr ртсп I ^ " h
E.8.3)
где If = B; — 1) (g — 1) — число нулевых мод поля Ь. По прави-
правилам грассманова интегрирования J dbi = 0, \bldbi = 1, интеграл
E.8.3) равен нулю. Таким образом, представление E.7.4) имеет
смысл только в том случае, когда поля Ъ и с не имеют нулевых
мод, т. е. в сумму E.8.2) все &„, с„ входят с ненулевым весом. Не
пытаясь пока понять, что же произошло, попробуем исправить
дело известными нам способами. Напомним, что точно такая же
ситуация встречается в инстантонной физике, когда благодаря
обычной киральной аномалии безмассовые фермионы в поле ин-
стантона имеют нулевые моды, в результате чего функциональ-
функциональный интеграл, -т. е. амплитуда перехода между секторами с раз-
разным инстантонным числом, равен нулю. Рецепт исправления этой
неприятной особенности хорошо известен: поскольку функцио-
функциональный интеграл обращается в нуль из-за несохранения заряда,
иными словами, из-за того, что нам нечем уравновесить заряд
нулевых мод B/—l)(g—1), нужно руками вписать в интеграл
нужное число полей Ъ3. Определим модифицированный функцио-
функциональный интеграл
zx) . . . Ъ (zM) b(Zj) . . . b (zMy> =
= j IX b (zi) Ъ (zi) ФЪЯ)с2>Ъ2>с exp (— S (b, c) — S (b, c)). E.8.4)
м
Его легко вычислить, используя формулы E.8.1), E.8.2). Мы
имеем выражение
с м
П d&; dbib (Zi) b (z^ П d&n йЬпе^ХпЬпСп+ХпЪп<:п1 E.8.5)
i=l J n
173

Интеграл j Ц dbn dbn exp B,'knbncn + с. с) может быть принят за
определение det'V7JVi_.j (детерминанта с опущенными нулевыми
модами). Оставшийся интеграл по нулевым модам дает
Idet cpoi(Zft) I2, поскольку поля b(zi) в разных точках антиком-
мутируют между собой. Мы получаем
<6 (Zj) ... & (ZM) b (Zj) ... 6 (ZM)> =
= | det cpoi (zk) |2 det' Vr'V^, E.8.6)
где матрица cpoi(zft) имеет элементом i, к, i-ю нулевую моду
в точке zft. Читатель заметит, что мы избегаем работать с кираль-
ным детерминантом det V\—j- Причина этого выяснится позже.
Таким образом, наше первоначальное определение det V^}V\_j
с помощью функционального интеграла по духовым полям ока-
оказывается неполным, и мы вынуждены в качестве детерминанта
в случае наличия нулевых мод принять определение E.8.6),
а именно:
det'
«pj
k_
j,
E.8.7)
Чтобы понять происходящее, вернемся к нашему обсуждению
модулей римановой поверхности в § 4. Мы упоминали, что раз-
разбиение метрики E.4.1), E.4.2) является полным только внутри
каждого конформного класса, в общем же случае оно не пол-
полностью описывает риманову поверхность. В E.3.2) мы разбили
вариации метрики на конформные вейлевские преобразования
¦S^gos — назовем класс таких преобразований {Weyl} — и диффео-
диффеоморфизмы, т. е. общекоординатные преобразования вида (Pi&)*b,—
класс этих преобразований назовем {Diff}. Предположим, что
имеются вариации метрики 8hab, непредставимые в виде E.3.2),
иными словами, ортогональные к
8gab = бф^аб + (Pi®) об-
Подставляя >8hab в определение свертки llfigll2 E.1.17), мы на-
находим поле интегрирования по частям
, 8g> = j d3g Vg gaegbd6hab X
X I6<pgcd + (ЛеМ = - j d2i VI e° (Ptuh)a. E-8.8)
Отсюда следует, что если существуют отличные от нуля решения
уравнения
(Р+оЪ)а = — 2Vb8hab = 0, E.8.9)
то соответствующие eh определяют вариации метрики, ортого-
ортогональные диффеоморфизмам и конформным вейлевским преобра-
174
.зованиям. Обозначая класс решений E.8.9) через ker P*, запи-
запишем символическое разбиение метрики 8g [186, 203, 204] в виде
8g = {Weyl} ф {Diff} e {kerPJ-}. E.8.10)
Упражнение. Показать, что ядро оператора Р?, т. е.
пространство решений A"(gcd)8hab = 0, инвариантно относительно
конформных преобразований метрики gcd -*- pgci (указание: вы-
выразить ковариантную производную через символы Кристоффеля
и найти их изменение при конформных преобразованиях).
Из упражнения следует, что пространство ker P* имеет ин-
инвариантное определение. Перепиваем уравнение Уь?паь = 0 в бо-
более привычных нам комплексных координатах. Получаем при
этом
Vz8hzz = gz~zd-z8hzz = 0. E.8.11)
Но это есть не что иное, как условие E.7.34) на голоморфные
квадратичные дифференциалы! Число их нам уже известно из
теоремы Римана — Роха, а именно: мы имеем 3g — 3 линейно не-
независимых комплексных квадратичных дифференциала, так что
пространство кегРх не пусто. Обозначая произвольные вариа-
:ции метрики через {Met}, запишем символическое уравнение
т {Met} /t- s .„.
~ {Weyl} <g> {Diff}0 ' (О.О.1Л)
Здесь (Diff}o означает, что мы рассматриваем только диффео-
диффеоморфизмы, непрерывно связанные с тождественным. В уравнении
E.8.12) мы отфакторизовали пространство всех вариаций метрик
по вейлевским преобразованиям и «малым» диффеоморфизмам.
Получающееся в факторе Cg — 3)-мерное комплексное прост-
пространство Т называется пространством Тейхмюллера [181—183,
203, 204]. Заметим, что при интегрировании по метрикам в стру-
струне Полякова мы должны, разумеется, интегрировать во всем
возможным диффеоморфизмам, в том числе и не связанным не-
непрерывно с тождественным. Введем так называемую модулярную
группу Тейхмюллера
ModT =
(в английской литературе ее называют также mapping class
group) и определим пространство модулей:
{Met} T
М =
{Weyl} <g> {Diff} Mod Г"
E.8.14)
В (ь.8.13), E.8.14) {Diff} мы обозначили все возможные диф-
диффеоморфизмы, в том числе и «большие», с которыми мы встре-
встречались при обсуждении модулярной инвариантности спиновой
струны. Из E.8.14) видно, что пространство модулей является
175

lm
Рис. 22. Пространство Тейх-
¦••'•' мюллера римановой поверхно-
I I I I I I I I I I I I I сти рода 1 — верхняя полу-
J-—L—L—L-L—L—/ / /—1—1—L—L— плоскость Н (см. такж&
рис. 17),
более узким, чем пространство Тейхмюллера, поскольку опреде-
определяется как фактор последнего по группе модулярных преобразо-
преобразований Mod Т.
Рассмотрим простейший пример: пространства Тейхмюллера
модулей и модулярная группа для случая рода 1. Выше мы ус-
установили, что при g = 1 имеется один голоморфный квадратич-
квадратичный дифференциал, т. е. один комплексный модуль и размер-
размерность пространства Тейхмюллера равна 1. В его качестве можно
выбрать верхнюю полуплоскость Н (рис. 22). Модулярная груп-
группа Тейхмюллера состоит в том случае из хорошо известных нам
модулярных преобразований
«*.«.*-целые,
аа — ос = 1,
E.8.15)
а пространство модулей совпадает с фундаментальной областью
модулярной группы (см. рис. 15). Выше мы установили, что
необходимо отождествить попарно стороны I, II и III, IV. При
этом полоса &~ превращается в сферу с выколотой точкой (соот-
(соответствующей i°°). Добавляя точку на бесконечности, мы ком-
компактифицируем пространство модулей, превращая его в сферу.
Некоторое опасение вызывают точки р, р', i (см. рис. 15). Из
рисунка видно, что пространство модулей имеет в этих точках
конусные сингулярности. Такие сингулярности (обычно их на-
называют орбифолд-точками) вообще свойственны пространству
модулей. Дело в том, что, согласно общей теории накрывающих
пространств, пространство модулей, определенное как фактор-
пространство Тейхмюллера по дискретной группе, имеет сингу-
сингулярности в точках, стабильных относительно некоторых преоб-
преобразований модулярной группы. Например, в случае рода 1 точ-
точка i (см. рис. 15) инвариантна относительно инверсий, i -*¦ — 1/i;
точки р и р' инвариантны относительно инверсий + сдвиг на 1.
Однако в данном простейшем случае эти сингулярности могут
быть сглажены и пространство модулей представляет собой глад-
гладкое многообразие. К сожалению, в общем случае этого сделать
не удается и при g > 1 пространство модулей является разно-
разновидностью орбифолда — многообразия с конусными сингуляр-
ностями (с элементарными свойствами орбифолдов читатель
может познакомиться в [261]). Само же пространство Тейхмюл-
Тейхмюллера— гладкое Cg—3)-мерное комплексное многообразие, ко-
которое может быть вложено в F^—6)-мерный вещественный
шар [182]. Впрочем, само пространство Тейхмюллера интересует
нас, конечно, меньше, чем пространство модулей, поскольку пос-
после выделения объема модулярной группы интегрирование ведется
по пространству модулей и такие свойства, как, например, рас-
расходимость диаграмм, определяются границей пространства моду-
модулей. В общем случае эта граница известна довольно плохо.
Замечательное свойство струны Полякова — ее модулярная
ршвариантность. Мы видели на примере спиновой струны, что
при построении петлевых диаграмм требование модулярной ин-
инвариантности внешнее, дополнительное, которое мы вынуждены
вносить, чтобы определить разумные амплитуды. Кроме того, в.
дуальном операторном подходе с ростом порядка теории возму-
возмущений число диаграмм очень быстро растет [262]. В струне По-
Полякова мы интегрируем по поверхностям, т. е. мы покрываем все
поверхности, которые получаются друг из друга как непрерыв-
непрерывными диффеоморфизмами, так и модулярными преобразованиями.
Очевидно, сумма будет автоматически модулярно-инвариантной.
Далее, с точки зрения теории возмущений в каждом ее порядке-
в методе Полякова возникает единственная «диаграмма»—рима-
нова поверхность данного рода. Таким образом, один интеграл
Полякова покрывает множество диаграмм дуальной теории воз-
возмущений. Для бозонной струны требование модулярной инва-
инвариантности вместе со знанием структуры расходимостей ампли-
амплитуды оказывается достаточным для определения явного вида
амплитуд в случае низших родов g = 1, 2, 3, 4 [153, 263]. Ко-
Конечно, подход Полякова имеет и свои слабые места. Главное и»
них — трудность, связанная с невозможностью ввести координаты
на пространстве модулей для произвольного рода (на сегодняш-
сегодняшнем этапе наших знаний).
§ 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ БЕЛЬТРАМИ,
КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И МОДУЛИ
Наше описание пространства Тейхмюллера (модулей) до сих
пор было скорее словесным. Понятие модуля и меры интегриро-
интегрирования по модулям еще не было расшифровано. В этом параграфе
мы продемонстрируем один из способов параметризации прост-
пространства модулей, который, на наш взгляд, является наиболее
наглядным [153]. Обозначим пространство голоморфных квадра-
квадратичных дифференциалов через #2 B). В теории пространств
Тейхмюллера доказывается, что оно может быть голоморфно'
отображено на область в пространстве Z?2B)i[182]. Отсюда сле-
следует, что квадратичные дифференциалы могут быть приняты в
качестве координат пространства Тейхмюллера. Вписывание
в интеграл по духам E.8.5) нужного числа полей о равносильно
интегрированию по пространству Тейхмюллера. Чтобы лучше
понять введение координат на пространстве Тейхмюллера, вер-
вернемся к уже упоминавшемуся понятию деформации комплексной
структуры. Предположим, что на римановой поверхности 21 за->
дан набор локальных окрестностей с координатами г, в каждой
из которых метрика имеет вид dsjf = 2g-z dz dz. Рассмотрим ри-
176
177

манову поверхность S2 с метрикой
dsl = Я | dz
E.9.1)
Мы можем конформно отобразить ds* на ds2,, если для каждой
координатной окрестности решим уравнение Бельтрами
d-w = ii(z)dzw. E.9.2)
Величина jx, удовлетворяющая этому уравнению, называется
дифференциалом Белътрами. Отображение w(z, z, \i) не являет-
является, разумеется, конформным, хотя благодаря E.9.2) конформно
отображает метрику dsl на ds%. Такое отображение называ-
называется квазиконформным.
Роль квазиконформных отображений в описании модулей ри-
мановой поверхности была прояснена в работах Тейхмюллера,
Альфорса, Берса и многих других математиков [183, 205]. Рас-
Расписывая E.9.1), мы находим
dsl = К [A + цц) dzdz + v (diJ + jl (dzJ], E.9.3)
т. е. квазиконформное преобразование E.9.2) порождает дефор-
деформацию комплексной структуры, причем
И»
И-
E.9.4)
Из уравнения Бельтрами следует, что дифференциал ц при ана-
аналитической замене координат w=f(z) преобразуется как
и- ("О =
Н?
E.9.5)
т. е. величина Ц"т^" инвариантна при аналитических заменах
координат. Таким образом, (д. — тензор типа [а|. Из E.9.3)
следует
v\ = gz*&gzz = — gzpgzz- E.9.6)
Заметим, что если ф — квадратичный дифференциал, равный
fpzx(dzJ в некоторой локальной системе координат, a jx — диффе-
т-, z dz ( dz Y
ренциал Ьельтрами {л---^—I где —, просто формальное от-
отношение дифференциалов, а не производная!), то их свертку
можно проинтегрировать по всей поверхности. Определим
ф.м= u-q>zzd2z. E.9.7)
Подчеркнем, что свертка <ц, ф> не зависит от метрики gz-, яв-
являясь инвариантом при конформных преобразованиях. В общем
случае пространство дифференциалов Бельтрами бесконечномер-
бесконечномерно. В самом деле, рассмотрим метрику ds^ и подвергнем инфи-
178
яитезимальному диффеоморфизму z -*¦ z + s(z, z). Получим но-
новую метрику ds%:
dst = dsl + 2g- [(д-г) (diJ + (Э«е) (dz)*] + о (в). E.9.8)
Отсюда находим дифференциал Бельтрами, соответствующий
.непрерывным диффеоморфизмам:
? = д-2г. E.9.9)
Выше мы установили, что диффеоморфизмы метрики не могут
«уловить» модулей, т. е. пространство Тейхмюллера ортогональ-
ортогонально диффеоморфизмам. Поэтому дифференциалы Бельтрами вида
E.9.9) называются локально тривиальными. Чтобы определить
нужные нам дифференциалы Бельтрами, которые описывают де-
деформации комплексной структуры, обусловленные вариацией
модулей, заметим, что мы можем использовать свертку E.9.7) и
потребовать, чтобы нужные нам дифференциалы Бельтрами со-
составляли пространство, дуальное пространству голоморфных
квадратичных дифференциалов В2 B). Для тривиальных диффе-
дифференциалов Бельтрами E.9.9) мы имеем
<Ф, цУ = j <p0zzd-ed2z = — J ed-yozz d2z = 0,
поскольку <pOzz голоморфны. Очевидно, тривиальные дифферен-
диалы Бельтрами никак не могут составить пространства, дуаль-
дуального i?2 B). Можно показать, что интересующие нас нетривиаль-
нетривиальные дифференциалы Бельтрами, т. е. такие, для которых
<Ф, ]х> ?= 0, составляют конечное Cg — 3)-мерное комплексное
векторное пространство, являющееся фактор-пространством всех
дифференциалов Бельтрами по локально тривиальным. Это
C^ — 3)-мерное пространство дифференциалов Бельтрами явля-
является теперь дуальным к пространству -В2B), т. е. к пространству
Тейхмюллера, и может быть использовано для введения на нем
координат. Дело в том, что дифференциалы Бельтрами — доволь-
довольно осязаемые объекты: они заданы с помощью дифференциаль-
дифференциального уравнения первого порядка, а свойства решений дифферен-
дифференциальных уравнений известны очень хорошо. В частности, Берс
[182] доказал важную теорему, гласящую, что дифференциалы
Бельтрами голоморфно зависят от своих параметров (т. е. от мо-
модулей) и при малых значениях параметров могут быть разло-
разложены в ряд. Используя теорему Берса, запишем
3g— 3
2
E.9.10)
тде C# — 3) параметра уг и суть долгожданные модули. По
определению, дифференциалы Бельтрами |х! линейно независимы.
Используя свойство дуальности фо** и уь, мы можем выбрать ба-
базис в пространстве В2, удовлетворяющий
<фь (j,i> = j ф4[А; = б|, г, 7 = 1, 2 . . . 3g — 3. E.9.11)
179

Наконец, с учетом E.9.6) мы получаем
l, E.9.12)
где
Тц = j Ф*Ф,- (gzz)-2 gz- d*z. E.9.13)
Выше, при выводе теоремы Римана — Роха, мы предполагали, что
базис ф* выбран ортонормированным. Теперь мы отказываемся
от этого условия и предполагаем, что Ti} Ф бг> Причина такого-
выбора станет ясна ниже. Теперь, подставляя E.9.10), E.9.12)
в формулу для 8gzz E.9.8), мы находим
3g—3
'WjTT*- E.9.14)
Итак, мы явно выразили деформацию комплексной структуры
через модули и базис пространства голоморфных квадратичных
дифференциалов. Выше мы получили вид меры функционального
интеграла Полякова, отвечающей интегрированию по х*, диффео-
диффеоморфизмам 8 и вейлевским преобразованиям ф:
?>gab = ®ц&га (det Р?РгI/2.
Теперь мы должны дополнить это выражение интегрированием:
по Cg — 3)-мерному комплексному пространству Тейхмюлле-
ра — пространству конформных структур. Подставим вариацин>
конформной структуры E.9.14) в общее выражение для меры
II б? II2:
||Sgf = j d2zg2-8gz*8gzz. E.9.15>
Учитывая, что 8gzz = — (gzzJ Sg---, мы находим
ab, обусловленная модулями.
Отсюда конечномерная часть
принимает вид
detT
Собирая все вместе, мы получаем наконец полное выражение
статсуммы замкнутой бозонной струны:
= jdz/i Д
Л dysg-s Л АУг Л • • • Л
-я X
E.9.17>
Поскольку наше описание модулей никак не зависело от метрики:
g-z и в E.9.17) мы положили D = 26, статсумма E.9.17) хоро-
хорошо определена и не имеет конформных аномалий.
180
§ 10. ТЕОРЕМА БЕЛАВИНА — КНИЖНИКА
В предыдущей главе при построении гетеротической струны
мы подробно обсуждали важнейшее свойство замкнутой струны —
возможность рассматривать правые и левые возбуждения отдель-
отдельно и независимо. Это свойство имеет место благодаря тому, что
лагранжиан струны не содержит взаимодействия, будучи, по су-
существу, свободным лагранжианом. Ту же самую картину мы
^встречаем при квантовании струны Полякова. Лангранжианы
S(x) и S(b, с), входящие в определение статсуммы,— очевидно,
свободные, причем поля Ь, с, а;* (x*(z, z) = a?(z)+ af(z)) зависят
только от z, представляя собой правые возбуждения. В резуль-
результате статсумма (см., например, E.7.7)) разбивается на произве-
произведение интегралов, зависящих только от z и только от z, являясь
формально квадратом модуля (если не обращать внимания на
интегрирование по модулям). Белавин и Книжник [153] поста-
поставили целью выяснить, переносится ли свойство факторизации на
структуру интеграла E.9.17) по пространству модулей. На та-
зсую возможность наводит следующее важное обстоятельство
[198] : рассмотрим формулу E.4.18) для вариации ковариантной
производной при деформациях комплексной структуры
6VZ = - 4" 8gzzVz + .... E.10.1)
Подставляя значение bgzz E.9.14), мы видим, что ^z антиголо-
морфно зависит от модулей z/,, в то время как Vz, наоборот, за-
зависит голоморфно. Отсюда следует, что det Vz зависит только от
i/j, а det vz ¦— от у}. Теперь ясно, почему мы отказались от усло-
условия ортонормированности дифференциалов Фогг'- поскольку yz
зависит только от г/,-, мы можем выбрать решения уравнения
также голоморфно зависящими от модулей. Очевидно, при орто-
аормировке это свойство нарушилось бы.
Мы хотим выяснить, не может ли подынтегральное выраже-
выражение в E.9.14) быть квадратом модуля голоморфной функции от
модулей римановой поверхности г/,;. При этом нам надо, разу-
разумеется, следить за факторами типа det Ti- = del < срг, ф" >. кото-
которые заведомо ие могут быть квадратом моду j. я никакой голо-
голоморфной функции. В приложения Б мы подробно оПсузкдаем
причину появления таких факторов. Заметим такзкэ, что, сог-
согласно приложению Б. наяте выражение E.9.14) должно быть
подправлено: каждый детерминант необходимо поделать на
детерминант скалярных произведений нулевых мод. Выражение
det(V|)+v;
det<<p% ф'">
уже имеет правильный вид, а что касается (det A),~13, где
181

