Автор: Ломакин В.А.
Теги: механика физика упругость теория упругости
ISBN: 978-5-9710-1152-1
Год: 2014
Текст
В. А. Ломакин
ТЕОРИЯ
УПРУГОСТИ
НЕОДНОРОДНЫХ
ТЕЛ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов механико-математических
факультетов университетов
Издание второе
URSS
МОСКВА
ББК 22.251 22.311 22.3я73
Ломакин Виктор Александрович
Теория упругости неоднородных тел: Учебное пособие.
Изд. 2-е. — М.: ЛЕНАНД, 2014. — 376 с.
Учебное пособие содержит постановки и методы решения крае-
вых задач теории упругости неоднородных тел, а также решения
большого числа конкретных задач. Подробно рассмотрены задачи
о кручении и изгибе неоднородных брусьев, плоские задачи, задачи
о деформации неоднородных тел вращения, пространственные задачи.
Изложены общие эффективные методы теории упругости неоднород-
ных тел: метод возмущений, методы теории функций комплексного
переменного, метод Фурье и др.
Рецензент:
кафедра динамики и прочности машин
Московского энергетического института;
проф. М. А. Колтунов
Формат 60x90/16. Печ. л. 23,5. Зак. № ЗУ-91.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11А, стр. 1
ISBN 978-5-9710-1152-1
© ЛЕНДНЛ.2014
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел ./фа кс (многоканальный):
+ 7(499) 724 2545
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек-
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге изложены лекции по теории упругости неоднородных
тел, читаемые на механико-математическом факультете Москов-
ского университета. Данная работа содержит статические и ква-
зистатические задачи теории упругости для тел, свойства которых
описываются непрерывными функциями координат. Рассмотрена
также проблема термоупругости для однородных тел, свойства
которых зависят от температуры — важный в прикладном аспек-
те случай (неоднородность свойств индуцируется температурным
полем).
Теория упругости неоднородных тел имеет дело с краевыми
задачами для систем линейных уравнений в частных производных
с переменными коэффициентами — это обусловливает трудности
и специфику методов решения задач для неоднородных тел. В то
же время по своей теоретической и практической значимости тео-
рия упругости неоднородных тел становится одной из важнейших
областей механики твердых деформируемых тел, дальнейшее все-
стороннее развитие которой будет способствовать решению мно-
гих стоящих перед механикой задач. Систематизированное изло-
жение уже полученных в этой области результатов поэтому свое-
временно и полезно.
Издание весьма полного библиографического указателя («Тео-
рия упругости неоднородных тел. Библиографический указатель
отечественной и иностранной литературы». Изд-во «Штиинца»,
Кишинев, 1972) избавило автора от составления подробного спис-
ка литературы по рассматриваемым вопросам. В книге даны
ссылки только -на литературные источники, которые в топ или
иной мере были использованы, и справочная литература.
Автор выражает глубокую признательность А. А. Ильюшину
за поддержку и внимание к работе и 3. Г. Тунгусковрй за помощь
при оформлении рукописи.
ВВЕДЕНИЕ
Современная техника предъявляет повышенные требования к
прочностным свойствам реализуемых машин, конструкций и соору-
жений, уменьшению их веса и размеров, что приводит к необхо-
димости создания новых методов расчета, наиболее полно и адек-
ватно учитывающих свойства реальных материалов. За последние
годы это обстоятельство заметно усилило внимание исследовате-
лей к задачам теории упругости неоднородных тел.
Линейная теория упругости неоднородных тел основана на
использовании закона Гука, в котором параметры, определяющие
упругие свойства среды (например, параметры Ламе) — функции
координат точек тела. Наиболее естественной как с математиче-
ской, так и с физической точки зрения является классификация,
основанная на характере зависимости параметров Ламе от коор-
динат. Целесообразно выделить три основные группы задач, в ко-
торых параметры Ламе: а) непрерывные детерминированные
функции координат; б) кусочно-постоянные функции координат;
в) случайные функции координат. В соответствии с этим выделим
следующие три основных раздела теории упругости неоднородных
тел:
а) упругие тела с непрерывной неоднородностью;
б) кусочно-однородные упругие тела;
в) случайно-неоднородные упругие тела.
Каждый из разделов имеет свою область приложений и ха-
рактеризуется определенной спецификой применяемых математи-
ческих методов исследования. Вместе с тем разделы связаны
между собой, и при решении задач какого-либо одного раздела
теории упругости неоднородных тел могут быть использованы ре-
шения, полученные в других разделах. Так, из решения задач для
упругих тел с непрерывной неоднородностью предельным перехо-
дом могут быть получены решения задач для кусочно-однородных
тел, некоторые методы решения задач для случайно-неоднородных
упругих тел основаны на использовании решений соответствую-
щих задач с детерминированными неоднородностями, кусочно-
ВВЕДЕНИЕ
5
однородными упругими телами могут быть аппроксимированы не-
которые задачи с непрерывными детерминированными и случай-
ными неоднородностями.
Все реальные материалы обладают определенной структур-
ной неоднородностью (дефекты и неправильности кристалличе-
ской решетки, поликристаллическая структура технических метал-
лов и сплавов, молекулярная и надмолекулярная структура поли-
мерных материалов и т. п.). Такого типа неоднородности будем
называть микронеоднородностями в отличие от макро-
неоднородностей, характеризуемых зависимостью от коор-
динат параметров, определяющих свойства среды, осредпенных по
области, большой по сравнению с размерами структурных эле-
ментов. Модель макроскопически однородной (квазиоднородной)
среды лежит в основе классической теории упругости и других
теорий однородных тел (пластичности, вязко-упругости, ползуче-
сти и др.). Под упругими телами с непрерывной неоднородностью
будут пониматься в дальнейшем тела, макроскопически неодно-
родные в указанном смысле.
Неоднородность упругих свойств часто возникает в процессе
формирования тела, например при кристаллизации отливки
(вследствие различных температурных условий в разных зонах
отливаемого изделия и переменной структуры, получаемой в раз-
ных областях отливки). Такого же типа естественная неоднород-
ность имеет место в грунтах и горных породах. Неоднородность
свойств часто возникает благодаря особенностям технологических
процессов получения соответствующих изделий и полуфабрика-
тов, а также различной упрочняющей технологии (термическая,
химико-термическая и другие виды обработок). Неоднородность
свойств может появиться при эксплуатации конструкций под
влиянием окружающей среды (воздействие активных жидкостей
и газов, термическое влияние, радиационное облучение и т. п.).
Расчет неоднородных по упругим свойствам тел и конструк-
ций — одна из задач, решаемых теорией упругих тел с непре-
рывной неоднородностью. Многие задачи различных разделов ме-
ханики деформируемых тел можно привести к задачам неодно-
родной теории упругости, например задачи термоупругости для
однородных тел, свойства которых зависят от температуры, за-
дачи о деформации тел под действием радиоактивных облучений
и др. Ряд прикладных теорий для специальных классов упругих
тел — теория стержней переменного сечения, плоское напряжен-
ное состояние и изгиб пластин переменной толщины, кручение и
изгиб брусьев переменного сечения — приводятся к соответствую-
щим задачам теории упругости неоднородных тел. Кроме того, к
решению задач неоднородной теории упругости сводятся задачи
теории пластичности, термовязкоупругости и ряда других теорий
механики твердых деформируемых тел при решении их некоторыми
6
ВВЕДЕНИЕ
методами последовательных приближений. В основе методов тео-
рии упругости случайно-неоднородных тел лежат уравнения тео-
рии упругих тел с непрерывной неоднородностью, а решения не-
которых задач последней кладутся в основу исследования стоха-
стических задач неоднородной теории упругости.
К теории кусочно-однородных упругих тел относятся задачи
о деформации тел с различными упругими включениями, задачи
о расчете подземных сооружений (тоннели, подземные трубопро-
воды и т. п.) и задачи о деформации составных упругих тел (со-
ставные цилиндры биметаллические пластинки, трехслойные кон-
струкции и др.). Возникает ряд новых задач, связанных с расче-
том изделий из армированных материалов и с условиями
оптимального армирования. Кроме того, задачи, типичные для
теории кусочно-однородных упругих тел, появляются при исследо-
вании ряда проблем в физике твердого тела, в металловедении,
а также в механике структурно-неоднородных твердых тел. Ис-
пользование составных упругих тел, как и преднамеренное созда-
ние неоднородных полей упругих параметров, — важный резерв
прочности и оптимального проектирования конструкций.
Основная задача раздела теории упругости неоднородных
тел, рассматривающего случайно-неоднородные тела, — исследо-
вание процессов деформирования упругих тел с учетом структур-
ной неоднородности (микронеоднородности) реальных материа-
лов. Такая неоднородность материалов обусловливает ряд тонких
механических эффектов, которые не описываются классическими
детерминированными теориями механики твердых деформируемых
тел, в частности дисперсию (разброс) механических характери-
стик, определяемых на идентичных образцах в макроскопическом
эксперименте, масштабный эффект, проявляющийся в зависимо-
сти осредненных механических характеристик и их дисперсий от
размеров образцов, явление пограничного слоя, условия дефор-
мирования которого отличаются от условий деформирования
внутренних областей тела, и др. Теория случайно-неоднородных
упругих тел дает возможность находить параметры, характери-
зующие пульсации напряжений и деформаций, определяемые на-
личием. структурных неоднородностей материалов и играющие
важную роль в процессах хрупкого и усталостного разрушения.
К задачам теории случайно-неоднородных упругих тел при опре-
деленных методах решения можно привести задачи вязкоупруго-
сти, пластичности и ползучести структурно-неоднородных тел,
•исследование которых весьма существенно для проблемы прочно-
сти и надежности тел и конструкций, работающих в сложных
термомеханических условиях.
В настоящее время интенсивно развиваются все три указан-
ных основных раздела теории упругости неоднородных тел. По
каждому из них имеется достаточно обширная журнальная лите-
ВВЕДЕНИЕ
7
ратура, даны постановки основных задач, разработаны методы их
решения, выявлены особенности в поведении неоднородных упру-
гих тел, получены решения многих конкретных задач.
В этом издании дано систематическое изложение лишь пер-
вого из них — теории упругости тел с непрерывной неоднород-
ностью.
Глава 1
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 1. Основные уравнения теории упругости
неоднородных тел
1.1. Уравнения движения и равновесия, формулы Коши, усло-
вия совместности. При малых деформациях любой среды имеют
место (в рамках обычных для классических теорий гипотез и
представлений) следующие основные уравнения механики сплош-
ной среды:
уравнения движения
-^+pF(. = p d*i dt2 1 (1-1)
формулы Коши
1 / &ui i ! U,+ duj \ . dx(- / ’ (1-2)
условия совместности деформаций
8 8 pmn дх,-дхп = 0. (1-3)
Здесь и всюду, если не оговорено противное, используется ортого-
нальная декартова система координат x5(xi, х2, х3) трехмерного
эвклидова пространства Е3, причем принято обычное условие
суммирования по повторяющимся индексам (свободные индексы
принимают независимо значения 1, 2, 3).
В соотношениях (1.1) — (1.3) ог-; — тензор (симметричный)
напряжений, ег, — тензор деформаций, мг — вектор перемещений.
Fi — вектор плотности массовых сил, р — плотность, t — время,
&iji — символы Леви-Чивита, образующие единичный антисиммет-
ричный псевдотензор (W — тензор по терминологии Схоутена
[58]); величина ещ равна 4-1 (—1), если i, j, I образуют четную
(нечетную) перестановку чисел 1, 2, 3, и равна нулю, если любые
два индекса одинаковы.
В статических и .квазистатических задачах, когда инерцион-
ными членами можно пренебречь, вместо уравнений движения
можно написать уравнения равновесия
§ 1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
9
-^- + рЛ=0.
д.Х)
(1.4)
Условия совместности (1.3) представляют собой шесть неза-
висимых дифференциальных уравнений второго порядка
дае22 __ дх^ 2 О2612 дх^дх..
д*ггг , д2г33 _ дх% -2 д2е23
дгбзз , дх^ = дх~ = 2 <?%1 dxsdxi
(teai 1 de.ti
dxtfhcz dxi \ дхг дх3
дае22 = — ( дв.ч1 I дв12 ।
dxjdxi дх2 \ , дхг Г дх3 dxt >
д2Сзз — д ( <^12 1 1 дхг ten >
дх^хъ дх3 \ dv, дхг ;
(1.5)
Если компоненты иг- вектора перемещений и их производные
по координатам до третьего порядка включительно непрерывны,
соотношения (1.2) тождественно удовлетворяют условиям совмест-
ности (1.3), или (1.5).
1.2. Обобщенный закон Гука. Соотношения между напряже-
ниями Gij и деформациями efj при изотермических процессах де-
формирования неоднородных анизотропных упругих тел определя-
ются обобщенным законом Гука
О</ = сцы(х1) ekl, (1.6)
или обратными соотношениями
ег/= sljkl{xt)Gkl- (1-7)
Модули упругости Сцм и коэффициенты податливости sijhi при су-
ществовании упругого потенциала обладают симметрией
^ijkl Сjikl ~ jilk ~ Clkjb (18)
§ijkl Sjikl $ jilk $lkji
и каждый из тензоров s^ki имеет по 21 независимой компо-
ненте. Форма соотношений (1.6) и (1.7) сохраняется и для ади-
абатических процессов деформирования неоднородных тел, причем
адиабатические модули упругости и коэффициенты податливости
10
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. I
мало отличаются от соответствующих изотермических вели-
чин [12].
Модули Cijiu и коэффициенты Эцм, а также плотность р, вхо-
дящая в уравнения (1.1), (1.4), для неоднородных упругих тел —
заданные функции координат. В общем случае неоднородного те-
ла при переходе от точки к точке может меняться характер ани-
зотропии, т. е. число независимых компонент тензора может
зависеть от координат; такие случаи в дальнейшем не рассматри-
ваются. Кроме того, если не сделано специальных оговорок, счи-
таем, что величины сцм> stjM и их производные до второго поряд-
ка включительно являются непрерывными функциями координат.
При различном типе симметрии упругих свойств упрощение
закона Гука (1.6), (1.7) выполняется так же, как и длй однород-
ных тел; причем соотношения между напряжениями и деформа-
циями будут отличаться от соответствующих соотношений одно-
родных тел [21] лишь тем, что входящие в них модули упругости
п коэффициенты податливости — функции координат.
Для изотропного неоднородного тела тензор упругих мо-
дулей
cijkl (xs) — (*s) "t” P (Xs) "I" fyfijk)
и закон Гука (1.6) примет вид
X06i7 + 2|ie(? (1.9)
где 0 = е,{/. — относительное изменение объема, — единичный
симметричный тензор второго ранга, А, р — параметры Ламе.
Разрешая соотношения (1.9) относительно деформаций, имеем
е< / = -Ц2" i —ira^i' (1 •1 °)
L £
(1.11)
где <т= !/3 cfa/д — среднее нормальное напряжение, Е — модуль
Юнга, v — коэффициент Пуассона. Величины Е и v выражаются
через параметр 1 и модуль сдвига p = G соотношениями
f = Iх (ЗА 2р) v __ А
(Х4-Р) ’ ’ 2(А-Ьр)
Отметим также следующие зависимости, имеющие место меж-
ду параметрами А, ц=О, Е, v и модулем объемного сжатия К
G-------------, К = X -• - — |i =-----------,
2(1 -|-v) 3 г 3(1 —2v> ’
__ vE
~ (1 + v) (1 - 2v) ’
(3tf + G) 2 (ЗЯ 4-6) 3
(1.12)
§ 1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
11
В общем случае изотропного неоднородного тела все введен-
ные параметры Л, n=G, Е, v, К являются функциями координат,
однако независимы лишь два. В качестве независимых парамет-
ров могут быть приняты, например, С и X, £ и v, 7. и ц; осталь-
ные параметры выражены через них с помощью соотношений
(1.И), (1.12).
При температурном поле T(xs, t), пренебрегая теплом, вы-
деляемым за счет деформации тела, и принимая обычную гипо-
тезу Дюгамеля — Неймана, вместо соотношений (1.9) и (1.10),
получим [9]
о0. = X06Z/J-2pet/-~3Ka(T^T0)So; (1.13)
е./ = + a (Т - То) f>ih (1.14)
С с
где a — коэффициент линейного расширения, а Го — постоянная
температура, при которой существует естественное начальное со-
стояние (при T=TQ и сн = 0 напряжения 6t; равны нулю).
1.3. Потенциальная энергия деформаций. Область значений мо-
дулей упругости. При переходе элемента тела единичного объема из
недеформированного состояния 0 в деформированное состояние М
напряжения сг77 совершают на деформациях j работу
м
IF= (1.15)
')
При выполнении закона Гука (1.6) и условий симметрии (1.8)
подынтегральное выражение в соотношении (1.14) представляет
собой полный дифференциал и W зависит только от начального и
конечного состояний. Подставляя выражения напряжений (1.6) в
(1.15) и интегрируя, найдем
IF-^-c/rtt(x,)ei/8*z. (1.16)
Величина W (116) определяет плотность потенциальной энергии
деформации. Для изотропного тела (1.9)
Г=1к82лце,А. (1.17)
Вводя девиатор тензора деформаций
еи ~
о ,
и используя соотношения (1.12), представим W также в виде
W^-L^ + Ge,^. (1.18)
12
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. I
Потенциальная энергия V всего тела определена соотношением
(1.19)
V
где интегрирование распространено по объему v тела, а величина
W дана одним из соотношений (1.16) —(1.18).
Из термодинамических соображений следует [20], что квад-
ратичная форма (1.16) в выражении потенциальной энергии W
(совпадающей для упругого тела со свободной энергией)
является положительно-определенной, что накладывает ограниче-
ния на возможный вид функций сци(х8). Необходимое и доста-
точное условие положительной определенности W для изотропного
тела (1.18) — положительность модулей объемного сжатия К и
сдвига G
/<(xs)>0, G(xs)>0. (1.20)
Достаточность условий (1.20) очевидна. Необходимость их выяв-
ляется при рассмотрении двух типов деформации: деформации
изменения формы (0=0) и деформации изменения объема
(e(j=0).
Из соотношений (1.20) в силу (1.12) получаются ограничения
на модуль Юнга £(xs) и коэффициент Пуассона v(xs)
—— > о, —---------> 0.
(1 + V) (1—2v)
Выражая на основании (1.12) модуль объемного сжатия Л через
Е и v и используя (1.20), найдем
(1.21)
откуда
— \G (1Н v).
3 / (1 —2v)
>0,
— 1 < v(xs) < Д-;
затем на основании (1.21) получим
£(xs)>0.
(1-22)
(1.23)
(1.24)
Таким образом, функции Х(х5), G(xs), v(xs), E(xs) должны
удовлетворять неравенствам (1.20), (1.23), (1.24). Будем эти не-
равенства считать выполненными, допуская в некоторых случаях
предельное значение коэффициента Пуассона v=l/2 (несжимае-
мое тело).
Плотность потенциальной энергии является потенциалом на-
пряжений (упругий потенциал)
ЗУ
(1.25)
§ 2
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
13
При этом наряду с формулами Грина (1.25) справедливы фор-
мулы Кастильяно
dW
двц
(1.26)
*а =
и, как и в , теории упругости однородных тел, формула Клапей-
рона
(1-27)
В формулах Кастильяно (1.26) упругий потенциал предполагается
выраженным через напряжения
1+ v -------
2Е ! 4 2Е
Соотношения (1.25) — (1.27) имеют место также для анизотроп-
ного неоднородного упругого тела (1.6).
§ 2. Постановки краевых задач
2.1. Граничные и начальные условия. Для постановки задач
теории упругостй помимо уравнений § 1 должны быть заданы гра-
ничные условия, а в случае динамических задач — еще и началь-
ные условия.
При заданных на поверхности 5 тела внешних поверхностных
силах граничные условия имеют вид
<*>,«/Is = <7«(*s). (2.1)
где Уг — плотность заданных поверхностных сил, — внешняя
единичная нормаль к поверхности s тела. При заданных на гра-
нице тела перемещениях имеем кинематические условия
«< Is = (xs), (2.2)
где фг (х5) — заданные на поверхности s функции.
Если на части поверхности s<j заданы напряжения (плотность
поверхностных сил), а на части su — перемещения, граничные
условия примут вид
<М/ ls0 = (xs), и; |Su = tpi (xs). (2.3)
Как частные случаи (2.3) содержат граничные условия (2.1) в
напряжениях (sw=0) и (2.2) в перемещениях ($<у=0). Для сво-
бодной поверхности Sj (когда отсутствуют внешние напряжения и
не заданы кинематические условия) граничные условия имеют
вид
»./«/ Is. = О-
(2-4)
м
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
Встречаются и другие типы граничных условий. Так, распро-
странено условие, когда на части границы заданы некоторые
компоненты вектора перемещений и вектора напряжений (условия
контактного типа). Например, заданы нормальное перемещение
и касательное напряжение; причем в ряде случаев область, в
которой заданы эти граничные условия, определяется в процессе
решения задачи.
В динамических задачах необходимо также задание началь-
ных условий, которые обычно имеют вид
Ui\^=fA*s), (2.5)
(М
где — заданные во всей области, занимаемой телом,
функции.
2.2. Уравнения движения и равновесия в перемещениях. По-
становка задачи в перемещениях. Подставляя формулы Коши
(1.2) в обобщенный закон Гука (1.6) и учитывая условия симме-
трии (1.8), получим, выражения напряжений через вектор пе-
ремещений Ui
(2.6)
Внося теперь выражения (2.6) в уравнения движения (1.1), най-
дем уравнения движения анизотропного неоднородного упругого
тела в перемещениях
д I ди* \ . n d2u.
~r— = p—
dxj \ dxi / dt2
Уравнения (2.7) можно записать также в виде
d2uk , дсцм ди* , лС.________02Ui
7 dxjdxi dxj dxi dt2
При равновесии соответственно получаем уравнения
в перемещениях
(2.7)
(2-8)
равновесия
или
-уИ 4-pF,=0.
1— y’kl
OXj \
Для изотропного тела уравнения (2.7) принимают вид
д Г \ диь ci / ди; . duj \ *1 , r. d2Ui
----- Л ----— 6ц + ц —- -i------------- 4- pF. = p —
[ дх/t \ dx3 dxt J J dt2
(2.9)
(2.Ю)
(X + p)^- + Hv4 +в-г- +
QXi U.rj
_L ±i_\ pF. =
\ dxj 1 dxj / dt2
(2.Н)
§ 2
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
15
где 0 — относительное изменение объема, V2 — оператор Лап-
ласа
0=-^-, —(F—
dxk dxjdxj
При постоянных лиц соотношения (2.11) переходят в уравнения
Ламе
(к + ||) + ИУЧ + pF. = Р (2.12)
dxi ot*
Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях
для изотропного неоднородного упругого тела имеют вид
(X + n)-^-4-!xv4 4-®^ +
oxi oxi
+ / _*L. + Jffi. \ 4- pf. = 0. (2.13)
dxj \ dry dxi J
Для задач термоупругости (1.13) дифференциальные уравне-
ния движения в перемещениях примут форму
(I + M-fL -И -I- 8 + »!П _
d^i uXj \ uXj j
-3-/-{Ka(T-Te)J-kpF^p-^-. (2.14)
dxi от1
На основе приведенных выше дифференциальных уравнений
и граничных и начальных условий могут быть сформулированы
постановки задач теории упругости в перемещениях.
Простановка статической задачи теории упругости неоднород-
ных изотропных тел при граничных условиях (2.3), например, фор-
мулируются следующим образом: найти три функции координат
иДх>)9 удовлетворяющие внутри области с/, занимаемой рассмат-
риваемым телом, дифференциальным уравнениям (2.13), а на
границе s ($=Sg +su) области — граничным условиям
= Ъ(х,), (2.15)
L \ dXj dxi ] J I «о
ui |se = q>, (Xs).
В области v заданы функции X, р, pFt, на части sa границы —
функции qi, на части su границы — функции <р<.
Динамическая задача ставится аналогично, но искомые функ-
ции Ui = Ui(xS9 t) помимо уравнений движения (2.11) и граничных
условий (2.15) в момент t=tQ должны удовлетворять начальным
условиям (2.5).
16
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
Задача неоднородной теории упругости (2.13), (2.15), как и
задача теории упругости однородных тел, является линейной,
однако для нее получается краевая задача для дифферен-
циальных уравнений в частных производных с переменными ко-
эффициентами. При $о=/=0 в граничные условия также входят
линейные дифференциальные операторы от перемещений щ с пе-
ременными коэффициентами.
2.3. Условия совместности для напряжений. Постановка зада-
чи в напряжениях. Выражая деформации через напряжения
Uij на основе закона Гука (1.10) и подставляя их в условия сов-
местности деформаций (1.3), получим условия совместности для
напряжений
£ii‘tpmn е-0**6''"] = 0- (216)
Постановка статической задачи теории упругости неоднород-
ных тел в напряжениях при граничных условиях (2.1) состоит в
следующем. Найти шесть функций оо(х$), удовлетворяющих в
области и, занимаемой телом, дифференциальным уравнениям
(2.16) и уравнениям равновесия
1 РЛ=О, (2.17)
d*i
а на границе s тела — граничным условиям
^Лу|5 = (2-18)
В области v считаются заданными функции £, v, р£г-, а на гра-
нице $ тела — функции qt.
Если задача (2.16) — (2.18) решена, т. е. найдены напряже-
ния Ofj(xs), деформации определяются из закона Гука
ei/=-L^L0U-^^6ij, (2.19)
затем перемещения могут быть вычислены, например, по фор-
мулам Чезаро [45]
м
Ui = U0 + <o«.(x;-x0)-b + (2.20)
Здесь члены и®-|-(о® (х,-— х®) дают перемещение тела как абсолютно
жесткого, а последний член — перемещение, определяемое дефор-
мацией тела. Интегрирование в (2.20) происходит по любой кри-
вой, соединяющей точки М0(а^), Л1(х.ч) и целиком лежащей в
области v, занимаемой телом; значение интеграла в соотношении
§ 2 ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 17
(2.20) при выполнении условий совместности (2.16) не зависит от
пути интегрирования.
2.4. Вариационное уравнение Лагранжа. Вариационная поста-
новка задачи. Рассмотрим равновесие изотропного неоднородного
упругого тела (1.9) под действием объемных рЛ- и заданных на
части поверхностных qi сил при кинематических условиях
«i Is„ = <Pi (*s) (2.21)
на части su поверхности. Для определения перемещений, возни-
кающих в рассматриваемом теле, можно использовать вариацион-
ное уравнение Лагранжа.
Обозначим через виртуальные кинематически возможные
перемещения: виртуальные перемещения Ъщ удовлетворяют усло-
виям
6^ = 0, (2.22)
причем и их производные по координатам непрерывны.
Вариационный принцип равновесия Лагранжа состоит в сле-
дующем: вариация работы внутренних сил при произвольных вир-
туальных (кинематически возможных) перемещениях равна рабо-
те внешних сил на этих перемещениях
р Fi 6 +
(2.23)
Функционал V[uft] равен работе напряжений о», на деформациях
etj, причем он определяется, согласно (1.19), соотношением
V=jWdv, (2.24)
V
где W — плотность потенциальной энергии деформации (1.18).
В силу (2.22), соотношение (2.23) можно переписать в виде
= J pFfiUidv + J qfiuids. (2.25)
У sa
Используя формулы Грина (1.25), формулы Коши (1.2), симмет-
рию тензора напряжений и переставимость операций варьиро-
вания и дифференцирования, для вариации 8V работы внутрен-
них сил имеем
18
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
= J SWdv = j f Cii^idv =
U V J V
= [o a(^LAdv= f0 =
.1 \ dxj } J " dxj
V V
— (o, .&/,) do — C &z; -^iL do.
дх^ v 1 ' J ' dxj
V V
На основании формулы Гаусса — Остроградского и условия
(2.22)
dv = JGijnfiUids,
1 * *0
и потому
6V = J at,/i,6u,ds — j 6ui do. (2.26)
sa V ’
Внося теперь (2.26) в соотношение (2.25), получим вариационное
уравнение Лагранжа
J (-i- pF,) ^dv - у (o;//iz - g,) 6u,ds = 0. (2.27)
О 4 1 S6
В соответствии с принципом Лагранжа (2.23) здесь напряжения
выражены через перемещения
°ц = к + И . (2.28)
dxk \ dxj dxi /
Вариационная постановка задачи теории упругости неодно-
родных тел состоит в следующем. Найти в области v, занимаемой
телом, три функции Ui(xs)9 такие, чтобы для произвольных непре-
рывных с непрерывными производными вариаций Sw7, удовлетво-
ряющих условию (2.22), выполнялось вариационное уравнение
Лагранжа (2.27).
В силу произвольности вариаций 6иг-, из (2.27) имеем
-^- + рЛ = 0 (xsf=v),
d\j
(xs^sa),
где ац выражены через перемещения ut соотношениями (2.28) и,
кроме того, имеют место условия (2.21). Следовательно, сформу-
лированная вариационная задача эквивалентна краевой задаче
(2.13), (2.15).
§2
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
19>
2.5. Некоторые частные типы неоднородности упругих свойств.
Рассмотрим случаи, для которых возможны упрощения краевых
задач.
Ограничиваясь статическими задачами при отсутствии массо-
вых сил (Fi=0), сделаем предварительно несколько замечаний.
Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях
(2.13) делением их на модуль сдвига ц(х5)>0 с использованием
соотношений (1.12) можно привести к виду
V2Ui4____!_____4- _L (Jul + JifM =0
1 —2v dxi ц дх[ u dxj \ dxi dxi /
(2.29>
Из-за большой сложности условий совместности в напряже-
ниях (2.16) для неоднородных упругих тел (в отличие от традици-
онных постановок краевых задач для однородных упругих тел)
иногда целесообразно при задании статических граничных усло-
вии (2.1) использовать постановку задачи в деформациях. При-
меняя закон Гука (1.9), уравнения равновесия в деформациях
(при Л=0) можно представить в виде
X 4 2р -^1 4- 4 2е(/ = °
UXj uXj иХ[ OXj
или в виде
d&ij t v d&kk
dxj 1 — 2v дх^
Чц -—4- 8** -—— = o. (2.30>
" [I dxj ** 2p dxt ' r
Соответствующая краевая задача сводится к интегрированию
уравнений (2.30) и условий совместности
р . р — 0
vXjUXfi
при граничных условиях
(*е*)Д / 4 2ре(У) п, = qi (х5) (xs <= s)
Рассмотрим неоднородности упругих свойств вида
v = const (=jfc 1 /2), Е = Е (xs).
соотношений
(2.31>
Тогда на основании
a 2v
Л = U-------,
1—2v
и — --------,
2(1 4-v)’
уравнения (2.29) приводятся к виду
» , 1 00 ,
V2U; 4--------------
v ‘ 1 —2v dxt
1 dp = 1 дЕ
~~ Е
р. дхк
2у
1 — 2v
дх/
д In Е
dxi
din 2:
дх[
0
. д In Е / ди^ ди^ \
dxj \ dxj dxi J
(2.32>
20
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. f
уравнения (2.30)— к виду
de., v , dln£ . v dln£ Л
---LL_ _i-----------4. e-----------1---------e --------= 0
dxf 1 — 2v dxi dxj 1 — 2v dx^
ИЛИ
4 4'+ e‘A) 'k 4^ ('" ' e"6«) = °-
(2.33)
Граничные условия (2.31) приобретают вид
ТтЬг (е‘/ + -fz^r8“вг'),li = 4i (%s) (Xs е s)-
ИЛИ
(et, + v екк6ц\ tij = - 9i (xs) (x$ GE s). (2.34)
\ I —2V / £
Граничные условия (2.34) относительно деформаций -записы-
вают в виде линейной алгебраической формы с постоянными ко-
эффициентами. Статические граничные условия в перемещениях
1 / dut duj \ у duk
2 \ dxf Г dxi / I - 2v dxk
1 И- v
4i (*s)
(2.35)
содержат дифференциальные операторы от перемещении с посто-
янными коэффициентами.
При неоднородности вида
v = const (^fe 1/2), Е — Еоехр (а7х;) (2.36)
дифференциальные уравнения равновесия (2.32) и (2.33) пред-
ставляют собой уравнения с постоянными коэффициентами
„2 1 1 . 2v Q , [ du(
VAf H--------------- fl; --- 0 -Г a. ( --
1— 2v dxi 1 1—2v Ц dx<
= 0;
(2.37)
'4(e"+tZ-1") 44е" =°-
Таким образом, при неоднородности упругих свойств типа (2.36)
задача сводится к интегрированию дифференциальных уравнений
(2.37) с постоянными коэффициентами при граничных условиях
(2.35), содержащих также дифференциальные операторы с посто-
янными коэффициентами.
При v = 72, E=E(xs) для функций а,, о имеем дифференци-
альные уравнения
з 4-ЕугиН- -ь = 0, -^- = 0
дх( dxj \ dx; dxi /
§ 3 ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
21
ni = <k(xs) (xs^s).
и краевые условия (при статических граничных условиях)
[ а6„ 4- -i- Е + -%-
|_ 3 \ dxj dxi
При неоднородности типа К=const, G = G(xs) дифференци-
альные уравнения в перемещениях (2.29) принимают вид
V4 + ~ (1 + о г
3 \ G I дХ{ 3 дх<
dlnG / дщ duj \ _ q
dxj \ dxj dx[ J
а при неоднородности типа К = const, G = Go exp (fyx,)— вид
v4- + — (i + — —------------bfi + bj -I- = o.
v ‘ 3 \ G ) dxt 3 1 \ dxj dxi )
§ 3. Приведение задач механики
твердых деформируемых тел
к задачам теории упругости
неоднородных тел
3.1. Задачи термоупругости для тел, свойства которых зависят
от температуры. К задачам теории упругости неоднородных тел
(§ 2) можно привести различные задачи механики
твердых деформируемых тел. К ним сводятся, в частности, задачи
термоупругости однородных упругих тел при действии высоких
температур, когда становится существенной зависимость упругих
свойств от температуры [3].
Рассмотрим квазистатическую задачу о деформации изотроп-
ного однородного упругого тела, упругие свойства которого зави-
сят от температуры (Х = 2ъ(Г), ц=ц(Г)), при неоднородном тем-
пературном поле T=T(xs, t). Используя связь между напряже-
ниями и деформациями
<rl7 = + 2pe0 - ЗКа (Т - То) 6/у (3.1)
и формулы Коши (1.2), получим дифференциальные уравнения рав-
новесия в перемещениях
(Л + и) 4- I- геч + о i- 4^') -
дх. дх[ dxj \ dxj dxi /
-3-A-[tfa(T-Te)] |-PF, = 0 (3.2)
OXi
и граничные условия
f +и (4^ -г -тЧ - 3*а <г - г«) s‘/ к 1 so=
L \ dxj dXi / J
22
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
Ui\*u = <Pi(*s)- (3.3)
Здесь Го — начальная температура тела, которую будем считать
постоянной.
Соотношения (3.2), (3.3) можно представить в виде
-нц) + +0_£L +
dxi dxi
+ + bpf; = 0. (34)
dxj \ dxj dxi /
[ H H ] ni k = q'i (xt),
L \ &xi / J
Is„ = Vi (xs). (3.5)
где
Л = Л - — -4- [Ха (T - Te)J, q( =qi н 3/Ca (Г - T„) n;. (3.6)
p dxt
Таким образом, рассматриваемая задача совпадает с задачей
(2.13), (2.15) теории упругости неоднородных тел при массовых
и поверхностных силах, определяемых формулами (3.6).
Для многих материалов в широком диапазоне температур при
существенной зависимости модуля Юнга от температуры наблю-
дается постоянство (независимость от температуры) коэффици-
ента Пуассона [52]. Для этого случая (v = const, Е=Е[Т (xs, /)])
краевая задача (3.4), (3.5) приводится к задаче
1 оО 2v 0 dlnE
1 — 2v dxi 1 — 2v дх{
V4 +
Ui |su = <Pi <xs).
(3-7)
Рассмотрим следующий, имеющий практический интерес, слу-
чай. Считая коэффициент Пуассона постоянным, а модуль Юнга
зависящим от температуры, примем, что от температуры зависит
также коэффициент линейного расширения а. Отсчитывая для
удобства температуру от постоянной начальной температуры Го и
сохраняя для нее обозначение Г, имеем
Е = Е (Г), v — const, a = a (Т). (3.8)
§ 3 ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
23
Закон Гука может быть записан в виде [81J
= т+v h + tSt “« - 4S у“ ] |3/|’
о
откуда
= _Е(Т) Г J_fju<_ _у---- Л*. 6
11 1+v [ 2 \ dXj dxt ) 1—2v дхк "
---(«(0Л6о]. (ЗЛО)
1 — 2v J J
о
Подставляя (3.10) в уравнения равновесия
-^-4-рГ(=0, (ЗЛ1)
dxj
получим уравнения равновесия в перемещениях для рассматриваемого
случая
г
2 I 1 2(1 -I- V) д [ f .
VX Н--------------------—!— ---- I а(0dt] +
V 1 1—2v dXi l-2v dXi U )
о
1 d£ Г duL dtii . 2v
+ r;,. -r^r88./-
—tS Ь*'*1"6"] +12('е V| l,F‘ - “ <3J2>
0
где по-прежнему Q=dufJdxil.
Введем параметр e, определяемый функцией Е(Т), соотноше-
нием [81].
_L = _Ё_ Г 1„ _£ 1 еф(7).
Е dT dr L £«J
Учитывая равенство
J_ JT_ _ еф T _ (
E dx, E dT dx, oxj 1
где
OX f
24
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. г
перепишем уравнения (3.12) в виде
V2U. + 1 _ 2(1+ v) d
1 1—2v dxt (1 —2v) dxt
т
о
2(1 Hv)
(l-2v)
duj
дх^
2v
1 — 2v
-2<1-+^)рЛ = о.
E
(3.13)
Примем, например, что имеют место
жениях, тогда
граничные условия в напря-
?-) +
dxi J
V
1 — 2v
06t-/ \llj |s —
1 2 1 >»
о
= _L±2L91.(xs) |--l±2_nJa(T)dT.
0
(3-14)
Если коэффициент линейного расширения а постоянен, крае-
вая задача (3.13), (3.14) совпадает с краевой задачей (3.7) (при
s?2 = 0). Если и е=0, то соотношения (3.13), (3.14) дают постанов-
ку задачи в перемещениях для классической термоупругости.
Аналогично к задачам теории упругости неоднородных тел
приводят также задачи теории упругости однородных тел при
радиоактивных облучениях или диффузионных потоках, когда учи-
тывают зависимость упругих свойств от дозы облучения или от
концентрации диффундирующего вещества.
3.2. Задачи линейной теории термовязкоупругости. К решению
задач теории упругости неоднородных тел могут быть приведены
задачи термовязкоупругости. К таким задачам относятся, прежде
всего, задачи о деформации неоднородных вязкоупругих тел (не-
однородность вязкоупругих свойств может быть, например, след-
ствием различных условий полимеризации в разных областях
тела).
Связь между напряжениями и деформациями для анизотроп-
ного неоднородного линейного вязкоупругого тела определена со-
отношениями
i
Оц = J Kjki (1 — t, xs) dekl (t). (3.15)
0
§ з
ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
25
Применяя к соотношениям (3.15) преобразование Лапласа
f(p) = j /(0 exp (-РОЛ. (3.16)
О
имеем
~ Cijkl 0's)
где
cijkl = P^ijkl C^s)»
причем чертой сверху обозначим трансформанту Лапласа от со-
ответствующей функции. Для трансформант перемещений
имеем тогда дифференциальные уравнения
= ° <ЗЛ7>
dxj \ oxi I
и краевые условия
Cijkl (*s) -7^ Л/ |sff = li (Xs), Ui Is = 4>i (xs). (3.181
OXI
Эти соотношения справедливы, если граница s тела и граница
между частями sG, su поверхности s не изменяются со временем.
Таким образом, в указанных предположениях задача о де-
формации вязкоупругого неоднородного тела сводится (для пре-
образованных по Лапласу величин) к краевой задаче (3.17),
(3.18) теории упругости неоднородных тел. Для изотропного вяз-
коупругого тела эта задача совпадает с задачей (2.13),
(2.15) [34].
Для многих вязкоупругих материалов характерна сильная
зависимость вязкоупругих свойств от температуры. Рассмотрим
задачу о деформации изотропного вязкоупругого тела при стацио-
нарном неоднородном (по координатам) температурном поле
T = T(xs). Предположим, что объемные свойства материалов —
идеально упруги, а сдвиговые свойства вязкоупруги, причем учтем
зависимость ядра сдвиговой релаксации от температуры Т. В ука-
занных предположениях зависимости между напряжениями и
деформациями определим соотношениями
*ц = 2Geu — f Г (/ — т, Т) еи (т) dr,
# (3.19)
О -£_ + За(Т-Т0),
А
где —девиаторы тензоров напряжений и деформаций
5ц = <1ц—<Кц, = ei; —у06г/. (3.20)
26
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЁОРЕМЫ
Гл. (
Из (3.19) и (3.20) для тензора напряжений о/у имеем
°ц = + 2G (ег/- -2-06,,.) -
-[ГО— т, Т) к.-------66Орт-ЗЛа(Т-То). (3.21)
•/ L d J
о
Применяя к соотношениям (3.21) преобразование Лапласа (3.16),
найдем
= ЛОб./ + 2ц^/ - 3tfa (Т - То) 6t/,
где
JLG + -Lг(р, Т), ц=С-2-Г(р, Т).
О □ £
В силу_зависимости температуры от координат 7,= 7'(xs)
имеем Л=Л(х5), p=p(xs). Поэтому краевая задача для опреде-
ления трансформант й, перемещений аналогично тому, как это
сделано в п. 3.1 (с использованием преобразованных по Лапласу
уравнений равновесия и граничных условий), будет приведена к
задаче
(Х + й) + HV4 + 0^ +
дх} dxi
+ +рЛ= °, (3.22)
ОХ} \ OXj ОХ} )
Глёб{/ + й Нг- + 1 ni = *<*»> * 1’« = (х^ <3-23)
[ \ OXj ОХ} / J 11
где
Л = ?, - А -у-1№ (Г - Т,)]. ~д\ -- + ЗКа (Г - То) п„
Р &}
т. е. к задаче (3.22), (3.23), совпадающей с краевой задачей
(2.13), (2.15) теории упругости неоднородных тел.
3.3. Задачи теории малых упруго-пластических деформаций.
Некоторые нелинейные задачи механики твердых деформируемых
тел при использовании определенных методов последовательных
приближений сводятся к решению задач теории упругости неодно-
родных тел (например, задачи теории малых упруго-пластических
деформаций при решении методом переменных параметров упру-
гости [6], основанным на идее метода упругих решений [14]).
Соотношения между напряжениями и деформациями в теории
малых упруго-пластических деформаций имеют вид
$ 3 ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
27
\ о /
<г„=Ф(еи), а=/С0, (3.24)
где au, еи — интенсивности напряжений и деформаций, Ф(ен) —
функция упрочнения [14].
Введя обозначения
* = К — Ф (е„), й = ф (е„), ф (е„) = Ф(?ц) ,
запишем соотношения (3.24) в виде
at/- = Х96О -н 2це(/.
Метод последовательных приближений решения задач теории
пластичности может быть построен следующим образом. Напря-
жения о?/ и деформации в?/ в л-ном приближении связаны соот-
ношениями
<т?( =Л((_,е^{, + 2цп_1 е?„
где
л,,_1 = цеГ1)=л--^-Ф(еГ,))
р„_, = ц(е£~1) = Ф(еГ'), /г > 2; (3.25)
Ио = С.
Здесь G — модуль сдвига материала.
Тогда для первого приближения имеем задачу теории упру-
гости однородных тел, а для /г-ного приближения (п^.2) — за-
дачу теории упругости неоднородных тел, в которой модули упру-
гости X>i-i(xs), |Hn-i(*s) определяются решением задачи
(величиной е^1) в предыдущем (п—1)-м приближении. Краевая
задача в перемещениях, например для вектора и/‘ перемещения
в п-ном приближении, совпадает с задачей (2.13), (2.15) теории уп-
ругости неоднородных тел, в которой вместо параметров X, ц ис-
пользованы величины Цл-ь определяемые соотношениями
(3.25).
Задачи теории малых упруго-пластических деформаций ана-
логичны задачам установившейся ползучести и стационарным за-
дачам теории пластического течения [15]. Это позволяет при
использовании описанного выше метода последние два типа задач
привести к задачам теории упругости неоднородных тел.
28
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл 1
§ 4. Простейшие задачи
4.1. Всестороннее равномерное сжатие тела произвольной
формы. Рассмотрим упругое неоднородное тело произвольной
формы, модуль объемного сжатия которого имеет вид
К = (4-1)
1 4- biXi
а модуль сдвига G=G(xs) — произвольная функция координат.
Пусть тело подвержено всестороннему равномерному внешнему
давлению, т. е. на всей поверхности s тела действуют поверх-
ностные силы плотности
= — prii (р = const),
(4.2)
а массовые силы отсутствуют.
Уравнениям равновесия =0 и граничным
dxj
(Jijnj\s= Qi удовлетворим, полагая oZ/= —p&tj9 т. е.
°11 — °22 = ^33 = Pi °23 = П31 ^12 = 0*
Из закона Гука (1.10), учитывая (4.3) и соотношение
К= £/3(1 — 2v),
найдем
е11 ~ ®22 ~ е33 = ' Р/^К, е23 = ®31 = ^12 = О’
условиям
(4.3)
(4.4)
Условия совместности деформаций (1.5) при условиях (4.4) при-
водятся к виду
___д1— Г_£_1 =0
dxjxj LKUs)J
и при модуле объемного сжатия вида (4.1) тождественно удовле-
творяются.
Следовательно, решение рассматриваемой задачи определяют
соотношения (4.3), (4.4) и оно не зависит от модуля сдвига
G=G(xs).
Поле перемещений Ui(xs), соответствующее деформациям
(4.4) при модуле объемного сжатия (4.1), является решением си-
стемы дифференциальных уравнений
=-----ь**2 +
oxL ЗДо
=-----(1 + Mi + Ъх2 + Мз), (4.5)
§ 4
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
29
ди3
дх3
ди2 । ди3
дх3 дх2
Р
„ (1+М1 + М2 + М3).
<>Ло
ди3 . ^£i = q
дхг дх3
= 0. [(4.6)
дх2
Интегрируя уравнения (4.5), имеем
«1 =------^7- (*1 + *1 4 + М2*1 + W1I + Ф1 (Х2. Х3>,
□Л о \ 2 /
^2
^2 = JI, (%2 ^1Л1*2 t>2 ~ F Н“ Ф2 (*3, *1)>
ОАО \ 2 /
и3 =------(х3 -г Мл + Ь2х2х3 4- ь3 + Фз (*1, х2). (4.7}
оД о \ /
Подставляя (4.7) в (4.6), найдем
д<М*з. *1) Р /) у 5фз (> !.• хг) , р
°2Х3 — дх3
дх3 ЗДо ЗДо
дф8(Х1, х2) Р - Ь3х± — ^Р1(л~2. Хз) , Р
Лц ЗХо дх3 ЗКо
^Ф1(^г. х3) Р . h у — d<p2(x8, xt) р
дх2 ЗКо ^1^2 — ь, 1 3/С0
*3*2=
^2Х1 — ‘Фз(Л'з)«
(4.8)
Мз = ЧМ-М
откуда
дф1(ха, х3) _ дх2 р ЗДо АХг + 'ЫХз). dq?l(X2, *з) _ дх3 Р ЗД0 -Мз Ф2(Ха),
дфз (х8. *1) = дх3 Р ЗХо -Мз + 4MXi), дфз (хз, xt) _ 5xi Р ЗХо й2х1 tsUl).
дфз(Х1, х8) _ dxi P ЗКь Ml + % (х2), 5фз(Х1, х2) _ дх2 Р зк» Ьз%2 г|>1 (хх).
(4.9)
Из (4.9) получим
--2<Р1- = 1|>3 (Х3) = — фг (Xi),
дх2дх3
Г? = 'h (*i) = — Фз (х3),
ох&дхг
/а?8 = % (*2)=—ч>; (xj.
UX±UX2
(4.Ю)
30
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. I
Из (4.10) найдем
4’i (*i) = 4г (хг) ~ ф3 (х3) = 0
и, следовательно,
41 = ^1. 42=0-2. 4з = «з. (4-И)
где alt а2, а3 — константы.
Интегрируя теперь уравнения (4.9) с учетом (4.11) для
<Pi, (*а» *з), например, найдем
Ф1 (хг, х3) = —b^ 4- а3х2 4- ht (х3) =
Ьдо
= -77— *14 — а2х3 + Л2 (х2),
ОАО
откуда
(хз)----*14 + а3х3 = Л2 (х2) — —J- bl4 — a3xt = q,
ОДо оДо
т. е.
*1 bi^ ~ + с1-
ОАО
Поэтому
Ф1 (*з. *з) = -77- bl (4 4 4) 4- о3х2 — а2х3 4- q. (4.12)
Ьло
Аналогично
ф3 (*з. *t) = —62 (Хз 4- Х|) 4- qx3 — азХ1 4- с2,
ОАО
Фз (Х1, х2) = —Ь3 (х- 4-4)4- atXi — 4- с3. (4.13)
Ьдо
Здесь clt c2t с3 — константы.
Подставляя теперь выражения (4.12), (4.13) в формулы (4.7), для
перемещений uL окончательно получим
«1 = — 1*1 4- V (4 — 4 — 4) + Мз*14- Мз*1 ] 4-
оДо L J
4- ол — a^ + Ci,
<4—-----^*2 4* Ь1Х3х3 4- (4 —-xf — 4) 4- &з*з*з^ 4*
+ aiX3 — a3Xi + c3, (4.14)
«з =----Г *з + АЛ*з 4- Мг*з + v- (4 — х| — 4) 4-
+ a3Xi— QjXa 4- с3.
§ 4
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
31
Компоненты сох = <о23, о2 = <о31, <о3 = ш12 тензора поворота
при перемещениях (4.14) равны
«I = (Мз — Мг) + alt
<>Ао
®2 = -^Г~ (Ml — Мз) + а2.
oAq
“>з = -^7- (Ьгх2 — b2xt) + а3.
<Я\о
Линейные члены в соотношениях (4.14) определяют смещение
тела как жесткого целого. Вектор (сь с2, с3) определяет поступа-
тельное перемещение вместе с началом координат (хл=0), а век-
тор (аь а2, Дз) — вращение тела вокруг начала координат.
Требуя, например, чтобы в начале координат были равны
нулю перемещения и поворот
Ui Lft=o = 0, ©i |xft=o = о, (4.15)
найдем
6 = 0, at = 0.
Перемещения ut примут при этом вид
“1= —Т?- [*1 + ^(Х?~*1“Хз)+М2*1 + Мз*1|.
о А о [ z j
«2 = — “£ [*2 + ЬхХгХ2 + (*2 — — *2) + bsXjXs 1. (4.16)
о А о [ 2 J
«3 = — [*з + М1хз + МЛ + -у-(*з — *? — х1)] •
Решение (4.3), (4.4) имеет место, в частности, для тела, упру-
гие свойства которого определяются соотношениями К=Ло,
G = G(xs) (/<0= const). При этом компоненты тензора деформаций
(4.4) не зависят от координат, а перемещения (в силу равенств
&г = 0) при условиях (4.15) примут вид
т. е. решение полностью совпадает с соответствующим решением
для однородного тела.
Перемещения uit соответствующие деформациям (4.4), можно
вычислить также по формулам Чезаро; причем эти вычисления
32
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. I
приводят к цели значительно быстрее, чем непосредственное инте-
грирование дифференциальных уравнений (4.5), (4.6).
Формулы Чезаро (2.20) при условиях (4.15) имеют вид
м
Щ (*,) = f [+ (X/ - gz) (^L\ ] d^. (4.17)
J L \ ^y d%i / I
Используя выражения для деформаций
ЗА о
из (4.17) найдем
м
щ (*,) = 1(1 + bfr) dl -I- bf (Xi - li) dl ~ bt (xft- &) dgj,
ЛЛо J
Af о
ИЛИ
M
U. (xs) = - -f- f [(1 -I- bjXj) d^ ~ bj (xk - Ы dgj. (4.18)
3Ao J
Af0
Вычисляя входящие в (4.18) интегралы, получим
Ut (*s) = — [ (1 +biXj) Xi — bi (xAxft — ]
ИЛИ
«/ (xs) = — (Xi + 6,х;х,----l-b,Xttxk\. (4.19)
ЗА о \ /
Соотношения (4.19) совпадают с выражениями (4.16). Для ult
например,
Р
ЗКо
«1 =
I Х1 Н Ь1Х> -I- b2JCiXl + Мз*! — у (*? + Х2 + Хз)
-----hl i- "Т (Х1 — *2 — хз) + Мгх1 + 6зХ3Х1
зд о I.
4.2. Растяжение призматического бруса. Призматический брус
с прямолинейной осью (х3) и произвольным постоянным попереч-
ным сечением растягивается напряжениями, равномерно распре-
деленными по торцам бруса. Упругие свойства бруса заданы
соотношениями
v=v” £ = 7ГГЬТ^>0’ £>0>’
(I + bjXj)
(4.20)
где v0, Ео, Ь/ — константы.
§ 4 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 33
Уравнениям равновесия
^1L=O (4.21)
dxj
и граничным условиям на торцах бруса
<*33 = Р, <*31 = °32 = 0 (Р = const)
удовлетворим, принимая напряжения в виде
^33 = Р» ^11 = ^22 = ^23 “ °31 = ^12 == 0» (4.22)
граничные условия на боковой поверхности бруса также будут вы-
полнены. Из закона Гука (1.10) имеем
е11 = е22 —----“ Р» 633 = ~ Pt Е23 = 631 = е12 = 0»
L t,
ИЛИ
8ц — е22 = bjxj)>
Со
e33--^-(l+W (4.23)
Со
®23 ~ ®31 ~ ®32 = 0.
Деформации (4.23) удовлетворяют условиям совместности
деформаций (1.5) и потому решение задачи определяют соотно-
шения (4.22), (4.23).
Вычисляя по формулам Чезаро (4.17) перемещения щ, вызы-
ваемые деформациями (4.23) при условии (4.15), найдем
и, =----pxt (1 + btx2 4- b,x2 b3xa) 4-
м
+ -L-pbi[v<l(xl + xl)-xl], 1,2,3. (4.24)
4.3. Кручение круглого вала. Рассмотрим задачу о деформа-
ции круглого вала радиуса /?, подверженного на его торцах дей-
ствию крутящего момента /И. Предположим, что модуль сдвига
материала вала определяет соотношение
G-GoP + + 4)], (4.25)
а модуль объемного сжатия K=K(xs) — произвольная функция
координат (ось х3 направлена по осн вала).
Решение задачи ищем в виде
= — т х2х3, и2 = г и3 = 0,
(4.26)
34
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
где т — угол закручивания (крутка), приходящийся на единицу
длины бруса (x = const). По формулам Коши (1.2) найдем де-
формации
е23 = Т Х1» е31 ~ Т Х2» 812 = е11 = е22 = е33 ~ 0, (4.27)
затем по закону Гука (1.9) с учетом (4.25) получим напряжения
о23 = Go т хгJ 1 -J- b (х* + х^)],
а31 = ~ Go т х2 J1 4- & (tf i- xj)J, (4.28)
012 = Оц = О22 ~ Озз = 0.
Уравнение равновесия (4.21) и граничные условия на боковой по-
верхности вала удовлетворены. Граничные условия на торцах
(хз=const) выполняются интегрально: результирующая сила от
напряжений ояз, 031 равна нулю, а результирующий момент при-
водит к крутящему моменту М величиной
L 2 3 J
Таким образом, соотношения (4.26) — (4.28) дают решение
рассматриваемой задачи при величине крутки т, определяемой
формулой
пг М Г I h I”1
т =------------и о----
Go л L 2 3 J
В частном случае, когда упругие свойства материала вала опре-
делены соотношениями G=G0, K=K(xs), имеем
023 ~ G0 ^1» 081 = Go Т Ха, (Jig = 0ц = 022 = 033 =
где / — полярный момент инерции поперечного сечения вала.
Решение в этом случае совпадает с решением соответствующей
задачи для однородного тела.
4.4. Однородное напряженное состояние тела произвольной
формы. Рассмотрим упругое неоднородное тело произвольной
формы, упругие свойства которого заданы соотношениями (4.20).
Пусть тело находится в произвольном однородном напряженном
состоянии
Oj;=G?. (4.29)
§ 4
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
35
(cfi. — константы). Уравнения равновесия (4.21) удовлетворены,
а из граничных условий найдем поверхностные силы
Ъ =
на границе s тела, которые нужно приложить, чтобы осуществить
напряженное состояние (4.29).
Из закона Гука (1.10) найдем деформации
8<к = (!-!• Ь,Ху) [(1 + v0) G°tk — 3ve<T06£ J,
Co
(4.30)
□
Они удовлетворяют условиям совместности (1.5) и поэтому фор-
мулы (4.29), (4.30) определяют решение рассматриваемой задачи.
Перемещение Ui(x8), соответствующие деформациям (4.30),
мо^но вычислить по формулам Чезаро. Принимая условия (4.15),
для перемещений, согласно (4.17), имеем
м
«<М= J [е'И-(4.31)
Л40 3 1 J
где Мо — начало координат, М — точка с координатами xs. Под-
ставляя в (4.31) выражения деформаций (4.30) и вводя обозна-
чение
й = -Но + vo) °?* - 3v,<tAJ. (4.32)
со
найдем
М
Ч (*,) = Jf(1 + М/) < н- (X/- ы (Ь$к - b^ld^ =
м9
м
= j Х^$к Ь' <Х] =
м0
== Sffc 0 4" bfxj) Xk biSkjX!Xk ‘Г (""2") =
= + b}xf) — (у) b^xfy, (4.33)
т. е.
щ (*s) = s°ikxk (1 + bjXj) — (-у)
где постоянный тензор s£?fe имеет значение (4.32).
36
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. i
Рассмотренная задача содержит как частный случай зада-
чу 4.2 о растяжении призматического бруса. В этом случае
П® = П = (ТО — гуО — (уО — rfi — О
33 V11 22 — .23 ~ и31 — U12 V’
и формулы (4.33) для перемещений совпадают с формулами
(4.24).
§ 5. Общие теоремы
5.1. Теорема единственности. Рассмотрим упругое неоднород-
ное тело, занимающее ограниченную область v пространства, гра-
ница s которой состоит из конечного числа кусочно-гладких по-
верхностей. Пусть напряжения агДх5), деформации eij(xs) и пере-
мещения щ(х3) удовлетворяют уравнениям
-^- + рЛ = 0 (х,ев), (5.1)
дх,
= tekifiii + 2Ц6,, (xs <= V + S), (5.2)
<5-3>
и граничным условиям
Ццп, = 4i (Xs е= s0), Ui = ф; (xs) (xs «= s„); s = sa + s„. (5.4)
Предположим, что A(xs) и |x(x6) непрерывны, имеют непрерывные
частные производные в области u + s и удовлетворяют в этой об-
ласти условиям
Л + -|-р>0, р> 0. (5.5)
Тогда имеет место следующая
Теорема единственности. При заданных массовых Fi(xs) и по-
верхностных qi(xs) силах и перемещениях <pi(xs) краевая задача
(5.1) — (5.4) определяет единственное решение <jij(xs)9 Eij(xs)
(если оно существует) в классе непрерывных с непрерывными
производными в области v+s функций. При su=^=0 единственность
в том же классе функций имеет место и для перемещений щ(х8).
Докажем эту теорему. Допустим, что краевая задача (5.1) —
(5.4) имеет два решения й=1, 2. Введем
обозначения
щ = и<» - и?\ = ео.) - е(2), о£/ = 0(1) -а(2). (5.6)
§ 5
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Каждое из двух решений тождественно удовлетворяет соотноше-
ниям (5.1) — (5.4); последовательно вычитая в этих двух системах
одно уравнение из другого и учитывая обозначения (5.1), получим
тождества
(xse=y), (5.7)
dxj
Оц = ^kk^ii -г 2pi8,7 (%; e V + s), (5.8)
=4 (-?- ' (x^v+s)’ (5-9)
2 \ dxj dxi /
аип, = 0 (xs e s0), uf = 0 (xs e s„). (5.10)
Из уравнений (5.7) имеем
^^iLUidv=0. (5.11)
и
При сделанных относительно области v и поверхности s предпо-
ложениях и указанных условиях гладкости решения имеет место
формула Гаусса — Остроградского:
J (GijUj) dv = J (JiftijUids. (5.12)
V s
Поэтому
У uLdv = у (вци,) dv— у dv = У —У <h№jdv-
V V J V S V
(5.13)
Поверхностный интеграл в (5.13) в силу условий (5.10) обра-
щается в нуль и потому из (5.11) и (5.13) получим
J (JijZijdv = 0. (5.14)
Учитывая соотношение (5.8), найдем
<№н = и) 02 +
где
откуда в силу условий. (5.5)
<тг/е;/ > 0.
(5.15)
38
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. I
Из (5.15) и (5.14) следует
аце,ц = 0 или (к + -у- ц) О2 + 2ре0<?(7 = 0.
Следовательно, еч- = 0, 0 = 0, откуда е/; = 0, т. е. = е^?, а зна-
чит, <rt9 =
’ и О
Таким образом, напряжения и деформации определяются
единственным образом. При su=/=0, единственность имеет место и
для перемещений. Если на всей поверхности s заданы силовые
граничные условия (sn = 0), то перемещения определяются с
точностью до решения системы уравнений
да,- , duj А
------1----и
dxj dxt
т. е. с точностью до смещений тела как абсолютно жесткого.
Теорема единственности имеет место и для анизотропного
неоднородного упругого тела, связь между напряжениями и де-
формациями для которого определяется законом Гука
°Ц = Ciik! (Xs) Skt,
если квадратичная форм? является положительно-определен-
ной в области u-Fs.
Вопросы о существовании решения краевой задачи (5.1) —
(5.4) здесь рассматриваться не будут. Условия существования
решения включают определенные требования на функции pFf,
qiy (рг. Отметим лишь, что при задании на границе s силовых гра-
ничных условий для существования решения требуется, в част-
ности, чтобы поверхностные и объемные внешние силы обеспечи-
вали равновесие рассматриваемого тела в целом как абсолютно
твердого.
5.2. Теорема взаимности Бетти. В теории упругости неодно-
родных тел, как и в случае однородных тел, имеет место теорема
взаимности Бетти [33].
Рассмотрим краевую задачу (5.1) — (5.4) при заданных на
всей поверхности s силовых граничных условиях (s„=0)
(Xses). (5.16)
Пусть ui9 aif и u., e'.., a'.. — решения этой задачи для одного и
того же тела, соответствующие системам внешних сил р/\, и р/<, q'[u
Для величин без штрихов и для величин со Штрихами выполняются
соотношения (5.1)—(5.3), (5.16). Поэтому
<*•/<; = *еЫ<еп J ' 2Ре<7ей-
(5.17)
§ 5
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
39
т. е.
°iiei/ = ayeir (5-18)
Таким образом, имеет место тождество Бетти.
Интегрируя соотношение (5.18) по объему v тела, получим
^o:je.'.du^= ^o.Xijdv. (5.19)
Преобразуем интеграл, входящий в (5.19)
Л р ди- Од
— I j!21L udv — f o n -u ds — f i/'du. J dxj ‘ J 4 1 ‘ J dx, 1 1» S У
Отсюда на основании соотношений (5.1) и (5.16)
J Qifydv = j pFjUidv + J q.bL.ds. (5.20)
Аналогично
j o^Eijdv = J pFiUidv + J q'jUjds. V V s (5.21)
На основании (5.20) и (5.21) из равенства (5.19) получим
J рР{иАи + J QiU.ds = J pFiU^v J q'^ds. V SV s (5.22)
Соотношение (5.22) дает
теорему взаимности Бетти: работа сил р?\, qi на перемеще-
ниях щ, вызванных второй системой сил рЛ, ?•» равна ра-
боте сил рЛ, qi на перемещениях uh вызванных первой систе-
мой сил pFi,
Для некоторых приложений теоремы взаимности удобны так-
же следующие формы ее записи:
J o'{^tjdD = j pFtU.dv 4- J qcu'{ds, (5.23)
V V s или J Vifydv = J pFiUidv + J q’^ids. V V s (5.24)
Для анизотропного неоднородного тела
&ij ~ cijkl (xs) <l
40
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. i
в силу симметрии
cijkl ~ cklij
тензора упругих модулей по-прежнему имеет место тождество
Бетти (5.18), а следовательно, справедливы теорема взаимности
(5.22) и соотношения (5.23), (5.24).
Соотношение (5.20) справедливо для любого тензора Oij,
удовлетворяющего уравнениям равновесия (5.1) в напряжениях
и статическим граничным условиям (5.16) и любого непрерыв-
ного с непрерывными производными поля перемещений и£
—тензор, определяемый по полю и£ формулами Коши
(5.3)). Аналогично обстоит дело с соотношением (5.21).
5.3. Тензор Грина. Из теоремы взаимности может быть полу-
чено представление решения задачи теории упругости неоднород-
ных тел через тензор Грина.
Основное соотношение (5.22), выражающее теорему взаим-
ности, запишем в виде
J pF' (is) “ (ts) F j q' (Is) u (is) ds =
V s
= j pF (is) u' (is) dv -i J q (&,) u' (g,) ds. (5.25)
V s
Подынтегральные выражения в (5.25) представляют собой ска-
лярные произведения соответствующих векторов.
В качестве системы сил pF, q возьмем следующую: поверх-
ностные силы равны пулю, в точке Al(xs) действует единичная
сила в направлении оси х7, в точке Afx(x*) действуют равная и
противоположно направленная ей сила и момент такой, что ука-
занные две силы и момент образуют самоуравновешенную систе-
му сил. При этом
q' = 0, pF'(gs) = 6(gs — xs)e; -f- ... . (5.26)
В соотношении (5.26) d(go—xo)—дельта-функция Дирака, —
единичный орт системы координат, направленный по оси х»;
в выражении pF' выписан лишь член, соответствующий силе в
точке х.ь, величина pF' содержит еще два невыписанных члена,
соответствующих силе и моменту в точке х*. Введем обозна-
чение
u' - G, (xs, gs)
для перемещения, вызываемого системой сил (5.26).
Пусть и(х5)—перемещение в теле, вызываемое силами pF,
q и удовлетворяющее условию: перемещение и поворот в точке
х’ отсутствуют
§ 5
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
41
= °’ —Т~ = 0 = Xs)‘ <5-27)
UXj (JX[
На основании (5.26), (5.27)
J pF' (£) u (|s) dv =. J 6 (|s - x$) u (|s) etdv =
V V
= [ (Is — *<) Щ (g5) dv = Щ (xs), f q'uds = 0
V s
(сила и момент в точке х’ в силу условий (5.27) не дадут вклада в
первый интеграл (5.25)) и потому из (5.25) найдем
«< (xs) = f pF (Is) Gt (xs, Is) dv и J q (Is) G; (xs, £s) ds. (5.28)
V s
Представляя входящие в (5.28) векторы в репере еЛ,
pF = pFkek, q -= qkek, G, = Glk (xs, У ек.
окончательно имеем
“i (xs) = J Glk (xs, gs) pFk (Es) dv i- f Gik (xs, £s) qk (xs) ds. (5.29)
V s
Тензор Gl}i(x^ представляет собой тензор Грина краевой
задачи упругости неоднородных тел, соответствующей заданию
на границе тела силовых граничных условий. Он определяется
формой тела и упругими модулями X(xs), p(xs) и не зависит от
внешних сил.
Соотношение (5.29) определяет перемещение щ(х$), являю-
щееся решением краевой задачи (5.1) — (5.3), (5.16) при допол-
нительных условиях (5.27), выделяющих единственное решение.
Если потребовать выполнения условия (5.27) в некоторой другой
точке x2s, получим вектор перемещения, отличающийся от век-
тора (5.29) лишь на величину, отвечающую смещению тела как
абсолютно жесткого.
5.4. Некоторые применения теоремы взаимности. Приведем
некоторые примеры использования теоремы взаимности для ана-
лиза процессов деформирования неоднородных упругих тел [33].
Рассмотрим тело произвольной формы, упругие свойства ко-
торого заданы соотношениями (4.20), т. е.
V = v0, Е - (Ео > 0, F > 0). (5.30)
(1 + Mi)
42
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. I
Используем теорему взаимности в форме (5.23)
J j pFiU.du r J q^uds (5.31)
V V s
и в качестве и'., а*, возьмем решение задачи п. 4.4 об однородном
напряженном состоянии тела произвольной формы
о'. — о0..
I/ и*
Ч М -= <1 ~ bixi> — у M,V*’ <5-32)
=Ч-1(1 •Vo) ~ v®o//6“I
Со
(о°. — константы). Подставляя выражения (5.32) в соотношения (5.31),
получим
0° j Zijdv = j I s°ikxk (1 -j- bfXj) — -i- pF.dv -|-
r J (1 - — y M/Л j ^ds-
s
Зададим теперь компоненты тензора а® в виде
(5.33)
(5.34)
Запись (5.34) не есть тензорное соотношение, а лишь зада-
ние компонент тензора в данной системе координат. Представле-
ние (5.39) означает, что в данной системе координат компонента
тензора (fl. отлична от нуля, а остальные его компо-
ненты равны нулю (/п, п независимо принимают значения 1,2,3).
Подставляя значение (5.34) тензора о®, в соотношение (5.33)
п умножая последнее на множитель 1/ро, где v — объем рассмат-
риваемого тела, найдем
-J- ( -7Г- [ {(’ I V (1 н • V,) (xnFm -Н x,nFn) —v^x^ ] X
и J coy J ( j 2 j
v v
X (1 biXi) — JL/>4(1 -I- v0) xmxa — jto +
'* ~E^ f {[ <1 Vo) ~X,M ~ ] (1 + bixi> ~
u
bi 1(1 л- vo) ^in^n ^o^tnn^iz^k] 4i I (5.35)
§ 5
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
43
Формула (5.35) дает выражение для среднего (по объему
тела) значения компоненты е,пп тензора деформаций в теле про-
извольной формы, свойства которого определяются соотношения-
ми (5.30), нагруженного произвольной системой объемных pFi и
поверхностных qi сил. В частности, при zn = 3, п = 3 имеем сред-
нее значение компоненты е33
ъ j e33dv = -Ъ-J [рМз^з — vo (XiFi 4 x2F2)[ (1 4 &Л) —
----'1 М*з ~ vo + *2)IPfi} dv -'~
4 J [l*3?3 — v0 (-Wi l- Xjfc)] (1 i- bjxj)'~
s
----7 M*3~ vo(*I ds>
(5.36)
а при m = 1, n = 2 — среднее значение сдвиговой деформации е12
- Ге12Л> = -Ъ- I [Ър(1 v0)(x2F] XjFj) (1
U J Eqv J L 2
V V
bixi> -
----(1 •; vo) xixsPbi^i I dv +
+ ( [ у (1 i- v0) (Xrft + Xj<72) (1 : bjXi) —
— — (1 v0)x^JMi ds.
(5.37)
При bi = 0 соотношения (5.36), (5.37) дают известные в теории
упругости однородных тел [41] результаты.
Формула (5.35) может быть переписана в другой полезной
для некоторых приложений форме, в которой вместо интеграла
по объему от деформаций входит интеграл по поверхности от
компонент вектора перемещений. Действительно, используя пре-
образование Гаусса — Остроградского, имеем
f f Т О г » Л’" Н +
V v s
44
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
и потому вместо (5.35) получим
u^m)dsr=
$
= f [р[у(1 ! 1 — VoWi^i] (1 + */*/) —
V
— у МО Vo) V.- *А<А*л1рЛ-] dv -I-
1 £. У { 2 {I 1 ^*1 (Х/Ят i- Xmdn) V<fitnnXiQi j (1 М?
V
---bi ((• !- vo) V„ — Vobnr.xkXkl<h| ds. (5.38)
В частности, при т = п — 3
----£'M*3~vo(xi I- х2> 1рл|- du -|-
^J{1^3 —H*2<k>I(l i bixi)~
— у bi 1Л3 — vo (*2t + -rpki ] ds,
а при tn -= 1, /i—2
У у («1«2 4 ds = -A- J [ -L P (1 I v0) (x2Fx 4 x^j) (1 4- */X,) —
S V
— у (1 4- Vo) H
-i” у" f [4 0 -г v»> ; (* । bixi) —
£o J I
s
— y(l - - Vo)*l*2*ift] ds.
Произведи в соотношении (5.38) свертку по индексам т и п
и учитывая, что интеграл Гuknkds дает изменение объема До
§ 5
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
45
тела (так как величина ицпк определяет перемещение точек по-
верхности тела в направлении нормали), найдем
j -\-bjXjXi — у biXkxk^ pFtdv +
И' j (Х- + biX>Xi — Y6'-****)
s
Наряду с формулой (5.35) для средних значений компонент
тензора деформаций легко может быть получена формула, опре-
деляющая средние значения компонент тензора напряжений.
