БИБЛИОТЕКА
РАСЧЕТЧИКА
Редакционная
коллегия:
лауреат Ленинской премии»
заслуженный деятель науки
и техники РСФСР,
д-р техн, наук проф.
С. Д. ПОНОМАРЕВ
(председатель);
д-р техн, наук
проф. Н. А. АЛФУТОВ;
лауреат Ленинской премии»
д-р техн, наук
проф. В. Л. БИДЕРМАН;
д-р техн, наук
проф. В. П. КОГАЕВ;
лауреат Ленинской премии»
заслуженный деятель науки
и техники РСФСР,
д-р техн, наук
проф. Н. Н/МАЛИНИН;
д-р техн, наук
проф. В. А. СВЕТЛИЦКИИ
ЕД.ДЕЛЬ
Технологическая
механика
с________________________J
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1978
6П5.1
Д29
УДК 621.01:531
Рецензент В. Л. Данилов
Дель Г. Д.
Д29 Технологическая механика. М., «Машинострое-
ние», 1978. — 174 с. с ил. £Б-ка расчетчика).
В книге излагаются методы исследования устойчивости пластического
деформирования, оценки деформируемости металлов при их механической
обработке, вопросы, связанные с технологической наследственностью, неко-
торые экспериментальные методы определения напряжений и кинематики
пластического деформирования.
Книга предназначена для ин ж ев еров-конструкт о ров и расчетчиков
машиностроительных проектно-конструкторских организаций и научно-
исследовательских институтов. Она будет также полезна инженерно-тех-
ническим работникам, специализирующимся в области технологии метал-
лообработки.
31301-027
038(01)-78
27-78
6П5.1
© Издательство «Машиностроение», 1978 г.
Предисловие
В последнее время резко возросла роль расчетов в проек-
тировании технологических процессов. В' связи с быстрым раз-
витием техники, появлением новых методов обработки метал-
лов технологи уже не располагают временем для накопления
данных практики. Реализация проектируемых процессов в лабо-
раторных условиях оказывается подчас весьма дорогостоящей,
тем более, когда она не подкреплена соответствующими рас-
четами. В связи с автоматизацией технологических процессов
остро встала проблема их оптимизации. Поэтому от технолога,
проектирующего процесс, который связан с пластическим де-
формированием металла, часто требуется не только расчетная
оценка энергосилбвых параметров, знание которых необходимо
для подбора и расчета на прочность и жесткость технологиче-
ского оборудования, но и оценка деформируемости металла,
устойчивости его пластического деформирования. Важное зна-
чение придается вопросам технологической наследственности:
остаточные напряжения, механические свойства материала,
точность изделия в значительной мере определяют его качество.
Перечисленные задачи объединяет то, что они решаются ме-
тодами механики деформируемых твердых тел. Цель книги —
'изложение методов решения такого рода технологических задач
.аппаратом механики деформируемых твердых тел. Для реше-
ния указанных задач требуется знание напряженно-деформиро-
ванного состояния в процессе пластического деформирования
обрабатываемого металла. Теоретическим методам его опре-
деления посвящена обширная литература, экспериментальные и
экспериментально-расчетные методы освещены в литературе
сравнительно слабо. Между тем в связи с серьезными математи-
ческими и вычислительными трудностями при использовании
теоретических методов, не достаточным знанием граничных ус-
ловий роль экспериментальных методов остается весьма важ-
ной. В связи с этим одна из глав книги посвящена экспери-
ментально-расчетным методам определения напряженно-дефор-
мированного состояния в пластической области. При написании
этого раздела автор стремился концентрировать внимание на
задачах, связанных с расшифровкой экспериментальных дан-
ных, представляющих собой весьма своеобразный класс задач
механики. В других главах излагаются методы решения раз-
личных технологических задач: исследования устойчивости пла-
стического деформирования, оценки деформируемости, а так-
же некоторые вопросы, касающиеся влияния технологии изго-
товления деталей на их качество.
В книге не рассмотрены методы оценки энергосиловых па-
раметров при различных технологических операциях, поскольку
им посвящена обширная литература.
Рассматриваемые в книге технологические задачи близки ко
многим задачам в области прочности деталей машин и элемен-
тов конструкций. Экспериментальные методы исследования пла-
стических деформаций деталей машин и обрабатываемого мате-
риала имеют много общего. Результаты исследований устойчи-
вости пластического деформирования н деформируемости могут
в некоторых случаях быть основой для определения разрушаю-
щих нагрузок.
Название книги заимствовано у П. Людвика. Его известная
монография «Основы технологической механики» была издана
в 1913 г. и лишь недавно переведена на русский язык. В 1969—
1970 гг. примерно одновременно проф. Н. Н. Малининым и
автором книги был прочитан курс лекций под тем же назва-
нием. При этом была выработана отраженная в этой книге
точка зрения на предмет и содержание технологической ме-
ханики.
Глава I
Основы теории
пластичности
§ 1. Теория напряженного состояния
Выделим в произвольном сечении тела бесконечно малую
площадку dS. Пусть на ней действует распределенная внут-
ренняя сила с равнодействующей dP. Полное^ напряжение оп-
— dP
ределяется путем предельного перехода о =
В дальнейшем наряду с привычным обозначением коорди-
нат через х, У, z будем пользоваться их обозначением через
xs, х2, х3 или Xt (i = 1, 2, 3).
Поместим начало координат в напряженную точку А
(рис. 1). Каждому направлению, заданному единичным векто-
ром р, соответствует бесконечно малая площадка BCD пло-
щадью dS, на которой действует полное напряжение Оц. На-
правлению %] соответствует площадка dSpi и полное напряже-
ние щ, направлению х3 — dS^i2 и а2 и т. д. (на рисунке показаны
векторы полного напряжения, соответствующие направлениям
—X], —Xs, —х3). Условие равновесия призмы ABCD можно
записать в виде
o^dS — c^dSfa — oadSp2 — (%dSy3 ~ О
нлн	(1.1)
= °7Ро
Здесь и в дальнейшем повторяющаяся буква индекса ука-
зывает на то, что имеется в виду сумма из всех членов, полу-
чаемых при приписывании индексу значений 1, 2, 3, Такой ин-
декс называется немым. Очевидно, что немые индексы можно
заменять любым другим обозначением. Этой возможностью
приходится часто пользоваться, поскольку в каждом одночлене
немой индекс может встречаться только 2 раза.
Проецируя векторы су- на координатные оси, получаем де-
вять компонент тензора напряжений ог> Смысл обозначений
ясен из рис. 2. Напряжения Оц, щгг, <тзз называют нормальными,
а напряжения Oi2, суз,...— касательными. На рис. 2 все напря-
жения положительные.
7
Приравняв нулю суммы моментов всех сил, действующих на
элементарный параллелепипед, изображенный на рис. 2, полу*
чаем закон парности касательных напряжений = указы-
вающий на то, что тензор напряжений является симметричным
Проецируя векторное равенство (1.1) на координатные оси,
получаем уравнения Коши
(Оц)/ = р}‘ ~ ЗД,	(1-2)
где Pj — проекция интенсивности поверхностных сил на коор-
динатные оси.
Если совместить направление р с положительным направ-
лением оси x'k некоторой «новой» системы прямоугольных ко-
ординат, то согласно (1.1)	где — полное напря-
жение, действующее на площадке, перпендикулярной к оси
Cik — косинус угла между осями х{ <и x'k «старой» и «новой»
систем координат. _
Проецируя вектор на ось х\ получаем
^kl == Cih (&i)l =	(1-3)
где (Ог)\ — проекции вектора о, на ось x'i. Здесь применено
правило преобразования проекций вектора на координатные
оси при преобразовании координат.
Таким образом, при преобразовании координат компонен-
ты тензора напряжений преобразуются по формуле (1.3).
Направление ц называется главным, если на перпендику-
лярной к нему элементарной площадке не действует касатель-
ное напряжение. В силу этого вектор полного напряжения на-
правлен вдоль jjl, а его проекции на координатные оси х} равны
ощд где oj — модуль этого вектора. Из (1.1) следует, что
те же проекции равны; (ом)
8
Таким образом, для главного направления o/fij или
(af/ —аД-,)^ = 0,	(1.4)
Где — символ (или дельта) Кронекера, свойства которого
определяются соотношением
= f 1 при I = /,
| 0 при i =/= /.
Поскольку
^1 + ^+Рз^1’	(е5>
составляющие ,щ- не могут одновременно быть равными нулю,
поэтому нулю должен быть равен определитель системы урав-
нений (1.4):
(0Гц —о,)	<*12	<*13
а21	(<*22“ <*()	<*23
<*31	<*32	(°33 — Э
- 0.
(1.6>
Решением этого уравнения, получаются напряжения, дейст-
вующие на главных площадках, их называют главными.
Раскрыв определитель (1.6), получаем характеристическое
уравнение
03-/,^-/^,-/, = 0,	(1.7)
где /1 — сумма диагональных элементов тензора напряжений,
Л =	= <Тц + а23 + огзз;	(1.8)
/з — сумма миноров диагональных элементов тензора, взятых
с обратным знаком,
Л — 	<*11<*22 	<*11СТ33 — <*22<*33 + <*^2 + <*П + <*23 ’	(1.9)
Ц — детермииат матрицы, <*11	°<12	<*13	
^3	О21 СГ22	• <*31	<*32	<*33	(1.10)
Коэффициенты уравнения (1.7) /ь /2, /3 называются основ-
ными инвариантами тензора напряжений.
Таким образом, если в какой-либо прямоугольной системе
координат заданы компоненты тензора напряжений mj, то мож-
но, вычислив предварительно по формулам (1.8) — (1.10) основ-
ные инварианты этого тензора, решением уравнения (1.7) опре-
делить главные напряжения. Главные направления находятся
решением системы уравнений (1.4),	(1.5), в которые вместо
<Tj подставляют соответствующее главное напряжеиие.
9
В системе координатных осей, совмещенных с главными на-
правлениями, матрица тензора напряжений является диаго-
нальной
/ CTj 0 0 \
I 0 оу О (.
\ О 0 G3J
В любой иной прямоугольной системе координат в соответст-
вии с (1.3)
+ оънГн1/ + ОзН!пн}п-	0-И)
В системе осей Х{, совмещенных с главными направлениями,
рассмотрим бесконечно малую площадку с внешней нормалью,
направляющие косинусы которой равны Совместим с этой
нормалью ось x'i новой системы координат. Согласно (1.3) на
рассматриваемой площадке действует нормальное напряжение
Ov = <711 =	4* ^2°2	&зО3.
Или, поскольку 9з = 1 —— ^2,
Ov = (Oi — о3) О? + (о3 — о3) &3 + Оз- *	(1-12)
В соответствии с (1.2) проекции полного напряжения на
рассматриваемой площадке /?i ; /?2 = О2'&2; рз-^Озйз. Полное
же напряжение р = 1/ р{-\- P$~V Pl . Следовательно, квадрат
касательного напряжения па этой же площадке
Т3 = р2—4 = &?	+^(о22 — О^)-Ь	О3) +
+ &2(о3 — О3)+<Тд]\	(1.13)
Исследуя выражение (1.12), легко установить, что стацио-
нарными нормальными напряжениями (т. е, напряжениями, со-
ответствующими для которых производные do/d'&i равны
нулю) являются главные напряжения. Поэтому одно нз глав-
ных напряжений является максимальным и одно—-минималь-
ным нз всех нормальных напряжений, действующих на пло-
щадках, которые проходят через рассматриваемую точку,
Исследование выражения (1.13) приводит к следующим
стационарным значениям полного касательного напряжения:
ту = — (оу оу); т2 = — (щ оу).
Если же вместо исключить или то получим т3 =
1 .•	. 
= ^(<71—^)-
10
Эти касательные напряжения возникают на площадках,
равнонаклонных к главным осям:
= о, = »з = —; &3 = 0,	;
2	2
», = о. а? = »2 = Д.
Следовательно, если о^ог^оз, то. наибольшее касательное
напряжение
ттах ‘	аз).	(1.14)
Напряженное состояние в точке называется линейным, если
только.одно из главных напряжений отлично от нуля, и пло-
ским, если по крайней мере одно из главных напряжений равно
нулю. Пусть в последнем случае Оз = 0. Совместим ось х3 с
главным направлением рш, тогда
*13 = *23 = О? Л = *11 4“ *22! А = *J2	*11*22» А =
Из (1.7) находим главные напряжения
а, 2= он±£а±^_|/ (аи — а22)24cj2 .	(1.15)
Обозначим угол между первым главным направлением р1 и
осью X! через а. Тогда Pj=cosa; p.^=sina; pi = 1. Запишем
теперь систему уравнений (1.4) в виде
(оп — ох) cos сс Ц- о21 sin сс = 0;
о12 cos а 4- (^22 — *i) sin и = 0.
Из этой системы находим
1	1	2ф-|Л J	/4	, Л'.
а= — arctg-------12—,	(1.16)
2	&о11-о22	2	V f
Часто бывает необходимо разложение тензора напряжений
на шаровой тензор и девиатор. Шаровым называют тензор, по-
лучаемый умножением единичного тензора .d/j на среднее нор-
мальное напряжение о, определяемое равенством
О' = 4°»-	(1-17)
1Э
Девиатор напряжений получается вычитанием шарового тен-
зора из тензора напряжений:
Si{ = Vi/ —	<1J8)
и
Главные компоненты девиатора Sj = 0i — о, а в соответствии
с (1.8) — (1.10) основные инварианты равны //=0,
/2 = —- s(/Sf/ = — [ (оп — о22)2 + (ои — о33)2 + (о22 — азз)й 4~
+ 6^+0^+ а*,)];
3
(ои —G) о12	о13
О21	(О22 — О) О23
<^31	^32	(°33
В теории пластичности играют важную роль характеристики
напряженного состояния, пропорциональные квадратному кор-
ню из второго инварианта девиатора напряжений. Это преж-
де всего интенсивность напряжений
=	(СТИ ~СТ22)2 + (СТ22 ~	-I- (<*Ю —	+ 6 (a!24-CT23+°1l)
(1.19)
и интенсивность касательных напряжений
(1.20)
1/6	»
Напряжения удовлетворяют дифференциальным уравнениям
равновесия, которые при отсутствии массовых сил имеют в
декартовой системе координат вид
2^ = 0.	(1.21)
dxi
§ 2. Кинематика деформирования
В дальнейшем под точкой будем понимать точку простран-
ства, а под частицей— материальную точку сплошной среды.
Деформирование будем рассматривать в декартовой системе
координат.
Обозначим координаты частицы до деформирования (на-
чальные координаты) через aif а координаты частицы в про-
цессе деформирования (текущие координаты)—через Тогда
можно описать движение сплошной среды уравнениями
0	(1.22)
что	соответствует	лагранжеву способу	описания	движения или
Я;	= аДхЛ f),	(1-23)
что	соответствует	эйлерову	способу описания	движения	среды.
12
При деформировании тела изменяются расстояния между
его частицами. Квадраты расстояний между двумя соседними
частицами до и в рассматриваемый момент деформирования
можно записать в виде dsQ=daida1-, ds^ — dx/dx/.
Выразим разность
ds2 —	= dxLdxt — datdai.	(1-24)
Определив из уравнений (1,23) дифференциалы
подставим их в соотношение (1.24)
ds2 — dsl = dx,dx;--^-dXj -^-dXi =
dXi дх/
= dXidXj ^6i7--=	(1-25)
Здесь учтено, что dxt — dxflfti и обозначено
Полученный тензор называют эйлеровым тензором дефор-
мации.
Исключим теперь из соотношения (1.24) дифференциалы
dXi, выразив их с помощью уравнений (1.22) через day.
dXi =	da,-.
1 да/ !
В результате получим
ds3 — dsl = Slijdaidciji	(1*27)
где
1ц = —
2
дхт
dat
дхт
да/
(1-28)
компоненты лагранжева тензора деформации.
Выразим компоненты полученных тензоров деформации че-
рез перемещения. Поскольку компоненты перемещения щ —
даь	* диь
— Х{ — йг и, следовательно, „  — o-fe---из соотношении
oxi	oxi
(1.25) получаем
э,, = -L (*!!_ +	(1.29)
2 \ дх/ dXi dxi дх/ J
 Аналогично
2 \ да/ да/
d«fe
да/
duk
да/
(1.30)
Компоненты эйлерова тензора деформации можно опреде-
{ лить, если перемещения заданы в зависимости от текущих
координат, а компоненты лагранжева тензора—если переме-
13
щения заданы в зависимости от начальных координат. Выясним
физический смысл компонент тензора
Пусть отрезок ds совмещен с осью хь тогда dx^ds. Ив
соотношения (1.25) получаем ds2 — dso = 2suds2 или
А ds — ds0
где Ди ~------------относительное удлинение связанного с мате-
ро
риалом бесконечно малого отрезка, параллельного в деформи-
рованном состоянии оси Аналогично получаются и два дру-
гих подобных соотношения.
Рассмотрим теперь два пересекающихся бесконечно малых
отрезка длиной dx{, dx2, параллельных в деформированном со-
стоянии осям хь х2. Определим косинус угла между единичны-
ми векторами I, /, задающими их направление до деформиро-
вания.
Как известно, cos(i, 7) =ikjk, где — проекции единичных
векторов на координатные оси. Согласно (1.23) проекции рас-
сматриваемых отрезков на координатные оси (проекции вто-
рого из них отмечены штрихами) до деформирования равны
dat — -^-dXi, da. = да‘ dx2.
1 дхг 1	£' дх2 2
Поскольку
dak .	. _ dak
t А   1	» J h   ~	_
где ds6, ds'o — длины рассматриваемых отрезков до деформирования,
(cos 7, J) =-----J-v ~L-dx1 dx2 = — 2з12 (1 + Au) (1 + A33).
dsadsQ	dx3
Обозначив происходящее в процессе деформирования умень-
шение углов между рассматриваемыми линейными элементами
через <pi2, получаем
________sin ф12_________
2 (1 4* ^п) (1 + А22)
(1.32)
Таким образом, при /=/ деформации характеризуют от-
носительные удлинения волокон, параллельных в рассматривае-
мом деформированном состоянии координатным осям, а при
i=£j они связаны с изменением углов между отрезками, парал-
лельными в деформированном состоянии осям Хц Xj.
Совместив отрезок ds0 с осью Xi получаем из соотноше-
ния (1.27)
— — 1(1 + W — 1]>
(1.33)
14
где d[| — относительное удлинение бесконечно малого отрезка,
до деформирования параллельного оси
Рассмотрев искажение угла между двумя отрезками, па-
раллельными до деформирования координатным осям Xi, Х2,
получим
/12 =-^-(1 5ц) (1 ^22) sin У12,	(1*34)
где у12 — происходящее при деформировании уменьшение угла
между указанными отрезками; 6']Р 622 — соответственно отно-
сительное удлинение этих отрезков.
Поскольку рассматриваемые тензоры симметричны, они
приводятся к главным осям, в системе которых смешанные ком-
поненты этих тензоров равны нулю. Из соотношений (1.32),
(1.34) следует, что в каждой точке деформируемого тела суще-
ствуют три взаимно перпендикулярных «материальных» отрез-
ка, которые были взаимно перпендикулярными и до деформи-
рования. Соответствующие этим отрезкам направления явля
ются главными и для тензора Эц, и для тензора 1ц.
Главные компоненты рассмотренных тензоров деформации
связаны с относительными удлинениями 61 бесконечно малых
отрезков, совмещенных с главными направлениями:
(L35>
П. Людвик [29] предложил меры деформации
е, = Л- In (1 - 2э,) = Д In (1 + 21,) = In (1 + «г),	(1.36)
называемые главными логарифмическими деформациями. Из
последнего равенства следует, что
/is
=1п—,	(1.37)
ds0
где ds0, ds — соответственно длина линейного элемента, ориен-
тированного в главном направлении, до и после.деформации.
Введем тензор логарифмических деформаций
^7 =	(L38)
где pl, рр, рр1— направляющие косинусы главных направлений
тензора если тензор относится к деформированному со-
стоянию, н направляющие косинусы тензора главных направле-
ний lijt если тензор относится к недеформнрЪванному со-
стоянию.	•'	; ;•
Соотношение (1.37) справедливо только для главных ком-
понент тензора логарифмических деформаций и в общем слу-
чае несправедливо для его’компонент йц, £22, £зз.
15
Компоненты тензора следующим образом выводятся из
поля перемещений. Если перемещения заданы как функции
текущих координат а-, то по соотношениям (1.29) определя-
ются компоненты тензора Эц. Стандартным методом, изложен-
ным в § 1, определяются главные компоненты и главные на-
правления этого тензора. По соотношениям (1.36) определяем
главные логарифмические деформации, а по (1.38) —компо-
ненты тензора Если перемещения заданы в зависимости от
начальных координат, то ei3- определяются аналогичным обра-
зом через компоненты тензора /<;.
При малых деформациях и углах поворота приведенные
ранее соотношения, определяющие различные тензоры дефор-
мации, приводятся к форме
р . = -L ( dui
11	2 \ дх}-
duj X
&Х{ )’
(1.39)
При этом безразлично, что понимается под Xj —текущие или
начальные координаты.
Тензор называют тензором малых деформаций.
Шесть составляющих тензора е^- связаны с тремя компо-
нентами перемещения щ соотношениями (1.39). Следовательно,
деформации &ij не являются независимыми. Связь между ними
можно получить перекрестным дифференцированием соотноше-
ний (1.39). В результате получим известные уравнения совмест-
ности деформаций ед
dZgfj j da8fef	d4tk	d4it _	(1.40)
dx^dxi дх^дх]	dxjdxt	dx(dxk
Заметим, что аналогичные уравнения совместности справед-
ливы и относительно деформаций
Необходимо иметь в виду, что из 81 уравнения (1.40) не-
зависимы лишь три.
Пусть частицы деформируемого тела движутся со скоростью,
составляющие которой равны ог-. Перемещения этих частиц за
бесконечно малый промежуток времени
diii-Vidt.	(1-41)
Подставив (1.41) в (1.39), получаем приращения деформаций,
произошедшие за этот промежуток времени,
= А (+
2 \ дх/ dxi J 2 \ дх}-	dxi ,
Следовательно, скорости деформации
ё =	' = 1 ( I dvi
dt ‘	2 \ dxj dxt
(1-43)
16
Компоненты тензора скорости дефор-
мации удовлетворяют уравнениям со-
вместности, аналогичным уравнениям
(1.40).
Рассмотрим однородное растя-
жение цилиндра вдоль его оси, совпа-
дающей с осью %] (рис. 3). В этом случае
, dh. , dh ,,	.
dur = — cfeu = —,	(1.44)
где h — текущая длина цилиндра. Сум-
мированием получаем логарифмическую
деформацию
h
ei=i4-=in-7--	<u5)
J	^0
где fto — начальная длина цилиндра.
Если при деформировании главные оси
то главные логарифмические деформации
Рис. 3. Схема растя-
жения стержня
не поворачиваются,
(1.46)
в общем же случае
Й . При развитых пластических деформациях можно с доста-
у точной точностью считать металлы несжимаемыми. Рассмотрим
уХ ограничения, накладываемые на кинематику деформирования
несжимаемостью материала.
, Объем бесконечно малого параллелепипеда, ребра которого
dat, daz, da3 в недеформироваином состоянии параллельны
координатным осям, в деформированном состоянии равен
dxY дах у	^2 dat dxs dat При деформиро ==daida2da3, поэтому в виде	Эх, Эх, д“г	da, 0	0 -	Vs- ' 0 *2 о • дй2	даз	п	п л 0	0 оа» дх3 дхз вании несжимаемого материала V— условие несжимаемости можно записать дхг дхг дхг
	да.1	да2	да3 дх*	д*а	дхз __ ]	(1.47) да}	да2	да3 дхэ	дх3	дх3 дау	да2	да3
17
>или
даг	даг	dat
dxt	дх2	дх3
дй2	да2	да?   ।
dxt	дх2	дх3
да3	да-л	да.3
дх2 дх3
Рассмотрим теперь элементарный параллелепипед, ребра
.•dSi, ds2, ds2 которого в деформированном состоянии ориентиро-
ваны вдоль главных осей деформации. Если длина этих ребер
,до деформации составляла d^, dtf, di", то можно записать
условие несжимаемости в виде
ds^ ds., ds3	j
dSj ds? ds®
Учитывая соотношение (1.37), получаем
ei + 4 Н- ез = О*	(1.49)
'Принимая далее во внимание зависимости (1.36), перепишем
уравнение (1.49) в виде
(1 — 2эг) (1 — 2э2) (1 — 2з3) = 1;	(1.50)
(1 -[-2/^(1 -Н2/2)(1 4- 2Z3)=.^ 1.	(1.51)
Поскольку сумма логарифмических удлинений инвариантна к
-•преобразованию координат, перепишем условие (1.49) еще в
.следующей форме:
При малых деформациях
еи — 0.	(1.52)
В приращениях и скоростях деформации условие несжимае-
мости имеет вид
de^ = 0;	= 0.	(1.53)
§ 3. Ассоциированный закон
пластического течения
Введем девятимерные пространства напряжений /70 и де-
формаций /7g. В пространстве /7О напряженное состояние не-
которой частицы нагруженного дела изображается в виде точки
с координатами В процессе нагружения тела эта точка
описывает некоторую кривую, называемую траекторией нагру-
жения. В пространстве /7е деформированное состояние рас-
сматриваемой частицы изображается в виде точки с координа-
тами Eij, В процессе деформирования тела эта точка описывает
кривую, называемую траекторией деформирования.
Л8
Поверхность, ограничивающую область пространства напря-
жений, в пределах которой деформация является упругой, на-
зывают поверхностью нагружения. Если точка, изображающая-
напряженное состояние частицы, расположена внутри поверх-
ности нагружения 2, то каким бы ни был вектор догрузки
он приводит только к упругим деформациям. Если же этц
точка лежит на поверхности нагружения, то вектор догрузки
dotj, направленный внутрь этой поверхности, приводит к раз-
грузке, сопровождающейся, упругим деформированием. Вектор-
duij, направленный наружу по отношению к поверхности 2,.
вызывает приращение пластических деформаций. Если же этот
вектор направлен по касательной к поверхности 5, происходят
так называемые нейтральные изменения, сопровождающиеся
только упругим деформированием. У идеально пластических:
материалов поверхность 2 фиксирована и обычно называется-
поверхностью текучести, у упрочняющихся материалов в про-
цессе пластического деформирования поверхность нагружения
перемещается и деформируется.
На рнс. 4 показана схематизированная диаграмма растяже-
ния пластичного материала. Пусть материал нагружен до на-
пряжения од и затем разгружен до напряжения о0. Рассмотрим
далее процесс нагружения до и последующей разгрузки до
Оо. Очевидно, что если при этом произошла пластическая де-
формация, то добавочные напряжения о—совершают при
этом цикле нагружения и разгрузки положительную работу,
численно равную площади криволинейного четырехугольника
ОАВС: J (а—его) с?е>0. Полная деформация складывается из-,
упругой и пластической (е = ее+sp), поэтому
J (а — а0) (dee + dep) = j (а — а0) d&e -}- ((о — о0) de? > 0.
