А. А. Кириллов
ТАК Е СЛ ?

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
А. А. КИРИЛЛОВ
ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛО?
МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР
НЕПРЕРЫВНОГО
МАТЕМАТ.ОБРАЗ.
Б.ВЛАСЬЕВСНИЙ.11
1241-05-00
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА
¦ ¦ «ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»
\Ш/|) ВО «НАУКА»
1993

ББК 22.132	Серия «Современная математпка для студентов»
издается с 1989 года
УДК 511.6
Серия «Современная математпка для студентов» выпускается
под общим руководством Правления Московского математического
общества. Главный редактор серии — Президент Московского ма-
математического общества академик С. П. Новиков
Кириллов А. А. Что такое число?—М.: Флзматлпт,
1993—80 с.— (Современная мат. для студентов; вып. 4).
ISBN 5-02-014942-3
Представляет расширенный вариант лекции, прочитанной на
заседании студенческого лектория Московского математического
общества.
Основная цель — показать, какой смысл придается понятию
числа в современной математике. Изложены основные понятия
/з-адического и нестандартного анализа, объяснено, что такое ква-
кватернион и числа Кэли. Изложение подводит читателя к понятию
алгебр фон Неймана, а также к идее «суперматематики» — исчис-
исчисления антикоммутпрующих переменных.
Для студентов, аспирантов и научных работников, интере-
интересующихся приложениями математики.
Ил. 6.
„ 1602030000—010 „„ ,п .(, о9 —
	053@2) Q3	КБ—40—16—92 © д. А. Кириллов, 1993
ISBN 5-02-014942-3

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 		4
Глава 1. Цепочка \cZc(jc RcCc НсО ...	5
§ 1. ит Л к Z и от Z к Q: группа Грптендпка, тела Ли н
производи ие категории		5
§ 2. От Q к R: идея пополнения, р-адические числа и
адслп		11
§ 3. От Q к R: идея порядка; нестандартный анализ ...	22
§ 4. От R к С, II и О: алгебры Клиффорда, уравнение
Дпрака и проективная плоскость над полем из двух
элемянтов .		28
Глава 2. Другие парпаитм чисел . 		34
§ 5. Матрицы в роли чисел		35
§ С. Непрерывные матрицы п факторы фон Heihiana . .	46
§ 7. Что такое с упер симметрия?		58
§ 8. Решеточное дпффоренцпалыше и интегральное ис-
исчисление 	,	.j,	69
Цитированная лптература		78

ПРЕДИСЛОВИЕ
Жили вятские мужпкп плохо,
но этого не ицалн... 11 думали,
что живут хорошо, по хужо
других.
В. Нрупин. Живая вода
Когда школьник впервые знакомится с математикой,
ему говорят, что это — наука о числах и геометрических
фигурах. Вузовский курс математики обычно начинается
с аналитической геометрии, основная цель которой —
выразить геометрические понятия на языке чисел. Таким
образом, получается, что числа —¦ это единственный пред-
предмет изучения в математике.
Правда, если вы откроете современный научный жур-
журнал и попробуете прочитать какую-нибудь статью по ма-
математике, то вполне вероятно, что вы не встретите в этой
статье ни одпого числа «в чистом виде». Вместо них речь
идет о множествах, функциях, операторах, категориях,
мотивах и т. д. Однако, во-первых, почти все эти понятия
так или иначе опираются на понятие чпсла, а во-вторых,
конечный результат любой математической теории, как
правило, выражается на языке чисел.
Поэтому мне кажется небесполезным обсудить со сту-
студентами-математиками вопрос, поставленный в заго-
заголовке этой книги.
Разумеется, одно только описание исторического раз-
развития понятия числа или обсуждение его философского
смысла требует много времени и места. Об этом уже на-
написано немало толстых книг. Моя цель более проста и
конкретна — показать, какой смысл придается понятию
числа в современной математике, рассказать о задачах,
которые возникают в связи с разным пониманием чисел,
и о том, как эти задачи решаются. Конечно, в каждом
случае я смогу лишь кратко описать самые начала соот-
соответствующей теории. Для тех читателей, которые захотят
разобраться в ней подробнее, я указываю подходящую
литературу.
Надеюсь, что мой рассказ поможет изучающим мате-
математику ориентироваться в ее богатом, красивом и слож-
сложном мире.

Глава 1. ЦЕПОЧКА NcZcQcRcCcDcO
Эту цепочку последовательных расширений ггонятия
числа (или по крайней мере первые 4—6 членов ее) вы
хорошо знаете. Символы, составляющие цепочку, стали
сейчас стандартными обозначениями соответственно для
множеств натуральных, целых, рациональных, вещест-
вещественных, комплексных чисел, кватернионов и октонионов
(последние называются также октавами пли числами
Кэлп).
Я хочу обсудить здесь переходы от одного звена цепоч-
цепочки к следующему п показать, что идеи, лежащие в основе
этих переходов, работают и в других, шгогда очень не-
<>ятданиы\ п красивых теориях.
§ 1. От N к Z и от Z к Q: группа Гротендика, тела Ли
п производные категории
Мы подтянем себя до псиес за
шнурки от ботинок.
Ж. П. Серр. Локальная алгебра
и теория кратностей
Натуральные числа можно складывать, но не всегда
можно вычитать; целые числа можно умножать, но не
всегда можно делить. Стремление обойти эти неудобства,
по существу, и вызвало переход от натуральных чисел
к целым и от целых к рациональным.
Напомним, как совершаются эти переходы. Если мы
хотим вычесть натуральное число т из натурального чис-
числа п, то в случае т^ п ответ не может быть натуральным
числом. Обозначил! его временно символом п О т. Если
мы хотим, чтобы в расширенном множестве чисел выпол-
выполнялись привычные нам аксиомы сложения, то мы должны
будем отождествить п © т со всеми выражениями (п -\-
4- к) О (т -\~ к), к е N, а также с выражениями вида
5

(п — к) 0 (та — к), 1 ^ к <mm (га, п). Другими сло-
словами, символы щ 0 тг и п2 0 та2 отождествляются, если
щ -\- та2 — и2 -\- тг.
Рассмотрим теперь всевозможные выражения вида
п © та, п, та e N, с указанным законом отождествления.
Их можно не только складывать (покомпонентно), но и
вычитать по правилу
пу © ml — п, © m.z ~ (п, + та3) © (п2 f mt).
Например, 0 0 0 — m Q п = п Q тп. Можно прове-
проверить, что классы эквивалснтпостн образуют группу по
сложению. Сделайте это самостоятельно (это упражнение
предназначается тем, кто только начинает осваивать по-
понятие группы). Довольно просто установить, что полу-
полученная группа изоморфна Z: при та >п символы (та +
- - к) © (п + к) отождествляются г натуральным чис-
числом та — п, при та = п — с нулем, а при m <Cn — с отри-
отрицательным числом тп — п.
Процедура построения мультипликативной группы Q*
ненулевых рацпональшях чисел исходя из полугруппы
Z \{0} полностью аналогична: мы рассматриваем формаль-
формальные символы m : n, где та, neZ ч{0}, и отождествляем
7»! : пг с та2 : и2, если иг,??.; = та2«1. Ясно, что класс экви-
валентности символа m : n можно отождествить с рацио-
рациональным числом г = ?п 'п.
Более интересный пример. Рассмотрим совокупность
всех конечных групп Г. Если Тг — нормальный делитель
it Г и Г2 — факторгруппа Г 1\, то естественно считать,
что Г «делится» на Т1 и «частное» равно Г2. Попробуем
из этого материала построить коммутативную групппу <3.
Групповой закон в @ мы обозначим знаком «-J-» (ад-
(аддитивная запись). Пусть [Г] обозначает класс конечных
групп, изоморфных группе. Г. По определению © порож-
порождается всеми символами [Г] с соотношениями
[Г] = [Г,] + [Г81,
если Г! — нормальный делитель в Г, а Г2 = Г"Г\.
Это значит, что элементом группы © является класс
эквивалентности выражений вида
Щ ¦ [Г,] +п2 • [Гя] + .- +nh ¦ ITU	A)
где П[ е Z, а Гг — конечные группы. Справедлива
Теорема 1. Группа @ — свободная абелева группа
со счетным числом образующих. В качестве этих образую-
образующих можно выбрать классы [Г], где Г — либо циклическая

группа Цр простого порядка р, либо простая конечная
группа.
Таким образом, каждое выражение вида A) можно за-
заменить ровно одним эквивалентным ему выражением то-
того же вида, в котором Г,- принадлежат списку групп,
указанному в теореме.
Задача 1. Покажите, что в группе © классы [Це]
и [S3] определяют один и тот же элемент [Ц2\ + UCK
хотя группы Zfe и Ss не изоморфны.
Задача 2. Выразить через образующие следующие
элементы группы ©:
a)	[Z(n], n — составное число;
b)	[Sn], где Sn — группа перестановок п элементов;
c)	[Т(п, Fq)], где Т(п, Fq)— группа обратимых верх-
верхних треугольных матриц порядка п с элементами из ко-
конечного поля Fq, содержащего q элементов.
Во всех рассмотренных случаях мы строили группу по
ОДПОА1У и тому же принципу, вводя дополнительные эле-
элементы (отрицательные числа, дроби, формальные линей-
линейные комбинации и т. п.) и разбивая полученное множество
па классы эквивалентности.
Наиболее общим выражением описанного принципа до
последнего времени считалось понятие группы Г pome иди-
ка, ©(.7/), определенное для любой малой аддитивной ка-
категории Ж (см. [Э], т. 1)*). Эта группа по определению
коммутативна и порождается классами эквивалентности
объектов категории с соотношениями [А ] = [В] + [С],
где В — подобъект А, а С — соответствующий фактор-
объект. Например, построенная выше группа ©является
группой Гротендика категории конечных групп.
Задача 3. Показать, что для категории всех счет-
счетных абелевых групп с конечным числом образующих
группа Гротенднка @ изоморфна Z.
Одно из самых ярких применений этой конструкции —
так называемая /Г-теория, где исходным материалом
для построения группы служит категория векторных рас-
расслоений над заданным гладким многообразием. Подроб-
Подробное изложение этой молодой, но уже заслуженной теории
см. в [X], [А].
*) К сожалению, понятпе категории не входит в программу
университетского Kjpca, хотя в современной математике оно играет
не меньшую роль, чем понятие множества. Первоначальные сведе-
сведения о категориях приводятся в [К] и [КГ], а более подробные —
в [Г], [КЭБ] п [ГМ].

Возможно, однако, дальнейшее обобщение, в котором
вводимая операция некоммутативна.
Пример. Пусть s& означает алгебру с единицей над
полем С, порожденную элементами р и q с соотношением
ГЧ — ЧР z 1- ^ТУ алгебру удобно реализовать л виде
алгебры дифференциальных операторов па прямой с поли-
полиномиальными ко;>ффтщне1памп: образующим р и q соот-
соответствуют операторы дифференцирования -j— и умпоже-
ния на х.
Задача 4. Докажите, что в s4- нет делителей пуля,
т. е. из ab = 0 следует, что пли а = 0 или 6 = 0.
Назовем правой дробью выражение вида аЬ~л и левой
дробью выражение вида Ь~га, где а, Ъ е М- и Ь Ф 0.
Скажем, что левая дробь с~г& эквивалентна правой
дроби аЪ'1, если са = db. Две левые (соответственно пра-
правые) дроби будем считать эквивалентными, "если они
эквивалентны в указанном выше смысле одной и той же
правой (соответственно левой) дроби. Имеет место за-
мечательпая
Теорема 2. В каждом классе эквивалентности есть
и правые и левые дроби. В любых двух классах найдутся ле-
левые (соответственно правые) дроби с общим знаме-
знаменателем.
Доказательство теоремы без труда выводится из сле-
следующего факта, представляющего самостоятельный
интерес.
Лемма. Для любых двух ненулевых элементов из S&
существует ненулевое общее левое (правое) кратное.
Доказательство. Пусть Ln означает подпрост-
подпространство в $Ф, состоящее из всех элементов, которые мож-
можно записать в виде многочлена степени ^п от образую-
образующих р и q. Легко проверить, что dim Ln -o(n ,1)('г + 2).
Пусть а и Ъ принадлежат Lm. Тогда пространства Lna
п Lnb содержатся л Ьп+Щ*). При достаточно большом п
будет справедливо неравенство dim Lna -f- dim Lnb >
> dim Ln+m. Поэтому Lna и Lnb имеют общий ненулевой
элемент, который и будет общим левым кратным а и Ъ.
Задача 5. Найти общее левое кратное рп и qn.
*) Мы обозначаем Lna множество всех элементов вида ха, х е
е Ln. Вообще, есчи А и В — множества, а * — некоторая опера-
операция над элементами этпх множеств, то символом А * В означают
множество всех элементов вида а * Ь, где а е А, Ь е В.

Теорема i позволяет определить для алгебры s4- тело
отношений D. А именно, классы эквивалентности дробей
можно складывать, вычитать и делить по правилам
пуЬ ± а2Ъ~х — (а1 ± а,) Ь~1; аф~^: а2Ъ~~1 = а1а7'1.
Умножение на дробь аЪ~х можно определить кик деле-
деление па обратную дробь Ъа'х.
Построение тела D, описанное здесь, допускает обоб-
обобщения.
Прежде всего, можно в качестве исходной алгебры
взять алгебру S&n, порожденную п парами образующих
Pi, qt. с соотношениями
Pilj — 4jPi = fiiy. PiPi — PiPi = (Mi — Чйл =* 0- B)
Соответствующее тело отпошеннй обозначается Dn.
Более существенное обобщение получается следующим
образом. Рассмотрим ассоциативную алгебру s&, порож-
порожденную образующими х1л эс2, ..., хП1 которые удовлетво-
удовлетворяют соотношениям специального вида
xixj — XjXi - 2 сужь, 1 < i. ] < n,	C)
h
где Cij — некоторые константы.
Левая часть равенства C) называется коммутатором
элементов xt и Xj н обозначается [xt, x}].
Задача 6. Докажите, что в ассоциативной алгебре
операция коммутирования удовлетворяет тождеству
[[*, у], г\ + [[у, z], x] + [[z, х], у] = 0, D)
которое называется тождеством Якоби.
Здесь уместно сообщить (или напомнить) читателю,
что линейное пространство, снабжепное билинейной косо-
симметричной операцией, удовлетворяющей тождеству
Якоби, пазывается алгеброй Ли. Название это связано
с группами Ли, о которых еще пойдет речь ниже.
Вернемся к нашей ассоциативной алгебре s&. Предпо-
Предположим, что образующие хи х2, ..., хп линейно независи-
независимы. Тогда, как легко выводится из утверждения задачи 6,
константы су обладают свойством
+ C)hCsx f ChiCsj) = °-	E)
В этом случае линейное пространство g, натянутое на
образующие х1, х2, ..., хп, будет алгеброй Ли, а ассо-
ассоциативная алгебра .я? — ее так называемой универсалъ-
9

ной обертывающей алгеброй или ассоциативной оболоч-
оболочкой. Обычно она обозначается ?/(ij). Замечательно, что
утверждения леммы и теоремы 1 остаются в силе для
алгебры U(q). Тем самым они дают возможность опреде-
определить тело отношений этой алгебры, которое называется
телом Ли и обозначается D($).
Изучение тел Dn н D(§) составляет один из наиболее
интересных разделов нового направления в математике,
которое можно назвать некоммутативной алгебраической
геометрией (см. 1К] и [ГК]).
В заключение этого раздела приведем здесь два про-
простых с виду вопроса о структуре алгебры <s$, ответ на
которые до сих пор неизвестен.
1. Разрешимо лн в алгебре М- уравнение Ферма
Хп + Yn = Zn?	F)
(Разумеется, имеются в виду нетривиальные решения,
когда X, Y и Z не пропорциональны одному мпогочлс-
ну Р.)
Известно, что в алгебре gr ЗФ = © LniLn^.1^.C[p, q]
уравнение F) не имеет нетривиальных решений при
/г>2. В работе [Д] приведен пример нетривиального
решения уравнения ((>) при п = 3.
Задача 7. Найти общее решение уравнения @) в
алгебре многочленов для п = 2.
2. Пусть Р е s& и Q e S& обладают свойством
PQ — QP = 1.	G)
Тогда отображение ф: р <-*¦ Р, д >-*¦ Q задает эндоморфизм
алгебры S& в себя. Верно ли, что это — изоморфизм?
(Другими словами, верно ли, что ф обратимо?)
«Коммутативный аналог» этого вопроса также не ре-
решен. Это так называемая проблема детерминанта. Ее точ-
точная формулировка такова.
Пусть Р(х, у) п Q{x, у)— два многочлена со свойством
дР/di dQIdx I .
ОРЮу OQIOy\
Верно ли, что полиномиальное отображение ф: {х, у) ¦—
I-* (Р, Q) допускает полиномиальное обратное отобра-
отображение?
В этом же русле идей находится понятие производной
категории, которое неожиданно оказалось эффективным
средством решения трудных конкретных задач из разных
10

областей математики. Идея перехода к производной ка-
категории довольно проста и напоминает одновременно по-
построение группы Гротендпка и построение тела частных
некоммутативной алгебры. Ввиду недостатка места и ком-
компетентности, автор адресует читателя к недавней кнпге
[ГМ] по поводу дальнейших сведений о производных ка-
категориях и их применении.
Ответы и указания к задачам
1.	В обеих группах есть нормальная подгруппа, изоморф-
изоморфная Ц3.
2.	а) [Цп\ ^2ah[^!ib]' сслп n = T\phk~ разложение п
h	h
на простые множители; б) [S2] = [Ц2], [S3] = \Ц2] + Щ3],
lSt] -= ЗЩг] ." Ш-.,], Шп] = [Цг] [AJ при п > 5 (.здесь Ап-
простая группа порядка н!/2, состоящая пз четны* перестановок
п элементов); с) если q - рт, р простое и q—1 =ТТ p°h— раз-
h
1
ложение па простые лножптелн, то \Т (п, ?Л] — т^пш (п — I) [Ц^] +
2
h
3.	В качестве ofipa.ijющего элемента 1рунпы © ложно взять
класс [Z].
4.	Введите для элементов пл si поннтпс старшего члена таким
образом, чтобы выполнялись условия: а) старший член элемента
я е Ln — это однородный многочлен степени и от «ооычных» (ком-
(коммутативных) переменных р п q\ Ъ) CTapnniii член проилведенпя ра-
равен произведению старших членов.
5	V	P
°- Bл)! п\ — Z* И (и — к)\ (н 4- k)l p ¦
/1=0
7. Ответ: X -= (Л2 - В")С, У = 2AUC, Z - (А2 , В2)С где
А, В и С — произвольные многочлены.
§ 2. От Q к It: идея пополнения,
р-адическне числа и аделп
В той области, гдг центра нет,
Где центром служит каждый
пункт случайный...
А. К. Тагтой. Дпн Жуан
1. Вещественные числа получаются из рациональных с
помощью процедуры пополнения. Эта процедура примени-
применима к любому метрическому пространству, т. е. множест-
11

