Текст
11 IЙ Й * ii g Й О ft OJ й Й
(CIP)
2002.9
ISBN 7—81065—953—7
1.^... I.*-
Ш.ФО151.2®
0182. 2
ФаЖФ®15ШС1Р^Ш<^ (2002) ^ 073890-^
Л<Я|й|^Ш8^
Ж ЙЙ:
()Й«₽ЙЙ4ЬЙ“ЙИ^, ЙРЙ^Й 610054)
й«и»«:
£ П:
ЕР И: OMEP£WI«£iiJ
7F *: 850X1168 1/32 ЕР5К 8.375 209
ЙЙ &.-. 2002 ^9Я»-КЙ
Ер 'А-. 2002 9 ЛМ-^ЕРЙО
4J ^: ISBN 7—8106'5—953—7/0 • 43
Ер й : 1—6000 да
Й «1: 14. 00 7L
Й О g
SWffb #-*3 “+S” amm
ЛЮ (^?^Л^ЙЯЙ
^Е&Й, ^^#ЖШЗ±ЖШ)
(1)«МЖ; (2)Й^Ш^! (3)
ямяьстяШо
шла, тлт*й<£^йш^
тою
шзд о «пмл> шт
^ЖО^ЙШЖ Й-^ШЛЯМЖА
ж^, т$»&т.
ЖМЛо
»А*Й, ЗЕШЖД, МШЙЬ fi
w^-, д*ё«, ймж мж wattiw
wwtw
(В »т; (2) Й^ЖЖ; (3) Д§У
(4) МШо
Ф^т®, й;лт^<^ш$т£
#45 “+Е” тШШШи&Ш
МЖЛШ WWW*
ш±жю яжм» шла ж,
ШЛЙ?« RIP#,
^-Й$|н]МЖЛ^#М))
ЯЗД
1
Н- Е$г Ш /М ШЬ
Эб У
- Wt <
41 Ж 5
Ж & HI § М №
AU JmU С° I ДП. dik
2002 9 Я
В Hl II I
ЙБ > 3- St
g й о
® s ж да
: Й! да я
В HI Il 1
' ' *
|В й? > 3 1Ж
а а и Ф9
: ® S as да
: • ® да
ж в HI 11 1
1* ' *
ЙБ > Э St
а а а 49 -И
: ® ж да
да
-IS В HI 11 I
& ' ' ' '
41 & » 3 I*
3 Й 1@ Ф9 -И
s а § & да
: : & ЭД %
ж
дат
Е
W
В
э
Iffljj
№
я!
\ф>
ZR
HI
ft
ж
S
м
11
3l
*=.
п
W
#
п$
(В* cSh (S' C& c& [S' e в
41 44 44 44 4i 44 чв -
. <11 <11 <-ll -<n <Jl Pl 1 1?? &
1 = %
да жх- х- х я- : : ®
4jt 4fe 4fe 4fe life 4it . Tr rr Pr i*r pF tF •
®
э
49
Ж
да
Ж
Ж
Ж
ж
Ж
Ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
8Н
•И
Уй
ж
»
JlT
НЗ
а
а
зг
да
к
да
® я
Jit
НЗ
Зг
-ж
я
<1гг
НЗ
ж
да
я
®
да
>
»
Jit
НЗ
а
>
Зг
да
я
®
® »
Jit
Н»
зг
да
я
®
да
Jjt
нз
зг
да
#&5Ш£г[в|^1Ж
сс
—, ( 183 )
Н, Д®И®.............................. ( 186 )
Ш, &й®............................... ( 206 )
................................. ( 209 )
J на в •да ' & IH Н j ж да-
» 3
к I О -и-
да ® ж да
® да
<
Jit
>
W
Jit
£ * Ж #
^₽OU£ttM?
isWWi
з. аошйЕйто.ттш!
4. Я«тт.МОЙ®₽тОЙД^
ЗШ^^ЖРн
5. ТЙ#т,тт1Ш.
-. 1*1 Ш В
1.
Й тп т ft п ЭД ЙЗЁЙ>3&Й
<2ц л12 ••• а1г1
а21 а22 “’ а2»
Р'тУ ^т2 *** ^тп_
т п ЭДЙ&ЙМШЗ/ тХп &₽$,МФ а,/г = 1,2,-,ти;
; = 1,2, — i j ЭДЙ7Ё,г Ю
«,ЙЭДЙ^ •
• 1 •
2.
A = B = ЛМФ rnXn $Ё|5£,Л all a12 **' aln a21 &22 **’ a2n <2/n] at n2 ••• ain„ ^11 ^12 *" ^ln ^21 &22 *** ^2n &m2 *** ^mn_
йп + ^11 a12 + bi2 ... ai„ + bln
A + В = a2i 4“ Ьг, a22 + ^22 ... «2» + Ьг„
-aml + ^1 am2 + Ь,„2 ... ^mn 1 Ьтп_
'^11 ka12 ... ka
ka2} ^^22 ... ka
kA =
... ... ... ••
baml ... ka
j±: $[,kl 1 WftW •
3.
A+B=B+A
(2)ЯПЙ*Й£-Ш (A + «)+C=A+(B+C)
(З)^^Й^Ж A+O=O+A=A
GiWfWffl A+(-A)=O
?,
МФ
«11 <2]2 In
- А = а21 а22 а2п
_ ат1 ат2 &тл_
(5) 1А=А
^(/А)=а/)А
k(A + B)=kA+kB
(8)#ЙЙШ а+/)А = ЛА+/А
8 ЖФ,А,Й,С^^тХп
O^mXnSt^. ЙЙ8^ЙМп1ЙЖ^ТМ:
(1)(-1)А=-А
(2)0А=О
(3)ЛО=О
А-В = А+(-В)
4.
(1):>тЖ£Й£Я:
"<211 <212 ain'
А = <221 <2 22 — а2п
••• • ••
J2»il <2 m2 ^тп_
^12 - ьи-
В = ^21 ^22 — 62.,
... • ••
Ai ^2 "• b„s
ДОФ ТЕ
сч = анЬи 4- а>гЬг> + ••• + ainb„j, (i — 1,2,’” = 1,2, •••,$)
• 3 •
^11 <42
С ^21 С22 *”
А в ЩШ АВ=с.
(2)£1ШЙЙМ
А(ВС)=(АВ)С k(AB'>=(kA)B=A(kB)
А(В+С)=АВ+АС (А + В)С = АС+ВС
М=А/ = А
АВ^ВА-,% АВ=ВА,
А В nJ## .
#Р£Й® Й k *1ЕЙ|ЬА*+1=А‘А(Л = 2,3,—),А1 = А,
ЖЙЙЙД: AmAl = A",+k, (А"‘)* = А'"*.
ЛР£Й£Ч5х£ й
У(-г) = Дал? + + ••• + ахх 4- а0
> х Й k ^^,А М п gfr2rl$,m
/(А) = а„Ак + а^А^ 4-(- а,А 4- а0/
WW£«W£:&/(A)^(A)£№ a
/(A)g(A) = g(A)/(A)
5.
а11 й12 ” й1«
й21 агг “ й2»
А =
JflW а ЙПЛ!)Й$/Н - № ШЯ ЙШО A
Аг,вр
• 4 •
<211 <?21 *** tf'nl
a12 a22 ’** am2
A =
_<2]zl t?2« ••• ^mn_
(1)(A7 8)7=A
(2)(A+B)7=A7' + B7'
(3) (AB)T = BTA7
(А^—А.У = ATA'^—AlA'l'
<A)CkA)T=kAT
a7=a
(2)ЙЙ0т A7 = —A
6.
(2)^^Й<1<^т1Д^1^ЙЖ-=ГтЙ^7Ё;
(3)£₽$£-ЧттбЙ k •
. ^±И(1)Л2).
7.
й A ij В A в,Ш
А^ А~в.
А^А
ЯШЙ А^В&В^А
f£$tt А^В,В^€»А=С
8.
АХ = ь АХ=о
• 5 •
а12 а1п
#21 а22 *** ^2л
&т2 *** &тп_
X = 'х х-. х, _ с > 11 3 ь = 0 • сгг ^1 ъг рт. » * # > 0 0 0 = С1г+1 С2г+1 ’0 - 0 -0 - Cjn (=2. d. - d2
-Г г. . ч io^$» А= (А,Ь) _ 3 3 3 3 0 • 0 • 0 • 0 • * « • 0 0 0 crr+l 0 0 0 Ст 0 0 0 dr dr+1 0 0
£^+I = O,ljIlJ AX = b#ffi . JW,^ г=п Г
<п ttf </r+i^o,да ах—ь жм •
АХ=о г<п.
9.
ВР
• 6 •
7
Е^сУ =
10.
шт в,
AB = BA = I
» A 4 те,#^ в М А в =
А~\
ЖШ:
(1) (А-'У-^А;
(2) (kA'r'^A 1 2 3 4 * * (Л#0);
(3) (4Ю-1=/Г1А-1,-аМ(А1А2-"4,Г1 = 4Г14;”,1-”
4Г14Г1;
(4) (47)-1=(4-’)г.
11. fj 4
йттаж₽$ 4 йг рд , &
8
Mj li \
U / * \ А-1/
12.
ЯГЙ1Ж₽ШЖ&₽Ш, WM^W£|7GI^W№j£.
13.
AnJl^AX=O Р^Ы^А^1^А та^*<®ФМ
ЖРШЖУЯ-
н. as ед ®
ед 1 Й х пХ1 &₽$,t£ffi: (1) Х'гАГ>0;(2) Аг7Х=О
*=о.
Ж (1) -Й
«1 ’
La« J
ДУ Аг7 = (а1,й2,-",а„),ТД
Х7Х = (й! ,а2, ••• ,я„)
(2) <&>Й:Й Х7Х = О,ЙР#
ХТХ = а\ + а\ + - + аг„ = О
S^W «I ="г = "‘=а» = О,ЙтLU Х = О.
• 9 •
Х-О,ёР ГГ=(О,О,-,О),Й
Г0"1
Х7Х=(0,0, — ,0)
о
= 0
LOJ
ЭД 2 Д «XI X7X=l,i£ffiS = /-2XXT ДМ
S2=I.
ffi й*
S' == (I - 2ХХ‘")Г
= Г - 2(А+')7' = I - 2(Х7')7'Х7'
= I - 2 АХ7' = S
0г1иДМШ£.
йт х‘х=\
S2 =(Z-2XX7')(Z-2XX7')
=i-±xxr+±xx'rxxT
= I-bXXr + ±XXr = I
0|J 3 ВЯ cr=(l,2,3), Р=(1Л,4| ,д А = аг/3,Tf-^:
А".
й*
1
3
= 14-1 + 1 = 3
А” = (агру = атратР"-атР
=aTCPa‘Y-iP=3"-1aTp
• 10 •
2
1
2
2
к
3
2^
3
1
эд 4 ттж:
.Xi + 8.r2 — 7.r3 = 12
2.Г] + Зл2 — 5.r3 = 7
4xj + З.г2 — 9.г3 = 9
,2-Г] + 5.г2 — 8^з = 8
+ хг + л?3 = 1
(2) + 2.г2 — 5лг3 = 2
2^1 + З.г2 — 4^з = 5
— 2r2 + r3, — r2 + r4, — 2ri + r2
11
1 О -79 : -76
01 9 i 11
0 0 1 i 1
0 0 0'0
ii ii
0 1-61
0 1-63
• 12 •
— r2 + rt ,—гг + гз
10 7 0
0 1-61
0 0 0 2
ЙТ г=2,с/з = 2^О,0г1Д^ШД^ •
15'J 5 й
1
1
2 3
2 1
4 3
2
В =
А = 2
5
3
С= 2
3
о
1
3
3
ахв=с.
№ М А-'.Я-^Й-ЯЙ гтя.г’то
А'АХВВ = А 'СВ”1
HP
Х = А~'СВ 1
в*
1
(А,/)= 2
10 0 1
0 10 — 0
0 0 1 О
2
— 2
-2
3 10 0
-5-210
-6-301
3
2 3
2 1
4 3
1 0-2-1 10
► 0 — 2 — 5 — 2 10
О 0-1-1-11
1 0013-2
0-2036-5
О 0111-1
13
о о
1 о
О 1
1 3-2
1 -3 А
2 2
1 1 -1
1
3
-2
-3
5_
2
-1
ХИЛ
(В,/) =
А
3
2
1
1
11-2 1 1 1-2 1
2 1 1 0 0 -1 5-2
1 03-1 10 3-1
0—15—2 0 1—5 2
&ГЫ В~’ =
L-5 2J
X = А'СВ~'
1
2
2
1
1 1
о -2
О 2
3 -1
-2 1
10 -4
-10 4
• 14 •
СТ 6 =
1
0 1
2 0
AB + I = A2+B. МФ 4 = 0
B.
-1
0 1
№ ЙА.вЯЙЙЖЗД
(7 - A)B = I — A2
S^j
1 0 0
0 0 1
ЙТ 7-А=Л0fUX 7-4 nT^.SjftW
В = (/-4)_1(7-42)
CT 7 1£« |5fr&p£4W «?Й£^НФ4+В = 4В.
(1) иЕВД4-/1ОШ,ЙФ/МлММ!
-3 О
(2) B£fl B= 2
1 О ,^^|^4;
О 2
(3)i&W3f^ XB = 4,j££₽$ Х,МФ А,В Й(2)^Ж •
• 15 •
Ж (1)
АВ - А - В = О
ЕР I АВ А В \ I
= (А-1)В-(А~Г> = (А-Г)(В-1)
ЯШ A-I ^т,Ж^(А-1)-1=В-1.
(2) Й АЛЙОШХЙ
А(В - /) = В
в-/>Чй^т,§<Вз£Ш
(В - Г) ' =
О О 1
1 - 3 О О 1 2 О
А = В(В - /)"1 = 2 О 1 О О 2 _ х 3 О О
О О 1
• 16 •
1
3
о
1 о
О 2
17
х = AB' =
= 1 о о,|^ о О О to 11—* о о 1 1
0!l 8
в = 1-1 0 0 0 1-1 0 0 0 1-1 0 0 0 1 , с = 2 13 4 0 2 13 0 0 2 1 0 0 0 2
A Аа-С~'ВУСг=1,ЖШ A.
ft? Й А,В,С«£Й££5£йШ
I = A[C(J - С-1В) J7'
= А(С - СС'ВУ = А(С - В)7’
(С - ВУ1' =
2 13 4 0 2 13 0 0 2 1 0 0 0 2 — 1-1 0 0 0 1-1 0 0 0 1-1 0 0 0 1
18
12 3 4
0 12 3
0 0 12
0 0 0 1
10 0 0
2 10 0
3 2 10
4 3 2 1
®Й(с-в)т
10 0 0
г , - 2 1 0 О
Е(с - в)7]-1 =
1-2 1 О
О 1-2 1
ЯШ А=Е(С-В)7'У1 = 1 — 2 0 1 0 0 0 0
1 — 2 1 0
0 1 -2 1
ЭД 9 ЖАЛЯ
5jt(A+B)2—(А2 + 2АВ+В2).
(А+В)2—(А2 + 2АВ+В2) =А2+АВ-|-ВА+В2 —А2 —2АВ—В2
= ВА —АВ
ВА =
• 19 •
AB =
7
5
4
3
2
3
О
- 2
- 2
О
1
1
1
3
О
- 1
1
- 1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
0г И
(А+В)2-(А2 + 2АВ + В2) = ВА-АВ
п m а, в,
(А + В)2 = А2 + 2АВ + В2
$ПДАВ=ВА1#,±5^1№£.
0iJ 10 ® А,В*и AB^7^^^|^6<)j£g
АВ = ВА.
НЕ АВ>ХШЯЖ
(АВ)7 = АВ
А'1' = А, В‘ = В
АВ = (АВ)7’ = ВТАТ = В А
АВ = ВА ИЖ А,В ,W
(АВ)7 = В7 А7 = В А = АВ
ffilMAB
«411 Ж а
• 20 •
• IS •
(2)
' ff+У Tffy
a + v = га + zv = га + va + av + zV = г(.а + v)
Y№‘o=va+av #И:¥1'4£Э£
о = va 4- av
W
a + v = a + va + av + v =
га + va + av + zV = z(.a + y)
м-и
a + v = гСа + y)
WW‘^>;ft^ff + y ¥И:
a = za ‘y = zV
Jm&mmS(i) ®
vaav W
av ЙЭП‘ЙЗ^Ж¥& a‘v ® (S)
!о=у»+яу 1Ш
a+v й®‘дай*» ff‘y $ (i)
у W‘/=zy v W‘v=zV « и fi0
t_fy + —i- zV + у + i = t-(y - z)
V-I W
1 = G-,y +-1- ?У + У + Z)(y — 7)
|LK1isf‘O=,y ГЙЖ5-
(t-fy + — + zV + У + z)(y - /) = ,y - I
(l„?^ + ••• + zX + X “I- I) ("^ — I) = 4X — I
чДУ-/)>НГда$О1!ГУ-/
A2 = I, В2 = 1
AZ?MXe^W,MffifW(AB)2 = 7,BP
(АВ)2 = (АВ) (АВ) = А(ВА)В = I
АВ = AIB = А[А(ВА)В]В = А2(ВА)В2 = ВА
т = АВ = ВА,Ш
(АВУ = А(ВА)В = А(АВ)В = А2В2 = I
а АВ •
ШЗ ijb A$^W А2 + ЗА + 2/ = О,ЖВД:
(1) A — I Дте^^,^(А-7)-’;
(2) А+7-^ А + 27^|^В^пГзЁ . A+I nJjMiJ А=-27;
^А + 27йШ,Ж А=-7.
ffi (1)Й
А2 + ЗА + 27 = (А - 7)(А + 47) + 67 = О
(А - 7)(А + 47) =- 6/
ВР (А-7)[-у(А + 47)] = 7
A-7>nJj£W,.a
(А - 7)-1 =- у (А + 47)
(2)Й
А2 + ЗА + 27 = (А + 7) (А + 27) = О
A+I
А + 2/ = (А + 7)->(А + 7)(А + 21)
= (А + 1)'О = О
ВР А=-2/. А + 27 А+7=О,И А=-7.
!±:
А2 + аА + Ы = О
• 22 •
a+ci
А2 + аА + Ы — (А + с7)[А + (а - с)7] + [6 - с(а - с)]/
= О
% ь—с(а — с)^0,й!1 А+cZ МпШЗЁРЫ!
(А + с!)-1 = -.------Ц-----ЛА + (а- с)Г\
с(а — с) — о
Лт b—Ла— c) = O,JiPJ АЛс! •
00 14
-I п Г
cosd — sin# cosnd — s\nn()
sin# cos# sinw# cosnO
1
0
ffi n=i•
WS n=k Bt,w
1 k г
cos# — sin# coskO — sin£#
sin# cos# sin£# coskO
n = k + l ,<
cos# — sin# *+l cos# — sin# k cos# — sin#
sin# cos# sin# cos# sin# cos#
coskfl —sinkd cos# —sin#
sin£# coskd sin# cos#
cos£#cos#— sin£#sin# — sinA#cos#— coskdsind
sin£#cos#+cos£#sin# coskdcosO— sinkdsinO
cos(^ + l)# — sinO + 1)#
sin(^ + l)# cos(£ + l)#
23
ТД.ЙЙйШпШ
cos# — sin# _ cosnff — sinn#
sin# cos# _sinw# cosnff.
0 1
Зил
cos 2
— sin
Зил
1
Зил
sin ——
Зил
cos ——
Li
1
0 1
-1 0
и = 4£ + 1
-1 0
0 -1
0 -1
1 0
и = 4£ + 2
(£ = 0,1,2,-)
и = 4£ + 3
1 0
0 1
и = 4£ + 4
#1 15
(1) ФИ'п
(2) 1 йМ'Ьн |^±ай$ЁРШЯ^,-Р5Д-ф
1 =Й)&Р$! IW,)O7E£^ 1 МИФ и |^ТН
24
(i) n
Й
ЭД 16 ЙА= BQ CD B,D A1,
ж
Г*1, -^12
A 1 =
-X2i %22-
AA1^ в .о c D. -Xn -X2x 1 1 e*q «sj СЧ и
= вх n+CX21 dx21 ВХхг+СХ22- dx22 = 1 1 о > О- 12-
ЙШ
вхи + cx21 = I,
вх12 + cx22 = о
DX2J = о
dx22 = 12
X21=O, X22 = £>-’, Xn = e-\ Xn=- B-'CD'1
[B"> -B 'CD-'l
И, & Й @
i.
all^l “И а12^2 ~ ^1
a2l:rl 4~ a22JC2 ~ ^2
ап.У1 H- алгУг = ci
а21-У1 ~Ь а2гУг ~ сг
• 26 •
<2)2
й22
>1
Уг
2. &А =
,Я1 АВ=
_________________________, В А =__________________________
3.
1 0 0 0 Д1
1 1 0 0 «2
А = 0 1 1 0 Лз
0 0 1 1 at
0 0 0 1 as
ах,а2,а3,а^,а5 Й^лЁ.Й&'^Д.
4. ЙЙ₽?А,ВЙ
A1CA = B,JllJ С100 =.
5- т£36₽$ А,В %
Г1 2~1 Га 61
_0 3J г d.
ХФ a,d MOMS с =
Ь= АВ=ВА.
• 27 •
О «! О
6. а=
О аг
> Ф «1 > #2 > й3 ’ а4 Ф О ,
О
«з
а4 О О
О
А-’ =
22,ЙМ
1ЛОШВМГ1МШ )•
(А) (А+Ю3 = А3 + ЗА2ВфЗАВ2+В3;
(5) (А—Ю (А+В) = А2 —В2;
(С) А2-/=(А-/)(Аф7), (/ ;
(D) (АВ)‘ = А*ВЛ, (6>2%№)-
2. й А,В,С®% п АВС~1,^
Ф 1 % п )•
(А)АСВ = 7; (В)СВА = /; (C)BAC=Z; (D)CBA = 7.
з. А %
1 2 4
А = 2 Л 1
1 1 О
А^р1йМ|^ Л*( )•
9 1
(А)2; (В)-1; (С>4; (О)^.
4 2
4- & А п п 1ft АВ
Д ( )•
(А) СВ)Й«Р$;
(о (7)) •
5. тт®Ф,£п£]Е1й1И)Д( )•
(a)
св) йфршя$т,оо1шгт!
• 28 •
(С)
(D) ЯЯтШШ!
се) и^т±(Т)нл&№1^йдяишд±(Т)н
л^т •
6. й А,В^п |5W$&MJW( )•
(Л) САВ)1 =В~1А~',
СВ) А+В йЦЁ,ЖА+В)”1=А-1+В^1;
СО А —В ^й1зЁ;
CD) CkA)~'=kA~1.
= '1&А,В%
i£j£ ЗА + 2B, А‘ ВГ, В‘ АТ, СА‘ УА2.
И 35 W
- 1
1 2
- 1 1
- 1 2
#$Ё₽£(А3-7)(А2+А+/Г1.
(1)
-з 1
-4 Х = 10
0 10
-3 О
2 7
7 8
1 2 -1 1 -1 1
(2) X 0 2 2 = 1 1 0
0 -1 0 2 1 1
• 29 •
А,Й n А А2-А-27 = О,£Ф I M П
№ :
(1) A ft 7-4 a
(2) A+7 ft A —2/ •
-t ,Й A, В n m , ££ffi :
(1) AB-BA Wtt^TDJtft# 0;
(2)
Л,Й A * n Efr^F^HiO. A2 = A,££ffi A A = 7.
(Pythagoras, ш!580~й(|500)
ft^. хх^ж, ^«ькаРй^Ят
&), ^ТМЙ (41ШМЁйт*№тОШ
ЙЖВ1Й (pherecydes) *4, X Й И А Ж Ж ЛИ ¥ Ж Й % *3 В # Й
(anaximander) , № Я* , ft
(crotone), «шах—t-^», йй,
#-g—Waft-^Й^Й»1^Ж,-еД^^Д/ЕЛИ^Жй*#^-4-Ж
МЙ^Ж- &ФЭ#й*йЙ?&4АФЙИШ£ .ffiiOJig * ft,
«•WO-W!. ЙД-Й£ЯШЗЙТ^ЖЙ«Й, .BxWOf,
^й^«ЙЖЙ»^йА*йй«, W£ft6<J@W*A*T£^&
Д,ВЛ®ЙЙ»ЙИЙ®*«Ж?ЖИ*ШЖЯ.ШПХ?Г»№Й»АСТЙ,
врж*, (ftwstffl), лм (»±
ИйХ АХ (Й^йй); «Ж “®«e»tt” йЯЭДЙ-ЖЖЖЯтЬ #
й£М1т#^, in^rft, «ft, ^^ft. ^^-ft, ПАЙ, ^й-ft, SA
ft, AAft^^i £Я*Ж£Я (ВХ^^Й1№®т£Я) fDWft (В
Зг&*^Й1№»т»)! ХЯНЙЧЕ^®^, ^Я^йГЯ«)й.
АЯЙЙ^ЙШ^ЙЙХЯ, Ж#ЛЙИ^ЖЙЖЛЮЙ«, Д»^£
±Ж5ЙЖЯЯ-®Й;-£Я^ЯШП1»£&Ши*,Ъ*<Х»ЙТ“«-£
&ЯИК»!Т«»”Й-Ж*®Й. BKS^K«£Ttt#JM£XB£T
имвмч^ждвж^й.мыжььяя^Фй^^^^^кйАда^
й±.ШМЛ^«Ш*1ЙЯт£Жай&ЙТ.Я«±18:?ЙДЙВШАЛД
атж-gftfiBj, шпятжл1й5й>1шж&$, сжатый
370*р, &ШЙ
& £ Ж Ж Я И tt 0!1 Т Й X И X Ш ft Т •
X^^^X^WgAW^nfi.
• 31 •
к я
ап\ ап2
ДЙ А<Й£Й~-Ф^:
#11
<2ц (212
1- ТМ П
з.
4. Й®^Р?йеЯЙМО(
&;
6.
Й « Ж £
l.w EHf^'l Л#£.51
а1п
аг„
а„„
п = 1
[яцАц + «12Л12 + ••• + at„Aln п 2
йф ль=(-1)1+^ь,1ш MyiiBTn-i iw?!J5£$£:
• 32 •
2j~ 1 a2j+l ... ^2n
з;-1 йЗ/+1 ... (j = 1,2,- ,n)
• •• • •• • •• ...
„j-1 a«J+l ... ann
Я fa A>^7U •
2.н
detA = a,j A,-j + ai2Ai2 + ••• + a,„A,„
= y}a,,A„- (i = 1,2, —,n)
МФ Л,= (~1),+М,М,Д detA i j ЯтЁЖЛЙЙ
M 2
14® 3
14® 4(=Ш5£ЙЙ^$Ю £пЖ}ЕМ«&)ЖТ n lft-ж
& A ±:
(1Ш A k ШМО А. .Я detAi=^detA;
* 33 ’
(2) & А ЙМ — k А2,Ж det42 =
det А;
(3) A А3, IfllJ detA3= — detA.
йй s ^тФ^уг&лйтя^йШ«,^е1А=
detA;.
it:Ml $ЙЖ 4 •
з.
а11 «12
О «22
О о
«11 О
«21 «22
ап1 «и2
1 1
«Я *2
хг2
^"Г1 ^2~'
4. А
(1) det(>A)=£”dctA,^4> А > п gH£F$;
(2) det(AB)= (detA) (detB) , — det (AM,-A,) =
(detAi)(detA2)"*(detAJ).
• 34 ‘
5.
(1) а detA#O;
(2) detA '=3^-4-
6.
ЫШ
аи а12 *** а1п
а21 а22 “’ Л2л
А =
_^л! &п2 *** ^ял_
'du Ан ’“ A„i
Aj2 А22 ••' А„г
Д A А' ,МФ А,Д а Й?тЭД5£ detA фтЁ а.,Й
й# AA’^A-A=(detA)/,j5)fy
А'1 = -Д-гА* , (А* = (detA)A-1)
detA
7.
(1)ЙАЙЯ^,Д/(('|;=1,2,>--,л)>7Ба0Йт?
e>iAi+ <2;г Ai2 + ••• + а;„А*»
[detA i = k
= , Ci,k = 1,2, — ,и)
I 0 i k
abA*+ a2jA2k 4- ••• + a„jA„t
/detA j = k
= kj,k = 1,2, —,«)
I 0 j k
• 35 •
• 9£ •
v ч у
±Ш ч WTOOWW^i гЧ miW1"'}™’
>?>ТШ ч ч ВД^ЖВЗЫ^РФ у &1Э£ «x« ф
Win!# -8
•о=а ‘ W;fcikW)l?SMf
• О-ОСЖЖо^ВДП®
О — ux““v 4~ ... 4~ ZXZ"V -|- '2Г1"»’
(2) .......... >
О = UX“ZV -|- ... 4- ZXZZV -|- xXxzt>
О = ux“xv -}- ... 4- zj;'zip 4- 'xnZ2
‘•••‘г-?‘'?)й1^^^^Г^< ШФ аЭ^(“‘-‘г‘1=.Ог(7‘ФМ
^.....O.£|=(.r<...-znr)
\иа га 'аI
"“» ... z“v l‘v
О “ZV ... ZZV lzV
ulv ... г1г> llv
“q = uxu“v 4- ... 4- zxz"v 4- xxxuv'
(I) Г
zq = ux“zv 4- ••• 4~ zxzzv 4- lJ7lz»
xq = "xuxv 4- ... 4- zxzxv 4- ‘гг11»
(Z)
9.
(1)
(2) Я(АГ)=Я(А);
(3) Я(А)^пйп{п2,л},МФ А > тХп &₽$;
f 0 k = O
(4)Л(ЛА)= ;
\R(A) £#О
(5) 7?(А)=Л(РА) = «(РАе)=Л(А0),^ф P,Q MW
(6) Л(А+В)<7?(А)+7?(В);
(7) R(AB)<min{R(A),R(B)}.
10. fl
= . ом
ЭД 1 i+^л^^УЛ
0 й] о ••• о
0 0 а2 ••• 0
D„= ...... .........
