/
Автор: Гольберг И.И.
Теги: химия анализ материаловедение механика деформируемых тел теория упругости полимерные материалы
Год: 1970
Текст
- ’
и.И.ГОЛЬБЕРГ
Механическое
поведение
ПОЛИМЕРНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
j
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
РЕЗИНОВЫХ И ЛАТЕКСНЫХ ИЗДЕЛИЙ
Г СЗ
И. И. ГОЛЬБЕРГ
МЕХАНИЧЕСКОЕ
ПОВЕДЕНИЕ
ПОЛИМЕРНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
(математическое описание)
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ХИМИЯ11
МОСКВА 1970
УДК 541.64:517
Г-63
И. И. Гольберг. Механическое поведение полимер-
ных материалов (математическое описание).
Книга посвящена методам математической обработки результатов
механических испытаний полимерных материалов. В ней показано,
как использование основных уравнений вязкоупругости позволяет из-
влечь наибольший объем информации из экспериментальных резуль-
татов. Особое внимание обращено на вычислительные методы и приме-
нение электронных вычислительных машин. Вычислительные методы
иллюстрируются численными примерами.
Книга рассчитана на научных работников, инженеров, преподава-
телей, а также на студентов старших курсов технических вузов, за-
нимающихся изучением механики полимеров.
В книге 5 табл., 66 рис. и 34 библиографические ссылки.
-/<31
3—14—9
8—69
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ........................................................ 5
Введение ........................................................ 7
1. Общие замечания.............................................. 7
2. Принятая терминология ....................................... 8
3. Основные типы механических испытаний ....................... 10
4. Модели...................................................... 12
I л а в а 1. Простые модели ....................................... 14
1. Основные элементы .......................................... 14
2. Двухэлементные модели ...................................... 20
Модель Максвелла............................................. 21
Модель Кельвина ............................................. 35
3. Трехэлементные модели ...................................... 39
Классификация трехэлементных моделей ........................ 39
Трехэлементная модель класса С............................... 42
Трехэлементная модель класса D............................... 51
4. Четырехэлементные модели................................~ . 55
Классификация четырехэлементных моделей...................... 55
Четырехэлементная модель класса А ........................... 59
Четырехэлементная модель класса В ........................... 62
Заряженные модели ......................................... 65
Глава 2. Принцип суперпозиции.................................... 68
1. Скалярная форма . .......................................... 68
2. Тензорная форма ............................................ 78
Глава 3. Зависимости между основными вязкоупругими функциями 81
1. Постоянное напряжение ...................................... 81
2. Периодическое напряжение.................................... 82
3. Постоянная деформация ...................................... 86
4. Постоянная скорость деформации.............................. 87
5. Периодическая деформация ................................... 88
6. Зависимость между комплексным динамическим модулем упруго-
сти и функцией релаксации .................................... 89
7. Зависимость между комплексной динамической податливостью
и функцией ползучести ........................................ 92
8. Зависимость между динамическим модулем упругости и динамиче-
ской вязкостью ................................................. 93
9. Зависимость между функциями ползучести и релаксации .... 95
*
3
Глава 4. Спектры.................................................. 100
1. Представление функции релаксации интегралом Лапласа . . . 100
2. Комплексный динамический модуль упругости, выраженный
через спектр релаксации ..................................... 104
3. Определение спектра релаксации по комплексному динамическому
модулю упругости ....................о...................... 105
4. Представление производной функции ползучести интегралом
Лапласа ..................................................... 109
5. Комплексная динамическая податливость, выраженная через
спектр запаздывания ..................................... . 111
6. Определение спектра запаздывания по комплексной динамиче-
ской податливости ........................................... 112
7. Зависимости между основными константами................... 114
8. Зависимость между спектрами релаксации и запаздывания . . 116
9. Примеры вычисления основных функций по заданным спектрам
или плотностям............................................. 118
10. Приближенные формулы для вычисления спектров.............. 124
11. Дискретные (линейчатые) спектры........................... 129
12. Обобщенные модели....................................... 133
13. Структура зависимостей между основными функциями.......... 138
14. Характер спектра вязкоупругого материала ................. 140
Глава 5. Численные методы......................................... 143
1. Определение постоянных по экспериментальным данным .... 144
2. Преобразование Фурье....................................... 147
3. Выделение показательных функций............................ 152
4. Зависимость между функциями релаксации и ползучести .... 162
5. Определение механического поведения по заданной функции пол-
зучести .................................................... 166
Глава 6. Математические дополнения................................ 173
1. Ряды Фурье . .............................................. 173
2. Интеграл Фурье............................................. 177
3. Интеграл Лапласа........................................... 180
4. Дельта-функция............................................. 181
5. Интегральное уравнение Вольтерра........................... 185
6. Некоторые справочные сведения.............................. 187
Литература........................................................ 189
>
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы вышло много книг, посвященных полимерной
пауке, и в частности механике полимерных материалов. Это книги
широкого аспекта [1]—[4], главным образом математического
< ой,(‘ржания [5], [6] и те, в которых приведены описания методов
механических испытаний [7].
В предлагаемой же вниманию читателя книге автор поставил
перед собой более узкую задачу: помочь многочисленным экспе-
риментаторам, занимающимся механическими испытаниями поли-
мерных материалов, математически обработать свои результаты.
)гоп частной задаче посвящена не слишком обширная литература,
к тому же разбросанная по различным журналам и трудно доступ-
ii.ii многим читателям. Поэтому можно надеяться, что книга будет
полезной указанной категории читателей, не претендуя на замену
каких-либо других монографий.
Здесь не делается никаких попыток дать молекулярное обосно-
вание наблюдаемым явлениям. Это предоставляется сделать самим
жснериментаторам и другим специалистам в области физики и
химии полимеров. Таким образом, в этой книге речь идет об фено-
менологическом описании.
С целью уменьшения чисто математических трудностей все
выкладки даны'со всеми подробностями. Некоторые совсем эле-
ментарные выкладки даны главным образом для читателя, успев-
шего забыть курс высшей математики. Для освежения памяти та-
кою читателя дано и математическое дополнение. Тем более, что
программы вузов по высшей математике для технологических
- пециалыюстей не предусматривают изучение некоторых вопро-
сов, нужных для понимания этой книги.
В списке литературы, за исключением монографий, уже став-
ших классическими, упомянуты только непосредственно исполь-
юванные работы. Это, естественно, весьма ограничило список.
Механике полимерных материалов посвящено такое количество
работ, что дать сколько-нибудь полную библиографию не пред-
< г. шляется возможным.
В наибольшей степени автор использовал известную моногра-
фию Гросса [5]. Обозначения, принятые в настоящей книге, в ос-
5
новном соответствуют упомянутой монографии. Необходимо отме-
тить, что механическое поведение полимерных материалов рас-
сматривается только при постоянной температуре, как это де-
лается и в классической теории упругости. Метод температурно-
временной суперпозиции получил сейчас широкое распростра-
нение и весьма подробно описан в книге Ферри [4]. Поэтому по-
вторять здесь это описание нецелесообразно.
Поскольку главным содержанием настоящей книги служат
вычисления, уместно привести цитату из работы [8], стр. 137:
«Изобретение электронных вычислительных машин открыло
новую главу в истории численного анализа. Исключительная
быстрота, с которой эти машины выполняют основные арифмети-
ческие операции, приводит к совершенно новому взгляду на числен-
ные расчеты. Главное внимание теперь уже направлено не на то,
чтобы получить результаты при наименьшем числе производимых
операций. Более важным представляется вопрос простоты коди-
рования алгоритма задачи вместе с требованием большой точности».
Вероятно, методы, описанные в этой книге, не получили у нас
еще широкого применения из-за большого объема требуемых вы-
числений. Поэтому создание комплекса программ для электрон-
ных вычислительных машин, позволяющих осуществить вычисле-
ние всех основных функций, нужных для описания механического
поведения полимерных материалов, будет весьма полезным. По-
добная работа уже ведется.
Предупреждая вопросы читателей, нужно объяснить, что в
книге не описан метод дробной производной, предложенный не-
давно Г. Л. Слонимским [9]. Это объясняется тем, что автор не
накопил еще опыта в применении данного метода и не взял на себя
смелости описать его.
За все многочисленные недостатки книги автор несет личную
ответственность. Все замечания и пожелания будут приняты им
с благодарностью.
ВВЕДЕНИЕ
1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Высокомолекулярные полимеры — обширная группа материа-
1ов, объединенных по признаку химического строения. Эта группа
включает натуральный, и синтетический каучуки и их вулкани-
»аты, пластмассы, шерсть, искусственное волокно и многое дру-
гог. Среди различных свойств ^высокомолекулярных полимеров
особенно большое значение имеют механические свойства. Выбор
полимера как материала для изделия во многих случаях опреде-
ляется механическими свойствами. Когда главное значение имеют
химические, электрические или другие свойства полимера, все
ке приходится учитывать и механические свойства, так как всякое
и челне неизбежно подвергается механическим воздействиям.
Как известно, механические свойства металлов обычно опре-
кошются несколькими постоянными: модулем упругости, пределом
пропорциональности и др. Основная задача настоящей книги —
|.| гь математический метод для определения механических свойств
полимеров при помощи небольшого числа постоянных, опреде-
ляемых по результатам механических испытаний. Для полимеров
но сделать труднее, чем для металлов, так как некоторые свойства
полимеров отсутствуют у металлов или проявляются у них только
н особых внешних условиях, например при высокой температуре.
Механические свойства любого материала оцениваются по
механическому поведению при различных внешних условиях.
Далее предполагается, что одно из внешних условий (напряжение
пл н деформация) определенным образом задано, а все другие
внешние условия (температура, давление воздуха, влажность
и др.) остаются постоянными. Механическое поведение мате-
риала понимается, следовательно, как изменение во времени де-
формации при заданном напряжении или изменение напряжения
при заданной деформации. Постоянные, которые входят в уравне-
ние, определяющее зависимость между напряжением, деформацией
п временем, характеризуют механические свойства материала.
Далее будут описаны некоторые виды внешних условий:
постоянная деформация; деформация с постоянной скоростью;
1« формация, изменяющаяся по гармоническому закону; постоян-
ное напряжение; напряжение, изменяющееся по гармоническому
7
закону. Никаких предположений о типе напряжения или дефор*
мации не делается. Это может быть напряжение растяжения, сжа-
тия или сдвига и соответствующая деформация. Рассматривается
только простое напряженное состояние, когда имеет место только
один вид напряжения или деформации. Рассмотрение сложного
напряженного состояния значительно усложнило бы изложение
и потребовало бы увеличения объема книги. Скалярные напряже-
ние и деформация, которые здесь приводятся, можно считать
компонентами соответствующих тензоров (с введением системы
индексов, как это принято в тензорном анализе), но при этом нужно
принять обобщенный закон Гука.
Напряжение может быть условным, т. е. отнесенным к пло-
щади сечения недеформированного образца, или истинным, от-
несенным к площади поперечного сечения деформированного об-
разца. Деформация обычно считается относительной, когда при-
нимается другой вид деформации, то это специально оговаривается.
2. ПРИНЯТАЯ ТЕРМИНОЛОГИЯ
*
Терминология механики полимеров еще не вполне установи-
лась. Некоторые авторы иногда используют разные термины для
одного понятия, а иногда один термин имеет различные значения.
Поэтому во избежание недоразумения здесь даются определения
терминам, получившим наибольшее распространение, которые
далее будут применяться. Некоторые термины могут применяться
в принятом здесь смысле только при специальных ограничениях.
Обратимая деформация полностью исчезает после устранения
причин, ее вызвавших. Необратимая деформация полностью
остается после устранения причин, ее вызвавших. Практически
эти два вида деформации не всегда возможно различить, поэтому
эти понятия следует считать некоторой абстракцией, без которой
невозможно применение математического аппарата. В дальнейшем
полностью обратимую деформацию будем называть упругой де-
формацией. Материал называется идеально упругим, если он
имеет только упругую деформацию. Понятие упругости не следует
смешивать со способностью к большим упругим деформациям.
Так, например, стекло при комнатной температуре близко к иде-
ально упругому материалу, хотя величина деформации невелика.
Упругая деформация может быть мгновенной и запаздываю-
щей. Мгновенная упругая деформация — это абстракция, так как
в реальных телах деформация, так же как и напряжение, может
' распространяться только с конечной скоростью. Однако скорость
распространения деформации настолько велика, что для обычно
принятых размеров испытываемых образцов время, затрачиваемое
на распространение деформации или напряжения, без большой
ошибки можно принять равным нулю. Иногда приходится учи-
тывать скорость распространения деформации, например в задачах
8
/
о волнах в длинных стержнях. Мгновенная упругая деформация
•|.п io г достаточной точностью описывается законом Гука.
Запаздывающая упругая деформация, как показывает само
и.। шаппе, протекает во времени. Скорость возрастания этой де-
формации при постоянном напряжении монотонно убывает. После
< пятня напряжения запаздывающая деформация исчезает с моно-
। <>ппо убывающей скоростью. Это явление называется запаздываю-
щим упругим восстановлением.
11еобратимая деформация — это течение материала, следова-
ruii.no, такая деформация не может быть мгновенной. Некоторые
ангоры всякую необратимую деформацию называют пластичес-
кой. Здесь рассматриваются два идеализированных вида необра-
HIMOH деформации: вязкое течение и пластическая деформация
(пластическое течение). При'вязком течении скорость деформации
пропорциональна приложенному напряжению (ньютоновская
ня i кость). Следовательно, материал, которому присуще вязкое
течение, является жидкостью, так как сколь угодно малому напря-
гкеппю отвечает неограниченное возрастание деформации со вре-
менем, а после снятия напряжения деформация не восстанавли-
вается. Условия, при которых твердому телу можно приписать
lei и<ое течение, рассмотрены далее. Пластическая деформация
возникает только тогда, когда напряжение достигает некоторой
критической величины. До этого значения напряжения материал
ведет себя как идеально упругое тело.
I (олзучестью называется явление возрастания деформации
при постоянном напряжении, а соответствующая деформация
называется деформацией ползучести. В отечественной литературе
встречается иногда термин «крип». В этой книге термин «крип»
ш? применяется. Описываемое явление называют иногда релакса-
цией деформации, но этот термин мало удачный, так как англий-
< кое слово «релаксация» означает ослабление, а здесь речь идет
о возрастании деформации. В целях сокращения письма в дальней-
шем термин ползучесть применяется только для обозначения за-
паздывающей упругой деформации. Иногда применяют термин
обратная ползучесть» для обозначения упругого восстановления.
Здесь этот термин не используется.
Уменьшение напряжения при постоянной деформации назы-
н.в'гея релаксацией. Применяется также термин «релаксация
напряжения» в отличие от релаксации деформации. Так как этот
последний термин здесь не применяется, слово напряжение для
краткости опускается. Предполагается,"что деформация создается
п повепно, а затем удерживается постоянной. Если деформация
медленная, то релаксация напряжения может частично или пол-
ное гыо пройти за время создания деформации. Релаксация, проте-
кающая в результате вязкого течения, называется максвелловской
релаксацией. Релаксация, протекающая вследствие запаздывающей
\нругой деформации, называется вязкоупругой релаксацией.
9
Не претендуя на стандартизацию терминов, мы перечислили
только самые необходимые, применяемые в данной книге, при рас-
смотрении отдельных задач будет дано определение и других
использованных терминов.
3. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МЕХАНИЧЕСКИХ
ИСПЫТАНИЙ
К числу основных типов механических испытаний относятся
такие, которые дают возможность определить все постоянные,
необходимые для описания механического поведения, легко осу-
ществимы на практике, не требуют слишком сложной аппаратуры
и не затрудняют излишне математическую обработку результатов
опытов.
Первые три типа испытаний называют квазистатическими,
так как напряжение или деформация остаются постоянными
в некотором интервале времени. Последние три типа испытаний
названы динамическими.
Испытание на ползучесть. Заданная величина — напряжение,
измеряемая величина — деформация. В начальный момент, т. е.
при t = 0, приложено постоянное напряжение'о0, которое сни-
мается в момент tr. В общем случае в момент приложения напря-
жения возникает мгновенная упругая деформация 80 (которая
остается постоянной, пока приложено напряжение), затем с тече-
нием времени развиваются запаздывающая упругая деформация
и вязкое течение. В каждый момент времени общая деформация
равна сумме грех деформаций: мгновенной упругой деформации,
запаздывающей упругой деформации и деформации вязкого тече-
ния. После снятия напряжения мгновенная упругая деформация
80 мгновенно исчезает, замедленная упругая деформация моно-
тонно убывает, стремясь к нулю, а деформация вязкого течения
остается постоянной, равной величине, которую она достигла
к моменту снятия напряжения tr (см. стр. 61). Этот вид испытаний
удобен для опытов на растяжение тонких резиновых образцов,
волокнистых материалов, а также на кручение и сжатие жестких
пластиков, например полиэтилена.
Испытание на релаксацию. Заданная величина — деформация,
измеряемая величина — напряжение. В начальный момент, при
/ = О, создается мгновенная упругая деформация е0, которая
остается постоянной до момента tlf после которого деформация
снимается. Возникшее в начальный момент напряжение моно-
тонно убывает со временем, стремясь к нулю, если в материале
имеется вязкое течение, или к некоторой предельной величине,
если вязкое течение отсутствует. В момент tlf когда деформация
снимается, возникает напряжение, противоположное по знаку
первоначальному напряжению. Это явление подробно рассмот-
рено в гл. 1.3. С течением времени напряжение, возникшее в мо-
мент снятия деформации, монотонно убывает, стремясь к нулю
10
(см. стр. 44). Описанный вид испытаний удобен для опытов на
кручение или растяжение, но экспериментально выполним труд-
нее, чем первый тип испытаний. Оба первых типа не обязательно
выполнять полностью. Часто производится испытание без раз-
।рузки.
Испытание смешанного типа на релаксацию и ползучесть.
В начальный момент, при t - 0, создается мгновенная упругая
реформация 80, которая остается постоянной до момента при
ггом первоначально возникшее напряжение убывает с течением
времени. В момент tlf оставшееся напряжение снимается, при этом
мгновенная упругая деформация мгновенно исчезает, а запазды-
вающая упругая деформация, которая накопилась к моменту
монотонно убывает, стремясь к нулю. Деформация вязкого тече-
ния остается постоянной, равной величине, которую она достигла
к моменту (см. стр. 44).
Испытание методом свободных колебаний. Проще всего этот
run испытания осуществляется, если задать в начальный момент
некоторую деформацию, а затем предоставить системе свободно
колебаться. Вследствие внутреннего трения амплитуда колебаний
быстро затухает. Обычно для того чтобы получить достаточное
число колебаний, к испытываемому образцу приходится присо-
единить дополнительную массу. Этот тип испытаний удобен для
опытов па кручение (так называемый крутильный маятник) или
па изгиб.
Испытание методом вынужденных колебаний. Задается де-
формация или напряжение, изменяющиеся по синусоидальному
<акону. Измеряется соответственно напряжение или деформация.
Г.слп зависимость между напряжением, деформацией и време-
ним может быть описана линейным дифференциальным уравнением
«’ постоянными коэффициентами, то измеряемая величина тоже
п меняется по синусоидальному закону, с частотой, равной за-
витой частоте, и амплитудой, пропорциональной амплитуде
мданной величины, но с разницей фаз. Зависимость деформации
и напряжения от времени показана на стр. 19. Безразлично,
какую величину считать заданной. Предполагается, что процесс
колебаний установившийся, т. е. влияние начальных условий
полностью затухло. Результаты испытания можно изобразить
। пафнчески в виде зависимости между напряжением и деформацией.
I ели обе эти величины изменяются по синусоидальным законам,
pa mi и чающимся только фазой, то полученная «петля гистерезиса»
юл ж па быть эллипсом. Отклонение петли гистерезиса от эллипса
на ?ывает на то, что материал не подчиняется линейной теории.
< ><>а вида записи получают на осциллографах, зависимость от
времени на шлейфовом, а петлю гистерезиса на катодном осцил-
нирафе. Для медленных колебаний применяют запись механи-
ч« < кпм путем. Описанное испытание удобно для опытов на растя-
i«une, сжатие или изгиб.
Испытание методом вынужденных колебаний при резонансе.
Изменение напряжения или деформации задается синусоидаль-
ным законом. Частоту вынужденных колебаний изменяют и опре-
деляют зависимость амплитуды колебаний измеряемой величины
(деформации или напряжения) от частоты вынужденных колеба-
ний. Наибольшая амплитуда соответствует резонансу колебаний.
Испытание применимо в тех же случаях, что и предыдущие.
4. МОДЕЛИ
Некоторые исследователи ставят под сомнение целесообраз-
ность применения механических моделей для описания механи-
ческого поведения полимерных материалов. Математическую
зависимость между напряжением, деформацией и временем в виде
линейного дифференциального уравнения с постоянными коэф-
фициентами можно установить без применения каких-либо моде-
лей. Широкое использование в первой главе механических моде-
лей объясняется только наглядностью. Одного взгляда на схему
механической модели достаточно для того, чтобы определить,
имеет ли модель мгновенную упругую деформацию, запаздываю-
щую упругую деформацию, вязкое течение и релаксацию. Не так
легко установить эти же особенности механического поведения по
дифференциальному уравнению. Применение механических моде-
лей только для иллюстрации механического поведения не может,
по-видимому, встретить какие-либо возражения. В материале,
механическое поведение которого моделируется, не предпола-
гается существование каких-либо механизмов, соответствующих
деталям модели.
Отметим, что механические модели следует считать скорее
воображаемыми моделями, чем реально осуществимыми. Практи-
чески сделать механическую модель, особенно амортизатор, точно
подчиняющуюся принятому закону вязкого течения, очень трудно.
Если необходимо построить модель, например, для демонстрации
механического поведения, лучше использовать не механическую,
а электрическую модель. Электрическая модель может быть ис-
пользована как счетно-решающее устройство для вычисления
постоянных, определяющих механическое поведение материала.
Иногда приходится слышать утверждение, что механические
модели с малым числом элементов не могут описать зависимость
между напряжением, деформацией и временем для реального вы-
сокополимерного материала. Это справедливо в предположении,
что модели с малым числом элементов (соответствующее дифферен-
циальное уравнение не выше второго порядка) редко дают удовле-
творительную зависимость. Следует иметь в виду, что увеличение
числа элементов модели не дает качественного изменения меха-
нического поведения модели. Ниже показано, что механические
модели до четырех элементов включительно исчерпывают все раз-
12
пообразие механического поведения, которое представимо с по-
мощью пружин и амортизаторов. Увеличение числа элементов
('выше четырех дает только количественное изменение механи-
ческого поведения; например, можно получить несколько времен
релаксации. В приведенной табл. 1 перечислены все качественно
различные типы механических моделей.
Таблица 1. Свойства моделей различных типов
Тип модели Деформация Релаксация
мгновен- ная упру- гая запаздыва- ющая уп- ругая остаточная (вязкое течение) максвел- ловская вязкоуп- ругая
«> Двухэлементная Максвелла Есть Нет Есть Есть Нет
Кельвина Нет Есть Нет Нет Нет
1 рсхэлементная Класс С Есть Есть Нет Нет Есть
Класс D Нет Есть Есть Нет Нет
1 кгырехэлементная Класс А Есть Есть Есть Есть Есть
Класс В Нет Есть Есть Нет Нет
Глава 1
ПРОСТЫЕ МОДЕЛИ
1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
В настоящей главе рассматриваются зависимости между напря-
жением, деформацией и временем, которые определяются обыкно-
венными линейными дифференциальными уравнениями с постоян-
ными коэффициентами. В данном случае общий вид уравнения
будет
. do , . dmo
67л(У 4- С1л —у- 4- • • • 4— Cttyi - —
0 1 1 dt - Л/т
—
(1.1)
здесь а0, . . ат, Ьо, . . Ьп — постоянные коэффициенты, кото-
рые определяют механические свойства изучаемого материала;
о — напряжение и 8 — деформация функции времени t.
В уравнении (1.1) должно быть задано напряжение о (/) или
деформация 8 (/), после этого уравнение становится неоднородным
линейным дифференциальным уравнением.
Используя терминологию, принятую в теории электрических
цепей, назовем заданную функцию «входной функцией», а соот-
ветствующее решение дифференциального уравнения «выходной
функцией». Изучаемая физическая система (полимерный мате-
- риал), определяемая значениями постоянных коэффициентов урав-
нения (1.1), как бы «перерабатывает» входную функцию, преоб-
разуя ее в выходную функцию. Иными словами, выходная функ-
ция — это реакция материала на приложенную входную функ-
цию. В дальнейшем рассмотрены в основном два типа входных
функций: единичная функция, определяемая уравнением
(1.3)
и гармоническая функция
— cos со/ 4- i sin
Из общих свойств неоднородных линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами следует, что выходные
14
ф ик'ции будут в этом случае линейными комбинациями экспонен-
циальных и гармонических функций. Задача экспериментатора
заключается в том, чтобы по заданной входной функции и экспе-
риментально определенной выходной функции определить струк-
гуру физической системы (полимерного материала), т. е. найти
к(»л|)фициенты уравнения (1.1). Мы здесь имеем дело с частным
видом известной в кибернетике задачи о «черном ящике». Можно
представить себе ящик, внутри которого находятся соединенные
между собой пружины и демпферы. Из ящика торчат две ручки,
к одной ручке приложена нагрузка (напряжение), а движение
Фугой ручки (деформация) записывается каким-либо прибором.
1пая приложенную нагрузку и движение второй ручки, нужно
определить, сколько пружин и демпферов находится внутри
ящика и как они соединены между собой.
Как известно, решение дифференциального уравнения (1.1)
годе )жпт произвольные постоянные, число которых равно порядку
нк|м юренциального уравнения. Для определения этих произволь-
ных постоянных нужно задать начальные значения решения,
। е. значения при t = О или предельные значения при t = оо.
Число условий должно равняться числу произвольных постоян-
ных.
Исследователю, который желает описать свой эксперимен-
1.1ЛЫ1Ы11 материал уравнением (1.1), нужно прежде всего опреде-
шть порядок уравнения, т. е. найти числа тип. Так как меха-
ническое поведение реального материала описывается уравнением
(I I) только приближенно, перед исследователем возникает задача
выбрать частный вид уравнения (1.1), достаточно хорошо описы-
H.iinuiHu экспериментально найденную зависимость напряжение —
^формация — время, и определить коэффициенты уравнения по
и<сп(.*рпментальным данным. Очевидно, следует выбрать наиболее
простой вид дифференциального уравнения, удовлетворяющий
|р<‘боваиию «достаточно хорошо». Общих методов такого выбора
п< существует. Само понятие «достаточно хорошо» неопределенно,
inn) зависит от цели исследования. Иногда считают, что совпадение
ннэретпчсской и экспериментальной зависимостей удовлетвори-
юльпое, если разница не превышает ±10% от экспериментальной
ИГ 1ПЧ1П1Ы.
[ля того чтобы облегчить исследователю выбор частного вида
равнения (1.1), в дальнейшем рассмотрены различные виды этого
\ равнения при разных видах начальных условий. Соответствующий
ши уравнения выбирают в следующем порядке. Отбирают урав-
п< пня, начиная с простейших видов, определяющие зависимости
п шряжеиие — деформация — время, которые качественно опи-
i.iH.iior экспериментально найденную зависимость. Качественное
। «впадение находят по наличию или отсутствию мгновенной упру-
... реформации, запаздывающей деформации, остаточной дефор-
riuiiu и релаксации. Затем ищут постоянные уравнения, начиная
15
с простейших видов, и определяют количественное расхождение
между найденной зависимостью и экспериментальными данными.
Если совпадение признано неудовлетворительным, переходят
к более сложному виду уравнения и повторяют всю процедуру.
Зависимость напряжение — деформация — время, установлен-
ная дифференциальным уравнением, не нуждается в каких-либо ана-
логиях. Однако в дальнейшем применяются механические аналогии
или модели. Метод механических аналогий основан на том, что
поведение некоторых простых механических систем описывается
дифференциальным уравнением вида (1.1). Различным частным
видам этого уравнения соответствуют частные типы механических
; моделей.
' I Все модели разбиты на группы по числу входящих в модель
основных элементов. Модели, механическое поведение которых
описывается дифференциальными уравнениями, различающимися
только значениями коэффициентов, называются эквивалентными
’ моделями и объединяются в классы. Классы моделей соответствуют
h каноническим формам, определенным в гл. 4.12.
Следует обратить внимание на одну особенность применения
моделей. В каждом случае рассматривается такой тип модели,
II, I который допускает наиболее простое решение. Например, если
! задано напряжение, решение легче всего находится для моделей
типа I (Кельвина); если задана деформация, —для моделей типа
II (Максвелла). Если изучается какой-либо один вид зависимости,
например деформации от времени при заданном напряжении,
указанное различие типов моделей не имеет значения. Если же
нужно сравнить параметры моделей, полученные при различных
видах испытаний, необходимо вычислить параметры для одного
типа модели с помощью условий эквивалентности.
Все рассматриваемые механические модели состоят из -эле-
ментов двух типов: упругого, или гуковского, и вязкого, или нью-
I. тоновского.
Упругий элемент. Зависимость напряжения от деформации
для гуковского элемента определяется законом Гука:
i ' о = Е& (1-4)
। 1
График этой зависимости — прямая, проходящая через начало
। координат; тангенс угла между этой прямой и осью е равен модулю
упругости Е (рис. 1). Уравнение (1.4) (закон Гука) не содержит
। ! времени. Предполагается, что мгновенно возникшей деформации
отвечает мгновенно возникшее напряжение.
Работа, затрачиваемая на постепенную деформацию гуковского
элемента от нуля до величины равна площади, заштрихован-
I : ной на рис. 1, следовательно ,
ы = wfi _ (1.5)
£ &
I
1G
Работа W (ех) имеет размерность модуля упругости Е (обычно
кгс/см2), это работа единицы объема гуковского элемента. При
заданной величине деформации работа пропорциональна модулю
упругости Е. При уменьшении деформации от до нуля работа,
затраченная на деформацию, полностью возвращается, т. е. работа
за весь цикл деформации равна нулю.
Пусть гуковский. элемент деформируется по простому
гармоническому закону с амплитудой 80 и частотой со:
£ = 80 SHI (tit
тогда по закону Гука (1.4) напряже-
ние изменяется также по гармониче-
скому закону:
о> = sin оз/
Полный период деформации равен
п работа за полный период равна
пулю.
Реальные тела, строго говоря,
не имеют мгновенной упругой дефор-
мации. ' Во всяком реальном теле
деформация и напряжение распро-
страняются с конечной скоростью.
Поэтому гуковский элемент—это абстракция, и, следовательно,
он не может быть сделан. Однако скорость распространения
деформации и напряжения в некоторых материалах, например
в стали, очень велика, и стальная пружина может с достаточ-
ной степенью точности считаться гуковским элементом. В даль-
нейшем для краткости гуковский элемент будем называть пру-
жиной и на схемах изображать условно, как на рис. 1.
Вязкий элемент. Зависимость напряжения от скорости дефор-
мации для ньютоновского элемента определяется законом течения
11ыотона:
d&
dt
(Г7)
। 'ir 1] — коэффициент ньютоновской вязкости, или просто вяз-
кость. Если размерность напряжения о выражена в кгс!см\ 8 —
<и посительная деформация и, следовательно, величина безраз-
к рная, то вязкость т] имеет размерность кгс-сек/см2. Гра-
фик зависимости (1.7) дан.на рис. 2. Графики зависимости
напряжения от скорости деформации называют обычно кривыми
1<“1СНИЯ.
II. И. Гольберг
17
Рассмотрим частный случай течения при постоянном напря-
жении сг0. Из уравнения (1.7) имеем
fife __ СУ0
dt т]
интегрируя, получаем
(1-8)
График этой зависимости показан на рис. 3. Из уравнения (1.8)
следует, что при любом конечном значении о”0 мгновенной дефор-
мации ньютоновского элемента не будет. Формально мгновенной
Рис. 2. Вязкий элемент. Зависи-
мость напряжения от скорости де-
формации.
Рис. 3. Вязкий элемент. Зависи-
мость деформации от времени при
постоянном напряжении.
деформации соответствует бесконечно большое напряжение на-
столько высокого порядка, что lim aQt имеет конечную величину.
о
Если в момент t = напряжение снимается, течение прекра-
щается, так как (d&ldt) = 0 при ст = 0, но деформация остается
(см. рис. 3). Эту деформацию можно назвать остаточной. По урав-
нению (1.8), остаточная деформация равна
е№) = ^1
где — время приложения напряжения о0.
Остаточная деформация пропорциональна и обратно про-
порциональна вязкости Т].
При постоянном напряжении <т0 работа, затрачиваемая на де-
формацию до величины 8Х = 8 (/J, равна
Г (£1) = ~ О-9)
Здесь размерность работы W (8^ такая же, как-и по уравнению
(1.5), т. е. это удельная работа «единицы объема» ньютоновского
18
элемента. Работа W (ej полностью рассеивается при деформаций,
так как после снятия напряжения деформация 8Х не исчезает.
Рассмотрим подробнее уравнение (1.9). В отличие от Гуков-
ского элемента, в котором данной деформации отвечает вполне
определенное напряжение, вязкий элемент может достигнуть
данной величины деформации при произвольной величине посто-
янного напряжения оф (время достижения заданной величины
деформации будет при этом разное). Из уравнения (1.9) следует,
что работа, затрачиваемая на де-
формацию ньютоновского эле-
мента до некоторой заданной
величины 8j, пропорциональна
приложенному напряжению о0 и
не зависит от вязкости ц. Если
заданы напряжение о>0 и время
Рис. 4. Вязкий элемент. Зависи-
мость напряжения и деформации от
времени при гармоническом законе.
Рис. 5. Вязкий элемент. Петля гистере
зиса.
то работа W (8а) обратно пропорциональна вязкости ц. Это вполне
понятно: при равных временах приложения напряжения тело
с большей вязкостью получит меньшую деформацию, и, следова-
тельно, работа, затрачиваемая на деформацию, будет меньше.
Рассмотрим поведение вязкого элемента, к которому приложено
напряжение, изменяющееся по простому гармоническому закону:
(1-10)
о = су0 sin со/
Подставив значение о в уравнение (1.7), получаем .
Ле а0 . ,
—т— = —— sin со/
at г)
или после интегрирования
8 =— COS со/ = sin (0)/ (1-11)
Т]СО Т]СО \ 2 J
Эти уравнения показывают, что при гармонически изменяющемся
напряжении деформация и скорость деформации тоже изменяются
гармонически, скорость деформации совпадает по фазе с напря-
жением, а деформация отстает по фазе на л/2со (рис. 4).
В рассматриваемом случае легко получить зависимость между
напряжением и деформацией. Возводя в квадрат уравнения (1.10)
и (1.11) и складывая их, получаем
О2 82
°0 со/г12(°2
2*
19
каноническое уравнение эллипса с полуосями сг0 и ого/т](о (рис. 5).
Кривая зависимости напряжения от деформации, соответствующая
нагружению и последующему разгружению, называется петлей
гистерезиса. Площадь, лежащая внутри петли гистерезиса, равна
работе, затраченной на деформацию. В данном случае площадь
петли гистерезиса равна работе «единицы объема» ньютоновского
элемента за период Т. Следовательно
(У2
Г —я — (1.12)
цсо х ’
Тот же результат получим, если дифференциал работы, равный
Яс
dW — о d& = о —г— dt
dt
проинтегрируем от 0 до Т. Имеем
Т п 2л/со
Г d& Г
W = о dt —---------------- sin2 со/Ш ~
J dt T| J
о о
2n/co
sin 2(o/
(
Ньютоновский элемент, так же как и гуковский, есть абстрак-
ция. Сделать с достаточной степенью приближения ньютоновский
элемент значительно труднее, чем гуковский. Обычно моделью
ньютоновского элемента считают демпфер, состоящий из цилиндра
с жидкостью и поршня. При движении поршня жидкость пере-
гоняется из одной полости цилиндра в другую через зазор между
поршнем и цилиндром или через отверстия в поршне. В дальней-
шем для краткости ньютоновский элемент будем называть демп-
фером и на схемах изображать условно, как на рис. 2.
2. ДВУХЭЛЕМЕНТНЫЕ МОДЕЛИ
Два основных элемента могут быть соединены последова-
тельно или параллельно. При этом предполагается, что соединяю-
щие стержни абсолютно жесткие, т. е. не могут деформироваться.
При последовательном соединении деформации основных эле-
ментов складываются, а напряжение на каждом элементе равно
общему напряжению на модели. Таким образом, условия после-
довательного соединения двух элементов имеют вид
е = 82
о == с?] = а2 (1.13)
При параллельном соединении двух элементов общее напряже-
ние на модели равно сумме напряжений на каждом элементе,
20
а общая деформация модели равна деформации каждого элемента.
Следовательно, условия параллельного соединения имеют вид
e = 81==s2 (1.14)
Z
О = Oi + °2
Легко заметить, что при произвольном соединении двух одно-
типных элементов получается модель того же типа, только с дру-
гими параметрами. Поэтому модели из однотипных элементов не
дают ничего нового, и в дальнейшем рассматриваться не будут.
Модель Максвелла
Модель, состоящая из пружины и демпфера, соединенных после-
довательно, называется моделью Максвелла (рис. 6). Обозначим
деформацию пружины буквой 8Х, деформацию демпфера — 82.
Учитывая условия последовательного соединения,
уравнения основных элементов можно написать
в виде
(1.15)
_£_=
т) dt
Общий метод вывода уравнения модели состоит
в том, что из уравнений основных элементов с по-
мощью условий соединения исключаются частные
деформации и напряжения. В уравнениях (1.15)
и (1.16) частные напряжения сух и а2 уже исклю-
чены с помощью уравнений (1.13). Остается исклю-
Рис. 6. Схема
простой модели
Максвелла.
чить частные деформации 8Х и 82. Для этого диф-
ференцируем по t уравнение (1.15) и складываем с уравнением
(1.16). Использовав уравнение (1.13), получаем уравнение модели
Максвелла
1 do , 1 de
--.-------L _ _ q —
Е dt ‘ т] dt
(1.17)
которое можно написать также в виде
do Е _ de
dt ‘ Ц G dt
(1.18)
Введем обозначение
(1.19)
Теперь уравнение Максвелла (1.18) можно написать в виде
dt т dt
(1.20)
21
Все три вида уравнения Максвелла, разумеется, равноценны.
Выбор формы уравнения Максвелла определяется удобством
применения в каждом частном случае.
Далее рассматривается поведение модели Максвелла при ос-
новных видах деформации и напряжения.
