/
Текст
Рьководство
За упражнения
по основи на радио-
и съобщителната
техника
Д ДИМИТРОВ
ТЕХНИКА
К.т.н. инж. ДИМИТЪР Ц. ДИМИТРОВ
Руководство
да упражнения
по основи на радио-
и суобщителната
техника
ДЕРЖАВНО ИЗДАТЕЛСТВО „ТЕХНИКА*
СОФИЯ, 1985
УДК 621.396 (075.8)
В ръководството са дадени кратки теоретични сведе-
ния и задачи от информационнее осноци на радиовръзки-
те, електрическите сигнали, радиосигналите, линейните и
нелинейните радиотехнически вериги, цифровата обработ-
ка на сигналите.
Ръководството е написано в съответствие с програмата
по дисциплината основи на радио- и съобщителната тех-
ника, която изучават студентите по специалностите елек-
тронна техника и изчислителна техника във Висшите ма-
шинно-електротехнически институти. То може да се из-
ползува и от студента от други слаботокови специалности,
както и от специалиста от практиката.
©Димитър Ценев Димитров, 1985
г/о Jusautor, Sofia
621.3
ПРЕДГОВОР
С настоящото ръководство се цели да се подпомогнат студен-
тите при изучаване на дисциплината основи на радио- и съобщи-
телната техника. Използуването му предполага вече придобити поз-
нания по почти целия математичен курс за ВТУЗ и по теоретич-
на електротехника.
В изложение™ са застъпени теми, третиращи теоретичните ос-
нови на радиовръзките, електрическите сигнали, радиосигналите,
линейните и нелинейните радиотехнически вериги и цифровата об-
работка на сигналите. В началото на всяка глава са дадени на-
кратко по-важните зависимости. След това са дадени задачи, ни-
кои от конто са решени, за други има упътване, а за трети е
даден отговорът.
Голяма част от задачите са леки за решаване. Те са предна-
значени главно за самостоятелна работа. Има и по-сложни зада-
чи, за чието решаване се изисква задълбочено усвояване на пре-
подавания материал.
Ръководството може да бъде полезно не само на студенти-
те, но и на инженерите по радиоелектроника като справочник в
тяхната работа.
С израз на признателност трябва да се отбележат ценните
препоръки на рецензентите проф. к.т.н. Георги Димитров Ненов
и ст. н. с. к. т. н. Иван Бочев Рачев, както и акуратната работа
на специалистите от ДИ „Техника".
Независимо от съзнанието за своята отговорност пред читате-
лите при написване на ръководството авторът си дава сметка,
че то не е лишено от пропуски. Ето защо с благодарност ще бъ-
дат приети всички критични бележки на адрес: София—1000,
бул. „Руски" №6, ДИ „Техника".
Авторът
3
ГЛАВА I
ИНФОРМАЦИОННИ ОСНОВИ НА РАДИОВРЪЗКИТЕ
1.1. КОЛИЧЕСТВЕНО ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ИНФОРМАЦИЯТА
По определение понятието информация в радиотехниката включ-
ва всички сведения, подлежащи на предаване, приемане, преобра-
зуване и съхранение. Количественото определяне на информацията
е свързано с вероятността за сбъдване на дадено събитие. Вероят-
ността Р(А) = РГ за сбъдване на събитието А преди сбъдване на съ-
битието В се нарича априорна вероятност. Вероятността Р(А) Р2
за сбъдване на събитието А при условие, че Р(В) = 1, т. е. след
сбъдване на събитието В, се нарича апостериорна вероятност. В
радиотехниката обикновено сбъдването на събитието В оэначава
получаване на някакво съобщение. Тук под съобщеиие се раз-
бира материалната форма, в която е представена информацията.
Количеството информация /, което се получава със сбъдвапе-
то на събитието А, се определи с израза
(1-1) /=loga^-=logeP2-logaP1.
Ако Р2 = 1, то от израза (1.1) с л едва:
(1.2) /=-1оёлРр
Тъй като вероятността Р за сбъдване на едно събитие е ви-
наги в интервала Р^ [0,1], следва, че logaP<0. Количеството ин-
формация / зависи според израза (1.1) от основата а на логари-
тъма. Най-често се приема а = 2. При тази стойност на основата
на логаритъма а се дефинира единицата bit за количество инфор-
мация. Например, ако Р2 = 1, Рг = -^- и <2 = 2, то от израза (1.1)
следва:
(1.3) /=- 1оё2Л = -log2-l- = i bit.
Ако се приеме, че а = е, то единицата за количество информа-
ция се нарича nit. Може да се докаже, че
(1.4) 1 nit <=«1,44 bit.
Ако се приеме, че а =10, то количеството информация се из-
мерва с друга единица dit. Ясно е, че
(1.5) 1 dit <=«3,32 bit.
5
От израза (1.1) е видно, ,че съобщението за сбъдване на съ~
битието А носи толкова повече информация, колкото априорната
вероятност Pt е била по-малка.
Често за връзка се използува крайно множество от я-симво-
ли в една кодова дума, всеки от конто може да приеме краен
брой от т различии стойности. В този случай броят на възмож-
ните съобщения N, конто могат да се предадат с даденото край-
но множество символи, е
(1.6) N=mn.
Най-често априорните вероятности за всички съобщения се прие“
мат еднакви, а апостериорните се приемат за единица. Количест-
вото информация, което носи кое да е от W-те възможни съоб-
щения, е
(1.7) [=—^2Р1 = — log2 = alog2ro.
Среднею количество информация /ср, което се пада на един
символ в съобщението, с
(1.8) /cP=“ = log2/TZ, bit/символ.
Ако вероятностите за поява на всеки от АЛте елементи в съ-
общението са съответно Рь Р2,..., Pn, то средното количество ин-
формация /ср, отнесено за един символ в съобщението (ентропия-
та /Y), е
<1.9) «-/„=-2
Z = 1
Изучаването' на информационните процеси показва, че понякога
се предава информация, която не е необходима. В тази връзка
се въвежда параметър излишък на съобщението /?, който се оп-
редели с израза
(1.10) ^=1-Х
7 7 так
Задачи
1.1. При приемане нр кодови комбинации, всяка от конто съ-
държа числата от 1 до 5, подредени по различен начин без по-
вторение, е приета кодовата дума Л(1, 2, 3, 4, 5). Какво количе-
ство информация е получено с приемането на тази кодова комби-
нация?
Решение
Броят на всички равновероятни кодови думи N е равен на
броя на пермутациите с 5 елемента, т. е. ^=5! = 120.
Априорната вероятност Рг за приемане на кодовата дума А е
6
P=_L__L.
1 N ~ 120
С приемането на кодовата дума А апостериорната вероятност ста-
ва Р2 = 1. Полученото количество информация е
/= log2 = log2—|—=Iog2120^6,903 bit.
120
1.2. След приемането на кодовата дума Л(1, 2, 3, 4, 5) спо-
ред условието на задача 1.1 следващата кодова дума може да
бъде В (2, 1, 3, 4, 5), С(1, 3, 2, 4, 5) или Д(1, 2, 4, 3, 5). Какво
количество информация е получено с приемането на кодовата ду-
ма С?
Упътване
Априорната вероятност за кодовата дума С преди приемане
на Л е Р1 = -дГ= 12j . Апостериорната вероятност за приеманена
кодовата дума С след приемане на А е Р2 = -4—
<)
От г.: Z«5,32 bit.
1.3» Решете задача 1.2 при условие, че:
а) след приемане на кодовата дума А е възможно приемане-
то само на кодовите думи В и С;
б) след приемане на кодовата дума А е възможно приемането
само на кодовата дума В.
От г.: а) /«5,903 bit; б) Z«6,903 bit.
1.4> Сравнете резултатите, получени при решението на зада-
чите:
а) 1.2, 1.3 а и 1.3 б и обяснете защо количеството информа-
ция в случая 1.3 6 е най-голямо;
б) 1.1 и 1.3 6 и обяснете защо се получават еднакви резултати
за количеството информация в двата случая.
1.5. При приемане на съобщение, състоящо се от 3 различии
символа, е установено, че всеки от символите е с една и съща
вероятност. Да се определи ентропията на приетото съобщение.
Решение
Ентропията* се определя с помощта на израза (1.9). В случая
всички символи в съобщението са равновероятни, т. е.
= Р3С ледователно
О
т
н=- 24г1о^ 4=-1о^ 4=1ое» т>
където т е броят на символите в съобщението, т. е. /п = 3.
Така се получава
log, т = log2 3 = 1 ,58си^ол •
При равновероятни символи в съобщението е доказано с помощ-
та на теорията на вероятностите, че ентропията достига макси-
малната си стойност.
1.6. Да се реши задача 1.5, ако броят на символите в ирието-
то съобщение е равен на 6.
О т г.: Я~2,58—-—
СИМВОЛ
1.7. Да се сравнят резултатите от решението на задачи 1.5
и 1.6 и се даде съответно тълкуване.
1.8. Какво количество информация може да се предаде с по-
мощта на 4 символа, ако всяко равновероятно съобщение се съ-
стои от 2 елемента и съобщенията представляват пълна трупа
събития.
О т г.: /= п log2 т = 2 log2 4 = 4 bit.
1.9. Да се реши горната задача, ако броят на символите е
същият (т = 4), а броят на елементите в кодовата дума е п = 3-
От г.: 1=6 bit.
1.10. Да се определи ентропията според условието на задача
1.9, ако различните символи в съобщението са равновероятни.
Решение
Ентропията Н или средното количество информация /сР, което
се пада на един символ в кодовата дума, е
Ар=~~=4" log, т = log2 т = log2 4 = 2
bit
символ
Вижда се, че /ср не зависи от п, т. е. от броя на символите
в кодовата дума, а само от общия брой т на използуваните
символи.
1.11. Да се реши задача 1.10 за т = 5.
О т г.: /ср«2,32 ——----
4 символ
1.12. Да се определят границите на интервала за допустимите
стойности на ентропията Н в реалните случаи на предаване на
информация.
Решение
Нека разгледаме двата гранични случая за съобщение, съдър-
жащо т символа:
1. Всички символи са равновероятни, т. е. Р1^Р<1= ... = Рп1 =
В този случай ентропията се определи с израза
8
H=S!n 1Qg2^ = 10g2/n.
Доказано e, че това e максималната стойност на ентропията /7тпах.
2. Единият от символите е напълно достоверен, т. е. /^=1, а
останалите имат вероятности Р2 = Р3= = рт—0. В този случай
Н — Hmin = 0. Следователно
1.13. По канал за връзка се предават съобщения с помощта
на т=1 символа, като всяко равновероятно съобщение се преда-
на с п = Ъ елемента. За правилно приемане на съобщението в при-
емния пункт е достатъчно приемането на първите 4 елемента от
всяко съобщение. Да се определи процентно излишъкът на ин-
формация, с който се товари неоправдано каналът за връзка.
Решение
В случая може да се използува изразът (1.10). Като макси-
мална може да се приеме ентропията при п1 = 5. Като се има
предвид решението на задача 1.12, за /7тах се получава
Ятах = пх log2 т = 5 log2 7.
За втория случай п2 = 4 се получава:
Н=п2 loga tn = 4 log2 7.
Тогава при заместване в (1.10) се получава
В горния израз е прието, че //г;1 (за т=1 задачата няма физи-
чески смисъл) и при това условие е извършено съкращението.
Вижда се, че излишъкът от информация Р не завися от броя на
използуваните символи т, а само от броя на символите п в ко-
довата дума.
1.2. ОБЕМ НА СИГНАЛА И КАПАЦИТЕТ НА СВЪРЗВАЩИЯ КАНАЛ.
ПРОПУСКАТЕЛНА СПОСОБНОСТ НА СВЪРЗВАЩИЯ КАНАЛ
Електрическите сигнали се характеризират със следните основ-
ни параметри:
1) продължителност на сигнала Ге;
2) широчина на честотния спектър на сигнала ДЛС; това е че-
стотната лента, предаването на която е достатъчно за вярното
възпроизвеждане на сигнала; тя се ограничава от една минимал-
на честота Fz min и една максимална честота Л тах, т. е.
9
(1-13) Fc— /7 max 2 min 7
3) динамичен обхват на сигнала Z?c.
Произведението от трите параметъра на сигнала Гс, AFC и DG
се нарича обем на сигнала (1/с).
(1.14) VC=^TC±FCDC
Аналогични параметри се използуват и за свързващия канал;
1) Тк — време, през което каналът може да се използува;
2) честотна лента на канала FK, в границитена конто каналът
не изкривява предавания сигнал;
3) динамичен обхват на канала Ок.
Аналогично на Ис се дефииира параметърът капацитет на ка-
нала Ук като произведение от трите параметъра Гк, FK и Ок на
канала.
(1.15)
Vk = TkFkDk.
На пръв поглед, за да се предаде сигналът без изкривяване
по канала, е необходимо
(1.16) Гс<П; FC<FK;
Доказано е, че достатъчно условие за предаване на сигнала
без изкривявания по канала е
(1.17)
Друг параметър на канала е пропускателната му способност
Ск. Тя се дефинира като количество информация, което може да
се предаде за единица време —
(1.18) Ск = -<’ -s’-
Пропускателната способност на канала зависи от средната
мощност на шумовете Рш в канала, средната мощност Рс на пре-
давания сигнал по канала и честотната лента FK на канала. Връз-
ката между тези величини се дава от формулата на Хартли—
Шенон:
(1.19) CK=FKlog2(l-|--M
Задачи
1.14. Да се определи обемът Ис на сигнал с честотна лента
Fc = 5 kHz и динамичен обхват Dc = 47 dB, ако сигналът се пре-
дана в продължение на 20 s.
От г.: Ис = 47.105 dB.
1.15. По канал за връзка с параметри 7^=1 kHz и DK=45dB
трябва да се предаде сигнал с параметри Лс = 10 kHz, £>c=45dB,
7'c = 5s. Колко време трябва да се използува каналът, за да се
предаде сигналът без изкривявания?
10
Решение
Използува се условието (1.17)
TJ7cDc^TKFk.Dk
Необходимата обработка на сигнала преди предаването му
по канала се изразява в записване на сигнала на магнетофон и
възпроизвеждането му на входа на канала с- 10 пъти по-малка
скорост в сравнение със скоростта на записа. В приемната стра-
на след запис на сигнала на изхода на канала той трябва да се
възпроизведе с 10 пъти по-голяма скорост.
1Л6. Да се определи минималната честотна лента FK на ка-
нал с динамичен обхват Z?K==30dB, конто може да се използува
за време 7K = 2s, ако сигналът, конто ще се предана по канала,
е с параметри 2% = 12 kHz, rc = 3s nZ)c = 30dB.
От г.: PK>18kHz.
1Л7. Каква трябва да бъде минималната средня мощност на
сигнала Рс, който се предана по канал с честотна лента /7K = 800Hz
и мощност на шума Pm = 2rnW, за да се осигури пропускателна
способност на канала Ск=«8 000—?
S
Решение
Използува се зависимостта (1.19):
с
к 8 000
Рс = -1) = 2.10-3(2W — 1) = 2,046 W
1.18. С каква стойност на минималната средня мощност на сиг*
нала Рс ще се осигури същата пропускателна способност Ск на
канала, ако честотната лента FK на канала се увеличи два пъти
спрямо тази в задача 1.17 при същата стойност на мощността на
шума Р(2?
От г.: Рс= 1,022 W.
11
ГЛАВА II
ЕЛЕКТРИЧЕСКИ СИГНАЛИ
2.1. АПРОКСИМИРАНЕ НА СИГНАЛА СЪС ЗАДАДЕНА СИСТЕМА
ат ОРТОГОНАЛНИ ФУНКЦИИ
\
За връзката между два сигнала 5\(/) и 52(/) при сравняване-
то им в интервала t^[tv /2] се съди по коефициента С12.
(2Л) ^(/)-С1252(/).
Коефициентът С12 се определи от израза
г*
f s, (t) s2 (t) at
(2-2) -
f Sl(t)dt
Сигналите S^f) и S2(i) ca ортогонални в интервала /([4, /2]'
ако е изпълнено условието
t2
(2.3) j" Si(f)S2(t)dt=:0.
Ако е изпълнено условието
/ 2
(2.4) J S?2(t)dt±0,
it
от (2.2) и (2.3) се вижда, че при ортогонални сигнали (t) и
S2(t) в интервала /2] коефициентът С12 = 0.
Една система от сигнали 5j(0, S„(t) е ортогонална
в интервала [/ь /2], ако са изпълнени условията:
/2
(2.5) J 5, (0^ (0^=0; J Sj(t)dt$O при i-±j.
-Х1
Ако
/ 2
(2.6) p2(0^=l,
12
системата от сигнали е ортонормирана в интервала [0,
В радиосъобщителната техника често се налага апроксимира-
нето на сигнала 5(/) в интервала /2] с първите п члена на
едко безкрайно множество ортогонални сигнали 5|(0, St(t)
и
(2.7)
7 = 1
Коефициентите Cz се определят така, че средната квадратич-
на грешка при апроксимацията да е минимална. При това условие
7о
j* S (/) St (0 dt
(2.8) с,
Задачи
2.1. . Да се докаже, че функциите 51(/) = sinm/ и 52(0—sinn/
са ортогонални в интервала [9, 9 + 2к] при условие, че т^п (т
и п са цели числа) й 0 е рационално число.
Решение
Необходимо е С12=0. Проверката се извършва с израза (2.2)-
Отначало се проверява дали знаменателят на (2.2) не е пула*
sin2/z/rf/= / ——2-------= =кф0.
О 0
След това се пресмята числителят при условие, че т^п и т
и п са цели числа.
0-\-^л 0-тс2.п
j 'nuit. sin ntdt— J* *- {c°s [(/и—«)/]—cos[(/n+n)4}<7/=
о 0
= 4“ sin [(«-«) 7]-^sin [('«+«) 7]}
(9+2л
0
2.2, . Да се докаже, че функциите S1(/) = sinmZ и 52(0 = cosni
са ортогонални в интервала [0, 2ти] при условие, че /ифя (т и п
са цели числа), а 0 е рационално число.
2.3< . Да се докаже, че функциите S1(0 = cosm^ и S2 (t)=cosnt
са ортогонални в интервала [9, 9 + 2тс] при условие, че гпфп (т
и п са цели числа), а 0 е рационално число.
13
2.4. Да се апроксимира правоъгълният сигнал S(f) от фиг. 2.1
в интервала | —, -^-1—
5(0-
Фиг. 2.1
като се използува линейната комбинация
на системата ортогонални функции =
cosz7, ако i е цяло число.
Решение
Използува се изразът (2.7). Коефи-
циентите Cz се пресмятат по израза (2.8).
Отначало се пресмята знаменателят—
л
J cos2 it dt = -^-t
—л
след това се пресмята интегралът I в числителя на (2.8) —
71 . . 9
1= J S(f) cos it dt= J" cos it dt = -----
—л л 2
За четни стойкости на i интегралът /=0, а за нечетни стой-
2 2
кости |/| = —, като знакът на дробта — алтернативно се проме-
ня. Така се получава
(cost—cos 3ZH—cos 5t—cqs lt + . . .V
2.5. Да се определи средната квадратична грешка при апрок“
симация на сигнала S(f) от задача 2.4 само с първия член от
реда.
Решение
Средната квадратична грешка г се определи с израза
където т е рационално число.