ООО - а„_,
^«1 ^п2 ^пЗ "* ^ЯИ
0 ах 0 — 0
0 0 а2 — 0
Dn= ...... .........
0 0 0 - а„_1
^я] Яя2 апЗ *** апп
• 37 ♦
О аг О — О
О О а3 — О
ООО”* a„-i
^пЗ ^«4 *** ^пп
= (— 1)2а1а2
«з 0 ••• О
О а4 ••• О
О 0 ••• а»-!
^«4 ^и5 •** &пп
— ••• — ( 1)” 2а1а2*‘*ап^2
а
пп
= (— 1)" 2ахаг'"ап-хал
ЭД 2
(1) £-Ъ л2-л Ж£,Я|5
(2) #пж п п
№ (1) ЙТлМ^^Ф-^ягф7Ё^ПЖ^Т^№7Б
tt П2-П а^,Я₽^ п п2-Сп2
-п-)=п П л-1 ФтбТ<
л-1 ?т,$4>#-^й$7Ё£
(2)ЙлМЙ^Л
аи а12 "" а1я
а21 а22 ’" а2п
ап1 <3Л2 "' апп
38
D„ = 1 1 c? <212 *** ^1' = (- 1YD„
^22 *** a2>
(- anl 1)” • • • •• ’ •
<2„2 ’*’ ^м»
aU a12 ’** ain
a21 a22 ’*’ й2я
D„=1 ^nl ^n2 *** ^nn
X -S- & S S6 ? § 3. > 4 w u УЙ- ° ““f ? Г Д w ii # II Jo (3 11 & ? ': + + b = z II S ra to to b " T IW?|J5W{S$# • <20 b-^ bz ••• b„ x ax 0 ••• 0 x 0 a2 ••• 0 x 0 0 a„ я+l ~ a0ala2***an „+14Е*-Ф±(Т)Н^
Dn+i= xa\a2. —a„ Ь^ b2 x aj аг 110 — 10 1- 1 0 0 — b„ a„ 0 0 1
39
= хауа2*^ап Др _ X У' а‘ а> 0 1 0 0 ^2 «2 0 1 а„ ... о ••• 0
— По<2]£12‘’>ап ЭД 4 if Ж п Pfrfr D„ = : » » н & ч Ь : а Н a f ° : • ЬО СО tO • : н а ь • WWW ~ К >1 п з . • . • ~ о « : : : : а |.$> 0 а„ а„ а,. ••• 1
Й1 <22 (2з •*• хп
ЙФ х^а<(г = 1>2,“- ,п).
1В &й-Ф±(Т) = Я1йШ?!)
lUMf М , ЕР
А = *^1 &2 "* ап ах ~~ хх х2 — а2 0 ’•• 0 «I — Xi 0 х3 — а3 — 0 «1 — хх 0 0 ••• хп — а
= (Xj — fl)) (.г 2 — а2 )•••(.£„ — а„)
40
*1 «2 a3 a„
J"1 — fl) X2 — a2 x^ xn — a„
- 1 1 0 0
- 1 0 1 0
... ... ... ...
- 1 0 0 1
= П (Xj fly) t ^2 a3 a„
- a. л2 — a2 x3 — a3 xn &n
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 0 ... 1
= П (Xj 1 + V a- | ti ъ - a‘l
«] X} Uj
й-^шгй • $пттп^^жтн^ж«1+^:
X
a
a
a
x
a
(1) D„=
a ••• a
a ••• a
x ••• a
a a a ••• x
41
x, a a ••• a
a x2 a ••• a
(2) D„~ a a x3 ••• a
a a a x„
l+«i a2 ••• a„
ai l+«z “•
(3) D„ =
a, a2 ••• l+a„
0IJ5 ОТШЙШ:
(1) 0 1 1 0 1 1 X = 0;
X 1 0 1
1 X 1 0
ai~ 'X а2 ... а
(2) а а 2 —Л а
= 0.
ж , «fc пт , ал
0 1 х 1 X + 2 1 X 1
1 О 1 *27 X + 2 О 1 X
1
о
42
= a + 2)
i
о
о
о
= — х(х + 2)
1 х 1
— 1 1 — х х — 1
О — х О
х — 1 1 — х — 1
- 1 х - 1
х — 1 — 1
= — х{х + 2) El — Cr — I)2]
— х2(х + 2)(х — 2)
Лг+2Ш-2) = 0ЛОШ 0(^®Ж),-2,2.
х, — х2 = О, х3 =— 2, Х4 = 2
(2)В^
ах — х аг ••• а„
а1 а2 — х ••• а„
6Z1 а2 ••• <2„ •£
43
i
о
о
о
п
= (— YjOi — л?)
1 = 1
= *г = — = ^»-i = 0, т.„ = 2а-
/=1
ОД 6
(1)
2
-1
о
о
о
3 150 97 508
4 43 78 968
0 2 1 0
0 0 3 4
0 1 0 2
(2)
а
О
о
о
ь
ь о ••• о о
а b ••• О О
О а ••• О О
О 0 ••• а b
О 0 ••• 0 а
44
2 3 150 97 508
- 1 4 43 78 968
0 0 2 1 0
0 0 0 3 4
0 0 1 0 2
(8 + 3)(12 + 4) = 176
(2) ожтатетжвдьтд
а b 0 •• • 0 0
0 а b •• • 0 0
0 0 а • 0 0
0 0 0 •• а ь
b 0 0 •• ь 0 0 а
а ь •
+ (- 1)л+,6 ... ... •
0 0 •
0 0 •
= а" + ( — 1)"+16"
-00
"00
" ь о
•• а b
= а а b ••• 0 0 0 а — 0 0 0 0 — а Ь 0 0 — 0 а
2 3
- 1 4
2 1 О
0 3 4
1 0 2
ОД 7 й п 1,2,-,н2 * пг п М
JU Й D„ Й , ®ВД ШЖШЙ £&ТЁЖ Й
iE D„ ЙтВ&да s
S = j-nz(n2 + 1)
ь=^ = уи(и2 + 1)
датт d„ *
• 45 •
ЙП <212 *** а\п
а2\ &22 &2п
&п2 ** &пп
2.3.-.П 2,3,-,и
1 1-1
b
~ агг " агп
b
^п2 *" ^лл
= SD,
В^/ п *<1W+1 = |(«2+1)ЙО,а,Д
д». в&лттп, д1ш,йд.timssm-
ЭД 8
(1) а, —1 0—0 0 аг —1 ••• 0 0 а3 0 х ••• 0 0 a„-i 0 0 ••• х —1 ап Q 0 — 0 х
= «1л:'-1+й2л:"~2 + -+а„;
• 46 •
(2)
tjE
a + P aP 0 — 0
1 a+P aP — 0
О 1 a+P - 0
0
0
0
0 0 0 — 1 a+P
o”+»
~ a-P
(1) M^r&ft Я а Й ft Д, ШП ffl ft ?|J 5$ Й
m₽m- bp
— i
a2 x
D- °
a„-t 0
a„ 0
<h — 1
a2 x
4Z3 0
an-2 0
a„-i 0
+ (- l)"+!a„
0—0 0 -1—0 0 x ••• 0 0 0 ••• x — 1 0 ••• 0 x 0—0 0 - 1 — 0 0 x — 0 0 0 - X - 0—0 x
- 1 0—0 0
x - 1 — 0 0
0 0 ••• x — 1
= xD„_x + (- I)-1 = zD,., + an
£>i = aj
Д = xDx + a2
• 47 •
^n—1 — Z I &n— 1
D„ = xD„_x + a„
D„ = ,z(.rD„- 2 + «„_!> + a„ = .r2D„_2 + a„-xx + an
— ... — + a2.z"~2 + ••• + a„-i-z + a„
= axz"~' + a2z"~2 + ••• + a„_jX + a„
(2) ЭДта^Й*й2£Жт£ВЛ •
« = 1 ftf, |«+-p\ = a + ft= a2 —в2 aJr^iL.
n=C£ 0^ ,BP
«+/? «Р 0 ... 0 0
i a+i 3 a{3 ... 0 0
0 1 a + P ... 0 0
0 0 0 ... 1 «+/?
<z"+1 —/? l+l
a — [3 , \fl
S n=k+i 0}£+1
«+/3 aft 0 ... 0 0
1 »+/ 3 a(3 ... 0 0
Dk+i — 0 1 a + p ... 0 0
0 0 0 ... 1 «+/3
a+P «/? 0 ... 0 0
1 Й +p aft ... 0 0
= ( 0 1 - 0 0
0 0 0 ... «+/? 0
0 0 0 ... 1 aft
• 48 •
= (a-\- [T)Dt — aflDk-t
„H-i — AH-i а* —I?
= -----------------
g* + 2_|-(/+l;g_g^ + l-^+2_^+lj3-|-a^+l
“ a-ft
_^+i_ftM
~ a —ft
эд 9
n
1
2 ;
1 2 — n-2 n-1
-10 3 —
(2) D„= -1 -2 0 •••
n — 1 n
n— 1 n
n— 1 n
-1 -2 -3 ••• -(«-1) 0
Й? (Din—'fT».51!JW
1
1
1
D„ =
2 3 ••• n — 1 n
1 1 ••• 1 1-n
1 1 ••• 1 - n 1
1 1-n 1 - 1 1
• 49 •
• 50 •
(2) 2,3,-,nfi,<
1 2 0 2 0 0 D„ = 3 ••• п — 1 п 6 ••• 2(я-1) 2п 3 — 2(«~ 1) 2п = и!
0 0 0 0 «Ч 10 i+я/ fCx) = 0 ••• п— 1 2п 0 — 0 п (х + 1)-/Сг),ЙФ 10 0 12 0 13 3 — 0 х 0 х2 0 х3
HR &ЖЭД 1 п с2„ 1 п + 1 с2+1 — с"-' х" -П —] ~,л+1 Сл + 1 X
(x + 1)'= x' + c\x‘ 1 + c2x‘ 2 + •••
+ c'i yx + l(i = 1,2,••• ,n + 1)
sww
/(x+l)-/(x) =
10 0 — 0 1
1 2 0 — 0 2-r+l
1 3 3 — 0 3x2+3x+l
1 n c2 — c"„ 1 c; *x" '+c: 2x“ 24-l-cjx+l
1 n+1 cj+1 — c;;l (n+l)z’+c:;|i”"4-|-c2+|X2 + cl+,x+l
%n+i эд#яш*ж i эд 2 эдй x з эд
Й х2 п ЭДЙ5
• 51 •
1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
1 3 3 0 0
/(•r + 1) — f (z~) = ... ... ... ... ...
1 n cl - сГ1 0
1 n + 1 c* + l — c"+l (n + Dt
= (я + 1) Jx"
ЭД11
2 1 0 ... 0 0 0
1 2 1 ... 0 0 0
0 1 2 ... 0 0 0
D„ = ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 2 1 0
0 0 0 ... 1 2 1
0 0 0 ... 0 1 2
ft?
1 1 0 ••• 0 0 0
0 2 1 — 0 0 0
0 1 2 — 0 0 0
D„ = 2D„^ - ... ... ... ... ...
0 0 0 ••• 2 1 0
0 0 0 - 1 2 1
0 0 0 ••• 0 1 2
— 2Z)„_j D„_2
ййчГШ
D„ - D„^ = D„_! - D„_2, (и > 2)
D„ - D»_, = D„_j - D„_2 = ... = £),-£),
• 52 •
D = |2| = 2, D2 = 2 1 1 2 =4-1=3
t = 3—2=1, BP
D„ = 1 + -D»-! = 2 + D„~2 = • • = n - 1 + A = « + 1
12 w n
1 4- x2 x 0 ... 0 0
X 1 + X2 X ... 0 0
0 x 1 + X 2 ... 0 0
D„ = ... • • ... ... ... ...
0 0 0 ... 1 + X2 X
0 0 0 ... X 1 + x2
1 + X2 X 0 ••• 0 0
X 1 + X2 x ••• 0 0
0 x 1 1- хг — 0 0
Dn= (1 + x2)D„ i — x ... ..
0 0 0 — 1 + хг 0
0 0 0 ••• x r
= (1 + x2)D„ t — x2D„_2
D„ - D„_x = x2(X>„^ - D„_2)
Ln-1 — D„ D„-i
Я₽4 1^=х2Ц_г,^1Ц. Ц,Ьг,-,Ь..
Й
Z>] — D2 Dj —
1 + x2 x
X 1 + X2
(1 +x2')
53
= (1 + л:2)2 — х2 — 1 — х2 = .г4
= ,г2Д_2 = - = О2)"-2Д = лг2("-2>л:4 = х2п
й А = 1+.г2 ,л2 = 1 I д I д
D, = 1 + х2 + X4 + ••• + х2п
ЭД 13 я>2 ft,i+W п
3 2 2 ... 2
2 3 2 ... 2
D„ = 2 2 3 ... 2
... ... ... ... ...
2 2 2 ... 3
1 -2—2—2-
0 3 2 2 -
0 2 3 2 -
0 2 2 2
1 - 2 - 2 - 2
11 0 0
10 10
10 0 1
1 0 0 0-
- 2
2
2
2
3
- 2
0
0
О
1
• 54 ‘
1 4 2» О О О ••
11 0 0-
10 10-
10 Ol-
io 0 0"
о
о
о
о
= 1 + 2п
1
0IJ 14 Tfg п |5НтЯ)5£
<2] 4-61 в1 + Ь2 •" <21 4- 6„
а2 4-61 <22 4“ 62 ••• а2 4- 6„
D„
а„ 4-6] а„ 4" 62 "• а„ 4- 6„
— (а2—а,)(62— 6j) п = 2
О
55
ЭД 15
1 xt Х2 ••• Х„-х Хп
1 X х2 ... Хп~\ т
1 Xi X ... ^Гп~1 Хп
D„+i — ... ... ... ... ... = 0
1 Xj хг ... X Хп
1 Xj Х2 ... •2^-1 X
xt,x2,-,xn МШ
•Л/1.
зк •
« т«ЙЙ?Ж
1 0 X, X — X] х2 0 ... Х„-1 0 х„ 0
0 0 X—х2 ... 0 0
D„+1 — ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... х—X„_J 0
0 0 0 ... 0 х—х„
= (х~ X,) (х~ Х2)-” (х— хп)
— х”— (Xj +х2 + ф” + х„ )х"-1 + ••• + (— 1)"х^Х2’“Х„
(х — Х1)(х — х2)*”(х — Х„) — О
х = X; (г = 1,2, ••• ,п)
ЭД 16
• 56 •
D„+i —
1
-1
О
bi
1—61
-1
О
b2
1 62
О
о
о
о
о
о
0 0 0 — 1—6,-1 6,
0 0 О — —1 1—6,
1 61 0 0 0
0 1 62 0 0
0 -1 1—62 0 0
D„+i — • •• ... . • ..
0 0 0 ... 1- 6,-1 6,
0 0 0 ... — 1 1- -6,
ЮЖН
1 61 0 — 0 0
0 1 62 ••• 0 0
0 0 1 — 0 0
D„+i = • •• • •• • •• • ••
0 0 0 — l-6„-l 6,
0 0 0 — -1 1-6,
i 61 0 — 0 0
0 1 62 0 0
0 0 1 — о о
D„+i = = 1
0 0 0 — 1 6,
0 0 0 — 0 1
00 17 i+£inTft?lj5£:
57 •
1 2 3 4 - п
1123— п-1
1 х 1 2 — п-2
1 х х 1 п —3
1 х х х 1
Я? l^G=2,3,-,n),W
О X — 2 —2 —2
О х—2 х— 3 — 3
п
-1
-2
— 3
О х—2 х—3 х—4 ••• —(п— 1)
— 1 X-- 2 х—2 х-2 1 1 1 -2 -2 х— 3 —3 х — 3 х — 4 1 1 -2 -3 ••• — (п—1) 1 1
X 0 0 0
— х+1 X 0 0
x-f-n — 3 х+п —4 X х + 1 х-рп — 5 0 0 х 0 0
(- 2)1+1+» -1 х+2 х+п— 3 х+1 X х+п—4 х+п -5
— ( —1 )”+1х"-2
О
О
О
58
me i-н^птет:
l2 22 З2 ... п2
22 З2 42 ... (п + 1)2
D„ = З2 42 52 ... (п + 2)2
... ... ... ... Z ...
п2 (п + 1)2 (п + 2)г ... (2п —I)2
Я? йТа+1)2-^ = 2^+1,ЯЛ1^^Ж^-П®*ви-П»
D„
I2 22 З2 3 5 7 5 7 9 - 2п —1 2п + 1 2п + 3 I2 22 З2 — п2 3 5 7 - 2п + 1 2 2 2 — 2 2 2 2 - 2 I2 22 З2 — п2 3 5 7 — 2п + 1 2 2 2 - 2 ООО— О О 0 0 — О п2 • • 2п + 1 • • 2п + 3 • • 4п-3
П=1
^« = 2 0^,D2= *
n = 3 0t,
= 5 — 12= —7;
• 59 •
О n > 3
0iji9 ттятеял-
D„+i — я? w; а" (а-1У — (а — пУ а”~' (a — l)"-1 — (а-пУ~' а а—1 ••• а — п 1 1-1 £ я + 1 п п-1 1
1 1 1
а" (а — 1)" - (а-пУ
Г>„+1=(-1)” а"-1 (а — 1)"' — (a-п)"-1
п + 1 а а — 1 П п — 1 а — п .^2'
г>„+1 = (-1)л+(”-1)+-+2+1 1 1-1 а а—1 — а—п а2 (а — 1)2 ••• (а — п)2 а" (а-1)” - (а-п)"
60
D„+1= ( —1) ' * ' (а — 1 — а)(а 2- а)---(а~ п — а)
(а — 2 — а+ !)••• (а — п—а + 1)
(а — п — a-f~(n — 1))
Д„+1 = (-1)!1^(-1)(-2)-(-л)
(-D-C-n + l)
(-1)
= 1! 2! •••! п!
ЭД 20 Й f(x) = (aI—x)(a2—x)(a3—x),K а^6,11ЕВД :
D =
«1
Ъ
Ь
а
аг
b
а
а
аз
af(JD — bf(.a)
а — b
DM =
а — х а — х
а2 — х а — х
b — х а3 — х
D(a)=
at —а
b—а
b—а
0
а2 — а
b—а
О
О
а3—а
= (a1—a)(a2~a)(a3—a') = f(a)
D(.b} =
ax—b a — b a—b
0 a2—b a—b
0 0 a3—b
= (ai~6)(а2—6)(a3—Z>)=/(6)
61
DCx) =
<2]—x a — a3 a — аг
b—x a2 — b a — b
b—x 0 <я3—b
ax a — ax a — ax
b a2 — b a—b
b 0 <23 — b
a—a,
a—b
a3—b
a} a
= b a2
b b
= D — xD}
«з 1
a — Я)
аг — b
0
a — a3
a—b
a3 — b
a 1
a —x 1
D(a) = D — aDx = /(a) (1)
W) = D - bD, = /(6)
(2)
ь a,W
bD — aD = bf (a) — af(b~)
ry _ bf(a) — af^by _ af^b) — bf (a}
b — a ~ a- b
21 (i) Шатаем:
2^1 + хг — 5.r3 + x4 = 8
Xj — 3jt2 — 6.r4 = 9
7.x г — x3 + 2.r4 = — 5
,x} + 4.r2 — 7x3 + 6-Г4 = 0
(2)
• 62 •
£9
9 2-0 I
г i - s - о
9-0 6 I
i s-8 г
I 9-1
га
I- z- о
о^гг=(1-г-£-)-= zi- £ о
I- Z- 0
Z I- Z
L- Z l-
9 2— P T
Z I- Z 0
9-0 £— I
2 9- f I
I- Z- 0 0
Z 1-3 0
£1— 9 2-0
2 9-^1
9 Z— P T
z T- г o
9-0 £— I
19-12
9 L -
0
8
2 — 7 I —
WWOTOmM ЙНП
v = <O zq
q — zn хэ I
э — xq
2 1 8 1
D3 = 1 - 0 - 3 2 9 - 5 - 6 2 = -21
1 4 0 6
2 1 - 5 8
Dt = 1 - 0 - 3 2 0 - 1 9 - 5 = 27
1 4 - 7 0
Яг^згмйж-ш
(л?! , SC2 ,Я73 , SC 4 1 Di D2 \ D' D A da_ ’ D’ D) (3,-4,-1,1)
(2) ж
b a 0
D = c 0 a = — 2abc
0 c b
Ж-М.ХЙТ
Dt
d2
D3
c a
b 0
a c
b c
c b
0 a
b a
с 0
О c
0
a
b
= a1 — ab2 — ac2
— b3 — a2b — be2
• 64 •
Ib2+c2-a2 a2 + c2-b2 а2 + Ь2-сг
\ 2Ьс ’ 2ас ’ 2аЬ
эд 22 га
Лл?! + Х2 + Х3 = О
5 х, + рх2 + х3 = О
.ЛГ] + 2/4Г2 + х3 = О
D = A 1 1 1 P 1 1 2p 1 (- 1)3+2^ A 1 A 1 0 1 1 1 1 P 1 P 0 = - p :a -1)
£>=-^(Л-1) = О,ВР А=1
р=о, &«Е, s a=i
№
ЭД 23 ffiBJHfM^ri^WP4-
ffi KAMnW^.flAWOr.ttAMW
Зиг wompo
A = PBQ = PQQ-'BQ
A1=PQ,A2 = Q iBQ,&^ А] Д fTOE|$,£OJ B2 = B W
A! = Q-'BQQ-'BQ = Q'B2Q = Q'BQ = A2
A=A!A2,BP a
ЭД24 1£И|^|$А№$йг,1ЕВД#&&йл-г$#|5$
• 65 •
В,& АВ = О.
/л о\
₽$ P'Qtil
г io о
R(B)=R g-’l т
— п~г
о о
О /„_
ЭД 25 ЙА Д п |5fi-W,|4|^0,W
А'.А-^ДЙ^М-
ЙЕ И*|А|^0,Й А ДрГ^^Р$,йй:^
АА* = А' А = | А11
ХййА-ДйМ₽$,£Ш#
(А-)7' =- А-
(АА* )т= (А* )ТАТ=—А* Ат= (|А|7)т= |А|/ = А-А
Й А ЧЖпШ А-п!Ж,й±^ИЙ1^адЖ(А-)-1йУ<
А7’ = - А
ВР А >Й^^|^,Д[Гп<(А7')7 = -А7 (Ч^ А1' •
ж
АА' = 1 = д-’д
й а тшчя
(АА“1)7 = (А-,)7А7 = -(А-1)7’А = /7=/=А^]А
ЙА«йШЖ
• 66 •
(A-1)7’ =- Д-'
04 26 Й
Ж SA>mXn^,flWA)=r,ttAMW
’1 0 — 0 0 0 О’
О 1 — о 0 — 0
... ... ...
в= О 0 - 1 0 — 0 (^г-^т)
О 0 — 0 0 — 0
... ... ...
.0 0 ... о 0 — 0.
WMP#£ т Mi£«P$ р W п lWj£$m Q,ti№
А = PBQ
— Еи + Егг + "• + Err
МФ,£,(/ = 1,2,-,г)Д-Ф тХп seimkoo i ft® i
?ОЙти^ 1 о,ЙJit#
• 67 •
A = PBQ = P(B„ + E22 + - + E,X>Q
= PEnQ + PE22Q + ••• + PE„Q
= B, + B2 + ••• + Br
л^РЕийа^хл,-,>) ,хйй адо.о
Я(В,) = B(PE„Q) = K(E,;) = 1 (i = 1,2,-,г)
Г А г ф&Л 1 •
01127 ЙА.ВО п |5fr3r₽£,W АВ=О,%№
RCA} ф К(В) sCn
ii йл(А)=г,й^т»
0\
АВ - Р\ QB
о]
5№ЪАВ=О,&
/Л сн
Р \QB = О
1О ОГ
хал р чш ,±5Мй£я§ р-1 . w
4 о
о О
QB = O
(1)
^QB=
В.
В2
,МФ в, М rXn |5fr&P$,B2 Д(п-г) Хп
^»^0BRA^(1)W
lir °иВ1]_^ви
'о о/ (bJ~ [о I
&&5£(1)дай;(2),<
в, = о
Blfn чШ
(2)
• 68 •
□
тбЙОМ
IO 1
RCB)=RCQB) = R\ =Я(В2Хп-г=и-/?(А)
\ Вг1
АВ = О Bt ,w
Я(А) + Д(В)
0128 Й АД п Ю-ЙМОЛ:
(1) ЭДД А2 = /, Яр 4. RCA+D+RCA-I)=n;
(2) ЭДД А2 = А,Ш Я(А)+Я(А-/)=п.
ffi (1) й>7 A*=I,i№
(А +/)(А - 7) = О
Й0!|27 nj^,<
Я(А+7)+Я(А-7)<п (3)
Я—Л'®
п =/?(27)=7?[(А+7)-Н7-А)]</?(А+7)+7?(7-А)
= Я(А+7)+Я(А-7) (4)
ЙЙ5£(3)^ПзЗ;(4) ЛГЭД
R(A + 7) + R(A - 7) = п
(2) й* A2 = A,SjttW
А(А - 7) = О
27
RCA) + RCA - 7)<и
Я-#®
п = RCD = 7?ЕА + (7 - А)] < RCA) + RCI - А)
= /?(А) +RCA-I)
Й RCA)+RCA-D = n.
«129 ИЕВЛ : ЭД1Р: А Д п ^^f₽¥(«>2) , А* * А
• 69 •
К(А)
п, '%R(A}=n^
1, Я(А) = и - 1 В^
О, ^Я(А)<и- 1 Bt
ffi (1) /КА)=п В^.ДМ ДЖ»₽$,Д|А|^0,ЭДЖ&
₽$ а а*
АА* = А*А = | А\1
ад A’SpH£fc|$,BWW
К(А*)= п
(2) Л(А)=и-1 8},W|A|=O,@jltW
АА* = А'А = | А |7 = О
ЭДЯЗЭД 27 йШт£,<
/?(А) + 7?(А*)
BP R(A’X«-R(A)=n-(«-l) = l
Я-ЖЙШЙОШад,А Eft
A*^O,SjttW Л(А* )>1,^±^pJW
7?(А*) = 1
(3) 3 R(.A')<n—l В},Й£Р$ЙШЮ£ЛЧ^,А
а'=о,ш^
R(A"> = О
00 30 ЙАМпН?^,ОАЙ#»А-Й£А*
= A'r,W А .
ffi
АА* = А*А = | A |Z
й.тЕ,®1# А ^пШ»й<|А| =о,й±^;й^-(4 A* =A'r,W
АА* = ААТ = IА\1 = О
Of? А %
• 70 •
= О (>= 1,2, •••,«)
1=1
ЙС aA — aj2— •••=aJ„ = O (j = 1,2 , ••• ,и)
а=о,5 а > п а дта$ЕР$ •
ОД 31 ЙДЙ-фиОР?.» Л IА| =1 ,А7 =А-1,
®ВД /-АЮТЖ» •
ЙЕ ЙЗ? Аг=А-!
А47' = AA~l = I
Hjltw
|Z — АI = |АА7’ - А|
• 71 •
= |А(А'Г - 7)| = |А||(А - Z)T|
= |А — Z| = (— 1)”|Z — А|
= - |Z — А|
0fUZ
|Z — А | = О
SffifйШ l-А .
ед 32
(1) IА|^О,Ш(Аг)-1 = (А-1>'г»
(2) АЛО» ^TO£IMJ(AB)’==B'A';
(3) {АГУ=(А'У-,
(4) | A | =7^0,$!] (A*)~’= (A-1) * ;
(5) (—A)* =(-l)’-,A* ;
(6) ^lAl^O^yCAO-^CA-’/CZ^g^);
(7) (ЛА)* =k"~'A'.
iiE Cl) H*|A|^O,0fW А AA-> = 7ffi&
iwm.o
(AA~l)T = (А-'УА* = Г = I
Йта^^Й^йГ^ЛА^-^СА-1)7’.
(2) Жтда»Й£1ШО(АВ)*(АВ) =
|AB|/,3-2T®,W
(B’A‘)(AB)=B'(A*A)B = B'(|A|/)B
= |A|B’B = | A |\B\I = | AB |Z
AWW
(AB) * (AB) = | AB 17= (B * A' ) (AB)
да а,в » n gfr. ffrw (ab)^те,м±
cab)-*,те
(AB)' = B'A'
(3) йл A %
• 72 •
а11 а12 “* aln
а21 a22 *** й2л
_^и1 &п2 *** ^ял_
a-лт %
•4ц -421 ••• Ап1
412 А22 '" А„2
А =
_41л А2„ ••• А„„
Ли а21 ••
Аг = а12 а22 •• Йл2
••• ••• •• •••
Я 2л • • алл_
ПГЖЖ Аг
4ц 4]2 ••• Аи,
, .т. . 421 А22 ••• А2„
(А‘) =
4„i А„2 ••• А„„_
Н:&пШ(Аг)* = (А’)г.
(4) а* | 4 | ^0, &Т UZ 4ОЙЖЙ 4-4= |4|/,<
4" = |4| А-1,
(4-1)* = |4-’|А = т4-[4
I I
й 4'(А-’)-= |А|Д-1-|^|А = 7
йШ(а-)-1=(а_1)*.
(5) #ТЮЛ(3)^ШЙ№№ А,%
73
а12
Й21
агг
— а г,.
(—А)' =
a«\
’(-D’-'A.i
(-1)"-’A12
ап2
(-1)"-’A21
(-1)Л“1Л22
^nn_
- (-ly-'A,/
...
(6) @*|А|^0,Ж1Д А
(A')-’ = (AA—A)-’=A-’A“1—A-! = (A-1)'
(7) 3miEHJ(3)^thWW A,<
Ла л
Ла2]
kA =
^a12
ka22
kax„
ka2„
ka,
ka„2
ka,
- А =
(-l)-’Aj
= k"xA'.
0|J 33 ® АЙ«(я>2)^|^,(А*)’Д А ЙШШт А-Й
(1)
(2)
ffi
(A*) * = | A|"-ZA;
|(AT |= lAl'-1’2.