ву, в котором определены расстояния между точкалга. Точ-
Точные определения н формулировки теорем (входящие в
обязательный курс функционального анализа для мате-
математических факультетов папшх университетов) можно по-
посмотреть в [КГ] или [КФ].
Вместо этого зададимся «крамольным» вопросом: а на-
насколько естественпо определено обычное расстояние меж-
между рациональными числами
rffa. гг) = ki — га|;	A)
нет ли других способов описания «близости» между ни-
ними? Оказывается есть! Вот пример. Выберем простое чис-
число р. Как известно, любое рациональное число г одпо-
зпачпо записывается в виде г = р —, где к е Z, а
несократимая дробь, числитель и знаменатель которой
взапмпо просты с р. Величина p~h называется р-адической
нормой числа г п обозначается |г||р. Можно проверить,
что расстояние, определеипое формулой
dpfa. гг) =\гг — г2\\г,	B)
обладает многими привычными нам свойствами обычного
расстояния A), например, оно удовлетворяет аксиоме
треугольника:
ЛР(гг, r2) + dj,(r2, rs) > dp(rxi rs).
В то же время есть и отличия. Так, в смысле расстоя-
расстояния dp все треугольники равнобедренны, причем длина
основания не превосходит длпны боковой стороны (про-
(проверьте!). Пространства с таким свойством называют улътп-
раметприческим и.
Задача 1. Покажите, что в ультраметрическом про-
пространстве справедлив следующий простой призпак схо-
сходимости: ряд 21 хп сходится тогда и только тогда, когда
его общий член хп стремится к нулю.
Еще одно отличие р-адпческого расстояния от обыч-
обычного состоит в том, что целые числа образуют ограничен-
ограниченное множество диаметра 1. Если применить к этому мно-
множеству процедуру пополнения, мы получим компакт, ко-
который обозначается О;). Элементы О7 называются целыми
р-адическими числами. Они допускают удобную запись
в виде бесконечнозначных чисел в р-жчиой системе счис-
счисления. А именно, целое р-адическое число а однозначно
записывается в виде бесконечной влево последователь-
12

ности
oi 0 ^ о ^ р — 1.	C)
Эту запись можно понимать как сумму сходящегося ряда
«о + o-iP + я2ра + ... + апрп + •••	D)
В самом деле, ||апрп[| *SCp~7\ так что члены ряда D)
стремятся к нулю и согласно критерию из задачи 1 ряд
сходится.
Задача 2. Построить взаимно однозначное и взаим-
по непрерывное отображение Ор на канторово множество.
Целые р-адические числа образуют кольцо: их мож-
можно складывать, вычитать и перемножать. Однако в отли-
отличие от Z в Ор нет никакого естественного порядка. По-
Понятия положительного и отрицательного числа в Ор не
имеют смысла. Это видно, например, из того, что мно-
множество N натуральных чисел плотно в Ор. (Проверьте,
что —1 = lim (рп — 1) при п -> оо.)
Тем не менее для целых р-адических чисел можно
определить аналог функции «сигнум», принимающий р
различных значений.
Напомним, что обычный сигнум
1, если х^О,
sgn х = 0, если х = О,
. —1, если
можно на отрезке [—1, 1] приблизить функцией хг, где
е — малое рациональное число (с нечетным знаменате-
знаменателем, чтобы обеспечить вещественность хъ при отрицатель-
пых х). В р-адической ситуации нужно вместо малого е
взять рп с большим п.
Теорема. Для любого а е Ор существует предел
\лтар при п-^оо. Он обозначается щщ, а и обладает
свойствами:
a)	sgnp (ab) = sgn;) а • sgn;) Ь;
b)	sgn;, а зависит лишь от последней цифры а0 числа
а в записи C);
c)	sgn;) а = 0, если а0 = 0, и является корнем (р — 1)-й
степени из 1, если а0 Ф 0.
Таким образом, на р-адпческой прялюй можпо дви-
двигаться в р — 1 различных направлениях.
Для доказательства теоремы полезна
Лемма. Если 0<rf;,(a, Ь)<1, та A,,{ар, ЬР) <
d(a, Ъ).
13

В отлпчпе от обычпых целых чисел многие целые р-
адические числа обратимы. А именно, если sgn7, а <Ф О,
той — также целое р-адическое число. В частности, все
рациональные числа со знаменателем, взаимно простым
с р, являются целыми р-адическпмп числами.
Задача 3. Покажите, что число впда C) рацио-
рационально тогда и только тогда, когда последовательность
{ап} периодична, начиная с некоторого места.
Если процедуру пополнения по расстоянию B) при-
применить не к Z, а к Q, то мы получим множество всех (не
обязательно целых) р-адических чисел. Оно обозначает-
обозначается Qp. Его элементы удобно записывать в виде бесконеч-
бесконечных влево р-ичных дробей:
а = ... ап ... g2gigo' a-i ••¦ a-h-	E)
Мы видим, что всякое р-адическое число имеет вид
а-р~к, где а <= Qp.
Правила арифметических действий с р-адическими чис-
числами очень похожи па правила действий с обычными де-
десятичными дробями, но с одним дополнительным принци-
принципом: все вычисления надо проводить, начиная с послед-
последней цифры.
Вот пример вычислений в Q5:
...123123123	...123123123	...123123123
+	-.	X
...010101010,1	...010101010,1	...010101010,1
...133224133,1 = ...113022112,4	...312312312,3
...231231230
...123123000
...312300000
...210022042,3
Фактически, здесь записаны некоторые соотношения меж-
между рациональными числами. Какими?)
Вот более сложный пример
^i = /...44444 = sgn 2 = lim 25" = ... 212.
П->оо
Задача 4. Как по р-адической записи рациональ-
рационального числа г узнать, положительно г или отрицательно?
2. В множестве Q,, р-адических чисел определены все
операции алгебры п анализа — А арифметических дейст-
действия и предельный переход. Это позволяет перенести на
р-адический случай почти весь материал, изучаемый на
14

младших курсах университетов. Некоторые теоремы при
этом переносятся дословно, другие приходится корректи-
корректировать, а третьи заменять совсем непохожими (и даже
противоположными) утверждениями.
Например, естественным аналогом отрезка [0, 1],
излюбленного объекта веществешюго анализа, служит
множество Ор. Этот «р-адпческлй отрезок» так же, как
и обычный, является шаром, т. е. множеством точек, уда-
удаленных от некоторой точки с (центра шара) на расстоя-
расстояние не более г (радиус шара)*). Кроме того, он является
компактом и, следовательно, обладает всеми свойствами
обычного отрезка, вытекающими из его компактности (см.
[КГ] или [КФ]).
Задача 5. Докажите, что всякая непрерывная
функция на Ор со зпачениямп в О7, равномерно прибли-
приближается многочленами с коэффициентами из Ov.
Задача 6. Рассмотрим отображение ср: Ор -> R,
которое переводит р-адпческое число а вида E) в вещест-
вещественное число ф (а) = 2 ahP~ ¦ (Таким образом, р-ичная
запись числа ср(я) получается из р-ичной записи числа а
операцией «отражения относительно запятой».) Дока-
Докажите, что ф непрерывно, отображает Qp иа множество
R+ неотрицательных вещественных чисел, а множество
Ор — на отрезок [О, 1].
Может показаться, что отображение ф: Qp -> R+
взаимпо однозначно и взаимно непрерывно. Однако это
не так ввиду неоднозначности р-ичпой записи веществен-
вещественных чисел! Заметим также, что ограничение ф на Ор тес-
тесно связано с так называемой «канторовой лестницей»
(см. [КГ]).
Тем, кто заинтересовался р-адическим анализом, я ре-
рекомендую самостоятельно подумать над р-адическпми
аналогами:
a)	сигнатуры квадратичной формы;
b)	экспоненты и логарифма;
c)	преобразования Фурье;
d)	Г-функции и В-функции Эйлера.
Дополнительный материал па эту тему вы можете иайти
в [К], [КГ], [Ко].
Основные приложения р-адпческого анализа до сих
пор относились к теории чисел. На этом языке удобно
формулировать разные вопросы делимости и сравнений по
*) Однако, в отличие от обычного отрезка, роль центра в Ор
играет любая его точка.' Не это ли имел в виду А. К. Толстой?
15

целому модулю. Однако в последнее время все более мно-
многочисленны попытки использовать р-адическнй анализ в
современной математической фи.чпке. Некоторые ни этих
попыток основаны лишь на принципе, что любая матема-
математическая конструкция должна иметь физический смысл
(причем чем проще п красивее конструкция, телг фунда-
фундаментальнее ее фнзпческнй смысл). Другие, по существу,
идут «от противного»: если обычного анализа недостаточно
для современной физики, попробуем р-адический. Нако-
Наконец, есть еще одно важное соображение, для которого
можно искать физическую интерпретацию. Оно состоит
в том, что обычное вещественное поле R вместе с полямп
Qp для всех простых чисел р можно объединить вместе
в один красивый объект: кольцо аделей А.
Элементами А являются по определению последова-
последовательности вида
а = (ах, а2, а3, а5, ..., ар, ...),	F)
где aw e R, яр е Qp, причем для почти всех р (т. е. всех,
за исключением конечного числа) ар е Ор. Арифмети-
Арифметические операции и предельный переход для аделей опре-
определяются покомпонентно. На адели переносится весь
аппарат алгебры и анализа. Замечательно, что при этом
«адельные» теоремы связывают воедино вещественные и
р-адические факты. Например, многие элементарные и
специальные функции, встречающиеся в математике и
в математической физике, имеют интересные р-адические
и адельные аналоги. Я расскажу здесь лишь о двух при-
примерах таких аналогов.
3. Числа Тамагавы. Обратимые элементы кольца А
называются иделями. Нормой иделя а е А* называется
число
р
Это бесконечное произведение на самом деле сводится к
конечному, так как почти все сомножители равны 1. За-
Заметим теперь, что поле Q вкладывается в кольцо А: ра-
рациональному числу г соответствует адель г = (г, г, г, ...),
где г на первом месте рассматривается как вещественное
число, на втором — как 2-адическое, на третьем — как
3-адическое и т. д.
Адели вида г, reQ, называются главными. Ясно, что
если г =5^= 0, то главный адель г обратим. Более того,
имеет место замечательное соотношение.
16

Задача 7. Докажите, что адельпая норма главно-
главного аделя г при г -ф 0 равна 1.
Пусть теперь М — гладкое алгебраическое многообра-
многообразие, определенное над полем Q (т. е. задаваемое системой
алгебраических уравнений с коэффициентами нз Q). Тог-
Тогда имеет смысл говорить о точках М над любым кольцом
К, содержащим Q. Обозначим Мк множество точек М
над К. Если К = R, то, как известно из курса анализа,
по каждой дифференциальной форме старшей степени на
М можно определить меру цк па Мк. При этом если фор-
форма умножается на рациональное число г, то мера \in
умножается на |г|.
Оказывается, эту конструкцию можпо обобщить и на
случай К = Qp или А. Прп этом если форма умножается
на г, то мера u.Q умножается на ||г||р, а мера цд— па
И = 1.
Предположим теперь, что на М естественно выделяет-
выделяется класс форм старшей степени, определенных с точностью
до рационального множителя. Например, если многооб-
многообразие М однородно (т. е. на нем действует достаточно
большая группа преобразований, способная перевести
любую точку М в любую другую), то ппварпантная ра-
рациональная дифференциальная форма старшей степени,
если она существует, определяется однозначно с точ-
точностью до умножепия на рациональное число. Таким об-
образом, соответствующая адельная инвариантная мера цА
определена однозначпо. Она называется мерой Тамагавы.
Важным примером описанной ситуации являются мно-
многообразия М = Ga/Gq, где G — алгебраическая группа.
Интеграл меры цА по многообразию М в этом случае на-
называется числом Тамагавы группы G и является очень
интересной характеристикой этой группы. Можно пока-
показать, что число Тамагавы %(G) для широкого класса групп
G равно произведению вещественного объема многообра-
многообразия GR/GZ и р-адическик объемов многообразий GQ .
Тем более удивительно, что x(G) обычно оказывается очень
простой конста.нтой, чаще всего единицей. Разберем для
иллюстрации два простейших примера.
Пусть сначала G — аддитивная группа поля, так что
GK= К. Инвариантная форма равна dx, а соответствую-
соответствующая мера и, — это обычная мера Лебега Цд на R, или ме-
мера \ip на Qp, принимающая значение г на шаре радиуса г,
или мера цА на А, которая является пропзведепием меры
2 а, а, Кириллов	17

^iR ii всех мер цр. В dtom случае все объемы, о которых
говорилось выше, равны 1. В самом деле, GRlGz отож-
отождествляется с единичным отрезком, a Go — с /ьади-
ческнм отрезком Ор.
Теперь в качестве G позьмсм окружность па плоскости,
задаваемую уравнением х1 - у" — 1. Групповая опера-
операция определяется1 отождествлением точки (х, у) либо с
комплексным числом х -\- iy, либо с матрицей
Инвариантная форма пмеет вид dx/y = —dy/x. Простран-
Пространство GR/GZ в этом случае почучается факторизацией ве-
йх
ществешюй окружности со стандартной мерой ,/-
V 1 — х"
по подгруппе Ц±. Его объем равен 2я: 4 == л/2.
Пространство Go — <ф-адпческая окружность» —
устроено по-разному в зависимости от вычета р mod 4.
Задача 8. Докажите, что /ьаднчеокая окружность
состоит из:
a)	четырех непересекающихся шаров радпуса 1/4,
если р = 2;
b)	р — 1 шаров радпуса р~г, если р = 1 mod 4;
c)	р -{- 1 шаров радиуса р~г, если р = —1 mod 4.
Таким образом, число Тамагавы и в этом случае рав-
равно 1, так как
п о-*-1)-1- п а+р-чг^
p=4ft+l	p=4ft— I
= 1 - 1/3 + 1/5 — 1/7 + ... = я/4.
(Первое равенство проверяется непосредственно с по-
оо
мощью тождества (l — р1I = S P~hi а второе доказы-
fe=O
вается в курсе анализа.)
Наиболее подготовленным читателям можно попы-
попытаться решить более сложную задачу.
Задача 9. Вычислите число Тамагавы для трех-
трехмерной сферы S3, групповая структура на которой возни-
возникает при отождествлении Ss с множеством кватернионов
едиинчиой нормы (см. ниже § 4).
4. р-аднческая ?-функция. Классическая ^-функция
Рнмапа определяется как сумма ряда
2«-S,	G)
я- 1
18

который сходится при Res >1. Мы увидим сейчас, что
эта функция может быть аналитически продолжена па
всю комплексную плоскость и что ее значения в целых
отрицательных точках имеют очень интересные арифме-
арифметические свойства. Для этого иал1 понадобятся элемепты
комплексного анализа (понятие голоморфной функции
и аналитического продолжения, теорема Кошп о вычетах,
свойства элементарных функций).
Рассмотрим интеграл
/П Г 2* dz
J ег— 1 2
по контуру С, показанному на рнс. 1.
Здесь под 2s понимается величина exp (s(ln |z| f
+ i arg z)), где 0<argz<2n. Таким образом, под-
подынтегральное выражение гололюрфно по s и по z при всех
с
— 	е		\
Рис. 1
s и при всех z, кроме точек луча [0, оо]. Интеграл схо-
сходится при всех seC и определяет голоморфную функ-
функцию /(*) на всей плоскости С.
Вычислим этот интеграл двумя способами. Во-первых,
стягивая контур С к дважды проходимому лучу [0, оо),
мы получаем, что при Re s > 1 (при этом условии схо-
сходится интеграл в правой части)
Далее, так как
_ — пх
= 7, е
(формула суммы геометрической прогрессии) и
ОО
f x'-h-^dx - п Т (S)
о
(заменой у----пх сводится к определению Г-фупьцнп),
мы почучаем
I(s) = A — е2л{')Г(«)^) при Re s > 1.	(8)
2*	19

Это равенство показывает, что ?(s) голоморфно продол-
продолжается на всю комплексную плоскость, за исключением
точки s = 1.
Во-вторых, при Re s <0 мы можем дополнить контур
С контуром CN (рпс. 2), интеграл по которому стремится
V-M)
<:
Рпс. 2
к 0 при N -*¦ оо, и вычислить полученный интеграл с по-
помощью вычетов.
Получим
/ (s) = 2ж 2 Bnin)s~1.
Вспоминая определение zs и ?(s), имеем
I(s) = BяM enis/"{l — е™8)г;A — s) при Re s <1. (9)
Наконец, сравнивая (8) и (9), приходим к равенству
2 cos (jw'2)I»E(s) = Bл)$Ц1 - s),
откуда, в частности, при s = 2к, к е N следует, что
?A - 2ft) = (-1)"B/,; - 1)!21-2*я-2ЧBЛ).	A0)
Оказывается, правая часть в A0)— рациональное чис-
число! Чтобы убедиться в этом, нам понадобятся некоторые
элементарные сведения о многочленах и числах Бернулли.
Рассмотрим функцию fk(z), задаваемую суммой ряда
„Uninx
(И)
20

Этот ряд сходится в обычном смысле при Л^2и его сум-
сумма является периодической функцией х с периодом 1.
(При к = 1 ряд сходится условно, если х — не целое
число.) Окалывается, эта функция на интервале @, 1)
совпадает с некоторым многочленом степени к:
h(x) = -Bh(x)/k\	A2)
Многочлены Bh(x) называются многочленами Бернулли.
Их можно определить условиями:
a)	Я0(з) = 1;
b)	В'и{х) = кВ^г{х);
c)	\ Bh (x) dx = 0 при к > 1 *).
о
Величины Bh@) обозначаются просто Bh и называются
числами Бернулли. Легко убедиться, что все они рацио-
рациональны и что i?2ft-i = 0 при к >1. Из A1) и A2) выте-
вытекает, что
Ц2к) = Bnifhf2h@) = -Bni)zhB2h/Bk)l
п, следовательно, в силу A0)
?A - 2ft) = -Bj2k.	A3)
Имеет место замечатсльпая
Теорема (сравнения Куммера). Если р — 1 не де-
делит, к, то:
a)	|?JP<1;
b)	при к = т mod (p — \)р справедливо сравнение
A - ри)Вь1к = A - pm)BJm mod pN+1.	A4)
Определим р-адпческую ^-функцию ?,,(&) формулой
?,(*) = A - Р^Ш! - *)•	A5)
Ил сравнений Куммера вытекает, что функция ?P(fc)
равномерно пепрерылна на каждом множестве Ма вида
а + (р — 1)N, а = 1, 2, ..., р —^2. Поэтому она продол-
продолжается по непрерывности на пополнение Ма, совпадаю-
совпадающее с Ог,. Кульминацией всей этой красивой теории Ку-
боты — Леопольдта является интегральное представле-
представление продолженной функции, которое является р-ади-
ческич аналогом формулы (8)
*) Доказательство равенства A2) проще всего получить с по-
помощью теории обобщенпых функций (см. [КГ]).
21