14
Като се имат предвид решението на задача 2.4 и това, че
според условието апроксимацията е направена само с първия
член, се получава
71 Л
£=%d [5(z)~4cos (Г dt=^f [525(z) cost+
—л —я
тс л
j-^2-cos2drf/=2^- f S2(t)dt—^ f S(t) cos tdt-\-
~cositdt=-\
TC^ Z
4 +-~2=-2-^^0’297357'
2.6. Да се реши задача 2.5 при апроксимация на сигнала S(t}
2 / , cos зм
с израза IcosZ----1
1 2 9
Отг.: е = -*— 2-Л ~0,274841.
2 л2 Чте-
2.2. АПРОКСИМИРАНЕ НА ПЕРИОДИЧЕН СИГНАЛ
С ТРИГОНОМЕТРИЧНИЯ РЕД НА ФУРИЕ
Известно е, че ако една функция удовлетворява условията на
Дирихле, тя може да се представи в интервала [/0, /0+7] с реда
на Фурие:
(2.9) S(f) = а0 + (ал cos п юо t + bn sin п w0t).
п = 1
Като се има предвид физическата страна на процесите в ра-
диосъобщителната техника, може да се смята, че S(t) е ограни-
чена функция с краен брой прекъсвания. Ето защо на практика
при представяне на сигнала S(t) с ред на Фурие е достатъчно
да се провери само дали функцията S(t) е периодична. Коефи-
циентите ап и Ьп от израза (2.9) се определят с формулите:
(2.Ю)
(2.11)
t0+T
2 Г
an=~Y I S (t) cos п <о01 dt,
^0
/о+Г
2 Г
bn=-y I S (/) sin п w01 dt,
^0
15
t^T
(2.12) «0 = 4’ / S(t)dt,
където
(2.i3) Wo=2;
Ако се положи
(2.14) Cn = j + и <p„=—arctg
изразът (2.9) двбива вида
(2.15) 5(0=2c»cos(/ztoo^?«)-
n=G
Следователи© периодичният сигнал S(t) с период Т може да
се разглежда според израза (2.15) като безкрайна сума от прое-
з-
ди хармонични трептения с честоти, кратни на честотата <я0 = -т ,
със съответни начални фази уп и постоянна компонента CQ = a0.
Формално могат да се разглеждат функциите ср (па)0), С (пю0) за
п ([0, со] и п — цяло число. Функцията ср(л<оо) се нарича фазоао-
честотна характеристика, а функцията С(па)0) — амплитудночес-
тотна характеристика на сигнала S(f).
Често се използува комплексната форма на реда на Фурие:
(2-16)
където
(2.17)
11 —— со
t0+T
Cn = Cnei4,^ = an-jbn=^- J S(f)e-Jn^ dt.
На фиг. 2.2 a e показана спектралната дцаграма, съответству-
ваща на израза (2.15), а на фиг. 2.2 6 — на израза (2.16). От тези
спектралви диаграми се вижда, че спектърът на периодичния сиг-
нал е прекъснат.
Средната мощност на сигнала S(t) за един период Т при
съпротивление /?=1 Q се определи от равенството на Парсевал —
(2.18)
00 ^,2
ftp = 4- f S4t)dt = al+^-^
п = 1
16
Задачи
2.7. Да се апроксимира с помощта на реда на Фурие сигна"
лът £(/), показан на фиг. 2.3.
Решение
Аналитичният израз на сигнала S(t) е от вида
Фиг. 2.2
(А за
[О за /С[/0-рхГ, /0 + Л’
където х е коефициентът
на запълване на правоъгълните им-
пулси.
За определяне на коефициентите Сп
(2.17).
4,+хГ
= J Ae~Jn^ dt =
At
д
=n_-{sin/2w0 (У0-|-х7')—sin n<aoto+
+• /[cos«w0(/0-|-x7')—cos «ш0/0]}.
Cn = [sin2 «too (t0+x Г) + sin2 nu>0t0—
—2 sin П(1)о (/0+хГ) sin Л(оо/о4-
+ COS2 nco0(/04-xT)-f-COS2 /20)0/0 —2 COS ЛСО0(/0 + хГ)сЬ8 ПО)0/0] 2 =
A -------------------—-------- 2A . sin пкк
= s/2-2 cos «a>0 (t0+xT-t0) = — sin «хп ='2Лх ---------
/о + хТ
Co = ^~ f Adt=xA.
2 Рьководство за упражнения. ..
17
Вижда се, че амплитудите на хармониците в спектъра на пра-
воъгълния импулс са пропорционални на височината на импулса
А и не зависят от отместването /0 на сигнала във времето. Об-
вивката на спектралните линии в амплитудно-спектралната диаг-
, sin х
рама е функция от вида —, където х = лхя, от което след-
ва, че всички спектрални линии, чиито номера п са от вида п =
— 2), отсъствуват от спектъра на правоъгълния импулс.
arct'g coszza)o(z'o+z0~cos
& sin/гсо0 (/04-х7') —sin
Ако се използуват тригонометричните преобразувания, се по-
лучава
псо0(>сГ+2/о)
cpzz = arctg-----Д;--- - —(2/он-хГ).
/2о)0 (к/ +2/о) 2 х 0 7
cos-----2-----
Вижда се, че фазовият ъгъл срл на всеки хармоник е пропор“
ционален на неговата честота и е линейно свързан с отместване*
то t0 на сигнала във времето, коефициента на запълване х и пе-
риода на повторение Т на правоъгълните импулси.
2.8. Да се определят амплитудите и началните фази на пър»
вите пет хармоника от спектъра на сигнала, показан на фиг. 2.4.
Отг.: Со = О,5; Cj = 0,64; С2 = 0; С3=0,21; С4-0; С5 = 0,13;
<Pi = 90°; Т2=180°; ?3 = -90°; ?4=0°; <р5 = 90°.
2.9. Да се реши задача (2.8) при условие, че и = 0,2 Г
Отг.: Со=0,2; Сх^0,37; С2^0,3; С3^0,2; С4^0,09; С5 = 0;
^ = 36q; ?2 = 72°; ?3 = 108°; ?4= 144°; С3~052; Фб = 180°
Фиг. 2.4,
Фиг. 2.5
2.10. Да се определи спектърът на сигнала £(/), показан на*
фиг. 2.5 и да се пресметнат амплитудите Сп и началните фдзи
на първите пет хармоника.
Отг.: S(t) = — Feos/— Z-j—^4—|-cosf3 ^-/4--у-) +
18
+-1--cos (5 +••:]; co = 0; Сх=1,27; C2 = 0; C3 = 0,42;
*> \ 1 2 J I
C, = 0; C5 —0,25; T1 = cp3 = <p5 = 90°.
2.11. Да се разложи в тригонометричен ред на Фурие сигна-
лът S(t), показан на фиг. 2.6.
Фиг. 2.7
сю
~ о/,. A A sin
От г.: 5(г)=^-—2-“Г-
п - 1
2.12. Да се определи средната мо1>йост на сигнала от зада-
ча 2.7.
Решение
Използува се изразът (2.18)'
pct>=-L°J S*(t)dt=^ J 42^=4^^',+К/=хЛ2-
А. "о
2.13* Да се пред/гави в ред на Фурие сигналът, показан на
фиг. 2.7, ако аналатичният му израз е £(/) =
^sinw0Z за
0 за ^[4"’ Г1
„ с/л А , А . 2А cos 2пыд1
Отг S(0=--+^sm^---2--4^r-
/7 = 1
2.14. Да се докаже, че ако периодичният сигнал S(t) отгова-
₽я на условията на Дирихле и може да се представи във вида
ж
т = 1
Ж
то л-тият хармоник Сп има вида С„=2^»>п» където Стп е п-тият
т = 1
19
хармончк на сигнала 5ш(0-
Решение
4+г 4+7’ м
Сп = ^~ у* 5(0 е~^ % Sm(t) dt =
4 4 w=l
М t^T м.
= ^'т f Sm(t)e-^dt=^Cmn.
m = l 4 ni = X
2.3. СПЕКТР^ НА НЕПЕРИОДИЧНИ СИГНАЛИ
Тези сигнали г-редставляват отделяй импулси или ограничени
поредици от импу^и, които се описват с непериодични функции
на времето. Спектъръг на непериодичните сигнали е непрекъснат.
Спектралната плът!ъст S(a>) на сигнала S(t) се получава чрез
правото преобразуване нъ фурие —
(2. (9) S (со) = £ S(t) e-J^ dt.
От израза (2.19), аналогичен на (2.16), се вижда, че спектърът
на сигнала S(f) в комплексна облг^т eg получава привидно два
пъти по-широк, отколкото в реална оцаст>
Директното използуване на израза (2.19) е възможно, само
ако функцията 5(/) е абсолютно интегр^ема. В противен слу-
шай първоначално в израза (2.19) се замести функцията
(2.20)
където а>0, a(t) = const.
Така при интегрирането се получава функциям а
търсената спектрална плътност 5(<о) се получава чре? премина-
ване към граничен преход за функцията S (с» 4-уо>).
(2.21) 5 (<d) = lim 5 (а + уа>).
<7—>0
Спектралната плътност е комплексна величина и се представ*
във вида
(2.22) 5(<о) = 5(а>)еу^(п>)
Функцията ^(о>) определя закона, по който са разпределени
началнитё фази на безкрайния брой амплитуди в спектъра на
сигнала.
Аналогично на израза (2.16) и тук може да бъде определен
20
непериодичният сигнал 5(/) чрез неговата спектрална плътност
5(a)), като се използува обратното преобразуване на Фурие.
(2.23) 5 (/)=J S (о>) d<*.
В практиката сигналите са с крайна продължителност. Затова
спектралната плътност е функция и на времето. Текущият спек-
тър е
/
(2.24) ^(®)=J S (0 е i,otdt.
и
Ако се положи о-нуа)=/?, се вижда, че от правото преобразуй
ване на Фурие се преминава към преобразуването на Лаплас-
Преминаването от Лапласовия образ S(p) на функцията S(f) към
спектралната плътност 5 (со) може да стане чрез израза (2.23)
Задачи
2.15. Да се определи спектралната плътност S(a>) на единич
ната функция 5(/)=l(Z) — фиг. 2.8.
Решение
1 /2\_J0 за /£[— ос 0]»
W (1 за /([0, ос].
За да се използува правото преобразуване иа Фурие, е необ-
ходимо функцията £(/) да е абсолютно интегруема, т. е.
|S(/)|d/<oo.
Това изискване се осигурява, като се у
използуват изразите (2.20) и (2.21). Така
се получава:, фиг’ 2
оо эо
5(w) = lim f dt = lim f e~ ”'itdt=
a—>0 J a—э 0 J
— оо О
I 1 1 —/arctg-- J
= lim ——- = lim ——r-=lira -z e — — e
а_о0+Уш о O_»oa+^(0 0-»o Ca+«2
При w<0 се получава:
S(w) = -1 е~^=—ег
4 7 — <и CO
21
На фиг. 2.9 а е показана зависимостта [5(ю)| = , а на
фиг. 2.9 б — зависимостта
2 за w>0
—за и<0
Фиг. 2.9
2.16. Да се определи спектралната плътност 5 (о>) на функция-
та 3(7), определена с израза 6(/) =
оо за / = 0
О за £ф0
ако
Решение
Първоначално може да се разгледа едно помощно решение.
Нека е даден импулсът Д(/), показан на фиг. 2.10 а с продължи-
2~
телност т и площ — единица, т. е. J = На фиг. 2.10 б са
“2
а;
Фиг. 2.10
показани сигналът S(t) и импулсът Д(/—/0), отместени във вре
мето на разстояние /0 спрямо предишното си положение на
фиг. 2.10 а. Ако се приеме, че за достатъчно малко т в интервала
22
Z(po—j e изпълнено условието 5(7) = const, то след-
ва, че
^о+^г /£°”^2~
J* 5(7)A(7-70)rf/^5(Z0) J \(t-tQ)dt = S(t0).
4~2 Z»“2“
Това приближение е валидно и ако се разшири интервалът
на интегриране, т. е,
с-о
J 5(/)A(/-/0)7/~5(/0).
-- >У)
В граничен преход се получава
lini Д (/) = о (/).
г->о
Спектралната плътност 5(со) на единичния импулс 3(/—/0) е
сю
5 (со) = J Z(t—Zo) dt — = 1. e~J'ro/".
Следователно:
|5 (w)| = l; cp/<o) = w t0.
Задачата може да се реши и като се представи функцията
8(f) като сума от две функции 51(/)=-^-1 (/) и S2(t)=—^-(£—т).
В този случай се използува начинът за решение на задачи 2.14
и 2.15.
2.17, Да се определи спектралната плътност 5(со) на право-
ъгълния импулс, показан на фиг. 2.11.
Решение
5(о>) = j" S (t)e~Jmtdt= — оо ( . О . .for J - 2 A ~J — e [ - /<0 = ш С Isin- - 2Дг f ь 8(f) ' от сот / 2 —/ 2 * 0 ? Фиг. 2.11 ч 2 1 е т
23
На фиг. 2.12а и' б са показани съответно функциите |5'(а))| —
. (ОТ
sin-----
= Лт----— и (а>) = —за две стоиности на т, като Т]<т2-
2~
2.18. Да се намери спектралната плътност 5(a)) на сигнала
5 (/), който
Фиг. 2.12
има вид на отрязък от синусоида [5(/) = sin(a)0Z-hcp)] с продъл-
жителност т= показан на фиг. 2.13.
О)0
Решение
5 (w) = J s (Z) е~м dt — Jsin (coo^+?) e~Jwt dt=
— oo 0
f sin G)0/cos cp e~i<ot dt+ J cos wot sin у dt==
о 0
(o)0 cos <p-f-/co sin <?) (I — e~~]0)Z)
U>Q— (OJ
Фиг. 2.13 Фиг. 2.14
2.19. Да се определи спектърът на радиоимпулса с правоъгъл-
на обвивка, показан на фиг. 2.14.
24
Решение
S(w) J* dt = J* A cos <A0te--f'ot dt—
—oo 0
A (—jwe-'v,'r+jw) =
tog —0)2
—J"’
Ave
Wq—co2
Като се има предвид, че т = /?Г0 —, за 5*(<о) се получава*
S (о)) = 2/la)2 !sin nit —I е j >
' I “о I
.. ю / \i 1- 2 А и | . to I
lim |5 (w)| = lim —-—[sin nit
W-ЭСОо W0| '° I
Ап-к
w0
D £ ,2tz
Вижда се, че за w = —w0 = fl----mojv-
лът S(co) става нули (й = 1,2,...).
На фиг. 2.15 са показанй зависи-
мости ;S(a))| за различии стойкости на
п. При п—>ос’ спектърът се изражда в
една спектрална линия, съответствува-
ща на синусоида с неограничена про^
дължителност.
Фиг. 2.15
2.4. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НА НЕПРЕКЪСНАТИ СИГНАЛИ. ТЕОРЕМА
НА КОТЕЛНИКОВ
Ако сигналът S(t\ дефиниран в интервала /((—со, сю), е с
©граничен спектър, той може да се представи според теоремата
на Котелников в ред, т. е.
оо оо
(2.25) 5(0=2 S^—^-~n^L= 2 S(n\t)Cn(t),
25
•където wB е честотната лента на сигнала. В много случаи долна-
та гранична честота сон на сигнала S(t) е много по-ниска от гор-
ната и затова се приема, че лентДта на сигнала е приблизително
равна на о>в. Вижда се, че функциите Cn(f) от израза (2.25) са
ортогонални. Ако = в момента tk=k-^~ (&=1, 2,...), за
л-тия член Cn(t) на реда (2.25) се получава
/, ТС ТС \
sin сов ( к ——п__j
(2'26) Cn(tk) ------
\ / (1)в I k .^-П |
I со В WB I
Следователно:
/ _ \ ГО за Аф/г
(2.27) за =
' в I \ шв /
Вижда се, че в момента t^=k ш сумата (2.25) представлява
само един член, който е равен на моментната стойност на сиг-
нала 5 (tk) в момента tk • Равенството (2.25) е в сила за всяко
/С( — ос, ос). Въз основа на изразите (2.25) и (2.27) теоремата
на Котелников може да бъде изказана по следния начин: сигна-
лът S(£), дефиниран в интервала /f(—со, со), с ограничен чес-
тотен спектър, се определи напълно от своите стойности, отчете-
ни през интервали ДД като
<2-28>
Задачи
2.20. Да се определят интервалът AZ и първите шест отчет®
(дискрета) съгласно теоремата на Котелников за периодичния
сигнал
—— -|—— cos + cos (3wZ4--^ V
'те те I z I оте \ z /
Решение
Ширината на спектъра се определя от а>м = 3со. Следователно
. / те тс
AZ = - .
(£>м ЗО)
Първите шест отчета се получават за п =0, 1, 2, 3,4,5.
Стойностите на съответните отчети са:
S(Z0)=5(0) = ^+4-cos(w.O+-^\+-^rcos[3w.04--2 фо,32;
26
)=t+4cos (w • -3e7 +t) + Lcos (3<«г + y)^~0-78;
S^)=S(S) = * + 4 cos(w£+T)+^cos(3w£+f) ~~078:
(^3) = *5* ( + — cos f0) ~~ cos (Зю +~y 1^0,32;
у / 1C у ti) 2. I O7C I <0 2 /
о// Ч е/ 4те \ 1.4 / 4те те \ , 4 /о 4тс , те \ , лл
A (/4)— I "б—I— H---cos co H—п~|4“ ъ COS 3(0 o -|—o-p^l,42;
' 7 \ Зсо у те ' те 3(0 1 2 у Зте 3w 2 у ’
с*tj. \ с/ \ I , 4 / 5те те \ 4 /«-, 5те \ - .<-»
5^) = 5( 3^) = -V + ~ C0S (W + 2 )+з^СО8(3й>Зш +' 2 1>42-
2тс
От израза за S(t) се вижда, че периодът Т на сигнала е Т=-~.
От друга страна, ™—=6.
3(0
Следователно:
= S(t_Q) = S(t0)^S^ = S(tl2) =
= 5(С5) = 5(Л) = =
...=5a_4) = S(/2)^S(4) = 5(/u)=...
= S(t_3) = S^ = S(t9) = S(t15)^
= S (С2) - 5 &) = S (Zlo) = 5 (Лб) =
= S^1) = S(t&) = S^=S^1)=-
Вижда се, че ако сигналът S(t) е периодична функция на вре-
мето с период Tf с ограничен честотен спектър и дефиниционна-
та облает е /((—со, сю), за да се познават всички отчети на
функцията за цялата дефиниционна облает е достатъчно да се
о т
познават Р= поредни отчета със стъпка между тях, равна
на интервала на квантуване А/, определен по теоремата на Котел-
яиков.
2.21. Да се определи интервалът на квантуване А/ и първите
12 отчета съгласно теоремата на Котелников за сигнала
S(t)~ -^- + ^sin + sin ^2(о/Ч—
Отг.: АГ=2^; 5(/о)-5(/4)=5(/8)= 1,7Д; S(t})=S^) = S(Q^
-0,7 А 5(/2) = 5(/с) = 5(/1о)-0,ЗЛ; 5(/3)-5(/.7)-5(/ii)=-
-0,66 Л.
2*22. Колко отчети са необходими за предаване на непрекъс-
яат сигнал с честотна лента Fc= 1kHz и с продължителност Тс = 5 s?