(i)
A* A = |A|7,(A* )* A' = |A* |i
MTTff w
AA-(A-)- = |A|(AT =A[A*(A-)’]= |A*|A
• 74 •
• sz •
*WW У^Й4‘0тЧу| “ fy ^0 (I)
-“"» ... г“р t“ET
= V
"zv ... zzv IZ»
_“» ... г1» иг?_
$ an
•Y±#№¥M-y (г)
Ww (I)
:№
•г„_„,| VI =0= | .(.У)Ю№£
г<1-«> I У| = i-«l .У| = I .(.У)|
Ж<±‘0ЖЖ1 = 1 .у|^К1ЙГ‘о^|у1Г1й|‘^1!1 v%
«I .y| = I/I .y| I =
I,(.y)| I .y| =1.(.y).y|
l\ .y| = .(.У) .У & (2)
уг_„|у| = .(.у)
]Ш‘о=-(.У)
i ±йад±Ч/$ВД.у*ад бг IW‘o=|y|IM‘M±y £
уг-„|у| = y^L = .(.У)
^¥±*t-»|y| = l .У| >К1Ж‘о^|у| Ж'ЖХа. у %
«IуI = Izl IуI = Iу11 .У| = 1у.у1
11 у i =у.у #
a=^0.
(2) 13: ст, ^Zjs A i A i И ,<?, <гК^-<й.
№Ш>^М
A = (ct1(ct2, •••,»„)
A-1 = (Д,Д,-.,Д)
I = (elte2,— ,e„)
Й A-1A=Z nf3®
A-1A =A-1(a1>a2, — ,a„)
— (A’ctj , A-1az, •••, A-1cr„)
= /=(e1,e2,-",e„)
ALrFffW А~х^ = е^1 = \,2,--
A-’o^H- A~'a2 + — + A-1cr„
= A"1 (<*! + a2 + — + a„)
= et + e2 + ••• + en
76
’1 ’
= (Й + A + ••• + A)a =
-1 -
S ffnW
A + Az + •" + A
2. й A,B^n ^пГй4±-₽?Я|А|=5,Д1ЛА-Ч=,
I (A'A)3) I =, | 2A | =, \B1AkB | =
• 77 •
з.
а1 а2 «3 а4 а5
^2 ^3 К ь5
С1 сг О О О =
iZj 64^2 О О О
ех ег О О 0
4.
’1 с - 1 - 21
2 - 1 2 3
А =
3 2 1 1
л - 1 3 5_
Ж А ______________________
5.
Л?! + 2х2 = О
3^1 + 2кгг = О
л=___________
(Л)
(В)
а2
ab
ас
а2
ab
ас
ас
Ьс
с2 + 1
78
• 6Z. •
О = + ») + + 'x~ —'
О = е-П + г-*(£ — ") + ’*4 — ►
О = Er + zxp 4- lx(g -J- v).
)=РЖ -s
‘к2^Д «7) (О) ‘V (ff) !V|V| (V)
•( XSra.v
•оса) «г(з) ч-(н) !w)
V I I
0 = I r I
I I r
O(
)=Y £ •£
•"V"'»„+,(!-) + •••+гуг’»г+,(i-)+1 v”»t+;(i—) (a)
t “.y»’p_|-----1- гуг'»4- lyi't? o)
t I - ) 4---------------H Z'7VZ'»Z( I -) + "/V'^iC I -) (H)
----|-г'/уг’»+1'/у1'г’ (y)
)=v №f‘^±W Wp
• 08 •
‘ <A+ [_,A-r4- ••• +^'t-K-r4-u-r=
{ ... 0 0 0
<27 <-1- X 0 0 0
••• ... ... •I
0 0 < + 27 I 0
0 0 <27 <+27 I
0 0 «—I I —M — 0 'ЙШ 0 0 0 <+27
0 0 0 0 U {—и uv—x ... £t>— г- г о 0 l- I £ Z l zn— — =“a •£
“P— ... £p— X “V— ... eP — "V — ... Ep — 2(S+P) г(г-+-Р) Z(£+J) z(2+-7) z(£+9) z(2+9) г(£+*) ,<£+*) IIs? Su a III t-0 M \>J » 5 ft ~ -4\ z~\ z-\ z~\ *—|l о ЧН । । । ± ± ± + s Ь p. й V" 4'-/ •• M tsj N fO rsi =“a-z =fa -i М4-ГН
’£ (СТ) l-Z- (Э) Ч (Ю
1 +<2i 1 1 ... 1 1
1 1 + «2 1 ... 1 1
1 1 1+<2з ... 1 1
2. ... ... • •• ... ... ...
1 1 1 ... l+a„-i 1
1 1 1 ... 1 1+а
= а1а2’ ••а„ ( 1 + Si) >
Rd + АВ) + Rd — АВ) = п
ЯФ/MnW»
гз+^т?о^Ж:
1- ЙА1« 1^т,ЯШМАА7=7^|А|<0,Ж|А+/|(&
ф/ъ вний^йо.
2.
112 3
1 2 - х2 2 3
2 3 15
2 3 19-х2
1-
Х1 +хг +х3 +х4 = 5
xi + 2x2 —х3 + 4х4= —2
2xj — Зх2 — х3 — 5х4 = — 2
Зх4 +х2 + 2х3 +11х4 = О
• 81 •
2.
'Zr1+j72 + 2^3==0
< j?1+Ar2+x3 = 0
.Л?1+д72 + '^3 = 0
•
82
(Archimedes, ^5йтГ287~ШГ212)
#ЯЯ**ИЖ=&даКЛА1Й»^£.
рвтжвм^й—ЙАХ^Ж, |=Ш£Т№ЙЙ:1ЙЙЖ.
ФЙЛЕЙШЛКЙЕКЛЖШЙ^Ф^, )з#0£!№й<)&£ . fittftSEJSili
р*«*$вйшж. jousts
3?wta<m*££«
#Ж (Plinius) •
жш&т&шйз-й-®. ййтж#жийшя. аж
«Ь (Cavalieri), Й Д (Fermat), Ф®
(Newton), Ж^/g^ (Leibniz) ВЙЙМ” И
®Ж^Й^Й1^^АЖ^^ЖИ^ЛЙ№АЖЯ®Г^ЖЙ«-1Д,ЖЙ-Е
МШ»ДЙЙ$П.ЙШЙ.,
№йх}Мй!®^й1{*Ш1йй£Ф, &жтшп^т«#»*Фашй5
<Ий«11)>,
tt>, (ЙЙЙ^МХ «Й;КШ 3-
₽51ЙЖ«ёЖ>*#11Ж^АЙЛ^Ж-Й№^Жй<А№^№Я|5^ЙЛ
Ж^-^Л*^ШЙ1ЛЖ®ЖЙЛ,^»^15Й>Й1ЯЛЖ*ЙЖ«ЕВДЛ*
%т£- Й^ЕЙЛЙ.:
“Я££»й££й, ЙЙСЙЁ®ЙЙ№«. ”
ИЙЖЙЙ«#Ф2ШШ^^&ЛШй$ЗДЙДЛТАъРЛЙ}1
а&, tfiA-w^s.
И»*ШЛ—№Жйай#
• 83 •
мйт-тт**яйтш. й«й?§елфджй
жшп?: “шпдёЕй^я&’^&шьяйя®, ар№»Фка<пю»
я, яшч)йа<памжя^£«ж. ®ж«йт^¥ёА1”
(Beii) й= “вга-ош»*ы*=Фж#*й<1
£Й®ЙИ«*Й.’’£ФЕЯ:Й31Й: “ТЙ?ТИ8*Й
84
1. .
2.
з. ^^йв>ж^й*>^й^^й^шай^йд^ша
Й^Й^Й*ЙЯ,#ЖД^^ЖИЙ*Й*Й-^®Й.¥^ЙЖ
®,t^Wffi2^i^^|B|g •
5. Я^ЙИ^@Й«Е^,ТВ^Ж-^Й®Й^@^ЭЖ,
т^^^ш^ш^ади^йжм^т^т^шадиаш^г
6.
&й£ •
-. 1*1
1.
(1)ЙЖ:В£<*/ЬХ<#ЙйЖ^йЙЖ(£Ж),М1еЛ
а ^а6.
(2) Й>Й^^:-&а!,а2,аз ^7ЙЙ а ЙНф^^Й±Й&
^»ЖЙ'^ЙЙй11Ч-а2/+азА: ^/ЙЙа ,SM a = ayi
+a2J+a3k,^. а, ,а2,а3 ^/ЙЙ а Й^Ш.ТЙ^? а= (aj ,а2 ,а3).
• 85 •
II а || ,т£а=
(ai ,а2,а3) ,$!]
II а II = л/а? + «г + аз
S II а || =1 || а || = (Ш,^а^Й
0,•
(4)|йЖЙ^Й:Й,^Й&Й:Й<в
4йЛ а,fi,у,!ДШ <*,р,У ^J|p]> а Й^|п]^ ,cosa,cos/?,cos7
ЙЖ а а= («1 ,а2,а3) ,ЯУ
cosa = —- -Q1— — . cos/? = —-—z=~==
Va? + а| + <a| Vaf + а| + a|
Vaf + a^ + a^
Д cos2a+cos2/?+cos2/= 1.
•
2. # й§ 44is.%
(1) jffl Sfe ¥ %. j&j > й5 ЛИ Й -Sg M j£ ft Л M ± П ¥ ^7 И й Ж
ЙеЖ(зЕН^ЖЙЛ)а= (ai ,а2,а3) ,Л= СЬ. ,62,63) ,Я0
а + b = (а! + bi ,а2 + Ь2 ,а3 + 63)
(2)^-^ЙЙЙЯё^:ЙЛ^^,а^Й*,Л^а
Ла,Ад || Ла П = |А| || а || . S Л>0 0^,Aa a R1
Л<0В^,Лд-^аЙЙ,Йа=(а1,а2,аз),Д!|
Ла = (Aaj,Аа3,Аа3)
3- i»j i? 6$ &
(1)Й1ЙМ«:Й1 а 5 b • Ь.
а • b = || а || • || b || cos<a,Z>)
ini*wa*^mM£&w^#ssw,gP:
• 86 •
a • b = b ' a a <,b \ c) = a b \ a • c
Й a= («! ,az,a3), b — (6j ,62,63) ,ДО]
a • b = axbx + a2b2 + a3b3
, 1 x a\b\ + «2^2 “1“ a3^3
cos(a,o) = —--------------—.........=
V al 4- a2 + al b\ + b'l + bj
-z»=o,gp
аД + a2b2 + a3b3 = 0
й.МЖ II a Xb II = II a II || b II sin<a,ft> a,b
a X b = — b X a, aX(J> + c)=aXb + aXc
Й a = («! ,a2 >a3) >b = (Z>i ,b2 ,b3~) ,ДО]
i
a X b =
ai
bi
J к
аг аз
b2 b3
a -fej b aXb = Q, BP
ai _ a2 _
6i b2 b3
X II aXb II « a,b Л4РЙЙ¥=1тИЙМЙЙ •
(3)|и]<Й]]Ш'й’^Ц:[и]<а,Л,С —
[а,й,с].
[а,6,с] = (а X Ь) • с
Й; а= (<Я1 ,а2>«з) <Ь= (bi ,b2,b3) ,с= (cj ,с2,с3) >ДО]
[а,Ь,с] =
«1
bi
с,
&2 ^3
6g 63
сг Сг
Й1 ЙШ'д $1?йлЁ.Еа,й,с]= [й,с,а]= [с,а,Ь]. а,Ь,с
• 87 •
4. -f-
А(х — х0) 4- ВСз» — >о) + C(z — z0) = О
ЙНтс-it^rg Ах+Ву+
Cz~bD=o й®ЖаЖ¥Ж,«¥®|И)-#5иг?8,МЙЙ* п
= (А,В,С).
(3)«gg^M:¥ffi£ x,y,z ЙИЙЙЕ^Л a,b,c(abc
*+£+г=1
а о с
5. ЙГвТАМ^^-^
® :Й^ (ло,л»л)» Й^Г|в]ЙЖЛ s=(jn,n,p')
х — х0 = у — у0 = z — z0
т п р
х = хй + mt, у = у0 + nt, z = z0 + pt
(3) Л1х+В]3>+С1г4-Р1 = 0 А2хА-
B2y+C2z+D2 = 0
(А]Х + В,у + Ctz -f- Dx = О
[Л2л: + Вгу 4- C2z + D2 = О
6.
-AtxA-513/4-^24-Di = О,«j
n2:A2x+B2y+C2z+D2 = 0,fefojit%) п2
• 88 •
О % Ki я2 >ЙО
.____«1 • пг А1А2-\-В1Вг-$-С1С2
11 11 11 ”2 11 Al+Bl+ClV Al+Bl+Cj
А, В, Сх Dy
*1
’г1^’Г2Жи^Л2~В2_С2!
Л1 -^j л2 Ы&А.А.+В^+С.С^05
*1 к2 «2 •
(2)й^±5й^й*Язмг^Ж:
Ж^5 Л i~-^~ = ,y „ ~У'=~ . ^~’ Af, (ЛГ1 ,yltz1'),S1 = (.m1 ,ni,
»h nx p\
P^W/Wh ±WWi ЙШЙГ
Ж^ lz :Х ^г = п^2 = ~р^~ > M2(x2,y2,zC> ,$г = (тг,пг,
Рг)^^ 1г l»J*,0 % 1г ,Ж
_„„Л «1 ’ «2 _ "21^2 + «1«2 + Р1Рг
~ II II II »г II “ / 2Т~2^А2 / 2^ 2^ 2
Vт\ + п\ + р\ \ тгг + пгг 4- ргг
1\ /2 Т^тШ^Ж-д <=^i s2 ¥?Т Sj s2
?7f
Л -5 1г ЖЖ^Si s2 -,
11 1г ЖЖ<^"г1"г2 + я1И2+/>1/>2 = 0;
Л 1г S2 Я'^ИТKCsi,S2>A/iAZ2] = O;
li 1г ^ffi(ffl^)<=^r«i»s2,AM^]#0
(3)1^^ТЙЙЗ«ЕЙ|ЖЙ1^^
ЙЖ^¥®Й*Жй
/ х~хп у —Ун ъ — *й
Я:Лл:+ВуЧ-Сх+В=О,й!]
• 89 •
• a _ I ” I _ ___________I Am + Bn + Cp |_____
Sln “ h II II n || ” /Д2 _|_ B2 + C2 ^m2 _|_ „2 _|_ ^2
I -4j я я j2<=>Am + B«+C/) = 0 {H A.ro+Byo+Czo
+D^Of
I л Jt-p <^Am->rBn+Cp = Q Й Ax0-\~ By0A-Cz0-\-D=Q •,
, t= ж* B C
m n p
7. AS'J^F-®,Д
^t5?-® ‘K'.Ax-\-By-\-Cz-\-D=Q,M0{x0,y0,z0')^3 я —A»U>J
A ма W® я йВЁЖй
д _ I Axq 4~ By,, -|- CzQ + D |
/ A2 + В2 +C2
(2)АМ!]Ж^И1ЕЖ
SO/:^ = ^ = Z-^, м^у^УЪМ!.
^,M0(x0,y0,z<>)^^ i Я'Я-А’ЭДА м0 siJM / ЙШЖ;
, _ II s X М0Л^ II
II S II
8.
i j k
|| w n p II
___ У1 ~ Уо Zi — Zp _______
Vm2 -\- n2 -^- p2
: Ai-r + B^+Cjz + D^O
Я2; Агх + ВгЗ'+Сгх+Р] =0
A1x+Biy+Ciy+Dl+X(Azx + B2y-\-C2z + D') = 0(3£;ty Л
if ЛОО
н. a gy эд
m гнтф.нтс
90 •
(Л) а • (йХс)=а • (сХЬ); (В) а • (.ЬХс) = (а • Ь)с;
(С) а • (Z»Xc) = («Xh)Xc; CD) а • (ЬХс)=(аХЬ) ♦ с.
Й а= (<21 ,а2,а3) ,6 = (Z>i ,62,63) ,с= (ci ,с2,с3)
Ж й Й i+» Ш ЛЫ Я:
а • (6 X с) =
«1
&i
<4
(22 <2з
ьг ьз
сг сз
= (а X Ь) • с
Й(Г»)1ЕШ •
Я 2
(1) || a+b || = || а || + || b || ;
(2) || а+b || = || о || - || ЯЬ '
(3) || а-\-Ь || = || а—b || ;
(4) (а+й) • (а —Л) = 0.
1Й (1)
(2)
(3) УМШ.Йа -й = О,Ж
(а+Ь) • (а+/>)=а2 + 2а • Ь-\-Ьг
=а2—2а • b+b2
= (а—Ь) • (в—Ь)
(4)(а+*) • (а-й)=а2-й2 = О,ЙР а b М(4)$
ОДЗ А,В,С,D,АВ
=а,лЗ=й, (л,*> = 4’ЮЙЙЙ а,Ь
О
91
£ Й C AD D__________
AB ЙИ E ЛЛО /
10f >, a A fa'_______Л
„ A a E
Ё2 = -ру II* II
u к । BB 3-1
сЗ=с£+ЁЗ = 1Ч-а-*
II я I
вг_яг_гг=1Ц4А1о
II a ||
Л?=А$+вб= 1Ц ~ 1Ш1 a+*
II я II
n£=A£-AZ5=a—*
0'J 4 ^Й*^гМВЛЖ@±Й18иМ11ЙЙЙ1 •
ffi (inЙ 3-2
^ЬМН/ОМЖЙьйР®
а61_аЪ.
ед дб • a£=o
a, A (rc,y,0)
B(2a,
о,о),л6=(-л-,->,о),а5=
(2a— x, — y,0~) , Л
(a- - a)2 + y2 = a2
BP x2+y2~2ax = Q.
^.Аб • a5=—x(.2a—x)-]-y2
— x2+y2 — Zax = 0
ЕР А(5±АЁ
№Ю15±ЙЕ1ЯЙ1ДЮ •
Я 5 a xoy,yoz,zox
0,ш,^ coszfH-cos20+cos2a> ЙШ •
• 92 •
ft?
a + 0= = —
Й cos2^H-cos20+cos2<u
= cos2^ — — /) 4~cos2( -^-—«j +cos2(
= sin2a+sin2/?+sin2/
= 1— COS2«+1— COS2/?+l~-COS2/
= 3— (cos2a+cos2/?+cos2/) = 2
0|J 6 ЕЙ II a || = 2, || b || =2 /Г, II a+b || =2,^ a 5 b
6№+ffi<a,b).
ft?- Й1Й 3-3
a+b-
ЙЙ1ЙЙ№Й
(a + ft) ♦ (a + Z>) = (a + ЬУ
Ш II a II 2+ II b II 2+2a • b= || a+b || 2
Й a • b=— 6,Ж
, a • b -/"з"
cos(a,6) - ||fl)| ||M - 2
<a,6> = -|-n.
ft?— ЙЙ>ЙЙ1Ш&^&^ЖпГЙ:
93
cos{a,b)~ — cos [я — (a,b)~\
(2 ZT)2 + 22 - 2
2 • 2 ZT • 2
6
00 7 АЖСЗа-й+с) X (b+c)] • Ca+b-2c).
Ж ®^=(3aXft-3aXc-2ftXc) • (a+ft—2c)
= — 6[a • b • с] + 3[а • c • ft] — 2[b • c • a]
= — 11 [a • ft • c]
00 8 a=(l,l,0),ft==(2,0,2),|»J> c a,b
Prjac=Prj»c=3,^ c.
® $£ c = (x,y,z), Й a,b,c 110 =O»0#
2 0 2
x—у—z = 0
X || a || Prj‘c’ || ft || -Pri»c’<
x + у = 3 ^2 , R x + у = 3 S~2
&M.L:x.£.ffi№,c=(x,y,z)=(2 ZT, ZD.
00 9
(1)ЙД Л/0(4,-1,1)Д-^Т® 2x-7y+4z + l = 0 TO;
(2)ii = A Л(4,3,2),В(1,1,1),С(2,3,4);
(3)ЙЙЛ1»(0,-2,3)т^£р=^=уО!
(4)-^ Л(3,5,-2) ,В(1,- 1,4)ЖДОЙ0^&Д6Ш& •
2х — 7 у + 4z + D = О
№ Мо(4, -1,1)D = -19, ПШЗ
2х — 7з> + 4z — D = О
(2)ВЛ=(3,2,1),в5=(1,2,3)
«¥®йЙ;ЙЖ^вЯ,в5^М •
ВАХВ£=4(1,-2,1), ЙШ п — (1,-2,1),0г^<¥®^@
л
а - 1) - 2(> - 1) + (г - 1) = О, BP х - Чу + z = О
(3)ТЖ«^М,ВД¥®Й&Й*ЙР#Ж^Й2ГЙЙ>,
iK«=(l,3,l),JW¥®#®<>-O) + 3(> + 2) + (z-3) = O,BP
x + 3j'+z + 3 = O.
(4)®- вр^ А.в^йОт.йТОлв йФ
ОЕйШйГ
АВ ЙФА^ШЛ Л/0(2,2,1),вЯ=(2,6,-6).
U-2) + 3(>-2)-3(z- 1) = О
ВР л? + 3з» — 3z— 5 = 0
<й~ й M(x,y,z)M^±.ft-ДЛЯ II МА II = II МЪ II ,
Й
(х - 3)г + (у - 5)2 + (z - ЧУ
= (х - I)2 + (у + I)2 + (z - 4)2
хУЗу — 3z — 5 = 0
ЭД 10 Й Л(-1,3,2), В(0,1,-1), С(Ч, 0,1), МЛ^|в] —
М-АВС й Wx* 2,^мтм •
^А®^Й^,ЕР^И®^^ЙА^
ЙМа,з-,г)Л!]А§=(1,-2,-3).
А?=(3,3,-1),АЛ/= Cr+l,y-3,z-4).
W I Ел2, А^, | = I - 7х-8>+3z +111 = 6V = 12
Й м ДЙШЙЕ^?:
lx + 8j- - 3z + 1 = 0 lx + 8> - 3z - 23 = О
«И -¥®ММо(2,1,-!),.§.£ >$Й±ШЁ#
• 95 •
^+^+-=1
2 1r
B¥®i±A MO(2,1,-D,)K^ Mo
— + — + ~ - = 1,C = 1
2 + 1 + C 1
Ш¥Й^8^|Ъ+г= 1 ^+2>+2г-2 = 0.
ft?-
Ax+By+Cz+D=0
W¥®±^(2,i,-D,(2,o,o),(o,i,o)ift4!4T<tA,f# .
В =- D
2A + В - C + D = 0
2A + D = 0
В + D = 0
x+2y-\~2z — 2 = 0.
ft? = Bj£ А(2,О,О),В(О,1,О),Мо(2,1,-1)Й0Т^Т®
±,WWM
n = X А1ЙО =
j
1
1
k
0
- 1
- 2
0
= (- 1, - 2, - 2)
Й^Г^¥®^‘@^/(^-2) + 2з'+2х = 0.
0'J 12 ВЛЖ^/1:£^ = ^ = ^Т^/2:£у^ = ^
z
1 ’
(2)#i± /, ЙЛЧтТ 1г №1Ш .
ft? (DA A(1,2,3),Z2 В(-2,1,0),ШВА =
• 96 •
(3,1,3),ХА = (1,о,-1),/2 s2=(2,
1,1),Si s2
0 - 1
1 1
1 3
[s1(s2,B^] =
= 3^0
й/i
(2)Р^¥ЙЙЙЙ1
n = Sj X s2 = 1
- 1 = (1, - 3,1)
1
2
ХТййЛ(1.2,з),даТ®Ж
(x - 1) - 3(3- - 2) + (z - 3) = 0
BP x—3j’H-z + 2 = 0.
13 AffiX,ЙФ:
. x — 5_y+l_z— 3 , x_y+2_z+2
i: 3 - 1 2 5 2 : 1 “ - 3 “ A
«- Й /j 5 Z2 ±ЯЯ!|^-^,М1(5,-1,3),Л/2(0,-2,
-2),Xsi=(3,-l,2),s2=(l,-3,A),g^/1 Z2 si,
3
1
5
[s1,s2,M3^1 =
- 1 2
-3 A = 7- 15- 8A = 0
1 5
W A= —1.
/t Jg Z2
I jx + 2y - 2 = 0 ly + 3x + 2 = 0
1!\2y + 3 - 1 = o’ 2’\Xy + 3z + 2A + 6 = 0
J? 4- 3.y — 2 == 0
2y+z-l = 0
•3'+3x+2 = 0
• 97
Ж-Ш х= — 1 »3'=1 ,z = — 1.
ЭД 14 Л1 :Jr+2j'—2z + 3 = 0;7t2:3j: —4jz—1 =
ОЙИ^Й¥Жё.
Я1 тг2
l-r + 2> — 2z + 3 | __ | Зд: — 4у — 11
712 + 22 + (- 2)2 ~ /З2 + (- 4)2 + (Я
МЩИ# 2х—lly+5z—9 = 0 1х—у-5z + 6 = 0.
ЭД 15 = =
2^-j/-z + 5 = 0 I'.
»- 1ШI ЛМПИВ^Ж I М
(-з,1,4)^Т¥® * )WM М' ,Ж М'n
g-ЙМ «Т *
х = 2t — 3, у = — £ + 1, z = — i + 4
W#M@RAT® ^Л#/ = 1,ЕР WO® я±№&12
AjAj(-l,0,3),jIt^^M^ М'ЙФ£,ЙМ'Й«#(1,-1,
2),A/W=(1,3,5).
X ~ 2 = у — 2 = Z — 7
1 3 5
@ s./ns'H®*^® ,Д n S,S'tf)^ffi^,EP n Й
S II s' II = ||s || ,|J(s+j')//B,®s'
= (гп,л,/>)»Ж5=(5,1,3)»я=(2, — 1» — 1) ,И
• || s' || 2 = m* + n2 + рг = || s || 2 = 35
' 5 + m = 1 + n = 3 + p
2 - 1 - 1
^1^Cm,n,p) = ( —1, —3,—5).
I'H I -5 л jr = 5z-3;> = / + l;z-3z
• 98 •
+4 RA-F® ’гЛ#
2(5/ - 3) - (t + 1) - (3t + 4) + 5 = 0,t = 1
I я М2,2,7),|ЩШШ®/'Й
.r — 2 _ > — 2 _ z — 1
F~ - 3 ~ 5
04 16 i££|0]0^:/l(2,- 2,1) >.8(1,4,— 1),C(1,1,3),
D(-1,5,3),M А,В /рЙ C,D h-
(1ШЙЙ Л,IW Л й¥® я W^fgi
(2)мд с ®т® я ?1юо н й^^да
СН Й&;
(з)ШЕCH №&CH^Th Р да 1г
Q ЙЕЁЖЙДФШ •
Й¥(1) Й^З-WWA Л,втл^О/1.й¥й>г
Ах + By + Cz + D — О
Ж 24-2B+C+D = 0
X + 4B-C+D = O
ХМ/2 ЙЖЙЙЙ«2=(1,-2,0),/2-^ яМ.Й A-ZB
+ОС=О,ЙШ±Н'№ГШ#
А = С = 2В, D =- 4В
2x+y+2z-i = 0.
(2)ЙСММТяйЙ^ё
-г — 1 _ у — 1 _ z — 3
2 - 1 “ 2
А1'вЦЕЖ^Л(-ййТйАЯ1¥®ЙШЖ^):
• 99 •
№ н - y’I’v) ’^=Т
(3)S CH ЙЖЙЙЖ s=(2,l,2),MW CHL^CHlh,
BP CH * A,z2 1уЛг +ЖЙМВЕЖ •
fW 17 i±^Mo(-l.l >-1)4те TTi:.r+z+2 = 0±#—ж
^,®/^Йя2!х-^-1=0^ЙЙ .
(х — mt — 1
л у = nt + 1
L = pt — i
i й¥® ±,м.>тао *1
mt— 1+ pt —1 + 2 = 0
Ш m -\-p = 0.
Ш i Й^Й}^ о,Ш
sin(9= *(1> ~ 1’0) * (w>”>/>>l
У12 + (- l)2 + 02 • -hi1 + n2 + p2
_______|ти — n |_ _ -/~2
•У~2 • Vm2 -\- n2 -\- p2 2
[m-\-p = Q
[ | m — n | = -/m2-\-n2-\-p2
S s + 0, Ш 'и = 0, /) = 0,72 Ж Ж ( +> Л 0 ) ги = — 2п, р =
X + 1 _ J2 — 1 _ 2 + 1 -Г + 1 _ 32—1 _ Z + 1
2 -1 - 2 5X1 О 1 О
I тг2 Й^СД М Ж *i я2
(л:+г + 2 = 0
(х—3—1 = 0
х = t ,у = t — 1 ,z = — t — 2
100 •
& М + Ct ,t — 1, t — 2) , ~F:S=M0M= Ct + 1, t 2, t 1) , 34
я2 $ 45°^ •
• a _ I ‘ ”z I = 3
S1 || И II «г IF 2 /Т /3?^Гб
Ш /=±1,Л7^=(О,-3,О)^Л7^=(2,-1,-2),Ж^Ж^^
r + 1 _ > — 1 _ z + 1
0 ~ 1 0
-r+1 J—1 z+1
-2“ = *=T = ^2"
0lj 18 -t^/a.fi.Wo(-2,0,3)‘3 4:£5~ = 42 = 2T2
/2:у = i №2fS .
+ l,t-2,t+2),XM^f±s2,№.
(- 2t + 3,t - 2,t - 1) • (2,4, - 1) = OJ# t =- 1
м №MM(3,-3,i),zi±M0
, -r + 2 _ у _ z — 3
: 5 ” - 3 ~ - 2
«- ЙЛ/о ЙЙЙЖВР*
/2 2X + 4y-z + 7
= 0.
/ Й 7t±,Z -*3 Л м BP Z, Л, ЙЙД,>£ Z,
gw®*.:
2(- 2t + 1) + 4(z - 2) - Ct + 2) + 7 = 0,Ш« =- 1
м М(3,-3,1),О1^^ЖЙ I
г + 2 _ у _ z — 3
5 - - 3 “ - 2
№= Z& ±,iwzt№ii MoM^Z, И
• 101 •
1х + 2у + 3 = О
Ij» — z + 4 = О
о^те.й/.