Будем исходить из соотношения (5.20)
J (Jifadv = J pFiUdv i- J qtu.dst (5.39)
C V s
в котором аналогично (5.34) компоненты тензора г., зададим в виде
<,• = -у Y (6(тб/я 4- 6}пД„), у = const. (5.40)
По формулам Чезаро (4.17) отсюда найдем
(^s) ~ Y (^itn^n ; (5«41)
Подставляя (5.40) и (5.41) в соотношение (5.39) и умножая
последнее на 1/у, где v — объем рассматриваемого тела, получим
— f = 4~ f Р 4- xmF„)dv -t- 4“ f (Xnqni -I - xmqn) ds. (5.42)
v J 2u J 2u J
V V s
Формула (5.42) определяет среднее (по объему тела) значе-
ние любой компоненты о?/ш тензора напряжений тела произволь-
ной формы, нагруженного произвольной системой объемных р/\
и поверхностных qi сил. Формула (5.42), как и соотношение
(5.39), является следствием только уравнений равновесия в на-
пряжениях (5.1) и статических граничных условий (5.16) и по-
тому справедлива для тела с любыми физическими свойствами,
в частности для упругого неоднородного тела при произвольных
функциях G(Xs). Формула (5.42), например, даст
— f otldv = — f pXjFidv 4- — f x1g1rfs,
V J V J V J
v v s
— [ tf^dv = Л- C p (x2F, 4- r^j) dv 4- 4~ f (x^ 4- xfa) ds.
v J 2u J 2v J
46
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ II ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
Теорема Бетти позволяет для весьма широкого класса неод-
нородностей упругих свойств найти в явном виде изменение
объема тела произвольной формы при деформировании его про-
извольной системой объемных и поверхностных сил.
Используем теорему Бетти в форме (5.22)
f рр^и -J- j qu^ls = J pFiU.dv J q^ds. (5.43)
V S V s
Возьмем в качестве системы сил F' q'. систему
Л = 0, ъ = (5.44)
где — единичная внешняя нормаль к поверхности s тела. Исполь-
зуя (5.44), из (5.43) имеем
j u^ds = J pFiU-dv -4- у qtu.ds.
SV s
Выражение, стоящее в левой части под знаком интеграла, опре-
деляет перемещение точек поверхности тела в направлении нор-
мали к этой поверхности и, следовательно, сам интеграл равен
изменению Ди объема тела. Поэтому
Ду = у pFjU.dv 1- q-tu.ds. (5.45)
V S
Формула (5.45) определяет изменение объема тела произ-
вольной формы, находящегося под действием произвольной си-
стемы сил р/\, Qi- Вектор ui суть вектор перемещения, возни-
кающего в том же теле при наличии сил (5.44), т. е. при дейст-
вии на всей поверхности s тела гидростатического растяжения
единичной интенсивности.
Рассмотрим тело, для которого модуль сдвига G = G(xs) яв-
ляется произвольной функцией координат, а модуль объемного
сжатия К имеет вид
К =
(1 -ь bi-ч)
В этом случае вектор и. определяется решением задачи п. 4.1
при р = —1 и потому согласно (4.19)
U‘ = З^Г ( Х‘ !' b'X'Xi--2~ biXkXk) (5’46)
Подставляя (5.46) в (5.45), для изменения объема Ди тела най-
дем
§ 6 ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 47
Др = —Г (х,- -! Ь,х,х,------pFidv -I-
Зло J \ ь )
v
Н- (*< - Цл- — у М'л) <7ids-
S '
При неоднородностях вида /С=/<0, G = G(xs) изменение объема
равно
Др = -^ f px(F,dv -J- f x^.ds,
•ЗЛО J ЭДо J
и s
т. о. эта формула совпадает с соответствующей формулой для
однородного тела [60].
§ 6. Общие методы решения
6.1. Функции напряжений в теории упругости неоднородных
тел. В теории упругости однородных тел при решении некоторых
классов задач определенную пользу приносит представление на-
пряжений через те пли иные функции напряжений. Замечатель-
ные в этом отношении примеры—функция напряжений Эри
в плоской задаче и функция напряжений в задаче кручения
призматического бруса.
В пространственных задачах при заданных на границе на-
пряжениях чаще всего напряжения выражаются через три функ-
ции напряжений Максвелла или Морера [40, 41]. Успех этого
метода заключен в том, что шесть условий совместности, запи-
санные через функции напряжений, смогут быть сведены к трем
уравнениям [19] (с точностью до некоторых аддитивных функ-
ций, не влияющих на напряжения). Для неоднородного материа-
ла такая редукция в общем случае неосуществима [77] и потому
приходится использовать шесть функций напряжений Бельтрами
(Максвелла — Морера).
Далее могут понадобиться условия совместности в напряже-
ниях, поэтому получим их. Закон Гука (1.10) с учетом соотноше-
ний (1.12) можно представить в виде
е,- / = v [ , - ту— pSu ]. (6.1)
z | I Н- v J
где g=-^, P = 3<r=ffw. (6.2)
В декартовой прямоугольной системе координат х, yt z при оче-
видных обозначениях
48
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ 11 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
1 Г vg 1
ег =— gex------------— р ,
2 1 Н v J
—Г?ГР]’ (63)
1 Г VP I
8, = — ge,---------— р ,
2 2 [ 2 1+V П
1 1 1
Ууг ^2Х 2 &Xzx' ^ху 2 £Xjcy'
Здесь и в дальнейшем предполагаем, что параметры g и v —
дважды дифференцируемые функции координат х, у, г.
Подставляя выражения деформаций через напряжения в ус-
ловия совместности (1.5), получим условия совместности в нап-
ряжениях
д2 / \ 1 /32 / сгл" _f^_ + \ дх2 д2 \ / VS P) .= 2 / d2 (gTxy),
дуг х) й/2 \ l + v дхду
дг , ч . + dy1 / д2 , д2 / ( vg d2 (g^yz),
? ^У2 dz2 ; \ 1 -1- V dydz
А2 -ttW дхг (JL , — 1 ( vs n\ — 2- d2 (g^zx).
\ dz2 * дхг ) \ 1 -F v dzdx
(6.4)
е>2 г vg D 1 - °2 (£^г) ! a» (£*«) +
dydz 1 ё * 1 + v Р: 1 ~ дх2 дхду dxdz
Ч р| 1 - д* (£тгхИ d2 feSx) + d2 (g*yz),
dzdx [ь у • + v Р ду2 dydz dydx
и _ yg р| ' - д2 d2 (g^y) + d2 -(g*zx)-
1 + V Р] dz2 dzdx dzdy
Выразим напряжения через шесть функций напряжений
Бельтрами Л, В, С, L, М, N [19]
_ д2В . д2С 9 d2L
dz2 ду2 дуд?
д2С , д2А п д2М
а =--------}--------2-------,
у дх2 дг2 dzdx
д2А , д*В о d2N
а ---------;---------2-------,
ду2 dv3 дхду
(6.5)
— 1 д / , дМ dN
уг дуд? ‘ дх \ дх ‘ ду 1 dz / ’
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
49
—
д'2В , J / а.М , dN
dzdx ду \ ду дг
д*С .Of dN dL
дхду ' dz \ dz ' дх
dL \
дх /
дМ \
ду / *
Соотношения (6.5) тождественно удовлетворяют уравнениям
равновесия (при отсутствии массовых сил). Подставляя (6.5) в
условия совместности (6.4), получим шесть уравнений относи-
тельно шести неизвестных функций напряжений А, В, С, L, М, N.
Из-за громоздкости уравнения здесь не приводим. Анализ, одна-
ко, показывает [77], что при переменном параметре g их не
удается свести к трем уравнениям относительно трех неизвестных
функций, как это делают в теории упругости однородных тел.
6.2. Метод возмущений. Метод возмущений — один из наи-
более эффективных общих методов теории упругости неоднород-
ных тел, применимый при произвольной неоднородности упругих
свойств [26, 31’].
Рассмотрим краевую задачу для неоднородного анизотроп-
ного упругого тела при заданных на поверхности s тела силах
плотностью qi(xs). Имеем
+ рЛ = 0, <r,, = c,ilm (xs) (6.6)
дх^ дх1П
Is = (**) (6.7)
Представим тензор упругих модулей ciilm в виде
(6.8)
где — константы, и введем параметр х соотношением
cHlni(Xs) = C°iji!n I" (6-9)
Используя (6.9), краевую задачу (6.6), (6.7) в перемещениях
представим в виде
дх^хт ' Р ‘ дх, дхт ) ’
П: q, — нс. п: (х е S). (6.10)
Ч‘п‘ дх,п ' ,ll,n дхт ' v s ’ '
Задача (6.10) зависит от параметра х и имеет вид разложе-
ния по степеням параметра х (имеет член, не зависящий от х,
и член, линейный по х). Решение ее также будем искать в виде
ряда ио степеням х [26]
Л---о
(6.11)
50
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. I
Подставляя (6.11) в соотношения (6.10) и приравнивая коэффи-
циенты при одинаковых степенях х, получим краевую задачу
о
ДЛЯ III
d’u?
tjlm
ди°,
Н- РЛ = 0, £?/„, —-
dxjdxtn ! дхт
(6.12)
s
и рекуррентную
й=1, 2, ...
последовательность краевых
задач
„к
ДЛЯ “р
где
с®
ijtni
Л "1 fl — Cijlm Hj
дх]дхт дхт
(6.13)
S
д / ______
dxj \ t/lm dxtn
Л-»
д“1 1 ^-1 _ г'
) ’ — Ciihn
дик, 1
--------П;
дХт
(6.14)
Задача (6.12)—задача теории упругости для однородного
о
тела с модулями упругости и теми же внешними силами,
а задача (6.13) для и*, (Л=1, 2, ...)—для однородного тела
при наличии фиктивных объемных /*-1 и поверхностных
сил, определяемых неоднородностью упругих свойств и решением
задачи для (k—1)-го приближения.
Решение исходной краевой задачи (6.6), (6.7), соответствую-
щее модулям упругости (6.8), находим из (6.11) при х=1
«( = Е“*(хв)- (6.15)
/г=0
Уравнения, получаемые по методу возмущений для неодно-
родного изотропного тела, найдем из выписанных выше уравне-
ний, если положим
= A(xs)6,-,6fc/ i-|i(xs)(6,A6/; -I-бгД*); (6.16)
rfjkl ~ 4“ Po(6ffe6/7 “ 6 j —
ciiki = и' (M// 4- M/k).
что соответствует заданию параметров Ламе X, ц в виде
Л(Xs) - Ло + Л' (х,), р(xs) = р0 J- |Г (xs).
От выбора постоянных Cqittl (Z,o, ц0) зависит скорость сходи-
мости изложенного метода возмущений. Во многих задачах мож-
но в качестве с^п1 (?w0, ц0) выбирать средние по области, зани-
маемой рассматриваемым телом, значения функций Cijim (Z, р,).
§6
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
51
Для напряжений
используя (6.15), получим
dui
° И — cijlm »
ддгт [£«?(*s)|,
или
а</ =£ ^(ч).
к=0
где
°о- = сиьп(х^——-
илт
Рассмотрим краевую задачу (3.13), (3.14) термоупругости
для тел, свойства которых зависят от температуры. Используя
предположения и обозначения § 3, имеем дифференциальные
уравнения
-к
2 ЭО 2(1-f v) д
1 — 2v dxi
\a(f)dt
О
дщ
dxj
duj , 2v 0 _ 2 (1 4 v)
dx( ' 1 —2v 1 —2-v
-;-2('+''>PF,-0
E
(6.18)
и граничные условия
Г 1 / дщ j duj \
[ 2 \ dxj T dxi j
1 — 2v дх^
о
= 2^- qt (xs) 4- n, j a (0 di.
0
(6.19)
В соотношение (6.18) входит параметр е, определяемый свойства
ми материала и вводимый соотношением
А — ::=ЕФ(Т).
Е dT
52
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
Функция Rj(xs) в соотношении (6.18) имеет значение
OXj
Применим к задаче (6.18), (6.19) метод возмущений, разыс-
кивая решение ее в виде степенного ряда по параметру е
Подставляя (6.20) в
л о
ДЛЯ Ui
= и0. -I- £
(6.18), (6.19),
bkukt.
(6.20)
получим краевую задачу
» П • 1
-t------------------
1 1 — 2v dxi
2 (1 + у) d
1—2v dxi
2(1 -i-v)
E
о
_L ( du?
2 \ dx;
ди®
дх{
v
1 — 2v
0'6,; Л,
s
1 v
E
(6.21)
0
краевую задачу для
и'.
У'2и\
1 d0i D Г М
-------------- 7
1 — 2у дхс
да?
dxj дх
_2X_ 2<‘ +v> [a(/)d/6(. li
l-2v ‘‘ \-2y J ' ’ " ’
0 J
Фбц Hj — 0
J s
и последовательность краевых задач для ukr А=2,3, ...
ди!}~1
I —2v
Здесь
1 36*
— 2v dxc
( duff du^
( dxj 1 дх,-
duk.
dxj
Охе
—-— е*б,- < a,-
1—2v ° I '
0*=^-, fe-0, 1,2, ...
dxj
2v
1 —2v
04-‘6,, ,
(6.22)
V2«* +
2
= 0.
S
§ 6
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
53
Таким образом, краевая задача (6.18), (6.19) сведена к по-
следовательности краевых задач (6.21) — (6.22) однородной тео-
рии упругости. Подставляя разложение (6.20) в закон Гука (3.10)
t
0
Е(Т) Г 1 / дщ
1 4- v [2 \ dxj
у d"feg _ 1 4-v
1—2v dxk 1 — 2v
найдем выражения напряжении o2J через решения краевых задач
(6.20) —(6.22)
Е(Г) И_1_ / ди°
1 4- v I [ 2 \ dxj
дх{ /
V ^Uk о
l—2v dxk li
d“'l \ . V дип . 1|
dxt И 1 — 2v длп 'Jl'
6.3. Тела с быстро осциллирующими упругими свойствами.
Упругие свойства ряда неоднородных материалов, в частности
композитных и армированных конструкционных материалов, мо-
гут быть с достаточной точностью описаны почти периодическими
быстро осциллирующими функциями координат. В то же время
параметры, входящие в определяющие уравнения и обладающие
свойством быстрой осцилляции, позволяют построить эффектив-
ные методы решения краевых задач. Эти обстоятельства обуслов-
ливают целесообразность постановки и разработки методов реше-
ния задач с быстро осциллирующими упругими свойствами
[28, 29]. Ниже даны постановка и метод построения асимптоти-
ческих решений пространственной задачи теории упругости для
тел с быстро осциллирующими упругими свойствами; метод су-
щественно использует решения типа пограничного слоя [29].
Будем исходить из краевой задачи теории упругости неодно-
родных тел для вектора перемещений
д
dxj
oui
Cl П m *"7 п / — 4i
0xm Is
Представим Сц11Л в виде
Ciilm (Xs) =
(6.23)
(6.24)
и введем параметр х соотношением
ciilm (*s) “ tfjltn nbjjifnfXs). (6.25)
Разыскивая, как и в п. 6.2, решение задачи (6.23), (6.25) в виде
разложений
54
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
м
(*.)>
"о
для игг получим краевые задачи
„ d»u? „ ди°,
------ = 0> ^ /т------~П1 — Qi
ч‘т dxjdxm 1>‘т дхт ‘ ' s ’
СО ____Lift.. а<<~1 \
°Zm dxjdxm dxj \ дхт /
diZ di/j~1
ciitln ~T~ni=~ ni (xs<=s), r= 1,2, ....
uxm
(6.26)
(6.27)
Решение исходной краевой задачи (6.23), (6.24) содержится
в (6.26) при х = 1.
Величины зададим в виде
оо
Ь(Цт = Е ^>‘т ^Х'
Аг= ]
и примем, что нижняя грань а величин aj — положительная
безразмерная величина порядка единицы, а <о — большой пара-
метр, имеющий размерность, обратную длине, так что fiaim—
почти периодические быстро осциллирующие функции координат.
Введем, далее, функции комплексного переменного
** X. /<dajjc_ г---
bijlm — £ » 1 ~ 1 ’
fc=l
(6.28)
Х//7ГП = Р*7m (COS ф* + i Sltl фА).
При этом
Re bijlm ~ bijlm
(Re/ — действительная часть /).
Функции являются решением краевой задачи теории
упругости однородных тел при заданных силах будем считать
их известными.
Вместо краевых задач для и1} рассмотрим задачи (6.27), в которых
функции Ьц1т и щ заменены соответственно на biilm и и/. При этом
и*} = ReaJ.
§ 6
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
55
Используя (6.28), для и\ получим задачу
го /' дги°1
l',m dxjdxln ‘*1т I dxjdxn
k=i 4
(6.29)
n
_ pO ______ n .
""" dxm n>
S. ditf iwy.kx r .
Решение краевой задачи
(6.29) представим в виде
и\ = (i* -i ayj), (6.30)
A’—I
где и? есть частное решение дифференциального уравнения
(6.29), в правой части которого сохранен лишь fe-тый член суммы.
Разыскивая и/ в виде
к 1 А / ч iwajx
V? = — fl (xs, со) е r rt
(О
д'6.31)
для ft получим уравнения
о fk 1 ; („k
Cljlm fl I I ft/r
L & \ dxm
к I • k л
— ^iflm I tft/
______________L_ J^L.
m dxj ) o? \dxjdxm
1 deim v
(6.32)
Для wl имеем краевую задачу)
о - n
Ciilm ~ °’
/г Л ; к 0 ck .
&itn “T~ ^ft/n Cijltn 11 i
0 . M _
Cijlm —
VA'/n
1 0 dfkl I i^kxr
"i* Cijlm ” П/в
O> J
(6.33)
Здесь введено обозначение;
1 / M < \
е‘т 2 \ dxm ‘ dxi /
0 k
и использована симметрия тензоров и эсгу/т.
56
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
Разыскивая решение уравнений (6.32) в виде разложений по
малому параметру 1/<о
оо
(О) = £ -1-/Г (х$),
n—Q
получим рекуррентную последовательность систем алгебраиче-
ских уравнений
О k k tkn
Cijlm / /
с°ц1т <4/?° = ia*
„о „к „к (к\ _ dei,n ,
11 т
Oxy
I • о / k d . k d \ fko
Г ICijlm I Gy — h dm I fl ,
\ dxm dXj J
k d ,
a'7 dxm "r
(n=2, 3, ...),
определяющих функции /)п.
Краевая задача (6.33) при большом параметре <о является
задачей с быстро осциллирующими граничными условиями. Та-
кие задачи для одного Эллиптического уравнения рассматрива-
лись в работе [10]. Случай имеющейся здесь эллиптической
системы уравнений рассмотрен в работе [29].
Задача (6.33) для функций (/=1, 2, 3) имеет решения
типа пограничного слоя, быстро затухающие по мере удаления
от поверхности $ тела. Явления пограничного слоя согласуются с
выводами, вытекающими (в рассматриваемых специфических
условиях) из принципа Сен-Венана.
Предполагая тензор cQiflin изотропным
c°ijlm = + Но(^Д-»и + ^шДч)>
краевую задачу (6.33) запишем в виде
а / дц/f \ ь
(^о + Ро) — (-Z—) HRoV2^? = о,
дх[ \ oxi /
dwkL / dufi dufc \
Щ — - н |Х0 f nltl — |- I =
0X1 \ dxi J
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
57
1 / д
4- Ноа/Л.Л) 4- — ( —— 4- Ho«m a
со \ dxi дхт
4“ Но ) I Г ^) •
дл;- / J
Рассмотрим задачу построения решения типа пограничного
слоя для краевой задачи (6.31) в области х3^0 вблизи границы
А'з = 0 тела.
Делая замену
Wi = — <Pi (Xlt xit t, a)eiu>\
CO
(6.34)
t = wx3, zk = а* хг + а* хг,
для <р< найдем дифференциальные уравнения
Но - Pi Ч>? ) 4- (h 4- Но) [-
— ai(ai Ч>1 4- а2 фг) I 4-I 2i Но (а* 1—
J (о I \ дхц
, „fe дф' \ -I i II L 11 I /<>„* Йф‘ J дф2 _L
+ а2 —— I -г I (Ч + Но) I ^ai -т----h «I —-----Ь
дх2 / \ dxi дх2
. d2(p* \ I _!
+ 2 длх "и дху dt / ] си
д д / <М
+ (Ч + Но) —— (——1-
ОА'1 \ ОХу
2 b
Но Vi <₽1 +
— аг (а? <pt + аг <р2) I 4-
ха* Зф*
Т а2 --
Г ь дф?
4- (^0 + Но) 1а2 ——-----------
L at
I \ д*1
k М . k м
-2 -------1~ Cl2 ~“--
<Jx2 dxt
ai +J+ r°Vi 4)2 +
+ (\ 4-Ho)"7~ (4^-4-4^-) =0,
(7A2 \ uXi ax2 J J
58
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Гл. 1
(^о + 2р0) ——2---ро0* <Рз + (10 -+- р0) ( idf ——— 4-
\ 01
, , k М \ , 1 г9., /» д(₽з , ft М \
+ *а2 ~ п----\*1 Ро <*1 —---Г аг —— -h
di J со [ \ dxY dx2 /
+ (^ + Mo)-^-(^ + -^-)|-b-JrHoVi<P3=O (6.35)
dt \ dx2 dx2 / J co2
и граничные условия
/ drf . k k 1 ty? \ k
Po ( ~ZT~ + IO] фз 4------- j = — X13 Im Cim —
\ dt co dxi J
go \ dx3 dxx /
/ <M . ь k 1 \ ь
Po | ----h la2 фз H------- ) = — X23j/m elm —
\ dt co dx2 /
-i|x.(aS/5 +»5/a—i-и. (-~+-гМ’
(0 \ dx3 dx2 /
+ 2|i0) 3 + iX0 (сц ф? -J- а* ф2) +
ot
+ — 4 ("T^" 4" = —хззimeim — ij(lo + 2p0)a*4-
co \ d.*! dx2 I
4~ + 02/2)!=-----2p0) 4-
Здесь использованы обозначения
дх22
Краевая задача (6.35), (6.36) имеет вид разложения по сте-
пеням малого параметра l/о. Решение ее будем искать в виде .
(*11 *2i Л ®) = VJ ~ ’Ф« (*!• *21 О’
ЛшЛ (дп
л|=0
§ 6
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
59
Для Ф?в (/=1, 2, 3) получим тогда систему однородных, обык-
новенных по /, дифференциальных уравнений
\ at* / L ™
— а* (а? ф1* 4- а* ip*’)) = О,
Но (-^г— Ф*’) + (К« + •*<>) [1а* ~
\ dt* / L аг
— а* (а? Ф?в 1 ®2 ф2*) j = О»
(Ч + 2|Ю) ---**» Ф*’ + 1 Ио) (1'а‘ ~7Г 4' 1“* ~iA = °
dt2 \ dt dt J
(6.37)
и условия при t = О
/ д<Р1* . ь k \
Но (“Г7 + *а1 Фз* =
\ dt j /
Цо + ‘°2 фз’) = Ri,
(Хо 2Щ) 4 i\>'(а? <р|» 4 а? <&') = R3. (6.38)
dt
Здесь
/?! = - elm ~ I Но (а$ -1- al /J),
Rz — — *23lin elm — 1 Но(а3 fi Т а2 /з),
Ri = - *33/melm - q(A0 4- гро) а$ ftk0 (af ft + a? $)J, (6.39)
причем значения функций (6.39) берутся при х3=0.
Для приближений ф^ (и=1, 2, ...) справедливы неоднород-
ные системы уравнений (6.37), правые части которых опреде-
ляются предыдущими приближениями, и условия (6.38) с изме-
ненными правыми частями, зависящими от предыдущих прибли-
жений.
Характеристическое уравнение для системы уравнений (6.37).
Но''2— В
В ро ra — k2 А2г
i4rr • Л2г (Хо - 2ц0) г2 С
= 0,
60 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ Гл. i
где
= PoPi -i-(а/)2 (Ч-I-Но), 7=1,2;
Я, = ia* (Ло -I ц0), р = — а* а* (Ло -г ц0),
с = Мерг, ₽?=(а}гм<4)*.
можно привести к виду (г2 — 0*)3 = 0. Оно имеет трехкратный
отрицательный корень — 0Л, и потому для любого приближения
существует решение типа пограничного слоя [29].
Глава 2
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
§ 7. Задача Сен-Венана
для неоднородных брусьев
7.1. Постановка задачи. Рассмотрим классическую задачу
Сен-Венана о деформации призматического бруса усилиями, при-
ложенными к его торцам.
Пусть брус произвольного постоянного сечения одним торцом
закреплен, а к другому приложены усилия, приводящиеся к ре-
зультирующим силе Р и моменту М (рис. 1). Боковая поверх-
ность свободна от напряжений. Направим ось z декартовой пря-
моугольной системы координат параллельно образующим боко-
вой поверхности, а оси х, у возьмем в плоскости закрепленного
торца. Материал бруса считаем изотропным, а модуль сдвига G
и коэффициент Пуассона v — произвольными дифференцируемы-
ми функциями координат %, у.
Эту задачу рассмотрим в постановке Сен-Венана, при которой
граничные условия на боковой поверхности удовлетворены точно,
62
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗхЧЛТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
а на торцах —интегрально. Граничные условия на боковой по-
верхности благодаря тому, что на ней и2 = 0, примут форму
вг пх И' т*у пу = °. Хху Пх + ° У ПУ = °> Ххг пх + хуг пу = °- (7- О
Интегральные граничные условия на свободном торце (z = l)
имеют вид
У<Ш у, l)ds=Pz, (7.2)
S
У у> 1) — Уххг(х, У, l)]ds = M2, (7.3)
S
У У Ог (х, у, 1) ds = Мх, У xaz (х, y)ds = — Му, (7.4)
S S
J Ххх (х, У, I) ds = Рх, | трг (х, у, I) ds = Ру. (7.5)
s s
Здесь (Px, Py, Pz), (Mx, My, Mz) — проекции на оси х, у, z ре-
зультирующей силы Р и результирующего момента М; Pz пред-
ставляет собой осевую растягивающую (сжимающую) силу; Mz—
крутящий момент; Му — изгибающие моменты; Рх, Ру — по-
перечные (изгибающие) силы. Интегрирование в соотношениях
(7.2) — (7.5) производится по площади s поперечного сечения
бруса.
На закрепленном торце (2 = 0) детали заделки несуществен-
ны, на нем возникают реактивные усилия, приводимые к резуль-
тирующим силе и моменту, которые вместе с силой Р и момен-
том М составляют систему, статически эквивалентную нулю.
Интегральные граничные условия на торце z = 0 будут иметь вид
У<тг(*. У, 0)ds=Pz,
S
j У> °) — УххЛх, У, O)Jds= Мг, (7.6)
S
J У ог (х, у, 0)ds— Мх — 1 Ру, У х аг (х, у, 0)ds= — Му — 1РХ,
Я S
У Xxz (х, у, 0) ds = Рх, J (х, у, 0) ds = Ру,
S S
где I — длина бруса. Если удовлетворены граничные условия
(7.1) на боковой поверхности, интегральные условия (7.2) —(7.5)
на торце z=Z и дифференциальные уравнения равновесия внутри
§ 7
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНЛНА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
63
бруса, то интегральные граничные условия (7.6) на торце z=0
удовлетворены автоматически; поэтому при решении рассматри-
ваемой задачи в постановке Сен-Венана заботиться об их удов-
летворении не нужно.
Внутри бруса должны выполняться дифференциальные урав-
нения равновесия
dCx ; ] &X2X — 0
dx dy дг
&xxy . д(зу 4- .дх«г • = 0,
dx ^y dz
&xzx • ^Tyz । Q
dx dy dz
(7.7)
и условия совместности (6.4) в напряжениях
(goв) +
(gG.) — —---------1-
ду2 \ дх2 ду2 ) \ 1 v
= 2 —-— (Ятли)»
дхду vs xeh
(7.8}
(g<h) +
d2 , . / d2 , d2 \ I vg \
-ГТ(Я*,)— -ту-+ -77- , , P
dz2 * \ dy2 dz2 ] \ 1 + v /
=2 ^57'«’»>•
/ a2
(g Qx) 4------(g ou.— (------
Xl "Г 2/ dz2
& \ / vg
dx2 / \ 1 + v
= 2—— (gr„),
dzdx zxh
d2
dx2
d2
dy2
d2
dz2
------ £ o’r —
fydz [ 14-v
(gXyz) + d2 dxdy (£*xzH - d2 dxdz
a2 f rr zr •^g o
dz dx [ 1+v Pd
(£bx) + d2 (я^) + - d2
dydz dy dx
d2 Г vg
----- ----------—
дхду I 1 + v
( CFT 1 Д - д2 (ax ) Л- d2
'& '’xyj J dzdx {8 гу) ' dzdy
<g*xy)>
(g-^zx)-
64
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Здесь
g = [G(x, Z/)]-1, V=v(x, у), p^3c = Gkk.
Постановка рассматриваемой задачи в напряжениях состоит
в следующем: найти напряжения ох, о?/, oz, туг, т2х, хху как функ-
ции координат х, у, z, удовлетворяющих внутри бруса дифферен-
циальным уравнениям (7.7) и (7.8), а на его границе — условиям
(7.1) и (7.2) — (7.5). Эта задача имеет единственное решение с
точностью до напряженных состояний, которые возникают в бру-
се от систем поверхностных сил, приложенных на торцах бруса
и статически эквивалентных нулю.
Задачу Сен-Венана для однородных брусьев решают обычно
[40] с помощью полуобратного метода Сен-Венана, в основе ко-
торого лежат предположения о равенстве нулю части напряжений
ох^0, а^=0, т^О (7.9)
и о характере зависимости от координат остальных компонент
напряжений
т« - тгл (х> У>< xyz ~ xyz (*, У),
(7.Ю)
ог - у) го'г(х, У).
Эти предположения согласованы с имеющимися условиями и
позволяют дать корректную математическую постановку задачи
определения напряжений (7.10).
В задаче Сен-Венана для неоднородных брусьев справедли-
вость предположений (7.9), (7.10) не ясна и потому представляет
большой интерес анализ напряженного состояния и, в частности,
предположений (7.9), (7.10) с позиций общей пространственной
постановки задачи Сен-Венана [77].
7.2. Анализ напряженного состояния бруса в задаче Сен-
Венана. Рассмотрим указанную в п. 7.1 общую пространственную
постановку задачи Сен-Венана в напряжениях, которая сводится
к интегрированию дифференциальных уравнений (7.7), (7.8) при
граничных условиях (7.1), (7.2) — (7.5).
Используем представление (6.5) напряжений через функции
напряжений А, В, С, L, М, Л; Бельтрами
д*В &С - — 2
дг2 ду* дуд’
°у = - д*С дх2 д*А д’* — 2 д*М dz дх
<*2 = д2А д'2 В — 2 - дгМ
ду2 дх2 дх ду
§ 7
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
65
д*А , д ( dL , ГдМ . dN \
т =-----—------[—-— I---------1-------F — ,
ду дг дх \ дх ду dz /
— д*В д ( дМ dN \ dL \
** dz дх ду \ ду дг дх /
(7.П)
_ daCj Э / 'dN t dL дМ \
ху дх ду дг \ дг 1 дх ду J
Соотношения (7.11) тождественно удовлетворяют уравне-
ниям равновесия (7.7), а подстановка их в условия совместности
(7.8) дает шесть дифференциальных уравнений относительно
шести функций напряжений Л, В, С, L, М, N.
Решение этих уравнений будем искать в виде степенных ря-
дов по координате z, ограничившись первыми двумя членами [77]
А = Ло (х, у) + zA± (х, у),
Л/=М>и*/) + гЛ\(х, У). (7.12)
Подставляя разложения (7.12) в соотношения (7.11), найдем
<тл= <£(*, У) + za'x(x, у),
т,» = (х, у) + г (х, у)-, (7.13)
где
Р= okk = р0(х, у) + грх(х, у), (7.14)
а° = - даС0 ду2 - — 2- ду У д*С0 дх* 2 дМ,. дх
£ = 1 д'в<> _ ду% дх* -2-^-, дхду
дАх д*Ц . даМл . W1 дх * (7.15)
дл2 ' дхду
то дВ» [&Ма , d*L0 , dNi ду
^У ду^ дх ду
т0 д2с0 , raij । дМг
^ху дх ду ' дх ду
д2 \с , а,2 )Св-Г . I д2Д»
Ро = дх* д//2 {дх*
2 ( ’dL1 ' дМг Т V
\ ду ‘ дх дхду /
66
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
d2Ci д2^
ду2 9 у дх2 9
„1 ЭМ, , d^Bt о
ду2 дх2 дх ду
(7.16)
<yZ ---
d2Li д2^
дх2 дх ду 9
= । дЧ*
ду2 дх ду
д2Сг
дхду
д2 , д2 \ с д2Аг , д2Вг 2 d2Nx
дх2 ду2 / 1 1 ду2 дх2 дх ду
Подставим соотношения (7.13) — (7.14) в условия совмест-
ности (7.8) и приравняем коэффициенты при одинаковых степе-
нях г. Тогда
д2 , 0\ . д2 , Оч / д2 . d2 \ / Tv# \
-уу W + “Ту te<Tx) — -ту + -ту- —,-у— Ро =
дх2 ду2 \ дх2 ду2 / \ 1 4- v /
-2175Г<«т’>>' <7Л7>
г~-л] =г 4- te’U <7-18>
ду2 |. 1 + v J ду
(7Л9)
дх2 L 1 -|- v J дх
--4t(s4> +
ду \ 1 + v / дх2 дх ду
+ (^), (7.20)
dxj
5/1 vg \ д2/0\, 5а/0\>
-т— goy — —g- Pi -----— (gxzx) + (gXyz) +
dx \ 1 + v / dy2 dx dy
+ -~-(grlXy), (7.21)
oy
-7^—(g^--r^-Po) = -f-(g^)^-^- (gr'x); (7.22)
[dx dy \ 1 v / dx dy
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
67
д2 / 1 \ /л — 1 gOz —— Pl I = 0, (7.24)
оул к 1 + v /
д2 (ffal _ \ _ 0 (7.25)
дх2
д2 дх2 (^yz) + а а (g^xz) — 0, дхду (7.26)
д2 д^ (grzx) + _ я (gxyz) — 0, дхду (7.27)
да _ Г огт1 — vg п 1 -0 (7.28)
дхду l+v Л]
Учитывая, что на ношением где основании (7.16) величины рг и о! Pi = + VI сь 2_ д21 д2 связаны соот- (7.29)
V дх» 1 ду^ ’
из уравнений (7.24), (7.25) и (7.28) найдем
<4 = £ (Ро + Pi* + 02 У) + v ут
Здесь ро, Pi, Р2 — константы, а Е — модуль Юнга
£‘=2(3(1 + v).
Из (7.29) и (7.30) имеем также
Pi = Е (Ро + Pi х + р2 у) + (I + v) у f Cv
Тогда из уравнения (7.23) получим
дх2 дх2 ) 1 ду2 ду2 /
+ 2 (s - V? (Vg ViQ = V?I2v (p0 + (V 4- M]-
С/Х Uy \ \JJ\ uy ]
Уравнение (7.26) и (7.27) с учетом (7.16) приведем к виду
_2_ Г_1_ (g + _±_ (g _J21_ VI = о
dx L дх \г дх ) ду ду ) \
дФ1 \ , д / дФ, \ '] ~
£ -Г-Ч + — Н" = °-
дх / ду \ ду ) \
Ф1 = _^1_____2^1
дх ду
(7.30)
(7.31)
(7.32)
где
68
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гп. 2
Отсюда
±_ (gV _±_ Ig= V
дх I, дх ) ду Г ду } г’
(7.33)
у — константа.
Таким образом, система (7.23) — (7.28) дает выражение
(7.30) для и уравнения (7.31), (7.33).
Рассмотрим теперь систему уравнений (7.17) — (7.22). Учиты-
вая равенства (7.15) и следующее из них соотношение
Ро= V?C0 + <r°-2 + (7.34)
\ ду дх )
уравнения (7.18), (7.19) и (7.22) приведем к виду
J^L =________ д (с \ /735)
ду2 ду дх )’ дх2 дх ду ) ’ v ’ 7
_____1___д I ГЭФ1\ L J___д / дФ1 \
дхду 2 [дх \ дх / 2 ду \ ду /
где
---------V1C0+ — -L-1- + —— . (7.36)
E E E \ ду dx )
Из первых двух уравнений (7.35) получим
^- = -g-^+Ш, -^- = g-^l- + /2(//). (7.37)
ду дх дх ду
Приравнивая выражения для второй смешанной производной, по-
лученные из соотношений (7.37), и используя уравнение (7.33),
найдем
/iw— fi{y)= Y,
откуда
/1(х) = 6х + 60, f2{y) = (S — YH+61,
и потому вместо (7.37) имеем
дф дФ1 |0 с
= — g -Г-2- + &* -1- 6о.
ду дх
(7.38)
+ <s~v) У + Si-
дх ду
Подстановка выражений (7.38) в третье уравнение (7.35) дает
б= yY-
§7 ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ 69
Интегрируя первое уравнение (7.37), получим
’l’ = — f g dy + -±-yxy -Ь б0 </ + /3 (х). (7.39)
J дх 2
Подставляя (7.39) во второе уравнение и используя (7.33), найдем
/з(*) = 61. /з W = Мб2
и, значит,
41 = — ( g -7П- dlJ г 4" Y ху 601/ т 6iX + 62. (7.40)
J дх 2
Из соотношения (7.36) и (7.40), с очевидной заменой обозначе-
ний для констант, найдем
о г» / । ,1 Г дФ] j \ ,
ог = Е (а0 + а,х -+- а2«/ + — уху — \g —— dy -г
\ 2 J дх )
(7.41)
\ ду дх /
Уравнение (7.17) с учетом соотношений (7.15), (7.34) и (7.41)
дает
(a V —
дх* дх* ) ' ду* \ ду* ) '
+ 2 (g - v1(vg V1CO) =
дхду \ дхду /
= Vi [2v (а0 4-а,х4-а21/+ ±-уху — [g ^1-rfz/l |-
L 2 J дх J
+ 2 (g + 2 (g
дх* \s дх) ду* ду)
+ 2тНг(’71' + “тЧ1~2?‘ + I- (7-42)
дхду L \ дх ду / J [ \ ду дх / J
Уравнения (7.20) и (7.21) принимают вид
д Г д / дфр \ д / дфр \ I _
дх L дх Г дх ) Ф ,ду ду ) J “
= --2 (₽0 + Р1 Х + ₽2 */)! +
1 д Г ( д2С1 „2 п \ 1 , д / d2Ci \
Я—-— g I ——-------vvi Ci I Н—~— (g -г—-— I —
dy L \ dy* / J dx \ dx dy )
(7-43)
70
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
а Г д / дФ0 \ д / дФ0 \ ~[
ду L дх \ дх / ду \ ду / ]
= 2 —£_[v(p0 + м + ₽2//)]~
дх
(7.44)
где по аналогии с (7.32)
гтч (aip дм$
0 "" дх ду '
Итак, система (7.17) — (7.22) дает выражение (7.41) для
о? и уравнения (7.42) —(7.44).
Для задачи Сен-Венана в уравнениях (7.41) —(7.44), (7.30),
(7.32), (7.33) можно принять следующие упрощающие предпо-
ложения:
Ло= А±= No= 1^=0, £1=Л41 = Ф1=0, у=0- (7.4b)
Тогда эта система уравнений приведется к следующей:
= Е I(ae + М) + (“1 + 012) X + (а2 + 0^) gj + v v? С, (7.46)
д2 / д*С \ . Э* 7 Э«С \
дх2 \ё дх2 ) + ду2 И ду2 ) +
дхду \ дхду )
Vi {2vf(а0 4- 0О2) + (О1 + 012) * + («2 + 022) I/]}, (7.47)
д [ а I а Г гг аФо VI
дх, [ £х \ё дх J [ду V ду /]
= — 2 [v (0О 4- 0i* Н- 0240] +
ду Is ду2 /\ дх Vs дхду ) дх ду \ ду )’
(7.48)
§ 7
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
71
g-^-
ЭФ» \ I =
ду / J
= 2 (₽о -г Pi* 02!/)I — -у- [g (— vvfci
OX OX L \ [у*2
______д-(а \ +
ду дхду ) ду2 \s ду )'
(7-49)
Уравнение (7.47) определяет функцию напряжений С(х, у, г).
Учитывая, что
С= С0(х, у) 4-гС1(х, У),
из уравнения (7.47) можно получить также уравнения для Со
и С1
\ [а
дх2 \S дх2 J ду2 \ ду2)
+ 2 (g — V?(vg V1C0) = V112v(ao -j- axx a2y)J,
дхду \ oxoy J
д2 / d2C, \ , d2 I &(\ \ }
---- I S —— I H------S —~ 1 +
дх2 \ дх2 / ду2 \ dy2 )
+ 2 (g - V? (vg V? Q = V?)2v (0O -b 0xx 4- 02l/)J.
дх2 \ дхду ]
При известной функции С напряжение ог может быть выра-
жено по формуле (7.46) в явном виде.
Рассмотрим уравнения (7.48), (7.49). Из соотношений (7.11)
при условиях (7.45) следует
т: е. функция В\ выражается через а12 и, следовательно, через
функцию С и постоянные р0, рь Р2. Таким образом, уравнения
(7.48), (7.49) определяют функцию напряжений Фо; из структуры
этих уравнений видно, что
второго порядка.
Из соотношений (7.11)
пряжения их, тху равны
д2С
х ду2 ’ у дх2 ху дхду v 7
а напряжения ту2, r2JC
они эквивалентны одному уравнению
при условиях (7.45) найдем, что на-
д2С д2С ..v
72
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Из соотношений (7.46), (7.51), (7.52) видно, что напряжения
определяются функциями напряжений С и Фо и шестью констан-
тами а0, аь а2, Ро, Pi, Рг- Граничные условия для функции С, оп-
ределяемой уравнением четвертого порядка (7.47), дают первые
два условия (7.1). Третье условие (7.1) дает граничное условие
для функции Фо. Постоянные а0, «ь «2, Ро, Рь р2 дают возмож-
ность удовлетворить шесть интегральных граничных условий
(7.2) —(7.5).
Таким образом, получена корректная математическая поста-
новка задачи Сен-Венана при произвольной неоднородности
упругих свойств в поперечном сечении бруса
G = G (х, у), v = v (х, у) (7.53)
через две функции напряжений С и Фо. Характер возникающего
напряженного состояния в брусе виден из формул (7.46), (7.51),
(7.52). В частности, справедлива гипотеза (7.10) Сен-Венана, а
гипотеза (7.9) при неоднородности (7.53) и в общем случае на-
гружения (7.2) — (7.5) бруса не имеет места (из-за того, что при
произвольном переменном v уравнение (7.47) не имеет для С
тривиального решения и потому в силу (7.51) напряжения ох, оу,
чху отличны от нуля). Есть, однако, различные частные классы
задач, для которых гипотеза (7.9) выполнена.
7.3. Частные случаи задачи Сен-Венана. Проанализируем
некоторые частные случаи рассмотренной в п. 7.2 задачи Сен-
Венана.
Постоянный коэффициент Пуассона. Рассмот-
рим задачу Сен-Венана в общей постановке при неоднородности
упругих свойств вида
G = G (х, у), v == const.
(7.54)
Правая часть уравнения (7.47) обращается в ноль и потому
Со=С1 = С=О. (7.55)
Уравнения (7.48) и (7.49) принимают вид
-Г. Г_2_ lg+ _±_ lg-МЦЛ ] _ _2v₽. + 1g
дх | дх \ дх ) ду \ ду / J дхду \ ду J
(7.56)
ду I \ дх / ду \ ду / J ду2 \ ду /
§ 7
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
73
Интегрируя систему (7.56), получим одно уравнение второго порядка
- д афо \ _
дх Г дх J Г ду ду )
= 2v (у — pjx н- Pii/) -• --j- (g -ф-Л,
дг/ \ ду )
определяющее функцию Фо (у—новая константа).
Соотношения (7.46), (7.51), (7.52) дают теперь следующие
выражения для напряжений
о2 = £{(а0 L р^) (dj н- р12) х 4- (а., + 02z) z/J,
сгл = О, ^=0, гХ1/=0,
Ъ» =-----Ьх = — (₽о Н- М) f £ dx — pi Г хЕ dx.
дх ду J J
Таким образом, в случае неоднородности (7.54) при произ-
вольном нагружении бруса справедливы обе гипотезы (7.9),
(7.10) Сен-Венана.
Чистое к р.у ч е н и е. При произвольной неоднородности
упругих свойств (7.53) задачу о чистом кручении можно полу-
чить, приняв
Со - Cj = С = 0,
do — = ct2 — Ро — Pi ~ Р-2 ~
Уравнение (7.47) удовлетворяется, а уравнения (/.48), (7.49) дают
-у- + 4“ = Y’ (7-57)
дх \ дх / ду \ ду j
где у — константа. Тогда
ах= = (7.58)
_ дФр уг~ дх ’ 2Х ду ’ (7.59)
Следовательно, обе гипотезы (7.9), (7.10) Сеи-Венана выпол-
нены при произвольной неоднородности (7.53). И кроме того,
как это видно из соотношений (7.57) — (7.59), характер зависи-
мости коэффициента Пуассона v от координат х, у не влияет на
напряжения.
Простое растяжение. Случай простого растяжения
бруса можно получить, приняв
Сй — 0, Ро ~ Pi — Ра — 0-
74
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Уравнение (7.47) примет вид
дх* \® дх* ) ду* \6 ду* )
+ 2 (я - vf (Vg со) = V. [2v (а0 + а1Х + a2j/)J, (7.60)
а уравнения (7.48), (7.49) перейдут в уравнение (7.57). В послед-
нем можно принять
Y = 0, Фо=0.
Напряжения тогда будут равны
вг= Е (a0 -I- cqx -н а2у) -j- vtf Со,
д*С0 _ д*С0 ~ _ д2С0
х~ ду* ' у~ дх* ’ ху~ [дхду ’
т^г = 0, т2г = 0.
(7.61)
(7.62)
(7.63)
В общем случае при неоднородности (7.53) функция Со не
равна нулю и существуют напряжения (7.62). При постоянном
коэффициенте Пуассона, т. е. при неоднородности (7.54), можно,
как это видно из уравнения (7.60), принять Со = О и напряженное
состояние в брусе будет одномерным
= Е (a0 -j- а,х -- а2р),
(7-64)
ах = °у = Хху = 0. = Тгх = 0-
Постоянные а0, а1г а2, входящие в (7.64), определяют из трех
интегральных условий
§ezds = P2, §ya2ds=0, Jxa2ds = 0. (7.65)
s s s
Чистый изгиб. Пусть к брусу приложен момент Afx, из-
гибающий брус в плоскости (yz). В этом случае напряжения
определены формулами (7.61) —(7.63), а для функции Со сущест-
вует уравнение (7.60). В отличие от случая простого растяжения
постоянные a0, «ь а2 определяем не из условий (7.65), а из
условий
J<r2 ds= 0,J §ya2ds= Mxt §x(J2ds=0.
s s s
При постоянном коэффициенте Пуассона напряженное состояние
описано формулами (7.64), т. е. одномерно.
§ 7
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
75
7.4. Задачи термоупругости для брусьев. Рассмотрим поста-
новку задач о деформации неравномерно нагретых анизотропных
брусьев, свойства которых зависят от температуры [7].
Предположим, что распределенные по боковой поверхности
внешние нагрузки и температурное поле постоянны по длине
цилиндрического бруса. На торцах бруса действуют изгибающие
моменты, крутящий момент и нормальная сила; перерезывающие
усилия отсутствуют. Будем считать также, что распределенная
нагрузка самоуравновешена и массовых сил нет. Задачу бу-
дем рассматривать в постановке Сен-Венана с интегральным
удовлетворением граничных условий на торцах (г=const).
Напряжения и деформации в этом случае не зависят от z.
Уравнения равновесия примут вид
I &хху _ Q дхху | да у _ Q drXz I д^уг _ q /у gg^
дх ' ду ’ дх ду ’ дх ду ’
а условия совместности деформаций
ду2 дх2 32ех . ду2 ' дх2 д 7 dyxz dygz \ 0 д дх \ ду дх J ’ ду Предполагая материал бруса -^- = 0, дхду —y-xv , (7.67) дхду] к ’ . / d\!tz d\xz \ = 0 \ дх ду 1 ортотропным, соотношения
между деформациями и напряжениями представим в форме
1 О -— /Г ' Е у --^-аг+ахТ, ^Z
X F х сх
Ьу Уух Ех Е .^z
(7.68)
Ех в х ^y 1“ p °Z 1 az
Уху ~ 1 - G Тл»> ^ху 1 YSz — G uyz ~ T'yz* Yzx ~ Tzx» Vzx
где £\, vij, Gij — модули упругости, коэффициенты Пуассона и
модули сдвига, аг7— температурные деформации. В силу извест-
ной симметрии соотношения (7.68) содержат девять независимых
параметров.
Из первых трех уравнений совместности (7.67) следует спра-
ведливость гипотезы плоских сечений
76
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
ег = е0 — хх х — у, (7.69)
где бо — удлинение, хх, xv— компоненты кривизны. Из соотноше-
ний (7.69) и (7.68) для нормального напряжения ог найдем
<гг= Е2 (е0 — хжх — ИуУ — а2Т -i | (7.70)
Интегральные уравнения равновесия бруса дают
§axds=N, § c^yds = Мх, §azxds=—Му, (7.71)
S S S
где s — поперечное сечение бруса.
Внося соотношение (7.70) в уравнения (7.71) и выбирая
начало координат в приведенном центре сечения, так что
j Ег xds =0, j Ег yds'= 0,
• •
найдем значения параметров
W . А
ео ~ р* F* ’
X г = —(MgJX + Мх Jху) ( AXJ.K Ау Jxy)>
Пд=------— (MyJxy + MxJy)-----— (AjJy Ах JXy),
F* = $E2ds, j'x=^E2y*d6, J\ j'xy = j E2xyds, J* = Jx J s A—[E2(a2T - J \ s A2 = ^E;x(a2T $ Ex °x s / = f Егх2 ds, s у Jxy, ^y I ^y / T8- “»)ds- Ey /
§ 7
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
77
Из соотношения (7.70) найдем
Ъ = Ег [-Д- — х (М/х 4 MX) г У ~~Г + М/Хв) ] +
-г- ЕгЦагТ)-ЕгЕ + i а\, (7.72)
\ Ех Еу У)
где оператор L(co) означает следующее:
£(©) = —^7- f Ez(&ds ~ х (jx f Е2хы ds — Jxy^ E2y&ds^ +
-h У ft ^Ezytods — JyX J E2x(i>dsj —co. (7.73)
s s
Первая группа членов в формуле (7.72) выражает напряже-
ния в поперечном сечении стержня от внешних силовых факто-
ров, вторая — температурные напряжения, последняя — напряже-
ния, связанные с влиянием нормальных напряжений в перпенди-
кулярных площадках.
Формула (7.72) имеет ясный физический смысл. Она выра-
жает нормальные напряжения в поперечном сечении бруса, опре-
деляемые по обычной стержневой теории, использующей гипотезу
плоских сечений [8]. Отличие состоит только в последних членах,
учитывающих дополнительную осевую деформацию от действия
нормальных напряжений в плоскости бруса.
Для изотропного (или трансверсально-изотропного) материа-
ла оси х и у можно совместить с главными приведенными осями
сечения, для которых
£» = f E.xyds ^ 0.
s
Тогда формула (7.72) примет вид
= Е —-------х —4- у —н ЕЦаг Т) —
Iг 1. J
-EZ.|^(o,+a,)j. <7.74)
J Е (&ds f Ex (Jids ( Еу (ads
L((0) = 2------_j_ х JL---4- у 2----------(о.
f Edx j Ex^ds f Eif ds
S S s
Получим разрешающую систему уравнений для напряжений в
плоскости сечения бруса.
78
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Исключая пока действие крутящего момента, введем обычную
функцию напряжений для напряжений в плоскости сечения стерж-
ня
d2F d2F d2F
(Уг — -----, O’.. = ----_ Tr,, ~ .
dy2 y dx2 J dx dy
Уравнения равновесия (7.66) будут удовлетворены (txz=tvz=0),
а из закона Гука (7.68) и четвертого условия совместности (7.67)
найдем уравнение для функции напряжений F(x, у)
д2 7 1 d*F dx2 \ Еу dx2 д2 \ , а2 / 1 \ , аа / 1 w \ / ду* \ Ех ду* ) 1 дхду \ Gxy дхду ) / Vyx _&F\ д* 1 Ухи &F \ _
dx2 d2 ~ dx2 \ Ех ду* ) ду* Еи дх* ) ' (ауТ) - (а, Т) + Л + dy2 dx2 \ Ег / + (7-75) дуг \ Ег 1
Имеем также краевые условия для функции напряжений
d*F а d*F , о cos В sin В = qz, [ду* дхду х (7.76) - sin В —— cos р = qs, dx2 r [djrdr/ r
где qx, qy — составляющие распределенного поверхностного усилия,
Р — угол между нормалью к контуру и осью х; условия (7.76)
должны выполняться на всех контурах поперечного сечения бруса
(в том числе на внутренних).
Соотношения (7.72) и (7.75) образуют разрешающую системы
уравнений для неравномерно нагретого ортотропного бруса при
действии на торцах изгибающих моментов и растягивающей силы.
Рассмотрим сначала случай, когда трансверсальные коэффи-
циенты Пуассона постоянны. В силу соотношений (7.72) и (7.73)
имеем
= f—а Т + (7.77)
дх* \ Е2 / дх» \ £х Еу «)
и аналогично для второй производной по у. Теперь из уравнения
(7.75) найдем
§ 7
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
79
д* / 1 — Ууг Угу d2F \ . д2 / 1 — ухг угх d*F \ _
дх2 \ Еу дх* ) "Г ду* Ех ду* )
& / Уух + Ууг Угх &F \ _ д* / vxiz + yxz yzy d*F \ ,
дх* \ Ex [dy* J ду* \ Eff dx* ) '
. fl d*F \ д* , д* .
дхду \ Gxy дхду / дх* idy*
Л-’в-£-(«.П (7.78)
Уравнение (7.78) вместе с краевыми условиями (7.76) опре-
деляет функцию напряжений и, следовательно, напряжения ох, оу,
тху в плоскости сечения стержня.
Можно установить, что при условии vxz = const, v^=corrst
напряжения в плоскости сечения такие, как и для случая плос-
кой деформации в бесконечно длинном брусе при постоянном по
длине температурном поле и постоянных, распределенных по бо-
ковой поверхности бруса, самоуравновешенных нормальных на-
грузках. В самом деле, при е2 = 0 из третьего уравнения (7.68)
получаем
-^- = — а,Т ^-аи, (7.79)
Ez z Ек х ' [Еу и' v '
откуда следует соотношение (7.77) и уравнение (7.78).
Напряжения в плоскости сечения не зависят от действия из-
гибающих моментов и растягивающей нагрузки. Для полного
описания напряженного состояния следует добавить нормальные
напряжения в поперечном сечении, определяемые формулой (7.72).
Есйи трансверсальные коэффициенты Пуассона vxz и vyz не
постоянны, то связь напряжений в плоскости стержня и напря-
жений в поперечном сечении оказывается более сложной. Систему
уравнений (7.72), (7.75) можно решать в этом случае методом
последовательных приближений. В первом приближении величину
oz определяем по одномерной стержневой теории, пренебрегая
последующим членом в уравнении (7.72). Полученное значение
о!'* вносится в правую часть уравнения (7.75) и решается соот-
ветствующая плоская задача, в результате решения которой на-
ходят ст^1* и Величины су!'* и <$* вносятся в уравнение
(7.72), что позволяет вычислить с^2* и т. д.
В практически интересном случае изотропного бруса при по-
стоянном коэффициенте Пуассона v = const уравнение (7.78) пере-
ходит в следующее
80
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
д2 / 1 \d*F \ д2 / 1
дх2 \ Е [дх2 ) ду2 [ Е ду2 J +
_L 2 д2 ( 1 d*F \ _
1 — v дхду \ Е [дхду /
[у Г д2 / 1 d2F \ । д2 / 1 d2F \1
1 — у [ дх2 \ Е ду2 ) ' ду2 \ Е дх2 / ]
=----V2(aT),
1 —V
(7.80)
где v2=-------i-------двумерный оператор Лапласа.
дх2 ду2
Рассмотрим простейший случай -- изотропный стержень с по-
стоянными параметрами упругости. Тогда из уравнения (7.80)
получается известное уравнение плоской задачи [40]
V4f=-----_E_V2(aT).
1 —V
Для задачи о плоской деформации (е2=0) напряжение az и
соответствии с (7.79) определяется соотношением
<т2 = — Е aT + v (ох + ау).
В рассматриваемом случае (на торцах бруса заданы изгибающие
моменты и растягивающая сила) из уравнения (7.74) следует
+ (— CaTds +
7 у J х \ s J
S
— V [ у j (ст, + 0У) ’ds + X -J- J -г ds +
s У S
+ У у~" j У (<Ъ + »р) ds — (ст, ст#>1.
S
Как уже указывалось, для обычного случая плоской деформа-
ции (е2 = 0) и при ez, являющейся линейной функцией координат
х, у (соотношение (7.69)), напряжения в плоскости сечения оди-
наковы, тогда как нормальные напряжения отличаются на линей-
ную функцию координат. Это справедливо для изотропного тела
при постоянном v и для ортотропного тела при постоянных значе-
ниях трансверсальных коэффициентов Пуассона.
§ 7 ЗАДАЧА CEH-BEHAHz\ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ 81
Общая задача термоупрутостп для бруса распадается на за-
дачу определения напряжений о-, ах, хху, рассмотренную выше,
и задачу определения напряжений т2Х, xzy, возникающих от кру-
тящего момента, приложенного по торцам бруса. Рассмотрим эту
задачу о кручении.
Предполагая перемещения в виде
и =х — т yz, v= х xz, w «= Тф (х, у),
где x=dQldz— угол поворота сечения на единицу длины (крутка),
получим деформации сдвига
и соответствующие касательные напряжения
Из третьего уравнения равновесия (7.66) найдем уравнение
для функции кручения ф(х, у)
В точках контура сечения
хгх cos р -] - х2у sin р = 0 (7.82)
и краевое условие для функции кручения имеет вид
= r/cos р — xsinp.
Для крутящего момента Af получим
М = J x2xy)dS=tG,
S
где жесткость на кручение С дается выражением
с ~ J (6гу х ~ у++Glxlj2) ds‘
S
Для решения задачи можно использовать также функцию напря-
жений
82
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Из соотношений (7.81) следует
дугх дугу __ ___2Т
ду дх
Тогда, используя соотношения (7.68) и (7.83), найдем
д / 1 дФ \ ( д / 1 дф \ _ __2
дх \ Gzy дх ) ду \ Gzx ду )
Из условия (7.82) получим краевое условие
А_ = о,
ds
и для точек односвязного контура можно принять
Ф (р) — О, реГ,
где Г — контур сечения стержня. Все уравнения справедливы для
изотропного стержня, если принять Gzx = Gzy=G.
§ 8. Кручение неоднородных
анизотропных призматических брусьев
8.1. Постановка задачи. Рассмотрим брус в виде цилиндра
произвольного постоянного (по длине) поперечного сечения, один
торец которого закреплен, а на другом,
свободном, действуют усилия, приво-
дящиеся к крутящему моменту М
(рис. 2).
Предположим, что брус изготов-
лен из линейно упругого анизотропного
материала, причем в каждой точке
имеется плоскость упругой симметрии,
нормальная к образующей бруса. При-
нимая плоскость свободного торца бру-
са за координатную плоскость х, у и
направляя ось z параллельно обра-
зующим цилиндра, связь между дефор-
мациями ..., Угу?*» ••• и напряжения-
ми Од........ примем в виде [24]
€х ~ ^11%: A' -Г
&у ^12^х ^22^у ^23^г ^26^ху»
е2 — а1ЭРх 1~ а23П^ “Г ^33^2 I а38Тх«/»
Ууг аЫ^уг Н ^45^X2»
§ 8 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ 83
Ухг Wyz 4" ^ББ^хг»
Уху ~ ^х “ ^29ру 4“ ^36°z 4“ аВ9^ху (8*0
Для ортотропного тела с главными осями анизотропии х, у, z
соотношения
Соотношения
ные (модули
виде [24]
(8.1) принимают вид
еА = ад + ctjaCTy +
^12^х 4" ^22^у 4" «ЗЗ^г»
е2 ~ #1з0х + (1%зРу 4“ ^зз^2»
Yt/z ~ Ухг ~ ^ББ^х?» Уху= ^М^ху (®*2)
(8.2) записывают также через технические постоян-
Юнга, коэффициенты Пуассона и модули сдвига) в
Р, = —(У — 0у-------------- О2,
х Ei Е2 у Е3 29
о V12 rr : 1 rr v32 -
еы —---------------0.. —-----а2,
* El х Е2 « Е3 г’
е =----— ох--------— j—— сг,
г Е1 х Е.2 у Е3 г
''iyz ~ п ^уг> Ухг ~ п ^xzt Уху ~ ^ху>
□1 Оз Оз
причем между параметрами упругости, входящими в соотношения
(8.3), имеются зависимости
^1Y21 = ^2V12» ^2V32 = ^3V23> ^3V13 ~ ^1V31*
Для изотропного тела
(8.3)
V12 =- V13 = V21 - V23 = V31 == v32 = V,
ET = E2 = E3 == E,
1 2 ’ 2(1 +v)
и из (8.3) имеем закон Гука изотропного тела
Г,
-у 1^— v(crx аг)|,
«г -у [»г —V(CT, +<у!,
84
КРУЧЕНИЕ II ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Nyz & ^уг* Ухг ^хг> Уху q ^ху*
2(1 +v) *
В рассматриваемой задаче о кручении бруса примем соотно-
шения (8.1), причем считаем, что параметры а44, а45, —
непрерывные дифференцируемые функции координат х, у, а ос-
тальные параметры aJ7, входящие в соотношения (8.1)—произ-
вольные непрерывные дифференцируемые функции координат х,
У> 2.
Постановку краевой задачи о кручении бруса можно получить
на основе полуобратного метода и теории кручения Сен-Венана
[56]
В соответствии с полуобратным методом в теории кручения
Сен-Венана примем
<УЖ = (J и = ог = vxy = 0. (8.4)
Тогда при отсутствии массовых сил из уравнений равновесия в
напряжениях
I &хху ( дтх2 л
1Г + “лГ 11Г ~ °’
&хху . д°у дхуг _ q
дх ду * dz
^- + ^-+^- = 0 (8.5)
дх ду dz
получим, что не равные нулю компоненты xxz, туг тензора напря-
жений зависят лишь от х, у и удовлетворяют уравнению
=0- (8-6)
дх ду
Подставляя формулы Коши
ди dv дш
Ех“ дх 9 Sy~ 17’ Ьг~
£ + _a._ Y * + * (8.7)
dz ду dx dz * dy дх
где и, v, w — проекции вектора перемещения на оси х, yf z, в соот-
ношения (8.1) и используя (8.4), найдем
— =0, — = 0, — = 0, (8.8)
дх ду dz
§ 8 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ 85
dv . dw . /о
dz ду ~ а^уг a45T*z’ (8*9)
dw , ди _ . /о
= а«т + а85т (8.10)
дх dz
—+ —= 0. (8.11)
ду дх
Из третьего уравнения (8.8) получим w = w[x,u\ Уравнения
(8.10) и (8.9) дают
« = + °55Тхг-----Z + «1 (X, {/),
V = (амг,г + аиххг-----^)Z + V1 (х, У)- (8-12)
Подставляя теперь соотношения (8.12) в первое и второе урав-
нение (8.8) и уравнение (8.11), найдем
д / , dw \
\а^Хуг + °™Ххг аг)=0,
(а44Ту* + a45T«z Т" = 0, (8.13)
ду \ у ду j
д / , dw \ . д ( , dw X Л
-у- а«туг + а№х — — + -Т- амт + а«тх2 “ Т = 0;
ду \ дх / дх \ 9 ду )
-^* = 0, 2£1_ = 0, = о. (8.14)
дх ду ду дх
Проинтегрируем систему уравнений (8.14). Из первых двух
уравнений имеем
«1 = Фа (У). ”1 = Фх (х). (8.15)
Подставляя (8.15) в третье уравнение (8.14), найдем
Ф1(х) = — ф2(0) =®3
и, значит,
«а = — “аУ + «о» = “зх + Ь’о. (8-16)
где и0, v0, (о3 — константы.
Система уравнений (8.13) интегрируется аналогично. В результате
-i- акгхг — — = — ху + wit
ацх^ Ч- atix„-----= хх — , (8.17)
86
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
где т, (olt со2—еще три константы интегрирования. Вместо переме-
щения у) введем функцию <р(х, у) соотношением
Ш = Тф + (0^ — со2х +
(8.18)
Формулы (8.17) тогда примут вид
<ЬъХуг + а6ЬТ« = Т — у], аихуг + а№х„ = х + х) .(8.19)
Для перемещений и и v из соотношений (8.12), используя (8.16)
и (8.17), найдем
и = — xyz h co2z — ы^у + н0, v = xxz + со3х — (OjlZ 4- у0. (8.20)
В выражениях для перемещений (8.20), (8.18) члены, содер-
жащие постоянные н0, ио, ^о, wi, «2, «3, представляют собой пере-
мещение бруса как жесткого целого и не влияют на деформации
п напряжения. Величина т — крутка, характеризующая относи-
тельный поворот поперечного сечения вокруг оси z, отнесенный к
единице длины бруса. Функция кручения ф(х, у) определяет осе-
вое перемещение ш (х, у) и характеризует искривление попереч-
ных сечений.
Рассмотрим теперь граничные условия. В силу соотношений
(8.4) два из граничных условий (7.1) на боковой поверхности
бруса удовлетворяются л остается одно условие, содержащее тХ2
и Tjy2:
v» + v»=0- <8-21)
Интегральные условия (7.2), (7.4) в силу (8.4) и Р2 = ;Их=Л11/ = 0
также удовлетворены и интегральные граничные условия на торце
сводятся к следующим:
j (xxyz — yxxz)ds = M,
s
jv,/s=0, JrIBds = O.
s s
(8.22)
(8.23)
Величина M = MZ представляет собой заданный крутящий момент.
Можно показать, что если напряжения тхг, xyz удовлетворяют
уравнению равновесия (8.6) и условию (8.21) на боковой поверх-
ности бруса, то условия (8.23) выполняются. Покажем это на
примере первого условия (8.23). Действительно, используя соот-
ношения (8.6) и (8.21), имеем
§ 8 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ 87
S S
S
= У Ф»А - i- WMds = °- (8.24)
L
Здесь L — контур, ограничивающий область s поперечного сечения
бруса.
Из интегральных граничных условий остается, следовательно,
только условие (8.22), из которого и определится крутка т. Решая
систему уравнений (8.19) относительно напряжений тЛЛ, xyZt найдем
г“” +х)
TW=T I’ (8-25)
L \ оу / \ д* / J
где
= аьъ/А» ^45 ~ -О4б/^> Аь = auJ
А = ^55 — ^5, (8.26)
при этом А>0 [5]. Подставляя теперь напряжения (8.25) в усло-
вие (8.22), получим
т = М/С, (8.27)
где С — жесткость бруса при кручении, определяемая через функ-
цию кручения ф(х, у) формулой
с- г мм-?-+mm-?-mi-
JIL X ду ) \ дх ) J
S
— У [Ла 4 4- Ла — У)]| ds- (8.28)
L \ оу ] \ дх / J J
Таким образом, рассматриваемая задача о кручении бруса
свелась к следующей: три неизвестных функции <р(х, у), xxz(x, у),
ту2(х, у) удовлетворяют трем уравнениям
= (8.29)
дх ду
а^уг I <W,2= Г У).
88
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
+ ааххг = т (-J + *). (8.30>
имеющим место в области s поперечного сечения бруса и гранич-
ному условию
ТЛН W</ = 0 <8-31>
на контуре L этой области. Эта задача является корректной. Она
определяет функцию кручения ф(х, z/) и напряжения тХ2, xyz, при-
чем последние выражаются также через крутку т. После нахож-
дения функции q(x,y) крутка определяется по формулам (8.27),
(8.28), а напряжения — по соотношениям (8.25). Задав условия
закрепления бруса, найдем также перемещения
и = — xyz + <o2z — ©at/ + и0,
V = XXZ + (О3х — + v0,
w = тф (х, у) 4- cdj/ — (о2х ау0. (8.32)
Как видно из соотношений (8.29) — (8.32), решение задачи о
кручении бруса зависит только от параметров а44, я45, Осталь-
ные параметры ai;, входящие в обобщенный закон Гука (8.1), на
решение не влияют.
8.2. Функция кручения и функция напряжений при кручении.
Краевая задача (8.29)—(8.31) легко сводится к краевой задаче
для одной функции двух переменных.
Примем за основную неизвестную функцию кручения q>(x,y).
Тогда, разрешая уравнения (8.30) относительно напряжений тхг>
Туг, получим формулы (8.25). Подставим теперь напряжения (8.25)
в соотношения (8.30) и (8.31); для функции кручения ф(х, у) по-
лучим при этом дифференциальное уравнение
JL(a д<Р Л -I- д (а 4- А
дх ду ' 66 дх) ! ду Г44 17 “14
= 4“ (УА™ - -г -4 (уАк - хА„) (8.33)
дх ду
и граничное условие
(а d<p L А -^-\п i- (a Д-ьЛ -^-\п -
V 46 ду 65 дх)”* h Г" ду 1 45 дх)1*~
= (Ибб—*4б) пу (8.34)
Итак, функция кручения ср(х, у) • определяется неоднородным
линейным дифференциальным уравнением второго порядка (8.33)
с переменными коэффициентами и неоднородным, линейным отно-
сительно производных краевым условием (8.34).
дх ду
§ 8 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ 89
Для ортотропного тела (8.3)
Я44— 1/Glt ^55— Я45 — 0 (8.35)
и, б силу (8.26),
^44= Gj, Л66 = G2, ^45 = 0. (8.36)
Соотношения (8.33), (8.34) переходят в следующие:
4-(с*44+4- (Gi 44=4--4~(xGi)’ (8-37)
дх \ дх / ду \ ду / дх ду
g2 4l ««+Gi 4L - xG'ny <8-38)
ax °y
Для изотропного тела
G1 = G2 = G(r,^) (8.39)
и из (8.37), (8.38) получим
47(g44+44g44 = 4-<^-4-<*g)’ (8-4°)
дх \ дх ) ду \ ду ) дх ду
~Y~nx+ -^-пи = упх — хпу. (8.41)
дх ду
Задачу (8.29) — (8.31) можно свести к краевой задаче для
одной функции двух переменных также другим способом.
Введем функцию напряжений при кручении ф (х, у) соотноше-
ниями
Ххг ~Х ду' Хуг~
дф
дх
(8.42)
Уравнения равновесия (8.29) при этом будут удовлетворены.
Из соотношений (8.30) с помощью (8.42) можно получить
дифференциальное уравнение относительно ф. Продифференцируем
первое уравнение (8.30) по у, второе — по х и вычтем второе урав-
нение из первого. В результате
д д
-т- (flrfyz + — -7- + а16ххг) = — 2т. (8.43)
оу 9 ох
Подставляя выражения напряжений (8.42) в (8.43), придем к диф-
ференциальному уравнению относительно функции ф
(8.44)
90
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Граничное условие (8.31) с помощью соотношений (8.42) за-
пишется в виде
(8.45)
При принятой системе координат (рис. 2) имеем
/ х dy dx
пх = COS (n, X) = -2- = —,
ds dn
j \ dx dy
ny = cos n, y) = — —- = -f-,
* ds dn
(8.46)
где n и s — направления по внешней к
области s нормали и по касательной в
положительном направлении, за которое
принято направление, соответствующее
обходу контура L против часовой стрел-
ки (рис. 3). На основании (8.46) имеем
л Л.ь
ду дх у ду ds
dx — дф
дх ds ds
и потому условие (8.45) примет вид
Л = о.
ds
(8-47)
В случае односвязной области s из (8.47) имеем
= с.
Постоянная с не влияет на напряжения (8.42) и потому можно
принять с=0. Граничное условие на контуре L области 5 примет
вид
0.
(8.48)
Таким образом, в случае односвязной области s для функции
напряжений ф(х, у) имеем краевую задачу (8.44), (8.48).
Подставляя теперь выражения напряжений в интегральное
граничное условие (8.22), найдем
— т С (х-^- + у ds — М.