Постоянная деформация. Пусть в начальный момент времени
(/ = 0) модели, свободной ранее от деформации и напряжения,
дана мгновенная деформация 80,
которая остается в дальнейшем по-
стоянной. При этом условии (d&/dt) =
= 0, и уравнение (1-18) принимает
вид
а
°ое
Рис. 7. Простая модель Макс-
велла. Зависимость напряже-
ния от времени при постоянной
деформации. Кривая релакса-
ции.
do
dt
— о = 0
П
решение которого, как легко про-
верить, будет
t
о = Ае 11
где А — произвольная постоянная,
которую следует определить по на-
чальному условию при t = 0.
Мгновенная деформация 80 равна деформации пружины 8Х (0),
так как демпфер не может получить мгновенной деформации. По-
этому по закону Гука (1.4)
а (0) = E&q = Esj (0) = а0
(1.22)
Положив в уравнении (1.21) t = 0 и сравнив с уравнением (1.22),
получаем
А = с>о = £е0
и окончательно
_ t ___1
о — Ееое 11 = (Joe (1.23)
Таким образом, при постоянной деформации напряжение мо-
нотонно убывает от начальной величины о0, стремясь к нулю при
оо (рис. 7).
Воспользовавшись обозначением (1.19), уравнение (1.23)
можно написать в виде
t
0 = ^3 т (1.24)
отсюда при t = т получаем
G (т) = (Joe"1
Время т, при котором начальное напряжение о0 уменьшается
вераз, называется временем релаксации или периодом релаксации.
Рассмотрим теперь процесс наложения и последующего снятия
деформации. Пусть в некоторый момент деформация мгновенно
снимается. Деформация определяется, следовательно, условием
( 0, t <0
8 (/) = 80, 0 < t tr
. 0, t > tr
Проследим подробно изменение
упругой деформации, создаваемой
пружиной, и изменение вязкого
течения, создаваемого демпфером.
В начальный момент при / = 0
пружина деформируется на вели-
чину е0, а деформация демпфера
равна нулю. Затем начинается
деформация демпфера, которая
стремится в пределе к 80. Так как
деформация пружины пропорцио-
нальна приложенному напряже-
Рис. 8. Простая модель Максвелла.
Зависимость напряжения от вре-
мени. Постоянная деформация при-
ложена в интервале времени 0
t<С Т и снята при t^> tr.
нию, определяемому уравнением
(1.4), и, следовательно, убывает с течением времени, а сумма
деформаций пружины и демпфера все время равна 80, то для
каждой деформации имеем соответствующее уравнение
— t
Ч
еупр — еое
евязк — So \ 1 — е
Следует учесть, что мгновенное изменение деформации воз-
можно только за счет пружины, так как демпфер не может дефор-
мироваться мгновенно. Таким образом, мгновенное снятие дефор-
мации в момент С возможно только за счет деформации пружины
па величину —80. Но пружина в этот момент уже имеет деформацию
— —<1
80е ч , которая мгновенно снимается, когда снято вызвавшее
/ __LZ1\
се напряжение. Остается еще снять деформацию—80\1 —е ч 1
для этого нужно приложить напряжение
( - — tA ( - —
о (О = — Ezq \ 1 — в 11 / — —сг0 \ 1 — е 11 )
То напряжение, противоположное по знаку первоначально при-
ложенному напряжению, в свою очередь убывает в соответствии
с уравнением (1.23), т. е. (рис. 8)
_ A t ( -Е-tA t
a (t) = a (Zx) e 11 =o0\l — e 11 )e 11 9 t > (1.25)
Нужно обратить внимание на то, что релаксация происходит
только за счет вязкого течения. Такой тип релаксации можно
назвать чисто вязкой или максвелловской релаксацией.
Постоянная скорость деформации. Для большей общности
будем считать, что в начальный момент при t = 0 создается мгно-
венная деформация 80, затем деформация идет с постоянной ско-
ростью v0. Имеем, следовательно, условия
Рис. 9. Простая модель Максвелла.
Зависимость напряжения от вре-
мени при постоянных скоростях
деформации:
1 — Уо>сГоД]; 2 —570=сг0/н; 3— ио<^о/'П.
е (0) == е0
d&
~dt~ ~ Vq
Уравнение (1.18) принимает теперь
вид
Решение этого уравнения
_ — t
о = Де 11 + тро (1.26)
где А —произвольная постоянная.
Введем обозначение
£е0 = ст (0) = о0
Из уравнения
t = 0, получаем
" п0 = Д
(1.26),
+ Щ’о
положив
Найденное отсюда значение А подставляем в уравнение (1.26).
Окончательно
о = (о0 — тро) е 11 + 7р0 = — ?Ро) е 11 + тр0 (1-27)
Характер изменения напряжения о по времени зависит теперь
(при данных Е и ц) от величины скорости деформации vG. Если
скорость деформации удовлетворяет условию <Ссг0/ц, напря-
жение о (/) убывает, и при /->оэ с> (Z) -—> цу0. Если скорость
деформации удовлетворяет условию и0 > напряжение о (/)
возрастает, стремясь к тому же самому пределу ц v0. Если скорость
деформации = о0/т], напряжение остается постоянным о (/) ~
= од. На рис. 9 показана релаксация для всех трех случаев.
Рассмотрим случай, когда 80 = 0, т. е. когда начальная дефор-
мация отсутствует. Из уравнения (1.27) получаем
о (/) =
(1.28)
24
Отсюда следует, что при данной скорости деформации vQ сущест-
вует предельное напряжение о (сю) = т] v0. В начальный момент
напряжение равно нулю, так как 80 = 0, и пружина не деформи-
рована. Поэтому напряжение на демпфере тоже равно нулю в силу
условия последовательного соединения, хотя скорость деформации
делает скачок в начальный момент. Если в момент t = tr дефор-
мирование останавливается и деформация будет далее постоянной
Ei начинается релаксация, которая определяется урав-
нением (1.23). Следовательно
— о—о) — (I—
(1.29)
Таким образом, если релаксация начинается от напряжения ох,
то она происходит по уравнению (1.28) независимо от того, за
какое время (т. е. с какой скоростью) достигнуто начальное напря-
жение. Разумеется, время при релаксации следует отсчитывать
от момента начала релаксации t19 поэтому нужно положить t —
— С = 0, и тогда напряжение при релаксации определится урав-
нением
О’ (0) — ще 0>sO
(1.30)
Независимость процесса релаксации от скорости деформации
может показаться несколько странной. Действительно, если счи-
тать скорость деформации настолько малой, что предельное напря-
жение о (сю) = тр0 меньше, чем минимальное напряжение, реги-
стрируемое измеряющим напряжение прибором, то деформация
будет проходить при напряжении, которое мы будем считать рав-
ным нулю. Следовательно, после остановки деформации релакса-
ции не будет, так как ох = 0. При больших скоростях релаксация
будет проходить. Отсюда следует зависимость процесса релаксации
от скорости деформации. Это кажущееся противоречие разре-
шается просто. Независимость процесса релаксации от скорости
деформации справедлива при условии, что начальное напряжение
ОД >> о (сю).
Постоянное напряжение. Пусть в начальный момент при
t — 0 приложено напряжение од, которое далее остается постоян-
ным. Уравнение (1.17) принимает вид
(7q
dt ч
Интегрируя это уравнение, получаем
8 = 1 + А
ч
25
Положив t = 0 и приняв во внимание уравнение (1.22), получаем
А = 8 (0) = 80 = (Уо/Е. Следовательно
( t 1 \ О0 ,
е~ CT°(v 1 ~ё) -“Y z + e°
(1-31)
Эта зависимость показана на рис. 10.
Пусть теперь момент t =t1 напряжение снято. После снятия
напряжения пружина сокращается на величину мгновенной де-
Рис. 10. Простая модель Максвелла.
Зависимость деформации от времени. По-
стоянное напряжение приложено в интер-
вале времени 0 t<C и снято при
/> tx : е0 = Есу0; ei =
формации 80. Деформация
в момент t = С по уравне-
нию (1.31) равна
Остаточная деформация после
снятия напряжения будет
равна
''ОСТ —
Таким образом, модель
.Максвелла имеет мгновенную
деформацию и вязкое тече-
ние, но не имеет запазды-
вающей (упругой) деформа-
ции.
Периодическая деформация. Пусть деформация изменяется
по простому гармоническому закону
8 = 80 sin
где 80 — амплитуда деформации, <о — частота колебаний.
Отсюда
d&
—— ~ 80о COS (О/
at
Подставив значение производно?! в уравнение (1.18), получим
da
dt
---О' — £8а(0 cos со/
Т|
Решение этого уравнения имеет вид [24]
/ „АЛ А,
о = Се 11 + £80сое 11 J е 11 cos coZ dt =
= Се Z
Е80т)со
£2 y|2q)2
(E coscof + T]co sin co/)
26
Произвольная постоянная С определяется по начальному условию
при t = 0. Так как в начальный момент деформация равна нулю,
то для напряжения имеем начальное условие*:
Следовательно
о (0) = 0
Е280Т]СО
Е2 4- ?]2со2
Подставив найденное отсюда значение С в уравнение, определяю-
щее напряжение, получим
Еелко /гл , , ,ч Е280чсо — С
а = г.9 г 9 9 (£ cos + 4W sin G)0 ~ e 0 • 2)
£2 + t]2co2 v \ E2 + 4 (l)
Для достаточно большого времени t второй член в правой части
уравнения (1.32) становится пренебрежимо малым, следовательно,
напряжение будет определяться только первым членом, который
не зависит от начального условия. Если влиянием начальных
условий можно пренебречь, система находится в установившемся
режиме колебаний. Если влияние начальных условий существенно,
имеем переходный режим. Установить точную границу переход-
ного и установившегося режимов нельзя. Это зависит от необхо-
димой точности результатов. На практике это обычно не вызывает
затруднений, так как установившийся режим наступает доста-
точно быстро.
Для установившегося режима уравнению (1.32) можно придать
более удобную форму.
Положим
Е — A sin 0
т]со = A cos 0
отсюда
А = У~Е2 + ч2со2
и
tge = — . (1,зз)
Таким образом
Е cos со/ + чо) sin со/ = VЕ2 Аг ц2со2 (sin 0 cos со/ + cos 0 sin со/) =
= Е2 + Ч2(°2 sin + 6)
Теперь уравнение (1.32) для установившегося режима принимает
вид
д EsqHCo
Уе2 + Ч2<°2
sin (со/ + 0)
(Е34)
где 6 — фазовый угол.
Период колебаний Т = 2л/со.
* Скорость в начальный момент не равна нулю, но при нулевой начальной
деформации начальное напряжение равно нулю, как это следует из уравнения
(1.27), при оС) = О,
27
Когда коэффициент вязкости т] —> сю, фазовый угол 0 —► О,
как это следует из уравнения (1.33). При этом деформация демп-
фера стремится к нулю, а деформация всей модели стремится к де-
формации пружины. В пределе деформация и напряжение будут
совпадать по фазе. Когда коэффициент вязкости г] —> 0, из урав-
нения (1.33) имеем tg 6 — > сю, следовательно, 0 —> л/2. При этом
О' —> 0, ив пределе имеем свободное движение по заданному гар-
моническому закону.
Энергия, рассеянная за цикл колебаний, равна затраченной
работе. Дифференциал работы равен
dW = (У d& = о —г— dt
Подставив значение о из уравнения (1.34) и значение d&ldt, после
интегрирования получим работу за один цикл:
т
Г ds
о
о
dt
2 2 2лЛ°
dt - ££ол(0 f
V Е2 + T]2to2 J
Еб^со2
2 Л/о о г2 2
f л/: 80Т]С1) лЕ 80Т]С0
cos2 со/ dt — г . sin 0 = —5-^
J 1ЛЕ2 4- в2со2 Е2 + W
sin 0
о
Когда коэффициент вязкости ц —> оо, работа, затрачиваемая
за цикл W -> 0, так как работа пружины за цикл равна нулю.
При т] =0 также W = 0. Работа W всегда положительна, поэтому
при некотором значении коэффициента вязкости 0 <Сц <сю ра-
бота имеет максимум. Зависимость работы W от частоты колеба-
ний со, как это видно из уравнения (1.35), такая же, как от коэф-
фициента вязкости т). На рис. 11 дана зависимость работы WT,
затрачиваемой на один цикл деформации, от произведения цсо.
Приравняв нулю производную от W по цсо, находим, что максимум
работы будет при цсо = Е.
Зависимость напряжения от деформации при установившемся
режиме получим, исключив время t из уравнения, определяющего
деформацию, и уравнения (1.32)
Ее0чсо
£2 ^2
После простых преобразований получаем
его-2 + 2Ь(У % + eg2 — 1 = 0
где
/ Е2 + ч2с°2 \2. Е2 + т]2со2
а ~ \ Е28оЦ(О ) ’ Е38о
Графиком (рис. 12) решения уравнения, связывающего а и £,
служит эллипс, оси которого наклонены под углом а к осям коор-
динат и
2b
а — с
Для всех линейных зависимостей напряжение — деформация —
время петля гистерезиса при установившемся режиме гармони-
ческих колебаний будет эллипсом.
Периодическая деформация. Комплексное представление.
В дальнейшем для упрощения выкладок применяется комплексное
Рис. 11. Простая модель Максвелла. Рис. 12. Простая модель Макс-
Зависимость работы, затрачиваемой велла. Петля гистерезиса,
за цикл, от частоты колебаний.
представление колебаний. Так как этот метод недостаточно хо-
рошо известен, ниже на простом примере рассматривается его
применение.
Всякое комплексное число z может быть представлено в алге-
браической форме:
z — X + iy
где х = Re (г) — действительная часть, у = 1ш (г) — коэффи-
циент при мнимой части.
Комплексное число можно представить также в показательной
форме:
z — peiq)
где р — модуль, ф — аргумент комплексного числа; р = | z|,
Ф = arg z. На комплексной плоскости комплексному числу z
будет соответствовать вектор длиной р, идущий из начала коор-
динат и образующий с положительным направлением оси X угол ф.
Воспользовавшись формулой Эйлера
егф == cos ф + i sin ф
получаем
х ~ р cos ф; у = р sin ф
или
р = рД'2 + у2; ф = arctg —
29
— формулы, аналогичные формулам, связывающим прямоуголь-
ные координаты точки на плоскости с полярными координатами.
Заметим, что при умножении комплексного числа на i вектор,
соответствующий этому числу, поворачивается на угол, равный
л/2. Действительно
iz = ipe1^ = р (/ cos ф — sin ф) —
л
л
i sin
= ре
Пусть деформация изменяется по закону
е (/) = 80eiC0/
(1.36)
где со/ = ср. Следовательно, аргумент комплексной переменной
8 (/) возрастает пропорционально времени t. При t = 0 имеем
е (0) = 80, и вектор, соответствующий 8 (0), совпадает с положи-
тельным направлением оси X. Когда t = 2л/со, вектор делает
полный оборот и опять совпадает с осью X. Скорость вращения век-
тора пропорциональна со, которая называется угловой скоростью
или угловой частотой.
Скорость деформации равна
' d&(t)
dt
= cco80eZco* = й)80е
(1-37)
Скорость деформации тоже является вектором, который вращается
с угловой скоростью со и отличается по фазе от вектора деформации
на л/2, т. е. вектор скорости деформации перпендикулярен век-
тору деформации.
Дифференциальное уравнение модели Максвелла после под-
становки значения скорости деформации принимает вид
с/сг , Е .„ .у-, /гл/
— -]--------а = сЕсое (/) = cEcoeoe
dt п
Будем искать решение этого уравнения в форме
g (t) = Е* (но) 8 (/)
(1.38)
(1.39) <
Напомним, что по теории линейных систем здесь 8 (/) — вход-
ная функция вида 80еГСй/, а напряжение о (/) — выходная функция
того же самого вида. Мы принимаем, следовательно, что выходная
функция о (/) получается умножением входной функции на ком-
плексную функцию Е* (/со), которая называется поэтому переход-
ной функцией. Возможность такого представления выходной
функции — характерное свойство линейных систем. Таким обра-
зом, переходная функция Е* (/со), определяющая свойства «чер-
ного ящика», перерабатывает входную функцию в выходную.
30
В теории линейной вязкоупругости по аналогии с законом
Гука су — Бе принято называть функцию Б* (Zco) комплексным
динамическим модулем упругости.
Вернемся к решению дифференциального уравнения (1.38).
Подставив значение напряжения и производной от напряжения
по времени из уравнения (1.39) в уравнение (1.38), после сокра-
щения на 80егсй* получаем
+ Е) Е* (но) = iEvft)
отсюда
Е* (но) =- Е± (со) + /Е2(со) =
ZrjcoE
Е + Ш03
л] со (Е — Ztjco)
(Е + й](о) (Е — щсо)
Следовательно
Н2со2Е
Е2 4- т|2со2
т]соЕ2
Е2 + Н2со2
Re Е* (tco) = Ег (со) =
Н2со2Е
Е2 + П2с°2
Im Е* (Zco) = Е2 (со) =
rjcoE2
Е2 + т]2со2
(1-40)
(1.41)
(1.42)
Как видно из полученных формул, комплексный динамический
модуль упругости Б* (гео) пропорционален обычному модулю
упругости Б и зависит от частоты со. Это оправдывает принятое
обозначение, указывающее на зависимость от частоты, и напоминает
о том, что мы имеем дело с комплексной величиной.
Сравнивая уравнения (1.42) и (1.35), замечаем, что функция
Б2 (со) отличается только постоянным множителем л от работы IF,
затрачиваемой за цикл, при единичной амплитуде деформации
е0 = 1. Следовательно, функция Б2 (со), так же как и работа за
цикл W, определяет потери при гармоническом движении. По-
этому функцию Б2 (со) называют иногда модулем потерь, а функцию
Б1 (со) — динамическим модулем.
Из уравнений (1.41) и (1.42) легко найти предельные значения
динамического модуля и модуля потерь. Имеем
Ei (0) = 0; Er (co) = Е; Е2 (0) = Е2 (оо) = 0
(1.43)
Так как модуль потерь Б2 (со) отличается от работы W на постоян-
ный множитель, то эта функция достигает максимума в той же
точке т](6 ~ Б. Значение максимума модуля потерь
(1.44)
На рис. 13 даны графики функций Бх (со) и Б2(со). Сравнение
этих графиков с экспериментально полученными кривыми дина-
31
мического модуля и модуля потерь дает возможность судить о
пригодности модели Максвелла для описания поведения иссле-
дуемого материала.
Будем теперь считать входной функцией напряжение, изме-
няющееся по гармоническому закону
о (/) = o0ezcoZ (1-45)/
Разрешив уравнение (1.39) относительно выходной функции
е (/), получим новую переходную функцию
‘ <" ~ - <0 . <’ «)
Введем обозначение
-тйм (L17>
ИЛИ
J* (fco) Е* (/со) = 1 (1.48)
Переходная функция от напряжения к деформации называется
комплексной динамической податливостью. * Подставив значение
Рис. 13. Простая модель Максвелла. Зависи-
мость комплексного динамического модуля упру-
гости от частоты колебаний. Действительная
часть Е± (со), коэффициент при мнимой части
Е2 (со).
комплексного динамического модуля из уравнения (1.40)
нение (1.48), получаем
в урав-
J* (/со) — Д (со) — i (св) =
Е + /)]со
и](1)Е
Следовательно
— IE + чсо _ 1 .1
qcoE Е 'ijco
(1.49)
(1.50)
=
Т|СО
(1.51)
Предельные значения функции J 2 (со)
J2 (0) = оо; А (°°) = 0
(1.52)
32
На рис. 14 даны графики функций Jх (со) и J 2 (<о). Графики
функций податливости значительно проще, чем графики функций
модуля. Поэтому обрабатывать экспериментальные кривые подат-
ливости удобнее, чем кривые модуля.
Выведем теперь формулы, связывающие величины, определяе-
мые экспериментально, с функциями Е{ (со) и £'2((0)- Пусть задана
деформация, изменяющаяся по гармоническому закону [см. урав-
нение (1.36)]. Для линейной
системы напряжение будет изме-
няться также по гармониче-
скому закону с той же часто-
той со, но с некоторой разно-
стью фаз 6 (со), зависящей от
частоты. Это можно записать
в виде
О (/) == пое1 («Н-б) = _ о. ег68оегсй* =
8о
= ei6e (0 (1.53)
Рис. 14. Простая модель Максвелла.
Зависимость комплексной динамиче-
ской податливости от частоты колеба-
ний. Действительная часть (св),
коэффициент при мнимой части /2 (со).
Чтобы работа, затрачивае-
мая на деформацию, была поло-
жительной, напряжение должно
опережать деформацию по фазе
(т. е. фаза б (со) берется со зна-
ком плюс). При эксперименте амплитуда деформации 80 задается,
а амплитуда напряжения и фаза бсо измеряются. Сравнивая
уравнения (1.39) и (1.53), получаем
£* (,«) = ezs <“> = (cos 6 + (Sin й)
80 80
Следовательно
(св) — — cos б (1.54)
80
Е2 (®).= -»Ь_ sin б (1.55)
Подобным образом получаем формулы для податливости. Пусть
задано напряжение, изменяющееся по гармоническому закону
(1.45). Тогда деформация изменяется по закону (так как деформа-
ция должна отставать от напряжения, фаза теперь берется со зна-
ком минус):
е (Z) = еое‘ et6^eiat = ei6o (/)
Сто о0
3 И. И. Гольберг
33
Сравнивая уравнения (1.46) и (1.56), получаем
J* (гео) — (со) — U2 (со) = — —- (cos 0 — i sin 0)
°b
Следовательно
Л(со) = e°(m) cose (1.57)
°0
А (со) = sin е (1.58)
/
Формулы (1.54, 1.55, 1.57 и 1.58) справедливы для любой мо-
дели, так как частные свойства модели Максвелла при выводе
не использованы.
Динамическая вязкость. По аналогии с законом Ньютона
для установившегося течения можно ввести соответствующую
зависимость для случая, когда напряжение и деформация изме-
няются по гармоническому закону. Из уравнений (.1.36) и (1.37)
имеем
. 1 d&(t) i d&
s(t) = ------TT2- =--------3T
ico dt co dt
ИЛИ
Отсюда следует, что вектор скорости деформации перпендику-
- L.-L р
лярен вектору деформации 8 (/). Подставляя теперь в уравне-
ние (1.39) найденное выше значение 8 (/) й значение комплексного
динамического модуля Б* (/со) из уравнения (1.40), получаем
<?(/) = — [£i (со) +/Е2. (о))]
f d& __ Г Е2 (со) . Ei (со)
со dt L со со
d&
dt
Теперь по аналогии с законом Ньютона можем написать
Ир
° (0 “ Ч* О®) “ту* (1.59)
где
П* (to) = 1] (со) — и/ (<») = ~ 1 С1-60)
и назвать ч* G’<o) комплексной динамической вязкостью. Так как
рассеивание энергии связано только с действительной частью
комплексной вязкости, которая пропорциональна коэффициенту
при мнимой части комплексного динамического модуля, то ч (со)
можно назвать коэффициентом динамической вязкости или просто
динамической вязкостью. Имеем
. . Ео (со)
(1-61)
34
а для модели Максвелла по уравнению
(1-42) получаем
Ч (со) — у------------
Е3 4- т]2со2
(1.62)
При достаточно малой частоте со, когда т1<о < Б2, получаем, что
т] (со) т), следовательно, динамическая вязкость стремится
к обычной вязкости, когда со —> 0.
Модель Кельвина
Модель, состоящая из пружины и демпфера, соединенных парал-
лельно, называется моделью Кельвина* (рис. 15). Обозначим
напряжение в пружине через 04, напряжение в демпфере
через о2. На основании условия параллельного соединения (1.14)
уравнения основных элементов можно написать в виде
оу = Ее
d&
Сложив эти уравнения и приняв во внима-
ние условие (1.14), получим уравнение мо-
дели Кельвина
Ч-~ + Ее = о (1.63)
at
которое можно переписать в виде
d& , Е о
- - +- - 8 —- -
dt 7] Т]
Рис. 15. Схема простой
модели Кельвина.
(1.64)
С помощью обозначения
ставить также в виде
(1.19) уравнение Кельвина можно пред-
(1.65)
Рассмотрим поведение модели Кельвина при основных видах
деформации и напряжения.
Постоянное напряжение. Имеем условие
t <0
de е _ о
dt ‘ т ~ п
Уравнение (1.64) принимает вид
de Е
dt * и 8 ~ т] ’
* Эту модель называют также моделью фойгта или моделью Джеффриса
(см. Н а д а и, Пластичность и разрушение твердых те л, ПЙз датин лит, 1954,
стр. 478).
35'
решение этого уравнения
_А ,
е = Ле л +-^-. ^0 (1.66)
Е
Произвольную постоянную А определяем по начальному условию
при t = 0. Напряжение о0, приложенное в начальный момент,
не может вызвать мгновенной деформации модели Кельвина,
так как демпфер, соединенный параллельно с пружиной, не дает
Рис. 16. Простая модель Кельвина.
Зависимость деформации от времени.
Постоянное напряжение о0 приложено
в интервале времени 0=C t<Z t± и снято
при t±.
ей мгновенно деформироваться.
Поэтому начальное условие
будет
е(0)= 0 (1.67)
и произвольная постоянная А
из уравнения (1.66) при t = 0
будет равна
Подставив найденное значение Л
в уравнение (1.66), получаем
8 = -^.h— е 11 I (1.68)
Деформация возрастает по времени, асимптотически стремясь
к гуковской деформации (рис. 16):
8то = 8 (оо) =
gp
Е
Если в некоторый момент времени t = tr напряжение сни-
мается, т. е. о0 = 0 при t > уравнение (1.64) принимает вид
Решение этого уравнения
е t
в = л , t >
Мгновенное сокращение деформации, так же как и мгновенное
возникновение деформации, отсутствует, поэтому при снятии
напряжения в момент t — t± деформация должна быть непрерыв-
ной. Получаем условие
п ( — — tA -~ — tt
= ) = Aie
отсюда
л1=^(А‘-1)
36
Окончательно получаем
П0
8 = -=?
----11
ч---1 I
e — 1/ e
— — t
Ч
1
(1.69)
Рис. 17. Простая модель Кельвина.
Зависимость напряжения от времени.
Постоянная скорость деформации е0
в интервале времени О t<Z tly при
деформация остается постоянной.
Деформация 8 после снятия напряжения убывает со временем
по тому же самому закону, по которому убывает напряжение при
постоянной деформации на модели Максвелла (рис. 16). В урав-
нении (1.68) постоянная т = ц/Е может быть названа временем
упругого восстановления или периодом упругого восстановления, i
Из уравнения (1.68) следует,
что деформация 8 (ZJ, остав-
шаяся после снятия напряже-
ния, исчезает только при /=оо,
т. е. в любое конечное время
существует некоторая остаточ*
ная деформация. Однако эта
остаточная деформация посто-
янно убывает и для достаточно
большого времени становится
меньше любой заданной вели-
чины. Поэтому деформация мо-
дели Кельвина, определяемая
уравнением (1.68), является
замедленной упругой деформа-
цией.
Постоянная скорость деформации. Постоянная деформация
для модели Кельвина невозможна, так как эта модель не допускает
мгновенной деформации. Рассмотрим поэтому только постоянную
скорость деформации
4/8 /0, t < О
_____ «
4// ( Ц), t О
Отсюда интегрированием * получаем
О,
VOt,
t < О
t ^0
Подставив значения 8 и dzldt в уравнение (1.63), получаем
a = Tp0 + £W (1.70)
График этой зависимости дан на рис. 17. Сравнивая этот график
с графиком на рис. 2, замечаем, что при t графики разли-
чаются только тем, что прямая, определяемая уравнением (1.70),
не проходит через начало координат. При малых величинах т]У0
эта разница становится мало заметной.
Предположим, что в некоторый момент времени t = tr дефор-
мирование прекращается, т. е. скорость становится равной нулю,
37
а деформация, достигнутая к моменту остается постоянной.
В правой части уравнения (1.70) первый член равен напряжению
на демпфере, а второй — напряжению на пружине. При скорости,
равной нулю, напряжение на демпфере обращается в нуль, а на-
пряжение на пружине остается постоянным, так как деформация
пружины, равная остается постоянной. Следовательно, при
условии
(0, t < 0
имеем
а —£г0/1} t^tr (1.71)
График этой зависимости дан на рис. 17.
Периодическое напряжение. Пусть напряжение изменяется
по закону
а = o0et0)Z
Уравнение (1.64) принимает при этом вид
। Г сг0
dt т[ Т)
Будем искать решение этого уравнения в виде
6— £*(<©)
(1-72)
Подставив значения в и d&ldt в дифференциальное уравнение,
после сокращения на о0е10“ получаем
/со + Е/ч\ _ 1
£* (/со) ч
отсюда
£* (/со) = £г (со) + г£2 (со) = £ + й]со (1-73)
Следовательно
£i(co) = £ (1-74)
£2(со)=чю (1-75)
Графики функций Е± (со) и Е2 (со) даны на рис. 18.
Найдем теперь формулы для функции податливости. Имеем
J* (to) = с ,1 - = Л 7'2-2- = А (“) ~ («) (1-76)
v £ + щсо £2 + Ч2(°2
откуда
J1 (®) = г-2 2 2 О’7?)
1 ’ Е* + л2®2
А(«) = F2 2 О-78)
£2 + щ®2
38
Предельные значения функций:
Л(0) = 4~; Л(оо)=0; J2(0)=0; J2 (со) = 0 (1.79)
На рис. 19 даны графики функций (со) и J2 (со). Формулы
для функций податливости более сложные, чем соответствующие
формулы для модулей. Поэтому для модели Кельвина обрабаты-
вать экспериментальные кривые модулей удобнее, чем кривые
податливостей.
Функции модуля и податли-
вости] для изолированной пру-
жины’ и изолированного демп-
Рис. 19. Простая модель Кельвина.
Зависимость комплексной динамиче-
ской податливости от частоты колеба-
ний.
Рис. 18. Простая модель Кельвина.
Зависимость комплексного динамиче-
ского модуля упругости от частоты
колебаний.
фера можно получить из соответствующих уравнений модели
Кельвина. Положим ц = 0. Модель Кельвина переходит при
этом в изолированную пружину, для которой
£1(<о) = Е; Е2(со) = О; Л (со) = -±-; J2(co) = O (1.80)
С,
Соответствующие уравнения для изолированного демпфера
получим, положив Е = 0, тогда
Ei(tt>) = 0; Е2 (со) = г]со; т) (со) = щ Л(со) = О; J2(co)=—Ц (1.81)
Т](0
Эти уравнения можно использовать при выводе формул для
моделей с произвольным числом элементов, включающих изоли-
рованные. »
3. ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ МОДЕЛИ
Классификация трехэлементных моделей
Все трехэлементные модели могут быть разбиты на два класса:
класс С, модели с двумя пружинами и одним демпфером;
класс D, модели с одной пружиной и двумя демпферами.
Как уже упоминалось, модели, состоящие из однотипных эле-
ментов, при любом соединении приводятся к одному элементу
того же типа и поэтому рассматриваться не будут. Последовательное
или параллельное соединение двух однотипных элементов также
ничего нового не дает, так как такая пара элементов заменяется
одним элементом. Это значительно ограничивает число типов
моделей в каждом классе.
Различные типы моделей класса С и класса D показаны на
рис. 20. Уравнение трехэлементной модели выводится ранее ука-
занным общим методом: выписыва-
Класс С
Тип а Тип в
Класс И
Тип а Тип 6
Рис. 20. Схемы различных типов
трехэлементных моделей.
ются уравнения для каждого эле-
мента, условия параллельного или
последовательного соединения, затем
из написанных уравнений исклю-
чаются частные деформации и напря-
жения. Однако уравнение трехэле-
ментной модели можно вывести про-
ще, используя уравнения модели
Максвелла или Кельвина. Покажем
это на примере вывода уравнения
модели класса С типа Ь. Правая
ветвь есть модель Максвелла, поэтому
уравнения для элементов и условие
соединения можно написать в виде
ао = £о8 (1.82)
d(Ji . Ел -
-тг ч------- Щ = Е±
dt 41 dt
(1.83)
а0 + Oi = а (1.84)
Исключить из написанных трех
уравнений напряжения сгои од можно
различными способами. Проще всего
исключить сначала о0 из уравнений
(1.82) и (1.84), полученное значение Oj
и ее производной подставить в уравнение (1.83), в результате
получим уравнение модели типа b
do
dt
Е± / Г7 I Z7 \ !
— o = (£0 + £1)^-t
EqE±
41
(1.85)
Присоединив последовательно пружину к модели Кельвина,
подобным же образом выводим уравнение модели класса С типа а
do 4_ £q + £i
dt ‘ 41
О’ ---- Eq
d&
dt +
(1.86)
Уравнения (1.85) и (1.86) различаются только коэффициен-
тами. Соответствующие модели будем называть подобными. Мо-
40
дели типов а и b будем называть эквивалентными, если коэффи-
циенты уравнений (1.85) и (1.86) равны. Следовательно, условие
эквивалентности моделей будет иметь вид:
Ex
41
41
о
41 q'
Здесь штрихами обозначены постоянные модели типа а. Основные
свойства модели класса С легко определить, рассматривая непо-
средственно модель. Для определенности будем рассматривать
модель типа а, которая состоит из модели Кельвина, соединенной
последовательно с пружиной EG. За счет пружины Ео модель
имеет мгновенную деформацию. Модель Кельвина дает запазды-
вающую деформацию. Так как модель Кельвина и пружина не
создают остаточной деформации, то и модель типа а не создает
остаточной деформации. Имеют ли модели класса С релаксацию,
удобнее определить на модели типа Ь. Пусть модели задана мгно-
венная деформация, которая затем остается постоянной. В началь-
ный момент обе пружины деформируются на одинаковую величину,
так как поршень еще не начал движения. Затем начинается дви-
жение поршня, которое продолжается до тех пор, пока пружина
не освободится от деформации. Это будет равновесное состояние
модели, соответствующее данной деформации. Следовательно,
в начальный момент напряжение на модели равно сумме напряже-
ний на пружинах Ео и £ь а затем напряжение убывает до вели-
чины напряжения на пружине Ео. Это и есть явление релаксации.
В отличие от простой модели Максвеллд напряжение релаксирует
не до нуля, а до некоторой постоянной величины.
Таким образом, модель класса С имеет свойства простой мо-
дели Максвелла и простой модели Кельвина. Это можно было
предвидеть заранее, так как при частных значениях постоянных
модель класса С переходит в уже рассмотренные модели. Если для
модели типа а значение Ео = 0, получаем модель Максвелла;
если Ег = сю, то будет модель Кельвина.
Рассмотрим теперь модели класса D (см. рис. 20). Уравнение
модели типа а будет
d(j
dt
ds
dt
Q = 4o4i - <i2s
dt2
Уравнение модели типа b будет
Er d2s
т]! ° ~ dt2
da
dt
Но
41
ds
dt
i
41
Следовательно, модели типов а и b подобны. Условия эквивалент-
ности:
£1 __
Ло + 411 п'
(1.90)
Штрихами обозначены постоянные модели типа Ь.
Свойства модели класса D определяем, рассматривая при за-
данном напряжении модель типа а. За счет демпфера т]0 возникает
остаточная деформация. Мгновенная деформация отсутствует.
За счет модели Кельвина имеем запаздывающую деформацию.
Несколько сложнее определить существование релаксации. Обычно
для получения релаксации модель мгновенно деформируют и за-
тем выдерживают при постоянной деформации. Так как модель
класса D не допускает мгновенной деформации, предположим,
что модель деформируют с постоянной скоростью до заданной
величины, затем выдерживают деформацию постоянной. При
постоянной общей деформации деформация пружины уменьшается
за счет деформации демпферов т]0 и 'Ль следовательно, напряжение
будет релаксировать.
Трехэлементная модель класса С
Постоянная деформация. При заданной деформации удобнее
рассматривать модель типа Ь.
Имеем условие
го, t < о
8 — {
( 80, /^0
Уравнение (1.85) при этом принимает вид
— о = - е0, t 0
1 41
Решение этого уравнения
41
Произвольную постоянную С найдем по начальному условию
в момент t = 0. При мгновенной деформации 80 обе пружины
мгновенно деформируются на величину е0, и общее напряжение
равно сумме напряжений на каждой пружине, следовательно
а (0) = £о8о + £i£o
(1.91)
42
Отсюда С — £1в0 и окончательно получаем
Предельное напряжение
ст (оо) = £о8о
(1.92)
(1.93)
Если рассмотреть только составляющую напряжения, зависящую
от времени, то
ст — ст (оо) = Е^е 111 (1-94)
Время релаксации в этом случае, так
же как и для простой модели Макс-
велла, зависит от отношения Ei/tu:
(1.95)
График зависимости напряжения
от времени дан на рис. 21.
Пусть теперь деформация 80 в мо-
мент t± мгновенно снимается. Имеем,
следовательно
Рис. 21. Трехэлементная модель
класса С. Зависимость напряже-
ния от времени при постоянной
деформации. Кривая релаксации.
о, t < о
8 (I) ~ 80, 0^ t
0,
(1.96)
В данном случае удобнее рассматривать модель типа а. Обо-
значим деформацию пружины 8упр, а деформацию элемента Кель-
вина 8зап. Принимая во внимание, что предельные значения де-
формации обратно пропорциональны модулям £0 и £ь получаем
Мгновенно снять деформацию можно только за счет деформации
изолированной пружины. Запаздывающая деформация в момент tr
равна
/ /Л
езап (^1) = “р •' | р Го — ое 1 у
~Г £1
На эту величину необходимо деформировать изолированную пру-
жину, что определяет величину напряжения, противоположного
43
по знаку первоначально приложенному напряжению, которое
равно
р2 . / _ t \ — Ei t
а (О- ~ z; rVv-e J e 111 , t>h (1.99)
Приведенные формулы можно использовать и тогда, когда
в момент tr снимается не деформация, а напряжение. Имеем
МО — 8о,
а (/) = 0, t > О
Рис. 22. Трехэлементная модель
класса С. Зависимость напряжения
от времени. Постоянная деформа-
ция 80 приложена в интервале вре-
мени 0=С t<Z 0 и снята при t^> О-
Рис. 23. Трехэлементная модель класса С.
Зависимости напряжения и деформации ’
от времени. Постоянная деформация 80
приложена в интервале времени 0
t<Z 0, а при 0 снято напряжение.
Запаздывающая деформация восстанавливается по уравнению
езап(^) = /1% М-е П1 l)e (1.100)
-Г Е1
а упругая деформация 8упр исчезает мгновенно. На рис. 22 и 23
даны графики функций напряжения и деформации для обоих
случаев.