27
Решение
Интервалът между отчетите е*
— 2Т^ = 2ТКР = 0’5 ’ 10 3s'
Броят на отчетите А/ за времето Тс на сигнала е
=-----— = 10 х
М 0,5 10-3 ‘
2.23. По канал за връзка могат да се предават 10 000 дискрет-
ни стойкости за секунда. Каква е допустимата ширина на чес-
тотната лента Fc на сигнала, който може да се предаде по кана-
ла без изкривяване съгласно теоремата на Котелников?
О т г.: Д = 5 kHz.
2.24. Даден е сигнал S(t), дискретизиран равномерно със стъп-
ка Д/ посредством безкрайно тесни импулси о(0($ е делта-функ-
цията). Спектралната функция на сигнала преди дискретизацията
е S(w). Да се определи спектралната функция на сигнала <5$. (со)
след дискретизацията.
Решение
Изразът (2.19) определи спектралната функция 5* (со) на сигнала
S(t) преди дискретизацията. При дискретизацията /z-тият отчет на сиг-
нала S(t) има стойност S(t)o(t~nSt). Ако ширината на честотната
лента на сигнала 5(/) е <ом, то съгласно теоремата на Котелников
стъпката е Д/<: . Следователно стъпката St може да се намалява
неограничено, така че да се удовлетвори и изискването в интер-
вала St сигналът S(t) да бъде почти без изменение. Така би се
получила поредица от периодични импулси с период St и височи-
на S(t)d(t—nSt), конто могат да се представят в ред да Фурие
съгласно изразите (2.16) и (2.17).
£ f ^(0 Z dt —
*0
nAt— X
Горното приближение e направено, като се има
границите на /z-тия импулс t(;lnSt—% , и
предвид, че в.
S(t)e const.
Според това условие и като се знае, че С\ (/) = const, от израза
(2.17) трябва да се приеме <?Л2 (/)^const. Тъй като винаги може
да се направи трансляция по оста на времето, може да се прие-
ме = 0. Тогава според израза (2.16) за дискретизирания сигнал
Sd(t) се получава:
оо
11 =-ОО
Спектралната функция на този сигнал сьгласно израза (2.19) е
5rf(®)= f Sa(t)e~^dt= j\T'£S(t)^n '~"^dt=
-CXD -OO fl
=.7 2
fl ——oo —co П-——co
От последняя израз се вижда, че спектралната функция Sd (<о)
на дискретизирания сигнал Sd(f) се получава чрез безкраен брой
повторения със стъпка на спектралната функция S(to) на
недискретизирания сигнал. Нафиг. 2.16а е показана спектралната
функция 5(м) на недискретизирания сигнал, нафиг. 2.16б — спек-
2т~
тралната функция Sd(^>) на дискретизирания сигнал за 2о>м = -^-
2^
на фиг. 2.16 в функцията 5rf(to) за 2<dm<—а на фиг. 2.16г —
9-
функцията за 2o)M>-jy. Вижда се, че възстановяването на
сигнала S- же да стане с идеален нискочестотен филтър с
2~
честота на среза Това е възможно при условие 2toM<J-^-, т. е.
Д/< J- (фиг. 2.16 6 и я). За случая 2(ом> , т. е. Д/> *
2/м М 2/м
(фиг. 2.16 г) ще се проявят изкривявания поради припокриването
на съседните спектри. Очевидно, ако шм—>ос, т. е. сигналът 5(/)
е с неограничен спектър, необходимо е Д/—>0, което няма прак-
тически смисъл.
2.25. Честотната лента хна сигнала 5(/) е от 0 до <ом. Спек-
тралната фу акция по мощност на сигнала е Р(ю). Върху полезния
сигнал 5 (?) преди дискретизацията се наслагва паразитният сиг-
29
нал п (t) със спектрална функция по мощно-ст N(со) и неопределен
честотен спектър. Сигналът 5 (/) с§ дискретизира съгласно тео-
ремата на Котелников със стъпка Д£ — ~ и след предаване по
канала се възстановява чрез идеален нискочестотен филтър с чес-
Фиг. 2.16
тота на среза сом. Да се опре-
дели средната мощност Ро на
възстановения сигнал, ако при
предаване на дискретизирания
сигнал и при възстаковяването
му не се наслагват паразитни
сигнали.
Решение
Спектралната функция по
мощност Р(со) може да се оп-
редели чрез спектралната функ-
ция S(co) на сигнала S(Z)X
ХР((о) = ,5((о),2. Като се има
предвид решението на задача
2.24, за спектралната функция по
мощност РДсо) на дискретизи-
рания сигнал може да се запи-
ше изразът
оо
рл»)=^-
Ако полезният сигнал S(t) и паразитният сигнал n(t) са неза-
висими, е възможно да се извърши сумирането по мощност:
Тогава за средната мощност Ро на сумарния дискретизира»
и възстановен сигнал се получава
По условие Следователно:
30
OO (2/Z-{-l) OO
p«=iS f /?*(№=
П — —ОО {2n—1) ft>M —OO
~ y[^)+Af(<o)]^o = So+M),
където 50 и No са съответно средната мощност на сигнала S(t)
и на шума п (t).
Вижда се, че независимо от ограничената честотна лента на
филтъра за възстановяване на дискретизирания сигнал, средната
мощност Ро на възстановения сигнал е сума от средната мощност
на полезния сигнал 50 и на паразитния сигнал No. Следователно
входният сигнал *$(/), подлежат, на дискретизация, трябва пред-
варително да се филтрира по подходящ начин. В противен слу-
чай всички паразитни сигнали, конто съпровождат сигнала S(i)t
ще проникнат без загуби на мощност в лентата на възстановения
след дискретизацията сигнал. Затова се поставя входният фил-
тър преди дискретизатора.
2.5. КОРЕЛАЦИОНЕН АНАЛИЗ НА ДЕТЕРМИНИРАНИ СИГНАЛИ
Автоксрелационната функция ф(т) на непериодичния сигнал S(t)
с крайна продължителност се определи с израза
(2.29)
ф(т)= у*
S (i) S (t—x) dt.
Ясно е, че
(2.30)
ф(-т) = / 5(/)S(Z+t)^.
Ако се положи 9 = Л-т, то /=9—т. При заместване в израза
(2.30) се получава:
(2.31)
ф(-т)= / 5(0-T)S(9)rf9.
Следователно автокорелационната функция ф(т) е четна —
(2.32) ф(-г)=ф(г).
Аналогично се дефинира взаимната корелационна функция (т)
на сигналите Si(Z) и S2(t—т) —
31
(2.33) 12 (г) = J (4) 5S (/-г) dt.
Ако в израза (2.29) т = О, се получава
(2.34) ф(О) = у S*(t)dt.
— со
Физическият смисъл на величината ф(0) е енергията на сигнала
£(/). Отношението /?(т)= се нарича нормирана автокорела-
ционна функция или коефициент на корелация. Като се имат пред-
вид изразите (2.32) и (2.34), е ясно, че
<2.35) Z?(t) = /?(—т).
Задачи
2.26. Да се определят автокорелационната функция и коефи-
циентът на корелация на единичен правоъгълен импулс (фиг. 2.17 а)
Фиг. 2.17
Решение
Сигналът има вида
за /([О, t„}
w 10 за/ С [0,/и]*
На фиг. 2.17 6’ е дадена функцията а на фиг. 2.17 в —
функцията т). Ясно е, че
ф(т) = С 5 (/)£(/--)<// = f А2Л=А2(/и-т).
32
ф(0)=А%,;
Г>(-\ Ф _ ^а(^и~т) ]__т
К-’~ Ф(0) “ АЧИ -1 t„ *
На фиг. 2.18а е показана автокорелационната функция ф(т),
а на фиг. 2.18 б—коефициентът на корелация /?(т).
2.27. Да се определи автокорелационна-
та функция ф (т) и коефициентът на корела-
ция /?(т) за единичния импулс S{f) от фиг.
2.19.
Решение
Сигналът има вида
= 1-^-j за ZC [О,
10 за / ф [0, /н].
Автокорелационната функция има вида
ф(т) = А J S(t)S(t-T)dt =
t
Л2 Г f* _ <2
Л, з" 2
и
Коефициентът на <орелация се определи, след като се намери
'Ф(О).
= Ф(Т) = 6у^-^и+^) = - 3J+2^
Ф (0) А^2и 2Z®
2/
3
и
Зт
з;п
3 Ръководство за упражаемия . . .
33
2,28. Да се определи взаимната корелационна функция на
единичните правоъгълни импулСи и 52(/), показами на
фиг. 2.20.
Решение
Фиг. 2.21
където
(А за [0, Q /Л_(—А за 4+Я
<>iv)—10 за / ф [0, ta]' 2'| 0 за /$[т, /ифт]'
За т<0 (фиг. 2.21) се получава
-Л2й?=Л2(т-/и).
На фиг. 2.22 е показана функцията ф12(т).
2.29. Да се докаже, че автокорела-
ционната функция ф(т) на периодичния
сигнал S(t) с период на повторение Т е
периодична функция на аргумента т с пе-
риод Т.
34
2.6. ХАРАКТЕРИСТИКИ НА СЛУЧАЙНИТЕ ПРОЦЕСИ
В теорията на случайните процеси често сё използува интег-
ралът на вероятностите, който има вида
(2.36)
— оо
Ако W(x) е вероятностната плътност на случайната величина
X, а <р(х) е функция на х, то средните стойкости на X и ср(л) се
определят с изразите
(2.37)
х = JxWXx)dx,
— оо
(2.38)
<р(х) =
f Ш*) dx.
Ако X и Y са случайни величины и IF(x, д>) е тяхната съв-
местна плътност на разпределение, то средната стойност ху се оп-
редели с израза
(2.39) ху= J* J* xyW(x y)dxdy.
За случайния процес X(t) корелациоИната функция /СДЛ, /2) има
вида
(2.40) Kx(tb t2)=x1x2—x1x2.
Коефициентът на корелация Rx{tly /2) има вида
<2-41> У-
където сх(/)=х2(£)—[х(/)]2.
За стационарния случаен процес X(t) е характерно, че ако
x~x(t) и хт =х(/ + т), то
(2.42) /С(т)=^ст - (х)2; Rx(t) = =^(0).
Теоремата на Винер—Хинчин за спектралната плътност 5х(со)на
сигнала X(t) се дава с изразите:
оо оо
(2.43) 5х((о)= exp(—уа>т)д?т» Fx(w)=-^-J*Kx(t)cos wt dr,
— oo 0
35
(2.44) АГЛ (т) = 5*г J”SA.(w) exp (у юг) dm, Kx(z) — j'Fx(w>) cos юг <Усо;
— oo 0
(2.45) ®х=~^ J>54<d)d<o= ppx(wXw> ^*(w) = л Pv(o)).
— oo 0
Ефективната ширина на спектъра Дю е числено равна на ос-
новата на правоъгълник с площ, оградена от крива та Рл(<я), и ви-
сочина pfllaK = max [Pv((o)].
(2.46) Д(0= ’ = fF»dw.
^max J
О
Ако X(t) е случаен процес и Y(f) = -^- X(t), то
(2.47) К(0= < Ж ад, h) = Д- -д- Kx(tlt 1г).
Ако X(t) е стационарен случаен процсс, то
,72 /У2 //2
(2.48) ^)= А.г(г) а; = “3- Кх(0)= -^£^(0).
Задачи
2.30. Да се определи едномерната вероятностна плътност
W(k, t) на процеса = S. cos со/Ч-р sin ю/, ако ю е постоянна
ъглова честота, а « и р са взаимно независими нормални случая-
ми величини с нулеви средни стойкости а = р=О и дисперсии
ст2 = а2=0.
а ff
Решение
Случайната величина X=X(t) в произволен момент t представ-
лява линейна комбинация от нормални случайни величини. Следо-
вателнэ Y(Z) също е нормална случайна величина. Поради това за
определяй? на вероятлостната плътност на процеса е необходимо
да се определи X(ty
X(t)=oceos w/4-р sinwZ = a-cos wZ+psinco/.
По условие a = p=0. Следователи© X(/) = 0. Така сс получава
W(X’ Z) = ?2LeXP(—2?-)’
2.31. Да се намери корелационната функция 7С(т) на случай"
ния сигнал X(t)~ Лм sin (ю£-Ь<р), ако Лм и юса постоянна амплиту"
да и постоянна ъглова честота, а ср е случайна начална фаза, рав-
номерно разпределена в интервала [—к, к].
36
Решение
Ако се вземе предвид изразът (2.40)»и се положи = t и /2 =
= Z + t, се получава
АГ(т) = %(/)%(/4 т)~т2,
където
т = Х^ = J А м sin (at + ср) W
Съгласно условието на задачата */п = 0. Следователно
К(т)=X(t) X(t + т) = ^А‘2т sin (ш/ 4-ср) sin (о>/ 4 сот 4-
По условие за <pf| к, л]. Следователно
| /*
/С(т) = — / А~ sin (с*)/Ч-ср) sin (u>/4 сот 4-cp)rfcp = cos сот.
2.32. Като сейма предвид условието на задача 2.31, да се оп-
редели спектралната плътност 5r(w0) на случайния сигнал АГ(/).
Решение
Спектралната плътност се определи по теоремата на Винер—
Хинчин:
сю Л2 00
5До>о) = JКТ ехр ( —/о)т)4?т = J"exp ( — jm) cos wt^t =
— оо —оо
оо
= ф- у {exp [ j (со - <о0)т] + ехр [ -./(со 4- <о0)т]} dr.
— оо
Известно е, че
оо
2Г /ехр (/сот) dx = о(со).
— оо
Така се получава
лЛ2
^х(“о) = -2- IX^o+^ + ^o—°>)]-
2.33. Да се посочи разликата между спектралните плътности
на случайните процеси X\(t) и X/t) с корелационни функции:
а’ехр (—а|т|); Кх, (т)=а2 ехр (—а|т| cos wot).
37
2.34. Дасе намери корелационната функция /<(т) на стацио-
нарния случаен процес X(t) със спектрална плътност ^(со), опре-
делейа с израза
SX(W)=
w([—w2—О).]
wffwp ш2]
О за останалитестойкости на w
От г.:
_(to1-to1) /Уо
2 тс
(Do —toi
sin — 2—" т
а>2—w1
2 '
COS % 3Т.
2.35. Да се определи енергетичният спсктър 7\(а>) на случаен
сигнал X(t) с корелационна функция /Сх(т) = а^ ехр(—2Х|т|).
,2
о Т г.: 2-*
' к 4Х14-огг
2.36. Стационарният случаен процес X(t) има корелационна
функция /Сх(т). Да се намери корелационната функция /СДт) на
случайния процес:
Г(0=а
О т г.: Ку(^а*Кх(х) + (2ac-b^) Кх(у) + с^ Кх(х).
38
ГЛАВА III
РАДИОСИГНАЛ И
3.1. АМПЛИТУДНО МОДУЛ ИРАМИ СИГНАЛИ
Амплитудна модуляция се получава, когато амплитудата на
просто хармонично трсптение a(t)~ A cos((o^+cp) с честота со и на-
чална фаза ср се измени по закона на управляващия сигнал s(t).
В резултат моментната стойност на модулирания сигнал има вида
(ЗЛ) адм(0 = [Ао4- Ас s(/)] cos (u)/+<р) = Ао[1 4- in s(Z)] cos (со/+ср),
където
Ao e амплитудата на носещото трептение;
Ао4“Ас$(О — амплитудата на модулирания сигнал;
Ас
т=-А----коефициентът на модуляция.
Ако $(?)=cos(Q/4-p^), изразът (ЗЛ) добива вида
(3.2) Лам(0 = Ао[14-m c°s (Q^+ <рр )] cos(atf 4-ср).
На фиг. ЗЛ е показана функцията аАМ (0- Вижда се, че коефи
циентът на модуляция т може да се определи и чрез максимал-
изма амплитуда Атак и минималната амплитуда Amin на сигнала
^ам (О-
(3.3)
Ащах
-кА
’ лт1п
39
Ако управляващият сигнал s(t) е сложен и има вида
N
(3.4) 5(/) = 2^e„cos(Sn/! + <pfin),
п = 1
то при заместване на израза (3.4) в (3.1) се получава
N
(3.5) аАм (0=Ло[1 cos (2//+<Рйл) *1 cos (“*+<?),
п = 1
^4
където тп — -~ е л-тият частичен коефициент на модулация.
Спектърът на амплитудно модулирания сигнал #ам(/) се полу»
чава след преобразуване на израза (3.2). За простота, без да се
нарушава общността на разглеждането, е прието =ф = 0.
(3.6) адм(^) = Aoc°s /zz2-cos(w—Q)/+ cos(co + 2)/.
Спектралната диаграма, съответствуваща на израза (3.6), е по-
казана на фиг. 3.2а, а векторната диаграма на същия сигнал —
на фиг. 3.25.
Фиг. 3.2
Ако в честотния спектър на модулирания сигнал отсъствува
честотата <о, модулацията се нарича балансна. Ако освен това от-
съствува и едната странична честота (со—2 или <o-t-2), модула-
цията се нарича еднолентова.
Ако модулираният сигнал с израз (3.2) преминава през товар*
но съпротивление /?т «=12, средната мощност PrQ на адМ(/)запе»
риода TQ на управляващия сигнал s(t) е
(3-7) PTfl=Po(l + 4)’
където Ро е мощността на носещия сигнал —
.2
(3.8) Ро=^.
40
Средната мощност на високочестотното трептение за един пе-
риод Тт =-^- е
(3.9) =Р0[1 +m cos(Q/+T<., )]2.
В момента, когато cos (£#+%?) = 1, се получава максималната
мощност на модулирания сигнал
(ЗЛО) Яшх-РоО+т)2-
В момента, когато cos (й/+ф^)= —1, се получава минималната
мощност на сигнала
(3.11) P.nin = P0(l-^)2.
Задачи
3.1. Да се начертаят векторната и спектралната диаграма на
амплитуд но модулиран сигнал от вида:
(з \
1 4- 2 mn cos Qit |cos ю/,
Л=1 j
ако /п1>/иа>т3, 23 = 321( w = 10Qi.
Решение
Изразът за Яам(0 може да се преобразува:
( 3 х
1 + 2 mn COS t |COS =
п=i j
3 3
= Л0 cos А2и ^тп cos(w —Й„)/+ -(*-^\mn cos (<o + Q„)^-
n - 1 n = 1
Фиг. 3.3
На фиг. 3.3a e показана спектралната диаграма на сигнала, а
на фиг. 3.3# — векторната му диаграма.
41
3.2. Да се определи ширината на лентата Дюм на модулирания
сигнал според условието на задача 3.1, ако ^=lkHz.
От г.: Дюм =12тс.1О3 rad.s-1.
3.3. На фиг. 3.4 е показана векторната диаграма на балансно
модулиран сигнал. Да се начертае спектралната диаграма на сиг-
нала и да се намери уравнението за моментната му стойност
Лбам (О-
Решение
Според векторната диаграма сигналът Лбам (О има две компо-
нент и с честоти 0)4-2 и со—2, конто са с нулеви начални фази и
амплитуди “2° Следователно
А /4л
ам(()== —2— cos (to—Q) t-\-k —j— cos (to-f- Q)Z =
=kAM cos QtA0 cos<oZ.