J \ дх . ду /
§ 8 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ 91
Имеем
S
= 2т J i|;ds — т (хпх + упу) ds.
s L
В силу (8.48) отсюда
М = 2т j ipds, или т = М/С,
s
где
С = 2 j i|>ds. (8.49)
s
Последняя формула, дающая выра-
жение жесткости С через функцию на-
пряжений ф(х, у) для однородного
бруса с односвязным поперечным се-
чением, имеет место, следовательно,
и для неоднородных брусьев.
Для ортотропного тела (8.35)
краевая задача (8.44), (8.48) приво-
дится к форме
д /JL_ дф \ д
дх \ Gjl дх / ду \ Ga
Ф II = О,
дф \
дг/ /
(8.50)
а для неоднородного изотропного бруса (8.39)
ф|ь = 0.
(8.51)
8.3. Кручение неоднородного ортотропного бруса прямоуголь-
ного сечения. Рассмотрим брус прямоугольного сечения, один ко-
нец которого закреплен, а к другому приложены усилия, приво-
дящиеся к крутящему моменту М (рис. 4).
Предположим, что материал бруса является ортотропным с
плоскостями упругой симметрии, параллельной его граням, а соот-
ветствующие модули сдвига G2 являются непрерывными диф-
ференцируемыми функциями координаты у.
Для функции напряжений ф(х, г/) в силу (8.50) имеем урав-
нение
92
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
_а_Г—1—_*Ll+_Lr-------1--- *L1 = _2 (8.52)
дх L <31 (У) дх J ду [ Сг (у) ду j
и граничные условия
ф(0, </)=Ф(а, </)=0, — 6/2 <«/<6/2,
ip (х, — 6/2) = i|> (х, 6/2)5=.°- ° < х < а- (8.53)
Решение задачи (8.52), (8.53) будем искать в виде ряда, за-
ранее удовлетворяя условиям (8.53) при х=0, х=а [24].
Разлагая правую часть уравнения (8.52) (т. е. — 2) в ряд
Фурье, найдем
^L + Clto)^_[_!_ = у
дх2 ду [ б2 (у) ду ] л k а
Л=1,3,5,...
(8.54)
Функцию напряжений ф(х, у) будем искать в виде
Ф = 2 Л to) sin(8.55)
fe=],3,...
Подставляя (8.55) в уравнение (8.54), получим уравнения для
функций fk(y)
Ч^Г~(_^)2д=~8’^'’ft=1,3.............. (8,5б)
где штрихом обозначена производная по у.
Уравнение (8.56)—обыкновенное линейное неоднородное диф-
ференциальное уравнение второго порядка с переменными коэф-
фициентами. Его решение имеет вид
/.-rf + rf + tf’.
где Ой, bk — константы, fk\ А2) —линейно независимые решения
соответствующего однородного уравнения, № —частное реше-
ние «неоднородного уравнения.
Функция напряжений (8.55) примет теперь вид
Ф= У (rf6АЛ2) + А0)) Sin(8.57)
а
&=1, з,...
Функция (8.57) удовлетворяет условиям (8.53) при х=0, х=а.
Требуя, чтобы удовлетворялись условия (8.53) при г/ = ±Ь/2, полу-
чим систему уравнений, определяющую константы а&, bk.
§ 8 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ 93
Рассмотрим некоторые частные задания функций G}(y)f G2(y),
при которых получаются точные решения.
Пусть Gj, G2 заданы в виде экспонент
Gi = Я1 ехР (лпу/Ь), G2 = ёъ ехР (W/&)» (8.58)
где gi, g2 — постоянные, имеющие размерность' модуля Gb п —
произвольная безразмерная постоянная величина. Введем также
обозначение
g=g2/gl=Gil(jl-
Подставляя (8.58) в (8.54), получим уравнение с постоянными
коэффициентами
J!£ + _^L_2«n_^==___8g2_ ( у -Lsln*".
6 дх* ду* b ду л и £ ft д
Л=1,3,...
(8.59)
Разыскивая решение уравнения (8.59) в виде ряда (8.55), для
функции fk получим
— g(—Vfk ----------exp {rmylb). (8.60)
b \ a / лк
Уравнение второго порядка (8.60) имеет частное решение
ft = ехр (пПУ/ь^
а соответствующее однородное уравнение имеет характеристиче-
ское уравнение
с корнями
Поэтому функция напряжений (8.57) примет вид
'1’ = '-^- S (а*ехр\ ь / 4-ехр (—/кл£///>) 4-
k=\, 3,...
4- ехр (imylb) -^-’Sln , (8.61)
94
КРУЧЕНИЕ II ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
где введены обозначения
а f о । 1 / , ч
С=—, Ya=1/«2+—а— sk=— (Vk + n),
b У с* 2
tk = —(Nk—n)-
Подставляя теперь функцию (8.61) в граничные условия
Ф |i/=±b/2 “ О,
получим
ak exp (l/2skn) + bk exp (— 1/2^л) = — exp (— 1/2лл),
afcexp(— l/2spi) + ^ехр(1/2^л) = — exp(— 1/2лл),
откуда
. ЧЧ) 6 Чу)
Чу)' ‘ Чу)'
Функция напряжений (8.61) окончательно примет вид
(8.62)
По функции напряжений (8.62) найдутся напряжения
крутка т и жесткость С
dt|>
„ = т —
ду
т dip
дх
т = М/С, С = 2 j
s
(8.63)
У? ~
Рассмотрим случай, когда
ценных функций координаты у
модули Gi, G2 заданы в виде сте-
где > Ь/2.
С,=й(-4^)“, 0,-г!(У^у. (8.64)
§ 8 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ 95
Введем обозначения
У1 = У + Уо, П=-7-’ т'0='Т’’
О о
П1=По— 1/2, *]2 = По + 1/2,
Разыскивая функцию напряжений ty(x,y) в виде (8.55), для функ-
ции fk(y) получим уравнение
N - — Ik- Ykfk=- -^-У", (8.65)
У1 kn
в котором производные берутся по переменной у\. Однородное
уравнение, соответствующее (8.65), является частным случаем
более общего уравнения
Г , 2а 4- 1 £' / a2 - B2JV Л
А н-----Т— А + I-----г- + ₽W^₽- ) fk = 0. (8.66)
У1 \ У\ J
Линейно независимые решения уравнения (8.66) выражаются
через функции Бесселя порядка W [17]. Если N не целое число,
то
fk} = уТа Jn (ту\)> = УТ* J-n (myf),
где JNt J-N — функции Бесселя первого рода. Если N — целое
число, функция J-N заменяется функцией Бесселя второго рода
того же аргумента.
Для рассматриваемого случая (8.65)
« =-----Р=1’ 2V =-|-1« + 1 I» m = ±Ni
и так как аргумент у функции Бесселя чисто мнимый, они должны
быть заменены модифицированными функциями Бесселя. Поэтому
А° = У7а In (ЪУг), № = У?" I-N (ЪУ1), (8-67)
если N не целое число, и
Л” = уТаIn ы, № = У~а Kn Ы, (8.68)
где Kn — функция Макдональда, если N— целое число. Частное
решение уравнения (8.65) при наличии решений (8.67), (8.68)
находится, как известно, с помощью квадратур.
Рассмотрим частный случай (8.64), когда Gj, G2 — квадра-
тичные функции координаты у
96
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Gi = &(п + *1о)2 (* = 1, 2),
л =2, а = — 3/2, ТУ = 3/2.
В этом случае решения (8.67) и частное решение неоднородного
уравнения (8.65) выражаются через элементарные функции
= ch (т] + т)0)--у" (П + По) sh -у-(п + По).
а а а
= sh (п 4- По) — (т) + r)0) ch-^- (я + По).
а а а
£ 8giaa Г/ । \2 2d2 1
Функция напряжений ф(х, у) примет вид
У (-!-ГНМ-
Y л« Zj I k*bk L V л2*2 1 J u
fe=i,3,...
/2d2 2\ / x’l , 1 / . x2 2d2 1 . knx
— —ni)Mt(n) + — (n + Ho)2 — -= sin——,
\ jhs4 J я3 лая* J a
где
^(П)= [1 — (-у-')\г(п + По) I sh-y- (n — 4") ~
L \ “ / J“\ * /
kn / 1 \ 1 kn / 1 \
-тГтГтгт)’
М»(ч)- [l — + W 1 sh -у- (n+ v) —
L \ к J J и, \ X/
kn / . 1 \ 0 kn f 1 \
I П -ch------IT) H-,
d-------------------------1 2 / d \ * 2 /’
A Г t f kn \* I 1 kn kn u kn
Д* = 1 ~ Hr ПхИг sh —--------—ch —.
Можно построить решение краевой задачи (8.52), (8.53) и в
случае, когда модули Gb G2 имеют вид
G1 = (П + ПоЛ G2 = £а (П + Ло)л-
При любых tn=/=n функция напряжений ф(х, у) находится в
виде ряда (8.55), причем функции fk(y) выражаются через функ-
ции Бесселя или элементарные функции [24]. В частности, при
ди = м+2, где п — любое действительное число, уравнение (8.56)
переходит в неоднородное уравнение Эйлера — Лапласа и его ре-
шение выражается через степенные функции переменной у\.
§ 8 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ 97
8.4. Кручение неоднородного цнлнндрнчески-анизотропного
бруса. Рассмотрим призматический брус произвольного попереч-
ного сечения, анизотропия упругих свойств которого цилиндриче-
ская, причем ось анизотропии параллельна
дой точке имеется плоскость упругой
симметрии, нормальная к образующим
бруса [24]. Боковая поверхность бруса
свободна, один торец закреплен, на вто-
ром действуют усилия, приводящиеся к
крутящему моменту М.
Примем точку пересечения плоско-
сти свободного торца с осью анизотропии
за начало координат и направим ось z
цилиндрической системы координат г, 0,
z по оси анизотропии (рис. 5).
Относительно параметров atJ, опре-
деляющих упругие свойства материала,
образующим и в каж-
сделаем те же предположения, что и в
п. 8.1. Из закона Гука понадобятся лишь Рис. 5
соотношения
Yez = амт0г + а4Бтгг, угг = а45т02 4- а№хгг, (8.69)
в которых параметры ац, а<5, — произвольные непрерывные
дифференцируемые функции координат г, 0.
Используя, как и в п. 8.1, полуобратный метод Сен-Венана,
положим
ст, = а0 = сг, = т,е = 0. (8.70)
Тогда из первых двух уравнений равновесия
^г , а'~а6 , 1 дхгв »Ггг = 0
Sr г г дв дг ’
—^-+2-^ + -L—i + -»L = 0, (8.71)
Sr г г д& дг '
д*гг > хп । 1 ^T9z . Saz _ „
Sr r ~f г дд -t' дг
следует, что тГг, т0г не зависят от г, а третье уравнение дает
or г dO г
(8.72)
Из закона Гука при условиях (8.70) имеем
ег — ев = гг = ег0 = 0.
(8.73)
98
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Подставляя (8.73) и (8.69) в формулы Коши
ди ди ) U dw
Ъ'~ ~д7’ ее г дО ~Г Г ’ 2 дг ’
др 1 ди V _ 1 dw
*9=— + г де г г де
получим ди _ ду ди) г.
0, 4- и = 0, — = о.
дг д0 дг
dv 1 dw
dz 1- г дб — ^44^02
ди
dz
-т- + -z- = + а5Ьт,2,
dw
dr
1 du dv______v_ _ q
r dO dr r
(8-74)
Интегрируя систему уравнений (8.74) аналогично тому, как
это сделано в п. 8.1, найдем
U = 2 ((О2 COS 0 — (Од sin 0) + и0 cos 0 + у0 sin 0,
v = xrz — z((o2sin 0 4- (Dj cos0) — u0 sin 0 4- vocos0 4-
w = T(p (r, 0) 4- г (Од sin 0 — <o2 cos 0) 4-
Здесь <p(r, 0) — функция кручения, т — крутка. Члены, содержа-
щие постоянные и0, tfo, ^о» <oi, (02, <03, представляют перемещение
бруса как жесткого целого и не влияют на деформации и напря-
жения.
Для трех неизвестных функций <р(г, 0), тГ2(л 6), xez(r, 0) име-
ем уравнение равновесия (8.72) и уравнения
1 дф
а46^ + а66тГ2 = т-Х-.
or
(8.75)
На боковой поверхности бруса напряжения должны удовлетворять
условию
\\2nr + xQznQ = О,
(8.76)
а на торце — трем интегральным условиям, из которых два удов-
летворяются соотношениями (8.72) и (8.76), а третье имеет вид
§ 8 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ 99
/Т0г ds = М (ds = rdrdO)
и служит для определения крутки т.
Примем за основную неизвестную функцию кручения ф(г, 0).
Разрешая соотношения (8.75) относительно напряжений, получим
Т0Л = т ГАы М- г) + Л<5 -??- ].
[ \ Г (Лэ / or J
Ъ = Т [л« (-L -%- + г) + л5 . (8.77)
L \ г от / or j
где
Д<4 — 0^5/ Д, Л45 — ' &&/ Д, Д55 — я«/ Д,
9
Д = Я44О55 fl45 0.
равнове-
Подставляя выражение напряжений (8.77) в уравнение
сия (8.72), придем к уравнению относительно ф(г, 0)
д (л дф । л 1 dtp \ , 1 ( л дф , л I дф
17V + ~(Л + Л45Т1е_
I 1 д (л 1 дф , - дф \ _ / дД45 ; дДи ( \
г ^ + Л“1Г) V —1Г + 2Л<8р
(8.78)
Подстановка напряжений (8.77) в граничные условия
IX» + r I + п' +
L \ г (W / or J
+ [^44 + Г) + П° ~
L \ г оу j Or j
(8.76) дает
(8.79)
Задача свелась, таким образом, к интегрированию уравнения
(8.78) при граничном условии (8.79).
Рассматриваемую задачу можно также свести к краевой за-
даче для функции напряжений ф(г,6). Функция напряжений
ф(г,8), вводимая соотношениями
trz = Т — хвг = — т (8.80)
г (лэ or
удовлетворяет уравнению равновесия (8.72). Используя теперь
(8.80) и исключая <р из соотношений (8.75), получим дифферен-
циальное уравнение для функции напряжений ф(г, 0)
100
. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
д [ dip dip
— \аиг-^—
dr \ dr d0
dip . 1 dip \ п
+ а№ — =— 2г.
ОГ Г (W /
(8.81)
Граничное условие (8.76) сводится к условию
*L| =0,
ds |t
которое в случае односвязного поперечного сечения дает
i|>|t = 0.
В этом случае по-прежнему имеют место соотношения (8.63), оп-
ределяющие крутку т и жесткость С.
В случае ортотропии
fl44 ~ Д55 = V^2» ~ 0,
Gi=Gi(r, 6), G2=G2(r, 0)
и уравнение (8.81) принимает вид
Примем, однако, что параметры
d / г dip \
dr \ Gi дгл /
+ 2f.
d0 \ rG2 дВ J
Рассмотрим конкретную за-
дачу о кручении полого кругло-
го цилиндра, обладающего ци-
линдрической анизотропией.
Пусть имеется круговой цилиндр,
у которого ось анизотропии сов-
падает с геометрической осью,
которую и примем за ось z
(рис. 6). Цилиндр подвержен
действию крутящего момента М.
Через a, b, I обозначим внутрен-
ний и внешний радиус и длину
цилиндра, через a=a)b< 1 — от-
ношение радиусов.
Упругие свойства цилиндра
описываются законом Гука (8.1).
(744, 045 зависят ТОЛЬКО ОТ Г, 3 OC-
тальные параметры —произвольные функции координат г, 9, г.
В силу осевой симметрии задачи помимо (8.70) имеем также
Тгг = 0, а единственная отличная от нуля компонента напряжений
§8 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БРУСЬЕВ Ц)1
Т02 зависит только от г. Уравнение равновесия (8.72) при этом
удовлетворяется тождественно, а интегрирование системы (8.74)
дает
т02 = tr/au,
и= 0, v = 0, w = т f —fl45 dr.
J
(8.82)
В соотношении (8.82) отброшены члены, соответствующие переме-
щению бруса как жесткого целого, а через т обозначена, как и
выше, крутка.
Определяя крутку из интегрального условия на торце
ь
найдем
ь
Т=Д
с
C = 2n{ — dr.
J «44
а
Так как напряжение и жесткость С зависят только от од-
ного параметра адИИ» то они будут такими же, как и в неодно-
родном изотропном цилиндре с модулем сдвига G=l/a44.
Пусть, например,
G = go(r/b)n-
Тогда
с = (1 — а4+”), (8.83)
М (4 + п)
2л&4+" (1—а4+")
(8.84)
При п>—1 максимальное напряжение будет на внешней по-
верхности цилиндра; оно равно
*тах = 4 (4 + п) М/Ш? (1 — a4+rt).
При и<—1 максимальное напряжение возникает на внутренней
поверхности цилиндра. При п = 0 из соотношений (8.83), (8.84)
получаем решение для однородного цилиндра
С = -у Gnr4(l —а*),
2М г М
10г =-------------= ---- Г,
(1 —а*) /о
где /0 — полярный момент инерции поперечного сечения.
102
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
На рис. 7 и 8 показано распределение напряжения тег по ра-
диусу при п>—1 и п<—1, пунктиром — распределение напряже-
ний в однородном стержне. Из рис. 8 видно, что распределение
напряжений при п<— 1 принципиально отличается от такового в
случае однородного цилиндра.
$ 9. Кручение неоднородных изотропных брусьев
9.1. Постановки задачи. Постановки задачи о кручении изо-
тропного неоднородного бруса, основанные на введении функции
кручения или функции напряжения, сформулированы в § 8 как
частные случаи соответствующих постановок задачи о кручении
неоднородных анизотропных брусьев.
Рассмотрим постановку задачи, использующую функцию кру-
чения. Функция кручения <р(х, у) удовлетворяет дифференциально-
му уравнению (8.40)
4- [G Яг - + -г [G Яг+1=0 <91>
дх [ \ дх / J ду [ \ ду / j
и граничному условию
(-^--у\Пх + (-^ + х\Пв = 0. (9.2)
\ дх ) \ ду / у
Напряжения тхг, выражаются через функцию кручения
{/) формулами
t« = tg(-4 х»г== rG (“Г <9-3)
\ дх / \ ду /
вытекающими из соотношений (8.25) при условиях (8.36), (8.39),
а перемещения u, v, w имеют вид (8.32)
и = — туг + —ЩУ + и0,
и = TXZ -г (DjX — + и0, (9.4)
w = Тф (х, у) 4- <ьгу — <о2х +
§ 9
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ
ЮЗ
Крутка т выражается через крутящий момент М формулой
т=Л4/С, (9.5)
где жесткость
С= f G (х1 -I- у2 х-^- — у -^-\ds. (9.6)
J \ ду дх /
Уравнение (9.1) имеет развернутую форму
или
. d InG / Эф \ . dlnG / Эф , \ п /п ~
V2<p+ — -I---—(—X--и х) = 0, (9.7)
дх \ дх / ду \ ду /
где V2 — оператор Лапласа
v2 = д* д~ дх2 ду2 (9.8)
Используя соотношения (8.46), граничное условие (9.2) мож-
но представить в виде 3<Р дп 1 (9-9)
Таким образом, задача определения функции ф(х, у) есть за-
дача Неймана для уравнения (9.1) или (9.7).
Из соотношений (9.9), используя (8.46), имеем
f-^-ds= + x-^-\ds= ГД- (х2 + у2 )1 = О,
J дп J \ ds ds J J [ 2 J
L L L
т. e. выполнено условие
(9.10)
Отметим, что при неоднородности вида
G = Goexp(ax+ $у) (9.11)
уравнение (9.7) приводится к уравнению с постоянными коэффи-
циентами вида
V2<p + a(_g._^ + +х) = 0. (9.12)
104
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Рассмотрим теперь постановку задачи, использующую функ-
цию напряжения. Функция напряжений ф(х, у) удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению (8.51)
дх ) G dr ) ду \ G ду I '
и граничному условию (8.47)
*L| =0.
ds |£
(9.14)
Если поперечное сечение бруса представляет собой односвязную
область, граничное условие (9.14) приводится к виду (8.48)
ф|£-0. (9.15)
Задача определения функции ty(x,y) есть, таким образом,
задача Дирихле для уравнения (9.13).
Напряжения txz, туг выражаются через функцию напряжений
ф(х, {/) формулами (8.42)
0W Эф
тх, -= т —т.у, = —т —-.
хг ду уг дх
(9.16*
Крутка т по-прежнему дается формулой (9.5), в которой жесткость
С выражается в случае односвязной области поперечного сечения
через функцию напряжений ф соотношением (8.49)
C=2ji|>ds. (9.17)
S
Уравнение (9.13) можно записать в развернутом виде
----Л-------------4- 2G = 0. (9.18)
дх дх ду ду
В случае неоднородности (9.11) оно приводится к уравнению с
постоянными коэффициентами
V4 — о— -р— 4-26 = 0. (9.19)
дх ду
Покажем, что вектор касательных напряжений
т = ^хг1 + V/ (9.20)
в произвольной точке М поперечного сечения бруса направлен по
касательной к кривой
ф(х, у) = const, (9.21)
проходящей через точку М, Здесь i, / — единичные орты.коорди-
натных осей х, у.
§ 9
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ
105
Пусть x = x(s), y=y(s)— параметрическое задание кривой и
s — длина дуги вдоль кривой (9.21). Вдоль кривой (9.21) имеем
с>ф дф dx , <1ф dy
ds дх ds ду ds
Вектор единичной нормали v к кривой (9.21)
V = Vxi + vj
имеет компоненты (8.46)
(9.22)
(9.23)
(9.24)
Поэтому соотношение (9.22) дает
*LV о
ду дх у
или, в силу (9.16),
ЪЛ + = °- (9-25)
Соотношение (9.25) в силу (9.20) и (9.23) дает
Т-у = 0,
(9.26)
т. е. вектор касательных напряжений Т нормален вектору нормали
v и, следовательно, направлен по касательной к кривой (9.21).
Поэтому кривые (9.21) называют траекториями или линиями
касательных напряжений. Кривая, ограничивающая область по-
перечного сечения бруса, принадлежит классу (9.21) и потому
также является траекторией касательных напряжений.
9.2. Теорема о циркуляции сдвиговых деформаций. Если об-
ласть, занятая телом, односвязна, то условия совместности де-
формаций необходимы и достаточны для однозначности переме-
щений. В случае многосвязной области они необходимы, но не
достаточны для однозначности перемещений. Для однозначности
перемещений нужны дополнительные условия.
Сформулируем эти дополнительные условия в рассматривае-
мой задаче кручения призматического бруса.
Рассмотрим призматический брус, поперечное сечение s кото-
рого представляет собой многосвязную область. Граница L обла-
сти s состоит из внешнего контура Lq и внутренних непересекаю-
щихся и несоприкасающихся контуров £ь..., Lm. Каждый из
контуров Lq, L],..., Lm представляет собой простую замкнутую
кривую. За положительные направления обхода контуров Lq,
L\,...,Lm выбраны такие, при которых область s остается слева
(рис. 9).
106
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Из соотношений (9.4) видно, что в задаче кручения переме-
щения и и и— однозначные функции координат, и потому условие
Рис. 9
однозначности перемещений сводится к условию однозначности
осевого перемещения w(x, у), которое может быть записано в виде
Г ^Lds=0,
J ds
(9.27)
где I — любой простой замкнутый контур, принадлежащий обла-
сти s.
Пусть условия совместности выполнены. Тогда в случае од-
посвязной области соотношение (9.27) выполняется всегда; в слу-
чае многосвязной области оно выполняется для контуров /, кото-
рые могут быть стянуты в точку без выхода из области. Если
контур / охватывает хотя бы один из внутренних контуров L/l, то
соотношение (9.27) дает дополнительное условие однозначности.
Вычислим интеграл, входящий в соотношение (9.27). Исполь-
зуя (8.46), имеем
§9
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ
107
(7-^- dx , dw dy ' ds dy ds t , dw \ . + — nx] ds. dy J ) ds = (9.28)
J ds J \ дх l 1
/
Из формул Коши (8.7)
dw . ди dw . V"2~ dy + dv dz (9.29)
найдем
dw ди дх ~Ъг дг ' В силу (8.46) имеют место также dw , = УУ2 dy ’ соотндшения dv dz (9.30)
ntjis = — dx, njds - dy. (9.31)
Используя (9.30), (9.31), из соотношения (9.28) получим
f IT ds - I + ’.А»+ f (т? ~ / 1 1 dv \ , nx ds. dz *} (9.32)
Второй интеграл, входящий в соотношение (9.32), преобра-
зуется в интеграл по поверхности по формуле
С (±_пп ) Г [_£_ (JfL) + 2_(_ I ds> (9.33)
J \ dz у dz */ J L dy \ dz ) дх \ dz ) J ’ 1 1
1 si
где «г — область, ограниченная контуром L, включая и полости
А*; здесь предположено, что функции и, v определены формулами
(9.4) в области На основании (9.4)
и потому в силу (9.33)
П’57"»-1Г'Ч‘'5“-2к'’ (М4)
I
где через sl обозначена величина площади sz.
Введем теперь обозначения
г = J (Vx/х Ь ЧуАУ) (9.35)
108
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Величина Г представляет собой циркуляцию сдвиговой деформа-
ции но контуру I. Действительно, введя вектор сдвиговой дефор-
мации y и векторный элемент дуги ds кривой I формулами
Г = П Уд J. - dxi i dyj,
соотношение (9.35) можно представить в виде
Г = J у ds,
i
из которого видно, что величина Г дает циркуляцию вектора у по
замкнутому контуру I.
Подставляя теперь выражения (9.34), (9.35) в формулу (9.32),
получим
f — ds= Г—2ts,.
J ds 1
I
Требуя, чтобы выполнялось условие однозначности (9.27) переме-
щения w(x,y), найдем
Г = 2rsz. (9.36)
Соотношение (9.36) представляет собой теорему о циркуляции
сдвиговых деформаций в задаче о кручении неоднородного бруса,
являющуюся непосредственным обобщением теоремы Бредта о
циркуляции касательных напряжений в теории кручения однород-
ных брусьев.
Для однородного бруса модуль сдвига постоянен' (G = const).
С помощью закона Гука
Y« = ~ Y,z = ~ Хдг (9-37)
из (9.35) получим
г = — Гт,
G
где Гт — циркуляция касательных напряжений
Гт = j‘ -г- xyIdy),
I
и соотношение (9.36) переходит в известную теорему Бредта [40]
Гт = 2Gtsz.
Если контур I может быть стянут в точку без выхода из об-
ласти s, соотношение (9.36) является тождеством и может быть
§ 9
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ
109
использовано для вычисления циркуляции сдвиговых деформаций
Г. Если контур I охватывает хотя бы один из внутренних контуров
Lkl соотношение (9.36) дает дополнительное условие однознач-
ности.
9.3. Кручение бруса с многосвязным поперечным сечением.
Рассмотрим задачу о кручении бруса, поперечное сечение кото-
рого представляет собой многосвязную область s, показанную на
рнс. 9. Используем постановку задачи, основанную на функции
напряжений ф(х, у). Функция ф(х, у) в области $ удовлетворяет
дифференциальному уравнению (9.13) и на границе L области
s — условию (8.47)
44 =0. (9.38)
os |с
Интегрируя условие (9.38) на контуре Lk(k=O, l.../п), имеем
'I’Il* =ck(k= О, 1, ... , т), (9.39)
где Ck — произвольные постоянные, подлежащие определению.
Задача, таким образом, сводится к интегрированию уравнения
(9.13) при граничных условиях (9.39).
Одну из постоянных ск, не изменяя напряжений (9.16), можно
произвольно зафиксировать. Примем равным нулю; тогда из
(9.39) имеем
^|l. = 0, 1|з|ц = ск(Л= 1, ... , т). (9.40)
Необходимые и достаточные условия однозначности переме-
щения ш(х, у) в случае многосвязной области имеют вид
(9.41)
J ds
г
для всякого замкнутого контура который без выхода из обла-
сти s может быть стянут в точку, и
(2^dS=0, (9.42)
J os
Lk
Условие (9.41) выполняется за счет удовлетворения условий сов-
местности деформаций, условия (9.42) служат для определения по-
стоянных k= 1,..., т.
Соотношение (9.42) при фиксированном k эквивалентйо тео-
реме о циркуляции сдвиговых деформаций (9.36) при l=Lk. При-
меняя к каждому из этих контуров Lk(k= 1,... ,/и) теорему о цир-
куляции, имеем
Г^-2т5ц, k= 1.........т. (9.43)
по
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Преобразуем соотношения (9.43). По определению (9.35)
ГЦ = J (Y„dx г Vy2dy). (9.44)
Lk
Используя (8.46), (9.37) и (9.16), найдем
И- у dy = (— у„ + Ууг ~~r~\ds =
\ ап ап /
= _T_L(±L + Л. (9.45)
G \ ду dn дх dn J 6 дп
и, значит,
Гц=-т C-^^ds. (9.46)
* J G дп
Lk
Подставляя теперь выражения (9.46) в соотношения (9.43), получим
r_L_^Lds==_2SLp Л=1, .... т. (9.47)
J G дп л
Lk
Постоянные , ст входят в граничные условия (9.40) ли-
нейно. Следовательно, они линейно входят в левые части соотно-
шений (9.47), а правые части от них не зависят. Таким образом,
соотношения (9.47) дают систему т линейных алгебраических
уравнений относительно т постоянных , ст.
Функцию напряжений можно искать, например, сле-
дующим образом. Обозначим через фо решение уравнения (9.13),
обращающееся в нуль на контурах Lq, Lm, а через фл —
решение уравнения (9.13), равное единице на контуре LK и обра-
щающееся в нуль на всех остальных контурах Lo, L\... ,£^-ь
Lft+h ... ,Lm (k= 1„ ... ,m). Тогда все функции фо, Фа определены
в области s, а искомая функция напряжений ф, в силу линейно-
сти задачи (9.13), (9.40), может быть через них представлена в
виде
у) = Фо(*. у) + £ грМ*» у)- (9.48)
/=1
Подставляя выражение (9.48) в условия (9.47), приведем сис-
тему (9.47) к виду
1П
[ J_ + у.Д _L^Lds= _2s.
J G dn £ *J G dn *•
. Lk Lk
(9.49)
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ
111
Функции фо, Ф1, ...,фт не зависят ОТ ПОСТОЯННЫХ Эти
постоянные определяются системой (9.49), после чего искомая
функция напряжений ф(х, у) найдется по формуле (9.48).
9.4. Задача о кручении бруса в цилиндрической системе коор-
динат. Рассмотрим задачу о кручении призматического неодно-
родного изотропного бруса моментом М в цилиндрической системе
координат г, 0, z, считая, что ось z направлена параллельно обра-
зующим бруса. Уравнения и постановки задач получаются как
частные случаи соответствующих уравнений и постановок п. 8.4,
если в них положить
°44 ~ ~~А — fl55 ~ ~ ~~~r a4S = ^45 ~ О’
А" 4,5 G
где G == G(r, 0).
Постановка задачи, использующая функцию кручения ф(г, 0),
состоит в следующем. Функция ср (г, 0) в области s поперечного
сечения бруса Удовлетворяет дифференциальному уравнению
д (q fo \ , _LjL lG J_ jty_\ j. g_L __________
dr \ dr ) г Э0 \ r 00 J * r dr dO ’
и на границе L этой области — условию
дг \ г дВ /
Напряжения тг;, xoz выражаются через функцию кручения соотно-
шениями
rri = xG-^-, твг = т fo (—Д 1, (9.50)
dr L \ г сЮ / J
где т — крутка. Крутка определяется из интегрального граничного
условия
J гт0г ds = М (ds = rdrdty. (9.51)
s
Подставляя выражение т0г из (9.50) в условие (9.51), получим
т = — , С = f G f г2') ds,
С J \ дд )
определяющие жесткость С и крутку т.
Компоненты перемещений ur=u,, u.q = v, uz=w даются соотноше-
ниями
и =z(g>2cos0 — (OjSitiO) -|-uocos0 -j vosin 9,
v = xrz —z(co2 sill 0 [- col cos 0) —uasin 0 -f- uocos0 H OjT,
J12
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
W = Тф (Г, 0) + Г (©j sin 0 — (02 С08 0) г
в которых члены, содержащие постоянные u0, и0, ^о, <oi, «2, соз,
представляют перемещение бруса как жесткого целого.
Рассмотрим постановку задачи, основанную на функции на-
пряжений ф(г, 0). Функция напряжений ф(г, 0) вводится соотно-
шениями
Хбг=-'t'F- (9-52)
Для нее имеет место дифференциальное уравнение
д / г дф \ , д / 1 дф \ = __2г
dr \ 6 dr J 1 00 \ rG 00 )
и граничное условие
44 =0. (9.53)
ds |l
Для односвязного поперечного сечения условие (9.53) может
быть заменено следующим:
Ф11-0. (9.54)
Крутка т определяется соотношением (9.51). Используя (9.52)
и (9.54), для односвязного поперечного сечения имеем
М = J гт02 ds = — т j fl drdft =
S S
_ 2n))j drdQ = 2т
s $
— т J д .♦)_ drdti = 2т J ф4$ — т у r^tifds = 2т у tyds,
s s L s
т. е. верны соотношения (8.63).
9.5. Оценки для жесткости при кручении. Используя данные
постановки задачи о кручении бруса с помощью функции кручения
и функции напряжений ф(х, z/), можно дать нижнюю и
верхнюю оценки для жесткости С при кручении.
Функция кручения <р(х, у) удовлетворяет в силу (9.1), (9.2)
уравнению
§ 9
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ
па
и граничному условию
-ь хп. — упх = 0. (9.56}
Жесткость С при кручении определяется соотношением (9.6)
С- [G(x, у) (х2 + уг | x4L-«/-?LVs- (9-57)
J \ ду дх /
&
Жесткость С в силу (9.57) можно представить в виде
С=/01Ф]-ад (9.58)
где
Ш1= УG[(17 ~^ + (-^ +*)2]<fc. (9.59)
S
w- fcL^.-д+тч(9.60)
J L ду дх \ дх / \ ду / J
S
Преобразуя выражение £7£<р], имеем
U [<Р1 = f I -г- (G-V<P) Т" - Т (°4W) +
J L ду ду дх
S
+ и f- -I- 4- («ф -*) - V (С %-) + 4- (Сф ) -
дх дх \ дх / дх \ дх j ду \ ду ]
— ф-г- (G~r41ds (G<f (м~/М' + —
ду \ ду / J J \ y dn J
~ f ф (T" fG (V- ~ I + [G (-? +x) 11ds- <9-61*
J I dx [ \ dx ’ J dy L \ dy J J)
Пусть <p(x, y) — точное решение задачи (9.55), (9.56). Тогда в
силу (9.61) t7£q>|= 0 и из (9.58) получим
С== /0[<р].
Н4 КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ Гл. 2
Пусть теперь <р(х, г/)—некоторое приближенное решение за-
дачи (9.55), (9.56). Покажем, что имеет место неравенство
41ф1<Л1ф1- (9-62)
Представим функцию ф(х, у) в виде
<р(х, у) = <р(х, у) -1-ф^х, у),
где ф(х, у) — точное решение, а (х, у)—дифференцируемая функ-
ция. Тогда
Мф] = 41ф ЬфЛ=Мф1 +
+ Сg [()2(^Ч2р« + Ц[ф, <PiL
J дх / \ ду / J
S
где
-«МФ, <pj =
2 цт> т11 J [ дх дх ) ду \ ду ) \
s
Далее,
-^-^Нф, <pJ = f [-у-ГGq>i И] +
2 J ( дх | \ дх / J
s
— (ф1 !— [g(— — И] -Г — +x|])ds =0.
J I дх L \ дх ) 1 ду [ \ ду I \ ]
S
Таким образом,
/о!ф!/<►!<₽] Н- Jg [(^М2 4- ] (9.63)
S
откуда в силу того, что подынтегральное выражение в правой
части (9J53) положительно, и следует неравенство (9.62). Вели-
чина /о[<₽] является оценкой жесткости С сверху
С 'С
(9.64)
§9
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ
115
Рассмотрим теперь постановку задачи кручения с помощью
функции напряжений ф(х, у). Функция ф(х, у) удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению (9.13)
Л/-кЛЛ Ч- — (j- Л\ +2 = 0 (9.65)
дх \ G дх J ду \ G ду J
и для односвязного поперечного сечения граничному условию
Ф1е=0. (9.66>
При этом жесткость С при кручении определяется соотношением
(9.17). Эту формулу можно также представить в виде
С=/1[||)]-1/1(ф), (9.67)
где
,9-68»
<АМ = [[24,—М(ЛГ ms|U.
J I G [ \ дх / \ ду ) |)
s
Преобразуя выражение [ф], имеем
S
4-^1 — (1Л) + ±(12*\]и=
Y [ дх \ G дх ) ду \ G ду ) \\
= _(1*л + +2|Л,
J G дп J [ дх \ G дх J ду \ G ду / J
L s
или
J G дп
L
+2Н (9-69>
J L дх \ G дх / ду \ G ду / J
S
Пусть ф(х, у)—точное решение задачи (9.65), (9.66). Тогда
[71(ф] равно нулю и из (9.67) имеем
С=1М (9.70)
Пусть ф(х, у) — некоторое приближенное решение задачи
(9.65), (9.66), причем граничное условие (9.66) выполняется точно.
116
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Покажем, что имеет место неравенство
(9.71)
Представим ф(х, у) в виде
4(*. у) = t (а у) : 4i(*. у),
где ф(х, у)— точное решение задачи (9.65), (9.66), a <pi(x, у) —
дифференцируемая функция, удовлетворяющая на контуре L попе-
речного сечения бруса условию (9.66).
Мы имеем
Л [4] = 4 [4 ! 41J = л 14] —
S
где
Ф.1- С12Ч..--
2 1 Т11 J [ с I дх дх ду ду ) |
S
Величина £/2 преобразуется к виду
1 nv)dl+
L
-I- f 4 r_L f_LJ4\ , JL/-L r 21 ds.
J [ dr \ G dx / dy \ G dy / J
s
В силу (9.65) и условия фх |L = 0 имеем U2 [яр, ipj = 0 и потому
Gfil-ЛИ -f-L[(-Э-р М
S
Так как
из (9.72) получаем неравенство (9.71). Величина Л[ф] дает на
основании (9.70), (9.71) оценку для жесткости С снизу
С>Ш (9.73)
Таким образом, для жесткости при кручении С в силу (9.64)
и (9.73) имеем двустороннюю оценку
М4]<С</0Ы. (9.74)
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ
117
Рассмотрим пример оценки жесткости при кручении неодно-
родного бруса прямоугольного поперечного сечения
— а<х<а, —(9.75)
Примем неоднородность G(x) в виде
G = ax" + p, р^= 2k J 1, fe-0, 1, 2, ... ; 0 < аа" < fl. (9.76)
Для <р и Ф возьмем функции
Ф = Аху. ф = В (а2 — х2) (Ь2 — у2}. (9.77)
Из (9.59) имеем
а b
/. [ф] = [ j (ах' + ₽)[(Л- w + (Д I- l)2x*]dxdy =
—а —Ь
= 4-«ИЧ(Д-1)8^ I (Д+ 1)2а4]-
□
Определяя константу А из условия — 0, найдем А = (Ь2 — а2)/
дА
/(а2 + Ь2) и потому
/оЫ = —(2а)3-2Ь.
Из (9.68) имеем
—a —b
-------(X» (fr2 - у2)* -Т у* (а« -х2)2)! dxdy ==
аг0 + р j
= — ВаЧР Г1 — — (а2 н- Ь2) 1.
9 [ 50 ']
Определяя постоянную В из условия 0, найдем В— 5Р/4 (а2 -\-Ь2)
дВ
и потому
/, ------(2af -2b.
11 18(о2/6Ч-1)
Неравенство для жесткости (9.74), следовательно, дает
— — h,
18 18
(9.78)
118
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
где
ft= ----?-----(2а)3 2Ь.
а2/ь2 + 1 >
Принимая для оценки С жесткости выражение
С = у(Мф] + МШ (9.79)
имеем
С=-^-Л, (9.80)
тогда неравенство (9.78) дает
Относительное отклонение оценки (9.80) жесткости от ее точного
значения не превышает 10%.
Рассмотрим кручение того же бруса (9.75), если модуль сдви-
га G (х, у) задан соотношением
0=а[(а*-~х-)(Ь2 — ^) | аФ].
Функции (риф возьмем в том же виде (9.77). Проводя вычисле-
ния, аналогичные сделанным выше, найдем
/ Г1 19 '.М- — 16 аЧ>* . а 9 а2 + Ь2
11YJ в 16 аъЬ* . а .9 а1 + Ъ2
Неравенство (9.74) дает
(9.81)
65 65
где
16
р= -----а------------.
9 а2 + Ь2
Принимая, как и выше, для оценки С жесткости выражение (9.79),
имеем
С ----- — р, (9.82)
при этом из* неравенства (9.81) получим
|С-С|<4-Р-
из
§ 10 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ (задачи) Ц9
Соотношение (9.82) определяет величину жесткости с высокой
точностью. Относительное отклонение жесткости (9.82) от ее точ-
ного значения не превышает 0,5%.
§ 10. Кручение неоднородных изотропных брусьев [задачи)
10.1. Построение одного класса точных решений. В задаче о
кручении Сеи-Венана отличны от нуля напряжения rxz(x, у),
ту2(х, У)- В области s поперечного сечения бруса они удовлетво-
ряют уравнению равновесия (8.6)
(10.1)
дх ду
и условию совместности (8.43) (при а45 = 0, a^ = a^=^IG) в на-
пряжениях
На контуре L области s имеет место граничное условие
+ = (Ю-3)
Крутка т, входящая в уравнение (10.2), определяется из инте-
грального условия (8.22)
J ds=M. (10.4)
Соотношения (10.1) — (10.4) дают постановку задачи кручения
в напряжениях. Здесь G = G(x, у) —произвольная дифференцируе-
мая функция координат х, у.
Введем функцию F(x, у) соотношениями
= т (10.5)
ду дх
Подставляя соотношения (10.5) в условие совместности (10.2), найдем
VaF= —2, (10.6)
где v2 — двумерный оператор Лапласа
V2 = — + —. (10.7)
v дх» ' ду* ' '
Подставляя теперь соотношения (10.5) в уравнение равновесия
(10.1), получим
Av \ ду / ду \ дх
(10.8)
120
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
откуда
dG dF dG др НО 9\
d.v ду ду дх
Далее
. ~ / dF dy । dF dx \ n dF /in
+ хугпу = xG -r- -7- -F -7- ~T = xGV’ (10.10)
y \ dy ds dx ds J ds
и граничное условие (10.3) принимает вид
— 1= 0. (10.11)
ds |L
В случае односвязной области s условие (10.11) может быть заме-
нено условием
F|l=0. (10.12)
Если модуль сдвига G(x, у) удовлетворяет условию (10.9), то
соотношения (10.5) определяют точное решение задачи, причем
для функции F (х, у) имеем краевую задачу (10.6), (10.12), совпа-
дающую с краевой задачей для однородного бруса.
Условие (10.9) удовлетворяется, если модуль сдвига G имеет
вид
G= /(F), (10.13)
где /(/) —произвольная дифференцируемая функция /.
Таким образом, большой класс точных решений задач круче-
ния неоднородных брусьев получается следующим образом. Пусть
F(x, у)—функция напряжений в задаче о кручении бруса с по-
перечным сечением $ (функция F есть решение краевой задачи
(10.6), (10.12)). Тогда решение задачи о кручении бруса с тем же
поперечным сечением и модулем сдвига
G—f[F(x, z/)] (10.14)
дается соотношениями (10.5).
Этот же результат можно получить и другим способом.
Функция напряжений ф(х, у), вводимая соотношениями
в задаче о кручении неоднородного бруса удовлетворяет диффе-
ренциальному уравнению
_d /1 di|)\ , а 7 1 дф \ 2
dx \ G dx ] ду \ G dy )
и граничному условию
=0.
ds |l
§ 10
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ (задачи)
121
Введем функцию F соотношениями
1 Эф _ dF 1 _ dF
G dx dx ' G dy dy *
Отсюда
_ q dF d* —QdF (10.16)
dx dx dy dy
и потому
d lr dF \ d (r dF\
[ u 1 =
dy \ dx f dx \ dy /
или
dG dF dG dF (10.17)
dx dy dy dx
Условие (10.17) есть условие интегрируемости системы урав-
нений (10.16). Пусть G=f(F). Тогда условие (10.17) выполнено
и из (10.16) имеем
F
ф= jG(F)dF
о
и, кроме того,
Эф _ q dF
ds ds
Для функции F (х, у) имеем дифференциальное уравнение
V2F= — 2
и граничное условие
_^| =0
ds |£
или в случае односвязной области s
F\l = 0.
Функция F(x, у) является функцией напряжения для задачи кру-
чения однородного бруса с тем же поперечным сечением s. На-
пряжения (10.15) в исходной задаче кручения неоднородного бру-
са через функцию F(x, у) выразятся формулами
„ _ dF г __ ~ dF
ххг — rG , хуг — xG .
dy dx
Таким образом, мы снова пришли к сформулированному выше
результату.
122 КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ Гл. 2
Из полученных соотношений видно, что траектории касатель-
ных напряжений F=const в однородном брусе являются также
траекториями касательных напряжений ф = const в неоднородном
брусе, и они же являются линиями равного модуля сдвига G =
= const.
10.2. Примеры точных решений. Приведем некоторые примеры
точных решений задач о кручении неоднородных брусьев, принад-
лежащих к рассмотренному в п. 10.1 классу.
1. Круглый цилиндр радиуса 7?. Функция напряжении
у) в задаче об однородном брусе имеет вид
F =-!-(/?« —г»),
т. е. является функцией радиуса г. Поэтому для модуля сдвига,
являющегося произвольной функцией радиуса
G=G(r),
имеем
т„ = — тО(г)1/, туг=тС(г)л.
2. Сечение стержня — эллипс Г = 1, где
В этом случае
Г= — -4--^-
ft2
а2
-^-(Г-1)
а2 4- Ь2 '
и для модуля сдвига
имеем
2ха2у
G=G(T)
2хЬ2х
xz~ а2 + Ь2 yi~ a*+b* K
Линиями равного модуля сдвига являются подобные эллипсы
3. Сечение стержня — равносторонний тре-
угольник с высотой Л=3а (рис. 10). В этом случае
F= — (а — х) (х + 2а-Ь у |/3) (х +2а— у/З)
ба
и для модуля сдвига G = G (F) имеем
т„ = tG(F)y(± - 1),
$ 10
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ (задачи)
123
^=tG(F)[-^^- + x],
Линии равного модуля сдвига показаны на рис. 10.
4. Сечение — неограниченная полоса —оо<х<оо,
11/| ^b. При этом
F = b* — y*
и потому
rxt= —2yrG{F), гиг = о.
5. Круглый стержень радиуса а с продольной
круговой выточкой радиуса 6, центр которой лежит на боль-
шой окружности. Функция напряжений для однородного бруса
имеет вид
F = (б2 — 2ab2 cos— + 2ar cos <р — г2 j =
= — 1б» —2afta----------+ 2ах — (х* 4- ^)1,
2 [ А'2 4- у2 J
где г, q> — полярные координаты, введенные как показано на
рис. 11.
Для модуля сдвига G G (F) имеем
хкг = tG (F) Г2аЬ2 - -----у] = tG (F) Г-^ sin 2q> — г sin ф I,
I (л2 4- £/2)2 ] | F2 I
Г ab2 i 2а63х2 1
v= -TG(F)^a- — + —------------------xj =
= — tG (F) Га----——h 2a^ cos2 ф — r cos <p ].
L <a r2 J
Линии равного модуля сдвига показаны на рис. 11.
124
КРУЧЕНИЕ II ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
6. Сечение стержня — площадь, ограниченная
ветвью гиперболы и прямой х=0 (рис. 12). Пусть урав-
нение гиперболы будет
(* + 6)2 ’у2
а2 Ь2
Тогда при условии а2 — 3ft2 имеем
[ уЗ
хуг — —
3
где с = 3/26.
Для модуля сдвига G — G (F) получим
т„ = rG(F)-^-xy,
О
Линии равного модуля сдвига показаны на рис. 12.
10.3. Кручение неравномерно нагретого полого цилиндра. Рас-
смотрим полый толстостенный цилиндр длины / с внутренним и
внешним радиусами, равными соответственно а и b Исполь-
зуем цилиндрическую систему координат г, 0, z.
Цилиндр находится под действием температурного поля Т=
= Т(г) и крутящего момента М, приложенного к торцам цилиндра;
боковая поверхность цилиндра свободна от напряжений, массовые
силы отсутствуют. Модуль Юнга £, коэффициент Пуассона v и
коэффициент линейного расширения а — функции температуры Т
или радиуса г.
Связь между деформациями и напряжениями примем в виде
Т(г)
гг = -^-ог-|^о+ J a(T)dT,
о
W
ее=f a(T)dT,
Е Е .)
О
Г(Г)
е2=_1±Га2—y a(T)dT,
о
= -г— Тгб, Ye* —
2р 2р
§ 10
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ (задачи)
125
Yzr = v~V- (Ю.18)
Имеют место также уравнения равновесия, условия совместности
деформаций, граничные условия при r = a, г = Ь
аг=0, тг0=О, тЛ2=0 (10.19)
и интегральные граничные условия
ь ъ
J o2rdr — 0, 2л J x2er2dr = М (10.20)
а а
на торцах бруса.
Рассматриваемая задача осесимметрична, искомые функции
зависят только от радиуса г; уравнения равновесия имеют вид
гв'г 4- — сте = 0. (10.21)
ГТгО + 2т'в = °’ (10.22)
= °- (10.23)
где штрихом обозначена производная по г.
Учитывая условия (10.19), из уравнений (10.22), (10.23) полу-
чим
ТгО = тгг = 0
и, следовательно,
erQ = e,2=0. (10.24)
Используя (10.24) ее, ег, ее*» из условий и независимость от 0 и z совместности найдем деформаций ег,
и еще два уравнения = е = const ге'е 4- Ее — ег = 0, (10.25) (10.26)
Г—(гуегГ1' = 0. L г j (10.27)
Уравнение (10.27) с учетом (10.18) примет вид
Интегрируя его, имеем ^02 = С -у- + Трг, (10.28)
где с, т —постоянные интегрирования (т — крутка).
126
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Используя теорему о циркуляции сдвиговых деформаций
С — T02ds= 2tsz,
J ц
где / — окружность r=/? (a^R^b), и йыражение (10.28), найдем
с = 0; поэтому
тег= тц(Т) г.
Постоянная т находится из второго интегрального условия (10.20).
Для определения напряжений аг, ое, о- используем уравнения
(10.21), (10.26) и соотношения (10.18). Из (10.18) с учетом (10.25)
имеем
Г(г)
a2 = eE + v(ar + (je)~-E J a(T)dT. (10.29)
о
Из (10.18), далее, с учетом (10.21) найдем
г(1 -j v) ,
ге~8г= а .
Из (10.18) с учетом (10.29) имеем также
Т(г)
е0 = <х.-?р.г-а'г + (14-v)0-2v) а w ц v) J а(Т)dT (10.30)
о
откуда
р га -4 п ( Г<1 — v3>r 1' • О Ч- v)(l — 2v) 1
е0-------— 4- о, [ |--- j - | 4-
Т(г)
4- Г(1 + v) (l ~2v) 1' or — v'e-!- Г( 1 + v) f a(T)dTl'. (10.31)
L e j L J j
0
Подставляя теперь (10.30) и (10.31) в (10.26), получим урав-
нение для определения напряжения о,-
(l-vV , , ГГ(1 — v2)rl' ; 2(1—.
------- "у < -------- I "Г" ’ > Т"
£ ' Ц £ ] £ J г
Т\'>
+ HJ.+ У>.Ц—2v>. |'gf__v'e.j [(Ц-v) fa(T)dr]' = 0. (10.32)
L E J L s J
По найденному напряжению ог из уравнения (10.21) определится
о©, а из соотношения (10.29)—напряжение а2; константа е най-
дется при этом из первого интегрального условия (10.20).
§ 10
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ (задачи)
127
При v = const уравнение (10.32) примет вид
и /о rE \ - 1—2v Е' Е Г л-rl' л
ЛУ 3--------— ст, — --------Z~ar + ~.---- a(T)dT =0.
\ Е) 1 — v Е 1 — v [ J J
о
В случае несжимаемого материала v= 1/2 имеем отсюда
, Г(г)
а* -г + ~ ( J a(T)dT^' = 0. (10.33)
о
Решение уравнения (10.33) выписывается в квадратурах и
имеет вид
ar = с0 J Er~3dr — 2 J ^Ег-3
а а
г Т
j ra[ja(7’)d7’prj dr.
а 0
(10.34)
Уравнение (10.32) может быть решено методом возмущений.
Введем параметр е соотношением
v(r) =-1-[1 — ev0<r>] (10.35)
и будем искать решение уравнения (10.32) в виде
вг = aro ! есгг1 + е2бг2 + ... . (10.36)
Подставляя (10.35) и (10.36) в уравнение (10.32) и приравнивая
члены при одинаковых степенях е, получим уравнения для величин
Gm (п = 0, 1, 2, ...). Уравнение для совпадает с уравнением
(10.33), остальные уравнения отличаются от него лишь свободны-
ми членами, причем решения их также выписываются в квадрату-
рах. Решение исходного уравнения (10.32) при значении коэффи-
циента Пуассона
v(O=-^-P—v0(r)I
получается из (10.36) при е= 1.
Уравнение для ог1 имеет вид
2v0 (г) еЕ 2Е Г ? i /
------Т7 j,“<7'>dr =»•
о
128
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. и
а его решение дается соотношением
рг-з^ + 2
Т(г)
а а
у.(О { у«(')_Е / v9(r) \'\
3 I г 3 \ Е / /
_ ui
0-11
70
(10.37)
Для arn (n 2) имеют место уравнения
» { 3 E* \ . ( 2v, (r) » t
arn 'I- ( -- — ) + ~T~ r-n~l +
, 2ve(r)
----«r.n-l —
Г 2v* <г>
Vo(O » Г vo(r) . Е ( vo(f)
решения которых выражаются в форме
2*o (0 n
Гг,П-2-------Z.----^.«-2=
огп = са | Er^dr + J
а а
, ( Уо(0 , Е ( Уо(П V
+ (—+т(—Л
2уМ) 0- 2 / у, (г)
3 ''•я-1 I г
г." £_
аг.п-2 +
r- 4. 2v«(f)
Гг.п-2 "I----~~
2v»(r) 1 , ) ,
—— o.n-i I dr I dr.
(10.38)
где
Постоянные сп (n=0, 1, 2, ...) в выражениях (10.34), (10.37),
(10.38) определяются из однородных граничных условий
°гп ~ 0*
Приведем числовой пример. Рассмотрим случай постоян-
ного коэффициента Пуассона v=V4 при следующих зависимостях
Е и а от температуры [82]:
Е (Т) = Е9~Е2Т2 3,
£0= 2,1 . 10е (кГ-см-2),
£2 = 2,1 [кГ-см-2 (град-С)-2},
§ 10 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ БРУСЬЕВ (задачи) 129
а0= 1,2 • 10-5 {град-С"1},
аг= 10“8 [град-С'2}.
Примем стационарное распределение температуры (при заданных
ее значениях на боковых поверхностях цилиндра)
Т’ — у । (^2 — 7\) 1пр
1 In и
где р=—, «=—, Т(а)=Т1, Т(&)-Т2,
а а
и введем обозначения
(Хо — а0Т 2, Uj — ctjT 2.
где
Величина ог0 = аго/£*о» вычисленная по формуле (10.34), имеет
выражение
Oro = MP-2 (Ро + Р11пр + Рг In2 р) — р0] +
. 1пр , 1п2р . 1п3р , 1п4р
+р°-^+Л
р, = £ |~(1 -0)= + 0,5 (-S-Г + "8) I -1,
I. \ Inu / Inu J
'г Г/ ° Vi 20(1—0)1 ~/ 0 V
[ \ In u / Inu J \ In и )
р3= в[£(1 - 6)2- 1] [а0 + fl - 0 - -Р-) ],
L \ 21пи / ]
P4=-f-{a1I£(l-0)8-lJ + 2(l-0)EjSe + a1(l-0-7£-)j|,
азР г 0 I ) 1___
Рб=-^~ 1ао + а1 3(1,— 0) — —— , рв= — а1£04,
3 [ [ 2 Inu J J 4
_ ____Рз 4~ Р4 4- Рь + Ре_'
0 Ро — а-2 (Ро 4-Pl in и 4-р2 In2 и) ’
Величины <гг1, оГЛ, в соответствии с соотношениями (10.37), (10.38),
вычисляются по формулам
«о + ах
Т(г)
J a(T)d'
о
orl - сх j Er~
а
°"о
3
а а
1 Е' \ . а 0 . ।
------7^" -------- dr dr,
г ЗЕ rQ г I
130
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
г г г
<!fn = сп j Ег~3 dr + У {Ег~3 у Г3Е-' [ <т" „_2 +
а а а
,1/1 Е' \ . 1 2 „
2 \ г ЗЕ J '•п~2 Зг 3 г-п-'
2 (т - £К-'- т И
Результаты вычислений первых пяти приближений при Ь/а =
= 1,5, Т] = 350оС, Т2 = 250°С приведены в табл. 1; последующие
приближения отличаются от нулевого менее чем на 1%.
Таблица 1
р «гз-К» af4.l°-
1,00 0 0 0 0 0
1,025 — 3,5 1,1 —0,35 0,24 -0,12
1,05 — 6,4 2,0 -0,59 0,38 —0,18
1,075 — 8,7 2,6 —0,76 0,46 —0,20
1,1 —10,5 3,1 —0,87 0,49 —0,20
1,125 —11,9 3,4 —0,93 0,50 —0,19
1,15 —12,8 3,7 —0,96 0,49 —0,17
1,175 —13,4 3,8 —0,98 0,47 —0,15
1,2 —13,7 3,8 —0,98 0,46 —0,14
1,225 —13,7 3,8 —0,97 0,45 —0,13
1,25 —13,3 3,7 —0,95 0,44 —0,13
1,275 —12,8 3,5 —0,92 0,43 —0,13
1,3 —12,0 3,4 —0,89 • 0,42 -0,14
1,325 —11,1 3,2 —0,84 0,42 —0,15
1,35 — 9,9 2,9 —0,78 0,40 —0,16
1,375 — 8,6 2,5 —0,71 0,39 —0,16
1,4 — 7,1 2,1 —0,62 0,35 —0,16
1,425 — 5,5 1,7 —0,51 0,31 —0,15
1,45 — 3,8 1,2 —0,37 0,23 —0,13
1,475 — 1,9 0,6 —0,20 0,13 —0,08
1,5 0 0 0 0 0
§ 11. Растяжение и изгиб неоднородных брусьев
11.1. Растяжение и изгиб моментами ортотропного бруса. Рас-
смотрим упругий ортотропный призматический брус, у которого
одна из плоскостей упругой симметрии нормальна к геометриче-
ской оси, а модули упругости и коэффициенты Пуассона — непре-
рывные функции точек поперечного сечения, имеющие произвол-
§ И
растяжение и изгиб неоднородных брусьев
131
ные до второго порядка включительно. Пусть один торец бруса
закреплен, а к другому приложены, произвольные сила Р и мо-
мент М; боковая поверхность свободна от напряжений.
Поместив начало координат в центре тяжести незакреплен-
ного торца бруса, направим ось г по геометрической оси, ахи
у — нормально к плоскостям упругой симметрии. Имеем: уравне-
ния равновесия
дах । дхХу » d^xz - 0
дх ду dz
д^ху । defy , дх П ду dtyz dz = 0, (11.1)
d*xz 1 dVyz । daz = 0;
дх ду dz
закон Гука (8.3)
Ьч -|щ- II со4 °y (11.2) E3
1 Es
е = —— <УХ — г Ei х 1 Et U + “rff2’
v*= gT**2’ Yx2=-gT M __1_T • ixy ~ 'xy* ^3
формулы Коши
dv . dw dw . ди ди . dv Z1 f оч
= + С11-3)
dz dy dx dz * dy dx
Разложив силу P и момент M на составляющие по осям, об-
щую задачу можно разделить на три: 1) растяжение (сжатие) и
изгиб моментами; 2) изгиб поперечными силами; 3) кручение. За-
дача кручения рассмотрена в § 8. В настоящем параграфе рас-
смотрим первые две из указанных задач [23, 25].
Рассмотрим сначала задачу о растяжении бруса силой и из-
гибе моментами. Пусть на свободном торце усилия приводятся
к силе Р3, направленной по оси z, и к моментам Мь М2, действую-
щим в плоскостях yz и xz (рис. 13). В каждом сечении бруса уси-
лия приводятся к тем же силе и моментам и потому можно при-
132
КРУЧЕНИЕ ]] ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
нять, что напряжения являются функциями только х, у и, кроме
того,
(11.4)
^уг ^х2
Подставляя формулы Коши (11.3) в закон Гука (11.2) и ис-
пользуя (11.4), найдем
Введем обозначение
h = К — vsinx ~
и приведенные коэффициенты упругости
о _ О — У13> о (Ущ + V13V32)
Рп ’ Р12
(»-У2з) д .. 1
₽22 ’ Рвв Ga ’
(И.6)
(Н.7)
Найдем выражения для перемещений и, о, ш, интегрируя си-
стему уравнений (11.5). Учтем соотношения
£1^21 = £^2^12’ £.2^32 = £3^23» £3^13 = £1^31* (11*8)
Интегрируя вначале третье, четвертое и пятое уравнения (11.5),
найдем
w = zh + (х, у),
2 ду ду
(П.9)
§ 11 РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ 133
a2 dh dwx , , ч
ы--------------г~Г- + и^ х’ УУ
2 дх дх
Удовлетворяя теперь остальным уравнениям (11.5), получим
уравнения для функций A, щ, Vj
д21г _ d2h _ d2lt _ 0 дх2 ду2 дхду д2шк _ d2i0j __ д2^ _ q дх2 ду2 дхду = рп(Ух j р120^ v3i^» дх (11.10) (H.I1)
D > О *- "Т~ = Pi2ax ~ Рг2ар V32™> ду у р6вт ду дх Н6в ху (11.12)
Из (11.10) и (11.11) следует, что h и a>i — линейные х, у функции
h= Ах + By + С, = <0,1/ — -J- w0. (11.13)
Постоянные А, В и С определяются из интегральных условий рав-
новесия на торце (в поперечном сечении) бруса, а члены, содержа-
щие (Di, (02 и до0, дают перемещение бруса как абсолютно жесткого
гела. Из (11.6) и (11.13) для о2 найдем
<гг = £3 (Ах + By + С) - и у31аж l v32crtf. (11.14)
Введем обозначения
+ (11.15)
Исключение ult vr из соотношений (11.15) дает уравнение
+ —?5^ = о. (11.16)
ду2 дх2 дхду
С другой стороны, из (11.12) и (11.15) имеем
~ Р1Л Р12а1/ V31^»
е£/ = Р12ах + ₽22^ — ^32^, (11.17)
Уху =
Уравнения'равновесия (11.1) с учетом (11.4) и (11.14) примут
вид
134
КРУЧЕНИЕ И- ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
д&х t дхХу _____q faxy I доу
дх ду 1 дх 1 ду
(11.18)
Введем функцию напряжений F(x, у) аналогично функции
напряжений в плоской задаче
d*F d2F
х ду* у дх2 ху дхду
(11.19)
Уравнения равновесия (11.18) при этом тождественно удовлетво-
ряются, а подставляя соотношения (11.17) и (11.19) в уравнение
(11.16), получим уравнение для функции F(x, у)
д* Zr d*F i r d*F \ ' d2 /r d2F । r d*F \ I
дх* V22 dx* ' P12 dy* ) ду* V 12 дх* dy* ) +
+ ТГ 77") = тЯУи(Лх + By + C)I+
дхду \ дхду / dx*
+ -^\yn(Ax + By + C)\.
(11.20)
Граничные условия на контуре L,
ограничивающем поперечное сечение s
бруса, имеют вид
+ w» = °> V» + V» = °-
(11.21)
Подставляя соотношения (11.19) в усло-
вия (11.21), получим граничные условия
для функции F, совпадающие с однород-
ными граничными условиями плоской за-
дачи.
Функция напряжений F (х, у) опре-
деляется краевой задачей (11.20),
(11.21). Она зависит от постоянных А,
В1 С, которые определяются из инте-
гральных граничных условий
J or/s = Р9, у yazds = Д
S S
Задача упрощается, если коэффициент Пуассона V31 зависит
только от х, a V32 — только от у или если оба эти коэффициента —
величины постоянные. Характер напряжений будет таким же, как
в однородном брусе, лишь <yz будет нелинейной функцией коорди-
нат х, у.
= Тхг = = °> Сг = Е3(Ах + By + С).
§ И
растяжение и изгиб неоднородных брусьев
135
11.2. Изгиб ортотропного бруса поперечными силами. Сохра-
ним предположения и обозначения предыдущего пункта и рассмот-
рим задачу о деформации бруса усилиями, которые приводятся
к силам Р] и Р2, направленным по осям х, у (рис. 14).
Все уравнения и условия будут удовлетворены, если принять,
что напряжения ту1 и тХ2 не зависят от z, а остальные компоненты
напряжений пропорциональны z [25]
Qx = ZUlt oy = zor2, ff2 --= za3, xxy = zr0. (11.22)
Из закона Гука (11.2) и формул Коши (11.3) имеем
dx E1 E2 y E3
dv _ dy — ox + —— oy — g2, n x n У c C] -C2 £3
dw dz V13 „ Vm 1 (T* “Г ^z» £1 x Ег y E3 1 (11.23) dv dw 1 ~dz~ + ~d^ ~ ~G^Xyz’ dw du 1 + ’ёГТ"’ du dv 1 ~ду + ~д7 ~ "б? *tt‘
Введем обозначение
~ (аз v3iai v32az)
и используем соотношения (11.8). Тогда, интегрируя третье, чет-
вертое и пятое уравнения (11.23), найдем
~2
m = —у)}
z3 d'h । / 1 дф \ . / \
V ------------— + 2 -----Хи,-----— — (0 2 у (х, у),
6 ду \ уг ду ) 1
z3 dhi / 1 дф \ . , . .
и =-----7--V- — х„ — +w2z + «1(x, у).
6 дх \ ба дх /
Удовлетворяя остальным уравнениям (11.23), получим
= Лхх -j- В±у + С1? ’
а2 = E3z (Ах Ч BYy + Сх) г v31ffx +
136
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
и соотношения
д дх 1 1 г Ххг я ) — “Г Р12Я2 V31^1>
д ду ( г хчг л 1 — Pi2CTi Н Рга®2 ~~ vsa^i> \ Gi ду J (11.24)
d// \ G2 т _ \ , д ( 1 у \ - R т хг дх) ' дх \ Gt уг ду ) ~ Pw °’ dui _ d^i dut . dvi q dx dy dy dx
Отсюда следует, что функции дают перемещение бруса
как абсолютно жесткого тела.
Введем обозначения
Г = / 1_______г = д ( { т д(р
х dx\G2 xz dx)f у dy\Gx yz ду /’
- _ д / 1 dtp \ d / 1 дф \
Уху~ ду I G2 Х“ дх ) ' дх \ 0г Хуг ду ) •
Тогда для величин ех, гуу
уху имеет место уравнение
Э2ех , д2еу _ д2уху = Q
ду2 ' дх2 дхду
(11.25)
а соотношения (11.24) примут вид
ех — Рп°1 ~F Pi2^2 v3iAi> (11 • 26)
— Р12°1 + Рг2°2 V32^1,
Уху = Рввто-
Параметры Pij, входящие в соотношения (11.24) и (11.26), имеют
значения (11.7).
Множители оь аг, т и соответствующие напряжения (11.22)
выразим через функцию напряжений, как в плоской задаче
d2F d2F d2F
x ду2 ' y дх2 ’ xy дхду
(11.27)
Используя (11.26) и (11.27), из уравнения (11.25) для функ-
ции F(xy у) получим
§ 11
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
137
+ = 4т <А*Х + В'у + C1)J 4
дхду \ дхду ) дх2
+ В'у С>1’ О ’-28)
т. е. уравнение, аналогичное (11.20).
Напряжения тЛ2, ryz выразим через другую функцию напря-
жений ф(х, у), вводимую так же, как в теории изгиба поперечной
силой однородного бруса
где ть т2—частное решение уравнения
Е3(А1Х -г В1У l С,) -|- v31<r1 I- v32a2 = 0.
дх ду
Напряжения (11.27), (11.29) при таком выборе ть тг тождествен-
но удовлетворяют уравнениям равновесия (11.1).
Используя (11.29) и исключая из первых двух уравнений
(11.24) функцию <р, найдем уравнение для функции напряжений
Ф(*, У)
+ "Г“ f 1VS2 (А* + В1У + Cj)] dy — СIV31 (.4jX ! Bji/ | CJJdx +
ox J dy J
4 7 C (Pll^l 4" PlS0^).^* 7 f (P12°l р22^г) dy 2т, (11.30)
dy J dx J
где т—крутка (относительный угол закручивания бруса).
Для функции F(х, у) граничные условия получаются из усло-
вий (11.21) при использовании соотношений (11.27), граничное
условие для функции ф(х, у) — из условия
+ ХУ2ЦУ = 0
на контуре L поперечного сечения бруса при использовании соот-
ношений (11.29). Оно может быть представлено в виде
ф- J (T2dx — x1dy) j-с,
о
(11.31)
138
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
где с — постоянная, своя для каждого замкнутого контура в слу-
чае многосвязной области s (для односвязной области s можно
принять с = 0).
Таким образом, задача может быть решена следующим обра-
зом. Сначала решается краевая задача (11.28), (11.21), (11.27)
для функции F(х, у). После этого имеем краевую задачу (11.30),
(11.31) для функции ф(х, у). Функция F будет содержать три не-
известных постоянных Ci, а функция ф, кроме того, —по-
стоянную г. Эти четыре постоянные определятся из интегральных
граничных условий на торце бруса.
Рассмотрим частный случай, когда v3l зависит только от х, а
v32 — только от у (либо \'зь v32 — константы). Тогда
F - ох -= ву = хху = 0, (Т2 = £3z (Atx 4- Bty 4- CJ. (11.32)
Для функции ф(х, у) имеем уравнение
д /_1__дф \ д /_1____дф
дх \ б, дх / ду \ G* ду
= д / \
дх \ Gi / ду
У v31dx — 2т.
(11.33)
+ 2Д1
Функции tv т2 являются частным решением уравнения
_н + Biy Q = 0,
дх ду
а напряжения ххг, xyz выражаются через функции ф, rlt та
т _ u т т дф ।
Т1( хуг- -1 т8.
формулами
(11.34)
11.3. Изгиб консоли прямоугольного сечения. Используя по-
становку задачи п. 11.2, рассмотрим задачу о деформации неодно-
родного ортотропного бруса прямоугольного сечения со сторонами
а и Ь, закрепленном одним торцом и нагруженном на другом торце
силой, направленной по одной из осей симметрии. Предположим,
что плоскости упругой симметрии параллельны траням паралле-
лепипеда (т. е. нормальны к осям геометрической симметрии),
коэффициенты Пуассона v3i, v32 постоянны, а модули £3, Gi, 62
являются функциями координаты у.
Направим оси х, у по осям симметрии торца (рис. 15). Для
напряжения ст из (11.32) имеем
~ 01 -35)
§ 11
растяжение и изгиб неоднородных брусьев
139
Подставляя (11.35) в интегральные условия равновесия
Jcr2ds = О, J ye2ds= — Pz,
s s
найдем Л]=0 и отличные от нуля по-
стоянные, выражаемые через Е3 (вы-
писывать их не будем). Частное реше-
ние уравнения (П-34) (при Л1=0)
ищем в виде
Tj = Е3 (В1У Qi) т2 = 0.
(11.36)
Тогда
«,= ^=^=0,
<гг-= E3(Byy [ Су)г.
J* х ог ds — О,
Ьг = — Е3 (ВуУ -I- Сх) X, X =
дУ
Из симметрии задачи видно, что сила Р не вызовет закручивания
бруса и потому следует положить т=0.
Разложив теперь правую часть уравнения (11.33) в ряд Фурье
по х в интервале (—*/20, */20), для функции напряжений ф(х, у)
получим
д2ф ] п [ 1 V дф , G> д2ф
di/2 \ G* ) ду Gt дх*
G2a у (-1)* sin
л • k a
k^\
(11.37)
Разыскивая решение уравнения (11.37) в виде ряда
k -1
для функции цк(у) получим
” . п / 1 V ' G2 / 2fen \2
_ с, (2£, »„ - | д‘|^ + с'> ]'}.