где (.i — некоторая мера на О/м сосредоточенная на мно-
множестве обратимых чисел. Подробности теории Куботы —
Леопольдта читатель может найти в [Ко].
Помимо теоретико-числовых и возможных физических
приложений, наличие полей Q,, существенно расширяет
кругозор п интуицию математиков. В принципе для любе-
го определения, теоремы, формулы можно поставить во-
вопрос: а какой у этого факта /ьадпческий аналог? Нередко
сама возможность постановки такого вопроса позволяет
лучше понять исходную ситуацию. Стоит также отме-
отметить, что в последнее время все больший интерес к р-
адпческому анализу проявляют специалисты по матема-
математической фпзпке.
На этом я кончаю экскурс в р-адпчеекпй анализ и
адресую заинтересовавшихся читателей к [Ко], [ГГПШ|
и [В] (см. также некоторые упражнения в [КГ] п [К]).
Ответы и у к а з а и п я
1.	Вытекает пз неравенства al-\- a.z - ¦¦• Ь an ||p ^ matj] аг ||р.
2.	Разберите сначала случай р — 2.
3.	Вспомпптс доказательство аналогичного сиойства десятич-
десятичных дробен.
4.	Если г - ... аааапЬ, где фрагменты а п Ь имеют одинаковую
длину, то г > 0 равногшыю Ь ~> а в обычггом смысле.
5.	Выразите характеристическую функцию шара через р-ади-
чеекпн сигнум.
6.	Вытекает из определения сходимости.
7.	Воспользуйтесь мультппшкатпвпостыо норм.л п проверьте
утверждение для простых чисел и для - -1.
8.	Уравнение х2 + у2 - 1 решается разложением чеиой части
на множители. При р - 4к - 1 это можно сделать над тгоясм Q ,
а при р = 4к — 1 — над его квадратичным расширением.
9.	x{S3) = 1.
§ 3. От Q к R: идея порядка; нестандартный анализ
Взгляни в любую лужу и в ней
> зртггаь гада, который пройством
своим все\ прочих гадов пре-
превосходит и затемняет.
М. Е. Салтыков-Щедрин. Сказки
Есть еще один способ перейти от рациональных чисел
к вещественным. Оп не использует понятия расстояния,
а опирается на естественный порядок в множестве Q.
В этом подходе вещественное число с определяется как
22

in
сечеппе в множестве рациональных чисел, т. е. разбнеппе
Q на два подмножества А и В так, что все числа а е А
меньше всех чисел Ъ е В. Если в А есть максимальный
элемент araax или в В есть минимальный элемент bmin,
то с отождествляется с одним пз этих элементов (оба слу-
случая сразу осуществиться не могут, так как между отах
и frmin нашлись бы другие рациональные числа, которые
не входили бы ыи в А, ни в В). Если же ни атах, ни Ьт
не существуют, то с — новое число, не входящее в Q.
Оно по определению считается большим, чем все числа из
А, и мепьгапм, чем все числа из В. Для введенных таким
образом сечений можно определить все арифметические
действия и получить поле, изоморфное R.
Однако здесь также есть повод для размышления.
А именно, почему теперь нельзя пойти дальше п рассмат-
рассматривать сечения поля R как элементы еще большего поля?
Формально этому мешает известная теорема о верхней
грани, утверждающая, что для любого сечения R =
= А \}В существует либо отах ^ А, либо bmin e В.
Но остается вопрос^ нельзя ли все-таки вставить меж-
между Л н В еще одно число с? Например, нельзя ли знамени-
знаменитый символ в в анализе считать реально существующей
бесконечно малой величиной, удовлетворяющей нера-
неравенству
О < в < Ип для лсех п е N?	A)
Оказывается, это вполне возможно, если отказаться
от одной пз аксиом, входящих в описание поля R. Речь
идет об аксиоме Архимеда, утверждающей, что «как бы
пи было мало положительное число б и как бы ни было
велико число -V, складывая много раз величину б саму
с собой, мы получим число, превосходящее iV».
Ясно, что неравенства A) несовместимы с аксиомой
Архимеда. Если же пожертвовать этой аксиомой, то мож-
можно построить много «иеархимедовых» полей, содержащих
R. До некоторого времени эти поля рассматривались как
забавные примеры, а соответствующий «нестандартный
анализ»— как не имеющий существенных приложений
в математике. Однако в 19GG году с помощью нестандарт-
нестандартного анализа А. Робинсону п А. Р. Бернстейну удалось
решить трудную проблему функционального анализа —
доказать существование нетривиального инвариантного
замкнутого подпространства для полипомпально компакт-
компактного оператора в гильбертовом пространстве. Хотя вско-
вскоре это решение было переведено на обычный математп-
23

ческий язык П. Халмошом (а более общий результат
проще доказан В. И. Ломоносовым — см. примечание ре-
редактора Е. А. Горина к русскому переводу книги Р у-
д и н а У. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1975,
пли оригинальную статью Ломоносова (Функцион. анализ'
и его прил.— 11O3.— Т. 7, № 30)), уже нельзя отрицать
плодотворность применения «нестандартного» подхода к
классическим задачадг. Сейчас появилось много популяр-
популярных изложений этого подхода — см., например, [Дэ] пли
[У], где указана также и дополнительная литература.
Здесь я расскажу только об одном оригинальном под-
подходе к построению нсархимедова расширения поля R.
Этот подход принадлежит апглнйскому математику
Дж. Конвею. Он настолько «ничего не требует» от чита-
читателя, что уже послужил основой статьи для школьников
[ККС] и научно-популярного фантастического рассказа.
Конвей называет построенные им числа сюрреаль-
сюрреальными (сверхвеществепными), а мы будем их называть
К-числами или числами Конвея.
Прежде всего — о записи чисел. В арифметике Конвея
используются только два знака: \ и \ (по-английски —
«up» и «down»). Вполне упорядоченный набор из этих
знаков и есть К-число. Наборы могут быть любой мощ-
мощности *). Например, пустой набор, как мы улидим ниже,
играет роль нуля, и мы будем обозначать его 0.
На множестве всех К-чпсел есть два отношения поряд-
порядка. Одно задается обычным лексикографическим упорядо-
упорядочением. Для него используются термины «больше» и
«меньше» и знаки >> и <. Тот факт, что наборы впол-
вполне упорядочены, гарантирует сравнимость любых двух
К-чисел.
Для другого отношения Конвей предлагает термины
«раньше» и «позже». По определению более раннее число
а получается из более позднего Ъ «обрезанием хвоста»,
т. е. отбрасыванием всех знаков, начиная с некоторого
места. Это записывается символом а-*- Ъ.
При определении арифметических действий над
К-числами используется.
Основпая лемма. Если А и В — два множест-
множества К-чысел, такие что все а е А меньше всех Ъ е В, то
•) Чтобы избежать теоретико-множественных трудностей, пуж-
но ограничить сверху мощность допустимых наборов. Уже счет-
счетные наборы включают в себя все обычные вещгстпеннгле чпеча и
много «нестандартных».
24

существует единственное К-число с, обладающее свой-
свойствами:
1)	с разделяет А ж В (т. е. а <с <Cb для всех а е А,
Ъ е= В);
2)	с —¦ самое раннее из всех К-чисел, разделяющих А и
В. В дальнейшем это число будет обозначаться {А : В).
Конвой задаот правила действия над К-числамп, руко-
руководствуясь двумя принципами: очередности и простоты.
Согласно первому принципу правила действий опреде-
определяются не сразу для всех К-чисел, а постепенно, начиная
с более ранних. Согласно второму принципу результат
действия должен быть самым простым из возможных (т. е.
самым раннпм числом из тех, которые не противоречат
ранее полученным результатам).
Пример. Найдем сумму 0 + 0. Поскольку 0 яв-
является самым ранним числом, никаких более ранних ре-
результатов у нас нет. Значит, ответ может быть любым
К-числом; пз всех возможностей мы должпы выбрать са-
самую раннюю, а это число 0. Значит, 0 + 0=0.
Конечно, этот пример любопытен, но читателю, при-
привыкшему к строгим определениям анализа, он может по-
показаться легкомысленным. Мы покажем сейчас, что мож-
можно строго определить сумму любых К-чисел, следуя
принципам Копвея. Для этого введем некоторые обозна-
обозначения.
Назовем верхним срезом х п обозначим х ~| множество
чисел, более ранних, чем х и больших х; аналогично
определяется нижний срез х J .
Например, если х — \ { \ \ , то
а если х = 0, то х J =х~\ =0.
Определим теперь сумму двух К-чиссл формулой
* + !/ = {(* J +y)\)(x + Vj)--(xl +0)и(* + Л)}. B)
Здесь х J + у означает множество всех чисел вида а +
+ у, где а е х J; аналогичный смысл имеют выражения
х+ yj,x~] +у и х + у~].
Формула B) определяет х + у при условии, что уже
известны суммы всех более ранних слагаемых (принцип
очередности), и делает это наиболее простым способом
(см. основную лемму).
Задача 1. Пусть \п и 'J"» n e N означает
К-число, записываемое п символами \ или j . Докажите
равенства:
25

a) fm + Г = Г+п;
b)	\т + \п = \т+п;
\п~п при т>п,
c)	fm |" = О при /к = п,
I 71—7П	^
\	прп 7Н -< П.
Утверждение задачи 1 показывает, что совокупность
К-чпсел содержит аддитивную подгруппу, изоморфную Z.
\ 3 а д а ч а 2. Докажите равенство f | + f | — f •
Таким образом, К-чпсло f \ играет роль «половинки»
К-числа \ . Аналогично можно установить, что \ \ \ —
это «четвертинка», | | \ \ — «восьмушка» и т. д.
После этих простейших примеров можно догадаться,
что все конечные К-числа образуют аддитивную группу,
изоморфную группе Z [1/2] двоично-рациональных чисел.
При этом запись двоично-рационального числа г в виде
последовательности | п | есть не что иное, как «про-
«протокол поиска» этого числа ь следующем смысле. Мы стар-
стартуем из точки 0 на вещественной осп (удобно считать ее
расположенной вертикально, так чтобы числа возраста-
возрастали снизу вверх) и двигаемся вверх пли вниз шагами еди-
единичной длины. Каждый такой шаг отмечается в протоко-
протоколе символом f или | . Так продолжается до тех пор,
пока мы не «перешагнем» г. После этого каждый новый
шаг по длине делается вдвое короче предыдущего, а его
направление по-прежнему отмечается в протоколе сим-
волом f или |. Например, для числа г 2-jg-процесс
поиска равносилен записи г = 3 — 1'2 — 1/4 —1/8 +
+ 1/16 и дает К-чпсло f f f \ \ \ \ .
Ш Тот же принцип применим ко всем вещественным чис-
числам и приводит к их записи в виде бесконечных К-чисел.
Задача 3. Докажите, что рациональные, но не
двоично-рациональные числа соответствуют периоди-
периодическим (начиная с некоторого места) К-чпслам.
Для записи периодических К-чисел удобно использо-
использовать знак г для обозначения периода. Например, запись
f f \ означает К-число ttltltlfltl---, что
соответствует вещественному числу 5/3.
Все встреченные памп до сих пор К-числа можно бы-
было рассматривать как некоторый своеобразный способ
записывать обычные вещественные числа. Этот способ
хотя и отличается некоторой наглядностью, но менее
удобен для вычислений по сравнению с обычной записью.
26

Преимущества его выяспяются прп переходе к пестан-
дартным числам, которые записываются не сложнее обыч-
обычных.
Рассмотрим, например, К-числа ш=| и е = | |.
Задача 4. Докажите, что для любого п е N спра-
справедливы неравенстка
м> п, 0 </№ <1.
Таким образом, ю — «бесконечно большое», а е —
«бесконечно малое» число. Можно проверить, определив
умножение положительных К-чпсел формулой
х-у--{^-уА)\]{хА-у)-Лх-у1)\}(х-\-у)}, C)
что произведение со п е равно f .
К сожатеппю, зга проверка довольно громоздка, так
как в ходе ее придется вычислить произведение всех бо-
более ранних чисел. Однако это полезно для того, чтобы
освоиться с К-чпслами.
Теперь, пожалуй, пора вспомнить, что в определении
К-чпсел говорилось о вполне упорядоченном множестве
символов \ н \ . Напомним, что упорядоченное множест-
множество называется вполне упорядоченным, если в любом его
подмножестве есть минимальный элемент. Например, мно-
множество N с естественным порядком вполне упорядочено
(принцип математической штдукцпи), а множества Q н
R — нет. Замечательно, что счетное множество может
быть вполне упорядочении разными способами *). Более
того, этих способов несчетное множество! Подробное об
этом можно прочитать в учебниках по теории множеств
(см. также некоторые задачи в [К] и [КГ]).
Отметим, что все до сих пор встречавшиеся нам К-чнс-
ла соответствовали вполне упорядоченному множеству
типа N. Вот пример другого типа: число \ \ . Каза-
Казалось бы, это то же самое, что и f : и там, и там — счетное
множество символов f . Однако эти множества по-разно-
по-разному упорядочены: первое имеет максимальный элемент,
а второе — пет.
Задача 5. Докажите равенства:
a)	^fn = to + п;
b)	f — со2.
*) Читатель, коиочпо, может спросить, а что это значит «раз-
«разные способы»? Проще всего ответить так: упорядоченные- множества
образуют категорию (морфизмы — монотонные отображения), а
в любой категории есть понятие эквивалентных объектов.
27

На этом я закапчиваю краткий экскурс в нестандарт-
нестандартный анализ. Те читатели, которым он показался любо-
любопытным, могут либо поэкспериментировать с числами
Конвея, либо познакомиться с более серьезной литерату-
литературой (см., например, [КЭШ]).	*
Ответы и указания
1.	Неиосредственная ирош-рка но индукции.
2.	Проверьте сначала, что | | t- \ ttl-
3.	Доказательство практически то же, что и для периоди-
периодических десятичных дробен, и основано на формуле суммы беско-
бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
4.	Первое неравенство следует из определения порядка для
К-чнсел. Второе следует из неравенства t < 2~п для всех п е N.
5.	а) Применить индукцию. Ь) Воспользуетесь формулой C).
§ 4. От R к С, Н и О: алгебры Клиффорда, уравнение
Дирака и проективная плоскость над полем из двух
элементов
Большинство несведущих людей
еюд словом оккультизм подразу-
подразумевает столоверчение. Ого не так.
Лрк. Аверченко. Оккультные науки
1. Комплексные числа играют в математике выдаю-
выдающуюся роль. Во-первых, это простейший (и единственный
известный студентам) пример алгебраически замкнутого
поля. Это значит, что любой многочлен с комплексными
коэффициентами от одного неизвестного имеет комплепс-
ный корень и, следовательно, разлагается на линейные
множители *).
Во-вторых, комплексный анализ, т. е. теория комп-
лексио-значных функций одной или нескольких комп-
*) К сожалешда, алгебраические замыкания других полей
устроены более сложно. Например, алгебраическое замыкание Q
не является полным относительно естественного продолжения
/?-адического расстояния. Его пополнение С опнсаио в [Ко]. Это
поле все чаще используется в современной алгебраической теории
чисел, но, конечно, его роль не сравнима с полем комплексных
чисел.
Сравнительно просто устроено алгебраическое замыкание ко-
конечного поля Fj, из р элементов. Ото объединение нолей Fg, q —
= рп, п е N (см. конструкцию полей FQ в главо 2). Однако в этом
поле нет никакой естествеппои топологии, кроме дискретной.
28

лексных переменных, это естественная область изучения
аналитических функций. Многие «чисто вещественные»
факты теории аналитических функций невозможно по-
понять без рассмотрения их продолжения в комплексную
область *).
Наконец, переход от вещественных чисел к комплекс-
комплексным числам и кватернионам допускает обобщения, одно
из которых — общая теория алгебр Клиффорда.
Изобретатель кватернионов знаменитый ирландский
математик У. Гамильтон потратпл много лет, пытаясь
построить закон умножения трехмерных векторов по
образцу умножения комплексных чисел, изображаемых
двумерными векторалш. Эти попытки, как мы теперь
знаем, были обречены на неудачу. II только когда Га-
Гамильтон решился отбросить гипотезу о трехмерности но-
новых чисел, ему удалось найтп их реализацию. Она ока-
оказалась четырехмерной, и поэтому новые числа получили
название кватернионов. Алгебра кватернионов Н порож-
порождается как вещественное пространство обычной единицей
1 и тремя мнимыми единицами i, /, к, связапными соот-
соотношениями
j2 = р = к2 = ijk = -1.	A)
Именно этп соотношения Гамильтон, говорят, выре-
вырезал на перилах моста, через который он переходил во
время своих математических прогулок-размышлений.
Однако алгебраическое строение Н, пожалуй, лучше
отражает .другая система соотношений, эквивалентная A):
j2 = f = ?2 = _4 > ij + ji = jk + щ = ki + ik = о. B)
Эта система в свою очередь эквивалентна тождеству
(ai + bj + скJ = —(а2 + Ь2 + с2) для всех а, Ъ, ceR. C)
Гамильтон выделял в кватернионе q = х0 + xxi -j-
-j- x2j -f" x3k скалярную часть x0 ^ R п векторную часть
x = (xx, x2, x3) e R3.
Произведение двух векторных кватернионов распада-
распадалось при этом на два слагаемых: скалярное произведение
(х, у) = Зд! + х2у2 - -
*) Например, почему ряды для sin x n cos x сходятся для всех
х, а ряд для arctg х — точывд для \х\ < 1? Или почему неопреде-
неопределенный пнтеграл I (l — x2)adx вычисляется явно при а = 1/2,
но не вычисляется при а - 1/3, 1/4 и т. д«?
29

и векторное произведение
Эти операции пашлп применения далеко за пределами
теории кватернионов. Скалярное произведение вошло в
структуру евклидовых и гильбертовых пространств (см.
главу 2), а векторное произведение явилось первым при-
примером операции коммутирования в алгебре Ли (ср. § 1).
2. Тождество C) подсказывает общее определение алгеб-
алгебры Клиффорда С1 (V. Q), связанной с лпнейньш прост-
пространством V над полем К и квадратичной формой Q в
этом пространстве. По определению, Cl (V, Q)— алгебра
над К, порожденная единицей 1 и пространством V с
соотношениями
v° =
= Q(v) • 1 для всех v e V.
D)
Задача 1. Проверьте, что алгебры С и Н являются
алгебрами Клиффорда соответственно для V = R, Q(x) =
= -х" п V = R-, ?(*, 2/) = -х2 - у2.
Задача 2. Покажите, что комплексная алгебра
Клиффорда, соответствующая пространству С" и невы-
невырожденной квадратичной форме Q, изоморфна при п — 21;
алгебре матриц порядка 2 с комплексными коэффициен-
коэффициентами, а прн п = 2к 1 — прямой сумме двух таких
алгебр.
Вещественные алгебры Клиффорда более разнообраз-
разнообразны. Я приведу здесь таблицу алгебр Cp<q — С1(ХР+9,
Qp,q)> гДе Qp.q ~~ квадратичная форма впда
V	P+Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
30
0
R
С
H
2H
HB)
CD)
R(8)
2R(8)
RA0)
1
2R
RB)
CB)
HB)
211B)
HD)
C(8)
RA6)
2RA6)
2
RB)
2RB)
RD)
CD)
HD)
2HD)
H(8)
CA6)
RC2)
3
CB)
RD)
2RD)
R(8)
C(8)
H(8)
2H(8)
HA6)
CC2)
=i
4
HB)
CD)
R(8)
2R(8)
RA6)
CA6)
Щ16)
2HA6)
HC2)
3—p+l
5
2HB)
HD)
C(8)
RA6)
2RA6)
RC2)
CC2)
HC2)
2HC2)
6
HD)
211D)
H(8)
CA6)
RC2)
2RC2)
RF4)
CF4)
HF4)
C(8)
H(8)
2H(8)
HAG)
CC2)
RF4)
2RF4)
RA28)
CA28)