Работа добавочных напряжений на упругих деформациях для
полного цикла нагружения и разгрузки равна нулю. Вследст-
вие этого
У (о - - <т0) de? > 0.
Постулат Друкера обобщает этот достаточно
факт.
(1.54)
очевидный
Рис. 4. Диаграмма растя-
жения
Рис. 5. К постулату
Друккера
191
Пусть на рис. 5 О — точка, изображающая в пространстве
напряжений напряженное состояние (си/) некоторой частица
сплошной среды. Рассмотрим нагрузку вдоль некоторой траек-
тории О—А—В и последующую разгрузку В—О. При этом
будем считать, что точка А соответствует переходу материала
в пластическое состояние, т. е. лежит на- поверхности нагруже-
ния 2. После перехода в пластическое состояние производим
бесконечно малую догрузку don, сопровождающуюся бесконеч-
но малыми приращениями пластических деформаций dsij. По-
стулируется, что за рассмотренный цикл нагружения и разгруз-
ки добавочные напряжения совершают положительную работу:
J” ( С* i j ~~~ О i i ) d&i j 0.
Далее, учитывая, что для полного цикла нагружения и раз-
грузки работа добавочных напряжений иа упругих деформа-
циях равна нулю, получаем неравенство, обобщающее неравен-
ство (1.54) на случай пространственного напряженного состоя-
ния:
J	0-
Пластическая деформация происходит только на бесконечно
Малом участке А—В, поэтому можно записать это неравенство
виде
(1.55)
Отсюда следует, что поверхность иагружеиня является вы-
пуклой (т. е. целиком располагается по одну сторону от любой
.касательной гиперплоскости) и что в совмещенных пространст-
вах напряжений и деформаций вектор приращения пластиче-
ских деформаций de?/ направлен по нормали к поверхности
^нагружения.
Действительно, сумму (о17— о?/) def/ можно рассматривать
как скалярное произведение векторов (ol7 — otf.) и de?- . Поло-
жительность этого произведения означает, что угол между ука-
занными векторами является острым. Только при выпуклой по-
верхности нагружения 2 и перпендикулярности вектора defy к
2 этот угол будет острым при любом положении точки О. На
рис. 6, а эти условия выполнены, а на рис. 6, б и в — нарушены.
Заметим, что вектор def/ зависит от геометрии поверхности
^нагружения и положения точки А на ией, ио не от положения
точки О и траектории нагружения ОА (так как деформирова-
ние иа этом участке является упругим).
Пусть поверхность нагружения описывается уравнением
fW = 0-	(1.56)
Тогда направляющие косинусы нормали к этой поверхности, а
следовательно, и вектора deft будут пропорциональны произ-
20
Рис. 6. Схемы поверхностей нагружения
водным —. Поэтому условие перпендикулярности вектора
дсг//
Лърц к поверхности нагружения можно записать в виде
=	(1.57)
4 daij
Закон течения, выражаемый соотношениями (1.57), назы-
- вают ассоциированным (с уравнением поверхности нагруже-
ния).
Если материал несжимаем, то dtf( — dX —— = о. Как видим,
у такого материала уравнение поверхности нагружения не за-
висит от первого 'инварианта тензора напряжений. Это позво-
ляет записать уравнение поверхности нагружения следующим
образом:
ЛМ	=	0,	(1.58)
тде Sij — компоненты	девиатора	напряжений.	Ассоциированный
закон	пластического	течения при	этом	записывается	в	форме
tfep	(1.59)
4 dsif
Разделив левую и правую части этого равенства на диффе-
ренциал времени (илн заменяющего его параметра), получаем
аналогичные соотношения для скоростей пластических дефор-
маций
=	(1.60)
§ 4. Поверхность нагружения
при изотропном упрочнении
Рассмотрим начальную поверхность нагружения металла,
яе подвергавшегося ранее пластическому деформированию.
21
Уравнение этой поверхности обычно называют условием пла-
стичности.
Предложено достаточно много различных условий пластич-
ности. Рассмотрим широко используемое и в теоретических и в
прикладных исследованиях и достаточно хорошо согласующееся
с экспериментальными данными относительно широкого круга
изотропных металлов условие пластичности Губера — Мизеса.
Запишем его в главных напряжениях:
(°i — о/ + (о3 — о3)3 + (о3 — Oj)2 2g2,	(1.61)
где От — предел текучести материала, устанавливаемый обычно
испытанием на растяжение.
В пространстве главных напряжений условию (1.61) соот-
14 2
встствует круговой цилиндр с радиусом —от и осью, рав-
У з
нонаклоненной к координатным осям. При двухосном напря-
жении состоянии (оз = 0) условие (1.61) изображается в ко-
ординатах О), эллипсом. Сопоставляя (1.61) с (1.19), видим,
что это условие можно также записать следующим образом:
о
s;/S17=H-4	(1.62)
P. Хилл обобщил условия текучести (1.61), (1.62) на случаи
начальной анизотропии
(1.63)
+ 2A'tJ 4-2Z.T’ +2Мг^=1.
уЛ/
Здесь оси х, yr г совмещены с главными осями анизотропии.
Если обозначить через Отх, crTy, 0tz пределы текучести при рас-
тяжении вдоль этих осей, а через егтху, ттхг, ттуг —пределы те-
кучести при сдвиге по отношению к главным осям анизотропии,
то легко получить следующие выражения коэффициентов урав-
нения (1.63) через указанные пределы текучести:
2-----— 1, L = ——;
21туг
М = —1—
2т2
tz*
N= ——
2	2 Г	г, ">
°7Z	/
При пластическом деформировании металлы упрочняются,
поверхность нагружения при этом расширяется, перемещается
в пространстве напряжений и деформируется. Наиболее про-
стая модель упрочняющегося тела получается, если предполо-
жить, что поверхность нагружения только расширяется, оста-
22
CTtz
1
TJC
1
(1-64)
Н = — (—
2 (<4
F =

1
ваясь подобной начальной поверхности нагружения. Такое уп-
рочнение называют изотропным.
Ограничимся рассмотрением материала, у которого поверх-
ность нагружения не зависит от скорости деформации*
Пусть упрочнение характеризуется параметром q. Тогда
уравнение (1.61) следующим образом обобщается на случай
изотропного упрочнения:
о
ЗД/ =	(L65)
□
Уравнение поверхности нагружения можно записать в виде
f (s‘i) = у [wii —Y	(<?)] = °-
Согласно ассоциированному закону пластического течения
(1.59) *
d&U = dhs{i.	(1.66)
Образуем сумму
= d№si}s(j.
Величину
1
*0 = Jy-(det/dE(/)2	(1.67)
называют интенсивностью приращений пластических деформа*
3 ds
ций. Учитывая (1.65) и (1.67), получаем dk = -%-
Таким образом,
В качестве параметра упрочнения часто используют рабо-
ту пластической деформации W— f Gijd&ij. Вследствие несжи-
маемости материала можно записать, что
tt7 = J fa I = J Oo^S0-	(1 -69)
Таким образом, предполагается существование единой для
различных напряженных состояний и историй деформирования
диаграммы деформирования в координатах ом—W. В силу
равенства (1.69) из этого предположения следует существова-
ние единой кривой течения в координатах по — ёо> где
ё0 =!'*<,	(1.70)
* В дальнейшем индекс р в обозначении пластических деформаций
опускается.
23
называют накопленной пластической деформацией или парамет-
ром Удквиста.
При неизменных главных направлениях и изменении прира-
щений деформаций пропорционально одному параметру ёо=ео>
где —интенсивность логарифмических деформаций,
г_ 2.
□
Интегрирование в (1.69), (1.70) выполняется по всему вре-
мени деформирования, начиная с наступления пластического
состояния.
Кривая течения материала оо(ёо) может быть построена по
результатам испытания иа растяжение. Если образец, расчет-
ная длина которого составляла до испытания /0, растянут уси-
лием Р до длины I, то
°ro = V; ё0=1п-^-,	(1.72>
F	10
где F— площадь поперечного сечения деформированного об-
разца. При больших деформациях растяжение становится не-
устойчивым, у образца образуется так называемая шейка, на-
пряженное состояние становится объемным, а вследствие этого
формулы (1.72) оказываются неточными. Для построения кри-
вой течения при больших пластических деформациях обычно-
испытывают цилиндрические (реже — призматические) образ-
цы на сжатие. При сжатии
’о = 4: ё0 = 1пА	(1.73)
Г	I
Обозначения те же, что в формулах (1.72).
Недостатком этого вида испытаний является искажающее
напряженное состояние влияние трения на торцах. Для его
уменьшения сжатие образцов часто производят со смазкой
торцов.
Рассмотрим, следуя Р. Хиллу, уравнение поверхности
нагружения изотропно упрочняющегося начально анизотропно-
го материала с условием текучести (1.63). Поскольку в этом
случае в процессе деформирования состояние анизотропии ие
изменяется, пределы текучести по мере упрочнения растут про-
порционально одному параметру. Удовлетворяя этому условию,
запишем уравнение поверхности нагружения в виде
2fЦ(°У—+ н<ЧЛ-<9* +
4 (Г -р Г1)	'
+ 2£^г + 2.И'4, + 2^1-®2(®) = 0.	(1-74)
где а — эквивалентное напряжение. Параметры анизотропии
F, G,... — определяются через начальные пределы текучести
по соотношениям (1.64).
24
Применяя ассоциированный закон пластического течения
<1.59), получаем
— оу)1;
=	2 (?'4-g'+Я)" [Н	~	+ G ~	’
= dk---------------[Н (cl — сгх) 4- F (а — о>)];
у	2(F + G-L-H)	' у 7 у }
ds2 = dk--------------[б (ог — о,) + /
2	2(F4-G+H)	v
•dstyii — ^Za ~—	—	—— Thii,
Ay 2(F + G4-H) y
,	ЗЛ1
хг 2 (F + G + Я) Л
,	3L
уг 2 (F + G + H) y
Приращение пластической работы
tflF = Oj.dRjc 4- . . . 4-2тХ5,с/еху = a2dl.
(1.75)
(1.76)
Здесь учтены уравнения (1.75). Определим теперь эквивалент-
ное приращение пластических деформаций ds таким образом,
чтобы выполнялось равенство
dW = cd&.	(1.77)
Из (1.76), (1-77) следует, что
dk = -—.	(1.78)
(У
Выразив из (1.75) напряжения через приращения деформа-
ций и подставив полученный результат в (1.74), получаем с
учетом (1.78), что
1
-= jА (/-- j. g	Гр (	-JLd^„-\2 + . ,	.
( 3 1	7i YFG^GH-^ HF J	L J J
(L79)
Наряду с пределами текучести механической характеристикой
рассматриваемого материала является кривая течения, которая
едина для различных напряженных состояний и историй дефор-
мирования как в координатах о—IF, так и в координатах
и— J ds и может быть построена испытанием материала на
осевое растяжение или сжатие вдоль оси х. В этом случае по-
лучаем из соотношений (1.74), (1.79), что
/3 G^-H
2	F4-G4-H
е = J d& =
25
(1.80)
Из уравнений состояния (1.75) следует, что при чистом рас-
тяжении вдоль оси х
dsx : dsy : dtz = (G + Я) • (~	: (~ G)‘	(1-81)
Это соотношение несколько облегчает определение параметров
анизотропии. Так, при определении параметров анизотропии
листовых материалов, чаще всего вызываемой прокаткой, испы-
тывают на растяжение образцы, вырезанные в направлениях,
образующих с направлением прокатки х углы а, равные 0, 45
и 90°. Параметры анизотропии определяют по величине преде-
ла текучести в направлении, перпендикулярном направлению
прокатки Одо, и по отношениям г деформации образцов по ши-
рине к деформации по толщине:
§ 5. Анизотропное упрочнение
Рассмотренная модель изотропно упрочняющегося материа-
ла не описывает эффект Баушингера, поскольку согласно этой
модели после пластического деформирования и разгрузки пре-
делы текучести в прямом и обратном направлениях нагружения
оказываются равными. В силу этого теория пластичности изо-
тропно упрочняющегося материала оказывается непригодной
для количественного описания многих процессов немонотонно-
го деформирования. Но дело не только в этом. Многие особен-
ности поведения материалов при сложном нагружении можно
рассматривать как проявление некоторого обобщенного эффек-
та Баушингера. Для учета этих особенностей необходимы со-
ответствующие изменения уравнения поверхности нагружения.
Наиболее простое уравнение поверхности нагружения, учи-
тывающее анизотропию деформационного упрочнения, полу-
чается, если исходить из предположения о жестком смещении
поверхности нагружения в направлении деформирования. Одна-
ко эта схема находится в удовлетворительном соответствии и
экспериментальными данными лишь при малых пластических
деформациях. Значительно лучшее согласование с эксперимен-
том в области больших пластических деформаций достигается,
если допустить, что поверхность нагружения испытывает пере-
нос и одновременно расширяется равномерно во всех иаправ-
26
лениях. Если эта поверхность в начальном состоянии описы-
вается уравнением (1.62), то ее изменение в процессе дефор-
мирования можно описать уравнением
п — ____________________________________
2/(s(7) = (si7~ai7)(sf/~aj —	' °’	<L83)
□
где «г; — добавочные напряжения или смещения центра поверх-
ности нагружения в пространстве девиатора напряжений; оо —
эквивалентное напряжение, связанное с параметром упрочнения
ёо зависимостью, единой для различных напряженных состоя-
ний и видов нагружения.
Согласно ассоциированному закону пластического течения
(1.59)
d е(7 =	(s;/ — сс17).	(1.8 4)
Образовав сумму
= d№ (st/ — а£/) (st7 — а£/),
находим
3
dk = — —jl ,
2 гГ
V()
Это позволяет записать уравнения состояния рассматриваемого
материала в виде
&,;= -j-(1-85)
Диаграмма деформирования оо(ё0) является характеристи-
кой материала и устанавливается экспериментально. Для этого
обычно испытывают материал на одноосное растяжение и по-
следующее сжатие. Образцы растягивают до различных зна-
чений ёо и затем разгружают. Затем из них вырезают образцы
иа сжатие таким образом, чтобы сжатие происходило в направ-
t Ленин предшествовавшего растяжения. При испытании на сжа-
тие определяют условный предел текучести по (обычно при
допуске на интенсивность пластической деформации 0,002)
Для достаточно точного определения со рекомендуется произ-
водить испытание с использованием механических тензометров
Записав согласно уравнениям (1.85) приращение продоль-
ной деформации при осевом растяжении вдоль оси Хц полу-
чаем
°о~ Vail =	(h86)
При последующем сжатии вдоль той же оси до наступления
пластического состояния а/j ие изменяются, поэтому из уравне-
ний (1.85) следует, что
о0 +~ «п = ог0-	(1-87)
27.
Рис. 7. Зависимость коэффи-
циента р от пластической -де-
формации
Из уравнений (1.86), (1.87)
находим
= -4^- °0 ’ “11 =
(i.88>
□
где p = Qo/tfo — отношение
предела текучести ма сжатие
после растяжения до интен-
сивности напряжений о0' к
по'(О<Р< 1).
На рис. 7 приведены гра-
фики р(е0) для ряда матери-
алов. Как видно, при ёо>0,03
можно считать, что p = const.
Соотношение (1.88) позво-
ляет по кривой течения
ог'о (ё0), построенной испыта-
нием материала на растяже-
ние, определить эквивалентное напряжение по, соответствую-
щее накопленной пластической деформации ёо, и построить
диаграмму деформирования о(ё0).
Предложены различные уравнения, определяющие тен
зор а,д.
По Кадашевичу Ю. И. и Новожилову В. В.,

(1.89)
где а0 =	— интенсивность добавочных напряжений.
Обобщая это соотношение на.область больших пластических
деформаций, запишем
«Г/ = ф(ео)е/Л	С1-90)
где &ij — логарифмические деформации, определенные соотно-
шениями (1.38). Подставив (1.90) в (1.86), (1.87) и учитывая»
что при растяжении ?п = ёо, получаем
— 1 ~Р go „ 2 1 — g gQ
3	е0 3 1 4- р е0
Следовательно,
1 — 6 °о	2 1 — В
а —------с----е =---------щ
'	3	11	3 1+р е0 11
(1-91)
Приведенные соотношения не описывают с достаточной точ-
ностью изменения поверхности нагружения при циклическом
28
деформировании, поскольку при полном цикле изменения де-
формации добавочные напряжения по этим соотношениям
оказываются равными нулю, что не согласуется с экспери-
ментом.
В связи с этим были предложены дифференциальные зави-
симости для приращений Так Р. А. Арутюнин и А. А. Ва-
куленко предложили вместо зависимости (1.89) следующую:
== A (a0)rfe/y-.	(1.92)
Аналогичные соотношения использованы в работе Г. Бакхаузз.
[41]
Л d&ij —
otij = В (е0) -тг dev •
4
(1.93>
Из уравнений (1.86), (1.87), (1.93) получаем
в =	К0-₽)Ь	(!-94>
О (IE Q
В. Л. Данилов [9] предложил следующие соотношения, оп-
ределяющие смещения центра поверхности нагружения:
ai7 = 4af^de„,	(1.95>
где а — параметр, характеризующим склонность материала к.
упрочнению. Интегрирование в соотношениях (1.93), (1.95)
производится от момента наступления пластического состояния4
до рассматриваемого деформированного состояния.
2	р	2
При растяжении ссп = — а \ da0 — — a (oQ — ат) ,
3	1	3
где от — предел текучести материала*
Подставив эту зависимость в (1.86), (1.87), получим
а = 0,5 ——— ,	(1.96)?
1 — у
где у = от/сго.
В работах [9, 42] предпринята попытка наряду с расшире-
нном и перемещением поверхности нагружения учесть ее пово-
рот в процессе деформирования материала и изменение отно-
шения ее полуосей, В статье А. Балтова и А. Савчука [42}1
предложено следующее уравнение поверхности нагружения:
о
2Ф = ‘Vilkl (s,i - a,,) (S*, -ан)-------------^=0.	(1,97>
□
29?
Здесь ЛДш— тензор текущих параметров анизотропии, который
определяется соотношением
Nijkl =	fylfiii jj- ^i/'^Z + aeijekb (1-98)
тде a — постоянная материала, определяемая эксперименталь-
но. Добавочные напряжения cizj определяются зависимостью,
предложенной А. Ю. Ишлииским:
«1/= cel7,	(1.99)
где с — характеристика материала.
Следующее из (1.97) уравнение кривой течения справедливо
.лишь для ограниченного круга материалов. По предложению
В. Л. Данилова [9] тензор представляется в виде
— /	9 X
Nijkl ~ I (ео) (“F fylfiil ‘	) +
+ С а (7„) (У ,	(1.100)
и смещения аг;- центра поверхности нагружения определяются
соотношением, аналогичным зависимости (1.93):
a(,. = 4<TTfB(Fy/^-W;.	(i.ioi)
3 Ь' \ !"'о )
Функции/(ёо), А(ёо), В (ё0) определяют экспериментально. Их
можно, в частности, определить путем испытания материала на
растяжение, в. результате чего устанавливается функция
7 = — = —=—,	и закручивания ряда тонкостенных труо-
От f 3 Ту
чатых образцов с последующей разгрузкой и определением пре-
дела текучести при их кручении в обратном направлении. При
.этом определяются функции	, g~= — ——, где от—
Тт	тт
начальный предел текучести при растяжении; тт — начальный
предел текучести при сдвиге; т+ —касательное напряжение
вперед разгрузкой трубки; т~— предел текучести при закручива-
нии трубки в обратном направлении.
Записав уравнение (1.97) для кручения в прямом и обрат-
ном направлении, а также для растяжения до той же интен-
сивности деформации, получаем систему трех уравнений, из
которой следует
I (Го) =. _	 А (70)	;
Р (£+ < £“)	3	Р (g+ + g-)a
В(^> =	C-l02)
2 a₽Q
30
Для экспериментальной провер-
ки некоторых следствий из этих
теорий были проведены испытания
цилиндрических образцов из стали
СтЗ и алюминиевого сплава Д16 на
осевое растяжение и последующее
сжатие, а также иа кручение в
прямом и обратном направлении*.
Испытывали цилиндрические об-
разцы диаметром 18 мм. Несколь-
ко образцов из одного материала
растягивали до различной величи-
ны осевой деформации ег = ёо и на-
пряжения сп/- Из растянутых стер-
жней вырезали цилиндрические об-
Рис. 8. Диаграмма круче-
ния в прямом и обратном
направлениях
разцы, подвергавшиеся сжатию в направлении предшествовав-
шего растяжения. При этом механическими тензометрами из-
меряли осевую деформацию и при допуске 0,2 % на пластическую-
деформацию определяли предел текучести на сжатие о'0 . По
этим данным рассчитывали & =	. Полученная зависимость
р от е0 представлена на рис. 9 кривыми 1.
Другую партию образцов закручивали до различной
чины накопленной пластической деформации е0 =
вели-
у, где
у —сдвиг на поверхности образца. После частичной разгрузки-
устанавливали индикаторное устройство для измерения утла
закручивания. После полной разгрузки стержни нагружали
моментом обратного направления и записывали диаграмму кру-
чения до пластического сдвига у в обратном направлении в
0,3%. Величину касательного напряжения перед разгрузкой
определяли обычными приемами. Для расчета напряжений при-
пластическом кручении в обратном направлении рассмотрим
два состояния: I — перед разгрузкой и II —после частичной
разгрузки и последующего кручения в обратном направлении?
(см. рис. 8). Соответствующие 'Крутящие моменты
М1 = 2л [ т1 г*Лг, Л1И = 2л f т Wr,
о	‘о
где 7? — радиус образца. Разность
Л11 — М11 = 2л I хгЫг =	( ту2
° °
где т = т1 — ти, у — сдвиг в обратном направлении. Индексом ft
* Опыты выполнены С. П. Поповым и Д. В. Хваном.
31
отмечены величины, относящиеся к поверхности образца,
_______________________________
В формулах учтено, что г = -=- у. Дифференцируя полученное
—	Тп
.выражение по уп, получаем
т11 = т1 -j-
п п !
-1- ( мп—м' +
2^3 \	П 3 а, /
Заметим, что здесь уг,>0, ^Л4п/й?уп<0, после полной разгрузки
Л4п<0.
Значение 1 при допуске 0,3% на пластический сдвиг в
обратном направлении принимали за предел текучести на
сдвиг в этом направлении т' и определяли р^т'/г1.
Пусть поверхность нагружения описывается уравнением
(1.83). Как будет показано в следующем параграфе, и в случае
анизотропного упрочнения можно с высокой степенью, точности
принять, что при кручении сплошных круглых стержней и со-
ответствующему выборе координатных направлений s12 = S2L = i
= т, ai2 = a2i = a> а все прочие компоненты девиаторов s^,
равны нулю.
Следовательно, непосредственно перед разгрузкой после
монотонного кручения 2(т!— a)2 = — nJ. При последующем
кручении в обратном направлении до наступления пластиче-
ского состояния Si2 = s2i= —i', ai2 = a2i = at и поэтому 2(i/4-
+ a)2=T”o-
□
Таким образом, т1 -j- тг =
2
/"3
а0.
сопоставляя полученное отношение с (1.88), видим, что если
перед разгрузкой накопленная пластическая деформация при
испытании на растяжение и кручение одинакова, то независимо
ют того, как определяются добавочные напряжения, р и р' свя-
заны соотношением
₽ = (1 +	(1.103)
Результаты расчета Р по формуле (1.103), в которую подстав-
ляли величину р', определенную испытанием на кручение в пря-
мом и обратном направлении, представлены на рис. 9 кри-
выми 2.
Вернемся теперь к рассмотрению теории, представленной
соотношениями (1.97), (1.100), (1.101). Результаты испытаний
на растяжение и кручение с последующим кручением в обрат-
ном направлении позволили по (1.102) определить функции
,/(ё0), А (ёо), В(ёо), а по ним рассчитать р.
32
Рис. 9. Сравнение результатов эксперимен-
тальной проверки уравнений поверхности
нагружения с расчетом:
1 — эксперимент; 2, 3 — расчет
Расчет выполнялся следующим образом. Согласно уравне-
нию (1.97) условие пластичности материала после растяжения
вдоль оси х имеет вид
(Sll	а11Г 4“ N2222 (S22	а2а)2 4~ N3333 (s33	^зз)2 4~
4" 22V1122 (six ап) (s22 gc22) 4" 2AflljS3 а:п) аз;1) -y
4~ 2jV2233 (S22 а2з) (S33 а3з) 4“ 4Af 1312 2 4~ 4ЛУ313	4“
4~ 4jV2323s| 3 —	»
о
где
^2222	^3333’ ^1122 — ^1133 > ^1212 — ^2323 — ^1313»
ап ’	2cz22 =	2а33 - СС.
При сжатии этого материала вдоль оси х пластическое состоя-
ние наступит при напряжении
,,	/ 2	3 —
°°= V jw ..	(L1,J4)
|/	А (ео) deo
где
а — — от f В (<?о) deo -
2 ’о
2 Зак 472
33
* д
Вычислив по формуле (1.104) сто : определяли р = mj/ao*
Полученная таким образом зависимость р(ё0) представлена иа
рис. 9 кривыми 3. Как видим, результаты расчета по условию
пластичности (1.83) находятся в несколько лучшем соответст-
вии с экспериментом, чем результаты, следующие из условия
пластичности (1.97).
Для экспериментальной проверки приведенных зависимо-
стей, определяющих тензор добавочных напряжений ац, выяс-
ним, с какой точностью рассмотренные теории описывают диаг-
рамму сжатия растянутого материала. Ограничимся сопостав-
лением с экспериментом результатов, получаемых по различ-
ным вариантам теории, основанным на уравнении поверхности
нагружения (1.83).
Пусть добавочные напряжения определены соотношением
(1.91). Если образец растянут до интенсивности деформации
ео и в последующем пластически сжат до величины добавочной
интенсивности деформации Ас'о (рис. 10), то компоненты тен-
зора логарифмической деформации ец =—2^22 =—2е33=ёо— Лес,
(1.85), (1.88), (1.91) получаем
интенсивности напряжений при
еЫ = е2Э = ^13 = 0. Поэтому из
следующую зависимость для
сжатии:
I------------------------
Ч 2	2 +
При Ле0 = 0	= роо, при Ас0	•
Обратившись далее к соотношению (1.94), получаем, что
при сжатии растянутых образцов
(1-Р) Ор
аи ~	( d [(1 Р) од
О
6
-Л- f d[(i-₽)o;] =
О ,J'	о
(I—р)
где Ор — напряжение перед разгрузкой после растяжения.
Из уравнения (1.83)
0с = 0;-(1-₽)ар.	(1.106)
Как видим, в этом случае по — oc = const.