Коефициентът k в последняя израз e с дименсия, реципрочна на
дименсията на Ло или А м. Ло може да се разглежда като ампли-
туда на носещия сигнал с честота м, а А ы — като амплитуда на
модулиращия сигнал с честота й. Вижда се, че балансната моду-
ляция може да се получи при умножение на носещия с модулира-
щия сигнал. На фиг. 3.5 е показана спектралната диаграма на ба-
лансно модулирания сигнал.
3.4. Да се определи мощността в режим на мълчание, мощ-
ыостта Рстр на страничния сигнал с честота и—Q, максималната
мощност Ртах, минималната мощност Pmin и средната мощност
Рср на амплитудно модулирания сигнал mAm(Z) = 6(1 + 0,5 cos 200 к/) X
Xcos 106 nt, V. Напрежението цАм(() е приложено върху резистор
с /?=1 кй.
42
Решение
1% 68
Po = -^-=-2T17rO3=18.1O-3W.
P — £sTp —' . m2 — p mZ — iй io—з0,52_ . . 25 in—з w-.
Истр~ 2R----2R~~2R ~4 -4—1,120.IV U,
st
Фиг. 3.6
.Рср=Р0+2Рстр=Р0 + 2Р0-”2 = Р0(1
_ 18.10~3( 1 +^Л = 20,25.10~3 W;
— \ 4 у
Ршах=Ро( 1 + т) = 18.10~3 (1 + 0,5) =
= 27 10~’W;
P,;-la = Ро(1 -т) =18. 10"3(1 -0,5) =
= 9. IO '3 W.
3.5. Да се реши задача 3.4 при условие, че яг=1.
Отг.: Р„р=4,5 mW; Pcp = 27mW; P,nax = 36mW; Pinln=0.
3.6. Носещият сигнал i(t) = /0 cos <t>t e амплитудно манипулиран
със сигнала 5(0=11 за ffP’2.1 показан на фиг. 3.6. Да се наме-
ло за IС |т, Т\
ри аналитичният израз и се построй спектралната диаграма
т 1
амплитудно манипулирания сигнал за .
на
Решение
Сигналы S(t) може да се представи в ред на Фурие, като
използува решението на задача 2.7 за Л = 1 и t0=Q.
се
2 1 /
S(Z) = x+— ---sin /2Х7Г cosl/z
Л = 1
йам(0=5(/)/0 cos <at =
f
Sin Я У.К COS I я -
cos =
л=1
= /0xcos S1*n Лхп cos —n
/1—1
лхк| +
sin я хп cos I (w-f-я
rt = L
43
На фиг. 3.7# е показана спектралната диаграма на сигнала
а на фиг. 3.76—спектралната диаграма на амплитудно манипули-
Фиг. 3.7
рания сигнал #ам (^) за х = и Й = -^-
3.7. Да се реши задача 3.6 при условие, че х—>0.
Упътване\ при х—>0 може да се приеме импулсът на сигнала
S(t) като единичен и да се използува решевието на задача 2.19
за малки стойности на п.
3.2. ЧЕСТОТНО И ФАЗОВО МОДУЛИРАНИ СИГНАЛИ
Честотна модулация се получава, когато честотата на прост
хармоничен сигнал #(/) = Л0 cos с амплитуда Ло се измени по за-
кона на управляващия сигнал 5(/). В резултат моментната стой-
ноет #чм(0 на честотно модулирания сигнал има вида
(3.12) #4M(0=^ocos[(«>t + Aa) cpoj,
където До> е честотната девиация.
Честотата <о(£) и фазовият ъгъл ф(£) при ъглова (честотна или
фазова) модулация са евързани чрез зависимостта
(3.13) Ф(0 = f<o(0^+Фо-
Ако управляващият сигнал S(t) има вида
(3.14) 5(0=cos(QZ+%),
то честотата w(Z) на честотно модулирания сигнал има вида
(3.15) (о(£)=о) + A wS(/) ® До cos (Qt + ) 4- to.
44
Така за сигнала аЧм(0 се получава
(3.16) ачм(0=Лс°8р^+ 7rSin(2Z+<ftj)+q>0j;
Дчм (0 = Ао cos [ю/+тю sin (2/+«рй ) + <р0]»
Деи А
където т(„ = се нарича индекс на честотната модулация. Ако
*р0 = <рй =0, за спектъра му се получава
оо
(3.17) ачм(0 =; A0J0(mo,) cos wt4- Ао'^-/п(тш) cos (w + nQ)t+
п = 1
+ ^©2 <“ *)" Jn(mo> )cos (to—nQ)t,
n=\
където ) e функция на Весел от първи род, л-ти ред на ар-
гумента. Известно е, че за n>/nw+l |J/z(/nw)|—>0 и за ширината
Fhm на спектъра на честотно модулирания сигнал в този случай
се получава
(3.18) F4M^2F(mfO +1) = 2(A/+F).
От израза (3.18) се вижда, че за тм—>0 ширината на спектъра
на честотно модулирания сигнал се изравнява с тази на ампли-
тудно модулирания.
Ако в такт с управляващия сигнал S(t) се изменя фазата <р на
простая хармоиичен сигнал с амплитуда Ло, се получава фазово
модулиран сигнал
(3.19) а<1>м(0 = Л cos [о>/ + byS(t) + ср0].
Ако в горния израз 5(/)Дср е от вида
(3.20) Дф S(t) = Д<р sin (Q/Ч- cpL>) = mq) sin (Q/+cprf )r
се получава
(3.21) лФМ(/) = Л0 cos[a^ + w<p sin (Ш + ) + <?о],
където се нарича индекс на фазовата модулация.
За малки стойкости на индексите ni(l) или поради свойствата
на функциите на Весел от I род изразът (3.17) може да се пред-
стави с приближение във вида
/о лпч tn А т А)
(3-22)АМтю) + cos (w0+2) t- cos(<o-2)/.
Ширината на спектъра F<t>m на фазово модулирания сигнал се
определи чрез израза (3.18), като се замести т„ с /пт.
45
Задачи
3.8. Да се построй графиката на ЧМ сигнал i4M(t)=lmcos{mt+
Ч-фо+^и 81пШ) съе стъпка във времето \t=~ (£=0, +1,±
±2,...), ако /от = 20тА, w = 4<2, ф0=—и ты — 1. Да се сравни;
’-а^)>!-1ри^,тА 1Ф^а) <-о
1-м^
Фиг. 3.8
резултатът с графиката на немодулирания сигнал 4(0 ~
=/mcos(w0/+%).
Решение
W0=4г cos +тт sin Ш+<р0) =
= 20 cos (30°. k-\- sin 7,5°. 90°) mA;
Zo(O = Im cos (tat+?o)=20 cos (30°. k—90°)mA.
Ако в двата израза за /Чм(0 и i0(t) се дават последователно
стойкости на k—0, 1, 2...., се получават точки от търсените
осцилограми. На фиг. 3.85 са показана г'чм (t) с цяла линия и i0(f)
с прекъсната линия.
3.9. Как ще се измени осцилограмата на ЧМ сигнала £чм(0 от
задача 3.8, ако тт = 2?
46
Решение
Z4m(Z) = 4 cos (<^+ т<* sin Qt + ф0) =«
= 20 cos (30°. k4-2sin 7,5°. £-90°) mA.
Ако на k се дават поеледователно стойности k — 0, 1, 2,...,
се получава осцилограмата на модулирания сигнал, показана на
фиг- 3.8# с цяла линия. С прекъсната линия е показана осцилогра-
мата на немодулирания сигнал Z0(Z).
3.10. Да се построй осцилограмата на ФМ сигнал от
вида 1ф^) = 1т cos (со/4- Дф sin QZ) със стъпка във времето Д£=
= ^--^-(А=0, ±1( ±2,...), ако 4 = 20mA, <о = 42, Д<р=90°. Да
се сравни резултатът с осцилограмата на немодулирания сигнал
Z0(Z) =/^ cos toZ и модулиращия сигнал ZM(Z)=/?Acp sin QZ, където р е
коефициент на пропорционалност.
Решение
/фМ (Z) = Im cos (wZ+Дф sin QZ) = 20 cos (30°. k 4- 90° sin 7,5°. k) mA;
Z0(Z) = lm cos cdZ=20 cos 30°. k mA;
tM(t) = pAy sin SZ=/?90° sin 7,5°. k mA.
Търсените осцилограми се построяват аналогично както при
задачи 3.8 и 3.9. За коефициента р от израза за модулиращия
ток ZM(Z) може да се приеме за удобство /?=1тА, без да се про-
мени решението на задачата. На фиг. 3.8а с цяла линия е пока-
зана зависимостта а с прекъсната линия На фиг
3.8г е показана зависимостта ZM(Z).
3.11. Да се определи честотният спектър на фазово модули-
ран сигнал zz0M(Z) = 2Ocos (2тс 10GZ4-0,3sin2Tc 103Z) V. Да се сравни
резултатът със спектъра на амплитудно модулиран сигнал със
същия коефициент на модулация и същия носещ и модулиращ
сигнал.
Решение
От израза за аФм(/) се вижда, че пг^ =0,3. За тази стойност
на Шд, от таблиците за функциите на Весел се отчита: /0(0,3) =
= 0,978; Jj (0,3) = 0,148. Известно, е че (тф)=) —
Следователно
А(^)= -Л-Л(О,3)-/О(О,3)=
=0,008667 <0,01.
Вижда се, че J2 (0,3)<7i (0,3)<Jo(0,3).
«фм U0JQ ) cos to Z+U0Ji (mv) cos (w+2) t— U0Jj (mv )cos (w—
47
-Q)/=20/O(0,3)cos 2к 10^+20/! (0,3) cos (2л 10,!+2rtl03)/-
—20/, (0,3)cos (2л106—2л103) /=19,56 cos 2л 10°/+
+ 2,96 {cos [2п 103 (1 +103) /[—cos [2л 103 (103-1) /]}.
За амплитудно модулирания сигнал се получава
фМ AM
2,96V 3V 3V
0,999 J I J
I 1,001 fMHz 0399 1001 f,MHz
1 - 2,96 V '
Фиг. 3.9
^am(0=^ocos ~y~ cos (w + Q)/+ -^2 ~cos(w—Q)£=
= 20cos2k10g/H-3cos 2л 103(103 + 1)Z4-3cos 2л103(103-1) t.
Вижда се, че при малка стойност на индекса на модулация /пф =0,3
спектърът на ФМ сигнал почти съвпада със спектъра на AM
сигнал.
Противоположни по знак са само съставките с долните стра-
яични честоти. Спектралните диаграми на ФМ сигнал и AM сиг-
нал са показани на фиг. 3.9.
3.12. Да се реши задача 3.11, ако индексът на модулация
се е увеличил пет пъти.
О т г.: иФМ(/) -10,42 cos 2л 10G t+11,16 (cos 2л 1,001.106/-
- cos 2л. 0,999 10GZ) + 4,62 (cos 2 л 1,002.1 QQt +
Ч-cos 2л . 0,998.10G/)+0,l (cos 2л 1,003.10G/—
-cos 2л . 0,997.106Z) V.
3.13. Да се намери аналитичният израз на ЧМ сигнал с често-
та на носещия сигнал w0 и управляващ сигнал от вида S (/) =
м
= cos nQZ, ако девиацията е Дю.
п = 1
N
О т г.: ачм (/)=Аи cos (wot + --2" sin л й /).
п = 1
3.14. Да се определят индексите на модулация те,п на ЧМ
сигнала в задача 3.13, ако М=4 и mOTi=0,8.
От г.: mOJi=3,2; /raf„2 = l,6; mo>g — 1,06.
3.15. Да се определи честотната девиация Д<о и ширината на
48
спектъра на ЧМ сигнал, ако индексът на модулация е ты=3 и
управляващият сигнал е просто хармонично трептение с честота
^=10 kHz.
Решение
= Q = 3.2~. 10.103 = 6тс. 104s-1;
Д/=30.103 Hz;
Гчм~2F(jnM 4-1) = 2 Л 0.103 (3 +1) = 80.103 Hz.
3.16. Да се определи индексът на модулация т(1) на ЧМ сиг-
нал, ако ширината на спектъра е 100 kHz и честотата на
управляващия прост хармоничен сигнал е Л=10кНг.
О тг.: тсо = 4.
3.17. Да се определи законът, по който се изменя честотата
N
на ЧМ сигнал от вида (t) = Ао cos (<о0Z + ~sin п QQ-
п — 1
Решение
N
ф w=<ой/+ sin й 2 z;
п = \
(N \
. . Д(0 5ГП 1 п А
w0/4-ft 7 —sin/zQZ| =
и Q / i n I
n = l J
N
— (o0 + A(o cos //Qt
n = l
3.3. ИМПУЛСНО МОДУЛИРАНИ СИГНАЛИ
Импулсна модулация се получава, когато носещият сигнал
е поредица от периодично повтарящи се импулси (най-често пра-
воъгълни), някой от параметрите на конто се изменя в такт с
управляващия сигнал. В зависимост от това, кой от параметрите
на импулсите се изменя по закона на управляващия сигнал, се
различават:
а) амплитудно-импулена модулация (АИМ);
б) широчинно-импулена модулация (ШИМ);
в) честотно-импулсна модулация (ЧИМ);
г) фазово-импулена модулация (ФИМ) — от казаното в глава
II, т. 2.4 е ясно, че периодът Т на носещите импулси трябва да
удовлетворява изискванията на теоремата на Котелников, т. е.
(3.23)
4 Ръкозодство за упражнения . . . 49
където FB е горната гранична честота на управляващия сигнал^
ако неговият спектър започва от нула;
д) кодово-импулсна модулация (КИМ), конто се получава, ко-
гато отделните отчета на модулиращия сигнал S(t) се предават
с кодови комбинации; следователно необходимо е:
1) да се дискретизира сигналът S(t) във времето по теоре-
мата на Котелников;
2) да се квантува сигналът S(t) по ниво;
3) да се определи кодът, като при това се спазва изискване-
то общият брой на кодовите комбинации 7V да е по-голям от
броя на нивата—
(3.24) ,
Д/г
където т е основата на кода (броят на символите);
п — броят на знаците в една кодова комбинация;
5тах (0 — максималната стойност на управляващия сигнал в
разглеждания интервал от време;
ДА — стъпката на квантуването по ниво;
е) делта-модулация се получава, когато се предават положи-
телни или отрицателни импулси в зависимост от това, дали управ-
ляващият сигнал нараства или намалява и всяко ниво на сигнала
S(t) се получава, като към нивото в предишния момент се при-
бавя или изважда една постоянна стойност в зависимост от зна-
ка на постъпилия импулс.
Задачи
ЗЛ8. Носещият сигнал 5(/) при АИМ е поредица от право-
ъгълни импулси с височина До, период на повторение Т, продъл-
жителност на импулса т и отместване на предния фронт на им~
пулса tQ (фиг. 2.3). Модулиращият сигнал е от вида ac(t) =
= AccosQt. Да се начертае графиката на АИМ, да се определи
аналитичният израз на АИМ-сигнала #дим(0 и се изобрази
част от неговата спектрална диаграма за първите ДА хармоника
на носещите импулси.
Решение
Съгласно определението за АИМ височината А на носещите
импулси се изменя по закона A (t)=^ До(1 + in cos Q/),
където т = -~- е коефициентът на модулация
В съответствие с израза за височината на импулсите Д(/) на
фиг. 3.10# е показана осцилограмата на сигнала Яаим(0, на
фиг« 3.10а са показани носещите импулси £(/), а модулиращият
сигнал ас(£) е показан на фиг. 3.10(5.
Тъй като се търси аналитичен израз за моментната стойност
на функцията адим(/), то, ако се транслира координатната си-
50
стема вдясно по оста на времето на разстояние /0, полученият
аналитичен израз ще се отнася за функцията Ддим (/—t0). Сигна-
лите S(t) и aQ(t) са периодични по условие. Следователно и сиг-
налът Лдид1(/) е периодичен. Вижда се, че тази транслация не
променя решението на
задачата, а само опро-
стява израза за адим (/).
Ако се възприеме тран-
слация та, т. е. ако Zo = O,
като се има предвид
решението на задача 2.7,
за S(t) се получава
S(t)=A0^+
При направената транслация за ас (/) се получава
ас (/) = А с cos (Qt+Q^o)-
Следователно височината на носещите импулси ще се измени
по закона
А (/) = Л0[1 +zncos(Q/ + 2^0)].
Като се вземат предвид изразът за S(t), последният израз за
А (/) и определението за АИМ за аАим(0 се получава
оо
Длим (X)=-<40 [1 +т cos (Ш+Шо)]. sin п cos [п
п= 1
. т \1 л Г т . 2 1 т I 2л . т \ 1
+ пп Т ) 1= Ао I у+— У, — sinw Т“71 cos Iй — т~ +Ятс Т 1 +
Л = 1
оо
+Aom cos Q (/+А)) +~i_ 2 sin ~Т^ KC0S (Л'~Г“ ~f )1=
П = 1
=5 (/) + тЛ0-^-cosQ (/+^о) +
51
oo
+- — Aom V* — sin
Я ” / l n
n= I
/2'r Г / 2tc \ "1
? Kcoslp-y---------------------Qj/+/z~ T—Stfof-f-
co
. Am 1 . tit Г/ 2tc , T , rw
4—-— > —sin ,r ucos /z +Q /4-яп
те z i n 1 II/ J 1 w
n = L
Фиг. 3.11
На фиг. 3.1 1 e показана търсената част от спектъра на сиг-
нала Лдим (0- От фиг. 3.11 се вижда, че за да се удовлетворят
изискванията на теоремата на Котелников при импулсната моду-
лация, е необходимо До същия извод се достига при
решаването на задача 2.24.
3.19. Носещият сигнал U (/) при АИМ е от вида
£/(0=0,2+-? 4 sin0>2TCCOS (бл«- Ю3+0,2тс/г) V.
п = 1
Модулиращият сигнал е от вида zzc(/) = cos 2л:103£ Да се опреде-
ли аналитичният израз на АИМ-сигнала zzahm (/) и да се начертае
спектралната диаграма до първите три хармоника на носещите
импулси.
От г.: Uamm(0==(1+ cos2n 103/)[0,2+ sin0,2rc cos(6nn\Q4+
n = l
+ 0,2тт)] V.
Спектралната диаграма е показана на фиг. 3.12.
3.20, Носещият сигнал S(t) при ШИМ е поредица от право-
ъгълни импулси с височина Ао, период на повторение Т, продъл-
жителност на импулса т0 и отместване на предния фронт на им-
пулса ^о О. Модулиращият сигнал е от вида ас (/) = Лс cos Qt,
Да се определи аналитичният израз на ШИМ-сигнала ашим СО-
52
Решение
Ако се вземе под внимание решението на задача 2.7, за сиг-
нала 5(7) се получава
5(7) = А0-г~ + 2^° 2 ~п s^n п n c°s t + п-
п = 1
При ШИМ параметърът т се
измени в такт с управлява-
щия сигнал ac(t).
t(7)=T0-|-Ai: cos
= т0(1 -f/ncos Qf),
където
kA? ,
т = т — е коефициент
на модулация;
А = ~---коефициент на про’
порционалност.