Обозначим линейно-независимые решения соответствующего
однородного уравнения через rjit и т)2ь» а частное решение неодно-
140
КРУЧЕНИЕ II ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
родного уравнения — через т|оа. Если разложить функцию Т|
(11.36) в ряд по синусам аргумента Zkitxla, то функция
00
(4 Ни -Г 4 ’12Й -Г Л<№) Sin
k =1
(11.38)
даст напряжения, удовлетворяющие краевым условиям (rxz = 0)
на двух сторонах х=±'/2а. Условиям на сторонах у=±Ч2Ь удов-
летворим, подбирая соответствующим образом постоянные Д/<, Bk
в выражении (11.38), т. е. требуя, чтобы ф, а следовательно, и
были равны нулю.
Приведем решения этой задачи для двух частных случаев
задания модулей [25].
Пусть модули £3, G|, G2 экспоненциально зависят от коорди-
наты у
( fl JXU \ п ( птсу \
£3 = е3ехр-------, 4 = &ехр--------------О- ,
\ D / \ О /
где п — любое действительное число, I 1, 2. Тогда
tan и
П1* = ехр —Ь—, = ехр ,
о о
Рассмотрим теперь случай степенной зависимости модулей
от у
4 = (у 4- Уо)~п, G, = gi bn(y + у0)~п,
где п, уа — любые действительные числа, i= 1,2. Введя обозначения
п~1 . . 2fe л X’J"
П = У 4- f/o. а = —— • = 1а I- Y = ------’
для N целого получим
Пи = 'Г7' In (VI).’ Пал = 1Га (уй),
§ И
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
141
где IN, Kn — модифицированные функции Бесселя. Для N дроб-
ного функция Kn должна быть заменена функцией При У,
равном половине нечетного числа, частные решения выражаются
через элементарные функции. Зная или тцг, с помощью квад-
ратур всегда можно найти и т]0/; для лю-
бой степени п.
11.4. Растяжение и изгиб цилиндри-
чески-анизотропного бруса. Пусть имеет-
ся призматический брус, нагруженный по
торцам усилиями, приводимыми к про-
дольной силе и изгибающему моменту
(рис. 16); боковая поверхность свободна
от напряжений.
Пусть материал бруса ортотропен и
обладает цилиндрической анизотропией
с осью анизотропии г, параллельной об-
разующей, и пусть модули упругости
зависят только от координат поперечно-
го сечения (не меняются по длине).
Тогда закон Гука в цилиндрической
системе координат г, 6, z имеет вид
ег — an аг -J- а12 ore + о13 о2,
60 = 012 (Тг ~ ^23^2’
В22 — Oj3 ^23 ^0 4' ^33^2»
Ye г — о44Т02, yrz — а^тгг, уг$ — fleece*
Коэффициенты деформации аг7 выражаются через модули Юнга и
сдвига и коэффициенты Пуассона соотношениями
аи — ~ » а22 - “Т—» азз — ~~ »
Ег ^0 Ег
„ __ v'6
Oia -- -------
Е,
v9r
Бв
vze
Ег '
a23
*0
fl13 —
Ez
vrz
Er ’
fl44 ~ (Z » a55 — — > аЫ>— ~Q~ ’
vGz GrZ ur0
Как и для однородного тела с цилиндрической анизотропией,
представим напряжения в виде
<г,=
dF r 1
dr "Т" г2
d2f d2F
дгдв
1
142
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
огг= —J— (Xrsln0 + Brcos0 + С — а13аг— а23О0),
«33
^2=^2 = 0-
(11.39)
Тогда для функции напряжений F(r, 0) получим
d2F
22
д» /_« W , ft dF , 1 й
ГР=2’17“~Р12'1Г^ТР12 d& }
d (л dsF , д 1 dF , 0 1 &F \ ,
“дГ'Л2-^~ +PuV ~ + Рп~ ’дёТ/ +
1 д2 /а д«Г , й 1 3F , а 1 d2F \
7 ~w + РпТ ~дГ + Р11“7’ ~д&~) ~
1 д* (л л 1 dF \ -
г дгдд \Рм drdd Р“ г да )
=------— Г (Ar Sin 0 + Br COS 0 + С) I —
dr L а.,3 J
----Г г (Лг sin 0 + Br cos 0 Н- С) 1 —
dr2 1 Ом J
-------Г-^52-(Лг sin 0 + Br сов 0 + С) 1, (11.40)
г да2 L азз J
₽.. = а0--^- («,/=1.2,6).
°23
Постоянные Л, В, С можно найти из интегральных граничных
условий на торцах бруса.
Компоненты перемещений
>2
и, = — Msin0 4- В cos 0) — + и (г, 0) -t- ии,
ие= — (Лсо8 0 —Bsin 0)—с—-v(r, 0) + v0,
= (Arsin 0 + Brcos 9 4- C)z + w0.
Здесь величины Wo, ^o, &o определяют перемещение бруса как абсо-
лютно твердого тела, а функции и(г, 0) и о (г, 0)—частное ре-
шение системы уравнений
— = ₽и<7, -Г 01г«Я> + — (^S’n 9 + BrOTS 0 + Q’
дг а33
* 11
растяжение и изгиб неоднородных брусьев
143
-----— -I----= Р12Пг -Г Р22ае +
г дв г
j----(XrsinO -} Brcos 8 Ч- С),
а33
1 ди , dv
7 ~д§ Г~дг
-=₽,втг9.
11.5. Растяжение кругового цилинд-
ра осевой силой. Рассмотрим полый кру-
говой цилиндр, нагруженный по торцам
нормальными усилиями, приводящимися
к осевой силе (рис. 17); геометрическая
ось предполагается совпадающей с осью
анизотропии. Используем постановку за-
дачи, изложенную в предыдущем пункте
[24J, и предположим, что коэффициенты
деформации ац не зависят от 8. Задача
будет осесимметричной и потому
Д=В=О, F=F(r).
Полагая F' = (jp (здесь и далее штрих
означает производную по г), из (11.39)
имеем
1
ог = —<р, ое = <р ,
(11-41)
= Ггг = тг0 = О,
1 1
(У2 — I С - • <Х13 ф 0,23 ф
°зз \ г
а уравнение (11.40) дает уравнение для ф(г)
(11.42)
(11.43)
Решение уравнения (11.43) имеет вид
«Р = С1Ф1 + с2 <р2 С <р0,
(11.44)
где фь фг — фундаментальные решения соответствующего однород-
ного уравнения, а ф0— частное решение неоднородного уравнения
(11.43). Постоянные a, c2t С можно определить из точных условий
на цилиндрических поверхностях и из интегрального условия на
торцах
144
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл.
b
a2rdr
а
1
2л
Р.
Для изотропного тела, у которого модуль Юнга зависит толь-
ко от г, а коэффициент Пуассона — величина постоянная, имеем
Р11 = ₽22 = Р.« = Ри=—
ГЛЛ г 16 г 00 р » Г 1л р •
Уравнение (11.43) переходит в следующее
„ , / 1 Е' \ , , / X Е’ 1 \ А л» ле’
,, -Г ----—)ф-0, (11.45
где
Л =----?----.
(l-v)
Уравнение (11.45) является однородным и, следовательно, при
свободных цилиндрических поверхностях
~ с 2= 0.
Из компонент напряжений отлична от нуля только о2, как и для
однородного цилиндра.
Рассмотрим теперь случай анизотропного цилиндра, когда все
коэффициенты деформации ciij пропорциональны некоторой сте-
пени г
ач = а„ г—, - (а0 - \ г— = г~т (11.46)
\ «33 /
(модули упругости в этом случае пропорциональны rm), где т—
произвольное действительное число.
Уравнение (11.43) в случае (11.46) принимает вид
Ф' + - Ут Ц-Ф = Cgr^, (1 1.47)
Т г2
где
' Y11 -Г ™ Y13 а _ д13 ~~ д23
Ут — ’ 6
Y22 Y22 «33
Интегрируя уравнение (11.47), найдем
<Р — c2rs^ + С rm’bl,
где использованы обозначения
$! = 0,5 (т Н- //nz 4-4у„ ),
&г - 0,5 (т — Утг+4у„),
§ И
РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ
145
Для напряжений (11.42) имеем
g-------.
1 4- т —
= qr5'-1 4- c2r**-x +Cptnrm,
(11.48)
<*в = W*»-1 — c,2s2rS2“1 + Ср,п(/И + 1)г'".
В форме (11.48) представляется также решение задачи Ламе
для цилиндра с анизотропией и неоднородностью вида (11.46).
11.6. Изгиб кругового цилиндра.
Для цилиндра, у которого коэффициен-
ты деформации имеют вид (11.46), в эле-
ментарных функциях решается и задача
об изгибе моментами, приложенными на
торцах [78].
Пусть усилия на торцах приводятся
к изгибающему моменту (рис. 18), а
цилиндрические поверхности свободны от
напряжений.
Используем постановку задачи
п. 11.4. Так как коэффициенты деформа-
Рис. 18
ции Uij и параметры зависят только
от г, можно положить
и искать решение уравнения (11.40) в виде
F = /(r)slnO.
Подставляя это решение в (11.40), для функции j(r) получим
+ М' - Р127- /)'- (рп Г - ₽н 7-/' ~Рп -
—7-(₽иГ-1 Pii^/'-Pn-^/)-^(p../'-P«-4)' =
= л[-^--------4_ |. (11.49)
L азз \ дзз / \ °33 / I
Граничные условия на цилиндрических поверхностях имеют вид
ог(а) — тг0(а) — 0, cfr(b)= тг0(&) = 0. (11.50)
Кроме того, имеем интегральное граничное условие на торцах
j j cr2 sin 0- r2dr de = A4. (11.51)
0 а
146
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
Гл. 2
Для изотропного цилиндра с переменным модулем Юнга и
постоянным коэффициентом Пуассона уравнение (11.49) становит-
ся однородным. Поэтому при условиях (11.50) ф = 0 и отличным
от нуля будет лишь напряжение как и для однородного цилинд-
ра при чистом изгибё.
Уравнение (11.49) существенно упрощается, если коэффициен-
ты деформации заданы в виде (11.46). Оно переходит в уравне-
ние Эйлера — Лапласа
Уаг/™ +;2уи (I —т) -у Г
4- [т (т — 1) у2, — (т + 2) у12 -г Yu + YmI Г ।
+ + 1) [(т 2) Yu + Yu + Yee] Г —
- (tn 4-1) f(m + 2) у12 4- Yll 4- Y«J f = 2А г"-'
Г* °3з
Решение этого уравнения имеет вид
f ~ (ctrs‘ 4- Cys* 4- су Ч-m .j- су 4 А к,п гт+л) sin 0,
где использованы обозначения
/п4-2 , Г / /0.4-2 \2 , Yis(m4-2)4- Yu 4- Ум 1*^‘
+ s ! ]
__ Y12 (т 4- 2) 4- Yu Ум l1^2
S2___ + _ j ,
__ Q13 — <Из ___________|_____________
а3з (ог 4- 2) [(т 4- 3) уи — (и 4- 2) yl2 — уи— у«1
Из соотношений (11.39) найдем напряжения в виде
<тг = 1(^1 («i-ОfS,~24-ct(s, — 1)r^~2 4-cyir"—1 4-
4- A kn (tn + 2) rm+l] sin 0,
<Je = ki«i («i-О 4- сг«2 («s-О 4-
• csm («4-1) rm -1 4- A km (tn 4- 2) (m 4- 3) rm+'J sin 0,
tr e = — [q («1 — 0 rs>-2 4- ca (s2 — 1) r5‘~2 4- Ct/nr™-1 4-
4- A km (tn 4- 2) r"‘ +1 J cos 0.
§ 11 РАСТЯЖЕНИЕ И ИЗГИБ НЕОДНОРОДНЫХ БРУСЬЕВ 147
Из условий на цилиндрических поверхностях получаются толь-
ко два уравнения для постоянных с*. Для того чтобы написать не-
достающее уравнение, определим перемещения, для чего необхо-
димо проинтегрировать систему уравнений (11.41). При Сз5^=0
перемещения будут многозначными функциями (будут содержать
функцию 0 cos 6). Поэтому положим с3 = 0. Выразив теперь С] и с2
через А, определим постоянную А из интегрального условия
(11.51).
Глава 3
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
§ 12. Постановки краевых задач
и функция напряжений в плоской задаче
12.1. Плоская деформация. Рассмотрим плоскую деформацию
тела, при которой компоненты мг- вектора перемещений имеют
вид [45].
ui = ui (xi> хг)» w2 — и2 (хь хг)> из — О»
тогда формулы Коши (1.2) дают
ди. ди2 1 f ди. . ди2 \
11 дхг ' 2“ дх2 2 \ дх2 дх{ /
при этом
Сц = 6ц (Хр Х2), 622 ~ ®12 ~ ®12(^1» ^2)»
е31 ~ е32 — е33 = 0 •
Из закона Гука (1.9) следует
сг11 = Х0 !- 2реп, о22 = М + 2ре22,
o’la = 2p£j2, O33 = А.0, о13 — о23 = О,
(12.1)
(12.2)
(12.3)
(12.4)
где
0 = eilH-e22=-Jl--!--^-. (12.5)
oxi дхЛ
В общем случае упругой неоднородности
X = Я, (Xj, х2, х3), |1 = (X (х1? хг, х3) (12.6)
компоненты тензора напряжений (12.4), не равные нулю, явля-
ются функциями координат х2, х3.
Подставляя выражения напряжений (12.4) в уравнения рав-
новесия (1.4), получим
+ + pF = о,
dxi дх2 1
$ 12
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
149
дет 21
dxt
д(У22
дх*
H-pF2= О,
(12.7)
дозз
дх3
-н РЛ, = 0.
При деформациях (12.3) все уравнения совместности (1.5), кроме
одного, удовлетворяются тождественно и из условий совместности
остается лишь уравнение
д2вц _j_ д2е22 _ 2 d2ei2
дх^ дх2 '
(12.8)
Плоская деформация (12.1) может происходить в теле произ-
вольной формы и при любой неоднородности упругих свойств
(12.6), однако необходимо специальное задание внешних сил. Пе-
ремещения (12.1) реализуются в теле произвольной формы, имею-
щем упругие свойства (12.6), если к телу приложены внешние
объемные pF, и поверхностные qi силы, определяемые формулами
PFi =
д
dxt
dui
dxt
^)+2M
дд'2 /
dui
dxi
где Пг — внешняя единичная нормаль к поверхности s тела.
Практически наиболее интересны задачи для тел специальной
формы — цилиндрических (призматических) тел, образующие бо-
ковой поверхности которых параллельны оси х3 и ограничены с
двух сто-рон плоскостями (основаниями), нормальными к боковой
поверхности. Для таких тел /г3 = 0 и из (2.1) найдем ^3 = 0, т. е.
для реализации плоской деформации в этом случае поверхностные
150
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
внешние силы должны быть параллельны плоскости хь х2 и долж-
ны не зависеть от координат х3. Плоская деформация может осу-
ществляться в цилиндрических телах, параметры Ламе которых
имеют вид (12.6); объемные силы pFj и компоненты ф, q2 поверх-
ностных сил, в соответствии с формулами (12.9), должны зависеть
при этом от координаты х3.
Пусть имеем тело цилиндрической формы с параметрами
Ламе
A= ^(Xj, х2), р = н(-^1> я2). (12.10)
В этом случае для реализации плоской деформации внешние силы
должны обладать свойствами
РЛ = ^1 (*i. ха), РЛг = Ф» (X, ха), pF3 = 0,
(12.11)
= <7i (Xi, х2), <?2 = <72 (Хр ха), <73 = 0.
Последнее из уравнений (12.7) удовлетворится тождественна, и
уравнения равновесия примут вид
+ _^12_! F о
дхг дх., г 1
+. рр2= 0. (12.12)
dxj дх2
Напряжения (12.4) будут функциями только Xj, х2.
Далее ограничимся цилиндрическими телами, обладающими
свойствами (12.10).
Силовые граничные условия (2.1) на боковой поверхности те-
ла запишем в виде
<hl «1 4- °12 «2 = <71> <*21 П1 + ^22 «2 = Й2- (12-13)
Краевая задача (12.12), (12.4), (12.2), (12.13) представляет
собой двумерный аналог краевой задачи (5.1) — (5.4) при su=0,
сформулированной для плоской области сечения цилиндрического
тела, перпендикулярного оси х3. Решение этой краевой задачи
определяет перемещения и2, деформации ец» €22, ej2 и напря-
жения ол, 022, 012 как функции координат xj, х2.
После решения краевой задачи имеем
что приводит на основаниях рассматриваемого цилиндрического
тела к результирующим силе и моменту, определяемым решением
краевой задачи для Ui(x}, х2), tt2(xb х2). Для реальных задач о
деформации длинного цилиндрического тела (размер тела по оси
$ 12
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ
151
значительно больше поперечных размеров) при свободных от на-
пряжении основаниях или при заданных на этих основаниях инте-
гральных граничных условиях (растягивающая сила и изгибающий
момент) решение получаем наложением решения указанной крае-
вой задачи и решения задачи о растяжении и изгибе длинного
призматического бруса приложенными на торцах усилиями.
12.2. Обобщенное плоское напряженное состояние. Рассмотрим
тонкую пластинку постоянной толщины 2ft, малой по сравнению
с размерами пластинки. Оси хь х2 расположим в срединной пло-
скости пластинки; ось х3 декартовой ортогональной системы коор-
динат xh тогда перпендикулярна срединной плоскости. Через L
обозначим контур в плоскости хь х2, определяющий границу пла-
стинки. Предположим также, что параметры Ламе X, ц являются
функциями только хь х2, т. е. выполняются соотношения (12.10).
Пусть объемные и поверхностные силы параллельны плоско-
сти хь х2 и грани пластинки х3=±й свободны от напряжений.
Граничные условия в напряжениях
01^1 = qit (12.15)
записанные на плоскостях х3 = ± ft, тогда дают
*31 ~ ^32 ^зз ~ 0» х3 = i ft. (12.16)
Уравнение равновесия (1.4) в проекции на ось х3 в силу
предположения pf3 = 0 имеет вид
д031 л- да^ = о. (12.17)
дх\ дх2 дх3
Отсюда в силу (12.16) имеем
х,= ±ft. (12.18)
дх3
Таким образом, напряжение озз » ее производная по х3 на гранях
х3=±Л пластинки равны нулю. Поэтому можно принять, что
озз = 0 всюду. Напряженное состояние, при котором Озз = 0 всюду,
а а31=<уз2=0 при Хз=±Л, называют обобщенным плоским напря-
женным состоянием.
Составим уравнения для средних по толщине пластинки зна-
чений перемещений, деформаций и напряжений, определяя их фор-
мулами типа
it
ui(xi» *2)— *2^ *2* хзМхз»
(12.19)
h
^11(^1» -^2’ *з) = 2ft ^З^^^З*
—Н
152
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Уравнения равновесия (1.4) в проекциях на оси х2 имеют вид
дх!
+ _^. + _^13_ + pFi=z0,
См 2 иХ3
fogi
^- + -^- + pFa=0.
fo2 дх2
(12.20)
Осредним уравнения (12.20) по правилу (12.19). Тогда, учитывая, что
в силу (12.16)
— f-j’El’-dx =_Lfff„]4=0, 2й J дх3 3 2h 1 131 -h (12.21) — t J2*-dx3 = — г<т J_* = o, 2ft J dx3 3 2ft 1 231 —h
получим foil foig I _ П ~bx} 1 ' дхг (12.22) foji । dQjg । ~r? n d.v, дхг r p Г* - °-
Из закона Гука о22, 012 имеем (1.9) н формул Коши (1.2) для напряжений <r113
an — М дих Дг, "Г ди2 , ди2 X д*3 ) + 2(1- duj dxi
дх2
ог22 —— А дщ - -н- ди2 1_ диз L2p- ди2
dxt дх2 дх2
О14 = м / диг \ fog , диг • j
и в силу о33 = 0
Из (12.24) найдем
ди3 _____А. / dui j ди2 \
дх3 А 4- 2р \ dxt дх2 /
(12.23;
(12.24;
(12.25;
Подставляя выражение диз/дхз из (12.25) в (12.23) и осредняя
найденные соотношения по толщине пластинки с учетом условий
(12.10), получим
§ 12 ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ и ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ 153
all= V + +2ц-$1-,
11 \ dxi ' дх2 ) г дхг
Ц22 = х7-^- + #-)+2Н#-.
22 \ дхх 1 дх2 / дх2
я ( ди* । d“2 'j
причем и± = ut(xlf х2), u2 = u2(xlt х2), а
X' = ♦
(Х + 2И) •
Граничные условия (12.15) на контуре L пластинки после
осреднения запишутся в виде
(12.26)
(12.27)
0ц Л1 + <Т12^2 = 91» <*21 + ^2 = ?2- (12.28)
Краевая задача (12.22), (12.26), (12.28) для определения
средних перемещений йь й2 при обобщенном плоском напряжен-
ном состоянии совпадает с краевой задачей (12.12), (12.4),
(12.2), (12.13) для перемещений #i, и2 при плоской деформации,
если в последней параметры Ламе Л заменить величиной V, опре-
деляемой формулой (12.27).
12.3. Постановки основных краевых задач. В обоих рассмот-
ренных случаях задача сводится к системе уравнений
dfru j dgj2 i ру? _ q da2i j да22 дх! дх2 1 ’ dxt дх2 + Р^2=0, (12.29)
°ii — 2рец, о22 — ^9 2ре22, сГ12 — 2цв12, (12.30)
да. да2 1 / ди* 11 дХ1 22 дх2 12 2 \ дх2 где 1 dxi / ' (12.31)
« . да! . ди2 0 — еи Г 822 — Л I д dxj дх2 • (12.32)
Соотношения (12.29) — (12.32) имеют место в случае плоской де-
формации, причем параметры X и р даны соотношениями (12.10).
Для обобщенного плоского напряженного состояния справедливы
те же соотношения (12.29) — (12.32), если заменить компоненты
перемещений, напряжений и объемных сил их средними по тол-
щине пластинки значениями, а параметр X — величиной X', опре-
деляемой формулой (12.27).
Далее обе задачи будут рассматриваться совместно под об-
щим названием «плоская задача теории упругости неоднородных
тел». В плоской задаче объемные силы р/ч(/=1, 2), параметры
154
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
X, р и искомые функции определены в некоторой двумерной об-
ласти, ограниченной контуром L (или во всей плоскости х2).
Наиболее распространенные граничные условия на контуре L
аналогичны краевым условиям (2.1) — (2.3) общей пространст-
венной задачи: силовые граничные условия
<*ц П1 + <*12 П2 = <*21 ^1 <*22 ^2 = (12.33)
или
<fy«/k.= <7i(-vs). (12.34)
где пи п2 — компоненты внешнего единичного вектора, нормального
к контуру L,
кинематические условия
Il =• q>i (Xs) (12.35)
и смешанные условия
ni Il0 = Qi (*»), «г Il„ = <P< (*s), L=LU + La. (12.36)
Здесь и далее в плоской задаче свободные индексы в тензор-
ных величинах принимают значения 1, 2, а по повторяющимся
индексам происходит суммирование от 1 до 2.
Как и в общем, пространственном, случае (см. § 2) в плоской
задаче теории упругости неоднородных тел имеют место поста-
новки краевых задач в перемещениях, напряжениях и вариацион-
ная постановка.
Рассмотрим постановку задачи в перемещениях.
Подставляя выражения напряжений (12.30) в уравнения рав-
новесия (12.29) и используя формулы Коши (12.31), получим
дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях
2-^.
ди2
дк
дх2
/ л j \ (Ml I о I дк I п dti ди^
(А. + в)-т—+PV2«1 +-7—е+2——*-
\ = о
дх2 \ дх2 дхг ) г 1
/а । ч ГдО 9 , дк а . о du, ди2
& + + + ~Т~ в + 2~Г-
ОХ2 ОХ2 vX2 VX2
+
+ ^/^ + ^\+рРг=0^ (12.37)
d*! \ dxj дх2 /
Здесь
+ V2= —+ —.
’ дх2' дх^
Краевая задача при условиях (12.36), например, сводится к
определению функций Ui(xi, Хг), «2(^1, *2), удовлетворяющих в
§ 12 ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 155
области s уравнениям (12.37) и на контуре L = LU4-LO области
s — условиям
+
Рассмотрим теперь постановку плоской задачи в напряже-
ниях при силовых граничных условиях (12.34) на контуре.
Прежде всего, отметим, что, разрешая соотношения (12.30)
относительно деформаций e<j, закон Гука можно записать для
плоской деформации в виде
е.7 = Ч&тбц — 0ц)- (12.38)
Как обычно, здесь = аи 4- а22, а параметры у и Я выражаются
через модуль упругости Е(х19 х2) и коэффициент Пуассона v(jq, х2)
соотношениями
02.39)
для плоской деформации, и соотношениями
для плоского напряженного состояния.
В плоской задаче имеется лишь одно существенное условие
совместности (12.8), имеющее вид
д* £ц да егг __ g д2 £12 /12 41)
дх$ ~ ’
Пусть массовые силы отсутствуют (Л=0). Уравнения равнове-
сия, условие совместности (12.41) и закон Гука (12.38) состав-
ляют замкнутую систему уравнений
dxj ’ дх] dxtdx2
(12.42)
= У°лл Я (^лл
После исключения деформаций et/ и некоторых преобразований из
(12.42) найдем
-^- = 0, V2(YOnn)=a1/-^—. (12.43)
dxj дх[ dxj
где V2 — двумерный оператор Лапласа.
156
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Постановка плоской задачи в напряжениях состоит в сле-
дующем: найти функции ои (хь х2), 022(^1, х2), О]г(^ь *2), удов-
летворяющие внутри области s, занимаемой телом, дифференци-
альным уравнениям (12.43) и на контуре L области s —условиям
<*</«/к = ?.(*,)• (12.44)
Вариационная постановка плоской задачи аналогична вариа-
ционной постановке в общем пространственном случае (см. урав-
нение (2.27)).
В некоторых случаях бывает также полезна постановка
плоской задачи относительно функций оц, 022, 012, Нь Нг, которая
состоит в определении этих функций, удовлетворяющих внутри
области s уравнениям
к
= О,
dxi
-----Ос/ -Г
ди[ , duj \
dxj ' дх^ /
а на контуре L области — условиям
<hj п! (xs), ut |tu = <p; (xs).
12.4. Функция напряжений в плоской задаче. Рассмотрим по-
становку задачи в напряжениях (12.43), (12.44). Как обычно [45],
здесь может быть введена функция напряжений
d2F d2F
а11 ~ ~» °22 ~ » ^12 — л л
дх% dxf
(12.45)
Отметим также тензорную форму представления (12.45):
----(12.46)
дхс dxj
Соотношения (12.45) тождественно удовлетворяют уравне-
ниям равновесия
_ о
dxj
а подстановка их в уравнение совместности
V2(Y<*™) =
dxi dxj
§ 12
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
157
приводит к дифференциальному уравнению
V2(w2f)_ ™ 2 дгд &F Pg d*F
dx^ dx% dx2 ^2 dxi
(12.47)
относительно функции F(xb x2) [28, 42].
Подставляя теперь выражения (12.45) в граничные условия
(12.44) и учитывая значения компонент /?, единичной нормали п
к контуру
= cos (xx, n) = —— = ds i \ dxi n2 = cos(x2, n)= 1 ds : (12.48) _ dx2 dn
где s — длина дуги контура L (за положительное направление
обхода контура выбрано такое, при котором область, занятая те-
лом, остается слева), получим
d2F dx2 , &F ds dXi _ ds
<FF I dx2 dxx dx2 d*F
dxv dx2 ds
или d / dF \ = = 41, d / (12.49)
ds \ dx2 / ds \ a j”
Ограничимся пока одпосвязной областью s, ограниченной
простым гладким контуром L.
Интегрируя соотношения (12.49), найдем
$ s
ai~ [q2(s)ds, = аг + tq^ds. (12.50)
dxi J dx2 J
So So
Производные от функции F по длине дуги s и по нормали п
равны
dF _ dF
ds dxi
dF dF
dn dxi
dx± . dF ds dx2 dx2 ds (12.51)
dxt , dF dn dx9 dx2 dn (12.52)
158
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. Ь
Подставляя (12.50) в (12.51), получим
S S
_JL=/'a1— f<72(sjds)+ (аг + f 4i(s)ds\
ds \ J / as \ J / as
se s0
откуда после интегрирования найдем
s S
F U = (a0 + alx1 -i asx2) + Г [-f <?8 (s * *) +
J L ds J
So So
+ -^- J<?i(s)ds]ds. (12.53)
s.
Постановка (12.50) в формулу (12.52) дает
£L=(“- Ь(И-^+ h+<12-54’
«о «о
Члены, содержащие константы интегрирования аг- в (12.53),
(12.54), не влияют на напряжения и потому можно положить
ao = 0i = fl2 = O. Условия (12.53), (12.54) примут при этом вид
П = Л; =/2.
tdn |l
где /1, ft— заданные на контуре L области функции, определяемые
соотношениями
S S S
/1= ---J<?2 (s)ds+ J^(s)ds]ds,
So So
s s
/2 =---y1- f<72(s)ds + [qi(s)ds.
dn J dn J
So S„
С учетом (12.48) функции flt f2 могут быть записаны также в форме
(12.55)
s S
L (s) = | — n, (s) J q2 (s) ds + п.2 (s) J q} (s) ds].
So s0
§ 12
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
159
Вводя проекции Р2 равнодействующей поверхностных сил,
действующих на дуге (s0, s) контура
Л = pi(s)rfs. Pi =
So s0
функции Д, Д в силу (12.55) можно записать в виде
| s
/1 («) = j I«1 (s) P1 (s) + «2 (s) P, (S)I ds,
(12.56)
ft (s) = n2 (s) P, (s) — (s) P2 (s).
Рассматриваемая краевая задача свелась, таким образом, к
определению функции /?(хь х2), удовлетворяющей в области s
дифференциальному уравнению
V2(y V2f) = _2
dxj дх? ^*1 дх* dxi дх2 q г2
и на границе s области — условиям
S— _,,
ds \ дх2 ) ds \ дху )
или для односвязной области—условиям
F\l= h(s), -^1 = f2(s),
дп |l
где /], f2 — заданные па L функции, определяемые соотношения-
ми (12.56).
12.5. Плоская задача для однородных тел, свойства которых
зависят от температуры. Рассмотрим упругое однородное тело,
механические и теплофизические свойства которого зависят от
температуры. Через 7’ будем обозначать температуру, отсчиты-
ваемую от некоторой начальной постоянной температуры, соот-
ветствующей естественному (ненапряженному и недеформирован-
ному) состоянию тела. Тогда на основе гипотезы Дюгамеля —
Неймана закон Гука примет вид
6ц = -V- рп — V (ам + ff3S)I -н ф,
е23 — [ff22- V (°33 + ffll)l ‘ ф»
(12.57)
еза = — v (<*и + а22) IН- ф.
160
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл.
®23 —
где
4-V __ 1 + V _ 11 +v
-----a23’ €31 — ---£---а31» е12 — -----£ а12»
Ф = Ja(T)dT,
о
а Е(Т), v(T), а(Г)—соответственно модуль сдвига, коэффици
ент Пуассона и коэффициент линейного расширения. Соотноше
ния (12.57), разрешенные относительно напряжений можнс
представить в виде
оп = 10 + 2цеп — (31 + 2ц) ф,
о22 = 10 4- 2це22 — (31 4- 2ц) ф,
о33 = 10 4- 2це33 •— (31 + 2ц) ф,
(12.58
о23 = 2це23, <т31 = 2це31, сг12 = 2це12,
где 1(Т), ц(Т) — параметры Ламе
А =--------—-------, u = G =------------. (12.59
(l + v)(l-2v) и 2 (1 + v)
Рассмотрим плоскую деформацию тела с компонентами пере-
мещений
*4 = Щ (Ч> Ч)» «2 = uz (Ч. Ч), из = °-
Пусть рассматриваемое тело имеет цилиндрическую форму, его
параметры Ламе определяются соотношениями (12.10), а внеш-
ние силы обладают свойствами (12.11). Предположим также, что
температура не зависит от х3, т. е. T = T(xh х2). Конечно, все
величины могут зависеть, как от параметра, от времени t.
Формулы Коши для отличных от нуля компонент тензора
деформаций дают
е == г + (12.60]
11 дх! 22 дх. 12 2 \ дх2 дх! ) ' ‘
Из закона Гука (12.58) имеем
ап = 10 2цел — (31 4- 2ц) ф,
а22 = 10 4- 2ц822 — (31 4- 2ц) ср,
^зз = ^*0 (0^ 4“ 2ц) ф, 012 ~ 2ц812, (Т23 = o^i = 0, (12.58а)
0 — е11 4“ е22 —
дих ди2
дх! дх..
§ 12 ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ 161
Уравнения равновесия при этом имеют вид (12.12), а силовые
граничные условия — вид (12.13).
Рассмотрим теперь обобщенное плоское напряженное состоя-
ние, описанное в п. 12.2, сохраним все принятые обозначения и
предположения и, кроме того, примем, что Г=Т(хь х2).
Соотношения (12.16) — (12.22), (12.28) имеют место и в рас-
сматриваемой здесь задаче. Из закона Гука (12.58) и формул
Коши
Р ._ JL ( । ди> \
°* 2 \ dxj dxi / ’
имеем
«и = * + -Г5- + -гЧ + 2'и-7Г---------<ЗК +
\ ох2 их3 / дх±
(12.61)
о22=1 + + ---<ЗХ + 2Н)Ф-
\ dxi дх2 дх3 J дх2
и в силу <г33 = О
к + + \.|_ 2ц -------(ЗА -1-2ц)<р= 0. (12.62)
\ dxi дх2 дх3 ) дх3
Отсюда найдем
=--------*__+ , ЗА + 2ц (12.63)
дх3 Х + 2р. \ dxi дх2 ) Х + 2И Y v '
Подставляя (12.63) в соотношения (12.61), получим
2Хр
Оо» = ----—
2Хр / dui .
X + 2р. \ dxL
du2 ' dxi 2р. (ЗА -Ь 2ц) Л 4~ 2ц ф.
(12.64)
ди^ ' dx2 , \ 4- 2p - dut ^1 2ц (ЗА + 2ц) X 2ц -Ф.
©средняя теперь соотношения (12.64) по толщине пластинки по
правилу (12.19), имеем
- * (4- 4г) 2" 4г ~<31
(!2.65)
a f [ ди^ . diZo \ , z*v duo jл v
622 = ~d^~) "i" ~dx, <3^ ' 2Н)Ф •
162
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
где
- I dUi
12 ~
ди2
дхг
X
А,' , = _ 2Н.Ф—.
(Л + 2ц) т (Л + 2ц)
(12.66)
Соотношения (12.65) при обобщенном плоском напряженном со-
стоянии получают из (12.58а) при плоской деформации заменой
напряжений и перемещений их средними (по толщине пластин-
ки) значениями и заменой параметров А, <р параметрами А', ср',
определяемыми формулами (12.66).
В обоих случаях (при плоской деформации и при обобщен-
ном плоском напряженном состоянии) задача сводится к системе
уравнений
foil , fol -^- + pF1=0, + - дх2 dx2 1 - pF2 = 0; (12.67)
an = = A0 + 2peu — (ЗА j- 2ц) <p, ^12 = = 2це12;
o22 = A0 + 2цеаа — (ЗА, + 2ц) <p; (12.68)
я = dUl 11 fol du2 1 i ’ 622 Э,2 ’ 812 - 2 t < dur i foa । d«a \ foi / (12.69)
где 9 — 6ц 4" ®22 — я “H fol du^ dxt (12.70)
т
<f= \a(T)dT. (12.71)
Соотношения (12.67) — (12.71) имеют место для плоской дефор-
мации; параметры Ламе А, р имеют значения
А = А (хп х2), ц = ц (хь х2). (12.72)
Для обобщенного плоского напряженного состояния справедливы
те же соотношения (12.67) — (12.71), если заменить компоненты
перемещений, напряжений и объемных сил их средними по тол-
щине пластинки значениями, а параметры А, ф — величинами А',
ф', определяемыми формулами (12.66).
Рассмотрим плоскую задачу (12.67) — (12.71) при силовых
граничных условиях
^11^11^12^2=91, 012Л1 1^22^2=92 (12.73)
и дадим ее постановку в перемещениях.
§ 12
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ФУНКЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
163
Подставляя выражения напряжений (12.68) в уравнения
равновесия (12.67) и используя формулы Коши (12.69), получим
дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях
“. + -5Гв + 2 J- — +
+ 4е-(-~- + +p's~4-f<3l + 2i‘)’>,= ()’
дх2 \ дх2 дхх j oxi
(12.74)
(A. + h)-^- + MV2«2+ 0 + 2-J- --h
дх2 дх2 дх2 дх2
+ + \ + pFa---±_ ((ЗХ + 2(i) фj = 0.
dxi \ uXi их2 / дх2
Здесь
9 _ gut ди2 2_ да . д*
dxi дхг дх( дх£
При силовых граничных условиях (12.73), подставляя напряжения
+ 2ц8(/ — (ЗА + 2ц) <p6i;
в граничные условия
^/«/1ь = 9г. *=1,2,
получим граничные условия в перемещениях
[,Шг/ + ц +
L \
~) 1 rij I = qi + (31 + 2ц) <р л(.
/ J к
(12.75)
Краевая задача в перемещениях сводится к определению
функций «1(хь х2), н2(*1, *2), удовлетворяющих в области $, за-
нимаемой телом, уравнениям (12.74) и на контуре L области s —
условиям (12.75).
Рассмотрим частный случай краевой задачи (12.74), (12.75)
при постоянном коэффициенте Пуассона
v = const, р = р (%!, х2).
Тогда из (12.59) находим
(12.76)
__|2ур_
(l-2v)
164
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
и уравнения (12.74) приводятся к виду
V2"1 + - 1 1 — 2v do Эд-1 + 2 д In р, / dxi \ duj дх. V 1—2v 0) +
dlnp / Зхг \ ди. диг - 1 1 И 2(1 <v) д (нф) = 0
дх2 дхх 1 ц(1 - — 2v) дху
v2«2 + - 1 дд + 2 д 1пр / ди2 1 V е) +
1 —2v дХ2 дх2 \ дх2 • 1 — 2v
1 a In p. / ди3 ! ди, \ ! р р dxi \ dxi дх2 ) р 2 - 2<*+2V)i <НФ)= °- (12.77) H(l—2v) дх3
В этом случае в соответствии с условиями (12.75). на границе L
тела задается линейный дифференциальный оператор от переме-
щений с постоянными коэффициентами
(-F“+-?" + “rV06iJ"d = “ 9i + <12-78>
\ dxj dxi 1 — 2v / IL H 1—2v
Кроме того, если свойства тела определяются соотношениями
V = COnst, Ц = Цо еХР (а1Х1 И' fl2X2)»
дифференциальные уравнения (12.77) также становятся диффе-
ренциальными уравнениями с постоянными коэффициентами
V2«i + 1 -^- + 2а1( dxi \ ' Зи, , _ t 3xi 1 V I — 2v •е) +
1 — 2v
+ аг дих дх2 । Зи3 дХ! / и 2(1 +v) p(l-2v) д 3xi (нф) = о.
V2 it 1 . 1 + 2аг ( дх3 2 \ dUi + _ . дх2 1 V е) +
w2 ,1 —2v [ —2v
+ °i ( ди2 3X1 1 / и 2 (1 + v) Hd-2v) д дх2 (цф)= 0.
§ 13. Метод возмущений в плоской задаче
13.1. Метод возмущений. Метод возмущений — один из наи-
более эффективных для решения плоской задачи теории упруго-
сти неоднородных тел — сводит эту задачу к последовательности
плоских задач однородной теории упругости [28, 31].
Изложим метод возмущений применительно к постановке
плоской задачи в напряжениях (12.43), (12.44) при заданных на
$ 13
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
165
границе поверхностных силах. Применяя обозначения § 12 для
напряжений Gij (i, / = 1, 2) имеем дифференциальные уравнения
-^- = 0, = (13.1)
dxj axidxj
и граничные условия вцП; |l = q(\xs). (13.2)
Для функции напряжений F(x\, х2), вводимой соотношениями
а11 — д о > a22 — д 2 » а12 — T—T , (13.o)
дхг, dxj dxidx2
имеем дифференциальное уравнение (12.47) и граничные условия
F|l=A, -^| = /2. (13.4)
дп
где fi, f2— заданные на контуре L области функции, определяе-
мые соотношениями (12.55).
Функции y(xi, х2), q(xit х2) определяют упругие свойства
тела и выражаются через модуль Юнга Е и коэффициент Пуас-
сона v соотношениями (12.39), (12.40).
Применим к задаче (13.1), (13.2) метод возмущений [28, 31].
Представим параметры q и у в виде
9= <7oll *2)1. Y = Yo[l *2)], (13.5)
где q0, у0 —константы. В качестве qo, уо можно принять, напри-
мер, средние по области s, занимаемой телом, значения функций
q[x{, х2), у(хь х2).
Введем параметр х соотношениями
Я = q0 [ 1 + ХЦ1 *2)]. Y = Yo I * + «1*2 (*i, *2)]
и подставим их в соотношения (13.1), (13.2). Краевая задача
(13.1), (13.2) приведется к виду
= 0, ОцП, Il = qt (xs),
uXj
VK» = x [ — tf./ --------V2 (НгОлл) I • (13.6)
L Yo dxidxj J
Краевая задача (13.6) зависит от параметра х и имеет вид
разложения по степеням х (содержит не зависящие от х и линей-
ные по х члены). Будем искать ее решение в виде степенного
по х ряда
(13-7)
А=0
166
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
При х = 1 из (13.7) получим решение исходной задачи (13.1), (13.2),
(13.5)
л-—о
Подставляя теперь выражения (13.7) в соотношения (13.6) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
о
краевую задачу для
-^ = 0, V2a°„ = 0, О?/Л/|ь = ^(*,) (13.8)
dxj
и рекуррентную последовательность краевых задач для crjy
^=0, V2o£« =т]л-1, 4«/ Il = о, (13.9)
dxj
где
TU_1 = — - V2 (м^1). (13.10)
Yo дх{дх.
Аналогично, разыскивая решение задачи (12.47), (13.4) в виде
F=
получим краевую задачу для Fo:
V^o=0, F0|l = /i, =
и рекуррентную последовательность краевых задач для Fk:
V*Fk = nk_it ^|l = 0, -^1=0, *=1,2,...,
on |l
где я*-1 имеет значение (13.10) или, будучи выражена через функ-
цию Fk-i, имеет вид
2 &Fk_t ,
к * у» \ djrf дх^ дхудхг
+ ) - V2 (^-О-
дх% дх] J
Величины о?/
(13.3)
°" дх^2 ’
выражаются через функцию
д^к dipk
дх^ ’ *' ’
Fk соотношениями
* = 0, 1.....
§ 13
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
167
Таким образом, для функций Fo получаем плоскую за-
дачу однородной теории упругости при заданных поверхностных
силах, а для функций о^-, Fk(k=}, 2, ...)—плоскую задачу
однородной теории упругости при нулевых поверхностных силах
и заданной несовместностью (правой частью уравнения совмест-
ности) Ц/<-ь определяемой функциями рь р2 н предыдущими
приближениями (FQt Fi, ...» Fk^). Для Fk(k=l, 2, ...) существует
аналогия с задачей об изгибе пластинки [31]: функция Fk(xi, х2)
совпадает с прогибом пластинки постоянной жесткости £), защем-
ленной по всему контуру L и находящейся под действием нагруз-
ки, величиной
13.2. Метод возмущений в плоской задаче термоупругости.
Рассмотрим плоскую задачу термоупругости для однородного те-
ла, свойства которого зависят от температуры.
Применяя обозначения п. 12.5 и имея в виду постановку за-
дачи в перемещениях при заданных на границе поверхностных
силах, для функций Ui(xb *2), и2(хь х2) получим дифференци-
альные уравнения (12.74) п граничные условия (12.75)
[(*0 4- 2цпх + ц (+- «2 11 = ft 4- (31 + 2ц) ФЛЬ
(13.11)
[ц (_^1_ _|_ (10 2ц) n2l I = ft I- (31 + 2ц)фЛ2.
L \ ох2 dXi / \ дх2 / J |l
Применим к задаче (12.74), (13.11) метод возмущений. Предста-
вим параметры Л и р в виде
|Х=Х0 + Х1(х1, х2), р = Ро + Pi (xlt х2), (13.12)
где 10, р0 — константы, и введем параметр х соотношениями
1 = *о 4- xXt (х„ х2), ц = ц0 + ХЦ! (хъ х2). (13.13)
Подставляя (13.13) в уравнения (12.74), получим
(*о 4- ц0)^- + Ц(Д7а“1 + РЛ — ~~ 1(3* 4 2ц)<р] — хФ1 = О,
dxi oxi
(^о + Но) —------h PoV2£Z2 I Р^2 ~—1(3А, 4 2р) <р] хф2 == 0,
их% ох2
(I
где
- = (1,4 Ц,) 4- W4 I- 6 4-
oxy dxi
, 2 дщ dui дщ / диг ди2 \
дхх дх! дх2 \ дх2 дх\ /
168
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
— 4*2 = (^i + Bi) -----Н BiV2^2 + 1 в +
иХ2 иХ2
। 2 dp>i । 0Щ / 0Ц2 I dth \
дх2 дх2 dxL \ dxi дх2 / ’
Аналогично, подставляя (13.13) в граничные условия (13.11), найдем
Г / л л . л дщ \ , / dui , ди2 \
Хо0 4-2цо—-М «I-1 Ро -г2- «2 —
L \ 0*1 / \ 0*2 0*1 /
—11 = 41 н- (ЗХ + 2ц) <рпь (13.15)
J к
Г / ди^ ди2 \ । / л г* । & diLi \ 1 |
Но --------i- -у- «1 + Хо0 + 2ц0 —М пг— х%4 =
[ \ ох2 дх2 J \ дх2 / J |ь
= Яъ + (ЗХ + 2ц) ф/ц;
где
— Х1= (хх0 + 2Ц| ЯХ + цх
~ Xs = Bi П1 +
\ дх2 dxi / \ дх2 )
Решение краевой задачи (13.14), (13.15) будем искать в виде
«i = £ Х2), j=l, 2. (13.16)
fe=0
Подставляя (13.16) в (13.14), (13.15) и приравнивая коэффици-
енты при одинаковых, степенях х, получим краевую задачу для
w?
(Хо + Ио) V2- + PoVM + РЛ = V- КЗХ + 2|1) f].
dxj их-i
(Хо + Po)-^- + 1*oV2«2 + pF, = -^-[(ЗХ + 2Ц) <p];
дх2 0*2
г /. л _ ди,°) \ / duQ{ ди? \ -] I
[ + 2р0 -Z— ) п1 г Во ( -т---h -т-^- ) ^2 =
L \ 0*1 / \ 0*2 0*1 / J IL
= (ЗА
г / duQ. дь& \ / di& \ -| ।
Во (“т Ь “7 ) ni ~г (^о®о ~Ь 2|10 ) Л2 =
L \ дх2 0X1 / \ 0*2 / J |L
= q2 4- (ЗА 4- 2|1) <pn2
и рекуррентную последовательность краевых задач для ukit Л=1, 2,
(^о + Ro) + RoVM = t|>i \
0*1
(^0 4 Ro) - k + RoV‘^2 = ^2 1;
0X2
где
Г / л л л М \ / диА ди2 \ II /г-1
(^ofyfe + 2р0 --—} пА 4- Ro (—-г -т— ) Л2 = Х1 »
L \ 0*1 / \ 0*2 0*1 / J к
'г / ди^ ди* \ ( ди2 \ II £-1
Ro (~А Г ~А ) Пу I (^Ro ) п2 = Х2 »
L \ 0*2 0*1 / \ 0*1 / J к
- <=(*1 + Н1)-^ -ь H1V2«? -7^ е* +
0X1 0X1
! 2 М : / dui , ' ди2 )
0Х] 0X1 0Х2 \ 0Х2 0X1 )
— ^2 = (Aj + Щ) -^-£- + mvM Г 4“^ 6*
0Х2 0Х2
+ 2 *1_±1 + 2ь./2± + 2±\ А=о, 1
0Х2 0Х2 0X1 \ 0Xj 0Х2 /
—х? =
/, „ „ К ч / ди1!
(+ 2ц —— j nt + Hi ( ——
\ дхг J \ дх..
k / 0U? 0Uo \ /л л п dlA \ f л ,
%2 = Ri ( ~ ~ ) Л1 + ( Ч- 2щ -- )л2, k = 0, 1, .
\ 0Х2 0X1 / \ 0Х2 /
В этих соотношениях
0U| 0mJ
0Л=—1-4-—2-, k=0, I,....
0X1 0Х2
Введем обозначения
^7 = ~~ Ro (’“Г"' « ^R^Sjf,
\ dxj 0*i /
k л ( ч‘
4 = МА -MlHr- + -J— I, а = 1, 2..........
\ 0xj dxi /
Тогда напряжения о,;, определяемые краевой задачей (13.14),
(13.15),
i = £ ИМ/ (*i, х2). (13.17)
Л-^0
170
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Решение исходной краевой задачи (12.74), (13.11) получим
из (13.16), (13.17) при х=1
ОО 00
«/ = £ uk,(xlt Х2), х2).
Л=0 k=0
Рассмотрим теперь краевую задачу термоупругости (12.77),
(12.78) при постоянном коэффициенте Пуассона. Для функций
Н1(Х1, х2), и2(хь х2) имеем дифференциальные уравнения (12.77)
и граничные условия (12.78)
/ due , duj 2v \ (
--т^в6фи =
= -«. (13.18)
р 1 — 2v
Представим по-прежнему модуль сдвига ц в виде
Р = Но т ХЩ (*ь х2), (13.19)
при этом
= х _L 2И*-, = % -*- (13.20)
dxi p (hi ’ dx2 p dx2
Используя (13.19), (13.20), представим уравнения (12.77) в виде
v4 -1- 1 xfl,
-i I * 1
1 — 2v dxi ц И (l — 2v) Oxi
v4 + 1
1 — 2v dx2 p p(l—2v)j dx2 (13.21)
где
= — [2 - 1 dpi / ' dut v —J—। dna \ 1
Jl dxi 1 0A'! 1 — 2V / p dx2 \ d.va / J ’
2 1 dpi / ди. _______у
р дх2 \ дх2 ' 1 — 2у
1 дрг / du-j
р \ dxL
dut \ 1
) ] *
Решение задачи (13.21), (13.18) ищем в виде
uL= £ xM(Xi, ха), 1=1, 2.
k=Q
(13.22)
Тогда для и? получим задачу
§ 13
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
171
„2 0 J_ 1 _L P F 2 (J + V)
V “2 -t- —------------1---r2-------------
1 2v dx2 p
/ ди°. ди°-
= —?.+
—— (цф) = 0;
ц(1—2v) dxt '
гЧ-0а)«/|
1 — 2v / 'Il
1—2v
а для u*, k = 1, 2, ... — задачи
vM-r 1 двк = л-1 1 — 2v Зх]
vM + 1 J0fc_ _ л-i. 1 — 2v дх2 2
где
й=-[2А2н(^£+^в,и.^ f2±..±L\i,
L H \ V.Vj 1 -2v J |l OX2 \ O.X'2 0X1 / J
fk _ _ Г 2 1 fyi / du2 .. V 0 \ _L 1 d>4 / du2 , a“i \ 1
2 L И \ 1 — 2v / p. <h'i dxt dxt ) J ’
k=0, 1...
Введем обозначения
Г
4
ь г duf- дсЛ *>v л
’ *=1-2............... (13.23)
L dxj dxi 1 — 2v J
Тогда, используя (13.22) и закон Гука при const
0 (xfJffL. b±L + _J2L_06 204^ б 1
7 [ dxj Oxi 1 — 2v 1 — 2v 7 ]
найдем
°ij — x2). (13.24)
feO
Решение исходной краевой задачи (12.77), (13.18) при модуле
сдвига, задаваемом соотношением
Р - Но > Pi (*ь х2),
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
получим из (13.22), (13.24) при к= 1:
(*i. X.J, = £ о?,- (хъ х2).
fe—О /е—о
13.3. Сходимость метода возмущений. Покажем сходимость
изложенного в п. 13.1 метода возмущений [68].
Введем обозначения
g= (4G)-1, tn = vg,
где G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона. Тогда для
плоской деформации (12.39) имеем
?=2g-, Y^2(£ — т). (13.25)
Подставляя соотношения (13.25) в уравнение (12.47), преобразуем
его к виду
(13.26)
ffXiOXj \ UXiUXj /
Имеем также граничные условия (13.4)
F\l = flt -^\ =К. (13.27)
ОП |L
Обозначим через D область, занимаемую телом, и через L гра-
ницу этой области и предположим, что
g, m^C2(D).
Рассмотрим следующую краевую задачу: определить функцию
Ff=C*{D)(]&(D + £),
которая является решением уравнения (13.26) и удовлетворяет
граничным условиям (13.27).
Для доказательства сходимости метода возмущений доста-
точно применить его в ситуации, когда возмущающий фактор вво-
дится в одну из функций т или g. Зададим функцию g(xi,x2)
в виде
g(*i, х2) = g0 •+- ку(ки х2), (13.28)
где х—действительный параметр, а
go = max g(xA, ха).
ixitKSeD
Пусть функция напряжений Ffxi.xa) и напряжения сг^, опреде-
ляемые через функцию напряжений соотношениями (12.46), явля-
ются аналитическими функциями параметра и в окрестности х=0:
§ 13
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
173
F = £ nkFk(xs, х2), (13.29)
л=о
= £ х*а?/(*ь х2). (13.30)
fe=0
Используя (13.28) и (13.26), (13.27) для функций Fu, полу-
чаем последовательность краевых задач
V4^o-^)V2F0I=0, 44 =^> <13-31)
дп |ь
лз / d2Fkt \
V2I(£o —/«) V2^I = — , . - (ё'-т-т—).
dxflxj \ dxidxj /
F*U = 0, ^-1=0 (k = 1, 2, ...). (13.32)
дп II
Обозначим через H(D) линейное пространство гармонических
функций, дважды интегрируемых в D. Введем на H(D)X H(D)
скалярное произведение
(ф. Ф)р = рфф^хА2,
D
Р. фе=Я(Р)
(13.33)
и норму
!1ф11р= f j Pl ф12^1^х2,
D
W P=(g0— т)-1.
Пусть ak (k = 1, 2, ...)— функции,
(peff(D), (13.34)
определяемые соотношениями
а* = 4 (<4Г‘ + Л*1) - f f “-ГТ-(13,35}
2 2л J.) dxidxj
D
Г2= (pl—^1)2+(р2 —Хг)2,
а через ш/0, wk{k^= 1, 2, ...) обозначим функции
Wo = (go — т) V2fo. wk = (£о — tn) v*Fk b aft. (13.36)
Вейлу (13.31), (13.32), (13.35) функции (13.36)—гармонические
в области D.
Применяя формулу Грина для функций Fh и любой <ре
&H(D) (~}Cl (D + L) и учитывая (13.31), (13.32), получим функ-
циональные уравнения
(wa, Ф)р = j (а ~ —/2ф) ds, (13.37)
174
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
(wk, Ф)р = — JJ k = 1, 2, ... . (13.38)
Если решения функциональных уравнений (13.37), (13.38) опре-
делены, то по формуле представления интегралов со слабой осо-
бенностью через интеграл и производную найдем
о 1 я 1 Гр да1пг , . /1Q
а0 = — ршв6(/ — — И риу0 - dpxdp2 — - , (13.39)
2 2л J J dxjdxj dxidxj
D
(Wk - aA)6i;---7“ ff PH — «*) дГ ФА-
2 2л J J dxidxj
D
k = 1, 2, ... . (13.40)
В (13.39) Q — функция, гармоническая в D:
2л J \ dn /
Рассмотрим краевую задачу для упругой однородной среды,
имеющей ту же геометрическую форму и находящуюся под дейст-
вием тех же нагрузок, что и неоднородная среда; назовем эту
задачу связанной задачей. Обозначим через F* функцию напря-
жений, а через о7 —тензор напряжений для связанной задачи.
Можно доказать следующие теоремы [68].
Теорема 1. Если компоненты тензора напряжений вц дваж-
ды интегрируемы, то решения wh^H(D) функциональных уравне-
ний (13.37), (13.38) существуют.
Для доказательства этой теоремы используется тео-
рема представления Рисса — Фреше [17].
Теорема 2. Ряды (13.30) с членами, выраженными формулами
(13.39), (13.40), сходятся по норме.
Действительно, так как операторы с интегральной особен-
ностью ограничены [43], из (13.40) получим
1!<Н Ах>0, (13.41)
где j|cr*|| = max Из соотношений (13.35) и (13.38) для членов
ряда (13.30) найдем
*>о.
Члены ряда (13.30) мажорируются членами числового ряда
•iH + HilE W,
сходящегося при | х | < /г-1.
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
175
13.4. Оценка метода возмущений. При применении метода воз-
мущений обычно ограничиваются несколькими членами в разло-
жениях (13.7), чаще всего — двумя; т. е. ограничиваются первым
приближением метода возмущений. Возникает естественный вопрос
о границах применимости получаемых решений и об оценке по-
грешности при использовании первого приближения. Далее, срав-
нивая с точным решением, определяем структуру решения, полу-
чаемую методом возмущений, и даем оценку погрешности в реше-
нии при использовании первого приближения метода возмущений
[39].
Функция напряжений F(x,y), вводимая соотношениями
d*F d2F
CFr =--------, О,. = -------,
х ду* у дх*
d*F
дхду
(13.42)
удовлетворяет уравнению (12.47). Например, для плоской дефор-
мации параметры у и # могут быть выражены через модуль Юнга
Е(х,у) и коэффициент Пуассона v(x, у) соотношениями (12.39)
у = (1 — v2)/E\ <7= (1 +v)/£. (13.43)
Рассмотрим случай, когда упругие свойства зависят только
от координаты х
E=E(x)t v=v(x).
Уравнение (12.47) переходит в следующее:
v2[yW vW, //)!= • (13.44)
ах* ду*
Представим параметры у и Я в виде
Y (.*) = (у) Л(х) = (у) 4- efli (х),
q (х) = {q)-В (х) = (q) + (х). (13.45)
Здесь и далее угловыми скобками обозначается среднее значение
соответствующей функции в области D, занимаемой телом (пло-
щадь области D также обозначим через D)
<<₽ ^)) = Д- j ф (х, у) ds. (13.46)
D
Если область D — плоскость х, у, то вместо (13.46) имеем
т г
<<р(х, у)) = lim f С <р(х, yjdxdy.
Т->ж 41 J J
176
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Пусть напряжения (13.42) удовлетворяют условию ограниченности
1^1 <°°, |tw|<oo (13.47)
и введем обозначения
(ах) = О;, = {тху) = х°ху. (13.48)
Найдем решение уравнения (13.44) при условиях (13.47),
(13.42), в котором напряжения зависят только от координаты х:
°х=°х(х), оу=оу(х), xXj) = xxy(x). (13.49)
Это решение даст некоторые ограниченные усилия на границе
области D или на бесконечности и в силу теоремы единственности
будет являться решением соответствующей краевой задачи.
Покажем, что решение (13.49) обладает свойством
сгж = ст? = const, тху const. (13.50)
Интегрируя третье уравнение (13.42) по у и учитывая (13.49), по-
лучим
др / \ , / \
—^ (*)-<₽(*)•
Отсюда и из второго соотношения (13.42) имеем
-77- = — ух'ху (х) + Ч>' (х) = <fy (х),
дх* *
откуда тх^(х) = 0, т. е. хху — константа, равная в силу (13.48)
Интегрируя по у первое соотношение (13.42), а затем дифференцируя
его по х, англогично получим ах ~ таким образом, соотношения
(13.50) выполняются.
Представим функцию ву(х) в виде
ff9(x)=oay + cy(x). (13.51)
Подставляя соотношения (13.42), (13.50), (13.51) в уравнение (13.44),
получим
-^-I(<T?-iFa;(x))Y(x)-<7?<7(x)I= 0. (13.52)
ах*
Выражение в квадратных скобках в соотношении (13.52) рав-
но линейной функции В]-ЬВ2а:. Рассматривая в последующем
неограниченную плоскость, из-за ограниченности напряжений
(13.47) имеем В2=0 и потому из (13.52) найдем
§ 13
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИИ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
177
(X) = - (<Тх° + <$ + сг? + -4г. (13.53)
У W Y W
Значение константы В{ найдем из условия {оу(х)) = 0, яв-
ляющегося следствием соотношений (13.48) и (13.51). При этом
' ”°1- <|зм>
\ ' V W / / L ' Y W / J
Подставляя (13.54) в (13.53) и затем в (13.51), после некото-
рых преобразований для напряжения ау(х) найдем
0и(х) — Оу 4--——Г р (х)— I—) ((------------------V) *1 —
У 1 + а(х) L \ 1+а(х) / \\ 1 |-а(л)// J
— (<г? + а«) [1-----!---((---------Й“Т (13.55)
V у/ |. 1 +а(х) \\ 1-ра(х) // ]’ ' '
где
а (х) = А (х)/(у), Р (х) = В (x)/(q).
Построим решение этой же задачи методом возмущений.
Представим искомые функции F, ох, хху в виде рядов по
степеням в
у) — £ enF„(x, у), ол=£е'’ст"........ (13.56)
и—0 л—О
Здесь функции Гл, o'", ог£, тху не зависят от 8 и /z-ные члены разло-
жений ох, а , х выражаются через функцию Fn соотношениями
(13.42).
Подставляя (13.56) в уравнение (13.44), получим
V4Fo = O (13.57)
и рекуррентную последовательность уравнений
[ 4т- - V2 («1 v2^-.) ] - (13.58)
(у) L ах2 ду2 J
Подставив разложения (13.56) в соотношения (13.48), находим
равенства
(о?) = <& (о’) = а°, (4) =4 (13.59)
и условия равенства нулю сумм с членами е"^), ел(оу), ея(тХА/}
(п^1). Из независимости коэффициентов разложений (13.56) от е
следует
(<Уг) = 0, = 0, (х“у) = 0. (13.60)
178
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Для выполнения соотношений (13.48) необходима ограничен-
ность функций ст", Оу, хпху при всех и^О. Единственное решение
уравнения (13.57), удовлетворяющее этому условию во всей пло-
скости, определяет напряжения, не зависящие от координат, и в
силу (13.59) пулевое приближение задается величинами от?, о?,
т?у, Подставляя эти величины в (13.58), при /г=1 получим
а 4 г 1 Го / о 0\ "I /1 о с 1 \
= —— рл- ——- . (13.61)
(у) L ах- «х® J
Функции al, Оу, riy, удовлетворяющие условиям (13.61),
(13.42), (13.60) и ограниченные в плоскости, имеют вид
cri = 0, х\у = 0, 8Оу = о?р (х) 4- (о? -j- о?)а(х). (13.62)
Поскольку ограниченное решение однородного бигармонического
уравнения, удовлетворяющее условиям (13.60), определяет лишь
нулевые напряжения, то выражения (13.62) дают единственный
вид напряжений ol, Оу, riy.
Покажем, что при всех п > 1 имеют место соотношения
& = о, х"у = О,
8Оу = —а(х)Оу~’ (а(х)ау”1). (13.63)
Допустим, что огГ1 и Хх^[ тождественно равны нулю, a crj~l зави-
сит от координаты х. Тогда полученное из (13.58) уравнение
= - -V 4т к w <13’64)
(у) ах*
вместе с (13.42) и условиями (13.60) определяет функции (13.63),
которые представляют единственное решение задачи по тем же
соображениям, что и (13.62) при л=1. Поскольку принятые пред-
положения о виде (п—1)-го приближенного выполнены при п = 2,
решение (13.63) верно при всех п > 1.
Формулы (13.63), (13.64) для Оу(х)(/г>1) можно представить
в виде
еКяд {- [ра"-‘ - £ att~' Tj] +
/~1
+ (а? + aj) [а’ - £ а-//?/]}, (13.65)
где 7\ = /?, = 0, * Д
7Х₽а/-‘)-^(а/-^Л, (13.66)
$ 13
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
179
1-1
При п = 1, 2 справедливость (13.65) проверяется непосредственно
после определения по формуле (13.63) с использованием
с£. Предполагая выполнение (13.65) при n = k—i и вычисляя
Оу по формуле (13.63), после преобразований получим (13.65)
при n = k (А>1). Справедливость соотношений (13.65) тем самым
будет доказана.
Используем соотношения (13.65) для вычисления суммы ряда
= £ е"©;. (13.67)
л-1
После подстановки (13.65) в (13.67) и преобразований, включаю-
щих изменение индексов п перемену порядка суммирования, по-
лучим
_ <q _ -L + (JL + у (-1 у Ti) V (-1)»ап1 +
L а \ а J
/==1 л=0
+ (*.? + <$ [-1 - (1 -£(- !)'/?,) £(- 1)пап]. (13.68)
/—1 п=0
Ряд с членами (—1)па’г сходится при | а| < 1 и его сумма
равна (1+а)-1. Тогда формулы (13.68) и (13.55) становятся тож-
дественными. Для подтверждения этого следует показать, что
7=1
((-гЫГ
7^1
Рассмотрим, например, первое равенство, которое можно предста-
вить в виде
(£(- 1УТ>) (S (- ’)* + S (- О" (Ра'п) = 0. (13.69)
/=-1 £=0 m=Q
Справедливость (13.69) можно показать, перемножая ряды Tj и
<а*> и заменяя <£azn> при т>\ по формулам (13.66).
180
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Таким образом, получен следующий результат [39]: сумми-
рование ряда по степеням параметра е в пределах его интервала
сходимости (|а|<1) дает в данной задаче те же значения напря-
жений, что и точное решение (13.50), (13.55), имеющее смысл при
а>—1.
Для оценки применимости асимптотического метода, исполь-
зующего лишь первый член ряда возмущений, рассмотрим [39]
погрешность приближения
<г*^ест1. (13.70)
Пусть в соотношениях (13.43) коэффициент Пуассона равен кон-
станте v. Введем обозначения
-ду? = ?(*). 4{х)= (q) tQ(x), у(х) = Q(x)/(q).
Ь (X)
Тогда из формул (13.62) и (13.68) получим
е<Тд = — dy,
-1 1 1 U *' \УЧ
~Г 1 + у \\ 1 + у I j ]’
. „о v о
“ — а у стл.
1 — V
оу= — d
(13.71)
В качестве примера рассмотрим случай, когда
Y (х) = Н 008
где р— относительная амплитуда неоднородности. Тогда найдем
1____v = 1 г ае = 1
1 + Y ' л J 1 + и COS е /I —
и формулы (13.71) принимают вид
еОу = — ф cos ох,
Оу = —d — 14-
1 4- р, COS WA
Максимальные значения ео^ и о*у достигаются в точках =
= л/k (cos &xk = — 1), при этом
(**) = = И-тЛ-т^-]. (13.72)
L F 1 Р- J
Разность величин (13.72) дает максимальную погрешность прибли-
жения (13.70). Ниже приведены значения <^(ха)М соответст-
§ 14
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
181
вующие различным ц, для кото- Таблица 2
рых указана максимальная отно-
сительная погрешность первого о* (xk)/d
приближения xi, определяемая
соотношением
0,1 0,106 0,06
хг = (aj (хк) — ео'у (xk))/Oy (хк). gj 0,225 0,363 0,11 0,17
Очевидно, что максималь- ^5 0,528 0,732 0,24 0,32
ная погрешность приближения
(13.70), возрастающая с ростом ц, находится в пределах 20% при
р^0,33 (см. табл. 2).
§14. Методы теории функций
комплексного переменного
имеем
14.1. Основные уравнения и постановка краевых задач. Рас-
смотрим плоскую задачу термоупругости (12.67) — (12.71). Исполь-
зуя декартову прямоугольную систему координат х, у,
уравнения
дх ду дх ду
(Н.1)
где
ох = Х0 -г 2цеА — (ЗХ + 2р) ф,
<зу = Х0 4 2ре^ — (ЗХ 4- 2ц) ф,
= 2цехвР
ди ди 1 / ди dv \
дх у ду у 2 \ ду дх /
Г
е = е, + 8,= -I -%-, <f=^a(T)dT.
дх ду J
о
(14.2)
(14.3)
Параметры Ламе X, ц заданы как функции температуры Т(х, у).
Предположим, что деформации, напряжения, а также их пер-
вые и вторые производные являются непрерывными функциями
в области £>, занятой телом, и что pFx, pFv— аналитические функ-
ции переменных х, у в односвязной области D+, содержащей
область D.
Введем переменные
z=x [ iy, z=x— iy. (14.4)
Тогда
д 1 / д . д \ д 1 / д . . д \
дг 2 \ дх ду J дг 2 \ дх ду ) ' '
182
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
и уравнения (14.1) можно представить в виде
+2»^)
(ojr + 0ir) = p(Fx — iFy).
(14.6)
Уравнение (14.6) удовлетворится тождественно, если положить
144]
. л &Р
°Х 4 Ом = 4 ——,
' дгдг
Oy-ax + 2iTty = 4^-M(z,'z). (14.7)
Здесь F(z\ z) — аналитическая функция z, z в области (£>, D); она
принимает действительные значения и имеет непрерывные частные
производные первых четырех порядков, а
аналитическая функция переменных z, z в области (D+, £>+).
Через D, D+ обозначены области, симметричные областям D, D+
относительно действительной оси; будем считать также, что начало
координат принадлежит области D.
Обозначим через U комплексное перемещение
= U = и — iv (14.8)
и введем обозначения
К = ЗА 2р, х = (А ~ Зц)/(Л -г Ц). (14.9)
Из соотношений (14.2) и (14.3) найдем
ди 1 / , о. ч id2/7, м zl. 1Л.
^7(14l0>
дг dz 4И
= -х-~- -^4- + Л(-н-~1) <р. (14.11)
р. дгдг ’ 2ц т 17
Исключая из (14.10), (14.11) функцию U, получим условие сов-
местности
§ 14
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
183
da / 1 d2F М\ , d2j / 1 d2F М
дг* \ р. dz2 4р J dz2 \ p
+ _*_rj£ziL-*L + .K0<-n у1 = о,
дгдг L И дгдг 1
которое можно записать в ввде
dz2dz2 dzdz2 dz2dz dz2
+ A3~^ = f(z, г), (14.12)
dzdz
где
Предположим, что 4i(z,z) и f(z,z)—аналитические функции
переменных z, z в области (D, £)). Можно доказать, что любое
решение уравнения (14.12), допускающее частные производные
первых четырех порядков, непрерывные в (Z>, D), будет аналити-
ческой функцией переменных z, z в этой области (44]. Тогда пред-
положение о непрерывности в D напряжений и их первых и вторых
производных включает в себя аналитичность в D напряжений.
Что обобщает результат Мусхелишвили для однородных тел [45].
Из соотношений (14.7) следует, что напряжения зависят не
непосредственно от F, а от ее частных производных второго по-
рядка. Обозначая, например,
2 a/?(z~z) = G(z, z)t (14.14)
dz
уравнение (14.12) можно записать в виде
«з+ЯеГгл, «з + 2Л1^ + л «
dz2dz \ dzdz dz
= 2f(z, 2),
(14.15)
184
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
ИЛИ
^L + Re rJlffigL + _«<ML +, °ию + S(G1 _ 2/(г,
дггдг [ дгдг dz J
(14.16)
где
B, = 2At, B2=A3 — -^i-, В3=2 (А,--?*}.
1 12 3 дг 3 \ 2 дг )'
В 2-^4- — 2-^4---------—. (14.17)
dzdz dz dz
При обозначении (14.14) соотношения (14.7) принимают форму
а* + °*=21Г’ av-a’‘ + 2ix*y = 2^—M(z, z). <14Л8>
Из уравнения (14.16) имеем
[G (г, г) + IG (г, z) — F„ (г, г) J = О,
dz2dz
F0(z, zi = 2 j dz dz J f(z, z)dz, (14.19)
обо
/G(z, z)= jRejBjG !-J
0 0
B2Gdz -i- J B3Gdz +
0
J J dz J B/Jdz] dz,
о о
откуда
G (z, z) + IG (z, z) — Fo (z, z) = (p (z) + z<Pj (z) h ф (z), (14.20)
где <p(z), Vi(z), Ф(г) — произвольные функции, голоморфные в D.
Из (14.13), (14.14) и (14.20) следует, что производная по z
от функции
G(z, z) r/G(z, z) — Fq(z, 1)
будет функцией, принимающей действительные значения; налагая
поэтому условие, чтобы производная по z от функции
ф(2) +-2Ф! (z) 4-^(zj
была действительной функцией, получим
<Pi (г) = <р' (*)
§ 14
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
185
и, следовательно, соотношение (14.20) примет форму
G(z, z)-[-IG(z, z) = (р (z) + zq>' (z) + ф (г) -r Fo (2» z)- (14.21)
Пусть С — граница области D, заданная уравнением t-t(s),
где t(s)—аффикс точки па С, соответствующей криволинейной
абсциссе $, измеренной от произвольно выбранного начала на С,
Примем, что t(s + l) =t(s) и t(s\) =/=/(s2), если 0<Si<$2</, где
/ — длина кривой С. Будем обозначать также через f(s) или f(t, t)
граничное значение некоторой функции f(z, z), непрерывной в (D,
D) при eeD, z->C, zeD, z->C, и через f'(s)—производную от
f(s) по S.