Здесь для краткости алгебра матриц порядка п над
полем или телом К обозначена символом К(п), а прямая
сумма двух таких алгебр — символом 2К(п).
Доказательство этих утверждений, а также роль
алгебр Клиффорда в решении известной задачи о касатель-
касательных векторных полях на n-мерпой сфере описаны в [X]
(см. также [К], упражнения в гл. 1).
До спх пор мы рассматривали лишь атгсбры Клиффор-
Клиффорда, связанные с невырожденными квадратичными форма-
формами. Представляет интерес и другой крайний случай —
нулевой формы Q. Соответствующая алгебра — ото так
называемая внешняя пли грассмапова алгебра, о которой
пойдет речь в главе 2.
3. Одна из алгебр Клиффорда примерно через три чет-
четверти столетия после ее открытия была использована за-
замечательным английским физиком Дираком в квантовой
теории электромагнетизма. Пытаясь заменить волновое
уравнение
? /:= {дд? - дЧдх2 дЧду* — d4dz*)f О*) (Г>)
эквивалентным ед[у уравнением первого порядка по вре-
времени (именно такими уравнениями описываются кванто-
квантовые системы), Дирак предположил, что оператор (Г>) мож-
можно записать в виде квадрата оператора первого порядка:
? - (yud/dt -f ухд!дх f уф'ду + уф!д?)\	F)
Разумеется, коэффициенты уг- в этом равенстве не мо-
могут быть обычными числами. Они являются образующи-
образующими алгебры Клиффорда Съз (см. выше п. 2) или ее комп-
комплексной оболочки.
Уравнение Дирака, описывающее элементарные части-
частицы фермиоппого типа (электроны, мюоны, нейтрино),
имеет вид
угд1дх + у2д/ду + у3дЩЪ = ц#.	G)
Обычно в физической интерпретации предполагается, что
уг — комплексные матрицы четвертого порядка (ср.
утверждение задачи 2), а О — комплексный 4-вектор (так
называемый дираковский спинор).
4. Среди вещественных алгебр Клиффорда лишь три
являются теламп: R, С и Н. Теорема Фробенпуса утверж-
*) Знак=: или := показывает, что равенство явтшется опре-
определением той части, к которой направлено двоеточие. В нашем
случае — определением сготвоча п/(ах, «,, ..., яп).
31

0
1
2
4
5
б
7
Z
Т1
Ч \ ¦
3
4
•у
г '
4
рис
дает, что других ас-
ассоциативных алгебр, с
делением над R нет.
Однако если отказать-
отказаться от ассоциативности,
то можно построить
весьма любопытный
пример алгебры с де-
делением -размерности-8
над R.
Это алгебра О так
называемых чисел Кэли,
или октав, или окто-
нионов. Как линейное
пространство над R, эта
алгебра	порождена
обычной единицей 1 и
семью мнимыми единицами еи ..., е7 с соотношениями
Таким образом, произведение двух базисных единиц
с точностью до знака снова является базисной единицей.
Выбор знаков и значений l;(i, j) изображаются табли-
таблицей (рис. 3).
Эта таблица обладает замечательными свойствами сим-
симметрии (позволяющими ее почти однозначно восстановить
по первой строке и первому столбцу):
1)	В каждой строке н в каждом столбце встречаются
по одному разу все цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7.
2)	В каждой строке и в каждом столбце, кроме первых,
половина чисел заштрихована, половина — не заштри-
заштрихована.
3)	В каждом фрагменте вида
а Ъ
Ъ а
количество заштрихованных и незаштрихованных чисел
нечетно (т. с. заштрихованные числа встречаются три ра-
раза, незаштриховашше один или наоборот).
Геометрическую интерпретацию этой таблицы мы об-
обсудим ниже, а пока приведем еще одну реализацию алгеб-
алгебры О. В ней элемепт О изображается парой кватернионов,
сложение покомпонентно, а умножение задается формулой
r2) =
— г2г
2гъ
(9)
32

Здесь черта означает кватернионное сопряжение: если
q = (х0, х), то q = {хв, —х).
Распределение знаков и индексов в формуле (8) евя-
зано с красивой геометрической конфигурацией — про-
проективной плоскостью над полем F2 из двух элементов.
Напомним, что проективная плоскость над полем К —
ото совокупность РЦК) всех прямых (= одномерных под-
престранств) в трехмерном пространстве над К. Обычно
6
Ряс. 5
точку х е Р2(К) задают набором трех однородных коор-
дипат (х0 : хг : х2), определенных г точностью до умноже-
умножения на элемент из К* — К\{0}. В нашем случае К* со-
состоит из одной единицы, так что P2(F2) отождествляется
с F| \{0} и, стало быть, состоит из семи точек.
Прямой на P2(F2) называется совокупность а точек х,
однородные координаты которых удовлетворяют линей-
линейному соотношению
-f- а3х3 = 0.
Коэффициенты ах, а2, а3 в этой формуле можно счи-
считать координатами точки а из другой проективной пло-
плоскости, дуальной к исходной. Итак, мы имеем 7 точек п
7 прямых. Взаимное расположение их можно изобразить
схемой (рис. 4).
Таблица умножения в алгебре О связана со схемой
рис. 4 таким образом: точки (i), (/) и (k(i, /)) лежат на
одной прямой в P2(F2), а знак ^ определяется взаимным
расположением этих точек. А именно, назовем ориента-
ориентацией прямой I циклический порядок ее точек (т. е. поря-
порядок с точностью до циклической перестановки). Будем
изображать этот порядок стрелкой на отрезке или окруж-
окружности, изображающей эту прямую. Зададим ориентацию
как на рис. 5.
3 А. А. Кириллов	"k*

Правило знаков формулируется так: еге,- = ш,л
тогда п только тогда, когда точки (г), (/) и (k(i, j)) опреде-
определяют ориентацию соответствующей прямой.
В заключение предлагаю читателю следующую тему
для размышления. На проективной плоскости лежат про-
проективные пространства меньшей размерности: прямые и
точки. Заметим, что подалгебра в О, порожденная мни-
мнимыми единицами, соответствующими точками некоторой
прямой I cr />2(F2), изоморфна Н, а подалгебра, порожден-
порожденная одной мнимой единицей, изоморфна С. Интересно
выяснить, какие алгебры соответствуют проективным про-
пространствам более высоких размерностей.
Введем обозначение
1-!). ..(9-0
(п\ = 	(
Эта величина является так называемым д-аналогом би-
биномиального коэффициента Сп (и превращается в него
при q-*- 1).
Задача 3. Сколько точек, прямых, плоскостей
и т. д. имеется в re-мерном проективном пространстве
над полем Fg?
Ответы и указания
1.	Непосредственная проверка.
2.	Воспользуйтесь понятием дифференциального оператора
с нечетными переменными — см. § 3 главы 2.
3.	Докажите, что число /с-мерных пространств в pn(Fg) равно»
й-
Глава 2. ДРУГИЕ ВАРИАНТЫ ЧИСЕЛ
Роль чисел могут играть не только элементы поля или
тела. В этой главе я расскажу о других математических
объектах, также выступающих в роли чисел. Интересно,
что все они возникли сначала в «чистой» математике,
а потом были использованы как заменители чисел в ма-
математической физике.
34

§ 5. Матрицы в роли чисел
Экзаменатор: Что такое
кратный корень многочлена?
Абитуриент: Ну, это
когда мы подставляем число в
многочлен — получаем	нуль;
опять подставляем - опять полу-
получаем нуль... II так к раз. А на
(к - - 1)-п раз нуля не получаем.
Из мехматского фольклора
1. Замечательным обобщением понятия числа являют-
являются матрицы. Мы будем обозначать Matn (К) множество
квадратных матриц размера п X п с элементами из по-
поля К. Элементы матрицы А обозначаются Ai} (или а^),
где i — номер строки, a / — номер столбца, в котором
стоит элемент. Как известно, Matn (К)— алгебра над по-
полем К: сложение, вычитание и умножение па число про-
производятся поэлементно:
(А ± В)и = AU± BtJ, (К ¦ А)„ = К ¦ А„,
а произведение двух матриц задается формулой
(АВ)ц = 2 AihBhj.	A)
ft=o
Это правило на первый взгляд кажется не очень
естественным. Иногда спрашивают, не лучше ли опреде-
определить умножение матриц поэлементно, как и прочие опе-
операции? Нет! Формула A) задает гораздо более важную
и интереспую алгебру, чем прямое произведение п2 эк-
экземпляров поля К. Дело в том, что правило A) вытекает
из геометрической интерпретации матрицы А е Matn (К)
как линейного преобразования ге-мериого пространства V
над полем К *). В самом деле, если {vt} — координаты
*) Отметим, что это не единственный способ придать матрицам
геометрический смысл. Можно, например, рассматривать матрицу
АеМ.аЛп(К) как билинейную форму на V (т. е. отображение V ^ V
в К, линейное по обоим аргументам). При замене базиса в V матри-
матрица А преобразуется по-разному, в зависимости от того, какой ей
придается смысл. Матрица линейного оператора меняется по пра-
правилу A I-* Q~XAQ, а матрица билинейной формы — по правилу
А !-» Q'AQ, где Q — матрица замены базиса, B— обратная,
a Q'—транспонированная матрица (т. е. Q\j= Qj\)- У нас матри-
матрица всегда будет отождествляться с линейным оператором.
3*	35

вектора v e V, то матрица А задает преобразование
v I-»- Ay, где
(ЛуL = 2Ллч	B)
5
и непосредственное вычисление показывает, что произве-
произведению (т. е. последовательному выполнению) преобразова-
преобразований B) соответствует произведение матриц по форму-
ле A).
Итак, матрицы, подобно числам, можно складывать,
вычитать и умножать. Что касается деления, то здесь
положение более сложное, чем для чисел. Известно, что
деление на матрицу А возможно и однозначно лишь в
том случае, если она не вырождена, т. е. ее определитель
det А не равен нулю.
Задача 1. Пусть Fq — квнечное поле из q элемен-
элементов. Сколько в Matn (Fg) обратимых элементов?
Главное же отличие матриц от обычных чисел состоит
в том, что операция умножения некоммутативна: АВ, как
правило, не равно ВА. По этой причипе использование
матриц в роли чисел стало популярным лишь сравни-
сравнительно недавно, после того как к этому пришли физики
в процессе построения квантовой теории. Подробнее об
этом можно прочитать в [КГ] (второе издание), а сейчас
мы поговорим о другом важном свойстве чисел. А именно,
числа можно подставлять в функции в качестве аргумен-
аргумента. Посмотрим, насколько матрицы способны выполнять
эту роль чисел.
2. Простейшие фупкции — это многочлены. Пусть
п
Р (х) = 2 chXh — многочлен с вещественными коэффи-
циеытамп. Ясно, как придать смысл выражению Р(А),
где А е Matn (R). Надо положить
Р(А) 2М\	C)
/1=0
где А0 по определению равчо единичной матрице кото-
которую мы будег1 обозначать ппосто 1 (или 1„, если важно
указать размер матрицы).
Задача 2. Пусть 3* = Шж] — алгебра много-
многочленов от а; с вещественными коэффициентами. Найти все
гомоморфизмы ф алгебры У в Matn(R) как -шгебры с еди-
единицей (т. е. такие, что <р A) = 1П).
Одна из самых старых задач математики — отыскаг
ние корней мпогочлепов, т. о. решение уравнений вида

Р{х) = 0. С течением времени выяснилось, что не менее
интересна обратная задача: описать те многочлены, для
которых данное число является корнем. Ответ дается из-
известной теоремой Безу: искомое множество многочленов
является идеалом в алгебре З3, порожденным х — а *).
Посмотрим, какие условия на многочлен Ре? на-
налагает равенство
Р(А) = 0.	D)
Ответ довольно прост, если матрица А диагоналыт:
,ах 0 ... О
\о 0 ...
В этом случае Р(А) = diag (Р(аг), Р(а2), ..., Р(ап)).
Поэтому равенство D) равносильно системе уравнений
Р(а{) = 0, 1 < i < п.	E)
Таким образом, одна матрица А заменяет собой целый
набор чисел {аи а2, ..., ап}.
Пусть теперь матрица А не дпагональна, но приво-
приводится к диагональпому виду: А = Q-1AQ, где Л =
= diag (Al7 Я2, ..., Яп). Легко проверить (но еще важнее
понять), что справедливо тождество
P(Q-lAQ)=Q~lP(A)Q.	F)
Поэтому условие D) равносильно системе уравнений
Р(%г) = 0, 1^ i <; п. Опять мы видим, что матрица А
заменяет набор из п чисел. Из курса линейной алгебры
вы знаете, что эти числа суть собственные значения мат-
матрицы А (т. е. корни характеристического уравнения
del {А — Я • 1) = 0), а их совокупность составляет спектр
матрицы А. Если все собственные значения А различны,
то говорят, что А имеет простой спектр. Известно, что
если А е Matn(/f) имеет простой спектр, содержащийся
и К, то А приводится к диагональному виду. Из всего
сказанного вытекает
Теорема 1. Для того чтобы многочлен Ре К[х]
обращался в нуль на матрице А с простым спектром, со-
держащимея в К, необходимо и достаточно, чтобы он
обращался в нуль на спектре А.
*) Более привычная для школьников формулировка: «Р(х)
делится на а; — а тогда и только тогда, когда Р(а) = 0».
37

Задача 3. Докажите, что теорема 1 верна и в том
случае, когда спектр Л не содержится в К.
Утверждение теоремы 1 является одним из проявле-
проявлений общего принципа: матричные элементы составляют
лишь бренное тело преобразования А, в то время как
спектр выражает его бессмертную душу.
С другими проявлениями этого принципа мы встре-
встретимся ниже, а пока я предлагаю читателю следующую тему
для размышления.
Задача 4. Пусть [А ] означает точку проективного
пространства рп~г (R), соответствующую матрице Л-е
е Ма1„(/?). Описать поведение последовательности
{[Л'1]} (и частности, выяснить, когда эта последователь-
последовательность имеет предел и какой; каково может быть множество
ее предельных точек).
3. Рассмотрим теперь для А е Mat,,(/?) совокупность
/ПЛ 1 всех матриц вида Г(А), Ре К[х]. Ясно, что
К[А ] — подалгебра в Matn(K), порожденная А, как ал-
алгебра с единицей. С другой стороны, /ПЛ ]— фактор-
алгебра К[х] по идеалу 1(А), задаваемому условием D).
Теорема 2. Если А — матрица с простым спект-
спектром, лежащим в К, то алгебра К[А ] изоморфна алгебре
всех функций на спектре А со значениями в К.
В самом деле, из (C) следует, что искомый изоморфизм
можно задать соответствием
Л'[Л] еэ Р(А) - (Р(^), Р(Х2), ..., Р(К)) е К".
Более интересная ситуация возникает, когда спектр
матрицы А не прост или не содержится в К.
Модельный пример матрицы с непростым спектром —
ото «жорданова клетка»:
0
0
0
1
X
0
0
0 ...
1 ...
0 ...
0 ...
0
0
1
X
Задача 5. Докажите, что для А = /П(Я) идеал
1(Л) состоит из тех многочленов Р, для которых
РA) = Р'(К) = ... = Р("-«(Я) = 0.	G)
Как известно (и легко проверить), спектр /„(Я) со-
состоит из одной точки К. Это значит, что аналоги теорем 1
и 2 для этой матрицы неверны.
38

Однако с интуитивной точки зрения удобно считать,
что эти теоремы верны всегда, если только правильно
понимать, что такое спектр матрицы и какие функции на
спектре нужно рассматривать *). Например, будем счи-
считать, что спектр /Л(Я) состоит не из одной точки Я, а
включает и ее бесконечно малую окрестность порядка
п — 1, которую мы обозначим С/П_1(Я).
Теорема 2 подсказывает, что нужно называть огра-
ограничением многочлена Р на С/П_1(Я): надо разложить Р
по степеням х — Я и оборвать это разложение на члене
(п — 1)-й степени. Равенства G) будут тогда условием
того, что многочлен Р обращается в нуль на С/П_1(Я).
В случае К = R эта конструкция хорошо известна в ана-
анализе и применима к любым гладким функциям, опреде-
определенным в (обычной) окрестности точки X. А именно,
п-струей функции f в точке Я называется выражение
которое мы и предлагаем считать ограничением функции /
на Un{K).
Разумеется, Un(X) нельзя рассматривать как обычную
окрестность (ср. § 3). Например, многочлен (х — К)п+1
обращается в нуль на этой окрестности, но не имеет дру-
других «обычных» нулей, кроме х = Я.
Разберем теперь ситуацию, когда спектр А не содер-
содержится в К. Так будет, если характеристический много-
многочлен этой матрицы А
ХаМ = «let (А - X • 1)	(8)
не разлагается на линейные множители. Пусть, напри-
например, зСа неприводидт, т. е. вообще не разлагается на мно-
жптелп меньшей степени в К[Х]. В этом случае идеал
1{А) прост н порождается элементом %А. Поэтому алгебра
/?[Л] не имеет делителей нуля и, следовательно, являет-
является полел, содержащим К. Обозначим это поле К. Его
размерность над К равна п. так как, с одной стороны,
элементы 1, A, Ai	Л"-1 независимы над К (в 1{А)
нет элементов степени меньше /г), а с другой стороны,
*) Здесь, как и в других случаях, можно предложить принцип:
если определение мешает справедливости красивой теоремы, изме-
измени определение. Особенно полезен этот принцип при переходе от
конечномерной ситуации к бесконечномерной.
39

в силу тождества К эли
1а(А) = 0	(9)
каждый элемент алгебры К записывается в виде
а,- 1 + «х- А + ... + я„-1- Ап~\	A0)
где а,- е if. Таким образом, алгебра К [А ] ив этом случае
конечномерна над К. Чтобы теорема 2 была справедлива,
можно поступить двояко.
Во-первых, можно считать, что спектр А состоит из
одной точки, не принадлежащей К, алгебра К [А], со-
состоит из всех функций на спектре со значениями в К.
Во-вторых, можно считать, что спектр А состоит из
всех собственных значений А, лежащих в К, а алгебра
/ПЛ ] состоит из К-значяых функций на спектре, обла-
обладающих свойством
где y пробегает группу Галуа Gal (К/К) поля К над К
(т. е. совокупность автоморфизмов поля К, оставляющих
на месте каждый элемепт из К).
10 1II
„|, то 1(А) по-
порождается неприводимым над R многочленом х2 + 1,
а поле К изоморфно С. Мы получили хорошо известную
реализацию поля С вещественными матрицами вида
Задача 6. Найти группу Gal (C/R).
Пример 2. Если К = F2, A =^ JJ, то 1(А)
порождается неприводимым над F2 многочленом ж2+ х +
-f- 1. а поле К изоморфно F4. Таким образом, мы полу-
получаем простейшую реализацию поля F4 с помощью четырех
матриц второго порядка с элементами из F2:
о о||' ||о if ||i i|' ' IU о
Задача 7. Найти группу Гаяуа Gal (F4/F2).
4. Мы разобрались более или менее с полиномиаль-
полиномиальными функциями матриц. Посмотрим, можно ли опре-
определить более общие функции матричного аргумента?
Для этого вспомним, что в анализе помимо арифметиче-
46