Постоянная скорость деформации. Для большей общности
положим, что в начальный момент создана мгновенная деформа-
ция 80, затем деформация идет с постоянной скоростью у0. Сле-
довательно, заданы условия
8 (0) — 80
de f 0, t < О
dt 1 г0, ^^0
Интегрируя второе равенство, получаем
8 = 80 -|- V$t
44
Уравнение (1.85) принимает теперь вид
da
dt
П1
Решение этого уравнения имеет форму
rr — Л / R _L Го ГП1
Л1
Подставив значения о и deldt в
после сокращения получим
Коэффициенты при t в правой
и левой частях уравнения должны
быть равны, поэтому
Д = EqVq
таким образом
В = ЛЩо + Eqs0
дифференциальное уравнение,
Рис. 24. Трехэлементная модель
класса С. Зависимость напряжения
от времени при постоянной скорости
деформации:
1 — v0 > С; 2 — =
Hi
3 — и0 < С.
Подставив найденные значения А
и В, получаем
о — E^t Д- Е080 Д- Се 711
Напряжение должно удовлетворять начальному условию (1.91),
следовательно
7Ъио + ^оео + б = Еоео Д- ТД80
отсюда
С = ЕЛ — Ч1уо
Окончательно получаем.
о == Eovot Д- + Ео8о + (Ех80 — щ^) е 711 (1.101)
Для достаточно больших значений t последний член в правой части
уравнения (1.101) становится пренебрежимо малым, и напряже-
ние определяется уравнением
о — EQvQt Д- т]i^o + £оео
Здесь возможны три случая:
= £ieo; w >
Все три случая показаны на рис. 24.
(1.102)
45
Рассмотрим более подробно случай, когда начальная дефор-
мация отсутствует, т. е. 80 = 0. Уравнение (1.101) принимает вид
а (0 == Eovot + тци0 \ 1 — е 111
(1.103)
Напомним, что рассматривается модель типа Ь, которая состоит
из параллельно соединенных пружины и модели Максвелла.
Первый член в правой части уравнения (1.103) — это напряжение
в пружине, модуль упругости которой равен Ео (деформация мо-
Рис. 25. Трехэлементная модель класса С. Зависимость
напряжения от времени для двух скоростей деформа-
ции и последующая релаксация:
dt
2~~dT = v^
дели-за время /< равна а второй член — это напряжение
в модели Максвелла. Если в момент деформация останавли-
вается, то начинается релаксация напряжения при постоянной
деформации 8г = vot1. Релаксация проходит только за счет мо-
дели Максвелла, а напряжение в изолированной пружине остается
постоянным. Следовательно, релаксация определяется уравне-
нием
а (0 =-£>0^ + ТЦЦ)
е 111
(1.104)
Как видно из уравнения, время релаксации ту = т^/Е1! не
зависит от скорости деформации, а только от параметров и
определяющих модель Максвелла, входящую в трехэлементную
модель. На рис. 25 показаны графики зависимости напряжения
от времени для двух скоростей: деформации и последующей релак-
сации. Момент остановки деформации соответствует моменту до-
стижения заданного напряжения. Разность между начальным
и равновесным напряжением тем меньше, чем меньше скорость
деформации.
46
Постоянное напряжение. Пусть напряжение определяется
условием
( о, t < о
( а0, ^0
Так как дано напряжение, рассматриваем модель типа а. Урав-
нение (1.86) принимает теперь вид
d& , El £0 + Е± .. (
— Ч---е = —v—- а0, t > (
dt T]i
Решение этого уравнения
g (t) = Се~ ‘ + £°Ч£- «о
^0^1
Мгновенная деформация может быть создана только за счет
изолированной пружины Ео. Поэтому начальное условие опре-
деляет равенство деформаций начальной и пружины, т. е.
8(0) =
£1
£0
Отсюда определяем произвольную постоянную
Ер 4~ Ег
ЕрЕ.
Go =
Следовательно, деформация равна
Ер
(1.Ю5)
Первый член в правой части — это мгновенная деформация изо-
лированной пружины, а второй член определяет замедленную
деформацию модели Кельвина. В пределе, при t —> оо, получаем
£о.
Ер
Ei
е(оо) =
Таким образом, равновесная деформация равна сумме деформаций
последовательно соединенных пружин с модулями £0 и
Рассмотрим теперь восстановление деформации после снятия
напряжения. Напряжение в данном случае определяется усло-
вием
0,
°0»
О,
t < о
0 =5 t < tt
47
При t<Zt1 деформация описывается уравнением (1.105),
поэтому нужно получить решение только для значений времени
t > t±. После снятия напряжения в момент / = tr мгновенная
деформация о0/Е0 исчезает, следовательно, имеем условие
e(Z1 + O) = -g-
(1.106)
Уравнение (1.86) принимает теперь вид
Рис. 26. Трехэлементная модель клас-
са С. Зависимость деформации от вре-
мени при постоянном напряжении.
d& Ei n
— 3-----8 == 0
dt тц
Решение этого уравнения
— 111
Принимая во внимание началь-
ное условие (1.106), оконча-
тельно получаем
( \ t
Яо. 1 —е 111 1 е
(1.107)
деформация 8 (оо) = 0,
График зависи-
изменяется
следовательно, в пределе, при t —> оо,
т. е. деформация полностью восстанавливается,
мости деформации от времени дан на рис. 26.
Периодическая деформация. Пусть деформация
по закону
8 (/) = 80eiC0/
Так как задана деформация, удобнее рассматривать модель типа Ь.
Уравнение модели (1.85) принимает вид
d@ I л- /г? I Г \ /гч I ^0^1 „ Дй)/
+ (£o + £i)^ + —— V
ш щ l 4i J
Ищем решение этого уравнения в форме
а (/) = £* (гео) 80егС0*
(1.108
Мы рассматриваем, следовательно, установившийся режим, когда
переходные процессы, возникшие в момент начала движения,
уже затухли. Подставив значения о и do/dt в дифференциальное
уравнение, после сокращения на получаем
(«со + Е*№) = + «со (£о + £х)
X Hi / Ц1
48
отсюда
£* (Йо) = £х (со) + г£2 (co) = £°£-1-+±(f".+ 111(0 =
Et + ицсо
Следовательно
E0El + (£0 + £1) П1<02 + t-gim03
£2 + t]2co2
£0£2 + (£0 + £j c^co2 , £in2co2
₽2 - „2 2 h°+ p2 , 2 2
^IT 'll10 I 'll03
£•2 (®) =
£i»h<o
£2 + n2co2
(1.109)
(1.110)
(1-111)
Предельные значения функций модуля
£х(О)=£о; Е1(оо)=Е. + Е1} Е2 (0) = Е2 (оо) - 0
Модуль потерь Е2 (со) трехэлементной модели класса С не отли-
чается от модуля потерь модели Максвелла, так как пружина,
включенная параллельно, потерь не дает. Поэтому максимум
модуля потерь будет в той же самой точке со = £1/т)1 и значение
максимума
Из уравнения (1.111) получаем для динамической вязкости
. . Еъ (со)
л (®) = ’
£bh
£i + ni®2
(1-112)
Предельные значения динамической вязкости
Л (0) = Ль л(°°) = о
Динамическую вязкость можно выразить также через время
релаксации
При этом имеем
Л (со) =
(1.113)
На рис. 27 даны графики функций модуля ^(со), £2 (со)
и график динамической вязкости. Все три параметра модели £0,
и т] определяются соответствующими предельными значениями
и максимумом модуля потерь. Лишнее уравнение может быть ис-
пользовано для уточнения значений параметров.
4 И. И. Гольберг
49
Обратимся теперь к динамической податливости. Можно ис-
пользовать уравнение (1.109) для комплексного динамического
модуля, но более простые формулы для функций податливости
получим, если используем дифференциальное уравнение для мо-
дели типа а, так как нужно считать заданным напряжение
и (/) = (joezC0*
а решение дифференциального уравнения искать в форме
£ (/) = J* (tco)
Рис. 27. Трехэлементная модель класса С. Зависимости
комплексного динамического модуля упругости и ди-
> намической вязкости от частоты колебаний.
После подстановки в уравнение и сокращения на суое£О)/ получаем
у* (/со) = (со) — и2 (со) =
Ер + £i + ищ»
Eg (£i + йцсо)
следовательно
£0£i + £2 + щсо2 _ 1 £1
1(W)~ £о(£2 + П?<> ”^'Г£2 + лУ
J 2 (<*>) —
£2 -ф т]2со2
(1.114)
(1.115) '
(1.116)
Предельные значения функций податливости
Л (0) = -=—|- -р- ; J1 (°°) = -рг ; А (0) = А (°°) = О
50
Максимум функций J2 (со) будет в точке со = и значе-
ние максимума
2ЕЪ
Следует обратить внимание на то, что предельные значения не
содержат параметра модели гц. Значение коэффициента вязкости
можно определить по абсциссе максимума, но такое определение
менее точно, чем по предельной ординате, так как максимумы,
определяемые экспериментально, обычно размыты. Поэтому пред-
почтительно использовать экспериментально определенные функ-
ции модуля, а не экспериментально определенные функции по-
датливости, хотя формулы для тех и других функций примерно
одинаковой сложности.
Трехэлементная модель класса D
Постоянное напряжение. Пусть напряжение определяется
условием
(О, t < о
G(Z) = K ^0
Так как задано напряжение, будем рассматривать модель
типа а. Общая деформация модели равна сумме деформаций демп-
фера и простой модели Кель- „
вина. Поэтому можно написать ----------------
ео (1.П9) г' *
Рис. 28. Трехэлементная модель клас-
са D. Зависимость деформации от вре-
1 рафик зависимости дефор- мени при постоянном напряжении,
мации от времени дан на рис. 28.
Если в некоторый момент напряжение снимается, т. е. о = 0
при t то деформация демпфера, достигнутая в момент
остается постоянной, а деформация простой модели Кельвина
сокращается по простому экспоненциальному закону, следова-
тельно
— t
e(t) Се ,
flo
(1.120)
/1
Модель класса D не имеет мгновенной деформации, поэтому
в момент деформация должна быть непрерывной, хотя напря-
жение делает скачок.
4*
51
Сравнивая значения деформации, определенной по уравнениям
(1.118) с (1.120) в момент получаем
отсюда
и, подставив значение С в уравнение (1.120), получаем
/ Е* t \ ____ Е1 t
е(0 + '~Че ”* (1.121)
Чо ^1
График сокращения деформации после снятия напряжения
также дан на рис. 28.
Постоянная скорость деформации. Так как модель класса D
не имеет мгновенной деформации, режим мгновенно приложенной
постоянной деформации осуществить невозможно. Поэтому ос-
тается рассмотреть режим постоянной скорости деформации.
Пусть
de _ f 0, t < 0
dt ( vQ, t 0
В данном случае удобнее рассматривать модель типа Ь. Общее
напряжение равно сумме напряжений, приложенных к демпферу
и к простой модели Максвелла, следовательно
= Wo + Wo \1 — е
Следует обратить внимание на то, что в отличие от модели
класса С и простой модели Максвелла здесь в начальный момент
нельзя создать мгновенную деформацию. Поэтому рассмотренный
случай — это общий случай деформации с постоянной скоростью.
Если в некоторый момент деформация мгновенно останавли-
вается, т. е. dzldt = 0 при то напряжение на демпфере
мгновенно обращается в нуль, а на простой модели Максвелла
напряжение падает по экспоненциальному закону:
( —ti
^(O = WoVni —1
— —— t
e 111
(1.123)
График зависимости напряжения от времени дан на рис. 29.
Периодическая деформация. Пусть деформация изменяется
по закону:
8 (/) = 80еГС0*
Подстановка в уравнение (1.89) дает
G = [— 1lo?j2 + ‘w£i (1 + Т2-) 1 e»eiat
ат 41 L \ 41 / J
52
Ищем решение дифференциального уравнения в форме (1.108),
тогда
(,м + Е* (t<0> = - + 1ы£1 (1 +
\ Щ / \ 41 /
или
£. (,<>) _ Е, („> + Ъ («> - + _
7 £1 I н11®
Рис. 29. Трехэлементная модель класса D. Зависи-
мость напряжения от времени. Постоянная скорость
деформации в интервале времени 0 < t<Z t±9 при
t^> tr деформация остается постоянной.
(1.124)
Следовательно
1 (Ю) Е\ + Л2<о2
Е2 (со) —
£1 Оо +111) “ + ’lo'li0'3 04 й»
F2-! .^,2 T'°W Л2 4-nV
^1-ГЧ1С0 ^1 I 'll®
(1.125)
(1.126)
Предельные значения функций модуля
EHOJ-O; EHooJ^Ei; Е2(0) = 0; Е2(<х>) = сю
Динамическая вязкость определяется уравнением
£1*11
n (w) = Т)о + -Z7T-—ГТ
, Е\ + т]Х
(1.127)
или, выраженная через время релаксации
П (®) = По +
1 -f- TjCD2
(1.128)
53
Предельные значения динамической вязкости
И (0) = По + Пь П («>) = По
На рис. 30 даны графики функций модуля Ev (со), £2 (со) и дина-
мической вязкости 1] (со).
Найдем теперь формулы для функций податливости. Это можно
сделать различными способами, например с помощью зависимости
между комплексными динамическими модулем и податливостью.
Рис. 30. Трехэлементная модель класса D. Зави-
симости комплексного динамического модуля упру-
гости и динамической вязкости от частоты коле-
баний.
Однако формулы будут проще, если использовать модель типа а,
т. е. обратиться к уравнению (1.88). После подстановки в урав-
нения
о (/) = o/G)Z и 8(0 = </* (йо) иоегСО/
и сокращения получаем
J* (fco) = Jt (со) — iJ2 (оз) =
El + i (По + Hi) <0
—Но® (И1°з2 — i£i)
HjH (£1 + П?«2)
Л (оз) =
Ei
Е\ + т]2оз2
отсюда
7 / ч 1 I П103
J2 (оз) ---------9----9 9
Нооз ^4-^со2
(1.129)
(1.130)
(1.131)
54
Функции податливости было бы естественно выразить через
податливости элементов модели, а не через модули упругости.
Здесь это не сделано, так как модули чаще применяются на прак-
тике и к ним больше привыкли.
Предельные значения функций
податливости
Л (0) = -у; J1 (оо) = 0;
J2 (0) = оо; J2 (оо) = 0
На рис. 31 даны графики зави-
симости функций податливости от
частоты со. По предельным значе-
ниям функций податливости опре-
деляется только один параметр
модели Е19 тогда как по предель-
ным значениям функций модуля
и динамической вязкости опреде-
ляются все три параметра модели.
Рис. 31. Трехэлементная модель
класса D. Зависимость комплексной
динамической податливости от ча-
стоты колебаний.
4. ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ МОДЕЛИ
Классификация четырехэлементных моделей
Четырехэлементные модели могут быть трех видов:
1) из двух пружин и двух демпферов,
2) из трех пружин и одного демпфера,
3) из одной пружины и трех демпферов.
Легко заметить, что при любом соединении элементов модели
второго и третьего видов приводятся к эквивалентным моделям,
уже рассмотренным выше. Поэтому далее будут ч рассмотрены
только четырехэлементные модели первого вида. Все модели
первого рода разбиваются на два класса: модели класса А имеют
мгновенную деформацию, модели класса В не имеют мгновенной
деформации. Различные типы моделей обоих классов показаны
па рис. 32. Все модели одного класса определяются дифферен-
циальными уравнениями, которые различаются только коэффи-
циентами, следовательно, все модели одного класса подобны.
Поэтому существуют всего две не подобные четырехэлементные
модели. Следует обратить внимание На то, что с увеличением
числа элементов, составляющих модель, число не подобных типов
моделей не увеличивается.
Деформационные свойства модели класса А легко установить,
рассмотрев модель типа а. За счет пружины £0 имеем мгновенную
деформацию; за счет демпфера тщ имеем остаточную деформацию;
за счет простой модели Кельвина имеем запаздывающую упругую
55
деформацию. Модель типа b состоит из двух параллельно соеди-
ненных простых моделей Максвелла, поэтому модель имеет два
разных времени релаксации.
Рис. 32. Схемы различных типов четырехэлементных моделей.
Уравнение модели типа b выводим, учитывая, что она состоит
из двух параллельно соединенных моделей Максвелла. Имеем
уравнения моделей Максвелла:
dOQ
dt
Ер п __ р
По 0 0 dt
(1.132)
det
dt
d&
dt
(1.133)
условие параллельного соединения
Складывая уравнения (1.132) и (1.133), получаем
do £0
dt Ио
. de
ст° + V CT1 “° Е°+7 ~si
56
Подставив значение с*!, из уравнения (1.134) получаем
ЛоЛг [ do Ег ds~
°0 ~ ^0Е1-^Е0 [л + Щ ° ( ° + dt .
отсюда
Дифференцируя по /, получаем
doo = Ч0Ч1 Г , Ei
dt i]nEx — iiifo L dt2 th
do
dt
- (Eo + Ex)
d-s '
dt2
Подставив значения су0 и dojdt в уравнение (1.132), имеем
ИЛИ
d2o
'di2
do
dt
~ (E. + £J
d2z £0
dt2 + 4o
Hq£i — Hi£q p
ЗД1 ° dt
./rip \ d2& i P P ( 1 i J
(^° + Ei) . ,2 + EqEi ( +
d&
dt
(1.135)
Подобным же образом легко вывести уравнение модели класса А
типа а. Это уравнение имеет вид
^£_| Гд < 1 1 \ I । £o£i
dt2 ’’’ L ° \ П<1 Hi 7 h ili J dt ' t]04x
d2e ( £0£х ds
0 dt2 г т]! dt
(1.136)
Условие эквивалентности моделей класса А типов а и Ь:
^loHi TioHi
Eq + Ех = £0
(1.137)
Штрихами обозначены постоянные модели типа Ь.
Модель класса В
соединенных моделей
типа состоит из двух последовательно
Кельвина, уравнения которых
d&0 | Eq
^0
По
Ег
—-- 81 = О
П1 П1
Условие последовательного соединения
dt
de±
dt
— О
По
(1.138)
Складываем уравнения (1.138) и (1.139)
ds
dt
Ei
---Sj =
Hi
Подставляем значение ex из уравнения (1.140)
f Ео , £x \ / 1 . 1 \ de E±
dt ifr
^0
Ио
О
(1.139)
(1.140)
\ По Hi / \ Ho
Дифференцируя no t, получаем
^o / 1 .
dt \ По
do d2e £x
dt dt2 Hi
Подставив значения в0 и dzjdt в уравнение (1.138), получаем
de
dt
Hi
de
dt
j + _ d-e
HoHi dt ' HoHi ~ dt2
Уравнение модели класса В типа b имеет вид
1 do , Ei _ d2e
’FT ’ ' HoHi.
de
dt
По + П1 .
dt
^0 I ^1
Но' Hi
b0Ll „
----— k
-П0П1
(1341)
о
П1
Условие эквивалентности моделей класса
L По
-о
По
По
1 _ Ио + Hi
По 1)4
HoHi
HoHi
HoHi T)oHi
0^1 g
HoHi
типов а и Ь:
Л + -4
По П1
* У Алфрея [2] в вывод уравнения (на стр. 570) вкралась ошибка.
58
Деформационные свойства модели класса В определяем на модели
типа а. Мгновенная и остаточная деформация отсутствуют; запаз-
дывающая деформация имеет два времени запаздывания.
Ниже перечислены свойства четырехэлементных моделей клас-
сов А и В.
Класс А Класс В
Мгновенная деформация . ......... Есть Нет
Остаточная деформация............ Есть Нет
Запаздывающая деформация......... Есть Два времени
запазды-
вания
Релаксация .......................Два времени Нет
релаксации
Четырехэлементная модель класса А
Постоянная деформация. При условии
8 = 80 t О
уравнение (1.135) принимает вид
d2n / Ео . Ei \ do E0£i
+ ДТ + ~Т|Г/ r ЛоЛх
решение этого уравнения
_ t — El. t
о = Ae 910 + Be 111
Для определения двух произвольных постоянных Л и В необ-
ходимы два условия. Преимущество применения моделей заклю-
чается в том, что вместо определения произвольных постоянных
но начальным условиям используются ранее полученные решения
для основных элементов и простых моделей Максвелла и Кель-
вина. Модель типа b состоит из двух параллельно соединенных
простых моделей Максвелла, поэтому по уравнению (1.23) полу-
чаем
_ Е° t _ JA
а = Е080е 110 + Е^е 111
(1.144)
В этом случае имеем два времени релаксации:
П1
(1.145)
Характерные особенности релаксации хорошо заметны, если
времена релаксации т0 и тд значительно различаются, а начальные
напряжения Eq&q и Е^ одного порядка. В противном случае
трудно отличить по экспериментальным данным релаксацию
с двумя временами от релаксации с одним временем. Зависимость
напряжения от времени по уравнению (1.144) дана на рис. 33.
59
Постоянная скорость деформации. Воспользовавшись урав-
нением (1.25), непосредственно получаем
Во t t
а = (Е080 — Поуо) е 110 +(£18о — ПА)е + (По + П1) (1.146)
Здесь встречаются различные случаи, так же как для простой
модели Максвелла. Кроме того, возможно, что скорость будет
иметь такое значение, при котором выражение, заключенное в
скобки и стоящее перед одной из экспонент, обращается в нуль;
не нарушая общности, можно предположить, что это выражение
находится в первой скобке.
Уравнение (1.146) прини-
мает теперь вид
Рис. 33. Четырехэлементная модель класса А.
Зависимость напряжения от времени при
постоянной деформации.
Следовательно, имеем одно
время релаксации. Такое
время релаксации можно
назвать ложным, так как
в действительности модель
имеет два времени релак-
сации.
Рассмотренный пример показывает, что изучение релаксации
при постоянной скорости деформации требует проведения экспе-
риментов в достаточно широком интервале скорости.
Постоянное напряжение. Пусть
| 0, t < О
I а0, /^0
Так как задано напряжение, рассматриваем модель типа а. Общая
деформация равна сумме деформаций пружины £0, демпфера ц0
и простой модели Кельвина. Из уравнений (1.4), (1.8) и (1.68)
получаем
Л о-147)
£о Чо
Пусть в момент напряжение снято, т. е.
О0 = 0 при t ir
Мгновенная деформация исчезает, деформация демпфера остается
постоянной, деформация простой модели Кельвина убывает по
уравнению (1.69), следовательно
(Е \ Е
e^tl (1.148)
•w -i '
60
Предельное значение деформации
8 (ОО) = /
По
График зависимости деформации от времени при постоянном
напряжении дан на рис. 34.
Периодическая деформация. Для того чтобы получить урав-
нения для функций модуля и податливости четырехэлементной
модели, используем ранее полученные формулы. Рассмотрим
модель типа Ь. Общее напряжение в модели равно сумме напряже-
Рис. 34. Четырехэлементная модель класса А. Зави-
симость деформации от времени при постоянном
напряжении.
инII в параллельно соединенных моделях Максвелла. Поэтому
Ф пкция модуля равна сумме соответствующих функций:
£0т]осо2 £~гт]1<о2
1^2 । ^2 2 р2 । 2 2
(1.149)
9 9
^2(®) 2 | 2 2 + р2 I 2 2
+ По® ^1 + Hi®
(1.150)
Предельные значения функций модуля
£1(0) = 0; £1 (оо) = £0 + £х; £2(0) = 0; Е2(сю)=:0 (1.151)
Динамическая вязкость определяется уравнением
, ч _ ^оПо
П (®) - 2 , 2 2 + е2 , 2 2
22о ч По® ^-1 141е0
(1.152)
11редельные значения динамической вязкости
И (0) = По + Пь
ц (сю) = 0
(о) =
I ’ассмотрим теперь модель типа а. Общая деформация модели
р ПИ1.1 сумме трех деформаций: модели Кельвина, изолированных
61
пружины и демпфера. Поэтому функция податливости равна сумме
соответствующих податливостей:
Рис. 35. Четырехэле^ентная модель класса А.
Зависимости комплексного динамического
модуля упругости и динамической вязкости
от частоты колебаний.
Рис. 36. Четырехэлементная мо-
дель класса А. Зависимость ком-
плексной динамической податли-
вости от частоты колебаний.
Предельные значения функций податливости
А (®) = 4-+ 4-; Л(°о) = 4-; /2(0)=оо; у2(оо) = 0 (1.155)
На рис. 35 и 36 даны графики функций модуля, динамической
вязкости и функций податливости.
Из приведенных выше формул для функций модуля, податли-
вости и динамической вязкости можно получить формулы для
соответствующих функций трехэлементных моделей. Положив
Ео = оо, получаем формулы для трехэлементной модели класса D.
Положив т]0 = оо, получаем формулы для трехэлементной модели
класса С. Это может служить проверкой правильности получен-
ных формул.
Четырехэлементная модель класса В
Постоянное напряжение. Рассматриваем модель типа а, так
как задано напряжение. Общая деформация равна сумме дефор-
маций простых моделей Кельвина, поэтому по уравнению (1.68)
Оо
(1.156)
62
Предельное значение деформации
, ч ( 1 । 1 \
8 (сю) = а0 —j
(1.157)
Как видно из уравнения (1.156), четырехэлементная модель
класса В имеет два времени запаздывания:
т _ По . _ _ Hi
Т°-£7’ Т1~£Г
Таким образом, нет качественного различия в зависимости дефор-
мации от времени для рассматриваемой модели и простой модели
I'nr. 37. Четырехэлемент-
ii.i'i модель класса В. За-
И1И пмость напряжения
<»| времени. Постоянная
«юфость деформации
интервале времени
о / при
вформацйя остается по-
стоянной.
Кельвина. Сокращение деформации после снятия напряжения по
уравнению (1.69) будет равно
( ti \ Е° t ( Ei t \ E1 t
V, 1 — 1/ e 110 —1/e (1.158)
Пос тоя иная скорость деформации. Рассматриваем модель типа ft.
Общее напряжение равно сумме напряжений на пружине £0,
юмпфере т)о и простой модели Максвелла. По уравнениям (1.4),
(I 7) и (1.28)
(
су = Eovot + т]0е0 + тцц) \ 1 — е 111
(1.159)
11 усть в момент скорость деформации обращается в нуль, а дефор-
мация остается постоянной. Напряжение на демпфере мгновенно
п« «юзает, напряжение на пружине остается постоянным, напря-
। гиие на простой модели Максвелла убывает по уравнению (1.25),
« к‘ ювательно
— ц
—— t
е
G = E0V0tr + ТЦи0
Эта зависимость показана на рис. 37. Читатель, желающий
«•< поиться с механическими моделями, может рассмотреть поведе-
ние' при данных условиях эквивалентной модели типа а.
63
Периодическая деформация. Рассмотрим модель типа Ь. Об-
щее напряжение в модели равно сумме трех напряжений: модели
Максвелла, изолированных пружины и демпфера. Следовательно,
функция модуля равна сумме соответствующих функций
Рис. 38. Четырехэлементная модель клас-
са В. Зависимости комплексного динами-
ческого модуля упругости и динамической
вязкости от частоты колебаний.
Ег (®) = Ео +
Ejiljco2
г?2 | „2 2
£2 (®) — Цо® Ч~
е\ + Г]?со2
(1.161)
(1.162)
Предельные значения
функций модуля
Ei (0) = £0;
£1 (оо) = Е0 + £1;
£2 (0) = 0; Е2 (оо) = оо
Динамическая вязкость
определяется уравнением
ц (®) = Цо +
El + Ц?®2
(1.163)
Предельные значения динамической вязкости:
Ц (0) = Цо + ЦГ, Ц (оо) = ц0
Рассмотрим теперь модель типа а. Общая деформация модели
равна сумме деформаций двух моделей Кельвина, следовательно,
для функций податливости
получаем
Л (®) =
Е2о + ц2о?
'2 । 2_2
Г _____ Цо®
</2 (®) — 2 2“?
£2 + г]2<о2
I Ц1®
* г?2 1 2 2
Е1 + цфоЛ
Предельные значения
функций податливости
(1.165)
Рис. 39. Четырехэлементная модель класса В.
Зависимость комплексной динамической по-
датливости от частоты колебаний.
Л (0) =
Ео
Л (°о) = 0; А (0) = 0;
На рис. 38 и 39 даны графики функций модуля, податливости
и динамической вязкости
Как и для предыдущей модели, из приведенных выше формул
можно получить формулы для трехэлементных моделей. Положив
64
Но = 0, получаем формулы для трехэлементной модели класса С.
Положив £0 = 0, получаем формулы для трехэлементной модели
класса D.
Заряженные модели
Вязкоупругие модели в отличие от чисто упругих систем спо-
собны накапливать энергию даже при нулевой деформации.
Таким образом, вязкоупругую модель можно как бы «зарядить»
>пергией. Насколько известно автору, «заряженная» модель
использована впервые в работе [10] в связи с определением ма-
ксимума напряжения при деформации с постоянной скоростью.
>атем подобные модели применялись в работе [11] и др.
Рассмотрим, например, четырехэлементную модель, состоя-
щую из двух параллельно соединенных моделей Максвелла
(рис. 32). Обозначим время релаксации в первой ветви тх, а во
второй ветви т2, и пусть > т2. Быстро задаем деформацию
растяжения и выдерживаем эту деформацию до тех пор, пока на-
пряжение во второй ветви не упадет до такой величины, которую
практически можно считать равной нулю. Так как время релак-
сации в первой ветви больше, чем во второй, в первой ветви
остается еще некоторое напряжение. Повторяя циклы напряжения
и выдержки, можно накопить в первой ветви напряжение растя-
/кеипя, которое равно 2о0 (здесь рассматривается растяжение,
ио с равным успехом это может быть сжатие или сдвиг). Освободим
|сиерь модель от вынужденной деформации. Растянутая пружина
1 । мгновенно сократится, вызывая при этом сжатие пружины £2.
< илы инерции не учитываются, поэтому сокращение пружины Е±
прекратится, когда Е2 сожмется до величины, при которой на
йен будет напряжение —<т0. В течение описанного процесса поршни
<н гак л ея неподвижными, так как деформация происходит мгно-
вении. Общее напряжение на модели равно нулю, но модель «за-
ря/кеиа» внутренним напряжением Qq. Этот момент принимается
। начало отсчета времени при последующей деформации с по-
• гояппой скоростью.
Процесс, подобный описанному выше, происходит, например,
при пластикации сырых резиновых смесей. Внутреннее напряже-
иш* может возникнуть также при заполнении узкого щелевого
и юра в ротационном вискозиметре. Поэтому не следует считать
в.щу манной предложенную «заряженную» модель.
При деформации с постоянной скоростью
d& d2& л
-dt=v°'
• н'довательпо, уравнение (1.135) принимает вид
(Рп / е2 X do Ej_E2 _ / 1 1 \
"77Т ~ - I *4---~ I "ТУ 7-------О = Е лЕ 2 I----------) f о
<//- \ 11! 1)а) dt ippa \ 1)1 1)2 /
1> II. II. Гольберг
(1.166)
65
Начальные условия:
о = 0; — а2 = а0 при t = 0 (1.167)
здесь 04 — напряжение в первой ветви; а2 — напряжение во
второй ветви.
Решение уравнения (1.166) при начальных условиях (1.167)
будет
о (0 = v0 [тц(1 — е ^1Z) + (1 — е *2*)]+ао(г klt—e kzt)
(1.168)
Рис. 40. Зависимость напря-
жения от времени для дефор-
мации с различными посто-
янными скоростями.
мится к нулю. Время
Er
ill ’
и
согласно принятому выше условию
^1 ^2-
При vQ — 0 из уравнения (1.168)
получаем уравнение для напряжения
при свободном «рассасывании» началь-
ного внутреннего напряжения 04
п(/) = сг0(е kit—е kzt)
(1.169)
Отсюда видно, что при деформации,
постоянно равной нулю, на модели
возникает положительное напряжение,
которое, пройдя через максимум, стре-
достижения максимума напряжения
при свободном рассасывании начального напряжения равно
где kj_
t* = -_____!___In
k2 — k± kr
(1.170)
Если деформация не удерживается постоянно равной нулю,
то за счет внутреннего напряжения деформация изменяется. Это
хорошо известное явление «усадки». Знак усадки зависит от знака
напряжения при свободном рассасывании.
Время достижения максимума при свободном рассасывании
напряжения не зависит от напряжения <т0, что характерно для
линейных систем. При малых временах релаксации (т. е. при боль-
ших значениях kT и &2) начальное напряжение а0 быстро расса-
сывается и, следовательно, не может влиять на величину общего
напряжения о при последующей деформации с постоянной ско-
ростью. Иное положение будет для систем с большими временами
релаксации, таких, например, как битум или резиновая смесь.
При v0 0 время достижения максимума общего напряжения
определяется формулой
1
^2---- ^1
|п 7 &2 <?0 Н2^0 \
\ К Gq + /
(1.171)
66
Когда скорость деформации достигает величины v0 = Оо/Л1>
время /* = сю, следовательно, напряжение о будет иметь ма-
ксимум при и не будет иметь максимума при v0<a0Ah-
I рафики зависимости напряжения от времени при различных
скоростях деформации даны на рис. 40. Эти кривые качественно
удовлетворительно совпадают с кривыми, полученными эксперимен-
гально. Таким образом, заряженные модели позволяют описать
।н‘которые явления, которые невозможно описать простыми мо-
делями.
Глава 2
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ
1. СКАЛЯРНАЯ ФОРМА
Основой линейной теории, описывающей механическое пове-
дение полимерных материалов (линейная теория вязкоупругости),
служит принцип наложения (суперпозиции), высказанный впервые
Больцманом [12]. Известны различные формулировки физического
принципа наложения; так, например, можно принять следую-
щий вид: если в теле существует система напряжений, то общая
деформация тела равна сумме деформаций, вызываемых каждым
напряжением отдельно. Подобным же образом формулируется
принцип наложения, когда задана система деформаций или более
общая система, состоящая из напряжений и деформаций.
Принцип наложения — это физическая интерпретация основ-
ного свойства линейных операторов. Если L (у) — линейный опе-
ратор, то
Т {С1У1 + с2г/2) = Од) + c2L (у2) .
здесь сг и с2 — произвольные постоянные.
Отсюда получается основное условие, которому удовлетворяют
линейные уравнения (дифференциальные, интегральные и др.),
сумма частных решений уравнения есть также решение уравнения.
Дадим теперь математическое выражение принципа наложения.
Ввиду большой важности этого принципа приведем различные
выводы основных уравнений.
На основе принципа наложения общую деформацию полимер-
ного материала можно считать суммой трех деформаций: мгновен-
ной упругой деформации, запаздывающей упругой деформации
и необратимой деформации (вязкого течения).
В дальнейшем принято, что мгновенная деформация подчи-
няется закону Гука:
81 — аоа
где а0 — мгновенная податливость, равная мгновенной дефор-
мации, вызванной приложением единичного напряжения.
Так как деформация величина безразмерная, то мгновенная
податливость имеет размерность, обратную размерности напряже-
ния.
68
Необратимая деформация 82 есть вязкое течение, подчиняю-
iihcch закону Ньютона:
d&2 ~
^-dt=G
। к 1|0 — коэффициент вязкости.
В случае постоянного напряжения, приложенного в момент t =
0, из предыдущего уравнения получаем
е2 (0 = ^0
11усть напряжение о в некоторый момент т получает достаточно
t.i'ioe приращение До (т). Мгновенная деформация получит при
пом приращение
Aer — Да (т) а0
Необратимая деформация в момент t > т имеет приращение,
||н»порцпопальное времени, прошедшему после приложения на-
пряжения, т. е.
Де2 (/) = До (т)
Чо
<лпаздывающую упругую деформацию считаем пропорцио-
п.। ii.iioii приложенному напряжению До (т) и некоторой неотрица-
н н.поп монотонно возрастающей ограниченной функции, за-
1к мщеп от времени, прошедшего после приложения напряжения
Де3 (/) = Да (/) <ф (I — т)
I нишю ф (/) будем называть в дальнейшем функцией ползуче-
||| ( лечует обратить внимание на то, что функция ползучести
пирс щляет обратимую деформацию. Это не совпадает с применяе-
mi.im иногда термином ползучесть (крип) для необратимой дефор-
|||ин. Гак как мы рассматриваем начальное недеформированное
♦ »»< поник', то функция ползучести должна удовлетворять условию
Ф(0) = 0 (2.1)
приращение деформации, вызванное приложением на-
|рн к( пня Да (т), равно, таким образом, сумме трех деформаций
Де (/) = Да (т)
(2.2)
1I у< гь Д г будет приращение времени, в течение которого было
ipn к» i <‘iio напряжение Да (т). Уравнение (2.2) можно теперь пере-
'111'1111. в виде
Де [ “° + т)
w I Is J
Дт
(2.3)
69
► Если к телу в разные моменты времени ту- приложены на-
пряжения Аа(ту), то согласно принципу наложения общая де-
формация равна сумме деформаций вида (2.3)
п А / \
VI Ас (т •) г /_т 1
8 = 2j W г°+"v+*(t ~ T)JЛт/ (2-4)
/=1
Если о (т) непрерывно изменяется в интервале —сю < т / и
все Ату стремятся к нулю, то сумма (2.4) переходит в интеграл
(2.5)
Подобным же образом выводится основное уравнение принципа
суперпозиции для заданной деформации. Общее напряжение счи-
таем равным сумме двух напряжений: равновесного напряжения
и напряжения, изменяющегося во времени (релаксирующего).
' Для равновесного напряжения по закону Гука имеем
где Еоо — равновесный модуль упругости.
Если в некоторый момент т деформация получила достаточно
малое приращение Ае (т), то равновесное напряжение получит
приращение
А0Г1 = £оо As (т)
Релаксирующее напряжение считаем пропорциональным при-
ращению Ае (т) и некоторой положительной монотонно убываю-
щей функции, зависящей от времени, прошедшего после прило-
жения деформации:
До2 (/) = Де (т) ф (t — т)
- Функцию ф (/) будем называть функцией релаксации. Релак-
сирующая часть напряжения должна исчезать с течением времени,
как это видно на механических моделях предыдущей главы,
поэтому функция релаксации должна удовлетворять условию
Ф (оо) = 0 (2.6)
Полное приращение напряжения равно сумме двух напряже-
ний, постоянного и релаксирующего
До (t) = Де (т) [£то + ф (/ — т)]
Если к телу в разные моменты времени т7- приложены дефор-
мации Ае (т;), то общее напряжение равно сумме частных напря-
жений, как это следует из принципа наложения:
ЕДе (т,) г. _
-W- а - т)]
/=1
70
I
При непрерывном изменении е (т) и при стремлении всех Ат;-
пулю предыдущая сумма переходит в интеграл
а (0 =
ds (т)
^оо + W — т) Л
(2.7)
—со
Уравнения (2.5) и (2.7) представляют математическую форму-
шровку принципа наложения.