Рассмотрим краевую задачу при заданных на контуре С по-
верхностных силах. В этом случае мы имеем граничные условия
+ вЛ = Чу
Соотношения (14.22) можно переписать в ваде
(<\ -j- irxy) у' (s) — (хху + i<iy) х' (s) = qx + iqy,
t(s) = x(s) +iy(s).
Из (14.18) получим
. . . ( dG . dG \ .Ti4
Xxy + ioy=i + —j — iM(г, z),
। . dG dG г; /— 4
+ lXxy = -^------ + M (Z, Z).
дг dz
Подставляя (14.24) в (14.23) и замечая, что
dG ,, z х . dG 77~г\ dG
— t (s) = —,
dz dz ds
найдем
— «4- iW)= qx 4- iqy.
Интегрируя (14.25) no s, имеем
G(s) = /f(s),
где
н (s) = IJ (qx 4- iqy) ds + J M(s) t‘ (s) ds-\-c,
о 0
c = const.
(14.22)
(14.23)
(14.24)
(14.25)
(14.26)
(14.27)
186
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Из соотношений (14.18) следует, что если заданы напряжения,
то функция G(z, z) определена с точностью до постоянной. Сле-
довательно, можно принять с = 0, тогда условие (14.27) примет вид
G (s) = i J (qx -t- iqy) ds - J Щз) F(sjds. (14.28)
0 0
Рассматриваемая краевая задача сводится, таким образом,
к определению функции G(z, z), удовлетворяющей уравнению
(14.15) или эквивалентному ему уравнению (14.21) и граничному
условию (14.28) [9]. После решения этой задачи напряжения оп-
ределятся с помощью соотношений (14.18)
Рассмотрим теперь краевую задачу при заданных на контуре
С перемещениях. Используем для этого постановку плоской задачи
в перемещениях.
На основании (14.8), (14.10) уравнение равновесия (14.6),
записанное в перемещениях, примет вид
Э Г р / 3G ! Й7 \ 1 | д / W \ =
dz~ Iх— 1 \ dz fiz~ /J dz V dz J
= P(z, Z), (14.29)
где
p (*, ~z) = 4- Л (K<P) - 4 P (Fx + i F„).
z dz 4
Уравнение (14.29) можно представить в виде
d ( х d(pG) । 1 d(pU)
dT I x —* 1 dz x — 1 dz
1 dp у 1 dp у____________
x — 1 dz x * 1 ^7”
— +P(z, z)]dzl = 0, (14.30)
о &z
откуда
x d (pi/) , ! 1 d(ydJ)1 dp у____________
и — 1 dz x — 1 Qz n — 1 dz
______!__^й- СГ— + (14.31)
X — 1 dz J L \ dz /
0
P(z, zj]dz= <p' (z),
где <p(z) — произвольная голоморфная в D функция.
§ 14 МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 187
Исключая величину д(ци)/дг из уравнения '(14.31) и комплексно-
сопряженного ему уравнения, найдем
(х + 1) pU (г, z) + IU (г, г) =
= хф(г) —zip' (г)—-ф(г) — fф(z)dz + Ро(г, г), (14.32)
J OZ
о
где
Ро(г, г)= [х Р (z, г) dz — j Р(z, г)dz] dz,
6 1 о о
IU(z, 2-)=_C[(^ + (l-g-]t/+J?p +
J L \ w OZ ) OZ
0
“W1*- (14-33)
о 0
Здесь ф(г) — произвольная голоморфная в D функция.
Решение рассматриваемой краевой задачи сводится, следова-
тельно, к определению решения уравнения (14.29) или эквивалент-
ного ему уравнения (14.32), принимающего заданные значения
на границе, т. е. удовлетворяющего условию
f/(s)=u(s) + rj(s), (14.34)
где u(s) и v(s) —компоненты вектора перемещения, заданные на
контуре С.
14.2. Метод конформных отображений. Предположим теперь,
что конформным отображением
2= ш (0 (14.35)
односвязная область G с границей С в плоскости z=x+iy преоб-
разуется в круг Д с границей Г, описываемый уравнением |£| = 1
в плоскости £=£4-й], причем со(0)=0. Функция Ъ(£) является
голоморфной в Д, поэтому
d _ 1 д d_ 1 д
dz ©'(?) ’ dz сУК)
dz = си' (5) dz = dg. (14.36)
Рассмотрим краевую задачу (14.21), (14.26) при заданных на
контуре С напряжениях. При отображении (14.35) из соотношений
(14.21) и (14.19) найдем
188
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
G°(£, O + Z°G°(S, Р =
= ’Р(0 + Л%-<Р'(0 -!-4(0 ^°(?, ?), (14.37)
® (?)
„ _ t с i____ _
F°o (?, ?) = 2 J <o' (?) d? j (o' (?) d? J (o' (?) f {« (?), (o (?)] d?.
ООО
£ I____
FG° (?, ?) = J’ (o' (?) Re IB? G° + f ®' (?) B° G°d? +
6 0
t £ I___________
4- J (0 (?) B°3 G°d? + [ (O' (?) d? J (O' (?) B4° G°d?] d?, (14.38)
0 0 0
где введены обозначения
G’(?, ?j = G[(o(?), (^(?jj,
B?(?, ?5=Bif(o(?), ^(?)I, i= 1, 2, 3, 4,
a <p(£), гр (p — произвольные функции, голоморфные в Д.
В преобразованной области граничное условие (14.26) прини-
мает вид
G°(o)= #°(<г). (14.39)
Здесь через а = е/в обозначена криволинейная координата на кру-
ге Г, а функция #°(а) однозначно определяется по функции H(s),
так как между аффиксами t и т контуров С и Г существует взаим-
но-однозначное соответствие £=<о(т).
Рассмотрим теперь краевую задачу (14.32), (14.34) при за-
данных на контуре С перемещениях.
Используя (14.35), (14.36), из соотношений (14.32), (14.33)
найдем
(X + 1)цУ« (?, ?) 4- W(?, ?) = Хф (?) -
® (?)
Е
-ф(?) -f (o'(?)-^V(?)d?+ Р0°(?,?), (14.40)
J о?
о
С Г (. 1- ц -^L'i (jo _i_ м' (jo _|_
.Ш 0? и d? ) (О' (Ц д?
§ И
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
189
где введены обозначения
G0 (£, D = q® (О, ^)J, Ро° (£, I) = Pol® (£). ® (0L
Граничное условие (14.34) и преобразованной области принимает вид
t/°(o)= u°(o) -b ^°(о); (14.41)
причем функции и0(о), и0(а) однозначно определяются по функ-
циям u(s), v(s).
14.3. Метод последовательных приближений. Для решения
сформулированных краевых задач можно использовать метод по-
следовательных приближений [44], полагая, что первое прибли-
жение соответствует телу, подверженному действию тех же нагру-
зок, но считаемому однородным, а последующие итерации вводят
поправки на неоднородность.
Рассмотрим краевую задачу (14.37), (14.39) при заданных на
границе напряжениях. Решение ее можно построить в виде
СО(еЛ) = £
п=\
G?(C. I) = <Р1 (О + 4=- +W + (5, I)
G’ (£, С) = фп(£) Н- О) + «)-/<-! (£, I), п > 2,
ю К)
где фп(£), фл(£), ^>1—голоморфные в Д функции, определяемые
из граничных условий
Ф1(т) + 4^^С0 + ^=Яв(т)-г2(т,7), (14.42)
(D (Т)
фп (т) + ОО + = /°G°_i (т, х), п>2. (14.43)
СО (Т)
Исключение аддитивной постоянной с в граничном условии
(14.26) и соответственно в (14.39) полностью определяет функ-
цию G°(£, £) через напряжения. Однако функции <р(£) и ф(£) не
получаются из уравнения (14.21) вполне определенными и на них
можно наложить дополнительные условия [45]
Ф (0) = 0, Im ф' (0) = 0.
При таком методе решения, следовательно, можно принять
Фл(0) = 0, 1тф^(0) = 0, л>1. (14.44)
Решения рекуррентной последовательности краевых задач
(14.42), (14.43) можно построить обычными методами теории уп-
190
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
ругости однородных тел: методом разложения в степенные ряды,
интегральными методами и т. д.
Решение краевой задачи (14.40), (14.41) при заданных на кон-
туре перемещениях можно построить по схеме
0 = £ U°n& S),
л=!
(х + I) И U°t (t, Л) = Хфх (О -
____ С
- (0 - ©' (О -g- Ф1 (Оdi + Р°о (С, С),
J *
(х + 1)ц£/Ш) = ХФЛ)--Щ-ФДО-
<0 (У
(14.45)
(14.46)
-фя(С)-1®'(0-5-<Рл(Р^~/в^-1(еЛ). п>2. (14.47)
J я;
о
Здесь фп(£) и фп(£), п^\—голоморфные в А функции, опреде-
ляемые из граничных условий
т
*Ф1(т)—===- ф; w—Фх (<)—f ®' (Р -J- Фх (о
(О (т) J
о
= (х + 1)ц[«(т) + iv(T)I—Po(T, т), (14.48)
«Фи (1) ~ -==" Ф„ (т) — Фл (т) —
ш (т)
т
— f<0'(C)-g-<p„<QdC=т), п>2. (14.49)
о
Из соотношения (14.40) видно, что если задать функцию UQ(x, т),
то функции ф(£) и ф(£) не определяются однозначно. Можно при-
нять <р(0) =0, причем это условие полностью определяет <р(£) и
ф(£) через t/°(^, С). Следовательно, в рассматриваемой схеме ре-
шения можно принять <рп(0)=0, д^1; причем функции фп(£),
фп(£) получаются при этом вполне определенными.
Краевые задачи (14.48), (14.49) отличаются от обычно рас-
сматриваемых задач теории упругости однородных тел лишь на-
личием интегрального члена.
§ М
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
191
Рассмотрим частный случай, когда коэффициент Пуассона
постоянен v = const. В силу (14.9) и (12.76) имеем x = x0=const и
соотношения (14.46) — (14.49) примут вид
(х0 1) р(7? & I) = хоФ1 (О - ОТ - ОТ 4- Р? (I, D-
(х01 1) ци°п (£, I) = хоФп (□ - 4Я- от -
-ОТ-^->(£Л). «>2,
Kofi (*)---==* <р; (*) — Ъ (т) = (*0 + 1) ц [«(Т) + iv (т)] — Ро (т, т),
(14.50)
Кофи О’)---=- Ч>; (1) — Фл О) = ^-1 О> т)> п>2- (14.51)
(О' (т)
Решения краевых задач (14.48), (14.49) и соответственно
(14.50), (14.51) можно строить обычными методами, используе-
мыми в теории упругости однородных тел.
14.4. Пример: растяжение круглой пластинки. В качестве при-
мера применения описанного метода рассмотрим краевую задачу
для области £>, ограниченной окружностью |z|=/? и нагруженной
по контуру равномерным радиальным напряжением интенсивности
Р [44].
Конформным отображением область D преобразуется
в область А в комплексной плоскости представляющей собой
внутренность единичного круга |£|=1 (рис. 19).
192
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Введем обозначения
z = ге4’0, £ = ре4’0 (р = г/7?).
Из соотношений (14.18) найдем выражения компонент напряже-
ний в полярных координатах огг, <Уе, тго, соответствующих различ-
ным этапам итерации
/10 Тогда составляющие напряжения по ко-
ординатным осям, приложенным по кон-
Рис. 20 туру, будут равны
q%= р cos 0, qn= р sin 0.
Поэтому, учитывая, что dcr=7?d0, из соотношения [(14.27) получим
о 0
Н° (0) = iR J (% | iqn) do = ipR f ei9d0 = pRelQ.
0 6
Рассмотрим неоднородность упругих свойств вида
Здесь а, х0 — безразмерные постоянные, а ц0 имеет размерность
модуля сдвига р. Линии p,=const параллельны оси т) (рис. 20).
Из соотношений (14.13), (14.17), (14.38) имеем
7°G° ($, Q = С Re Г — 2aG° + (х°~1)а2 f G°dt, + ( G°dd d£.
J L Xo + 1 J XO + 1 J J
0 0 0
Пользуясь теперь схемой решения п. 14.3, а также известным
решением соответствующей задачи для1 однородного тела [45], по-
лучим выражения функций G°(£,£) и соответствующих компонент
напряжений. Выражения напряжений огт, <То, тго, соответствующие
первым трем итерациям, будут
0<1)=(^1)=р> тП) = 0,
О® = Р(Хо-1><£. (1 _ р’-), а(2) = Р(хо-1)а2 .j _3
'• -2(х,+ 1) 9 2(х0+1)
§ 14 МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 193
= о.
°?* = (1 -р2) 12«(«О- 1)(2-р2) I-
24(х0+1)2
+ 8(х0+ l)pcos0— а (1 + р2) cos 20],
= Р2Х+£[2а (Х° ~ ’} (2 “ 9Р2 + +
4- 8 (х0 + 1) (3 — 5р2) р cos 0 -|- а (1 — 12р2 + 15р*> cos 20],
(1 ~Р2)I8(*о + 1)Рsin0 + а(I - 5р2) sin 20].
24 (Х0 -f- 1)
В табл. 3 приведены безразмерные значения напряжений
On = — ora = -L (ао> + а<2>), (14.52)
р р
<jr3 = —(о('> + о<3>)
р
и аналогичных величин oei, 0*02» <*03 для 0=0 при хо=1,8, а=0,8.
В этом случае р изменяется от 0,20 р0 До 4,95 р0 (рис. 20). При
0=0 имеем ^ = 0 (п^-1), так как неоднородность и нагруже-
ние симметричны относительно оси £.
Таблица 3
\ а Р \ °Г2 °лЗ а01 6 02 <*03
0,0 1,000 1,091 1,095 1,000 1,091 1,099
0,2 1,000 1,088 1,101 1,000 1,080 1,113
0,4 1,000 1,079 1,096 1,000 1,048 1,091
0,6 1,000 1,059 1,079 1,000 0,993 1,023
0,8 1,000 1,033 1,047 1,000 0,916 0,903
1,0 1,000 1,000 1,000 1,000 0,817 0,723
Из приведенных в табл. 3 значений видно, что неоднород-
ность упругих свойств меняет напряженное состояние как коли-
194
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
чественно (максимальные значения напряжений ог и ао изменя-
ются, соответственно, на +10% и —28%), так и качественно
(даже при нагружении с круговой симметрией появляется каса-
тельное напряжение тго).
14.5. Метод интегральных уравнений. Рассмотрим плоскую
задачу для неоднородного тела с параметрами Ламе
Х=Х(х, у), ц=р(х, у).
Используем комплексное переменное (14.4). Тогда имеют место
формулы (14.5) и соотношения
ди dv dw drc) dw
0=----+---------+ -^-= 2Re—.
дх ду dz dz dz
4_^==4^ = v2« + iV2f,
dzdz dzdz
где
w—u + iv (14.53)
комплексное перемещение.
Система уравнений плоской задачи
дах 1 дтХу __ Q дхХу ' до у __ q
дх ду ' дх ду
а = (X + 2р) —— + X , о = X ——F (X + 2р) —-
дх ду и дх ду
_ f ди , dv \
при введенных обозначениях примет гид
+-L[2(X + Ii)0J=O. (14.54)
dz \ dz j dz
Пусть D — область в плоскости комплексного переменного
z, занятая рассматриваемым телом. Если D ограниченная область,
то будем использовать также обозначения
D=^ds. (14.55)
D
Введем некоторые константы Хо, go; в качестве Хо, цо можно, на-
пример, взять средние значения функций Х(х, у), р(х, у) в обла-
сти D.
Введем функцию Г(х, у) соотношением
*U±l2(Vno)0] = -f (14.56)
dz \ dz J dz
§ 14 МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 195
и будем искать семейство решений уравнения (14.54), состоящее
из таких функций w(x, у), что функция Г(х, у), полученная из w
по формуле (14.56), будет принадлежать пространству L2(D) [1].
Так как соотношение (14.56) представляет собой дифференциаль-
ное уравнение плоской задачи теории упругости для однородного
изотропного тела с упругими константами Хо, Но и массовыми си-
лами F, то [45]
Qy = -^-<p(2)--5—2<р'(г) — -i— фф —
2р0 2ро 2р,0
~Т-7ГГТ— n)ln|?-z|dgdn +
2ц»(1.+ х) л J J
D
+ 4 "a LT V (М.57)
4go(l -f-x) л JJ £ —z
D
где x= (Хо+3|1о)/(^о+но), a <p(z), ф(г) — произвольные голо-
морфные функции.
Таким образом, каждой функции F^L2(D) ставится в соот-
ветствие семейство функций w=w(xf у) по формуле (14.57). Най-
дем ту функцию F, для которой функции ш, даваемые формулой
(14.57), будут также решениями уравнения (14.54). Для этого
подставим (14.57) в (14.54); в результате получим интегральное
уравнение для функции F(x, у)
цТ(х, у) = AF(x, у) + Ф(г), (14.58)
где
* / । \ 1 к
ф(г) = (х — 1)д(* + н) +(,_!)?&+>) ф'(г)-|-
OZ OZ
+ I(x-l)(U|i)-2|1]^-2^-z7W-2-^m
OZ OZ
& (l+x) xJJ Е-г
D
+ —----------- [? F(E, n) dErfri 4-
dz (l+x) л J J *S’ M G-г)* 1
D
, д(Х + ц) (x —1) _1_ f f ,
dz 2(1 + x) л J.l t; — z
196
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
3(А,4-и) (х-1): 1 rrr(g,T])dldxi __
dz 2(1 4-х) л JJ l-^z
D
г__н—(14.59)
I 1 + » 2<z-l) J « JJ — 1
D
• Будем предполагать, далее, что существует некоторая ограни-
ченная подобласть D' области D, вне которой А=Х0, ц=цо- Вну-
три области D' упругие свойства будем считать такими, что
| X X0|<fei, |р Ро I k2l
Кроме того, предположим, что <p(z), ip(z)e//(£>'). Благодаря
введенным ограничениям на механические свойства рассматривае-
мого тела имеем
O(z)gL2(D).
Перепишем уравнение (14.58) в виде
BF(x, у)=Ф(г). (14.60)
Оператор В действует из L2(D) в L2(D). Докажем ограничен-
ность оператора В и найдем число М такое, что ||B||<Af. Под
нормой II || будем понимать норму в пространстве L2(D). Так как
|| /||l»(D)< II /Ь(П),
можно оценивать \\BF(x, z/)|| в пространстве /,2(П), где П — плос-
кость комплексного переменного z. При этом
IIBF (х, у) || = || (х, у) - AF (х, у) || < || (х, у) || 4-1| AF (х, у) || <
<(ио + ^1 -2Ла)||Г(х,!/)|| + ||Л^(х,у)||. (14.61)
Проведем несколько предварительных оценок на основе огра-
ничений, введенных для механических свойств тела, и неравенства
I к dp I 3
| 1 4- х dz I 2
I —®В. I <-L
| 1 4- х dz I 2
I х — 1 д (А, 4- р) I
|2(х4-1) dz I
—k9+ — fe,,
2 ’ 2 4
(14.62)
I И
I 1+*
(Х + ц)(х-1)
2 (x + 1)
§ !4 МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 197
Перейдем к рассмотрению сингулярного интеграла, входящего
в выражение (14.59) для у) и понимаемого в смысле глав-
ного значения, т. е.
п ‘ |2-^|>е
Интегрирование ведем по всей плоскости, доопределяя h(z) нулем
вне области D. Известно [2], что
^\Th\*dxdy = H\h\*dxdy
п п
и оператор Т переводит функции из L2 в L2.
Таким образом,
Остальные интегралы в (14.59) имеют вид
= jj d^’ Z^D'> »= 1 > 2- (14.63)
D
где
Qx (z) = Щ = е‘в, Q2 (z) = -UiL = e31’0,
г г2
|Qz(z)|=l, i=l,2.
Если z^D', то из уравнения (14.58) находим
F(x,y)=0, (x,y)£D'.
Таким образом, (14.63) имеют вид
Z^D'.
J J lb z I
D'
Для них имеет место следующее соотношение {11J:
IIKJIK VNtrifW,
где
У = #* = max С С----*--Д/ —.
z€D' «Ьу 21 УЛ
198
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Теперь можно оценить норму оператора А
D'
D'
+ fe4) || Г С | + у (^ + k2) IIF (х, у) II <
Il J J ь 2 II z
D'
< I (6fe4 + 2А3) 1/— + 4 + ЧIIF(х> У>И- (14.64)
L F Л Z J
Из (14.61) и (14.64) имеем
II BF(x, 0)||<
(6*4 -|- 2£3) Т/ + 3fe2 + ц0 || F (х, у) ||
F Л I
или || В || < М, где введено обозначение
М = (6й4 2А3) 1/------h fei + ЗА2 + Цо*
г л
Уравнение (14.60) сведем к эквивалентному уравнению
F = (7 — kBJF + kfn (14.65)
где I — единичный оператор, Bi=B*B, fl=B*f, В* — сопряжен-
ный оператор, f = G>(z). При любом ненулевом А, удовлетворяющем
неравенству 0<А<2/||Bi||, имеем
||/-АВ1||<1.
Для уравнения (14.65) доказана сходимость последователь-
ных приближений к одному из решений при любом произвольно
выбранном нулевом приближении [18].
Выбрав k в пределах 0<А<2/М2 и F0(x, //)=0, что соответ-
ствует задаче для однородного тела, построим последовательные
приближения
Fi(^y)={I-kB1)Fi^(x.y) + kB^(z\ Z = l,2,... (14.66)
Допустим, что существуют два различных решения уравнения
(14.65) F' и F", которым соответствуют две функции wr и w",
удовлетворяющие одним и тем же уравнениям и граничным усло-
виям. Тогда wf=wf/ и из соотношения (14.56) вытекает F' = F".
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
199
Таким образом, последовательные приближения (14.66) сходятся
к искомому решению.
В достаточно широком классе задач нецелесообразно перехо-
дить от уравнения (14.58) к уравнению (14.60). К таким задачам
относятся задачи, для которых
р0 — kt — 3fe2 — (6*4 т- 2/?3) 1/ — > 0. (14.67)
т л
При выполнении условия (14.67) перейдем от уравнения (14.58)
к уравнению
F(x, у) = AF(x, У) -г Ф1(14.68)
где
AF (X, у) = Ц- ЛГ (х, у), Ф1 (z) = 4- Ф (г),
р р
При этом
(6Л4 + 2fc3) 1/ —— + — kY 4" ^2
IIAK<? =----------*4 ------<1-
Po 2
Решив уравнение (14.68) методом последовательных приближении,
получим последовательность функций
/**£ = 1 Фр Fq== 0, i = 1,2, ...,
сходящуюся в среднем как геометрическая прогрессия, знамена-
тель которой равен q.
Для решения краевой задачи представим голоморфные функ-
ции ф(г) и ф(г) в виде
ф (г) = £ сйфл (z) + c^i<pA (г),
k
Ф (z) = £ c^k & + c^k
k
где ф/j (z) — полная система функций; например для круга, <pfe = z*;
с?р ck2—действительные функции. Так как функции фА(г)
известны, в результате получим
® (г) = (z) ! (г) + <#,<*♦ (г) + с*а& (z)J,
k
где agp а%2 — функции, зависящие только от Л(х, у), р(х, у}
и области D. Важно, что для одного и того же тела при решении
200
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
различных краевых задач функции а (г) необходимо вычислять
только один раз.
Таким образом, решение краевой задачи сводится к разло-
жению заданных граничных условий в ряды по вычисленным
функциям. Кроме того, благодаря такому построению общего ре-
шения плоской задачи теории упругости неоднородных тел воз-
можно использование обратного метода решения краевых задач.
Рассмотрим пример задачи, для решения которой нет необхо-
димости явно строить функцию F(x, у).
Пусть задана некоторая область, находящаяся под внешним
давлением р, причем упругие 'свойства ее описываются функциями
ц = ц (X, у), А -I- ц = (ф0 (?) 4- <РО (г))-‘.
где фо(?) — произвольная голоморфная функция. Решение будем
искать в виде
ш=Сф0(г). (14.69)
Функция (14.69) удовлетворяет уравнению (14.54), а соответ-
ствующая функция F имеет вид
F = -2(V1 Но)сфМ (14.70)
При этом
Таким образом, положив с=р, получим искомое решение.
Если v = const, то
1 — 2v
Фо (г) + Фо И
Такую зависимость от координат можно получить, в частности,
если принять
v = const, ц = ———, TQ= const, (14.71)
и (T+Ta)'
где Т=Т(х,' у) — температура, а щ — некоторая константа.
Рассмотрим теперь задачу термоупругости, приняв предполо-
жения (14.71). Распределение температуры можно представить в
виде
т = -jT^7 too (2) ' Фо (г)) -! то-
Коэффициент объемного расширения а будем считать постоянной
величиной.
§ 15 ОБРАТНЫЕ И ПОЛУОБРАТНЫЕ МЕТОДЫ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ 201
Решение будем искать в виде
W = (z) I- ctz.
Тогда _____
в = ( с[ф'(2) | ф'(г)1.
Далее, xXj> - 0,
2(11g (1 + у) 2а(1 +у)Т»
l~2v Фо0) + Фо(2)
, q=—а(1 v)T0,
с i---;----==-
Фо (2) + Фо (2)
Положив
r _ „ I 2Н1« (1 -I V)
Р ' (1 — 2у)
получим решение для области, находящейся иод внешним давле-
нием р. Подставив выражение (14.70) для F в уравнение (14.57),
найдем решение вида (14.69).
§15. Обратные и полуобратные методы
в плоской задаче
массовые силы отсутствуют.
F(x, у), вводимая соотношениями
d^F ^F .....
15.1. Постановка обратных задач. Рассмотрим плоскую зада-
чу теории упругости неоднородных тел при заданных па границе
поверхностных силах, когда
Функция напряжений
(12.46)
d*F
х ду2 у дх2 ху дхду ’ v 1
в области s, занятой телом, удовлетворяет уравнению (12.47)
vWF) = J*L^L_2_*LJiZ. , (15.2)
дх2 ду2 дхду дхду ду2 дх2
и на границе L области s — условиям
axnx + °x!/iy = 4i(x, у), охугх Ч-(х, у). (15.3)
Рассмотрим односвязную область $, ограниченную простым
гладким контуром L. Граничные условия (15.3) можно тогда пред-
ставить в виде
S $ $
где J [ — (’<72(s)^s-j- у(s)ds]rfs, (15.4)
se $0 s0
202
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
^.p2(s)ds
an J
s0
В уравнении (15.2) через V2 обозначен двумерный оператор
Лапласа, а параметры у и q выражаются через модуль упругости
Е(х, у) и коэффициент v(x, у) соотношениями:
в случае плоской деформации
в случае плоского напряженного состояния
Y= —, q =
1 Е м Е
(15.6)
Предположим, что Епт — непрерывные, дважды дифферен-
цируемые функции координат х, уу удовлетворяющие неравенствам
0<£0<£(х, {/)<Ег<оо 0 <v0<v(x; </)<-£-, (15.7)
Для однородного тела y=const, <?=const уравнение (15.2)
переходит в бигармоническое уравнение
V4E = 0. (15.8)
Обратная задача в случае (15.8), (15.3) состоите следующем. При
заданной области $ для данной функции F(x, у), удовлетворяющей
уравнению (15.8), найти нагрузки qi, q2 на контуре Е области s,
при которых функция F(x, у) является решением краевой задачи
(15.8), (15.3); решение этой обратной задачи сводится к вычисле-
нию функций qi, q% на контуре L по формулам (15.3), (15.1). Воз-
можны и некоторые другие постановки обратных задач для крае-
вой задачи (15.8), (15.3). Так, можно потребовать, чтобы помимо
уравнения (15.8) выполнялось некоторое дополнительное условие
для функции F (х, у) (или для напряжений о*, оу, 0ху) и искать
область s и функции q^ q% на контуре L такие, чтобы выполнялись
условия (15.8), (15.3) и указанное дополнительное условие.
Наличие функций у(х, у), q(x, у) в краевой задаче (15.2),
(15.3), для неоднородного тела существенно расширяет и обога-
щает возможности различных постановок обратных задач. Помимо
уже упомянутых постановок возможны постановки обратных за-
дач, в которых выполнение дополнительных условий для функции
F(x, у) (или напряжений ох, аху) осуществляется надлежащим
выбором функций у(х, у) и q(x, у).
Приведем некоторые примеры постановок и решения обрат-
ных задач для краевой задачи (15.2), (15.3).
§ 15
ОБРАТНЫЕ И ПОЛУОБРАТНЫЕ МЕТОДЫ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
203
Одна из наиболее простых и естественных постановок обрат-
ных задач состоит в следующем. Для данной области s и данных
нагрузок 91, q2 на контуре L найти функции у(х, у) и q(xy у) та-
кие, чтобы напряжения совпадали с напряжениями в соответ-
ствующей задаче (при той же области s и при тех же нагрузках)
для однородного тела. Другими словами, требуется найти функции
у(х, У) и 9(х, у) такие, чтобы функция F(x, у) помимо условий
(15.2), (15.3) удовлетворяла также уравнению (15.8). Сформули-
рованная задача решается следующим образом. Пусть F0(x, у)
есть решение краевой задачи (15.8), (15.3) для данной области s
при данных функциях q\, q2- Подставляя F=FQ в соотношение
(15.2), получим уравнение
V2(YV2^o) =
д2д
дх2 ду2
2
дхду дхду
d2q d*FQ
ду2 дх2
(15.9)
с двумя неизвестными функциями у(х, у), q(x, у). Любые функ-
ции у(х, y)f q(x, у), удовлетворяющие уравнению (15.9), дают ре-
шение поставленной задачи.
Функция Fq(x, у), входящая в уравнение (15.9), удовлетво-
ряет в области s уравнению
VlFo=0 (15.10)
и на контуре L — условиям d2F9 —-л, ду2 * JT~ny^q^x’ дхду и
d2F* дхду (15.11) Пх ' пу= q2{x'у}-
Уравнение (15.9) в силу (15.10) всегда допускает решение
у = const q = const,
(15.12)
которое не дает новых результатов. Содержательными являются
решения уравнения (15.9), отличные от (15.12).
Приведем решения некоторых обратных задач в указанной
постановке для произвольной области s [74].
Первый результат можно сформулировать следующим обра-
зом. Рассмотрим тело с неоднородностью вида
у = const, q= q0 (а -г Ьх + су). (15.13)
Напряжения в теле с неоднородностью (15.13) будут такими же,
как в однородном теле той же формы при тех же поверхностных
силах. Этот результат получается непосредственно из-за того, что
уравнение (15.9) при неоднородности (15.13) удовлетворяется в
силу (15.10).
204
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Класс неоднородностей (15.13) является весьма узким. В слу-
чае плоского напряженного состояния (15.6) из (15.13) имеем
Е = const, v = A -h Вх 4 Су,
0<v0<4 + Вх-|-Су<Д. (15.14)
В случае плоской деформации (15.5) соотношения (15.13) дают
° (и Ьх -4- су)2 ’ а 4- Ьх 4 су
Упругие свойства вдоль линий а + Ьх-}-су = const должны быть по-
стоянными; в силу условий (15.7) во всем теле должно выполнять-
ся соотношение
-------< а | Ьх 4- су < 2d, d > 0.
(1 — v0)
Рассмотрим теперь тело с произвольной односвязной областью
s, на границе L которой действует равномерное нормальное сжа-
тие. В этом случае
9i=~ 9г = — Рпу(Р = const) (15.15)
и решение краевой задачи (15.10), (15.11) для однородного тела
имеет вид
= (15.16)
причем для напряжений имеем
Найдем класс неоднородностей упругих свойств, для которого
при действии нагрузок (15.15) осуществляется напряженное со-
стояние (15.17). Для этого достаточно подставить функцию (15.16)
в уравнение (15.9); тогда
V2(2y~<7)-0. (15.18)
Таким образом, при неоднородностях упругих свойств, при
которых функция 2у—q гармоническая, в теле произвольной фор-
мы при нагрузках (15.15) реализуется напряженное состояние
(15.17). В случае плоского напряженного состояния уравнение
(15.18) принимает вид
у2 ( ~£у2) ] = 0, (15.19)
§ 15
ОБРАТНЫЕ И ПОЛУОБРАТНЫЕ МЕТОДЫ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
205
а в случае плоской деформации — вид
1 = о. (15.20)
L Е J
Если коэффициент Пуассона постоянен v = const, оба уравнения
(15.19), (15.20) сводятся к одному
v2[^-] = o. (15.21)
Хорошо известные свойства гармонических функций позволя-
ют сделать из полученного решения ряд качественных выводов.
Рассмотрим, например, тело с неоднородностью вида
v= const, Е=Е(х,у) (15.22)
Тогда, если модуль Юнга £(х, у) достигает максимума или мини-
мума внутри области, то при нагрузках (15.15) в теле не может
реализоваться состояние (15.17).
Из уравнения (15.20) следует, что в случае плоской деформа-
ции несжимаемого тела (v= ’/а) при любой функции Е(х, у) при
нагрузках (15.15) реализуется состояние (15.17).
15.2. Обратные задачи для неоднородных тел с постоянным
коэффициентом Пуассона. Рассмотрим неоднородное упругое тело
с постоянным коэффициентом Пуассона (15.22). Тогда параметры
q и у в силу (15.5) и (15.6) связаны соотношением
q= (1 I v)y; (15.23)
причем в случае плоского напряженного состояния v = v, а в случае
плоской деформации v = т/(1—v). Уравнение (15.2) дает
»(«=(! i <15'24»
[ дх2 ду2 дхду дхду ду2 dx- J
Вводя в уравнение (15.24) напряжения (15.1), получим
<15-25>
Уравнение (15.25) в последующем будем рассматривать как урав-
нение, определяющее функцию у(х, у) [73]. Записанное в развер-
нутой форме, оно имеет вид
(>.-4)-^--2(! 7 (».-Ч)^ +
+ 2 17+ 17 + 2 X : 17 j VV' “ °-(1526»
206
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Рассмотрим обратную задачу: пусть ох, оу, оху являются ста-
тически допустимыми напряжениями (т. е. удовлетворяют уравне-
нияхм равновесия в напряжениях и статическим граничным усло-
виям); найти класс функций у(х, //), для которых напряжения
действительно реализуются в теле.
Функции у(*» У) определяются при этом как решения урав-
нения (15.26), в котором ох, Пу, оху — какая-либо система функ-
ций, удовлетворяющая в области $, занятой телом, уравнениям
д°х j — о, = o (15.27)
дх ‘ ду ’ ох ду
и на границе L области s — условиям
°Л + = 41 (х, у), gxjix -н (х, у). (15.28)
Чтобы решение названной задачи имело физический смысл,
нужно из формальных решений уравнения (15.26) отобрать те,
которые удовлетворяют условиям:
1) у>0 в замкнутой области $;
2) уу=оо, у^=0 в $;
3) деформации, соответствующие решению у(х, у), должны
быть малыми, чтобы не выйти из области применимости линейной
теории упругости.
Поэтому нас будут интересовать решения, удовлетворяющие
этим трем условиям.
При y=const система (15.26) — (15.28) совпадает с плоской
задачей (в напряжениях) теории упругости однородных тел и по-
тому имеет единственное решение. В классе функций уconst
уравнение (15.26) может не иметь решений, но, как правило,
имеет бесчисленное множество их.
Для тела данной формы и при заданных нагрузках qi, q% су-
ществует бесчисленное множество статически допустимых систем
функций ох, Оу, Оху, удовлетворяющих условиям (15.27), (15.28).
Для любой пз этих систем можно искать соответствующий класс
функций у(х, У)\ можно также задавать напряжения ох, Оу, оХу не
полностью, с некоторым произволом. Этот путь позволяет полу-
чить решения различных задач теории упругости неоднородных
тел.
Возможны и другие модификации рассматриваемой обратной
.задачи. Можно потребовать, например, чтобы напряжения ох, (Ту,
Оху были статически допустимыми и, кроме этого, удовлетворяли
некоторому дополнительному" требованию. На этом пути можно
найти функции у(х, у) такие, при которых напряжения в неодно-
родном теле обладают определенными свойствами. Некоторые из
таких дополнительных требований обсуждены в работе [73].
Рассмотрим подробнее уравнение (15.26), определяющее функ-
цию у(х, у). Пусть ох, (Ту, Оху — статически допустимые напря-
§ 15
ОБРАТНЫЕ И ПОЛУОБРАТНЫЕ МЕТОДЫ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
207
жения (независящие от у). Уравнение (15.26) является линейным
уравнением в частных производных второго порядка с перемен-
ными коэффициентами; исследуем тип этого уравнения в зависи-
мости от напряжений ох, сху.
Тип уравнения (15.26) определяется знаком дискриминанта
Д = (1 + v)2 (Г^ — (<ry — vaj (ах — voy) =
= v(ax + суУ + (1 + 7)(4(15.29)
Из (15.29) непосредственно видно, что в областях тела, в которых
sign ох =#= sign dy, (15.30)
уравнение (15.26) является уравнением гиперболического типа.
Введем инварианты тензора напряжений
V (°л + -Г
О
т = у- 1(<гж - а,)2 + . • • Ь 6 +...)] (15.31)
и инварианты тензора деформаций е, Г, определяемые аналогично
(15.31), и выразим дискриминант (15.29) через эти инварианты.
Для плоской деформации
(9Р \ 2
-±4- (Г2 —Зе2), (15.32)
1 —V2 J
а для плоского напряженного состояния
Д = (1 + v)2 [ Т2 — 3 1 + г:3- а21,
L (i + v)» J’
Д = Е2 [ Г2 - 3 е’-]. (15.33)
Из выражений (15.32), (15.33) видно, что для гидростатиче-
ского состояния оху=0, ax=(jy уравнение (15.26) эллиптического
типа, а в случае чистого сдвига ох=ду=6 — гиперболического.
В общем случае произвольного напряженного состояния в теле
будут области гиперболичности и эллиптичности, разделенные
линиями параболичности уравнения (15.26).
В области гиперболичности (15.26) уравнение характеристик
имеет вид
-(1
dr Gy — vax
208
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
ИЛИ
и'2 I А ~Ь v) °ху 1 °х — v(Jy _ п
Оу -VOX ву-V&X
Интересен случай плоского напряженного состояния несжи-
маемого материала (v= ’/2). Тогда
А - 4Т2 > 0
и, следовательно, уравнение (15.26) всегда будет гиперболиче-
ского типа. Уравнение характеристик принимает вид
у'2 -J- —-----1=0,
вх -ву
откуда видно, что характеристики уравнения (15.26) совпадают с
траекториями максимальных касательных напряжений.
15.3. Решения некоторых обратных задач в прямоугольных
координатах. Приведем решения [73] некоторых обратных задач,
используя данную выше постановку, основанную на уравнении
(15.26).
Рис. 22
1. Пусть тело нагружено так, что статически допустимое на-
пряженное состояние — состояние чистого сдвига
<Тху=Х = const, ох = 0у = 0.
Такое состояние статически допустимо, например, при сжатии и
растяжении пластинки в двух ортогональных направлениях
(рве. 21).
Уравнение (15.26) принимает вид
-*У_ = о,
дхду
откуда
где / и g — произвольные функции.
§ 15 ОБРАТНЫЕ И ПОЛУОБРЛТНЫЕ МЕТОДЫ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ 209
2. Рассмотрим случай чистого растяжения или сжатия
(рис. 22). Статически допустимыми напряжениями будут
вх = р = const, оу=вху=0. (15.34)
Из (15.26) получим уравнение
- v -^- = 0.
дх2 ду2
общее решение которого имеет вид
х = f(y + пх)-. -g(y—nx), n = \lVv. (15.35)
В класс функций (15.35) входит, например, функция
у = А - В sin у cos пх,
соответствующая периодической неоднородности.
Из полученного результата следует, что, например, при неод-
нородности вида
у =-- Ах3 Вх2 + Сх у D, А =# 0
не реализуется напряженное состояние (15.34).
3. Рассмотрим случай изгиба (рис. 23) со статически допусти-
мыми напряжениями
ох = Ау, <\=<тх!/-0.
(15.36)
Уравнение (15.26) переходит в
следующее
Оно имеет характеристики
du -
—У-=±пх-\-А
dx
и в координатах
Е — у । пх, q = у — пх
записывается в канонической форме
U ; '1)-^- . ^-1-^ = 0- (15.37)
Решение уравнения (15.37) получается в результате примене-
ния первого шага каскадного метода Лапласа [80] и имеет
вид [73]
210
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Y= «*)!• (15.38)
Состояние (15.36), следовательно, реализуется в неоднород-
ном теле, если неоднородность имеет вид (15.38) и выполнены
сформулированные выше условия, которым должна удовлетворять
функция у(*, у)- Из условия у>0 следует, что в области s тела
f(y + nx) + g(y — пх)<0 при г/< 0,
/(^ + пх)Н g(y — пх)>0 при у>0.
Если линия параболичности у=0 лежит внутри тела, то выполне-
ние условии у=#°°, Y#=0 вызывает затруднения. Потребуем вы-
полнения условия
lim у = ф (х), 0 < ф (х) < оо.
Условию малости деформаций можно удовлетворить, так как
функция у определена соотношением (15.38) с точностью до муль-
типликативной константы.
Указанным условиям удовлетворяют, например, функции
f = А (у -г пх) + В sin (у 4- пх), (15.39)
g = А (у — пх) !- В sin (у — пх),
при Д>0, А>В. Функциям (15.39) соответствует неоднородность
вида
Е = [ А + cos их] 1.
L у J
Если ось //=0 не лежит внутри тела, класс неоднородностей
(15.38) дает значительно более широкие возможности реализации
состояния (15.36).
15.4. Решения некоторых обратных задач в полярных коорди-
натах. Уравнение (15.24) для функции напряжений F, преобразо-
ванное к полярным координатам г, 0, имеет вид
. Г 1 dy 1 I 2 g Г 1 ^1 I 1
"i” [ r dr ”г г2 d№ J drs 1 dr [ r de J dr [ г 30 ]'
Оно может быть записано также в виде, аналогичном уравнению
(15.26),
§ 15
ОБРАТНЫЕ И ПОЛУОБРАТНЫЕ МЕТОДЫ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
211
+ (аг—v<r9) (—
\ г
ду . 1
дг г2
+ 2-^-(вг^Ое)^- +
дг дг
02у \
ЭО2 )
+ 2 4- (<V + °е) 4 -Й- + YV2 (Ч + *е) = 0. (15.40)
0U Тл С/и
Приведем решения некоторых обратных задач в полярных ко-
ординатах, используя данную выше постановку.
1. Рассмотрим напряженное состояние вида
аг=дЖ, ае=СТгв = о. (15.41)
Г
Напряжения (15.41) при любой функцииf(0) удовлетворяют урав-
нениям равновесия (при отсутствии массовых сил) и потому дают
статически допустимое напряженное состояние для исследуемого
тела при определенных силовых граничных условиях.
Уравнение (15.40) при напряжениях (15.41) принимает вид
+ A. + 2-L*L 4- f 1
dr2 de2 dr f dQ L
r]Y=0. (15.42)
Это уравнение гиперболического типа с характеристиками
0 ± п In г = с.
Разыскивая решение уравнения (15.42) методом разделения пере-
менных
у=/?(г)Ф(0), (15.43)
получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
vr2R" + rRr — XR = 0, (15.44)
ф' + 2-£-Ф' + [у + (1— м]ф = о, (15.45)
где X— произвольная константа. Уравнение (15.44) есть известное
уравнение Эйлера; его решение дается соотношениями
4v
R(r) = Г* (q 4- с2 In г), А, = — 4v
fl/2(a+P) Гс COS (—-------— Inr'j C2S111 ( ----------— In г
1 \ 21 * J I 21
212
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
причем
Рис. 24
Необходимо также при заданной функ-
ции f(0) проинтегрировать уравнение
(15.45), тогда получаем еще две произ-
вольные постоянные.
Таким образом, находятся опреде,-
ленные классы функций у (г, 0) вида
(15.43), содержащие пять произвольных
параметров; область изменения этих па-
раметров определяется сформулирован-
ными выше условиями, накладываемыми
на функцию у(г, 0).
Отметим также, что в специальном
случае Х=0, для у(г, 0) имеем
1-V
г тГ С do
Y = [ctr ' -r- cjlc3 | — j ct
2. Рассмотрим задачу о клине, нагруженном в вершине сосре-
доточенной силой.
Решение для однородного клина хорошо известно; оно имеет
вид (15.41), причем
cos2p ( sin2 р
в}
/(0) — COS(0 —ф),
В1.2 -у- (2а + sin 2а),
tg<₽ =
Введенные здесь обозначения показаны на рис. 24.
Уравнение (15.45) принимает форму
Ф" —2tg(0 — (р)Ф' — ЛФ= 0.
Интегрирование дает
Ф =
--------------cos k (0 — ф) с.2 sin 1г (0 — ср)J, А2 = 1 — X > 0,
cos (0 — <р)
-------5------ch А (0 — <р) -1 - с2 sh k (0 — q>)L — А2 = 1 — X, < 0.
cos (0 — ф)
ОБРАТНЫЕ И ПОЛУОБРАТНЫЕ МЕТОДЫ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
213
Удовлетворяя также дополнительным условиям, наложенным на
у (г, 0), получим большой класс функций у вида (15.43), завися-
щий от пяти параметров, для которого напряжения будут такими
же, как в однородном клине.
Другой класс функций получим при
_ LzZ.
Y = [с/ + с2| [с3 tg (9 — <₽) 4- с4].
3. Рассмотрим пример полуобратного метода решения задачи,
основанного на применении уравнения (15.40).
По-прежнему напряженное состояние примем в виде (15.41),
но функцию /79) будем считать неизвестной, подлежащей опреде-
лению. Неоднородность возьмем в виде (15.43), считая функцию
Ф(0) заданной.
В этом случае уравнение (15.45) следует считать дифферен-
циальным уравнением, определяющим функцию f(0); оно может
быть записано в форме
Г-i + + (15.46)
Для функции /?(г) в соотношении (15.43) по-прежнему имеет ме-
сто уравнение (15.44).
Интегрируя уравнение (15.46) и определяя константы из соот-
ветствующих условий (в случае клина — из интегральных условий
равновесия), найдем искомое напряженное состояние.
Для Ф = const, например, имеем
q ch 01/Х — 1
G -F ^9,
qshO/X — 1,
q cos 91/1 -— X : с2 sin 0 J/X — 1, X < 1.
Интересный пример получаем, в частности, для клина с осевой
силой. 0 = 0 (при а = л/2 имеем задачу о действии нормальной силы
на границе полуплоскости) ; в этом случае следует положить Х=1,
с2 = 0. Определяя константу С\А = В из условия
— г cos 0d9 = р,
с:
2 sin а
находим
214
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
В рассматриваемой задаче для клина с неоднородностью
Y = + с2гР
радиальное напряжение ог не зависит от угла 0.
§ 16? Плоские задачи в полярных координатах
16.1. Уравнения плоской задачи. Выпишем основные уравнения
плоской задачи теории упругости в полярных координатах г, 0.
Рассмотрим для определенности плоскую деформацию, при кото-
рой компоненты вектора перемещений имеют вид
иг = и (г, 0),
Формулы Коши (12.2) для
1/2е,е дают [54J
uq = и (г, 0), и2 = 0.
компонент тензора деформаций
ег, ее,
(16.1)
ди
ег= ----,
г дг
1
еге = —
(16.2)
1 dv . и
е6 =-----77" Н----,
г дд г
ди , ду и
~дв Г дг т
Из закона Гука для изотропного тела (12.4) получим
вг = Х0 4- 2р ег. о© = М) + 2|хев,
= р ел0, а2 = Х0, arz = aQz = 0,
аналогичные (12.4). Здесь
р. . ди . и , 1 dv
Q=er + eQ= — Н----------Н-----—.
dr г г w
Уравнения равновесия (12.12) запишутся в виде
|-(о,--<т0) + pF,= О,
(16.3)
(16.4)
+ 1 дг г эо г-
9тг0 , 1 Лте
дг 1 т дб
а условие совместности (12.8) —в
д*с' д / ,2 дее \
ЭО2 + ,дг \ дг /
2
jrTTe-l- р/,е = О,
виде
~г дг дгдв
Силовые граничные условия (12.13) принимают форму
аг пг + тгв = qr, тгвпг ]- оепв = q&
(16.5)
(16.6)
(16.7)
§ 16
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
215
Соотношения дают (16.3), разрешенные относительно деформаций, ег= y(^, I ое)—<7<Ув. = YK ;-а0)— qor, (16.8) ег0= 2</тГ0,
где Y=_0^), (16.9)
В случае плоского напряженного состояния имеют место те же соот-
ношения (16.8), но тогда (см. (12.40))
Y=-^. (16.10)
Функция напряжений F(r, 0) в полярных координатах вводится
соотношениями J54]
1 dF , I d2F d2F
r dr r2 dg2 dr8
r,0=-----(16.11)
dr \ r dd / v
При отсутствии массовых сил (Fr=/’e=0) соотношения (16.11)
тождественно удовлетворяют уравнениям равновесия (16.5). Де-
формации (16.8) выражаются через функцию напряжений F(r, 0)
выражениями
э г. d2F
er = YV“F —7——,
л / 1 dF , I W
ее -= YV Р ~~ Ч (----------— I-------—
\ г dr г2 д02
(16.12)
еге =
Подставляя выражения (16.12) .в условие совместности (16.6),
найдем -------------------- ----- -
F (г, 0)
v2(yv2f) = — (-%-
г V dr
I dO*
дифференциальное уравнение для функции напряжений
в полярных координатах [36]:
dq d2F
&F 2 д2д
dr2 drdO
d2F d2g
dr dr dO
d2q dF \
dra dr )
dtF d2q d2F \
dr di) ” dr4 dd*
— ---------— (16.13)
de ) r* de de ’
216
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
16.2. Радиальное распределение напряжений в клине и полу-
плоскости. Рассмотрим бесконечный упругий клин с углом при
вершине, равным 01 +р$, У которого модуль Юнга Е и коэффи-
циент Пуассона v являются непрерывны-
ми функциями координат г, 0, где 0 от-
считывается от оси х, в общем случае
не совпадающей с осью симметрии кли-
на.
Пусть данное тело находится в
обобщенном плоском напряженном со-
стоянии или в состоянии плоской дефор-
мации под действием силы, приложенной
к вершине (рис. 25). Составляющие си-
лы, отнесенные к единице толщины, обо-
значим через Рх, Ру.
Известно, что в изотропном однород-
ном клине (£ = const, v = const) имеет
место радиальное распределение напря-
жений [59]
<тл = (Д cos 0-|-В sin 0)/г, о0= тл0= 0, (16.14)
где Д, В — коэффициенты, определяемые из условий равновесия
части клина, вырезанной дугой произвольного радиуса г
j* crrrcos0d0-=—Рх,
-Pi
(16.15)
&
j* orrsin0d0 = —Py.
Поставим обратную задачу для неоднородного клина: опреде-
лить, каким условиям должны удовлетворять модуль Юнга и ко-
эффициент Пуассона для того, чтобы распределение напряжений
было радиальным [22], т. е. чтобы выполнялось условие
Оо — туо — 0. (16.16)
Рассмотрим сначала плоскую деформацию. При условии
(16.16) второе из уравнений равновесия (16.5) тождественно удов-
летворяется при (7т< = /7о = 0), а второе дает
-^-4-l-Of = 0. (16.17
Из закона Гука (16.8) имеем
ег ~ «е = (V — Q) аг, егв = 0.
§ 16
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
217
что с учетом (16.9) можно записать также в виде
ег = -^-вг, ев=------t-o>, еле=0, (16.18)
Е' Е
где
Е' =--------------------------, ц= ----------. (16.19)
(1—V») »* (l_v)
Используя формулы Коши (16.2), из соотношений (16.18) полу-
чим
ди 1 dv и.г
= о,, -= — ——аг— и,
dr----------------Е-г дО-Е
(16.20)
Уравнения (16.17), (16.20) составляют систему уравнений для
определения функций и, v, иг; эта система является переопреде-
ленной. Переопределенность системы вызвана дополнительным
требованием (16.16) ; эта переопределенность, с другой стороны, и
дает условие на функции р, при котором система (16.17),
(16.20) совместно с условием (16.15) определяет решение рассмат-
риваемой задачи о равновесии неоднородного клина.
Интегрирование уравнения (16.17) дает
(Тг = -*-/(0).
г
(16.21)
Из первых двух уравнений (16.20) найдем
f f(G) . . ,
и = \ - ; - dr । и ,
J rE'
J-2^-dr]de + a'. (16.22)
Здесь f(0)—произвольная функция, v' — функции, определяю-
щие перемещения клина как абсолютно твердого тела.
Третье уравнение (16.20) дает условие совместности системы
трех уравнений (16.20) для двух функций и, и, которое после пре-
образований примет вид (22]
----г——— (-&-} = 0. (16.23)
002 \ Е' ] Е' dr \ Е' ) dr2 \ Е' )
Таким образом, распределение напряжений будет радиальным
во всех случаях, когда функции ц удовлетворяют уравнению
(16.23), в которое входит также и неизвестная функция f (0); она
должна удовлетворять условиям равновесия (16.15).
218
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
В случае обобщенного плоского напряженного состояния по-
лучатся те же результаты (16.21) —(16.23) с заменой величин Е\
ц соответственно на Е, v.
Рассмотрим случай постоянного коэффициента Пуассона
Е= Е(г, 0), v= const. (16.24}
Уравнение (16.23) примет тогда вид
<16-25>
of)2 \ Е / Е or \ Е / dr2 \ Е )
причем в случае плоской деформации p = v/(l—v) и в случае обоб-
щенного плоского напряженного состояния p=v.
Пусть модуль Юнга Е представим в виде
£=Е,(г)Ее(0). (16.26)
Подставляя (16.26) в уравнение (16.25) и разделяя перемен-
ные, получим
(16.27)
где п—произвольное число. Интегрируя уравнения (16.27), для
и=#0 найдем
-4— = Acosn0 + Bsin/z0,
eq
—— = qra + с2г-1/Ц;
ЕГ
£е(0)
(16.28)
(16.29)
Здесь А, В, ci, С2 — произвольные постоянные. При заданном а па-
раметр п определяется формулой
]/(1 — a) (1 + ра) . (16.30)
Функция Е (0) произвольна; необходимо лишь выполнение усло-
вия £>0.
Если материал обладает модулем упругости £(г, 0), принад-
лежащим классу функций (16.29), в клине реализуется радиаль-
ное распределению напряжений вида
$ 16
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
219
Ел (0)
<гг =-------(4 cos п0 + В sin /Ю),
ог0 = тг0 = О. (16.31)
Коэффициенты А, В находятся при этом из условий равновесия
(16.15).
Число п будет действительным при —1/р,<а<1 и мнимым
при а>1 и а<—1/р. При мнимых п косинус и синус в соотноше-
нии (16.31) должны быть заменены гиперболическими косинусом
и синусом аргумента т0. В формуле (16.29) величина а может
быть комплексным числом вида
а -----—р — а j 1----— = —> £ —И-----б/,
2ц р 2р
где б — произвольное положительное число. Соответствующий мо-
дуль Юнга представляется функцией
Eq (0)
Е _____________—__________г 2н ,
q cos (6 In г) + sin (б In г)
а напряжение ог определяется формулой (16.31), в которой сле-
дует принять
V 4|*
При -v = 0, р=0 модуль, обеспечивающий радиальное распре-
деление напряжений, получится как предел выражения (16.29)
(при ci =/=0)
Е = Ео (0) г-», п = /Г^а.
Кроме неоднородности (16.29) существует еще неоднород-
ность (соответствующая значению п=0)
Е = Ее (0) (qr + qr-1^)-!, (16.32)
при которой получается радиальное распределение напряжений вида
о, = у- Ев (0) [А±В 0], Ое = тг0 ='й0. (16.33)
При постоянном модуле Е (в формуле (16.29) следует поло-
жить Eq=const, q=ct=0) получаем известное решение (16.14).
Если модуль Е является суммой выражений вида (16.29) при
различных а, то распределение напряжений не будет радиальным.
Однако для частных видов клина и нагрузки существуют случаи,
когда функция 1/Е представляется в виде суммы произведений,
220
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
обратных (16.29), а распределение напряжений будет радиаль-
ным. Отметим два таких случая.
Пусть модуль Юнга Е задан в виде
Е= Ео (0) [с10г -Ь с20г-'^ -J-
+ £ .ь c2kcosnft б]"1. (16.34)
k=\ J
Здесь 0 отсчитывается от оси х, совпадающей с осью симметрии
клина (Р] = Р2=₽), Си, с2к — постоянные, не равные нулю одно-
временно, Ео — четная функция 0 и причем такая, что £>0 во
всей области клина,
П*= /(1 — а») (1 цаА) .
Распределение напряжений от силы, направленной по оси симмет-
рии (Ру=0), найдется по формуле
AE~ (0) п
а, =--—-, ere = 9 = 0.
(16.35)
Коэффициент А определится из первого
условия (16.15); второе условие (16.15)
удовлетворится тождественно. При р =
= получим решение для полуплоско-
сти под действием нормальной силы Рх
(рис. 26). Если в формуле (16.34) вели-
чина Eq — постоянная, то решение имеет
вид
р
<Jr --------Не = tro = о.
2г
Линии одинакового напряжения о> = const (изобары) имеют форму
окружностей с центром в точке приложения силы (рис. 26).
Пусть теперь модуль Юнга Е задан в виде
£ = £о (0) | (с10г 1- V1/tl)9 b
N
L^r-^+'-’^sinnfeO]-*. (16.36)
А=1
Здесь 0 отсчитывается от оси симметрии клина, Eq — нечетная
функция 0, но такая, что £>0 во всей области клина. Распреде-
ление напряжений от силы Ру, нормальной к оси клина (PX = Q),
найдется по формулам (16.35). Из условий равновесия (16.15)
§ 10
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
221
первое удовлетворится тождественно, второе служит для опреде-
ления постоянной А.
Если в суммах (16.34), (16.36) есть члены с а^>1 и ал<1/р,
то соответствующие косинус и синус должны быть заменены ги-
перболическими косинусом и синусом аргумента inQ.
Рассмотрим теперь неоднородность Е = Е(х) вида
Е = Ет хт = Emrm cos™ 6, (16.37)
где tn — любое действительное число (х отсчитывается от оси, в
общем случае не перпендикулярной к оси симметрии клина). Со-
отношение (16.37) получается из выражения (16.29), если в нем
положить
сг = 1, с2~0, а = — т, Eq= Етcos™6.
Постоянная
п= К(1 т) (1 -pm)
будет действительной при —1<т<1/ц и мнимой при т<— 1 и
т>1/ц. Напряжение аг определится формулой
в,= — cos™ 9 (Лcos + В slnnO). (16.38)
г
Для коэффициентов А и В имеем уравнения
02 02
A С cosn0cosm+1 0dO + В J sin n0 cos™4-10^0 =—PXi
-0i -0i
(16.39)
02 02
A J cos nOcos™ 0 sin Od0 | В J sin n0cos™0sin0d0 = —Py.
-0i -0i
В случае мнимого n = тг
or = — cos™ 0 (Л ch n-fi 4- В sh ^O).
Рассмотрим подробнее задачу о полуплоскости при двух частных
случаях неоднородности (16.37).
Пусть модуль Е задан в виде
Е = Егх (т = 1, а = — 1).
Из соотношений (16.38) и (16.39) найдем
1 4- 11 COS 0/1 п л ’ гЛ
—- --------- —nP.COSnO -PwSHiH0 ,
f tin \ r \2 x v '
a,
sin
zi—]/2(l—ji) .
(16.40)
222
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Так как коэффициент Пуассона для различных материалов меняет-
ся в пределах от 0 до 0,5, то при обобщенном плоском напряжен-
ном состоянии При плоской деформации и
[/2, причем п=0 соответствует несжимаемому материалу
(v=0,5). В последнем случае формула (5.40) теряет силу; выра-
жение для Е следует рассматривать как частный случай соотно-
шения (16.32) и ему соответствует напряжение (16.33), т. е.
Отсюда видно, что распределение напряжений под действием
нормальной силы (Ру=0) для плоской деформации и несжимае-
мого материала получается таким же, как для однородной изо-
тропной полуплоскости. Такой же результат получается и для
неоднородности вида
Е = fjcosfqr + 1-
Для обобщенного плоского напряженного состояния и несжи-
маемого материала п=1 и
аг= — 0,75 Рх cos2 б/r.
Линии одинаковых напряжений (изобары) будут иметь овальную
форму (рис. 27).
Рассмотрим задачу о клине при модуле Юнга Е вида
Е=Е_!/Х.
Это выражение есть частный случай соотношения (16.32) при зна-
чениях
q = 1, с2 = 0, Ео =
cos 0
§ 16
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
223
Для клина с осью х, совпадающей с осью симметрии (р1 = 02=Р)>
получим
<т,=—5—— р„о1,
2rcos0 |_ 0 £<0) V J
3
g(P) = Jetgedo.
О
При стремлении р к л/2 величина g неограниченно возрастает и
для полуплоскости получим
0Г
рх
лх
Таким образом, получаем следующий результат: для полупло-
скости, у которой модуль Юнга Е изменяется обратно пропорцио-
нально расстоянию от границы, а коэффициент Пуассона постоя-
нен, сила, направленная вдоль границы, не вызывает напряжений.
Напряжение от нормальной силы изменяется по такому же закону,
как и модуль £, так что изобарами or=const будут прямые, па-
раллельные границе (рис. 28).
Некоторые вопросы, связанные с радиальным распределением
напряжений в полуплоскости, рассмотрены также в работе [55].
16.3. Задача термоупругости для цилиндрического свода. Диф-
ференциальные уравнения плоской задачи несвязанной термоуп-
ругости в полярных координатах (для случая плоской деформа-
ции), используя безразмерные величины
°U> “i = u{/rlt 7= г/гг, 0, (16.41)
ZCr )
можно записать в виде [49] (в дальнейшем для простоты записи
значки под буквами опустим)
даг t —] 1
дг ' г + г
дтг0
дО
V2K + oe + a(l |-v)T] —!------
dr 1 — v дг
224
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. -3
дтг0 1 д In Q d<rB 1 д In G
' ~~дг~ r(i —v) 30 "Зе- /•‘(1—v) “33
дтг0 1 д In G ( & ( 1 дIn G
+ д9 г (I — v) dr dr \ 1—v дг )
д j 1 д InG \ 1 д InG
r0 dr \ r (I — v) 50 / r (I —< v) dr
1 dlnG ' G0 d ( \ dlnG
1“ r2 (l _ v) ад b -72 ao“ 30 J +
Здесь v2 —оператор Лапласа
-JL . 1
dr* r dr r* 502
Кроме того, имеем соотношения между деформациями и напряже-
ниями
ег= ог----—-—не -!- а(1 4- v)T,
1 — V
ев = <Го------—or I «(14 v)T, (16.43)
1 —'V
ёгВ = —----Ore,
1 — V
0г = v (<fr -j Ge) — a (1 — v2) T
и формулы Коши
dur диa
~дГ = ег> ~дв- + иг = ге^ (16.44)
dur duQ
30 Г ~~dr Uq== 2f^e-
В соотношениях (16.42), (16.43) величина a — коэффициент ли-
нейного теплового расширения, Т — отклонение температуры от
начальной равномерной температуры.
Рассмотрим задачу о цилиндрическом своде
—Оо<в<0о, 0<г<£, А»/?,
подверженном воздействию заданного неравномерного осесиммет-
ричного поля температур Г (г) [49]. Модуль сдвига G(T) и коэф-
фициент Пуассона v(T) материала будем считать произвольными
функциями температуры.
§ is
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
225
Цилиндрические поверхности r=l, r = R свободны от нагру-
зок
<yr (1) = <тг (Z?) = тгв (1) = тге(/?) = 0. (16.45)
На опорах 9=±60 рассмотрим два варианта условий закрепле-
ния, соответствующие интегральным условиям шарнирного опира-
ния и жесткой заделки
л crB2G
[ -----(г —r0)dr = 0,
J 1 —V
иг (г0, ± 0О) = “е (го> ± %) = °;
dafl I
-5Г- =0,
дг |/-0, ±е.
иг (г0, ± е0) = Ue (г0. ± %) = 0-
(16.46)
(16.47)
Переходя к решению поставленной задачи, компоненты на-
пряжений представим в виде
<тг = <т? 4- o' cos 0,
тл0 = t*0 Sin 0, 0*0 = (Ге + 00 cos 6, (16.48)
где On бе, Trot i = 0, 1—функции, зависящие только от радиуса.
Тогда для этих функций из уравнений (16.42) получим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
JzL gfT-g0? [ _ а? 1 п () = 0,
dr г dr 1
Vofc^ + (Ге + а(1 + 'v)^] + г
L_
dr \ 1 —v
dar | q9
dr r
do} a#
dr
dr
dlnG \ . о
~Г~) +<Tr7(i-v)
Н----в + °г ~— In
г dr
4----ire -f- —-— 1п -
г г dr
91 1 do} 1
Vi (tfr + <*е) + —-----------:------
dr 1 — v
1 — v
1 d In G ,
dlnG ^Q.
(dr
-^-=0.
I —V
° 0,
(16.49)
1 —V
dlnG
dr
I — V
1
226
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
, d ( 1 d\nG \ 1 dlnG ,
dr \ 1 — v dr / г (1 — v) dr
+ т'в-г1-; = °- (16.50)
г (1v) dr
Здесь
2 _ d2 , 1 d о d2 , 1 d 1
V° — ~T~2 1-------—» Vl — ~7"Z 1------------——•
dr2 r dr dr2 r dr r2
Можно показать, что система уравнений (16.49), (16.50) при
произвольных функциях G(T) и v(T) имеет три интеграла [49]
+ 4) = - -{а (1 + v) TJ +
dr dr
. 2с2 <Jr d In G
r 1 — v dr
d Z^ + pq \ _ 4co dlnG
dr \ r / r3 r (1 — v) dr
ГТ* A— c(1— v)-
(16.51)
причем вследствие требований, налагаемых условиями (16.45), сле-
дует положить с = 0.
Учитывая упрощения, вносимые соотношениями (16.51) в си-
стему уравнений (16.49), (16.50), и выполняя необходимые преоб-
разования, приведем систему (16.49), (16.50) к двум независимым
интегральным уравнениям Вольтерра относительно функций а?
и о/
<т? = /о (И + j Ко (г, t) 0°г (0 dt, (16.52)
1
<’r = fl(r)+ UAr, t)Or{t)dt.
Здесь t2 Ко(гА)= ~г r 1 d In G d ln G j ___ [2(1—m) dt dt 1— v. J 1 ding 2(1—v) dt ’
/3 Г 1 dlnG d )n G I _ [ 4 (1 — v) dt dt 1 — v] J 1 r dlnG 4(1— v) t dt '
§ 16
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
227
В качестве fo(r) и fi(r) в уравнениях (16.52) выписано точное
решение задачи, соответствующее случаю постоянных модулей
fo(r)= с°г~2 +со1пг + с? — r~2 jа(1 + v)Trdr,
fi (r) = со+ Hr + dr-3, (16.53)
где cl c} (i = 1, 2, 3; /= 0, 1, 2) — константы, связанные соотноше-
ниями
С1 Сз = 0, Со 4“ С1 4" С2 = 0.
После нахождения функций а? и величины а© и ого определяются
из соотношений
Ge = —а?— а(1 + v) Т + 2с° In г + 2с? 4- с° — С ——------ ln G dr,
J 1 — v dr
(16.54)
Г 1
1 1 i a 1 I n 1 1 С d In G »
ae = —Or 4- 4С1Г 4* 2c0----r I —------ —-—dr.
r J r (1 — v) dr
Система дифференциальных уравнений для определения ком-
понент вектора перемещений ur, и о по известному полю напряже-
ний, полученная из соотношений (16.43), (16.44) и (16.48), может
быть проинтегрирована в общем виде при произвольных функциях
G(T) и v(T). В результате
г о
“r= j р? —V (1 +a(l +v)rj dr +
+ cos0 ( Га' —v ———1 dr + C3COS0 + 2c? — c® + 2cj0sin0,
J L • (1—v) J
1
ие = I r ae — a? v + a (1 + v) T —
IL (1 —v) J
r
— Па? — ae1 • 51 + a (1 -j v) T 1 dr] 0 :
J L (1 — v) J J
+ sin 0 (г I a*e — aj-?—1 — С Га) — аё--------—I dr
I L a-'-) J J L а-v) J
— cjslnO — (2c? —c?)0 — 2coSin0 + 2cq0cos0. (16.55)
228
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Константы интегрирования в выражениях (16.55) выписаны с уче-
том требований, вытекающих из условий симметрии задачи.
Интегральные уравнения (16.52) могут быть решены методом
последовательных приближений; за первое приближение примем
значения а?= /0(г), = заданные формулами (16.53).
Анализ экспериментальных зависимостей G(T) и v(T) реальных
материалов показывает, что для представляющих практический
интерес случаев условия на Ko(G 0 и Ki(rt /), обеспечивающие
сходимость метода последовательных приближений, выполняются.
Величины о?, о} в /г-ном приближении могут быть записаны
в явном виде, после чего, используя соотношения (16.48) и (16.54),
найдем поле напряжений в /г-ном приближении
<т,л = с“п г-’ 4- с°2п In г 4- с?” ! - г~ 4° (г) 4-
4- Л°_, (г) 4- [со*г-1 * 4- с'"г 4- + Л-i (г)]cos 6,
— сГг-2 -ь 4"lnr 4-с?"4-
+ _ а (1 -|. v) Т — г-1 /»(г) - JL1 (Г) —
- (г) 4- ро“ г-1 4- Зс\пг — с\п г-3 - J*_l - Р'п-l (г)] COS е,
т?9 = fcj" Г-1 4- г -ь cln 1-? 4- Л-iJsln 0,
где
Л (Г) = j Ко (Г, о О?" (/) dt, Л = О, Л = О,
1
Л(г)=^К1(г, tjv'/ttjdt,
1° = —г-1 fa (1 + v)Trdr,
r On
1
dr,
dr
Из соотношений (16.55) получаются теперь перемещения игг, uq в
n-ном приближении
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
229
§ 16
и? = j р°п г-2 + № (1 — 2v) In г J с?" (1 — 2v) —
1
— <$"*] (1 —v)-1 dr 4- COS0 J [Co" (1 —2v) r~* +
1
-h cl" (1 — 4v) r -j- 4" r—3J (1 — V)-' dr + 2c?n — c®1 -H
+ 2cJ" 6 sin 0 сз" cos 0 + Qi* (r, 0);
4 = — 0 J jc?n (1 — 2v) — c®" v + c?n (i — 2v) In r
1
+ c°" r-2] (1 — V)-1 dr + 0 [сГ (1 — 2v) r +
+ c°2n r (1 - v) — 2c?"(1 — V) -1- c?" (1 — v) -b
+ c°”(l—2v) rlnr-c^r-qfl-v)-' +
+ sin 0p!" (3 — 4v) r2 — Co" — cl" r~2 —
— (1 — v)] (1 — V)-1 — sin 0 j [4я r-3 +
1
+ Co" (1 — 2v) Г-1 4- cl” (1 — 4v) r] (1 — V)-1 dr +
4-2co"0cos 0 — Q"(r, 0),
где
Q" = j{a(l + v) T + r-Ч* + J°n^ - vP°_,J (1 -v)-' di +
1
+ COS 0 J (Д-l + vPln-i) (1 — v)-1 dr,
1
Q» = op-(1 -v)-' + rPS-! + (1 -v)-1 /» +
+ 0 j [a (1 + v) T + r-1 /» + J°-1 + VP°_, 1(1 - V)-' dr +
I
+ Sin0[r(l - v)-‘Ji_i+rPi-i +
+ j (Л-l I vPi-i)(l-v)-’dr.
230
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Удовлетворяя граничным условиям (16.47), придем к системе
семи линейных алгебраических уравнений относительно семи неиз-
вестных с}- (/=1,2,3; /=0, ... ,3). Эта система, имеющая
единственное решение, выписана в работе [49].
§ 17. Плоские задачи
в прямоугольных координатах
17.1. Деформация неограниченной плоскости (пластинки).