ских действий есть еще операция предельного перехода.
Как известно, многие функции в том или ином смысле
приближаются многочленами. Так, аналитическая функ-
функция на прямой приближается частичнигми суммами своего
ряда Тейлора, любая непрерывная функция на отрезке
равномерно прнблнжаестя многочленами, а непрерывная
функция на окружности х2 + у2 = 1 — многочленами
от х и у (плп, что то же, тригонометрическими многочле-
многочленами от со = arctg—).
Выберем теперь класс функций F, приближаемых
многочленами в каком-нибудь смысле и попробуем опре-
определить f(A) для / е F следующим образом. Пусть {Рп} —
последовательность многочленов, сходящаяся к /. Если
последовательность матриц {Рп(А)} имеет предел, то
этот предел мы и примем за значение /(^4). Чтобы это
определение было корректным (т. е. не зависело от выбо-
выбора приближающей последовательности {Рп}), нужно,
чтобы для любой последовательности многочленов Рп,
стремящейся к нулю в выбранном нами смысле, последо-
последовательность матриц Рп(А) также стремилась к нулю.
Разумеется, это зависит и от матрицы Л, и от понятия
предельного перехода.
Пример 3. Назовем последовательность много-
многочленов сходящейся, если она сходится в каждой точке
некоторого конечного множества IcR. Из сказанного
в п. 3 следует, что выражение /(^4) имеет смысл для лю-
любой функции / на М и для любой матрицы А с простым
спектром, содержащимся в Л/. При этом если А = Q~XAQ,
А = diag (К, К2	Кп), то f(A) = Q-1 diag (/(**), f(X2),...
..., HK))Q.
Пример 4. Назовем последовательность мпого-
члеиов сходящейся, если сами многочлены и все их про-
производные до порядка п имеют предел в каждой точке
множества М с С. Тогда выражение /(^4) имеет смысл
для любой гладкой функции / на Л/ и для любой матрицы
А порядка ^ п + 1, спектр которой лежит в М.
Пример 5. Функция / (х) =	 может быть при-
1 + х*
блпжена многочленами на любом отрезке вещественной
оси равномерно вместе с любым числом производных.
Однако для матрицы А =	„1 выражение f(A)
не определено, так как 1 + А'1 = 0.
41

Эти примеры показывают, что понятие функции от
матрицы довольно деликатно и требует осторожного об-
обращения. В то же время есть замечательный класс мат-
матриц А, для которых выражение f(A) имеет смысл прак-
практически для всех функций / на К. Это класс эрмитовых
матриц, т. е. таких А е Matn (С), для которых А = А*.
(Напомним, что символ * означает эрмитово сопряжение:
(А*) и == А а-) В частности, эрмитовыми являются все
вещественные симметрические матрицы.
Задача 8. Пусть последовательность многочленов
{Рп} стремится к нулю в каждой точке вещественной оси.
Докажите, что Рп(А) —>~ 0 для любой эрмитовой мат-
матрицы А.
5. Описанное выше свойство функций от эрмитовых
матриц переносится на матрицы бесконечного порядка.
Этот факт играет первостепенную роль в построении ма-
математической модели квантовой механики, поскольку
физические величины в этой модели изображаются эрми-
эрмитовыми матрицами бесконечного порядка.
Нужно, однако, уточнить, что мы называем матрица-
матрицами бесконечного порядка и как определяются действия
над ними. Поскольку матрица для нас — это форма за-
записи линейного оператора над векторами, то сначала надо
выяснить, что такое бесконечномерный вектор. По ана-
аналогии с конечномерным случаем можно было бы назвать
бесконечномерным вещественным (соответственно комп-
комплексным) вектором любую бесконечную последователь-
последовательность х = (х11 х2, ..., хп, ...), где ж,-—вещественные (со-
(соответственно комплексные) числа. Такие векторы дейст-
действительно образуют бесконечномерное линейное прост-
пространство. Однако если мы хотим сохранить и в бесконечно-
бесконечномерной ситуации такие геометрические понятия, как
длина, перпендикулярность, скалярное произведение век-
векторов, то придется ограничить класс рассматриваемых
последовательностей. А именно, назовем допустимой по-
последовательность х = {xt}, если конечна сумма ряда
оо
2 |^г|2-Основные свойства допустимых последователь-
г=1
ностей мы изложим в виде задачи.
Задача 9. Докажите, что
а) Для любых допустимых х = {xt} п у ={у;} схо-
оо
ДИТСЯ рЯД 2 Х\Уг-
г=1
42

b)	Допустимые последовательности образуют линей-
линейное пространство относительно покомпонентного сложе-
сложения и умножения на число.
c)	Справедливо неравенство Коши — Буняковского —
Шварца
Ifx vM <Г Ixl ¦ Ivl	М П
где символом (х, у) обозначено скалярное произведение х
и у, задаваемое рядом из а), а символом |х| — длина век-
вектора х, равная (х, хI/2.
Пространство всех допустимых последовательностей
обычно обозначается Н и называется гильбертовым прост-
пространством в честь знаменитого немецкого математика Да-
Давида Гильберта, который ввел это пространство для ре-
тения интегральных уравнений лттематнческой физики.
Подробнее об этом см., например, в [КГ], где приведено
также несколько красивых задач по геометрии гильбер-
гильбертова пространства.
Теперь можно сказать, какие бесконечные матрицы
мы будем рассматривать: те, которые задают непрерыв-
непрерывные линейные операторы в гильбертовом пространстве.
К сожалению, этот класс матриц не так легко описать
в терминах .матричных элементов. Достаточным, но не не-
необходимым условием является сходимость двойного ряда
21А |у, а необходимым, но не достаточным условием —
сходимость рядов 21 -^ |ij И 21^ \Ь ПРП всех /' н i соот-
«	5
ветствеино.
Каким же может быть спектр бесконечной эрмитовой
матрицы *). Легко привести пример (диагональной) мат-
матрицы, имеющей счетное множество собственных значений.
Более поучителен следующий пример, показывающий,
что спектр может заполнять целый отрезок веществен-
вещественной оси.
Пример 6. Рассмотрим матрицу А с элементами
11, если \i — ] | = 1,
О в остальных случаях.
Для выяснения свойств оператора, задаваемого этой
матрицей, установим соответствие между допустимыми
•) Читатель, воспитанный на строгих принципах математи-
математического анализа, возможно, откажется обсуждать этот вопрос, по-
пока не будет дано точное определение спектра. Я полагаю, однако,
что важнее иметь интуитивное представление о понятии спектра,
¦чем выучить его определение.
43

последовательностями х = {xt} п нечетными 2зт-периоди-
ческими функциями на прямой, полагая
то
{хп} -<=*- 2 хп si11 (M).	A2)
Можно показать, что образом пространства Н при этом
соответствии будет совокупность Н всех нечетных 2зт-
периодических функций ф на прямой, для которых ко-
конечен интеграл (в смысле Лебега — см. [КГ])
При этом скалярное произведение в пространстве Н
переходит в скалярное произведение в Н, задаваемое
формулой
Задача 10. Найти в пространстве Н длину век-
вектора ф(?) = t (при —я < t <С п, а далее по 2ет-периодич-
ностц), а также его разложение по базисным вектерам
q>n(t) = sin nt; что означает в этом случае равенство
|ф|* = |Х|2 = (X, X)?
Задача 11. Докажите, что линейный оператор, за-
задаваемый матрицей А в пространстве Н, переходит при
соответствии A2) в оператор умножения на 2 cos t в прост-
пространстве Н.
Из утверждения последней задачи вытекает, что вы-
выражение f(A) имеет смысл для всех непрерывных функций
на отрезке [—2, 2] п что соответствующий оператор в
пространстве Л является оператором умножения на
/B cos t).
Задача 12. Докажите, что матрица А не имеет
нп одного допустимого собственного вектора.
Мы видим, что в бесконечномерном случае плохо опре-
определять спектр как совокупность собственных значений.
«Правильное» определение спектра, пригодное и в конеч-
конечномерной и в бесконечномерной ситуации, а также обес-
обеспечивающее справедливость аналогов теорем 1 и 2 (для
эрмитовых матриц), можно найти в учебниках функцио-
функционального анализа (см., например, [КГ] или [КФ]).
44

Ответы п указания
1.	Первая стречка матрицы может быть любым ненулевым
n-вектором с коердинатамп из Fq; это дает дп — 1 возможностей.
Втврая строчка может быть любым вектором, линейно независимым
с первой строчкой; это дает qn — q возможностей и т. д. Ответ:
П1 («"-**)=в***'-П (<»*-«).
fe-=0	h=l
2.	Гомоморфизм щ> полностью определяется матрицей А = <f(x),
которая может быть произвольной. Явная формула для (р: Ц>(Р) =
= Р(А).
3.	Пусть К — расширение К, содержащее спектр А. Примените
теорему 1 к А, рассматриваемой как элемент Matn (К).
4.	Докажите равенство
I	\	\	\
О	О Р{Х)
0	0	0 ...	Р(К)
6.	Искомая группа содержит два преобразования поля С: тож-
тождественное преобразование и комплексное сопряжение.
7.	Fpynna Галуа состоит пз двух преобразований: твждествен-
еого и преебразованпя г»!5 (проверьте, что это автоморфизм
ноля F4).
8.	Воспользуйтесь тем, что любая эрмитова матрица приводит
ся к вещественнвму диагональному виду (см. [КГ] или [КФ]).
9.	а) Следует из числового неравенства |ху | ^ -^ (| х |2 + | у |2);
Ь) вытекает из а): цля доказательства с) в вещественном случае
воепельзуйтесь тем, что квадратный трехчлен
P(t) = 1Цх, х) + 2Цх, у) + (у, у)
принимает неотрицательные "наченля (поскольку он равен скаляр-
скалярному квадрату вектора t ¦ х + у) и, следовательно, имеет неполо-
неположительный дискриминант.
П=1
х з
11. Воспользуйтесь тождеством
sin (n + i)t 4- sin (га — i)t = 2 ros t • sin nt.
45

12. Первый способ: непосредственно из определения
собственного вектора с собственным значением X е С выведите
равенство хп = с • sin nt, где ? = arccos (h'2); проверьте, что эта
последовательность либо нулевая, лпбо недопустимая. Второй
способ: убедитесь, что оператор умножения на 2 cos t в про-
пространстве Н не имеет собственных векторов.
§ 6. Непрерывные матрицы и факторы фон Неймана
Все разумное действительно^
все действительное разумно.
Гегель. Предисловие
к «Основаниям философии прапа»>
Понятие матрицы допускает несколько вариантов
перехода к бесконечности. Один из них мы разобрали
в § 4; в нем элементы матрицы нумеруются индексами iT
j, пробегающими все натуральные значения *).
Другой вариант — считать индекс непрерывным, на-
например пробегающим вещественные числа. Тогда векторы
превращаются в функции ф вещественной переменной t,
матрицы — в функции А двух вещественных переменных
t и s, суммирование по дискретному индексу — в интегри-
интегрирование по непрерывному индексу, а соответствующие
линейные преобразования — в интегральные операторы
вида
Ац> {t) = §A (t. s) ф (s) ds.	A)
Разумеется, чтобы все это имело смысл, нужно уточ-
уточнить, какие функции ф и А мы рассматриваем и как по-
понимаем сам интеграл. Оказывается, что при самом удоб-
удобном и естественном выборе всех уточнений мы приходим
к той же самой теории гильбертовых пространств, о ко-
которой говорилось выше. Дело в том, что между прост-
пространствами функций и пространствами последовательностей
иногда можно установить взаимно однозначное соответст-
соответствие, сохраняющее все операции гильбертова пространст-
пространства: сложение, умножение на число, скалярное произве-
произведение и переход к пределу. Пример такого соответствия
приведен в § 4 (см. формулу A2) в примере 6).
*) Разумеется, вместо множества N можно использовать и лю-
любое другое счетное множество. Часто бывает удобно вместо N взять
множество Z+ всех неотрицательных целых чисел, или множество
Z всех целых чисел, или n-мерную решетку Z" и т. п.
46

Несмотря на простоту формулировки, это соответствие
является очень сильным и глубоким результатом, имею-
имеющим важные математические и физические следствия.
Придтером первых является тождество 2 п~2 = яа/6 (см.
задачу 9 из § 1 и серию подобных задач в [КГ]), приме-
примером вторых — так называемый дуализм «волна — части-
частица» в квантовой механике.
Наконец, есть еще один способ построения беско-
бесконечных аналогов матриц. Этот способ принадлежит
Дж. фон Нейману, одному из создателей математических
основ квантовой теории. Он приводит к удивительным обоб-
обобщениям линейных пространств, в которых размерность мо-
может принимать не натуральные, как обычно, а любые ве-
вещественные значения. При жизни фон Неймана это его
открытие не получило дальнейшего
развития и рассматривалось скорее
как математический курьез, вроде
неизмеримых по Лебегу множеств.
Сейчас теория факторов Неймана
стала рабочим аппаратом функцио-
функционального анализа и математической
физики (см., например, [БРI.
Я расскажу об этой теории не-
немного подробнее, так как популяр-
популярных изложений ее (по крайней ме-
мере на русском языке) еще не было.
Пример 1. Непрерывные матрицы. Мы будем рас-
рассматривать матрицы размера п X п при увеличивающем-
увеличивающемся п. Попробуем записать их в виде таблиц фиксирован-
фиксированного размера (но со все более мелкими строчками и столб-
столбцами). Удобно при этом полагать п = 2 , так как алгебра
Mat2ft(C) вкладывается в Mat2j(C) при к ^ I. Мы естест-
естественно придем к следующей интерпретации получающихся
объектов.
Проведем в стандартном единичном квадрате главную
диагональ (из левого верхнего в правый нижний угол),
а также параллельные линии, делящие горизонтальные
стороны квадрата на 2 равных частей. Полученное мно-
множество обозначим Xk. Каждую из линий, составляющих
Xft, разделим на равные части так, чтобы их горизонталь-
горизонтальные проекции имели длину 2~h. Множество Xh разделит-
разделится при этом на 22h частей (см. рис. 6 для к = 2). Каждую
матрицу А е Mataft (С) можно рассматривать как кусоч-
47
Рис. 6

во постоянную фупкцию на множестве Xh. Совокупность
этих функций обозначим Fh. Это комплексное линейное
пространство размерности 2zh. Пусть X = |J Xk. Про-
k
должим функции, заданные на Xh. на все мпожество X
нулевыми значениями. Мы получим реализацию объеди-
объединения U Mat2b(C) всех матричных алгебр порядка 2
в виде пространства F = |J F^ кусочно ностоянных функ-
h
ций на X. Иногда удобно вместо множества X рассматри-
рассматривать его модификацию X, которая получается, если рас-
расщепить на две точки каждую «двоично-рациональную»
точку X *). Преимущество X состоит в том, что все функ-
функции из F становятся непрерывными. Кроме того, мне-
жество X само естественно превращается в абелеву груп-
иу. А именно, пусть Г означает полное, а Го — ограни-
ограниченное произведение счетного множества групп Z2. По оп-
определению элементы Г — произвольные последователь-
последовательности нулей и единиц, а элементы Го — финитные после-
последовательности (содержащпе лишь конечное число еди-
единиц). Групповой закон задается компонентным сложением
по модулю 2. Множество X отождествляется с Г X Го
(элемент Го задает «диагональ», а элемент Г фиксирует
точку на этой диагонали).
Описываемая ниже конструкция допускает многочис-
многочисленные обобщения, в которых роль Г и Го могут играть
другие группы.
Вернемся к пространству F. В нем можио определить
несколько естественных понятий сходимости.
1. Введем в F скалярное произведение по формуле
[x	B)
где dx означает меру па X, которая на каждом интервале
равна длине горизонтальной проекции этого интервала.
*) Эта операция расщепления выг.—дит очень естественно,
если записывать вещественное число ге[О, 1]с помощью беско-
нечпой двоичной дроби: :г=0, х х х^ ... = ^ 2 -лгь- Как хорошо
известно, такая запись иеодно; начна, любое двоично-рациональное
число допускает ровно две записи. Например, _ = 0,1 = 0,01111 ....
Если считать, что рапным записям соответствуют различпые точки,
то это и приведет к искомому расщепленгю.
48

Задача 1. Докажите, что на подпространстве
Fh л; Mat9h (С) скалярное произведение B) можно задать
формулой
к	^^,	C)
где tr означает след матрицы (сумму ее диагональных
элементов), а * — переход к эрмитово сопряженной мат-
матрице (см. § 4).
Как лсегда, имея скалярное произведетше, можно
определить длину вектора ]/| = (/, /)'/2. расстояние меж-
между векторами d(f, g) = \f — g\ и, наконец, понятие пре-
предела, считая, что /„->-/, если |/„ — /| ->- 0.
Пополнение F относительно этой сходимости мы обо-
обозначим //. Можно показать, что II — гильбертово прост-
пространство, состоящее из функций /на X, квадратично ин-
интегрируемых по Лебегу *). Скалярное произведение в //
задается той же формулой B), только интеграл в ней надо
понимать в смысле Лебега.
2. Вспомним теперь, что пространство F является ал-
алгеброй: любые два элемента /, g e F принадлежат не-
которолту Fh н поэтому их можно перемножить как мат-
матрицы пз Mat.,h (С). Этот закон умножения допускает на-
наглядную интерпретацию. Будем рассматривать элемен-
элементы F как функции па леем единичном квадрате, равные
нулю вне множества X. Тогда правило умножения за-
запишется так:
ЛВ С, где С (х, у) -- 2 Л (х, t) В {t, у).	D)
Суммирование в D) идет по всем вещественным t пз от-
отрезка [0, 1]. Чтобы понять осмысленность этой процеду-
процедуры, нужно заметить, что выражение под знаком суммы
отлично от пуля лишь для тех t, для которых х — t и
t — у имеют вид п • 2~ (так как А и В прппадлежат не-
некоторому FA). Поэтому фактически в сумме D) лишь ко-
конечное число ненулевых слагаемых. Обратите внимание
на сходство формулы D) с обычным правилом матричного
умножения!
*) Точнее, и.1 клаггов лкппвалептпогти таких функций: две
функции считаются эквивалентными, если они совпадают всюду,
кроме точек некоторого множества нулевой меры Лебега. По тра-
традиции это уточпеппе лптпь молчачпво подразумевают, а точки //
называют просто функция \ш.
4 а. А. Кириллов	49