Чадим еще один вывод основных уравнений принципа супер-
но IIHIIIH. Пусть в некоторый момент времени т в теле создана
к формация 8 (т), которая остается постоянной в течение достаточно
। loro промежутка времени Дт, а затем снимается. Как показано
л предыдущей главе, при мгновенном снятии деформации в теле
и<> шикает напряжение, противоположное по знаку первоначально
приложенному напряжению, вызвавшему рассматриваемую де-
формацию. Это напряжение с течением времени убывает.
Вудем считать напряжение в некоторый момент t (t т) про-
порциональным приложенной деформации 8 (т), времени прило-
। oiiiiii деформации Ат, некоторой положительной монотонно убы-
। нощей функции ф (/—т), зависящей от времени, прошедшего
ши л(‘ снятия деформации, т. е. от разности времен t—т (эта функ-
। называется обычно «функцией памяти» . Напряжение в мо-
м«чп / будет тогда равно
сг(О =
е (т) ф (У — т) Ат
I ели в различные времена ту создаются различные деформации
। (I а, го па основании принципа суперпозиции общее напряжение
р.iiiiKi ( умме частных напряжений, следовательно
а (У) = — 8 (ту) ф (У — ту) Ату
I ели созданная деформация непрерывно изменяется, начиная
п< которого момента времени, принимаемого за начало отсчета
। |н лени, то сумма переходит в интеграл
0 (У) — J Е (т) ф (У — т) Jt
о
Пусть, кроме того, в момент t создается еще мгновенная дефор-
мация, которая подчиняется 'закону Гука. Общее напряжение
• ш।(оделяется теперь уравнением
ст (У) = еое (У) — J 8 (т) ф (У —- т) dx
о
ho / „ мгновенный модуль упругости, равный 1/сх0.
(2.8)
Подобным же образом получается уравнение для деформации
при заданном напряжении. В некоторый момент т к телу прило-
жено напряжение о (т), которое остается в течение достаточно
малого промежутка времени Ат, а затем снимается. После снятия
напряжения в теле остается деформация, которая по принципу
суперпозиции равна сумме необратимой деформации и запазды-
вающей упругой деформации. Эта последняя деформация убывает
с течением времени. Будем считать, что запаздывающая упругая
деформация в момент t пропорциональна приложенному напря-
жению а (т), времени приложения напряжения Дт, некоторой
положительной монотонно убывающей функции ф (/—т), завися-
щей от времени, прошедшего после снятия напряжения, т. е. от
разности t—т. Необратимую деформацию считаем подчиняющейся
закону вязкого течения, установленному Ньютоном, т. е. необра-
тимая деформация пропорциональна приложенному напряжению
ст (т), времени приложения напряжения Ат и обратно пропорцио-
нальна коэффициенту вязкости т]0. Теперь деформация в момент t
будет равна
8 (t) — а (т) Дт + а (т) ф (t — т) Дт
По
Если в различные времена т7- приложены различные напряже-
ния o' (ту), то на основании принципа суперпозиции общая дефор-
мация равна сумме частных деформаций
/
Если приложенное напряжение изменяется непрерывно от
момента начала отсчета времени, то сумма переходит в интеграл
t
8(0 = j П(Т)
о
-~ + ф(/ — т)
40
dx
Если в момент t в теле возникает также мгновенная деформа-
ция, которую считаем подчиняющейся закону Гука, то общая
деформация будет равна
t
е (0 — аоа (0 + а (т)
о
-По
dx
(2-9)
где а0 — мгновенная податливость.
Нужно обратить внимание на то, что при выводе уравнения
(2.8) весьма важно существование мгновенной деформации. Если
деформируемая система не допускает мгновенной деформации,
нельзя также снять деформацию мгновенно.
72
Покажем теперь, что уравнения (2.5) и (2.7) можно привести
। виду уравнений (2.8) и (2.9). В уравнениях (2.5) и (2.7) нижний
пробел интегрирования можно принять равным нулю. Это до-
и ггимо потому, что начало деформирования или приложение на-
нряжеиия происходит в какое-то конечное время, которое можно
принять за начало отсчета времени. При этом нужно считать, что
к» начала отсчета система была недеформированной. Таким обра-
ти получаем начальное условие
8 (—0) = 0; а(—0)=0
(2.10)
|'|<‘Г1> —0 означает предельное значение слева. Интегрируя по
ч.к гам в правой части уравнения (2.4), получаем
t t
м / ч Г . * “т . /7 ч 1 . Г / х Г 1 . dty (t — т)1 ,
»«,(/)= а(т) а0 + —-------И1Ф — т) + а(т) — + л/Г"' тГ dx
L чо J J L ’Io a x1 J
oy 0
< >k юда,
приняв во внимание условия (2.1) и (2.10), имеем
t
8 (/) == <zoa(/) + а (т)
о
1 dty (J — т) ”
Ло + d(t — т) _
dr
< равпнвая полученное уравнение с уравнением (2.9), замечаем,
•ни нужно положить
dty (t)
dt
= <Р(0
I iKим образом уравнение (2.5) приведено к виду уравнения (2.9).
( Обратимся теперь к уравнению (2.7). Интегрируя в правой
ч.п и по частям, получаем
+W-T)] + f 8 (т) =
о о
<>(/) = |е(т)[
t
= [£« + Ф (°)] е (0 + J 8 (т) dr
о
р нпкчше с уравнением (2.7) показывает, что нужно
принять
(2.11)
Iii.ik минус нужно взять потому, что функция релаксации ф (/)
монотонно убывающая и, следовательно, производная ф' (/) будет
орппдтельной функцией. Таким образом уравнение (2.7) тоже
ipiinoдепо к виду уравнения (2.8).
73
Рассмотрим для примера некоторые частные случаи. Пусть
<Р (0 = ^-ехр (—Ех;/т]1); -^-=£0; ао=/=0
'11 Чо
Имеем, следовательно, мгновенную деформацию и запаздываю-
щую деформацию с одним временем запаздывания. Вязкое тече-
ние отсутствует. Поэтому мы должны получить уравнение трех-
элементной модели класса С. Так как общая деформация равна
сумме мгновенной деформации с податливостью и запаздываю-
щей деформации, модель должна быть типа а. Уравнение (2.9)
после подстановки принятых значений принимает вид
t
8 (t) = tz0o(Z) -]-[ о (r) e~E1 du
Дифференцирование no t дает
T- = “« T - A p W El dr+±-O(t)
ai ai - j
Исключив из двух полученных уравнений интеграл и воспользо-
вавшись равенством Ео — 1/а0, получаем
। + -__ >7 de Е0Е±
—---------- q — д------g
dt тц 0 dt тц
как и требовалось, уравнение модели класса С типа а.
Рассмотрим еще один пример. Положим
Ф (0 = (^о/ло) ехР (— Ео(1^о)
В данном случае имеем мгновенное напряжение в начальный мо-
мент и релаксацию до нуля с одним временем релаксации т —
= т]q/Eq. Следовательно, мы должны получить уравнение простой
модели Максвелла. Уравнение (2.8) после подстановки принятого
значения функции ф (/) имеет вид
Е2 г
о (t) = Еое (t)--- 8 (т) е~Е° (z~ T>/'r)0
П° J
Дифференцируя по /, получаем
doit's „ de(t) о с ft_т^/и . о
Л- 7- = Ео 8 (т) е (*-г)Л1о du — —8(Zj
c/Z dt qJ Ло
Исключив из двух последних уравнений интеграл, имеем
do
dt
Ео
По
g = E0
de
At
Это, как и следовало ожидать, уравнение простой модели Макс-
велла.
Приведенные выводы основных уравнений принципа наложе-
ния основаны на предположении, что существует мгновенная упру-
гая деформация. Уже упоминалось, что мгновенная деформация
это абстракция. В реальных телах деформация и напряжение
распространяются с конечной скоростью, равной скорости рас-
пространения звука в данном материале. Когда скорость прило-
жения деформации или напряжения становится соизмеримой со
скоростью распространения, уже нельзя говорить о мгновенной де-
формации, а следует считать эту деформацию запаздывающей.
Строго говоря, мгновенное приложение напряжения или дефор-
мации не может быть реально осуществлено, так как всякое при-
ложение напряжения'или деформации требует какого-то времени.
Представляет все же интерес рассмотреть случай, когда отсут-
ствует мгновенная деформация. Мгновенное приложение напряже-
ния любой конечной величины не вызывает теперь никакой дефор-
мации в начальный момент. Следовательно, вынужденной мгновен-
ной деформации на конечную величину соответствует в начальный
момент бесконечно большое значение напряжения. Таким обра-
зом, в рассматриваемом случае, когда в уравнении (2.5) прини-
мается, что а0 = 0, уравнение (2.7) надо дополнить так, чтобы
при мгновенно создаваемой деформации напряжение в началь-
ный момент обращалось в бесконечность. Это можно сделать с
помощью дельта-функции. Уравнение (2.7) принимает при этом
вид
ог(/) =
— со
[£оо + V (* — т) + W — t)] dx
(2-12)
Коэффициент т]0 определяется следующими условиями:
Чо = 0,
Чо О»
если а0 =f= О
если а0 = О
(2.13)
Кроме того, можно положить т]0 — 0» если функция релаксации
удовлетворяет условию ф (0) = оо. Конечно, коэффициент т]0 не
следует рассматривать как обычный коэффициент, так как значе-
ние его остается неопределенным.
Основные уравнения принципа наложения можно записать
в несколько более компактном виде. Положим
t
По
+ W)
(2.14)
W) -£оо + Поб(О + W)
(2.15)
^(О-ао +
75
Назовем Т (I) — обобщенной функцией ползучести, V (/) —
обобщенной функцией релаксации. На рис. 41 и 42 даны графики
этих функций. Теперь уравнения (2.5) и (2.7) принимают вид
х ' J dr v ’
--00
(2.16)
Рис. 41. График обобщенной функ-
ции ползучести.
Рис. 42. График обобщенной функ-
ции релаксации.
Заменой переменной t—т = и предыдущие уравнения приво-
дятся к виду*
8 (0 = [ Ч (О dr (2.18)
CL L
о
T (/ — т) dr,
(2.19)
Дадим теперь математическую формулировку принципа нало-
жения для случая гармонических колебаний. В первой главе было
уже рассмотрено комплексное представление гармонических коле-
баний. При этом предполагалось, что частота со действительное
число. Предположим, что частота — комплексное число
(D = CDr Д- 1(02
Re cd = cor; Im со = co2
Пусть, например, деформация изменяется по закону
8 (/) = 80erc0/ — 80el <°i+tc°2) t __ gog
,-(02^/0!t (t)
* Переменная и после замены опять заменяется на т, чтобы не вводить но-
вого обозначения для переменной интегрирования.
76
Таким образом, колебания с комплексной частотой можно рас-
сматривать как гармонические колебания с переменной амплиту-
дой. Амплитуда В (/) будет монотонно убывающей функцией вре-
мени, если Imco >> 0, и монотонно возрастающей функцией вре-
мени, если Imco << 0.
Основные уравнения, устанавливающие зависимость между
напряжением, деформацией и временем, записываются теперь как
суперпозиция деформаций и напряжений. Для непрерывно из-
меняющихся напряжения и деформации можно написать
—i (о I
---00
— оо
&(t)e~ic'udt
(2.20)
Так как частота со имеет комплексное значение, написанные ин-
тегралы являются двусторонними преобразованиями Лапласа.
Введем обозначение
оо
A (Йо) = f &(t)e~iatdt (2.21)
— 00
Подстановка в уравнение (2.20) дает
оо
| о (/) dt — Е* А (но)
--00
Комплексная формула обращения для преобразования Лапласа
позволяет теперь написать
00-|~l 63g
о (t) = ~ J Е* (im)A (ia) eiat da (2.22)
—00-1632
Подобным же образом, введя обозначение
оо
A (Йо) = J о (Z) dt (2.23)
—со
и осуществив комплексное обращение преобразования Лапласа,
получаем
е(0 =
ОО—|—1632
— СО—Г632
(ico) A (ico)
do
(2.24)
Уравнения (2.21), (2.22), (2.23) и (2.24) — это математическая
формулировка принципа наложения для гармонически изменяю-
щихся напряжений и деформаций с монотонно изменяющимися
амплитудами. Таким образом, напряжение или деформация
могут быть любой функцией, представимой двусторонним преобра-
зованием Лапласа. Приведенная математическая форма принципа
наложения, видимо, впервые дана в работе [13].
77
2. ТЕНЗОРНАЯ ФОРМА
Везде в этой книге применяется скалярная форма уравнений.
Это сделано не только для упрощения записи уравнений, но и
потому, что переход к тензорной форме для изотропных материа-
лов можно сделать непосредственно (см., например, [14]). Тен-
зорная форма принципа суперпозиции приводится здесь для
того, чтобы читатель мог оценить трудности, с которыми прихо-
дится встречаться при решении задач, связанных со сложным на-
пряженным состоянием анизотропных материалов.
Обозначим компоненты тензора напряжения oZ/-, а компоненты
тензора деформации 8Z/-, индексы Z, / могут независимо принимать
значения 1, 2, 3. В самом общем линейном случае компоненты
одного тензора второго ранга могут быть выражены линейно через
компоненты другого тензора второго ранга. Напомним, что ран-
гом тензора называется число индексов при компонентах. В дан-
ном случае тензоры напряжения и деформации имеют по девять
компонентов. Следовательно, девять компонентов тензора напря-
жений линейно выражаются через девять компонентов тензора
деформаций. Это дает девять уравнений, которые содержат 81
коэффициент.
Запишем зависимости между компонентами тензоров напряже-
ния и деформации в форме уравнений принципа суперпозиции:
t
вц (*, *) = f ^Ukl (t — т) ад (х, т) di (2.25)
— производная по времени.
t
ьц(х, t)= J — т)ад(х, i)di
— со
(2.26)
здесь х следует понимать как сокращенное обозначение для трех
пространственных координат х2, х3; точка над компонентой
тензора обозначает дифференцирование по времени. Каждый из
четырех индексов может независимо принимать значения 1, 2, 3.
Как всегда в тензорном исчислении, по дважды повторяющимся
индексам производится суммирование. Так как в уравнении (2.25)
индексы k и I повторяются дважды и каждый индекс принимает
значения 1, 2, 3, правая часть этого уравнения есть сокращенная
форма записи суммы девяти членов. Индексы г, / также могут при-
нимать значения 1,2, 3, следовательно, уравнение (2.25) определяет
девять компонентов тензора напряжения. Таким образом, в самом
общем случае получаем тензорную функцию релаксации, которая
имеет 81 компонент и является тензором четвертого ранга. Подоб-
ным же образом имеем 81 компонент тензора четвертого ранга
для ползучести.
В рассматриваемом случае не может быть указанного числа
независимых компонентов, так как тензоры напряжения и дефор-
мации не являются самыми общими тензорами второго ранга.
Действительно, из условий равновесия элементарного объема
сплошной среды, как известно, следует условие симметрии для
тензоров напряжения и деформации:
° И — ° И* su‘ ~
поэтому тензоры напряжения и деформации имеют только по
шесть независимых компонент. Это снижает возможное число ком-
понент тензора релаксации до 36 вместо 81. Соответственно число
компонент тензора ползучести тоже будет равно 36. Для изотроп-
ного материала должны удовлетворяться дополнительные условия
симметрии, которые можно записать в виде
(0 = (/) + ц (0 (M/z + d/A-z)
где 8ij — символ Кронекера, определяемый условием
(о, i^=j
s<7= . .
(1, I = 1
Положив
= 2ц; т2 = 3% + 2ц
из уравнений (2.25) и (2.26) получаем уравнения принципа супер-
позиции для изотропного материала
t
0= j (/— т) ё//(х, т) dr (2.27)
—оо
t
<3ц(х, 0= J V2(Z—т) 8|7(Х, т) йт (2.28)
— оо
здесь (х, t) и etj (х, /) — компоненты девиаторов напряжения
и деформации, Vi (/) и 4*2 (/) — функции релаксации для сдвига
и объемной деформации.
Соответственно компоненты тензора деформации могут быть
представлены уравнениями:
t
ец (х, 0 = J (/ — т) sij (х, т) dx
— оо
t
&ii (х, t) = J Ч'2 (t — т) Оц (х, т) dt
-------------------00
(2.29)
(2.30)
где ЧГ1 (/) и 4% (/) — функции ползучести при сдвиге и объемной
деформации.
79
Таким образом, основные уравнения принципа суперпозиции,
данные ранее в скалярной форме, можно рассматривать как урав-
нения для компонентов тензоров напряжения и деформации незави-
симо от того, имеет ли место сдвиг или объемная деформация.
Читатель, желающий более подробно ознакомиться с уравне-
ниями для анизотропной среды в частных случаях симметрии,
может обратиться к работе [15], в которой рассмотрены попереч-
ная изотропия и кубическая симметрия.
Глава 3
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ
ВЯЗКОУПРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ
В гл. 1 рассмотрены зависимости между напряжением, дефор-
мацией и временем, определяемые обыкновенными дифференциаль-
ными уравнениями. Этими уравнениями удобно пользоваться
в тех случаях, когда соответствующая механическая модель имеет
не более четырех элементов. Если при таком числе элементов
совпадение между расчетными и экспериментальными значениями
оказывается неудовлетворительным, то нужно либо перейти к мо-
делям с большим числом элементов, либо обратиться к более общим
методам. Для большого числа элементов модели вычислительные
трудности становятся весьма значительными и переход от конеч-
ной или бесконечной суммы к интегралу облегчает вычисления.
В настоящей главе даны формулы, которые вытекают из общих
уравнений принципа наложения, приведенных в предыдущей
главе. Рассматриваются только зависимости между обобщенными
функциями ползучести и релаксации и комплексными динамиче-
скими податливостью и модулем.
Различными исследователями предложено много аналитиче-
ских выражений для основных функций, имеющих те или иные
преимущества. Вряд ли существует такая формула, которая спо-
собна описать механическое поведение любого полимерного мате-
риала. Не известна также такая основная функция, которая
позволила бы получить все другие функции путем операций над
буквенным выражением. На каком-то этапе неизбежно приходится
прибегать к численным методам.
1. ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
11усть к недеформированному телу в момент t — 0 приложено
постоянное напряжение о0, которое остается приложенным не-
ограниченное время. Имеем
(3.1)
। ц‘сь U (/) — единичная функция.
Дифференцируя предыдущее равенство и учитывая формулу
(6.49), получаем
da(/) х
~чг=°°е
О И. И. Гольберг
61
Подстановка значения производной в уравнение (2.16) дает
t
е (/) = (j0 | б (т) ¥ (t — т) dx
— со
Использовав основное свойство дельта-функции, определяе-
мое формулой (6.42), из предыдущего уравнения получаем
е (/) = (0 (3.2)
Таким образом, обобщенная функция ползучести ¥ (/), введен-
ная в предыдущей главе, может рассматриваться как выходная
функция, или ответ, когда входной функцией, или сигналом, слу-
жит единичная функция U (/).
Рассмотрим случай, когда приложенное постоянное напряже-
ние снимается в некоторый момент t = Приложенное напряже-
ние определяется уравнением
(3.3)
Дифференцирование этого уравнения дает
^1 = 0о{6(0-6(/-/1)}
После подстановки % уравнение (2.16), учитывая формулу
(6.42), получаем
t
8(/) = а0 J {6(T)-6(r-/1)}¥((/-T)dT = cy0{^(/)-Т(/-/!)}
— со
(3.4)
Здесь нужно учитывать, что обобщенную функцию ползуче-
сти следует записывать в виде ¥(/) U (/), так как эта функция
равна нулю для отрицательных значений аргумента. После снятия
напряжения замедленная упругая деформация убывает, асимпто-
тически стремясь к нулю. Поэтому остаточная деформация
8 (/) —> по — При t Н> ОО
'По
(3.5)
таким образом, остаточная деформация пропорциональна прило-
женному напряжению и времени приложения напряжения tr.
2. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Как неоднократно упоминалось в гл. 1, одним из основных
свойств линейной системы является то, что для гармонической
входной функции
а (/) = (3.6)
л
ответ будет тоже гармонической функцией с той же самой часто-
той, но с другой амплитудой и фазой. Отсюда для выходной функ-
ции можно написать
8(/) = J* (fco)
(3.7)
Для определения зависимости между комплексной динамиче-
ской податливостью J* (гео) и обобщенной функцией ползучести
4е (/) поступают обычно следующим образом. Подставив значение
производной
do (/)
dt
— noiG)ercof
в уравнении (2.17), получаем
t
& (t) = о0гсо J (/ — т) d-x
—co
Сделаем замену переменной t—т = и, а затем, чтобы не вво-
дить нового обозначения, обозначим опять переменную интегриро-
вания т, тогда
ОО
8 (/) = (70eI(0ffG) j
о
е dx
(3.9)
Сравнение с уравнением (3.7) дает
%.
ОО
J* (ко) = ко J (т) dx
о
(3.10)
Интеграл в правой части — это преобразование Фурье. Написан-
ная формула для комплексной динамической податливости имеет
смысл, если преобразование Фурье существует для обобщенной
функции податливости Y (/), т. е. интеграл сходится. Обобщенная
функция податливости, определяемая уравнением (2.14), является
суммой трех членов: постоянной, линейной функции времени t
и монотонно возрастающей ограниченной функции Т (/). Каждый
из этих трех членов не имеет преобразования Фурье, и, следова-
тельно, интеграл в формуле (3.10) расходится. Это обстоятельство
часто не учитывают, что приводит к значительным трудностям,
особенно когда функции заданы не аналитическими выражениями,
а численно.
Приведем подробный вывод формулы (3.10). Вместо гармони-
ческих колебаний вида (3.6) с чисто мнимой частотой, рассмотрим
колебания с комплексной частотой
а (/) = а0^’ (со-шл t = t
6*
83
Как указано в гл. 2, мы имеем дело с колебаниями, амплитуда
которых изменяется по времени. Подставив значение производной
— с»0 (<»i + zco) )
в уравнение (2.16), получаем
t
е (/) = о0 (од + /со) j е(й)1+/03) т Т (/ — т) du
— со
Сделаем опять замену переменной t—т — и, тогда
о
е (/) = — о0 (од + /со) J U—«)дг du __
со
= o0e(W1+Zo)) f (сох + /со) J e-(Cdl+f(0) (w) du
о
По аналогии с уравнением (3.7) введем обозначение
оо
J* (од + ио) = (од + 10)) J е—(0>1-Нсо) «дг
о
Здесь в отличие от формулы (3.10) вместо преобразования
Фурье имеем преобразование Лапласа, так как экспонента зависит
от комплексной переменной, а не от чисто мнимой переменной.
Интеграл Лапласа сходится на правой полуплоскости комплекс-
ной переменной, т. е. при со3 >> 0. Подставив в интеграл значение
обобщенной функции ползучести из уравнения (2.14), получаем
в правой части три интеграла
J*
(ОД + /со) — (од + 1(f))
со
ие
со
а° [ 11 du _L
> 0
оо
( гЬ (и) е~~ (c°i+r’0)) и du
о
Рассмотрим каждый интеграл отдельно. Для первого интеграла
имеем
со
(од Д- i(d) а0 | е~~ 11 du — (од + ^)
о
е~ (C01+ZC0) и
ОД + ZCD
оо
о
Следует обратить внимание на то, что при и = сю показатель-
ная функция обращается в нуль за счет отрицательного значения
84
действительной части показателя степени. Для второго интеграла
имеем
оо
(°1 + ГСО) — I
чо J
0
ие (COt+zCO) и __ ---
Чо
(tti+z'co) и
(0х + t CD
(COi + fw) и
----------—----------du
CD j 4- /0)
i
Чо
1 1 COi — КО
СОг + Чо (0| 4- (О2
Прежде чем рассмотреть третий интеграл, напомним свойства
функции ползучести ф (/). В начальный момент замедленная упру-
гая деформация равна нулю, следовательно
чр (0) = 0 (3.12)
Кроме того, потребуем, чтобы производная функции ползучести
dip (/)/dt обращалась в нуль на бесконечности. Это соответствует
обычно наблюдаемым свойствам замедленной упругой деформации
полимерных материалов, которая протекает всегда с убывающей
скоростью. Интегрируя по частям третий интеграл, получаем
со
(сох 4- ко) | Ф (и) е~ (C°i+£C°) и du = (сох 4- ко) ’
о
— (С0х4-/С0) и
— Ф (и) ------------1 —------
С0х +
оо
1 Г dip (и)
(ох 4~ J du
о
ОО
f dip (и)
J du
о
е~ («i+zo) и
е- (ffl.+to) и du
Таким образом, из уравнения (3.11) после интегрирования
имеем
00
J* (М1 + to) = а0 + 4- • -444- 4- ( е- “ du
Чо 0)7 4- йГ 4 аи
Перейдем к пределу при (ох —> О (переменную интегрирования
обозначим опять т)
J* (U<>) = lim J* (Wj + to) = a0 — + ***44' e dx
(0i->0 4ow J
(3.13)
Интеграл в формуле (3.13)— это преобразование Фурье для
производной функции ползучести. Смысл интегрирования по
частям, произведенного выше, заключается именно в том, чтобы
получить преобразование Фурье для функции, обращающейся
в ноль на бесконечности. Преобразование Фурье самой функции
ползучести ф (/), очевидно, не существует, так какше выполняется
85
необходимое условие существования — обращение преобразуе-
мой функции в ноль на бесконечности. Формула (3.13) ничем не
отличается от формулы (3.10). Приведенные выше утомительные
выкладки понадобились только для того, чтобы обосновать пере-
ход от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье. Этот
формализм не следует считать бесполезным. Подстановка значе-
ния обобщенной функции ползучести W (/) из уравнения (2.14)
Рис. 43. Векторная диа-
грамма комплексной дина-
мической податливости.
в уравнение (3.10) не дает возможности
непосредственно получить формулу (3.13),
так как каждый из приведенных выше
трех интегралов расходится и, следова-
тельно, не существует.
Введем обозначение
J (tco) — (со) — iJ2 (со) =
со
о
dty (т)
dx
е dx
(3.14)
Комплексную динамическую податли-
вость можно представить в виде
J* (fco) = а0 -J- Л (со) — i
(3.15)
~ 1
. Но®
-|- А (®)
На комплексной плоскости равенство (3.15) представляется век-
торной диаграммой рис. 43. В момент времени t = 0 направление
вектора J* (гео) совпадает, как это видно из уравнения (3.7), с на-
правлением вектора е (0). Вектор о (0) совпадает с положительным
направлением действительной оси. Так как оба вектора o' и е
вращаются с одинаковой угловой скоростью со, то угол между
этими векторами остается постоянным в любой момент времени.
При заданном значении частоты напряжение и деформация имеют
постоянную разность фаз. Представив комплексную деформацию
как сумму действительной и мнимой частей, находим часть дефор-
мации, совпадающей с напряжением, и часть деформации, перпен-
дикулярную вектору напряжения.
3. ПОСТОЯННАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Пусть к недеформированному телу в момент t = 0 приложена
постоянная деформация 80, которая остается приложенной не-
ограниченное время. Имеем
8(0 = ^(0 (3.16)
Дифференцируя предыдущее равенство, получаем
4г- - «)
86
Подстановка значения производной в уравнение (2.17) дает
t
a(t)==80 j д (т)^ (t — т) dx
—со
В силу основного свойства дельта-функции имеем
a(O = soT(O (3.17)
Таким образом, обобщенная функция релаксации Y (f) — это
выходная функция, или ответ, если входной функцией, или сигна-
лом, служит единичная функция (/ (/).
Если а0 =/= 0, напряжение в начальный момент будет
о (0) = е0 [Гте + ф (О/
таким образом, можно определить начальный модуль упругости
^=^+^(0) (3.18)
Функция релаксации удовлетворяет условию
гр (сю) = 0
(3.19)
поэтому значение напряжения при / = оо равно
а (оо) = (3.20)
следовательно, имеет место «предельный закон Гука». График за-
висимости (3.17) показан на рис. 42.
Рассмотрим случай, когда приложенная постоянная дефор-
мация снимается в момент t = /х. Имеем
8(/) = e0{t/(/)-t/(/~/1)} (3.21)
Дифференцируя, получаем
Ap- = eo{6(/)-6(/-^))
Подстановка в уравнение (2.17) и интегрирование дают
t
a(O = eof {6(T)-S(T-/1)}¥(Z-T)dT = 80{ (3.22)
-00
Не следует забывать, что обобщенная функция релаксации
пишется в упрощенной форме, фактически следут писать ¥ (/) U (/).
4. ПОСТОЯННАЯ СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ
Для большей общности будем считать, что в начальный момент,
при t — 0, создается мгновенная деформация е0, а затем дефор-
мация происходит с постоянной скоростью t/0. Имеем
е (/) = [е0 + ^7 (0 (3.23)
отсюда
U (0 + [е0 + ц/] 6 (0 (3.24)
Подстановка в уравнение (2.17) дает
t
о (/) = | {y0Z7 (т) + [80 + vot] 6 (т)} V (t — т) dx =
—со
t
= v0 J V (/—-т) Jr+ 80гТ (/) (3.25)
о
Сделав замену переменной интегрирования t—т = и, оконча-
тельно получаем
t
a (t) = 80¥ (/) + у0 j V («) du (3.26)
о
5. периодическая деформация
Пусть деформация изменяется по закону
е (/) = 80e^W1^ZC0^t
отсюда
= е0 (oh + /со) е<и*+!'°>*
Ct- V
Подстановка в уравнение (2.17) и замена переменной t—т = и
дают
t
а (/) = 80 (coiш)) I* е(Ю1+гс°) тяр (/ — т) с/т =
-—-00
о
= — 80 (й)х + М J (^—и) 1JT —
ОО
ОО
== 80e(O1"l“zcd) (q)x fco) J е~ и чг («) du
о
Введем обозначение
ОО
Е* (й)х + /со) = (сох + /со) j е~~ (^) du =
о
(3.27)
= («I + i’co)
p— ((Oj+itt) и
COX 4- /co
oo
0
+ J яр (и) e u du
о
(3.28)
Переход к пределу при сох —> 0 дает
ОО
Е* (tco) = Е& + /со | яр (т) e~t(i)X dx
О
(3.29)
С помощью математических операций, примененных при выводе
формул (3.13) и (3.29), можно получить из основных уравнений
принципа наложения путем подстановок о = voezt или е =
преобразование Лапласа для обобщенных ,функций ползучести
Т (/) и релаксации Чг(/). Затем предельным переходом комплекс-
ная переменная z заменяется чисто мнимой переменной /со, и пре-
образование Лапласа переходит в преобразование Фурье. Как
уже упоминалось выше, комплексная частота z соответствует коле-
баниям с переменной амплитудой croetoiZ. Эта амплитуда затухает
до нуля при t = —сю. Таким образом, предельный переход сох — > О
означает, что амплитуда колебаний обращается в нуль на бесконеч-
ности. Это условие физически вполне оправдано, так как колеба-
ния всегда возникают в какое-то конечное время.
6. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ КОМПЛЕКСНЫМ
ДИНАМИЧЕСКИМ МОДУЛЕМ УПРУГОСТИ
И ФУНКЦИЕЙ РЕЛАКСАЦИИ
Зависимость между обобщенной функцией релаксации ¥ (/) и
комплексным динамическим модулем упругости £* (/со) можно фор-
мально получить, если принять, что деформация изменяется по
гармоническому закону (частота со — число действительное)
8 (/) = 8oezcoZ
тогда
а (/) == £* (/со) 8 (/) = £* (/со) &Qei(dt
(3.30)
Подстановка в уравнение (2.17) дает
t ОО
£* (/со) 8oeI(oZ — 8о/со j егй)гЧг(/— т) dx = ъое1(^ /со J 4е (а) е~~1Ыи du
-ОО 0
Отсюда получаем уравнение, связывающее комплексный динами-
ческий модуль и обобщенную функцию релаксации
ОО
£* (/со) = /со j V (т) dx
о
(3.31)
Это уравнение соответствует уравнению (3.10) для комплексной
динамической податливости. Так как здесь со—действительное
число, то написанный интеграл является преобразованием Фурье.
Подставив значение обобщенной функции релаксации из урав-
нения (2.15), получаем расходящийся интеграл при модуле
Поэтому вместо формального равенства (3.31) лучше использовать
формулу (3.29), в которой сделан предельный переход от преобра-
89
зования Лапласа к преобразованию Фурье и постоянная вынесена
за знак интеграла.
С помощью формулы Эйлера
е ~ cos сот — i sin сот
формулу (3.29) перепишем в виде
оо оо
Е* — Е + со ф (т) sin сот dx + /со ф (т) cos сот dx
Рис. 44. Векторная диаграмма ком-
плексного динамического модуля упру-
гости.
Комплексный динамический
о
Обозначим:
оо
Е± (со) = о) J -ф (т) sin сот dx (3.32)
о
оо
Е2 (со) = со ф (т) cos сот dx (3.33)
о
Таким образом, Е± (со) — это
синус-преобразование Фурье
функции релаксации ф (/), а
Е 2 (со) — это косинус-преобра-
зование Фурье функции релак-
сации.
модуль упругости можно Напи-
сать в виде
Е* (*«) = ^оо + («) + iE2 («)
(3.34)
отсюда получаем, что
Re Е* (/со) — Е^ + Ег (со); Im £* (/со) = Е2 (со)
Эти обозначения несколько отличаются от ранее принятых
обозначений (см. гл. 1), где ReE* (/со) = Е± (со). Изменение обо-
значения сделано с целью выделить постоянную Ек, для которой
преобразование Фурье не существует. На рис. 44 дана векторная
диаграмма Е* (/со).
Из уравнений (3.32) и (3.33) можно получить некоторые сведе-
ния о поведении функций Ех (со) и Е2 (со). Во-первых, имеем Е1(0) =
= 0 и Е2 (0) = 0. Стремление к нулю при со —> 0 у функции раз-
личное; из приведенных преобразований Фурье следует, что
lim (3.35)
со->О ®
lim -£a H- = ' d, (Т) dt + 0 (3.36)
со-»0 03 J
о
Отсюда имеем, что функция Ех (со) стремится, к нулю быстрее,
чем линейная функция, а функция Е2 (со) — как линейная функ-
90
ция. Эти закономерности видны на графиках для действительной
и мнимой частей комплексного динамического модуля различных
механических моделей, приведенных в гл. 1. Например, на рис. 13
видно, что касательная к графику Е2 (со) в начале координат
наклонная, а касательная к графику Ег (со) в начале координат
горизонтальная.
Обращение преобразований Фурье (см. гл. 6) дает два уравне-
ния для функции релаксации:
Е1 (со)
со
sin со/ dco
(3.37)
Ф (/) =
оо
f Е2 (со) , ,
-• cos со/ асо
J со
О
(3.38)
Из полученных уравнений следует, что действительная и
мнимая части комплексного динамического модуля зависимы. Эту
зависимость можно получить, исключив из уравнений (3.37) и
(3.38) функцию релаксации ф (/).
Рассмотрим пример: для простой модели Максвелла имеем
Есо — 0, и функция релаксации
— ---- Е
ty(t) = Ee Ч =Ее-и, = ~
По уравнениям (3.32) и (3.33) получаем
сю
Е± (со) = ТТсо j е~^ sin со/ dt
о
сю
Е2 (cd) = £со j е~~^ cos со/ dt
о
Интегрирование по частям дает
сю
J е~^ sin со/ dt =
о
—А,/ со
-, о--—(—X sin со/ — со cos со/)
X2 + со2 4 о
со
X2 + со2
сю
J е~^ cos со/ dt =
о
—м
t/
№ + со2
(—X cos со/ -f- со sin со/)
X
X2 + со2
Подставив значение X, получаем
„ / \ Erf®2 . F2T]co
£1 (“) — £2 ^2^2 ; (®) — £2 _|_ Т|2О2
91
Если считать, что функции Ег (со)и£2 (со) заданы написанными
выше уравнениями, то по формулам (3.37) и (3.38) после подста-
новки значений соответствующих функций получаем выражение
для функции релаксации ф (/). Разумеется, эти формулы дают
одно и то же выражение для функции релаксации.
Некоторые авторы рекомендуют использовать формулы (3.37)
и (3.38) для проверки или уточнения значений функции релак-
сации. По экспериментально определенным значениям функций
Ег (со) и Е2 (со) вычисляются значения функции релаксации с по-
мощью приведенных формул преобразований Фурье. За счет оши-
бок эксперимента и вычислений получаются различные значения
функции релаксации. Среднее двух численных значений функции
релаксации дает более надежные результаты.
Эта рекомендация не учитывает важного обстоятельства.
Функция релаксации, определяемая формулой (3.38), — это чет-
ная функция, так как cos со/ четная функция, а функция релакса-
ции, определяемая формулой (3.37), — это нечетная функция, так
как sin со / нечетная функция. Функция релаксации, определяемая
как косинус-преобразование Фурье, имеет в начале координат
наибольшее значение. Функция релаксации, определенная как
синус-преобразование Фурье, в начале координат равна нулю,
так как при нечетном продолжении функция релаксации имеет
разрыв в начале координат и среднее значение в точке разрыва
равно нулю.
Таким образом, при малых значениях времени / синус-пре-
образование Фурье по формуле (3.37) дает плохое приближение
для функции релаксации. Для малых значений времени следует
пользоваться косинус-преобразованием Фурье (3.38).
*
7. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ КОМПЛЕКСНОЙ
ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОДАТЛИВОСТЬЮ
И ФУНКЦИЕЙ ПОЛЗУЧЕСТИ
Из уравнения (3.14) с помощью формулы Эйлера получаем
00
«71 (®) — ^"«72 (®) ~~
о
(cos сот — i sin сот) dx
Следовательно
dty (т)
dx
со
о
cos сот dx
со
о
sin сот dx
(3.39)
(3.40)
92
Обращение этих косинус- и синус-преобразований Фурье дает оо ' — — f А (со) cos сот dx (3.41) dt зт j 0
» ОО = — f J2 (со) sin сот dx (3.42) dt зт j 0
Написанное в предыдущем разделе относится также и к форму-
лам настоящего раздела.
8. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДИНАМИЧЕСКИМ МОДУЛЕМ
УПРУГОСТИ И ДИНАМИЧЕСКОЙ вязкостью
В гл. 1 был введен коэффициент динамической вязкости, опре-
деляемый формулой
, ч ^2 (со)
Зависимость между т] (со) и динамическим модулем упругости
£*2 (со) можно получить, если в уравнение (3.32) подставить зна-
чение функции релаксации из формулы (3.38). Тогда (переменная
интегрирования со заменена на а во избежание путаницы)
(со)
оо
sin сот dx J
о
Е2 (а)
а
cos ат da =
оо
sin сот dx J т] (а) cos ат da
о
Переменив порядок интегрирования (это возможно потому, что
внутренний интеграл по предположению должен сходиться, иначе
не существовало бы написанное равенство), можем написать
л оо оо
Ei (со) = —— I т] (a) da | sjn cos
J V J J
о 0
Воспользовавшись известной формулой тригонометрии
sin сот cos ат =
получаем
sin (со + а) т + sin (со — а) т}
со
оо
а) т} dx
(3.43)
93
Как уже упоминалось, интеграл вида
00
J sin (со + а) т dx
о
в обычном смысле не существует (не сходится), однако этот инте-
грал существует как предел Чезаро или Коши (см., например,
[16]). Пределом Коши называется предел интеграла
со
lim
£->+0
е-ет
sin (со -р cz) г dx = lim
е->4-0
X {8 sin (со 4- а) т + (со + a) cos (со + а) т)
со + а
Л 82 + (W + а)*
Подобным же образом получаем
О° 00 £
f sin (со — а) х dx = lim | е~ет sin (со — tz) х dx —--
J J ® а
о о
Из уравнения (3.43) имеем
оо
со Г , ч 1 Г 1 । 1
Е, (со) — — т] (сс) da ----j---р -—-----
о
или
co
2 f co2
E. (<*) = — - h («) da (3.44)
0
Для того чтобы найти формулу для ц (со), поступаем подобным
же образом. Из формулы (3.33) получаем
со
т] (со) = = j Я9 (т) cos 0)1 dx (3.45)
о
при со = 0. Отсюда имеем
оо
т] (0) = j гр (т) dx (3.46)
о
Подстановка значения функции релаксации из уравнения
(3.37) дает
со 00
. . 2 f л f Ei (а) .
и (со) = — cos сот dx --------— sin ах da =
л j J а
о о
оо оо
2 f £i(a) , f . ,
~ х л sm ест cos сот ах
л J a J
О
О
60 <50
f ^l(a)
daj {sin (co + а) т — sin (co — a) t} dr =
о
co
f Ei («)
J a
co — a
da = —
f „ , 4 da
£i (a) —ъ?
J co2 — a2
о
Следовательно
л J
0
a
я
0
oo
л И = —
Ju
0
da
a2 — co2
Интегралы в формулах (3.44) и (3.47) нужно понимать в смысле
главного значения.
Положив в формуле (3.47) со = 0, получаем еще одну формулу
для начального значения динамической вязкости
da
а2
(3.48)
9. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ ПОЛЗУЧЕСТИ
И РЕЛАКСАЦИИ
Зависимость между обобщенной функцией ползучести ¥ (/) и
обобщенной функцией релаксации ¥ (/) легко получить с помощью
основных уравнений принципа наложения (2.16) и (2.17).
Пусть задана деформация
е(/) = 80 и (t)
тогда напряжение определяется уравнением (3.17), которое запи-
шем в развернутом виде
a (/) = 80т (/) U (/)
Отсюда производная по времени
^(0 г ( (О
dt 01 dt
U (/) + ¥(0)д(/)
Подставив значения деформации и производной от напряжения
в уравнение (2.16), получаем
t __
(4\ f f (т)
8(/) =80Щ0 =80 j I-----
— со
[/(т) + 1Р(0)6(т)1Чг(/—T)dr =
Т (t — т) dx + Y (0) Т (t)
95
или
t _
J ¥ (^) dx + ¥ (0) ¥(/) = ! (3.49)
о
Уравнение (3.49) можно представить в более компактном виде
с помощью производной от интеграла по параметру t. Действитель-
но (см. [24], стр. 405), имеем
t t
W-T)44T)dT = J ^(^~Т) У(т)^т+¥(0)У(/)
о о
но интеграл в правой части можно подстановкой t—т = и пре-
образовать к виду
t _ t __ t
С ^¥(/-т) w/ . , CcW(t — т)1К/., f dW(u) ..
J V Y(T)riT = J =
0 0 0
Следовательно, уравнение (3.49) равносильно уравнению
t
J ¥ (t — т) ¥ (т) б/T = 1
(3.50)
Это уравнение симметрично относительно подынтегральных
функций ¥ и ¥, в чем легко убедиться с помощью той же самой
замены переменной t—т = и. Поэтому уравнение (3.50) записы-
вается также в виде
t
J ¥ (т) ¥ (t — т) dx = 1
о
(3.51)
Уравнения (3.50) и (3.51), очевидно, равносильны уравнениям
t t
J ¥(/ — т) ¥(т) dx = j ¥
о о
(т) ¥ (t —- т) dx = t
(3.52)
Полученные уравнения позволяют вычислить функцию релак-
сации Y (/), если задана функция ползучести ¥(/), и, наоборот,
вычислить функцию ползучести, если известна функция релак-
сации. Если в уравнениях (3.52) известной будем считать всегда
ту функцию, которая содержит разность переменных t—т, то для
неизвестной функции получаем интегральное уравнение Воль-
терра первого рода. Приведем некоторые методы решения этих
уравнений.
Интегралы в уравнениях (3.52) —это свертки обобщенных функ-
ций ползучести и релаксации. Применив к уравнениям (3.52) пре-
96
образования Лапласа, получаем уравнение для изображений [см.,
например, [17], стр. 144, формула (13) и стр. 147, формула (4)]
fi (Л А («) =
здесь (s) — изображение функции ¥ (/), т. е.
ОО
(s) =. J У (t)e~stdt
О
(3.53)
(3.54)
f 2 (s) — изображение функции ¥ (/), 1/s2 — изображение функции t.
Если известно одно из изображений, то по уравнению (3.53) можно
найти другое изображение. Затем обратным переходом от изобра-
жения к оригиналу можно найти неизвестную функцию ползу-
чести или релаксации.
Для иллюстрации описанного метода рассмотрим простой при-
мер. Пусть задана функция релаксации для трехэлементной модели
[уравнение (1.192)]
V = + E\e~~k\ —
\ / ОО * 1 7
С помощью таблиц преобразований Лапласа находим изобра-
жение функции релаксации [см. [17] стр. 147, формулы (1) и
(2)1
Ел /гЕ (l-|-tzs)
Г/\ ОО. 1 ОО V । /
/2 (3, — s I s д. s (s + fe)
где
П! (E„ + Ei)
E E,
co 1
Из уравнения (3.53) получаем
1 _ s (s + fe) _ 1 1
s2/2(s).~~ s^kE^ (1 as) ~ kE^l +as) + ETOs (1 + as)
Опять по таблицам преобразований Лапласа возвращаемся к ори-
гиналу [см. [17], стр. 147, формулы (3) и (8)1
Таким образом, получена функция ползучести для трехэлемент-
ной модели, выведенная в гл. 1 непосредственно из дифферен-
циального уравнения модели.
Рассмотрим более сложный пример, имеющий практическое
значение для обработки результатов механических испытаний
7 И. И. Гольберг
97
полимернык материалов. Пусть функция релаксации задана урав*
нением [18.
(3.55)
Введем краткое обозначение для преобразования Лапласа
ОО
£[/(/)] = j f(t)e~tsdt
о
(3.56)
Найдем преобразование Лапласа для обобщенной функции
релаксации, определяемой уравнением (3.55). По таблицам преоб-
разований Лапласа [см. [17], стр. 161, формула (34)] получаем
L [¥(/)] ~-abmL
= аьт ЕД—0 < т < 1
sl-m
Из уравнения (3.53) теперь имеем
А [¥(/)] =
s^ab171
Г (1 — т)
1—т
__________1__________
аЬтГ (1 — т) s1*”1
Для того чтобы найти оригинал Т (/), воспользуемся той же
формулой (34) из таблиц преобразований Лапласа и получим
W) =
аЬтГ (1 — т)Г (1 Д-т)
(3.57)
Применив формулу (см., например, [19], стр. 37)
Г (1 — т)Г(1Д-т) =
имеем
тл
sin тл
sin тл
атл
(3.58)
Ферри ([4], стр. 93) предложил использовать это уравнение
следующим образом: сделав подстановку из уравнения (3.55)
в уравнение (3.58), получаем*
V(0 =
sin тл
тл^ (Z)
(3.59)
* Отсюда следует, что
Т(/)Т(/)^1
так как sin т л/т л 1. Равенство достигается при t — 0.
98
Постоянную т нужно определить по уравнению (3.55). Лога-
рифмируя, получаем
lg v (/) = 1g а — tn 1g ~ (3.60)
Следовательно, lg W (/) линейно зависит от lg t. Ферри дает пример
вычисления по формуле (3.59). Разбив интервал интегрирования
па отрезки длиной 0,5 по 1g /, он определяет на каждом отрезке
соответствующее значение т, а затем применяет формулу (3.59).
Расхождение между вычисленными по этой формуле значениями
и значениями, вычисленными по более точным формулам, не пре-
вышает трех единиц третьего знака.
Описанным выше методом операционного исчисления довольно
редко удается найти аналитическое выражение для функции релак-
сации или ползучести. Если изображение заданной функции еще
удается найти, то обратный переход от изображения к оригиналу
наталкивается на значительные трудности. Нужно учесть также,
что функции релаксации или ползучести, определенные опытным
путем, задаются таблично или графически. Поэтому для практи-
ческого приложения интересны численные методы решения основ-
ного уравнения (3.50) или (3.52). При этом отпадает необходи-
мость приближенного представления эмпирической зависимости
аналитическим выражением.
Глава 4
СПЕКТРЫ
1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ РЕЛАКСАЦИИ
ИНТЕГРАЛОМ ЛАПЛАСА
Напряжение, которое возникло в результате приложения
постоянной деформации е0(/ (/) по уравнению (3.17) равно сумме
двух напряжений, равновесного напряжения и релаксирую-
щего напряжения 80ф (/).
Предположим, что релаксирующее напряжение можно пред-
ставить суммой п напряжений, из которых каждое имеет свое время
релаксации. Пусть Л/ означает долю от общего напряжения,
которое имеет напряжение, релаксирующее со временем релакса-
ции Т/. Ниже даны все времена релаксации и соответствующие
им доли, которые определяют распределение времен релаксации:
1, Т2, . . . , ТД
Xi, А2, • • •> Ап,
Распределение этого вида называется дискретным (разрывным).
Доли Aj — это правильные дроби, сумма которых равна единице
п
S^/=l (4.1)
7-1
Если распределение времен релаксации задано, то общее релак-
сирующее напряжение определяется с точностью до постоянного
множителя е0 уравнением
МЧО =8ор 2
7-1
следовательно, функция релаксации определяется уравнением
ZZ , -
w) = ₽ 7 7 <4-2)
7-1
где р — нормирующий множитель.
Значение нормирующего множителя получим из предыдущего
уравнения, положив t — 0 и приняв во внимание условие (4.1)
(3=^(0) (4.3)
100
Предположим теперь, что время релаксации изменяется непре-
рывно и может принимать любое положительное значение. Рас-
пределение времени релаксации т определяется непрерывной
неотрицательной функцией F (т), которую мы будем называть
функцией плотности времен релаксации. Доля общего релакси-
рующего напряжения, которая имеет время релаксации, лежащее
в интервале т и т + А, будет равна
F (т) dx
Напряжение, релаксирующее со временем релаксации, лежащем
в указанном выше интервале, равно
eopF (т) dxe ^х
Таким образом, общее релаксирующее напряжение определяется
интегралом
е0Ф (0 = 80 J рт (т) е t/x dx
о
а функция релаксации определяется теперь уравнением
ф(/) = 1 pf (т) е Vх dx
(4.4)
В уравнении для функции релаксации определим нормирующий
множитель |3 формулой (4.3). Положим в уравнении (4.4) t — 0.
После сокращения на ф (0) получаем
j F (т) dx = 1
(4.5)
Функция плотности, удовлетворяющая этому условию, называется
нормированной функцией. Во многих работах функция F (т)
называется «функцией распределения времен релаксации» или
даже «спектром времен релаксации». Такая терминология вносит
значительную путаницу, так как в теории вероятностей, где весьма
подробно изучаются такие функции, термином «функция распре-
деления» определяется интеграл от функции F (т), а не сама
функция. Не следует пренебрегать хорошо установившейся тер-
минологией близких разделов науки.
Интеграл в уравнении (4.4) можно привести к более удобному
виду. Сделаем замену переменной
(4.6)
откуда
101
Уравнение (4.4) после замены переменной принимает вид
со
Введем обозначение
jV (s) = (4.7)
S
Теперь функция релаксации представлена интегралом Лап-
ласа
со
ф (/) = J N (s) е~~ts ds (4.8)
о
В соответствии с терминологией, принятой в теории преобра-
зования Лапласа, функцию N ($) будем называть спектральной
функцией или спектром релаксации. Нормирующий множитель |3
включен в спектральную функцию. Следовательно, спектральная
функция в отличие от функции плотности не нормирована. Хотя
это имеет некоторые неудобства, но интеграл Лапласа в уравне-
нии (4.8) не имеет никаких множителей, что облегчает исполь-
зование таблиц преобразования Лапласа.
Дискретное распределение времен релаксации можно полу-
чить как частный случай непрерывного распределения, если от-
казаться от непрерывности функции плотности и спектра. Пред-
ставим функцию плотности суммой дельта-функций
F (т)= £ Л/б(т-Т/)
/=1
Подставив" значение F (т) в уравнение (4.4) с учетом
свойства дельта-функции, получаем
ф (/) =л J р Л/б (т — ту) е du ~
о /=1
П со П
Подобным же образом, положив
п
/=1
получаем
п_____ п _
ф (/) = рА/е Sj = ф(0) ^ie S/
/=1 i=4
(4.9)
основного
(4.10)
(4.11)
(4-12)
102
Многие исследователи считают, что непрерывный спектр
можно получить как предельный для дискретного спектра, поло-
нив п = сю. Это совершенно неверно. Когда п —> оо, в пределе
получается бесконечный дискретный спектр, а не непрерывный.
Какой спектр имеют реальные материалы, непрерывный или дис-
кретный ? Экспериментально установить характер спектра не-
возмшкна. Оба вида спектра могут представить функцию релак-
сации с одинаковой степенью точности. При малом числе времен
релаксации удобнее пользоваться дискретным спектром. При
большом числе времен релаксации и ручном счете следует исполь-
ювать непрерывный спектр. При работе с вычислительной маши-
ной можно пользоваться дискретным спектром и при большом
числе времен релаксации, это может оказаться более выгодным,
чем при использовании непрерывного спектра. Подробно эти
вопросы рассмотрены ниже.
Когда функция плотности иди спектральная функция опре-
делены в широком интервале, удобно перейти к логарифмическому
масштабу. Перепишем уравнение (4.4) в виде
со
ф (/) = f (3F (т) —
О
Обозначив
Нт — — —
d In т = ; L (In т) = [3tF (т) (4.13)
Ль
п заметив, что при т = О имеем In т == —оо, можем написать
In Т=оо
ф (/) = j* L (In т) d In т (4.14)
1П Т=—оо '
' )гот интеграл имеет не совсем обычный вид, так как не везде пере-
менная интегрирования т заменена на In т (экспоненциальная
функция зависит от т, а не от In т). Здесь просто применена со-
кращенная форма записи. Формально следовало бы написать, учи-
। ывая, что т = в1пт
со
ф (t) — f L (In т) ехр (— //elnT)dlnr
ио такая форма записи слишком громоздка. Правда, сокращенная
форма вызывает иногда недоразумения, особенно когда в пре-
ie./iax интегрирования не указано, для какой переменной взяты
пределы. Поэтому мы остановились так подробно на этих деталях.
Обратимся теперь к определению функции плотности или спек-
градьной функции по заданной функции релаксации. Из формулы
(18) обращением преобразования Лапласа получаем
t
/V (s) = f ty(t)etsdt, t = (4.15)
J Lt- J
—too
103
Это уравнение имеет главным образом формальное значение.
В тех случаях, когда функция релаксации ф (/) задана аналити-
чески и соответствующая спектральная функция имеет более
или менее простой аналитический вид, эту функцию обычно можно
найти в таблицах преобразований Лапласа. Когда функция релак-
сации задана таблично или графически, интеграл в уравнении
(4.15) можно вычислить известными методами (см. [20]). Однако
на практике предпочитают вычислять спектр релаксации другими
способами, избегая вычисления интеграла в уравнении (4.15).
2. КОМПЛЕКСНЫЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ МОДУЛЬ
УПРУГОСТИ, ВЫРАЖЕННЫЙ ЧЕРЕЗ СПЕКТР
РЕЛАКСАЦИИ
Подставив значение функции релаксации из уравнения (4.8)
в уравнение (3.29), получаем
Оо оо
Е* (/со) — -р fco j J A (s) e~xs ds
0 0
или, переменив порядок интегрирования
оо <х>
Е* (io) = Ете + io j N (s) ds j e~ (S+Zco) T dx =
0 0
— (s-H<0) T 00
s + Zco о
0
= £м + io p (s) ds
Следовательно
co
E* (ico) = Em + io J N (s)
0
ds
s Д- tco
(4.16)
Умножив числитель и знаменатель дроби в подынтегральном вы-
ражении на s — ш, получаем
со
Г — СО2
Е* (ко) = + Ei (со) + iE2 (со) = Ех + J N (s) , ds +
о
ОО
о
104
Отделив действительную и мнимую части, имеем
сю
f — СО2
Е1 (СО) = ] JV (s) ds
О
(4.17)
Е2 (со) - j N (s)
о
cos
s2 4- со
ds
(4.18)
Таким образом, комплексный динамический модуль упругости
и его составляющие выражены через спектральную функцию.
Для того чтобы выразить эти функции через функцию плотности,
поступаем подобным же образом. Проще, однако, сделать замену
переменной (4.6) в уравнениях (4.17) и (4.18), тогда
со
Е1 (со) = J ₽F (т)
О
С02Т2
1 4- С02Т2
dx
(4.19)
оо
Е2 (СО) = J Р W
О
сот
1 4- со2т2
dx
(4.20)
Обычно удобнее пользоваться формулами, содержащими спек-
тральную функцию, а не функцию плотности.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА РЕЛАКСАЦИИ
ПО КОМПЛЕКСНОМУ ДИНАМИЧЕСКОМУ МОДУЛЮ
УПРУГОСТИ
Для того чтобы выразить функцию плотности F (т) или спек-
тральную функцию N (s) через комплексный динамический модуль
упругости, необходимо обратить соответствующие интегральные
преобразования. Это обращение удобнее сделать для спектральной
функции. Интеграл в формуле (4.16) есть интегральное преобра-
зование Стилтьеса. Обращение этого преобразования дается
формулой Стилтьеса—Перрона (см., например [21]). Можно
получить также обращение с помощью формул Племеля [22].
По-видимому, самый 'простой вывод дан в работе [5] с помощью
дельта-функции. Этот вывод с некоторыми изменениями и при-
годится ниже.
В уравнении (4.16) сделаем замену переменной
отсюда
СО = ± 8
Д) = — £ ± Z8
(4-21)
(4.22)
J05
Ivy
Теперь уравнение (4.16) принимает вид
оо
о
S — g ± 18
Умножим числитель и знаменатель подынтегрального выраже-
ния на s — ч= 18, тогда
00
Е* (— £ ± ге) = £«,—
N (s) (s - & ds
(s - g)2 + Ч*
N (s) e ds
co
± Z8 J
0
N (s) (s —Ю ds
(S-g)2 + e2
(4.23)
Перейдем к пределу при 8 —> 0. Для первого интеграла из
правой части предыдущего равенства получаем
Для третьего интеграла, учитывая формулу для дельта-функ-
ции (6.45), которую можно записать в виде
= (s-g)nd (s-g)=o
получаем
1- (s — %) 8
11m 7------1\2 г 72
£->0 $ — g 2 + 82
со
[ N (s) ds lim , — 0
J V e->o(s —g)2+e2
о
Для четвертого интеграла с помощью формулы для дельта-
функции (6.54) получаем
оо
lim Ё (*
е-»0 J
О
N (s) е ds
(8 - g)2 + 62
С _ g
= лё N (s) ds lim
bJ E.»oM(s —£)2 + е21
О
оо
о
Третий интеграл в пределе равен нулю, так как он равен чет-
вертому интегралу, умноженному на 8. Подставив все предельные
значения интегралов и заменив переменную на $ (чтобы придать
106
спектральной функции принятую нами форму) и переменную
интегрирования во избежания путаницы на s, получаем
ж
СО _______________________________________ /X /X
lim Е* ( — s ± ге) = Ет + s f NJs')ds ± insN (s) (4.24)
E-»° 0 S — S
Первые два члена в правой части полученного уравнения
имеют действительное значение, а третий член мнимое. Отделив
мнимые части, имеем
TV (s) = ± —lim Im Е* ( — s ± /е) (4.25)
ns £->0
Эту формулу можно представить в символической форме,
которая имеет несколько более компактный вид. С помощью фор-
мулы Эйлера можно написать
lim ( — s ± /е) = — s ± /О = se —1 я (4.26)
Е->0
Формула для спектральной функции принимает вид
7V(s) = ± — im Е» (se±ln) (4.27)
«res
Формулы (4.25) и (4.27) равнозначны. Для вычисления спектра
релаксации в аналитическое выражение для комплексного дина-
мического модуля упругости подставляется комплексная перемен-
ная по формуле (4.21), затем отделяется мнимая часть комплексной
функции и находится предел при е —> 0. Таким образом, форма
записи (4.27) для формулы обращения как будто не имеет сущест-
венного преимущества сравнительно с формой записи (4.25).
Эта сокращенная форма приведена здесь только потому, что она
иногда встречается в литературе, но не дает ничего нового сравни-
тельно с полной формой записи.
Можно приведенным выше способом получить формулы, вы-
ражающие спектр релаксации через функции модуля ЕА (<о)
п £2 (°))- Начнем с уравнения (4.17). Разложим дробь в подын-
тегральном выражении на простые дроби
Уравнение (4.17) можно переписать в виде
г- / \ гсо
Ei («) =
N (s) ds /со
• s /со 2
о
s — /со
I Гптегралы в правой части не отличаются от интеграла в уравне-
нии (4.16), если не считать знака в знаменателе подынтеграль-
107
ного выражения второго интеграла. Сделав замену переменной
по формуле (4.21), отделив мнимую часть и перейдя к пределу
при 8 —> 0, получаем
lim Er (ig ± е) = Л- ] ± (g) + ng¥( - g)}
е-»0 z
Спектральная функция определена только на положительной
полуоси, как это следует из ее определения. Поэтому на отрица-
тельной полуоси ее можно определить произвольно. Положим
N( — s)~0 (4.28)
Тогда из предыдущего равенства получаем (переменная % заме-
нена опять на переменную s)
N (s) = ± —lim Im Ет (is ± е) (4.29)
Приняв во внимание равенство
lim (is ± е) = is = se—
-Е~>0
можно формулу обращения записать в символической форме
IV (s) = ± — Im (se+- (’я/2) (4.30)
JTS
Обратимся к уравнению (4.18). Разложим дробь в
тральном выражении на простые дроби
подынте-
Получаем следующее равенство
со
(О [
^2 (W) “ 2 J
о
Заменяем опять переменную по формуле (4.21) и, замечая,
что на этот раз интеграл, выделяющий спектр релаксации с по-
мощью дельта-функции, имеет действительное значение с учетом
условия (4.28), получаем
(s) =lim ReE2 (^ ± е) (4-31)
Тождество (4.26) позволяет написать формулу обращения
в символической форме
N (s) = — Re Е2 (se±ilt/2) (4-32)
4 ' ns
108
Некоторые авторы различно оценивают применимость данных
выше формул обращения, позволяющих определить спектр релак-
сации по комплексному динамическому модулю упругости. Так,
например, Ферри считает ([4], стр. 72), что эти формулы
«. . . редко используются при обработке экспериментальных дан-
ных. Однако они могут быть весьма ценными при оперировании
с теоретическими результатами». Гросс придерживается иного
мнения [5]: «Относительная ценность точного и приближенного
методов теперь другая, чем это было раньше. Доступность про-
стого точного метода делает приближенный метод бесполезным».
Примеры приложения формул обращения должны дать возмож-
ность читателю самому оценить значение этих формул.
Рассмотрим сначала пример, в котором решение заранее из-
вестно. Это дает возможность убедиться в справедливости формул.
Комплексный динамический модуль упругости для трехэлемент-
ной модели класса С по формуле (1.109) имеет вид
Е* +
si ~г
Ег
Л1
Замена переменной дает
Е* (— S ± ££) = Еоо Ег
— S ± 48
sT — s ± is
«1 =
82— S ($1 —s) SS + 8 (Si —s)
‘ -(s,-»)» + « * - s). + «
Отделяем мнимую часть и переходим к пределу по формуле
(4.25), получаем
N (s) = ±
Я-S 8—>0
Гт Im Е* (— s ± is) = Е, lim----------------
_ . Э 8->0 ttS
8
i
S — S1
-----— lim
s е-»0
8
lim
si — s) +
(«1 — s) 6 (Sj — s) — Ex6 (Si — s)
Это соответствует формуле (4.11) при п = 1.
4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
ПОЛЗУЧЕСТИ ИНТЕГРАЛОМ ЛАПЛАСА
Для интегрального представления функции ползучести, так
же как для функции релаксации, можно ввести функцию плот-
ности времен запаздывания. Пусть часть запаздывающей дефор-
мации, которая имеет время запаздывания, лежащее между т
н т + равна
F (т) dx
109
здесь F (т) — функция плотности времен запаздывания. Эта часть
запаздывающей деформации изменяется по закону
pF (т) (1 — е~~^х) dx
Следовательно,
интегралом
общая запаздывающая деформация определяется
со
М (0 =а0 J
о
pF(r) (1 — e~t/x)dx
Отсюда функция ползучести ф (/) имеет интегральное представле-
ние
ф (0 = [ PF (т) (1 — е~ t/x} dx (4.33)
б
Нормирующий множитель р определяем так, чтобы выполнялось
условие нормирования
со
J F (т) dx = 1 (4.34)
о
Теперь из уравнения (4.33), положив t = оо, получаем
Нужно обратить внимание на то, что интегральное представ-
ление функций ползучести возможно только в том случае, если
эта функция ограничена, т. е. выполняется условие (4.35).
Для перехода к преобразованию Лапласа дифференцируем
уравнение (4.33) по параметру t и получаем
со
(0 = [ рг <т) e-f/t dx
dt J x
о
(4.36)
Сделав замену переменной т = 1/$ и введя спектральную функ-
цию запаздывания
N (s) =
S'*
получаем
оо
-^—0- = | sA' (s) e~ts ds (4.38)
C-V V
о
Таким образом, производная функции ползучести представ-
лена интегралом Лапласа, так же как и функция релаксации.
Для чисто дискретной функции плотности, определяемой
уравнением
п
но
из уравнения (4.33) получаем
ф (/) = Ф (оо) 2 А/ (1 — е (4.40)
/=1
Подобным же образом для дискретного спектра запаздывания
ЛЦ5) = £ ₽Д/д (s - S/) (4.41)
/=1
по уравнению (4.38) получаем
= Ф (сю) ] se“Zs ds Л/6 (s — s/) = ф (оо) Ajsje (4.42)
о /==1 /=1
Интегрирование по t дает
Ф (0 = — Ф (М S Aie Sjt + с
/=1
Произвольная постоянная С определяется условием
ф (0) = 0 (4.43)
Следовательно
ф (/) = ф (оо) Л/(1 — e“VT/) (4.44)
/-1
Разрывная спектральная функция и дискретная функция плот-
ности приводят, как и следовало ожидать, к одной и той же функ-
ции ползучести.
5. КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОДАТЛИВОСТЬ
ВЫРАЖЕННАЯ ЧЕРЕЗ СПЕКТР ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Подставив в уравнение (3.13) выражение для производной
функции ползучести из уравнения (4.38), получаем
оо
о
оо
j sN (s) e~TS ds
о
i
7]осо
или, изменив порядок
интегрирования,
со оо
имеем
(/со) = а0 —
j е— (s+ito) X dx =
о
отсюда
оо
= ССр--------------р I
ц00) J
о
оо
оо
/* (/со) = а0 —
(4.45)
— + |
0
—-----F |
Лосо J
е
S
о
Ш
В соответствии с обозначением (3.14) можем написать
со
J = J N (s) V ds (4'46)
о
Умножив числитель и знаменатель подынтегрального выра-
жения на s — /со, из предыдущего уравнения получаем
со оо
J (fco) I N (s) ——— ds — i I N (s) —2 SC°- 2 ds
v 7 J 1 S2 + CO2 J S2 + co2
о 0
Следовательно, имеем
Все три функции податливости выражены, таким образом,
через спектральную функцию. Для того чтобы выразить эти функ-
ции через функцию плотности времен запаздывания, заменяем
переменную интегрирования s на 1/т и спектральную функцию
на функцию плотности по уравнению (4.37), тогда
со
Л(«) = J Р F(T) t Д2й)2 (4.49)
О
оо
Т2 (<0) = J Р/7 (т) t У“2(й2 dx
о
(4.50)
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ЗАПАЗДЫВАНИЯ
ПО КОМПЛЕКСНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОДАТЛИВОСТИ
Эта задача подобна той, которая рассмотрена в п. 3 для спектра
релаксации. Определение спектра запаздывания требует обра-
щения интеграла в уравнении (4.46). Это обращение осуществляется
методом, примененным для получения спектра релаксации.
В уравнении (4.46) сделаем замену переменной по формуле
(4-22)
оо ОО
Г s ds f жт / ч s (s — Е + £8) ds
J (— % ± is) = N (S) -----p----;— = N («) --7---l'<?2-----~
V 5 7 J v S — g ± £8 J (s — g)2 + 82
о 0
0
Переходя к пределу при 8 —> 0 и заменив в результате пере-
менную g на s, а переменную интегрирования на $, получаем
оо оо
lim J (— s ± ze) = I N (s) Т i I N (s) (s — s) ds =
J s — s J
о о
oo
= I W(s) — + insN (s) (4.51)
J s — s
0
Для полной функции динамической податливости в соответ-
ствии с уравнением (4.45) имеем
оо
lim J* (— s ± is) — а0 -—Р I N (s) — + insN (s) (4.52)
е^О V J s _ s
0
Отделив мнимые части в уравнении (4.51), находим выражение
для спектра запаздывания
/V ($) = =ь —I— lim Im J (— s ± is) (4.53)
JTS £—>Q
Предыдущую формулу можно записать в символической форме
N (s) = т
Im J
3IS
(4.54)
Для обращения интеграла в уравнении (4.47) разложим дробь
в подынтегральном выражении на простые дроби
s2 _ 1 / s • s \
S2 4- СО2 2 \ S -J- ЙО ‘ S — i(D /
Теперь уравнение (4.47) принимает вид
Ji (о)) =
s ds
S — fC0
Сделав опять подстановку по формуле (4.21) и предельный
переход при 8 —* 0, использовав предыдущие выкладки, получаем
/V (s) = + —— lim Im Д (— s ± is) (4.55)
3TS е_>о
Интеграл в уравнении (4.48) совпадает по форме с интегралом
из уравнения (4.18), поэтому по уравнению (4.31) непосредственно
получаем
N (s) = —— lim Re J2 (— s ± is) (4.56)
8->0
§ И. И. Гольберр
из
7. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ КОНСТАНТАМИ
До сих пор выводились зависимости для напряжения при за-
данной деформации или для деформации при заданном напряже-
нии. Найдем зависимости между основными постоянными для раз-
личных групп, т. е. постоянные, определяющие механическое
поведение при заданной деформации, выразим через постоянные,
определяющие механическое поведение при заданном напряже-
нии.
Из определения функции податливости как функции, обратно
пропорциональной функции модуля, следует, что
или
Е* ' J* (гго)
Е* (i'co) J* (zco) = 1
(4.57)
(4.58)
Подставив в это уравнение выражение для комплексного дина-
мического модуля из уравнения (3.34) и для комплексной дина-
мической податливости из уравнения (3.15), получаем
- 1
[Еоо -I- Ех (to) —|— IE2 (to)] < а0 —J1 (со) — i
+ ^2 (to)
(4.59)
Раскрыв скобки и сравнивая действительные и мнимые части,
получаем два уравнения:
Еоо + Ех (со)] [а0 + Л (to)] + ^2 (to) ;—FA (to) — 1
L 40е0 J
(4.60)
E2 (co) [a0 -J- J2 (co)] — [Eoo + Ex (co)]
+ J2 (to) = 0
(4.61)
Интересующие нас зависимости между основными постоянными
получаются из предыдущих уравнений предельными переходами
при (о-> 0 и при со —> оо. При этом предельные значения состав-
ляющих комплексных динамических модуля и податливости полу-
чаются предельным переходом в уравнениях (4.19) и (4.20), (4.49)
и (4.50). Имеем
Ех(0) = 0; Е2 (0) = 0; Л (0) = р; А (0) = 0 (4.62)
Ех (оо) — р; Е2 (оо) = 0; Jx (00) = 0; J2 (00’) = 0 (4.63)
Предположим сначала, что вязкое течение отсутствует и,
следовательно, 1/т] о = 0- Уравнения (4.60) и (4.61) принимают
при этом вид
[Еоо + Ех (со)] [а0 + A (to)] + Е2 (cd) J2 (CD) = 1 (4.64)
Е2 (cd) [а0 + A (CD)] - [Еоо + Ех (CD)] A (cd) = 0 (4.65)
114
При со —> О уравнение (4.65) удовлетворяется автоматически,
а из уравнения (4.64) получаем
Боо(сс0 + ₽) = 1 (4.66)
Подставив значение а0 = 1/Е0 из уравнения (3.18), имеем
(4.67)
Таким образом, нормирующий множитель |3 плотности времен
запаздывания выражен через равновесный модуль и начальное
значение функции релаксации. При со —> оо уравнение (4.65)
также автоматически удовлетворяется, а из уравнения (4.64)
получаем
(Есо “]-[)) CZo — 1
(4.68)
Значение равновесного модуля упругости при условии 1/ц0 —
== 0 имеем из уравнения
оо
Подставив значение равновесного модуля из предыдущего
уравнения в уравнение (4.68), получаем
В =------442g)— (4.70)
«о [осо + (Ml
Пусть теперь 1/т]0 0, т. е. имеем вязкое течение. Восполь-
зовавшись формулой (1.61), перепишем уравнение (4.60) в виде
[£те + (со)] [а0 + Л (со)] + - Е2 (со) J2 (со) =. 1 (4.71)
Чо
Перейдем к пределу при со —> 0. Для того чтобы удовлетворить
уравнению (4.61), нужно положить
Еоо=0 (4.72)
Это следует также и из физических соображений, так как при
наличии вязкого течения равновесный модуль должен быть равен
пулю.
Из уравнения (4.71) имеем
Ч (°) „ t
Чо
Следовательно, начальное значение динамической вязкости равно
статическому коэффициенту вязкости.
Коэффициент вязкости можно выразить через функцию ре-
лаксации по формуле (3.46). Перейдем к пределу при со —> сю.
8*
115
Уравнение (4.61) опять удовлетворяется автоматически, а из
уравнения (4.60) получаем
(Вео -р J3) С40 - 1
Нормирующий множитель функции плотности времен релак-
сации обратно пропорционален мгновенной податливости.
8. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СПЕКТРАМИ РЕЛАКСАЦИИ
И ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Для того чтобы установить зависимость между спектром релак-
сации N (s) и спектром запаздывания N (s), воспользуемся основ-
ной зависимостью между комплексным динамическим модулем
упругости и комплексной динамической податливостью. Эту зави-
симость запишем в предельной форме
lim Е* (s ± is) J* (s ± is) = 1
8->0
(4.73)
Подставив сюда предельное значение комплексного динамичес-
кого модуля из уравнения (4.24) и предельное значение комплекс-
ной динамической податливости из уравнения (4.52), получаем
+ insN (s)
Раскрыв скобки и отделив действительную и мнимую части, полу-
чаем два уравнения:
— ns N (s)
+ n2sA (s) N (s) = 1
Введем обозначения
(4.74)
оо
о
(4.75)
116
Теперь система уравнений принимает вид
К (s)K (s) + n3s N (s) N (s) = 1
nsN (s) К (s) — ns/V (s) К (s) = 0
Решая эту систему относительно N (s) и N (s), получаем
[А/ (s)p = K(s)-[^(s)PK(s)
(s)
(4.76)
[A? (s)F =
K(s)-K(s) [K (s)F
n2s37C (s)
(4.77)
Из уравнения (4.76) необходимо исключить К (s), которое
содержит под знаком интеграла функцию N (s), а из уравнения
(4.77) по этой же причине необходимо исключить К ($). Для этого
из уравнения (4.77) находим К (s) и подставляем его значение
в уравнение (4.76), это дает
(s) =---=. ----- (4.78)
[ns^(s)P + H(s)F
Подобным же образом, определив /С (s) из уравнения (4.76)
и подставив найденное значение в уравнение (4.77), получаем
77 (s) = & - (4.79)
[ns7V (s)]2[ТС (s)]3
Полученные уравнения выражают спектр релаксации через
спектр запаздывания или спектр запаздывания через спектр ре-
лаксации.
Перейдем теперь к функциям плотности времен релаксации
и запаздывания. Сначала сделаем замену переменных
1 - 1
S = —• S = —
в уравнениях (4.74) и (4.75). Учитывая зависимости между спект
ральными функциями и функциями плотности, получаем
(т) — Есо
du
(4.80)
(4.81)
117
Повторив замену переменной в уравнении (4.78) с учетом
Зависимости между спектром и функцией плотности, приходим
к уравнению
PF (т) = __ ^(т)--------(4.82)
[лтрПт)]2+ [К, (т)]2
и соответственно из уравнения (4.79) имеем
В Р (т) =-------____________
117 [ллфД (т)]2 + [Дх (т)]2
(4.83)
Уравнения, связывающие функции плотности времен релакса-
ции и запаздывания, можно представить в несколько более сим-
метричном виде. Имеем
F (т)
3t(3F (т)
[^₽F(t)]2+ [Д2(т)]2
(4.84)
где
ЛрЛ (т)
[«pF (т)Р + [tf2 (т)Р
(4.85)
(4.86)
Интегралы, входящие в уравнения (4.74), (4.75), (4.80) и (4.81),
нужно понимать в смысле главного значения.
9. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
ПО ЗАДАННЫМ СПЕКТРАМ ИЛИ ПЛОТНОСТЯМ
Прямоугольный спектр релаксации. Пусть спектр релаксации
задан уравнением
0, s < s,
. 0, s > s2
(4.87)
Определяем функцию релаксации по уравнению (4.8)
ф (/) =
_ §2 _
. M..fe-^rfs = jHQL
S2 — Si J S2 — Si
S1
Tp (0)
s
S2
Si
(4.88)
Легко проверить, что правая часть при t = 0 действительно
дает начальное значение функции релаксации. Разложив экспо-
ненциальные функции в ряды и отбросив члены выше первой сте-
пени, получаем
lim /с i (1 — s? -а! + s20 = -ф (0)
(s2 — «1) 1
(Т) .