(х+2у+3)+Л(у-г+4) = 0
№ Ма ftAW Л= —1»Й я2 ЙЖ@^1 .r+j'+z —1 = 0.
/ ЙР* Я, jg я2 Й^:
I fx + j'+z — 1 = 0
1 (2х + 4у — z + 7 = 0
ЭД 19 Й¥® я:2х—3j>—3z + 4 = 0 Л&МЙ /о
я Й£Ж Мо, Д Z±Z0, ДФ :
I (х — 2у — z + 7 = 0
|3х + з' + 2г— 1 = 0
Й?~
х — 2> — z ф 7 = 0
* Зх + у + 2z — 1 = 0
2л: — 3j< — 3z + 4 = 0
Мо(1,6,-4).
Х5о=(3,1,2)Х(1,-2,-1) = (3,5,-7),^г^Ж^/ ЙЖ
Й1 n,s0 ^8>,|fts=nXs0=(2,-3,-3)X(l,-2,-l)BPs
= (36,5,19),Ж12ийЖ»
х — 1 _ > — 6 = z + 4
36 5 19
№- ам0 Д^/0ЖЖй¥®ЙЙЙ*^(з,5,-7),^
¥®Ж@^Зх+5у-7г-61 = 0,/Й£^Й^®±,/ ВРЗ/№5
яй^. й/йЖ@Л
12х - 3> — 3z + 4 = О
|3х + Зу - lz - 61 = О
• 102 •
ЭД 20 T® ’'StT я1:5х-у+Зг-2 = 0,^-^ ЙЗЕ^е
хоу ®±,Ж я Й£® .
Ц& Й®^,я il я, хоу ®ЙХ^5 Л®
15х — у + Зх — 2 = 0
Л : (
U = о
Й¥®ЖЗГШИ я 5^-5-+3z-2+Az=0.
ЕР 5^->+(3+A)z-2 = O,X я^ тг, М,ф
25 + 1 + 9 + ЗА = 0, W^=-y
ЙС я 15л:—Зз>—26г—6 = 0.
[2х—у—г4~6 = 0
И 21 Й¥®я:х->4-г + 2 =
14л: 4->4-5г 4-2 = 0
о±й&»Ш£ /'.
М-
2х — у — z + 6 = 0
’ 4х + у + 5г 4- 2 ~ О
х = — 2
У= 1
z = 1
X ж=(2,-1,-1)Х(4,1,5) = -2(2,7,-3),аЖМУ s,s' ,п &
|й]—¥®_t»s'±«,®Bi s'lsXn.
Й s'= (sXn) Хп= (2,7, — 3) X (1, — 1,1) X (1, — 1,1)
= (-14,-13,1)
Й?“ /'й¥® я±,®^Ж^йЙ/Я®ЖТяй¥® я'
±,ЭДЛЗ¥®ШГ@,Й I Й1£-Т®Ж@*
2х — у — z + 6 + Л(4д: + у 4- 5г + 2) = О
ЕР
(2 4- 4Л)л: - (1 - A)j - (- 5Л 4- 1)г 4- 6 4- 2А = О
Х]Ж¥®Мя,&
103
(2 + 4А, + Л - 1, - 1 4- 5А) • (1, - 1,1) = О
ft А=-у,ЯУ 4.г-5>-9^+22 = 0.
Й»® /' :
I4.z-55'-9z + 22 = 0
(.г—y+z + 2 = 0
ЭД 22 +y=i №ЖЖ*у>,М^ +
1+1=±
I/'- с2 р2
ffi ЙЛЮ¥05Й<)ШЖ^ЧГ^
1+Х+2=Х
а2Ь2с2 р2
ЭД 23
ЖЪ Й Й * ,М Z
л/, SIJ / ЙЕЖ
НЕ 3-4
d= || М01й || sin<M0A?,j>
_ || s || || М0Л^ || sin(M0A^,s>
Ils II
II М.м X s II
II s II
га, a @
1- o=(l,2,-l),&=(2,2,3),|pjS c-*g в,Л^^Ж,Д
104
с • (1,1,1) = 2,Ж с =
2. ВЙ А (1,1,1), В (2, 2,1), С (2,1,2), Ж Prj^J
=, <А§,А^> =,ДАВС =,
3. А М(-4,5,6)^Т¥® 5л: —Зз'+г—6 = 0 М'
%
4. ВЙ1 а=(2,-3,6),6=(-1,2,-2),|ц]Ж сЙЙЖ а,Ь
II с II =3 /42,ж с =.
5. Й® 2.r2-/ + 2z2=-l МЙ0Ш
______•
—
1. Т®(А),(В),(С),(£>)ФЯ#( )>1Е^Й.
(А) || а || = || b II Ж а = Ь-,
(В)а • с=Ь • с,Ж а = Ь;
СС)(а+Ь) • (а-Ю = || а || 2- || b || 2 ,
(/))(a+Z>) X (а+й) = 2(аХ/>).
2. а,Ь || а+b || = || а-b || ,Ж®( )
Ша//Ь; СВ)а±Ь-,
З. я * А,В,С ^^Л,ОА = а,СЙ
= /3,О?=У,И = сгХ^+/ЗхУ + УХа,Ж®( )
(А)и//я; (В)л_]_7Г;
(С)<Я,7Г> = у; (С)<И,Я>=у.
Г A] = 0
4. вялЫ
[ A2x-\-B2y-]-C2Z+D2 = О
-Й^=^,ЖМ/Д( )•
(В)-*5 лгЭДЙЗС;
105
(С)йгША; (W-5 .г .
5. хг+уг 4-«2 + D^ + E3> + Fz+G = 0
ЭДЛ'Ш >
(Д)Л = Е = Е; (B)£>2 + E2+F2 + 6£> = 0;
(C)D2+E2 + F2 = 6G; (£))G=0.
Н,В&НД Д(2,2,3),В(-1,4,-1),С(0,2,1),^—Т
Ш.^^ДЛВС Of® * ЧЧт^-ВЛ П ЙЯЁЖЗ/ 4.
И^Й£Мо(-1,О,4),1ЛЙ^
z (.r-y + z + 4 = 0 _ i х - 1 = J, 4- 3 = z 4- 1
1! U + 2у 4- 3z - 1 = o’ 2! 1 2 1
miwur
Н,-Й Л(2,3,1),В(-1,0,4),Л,В ЙТ® n-.x + 2y-z + 4;
= 0 А' ,В' Д'В'Й^ё •
Я! -.х~\-у— 2z— l = 0,ffz:-^ + 2>—«4-1 = 0,
я3:4.г4"5з'—7z—2 = 0 .
-tлЙ II т || =5, || п || =3,<И1,«> = -£-,а=т + 2п
ft b=m-2n •
Л,4¥Их + у+г + 1 = 0
{y4~z~i~ 1 — 0
, „ п -^¥®ЙЗсА,Я-^ВЙ1Й^^Ж-
106 •
(euclid, ^^7ЁЙ>Г325-йТГ265)
к®, жжшалфйзт-ю, ^miiw^amt&jLasg
A. fiStKffiffiW. ®:ЛЖ1Йй«аЧЙ^Н:ШПЙЛ.
£-Гт, ®сЛЖ«-ЖйЙВи^»ЛЛЙ.Ж^«<П»Й№ЙА^
^тбЙЗОО^й^ХИЯЕЯШЛЗЙйда, &Ж№ЮШ£й*ЖЮ0ЯШЯ
&;Й£. ШП®Ж*5О№Ш£4И5Ф1М-ЖАйЖ^Ж^йВДАМШТ- №
^ИЯ^ЛФ^.ЯФ^ЙЖ^Ж^.
АЙЛМ&Д45 «ЛЛчЩзЮ
«Л{0ЦЖФ»ЙЖ>й^^йТ^ФЖЖЙЯР-^ЖЯ.^ФйЖЙЛ^
0rWЙ9ЙЯйЕ1сЛЖ18£1!ШВ£ЯА»Й, ttffilSWWSM. 0с
ЛЖЦй9»АЖ«{йТ®^й®^!На^ТЙЯ,#й45+№Т±ШЙ<)^^
Рй^.Й^й<»с^Я»^№Тд1ай9Й»(ЙЛ^#ВЙ6«)1№.Ж^
Фйя^Ехдай9^яй®«±й^-а-йЖ^й№А.
^уЕйневдш^т^зё. аад-жйд- «лнжф» д^йа±дмт®#я
й&лм(й&ж, Ш1ййл*{ш*тт&юй$.
<лмжзо й^л?А^№^#45±Ф, а
Й'ЕЙЖЖЙЙ- ЙЛЖ&Й&ШТЛ^ащда^11^Ж01»&£&.^1Ч
1й±Н .^«ЖЛТ^Й!ГЙ<)Л<»Г®»45,Апй#1Й.ШйЙйЛ<ПЙ<)й+г.Ф?Ш
АТ.«ЛМЖФШЯ#^5:^й;й<),^Ж®а^Й^#^^.'й»ЖТ1482
¥. «ДМЖА> в^ш
®т±^^®Ф.йтл1й«д»я®^#®, «дмжа» ьеяеж±
®, ЙЙ-Ф+^^ЖЙДЙ- iESjWnilt, ЙФ^НЩЦХ^, Ж«1Ж{ПА±
Ж»®-
• 107 •
£JEW, 14^
&^^ДЙ®Й^4>Ж^1й^В»'Ь4>Ж&Ш&1йГчИ1|£Жй-®ЖВ.
?4^±ИЛ^Жйс. ШШйГвП Я-
zfr®, ®>^iW#ffn^Jg=S.
108
1.
2.
з. Т1тйммж.ж£й1зшоя:
ЙЖЖ^^ЖЙ51Л^*Ж^ЙЙ^ЙЙ^&!
4. амйжшйй^^ш^йжжйайм^^^йй
-5 ft ММftZI'H] №%%,ggffl® Р¥Й W»-£ ftifflЙ9ft
^й^й^Жй^г^.^Ж/е” Ф1,ШЙ,^ЙЖ^1
MWOmft;
6. йй^г^теой^ой#^^!
8. .
-. ft § ш ж
l .n ^igj<
ФЯ5 i ai i Ф#> •
#t£*mt(0,0,-",0)mi»lt •
n 8 £js
SW •
• 109 •
2 .
(1Ж cr, ,cr2,---,crs,/31|5> n ШЙЖki,k2, — ,k, $>.
ft
P = kxaY + k2a2 + ••• + k,a,
V ДЙЖ1Й. ay,a2, — ,a, Д "Г Й a1(a2, — ,
а, Ж •
(2)Й ai,a2, —,<*» Л п klf
k2, — ,km {$Ш
+ k2a2 + ••• + kmam = 0 (4-1)
W <хх,а2,-,ат . ^^(4-1)^,-ftW
Л1 = ^2 = ’" = “ О
а},а2, — ,ат •
(3)й CTi.az,”'(сг1( — ,ап),Х=(х1,
ф/3 ДГЙ ак-.сг. ^tta^<=>AX = j9WM^/?(A)=7?(A),
МФ
©а,, ••• ,а„ <4^^«Л(4)<Я.
WS'J№,п ф п ЖЙ> сг>= («ь,а2>, ••• ,а„;) , (j = 1,2, ••• ,Я)^
ЙЙШ£)ЙШШМ?ТЯЯ
аи а12 ... Лщ
а21 агг ... а2. = 0(^ 0)
...
^Я1 4пг ... &пп
(1)ЙЖ^Ф<-^^ЙЖ^ЙЙ^,Ш^8ФЙЖ^Й^
• 110
4? ci 4? ц
ш Ж
id
tt
ь
A
mt/
33
ci
g
h
b
<3
tt
•5?
X
A<
ДГ
«И
4?
ci
o£
Ж
$4V
4?
:* g
- §3 f-i
а нН др
1
S
• m •
xv ОГЙН<-ед о=ху м&ф-ед q=xv ¥ °и »
• W
ед q=xv # Ь+5 q=xv^^‘Ш9=Х¥^^
адо=дт/£
'Ь~гй ргадад q=xv WOWIHU гЬ‘1ь ^.(g)
•даи^ГФМ
(V)U = (V)¥
q=xv
W&g'&’&'X-it# ‘9
•$
^WW¥4>B8W
ци«Ж o=xv Ш‘«>-<=(У)¥ W v o=at &
• £»ЖВД0=хусГ5‘---‘Т15ШИ
f^Km^WT-“‘T^^IaMW-Wo=xv(g)
:^ir»^$W-$o=AT
• #WWOO^»^W»i?i*o=xy
• o=xv W^=x WW o=xv К5
• «ед o=xv <Ф г5+15=х «ед o=xv T\5 ^(г)
•o= |vI o=xvl& «=««
ФЙ‘И>(Ю^ 1Р«й#^ед«^^^
о = XV
И = По + f (4-2)
BitUfaT ах=ь ЙМ£-^ n»,^ f ЖЖ'ЁЙ^НШЙ^ЙРЙ?
fa,5£(4-2)яШШ АХ = Ь •
(З)^ПЖ По ,f> ,&, ”•
М) йГ Ж Wzk$
П = По + + k2^2 + ’“ + k„_r£„-r (£) fk2 , "• ,k„-r G Ю
H. Д SJ 0|J @
0|J 1 ЗИШВДТ^М®ДЗН£Ю:
(1)ЭДДЙЖа а,,а2,— ,am а, ЧЙ cr2, —,
(2)M a,, - ,a,„ Д, - , Д„ 4Ш»£,Я|5£^
41ОГ] + ••• + Л„сг„ = О, &1Р1 + ••• + Л„Д„ = О
IWjftSl •
/И I О\ (0\
Й? (1)® СГ1= I ,ст2=1 1 ,cr3= I ,а1,аг,а,
{На, ^пТ№Й а2,а3^Й^Ж .
-фймй^&™-1 • {а^^дэр-^й
*,ж^^вд<£ д^тйя^ m-i •
/о\ /II /01 /01
(2)4- а1= 0 ’СТ2= о ’^= 1 ’^= о
41ОГ] + А2а2 = 0, AjPj + Л2/32 = О
^ = ^ = 0.
ЭД 2 МР^Ыау,а2,а3,а4 lWI4ta£,M,$W
Ж :
• 113 •
(1) 0= (0,0,0,1),а, = (1,1,0,1),аг = (2,1,3,1),а3 =
(1,1,0,0),СГ4=(0,1,—1,-1);
(2) 0= (1,2,1,1),<*, = (1,1,1,1),а2= (1,1,-1,-1),сг3=
(1,-1,1,- 1),а4 = (1,-1,-1,1);
(3) /3= (1,5,5),ОГ1 = (1, —3,2),сг2 = (2,-1,1).
Й? (1)Й/3=^1Сг1+Л2а2+Лзаз+/!1сх4
k\ + 2k2 + k3 — О
kl 4~ k2 И- k3 4~ ki = О
3£2 - k, = О
Л] 4* k2 — £4 = 1
4 — 1 1 2 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 - 1
1 1
0 3 0 -1 0 0 3 0 — 1
a 1 0 - 1 1J to 0 -1 — 2
ri 1 1 1 01 (1 1 1 1 ; 01
0 1 0 - 1 0 0 1 0 - 1 i 0
— 0 0 0 2 0 —► 0 0 1 2 t - 1
to 0 1 2 — 1J to 0 0 1 o.
й^ = 1,л2=о,л3=-1,л4=о,^гЫ
о
о
о
1
/3 - а. - а,
(2)й Р=^1СГ14-^2аг4-^зСГз4-^4а4,Ш
4- k2 4- k3 4- kt = 1
ki 4- k2 — k3 — ki = 2
k2 4- k3 ki 1 1
Л1 — k2 — k3 4- ki = 1
• 114 •
Sfr lik , у or, + - Y«3 - J or4-
(3)й р=л:1ст1+л:2а2,Д!|
а},а2^Ы&, .
0'J 3 ЙсГ1 = (-1,0,1),сг2=(2,1,3),сг3=(0>ЬЗ),КЯЯО
Й¥- i£
-12 0
А = (af ,а72 ,а3) =
0 1 1
1 3 3
E\A\=0,J%M а1,аг,а3Ш№%.
АХ = (а7' ,а2’ ,а'3)
= о
й |А| =О,0Ш АХ = 0 alta2,a3 ^1440^ •
м=
А = (а[ ,а72,а!3)
1
0
.0
-20
1 1
0 0
/?(А) = ^(а1,а2,а3) = 2<ЙЖ^^ = 3,0тЫ ах,а2,а3
• 115 •
0|J 4 ЙЙЙ /ЗпТйЙЖЖ ai,a2,a3, — ,аг .ШЕ:
СГ1,ог2, - ,аг •
ffi
ffi
Р — lial + 12а2 + ••• + lr<xr
>&±Й113и— sCRAJh— ЙФ, ЧГЙ Р КГФ ау,а2,— ,аг_,^Й^
Ж,^Ж • ЙсГг^Й а.,а2,-,аг_^^1Ц .
(2) 0 /ЗйТЙ ах,а2, — ,аг^Й^Ж,МЙ
Р — Л°) + ^2а2 + " +
Ф /ЗАШФ сГ1,ог2,-,сг.-1^Й^ЖЯ1^'<
1Г # О
А ^2 ^r— 1 I 1 о
а^=~ тга'-та>--------—а^ + т;р
ЕР аг ЧГШ а1,ог2,--,сГг-1,Р^ЙЖЖ •
0'J 6
(1) а1 = (1,-1,2,4),сг2=(0,3,1,2),а3=(3,0,7,14),а4 =
(1, -1,2,0) ,а5= (2,1,5,6);
(2) а1 = (1,4,11,-2),а2=(3,-6,3,8),сг3 = (2,-1,7,3);
(3) сГ1 = (1,0,0,0),а2=(1,1,0,0),а3=(1»1,1,0),сг4=(1,
1,1,1).
№ (1) №
117 •
1 о о
0 10
0 0 1
0г1Д а1га2,а, % а!,а2,а3,а4,а5
«3 = ЗСТ! + а2
as = ffj + а2 + а4
(2) -№
о
S [ffift (»1 ,а2 ,а3) = 3,Й аг,а2,а3 .
X
ЖД аг,а3 Л—
а2 = — «I + 2а3
118
, ,а2,— ,а„ •
^•••.а^й^Ж.адЕ;
(1) аг й faiUJl <Х1,а2, — .«г-^ЙЙЖ ;
Ж М <- b d за
Ь
&
Ж
ii
$ 3ft
/г о
аг = - Ь-а, - у-сг2----------------------+ тР
lr lr lr i'r
ВРа.йТЙ ау,аг,-,аг^,Р^^ .
ЭД 9 S«i=(bl>l)>«2=(1.2>3)(as=(b3,i)
(1) И t ^{йШВ^СГ^СГг’СГз
(2) t ,ai,a2,a3
(3) 3 tri, cr2, cr3 Й0t, $ «3 ЙО alta2 ЭД Й
•
№
1
1
1
1 1
2 3
3 t
D =
= t - 5
(1) ^*=5 0t,£=O,&0tai,a2,a3^W^-
(2) ^^5Bt,D^0,SBtai,a2,a3^&^£.
(3) Z=5 Bt,&
a3 ai Ч-2a2.
ЭД 10 В& at= (1,0,2,3),a2= (1,1,3,5),a3= (1,-1,
a + 2,l),a4=(l,2,4,a + 8),P=(l,l,*+3,5),M:
(1) а,Ь^^,Р^Ма,,аг,а3,а,
(2) а,Ь%№^,№а1,а2,а3,а< |Ш~Й^Й^Й5£?#
IS Й /3=./:[«!+x2a2+^3cr3+^4»,,ЯО
• 120 •
+i + хг + x3 + Ti = 1
хг — x3 + 2.r4 = 1
+ 3x2 + (a + 2)x3 + 4^4 = 6+3
Зл?1 + 5л^2 + -*з + (д + 8)^4 = 5
’1 1 1 1 1 '
01-1 2 1
2 3 a + 2 4 6+3
-3 5 1 a + 8 5 -
’1111 1 ’
0 1-1 2 1
0 1 a 2 6+1
-0 2 - 2 a + 5 2-
’11 1 1 Г
01-1 2 1
0 0 a + 1 0 6
-0 0 0 a + 1 0.
a=-l»6^0 Й9
«^-1
/Э 26 1 CL + 6 + 1 . 6 .
P ~~ 7++а‘ + ~a + l ai + ^+~1“3 + 0 • a4
01 11 тЙ®«Ш^ЙМсг1,а2.-.аг„^Й^Й^М®
• 121 •
о
'Н-
,b' V : V
ЧТ 'В' * Ъ'
CS1
b О ; b
ъ~ • Ъ'
,ь ,ь ; ,ь
Ъ" Ъ" • У
II
Q
(1) ел №Й а2,а3 .
й alfa2,a3 k
Ь
b
b
<w
к
b
b
ID
11Г
b
b
b
lb
4K
b
b
<3
b
b
%
b
p<
4K
b
чп 5Tv
«
b
К
К
ь
b
ж
ь
b
b
b
b
e
b
II
ЭК
ь 7
b
&г > аз tt Й Ж •
(2)сг4 «1»а2,а3 ЙШЖЖ -
iiE(RtaE) &а4 ЖЙ а.,а2,а3Ш^Ш,ЙР^
ст4 = + k2a2 + k2a2
Т1Д 4~ Г2Д 4" ••• + л:гД — О
МЙДЙ^Й^А±^,ЯР
( ОТ, + ( 2^') а2 + •” + ( Sfe''-X‘) ?г = °
buxt + Ь2уХ2 + ••• + Ьг1хг = О
^12^1 4- Ь22х2 4- ••• 4- Ьг2хг = О
< ( * )
/>]гл:1 4- Ь2гх2 + ••• 4“ b„.xr = О
А > А, -, Д тЖШё
Ху = х2 = ••• — хг = О
ep?vfc£rg*a( * *) йОШЫй
Al ^12 ” Ьуг
b2i Ь22 ••• Ь2г
D7 = D = ^=0
bn br2 ••• b„
й д, д, -,pr d^o.
Я 15 йЙМсГ1,а2,-,агг^ А.Д.-.Д ^I'alWinT^
Ж:
А = ст2 4- ОГ3 4- — 4- аг
А — осу + а3 4“ ••• + а>
А — «1 + а2 4- ••• + сгг-1
(r>l),ia?ffi..^(a1,...,ar) = ^(A,-,A).
ffi ^йтЯсп, — ,а,^ А. — »А
• 124 •
(ог^СТг, — ,ar) = (Д,Д, — ,Д)
Ll 1 — о J
вр а^ —,ar -&пГй Д,— ,Д£Ш^ЙЬЖ1Д a,, —,<xr-!g Д,— ,Д.
%®. Й
аса,, - ,аг) = &(Д,-,Д)
00 16
^1 ’ &2 ***** ОС,п
ф . w г фйймшфйй сг; й1фй г ,ду
а, ,а2, — ,а„ ЙШЛ г. .
125
ЙЕ cri»cr2,”'>Cf~ Ф<фсг,ЧГЙ
сгх ,а2,"’ ,ar
X,fi^ ai,a2, — ,ar пГй аг,а2,'--,а„ ^'|4^Ж ,Й
«1, —ст^стг, —,а,„
SW
$t(a1,a2, — ,am) = $(«!, —,аг) = г
01] 17 &A,BM%nXm,mXn%fi,$^n<bn,%AB=
7,ш в .
ЙЕ— Й В%тХп$Ж®
R(B) <и
ХЙ
R(B) ^R(AB) = Z?(Z) = п
Ш» Л(В)=п,Й В •
1Е- ЙВ=(»1,Лг,-Л),К'1' В,G = l,2,п)% В ЙЯ
ЙМ-
ххЬу + х2Ь2 + ••• + х„ь„ = о
(Bi,Z»2, — ,fen)
= ВХ = о
£фх=
АВХ =± О, ЕР IX = О
ЕР X = O,EPtt< хг=х2=---=х„ = о,& b^bt,--- ,Ь„ .
• 126
ЭД 18 ifcOtSffl
•Г] + 2.г2 — 2.г3 = О
< 2^1 — х2 + Az3 = О
.З.Г1 + х2 — х, = О
й.Ш»* 4,авнт В^о,д АВ=о,тй>|<: л иш •
№ tB=(i>i,b2,M>K^ ь,,ь2,ь3 * в ИММ,й в
#О^П,/>,(/=!,2,• МЖ
АВ = А(Ь} ,Ьг>Ь3) = (А£>! ,АЬ2,АЬ3) — О
1 2 - 2
|А| = 2 - 1 А = 0
3 1 - 1
А=1.
ЭД 19 ММ a1,a2,"-,a^tt^,_i.nFMM Д.
А^л^-йои^той д,д,-,д ж.
ЙЕ S# СТ1,--,аг йТЙ Pt , — ,Рг Р.,^
р,,аг,--,аг BJS д, — ,£^Й^Ж,Й г+1>г &
Д ,CTj, ••• ,ar(t = 1, —,r)
•
X ОГ1, — ,аг Д(г = 1, —,r)njЙ alf — ,ar
аЖ- Д Д,Д2,-,Д<^. ЙШ
$с(Д ,Д2, — ,Д) = ft(ai,cr2, — ,ar) = Г
^Р,,р2,-,РМ^.
20 (1)
(2)
ЙЕ (1) 'F —дЬ$1#П:
127
a, = (1,0,0), a2 = (0,1,0)
Д =(0,0,1), ft =(0,2,0)
cq ft,ft ШЖЙ «i,cr2 ft,ft •
(2) Й
( I );«], — ,CT,; ( I ):ft ,— ,ft
( I ) :CT;i ,CT,2, — ,CT, ; ( IV ) ift, ,ftz, — ,ft
5BO( I ),(I )1ШХМ • £( I )чГЙ( I )^йаж,м
(i )п1й(ю*!шзеш.
@(1)Ш4Ж£,ЙОП9&
(Ш ) ^(N) W
Й( I )^(I)^.
«4 21 В:ft,ft, —,ft AzCT^CTz, —,CT,
(ft,ft, —,ft) = (Ст1(ст2, —,CT,)
МФ к %SXr^,O. A В
^'5?^ЙЙЛ(К) = г.
ffi
R(«)=r kx=o
«(ст1,ст2,-,ст,)КХ = 0 Я^?Й(В A
£)
«(ft,ft,-,ft)JV=o
^ft,ft,-,ft^B^
«4 22
• 128 •
Л(А) = 2,Л-г=3,ШЙ^М:
1^1 Г ^-1 — «^3 ^4 *^5
== 2-^з 2-2" д 6^5
Ж 3-3 = 1,.Г4=.Г5 = 0,Ш
£1 = (1,
Ж хз = 0, х4 = 1, .г5 = 0, Ш
f2 = (1.
Ж .Г3 = .Г4 = 0,.Г5= 1 ,Ш
fs = (5,
- 2,1,0,0)7'
- 2,0,1,0)7'
- 6,0,0,1)7'
4лг] + хг = — 3-г3
3j:2 = — 5х з
ь I 3 3 ’
виз
(1) Л
(2)
X, + Хг — 3^4 — xs = 2
•^1 ~~ х г + 2л: 3 — л?4 = 1
4 .г, — 2х2 + 6л3 + 3.2" 4 — 4л5 = 8
2х1 + 4х2— 2л3 + 4л,— 7л?5 = 9
я (1)
А =
12я:3 = 2 — ^4
ж х4=о,ф##&:й-@Ж4Шй
По = (1,0,1,0)т
• 130 •
ГХ] + 1хг + х3 = х<
5 хг + Х-> = Xi
12^3 =— Xi
ж .Т4 — 1 »
f=Lll _ 1
5 ( 2’2’ 2 ,1)
X = п0 + k£ k G R
(2)
"1 1 0-3-12’
_ 1-1 2-1 01
A=
4-2 6 3-48
-2 4-2 4-7 9-
’1 1 0-3-1 2’
0-2 2 2 1-1
0 - 6 6 15 0 0
-0 2 - 2 10 - 5 5-
’1 10-3-1 2’
0 - 2 2 2 1 -1
0 0 0 12 - 4 4
-0 0 0 9 - 3 3-
’1 10-3-1 2’
0 - 2 2 2 1 -1
0 0 0 3 — 1 1
-0 0 0 0 0 0-
7?(A)=7?(A) = 3<5,<^^»4#I^^№:
131
.r, 4~ х2 — З.г4 = 2 4- х3
•< — 2^2 + 2.г4 = — 1 — 2-Гз — Хъ
З .г4 = 1 4- xs
/ 13 5 „ 1 „\г
= I -ё-’Т ’О’Г°)
ЙЯЙЗТЛЙ-вЯ.
•^1 + Х2 — Зл.'4 = -*5
4 — 2хг + 2л\ = — 2.Гз — :г5
Зх4 — х5
Ж .r3 = l ,.z5 = O,;f#
fi = (- 1,1,1,0,0)7'
Ж Хз = О,Д75 = 1 4#
f.,f2
ЙШгМ-ЯШй
х = г)0 + ^ifi 4“ k2^2 ky,k2 £ R
0|J 24 Й#м
xt — X2— З-Гз 4- = 1
2j?i — 2x2 — 5лг3 4- 3.r4 = 4
<
4х, — 4x2 4- З.Г3 4- 19.r4 = a
xt — x2 — 2л^з 4- 2^4 = 3
132
№
-i-i-з 1 г
_ 2-2-5 34
А =
4—4 3 19 а
-1 - 1 - 2 2 3-
-1 - 1 - 3 1 1
0 0 1 1 2
0 0 0 0 а - 34
.0 0 0 0 0
а^34 П^,«(А) = 2^/?(А) = 3,^М .