Определим теперь в F порму || • ||, полагая
гДе I • I — длина, определенная выше через скалярное
произведение C). Из этого определения ясно, что IIА | ^
> \А\.
Задача 2. Докажите, что для матриц второго по-
порядка
\\Af = Ир + /И|*-
3 а д а ч а 3. Докаяште, что для матриц любого по-
порядка /V
ИК1ИКИ1 • Vn.	(G)
Пополнение F по норме 11 • 11 обозначим С. Это не-
некоторая алгебра операторов в Н, симметричная (т. е.
вместе с любым оператором А в С входпт н сопряженный
оператор А*) и замкнутая по норме. Поскольку сходи-
сходимость в С сильнее, чем в Н, мы можем рассматривать С
как подпространство в Н. Пространство С содержится в
пространстве Со (X) всех непрерывных функций на X,
стремящихся к нулю на бесконечности. (В самом деле,
функции из Fh обладают обоими указанными свойствами,
а равномерный предельный переход их не нарушает.)
3. Наконец, введем в F еще одно понятие сходимости.
А именно, будем считать, что последовательность {^4П}
стремится к пределу А (лежащему в некотором пополне-
пополнении F), если для любого В е И последовательность
{АпБ} сходится в Я к элементу, который мы обозначим
А Б. Можно показать, что в этом случае нормы всех мат-
матриц Ап ограничены в совокупности и предельный опера-
оператор А также ограничен (т. е. имеет конечную норму)
в //. Пополняя F в смысле этой сходимости, мы получим
некоторую алгебру операторов в //, которую мы обозпа-
чпм М.
Сходимость, которую мы только что ввели, называет-
называется сильной операторной сходимостью. Она слабее, чем
сходимость по норме, но сильнее, чем сходимость в //.
Поэтому имеют место непрерывные вложения
СсЛ/сЯ.
Бое три пространства естественно реализуются как
пространства функций на X (или на X). Самое широкое
пространство Н мы уже описали выше как пространство
50

функций с интегрируемым квадратом в смысле Лебега,
а- самое узкое — как часть пространства непрерывных
функций, равных нулю на бесконечности.
К сожалению, пространство Л/ до сих пор пе получило
прозрачного описания, а именно это пространстно (вер-
(вернее, алгебра) представляет для нас основной интерес.
Лемма 1. Пространство М состоит из всех эле-
элементов А е //, для которых
^<oo.	G)
Вес I a I
Следствие. Для А е Л/ и В е // определены
произведения АН и В А, причем
\АВ\^\\А\\- \В\, \ВА\^\А\- \В\.	(8)
Теперь мы изготовим из М две алгебры операторов
в пространстве Н. Первая алгебра L(M) состоит из опе-
операторов левого умножения L(A): В *-* АВ, а вторая
В(М) — из операторов правого умножения Л (А): В <-*
>-+ ВА. Здесь А пробегает Л/, а В е II.
Для любого множества S операторов в гильбертовом
пространстве условимся символом S'- обозначать ком-
коммутант S, т. е. множество операторов в Н, перестано-
перестановочных со веема операторами из S. Справедлива замеча-
замечательная
Теорема (фон Нейман). Если Sсимметрично (т. е.
вместе с любым оператором А содержит и сопряженный
оператор А*), то Sl = Sm, a S11 совпадает с замыка-
замыканием алгебры операторов, порожденной множеством S,
в смысле сильной операторной сходимости.
Задача 4. Докажите теорему фон Неймана для
конечномерных гильбертовых пространств.
Первое основное свойство нашей копструкцип опи-
описывает
Л е м м а 2. ЩГI = Л{М), Л(М)У = ЦМ).
Доказательство. Пусть С — оператор в //
и С е ЦМI. Тогда для любого В е М cz H мы имеем
С{В) = С{В ¦ I) = CL{B){i) = ЦВ)СA) = ВС{1) =
= В(С(ЩВ) (9)
и лемма доказана, если только С(\) s M. Последнее
можно устаповить, пользуясь леммой 1.
Итак, алгебры L(M) и Л(М) являются взаимными
коммутантами.
4*	51

Второе основное свойство гостопт в толг, что пересе-
пересечение алгебр L(M) и Н(М). которое, как легко видеть,
совпадает с центром каждой из них, состоит из скалярных
операторов (т. е. операторов умножения па число). Такие
алгебры фон Нейман назвал факторами. Это название
происходит из замечательного свойства факторов, на-
напоминающего свойство простых чисел пли простых групп.
Л именно, можно показать, что всякая епчметрнчная ал-
алгебра операторов, содержащая единицу н замкнутая
в сильной операторной топологии, в определенном смысле
разлагается па факторы.
Задача 5. Докажите, что если 71/ — фактор в ко-
нечномером гильбертовом пространстве //, а М1 — его
коммутант, то // можно реализовать в виде пространства
матриц размера к " I так, что 71/ будет состоять из опе-
операторов умножения слева на квадратные матрицы раз-
размера к А к, а 71/1 — из операторов умножения справа
на квадратные матрицы размера 1x1.
Этот результат допускает лишь частичное обобщение
на случай бесконечномерных пространств. А имеппо,
можно показать, что если 71/ — фактор в гильбертовом
пространстве Н и если М как топологическая алгебра
с инволюцией изоморфен алгебре L(Hx) всех ограничен-
ограниченных операторов в шльбертоволг пространстве II1, то
двойственный фактор Л/! изоморфен алгебре L(H2),
а пространство Н отождествляется с гильбертовым тен-
тензорным произведением П1 [>3 Нг. Такие факторы получн-
лп название факторов типа I.
Заслуга фон Неймаиа состоит в том, что он открыл но-
новый тип факторов, которые не изоморфны L(II) ни для
какого //. Примерами таких; факторов являются как раз
построенные выше алгебры L(M) n R(M).
Чтобы показать, что они не принадлежат тппу I,
введем важное понятие относительной размерности двух
подпространств Ух и V2 в гильбертовом пространстве Н,
где действует некоторый фактор 71/. Это понятие вводится
только для подпространств, инвариантных относительно
всех операторов А е 71/. Пудем называть такие прост-
пространства допустимыми.
Задача G. Докажите, что пространство ГН пп-
варнантно относительно 71/ тогда н только тогда, когда
ортопроектор Р принадлежит 71/!.
В дальнейшем мы часто будем отождествлять допусти-
допустимые пространства с соответствующими ортонроскторамп.
52

Назовем два допустимых подпрострапства V1 и V2
эквивалентными, если существует такой • элемент и е
е М1, для которого
и*и = Рх, ии* = Р2,	A0)
где Pt — ортопросктор на Vt.
Задача 7. Докажите, что равенства (Ш) равно-
равносильны утверждению, что оператор и отображает Vy нзо-
метрпчпо на V2, а на Vy обращается в нуль.
Будем говорить, что допустимое пространство Vy
больше V2, если в Vy есть собственное подпространство,
эквивалентное V2.
Теорема (Мерреп — фон Нейман). Для пары до-
допустимых поОпространств Vy и V2 имеет место одна
из трех возможностей:
a)	Vy эквивалентно V2\
b)	Vy больше V2;
c)	V2 больше Vx.
Доказательство этой теоремы использует рассуждение,
аналогичное тому, с помощью которого доказывается
знаменитая теорема Кантора — Бернштейна о сравне-
сравнении мощности двух множеств. А именно, такпм образом
устанавливается, что если для Vy a V2 справедливы п Ъ)
и с), то верно а). Кроме того, оно опирается на следующий
факт.
Лемма 3. Любые два ненулевых допустимых прост-
ранства содержат ненулевые эквивалентные части.
Доказательство. Пусть \\ и V2 — ненуле-
ненулевые допустимые пространства. Для любого унитарного
оператора z* е Мх рассмотрим пространства II2 = uVx f]
П V2 н Hj = и Ч[2. Ясно, что Hi S Vt и что Fly и Ih
эквивалентны. Однако они могут быть нулевыми. Если
uVx Г\ V2 = 0 для всех и е М1, то пространство Л/! • \\
будет нетривиальным (т. е. отличным от 0 и Н) пространст-
пространством, инвариантным относительно и Л/ п М'. Но тогда
соответствующий проектор Р принадлежит пересечению
1\1 П Л1' и, следовательно, равен Г) или 1. Полученное
противоречие доказывает лемму.
Я предоставлю читателям самостоятельно закончить
доказательство теоремы Меррея — фон Неймана (полез-
(полезно привлечь лемму Дорна — см. [КГ]) и перейду к опре-
определению относительной размерности. Для этого понадо-
понадобится еще одно определение: допустимое пространство V
называется конечным, если оно не эквивалентно своему
53

собственному подпространству (сравните это с определе-
определением бесконечных множеств).
Пусть теперь Vx и V2 — два конечных допустимых
пространства. Будем сравнивать их по аналогии с тем,
как это делается с отрезками на вещественной прямой.
А именно, если V1 больше, чем V2, то выделим в V1 часть
У2, эквивалентную V2, и пусть V3 — ортогональное до-
дополнение к V2 в V^. Тогда V3 — также допустимое ко-
конечное подпространство (почему?) и мы можем с парой
V2, V3 повторить ту же процедуру. Этот процесс может
за конечное число шагов привести к пулевому пространст-
пространству. В этом случае наши исходные пространства «соизме-
«соизмеримы» в следующем смысле:
V, = е V1U V2 =. ® V2i
i=l	i=l
п все Vij попарно эквивалентны. Назовем относительной
размерностью пары Vlt V2 число к/1 п обозначим его
Vi : V2. Если же процесс сравнения исходных пространств
продолжается до бесконечности, то мы определим вели-
величину Ух : V2 как иррациональное число, равное отно-
отношению длин таких двух отрезков, сравнение которых при-
приводит к тому же «протоколу», что п сравнение наших
пространств.
Задача 8. Докажите, что F, : У2 равно нижней
грани множества чисел т'п, для которых
и все Пг и П\ эквивалентны друг другу.
Наиболее интересен случай, когда все пространство /7
конечно (и бесконечномерно в обычном смысле). Такпо
факторы ЛГ получили название факторов типа llt. Для
них все допустимые подпространства конечны и можно
определпть факторную размерность dimaf V = V : Н, при-
принимающую значения в отрезке [0, 1]. Далее, для любого
оператора А е М можно определпть его факторный след
trMA, полагая для ортопроектора Р
\хмР = dimMPH	(И)
и распространяя его па остальные операторы по комплекс-
комплексной линейности и сильной непрерывности. Этот «след»
сохраняет основное свойство обычного следа
tr Л1АВ = iruBA.	A2)
54

В случае, когда А — частичная пзометрпя, а В = А*,
это следует из определения эквивалентности п относи-
относительной размерности допустимых пространств; общий слу-
случай выводится из этого.
Теперь вернемся к нашему примеру фактора.
Задача 9. Докажите, что для А е 71/ справедли-
справедливо равенство
1тмА= \л{х,х)йх.	A3)
х
Задача 10. Представьте // в виде ортогональной
суммы:
а) двух допустимых отппгптс.чыю ЦЛ/) подпространств
размерности 1/2;
h) трех подпространств размерности 1 '3.
Задача 11. Установите явно эквпналептпость под-
подпространств, построенных в Ь) задачи 10.
Пример 2. Квантовый тор Т2. Название этого
примера отражает общую тенденцию связывать с кван-
квантовой теорией всякий переход от коммутативных объек-
объектов к некоммутативным. Хорошо известно, что каждый
компакт X характеризуется алгеброй С(Х) непрерывных
функций па нем, а гладкое компактное многообразие
М — алгеброй С°°(М) гладких функций *). Соответст-
Соответствующие квантовые объекты получаются, если перейти
к некоммутативным алгебрам.
В случае тора алгебра С°°(Т2) состоит из функций вида
2	(li)
где суммирование идет по двумерной решетке Z2, а ко-
коэффициенты удовлетворяют для любого JVgN условиям
|сй1,|< const- A Ч- Ла {-Щ-".	A5)
Рассмотрим теперь алгебру с инволюцией Aq, порож-
порожденную единицей и двумя элементами и и. и с соотноше-
соотношениями
и*и = ии* = 1, v*v = w* = I, uv = ери, AС)
где q = e2llix — комплексное число с \q\ — 1.
Общий элемент этой алгебры имеет вид
2 ch,iuhv\	A7)
ft,fez
*) Например, точки М восстанавливаются как макспмалыпк»
идеалы в С°°(М), векторные поля на М — как дифферонцирогания
С°°(М) п т. п, (сГ. § 7).

где лишь конечное число коэффициентов отлично от пуля.
Обычно рассматривают несколько большую алгебру, со-
состоящую из сумм вида A7), где коэффициенты подчинены
условиям A5), и называют се «алгеброй гладких функций
па квантовом торс Т,». Ясно, что при q = 1 определен-
определенный таким образом квантовый тор совпадает с обыч-
обычным.
Оказывается, из алгебры Aq можно, как п в примере 1,
изготовить гильбертово пространство Н, алгебру М п
два ее представления L п R в пространстве Н, причем
в случае иррационального т (т. е. в случае, когда q не яв-
является корнем нз 1) L(M) и Я(М) будут факторами
типа II,.
Читателю, желающему овладеть теорией факторов, бу-
будет очень полезна
Задача 12. Докажите, что факторы примера 1 п 2
изоморфны. (Эта задача существенно сложнее предыду-
предыдущих.)
Пример 3. Квантовые сферы S2 и S3. Как извест-
известно, сфера Ss является группой (см. § 4), а сфера S'1 —
однородным пространством для этой группы. Все г»тн
факты можно сформулировать в терминах гладких функ-
функций па них. Например, тот факт, что S3 действует па S'1,
описывается гладким отображением Ss л S2 —>• S'2, а ото
отображение, в свою очередь, определяется гомоморфиз-
гомоморфизмом алгебры C°°(S2) в алгебру C°°(S3 ' S'1) ^ C°°(S3) ®
® C^iS2). Оказывается, существуют такие некоммута-
некоммутативные деформации Aq и Вп алгебр СооE:!) п C°°{S2), за-
зависящие от параметра </, что для них по-прежпему имеют
смысл все нужные гомоморфизмы. Ото позволяет рас-
рассматривать Aq и Bq как «алгебры функций» па квантовой
группе Sq и ее квантовом однородном пространстве Sq.
Детальное описание этих деформаций и общее введение
в теорию квантовых групп можно найти в [РТФ].
Ответы п у к а з а п п я
1.	Проверьте, что матричные единицы Е^ образуют ортого-
ортогональную систему относительно о^оих скалярных произведений и
что \E.j\ = 2~h для матриц порядка 2к.
2,	3. Проверьте, что норма и длина матрицы не меняются при
умножении слева или справа на унитарную матрицу. Дален вос-
воспользуйтесь тем, что любая матрица записывается в виде А =
= U ¦ А ¦ V, где U и V — унитарные матрицы, а Л — дпагональ-
50

пая лтатрпца с пеотрпп,ательпымп элсмептамп. Для таких матриц
выведите формулу || Л || = шах Л^.
i
4.	Достаточно доказать, что если S — симметричная алгебра
с единицей, то S-- ~ S. Включение S = 5!! очевидно из опреде-
определения коммутанта. Дтя доказательства обратного включения введем
вспомогательное гильбертопо пространство Я', состоящее пз опе-
операторов в исходном гильбертовом пространстве //. Каждому опера-
оператору А в пространстве // поставим в соответствие оператор L(A)
в пространстве Я', действующий по формуле L(A)B = АВ. Про-
Проверьте, что L(S)'r- = L(S"). Далее докажите, что ортогональный
проектор Рч на II па S принадлежит L(S)' и, следовательно, пере-
перестановочен с L{SV). Поэтому, если А е Sv, то PSL(A) ~
= ЦА)Р8, откуда PS(A) = A.
5.	Пусть st — лшкепмальная коммутативная симметричная
подалгебра в М, а Ш — такая же подалгебра в М!. Спектральная
теория операторов (см. [КГ]) утверждает, что существуют такие
ортопроекторы Plt Р«, ..., Pft в Н, что
Аналогичный набор проекторов дчя В обозначим (?l7 Q2, ..., Qr
Докажите, что в пространствах PJI неприводп.мо действует алгеб-
алгебра М1, а в пространствах Р .Н — алгебра М. Выведите отсюда, что
пространства PjQ-H одномерны.
G. Если Р <= М, А е М'. то APII = РАН <= РН. Обратно,
если APII s PR для все\ Л е М', то Д1я v <= РН имеем APv =
= PAPv = PAv, а для v J_ II пмсем APv = 0 = РЛу, ибо РН1-,
как и РЯ, шшариантно относительно А.
7.	Для у s I 1 нмеом av s 1*.2, "бо PaiiP = ua*uv = rif ,l> -=
= и и. Дачее liifi'2 = (/ti>, iif) (/i*ur, i>) = (P|i», у) = |i'|2. Нако-
Наконец, дчя nel'j1 нмеом |/ti>|2 = (iff, ut>) ~ (u*uv, v)
(PiV, v) - 0.
8.	Докажите сначала, что из включений, приведенных в усло-
условии, следует, что \\ : V, ^ т'п. Затем рассмотрите случай соизме-
соизмеримых пространств, а потом и общий случай.
9.	Пусть сначача A s F.. Toria легко проверить, что ti"w A =
= 2-hr А.
10.	а) Ну {А <= II \А{х, у) = П при х > Г2}, Я2 = Я^.
Ь) II, ~= {А<=11 \А[х, у) - 0 прп а-> 1/3}, Я3 \А а Я| Л(,г, i/) =
= 0 прп г< 2/3}, Я2 = 11^ П ^з ¦
57

11. В случае а) эквивалентность устанавливается оператором
Г где U{x, у) = б [я — у— -у !-[- 61я — у-\--^ ); в случае Ь) вос-
польчуйтесь тождеством -т? = ^ \~г\
12. Постройте в алгеПрс М in примера 1 пару элементов, удов-
удовлетворяющий соотношениям A5). В качестве и можно влять диа-
диагональный оператор, соответствующий функции и(х, у) = (р(х) •
• 6(х — у); тогда функция v(x, у) будет сосредоточена на множест-
множестве Х% = {(.г, у) е X |ф(ж)— ср(т/) ^ т mod 1}. Простая явная кон-
конструкция такой функции автору неизвестна, однако ее существо-
ьгние можно вывести нз более оощи<с теорем эргоднческо!! теории.
§ 7. Что такое суперспмметрпя?
Я открыл, что Китай и Испаппя
совершенно одпа и та же земля,
и только но невежеству считают
н \ за разные государства. Я
советую всем нарочно написать
на бумаге Испания, то н выйдет
Китай.
И. В. Гоголь. Записки сумасшедшего
1. В математике, как ц во всех науках, большую роль
играет понятие симметрии. Чаще всего свойства симмет-
симметрии выражаются па языке групп, однородных пространств
ц представлении (см. [К]). Однако в последние 10—15 лет
и математике и математической физике все большую роль
приобретает ионий тип симметрии, который получил па-
зиание суперсимметрии. Б математике суперспмметрпя
означает в каком-то смысле равноправие между плюсом
и мппусом, четным и нечетным, симметрическим п антп-
симмстрическнм п т. д. В физике — это равноправие
между фермпопамп и бозонамп.
В двух словах, идеология суперспмметрпи состоит
в следующем. Каждому «обычному», или «четному», по-
понятию (определению, теореме, конструкции и т. д.) дол-
должен соответствовать «нечетный» аналог, который вместе
с исходным понятием объединяется в «суперобъект».
Формализм суперсимметрпп требует чисел нового сор-
сорта, которые отличаются от обычных тем, что умножение
пе коммутативно, а аптикоммутатиено: ху = —ух,
53