Д = — 2V|Vz, то заметим, что оператор V\ имеет нетра-
виальные нулевые моды, а именно — голоморфные дифференциа-
дифференциалы (/ = 1). Число их легко найти из теоремы Римана — Роха
Для / = 1 мы имеем
dim ker Vi — dim ker Vq = g — 1,
в то же время, размерность пространства kerVj (т. е. число-
всюду голоморфных функций) равна 1, поскольку единственной
голоморфной функцией является константа. Отсюда мы получаем
dim ker Vi = g,
т. е. на римановой поверхности рода g есть g голоморфных
1-дифференциалов. Обозначая базис пространства kerV^ через
со", а = 1,2 . . . g, мы находим, согласно приложению В, что<
(detA)~13 удобно записать в виде
det'A
det <ша, а>6>
-13
(det <соа, со6»-".
E.10.2)
Теперь, согласно приложению В, выражение в скобках может-
быть квадратом модуля голоморфной функции модулей римано-
римановой поверхности. Подставляя E.10.2) в E.9.14), мы получаем:
правильный вид статсуммы при g > 1
Z =
X
det' Д
det<o)a,
_3 (defc <co<\ соь»
-is det' (V2Z)+ Vf
х
det
E.10.3>
Итак, является ли выражение в квадратных скобках квадратом
модуля некоторой функции от модулей F(y)? Вопрос этот, как
подчеркнули Белавин и Книжник, далеко не праздный. Во-пер-
Во-первых, значительно проще иметь дело с выражением, представимым:
квадратом модуля голоморфной функции \F(y)\2, чем с произ-
произвольной функцией /(г/, у). Во-вторых, положительный ответ на
этот вопрос значительно облегчает поиск явного вида меры ин-
интеграла по модулям.
Прежде чем идти дальше, напомним читателю некоторые
нужные нам факты теории римановых поверхностей: на римано-
римановой поверхности рода g мы можем выбрать каноническую систе-
систему из 2g попарно пересекающихся разрезов (циклов) ас, Ьс,.
с = 1,2 . . . g, как на рис. 23. Можно доказать [180, 181], что g
голоморфных дифференциалов соа могут быть нормированы сле-
следующим образом:
ф сос = 6cd, ф сос = хы,
ad i>d
E.10.4)
182
Рис. 23. Четыре канонических
цикла гомологии на римановой
поверхности рода 2.
где матрица т называется матрицей периодов римановой поверх-
поверхности. Она имеет свойства
Tc(i = Tdc, E.10.5а)
<шс, octd>= Im Tc(i ^ 0. E.10.56)
Под действием модулярной группы Тейхмюллера циклы а, Ъ ж
матрица периодов т преобразуются известным способом [119].
Поскольку все подынтегральное выражение должно быть инва-
инвариантно относительно модулярных преобразований, это требова-
требование однозначно определяет закон преобразования квадратной
скобки в E.10.3), которая оказывается модулярной формой за-
заданного веса.
Квадратная скобка в E.10.3) состоит из детерминантов ком-
комплексных лапласианов различного веса, поделенных на детер-
детерминант скалярного произведения нулевых мод. Следуя нашей
общей идеологии, рассмотрим соответствующее выражение для-
произвольного лапласиана Aj
det' (yj)+ V) V*cp? = 0,
det<q?, Ф?> ' к = 1, . . ., B/ - 1) (g — 1)
и сформулируем наш вопрос следующим образом: в каких слу-
случаях имеет место равенство
ZlTJy-Uet'vm EЛ0-6)
Оказывается, ответ на этот вопрос содержится в более общей
теореме, доказанной Квилленом [243]. Важная для теории струн
теорема Квиллена подробно разбирается в приложении Б, где
доказывается, что в общем случае равенство E.10.6) не имеет
места и правильное соотношение для регуляризованных детер-
детерминантов операторов выглядит как
= | det' V^|2 e~q
E.10.7)
где функция д (у, у) называется голоморфной аномалией. Благо-
Благодаря ей правая часть E.10.7) не является квадратом модуля.
Голоморфная аномалия тесно связана со свойствами киральпых
операторов и представляет собой разновидность гравитационной
183

аномалии. Как мы знаем, наличие в теории гравитационной ано-
аномалии приводит к ее несогласованности.
К счастью, в данном случае голоморфная аномалия сокраща-
сокращается! Чтобы понять, как это происходит, заметим, что присут-
присутствие аномалии в E.10.7) можно уловить следующим образом:
поскольку _ ,.mj
det' V| = / (у) и det' (VO+ = / (у),
то
8У6- det' V* = 0
ж мы имеем из E.10.7)
y y
E.10.8)
Таким образом, присутствие аномалии скажется в отличии от
нуля второй вариации регуляризованного выражения In det' A.
Белавин и Книжник явно вычислили выражение E.10.8) для
.произвольного / и нашли
<5л0-9>
где /({a, ц.)— некоторое выражение, билинейное по дифферен-
дифференциалам Бельтрами. Явный вид его для нас несуществен. Го-
Гораздо важнее коэффициент перед ним: из E.10.9) следует, что
голоморфная аномалия q пропорциональна конформной аномалии
E.5.10), поэтому, хотя оба детерминанта, входящие в определе-
определение статсуммы бозонной струны, имеют голоморфные аномалии,
в отношении детерминантов она сокращается одновременно с
конформной (при D = 26)[206]. После чего статсумма замкнутой
струны Полякова принимает вид
Z = j dyi Л • • • d^r-з (det Im т)-« | F (у) |». E.10.10)
Явный вид функции F (у) известен для родов g = 1, 2, 3, 4
[153, 207], в общем случае определение ее наталкивается на
трудности, связанные с заданием явным образом координат на
пространстве модулей (проблема Шоттки). Возможно, интенсив-
интенсивно развиваемый операторный подход к струне Полякова позволит
продвинуться дальше [72].
§ 11. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
ДВУМЕРНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
До сих пор тензор энергии-импульса Таь лишь эпизодически
появляется при изучении струны Полякова. Исследуя конформ-
конформную аномалию, мы убедились, что тензор энергии-импульса иг-
играет важную роль, а его след служит мерой конформной ано-
аномалии. Кроме того, тензор энергии-импульса является генерато-
184
ром пространственно-временных, в том числе и конформных,
преобразований, которые естественно возникают в дуальной тео-
теории. Мы убедились также, что лагранжиан струны Полякова в
конформной калибровке описывается двумерными конформными
полями д;*, 6, с. Нужно отметить, что важность двумерных теорий
в дуальной модели была замечена довольно давно [216], однако
полностью их роль осознана только после появления замечатель-
замечательной работы Белавина, Полякова и Замолодчикова [208], которые
поставили во главу угла тензор энергии-импульса и его свойства
и развили формализм, позволяющий исключительно просто и
компактно описывать струнные теории, не прибегая к громозд-
громоздким вычислениям детерминантов и т. д. Выяснилось также, что
действия S(b, с), S(x), описывающие струну Полякова, являют-
являются лишь простейшим примером бесконечной серии двумерных
конформных теорий поля, которые в общем случае не имеют
лагранжиана, но оказываются очень полезными во многих воп-
вопросах статистической физики i[208, 209]. В этой книге мы не
будем касаться проблем статистической физики и рассмотрим
главным образом приложение методов работы [208] к струне.
Напомним, что мы определяли тензор энергии-импульса класси-
классической теории поля как ч
E.11.1)
E.11.2)
К = g*bTab = ф, -A. j d°x yg> с?(х> g>)t
где gab = eagab- Тензор энергии-импульса удовлетворяет закону
сохранения
VaTab = O. E.11.3);
Если теория классически конформно-инвариантна, то мы имеем
вдобавок
Г2 = 0. E.11.4)
Предположим, что мы изучаем классическую конформно-инва-
конформно-инвариантную теорию поля с тензором энергии-импульса ТаЬ; постро-
построим для нее ток
Jfa = Tabf (X),
f (x) — произвольная векторная функция от х. Ток Ja сог-
согласно теореме Нетер[8П генерирует преобразования координат
х* -*¦ ха + f(x). В каком случае теория инвариантна относитель-
относительно таких преобразований? Для выяснения этого мы должны по-
потребовать сохранения тока Ja [211, 212]
= 0,
13 ю, Н. Кафиев
185

откуда с учетом E.11.3), E.11.4) получаем уравнение на f(x)
dafb + dbfa — A dcf = 0. E.11.5)
Здесь D — размерность пространства-времени. В общем случае
решения E.11.5) хорошо известны и в пространстве Минковского
состоят из лоренцевых вращений /а = соаь^ь, дилатации /а = сха и
специальных конформных преобразований /а = 2хахьсь — сах2.
Например, в D ¦= 4 группой соответствующих преобразований
оказывается конформная группа SO D, 2), которая является
максимальной группой симметрии классической теории поля в:
четырехмерном пространстве Минковского [213]. Однако дву-
двумерное пространство-время коренным образом отличается от
пространств старшей размерности: здесь уравнение E.11.5) име-
имеет бесконечное множество решений, иными словами, двумерная
конформная группа имеет бесконечное число генераторов. Пред-
Предполагая, что мы работаем в евклидовой метрике A, 1), введем,
как обычно, комплексные координаты z = Xх + ixz, fz = /l + iflr
/2 ¦= f — if. Тогда, как легко видеть, уравнение E.11.5) сводится
к условиям Коши—Римана
d-/2 = 0, dz/^ = 0, E.11.6)
отсюда
= /(z), f =
E.11.7)
Таким образом, двумерная конформно-инвариантная классиче-
классическая теория поля инвариантна относительно бесконечной группы
конформных замен координат. Далее, в D = 2 мы получаем
столь же мощное условие на сам тензор энергии-импульса. За-
Зав комплексных координатах
Т гг = Тц — Т22 —
пишем
tTz-t^~
E.11.8)
1'z~z — 'L'\\ + l 22-
Нетрудно показать, что уравнения E.11.3), E.11.4) в комплекс-
комплексных координатах принимают следующий вид:
д_Г„ = О, dzT~ = O, E.11.9а)
г-г = о.
E.11.96)
Таким образом, тензор энергии-импульса двумерной конформно-
инвариантной теории поля имеет только аналитическую компо-
компоненту Tzz и сопряженную ей антианалитическую Т-. Мы
встречались с этим свойством при обсуждении гравитационной
аномалии в D = 2. В дальнейшем мы будем выписывать для
краткости только Tzz(z) = T{z) и только аналитические (кон-
(конформные) преобразования координат
«-*-* + /(*). , E.11.10)
Определим генератор произвольного конформного преобразо-
преобразования E.11.10) согласно
где мы отныне рассматриваем квантовую теорию поля. Полагая /
бесконечно малой, мы имеем для вариации любого поля при
конформных преобразованиях формулу
6, Ф= [L,, Ф]. E.11.11)
Вычислим композицию двух конформных преобразований:
отсюда
6e8fz = gdzf, 6f6gz = fdxg,
[dg, 8,] = бл,
где мы ввели обозначение
h = gdzf — fdzg.
E.11.12)
E.11.13)
Поскольку конформные преобразования образуют группу, из
{5.11.11), E.11.12) следуют коммутационные соотношения гене-
генераторов Lt
[Lg, L,\ =Lh. E.11.14)
Однако оказывается, что в общем случае эта формула неполна.
Чтобы понять, что происходит, рассмотрим вакуумное среднее
одновременного коммутатора [^(о", т), Tcd(a',x)]. В наших
обозначениях мы имеем х-= ехр(т + га), так что одно-
одновременные коммутаторы соответствуют на z-плоскости комму-
коммутаторам с одинаковым значением радиуса (такое квантование на-
называется обычно радиальным). Предполагая справедливость
E.11.14), мы получаем
<0\[ТаЪ{а, т), Tcd{a', т) ] !0> = 0,
•что противоречит аксиоме положительности. Из общих принципов
квантовой теории поля следует [212, 214], что коммутатор двух
тензоров энергии-импульса должен содержать с-числовой швин-
геровский член вида сё'" (а — а') с определенным знаком кон-
константы с. Как показано в [212], при переходе к радиальному
.квантованию коммутационные соотношения генераторов конформ-
ных преобразований имеют аномальный член ^«центральный
наряд» или «коцикл»), обусловленный швингеровским членом,
[Lg
-^§l^.g (z) f"
E.11.15)
тде с > 0. Напомним, что мы уже встречались с подобным швин-
швингеровским членом в главе 1 при изучении гравитационных ано-
186
13*
187

малий. Если связать с данным лагранжианом киральные фер-
мионы, то аномалия в полном тензоре энергии-импульса
проявится в нарушении закона сохранения E.11.3), т. е. в гра-
гравитационной аномалии, в общем случае она проявляется как
конформная аномалия. Впервые связь между ними подчеркнул
Альварес [206]. Ниже мы рассмотрим эту связь более подробно.
Удобно от операторов Lf перейти к операторам Ln, вычисленным
относительно дискретного базиса. Для этого разложим функции i
и g в ряды Лорана
-2-'
— oo
J =
и вместо генератора L, рассмотрим бесконечный набор генерато-
генераторов Ln, каждый из которых генерирует преобразование z -»- z +•¦
5). E.11.16)
——zn+l
g — — z
L
m+1
Подставляя в E.11.15) /——z, g
коммутационные соотношения генераторов Ln
[Ln, Lm] = (п — т) Ln+m + -^-n(n2 — lNn,-
мы получаем
E.11.17)
Таким образом, исходя из самых общих свойств квантовой теории
поля, мы получили замечательный факт: генераторы конформ-
конформных преобразований Ln удовлетворяют алгебре Виразоро с произ-
произвольным коэффициентом с > 0. Связь лорановских коэффициен-
коэффициентов разложения тензора энергии-импульса с генераторами алгебры
Виразоро была известна довольно давно [212], но лишь недавно
удалось установить, что условие унитарности алгебры Виразоро
налагает сильные ограничения на коэффициент с, который может
принимать только одно из следующих значений [215]:
1,
= 1
(от + 2) (т + 3) '
.... E.11.18)
Мы получили совершенно неожиданный результат: оказывается,
квантовая конформная теория поля может существовать только
при определенном значении центрального заряда сив общем
случае существует бесконечная серия теорий с допустимым зна-
значением ст. Многие из известных моделей статистической физики,
такие как модель Изинга в критической точке, модель Ашкина—
Теллера и другие, попадают в этот список и соответствуют оп-
определенным допустимым значениям ст. Полностью задача клас-
классификации всех двумерных конформных теорий поля пока не
решена, хотя в изучении рациональной серии ст достигнут боль-
большой прогресс.
§ 12. ПОЛЯ И ОПЕРАТОРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Пока что наши рассуждения опирались лишь на общие прин-
принципы квантовой теории поля и были довольно абстрактными.
Для более детального описания конформных теорий поля пред-
предположим, что тензор энергии-импульса Т (z) может быть выра-
выражен через некоторые поля Ф (z, z), которые мы назовем первич-
первичными [208]. Мы предполагаем, что при конформных преобразо-
преобразованиях поле Ф преобразуется как (h, Л)-дифференциал:
Ф (w, w) =
dw
~~dz
E.12.1)
числа h, h называются конформными весами. Нетрудно показать,
переходя в цилиндрические координаты z = ре1*, что число h -ЬЛ
является весом поля Ф при растяжениях z -*¦ a.z, в то время как
h — Ti — спином [216]. Название «первичное» подчеркивает то
обстоятельство, что первичные поля и в самом деле составляют
выделенный класс полей, например произведение первичных по-
полей уже не будет первичным полем.
Фундаментальным для дальнейшего является понятие ком-
коммутатора двух полей (операторов) или эквивалентное ему поня-
понятие операторного разложения. Продемонстрируем, как оно может
быть выведено. Рассмотрим конформное поле Ф(л), преобразую-
преобразующееся согласно
тогда инфинитезимально w = z + / и мы имеем
б;Ф (z) = НФ (z) dzf + /<9гФ (z). E.12.3)
С другой стороны, вариацию поля Ф при конформных преобра-
преобразованиях мы можем вычислить согласно E.11.11), а именно:
]. E.12.4)
6/D(z) = [Lf, Ф] = ^|/(ш)[Г(ш)
Чтобы сравнить E.12.3) с E.12.4), перепишем E.12.3), исполь-
используя теорему Коши:
hdzf (z) Ф (z) =
E.12.5)
Таким образом, с точки зрения интеграла Коши коммутатор
[Т (w), Ф(г)] отличен от нуля потому, что содержит полюсы.
Понимая коммутатор в смысле метода окружения контуров, опи-
описанного в § 4 главы 4, мы получаем следующее операторное раз-
188
189

ложение тензора энергии-импульса с первичным полем Ф(г):
h
(w-z)<
— z)
E.12.6)
Аналогично может быть вычислено операторное разложение
двух тензоров энергии-импульса. Для этого возьмем формулы
E.11.16), E.11.17) и подставим
6
2
аналогично для п — т. После несложных выкладок мы получим
<J{z) Т («,)> = с + 2 УН + т-±-дюТ. E.12.7)
2 (г — ш) (г — w) \z — w)
В общем случае, когда мы работаем на произвольной римановой
поверхности, формулы E.12.6), E.12.7) имеют место лишь ло-
локально, в данной локальной системе координат, причем в правой
части могут появляться дополнительные члены, конечные в пре-
пределе z -*¦ w. Однако нас здесь интересуют только сингулярности,
а они от системы координат не зависят. Таким образом, мы пе-
перенесли все рассуждения на язык операторных разложений, ко-
которые имеют совершенно общий вид, содержа лишь две неопре-
неопределенные константы с и h. Заметим, что требование унитарности
представления алгебры Виразоро налагает ограничения не толь-
только на с, но и на h, которое может принимать только следующие
значения [215]:
[(т + 3)р — (та + 2) qf — 1
С = 1 —
h =
4 (т + 2) (т
q = 1,2 ... р.
¦3)
В заключение этой общей части кратко рассмотрим возможные
состояния конформной квантовой теории поля. Напомним преж-
прежде всего, что в евклидовых координатах мы имеем z = ехр (т + id),
где т — евклидово время. Асимптотическим состояниям при
т-*¦ — °° соответствует z = 0 (см. § 6, 7 главы 2). Перепишем
формулу E.11.16) в виде
71B) = 2 ?„2-»-2 E.12.8)
— оо
и возьмем вакуумное среднее уравнения E.12.7). Мы получим
из условия конечности Т (z) при z = 0, что
?JO> = O, n> —1, E.12.9)"
т. е. обычные условия Виразоро. Аналогично, требуя конечности
Т(w) при w = °°, нетрудно заключить, что
<01?„ =
E.12.10)
Отсюда видно, что генераторы Lo, L±\ одновременно аннигилиру-
аннигилируют |0> и <0| и соответствуют ненарушенной подгруппе инвариант-
инвариантности вакуума — группе Мёбиуса SLB, R). Рассмотрим физиче-
физические состояния. Мы можем строить их с помощью первичных
полей Ф (z):
iphys > =Ф(О)Ю>. E.12.11)
Подставляя формулу E.12.8) в операторное разложение E.12.6),
мы получаем условия Виразоро
Zolphys > = Alphys >,
LJphys>=0, n>0. E.12.12):
В качестве других возможных состояний можно взять, например,
дхФ (z) | 0> |2=0, d^D(z)|O>|z=o.... E.12.13)
Конформная алгебра позволяет точно так же получить дополни-
дополнительные ограничения на состояния E.12.13), хорошо известные
уже для случая струны. Для этого разложим первичное поле
Ф(г) в ряд Лорана:
<&(z) = 2J Ф«2-"-л. E.12.14)
Вычислим коммутатор Lo с Ф„. Используя метод окружения кон-
контуров и операторное разложение < Т(ш)Ф(г) >, мы находим
[Lo, Ф„] = - пФп. E.12.15)
Требуя, чтобы состояние Ф(г)Ю> было конечно при z = 0, мы
получаем условие
Фп|0> = 0, п>1-й. E.12.16)
При этом условии все остальные поля вида E.12.13) также бу-
будут несингулярными. Если взять в качестве Ф (z) струнное по-
поле d2X(z) и разложить его в ряд по осцилляторам
dzX»{z) = 2
2
— оо
h = 1,
то мы получим обычные условия
[Lo
E.12.17)
E.12.18)
= — па
На все состояния E.12.13) наложено условие Виразоро E.12.12),
которое, как мы знаем, отбирает состояния с положительной
нормой. В подходе Белавина — Полякова — Замолодчикова ясно
видна роль, которую играет конформная симметрия в отборе фи-
вического сектора. Мы видели, что алгебра Виразоро, коммута-
коммутационные соотношения физических полей, условия на физические
190
191