Функция напряжений F(xb х2), вводимая в плоской задаче соот-
ношениями (12.46)
a// = 6//V*F--^, (17.1)
7 7 dxidxj
удовлетворяет дифференциальному уравнению (12.47)
' v ’ дх* дх* дХ1дх2 дх,дхг дх2 дх2 ’
(17.2)
в котором функции у(хь х2) и q(xlt х2), характеризующие упругие
свойства среды, определены формулами (12.39), (12.40).
Представим функции q, у в виде (13.5).
? = 9oll+ Hi(JCi. *2)]» Y= Yo[1 I М-Ч. *2)J> (17-3)
где Yo — константы.
Применение метода возмущений к уравнению (17.2) дает
(§ 13) представление решения этого уравнения в виде
7?=£Л(Х1. х2), (17.4)
fe=0
причем функция Fo является бигармонической
7^0=0, (17.5)
а функция Fk, k > 1 удовлетворяет уравнению
V4Fk = ru_b 6=1,2........
_ <7о ( dVi ^k-i 9 даЩ da^-i
где Г]*—। ^2 $х2 дхгдх^ дХ1дхг
+ S' ~ V2(p2V2^-i).
дх% UA i у
§ 17
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
231
Напряжения at/ представимы в виде
&ij — У (17.6)
л-о
и функции О/; выражаются через Fk соотношениями (17.1)
<£• = ---k = О, 1, 2, ...
4 * dxidxj
Ограничиваясь в разложении (17.4) двумя членами, имеем
F= FQ(xlt х2) -г F1(xli х2), (17.7)
®ij = (л 1> *2) “Г (*!’ хъ)'
Функция Fo удовлетворяет уравнению (17.5), а для функции F± имеем
уравнение
4/7 = Чо ( д2Р1 ___ 2 d2p! d2Ff)
1 Yo 0^2 дх2 дХ1дх2 dxidxo
1- ~ V2(h2V^o)- (17.8)
Оху v х । j
При постановке плоской задачи в напряжениях компоненты
тензора напряжений atj (г, /=1, 2) удовлетворяют уравнениям
= 0, V2 (Yffm) = -т^-. (17.9)
dxj dxidxj
Решение системы уравнений (17.9) методом возмущений при-
водит к представлению напряжений в виде ряда (17.6), причем
для функций
а?/ и crj/, в частности, имеем системы уравнений
—^=0, v2<T°„=0; (17.10)
OXj
-^- = 0, (17.11)
dxj Yo dx^xj
Рассмотрим задачу о деформации неограниченной плоскости
(пластинки) заданными на бесконечности напряжениями т?у [28].
Решение системы уравнений (17.10) при заданных условиях
на бесконечности имеет вид
о?/ =-• тф = const.
232
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Для а},- имеем тогда систему уравнений
Ч А I w-j2 /1 *7 1 П\
v, V ^пп Tfy •--• -Хпп V М-2 (17.12)
d*i Yo dxcdxj n 7
и условие обращения <r}7- в нуль на бесконечности.
Сделаем общие предположения относительно функций р2,.
а именно, что они представимы в виде интегралов Фурье—Стиль-
тьеса
Ш {ela^dzm(as), т= 1, 2. (17.13)
/2л J
и будем искать решение системы уравнений (17.12) в виде
2
<T.!/(xs) = -L- J £ (17.14)
' Я т=1
Используя (17.13) и (17.14), из (17.12) для В™ получим систему
алгебраических уравнений J28J
а,В£=0> В^ = ст (т = 1,2), (17.15)
где
а2 = akak = а? + а2.
Решая систему уравнений (17.15), найдем
---ст. (17.16)
Таким образом, решение рассматриваемой задачи в приближении
(17,7) имеет вид
<гу = т?. + [т»л (- S;/. ) dzz (аъ а,) +
’ /2 л J L \ а /
+ ^,^(б;/--^>1(а1) аа)1. (17.17)
Yo а2 \ а2 J J
17.2. Плоская задача для тел с быстро осциллирующими упру-
гими свойствами. Дадим постановку и метод построения асимпто-
тических решений плоских задач теории упругости для тел с
быстро осциллирующими упругими свойствами [27].
Рассмотрим плоскую краевую задачу при заданных на грани-
це тела напряжениях. Граничные условия в декартовых координа-
тах х, у имеют вид
§ 17 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 233
+ Ws = Ях,
хх^ + ^упу = Яу (17.18)
Краевую задачу (17.2), (17.1,8) будем решать методом возму-
щений. Решение ее тогда представляется в виде (17.4), (17.6) либо
(при ограничении в разложениях метода возмущений двумя чле-
нами) в виде (17.7). Функция Fq(x, у) является решением плоской
задачи теории упругости однородного тела
V*Fo=0,
ХхуПи= qx,
&уПх + <$пд= qy. (17.19)
при заданных поверхностных силах qx, q}J- Будем считать, что за-
дача (17.19) решена и функции FQ, сг?, <т°, известны.
Для функции F1(x> у) имеем тогда краевую задачу
-V4(*° I-aXl}. (17.20)
ОхПх-]Гх„Пу= 0,
*хуП* + aVny =°-
Здесь использовано представление (17.3) и введены обозначения
41 = Чъ ~ УоРг- Функции <у£, выражаются через Ft соот-
ношениями
т1 d2F'
* ду- ' у дх2 ’ 'У дхду '
Величины qlt q2 зададим в виде
Ят = £ ^'cos (aakx + <s$ky <fk), т = 1, 2. (17.21)
А—1
Введя обозначения
а = min {аД 0 = min {0Л},
примем, что а и р — положительные безразмерные величины по-
рядка 1, а со — большой параметр, имеющий размерность, обрат-
ную длине, так что q», — почти периодические быстро осциллирую-
щие функции координат.
234
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Для удобства перейдем к комплексным переменным и рас-
смотрим функции комплексного переменного q^, определяемые со-
отношениями
7° = £ m=l, 2, (17.22)
где комплексные амплитуды рГ имеют значения
Ц/Г = X™ (cos фб -! i sin ф*). (17.23)
Функции q*m введены так, что их действительные части совпадают с
(17.21)
Re<7« = qm-
Рассмотрим краевую задачу (17.20), в которой qnl и заменены
величинами q°m, F?(ReF? = Используя (17.22), найдем
(х, у. со) е^х+^у\ (17.24)
где
Ф* (*, У, «>) = — [--ц£(<4(Та- + pla°) 4-
Yo I
2 Г/_2 t q24 z J) , 1 о_. d(ax + a(/) ,
T Ц/г (ct/? T Pft) (^x "Г &y)-~ ( Ctfe ~ Г
Решение уравнения (17.24) при однородных граничных условиях
(17.20) представим в виде
= £ (t4 -I ф4), (17.26)
k^-л
где U есть частное решение уравнения
= <o^fc (х, у, с») (17.27)
а Фй — решение краевой задачи
у*фк=о, (17.28)
А;[ФЛ= - Ц[ик], i=l,2-
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
235
Здесь Lj — операторы
г д2 д2 г д2 . д2
ду2 у дхду дхду дх2
Разыскивая далее частные решения уравнения (17.27) в виде
Uk = — fk (х, у, со) (17.29)
(О2
для fk получим уравнение
(«1 + Рл) fk-— (al + pi) (ak h Pa ——
о \ dx dy J
----T" 2 T(ai + pi) V2ffe + 2 (ak --1- p* —Л fk 1 +
co2 [ \ dx dy / J
+ ~T 41 (a* 4" + 0* 44 + “T = ^x' y’
cd» \ dx dy J (o4
(17.30)
а краевая задача (17.28) примет вид
А4Ф(-0, L,]O*]=Pi(*. У, “) (17.31).
Здесь использованы обозначения
р'к{х, у, <0) = ₽*(Мх — + — i Г₽А (~Г~пу Пх) —
(о [ \ дх * ду /
/а \ dfk 1 । 1 Г д / dfk dfk \
4 * * * и! ду J I Ш2 L ду \ дх и ду/
__ / дп« дп* \ I
\ дх ду ду ду / J ’
Р2к (х, у у (D) = ак (akn — $knx) fk + — i ГаА пх— л,) —
— —Мх)-^-] +
I 1 Г d / dfk я dfk п \ __ / dfk dnx dfk дпу \ 1
(о2 [ дх \ ду х дх у] \ ду дх дх дх J J
Определение последующих приближений в разложении (17.4)
тем же способом сводится к определению частного решения урав-
нения (17.30) с измененной правой частью и к краевой задаче
вида (17.31).
Краевая задача (17.31) при большом параметре <о является
задачей с быстро осциллирующими граничными условиями. Она
236
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
имеет решение типа пограничного слоя, быстро затухающее по
мере удаления в глубь области s тела.
Построим решение задачи (17.31) типа пограничного слоя в
области у^Ь вблизи границы у = Ь тела. Делая замену
фд = -L- vk(x, t)eiala^kb\
t = со(6 — у),
из (17.31) для функции vk(x, t) получим уравнение
д*иь г» 2 d2vk 4 -1л- д / d2vk \ t
“ 2а* ж 1' 1---4la* +
dt* dt2 (о дх \ dt2 )
(D4 дх4
(17.32)
и граничные условия
2 1 п* dt/fe I
— uk п---------ziafe ——(--
(о дх
2 f 1 9М dfk
— a-kfk--------77 —-------
(0 C“
dvb 1
1 ^k __
(о2 дх2
I
дх2 ’
dx co2
1 &vk _
to dxdt
= ——— » (₽fc — т«Д )-----------------------— -^-1. (17.33)
[ k™'k ы V дх к dy ) а? дхду J v '
В соотношениях (17.33) значения функции vk и ее производных
берутся при /=0, а значения fk и ее производных — при у=Ь.
Построение решения краевой задачи (17.31) типа погранич-
ного слоя в общем случае проведем позже.
Сейчас рассмотрим класс задач, в которых величины о°,
т2у, являющиеся решением задачи (17.19), не зависят от коорди-
нат. В этом случае ф/. нс зависят от х, у, со и уравнение (17.30)
имеет решение
fk — = const. (17.34)
Дифференциальному уравнению (17.32) и граничным условиям
(17.33) можно при этом удовлетворить функцией vh(t), не зави-
сящей от х, причем
4V~ + ukvk = О,
§ 17 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 237
(17.35)
Характеристическое уравнение для уравнения (17.35) имеет
двукратный отрицательный корень М,2 = —а/j, и потому общим ре-
шением уравнения (17.35) типа пограничного слоя будет [10]
(С1 + с20
Определяя сь с2 из условий (17.35) и переходя к переменной у,
найдем
Vfc= —Л[1 +<o(afc— — 2/>JexpJ—шак(Ь — t/)J. (17.36)
Аналогично при построении решения задачи (17.31) типа погра-
ничного слоя в области £/ > — b вблизи границы у = — Ь тела, делая
замену
ф* = -±-vk(x, 0exp[i<o(afcx —рл&)1, t = <a(b + y), (17.37)
(Da
получим дифференциальное уравнение (17.32) и граничные условия
+ - 2ia/-^ + -L ----L2fat --------
k CD к дх со2 дх2 к (О к дх о2 дх* '
= ^kfk---------- »(₽» — +«* — ')------------- (17.38)
v ш V dx dy ) a? dxdy
Г' 0 0 0
Если (Ух» oy, %Ху не зависят от координат, то точное решение типа
пограничного слоя задачи (17.31) вместо (17.36) получим в виде
Ы1 +©(aft-t-tP*)(ft-i-^)]exp[—(oaft(ft-t~y)J. (17.39)
Рассмотрим задачу построения решения краевой задачи
(17.31) типа пограничного слоя в общем случае, когда сг°, о°,
являются функциями координат х, у.
Найдем сначала частное решение уравнения (17.30), опреде-
лив его в виде
оо
fk(x, у, ®)^ У у). (17.40)
т— 0
238
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 5
Из (17.40), (17.30) и (17.25) получим рекуррентные формулы
” 777^;Н-(1 -s“>I-и;(«м+2«.м, нэдн-
+ Hi (а1 1 Pl) W + <$] - - e!n (1 - 010 f aft +
Yo [dr
+ P* —<^-1 + 0m4/(al + pl) (ak 4- p* /Г1 +
dy J \ dx .dy )
+ 201, Г (al + Pl) у2/?-2 + 2 (aft -A + pft jLV f™~2] -
L \ dx ' dy J ]
~ 4i01> (a* -A- 4- pfc 4") V2K~3 “ 0m WT41,
\ dx dy J J
(т=0, 1, 2, ...), /l=0(r<0).
определяющие функции /Г(х, у). Здесь
ftS ( 0 при tn < s, . . . л i n \
Om = { (s= 1, ... , 4; m= 0, 1, 2, ...).
I 1 при m > s
Займемся построением решения типа пограничного слоя зада-
чи (17.31) в области у^—b вблизи границы у =—b тела.
Делая замену (17.37), из (17.31) получим дифференциальное
уравнение (17.32) и граничные условия (17.38). Подставляя (17.40)
в (17.38) и разыскивая решение краевой задачи (17.32), (17.38)
в виде разложения по степеням малого параметра 1/о>
t, ®) = 0.
(17-41)
z=o
для vi(x, t) 1 = 0, 1, 2, ... получим рекуррентные последовательности
обыкновенных дифференциальных уравнений
2 d2vlk ,
dt^ di2 *
. f d2vlk 1 о » A 2 / d2ulk 2
“ - 4i“«e! —ai oi ,) -295 -
-3<W’)-’'ТТГ- <l7-42>
/ dx3 dx*
и краевых условий
/ fl , 2i I d jfl-l /-k 1 ft2 JL/fM . j-2v
Vk~ —fk “1-- vk ) -r —0/ - •— {[k “Г ),
Ok dx a* ox*
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
239
V С л2
----------I I -4 и/ ------------.
ду--------dxdt / ah dxdt
(17.43)
В соотношениях (17.43) значения и их производных берутся
при / = 0, а значения flk и их производных — при # = —Ь. Кроме
того, в (17.42) и (17.43) следует считать vi =0 (г<0).
Краевая задача (17.42), (17.43) при 1=0 имеет вид
9 4 0
—- — 2ak —- -t <4 Vk = О,
^felr=o= — Д, —= —$kfk
dt /=o
и потому решение типа пограничного слоя для определится соот-
ношением
£ = - ft (X, - b) [ 1 -|- <о (а* -г фк) 0 I f/)] e-^b^
Легко также строятся последующие приближения и* (I -
= 1, 2, ...) как решения неоднородных уравнений (17.42) при усло-
виях (17.43).
Сходимость указанного интерационного процесса исследована
в работе [10]. Там же даны оценки невязки (17.37), (17.41) (при
обрывании ряда (17.41)) по отношению к самой функции ФА и
к ее производным различных порядков.
17.3. Задача о растяжении полуплоскости с быстро осцилли-
рующими упругими свойствами. Приведем пример применения из-
ложенного выше метода быстрой осцилляции. Для этого рассмот-
рим задачу о растяжении полуплоскости с быстро осциллирующи-
ми упругими свойствами [27], сохранив предположения и обозна-
чения, принятые в п. 17.2.
Пусть к полуплоскости у^О на бесконечности (х-^±оо) при-
ложены напряжения ох = ао. Тогда решение задачи (17.19) имеет
вид
<4 = <Т0> <4 = х°у =
и из (17.34) и (17.25) получим
h =-------z-5— ----1 —1*1(4 -г|4(<4 -!-₽*)!•
Yo(<4 НРй)-
На основании (17.26), (17.29) и (17.37), (17.39) при b - 0, най-
дем
240
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
= -Т XА{e“*«***+₽**'>-11 + <о(ак -ь iMyie-^ е^}.
(£Г ЛшвЛ
fc=l
Ограничиваясь в разложении (17.4) двумя членами и используя
(17.23) для функции напряжений
F=F0 + ReF?,
получим
F = X t008 ^х + + Ч>*) ~
2 (о2 АшЛ
fe=-l
— 1(1+ “<w) cos (®akx + <pft) —
—ч$ку sin (<лакх + <pA)J e~aa^}, (17.44)
где
mk = Yo4 (a* + P*)" 21— a* 4- Л* (ak + ₽£)]•
Напряжения, соответствующие функции напряжений (17.44),
даются соотношениями
0х = <уо[1т J mfcsl(x, //)],
аи= а»Е т^х’
Л=1
Тж»=<уо£ tnksl(x, у),
£==1
в которых функции sk(x, у) имеют выражения
si (х, у) = — р* cos (сххлх о$ку + <pft) +
+ [— aftp*(2 — <BaAy)sin((oakx }<₽*) +
+ a* (1 — ®a^) cos (<oaftx + <p*)J
sl(x, y)= —ala>s(<Mkx + <$ky+<?k)-\
-I- ajj—(oPfct/Sin (aakx + <p*) +
-t- (1 4 aaky) cos (a>afex 4 <pk)J
s* (x, y)= akpk cos (<oakx 4- ®Pa& + <₽*)+
S 17 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 241
b a J<oai у sin (<ваАх + фА) —
— (1 —амку) cos (ахх4х 4-
Построение высших приближений метода возмущений в зада-
че о растяжении неоднородной полуплоскости с упругой неодно-
родностью вида (17.21) проведено в работе [57]. Там же изучена
практическая сходимость метода возмущений в зависимости от па-
раметра Х/уо, где X— характерное значение параметров А™, вхо-
дящих в соотношение (17.21); расчеты показывают, что первое
приближение (приближение (17.7)) дает хорошие результаты при
А/уо<О,5.
17.4. Растяжение полосы с быстро осциллирующими упругими
свойствами. Рассмотрим длинную прямоугольную полосу (пла-
стинку)
— a<x<a, —a/6»l, (17.45)
растягиваемую в направлении х приложенными к краям х=±а
силами величиной 2Ьо0 [27, 31].
Граничным условиям при х=±а будем удовлетворять инте-
грально
Используя решения типа пограничного слоя (17.36) и (17.39),
соответственно при у=Ь и у=—Ь, напряжения получим в форме
О» =°о [1 + rnksk(x, у)], <J#= <т0£ mksk(x, у), (17.46)
*,» = °о£ «*(*. У),
*=1
где
mk = ------;----‘---- (— ^АаА + ^А («А + Ра)1>
V(«a + Pa)2
а sijx, у) определяются соотношениями
si = — Pacosгк 4- {— «аРа (2 Ь <oaft (b — у) sinz'k 4-
+ ак (1 4- оа* (6 — у)) cos гк]е~аа^ь~!/) 4-
+1—<*аРа (2 ~ ««А <У + Ь)) sin z2k 4-
4- а* (1 — <оа* (у 4~ b)) cos гк]ё~,ла^ь+!,\
«а .= — «а cos zk 4- ак [a>pt (6 — у) sin z'k 4-
4- (1 — <лак (b — у)) cos 2* J e-012**4-8'» 4.
242
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
4- a* J—©£* (у + b) sin zl +
4- (1 4- <мк(у + b)) созг^е-^^, (17.47)
Sfe = afcpft cos zk — ak [©a* (b — y) sin z* 4-
4- Pfc (1 4 <oafc (b — y)) cos zjj 4.
4- ak [coal (У + b) sin zl — pfc (1 — ©a* (y 4- b)) x
X coazll e-0^6^.
Здесь
Zk = ® (<Xfe* 4- M + Ф*. ?k = © (aftx 4- pfc6) <pft,
zl — <a(akx — pft6) 4-%.
При напряжениях (17.46), (17.47) уравнения равновесия и усло-
вия совместимости (обобщенное бигармоническое уравнение (17.2)
для функции напряжений F) удовлетворяются точно, граничные
условия при у=±Ь имеют невязку порядка cobexp{—<од}, а ин-
тегральные граничные условия при х = ±а— невязку порядка
1/оЬ.
Таким образом, соотношения (17.46), (17.47) дают асимпто-
тическое представление решения исходной краевой задачи при
о)&»1. Параметр со определяет характерную частоту пульсаций
упругих свойств, а b — характерный размер тела.
В выражении (17.46), (17.47) для первый член определяет
напряжения в однородной среде, вторая группа членов — влияние
неоднородности среды на деформацию неограниченной плоскости,
третья и четвертая — влияние границы тела (соответственно, при
у = Ь и у=—Ь), причем они быстро затухают по мере удаления
от границы.
Вне пограничного слоя напряженное состояние полосы описы-
вается соотношениями
az = <i0 (1 — £ m&lcoszA), оу = — £ mkak cosz*,
fe=l fe=l
T«= aAcosz*,
совпадающими с напряжениями при растяжении неограниченной
плоскости.
17.5. Растяжение длинной полосы. Рассмотрим задачу о рас-
тяжении длинной полосы (17.45), сняв предположение о быстрой
осцилляции упругих свойств [13].
§ 17
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
243>
Функция напряжений Г(х, у) удовлетворяет уравнению (17.2)
V> (VV.F) (17.48)
1 v ’ ду2 дх2 дхду дхду дх2 ду2 v 7
и соответствующим граничным условиям.
Представляя q и у в виде
q = Яо + qi (х, у), у = Yo + q2 (х, у),
Y> <7о> Yo > 0, <7о = const. Yo = const,
применяя метод возмущений и сохраняя в рядах метода возмуще-
ний по два члена, получим решение в виде
F — Fq -j- Ft, = <гх - <тх>
О„ = а® ау, хху = т®9 4- х\у. (17.49)
о г> 0 0 0 и
Здесь г0, ох, (jyt хху— решение задачи для однородной полосы.
#Для F1(xi у) имеем дифференциальное уравнение
57*Л = _L U + 24 + а® -
v 1 ye I дх» y дхду u ду1
— V2I<72(o° г °®)]).
при х --= ± а.
граничные условия
о]их4- т\уПу= 0, Н-вуПу = 0 при у=±Ь (17.50)
и интегральные граничные условия
ь ь ь
j ol dy = С уах dy = £ xlxy dy=O
—Ь —ь —ь
Величины о], а], х\у выражаются через Fr соотношениями
П1 1 Т1
х ду2 ’ У дх2 * ху дхду
Для рассматриваемой задачи (растяжение полосы (17.45) силами
2Znj0) имеем
Fl .-> О . 0 0 л
о = °oVW» = 0*0» ву ~ Хху = О
и потому уравнение примет вид
. = — Руг- -
Yo \ дх2
(17.51)
244
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Представляя qx, q2 в виде
Чт = £ ХГсоа (<oafcx + + <рА), т --- 1, 2,
fe—I
из (17.51) имеем
V4F1 = £ СО8 («Ю*л- + tf>ky + <₽*),
fc=l
№ = — al Xi + X-l (al h
Yo
Решение краевой задачи (17.52), (17.50) ищем в форме
/?=!
где Uk — частное решение неоднородного уравнения
^Uk = CD2ipfe СОЗ (шалх 4- 4 (fk),
а Ф/j — решение однородного уравнения
У*Фк = о
при граничных условиях (при у= ±6)
х ду* у дхду ~ х ду* у дхду ’
,,, «А : „
дхду у дх* дхду у дх*
Разыскивая частное решение уравнения (17.53) в виде
С4 = -4 А сов (©ape 1 copfti/ - j- <рй),
О)2
найдем А = %/(al -j- Р*)2-
Граничные условия (17.55) примут теперь вид
а} при у=Ь(пх = 0, пу = 1)
4^- = AMfeCOs(cMxfex 4 <₽ft) -I- BfeSln (<oa*x + <pfr)]
дхду
= fk [^cos(ci>aftx + <pft) -i BftSln (<oa*x + <p*)J;
(17.52)
(17.53)
(17.54)
(17.55)
(17.56)
§ 17
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
245
б) при у = — Ь (пх = 0, пу = — 1)
= А [Ж cos (<оадх -| - фл) — Bl sin (<оаАх + <pft > J.
дхду
= Al4cos(<oafcx F фй) — Bhin(wafcx Н- фйЦ.
ал3
Здесь
Al = cos (1)Рл6, A2k = a2k cos (орД
_ Bk = — алРь sin ©РД B2k = —- al sin (opfe&.
Решение краевой задачи (17.54), (17.56), (17.57) можно
вить в виде суммы Фл = 4- ф* двух бигармонических
(четной и нечетной по у)
Фл = ci ch (м%у -j- (оаАг/с2 sh
Фл = Сз sh маьУ 4- <оал1/с4 ch <оалх,
где величины ck имеют значения
С1= 1 fkR'ltcos(uallx | ф*),
(<оа*)2
с2 = —г-Цг- АЯ* СОЗ (<оа*х + ф*),
(ша*)2
с3= / ' is' АЯ* sin (сххАх + фй).
(анх*)2
с4 = 1 ftRl sin (соалх -Ь ф*).
(<оа*)а
(17.57)
предста-
функций
Здесь
, sh (оа^А — (sh соа^б 4- ch (оа*6)
= 2---------------------------------------------------------,
sh 2ci>dfed 4~ 2(oafeh
4|sh (oajtb — B[k ch coa/fh
sh 2соадЬ + 2амхлЬ
3 (jidkbAlk ch toa.kb 4* &l (ch 4~ b sh соа^б)
Rk — — 2---------------------—------------------------------------------- ,
sh 2coafch — 2coa*6
4 sh ©aftb 4- &l ch (oa*b
Rk = 2--------------------------------.
sh 2fi>afcb — 2(oa*b
Собирая полученные результаты, для функции напряжений (17.49)
получим
246
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
F= ^°оУг + У А (-Y cos (wikx + <»p*i/+ q>ft) +
2 ( a)2
Jfe=l
+ ’ 1(7$ ch <мку + <оал«/7$ sh &aky) cos (®aftx 4- q>*) 4-
\^k)
4- (7$ sh wxky + *sakyRk ch <мку) sin (wapc + %)lj •
Для напряжений имеем
ax= ao + £ /*$(*. У),
Л=1
<Уу = £ fksl {X, у), тху = £ fks3k (х, у),
А=1 fe=l
где
s* (х, у) = — Pt cos (<oaAx 4- <ор*£ 4- <Pt) 4-
4- [(/$ 4- 27$)&<мку + <>KikyRl sh <oaft£/]cos (oxi^x |- <pj 4-
4-J(7$ 4- 27$) sh <змку + wi.kyRk ch <oa*t/] sin (<оалх 4- <pfc),
Si (x, y)= — al cos (<оалх 4- <i>Pftz/ 4- <pj —
— [7$ ch >м.ку I <oaAi/7$ sh wtk«/] cos (<oaftx {- <pfe) —
— [7$ sh <йаку 4- wikyRk ch wa^i/] sin (<oaftx + <pA),
Si (x, у) = aApt cos (wikx 4- <ofiky 4- <pft) —
— l(7?l -I- 7?1) ch aaky |- (мку!^к sh cos (<oakx 4 <pfe) +
4- [(7?1 4- 7?1) sh (Mky 4- wtkyRl ch юа^] sin (aakx <pft).
В случае полосы, неоднородной только по высоте, задача о
растяжении полосы (17.5) имеет точное решение при любых функ-
циях
Y=Y(^). ? = ?(!/)• (17.58)
Уравнение (17.48) при неоднородностях (17.58) примет вид
= (17.59)
дх2
Задача сводится к решению уравнения (17.59) при граничных усло-
виях
§ 17
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
247
Оу(х, ±Ь) = хху(х, ±6) = 0,
ь
[ Ох(±а. y)dy = 2b<JQ,
-ь
b ь
х,у(±а, y)dy=O, С уох(±а, y)dy= U. (17.60)
-b -b
Рассмотрим для определенности плоское напряженное состоя-
ние. Тогда y=\/Et q=(\+v)/E и точное решение задачи (17.59),
(17.60) имеет вид [30]
Ох = в0Е(у)-^^-, 0у=хху=О, (17.61)
POP2 — Hi
где
ь
ykE(y)dy, k=0, 1,2,
-b
причем, в силу неравенства Буняковского — Шварца, имеем
НоНг—Mi >°-
Пользуясь законом Гука
ех = Y (<** + <9 — Фу, еУ = у (<гж + оу) — qax, еху = qxxy,
из (17.61) для деформаций найдем
= п , е о,
МЧ —
Р>2 — НУ
мч—и!
еи= —<W(y)
17.6. Изгиб длинной полосы. Рассмотрим длинную неоднород-
ную полосу
— а<х<а, a/b^l, (17.62)
изгибаемую в своей плоскости приложенными к краям х=±.а
нормальными усилиями, которые сводятся к паре с моментом At
[37].
Функция напряжений F(х, у) удовлетворяет обобщенному би-
гармоническому уравнению (17.48), где параметры у = 1/Е и q =
= (l+v)/E для плоского напряженного состояния. Удовлетворяя
краевым условиям при у=±Ь точно, а при х=±а интегрально,
имеем граничные условия
248
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
-^1 =0,
дхду |«/=±ь
Ь
j (± У) dy - О,
— I -О,
дх* |у=^±г>
ь
f т^(±а, y)dy = О,
-ъ
ъ
J Увх(±.а, y)dy=M. (17.63)
—д
Функции q(x, у) и у(х, у), определяющие неоднородность
упругих свойств, зададим в виде
?=<7о Ь£Л1С08?ъ Y=Yo I- V X?coszft,
k=\ k^\
2* = ® (a*x + ₽*0) + <p* (q, <h, Y. Yo > 0)-
Здесь <7o, Yo — постоянные; ал, рл — положительные безразмерные
величины (afc, 0*^1); со — положительный параметр, размерность
которого обратна длине.
Используя метод возмущений, для нулевого приближения FQ
получим уравнение V4Fo=O при граничных условиях (17.63), т. е.
задачу об изгибе однородной полосы, решение которой имеет вид
Fo-2-ку», <£=Ку, <т°=<=0,
о
К = З/И/263 = const
Для следующего приближения получим бигармоническое уравне-
ние с правой частью, определяемой функциями q, у, Fo, и однород-
ные граничные условия (17.63).
Для упрощения последующих вычислений перейдем к комп-
лексным переменным и вместо q и у рассмотрим функции комп-
лексного переменного
= <7о ~r Y* = Yo + £ М
k=\ 1
которые введены так, что их вещественные части совпадают с q и у.
Перейдя также от F^x, у) к Ff(x, у) так, что Re(Fi} = /’1, для
F*\ получим уравнение
Л=1
(у) = j- J. (<£ -'г $ 72^] . (17.64)
§ 17 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 249
Задача, таким образом, сводится к решению уравнения (17.64)
при граничных условиях
Решение уравнения (17.64) при граничных условиях (17.65)
представим в виде суммы
n Х = £(<4 + Ф*). (17.66)
fe=l
где Uk—частное решение неоднородного уравнения V4Jk = Кф^ь(у)е‘\ а — решение однородного уравнения 7‘Фл = 0 при граничных условиях (17.67) (17.68)
д*<Ьк 1 дхду |9 дЧ)к 1 , d8a>fc 1 дЮк 1 =±& дхду 1р=±ь дх2 |y=±fr дх2 |А/=±&’ (17.69)
Частное решение уравнения (17.67) можно взять в виде
Uk = -4- [4 фу + i/n*] (17.70)
(О8
где
fe __ ~~ afe 1 + (afe + flfe) ^2
1 Yo (a| + Pf)8
k [ 2a| X* + (a| + p|)
Разыскивая решение уравнения (17.68) в форме
Для fk(y) получим обыкновенное дифференциальное уравнение
четвертого порядка
AIV,-2(a)aA)Vfe + (®aft)‘A=0(
общее решение которого имеет вид
Д = Cl ch ук ч- с* yk sh ук | • 4sh ук 4 Ук ch yk, Ук = ®акУ-
250
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
где
Определяя постоянные с* из граничных условий (17.69), найдем
k ; К D1 > _ ; К D2
— I " Pkt ^2 — 1 ~ Рkt
C03d£
rk__ p3 rk______ П4
a>3afe co3a£
Pt = — h? {aftat (tni tub sin 8k [-tn% cos 6A) —
— bt f(mt — ptmt) sin 6ft ) mi bk cos 6fc]},
Pk= h\ {aka\ (tn\ <ob sin 6ft -I- mt cos bk) —
— at J (mt Pa"2*)sln 6a + 5a с08
Pt = ht {atat (— mi <s>b cos 6fc 4- mt sin 6fc) 4-
4- ht [(m? — pfcmt) cos 6* — ini 8k sin 6J},
Pk = — ht {aftat (— тк otb cos bk + mi sin 6A) |-
4- at f (mt — pfemt) cos &k — mt 6* sin 6J);
hf = [at at - at h? J-1, ht = [at at - at ht]"2.
at = sh (oatb, a* = sh <oakb 4- (Mkb ch o>atb,
at = ch <nakb, a* = ch wakb 4- u>ukb sh <Mtkb,
bi coaAb sh <oat&, h| = соалЬ ch <M,kb,
6* = “PjA
Функция ФА, следовательно, примет вид
Ф* = —7- [»(Pl ch yk 4- Pl yk sh yk) +
o3dfe
1- Pishyk + Ph.chyk\^x+^ . (17.71)
Подставляя (17.70) и (17.71) в соотношение (17.66), найдем pj, пос-
ле чего для функции напряжений Р= F0 4- Re(Fi} получим
п
F= —/Со3-!-—V I mt ©1/cos z*—mt sin zA +
6 (D3 (
Jfe=l
+ — [(Pa sh yk 4- Pa yk ch Ук) cos (<oaAx + <pfc) —
— (P’ft ch yk 4- Pkyk sh yk) sin (coatX 4- <₽t)] j • (17.72)
§ 17 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 251
Зная функцию напряжении (17.72), найдем напряжения
ох = Ку + — У { — ₽АI(2mi — pt/nl) sin zk ®pfef//n? cos zk] +
(0
ft=l
+ ak l(P% -г 2P*) sh yk + Рк yk ch yk\ cos (аакх + Фа) —
— r2Pft)ch«/fe + Ht/*sht/fcJsin((daftx + q>*). (17.73)
n
О у = — J] a* {aA (— mi ay cos zk + m* sin zft) —
ft=l
— (Pi sh yk + Pl yk ch yk) cos (<оалх + Фа) +
+ (Pa ch yk + Pa Ук sh yk) sin (<oaftx + фА)],
n
Tw = ~ S aA {[("11 — Pa"**) sin zk + ©p4f/mt cos zk] +
k=A
+ [(Pa + Pa) sh yk + P* yk ch yk] cos (aakx + g>ft) + [(Pa + Pa) ch yk +
+ Рк Ук sh yk] sin (aakx + ф*)}.
Напряжения (17.73) в рассматриваемой задаче представляют-
ся в виде суммы трех групп членов. Первая группа (ох=К1/,
а?7 = 0, тХу=О) определяет напряжения при изгибе однородной по-
лосы, вторая (не содержащая величин Pk)—влияние неодно-
родности упругих свойств при изгибе неограниченной плоскости,
третья (содержащая величины Pk) показывает влияние границ
полосы у=±Ь. Члены, входящие в эту последнюю группу, при
2л6> 1 (б = Ь//, / = 2л/(о) быстро затухают по мере удаления от
границы в глубь полосы. Таким образом, при 2лб^>1, т. е. когда
характерный размер неоднородностей мал по сравнению с шири-
ной полосы, имеет место эффект пограничного слоя. Толщина по-
граничного слоя определяется параметром д, а напряжения вне по-
граничного слоя совпадают с напряжениями при изгибе неогра-
ниченной плоскости.
Если полоса неоднородна только по толщине
y = y(^). q = q(y), (17.74)
задача (17.48), (17.63) имеет точное решение при любых функ-
циях (17.74) [38].
Уравнению (17.48) и условиям (17.63) можно удовлетворить
функцией F, зависящей только от у. Уравнение (17.48) примет
вид
252
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
77[y^)-7t] = 0-
dy2 [ dy2 J
(17.75)
Решение задачи (17.75), (17.63) дается соотношениями
Е(у)М-^у~т' ,
т j — л?о/иа
0^ ТХу 0.
Соответствующие деформации равны
_ д, Шоу/7?!
сх JV1 2 »
т\ — т^т2
еху 0
Здесь
тк= f ykE(y)dy, k = Q, 1, 2.
—b
Рассмотрим теперь задачу (17.63) об изгибе полосы (17.62)
в случае быстрой осцилляции упругих свойств [35].
Неоднородность упругих свойств примем в виде
п
q = Re,;. =Re fa + £ pl
у = Re у. = Re {y0 + £ pl e'“*a*’r+Ml. (17.76)
/?=!
Здесь qQ, yo — действительные постоянные величины, min {ал, 0л) —
положительная безразмерная величина порядка единицы, со — боль-
шой параметр, имеющий размерность, обратную длине, ц£ (т =
= 1, 2) —комплексные амплитуды
рГ = Ай (cos <Рй 4- i sin Фй)-
Рассмотрим задачу (17.63) для функции /7*(х, у), принимая
вместо q, у функции q*f у*. Применяя метод возмущений, для ну-
левого приближения Fq получим задачу однородной теории упру-
гости при условиях (17.63), а для первого приближения F\ —
уравнение
= £ ©^(х, у, a>)eto(“feJc+^).
fe=l
§ 17 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 253
= — (-Р1 («к + 2а*₽^ + ₽ЭД) 4- [ (4 4- pi) (о? 4- $ -
Yo I L
,^24^К+.Ф.+р/^
со \ k дх ду
и однородные граничные условия (17.63).
Нулевое приближение дает
cfi= су (с = , cP = т®. = 0.
х 2Ь3 ) у ху
Решение задачи для F] представим в виде
(144-ФД (17.77)
k=l
где Uk — частное решение уравнения
V*uk = <о2^ (X, у, ©)eto(“**+M
а ФА — решение краевой задачи
V4<D*=0, Li(^k)=-Li(Uk)1 i = l,2, (17.78)
в которой Lt— операторы:
т д2 д2 т д2 . д2
ду2 у дхду дхду у дх2
В качестве частного решения Uk можно взять функцию
(0а
(17.79)
Ak=^(---
Y« I al 4-7
+2J
л2 , o2 *
ak + ₽fc J
Yoo>
Краевая задача (17.78) при большом параметре co (<o&^> 1) являет-
ся задачей с быстро осциллирующими граничными условиями. Ее
решения в областях у^Ь, у^—b имеют соответственно вид
Ф1 = J-ys(X, ts)<-1)S'*3 , s= 1, 2,
л юа fc' ’ s/
G =<|)(6 — y), tt= <o(6 I- y),
254
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
= — (V + Вк) [ 1 + <0 Г (а* — ф*)---------1* д -J (ь~ УУI е
I L “(Лйбн-ВА)] J
(17.80)
- (V + Bk) [1 +<о [(а* + ф.) -!• в-1 (Ь +0)1
\ L \ ЖК I Krf J z
Используя (17.77), (17.79) и (17.80), для функции F = F0 +
+ Re Fi, являющейся решением задачи (17.63) при неоднородно-
стях (17.76), найдем
F = 4-С03+^-У{^0СО8 2А— PhitlZfe —
6 со2 J
— y)pj3C0SUft + rfsInMfeJ — e ““ft(6+y>f?5COSa/ft — (faSin t0fcJ}.
(17.81)
zft = © (afcx + Pft0) + <pft, uk = co (aftx + 0ftb) + <pft,
Wk = <0 (akx — Pfeft) + Фь = ЬР^Рз + P^Pa,
qi —bPiPi—P^Ps, £= bPU>k5 — P№,
/^bP^P^ + P^P^-,
pk _________________cak^k _j_ c^k
Yo(a£ + ₽£) Yo
pk ( 2c₽*(^ + 2a^fe) 4cfik .г\
\ Yo®(«fe + Pl) Yo® J
§ 17 ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 255
(17.82)
По известной функции напряжений (17.81) легко находятся напря-
жения и деформации.
17.7. Полоса, неоднородная по высоте. Рассмотрим полосу
— 0,5а < 0,5а, —
ь
Будем для определенности считать, что имеет место плоское на-
пряженное состояние и материал полосы имеет неоднородность
Е = Е^(у), v = const. (17.83)
В этом случае уравнение (12.47) для функции напряжений F(x,y)
примет вид [16]
2-^—Lv2/7_[_!r _2
Ф ду v I. ф
— V
(17.84)
где штрихом обозначена производная по у. При плоской дефор-
мации в уравнении (17.84) следует произвести замену
v . гр
v->------, гЬ->—1—.
1 — v 1 — №
Рассмотрим сначала случай, когда на торцах х=±0,5а дей-
ствуют нормальные напряжения р(у).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция
Г = у J Ч> И + By) dydy (17.85)
есть решение уравнения (17.84). Напряжения, соответствующие
(17.85), будут
ох= гр (Л + By), = О, tx£Z=0. (17.86)
Условия на сторонах #=0, Ъ (сгу=тЖ1/=О) выполняются, а из инте-
гральных граничных условий на торцах х=±0,5а получим линей-
ную алгебраическую систему уравнений
ь ь ь
Л j tydy+ В J tyydy = у pdy,
ООО
b ь ь
A f tyydy -| В у tyfdy = j pydy,
ООО
откуда можно найти постоянные А и В. Таким образом, соотноше-
ния (17.86) определяют решение рассматриваемой задачи при
любой неоднородности вида (17.85).
256
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
Гл. 3
Рассмотрим теперь задачи о деформации полосы (17.82),
(17.83) при заданных на боковых сторонах у—О, b нагрузках.
В этом случае можно применить метод разделения переменных
116].
Будем искать функцию напряжений F(x, у) в виде
F~ V /„({/) sin 0х, 0 = -^. (17.87)
а
п-~ 1
Подставляя (17.87) в (17.84), получим для fn(y) однородное диф-
ференциальное уравнение
+ Pi(y)f'n 4- p2(y)fn +pa(y)f>, P<(y)fn=O’ (17.88)
где
₽!<</)f’Pito). p<to)=₽* :-.v₽![2
Если решение уравнения (17.88) найдено, то с помощью вхо-
дящих в него четырех произвольных постоянных можно точно
удовлетворить граничным условиям по продольным сторонам по-
лосы у=0, у = Ь, разложив предварительно заданную нагрузку или
перемещения в ряд Фурье. Если к решению (17.87) добавить ре-
шение (17.85), то можно удовлетворить также интегральным гра-
ничным условиям на торцах х=±0,5а. Напряжения, на основании
(17.87), найдутся по формулам
О, = £ /» sin ₽*> ° У = — £ PVnsin 0Х,
я—1 п=\
(17.89)
Хху= — £ 0/л COS 0Х.
п--1
Рассмотрим, например, случай, когда по продольным сторонам
полосы приложена нормальная нагрузка
1у=Ъ = р (я), O’y |t/—0 = у (я), tXy |у=о,6 =
Разложим нагрузку в ряды Фурье
Р W = Ро + £ Pin Sin Р* + £ РзлСОЗрХ,
п—1 п—1
(17.90)
Ч(х) = <70 + £ glnsin рх -I- £ <72ясо8рх.
п—1 /7-1
§ 17
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
257
Постоянные р0 и q0 представляют собой равномерную нагрузку на
полосу. Соответствующее ей решение может быть получено с по-
мощью функции напряжений (17.87), если воспользоваться извест-
ным разложением
1 = £ sm cos рх,
т=1
где
о 1 4 (—
п=2т—1, sm= — --—-----------.
. л 2т —I
Напряжения от членов разложения, содержащих cospx, найдутся
по формулам (17.89) заменой sinfJx на cospx.
Таким образом, достаточно найти решение лишь для одного
из членов разложения (17.90). Основная трудность при этом за-
ключается в нахождении решения уравнения (17.88), получить
которое в замкнутом виде удается лишь для некоторых частных
случаев.
Пусть изменение модуля упругости описывает показательная
функция ty(y)=cv, с>0. В этом случае всегда можно перейти к
экспоненциальной зависимости вида
ф(г/) = с5'ехр(&#), А=1пс. (17.91)
Подставляя (17.91) в (17.88), получим дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами
f'V - 2kfn + (ft2 - 2р2) fn -t 2p^ft/; + (P‘ + v^p*) fn = 0,
решение которого имеет вид {65]
-= еп^(Апсо8уу + BnSinyy) + en‘y (cnmsyy + Dnslnyy),
где
mt = 0,5Z> -j- 1/ тг — —
F 2 4
Точные решения уравнения (17.88) возможны и в некоторых
других случаях. Так, если ф(#) = 1/(1 +ky), то решение выражает-
ся через интегральные показательные функции [63]. При неодно-
родности вида ty(y)=yk решение выражается через гипергеомет-
рические функции или функции Уиттекера [55].
Глава 4
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
§ 18. Основные уравнения и постановки задач
18.1. Основные уравнения в цилиндрической системе коорди-
нат. Для исследования задач о деформации тел вращения понадо-
бятся уравнения теории упругости в цилиндрической системе ко-
ординат. Дадим краткую сводку этих уравнений.
В цилиндрической системе координат г,-в, z при очевидных
обозначениях имеем [40]: уравнения равновесия
0(Jr Of — (Та 1 0Т гд ^г2 л
+-------Lu-------^_ + _^L+p/r=0,
dr г г 00 дг
44- + дг Trn 1 доп Л 2 — -! 5Г + -Л + Р/е = 0’ г г 00 дг (18.1)
^rz 1 0Тд_ 0(Tj । । _ J 4- nf — 0
дг r r 00 dz
закон Гука = X6 2per, <r0 = X0 4- 2pe0, <r2 = X9 4- 2pte2, (18.2)
Т02 = PYOz, Urz = *r9 = PYr9,
(0 = e, 4- e0 4 e2),
или e, = — v (ae + <4J, 80 = j- [ae — V (ог 4- or)J, t, (18.3)
ег=4-к—v (о> ч- <мг.
§ 18
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
259
Yoz=“-t0z’ = Yre=4"^0
G G G
(G=£/2(l+v));
формулы Коши ди г дг 1 dv , и dw , М + ,• е-~ аг-
1 У02= — + т^=-£- + т1. (18-“) oz OZ ОГ
dv , 1 du v
Угв — ------1----------------
dr r d0 r
условия совместности деформаций
1 дЧ' , 1 d / 2 de0 \ 1 da(fYro) a
r 00a r dr \ dr / dr r drdd
d*er . daez d2 * * * * * Вyf2 0
dza Г dr2 drdz
0a8e 1 0a8z 1 08z
dz* + 7^ de2 + ~~fr
1 d ( ^Oz .
r dz I 90 ’+"
2 9*ег 9 г 1 9(rYeJ i______1 92(r2Yr0) 92 _/ Y„ >
r dddz dr [ r dr J ra drdz drdft \ r* /
9; г 9(re0)-i d*yrZ 92(rY0z) 92(гуг0)
г — er------------------------------------------------------— и,
dz L dr J 902 9r90 9z90
2 di !h\ , r ( У9г\ 1 d^rz 0-
dddr \ r ) dz2 drdz \ r ) r dftdz
граничные условия в напряжениях
4- Tre^o + W*z = 7r,
^nr 4- Gone 4- r02n2 =
xrztir 4- те2П9 4- ^2пг = qz.
(18.5)
(18.6)
Рассмотрим тело вращения (ось z направим по оси вращения,
п0=О) и допустим, что модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона
v — функции г, z, массовые силы отсутствуют, а поверхностные
силы таковы, что перемещения, деформации и напряжения не за-
висят от угла 0.
В этом случае соотношения (18.1), (18.4), (18.5) и (18.6)
примут соответственно вид
260
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
doг 0 г ~ 0д dv г» _L + L + __Z_ = о, дг т dz + + =0, (18.7) дг г дг dtrz । Trz d<jz __ q dr r dz ’ ди и dw dr r dz __ du . du> dv v /1O o\ Yez= , , Y«= , + я . Yre= . . (18.8) dz dz dr dr r 1 д !гг aee \ Ъ Q r dr \ dr / dr д*ег . дгег __ = Q dz2 dr* drdz d2e() 1 aY'* _ q dz2 r dr r dz (18.9) _L г1 д(пг^ i 1 а2<г*Уг(>) = 0 dr [ r dr J r2 drdz Г в(ге9) i г e. — = 0, dz [ dr J дЧе r_/ Vez \ = 0 dz2 drdz \ r J О/1г + ХгЛ=Яг, Ъепг + = <7e, (18.10) ТгЛ + = 92.
а соотношения (18.2), (18.3), выражающие закон Гука, останутся
без изменений.
18.2. Осесимметричные задачи о деформации тел вращения.
Можно выделить различные частные классы задач, принадлежа-
щие к задачам, описываемым уравнениями (18.7)— (18.10), (18.2),
(18.3).
Рассмотрим осесимметричные задачи о деформации тел вра-
щения, не сопровождаемой их кручением. Уравнение для этих
задач получим из соотношений (18.7) — (18.10), (18.2), (18.3), в
которых положим </е = 0, v=0. Тогда
§ 18
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
261
Y02 Угд *^0Z — ^Г0 — 0 (18.11)
и соотношения (18.7) — (18.10) перейдут в следующие:
до г о г о а дх гу —- + ——- + —- = о, дг г дг I Trz I д&2 л (18.12)
дг г дг
ди и dw = —> ее=—, е2=—, дг г дг
ди . dw 1 d t dEa \ der (r2 SL ) - — o, (18.13)
r dr \ dr j dr
дгъг | дЧг d*yrz _ Q
дг* dr* дгдг
d2ee 1 дег 1_ dyrz _ (18.14)
дг2 г дг г дг 1
дг [ dr J
Соотношения (18.2), (18.3) примут вид
or = Х9 + 2рег, о0 = Х0 + 2рее, а2 = ХО + 2ре2, (18.15)
Trz = HYrzi
ег= -у[<т, — v(a0 J- ctJ], «0 = 4r[ffe —v(<r2 + (ГЛ)1, c (18.16)
ег = -^1®г — v(Qr + <T0)],
Е.
Угг Г ^rz'
(j
Рассмотрим уравнения совместности (18.14). Интегрируя чет-
вертое уравнение (18.14), получим
262
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
г-^- + ее —er = /(г).
иг
Продифференцируем уравнение (18.17) по г
сРео деп де,
dr2 dr дг
Из первого уравнения (18.14) имеем также
д2еА - дег
г—5- +2—5--------г- = 0.
дг2 дг дг
Сравнение уравнений (18.18) и (18.19) дает
f(r) = р = const,
уравнения (18.14) приводятся к од-
(18.17)
(18.18)
(18.19)
Ье9 —е, = р.
(18.20)
и потому первое и четвертое
ному.уравнению вида
dg8
dr
Продифференцировав третье уравнение (18.14)
de2 dae dyrz
-----(- г —- =------
dr dz2 dz
(18.21)
по г, найдем
d2ez д2у rz
d2e.Q ? 03ge
dz2 drdz2
(18.22)
dr2 drdz
Второе уравнение (18.14) дает
dr2 drdz
Сравнивая соотношения (18.22) и
д2 г
-£г[ее-е' +
которое удовлетворяется в силу (18.17). Второе уравнение (18.14),
следовательно, удовлетворяется, если имеют место уравнения
(18.21) и (18.17).
Условия совместности (18.14) сводятся, таким образом, к двум
уравнениям
— дЧг
дг2
(18.23), получим
(18.23)
д2ее dyrz
dz2 dz
дег
дг
г—— 4- ее — ег = р.
дг
(18.24)
§ 18
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
263
Используя закон Гука (18.16), из уравнений (18.24) получим ус-
ловия совместности в напряжениях
д
г —
дг
V (о, -Ь *2
±11
dr I Е
X2L(oe-or)=₽,
Е
d2 ( 1 г z чт!
---- { -- 1*6 -- V (а2 Г СТг) I ---
dz2 I Е 1 v 2 r/lf
(18.25)
— 2 --- ----!--ХГ2 = О*
dz [ £ \
Постановка рассматриваемой осесимметричной задачи в на-
пряжениях состоит, таким образом, в определении напряжений ог,
сто, <т2, Trz как функций г, z, удовлетворяющих уравнениям равно-
весия (18.12), условиям совместности (18.25) и граничным усло-
виям
Wr + = qr, rrznr -j- <j2nz = q2. (18.26)
Краевая задача (18.12), (18.25), (18.26) может быть сведена
к задаче для двух функций переменных г, z.
Введем функции напряжений ш(г, z), ф(г, z) соотношениями
[76]
О.
(0
о.
1
(18.27)
Уравнения равновесия
ственно, а подставляя
сти, получим уравнения для функций ю, ф
д ( 1 Г dco со d2cp v <
дг ( Е [ dr г дг2 г с
. (1 -J— у) г Г d / со \ д2<р 1
4 Е I ~d7 \V / dz2" J
d f 1 Г 1 / ч I d2® v d , .|i
dr I E L r dr dz2 r dr 7 J J
do , (0
+ V —
do d2 , .
«-(np).
dr ' " dz
(18.12) при этом удовлетворяются тожде-
соотношения (18.27) в условия совместно-
da Г 1 Г d2(p v д , ч
dz2 I Е [ dz2 г дг
। 2— Г 1 + v а<Р 1
dz [ Е dz J
Граничные условия (18.26) принимают вид
(о d<p d<p 1 d
— nr-----f-n2-=q„ --^-nr -r
r dz dz
дг
(18.28)
(r^)nz=qz. (18.29)
or
264
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Функции напряжений (o(r, z) и ф(г, z) определяются краевой
задачей (18.28), (18.29).
18.3. Кручение тел вращения. Рассмотрим другой частный
класс задач — задачи о кручении тел вращения.
Уравнения для этих задач получаются из соотношений (18.7) —
(18.10), (18.2), (18.3), в которых следует положить qr=qz=O,
u = w = 0. Отличные от нуля компоненты деформаций
Из закона Гука (18.2) получим
т02 = Gy0z, Tro = Gyro» (18.30)
а остальные компоненты тензора напряжений равны нулю. Урав-
нения равновесия (18.7) сводятся к уравнению
дхгв । 2 I dTez q
дг г dz ’
а условия совместности (18.9) — к уравнениям
д г 1 д(гувг) -j____1 ЭЧ'Че) = 0
dr [ г dr J г® дгдг
(18.31)
dz® дгдг \ г )
Из граничных условий (18.10) остается одно условие
Тгвпг + хвгпг = <7е. (18.32)
Займемся условиями совместности (18.31). Интегрируя вто-
рое уравнение (18.31) по z, найдем
fore f а / Yez \ . dz дг \ г / Учитывая соотношение » ^(f2Yre) = aYre , г2 дг дг Г г преобразуем первое уравнение (18.31) к виду д Г 1 а (fYez) aYrO 1 = _ дг |_ г dr dz J (г). (18.33) И. (18.34) г dz
§ 18
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
265
Подставляя теперь выражение производной /dz из (18.33) в
уравнение (18.34), после преобразований получим
— НИ- (18-35)
дг \ г ] дг \ г / т
Из соотношения (18.35) следует, что f(r)=O. Уравнение
(18.33), эквивалентное второму уравнению (18.31), принимает при
этом вид
г— (—} = 0; (18.36)
дг дг \ г )
причем первое уравнение (18.31) при выполнении условия (18.36)
удовлетворяется тождественно.
Условия совместности (18.31) приводятся, таким образом, к
одному уравнению (18.36). Используя закон Гука (18.30), урав-
нение (18.36) можно представить в виде
=°- (18-37)
dr \ rG j дг \ rG j
При постановке рассматриваемой задачи о кручении тел вра-
щения в напряжениях для искомых функций тог, тге имеем усло-
вие совместности (18.37), уравнение равновесия
+ 0 (18.38)
дг г дг
и граничное условие
Тгол, Ч = qQ. (18.39)
Краевая задача (18.37) — (18.39) может быть сведена к крае-
вой задаче для одной функции двух переменных.
Введем функцию напряжений ф(г, г) соотношениями
Тв2 — — ——- Тгэ — - ——.
г2 иг г2 дг
(18.40)
Уравнение равновесия (18.38) удовлетворяется тождественно, а из
условия совместности (18.37) получим дифференциальное уравне-
ние для функций ф(г, г)
j_ JL ( 1 \ = о
дг \ гаС дг / дг \ гЮ дг J
Граничное условие (18.39) принимает вид
дф 2
---f-nr=r*qe.
or дг
(18.41)
(18.42)
266
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Условие (18.42) имеет место на контуре L, образуемом сечением
плоскостью (г, г) поверхности рассматриваемого тела вращения.
Аналогично соотношениям (12.48) имеем
z~ ч dr dz
пг = COS(/l, 2) = — = —,
ds dn
(18.43)
Г v dz dr
nr = cos (n,r) =----= —.
ds dn
Используя (18.43), найдем
dip dip ~ dip dr dip dz _ dip
n nr = -j — -~-—
dr-------------------------dz dr ds-dz ds ds
и потому условие (18.42) примет вид
44 = г^в. (18.44)
ds
Если область $, ограниченная контуром L, односвязна, условие
(18.44) можно записать в форме
ф|г = J r^qods, (18.45)
где s — длина дуги контура L.
Для односвязной области s функция напряжений определяет-
ся, таким образом, краевой задачей (18.41), (18.45), а в общем
случае — задачей (18.41), (18.44),
Краевая задача (18.37) — (18.39) может быть сведена к крае-
вой задаче для одной функции двух переменных и другим спосо-
бом. Введем функцию х(г»г), связанную с функцией напряжений
ф(г, г) соотношениями [76]
1 dip _ dy 1 dip __ dx
r3G dr dz ’ r3G dz dr
Напряжения (18.40) имеют выражения
тв2 = rG т,0 = rG
dz dr
условие совместности (18.37) или (18.41) удовлетворяется тожде-
ственно, а уравнение равновесия (18.38), которое можно записать
также в форме
4-(f2T<e)+^-(r2^)=°-
dr dz
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
267
дает дифференциальное уравнение для функции х (г, г)
(,8-46)
Подставляя теперь напряжения в граничное условие (18.39) и
используя (18.43), приведем его к виду
Функция х(г»2) определяется, таким образом, задачей Ней-
мана для уравнения (18.46).
18.4. Простое растяжение круглого цилиндра. В качестве при-
мера применения уравнений осесимметричной деформации тел вра-
щения, полученных в п. 18.2, рассмотрим задачу о растяжении
длинного сплошного круглого цилиндра радиуса а осевой силой Р.
Боковая поверхность г = а цилиндра свободна от напряжений
^г = <7г = 0; учитывая также, что на боковой поверхности nz = 0,
nr=l, для нее из (18.26) имеем
о, \г=а = о, ^1^=0. (18.47)
На торце цилиндра будем удовлетворять интегральному условию
2nJra/r = P. (18.48)
О
Рассмотрим сначала случай Е = E(r), v = v(r). Решение краевой
задачи (18.28), (18.29) можно тогда искать в виде
а)==(о(г), ф==ф(г). (18.49)
Уравнения (18.28) при условиях (18.49) переходят в следующие:
г(т["'-''т-т(гф)']Г + Лтй1[(т),]“₽--<18-50>
!т —;-('»)]}'-0. (18.51)
Здесь и в дальнейшем штрихом обозначено дифференцирование
по г. Из (18.47) имеем тГ2=0 и
О, = -у, О0 = (О', ог = 3- (гф)'. (18.52)
Из граничных условий (18.47) остается одно
о, 1^=0. (18.53)
268
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Рассматриваемая задача описывается, таким образом, соот-
ношениями (18.48), (18.50) — (18.53).
Интегрируя уравнение (18.51), получим
(пр)' — v (го))' = угЕ, (18.54)
где у — константа. Подставляя выражение для (пр)' из (18.54) в
(18.50), найдем уравнение для функции напряжений со (г) (в (18.50)
положим Р=0) [76]
„ . Г. . г. / 1 \' 2vv'r ] 1 f
» + [!+£(-)
_ f 1 + £ f-LVUL+i, + V* . (18.55)
L \ E / 1 - V2 1 — v2 Jr2 1 — v2 V
Напряжения (18.52) выражаются только через функцию напряже-
ний со (г)
(Тг = — со, (Jo = <*>',
г
аг = уЕ 4- v 4- — , (18.56)
Trz — Тг0 = Xqz = 0.
Если коэффициент Пуассона постоянен v=const, уравнению
(18.55) и всем условиям задачи можно удовлетворить, положив
о>=О. Единственно отличное от нуля напряжение будет
Е(г)Р
а
2л J rE (г) dr
о
Рассмотрим теперь случай, когда v отлично от константы.
Из уравнения (18.55) видно, что со#=0, и напряженное состояние
цилиндра будет трехосным. Применим для решения задачи метод
возмущений. Положим
Е = Е. [Ц- еХ (г)[, v - v0 [1 i ер (г)]. (18.57)
Так как со=0 при v = v0, функция со (г) должна быть порядка
е и ее можно искать в виде
<0 (г) = е<00 (г) 4- е2©! (г) 4 • • • • (18.58)
Подставляя (18.57) и (18.58) в уравнение (18.55), найдем
§ 18
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
269
откуда
®о = С1Г + + -fe -L С ф (г) dr.
Г 1 Vq Q
Ограничимся в разложении (18.58) первым членом и вычис-
лим напряжения, полагая
р (г) = г*, п> 0.
В этом случае
<0= ew0= е + — + y£°V°- • ++ +О(е2).
Г 1— п +2 /
Так как ог ограничено при г=0, постоянная с2 равна нулю. Посто-
янная Ci найдется из условия (18.53). Тогда
© =--------------Г (гп — ап} _|_ q
(l_v2)(n4_2)
Из соотношения (18.48) имеем
Р = 2л J razdr = 2лу j* г Edr + О(е2)
о б
и, следовательно,
\ =
Р
па2Е0
I 0(e).
Для напряжений с точностью
е, получим
до членов, пропорциональных
еР Ур
(1-V*)
(г" — ап),
„ _ еР v0
Oq —---------------
па* (1 — v0)
па2
•-----— + Or™ — anJ,
(п + 2) П
О
evp
(1 — Ур)
[(п 4- 2) гп — 2ап] .
(18.59)
1
На рис. 29 показано распределение напряжений (18.59). Для
напряжения crz здесь показан лишь член, пропорциональный е.
Рассмотрим случай, когда £ = f(r, z), v=v(r, z). Применяя
по-прежнему метод возмущений, положим
£=£(41+ eX(r, z)J, v = vjl + ец(г, z)J. (18.60)
270
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Решение уравнений (18.28) при условиях (18.47), (18.48) бу-
дем искать в виде
<о= еш0 + 0(е2),
ф = Фо + ефх-К?(е2).
(18.61)
Подставляя соотношения (18.60), (18,61) в уравнения (18.28) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, для пер-
Рис. 29
вого приближения найдем, что
Фо = ^/2, где с — константа. Для
второго приближения получим
уравнения
+ МфД = VoC (ц — А),
(18.62)
где операторы £i, ..., М2 даются
соотношениями
j _ д2 . 1
1 дг2 г . дг г2 ’
Если функции Аир, представимы в виде
А (г, г) = Aj (г) + А4 (г), р (г, г) = (г) ! ц2 (г),
уравнения (18.62) интегрируются и дают
-у- (Г) dr,
Ф1= у- j rA,(r)dr +
О
§ 19 ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ 271
Функции Х2<и), р2(^) появляются только в третьем и более высо-
ких приближениях.
§ 19. Осесимметричные задачи
о температурных напряжениях в телах вращения,
свойства которых зависят от температуры
19.1. Постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим
упругое, однородное, изотропное тело вращения. Предположим, что
тело подвергнуто воздействию стационарного осесимметричного
температурного поля, причем ось симметрии поля совпадает с осью
симметрии тела. Эту последнюю примем за ось z цилиндрической
системы координат г, 0, г.
Предположим далее, что модуль сдвига ц и коэффициент ли-
нейного расширения а являются функциями температуры Т, а ко-
эффициент Пуассона является константой v = const. Через Т обоз-
начим температуру, отсчитываемую от некоторой начальной по-
стоянной температуры, соответствующей естественному состоянию
тела.
Для рассматриваемой осесимметричной задачи закон (18.15),
дополненный температурным членом на основе гипотезы Дюгаме-
ля — Неймана, имеет вид [72]
п Г f 3v 1 —V 1
(19.1)
п Г 1 3v 1 + v 1
о, = 2ц е; Н-------е-----1---<р ,
г И L 1 -2v 1 — 2v TJ’
хгг =
где
(в, + ев + ег),
а функция <р(Т) дается соотношением
т
<р= ja(T)dT.
О
Деформации еАе, без и напряжения тг0, твз равны нулю.
Используя формулы Коши (18.13), получим выражения на-
пряжений (19.1) через перемещения ur = u, uz = w
272
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
1 4- у
1 —2v
~ Q Г U I 3v
00 = 2ц-----------
г г - 1—2v
1 + у
1 — 2v
(19.2)
Ф
Имеют место также уравнения равновесия (18.12) и гранич-
ные условия (18.26).
Введем безразмерные параметры
г Z ♦ и » 10
р = —, £ = —, и = ------------, w =---------,
а а аооТо аооТо
л Т * ___ 'е 1 [ ди* и* dw* \
а0Т0 3 \ др р /
6
ф’ = 2(1+ v) (‘a«(8)de
(1 -2v) J
Qr = ge ff« _ ,
® 2|io(i07'o 1* 2|1ф<1оТ'ф
(19.4)
f ---
^podgT 0
представив функции ц(Т), a (7) в виде
ц=ц0ц*(6), a=aoa*(O). (19.5)
Здесь TQ и а — некоторые характерные значения температуры н
длины, ро, ао — параметры, имеющие соответственно размерности
модуля сдвига и коэффициента линейного расширения.
Соотношения (19.2) в безразмерных параметрах принимают
вид
3v . 1 <
------с----
l-~2v-2 т
3* 1
l-2v 2 т
3\ * 1 <
------е ф
1-2?--2-----т
(19.6)
at = H
§ ]9 ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ 27$
Л 2 r \ dt, др )
Подставляя соотношения (19.6) в уравнения равновесия (18.12)
и используя (19.4), найдем уравнения равновесия в перемещениях.
Первое уравнение (18.12) (после умножения его на 2) дает
2 ♦ / d2u* Зу де*_________________________1 дф* \ .
\ др2 4 1—2у "др Г др / +
3v Ф 1 *\ . ♦ / д2и* . d2w* \ .
l-2v 2 Y r \ dt? dpdU
। dw* \ . o ♦ 1 / du* u* \ n /Щ
+ ^— Н-2ц — —----------------=0. (19.7)
др ) p \ dp p ).
Разделив (19.7) на ц* и произведя перегруппировку членов, най-
дем
/ d*u* .__ди* дги* \________ и" . 6v де* d<p*
\ dp2 +V dp + d$2 / р2" ' 1 — 2v dp dp '
+ (2 + 6v-e‘ - w-'i +
dp \ dp 1 — 2v /
_i_ d(|nH*) ZJffL _u ( du* _j_ u* u _dt£_\ = 0 (1g 8)
' dt, \ dt, 1 dp dp 1 dp ' p ' dt, )
Используя выражение для относительного изменения объема
Q ♦ ди* и* . dw*
dp Р d£
и двумерный оператор V2 Лапласа
♦ d2u*
v dp2
из (19.8) получим
X7aU*
p2 ' 1 —2v dp dp
6v * *\ , d(lnp*)
l-2v T П dt
. 2 fy* ( ди*
dp \ др
1 ди* . &и*
7 ~ф~ d£2 ’
(19.9)
и’
3 де* дф:
, d(lnpt*)
др
= 0.
др )
(19.10)
Аналогично из второго уравнения (18.12) найдем
- ♦ , 3 де* дф* .
Vaw +—----------------
1 —2v д£
6v с* фЛ I д(1пр*) /J
1 - 2v др к
a (in И
К
(19.11)
274
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Граничные условия (18.26) имеют в безразмерных параметрах
вид
оЧ + т\л_ = а*
р- р (19.12)
Здесь
q* ~ ~~—,
2|1оао7\) 2|л0а07'0
а напряжения выражаются через перемещения и*, соотноше-
ниями (19.6). Если на тело действует только температурное
поле, то на границе s тела
°рПг + хкПг = °’ трЧ 1 = °- (19.13)
Постановка рассматриваемой задачи в перемещениях состоит,
таким образом, в определении перемещений и*(р, £), о/*(р, £),
удовлетворяющих уравнениям (19.10), (19.11) и граничным усло-
виям (19.12) или (19.13).
При отсутствии -поверхностных сил в граничные условия
(19.13) модуль сдвига р* не входит.
19.2. Метод возмущений. Рассмотрим осесимметричную задачу
(19.10), (19.11), (19.13) о температурных напряжениях в телах
вращения, предполагая отсутствие поверхностных сил (?* = ^=0).
Перемещения и* (р, £), ш* (р, £) удовлетворяют дифференци-
альным уравнениям
« • и* . 3 де* дф*
Л-----------------------—
р2 (— 2v др др
д (In рЛ)
др
ди*
др
д (In р*)
, 6v * *\ ,
--------е — ф ,) -1
« ♦ , 3 де*
--------------
V l-2v д£
। 6v
d (In р.*) / ди* dw* \ _________ Q,
дф* ,
д£ "Г
д(1пр.*) f ди* , dw* \ _ q
др к < др /
(19.14)
и граничным условиям
du* 3v , 1 ( ди*
------1---------е ] пг-\ --------
др l-2v / 2 \ д?
Пг= -у-фЧ»
1 / ди*
2 I д£
_^_ejn,= А-фХ- (19.15)
§ 19 ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ 275
Здесь использованы обозначения (19.4), а е* выражается через
и* и w* соотношением
е
Введем обозначения
Фр —
др
д(1пр*)
К
3 де*
дф* _
и*
— е
= —е
и рассмотрим уравнения
V2u* —
р2 j —2у др др
ди* . 6v ♦ । . /ди* . dw* \ ]
др 1 — 2v J \ д£ др / J
1—2v д£ д£
* 6v • *\ . . / ди* . dw* \ ] /щ
-т —е-ф)++р(_г + ^]. (19.|6)
Уравнения (19.16) при е=1 переходят в уравнения (19.14).
Рассмотрим краевую задачу (19.16), (19.15). Она линейно
зависит от параметра е, ее решение будем искать в виде степен-
ных рядов
«* = £ «Ч (Р> О. (р, £).
Л=0 Лг=о
Подставляя (19.17) в соотношения (19.16), (19.15) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е, получим краевые зада-
чи для uhf wh (Л=0, 1, 2,...).
Для u0, wQ получаем
V2Uo_JfO_ + _3-----О,
v ° р» 1—2v др др
v4)4-----3 = 0;
1 - 2v д£ д£
/ ди0 . Зу
др” ‘ l-2v е°
(19.17)
(19.18)
где
1
ео —
1 / dt4o , dw0 \ 1 *
2 \ X, др ) г 2 т
дсц> . 3v \ 1 .
—— -I-----------е01 п, = — ® п,,
dt 1—2v °/ 2 Т 2
(19.19)
з
276
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Подставляя ряды (19.17) в соотношения (19.6), найдем раз-
ложения по степеням е для напряжений
= Е 84<р’ £)- • • • > =Е
fe-0 fe=0
(19.20)
В частности, имеем
0 » / do® . 3v 1 *\
= ц —— 4---------е0-----ср ,
р др 1 —2у ° 2 Т )’
3v
1 — 2v
e’ - -M
°C = H
dw0 ,
Я
3v
1 —2y
^О-уф’).
-0 _ > ( ди» : ^0 \
Pt 2 ц \ dt, ' dP J'
Для функций получим уравнения
V2wi------ и----------— =------~ (фрО® +
v 1 р« l-2v др и* VYP р ъ
у’Ч I-тАг-^г = —тМ + <19-21>
1 — 2v дс, р* ъ
граничные условия
арп' + = °’ хЛПг at"2 = ° (19.22)
и соответствующие напряжения
СТр = Н
Зу
1-2у
Зу
1 —2v
= и
о' |Г (*?!_ +4 = (-^+^4, (19.23)
Ц И \ dt, l-2v 1) № 2 dt, др )’
где ei = T(-Zr + Jr + 2E-)- (19’24)
3 \ др р д£ /
Краевые задачи, аналогичные (19.21) — (19.24), получаются и
для функций Uk, wk (k =2, 3,...). А именно
V4--^ + -Л—&" = —+ <19-25>
р« 1 — 2v dp ji* и
vMt + -Д— Фртл *>’ k = 2>3’ • • • ’
= °-
х^гг 4 о^пг = О, А=2, 3, ...» (19.26)
§ 19 ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ 277
<^=ц’
f duk
\ др
Зу
1 — 2у
ек
Зу
-2у
Зу
1 — 2у
т\. = -5- ц* |
рС 2 и ।
а*=р
ек = _L л. _fj*_ ..j- , Л =2,3........ (19.27)
3 \ др p dt, )
Решение исходной задачи (19.14), (19.15) получается из соот-
ношений (19.17), (19.20) прие=1
«*=УМр.Р. ^’=£^(р,а (19.28)
к=0 k=G
°р = Е о$(Р. О. • • • - ХЛ = £ £)•
Л=0 k=--o
19.3. Термоупругие потенциалы. Рассмотрим краевую задачу
(19.25), (19.26) при й=1, 2,... Мы имеем дифференциальные
уравнения
(,9-29)
v8^+ ,2^ **• =/ч(р, О. k =1,2.............