Б частности, х" = 0. Эти новые числа должны использо-
использоваться так же широко и на тех же правах, как ц обычные
числа. Например, они могут играть роль локальных
координат на многообразии, и таким образом возникает
понятие супермногообразия (см., например, [М]).
Для некоторых математических понятий нечетные ана-
аналоги достаточно очевидны, для других — более сложны,
а порой ц неожиданны. Я приведу здесь лишь несколько
сравнительно элементарных примеров, предоставляя чи-
читателю самому продолжить этот список. Попробуйте,
например, ответить на вопрос: что означает суперсиммет-
рпя в той задаче, над которой вы сейчас думаете (или ду-
думали недавно)?
2. Суперснмметрня в алгебре. Начнем с линейной ал-
алгебры. Суперапалогом линейного пространства является-
так называемое Za-градупроваппое линейное пространст-
пространство, т. е. пространство F, разбитое в прямую сумму V =
= Vo ф Fi, причем элементы Fo считаются четными,
а элементы Vt — нечетными. Пару (dim Fo, dim Fj)
назовем размерностью V (точнее, суперразмерностыо,
но я не хочу злоупотреблять приставкой «супер»).
Задача 1. Определите прямую сумму и тензорное
произведение 22-градуированных пространств так, чтобы
их размерности соответственно складывались и умножа-
умножались. (Заодно читателю придется определить н правила
сложения и умножения для размерностей.)
Задача 2. Назовем индексом 72-градупрованного
пространства V = Fo ф Vx число i(V) = dim Fo —
— dim F,. Докажите, что i(V ф W) = i(V) + i{W);
i{V ® W) = i{V)i(W).
Замечание 1. Иногда именно индекс считают
правильным супераналогом понятия размерности линей-
линейного пространства. Единственным недостатком индекса
в роли суперразмерности является нарушение принципа:
два пространства изоморфны, если их размерности сов-
совпадают.
Замечание 2. Понятие индекса Z2-rpaflynpo-
ваппого пространства уже давно употреблялось в алгеб-
алгебраической топологии. В самом деле, эйлерова характе-
характеристика, число Лсфшсца и другпс альтернированные
суммы — все ото примеры индексов.
Перейдем теперь к линейным операторам. Если F и
W — Zo-градуированные пространства, то совокупность
L(V, W) линейных операторов из F в W также снабжает-
снабжается естественной Z2-rpaflynpoBaTiiiou. А именно, оператор
59

А е L{V, W) записывается блочной матрицей
IIА АЛ
где Atj — оператор из Vj в Wt. Блоки, стоящие на глаи-
ной дпагопали, будел1 считать четными, а остальные — не-
чстнымп. Таким образом, еслп обозначить р(х) четность
объекта х (принимающую значения 0 и 1 mod 2), то для
оператора А и вектора v будет справедливо соотношение
р(Ах) = р(А) + р(х).	B)
Этот принцип принимается п для других мультипли-
мультипликативных операций: умножения операторов, тензорного
умножения, скалярного умножения векторов н т. д.
Правило 1. При умножении четности склады-
складываются.
Кроме того, во всех определениях супералгебры, со-
содержащих мультипликативные операции, появляются до-
дополнительные множители ±1 согласно следующему прин-
принципу *):
Правило 2. Если в какой-то формуле обычной
алгебры появляется несколько одночленов с переставлен-
переставленными членами, то в соответствующей формуле супер-
алгебры каждая перестановка соседних членов, скажем х
и у, сопровождается добавлением к этому одночлену мно-
жителя (_l)*°W.
Задача 3. Сформулируйте суперапалогп:
a)	условия коммутативности ху = ух;
b)	условия ассоциативности (xy)z = x(yz);
c)	тождества Якоби [х, [у, z]] -f- ly, [z, x]] +
+ lz, [х, у]] =0.
Важную роль в линейной алгебре играет понятие сле-
следа линейного оператора, действующего из V в V. Напом-
Напомним, что с точностью до числового множителя след харак-
характеризуется свойством tr {АВ) = tr (ВА), пли tr [А, В] =
= 0, где [А, В] = А В — В А. В супералгебре коммута-
коммутатор задается формулой **)
[А,В]=АВ - (-1)Р(А)Р(В)ВА.	C)
*) Нижеследующая формулировка заимствована па [М].
Физики предпочитают более сочную фразу: если что-то четности
а течет мимо чего-то четности Ь, то возникает знак (—1) .
**) Формула C) применима лишь к однородным (четным или
нечетным) операторам А и В. На общпп случай она распростра-
распространяется по линейности. Это замечание относится и к другим анало-
аналогичным формулам.
СО

Определил! суперслед оператора, записанного в виде A),
формулой
sir А — tr Лоо — tr Au.	D)
Задача \. Докажите, что str [Л, В] 0 для всех
А п В.
Задача 5. Докажите, что пространство L{V, V)
с операцией суперкоммутпрования является супералгеб-
супералгеброй Ли (проверьте выполнение тождества Якобн).
Результат задачи 5 можно сформулировать так: супер-
суперслед задает гомоморфизм супералгебры Лп L(V V) в
супералгебру R с нулевым коммутатором.
Далее хорошо было бы попытаться определить супер-
апалог определителя и установить тождество
sdet (exp A) = exp (str Л),	E)
хорошо пзвестное в четном случае. Это действительно
можпо сделать, однако далеко не так прямолинейно, как
мы рассуждали до спх пор.
Дело в том, что свойства определителя естественно
пзучать па языке теории групп Лп *), а эта теория су-
существенно нелинейна.
Попробуйте, например, определить понятие супер-
супергруппы так, чтобы совокупность GL (V) обратимых опе-
операторов в суперпространстве V была примером такого
объекта. Правильный ответ не прост п формулируется
на языке теории супермногообразпп, которой посвящен
последний раздел этого параграфа.
3. Суперсимметрпя в анализе. Назовем функцией чет-
четных переменных хг, х2, ..., хп и нечетных переменных
ii, i2.---.lm выражение
/(*, 9 = 2/Н*1, .... *n)gj,	F)
1
где суммирование ведется по всем наборам / = {iu in, ...
..., ik), I < i\ < i2 < ••• ik < n, lT означает Ц . .. |ih,
a /7(.^i, ..., xn)— обычные функции пеществепных пере-
переменных х1, .... хп. Мы будем считать их вещественными,
гладкими и финитными (т. е. равными пулю вне некото-
некоторого компакта). Выражения F) образуют, очевидно, алгеб-
алгебру относительно обычных операций сложения н умноже-
*) Группой Лп напивается группа, являющаяся также глад-
гладким многообразием, причем структуры группы и многообразия со-
гяасованы естественным образом: групповые операции являются
гладкими отображениями. Большинство групп, используемых в
приложениях, — группы Ли.
01

нпя (с учетом соотношений антнкоммутацпн |г?7- =
= — ?,j%i). Обозначим эту алгебру CjJ°(Rn>m). Как извест-
известно, основные операции анализа — дифференцирование и
интегрирование — можно определить в чисто алгебраи-
алгебраических терминах, используя структуру алгебры гладких
функций. Этот способ легко поддается «суперпзацин».
Напомним, что дифференцированием алгебры s& па-
яывается лилейное отображение д: $Ф -*¦ s?, обладающее
свойством (правило Лейбница)
д(аЪ) = д(а)Ь 4- ад(Ь).
Задача 6. Докажите, что всякое дифференциро-
дифференцирование алгебры C^°(Rn) имеет вид
df - 2 akdkf,
где Oft e C°°(R), a dh = didxh — оператор частной про-
производной по xk.
Для супералгебры ?& естественно определить супер-
супердифференцирование как отображение д: s? ->¦ s&, удов-
удовлетворяющее аналогичному условию («суперправнло
Лейбница»)
д{аЬ) = д{а)Ь + (_l)"(fi)^0) ад(Ь),
где р(д)— четность супердпфференгццзовання д.
В алгебре C^°(Rn'm) можно определить операторы
частных производных dh (соответственно бл) как четные
(соответственно нечетные) супердифференцпрования, нор-
нормированные условиями
Я оставлю читателям определение общих дифферен-
дифференциальных операторов в C^(Rn'm) и проверку того, что
они образуют ассоциативную некоммутативную супер-
супералгебру.
Задача 7. Докажите, что любой линейный опера-
оператор в пространстве C~(R°'m) может быть записан как
дифференциальный:
A=2,cI:Jb-6j,	G)
i.J
где / = {it <... <ift}, / = {Д <.., </,}, а с/:/ —
вещественные коэффициенты.
02

Перейдем к интегрированию ио суперпространству
Rn'm. Обычный определенный интеграл по пространству
R" с точностью до числового множителя характеризуется
свойствами:
1) интеграл является линейным функционалом на
()
)
2) интеграл обращается в нуль на образах операторов
dt, I ^ i ^ п.
Поэтому естественно определить интеграл по супер-
суперпространству так, чтобы он обладал аналогичными свой-
свойствами. Мы приходим к формуле
|	(8)
It".™	Rn
Именно с этой формулы началась теория интегрирова-
интегрирования на суперммогообразпях.
Задача 8. Докажите, что любой линейный опера-
о \Ч ) может быть записан как
интегральный:
= f A?,4)fD)dn4,	(9)
R0.m
где А(\, ц)— функция 2т нечетных переменных, а интег-
интеграл по переменным т) предполагается перестановочным
с умножением слева на переменные ?.
Задача 9. Докажите, что след оператора А, задан-
заданного равенством (9), можно вычислять по формуле
tr I f A&Dd'X	(Ю)
I$0,m
где операция ^ переводит одночлен ?г% в ц^.
Очень важным свойством интеграла является его по-
поведение при замене переменных. Для обычного четного
интеграла это поведение по существу закоднроиано в
форме записи (в случае одной переменной предложенной
еще Лейбницем): интегрируется не функция f(x), а диф-
дифференциальная форма j(x)dmx. Здесь dnx — краткое обоз-
обозначение /г-формы dxl Д dx2 Д ... Д dxn. Если перемен-
переменные хх выражены через другие переменные гД то форма
jn	D (x) n	D (г)
dx переходит в . а у, где д — якоопап замены
переменных, т. е, определитель патрицы Якоби
63

1ал1'0ух ... дР.'ду" II
• ¦ Заметим, что jto довольно громозд-
дяР/ду1 ... dS><Jyn\\
кое правило замены переменных в интеграле (вспомните
упражнения по анализу на вычисление кратных инте-
интегралов) является непосредственным следствием двух
простых принципов:
1) правило замены для дифференциала:
з
2) свойства внешнего произведения Д: а/\Ь =—Ъ/\а.
В нечетном случае выражение dn% уже не является
тензором! Ото новый геометрический объект, который по-
получил название интегральной формы пли формы Берези-
Березина в честь одного из основопопожников теории супер-
спмметрпи Ф. А. Березина A931—1080). Общее опреде-
определение интегральных форм естественно давать в контексте
теории супермногообразпй. Здесь я отмечу только, что
уже при линейных заменах переменных величина rf"'?,
в отличие от ddlx, не умножается, а делится иа определи-
определитель соответствующей матрицы, как видно из простейше-
простейшего примера:
h -+ Ш ~ - <к ¦ Ь, j Бх ... lmdnl = J т], ...
Задача 10. а) Вычислите пптеграл ] счр 2
но,» ' i
Ъ) Докажите, что определитель кососимметрпческой мат-
матрицы А размера 2т ' 2т является квадратом некоторого
многочлена Pf(A) степени т от коэффициентов этой
матрицы.
4. Поговорим теперь о супергеометргш. Как мы виде-
видели выше, и алгебра и анализ подводят к необходимости
определения понятия супермногообразия.
Я пе буду здесь давать строгого определения супер-
многообразия, отсылая читателя к [М], [Л] и [ВВ]. Ска-
Скажу лишь, что это можно сделать по аналогии с понятием
алгебраического многообразия в его современной форме.
*) Этот факт имеет принципиальное значение в квантовой тео-
теории поля, где с его помощью успешно борются с расходимостями.
Тем, кто хочет познакомиться с этим подробнее, я советую прочи-
прочитать предисловие и впедетше к [М], а затем указанную там литера-
литературу (см., например, [СФ]).
64

Наггоное определение алгебраического многообразия
М как множества а аффшшом или проективном простран-
пространстве над полем К, задаваемого системой алгебраических
уравнений, в современной математике сменилось на функ-
торцалыше. А имении, Л1 определяется как функтор из
категории ком-мутатшшых К-алгебр л категорию мно-
множеств: каждой алгебре si над К соответствует множество
М& si-точек М, т. е. решений соответствующей системы
уравнений с координатами из алгебры si. Если в этом
определении заменить термин «коммутативная алгебра»
на «суперкоммутативная супералгебра», мы получим опре-
определение супермпогообразпя.
Таким образом, мы отказываемся от теорстнко-мпо-
жественпого подхода п описываем все свойства супер-
супермногообразий в терминах функций па них. В частности,
вместо отображения М -> N мы рассматриваем соответст-
соответствующий гомоморфизм алгебр C°°(N) -*¦ С°°[М), а роль
точки т е М играет максимальный идеал в алгебре функ-
функций на М. Отметим, что в отличие от обычных многообра-
многообразий супермногообразне не определяется множеством своих
точек.
Приведу один простой, по важный пример супермпого-
образия. Рассмотрим алгебру si- гладких функций f(t, т)
одной четной переменной t и одной нечетной перемен-
переменной т. Эту алгебру можно рассматривать как алгебру
гладких функций па супермногообразпп М размерности
A, 1), которое является супераналогом обычной прямой.
По аналогии с четным случаем назовем векторным полем
на М дифференцирование алгебры si.
Задача 11. Докажите, что каждое четное (соот-
(соответственно нечетное) поле имеет вид
v = f(t)d!dt -f- g(t)xd.'de (соответственно ? = (рA)тд/д1 +
+ Щ^д/дх). A1)
Совокупность векторных полей па М образует супер-
супералгебру Лп относительно операции суперкоммутирова-
ния
[Vl, v2] = vlVi - (- lf^P^ [Vl, v2].	A2)
Замечательно, что привычное нам четное поле v0 =
— dldt является квадратом нечетного поля ?0 = dldx +
+ xdldt. Это имеет принципиальное значение для теоре-
теоретической физики. В самом деле, пусть переменная t озпа-
5 А, А. Кириллов	65

чает время. Все законы изменения фпзпчеекпх величин
со временем формулируются в терминах поля v0 и, следо-
следовательно, должны быть следствиями более фундаменталь-
фундаментальных законов, формулируемых в терминах поля ?0.
Изменение со временем — это специальный случай
действия группы — в данном случае аддитивной группы
R на многообразии, играющем роль фазового пространст-
пространства (или пространства состояний) физической системы.
Другие примеры возникают при наличии разного рода
симметрии у рассматриваемой системы. Роль группы сим-
симметрии, как правило, играет некоторая группа Ли (группа
параллельных переносов, группа вращений, группа Лорен-
Лоренца, группа Пуанкаре и т. д.). Идея суперсимметрии
в физике состоит в том, что вместо этой группы Ли нужно
рассматривать более широкую супергруппу Ли. При этом
оказалось, что большинство рассматривавшихся ранее
групп симметрии (в частности, все перечисленные выше)
обладают естественными расширениями до супергрупп.
Пример. Пусть V = Fo ф Vx — Zjj-градуированное
векторное пространство. Определим супергруппу GL(F)
следующим образом. Для любой суперкоммутативной ас-
ассоциативной супералгебры s& определим множество
GL (F)^ как совокупность обратимых матриц вида A),
у которых четные блоки состоят из четных элементов
алгебры s&, а нечетные блоки — из нечетных. Тем самым
мы определили супермногообразие GL(F). Чтобы ввести
на нем структуру группы, нужно определить морфизмы
GL(F)x GL(F) -> GL(F) и GL(F) -> GL(F), задающие за-
закон умножения и переход к обратному элементу. Мы не
будем этого делать, поскольку не определили аккуратно,
что такое морфнзм супермногообразий. Читатель может
попытаться восстановить детали самостоятельно или обра-
обратиться к [Л] и [М].
Задача 12. Докажите, что формула
sdet А = det (Лоо - AolA^Aw). det (A^1)	A3)
задает гомоморфизм группы GL(F)^ в группу
обратимых элементов алгебры s4-.
Этот гомоморфизм называют супердетерминантом или
березинианом оператора s4- и обозначают также Вег s4-.
Задача 13. Сформулируйте правило линейной за-
замены переменных в интеграле (8).
Задача 14. Докажите формулу E).
66

Задача 15. Докажите, что Бег определяет гомо-
гомоморфизм супергруппы GL(F) в супергруппу GLA).
5. Суперсимметрия и арифметика. Это — новый сюжет
в математике, которому посвящено пока не так много ра-
работ. Интересным примером является недавняя статья гол-
голландского математика Д. Спектора «Супсрсимметрня и
функция Мёбиуса», опубликованная в журнале «Сообще-
«Сообщения математической фпзпкп» в 1980 г. Б ней речь идет о
физической интерпретации некоторых теорстнко-чпеловых
функций п, в частности, функции Мёбиуса *)
|(— 1)п, если п является произведением
к различных простых чисел,
0	в нротшшом случае.
Главным предметом изучения в статистической меха-
механике является так называемая статистическая сумма как
функция температуры системы. В квантовой теории эта
величина равна tr е~$р, где Р — оператор энергии, ар —
параметр, обратно пропорциональный температуре ф~1 =
= кТ, где к — постоянная Больцмапа). В системе с су-
персимметрпей основное гильбертово пространство Н яв-
является суперпространством, а оператор энергии Р имеет
вид Q3, где Q — нечетный антнэрмитов оператор. В такой
ситуации справедлива формула Витптена
str е"Рр = ind ker P,	A4)
где ker P = {ie H\Px = 0}, a ind означает разность
размерностей четной и нечетной компопенты (см. п. 1).
В частности, левая часть па самом деле не зависит от |3!
Переходя в A4) к пределу при р -»- 0 или Р -> <х>, можно
получить много красивых и важных соотношений (кото-
(которые, разумеется, зависят от рассматриваемой системы).
В статье Спектора рассматривается модельная спсте-
ма, в которой участвуют бозонные и фермиоппые части-
частицы, нумеруемые простыми числами. Каждое чистое со-
состояние системы (такие состояния соответствуют векто-
векторам ортонормированного базиса в Н) определяется на-
наличием заданного числа частиц каждого сорта. Пусть,
например, имеется /сг бозонных н ег фермпоиных частиц
сорта pi (напомним, что сорта частиц соответствуют про-
*) Основные свойства этой функции и ее обобщений см. в [КГ],
задачи к § 1 гл. 1.
5*	С7