состояния и т. д. единым образом выводятся из операторного
разложения, вытекающего из конформных свойств теории.
Теперь мы можем построить все введенные выше величины
для интересующих нас лагранжианов:
^d-X», E.12.1 У)
E.12.20)
S (X) = ji- j tfzdtX^d-X»,
S (b, с) = -±- j* <F-zbjd-ci-\
где b5 — /-дифференциалы, a cl~j — A—/)-дифференциалы. Ра-
Разобьем X" = X*(z) + X*(z). В дальнейшем мы будем рассматри-
рассматривать только X"(z). Из E.12.19), E.12.20) следуют функции
Грина
<X*()Xv(M;)> = -6l'vln(z- w), E.12.21)
(z) с (и,)>-_!--, E.12.22)
<b(z)b(w)> = <c(z)c(w)> =^o(z—w).
Согласно E.12.21), поля X" не настоящие конформные поля и
не имеют определенного веса h. В то же время из них можно
построить конформные поля, например
z)
^
Первичным конформным полем с весом —р2/2 является вершина
V(p, z) = eip
E.12.23)
Заметим, что в лагранжиан E.12.21) входит не само поле Хц,
а его производная, которая является конформным полем. Поэто-
Поэтому мы ожидаем, что тензор энергии-импульса, построенный из
E.12.21), будет конформным со всеми описанными выше свой-
свойствами. Определим Tzz согласно E.11.1), выраженной в комп-
комплексных координатах:
^ir5- E.12.24)
Для вычисления правой части нужно воспользоваться формулой
вариации ковариантных производных при вариации комплексной
структуры E.4.18). Ответ имеет вид
Тх (z) = — ¦— дгХ*д*Х*, E.12.25)
Тъ'с (z) = — ibd.fi 4- A — /) (dzb) с. E.12.26)
Вычислим операторные разложения E.12.6), E.12.7) для этих
тензоров энергии-импульса. Из E.12.21), E.12.22) мы имеем с
192
помощью теоремы Вика
(W — Z)'
\c(z)}= 1~/oc|
dzC
<Г6'С (w) b (z)> = -^—г Ъ (z) + ^—z dzb (z).
E.12.27)
E.12.28)
E.12.29)
Теперь можно проверить операторное разложение самих тензо-
тензоров энергии-импульса. Применяя вновь теорему Вика, мы полу-
получаем
(Тх (w) Тх <*)> = 2-^-? 4- ~fX <*) + (^Ь) 9,ТХ, E.12.30)
<7*-е И 7^(Z)>= _(б/*-6/+0 4- —ЦгГЬ-с (z) + ъ±Т)д.Ть-° (z).
Советуем читателю самостоятельно вывести формулы E.12.27) —
E.12.30).
Сравнивая E.12.29), E.12.30) с общим видом операторного
разложения E.12.7), мы находим значение коэффициента с, за-
задающего конформную теорию поля. Для Тх мы имеем с = D,
в то время как для Ть-° с = — 2(б/2— 6/4 1). Вспоминая формулу
для конформной апомалии E.5.17), мы находим, что централь-
центральный заряд в алгебре Виразоро для соответствующих тензоров
энергии-импульса равен коэффициенту при конформной анома-
аномалии. В следующем параграфе мы прямо свяжем их. Обратим
внимание на тот факт, что для духовых полей с < 0, что про-
противоречит аксиоме положительности. В этом нет ничего удиви-
удивительного, поскольку Ь, с — духовые поля и лагранжиан E.12.20),
будучи дираковским лагранжианом для бозеполей Ь, с, не огра-
ограничен снизу [109]. Теперь мы можем определить полный тензор
энергии-импульса струны Полякова
T(z) = T^(z)+T"-':(z). E.12.31)
Операторное разложение для него находится просто сложением
формул E.12.28), E.12.29), и мы получаем полное значение
центрального заряда
ctot=D-2Ff-6i+ 1). E.12.32)
Для физических духов / = 2, и мы видим, что центральный за-
заряд обращается в нуль только при D = 26. В этом случае опера-
операторное разложение <Т(z)T(w) > не имеет аномалии, иными сло-
словами, центральный заряд в алг&бре Виразоро, определенной с
помощью полного тензора энергии-импульса T(z), равен нулю и
алгебра Виразоро принимает вид
tot
totl , s
m \ = [n — m)
-tot
X
b,c
193

Теперь мы можем отождествить Z4ot с обычными генераторами
конформных преобразований — zn+1 —r-, удовлетворяющих алгеб-
алгебре E.12.33). Хотя полностью роль духов станет ясной в § 14
при обсуждении БРСТ симметрии в струне, уже сейчас понятно,
что присутствие духов приводит к сокращению конформной ано-
аномалии полей X*, что происходит, когда размерность простран-
пространства-времени равна 26. В этом случае конформная симметрия
восстанавливается и операторы Виразоро приобретают свою на-
настоящую специальность генераторов конформных преобразова-
преобразований, как мы обещали в § 7 главы 2.
§ 13. АНОМАЛИИ И ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
В этой главе мы уже дважды выводили условие D = 26 из со-
совершенно различных, казалось бы, требований (вернее, требо-
требование было одним и тем же, но подходы были различными).
Сейчас мы установим ¦ между ними прямую связь. Выше, в § 6,
мы подробно рассматривали функцию Грина полей <X(z) X(w) >.
Мы выяснили, что благодаря сингулярностям операторного раз-
разложения при малых z — w функция Грина после регуляризации
зависит эффективно от конформного множителя р = еф. Таким
образом, с точки зрения подхода, основанного на изучении
вейль-инвариантности статсуммы, сингулярность операторного
разложения проявляется в появлении зависимости регуляризо-
ванных величин от р, в то время как с точки зрения конформ-
конформной теории поля присутствие сингулярности означает потерю
аналитичности (наличие полюсов при z = w). В самом деле, тен-
тензоры энергии-импульса Тх(z) и Tb'c(z), определенные согласно
E.12.24), E.12.25), благодаря сингулярности операторного раз-
разложения, не имеют смысла без регуляризации. Зададим регуля-
ризованные тензоры вычитанием сингулярности
rjnX.
¦I reg '
X{z)-dwX{w) + ~—-X E.13.1)
\z "—' w) J
See (z) = lim f- jb (w) dzc (z) + A - j) dwb (w) с (z) + 1 Л
однако теперь, поскольку
dz -—1—_ = _ dzd-
= — ndz82 (z — if)
E.13.2)
Ф0, E.13.3)
(z _ Ш)г " z (-2 — W)
мы теряем свойство конформности d-T(z) = O. Из условия со-
сохранения энергии E.11.3) следует в комплексных координатах
VT,, + VZ7V = 0, i E.13.4)
и если теперь VZTZZ = gzzd-Tzz=^O, то мы получим
иными словами, нарушение конформной инвариантности
E.11.96), согласно которой след тензора энергии-импульса дол-
должен быть равен нулю. Так устанавливается связь между двумя
подходами [206].
Конкретно мы можем вычислить конформную аномалию с по-
помощью операторных разложений, используя метод, предложен-
предложенный Фриданом [179]. Этот метод помимо своего изящества име-
имеет еще то преимущество, что позволяет полностью избежать
громоздкого вычисления функциональных детерминантов и при-
придает законченность подходу, основанному на свойствах двумер-
двумерной конформной теории поля. Нашей задачей является вычисле-
вычисление вакуумного среднего (Т zz} которое и задает нам конформ-
конформную аномалию. Применим закон сохранения энергии E.13.4)]
к вакуумным средним:
д-(Т^)+ yz{Tf^)^O. E.13.5)
Проварьируем это выражение по 8gww. С учетом E.12.23) мы
получаем
d-z{T2ZTww) — yj-^bWz{Tzz) = 0. E.13-b)
Б вакуумное среднее (TzzT^njo) вклад дает только аномалия
4- Используя E.13.3), мы можем записать аномалию как
2 (z —• w)
Учитывая теперь формулу вариации R при деформациях комп-
комплексной структуры E.4.18)
R Т> —. V V A rtzz /К Л Q Q V
Охг vzvz0g , (o.lo.o)
мы можем записать
8g
— V*62(z— w).
E.13.9)
Подставляя эту формулу в E.13.7), мы находим после триви-
тривиального интегрирования
<Jz-zy = -^VgR, E.13.10)
т. е. известное уже нам уравнение конформной аномалии.
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения вы-
вывести уравнение UA) аномалии
где / = —be, методом операторного разложения. Для этого доста-
достаточно использовать операторное разложение <T(z)j(и?)У, следую-
194
195

щее из E.12.27), E.12.28)
= B/ - 1)
(z - w)<
E.13.11)
и вычислить (Т (z) d-/ (w)y, применяя вышеприведенный трюк
с введением R.
Этим далеко не исчерпывается применение методов конформ-
конформной теории поля в струне Полякова. Во-первых, технику опера-
операторных разложений можно перенести на случай суперструны
Неве — Шварца — Рамона [109], где она оказывается исключи-
исключительно полезной при построении вершины излучения фермиона.
К сожалению, за недостатком места мы лишены возможности об-
обсуждать эти интересные вопросы. Во-вторых, методы конформ-
конформной теории позволяют весьма просто вычислять детерминанты
операторов на произвольной римановой поверхности. Опишем
идею построения [201, 202, 218]. Воспользуемся соотношением
"-lndet Д = <71ZZ>,
= Нш [ - jdz
Ve
тензор энергии-импульса Tzz отвечает тем полям, по которым
ведется интегрирование в функциональном интеграле. Для опре-
определенности рассмотрим интеграл по духовым полям. Запишем
регуляризованный тензор энергии-импульса
с (z)> + A - /) dw <Ь (ы,) с (z)> + 1 1.
\z—" w) J
E.13.12)
Но входящее сюда вакуумное среднее <.b(w)c(z)} есть не что
иное, как функция Грина полей Ь, с на данной римановой по-
поверхности. Сингулярность ее на малых расстояниях нам извест-
известна (см. E.12.22)). На произвольной римановой поверхности
известен также закон преобразования функции Грина при обходе
вдоль циклов ак, Ьк. Этого оказывается достаточно для однознач-
однозначного определения функции Грина в терминах 9-функций и глав-
главной формы [170, 260]. Правда, в общем случае знания
<Ь (z) с (iv) > нам недостаточно. Как мы знаем, мы должны вста-
вставить в интеграл B/—- 1) (g — 1) полей fr(Zj), так что на самом
деле нам нужно вычислить обобщенную функцию Грина
м \
Ц Ъ (Zj) Ъ (z) с (w) \ М = B/ — 1) (g — 1). Однако и ее можно най-
i=l /
ти, используя методы теории функций на римановой поверхно-
поверхности [201, 202, 218], после чего мы можем вычислить предел
E.13.12) и определить <7l6'c(z). Задача вычисления lndet А све-
сведется тогда к решению вариационного уравнения на него. Это
непростая задача, и для решения ее приходится привлекать
соображения, основанные на бозонизации [170]. Вариация всех
величин, входящих в определение Tb-C(z), вычисляется с по-
поу
\
мощью формулы Рауха [217]
где Оа — голоморфные 1-дифференциалы; т„ь — матрица перио-
периодов; \i-z— дифференциал Бельтрами, задающий вариацию комп-
комплексной структуры 6gzz- Явные формулы для lndetA;- в терми-
терминах тэта-функций приведены в [170, 202, 218], куда мы и отсы-
отсылаем читателя.
Наконец, методы конформной теории поля являются фунда-
фундаментом наиболее общего подхода к струне Полякова, основанно-
основанного на связи пространства модулей римановой поверхности с бес-
бесконечными грассманианами [71—73, 264]. Этот подход кажется
наиболее многообещающим, поскольку в рамках описания мат-
матриц периодов с помощью нелинейных эволюционных уравнений,
заданных на грассманиане (иерархия Кадомцева — Петвиашвили
[142]), проблема Шоттки решена [219]. Пока что эта програм-
программа далека от завершения.
§ 14. БРСТ ФОРМУЛИРОВКА БОЗОННОЙ СТРУНЫ
При квантовании неабелевых калибровочных полей нам при-
приходится нарушать калибровочную инвариантность введением
члена, фиксирующего калибровку, и детерминанта Фаддеева —
Попова. После чего вывод тождеств Уорда, опирающийся только
на калибровочные преобразования (тождества Славнова — Тей-
Тейлора [25, 26]), становится очень громоздким. Вывод тождеств
Уорда, играющих решающую роль в доказательстве перенорми-
перенормируемости, очень упрощается, если использовать глобальную ин-
инвариантность с антикоммутирующим параметром, открытую Бек-
ки, Руэ, Стора [221] и Тютиным [222], которая получила
название БРСТ симметрии. Рассмотрим квантовый лагранжиан
Янга — Миллса, например в калибровке Фейнмана:
3? =
+ 2У,. + &O.F.,
где
1 ,а
H.V»
E.14.1)'
E.14.2)
ic
Лагранжиан E.14.1) инвариантен относительно следующих
^преобразований:
= Л2>„с, E.14.3а)
--^fabcCbCc, E.14.36)
С E.14-Зв)
196
197

где X — константный антикоммутирующий параметр. Для про-
проверки инвариантности лагранжиана E.14.1), E.14.2) относи-
относительно преобразований E.14.3) заметим прежде всего, что пре-
преобразование поля Янга — Миллса по виду ничем не отличается
от обычного калибровочного преобразования 6ЛЦ = iZ5M<B, так что
относительно E.14.3а) мы имеем SkS'ym = 0. Для доказательства
ЬъC?р.р, + 3?g.f.) нужно использовать тождество Якоби для
структурных констант
fabdfdch. *i fcadfdbh. "Ь fbcdfdah = 0.
Эту вкладку мы предоставляем провести читателю. Таким обра-
образом, квантовый лагранжиан Янга — Миллса инвариантен относи-
относительно БРСТ преобразований E.14.3). Рассмотрим повторные
вариации полей
= 0,
= 0,
E.14.4)
Если теперь воспользоваться уравнением движения на с", а имен-
именно д^ЗУрС = 0, мы получим ЬфкСл = О. Нетрудно добиться, чтобы
Фт,о\са = 0 было справедливо вне зависимости от уравнений дви-
движения, для этого достаточно ввести так называемое вспомогатель-
вспомогательное поле Наканиши — Лаутрупа [223], однако для наших целей
вполне достаточно ограничиться массовой поверхностью. Духи
Фаддеева — Попова с, с по своему определению — скалярные фер-
мионы, и мы наложим на них канонические антикоммутационные
соотношения
(y, t)].
баЬб (х - у),
E.14.5)
аналогично для с. Фундаментальным условием, необходимым для
доказательства унитарности 5-матрицы, является эрмитовость по-
полей с% са [223]:
с+ = с, с+ = с.
E.14.6)
Иными словами, поля са, с" независимы и не связаны эрмитовым
сопряжением. Грубо говоря, они должны отщепить две нефизи-
нефизические степени свободы, поэтому их должно быть два.
rBRST с*
Далее, нетрудно построить нетеровский ток Jц , связанный
с симметрией E.14.3), и определить с его помощью заряд:
rBRST I г, ~ar,brcf Я (F /Л
•> ц == ~~~ ®v? *- L /abc — yv \r ]x\(-)i
S rBRST / j\ dQ_ __ q
Он генерирует БРСТ преобразования согласно
бяФ = [ikQ, Ф],
198
E.14.7а)
E.14.76)
E.14.8)
где при коммутации мы используем коммутационные соотноше-
соотношения E.14.5) и аналогичные для полей Янга — Миллса. Благода-
Благодаря эрмитовости полей с, с заряд Q эрмитов и коммутирует с га-
гамильтонианом ($ = 0). Из E.14.4) следует фундаментальное
свойство нильпотентности БРСТ заряда Q
<?2 = 0. E.14.9);
Тот факт, что квадрат эрмитового оператора оказался равным
нулю, вызван, разумеется, индефинитностью метрики, иными
словами, неправильной спин-статистикой полей с, с.
Как показано в работах [223, 224], условие калибровочной
инвариантности первоначального лагранжиана Янга — Миллса
теперь может быть просто записано в виде требования БРСТ
инвариантности физических состояний
(?|phys>=0.
E.14.10)
Баталии, Вилковысский и Фрадкин [225] развили общую про-
ЦеДУРУ построения генераторов БРСТ Q для произвольной тео-
теории с калибровочной инвариантностью. Их подход может быть
прямо перенесен на случай струн. А именно: если теория инва-
инвариантна относительно калибровочных преобразований с генера-
генератором G"
[G», Gb]=/a6cG% E.14.11)
то БРСТ заряд Q в общем виде можно записать как
Q = caGa y fabccacbcc.
E.14.12)
Упражнение. Используя коммутационные соотношения
E.4.11), следующие из них тождества Якоби на структурные
константы и грассмановость полей с", с", докажите, что Q
E.14.12) удовлетворяет условию нильпотентности Q2 — 0.
В формуле E.14.12) первый член c"Ga представляет собой,
как легко видеть, оператор действия на калибровочные поля,
порождающий преобразование 8А^ = ХЗУ^с, в то время как
~2~ 1аЪсСасъсс генерирует преобразование духовых полей.
Несомненными преимуществами БРСТ подхода являются его
ковариантность и компактность. При квантовании калибровоч-
калибровочных полей он позволяет избежать длинной окольной процедуры
Гупты — Блейлера с введением индефинитной метрики на про-
промежуточном этапе и т. д. Индефинитная метрика присутствует
в данном случае в духовых полях, которые имеют неправильную
статистжку и эффективно отщепляют в замкнутых петлях нефи-
нефизические степени свободы. Можно показать, что условие
l 0 эквивалентно хорошо знакомому условию
^ ] phys> = 0 в квантовой электродинамике [223]. Однако
особенно мощным оказывается БРСТ аппарат в случае струны,
где в ковариантном подходе мы имеем бесконечное число усло-
199

вий Виразоро. Как мы сейчас убедимся, их также можно пред-
представить в виде единственного условия $lphys>=0.
Оператор БРСТ преобразований Q для бозонной струны мо-
может быть построен исходя из общей формулы E.14.12). В дан-
данном случае калибровочной инвариантностью является конформ-
конформная симметрия, поэтому роль генераторов G" должен играть
тензор энергии импульса Тх(z) полей X*(z) E.12.23), а роль
jabcCac"cc — тензор энергии-импульса духов E.12.24). Мы исполь-
используем аппарат конформной теории поля и положим / = 2 для фи-
физических духов струны Полякова. Напомним нужные нам фор-
формулы. Тензоры энергии-импульса полей X* и Ъ, с для / = 2
имеют вид
Tx{z) = ±-д2Х-д2Х,
Ть-° (z) = -26 dzc - (dzb)c.
Операторы Виразоро Ln определяются согласно
E.14.13)
E.14.14)
E.14.15)
и удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Lx, Lx] = (n — m) Lx+m + jz п (п2 — 1) 8п,-т,
[Ln'C, im°] = (П — т) Ln'+m 5~ п {П% 1) &п,—п
E.14.16)
Полные операторы Виразоро Ln = Ln + Ln'c не имеют анома-
аномалии при D — 26.
Таким образом, в качестве оператора БРСТ попробуем исполь-
использовать выражение [109, 265]
.BRST
= c(z)[i
1 rpb, С
~г 1
.BRST
E.14.17)
Разложим поля Ь, с в ряд Лорана с учетом их конформной раз-
размерности:
b(z) = 2^z-"-2.
Коэффициенты сп, Ъп удовлетворяют следующим коммутацион-
коммутационным соотношениям:
Г ^^ГГьТ' п E.14.19)
[с с] ='[Ь Ь] = 0
] Их нетрудно вывести, например, из вида функции Грина полей
1 ад» c(z)
Подставляя разложения E.14.18) в E.14.14), E.14.17), мы на-
находим выражение БРСТ заряда Q в терминах операторов Ви-
Виразоро:
E.14.20)
где операторы Виразоро следующим образом выражаются через
коэффициенты ряда Лорана:
х
'
E.14.21)
n'° = — S (п + m) cmbn-m.
Поскольку Ln = L_n, d = с_„, b? = Ь_„, мы получаем, что опе-
оператор Q эрмитов, Q+ = Q. Формулы E.14.20), E.14.21) не име-
имеют смысла, пока мы не зададим правила нормального упорядо-
упорядочения. Для этого нам прежде всего нужно определить вакуум,
на который действуют осцилляторы а.п, Ъп, сп. Выберем вакуум
в виде прямого произведения вакуума осцилляторов 10>*, удов-
удовлетворяющего обычным условиям
и вакуума духов, определенного согласно общему правилу
E.12.16) для конформных полей размерности h. В данном слу-
случае (h = 2) мы имеем
cjO>M = O, rc>l, E.14.22)
bn\0\c = 0, n>-2. E.14.23)
Заметим, что, согласно E.14.23), cilO>6,c Ф 0. Таким образом,
полный вакуум есть
]0> = |0>*® 10>6,с. E.14.24)
Нормально упорядочивая относительно этого вакуума, мы полу-
получаем для Q выражение
Q = :
E.14.25)
а — неизвестная константа. Коммутационные соотношения опе-
операторов Виразоро ЬЪт1с с bm, cm легко находятся из E.14.19)
и имеют вид
[Ln'°, cm] = — Bп + m)cn+m,
\.Ln , om\ = — (п — тп) bn+m,
200
14 Ю., Н. Кафиев
201