Аналогично на основе зависимости (1.95) получаем
°с ~ Go~ 2а(Ор —от)>	(1.107)
Рис. 10. К эффекту Бау-
тин гер а
Рис. 11. Сравнение экспериментальных и расчетных диаграмм деформирова-
ния растянутого материала:
i —растяжение (эксперимент); 2 — сжатие после растяжения (эксперимент); расчетные
диаграммы при определении добавочных напряжений: 3 — по (1.90); 4 — по (1.95);
S— по (1.93)
На рнс. 11 результаты расчетов по соотношениям (1.105) -
(1.107) сопоставлены с экспериментальными данными. Приве-
денные данные позволяют заключить, что уравнение (1.105)
находится в несколько лучшем соответствии с экспериментом,
чем уравнения (1.106), (1.107). С возрастанием деформации
перед разгрузкой точность этого уравнения уменьшается. Во
всех случаях напряжение ос, рассчитанное по полученным за-
висимостям, ниже действительного.
Согласование с экспериментом улучшается, если уравнения
смещений поверхности нагружения записываются в виде
о
aii = f Й) Г F Й, ё!) de;.
•J
Выразив таким образом величину ац при осевом растяжении,
получаем с учетом (1.88)
=
Q-P) 5)
3 f F (её, ej) de*Q
о
Экспериментальная проверка, выполненная испытанием на
сжатие образцов нз сталей СтЗ,20 и алюминия АМГ, растяну-
тых до деформации 0,025^0,18, показала, что вполне
удовлетворительна аппроксимация
^) = (^)30Г’.
2*	35
Тогда при сжатии растянутого материала
-“=°о
! — (!—₽)
3	1
Предложены также варианты теории анизотропно упроч-
няющихся материалов, учитывающие начальную анизотропию.
Однако далеко не все предпосылки этих теорий проверены
экспериментально.
В рассмотренных уравнениях поверхности нагружения ани-
зотропно упрочняющихся тел в качестве параметра упрочнения
использована накопленная пластическая деформация (пара-
метр Удквиста). Поскольку материал при деформировании
становится анизотропным, такое определение параметра упроч-
нения, при котором все приращения деформаций «равноправ-
ны», представляется необоснованным. Физически более оправ-
дан выбор в качестве этого параметра работы пластической
деформации, но это обычно ведет к значительному усложнению
расчетов.
При простом деформировании, когда приращения деформа-
ций изменяются пропорционально одному параметру, т. е. при
= const, все рассмотренные уравнения состояния начально
Ло
изотропного материала сводятся к так называемым уравнениям
деформационной теории пластичности
О-108)
§ 6. Кручение круглых стержней
из анизотропно упрочняющегося материала
х2
arc tqf
Ниже дана приближенная оценка осевых напряжений, воз-
никающих при стесненном пластическом кручении, а также
удлинений при свободном кручении круг-
лых стержней из анизотропно упрочня-
ющегося материала.
На рис. 12 '.показана деформация
элементарного прямоугольника иа по-
верхности закручиваемого без удлине-
ния стержня (ось Xi совмещена с ок-
ружным, ось — с осевым направлени-
ем). Предполагая деформацию в преде-
лах прямоугольника однородной, выра-
зим перемещения щ через текущие ко-
ординаты хе.	U2=«3=0. Здесь
у — сдвиг, у=0г, где 0 — относитель-
ный угол закручивания; г —радиус.
Рис. 12. Схема де-
формации на поверх-
ности закручиваемо-
го стержня
36
Определим компоненты эйлерова тензора деформации:
Эн — Эдз — з13 — .э23 - О, з23 —		Т2> ^12	2 V*
Главные компоненты этого тензора
э = ± V2 + J- 7	+ 4 , э3 0.
1 •	4	4
Главное направление, соответствующее деформации 3], об*
разует с осью Xj угол
1 + 2
а = — arc tg — .
2 ё у
(1.109)
Определим главные логарифмические деформации:
е1.2 --5"1П (’ —	= ±-71П(1+Т?2 +
Ч-ут/ТТ?).	(1.1Ю)
Будем исходить из теории • пластичности, представленной
уравнениями (1.83), (1.90).
Согласно ассоциированному закону пластического течения
приращения пластических деформаций
_	3	[	1 —Р сто
tf 1 1 R ' S£i Q Г
1 + Р Од	3 'о
(ЫН)
Здесь по — интенсивность напряжений при осевом растяжения
материала до интенсивности деформации во.
При кручении
деформаций £0 =
ео = у/УЗ, а интенсивность логарифмических
7Т1п(! + т?2+т7^?2+4V При
отличие ё0 от i?o не превышает 4%. Поэтому в дальнейшем
будем полагать, что ео = ео. Ограничившись рассмотрением
развитых пластических деформаций, примем также, что
Р = const.
Рассмотрим стесненное кручение круглого стержня, при
котором длина стержня остается постоянной. В цилиндрической
системе координат г, ф, z логарифмические деформации
cos2 а 4-е2 sin2 а, е2 = sin2 а 4-cos2 а; ег = 0.	(1.112)
37
Поскольку ——е0; dsz = der = ds(f = О,
из (1.11) следует, что зф — —sg
1 — В п п
= —~ ст„ cos 2а; sr = 0.
2/3	°
Из уравнении о2 = (зф — sz)2 / Зт3,
полагая, что о0~по, найдем с учетом (1.109) интенсивность на*
пряжений:
—	,^3т----------.	(1.НЗ)
(1—В)2	2
1 - ------- cos2 агс fg-
Чаще всего конструкция машин для испытаний на кручение
такова, что кручение является стесненным. Из (1.113) следует,
что в этом случае интенсивность напряжений, определяемая
без учета деформационной анизотропии (оо=уЗт) несколько
занижается. При (3 = 0,4 (наименьшее из приведенных выше
экспериментальных значений р) погрешность может дости-
гать 6%.
Для определения нормальных напряжений необходимо най-
ти гидростатическое давление ст. Поскольку оно равно радиаль-
ному, напряжению о>, определим его из уравнения равновесия:
d(jr
dr
= 0.
(1-114)
На поверхности стержня прн r = R ог = 0, поэтому
д
1 - 8 f '	< 2 dr
о = —-£r-1 од cos arc tg-----.
2/3 J » S Y r
r
Нормальные напряжения оф = 5ф -J- а; аг = sx -J- а.
Осевое усилие (распор)
к / к	\
Р =------- (1 — р) J г I J Oq cos arc tg — + Од cos arc tg — I dr.
0 \o	/
(1.115)
Прн свободном кручении (P = 0) стержень в соответствии
с (1.111), (1.112) удлиняется. Однако, как будет показано да-
38
лее, это удлинение примерно на
два порядка меньше е0, поэтому
можно принять, что по-прежнему
—	^2	2
= —(1.116)
/3
Вследствие несжимаемости
материала
£fe2 '	=
- —	(1.117)
В дальнейшем будем полагать,
что стержень достаточно длин-
ный, и поэтому de не зависит от
значений г.
Из (1.111), (1.112) получаем
Рис. 13. Удлинение закручи-
ваемого стержня
82	\ г <№
____ / I + Р de
5f₽ ~ — 1~2Т дГ ~
1-0 о \ ffo
---- cos 2а 1 —;
2	/1/3
1 —Р о \ *0
---— cos 2а j —т=.;
2	) /3
(1.118)
s _	1 + Р de ро
r2r d& /Г’
Учитывая, что ar-ats6 из уравнения равновесия (1.114) опре-
деляем гидростатическое давление
а =	1 —Р f j 1 dc0___________g0 \	1 —p ? g0cos2a &
2)/ Г 40 J \ r dr r* J Г 2/3" J r
Далее из условия [P = 2л j o2rdr = 0 находим
о
(1.119)
39
Для получения более простой формулы аппроксимируем функции
2	2
о'(у) н cos arc tg— зависимостями о,' -- Лу"7 и cos arc tg— =0,45у.
У	Y
Погрешность последней не превышает 10% при у< 1,5. В резуль-
0,67(1 —б) (от+1)	„
тате получаем в =---------——!—— у*,
(1 4- £) (от-у 3) (5 - от) R
где уп — сдвиг на поверхности стержня.
На рнс. 13 результаты расчета удлинения по формуле
(1.119) сопоставлены с экспериментальными данными. Как
видим, совпадение их для дюралюминия Д16 удовлетворитель-
ное, а для стали СтЗ результаты, полученные в области боль-
шнх деформаций, значительно разошлись с расчетными.
Глава II
Экспериментально-расчетные
методы исследования
напряженно-деформированного
состояния в пластической области
§ 7. Определение пластических деформаций
Наиболее просто пластические деформации определяются
методом делительных сеток. Чаще всего применяют сетки из
систем окружностей и прямоугольные сетки. Предложено много
различных способов нанесения сеток. Их наносят типограф-
ским, фотографическим способами, травлением, напылением
и т.д. Простота технологии нанесения и высокая точность от-
личают способ нанесеиня сеток царапанием. Обычно сетку
наносят с помощью инструментального микроскопа. Образец
устанавливают на предметном столике микроскопа, иа окуля-
ре закрепляется корундовая или алмазная игла. Предметный
столик с продольной и поперечной подачей позволяет с высо-
кой точностью выдерживать базу сетки.
Прецизионные прямоугольные сетки можно также наносить
на установках для скрайбирования, применяемых в электронной
промышленности для разделения пластин полупроводникевых
материалов на кристаллы [28]. Так, установка скрайбирования
«Алмаз» позволяет наносить сетки с базой от 0,05 до 6 мм с
дискретностью настройки базы 0,05 мм. Точность нанесеиня
рисок ±0,005 мкм. Ширина рнсок около 0,01 мм. Нанесение
сеток с помощью этой установки отличается высокой произво-
дительностью: число двойных ходов алмазного резца в минуту
достигает 50.
Предложены также установки для нанесения царапанием
сеток из системы окружностей.
Пусть первоначальная окружность радиуса г деформиро-
вана в эллипс с полуосями б h (рис. 14). Исходя из зависимо-
стей (1.31), (1.33), (1.37), находим главные деформации
Р —г»	h2 — r2 э2 		; 2ft3	(2.1)
2/а		
12	г2 11 = -—— 1	2г3	; _ ft2-г3 . *9 ”—	"	» 2г2	(2.2)
^ == 1п — ; г	1 h е.2 "In — . Г	(2.3)
		4)
к
Рис. 14. Схема искажения
элемента делительной сетки
из системы окружностей
Главные направления, отнесенные
к деформированному состоянию (глав-
ные направления тензора эц) совпа-
дают с главными осями эллипса.
Для определения главных направле-
ний тензора 1ц требуются дополнитель-
ные условия.
Третью главную деформацию обыч-
но определяют из условия несжи-
маемости (1.49) — (1.51). В некоторых
случаях эта деформация известна
или может быть определена каким-ли-
бо иным способом. Например, при
плоской деформации = при осе-
симметричной деформации окружную деформацию можно опре-
делить по изменению удаления рассматриваемой частицы от
оси симметрии и т. д. В этих случаях условие несжимаемости
можно использовать для повышения точности определения глав-
ных деформаций.
Пусть точность определения деформаций е%г характе-
ризуется дисперсиями рь pl, р з- Обозначим полученные ре-
зультаты через <?i, ег, Определим еще одно значение дефор-
мации е{ из условия несжимаемости е\ =~~ ез. Дисперсия
этой величины равна pl +рз. Уточненное значение деформации
найдем как результат двух неравноточных измерений
я аналогично
^2 ~ 1 _Е и Д_ я I*2	'
1 Ч" «а + «з
е» = 1 , xV 1ез(1 + ~ (*< + "21 ’
1	~Г П2 "Г ^3
„2	„2
Рч.	Рз
где	; п3 = — .
Pi	Pi
Если принять рз = 0, pi =р2, то вместо соотношений (2.3) по-
лучим: при плоской деформации
в1 = — е2 = In ~ ;	(2-5)
при осесимметричной деформации
«1 = 1"}^^-,	=	е, = еф = 1пД-.	(2.6)
42
Здесь foi г — удаление частицы от оси симметрии до рассмат-
риваемого момента деформирования и в этот момент.
П-ри соответствующем выборе координатной системы линии
деформированной прямоугольной сетки являются изолиниями
начальных координат a — const, b = const. Аппроксимируем за-
висимость начальных координат от текущих полиномами
a = SA,^'; Ь^УВ^д'.	(2.7)
»i , j
Измерив координаты различных точек линий а= const и Ь —
= const (этими точками, в частности, могут быть узлы сетки)»
получим системы уравнений
= £ Ацх[ у{Ьк = ^ В1}х1к ,	(2.8)
i -!	i.i
где k — номер точки. Очевидно, что число уравнений относи-
тельно (или Bij) не должно быть меньше числа неизвест-
ных коэффициентов.
Решим полученные системы уравнений методом наименьших
квадратов. Для этого образуем сумму
S [(X. ^ifxk Уь	ak j2 "Ь (S Вцхь Уk	k j21 •
Минимизируя эту сумму, получим замкнутые системы уравне-
ний относительно коэффициентов Вц-.
Спт “ 0;
f г/
В^а. . г9 = 0.	(2-9)
Здесь пт, rq образуют такие же сочетания чисел, как и индек-
сы при А, В, соответственно
%,nm-^xk+nyk+m^ Спт = Ъакхпку^ (2.10)
к	k
drq ~ Ук *
Из уравнения (2.9) находим
Аг=^-; в,/=-у-.	(2.11)
где
?	а(И,01 а10,01 • •	• • •
~ а01,10а10,]0 • • *а(7Л0  • . •
Определитель получим, заменив столбец ац,пт апреле-
лителя А столбцом спт. Определители 6, 6^- определяются так
<;же, как н определители А, Д^, ио, во-первых, при вычислении
^определителя бц столбец ац,пт заменяется столбцом dnm, а»
43
во-вторых, в этом случае могут встречаться другие сочетания
индексов.
Подставив зависимости (2.7) в соотношения (1.26), полу-
чаем компоненты тензора эйлеровых деформаций в точке х=
=# = 0:
=	#ю);	0ю^о1 4~ 510^01); (2.12)
Э22 ==	(1 -^01 - #01) -
Главные компоненты этого тензора
э12=~-(2 — Л10 — #10— ^01—#01) ±
i — \/ —(/iiо 4~	—Ли-—#01) + (ЛоЛм 4-йюЗД2. (2.13)
2	у 4
Угол а между первым главным направлением и осью х можно
определить из соотношения
tg 2а = —4-. Biogoi)— .	(2.14)
.	А2 л_ я2 — л2 — я2
Аналогично тому, как определяется зависимость начальных
координат от текущих, можно определить и зависимость теку-
щих координат от начальных:
х =	у = Т¥ца1у[.	(2.15)
При определении коэффициентов Хц, Уо обычно используют
лишь результаты измерений координат узлов сетки.
Компоненты лагранжева тензора деформаций в точке а —
= 6-0.
4i=	(^iо4~о — О’»	== (ХЛ(2*56)
^22 = -у (4l 4~ ^01 — 0 •
Главные компоненты тензора 1ц
/1,2 == (Xio 4~ У10 4- Xoi 4~ У01 — 2) ±
4
±У1/ -4(^о + г10-^1-у01)2 + (^1Л1+У»Уо1)!- (2-17)
Угол р между первым главным направлением этого тензора
и осью х определяется из уравнения
tg2₽ =
2(ХцУц + Г,.Уи)
у 2	। 1^2 у 2 лл2
Л01 + Г01 “ Л10 — Г 10
(2-18)
44
Главные логарифмические деформации в точке х=у = а = Ь = 0)
т. е. в начале подвижной системы координат, равны
---— 1п-£- [Л?0 + #10 + ^01 + ^01] ±
±	—Biq—Aqi —Boi)2 4(Л1ОЛо14-^1оДп)2 ~
— — In“ [Х?о 4- Yio + Aqi -J-Koi] ±
± I7' Wo + Ио — Xoi — Hi)2 + 4 (X10X01 -J- П0П1)2 • (2'19)
Главные деформации Э3, Z3, Сз можно определить из условия
несжимаемости.
Приняв линейную связь между начальными и текущими ко-
ординатами, что равносильно предположению об однородности
деформации в окрестности рассматриваемой точки, т. е.
п = А10х 4~ Ло1//; b = BiqX 4~ Воуу,	(2.20)
получаем
Лю = Лй1 =	2?10 = й^б10; В01 =	(2.21)
Здесь
= X у1 X akx-k — X чуь X akyk’
k	k k
A01 = X 4 X a^k — X xkyk X	(2.22)
k	k	k	k
5ю = X у1 X bk4 — X ад X hy^
k	k	k	k
60i = X X ььУк “* X ХьУь X bk^
k k
Приняв линейную зависимость
текущих координат от началь-
ных
X = Х10д • Ащ^ ;
У = ^1ой Ч~ I'm*’»	(2.23)
получаем
Х10 = 1^Д1'0; Х01=1ГД;1;
^"lo =	У01 = Й^бо1. (2.24)
Здесь отмеченные штрихами
Рис. 15. Схема искажения элемен-
та прямоугольной делительной
сетки
величины определяются по со-
отношениям (2.22), в которых
хА, yk, Qh, bk заменяются соот-
ветственно йа, bk> xk, уъ.
45
На рис. 15 штриховыми линиями изображена недеформиро-
ванная сетка, а сплошными — деформированная. Связав нача-
ло подвижной системы координат с точкой О, определим де-
формации в этой точке по результатам измерений координат
точек Л 2. Подставив в приведенные выше соотношения =
=	61 = 0, 02 = 0, b2=dy, найдем главные логарифмические
деформации:
*2 +И
□S
, -| [ [	4-у? 4 у (зд + зд)3
± V --------+ 4 ——
Г \ dx	d9 }	dxdS
(2.25)
Угол а между первым главным направлением и осью х удов-
летворяет уравнению
.	2 х^У» 4“ -Vi t/i)	~
tg 2a =-------v *-	» 1 17--- ,	(2.26)
вытекающему из уравнения (2.14).
Если в эти соотношения подставить лу = /txcos(p; у± ~ hx sin <р;
jc2 = /tysini|>; у2 — Ау cos ф (обозначения по рис. 15)» то получим
известные формулы
1 < [ nJ +	, 1 / (nJ — nJ) , 2 9 2 Л 1	,п П7.
ei.2 = TIlIL----± |/ ~ ~-injnjcos’5	I2-27)
. о T)Jsin2(p+ njsin2if
tg 2a = —---------------,
nJ cos 2ф — ijj cos 2q>
где т]х " ^x^x’ Пу “ ^y/^y*
В некоторых случаях можно, исходя из условия несжимае-
мости, уточнить полученные деформации. Так, прн плоской
деформации можно записать условия несжимаемости (1.47),
(1.48) в виде
да	дЬ да	дЬ __ ।
дх	ду	ду	дх
или
дх	ду дх	ду __ ।
да	дЬ	дЬ	да
Отсюда следует, что коэффициенты полиномов (2.7) (2.15)
должны удовлетворять условиям
Л Л — Л015хо = 1;	(2.29)
V« ^01^10= !•	(2.30)
46
При осесимметричном деформировании аналогичные урав-
нения записываются в виде
АМВО1 - - г/г0;	(2.31)
ХЛ V10= Л»/г*	(2.32)
Уравнения (2,29) — (2.32) позволяют уточнить коэффициенты
полиномов (2.7), (2.15), а следовательно, и деформации. Рас-
смотрим методику уточнения этих коэффициентов на примере
плоской деформации.
Пусть одним из рассмотренных выше способов определены
приближенные значения коэффициентов Дц, Вц. Определим
поправки ДА^, ДВ^-, при которых коэффициенты А^=А^+
+A4*j, Bij = Bn + &Bij удовлетворяют условию несжимаемости,
а сумма квадратов поправок минимальна. Полагая поправки
малыми по сравнению с самими коэффициентами, получаем из
уравнения (2.29)
Вв1ДА10 И- А10Л5О1 В1{|ДД01 A01A510 = А,
где L = 1 - А1в В91 А01 BiQ.
Выразим из этого уравнения одну из поправок, например ДА[0:
ДАю = -=- (L А10ДВв14~	 - А01Д7?1е)
£>
и уставим ее_ в сумму квадратов поправок-^ (М?,_+ А®?,) :
(2?(вЛА01 4~ АмД510 —АдэДйо! 4~ Т) 4~ 2?oi ДА01 4~ ^01 ДВ10 4~
4- Bqi Д^о! •
Здесь удержаны лишь поправки коэффициентов при линейных
членах полиномов.
Взяв частные производные по ДА0[, ДВ10, ДВ01 и приравняв
их нулю, получим систему уравнении
(^01 4’ Вю) ДАщ 4~ А017?10Д510 A18510A5ji = ZJ01 B^L'.,
Agi^ie^Aei 4~ (Aoi 4~ В(н) Д2?1() •— А10А01Д501 =	Bqi A01L; (2.33)
Ai$B10AAei 4“ А01А10Д7? — (А] о 4~ 5ei) Д7?01 = B$i Ai0L.
Решением этой системы найдем ДАщ, ДВ10, Д-Sqi и по формуле
(2.33) .вычислим поправку ДА^ Прибавив полученные поправ-
ки к коэффициентам Ац, Bij, получим уточненные значения
этих коэффициентов,
Таким образом, для определения деформаций изложенным
способом необходимо в какой-либо системе координатных осей,
параллельных линиям недеформированной сетки, измерить ко-
ординаты xk, ук различных точек линий деформированной
47
сетки (и, в частности, ее узлов). Для определения деформаций
в точке с координатами х0, Уп необходимо определить коорди*
наты точек окрестности этой точки во вспомогательной системе
осей:
— хо‘> У^Уь — Уь’ а'к = ак~а0\ b’fc = b'k — bQ.
Дальнейший расчет производится по приведенным ранее за-
висимостям.
Наряду с такого рода «локальным» определением деформа-
ций возможно и определение деформаций как непрерывных
функций координат. Для этого полиномы типа (2.7), (2.15)
строят иа достаточно большой области, а затем по формулам
(1.26), (1.28), (1.38) рассчитывают деформации.
Деформированное состояние достаточно крупных образцов
и моделей можно определять выявлением волокнистой макро-
структуры. Преимуществом этого метода по сравнению с мето-
дом делительных сеток является возможность определения де-
формаций во внутренних областях тела без нарушения его
сплошности. Однако точность этого метода определения дефор-
маций обычно значительно ниже точности метода делительных
сеток. Кроме того, выявлением волокнистой макроструктуры
можно определять деформации лишь материалов, обладающих
так называемой строчечной структурой, обусловленной пред-
шествующей пластической деформацией, например при воло-
чении.
Для выявления волокнистой макроструктуры готовят макро-
шлиф, плоскость которого совмещается с направлением воло-
кон. Эта плоскость после соответствующей механической обра-
ботки травится в нагретом состоянии водным раствором сме-
си соляной и серной кислот.
Выявлением волокнистой макроструктуры определяют де-
формации в сечениях, остающихся плоскими в процессе дефор-
мирования.
Для получения двух семейств линий деформированной сетки
необходимо испытывать две модели тела, изготовленные таким
образом, чтобы при одинаковой их установке до испытания
волокна одной из них были перпендикулярными волокнам вто-
рой модели. На поверхности моделей на части контура рас-
сматриваемого сечения, где волокна пересекают поверхность
тела, через равные промежутки наносят метки. Если, напри-
мер, исследуется процесс осесимметричной осадки цилиндра,
то изготовляют два цилиндрических образца. У одного из них
волокна ориентируют вдоль оси, а у второго — в перпендику-
лярном к оси направлении. У первого образца метки наносят
в различных точках радиуса торца, а у второго—в различных
точках образующей, лежащей в плоскости, в которой волокна
совпадают с радиусом цилиндра.
48
Совмещая в последующем изображения выделенных метка-
ми волокон двух моделей, получаем искаженную прямоуголь-
ную сетку, по которой можно определить деформации изложен-
ными ранее приемами.
Если часть деформируемого тела остается в упругом со-
стоянии, то волокна, образующие сетку, выбирают таким обра-
зом, чтобы в упругой области расстояние между ними было
равно шагу делительной сетки.
Если при плоской или осесимметричной деформации изве-
стно начальное расстояние между волокнами одного семейства,,
то можно из условия несжимаемости определить расстояние
между волокнами второго семейства. Так, при плоской дефор-
мации недостающий размер можно определить из условия:
hxhy sin 8~dxdy (обозначения по рис. 15). При осесимметричной
деформации rhxh.ysin d = rQdxdy. В последнем случае должно*
быть известным расстояние между волокнами, параллельными*
оси симметрии г.
Прн плоском и осесимметричном деформировании возмож-
но определение деформированного состояния по одному семей-
ству волокон.
Совместив ось у с направлением волокон до деформации*,
(при осесимметричной деформации волокна в недеформирован-
ном состоянии ориентируются вдоль оси симметрии), полу-
чаем в результате измерения координат х, у различных точек,
волокон в деформированном состоянии функции а(х, у), по-
скольку каждое волокно является изолинией a=const. Условие
несжимаемости (1.48) запишем в виде
да дЬ	да дЬ  	р „
дх ду	ду дх
где f=l при плоской деформации и f = r/ro прн осесимметрич-
ной деформации.
Перепишем это уравнение в виде
дЬ , дЬ с
— р-----------------------1---= pt
дх ду
где р =	; F — ------известные функции
дх
Уравнение (2.35) сравнительно просто решается методом
характеристик. Стандартным методом {45] находим направления
характеристик:
да
(2.36>
(2.35>
dy _	1  	дх
Лх р	да
ду
49-
, да ,
da -------dx
dx
.На волокнах справедливо равенство
+ ^.^ = 0.
ду
Следовательно,
.волокну
тангенс угла между осью х и касательной к
да
dy _ дх
dx	да
ду
(2.37)
Сопоставляя (2.37) с (2.36), видим, что характеристики урав-
нения (2.35) совпадают с волокнами.
Вдоль характеристик справедливы соотношения
pdb — Fdx — 0	(2.38)
Или
— db 4- Fdy = 0.	(2.39)
Поскольку элемент длины, отсчитываемой вдоль волокна,
ds = jdx2 + dy*, перепишем уравнения (2.38), (2.39) в виде
db~ + т
(2.40)
а{х, у). Поэтому
скалярией
ds,
функции
(2-41)
где Л — точка волокна, в которой координата Ь известна;
В—точка, в которой определяется эта координата. Интегриро-
вание выполняется вдоль волокна. Значения подынтегральной
функции в различных точках волокна можно приближенно оп-
ределить следующим образом. Пусть требуется определить эту
функцию в точке С волокна, вдоль которого а—а^ Обозначим
через = — tZ;	разность значений а на двух сосед-
них волокнах, а расстояние между этими волокнами, измерен-
ное по нормали к касательной к рассматриваемому волокну в
„	, т да Да
точке С, через /. Тогда -~ —— •
дп I
В силу этого при плоской деформации /
При осесимметричной деформации f !	,
/ дп г0&а
/ da	I
/ дп	Да
.50
где rQ, г — соответственно расстояние от точки С волокна до
оси симметрии в иедеформироваином и в деформированном
состоянии.