« = 34 Jtf ,/?(4)=7?(4) = 2<4,W^£M •
1Ш
А - 1 - 3 1 Г
_ О О 112
А ►
О О ООО
-О О ООО-
— З.г3 = 1 + хг — ,л4
Ж лг2 = .г4 = 0,Ш^^«@Ш»Л
По = (7,0,2,0)7
— Зл:3 = л:г — Xi
[л-3 = — л"4
Ж л?2 = 1 ,Л?4 = 0 Ш
£ = (1,1,0,0)7’
Ж Л?2 = 0 , Xi = 1 , Ш
£ = (- 4,0, - 1,1)7’
Ж л = 34 0t
133
X — По 4“ 4~ 62f2 к^,кг
ЭД 25 <2,6*MW^M
Л?! + Хг + Х3 + ,Г4 + л:5 = 1
Зл?1 + 2хг + .г3 + Х4 — З.т5 =
Хг + 2^3 + 2^4 + 6х5 = 3
R
5 л:j + 4л:2 + Зл:3 + 3^4 ~ -^s
W&,Wft*0ihfc--OF •
а
-- b
'1 111 1Г
3 2 1 1 - 3 а
А =
0 1 2 2 6 3
.5 4 3 3 — 1 6,
1 1 1 1 1
0 - 1 - 2 - 2 - - 6
0 1 2 2 6
.0 - 1 - 2 - 2 - - 6
11111 1 *
0 12 2 6 3
—►
0 0 0 0 0 <2
.0 0 0 0 0 6 - 2-
чГЯ,Я#<2=с ),6 = 2В1,^-<
1 п
<2-3
3
6-5-
7?(4) = 7?(4) = 2
OSM •
Ж <2 = 0,6=2
Т 1 1 1 1 г
0 1 2 2 6 3
0 0 0 0 0 0
.0 0 0 0 0 0-
• 134 •
f-^1 “F % 2 1 *3 *^-4 ^5
[.r2 “ 3 — 2-т3 — 2^4 — 6^5
7)o = (- 2,3,0,0,0)r
Й±^МЙ^Й^Ж«Х3=1,Х4=Х5 = 0,^
£ = (1, - 2,l,0,0)T
Ж =-^s = 0, ,г4 = 1, Ш
£ = (1, - 2,0,1,О)7
Ж -2"з = -2ч = 0,.Г5 = 1 Л#
£ = (5, - 6,0,0,1)7’
ТД a = 0,6=2 0t
•У — По H“ + ^zfz H~ Ьз£з €: R
0IJ26 ъЖГМ
Xi — л?з = a,
JT2 *^3 = a2
^3 -^4 = a3
-^5 =
^x5 — Xt = a5
Sa, = o
M.
№
1 — 1 0 0 0 a/
__ 0 1—10 0 a2
0 0 0 1 — 1 at
— 1 0 0 0 1 a5_
• 135 •
—► -1 — 1 0 0 0 Й1‘ 0 1-1 0 0 а2 0 0 1-1 0 а3 0 0 0 1 — 1 «4 5 0 0 0 0 0 2й- 4 = 1
PlJSL
= О
1=1
i>. = о-
1=1
S«. = ОЙ’ШРШМ^:
1=1
•^1 -^2 ~ ^1
хг — хг = аг
<
*г3 — jc4 = а3
Хк = ai 4- xs
По = («1 + а2 ~Ь аз + а4 >й2 + а3 + а4 ,а3 + сг4 ,«4,0)7
%
$ = (1 л л, 1 ,Dr
ТЙ.ЖЗГМ-вмл
х = По + kt k£ R
0|J 27 ВЙД,Дй##&#МА*=*ЙЙФ^ЙЙЬ
а, ,а2 АХ = 0 ЙДйЕМЖ ,k} ,k2
1к,Х4МДй АХ = Ь ЙШ?С-МЮ£'Д
• 136 •
в. + р2
кгаг + k2(.a1 — а2) 4--
Li
ffi s#
J = 1(дд + дд>
= ±(b + b) = b
Li
AX = b ЙЖ • ХЖ ai,a2 # AX=O а~аг
Hl# AX = O a^-a,
+ .r2(cr, — a2) = 0
BP
“1“ X2)OCi Х2СС2 = 0
Й a.^tt^WW
Jjj 4- x2 = 0
1^2 = 0
$C{XW Л?1=Х2 = О,ВР ax,ax — a2 ,cri ,cn — cr2 # AX
= 0 ЙШйШ£ ,Й AX = b МйМ#
Л1«1 4- k2(.ai — a2) 4“
L
28 ШЙТС^^Й^М#
4- x2 = 0
( I
1^2 — ^4 = 0
I )&M#
M0,l,l,0)r 4-*2(- l,2,2,l)r
ci) зшй^шас i
(2) |H]( i )^( I
is ci) (i )ю^ше₽Ф#
• 137 •
/110 01
10 1 О - 1/
Й( I
(о,о, 1 ,о>7', (- 1,1 ,о, 1)г
(2) •
&( и )ййммм( I ),ж
J— (г + (, 4“ 2kz = 0
+ 2kz — k2 = О
ffi'&k,=-kz.
3 ^ = -(^0 0^,Д1]
^(0,1,1,0)7' + *2(- 1,2,2,1)7’
= £2Е(0, - 1, - 1,0)г + (- 1,2,2,1)г]
= k2(- 1,1,1,1)7’
I )(«>( я )ЙЮ- й( I ),(я
к- 1,1,1,1)т a # о,л е ю
01129
л?! + а^2 + а\х2 = а\
+ а2х2 + аг2х2 = а\
д-1 -ь а3д:2 + аг2х3 = а|
.X, + а4д:2 + а\х3 = а3<
(1) а, ,аг,а3 ,а4 ,ЖЗГМХЙ?;
(2) Йа1 = а3=Л,а2 = а4=-^(Л^0),ДВ^
• 138 •
(1)
1 «1 af a3
A| = 1 a2 a22 a32
1 a3 a23 a33
1 a4 al al
= (<я4 — а3)(а4 — а2)(а4 — а,)(а3 — аг)(а3 — а3)(а2 — а3)
Й а3 ,a2,a3,ai |А|#О,Д[Ш
Я(А) = 4
М$Я(А)<3,Й
Я(А) R(.A)
ЯсЗтяЯ,»
(2) 3 a1=a3^k,a2 = ai = -kCk^0)&i,^^^
ЯГ] + kx2 + k2X3 = k3
X) — kx2 + k2x3 = — k3
Л7] + kx2 + k2x3 = k3
л?! — kx2 + k2X3 = — k3
ЙР
йт
X3 4* kx2 + £2-r3 = k3
X3 — kx2 + k2x3 = — k3
k
1
1
= — 2k Ф 0
ЖЗ-W 3-2=1 .
@*A-A
• 139 •
- Г
1
, 1
1'
i
£ = A - A =
2 '
О
- 2.
f м#жж1й»йшж •
k е r
0'130 ЙА^и
Ш АВ=О ИЙ#ЧЙ^М|А|=0.
ЙЕ Й
В = ^,Ь2,-,Ьп}
МФ й.с=1,-,«)Л в йШЮ
АВ = (AbitAb2,— ,АЬ„)
^^1,АВ=ОШШ M=l,2r-M)WK«gffl
АХ = ОЙМ-
АВ=<М!| ь^ь,,-,^
|n]>,Xh.G = l,2,'”,«)±^ AX = 0 iW-BP АХ = 0^4^М»
Й|А|=0.
3E#t£:^|A|=0,fllJ AX = 0W«B-
в,Ж B^o,s.
АВ = О
0ij3i
an-Zj + a12z2 + ••• + аит„ = 0
a2iZi + а2гх2 + ••• + а2пхп = 0
алху + а„2х2 + ••• + а„„х„ = 0
ЙЗШШШАНО.т А Фа«Й4Ш^ФЙ1 Aw^O,ffiBJ
• 140 •
(Ад , Ад » "*
ЙЕ Й IА | =0 fn Аи#0
R(A) = п - 1
й
|А| = а;1 А,) + ai2Ai2 + ••• + а,„А,„ = 0
ацАл + ai2AJ2 + ••• + а,„А;,, = 0 (i =#= j,i — 1,2, — ,п)
& (Ап, А, 2,-,А,„) G = l,2,-,n)
• Хй Л/^о &
(Ад, Aiz, •••, Акп) 0
й(а«,а42,-•
01J 32 В£п
а11 а12 " а1п
^л) ^л2 *** ^пп
а11^1 Н~ а12^2 “1“ “" А" а1,п-1'Г»-1 = а\п
а21^! + а22х2 + ••• + а2,п_ххп_х = а2п
A,.i-^i + а»гХ2 + ••• + а„,„_гх„_у — а„„
ЖМ-
ЙЕ BPffi RCA')^R(A').
Л11 #12 ••• Л1(И_!
#21 #22 *** #2,л-1
А =
_#л1 #л2 ••• #л.л —1_
• 141 •
Лц ^12 *** ^1.я—1 &ln
— ^21 а22 *’* Л2.«—1 а2п
А =
_<2„i CZ„2 ”* Ci„,n— 1 &пп_
Й |А|^0 R(A')=n.
Я(А)<л - 1
ЙЯ(А)^(А).
«133 Й1Ш8М
= bi г = 1,2 ,•" ,п
>JED b.,b2,-,b„^
Ж
(1) ЪЁВД D^O;
(2) O=D1 = -=D„ = 0
ЯРХФ?
ffi (1)
Z?(A) = 7?(A) = n
fiJrlU
D= |A| ^0
(2)'^D = Dl = -=D„^0 •
S^ZlltB^W
7?(A) <л,7?(А) <n
7?(A)=A(A),«>J$n
л?1 + x2 + Я-3 = 1
< 2xx + 2хг + 2л:3 = 1
3j^i + 3x2 -}- Злгз = 0
>й о=д=о2=о3=о,®мм •
• 142
и. & a &
1.
Г Лг, + Л?2 + = 0
< л?! + Лг2 + х3 = О
1.Г] + хг + Ал:3 = О
2. ВЙЙ#<Й а1 = (1,2,3,4),сгг=(2,3,4,5),сг3=(3,4,5,
6) ,сг4 = (4,5,6,7),№МЙО
з.
>1 + хг = — Я]
Хг + ^3 = «2
*3 + -*4 =~ «3
4. Ь ЕНё₽£ А А п-1,ДО
а^=о кит•
5. AmXXx.=0 г ФЖ
[п]>,/?(А)==г,га r,s,t •
1. ЙА^п^|^,|А|=О,га Аф( ).
(А) о?
(в) ^wwraTcM^tLra?
(о
а» &-гай*>м&гай*й^ша£ •
2. й n 7UАХ = 0ЙМ₽£ А 6Ш*г,М
• 143 •
144 •
= 0 сг,Д Ai~ia^=0,^.vE;a,Aa, — ,A’,-1a^^^^ .
<21 ^1' А
Е>й «1 = а2 ,а2 = ^2 ,<Хз = с2
а\ Ьз с\
з О^в^+М+^=0(1 = 1,2,3)(ЙФ af+b&0,
/=1,2,з)йТ-£й^£М11-4 •
А,Й А,В %%пХ2п АХ = 0 Й1Й
Й?Ж#
ад ж by=o дем.
• 145 •
(franlis viete, 1540~1603)
4эй. isioWftSfKMK Epoitou,
(fontenay. -le-comte) j; 16О3^12Л13 0ФТЕ1|1?-
тт£й, ЖЯ, &ЯЮ&5С. <&«4Ш5&ЙЯШ=Й^ф.
<##г>тлт д^йжж^йеш*^. шдлдияшш^,
ftitaoria ш*хж>
гк^шкл-^й
#Й»#Ш»^ЖЕ^ЙЯЗТД1Ф^т^,
»*й9Ш*. ^й^дт£»йх*«-ймятййти®«, ий®|
(ЙЗ^ДЙ») ^гр х, [fffffla quadratus, acubus ЙЛч
x2, X3, “Ф^йДЗГ. Кйк^тдлейййэи “».
i*W JWstftUjW-.ДЯ>ОгЖк»Д»
“ГСЙ^2Я” .1593^, «ЙХЖЖТЯ-ЙР^Й^^^—
(se. ^1591^^^), <й^еиъяэд-*зтТ1Е> д^йййййешййяй:
А-ЙЙ!ЙЁЙВ^Ш)®|Й, 1ЙД£1591^>1кВ^$. M'PWSU—
Ф&Ю£5£, &ЖТ ь-#й!жщ&>тйй&йй
ВЯ-ЛШДЙЙТ^Й^ЙЙЯ.
^.^Й£#*}Т{Ш#еШИ?йга®. 1591^в<^5?, 1600*Fia
»Ш«Й> £®ШЖ.
159з*₽^йй <#«гюФй%вл£#яжк«и&№ж^йм»-
Л>М1Ч®Й^- ISJ^HiilMCJLIBJ^bjSMsupplementum geometriac)^E
• 146 •
ЙЖ^ВДЙ^Ж^^И^^явй^ёЖЙ.ЖМЙТ-^+Й^ЙЙ
&,(ЕЯТi5^fe,WSt¥- ZJa.«ifeffiR»fefR&ЛМ 14®Ю®3®йffi
i?JU£3t,
147
1.
Й Й Шй;
4. owmwMim.
". s ф Й «
1- #
& а л п rsriM* м^уй*,л^-ф^,ш#
Аа = Лег
Д'Ж А A W-^#ffi(t,a^7 А иттеш Л Ю-ЩЕЙ
*.
2. ^£ ф # -f±J$
(2)й-^<ЖЛо |Ш®Й>а.,сг2,•••,»„. ЙЯ£;ЙС«^&
^iai + k2a2 + ••• + kma„
ШММТ ло ЙШЕО •
• 148 •
з.
/(А) = I AZ - Д I = А” + ^А”-1 + ••• + a„_jA + а„
ффр : Д1 = — (А, +А2 + ••• +Л„)
а„=(-1)"|А| = (-1)"ЛЛ”Ч.
ж Л1,а2,-,л„> amwm •
4. #4£41Л
(1) #/(А)= |А7-А | =0 А^Аз.-Д,,;
(2) MJ$[A7-A]X = 0 WSflUM a;i,ai2, •••,«.>,
^ian + k2ai2 + ••• + krair
ft A MT A, $£WfiEl4j* •
5.
M n MIT а,в,р,Ш
В = p-'AP
W А-^В>Ш,ТЙ* А~в.
6. MIT A A
' я MlTA^Xt^^A
а ЙШ—Ф k, S^iiEM A, ,
7?(А,/-А)=и-Л,,
<=>M А ЙШ-Ф k. SWffifS Л ,
CA,J-A]X = 0 Й«ЙМ£ ЕЙ kt фМ
ЙЖШЕЙ •
7. Bb^lTA #4£<4ЬЛ/(А)= 1AZ —A | =0
Я А
8.
(1) Ж a A^A^-.A,,;
(2) Xj-4JTT|s|lW А, ЖЕА,/-А]Х = 0
• 149 •
(з) иайп
Р = [а,,а2, —,а„]
Р'АР =
МФ a1(a2,-,CT„ йдашт-^ л,л,”',Л. -®с •
9.
(1)Й Ж Й <Х= («1 ,а2> ••• >а») >0= (61 ,Ьг, ••• ,Ь„)
(а,р) = а^г=ахЬ1->тагЬг-\-----\-а„Ь,
^a-^PWlWx-
(2)-!^ II а II =V«f+a| + -+^2.
(3)5fe^ (a,^>=arccos y^p^gp
(5)]Е^Й*ЖЙ^Й^ЙМ •
(б)<-фйй«адй*й1ЕЙЙ*Ш.^^Ж?Е1Е^Й
10.
йсг1.сг2> — ,а* Д R" №^Й^Б^сЙв:1й»4-
A = <*i
vw*>H2//3 \W*>P>-12 л
" (A-i,A-i)a
е‘— IIА II (г
а.
11-
(1) йжйгшх •
(2Х£-£ХШ№₽$3₽ •
(3)#jE3cWc,$
СГАС = diagGl1(A2, — ,A„)
(W АЙ» A,U2,-,A„;
@^ЕЛ/-А]х=о У.,,
У,2>-,У.> ;
(3)4 с= [У„, - ,У]Г1, - ,УЛ1, - ,y„J
га с*1Езс$т,.а
С'АС = diagGj ,Л2, •••,А„)
л эд а
ЭД1 ЙАЙ и б.^АЮ-'Ме
’«11 + «12 + «13~
«21 “И «22 “Ь «23
-«31 + «32 + «33-
• 151
Яг«»А=5> А Й-уЬМЛ»сг=(ЫЛ)т Д А ЙМЙТ A=5
ОД 2 mMAOttWfiWA^A’W
шедшей*-
М &АДАЙтИ,а>АЯЙТА$ФЖЙ*,ДОЙ А
П1ЙШ огт^О ЧГ$П
Аа = Аа + о
ТД А^О.
JL А_1(Аа)=А~‘(Аа)
ЕР А(А-1а) = а, А~1а=4~а
Л
й|д А-атОьа Д А-’Й^ЙЕЙ* .
X А-1 = у^уА’ , А' = |А|А“1
ЯШ
А'а = |А|А ’а=-^-|А|а
Л
ЕР 4 И Д А• Й4еО1 ,а £ А' Й* •
ОД 3 Й
Г2 3
L0 О
А = 0 2
Г
3
2.
А2 —2А~’+А* +3/ Й-ФФМШ •
А Й4ФМА=2,Й^^ЙЙа^
Ага = Ага, А‘а=~а, А'а= 4-1А |а
л Л
Ж (А2-2А-1+А*+37)а=[А2-^- + ^- + з|а=10а
ЯШ ,А' = 10 Д А2~2А^+А' +31 Й—'МШМ •
• 152 •
ад 4 A = Д А й-ме
И-
ЙЕ
|(— 1)7 — А| = | - ААТ - А|
= | А | | — А7' — / | | А | | — (Z — А)7’|
= - |(- DZ - А|
0Ш,|(-1)/-А|=О,ВР-1 ДАЙ-МИЕШ •
5ЖВЛ л0 д&|$ a
сг,{£ Аа=Аоа,-111чГиШЙдаЛ 4, Д А ЙШЕЖ /(А) =
IAZ—А | ЙШ . а Д А ЙЙТШЕ Л>
ШйШ-ЙЙИ Ae=Aoa^crS^r^tt^mLW-A]X = 0
ЙМЙЙ •
ад 5 й л а й4е«ЕШ»/а)> х и^м.^йЕ:
/(Л)Д/(а)й#£Ш-
ЙЕ В^ЙЕВЛ^ЛДАЙ^М.ШЛ"Д А" •
Й Аа= Ха ЙГШ
А2а=А(Асг) = А (Ла) = Л(4а) — Х2а
Й А",1а=Л"‘1а,'!ДО
А“а = АСА'-'а) = A(A”-7a) = А^ЧАа) = А”-1 (Ла) = А'"а
М&.Й
f(x) = а„Х” + ••• + aiX + а0
f(А) — а„А" + ••• + <2jA + <20/
У(Л) = а„Хп -|- ••• 4“ йгХ 4~ Др
/(А)а= а„А"а + ••• + ахАа 4- а01а
— а„Х"а 4- ••• 4- а^Ха 4- ааа
= (а„А" 4~ ••• 4~ аМ 4" л0)а
= /(А)а
• 153 •
ЭД 6
Ж,Ш£ А >^>^^(ВР±ЖЙ^7ЁЙ|Н|ЙЖЙ^1^)-
ffi й
<2ц <212 ••• а1п
а21 а22 •’* а2п
_tZ„l <2 „2 ••’ ^пп.
Хй
Г11
ДА№#Ш ЙМЙЖ.ЖЙ Аа^Ла,
В В
ап = А,,аа = 0 (г = 2,3,"‘,п)
а„ = Л, а,7 = 0 (г'^У)
Вй
Г1 1
Д AM^T^iiEfS AiWffifa*,liUJ& Асг=Лсг nJ
Ll J
В
an — агг — '" — ann
& АЙЙЖ-
ЭД 7 Йа>,а2 Д£|^ AM^T^I^MWz
Ж,Д А . Л^О.ШЕА^+Агаз^ДА Й^ЮЕЙ* •
Ж
й А^+ЛгСГг Д A M-KTietElt А
• 154 •
A(A1cr1 + A2cr2) = A (A, or, + А2ст2)
= A/Affj) + А2(Аа2) = А2 а, + А2га2 (5-1)
= АА.сг, + ААгаг (5-2)
(5-1 кЙ (5-2), RT^I
А2а, + Л2сг2 = AAjCq + АА2а2
(Af - АА])а, + (А2 - АА2)а2 = 0 (5-3)
й* а„аг |р]Ж,Й а„а2
(5-3)j£5L
Af - ДА, = А2 - АА2 = О (5-4)
Й5£(5-4)пШ A]=A2 = A,^ А^А2 Aia,+A2a2 А ОД
ЭД 8 #«|5fr2r|$
ЙШМ.
№ АШШ
— а ••• — а
А — а ••• — а
— а ••• А — а
Л — па Л — па ••• А — па
— а А — а ••• — а
— а —а ••• — а
155
= (А — па~) 1 — а 1 А — а — а 1 ... 1 1 — а А — а
1 а
1 0 А — 1 0
= (А — па ) = А’'”1 (А - па)
••• ••• •••
0 0 — А
ЙШМОСп-! Ж)-^ А2 = па м А ЙШ6Ш •
00 9 ж»а А^
1 3 12
0-113
А = 0 0 3 5 *
0 0 0 3
№ А - - 1 - 3 - 1 - 2
0 А А 1 — 1 - 3
IAZ — А| = 0 0 А — - 3 - 5
0 0 0 А - 3
= (A — 1)(Л + 1)(Л - З)2
«й л1=1,л2=-1,л3=з(-ЖШ).
№ А, = 1 ^Л[А/-А]Х = О,Ш
— З.г2 — а:3 — 2л4= О
2х2 — .г3 — З.г4 = О
<
— 2^з — 5.г4= О
— 2х4 = О
«1 = (1,о,о,о)'г,а МА Л,
^агАЛ^О).
• 156 •
W A2=-l
’- 2 - 3 - 1 - 2’
EV - а] = 0 0 - 1 - 3
0 0 — 4 — 5
- 0 0 0 - 4-
1 -f- о о
и
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0.
ft oom * a2=(- з, 2, о, or, leffi й ж
£2а2(Л2А0).
& Л3 = ЗПА[Л/-А]Х = = 0,1#
"2 - 3 - 1 - 2'
EA3Z - А] = 0 4 - 1 - 3
0 0 0 — 5
-0 0 0 0-
Г 7 1
1 ° -у °
0 1-4-0
4
0 0 0 1
_0 О О 0.
ftOftWgSOOO a3=(7,2,8,0)7,WffilWA
^3#3 (^37^0).
Ы 9 Ф®{ПййЖйМ'й]®,-ДЕл1/-а]х=о
• 157
Й,[А1/ -А]Х = О Й .r2,.r3,.r4
ЫЙНтЁ-»*Ш • -М А3 = 3 >Zl®^ffi«,fiU3/-4JA-
= 0 И»51ЙМЖй-ФЖЙЖМ.-Ш^,ГЛ/-а]х=о
«ШЖ^^ЙЙ'Н&^АТ Л -№Л /(А)= 1Л/-А1 =0 ЙШЙ
ж$.
ЭД 10
Й?
Л1 = -е,Л2=-£2,А3=-1,^ф е=-
^Л, = -е ^ЛСЛ7-А]Х = 0Л#
Ш#Ж5ШЖ^ сг! = (ег >е>1)7,4ШЙЙ# k.ax (^#0).
HV2=-e2 ftAEAZ-A]X==0,^ШЖ«ШЖ:& а2=(ег,1,
е)7 >#®ЕЙЙ^? ^2сг2(^2#0).
№ Л3=-1ПА[Л7-А]Х = 0,пШЖЯШЖ# «3=(1,1,
Л3а3(Л3^0).
• 158
ОД ю
ОД 11 й
2 2’
- 1 - 2
-2 - 1.
(1) Ж А Й#М;
(2) Ж Z+A-’W^W,/ > = •
ft?
А + 1 - 2 - 2
А/ — А | = - 2 А + 1 2 = (А - 1)2(А + 5)
- 2 2 А + 1
А ЙШШО А1 = 1(ГО),Аг=-5.
(2) % А Д А ЙМ{Й,МтМ A^WM.® А-'ЙМ
Л
П
5 I
|Z - А~Ч = 0,
тд
I - А~’
= О
1(1 + 1)/ - (Z + А-!)| = О
| - у + 1|/ - (Z + А-1)
= О
ЙР
|2Z - (Z + А"1)
= О, ±1 - (Z 4- А-’)
э
= О
^г1д,/+А-’й1е®шлл=2(-ж),^=4-
о
ОД 12 А Й^-^ТТБ^Д 1,Д(1,Ы)Т,(1,
0,-1)т,(1,-1,0)т Д А й 3 Ф1#<!Е|В]Й,Ж а.
• 159 •
U4,A1 = 3.
ГО О 11
W13 В^А= * 1 Q ^ЗФШ£^£ЙШАЕЙ>,#х.
L1 о oJ
О - 1
|А7 —А| =
= (Л — 1) (А2 - 1) = О
х А - 1 О
- 1 О А
А,=к-ж), л2=-1.
0* А ^ЗФ^Й^ЙШ£Е[Й]*,Й
R(AJ - А) = 1
0U14 й а м-те|$д|а।<о,яшг а wm.
• 160 •
t-</l |Z£ - V I lrf| = I ,_</(/£ - Drf| =
I ZE - t c/Vrfl =|Z£ - У |
= I A - 3/1 = — (2я — 3)!!
А |ШМД2,4,-,2п,0Ш A-37
>-1,1,3,— ,2л —3-
|A - 3/| = (- 1) • 1 • 3 —(2л - 3) =- (2п - 3)1!
0И7 йАДН^₽¥,Л^ГЗфЙ21Е^Й^4е«Е|ч1*.Ж
Щ А >#«₽$•
ЙЕ й А Й$£<£{Й> А] ,А2,А3,ЙЙ£Й^^1Е[в]» а, ,а2,а3,
№ а,, а2,: У,, У2, У3,
с= [У^УЛ
дос^1Ей®|^,_а
С 'АС = Л =
"А:
А2
А3_
А=СЛС1=СЛС‘
Аг = (СЛС ) г = С А Ст=С АС1 = А
bp а
0И8 В£РЙЖсг=(1,Л,1)г>М
’2 1
А = 1 2
.1 1
Г
1
2.
Я?- М А-'ИТ^М А№#®Й#,ДОЙ А-]а=
Аог пИ# а=ААа, ВР
• 162 •
IA(3 + k} = 1
I A( 2 + 2k) = k
Ш А1 = 1,Л1 = -2!А2 = у^2 = 1-
£=-2^Ш,а Д A-’iWtEfaf:-
ft?“ йайА-адттАйтйМйА-1^
Аа пТШ Aa=±a, Bp4> a А
A A A
BP
3 + k = -i-
A
k
2 + 2k = 4-
A
M А1 = 1,Л1 = -2!А2 = -^-,Л2=1.
^'119 ЙНМВ А А1 = 1,А2 = 2,Аз = 3,МЙ£Й
Т
X Й Ж j3= 1 .
.3.
(1)
(2) А”Р(л^Й^^).
• 163 •
№ (1)Й Р=Х1?1+.г2?2+^з?з»ВР
X] + х2 + л?3 = 1
5.7'1 4- 2л2 + Зл'з = 1
Г1 + 4.г2 + 9.г3 = 3
Х=(2,-2,1)7',Й
Р = 2fi — 2f> + fa
(2) &-
А”/?= A"(2fi - 2^2 + f3)
ЙТ Af = A,f, A"f, = A"f (г = 1,2,3)
Й
А”/3= 2А”^ - 2A"f2 + A"f3 = 2A7fj - 2Л& + A"3f3
Й?_
♦ 164 ♦
0Г |Д
’1
0
-О
о
2"
О
О’
О Р 'Р
3”.
/3=2f,-2f2 + f3 =
#120
OF? А
ArA = I
ЙСЛЕ А
iE Я.Х Д
АХ = XX, ХГАГ = ХХГ
йййТШ
Г' А’ААГ = Х2ХТХ, ХтХ = ХгХтХ, (Л2 - 1)Х7АГ = О
Н^/ х lOfEliOt.tt хгх>о,РШ
л2 - 1 = о
ЙР|Л| = 1.
0IJ21 А Я^/Й-ЖФ
165
• 991 •
-fflffl = <Л-У| У| i-d
t-ff IУI = JT-Vt-rflyl
•ч
£
I
"B
II
CB
I
(1) х’-П у
(2) P 'AP = B.
№ (1) ЙЛ А~в,йХШЕ£^5иВИ»ВР
|AZ - 4| = Ц/ - e|
вр P~'A"P=B' ,ЕЙ A'~B'.
0IJ23 Й А Д n
(1) # a^ajjCi^j=l,2,- ,я),Й A
1Й;
(2) ап = а22= — =а„„,И.^.^^—fei;/OG>j),|| A
-ME (1) ЕЙ
IA7 A | = (А лц ) (A «22)*”«,»>)
В a^ajj(i^j,i, j=l,2,"‘,n),0fm A n -'bjE'f'ffi l^l
И4Ф6Ш:
A, = a„ (i = 1,2
№ А п!ЗДЙ1&₽$М-
(2) -fiE— Й an=a22= ••• =a„iW a,7^0(2>J) A nJ
В ДО В ИтЕ{ОРХ±*МЙ^^5 А 6^®ШЯ1
^,Й
А = QBQ 1 = e(an/)fi-‘ = ап1 = В
а м'Иг-ф а^о^,№ а
ffi- S# А Й#ОЯW «и(» Ж) ,Я А at]^
o(z>j),jKA^T^ffijt«iiW^^»@m
[al}I - AM = о
ani-A иа г>1,йжй1мж^й*^
п — г <Zn
№. a ^njtgw п 'Ншж^йтаЕйж.А
167
Ф124 Й
'1
А = О
_О
4 2'
-34
4 3.
# А100.
№ А1Ш&Ш
А - 1 - 4 - 2
| А/ - А| = О А + 3 -4
= (А = 1)(А - 5)(Л+ 5)
О - 4 А - 3
А А, = 1,А2 = 5,А3=-5.