стым числам). Здесь kt — целое неотрицательное число,
а ег — либо 0, либо 1 в силу принципа Паули. Это со-
состояние удобно нумеровать парой (N, d), где
i	i
Приведем математическую формулировку того, что физи-
физики называют статистикой Бозе — Эйнштейна плп Фер-
Ферми — Дирака. Пусть L — пространство одночастпчных
(соответственно бозопных нлп фермпоппых состояний).
Тогда полное пространство // имеет вид S{L+) ® A(L_),
где S означает симметрическую, а Л — внешнюю алгебру.
Ясно, что N может быть любым натуральным числом,
ad — любым делителем N, свободным от квадратов (т. е.
не делящимся ни па какой квадрат, отличный от 1). Чет-
Четность состояния (N, d) определяется числом простых со-
сомножителей в d. А именно, (—i)p(iY-d) = u.(d).
Задача 10. Выведите из формулы Впттена соот-
соотношение
= ЕМ-	A5)
Ответы и у к а з а н и я
1.	Положите (V © W). = V. ф W., i = 0, 1; (Г ® W). =
= © (V- ® Wj+O- Сложение размерностей определяется поколпо-
нептпо, а умпоженпс — формулой (a, b)(c, d) - (ас -\- bd, ad-\-
+ Ьс). Таким образом, размерность — это элемент алгебры Кчпф-
форда С10!
2.	Отображение (а, Ь) *-* а — Ъ является гомоморфизмом алтеб-
ры Клиффорда С1 0 в R. Укажите другие гомоморфизмы.
3.	а) ху = (—1^пх)р(у) уХ-^ другими словами, четный элемент
коммутирует с любым другим, а два нечетных элемента антпком-
мутируют;
b)	формулировка не меняется:
c)	(-iji
Иногда эту формулу называют «правилом крайних членов», по-
поскольку дополнительные множители определяются четпостямп
крайних членов в каждом одночлене. Практически, однако, удоб-
пее исполыювать другую запись этого тождества: ad x[y, z\ =
- - [ad ху, z] -,- (-l)PW^) [у, ad аи], где ad х: у -> [х, у].\
G8

4.	Рассмотрите отдельно случаи двух четных операторов, чет-
четного п нечетного оператора н двух нечетных операторов. В послед-
последнем случае не забудьте, что коммутатор задается формулой
[А, В] = АВ + ВЛ.
5.	См. указание к задаче 4.
6.	Непосредственная проверка соответствующих тождеств.
7.	Докажите, что операторы-одночлены, входящие в правую
часть G), лппешю независимы. Воспользуйтесь так же тем, что
dim С °°(R°'m) = 2m.
8.	См. указание к задаче 7.
9.	Проверьте A0) для случая, когда А — одночлен.
10.	а) С помощью лппейпой замены переменных | можно при-
привести матрицу А к блочно-диагопалыюму виду с нулевыми блоками
размера 1 X 1 и невырожденными блоками размера 2X2. Ответ
(dct А) 1. Ь) Выражение под знаком интеграла является много-
многочленом от коэффициентов At-.
11.	Векторное поле (как дифференциальный оператор) опреде-
определяется своими значениями на образующих t п т алгебры s&.
12.	Подробное доказательство приведено в [Ml.
13.
где у. ' ¦ —матрица замены переменных. В такой форме резуль-
результат справедлив и для широкого класса нелпнейпых замеп, см. [Л].
14.	Один из способов: замените Л на tA, fe R, и рассмотрите
зависимость правой и левой части в E) от t.
15.	Следует пз задачи 12 и определения понятия гомоморфизма
для супергрупп как групповых объектов в категории супермного-
образпй.
16.	Возьмите в качестве оператора Р диагональную матрицу
с собственными значениями 1(N, d) = N~s. (Ср. также вычисление
числа Тамагавы для окружности в § 2.)
§ 8. Решеточное дифференциальное
и интегральное исчисление
Элементарная длина — то же, что и
фундаментальная длина.
Физический энциялопедичесутй словарь,
Москва, СЭ, 1983.
1. Физики до спх пор спорят о том, как угтроепо на-
наше пространство на очень малых расстояниях: является
ли оно безгранично делимым, пли существует некоторая
«элементарная длипа». В последнем случае роль число-
СО

вой прямой должно играть некоторое дискретное (т. е.
состоящее из изолированных точек) множество. По раз-
разным соображениям в качестве такого множества удобно
взять бесконечную в обе стороны арифметическую про-
прогрессию с разностью h > 0 mm геометрическую прогрес-
прогрессию со знаменателем q > 1.
Оказывается, на такой «дискретной прямой» или «ре-
«решетке» существует красивый аналог классического мате-
математического анализа.
2. Рассмотрим сначала случай арифметической про-
прогрессии и предположим для упрощения формул, что
h = 1. Другими словами, вместо обычной прямой R мы
будем рассматривать «дискретную прямую» Z. Пусть
/ — вещественная функция на Z (т. с. бесконечная в обе
стороны последовательность вещественных чисел). Все
такие функции автоматически непрерывны. Более того,
все они дифференцируемы, если определить решеточную
производную Д/ функцип / формулой
Решеточным интегралом функции / назовем величину
B)
m	h*=m
Us этих определений немедленно вытекает решеточ-
решеточный аналог формулы Ныотоыа — Лейбница: если Д/ = /'',
то
п
C)
Далее, в обычном анализе важную роль играют мно-
многочлены
Р„{х)=хп\.
Они характеризуются следующими свойствами:
DP0 = О,
DPn = Pn-i при п > 1
и
Р @) = I1 ПР" " "~ U'	М)
(О при п ^ 1,	- '
где D = d/dx — оператор дифференцирования. Решеточ-
Решеточным аналогом этих многочленов являются многочлены
70

П„(лг), характеризуемые условиями:
ДП0 = О,
ДП„ = П„_1 upu n >
ц
при п =
при п^1	* '
где А — оператор решеточного дифференцирования.
Задача 1. Вычислить П„(а;).
Задача 2. Пусть f(x)—многочлен степени п, кото-
который принимает целые значения при всех целых х. Дока-
Доказать, что
f{x)=J^chUh(x),	E)
где ch — целые числа, вычисляемые по формуле
Формула E)—решеточный аналог формулы Тейлора.
С помощью многочленов Ilh можно вывести полезные
формулы суммирования. Например, чтобы вычислить
сумму ^2 (п) = I2 + 22 + ... + п2, достаточно заметить, что
х2 = 2П2(а;)+ ITi (л;) и поэтому
S2{n) =
= 2(Пз(»+ 1)-
= 1/3 (n+l)n(n—l)+l/2-(n+l)n
= l/6-n(n +
Для вычисления более общих сумм Sh(n) = lh + 2" + ...
... + nh nyjKiio уметь выражать многочлены Рт {х) че-
через П„(а;) и обратно. Из задачи 2 вытекает, что для
каждого п набор {Пк(а;)}о<Л<п, как и [Ph (x) }o<ft<n, явля-
является базисом в пространстве всех многочленов степени
<п. Поэтому существуют такие коэффициенты {ani} и
{bni}, что
п
П„ (х) = 2 aniPi (x),
г=0
}"=0
71

Задача 3. Докажите, что при и ^ 1
ani=(-l) ""'/и,
Ь„ = t/я!.
ЧТООЫ ПОЛНОСТЬЮ ВЫЧИСЛИТЬ Коэффициенты {fl,,j} II
ibnj), мы воспользуемся тем, что операторы обычного и
решеточного дпффорелцпровашш связаны формулой
Д = eD — 1.	G)
Я надеюсь, что у читателя, который хотя бы бегло
просмотрел § 5, не возникнет педоумешш по поводу
смысла выражения eD (экспоненты от оператора) в пра-
Boii части равенства G). Прежде чем доказывать ото ра-
равенство, уместно вспомнить о шаге решетки h, который
мы положили равным 1. В общем случае решеточная
производная определяется формулой
(Г)
Задача 4. Докажите, что формула Тейлора для
многочленов экпнпалсптна равенству
Дл=(^_1)/А,	G')
которое при h = I превращается в G).
Вместо того чтобы вычислять отдельно каждый коэф-
коэффициент flm- и bnj, мы вычислим их все сразу, найдя так
называемые производящие функции
А (х, у) = 2 a,lkJcnyh
В {г, у) 2 Ь„ьХ«уК
Задача 5. Докажите, что
Л(х, у) = A
Вернемся теперь к формулам суммирования. Пас ин-
интересуют суммы вида B), т. с. решсточпые интегралы.
Поскольку при h ->- 0 формулы решеточного анализа пе-
переходят в формулы обычного анализа, естественно попы-
попытаться выразить сумму B) через обычную первообраз-
72

ную ST(x) функции /. Такое выражение было найдено
два с половиной века тому назад Маклорепом и, по-вп-
дпмому, еще раньше было известно Эйлеру. Оно называ-
называется формулой суммирования Эйлера — Маклорена.
Идея его вывода (по Эйлеру) чрезвычайно просга. Пусть
F(x)— решеточная первообразная функции /. Тогда
AF = f = D3T, откуда F = DI(eB — 1)ЗГ. Используя чис-
числа Бернуллп (см. § 2). можно показать, что х/(ех— 1) =
:= 2 Впхп/п\, н поэтому F= 2 Bn&*n'/nl. Отсюда сле-
дует искомое равенство:
"	(п) - ^ (m))/s\.	(8)
h=in
Задача G. Выведите пз формулы Эйлера — Макло-
Маклорена (8) следующие символические равенства:
l), (9)
(В + \)h = Bh при к>2.	A0)
Понимать jth равенства надо так: после раскрытия
скобок «се выражения Вк надо заменить на Bk. Заметим,
что A0) удобно использовать для рекуррентного вычис-
вычисления чисел Берпуллн. Например, при к = 2 мы имеем
В2 + 2Bi + 1 = В2, откуда Ву = —1/2.
Задача 7. Докажите формулы:
ctga;= Цх- S |JB2ft|-22/l.a:sft-VB/.-)!,
Рассмотрим решеточный аналог окспонепты см.
В обычном анализе эту функцию можно определить либо
как сумму ряда ~2iknPn(x), либо как решение дпффереп-
п П
цналыюго урамнення Df(x) = X-f(x) с начальным ус-
условием /@)= 1.
Задача 8. а) Для каких х сходится ряд
п какова его сумма?
б) Покажите, что Е(х) удовлетворяет разностному
уравнению
= X ¦ Е.
73

3. Перейдем к случаю геометрической прогрессии. То- ^
перь переменная х пробегает множество	с
§z = {qn |«eZ} *).
Обозначим через Dq решеточную производную:
^.	en;
I
Продолжая аналогию с п. 2, определим семейство '
многочленов {Qn(x)}n>o условиями:
DQ0 = О,
UQn = Qn-i при п > 1	,
л
при п = 0,	„
при /г^1.
Задача 9. Покажите, что
где (ив)! = 1, • 2, ¦ ... • щ, а
и, = l + g + g2 + ... + gn-1 = (?" — 1)/(^ — 1)-
Таким образом, многочлены Qn(x) получаются из
Рп(х) заменой знаменателя п\ па его «квантовый ана-
аналог» (или «g-аналог») (nq)\, в то время как II,,(х) полу-
получались из Рп(х) заменой числителя х" па его решеточ-
решеточный аналог х(х — h) (х — 2/г).. .(х — {п — 1)Л).
Рассмотрим теперь ^-экспоненту
ехщ(Кх)= 2 >"-Qn(x).	(И)
Из определения QH(x) легко выводится, что с\рчСкх)
удовлетворяет разностному уравнению
Dq ехр,(Хж) = Я • ехр9(Ха;).	A2)
которое можно переписать так:
¦ exp,(ea;)=exp,(a;)-(l+(g— 1)х).
*) Буква q в различных приложениях имеет разный смысл.
Можпо, например, считать ее еще одним независимым переменным,
пробегающим вещественные или комплексные ненулевые зпачи-
ния; в другом коптексте q озпачает число элементов конечного по-
поля. Есть интересные теории, в которых q — кореш, пч едпшщы.
Наконец, можно считать д просто буквой и рассматривать много-
многочлены, рациональные функции или формальные степенные ря-
ряды	1
74

Заменяя здесь х последовательно на qx, q2x, ..., qn~xx и
перемножая эти равенства, мы приходим к соотношению
expg (q"x) = expg (х) П
ft
Заметим, что в кольце формальных степенных рядов от
q (а также, при малых </, в кольце аналитических функ-
функции от х) бесконечное произведение
сходится и удовлетворяет тому жр уравнению A2), что
н o\\}q{x), с тем же начальным условием /@)=1*).
Поэтому
Подставляя вместо х величину х/(\ —q), мы получаем
замечательное тождество
которое, если исномнить определение ехр9(а:), записыва-
записывается в виде
A3)
В настоящее время для многих элементарных и спе-
специальных функций обнаружены нетривиальные д-анало-
ш. Они естественно появляются в связи с квантовыми
группами, теорией чисел, комбинаторикой и топологией.
К сожалению, весь этот материал разбросан по многим
статьям и препринтам, а частично существует в виде
фольклора. II приведу зт;есь лишь три интерпретации
(/-аналога биномиальных коэффициентов
-*)*)'"
*) Пто рассуждение не вполне корректно, так как точка х =
= 0 не лежит в множестве gZ. Однако этот пробел можно уст-
устранить.
75

1.	Если q — чпсло элементов копечпого поля Fg. то
I") —число /е-мерных пространств в и-мерном простран-
пространстве над F9 (см. задачу 3 гл. 1).
2.	Если q — комплексное чпсло, |д| = 1, а и, v —
координатные функции квантового тора (см. § 7), свя-
связанные соотношением vu = quv, то I") —коэффициент
в разложошш «квантового бинома»:
(	)
3. Пусть q — формальпая переменная. Величина (п)
является многочленом степени к(п — к) от q:
, ч	fi(n-ft)
1)
Оказывается, коэффициенты msn,h допускают следую-
следующую замечательную интерпретацию. Рассмотрим два
пространства, в которых естественно действует симмет-
симметрическая группа 5„: пространство L~ = Afc(|i, |г, • • •, ^«)
однородных; гармонических многочленов степени /с от ап-
тпкоммутпрующцх переменных |ь |г, •• •, |» » простран-
пространство Jj = Ж*п(хх, х2, . .., хп) однородных гармоипчсггагх
мпогочлепов степени s от обычных переменных х\, х2, ...
..., хп. Термин «гармонический» здесь означает, что рас-
рассматриваемый многочлен аннулируется всеми 5и-ппва-
рпантпымп дифференциальными операторами вида
где di означает оператор дифференцирования по i-ii пе-
переменной, а в качестве к достаточно взять значения
1, 2, ..., п в случае L+ и значение 1 в случае L~. Пусть
HomSn(L+, L~) означает пространство линейных: опера-
операторов из L+ в L~, перестановочных с депстипем i.Vn. Тогда
dimIIomSn(L+, L~) = m*,ift.
Ответы п указания
1.	Пп(х) = а:(я- 1) ... (.г - п + 1)/л!.
2.	Приленить Ah к обеим частим равепства E) и поло-
л;ить х = 0.
76

3.	Пндукщш по п (см. также последующий текст).
4.	Непосредственная проверка.
5.	Выведите рекуррентные соотношения:
6.	а) Прямое вычпелепио.
б) Следует пз а).
7.	Для вывода первой формулы запишите котангенс в виде
для второй воспользуйтесь тождеством
tg .г — ctg х — 2 ctg 2x.
8.	а) Для .г > О
Е{х) = (Ц- й)«/*.
9.	Индукция по и.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[A]	Л т т. я М. Локцпп по К-тсорип.— М.: Мир, 1907.
[Б]	Березин Ф. А. Метод вторичного квантования.—
М.: Наука, 1965.—2-е изд.—М.: Наука, 1986.
[БР] Браттоли О., Робинсон Д. В. Операторные
алгебры и квантовая статистическая механика.—¦ М.:
Мир, 1985.
[B]	В ей ль А. Основы теорпп чисел.—М.: Мир, 1972.
[ВВ ] 'Владимиров В. С, В о л о в и ч И. В. Введение
и суперанализ // Теорет. и мат. физика.— 1984.— Т. 59,
№ 1.— С. 3—27; Т. СО, № 2.— С. 169—198.
[ГГПШ] Ге л ьфан д П. Ы., Граев М. И., П я т е ц к и fi-
fill] а п и р о И. И. Теория представлений и автоморфные
функции.— М.: HajKa, 1966.— (Обобщенные функции.—
Вып. 6.)
[ГТ« ] Г v л ь ф а н д II. М., Кириллов А. А. Структура
тела, слизанного с нолупростой расщсппмой алгеброй
Ли//Функцион. анализ и его ирил.— 1969.— Т. 3,
№ 1.— С. 7—26.
[ГМ] Гольфанд С. II., М а н и н 10. И. Методы гомоло-
гомологической алгебры. 1: Введение в теорию когомологий и
производные категории.— М.: Наука, 1988.
Щ]	Д п к с м ь е Ж. Об алгебрах Вейля//Математика
(сб. переводов).— 1969.— Т. 13, № 4.— С. 16—44.
[К]	Кириллов А. А. Элементы теории представлений.—
М.: Наука, 1972.—2-е изд.—М.: Наука, 1978.
[Ко] Ко б лиц Н. р-адическпе числа, р-адический анализ
и дзета-функция.— М.: Мир, 1981.
[КГ] Кириллов А. А., Г виши а ни А. Д. Теоремы
и гад!чп функционального анализа.— М.: Наука, 1979.—
2-е изд.—М.: Наука, 1988.
[КОШ] Картье П. Сингулярные возмущения обыкновенных
дифференциальных уравнений и нестандартный анализ //
УМН.— 1984.— Т. 39, № 6.— С. 57—76;
Нестандартный анализ и сингулярные возмущения
обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН.—
1984.— Т. 39, № 6.— С. 57—127.
[ККС] Кириллов А. А., Клумова И. Н., Сосин-
Сосинский А. Г>. Сюрреальные числа // Квант.— 1979.—
№ 11.— С. 2—9.
[Л]	Л е й т е с Д. А. Введение в теорию супермногообразий //
УМН.— 1980.- Т. 35.— № 1.— С. 3-57.
78

[Ml Манпн ТО. II. Калибровочные поля и комплексная
геометрия.— М.: Наука, 1984.
[РТФ] Р е ш е т и х и и Н. 10., Т а х т а д ж я н Л. А., Ф а д-
д е е в Л. Д. Квантование групп Ли п алгебр Лп // Ал-
Алгебра и анализ.—1989.—Т. 1,— № 1.— С. 178—206.
[СФ1 С л а в и о в А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в тео-
теорию калибровочных полей.— М.: Паука, 1978.
1У] Успенский В. А. Что такое нестандартный ана-
анализ?— М.: Наука, 1987.
1ФП] Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР Современные
проблемы математики. Фундаментальные направления.
[X]	X ь ю я м о л л е р Д. Расслоенные пространства.— М.:
Мир, 1977.
[D]	Математическая энциклопедия. Т. 1—5.— М.: Советская
энциклопедия, 1982—1985.

Научное издание
НИР ПЛЛОВ Александр Александрович
ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛО?
Серия «Современная математика для студентов»
Выпуск 4
Заведующий редакцией А. П. Баееа
Редактор В. В. Допченко
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор А. П. Колесникова
Корректор В. П. Сорокина
ИБ М 41558
Сдано в набор 02.12.91 Подписано к печати 28.12.92.
Формат 84x108/32. Бумага тип. Д12. Гарнитура обыкновенная. Печать
высокая. Усл. печ. л. 4,2. Усл. кр.-отт. 4,62. Уч.-изд. л. 3,02.
Тираж 1600 экз. Заказ К» 116С. С—010.
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
ВО «Наука»
117071 .Москва B-7I, Ленинский проспект, 15
Новосибирская типография № 4 ВО «Наука»
630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25