Ако в израза за S (Z) се замести т0 с т (/), се получава
Яшим = Л “У" (1 cos ^0 +
оо
. 2Л> кг’ 1 • Т„ (1 н-м cos SW) Г 2я , , Tofl+mcosQO
+ - > sin——-----------n.cos in -^-t+mz-------у-----
Л z I 1 I 1 1
л = 1
3.21. Носещият сигнал при импулсна модулация е поредица
от правоъгълни импулси с височина Ао, продължителност т, вре-
ме на отместване на предния фронт /о^0 и период Г, изменящ
се при модулацията по закона T(t) = T0(H-mcosQ/), като TQ е
периодът на немодулирания сигнал, Q е ъгловата честота на мо-
Д7’ , ~
дулиращия сигнал, т=-^-> ДГ е амплитудата на изменение на
J о
периода Т Какъв е видът на импулсната модулация? Какъв е
е аналитичният израз на модулирания сигнал?
Отг.: Модулацията е чесготно-импулсна.
/ j\ AQT 2t4q 1 1 . Та
4чим \ч = ~г /у ।----4— ~ z — sin п у ,---------------тстт- тсХ
Л) (1 +w cos £27) к п TG (l-J-nicos Qtj
п = 1
Xcos Гу (27 +?)].
Го (1 + m cos2£) v ' J
3.22. Хармоничеи сигнал 5r0(/) = Asin<oZ се квантува по ниво
53
със стъпка Ла = -^- (ЛТ е броят на разрешените нива). Да се на-
чертаят осцилограмата на сигнала след квантуване, функцията на
грешката при квантуване q(t) и функцията на вероятностната
плътност на тази грешка. Да се определи средната мощност на
„шума" при квантуване Рд.
р№
Т7 |
dd I
0
2
Фиг. 3.14
Решение
2Л
При стъпка на квантуване Да = м амплитудата на входния
А м А
сигнал е А= 9 &а, т. е. максималните стоиности на входния сиг-
нал ±Д съвпадат с максималните нива ±—-— на устройством
за квантуване. При това условие ще бъде решена задачата.
На фиг. 3.13 а са изобразени сигналите S0(f) пре ди квантува-
не и S(t) след квантуване за едната полувълна на хармоничния
сигнал, а на фиг. 3.13#—функцията на грешката q(t), като
Формално q (Z) може да се разглежда като шум от квантува-
нето, но в действителност има някои свойства, конто не са ха-
рактерна за шумовия сигнал. На първо място грешката при кван-
туване q(t) може да бъде предсказана във всеки момент от врет
мето в зависимост от входния сигнал според горния израз. От
друга страна, може да се докаже, че характеристиката на устрой-
ството за квантуване е с голяма нелинейност и затова грешката
q(t) може да се разглежда като нелинейни изкривявания от висок
порядък. Следователно по-правилно е да се говори за грешка
при квантуване, отколкото за шум при квантуване. На фиг. 3.14
е показана функцията P(q) на вероятностната плътност на
грешката при квантуване. Доказва се, че вероятностното разпре-
деление на амплитудата на грешката при квантуване е равномер-
54
но в интервала 2 “jj' Следователно средната мощност
на изкривяванията при квантуване P(q) върху единичен товар
има вида
Ла
P<1= J Q2p{4)dq^-^ у q*dq=
Ла ла
Вижда се, че pq формално не зависи от хода на сигнала 50 (/). В
2 л
действителност, ако трябва да се изпълни условието
Pq се определи от амплитудата А на сигнала В този слу-
чай за Ря се получава
/ 2А \2
р __ (да)2 _ \~М"_ Д2
~~ 12 “ ГУ ~ зм ’
3.22. Сигналът S(t\ получен след квантуване на прост хармо-
ничен сигнал S0(Z) с амплитуда Л, се предана посредством М.
а 2Л
нива със стъпка на квантуване Да=--^-- След квантуване и ди-
скретизация според теоремата на Котелников отчетите на сигна-
ла се кодират чрез двоичен код с разреда. Да се определи’
средната и максималната стойност на отношението сигнал/шум’
ако шумът се определя само от изкривяванията при квантуване
Решение
Според условието на задачата Af = 2;v Ако се използува ре-
шение™ на задача 3.22, за средната мощност Pq на изкривява-
нията при квантуване се получава
р Л2 л2 Л2
q~ ЗМ* ~’3’(2")'2~ 3,4^ ’
Максималната стойност на сигнала S(t) е А. Следователно
максималната му мощное г Рс тах върху единичен товар е Рс тах=Ла.
Тогава за максималното отношение сигнал/шум се получава
Р J2
Стах =Ю 1g—=101g—-------------101g 3.4*=
4
= 10(lg34-/Vlg4) = 4,77+6,02M dB.
Средната мощност на сигнала е РСср=
Тогава средната стойност на отношението сигнал/шум е
55
A* 2 * * * 6 * В
Р 2 з 4n
Сср= 101g = 10 lg —= 101g ~2~ =
ч
3.4jV
= 10 (1g -у-+N 1g 4) = 1,76 4- 6,02 /VdB.
Вижда се, че при спазва-
не на зависимостта между
стъпката на квантуване Дя?
амплитудата А на квантува-
ния сигнал и броя на нивата
(2Л \
— —лл-1 отношението
м I
сигнал/шум е толкова по-
голямо, колкото броят на
нивата Л4, респ. броят на
разредите Д/, при импулсно-
кодова модулация и двоичен
код е по-голям.
3.24. Сигналът 5(f), показан на фиг. 3.15, има вида S(f) =
= |3 sin 2к//|, като Т=-4т- е периодът на повторение. Сигналът
се предава чрез импулсно-кодова модулация. Квантът по ниво е
г
Да=1, а квантът по време е &t = б ^Да се покаже изходният сиг-
нал след извършване на импулсно-кодовата модулация.
Решение
Сигналът 5(f) според условието е периодичен и може да се
представи чрез своя спектър, ако се използува редът на Фурие.
Честотата на третия хармоник е /З = 3-у = 3.2/=6/. Според ус-
ловието избраната стъпка на дискретизация във времето е
6 6.2/ 2.6/ 2/3
Следователно при тази стойност на Д/ и като се има предвид
теоремата на Котелников, в условието на задачата е прието, че
спектърът на сигнала S(t) е ограничен до третия хармоник.
В табл. 3.1 са дадени стойностите на сигнала S(t), получени
при дискретизацията по време.
Според приетата в условието на задачата стойност на кванта
по ниво Да=1 и като се има предвид изразът за сигнала 5(f),
разрешените нива са три (/, 2 и 3). При квантуването по ниво-
56
Таблица 3.1
0 т "6 Т 3 т 2 2Г 3 5Г 6
S(Z) 0 1,5 2,598 : 3 2,598 1,5
Таблица 3.2
t 0 т 6 Т “з toj ч _2Г_ 3 5Г 6
S^t) 0 1 3 3 3 1
S3(t) 0 2 3 3 3
Т а б л и ц а 3.3
t 0 1 1 г 6~ Т 1 Т т 2 2Т ~3~~ 5Г 6
S^t) ; оо 01 И 11 11 01
1 00 10 11 11 10
сигналът 5(/) се апроксимира със стъпаловидна линия. Стойно-
стите на апроксимирания сигнал S(t) са дадени в табл. 3.2.
Вижда се, че в моментите t=-TQ и 5(0= 1,5, т. е. с ед-
на и съща вероятност в тези
апроксимира с ниво 1 и с
ниво 2 Така се получават
два възмежни апроксимира-
щи сигнала 5Х(0 и S2 (/)
при приетите условия на за-
дачата. Точността на апрок-
симация може да се по-
добри с намаляване на стъп-
ката на квантуване по ниво,
по време или на двете одно-
временно.
В табл. 3.3 са дадени стойностите на апроксимиращите сиг-
нали 5Д0 и 52(0 в Двоичен код. _ _
На фиг. 3.16 са показани изходните сигнали S1(t) и S2(t)
след импулсно-кодовата модулация.
момента
сигналът
може да се
sf(t)
t
О
О
S2(t)
1
Фиг. 3.16
7
,57
ГЛАВА IV
ПРЕМИНАВАНЕ Н СИГНАЛИ ПРЕЗ ЛИНЕЙНИ ВЕРИГИ
4.1. ОСНОВНИ ЗАВИСИМОСТИ
При преминаването си врез линейни вериги радиотехническите
сигнали запазват спектъра си. Формата на сигналите обаче се
променя, тъй като коефициентът на предаване по напрежение
/С(уЪ) зависи от честотата. Изменението на формата на сигнали-
те води до изменение на съдържанието на информацията. Ето
защо целта е да се предадат сигналите без изкривявания и при
минимална загуба на енергия.
Ако входният сигнал, подаден на линейната верига, е 5ВХ (/),
неговата спектрална плътност се определи с израза
(4.1) £(7(0)=-- JsBX(t)exp(—jut) dt.
— оо
Спектралната плътност U(ju) на изходния сигнал 5H3K(0 има
вида
(4.2) С7Суш)=^(7о>)./С(у<о).
Изходният сигнал 5ИЗХ(/) се получава с помощта на обратно-
го преобразуване на Фурие:
оо
(4.3) 5нзх(0 = -2^- j
— оо
Паразите (4.1) и (4.3) при периодични
сигнали могат да се заменят с изразите
(2.17) и (2.16).
Задачи
4.1. Да се определят спектърът и фор-
мата на изходния сигнал £7ЯЗХ(/) за чети-
рипол^осника, показан на фиг. 4.1, ако
входният сигнал £7ВХ (0 е сигналът, показан на фиг. 2.3, за следни-
те стойности на параметрите:
X = 1V; Zo = 0,2ms; ~ = 0,5 ms; 7=lms.
58
>3052
100nF
-о
Фиг. 4.1
Решение
Коефициентът на предаване /С(/т) на четириполюсника има
вида
“ - даЬаГ “Р <-> "гс‘е
За определяне на спектъра на входния сигнал се използува
изразът за я-тия хармоник от решението на задача 2.7.
т
sin п " г „ т
Т 1 I «ЛТС , <1
Сп = ЧА-г ---------ехр 7-f (2*0+т) .
п ~т~ тс *- J
Пресмятанията на спектъра на сигнала ще бъдат ограничени по-
нататък до 5-ия хармоник. Стойностите на амплитудата и фаза-
та за първите 5 хармоника са получени при заместване в горния
израз на параметрите от условието на задачата. Резултатите са
показани в табл. 4.1.
Т а <б' л и ц а 4.1
/1= IV; £o=O,2ms; г=0,5 ms; T=lms
/о=0 Д = 1 kHz /2=2kHz /З=3 kHz /4=4kHz /5=5kHz
Со=О,5 V Сх=0,64 V ®i=0,9 тс С2=0 V С3=0,21 V ©3—0,7 тс C4=0V c5=o.t3v 95=0,5 тс
Изразът (4.2) може да се приложи за определяне на спектъра
на изходния сигнал. За /z-тия хармоник на изходния сигнал може
да се използува изразът С'гэх = СпК( /со).
Таблица 4.2
/, kHz 1 2 3 4 5
|<(»| 0,9487 0,832 0,707 0,600 0,515
arg К (jm), rad 0,102 0,187 0,25 0,295 0,328
В табл. 4.2 са да дени стойностите на |/С( /<о)| и arg за
честотите на първите пет хармоника на входния сигнал.
В табл. 4.3 са дадени резултатите за |CJJ3X| и arg С*зк, получе-
нии на базата на таблици 4.1 и 4.2.
59
|Щ=|сл].к(я
H3x = ?„+arg /Д».
Таблица 4.3
/, kHz ° 1 1 i 2 3 4
|С"ЗХ|, V 0,5 0,607 0,148 0,066
Т/г» га<^ -г- 1,002 — 0,95 0,828
ре-
че
на
че-
На фиг. 4.2 са показана
амплитудно-честотните
диаграмм на входния и
изходния сигнал и за-
висимостта на модула
на коефициента на пре-
даване 1/<( уо))| от чес-
тотата. На фиг. 4.3 са
показани фазово-честот-
ните диаграмм на вход-
ния и изходния сигнал
и зависимостта на ар-
гумента на коефициен-
та на предаване АГ(усо)
от честотата.
От. получените
зултати се вижда,
при преминаване
сигнала през линеен
тириполюсник амплиту-
дата и фазата на отдел-
имте хармоници се про-
менят. Поради това фор-
мата на изходния сиг-
нал £/Изх(0 се отлича-
ва от тази на входния Четириполюсникът на фиг. 4.1 е
нискочестотен филтър, който подтиска висшите хармоници, опре-
деляли фронтовете на правоъгълните импулси. Затова изменения-
та на изходния сигнал спрямо входния засягат преди всичко фрон-
товете. На фиг. 4.4 са показани входният и изходният сигнал.
4.2. Да се реши задача 4.1 при условие, че:
Л = 1У; /o=l,Oms; т = 0,25 ms; Т=0,5 ms.
Отг.: Сизх о=0,5 V; Сизх i = 0,53 V; Сжзх 3 - 0,094 V; Сизх 5 = 0,037 V
С'изх 2 ~Сизх 4 = 0 V;
?иэх 1 = —0,913 я; сризх 3= — 0,943 я; т>изх 5 = 0,907 я.
60
Фиг. 4.3
uex(t) с
о-
—о
ft)
Фиг. 4.5
4.2. ПРЕМИНАВАНЕ НА РАДИОСИГНАЛИ ПРЕЗ ТРЕПТЯЩИ КРЪГОВЕ
Преминаването на радиосигнали през трептящи кръгове се
среща много често в радиотехниката. На фиг. 4.5 е показан по-
следователен трептящ кръг. Коефициентът на предаване на кръга
има вида
(4.4) -----2~«^ = Т==Т£ТлГех|>
\Ч<"
р " \ шр /
където
Q е качественият фактор на кръга;
61
top — резонансната честота на кръга;
Дш — абсолютната разстройка на кръга.
Известно е, че
(4.5)
I L
С topjf. 1
При подаване на амплитудно модулиран сигнал входного на-
прежение е от вида
(4.6) U^(t)=Ukn (0 = t/ocos (o^+^cos (<оо+2) t +
+ cos (w0—2) t.
Ako (o0 = <i)p, то изходното напрежение |Z7AM (/)изх| e от вида
(4-7) WW-Qt/ocos W-%)+1 m^°cos [(o>o—2)tf—
—?o+4-1#( JW) I — cos [(w0+2) t—<p0+<p],
където
(4.8)
Ако се положи
(4-9)
Фо=-^-; T = arctg2Q^-
ш0
, т
111 = ,_________________
/ Й \2
то изразът (4.7) може да се представи във вида
(4.10) f7li3X (/) = (Z)= QU0 [1 -Fm cos (Q/—cp)]cos (to0Z—cp0).
От израза (4.9) се вижда, че в резултат на изкривяваният*
при преминаване на амплитудно модулирания сигнал през трептя-
щия кръг се намалява коефициентът на модулация. Следователно
в този частей случай за определяне на £/Изх (0 е достатъчно да
се определи коефициентът на модулация т' според израза (4.9).
Ако wP4=to0, за определяне на изходния сигнал се използува из-
разът (4.2) за всяка от компонентите на входния амплитудно мо_
дулиран сигнал. j
Ако на линейна верига с коефициент на предаване /С(ю) с
подаде честртно модулиран сигнал с честота, изменяща се в такт
с управляващия сигнал S(f) по закона
(4.11) to(Z)=too + Ato5(O,
то изходният сигнал има вида
t
Оизх (£)=А0К\<» (O]cos [со^+Дсо у S(t) dt].
О
(4Л2)
62
От израза (4.12) се вижда, че амплитудата на изходния сиг-
нал Лизх (/) =Л0Лг[(о (Z)] се измени във времето, т. е. допълнително
се получава амплитудна модулация. В частност, ако b
(а, Ь са коефициенти) за ю f [сор о)2], то в посочения интервал на
изменение на честотата,
като се вземат предвид
изразите (4.11) и (4.12),
се получава
(4.13) Лизх(0 =
= Ло А [<° (/)] = А 0 [асо (/)—
— 6] = A o[#wo -h a—
—6] = A qCiAiaS (t)+
+ Аоашо—А0Ь.
От израза (4.13) се
вижда, че в този слу-
чай управляващият сиг-
нал S(t) при честотна
и при амплитудна моду-
лация е един и същ. На
фиг. 4.6 е показана ап-
роксимацията с права на
част от резонансната
характеристика на треп-
тящия кръг в участъка
[а)ь о)2]. Вижда се, че ако се работи
wf[a)1, (i)2]> амплитудната модулация
Фиг. 4.6
с разстроен трептящ кръг и
на изходния сигнал е без
изкривявания.
Задачи
4.3. Амплитудно модулиран сигнал U^ = 2 [1 +0,4 cos 103tz/]-
cos5.i0% V се подава на последователен трептящ кръг с пара-
метри: А = 200 pH, С = 200 pF, 7? = 4Q. Да се определи моментна-
та стойност на напрежението върху кондензатора на кръга.
Решение
ГГ /200 10-(!
Q = = W-10-n =250.
Резонансната честота на кръга е
,1 1 25.105
/о =---= =--j------------ =----------- Hz;
J KvjLC 2гс>/200 10—6.200.10“12
Мо = 2л/О=2тс2—+ = 5.106 s—1.
63
Следователно честотата на носещия сигнал съвпада с резонан-
ата честота на кръга. Коефициентът на модулация на изходния
игнал е
т' =
I / <2 \2 / 7 1000тс\
\1+(2<3“Т) V’+t2-250^)
Моментната стойност на изходното напрежение може да се
определи с помощта на израза (4.10). Ъглите ср0 и ср се опреде-
лят чрез израза (4.8).
?=arctg2Q ^- = arctg2.250|^-=0,304 7r;
ТС
Следователно
^изх W = Qt/oll H-^'cos (Q/--cp)]cos(w0/—сро) =
= 250.2[14-0,3816cos(1000^-0,304n)]cos ^5 1081—.
4.4. Да се начертае амплитудно-честотната спектрална диагра-
ма на изходния сигнал според условието на задача 4.3 и да се
определи спадането (в dB) на амплитудите на сигналите с често-
ти u>0±Q спрямо амплитудата на носещия сигнал с честота соо.
Решение
Амплитудите на сигналите със странични честоти на изхода
на кръга се определят с израза
_т7/Оизх _m'QU0_ 0,3816 250.2 _QC-4V
стр изх — 2 “ — 2 — 9 — Уо,4 V.
Амплитудата на носещия сигнал е
[70 изх = QUq = 250.2 = 500 V.
Спадането на амплиту; ’те на компонентите със странични че"
стоти на изходния сигнал спрямо амплитудата на носещия сигнал е
бизх = 201g = 20 1g 9^ = -14,47 dB.
^0 изх
Амплитудата на входния носещ сигнал според условието на
задача (4.3) е 2V. Амплитудата на компонентите със странични
честоти на входния сигнал е
СЛтр= "^o=^i-^ = O>4V.
Спадането на амплитудите на компонентите със странични че-
стоти на входния сигнал спрямо амплитудата на носещия сигнал е
64
йвх = 201g = 201g °24 - -13,979 dB.
Разликата в спадането на компонентите със странични често-
ти на входния и изходния сигнал е
Д6 = бизх - бвх = -14,47—( — 13,979) = — 0,491 dB.