> s 1t ____ q
118
На рис. 45 дан график функции релаксации, вычисленной по
уравнению (4.88). На рис. 46 эта же кривая построена в полуло-
гарифмических координатах, в которых простой экспоненциаль-
ной функции соответствует прямая линия. Этот график указывает
на существенное различие между функцией релаксации, соответ-
ствующей прямоугольному спектру, и простой экспоненциальной
функцией. Скорость релаксации максимальна в начальный момент
и зависит
от Si и s2. При фиксированном значении начальная
ствующеи прямоугольному спектру релаксации.
релаксации в полулогарифми-
ческих координатах.
Вычислим действительную и мнимую части комплексного
динамического модуля по уравнениям (4.17) и (4.18)
Т7 , \ ф (0) f
£i (cd) = --T
S2—Si J
Si
s2
со2 , со2
-—- ds — ——
со
S
со
s2
Si
S2
СО
£2 (со) = м
s2 —
f „,S
Si
S2
Si
ф (0) о)
,2
-ф (0) <о ,
(s„ —кЛ „2
(4.90)
2
2
119
Для проверки вычислим E*(fco) непосредственно по уравне-
нию (3.29). По таблицам преобразований Лапласа (см. [17],
стр. 159, (11)] находим
оо
С ebt — eat ~st s — a
I ----------e dt = In-------r
J t s — b
о
Следовательно, положив
a = — s2; b = — sx; /co = s
получаем
E* (to) — E«>=- f (e~Sti — ё~^) —— dt =
«2 —Si J t
Si
fCDlp (0) S2 + JCD
s2 — sx sx —/co
(4.91)
Покажем, что подстановка значений действительной и мнимой
частей из уравнений (4.89) и (4.90) дает полученное выше значение
комплексного динамического модуля. Воспользуемся известной
формулой *
arctgx = —
(4.92)
Из уравнений (4.89) и (4.90) находим предельные значения.
Теперь можно написать
£1 (®) + г'^2 (®) —
S2
СО
4 (0) со
s2 — sx
1 . ICO — s2 1
— In —-------------------
2i ico -j~ s2 2i
icoip (0) 1 fa ~~ si) (lCQ + ^2) (sl + c°2)
s2 — Si 2 (fa _p S1) (fo) __ $2) 4- co2)
= ^св-ф (0) ln s2 + rco_ =
S2 — Sx + ICO
* Формулу легко проверить. Имеем
1 +ix = eiarctsx-,
1 -ix=ri+^e_ZarctgA:
Следовательно
iso
1 . 1 + tx
— In.
2t 1 — ix
- Ina
2t arctg x
= arctg x
Из уравнений (4.89) и (4.90) находим предельные значения дей-
ствительной и мнимой частей комплексного динамического мо-
дуля
£х(0) = 0; (оо) == ф (0); Е2 (0) = £2 (оо) = 0 (4.93)
На рис. 47 даны графики функций £х (со) и £2 (со).
Обратимся к вычислению спектра запаздывания. Подставив
значение спектра релаксации из уравнения (4.87) в уравнение
(4.81), получаем
Si <С s <С S2
К (s) = Е
со
Так как переменная s
лежит внутри интервала
интегрирования, подынте-
гральное выражение обра-
щается в бесконечность
при s = s. Написанный
Рис. 47. Графики комплексного динамиче-
ского модуля упругости, соответствующие
прямоугольному спектру релаксации.
несобственный интеграл от функции с бесконечным разрывом
в обычном смысле не существует, но существует в смысле глав-
ного значения. По определению главного значения интеграла
(1/. р. начальные буквы слов Valeur principale — главное значение).
Следовательно
K(s) lnSa~s
S2 — $! S — SL
Подстановка значений функций К (s) и N (s) в уравнение (4.79)
дает выражение для спектра запаздывания
ф(0)
si <С s <С s2
о полученному уравнению построен график (рис. 48), который
показывает, что даже простейшему виду спектра релаксации соот-
ветствует довольно сложная форма спектра запаздывания. Ана-
121
литическое выражение для спектра запаздывания не допускает
дальнейших преобразований для вычисления функции ползу-
чести или комплексной динамической податливости. Для вычис-
ления этих функций следует обратиться к численным методам.
Прямоугольная логарифмическая плотность времен релаксации.
Плотность времен релаксации определена условием
Рис. 48. Графики прямоугольного
спектра релаксации и соответствую-
щего спектра запаздывания.
Найдем функцию релаксации
по уравнению (4.14)
t
т dx
е ---------
т
Сделаем замену переменной Их = —и, тогда
Ф(0)
—
I
^/^2
еи
и
du =
здесь Ei (%) -— интегральная показательная функция, таблицы
которой даны в [23]. На рис. 49 дан график функции ф (/). Инте-
гральная показательная функция обращается в бесконечность
при х — 0, но предельное значение функции релаксации в этой
точке существует. Воспользуемся представлением интегральной
показательной функции степенным рядом (см., например, [24],
стр. 378)
у у2
Ei (%) = С + In | х | Д- утру + "2.2! + ’ ’' + и-пГ
Тогда
/
/с + 1пф + ф+...-С-
/-»0 | т2 ( Т1 Т1
, * t ) <Р (0) 1 т2 — /пч
—-In — — — Л = т In — = (0)
т2 х2 ) та
122
Действительная часть комплексного динамического модуля
определяется по уравнению (4.19)
1 Ф (0) . 1 +
П Н-оЛ2
(4.96)
Мнимая часть комплексного динамического модуля опреде-
Рис. 49. График функции релаксации,
соответствующей прямоугольной логариф-
мической плотности времен релаксации.
тд
(4-97)
Предельные значения функ-
ций модуля '
£’1(0)=0; ЕДоо^гНО); Е2 (0) = Е2 (оо) = 0
Графики функций Е± (со) и £2 (со) подобны графикам, данным
на рис. 47.
Найдем функцию плотности времен запаздывания. Подставив
значение плотности времен запаздывания из уравнения (4.94)
в уравнение (4.81), получаем интеграл, который существует
только в смысле главного значения. Воспользовавшись вычисле-
ниями предыдущего пункта, можем написать
- ^2
М (т) = —---------- —-
1П — { Т
ту Ц
. 1п£2 Т —Tj
Т1
Подстановка найденного значения функции /\ , (т) в уравнение
(4.84) дает
f (т)=4
L
ф (0)/1п 4г
Т1
\ (0) ' J L , То In — 2 , То . Т — Ti In —- L тп J 2
(4.98)
123
Рис. 50. График прямоугольной
логарифмической плотности времен
релаксации и соответствующей
плотности времен запаздывания.
Лапласа в
На рис. 50 дан график логарифмической плотности времен за-
паздывания L (In т) = РтТ7 (т), вычисленный по уравнению (4.98).
Как и ранее, аналитическое выражение не допускает дальнейших
преобразований, и вычисление функций ползучести и комплексной
динамической податливости сле-
дует делать численными методами.
Некоторые рекомендации по при-
менению прямоугольной плотности
и прямоугольного спектра даны
в гл. 5.
10. ПРИБЛИЖЕННЫЕ
ФОРМУЛЫ
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
СПЕКТРОВ
Когда функция релаксации
определена аналитическим выра-
жением, спектр релаксации полу-
чается путем обращения интеграла
ютветственно функция плотности
времен релаксации — обращением интеграла в уравнении (4.4).
Это обращение не всегда возможно сделать в конечном виде с по-
мощью элементарных функций. Таким образом, даже для анали-
тически определенной функции релаксации не всегда удается
определить спектр релаксации.
Практически в большинстве случаев функция релаксации
не дана аналитически, а определена экспериментально в некотором
интервале времени и представлена графиком или таблицей. Для
того чтобы использовать формулы обращения интегральных пре-
образований, необходимо прежде всего найти приближенное ана-
литическое выражение для функции релаксации, а затем уже
применить формулу обращения. При этом для применения фор-
мулы обращения необходимо аналитическое определение функции
релаксации на всей действительной положительной полуоси,
тогда как эксперимент дает значение только на конечном ин-
тервале. Поэтому аналитическое определение функции релаксации
требует экстраполяции на бесконечность, что всегда крайне не-
желательно, так как вносит значительный произвол в аналити-
ческое определение функции.
Желательно, таким образом, иметь хотя бы приближенные
формулы для непосредственного определения спектра релаксации
по экспериментально определенной функции релаксации, минуя
промежуточную операцию аналитического определения функции
релаксации.
Численное обращение преобразования Лапласа подробно рас-
смотрено в работе [20], в которой главное внимание уделено
комплексному обращению интеграла Лапласа. Значительно проще
124
вычисление с помощью действительного обращения интеграла
Лапласа. Для этого применяется обычно формула, данная Уид-
дером [25]. Эта формула имеет вид
(1)п
(4.99)
здесь (n/s) означает п-ю производную функции ф (/), в которой
после дифференцирования переменная t заменена на n/s. Хорошо
известно, что вычисление производной для эмпирически опре-
деленной функции операция весьма нежелательная, так как ре-
зультат имеет низкую точность. Практически можно вычислить
не более чем вторую производную. Поэтому формула Уиддера
обычно ограничена вторым приближением.
Для справок приведем формулу первого приближения
(s) =--------тг Ф'
о
(4.100)
и формулу второго приближения
Приближенные формулы для вычисления спектра можно по-
лучить непосредственно из определяющего интеграла (4.8), если
заменить экспоненциальную функцию в подынтегральном выра-
жении каким-либо приближением. Так, например, Алфрей [2]
предложил такое приближение
Из уравнения (4.8) получаем
1/Z
(0 = j N(s)ds
Дифференцирование интеграла по верхнему пределу дает
(см. [24], стр. 405)
(0 1 у
dt /2
пли
N (s) = -
(4.102)
125
Эта формула совпадает с первым приближением по формуле
Уиддера. Из формулы (4.102), учитывая зависимость (4.7) между
функцией плотности и спектром, непосредственно получаем
р?(т) = -&1 (4.103)
В работе [5] предложено следующее приближение для экспо-
ненциальной функции
se-/s = 1/Z) (4.104)
Из определяющего уравнения (4.8) получаем
оо со
о о
1 N (1/t) N (1/0
- /2 * 1/t ~ t
Отсюда формула для спектра
N(s) = — ф (— \ (4.105)
а формула для функции плотности
p/?(T)=iyi (4.106)
Эту формулу можно считать условно нулевым приближением
формулы Уиддера, хотя эта формула и не имеет формально та-
кого приближения.
Пример. Рассмотрим пример, в котором точное значение спектра известно.
Это дает простое сравнение приближенного и точного значения спектральной
функции. По таблицам преобразования Лапласа находим ([17], стр. 161) для
функции релаксации
= 77 ,Цг (4Л07)
(t + а)
соответствующее значение спектральной функции
N (s) = -L— e~as (4.Ю8)
v Г (v)
Находим n-ю производную функции релаксации
(/) = (—l)nv(v+ 1). . ,(v + n-l)(( + a)~(v+") (4.109)
Замена переменной t на n/s и подстановка в формулу (4.99) дает
Nn(s) = — v (v +1). . .(v + п— 1) (и + as)~(v+n) (4.110)
n!s
126
Особенно простая приближенная формула получается, когда v = I
ж.
^(s) = -^-1-17-+1- (4-Н1)
(1 + asjn)
На рис. 51 даны графики функций фелаксации по уравнению (4.107) для
а = 1, т = 1 и v = 2. Функции релаксации как будто существенно не разли-
чаются, если не считать скорости релаксации. На рис. 52 даны графики точного
и приближенных спектров релаксации для v = 1. Второе приближение и тем
более первое приближение можно считать удовлетворительными только каче-
ственно. На рис. 53 даны графики точного спектра и первого и третьего приближе-
ния для v = 2. Вряд ли даже третье приближение достаточно близко к точному
»качению.
Приведенные выше графики показывают, что для функций
релаксации, не имеющих значительного качественного различия,
соответствующие спектральные функции весьма существенно раз-
личаются. Большая чувствительность спектральной функции
к малым изменениям функции релаксации позволяет улавливать
незначительные различия между функциями релаксации, которые
трудно или даже невозможно уловить при непосредственном
сравнении функций релаксации. Поэтому для оценки разницы
в механическом поведении .материалов спектральная функция
дает больше информации, чем функция релаксации.
Если нам известен спектр релаксации, то вычисление соот-
ветствующей функции релаксации не представляет какой-либо
трудности. Обратная задача, определение спектра по известной
функции релаксации, значительно. более трудная задача. Как
видно из приведенного примера, последовательные приближения
медленно сходятся к точному значению спектра. Даже третье
приближение еще нельзя считать удовлетворительным.
Следует обратить внимание на то, что в приведенном выше
примере рассматриваются приближенные формулы для спектраль-
ных функций, основанные на функции релаксации, заданной ана-
литическим выражением. На практике функция релаксации опре-
деляется только графически или таблично. Следовательно, ана-
литическое выражение этой функции только приближенное. Это
вызовет в свою очередь дополнительную ошибку в определении
• нейтральной функции. Ошибка, учитывая чувствительность
спектра, может быть весьма значительной.
Пример. Рассмотрим важный для практических приложений случай, когда
|> акция релаксации есть простая экспонента
ф (0 — Axe~~Sit
Гочное значение спектральной функции в соответствии с уравнением (4.11) будет
N (s) = А (s — Sj)
Дифференцирование функции релаксации дает
(/) = (_ l)nX1s^“’S1/
127
Рис. 51. Графики функций релаксации'
гиперболического типа.
Рис. 52. Графики точного и приближенных спектров
релаксации.
Рис. 53. Графики точного спектра релаксации
и первого и третьего приближений.
128
Подстановка в формулу (4.99) приводит к уравнению
ту . . 1 / П \п+1 . „ — nst/s
Nn(s) А^е
I b I \ о /
Для первого приближения получаем
AMs)=A-4e“S‘/S
о
Для пятого приближения имеем
s5
N6 (s) = 130Ах e~5s'fs
На рис. 54 даны графики первого и пятого приближения для спектральной
функции. Так как график точного значения спектральной функции построить
Рис. 54. Графики первого и пятого приближений
для точечного спектра релаксации.
нельзя, показано только место спектральной линии. На графике видно, что даже
пятое приближение еще очень плохое. Особенно нехорошо, что максимум при-
ближенной функции оказывается далеко от спектральной линии.
В рассматриваемом примере приближенные значения спектра — это при-
ближения дельта-функции с помощью непрерывных функций. В силу хорошо
известных свойств дельта-функции такие приближения дают удовлетворитель-
ный результат только при очень высоком порядке приближения.
Все приведенные выше приближенные формулы дают непрерыв-
ную спектральную функцию. Если функции релаксации соответ-
ствует дискретный (линейчатый) спектр, то приближение, как это
видно на данном примере, будет плохим даже при довольно высо-
ком порядке приближения. Вообще надо еще раз отметить, что
но экспериментально определенной функции релаксации нельзя
определить, соответствует ли ей непрерывный или дискретный
спектр.
11. ДИСКРЕТНЫЕ (ЛИНЕЙЧАТЫЕ) СПЕКТРЫ
Как частный случай общих зависимостей между спектрами,
а также плотностями, приведенных в п. 8, рассмотрим дискретные
спектры и плотности.
9 И. И. Гольберг
129
Пусть дан чисто дискретный спектр запаздывания, определя-
емый уравнением (4.11)
N («) = S А (s - s.)
/~1
F Подставив это выражение для спектра в уравнение (4.79),
получаем
/ ч К <s)
<Р («) = —г2
о
(4.112)
где положено
(4.113)
Так как дельта-функции равны нулю для всех значений аргу-
мента s, кроме точек спектра s7-, то спектр N ($) может отличаться
от нуля только для тех значений аргумента s, для которых зна-
менатель дроби в правой части равен нулю. Точки спектра N (s) —
это корни уравнения
<р (s) = 0 (4.114)
Обозначим корни этого уравнения в порядке их возрастания
через s-l, s2, . . а число корней обозначим п. Рассмотрим подроб-
нее функцию ср (s) для того, чтобы определить число корней п
и характер распределения корней. Подставив значение функции
К (s) из уравнения (4.74) в уравнение (4.113), получаем
Отсюда следует, что функция <р (s), которая равна сумме эле-
ментарных дробей, — это дробная рациональная функция, рав-
ная отношению двух многочленов g (s) и h (s)
<p(S)=4t4- <4-116)
r v ' h (s)
130
Знаменатель имеет только простые, действительные, неотри-
цательные корни (когда присутствует вязкое течение, т. е. 1/т]0 4=
4= 0, то s = 0 будет корнем знаменателя h (s)). Приведя дроби
к общему знаменателю, легко заметить, что число корней числи-
теля п равно:
п = п + 1, когда имеем вязкое течение,
п = п, когда нет вязкого течения.
В разложении на простые дроби (4.112) постоянная а0 — это
«целая часть» многочлена ср (s), поэтому степени многочленов
в числителе и знаменателе должны быть равны.
Обратимся к распределению корней, число которых известно.
Когда s —> оо, все простые дроби стремятся к нулю и функция
<р (s) — > сс0 > 0. Когда s —> sn + 0, функция ср (s) —> — оо. Сле-
довательно, должен существовать по крайней мере один корень
функции ср (s), больший, чем самый большой корень знамена-
теля sn. Иначе функция ср (s) не могла бы изменить знак. Когда
.$ —> stl — 0, функция ср (s) —> оо, а когда s —> sn+1 + 0, функция
Ф (s) —> —оо. Г оэтому в интервале sn_ <^s <^sn функция опять
меняет знак. Таким образом, в рассмотренном интервале должен
быть по крайней мере один корень многочлена ср (s). Эти рассуж-
дения можно повторить для каждого интервала между соседними
корнями знаменателя h (s) и получить, что в каждом интервале
существует по крайней мере один корень. Так как число интер-
валов равно числу корней h (s) (включая в это число часть дей-
ствительной оси справа от наибольшего корня srt), то на каждом
интервале может быть только по одному корню. Отсюда получаем
следующее утверждение:
точки дискретного спектра релаксации строго чередуются
с точками дискретного спектра запаздывания; когда один из
спектров дискретный, другой спектр тоже будет дискретным.
Приведенное выше утверждение полезно для численного опре-
деления точек спектра.
Вернемся к уравнению (4.112). Для упрощения правой части
попытаемся привести ее к простой сумме дельта-функций. Рас-
смотрим единичную функцию
U [ф (8)1 = и (s - Sj) -и (s-s2) +•••+(- 1 )"+1 и (з - 7-)
Эта ступенчатая функция равна единице для положительных зна-
чений аргумента ф (s) и равна нулю для отрицательных значений
аргумента. Разрывы функции будут в точках s. Напомним, что
функция ф (s) имеет только простые, действительные корни, по-
тому корни будут границами интервалов знакопостоянства
функции ф (s) и, следовательно, точками разрыва ступенчатой
функции U [ф (s) ]. Дифференцирование ступенчатой функции дает„
= 6 [ф (з)] <р' (S) = 6 (в - St) + • • • + (-1)"+! 6 /з - М
9*
131.
или
S [<р (s)] =
п
Ф (s)
Предположим, что в интервале < s < s2 функция ср (s) > О,
тогда <р' (sj > 0, а ф' (s2) <0 и далее знаки производной в точ-
ках S; чередуются так, что в точках с четным индексом производ-
ная отрицательна, а в точках с нечетным индексом положительна.*.
Фильтрующее свойство дельта-функции приводит к хорошо из-
вестному равенству
f (s) 6 [s — а) = f (а) б (s — а)
(4.Н7)
для любой функции при условии f (а) 0.
Использовав равенство для дельта-функции и учитывая заме-
чание о знаках производной, получаем
б [ф (s)] =
С другой стороны, по определению дельта-функции (6.54)
имеем
♦
[д [<р (s)] = — Нт 8 2-
1 л s-»0 еа + [<р (s)F
Правая часть написанного равенства формально совпадает с пра-
вой частью уравнения (4.112), поэтому спектр релаксации можно
определить формулой
Применив опять формулу (4.117), можем написать
Аф) =
6 (s ~s/)
s • I ф' (Sy) I
(4.118)
К тем же результатам 'чередования знака производной придем, предпо-
ложив, что в первом интервале функция отрицательна.
132
Представив спектр релаксации в форме (4.11) и сравнив с урав-
нением (4.118), получаем
Тт , . -Т х/ -ч (4.119)
N (s) = 2J Луд(5 —sy)
/==1
где
12. ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ
Все приведенные выше общие зависимости между напряже-
нием, деформацией и временем получены без применения каких-
либо моделей. Покажем теперь, что уравнение модели с произволь-
ным числом основных элементов можно получить
как частный случай общих уравнений, соответству-
ющий чисто дискретным спектрам релаксации и
запаздывания.
Канонические типы моделей. Рассмотрим дефор-
мацию при постоянном напряжении о0, когда функ-
ция ползучести ф (/) имеет m времен запаздыва-
ния Ту. По уравнению (3.2), в которое подставлено
значение функции ползучести из уравнения (4.40),
имеем
е(0 = а0а04-
t
— о0 + ао
Но
m
S м, (> -
/=1
(4.120)
Построим модель, общая деформация которой
при постоянном напряжении будет определяться
уравнением (4.120). Первый член в правой части
уравнения представляет мгновенную деформацию
пружины с модулем
£о = 4- (4-121)
Второй член — вязкое течение демпфера с вязко-
стью л о- Третий член представляет сумму m запаз-
дывающих деформаций, из которых каждая соответ-
ствует деформации простой модели Кельвина. Пар
аметры /-ой
модели Кельвина определяем сравнивая /-тый член суммы с пра-
вой частью уравнения (1.68):
/¥=0
Рис. 55. Схе-
ма обобщен-
ной модели
Кельвина.
(4.122)
Общая деформация по уравнению (2.4) равна сумме частных
деформаций, поэтому пружина, демпфер и m моделей Кельвина
должны быть соединены последовательно, как показано на рис. 55.
Такая модель называется обобщенной моделью Кельвина.
133
Когда общая деформация не имеет слагаемого, соответствую-
щего мгновенной деформации, следует положить сс0 = 0 и исклю-
чить из модели изолированную пружину. Если общая деформация
не имеет члена, соответствующего вязкому течению, следует по-
ложить 1/т]о = 0 и исключить из модели изолированный демпфер.
Когда общая деформация не имеет ни мгновенной деформации,
ни вязкого течения, модель
Модель Кельвина
Модель Максвелле
Тип 6
(Класс
В
Рис. 56. Канонические типы моделей
Кельвина I и Максвелла II.
не должна иметь изолированных
элементов, а только простые
элементы Кельвина.
Отсюда следует, что обоб-
щенная модель Кельвина может
иметь четыре существенно раз-
личные частные формы, показан-
ные схематически на рис. 56
(левая колонна), которые назы-
ваются каноническими типами
механических моделей.
Рассмотрим теперь измене-
ние напряжения при постоянной
деформации, когда функция ре-
лаксации имеет т времен релак-
сации. Так как некоторые формы
моделей не имеют мгновенной
деформации, воспользуемся об-
щим уравнением (2.15), которым
учитывается эта возможность.
Подставив значение функции
релаксации из уравнения (4.2),
получаем
G(t) =Еоо80 + 80й0д(0 +
т _
4~ ео Р Л /б
/=1
(4.123)
Построим модель, общее напряжение которой при постоянной
деформации определяется написанным уравнением. Первый член
в правой части уравнения представляет напряжение пружины
с модулем Е^. Для того чтобы выяснить механическое значение
второго члена, рассмотрим изолированный демпфер, которому
дана мгновенная деформация е0. Подставив в уравнение (1.7)
значение производной de (t)!dt из уравнения (6.49), получаем
’ (O = eorjo6 (О
Это соответствует высказанному ранее положению, что создание
конечной деформации элемента, который не имеет мгновенной
134
Деформации, требует приложения бесконечно йольшого напряже-
ния. Второй член в уравнении (4.123) представляет напряжение на
изолированном демпфере с коэффициентом вязкости По- Третий
член представляет сумму т релаксирующих напряжений, из кото-
рых каждое соответствует напряжению простой модели Макс-
велла. Параметры /-той модели Максвелла определяем, сравнивая
/-тый член суммы с правой частью уравне-
ния (1.23):
= н. = Т.рл., /=£0 (4.124)
равно сумме трех частных напряжений,
поэтому пружина, демпфер и т моделей
Максвелла должны быть соединены последо-
вательно, как показано на рис. 57. Такая
модель называется обобщенной моделью
Максвелла.
Различные канонические типы обобщенной модели Максвелла
получим, исключив изолированную пружину, изолированный
демпфер или оба эти элемента. На рис. 56 (правая колонна) пока-
заны схематически четыре канонических типа модели Максвелла.
.Значения параметров, характеризующие различные канонические
типы моделей, даны в табл. 2.
Общее напряжение по уравнению (2.15)
Рис. 57. Схема [обоб-
щенной модели Макс-
велла.
I .1 б л и ц а 2. Значения параметров канонических типов моделей
Класс Модель Кельвина Модель Максвелла
А °^о 6; По 4s 6 £о = 0; rfo = 0
В “о = 0; По = ° £о¥=0; *Го=¥=О
С Фо5^ 6; Но = 0 Ао^О; Но ~ 6
D ос0 — 0; По 0 Во == 0; Но Ч~ 0
Простые модели типов а и Ь, рассмотренные в гл. 1, относятся
। одному из установленных канонических типов. Модели типа а
относятся к моделям Кельвина, модели типа b — к моделям Макс-
велла. Таким образом, например, трехэлементная модель класса С
типа b относится к каноническому классу С модели Максвелла.
Четырехэлементная модель класса В типа а относится к канони-
ческому классу В модели Кельвина. *
135
Простая модель Кельвина и простая модель Максвелла со-
стоят каждая из двух основных элементов. Поэтому канонические
типы моделей классов А и В имеют четное число основных элемен-
тов, при этом число пружин должно быть равно числу демпферов.
Если в модели число пружин не равно числу демпферов, однотип-
ные элементы окажутся соединенными параллельно или последо-
вательно. Такие однотипные элементы могут быть заменены одним
приведенным элементом и, следовательно, общее число основных
элементов может быть уменьшено. Таким образом, приходим к сле-
дующим результатам:
а) когда модель имеет четное число элементов, число пружин
должно быть равно числу демпферов;
б) любое соединение четного числа элементов приводит к мо-
делям класса А или В, модели класса В не имеют мгновенной
деформации.
Канонические типы моделей классов С и D состоят каждая из
нечетного числа основных элементов. При нечетном числе основ-
ных элементов число пружин должно отличаться от числа демп-
феров на единицу, так как модели указанных типов могут разли-
чаться только изолированными элементами. Когда число пружин
на единицу больше числа демпферов, модель приводится к кано-
ническому типу класса С; когда число демпферов на единицу
больше числа пружин, приходим к каноническому типу класса D.
Отсюда следует, что для моделей с нечетным числом основных
элементов:
число пружин должно отличаться от числа демпферов на еди-
ницу;
возможно существование только одного класса модели с данным
нечетным числом основных элементов.
Соответствие моделей. Модели. Кельвина и Максвелла оди-
накового канонического типа должны иметь соответствующее
механическое поведение. Покажем, что такие модели имеют рав-
ное число основных элементов.
Начнем с моделей, относящихся к классу А. Пусть модель
Кельвина имеет т времен запаздывания и состоит, следовательно,
из (2m + 2) основных элементов. Так как модель имеет вязкое
течение, то, как показано в предыдущем разделе, число времен
релаксации равно т + 1. Соответствующая модель Максвелла
должна состоять из (m + 1) простых моделей Максвелла и имеет
поэтому (2m + 2) основных элементов. Таким образом, число основ-
ных элементов в соответствующих моделях класса А одинаковое.
Рассмотрим теперь модель Кельвина класса С. с т временами
запаздывания. Так как модель не имеет вязкого течения, число
времен релаксации должно быть равно т. Следовательно, число
основных элементов в соответствующих канонических моделях
класса С одинаковое. Этот же результат легко получить и для ка-
нонических типов моделей классов В и D.
136
Зависимости между постоянными для соответствующих мо-
делей легко получить с помощью уравнений предыдущего раздела.
Пример. Рассмотрим каноническую модель класса С с тремя элементами.
Подставив в уравнение (4.114) значение функции ср (s), соответствующее трех-
шементной модели класса С, из уравнения (4.115), получаем
<p(s) =
«о
S
^4 Is!
S(S1—S)
Корень этого уравнения
I [аходим производную
«о
Подставив значение корня sx, получаем
Подстановка в уравнение (4.119) дает
ао (ао + ^1)
По уравнениям (4.121) и (4.122) для параметров модели Кельвина имеем
=
At
Для модели Максвелла, по уравнениям (4.124), имеем
Уравнение (4.69) дает
= £° = (оо) + -
В рассматриваемом случае
4|j(oo) =л,= 1/Ег
следовательно
F 1 £о£1
0 l/£i + a0 ’ Ео + Е1
Для двух других параметров модели Максвелла имеем
Полученные зависимости между параметрами моделей Кельвина и Максвелла,
как и следовало ожидать, совпадают с условиями эквивалентности (1.87), выделен-
ными непосредственно из дифференциальных уравнений моделей.
137
Приведенный пример —один из немногих, которые легко про-
вести до конца в буквенном виде. Когда уравнение для точек
спектра выше второй степени, уже нельзя выполнить все необхо-
димые операции в буквенном виде. С увеличением степени уравне-
ния (р (s) = 0 определение корней осложняется. Для уравнений
Ф (s) = 0 и ф (s) = 0 корни следует вычислять численными мето-
дами, если уравнения выше второй степени.
Изложенный в этом пункте метод определения параметров
модели применяется, когда функция релаксации или функция
ползучести представлены в виде суммы показательных функций.
В данном случае неизвестная функция будет тоже суммой показа-
тельных функций. Показатели при экспонентах определяются
методом, изложенным ранее на стр. 130, а амплитуды определяются
методом, изложенным в этом пункте. Оба метода особенно удобны
для применения электронных вычислительных машин. Для не-
большого числа показательных функций, когда нет необходимости
получения результатов большой точности, можно пользоваться
и ручным счетом.
13. СТРУКТУРА ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ
ОСНОВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Приведенные выше уравнения дают возможность определить
механическое поведение материала при различных внешних усло-
виях, если задана одна из основных функций, например функция
ползучести или релаксации.
Все зависимости подразделяются на две группы: группа I —
зависимости, полученные при заданном напряжении; группа II —
зависимости, полученные при заданной деформации.
В каждой группе рассматриваются:
а) Напряжение или деформация, изменяющиеся по гармони-
ческому закону, при этом в группе I вводится комплексная дина-
мическая податливость, а в группе II комплексный динамический
модуль упругости.-
б) Постоянное напряжение или деформация, при этом в группе
I основная функция — функция запаздывания, а в группе II
основная функция — функция релаксации.
в) Дифференциальные свойства характеризуются в группе I
спектром запаздывания или плотностью времен запаздывания,
а в группе II спектром релаксации или плотностью времен релак-
сации.
На рис. 58 показаны зависимости между основными функциями.
В одном горизонтальном ряду расположены соответствующие
основные функции. Переход внутри группы от одной функции
к другой производится преобразованием Фурье или Лапласа.
Особенно важна возможность перехода от функций одной группы
к функциям другой группы. Это позволяет определить механи-
138
ческоё поведение при заданном напряжении по известному меха-
ническому поведению при заданной деформации, и наоборот.
Как видно из схемы, переход от одной функции к другой воз-
можен различными путями. Например, переход от функции пол.
зучести к спектру запаздывания или переход от функции релак
Задано Задано
напряжение деформация
СТ £
Группа I Группа II
Рис. 58. Схема зависимостей между основными функциями.
еации к спектру релаксации можно сделать путем обращения
преобразования Лапласа. Однако практически более удобно
перейти к комплексной динамической податливости или комплек-
сному динамическому модулю упругости, а затем уже к соответ-
ствующему спектру. Вообще кратчайший переход между функ-
циями не всегда оказывается наиболее удобным. Иногда обход-
ный путь приводит к более простым вычислениям.
139
14. ХАРАКТЕР СПЕКТРА ВЯЗКОУПРУГОГО
МАТЕРИАЛА
Экспериментально определенные функции релаксации, ползу-
чести или динамического модуля не дают возможности определить,
соответствует ли данному материалу непрерывный или дискретный
спектр. Оба вида спектра могут с одинаковой степенью прибли-
жения описать экспериментальные данные. Видимо, интересно
установить вид спектра реального материала из теоретических
соображений. Мы здесь не будем рассматривать характер спектра
как следствие молекулярной структуры, а ограничимся только
механической моделью.
Можно использовать обобщенную модель Максвелла или Кель-
вина, число элементов которой стремится к бесконечности так,
что общая длина модели остается постоянной. При этом полу-
чается непрерывное распределение моделей на заданной длине.
Однако такая бесконечная модель теряет главное преимущество
механических моделей — наглядность. Поэтому, следуя работе
[34], рассмотрим равноценную, но более наглядную модель вяз-
коупругого материала с непрерывно распределенными пара-
метрами.
Пусть прямой тонкий упругий стержень постоянного сечения
погружен в вязкую жидкость. Один конец стержня закреплен,
а к другому концу приложено гармонически изменяющееся напря-
жение или перемещение. В данном случае напряжение и переме-
щение зависят не только от времени /, но и от абсциссы х, измеряе-
мой от закрепленного конца. Закон Гука для упругого стержня
запишем в виде
о (х, /) = £ (4.125)
С/Д
где
ди (х, t)
8(х,
0 =
дх
и (х, /) перемещение
ляется уравнением
в точке х. Вязкое сопротивление опреде-
ли (%, t) _ ди (х, t)
дх ~ dt
(4.126)
Обозначения для модуля упругости и коэффициента вязкости
оставлены без изменения, но размерность этих постоянных теперь
отличается от размерности, принятой ранее. Дифференцируя
уравнение (4.125) по /, а уравнение (4.126) по х, получаем
1 до __ д2и
Е ’ dt дх dt
1 д2о __ д2и
ц дх2 ~~ dxdt
140
Следовательно
1 д2о _ 1 до
ц дх2 ~~ Е dt
Введем обозначение
(4.127)
(4.128)
тогда предыдущее уравнение принимает вид
д2сг до
дх2 а dt
(4.129)
Подобным же образом, дифференцируя уравнение (4.125)
по х и исключив с помощью уравнения (4.126) производные от о,
получаем
д2г/ __ ди
дх2 а dt
(4.130)
На закрепленном конце имеем граничное условие
(0, 0=0 (4.131)
На свободном конце задано гармонически изменяющееся
напряжение
o(t, t) = o0ezt (4.132)
здесь z — комплексная постоянная, удовлетворяющая условию
1<е z 0, т. е. колебания происходят с постоянной или возра-
стающей амплитудой.
Ищем решение уравнения (4.130) в виде
и (х, t) — ф (x) ezt (4.133)
Подстановка в уравнение (4.130) после сокращения на ezt
дает
ф" (х)— azcp(x)=0 (4.134)
Решение этого уравнения имеет вид
Ф (х) = A sh j/~ az х + В ch az х
(4.135)
Граничное условие (4.131) дает
ф (0) = в = 0
следовательно
Ф (х) = A sh az х
На свободном конце имеем х = /
Ф (/) = A sh ]/azl
Таким образом получаем решение уравнения (4.130) в виде
. * ,—
sh Г az х .. 1ОЛ.
U (%, t) ~ UQ -—: (4.136)
sh у az I
141
Найдем зависимость между и и о на свободном конце стержни.
Подстановка в уравнение (4.125) после сокращения на ezt дает
г— ch Vazl ..
— Еи0 у az ---— (4.137)
sh Vazl
Отсюда получаем выражения для комплексных модуля и по-
датливости
Е (z) = Еи0 У az cth У az I
J (г) =-----/= th Vaz I
Eu0 Кaz
(4.138)
(4.139)
Спектры релаксации или запаздывания можно теперь вычис-
лить с помощью формул (4.29) или (4.54). Найдем, например,
спектр запаздывания. Воспользовавшись формулой
th г =
sh х ch х + i sin у cos у
ch2 x cos2 у + sh2 x sin2 у
- = и (x, у) + iv (x,
У)
(4.140)
замечаем, что на мнимой оси
В(0л)^0; v(0, у) = ^~
(4.141)
Следовательно, все полюсы лежат на мнимой оси. Вычислив вы-
четы относительно полюсов и применив формулу (4.54), получаем
спектр запаздывания в виде
со
sN(s) = 2 ^n^(s~ sn)\
п=1
я2п2
Sn = ~4аР
(4.142)
Так как спектр запаздывания дискретный, спектр релаксации
будет тоже дискретный. Проще можно убедиться в том, что спектры
дискретные, рассмотрев деформацию стержня с постоянной ско-
ростью. В этом случае имеем решение
и (х, i) = v0 + £ *1 L v- nW \ ' t'nCOSZZJT ПТЕ v a /2 1 .. 1ylO4 У __У sm „ * (4.143) /in I n=l
которое опять дает дискретный спектр запаздывания.
Таким образом, приходим к выводу, что непрерывному рас-
пределению параметров соответствует дискретный бесконечный
спектр.
Глава 5
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Экспериментальные результаты получаются обычно в виде
соответствующих численных значений аргумента и функции,
например времени и деформации или времени и напряжения и т. п.
/[ля удобства обозрения численный материал полезно предста-
вить графически. Когда результат эксперимента получается в виде
кривой, вычерченной прибором, для определения механических
постоянных следует составить таблицу численных значений аргу-
мента и функции. Значения аргумента обычно берут с равными
интервалами или, если интервал определения аргумента очень
большой, с равными интервалами в логарифмическом масштабе.
Сравнение экспериментальных кривых с соответствующими
кривыми для простых моделей позволяет выбрать модель, кото-
рая может быть первым приближением для исследуемого мате-
риала. После выбора соответствующей модели по качественным
признакам определяются численные значения параметров мето-
дами, изложенными в настоящей книге. Если приближение, кото-
рое' получено таким методом, оказывается неудовлетворительным,
следует обратиться к общим методам описания механического
поведения.
Касаясь точности описания механического поведения, можно
привести следующую цитату из работы ([8], стр. 138):
«При рассмотрении вопроса о точности следует иметь в виду,-
что пи при каких обстоятельствах мы не можем ожидать абсолют-
ной точности. Точно так же не может быть речи о получении резуль-
гатов с произвольно установленной точностью».