Выбор знака в (2.41) затруднений не вызывает.
Если соединить точки различных волокон, в которых одина-
кова координата b = mhy, где т — целое число, получаем вто-
рое семейство линий деформированной прямоугольной сеткн.
В последние годы в исследованиях пластических деформа-
ций находит широкое применение метод муара. Не останавли-
ваясь на технике эксперимента, подробно изложенной в книгах.
[17, 33], рассмотрим некоторые вопросы, связанные с расшиф-
ровкой экспериментальных данных этого метода.
В классическом варианте этого метода на плоскую поверх-
ность исследуемого тела до его деформации наносят два ли-
нейных растра с взаимно перпендикулярными, ориентированны-
ми вдоль координатных осей х, у линиями (рабочие растры).
В последующем этн растры механическим нли оптическим ме-
тодом совмещаются с аналогичным недеформированным, эта-
лонным растром. Возникающие при этом полосы являются:
изолиниями перемещения в направлении, перпендикулярном
линиям рабочего растра. Так, при совмещении эталонного:
растра, линии которого параллельны осн х, с рабочим растром,,
линии которого до деформирования также параллельны оси х,.
возникает картина полос, на которых перемещение вдоль оси
v = const. Величину этого перемещения определяют по формуле
v = np, где п — порядок полосы; р— шаг растра. Аналогично
определяется перемещение и вдоль осн х.
Таким образом, метод позволяет получить в табличной фор-
; ме зависимость перемещений и, и от текущих координат. Ап-
проксимируем эту зависимость полиномами
i.i	i.i
Коэффициенты Уц можно определить тем же способом,,
каким ранее определялись коэффициенты Atj, В^. Полученные
, при этом коэффициенты U^, Уц можно уточнить, нопользуя;
условие несжимаемости.
Подставив в уравнение (2.34)
а = х — и; Ь= у —v,	(2.42>
) получаем условие несжимаемости в форме
'	ди , ди ди ди , ди ди .
-----1---------------j--------я?,
дх ду дх ду ду дх
(2.43}
$где ф = 0 при плоской деформации и ф=1-----при осеснммет-
н	го
йричиой деформации.
51
Следовательно, в точке х^у — О
U io + ^о1	^01 4~ ЦЛ = Ф •
На основе этого уравнения можно уточнить коэффициенты
Ки, так же как выше уточнялись коэффициенты Вц.
В дальнейшем можно определить компоненты эйлерова тен-
зора деформаций (1.29):
эх = -Ь (26;,„-Ц0 - V?o);
(2.44)
эху — ~ (Ц1 + Ц- — Цо^01 — ЦоЦ1)-
Чтобы определить лагранжевы деформации, необходимо в
таблицах функции и(х, у), и(х, у) с помощью соотношений
(2.42) заменить значения координат X, у значениями начальных
координат а, Ъ. Определив затем коэффициенты полиномов
и — 2 и = J Vij
1/	if
можно вычислить лагранжевы деформации в точке а = Ь = О:
1Х =	+ ^io + V]о);
I, = -L(2V01 + Ugi +Ц1);	(2.45)
(Ц1 4~ Цо 4~ Ц» Ц14~ ЦоЦ1) 
В этом случае условие несжимаемости (1.47) записывается в
виде
ди	dv	. ди dv	ди	dv __
да	дЬ да дЬ	дЬ	да	<^’
где ср = О при плоской деформации и ср =—--1 при осесиммет-
ричной деформации. И, следовательно, в точке а = £> = 0
4~	4~ ^oi Vls = ср.
С использованием этого уравнения можно уточнить коэффи-
циенты Uij, Vij. Если деформированный растр, линии которого
до деформации параллельны оси х, совмещается с тем же де-
формированным, но смещенным вдоль оси х на величину Д
„	дё
растром, то возникает семейство полос, вдоль которых --- =
дх
__ пр
52
Если же один из этих растров сместить относительно другого
*
вдоль оси у, то можно определить производную —. Аналогич-
но определяются и другие производные от начальных коорди-
нат по текущим координатам. Это позволяет, уточнив эти про-
изводные с помощью условия несжимаемости (2.34), опреде-
лить эйлеровы деформации по формулам (1.26).
И, наконец, если .картину полос u = const, полученную при
совмещении деформированного и недеформированного растров
совместить с той же картиной полос, но смещенной вдоль оси х
.	ди пр
на величину А, то возникают полосы, вдоль которых	
Аналогично можно определить и другие производные от
компонент перемещения по текущим координатам. Уравнение
(2.43) позволяет при плоской и осесимметричной деформации
уточнить эти производные.
В этом случае можно непосредственно по эксперименталь-
ным данным рассчитать эйлеровы деформации по формулам
(1.29).
§ 8. Определение приращений
и скоростей деформации
Если методом делительных сеток исследуется нестационар-
ный процесс пластического деформирования, то для определе-
ния приращений деформаций за некоторый достаточно малый
промежуток времени Д/ = /г— Л достаточно знать произошед-
шее за это время искажение сетки. Заметим, что при исследо-
вании процессов холодного деформирования в роли «времени»
может использоваться любой параметр, монотонно изменяю-
щийся при деформировании тела. Например, прн исследовании
осадки таким параметром может быть высота заготовки, при
кручении — относительный угол закручивания и т. д.
Пусть измерены перемещения Дх, некоторой совокупно-
сти частиц, произошедшие за время Af в окрестности начала
координат. Если делительная сетка нанесена при t=ti, то мож-
но измерить перемещение Дх(Д^) в любой точке линий, парал-
лельных оси у(х), до деформирования сетки. Если же к этому
моменту времени сетка уже деформирована, то приходится ог-
раничиться измерением смещений узлов.
Аппроксимируем зависимость перемещений от текущих ко-
ординат полиномами
Лу = 2Pi}X!yk	(2.46)
t,f	i ,/
53
Тогда в соответствии с (1.44) произошедшие за время А/ при-
ращения деформации в начале координат будут равны
Дех = (/10; Деу = р01; Деху = — (<i 4~ pi0).	(2.47)
Промежуток времени Д7 должен быть настолько малым, чтобы
можно было считать произошедшие за это время приращения
деформации малыми. Для того чтобы убедиться в том, что это
условие выполнено, определим приращения деформации по
соотношениям (1.29):
~ Pei 2*^01	2~	’
~ ~ (Яи + Рю VioPoi — <7<иЛо)-
Далее потребуем, чтобы удовлетворялись условия
<0
<716
Дер
Ухо +
?10рц + gfilPia
<7bi + Pie
<26;
„2
, Poi
7oi 4---------
<?6i
<26.
(2.48)

Здесь 6<<1. Если условия (2.48) не удовлетворяются, необхо-
димо уменьшить промежуток времени АЛ
Коэффициенты q^, рц можно определять способом, приме-
ненным в § 7 прн определении коэффициентов	Если*
например, принять, что в окрестности (начала координат пере-
мещения линейно зависят от координат, т. е.
4* = <7ia* + W! &У = Pio* + АнУ,	(2-49)
то эти коэффициенты можно определить по результатам изме-
рений перемещений и координат некоторой совокупности частиц,
в этой окрестности по формулам (2.21), (2.22), в которых
Лю, Л01, 5ю, 5(н, Як, заменяются соответственно q^, q^^
Pig, Pol, A^a, ДУа-
Если материал несжимаем, то целесообразно в тех случаях,,
когда это возможно, использовать условие несжимаемости для
уточнения приращений деформаций. При плоской деформации
Дех+Д£р = 0. Уточним Дех, Деу способом, изложенным в § 7.
Обозначим результаты определения приращений деформаций
одним из изложенных ранее способов через Дех, Дей. Определив
поправки этих величин таким образом, чтобы скорректирован-
ные значения Дех, Деу точно удовлетворяли условию несжимае*
54
мости, а сумма квадратов поправок была минимальной, и при-
бавив эти поправки к As^, Аеу, получим уточненные прираще-
мия деформаций:
ДеА = — деу = -L (Д^ _	(2.50)
При осесимметричной деформации условие несжимаемости
имеет вид Ae^ + Asy + Ae. = 0, где Дех, Деу — приращения дефор-
маций, определяемые по искажению сетки, нанесенной в ме-
ридиональном сечении; ДеФ —приращение окружной деформа-
_	,	. Аг
цин. Его можно определить по формуле ДЕф	где г — рас-
стояние от рассматриваемой точки до оси симметрии; Дг — из-
менение этого расстояния за промежуток времени ДЕ Будем
считать, что точность определения Аеф значительно выше точ-
ности определения Деж, Asy. Тогда можно определить уточнен-
ные значения приращений деформаций по соотношениям
Ае.г = у (Дёх — Лёу — Деф) ; Деу == (Д?у — Дет - Деф). (2.51)
Если приращения деформации определяют методом муара,
то наносят на поверхность деформированного тела линейные
растры, ориентированные вдоль координатных осей. При неко-
тором достаточно малом приращении деформации тела эти
растры искажаются. Располагая деформированными таким об-
разом и эталонными растрами, можно способами, изложенными
в § 7, определить произошедшие при этом приращения дефор-
мации.
Обычно приращения или скорости деформации определяют
для последующего определения напряжений. Поскольку для
определения напряжений по кинематике пластического деформи-
рования необходимо знание накопленной деформации ёо раз-
личных частиц, а для ее определения необходимо знать изме-
нение интенсивности приращений деформации за весь период
деформирования, целесообразно экспериментально определять
функции х — x(a, b, t); у = у(а> b, t). Для этого обычно наносят
прямоугольную сетку на ряд моделей, деформируемых затем до
различной степени деформации, т. е. до различных значений Е
Измерив координаты узлов полученных сеток, по методике,
изложенной в § 7, определим коэффициенты У^- для раз-
личных узлов этих сеток, Аппроксимируем зависимость этих
коэффициентов от времени полиномами
xv=2V; с.
п	п
Коэффициенты Хцп, У1уп можно определить методом наимень-
ших квадратов как решения систем уравнений
55
m = О, 1, 2, . . .
Всегда можно выбрать такую базу сетки и окрестность точ-
ки, в которой определяются приращения деформации, при кото-
рых зависимость текущих координат от начальных достаточно-
близка к линейной:
* = aSXi.,/' + Z>XX01/;
п	п
У = Ч- 2	•
п	п
С учетом соотношений (2.42) определим скорости перемещения:
частиц:
и = а «W"1 + ь 1 ftXoi/-1;
п	п
и = а X «0»/“’ + Ь 2 «	.	(2.52)
п	п
Подставив в зависимости (2.52) соотношения (2.7), в которых
Л01 =	ЬХ01', Вщ =  LYlff] Bol = LX^'-,
L = l/(XiO^oi — Xo1Flo), получим зависимость скоростей и, v от те-
кущих координат. Дифференцируя их, находим скорости деформа-
ции:
ёж = I (К X	- Yw J лХы/-');
4 = L (ХоХ «W1 - Хи х лЛ,/-1);	(2-53)
\ п	п	1
^3 = ^-L (х10 2 лХм/-' - Х„ 2 лХи/-‘) +
4“ ^«1 X	^10 2	10л^	•
и	п	/
Если исследуется процесс осесимметричного деформирова-
ния, то можно определить и скорость окружной деформации.
Для этого устанавливаются удаления г различных частиц от
оси симметрии в зависимости от начального значения этого-
удаления г0 и времени:
г = г(г0, t).	(2.54)
Тогда скорость окружной деформации = — — г(г0, /).
* г dt
56
.Аппроксимируя зависимость (2.54) полиномом
i п
получаем
g = Л_«__________
ф 2^0
I п
Как и в прочих случаях, можно использовать условие не-
сжимаемости для уточнения коэффициентов У1;т1. Так, при
плоской деформации из условия несжимаемости
+ еу = 0 следует
X	X л W' - X	X nXa„t"-'	+
п	п п	п
+ X W X « W - X Хппе X	' = 0.
п	п п	п
Поскольку это уравнение должно удовлетворяться при любых
значениях t из периода деформирования, коэффициенты при
одинаковых степенях t необходимо положить равными нулю,
Например, если зависимость коэффициентов Xiin, У^„ от вре-
мени описывается полиномами второго порядка и если в на-
чальный мо-мент деформирования / = 0 (и, следовательно, Х100 =
= Уоы= 1, А'010= Уюо==О), то получаем следующую систему
уравнений:
*1И d- ^ои = 0;
101	2Х103 ^ioi^oii ‘ I ’ ^ioi-^oii ’ г 2КО12 ^oh^ioi = 01
^on^ioi ^102^011 2К101Х013 -|- 2X1o1lzo12 :
“г -^ш^ои -^012^101	2Х011К102 = 0;
^012^102	^102-^012 + -^loa^oia • ^012^102 = 0-
Используя эти уравнения, можно уточнить коэффициенты Хгдг,
Yijn способом, примененным в § 7 для уточнения коэффициен-
тов Аг;, Biy.
При исследовании осесимметричной деформации аналогич-
ные уравнения оказываются более сложными, поскольку в них
наряду с коэффициентами Хцп, У^п появляются коэффициенты
Однако в связи с тем, что точность определения скорости
окружной деформации обычно значительно выше точности оп-
ределения прочих компонент тензора скоростей деформации,
можно считать эти коэффициенты определенными точно и ог-
раничиться уточнением коэффициентов Xijn, У^п.
При исследовании стационарных процессов определение при-
ращении деформаций по искажению прямоугольной сетки зна-
57
Рис. 16. К определению скоростей
деформации в установившихся
процессах деформирования
чительно упрощается. Сетка выставляется так, чтобы одно
семейство линий было ориентировано вдоль скорости дви-
жения жесткой области относительно инструмента. В дальней-
шем эти линии совпадают с линиями тока.
Поскольку модуль скорости движения частиц относительно
инструмента (рис. 16) v=v0-—, где h — расстояние между со*
'1о
седними узлами на линиях тока; h0—база сетки, составляю*
щие этой скорости
Uj. = v cos а = — h cos а; = v sin а = ~ h sin a.
Здесь a — угол наклона касательной к линии тока, отсчитывает*
мый .в положительном направлении от оси х.
Компоненты тензора скорости деформации .
va ( dh	< . da \
(----cos a — h sin a---);
h9 \ дх	dx J
Vf, f dh .	L	da \	,n r-r-Y
e.,	— (----sin a 4-/icosa — ;	(2,55)
h9 \ ду	dy /
Скорость окружной деформации прн осесимметричном дефор-
мировании
Приращения деформации за промежуток времени, в течение
которого частица перемещается вдоль линии тока на расстоя-
ние h между соседними узлами, можно определить умножени-
ем скоростей деформации на 4^ = /iQ/t?o- В результате получаем,,
что
. dh,	, . da
Де„ -----cos a — nsina-----;
x дх	дх
Де„ = sina + hcosa-^-;	(2.56)
ду	ду
До 1	Г(	dh	, da \	.	/ dh	. , da \	1
Aexv ~ ~ {-------л — sui се 4--------к л-----) cos a .
у 2	|_\	дх ду J \ ду дх J	J
58
Приращение окружной деформации при осесимметричном
деформировании Де = — cos а.
* г
При исследовании стационарных процессов выявлением во-
локнистой макроструктуры можно воспользоваться следующей
методикой [38]. Если в жесткой области заготовки волокна
ориентированы вдоль скорости материала относительно ин-
струмента, то по деформированным волокнам определяют на-
правление вектора скорости частицы как тангенс угла накло-
на касательной к волокну. Модуль скорости и во многих слу-
чаях можно определить из условия несжимаемости.
При плоской деформации условие несжимаемости ex+ew = O
записывается с учетом (2.55) в виде
 dv . ди .	да .	да	.п
	cos а 4;	sma = u	sin a — v	cos a. (2.o7)
дх-----------------------------------ду-дх-dy
Рассмотрим приемы решения этого уравнения методом ха-
рактеристик. Дифференциальные уравнения характеристик
dy ,
= tga показывают, что характеристики совпадают с волок-
ах
нами. Вдоль характеристик (т. е. вдоль волокон) справедливо
соотношение
dv cos a — v (sin a---— coscqdx	(2.58)
\ дх	ду /	'	'
ИЛИ
dv	/да . да	\ ,
	= ( ---------sin а - -	cos a ) dst
х-------------------\ дх-ду-J
dx
где ds =--------дифференциал длины волокна. Интегрируя вдоль
cos а
волокна, получаем
In VA = In v0 4- f F (s) ds.
b
Здесь F (s) — экспериментально определяемая функция координат:
, , да . да
F (S) =---sm a-------cos a.
дх	ду
Интегрирование выполняется от частицы 0 волокна, скорость
которой известна, до рассматриваемой частицы А.
Таким образом, в любой точке А. пластической области
а ’
vA = с0 exp [ F (s) ds.	(2.59)
b
В некоторых случаях (например, прн	результаты,
получаемые при использовании соотношения (2.59), оказы-
5»
ваются недостаточно точными. В связи с этим преобразуем со-
отношение (2.58):
dv 1	да ,	.	,
— --------------as — ctg ada,
и	sin a dx
где da = dx 4- dy. Интегрируя, находим
дх ду
А
sin а„ л Г 1	da ,
VA = уо --------- ехР ~----------“S’
sin ад J sin а дх
о
Аналогичным образом можно также получить
v0 cos aQ___
________
Pl da
cos ад exp 1----ds
J cos a dy
6
(2.60)
(2.61)
Недостаток полученных соотношений — появление особен-
ностей, связанных с делением иа нуль. Например, при углах
а, близких к 0, неприменима формула (2.60), а при а, близких
к л/2, неприменима формула (2.61).
Условие несжимаемости при осесимметричной деформации
£r + e24-E<p =0 запишем в соответствии с (2.55) в виде
dv	dv .	da	da	v
— cos a---------sin a = v-sma — v------cos ct----cos a.
dr	dz	dr	dz	r
Характеристики этого уравнения также совпадают с волокнами.
Вдоль них справедливо соотношение
,	f da .	da	f \ ,
dv cos a — v----sin a — v---cos a------cos a ; dr.
\ dr	dz	r '
Интегрируя, получаем
A
vA = -°r°- exp f F (s) ds;
rA	6
=	Г	_J_ ds.
гд sin ад	J	sin a	dr
о
„ _	cos a0
A~	A
f 1 da
лд cos ад exp I----;— as
J cos a dz
о
Здесь F (s) =	sin a —~ cos a.
dr	dz
(2.62)
(2.63)
(2.64)
60
§ 9. Определение напряжений по кинематике
деформирования
Если при исследовании напряженного состояния при раз-
витых пластических деформациях кинематика деформирования
установлена, то по уравнениям пластического состояния рассчи-
тывают компоненты девиатора напряжений, а гидростатическое*
давление находят интегрированием дифференциальных уравне-
ний равновесия.
Наиболее просто определяются компоненты девиатора на-
пряжений по соотношениям деформационной теории пластич-
ности. Ограничившись, как и в прочих случаях, рассмотрением
процессов деформирования, при которых направление z, нор-
мальное к плоскости ячейки делительной сетки, является глав-
ным направлением тензоров деформаций, получаем из урав-
нений (1.108)
= 4 —(2.65>
3	3 е0
2 сг0
Sx Sy*, Тху	Сд-у,
где sx, sy, s2, хХу — компоненты девиатора напряжений. Компо-
ненты тензора логарифмических деформаций определяются п*>
соотношениям (1.38):
ех = CiC0s~!7. -|- e2sin2a; еу = (Д sin2 а ф- е2 cos2 а;
еху = (ei — ^a) sin 2а,	(2.66}^
где а — угол между первым главным направлением тензора.
Sfj И ОСЬЮ X.
Интенсивность логарифмической деформации
еа = у=-Уе1+е1 +еЛ.	(2.67>
Интенсивность напряжений сто находят по интенсивности дефор-
мации нз кривой течения, построенной испытанием материала
на растяжение или сжатие.
Такое определение девиатора напряжений корректно лишь-
при простом деформировании. Обычно это требование смягча-
ют, полагая это определение достаточно точным при деформи-
ровании, близком к простому.
В более общем случае предпочтительней соотношения (1.68)
теории пластического течения изотропно упрочняющегося ма-
териала, согласно которым		
s, = — 3 Д80	1	• s = JL —9 Де  ’ у з S, s'	(2.68)
sz = — sx — Sy;	т = A _qo Де 3 дго	
61
шш
=	5, = ф^е,;	(2.69)
ео	ео
2 ffB •
Sz -	Sy’’ Trv ’ Q . &ху
3 ee
.'Здесь
М, = -4=- У AeJ + Лк’ + Де,Де, + Де* ;	(2.70)
у 3	у	у
2	.	--------
е0 -= —- у е?х +	+ елЕ + & .	(2.71)
у 3 г
Для определения интенсивности напряжений по кривой те-
чения материала необходимо предварительно определить накоп-
ленную деформацию ёе. Если началу пластического деформиро-
вания соответствует / = 0, то
70=|!е„(/)Л.	(2.72)
0
Подставив в уравнение (2/72) соотношения (2.53), (2.71), мож-
но определить накопленную .деформацию, ио такое ее опреде-
ленно оказывается очень трудоемким. Чаще всего процесс де-
формирования рассматриваемой частицы разбивают иа ряд
этапов таким образом, чтобы можно было считать в пределах
каждого этапа деформирование достаточно близким к просто-
му, а приращения деформаций малыми. Тогда можно опреде-
лить накопленную деформацию суммированием:
70 = V(^0)A.	(2.73)
k
По этой формуле удобно, в частности, определять накопленную
.деформацию в стационарных процессах пластического дефор-
мирования, понимая под (Де0)ь интенсивность приращений де-
формаций за время Д^ = ^0/у0. В этом случае для определения
ёо в некоторой точке линии тока необходимо по формулам
(2.56) определить приращения деформаций для всех узлов де-
-лительной сетки, расположенных иа данной линии тока от уп-
ругой области до рассматриваемой точки. Определив далее по
(2.70) интенсивность приращений деформаций во всех указан-
ных узлах и просуммировав их, получим накопленную дефор-
мацию в рассматриваемой точке.
Если материал обладает начальной анизотропией, а после-
дующее его деформационное упрочнение считается изотроп-
ным, то в случаях, когда ось г, направленная по нормали к
*62
плоскости ячейки сетки, совпадает с главной осью анизотропию
и деформации, в соответствии с уравнениями (1.75) компонен-
ты девиатора напряжений в системе главных осей анизотро-
пии равны
- (2F 4- Н) Деж — (G — Н) Де-	л t
sx = G —	—-------J—ff- ;	(2.74)
3 (GH + FH± GF) Де
- (2G + H) Де„ — (H — F) Дех
s = ff----------------------;
3 (GH 4- FH + GF) Де
— 2Де^
$z = sr $y> Try = &	—	
jVAe
Здесь эквивалентное приращение деформации
Де = 1/ y(F + G + W)X
х |/77Т-^;»^»гХ1[/?//г + С(// + ла+//Р1Д^ + ^
I/ (ги 4“ Gn 4" пг)л 1
* + [F (G+Hj^GH^HG2] AeJ +2/7 (GF^-FH + GH) A^Ae,} +
N х*
Методика определения параметров анизотропии F, G, И, N
изложена в § 4. Эквивалентное напряжение а определяется по-
эквивалентной деформации е из диаграммы деформирования
o(s), методика построения которой изложена в § 4. Эквива-
лентная деформация находится суммированием эквивалентных
приращений деформации за весь период пластического дефор-
мирования.
В случае начального изотропного, ио анизотропно упрочняю-
щегося материала определим компоненты девиатора напряже-
ний из уравнений (1.85):
2 o’	2 Д'
Тг = «Л + — -z=- Aet; Sy «у + —-	Аеу; (2.75>
d Д8в	* Де,
2
Sjf Sy, ТХу ~ ^ху Н Д* ---- Лвгу
J Де,
Эквивалентное -напряжение сто определяют по величине накоп-
ленной деформации ёо из кривой со(ёо), методика построения^
которой изложена в § 5.
Если принять, что добавочные напряжения пропорцио-
&3:
нальны логарифмическим деформациям, то из соотношений
(1,88), (1.91), (275) получим уравнения
= а । 1 + Р dc4 | e‘i
(2-76)
где сто — напряжение при растяжении до накопленной дефор'
мации ёо. В случае монотонного деформирования, когда ёо~
е0, получаем
(277)
тде s'if, s'-f —компоненты девиатора напряжений, определен-
ные соответственно по соотношениям теории течения изотропно
упрочняющегося материала (2.68), (2.69) и по соотношениям
деформационной теории пластичности (2,65). При простом де-
формировании s’..~s7. и, следовательно, s^ — s'^.
В более общем случае
„  ( 1 + 3 Аёд.	1—3 ех \ .
° \	3	Ае0 3	eQ J
, / 1 + 3	1 — 3 еу \
sv =	------------------------;
\	3 дГ 3	7 Г
Sz Sv Sy,
, f 1 7 3 ^'XtJ 1 ’ ' 3 &ху \
Пу = а0 —7-------;---------------- 
\	° Ае0 ° е0 /
При развитых пластических деформациях (е0>0,03) в этик
соотношениях можно принять f}=const.
Допустим теперь, что добавочные напряжения агн описы-
ваются уравнениями (1.95), предложенными В. Л. Даниловым.
Заменяя интеграл конечной суммой, получаем
2
а,-; = -— а
о 3
I ~ (qo)fe]
(Ае0)й
(2.78)
Здесь суммирование производится по ступеням деформирова-
ния рассматриваемой частицы. Коэффициент а находят по
накопленной деформации ё0 из графика а(ёо), методика пост-
роения которого изложена в § 5. Напряжение его определяют
по величине ё0 из кривой течения, построенной по результатам
испытания материала на растяжение или сжатие.
Соотношения (278) можно также записать в следующей
форме:
a	\}
3	. \ deQ Jk-\ ' k deQ
) I
Ik J
(279)
s7
64
Производную —=?- определяют по накопленной деформации е0
de0
!из кривой течения, построенной по результатам__испытания
материала на растяжение или сжатие. Под Асе;, Aeq в соотно-
шениях (2.78), (2.79) подразумеваются приращения деформа-
ции за промежуток времени от до th.
Если добавочные напряжения описываются соотношениями
<1.93), то
- (°;)ft-, + Wt.r	\ 11 (Дег/)4.	(2.80,
2	L \	/ k—i \	/ft J J
Производные 46- определяются по графике р (е0) как тангенс угла
наклона касательной к этому графику в точке с соответ-
ствующим значением Ёо.