Uиз*)
500
9^5
2
9^5
5.10-103К 5.106 5.106+103ft
0)
Фиг. 4.7
Амплитудно-честотните
нал са показами съответно
4.5. На последователен
модулиран сигнал с честота на носещото трептение /0=lMHz и
коефициент на модулация /п=--0,7. Модулиращият сигнал е с че-
стота 5 kHz. Да се определят индуктивността и активното съпро-
тивление на кръга, ако* капацитетът на кръга е 200 pF. Кръгът
трябва да е настроен на честотата на носещото трептение на ам-
плитудно модулирания сигнал, а коефициентът на модулация на
изходния сигнал трябва да бъде /п'^0,5.
Решение
Индуктивността на кръга според условието на задачата тряб-
ва да бъде
L
диаграмм на входния и изходния сиг-
на фиг. 4.7 а и б.
трептящ кръг е подаден амплитудно
1
(2л/0)4 С (2тгIO0)2 200.10—12 0,126 mH’
Ако се използува изразът (4.9), според условието на задачата
се получава
т
Л '2
2Q /о)
След преобразуване на горната зависимост се стига до формулата
— \/о,7а—0,53 _gygyg
5. 103
2 0,5 Т7 ю*’
~т'7^
5 Ръководство за упражнения . ,
65
Следователно необходимо е 97,979.
Ако се използува изразът (4.5), то според условието на зада-
чата се получава
ГГ l~ I 0,126. 10-3
или /?Д^=Г200^_ = 8(09а.
Следователно необходимо е /?>8,09й.
4.6. Амплитудно модули ран сигнал с честота на носещото*
трептение /= 1MHz, честота на модулиращото трептение Л= 3 kHz
и коефициент на модулация т = 0,8 е подаден на трептящ кръг
с резонансна честота 1MHz и качествен фактор Q= 150. Да се
определи коефициентът на модулация т' на изходния сигнал.
От г.: /п' = 0,5946.
4.7. На трептящ кръг с резонансна честота /р= 1,2 MHz и ка-
чествен фактор Q=150 е подаден амплитудно модулиран сигнал
с честота на носещото трептение /= 1 MHz, честота на модулира-
щия сигнал 7^=3 kHz, амплитуда на носещия сигнал А = 1 и кое*
фициент на модулация т = 0,6. Да се определят амплитудите на
трите компоненти на изходния сигнал.
Упътване\ Модулът |/С(/)| на коефициента на предаване на
трептящия кръг с резонансна честота /р и качествен фактор Q за.
честота / е
От г.: Дд изх = 40,248; Ао изх = 147,08; Аг изх = 44,775.
4.8. На трептящ кръг с резонансна честота /р = 800 kHz е по-
даден амплитудно модулиран сигнал с честота на носещото треп-
тение /=800 kHz, честота на модулиращото трептение 3 kHz и кое-
фициент на модулация /п = 0,6. Да се определи максималната до-
пустима стойност на качествения фактор на кръга, при която
коефициентът на модулация т' на изходния сигнал е по-малък
от 0,6.
Отг.: Q<;121,7.
4.9. Честотно модулиран сигнал с честота на носещото треп-
тение 73 MHz, индекс на модулацията /гш=15 и честота на моду-
лиращия сигнал 7^=10 kHz е подаден на трептящ кръг, настроен
на носещата честота на сигнала. Да се определи качественият
фактор на кръга, така че затихването в лентата на сигнала да не
надвишава 3 dB.
Решение
Ако се използува израз (4.4) и се определи модулът |/С(/со)|
на коефициента на предаване на трептящия кръг, се получава
66
Ширината на лентата на сигнала е
2AF= Гчм ~ 2Л (тю +1) = 2.10.103 (15 +1)=320.103 Нz,
Тогава
ллfo ____ 73. _990 19^
/"чм- 320.103 ~228’125-
4.10. Честотно модулиран сигнал с честота на носещото треп-
тение 64 MHz, индекс на модулация тО) =20 и честота на моду-
лиращия сигнал 12 kHz е подаден на трептящ кръг, настроен на
честота 64 MHz. Капацитетът на кондензатора на кръга е 20 pF.
Какви стойкости трябва да имат индуктивността L и активното
съпротивление R на кръга, така че затихването в граничите на
честотната лента на сигнала да не надвишава 3 dB?
Отг.: 1 = 0,305 pH; /?=8,972 Q.
4.11. Честотно модулиран сигнал с амплитуда f70 = 1 V, девиа-
ция Д/—60 kHz и честота на носещото трептение 68,5 MHz е по-
даден на трептящ кръг с резонансна честота /p = 70MHz и каче-
ствен фактор Q-100. Да се определи амплитудата на обвивката
на изходния амплитудно модулиран сигнал.
Решение
На фиг. 4.8 е показана част от резонансната крива |А"(_/Г)| на
трептящия кръг. Коефициентът на предаване на кръга е
Q
IW)I=
Изходното напрежение има амплитуда U^ = U^K{f). Ампли-
тудата на изходното напрежение с честотата на носещото трепте-
ние /=68,5 MHz е
f/-sx(68,5) =
QUBX 100.1
I ~j~ f~f~\2 I / 68,5—70 \2
у+(2.ioo 70 j
= 22,7229 V.
Амплитудата на изходното напрежение за честота на входния
сигнал /=/в—Д/= 68,5—0,06 = 68,44 MHz е
(68,44) =
100.1
68,5—0,06—70
70
= 21,8916 V.
Амплитудата на изходното напрежение за честотата на входния
сигнал /=/н+Д/= 68,5+0,06=68,56 MHz е
67
U„, (68,56)- —
1 \ J р /
— 100 1 r_=23,6179 V.
, /„„л «8,54-0,06-70 \2
i 4-1200---T~--------]
Фиг. 4.8
От фиг. 4.8 се вижда, че амплитудата на положителната по-
лувълна на обвивката на изходния амплитудно модулиран сигнал е
U+ = (Азх (68,56) - f/изх (68,5) = 23,6179- 22,7229 = 0,895 V.
Амплитудата на отрицателната полувълна на обвивката е
(7- = £7ИЗХ (68,5) -/7ИЗХ (68,44) - 22,7229-21,8916=0,8313 V.
Вижда се, че което се дължи на кривината на резо-
нансната характеристика.
4.12. Да се реши задача 4.11 при условие, че /H = 69MHz.
От г.: U+= 1,893 V; t/~ = 1,6462 V.
68
4.13. Да се реши задача 4.11, ако /н = 68,7 MHz (фиг. 4.8).
Отг.: £/+=1,1671 V; £7^=1,0742 V.
4.14. Да се апроксимира с права линия работният участък от
резонансната характеристика на трептящия кръг съгласно с дак-
ните от задача 4.11. Чрез уравнението на апроксимиращата линия
/((f) да се определи амплитудата на обвиващата крива за изход-
ния модулиран сигнал.
Решение
• Ако се използуват резултатите от решението на задача 4.11,
може да се намери уравнението на апроксимиращата права /((f).
То е
ШмшО = 14,3858 mhz। 962,6725.
Коефициентът пред f е с дименсия MHz-1,
£7ПЗХ (68,5) = £7вх/\ = 1 .(14,3858.68,5—962,6725) = 22,754 V;
£/изх(68,56) = £7НХ К 1 .(14,3858.68,56—962,6725) = 23,617 V;
f/иэх(68,44) = ^вХАГ=1 .(14,3858.68,44-962,6725) = 21,891 V;
U+ = £7ИЗХ (68,56) £7НЭХ (68,5) = 23,617-22,754 - 0,863 V;
£/-- = £7изх (68,5)-£7ИЗХ (68,44) = 22,754-21,891 -0,863 V.
Вижда се,' че резултатите за £7ИЗХ(68,5), £7ИЭх (68,44), £7ИЗХ (68,56)»
£/+ и £/- неэначително се отличават от съответните стойкости»
получени при решението на задача 4.11.
4.15. Като се използува решението на задача 4,14, да се опре-
дели уравнението на изменение на амплитудата на изходното на-
прежение във времето, ако честотата / на входния честотно мо-
дулиран сигнал се изменя по закона /(/) = 68,5+0,06 sin 2.103 л/,
MHz.
Решение
Изразът за /(/) може да се замести в уравнението на апрок-
симиращата права от решението на задача 4.14. За коефициента
на предаване K(f) се получава:
#(/)= 14,3858/mhz -962,6725=
= 14,3858(68,5-0,06 sin 2.103к/)-962,672 =
= 0,8631 sin 2.10% + 22,754.
^зх(/) = Ивх/<(/)=1 .(0,8631 sin 2.103тс/ +22,754)=
= 0,8631 sin2.103rc/+22,754, V.
4.16. Да се докаже, че обвивката на изходното напрежение
на трептящ кръг, настроен на честотата на носещото трептение
на подадения му честотно модулиран сигнал, се изменя с два
пъти по-висока честота в сравнение с честотата на управляващия
сигнал на входния честотно модулиран сигнал.
69
4.3. ПРЕМИНАВАНЕ НА СЛУЧАЙНИ СИГНАЛИ ПРЕЗ ЛИНЕЙНИ ВЕРИГИ
Ако X(t) е случайният сигнал на входа на линейната верига,
a'Y(f)— изходният случаен сигнал, то:
(4.14) ^S(ts)ds-,
*1 *2
(4.15) t2)=J J Kx(sb s2)g(t1—s1)g(t2~s2)<isl ds2,
to to
където g(t) e импулсната характеристика на веригата.
Ако входният процес X(t) е стационарен, то:
<4.16) Y=xj~g(f)dt;
О
(4.17) Ку(г)= J* /<А.(5)фг(т-5Х5,
— оо
където
Фг(т:)= J* g^g^t—T)dt
е автокорелационната функция на импулсната характеристика g(t).
Ако X(t) е бял шум със спектрална плътност S0=TzF0t то
(4.18) Лу(т)=50ф^)=^оф^(т).
Взаимната корелационна функция Лх„(т) в този случай има вида
(4.19) Kxy(t)=SM = nFog^
Енергетичният спектър Fj,(to) на случайния процес К(/) на из-
хода на линейната верига се определя с израза
(4.20) Fy(u) = Fx(<*) №(о>),
където:
/\(ш) е енергетичният спектър на входния случаен процес;
Af(w) — модулът на коефицйента на предаване на веригата.
Задачи
4.17. На входа на /?С-веригата, показана на фиг. 4.9, въздей-
ствува бял шум X(t), за който е известно, че X(i) = trix и корела-
70
адонната функция /Q(Z) е от вида /Cx(t)=4£-5(t). Да се определи
средната стойност /(/) на изходния сигнал Y(t).
Решение
Диференциалното уравнение на схемата на фиг. 4.9 има вида
Фиг. 4.9
с y(t}
Фиг. 4.10
x(t)
R y(t)
Фиг. 4.11
YaY{t') = aX(t), където
Ако се приеме, че в началния момент на рйзглеждането кон-
дензаторътС е разреден, т. е. К(0) = 0, решението на диферёнциал-
ното уравнение при приетите нулеви начални условия е
Г(0 = аехр(-«0Г ехр(а0^(0^= /‘aexp[-a(t-£)]X(l;)<$.
Y(t)= Г а^)ехр[-а(/-^ = ^)ехр(-а0[ехр(а0-1]-
Средната стойност Y(t) на изходния сигнал е показана нафиг. 4.10.
4.18. Към кондензатор с капацитет С в момента ^=0 се включ-
ва флуктуационен ток X(f)t представляващ бял шум със спект-
ралйа плыност Fo. Да се намери дисперсията на напреже-
ниёто върху кондензатора.
От г.: a2(Z)=^t
4.19. Да се реши задача 4.18, ако флуктуационният ток X(f)
мма функция на корелация А'Дт) = а2ехр(—р|т|).
•олл bate
4.20. На входа на схемата от фиг. 4.11 въздействува флуктуа-
ционно напрежение X(t), представляващо бял шум със спектрална
71
плътност Да се намери спектралната плътност
на напрежението Y(t) на изхода на ,схемата и корелационната функ-
ция ^(т).
Решение
Модулът на коефициента на предаване /<(ео) за схемата от
фиг. 4.11 е
№)| =
1 v ,| 7^г+(ю£)«
Ако се вземе предвид изразът (4.20), за спектралната плътност
Sj,(a)) на изходното напрежение Y(t) се получзва
Тъй като X(t) е бял шум със спектрална плътност /7д.(<о)=^, мо-
же да се използува изразът (4.18) за определяне на корелацион-
ната функция Ку{г), като се има предвид автокорелационната
функция фг(г) на импулсната характеристика g (t) за схемата от
фиг. 4.11.
'W= 2Г ехР [-~т 1Х1 ]•
Следователно
7 Г / \ Nq R Г I I 1
2ГеХР[-£-Н ]•
За определяне на Л^(т) може да се използува и теоремата на Ви-
нер-Хинчин (израз 2.44).
оо оо
A'j-(t)=2’k у* />((0)expOi:)tZ(0 = 21- J ехр(утХк =
—оо — оо
М, Я Г R , , 1
2 2L ехр [ L J ’
4.21. Да се определи корелационната функция Кх(т) на вход-
ного напрежение X(t) за схемата от фиг. 4.11, ако изходното на-
прежение Y(t) е стационарен нормален случаен сигнал с корела-
ционна функция Д’/?) = <72 ехр (—а-1).
Отг.: Л'л.(т)=с2 ехр(—ат2)р +2а(1 —2ат2) j.
4.22. Схемата на фиг. 4.9 се използува в усилвателвите
устройства за намаляване на нивото на шума. Да се определи при
каква времеконстанта /?С на схемата ефективната стойност на
изходното напрежение на шума ще бъде по-малка от 50 mV, ако
72
входният сигнал е бял шум с енергетичен спектър /7r(<o)=2n)
X10-6V2.s.rad-1.
Отг.: RC>0,4.10“3 s.
4.23. На входа на филтър с коефициент на предаване /С(а>) =
= постъпва стационарен случаен сигнал X(t) с корела-
ционна функция = ехр (—р т|). Да се определи спектрал-
ната плътност Fy(u) на изходния сигнал Y(f).
1+(шЛ)2
1 + W ’
Отг
v (p2-f-w2)7i: v
4.24. На входа на филтъра, описан в задача 4.23, постъпва
стационарен случаен сигнал X(t) с корелационна функция /Q(t) =
= 7i/70S(t). Да се определят енергетичният спектър /^(w) и коре-
лационната функция Л^(т) на изходния сигнал Y(t) на филтъра.
Отг.: Ру(ю) = Ро ’ уу2 А$(")=( р- )25(т) +
к/’о
2Г
7-2-7?
Г2
ехр (—
73
ГЛАВА V
ПРЕМИНАВАНЕ НА СИГНАЛИ ПРЕЗ НЕЛИНЕЙНИ ВЕРИГИ
5.1. АПРОКСИМИРАНЕ НА ВОЛТАМПЕРНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Волтамперната характеристика /(м) на нелинеен елемент може
да се апроксимира с полином от вида
(5.1) 1 = а0+о1«+«2«2+ ...+ «*«*+ ...+дяи",
където
— / \
°* “*цд«*7а=
Ако напрежението zz(/) е прост хармоничен сигнал от вида
(5.2) zz(/) = t/mcos(a)/+c))>
то след заместване на (5.2) и (5.1) за амплитудите на отделяйте
компонента на тока се получава:
| 0',’, - ; .
/,=0Л+4-^i+~s <+.»
(5.3) 4- J-»2^+-2 У‘,+ -£- »=^+--
/ = X1 (2р-4-£)!________ 1Г2р+к
к 2j 22p+k-lpl(p+ky. a'2l,+kU^ •
p = f!
Често волтамперната характеристика на нелинейная елемент
се апроксимира с начупена линия (фиг. 5.1). Следователно в този
случай апроксимиращата функция има вида
.• Jt/tgGj за U>Q
(t/tg 02 за Z7<0.
Ъглите 0J и 02 могат да се определят графично при апроксима-
цията.
Волтамперната характеристика на нелинейния елемент може
74
да се апроксимира и с експоненциална функция от вида
(5.4) / = Л(^“-1),
където А = const и 7 = const. Коефициентът Лес дименсията на
I от израз (5.4), а ди е без дименсия. Параметрите Л и q се оп-
ределят числено от характеристика-
та на нелинейния елемент.
Задачи
5.1. Да се апроксимира волтам-
перната характеристика на полупро-
водников диод (фиг. 5.1) с начупена
линия, като се пренебрегне проводи-
мостта в обратна посока.
Решение
Съгласно с условието се приема
$2^0. Графично според приетия ма-
щаб от фиг. 5.1 се отчита 01 = 63 30';
tg = tg 63’30' = 1,9882-™Следо-
вателно апроксимиращата функция има вида
за U>0_ fl,9882 U за £7^0.
за U<0 ДО за 4/<0
5.2. Да се реши задача 5.1, без да се пренебрегва токът в
обратна посока на диода, като се приеме 62 = ЗО'.
Отг.: Z[mA]
1,9882 U за t/>0
0,01 U за £7<0.
5.3. Да се апроксимира волтамперната характеристика на фиг.
5.1 с израза (5.4). като се използува записът на характеристнката,
даден в табл. 5.1. Да се подберат параметрите А и q на апро-
ксимиращата функция така, че тя да пресече волтамперната харак-
теристика за U= —0,3 V и U=0,3 V.
Таблица 5.1
и. V —0,5 —0,4 —0,3 —0,2 —0,1 0 0,1 0,2 0,3 ОД 0.5
1, (ьА —4.0 —3,5 -3,0 —2,3 —1,5 0 65 180 400 700 ’ 1400
Решение
Според условието на задачата се съставят уравненията
—3=Д[ехр(—0,3 q)—1];
400=Д[ехр (0,3
75
След раэлеляне първото уравнение на второго и след преобразу-
ване се получава
3[ехр(0,3 q)]2—403 ехр (0,3#)+ 400 = 0.
След решаване на това уравнение се получава: #х = 0; #2 = 16,3.
Т а б л и ц а 5.2
4 «0 «2 °4 а()
Л д3 а7
4 «2 aG as
_4_ йт, а7 Л‘)
4 ak + 4:
щи се в спектъра на изходния
Реален смисъл има #2+0. При
заместване на #2 в едно от из-
ходните уравнения се опреде-
ли А: А = 3,02. Следователно
/=3,02[ехр(16,3
5.3. Характеристиката на не-
линеен елемент се апроксимира
с полином от вида /=я0 + а3я+
+ а3&3. Напрежението, което
се подава на нелинейния елемент*
е от вида u = Um cos ю/. Да се
определят честотите, съдържа-
сигнал.
Решение
Ако се вземат предвид изрази (5.3), може да се състави табл.
5.2 за коефициентите на апроксимиращия полином, участву-
ващи в определяне на амплитудата на съответната компонента 1п
на изходния ток.
Следователно в спектъра на изходния ток ще се съдържа по-
стоянна компонента /0, компонента с честота со и амплитуда
компонента с амплитуда /3 и честота Зю.
5.4. Характеристиката на нелинеен елемент се апроксимира с
полином от вида /=0,2^ +и2, mA. Напрежението, което се подава
на нелинейния елемент, е zz(/)=lcos 100к/. Дасе определят ком-
понентите на тока през нелинейния елемент.
Упътване: Да се използуват изразите (5.3).
Отг: f(/) = 0,5 + 0,2 cos 100л/+0,5 cos 200л/, mA.