Это положение, высказанное по частному случаю, для описа-
ния механического поведения полимеров имеет общее значение.
11е говоря уже о довольно малой точности механических измере-
ний для полимерных материалов, особенно таких, как резина,
полимерному (материалу присуща внутренняя неоднородность,
которая отражается на разбросе измеряемых величин.
Точнее, между механическими и физическими характеристи-
ками полимерных материалов существует не функциональная,
। статистическая зависимость. Эта точка зрения была высказана
п работе [26]. Всякая функциональная зависимость для физи-
143
ческих величин — абстракция, дающая некоторую приближен-
ную зависимость. Часто эта приближенная зависимость оказы-
вается удовлетворительной. Для полимерных материалов во мно-
гих случаях нельзя удовлетворяться функциональной зависимо-
стью и необходимо рассматривать статистическую зависимость.
Таким образом, все приведенные в настоящей книге зависимо-
сти — это зависимости между средними значениями соответствую-
щих переменных.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ
ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
Релаксация при постоянной деформации. Простая
Максвелла. Логарифмируя уравнение (1.23), получаем
£
lg (J = lg (Jo — — *lg e
Введем обозначения:
£
lg = ^; lgcy0 = Z?;---—lge = a; t = x
тогда уравнение (5.1) принимает вид
у — ах + b
модель
(5.2)
(5.3)
Из уравнения (5.1) следует, что 1g о есть линейная функция от t.
Поэтому, прежде чем приступить к вычислению постоянных,
нужно проверить, насколько экспериментальные данные удовле-
творяют уравнению (5.1). Проще всего построить зависимость Igo
от /, используя как масштаб по оси ординат движок логарифми-
ческой счетной линейки. Если экспериментальные значения 1g о
не ложатся близко на прямую, то уравнением (1.23) пользоваться
нельзя и нужно перейти к более сложной модели.
Коэффициенты а и b из уравнения (5.3) определяются по урав-
нениям (6.78). По найденному значению Ь определяется <т0, далее
по уравнению (1.23)
Е = (5.4)
По уравнению (5.2)
Е ,
т) = — —-Ige
(5.5)
Деформация при постоянном напряжении. Простая модель
Кельвина. Если испытания проводились достаточно долго и экспе-
риментально определенное значение деформации можно принять
за 8 (со), задача значительно упрощается. Из уравнения (1.68),
положив t = оо, получаем
<?0
8(°°)
(5-6)
144
Уравнение (1.68) представляем в виде
Логарифмируя, получаем
1 /1 Е \ Е л
lg (1--------8 =----------t lg е
\ J И
Введем обозначения:
Е Е
1-----q — у--------lg е — a; t = х
(То Ч
Уравнение (5.8) принимает вид
у = ах
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
Отсюда следует, что экспериментальные точки х, у должны ло-
виться около прямой, проходящей через начало координат.
Постоянная а определяется по уравнению (6.78), а коэффициент
вязкости т] — уравнению (5.8)
Т] = —Alge (5.11)
Cv
Когда по экспериментальным данным нельзя непосредственно
определить 8 (оо) (опыт продолжался недостаточно долго), необ-
ходимо прежде всего определить Е. Это требует экстраполяции
жспериментальных данных, но такая операция всегда нежела-
тельна, и ее следует по возможности избегать.
Иногда можно воспользоваться следующим методом. Берем
три равноотстоящих экспериментальных значения деформации
s(/i) = 8i; е(/2) = е2; е (/3) = 83
Если трех равноотстоящих экспериментальных значений де-
формации не имеется, то сначала проводят плавную кривую по
жспериментальным точкам и берут возможно более удаленные
друг от друга точки 8j и 83, а точку 82 снимают с кривой.
Подставляя экспериментальные значения в уравнение (5.7),
получаем
<?0
10 и. и. Грдьберг
145
Разделив второе уравнение на первое и третье уравнение на вто-
рое, получаем
1 82 __ (^—1±) — — L
Q° л = е ч
1----------- 63 ___ Е ( / ______f \ Д
go _ р Ч 3 2_р
— tz - - " Cz
Разделив второе уравнение на первое, получаем
Отсюда
£ = оо ei-±-e?---fr (5.12)
8183 82
Затем определяем коэффициент а способом, указанным ранее.
Релаксация при постоянной деформации. Прямоугольный
спектр релаксации. Уравнение для функции релаксации (4.88)
перепишем в виде
у — /чр (/) — (e~~sH—e“'S29=A(e Sit—e~Szt) (5.13)
S2“sl
Возьмем равноотстоящие значения времени:
/2 = /j Д; /3 = 2/г; . . .; tn — t1 -|“ (п — 1) h
1
и соответствующие ординаты
У1 = А (e“S1/1 — e~S2/1) (5.14)
у2 = A (e~Sitie~Sih — e~S2tie~Szh) (5.15)
у3 = A (e-Sltie-2Sifl — e-S2tie~2Szh) (5.16)
Из уравнений (5.14), (5.15) и (5.16) исключаем показательные
функции и e~Szt^ Для этого умножаем уравнение (5.14) на
e—(st+sAh, а уравнение (5.15) — на (е-5^ + е~s*h). Получаем
у^е—(Si+s2) h ___ —Si^e—(si+s2) е—Sz^ie~(Si~bsA (5.17)
у2(е sihJ^e szh} _—Sitie 2sth — е s2tie (si+s2) h —
si^—(Si+s.,) h__$—sztle~2szh
(5.18)
146
Складывая уравнения (5.16), (5.17) и (5.18), после соответствую-
щего преобразования имеем
j/з „ Уч (C—Sjh । c~Szh\ е— (si+s2) h (5 19)
У1 У1
Следовательно, три равноотстоящие ординаты связаны линей-
ной зависимостью. Введя обозначения
= e~Slh + <~sJ1 = а\ — e~(Si+S2'lh = b (5.20)
У1 У1
перепишем предыдущее уравнение в виде
Щ = + <5-21)
Коэффициенты а и b находим методом наименьших квадратов,
пли, если нет необходимости в особо точных результатах, методом
средних. Обозначим
e~s'h = Tii = т2 (5.22)
так как
V1 + ?2 = e~Slh + e“S2/i; = e~Sihe-'S2h = e~(S1+S2) h (5.23)
to и y2 будут корнями квадратного уравнения
72 — ay + b — 0 (5.24)
Таким образом, последовательность вычислений следующая.
По экспериментальным ординатам yL составляем линейные урав-
нения (5.21), определяем коэффициенты а и Ь, составляем квадрат-
ное уравнение (5.24), корни которого позволяют определить пока-
затели экспонент.
Перейдем теперь к определению постоянной А. Из уравнения
(5.13) путем умножения на er~s^ получаем
yeSzt = A * — 1] (5.25)
Обозначим
yeSzt = 0; e“(S1^S2) * — 1 = p ' (5.26)
когда из предыдущего уравнения получаем
0г- = Лщ- (5.27)
Отсюда находим коэффициент А методом наименьших квадратов
или методом средних.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Для определения основных функций большое значение имеет
преобразование Фурье. С помощью этого преобразования можно
определить действительную и мнимую части комплексного дина-
мического модуля по заданной функции релаксации или опреде-
лить функцию релаксации по действительной или мнимой частям
10*
147
комплексного динамического модуля. Это же преобразование
связывает функцию ползучести с комплексной динамической по-
датливостью и, следовательно, определяет функцию ползучести
или действительную и мнимую части комплексной динамической
податливости по одной заданной функции.
Формулы, определяющие основные функции с помощью пре-
образования Фурье, симметричны, так как само преобразование
Фурье симметрично своему обратному преобразованию. Как из-
вестно, для существования преобразования Фурье функции f (х)
необходимо, чтобы функция была абсолютно интегрируема, т. е.
должен существовать несобственный интеграл
оо
J | f (х) | dx ~ М < оо
о
Этот интеграл может существовать только при условии, что
/ (х) —> О при х —> оо, но данное условие не является достаточным,
так как при выполнении его интеграл может не сходиться. Напри-
мер, функция f (х) = 1/(1 + х) стремится к нулю при х —> оо,
но несобственный интеграл
оо
С dx 00
—£- = 1п(1+х)
J 1 + х v 7 о
о
не сходится. Для сходимости интеграла стремление к нулю должно
быть достаточно быстрым.
Порядок стремления к нулю подынтегральной фуйкции опре-
деляет характер сходимости преобразования Фурье. Все экспери-
ментально определенные функции задаются всегда на конечном
интервале, тогда как для вычисления интеграла Фурье необхо-
димо знать подынтегральную функцию на всей действительной
полуоси. Поэтому для вычисления интеграла Фурье необходимо
подынтегральную функцию, определенную на конечном интер-
вале, экстраполировать на бесконечность.
Всякое экстраполирование вообще крайне нежелательная
операция, так как методов экстраполяции, обеспечивающих
надежные результаты, не существует. Особенно нежелательна
экстраполяция на бесконечность. Эта экстраполяция может быть
заменена экстраполяцией на нуль, путем замены переменной
в несобственном интеграле с бесконечным пределом интегриро-
вания. Так как при этом подынтегральная функция будет иметь
бесконечный разрыв в нуле, такая замена ничего существенного
не дает.
Перед экспериментатором, желающим обработать свои резуль-
таты с помощью преобразования Фурье, возникает дилемма:
либо вообще отказаться от формул, включающих несобственные
интегралы, а таких формул большинство, либо экстраполировать
подынтегральную функцию на бесконечность.
148
Некоторые авторы рекомендуют следующий метод прибли-
женного интегрирования несобственного интеграла. Этот метод
применяют как для интеграла с бесконечным пределом интегри-
рования, так и для интеграла от функции с бесконечным разры-
вом. Рассмотрим интеграл от функции с бесконечным разрывом
в начале координат (как уже упоминалось выше, заменой перемен-
ной такой интеграл приводится к несобственному интегралу
в бесконечном интервале). Тогда, отсекая узкую полоску, примы-
кающую к оси ординат, получаем приближенное значение несоб-
ственного интеграла
а а
J f (х) dx & J f (х) dx
о 8
здесь 8 — малая положительная величина. Такое приближение
может привести к значительным ошибкам, как это видно на следую-
щем примере: пусть f (%) = х-3/4, а = 1, 8 = 0,01. Отсекается,
следовательно, узкая полоска, ширина которой равна всего 1%
длины интервала интегрирования. Точное значение несобственного
интеграла
1
= 4
о
Приближенное значение несобственного интеграла
1
J х“3/4 dx =
0,01
X1-3/4
1—3/4
1 __ 1 —0,316
0,01 ~ 0,25
Ошибка равна ——42--7— • 100 = 31,5%. Легко привести примеры,
когда для сколь угодно малого 8 ошибка будет сколь угодно
большой. Приведенный пример показывает, что методом отбрасы-
вания начального малого интервала можно пользоваться только
с очень большой осторожностью.
Рассмотрим пример вычисления модуля потерь £2 (<*>) п0
заданной функции релаксации ф (/) с помощью преобразования
Фурье по уравнению (3.33). В табл. 3 даны значения функции
релаксации,’ соответствующие прямоугольному спектру релак-
сации, при Sjl = 1, s2 = Ю, ф (0) = 180. В данном примере модуль
потерь определяется формулой (4.90), что позволяет вычислить
точное значение модуля потерь и оценить степень приближения,
которую мы здесь получаем.
Функция релаксации, как всякая экспериментально опре-
деленная функция, задана в конечном интервале. Для экстра-
поляции функции релаксации представим ее суммой двух функций
Ф(/) = <р(/) + <Р1 (/)
149
Таблица 3. Вычисление модуля потерь по функции релаксации
t -Ф (/) <Pi (O •ф (f) — (Pi (O cos t Ф (f) cos t
0,0 180,00 28,50 151,50 1,0000 151,50
0,1 107,40 24,50 82,90 0,9950 82,50
0,2 , 67,34 21,00 46,34 0,9801 45,40
0,3 46,20 18,10 28,10 0,9553 28,6
0,4 32,60 15,50 17,10 0,9211 15,70
0,5 24,00 13,40 10,60 0,8776 9,30
0,6 18,20 11,55 6,65 0,8253 5,48
0,7 14,20 9,85 4,35 0,7648 3,32
0,8 11,20 8,47 2,73 0,6967 1,90
0,9 9,05 7,25 1,80 0,6216 1,12
1,0 7,36 6,25 1,11 0,5403 0,60
1,1 6,00 5,35 0,65 0,4536 0,29
1,2 5,02 4,60 0,42 0,3624 0,15
1,3 4,18 4,02 0,16 0,2675 0,04
1,4 3,52 3,39 0,13 0,1700 0,02
1,5 2,97 2,88 0,09 0,0707 0,01
1,6 2,52 2,51 0,01 —_ 0,00
Функцию <рх (/) выбираем так, чтобы она асимптотически совпа-
дала с функцией релаксации, т. е.
ф (/) ф! (/) при I > а
и, кроме того, должно быть известно преобразование Фурье для
функции (рх (/). В качестве функции <рх (/) можно взять одну из
трех функций: простую экспоненту, функцию релаксации для
прямоугольного спектра или функцию для прямоугольной лога-
рифмической плотности. В данном примере принято
Ф1(/)== Ае~и
Постоянные А и % определяются по наибольшим значениям функ-
ции релаксации. Можно использовать графический метод. Зна-
чения функции релаксации .строятся на полулогарифмической
бумаге, затем определяется касательная к конечной части графика
функции релаксации. Таким методом получены значения А =
= 28,5 и X = 1,52. Интеграл вычисляем по формуле Симпсона
[ <р (/) cos t dt = + [151,5 + 4 (82,5 + 26,8 +
J о
0
+ 9,3 + 3,32 + 1,12 + 0,29 + 0,04) + 2 (45,4 + 15,7 + 5,48 +
+ 1,90 + 0,6)] =
78,35
3
= 26,1
150
Для функции релаксации, определяемой простой экспонентой,
модуль потерь определяется по формуле (1.42), для со = 1 это
дает
E2(l)-28,5 1j522 + 1
= 13,1
Таким образом, окончательно получаем
Е2(1)= 26,1 + 13,1 = 39,2
Точное значение модуля потерь по формуле (4.90)
Е2(1)= 10 In^^pb^ = 39,1
Результат нужно считать вполне удовлетворительным, так
как относительная ошибка равна всего лишь 0,25%. Этот резуль-
тат не следует считать типичным. С увеличением частоты со точ-
ность вычислений быстро падает. Надо учесть еще, что число ор-
динат при вычислении интеграла должно быть достаточно боль-
шим. После того как в преобразовании Фурье бесконечный интер-
вал заменен конечным интервалом интегрирования, мы получаем
формулу, которая с точностью до постоянного множителя совпа-
дает с формулой для коэффициентов ряда Фурье. В нашем случае
в отличие от формулы для коэффициентов интервал интегрирова-
ния не будет кратным периоду тригонометрических функций.
Преобразование Фурье для больших значений частоты будет соот-
ветствовать коэффициентам Фурье при гармониках высокой ча-
стоты. Хорошо известно, что выделение гармоник высокой ча-
стоты в ряде Фурье связано с большими вычислительными труд-
ностями, так как требует большого числа ординат высокой точ-
ности для вычисления соответствующего интеграла.
При вычислении интегральных преобразований Фурье с по-
мощью приближенной формулы Симпсона шаг интегрирования h
следует выбирать так, чтобы на периоде колебаний Т = 2л/со
было не менее 12 шагов. Для функций релаксации экспоненциаль-
ного типа, т. е. удовлетворяющих условию
Ф (/)
где М и % — постоянные, интервал интегрирования 0 <* t <* tr
нужно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство
тогда относительная ошибка за счет замены бесконечного верх-
него предела интеграла Фурье конечным пределом не превышает
5%. Если выполняется неравенство Zf > 5, то ошибка будет
меньше 0,6%.
Таким образом определяется область практического примене-
ния преобразования Фурье для вычисления основных функций.
151
По известным значениям действительной или мнимой части ком-
плексного динамического модуля можно вычислить значения функ-
ции релаксации для малых значений времени. Как раз для малых
значений времени экспериментальное определение функции ре-
лаксации затруднительно. Вычисление функций модуля для малых
частот позволяет оценить, насколько удачно сделана экстрапо-
ляция функции релаксации, как, например, в приведенном выше
примере.
Следует напомнить, что для малых значений аргумента синус-
и косинус-преобразования Фурье не равнозначны. Поэтому вы-
числение, например, функции релаксации для малых времен по
действительной части комплексного динамического модуля и по
мнимой части (модуль потерь) для малых значений времени дает
значительную разницу результатов. Это связано с тем, что синус-
преобразование — функция нечетная, а косинус-преобразование —
функция четная. В случае малых значений времени для вычисле-
ния функции релаксации нужно отдать предпочтение косинус-
преобразованию. Для больших значений времени эти преобразо-
вания будут равнозначны и могут служить для проверки вычислен-
ных значений функции релаксации.
При вычислении производной функции ползучести по формулам
(3.41) и (3.42) также следует отдать предпочтение косинус-преоб-
разованию Фурье для малых значений времени, так как скорость
ползучести имеет максимальное значение в начальный момент.
Метод перехода от интеграла с бесконечным пределом к интегралу
с конечными пределами, изложенный на примере определения
функции релаксации, применим и для вычисления производной
функции ползучести и действительной и мнимой частей комп-
лексной динамической податливости.
Так как преобразование Фурье для больших значений аргу-
мента трудно вычислить, возникает идея разделить подынтеграль-
ную функцию не на сумму двух функций, а на сумму большего
числа функций с тем, чтобы по возможности уменьшить интервал
интегрирования. Эта идея непосредственно приводит к задаче
выделения экспонент, потому что экспоненты — наиболее простые
и удобные функции для приближения основных функций, таких,
как функция релаксации или ползучести, при этом комплексный
динамический модуль и податливость определяются тоже простыми
выражениями.
3. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Когда зависимость между напряжением и деформацией за-
дается в форме уравнения между линейными дифференциальными
операторами с постоянными коэффициентами, а входная функция
есть единичная функция, выходная функция получается в виде
суммы экспонент. Экспериментально можно определить выходную
функцию при заданной входной функции, т. е. найти сразу сумму
152
экспонент. Для вычисления параметров, характеризующих мате-
риал, нужно выделить экспоненты из данной суммы. Трудность
задачи оценивается разными авторами различно. Так, например,
Анго [27 ] дает решение этой задачи методом наименьших квадра-
тов для трех экспонент и пишет «. . . легко провести вычисление
и для большего их числа». Другого мнения придерживается извест-
ный специалист в области прикладного анализа Ланцош [8].
Он пишет: «Эта простая схема задачи выделения показательных
функций не дает еще представления о тех огромных практических
трудностях, которые возникают, когда ее пытаются применить
к физическим задачам. Даже выделение трех показательных функ-
ций может встретиться с неодолимыми трудностями. . . Не сле-
дует надеяться, что какой-нибудь иной математический прием мог
бы привести к лучшим результатам, ибо трудность заключается
не в способе вычисления, а в исключительной чувствительности
показательных функций и амплитуд к весьма малым изменениям
данных. От такого влияния не могут нас избавить никакие наи-
меньшие квадраты или другие статистические приемы. Единствен-
ным средством было бы увеличение точности измерений до таких
пределов, которые далеко превышают возможности современных
измерительных приборов».
Эти замечания весьма компетентного специалиста должны
заставить нас задуматься о том, насколько надежны «времена
релаксации», определяемые по экспериментальным данным во
многих работах. Прежде всего нужно знать, для чего определены
времена релаксации. Если речь идет только об экспоненциаль-
ной аппроксимации, т. е. о выборе некоторого аналитического
выражения, описывающего данный экспериментальный материал
с заданной точностью, то опасаться нечего, так как аппроксима-
ция обеспечивает математическую эквивалентность исходным
данным. Если же временам релаксации пытаются придать физи-
ческий смысл, то нужно соблюдать большую осторожность, чтобы
обеспечить точность определения времен релаксации.
~ Ниже приведены методы решения задачи о выделении экспо-
ненциальных функций, если задано значение их суммы в некотором
числе точек. Рассмотрим сначала более простую задачу, когда
число экспонент, которые нужно выделить, известно. Пусть
у (х) = Aie-^x + А2е-^х Н-Н Апе~КпХ (5.28)
здесь нужно найти неизвестные значения «частот» Zz и амплитуд
Az. Как известно, правая часть уравнения (5.28) есть решение ли-
нейного дифференциального уравнения /г-го порядка с постоянными
коэффициентами. Сумма экспоненциальных функций будет также
решением линейного разностного уравнения с постоянными коэф-
фициентами [8]. Действительно, рассмотрим разностное уравнение
а0 f (х) + ai f (х + f (х + 2А) + • • • + % f (х + kh) — 0 (5.29)
153
Решение этого уравнения ищем й виДё
/ (х) = 5х
(5.30)
Подстановка решения в уравнение (5.29) дает
«оГ + щГ+л + «2Г+2л + • • • + aklx+kh =
= Iх (°о + «1ВЛ + «г?2Л 4-+ akZ;h) = О
Так как =г= 0 для любого значения х, то из предыдущего урав-
нения получаем «характеристическое уравнение»
«о + <hlh + a-Ah -I----------F aklkfl = 0
(5.31)
Предположим, что характеристическое уравнение имеет только
простые действительные корни gx, g2, . . ., %k. Положив теперь
51 = е~Ы, ь = e-X,h.......lk== (5.32)
получаем
^1 =---In 5i, х2.=----Г In g2)
• , =-------J- In Ik (5.33)
/ L
Таким образом, задача сводится к определению неизвестных
коэффициентов at (i = 1, 2, . . k) характеристического уравне-
ния. Для определения п «частот» нужно иметь всего п
экспериментально определенных ординат и еще п ординат нужно
для определения «амплитуд» AL. Обозначим равноотстоящие экс-
периментальные значения через z/0, уъ . Последовательная
подстановка этих ординат в уравнение (5.29) дает систему (n + 1)
уравнений
аоУо + а1У1 апУп — 0
аоУ1 + а1У2 + * • • + апУп+1 — 0
(5.34)
аъУп + а\Уп+1 + * • ’ + апУъп — 0
Решая эту систему уравнений, находим неизвестные коэффи-
циенты характеристического уравнения (5.31). Затем находим
корни характеристического уравнения, которые согласно фор-
мулам (5.33) определяют соответствующие значения показателей
Zz. Так как, по предположению, ординаты определяются суммой
показательных функций вида (5.28), то характеристическое урав-
нение, как это следует из уравнений (5.32), может иметь только
простые действительные корни, удовлетворяющие условию
О < Ь < 1
(5.35)
<154
После определения показателей находим неизвестные ампли-
туды At. Для этого из уравнения (5.28) образуем систему
А1 + А 2 ••• -{-Ап — У о
^1^1 4~ А 2^2 + • • ’ + Ап^'П — У1
(5.36)
А^+^Г1
+ • • • +Ап1“ 1 — Уп_1 (
Обратимся к задаче о числе экспонент в сумме (5.28). В работе
[28] указан способ определения числа экспонент, основанный на
хорошо известной теореме исчисления конечных разностей (см.,
например, [29]). Приведем эту теорему без доказательства.
Для того чтобы f (х), имеющая конечное и определенное зна-
чение при х = 0, 1, . . ., удовлетворяла при этих значениях х
разностному уравнению с постоянными коэффициентами п-го
порядка, необходимым и достаточным является
D[f(x),/(х + 1), . . .,f(x + n)] =
f(x), f(x + 1), . . .,/(% + «)
/(*+!), /(x + 2),
(5.37)
И* + Л)> f (% + «+ 1),
f (x + 2n)
при x = 0, 1, 2, ... и, кроме того
D[f(x), /(%+!), . .
f(x + n— 1)]^0
(5.38)
хотя бы для одного значения х 1.
Определитель из уравнения (5.37) имеет порядок п + 1. В этот
определитель входит (2п + 1) равноотстоящих значений функции
f (х). В упомянутой выше работе указано, что условие (5.38)
может быть заменено условием положительности определителя
порядка ниже п + 1. Это следует из того, что все частоты —
действительные числа, а амплитуды At положительны. Указание
полезно для практических вычислений.
Уравнение (5.37) удовлетворяется только в том случае, если
в определитель входят точные значения функции f (х). Экспери-
ментально мы получаем всегда приближенные значения. Поэтому
вычисления определителя следует вести до тех пор, пока он не
изменит положительный знак на отрицательный. Если опреде-
литель имеет положительное, но близкое к нулю значение, то
это указывает на то, что рассматриваемое число экспонент доста-
точно для описания данного множества значений функции.
Пример. В табл. 4 даны 24 значения равноотстоящих ординат кривой релак-
сации. Изменение ординат охватывает примерно два с половиной десятичных по-
рядка, тогда как интервал изменения времени охватывает немногим больше од-
ного десятичного порядка. Интервал изменения времени в рассматриваемом при-
мере следует считать недостаточным для надежного определения суммы экспонент.
155
Таблица 4. Координаты функции релаксации
t Ф(О t t t Ф(О t t ф (О
0,0 3,100 0,4 0,639 0,8 0,172 1,2 0,062 1,6 0,029 2,0 0,016
0,1 2,044 0,5 0,448 0,9 0,130 1,3 0,050 1,7 0,025 2,1 0,014
0,2 1,366 0,6 0,320 1,0 0,100 1,4 0,041 1,8 0,021 2,2 0,012
0,3 0,927 0,7 0,233 1,1 0,078 1,5 0,035 1,9 0,018 2,3 0,011
7,437 1,640 0,480 0,188 0,093 0,053
Такой интервал времени в примере взят для большей наглядности результатов
вычислений.
Прежде всего экспериментальные данные следует построить на полулогариф-
мической бумаге. Если такой бумаги нет, нужно построить на обычной милли-
метровой бумаге точки с координатами х и 1g f (%). Это делается для того, чтобы
проверить, нельзя ли описать заданные значения функции f (х)с помощью только
одной экспоненты, как описано выше. Для реальных материалов обычно это воз-
можно с достаточной точностью только в небольшом интервале изменения времени.
Поэтому такое описание редко имеет практическое значение. Если интервал из-
менения времени охватывает более шести десятичных порядков, эксперименталь-
ные данные следует построить на логарифмической бумаге или на обыкновенной
миллиметровой бумаге построить точки с координатами 1g х и 1g f (х). Такое по-
строение иногда позволяет разделить экспоненты или выделить группы экспонент.
Простая экспонента f (х) ~ е~~х распространяется практически менее чем
на три десятичных порядка. Действительно, е0,01 = 0,9900, при изменении пока-
зателя в интервале 0<Z x<Z 0,01 ордината изменяется только на 1%, тогда как
е“6’9 — 0,0010. Отсюда следует, что при x<Z 0,01 можно принять е~х & 1, а при
х^> 6,9 принимается, что е~~х & 0. Когда экспоненты различаются по показа-
телю примерно на три десятичных порядка, их рассматривают независимо. По-
строение на логарифмической бумаге имеет целью разделение экспонент на осно-
вании приведенного выше свойства. К экспериментальным ординатам при по-
строении следует прибавить некоторую постоянную, чтобы избежать больших
по абсолютной величине значений логарифма.
Важно определить, какие значения функции f (х) нужно использовать для
возможно более точного определения показателей и амплитуд. Если взять слиш-
ком близкие ординаты, то разности между ними будут малы и могут оказаться
целиком внутри точности определения ординат. Если же взять слишком удален-
ные друг от Друга ординаты, то некоторые экспоненты оказываются настолько
ослабленными, что их невозможно будет выявить.
Вернемся к табл. 3. Значения функции релаксации считаем точными до
±0,0005. Эта точность, значительно превышающая обычно встречающуюся на
практике, принята для большей наглядности рассматриваемого примера. Прежде
всего следует определить число показательных функций, которые нужно выделить.
Берем достаточно далекие равноотстоящие значения функции релаксации и со-
ставляем определитель второго порядка в форме, данной уравнением (5.37). Возь-
мем, например, следующие значения: 3,100; 0,448; 0,100. Имеем
3,100; 0,448
0,448; 0,100
= 0,10930
Полученное значение определителя положительное, поэтому нужно перейти
к вычислению определителя более высокого порядка. Для этого разбиваем все
156
приведенные в таблице значения на шесть групп по четыре наблюдения в каждой
группе и суммируем значения по группам. Эти новые значения приведены под
таблицей. Составляем определитель третьего порядка по той же самой схеме
7,437; 1,640; 0,480
1,640; 0,480; 0,188
0,480; 0,188; 0,093
= 0,004380
Хотя определитель третьего порядка имеет положительное значение, вычисле-
ние определителя более высокого порядка уже не имеет смысла, так как мы по-
дошли к границе точности исходных данных. Поэтому определитель четвертого
порядка либо будет отрицательным, либо отличающимся от нуля на величину,
меньшую точности исходных данных.
Таким образом приходим к выводу, что нужно выделить три показательные
функции. Составляем систему линейных уравнений (5.34) для определения коэф-
фициентов характеристического уравнения (5.31). Имеем
7,437»0 + 1,640»! + 0,480»2 + 0,188 = 0
1,640»0 + 0,480»! + 0,188»2 + 0,093 = 0
О,48О»о + 0,188»! + 0,093»2 + 0,053 = 0
Приведенную систему решаем любым способом. Применим, например, способ
исключения. Разделив на коэффициенты при »0, получаем
»0 + 0,22052»! + 0,06454»2 + 0,02528 = 0
»0 + 0,29269»! + 0,11464»2 + 0,05671 = 0
»0 + 0,39167»! + 0,19375»2 + 0,11042 = 0
Вычитая из третьего уравнения первое и из второго уравнения первое урав-
нение, получаем
0,17115»i + 0,12921»2 + 0,08514 = 0
0,07217»! + 0,05010»2 + 0,03143 — 0
Разделив на коэффициенты при »п получаем
»i + 0,75502»2 + 0,49746 = 0
»i + 0,69420»2 + 0,43549 = 0
Вычитая второе уравнение из первого, получаем
0,06082»2 + 0,06197 = 0
Отсюда находим
»2 = —1,0189
Остальные коэффициенты имеют значения:
aQ = —0,0194; »х = 0,272
Теперь составляем характеристическое уравнение
g3 _ 1,01g2 _|_ о,272g — 0,0194 = 0
Корни этого уравнения
gi = 0,625; g2 = 0,28; g3 = 0,11
Отсюда по уравнениям (5.32), учитывая, что h = 0,4, получаем значения показа-
телей:
%!= 1,175; Х2= 3,18; Х3 = 5,53
157
Для того чтобы определить амплитуды, составляем систему уравнений по форме
(5.36), при этом нужно учитывать, что значения взяты с интервалом h = 0,4,
это дает
Ах + А2 + Ад — 3,1
0,625Ах + 0,280А2 + 0,110А3 = 0,639
0,391At + 0,0784А2 + 0,0121 А3 = 0,172
0,244Ах + 0,0219А2 + 0,00133А3 = 0,062
Так как система избыточная, то ее можно решать методом наименьших квадратов
или методом средних. Первые три уравнения дают следующие значения амплитуд:
Ах = 0,12; А2 = 1,37; А3 = 1,61
Получаем окончательную формулу для функции релаксации
t (0 = 0,12е~1,1757 + 1,37е—3,187 + 1,61е~5,537
Вычисленные по этой формуле значения функции релаксации отличаются от
данных в табл. 3 не более чем на единицу третьего знака. Значения функции ре-
лаксации, приведенные в таблице, вычислены по формуле
t (О = 0,1е~ * + е~3< + 2е~57
Можно считать, что выделение показательных функций дало удовлетвори-
тельный результат. В работе [8] дан пример, близкий по числовым значениям
к рассмотренному здесь. Там не удалось даже правильно определить число пока-
зательных функций. Вместо трех показательных функций выделяются только
две функции. Это объясняется тем, что в нашем примере точность исходных дан-
ных на порядок больше, и интервал времени больше. Пример показывает, что вы-
деление показательных функций требует большой точности исходных данных и
значительного интервала времени наблюдения. Если условия не выполнены, то
выделение показательных функций дает только эмпирическую формулу, удобную
для компактного описания табличных данных, но лишенную физического смысла.
Под физическим смыслом понимается определение постоянных по опытным дан-
ным с достаточной точностью.
Иногда выделение экспонент проводится совершенно элемен-
тарным способом. Так, например, в работе [30] указан очень
простой приближенный способ определения дискретного спектра,
хорошо соответствующего прямоугольной логарифмической плот-
ности времен релаксации. Этот способ удобно рассмотреть на
примере.
Пример. Пусть логарифмическая плотность времен релаксации определена
в интервале длиной два десятичных порядка. Например
ф(0)= 1; тх = 1; т2= 100; 1g хх = 0; lgT2= 2
По формуле (4.94) для логарифмической плотности времен релаксации имеем
158
Соответствующая функция релаксации по формуле (4.95) имеет вид
~ 4,605 ' E1 Е1 ( 100 ) '
Прямоугольная логарифмическая плотность времен релаксации заменяется
-шумя временами релаксации так, чтобы точки, соответствующие временам
ч'лаксации в логарифмическом масштабе, делили пополам единичные подынтер-
валы, как это показано на рис. 59. Функция релаксации определяется суммой
Рис. 59. Графики функций релаксации, соответству-
ющих прямоугольной логарифмической плотности вре-
мен релаксации и двум временам релаксации.
жспонспт с одинаковыми амплитудами. Имеем 1g т* = 0,5 и 1g т2 — 1,5, следо-
н иелыю, П = 3,16 и т2 = 31,6.
Функция релаксации, соответствующая двум временам релаксации, имеет
вид
Чч (О = -К
—//3,16 i —//31,6
О "“1 С/
Па рис. 59 видно, что расхождение между функциями релаксации становится
пычптсльным только для больших времен, когда функция релаксации имеет
ылые значения, которые могут быть определены экспериментально только с боль-
ший ошибкой. Поэтому расхождение несущественно, и приближение, которое
получено заменой прямоугольной плотности двумя временами релаксации, сле-
iyi 1 считать удовлетворительным.
На рис. 60 даны графики действительной и мнимой частей комплексного ди-
। нчпческого модуля, рассчитанные для прямоугольной логарифмической плот-
но. гн и для двух времен релаксации. Как видно из приведенных графиков, хуже
пито приближение для мнимой части комплексного динамического модуля.
На рис. 61 даны графики функций релаксации, вычисленные для прямоуголь-
ной логарифмической плотности, определенной в интервале длиной четыре деся-
Н1ЧПЫХ порядка. В данном случае
Ф (0) = 1; Tj—1; т2 = 10 000; ig тх == 0; lgT2=4
159
Рис. 60. Графики комплексного динамического модуля упругости,
соответствующие прямоугольной логарифмической плотности вре-
мен релаксации и двум временам релаксации.
Рис. 61. Графики функций релаксации, соответствующие прямо-
угольной логарифмической плотности времен релаксации и трем
временам релаксации.
160
Функция релаксации для прямоугольной логарифмической плотности будет
равна
=“адГ Е1(~О —Е‘(— юооо))
Прямоугольная плотность заменяется тремя временами релаксации, которые
делят в логарифмическом масштабе интервал определения прямоугольной плот-
ности, как это показано на рис. 61. Имеем 1g ту = 0,667, 1g т2 = 2,000 и 1g т3 =
Е(ш)^
W -
Рис. 62. Графики комплексного динамического модуля упругости, соответству-
ющие прямоугольной логарифмической плотности времен релаксации и трем
временам релаксации.
— 2,667. Следовательно, т* = 4,65, т2 = 100 и т3 = 2140. Амплитуды прини-
маются равными, поэтому функцию релаксации получаем в виде
^(0=4- 1е“//4-65 + е~//10° + */2140]
Расхождение между двумя функциями релаксации опять заметны только для
очень больших времен, т. е. для малых значений функций релаксации. На рис. 62
даны графики действительной и мнимой частей комплексного динамического мо-
дуля, наибольшее расхождение имеем для мнимых частей комплексного модуля.
Приведенные примеры показывают, что для аналитического
представления функции релаксации прямоугольная логарифми-
ческая плотность и дискретные времена релаксации дают близкие
результаты. Для мнимой части комплексного динамического мо-
дуля расхождение между двумя способами вычисления значи-
11 И. И. Гольберг
161
тельно. При этом дискретные времена релаксации дают хорошо
различимые максимумы, соответствующие каждому времени ре-
лаксации.
4. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ
РЕЛАКСАЦИИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
Уравнение (3.52) берем в такой форме, чтобы известная функ-
ция зависела от разности аргументов. Пусть, например, известна
функция релаксации, тогда
t
j ¥ (/ — т) ¥ (т) dx = t (5.39)
о
есть уравнение типа Вольтерра первого рода. Решение этого урав-
нения с помощью квадратурных формул хорошо известно [31].
Однако в применении к задаче вязкоупругости метод впервые
изложен в работе [32] и обычно носит название метода Гопкинса
и Хамминга. Метод состоит в следующем. Положим >
t
Т (т) dx = f (/)
(5.40)
Применив для приближенного вычисления определенного интег-
рала формулу трапеций, получаем
^+i
[ ¥ (Т) dx = / (/й+1) - f (tn) = -Ь [¥ (tn+1) + ¥ (/„)] (tn+1 - tn)
«J M
ИЛИ
f (Ui) = f(tn) + 4- + TO] (tn^-tn) (5.41)
В уравнении (5.39) интервал интегрирования разобьем на
(п + 1) подынтервалов и применим теорему о среднем значении
для определенного интеграла, тогда
^П+1 ^+1
Ui = J ¥(/n+1-T)^(T)dT= 2 j ¥ (/„+1 - т) ¥ (т) dr =
0 i=o tf
t.
п l+l
= Ц ^(^+1/2) J ^(tn+1-t)dx (5.42)
Z=0 ti
где ¥ (^+1/2) означает значение функции в средней точке интер-
вала (^-, Интеграл в правой части предыдущего равенства
преобразуем заменой переменной
t п+1 — X = и
162
получаем
J ¥ (/w+i~t) dr ==
^п+1 4+1
j ¥ (и) du =
*п+1~~4
*п+1~4 *n+i~4+l
J ¥ (u) du — J ¥ (w) du
о о
По формуле (5.40) имеем
*Z+1
J V (tn+i — T) du = f (tn+i — ti) — f (tn+i — 4+1)
4
Подстановка значения интеграла в правую часть уравнения
(5.42) дает
п
tn+1 = S Y (С+1/2) [f (tn+1 - tt) - f (tM - /z+1)l =
i—0
n— 1
= - S (W [/ (*„+1 - *i) - f (z„+1 - Z/+1)] +
Z=0
+ ^(^+1/2) [/(^+1-Q-/(Q1 (5.43)
Рекуррентное уравнение (5.43) позволяет последовательно
определять значения неизвестной функции W (^+1/2). При п = 0,
учитывая, что из уравнения (5.40) следует f (/0) = 0, имеем
и поэтому
¥<^)=7ТЬ-
(5.44)
В работе [33] дан метод, отличающийся от предыдущего ме-
тода. Этот метод особенно удобен для использования ЭВМ, а при
ручном счете дает сокращение объема вычислений.