При развиты?; деформациях, когда ₽ = const, формула
<(2.80) упрощается:
“‘7	g
de0 /
(2-81)
Экспериментальное определение напряжений значительно
облегчается, если исследуемый процесс пластического дефор-
мирования является стационарным. В § 8 изложена методика
определения приращений деформаций в установившихся про-
цессах по искажению прямоугольной делительной сетки. Ком-
поненты девиатора определяются по приведенным выше соотно-
шениям. При этом вместо суммирования по стадиям деформи-
рования исследуемого тела производится суммирование по уз-
лам сетки, расположенным на рассматриваемой линии тока,
начиная с узла, расположенного в области, не деформирован-
ной ранее.
При известной кинематике деформирования ие вызывает
особых затруднений определение компонент девиатора напря-
жений и по более сложным уравнениям пластического состоя-
ния, если они разрешимы относительно компонент девиатора.
В этом отношении экспериментальные методы представляют
собой область, в которой могут найти приложение и те из тео-
рий пластичности, перспективы применения которых в теоре-
тических исследованиях вследствие их сложности остаются
сомнительными, несмотря на возможности современной вычис-
3 Зак. 472	g5,
лительной техники. Между тем экспериментаторы проявляют
большую осторожность при выборе уравнений состояния, что
в первую очередь объясняется недостаточным эксперименталь-
ным обоснованием этих теорий.
Для определения напряжений остается найти гидростатиче-
ское давление о и прибавить его к компонентам девиатора
напряжений.
Если соответствующим образом направить ось 2, то при
двухосном напряженном состоянии oz = 0. Тогда из условия
аг = 5г + а = 0 с учетом условия несжимаемости получаем о=
=-Sx+s1/. Следовательно, в этом случае
= 2s\ + sy; = 2s,, 4- sx.	(2.82>
Наиболее простые формулы для определения напряжений
при двухосном иапряжеином состоянии следуют из соотноше-
ний деформациоиой теории пластичности (2.65)
Ож = 4-Ь<2ед + Э):
3 е0
(2.83)
2 а0 /л . ч.	2 а0
о = (2еу -|- ех),
3 е0	3 eQ
Считается, что они достаточно точны, если деформирование
близко к простому. Однако чрезвычайно часто по этим зависи-
мостям определяют напряжения в процессах пластического де-
формирования, заведомо ие удовлетворяющих приведенному
условию, чем вносится погрешность неопределенной величины.
Согласно теории течения изотропно упрочняющегося мате-
риала
= 4 — (К + в,); а, = 4 4- (Ч +
о _	о
So	_ _ .
£G
ИЛИ
^=4-йг(2Ле'+А8>);
2
Т-°' — 3
ау = 4-=-(2Де, + Аел);
О u£q
Де
(2,85>
В случае начально анизотропного материала в соответствии,
с уравнениями (2.74)
66
ff - g (z/-l	.
* (HG-{ FHFG) .\я ’
- (Я + G) Де„ — ЯДех
y (//G-| FH + FG) Ag
2 AgvW
T -- О —=^-.
AAe
(2.86)
Напряжения при пластическом деформировании начально '
изотропного материала с анизотропным упрочнением можно
определить исходя из соотношений (2.75):
ох = 2ах 4 ау + ~~ (2Aev + Деу);
д Де0
ау = 2ау + ах +;А	(2Деу + Деж); тЛу = аху + ~ Лед.у.
d Де0	Дг0
Если смещения центра поверхности нагружения принимаются
пропорциональными логарифмическим деформациям ецг то
<тх = а„ Г -1±6- (2Двх + Деу) +	(2е, + е Л
L ЗДвд	J
= СЪ Г (2Дёу + Дёл) +	 (2еу + ejl: (2-87)
L ЗДбд	Зв(}	J
При плоской деформации несжимаемого материала невоз-
можно определить напряжения непосредственно по кинематике
деформирования. В этом случае гидростатическое давление
определяют интегрированием дифференциальных уравнений
равновесия, которые можно записать в виде
дв । &sx 1	__ q д® । &хху t dsy _ q 79 88)
дх дх ду ’ ду дх ‘ ду
Здесь мы вновь встречаемся с характерной для эксперимен-
тально расчетных методов ситуацией, когда число уравнений
превышает число неизвестных. В связи с этим рассмотрим не-
которые приемы решения переопределенных систем уравнений.
Пусть требуется определить в узлах некоторой сетки неиз-
вестные Пусть далее в результате эксперимента получены
приближенные значения N функций от этих неизвестных
/=1,2, . . ,,N.	(2.89)
В частности, это могут быть приближенные' равенства типа
Xf—где Xi — измеренное значение неизвестной величи-
ны Х{.
3*
67
Будем считать, что задано некоторое число «теоретических^
уравнений относительно Xt. Если некоторые из этих уравнений
являются дифференциальными или интегральными, то, запи-
сав их в конечных разностях, получим систему алгебраических
уравнений
(2.90)
F/XJ = 0t /= 1Д . . . , М.
В числе этих уравнений могут быть и уравнения типа Xt—
— Xi = Q, где Xi — значения неизвестных Х^ заданные в некого*
рых узлах сетки. Сумма jV+AI превосходит число неизвестных.
Естественное требование к результатам определения Xi—
наибольшая их близость (скажем, в смысле метода наимень-
ших квадратов) к действительным значениям соответствующих
величин. Сразу же заметим, что из этого требования в общем
случае ие следует необходимость точного удовлетворения каких-
либо из рассматриваемых уравнений, даже если эти уравнения
являются точными. А поскольку уравнения удовлетворяются
лишь приближенно, число этих уравнений можно неограничен-
но расширить. Действительно, если, например, главные скоро-
сти деформации прн плоском деформировании достаточно точ-
но удовлетворяют условию несжимаемости si + ^^O, то еще не
очевидно, что они так же хорошо удовлетворяют условию
(е1 +
дх
Все это позволяет осуществлять расшифровку эксперимен-
тальных данных самыми различными способами. Причем при
выборе способа приходится считаться не только с точностью-
вычислений, но и принимать во внимание, каковы необходимый-
для расшифровки набор граничных условий и трудоемкость
расшифровки.
Наиболее простой способ заключается в том, что система,
уравнений (2.89) замыкается некоторыми нз уравнений;
(2.90). Таким путем, например, обычно выполняют расшифров-
ку данных метода фотоупругости.
Можно из системы (2.89), (2.90) выделить уравнения, кото-
рым целесообр азно удовлетворить точ-
но, исключить с помощью этих уравне-
ний соответствующее число неизвестных
и решить оставшиеся уравнения методом
наименьших квадратов, предполагая их
равноточными. Пример такого решения
приведен в § 7.
Вероятно, наиболее высокая точность,
может быть достигнута при совместном
решении уравнений (2.89), (2.90) с уче-
Рис. 17. Напряжения том их точности, но для этого требуются
на границе теза
детальные исследования точности раз-
68
личных экспериментальных методов, точности «теоретических^
уравнений, скажем, уравнений состояния.
При интегрировании уравнений (2,88) приходится считаться
с тем, что чаще всего гидростатическое давление а можно оп-
ределить лишь на части границы тела. Пусть в точке А гра-
ницы тела (рис. 17) известна нормальная составляющая рас-
пределенной нагрузки ап. Подставив в известную формулу
v cos2 ф + Оу sin2 ф + т_гу sin 2ф,
где ф— угол между внешней нормалью к контуру и осью х,
соотношения
= S.r +	= sy +	(2-91)
получаем
о ~ ад — s_r cos2 ф — ffy sin2 ф — tvv sin 2ф.	(2.92)
Если контур свободен от сил трения, то нормальные напря-
жения ап и а/, направленные вдоль контура, будут главными.
Третье главное напряжение ~	— °* Поскольку
интенсивность напряжений
о0 = —/ (*1 — ff2)a + (аг — о/ + (о3 — о3)2 ,
У 2
получаем ая —	±
Следовательно,
2
/у °-
, 1
& i /у?
V S
(2.93)
Знак плюс соответствует случаю, когда в рассматриваемой
точке контур удлиняется, знак минус — случаю, когда контур
укорачивается.
Во многих случаях определение граничных условий, необхо-
димых для интегрирования дифференциальных уравнений рав-
новесия, оказывается затрудненным. На рнс. 18 схематично
показан процесс плоского прессования. К верхней границе ли-
ста, на которой задана нагрузка, примыкает упругая область,
в которой нельзя определить деформации методом делительных
сеток. Получим необходимое для расшифровки эксперименталь-
ных данных граничное условие нз интегрального уравнения
равновесия, записанного для луча АВ:
а	а
Р ~ 21J о ydx — 21 J (о -р sy) dx,
о	о
69
где I — ширина листа. Откуда находим гидростатическое дав-
ление в точке А:
р 1 а
^ = ^r~TJ(o' + s’)dx’
о
где
<у' — о — о л = — С 4- —xs. \ dx.
J \ дх ду /
Гидростатическое давление в точке С исследуемой пласти-
ческой области (рис. 19) можно определить по формуле
dy (2.94)
ду J
или
с
-Г —т*-- cos а	(~т^-'	~у Л sin а 1 dx'.
ду J	V дх	ду J J
(2.95)
Здесь
. Ус “ Ул
а = arctg-------,
ХС~ХА
где хА, уА, хс, ус — координаты точек 4, С.
Точность расчетов по формуле (2.95) несколько выше точ-
ности расчетов по формуле (2.94), поскольку в этом случае
путь интегрирования короче, но расчеты по формуле (2.95)
более трудоемкие.
Иногда целесообразно выполнять расшифровку эксперимен-
тальных данных по следующей методике. Определив гидроста-
тическое давление в точке А, вычисляем по формуле (2.91)
7Q
напряжение в этой точке. Из уравнений равновесия следуе
что
в
(2.S
к
Затем находим
(ffy)s = (°л)в — (sJb + ($у)в;
с
(а5)с = (а,)в- Ч^-dy,	(2.!
J ОХ
в
(ojc = (<^у)с — (Sy)c + (sjc-
Приведем также способ определения напряжений, при ко'
ром удовлетворяются все уравнения равновесия. Пусть вдо
координатных осей х, у (рис. 19) напряжение известны. Заг
сав дифференциальные уравнения равновесия в конечных р;
ностях, получим в точке 4
(j 4“ sx 4~ Try	& “Ь ®у "Т Try ~ ^2*
где
= (ffx)l — (ал/2 4- (стх)з + (Тгу)1 + (Try)2 — (Тху)з!
7*2 = (cTy)i ~Ь (^у)з	(° у)з Н“ (Тгу)1 (Тгу)2 Н“ (Тгу)з-
Обозначим определенные в результате предшествовавпк
исследования компоненты девиатора напряжений через sx,
Хху’ Пусть s%— Sx4“ASx,	Sy4”ASyi Тку Тху I"Атху. Определ
поправки Asx, Asy, Дтху таким образом, чтобы точно удовлет:
рялись уравнения равновесия, записанные в конечных р
ностях:
о 4- As> 4- ДТгу - /п а + Asy + лТгу = /а*	(2-
где Д = Fx — sx— То” /2 = ^2—sy — Try> и условие иесжии
мости, нз которого при зх = — Sy следует, что
А$х = — Asy.	(2.
Потребуем также, чтобы было приближенно удовлетворено
ловие пластичности (1.65), из которого следует, что
(sx — Sy) (Asx — Asy) 4- 4тГуАтТу = 0.	(2.1
Из системы уравнений (2.98) — (2.100) находим
Аг„ = -^;
Z	Tjry
=	(/1 4~ /2)
Т.- .
Следовательно, напряжения в точке 4 равны
=г о +	4- Asx; ffy = ст 4- Sy 4- Asy; тд.у = тЛ.у 4- Дтху.
Аналогично, зная напряжения в точках 3, 4, 5, можно опреде-
лить их в точке 6 и т. д.
Главный недостаток рассмотренного способа — необходи-
мость знания напряжений на значительной части границы тела
.(рассмотренные ранее способы требуют знания напряжений
лишь в одной точке границы). Следует, однако, заметить, что
определение напряжений приведенным способом возможно и в
случае, если напряжения заданы вдоль двух произвольных пе-
ресекающихся линий, В этом случае необходимо перейти к
криволинейным координатам, как это сделано в работе [33].
При осесимметричной деформации гидростатическое давле-
ние также определяется интегрированием дифференциальных
уравнений равновесия, которые при отсутствии кручения (т. е.
при отсутствии крутящего момента в сечениях z = const), запи-
сываются в виде
4-	= о; 4-	4- Л* = о. (2.101)
дг  ' дг ' г	dr dz г	v 7
Для этого необходимо знать а хотя бы в одной точке исследуе-
мой области. Гидростатическое давление иа границе опреде-
ляется по формуле, аналогичной (2.92):
ст = стп — sr cos2 ф — s2 sina ф — rrz sin 2ф.	(2.102)
Как и при плоской деформации, возможно определение гид-
ростатического давления иа границе .из интегрального урав-
нения равновесия
д
Р = 2л j azrdr,	(2.103)
где Р— радиус деформируемого тела. Усилие Р измеряется в
процессе деформирования исследуемого тела. В случае необ-
ходимости учитывают силы треиия.
Подставив в уравнение (2.103) стг — sz 4- ог — sr,
я
а, = (ог)л + [	+ Д-4^) dr,
где (стг)л — радиальное напряжение в точке А границы, получаем
=
р — j (Sz — sr — af) rdr
о
(2.104)
72
Здесь
я
<*'г = (Рг)а — i	~}dr.
J \ Or	s J
Гидростатическое давление в точке А
ол = (а г)д — (зг)д.	(2.105)
В произвольной точке С пластической области (см. рнс. 19)
;Ж:
в
А
J \ dr dz r J
в
(2.106)
Напряжения в этой точке можно также определить
образом:
следующим
sr
Я
(а2)в = (а,)в — (sr)B + (sJb;
в
(2.107)
<<h)c = (0>)c — (S2)c 4- (sr)c-
Если интегрирование выполняется вдоль луча АС,
минимальному пути интегрирования, то
с
Г Г/ dsr	дтгг
дг	дг
т. е. па
Sqj
•Ж '	4- ( дТгг
44; z	' \ дг
4у', При таком определении напряжений одно из дифференци-
44. Ильных уравнений равновесия остается неудовлетворенным,
у ' Если известны необходимые граничные условия, то нетрудно
Ж .скорректировать компоненты девиатора напряжений таким об-
-Разом, чтобы удовлетворить оба уравнения равновесия.
. Пусть вдоль осей г, z (см. рис. 19) напряжения известны.
ЖК'С.Тогда в точке 4
(2.108)
о 4- 4 4- тГ2 = Ф2,
(2.109)
73
Ж

= О А
где
-- (ffr)2 + (^г)з 4~ (Trz)l + (ТГ2)з -(т«)з
(*г)а + (*г)8 - (Оф)а - (Мз .
га4'гз	’
Ф2 = (ffz)l (ffz)a (ffz)g 4" (^rz)i (^rz)a 4“ (тгг)з
__2/j (Trz)a 4~ (тг?)з
r2 гз
Если принять, что точность определения окружной компо-
ненты девиатора напряжений яф значительно выше точности
определения остальных компонент девиатора, то последующий
расчет мало отличается от аналогичного расчета в случае пло-
ской деформации. В результате получаем
иг = о 4~ sr 4- Д5Г; ог — ст 4~ sz 4~ Дяг;
(Уф — (J Sq,; Trz S= Trz 4- Лтг2,
где
Asr = — As2 = Фг — Ф3 — 2sr; Атгг = —;
Trg
a = T + 02 +	~ &Xrr
Чер ез sr, s2t s<p, тгг> как и прежде, обозначены полученные в
результате предшествовавшего исследования компоненты де-
виатора напряжений. Предполагается, что они точно удовлет-
воряют условию несжимаемости.
Если же целесообразна и корректировка $ф, то наряду с
уравнениями (2.109), которые перепишем в виде
о + Asr 4-Дт„ = фр ст + Дз3 4-Дтгг = ф2,	(2.110)
где
Ф1 Ф1 $г Хгг’> Ф‘2 “ Ф‘2 тг2,
имеем условие несжимаемости, из которого следует, что
Дзг 4- Лз2 4-	= 0>	(2.111)
и уравнение, вытекающее из условия пластичности,
згДзг 4- szAsz 4- 5фД8ф 4- 2тг2Дт — 0.J	|(2.112)
Определим поправки Дзг, Дз2, Дзф, Лтгг таким образом, чтобы сум-
ма их квадратов была минимальной:
AsJ 4- As*, 4- Дз£ 4- Д^ = min.	(2.113)
Из уравнений (2.110) — (2.112) находим
Asr = As2 4- Фх — Фэ; Дзф = ф3 — ф! — 2As2; At = ДА$г = В,
74
где
л 3jfr. в z рф-^)(Ф1~Ъ)
2тгг
Подставив эти соотношения в (2.113) и приравняв нулю про-
изводную от полученной суммы по Да2, получаем уравнение»
из которого находим
А<;	. 3 (<р3 — <h) — АВ
г	6 + Д2
Гидростатическое давление
= “ (Ф1 • Н- Д$ф) “ Д^гг-
Напряжения в точке 4 можно теперь определить по соотноше-
ниям
ог = о -f- sf 4~ Да/, ог о s2 Дз2;
Оф = О -]- Яф -J- Д&р» ^rz = ^rz Ч~ Дтгг-
В качестве примера приведем результаты исследования на-
пряженного состояния при листовой прокатке [12].
На лабораторном стане дуо с валками из хромистой стали
диаметром 500 мм и клети промышленного стана с валками
диаметром 200 мм с малой скоростью прокатывали медные,
стальные, дюралюминиевые и свинцовые полосы с прямоуголь-
ными пазами, симметрично расположенными относительно сред-
ней линии полосы. В пазы с небольшим натяжением вставляли
одинаковые пластины так, чтобы плоскости их разъема совпа-
дали с осью симметрии полосы.
Плоскости разъема пластин были тщательно полированы, и
на одной из них с помощью специального приспособления,
установленного на измерительном микроскопе, корундовой иг-
лой нанесена прямоугольная сетка с базой 0,2 и 0,4 мм. Шири-
на царапины в среднем составляла 0,005 мм. Ширина полосы
превышала ее толщину не менее чем в 4 раза. Когда валки
достигали половины длины вкладышей, прокатка прекраща-
лась, полосы разрезали и иа вкладышах с помощью измери-
тельного микроскопа определяли расстояние между узлами
деформированной сетки h и углы наклона касательных к тра-
екториям а. Компоненты тензора приращений деформаций
рассчитывали по формулам (2.56). Компоненты девиатора на-
пряжений определяли по соотношениям теории течения изотроп-
но упрочняющегося материала. При этом интенсивность напря-
жений определяли путем измерения твердости (см. § 12, сви-
нец рассматривали как идеально пластический материал). Для
этого в различных точках полированной после деформации
поверхности вкладышей измеряли твердость HV по Виккерсу.
75
Рис. 20. Схема к определению напряже-
ний при листовой прокатке
Тармровочный график
HV—сто 'строили по резуль-
татам испытания десяти
цилиндрических образцов
из каждого материала на
осевое сжатие со смазкой.
Гидростатическое давление
находили интегрированием
уравнений равновесия'вдоль
луча АВ (рис. 20, точка А
принадлежит пластической
области, но располагается
вне контакта валка с ли-
стом), затем вдоль оси х и, наконец, вдоль линий x = const рас-
четной сетки. Усилие, действующее иа валки, определяли с по-
мощью проволочных датчиков, наклеенных иа ослабленное
сечение станины. Интегральная проверка нормальных напря-
жений в области контакта по величине усилия показала, что
ошибка определения находится в пределах 15%.
Полученные эпюры (рис. 21—23) показывают, что градиент
напряжений в месте контакта высокий. В прикоитактной об-
ласти материал находится в условиях, близких к всестороннему
сжатию. Этим объясняется то, что рабочие напряжения значи-
тельно превышают предел текучести.
В значительной части продольных сечений полос напряже-
ния вх являются растягивающими, что подтверждает результа-
ты исследования, полученные И. А. Челышевым.
При прокатке с одинаковыми параметрами полос из меди,
свинца, стали и дюралюминия упрочняем ость материала вызы-
вает рост напряжений (рис. 21) и менее благоприятное их рас-
пределение, увеличивая гидростатическое давление. К таким
же качественным результатам приводит уменьшение исходной
толщины прокатываемой полосы 6 (рис. 22) и уменьшение
степени деформации е (рис. 23).
§ 10. Определение напряжений
по теореме о разгрузке
Как следует из этой теоремы напряжения в пластической
области
Где б'..— напряжения, снимаемые при разгрузке, в дальнейшем
они называются разгрузочными напряжениями; —остаточ-
ные напряжения.
Чаще всего разгрузка сопровождается чисто упругими де-
формациями. В этих случаях можно определять разгрузочные
напряжения методом фотоупругости или электротензометриро-
76
Рис. 21. Эпюры напряжений по дуге
контакта при прокатке листов из раз-
личных материалов:
X — сталь 20; • — дюралюминий;
О—медь ML; V — свинец; е=10%, 6=6 нм
Дуга, к оптанта., мп
Рис. 22. Эпюры напряжений по дуге
контакта при прокатке медных ли-
стов различной толщины:
0—6=4 м'м; х—6 = 6 ми; • — 6=8 мм;
8 = 10%
Рис. 23. Влияние степени деформа-
ции па напряжения по дуге контакта
при прокатке медных листов:
6=6 мм; X — е — 17%; • — е=1В%
77.
ванием. В некоторых случаях их удается, рассчитать методами
теории упругости или сопротивления материалов. Для опреде-
ления остаточных напряжений к настоящему времени разрабо-
таны достаточно эффективные методы/
Исходя из уравнения поверхности нагружения (1.83), за-
пишем условие чисто упругого деформирования при разгрузке
в виде
(S°li — “о) («!/ — “«) < (s" — “'/) (S"‘ ~ “<>)
или
(а0)2 __ За. .gO. < а2 __ Зй/	(2.115)
где сг£ — интенсивность остаточных напряжений.
Если принять, что состояние анизотропии в исследуемом
случае слабо отличается от состояния анизотропии при простом
нагружении до ац, то можно на основании (2.115), (1.91 ),
(1.108) записать условие чисто упругого деформирования при
разгрузке следующим образом:
(°3)2—(2.Н6)
Вероятно, впервые рассматриваемый метод исследования
напряжений в пластической области был использован Н. Н. Да-
виденковым с сотрудниками для экспериментального опреде-
ления напряженного состояния при пластическом кручении
круглых стержней. В работе (11] этим методом исследовано
плоское напряженное состояние, возникающее при радиальном
сжатии диска.
Диск из стали СтЗ диаметром 100 и толщиной 26 мм был
сжат в радиальном направлении на 20%. После разгрузки
диск был подторцован и отшлифован. Деформирующее усилие,,
пересчитанное на новую площадь сечения у=0 (рис. 24), со-
ставило £=120 тс. В различных точках осей симметрии торцов,
Рис. 24. Эпюры напряже-
ний при радиальном сжа-
тии диска
перпендикулярных направлению
сжатия, были наклеены проволоч-
ные датчики. Для определения раз-
грузочных напряжений диск сжали
усилием Л По показаниям датчи-
ков определяли возникшие при
этом напряжения . Это позволи-
ло рассчитать разгрузочные напря-
жения
Затем сострогали верхнюю по-
ловину диска. По произошедшим
при этом изменениям показаний
датчиков определили остаточные
напряжения с?°. . Напряжения сгуПри
78
пластическом сжатии диска определили по (2.114). Полу-
ченные результаты приведены на рис. 24.
В работе [1] напряжения в пластической области определе-
ны по теореме о разгрузке с использованием оптически актив-
ных покрытий.	\
Изложенным методом можно определять напряженное со-
стояние и в условиях ползуч^ти. Имеется также принципиаль-
ная возможность определения ^напряжений в случаях, когда
разгрузка сопровождается пластическим деформированием.
Однако необходимость учета деформационной анизотропии, а
также неизбежной релаксации остаточных напряжений чрезвы-
чайно усложняет методику определения напряжений в этих
случаях.
§ 11, Метод догрузки
Пусть материал нагружен до интенсивности напряжении
<Уо, превышающей начальный предел текучести (рис. 25). Если
после разгрузки произвести нагружение при некотором ином
напряженном состоянии, то в силу эффекта Баушингера ин-
тенсивность напряжений в момент наступления состояния те-
кучести меньше а0. Однако при последующем пластическом де-
формировании кривая течения 2 быстро приближается к кри-
вой течения 1, соответствующей монотонному деформированию.
Расхождение этих кривых незначительно, если приращение на-
копленной интеисивиости деформации Aeo>6eo, где 6е0— де<
формация Баушиигера (деформация обратного направления,
при которой достигается величина иитеноивиости напряжений
перед разгрузкой).
На рис. 26 сопоставлены кривые течения стали СтЗ при
растяжении (кривая /) и сжатии образцов, предварительно
растянутых до различной интен-
сивности деформации. На рис. 27
показана полученная в этих опы-
тах зависимость деформации
Баушиигера от предварительной
деформации, а на рис. 28 пред-
ставлена зависимость отношения
Да0
—Г" (см. рис. 25), характеризу-
ffo
ющего различие в кривых тече-
ния при монотонном и немоно-
тонном деформировании, от ве-
личины предварительной дефор-
мации ёо и приращения этой де-
формации после изменения на-
правления деформирования Дёо.
Рис. 25. к определению на-
пряжений методом догрузки
79
V/, МН1ц2
Рис. 2fL Кривые течения при сжатии растянутого материала:
1 — при растяжении; 2~ при сжатии после растяжения
Рис, 27. Зависимость деформации
Баушиигера от предварительной де-
формации
Рис. 28. Зависимость точности опре-
деления напряжения методом до-
грузки от предварительной и допол-
нительной деформации
Рис. 29. Тарированные графики:
Дес=0,05; х — сталь. СтЗ; О — сталь
10Г2С1
80
\ Act
Как видим, отношение —Д	0,1, если Дёо>0,035.
\ а°
На основании изложенного можно предложить следующий?
метод определения интенсивности напряжений в различных точ-
ках пластически деформируемого тела.
Располагая кривой течения материала, построим тариро-
вочный график, связывающий 1 интенсивность напряжений а<г
при деформации е0 с интенсивностью напряжений Oq при де-
формации ёоН-Лёо (обозначения по рис. 25). Дополнительную
деформацию Дё0 выбираем таким образом, чтобы она превы-
шала максимальное для данного материала значение деформа-
ции Баушингера.
На рис. 29 приведен тарировочный график, построенный для
стали СтЗ при Дёо = О,О5. Поскольку с возрастанием оо упрочия-
емость материала уменьшается, тарировочная кривая прибли-
жается к прямой Oq — go, соответствующей идеально пластичес-
кому материалу.