з частности
[Lboc, cm] = -
тсъ
E.14.27)
Используя полученные формулы, мы можем теперь вывести за-
закон вариации полей X*, Ь, с при преобразованиях, порожденных
оператором Q E.14.17). В рамках конформной теории поля
удобно воспользоваться общим определением E.11.11), а именно:
(w) = [XQ, Ф
-<j>55*/
BRST
(z) Ф
E.14.28)
где X — антикоммутирующии параметр. Подставляя в E.14.28)
операторные разложения для полей X*, Ъ, с, мы получаем [109]
E.14.29)
Мы предоставляем читателю убедиться, что полный лагранжиан
S(X) + S(b, с) E.14.13), E.14.14) инвариантен относительно
этих преобразований, т. е. оператор Q, заданный согласно
E.14.17), действительно порождает симметрию лагранжиана.
Используя формулы E.14.16), E.14.27), нетрудно проверить,
что квантовый гамильтониан, определенный согласно
E.14.30)
Х
Ь,с
= J-'o + Lo' — a,
коммутирует с БРСТ зарядом Q
[Q, Н] = 0. E.14.31)
Таким образом, оператор Q обладает всеми свойствами БРСТ
заряда для бозонной струны, кроме одного: мы еще не доказа-
доказали, что он нильпотентен. Из-за наличия аномалий в алгебре
Виразоро для Ln, Ln'c и нормального упорядочения в опреде-
определении Q E.14.25) условие Q2 = 0 теперь не очевидно. Вычисле-
Вычисление Q'2 очень громоздко, и мы его приводить не будем. Впервые
нильпотентность Q в бозонной струне была проверена в пионер-
пионерской работе Като и Огавы [94], которые показали, что
только если D = 26 и константа а E.14.25) равна единице.
Наложим теперь на физические состояния требование БРСТ
инвариантности
<?lphys>=0. E.14.32).
В частности, рассмотрим действие Q на наш вакуум E.14.24).
Мы имеем при а = 1
[2 с-п (in + \ LY) - с0] | 0> = 0.
Учитывая E.14.23), мы получаем следующий набор условий:
Ln ]((l^LniboC-o "г^Го^о0' <5Л4-33>
\J^o — i-) I <J/ = и, J-iQ i U/ = u.
Таким образом, условие БРСТ инвариантности вместе с Q2 = О
дает нам бесконечный набор известных уже условий Виразоро,
причем с учетом нормального упорядочения. Поскольку cilO> Ф 0,
мы получаем требование Z/_il0>=0, т. е. выбранный нами ва-
кУУм E.14.24) автоматически оказывается SLB, R) инвариант-
инвариантным вакуумом бозонной струны B.7.3').
Фридан, Мартинек и Шенкер [109] заметили, что вакуум
|0>ь,с не является наинизшим состоянием в секторе духов. В са-
самом деле, введем состояние |Q> согласно
|Q> = cilO>6,c. E.14.34)
Поскольку с\ = 0, мы имеем теперь
Из коммутационных соотношений E.14.27) следует
E.14.35)
т. е. с точки зрения полного генератора Виразоро Ln мы име-
имеем, действуя на новый вакуум 10>с,
Ю>.= 10>*® |Q>,
(Lf + Lb0'c) | 0>c = (Lf - 1) | 0>c = 0,
иными словами, БРСТ заряд Q, нормально упорядоченный отно-
относительно вакуума Ю>с, имеет вид
П .V, Гх а- 1 Гь'с\-
E.14.36)
и никаких констант нормального упорядочения вводить не нуж-
нужно. Условие (^о — l) I ®Ус = 0 возникает здесь автоматически,
как следствие конформной инвариантности теории. Тахионы в
теории появляются благодаря особым свойствам вакуума духов
|?2>, который вследствие отличной от нуля конформной размер-
размерности поля c(z) имеет отрицательную энергию E.14.35).
Чтобы полностью прояснить смысл вакуума духов \Q~>, вве-
введем оператор числа духов согласно [94] :
= 2 (— Ъ~?
E-14.37)
71=1
Этот оператор антиэрмитов. Дело в том, что оператор числа ду-
духов произвольной калибровочной теории (см. подробное обсуж-
обсуждение в обзоре Куго и Одзима [223]) всегда антиэрмитов бла-
202
14*
203

годаря необычному виду зарядового преобразования для духов
с ->¦ еас, с -*¦ е~ас.
Такой вид преобразования диктуется эрмитовостыо полей с, с.
Оператор /0 есть не что иное, как нулевой коэффициент разло-
разложения тока числа духов E.7.12)
7(z) = -6(z)c(z) E.14.38);
з ряд Лорана
1 (z) = 2 /п*-"-1- E.14.39)
Подставляя в E.14.39) разложения полей b(z), c(z) E.14.18),
мы получаем формулу E.14.37) с учетом изменения знака при
нормальном упорядочении. Операторные разложения /(z) с по-
полями b(z), c(z) имеют вид
(* —.
<1{z)b{w)y = _ Ц
XJ v ' v '' (г — w)
или, эквивалентно, на языке заряда /о
[/о, с„] = сп, [/о, &„] = —
E.14.40)
E.14.41);
Из E.14.40), E.14.41) следует, что при нашем определении /0
все поля сп имеют духовый заряд, равный +1, в то время как
все Ъп имеют заряд —1. Наличие нулевых мод духа с (т. е. опе-
операторов с», c±i, не аннигилирующих вакуум |0>ь,с) вповь при-
приводит к удивительным следствиям. Действуя /о на старый ва-
вакуум духов |0>ь,с, мы находим
7"оЮ>ь,с=--5-|О>ь,с.
E.14.42)
Таким образом, вакуум духов 10>ь,с оказывается не нейтраль-
нейтральным, а имеющим заряд, равный —3/2. Для вакуума |?2> = CilO>b<:
3 , 1 „
мы получаем соответственно заряд q = g- + 1 = ^-. Отсю-
Отсюда следует, что оба вакуумных средних
поскольку в обоих нарушается закон сохранения заряда. При-
Причина этого феномена ясна: из теоремы Римана—Роха мы зна-
знаем, что вакуум в общем случае имеет фоновый заряд, равный
q = Sg — 3, т. е. q = —3 для конформной плоскости. Чтобы со-
сократить его, мы должны в данном случае вписать три опера-
оператора с, суммарный заряд которых как раз скомпенсирует фоно-
фоновый заряд. Легко сообразить, что естественным определением
вакуумного среднего будет [94, 109]
)>6,с E.14.43)
оно отлично от нуля, и мы можем нормировать его, например,
на единицу.
Рассмотрим применение формализма БРСТ к физическим
процессам. Например, в простейшем случае рассеяния N тахио-
тахионов (§ 7 главы 2) благодаря свойству E.14.42) мы видим, что
наивно определенная амплитуда
П т1 <° I V (**,
i=l Zi
| 0>
обращается в нуль. Мы должны вместо трех каких-либо вершин
V(ki,Zi) вставить c(zt) V(кг, zf). Поскольку оператор с(zt) V(кь Zi)
имеет конформную размерность 0, интегрировать по z, не нуж-
нужно. Выбор трех точек, например z\ = 0, zK = °°, zw-i = 1, нару-
нарушает SLB, R)-симметрию. Мы получаем
П -г1 ь.с<0 ! с (zN) с (zw_x) с (zx) | 0>ь,с X
t=2 zi
Хх <0 | V (zN) V (zjv-x) ...V (Zl) | 0yx- E.14.44)
Подставляя c(z)= c_iz2 + cqz + c\ + ... и учитывая фермионную
природу операторов сп, мы имеем для вакуумного среднего духов
Ь,с<0 | C(ZN) С (Ziv_i) С (Z±) | 0>б,с =
111
= det
-i zN
2
Z
После подстановки этого множителя в E.14.44) мы получаем в
точности формулу B.7.17), которую мы вывели, отфакторизовав
бесконечный объем группы Мёбиуса. В формуле B.7.17) вакуум-
вакуумное среднее вычисляется уже только относительно бозонного
вакуума 10>*. Мы видим, что в рамках БРСТ инвариантного
подхода правильный результат получается автоматически. Мож-
Можно показать, что применение БРСТ инвариантных величин и
полного пропагатора в виде
где Н — полный гамильтониан, Н = Lo + L0'c, позволяет про-
просто вывести правильный ответ для однопетлевой амплитуды
[226], без введения громоздкого проекционного оператора Брин-
ка — Олайва. Идею работы [226] можно продемонстрировать на
примере вычисления статсуммы бозонной струны. Ранее, в § 5
главы 2, мы вычислили ее несколько искусственным образом,
в рамках квантования на световом конусе. В ковариантном
БРСТ подходе мы имеем
= Tr qH =Zx(q)Zbc(q), E.14.45);
204
205

где теперь .;
Н = Lf + LY = - « - S а^а* + Ц л (*_„с„ + с_„Ьп).
1 1
Вычисляя статсумму а-осцилляторов, мы получаем обычным
способом
В секторе духов отличны от нуля числа заполнения 0, 1, но
теперь, в отличие от струны Неве — Шварца — Района, состоя-
состояния
|Q>, c-JQ> F_„|й>)
имеют различную статистику, поэтому возникает суперслед
Sir дпЪ-псп = 1 _ qri%
Такой же вклад дает второй член в гамильтониане. Далее, д ° ,
действуя на вакуум, дает q~l (или мы могли бы вычислить стат-
статсумму относительно вакуума \ОУь,с, но тогда нам надо было бы
вычесть из Н единицу в соответствии с нормальным упорядоче-
упорядочением). Таким образом,
Отсюда полная статсумма равна
A
Фермионные духи эффективно сократили две нефизические сте-
степени свободы осцилляторов «я, которые в ковариантном подходе
также дают вклад в статсумму. Точно так же духи восстанавли-
восстанавливают унитарность внутри петли [226].
Если в случае бозонной струны мы еще могли тем или иным
окольным способом получать правильные результаты, то в спи-
спиновой струне ковариантный БРСТ подход является совершенно
необходимым [109, 110]. Конформная инвариантность требует в
ней, чтобы излучение фермиона сопровождалось излучением ду-
духа, и БРСТ формализм возникает здесь совершенно естественно.
Еще большую роль БРСТ инвариантность играет в построении
струнных теорий поля [226]. К сожалению, сколько-нибудь под-
подробное изложение этих вопросов потребовало бы написания еще
одной книги, к тому же струнная теория поля в настоящее вре-
время никак не может считаться законченной теорией. Мы надеем-
надеемся, что овладение классическими методами теории струн, изло-
изложенными в настоящей книге, позволит читателю самостоятельно
выбирать темы для дальнейшего изучения и исследования.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ
И МЕТОДЫ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В этом приложении мы познакомим читателя с функциональ-
функциональными методами квантовой теории поля, которые, по правде гово-
говоря, не будучи особенно новыми, тем не менее известны значи-
значительно хуже, чем традиционные диаграммные методы.
А.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ
Почти одновременно с построением современной квантовой
теории поля в формализме Фейнмана Швингер [4] развил весь-
весьма отличный формализм, чрезвычайно удобный для вычисления
физических величин (таких, как тензор поляризации и т. п.)
во внешнем поле. В следующие годы его широко использовал
Де Витт [178, 227], но широкую популярность он приобрел
после открытия конформной аномалии, инстантонов и т. д. В ли-
литературе этот метод встречается под многими названиями: по
имени математиков Минакшисундарама [228], Сили [229], фи-
физиков Швингера и Де Витта, как «метод уравнения теплопровод-
теплопроводности». Мы будем использовать последнее. Итак, наша цель —
научиться вычислять функциональный интеграл вида
Z(A, g ...) =
(A.I.I)
где лагранжиан 3? зависит от опинорных полей i|> и (или) ска-
скалярных полей ф ... и внешних полей: калибровочного А^ и гра-
гравитационного gfj.v (^р,)- Нас интересует случай, когда лагранжиан
имеет вид
т. е. квадратичен по квантовым полям ф, ф. Здесь ^5Ц = Зц + А»—¦
оператор Дирака, А — скалярный оператор Лапласа. Вид лагран-
лагранжиана (А.1.2) — примерный, хотя он охватывает довольно ши-
широкий круг задач. Поскольку функциональный интеграл (А.1.1)
с лагранжианом (А.1.2) гауссов, мы можем «вычислить» его
явно. Введем, как и в § 3 главы 1, полный набор собственных
функций операторов А + ?Д и 2D = щ^З)^.
=Х»ф», (А.1.3)
206
207

где теперь
Вычисляя статсумму а-осцилляторов, мы получаем обычным
способом
Zx (д) = П A - (Г)""-
п=1
В секторе духов отличны от нуля числа заполнения 0, 1, но
теперь, в отличие от струны Неве — Шварца — Района, состоя-
состояния
, c-JQ> (b_
имеют различную статистику, поэтому возникает суперслед
sir qnb-^cn = 1 _ g".
Ъ,с
Такой же вклад дает второй член в гамильтониане. Далее, q о ?
действуя на вакуум, дает q~l (или мы могли бы вычислить стат-
сумму относительно вакуума 10>ь>с, но тогда нам надо было бы
вычесть из Н единицу в соответствии с нормальным упорядоче-
упорядочением). Таким образом,
Отсюда полная статсумма равна
Фермионные духи эффективно сократили две нефизические сте-
степени свободы осцилляторов ос?, которые в ковариантяом подходе
также дают вклад в статсумму. Точно так же духи восстанавли-
восстанавливают унитарность внутри петли [226].
Если в случае бозонной струны мы еще могли тем или иным
окольным способом получать правильные результаты, то в спи-
спиновой струне ковариантный БРСТ подход является совершенно
необходимым [109, 110]. Конформная инвариантность требует в
ней, чтобы излучение фермиона сопровождалось излучением ду-
духа, и БРСТ формализм возникает здесь совершенно естественно.
Еще большую роль БРСТ инвариантность играет в построении
струнных теорий поля [226]. К сожалению, сколько-нибудь под-
подробное изложение этих вопросов потребовало бы написания еще
одной книги, к тому же струнная теория поля в настоящее вре-
время никак не может считаться законченной теорией. Мы надеем-
надеемся, что овладение классическими методами теории струн, изло-
изложенными в настоящей книге, позволит читателю самостоятельно
выбирать темы для дальнейшего изучения и исследования.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ
И МЕТОДЫ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В этом приложении мы познакомим читателя с функциональ-
функциональными методами квантовой теории поля, которые, по правде гово-
говоря, не будучи особенно новыми, тем не менее известны значи-
значительно хуже, чем традиционные диаграммные методы.
А.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕТЕРМИНАНТЫ
Почти одновременно с построением современной квантовой
теории поля в формализме Фейнмана Швингер [4] развил весь-
весьма отличный формализм, чрезвычайно удобный для вычисления
физических величин (таких, как тензор поляризации и т. п.)
во внешнем поле. В следующие годы его широко использовал
Де Витт [178, 227], но широкую популярность он приобрел
после открытия конформной аномалии, инстантонов и т. д. В ли-
литературе этот метод встречается под многими названиями: по
имени математиков Минакшисундарама [228], Сили [229], фи-
физиков Швингера и Де Витта, как «метод уравнения теплопровод-
теплопроводности». Мы будем использовать последнее. Итак, наша цель —
научиться вычислять функциональный интеграл вида
.A.s-)uD*i (Д. 1.4)
где лагранжиан 3? зависит от спинорных полей v|; и (или) ска-
скалярных полей ф ... и внешних полей: калибровочного А^ и гра-
гравитационного gyiv {.е%)- Нас интересует случай, когда лагранжиан
имеет вид
т. е. квадратичен по квантовым полям ф, ср. Здесь Я)^ — д„. + А»—¦
оператор Дирака, А — скалярный оператор Лапласа. Вид лагран-
лагранжиана (А.1.2) — примерный, хотя он охватывает довольно ши-
широкий круг задач. Поскольку функциональный интеграл (А.1.1)
с лагранжианом (А.1.2) гауссов, мы можем «вычислить» его
явно. Введем, как и в § 3 главы 1, полный набор собственных
функций операторов А + ?Д и ?D = г^ц?2>„:
206
207

Мы предполагаем пока, что операторы 3!> и А + \R не имеют
нулевых мод, т. е. Хп, и„ Ф 0 и собственные функции ф„, фп орто-
нормированы. В этом случае функциональный интеграл (А.1.1)
может быть выражен через произведение собственных значений
Хп и цг.. В самом деле, разлагая
1р = 2 antyn, Ф = 2 bnW"» Ф = 2 спфп (А. 1.5)
и учитывая, что якобиан, переходя от ф, if к ап, Ъп и от ф к с„,
равен определению Грамма — Шмидта собственных функций
(ф«, ifm) и (ф„, фт), т. е. единице, вследствие их ортонормиро-
ванности, мы запишем, подставляя разложение (А.1.3), (А.1.4)
в лагранжиан (А.1.2),
z (ац, gflv) = Г П
" 7г,т
Интеграл по dcm дает
1тст
(А.1.6)
Переменные ап, Ъп являются грассмановыми, и интегрировать
по ним мы должны с учетом их грассмановой природы. Напом-
Напомним определение фермионного интеграла [197] :
Jd9 = 0, J 9 dO =1.
Легко видеть, что интеграл по каждой паре а„, Ъп дает Хп, но
теперь в числителе. Полный ответ есть
где, разумеется, от А^ и g^ зависят собственные числа Кп и \хт.
Выражение (А. 1.7) сильно расходится. В общем случае на ком-
компактном пространстве собственные числа оператора Лапласа
растут с номером п как ~п2, например п(п—1) на двумерной
сфере; для оператора Дирака, являющегося чем-то вроде корня
квадратного из лапласиана, мы ожидаем рост ~п. Таким обра-
образом, (А.1.7) представляет собой отношение сильно расходящих-
расходящихся бесконечных произведений и в таком виде совершенно не
определено. Мы можем значительно улучшить сходимость, если
поделим Z(A^, gMV) на Z@, 0), т. е. на функциональный интеграл
в пустом пространстве. Если мы заключим поля ф, \f> в ящик,
то в нем собственными функциями (А.1.3), (А.1.4) будут
ехр (гк-хп), где к = 2л/Ь, L—длина ящика, а собственными
числами — Я° = п, \Хп = п2. Поэтому, определяя
мы видим, что наиболее сильные расходимости сокращаются,
не говоря уже о том, что этот прием позволяет нам не забо-
208
титься о численных множителях типа У я [102]. Однако чаще
всего даже после такой первичной регуляризации функциональ-
функциональный интеграл продолжает содержать расходимости, связанные
уже с динамикой. Наша цель сейчас — определить полностью
регуляризованное выражение. Опуская тильду над Z, мы пере-
перепишем (А.1.8) в более компактном виде
Z = detiZ>(detA)-1/2, (А.1.9)
где с учетом сделанных оговорок мы понимаем под детерминан-
детерминантом произведение собственных чисел диагонализованной матра-
матрацы, в данном случае — оператора.
А.2. ^-ФУНКЦИЯ
И ЯДРО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Один из широко распространенных подходов к регуляриза-
регуляризации функциональных детерминантов основывается на введении
?-функции. Определим «t;-функцию оператора» согласно
яг. (А.2.1);
Этот ряд сходится в области Re s > 1 и определяет там аналити-
аналитическую функцию ^2> (s)- В математической литературе t,g> (s)
называется t;-функцией Эпштейна, свойства ее хорошо изучены.
Подобно обычной Е;-функции Римана, она мероморфна на комп-
комплексной плоскости переменной s и имеет единственный полюс
в s = 1. Замечая, что ?2зE) = —2^sln^«> MbI можем записать
Ю. (А.2.2)
Поскольку, подчеркнем еще раз, ?®(s) при s = 0 хорошо опре-
определена вместе со своей производной, мы можем определить регу-
ляризованный детерминант формулой
det Фп = e~l®(°\ (A.2.3)
Однако в общем случае выражение (А.2.1) является не совсем
удобным для вычисления детерминанта и ^-функцию приходит-
приходится выражать через другие объекты. Заметим, что выражение
(А.2.1) можно переписать как
0 =
о
2 J
"^-^ At.
(A.2.4)
Поскольку 1/Г (s) ~ s при s -»- 0, мы имеем
00 ?
In det ЗУ = — 2 1 ~Г e~~%nt + расходящаяся часть, (А.2.5)
209

т. е.
In det
оо
= — J
-^- Тг е
(A.2.6)
Это выражение служит основным определением детерминанта
оператора в формализме Швингера (переменная t традиционно
носит название собственного времени). Оно может быть полу-
получено другим способом, с использованием очень полезного тож-
тождества
det Л = еТг1пА, (A.2.7).
где А—любая матрица или оператор. Тождество (А.2.7) оче-
очевидно для диагональных матриц, а поскольку любая матрица
может быть аппроксимирована диагонализуемой, опо справед-
справедливо всегда. Далее, используем равенство
In
_ = j _ (е-н» _ e-tA)
и получаем, беря от обеих частей след,
Tr In Ф - Тг In
Тг
оо
J *±
In
(A.2.8)
Здесь Ф$ — некоторый фиксированный оператор, например опе-
оператор 2D в пустом пространстве. Таким образом, формула (А.2.8)
как раз определяет отношение детерминантов, что нам и нужно.
В дальнейшем, поскольку мы будем изучать вариационные урав-
уравнения на In det 2D, a det 2)a — просто бесконечная константа, мы
ее писать не будем. Вместо этого мы можем определить регуля-
ризованный по собственному времени детерминант оператора
формулой, аналогичной (А.2.6):
In det 3> = — j ^f Tr е~
(A.2.9)
Можно показать, что два определения регуляризованного детер-
детерминанта: (А.2.2) и (А.2.9) — отличаются на несущественную'
численную константу [11]. След экспоненты оператора нужно
понимать следующим образом: введем фундаментальный для
дальнейшего объект, так называемое ядро уравнения теплопро-
теплопроводности К(х, у, t)
(e-®tf) (х) ~ J * (*, у, t) /(у) dDy, (A.2.10)
где f(x)— произвольная пробная функция, а экспонента от опе-
оператора определяется аналогично экспоненте от матрицы. Напри-
Например, из (А. 1.4) мы имеем
Разлагая функцию f(x) в ряд по полному набору собственных
функций- ф«
f(x) = %an4>n(x), ап = |Ф„ (y)f(y) dDy, (A.2.12)
мы получаем
(е-'Д/) (х) = J К (х, у, t) / (yfdDy = е-" 2 ««Фп И =
апе~%п\п (х) = 2 J" Ф» (У) / (У) e-^Vn (x) d
y.
К (х, у, t) = 2 Ф» (х) Фп (у) e-x"f. (A.2.13)
Функция Z(;r, у, t) удовлетворяет аналогу уравнения теплопро-
теплопроводности
АХК (х, у, t) = 2 А*фп (х) Ц>п (У) e~%nt =
„Ф« (х) Фп (У) e-x"f = - Щг (х, у, t) (A.2.14)
и двум важным граничным условиям:
lim К (х, у, t) = 2 Ф» (ж) Фп (У) = б° (х — у), (А.2.15)
Тг е-д' dD;r = j* tr К (х, х, t) dDx = 2 <
>f. (А.2.16)
Здесь и далее знак Тг означает одновременное взятие следа в
функциональном пространстве и следа по матричным (лоренце-
вым, изотопическим и др.) индексам, если таковые имеются,
a tr — просто матричный след.
А.З. РАЗЛОЖЕНИЕ ШВИНГЕРА — ДЕ ВИТТА — СИЛИ
Подставляя (А.2.16) в (А.2.9), мы получаем формулу, выра-
выражающую детерминант оператора через ядро уравнения тепло-
теплопроводности:
In det А = — J -у- j tr К (х, х, t) dDx. (A.3.1)
Е
Таким образом, нам предстоит изучить свойства К(х, х, t). Зная
его в том или ином приближении, мы сможем вычислить в том
же приближении In det А, т. е. функциональный интеграл. Впер-
Впервые ядро К(х, у, t) в данном контексте появилось в работах
математиков Минашкисундарама и Плейеля [231], которые вы-
вывели итерационную систему уравнений для его вычисления. Лю-
Любопытно, что первым, кто действительно нашел вторую итерацию
К(х, х, t) в четырехмерном кривом пространстве, был физик
Де Витт [227]. Позже этот метод получил развитие во многих
работах (см. особенно [227, 229, 231, 232, 233]), и некоторые
из их результатов нам понадобятся ниже.
210
211