M^M[AJ-A]X = OT# А МТ А.Й
СГ1 = (1,0,0)7'
$М№2/-а]х=о,^ а МТ
аг = (2,1,2)т
М^ШйЕАз/-А1Г = 0,1# А МТ А3ЙWt£ЙЙ*
а3 = (1, - 2,1)7
• 168 •
ЭД 25
О О"
2 О
О Ь.
(1) а,Ь;
(2) TOW /ТО Р 'АР=В.
ИЯ (1) ЙЛ A-ZTOWMTOWCTOC-’AC^.T
1*1 = |C-’AC| = |С->| |А|С| = |А |
ЯШ
|Д| = Zb = |А| = 2(3а - 4)
ЯйТО В A IWM-
- 1 0 0
|/ - А| = 0 1 - а - 2 = - (2а - 6) = 0
0 - 2 - 2
(За - 4 = 6
(2а - 6 = О
Ш а = 3,Ь =5.
(2) ЙЛвЖОА> = 1Л=2,А3=5,аА~В,ЙАЙ
^1,^=2,Л3=5,ТЖЖ А Й^«ЕЙ*.
ЖЖЕл,/-а]х=о,вр
• 169 •
г- 1
- 2J
W АЖ Aj = 16<J-—t^tE|pJ*^cri = (O,-l,l)T.
М[А2/-А]Х = О,Ш а А2Й-ФМ|в)Ж3/ сг2=(1,
О, О)7',
МГА3/-А]АГ = 0Л# AW Лзй-«2=(0,
1,1 )т.
Г о 1 on
р=[сГ1,сгг,а3]= —10 1
.10 1.
м р щйьд
Р’АР =
0'126
2-г, + хг — jc3 + -г4 — 3-г5 = О
х, + х2 — .г3 4- ,г5 = О
’2 1 -1 1 -31 ГО - 1 1 1 - 5"
-11-10 1 -Г L1 1-10 1-
ГО - 1 1 1 - 51 Г1 О О 1 — 4‘
L1 О О 1 - 4-1 Lo 1 — 1 - 1 5-
= — J"4 + 4л-5 хг = х3 + х4 — 5х,
,гс5)ф(1,0,0) ,(0,1,0) , (0,0,1) , :
аг, = (0,1,1,0,0),сг2 =. (- 1,1,0,1,0),сг3 = (4, - 5,0,0,1)
|н] ЙЖ, Л#
• 170
ft = а} = (0,1,1,0,0)
ft = °г ~ (Д,’й)А = (“ - 7’1,0|
ft = «з - Toryft - Trayft = 1(7’ - 6’6’13’5)
Hi = ir/Tlift = /-—(°,1,1,0,0)
Пг = = 2,11 ~1,2,0)
Пз = - 6’6,13,1)
ИАН 5 /63
П1 .Ъ ,Т]М ДЯ?£|Н] ЙВ«1Е£».
0(27 й У1,У2,УзД Я3И-’Я а=ЗУ, + 2Уг
+4Уз,)3=У1-2У2,Ж-^ a,P3₽jE£$l»J>.
№ ®У=^1У1+^2У2+^Уз^сГ’Р^1Е^,Й
(а,У)= Зх/У^У,) + 2.г2(У2,У2) + 4лг3(У3,У3)
= 3-Z, + 2^2 + 4.г3 = 0
(/3,У)= - 2^2(У2,У2)
= jtj — 2^сг — 0
(3X1 + 2х2 + 4.'г3 = 0
[-Г1 — 2х2 = 0
X = (2,1, - 2)7
У = 2У, + У2 - 2У3
«028 йУ!,У2,УзД/г3й-ШШ1ЕЙ»:
<Х1 = 4(2У3 + 2Уг - У3)
V
171
«2 = у(2У, - У2 + 2У3)
«3 = 4 (У. - 2У2 - 2У3)
О
мЕВД :А=[а1,а2,а31Д1Е^^^.
ЙЕ
(а,,а2)= |(У1,У]) - |(У2.У2) - ”(Уз>Уз)
(at,a2)= уСУ^У,) + у(У2,У2) + -|(У3,У3)
4 4 1
= — + — + — = 1
9 9 9
[н^йШ (а1,а3) = (а2,а3) = 0, (сг2,а2) = (а3,а3) = 1
M,at,a2,a3iiL^ /?3ЭД~Ссг,,а2,а31%
ZE^^glW-
0IJ29 й=ШГтАОМ>1.2,зм№®
шзйшешй!
«1 = (-1, - 1,1)'г, аг = (1, - 2, - 1)т
(1) # А
(2) А.
® (1) ЙА ^ЙТЗЙ^^ЙЖ*
0г3 = (^:19^29х3У
ИЗ? А а3,а2,а3^
SiEX.BPW
Г(»цСГ3) = — д?! — х2 4- х3 = О
[(а2,а3) = х3 — 2х2 — х3 = о
а=(1,0,1)г,Й A а3
• 172 •
=л(ьо,1)7а^о).
'-1
(2) iH Р=[а> ,а2,а33= —1
Р 'АР =
1
’1
о
.0
1
-2
1
о
2
0
г
о
1.
О'
о
3.
'-2
1
.-3
'1
О
-О
О'
О ,^#Р
3.
P-,RA±^^
-2
-2
О
2'
-1
3-
о
2
О
1
6
13
- 2
5
- 2
10
2
5'
2
13-
эдзо wmiOffiisiwtiEawwA-жшг
я?
л
А = О
_0
2 3'
1 2
О 1-
П О О']
7=010
_0 0 1.
Я(Л7-А) = 2,ЙСЛ/-Аи = 0Й®МЖЙ1ФЙ1ЙЖЫ,
вр а яа
I 1ШШ a=i (Hfi), w i й
«•
jSJfUl ,А I |н|,{0 A ±J I А#ш-
04131
ИЛ :А~В.
Ж i£A.-ig В iWffiM Ар^.-.А.ЛА.В^МО®
• 173 •
й , W а—в.
01J32 й А,ВМ£^М1$,ЖВД#1£1ЕЙЖ1$С1£
СГАС=В А В W^WW«t-
ffi 3£#tt-
i£ a -Ig в И1РОЮ Л1,Л2,-,Л.,ХЙТ a
р,&
Р1 АР =
xs* в q,&
Q‘BQ =
(5-6)
Й5£(5-5)>;£(5-6)пШ
РТАР = QCBQ, {Qr') xPl APQ~^ = В
X(Qr)~‘ = (e-1 )T,®tw(Q ^'PTAPQ l = В, BP
(PQ’yAPQ1 = В
P,Q Q 'A Рб-'ШМдЕ^Р?.
4- C^PQ1 ,м CrAC=B.
S^C Й/1Е^№Д CrAC=B,fftM C'AC=B,^A В
• 174 •
«433 & A > n
C'! AC =
МФ1ЙФ^Т R(.A).
HE Й A ® A Й{£-
Aa = Aa,Aza = A
(A2 -
Й A2 —A=0 J# A=Os£ A=
XBAAMW®
C‘AC =
iiW'Hmm
«434
A
A2=A,vEW#£iE%&№
A
1
0
0.
Wffiffi.cr * А МЙ2А1 Л Й*Н£|ч]*Л!1
i(Acr) = A(Acr) = A(Acr) = A2a
A’ja =0, or =£ 0
1.
1
1
0
0_
fc A(C'AC) = /?(A),EP CrAC
1 1 1 Г
1111
1111
-1111.
• 175 •
Ж1Е££ё₽$ С {£ С1 AC
Й? (1)
Щ - 4| = Л— 1 - 1 - 1 - 1 -1 А - 1 -1 -1 - 1 - 1 А- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1
= А3(А - 4)
А1 = 0(НЖ),А2 = 4.
(2)
- 1 - 1 - 1 - Г
- 1 — 1 - 1 - 1
- 1 - 1 - 1 - 1
-- 1 - 1 - 1 - 1J .^4.
’О’
о
о
-0-
а} = (- 1,1,0,0)7',стг = (- 1,0,1,0)7’,сг3
а1,а2,а31Е^4ЬЛ#
А = cq = (- 1,1,0,0)7’
В = а — В — I_________-_____- 1 о] ‘
А “2 (Вз,В^Р1~\ 2’ 2’1’01
(а3,Д)й (ст3,Д)
(A,A)ft (А,А)
МФ A,A,A#4HE,ft
= (- 1,0,0,1)7'
1_ _ 1
з ’ з ’
Вз — «3
~ НА1Г ~ 1 /2
у — 1 в — (---------—
2 _ 11А1Г2 ~ I /6
= 1 в
\\ВзГ
3
^6
3
z6
з /з~'
2 ,
176
MV-A]x=o,BPM
a, = (1,1,1,1)T
W-
у - 1 ~ _ 11 ± ± ±Г
4 “ КII 4 “ I 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 j
BOW
C =
ra> & я ж
1- -Й A I Шй , >J А =.
• 177 •
• 82,1 •
•S»3(C7) <£»+'х>(Э) f2x?-'x>(g) izx)£ + lx)(v)
•( )W
v зт‘1«О1=гИЙ±т
‘ mWWO=iv Wz*>‘ ’» К‘йЭ£Мv •£
•|ff|=|V|(C7)
*>3WWfelB*itff‘vm ^v(v)
•( )fWIiWlWe~V:HO’Z
•0^»Y(C7) *0^0) !0^-O(ff) ‘-O^VCV)
• v fitf
(0 ”)
&'S
= |ЕЯ|ГГ5=|У|’&‘Я~УЙЭ^ t'
• озшюл м
'Z - 8 -
0 I -
_0 I
f
t -
£ .
= V
&•£
V №
I I l Г
l I I I
Till
-I I I l-
&-Z
179
М II ah ah al al
Й *1IT $ #
ah M
SN
Ш-
W С,® CrAC=A
180
(Descartes, 1596^1650)
£Я^Ж- 1596^3Я31Н£
(4mWJD; i650f₽2BUH2£Ti»ft»i?SBFft
№
Й- 1612^МЙ@Й»И^®±.----
W£^t£^tlb i616^Oi&M±^MW
Швтйб; S>fa “Ш
ФА45” VI “&ШЙЗГ, М>»ЯЙЙ&ЖЖО]ЖМ11Ж-
ЖФЛхШ^Й»Ай&ДЭД±Т1Й#гЛМ^иШЛ^&МШ*
г^-ЙЯЙИЗ?«.{ЙДи1Т^=«’>^Й^Й-*СТЯ^Й5,№»е^Ж,
ft*ЙЙ#Й$Ж<> №^-4-^-С.'М^Ж^ЙЛ- №ЙЙФ®ЙЛ>ЙЖ
®-й>вИЙШ^, ft»*, {Ш*ПЛШ-ЙЖ-М1Й: “Зт^МЯЯЦ
?ФСИяДЙЖЙЛ1чГ. SttSift.
й.ат. дятетяя-«>л1й. вюбтяяй&wttiJLf»r-” ®
-ND£ «JL(EJ^» Ф^М^й,®®, (Mill)
й^*й-ф. ” ®4^1ЙЙ&ДОС^ФИФ1ЙЯХШ “^” “ft" §t-
йж, #ж»^фз1а “$й”,
ЙЯШФЛЙЖЙЙ^: “»^ФЙ^£Д®ФЛ.ЙЯ», <ТЯЙ. ЙЙ
ЙЛТ&З:, WT&&. »iiES»AT»^, ЖТЯЗ&,
Й|ЙЬЙ!^^ИТ.”
45й*ж. (йя&яя^йря-, m
ЙйЛЛ^йе,1#Ж.№гк*Й#^ЙД®ад^
лй^йвй«№йдий»<м®й, од®, №й «лм
jf^wwj£-K±25it= “йт^^ььйшазйй^, вяят&<£ю
<ПЯ*ЙЙ»«тЙ«11Й1Л.^®ЙИПЙ*МЯ*«Э1тйЙ»5И0гЯаИЙ
АЬ-Й^ЙЙ. «£«, а№ДйПИ4^Ф®ЩЭй9±^ИЙЛЬ.”
• 181 •
»a^,
17Ш2,18Й£гй<£ЖЛ£ШйА®Й-»^£№ЭШЙА£Й- S Й-Ф.
«®&Й:“Й+ЛЙ^Л{>Ш®®Й1ЁЙ^±ЮЖЙ.£7,,1вШ^Ф-
ФЙЯЖЛЙЛЙ^, reffiffi-R'JLfi<J«?*S*»-”
®-^Ли*#^ЙФЖДЙ^. №®йСТ$т^Ю S ЙЙТ “зЙЯА
^”. g&#|й “±л*т^#”. йй&йят
ГА. &Эйдай®-^Л*1й18^^М#Хй®В«^Й!й«Л^Ж,
ЛЖ#±»: “Ж-ML, алчХ2Я««Л5. Ж-ф^ЯЯЙЕай&ЙЙ
А-”
ffi-NL^T-^W: “^Т±а, #Л±«1И. аЖТВг®.”№^®^:
“;Й*4ЕЙЙ<)Я7£, WffiWWMW^£ib#1ft»T-#WSS£. ”
182
-
s ф ж *
1- Т»~т%т*-,
2.
з. £М$МД1Е£$М£-&$тт«®;
4. &Ш1йЙЙЗа-!5-&ШЙЖ;
5. т«?£-&ад4Е£ЙДХйт;
6.s«fnw^mj«№itiiii®wtoa®j
й^^ад^^йвш^ймадтот^адюизг
*8;
7-
8.
-> Я § g
1. £—
п п f(xt,x2> — ,jr„)= 2S <=1 j=l a^x.Xj (.aij = а^
- ХТАХ
«и ^12 *” а1п
МФ Х={хх,х2, — ,х„У ,А = «12 а22 а2п ,АГ=А
«1» ^2п *** ^пп_
♦ 183 •
А / = Х7АХ
2.
/=в‘ах пШММй^ММ Х=СУ Ш«
f = dxy\ + dzy\ + ••• + d„yl
f=XlAX ТОЙОШт X = DY
ЖЖ:
f = y2i + ••• + y\ — y2fi+i — — — Уг
3. Wa,£WttMW£
,1Е^& p r-p t₽
ДВ-М-
p r-p тжя-тхмт.р-сг-
p) = 2p—r
4 • Я Tf i£ 411. м Й2. *) ft -=- 3£ A
5. *Ё1$^И
X£ n А,Д,^йчГте|$ C,^ CrAC = B,M A
B-g-RI.
6. <fc.4> f=XTAX
(в змем ^/(л)=|л/-а|=о,ша й«#4е®ш
Ai, Ag > **•»A;(z:^^z2).
(2) #ЕЛ/-А]Х = одеЖЙ!М ХЛ,ХЛ,-,
X,ri(/ = l,2,-,z).
(3) lE^ft Xtl ,Xi2, -,XiriiE^n Дч, Д2, -, Дг, G = 1,
2,-,t).
(4) Х'> = ШД7’^ ^i-X,г,-,/,,.(/=1,2,-,
z).
(5)
• 184 •
с= [yn,... ,У1(1 ,У2], - ,У2,2, - ,У(1, 4- X — CY, ДО]
f = Ajj? + Хгугг + л„у2
7. —
^i=Ci ,.г2 = с2,--- ,.r„ = c„,tP® Л<л ,сг, ••• ,с„)
>0,ДОЖ Лх> ,х2,-
1ЕЖ-&Ш f=XrAX А
8. 1ЕХ —
п f=XrAX
р^п.
«д^дЕ^т-
<=>А ЙЖ/Т±-?5£4:±Т2>-
«а
<=>А I -и|в).
9.
FU,J,2) = O.
F(^,3/) = 0,G(:v,2) =
0,77(z,j:) = 0.
(3)mttt®. {^7)==^ z эдж^#г^«йе$£й
/(± л/д;2 + У2 ,«) = 0
(х—ЛГ0)2+(j/ —у0)2+(z —z2)2 = F2
-j~2 д.2 ^,2
»® J+^+J=1
MW® ~г+£ = 2*
ст bL
• 185 •
mi®
мм ^+Й-4=о
a b c
10. gfliWa
\F jCz ,y ,z) = 0
(1)-»@.ЖЙ®М£»М< z 4 •
[F2(x,j/,z) = 0
(2)>$ЦГ@Л x=x<t) ,3,=3,(t) ,z=z(t)
H. & 00
001 ЙВД:
(1)
Lo
(2) тол,ЖА=Р
'F h’Rj
;
"1 0
-0 -1-
0#\cr | |4| |C|= |С2| = -1,^|С|^^»Ж,Й^рТ№.
'1 0 '
-0 -1-
002
(1) %%№№€&(?№=
1 °]лОс7ас=
0 i J
.mswmbi
f ^xz, ••• >.t2„) — ХуХг„ ~k х2х2п—j -p ••• -j- xnx„-i-i
№ й
Xi = У1 — Уг.
•*n+i = У,, + Л+i
= Уг — З'г»-! ^„+2 = 5',.-i + У„+г
x„ = y„ — >„+I
^2» = >i + Уг«
186
/(^1,^2,'“,^) = 3*1 -I" ••* + у2 ~ У2+г — — — 31,.
Ш /(^,хг,х3) = 2^ + ^-4^
- 4х,лх-2ж*жЛЕ&Л&ЖЖ«
1В
f=* (2х{ — 4xjX2) -4* хгг — 4л3 — 2х2х3
= 201 “ хг>г ~ хг — 4х| “ 2х2х3
= 2(.Г] — .г2)2 — Ог + х3У — 3+
>1 = х} — хг
4 Уг ~ х2 + -^з
Уг = х3
'& f=2yl-y22-3yl.
=3'1+ 3'2 — Уз
^4 <хг = у 2 — у3
^3 = Уз
®|J4 /(.Г, ,.Г2,.Гз) =.Г?+.г1+.Гз -|-2.Г1Л'2 + 2.Г1.Гз
+2^з1Й&>Юйй»,^Ш f
ft?
1 1
4=111
.1 1 1.
Ч4НеШГА1=ЗМ2=Аз=о,йШЕ££&/тО^
f = Зу21
^&*1,1E»W*1,/¥1E£.
0tfs
/(XpXj.Zj) = x\ + x22 4- З-Г3 + 4X1^2 + 2x(x3 4- 2х2Хз
ft?
H X2,x3.
• 187
/(jt-j ,д-2,х3)= (л?1 4- 4^i^2 + 2^]X3) 4- xj + Zx2x3 4- 3xl
- О, 4- 4^]^2 4- 2^1 x3 4" 4^2 4* 4:; 4~ 4x2xs)
— 4.Zz -- x3 — 4хгх3 4* x^ 4" 2x3x3 4* 3x3
= (x, 4- 2x2 4- x3)2 4- (— 3xf — 2х2л?3) 4- 2xf
“ (л, 4- 2хг +,х3У — 3^ + 2 • yxrrJ + ‘g‘x>
4- ~xj 4- 2xj
ij
I 1 \2 7
= Oi 4- 2хг 4- х3У -3 лг4- y-M 4" -g-x|
3'i=xi4-2jc24-^3
ук J . 1
уУ2 = Х2 + -^Х3
.Уз = х3
f{x1,x2,x3') = y'i — Зз>2 4- y>3
0|J6
f(х3,.Т2,Х3,Х3) = ХЛ.Т.2 4- X]^3 4- X3x3 4- J'2^3 4“ X2X3 — ЛГ3Д74
/V’
x3 = У3 4“ Уг
^X2 = yx — y2
X3 = y3
Xi = y3
/(л:1,л72,д:3,л:4)= (j,] 4-3'2)(j'i ~ Уг)
4- (З'] + Уг)Уз 4- (j’i 4“ Уг)У\
4- (j’i — 3'2)j'3 4- (>! — Уг)У^ — УзУ^
• 188 •
= У1 — Уг + 2У!Уз + 2угу4 - УзУ4
= (3'1 + 2узу3 + 2узу4 + yl + yl + 2у3у4)
- У* 2г- У1- У1 - ЗУзУ4
I з
= (Уз + J's + У4У Уг I J's + 2 • -^УзУа
I 9 2\ 5 2
+ Ту’)ту*
= <J'i + Уз + J’4 )2 — Уг — ( Уз + -|-J'4 j + yj'i
Zl=3'l+j's+j'4
z2 = J’2
_L 3
Z3 = J's + jJ’i
z.t = 3'4
ж
/(jr, ,.Т2,Т3,Х4) = Z, — Z2 — zl + -|-«4
0IJ7
f = -rf + кх2г + 4х2з — 4sr12r2 + 4.XJX3 — 8j"2^3
1
-2 2"
4 - 4
-4 4_
A =
A
189
|А/-4| = А - 1 2 - 2 2 А - 4 4 - 2 4 ’А - 4 = А2(А - 9)
А А, = 0( Х^Т Л1 = 0,Й —fi),A2=9.
AJ - А = 1 2-21 2-4 4 .-2 4-4. —> ‘1 - 2 2’ ООО .0 0 0.
W А А^йИЖЖт
or, = (0,l,l)r,a2 = (4,1, - I)7'
ЙЙСП.СГгВ^АЕЙ-
*tT А2=9,й
а3 = (1, - 2,2)7
№ ЯрОГг.сййМ
•*1
хг
-*s-
190
Ш /=9з>1
0IJ8 ЖЕЙФШЬГ.ЛШ
/О, ,j-2,jr3,jr4)= JC; + х2г + X
Й? (1)
А - 1 - 1
- 1 А - 1
- 1 - 1
- 1 - 1
ЙЙЙЛ А1 = 0(Нв),А2 = 4.
(2)
ЖЕА,/-А]Х = 0Й>5ЖМ^:
|Л7 - А| =
- 1
- 1
л- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
- 1
--1 - 1 - 1 - 11 'JC1‘
- 1 - 1 - 1 - 1 Х2
- 1 -1 - 1 - 1 Xi
-- 1 - 1 - 1 - 1- Xi.
’О’
о
о
-0-
СГ1 = (- 1,1,0,О)7 ,сг2 = (- 1,0,1,0)7,сг3
'№ а1,а2,а31ЕЗс/&,Ш
(- 1,1,0,О)7
(ОГ2»А)д ( 1
(A,A)Pl-l 2’
(g3>A)fl _ (g3>A)
(A>A)P1 (02,Д)
А = сг.
А = «2
А = «з
ПАН
= А3(А - 4)
1,0,0,1 )7’
1 _1 _ ± 1
3 ’ 3 ’ 3
-4=,о,о
• 191
2 “ ll/MA
1
^6
Хз “
М[Л/-4]Х = 0,ВР
3
^6
3
л6
3 / 3
2
(1,1,1,1)'
>&сг4ЗМШ,Ш
1112
2 ’ 2 ’ 2 ’ 2
п4ттСС
= /=4>42.
0J9 В^П —#(§У /(.Г] ,-г2,.г3) = 2л'1 +З.Г2 + З.Гз4’2ах2.т3 (а
/=у1 + 2угг + 5у23.
(1) Я!№£££&&₽$;
(2) 2х? + Зх1 + Зл?| + 2ал'2^з = 1ЙхЯ'Н'-^Й®?
• 192 •
А
A - 2
|AZ — А| = О
О о
А — 3 — а
— а А — 3
О
= (А — 2)(А2 - 6А+ 9 - а2)
А] == 1, А2 ==- 2, A3 — 5
Aj = 1ft А I А/ —А | =0 Л#
аг - 4 = 0, а =+ 2
ООМШЙО <Xi = (0,l,-l)r.
Mf А2 = 2,Й?СА2/-А]Х = О,ВР^Х^ЙЙ^«ЕЙЙА а2 =
(1,0,О)7'.
А3 = 5,ША3/-А]* = 0,ВРШадт£®Й>Л а3 =
(0,1,1 У.
а^аг^з#-^^:
• 193
Го ion
(2) ^/=Ш,у + ^ + у=1ДШ£Й.
7 7
ОД10 Й-&§У
f = xl + .r| + хг3 + 2ахххг + 2bx2x3 + 2.г,.г3
«ЙМ=/Т Ы f=yl+2yl.
МФ.»Л'= (.xi,x2,xs')r,Y = (yJ,y2,y3')r,P >H|5ftlE3cft’P£,
a,b.
A = ‘1 а Г a 1 b .1 b 1. , В = ‘0 0 O’ 0 1 0 .0 0 2_
fc&gy/
f = XrAX = YTBY
ЙТ P‘AP=B IP P^P-'B. P'AP=B.
Hilt
|AZ - A| = |AZ - B\
• 194 •
bp
Л - 1 - a - 1
— а A — 1 — b
- 1 - b A — 1
АО О
О A - 1 0
О О A - 2
A3 - ЗА2 + (2 - аг - 62)A + (a - ЬУ = A3 - ЗА2 + 2A
ЭДп М-ЙЙ&5 n TbXMffl /=ХгАХ,Ы-./ЫП^
+^ + ---+^ = 1Тйй±ШЕЙЙ£Ё1$ а
iE /=*' АХ,МЕХ» Х =
f = Х'АХ = Y'P'APY = + А2>| + - + А„у2
МФ а1(а2,-,а,„М А й^М.
й a а0,ду ф
Х'Х = + xf + - + х2 = 1
дгш
Х'Х = Y'P'PY = Y'Y = 1
BP
З'? + У22 + - + у2 = 1
ЯШ
f = *гУ1 + Ъу22 + - + А„>2 < A0(j,2 + у\ + - + у2) = А»
0У12 ЙА,В#М т,п
ГА О1
С =
Lo bJ
&т+п gfriE^₽$.
ЙЕ & Х= Oj ,.Г2, У= (jm+i ,>,„ + 2, ••• ,у,„ + „)'г
(-Г1 ’-^2 » ” >Ут + 1 <Ут + 2 ’ ’Ут + „У
% г^о.ДУ X,Y ХФО.Й* А >££&
РМЛ1Д
195
Х!АХ > О
ХНЛ в п Y,w
У1 BY > О
Т>
= XrAX + YrBY > О
х с»,йсз?1ЕЖ$т-
ОД13 ЙА1» А2 = ЛЙ>Я:#Й1ЕМ
& т,®
МФ >Р > А
ffi ЙО А1=А Д А2 = 1,№ А‘ А = 1,А МОМ
15$.
Й а М А А Ж
Ага = А(Аа) = А(Ха~) = Х2а — 1а — а
Т>,А2 = 1,А=±1.
Й А=1№*|Л7-А] =0Й®«ЙЖЮ р,ДО] А
/>,Я#Й1ЕЙ&₽$ Г.-&
Г1р ° 1
Т^АТ =
LO - 1,,^
0(114 ^лйШ,1йг.^ду
f(x,y,z,w) — Л(л:2 + у2 4- г2) + 2лу — 2yz + 2г\г + w2
Юй Легден^-
1» У«)^|5$Л
• 196 •
S' Ш- S S НИ № й=
• 861 •
ОД У‘Т£*‘£±¥^£^£ШОД V <ФВт£ОДЖЭ1/
Р, = 1 > о
Тй,/ ШЖЮЖЗНФД Р2>о,й Рз>о,ОРГ^дШ:
(4 — А2>о
1- 4(Л — 1)(Л + 2) > О
ЙГШ —2<А<1-
2<A<lftf,/ 1ЕЙ-
ЭД18 й A V>k
ffi (/zZ+a)7'=/z/+a
Й fd+A
й Л A WWffiMJ ЛА)й^«Е
Ж,ЙС р+Л Д /Л+А ЙЗНЕШ-
Й А;М А деЖ/ШИ,Ж*=-А,,1Д!|^ p>k ftf ,л+А,>0,
ЕР ^1+А Й1$<1Е(Г£^Т^,Й /Л+А МлЕЙЙ-
0IJ19 ЙА,В>ЙФ« ₽$,.§. В Д1ЕЙ£РМ1Е
ВД :М П |5Я-пШ5т р.1£ РГАР Лз Р ВР
ffi й BjE^,W#£W№F$e,{£
Q‘BQ = I
X Q‘AQ
R‘XQ‘AQ}R =
199
P=QR,R№
РГВР = R'(Q'BQ)R = RTIR = I
Ai
L Aj
0У2О Й n TG^Zl&S!! f=XrAX,A Л<Л2<-<
A„, ЖВД MM n « Й * X, W
\X‘ X < XT AX < XJfX
Ж М£-&^/=ГАХ,#М£££Х==СУ(С#1Е#
f = XTAX = Aiy? + A2y2 + - + (6-1)
M + y\ + - + уг„ = Угг
i&MffiЙ n «|pj> x, йЛ(б-1)ВГШ
№‘Y^XTAX = A^|+X2yj + • • • + A„^< A.y’r ( 6- 2 )
Х03/ C ^JE^^,CrC=I,^
XrX = (СУ)'(СУ) = Y‘C‘CY = Y‘Y
ТЙЙ^(6-2)Ч^
W' X < X‘ AX < l„XrX
0IJ21 Й n
M AB = BA.
Ж
Й AB = BA пГШ
(AB)7 = B‘AT = BA = AB
^.AB
хй А.вжмйтмйьммм^в.б,'®
• 200 •
A = P'P, В = Q'Q, AB = P'PQrQ
Q(AB)Q ' = Q(P‘P&Q)Ql = QP'PQ'
Й& AB-QP'PQ'.
5L QP' PQr = (PQ‘')‘(PQ‘')
^PQr
, И ТТЛ АВ АВ >1ESW-
<ИЙ.
А,В ,Й А'—А,В'=В.
(АВ)7 =АВ _@.(АВ)7=ВГА7=ВА
ЙТО АВ = ВА.