Разгрузив исследуемое тело после пластического деформи-
рования, вырежем в различных его точках достаточно малые
образцы для испытания на растяжение или сжатие и в резуль-
тате их испытания определим напряжение оД при котором де-
формация образца составит Дё0. С помощью тарировочного
графика oq — о0 определим по величине п0 интенсивность на-
пряжений оо в точке, в окрестности которой вырезай обра-
зец.
Изложенным методом определено, например, напряженное
состояние при пластическом деформировании многослойного'
цилиндра*. Указанный цилиндр с центральной трубой, изго-
товленной из стали СтЗ, спиральной навивкой из листа стали
10Г2С1 толщиной 6 мм и наружным кожухом из той же ли-
стовой стали был испытан в Иркутске в НИИ химического-
машиностроения до разрушения. Из разрушенного цилиндра-
были вырезаны ориентированные в осевом направлении образ-
цы для испытания на растяжение. Поскольку в рассматривае-
мом случае изменения деформироианного состояния до и после
разгрузки (осевое растяжение после «плоского» растяжения)
не очень значительны, можно утверждать, что приведенные на
рис. 29 тарировочные графики при Дёо=О,О5 позволяют доста-
точно точно установить распределение интенсивности напря-
жений по толщине стенки цилиндра.
На рис. 30 показано полученное распределение Д н о0 по-
толщине цилиндра, а на рис. 31 — распределение оо, установ-
ленное методом измерения твердости (см. § 12). Полученное
* Исследование выполнено С. П, Поповым.
81.
Рис. 30. Эпюра распределения интен-
сивности напряжений при разрыве
рулонировэнного сосуда, определен-
ная методом догрузки
Рис. 31. Эпюра распределения интен-
сивности напряжений при разрыве ру-
лонированного сосуда, определенная
методом измерения твердости
двумя методами распределение интенсивности напряжений
оказалось весьма близким.
По распределению интенсивности напряжений, полученному
методом догрузки, предполагая деформацию цилиндра плоской
и осесимметричной, рассчитали напряжения к моменту разруше-
ния:
Рис. 32. Эпюры напряжений
при разрыве рулонированното
сосуда
2
Оф — ——~ о0 + ог,
А
Полученные эпюры представ-
лены на рис. 32. Радиальное нап-
ряжение иа внутреиией поверх-
ности оказалось равным
121 МН/м2. При испытании сосу-
да зафиксировано разрушающее
давление 115 МН/м2. Погрешность
эксперимента составила, таким
образом, 5°/о-
S2
§ 12. Связьмсжду твердостью
и интенсивностью напряжений
\
Зависимость между твердостью деформированного металла
и интенсивностью напряжений при пластическом деформирова-
нии положена в основу метода определения напряженного,
состояния в пластической области по распределению твердости,
представляющего собой безобразновый вариант метода до-
грузки.
Исследованием связи между твердостью, измеренной раз-
личными методами, и напряжением при испытании на сжатие’
широкого круга материалов установлено, что графики твер-
дость— интенсивность напряжений, построенные для различных
металлов, не совпадают. Однако все они имеют общую для
данного способа измерения твердости огибающую, соответст-
вующую связь между твердостью и пределом текучести идеаль-
но пластических материалов. Объясняется это уменьшением-
упрочияемости металлов с возрастанием деформации.
Если измеряют твердость по Бринеллю, по Виккерсу и мик-
ротвердость, огибающая является прямой. При измерении твер-
дости по Роквеллу — это кривая. Многочисленные эксперимен-
ты показали, что при измерении твердости по Бринеллю оги-
бающая с достаточной точностью описывается уравнением-'
о0 - (0,32 0,37) НВ.	(2.117>
Это уравнение находится в хорошем соответствии с решени-
ем А. Ю. Ишлинского задачи о внедрении сферического штам-
па в изотропное идеально пластическое полупространство. Со-
гласно этому решению
от = 0,383ЯВ,	(2.118>
где щ— предел текучести материала. Некоторое различие
в этих двух зависимостях может объясняться тем, что в экспе-
риментах, несмотря иа большие деформации, ие достигалась-
идеальная пластичность.
В целом, как уже указывалось, тарировочные графики раз-
личных материалов не совпадают. Поэтому при определении
напряжений по распределению твердости необходимо предвари-
тельно по результатам испытаний материала на растяжение,,
сжатие или кручение и измерений твердости на различных ста-
диях деформирования строить тарировочный график для каж*
дого из исследуемых материалов.
Главным в экспериментальном обосновании метода являет-
ся вопрос о существовании единой для различных напряженных
состояний и историй пластического деформирования кривой,
связывающей твердость с интенсивностью напряжений. Боль-
83.
шиистйо опытов, постав-
ленных с целью выяснения
этого вопроса, было прове-
дено посредством испыта-
ния тонкостенных трубча-
тых образцов из стали, ме-
ди и латуни при совмест-
ном действии растягиваю-
щего усилия, крутящего
момента и внутреннего дав-
ления. После каждой сту-
пени деформирования об-
разец разгружался и в 10
различных точках его бо-
ковой поверхности измеря-
лась твердость по Виккерсу
HV. На рис. 33 показаны
результаты испытания об-
разцов из малоуглероди-
Рис. 33. Результаты эксперименталь-
ной проверки предположения о су-
ществовании единой кривой твер-
дость — интенсивность напряжений:
< — 2; Д — 3;	4; 0 — 5;
X — 6	,j.
«той стали 20. Образцы 1—4 йопытывались При постоянном
отношении главных напряжений 02/01, которое у указанных
образцов составило соответственно 0, —1, —0,5, +0,5. Образец
-№ 5 нагружался таким образом, что в процессе деформирова-
ния отношение оз/сц изменилось от 1 до 0. У образца № 6 это
отношение изменилось на каждой ступени деформирования
от 1 до 0.
Как видим, экспериментальные точки, полученные при раз-
.личных напряженных состояниях и историях деформирования,
расположились достаточно близко у кривой интенсивность на-
пряжений о0— твердость HV, построенной по результатам ис-
пытания материала на растяжение.
Расхождение кривых интенсивность деформаций е0 — твер-
дость HV объясняется главным образом некоторым различием
начальной твердости.
Аналогичные результаты были получены и при испытаниях
трубчатых образцов из других материалов, а также при испы-
•таниях сплошных цилиндрических образцов из стали иа сов-
местное кручение и растяжение.
Существование единой для различных напряженных состоя-
ний кривой интенсивность напряжений — твердость при вдавли-
вании объясняется следующим.
Возьмем, например, два образца, изготовленных из одного
.материала и деформированных при различных однородных
напряженных состояниях, но таким образом, чтобы максималь-
ное значение интенсивности напряжений в обоих случаях было
одинаковым. Различие в свойствах этих двух образцов сводит-
ся к различию в состоянии деформационной анизотропии. По-
этому при измерении твердости этих образцов, т. е. при внед-
34
рении в них, например, сферического штампа, поведение их
материала будет различным. Одиако, как было показано в §11
различие будет существенным лишь при сравнительно малых
деформациях (до 2—3%). При испытаниях же на твердость
происходят настолько большие пластические деформации, что
этим различием в окрестностях отпечатка можно пренебречь.
В силу этого в окрестности отпечатков на указанных двух об-
разцах распределение интенсивности напряжений будет прак-
тически одинаковым, а следовательно, будет примерно одина-
ково среднее контактное давление при внедрении штампа, т. е.
твердость этих образцов.
Подтверждением слабого влияния деформационной анизот-
ропии на связь между твердостью и интенсивностью напряже-
ний является и достаточно хорошее совпадение соотношений
(2.117), (2.118).
Значительно более сложным является вопрос о влиянии
истории деформирования на связь между твердостью и напря-
жениями. Наиболее важные в этом отношении результаты бы-
ли получены при испытании тонкостенных образцов из стали,
меди и латуни на кручение. По результатам испытания образ-
ца № 1 на кручение была построена диаграмма ос—HV—ёо.
На рис. 34 приведены результаты испытания образцов из ста-
ли 20. Образец № 2 вначале закручивали в одном направлении,
затем его разгружали и в дальнейшем закручивали в противо-
положном направлении. На первой стадии закручивания резуль-
таты, полученные при испытании второго образца, естественно,
совпадали с результатами испытания первого образца. После
разгрузки и изменения направления деформирования предел
текучести вследствие эффекта Баушиигера понижается. Одиако
пластическая деформация в новом направлении не приводила
Рис. 34. Связь между твердостью, напряже-
нием и деформацией при реверсивном кру-
чешш:
О— кручение в прямом направлении; • — кручение
в обратном направлении; X — тарировочная 'кривая
85
к изменению твердости до тех пор, пока интенсивность напря-
жений не достигала величины интенсивности перед разгрузкой.
После этого кривая по—HV совпадает с кривой, полученной
при монотонном деформировании. Кривые же ёо—HV не совпа-
ли с тарировочной кривой, построенной в условиях монотонно-
го деформирования.
Аналогичные результаты были получены при сжатии после
растяжения, при кручении после растяжения, при сжатии ци-
линдрических образцов, выточенных в поперечном направлении
из осаженных цилиндров.
Результаты проведенных экспериментов позволяют с доста-
точной для инженерных исследований точностью принять, что
твердость пластически деформированного металла связана е
максимальной за всю историю пластического деформирования
интенсивности напряжений зависимостью, единой для различ-
ных напряженных состояний и историй пластического деформи-
рования.
Для выяснения возможности определения напряженного со-
стояния в процессах пластического деформирования, протекаю-
щих при повышенной температуре, методом измерения твердо-
сти была исследована связь между интенсивностью напряжений
при повышенной температуре и твердостью остывшего металла.
На рис. 35 показана зависимость диаграмм о0—HV—
стали 20 от температуры [16]. Проведенные исследования пока-
зывают, что для определения напряжений при повышенных тем-
пературах (которые, разумеется, ие должны быть выше темпе-
ратуры рекристиллизации) необходимо строить тарировочные-
графики по результатам испытаний материала при температу-
ре исследуемого процесса пластического деформирования.
Рис. 35. Зависимость тарировочных кривых от тем-
пературы;
— 300° С; X— 400° С; О—450Х; □ — 500° С; О — 530° С
86
Испытания тонкостенных трубчатых образцов из ряда ма-
териалов под действием осевой силы и внутреннего давления
показали, что при повышенной температуре диаграмма о0—HV
не зависит от вида напряженного состояния.
Рассмотренная зависимость диаграмм о0—//V и ё.о—HV от
температуры дает возможность определять температурные поля
в некоторых процессах пластического деформирования. Если,
например, методом делительных сеток определен параметр уп-
рочнения ёо в различных точках тела, деформированного при
повышенной температуре, то можно, располагая диаграммами
<у0—HV—ёо при различных температурах, определить по ёо и
твердости распределение температуры, по температуре и твер-
дости — распределение интенсивности напряжений при пласти-
ческом деформировании. Этим методом установлено распреде-
ление температуры при осадке нагретого цилиндра и «теплом»
прессования.
Влияние остаточных напряжений на твердость незначитель-
но. Это также объясняется большими пластическими деформа-
циями при внедрении индентора. Поэтому возможно исследова-
ние напряжений при неоднородном пластическом деформиро-
вании без предварительной разрезки исследуемого тела для его
разгрузки от остаточных напряжений.
Таким образом, если по результатам испытания материала
на растяжение, сжатие или кручение и измерений твердости Н
на различных ступенях деформирования построить тарировоч-
ные графики сг0—Н, то можно по распределению твердости
исследуемого пластически деформированного тела установить
распределение интенсивности напряжений. Интенсивность де-
формаций можно определить по твердости лишь в случае, если
кривая течения в исследуемом процессе совпадает с кривой
течения в процессе испытания, по результатам которого по-
строен тарировочиый график. Но и в
ределения интенсивности деформации
точности определения ё0 по твердости
представлена схематично на рис. 36.
точность низкая вследствие того,
что мала деформация ё0, при боль-
ших деформациях — вследствие
того, что низка упрочняемость.
Зависимость точности опреде-
ления интенсивности напряжений
по твердости от величины дефор-
мации несущественна. Наиболь-
шая точность обычно достигается
при измерениях твердости по
Бринеллю под достаточно большой
нагрузкой. При измерении твер-
дости по Виккерсу точность обыч-
этом случае точность оп-
иевысока. Зависимость
от величины деформации
При малых деформациях
Рис. 36. Зависимость точ-
ности определения интен-
сивности деформации по
твердости от деформации
87
но ниже. Наиболее низкой является точность определения?
напряжений при измерении микротвердости. Точность, естест-
венно, зависит и от свойств материала, числа изменений твер-
дости и т. д.
Установив измерением твердости распределение интенсив-
ности напряжений, можно в ряде случаев определить напряжен-
ное состояние интегрированием дифференциальных уравнений*
равновесия. Весьма часто имеет смысл определять интенсив-
ность напряжений по'твердости и в случае определения напря-
женного состояния по кинематике деформирования. Целесооб-
разность такого сочетания экспериментальных методов обуслов-
лена следующим.
Для определения интенсивности напряжений по кинематике’
деформирования необходимо определить накопленную дефор-
мацию. Определение этой деформации, в особенности при не-
стационарном деформировании, оказывается весьма трудоем-
ким. Так, сслн методом делительных сеток иа основе теории;
пластического течения требуется определить напряженное со-
стояние на некоторой стадии деформирования тела, то для оп-
ределения приращений деформаций достаточно получить дефор-
мированную сетку на двух достаточно близких к рассматривае-
мой стадиях деформирования, а для определения накопленной,
деформации необходимо получить деформированную сетку на;
различных стадиях пластического деформирования, предшест-
вовавших рассматриваемой (их число определяется главным
образом кривизной траектории деформирования и во многих,
случаях оказывается достаточно большим).
Далее, серьезным источником погрешности определения на-
пряжений по кинематике деформирования, в особенности при.
определении граничных условий из интегральных уравнений
равновесия, является начальная неоднородность исследуемых,
тел, от которой не всегда удается избавиться даже при тщатель-
ной термической обработке. При определении интенсивности'
напряжений измерением твердости эти ошибки значительно^
ниже. Если начальная неоднородность вызвана пластическим
деформированием (скажем, при изготовлении модели), она по=
понятным причинам вообще не приводит к ошибкам определе-
ния напряжений. Если же она обусловлена термической обра-
боткой, то уменьшение, например, предела текучести в некото-
рой зоне приводит и к аналогичному снижению твердости, тем
самым связь между твердостью и интенсивностью напряжений*
не очень искажается.
Анализ результатов экспериментальной проверки гипотез &•
существовании единой кривой течения и единой кривой твер-
дость-интенсивность напряжений приводит к выводу, что.
погрешности определения интенсивности напряжений, связан-
ные с этими гипотезами, примерно одинаковы.
88
§ 13. Определение напряженного состояния
по распределению интенсивности напряжений
Если иа рассматриваемой ступени деформирования иссле-
дуемого тела в некоторой его точке изменяется твердость, то
можно по твердости с помощью тарировочиого графика устано-
вить функцию o0(A'j, q):
3	/	1	\ /	1	С \	0 J ,
—-	j — Q)i
\ / \ ** /
где параметр q характеризует общую деформацию исследуе-
мого тела. Например, при исследовании осесимметричной осад-
ки роль этого параметра может играть высота цилиндра или
ее изменение. В каждом конкретном случае q = const, вслед-
ствие этого задача расшифровки экспериментальных данных
совпадает с задачей теории неоднородных идеально пластиче-
ских тел.
Другой метод экспериментального определения функции
Со (х<, q) изложен в § 7.
В общем случае определение напряженного состояния по
этой информации требует применения уравнений ’ состояния и
сопряжена с большими математическими трудностями. Поэтому
ограничимся рассмотрением статически определимых задач.
1.	При кручении стержней постоянного сечения

Если положить, что
dF .	dF
Ххг ~ ду ’ Т>’г ”” дх ’
(2.119)
то в случае односвязного контура решение этой задачи мож-
но получить следующим образом. Вдоль границы можно поло-
. жить Е=0. Если теперь вдоль нормалей к границе отложить
Уз"
отрезки длиной Д/i — ДЕ——, то их концы образуют кря-
вую, вдоль которой Г = ДД Аналогичным образом можно по-
строить кривую, вдоль которой F=2AF н т. д. Определив
функцию F(x, у), можно по соотношениям (2.119) найти на-
пряжения.
2.	При плоском напряженном состоянии с осевой снмметри-
: ей окружное а<₽ и радиальное о,- напряжения связаны уравнени-
д ем с* +	— одгф — о* (г). Если добавить к этому уравне-
У нию дифференциальное уравнение равновесия, то получаем
замкнутую систему двух уравнений с двумя неизвестными, ко-
торую легко решить методом конечных разностей.
3.	При формообразовании тонкостенных осесимметричных
89
безмоментиых оболочек* можно, пренебрегая касательными
напряжениями, записать уравнение интенсивности напряжений
в виде
(ат - а,)2 + (а, - <ь)3 + (а, - ат)2 = 2а=,	(2.120>
где dm, erf — соответственно меридиональное и тангенциальное
напряжения; ог — нормальное напряжение, направленное по
нормали к срединной поверхности. Это напряжение изменяется
ат —q на наружной поверхности до —/ на внутренней поверх-
ности. Примем, что на срединной поверхности
Р	г
®2 = —q — -р где p = q ~q.
Это позволяет переписать уравнение (2.120) в виде
(сгт —	4	+ qj 4	4 q 4-	= 2<Jq.	(2-121)
Уравнения равновесия можно представить в форме
4 (а» - а,Л - -Д- р = 0;	(2.122>
ar	cos а
Л™_____^L=_P_f	(2.123)
Pm ре h'
где h— толщина оболочки в рассматриваемой точке на данной
стадии деформирования; рт — радиус кривизны дуги меридиа-
на срединной поверхности; р( — радиус кривизны сечения^
перпендикулярного к дуге меридиана; а — угол между нор-
малью к срединной поверхности и осью симметрии; г—рас-
стояние от рассматриваемой точки срединной поверхности да
оси симметрии; f — коэффициент трения.
Пусть радиусы кривизны pm, pt, толщина h, интенсивность
напряжений о0 и внешнее давление q являются эксперимен-
тально определенными функциями радиуса г. Тогда решением
системы уравнений (2.121)— (2.123) можно определить напря-
жения ат, о( и давление q' на внутренней поверхности.
Из уравнений (2.121), (2.123) находим
p -J— [ama3 _ qa2 4 j/~(vma3—qatf—4аг (q2 — ^+0^40^] „
(2.124)
где
„2
I	. Pi	, Pt	, .
ai — ~ + —---------{-	- - 1-4
4 h2 2h
, _L JEI______L-
+ 2 Pm	2 ’
£!_. a =
h	h prn
2
<*<=1+4+—; *=t-
Pm
Pt
Pm
Р/
h
* Излагаемая методика разработана совместно с С. П. Поповым.
90
Обозначив	получим из уравнений (2.122)— (2.124)
I 1 Pm 1 fn 1	\
----1----------ip------ I pt -------------1
ar r Pi	201 \ cos a j
a3 — qa2 +
hr
+ ]/	—	— 4^^ — <yg-f-
Ф
h3r2
Учитывая, что при г—О, ф = 0, численным решением уравне-
ния (2.125) определяем ф, а следовательно, и о?п в различных
точках меридиана. Далее по формуле (2.124) и из уравнения
{2,123) находим р и 07.
Заметим, что по изложенной методике можно определять
напряжения и при формообразовании многослойных оболочек
в случаях, когда слои могут рассматриваться как тонкостенные
безмоментные оболочки. Цри этом расчет начинают с наружно-
го слоя (внешнее давление на этот слой предполагается задан-
ным) . Полученное при этом внутреннее давление является
внешним для .второго слоя. Это позволяет рассчитать напряже-
ния во втором слое и т. д.
4.	Наибольшее практическое значение имеет возможность
определения напряжений при плоской деформации. В этом слу-
чае напряжения определяются решением системы уравнений
К —4<; = 4F(,v, у);
। дту? _ Q дтХу . defy __ q
дх ду ’ дх ду ’
, 1
где k -- —оп.
у з
С помощью известной подстановки
(Jv (j — fesin 29; ау = а -р ksin 20; тх? = Асо5 29, (2.126)
тде о — гидростатическое давление; 0 — угол между касатель-
ной к линии скольжения семейства а и осью х (линии сколь-
жения семейств аир образуют правую систему, в которой ка-
сательное напряжение положительно), получаем систему двух
квазилинейных дифференциальных уравнений
—----2k cos 29 —----2k sin 20	= sin 20 —----cos 20	;
дх	дх	ду	dx	dy
d&	о f. * on ^0 t о * on ^0	ал dk . лл dk
------2k sin 20----{- 2k cos 20--— — cos 29-------sin 29---.
ду	dx	dy	dy	dy
(2.127)
Эта система уравнений была получена и исследована
А. И. Кузнецовым при решении задачи о плоской деформации
91
неоднородных идеально пластических тел. Она относится к
системам гиперболического типа, ее характеристики совпадают
с линиями скольжения.
Вдоль линий скольжения а, {3 соответственно
= tg 0 do — 2kdQ ~ dy------— dx;
dx	дх	ду
— — ctg 0, do + 2kdA = —~ dy + dXi
dx	дх ду
Если иа границе заданы нормальная и касательная
ляющие распределенной нагрузки сгл, тп, то вдоль этой
цы, как и у неупрочняющегося материала [45],
О = Ф 4- — arc cos —4- ши;
2	. k
О = ± К&2 — Т^,
где под агссоз понимается его главное значение; <р — угол меж-
ду нормалью к контуру и осью х; т — произвольное целое
число. При выборе решения для 0 и она границе следует иметь
в виду, что угол между волокнами, совмещенными с линиями
скольжения а, {3, должен уменьшаться.
Если на границе тела заданы нагрузки, то напряженное
состояние обычно определяется решением ряда краевых задач.
Рассмотрим приемы численного решения основных из этих за-
дач.
Начальная характеристическая задача. Требуется найти
решение системы уравнений (2.127), если на отрезках линий
скольжения оА, оВ (рис. 37) заданы о и 0, удовлетворяющие
уравнениям (2.128), (2.129). Решение существует и единствен-
но в области четырехугольника оАСВ, ограниченного линиями
скольжения.
Пусть в различных точках этой области определены значе-
ния интенсивности касательных напряжений k. Разобьем
рассматрииасмую область на ряд подобластей таким образом,
чтобы не менее че?и в 15—20 точках каждой из них было из-
вестно k. В пределах каждой подобласти аппроксимируем за-
висимость k от координат полиномами (скажем, второй степе-
ни) так, чтобы иа границах подобластей были непрерывны
функция k(x} у) и ее производные по координатам. В дальней-
шем по коэффициентам этих полиномов можно определить зна-
чения k,	в любой точке исследуемой области.
Разделим линии скольжения оД, оВ на достаточно малые
части. Определим координаты узла с сетки характеристик и
значения и и 0 в нем по значениям этих величин, заданным в
узлах о, а, в (рис. 37). Записав дифференциальные уравнения
92
(2.128)
(2.129)
состав-
грани-
(2.130)
характеристик (2.128), (2.129) в конечных разностях, получаем
систему уравнений относительно координат хс, ус:
Ус — Уа^г Уъ — Уй = (хс — Ха ' Хс> xo) tg "Z" (0а "F t
£
Ус — Уь + у а — #0 = (хс ХЬ + Ха — ха) ctS (0а + 0*Ь
Следовательно,
ХС = *0 -г (*а “ **) cos (0а + 0J + (уа — уь) sin (0а + 05);	J3
Ус ~ Уй + (Уь — У a) C0S (0а + 0£>) + (Хд Xb) Sln (% + ®i)-
Записав далее в конечных разностях соотношения на харак-
теристиках (2.128), (2.129), получаем
д = Од — &h + 9д (^а + &с) + % (^Ь +	+ ^ас 'ЛЬс 
(2.132>
где
я с = о» 4- (&» + &с) (0с ““ 0й) +
(2.133>
. Аналогично по информации относительно узлов а, с, d опре-
г деляем xf у, о, 0 в узле е и т. д. во всей области оАСВ.
Рассмотрим вырожденный случай этой задачи, когда отре-
зок линии -скольжения оВ стягивается в точку о (рис. 38).
; Заданы а н 0 на отрезке линии скольжения оА, удовлетворяю-
; щие уравнениям (2.128), и угол раствора АОС. Решение су-
Рис. 37. - К решению на-
чальной характеристиче-
ской задачи
Рис. 38. Вырожденный слу-
чай начальной характери-
стической задачи
9J
-шествует и единственно в области криволинейного треугольни-
ка AoD.
Разделим отрезок оА на ряд малых частей точками а, Ь,.,.
Разделим далее угол AoD на ряд малых углов Да лучами о/,
о2, ..., on, ... Соответствующие этим лучам значения угла 0 в
точке о определим по соотношению
90Л = % +	д=1,2, . . . ,
где Оо — величина угла 6, заданная в точке о линии скольже-
ния оА.
Гидростатическое давление о, как и 6, разрывно в точке о.
^Ограничившись рассмотрением случая, когда производные
---, конечны, получим из соотношения (2.129) на 0-ли-
дх ду
нии значения о в точке о, соответствующие лучам ol, о2, ...:
(а)ол = (сг)0 — 2ААад, /1=1,2, .. .	(2.134)
Здесь (о) о — гидростатическое давление в точке о линии сколь-
жения оА.
Координаты точки / и значения о и 0 в ней определяем по
--формулам (2.131), (2.132), подставив в них вместо х, у, 6, о
в точках о, а, Ь, с те же величины соответственно в точках о,
a, ol, 1. Аналогично выполняется расчет в точках 2, 3, ...
В дальнейшем задачу решают так же, как в общем случае на-
чальной характеристической задачи.
Если в точку стягивается отрезок линии скольжения а, то
вместо уравнения (2.134) имеем
(о)ол = Ио -F п = 1, 2, . . .
Задача Коши. Функции а и 0, непрерывные вместе с пер-
выми производными по координатам, заданы на дуге гладкой
кривой АВ, ни в одной точке не касающейся площади макси-
мального касательного напряжения .и пересекаемой каждой
характеристикой только один раз. Эта задача является прак-
тически наиболее важной. Ее решением, например, определяют
напряжения в области, примыкающей к свободному контуру.
Искомое решение существует и единственно в треугольной
области, ограниченной дугой АВ и линиями скольжения а, 0,
исходящими из ее концов (рис. 39).
Сгладив результаты измерений k изложенным выше спосо-
бом, разделим дугу АВ на ряд достаточно малых частей точка-
ми а, Ь, ... Координаты узла d найдем по приближенным фор-
мулам
х‘ Уь — Уа + ха tg + xb ctg ,
d	tg + ctg	(2.135)
y'd^ya + ^d — tg9e.
;94
Рис. 40. К решению сме-
шанной задачи
Рис. 39. К решению
задачи Коши
Затем по соотношению, аналогичному (2.132), определим сг/г
9'а и уточним положение этого узла, подставив в (2.135) вместо<
6а> 6ь соответственно (6Я + 6^)>	+ После этого по-
формулам, подобным (2.132), рассчитывали а и 9 в этом узле..