Фундаментальным для нас является следующий факт, строго«
доказанный еще в 1949 г. [228, 230]: при малых t ядро К(х, х, t)
может быть разложено в ряд по t вида
К (х, х, t) = ,, * 2 а*-о/2 (?) th, (A.3.2>
(Ш)
2
й=0
где D — размерность пространства-времени (мы рассматриваем
только четномерные пространства); afe_D/2 — локальные функции
х, называемые коэффициентами Швингера — Де Витта — Сили.
Чтобы понять роль функций а(х), рассмотрим обычное ядро-
уравнения теплопроводности, удовлетворяющее (А.2.14) в пло-
плоском пространстве размерности D, с начальным условием
(А.2.15). Как известно из курса математической физики,
легко находится преобразованием Лапласа и имеет вид
(x-vJ
Ко (х, у, t) =
(А.3.3)
т. е. в этом случае все функции ah-D/2 равны нулю, кроме a-D/2,
которая равна единице. Таким образом, функции ah-D/2 содер-
содержат в себе всю информацию о «возмущении», т. е. о зависимо-
зависимости детерминанта оператора от кривизны пространства-времени,
калибровочных полей и т. д. Наша цель — научиться вычислять
коэффициенты ah_D/2. Особенно нас будет интересовать в даль-
дальнейшем коэффициент ао, при котором стоит нулевая степень t.
Оказывается, что именно он несет главную информацию, опре-
определяя однопетлевой контрчлен и детерминант оператора в тех
(редких) случаях, когда его удается точно вычислить. Чтобы
понять его роль, используем для наглядности третью возможную*
регуляризацию — размерную. Мы подставим в (А.3.2) вместо
D -*¦ D — е и рассмотрим расходящуюся часть детерминанта
1
in det А = - ( *L jj-^j^ J 2 "b-D/Sd'x -
(А.3.4)
Поскольку, по предположению, среди А« нет нулевых мод, на
верхнем пределе t -*- °° (т. е. в инфракрасной области с точки
зрения импульсов) интеграл сходится и второй член в правой
части (А.3.4) расходимостей не содержит. В области малых t
(ультрафиолетовая область импульсов) мы имеем
J2.-1
2
— I dt I v ik
О
1 а„
.. ,Д/2-— + конечные члены.
Dл)-' ь
(А.3.5)
С точки зрения размерной регуляризации члены с номеромг,
меньшим -D/2, соответствуют интегралам вида
fdV
которые в этом методе полагаются равными нулю. С точки зре-
зрения обычной регуляризации обрезанием они соответствуют сте-
степенным расходимостям. Здесь нас интересует только полюс пер-
первого порядка по е, коэффициентом при котором и является
функция а0 (логарифмическая расходимость с точки зрения обре-
обрезания по импульсам). Мы получаем, что в рамках размерной
регуляризации расходимость In det А задается коэффициентом а0:
61ndetA = -—^-^
Dл)
(А.3.6)
Записывая теперь Z = е~г, где Г — эффективное действие, мы
находим его расходящуюся часть:
= 4—-пГ—' (А.3.7>
Таким образом, контрчлен, равный с обратным знаком расходя-
расходящемуся члену в эффективном действии, есть
1 1 %
2 Dл)D/2 e '
6ГС.С = -
(А.3.8)
Зная ао, мы знаем полный контрчлен, необходимый для устра-
устранения расходимостей на уровне одной петли.
АЛ. ДВЕ ЛЕММЫ РЭЯ — ЗИНГЕРА — ШВАРЦА
Приступим к выводу функционального уравнения на детер-
детерминант оператора. Мы предполагаем, что наш оператор зависит
от некоторого функционального параметра т, который мы пони-
понимаем весьма широко: например, это может быть калибровочное
поле Лц или конформный множитель р перед метрикой g-wv и т. д.
В некоторых случаях приходится даже действовать согласно
изречению: «Если бы параметра не было, его надо было бы
выдумать», причем в таких случаях приходится проявлять нема-
немалую изобретательность. Основой вычисления детерминантов слу-
служат две нижеследующие леммы Рэя — Зингера — Шварца
[231, 232].
Лемма 1. Если для эллиптического оператора А(т) найдут-
найдутся эллиптический оператор Т {%) и оператор В{х), удовлетво-
удовлетворяющие
= t-j^TrBe-tT, (A.4.1)
212
213

то
d In det
dx
=ao
(A.4.2)
где ао(В, Т) определяется аналогом разложения Швингера
Де Витта — Сили
Доказательство очевидно. Вычислим просто вариацию In det А (т)'
-?- In det А (т) = — { —
dx ч ' 1 (
= — 1 Ц- * 4т Тг 5е~гТ = Тг Ве-*т.
j t at
в
Подставляя для Тге~гГ разложение (А.4.3), мы видим, что един-
единственным членом, конечным и отличным от нуля в пределе
€-*¦ 0, является , д/2 а0 (В, Т). Может создаться впечатление
(а оно, как мы могли убедиться, часта возникает у слушателей),
¦что оператор Т (т) в (А.4.1) должен быть не чем иным, как
А(т), однако это не всегда так. Ниже мы приведем примеры,
когда Т (х) существенно не совпадает с А(т).
Таким образом, если нам удастся подобрать операторы В и
Т, удовлетворяющие (А.4.1), и—что также немаловажно! —про-
—проинтегрировать уравнение (А.4.2), мы сможем вычислить In det A
в конечном виде. Сама лемма 1 ничего не говорит о свойствах
операторов В и Т и о том, как их искать. Эту задачу в некото-
некоторой степени выполняет следующая лемма 2, которая дает доста-
достаточные условия существования операторов В я Т.
Лемма 2. Пусть существуют операторы L и. R такие, что
J- А (т) = LA + AR.
Тогда для оператора А(т) имеет место лемма 1.
Доказательство вновь очевидно:
f-Trr'4W = — *Tr'
(А.4.4)
d^c
= -iTr (LA + RA) е-*Д(*> = t -jj-Tr(L + й)е
где мы воспользовались возможностью циклически переставлять
сомножители под знаком следа. В этом случае В = L + R и
А.5. РАЗЛОЖЕНИЕ БАЛЬЯНА — БЛОКА
Полученные до сих пор формулы мало что говорят нам о
самих функциональных детерминантах, поскольку мы никак не
расшифровали, что же такое коэффициенты ah и как их вычис-
вычислять. В литературе известно несколько способов вычисления aft,
мы приведем здесь наиболее простой и наглядный, на наш
взгляд, метод Вальяна —¦ Блока [234]. Этот метод исходит из
разложения массивной функции Грина оператора А в ряд па
обратной массе. Соответствующие коэффициенты разложения
оказываются тривиально связанными с ah(A).
Введем (фиктивный) массовый параметр тп- и запишем урав-
уравнение на функцию Грина оператора А + тп2:
(A + m2)G(x, у, /п?) = б(х-г/). (А.5.1)
Функция Грина следующим образом выражается через собствен-
собственные функции ф„ оператора А, Афп = А„фп:
;(;};р:(*у) = 2 ф» (*> ф-
= ^К {х, у, t) e~m% dt.
о
Разложим след функции Грина в ряд по тг2. Имеем
оо
tr G (х, х, т2) = 2 h (x) —-?.
(А.5.2>
(А.5.3)
С другой стороны, подставляя в уравнение (А.5.2) разложение
Швингера — Де Витта — Сили для ядра К(х, х, t), мы получаем
оо
tr Greg (х, х, т2) = tr J К (х, х, t) e~tm'2 dt =
Dл)
D/2
^+ 2
г *-.
(А.5.4)
Сингулярные, т. е. растущие по т?, члены, возникающие здесь,,
обусловлены плохим поведением G(x, x, т2) при совпадающих
аргументах. Пока что они нас не интересуют. Сравнивая теперь
(А.5.4) с (А.5.3), мы находим связь между коэффициентами
ah и bh:
ъ
Г (к—
Dл)
D/2,
(А.5.5)
214
215

Таким образом, вместо разложения ядра уравнения теплопровод-
теплопроводности в ряд по t мы можем изучать разложение следа массив-
массивной функции Грина в ряд по обратной массе. С этим разложе-
разложением мы уже отчасти знакомы. Мы рассматривали его в § 2 гла-
главы 1 при вычислении разложения функции Грина регуляторов
Паули — Вилларса. Введем вновь некоторый фиксированный
оператор Ао, в качестве которого удобно взять оператор А в пу-
пустом пространстве, т. е.
Ао = -д2.
Функция Грина оператора — д2 легко находится:
(-d2 + m2)G0(x, у, m2) = b{x-y), (A.5.6J
--Ч-;—г- (А.5.7)
Вычитая (А.5.6) из (А.5.1), мы получаем после несложных пре-
преобразований интегральное уравнение на G(x, у, та2)
G {х, у, та2) == Go (х, у, та2) —
— JG (х, z, та2) (Д — AO)ZGO (z, у, та2) d°z. (A.5.8)
Заметим, что оператор Д — До пропорционален калибровочному
полю А* (см. формулу A.2.9)) и в общем случае кривизне про-
пространства, т. е. представляет собой возмущение. Итерируя инте-
интегральное уравнение (А.5.8), мы получаем ряд теории возмуще-
возмущений для G(x, у, та2) (разложение Карлемана)
G (х, у, та2) = Go (х, у, та2) — j Go (x, z, та2) (Д—Д0)г G (z, у, та2) dDz +
+ j<?0 (х, z, та2) (Д—ДоJGo (z, w, та2) (Д—A0)wx
X Go (ш, у, та2) dozd°u;. (А.5.9)
Свободная функция Грина G0{x, г/, та2) известна (А.5.7), и по-
после подстановки Д + д2 в (А.5.9) мы получаем, вычисляя фейн-
мановские интегралы, разложение в ряд по та, которое и опре-
определит нам коэффициенты bh, а следовательно, и аА. Подчеркнем,
однако, что мы умеем вычислять интегралы вида (А.5.9) только
в том случае, когда оператор Д — До задан в виде явной функ-
функции от х, в связи с чем необходимо использовать калибровку
Швингера для калибровочного поля и нормальных координат
для гравитационного поля. Их мы опишем в следующем разде-
разделе, а пока заметим, что при вычислении промежуточных инте-
интегралов в (А.5.9) нам нужно знать калибровочное поле и метри-
метрику при всех х — у, а не только в области малых х — у. Однако,
поскольку свободные функции Грина экспоненциально падают
при больших (х — уJ, то, как строго доказано в [230], соответ-
соответствующие интегралы сходятся и однозначно определяют
G(x, у, та2).
В заключение этого раздела напомним, что в искривленном
пространстве-времени все выписанные нами формулы должны
быть изменены соответствующим образом. Вместо &Dy мы долж-
должны писать Yg" dDy, точно так же разложение ядра уравнения
теплопроводности по собственным функциям приобретет вид
К (х, х, t) = Тг е~" = V~g 2 Фп (х) Фп (х) e~Xnt. (A.5.10)
Функция Грина будет удовлетворять уравнению
(Д + т*) G (х, у,
= -i=- б (х — у),
v s
(А.5.11)
соответственно все коэффициенты Швингера — Де Витта — Сили
должны множиться на Yg и т. д.
А.6. КАЛИБРОВКА ШВИНГЕРА.
НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
Для практического вычисления интегралов (А.5.9) нам нуж-
нужно ввести калибровки, явно задающие разложение А,„ guv вблизи
некоторой фиксированной точки з виде ряда по х.
Что касается поля Янга — Миллса А», то для него удобно
использовать так называемую калибровку Швингера [235]:
ov4,(*) = 0. (A.6.1)
Эта калибровка позволяет получить явное разложение А^ в тер-
терминах х. Запишем напряженность поля Янга — Миллса в точке
х~д:
F^ = д„А, - дЛ» -h [Atl, Av].
Умножая обе части уравнения на х» и учитывая (А.6.1), мы
находим
= -?.(*АЛ*л
Отсюда мы получаем
(X) =
о »=о
(А.6.2)
Здесь 2?>а — да-^[Аа, ] — ковариантная производная, и все они
взяты, разумеется, в точке х = 0.
Для гравитационного поля удобно использовать римановы
нормальные координаты. Напомним, как они задаются [236]:
вновь фиксируем произвольную точку в пространстве, например
х = 0, и наложим следующие условия на символы Кристоффеля:
Г?а (х) х^х° = 0, (А.6.3)
216
15 ю. Н.. Кафиев
217

где х* — нормальные координаты, т. е. имеющие вид х* = Ъ^т,
?" — константы, т — параметр геодезической. Напомним, что
в нормальных координатах всякая прямая, проходящая через
выбранную точку, является геодезической. Из (А.6.3) нетрудно
вывести бесконечный набор условий на Г^а в точке х = О, на-
например
Ita @) = 0, **да№о @) J*C° = 0, ....
Теперь, исходя из уравнения геодезической, можно вывести ана-
аналог разложения (А.6.2) для «потенциалов» g^ и Гха. Эти соот-
соотношения имеют вид [267]
gaX = 8оХ + -|- RoaX^xt + j? ReaybRxiy^X^X* + . . . , (А.6.4)
-j^ U
—
R
TOXy\
Читатель легко убедится, что (А.6.4) удовлетворяет условиям
(А.6.3). В правых частях (А.6.4) тензор кривизны задан в точ-
точке х = 0. Нормальные координаты особешго удобны тем, что в
точке х = 0 геометрия плоская: метрическим тензором является
символ Кронекера б,„, Г?а = 0, а искажение геометрии при х^О
задается явными уравнениями (А.6.4). Из этих уравнений вы-
выведем еще одно полезпое соотношение
g = det gap = 1 —
+
[¦h
(A.6.5)
Заметим, что в формулах (А.6.4, 5) мы опустили члены, связан-
связанные с производными тензора кривизны. Они обычно представ-
представляют лишь академический интерес и при наших вычислениях
нам нигде не понадобятся.
Теперь все величины, от которых зависят интересующие пас
дифференциальные операторы, выражаются в виде рядов по х,
коэффициентами разложения которых являются ковариантные
величины — напряженность поля Янга — Миллса и тензор кри-
кривизны гравитационного поля. Тем не менее и после этого вычис-
вычисление коэффициентов а, — весьма трудоемкая процедура. Ниже
мы подробно рассмотрим ее в двумерном случае. Впрочем, мы
надеемся, что внимательный читатель заметил, что коэффициен-
коэффициенты ai для оператора %D2 =(ч1ЧЖ>»J уже вычислены нами в § 3
главы 1 методом Фудзикавы. Однако в применении к гравита-
гравитационному полю метод Фудзикавы теряет свою простоту и вы-
вычисления становятся столь же громоздкими, как и во всех других.
А.7. ДЕТЕРМИНАНТ
КАК МЕРА КОНФОРМНОЙ АНОМАЛИИ
В зтом разделе мы покажем, что знание а$ позволяет нам
определить еще одну важную характеристику произвольной
квантовой теории поля, а именно — конформную аномалию.
Исходим из определения конформной аномалии, заданного
формулой E.2.8), E.2.9):
где мы рассматриваем инфинитезимальную вариацию метрики
gw -»- e°gVv ~ gVv + og"nv. Поскольку Z задается в виде призведения
функциональных детерминантов, нам нужно вычислить их ва-
вариации по о. Рассмотрим, следуя Шварцу [11], конкретный,
но очень характерный пример скалярного поля в кривом про-
пространстве, описываемый лагранжианом
S =
где Д — оператор Лапласа, А =
dDx,
——
V ё
(А.7.2)
( Vgg*ydv). Член giV
необходим, чтобы теория была конформно-инвариантна классиче-
классически. Например, в D = 2 1 = 0, в D = А 1 = 1/6, в общем случае
\ — ,,D_ ,,) ¦ Итак, мы предполагаем, что действие (А.7.2) инва-
инвариантно относительно вейлевских преобразований g\,v -»- e°gixv.
Возьмем для определенности D = 4. Тогда при вейлевских пре-
преобразованиях поля ф преобразуются как
VI-
т. е.
Таким образом, если подынтегральное выражение в (А.7.2) ин-
инвариантно, то оператор Д = Д + §i?2 должен преобразовываться
как
Отсюда мы находим
8 А = — |- стД +
До-.
Таким образом, вариация оператора удовлетворяет условиям
леммы 2 и мы можем применить лемму 1 для вычисления кон-
конформной аномалии. Имеем цепочку равенств
6Г
8<т
1 б In det A
Т 8а
_ 1 Г *L А
~ 2 J t 8а
dt
1 1 „ /Л\
=_т ао(Д).
Dя)"
(А.7.3)
218
15*
219

Вычисление ао(Д) в четырехмерном случае довольно громоздко,
и мы его приводить не будем (см. [176, 227, 240]). Ответ име-
имеет вид
? [^W*1^ R^ AR] (ала)
В двумерном случае конформная аномалия равна
(A.7.5)
Ее мы вычислим в разделе А.9.
Заметим, что коэффициент ао(Д) в принципе может быть
вычислен в пространстве любой размерности, но проинтегриро-
проинтегрировать уравнение (А.7.3) и найти In det А мы умеем только в
D = 2. Дело в том, что при D > 2 метрика gvv в общем случае
не является конформно-плоской и вейлевские преобразования
даже локально не покрывают всего класса метрик, кроме того,
сами уравнения слишком сложны и нелинейны.
А.8. ДЕТЕРМИНАНТ
ДВУМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ДИРАКА
Приведем пример теории, в которой детерминант может быть
вычислен точно. Этот пример понадобится нам позже, при обсуж-
обсуждении теоремы Квиллена. Рассмотрим модель Швингера, т. е.
двумерную безмассовую электродинамику, описываемую лагран-
лагранжианом
& = щ?)-$ — -| F^F^, (A.8.1)
где 2Е> = Ти(9ц + А^)—оператор Дирака. Вычисление удобно про-
проводить в лоренцевой калибровке д^А^—О, в которой, благодаря
специфике двумерия, мы можем представить поле А^ в виде
Av. = avl,d4a, (А.8.2)
а — некоторая скалярная функция. Введем оператор Ж)\, опре-
определенный согласно
Фг = е™У*Ур,д»еаУ* = 7д (9ц + Ч-Jd^a). (А.8.3)
Воспользуемся теперь тем фактом, что для двумерных у^матриц
имеет место важное тождество
Тогда оператор 3)\ оказывается равным
(A.8.4)
(А.8.5)
т. е. совпадает с оператором Дирака, входящим в лагранжиан
(А.8.1). Рассмотрим функциональный интеграл для модели
ЦЕвингера, где мы интегрируем только по фермионам:
Z = J 2)ty2)tye ¦* Х ( >А) = det iS)e^ ^ ^'. (А.8.6)
Согласно (А.8.5), вместо детерминанта оператора Дирака мы
можем вычислять детерминант 2Ь\. Нетрудно видеть, что опера-
оператор ЯЬ\, записанный в виде (А.8.3), удовлетворяет условиям
леммы 2. В самом деле,
Ь?Ь\ = ieaysZDi + 3)i8ai4s. (A.8.7)
Логарифм детерминанта оператора 2D\ удобно представить в виде
оо
In det 2>x = -i In det g>\ = — i. Г Ц- тг e~t2>1. (A.8.8)
8
Для вариации следа экспоненты имеем цепочку равенств с уче-
учетом (А.8.7)
= — t Tr {i
= - t Тг
) = t-± Tr (ш
Подставляя это выражение в (А.8.8) и интегрируя по t, мы по-
получаем
б In det Фх = lim -|- Тг
(A.8.9)
Таким образом, детерминант задается коэффициентом ао(Т, В),
где оператор Т есть 2)х, а S представляет собой просто умно-
жение на матрицу ЬЬщъ. К счастью, вычислять заново коэффи-
циент а,о(Т, В) нет необходимости: читатель заметит, что он
(с точностью до множителя 6а!) совпадает с выражением для
аксиальной аномалии в методе Фудзикавы A.3.15), и ответ нам
уже известен (см. A.3.17)):
2. (A.8.10)
(А.8.11)
Поскольку s4-D 2 = г)Худи.А.,,
мы получаем
б In det 2>1 = — —
Учитывая (А.8.2), мы легко интегрируем это уравнение и на-
находим
А С
In det 2DX = — I
(А.8.12)
220
221