5.2. ПОЛУЧАВАНЕ НА МОДУЛИРАНИ СИГНАЛИ
На фиг. 5.2 е показана схема за получаване на амплитудно
модулиран сигнал. Последователно на нелинейния елемент (диода
Д) е рвързан паралелен трептящ кръг. Входът на устройството
се свързва с източник на сигнал zz(/), който е сума от хармонич-
ните сигнали и uQ(t).
(5.5) u(t) = (t) + (/) = ию cos cos Qt.
Най-често Амплитудно модулираният сигнал Ядм(/) се вее-
ма от трептящия кръг.
На фиг. 5.3 е показана схема за получаване на честотно мо-
76
дулиран сигнал. Управляемият реактивен елемент X(t) изменя че-
стотата to на генериране на автогенератора в такт с управляващия
сигнал UQ съгласно зависимостта
(5.6)
°—н-------°
Д Г* L
- = С L j
До> __ 1 АС
сод 2 Сд
Фиг. 5 3
О-------------А-------Q
Фиг. 5.2
където АС и Дсо са иэмененията съответно на капацитета на кръ-
га и на честотата на ЧМ-сигнал.
На фип. 5.4 е показана схема за амплитудно-импулсна моду-
лация, а на фиг. 5.5 — осцилограма на АИМ-сигнал. Височината на
правоъгълните носещи импулси се изменя поради пзменението на
ограничаващото напрежение Ео = Е4-«й (/), където uSi (t) е модули-
ращият сигнал. Като нелинеен елемент в схемата на фиг. 5.4 е
използуван диодът Д.
Фиг. 5.4
Фиг. 5.5
Задачи
5.5. Сигналът на входа на схемата от фиг. 5.2 има вида «(0 =
= U cos wt 4-Uа cos Qt. Вместо трептящ кръг като товар е използу-
вано" активно сопротивление R. Волтамперната характеристика на
нелинейния елемент е от вида z = а^и 4- Да се определи спек-
тьрът на тока през товара.
77
Решение
Токът i(t) през нелинейния елемент и товара /? има вида
/(/)=«1и(0+а2 к2 (0 = «1 (t/<„ cos wZ + Ua cos Qi) 4- a2 (£/» cos <o/+
+ cos Qi)2=a^Uc, cos a>t+UQ cos Qt) + a2(^2 cos2 wiH-172 cos8 Qi4-
+2^ Uq cos u>t cos Qi) = axUm cos wZ+clJJq cos Qt4-
+—2— (1 +cos 2o>i) 4- (hUm Ua cos (to - Q)t 4- a2Ua, UQ (w + Q)t4-
4--^— (1 + cos 2Qt)=—,+ a^m +ахиа cos Qt+^- cos2 Qi 4-
2 M cos 2wZ+^2 U<» UqCos (w—Q)t+a2UM U^cqs (co + Q)t+
+ a1UMcos(dt.
На фиг, 5.6 e показан
спектърът на тока през товара.
5*6. Напрежението върху резистора /? според условието на
задача 5.5 се подава на идеален лентов филтър с лента на про-»
пускане в интервала со £ [ш—До), о) + До>], като 2^Дсо«о—S2
(фиг. 5.6). На изхода на филтъра се получава амплитудно модулиран
сигнал с коефициент на модулация т. Да се определи т, като се
имат предвид амплиту/ите ла носещия сигнал и на двете компо-
нента със странични честоти, определеыи в задача 5.5. Филтърът
има коефициент на предаване К в цялата лента на пропускане
Решение
Амплитудите на носещия сигнал и на двете компонента със
странични честоти на изхода на филтъра са:
t/.изх =I(aRK-=axUmRK\
U(со—£2) изх ~ (со+Щ изх —1(0—Q RK— Iсо 4-Х2 RK— ^UfoU & RK^
Известно е, че при амплитудна модулация
ТТ mUnoc
Uстр — 2 » т. е.
78
З^стр
Ц,ое
т
2a^aUaRK _Q а2 п
a^U^RK 1 ax~Ui1’
Следователно при квадратична волтамперна характеристика на не-
линейния елемент коефициентът на модулация е линейна функция
на амплитудата на модулиращия сигнал.
5.7. Волтамперната характеристика на нелинейния елемент от
фиг. 52 е /= — 1+0,5 и+0,2 и2. Входного напрежение на схемата е
и (/)=cos 2л. 10е/+0,5 cos 2л. 3.1031.
Да се определи изразът за тока през нелинейния елемент.
Отг.: /=1,125+0,25 cos 6л 103/+0,025 cos 12л 103/+
+ 0,1 cos 4л 106/+0,01 cos 2л 997.103/+
+0,01 cos 2л 1003.103/+0,5 cos 2л 106/.
5.8. Да се определи коефициентът на модулация т на изход-
ния сигнал Иам на схемата от фиг. 5.2, ако трептящият кръг се
приеме за идеален лентов филтър с лента на рропускане ю £[996,
1004], kHz, и се вземе предвид условието на Задача 5.7.
Отг.: т = 0,4.
5.9. Да се реши задача 5.5 при условие, че волтамперната ха-
рактеристика на нелинейния елемент е от вида /=а0+а1в+
+ Я2И2 + <73«3.
Решение
/(/) </0-| арг(/) + а2и2(/)+а3и3(/)=а0+a^Uт cos<o/+/7scos2/) +
I a.3(U,„cos o)/ + t/,.cosQ/)2 |-a3(L/n,cos<i>/+/7<>cos2/)3 =
U2 -\-U2 ( U2 +2U2 \
-a() + a.2 Ua (at -|-3a3 ---—’I cos 2/+
U(> Un
+a2 —cos 2 Qt+«з 4 cos 32/+a3Um cos (w —22) / +
// U.,
+a3U2sU,o cos(to + 22)/+3a3 ‘”4 cos(2ю—2)/+
/ U2 +//;, \
“I- cos (to—Q) t 4~ I ----I cos mt 4-
u2 u2
+й2 "2“ cos ю + Зоз cos (w + 22) + «3—cos Зю/ +
+ a2 Ua, UQ cos (ю + 2) /.
На фиг. 5.7 e показана амплитудно-честотната спектрална диа-
грама на тока през нелинейния елемент. С прекъсната линия е по-
казана идеалната характеристика на филтъра след нелинейния
елемент.
79
5.10- Да се реши задача 5.6 при условие, че волтамперната
характеристика на нелинейния елемент от фиг. 5.2 е
/ (£) = а0 + а±и + а2и2 + а3и3.
Упътване*. Да се използват решенията на задачи 5.6 и 5.9.
8а2 Uo
Отг:. т = ~ — •
4а^ -рЗ^з (
5.11. Волтамперната характеристика на нелинейния елемент от
фиг. 5.2 е / = 6^4-0,12 rz2. Входного напрежение е сума от две
синусоидални напрежения с честоти F=300 Hz и /=4 MHz. Да
се намери амплитудата на нискочестотното напрежение, при кое-
то коефициентът на модулация на първия хармоник на тока е
т = 0,1. Какви свойства трябва да има трептящият кръг в схема-
та, за да отдели модулирания сигнал?
Отг.: U=2,5 V.
5.12. За какви стойкости на отношението е в сила
изразът (5.6) и защо?
5.13. Капацитетът на трептящия кръг на фиг. 5.3 е С()= 100 pF.
Резонансната честота на трептящия кръг е /о=1О MHz. Макси»
малното изменение на капацитета на управляемия реактивен еле-
мент Х(/) е ДС= 2 pF. Да се определи девиацията на честотата
Д/ и еквивалентната индуктивност L на трептящия кръг в режим
на честотна модулация.
Отг.: Д/=100 kHz; L = 2,53 pH.
5.14. За схемата от фиг. 5.4 опорного напрежение е £' = 2V.
Амплитудата на модулиращото напрежение е f/X2 = O,5V. Да се
определят коефициентът на модулация т и максималната висо-
чина С/Изх на импулсите на изхода на схемата.
Отг.: /zz = 0,25; f7H3x = 2,5 V.
80
5.3. ДЕМОДУЛАЦИЯ
На фиг. 5.8 е показана схемата на амплитуден демодулятор.
Амплитудно модулираният сигнал иАМ(/) се демодулирас помощ-
та на диода Д (нелинеен елемент). Модулиращият сигнал uQ се
отдели с филтъра /?С, чиито елементи отговарят на условията
(5-7)
(dC
където со е честотата на носещия сиг-
нал, a Q — честотата на модулиращия
сигнал.
Зависимостта
о—X-
4
------1----О
д!______1____>
Фиг. 5.8
(5.8) д/0=/;-/0=д/[г/АМЯ1(/)]
се нарича детекторна характеристика, като:
/0 е токът за работната точка;
/0 — постоянната компонента на тока през диода;
— амплитудата на модулираното напрежение zzAM(Z).
Демодулаторът е с квадратична дегекторпа характеристика, ако
(''') А/»-?-
където а2 е коефициент от израза (5.1), с който се апроксимира
волтамперната характеристика на нелинейния елемент.
При линейния демодулатор е в сила зависимостта
(5.10) Д/о=р^АМт = иА1Лт,
където 6 е ъгълът на отсечката (токовият ъгъл).
Коефициентът на предаване на линейния демодулатор е
(5.1Л) tf=cosO.
Демодулацията на честотно модулирания сигнал може да се
осыцестви чрез предварителното му преобразуване в амплитудно
модулиран сигнал посредством разстроен трептящ кръг (фиг. 4.5),
а след това да се използува амплитуден детектор.
Ако в схемата на фиг. 5.8 вместо диода Д се постави еле-
мент с изменяща се във времето проводимост g(t), се получава
синхронен детектор. Проводимостта g(t) се изменя по закона
(5.12) £(О=£о (!+/«« cos <о/).
Ако входният сигнал е
(5 13) йАМ (Z) = Uq (1 -|-/ncosQ/) cos((d/+^),
на изхода се получава нискочестотна компонента я^изх-
(5.14) Uq изх (0 ивх cos S2Z,
6 Ръководство за упражнения ... 81
където
(5.15) UQ изх = 0,5 gQtngfn R UQ cos cp.
Задачи
5.15. Входного амплитудно модулирано напрежение за схемата
от фиг. 5.8 е #AM(Z) = t7OT(l +m cos Q/) coscoA Волтамперната. ха-
рактеристика на диода Д се апроксимира с израза / = а0-|-я1и-|-
-Ья2й2-Мзй3- Да се намери изразът за демодулирания ток /д (/) в
резистора /?.
Решение
Заместваме израза за &АМ(/) в израза за волтамперната харак-
теристика:
i (t) = а0+axUm (1 + т cos Ш) cos ю t -ь а2 U2m (1 + т cos Q /)а cos2 ч-
+ (l-f-z/zcosSZ) cos3 со/.
Нискочестотните компонента на тока 1(f) се получават от произ-
веденного а2£72, участвуващо в израза за волтамперната характе-
ристика:
а^ = а2 0 4-2/и cos Qt + m2 cos2 Ш) (1 ч-cos 2 w/).
След отделяне на компонентите с честоти й и кратни на 2 от
горния израз се получава
/д (/) = аа£7;Ц /ncosQ/Ч--^- cos 2Q/^ = /^cosQ/4-/2^cos2QZ.
Вижда се, че освен компонентата с честота Q има и смущаваща
компонента с честота 2Q, която е причина за нелинейни изкривява-
ния при демодулацията.
5.16. Като се има предвид условието на задача 5.15, да се
определи коефициентът на нелинейни изкривявания по втори хар-
моник . 100% при коефициент на модулация /п = 0,4.
Решение
/ Лз-$-^.100
/<2=-^.100= -----------5-----= -£.100= -^-100=10%.
*ял a2mUlm 4 4
5.17. Волтамперната характеристика на нелинейния еле-
мент'от фиг. 5.8 е I [тА] = 2н-0,5«[V]4-0,1 «2[V]. На входа на
схемата е подадено амплитудно модулирайо напрежение с ампли-
туда на носещия сигнал IV и коефициент" на модулация /п=1.
Да се определят амплитудите на компонентите на тока след де-
модуляция с честотата на модулиращия сигнал и с двойно по-
82
висока честота. Да се определи коефициентът на нелинейните
изкривявания по втори хармоник.
Отг.: /^д = 0,1 mA; /2^д = 0,25тА, АГ2 = 25%.
5.18. Какъв ъгъл на отсечка 9 ще се получи, ако схемата от
фиг. 5.8 работи като линеен детектор с коефициент на предаване
/С=0,8?
Отг. 6 = 37°.
5.19. Каква е максималната стойност на коефициента на пре-
даване на линейния детектор?
5.20. Какъв трябва да бъде капацитетът С на кондензатора
от фиг. 5.8, за да се отдели нискочестотният управляващ сигнал
след демодулацията, ако резисторът има съпротивление /?= 10 kQ,
честотата на носещото трептение е /=465 kHz, честотата на ул-
равляващия сигнал е 4,5 kHz?
Решение
Изразът (5.7) може да се представи във вида:
1 Ю
10 “ со0 R
= 2л. 465.1 Я 10.10'з PF>
иад =/0.2к 4,5.109.10. PF-
Следователно
С £ [340, 354] pF.
5.21. Да се начергае'и обясчи схемата на честотния детектор
в случайте на един раззтроен кръг и два разстроени кръга.
5.22. Да се начертае и обясни схемата на честотния дискри-
минатор.
5.23. Честотно модулиран сигнал е подаден на единичен треп-
тящ кръг според условието на задача 4.11. Изходният сигнал на
трептящия кръг се подава за демодулация на входа на схемата
от фиг. 5.8, чийто диод има волтамперна характеристика от вида
/ = 0,Зй + 0,5й2. Да се определят коефициентът на ампли^удна
модулация на сигнала на входа на амплитудния демодулатор и
амплитудата на компонентата на тока с честота, равна на често-
тата на управляващия нискочестотен сигнал, получена при демо-
дулацията.
Решение
Ако се използува решението на задача 4.11, може да се оп-
редели коефициентът на амплитудна модулация т за сигнала на
входа на амплитудния демодулатор:
Цпах’Цып 23,6179-21,8916 _ППоо
^ax+i/min” 23.6179+21,8916
83
Ако се използуват изразът за волтамперната характеристика
на диода и решението на задача 5.15, за амплитудата 1^А на нис-
кочестотния ток, получен при демодулацията, се получава
/йд = д2 U2m т = 5-----J т ~~-
пс/ 23,61794-21,8916 \2 nnoQ пос .
= 0,5 —--------------1 0,038 = 9,85 mA.
5.24. Да се реши задача 5.23 като се вземат предвид дан
ните от задача 4.12.
Отг.: т = 0,043; /^ = 14,58 mA.
5.25. Да се покаже графично и се обясни зависимостта на
изходното напрежение на синхрон шя детектор от ъгъла ср за
ср([О, к].
5.26. Амплитудно модулиран сигнал с амплитуда на носещия
сигнал UQ = \ V и коефициент на модулация m = се подава на
входа на синхронния детектор с товарно съпротивление /? = 4kQ.
Останалите параметри на детектора са: тд = 0,5, gQ = 10 mS; cos ср =
= 1. Да се определи амплитудата на изходното нискочестотно
демодулирано напрежение.
Отг.: £Zqh3x~7V.
5.27. Каква е стойността на ъгъла ср при синхронно детекти-
ране, ако: t70 = 2V; g0 = 5.10“3s; /пд = 0,4; т = 0,5; /?=^5.103Q;
^изх = 2У.
Отг.: ср-66°24'
5.4. ГЕНЕРИРАНЕ НА НЕЗАТИХВАЩИ ЕЛЕК1РИЧЕСКИ ТРЕПТЕНИЯ
Условието за самовъзбуждане на LC-автогенератора е
(5.12) ScpZep0B>l,
където
Scp е средна стойност на стръмността на проходната ха-
рактеристика на нелинейния елемент в схемата на ав-
тогенератора;
ров — коефициелт на обратна връзка;
Ze — еквивалентно съпротивление на трептящия кръг.
Изразът (5.12) може да се запише във вида:
(5.13 a) |SCP| |Zcp| ;30В^1;
(5.13 6) arg (5cp) + arg(Zfe) + arg(Po.B) = 2 kit, k = 09 1, 2,...
Условието (5.13 a) се нарича баланс на амплитудите, а усло-
вието (5.13 6) — баланс на фазите. Средната стръмност се опре-
84
деля с амплитудите на основните хармоници на изходния ток и
входного напрежение:
(5.14) Sc
^вх 1
Еквивалентното съпротивление на трептящия кръг при малки
разстройки се определи с израза
(5.15)
където
L е индуктивност на трептящия кръг;
С — капацитет на трептящия кръг;
R— активно съпротивление на трептящия кръг;
Q — качествен фактор на трептящия кръг;
сор—резонансна честота на трептящия кръг;
Дсо — абсолютна разстройка на трептящия кръг.
Схемата на фиг. 5.9 а се нарича схема с индуктивна обратна
връзка. За тази схема коефициентът на обратна връзка е
(5.16) ‘
където М е коефициентът на взаимна индуктивност.
Изразът (5.13 а) добива вида
Схемата на фиг. 5.9 6 се нарича индуктивна триточкова схема
а на фиг. 5.9 в — капацитивна триточкова схема. Коефициентът на
обратна връзка за схемитс на фиг. 5.9 6 и в се определи с израза
<5-18> -ХМ"
Условието (5.13 6) за схемите на фиг. 5 6 и в има вида
(5.19) %rh%2-bX3 = 0.
На фиг. 5.10 а е показана схемата на /?С-генератор с дефази-
раща трупа, а нафиг. 5.10 6 — схемата на /?С-генератор с мост на
Вин. Условието за баланс на фазите изисква усилвателят на
фиг. 5.10 а да осигури дефазиране на 180°, а условието за баланс
на амплитудите за същата схема има вида
(5.20) Л>29.
85
Честотата на генерираните незатихващи трептения за тази схе-
ма е
(5.21)
Условието за баланс
.— •
° J6RC
на амплитудите на
схемата на фиг. 5.10 б е
Фиг. 5.9
(5.22) /С>3.
Честотата на генерираните незатихващи трептения е
(5.23) ~ rq *
Задачи
5.28. Да се намери уравнението на средната стръмност 5ср(&)
за волтамперната характеристика на нелинейная елемент в схема-
та на автогенератор.
Фиг. 5.10
Решение
Ако честотата на първия
хармоник на генерирания сиг-
нал е (о, то
i(t) = cos a2t/^cos2 wZ
а^т
~aYUm cos (o/H-------
----2— cos2cd/=/i изх cos <o/-h
"Г" Л) изх Ч~ Л? и»х COS 2(1)£
където Л иэх
Съгласно
е амплитудата на първия хармоник на тока,
израза (5Л4)
Q ____ Л ИЗХ
Оср — "ту — up
86
Следователно
5ср (и)=at = const.
5.29. Да се определи минималната стойност на коёфициента
на взаимна индукция М (фиг. 5.9 а), ако R=5Q, С=500 pF, а
уравнението на волт-
амперната проходна
характеристика на
транзистора е
/k = 0,25zz(v] + 0,5^V],
mA.