Аналогично выполняется расчет во всех узлах первого ряда.
В дальнейшем решение не отличается от решения начальной
характеристической задачи.
Смешанная задача заключается в отыскании решения систе-
мы уравнений (2.127), если си 0 заданы вдоль отрезка линии
скольжения оА, а вдоль гладкой кривой оВ, не имеющей харак-
теристических направлений, задан угол 6. Решение задачи су-
ществует и единственно в области оАВС (рис. 40).
По величине угла 6 в точке О отрезков оА и оВ определяем'
угол раствора AoAt, который предполагается острым. Решение
в области АоА} находим, как в вырожденном случае начальной,
характеристической задачи.
Затем делим отрезок оВ на ряд достаточно малых частей..
Построение начинаем с точки а. Решением системы уравнений
Ус~ Уа = (\— Oc,g0«.	(2.136)
» = »(*)
где у(х)—уравнение кривой оВ, находим кооординаты xfCi у'?
точки с в первом приближении. В этой точке угол 6 известен.
Подставив в (2.136) вместо 9а средний угол

найдем уточненное положение точки а и т. д., пока различие-
между двумя последовательными значениями координат не ока-
жется достаточно малым. Если 6 не изменяется вдоль оВ, то-
координаты точки с сразу же определяются из системы урав-
нений (2.136), в которую вместо 0а подставляют -у (0а + 6С).
95=
Гидростатическое давление в точке с определяют по формуле
= аа - (ka + kc) (6. - еа) +	(2.137)
'где Оде см. (2.133),
Весьма часто на отрезке оВ известен не угол 0, а коэффи-
циент трения по Кулону
(2.138)
Од
В этом случае расчет выполняется следующим образом.
Вначале определяются координаты точки с и гидростатическое
давление в этой точке а' при f—0. Затем из уравнения (2.130)
при т?7 = 0 находят а\, а из уравнений (2.130), (2.138) опреде-
ляют 0/ первого приближения. Повторив расчет с учетом полу-
ченного значения 0, находят о"п и т. д., пока различие в двух
последовательных ап ие окажется достаточно малым.
Затем по формулам, аналогичным (2.131), (2.132), находят
координаты узла d и значения о, 0 в этом узле. Точка е опре-
деляется так же, как и точка с, т. е. во всей области oBD. В
области AiCBD решают начальную характеристическую задачу.
Изменение расчета при ином направлении характеристик
{оно показано на рис. 40 пунктиром) незначительно. В этом
случае вместо первого из уравнений (2.136) имеем
Ус~ Уа = (Хс—
а вместо уравнения (2.137)
ас == Ga + Фа "Г kc) (Qtf — 9д) + Лас-
Определив в исследуемой области а и 0, по формулам
(2.126) вычисляют напряжения.
По изложенной методике определено, в частности, напряжен*
ное состояние при резании закаленных сталей*. Методика
эксперимента была следующей.
Зафиксированные при заданной скорости резания корни
стружек шлифовали и тщательно полировали. В различных точ-
ках среднего по толщине корня сечения измеряли твердость.
Результаты измерений предварительно сглаживали проведени-
ем изолиний. На рис. 41 приведено полученное в одном из ис-
следованных случаев распределения интенсивности касательных
напряжений.
Тарировочные графики строили по результатам испытаний
цилиндрических образцов на осевое сжатие со смазкой. По
распределению твердости с помощью этих графиков находили
распределение интенсивности касательных напряжений.
* Исследование выполнено совместно с В. А. Кондратьевым н Н. А. Но-
виковым.
96
Рис. 41. Распределение интенсивности касательных напря-
жений в МН/м2 при резании стали ЗОГСНА резцом с пе-
редним углом у=—6° со скоростью 40 м/мин и подачей
0,15 мм/об
В области АВС (рис. 42) напряжения определяли решением
задачи Коши. Однако эта область охватывает лишь небольшую
часть зоны стружкообразования и незначительный отрезок ли-
нии ОК. С тем чтобы определить напряжения вдоль всей ли-
нии ОК, дальнейшую расшифровку экспериментальных данных
Рис. 42. К определению напряжений при
резании
производили в предположении, что, начиная с некоторого уда-
ления от свободной границы, эта линия совпадает с линией
скольжения. Экспериментальные данные свидетельствуют о
том, что это предположение приемлемо.
В сетке линий скольжения, полученной решением задачи
Коши, находили a-линию, пересекающую прямую ОК под пря-
мым углом. Начиная с этой точки (точки N на рис. 42) в об-
ласти C'NOD решали начальную характеристическую задачу.
Напряжения	опре-
делены при резании
закаленных	сталей
ЗОХГСНА и 38ХМЮА
резцами из эльбора-р
с различными передними
углами у ( + 5,	—6,
—31°). Скорость резания
изменялась от 40 до
120 м/мин.
На рис. 43 приведены
полученные эпюры на-
пряжений вдоль ли-
нии ОК- Касательные
напряжения распреде-
4 Зак. 472
-1500
-1250
-1000
-750
-500
1,мп 0,25Ц2 015 0.1 0,05
Рис. 43. Эпюры напряжения при резании закаленных
сталей:
—О—<Ъ. — О — а., — X — т	сталь ЗОХГСНА: а—у=—6’, v=-
*	У	ЛУ
=40 м/мкн; б — т=—6°. ti=60 м/мин; в — у= — 6°. и=120 м/мин;
г — у---ЗГК и—60 м/мин; сталь 38ХМЮА: д — у=5°, »=60 м/мин;
е — т=6°, у=60 м/ман
лены вдоль этой линии достаточно равномерно. Нормальные
напряжения возрастают в направлении к свободной поверх-
ности. Уменьшение переднего угла резца приводит к возраста-
нию всех напряжений. Обращает на себя внимание высокий
уровень гидростатического давления в исследованных случаях,
что, по-видимому, является следствием невысокой упрочняе-
мое™ исследованных сталей.
Высокое гидростатическое давление обеспечивает благо-
приятные условия для деформирования. Этим объясняется тот
факт, что при резании сравнительно хрупких сталей ЗОХГСНА
98
и 38XMJOA образуется элементно-сливная, а во многих случа-
ях и сливная стружка. Понижением гидростатического давле-
ния у вершины резца объясняется появление трещин вблизи
этой вершины при больших отрицательных передних углах.
§ 14. Определение напряженного состояния
при осесимметричной деформации
по волокнистой макроструктуре
и распределению твердости
Во многих случаях эффективно сочетание различных экспе-
риментальных методов. Примером тому может служить изла-
гаемый далее экспериментально-расчетный.метод.
Исходными экспериментальными данными для определения
напряжений являются распределения окружных деформаций,
интенсивности 'напряжений и интенсивности деформаций в пла-
стической области. Распределение окружных деформаций мо-
жет быть получено выявлением волокнистой макроструктуры
деформированного тела. Если волокно в недеформированном
состоянии параллельно оси г, то после пластического деформи-
рования можно определить окружную деформацию е<р в любой
его точке по формуле (2.6).
Распределение интенсивности напряжений и деформаций
определяется измерением твердости. С этой целью путем испы-
тания образцов из исследуемого материала на растяжение нли
сжатие с промежуточными разгрузками для измерения твердо-
сти строится тарировочный график, связывающий интенсив-
ность напряжений, твердость и интенсивность деформаций (см.
§ 12).
Измерив твердость в различных точках деформированного
тела, определяют по тарировочпому графику распределение ин-
тенсивности напряжений а0 и, исходя из предположения о еди-
ной кривой течения, соответствующее распределение интенсив-
ности деформации е0.
Обозначим через су<р, а3 главные напряжения. Подставив
выражение гидростатического давления о —------------ в соот-
О
ношение деформационной теории пластичности
„	2 €Г0
% —ff = V ПОЛУЧИМ
+ А	(2.139)
И- . Or,
где р = -i-T.	; f = _2_е
е0
Функция f определяется непосредственно по эксперименталь-
ным данным.
4*
99
Из выражения интенсивности напряжений
(01 — а|) + (о3 - аф)2 + (о, - аф)2 - 2а2 (г, г)
и соотношения (2.139) при oi>o3 получаем
ffl —о3 = а0(г, г),
(2.140)
где
5= 2 „„1/	*2-141>
У 3	\ ео /
Подставив соотношения
стг — ffl 2~ 3-° —2 ~3 sin 20 = р — sin 26;
о2 =2 —4-sin 26 = р 4~sin 26;	(2.142)
т = -2——- cos 26 = 4г cos 20
rz 2	2
в дифференциальные уравнения равновесия (2.101), получаем
следующую систему уравнений:
др	J0 *- d0 1	Л
-д---ст0 cos 26 -д--ст0 s’n 26 гг~ = лг sin 29 —
дг ° дг ° дг 2 дг
_ _L cos 20 4- Sin 26 4- — ;	(2.143)
2 дг	1 2r 1 г	'	'
др ~ дВ ~	£?0	1
-<т0 sin 26^+a, cos 20-^ = -2--^-cos 20-
-4#sin20-icos20.
Неизвестными в этих уравнениях являются р и 6 — угол
между касательной к линии скольжения семейства а и радиу-
сом г. Линии скольжения а, р в каждой своей точке образуют
л	я
углы соответственно-----и —с направлением главного напря-
4	4
жения Оь Их направления фиксированы таким образом, чтобы
они образовали правую систему координат, в которой касатель-
ное напряжение положительно.
Анализ полученной сцстемы уравнений показывает, что она
относится к классу гиперболических, ее характеристики взаим-
но ортогональны и совпадают с линиями скольжения.
Вдоль линий скольжения а, р
— =tgS;
с! Г
100
dp-=(4--4-^)*+4(2j44>
(4.	— = — ctg 0;
dr	s
y*—'	f f	1 fifT \	1 f ff	\
rfp4-aod0= U- + —— ( ®» -l ’ )dz. (2.145)
r w	\ r	2 dz /	2 \ r	1 dr /	' f
Нормальная н касательная составляющие напряжений на
контуре о,,, т„ связаны с компонентами тензора напряжений
соотношениями
о„ = Qr cos2 ф 4~ °z sin® ф 4- tw sin 2ф;
(2.146)
тл = “ (ог — ctz) sin 2ф + т„ cos 2ф,
где ф — угол между радиусом и нормалью к контуру.
Подставив соотношения (2.142) в (2.146), получаем
ся = р—^-яп2(е-ф); т„ = о0cos2 (0 — ф),
откуда	_
1	2т,г	п
0 =; <р ± — arcc°s — -f-щл; р = оя 4--A sin2(0 — <р).	(2-147)
ст° 2
Если контур свободен от нагрузки (стп = 0, тп=0), то соотно-
= шенйя (2.147) упрощаются:
0 ~Ф± ~ 4-р = ±-у- •	(2.148)
 Выбор решения осуществляется так же, как и прн исследова-
• нии плоской деформации (§ 13).
4 Таким образом, по соотношениям (2.147), (2.148) можно
определить р и 0 на границе исследуемой области, если на ней
заданы нагрузки и тп. Дальнейшая расшифровка экспери-
ментальных данных связана с решением различных краевых
- задач и выполняется примерно так же, как н при исследовании
плоской деформации измерением твердости. При этом остаются
4 справедливыми все конечноразностные формулы, приведенные
в § 13, если в них заменить х, у, о, k на г, z, Р>~ соответ-
ственно, за исключением формул (2.133). Вместо последних
имеем
^=4[2(4+4М^ХЧ#Ж~г‘,+
101
Предварительному сглаживанию 'подвергаются в этом слу-
чае ФУНКЦИИ (То и f.
Если положить = ±	, то из (2.144), (2.145) следуют
соотношения на характеристиках при определении напряжен-
ного состояния в случае осесимметричного деформирования по
известному распределению интенсивности напряжений в пред-
положении Хаара-Кармана о равенстве окружного напряжения
одному из двух других главных напряжений [11]. Если к тому
же положить, что Оо = const, то получим соответствующие соот-
ношения теории идеальной пластичности. Прн r-^оо и Сф =0
получаем из (2.144), (2.145) соотношения (2.128), (2.129). И,
наконец, если положить, что r-ню, =0, On--const, то полу-
чаем соотношения на линиях скольжения при плоской деформа-
ции идеально пластических тел. Это позволило положить изло-
женную методику в основу алгоритма и программы для ЦВМ,
реализующей решение всех перечисленных задач.
На рис. 44 приведены результаты, полученные Н. А. Нови-
ковым по указанной программе при обработке эксперименталь-
ных данных исследования внедрения сферического штампа диа-
метром 30 мм в плоскую поверхность образца из стали 15Х,
Рис. 44. Эпюры напряжений при внедрении сферического штампа в
сталь 15Х
102
выполненного К. И. Цукублиной. При этом исходили из сле-
дующих граничных условий. Граница АВ (ее аппроксимирова-
ли прямой) свободна от нагрузки, коэффициент трения на AF
принят равным 0,1, как это наблюдается в подобных условиях
при осадке. В области АВС решали задачу Коши, в области
ACD — начальную характеристическую задачу и в области
ADE — смешанную задачу.
На рис. 44 показаны -сетка линий скольжения и напряжения
на поверхности сферического отпечатка диаметром 15,7 мм.
Равнодействующая о2 отличалась от усилия вдавливания, из-
меренного при внедрении, на 12%.
Глава III
Устойчивость
пластического деформирования
§ 15. Инженерные критерии
Практическая важность проблемы устойчивости пластиче-
ского деформирования обусловлена в первую очередь тем, что
в результате ее решения удается оценить предельную (или кри-
тическую) деформацию при многочисленных процессах обра-
ботки металлов давлением в зависимости от напряженного
состояния и свойств материала. Превышение этой деформации
приводит к потере устойчивости пластического деформирова-
ния, выражающейся в образовании складок, хлопунов, местных
утонений, по которым затем происходит разрыв материала, и
т. д., и является часто причиной брака, в особенности при ли-
стовой штамповке.
В теории пластичности получили некоторое развитие мето-
ды оценки устойчивости упругопластического равновесия эле-
ментов конструкций, основанные главным образом на крите-
риях устойчивости, хорошо зарекомендовавших себя в упругой
области. Однако применение этих критериев при решении тех-
нологических задач обычно сопряжено с большими математи-
ческими трудностями, обусловленными тем, что при обработке
металлов давлением и резанием возникают большие деформа-
ции и перемещения. В связи с этим получила распространение
инженерная теория устойчивости пластического деформирова-
ния, исходящая из приближенных критериев.
Внимание к феномену неустойчивости пластического дефор-
мирования было привлечено явлением образования шейки при
растяжении стержня (29]. Основываясь на многочисленных на-
блюдениях, показавших, что при отсутствии ползучести шейка
у растягиваемого стержня появляется при максимальной на-
грузке, Г. Закс и Д. Лубаи предположили, что и в более общем
случае пластическое деформирование становится неустойчивым
при достижении одной из нагрузок экстремального значения.
Согласно этому критерию пластическое деформирование устой-
чиво, если положительны добавочные нагрузки
d; р j > о.
(3.1)
104
С использованием этого критерия решены многочисленные
задачи, касающиеся главным образом устойчивости пластиче-
ского деформирования листовых материалов (36, 44].
В последнее время опубликован ряд работ (46, 31], в кото-
рых при исследовании устойчивости пластического деформиро-
вания исходят из критерия, согласно которому пластическое
деформирование устойчиво, если положительна работа доба-
вочных нагрузок;
2^ЗД>0.	(3.2)
I
Здесь li — обобщенные перемещения, на которых совершают
работу обобщенные силы Pi. Например, если под понимать
внешний момент, то k представляет собой угловое перемеще-
ние в точке приложения момента по направлению момента.
: Такой подход к решению проблемы впервые использован
Б. Старакерсом (46], исследовавшим устойчивость тонкостенных
трубок, нагружаемых осевой силой и крутящим моментом.
В случае пропорционального нагружения, когда силы Pi
изменяются пропорционально некоторому параметру, критерии
(3.1)	(3.2) совпадают, поскольку в этом случае в критиче-
ском состоянии одновременно все dPi = G.
Рассмотрим, например, устойчивость пластического растя-
жения стержня. Наблюдения показывают, что при осевом рас-
тяжеиии стержня постоянного поперечного сечения он до неко-
торой деформации сохраняет первоначальную геометрическую
форму. При достижении критического удлинения пластическая
 деформация локализуется вблизи некоторого сечения, образу-
ется так называемая шейка, по которой в дальнейшем происхо-
дит разрыв стержня. Иногда образуются одновременно две
нли даже три шейки.
Основываясь иа критерии устойчивости (3.1), определим
величину критической деформации стержня нз несжимаемого
материала с чисто деформационным упрочнением.
Нагрузка при растяжении P = CqF, где F— площадь попе-
речного сечения стержня. Согласно критерию (3.1) условие
^устойчивого деформирования запишется в виде
dP = aodF + Fdab > 0.	(3.3)
ГТ л	dF	dl	-Г-
; Поскольку---=------= — dfe0,
Fl
,С;‘
где I — длина стержня в рассматриваемый момент деформиро-
вания, можно переписать условие (3.3) в виде
— 4^->1.	(3.4)
о0
\Из этого условия, взятого со знаком равенства, можно опреде-
лить критическую деформацию.
105
В момент начала образования шейки
1 doa   1  ।
0Q d&Q	Z
где Z — подкасательная кривой течения материала (см. рис. 45).
Таким образом, начало образования шейки соответствует точке
кривой течения, в которой подкасательная Z=l.
Если аппроксимировать кривую течения уравнением
<т0 = Ае”,	'	(3.5)
то из условия (3.4) получаем екр = м.
При выполнении условия (3.4) со знаком равенства нагруз-
ка Р достигает максимального значения и происходит спонтан-
ное удлинение стержня. В этом смысле его равновесие неустой-
чиво, и если речь идет о некотором элементе конструкции, то
его несущая способность исчерпана. Но для технологических
процессов характерно, что обычно заданы не нагрузки на заго-
товку, а кинематика пластического деформирования. Техноло-
гические машины за редким исключением способны работать
как при возрастающей, так и при понижающейся нагрузке.
В связи с этим при исследовании технологических процессов
интересуются ие пластической неустойчивостью, выражающейся
в том, что малое изменение нагрузки вызывает большое изме-
нение деформации, а неустойчивостью, приводящей к недопу-
стимому изменению геометрической формы заготовки (напри-
мер, если прямой при устойчивом деформировании стержень
после потери устойчивости становится кривым; если у растя-
гиваемого листа появляется локальное утонение и т. д.). В даль-
нейшем рассматривается локализация пластической деформа-
ции. В связи с этим важно выяснить, -насколько надежно пред-
сказывает рассматриваемые критерии неустойчивость именно
этого типа. Проведенный анализ растяжения стержня имеет для
нас смысл, лишь поскольку согласно наблюдениям в этом слу-
чае оба типа неустойчивости оказываются совмещенными.
Объясняется это следующим.
Вследствие неизбежных неточностей изготовления образца
площадь его поперечного сечения переменная. Пусть на рис. 46
Рис. 45. К определению под-
касательной
106
Рис. 46. Критическая деформация
при растяжении
кривые 1 и 2 изображают соответственно диаграммы растяже-
ния стержней постоянного сечения с площадью, равной мини-
мальной н средней площади поперечного сечения рассматрива-
емого образца, рассчитанные по кривой течения материала
при условии устойчивого деформирования. При деформации
е<ек диаграмма растяжения образца следует кривой 2. При
деформации £>£« усилие в наименьшем сечении уменьшается,
а это означает, что прочие области разгружаются. Пластическая
деформация локализуется в окрестности наименьшего сечения,
образуется шейка. Диаграмма растяжения образца при этом
соответствует штриховой линии на рис. 46. Аналогичным обра-
зом может привести к локализации деформации и неоднород-
ность свойств материала стержня.
Заметим, что если материал обладает не только деформа-
ционным, но и скоростным упрочнением, т. е. если ао=<?о(ёо, во),
<< то локализация деформации приведет к возрастанию скорости
,д.. деформации в наименьшем сечении, материал упрочнится, в
у; силу этого нагрузка, воспринимаемая этим сечением, возраста-
Д; ет и может происходить дальнейшая пластическая деформация
Д • всего образца.
Д Однако и при чисто деформационном упрочнении возникно-
Д,- вение местных утонений при максимальной нагрузке в более
д общем случае далеко не очевидно.
Приведем результаты экспериментальной проверки указан-
• них критериев, выполненной совместно с Л. К. Спиридоновым
Д испытанием сплошных цилиндрических образцов на совместное
Л.- растяжение и кручение по методике, подробно рассматриваемой
в следующей главе. Образцы деформировали таким образом,
у ’ чтобы выполнялось соотношение
dv'	j
I	-^~cxconst’	(3-6>
Д ' где d&z— приращение осевой деформации; dy' — приращение
ду сдвига иа поверхности (dy=2ds<pz, штрихами здесь и в даль-
д нейшем отмечаются напряжения и деформации у поверхности
Д: образца). Нагружение, таким образом, можно считать близким
Д к простому,
Д Согласно критерию положительности добавочных нагрузок
потеря устойчивости деформирования таких образцов произой-
ду- Дет при выполнении одного из условий
dP= 0	(3.7)
< или
Д	dM = 0.	(3.8)
. Приращение осевой силы
Д	V	я
dP = 2л J dvzrdr 4-[2ло' RdR,	(3.9)
107
где 7?—’радиус образца. Из (3.7) следует, что при критической
деформации
(3.10)
(3.11)
J dvzrdr -f- a' RdR = 0.
о
Пренебрегая (влиянием деформационной анизотропии, запи-
шем в соответствии с (2.85)
О CXtg
где ds<p—приращение окружной деформации.
Учитывая, что на поверхности образца de2=—2deq>, получаем
(3-12)
аг = tfe2.
d£0
Поскольку в процессе деформирования const;
doz = de2.
2 de0
Подставив (3.13) в (3.10) и учитывая, что de-
от радиуса г, а

получаем
=	— rdr.
Поскольку т' = — dy,
3 de0
из (3.12) следует, что
= 1 dY = Д_ с.
oz 3 d&z 3
Следовательно,
^=и«)2+зю’=<’;/1+-г
Учитывая это, получаем из (3.15), что dP = 0 при
21/1+^ *
.	2 У 3 due ,
а --------1 —rdr.
° R> jJ de„
(3.13)
не зависит
(3.U)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
с
помощью
Деформацию, при которой dP = 0, определяли
соотношения (3.18) следующим образом. Распределение накоп-
108

ленной интенсивности деформации вдоль радиуса описывается
уравнением
^0 pQ
с2 г2
3 Я2
(3.19)
Ж
да

са
3
Задаваясь с и различными значениями накопленной интен-
сивности деформации на поверхности ё'о, по (3.19) находили
соответствующие распределения ё0 вдоль радиуса образца; по
ним и кривой течения материала находили распределение про-
изводнои и посредством графического интегрирования оп-
ределяли по (3.18) в зависимости от е'о. Координаты пере-
сечения графика этой зависимости с кривой течения материала
и определяют
(•рой dP=0.
t Обратимся
k го момента
при заданном с величину деформации, прн кото-
теперь к условию (3.8). Приращение крутяще-
1	*
— dM = f dxr~dr -! - xR'dP = 0.
2я	j
Аналогично (3.13)
Учитывая линейное
\ пользуя выражение
; виду
(3.20)
dx = — & dy.
3 de0
распределение сдвигов вдоль радиуса и ис-
(3.21), преобразуем зависимость (3.20) к
(3-21)
Я
— f ^S-f>dr = — К^с'.
3 J *,	2
о
Из уравнений (3.16), (3.17), (3.22) находим интенсивность на-
пряжений, при которой dAf=O:
(3.22)
(3.23)
с помощью
добавочных
, Л Г 3 p(T0 , .
Ой — --------- I	Г3dr.
в Я* J Л.
Деформацию, при которой ЛИ=0, определяем
уравнения (3.23), как и в предыдущем случае.
Согласно критерию положительности работы
! нагрузок потеря устойчивости деформирования образца прои-
 дойдет при выполнении условия
dPdl + dMdq = 0,	(3.24)
£ .где dl, dtp — приращения длины образца и угла закручивания,
109
(3.25)
(3.26)
dl = Zdez;
dm = d( 'j = — dy' + — dl----------------dR.
*	\ R J R Y R R*
Используя соотношения (3.17), (3.25), (3.26), преобразуем
условие (3.21) к виду
1&Р Л 4- А уЛ dM = 0.
(3.27)
Из этого уравнения после несложных преобразований находим
интенсивность напряжений при выполнении условия (3.24)
(3.28)
Критическую деформацию определяли согласно этому уравне-
нию приемами, аналогичными изложенным ранее.
При экспериментальной проверке рассматриваемых крите-
риев устойчивости пластического деформирования испытывали
образцы из стали 30ХМА, ШХ15, латуни Л62 и меди Ml. Об-
разцы каждого материала были изготовлены из одного прутка.
После механической обработки их подвергали рекристаллиза-
ционному отжигу.
После появления шейки образцы разгружали и иа удалении
от нес измеряли диаметр D и угол а между риской, проведен-
ной до испытания параллельно оси, и образующей цилиндра.
Докритические деформации в исследованных случаях были
сравнительно небольшими, поэтому критическую деформацию
с погрешностью, не превышающей 10%, определяли по прибли-
женной формуле
Здесь
ео«’1/^ + 4'<Т’')2-	(3.29)
I/
е3 = 2 Dq~D , у' = fgа,	(3.30)
где Do — начальный диаметр образца.
На рис. 47 сопоставлены экспериментальные значения кри-
тической деформации (для получения каждой точки испытыва-
ли по три образца) с расчетными, полученными согласно кри-
териям (3.1), (3.2). Кривые 1, 2, 3 соответствуют условиям (3.7)>
(3.8), (3.24). Критерий положительности работы добавочных’
ИО
Рис, 47. Результаты экспериментальной проверки ин-
женерных критериев устойчивости}
о'
V =Я-П1Х15; б —ЗОХМА; в - Л62; г —Ml
(То
нагрузок находится в лучшем соответствии с эксперименталь-
ными данными, чем критерий положительности добавочных
нагрузок.
§ 16. Двухосное растяжение листа
Прямоугольный лист из несжимаемого материала растяги-
г вается напряжениями ах> (рис. 48). Обозначим текущие
размеры листа в направлениях осей х, yt z через /х, Zy, й.
J Пусть
l3/i = Fy\ l/i = Fx\ ау = твх, т<1.	(3.31)
Нагрузки на лист Рх = vxFx; Ру = vyFy.
Из условия положительности добавочных нагрузок
dPx = <JxdFx + F^a* > 0;
dPy = aydFy + Fyday > 0
получаем условия устойчивости деформирования
dec-	da„
>d&x; -^—>d&y.