Подставляя выражение для детерминанта оператора Дирака в
функциональный интеграл (А.8.6), мы видим, что после инте-
интегрирования по фермионам фотон в модели Швингера приобрета-
приобретает массу, равную 1/я. Описанный феномен присущ всем двумер-
двумерным теориям, которые, согласно теореме Коулмена [239], не
могут содержать безадассовых частиц, так как их присутствие
привело бы к инфракрасной катастрофе. В данной модели масса
возникает благодаря аксиальной аномалии.
А.9. ДЕТЕРМИНАНТЫ
ЛАПЛАСИАНОВ В СТРУНЕ ПОЛЯКОВА
В этом разделе мы выведем формулу E.5.18) для детерми-
детерминанта произвольного лапласиана А_j, которую в основном текс-
тексте мы привели без доказательства. Используем следующие
обозначения: мы работаем в комплексных координатах с мет-
метрикой
ds2 = 2gz-dz dz, g- = -§- P = y e<"' (A'9-*>
и, согласно § 5 главы 5, нужный нам оператор А_ j, действую-
действующий на (—/)-дифференциалы, в этих координатах принимает
вид
А±5 = _ 4p-(y+1Wd-. (A.9.2)
Ранее было установлено, что через детерминанты операторов
Alt,- с различными / полностью выражается статсумма струны
Полякова. Следующее ниже вычисление является хорошим при-
примером ситуации, когда оператор Т в лемме 1 не совпадает с А.
Поскольку в данном случае лемма 1 применима только после
небольших манипуляций, удобно начать с основной формулы
(А.9.3)
Проварьируем, как всегда, обе части по «параметру», в данном
случае — по конформному множителю р (или <р, что одно и то
же). Мы получаем с учетом (А.9.2)
Тг е~Ш+-1 - - t Тг [- </ + 1) if. At, -
(А.9.4)
Воспользовавшись тем обстоятельством, что мы можем под зна-
знаком следа циклически переносить операторы, перепишем второй
член в правой части в виде
1 L р р * *
и далее преобразуем его с помощью тождества
елвА=АеВА.
Тогда он принимает вид
/ Тг \ —— р~ 3-р 3zp exp 11
(A.9.2)
(A.9.6)
^+1)dpj+1
есть не что
Возникающий здесь оператор—4p~1d-p^+1)dzp
иное, как лапласиан A~x_j. В § 5 главы 5 мы подробно доказа-
доказали, что лапласиан A.J совпадает со спектром A-j- Заменяя по-
поэтому в (А.9.6) AZi_j-*-Aj[+j
и подставляя полученное выражение в (А.9.4), мы имеем
б Tr e~tA±j = _ « Тг [- (/ + 1-) 4г A±je-tA±i + j *?- A++je~U
Очевидно, что правая часть инвариантна относительно замены
—/~*"A~W)» как и должно быть. Теперь мы можем подставить
вариацию следа экспоненты в (А.9.3) и проинтегрировать по t:
б In det A±3
±3 = Tr [- (/ + 1) ^
+ /
. (A.9.7)
Как обычно, нам нужно найти коэффициент а0, который и оп-
определит предел правой части при е ->- 0. Для вычисления а0 вос-
воспользуемся разложением Бальяиа — Блока. Однако прежде
нам надо получить аналог разложения gab (т. е. р) в ряд по ко-
координатам |а для случая выбранных нами комплексных коорди-
координат. Формулы (А.6.4), справедливые для нормальных координат,
здесь, разумеется, не имеют места. Это разложение нетрудно
получить. Мы всегда можем выбрать точку, в которой
Р (So) =
= 1, Ф (lo) = 0, дац (|0) = 0.
В то же время по общей формуле для скаляра кривизны мы
имеем
Д (I) = - \ dzd- In р = - 4dzd-<p B) е~ ф, z = I1 + г|2. (А.9.8)
Мы знаем из раздела (А.7), что вариация детерминаптна по р
222
223

равна конформной аномалии. Таким образом, попутно мы вы-
вычисляем и ее. Разлагая р(|) вблизи точки |о, в качестве кото-
которой мы возьмем %о = О, находим
dz* ' dz dz dz~
Подставляя это выражение в (А.9.2), находим «возмущенный»
оператор A—j = A_j + Адгд-:
±з = 4 (l - j)dzd~ -
- = 4
9i _ fzd_]
(А.9.9)
Мы предоставляем читателю убедиться, что опущенные 'члепы
дадут нулевой вклад в коэффициент а0. Согласно (А.5.5), нам
нужно вычислить первый нетривиальный член в итерации
функции Грина оператора A—j, иными словами, интеграл
(А.9.10)
Выразим все в комплексных координатах р = (/>i + ip2)/2... и
подставим (А.9.9):
/х д2ср @) Г
dz dz J
e—ipz—ipz
BjxJ 4gg +
= _ 4 д ф (-0) d'p9 e _ Г А«
dz dz J Bл)" ipp + т J Bл)
2
X
ч d2z.
Интегрируя по частям и снимая затем интегрирование по z
с помощью б-функции, мы получаем
\ (о) Г d2p _ 1 г а а_ _ 1 •_?___?_
3z 3z J BjxJ 4рр + ^2 L др дР ЬРР + т2 дР 4рр +
Входящие сюда фейнмановские интегралы могут быть вычисле-
вычислены с помощью формулы
а2Р 1 1
после чего мы получаем ответ
@) 3/ + 1 1
dz dz 24 л от2 "
Согласно (А.5.5), это и есть искомый коэффициент ao(A_j):
При /= 0 (скалярный оператор Лапласа) мы получаем кон-
конформную аномалию в D = 2 (А.7.5).
Подставляя, наконец, (А.9.11) в (А.9.7), находим вариацию
детерминанта лапласиана А_^
б In det A±j = -^ [-
1 + 6/ (/ + 1)
24л
(А.9.12)
Поскольку УgM = — 921п р, это уравнение может быть проин-
проинтегрировано:
1 + 6у(/+1)
In det AZj = —
24л
1 + 6/ (/ + ¦
24л
(А.9.13)
1 где мы перешли назад к вещественным координатам. Однако
i это еще не все. Дело в том, ;что при вычислении обычпой кон-
I формной аномалии в квантовой теории поля мы можем опустить
| расходящиеся члены типа а—1-^^, которые отсутствуют в эф-
| фективном действии (сокращаются функциональным интегра-
интегралом, стоящим в знаменателе). Конформпая аномалия всегда
конечна. В случае струны это не так. Струна Полякова сама
определяется свободным лагранжианом, а взаимодействие воз-
возникает благодаря нетривиальной топологии мирового листа, на-
например из-за наличия границ. Существенное отличие струны от
теории поля состоит в том, гато мы не можем определить в стру-
струне «свободную статсумму» и поделить на нее. Все, что мы мо-
можем себе здесь позволить,— поделить формально на объемы
групп диффеоморфизмов и вейлевских преобразований. Поэто-
Поэтому, вычисляя lndetA_j, мы должны учесть не только конечный
' по е член, но и расходимость
1 vi- ¦
4ле
4ле '
(А.9.14)
сокращать которую нам приходится чисто струнным способом.
Поляков [70] предложил сократить расходимость, добавив в
исходный лагранжиан БДВХДЗ космологическую постоянную*
S' = }г
(A.9.15)
* Эта идея широко используется в работах по низкоэнергетической
эффективной теории струны, где фоновое взаимодействие безмассовых
полей (гравитона, дилатона, антисимметричного тензора и т. д.) выбирает-
выбирается вейль-неинвариантным способом, а инвариантность восстанавливается
па однопетлевом уровне при наложении правильных уравнений движения
на безмассовые поля Г2721.
224
225

При этом классический лагранжиан (А.9.15) уже не является
вейль-инвариантным и инвариантность восстанавливается на
квантовом уровне при D = 26. Одновременно нам, разумеется
надо перенормировать космологическую постоянную X, чтобы
сократить расходимость (А.9.14). После чего у нас остается не-
некоторый конечный контрчлен \ь2^ g и выражение для In det At.j
окончательно принимает вид в переменных ц> = In p
J d^ [т Eя(
Действие, стоящее в правой части, и есть действие Лиувилля.
Таким образом, мы полностью вывели формулу E.5.18). Перепи-
Перепишем еще раз формулу (А.9.11) в виде, необходимом для вычис-
вычисления аномалии в токе числа духов:
Тге
4л 8
24-л
(А.9.17)
Поскольку, согласно E.7.24), аксиальная аномалия определяет-
определяется разностью двух следов, она конечна.
А.10. ФУНКЦИЯ ГРИНА
ДВУМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
ПРИ СОВПАДАЮЩИХ АРГУМЕНТАХ
В этом разделе мы вычислим зависимость регуляризованной
функции Грина лапласиана от конформного фактора р (мы ис-
используем обозначения предыдущего раздела). Как установлено
в § 6 главы 5, при построении дуальной амплитуды в струне
Полякова возникает сингулярное выражение G(%, g). Мы долж-
должны его регуляризовать. Сингулярность на малых расстояниях
обусловлена плохой сходимостью ряда для функции Грина в
области больших частот Х„, поэтому Поляков [70] предложил
определить регуляризованную функцию Грина следующим об-
образом:
G
reg '
п A)
(А.10.1)
В данном случае мы должны внимательно следить за конформ-
конформным множителем р, поэтому перепишем аккуратно нужные нам
формулы:
Аф„ = К<рп, А = — -г-гг да ( V ggahdb),
V s
J
F) = 6mn,
(А. 10.2)
При е = 0 функция Грина удовлетворяет уравнению
х2 /% %'\
AG(? ?' 0) = ^— s ;
Vg
(А. 10.3)
Напомним, что ядро уравнения теплопроводности в кривом
пространстве задается как
К (?, I, t) = VI2 Ф« (I) Фп (I) e~%nt = Тг е~ш. (А..10.4)
п
После выполнения регуляризации мы можем положить % — %'.
Из (А.10.1) и (А.10.4) находим связь между К(^, |, t) и
(А. 10.5)
Из этого уравнения, используя разложение Швингера — Де Вит-
та — Сили, мы можем легко найти зависимость G(?, |, е) от р.
Проварьируем обе части по р:
- pG
reg
оо
p6GTeg = — Г t dt Тг
8Ae
~m
(A.10.6)
Для вариации лапласиана мы имеем
<$A_—SLA.
Подставляя его в (А. 10.6) и интегрируя по частям, получаем
—its.
Отсюда
-fe-^ = еТг^е-ЕА + -^ PGreg. (A.10.7)
(А.10.8)
Вычисляя правую часть с помощью разложения (А.3.2), причем
з пределе е ->- 0, вклад дает только низший, тривиальный член
р/4ле
(А.10.9)
p6Greg = — бр,
т. е.
Greg = -— In р + члены, не зависящие от р.
Таким образом, хотя при | ^!' функция Грина конформно-ин-
конформно-инвариантна, при совпадающих аргументах она нетривиально за-
226
227

висит от конформного множителя. Теперь нам нужно найти
сингулярные по е члены, которые мы упустили при варьирова-
варьировании по р. Для зтого рассмотрим вновь (А.10.5) и разобьем ин-
оо 1 оо .
теграл как J = \ + J ¦ Второй интеграл не может иметь син-
г 8 1
гулярностей при малых е, поэтому мы его опустим, после чего
находим
(А. 10.10;
== —- In e + нез. от е + 0 (e).
Учитывая (А.10.9), мы получаем окончательно
G
1 1
>eg(i, ?, е) = —-—In e + -т—lnp + конечные члены. (А. 10.11)
Оставшиеся конечные члены не зависят от р и е, но могут за-
зависеть от модулярных параметров. Формула (А.10.11) справед-
справедлива на римановой поверхности произвольного рода. Заметим
в заключение, что наши выкладки были не совсем точны, по-
поскольку лапласиан имеет нулевую моду, а именно:
Фо(?) = const.
Мы предлагаем читателю учесть ее вклад и убедиться, что ее
учет не влияет на формулу (А.10.11).
А. И. ДЕТЕРМИНАНТ
ДВУМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ВЕЙЛЯ
Двумерный оператор Вейля, вариация детерминанта которо-
которого определяет гравитационную аномалию, служит еще одним
поучительным примером ситуации, когда детерминант может
быть вычислен точно. Как показал Лойтвюллер [39], простота
двумерной геометрии, а именно хорошо известное нам свойство,
что локально метрика может быть приведена к виду
^ = е^, (А. 11.1)
позволяет свести двумерный оператор Вейля к выражению, до-
допускающему применение леммы 1.2.
Двумерный оператор Вейля имеет вид
где в качестве вейлевских матриц о" мы можем выбрать о1 = 1,
а2 = i [39]. В координатной системе (А.11.1) мы можем пара-
параметризовать тетраду двумя независимыми функциями <р и Я:
аЬ cos 2X — eob sin 2X). (А. 11.3)
Нетрудно убедиться, что е„ва = g)XV= e фб|г\ Подставляя (А.11.3)
в (А.11.2), мы находим, что оператор Вейля в этой параметри-
параметризации может быть записан как
м /*(А.11.4)
= ем id-/*.
Здесь мы вновь ввели оператор Коши — Римана д- в локаль-
локальных координатах (А.11.1), а функции N и М равны соответ-
соответственно
М = iX — i-ф, iV = iX + -?-.
(А.11.5)
Очевидно, оператор Вейля в форме (А.11.4) удовлетворяет ус-
условию леммы 2, однако ситуация осложняется тем, что опера-
оператор Вейля является, по нашей терминологии, «киральным», т. с.
переводящим одно функциональное пространство (например,
правые фермионы) в другое (в левые фермионы). Свойства ки-
ральных операторов подробно обсуждаются в приложении Б.
Здесь же, следуя Лойтвюллеру, мы воспользуемся простейшим
доопределением
SlndetS) =Tr8S>2>-\ (A.11.6)
оператор 82J)~1 переводит гильбертово пространство правых
фермионов само в себя и в этом смысле хорошо определен, хо-
хотя его детерминант, разумеется, должен быть еще регуляризо-
ван. Удобно использовать регуляризацию [39]
б In det Ф = j dt Тг
-t3>3D +
(А.11.7)
Формально в пределе е -*¦ 0 правая часть сводится к Тт82)Ф !.
Теперь мы можем применить лемму 2. Мы имеем
(А.11.8)
Вариация детерминанта может быть вычислена, как обычно,
с помощью разложепия Шзингера — де Витта — Сили для
Тге .Вычисления эти довольно громоздки, и мы их приво-
приводить не будем, отсылая интересующихся к статье Лойтвюлле-
ра [39]. Ответ имеет вид
где
б In det
T2
= j
(A.11.9)
Здесь 2)» = Vli— ie^V; ^ — обычная ковариантная производная.
Вычисляя теперь ковариантную производную Т„.ч, мы находим
228
229

гравитационную аномалию
?• (A.11.10)
Мы использовали это выражение в § 9, 10 главы 1.
Заметим в заключение, что приведенными примерами далеко
не исчерпывается класс двумерных детерминантов, вычисляе-
вычисляемых точно. Большой интерес представляют теории типа дву-
двумерной хромодинамики, в которой возникает топологический
член Весса —Зумино [178, 241]. В работе Альвареса [242] со-
содержится несколько интересных примеров двумерных теорий
с вычисляемыми детерминантами и обсуждается, почему эта тех-
техника не работает в D = 4. В то же время в большинстве случа-
случаев точное вычисление детерминанта, будучи красивой задачей
современной математической физики, не является самоцелью,
поскольку для определения физических величин, таких как
контрчлены и аномалии, достаточно знания соответствующего
коэффициента в разложении Швингера — Де Витта — Сили.
Приложение Б
ТЕОРЕМА КВИЛЛЕНА
В приложении А. 9 мы вычисляли детерминант двумерного
оператора Дирака во внешнем абелевом поле. Мы выяснили,
что он задается киральной аномалией и равен
det 1.Ф = ехр
~J
d2xAaA.
(Б.1)
Рассмотрим проблему с другой стороны: введем комплексные
координаты z = хх + ix2, z = x\ — ix2 и запишем оператор Дирака
в евклидовой области. Соответствующие f-матрицы имеют вид
/О 1\ /0 —i\
Vi= (д 0)' У*°=[г 0 J. (Б.2)
Отсюда
О 6Z + А,
1 i
где мы обозначили Az = —{А1 — lA2), A-z = -^ (Ах + 1А2).
дя оператор
мы можем формально записать
det ia> = det D+D = det D det D = IdetDl2.
(Б.З)
230
Однако, как заметили Романов и Шварц [10], в данном случае
мы можем полностью отщепить поле Аг калибровочным преоб-
преобразованием и тогда получим
det Ш) = I det dz\2 = const. (Б.4)
Рассуждая таким образом, мы приходим к выводу, что детерми-
детерминант оператора Дирака равен некоторой (бесконечной) констан-
константе и вообще от А» не зависит! В чем причина расхождения меж-
между (Б.1) и (Б.4)? Чтобы понять ее, заметим, что мы можем пе-
переписать скалярное произведение А^А^ как 4:AZA-, т. е. фор-
формула (Б.1) примет вид
det LSD =
— ^-J d2xAzA-
(Б.5)
не яв-
Легко догадаться, что выражение ехр ( — I d2xAzA-
ляется квадратом модуля никакой голоморфной функции, в от-
отличие от (Б.З). Мы вправе заподозрить, что причина расхожде-
расхождения двух определений детерминанта состоит в нарушении наив-
наивной голоморфной факторизации, которую мы неявно использо-
использовали при выводе (Б.З). И действительно, дело обстоит именно
так. Квиллен [243] полностью проанализировал проблему и до-
доказал, что в общем случае для бесконечномерных киральных
детерминантов типа dz + Az возникает препятствие к голоморф-
голоморфной факторизации, которое может быть записано как
expf—c\d2zAzA;). Это препятствие обычно называют голо-
голоморфной аномалией. Причина ее появления в следующем:
наивно детерминант кирального оператора не определен, по-
поскольку такой оператор переводит одно пространство в другое.
Мы можем определить его, например, как корень квадратный
из детерминанта оператора D+D. Оператор D+D переводит
пространство само в себя, и его детерминант может быть опре-
определен обычным способом, например с помощью регуляризации
ь-функцией. Как мы хорошо знаем, из-за необходимости вводдть
регуляризацию бесконечномерные детерминанты, в частности
(Б.1), имеют различные аномалии. Поэтому в общем случае
после вычисления detD+D мы не можем извлечь из него квад-
квадратный корень и определить det-D как голоморфную функцию
параметров, входящих в D (например, калибровочного поля).
Квиллен вычислил голоморфную аномалию для оператора Ко-
ши — Римана дг, заданного на римановой поверхности. Однако
в простейшем контексте описанный феномен впервые был обна-
обнаружен в работе [10], именно на примере модели Швингера.
Теорема Квиллена и следующая из нее теорема Белавина —
Книжника имеют исключительную важность для понимания
функционального интеграла Полякова, поэтому мы здесь под-
подробно обсудим ее. Впрочем, и помимо струнной теории она
представляет большой интерес, поскольку значительно углубля-
231