Отг.: М>10 |1Н*
5.30.На фиг. 5.11 а
е показана едва мо-
дификация на схема- Фиг. 5.11
та от фиг. 5.9 а, при
която трептящият кръг е включен в колекторната верига на тран-
зистора с коефициент на включване /? = 0,1. Параметрите на схе-
мата са: А = 100 р,Н; С=400 pF; Q = 80; Af=5 pH. На фиг. 5.11 б
е показана проходната характеристика z*c(^Zb)- Да се определи
при какво .напрежение Ев на базата на транзистора е въз-можно
генерирането на незатихващи трептения.
Отг. £*5 = 0,34 V.
5.31. Транзисторът на схемата на фиг. 5.9 в е с усилване К= 10,
честотата на генерираните трептения е /0 = 500 kHz, капацитетът
е С3 —100 pF. Да се определят индуктивността Lr и капацитетът
С2 на трептящия кръг.
Решение
Ако се използуват изразите (5.13 а) и (5.18) сё получава
з ~ ___=—L.
Ров к
Знакът минус в дясната страна на горното равенство означава
дефазиране на 180° при усилването от транзистора. След преоб-
разуване се получава
Ако се вземе предвид израз (5.19), се получава:
___У 1 1_______о-
2к/0С2 2к/0С2 2к/0С3 ~и’
С2=10С3=10.100=1000 pF;
L1 = (2п/0' Ч?2 = (2л500.103)21. IQ-» = 1»116 тН-
87
5.32* Схемата на автогенератора на фиг. 5.12 има следните
параметры: С<=^50 pF, C2 = 200pF, С3 5000 pF, £ = 60 »iH. Изход-
ното съпротивление на транзистора е /?НЗх = 7 кй. Дасе определи
минималната стойност на средната стръмност Scpmin на проход-
5.34. Схемата на фиг. 5.10а е
Отг.: /О=6,5 kHz.
ната волтамперна характе-
ристика за възникване на не-
затихващи трептения.
О т г.: SCp min = 12 mA .V-1.
5.33. Генераторът на фиг.
5.10# работа на честота
/0 = 5 kHz; съпротивленията
на резисторите имат еднакви
стойности /?=20 кй. Да се
определи капацитетът на
кондензаторите С.
Отг.: С= 1,6 nF.
реализирана с еднакви конден-
затори с капацитет С=1 nF и еднакви резистори (R = 10 кй). Да
се определи честотата на генерация /0.
5.5. ПРЕМИИ АВАНЕ НА СЛУЧАЙНИ СИГНАЛИ ПРЕЗ НЕЛИНЕЙНИ
ВЕРИГИ
Ако на входа на нелинейна верига въздействува случаен сиг-
нал А'(^), то изходният случаен сигнал се определи с из-
раза
(5.24) У(О=/Ь¥(О],
където /(А) е характеристиката на предаване, определяща се от
параметрите на нелинейната верига.
Едномерната вероятностна плътност РГ(К) на изходния слу-
чаен сигнал Y(t) има вида
(5.25) W^WAf-' (Щ
където /(К) е обратната функция на f(X).
Средната стойност Y=f(X) и функцията на корелация на случай-
ный сигнал Ky[tv Z2] се определят с изразите
(5.26)
г=/(*)= ff(X)W(X)dx,
(5.27) КА^]=У1Уг-У1У2>
където
88
(5.28)
2’
a IF (xu x2) e двумерната вероятностна гглътиост на случайния
сигнал >¥(/).
Ако X(t) е нормален случаен сигнал с дисперсия с2 и коефици-
ент на корелация /?(т), то функцията на корелацията на преобра-
зувания изходен случаен сигнал Y (t) се определи с израза
ОО ОО 12
(5.29) Ку (г)
където
Г / г- \ rin
(5.30) т(х) -ехр(- ; <р<"’(х)ср (х).
( У-л)2
—№
Задачи
5.35. На безинерционсн квадратичен детектор с характеристи-
ка от вида у ах\ ^>0 въздействува стационарен нормален шум
г > _ _ —. \ п
z¥(Z) с вероятностна плътност IF1(Ar) = - ехр
\/2тс а
Да се определи в.ероятностната плътност ^(К) на шума Y(f) на
изхода на детектора.
Решение
От условието а>0
за X се получава
с ле два, че IF2(K) = 0 за Y <0. При К:^0
Следователно
\dx
\dY
bjaY
Ако се използува израз (5.25) за IF2(K), се получава
___1_
2/aY
0
[r’W 1)+М_\М9]за у^°
за К<Х).
В частност, ако А (/)=0, то
!1 Г / Y \ 1
—=—ехр — |—j-) за У>0
а/2паУ L \ 2<za- /]
0 за У<0.
§9
5.36. На входа на схемата от фиг. 5.8 въздействува стациона-
рен нормален шум X(t} с нулева средна стойност и дисперсия
а2. Характеристиката на диода Д има вида
за
(а2и за zz<0’
където
_ 1 _ 1
й1-я/пр+я’
/йПр е вътрешно съпротивление на диода в права посока;
Riobp — вътрешно съпротивление на диода в обратна посока.
Да се определи средната стойност на тока /(/) във веригата
на диода и дисперсията му а2., ако капацитетът на кондензатора
е пренебрежимо малък С--0.
Отг.: z(0 = ^(^i—^2); [(K-l)(aj-i-aj)-|-2a1a2p
5.37. Да се намери вероятностната плътност W\(K) на изход-
ното напрежение на еднополупериоден линеен детектор, чиято ха-
рактеристика има вида
v W за
(О за Х<0
Приема се, че на входа на детектора въздействува нормален слу-
чаен сигнал X(t) с нулева средна стойност и дисперсия а2.
Отг.: ®'1(Г)-4-5(К)+ ехр(- ) за ГйО.
където 8 (К) е делтафункция.
5.38. Да се намери вероятностната плътност на разпределение
на изходното напрежение Y(/) на еднополупериоден квадратичен
детектор, ако на входа му въздействува случаен сигнал X(t) с
нормално разпределение и нулева средна стойност X\t\ с дис-
персия Q2.
Характеристиката Y(X) на детектора има вида:
у г у\ (аХ2 за
[О за Х<0
Отт.: ^0-
5.39. Волтамперната характеристика на нелинеен детектор
има вида y = aQ-Ya1x4-a2x2. Да се определят корелационната функ-
ция Ку (т) и енергетичният спектър Fy(w) на напрежението
на изхода, ако X(t) е нормален случаен сигнал с нулева средна
стойкост X(t) и корелационна функция Агд.(т)=а2ехр(—а|т|)со8(о0т.
Товарного съпротивление на детектора е R.
Упыпване: Да се изиолзуват изразите (2.43) и (5.29).
90
Отг.: ^(т) = О:а<А>2ехр(-2аМ); Fy{^=^-------------------.
" 4аг-|-а>0
5.40. Да ca реши задача 5.39 при условие, че
Л', (с) = о2 ехр ( ~ ?г~2~) cos юот.
Отг.: д*/?2ехр(-₽2т2);(<о) = ехр
Vя ₽ \ 4р2 /
5.41. Да се реши 5.39 за случая, когато X(t)e нормален случаен
сигнал с нулева средна стойност X(t) и равномерен енергетичен
спектър pv((o)=Fo в обхвата от честоти о)г<|о)|<со2-
sin2 2 - х
От г.: ^(г)=а2/?2Ло((1)2-о>1)а-г—_ —2;
( _ j
F /,а_(2^2й2^0<Ш2 —Ш! — М) за |wi<W2—“>1
I 0 за —wi
91
ГЛАВА VI
ЦИФРОВА ОБРАБОТКА НА СИГНАЛИТЕ
При цифровата обработка на сигналите се използуват съот-
ветни дискретни функции и трансформации. Решетъчната функ-
ция Sr(nT) се получава от аналоговата 5j(/) чрез израза
(6.1) 51(«7') = S1(/)^S(/-«7'),
л = 0
където
8(f—пТ) е дискретната делтафункция;
Т — интервалът на дискретизация на аналоговая
сигнал Sx(t\ ~
Правого Z-преобразуване на решетъчната функция S(nT) се
дава с израза
(6.2) Z[S(nT)]=S(Z)=^S(nT)Z~n,
п = О
където
Z=exp [(а+jtt) Г].
Основните свойства на Z-преобразуването са:
(6.3) })Z{a 51(яГ)4-д52(лТ)} = «^{51(л7')}^{52(и7’)};
2) Z{S(nT—mT')\ = Z~mS(Z),
ако S(nT—/п7') = 0 за n<m
S(Z) = Z{S(nT)}.
След извършване на необходимите операции се преминава от
Z-образа S (Z) към съответната дискретна функция на времето
(решетъчната функция) S(n Т) с помощта на обратного Z-преобра-
зуване:
(6.4) Z-1{§ (Z)} = 5 (яТ) = fs (Z) Z”~' dZ,
(И
където г е контурът, по който се извършва интегрирането в рав~
92
нината на Z. Контурът г обхваща всички особени точки на функ-
цията 5(Z). Практически за обратното Z-преобразуване се изпол-
зуват таблица и разлагане на S(Z) в степенен ред.
Предавателна функция K(Z) на цифровия филтър се нарича
отношението между образите на дискретните сигнали на изхода
и входа на филтьра —
(6-5) /С(2)=|^2.
Ако се положи Z=exp се получава
(6.6) ^(Z)=^[exp(ЛT)]=|^(/0>)|exp.[/т(a>)],
където
|А"(уо))] е честотната характеристика на цифровия филтър;
ср ((d) — фазовата характеристика на цифровия филтър.
Задачи
6.1. Да се намери Z-образът на функцията 5(/)=Д1 (/—Zo), да-
дена на фиг. 6.1 а. Дискретиза-
цията започва при t = 0.
Решение
Откачало може да се наме-
ри Z-преобразуването на функ-
цията 51(0=Д1 {f) = A. Според
израза (6.2)
S(n 7^
s(t)
t
Фиг. 6.1
А
т
S^Z^^S{nT)Z-n
л = 0
Известно е, че
Z
и
Следователно
S\(Z)=A2Z "=ст
л-0
Ако се приеме, че t^ — tnT и се използуват изразите (6.3), то
за Z-образа на S(z') се получава
Z{5(п Т-mТ)}=Z~m Sj (Z)=Z~m = S{Z).
93
6.2. Да се намери Z-образът на функцията 5 (/) = а? Дискре-
тизацията започва от момента / =
Решение
S(nT) = aT =ап;
оо оо
S(Z)=Z{S(nT)} =2а"г“л==2('г)” =
п = 0 п=0
2
_ Z
~~ Z-a *
а
т
6.3. Да се намери Z-образът на функцията 5(£) = а т Дискре-
тизацията започва от момента/ = О, =
~ 7\—‘п
Отг-:
6.4. Да се намери Z-образът на функцията S(t) = AT с нача-
ло на дискретизацията t=Q.
Отг.: 5(Z)=^)a
6.5. Да се намери Z-образът на функцията Дехр(—at) с на-
чало на дискретизацията /=0.
О т г.: 5(Z)»-^^b- •
v ' Zepx(aT)—l
6.6. Да се намери^ Z-образът на функцията 5(/) = аехр(—у/) +
t
+ ЬТ с начало на дискретизацията Z=0.
Упътване: Да се използуват решенията на задачи 6.2 и 6.5 и
изразът (6.3).
Отг.: S(Z)= 7дге?ЙГ)1 +тЛ~'
4 7 Zexp(y7J — 1 Z—о
6.7. Да се определят честотната и фазовата характеристика на
цифровия филтър, чиято предавателна функция е /C(Z)=l-j—
където а е коефициент.
Решение
Ако се положи Z=e^T и се използува формулата на Ойлер’
се получава
К(е^т)= 1 + -^- = Ц-асо8(оГ—yasina) Т.
Честотната характеристика на филтъра е
|/С*( усо)| = V (1 +a cos W Г)2 4- я2 sin2 ш Т.
94
Фазовата характеристика на филтъра е
ч . sin to Т (dT
ф* (ш) ~ — arctg—------~
т v ' &14-costo7 2
бЛк Да се определят честотната и фазовата характеристика
на цифров филтър с предавателна функция от вида AT(Z) = l-f-
+2Z~I4-Z "2.
Отг.: |A?(ja>)| (H-2cos ojT-f-cos 2шГ)24Д2зт ыГ-Н§т2а)Г)2;
.Pz ч . 2sin (оГ+sin 2адГ
ср* (ш) = —arctg Tqrscosa.r+cSsW-
95
ЛИТЕРАТУРА
1. Айз ин ов, М. М. Радиотехнические цепи и сигналы. М., Транспорт, 1966
2. Андреев, В. С. Теория нелинейных электрических цепей. М., Связь, 1968
3. Бессонов, А. А. Линейные электрические цепи. М„ Энергия, 1966,
4. Боянов, Й. Теория на електронните схеми. С., Техника, 1974.
5. Бронштейн, И. Н., К. А. Семендяев. Справочник по математике для
инженеров и учащихся втузов. М., Наука, 1965.
6. Вентц ель, Е. С. Теория вероятностей. М.» Наука, 1968.
7. Be нт цель, Е. С., Л. А. Овчаров. Теория вероятностей — задачи и уп-
ражнения. М., Наука, 1969.
8. Голд, Б., Ч. Рэй дер. Цифровая обработка сигналов. М., Сов. радио,. 1973.
9. Г о л ь д е н б е р г, Л. М., Ю. П. Л е в ч у к, М. Н. Поляк. Цифровые филь-
тры. М., Связь, 1974.
10. Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. Сов. радио,
1974.
11. Горяйнов, В. Т. и др. Примеры и задачи по статистической радиотехни-
ке. М., Сов. радио, 1970.
12. Димова —Н а н ч е в а, В. С., Н. В. С т о я н о в. Висша математика, ч. I. С.,
Техника. 1973.
13. Доневски, Б. Д., Г. А. Ненов. Цифрови филтри. С., Техника, 1982.
14. Жуков, В. П. и др. Сборник задач по курсу „Радиотехнические цепи и
сигналы". М., Сов. радио, 1972.
15. Заездный, А. М. Сборник задач и упражнений по курсу „Теоретическая
радиотехника". М.» Гос. изд. лит. по вопросом связи и радио, 1957.
16. Заездный, А. М. Основы расчетов по статистической радиотехнике. М.,
Связь, 1969.
17. Зернов, Н. В., В. Г К а р п о в. Теория радиотехнических цепей. М., Энер-
гия, 1972.
18. Зиновьев, А. Л., Л. И. Филиппов. Введение в теории сигналов и цепей.
М.» Высшая школа, 1975.
19. Латхи, Б. П. Системы передачи информации. М. Связь, 1971.
20. Маринов, Ю. П. Основи на радиотехниката. С., Техника, 1967
21. Неделчев, Л. А. Основи на радиотехниката (ръководство за лаборатор-
ии упражнения). С., Техника, 1969.
22. Ненов, Г. Д. Радиотехнически вериги и сигнали. С., Техника, 1978.
23. Ненов, Г. Д., А. М. Ангелов. Ръководство за лаборатории упражнения
по радиотехнически вериги и сигнали. С., Техника, 1978.
24. Прагер, Э. и др. Цифровая техника в связи. М., Радио и связь, 1981.
25. Петрова — Денева, А. и др. Висша математика, ч. V. С. Техника,
1974.
26. Садовский, А. С. Задачник по теории электрической связи. М., Гос.
изд. лит. по вопросам связи и радио, 1963.
27. Стоянов, Г. К., Р. К. Кюркчиева. Ръководство за аудитории упраж-
нения по теория на сигналите. С., Техника, 1980.
28. Стоянов, Г К. Ръководство за упражнения по теоретични основи на ра-
диосъобщителната техника. С., Техника, 1979.
29. Темников, Ф. Е. и др. Теоретические основы информационной технике.
М., Энергия, 1971.
30. Толстов, Ю. Г, А. А. Теврюков. Теория электрических цепей. М.>.
Высшая школа, 1971.
96
31. Тоща ков, Л. Н. Передача сигналов по линейным электрическим цепям. Л.»
Изд. Ленингр. университета, 1973.
•32. Филиппов, Е. Нелинейная электротехника. М., Энергия, 1968.
33. X а р к е в и ч, А. А. Основы радиотехники. М., Связьиздат, 1962.
34. Шин ев, Хр. Д. Сборник от задачи па теоретични основи на съобщителна-
та електротехника. С., Наука и изкуство, 1958.
7 Рыбоводство за упражнения . .
97
СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор 3
Глава I. Информационен основи на радиовръзките 5
1.1. Количествен© определяне на информацията 5
1.2. Обем на сигнала и капацитет на свързващдя канал. Пропускателната
способност на свързващия канал 9
Глава II. Електрически сигнали 12
2.1. Апроксимиране на сигнала със зададена система от ортогонални функ-
ции 12
2.2. Апроксимиране на периодичен сигнал с тригонометричния ред на
Фурие 15
2.3. Спектри на непериодични сигнали 20
2.4. Дискретизация на непрекъснати сигнали. Теорема на Котелников 25
2.5. Корелационен анализ на детерминирани сигнали 35
2.6. Характеристики на случайните процеси 35
Глава III. Радиосигналы 39
3.1. Амплитудно модулирани сигнали 39
3.2. Честотно и фазово модулирани сигнали 44
3.3. Импулсно модулирани сигнали 49
Глава IV. Преминаване на сигнали през линейни вериги 58
4.1. Основни зависимости 58
4.2. Преминаване’на радиосигнали през трептящи кръгове 61
4.3. Преминаване на случайни сигнали през линейни вериги 70
Глава V. Преминаване на сигнали през нелинейни вериги 74
5.1. Апроксимиране на волтамперни характеристики 74
5.2. Получаване на модулирани сигнали 76
5.3. Демодуляция 81
5.4. Генериране на незатихващи електрически трептения 84
5.5. Преминаване на случайни сигнали през нелинейни вериги 88
Глава VI. Цифрова обработка на сигналите 92
98
РЪКОВОДСТВО ЗА УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВИ
НА РАДИО- И СЪОБЩИТЕЛНАТА ТЕХНИКА
Автор к.т.н. инж. Димитър Ценев Димитров
Рецензента: проф. к. т. н. инж. Георги Димитров Ненов
ст. н. с. к. т. н. инж. Иван Бочев Ранее
Напионалност: българска
II ъ р в о издание
Научен редактор инж. Искра Неделчева
Художник Бени Кантардм йена
Художествен редактор Бпхра Стоева
Технически редактор Антон Баев
Коректор Станка Митева
Дадена за набор на 7. VIII. 1484 г.
Подписана за лечат м. ноември 1984 г.
Излязла от печа'1 м. япуарн J985 г.
код оз-9533121211
4805-359-85
Издателски № 13998
Формат 60x90/16
Печатни коли 6,25
Издателски коли 6,25
УИК 6,94
Тираж 1000+86
Цена 0,42 лв.
Държавно издателство „Техника*, бул. Руски 6, София-
Държавна печатница „Г. Димитров*, Ямбол
ПЕЧАТНИ ГРЕШКИ В КНИГАТА
Ръководство за упражнения по основи на радио-
и съобщителната техника
Стр. j Ред Напечатано Да се чете По вина на
43 4 отгоре 45 |10 отдолу / 0,52 \ 18. Ю-з (1+-4-I*.. / 0,52 \ 18. IO-® . . ..=/лф81п(ач-ч>а) коректора |Г|1Ж” »
ЦЕНА 0,42 ЛВ.