где
Fk=------v (^Pap-1 + V*-1),
И
Pk = - ~ ('И'1 + ^->) (19.30)
и граничные условия (19.26).
Функции (19.30) в краевой задаче (19.29), (19.26) являются
известными функциями координат р, £, так как определяются зна-
чением модуля сдвига и решением задачи в предыдущем (k—1)-м
приближении.
Введем термоупругие потенциалы Г*(р, £), Г*(р, Q соотноше-
ниями
= ®* = -5-+г;, Л=0,1,2,.... (19.31)
др д£
Для величины ek (19.27) на основании (19.31) имеем
1 / дг2 \
V2r* + -jr • (19.32)
3 \ ОС, /
278
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Подставляя (19.31) в уравнения (19.29) и используя (19.32) и
свойство
2 д V2 —= Ф д 2 i 1 д Ф v р2 др (19.33)
оператора Лапласа (19.9), получим
где дНк Я V=F*’ 4- V2n = Fk, (19.34)
Hk = — 1— 2v Г дГ* 1 2(l+v)VTft + —k- L J (19.35)
Используя частное решение
я* = р*(р. ОФ
первого уравнения (19.34), из (19.35) и второго соотношения
(19.34) найдем уравнения
„2Г _ 1_________________
V * 2(1— v) J * Р 2(1—v) Ж,
v2r;=F;-C-^-dp,
(19.36)
определяющие термоупругие потенциалы.
Правая часть второго уравнения (19.36)—известная функция
и, следовательно, Г\ представляет собой решение уравнения
Пуассона. Если это решение известно, то первое уравнение (19.36)
есть уравнение Пуассона для функции Га.
Рассмотрим теперь уравнения (19.18) для функций u0, W
Введем потенциал Го соотношениями
«0 = -^. “,0=-^. (19.37)
ф
Для ее (19.19) найдем
ео = ~ VT0.
О
Подставляя теперь (19.37) в уравнения (19.18) и используя (19.33),
приведем их к виду
§ 19 ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ 279
др I 2(1— V) J
(19.38)
d Г «-.2 Г* 1 — 2v ♦ 1 г\
“аГ Р7 Г°"““Тй-----= °’
д£ | 2(1 —v) J
откуда для Го получим уравнение Пуассона
V2r0= (19-39>
Рассмотрим, в частности, случай, когда коэффициент линейно-
го расширения (19.5) является линейной функцией температуры
а = аоа* (0), а* (0) - 1 + у0, 0 - Т/То.
В этом случае из (19.4) найдем
и уравнение (19.39) переходит в следующее:
v2r« = 7Zv(0 + TY02)-
19.4. Температурное поле. Предполагая, что источники тепла
отсутствуют, а коэффициент теплопроводности есть функция тем-
пературы Х = Х(71), для стационарного температурного поля Т
имеем уравнение теплопроводности
div (к grad Т) -0. (19.40)
Предполагая далее температурное поле осесимметричным Т =
^T(r,z) и используя безразмерные параметры (19.4)
Р=~, £=—, 9=~, Л = ХоГ(0),
а а То
из (19.40) получим
1 д / д0 \ , д 7а* дО \ п /шт
----r v+vP'v =0' (19.41)
р др \ др ) д$ \ д£ У
Введем новую функцию 0* = 0* (0) соотношением
е
0'= fX’(0)dO. (19.42)
6
Из (19.42) имеем
дв* _ де ае* = г
др ~ др ’ д$ “ ds ‘
280
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Поэтому уравнение (19.41) дает
1 д ( 30* \ , д20* л
Р др V др ) д?2
или
d*e* 1 де* д20* _ 0
др2 р др Н д£2 ~ ‘
Таким образом, функция 0* удовлетворяет уравнению Лапласа
V20* = 0.
Если функция 0*(р, £) найдена, соотношение (19.42), дающее
неявную зависимость 0 = 0(0*), позволяет определить температуру
0(р, £). Пусть, например, коэффициент теплопроводности является
линейной функцией температуры
Г = 1—Й0.
Тогда из (19.42) имеем
©• = в—— feo2,
2
откуда
0= -i-р ±(1 — 2/г0*)1/21-
Выбирая знак в этом соотношении из условия 0~>0* при й->0, окон-
чательно найдем
0= yjl —(I—2fe0’)'/2I.
§ 20. Деформация неоднородных цилиндров
20.1. Осесимметричная деформация толстостенного цилиндра
под внутренним давлением. Рассмотрим цилиндрическую трубу
внутреннего радиуса а и наружного 6, находящуюся под действием
равномерного внутреннего давления р. Пусть модуль Юнга Е и
коэффициент Пуассона v — произвольные непрерывные дифферен-
цируемые функции радиуса г.
Используем постановку задачи, описанную в п. 18.4 и осно-
ванную на функции напряжений о>(г) [76].
Отличные от пуля компоненты напряжений выражаются через
функцию напряжений <о(г) соотношениями (18.56)
<jr — -— со, Ое=<о',
с2 = \Е + v fit)' 4- (20.1)
§ 20
ДЕФОРМАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРОВ
281
а функция (о (г) удовлетворяет уравнению
в>* + h + £ f_LV г--U' -
L \ Е ) 1 — va j г
_[1+e(XV v<L±21r + jaL±^J (20.2)
L \Е) 1—V2 1—v2 J г2 1—v2 v 1
Кроме того, имеют место граничные условия
ог (а) = — р, (6) = 0 (20.3)
и в предположении отсутствия осевой силы условие
J* ог</з = 0, (20.4)
S
где s — площадь поперечного сечения цилиндра. (Здесь и в даль-
нейшем штрихом обозначена производная по г.)
Применяя метод возмущений, положим
Е= Ео{1 + eX(r)J, v = v0(l +ец(г)1 (20.5)
и будем искать решение задачи (20.1) — (20.5) в виде
<> (И = °>о (И + etoi (г) + ... . (20.6)
Подставляя соотношения (20.5), (20.6) в уравнение (20.2) и при-
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, найдем
%+— “o-4qo=0- (20.7)
г га
“i + —I -—-
\ 1 ~v0 /.
----(1 Н ve)-ц' (1 + 2v0)J — ©0 + -^Ц'. (20.8)
1-v* г 1-V-*
Интегрируя уравнения (20.7), (20.8), получим
®o=Cir + y-, (20.9)
©I — ~ j r j ^(г) ^г>
о о
282
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
где
F (Г) = С11 V ^~2vo) + Vop/ (1 + 4vo) I
[ 1 ”Vo 1 — Vq j
*он'
yvoEop/
l-vg
Константы Ci, c2 определяются из условий (20.3), а константа
у — из условия (20.4).
На рис. 30 показано распределение напряжений ог, сто, вычи-
сленное по формулам (20.1), (20.6), (20.9) при
A(r) = M(r)= г3,
Рис. 30
е = — 0,05,
v0= £0—30-10’.
Пунктиром показано распределение
напряжений для однородного мате-
риала.
20.2. Температурные напряжения
в толстостенной трубе, свойства ко-
торой зависят от температуры. Рас-
смотрим толстостенную трубу внут-
реннего (а) и наружного (Ь) ради:
усов, находящуюся под действием
стационарного температурного поля
Т=Т(г). Через Т обозначим тем-
пературу, отсчитываемую от на-
чальной постоянной температуры,
соответствующей естественному со-
стоянию трубы. Примем, что модуль
Юнга является функцией темпера-
туры, а коэффициент Пуассона у и
коэффициент линейного расширения а постоянны.
Из закона Гука (19.1) и формул Коши (18.13) имеем
а, = Е (г) I (1 — v) + v — + ve — (1 + v) аТ ,
i dr г J
о0 =Ё(г) [ v (1 —V)— -|- ve —(1 -h v)aTl,
[ dr г J
а2 = Ё(г) [?А -|-v — + (1 — v) е—(1-|-v) ат]. (20.10)
$ 20
ДЕФОРМАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРОВ
283
Здесь u=ar — радиальное перемещение, е = е2 = const — осевая де-
формация, а
E=E(r)/(l+v)(l-2v).
Подставляя напряжения (20.10) в уравнение равновесия
<for । °г ’~~<ув-7= о
dr г
получим дифференциальное уравнение для функции и(г) [69]
d2u 1 du / । ._____г dE \____и_ /1____у г dE \ _______
dr2 г dr \ Е dr ) г2 \ 1 —v Е dr }
— 1 +.v. а f JL X — И----------L — = 0. (20.11)
1— v \ dr Е dr ) 1 — V Е dr
Стационарное распределение температуры Г (г) при условиях
T\r^=Tat T\r=b=0
имеет вид
Т=-------- Inf— V Х= 1п(&/а) . (20.12)
X \ Ь / Та
Зависимость модуля Е от температуры примем в виде
Е (Т) = Eoe~f>T, Р > 0. (20.13)
Примем частные значения [69] параметров
Ь/а=2, х=₽. (20.14)
при которых уравнение (20.11) имеет точное решение в элементар-
ных функциях. При значениях (20.14) из (20.13) и (20.12) имеем
£(Т)= J-Eor
О
и уравнение (20.11) приводится к уравнению типа Эйлера
+ JJHL_2.fi+ in_L\r + _J5_r = o. (20.15)
1 — v х \ b / 1 — V
Однородное уравнение
г» j 2г— — и 11~2- = О,
dr2 dr 1 — v
284
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
имеет решение
ц-4-i ц—1
2 , 2
и = сгг 4- сйг ,
где р= У\5 —9v)/(l — v), a с2— произвольные постоянные. Ре-
шение неоднородного уравнения имеет вид
ц-н
и=с1г 2 +с2г 2----------- (1 + v)rln— +
х b
4-|22_(1_у2)—“ (1 + v) + vel г. (20.16)
[ X X J
Подставляя (20.16) в соотношения (20.10), найдем напряжения
а. -------—-------(q [(1 —v)^ + vl г*1’ +
r b (1 + v) (1 -2v) I llV J
+ cj(l— v)m+ v]r^+ —(1 +v)(l—2v)r|,
X j
On — ------—------- (Cl [vuj 4 (1 — v)] r»*< +
0 b (1 +v)(l—• 2v) I 11 W v П
4- c2Ivh2 + (1 - v)Jr^ -I- (1 + v) (1 - 2v) r j, (20.17)
F (
+ H"1 ’ '>'- + ^(и,+ 1)г- +
— (1 + v) (1 — 2v) r In — Г — v (3 + v — 6v4) -|-
x b [ x
4- (1 4- v)(l —2v)ej rj,
где Hi = — (H 4-1 )/2, ц2 = (н — 1 )/2.
Определяя постоянные сь c2, в из условий
ь
аг |г=а =0, ог |г=ь =0, j* rozdr = 0,
а
получим
ЬЕ з+и
. а (1 4- v)(l ~2v) (2 2 -О Ь~2~
1 х 2±Н
[(1-у)Ц14-у1(1-2-и)2 2
УЛ. з-ц
„_____а (1 4- у) О - 2у) (2 - -1) . —
2 X 3+р
1(1-У) На 4-у] (1-2-1*)2 2
§ 20
ДЕФОРМАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРОВ
285
—3-f-p. 3—ц
= а (______________Зу______________ Г 1 — ц(2 2 — 1)(2 2 — 1)
х ( 3±!L L (3 —Ц)(1+v)|Xi4-v
(1—2“3)(1 — 2-^)2 2
—з-ц, 34-Ц
_ 1-Ц1(2 2 — 1) (2 2 — 1) I 7 —31п2 _ у (3 + V — 6у«) 1
(3+ц)(1—у)щ + у ] 24(1— 2~3) (l+v)U— 2v) J‘
Для напряжений (20.17) окончательно имеем
—1—И — 1+Н
Or = -г5- (V 2 — V 2 + г).
—i-p. - 1+м
<r0=-^-(X;r 2 — Х2Г 2 +2r),
Ьх
-1-р, -14-ц
Здесь введены обозначения
3—ц
(2 2 —1)& 2
(1 —2-^)2 2
.' vpt + (1 — v) J
Л1 = -----------------А-,
(1 — У) + V
х;=—^i+o—лх,
(l--v)jii+v
(20.18)
А. —
<о= . 3v Г-О-Ю
1 — 2“3
i<3—н)
34-ц, 3—ц
(2 2 — 1)Ь 2
3-Ьи
(1— 2-^)2 2
УЩ + (1~ т) 1
(,_v)|!2+v 21
v(p«+l) 1
--------------- **О,
(1 — v) + v
-34-й
(2 2 - l)Xi
Аа —
%2 ==
з+и
1(1 — v) р, 4-у] Ь 2
-з-ц
(2 2 — 1)Ха
З-й
[(1—v)p2 + v]b 2
Приведем числовой пример, приняв
Тогда
(1 + Ю
(3+10
7 —31п2
24(1 — 2~3
[69J v = 0,3; 6 = 10 см.
%2 -
Ь
(1=1,81, 11!= —1,41,
Xj = 34,2, Xi = —13,9,
112=0,41;
А] = 6,09,
(20.19)
286
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Ха=4,45, Xj = 6,26, ^=3,21,
<о= 1,20.
Для материала, свойства которого не зависят от температуры
(с модулем Юнга Ео), напряжения при тех же значениях опре-
деляющих параметров даются формулами
а* =7,15-^- Г— In — — 0,231 (1---------— Ч,
X [ г \ г2 / J
ав = 7,15 Г1 — In — — 0,231 (1 + \1,
X L г \ г2 / J
а;= 7,15-^ [1-21п22_-0,4621. (20.20)
X I г I
На рис. 31 и 32 показано распределение напряжений, подсчи-
танное по формулам (20.18) и (20.20).
§ 20
ДЕФОРМАЦИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРОВ
287
В приведенном примере максимальное напряжение, подсчи-
танное по формулам (20.18), на 42% меньше, чем при независя-
щем от температуры модуле Е.
20.3. Анизотропный цилиндр при осесимметричной нагрузке.
Рассмотрим осесимметрично неоднородный анизотропный полый
цилиндр, по внутренней (г = а) и внешней (г = 6) поверхностям
которого приложено постоянное давление; параметры, определяю-
щие упругие свойства, предположим зависящими только от
радиуса г.
Введя, аналогично (20.1), функцию напряжений х(г) соотно-
шениями
<V=—X. <г0=-^-, (20.21)
г аг
для функции х(г) получим уравнение J16]
где
d-Ч л. ( 1 л_________1 \ _6Х
dr2 \ г 1 dr / dr
. /J______1 <2 Ptl \
\ r 022 dr 022r2 / *
(20.22)
flll —» «22 — E » Я12 —
Если принять
Vij =
то уравнение (20.22) имеет точное решение [23]
X = С1Г*1 + с2А,
где £1,2 = -у (tn ± V т2 + 4у/и, ут = (уи + ту12)/у22. Постоянные
Ci и сг определяются из условий
ог |г=а = — Р1, Ог |г=ь = — Рг- (20.23)
Приведем решение рассматриваемой задачи при неоднородности
ввда J53J
Ег= £0(1 |-£р"), Ев/Ег = к,
где Ео, к, п, ‘к — константы, p = rjb.
288
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Уравнение (20.22) принимает вид
(1 +/1рп)рг-^Г + J1 +fe(l —vp")Ip-^- —
apz ар
— к(1 +fepn)x=O. (20.24)
Специальными подстановками уравнение (20.24) можно свести к
уравнению Гаусса и получить решение через гипергеометрические
функции. Для напряжений при граничных условиях (20.23)
найдем
V [Р1Ф1 (р) rJVMp)].
д
ff0 = tP1<P2 + ₽2^2
где
д = cmF1F2 — с~,п F3Fi,
Ф1 (Р) = — — (Ртр 2Р6 — Р-"1 F3F«),
Р
*‘(р) = 7 [ (i)" F'F' ~ (тГ '
ф2 (Р) = — с [ — (РтГцрь + Р~т FaFв) —
L Р
-р-т(ЛР1
w = - [ (-Г I- (-Г" ад] ,
p L \ р / \ р / J
a Fi — гипергеометрические функции
Fi = F (ару; — kc"), Ft = F (а^уъ — k),
F3 = F(apy; — k), F4= F (а^м; — kc"),
Fb=F (apy; — ftp"), Fe = F (aiPiYi-. — Ap“)-
Здесь
a1=l+y_Y1, pr=l l-P —y, yx = 2 —y,
у = 1 + 2s, 2s = 1 + a + p, s = mjn, m = (/A, c = a/b.
В табл. 4 приведены результаты расчета для цилиндра при
Х=0,475, с = 0,5, pi = l, Р2=0, fe = 0,5, откуда видно, что напряже-
ние ог убывает в соответствующих точках цилиндра, когда п
§ 21
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
289
Таблица 4
р п=2 л =4 л-=6 л=8 п= 10
—о в0 —пг *0 —бг *0 — °е —(Зг °0
0,5 1,000 1,016 1,000 1,150 1,000 1,271 1,000 1,349 1,000 1,400
0,6 0,668 0,964 0,656 0,989 0,642 1,037 0,633 1,073 0,626 1,009
0,7 0,435 0,971 0,428 0,942 0,614 0,927 0,400 0,928 0,391 0,939
0,8 0,295 0,993 0,257 0,949 0,247 0,905 0,239 0,877 0,230 0,861
0,9 0,119 1,017 0,118 1,007 0,112 0,975 0,111 0,922 0,108 0,896
1,0 0,000 1,155 0,000 1,140 0,000 1,135 0,000 1,130 0,000 1,123
возрастает. Напряжение же gq для возрастающих и на внутрен-
ней поверхности цилиндра возрастает, а на внешней — убывает.
§21. Кручение неоднородных тел вращения
21.1. Кручение цил индрически-анизотропных неоднородных
тел вращения. Рассмотрим неоднородное тело вращения, обла-
дающее цилиндрической анизотропией с осью анизотропии, со-
впадающей с геометрической осью вращения. Для определенно-
сти будем считать, что тело вращения представляет собой приз-
матический брус переменного сечения, один конец которого за-
креплен, а другой свободен (рис. 33). На боковой поверхности
имеются поверхностные силы ^e(z), направленные по касатель-
ным к контурам поперечных сечений и не меняющиеся вдоль
каждого из контуров, к свободному торцу приложены усилия,
приводящиеся к крутящему моменту М.
Используем цилиндрическую систему координат г, 0, z с на-
чалом в плоскости свободного торца и с осью г, направленной
по оси вращения (рис. 33).
290
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Примем следующие предположения. Будем считать, что все
плоскости меридиональных (проходящих через ось z) сечений
являются плоскостями упругой симметрии и закон Гука имеет вид
ег = г #12^0 “Г "t"
^0 — 012^ г + 022^0 “Г ^23^z 4" ^25^rz'
&z = fl13°> “I” 023^0 “ 033Ог +
Угг = a16CTr н- а2Бае + ахог + а5Ьт„, (21.1)
Y0z = 0,44X93 ^4вТг0,
Y<o = 4~ fleeTre-
Примем, что параметры а44, 046, 066— произвольные непрерывные
дифференцируемые функции переменных г, z, а остальные пара-
метры aij — произвольные функции г, 0, z.
Для рассматриваемой задачи примем следующие кинемати-
ческие гипотезы [24]
иг — иг = 0, Uq = и (г, z).
Из формул Коши (18.4) имеем
Ef Е0 = Ez — Угг 0»
dv v /см
T,8-V-T. (21.2)
Из закона Гука (21.1) найдем
Gr = а0 = az = xrz =
Y0Z = + а48тго;
Yre = <W0Z + «6втг0- (21 -3)
Из уравнений равновесия (18.7) остается лишь одно уравнение
дт/0 2 Т'в , dxQz = Q
дг г дг
которое можно записать также в виде
1^)+2^- = 0. (21.4)
дг дг
Из соотношений (21.3) и (21.2) имеем
~~~ ~ а44Х&2 + 046Т/'0> "Z----~ 046^02 + 0в6Г''Э* (21.5)
§ 21
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
291
Для трех неизвестных функций v, Tqz, тг0 имеем, таким об-
разом, три уравнения (21.4), (21.5).
На боковой поверхности бруса должно выполняться гранич-
ное условие
Тг0«г + твгпг = <70, (21.6)
а на торце — интегральное условие
J mozds — М.
S
(21.7)
Краевая задача (21.4) — (21.6) может быть сведена к различ-
ным краевым задачам.
Введем функцию напряжений ip(r, г) соотношениями
1 dip 1 dip
’Т02= “Т а ’ т'9= л'
г2 dr г2 dz
(21.8)
удовлетворяется, а
дифференциальное
исключая v из
уравнение для
dip
Уравнение равновесия (21.4)
соотношений (21.5) получим
функции ip(r, z)
д Г 1 /
--- I -- I ^44
dr [ г* \ 44 dr
1 д / Эф
ZT "л?" IД<в ~а~г а»»
г3 dz \ дг
На основании (21.8) и соотношений
dz
Пг= ----, П2=~
ds
dip \ ]
a4*ir)j
= о.
dz /
dr
ds
(21-9)
(21.10)
имеем
dip dz i dip dr \
dz ds dr ds J
и потому граничное условие (21.6) принимает вид
dip I 2
-Г =— r*qe.
Os IL
WV + tQznz =
1 dip
г2 ds
(21.11)
Для ортотропного тела
= 1/^1, = 1 /б?2, a46 = U.
Закон Гука (21.3) принимает форму
1 1
Yez = — 'Тег, Yro = —
и2 с?2
(21.12)
(21.13)
292
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
а уравнение (21.9) запишется в виде
—1'4~ + (21.14)
dr \ r3ux дг ) dz \ гЧЪ dz ) ' '
Для изотропного тела
G1=G2, (21.15)
и уравнение (21.14) переходит в уравнение (18.41).
Примем теперь за основную неизвестную перемещение и (г, z).
Разрешая уравнения (21.5) относительно напряжений, получим
л dv А f dv v \
Aii дг " TJ’
+ <21Л6)
dz \ дг г /
где
л — °* п — ам А — °44
'*44 — А ’ и4в ~ “7“» ^бб —
Д Д Д
Д = #44^66---fl46*
Подставляя теперь напряжения (21.16) в уравнение равновесия,
найдем уравнения для и (г, z)
+ г2-Мл„-^+Д4в(-^----)1=0. (21.17)
dz L dz \ dr г J ]
Граничное условие для v получится как результат подстановки
напряжений (21.16) в условие (21.6).
Для ортотропного тела (21.12) уравнение (21.17) принимает
а для изотропного (21.15)—вид
J- [r*G __________-'11 + — (r*G = 0.
дг [ \ dr г J J dz \ dz )
Дадим еще одну постановку задачи о кручении тел вращения.
Принимая за неизвестные напряжения тег, гго и деформации уе2,
уг0, имеем:
уравнение равновесия:
а(^> + «<^=(), 2
дг дг
§ 21
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
293
условие совместности (18.36)
Yo^ = O, (21.19)
dz \ г ) дг \ г )
закон Гука
Yoz = ^44^02 ^46^<0» Yre — fl46T02 4 ^66^0
и граничное условие
Tr^ir + oQzn2 = qQ.- (21.20)
На торце имеет место также интегральное условие (21.7).
Введя, как и выше, функцию напряжений ф(г, z) соотноше-
ниями
1 ^Ф _ 1 дф zq. нм
г2 дг гг dz
удовлетворим уравнению равновесия (21.18). Введя функцию
перемещения ср (г, z) соотношениями
Ъг=г-^, Yre=r-^, (21.22)
dz dr
удовлетворим уравнению совместности (21.19).
Подставляя теперь соотношения (21.21)., (21.22) в закон
Гука, получим систему дифференциальных уравнений для функ-
ций ф и ф:
а4<-^-а<в-^=г3-^, Ом2*_о„_а1 = гз*1 (21.23)
44 а- 48 dz dz 46 dr M-dz dr ' ’
дг
Граничное условие (21.20) принимает вид
дф I
ds |l
— r^0.
(21.24)
Для ортотропного тела (21.12) система уравнений (21.23) прини-
мает форму
21 + q_^_ = o, (21.25)
dr dz dz dr
где P = r’tzj, Q = r’G,.
Для изотропного тела (21.15) система (21.25) имеет вид
r»G-^ = 0, —+ r3G-^-=Q, (21.26)
dr dz dz dr v ’
а в силу (21.26) и соотношений
dz dr • dr dz
nr = --- =----, n2 =---------= -----
ds dn ds dn
294
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
на контуре L имеем
ds дп
и потому граничное условие (21.24) может быть записано также в
виде
dtp I _ 1
дп |l rG
Из соотношений (21.2) и (21.22) следует
J«_=r_d9 JjL_2L = r_?l. /21.27)
dz dz dr r dr
Интегрируя систему (21.27), найдем перемещение v(r, z); с точ-
ностью до перемещения бруса как жесткого целого оно имеет вид
У = Гф(Г, z).
21.2. Решение системы уравнений кручения в форме диффе-
ренциального и интегрального операторов. Рассмотрим кручение
цилиндрически ортотропного неоднородного тела вращения, мо-
дули сдвига которого являются функциями координаты г
Gez=G1(r)t Gre=G2(r).
Используем постановку задачи, основанную на введении
функции напряжений ф(г, z) и функции перемещения q>(z, г)
и описанную в п. 21.1.
Для функций ф и <р имеем систему линейных дифференциаль-
ных уравнений в частных производных эллиптического типа
_*L — P(r) — О, Ч-Q (/)—= 0, (21.28)
dr dz (dz dr
где Р (г) = r3Gt (г), Q (г) = г302 (г).
Напряжения тег, тге и перемещение иг= с выражаются через функ-
ции ф и ф формулами
V == Гф.
Имеет место также граничное условие (21.21)
*11 =-rV-
ds |L
§ 21
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
295
где
Решение системы уравнений (21.28) будем искать в виде [47]
ф =Im£ ak(r)wk(t,),
k=Q
QO
<Р = Re £ (г) шк (О,
Л=0
г. р=
J L G2(r) J
(21.30)
(21.31)
Действительные функции сц(г), рл(г) и аналитические функции
комплексного аргумента £=p + iz подберем так, чтобы
соотношения (21.30) удовлетворяли системе уравнений (21.28).
Подставим (21.30) в уравнения (21.28) и учтем соотношения
dwk ' -» / Gi
—^=^(0 У -77-,
ОГ у О 2
-^ = iwk (г),
дг
Тогда
Re if (£) = - Im f (О, Im if (£)= Ref (£).
Re J] QVkWk 1-
Л=0 L
(21.32)
Система уравнения (21.32) тождественно удовлетворится при
произвольной аналитической функции ш0 = ^(^), если на функ-
ции ад (г), (г), наложить условия
а0 = Ро ~ 0,
Отсюда
«л + Ррл-i + ад_1 ]/ Gj/Gja = 0,
Q04 + ал-! Ч- QPt-1 = 0.
а0 — а = const, Ро = Р = const,
«л = а* — J {P^k-i + <x*-ij dr,
J X Q f /
296
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
= л=1, 2, ...
(21.33)
О оО
где ал, pfe — постоянные интегрирования.
Решение (21.30) принимает форму дифференциального опе-
ратора, аналогичного приведенному в работе [46]
1р = 1^= Im £ afc(r)tt><«(0,
А=0
<P=Ti=Re£₽*(r)w<«(p. (21.34)
A=0
Систему уравнений (21.32) при произвольной аналитической
функции комплексного переменного wQ=f(£) можно удовлетво-
рить и другим способом. На функции аь = аь(г), 0а = Ьа(г),
Wk=fk(t>) наложим условия
Оо л/4- + РЬо = 0, Qtol/+ а0 = 0,
Г Uj f Оз
1/ : РЬк Ь <4-1 = °-
V G,
Qbk V Ь ак | Q&fc-j = 0,
г о2
/*(□ = Л-1Ю. *=1, 2, .... (21.35)
Уравнения (21.32) при этом удовлетворяются, а из (21.35)
найдем
А
т=1
а0 Н- VPQbe -- О,
aj_i - yPQ bk-t = 0, k = 1, 2.... (21.36)
।де cni—постоянные интегрирования. Положим Gn=0, m = l, 2,...А.
Решение (21.30) принимает форму интегрального оператора, ана-
логичного оператору Бергмана [4]
Ф = 'h = I™ £ ak (г) J /(£)
A=0
§ 21
КРУЧЕЙИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
297
<p=<p2=Re£6ft(r)f/(O^. (21.37}
k—0
где использовано следующее обозначение для Л-кратного интеграла
/*(£)= j7(S)^ = JJ ... (21.38)
При k=0 интеграл в (21.38) отсутствует и /0 = [(£), где [(£)—
произвольная аналитическая функция комплексного переменного.
Функции а*, bh, входящие в решение (21.37), находятся из
уравнений (21.36). Интегрируя (21.36), получим
а0 = - d0 (reGA)1/4, b0 = d0
ak=~ Qb^ - (PQ)V2 [4 ~ 4 Г (QZ>\‘r- •
L 2 J (PQ)!/-» J
bk = (PQ)-'/4 _ _L [. dr], k = 1, 2, ... , (21.39)
L 2 J (Pq)1/4 J
где dfc, k = 0, 1, ... — постоянные интегрирования.
По аналогии с работами [4, 46], можно доказать, что если
функции &’(£) и /(£) ограничены в некоторой области, то ряды,
входящие в решения (21.34) и (21.37), абсолютно и равномерно
сходятся в той же области.
Решения в форме (21.34) и (21.37) независимы между со-
бой. Линейная интегродифференциальная комбинация этих ре-
шений также служит решением системы (21.28).
Функции а/<(г), Pfc(r), dk(r), bk(r), входящие в решения
(21.34), (21.37), выражаются аналитически, либо могут быть та-
булированы при заданных функциях Gi(f), G2(r). По аналогии
с работой [46] можно показать, что в соотношениях (21.33) и
(21.39) параметры а°, 0°, dk несущественны. Тогда, не нару-
шая общности, достаточно ограничиться решениями, в которых
положено
a’ = p“ = drt=O, п=1, 2, .... (21.40)
Условия (21.40) будем считать в дальнейшем выполненными.
Рассмотрим частный случай, когда модули сдвига заданы в
виде степенных функций
Gi = 02 = ёгГ4-
Полагая также для простоты в соотношениях (21.33) а=0, 0= I,
найдем
298
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
а = 1/ —
r g2
р = — rA I А = , _,
г А \ 2
ak = (—!)*------gi^T3 + ^"---------f₽+4 pfc-i.
v 4(s— l)(fe- s—1)! и
ft, _ (-1 )*----*=№--!' + •>"------p.,
(s — 3)(fc — 2 + s)!fe! r
(fe = 0, 1,...; s.= (p4 4)/Л#=1, 2, 3).
Для изотропного тела gx—g2, p = q = O, s = 4, p=r.
Аналогично могут быть вычислены и функции aft(r),
по формулам (21.39).
Из соотношений (21.41) следует, что если числа р и
заны одним из равенств
(2п — 1) Л + р4 = 0 (п= 1, 2, ...),
то ряды (21.34) вырождаются в конечные суммы. При п=1, на-
пример, имеем
(21.41)
Ьк(г)
q свя-
А = — (Р + 4), q =3р г 10
и формулы (21.30), (21.31) и (21.34) принимают вид
гр = Im ахшх, (р = Re фев Г Pl*0 )» р =---------r-(P-f-i),
Р4-4
21.3. Задача о кручении полого кругового цилиндра со сме-
шанными краевыми условиями на боковых поверхностях в точной
постановке. Рассмотрим полый круговой цилиндр длины I с внут-
ренним радиусом /?1 и наружным /?2. Пусть на поверхности r=Ri
задано перемещение о (г), а на поверхности г=/?2— поверхност-
ная сила qe (2); торцы цилиндра считаем свободными от напря-
жений, а модули сдвига Gh G2— заданными кусочно-непрерыв-
ными функциями радиуса.
Имея в виду точную постановку этой задачи, имеем гранич-
ные условия
V |r=R> = Rifi (г), rf8 |r„R, = qe (z); (21.42)
твг |г=4) = 0, Т9г|г=/=0- (21.43)
Используя выражения (21.29) напряжений через функцию на-
пряжений ф(г, 2), перепишем условия (21.42), (21.43) в виде
dz
v| =^i/i (г).
211 =о,
дг |2=о
I = -^ge (г) = /,(?), (21.44)
И —На
*.1 -в.
дг |г=/
(21.45)
§ 21
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
299
Функции fi(г), f2(z) будем считать заданными кусочно-непрерыв-
ными функциями, имеющими ограниченные изменения на интер-
вале (0, /).
Задача сводится, таким образом, к интегрированию системы
(21.28) при граничных условиях (21.44), (21.45).
Решение задачи (21.28), (21.44), (21.45) будем искать в виде
линейной интегродифференциальной комбинации решений (21.34)
и (21.37) системы уравнений (21.28) [47]
t = *1 -!- ’I’a = Im £ [aft (r) ay<*> (t>) + ak (r) J /(£)<£*],
k=0
v=r(q>1 + <F2)=rRe£ ! b„(r) (21-46)
Функции и /(£) зададим в виде рядов
“’(£) = £ Ane~'^, /(?) = £ (21.47)
Л=1 л«=1
где Ап, Вп — произвольные постоянные, а со—фиксированная конс-
танта. Подставляя (21.47) в соотношения (21.46), найдем
t £ (А“ (И -I 6“ (г) Вп) sin п®г,
Л=1
V = г £ (Дл (г) Ап 4- б* (г) В„) cos пшг. (21.48)
П—1
Здесь заменен порядок суммирования и введены обозначения
Д“ (г) = е~т>р £ (— 1 )* (пш)к ak (г),
л=о
09
б“(г)=с-'’<* у(-1)*-^4-г
fe=O
А’(г) =₽—<’£ (-1)'Чп<о/рп(г),
л=о
6^(г)=е-^У(_1Г
(пы)Ь
fe=O
300
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Положим в соотношениях (21.48) со = л//. Тогда условия
(21.45) удовлетворяются.
Подставляя выражения (21.48) в условия (21.44), найдем
£ (Ai Ап Ч- б„ Вп) cos пшг = А (г),
Л=1
£ (иш) (А* Ап • Ь б„ Вп) cos п<лг = f2 (г), (21.49)
/7=1
где введены обозначения б„(/?1)=бА A“(7?2)=An,
б£(/?2) - б’.
Разлагая функции A(z), f2(z) в интервале (0, /) в ряды Фурье
по косинусам, из (21.49) получим систему уравнений для коэффици-
ентов Лп, Вп разложений (21.47). Решая эту систему, найдем
Ад
вп = -J- (d„Ai — л(оспА„), л = 1, 2, ... ,
где Д„ = лш (А„ — An б,1,),
/ I
сп~ (2)008 dn = — /2 (z) cos ncozdz.
о о
При этом со = ^о = О, что дает определенные ограничения на функ-
ции fi (z), f2(z).
21.4. Кручение полого цилиндра касательными усилиями,
распределенными по боковой поверхности. Рассмотрим задачу о
кручении тела вращения, ось цилиндрической анизотропии кото-
рой совпадает с геометрической осью тела. Предположим также,
что модули сдвига
G1 = GzQ(r\ G2=G,e(r) (21.50)
являются кусочно-непрерывными и ограниченными функциями радиуса.
Отличные ст нуля компоненты напряжений тге=т1(г, г), тге =
= т2(г, г) и тангенциальное перемещение и& = и (г, z) определяются
через функцию напряжений ф(г, z) соотношениями
г _ 1 г - 1
1 г2 дг тг dz
(21.51)
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
301
где ио — значение v в фиксированной точке (го, Zo). Функция на-
пряжений удовлетворяет уравнению (21.14), которое при неодно-
родности (21.50) приводится к виду
±^L + _Gl_
dr* G, dz* ' дг
(21.52)
У= — lnG,r3>0.
dr 1
Методы, аналогичные рассмотренным в п. 21.2, можно при-
менить к задачам о кручении неоднородных тел вращения, если
исходить из постановки этих задач (21.52), использующих функ-
цию напряжений [48].
Решение уравнения (21.52) будем искать в виде
£ MOMS).
k=0
где
£=р + <г, P = J["3“] '‘dr-
Внося (21.53) в уравнение (21.52), придем к равенству
У (as — Nak)wk+ 1/(2<4 — Pak)w'k = 0,
Г=о L F °* J
(21.53)
(21.54)
где
P = lnrs VGA •
dr
Соотношение (21.54) выполнится при произвольной анали-
тической функции Wq=w(£), если на коэффициенты и функ-
ции wh наложить условия
оо — Мхо = 0, —Wafe = — 1/ (2ctk-i — Р ал_1),
wk = lim(2(4 — Pan)wn = 0 (k= 1, 2, ...).
n->0O
Отсюда находим
да* = иХ*) (g), (21.55)
a0= ВоН Л0 J r*Gi (г) dr, (21.56)
aft = Bk + Ak f r3Gx dr — f r’Gi f dr dr. (21.57)
J J J r*VGA
302
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Здесь ЛА, Вк— произвольные постоянные интегрирования. Реше-
ние (21.53) при этом примет форму дифференциального опера-
тора
•00
(21-58)
fe=0 ‘
аналогичного полученному в работе [46]. В формуле (21.58)
вместо t можно рассмотреть комплексно-сопряженный аргумент
£ = р—/г, а также аргументы вида £i = i£, = & в этих случаях
коэффициенты (21.56), (21.57) будут выражаться несколько ины-
ми формулами.
Соотношению (21.54) можно удовлетворить иначе при произ-
вольной аналитической функции комплексного аргумента
^o = f(£). Для этого на функции ал = а^, wk = fk (переобозначения
введены для удобства) наложим условия вида
2во —Ро0= 0, а*-1— Nak-i= ~ Л/ (^ь — Рак),
г Gs
fb = fk-i, lim(an — Nan)fn= 0 (k = 1, 2, ...),'
H->oo
откуда получим
/.= s
m—1
[... [f(№ ...d^
(k — my. J J
(21.59)
aA = r’/.(G1G8)*/. 4 (*=1-2, •••)•
L " г и j
(21.60)
Здесь PTO(m=l, 2, ..., k), Dk(k=l, 2, ...)—произвольные постоян-
ные интегрирования. Решение (21.53) принимает форму интег-
рального оператора
4 = ^2 = £ МО {/(£)<£*.
k^O
(21.61)
аналогичного оператору Бергмана [4]. Не нарушая общности в
формуле (21.59), можно положить Рт = 0. В соотношении (21.61)
и далее использовано следующее обозначение й-кратного интег-
рала:
(P = p(£)d^=J ... p(P^...dS (21.62)
§ 21 КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 303
При k = 0 интеграл в (21.62) отсутствует и /o=fU), где f(g)—
произвольная аналитическая функция от комплексного аргумента.
По аналогии с работами [4, 46] можно доказать, что если
функции w(£) и f(£) ограничены в некоторой области, то ряды,,
входящие в решения (21.58), (21.61), абсолютно и равномерно
сходятся в той же области.
Решения в форме (21.58) и (21.61) независимы. Линейная
интегродифференциальная комбинация этих решений также ре-
шение уравнения (21.52).
Коэффициенты (21.56), (21.57), (21.60) зависят только от
Gi(r), G2(r) и табулируются при заданных модулях сдвига. Не-
трудно, далее, установить, что при наличии произвольных функ-
ций ш(£), f(£) в (21.58), (21.61) коэффициенты Ah, Bht
Dk(k = 0, 1, 2...) в (21.56), (21.57) и (21.60) не являются сущест-
венными и, не нарушая общности, достаточно ограничиться част-
ными решениями, т. е. положить An = Bn = Dn = 0, а постоянные
До, Во, Dq можно выбирать в зависимости от характера задачи.
В качестве примера использования изложенного метода рас-
смотрим [48] соосный полый круглый цилиндр длины /, концы
которого свободны от усилий; /?ь R2 (Я2>/?1)—радиусы цилинд-
ров. Будем считать, что модули сдвига Gj и G2 заданы в виде
кусочно-непрерывных функций от радиуса и ограничены на ин-
тервале
Имеем следующие краевые условия:
при z = 0, г = I Tj = 0;
при г = /?„ г2 = Л(г) | (21 #63)
при г = /?2, т2 = f2 (z) J
где fi(z), f2(z)—заданные кусочно-непрерывные и ограниченные
на интервале (0, /) функции.
Для решения задачи воспользуемся линейной интегродиффе-
ренциальной комбинацией формул (21.58) и (21.61) в виде
оо
= Im (1|)Х + ta) = Im £ [aft (г) иЛ ф + ak (г) f f (^ <£*]. (21.64)
fe-=0
В качестве функций и>(£) и /(£) возьмем ряды
О>(Р= £ /(р= £ Епе-™1, (21.65)
п -1 - Л--1
где ся, Еп — произвольные постоянные, <о фиксированная константа.
Вычисляя соответствующие производные и интегралы от (21.65)
и внося их в соотношение (21.64), получим
304
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
Ф = £ [с„Д„(г)+ En6„(r)Jslnn<oz. (21.66)
1=1
Здесь произведена перестановка знаков суммирования, так как
ряды в (21.64) сходятся абсолютно и равномерно, и введены
обозначения
Дп(г)=е-ио>р £ (_1)*(ПО))Ч(Г).
k=0
00
6п(г)=е—р£(- 1)*-^- (*=1,2,...).
fe=0
Положим в соотношении (21.66) т=п!1 и учтем (21.51). Тогда
первые два условия (21.63) выполняются автоматически. Двум
другим условиям (21.63) удовлетворим, если коэффициенты Сп
и Еп определим на интервале из условий
оо
£ па{сп^1 -г ЕМ cosn <bz= — ₽i/\(2).
n=l
оо
£ па(сп\2 + ЕМ cosna>z= — $/2(z),
Л—1
где Д;=Дп(/?;), 6< = 6П(Я<) (i= 1, 2).
Разложим функции fi(z) и f2(z) в ряды Фурье по косинусам
на промежутке (0, /). Затем используем обычный метод Фурье,
в результате которого найдем коэффициенты
са=-^ RlcM>
(21.67)
£п=Ц-(^г„Д2-^^Д1).
д
Здесь
i
Д б2 — Д2 6j, сл = -у- j fi (z) cosn <»zdz,
0
I
dn= fa(z) cos nozdz (n= 0, 1, 2, ...). (21.68)
о
§ 21
КРУЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
305
При этом co = dQ = O, что приводит к определенным ограничениям
на функции fi и f2- Например, если положить
К = К + й2г2,
fz = + ktz + &2z2,
то из формул (21.68) получим
(21.69)
3/h + Ph2 = о. k0=-t (А- +-ф-).
Соотношения (21.69) налагают связь, которая появилась из ус-
ловий co = do = O и должна существовать между коэффициентами
h и k.
Внося, далее, (21.66) в выражение (21.51) для тангенциаль-
ного перемещения и найдем
QO
V = -ЗГ1-,- X К Дп (Г) + Еп (г)] (1 — COS п WZ) —
ГА П СО
л =1
ОО Г
- г X TZ- ( -ТГ- К ДЛ (') + ЕП 6п 0J dr. (21.70)
ted Л Cd J Г а G2
л;=1
Коэффициенты Cn, En в формуле (21.70) определены соотноше-
ниями (21.67).
Если в формуле (21.58) задать функцию w(£) в виде степен-
ной функции w=Zn (п — целое положительное число), то ряд в
(21.58) оборвется на (и-Ы)-м члене и решение будет полиномом,
содержащим конечное число 2 (и 4-1) произвольных постоянных
4ft, Bh (fe = 0, 1, ..., п). Этот класс точных частных решений при
произвольно заданных модулях сдвига Gi(r) и G2(r) характери-
зует элементарные краевые задачи.
Например, полагая в (21.58) w=£ и выделяя вещественную
часть, придем к формуле
'Ф = «ор 4-а1в (21.71)
Пусть модули сдвига заданы в виде степенных функций
= <?2=^, (21.72)
где gi, g2 — фиксированные постоянные, р, q — любые заданные
числа. Подставляя соотношения (21.72) в (21.53) и (21.55),
(21.56), получим
306
ДЕФОРМАЦИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Гл. 4
«.-8,+ ^-^
рЧ-4 Р + 4
Вор.
В результате формула (21.71) примет вид
Ф = сгр+\ с = g^Kp + 4).
Если предположить, что v0 = 0, то получим
v — crZt Т1 = с (р j- 4) гр+}, т2 = 0.
Si
Эти формулы характеризуют кручение сплошного цилиндра на-
грузкой, приложенной к его торцам и распределенной по степен-
ному закону. Скручивающий момент, приложенный к цилиндру,
равен
R
М = 2л j г2 Tj dr = 2л [ф (/?, 0) —- ф (0, 0)] = 2л cRp*4.
о
Глава 5
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 22. Некоторые частные типы неоднородности
упругих свойств
22.1. Одномерная неоднородность упругих свойств. Рассмот-
рим изотропное упругое тело с одномерной неоднородностью
упругих свойств. Примем, что модуль сдвига G и коэффициент
Пуассона v — дифференцируемые функции декартовой координа-
ты z. Уравнения равновесия в перемещениях при отсутствии мас-
совых сил примут вид [50]
G
39 . „ 9 .( dw . ди \ dG Л
----HGv 2« + г — = 0,
дх--r v \ дх-dz ) dz
00 . 2 । [ dw . dv \ dG n
i_2v 17 + Gv u+( АГ + 1гЫ = 0’
—-----— + G v2w + e + 2 — — = o.
1—2v dz v dz dz dz
1 -2v
G
(22.1)
Здесь и, v, w — компоненты вектора перемещений,
п ди . dv , dw - 2Gy
v —-----------r~---, Л = ------.
дх ду dz 1 — 2v
Продифференцируем первое уравнение системы (22.1)
второе — по х и вычтем одно из другого. Получим
ди dv
-= X,
ду dx-Л
ПО у,
(22.2)
причем функция x (*> £/> z) удовлетворяет уравнению
V8X + ?(2)-^-== о,
dz
где
q(z) = (In G).
az
308
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
Обозначим через Ui частное решение неоднородного урав-
нения (22.2), а через «о, — решение соответствующего ему
однородного. Из однородного уравнения следует, что существует
функция F(x, у, z), через которую w0, Vo выражаются соотноше-
ниями
dF
!о — д >
дх
vo —
dF
ду
Для отыскания частного решения уравнения (22.2) введем новую
функцию N (х, у, z), полагая
Х =
dW d2N
dx2 dy2 ’
Тогда частное решение уравнения (22.2) можно принять в виде
При этом
dN
ду
dN
дх
dF , dN dF dM
и =--------------, v =---------------.
дх ду ду дх
(22.3)
Подставляя соотношения (22.3) в уравнения (22.1), для
функций F, W и w получим систему трех дифференциальных
уравнений
dQi dQ2 __ q dQi_______dQ2 _ q
dx dy ’ dy dx
Из первых двух уравнений системы (22.4) следует, что функ-
ции Qi и 0,2 связаны между собой условиями Коши — Римана и
могут быть представлены в виде
дх ду
§22 НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ТИПЫ НЕОДНОРОДНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ 309
где о)(х, у, z)—функция, удовлетворяющая двумерному уравне-
нию Лапласа (переменная z играет роль параметра).
Система уравнений (22.4) распадается; тогда
а А7 I dG
Gv»N + —-----—
dz dz
(22.7)
Покажем, что, не нарушая общности, функцию со можно по-
ложить равной нулю. Обозначим через Fb zt’j, N\ частные реше-
ния уравнений (22.6), (22.7), а через Fo, ^о, No— решения соот-
ветствующих их однородных уравнений. Функции Fu wi, Ni мож-
но принять в виде
Используя (22.5), имеем
дх ду ' ду дх
Кроме того, из условия tt>i = 0 следует w = w0.
Таким образом, перемещения ut v, w зависят лишь от функ-
ций Fo, wOt No, которые являются решениями уравнений (22.6),
(22.7) при <о = 0. Следовательно, функция со не влияет на переме-
щения и можно принять (о = О. Из (22.7) для функции N полу-
чаем уравнение
V2^ + g(z)-^-=0, (22.8)
переходящее в случае однородной среды в уравненг^ Лапласа.
Для функций F и w получается система однородных уравнений,
которая после введения новых неизвестных
сг=—[v --------—'j F + (1 — v)—1,
1—2v I \v dz* ' ' dz ’
X
310
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
о=0.
может быть записана в виде
(v2--fr-b + --r = 0’
\ dz2 / dz
V дг* / Г 2G dz ' 2G
dF т n
—*L_[v (V2-----—\ F+(l-v) — I -
1— 2v L \ &2 / v ' dz ]
Введем теперь функцию L(x, у, z), полагая
—Vi, .
\ dz2 j \ dz2 ) dz
F= — fvv2------— j L.
2G \ V dz2 /
Первые два уравнения системы (22.9) удовлетворяются
венно. Из третьего уравнения найдем
,2 д2 \ dL . d Г 1 /2Г d2L \]
dz2 J dz dz [ 2G \ dz2 J J
Подставляя соотношения (22.10), (22.11) в четвертое уравнение
системы (22.9), получим уравнение четвертого порядка
V2V2L----(4- [ —(vv2L) — v —(vaL)] -
1 ' Г- 1 oz* dz2 J
(22.9)
(22.10)
тождсст-
w =
1 — V
— 2
d2L. \ d2
О,
(22.12)
определяющее функцию
приводится к виду
dz2 / dz2
L. В случае v=const уравнение (22.12)
______—
dz2
d2
dz2
1 — v
Для однородной среды уравнение (22.12) переходит в бигармо-
ническое уравнение.
Таким образом, решение системы уравнений (22.1) сводится
к решению двух линейных дифференциальных уравнений, одно
из которых — второго, а другое — четвертого порядка [50]. Для
перемещений и, и, w имеем
§22 НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ТИПЫ НЕОДНОРОДНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ 311
1 / а д2 \ и— I VV® 26 \ dz2 / dL dN_ dx dy ’
v = 1— ( vv2 — ] 2G \ dz2 J dL dN dy dx
1 / 2 d2 \ dL , d [ 1 G \v dz2 / dz dz 2G (vv! 1, 1 L . (22.13)
Здесь N— функция, удовлетворяющая уравнению (22.8), a L —
функция, удовлетворяющая уравнению (22.12).
Напряжения через функции N и L выражаются формулами
дхду
d2N
дх ду
/ д2
а = v------------V
х \ ду2. v
/ д2
= (У--------
у \ дх2
/ д2
дх2 дг2 /
j--------') L — 2G
ду2 dz2 )
, . ~^\Ч,
\ дх2 ду2 )
—а(—------------ц,
dz2 J дхду \ дх2 ду2 )
д2 ( д2 \ d2L , G dW
дх2 * ду2 ) dxdz ду дг
д2 , д2 \ d2L п д2М
дх2 ду2 / ду дг дх дг
В цилиндрической системе координат г, 0, z вместо (22.13)
соотношения
Хху
х.
Х2У —
о.
(22.14)
имеем
1
26
^z
d д \ I . 1 dN
dr \ v dz2 г де
1 - - - d ^vVa _ d2 dN
Wr ae dz2 r dr
4^ + d Г 1 fvA2 — d2
(22.15)
а вместо (22.14) — соотношения
о.
1 ^L- - 20 dN _ _N_
\ dr r d02 / Г dr^dz^ r de \ dr r
<Te = •v d2 _ V72 I , 1 1 d2 \ d2L
dr2 V ь r \ dr r d92 / dz2
26 d I dN
T d0 \ dr r J *
312
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
/ & + — r d f 1 d* -Vl
V, — 1 г \ dr2 dr ' r* dd*
1 d т'е~~Т ~дё~ / d Ц ^VV2 ^-\l- dz* /
\ Л J
1_ d 1 d* }N'
° \ dr2 r dr r* dd*
1 ! д2 . 1 д . 1 д* \ дЧ. ~ d*N
—---------------- -4---------- -4------------- j ------- — (j --------
г \ дг* г дг г* де3 ) dftdz drdz *
_ d* / d* J_____д 1 d* \ L G d*N
drdz \ dr* г dr г* de2 ) + г dbdz ’
Из полученного представления для однородной среды с по-
мощью специализации функций L и ЛГ можно получить представ-
ления решения уравнений Ламе, предложенные Папковичем, Га-
леркиным, Треффцом [50].
Если в соотношениях (22.12) и (22.13) положить jV=O и при-
нять, что L не зависит от х или у, придем к плоской задаче.
Пусть, например, L = L(x, z). Тогда
аа г G ( 1 Г / *д т\ * д2 А г 1
ДД£— ----- _^(¥да) —v —— Д£ —
1 — v* ( G [ dz2 dz* J
+ [v‘Tr~(1“v*)_TT'14^ Ш1=о’ (22J6)
|_ dx* dz* J dz* \ G / J
д=^_ + _2!_.
dx* dy* ’
где v*=v для плоской деформации (в плоскости xz) и
v* = v(l+v) для обобщенного плоского напряженного состояния.
В случае v = const уравнение (22.16) принимает вид
В плоской задаче перемещения определяются соотношениями
1 Г . d* d* ] dL
u=--------V-----------(1 — V )----- -----,
2G I dx* V 7 dx* J dx
1 rja _ _ d^L Г • d*L M - /j 1 1
UU —
G dx*dz dz 1 2G 1 dx* v J dz* ]J’
а напряжения
d<£ _
O'— — • CT.. — , — ~~~•
' &r2dza y dx* g d&dz
§ 22 НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ТИПЫ НЕОДНОРОДНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ 313
Полагая
д2£
дх2 ’
Ф =
придем к формулировке плоской задачи через функцию напря-
жений Эри.
22.2. Конструкция некоторых решений при одномерной неод-
нородности свойств. Уравнения равновесия в перемещениях (22.1)
при одномерной неоднородности сводятся к уравнениям (22.8),
(22.12) относительно функций JV, L.
Для отыскания частных решений уравнений (22.8) и (22.12)
применим метод разделения переменных. Положим
у, 2)=-ф1(х, ^фЛг),.
(22.17)
£(х, у, г)= ф2(х, у) <р2(г).
Подставляя соотношения (22.17) в уравнения (22.8), (22.12),
найдем, что переменные разделяются, если функции ф1(х, у) и
ф2(х, у) удовлетворяют уравнению Гельмгольца
+ L а2ф = о, (22.18)
дх2 ду2
где а — произвольный числовой параметр. Для функций <Pi(z) и <р2 (?)
получаются уравнения
-^Г~^(2)-^---------а8ф1 = 0, (22.19)
(-L Г(1 - V)^- + аЧф21I -2а’ +
dz2 I G L Л2 T2JJ dz \ G dz)
+4L4^+";‘Vv) 'b-0- <22-20>
G dz2 G
При v = const уравнение (22.20) принимает вид
~ (*) ~ Ч' (г) - 2а’J +
-Н2а’9(г)-^- + а’ [а’ -}- —(г) - q’ (г)] j ф2 = 0, (22.21)
9'(2)=
az
Укажем некоторые частные решения [17] уравнения Гельм-
гольца (22.18), которые можно использовать при решении кон-
кретных задач. Такими частными решениями являются:
314
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5v
в декартовых координатах х, у
гр _ __ а2,
4 = (А -{ Вх) eiay + (С b Dy) eiax,
в полярных координатах г, 0
гр-^^е[4/ш(аг) -!-ВУш(а, г)], /п=0, 1,2......
i|5 = 6[С/0(аг) ! DYm(a, r)J.
Здесь Л, В, С, D — произвольные постоянные; Дп(аг), Ym — функ-
ции Бесселя, соответственно, первого и второго рода порядка т.
Уравнения (22.19), (22.20) —обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения с переменными коэффициентами, определяемые
характером неоднородности упругих свойств. Рассмотрим некото-
рые частные задания неоднородности свойств, при которых эти
уравнения допускают существенные упрощения.
При неоднородности вида
Е (г) = Ео е*г, v = const
уравнения (22.19), (22.20)—линейные дифференциальные урав-
нения с постоянными коэффициентами и их решение не представ-
ляет трудности.
Рассмотрим теперь неоднородность вида
Е (z) = k (z h h)b, v — const.
Используя это соотношение и делая замену Zi — г + Л в уравнении
(22.21), найдем
^Ф2 , Г 6(6+1) 2ц2-[
dz'} 2i dzj L z\ J dzj
4--Ц^-)<р2= 0. (22.22)
Решение уравнения (22.22) имеет вид [55]
Фг = г]'2 ,ь+п [С, MM(2<xZ1) + C2rfc.H(2aZl) +
4 С3М^ (2a г,) - C4^_k41 (2a г,) J,
X - {(b 4- 1) [ 1 — v 6/( 1 — v)]}‘\ (22.23)
§ 22 НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ТИПЫ НЕОДНОРОДНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ 315
Здесь Wx,n(2a^t) — функции Уиттекера; СьС2,С3,С4—
произвольные постоянные. Соотношение дает общее решение
уравнения (22.22) при iA#=0.
Если v = 1 /(6-f-l) или b =—1, то Z = 0 и соотношение (22.23)
дает, лишь два независимых решения уравнения (22.22). Для
разыскания общего решения положим r] = az1 и перепишем урав-
нение (22.22) в виде
[ «» । i-t d_____Л _L±JL\ I х
L ^т)2 т| dh \ 1 т|2 / J
Задача, таким образом, сводится к разысканию функции <р2 ия
неоднородного уравнения
-------— <р2 - <р0, (22.24)
i/т]2 т] drj
где ф0 — общее решение уравнения
d2фр 1 — b d фр
Лт]2 т| di\
(22.25)
Решая уравнения (22.24) и (22.25), найдем
ф2= z" ICj/nfaZj) + ^/(„(aZj) 4-
-I- Сз [4 (« zj J K2n (aЛ) dZi — Kn (azj J /„ (a zj Kn (a zj dZj]
+ C4[/n(az1)y/„(az1)dZi— ^(azjj ^(azJt/Zi]),
л = 4(* + 2).
(22.26)
Здесь /n(azi), Kn(aZi)—функции Бесселя от мнимого аргумента,
соответственно первого и второго рода порядка п.
Если величина (6 4-2)/2 равна половине нечетного числа, то
функции Бесселя сводятся к комбинациям элементарных. В этом
случае соотношение (22.26) можно представить через табулиро-
ванные функции и получить численные результаты нетрудно. На-
пример, при Ь= —1 решение (22.26) может быть представлено
в виде
ф2 = /4еа2» + Ве~аг« С[еаг* In zY — e~r^ Ei (2azJJ +
h D[e~'t2' Inzj — Ei (—2аг!)],
где Ei(2azj), Ei(—2azj)—интегральные показательные функции.
316
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
22.3. Неоднородное тело с постоянным модулем сдвига. Рас-
смотрим неоднородное изотропное упругое тело с параметрами
Ламе Z, ц, характеризуемыми следующим: параметр X — произ-
вольная дифференцируемая функция координат х, у, х, а модуль
сдвига ц— постоянный ц = const [75].
Уравнения равновесия в перемещениях при p=const приво-
дятся к виду
14Н(Х+и)в1=0,
pV2v+-^-I(^ + H)0l = 0. (22.27)
HV2 w j- + н) 0] = 0.
где 0 — относительное изменение объема:
п ди dv dw
□ =-----i-----1—*—.
дх ду dz
Исключая из соотношений (22.27) величину (Х + ц)0, получим
уравнения
= V2j!L = V2_^fL.
ду дх dz ду ’ дх dz
Решая эту систему уравнений, имеем
+ v = w=-^- + H3, (22.28)
dx dy dz
гце ф=ф(х, у, 2) — произвольная функция, a Н19 Н3 — функции
гармонические
V2f/1 = o, у/2Н2=0, у2Н3=0.
Отсюда
V2 и = V2 —, V2 V = V2 4е-. (22.29)
дх ' ду
\i'iw-= V2
дг
e = v2<p -r._^i-4--^- 4--^-. (22.30)
дх ду dz
На основании соотношений (22.29), уравнения (22.27) приводятся к
виду
-у- (mv2<p i- (* - н) 0J = о.
§ 22 НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ТИПЫ НЕОДНОРОДНОСТИ УПРУГИХ СВОЙСТВ 317
-7- Ihv2<p 1- (* -I и) 01 = о.
ду
-Мц72Ф -НЫ Н)6]=0.
OZ
Выражение, стоящее в квадратных скобках, в этих уравне-
ниях равно константе; полагая эту константу равной нулю,
имеем
PV2<P 4 (X + ц) е = 0. (22.31)
Из соотношений (22.30) и (22.31) найдем
^ + 2Н = JH1. >- + Ц т дх ' ду дН3 . дг (22.32)
9ц 1 о и ( дН^ , дНч , (Л |- £ц) t) — |х I - । - \ дх ду дН3 \ А / (22.33)
Введем обозначение
и _ dth дН2 , дН3 (22.34)
дх ду дг
Функции Н и цН — гармонические. С учетом обозначения (22.34) со-
отношение (22.33) примет вид
(Х + 2и)0=цЯ. (22.35)
Исключив 0 из соотношений (22.31) и (22.35), получим
X 2|Л 2 тг
-г3" ?2Ф = — Н,
?- + р
откуда из-за гармоничности Н
V® Г _L±3L Г?2ф I = 0.
I + и J
(22.36)
Для однородного тела уравнение (22.36) переходит в бигармони-
ческое уравнение
V4 <р = 0.
Соотношение (22.36) является дифференциальным уравне-
нием, определяющим функцию <р, которая входит в представле-
ние перемещений (22.28).
Перемещения через функцию <р и гармонические функции
Н2, Н$ выражаются формулами (22.28), а напряжения — соот-
ношениями
318
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 3
= Л [v24>
Оу = Ь [ V2<P -г
<тг = X Гу2<Р +
дНг , дНг 1 , 2 Г 3»ф , dtfi I
дх ду dz J I д ха дх J ’
, дН2 дН3 I 2 Г д*Ф дН2 1
дх ду дг ] I ду* ду J *
дНх , дН2 дН3 I , 2 Г д»Ф дН3 1
дх ’ ду dz J 1 И | дг* Г дг J *
т - - Го д2Ф , , дН3 I
yZ L ду дг дг ду J ’
т — Го д»ф , дН3 , дН, 1
гх I дг дх дх дг ] ’
т II Г 9 ' дН^ * дИ^ 1
*у [ дхду ду ‘ дх J’
§ 23. Пространство и полупространство
23.1. Произвольная неоднородность. Метод возмущений.
Задачи теории упругости неоднородных тел для неограниченного
пространства и полупространства при произвольной зависимости
модулей упругости от координат могут быть решены методом
возмущений [26,31].
Рассмотрим краевую задачу для неоднородного анизотроп-
ного тела при заданных на поверхности s тела силах плотностью
дг(хЛ). Имеем
р Л = О, О,., = ciilm (xs) (23.1)
dxj дх1П
Oii\s = 4i(xs). (23.2)
Тензор упругих модулей cijlnt представим в виде
ciilm (xs) — cijlrn U cijlm (^s)’ (23.3)
0
где Cijim—константы.
Применение метода возмущений к краевой задаче (23.1) —
(23.3) изложено в п. 6.2. Для перемещений Ui(xs) решение полу-
чается в виде ряда
(23.4)
§ 23
ПРОСТРАНСТВО И ПОЛУПРОСТРАНСТВО
319
Функция ui определяется краевой задачей
CtJbn dxjdxm
о ди*
Ciilm “
дхт
(23.5)
а для uf, 6=1,2, ... имеем рекуррентную последовательность задач
о
dxj дхт
+ frl = О,
(23.6)
в которых приняты обозначения
•1 _ д L' а“'-1
— , I Сщт j>
OXj \ их т /
*-1 • ' ди1 .
4i — . Cijlrn ~ rt/|s
OX/n
(23.7)
Обозначим через Ga(xs, £.,) тензор Грина краевой задачи
(23.5). Тогда в силу соотношений (5.34) имеем
И?<Х3) = J Gt/ (х„ |s) р F, (У dv - f Gf/ (xs, g.)4i (g.) ds. (23.8)
V s’
Соотношения (23.6) определяют ту же краевую задачу, что
и (23.5), но с измененными массовыми и поверхностными силами,
и потому имеем также
(*,) = J Gi; (xs, g.) /)-’ (gs) dv j Gf/ (x$, gs) qT' (g,) ds. (23.9)
V b
Рекуррентные соотношения (23.8), (23.9) определяют члены ря-
да (23.4).
Таким образом, если известен тензор Грина краевой задачи
(23.5) однородной теории упругости, соотношения (23.4), (23.8),
(23.9) дают решения рассматриваемой задачи при произвольной
неоднородности (23.3) при сходящемся ряде (23.4).
В случае изотропного однородного тела для неограниченного
пространства и полупространства тензоры Грина известны [40]
и потому рассмотренный метод дает решение этих задач при мо-
320
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
дулях упругости A=X(xs), p = |i(s). Необходимо только иметь в
виду, что для неограниченного пространства условия (23.2), а для
полупространства часть этих условий заменяются условиями на
бесконечности. Решения этих задач строятся по изложенной мето-
дике с предварительным выделением частных решений, удовлетво-
ряющих условиям на бесконечности.
23.2. Полупространство с одномерной неоднородностью свойств
под действием нормальных нагрузок на границе. Рассмотрим не-
однородное изотропное полупространство z^O, модуль упругости
которого меняется с глубиной по степенному закону
£(г)==£о(1 +&?)*> (23.10)
а коэффициент Пуассона постоянен v = const. Полупространство
находится под действием нормальной к поверхности нагрузки q.
Для решения задачи воспользуемся результатами, изложен-
ными в п. 22.1, где показано, что в рассматриваемом случае пере-
мещения выражаются через две функции L и У, которые при v =
= const удовлетворяют уравнениям (22.12) и (22.8)
V- (у v-г.) - (v= - L(i) - о, (23.!)
VW + — — — = 0. (23.12)
G dz dz
Здесь G — модуль сдвига, V2 — трехмерный оператор Лапласа.
В цилиндрической системе координат г, 0, z перемещения иг,
Ue, uz выражаются через функции L, N соотношениями (22.15)
Ur
1 д / w->2 О2 \ 7 . 32V 1
2G dr \ v dz2 / ‘ ЭО г
1 д
2Gr дО
vv2
d2 \ г dN
dz* ) dr 1
(23.13)
— (у._ +
G \ дг* } дг дг
[ -J— f vv2
[ 2G \
Примем jV = O. Тогда решение задачи сведется к нахождению
в области z^O функции L, удовлетворяющей заданным граничным
условиям.
Функцию Л будем искать в виде [51]
L = £ е1"10 j вт1т (аг) <р (г, а) da,
т=—оо 0
(23.14)
где ВП1— произвольная функция т и параметра а, Л/, (аг)—функ-
ция Бесселя первого рода порядка т, cp(z, а)—неизвестная функ-
ция, подлежащая определению.
§ 23
ПРОСТРАНСТВО И ПОЛУПРОСТРАНСТВО
321
Подставляя соотношения (23.10) и (23.14) в уравнение (23.11),
получим для <p(z, а) обыкновенное линейное дифференциальное
уравнение четвертого порядка
Mb , rw(b + l) 2а2] d2<P '
dz4 1 4- kz dz3 I (1 + kz)* J dz* 1
j- i + а- Гa> + 1 23 ,5
1+*г d! | (l-vjd- dp JT
Делая замену переменной
T]=4(l+te)( (23.16)
К
приходим к уравнению
L «л2 л «л \ и л2 / J
х Г.^_--L+A_2L_ (1 _-ЗЦу! = О, (23.17)
I. <*л2 л dn \ Л / J
или
+ 4-.ШЦ1 х
L <*л2 л ^л \ л л2 / J
X [2Х—LiL^L_fi+ JxAyl = о,
L ^л2 л ^л \ л / J
где
Следовательно, любые решения дифференциальных уравнений
<P<f 1 + Ь d<p _ / j__2х_\ ф = 0(
dq2 т) Л) \ t) /
(23.19)
_*L _ /1 + 211 ф = 0
dr]2 T) rfT) \ • n /
должны удовлетворять уравнению (23.17). При %=/=0 его общее ре-
шение получается как сумма общих решений уравнений (23.19).
Подстановкой
(Ь+О
<р=В2 5 = 2л
уравнения (23.19) сводятся к уравнениям Уиттекера
' \ 4 I ? )
(23.20)
322
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
(--L-l JL + .V4 НГ=г0> (23.21)
ц = -^
И 2
Поэтому
5±i
Ф = £ 2 [qFx.!* (2 -2-QW'-x.n (2-у^) +
+ <^(-2-7$) -cW-w (-2g)]; (23.22)
1=1+ кг,
где сь с2, Сз, Са — произвольные функции т и параметра а,
(±2“~!;j — функции Уиттекера [62].
При х=0 (т. е. когда Ь = — 1 или v=l/(&4-1)) рассмотренный
метод дает лишь два независимых решения уравнения (23.15).
Подставляя значение х=0 в уравнение (23.17), имеем
Г <*а , 1-Ь d / < . 1 + Ь \ I
~Г I ————— I I
I <*п3 Л ^Л \ л2 / J
х (-----L+L JfL _ ф\ = 0. (23.23)
\ drf Л ^Л /
Функция ф, таким образом, должна быть найдена из неоднород-
ного уравнения
---— - Ф = фо. (23.24)
в котором <р0 — общее решение уравнения
I- (1 __1±±\<р о. (23.25)
dn2 П <*П \ П2 )
Решая уравнения (23.25), (23,24), найдем
ф=В-к/(1 (А- +
- [/„ (XdS - К. s) р. (f t) X
> (-2-B) d?j + c4 P (I5) dS~
-'+)Мт!)Ф)< <23-26>
§ 23
ПРОСТРАНСТВО И ПОЛУПРОСТРАНСТВО
323
Здесь( —£), Кц/—П — функции Бесселя, от мнимого аргу-
\ k / \ k /
мента первого и второго рода порядка ц. Если величина ц равна
половине нечетного числа, то функции Бесселя сводятся к ком-
бинациям элементарных. Выражение (23.26) преобразуется к та-
булированным функциям.
Таким образом, в зависимости от величины х решение урав-
нения (23.15) дается соотношением (23.22), либо соотношением
(23.26).
Положим для определенности, что х^О, и подставим выра-
жение (23.22) в соотношение (23.14), приняв с3 = с4 = 0, так как
функция L должна быть ограниченной при 2->оо. Для упрощения
записи конечных результатов сделаем подстановку а = &Х и обо-
значим через Ат функцию т и параметр а, связанную с Вп, зави-
симостью
р ___
,п ~ Х3Л3 ’
Тогда
Zbj-l оо оо
XU J А3Л3
m——оо о
+ (24) J dX, p = kr. (23.27)
В дальнейшем для упрощения записи аргументы 24 функций Уит-
текера будем опускать.
Подставляя (23.27) в соотношения (23.13), найдем переме-
щения
fe-|~3 оо оо
у еЧА[мя+1(М_
Fo ЛшЛ J Л3 [
т=—оо О
-у Wp)| [q [w (и--L) -F
-I- ct [(ОТ + /2)Г_х.ц-2(1 - V) (и - А) И7_х+1.ц] j dx-
b-f-3 оо оо
рЕо АшЛ J л3
т=—ос О
х jq [от + Л)^х.ц-2(1-^ (И- -L) rz+lt(l] +
+ с2 [от + А) - 2 (1 - V) - -Ь) 1Р_х+1,ц] ] dl; (23.28)
324
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
d-j-З оо оо
= У ^f-^/m(Xp)x
X {MW + /з) - (ХИ- 2 (1 - v) х) IFx+i, J +
- ь М(^2 + Л) ^-х.и - (XS - 2 (1 - V) х) W'-x+i. J} dX.
Здесь введены обозначения
fi =(1 — v) (ц — -у — х) (р — -у + ^)’
f8 = 2(l-v)(p—L + x) (р-4- + ч),
(23.29)
/3 = [(i + 2v)(g-±-x] + 2x-l]XH-2(l-v)x(p-4--x).
/4 = ^(l-2v)(ji-l- + x)-2x-l]xg-2(l-v)x(p----+ x).
Используя закон Гука и формулы Коши, из (23.28) найдем нап-
ряжения аг, тгг, Те2:
<тг = k^~ 2 е‘тв j KAmim (Хр) (qW^ г саГ-х.и) dX;
щ=—оо о
Ьг = ~W~ У j [х/т+1 (Хр) —-у /т(Хр)] х
т=— оо О
X ^1 + ^х. н “Г
+ с2 ^5 + и—х,и—х4-1,цj |
b—1 оо оо
Г0г = -у- £ 2 2 те"”6 J 4 (*р) X
т=—оо О
X [q [ (ХИ- и - - х) W'x.u - IFx+bn] +
+ с2[(Х£ + р-у- + х) ^-х,!х-^-x+i.н]} dX. (23.30)
Произвольные функции от т и параметра X, которые входят в
формулы (23.28), (23.30), определяются из граничных условий.