ет наше понимание свойств бесконечномерных функциональных
детерминантов.
Мы привыкли понимать аномалии как нарушение некоторого
классического закона сохранения. Нетрудно сформулировать
теорему Квиллена на привычном нам языке. Мы будем работать
с операторами кирального типа, которые будем обозначать
через Dy, где у — произвольный параметр (параметры), напри-
например калибровочпое поле, модули римаповой поверхности и т. д.
Мы предполагаем, что оператор Dy голоморфно зависит от г/,
а сопряженный ему оператор D+ голоморфно зависит от у. Изу-
Изучим зависимость от у, у основной величины In det D+D. Если
имеет место наивное равенство (Б.З), то справедливо очевидное
равенство [б — 6^^' ^ = 8~У -%=)
68~ln det D+D = бЗ"Aп det?>+ + In AelD) = О,
поскольку D+ не зависит от у, a D не зависят от у. При нали-
наличии голоморфной аномалии типа (Б.1) мы получим что-нибудь
вроде _
/, Ьу)Ф0, (Б.6)
где s4- — некоторая отличная от нуля билинейная форма от ва-
вариаций Sz/, 6г/. Сравним формулу (Б.6) с определением кривиз-
кривизны двумерной поверхности, записанной в комплексных коорди-
координатах:
=--1^9-In р.
(Б.7)
Как известно из комплексной дифференциальной геометрии,
формула (Б.7) имеет место и для специального класса много-
многомерных комплексных многообразий, называемых кэлеровыми
многообразиями [21, 244]. Если обозначить комплексные коор-
координаты кэлерова многообразия через г/,, то выражение для
2-формы кривизны его примет вид, в точности аналогичный
(Б.7) [244]:
= 9i9j In
Д
(Б.8>
Иными словами, вычисляя аномалию Кзиллена (Б.6), мы на са-
самом деле вычисляем кривизну некоторого кзлерова многообра-
многообразия (иногда его называют детерминантным расслоением, однако
мы этот термин использовать не будем).
При обсуждении аномалии в модели Швингера, конформной
аномалии в произвольной квантовой теории поля н т. д. мы
всегда предполагали, что наши операторы не имеют нулевых
мод (даже если они на самом деле их имели). В этих случаях
учет нулевых мод приводит к усложнению промежуточных
формул и не меняет результатов. Но, как мы знаем, в струпе
Полякова это не так. Здесь нулевые моды (т. е. модули) опре-
определяют всю физику, и их просто необходимо включить в рас-
смотрение. Оказывается, учет нулевых мод приводит к удиви-
удивительным эффектам уже в случае конечномерных операторов.
Изучим, следуя работе [198], оператор Q, голоморфно завися-
зависящий от параметра "f, который отображает трехмерное комплекс-
комплексное пространство С3 в одномерное С1 по формуле
Q:
v= f(y)-v,
(Б.9)
где и = (иг(у), v2(y), v3(у)) е С3 — трехмерный комплексный
вектор, также голоморфно зависящий от у, a /(f) = (/i(t), fz("{),
/))—фиксированный голоморфный вектор. Обратное отобра-
отобра/(ч))ф
жение Q- : С1—*-С3 определено неоднозначно, мы можем,
например, согласованно с (Б.9) задать его как
а — произвольное комплексное число, принадлежащее С1; tr —
знак транспонирования. Оператор Q^, «сплющивающий» трехмер-
трехмерное пространство в одномерное, должен иметь двумерное про-
пространство нулевых мод, и, в самом деле, любой вектор вида
О, -/з, /2), У2 = ЛМ(/8, О, -/О (Б. 11)
переводится Q в нуль: Qvx = 0, Qv2 = 0. Заметим, что мы мо-
можем выбрать нулевые моды (Б.11) голоморфно зависящими от
Ч. Отсюда следует, что они не могут быть ортонормированы, по-
поскольку при этом нам пришлось бы делить их на корень из
нормы, что нарушило бы голоморфность. Рассмотрим теперь
задагчу па собственные значения:
Q±Qy.v = U. (Б.12)
Легко видеть, что Q-^Qy имеет, как и следовало ожидать, три
собственных вектора, отвечающих собственным значениям:
= 0, v = vu
—*~ —>
~ О, V = VZj
(Б.13)
Яз=]/112+1/212+!/з
2 v =
Детерминант оператора Q- Qy как таковой не имеет, разумеет-
разумеется, смысла, поскольку оператор Q-, имеет две нулевые модыт
однако, как мы неоднократно убеждались при изучении струны
Полякова, очень часто интерес представляет «штрихованный
детерминант», т. е. произведение собственных значений с опу-
опущенными нулевыми модами. В данном случае таких собствен-
собственных значений у нас всего одно и мы имеем
det'Q±Qy = Х3 = I П I2 + I U I2 + I /з I2- (Б-14)
232
го. Н. Кафиев
233

Поскольку наша задача конечномерна, т. е. в ней нет никаких
расходимостей и оператор Q (Q+) голоморфно зависит от "f (у);
мы вправе ожидать, что det' Q+Q окажется квадратом модуля
голоморфной функции. Однако из (Б. 14) мы видим, что это не
так. Оказывается, положение можно поправить. Рассмотрим ве-
величину det <.v(/uj> — детерминант эрмитовых произведений в
пространстве нулевых мод v\, v2. (Здесь и далее для собствен-
собственных фукнций операторов мы используем дираковские обозначе-
обозначения «кет» и «бра».) Подставляя нулевые моды (Б.11), мы на-
находим
det
= det
h |a (| /, P +
Если теперь определить детерминант в присутствии нулевых
мод Vi в виде
det'Q±Qy ^
det /v; I i)A =
(Б.15)
то подправленный таким образом штрихованный детерминант
оказывается квадратом модуля. Стало быть, даже в конечномер-
конечномерном случае квадрат модуля в присутствии нулевых мод получа-
получается не автоматически. Сейчас мы увидим, что в бесконечномер-
бесконечномерном случае мы должны как минимум поделить на детерминант
нулевых мод, аномалией же оказывается остаток, который и
после деления не является квадратом модуля голоморфной
функции. Мы будем следовать работе [170].
Рассмотрим киральный дифференциальный оператор D+,
голоморфно зависящий от параметра у (мы не будем писать
индексов у у, поскольку обобщение на случай нескольких пара-
параметров совершенно очевидно). Предполагаем, что оператор D+
имеет некоторое (конечное) число нулевых мод 1х*^» которые
мы также выбираем голоморфно зависящими от у:
Л0. (Б-16)
Для простоты предположим, что сопряженный ему оператор
Dy нулевых мод не имеет. Учет нулевых мод D может быть про-
проведен совершенно аналогично нулевым модам D+. Мы хотим
выяснить, при каких обстоятельствах детерминант оператора
D+D содержит голоморфные аномалии. Для этого нам нужно вы-
вычислить 66 In det D+D. Исходя из определения детерминанта в
виде интеграла по собственному времени (А.2.9), мы имеем
66 In det D+D = — 66 J ~ Tr e~w+D = 6 J dt Tr~8D+De
— tD+D
(Б.17)
Так как, по определению, оператор Dv не имеет нулевых мод,
интеграл по собственному времени сходится на верхнем преде-
пределе и после интегрирования по t мы получаем
66 In det D+D = 6| Tr8D+D +
1 -
Tt8D+8D—г— е
D+D
1 — sD+D
_J_ ?>+б?) _L_ e-sD+D + Tr6Z>D -j— 6e-E23+o, (Б.18)
D+D D+D D+D
1 11
где мы воспользовались формулой &~д — ~А ~А' Вариация
в последнем члене вычисляется с помощью формулы (выве-
(выведите ее!)
1
бе = \ dXe 8Ae
о
Первые два члена в правой части (Б.18) мы представим в виде
Tr8D+P8D—i— e
D+D
Здесь оператор Р задается согласно
P=l —
D+D
D+.
(Б.19)
Нетрудно видеть, что Р является проекционным оператором на
нулевые моды оператора D+. В самом деле, если 1<р> — произ-
произвольный вектор, то -Р|ср> принадлежит пространству нулевых
мод, так как
Читатель легко проверит, что Р2=Р. Таким образом, Р обла-
обладает всеми свойствами проекционного оператора. Отсюда следу-
следует, что след Tt8D+P8D —р—e~ED D берется не по бесконеч-
бесконечномерному пространству собственных функций оператора D,
а только по подпространству его нулевых мод, которое по усло-
условию конечномерно. Поэтому в пределе е ->- 0 расходимостей в
сумме возникнуть пе может, и мы просто опустим фактор
ехр( — eD+D). Тогда нужная нам вторая вариация приобретет
вид
66 In det D+D = Tr8D+P8D
D+D
1
- s Tv8D+D -L- f dXe~eD+D+XeD+DD+8De-XsD+D. (Б.20)
D+D J
234
16*
235

Во втором слагаемом мы вновь воспользуемся известным тож-
тождеством еАВА = АеВА и перепишем его следующим образом:
- е
D+D
В круглых скобках вновь возник проекционный оператор Р.
Благодаря его присутствию след в этой части берется только по
подпространству нулевых мод и обращается в нуль в пределе
в -*• 0. Остается выражение
бб In det D+D = Tt8D+P6D -^
D+D
- e TroX>+ J
(Б.21)
Член с проектором можно упростить. Для этого перепишем
проектор в терминах базиса нулевых мод \%^:
Р = 2 |Xi> Ml1 <%51 Mi = <Xi | Xi>- (Б.22)
Эта формула легко выводится, если разложить любой вектор по
полному набору собственных векторов оператора D+ и потребо-
потребовать
Исходя из определения нулевых мод (Б.16), мы получаем про-
простое соотношение между вариацией 8D+ и б1х^
Ъ = 0. (Б.23)
Вспоминая вывод поправок второго порядка к уровням энергии
в обычной нерелятивистской квантовой механике [268], мы мо-
можем вывести соотношение
ТгЪп+PdD —^ = бб In det
(Б .24)
Подставляя (Б.24) в (Б.21), мы получаем окончательно
1
Wi" det/Xi|X,->
6
(Б.25)
Этот вывод явно демонстрирует, что в присутствии нулевых мод
корректно определенной величиной является не сам детерми-
нант оператора, а соотношение (штрихованного) детерминанта
оператора с детерминантом нулевых мод. Член в правой час-
части — если он отличен от нуля — и определяет голоморфную ано-
аномалию. В общем случае это выражение довольно сложно, и ме-
методов, развитых в приложении А, недостаточно для его вычис-
вычисления. К счастью, во всех интересующих нас случаях величина
6D не содержит производной и коммутирует с экспонентой,
после чего интеграл в (Б.25) вычисляется подстановкой обыч-
обычного разложения Швингера — Де Витта — Сили. Поскольку все
выражение пропорционально е, вклад дает только низший, три-
тривиальный коэффициент, равный 1/4яе. Например, в случае мо-
модели Швингера bD ¦= 2А-, 6D — 2AZ и мы мгновенно получаем
известный уже результат
бб In det D+D = — -^ 88 \ &2xAzA-z.
Теперь нам вполне ясна также ошибка в рассуждениях Романо-
Романова и Шварца, приведшая к неправильному соотношению (Б.4).
В самом деле, чтобы выполнить калибровочное преобразование
в функциональном интеграле, мы должны подвергнуть этому
преобразованию фермионные переменные, что приведет к изме-
изменению меры интегрирования. Вычисляя эффект замены перемен-
переменных с помощью метода Фудзикавы (т. е. киральную аномалию),
мы получим в правой части (Б.4) якобиан преобразования,
равный как раз (Б.1). Отсюда следует важный урок: го-
голоморфная аномалия Квиллена имеет много обличий — она мо-
может проявляться и как киральная, и как конформная, и как
гравитационная; ею можно даже объяснить аномальный закон
преобразования обычных 9-функций [166].
Теперь мы можем сформулировать теорему Квиллена следую-
следующим образом: если оператор Dy голоморфно зависит от некото-
некоторых параметров, то имеет место равенство
det-Д+Д =|det?>l2e-g, (Б.26)
det <Xi | Xj-> ' ' v
где голоморфная аномалия q задается неявно (Б.25). Заметим,
что формула (Б.26) может иметь и важные практические при-
приложения, например если, как в модели Швингера, det О тривиа-
тривиален, то весь det D+D определяется только д. Для детерминантов
оператора Дирака на римановых поверхностях, когда detD оп-
определяется свойствами симметрии, знание q вновь позволяет
точно вычислить det D+D [170, 202].
Наконец, теорема Квиллена может быть использована в об-
обратном смысле — для определения детерминанта кирального опе-
оператора. Мы можем задать его, согласно (Б.26), как голоморфный
квадратный корень из det D+D, поделенного на голоморфную ано-
аномалию e~q [202]. Это определение оказывается очень полезным
при рассмотрении киральиой бозонизации духов Ъ, с.
236
237

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Трейман С, Джеквв Р., Гросс Д. Лекции по алгебре токов.— М.: Атом-
издат, 1977; Морозов А. Ю. // УФН.— 1986.— Т. 150.— С. 337; Alvarez-
Gaume L., Ginsparg P. / Ann. Phys.— 1985.— V. 161.— P. 423 Gins-
parg P. Harvard University preprint HUTP-85/A056, 1985: Lectures given,
at 16th GIFT seminar.
2. Faddeev L. D., Shatashvili S. L. II Phys. Lett. В.— 1986.— V. 176 —
P. 225.
3. Rajaraman R., Jackiw R. / Phys. Rev. Lett.— 1985.— V 54,— P 1219
4. Schwinger J. / Phys. Rev. 1951.— V. 82.— P. 664.
5. Steinberger J. // Ibid.—1949.—V. 76.—P. 1180.
6. Adler S. L. / Phys. Rev.— 1969.—V. 177.—P. 2426; Bell J., Jackiw R. If
Nuovo Cim.— 1969.— V. 60A.— P 47.
7. Gross D., Jackiw R. // Phys. Rev. D.— 1972.— V. 6.— P. 477.
8. Slavnov A. A. / DESY preprint 76/63, 1976.
9. Fujikawa K. / Phys. Rev. D.— 1980.— V. 21.— P. 2848.
10. Vergeles S. ]/ Landau Institute preprint.— Chernogolovka. 1975.
11. Шварц А. С. И Современные проблемы математики.— M.: ВИНИТИ
1981.— Т. 17.—С. 113.
12. Раджараман Р. Солитоны и пнстантоны в квантовой теории поля —
М.: Мир, 1985.
13. Новиков В. А., Вайнштейн А. И., Захаров В. И., Шифман М. A. If
УФН.— 1982.— Т. 136.— С. 553.
14. Ч Hooft G. / Phys. Rev. D.— 1976.—V. 14.—P. 3132
15. Atiyah M. F., Singer I. / Ann. Math.— 1968 — V. 87.— P. 485, 546.
16. Shanahan P. The Atiyah-Singer index theorem: Lecture Notes in Math.,
n. 638.— New York: Springer, 1978.
17. Eguchi Т., Gilkey P. В., Hanson A. / Phys. Reports.— 1980.— V. 66.— P. 1.
18. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия.—
М.: Наука, 1977; 1986 B-е изд.).
19. Шути, Б. Геометрические методы математической физики. Сер. Совре-
Современная математика. Вводные курсы.— М.: Мир, 1984.
20. Zumino В. / Relativity, groups, topology, 2.— Amsterdam, North Holland,.
1984; Zumino В., Wu Y. S., Zee A. // Nucl. Phys.— 1984.— V. B239 —
P. 477.
21. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия —
М.: Наука, 1982.— Т. 2.
22. Чжень Ш. Ш. Комплексные многообразия.— М.: Изд-во иностр. лит.,
1961.
23. Вейнберг С. Гравитация и космология.— М.: Мир, 1976.
24. Ландау Л. Д., Лифшин Е. М. Теория поля.— М.: Наука, 1972.
25. Фаддеев Л. Д., Славнов А. А. Введение в квантовую теорию калибро-
калибровочных полей.— М.: Наука, 1978; 1987 B-е изд.).
26. Zinn-Justin J. Trends in elementary particle theory: Lecture notes in
physics.— New York: Springer, 1975.— V. 37.
27. Bardeen W. A. /I Phys. Rev.—1969.—V. 184.—P. 1848.
28. Glashow S. L., Iliopoulos J., Maiani L. /I Phys. Rev. D — 1970 — V 2 —
P. 185.
238
29 Gerstein I. A., Jackiw R. // Phys. Rev.— 1969.— V. 181.— P. 1955;
Brown R. W.. Shi C.-C, Young B.-L. // Ibid.—V. 186.—P. 1491.
30. Wess J., Zumino В. Ц Phys. Lett.— 1971.— V. 37B.— P. 95.
31. Chem S. S. Complex manifolds without potential theory.— New York:
Springer, 1978; Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплекс-
комплексных многообразиях.— М.: Мир, 1976.
S2 Belavin A. A., Polyakov A. M., Schwarz A. S., Tyupkin Yu. S. Ц Phys.
Lett.— 1975.— V. 59B.— P. 85.
33. Atiyah M. F., Singer I. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA.— 1984.— V. 81.—
P. 2*597.
34 Alvarez-Gaume L., Ginsparg P. // Nucl. Phys.— 1984.— V. B243.— P. 449.
35. Duff M. J., Nillson B. E. W., Pope С N. Ц Phys. Reports.— 1986.—
V. 130.—P. 1.
36. van Nieuwenhuizen P./Ibid.— 1981.— V. 68.— P. 189.
37. Введение в супергравитацию: Сб. ст.— М.: Мир, 1985.
38. Alvarez-Gaume L., Witten E. / Nucl. Phys.— 1984.— V. В234.— P. 269.
39. Leutwyler H. // Phys. Lett.— 1985.— V. 153B.— P. 65.
40. Bardeen W. A., Zumino B. ff Nucl. Phys.— 1984.— V. B244.— P. 421.
41. Alvarez-Gaume L. // Comm. Math. Phys.—1983.—V. 90.—P. 161;
J. Phys.— 1983 — V. A16.— P. 4177.
42. Alvarez-Gaume L., Freedman D. Z. // Phys. Rev. D.— 1980.— V. 22.—
P. 846.
43. Alessandrini V., Amati A. A., Le Bellac M., Olive D. / Phys. Reports.—
1971,— V. 1.— P. 269.
44. Veneziano G. Ц Ibid.— 1974.— V. 9.— P. 199.
45. Schwarz J. H. / Ibid.— 1973.— V. 8.— P. 269.
46. Mandelstam S. / Ibid.— 1974.— V. 13.— P. 259.
47. Scherk J. Ц Rev. Mod. Phys.— 1975.— V. 47.— P. 123.
48. Schwarz J. H. Ц Phys. Reports.— 1982.— V. 89.— P. 223.
49. Brink L. Ц Lectures delivered at Ecole d'ete de physique theorique, Les
Houchcs. 1985.— Goteborg prepr. 85-68, 1985.
50. Schwarz J. H. Superstrings: the first 15 years.— Singapore: World Scien-
Scientific, 1985.
51. Green M. В., Schwarz J. H., Witten E. Superstring theory.— Cambridge,
UK: Cambridge University Press, 1987.
52. Unified Siring Theories/Ed. M. B. Green, D. J. Gross.— Singapore: World
Scientific, 1985.
53. Окунь Л. Б. Кварки и лептоны.— М.: Наука, 1981.
54. Veneziano G. / Nuovo Cim.— 1968.— V. 57А.— P. 190.
55. Koba Z., Nielsen H. B. // Nucl. Phys.— 1969.— V. B10.— P. 633; 1969 —
V. B12.—P. 517.
56. Nambu Y. Proc. intern, conf. on symmetries and quark models.— Wayne,
1S69.
57. Nielsen H. B. Proc. 15th Conf. on high energy phys.— Kiev, 1970.
58. Susskind L. / Nuovo Cim.— 1970.— V. 69A.—P. 457.
59. Ramond P. Ц Phys. Rev.—1971.—V. D3.—P. 2415.
80. Neveu A., Schwarz J. H. / Nucl. Phys.— 1971.— V. B31.— P. 86; Phys.
¦ Rev. D.— 1971.— V. 4.— P. 1109.
61. Весе Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация.— М.: Мир,
1986.
62. Огиевенкий В. И., Мезинческу Л. / УФН.— 1975.—Т. 117.—С. 637.
63. Mandelstam S. / Nucl. Phys.— 1973.— V. В64.— P. 205; 1974.— V. B83.—
P. 413.
64. Kaku M., Kikkawa K. // Phesf. Rev. D.—1974.—V. 10.—P. 1110, 1823.
65. Scherk J., Schwarz J. H. / Nucl. Phys.—1974.—V. B81.—P. 118.
66. Yoneya T. / Nuovo Cim. Lett.—1973.—V. 8.—P. 951.
67. Креммер Э. В. [37].
88. Cremmer E., Scherk J. // Nucl. Phys.— 1976.— V. 103B.— P!. 399.
89. Gliozzi F., Scherk J., Olive D. / 1Ь4ф— 1977.— V. B122.— P. 253.
70. Polyakov A. M. // Phys. Lett.—1981.—V. 103B.— P. 207, 211.
71. Vafa С / Ibid.— 1987.— V. 190B.— P. 47.
239