Значения одной из функций задаются в узловых точках, об-
разующих геометрическую прогрессию со знаменателем 2
tlt t2 = 2/1( . . . , ti = 21'-1/!
Значения неизвестной функции определяются в этих же точ-
ках. Введем обозначения
V(M = T,-; T(/z) = ¥z
В интервалах между узловыми точками функции линейно ин-
терполируются. Считаем, что при t = 0 значение заданной функ-
ции известно и конечно. Из уравнения (3.49) получаем равенство
V, = 1 (5.45)
11’ 163
из которого находится начальное значение неизвестной функций.
Далее неизвестная функция последовательно вычисляется в точ-
ках tlt t2, . . . Допустим, что эти значения уже вычислены во всех
узловых точках до tn^ включительно. Будем искать значения
неизвестной функции в точке tn. В уравнении (5.39) интервал
интегрирования делим пополам и интегрируем в каждом интер-
вале от концов к середине. Можно написать
Рис. 63. Графики функций релаксации и
ползучести:
1 — кривая релаксации; 2 — кривая ползучести
(полиизобутилен); 3~ кривая релаксации; 4 —
кривая ползучести (по табл. 5).
(5-47)
[ Т(т)Т(^„-т)4т
О
(5.48)
Вычислим интеграл J r (Q. Линейная интерполяция подын-
тегральных функций дает
Т(^-т)|0<г</ =^п----»Sa2 (5.49)
*wI/. + 7~т~~т- 1=h 2.......п “1
(5.50)
Учитывая, что для i 2 разность tt — получаем
Л (tn) = 4- ( +^п<м) (5-51)
где
• То + 2Т1, П = 2 (5.52)
Рп~ | T0 + 6Ti + 2i 22(/-2)Ti-j-5.22("-3) Т«_1, П^З
I 4=2
164
¥0 + ¥lt
п = 2
(5.53)
Ч'о + гТх + З S 2'’_2^ + 2f-3'F„_1, п^З
1=2
Подобным же образом
J 2 (in) = -~4
Тл,1 - - У»
о с)П~—2
Рп + ^пЯп
(5.54)
где рп и qn получаются из рп и qn заменой Ч7 на Чг. Заметим, что
величины рп, qn, рп и qn не зависят от и и, следовательно,
могут быть вычислены по уже определенным величинам. Таким
образом, вычисление или Ч^ сводится к решению уравнения
/1(6г)+ A(6i)*=6i (5.55)
Отсюда, например, для вычисления Чгп получаем (при п 3)
нГ = 4~ ^П-lPn) ~г~ (рп 3 • 2х2 ^Яп)^п /t-
Для первых трех точек, поскольку точка t = 0 не входит в гео-
метрическую прогрессию, имеем формулы
¥0 = JU; ¥г = -_57°-~• (5-57)
То ¥ (2¥0 — ¥х)
_ 19¥2 - - 9¥0¥2 + 7¥?
Г 2 — =—7“ —---— ~ (5.58)
¥0 (2W0 + Ч\)2
Так как уравнение (5.39) симметрично относительно функций
Чг и Y, то для вычисления Чг применимы те же самые формулы.
Описанные выше алгоритмы легко реализуются на ЭВМ, не
требуя’ большого объема памяти. Выбранный шаг по аргументу
дает шаг по логарифму времени, это удобно для описания харак-
терных особенностей рассматриваемых функций. Представление
интеграла в форме (5.46) и последующее вычисление интегралов
Ji (4J и J2 (/п) приводит, во-первых, к тому, что при п узловых
точках число интервалов линейной интерполяции равно 2 (п — 1),
т. е. почти в два раза больше числа исходных узлов, и, во-вторых,
там, где подынтегральная функция имеет большую кривизну
(при малых т), интервалы интерполяции минимальны. Это поло-
жительно сказывается на точности метода.
На рис. 63 даны в логарифмических координатах графики
функций ползучести и релаксации*. Кривые 1 и 2 построены
по данным для полиизобутилена, заимствованным из книги
* Вычисления проведены на ЭВМ по программе, составленной Л. А. Сугак.
Ферри [4 ]. Кривые 3 и 4 построены для функций релаксации и пол“
зучести, для которых известно точное решение уравнения (5.39),
приведенное в табл. 5. Все расчетные значения отличаются от
заданных не более чем на единицу четвертого знака.
Таблица 5. Параметры функций релаксации и ползучести для точного
решения уравнения (5.39)
О
1
2
3
4
5
6
7
8
10"5
10“4
10"3
10-1
10°
101
103
ю4
ю5
0,03162
0,06310
0,1259
0,5012
1,000
1,995
7,943
15,85
31,62
2,548-10~4
3,755-10~5
4,657-10"4
2,763-10-2
4,368-10’1
4,928-10°
2,890-102
4,415-103
5,001-1О4
20,94
12,23
4,328
3,283
0,5988
0,2381
0,1924
0,03707
0,01462
Т (/) = b0 + let + Ё bfi
i=l
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ
ПО ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Приведенные ниже вычисления заимствованы из работы [5].
Почти все они проводятся в буквенном виде, но на последнем этапе
необходимо применять численный метод. Вероятно, не существует
основных функции, позволяющих
произвести все переходы в буквен-
ном виде, если не считать тех
функций, которые соответствуют
элементарным моделям.
Функция ползучести. Функцию
ползучести принимаем в виде
(рис. 64)
Рис. 64. График функции ползу-
чести.
где С — постоянная Эйлера.
как в гл. 4, получаем
Предельным
ф (/) == k0 In
(5.59)
переходом, так же
Ф (0) = о
что соответствует условию (2.1) для функции ползучести. При
t —> сю функция ползучести ф (f) неограниченно возрастает. Это
противоречит уравнению (4.35), из которого следует ограничен-
ность функции ползучести, Бесконечность функции ползучести
166
устраняется, если вычесть из правой части уравнения (5.59)
функцию In — и выбрать тх достаточно большим. Обычно экспе-
риментальные данные хорошо описываются уравнением (5.59),
и введение дополнительной функции не требуется.
Так как функция ползучести, определяемая уравнением (5.59),
неограниченно возрастает, равновесный модуль удовлетворяет
условию
(5.60)
Определение спектра запаздывания по функции ползучести.
Дифференцируя уравнение (5.59) по t (интегральная показатель-
ная функция дифференцируется
по нижнему пределу), получаем F(U
г/ф (/)
“/‘/То
dt “ 0
(5.61)
где
г0
По уравнению (4.36)
(5.62)
Рис. 65. График плотности времен
запаздывания.
№ (г)
(5.63)
Переходя к спектру запаздывания по уравнению '(4.38), по-
лучаем
sN (s) е ts ds — k
1 — e~Sot
(5.64)
где s0 = 1/т0.
Воспользовавшись таблицами преобразований Лапласа, получаем
N(s) =
So
О,
• —, 0 < s < s0
о
S > So
(5.65)
или, возвращаясь к плотности времен запаздывания, по уравне-
нию (4.37)
О,
₽Т(т)= ь
т < т0
т > т0
(5.66)
Плотность времен запаздывания, соответствующая уравнению
(5.66), показана на рис. 65.
167
Определение плотности времен релаксации по плотности вре-
мен запаздывания. Для определения спектра релаксации вос-
пользуемся уравнениями (4.85) и (4.86). Подставив значение плот-
ности времен запаздывания из уравнения
(4.86), получаем
уравнение
(Т) =
V
оо
с kp
J и
То
сйг __ а0
т — и т
, и
111 -——
т — и
оо
То
In
То
(5.67)
Подставив найденные выражения для F (т) и /(2 (т) в уравнение
(4.85) и приняв во внимание значение (3 из уравнения (4.70), после
сокращения получаем
0,
ОСо^О
Т < т0
Т > То
То
На рис. 66 показана плотность времен релаксации. Сравнивая
выражения для плотностей времен релаксации и запаздывания,
замечаем, что в малом временном
интервале плотности различаются
только постоянными множителями,
но в большом временном интер-
вале различие между плотностями
становится существенным.
Определение комплексной дина-
мической податливости по спектру
запаздывания. Комплексную дина-
мическую податливость
уравнениям (4.49) и (4.50) или по
времен
Рис. 66. График плотности
релаксации.
можно определить по
нию (4.45). В данном случае проще получить результат
способом. Подставив значение спектра запаздывания из
ния (5.65) в уравнение (4.45), получаем
Sq
J* (fco)
уравне-
вторым
уравне-
So
f ds
= ао
so
0
; «0
-—" I —---
со
(5.69)
т
= а0
о
о
т
1
т
^0
^0
1 2
s
J s0 S
о
168
Для того чтобы определить действительную и мнимую части,
представим комплексное переменное под знаком логарифма в по-
казательной форме
1 — j _?о. = ге«Ч>
(О
Отсюда
г = ?=^ctg-g-
Следовательно
In f 1 — i —= In reL4 — In r + йр =
\ co J
Таким образом, уравнение (5.69) принимает вид
k / s2 \
J* (/со) = ос0 + In I 1 + I — ik arctg
(5.70)
Определение комплексного динамического модуля упругости
по комплексной динамической податливости. Из уравнения (5.69)
следует
£*(to) =-----------1-------— (5.71)
сс0 /г0 In ( 1 — i )
\ со /
ИЛИ
Е* (ia) = —--------------1—--------------- . (5.72)
“о + -у- 1п ( 1 + ) — «А arctg
Для того чтобы, отделить действительную и мнимую части, умно-
жаем числитель и знаменатель на
тогда
(5.73)
(5.74)
169
Динамическую вязкость определяем по уравнению (3.43)
Для малых значений частоты, когда со < s0, можно положить
So
СО
тс
Из уравнения (5.75) получаем приближенное значение динами-
ческой вязкости
Т] (со)
£
со
. л
^0
СХ0 + k0 In —
со
(5.76)
Для больших значений аргумента логарифмическая функция
изменяется медленно, поэтому в достаточно малом интервале
изменения частоты со можно считать, что
Л(со)^А, co<so (5.77)
где А—некоторая постоянная.
Для больших значений частоты, когда со > s0, положим
тогда из уравнения (5.75) получаем приближенное значение дина-
мической вязкости (в знаменателе пренебрегаем членом с четвер-
той степенью отношения so/co)
г] (со)
___________kpso__________
WqCd2 + kQSQ (а0 + £)
со > s0
(5.78)
Определение спектра релаксации по комплексному динами-
ческому модулю упругости. Спектр релаксации определяется
по комплексному динамическому модулю с помощью уравнений
(4.27) и (5.71). Это будет другой способ определения спектра
релаксации и проверки правильности уравнения (5.65).
В уравнении (5.71) переменную /со заменяем на со£±/я. Аргу-
мент логарифмической функции
со
So
ко
170
после замены переменной можно представить в двух
аналитичес-
ких формах
«о
— е
со
So
s°<“
«о
со
s0 > О)
после подстановки в уравнение (5.71) будем иметь действительные
значения логарифма
(5.79)
— 1 )
При s0 <Г со комплексный динамический модуль имеет только
действительные значения, поэтому
Im £* (coe±ZjT) = 0, s0 < со
Умножив числитель и знаменатель второй дроби в уравнении
(5.79) на
осо + k0 In (—-1 ) ± ink0
получаем
Отсюда
По уравнению (5.79)
(5.80)
So
= ?0
Положив
171
и воспользовавшись уравнением (4.37), получаем
о, Т < т0
в соответствии с уравнением (5.69).
Определение функции релаксации по спектру релаксации.
Определив по уравнению (5.80) спектр релаксации N (s) и подста-
вив его значение в уравнение (4.8), приходим к интегралу Лапласа,
который не выражается известными элементарными или транс-
цендентными функциями. Таким образом, представление функ-
ции релаксации интегралом Лапласа является конечным этапом.
Разумеется, попытка определить функцию релаксации иным путем
приведет к такому же результату. Для численного определения
функции релаксации необходимо воспользоваться приближен-
ными методами. Иногда удобнее определять функцию релаксации
непосредственно по функции ползучести с помощью уравнения
(3.50). Полученное интегральное уравнение решается обычными
приближенными методами, например описанными в этой главе.
Глава 6
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
1. РЯДЫ ФУРЬЕ
Система функций
Ф1(х), ф2(х), ..фп(х), . . .
(6-1)
заданных на сегменте а -С х Ь, называется ортогональной нор-
мированной системой функций, если для любых двух функций
системы выполняется условие ортогональности
Фт (*)
ф/2 (х) dx —
О, т=]=п
1, пг — п
(6.2)
Рассмотрим функцию f (%), не входящую в систему (6.1), рав-
ную сумме
f W = (х) + С2ф2 (х) Ч--j- СпЦп (х) (6.3)
Произвольный коэффициент С; можно определить из уравнения
(6.3), умножив левую и правую части равенства на ф7- (%) и про-
интегрировав от а до Ь. Получаем
ь ь
J f W Ф/ (х) dx =r- cr J фг (х) ф; (х) dx ч-Ч"
а а
b Ь
+ ci, ф/ ф/ W dx Н-----+ J <Р„ (*) Ф/ W dx
а а
В силу условий ортогональности (6.2) все интегралы в правой
части равны нулю, за исключением интеграла
ь
J Ф/ (*) Ф/ (*) dx = 1
а
Следовательно
ь
cj = f (х) ф;. (х) dx (6.4)
а
Коэффициенты, определенные по уравнению (6.4), называются
коэффициентами Фурье функции f (х) относительно ортогональ-
ной системы функций (6.1).
173
Пусть теперь функция / (я) не равна сумме вида (6.3). Как
выбрать коэффициенты ц;-, чтобы сумма
^1Ф100 4~ (я) ~Ь * * Ч~ (х)
(6-5)
«наилучшим» образом представляла функцию f (%)? Могут быть
различные «наилучшие» представления. Для приложений важнее
всего наилучшее приближение в среднем. Коэффициенты суммы
(6.5) выбираются так, чтобы обратить в минимум интеграл
(6.6)
Покажем, что интеграл I обращается в минимум тогда, когда
коэффициенты а}- равны коэффициентам Фурье функции f (х).
Возведя в квадрат, раскрыв сумму и произведя почленное инте-
грирование, получим, приняв во внимание условие ортогональ-
ности (6.2)
b п b п b
I = \ f2 (•*) dx — 2 a. j f (x) Cfy (x) dx + a/ J Ф/ (x) Ф/ (x) dx =
a /—1 a /=1 a
b n n
= J f2 (x) dx — 2 ajcj + £/'/
a /=1 /=1
n
Прибавим и вычтем - J] С/, тогда
/=i
Ь п п п п
отсюда видно, что I = min, когда aj = Cj. Следовательно, коэффи-
циенты Фурье дают наилучшее приближение в среднем.
Обычные тригонометрические функции дают важный пример
системы функций, ортогональных на сегменте —л х л,
и вообще на всяком сегменте длиной 2л. Однако эта система не
нормированная, в чем легко убедиться, написав условия орто-
гональности
л л • ( 0>. tn =j= п
J cos тх cos пх dx = J sin тх sin пх dx = < (6.7)
—л —-л (л, т — п
л
J cos тх sin пх dx = О
—л .
174
Систему тригонометрических функций можно нормировать,
ножив каждую функцию на 1/]/л, однако для приложений обычно
применяют не нормированную систему
1, cos*, cos2x, . . cos aza:, . . sin x, sin 2x, . . sin nx, . . . (6.8)
Функция <p0 (лг) — 1 есть тригонометрическая функция вида
<рп (*) = cos пх ПРИ п 7 О-
Пусть функция f (х) равна сумме
f (%) = #0 -|~ a-! cos х + • * • + ctn cos пх + sin x + • • • + bn sin nx
(6-9)
Для определения коэффициентов Фурье поступаем так же, как
при выводе уравнения (6.4). Интегрируя почленно и принимая
во внимание условие ортогональности [формально надо еще
умножить на функцию <р0 (*) = b но это, очевидно, не меняет
вида уравнения (6.9)], получаем •
л л
J f (х) dx = а0 J dx — а0- 2л
—л —л
отсюда
(6.10)
Умножив уравнение (6.9) на cos пх и проинтегрировав, подобным
же образом получаем
л л
J f (х) cos пх dx — ап J cos пх cos пх dx = апл
—л —л
отсюда
л
—
Аналогично получаем
f (х) cos пх dx
л
—л
Если функция f (х) не равна сумме вида (6.9), то, как показано
выше, коэффициенты Фурье дают наилучшее приближение в сред-
нем для функции f (%) при данном числе членов суммы (6.9).
Вместо одной формулы для коэффициентов Фурье (6.4) полу-
чено три формулы [легко заметить, что уравнение (6.10) нельзя
получить из уравнения (6.11), положив п — 0], но это представ-
ляет некоторое неудобство.
175
Рассмотрим другой пример ортогональной системы
1, eix, . . einx, . . . ., e~inx, . . . (6.13)
Здесь i мнимая единица и, следовательно, eix комплексная функция
действительного переменного х. Для комплексных функций усло-
вие ортогональности записывается в виде
ь
J фт (*) Ф/z (х) dx
а
п
т~п
(6.14)
Здесь фт (х) обозначает функцию, сопряженную с срт (х); если
Ут (х) = и (х) + iv (х), то срт (х) = и (х) — iv (х). Имеем при
m=j= п
л л . . .
Г с л (п—т) х л
е-Йпхе1ПХ dx = ei(n-m)xdx= е ------- =0
J J I п — т —л
—Л —л х
Если т = п, то
J е— imxgitnx _ J t/x = 2л
—-Л —Л
Поэтому для коэффициентов Фурье теперь получаем одну формулу
С/г —
л
j— I f (х) e~tnxdx
2л J 1
—л
(6.15)
где п может принимать значения 0, 1, 2, . . —1, —2, . . .
Пусть теперь функция f (х) задана на сегменте —I < х
Систему ортогональных функций (6.13) можно применить и в этом
случае, сделав подстановку
X —
(6.16)
Функция е 1 будет периодической с периодом 21. При % = I
функция принимает значение einTC, а при g = —/ — значение e~~innt
т. е. те же значения, что и функция einx при х = л и х = —я.
Поэтому система
. пх . ппх . лх . плх
I ——- I —— — I —— — I ——
1, е 1 , . . е 1 , . . , е 1 , . . е 1 , . . . (6.17)
будет ортогональной на сегменте —I х I [для удобства
вместо £ в (6.17) написано х].
176
Для коэффициентов Фурье из уравнения (6.15), сделав под-
становку (6.16), получаем
(6.18)
С помощью подстановки (6.16) система тригонометрических функ-
ций (6 9) переходит в систему тригонометрических функций (пере-
менная £ после подстановки заменена на переменную х)
f ях
1, COS —Г-
пях . ях . пях
COS—Т- , . . sin - , . . Sin —у-
(6.19)
Коэффициенты Фурье принимают вид
а° 21
Ctfl —
bn —
2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Пусть функция f (х) представлена рядом
со . ПЯХ
— 2 спе 1
П— —оо
(6-21)
Подставив значение сп из (6.18), получаем
(6.22)
Рассмотрим, как будет меняться выражение в правой части при
неограниченном возрастании длины интервала 21. Сделаем под-
становку
4*
тогда
I оо
I /(g) rfg S д^плм*~6)
—I п— —СО
(6.23)
12 И. И. Гольберг
177
Сумма в правой части представляет собой сумму площадей прямо-
угольников с основанием AZ и с высотами
1 ^х—(Л'—В) <Х-Ч)
Когда I —» оо, АХ —> 0 и сумма стремится к определенному инте-
гралу
ОО оо
lim У1 &ketn^(x~^ — f е1^х~^ dk
дх->о ** J
п= —оо —ОО
Подставив найденное значение суммы в уравнение (6.23), полу-
чаем
Интеграл в правой части уравнения (6.24) [или в уравнении
(6.25) ] называется интегралом Фурье.
Положим
оо
g(b) = -±=r f /(g)e-^dg
V 2л Joo
(6.26)
Подставив з ачение g (X) из уравнения (6.26) в уравнение (6.25),
получаем
оо
Цх)=-±=- [ g(%)eiudk (6.27)
V 2л
Функция g(h), определяемая уравнением (6.26), называется пре-
образованием (или трансформацией) Фурье функции /(х). Одно-
временно функция f (х), определяемая уравнением (6.27), есть
преобразование Фурье функции g (X). Две функции, связанные
уравнениями вида (6.26) * и (6.27), называются парами Фурье.
Легко заметить, что функции f и §*, связанные уравнениями
(6.26) и (6.27), связаны также уравнениями
g (X) е lKx dk
(6.28)
(6.29)
178
С помощью формулы Эйлера интеграл Фурье можно предста-
вить в действительной форме. Имеем из уравнения (6.24)
со
— оо
co
—оо
Так как в левой части равенства стоит действительная функция,
в правой части равенства мнимая часть должна равняться нулю,
следовательно
оо
или
^ = -2«
— oo
оо оо
— oo
cos X (jv — g) d% d%
(6.30)
Если функция / (х) четная, т. е.
f(x) = f (-х)
то интеграл Фурье (6.30) упрощается. Имеем
оо оо
f W = — J л J
0 —ОО
оо оо
J cos^xdX
о
—oo
или
oo
co
(6.31)
Если
функция f (х) нечетная, т. е.
/ (*) ~f (—*)
то из
уравнения (6.30) подобным образом получаем
со ео
f (%) = J sin ‘кх dk J f (g) sin Xg d%
л 0 0
Положим
oo
f w =
0
f (X) = —
JT J
о
0
12*
179
Функция g (X) называется косинус-преобразованием Фурье
функции /. Соответственно функция
____ со
О
7 W =
cos Кх dk
(6.34)
будет косинус-преобразование Фурье функции g. Синус-преобра-
зования Фурье определяются уравнениями
g W =
/ (?) sin Xg dg
co
g (X) sin Xx dk
, (6.35)
(6.36)
3. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА
Интегральное преобразование вида
' F (р) = J h (g) е-Р^ dg
О
(6.37)
называется преобразованием Лапласа (или интегралом Лапласа).
В уравнении (6.37) значение р — комплексное переменное. Легко
показать, что преобразование Лапласа есть частный случай пре-
образования Фурье, и из уравнения (6.37) с помощью уравне-
ний (6.25) и (6.26) можно получить выражение для функции h (£).
Так как функция h (£) определена только для g 0, то ее можно
определить произвольно для | <0. Положим
при g<0
и сделаем подстановку р = k + ik.
Уравнение (6.37) принимает вид
оо
__L^P(%)=—_ [ ft (g) dg (6.38)
/2л /2л. Д
Сравнивая уравнения (6.38) и (6.26), видим, что
. g (X) = --^= F (X); f (g) = ft (g) e-k^
Применив уравнение (6 25), получаем
оо
/(х) = й(х)е-^ = —f F (к) dK
у 2л J у 2л
Отсюда
оо
/г (х) f F (к) ех (*+/w d%
L V
180
Вернемся к переменной р. Так как dp =: idh, то предыдущее ура о
нение принимает вид
h(x) =
k~j-l СО
[ F (р) ерх dp
k—loo
(6.3'.))
Уравнение (6.39) дает обращение уравнения (6.37). Функции, свя-
занные уравнениями (6.37) и (6.39), называются парами Лапласа.
4. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
/
Дельта-функция определяется следующим образом
6 (%) = о, х =f= О
(6.40)
со
d (х) dx —
(6-41)
Зависимости, содержащие дельта-функцию, имеют формальный
характер.
Для произвольной функции f (х) по второй теореме о среднем
имеем
со 8
f (х) 6 (х) dx = f (g) j 6(x)d(x), — es^gsce
-—оо —8
Пусть 8 —> 0, тогда и g - 0. Следовательно, согласно уравнению
(6-41) получаем
J f (х) 6 (х) d (х) = f (0)
—оо
(6-42)
Сделав подстановку х = £ — а, получаем
оо
Н£) 6 (g - a) dg;= Ш
(6.43)
1
Уравнение (6.43) можно написать также в виде
со оо
откуда следует равенство
Ш^-~«Ы(^(Ь«) (6.44)
Разумеется, уравнение (6.44) нельзя сокращать на 6 (£ —- а).
Из уравнений (6.42) и (6.44) следует, что
хб (х) = О
(6.45)
181
Рассмотрим функцию
<р(х) =
О,
1,
(6.46)
х < О
О
Пусть / (%) — произвольная функция. Рассмотрим интеграл от
произведения f (х) . Интегрируя по частям, получаем
ь
f d(p(x) ,
f (х) dx =
J ax
—a
ь f df (x) .
—a ~ J ~dT“ ф W dX'
—a
b > 0 (6.47)
(7 > 0,
f W <P w
Принимая во внимание уравнение (6.46), имеем
f W Ф (*)
b
—a
~ f (b)
Далее, имеем
—a 0
Подставляя полученные значения в уравнение (6.47) и переходя
к пределу при а —> оо и b —» оо, получаем
со
J f {*) dx = f (0)
(6.48)
Сравнивая уравнения (6.48) и (6.42), получаем
= 6 (х)
ах
(6.49)
Следовательно, дельта-функция равна производной от разрывной
функции ср (%), определяемой уравнением (6.46).
Рассмотрим интеграл от произведения двух дельта-функций.
Пусть f (%) — произвольная функция.
Имеем
оо оо
оо
— b) dg j f (11) 6 (1] — g) di] =
— oo
или
oo oo
= J /(?)«(&-*)<£ = f f 01) 6 01 - b) dt]
— oo —oo
00 oo oo
I f (tj) dll J 6 01 — I) 6 Д — b) d% = C f (I]) 6 (11 — b) di]
— oo —oo —oo
182
Следовательно
оо
6 01 -g) di=^-b)
Рассмотрим функцию
ip (х, X) = 4—— arctg кх
£ 3"С
((...'>1 )
Имеем
dty (%, X) __ X
dx ~ л (№х2 4- 1)
(6.52)
Можно заметить, что
lim гр (х, 2Q = <р (х)
Х->оо
где ф (%) определяется уравнением (6.46). Поэтому
или, ПОЛОЖИВ X = Х/з
6 (х) — Пт
С»
6 (х) = lim
^->0
8
л. (х2 4" £2)
(6.53)
(6.54)
Преобразование Фурье для дельта-функции получаем, приме
няя непосредственно уравнение (6.42).
Именно
(6.55)
По уравнениям (6.26) и (6.27) получаем
со оо
6 (х) = -J- [ dK = [ e~l^x d'k
' 2л J 2л J
-ОО -00
(6.56)
Преобразование Лапласа для дельта-функции нельзя полу-
чить непосредственно из уравнения (6.42), так как интеграл
берется только для положительных значений %. Поэтому поступим
следующим образом: введем функцию
х < О
О < X < 8
X > 8
(6.57)
183
Имеем
— 00
(6.58)
Так как интеграл (6.58) не зависит от 8, то, очевидно
lim 6е (х) = д (х)
Рассмотрим преобразование Лапласа для функции 6е (%).
Имеем
ОО СО
f If 1 р—Рх
дЕ (х) е рх dx — — е рх dx — —---------
J 8 J 8 р
О О
1 1
= 1 Р& Н--------------
р2&2
&р
Переходя к пределу, получаем
lim
е->0
6е (х) е рх dx •— J d (х) е рх dx — 1
о
(6.59)
Применив формулу обращения (6.39), получаем
k-j-i оо
6(x)=i J. ePXdp
k-—ico
(6.60)
С помощью дельта-функции можно представить ступенчатую
функцию, определяемую уравнением
Н*) =
'О, х < хх
X
> Х2
(6.61)
Функцию f (х) можно представить как разность двух функций
f (X) = /1 (X) - /2 (X)
где
и
(°,
h (х) =
(1,
(°,
k (X) =
и,
По уравненйям (6.46) и (6.49) имеем
dfi (х)
dx
4/а(х)
dx
184
и из уравнения (6.61) получаем
df (х)
dx
= d (х — хх) — б (x — x2)
(6.62)
5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА
Уравнение
X
<р (х) — f (х) + J К (х, s) <р (s) ds
а
(6.63)
в котором К (х, s) и f (х) — данные функции, а ср (х) — неиз-
вестная функция, называется интегральным уравнением второго
рода типа Вольтерра. Функция /С (х, s) называется ядром.
Будем искать решение интегрального уравнения в виде сте-
пенного ряда
Ф (х) = ф (х) + tapi U) 4-----------F ^лфл (х) + • • •
(6.64)
Подставляя ряд (6.64) в правую и левую части уравнения (6.63)
и сравнивая коэффициенты при равных степенях Z, получаем
Фо (х) = f (х);
х
Ф1 (х) = J К (х, s) <р0 (s) ds, ... ., <р„(х) =
а
х
J К (х, $) фи-! (s) ds
а
(6.65)
Уравнения (6.65) позволяют последовательно вычислять коэффи-
циенты ряда (6.64). В первом приближении, как видно из урав-
нений (6.64) и (6.65), <р (х) = f (х).
Уравнения (6.65) можно преобразовать так, чтобы каждая
функция ф/ (х) выражалась непосредственно через данную функ-
цию / (х). Выпишем уравнения для фх (х) и ф2 (х), заменив во вто-
ром уравнении переменную интегрирования s на tx
X X
*Pi (х) = J К (х, s) f (s) ds; <p2 (x) = j K. (x, t) <pj (!) dt
a a
Подставив значение (/) и изменив порядок интегрирования,
получаем
XX XX
ф2 (х) = j А (Ху t)dt j А (/, s) f (s) ds = j ds j к (x9 /) К (t, s) f (s) dt
a a as
Введем обозначение
x
№ (x, s) = [л (x, t) к (t, s) dt
s
185
теперь можно написать
ф2 (х) = J -К(2) (х, s) f ($) ds
а
Повторяя этот процесс, получаем
ф« (я) = J Д(п) (х, s) f (s) ds
a
где
' x
(x, s) = | к (X, t) /с*"-1) (/, S) dt
s
(6.66)
(6.67)
Ядра /C(n) (%, s), определенные рекуррентной формулой (6.67),
называются повторными или интерированными ядрами. Решение
(6.64) можно представить в виде
Ф (х) = / (х) А | К (х, s) f (s) ds + • • • + hn j (x, s) f (s) ds + • • • —
a a
x
= f (x) +X f [K(X, s)H------(X, s)4-----------------] f(s)ds
a
(6.68)
Введем обозначение
Г (x, s; A) = к (X, s) + АД(2) (x, s) H----------(%, s) -]------------------(6.69)
Уравнение (6.68) принимает вид
X
Ф (%) = f (х) + A J Г (х, s; A) f (s) ds
а
(6.70)
Правая часть уравнения (6.70) есть решение интегрального урав-
нения (6.63). Функция Г (х, s; А,) называется разрешающим ядром
или резольвентой. Подставив в уравнение (6.69), определяющее
резольвенту, значение итерированных ядер из (6.67), получаем х
Г (х, s; X) = к (х, s) + X j К (X, t) [/< (t, s) + (t, s) +
a
---------p (Z) S)
• • ] dt
Выражение в квадратных скобках под интегралом есть резоль-
вента, таким образом, получаем интегральное уравнение для ре-
зольвенты
X
Г (х, s; к) = К (х, s) + X J к (X, /) Г (/, s; X) dt (6.71)
а
186
6. НЕКОТОРЫЕ СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Формула Дирихле. Рассмотрим двойной интеграл, областью
интегрирования которого служит прямоугольный треугольник,
катет его совпадает с положительным направлением оси х, а гипо-
тенуза — с биссектрисой координатного угла. Изменив порядок
интегрирования, получаем
ах а а
J dx J f (х, у) dy — J dy J f (x, у) dx (6.72)
0 0 0 У
Гамма-функция. Гамма-функция есть трансцендентная функ-
ция, определяемая уравнением
Г (х) = J t^e"4 dt (6.73)
со
Интегрируя по частям, получаем
со
о
+ (х-1)
Г(х)= — 1х~гё~*
tx . 2е z dt — (х — 1) j tx 2е * dt
о
Отсюда получаем рекуррентную формулу
Г (х) = (х — 1) Г (х—1) (6.74)
Из уравнения (6.73) имеем
оо
Г(1) = j" ё~( dt = 1
о
По формуле (6.74)
Г (2) = (2— 1) Г (2 — 1) = 1
далее
Г (3) = (3 — 1) Г (3 — 1) = 2Г (2) = 2
Таким образом
Г (п) = (гг— 1)!
(6.75)
Следовательно, для положительных целых значений перемен-
ного х гамма-функция равна факториалу. Можно рассматривать
гамма-функцию как обобщение факториала. Таблицы гамма-
функции даны у Бронштейна [24] и у Янке [23].
Определение коэффициентов прямой методом наименьших
квадратов. Необходимо определить коэффициенты прямой
так, чтобы
у — ах 4- b
п
i = S — (ах‘ + bW =
(6.76)
(6.77)
187
здесь xlt у{ — координаты данных точек. Условию (6.77) удов-
летворим, приравняв нулю частные производные
д1 п
= — 2 £j [т — (ах£ + &)] xt = О
= — 2 2j — И* + *)] = О
или п
У_ Х[У i * а у1; Х[ & xi ~ О
i=l i=l z=l
(6.78)
-> п п
xl — Ьп ---= О
1=1 i=l
Решая систему уравнений (6.78), находим значения коэффици-
ентов а и Ь.
ЛИТЕРАТУРА
1. Каргин В. А., Слонимский Г. Л., Краткие очерки по физико-
химии полимеров, Изд. «Химия», 1967.
2. А л ф р е й Т., Механические свойства высокополимеров, Издатинлит, 1952,
3. Т р е л о а р Л., Физика упругости каучука, Издатинлит, 1953.
4. Ферри Дж., Вязкоупругие свойства полимеров, Издатинлит, 1963.
5. G г о s s В., Mathematical Structure of the Theories of Viscoelasticity, Her-
mann, Paris, 1953.
6. Фрейденталь А., Гейрингер X., Математические теории не»
упругой сплошной среды, Физматгиз, 1962.
7. Резниковский М. М.,Лукомская А. И., Механические испита»
ния каучука и резины, Изд. «Химия», 1968.
8. Л а н ц о ш К-, Практические методы прикладного анализа, Физматгиз,
1*961.
9. Слонимский Г. Л., О законе деформации высокоэластичных поли-
мерных тел, ДАН СССР, 140, 343 (1961).
10. Гольберг И. И.,О максимуме напряжения при деформации с постоян-
ной скоростью, Коллоид, ж., 22, 249 (I960)..
11. Скудр а А. М., Реология упруго-вязкого тела, армированного упруго-
вязкой арматурой, Второй Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной
механике, Аннотации докладов, Изд. «Наука», 1964.
12. Boltzmann L., Zur Theorie der elast ischen Nahwirkung, Sitzber. Akad.
Wiss., Wien, Math, naturw., KI, 70, 275 (1874).
13. Kastner S., Schlosser E., Zur phanomenologischen Teorie der
Visco-Elastizitat, Koll.-Z., 152, 116 (1957).
14. Gurtin M. E., Sternberg E., On the Linear Theory of Viscoelasti-
city, Arch. Rational Meeh. a. Analysis, 11, 291 (1962).
15. R ogers T. G., Pipkin A. C., Asymmetric Relaxation and Compliance
Matrices in Linear Viscoelasticity, Z. angew. Math. u. Phys., 14, 334 (1963).
16. Ван дер Поль Б., Бреммер X., Операционное исчисление на ос-
нове двустороннего преобразования Лапласа, Издатинлит, 1952.
17. Дёч Г., Руководство к практическому применению^преобразования Лап-
ласа, Физматгиз, 1958.
18. Leaderman Н., Viscoelasticity Phenomena in Amorphous High Poly-
meric Sistems, Rheology, ed. Eirich, v. II, Academic Press, 1956.
19. К У з ь м и н Р. О., Бесселевы функции, Гостехиздат, 1933.
20. Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, Физматгиз, 1967.
21. Ахиезер Н. И., Классическая проблема моментов, Физматгиз, 1961.
22. Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, Гос-
техиздат, 1946.
23. Янке Е., Эм де Ф., Таблицы функций, Физматгиз, 1959.
24. Бронштейн И. Н.,Семендяев К- А., Справочник по математике,
Физматгиз, 1962.
25. Хиршман И. И., У и д д е р Д. В., Преобразования типа свертки, Издат-
инлит, 1958,
189
26. Г о л ь б е р г И. И., К методике статистической обработки результатов
физико-механических испытаний, Каучук и резина, № 6, 23 (1957).
27. А н г о А., Математика для электро- и радиоинженеров, Физматгиз, 1965.
28. Bellman R., On the separation of exponentials, Boll. Unione Matem.
Italiano, 15, 38 (I960).
29. Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, Физматгиз, 1967.
30. Albrecht В., Freudental А. М., On Relaxation Spectra in Hard
Polymers, Rheol. Acta, № 4—6, 431 (1961).
31. Ми.хлин С. Г.,Смолицкий Х.Л., Приближенные методы решения
дифференциальных и интегральных уравнений, Физматгиз, 1965.
32. Н о р k i n s I. L, Hamming R. W., On Creep and Relaxation, J. Appl.
Physics, 28, 906 (1957).
33. Г о л ь б е р г И. И., Румянцев С. А., Вычисление вязко-упругих
функций по экспериментальным данным, Третий Всесоюзный съезд по теоре-
тической и прикладной механике, Аннотации докладов, Изд. «Наука», 1968.
34. G г о s s В., Fuoss R., Ladder Structures for Representation of Visco-
elastic Systems, J. Polymer Sci., 19, 39 (1956).
Илья Иосифович Гольберг
МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ
(математическое описание)
Издательство «Химия», М., 1970 г.
192 с. УДК 541.64 : 517
Редактор Е. В. Шемастина
Технический редактор А. С. Кочетова
Художник Б, С. Цымбал
Корректоры М. С. Хрипунова, Н. А. Ванникова
Т-03778. Подписано к печати 5/1II 1970 г. Формат бумаги бОхЭО1/^
Печ. л. 12. Уч.-изд. л. 10,52. Типогр. бум. №2.
Тираж 4250 экз. Цена 1 р. 15 к. Тем. план 1969 г., № 8. Зак. 390.
Ленинградская типография № 6 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10