§ 23
ПРОСТРАНСТВО И ПОЛУПРОСТРАНСТВО
325
Граничные условия на поверхности z=0 полупространства
имеют вид
<sr=q(r, 0), тГ2 = 0, Те2 = 0. (23.31)
Представим внешнюю нагрузку (?(г, 0) в виде двойного разложе-
ния в ряд Фурье по координате 0 и интеграл Ханкеля по г
оо t
q(r,&) = J? eZm0 J g(a, tri)Im(ar)ada, (23.32)
т=—оо о
где
g(a, tn) = J J <?(/, 0)e~im01,J(ar)rdrdQ.
0 0
Сделав, замену переменной а на h=alk, подставим (23.32) и
(23.30) в граничные условия (23.31).
Удовлетворение условия Trz = 0 автоматически влечет за собой
удовлетворение условия те2=0. Таким образом, получим два не-
зависимых граничных условия, которые позволяют составить два
алгебраических уравнения для определения неизвестных функций
от т и параметра X. Функцию можно принять произволь-
ной. Решая эти алгебраические уравнения, найдем
q= (1 - +-х) ^-х.м(2Х)-1Г_х+1,ц (21),
с2 = - (1 j- Ц - - Х) (21) + (21).
326
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. &
Пусть
Л = Д = (21) г c2UZ_x,g (21).
Если внешняя нагрузка осесимметрична, то т) для всех
/п=/=0 и, следовательно, знак суммы в формулах (23.27), (23.30)
следует опустить. При этом uq = 0, Tq2 = тг0 = 0.
О 05 1,0 1,5 2,0 2,5 иг
Рис. 37
Рис. 38
Рис. 39
На рис. 34—39 представлены графики, построенные по форму-
лам (23.27), (23.30) для случая fr = 2 и v=0,25 при действии со-
средоточенной силы Р, приложенной в начале координат. На
графиках изображены кривые равных значений для 'величин
§ 24
ТЕЛА С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ УПРУГИМИ СВОЙСТВАМИ
327
llgGg UrG$ (J2, 00 ^rz ( Eq \
— » -——- t - - , , ---- I (jл = ————— j •
kP kP k*P k2P k2P k'P \ " 2(14-v)/
По осям координат отложены безразмерные величины kr и kz.
Отметим две наиболее характерные особенности напряжен-
ного состояния неоднородного полупространства, вызванного дей-
ствием сосредоточенной силы.
1°. Внутри неоднородного полупространства с модулем упру-
гости
£ (?) = Ео (1 — £z)fr
при b>0, k>0 есть область, в которой напряжения oz растягиваю-
щие (рис. 36).
2°. Имеется поверхность, при переходе через которую каса-
тельные напряжения тгг меняют знак (рис. 39).
Для однородного полупространства (Ь = 0 или k = 0) эти эф-
фекты не наблюдаются.
§ 24. Пространственные задачи для тел
с быстро осциллирующими упругими свойствами
24.1. Деформация полупространства напряжениями на беско-
нечности. Используем постановку, метод решения краевых задач
и обозначения п. 6.3, где рассмотрены краевые задачи теории при
модулях упругости задаваемых соотношениями
Cijlm (^s) = C^jlm Ьщт (xs),
ОО
(24.1)
*qlm = ₽?/Zm(COS(pft - isinqpj,
в которых <6 — больший параметр.
Решение краевой задачи (6.23) при модулях упругости (24.1)
ищем в виде
ui = u^ + £ uri(xs).
г=1
Для u°z имеем соответствующую краевую задачу теории упругости
однородных тел с модулями coiflin. Для деформаций eiw, соответ-
ствующих перемещениям и®
I
ei'n~ 2
ди]
дхт
dxi /
(24.2)
328
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
Для функций ui получаем рекуррентную последовательность
краевых задач однородной теории упругости. Для и}, в частно-
сти, имеем краевую задачу (6.29).
Рассмотрим задачу о деформации полупространства в
предложении, что величины (24.2) являются постоянными. К это-
му классу задач относятся, в частности, задачи о деформации по-
лупространства заданными на бесконечности напряжениями.
Ограничимся в разложении в ряд двумя членами и функции
и} в соответствии с (6.30), (6.31) будем искать в виде
«I= X w+
k=i
(24.3)
где
У* = -2- /?! (Х$, ш) ei<aarxr . (24.4)
Функции fki удовлетворяют уравнениям (6.32)
L (0 \ ' dxm m dxj /
1 deim
dxj J
(6.33)
<0* dxjdxm .
о,
ди>1
С‘^П1 =
—
Ч‘<" \ 1 ....... <0
Для функций до* имеем краевую задачу
со -
dxjdxm
1 о d/f 1 к
+ — \1г,е (xses)
(о dxm J
Ограничимся случаем, когда тензор c°..ltn изотропен, т.
Cqim = -L- Po(6i/6pn -j- 6im6/z).
е.
(24.5)
(24.6)
(24.7)
В рассматриваемой задаче, когда тензор (24.2) постоянен,
правые части уравнений (24.5) не зависят от координат. Поэтому
и решение /? уравнений (24.5) можно искать не зависящим от
координат. Такое решение при условиях (24.7) имеет вид
П =
1
но<4)
А о -'г 2р0
ь ъ
a(fe)
24
ТЕЛА С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ УПРУГИМИ СВОЙСТВАМИ
329
а1»=а1аг (24.8)
Решение краевой задачи (24.6) при значениях функций ft,
определяемых соотношениями (24.8), можно искать в виде
a>? = _L(PJ(Oe“Zfci (24.9)
(О 1
t = шг3, zk = а**! 4- а*х2.
Функции <р*(0 определяются краевой задачей для обыкновенных
дифференциальных уравнений вида (6.37), (6.38), имеющей реше-
ние типа пограничного слоя. Решение этой краевой задачи имеет
вид [29, 31]
<₽*=(«! + МГЧ
(k \
at + —)е-₽<
ai /
Фз = *’ [4- («Ь + ф8) + Ц- (^±3|И + р А Ь1 е~^ (24Л0)
L ₽Л а* \ + / J
Здесь использованы обозначения
1 L а?а5 Г а? / а? \1
1 I 1 - __I л0 ____ 2 | 1 — * I I
2рл(Хо + но)| 1 Рл Цо Р* у]
= (afr + (aty,
(24.11)
в которых /?ь 7?3 имеют значения
— фо (а3 + /1 + Я1/з),
^2= х23Цпв/т фо(аз/г -г о&з).
330 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ Гл. 5
R3 = — — i [(Хо + 2р0) аз/з + А,о (а*7* + <4/г))- (24.12)
Соотношения (24.3), (24.4), (24.8), (24.10) полностью опреде-
ляют функции и\.
Перемещения щ при неоднородностях (24.1) вычисляются по
формулам
u; = u? + Re«}. (24.13)
Например,
оо
и, = е1тхт -(---У (Re fk cos — Im ft cos <мк,хг) +
co
00
+ ^I(Re + Re b^x3) cos ((оа^ + (оа*х2) —
Ь=1
— (Im + Im b^x3) sin (coafxj + <oa£x2) J e~^x\ (24.14)
Здесь Ref и Imf — соответственно действительная и мнимая ча-
сти f.
В соотношении (24.14) первый член дает перемещения в одно-
родной среде; вторая группа членов — перемещения в неограни-
ченной среде, определяемые ее неоднородностью; третья группа—
дополнительные перемещения в пограничном слое, определяющие
влияние границы и быстро затухающие по мере удаления в глубь
тела.
24.2. Растяжение неоднородного полупространства. В качестве
примера рассмотрим задачу о растяжении полупространства х3^0
(со свойствами (24.1)) в направлении х{ постоянными напряже-
ниями, заданными на бесконечности (%1->±оо). Эта задача отно-
сится к классу задач, рассмотренных в п. 24.1.
Пусть к полупространству х3^0 на бесконечности (xi->±oo)
приложены напряжения ац = ао. В этом случае решение для пере-
мещений hJ имеет вид
„о __ + 2Но v ,.о _ ^o(J»-r2
l4< - 1 vnAi , --- .
ро (^о И- " 2р,о (31о 4“ 2ро)
«О ---------. (24.15)
3 2|хв(3>.# + 2Ио)
Предположим, что тензор
bijlm — Re bijitnt
(24.16)
§ 24 ТЕЛА С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ УПРУГИМИ СВОЙСТВАМИ
331
определяющий свойства (24.1) полупространства, изотропен, т. с.
bijlin = 4“ 4“ fyfilm) ~
= £ Мт + Мм>)1 cos (24.17)
Решение (24.13) рассматриваемой задачи при условиях (24.15),
(24.17) принимает вид
епц0 +
“/=“?- 4 S F‘sln п*+4 S 0)8 sin e'₽*“x’- <24-ie)
A=1 A-=l
где использованы обозначения
Hoa(fe)
+ (e __ e ,____________________
“m " n)J*«+2l*’
1
+ (Ч + Цо)
ak (
Но«(А) (
^22^0 + (^0 + Но)
(а?)2
~ (е22 еИ)
«(А)
л
✓^А__ 1
2Ра (Хо 4“ Цо)
ЛАЛА .
! а1а2 Хо
-Г г2----Z------’
₽1 Но)
а|
M(,+v
L \
а? ( at
20ано I Ра
А. + 2 +
Но
«2 \
Г2 о I <0*3.
0А /
С*2 =--------1------
20а (Хе + Цо)
_ k—k л )
. а1а2 Хо
"Г ' 1------------
Но]
•>А гз
(°1)2 \ к.
Й ) Но
®1
/ eJ1 r.k \
, а2 / а1 ао \
4------I Г1-----Н Го—(OXq,
2РаНо \ Ра Ра /
2
1
Хо + 2ц0 ’
2рА (Хо + Цо) I Цо
s»= Гза' Г J__________________(2±
2ftk(^o+|*o) L Pfe \ Но
(24.19)
332
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. S
5з = — • - - — + — + 1 ;
. 20л (Л. + цо) I Ра \ Цо / J
причем
г/=Ио(а^ + аП). /=1.2,
г3 = - ^ет- 27&33 + (Ло + 2Ио) + %0 + <№).
Па = <оа*х, 4- Фа,
Са = + Фа-
Величины вц связаны с перемещениями (24.15) формулами Коши
1 / ди9 duQ. \
е..— _ _____L d__!_ .
1/ 2 \ dxj dxt )
По перемещениям (24.18) могут быть найдены напряжения.
Закон Гука с принятой степенью точности может быть представ-
лен в виде
&тп ~ ^тп + ^l^pp^mn "Ь ~Ь
I 1 J“' X L .. ( ди'т _1_ ди" /94 9/Н
+ Л0—-От„+ц01—---------Н—----- . (24.20)
\ дхп дхт /
где
rfnn = ^<1Ррр$тп + 2Цоеяп.
Используя соотношения (24.15) — (24.18) для напряжений (24.20)
найдем
°тП = + £ [F^n cos n* 4- (CLcos Cfe + Skmn sin exp(— M*3)L
A=1
где
Fmn = (— + к\ец) 6mn + [кяСтп — ^0 (am-Fn + anFm)]’>
C?/ = A.o —рАСз -h ——Sf/ + ц0 (a*S/ + a)S^),
5* = Ло - ptS| 6;/ + po (- ),
§ 24
ТЕЛА С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ УПРУГИМИ СВОЙСТВАМИ
333
С?з = р0 (а*5з - ₽АС*- + J- -^1),
5?з = Ро (— *
\ (о дх3 /
Сзз = — рлС§ + — —+ 2р0 ( — Р^Сз + — »
\ (0 ОХз / \ (О ох3 /
1 ( ft C*k I 1 । q [ ft pfe । 1 0S3
$33 = — art t —- p*S3 H-----— + 2p0 — PfeO3 н-----------— .
\ to dx3 J \ a) dx3 /
(24.21)
(i, /, t = 1, 2).
24.3. Деформация неоднородного слоя. В постановке, анало-
гичной постановке задачи о деформировании полупространства в
п. 24.1, рассмотрим задачу о деформации неоднородного изотроп-
ного упругого неограниченного слоя |x3|^ft с быстро осцилли-
рующими упругими свойствами (24.1).
Будем исходить, как и выше, из постановки задачи в переме-
щениях. Функцию и\, по-прежнему, ищем в виде (24.3)
2' =£(»/ + И),
где функции в соответствии с (24.4), (24.8) определены соотноше-
ниями
k 1 ь
Vi = — fi exp (iaarxr),
(О
№(k) L Xo + 2Po ]
Л^/ =^(a^~>’<i + 2a^);
xfc{=AV’ft, i=l,'2.
Для функций IF/ имеем краевую задачу (24.6), которая для
изотропного слоя |x3|^ft, с учетом соотношений (24.7) (24.17),
запишется в виде
u dzWk
MoV2lF?(X0 + po)vT^= °’
dxndxi
334
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
/ dWk, dW% \ 1
Цо =Rl еХр (а/х/ ± азА)Ь
\ дх3 dxi / ]хл^±н 1 л
(Хо + 2ц0) + Хо 1 = R3 exp ft со (а% ± a*ft)J, (24.22)
дх3 dxj lxt=±h ' 6
где величины Re имеют значения (24.12).
Решение краевой задачи (24.22) возьмем в виде суммы
Wk = ftZz+w + U7f<w,
где — решение краевой задачи (24.6) для полупространства х3 < ft
(*о + Ио) -у-=— + PoV2^(ft' = о.
дхпдх/
( dW+ik> dWt{k)
He I ——-l——
\ ux3 dxi
I (^o + 2po) —z-H ^o ,
L ox3 dxj
„ = Ъ ехррсо (afxz -f- akxa + a*ft)J,
3
= R3 expftco (akXi + a*x2 + a*ft)],
h (24.23)
a WT(k} — решение краевой задачи (24.6) для полупространства х3 > — h
02гр—(£)
(*о + Ио) —-у- + PoVW"0 = о,
dxndxt
dWY(k}
+ dxt
dw3k
I 1
дх3
(Хо + 2ц0)
= Rt ехррсо (a**! + a*x2 — a*ft)J, (24.24)
X3=—h
dW^k} ]
, -о—г----- = 7?sexpfia>(a*x1 + a|x2 — a*ft)].
dx3 dxj Jxs=-h
Решения краевых задач (24.23), (24.24) строятся аналогично
решению краевой задачи (24.6) для полупространства х3^0 при
постоянных величинах построенному в п. 24.1.
Решения задач (24.23), (24.24) имеют вид
(<1) exp [ia> (afxx + a*x8 + a^ft)J,
(pjM*) = (a+ -I- b+ti) exp (— 0fcQ, tr = a> (ft — x8);
WTtW = -^-ФГ<М (^) exP lto (aixi + a2xa ““ a3ft)I’
q74*, = (az 4 6zfj)exp(—ptfj), t2 = a(h [ x3),
§ 24
ТЕЛЛ С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ УПРУГИМИ СВОЙСТВАМИ
335
где
1 д a^n^oRn‘gfRa
PfeP-o 2ц, (Хо + ц0) р£ 2р| (Хо 4- цв)
А+ _ aiOnRn lg* Р
1 2Р^О +2РлИоК”
а+ = — i (+ — 2l±Jh« йЙ
У ₽л af ^о + Но )
bt = -i-^-bt,
<4
а величины di, bi имеют значения (24.11).
Перемещения uL и напряжения отп определяются, как
соответственно по формулам (24.13) и (24.20).
Для перемещений ui получим
выше,
Здесь
U; = «?-----F* COS Ht + У] {ct(WC08 +
fe—1 k=\
+ S7<fe)sin 5b е~^‘> + (СГ{к} cos + S7(fc)sin e~₽*'2}.
(24.25)
a*an'» ( 1» о t
Po \ + Ho
p+.—(k) r3 /;X04-2ja0 i ft / \
—ф-кт-М
2р& Po \ ^-o + Po /
a_____
PaPo
(24.26)
= (o (ai -f- a2 -F «3 h) - j - <jpfc
(i, я= 1, 2),
а величины имеют значения (24.19).
Из соотношений (24.20) и (24.25) для напряжений а,
дем
най-
^тп — втп F Fтп COS
k =1
336
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
н- £ (С+^’соз + s+^sln gif) е-р*'‘ 4-
/?=*-!
+ £ (C^nk> cos ST + sin &~) e~e*‘'. (24.27)
fe=--l
Здесь fmn имеют значения, определяемые формулами (24.21), а вели-
чины Ctin. Smn, С~п, S~n определяются соотношениями (24.21), в ко-
торых вместо величин Сл, Sn следует подставить соответственно вели-
чины С^, Sil", С7, SZ по формулам (24.26).
При напряжениях (24.27) уравнения равновесия удовлетворя-
ются точно, интегральные граничные условия при xit х^±оо име-
ют невязку порядка 1/соЛ, а граничные условия при х3=±Л — не-
вязку порядка о)Лехр(—ah). Поэтому соотношения (24.27) дают
асимптотическое представление решения исходной краевой задачи
при a)h^> 1.
§ 25. Центрально-симметричные задачи
25.1. Температурные напряжения в шаре, свойства которого
зависят от температуры. Рассмотрим изотропный упругий шар,
подверженный действию центрально-симметричной поверхностной
нагрузки и центрально-симметричному температурному полю Т=
= Т(г). Используем сферическую систему координат г, 0, <р с на-
чалом в центре сферы.
Примем, что материал шара упругонесжимаем v = 0,5, а мо-
дуль Юнга Е и коэффициенты линейного расширения а — функции
температуры Т (через Т обозначена температура, отсчитываемая
от начальной постоянной температуры, соответствующей естест-
венному состоянию шара).
Из закона Гука на основе гипотезы Дюгамеля — Неймана
имеем [70]
Т(г)
Zr = ~Е(Г) ~°в) + .1 “ dT’
о
Т(г)
89=еф= - (о9-af)+ f a(T)dT,
(Г) J
О
(25.1а)
(25.16)
Остальные компоненты напряжений
Используя формулы Коши
и деформаций равны нулю.
du и
ег = —, ее — —,
dr г
(25.2)
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
337
§ 25
где и = и(г)—радиальное перемещение, из условия несжимаемо-
сти
т
ег4- 280 = 3 fa(T)dT. (25.3)
о"
Найдем
(г2и) = Зг2<р,
где
т
Ф = J а (Т) dT.
о
Интегрируя уравнение (25.3), получим
+ (25.4)
Г2 г2
г
где Ci — константа и (г) -- j* p2<pdp. Здесь а — внутренний pa-
rt
диус в случае полого шара иа = 0 для случая сплошного шара.
Из формул Коши (25.2) находим деформации
2 / Q 1 / v 3 О "I
8, =---Г ЗХа (Г) — — фГ3 ,
г3 \ 2 J
ее=-----у [3%i(r) -t- q],
Г3
а из соотношения (25.16)
«г — Те =----(г> — f3<₽ (25.5)
Иепользуя (25.5) и интегрируя уравнение равновесия
-^4- — (т,-а9) = 0,
аг г
найдем напряжения
Т, = 4[3¥„(г) -фа (г) 4- (г)] ct, (25.6)
ae = 6 [2¥в (г) 4- 44 (О] - 2 [2^ (г) + Е (Т) <р] +
+ 2[2^(r) + -^.]q4-c2.
I г3 J
338
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
Здесь
г а
а а
г г
4e(r) = jE(T)-*-dp, x^r) = J^p.dP1 (25.7)
а а
и с2 — постоянная интегрирования.
Рассмотрим сплошной шар. В этом случае всюду а=0.
При г = 0 в силу симметрии должно быть и=0. Из теоремы о
среднем значении интеграла имеем
Hm A-Xi(r)= О
г->0 Г2
и потому из (25.4) найдем Ci = 0. Здесь использовано обозначение
Хо(г) для функции %i(r) в рассматриваемом случае а = 0. Анало-
гичные обозначения будем использовать для функций (25.7).
Можно показать, что при ci=0 напряжения сгг и ое ограни-
чены при а->0, г->0. Вводя обозначения
Dar = W0(r)-ya(r),
найдем
lim£>ar = — — Е(0)<р(0),
а->0 3
г->0
после чего получим
<тг (0) = <уй (0) = - -1Е (0) ф (0) + с2.
Из соотношения (25.5) для разности ое—имеем
г
ое — а, = 2Е (Т) [ф--j рМр
о
или сге— вг = 2Е(Т)(ф — ф), где ф — среднее значение функции ф
в шаре радиуса г
г
ф (г) = j" рМр.
о
Постоянная с2, входящая в решение (25.6), определяется из
условия на поверхности шара г = Ь. Для свободной поверхности,
например, ог|г=ь =0. Тогда
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
339
ог --= 12[Ч'О (г) - Ч'о(ft)] - 4 [to (г) - to (b)],
= 12 [Тв’(г) - (6)] - 4 [ip# (г) - to (&)] +
-г2[-^Р-х^(г)-Е(Т)ф].
Рассмотрим теперь полый шар внутреннего радиуса а и
внешнего радиуса Ь. Пусть по-прежнему имеем стационарное тем-
пературное поле Т (г) и, кроме того, на шар действует равномер-
ное внутреннее давление р, а сам шар погружен в упругую среду
типа Винклера с модулем х. Граничные условия имеют вид
(Уг \г=а = — Ру \г=Ь — хи (6). (25.8)
Используя (25.4) и (25.6), из граничных условий (25.8) най-
дем константы Ci и с%
_______ЯУдЬ - tad + (3x/lda) К1аЬ - ,9/4
С1~ ^аЬ + ^
с2=-р. (25.9)
Здесь обозначения типа х¥аь=х¥а(Ь).
Решение рассматриваемой задачи дается соотношениями
(25.4), (25.6) при значениях (25.9) констант Ci и с2. При х = 0 от-
сюда получаем решение для шара со свободной внешней поверх-
ностью; при х = оо — для шара, помещенного в абсолютно жест-
кую среду, причем и и(Ь) =0.
Предположим теперь, что рассматриваемый шар помещен
в другой полый шар с внутренним и внешним радиусами со-
ответственно Ь и с. Материал этого шара считаем по-прежнему
упруго-несжимаемым, а его модуль Юнга и коэффициенты линей-
ного расширения — зависящими от температуры. Для этого шара
решение строится аналогично, причем можно в явном виде найти
модуль х, входящий в соотношения (25.8).
Обозначим все величины, относящиеся ко второму шару, теми
же буквами, но со звездочками. Кроме этого, примем х* = 0, р* = х.
Тогда для внешнего шара
о
г о г
о* = ! 2 j Е*^у ( p^’dpdcr — 4 j f (Г) dp 4-
Ob ь *
г
+ 4c, f jp + c;t (25.10)
J °4
b
340
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
где
т
ф*= Ja’(T)dT;
о
Ci =----------—г.------. с2 = — х.
Чъс
Из условия u*(b) = l найдем теперь величину модуля х
x = 4(3Y;c-^c-i-Xbc62).
Если интегралы, входящие в правую часть этого соотношения, при
с->оо сходятся, в пределе получим величину модуля х для случая,
когда шар радиуса Ь погружен в упругую неограниченную среду.
Если избыточная температура среды равна нулю Г*=0, то
<р* = 0, Е* (0) = Eq и для х получаем значение х = 4£,0/ЗЬ.
Построенные выше решения справедливы при любом темпе-
ратурном поле Т(г), Рассмотрим задачу определения температу-
ры. Если источники тепла отсутствуют, а коэффициент теплопро-
водности является функцией температуры, стационарное темпера-
турное поле Т удовлетворяет уравнению теплопроводности
div(Xgrad Т) =0. Отсюда для рассматриваемого центрально-сим-
метричного поля Т (г) имеем
— Iw—\ = о.
dr \ dr /
Интегрируя это уравнение, найдем
^МТ= —kjr + kb, (25.11)
где ki, fe? — постоянные интегрирования.
Рассмотрим случай, когда X линейно зависит от температуры
Х=Х0(1 — РТ), р>0, (25.12)
и примем для определенности следующие граничные условия для
температуры Т(г):
Т(а)—-То, Т(Ь)—Ть. (25.13)
Из (25.11) — (25.13) найдем температурное поле Г (г)
(25.14)
§ 25
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
341
Раскладывая правую часть (25.14) в ряд Тэйлора и переходя к
пределу р->оо, получим известное распределение температуры
(25.15)
соответствующее постоянному коэффициенту теплопроводности.
Рассмотрим числовой пример [70]. Пусть имеется полый
шар в стационарном температурном поле (25.14) со свободными
поверхностями. Примем а = 50, &=100 см, Та = 500, 7ь=400°С.
Функции а (Г) и Е(Т) возьмем в виде
а = (1200 -- 7>10-8,
Е = [1760 —3,57(Г —400)]-103 кг/см2. (25.16)
Аппроксимация (25.16) для Е(Т) соответствует эксперименталь-
ным данным для определенной марки стали в интервале темпера-
тур 400^Т°С^500 [66]. Примем параметры в (25.12)
Ао = О, 11 кал-см-1-с-1-град-1,
Р = 0,0007 град-1.
Значения температуры Ть вычисленной по формуле (25.15),
и Г2, вычисленной по формуле (25.14), при г=60 и г = 80 см пока-
заны ниже:
Л Ti т.-тм
60 466,7 465,5 1,16
80 425,0 424,1 0,93
Ввиду того что различие между температурами, определяемыми
формулами (25.14) п (25.15), несущественно, вместо соотношения
(25.15) имеем
Т = 300 + 10000/г.
Тогда из (25.16) найдем
Е = (2,12 — 35,7/г).1О6 кГ/см2.
Напряжения сгг, Oq, вычисленные по формулам (25.6), показаны
на рис. 40 и 41. Там же показаны напряжения ог, ое, £ вычисленные
при v= 1/2 и средних значениях £ и а, определяемых соотношения-
ми (25.16), а также напряжения аг, сг©, вычисленные при v= 1/3,
£=£(0), а=а(0).
25.2. Неограниченное пространство со сферической полостью
в нестационарном температурном поле. Рассмотрим неограничен-
342
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
ное пространство со сферической полостью радиуса а, находящее-
ся в центрально-симметричном нестационарном температурном по-
ле Т (г, [71]. Температуру Т отсчитываем от постоянной вели-
чины, соответствующей естественному состоянию тела. Пусть ко-
эффициент Пуассона v постоянен, а модуль сдвига р, плотность
р и параметры, характеризующие теплофизические свойства мате-
риала,— функции температуры.
§ 25
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
343
Используя сферическую систему координат и симметрию зада-
чи, получим, что отличным от нуля будет лишь радиальное пере-
мещение u(r, t). Причем напряжения о,, и оо=оф выражаются
через него соотношениями
or= J Ди2-у- pl — v)-^- + 2vy- —(1 + v)q>j,
g9== ’ , V [v~r- ! — — (1 + v)<p] . (25-17)
1 — 2v [ or r J
T
где <p= ^a(T)dT. Имеем также уравнение равновесия
о
ь — (аг-о0)= 0, (25.18)
дг г
граничное условие
<ТГ ]г=-а = о (25.19)
и условия на бесконечности
lim о, (г, t) = 0, lim <те (г, t) = 0. (25.20)
Г-*ОО г-^оо
Заданные функции температуры представим в виде
а=аоа’(0), А=ЛоГ(0), р = цор*(0), р=рор’(0), с=сос’(0)
(25.21)
и введем безразмерные величины
р= —, £ = -И—, 0 = —, г = —- I,
а аа^То То а2р0с0
(25.22)
* 1— 2у * 1— 2v
О> = --------Ог, Оо — ----------Оо,
2роОо7’о 2p,Qao7'o
0
q>* = —+2. fa‘(0)d0.
1 —V J
о
Здесь TQ — некоторая характерная температура, X—коэффициент
теплопроводности, с — удельная теплоемкость; в соотношениях
(25.21) величины со звездочками — безразмерные функции безраз-
мерной температуры 0.
С учетом (25.21), (25.22) соотношения (25.17) примут вид
ff’= Н* [(1 — v)-^- 4-2v —-----(1 — -v)(p’|,
I. Эр p J
344
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
00 = Ц* I V + -------н — V)<p*l.
L op Р J
Подставляя эти соотношения в уравнение равновесия (25.18), по-
лучим дифференциальное уравнение для функции £(р, т)
_2_ -А_ (р2Н 1 Л1ПН* ГА _А_. 1 _ ф-1 _
dp I Р2 dp J др I др 1 — v р J
-----= о. (25.23)
а. . д In Ц*
Введем обозначение =------s— и рассмотрим уравнение •
др
д Г 1 д ( 'I . I dt> , 2v £ ♦ ! д<р*
-V A (р £)J “ ” IV " Т-,~ • 7 J ~ V'
(25.24)
которое при е=1 переходит в уравнение (25.23).
Решение краевой задачи (25.24), (25.19) и (25.20) будем
строить методом возмущений, представляя его в виде
Б=£8Чл(р,т). (25.25)
к =0
При 6=1 получим решение исходной задачи (25.24), (25.19),
(25.20)
5= £ ^(Р.Т).
Л=0
Подставляя (25.25) в соотношения (25.24), (25.19) и (25.20),
получим рекуррентную последовательность задач, определяющих
функции
Для £0 имеем задачу
[-Т- -т~ (Р2 Ы I = <25-26)
dp L P2 др J ф
<Л)(1. Т) = о,
lim а'о(р, т) = 0, lim aJo(p> V = 0, (25.27)
р~*оо
где
a; = !i’[(l-v) -v)<p‘l,
L op р J
(25.28)
a;0 = ir[v42-+-^—i(i—v)<p*|.
L ^р р J
§ 25
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
345
Для gj получим
I -L- (р2 Ы ----------gf0 фР) (25.29)
др ] р2 J (1 — v) р*
0*1(1. Т)= О,
Нт он (р, т) = 0, lim oei (р, т) = 0, (25.30)
р-*00 р->ОО
где
о*1 = Н* [(1 — v) ,
L др р J
(25.31)
Краевые задачи, аналогичные задаче (25.29), (25..31), полу-
чим и для функций gA, k = 2, 3, ....
Рассмотрим задачу (25.26), (25.28) для функции go- Интегри-
руя уравнение (25.26), имеем
£о(Р. г) = -р Н -н qp + —,
Р2 Р
где
р
Н = J р'2<р* dp.
1
Из (25.28) найдем
• . Г 2(2v —1) „ . 2(2v— 1) ]
о,о = р ——-—— Н - - (1 -J- v) q-------5——q ,
I. Р3 Р3 J
(25.32)
оео= р* [ ~2v Я — (1 —2v)<p* --(I !-v)q Ч- -1 ~-2у - q I.
L p3 p3 J
Пусть ф-^0 при p->oo и, кроме того, интеграл
др)= jVrfp
1
ограничен так, что Цр)<К при любых р в интервале 1^р<оо.
Тогда, применяя теорему о среднем значении интеграла, получим
Ц- // = Ц- Р?р / (Р) < — (25.33)
р3 р3 р
и, следовательно,
Нт-1-Я=0. (25.34)
346
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
В силу регулярности, а также условий (25.27), с учетом (25.32)
найдем с1 = с2 = 0.
Аналогично получим решение задачи (25.29) — (25.31)
?, (р. ,) , 2C-2»> <I+v) _0-_
(1—V)2 Р2 р2 ’
а;, = ц- I____4(1-2у)2(1+у)
L а-v)2 р2
, 2 (I — 2v> (1 + V>1 ... (1 J. v) di _ 2 (J _ 2v) A. 11 (25.35)
(1 — V) p3 J
+ 2 (1 ,^)(I.^V)V F + (1 I- v) dt + (1 - 2v) A.1,
(1 — v)2 p3 J
где
p p
G* - C p2 F* dp, F* = C —---— dp, (25.36)
J J H* P3
H' = и (>~v) .
.(1 + V)
Функции F* и G* на границе полости (при р=1) обращаются
в нуль. Граничное условие (25.30) дает, следовательно, соотно-
шение
di=.d, "+-Ч-
2 1 2(1— 2v)
Условия на бесконечности (25.30) дают следующую, в общем
случае несовместную, систему уравнений для d\\
, _ 2 (1 — 2v) Г 2(1 — 2v) / G* \ I
u, — ---------- ----------- ----- Г <50 ,
1 — V I 1 — V \ Р3 / оо J
------(25.37)
1 1— V I 1—V \ р3 /оо I—V J
где индексом оо обозначен предел соответствующей функции при
р—>оо.
Чтобы выбрать соответствующее значение dj, рассмотрим по-
лый шар с внешним безразмерным радиусом R и потребуем вы-
полнения условия lim о* (/?, т) = 0. Эта процедура дает значение
r +<»
di, определяемое первым соотношением (25.37). Подставляя теперь
это значение di в выражение (25.35) для aei и переходя к пределу
при р—>оо, найдем
§ 25
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
347
, . . _ 2 (1 - 2vp (1 -н v) •
(CF01 )оо — — : — Цоо
(25.39)
(.-V). - Г > р. У.-Я <2М8>
Целесообразно считать, что предел (25.38) существует и равен
нулю; это предположение оправдывается в приведенном ниже при-
мере.
Рассмотрим температурное поле Т. При отсутствии источни-
ков тепла имеем уравнение теплопроводности
div (X grad Т) — ре 0.
Для центрально-симметричного поля 0 = 0 (р, т) в безразмерных
параметрах (25.21), (25.22) уравнение (25.39) примет вид
ЛР “Г" =р с
др I dp ] дт
Вместо функции 0 введем функцию 0*, определяемую соотноше-
нием
(25.40)
в
e* = j a* (o) do.
0
Уравнение (25.40) для функции 0* (p, т) дает
о2 дб*
л*
(25.41)
>2
ае* \
др /
(25.42)
дт
где Л*=Х*/р*с*. Во многих случаях зависимость параметра Л=
от температуры значительно менее существенна, чем соот-
ветствующая зависимость для коэффициента теплопроводности 1
[64]. Принимая поэтому /i* = const, из (25.42) найдем
д2 0* 2 д0* _ дб*
др2 1 р др др ’
(25.43)
где s= h*x.
Примем следующее граничное условие для температурного
поля
о* |р-1 = 0ол(з),
где h{s) —единичная ступенчатая функция Хевисайда
. . (0, s< 0
h (s) = {
u, s>0.
(25.44)
(25.45)
Если в качестве характерной температуры Го, входящей в со-
отношения (25.23), принять температуру, которая в силу условия
(25.44) задается при / = 0 на поверхности полости, то
348
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
0О = [ Г (a) da. (25.46)
6
Кроме этого, имеем условие на бесконечности
lim 0*(р, s) = 0 (25.47)
Р~»ОО
и начальное условие
0*(р, S)|s=o = о. (25.48)
Решение краевой задачи (25.43) —(25.48) дается соотноше-
нием [79]
0* (р, s) = A. erf с , (25.49)
Р 2 V 5
где
2 ?
erfcx = — । ехр(—o'2) da.
X
Температурное поле 0(р, $) определяется соотношениями
(25.41), (25.49). Примем, что коэффициент теплопроводности V
линейно зависит от температуры Х* = 1—kQ. Тогда из (25.41) най-
дем
0= -L[l —(1—26 0’)‘'‘].
Из (25.46) имеем 0О=1—k/2. В пределе при s->oo из (25.49) по-
лучим соотношение
е*(р) =
20, 1
/л" Р
соответствующее станционарному температурному полю. Если %=
=const, то й=0, 0о= 1 и из (25.49) имеем
0*(р, s) = 0(p, s) = yerfc .
Рассмотрим числовой пример. Для стали можно принять,
что коэффициент линейного расширения аппроксимируется линей-
ной, а модуль сдвига — квадратичной функцией температуры [71]
а* = 1 у9, р* = 1 — рв2.
Примем следующие значения параметров: Т0=315оС, fe=0,132,
у = 0,554, р = 0,125. Это соответствует теплофизическим и механи-
ческим характеристикам материала:
§ 25 ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ 349
%= 40,1 (1 —0,396-10-3) ккал-м-1 • г-1 • град-1
= 11,710-6(1 4- 1,66-Ю-3) град-1
= 0,81-106(1— 1,13-10-6 Т2) кг-см-2
Из (25.22) найдем
Ф* = (1 + v) (9 4- Х02)/(1 —V), X = 0,277. (25.50)
Так как 0-И) при р-*-оо, из (25.50) следует, что сделанное выше
допущение о стремлении ф* к нулю при р->оо оправдывается.
Можно показать, что оправдывается и второе из сделанных
допущений, относящихся к ограниченности интеграла
JVdp. (25.51)
о
Введем обозначение ф**=(1—v)q*/(l+v) и разложим инте-
грал (25.51) на два
Лф*’</р (25.52)
А
где А и g — положительные числа, удовлетворяющие неравенству
1<А<о. Поскольку <р** — функция непрерывная, ограниченность
первого интеграла в (25.52) очевидна. Рассмотрим второй инте-
грал в (25.52): при достаточно большом А достаточно большим
будет и р, а следовательно, в силу (25.49) 0* будет мало по сравне-
нию с единицей, так как erfc х мало прц больших х. Используя
(25.52), приходим к соотношению 0^0* и из (25.50) получаем при
достаточно больших р
ф‘* 0* - Х9*2 < -^-erfc + к (25.53)
р 2ys р
так как erfcx^l.
Первый множитель первого члена в правой части неравенства
(25.53) представляет собой при р2>4 непрерывную и непрерывно
дифференцируемую функцию р, стремящуюся к нулю при р->оо.
Можно также показать, что интеграл от второго множителя ука-
занного члена — ограниченная функция р при р^1. Отсюда, а так-
же из известной теоремы о несобственных интегралах следует, что
интеграл от первого члена в выражении (25.53) в пределах от 4
до оо ограничен. Поскольку второй член в выражении (25.16) ко-
нечен, конечен и интеграл (25.51) при р->оо. Поэтому предполо-
жение (25.34) оправдано.
350
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
Рис. 43
§ 25
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
351
Рис. 45
352
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 5
Рассмотрим поведение функции F* при р->оо. Используя
(25.36) и неравенство (25.33), имеем
р
f ( . _L dp, (25.54)
J dp p
1
где К — достаточно большое число. Так как 1/р при р>1 функция
непрерывная, непрерывно дифференцируемая и монотонно убываю-
щая до нуля при р—>оо и так как интеграл от первого множителя
подынтегрального выражения в (25.54) в пределах от 1 до оо
ограничен, то функция F* также ограничена. Отсюда следует, что
существует предел Л» = limF*. В силу положительности подынте-
грального выражения (25.54) для любого конечного р
|Г(р)|<|Х,|.
Поэтому, используя первое соотношение (25.36), находим
р
р3 | р3 J 3 | р3 |
1
и, следовательно, | G*/p3| ограничено, т. е. предел (G*/p3)«> суще-
ствует.
Таким образом, целесообразность всех допущений, сделанных
при построении решения, показана.
На рис. 42—48 приведены результаты численного счета [71].
На рис. 42 показана зависимость безразмерной температуры 0 от
координаты р при разных значениях безразмерного времени s.
Можно сделать вывод, что в любой фиксированной точке темпера-
тура среды с течением времени возрастает и ее распределение
стремится к распределению, соответствующему стационарному со-
стоянию. Для сравнения на рис. 42 приведены также графики, со-
ответствующие решению при постоянном коэффициенте теплопро-
водности. Разность температур в термочувствительной и нетермо-
чувствительной средах не превышает 10%, температура в термо-
чувствительной среде меньше.
На рис. 43 и 44 показана зависимость теплопроводности Л*
и модуля сдвига р* от координаты р для разных значений време-
ни s. С увеличением времени значения л* и р* уменьшаются.
С увеличением р их значения асимптотически стремятся к едини-
це; значение, равное единице, соответствует термонечувствителыюй
среде (X=const, u = const).
На рис. 45 показано перемещение £*=(1—O+v) как
функция р при разных временах s как для термочувствительных,
так и для термонечувствительных сред. Перемещение возрастает
§ 25
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
353
с течением времени, причем верхний предел перемещения опреде-
ляется стационарным состоянием. Для термочувствительной среды
перемещение больше, разница достигает 20%.
Данные, приведенные на рис. 45, построены по перемещению
£о, которое дает основную часть суммарной величины перемеще-
ния. Часть, соответствующая функции весьма мала и численно
лишь незначительно превосходит погрешность графического инте-
грирования. Соответствующие поправки показаны на рис. 39 и 41
для стационарного состояния ($ = оо) при v=0,4.
Решение £0 обладает следующим свойством
Ml, 5)^0,
т. е. положение границы полости остается фиксированным при лю-
бом s. Функция £] смещает эту границу внутрь, но незначительно.
На рис. 46 и 47 представлены величины
<*’*= (1 — v)o’/(l t-v) (1 — 2v), Ое’ = (1 — v)tfo/(l v)(l—2v).
Напряжения в термочувствительной среде превосходят напря-
жения в нечувствительной среде иногда на 15% и более. Верхний
предел для напряжений дают напряжения, соответствующие ста-
ционарному состоянию. Так как разность тангенциальных напря-
жений (Гео и оо, относящихся к чувствительной и нечувствительной
средам, мала, на рис. 47 приведен график только Оео. Однако
вблизи точки р=1 разность между этими напряжениями возрас-
тает: для р=1 и s=oo имеем аео = 1,12, ooi =—0,04. Соответ-
ствующее значение для нечувствительной среды ее равно единице
при любом s.
Отсюда следует, что разность ое—(ооо 1 - ОеГ) на границе по-
лости в стационарном состоянии достигает примерно 15%.
На рис. 48 показано перемещение £о в зависимости от s при
различных фиксированных значениях р. Для сравнения там же
показаны графики, соответствующие нечувствительной среде; раз-
ность в значениях перемещения достигает 25%.
25.3. Симметричная деформация неоднородного полого шара.
Точное решение. Рассмотрим задачу о деформации упругого поло-
го шара внутреннего радиуса а и внешнего радиуса Ь. Предполо-
жим, что модуль объемного сжатия К постоянен, а модуль сдвига
G — произвольная дифференцируемая функция G = G(r). Шар на-
ходится под действием внутреннего ра и внешнего рь давлений.
Эта задача имеет точное решение в замкнутой форме [32, 67].
В силу симметрии главными направлениями напряжений и де-
формаций будут направление центрального радиуса г и два любых,
перпендикулярных к нему направления па сфере г=const. Послед-
ним двум направлениям придадим индексы «1», «2», а радиаль-
354
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 3
-ю
„ ¥ ¥
Рис. 47
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
355
ному направлению — индекс «3». Для напряжений о& и деформа-
ций Ek из условий симметрии имеем 01 = 02, 61 = 62.
Для функций Qi, оз, 81, 63 имеем
уравнение равновесия
^-^—(03-0!)= О,
dr г
(25.55)
условие совместности
-^- + — (81-8з)=0,
dr г
(25.56)
закон Гука
е1 = <2<Т1 + СТз) +
+ -Z7T ~°з)>
Рис. 48
ез = IF(2<T1 ’L °з} + "ад"(<Js “ Ol) (25,57>
и граничные условия
^3 |г=^а = pe> <J3 |г=Ь = р^. (25.58)
Задача (25.55) — (25.58) допускает точное решение. Введем вели-
чины s и q соотношениями
S = 8Х — 80 = -!— (о, — о»),
1 3 26 (г) v 1 ЗЛ
q = ох - о3 = 2G (г) (ех - 83). (25.59)
При этом
g=2G(r)s. (25.60)
Используя закон Гука (25.57), из условия совместности (25.56) най-
дем
<25-6|>
Учитывая соотношение о3 = ох — q, приведем уравнение равновесия
(25.55) к виду
^—^—7’= °' (25'62>
356
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Гл. 3
Исключая теперь величину da^dr из соотношении (25.61), (25.62),
получим уравнение
з——К — —s=0,
dr г 2 dr 2 г
которое после умножения на г3 приводится к виду
— (r3qKr3s\ = 0.
dr \ 2 /
(25.63)
Интегрируя уравнение (25.63), найдем
, 3 гх С
1 + -К1-—.
тдр с — произвольная постоянная. Отсюда, учитывая (25.60), имеем
2 (он-4- К\ Г*
\ 4 /
я = ——• (25-64)
/ , . о Л \ _
Используя теперь (25.59) и интегрируя уравнение (25.55), получим
Os=2f^_
а
или после определения постоянной cL из первого граничного условия
(25.58)
Q3 =
Я (Г) dr
Учитывая (25.64), имеем отсюда
<Т3= — Ра J- 2с/(г)>
где использовано обозначение
dx
3~
1+т
Используя второе граничное условие (25.58), для постоянной с
найдем
с== (ра ~~
2/ (Ь)
§ 25
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
357
Для напряжений о3, cFj окончательно имеем [32J
। / к / (г)
&3~~~Ра + (Ра — Pb)
/ (Ь)
________________________________________________1_
н
= О’--»1
1 Га ЦЬ)
/(Г)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александрович А. И. Плоская неоднородная задача теории упругости.
«Вести. Моск, ун-та», матем., мех., № 1, 1973.
2. Альфонс Л. Лекции по квазикоморфным отображениям. М., «Мир», 1969.
3. Безухов Н. И. и др. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания
в условиях высоких температур. М., «Машиностроение», 1965.
4. Бергман С. Интегральные операторы в теории линейных уравнений с
частными производными. М., «Мир», 1964.
5. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука. Л.,
1925.
6. Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластично-
сти. «Прикладная математика и механика», 15, вып. 6, 1951.
7. Б и р г е р И. А. Неравномерно нагретые анизотропные стержни с перемен-
ными параметрами упругости. «Механика твердого тела», № 15, 1972.
8. Биргер И. А. Неравномерно нагретые стержни с переменными парамет-
рами упругости. В сб.: «Расчеты на прочность», вып. 7, М., Машгиз, 1961.
9. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М., «Мир»,
1964.
10. Вишпк М. И., Люстерник Л. А. Асимптотическое поведение решений
линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроизменяю-
щимися коэффициентами и граничными условиями. УМН, 15, № 4, 1960.
11. В л а д и м и р о в В. С. Уравнения математической физики. М., «Наука»,
1967.
42. Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред.
М„ Гостехиздат, 1955.
13. Г росу л Л. П. Напряженное состояние упругой микронео дно родной поло-
сы. «Прикладная математика и программирование», вып. 1. Кишинев, 1969.
14. Ильюшин А. А. Пластичность. М., Гостехиздат, 1948.
15. Ильюшин А. А. Некоторые вопросы теории пластического течения. «Изв.
АН СССР», № 2, 1958.
16. Колчин Г. Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных
материалов. Кишинев, 1971.
17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. М., «Наука», 1968.
18. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений.
М., «Наука», 1969.
19. Крути о в Ю. А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике
теории упругости. М., Изд-во АН СССР, 1949.
20. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. М., «Наука», 1965.
21. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М., Гостехиздат,
1950.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
359
22. Л ex ни цк ий С. Г. Радиальное распределение напряжений в клине и по-
луплоскости с переменным модулем упругости. «Прикладная математика и
механика», 26, вып. 1, 1962.
23. Л е х н и ц к и й С. Г. Элементарные решения двух ча-стных задач о равно-
весии неоднородного цилиндра. Сб. «Исследования по упругости и пластич-
ности», вып. 6. Изд-во Ленингр. ун-та, 1967г
24. Лех ни цк ий С. Г. Кручение анизотропных и (неоднородных стержней. М.,
«Наука», 1971.
25. Л е х н и ц к и й С. Г. Задача Сен-Венана для непрерывно неоднородного
анизотропного бруса. Сб. «Механика сплошной среды и родственные пробле-
мы анализа». М., «Наука», d972.
26. Ломакин В. А. О деформировании микронеоднородных упругих тел.
«Прикладная математика и механика», 29, вып. 5, 1965.
27. Ломакин В. А. Плоская задача теории упругости для тел с быстроосцил-
лирующими упругими свойствами. «Механика твердого тела», № 6, 1966.
28. Ломакин В. А. Плоская задача теории упругости микронеоднородных
тел. «Механика твердого тела», № 3, 1966.
29. Л о м а к и н В. А. О задачах теории упругости для тел с быстроосцилли-
рующими упругими свойствами. «Вести. Моск, ун-та», матем., мех., № 2,
1967.
30. Ломакин В. А. Влияние микронеоднородностей структуры материалов на
их механические свойства. Проблемы надежности в строительной механике.
Вильнюс, 1968.
31. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых
тел. М., «Наука», 1970. Изд. 2. М., URSS, 2014.
32. Ломакин В. А. Симметричная деформация случайно-неоднородного по-
лого шара. Проблемы надежности в строительной механике. Вильнюс, 1971.
33. Ломакин В. А. Применение теоремы взаимности Бетти в теории упруго-
сти неоднородных тел. «Прикладная механика», 9, вып. 10, 4973.
34. Л о м а к и н В. А., С а в о в а Л. Н. Вопросы деформирования микронеодно-
родных вязкоупругих тел и моментная теория вязкоупругости. «Механика
полимеров», № 2, 1967.
35. Л о м а к и н В. А., П о б е д р я Б. Е. Об эффекте моментных напряжений в
неоднородной среде. Проблемы надежности в строительной механике. Виль-
нюс, 1968.
36. Ломакин В. А., Ш е й н и н В. И. Статистические характеристики полей
напряжений в случае неоднородной упругой плоскости. «Механика твердого
тела», № 4, 1970.
37. Л о м а к и н В. А., Г рос ул Л. П. Изгиб микропеоднородноп полосы.
' «Известия АН МолдССР», сер. физ.-техн. и матем. наук, № 1, 1970.
38. Ломакин В. А., Шелест А. Е. Постановка и решение задачи чистого
изгиба неоднородной титановой пластинки. Пластическая деформация туго-
плавких металлов и специальных сплавов. М., «Наука», 1970.
39. Л ом акин В. А., Шейнин В. И. О применимости метода малого пара-
метра, для оценки напряжений в неоднородных упругих средах. «Механика
твердого тела», № 3, 1972.
40. Лурье А. И. Теория упругости. М., «Наука», 1970.
41. Л яв А. Математическая теория упругости. М., Гостехиздат, 1935.
42. Михлин С. Г. Плоская задача теории упругости. «Труды Сейсмол. ин-та
АН СССР», № 65, 1935. ' '
43. .Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные урав-
нения. М., Физматгиз, 1962.
44. Мишину М., Теодосу К. Решение при помощи теории функций комп-
лексного переменного статической плоской задачи теории упругости для
неоднородных изотропных тел. «Прикладная математика и механика»,
30, вып. 2, 1966.
360
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
45. М усхелпшвил и Н. И. Некоторые основные задачи математической тео-
рии упругости. М., «Наука», 1966.
46. Назаров Г. И. Точное решение уравнений газовой динамики. «Изв. АН
СССР», МЖГ, № 3, 1968.
47. Н а з а р о в Г. И., Пучков А. А. Кручение осесимметричного анизотроп-
ного тела со смешанными краевыми условиями на боковой поверхности.
«Прикладная математика и механика», 36, вып. 6, 1972.
48. Назаров Г. И., Пучков А. А. К задаче о кручении неоднородного
тела вращения с переменными модулями сдвига. «Прикладная математика
и механика», 9, вып. 3, 1973.
49. Панферов В. М., Леонова Э. А. К решению задач термоупругости с
переменными модулями. «Проблемы прочности», № 6, 1975.
50. П л е в а к о В. П. К теории упругости неоднородных сред. «Прикладная
математика и механика», 35, вып. 5, 1971.
51. П левако В. П. Деформация неоднородного полупространства под дей-
ствием поверхностной нагрузки. «Прикладная механика», 9, вып. 6. 1973.
52. Писаренко Г. С. и др. Прочность материалов при высоких температу-
рах. Киев, «Наукова думка», 1966.
53. Плотников М. М. О напряжениях в одной задаче неоднородно-анизо-
тропного цилиндра. «Изв. вузов», Машиностроение, № 8, 1967.
54. Р е к а ч В. Г. Руководство к решению задач по теории упругости. М., «Выс-
шая школа», 1966.
55. Ростовцев Н. А. К теории упругости неоднородной среды. «Прикладная
математика и механика», 28, вып. 4, 1*964.
56. С е н-В е н а н. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе плит. М., Физ-
матгиз, 1961.
57. Спришевская И. А. Деформация упругой неоднородной полуплоскости.
«Alexaника твердого тела», № 1, 1973.
58. С хоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. М., «Наука», 1065.
59. Тимошенко С. П. Теория упругости. Л.—М., ОНТИ, 1934.
60. Треффц А. Математическая теория упругости. М., Гостехиздат, 1934.
61. Тер-Мкртчян Л. Н. Некоторые задачи теории упругости неоднородных
упругих сред. «Прикладная математика и механика», 25, вып. 6, 1961.
62. Янке К., Э м д е Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., «Наука», 1968.
63. В u f 1 е г Н. Elastiche Schicht und elastische Halbraum bei mit der Tiefc ste-
tig abnehmenden Elastizitatsmodul. Ing.-Archiv., B32, H. 6, 1963.
64. С a r s 1 a w H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids. Clarendon
Press. Oxford, 1959.
65. Choudhury P. Stresses in an elastic layer with varying modulus of elas-
ticity. «Bull. Calcutta Math. Soc.», No. 2, 1957.
66. Everett F. L., Mikovitz J. Poisson’s Ratio at High Temperatures.
«J. Appl. Phys», 15, 592, 1944.
67. KI os о vic z B. The nonhomogenesus spherical pressure vessel of maximum
rigidity. I. Theoretical approeh. II. Practocal applications. «Bull. Acad, polon.
sci.», ser. Tehniques, 16, No. 7, 1968.
68. M a z i 1 u P. Sur un probleme plan de la theorie de 1’elasticite des milieux
heterogenes. «Comptes Rendus. Des Seances de 1’academie des sciences». 268,
Ser. A, B, No. 14, 1969.
69. Nowinski J. Naprezenia cicplne w walcu grubosciennym, ktorogo material
przljawia zwienne wlasnosci spr^iyste. «Arch, mechm stosow.», 5, z. 4, 1953.
70. Now inski J. Thermoelastic problem for an isotropic sphere with tempera-
ture dependent properties. «Z. f. angew. math, und Physic», 10, No. 5, 1959.
71. Nowin ski J. Transient Thermoelastic problem for an infinite medium with
a Spherical cavity exhibiting temperature dependent properties. «J. Appl. Meeh.»,
29, Ser. E, No. 2, 1962.
72. N о w i n s k i J. Axisymmetric problem of the steady-state thermal—dependent
properties. «Applied Scion. Research». 12, Sec. A, No. 4/5, 1964.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
361
73. Olszak W., Rychlewski J. Nichthomogenitats-Probleme im elastischen
und vorplastischen Bereich. «Osterreichisches Ingenieur-Archiv», 15, 1961.
74. Olszak W., Rychl e w s k i J. On plane States of equilibrium in nonhomo-
geneous elestic and plastic media. Приложения теории функций в механике
сплошной среды, т. 1. М., «Наука», 1965.
75. S a d о w s к у М. A., Goldberg М. A. Non-Homogeneous Elasticity. N. Y.,
1958.
76. S chile R. D., Sierakowski R. L. On the axially simmetric deformation
of a nonhogeneous elastic material. «J. Franklin inst.», 278, No. 5, 1964.
77. S c h i 1 e R. D„ Sierakowski R. L. On the Saint Vencent problem for
a nonhomogeneous elastic material «Quarterly of applied math.», 23, No. 1,
1965.
78. Soos E. Sur le probleme de Saint-Venan dans le cas de barres heterogenes
avec anisotropie cylindrique. «Bull. Math. Sci. Math, et Phys. RPR», 7,
No. 1—2, 1963.
79. Sternberg E. Transient stresses in an infinite medium with a spherical
cavity. «Konikkl. Nederl. Akad. xan Wetenschappen Amsterdam. Proc.», 60,
ser. B, 396, 1957.
80. Tricorn i F. G. Lezioni sulle equazioni a derivate parziali. Torino, 1954.
81. Tros tel R. Stationare Warmespannungen mit temperaturabhangigen Stof-
werten. «Ingenieur — Archiv», 26, 1958.
82. Tros tel R. Warmespannungen in Hohlzylindern mit tempcraturabhangingen
Stoffwerten. Ing.-Arch., 26, H. 2, 1958.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатические коэффициенты^ подат-
ливости 9
Адиабатические модули упругости 9
Адиабатический процесс деформиро-
вания 9
Вариационная постановка задачи тео-
рии упругости неоднородных тел
18, 156
Вариационный принцип равновесия
Лагранжа 17, 18
Вариационное уравнение Лагранжа
17, 18
Виртуальные перемещения 17
Всестороннее равномерное сжатие те-
ла произвольной формы 28
Гипотеза Дюгамеля — Неймана 11,
159, 336
Деформация неограниченной плоско-
сти 230
Деформация неоднородного слоя 333
Деформация полупространства 327
Деформация тел вращения 258, 260
Динамическая задача 15
Жесткость при кручении 87, 94, 100,
101, 104, 111, 112, 116—118
Зависимость упругих свойств от тем-
пературы 21
Задача с быстро осциллирующими уп-
ругими свойствами 53, 232
Задача с быстро осциллирующими
граничными условиями 56
Задача Сен-Венана 61, 63, 64, 70,
72, 73
Задача Сен-Венана с постоянными
коэффициентами Пуассона 73
Задача Сен-Венана при простом рас-
тяжении 73
Задача Сен-Венана при чистом из-
гибе 74
Задача Сен-Венана при чистом кру-
чении 73
Задача термовязкоупругости 24
Задача термоупругости 21, 51
Закон Гука 10, 35, 38, 47, 53, 83, 108,
131, 132, 148, 152, 155, 159, 161, 214,
258, 290, 291, 332
Изгиб консоли прямоугольного сече-
ния 138
Изгиб кругового цилиндра 145
Изгиб ортотропного бруса поперечны-
ми силами 135
Интегральные граничные условия 62,
87, 151
Каскадный метод Лапласа 209
Клин 214, 216, 222, 223
Коэффициент линейного расширения
11, 22, 24, 160, 272, 339
Коэффициент Пуассона 10, 12, 22,
61, 83, 144, 146, 160, 163, 172, 175,
205, 216, 218, 280
Коэффициенты податливости 9, 10
Крутка 34, 88, 94, 98, 99, 100, 101,
104, 111, 112 ,
Кручение бруса в цилиндрической си-
стеме координат 111
Кручение бруса с многосвязным по-
перечным сечением 109
Кручение круглого вала 33
Кручение круглого стержня с про-
дольной круговой выточкой 123
Кручение неоднородного ортотропно-
ного бруса прямоугольного сечения
91
363
Кручение, неоднородного цилиндриче-
ски анизотропного бруса 97
Кручение неоднородных анизотропных
призматических брусьев 82, 84
Кручение неоднородных изотропных
брусьев 102, 119
Кручение неоднородных изотропных
брусьев в сечении — круг 122
Кручение неоднородных изотропных
брусьев в сечении — неограничен-
ная полоса 123
Кручение неоднородных изотропных
брусьев в сечении — площадь, ог-
раниченная ветвью гиперболы и
прямой 124
Кручение неоднородных изотропных
брусьев в сечении — равносторон-
ний треугольник 125
Кручение неоднородных изотропных
брусьев в сечении — эллипс 122
Кручение неоднородных тел вращения
264, 289
Кручение неоднородных тел враще-
ния, цилиндрически-анизотропных
289
Кручение полого кругового цилиндра
298
Метод возмущений 49—50, 164, 167,
175, 230, 268, 269, 274, 281
Метод возмущений в плоской зада-
че 164
Метод возмущений в плоской задаче
термоупругости 167
Метод переменных параметров упру-
гости 26
Метод последовательных приближе-
ний 27, 189, 192
Метод упругих решений 26
Методы теории функций комплексно-
го переменного 181
Методы теории функций комплексно-
го переменного — интегральных
уравнений 194
Методы теории функций комплексно-
го переменного — конформных отоб-
ражений 187
Методы теории функций комплексно-
го переменного — последователь-
ных приближений 189
Модуль объемного сжатия 10, 12,
28, 46
Модуль сдвига 10, 12, 27, 28, 46, 61,
83, 160, 172
Модуль Юнга 10, 12, 22, 83, 144, 175,
216, 218, 220, 222, 280
Модули упругости 9, 10
Неограниченное пространство и полу-
пространство 318
Неограниченное пространство со сфе-
рической полостью в нестационар-
ном температурном поле 336
Обобщенное плоское напряженное со-
стояние 151, 153, 161, 162, 204, 205,
207, 215, 216, 312
Обобщенный закон Гука 10
Обратные задачи 202, 210
Обратные задачи для неоднородных
тел с постоянным коэффициентом
Пуассона 205, 208—210, 212
Обратные и полуобратные методы в
плоской задаче 201
Однородное напряженное состояние
тела произвольной формы 34
Осесимметричная деформация толсто-
стенного цилиндра 280
Осесимметричная задача 260, 263, 265
Осесимметричная задача о темпера-
турных напряжениях в телах вра-
щения 265
Оценка метода возмущений 175
Оценки для жесткости при кручении
112, 116, 118
Параметры Ламе 10 153, 160, 162,
181, 316
Плоская деформация 148—150, 153,
155, 162, 204, 205, 207, 214, 216
Плоская задача 148, 155, 156, 162,
164, 194, 195, 201, 214, 312
Плоская задача для однородных тел,
свойства которых зависят от тем-
пературы 159
Плоская задача термоупругости 181
Плотность потенциальной энергии де-
формации 11, 12, 17
Полуобратный метод Сен-Венана 64,
84, 97, 213
Полуплоскость 214, 216, 222, 223
Полупространство с одномерной не-
однородностью свойств под дейст-
вием нормальных нагрузок на гра-
нице 318
Постановка задачи в напряжениях 16
Постановка Сен-Венана 61, 63, 119
Постановка статической задачи 15, 18
Потенциальная энергия 12
Преобразование Лапласа 25, 26
Принцип Сен-Венана 56
Простое растяжение круглого ци-
линдра 267
Пространственные задачи 307
364
Пространственные задачи для тел с
быстро осциллирующими упругими
свойствами 327
Растяжение и изгиб моментами орто-,
тропного бруса 130—131
Растяжение и изгиб моментами неод-
нородных брусьев 130
Растяжение и изгиб моментами цн-
линдрически-анизотропного бруса
141
Растяжение круглой пластинки 191
Растяжение кругового цилиндра осе-
вой силой 143
Растяжение неоднородного полупро-
странства 330
Растяжение полуплоскости с быстро
осциллирующими упругими свойст-
вами 241
Растяжение призматического бруса 32
Символы Леви-Чивита 8
Симметричная деформация неодно-
родного полого шара 353
Сходимость метода возмущений 172
Температурные напряжения в толсто-
стенной трубе, свойства которой
зависят от температуры 282
Температурные напряжения в шаре,
свойства которого зависят от тем-
пературы 336
Тензор Грина 40, 41, 319
Теорема взаимности Бетти, 38, 39,
41, 46
Теорема единственности 36, 38
Теорема о циркуляции сдвиговых де-
формаций 108, 109
Теория кручения Сен-Венана 84
Теория малых упруго-пластических
деформаций 27
Термоупругие потенциалы 277
Тождество Бетти 39
Упругий потенциал 9
Условия совместности деформаций 8,
9, 20, 28, 33, 105, 148, 259
Условия совместности для напряже-
ний 16, 48, 63, 119
Уравнение Уиттекера 321
Уравнение Эйлера—Лапласа 96, 146
Уравнения движения 8
Уравнения движения в перемещениях
14
Уравнения Ламе 15
Уравнения плоской задачи в поляр-
ных координатах 214
Уравнения равновесия 8, 28, 33, 34,
63, 131, 139, 150, 154, 156, 194, 214,
272
Уравнения равновесия в деформаци-
. ях 18
Уравнения равновесия в перемещени-
ях 14, 21, 154, 307
Формула Клапейрона 13
Формулы Грина 13, 17, 173
Формулы Кастильяно 13
Формулы Коши, 8, 17, 21, 34, 40, 84,
107, 131, 132, 153, 154, 160, 161,
163, 290
Формулы Чезаро 16, 31, 33, 35, 45
Функции Бесселя 95, 314, 315, 320, 323
Функции Макдональда 95
Функция кручения 88, 98, *99, 102, 111,
112
Функция напряжений 47, 102, 121,
123, 134
Функция напряжений Бельтрами 47,
64
Функция напряжений Максвелла 47
Функция напряжений Морера 47
Функция напряжений при кручении
89, 91, 92, 94, 95, 99, 104, 109, 120,
137, 268
Функция"напряжений Эри 47, 148,215
Функция упрочнения 27
Центрально-симметричные задачи 336
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................ .... 3
Введение................................................... .... 4
Глава 1. Постановка задач и общие теоремы
§ 1. Основные уравнения теории упругости неоднородных тел . 8
1.1. Уравнения движения и равновесия, формулы Коши, условия
совместности (8). 1.2. Обобщенный закон Гука (9). 1.3. Потенци-
альная энергия деформаций. Область значений модулей упруго-
сти (11).
§ 2. Постановки краевых задач.................................13
2.1. Граничные и начальные условия (13). 2.2. Уравнения движения
и равновесия в перемещениях. Постановка задачи в перемещени-
ях (14). 2.3. Условия совместности для напряжений. Постановка
задачи в напряжениях (16). 2.4. Вариационное уравнение Лагран-
жа. Вариационная постановка задачи (17). 2.5. Некоторые частные
типы неоднородности упругих свойств (19).
§ 3. Приведение задач механики твердых деформируемых тел к зада
чам теории упругости неоднородных тел ... 21
3.1. Задачи термоупругости для тел, свойства которых зависят от
температуры (21). 3.2. Задачи линейной теории термовязкоупру-
гости (24). 3.3. Задачи теории малых упруго-пластических дефор-
маций (26).
§ 4. Простейшие задачи........................................28
4.1. Всестороннее равномерное сжатие тела произвольной формы
(28). 4.2. Растяжение призматического бруса (32). 4.3. Кручение
круглого вала (33). 4.4. Однородное напряженное состояние тела
произвольной формы (34).
§ 5. Общие теоремы............................................36
5.1. Теорема единственности (36). 5.2. Теорема взаимности Бет-
ти (38). 5.3. Тензор Грина (40). 5.4. Некоторые применения теоре-
мы взаимности (41).
§ 6. Общие методы решения.....................................47
6.1. Функции напряжений в теории упругости неоднородных тел
47). 6.2 Метод возмущений (49). 6.3. Тела с быстро осциллирую-
щими упругими свойствами (53).
Глава 2. Кручение и изгиб призматических тел
§ 7. Задача Сен-Венана для неоднородных брусьев .... 61
7.1. Постановка задачи (61). 7.2. Анализ напряженного состояния
бруса в задаче Сен-Венана (64). 7.3. Частные случаи задачи Сен-
366
Венана (72). 7.4. Задачи термоупругости для брусьев (75).
§ 8. Кручение неоднородных анизотропных призматических брусьев 82
8.1. Постановка задачи (82). 8.2. Функция кручения и функция
напряжений при кручении (88). 8.3. Кручение неоднородного орто-
тропного бруса прямоугольного сечения (91). 8.4. Кручение неодно-
родного цилиндрически-анизотропного бруса (97).
§ 9. Кручение неоднородных изотропных брусьев................102
9.1. Постановка задачи (102). 9.2. Теорема о циркуляции сдвиго-
вых деформаций (105). 9.3. Кручение бруса с мпогосвязным попе-
речным сечением (109). 9.4. Задача о кручении бруса в цилиндри-
ческой системе координат (111). 9.5. Оценки для жесткости при
кручении (112).
§ 10. Кручение неоднородных изотропных брусьев (задачи) . 119
10.1. Построение одного класса точных решений (119). 10.2. При-
меры точных решений (122). 10.3. Кручение неравномерно нагре-
того полого цилиндра (124).
§ 1-1. Растяжение и изгиб неоднородных брусьев...............130
11.1. Растяжение и изгиб моментами ортотропного бруса (130).
11.2. Изгиб ортотропного бруса поперечными силами (135). 11.3.
Изгиб консоли прямоугольного сечения (138). 11.4. Растяжение и
изгиб Цилиндрически-анизотропного бруса (141). 11.5. Растяжение
кругового цилиндра осевой силой (143). 11.6. Изгиб кругового
цилиндра (145).
Глава 3. Плоская задача
§ 12. Постановки краевых задач и функция напряжений в плоской
задаче . ............................................148
12.1. Плоская деформация (148). 12.2. Обобщенное плоское напря-
женное состояние (151). 12.3. Постановки основных краевых за-
дач (153). 12.4. Функция напряжений в плоской задаче (156).
12.5. Плоская задача для однородных тел, свойства которых за-
висят от температуры (159).
§ 13. Метод возмущений в плоской задаче......................164
13.1. Метод возмущений (164). 13.2. Метод возмущений в плоской
задаче термоупругости (167). 13.3. Сходимость метода возмущений
(172). 13.4. Оценка метода возмущений (175).
§ 14. Методы теории функций комплексного переменного 181
14.1. Основные уравнения и постановка краевых задач (181). 14.2.
Метод конформных отображений (187). 14.3. Метод последователь-
ных приближений (189). 14.4. Пример: растяжение круглой пла-
стинки (191). 14.5. Метод интегральных уравнений (194).
§ 15. Обратные и полуобратные методы в плоской задаче . . 201
15.1. Постановка обратных задач (201). 15.2. Обратные задачи для
неоднородных тел с постоянным коэффициентом Пуассона (205).
15.3. Решения некоторых обратных задач в прямоугольных коорди-
натах (208). 15.4. Решения некоторых обратных задач в полярных
координатах (210).
§ 16. Плоские задачи в полярных координатах..................214
16.1. Уравнения плоской задачи (214). 16.2. Радиальное распреде-
ление напряжений в клине и полуплоскости (216). 16.3. Задача
термоупругости для цилиндрического свода (223) .
§ 17. Плоские задачи в прямоугольных координатах 230
17.1. Деформация неограниченной плоскости (пластинки) (230).
17.2. Плоская задача для тел с быстро осциллирующими упруги-
ми свойствами (232). 17.3. Задача о растяжении полуплоскости
с быстро осциллирующими упругими свойствами (239). 17.4. Рас-
тяжение полосы с быстро осциллирующими упругими свойствами
(241). 17.5. Растяжение длинной полосы (242). 17.6.
367
Изгиб длинной полосы (247). 17.7. Полоса, неоднородная по вы-
соте (255).
Глава 4. Деформация тел вращения
§ 18. Основные уравнения и постановки задач.................258
18.1. Основные уравнения в цилиндриечской системе координат
(258). 18.2. Осесимметричные задачи о деформации тел вращения
(260). 18.3. Кручение тел вращения (264). 18.4. Простое растяже-
ние круглого цилиндра (267).
§ 19. Осесимметричные задачи о температурных напряжениях в телах
вращения, свойства которых зависят от температуры 271
19.1. Постановка задачи. Основные уравнения (271). 19.2. Метод
возмущений (274). 19.3. Термоупругие потенциалы (277). 19.4. Тем-
пературное поле (279).
§ 20. Деформация неоднородных цилиндров.....................280
20.1. Осесимметричная деформация толстостенного цилиндра под
внутренним давлением (280). 20.2. Температурные напряжения в
толстостенной трубе, свойства которой зависят от температуры
(282). 20.3. Анизотропный цилиндр при осесимметричной нагруз-
ке (287).
§ 21. Кручение неоднородных тел вращения....................289
21.1. Кручение цилиндрически-анизотропных неоднородных тел вра-
щения (289). 21.2. Решение системы уравнений кручения в форме
дифференциального и интегрального операторов (294). 21.3. Задача
о кручении полого кругового цилиндра со смешанными краевыми
условиями на боковых поверхностях в точной постановке (298).
21.4. Кручение полого цилиндра касательными усилиями, распре-
деленными по боковой поверхности (300).
Глава 5. Пространственные задачи
§ 22. Некоторые частные типы неоднородности упругих свойств 307
22.1. Одномерная неоднородность упругих свойств (307) 22.2. Кон-
струкция некоторых решений при одномерной неоднородности
свойств (313). 22.3. Неоднородное тело с постоянным модулем
сдвига (316).
§ 23. Пространство и полупространство.......................318
23.1. Произвольная неоднородность. Метод возмущении (318). 23.2.
Полупространство с одномерной неоднородностью свойств под
действием нормальных нагрузок на границе (320).
§ 24. Пространственные задачи для тел с быстро осциллирующими
упругими свойствами.........................................327
24.1. Деформация полупространства напряжениями на бесконеч-
ности (327). 24.2. Растяжение неоднородного полупространства
(330). 24.3. Деформация неоднородного слоя (333).
§ 25. Центрально-симметричные задачи........................336
25.1. Температурные напряжения в шаре, свойства которого зави-
сят от температуры (336). 25.2. Неограниченное пространство со
сферической полостью в нестационарном температурном поле (341).
25.3. Симметричная деформация неоднородного полого шара. Точ-
ное решение (353).
Список литературы....................................................358
Предметный указатель.................................................362