72. Alvarez-Gaume L., Gomez C., Reina C. CERN preprint TH 4775/87, 1987
73. Ishibashi N., Matsuo У., Ooguri H. / Modern Phys. Lett.— 1987.—V. 2—'
P. 119.
74. Green M. R., Schwarz J. И. // Nucl. Phys.—1981.—V. B181.—P 502-
1982.— V. B198.— P. 252; 1984.— V. B243.— P. 475.
75. Green M. R., Schwarz J. H. / Phys. Lett.— 1984.— V. 136B.— P. 367
76. Green M. R., Schwarz J. H. // Ibid.— V. 149B.— P. 117.
77. Green M. R., Schwarz J. H., West P. C. / Nucl. Phys.— 1985 — V B254 —
P. 327.
78. Goroff M., Sagnotti A. CALTECH preprint 68-1263, 1985.
79. Goto T. / Progr. Theor. Phys.—1971.—V. 46.—P. 1560.
80. Дирак П. А. М. Лекции по квантовой механике.— M.: Мир, 1968; пере-
перепечатано в кн.: Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики: Б-ка
теор. физ.— М.: Наука, 1979.
81. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. R. Введение в теорию квантованных по-
полей.— М.: Наука, 1973.
82. Rrower R. С. // Phys. Rev. D.— 1972 — V. 6.— Р 1655
83. Goddard P., Thorn С. В. // Phys. Lett.— 1972.— V. 40B.— P 235.
84. Thorn С. В. / Nucl. Phys.— 1984.— V. B248.—P. 551; 1987 — V B286—
P. 61.
85. Kac V. G. / Group theoretical methods in physics.— New York: Sprin-
Springer, 1979.— P. 441.
86. Lovelace С // Phys. Lelt.—1971.—V. 34B.—P. 500
87. Olive D.. Scherk J. // Ibid.— 1973.— V. 44B.— P. 296.
88. Goddard P., Goldstone J., Rebbi C, Thorn С R. // Nucl Phys — 1973
V. B56.— P. 109.
89. Rcbbi С / Phys. Reports.— 1974.— V 12.— P. 1.
90. Gliozzi F.— 1977 (unpublished).
91. Градштейы И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений.— М.: Физматгиз, 1963.
92. Brink L., Nielsen Н. В. / Phys. Lett.— 1973,— V. 45В.— Р. 332
93. Brink L., Olive D. / Nucl. Phys.—1973.—V. B58.—P 237.
94. Kato M., Ogawa K. / Ibid.— 1983.— V. B212.— P. 443.
95. Hwang S. / Phys. Rev. D.— 1983.— V. 28.— P. 2614.
96. Мессиа А. Квантовая механика.— М.: Наука, 1978.— Т. 1.
97. Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния.— М.: Наука
1987.
98. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.— М.: Наука,
1976.
99. Apostol Т. М. Modular functions and Dirichlet series in number theory:
GTM.— New York: Springer, 1976.
100. Чандраеекхаран К. Арифметические функции.— М.: Наука 1975
101. Fubini S., Veneziano G. / Nuovo Cim.— 1970.— V. 67A.— P. 29.
102. Фейнмаы Р. П., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траек-
траекториям.— М.: Мир, 1968.
103. Форд Л. Р. Автоморфные функции.— М.; Л.: ОНТИ 1936
104. Chang Hong-Mo / Phys. Lett.— 1969.— V. 28В.— Р. 425.
105. Iwasaki Y., Kikkawa K. / Phys. Rev. D.— 1973 — V. 8.— P 440
106. Schwarz J. H. / Nucl. Phys.—1972.—V. B46 — P 61
107. Rrower R. C., Friedman K. A. / Phys. Rev. D.— 1973.— V 7.— P. 535.
108. Brink L., Olive D., Rebbi C, Scherk J. // Phys. Lett— 1973.— V. 45B.—
109. Friedan D., Martinec E., Shenker S. II Nucl. Phys.— 1986.— V B271 —
P 93
110. Kniziinik V. G. / Phys. Lett.—1985.—V. 160B.—P. 403.
111. Ademollo M., Brink L.. D'Adda A. // Nucl. Phvs.—1976 — V Bill —
P. 77. '
112. Deser S., Zumino R. Ц Phys. Lett.—1976.—V. 62B.—P. 335
113. Rrink L., Di Vecchia P., Howe P. / Ibid.— V. 65B.— P. 471.
114. Deser S., Zumino B. // Ibid.— P. 369.
115. Gervais J.-L., Sakita B. / Nucl. Phys.—1971.—V. B34.—P. 477
240
116. Уиттекер Э. Т., Натсон Дж. Н. Курс современного анализа.— М.: Фил-
матгнз, 1963 — Т. 2.
117. Курант Р., Гурвиц А. Теория функций.— М.: Наука, 1968.
118. Бейтмаы Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.—¦ М.: Нау-
' ка, 1967.—Т. 3.
119 Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях.— М.: Мир, 1988.
120" Seib«-g N., Witten Е. // Nucl. Phys.— 1986.— V. В276.—P. 272.
121 Dixon L., Harvey J. // Ibid.— V. B274.— P. 93.
122. Alvarez-Gaume L., Ginsparg P., Moore G., Vafa С. / Phys. Lett.—
V. 17 IB.— P. 155.
123 Ren«tsson I.. Cederwall M. Goteborg preprint, 84-21, 1984.
124. Nissimov E., Pacheva S,, Solomon S. / Nucl. Phys.— 1988.— V. B297.—
P 349
125. PatonJ., Chan H.-M. / Ibid.—1969.—V. B10.—P. 519.
126. Морозов А. Ю. /I Материалы 22-й шк./ЛИЯФ.—Л., 1987.—С. 95.
127. Кудрявцев R. А., Липатов Л. Н. Ц Там же.— С. 169.
128. Кудрявцев В. А., Липатов Л. Н. Ц Материалы 21-й шк./ЛИЯФ.— Л.,
1986.— С. 109.
129 Эйдес М. И. Материалы 23-й шк./ЛИЯФ.— Л., 1988.— С. 154.
130. Witten Е. // Nucl. Phys.— 1981.—V. В186.—P. 412.
131. Witten E. 'II Shelter Island, 2/Ed. R. Jackiw, N. Khuri.— Cambridge:
MIT Press, 1985.
132 Chapline G. F., Manton N. S. Ц Phys. Lett.— 1983.— V. 120B.— P. 105.
133. Jackiw R. // E. S. Fradkin Festschrift.—Bristol: Adam Hilger, 1985.—
P 135
134. Frenkel I. R., Kac V. G. Ц Invent. Math.— 1980.— V. 62.— P. 23.
135. Seaal G. // Comm. Math. Phys.— 1981 — V. 80.— P. 301.
136. Freund P. G. O. // Phys. Lett.-1985,—V. 151B.—P. 387.
137 Gross D. J., Harvey J., Martinec E., Rohm R. Ц Phys. Rev. Lett.— 1984.—
V 54 — P. 502; Nucl. Phys.— 1985.— V. B256.— P. 253.
138. Gross D. J., Martinec E., Harvey J., Rohm R. / Nucl. Phys.— 1986.—
V. B267.— P. 75.
139. Гельфанд И. М., Фукс Д. Б. Ц Функц. анализ и прил.— 1968.— Т. 2.—
С 92
140. Virasoro М. А. // Phys. Rev. D.— 1970.— V. 1.— P. 2933.
141. Lepowsky J., Wilson R. L. / Comm. Math. Phys.—1978.— V. 62.—
P 43
142. Date E., Kashiwara M., Jimbo M., Miwa Т. Ц Proc. of the RIMS sympos.
on nonlinear integrable systems.— Singapore: World Scientific, 1983.—
P 39.
143 Кап В. Г. / Функц. анализ и прил.— 1967.— Т. 1, вып. 3.— С. 82; Moo-
Moody R. V. // Bull. Amer. Math. Soc— 1967,— V. 73.— P. 317.
144 Halpern M. B. // Phys. Rev. D.—1975.—V. 12.—P. 1684; Banks T,.
Horn D., Neuberger H. / Nucl. Phys.—1976—V. B108.—P. 119.
145. Goddard P., Olive O. / Intern. J. Modern Phys.—1986.—V. Al.—P. 303.
146 Goddard P., Olive D. / Ve.rtex operators in mathematics and physics:
' MSRI Publ.—New York: Springer, 1984.—N 3.—P. 51.
147 Frenkel I. R. / J. Funct. Analysis.—1981.—V. 44.—P. 259.
148. Del Giudice E., Di Vecchia P., Fubini S. Ц Апд. Phys.— 1972.— V. 70.—
P. 378.
149. Humphreys J. E. Introduction to Lie algebras and representation theo-
theory.— New York: Springer, 1972.
150. Cepp Ж.-П. Курс арифметики.— М.: Мир, 1973.
151. Барут А., Роычка Р. Теория представлений групп и ее приложения.—
М.: Наука, 1980.
152 Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология.— М.: Мир, 1976.
153. Белавин А. А., Книжник В. Г. // ЖЭТФ.—1986 —Т. 91.—С. 364.
154. Kikkawa К., Sakita В., Virasoro M. А. Ц Phys. Rev.— 1969 — V. 184.—
P. 1701; Gross D. J., Neveu A., Scherk J., Schwarz J. H. / Phys. Lett.—
1970—V. 31B.—P. 9. 592.
155. Alessandrini V. / Nuovo Cim.— 1971.— V. 2A.— P. 321; Lovelace С /
Phys. Lett.— 1970.— V. 32B.— P. 703.
241

156.
157.
158.
159.
160.
161.
162
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
Alessandrini V., Amati D. / Ibid.— V. 4A.— P. 793.
Kaku M., Scherk J. / Phys. Rev.— 1971.— V. 3.— P. 430, 2000.
Hejhal D. A. The Selberg trace formula for PSLB, R): Lecture notes m
mathematics.— New York: Soringer, 1976.— N 548.
Schapiro J. / Phys. Rev. D.— 1972.— V. 5.— P. 1945.
Леыг С. Эллиптические функции.— М.: Наука, 1984.
Ахиезер А. И. Элементы теории эллиптических функций.— М.: Наука„
1970.
Martinec Е. Ц Phys. Lett,— 1986.—V. 171R.—P. 189.
Wolpert S. / Comm. Math. Phys.—1987.—V. 112.—P. 283.
Yahikozawa S. / Phys. Lett,—1986.—V. 166B.— P. 135.
Virasoso M. A. I/ Phys. Rev,— 1969.— V. 177.— P. 2309; Schapiro J. A. /
Phys. Lett.— 1971.—V. 33B.—P. 361.
Schellekens A., Warner N. P. / Nucl. Phys.— 1987.— V. B287.— P. 317.
Sugamoto A., Suzuki H. / Phys. Rev. Lett.— 1986.— V. 57.— P. 1665.
Cecotti S., Girardello L. // Phys. Lett.— 1982.—V. HOB.—P. 39.
Wilten E. и Nucl. Phys.— 1981.— V. 188B.— P. 513; 1982.— V. 202B.—
P. 253.
Alvarez-Gaume L., Moore G., Vafa V. / Comm. Math. Phys.— 1986.—
V. 106.— P. 1.
Novikov V., Shiiman M., Vainshtein A., Zakharov V. Ц Phys. Reports.—
1984.—V. 116.— P. 103.
Harris J., Moore G.. Nelson P., Singer I. Ц Phys. Lett.— 1987.— V. 178B.—
P. 167.
Moore G. /I Nucl. Phys.— 1987.— V. 293B.— P. 139.
Векуа И. H. Осповы тензорного анализа и теории ковариантов.— М.г
Наука, 1978.
De Witt В. S. / Phys. Reports.— 1975.— V. 19.— P. 297; перепечатано
в кн.: Черные дыры.— М.: Мир, 1976.
Brown L., Cassidy J. Ц Phys. Rev. D.— 1977.— V. 16.— P. 1712.
Capper D. M., Duff M. J. / Phys. Lett.—1975.—V. 53A.—P. 361.
Witten E. I/ Comm. Math. Phys.— 1984.— V. 92.— P. 455.
Friedan D. // Recent Advances in Field theory and statistical mecha-
mechanics.— Amsterdam: Elsevier Science Publ., 1984.
Спрингер Дик. Введение в теорию римановых поверхностей.— М.: Изд-во
иностр. лит., 1960.
Farkas H., Kra I. Riemann Surfaces: GTM,— New York: Springer, 1980.
Bers L. /I Bull. Ame.r. Math. Soc— 1981.— V. 5.— P. 131.
Lento O. Univalent functions and Teichnmller theory: GTM.— New York:
Springer, 1987.
Gribov V. N. / Nucl. Phys.—1978.—V. 139B.— P. 1.
Singer I. M. I/ Comm. Math. Phys.— 1978.— V. 60.— P. 7.
Alvarez О. Ц Nucl. Phys.— 1982.— V. 216B.— P. 125.
D'Hoker E., Freedman D. Z., Jackiw R. Ц Phys. Rev. D.— 1984.— V. 28.—
P. 2583; Yoneya T. CERN preprint TH.3868, 1984.
Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля.— М.: Атомиздат,
1980.
Джексон Дж. Д. Классическая электродинамика.— М.: Мир, 1966.
Шиффер Дж., Спенсер М. Функционалы на конечных римановых по-
поверхностях.— М.: Изд-во иностр. лит., 1957.
Beilinson A., Manin Yu., Schekhtmaii Ya. / Lecture Notes in Mathema-
Mathematics.— New York: Springer, 1987.— V. 1289.
Кричевер И. М., Новиков С. П. Ц Фуикц. анализ и прил.— 1987.— Т. 21,
вып. 2.— С. 46; вып. 4— С. 47.
Kogut J., Susskind L. Ц Phys. Rev. D.— 1975.—V. 11.—P. 3594.
Fairlie D. В., Nielsen H. B. // Nucl. Phys.— 1970.— V. B20.— P. 637.
Fujikawa K. // Phys. Rev. D.— 1982.— V. 25.— P. 2584.
Riemann B. Gesammelte mathematische Werke und Wissenschaftlichen.—
Reprintausgabe.— New York: Dover, 1953.
Березин Ф. А. Метод вторичного квантования.— M.: Наука, 1965; 1986
B-е изд.).
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210,
211.
212.
213.
214:
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
222.
223.
224.
225.
226.
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
Nelson P. / Phys. Reports.— 1987.— V. 149.— P. 337.
Alvarez-Gaume L., Nelson P. / Supersymmetry, supergravity and super-
strings/Ed, de B. Wit, P. Fayet, M. Grisaru.— Singapore: World Scientific,
1987.— P. 1.
D'Hoker E., Phong D. H. / Nucl. Phys.— 1986.— V. B269.— P. 205; 1986.—
V. B278.— P. 225.
Dugan M., Sonoda H. // Ibid.— 1987.— V. B289.— P. 227.
Verlinde E., Verlinde H. / Ibid.— V. B288.— P. 357.
Rauch H. E. / Bull. Amer. Math. Soc—1965.—V. 71.—P. 1.
Earle C. // Discrete groups and automorphic functions.— London: Acade-
Academic Press, 1977.
Крушкаль С. Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхно-
поверхности.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1975.
Alvarez О. В [51].
Belavin A., Knizhnik V., Morozov A., Perelomov А. Ц Phys. Lett.— 1986.—
V. 177В.— P. 324.
Belavin A. A., Polyakov A. M., Zamolodchikov A. B. / Nucl. Phys.—
1984.— V. B241.— P. 333.
Cardy J. L. I/ Ibid.—1986.—V. B270.—P. 186; Dotsenko V. S., Fa-
teev V. А. Ц Nucl. Phys.— 1985.—V. B251.— P. 691.
Moore G., Nelson P. Ц Ibid.— V. B266.— P. 58.
Ferrara S., Gatto R., Grillo A. F. /[ Nuovo Cim.— 1972.— V. 12A.— P. 959.
. Fubini S., Hanson A., Jackiw R. / Phya. Rev. D,— 1973.— V. 7.— P. 1732.
Haag R., Lopuszanski J. Т., Solmius M. / Nucl. Phys.— 1974.— V. B88.—
P. 257.
Boulware D.. Deser S. Ц J. Math. Phys.— 1967.— V. 8.— P. 468.
Friedan D., Qiu Z., Shenker S. / Phys. Rev. Lett— 1984.— V. 52.— P. 1575.
Gervais J.-L., Sakita В. Ц Nucl. Phys.— 1971.—V. B34.—P. 477; Brink L.,
Olive D., Scherk J. Ц Nucl. Phys— 1973.— V. B61.— P. 173.
Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям.— М.: Мир,
1969.
Knizhnik V. G. // Phys. Lett.— 1986.— V. 180В.— P. 247.
Shiota T. / Inven. Math.— 1986.— V. 83.— P. 322; перепечатано в виде
приложения к Г1191.
Segal G., Wilson R. Ц Publ. Math, IHES.— 1985.— N 61.— P. 1.
Becchi C, Rouet A., Stora R. / Phys. Lett.— 1975.— V. 52B.— P. 344.
Tyutin I. V. Preprint of the Lebedev Institute, FIAN, N 39, 1975.
Kugo Т., Ojima I. / Progr. Theor. Phys. Suppl.—1979.—V. 66.—P. 1.
Curci G., Ferrari R. / Nuovo Cim.— 1976.— V. 35A.— P. 273.
Batalin I., Vilkovisky G. / Phys. Lett.—1977.—V. 69B.—P. 309; Frad-
kin E., Vilkovisky G. / Ibid.— 1978.— V. 73B.— P. 209.
Bengtsson I. / Glass. Quantum Gravtiy.—1986.—V. 3.—P. L31.
Девитт Б. Динамическая теория групп и полей.— М.: Наука, 1988.
Minakshisundaram S. / J. Indian Math. Soc— 1949.— V. 13.— P. 41.
Seeley R. Т. Ц Proc sympos. pure appl. math.. AMS, 1967.— Providence,
Rhode Island, 1967.— V. 10.— P. 228.
Ray D. В., Singer I. M. / Adv. Math.— 1971.— V. 7.— P. 145; Ann. Math.—
1973.— V. 98.— P. 154.
Minakshisundaram S., Plejel A. // Can. J. Math.—1949.—V. 1.—P. 242.
Schwarz A. S. ff Lett. Math. Phys.— 1978.— V. 2.— P. 201; Comm. Math.
Phys.— 1979.— V. 64.— P. 223; V. 67.— P. 1.
Gilkey P. B. Invariance theory, the heat equation and the Atiyah-Singer
index theorem.— Boston: Publish or Perish, 1984.
Balian R., Bloch C. // Ann. Phys.—1971 —V. 64.—P. 271.
Швиыгер Дж. Частицы, источники, поля.— М.: Мир, 1973.
Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия.— М.: Изд-во иностр. лит., 1948.
Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ.— М.: Наука,
1964.
Schwinger J. Ц Theoretical Physics: Lectures at the 1962 Trieste semi-
seminar.— Vienna: IEAE, 1963.— P. 89.
Coleman S. Ц Comm. Math. Phys.— 1973.— V. 31.— P. 259.
242
243

240. Биррел Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-
времени.— М.: Мир, 1984.
241. Polyakov A. M., Wiegmann Р. В. // Phys. Lett.— 1984.— V. 141В.— Р 223
242. Alvarez О. / Nucl. Phys.— 1984.— V. В238.— P. 61.
243. Квиллен Д. // Функц. анализ и прил.— 1985.— Т. 19.— С. 37.
244. Кобаяси Ш., Номидзу Н. Основы дифференциальной геометрии.— М.:
Наука, 1981.—Т. И.
245. D'Hoker E., Giddings S. В. / Nucl. Phys.—1987.—V. В291.—P. 90.
246. Фаддеев Л. Д., Шаташвили С. Л. / ТМФ.— 1984.— Т. 60, вып. 2.— С. 206.
247. Кае V. G. Infinite-dimensional Lie algebras: An introduction.— Boston:
Birkhauser, 1983.
248. Gervais J.-L., Sakita B. / Phys. Rev.— 1971.— V. D4 — P. 2291.
249. Galperin A., Ivanov E., Kalitsin S. et al. / Class. Quantum Grav.— 1985.—
V. 1.— P. 469.
250. Candelas P., Horowitz G., Strominger A^ Witten E. / Nucl. Phys.—
1985.— V. 258B.— P: 46.
251. Narain K. S. / Phys. Lett.—1986.—V. 169B.—P. 41.
252. Kawai H.. Lewellen D. С, Туе S.-H. H. // Nucl. Phys.— 1987.— V. B288.—
P. 1.
253. Antoniadis I., Bachas С P., Kounnas C. / Ibid.— V. B289.— P. 87.
254. Witten E. / Symposium on anomalies geometry topology/Ed. W. Bar-
den, A. White.— Singapore: World Scientific, 1985.
255. Квантовая теория калибровочных полей: Сб. ст./Под ред. Н. П. Коноп-
левой.— М.: Мир, 1977.
256. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля.— М.: Мир, 1984.
257. Fradkin E. S., Tseytlin A. A. / Phys. Lett.—1985.—V. 158В.—P. 316;
Callan С, Friedan D., Martinec E., Perry M. j/ Nucl. Phys.— 1985.—
V. B262.— P. 593.
258. Mandelstam S. В [52].
259. Martinec E. / Nucl. Phys.— 1987.— V. 281B.— P. 157.
260. Fay J. Theta functions on Riemann surfaces: Lecture notes in mathema-
mathematics.— New York: Springer, 1973.— N 352.
261. Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях.— М.: Мир, 1986.
262. Giddings S. В., Martinec E., Witten Е. / Phys. Lett.— 1986.— V. 176В.—
Р. 362.
263. Замолодчиков А. Б., Фатеев В. А. // ЖЭТФ.— 1985.— Т. 89.— С. 1575;
1986.— Т. 90— С. 1553.
264. Presseley A., Segal G. Loop Groups.— Oxford: Oxford University Press,
1986.
265. Schwarz J. H. Progr. Theo.r. Phys. Suppl.— 1986.— V. 86.— P. 70.
266. Witten E. / Nucl. Phys.—1986.—V. B276,—P. 291; Hata H., Itoh K.,
Kugo T. et al. // Nucl. Phys.— 1987.— V. B283.— P. 433.
267. Петров A. 3. Новые методы в общей теории относительности.— М.:
Наука, 1968.
268. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория.— М.: Физматгиз, 1963.
269. Бершадский М. А. / ЯФ.— 1987.— Т. 45, вып. 5.— С. 1491.
270. Witten Е. / Comm. Math. Phys.—1987.— V. 109.— P. 525; Alvarez O.T
Killingback Т., Mangano M., Windey P. // Comm. Math. Pbys.— 1987.—
V. 111.—P. 1.
Научное издание
Кафиев Юрий Николаевич
АНОМАЛИИ
И ТЕОРИЯ СТРУН
Редактор издательства
Н. Н. Крохотпна
Художник
Л. Л. Мордохович
Художественный редактор
С. В. Марковская
Технический редактор
Л. П. Минеева
Корректор В. В. Борисова
ЛБ
42724
Сдано в набор 02.07.90. Подписано к печати 23.08.91.
Формат 60х90'/]б. Бумага нн.-журнальная. Обыкновен-
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 15,5. Усл.
кр.-отт. 15,8. Уч.-изд. л. 16. Тираж 770 экз. Заказ JMa 259.
Цена 4 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Нау-
«Наука», Сибирское отделение. 630099 Новосибирск, ул. Со-
Советская, 18.
4-я типография издательства «Наука». 630077 Новоси-
Новосибирск, ул. Станиславского, 25.