ЙЙ &А,В MIESW,!®! A-l,kA(k>0),A‘ ,А+В^
Юё&ЙМНМ АВ 4р^-£Д1Е££₽$,й±>ЙЖВД АВ
ЮТЖв, W₽№± АВ=ВА АВ
#122 & А,ВЗ₽Д^ХШ№1ад A
(1) АВ
(2) £ в ЛО АВ
ffi ci) a# a р^а=ррг,
тд
Р'АВР = Р~'РРГВР = Р'ВР
то ртвр йтоздяз
(2) й С1)ЙГ^П,РТВР Q,^
(PQ) 2AB(PQ)= Q-'P 'ABPQ
= Q'P'BPQ =
• 201 •
W в 1ЕЙ ЛО А'ВРМОШЙ Л>о(1 = 1,2,•••,«),
йр ав швдшш
IА+/ I >1-
ffi— а* а
&AQ = Q'AQ =
МФ,Л>О(г = 1,2,-,л» А ЙШИ-
2' (А +7)6= & AQ + 2'6
Л1 + 1
А2 + 1
А„ + 1.
i67'(A + 7)61 = 12'1 |А + /| 161 = |А + 7|
= (Aj + 1)(Л] + 1)'"(Л„ + 1)
ffrlil, |А+7|>1.
ffi- £ А(-)ЙЙ^Й^М,ДУ
|А + 7|= Дл,(А + Z)
= Д (АДА) + 1)
0 А АДА)>О(/ = 1,2,-,п),Й|4+Л>1.
^|J24 Й:А^тХМ^№»^^В = А/+АгА. Д>0
^.в
1аЕ 0^/ В1 = (AZ+A7 А)' =А/+А'А
• 202 •
Ж« в MB,XV
X'XXI + АТА)Х = ЛХГХ + ХТАТАХ
= ХХТХ + (АХУХАХ)
= Л||Х||’ + ||АХ||2
SjfeV Х^о, ||Х||2>0, ||АХ||2>О,ЖU1+>OM,W
X'XXI + АТА')Х > О
ЭД 25
«•
а + 2)2+(з’-1)2+(г+4)2 = 2
6л: — 3> —2z = 0
Я? Иб-1Жж,й R WW,s£41'(-2,1,-4)S!)Y®
6л:-Зз/-2г = 0Й<ЛЁЖЛ
1-12-3 + 81
+б2 + (- З)2 + (- 2)2
r= 7R2-d2= /2=1 = 1.
Э 6-1
jc = Qt— 2, з'=—3z + l, z= —2z —4
• 203 •
I .г+ 8 у—z +10 = 0
&126 , ДЙ^®й + й + г2 = 1
l4x+2j>— 7г = 0
•г + 8у - z + 10 + Л<Лх + 2у - 7z + 1) = 0
BP (1 + 4Л)х+ ( 8 —Н 2A)j/— (14_7A)z4~104_A=0
_________I ю ч- л |________ J
У(1 + 4А)2 + (8 + 2А)2 + (1 + ПУ
Ш 2А2+Л-1 = 0
ЙА=-1^А=|.О¥Й^
x-2j-2z-3 = 0^2x+6j/-3«+7 = 0
ЭД 27 (1)^Й^ /:^ = ^ = у
motrnsw^iw
<2)#m(5'~х й^>¥®±й».
[х+2у — z=0
й? (1)йй®±Й-Д(^у,г)йй1^±(х,г,г)^
X ,У ,Zй+22-1=У ,вр й-У + г2=1*^^!Й^
3-!ЙЙМИ-|-ЖЙ®-
(2)Дй»@(>2^гг=‘г
Ij?+2>—z=0
lx2 4- Ьху 4- 5у2 = х
U = 0
204
. #|J28 =
1 z = 0 n
м p
Й? ifl®6-20r^ ,Й(Х,У,7)*ЙД±{1---Д
/ I' ^=~L=Z-^-
4> z=o,№ 1'5 хоу ®ЙЗсЛ*НТ:
^=X-^-Z, jz^y-^Z, z, = 0
p p
ffl 6-2
rfffAUI,>1,0)^7ta±,fe^r®
f[z - jZ,y - jzj = о
0029
X2 + Уг + Zz — 2xz + 4.Г + 2y — 4г — 5 = О
й?
205
10-11
А Л1 = 0,Л2 = 1,Лз = 2.
MW^^W^ffi|oJ#:Cri = (b0,l)r,a2=(0,l,0)7\a3=(l,
о, -1 >г, :
(jr,J’,z)A(j7,J!,z)r + (4,2, — 4)Gr,y,z)'r
= Cr' ,y ,г')АгАР(У ,y’ ,z', У + (4,2, — 4)Р(х' ,y' ,z' У
Ш
X12 + 2x’ + 2z'2 + 4 Z2"z' -5 = 0
\r" = У + 1
* У" = У' + 1
z" = z' + /Т
w^"2+2z"2=io^ffiiaitt®.
И ч $«£ ЙЭД
206 •
и/w а=.
2. й—f (^1 ,.Г2,.Г3) = A(x|+xf+xf) + 2^71 JC2Н-2jcjJT3 —
2х2х3,Ж^ Л=Л<-Ш,/iffi
S л=он},М»йМ*.
3. А —1,1,2, И А
, jti jw. л> м•
4. W 2.Г? + 2т2 + 2х,х2 = 1, й й 1Е Й $ &ft * fit
02f@•
5. Й (3'2+z2 = T Й^ЦЙОЙОО
lx + 2.y—z = 0
2,0®
l.T®#^zRW(
( А ) х2 + 2у2 + 2 эсу+буг + 3;
(В)2х!х2 + 2х]Х3 — 6х2х3 = 0;
(C)x2 + y + 2z2 + x + z;
(D).r1.r2+x2x3+x3x1.
2. f(X)=XrAX X = CY nJ ft
^/(y)=y7'er,WJWTifefe^lE^MX )•
(A)A В ^-|SJ;
(OA-'gBM (D)B(A)=7?(B).
3- & А,в й|ё|,WJи*Т&^₽$ф22£М1ЕЙ
)•
(А)АВ,А + В; (В)А-\Ы (^^0);
(OA-’M-B; (D)A’,A7'.
207 •
00
о
00
) ‘ИВДШаШО)
•( )fi=(^^‘Ir)/?M
‘ -}- гх'з?2 -I- zx’xg _|_ ^гху 4- _|_ 'Xf = ( «гг ‘ гх ‘
% Й * и
Й JlT й
эд
ж
31
Я₽
й
mg
ж
Н
i
эд
АГ
S
я-
АГ
М
5
га-
да
Ж
ЭД
44
Й
Я
ЭД
|ш
Й
Й
AI
=Р
да
эд
41
W
Я
ЭД
ж
и
№
Зв
АГ
3
ч
эд
АГ
ЙГ
ЭД
7s
ЭД
ж
ЭД
ЭД
М
ЭД
эд
АГ
$
ЭД
да
WJ
At-
да
44
а»
ЬТ
ЗГ
н
ЭД-
ЭД
Я-
4+
Ж
St
ап
%
X
эд
ft
эд
я
эд
йй
&
ж
5?
AI
ЭД
В
ЭД
й
ЭД
£
if
5п
ж
да
£
й
Ж
эд-
4П
Ж
эд
*
й
со
ж
Й1
да
в
3
Я
Й
ЭД-
Al
ЭД
ЭД
й
Ж
№
эд
$г
ж
§1
я
ж
4*
<1П-
й-
8
ЭД
Й=
3
Н=
Я*
ЭД
№
й
Ж
й
Ж
АГ
(Т)
&
Ж
п}
3
о»
Ж
№
вй
3
№
»
Я?
it
£
at
ст}
$
(й
AI
X-
и
Я5
*#
й*
Sk
а
«
й
й
Й
да
£
<gst
ж
3
АГ
м
?н
5Й
•ч
Ч
Я
Ж
ч
3
АГ
Ж
S3F
3
да
АГ
да
да
*
5?
Я
эд
эд
»
»
з
№
эд
да
*
да
эд
да
АГ
-ffi-
ЭД
Ш
N-
Я
К
ж
н>
я?
ж
«
5М
3
ЭД-
ЭД
3S
ЭД
Al
&
шв
Я>
&
£
Е&
3
2S
Н
ЭД
?М
3
и
&
И
3S
Ф
ЭД
gi
ЭД
3
н
№
3
&
ЭД
3
я
эд
&
!§,
*
ад
и
эд
Й
да-
эд
эд
ЭД
н>
га
ЭД
АГ
да
з
а
m
АГ
&
а
да
йп
зг
эд
эд
эд
я»
да
АГ
йш
IS
м
эд
ад
№
ЭД
N-
$
W
я-
да
-н
йш
AI
21
ИВ
k
?&
я-
да
да
Й=
5®
да
эд
Д
о
ЁГ
&
эд
да
£
йп
3
gj
ж
Й1
да-
3J
ш
gt
Й-
да
®
а
ад
й
41
да
да
&
&
I#
ад
Й1
да
4В
*
Ш
<П1
4Ш
3
В
АГ
ж
да
эд
эд
эд
4Й
W
й
эд-
ItTTT
[ТШ
ж
да
»
ffi, В ft m ±3 & ffi Й * ffi»& Ф »r fl ® S Bt £ & S Л ¥ A A ft it • Ж и
«ПИЙ. WSSSK^AWWiftg , ИйААЯйМ
lEAif^fibWAA-НИ
J0^#W«M0>W^A«^WSATJtkS
«T-WlBJ.
«МЖОЙМЙЙ-ЖЗН'М^ХШХЖЙТ»й. №®
DJSftWW, 4OSHS. ЯИЙЙВЙЖЖЙ “2mst1imS£SiK£
ж^*й#5®«1яятт, itk^ig&smwxtf. ±miti«ib
№^,ААЙ#Й£ЖФАШ.^^£27^.ЙЙЙ1£НА1Й#А^£&№
ИЙ^-£а®Ж, ЙШ^иШТТЛЙЙШ«-^Фадй«
-т^ША ид^да, Foi^fnB;, ии^й»,
?e«f, hhwsia пя^жя, пд^йййя, нд^й^ййя, н
ЮЯ^Я-Зг®, Wfl*K3S#, и
И^М®...«^®^^^*«РЙ1Й!“ИД^ЙТ«ЙИЯ,£«Й^Ж
+ti50#. ” Ш^ЙЯШ^ЮЙ^Й: “ЯЛ££«!
й5ЯгЖ»^Я»1ТТТ^^Й9Йер. «ЯЖТ*ЙЙ®ЙЙВЛ.А<ПчГЫ1й
«1ЙВ®£Я-тЯЖЛЙЯЮШЙ,^1й¥ЯЖ!Е*ЙЙП»....(fix
Уп°пЙ^*ЬЖЖЙ&^ЛЙ<)»Й!«»ЩЛ.®1ЁЙЯАиаийШ1ЁЙЯА^ятЭ
Э*Ж®ЖЮ£1К.”
ИИ KG-g:“-'bAftS^^SS^±W0fffl^,ffe^®l°]ft!)i₽fn
^5J.”
210
1. ЙОМЙФМ;
2.
3.
4. ШШ«ЙО№Ж
5.
—' Й & Йе
1. £ШЙ1*1
i£ v М-Ф«Ж£,Р М-ФМ-£ V ФЖХТ-ФЯп
йьй р 5 V £|адят-«ямпж V #ЙМ#Ж^£ТИ ,м
ЙДЛ&Ж» W.W V р ±ЙШЙ£|0].
2. -££ fa]
й w v w м v фйж^йЖ
MBWIWMV й^£|0].
3. ^4±Й 191
V П 'bfot е1,£г,-,£„ Ф
<£Ж ЖфЙОт.И» е^е2,-,е„ * V Й-ЖЖ-
V ЙЙЖ^ЙЖЙФ^* V Й»
е.,Ег,-,ея Д V Й-Ж»ЙЗЕ^^<ФД е„£г,-,е„
v Фе-^жчй'Еа^йаж.
• 211 •
a = «jfj + агЕг + "• + a„E„
J)O(ai,a2, —,a„)2j cr f, ,£2, ••• ,£„ ТЙФ^-
4.
ЙЙМ a1(a2, •••,»„ A,A,-.A V ЙМ
ж,и
Pl == <^llai + a2ia2 + " + a„ia»
P2 = «12^1 + «22ОГ2 + ••• + a„2Ct„
<
Р» — а\Л + a2»a2 + •“ + a„„a„
(Д,р2, —,Р») = («i»or2, — ,or»)A (7-1)
МФ
а11 а12 <21я
<721 а22 *** а2п
А =
_<2«1 &п2 *** ^пп_
М(7-1)^ЛММсГ1,а2, •••,«-. ИМ Д,Д,-,Д
A^^MSa,,a2,-,a„ £!|« А,А>->А
Й V ФЙЖайЖсГ1,а2--,сгп А,А,-,А
^№1&Са1,аг,"- ,ап)-^ (bi,bz, — ,b„) ,Д!|М
• 212 •
5.
й v р ±№^ttSI'sl ,<т ДУЛ V Й v AWO-fi <7
Ж£:
(l)<7(cr+/3)=<7(cr)+a(/3),V cr,/?€V;
(2)<racr) = ^(a),V kep,aev.
WJW <7 |0j V
6.
(1) (<r+r)cr= tr(cr)+r(a) ;
(2) (ka')a=ka(a);
(3)(<тг)а=<т(г(а)).
a+r,ka,ar
A&JOJ-
7.
ft at ,a2, - ,ст„ V И»)Й,<7 S V , Д
(a(Xt}) ,o(a2) ,-•• ,a(a„')') = (аг,а2, — ,aJA
Ж^А^а^ау,аг,-,а„У^П.
№14г ftS er, ,а2,- ,a„ В,Ш
(1)<7+гЙ&1Ш+в!
C2)ka kA;
н, Д S 00
0iji |5Hg₽$£{£},5tf
Й? fflR A,BEV, ft a;i,i„(i = l,2,-,n)^JM A,В ±M
^^±Й7и,1ДУЙ»Й
an + a22 + •” + am = 0
• 213 •
(’ll + ^22 + + b„„ — 0
Хй А+в=с,ШО с Й
(an + 6n) + (a22 + b22) + ••• + (a»» + b„„) = 0
aw cev
XV k£R,kA
kaAi + ka22 + "• + ka„„ = k{au + a22 + ••• + a„„) — 0
aw MGV
,v
(1)A+B = B+A;
(2)(A+B)+C=A+(B+C);
(3)3 ^|^O,V A€V,0+A = A;
(4)VAer,3 ^&P$~A,$ A + (-A)=0;
(5)1A = A;
(6)Л(/А) = (Л/)А;
(7)а+/)А = ЛА+/А;
^k{A+B)=kA+kB.
ЗСФ A,B,CeV,k,l£R-
a v r ±м^й^|в].
^j2 &v = {/a)i£/<x)dx = o} ,v йзш
r ± йшй£ isj ?
№ V J(x),g(x)GV,feeR,W
[ [/(x) + g(x)]dx = f /(x)dx + f g(x)dx =0 + 0=0
Jo Jo Jo
J kfCx^Ax = л| /(x)dx — kQ = 0
• 214 •
(1 )/U) +И-г) +№);
(2) [/(.г) +gCr) ]+Л (.г) = /(лг) + Eg (ж) +Л(х)];
(3)f%«tWf?№
(4)/Сг)й7e№~/W;
(5)1 •/(.г) = /(л?) ;
(6)яЕ4/ (.г) _]= (ab}f (.г) ,a,b£ R;
(7) (я+6)/(x)=af(,x)+bf (.г) ;
(8 ~)а Е/ (rr)+g-(.r)] = a/(.r) +ag(x').
Й V R ±lWtt£l'0j.
Эдз v={n
.5«ЗЙМ К ±ЙШй£|в]?
М V Аег,о + А = А,Й VW
±ЙШЙ£Гч1.
$|4 У={(а1,а2)|а],а2еЯ},Й V —Ollfe:
V аг = (й] ,а2) ,Р = (bt ,b2) (Е V,а 4- /3 = (а) + Ьг ,а2 + Ь2)
R 5 V Й7С£|Н]£^Т-Я»:
ka = (kax ,0)
v R ±Й«ё1'в]?
1 • or = (1 'я. ,0) = (flj ,0) a
врж(5)&^?й£,й v ы r ±мш££|в].
p ±й£Шё1в] v Фимттд&д&й
yL sfc'й Т • Ша Ж й Д, й£ |в] Й йп пГ щ Д $J К $J 2, $J 3
a®b=ab,k а
• 215 •
= = (ka. ,0). ШПЙ^МЙ
g ЭДФ ф заМ-^ й Ж Жй-
ЭД 5 i^p^={^p
ТЖ1$ЙЖЙ^^$$^р±Й^Й^И,ШФМ'ГЖ-Й-
Ф , ЙШ $Ж РпХпЙ ФФ И :
(1)У4 = {А | | А | = 1, A G Р"х"};
(2)У2={0};
(3)У3={7};
(4)У4={А|А7=А};
(5)У5={А|А7'А = /};
(6)У«= {А |«„=0,/= 1,2, - ,п}.
V AGV,, |0А 1=0,ЙОА’ёУ,.
(2)<й У2Х1®&ЙЖЙ^^Й»ДМтЙ ,Й У2Д Р”х"
йтфи Ф^й^й
(з)УзД^-ф5ё bpmw i,sj& 1 хемйжшздж
,Й Уз^ РлХ''ЙФ^1'а].
(4И£Ж А,веУ4, (А + Ю7=АГ + В7 ==А + ВеУ4, (Ы)'' =
М7 =ЫСУ4,Й У,Д Р"х"ЙФ$|н]-
(5)У5адКЙ№^^й,тИ.У АЕУ5,ОА = ОёУ5,
Й V5^FM Р"х"Й^$|в].
(6)S$ УбХ^ТР"х’'йЖ^^М®ЯЫФ1йй,й У6М
Р"х"ЙФ$|в].
006 /г- ф^л^т^дйй^жйм
R" Й^ёЖ?
(1) JT1 — х.г—•”—J-„=0;
(2) .Г) + j:2 +•••+.r„= 1.
• 216 •
№ й H£^cr,pew1(iS:
и
сг = (а} ,а2,— ,а„) ,ДО] ау — ^2а‘ ~ 0
i=2
Р = (^,62,-,6„),Д0^ - £> = О
4 = 2
or + Р = («1 + bi ,а2 + Ь2, ••• ,а„ + Ь„~)
ДО
(«,+/>))— 2<я> + ^,) = к ~ 2flJ+ !^i ~ S6*) = 0
i«=2 4=4 4 = 2
X
ka = (kai ,ka2, ,ka„)
kax — = k"i “ Sa«) ~ О
^X,a-Y^^i,ka^i,'Ni^Rn й^|н).
(2) ЙТУ2Д^Ф(2)ФЙ>^ ,W
a= (ai,a2,-,a„), P= Qbi,b2,-,b„) e w2
WOW
2я' = i ’ 2_k' = 1 ’ a P — (ai + by ,••• ,<л„ + b„)
4=1 4=1
0*
S («. + b^ = = 2
Й W2WM R”
007 ISA m.UA №-ф£4ШШ,И\={а|
Aa=Aoa,a€/r},ffiBJl И\Д Я" Й^£|в].
i£ ]£Жа1,ст26И\,]Ш|
Aai = AoCTj, Aa2 =
A(a} + a2) = Ver] + cr2)
tt
• 217 •
«1 + «2 € W,
X T£$UGR,!iliJ
A(kat) = k(Aa,) = k(XoaJ = XnCkaj
w ia^w^
T>,M\> R" WTSIhJ-
WaJ№) А WWffiT£|b]- И^т A MT ЛоЙ£Й5
008 n
I? ffl Ач(1<|<;<я)^Ж at,: — dji = 1, X^7G±9 Й П
Ш,Я1
Ац = ’1 0 0 • 0 • • O’ • 0 >Aiz — '0 1 1 0 O' 0 $ •* »
-0 0 • • 0- .0 0 ... 0.
’0 0 • • 1
0 0 • • 0
Aj„ =
••• ••• • • ••
-1 0 • • 0-
’0 0 • • O' '0 0 ... O'
0 1 • • 0 0 0 ... 1
Aj2 — »* > A2„ = > ••• >
••• ••• • • ... • •• ... ... ...
-0 0 • • 0- .0 1 ... 0-
’0 0 • • O'
0 0 • • 0
A„„ =
••• ••• • • • •♦
-0 0 • • 1 -
‘ 218
n + (л - 1) + - + 2 + 1 =
w<
kij — 0(1 =C i ::C j n)
П А„£Ш^Ж:
= S ачА^
Л11 й12 *” аХп
Д12 а22 ’“ а2м
&2п *** &пп.
0'J9 ® а, = (7,-5,2,4),а2= (3,1,6,-2),сгз.сг,,'®
сг^аг.аз.а^ЛЙ Я4ЙЙЖ-
Я® а1,а2,аз»а4ШЙЛ^>Ж ai,a2,a3,a4«t
Я4Й«,Ж
ст3 = (0,0,1,0), а4 = (0,0,0,1)
И
7-52 4
3 16-2
0 0 1 0
0 0 0 1
= 22 О
219 •
/^17 ,»i ,a2,«3,«4^5tt4c<JC ВР ст1,сгг,а3,сг4$|Ж Л’МЖЖ-
ГЙЙШ@ ,ЙГД^Й^ДЖ-Й,Ш<ЖМ#ЖЛЯ'МДЙ<)Г
ЭД 10 й СГ1 = (1,-2,3,-2,3),ст2 = (0,1,2,0,-1),а3 =
(1,— 3,1,— 2,4),Kffi аГ1,сг2»<х3Й^Й:<^-|4Ж'н:С1СТ1+с2ст2 +
с3агз(с1.с2,<-з€Ю1ШЙЖ£*|-
|в]
ffi Й L(aj, ог2, а3) = {qcti + с2а2 + e3cr31с4 ,с2 ,с3 6 R}, ДО]
7,(а1,сг2,а3)СЯ5,иЖ А,Дб/ЛсГ1 ,ст2,а3),££/?,&
А = 4" ^2^2 4" ^3^3» А — Л®1 4" ^2^2 4“ (з®3
А + А = (*i + /1>СГ! + (Л2 4- /2)а2 4- (Л3 + /3)а3
ЛА = (ЛЛ,)а] + (ЛЛ2)ст2 + (ЛЛ3)сг3
& 4- А 6 /Ла^сгг.а^.ЛА 6 L(a!,a2,a3)
Йт1Д ,Z,(a,,a2,a3)M 4'^5'I±S|h]-
ХЙ а1,а2,азЙЙЙ^йГ^]:а1=а24-сг3,Ж а2,сг3^й4Е^,
/9Ш ,а2,а3й />(СТ1,а2,а3)й—fflS,A(ai,a2,a3)&<]^|jt^2.
W Р ±Й^Й$|’в] ,-ММ££
I?] 1ДЗОЕ,шД,МВ$П w И
Ж £. ЯIJ «Г Sc 41 % га Й П й fi- & ffi, Я ж W w яг Т Ж -|4 S И
И WT, WJio«W W-
ЭД 11 R+ = } ,аф6 = а6,Л ° a = at, (а R+ ,
ле/»,й$жй-14ёга(я+,я,е,»
м V ле/г+,жл=}~,ш
Ь = k « 2 = 2* = 2К2 = Ь
• 220 •
BP,2W* ГЙ1,Й(Л+,Л,@, ° )Д—
,^йё1ч] /г+й^ти>1-
1® а = la = а, V a G R+
л+йЙЙ-
0012
'2л^1 + хг — 2.г3 + З.г4 = О
' 3.rj + 3^2 + З.г3 — З.г4 = О
З.г, + 2.г2 — хг + 2х4 = О
ЙМ£Гв]ЙЖЛ£-^Ш-
м
“2 3 .3 1-2 3' 3 3 - 3 -> 2-1 2j '0 - 1 - 4 ~2 1 - 1 1 .3 2- 51 -2 3' 1 - 1 - 1 2_ ‘10-3 4‘
-* 1 1 1 _0 - 1 ‘ - 4 л?! = Зл:3 — 4х - 1 -* 5J 4, *2 = 0 1 4-5 .ООО 0. — 4х3 + 5-г4
#ЭДф(лг3,л-4) = (1,0),(0,1),ШЙЙМ^
«1 = (3, — 4,1,о)т, а2 = (- 4,5,0,1)т
аг, а2<ДS И Й Й Jg, М S Я Й tO 2.
Й АХ=0Д-1 п 7Б#&^Й#М,Ш АХ = 0Ш^ W
cr,tt cr1,a2ew',Ae/?,t₽w
СГ1 + а2 е w, ka, <е W
Й w Д R" АХ = 0Й
М£|’01-М1Ш£ё₽£ А йй /?(4)<П,ЯО А* = 0ЙЙЮЖЙ П
-7?(А)ФМЙ*М. «^£ФЙВЙ*Д^ЙЖ^Й,М
^ИФ1£-й>пТй'Ё{|'Шй^лч,0г1^ АХ = ойЙйШЖа>
ММ S 1'в1 Й М, п - R ( А ) st Д MS fBl Й
221 •
0IJ13 й (1,2,1,Е,==(1,1,1,1),
е2 = (1,1,-1,-1),е3=(1,-1Л,-1),е4=(1,-1,-1,1)ТЙ
№ й
а= х^ + х2е2 + х3е3 + .г4е4
(Е, ,£2,Е3,£4)
Л — т2 — х3 + х4 = 1
5 1 1
*. = -р л'2 = 7’ ^=“7’ т4=-
X
4
att е1,е2,е3,е4ТЙФ^>^( 4’Т’~Т’~4
\ 4 4 4 4
0IJ14
(1) :£ЙЙа1,а2,аз^« Д.Д,АЙ£Шт;
(2)
• 222 •
ffi (1Х£ЙЖ<Х1,Д , А, С, ДУ
ЕА’Эг’РзЗ — Еа](а2,а3ЗС
С = La,,a2,a3]
МФ
'0 1 0 '
’1 1 11 1 x _ x
0
[ctj ,cr2,cr3]’ =1 0 0 = 2 2
.1 - 1 1J 1 1
1 1
L2 2 J
‘0 1 O'
1 1 Г1 2 3'
— 0 — —
C= 2 2 2 3 4
± _ 1 X Li 4 3J
.2 1 2_
' 2 3 4'
= 0-1 0
.- 1 0 - 1_
(2) й л Tidj ~|~х2ог2ФХ3О3 — у 101Фу202Фуз0з
>r ' 2 3 4’ 'УГ
x2 — 0 - 1 0 Уг
-X3- - 1 0 - 1. -Уз-
ЭД15 (l)ffiB|l 1, (X-2)(х-DM /?Ы2Й-ШЖ? (2)
^Й*1ФхФх2йШЖТЙ§^^.
(1 ХЕ- ВЛ ЯГх1>НШЙШ£|а] ,8т КХ /?ЕхЪФ{Е ЖЗф
• 223 •
• 1 + &2(.r — 1) + k3(.r — 2)(.z
at = 3,а2 ~ 4,й3 = 1
№Ы ,l + x+a:2^0r^»TWW*(3,4,1).
ЭД 16 к3ф ,ЖЙЗ£ «1= (1,0,0) ,а2 = (1,1,0) ,а3 — (1,
’1
ыжит а= о
_0
-1 01
1 -1 0гШ^И®гЖД,Д,Д,^
о 1J
а= — ctj — 2a2 + 5<x3&S; Д ,Д, ATW^te-
Г1 - 1
ЕД,Д,Д1 = [«1,а2,ог?] О
Lo
О'
- 1
1.
= Еа1, — »1 + ОГ2, — а2 + сг3]
ЖИ,Д=(1,0,0),Д=(0,1,0),Д=(0,0,1).
а=- а, - 2а2 + 5<т3 = (2,3,5) = 2Д + ЗД + 5Д
Й Д,Д,ДТЙ^^Х2,3,5).
ЭД17
^(l)i»b’],E2,E3,£4S!JSF,,F2,F3,F4Wi±«^l^;
(2)й> М= Р'1 Й21йг{Е,}даЖ{^,}ТЙ^^.
La3 a4J
1
о
• 225 •
Й? (1)
= ЗЕ, + Ег - Е3 + Е,
F2 = J 3 = Е, + ЗЕ2 + Е3 + Е4
Г 3 01
Е3 = 2 1 = 3£‘
Г
2-
= Е, + Е2 + 0Е3 + 2Е4
Е1,Е2,Ез,Е4Й Е^Ег.Ез.ЛЙШШЁР?#
'31 3 Г
13 0 1
- 1 1 - 2 0
- 1 1 12-
(2) М =
La3
= «!£] +а2Е2+а3Е3 + а4Е4 ,М ЙЗЙ {Е, } У
*<22 *<2з *<24)«
ЙШ
• 226 •
3 7 , 13
-а. - ~аг + -а3 -
1,5 5
- ~2а' + Т*2 “ ~6аз
+ ^2 2<2з
1 _i_ 1 I 2
“ Т22 + Г*3 + г2*
6а<
1
6а<
15*118 Й Е, ,Е2,Д 7)! ,Т]2, ”• ,п„ п V ЙЖ
ias, Д ни , X W
(П1,П2, —»п») = (£i,£2, — ,£„)A
тЕВД :П) »Пг, - >n„ % V А
т-
ffi
«и «12 — «1/
Й A = «21 «22 — «2»
«Ш «Я2 *** ^лл_
Шй Е1)С2,-,е„
(П1»Пг, — ,Лп) = (Е1,Е2, —,Ё„)А
йГШ
01;,Пр— («i.Ej + a2ie2 + ••• + a„ie„,aljel -f- a2je2 + ••• + a„>E„)
= ava^ + a2ia2j + ••• + anianj (7-3)
% iji ,i]z, *** ,ijn
11, i = j
Сл.»л>) = . . (7-4)
lO,i ]
ЙЛ(7-3).Л(7-4)пШ
11, г' = j
аиац + a2ia2j + ••• + ania„j = (7-5)
10,г j
5£(7-5)i£l$ АГ4=7,Й A
227
А ^1Е^^1$Л!|Й;<7-5)^лг1,ДЖЙ;(7-4)^Й1,ВР П1>
т)г> — ,П»
0IJ19 ТЯОФ-WSMttO?
(l)ft Л3Ф ><T(Xj ,X2,X3) = (Zxt—XzfXz+xifXi) -,
(2)ft Я3Ф ,<т(^1 ,x2,x3') = (.xl,x2+x3,x23) ;
(3)ft /?"х"ф ,a(4)=B4C(B,C Д
Й? CD’S a= Cri,x2,x3),P= (>i ,з'2>3'з)»^в/?,Д!]
<т(а + /3) = а(хг + j»! ,x2 + y2 ,x3 + y3)
= (2-z, + 2>j — x2 — y2,x2 + y2 + x3 + >3,^3 4- y3)
= (2.Г1 — x2,x2 4- X3ix3) 4- (2>1 — Уз^Уг 4- З'зэЗ'з)
= <7(cr) 4- <z(P)
a(Jia) = a{kx-i,kx2,kx3') = (2^-Zi — kx2,kx2 4- kx3,kx3)
= ^(2^i — x2,x2 4- x3,x3) = ko(a)
(2) а(ка~)=(.к2х1,кх2+кх3,к2х1)
= k(.kx2i,x2+x3,kxl')
^ka{a)
(3)a(44-D) = B(44-£»C=B4C4-fiDC=<T(4)+<r(D)
<7(M) = B(kA)C = k(.BAC) = ka(A)
0IJ2O ft Я2Ф ,<r(x,y) = (ax,6y), (a,b + R). ЕВД -.a > R2ffi
IjE Й а=(.х1,у1),р=(х2,у2),^1]
o(a 4- p)= a(.xx 4- X2,yy 4- y2) = (.a^Xy 4- x2),6(>1 4- J'z)
= (ax^byt) 4- (ax2,by2) = a(a) 4- o(fi)
a(,k<x)= a^kx-^fky^) = (^kax^tkby^)
• 228 •
= k^ax^ ,ЬугУ = Л<г(сг)
ш a = l,6=2Bt,<7 JE® ?Ъ-1$Мй xz4-j = L
a = b=2fH,a й|Э =
^+/ = 4.
©1 21 ЖЩ : сг(гГ1 ,х2) = (х2, — .2"! ) , t(jTj ,.Г2) = (.Г, , — J"2)^
а+т,ат,та.
ft? & a~(.xl,x2'>,P={yi,y2'>,k^:R,^
<j(a \РУ = а{хг 4- з>] ,х2 + у2У = (х2 + у2, — Х| — угУ
= (х2, — х,) + (з>2, — з>!> = а(.ау 4- <т(/3)
o(ka) = а(кх} ,kx2y = {kx2, — kx}y
= k(x2, — ххУ = ke(ay
WIU Г м ЯгЙ£ШФ&.
(a 4- r)a= <?(a) 4- r(cr) = (x2, — 4- (x1( — хгУ
= (л?] 4" X2 , — Л?! — ZT2)
(ffr)a = a(r(a)) = о{хг, — х2У = (— л:2, — Xj)
(r<r)a = r(tf(a)) = r(x2, — x!> - (x2,Xj)
©122 a(xi »x2,x3) = (2xi—х2,х24-х3,х3)^ё2£ £i
= (1,0,0), £2= (0,1,0), E3= (0,0, l)Tfi«J$g|$.
Я? ЙЛ <?(Ei) — (2,0,0) = 2ti 4_0e24_0e3
о(.Е2У — ( — 1,1,0) — — £j 4-£24-0£3
ff(£3)=(0,l,l) = 0Ei 4~£24~0£3
WUX йй= Ei ,e2,£3T
’2 - 1 O'
4=0 11
L0 0 1J
©123 4«3tf,WftffOr)1=(-l,l,l)r,l)2=(0,0,
229
-1)7',п3=(о,1,1)''ТЭДЖ^>
- 1 о г
А = 110
L— 1 2 1J
Ж « £ЖЕ1 = (1,0М^е2=(0,1,0)7',е3=(0,0,1)г
W (П1,П2,Пз) = (е1,е2,е3)В
Г- 1 1 01
В = 1 0 1
.1-11.
<*(П1,П2,Пз)= <П1 <Пг 'Пз)А
= «Е!,е2,е3)ВЗ
= oQe^e^e^B
= (s^e^e^BA
ЙтИ,ст(е1,е2,£3) = (е1,£2,е3)ВАВ
О Е1, Ег, Езт ЭД 1^ %
1 1 - 2‘
ВАВ' = 22 О
L 3 О 2J
«024 Й V Д V ЭД^^|'в],
<т(|У)= {<r(cr> |aeW} V ЭД^£|н].
i£ V A»A€a(W),3 ai,a2GW,-fg
<r(aj)=^, <т(сг2) = Д,
Pl + A = ff(cti) + ff(cr2) = o(a} + a2) 6 <t(W)
V k e P,k^ = Л(<7(а,)) = a{ka^ 6 <r(W)
v ЭДТ^Й-
Щ л 0^ И
—
230 •
1. К R
_____4ЙД
2. p3X34>£M3fW&P$$$ РзхзЙтРё|н] ,йФМ|0]Й
»ЖМ,№&•
3. ft Л’ Ф, ЙЙ сг= (^! ,аг, ••• ,ат)йЖ)Й Ei = (1,1, ”• ,1) ,е2
= (0,1,-,1),-,Е.= (0.0,-,1)ТЙ^й•
сг1 = (1,1,1),сг2=(1,2,1)<|51Е^Й^<ЙЙЙ
Д( )•
5. Й ЯгХ2Ф а *
ff(A) =
Ь
d J
A
Ж *41 Е1г,Е12,Е21,Е22Г&1№.М•
—лМйМ
М( )•
(Л)
(в)
a,b£R
(С) М=
"О а
-—а Ь-
(D)
2. Й^Й$1'в] Р" Ф,^ЙТЖ^№ЙЖ^1Г={(х1,х2
*,>к.ер,о=ь2,•••,«)},рп й^й|н1йД( )•
(Л) XiX2'"x„ = Q-,
(В) л?1 +2л:2 + ••• -\~пх„ = 0;
(С) (jtj+jtj+ •••) — (т2+^4 + '") = 0;
(О) x,+2 = jci+i-f-;r, О==1,2,”’,я —2).
231
3. |6j*ffla1 = (2,l,3,l),a2=(l,2,0,l),a3 = (-l,l,-3,
0),а4=(1ЛЛЛ)^&$Й^|в]ЙШМ( )•
(A)l; (B)2; (03; (04.
4. 1ДТ&&/Б1Е1ЙЮХ )•
(А)Ш^ЙМ^^Й^?
(ОШ^ЙМ^^ЙЙ;
(О^Й^£ЙЙ*Й£'£1Е£;
(О^Й^ЙЙЖ^^ЙЙ-
5.ит«зйОФ.то1( )•
(A)a(cr)=(or,е,)^,£1 = (1,0,0),(а,£1)Д £,ЭДЙ
(В)й(а) = (а,£1)£1 + (а,£г)£г,Й4’ £г = (0,1,0);
(Ша)=а+а0,ХФ а0Д Л3Ф—ФОЙМ^^ЙЖ;
(ОШсг)=£сг,Л€Я.
Н^РЫгФ^/.О.АО-ЛООЖ^.ЙЙ
/,(х) ,/2(х) ,/з(х)М^* РЕ^гЙЙ?
И,® 0Г1,а2,стзМ Я3#] — ЖЗ£,^ЙЙ а=аг — аг — а34Й
а^^+аг^^аг+азТй^В-
а1 = -^з(1,1,1)Г^^ K3iW«lE^S.
/т
А,Й <а-(.г,>,г) = (0,0,.г)
<т-1(0)= {сг|а(а) = О}
1. ЮЛ ^-‘(О» И ;
2. ^<т 1(0)ЙФ^7Б.
232
фО f£(Galois, 1811 — 1832)
1811^10^26 0
ф^й®^.«^Л&Жй*Л. 1823*₽юл ,йй^^^±Т^ВгйЙЙЖЖ
Ф^,ШМ^±Т»^.АЯ^^«^Й»*«»^Й9^А<№,М^ЛЖ
® тлжж* к рш* « й , я а ® й н ч л ж, жж tt й « % ж
& ж , ш з? $s»mw ж • № <х а т я* в е ш ж &%® й ш
»,иш.й5йЛ1жшп1й^жзйй!й1гв.«^^&к«в«и1^±^
зж*т^®й®^жш#йпт&*тй4Ф,#>й!Т@&ё:11^.1й
Шй^«±-А1б1Н:£Ш8Й*е,Л¥Ж*Й»^Ж«^Я£Ж}е^
ЙЛ1Ш#«Й®.^^ЙЕ*¥Й^Й.$18Ш£ЙЙ^*Ж8Ш
0 В ££ЙЙЙИ, ЖЙНГ{ШЖ. 1824^ ,Ш
ж & а и ж r ж. а * т вл й ж л • 2 2 и я $ » ж и и ж. w ж т
<т£2&#б1Й1ШЖЙТ^№#£>ЙЖ£т&:£-^1Й,{Ййет%)ЙД#Ж
1#т±£*ш^мжш- йт^в^^й»Р"Гй^«е27^ййЖ1й*йт.
ш^{7ждайТ Й1|МШЙ® $ 0 № Ф1#
81Й^,51ЙТ“»”Й1«^.№Ж^ЖЯ^ЙЙЙГ^,>Р{Л»^®^56®
^Й¥Й|Н]Я.ЙД“»”*Ж1»Я®ЧЯ®^^»,1»ва^)Й.АЛ^^И
*®&Яй=гт^й.1829ЖбЛ1а
«,^*®®#Й<йФ^£Йт£:£»Т£4>,ЙаШ€£&Т.»-^,0ОЗ?
^ЙЖ?Е*1Й^ЛП^Ж^Й»*ЖИ^^,Ж^ТЛ¥^Й^®Ж»
^Ж^®Т^^вл,Ж1г1е:ЖЙ*ЖК^ТТ^.йА11^^Й-ВЖ(51Т,?1
= &й±,ЙВ1
233 •
234
эд
3
№4
g
Й
Я
4*
3
Й
ЙО
$
ЕЕ-
3
#
Я
Ml
пл-
ен
Я
ф
3
Hft
4>
SF
3
ж
я
№
Й
щ
3
Я
&
И
ж
№
41
И
1$
эд
3
HF
йш
i®
н
&
пл-
ен
34
?6с
си
№
-ВТ
Э
&
*
ш
эд
и
Jir
№
MI
3
я
а
-Ini
&
н
4F
Й
й
Й=
3
Я
>4
Я
йП
<1Й
ЕЕ
31
&
*
й
ЕВ-
41
Я
3
Я
И
эд
2
Й
JS
Я
*
3
ай
ж
ш|
4ft
*
4»
и
Я
*
я
ж
14
й
*
ш
&
Й
ЭД
31
Я. £
»
ни
нН-
Я
й
ЭД
ж
3
я
14
Й
N-
Si
S&
>
Я
*
Й
3
Я
*
ж
>
й
й
н
а
44
14
<
14
й
й4
4=
Й
Я
Я
Й=
Ж
3
3
й
Я
-И
Si
Й
й»
*
йг
3
эд
й
&
&
ЭД
п}
*
ж
14
4
*
*
И
Я
Й
Ж
й
пл-
Я
>
Й
3
я
14
Ив
^1
а
*
а-
я
з
5»
Я
а
Я
Я
41
В
Я
й
ft
Я
ЬН
Й
з4
&
Й
&
'v
Я
ж
3
Я
ё=
□4
3
3
Sf
3
ж
й
b
&
я
ж
я
14
й
3
(JW8Ela±¥^„IlF®4t««9m?S}^^ ‘Ф5Т
ww--WW^Stkl^-±W
1. -&A,, A2, -, Ak Д n X n йГЙ^ЕР£, ШСМг-А,)-1 =
2. В$Па= (3,5,4), P= (— 6,1,2), У = (0, — 3, — 4),
Ж 2а + 3J3 + 4У =.
з. А* * АЙМШ&№, |А| =
у. JWm I (2А)-1 + ЗА- | =.
4. ЙА>»^|^, ЙАДЙ^^Й^^ДАЙ^
Р.(» = 1,2, — ,л) .
5. М(2, -3,-1) =
ш 1
^-О^й#8й•
• 235 •
(14 5»
ri
2. =
1
1. 4+1Ит^Д.=
О
L0
+ а1 а2 ... а»
а. 1 + а2 ... а„
«2 ... 1 + «»
- 1 0 0 -
1 - 1 0
0 1 - 1 »
0 0 1 -
о
Г2
L0
1
3
41
2
3
О
1
С =
о
о
2
1
, А AU - С-'ВУС1 = I,
О
О
2-1
ЙФ/ЙИЖ Ж А.
(14 5»
1. /,: ,12-.х
= 1 + 2/, >=—2 — 3/, 2 = 5 + 4/^®,
2. Й а = (2, - 1,3), b = (1, - 3,2), с = (3,2, - 4),
Жлё. х • а = — 5, х • b = — 11,х«с=20ЭД|и]11х.
И, (Ю 5» ВЙЙ*»!, а2, а3ЩШ, гЕВД: +
а2, а2 + а3, а3 + а3
£, (M)ibOSAi£A*- ЗА+ 21 = О, Мф/Д
п ВШФЗЕй;, -цЕВЛ: А ЙМШДЯМ 1 2.
А, (Ю 5»
• 236 •
'х} — 5.r2 + З.г3 — х4 + 2х5 = 1
“ 2.Г, — 9.г2 + 6.Г3 + 5^4 + 3-г5 = ЗЙЙЙ?.
,хг — 4.г2 + Зх3 4- 6х4 + х5 = 2
f (х4,х2,х3) =2x1 + 2х22 + 2xj — 2txxx2
— 2txxx3 — 2tx2x3
1 2 2 1
A, (io#)i£A = 2 - 1 - 2
.2 - 2 - 1_
(2) j£Z + А-1 ЙШИ-
Л> (7 4» i£n А Й n -WM* од,-,Я - 1, к
П АЩ1, jfcdet(Z + B).
• 237 •
99
—,
1. А^-А^АГ1; 2. (-12,1, -2); 3. 2"+1;
4. (- 1)Р* > Оа = 1,2,-,л);
т ~ 2 > + 3 z + 1
5- ~^г~ = = ~=^-
1.
D„ — (1 + ау 4- аг 4* " + й») = (1 + + аг + ••• + а„) 1 аг 1 1 + а2 1 а2 1 Лг а„ 0 1 — 0 0 0 — 1 а„ а„ 1 + а„
— 1 + а, + аг + — + а„
2. / = АГС(7 - С~'В)Т = 4(С - ВУ, < А = [(С -
В)7]-1.
’1 0 0 0’
S* (С-в)г = 2 10 0
3 2 10
А = С (С - В)г]-] = -4 3 2 1- ’ 1 0 0 О’ - 2 1 0 0 1 - 2 1 0 - 0 1 - 2 1-
238
£> 1. if J, = (3,2, - 2), Mi = (7,2,1), s2 = (2, - 3,
4), Мг = (1, - 2,5), ЦМ,Мг = (- б, - 4,4).
BW (s, X s2) ‘ MXM2 =
2
- 3
- 4
= (2
3
2
- 6
kA A -M A Л®. n = Sy x s2
2.r - 16j - 13z + 31 =
2. = , л:2, JZ73 ) , ШЖ MW
- 2
4
4
- 16, - 13)
0.
= 0
2-^i ~H 3^r3 — 5 2
< Xi — 3x2 + 2x3 = —11, MW < x2 = 3
З.Г) + 2x2 — 4л'3 = 20 La?3 = — 2
И, Й + a2) + k2(a2 + cr3) + £3(cr3 + a,) = 0, gg
MW
(^i + £3)°) + (^1 + k2)a2 + (k2 + £3)a3 = 0
S^jai, a2, a3^-tt5E^,
^1 + ^3 = kA + k2 = k2 + k3 = 0
MW kx = k2 = k3 = о, йк аг + a2, аг + a3, a3 + CTj
E, ЙЛД А , Х|ЙЙ#!ЕЙ1Йа, 1Д1]<4а = Ла,
EM (A2 - ЗА + 2Z)a = (Л2 - ЗЛ + 2)a = 0
Va^O, ЛЛ2 - ЗЛ + 2 = О, МЯ1 А A = 1 A = 2.
Л, B*
1
A = 2
Ll
-5 3 - 1 2 i Г
- 9 6 5 3 ; 3
- 4 3 6 1^2-
Г1 — 5 3 — 1
-*0107
.0107
2 : Г
- i И
- 1 И.
239
Р3 = det -t 2 -t = 2(1 - 0(2 + О2 > О,
_— t — t 2 _
U2 < 4
- 2 < t < 1
U < 1
W *! = !(—Ж)> л2= — 5.
(2)Ш:/ + А-1Й!|е®ЖЛ P. 1# a = 2(-
«>,
• 240 •
%. jsifuz 4
= diag(O,l,-,n-МЙМ
ЙЙйШ. й^ЛШШЙ.
$E₽$c, ^B=C~'AC, TMW:
det(/+B) = det(7+C-14C)=det[C-1(/+4 )C]
= det(/+4 )=л!
• 241 •
£^#±^2000$
'1 1 г
—, (8^-)'Й:^‘^ А= а b с
л2 Ьг сг_
ЗШЯ^|АА7'1ЙЖ
(10#)#Мё|Ц^® АХ = А+2Х, МФ
(а,#=0, г’ = 2,3, •••,«).
Ич (8#)1£ A А**#ше₽$, |А|=у,
mi(3A)-]-2A*
Еч (12#)^ЙЖ^ {*^-г1Н11ОГОг. гг2 + У +
\ix+2y— 7z + l = 0
А,
>1 + 2х2 + З.г3+х4 — 5
- 2х! + 4х2— 4х4 = — 2
+ 2хг — Зх3 — 5х4 = — 7
• 242 •
Л, ^SJ/(.ro’>~) = 3.r2 + 3y +
522-4^-4>г4ЬЛ^«Ж,^Я®Г^ё/а(3'^) = 1ДЯ-^Й
Л, (8#)т£ А&п Efrjm, A*O. А'=А‘\ М: А =
О.
+ , (б^ЙАДиХ^Я.
^Чтп>п-), %ВА = 1, ЗШ: АЙЯ1|п]*О№Е:£.
• 243
i i i
= (b—a)(c—a)(c—b)
|AAr| = |A| |A'r|=|A| |A|
= СЬ-аУСс-аУСс-ЬУ
AX=A+2X, X=(A-2/)']A
-2 -2’
-3 -2
2 3 .
a2 0 ••• 0
Dn
0 as — 0
с 0 0 a„
244
аг— fee у- fe fe •” fe
О a2 О — О
О О а3 ••• О
О О О — а„
( h?1}
= ага3"‘а„(а3 —be Z_i —)
1=г <2,
И, ЭДЯЗ А’ = |А|А-’ = -|-А-1
|(ЗА)-> - 2А- | = lyA-'-A-’H 1-уА'Ч
= 8 1 16
27 |А| 27
;flJ£U-1=|A|-1A*=2A-
]Ж^=1уА--2А‘ | = 1уА--2А‘ |
= |-Ад- | = | 4j3|A-|=_6£|A|2
О \ О j и I
х-^~8у—z +10+А(4.г+2з>—7z + l) = 0
ВР (1 + 4А)л? + (8 + 2А)>— (l + 7A)z + 10 + A=0
t .....
7(1 + 4А)2+(8 + 2А)2+(1 + 7А)2
2А2+А-1 = 0, А, = -1, А2 = у
+ — 2у — 2z — 3 = О
2л + 6> - 3z + 7 = О
1 2 3 1 5 ’
А = 2 4 0 - 4 - 2
.1 2 — 3 - 5 — 7J
245
'12 0-2
->001 2
L0 0 0 О
- Г
2
О _
R(A) = R(A) = 2 WM,
л-j = — 2x2 + 2.z4
:r3 = — .r4 + 2
- 1
ю x = y0 + k& + k&
/о
R(A~) = 3, М^ИЖ“р or2, «з-
Xj = — 2^2 +
лг3 = — x4
a4 = За, + cr2 + 0a3, as = 2<Xi + cr2 + 0a3
Л. ^Х=(х,у,гУг, f=XTAX
Aj = l, «1 = (1,1,1)7, A2 = 3, cr2=(l,-l,O)T, A3 = 7, a3 =
(1,12)T.
• 246 •
' (Ю^)»|^ А =
’1
2
4
1
— 2
4
-8
1
-1
1
-1
1’
3
9
27.
, #ПЭД5ШгЦ
a-ч mt
—, (10#)i£ АВ = В4, АС = СА, гЕВД • А, В, CM|Sfr&
F$, Д А(В+С') = (В+С}А, А(.ВС} = (.ВС)А.
Н. (10#)^!$#®
/ 1 -1 п
1-1 1 о)
Фй X.
И> СЮ5»ВЕВД: ||аХ/»||2 + (а-ЬУ= ||а||2ИИ2.
S, (125У)^|ц1Ма1 =
а, (12#)Ше₽м=
-1
2
14^ k ЛММН’,
L 4
р» Ш# р аар р Я#
• 248 •
-ъ, (8ж+вшжЕ».МА/т>т
f$.
Л, (14#)i£H|5HE₽$ A Ю1ШО ^ = 1» + = 2, + = 3,
£=(1,1,1)'', £=(1,2,4)7, £=(1,3,9)'
(1ЖЙ*М1,1,зт, £,
(2)Й«*Й^, Ж A"P.
Л, -IK®
f(xx ,X2 , ^3) = Л'1 +^2 + 5x2i + 2ЛГ1X2 — 2xxx3 + 4лг2^3
+ , (бШЛМ(3,1,-даО/:
lx—у— 4г+ 12 = 0
12л-+з'— 2г + 3 = О
249
(A2| |A-11= |A( =
1 1
2 -2
4 4
8 -8
1 1
-1 3
1. 9
-1 27
= 240
В Д pXqfefc, С&1Хг<£&.
’.' AB=BA, .’. m = n = p — q
%'.' AC=CA, '. m = n^l = r, ft А, В, СЙЙМЙ.
A(B+C) = AB+AC=BA+CA=(B+C)A
А(ВС') = (АВ')С=‘(ВА')С
= B(AC)=B(CA)~ (BOA
1 -11"1
2 2
-1 0 ,
1 1 2
3 6 3
J 1 -i 11 x J_ _X
l-l 1 0/ 3 6 3
1 1 1
3 3 3
__L x A'
= 333
,o o-i.
И, ||aX&||2+(a-h)2
= (||e || ||fc || sin {a, b) У + (||a || ||£ ||cos <a, Ь)У
= Ila II2 №г II (sin {a ,b)) +cos2 (a ,b >)
= llallWU
• 250 •
1 0 1 3 3
Н+ (а1,сг2,а3,а4,а5)-> 0 3 -1 3 4
0 1 0 1 — 1
0 2 -3 2 — 2
1 0 1 3 3
0 1 0 1 -1
—> 0 0 -1 0 7
.0 0 -3 0 0
1 0 1 3 3 '
0 1 0 1 -1
—> 0 0 -1 0 7
.0 0 0 0 -21.
Й сг15 сг2, ст3, ст4, а5Й^^4,
аг, а3, а5.
cr,
|А/-А| = А—3 -2 2 k А+1 — k — 4 —2 А+3 А-1 -2 2 0 А-1-1 —k А-1 -2 А+3 А-1 -2 2 0 А+1 —k 0 0 А+1
= 0
* = $ Р'АР
A, = 10t, «,=
1'
0
1.
S А2 = -l(-fi)itf ,#Ш сг2 =
251
1 -1 1
Й
Р==(ст1,а2,сг3) = О
2 О
О 2
1
ПО 0 1
Р~'АР= 0-10
Lo о —1J
-t. В* А, В ЖН АТА = /, ВГВ=1.
(АВУ'(АВ') = (В7 А7) (АВ) = В7(А7А)В
= В1 IB = В1 В = I
JW АВ
Л, (1) Й Р = + k2&2 + k3^3
эд
k3 + кг + k3 = 1 (k3 = 2
< k} + 2k2 + З^з = !=>* k3 = — 2
-kx + 4^2 + 9^з = 3 k3 = 1
P = 2& — 2f2 4- f3
(2)4"j8 = A"(2f, - 2f2 + £,) = 2A"^ - 2A”£, + A"f3
= - 2^2 + A^3 = 2fj - 2”+1f2 + 3"f3
2 — 2”+1 + 3’
2 - 2”+3 + 3
t - Г
1 2
2 5.
= 1 -t2>o, - 1</<1
= - 4Z - 5*2 > 0, ~ < t < 0
Э
• 252 •
I ОД2Г|И]
_ I - 1 - 4 -41 1 - 1 j
* \ 1 -2’ -2 2’ 2 1 Г
BP
*: 20 - 3) - 2(j - 1) + (z + 4) = 0
2x — 2y + z = 0
5 _8J
’ 3 ’ 3 )
izi
f-1
28
3 ’
я -fej l Q(..r,y,z
ЙТ^- = 1
ffl± QM b
a = —
7
3 ’
a “ y
WTT7 =
3 d
6=T’C =
8
:—3_ = i
—+ 4
3
253
• fSZ •
•(V) -9 S(CT)'V
!O)-£ f(C7)’Z ‘OKI
tv — p = q‘0=;> -g
z.isZ + £ —
wlZX£ + 9-
101Z Z
t Q^=-V-j-‘'V £»-|-2»—1V .g
qvz— qvz— \
‘o-z *а=гУ1^
?^z 9»z I
-2 1 2”
И, 2-21
1 -1 1-
— Л-^-Щ^З; 2. 4-,5б,5Х2",5*; 3.0?
О
4.2; 5. +/У.
ОД- CD); 2.(0; 3-(А); 4.(0; 5. (D).
H>1-D4 = O; 2. D„ = х"— y~}aix”~1 ;
!«1
3.D„=(-l)"+1-4-]-^.
Lt
ЕЛ- |А + 7| =0; 2. Xi = l,x2= — l,J'3 = 2,.r4 =— 2.
аЛ- (лг1,х2,х3,д:4) = (1,2,3,— 1);
2.A=ln!U=-4-±XP-
Ж
— ,1.16г- 10j-4Jt;
3.(6,-1,8); 4.3{-1,5,4};
5. 2x2-j2=-1, 2г2-у=1, у.
0,1. (О; 2. (В); 3. (В); 4. (В) ; 5- (С).
• 255 •
zz^2x—y-\~2z + 16 = 0; 2x—y~F2z— 8 — 0
ng ^+1 = _3L = ^
1 -1 1
lj:-j~2y—z + 4 = 0
l.z+j’+z—-6 = 0
M И Ж
—2.2; 3. й1+а2+дз+й4 = 0;
4.Н1Л,— Л)'Л€Л; 5.r=s-t.
OL(C); 2. (В); 3. (В); 4.(0; 5.(0.
ЕЛ-6#2frf ,/3+йзЙ а^сгг.сгзМй^тК-
2.б=2,а+ш,р
Д=—СГ1 + 2СГ2
6=2,а = Ш,Й;№№-,рШЖЛ
Р = - (2* + Deri + (k + 2)а2 + ka3,k € R
Е' ffl Ш1^ М Й Si&.
% Е Ж
— Л-А = /; 2.Л=4; 3. Л = (~Ж),Л2= -~ ; 4-125;
5. а€ R® ,сг+0.
“Л. (В); 2.(0; З.(С); 4.(0; 5-(В).
= Л. Й 47 = -А ffi|07-A|=0;
2. Й А=0^ А=1ШЛ^ A WWfiE{t,ai2/~A|+0.
И,Й |А/-А|=0?# 1) = 1(Г1),1г=2(Г1)Лв = 0,АЙ
M»c=O0t,R(A1Z-A) = R(A2/-A) = 2.
EjAZ-A| = (A-l)2Q+2),A1 = l(Oa),R(A1Z-A) = l,A
• 256 •
Г— 2 О
Р = 10
L о 1
| А/ —В | = (А—I)2(А—2), А, = 1 (ИЖ) ,/?(Aj/ —А) = 2,В
7\Л- A2=aP‘aP , (.Аг')т=Р(.атр)ат=О,^. А2=О-,
2. Й Аг=О=>А Й^^ЕШ A=O,-g а^ОЛАО, ЭД
Л Ьг — ь„-
0 0 — 0
А —• ••• -►
••• ••• ••• •••
-О О — 0-
[о/-а]а=ой®йШО
О) = (-^-,1,0, — ,0)7’, а2=(-^-,0,1, —,0)г, —,
С?1 bl
I ь„ \7
а.-! = |~,0,0,-, 1
АЙтЕЙЙй
С1®1 4“ ^2^2 4* 4“ Сп — )С?„_] (<?1 ,С2 » *" Усп~\
4j « Й ®3 = >л^2 , Л3) 1 , Д|]
+ 2^2 + -Г3 = О
, а3=(1,0, — 1)
J", — Л?2 + Л?3 = 0
Л,|М-А|=-=(А-1)2а-10)
Al — 1 ( —) , А2 —10
[AJ-А]Х=0ЙШЮ£ :«i = (-2,1,0)7 ,а2= (2,0,1)г
iE^4t:A=a1 = (-2,l,0)7’
Рг=а2
ЖМ:У! = (
Ca2>Pi)o 12 4 J7’
(Д,Д)Й-^ 5’5’4
2 1 ОГ>У_( 2 « 4^
75 75 / /45 /45 /45/
• 257 •
[Аг1-A]X=Offi£ti№% :СГз= (1.2, -2)7.
Й4/Ь V /12 2\т
Ф с=Еу1(у2,у3ЪЯ!] С
СГАС = С 'АС = А = diag(l, 1,1,0)
3. diagCl, 1, -1, -1) diag(2,1, — 1, —2);
,J? = 3>f=l;
Г,1.(О); 2.(0; 3. CD);
E.,a=TT, C=
q
W'yt-yl + ^yl
4. (A);
1 '
•/T
5. (B).
258
АШАВД.АЫ:
х2 + у2 + z2 — 2.rycosA — 2.rzcosB — ZyzcosC
£ -t Ж
"а О b О'
О а О Ь
с О d Q
LO с О dJ
0,1. (О; 2. (А); З.(С); 4.(0; 5.(0.
И,(2,0,-1)
Е,СГ1 = -^=(1,1,1), о.г=-^=(—1,2, —1),
ZT /Т
а3=-^=(-1,0,1).
Z2
А л 2- <0(0) = А(СГ1 ,сг2) ,аг = (0,1,0) а2= (0,0,1)
259 •