(3.32)
При плоском напряженном состоянии листа из изотропного
материала
111
а0ах у1 — т + т?;
(3.33)
de. -	 de„; de, =	de^. (3.34>
x 2 /1 — m 4- m2	y 2 /1 — m 4- m2 ° v r
Подставив соотношения (3.33), (3.34) в неравенство (3.32),
получаем условия устойчивости растяжения листа в виде
1 _____ 1	2 — tn	2m — 1 dm
Z и()	2 /1 — m 4- m2	2(1 — m 4- ms) de0 ’
1 ______ 1 d<r0	2m — 1	m — 2 dm
Z o0 de0 2/1 — ffl. 4 m! 2m (1 — m 4- m2) dee
(3.35)
(3.36)
Если к моменту наступления критического состояния нагру-
жение простое, т. е. т — const,- то первым нарушается условие
(3.35). Соответствующая критическая деформация была оп-
ределена Г. Заксом и Д. Лубаном. Она находится из условия
у	de0 2/1 — m 4- m2
Z"P = q»^-:	2-m
(3.37)
Если кривая течения аппроксимируется степенной функцией
(3.5), то е^р/п.
Г. Свифт определил критическую деформацию листа в
предположении, что деформирование становится неустойчивым,
если
dPx = dPy = О,
т. е. если одновременно нарушаются условия
Из равенства (3.38) следует, что к моменту
Р F
чивости деформирования ~~ = т~- = const.
(3.38)
(3.35), (3.36).
потери устой-
Дифференцируя
это соотношение, находим
Рис. 48. Схема двухос-
ного растяжения листа
dm = т (de.y — dex). (3.39)
Подставив полученное выражение в
условие (3,35) или (3.36), взятое со
знаком равенства, получаем
7 —гт =	4(1 — m4-m2)1/j
КР ° do0 4 — 3m — 3ma 4- 4m3
(3.40)
Заметим, что это условие можно
также получить, исключив dm из не-
равенств (3.35), (3.36).
На рис. 49 приведены зависимости
2](Р от т, определенные по уравнениям
(3.37), (3.40).
112
И уравнение (3.37) и уравнение
(3.40) получены для частных слу-
чаев нагружения. Причем, как сле-
дует из рис. 49, сравнительно сла-
бое изменение вида нагружения от
,	Fy	.
т = const до т-р-= const при-
водит к заметному изменению
критической деформации. Поэтому
в общем случае следует определять
критическую деформацию нз усло-
вий (3.35), (3.36).
Рассмотрим далее устойчивость
двухосного растяжения листов нз
Рис. 49. Критические зна-
чения подкасательной при
растяжении изотропных ли-
стов
ортотропного материала, поведение
которого описывается теорией
пластичности Р. Хилла (см. § 4).
Пусть лист растягивается вдоль
главных осей анизотропии. Обо-
значив
р =
х G
1 + а2 — &3 n Н 1 4- а2 — Ь*	.
J — а2 _|_ &2 У F аз _|_ &2 _ 1	ту тх
Ь = ^mz ^rnxi <*х = -—*	У;
2(Кх + ад, + /^)
3/?^ [Ry 1
Яу = ЩГТадГ+^7); ^(Rx + RxRy+Ry) *
запишем уравнения (1.74), (1.75) в виде
а = (Ух	-}- аут2;
ах — ЛхуР1	-г
аеА. = —	-.......ае;
Уах — 2аХ!/т + ауп2
ауп	аХу	—
— —	de.
yfax — 2aXffm + c^m3
(3.41}
(3.42}
(3.43}
Подставив соотношения (3.42), (3.43) в неравенства (3.32),.
получим
1	1 do . aytn axtf dm	ах аХут
— = “тг" >-------------------------_—I-----------	j (3.44}
о de ах %ахут + вуи2 jg	ах — 2аХут 4-
1	_ 1 do"	<ixym — ах dm
Z а & т [ах — 2аХут + ауп2)
+ -—	—----------- (3.45>
Vах — 2аХуГП + а^т3
113
При простом нагружении (= 0 ) эти неравенства упроща-
\ d& /
ются:
—	У Их ICLxyin
Z = о <-----------------------------------;
tier	1
„	- d&	Ч-
Z - - о - <-------------------------------.
da	ct
(3.46)
(ЗЛ7)
Критической является наименьшая из деформаций j* de,
удовлетворяющих условиям (3.46), (3.47), взятым со знаком
2 д. —?—
_	ах^~ах^	Rx
равенства. Следовательно, при т<-------------------=-------г-
«(/+“*»	2 4-—
+ К»
критическую деформацию следует определять из условия (3.46),
в противном случае из условия (3.47).
Исключив из неравенств (3.44), (3.45)	> получим урав-
д8
иение подкасательной к кривой о— Jde в точке, соответствую-
щей критическому состоянию, обобщающее решение Г. Свифта
(3.39) иа случай ортотропного материала:
Z =а	(ax — ^axy^ + a^z')t/s . р48ч
К₽ do <ах~-аХутрл-т(ауП1-аХур'
Условия устойчивости (3.46), (3.47) получены В. Д. Голов-
левым [5], а условие (3.48) Н. Н. Малининым [31] иа основе
критерия положительности работы добавочных нагрузок и позд-
нее В. Д. Головлевым [5] на основе критерия положительности
добавочных нагрузок (dPM=dPy=0).
Согласно критерию положительности работы добавочных
нагрузок (3.2) деформирование листа устойчиво, если выполня-
ется условие
dPxdlx dPydty > 0.
Поскольку Рх = axlyh‘, Ру =
можем переписать это неравенство в виде
do^de^ + da yds. у >	.	(3.49)
При растяжении изотропного листа левая часть равенства
(3.49) преобразуется к виду
dOijdZif = dsifdzif ~ da^d^.	(3.50)
Подставив в условие (3.49) соотношения (3,31), (3.33),
(3.34), (3.50) получим уравнение, совпадающее с решением
Г. Свифта (3.40), поскольку последнее получено исходя из пред-
114
положения о пропорциональном изменении нагрузок к моменту
потери устойчивости.
Необходимо, однако, заметить, что если соотношение (3.40) t
полученное на основе критерия положительности добавочных
нагрузок, согласно этому критерию справедливо лишь в част-
ном случае нагружения, то это же соотношение (3.40) согласно
критерию положительности работы добавочных нагрузок спра-
ведливо в общем случае нагружения.
Н. Н. Малинин [31] на основе критерия положительности
работы добавочных нагрузок исследовал устойчивость двухос-
ного растяжения анизотропных листов. Не останавливаясь
на условии устойчивости, следующем из теории пластичности
Р. Хилла, поскольку оно, как уже указывалось, совпадает с ус-
ловием (3.48), рассмотрим, следуя Н. Н. Малинниу, устойчи-
вость деформирования листа, растягиваемого вдоль главных
осей анизотропии, на основе теории пластичности, развитой
Д. Чэкрэберти [43].
Уравнение поверхности нагружения записывается в виде
02 — 2со^у 4- ео* = ©2кв (J 4еэкв),	(3.51)
где
4“	j
-	(3.52)
По ассоциированному закону пластического течения
dsx — dX (ах — соу) — dkox (1 — ст);
ds у = dX (е<Уу — cgx) = <Дох (ет — с).
Из уравнения (3.51) находим.
д _ _______СТЭКВ____
х / 1 — 2ст -|- ет2
(3.53)
(3.54)
Подставив полученные уравнения в соотношение (3.52), нахо-
дим
1
dX ~+.emg)---------------------------------- .	(3.55)
-у СТЭКВ
П(1 — ст)а 4- (е/и — с)3-|- (1 — ст) (ет —с)]
При одноосном растяжении полосы в направлении х
= 1*ив = Ц1-с + <^’Гел.	(3.56)
/Формулы (3.56) позволяют по диаграмме растяжения материа-
; ла в направлении оси х и параметру анизотропии Rx построить
кривую течения материала 0ЭКВ(У ^еЭКв)-
115
Рассмотрим левую часть неравенства (3.49). Записав урав-
нения (3.51), (3.53) в компактной форме
1=3 ^экв *	= d'h&ikSfk’
получим
dcfijd&ij — ds£jdf>ij = ^•огэкв<4оэкв.	(3.57)
С учетом соотношений (3.54), (3.55), (3.57) находим из усло-
вия устойчивости (3.49), что
7   —	^еЭкв  
^кр	°энв .
астэкв
1
2
__ f [(1 — 2cm + gm2)] [(1 — cm)2 4- (em — c)3 4- (1 — cm) (em c)]	gg.
(1 — cm)2 m (em — c)a
В случае изотропного материала (7?x=/?y~l) уравнения
(3.48), (3.58) сводятся к уравнению (3.39).
На рис. 50 приведена зависимость ZKP от т, определенная
из условия устойчивости (3.46) и из уравнений (3.48), (3.58)
для титанового сплава ОТ4, у которого /?х=3,4, 7?у=7,16 [31]
Как видим, различие в критических деформациях, определен-
ных по рассматриваемым условиям устойчивости, существенно.
Предполагается [36], что рассмотренные условия устойчиво-
сти можно, пренебрегая влиянием градиента напряжений и де-
формаций, использовать для оценки устойчивости формообра-
зования различного рода пологих оболочек двухосным растя-
жением. Для этого необходимо предварительно определить за-
висимость накопленной деформации и отношения главных на-
пряжений т в различных точках
оболочки от параметра X, характе-
ризующего деформацию оболочки в
целом. Если это исследование вы-
полняется методом делительных се-
ток, то, определив приемами, опи-
санными в § 8, приращения или
скорости деформаций и вычислив
их отношение а = dsy : dex = 8У : ех,
можно в случае изотропного мате-
риала определить отношение нап-
ряжений по формуле
Рис. 50. Критические значе-
ния подкасательной при
растяжении анизотропных
листов
2 4- а ’
следующей из уравнений (3.34).
Для ортотропного материала спра-
ведлива формула
116
__ Ry l^x (1 4- а) а1
т ^[/?д1+а)+п *
(3.60)
следующая и из уравнений (3.43) и из уравнений (3.53).
Значение параметра X, при котором хотя бы в одной точке
оболочки накопленная деформация оказывается равной крити-
ческой, считается критическим.
§ 17. Двухосное растяжение тонкостенной
цилиндрической оболочки
Рассмотрим деформирование тонкостенной цилиндрической
оболочки с днищами внутренним давлением д и растягиваю-
щим усилием Р. Обозначим текущую длину, средний радиус и
толщину оболочки через /, р и h.
Согласно критерию положительности добавочных нагрузок
деформирование оболочки устойчиво, если
^>0;	(3.61)
dPz =d(P + лр2д) > 0.	(3.62)
Предполагается, что прн нарушении условия (3.61) образу-
ется продольная шейка, а при нарушении условия (3.62) —
кольцевая.
Поскольку в цилиндрической системе координат
q = А а • р Я(о29 = 2лр/ктг;
Р -
-А = -А = перепишем неравенства (3.61), (3.62) в виде
du^
—	(3.63)
(3.64)
При растяжении оболочки из несжимаемого изотропного
материала
a0 <jz у1 — m2;
2m — 1	-j-	,	m — 1
ae,,; аег =
de0, (3.65)
	d&„, = —________ .	—
ф 2 у' 1 — т т2
где тп = сГ(р/сгг. Следовательно, деформирование такой оболочки
устойчиво, если
t	1	1 da
Г	z
J 1 ________________
2 — т
1 da	3m	2 — m dm
a0 de0 2 |/1 — m~ym2 2(1— m-ym2)m de9	!
1 da9	2— m_______L 2m — 1________dm	„
2 (1 —m 4- ma) de9 '
117
Если к моменту потери устойчивости оболочка нагружается
таким образом, что отношение напряжений т остается постоян-
ным, а постоянным оно будет, если нагрузки изменяются в
соответствии с уравнением
q ____ const
(3.68)
то условие устойчивости можно записать в виде
Z = о»< 2^1-т + т’ ;	(3.69)
Z = <j.. ^ <	+	'	(3.70)
0 aa0	2 — m	'	7
При m > критическую деформацию находят из условия
(3.69), при т < — ее определяют из условия (3.70). Условия
устойчивости деформирования (3.69), (3.70) были получены
В. Ланкфордом и Е. Зейбелем.
В работе [45] дополнительно к рассмотренным записывается
условие положительности приращения усилия, растягивающе-
го оболочку в окружном направлении:
dPt = d(2plq) >0	(3.71)
или
defy
ПФ
(3.72)
Подставив соотношения (3.65)
1   1 da0	2/и — 1
Z	CTq
При т = const
в это неравенство, получаем
?__________ +---------—-------------- . (3.73)
2 у/ 1 — /и т3 2(1 — m 4 m2) tn de,0
7_______ d& 2	1 — m -j- m2
Сто < 2m — 1
(3-74)
Заметим, что условия (3.67), (3.74) совпадают с условиями
устойчивости двухосного растяжения листа (3.35),	(3.36).
Г. Свифт получил условие устойчивости двухосного растя-
жения оболочки, исходя из предположения, что в критическом
состоянии одновременно с условием (3.61) нарушается условие
(3.75)
dP>0.
Поскольку Р = nphctg (2 — m),
из неравенства (3.75) следует, что
daz dm
—der— de^.
аг 2 — т	ф
(3.76)
118
Подставив в это неравенство соотношения (3.65), запишем его
в виде
1	1	2 ----	3/71	/f/Т/ zrj '7'7\
Z a (te0 2 -/1 — m + m3 2(2—m) (1 -	de0
Исключая из неравенств (3.66), (3.67) -^-, получаем
“£0
7 — ЛГ —	4(1— m + m3)^
“кр — °о fa — 4 _-6m -I- 3m2 + 4m3 ’	'
В. Купер определил критическую деформацию оболочки,
исходя из предположения, что при потере устойчивости одно-
временно нарушаются условия (3.62), (3.71). Следующее из
этого предположения условие устойчивости совпадает с услови-
ем устойчивости двухосного растяжения листа (3.40), получен-
ным Г. Свифтом.
В работе [45] устойчивость растяжения оболочки исследова-
на при допущении, что в критическом состоянии одновременно
условия (3.61), (3.62). Соответствующее условие
можно получить, исключив из неравенств (3.66),
нарушаются
устойчивости
(Э.67)	,
,	___ de0 _	4 (1 — m Ц-т2)*^
кр~°о — (2 — т)а-|-Зта(2т—1)
Переходя к рассмотрению устойчивости растяжения оболо-
чек из ортотропного материала, примем, что главные оси ани-
зотропии х, у совпадают соответственно с осевым и окружным
направлениями цилиндрической оболочки.
Подставив соотношения (3.42), (3.43) в условие (3.63), по-
лучаем неравенство, соответствующее условию устойчивости
^7>0:
।	1	1 de	dyfji ctxg dm 2c^m	т) ах
% ст de ах *2&ху + аут* de V ах — 2aXytn -} дул3
|	(3.80)
Неравенство, соответствующее условию rfP2>0, совпадает
| с неравенством (3.44) с тем лишь различием, что в данном
| случае О^т^оо.
Из условия следует неравенство (3.45).
Ц Из условия <£Р>0 следует, что
вЕ:	1	1	de 2а^т — аху (2 -(- m) + ах	dni
Ц	2	g	3s	. (2 — т) (a.c — 2aXffm + суя2)
Vax ^ху^1 Ч- а^т2
119
Согласно критерию положительности работы добавочных
нагрузок условие устойчивости деформирования рассматривае-
мой оболочки записывается в виде
dPdl 4- nr^dqdl 4- Swldqdl > 0	(3.82)
или
da у d&^ 4- da/fez > azdr| 4. 2оф 4еф	- г - <2еф) .	(3.83)
Используя соотношения (3.43), (3.44), следующие из теории
пластичности Р. Хилла, приведем это неравенство к виду
2 = ~	=_______________(Дх — 2ахут 4- арта)Д/д____________.
КР da (flx аХут)2 4- 2т (ау!п — аху) [ах — аху (т 4- 1) 4- а^т]
(3.84)
Уравнение (3.84) опубликовано в работе [31]. В этой же
работе получено условие устойчивости для оболочки из орто-
тропного материала, поверхность нагружения которого описы-
вается уравнением (3.51), предложенным Д. Чэкрэбертн.
С учетом соотношений (3.53)~(3.59) получаем из неравенства
(3.83), что
7   ~ *&экв  
"кр	иэкв ,
астэкв
_ / (1 — 2ст 4- em2) [(1 — ст)2 4- (ет — с)а 4~ (1 — ст) (ет — с)]^8
(1—ст)~ 4- 2т (ет — с) [ 1 4~ т (с — с) — с)	• ( • /
В случае изотропного материала (ах = ау=2аху = 1; е = 2с=1;
/=2уЗ) из уравнений (3.83), (3.84) следует уравнение (3.78).
На рис. 51 рассчитанные по формулам (3.84), (3.85) зави-
симости ZKP(m) титанового сплава ОТ4 (^«=3,4, Яу=7,16 [31])
Рис. 51. Критические значения подкасательной при двухосном
растяжении цилиндрических оболочек
120
терм ал а. Как видим, анизотропия свойств оказывает заметное
влияние иа критическую деформацию.
Целесообразность рассмотрения устойчивости двухосного
растяжения цилиндрических оболочек обусловлена главным об-
разом возможностью экспериментальной проверки получаемых
при этом оценок критической деформации путем испытания тон-
костенных трубчатых образцов, нагружаемых внутренним дав-
лением и осевой силой. К настоящему времени опубликовано
достаточно много результатов таких экспериментов. В работе
[45] приведен анализ результатов испытаний трубчатых образ-
цов, выполненных различными авторами. На основе этого ана-
лиза сделаны следующие выводы.
В соответствии с условиями устойчивости (3.69),	(3.70)
экспериментальные значения критической деформации в облас-
ти ог>(Т<р выше, чем в области O(p>oz. Согласно теории кри-
тическая деформация при Оф = 1/2ог выше, чем при чистом
продольном растяжении оболочки. Этот вывод эксперименты
не подтверждают. По условию устойчивости (3.78) Г. Свифта
критическая деформация при чистом растяжении в окружном
направлении и при чистом растяжении в осевом направлении
одинакова. Как уже указывалось, эксперименты этот вывод ие
подтверждают.
В целом, условия типа dq = Q = dP-, dq = Q = dPz оказались
в худшем соответствии с экспериментальными данными, чем
условия dq = O или dPz=Q. В области о<р>ог экспериментальные
данные находятся в качественном соответствии с условием
устойчивости dq>$. Однако в области ог>Офтакое соответствие
с условием dPz>Q ие наблюдалось.
Как видим, обсуждается лишь качественное соответствие
экспериментов теории. Количественное же соответствие экспе-
риментальных данных теоретическим оценкам обычно иеудов-
результаты испытаний
летворительное. На рис. г>2 приведены
трубчатых образцов из меди Ml, про-
веденных совместно с С. С. Одиигом.
Диаметр трубок составлял 30 мм,
толщина — 1 мм, изменения толщины
допускались в пределах ±0,02 мм.
Испытания производили иа машине
ХДМЦ-ЗО при простом нагружении.
Критическое значение окружной де-
: формации определяли по длине дуги
окружности б месте разрыва трубки.
. При этом исходили из предположе-
’ иия, что закритическая пластическая
г деформация на удалении от шейки
I незначительна; это подтверждено
испытанием цилиндрических образцов
'I на растяжение. Критическое значе-
Рис. 52. Результаты
экспериментальной про-
верки условий устойчи-
вости деформирования
цилиндрических оболо-
чек
121
ние подкасательно определяли, основываясь на соотноше-
нии (3.59). Наибольшее расхождение расчетных и эксперимен-
тальных значений ZKP в 43% получено при т = 2.
§ 18. Вопросы устойчивости деформирования
в состоянии сверхпластичности
Под сверхпластичностью обычно понимают нелинейно-вяз-
кое поведение ряда сплавов, обладающих сверхтонкой зерни-
стой макроструктурой. Для состояния сверхпластичности, на-
блюдаемого в сравнительно узком интервале температур, близ-
ких к половине температуры плавления сплава по абсолютной
шкале, характерны высокий уровень скоростного упрочнения,
низкое сопротивление деформации при малых скоростях по-
следней, высокая устойчивость пластического деформирования
в определенных интервалах -скоростей деформирования, вслед-
ствие чего равномерное удлинение при испытании на растяже-
ние в отдельных случаях достигает 2000%. Последние два об-
стоятельства особенно важны с технологической точки зрения.
Предложен ряд процессов обработки металлов в состоянии
сверхпластичности, некоторые из них уже внедрены в произ-
водство.
Экспериментальные исследования (32] показали, что в со-
стоянии сверхпластичности материалы обладают весьма низ-
ким деформационным упрочнением, вместе с тем наблюдается
резкая зависимость напряжений от скорости деформации, что
дает основание использовать в качестве феноменологической
модели сверхпластичности модель вязкопластического мате-
риала.
А. Ю. Ишлинский (23] решил задачу об устойчивости пласти-
ческого растяжения круглого стержня из вязкопластического
материала, у которого максимальное касательное напряжение
связано единой кривой с максимальной скоростью сдвига. Да-
лее излагается решение той же задачи, полученное в соответ-
ствующем экспериментальным данным о сверхпластичности [32]
исходя из предположения, что интенсивность напряжений яв-
ляется функцией интенсивности скоростей деформации*. Ско-
рости деформации считаются пропорциональными компонентам
девиатора напряжений
(3.86)
2 ст0
Как .и в работе [23], потери устойчивости трактуются как
нарушение равномерности пластического деформирования, вы-
ражающееся в появлении местного утонения в виде шейки. При
этом компоненты девиатора напряжений и тензора скоростей
* Исследование выполнено совместно с Н. Н. Малининым и А. П. Гро-
мовым.
122
деформации изменяются на бесконечно малые величины ftSfj,
det-j, удовлетворяющие уравнениям равновесия
(6sr + 6g) - г - -— 6тгг 4- — (6sr — 6s ) = 0;
аг	дг	г х	р/
(3.87)
~ (6s, 4- 6о) + Л 6тгг 4- — 6т„ = 0;
дг	дг	т
кинематическим уравнениям
б8. = —6нг; & = —	(3.88)
6г = — 6уг; 6гг — — &иг 4- —-	,
z dz	хг 2 \ дг г дг	г)
где 6уг, 6сг— дополнительные компоненты скоростей перемеще-
ний в радиальном и осевом направлении цилиндрической систе-
мы координат г, ф, 2;
+	0;	(3.89)
дг дг г
уравнениям состояния, следующим из (3.86),
6s
_ 2
i!~ 3k
(3.90)
, ео
где д ~, а кружочком вверху помечены величины, соответ-
ствующие невозмущеииому состоянию.
Уравнения (3.90) получены, исходя из предположения, что
в окрестности рассматриваемой точки функцию оо(ео) можно
линеаризовать и принять
6о0 = ^6е0.
dE0
80=8
о
о
Поскольку при растяжении круглого стержня в иевозмущениом
состоянии
123
а остальные компоненты тензора скоростей деформации равны
нулю, 6е0 = — 6ег — деф » то уравнения состояния (3.90) запи-
шутся в виде
6s, = — Гбег 4- ——-
r 3k L 2
(6ег + 6еф) ;
ч=-£-[4+
X (бе, + 6вф) ; <5т2, = -X- 6е„.	(3.91)
Подставляя в уравнения (3.131) соотношения (3.132),
(3.135) и используя равенство (3.133), получим уравнение
3/сг|)
1 д2
г2 дг2
(3.92)
Опишем возмущенную поверхность стержня уравнением
г ~ г0 — бл cos /i/.г,
п=1
(3.93)
где Го — радиус стержня в соответствующем невозмущенном
состоянии; бп~ малые величины; X — параметр, характеризую-
щий протяженность шейки.
Учитывая (3.93), найдем решение уравнения (3.92) в
виде
1 „
6сг = — V (г) cos плг.	(3.94)
r jSh
Как следует из уравнения (3.92), функции /?п(г) должны
удовлетворять уравнениям
- — Rn' + (4 + о - ЗЙЧ)1 Rn - — [4 +
г	Lt2	J г L f2
+ /1U2(1— 3^f| я; 4-0, п-1,2,3,. . . (3.95)
124
Следуя работе (23], представим эти уравнения в виде про-
изведения двух коммутативных дифференциальных операторов
/ d2	Id	л \ [ d2	Id.- 2 > n A 1 n О
(~7T--------1 h Hn ) ( “ГТ-------=	1, 2, 3, . . . >
\ dr2	r ar	nJ \ dr-	r dr J
(3.96)
где p-n, gn — комплексные сопряженные числа,
= -у- (/3(1 — Ат]) 4- i у 1 Ч- 3/етд).
Решением n-го уравнения ^п(г) будет сумма общих реше-
ний ffin(r) и %2п(г) системы уравнений
^?1п	4- prt Rin = Oj
г
Rzn $2п 4* Rifl ~ /I — 1, 2, 3, . , . ,
которые с помощью замены переменной приводятся к уравне-
ниям Бесселя.
Таким образом,
ftn (г) = Г [СЛ (|»„Г) + ад (й„г)],	(3.97)
где /1(цпг), /](рпг)—функция Бесселя первого рода; Сп, Сп —
комплексные сопряженные постоянные, определяемые из гра-
ничных условий, которые с точностью до малых порядка выше
первого запишутся в виде
а° 2 бпн% sin nXz — бтгг = 0; ба 4-	= 0.	(3.98)
«=1
Дополнительные компоненты девиатора напряжений опреде-
ляем из (3.88), (3.89), (3.91), (3.94):
6s г — —
3k
Rn cos лХг;
1
3k
cos nXz;
6sz = — -L j? & cos	(3-99)
n—I
(OO	OO	<x>	\
- -г БR- + i s - т Ssin
«=1	n=l	n=l	У
125
Для определения дополнительного гидростатического дав-
ления бег интегрируем второе уравнение равновесия по длине
стержня при г = г0;
ба = бсу*— (I 8sz 4-	6s3dz, (3.100)
J L dz \ dr r J J
о
где do* — дополнительное гидростатическое давление в точке
г —2 = 0.
Учитывая, что уравнения (3.98) должны удовлетворяться
при любом 2, и выражая их через (3.99), (3.100), получим
Rn-----4- n*№Rn 4- 36nnU3sg г = 0;
(3.101)
&'------ R„ 4- (Чг —	/?; 4- 2nU2 — /?я = 0,
Г	\ Г2	J	Г
п -= 1, 2, 3, . . .
Используя соотношения (3.97) и выражение
Rn Rn = (pn Rin 4* И» R$n) > и = 1, 2, 3, . . , ,
г
преобразуем систему уравнений (3.101). В результате получим
систему 2п уравнений для определения коэффициентов Сп и Сп\
^nain 4- Сп а1« “	(3.102)
4- п	П 1» 2, 3, . , , ,
где а1п и din, а2п и а2п— комплексно-сопряженные числа,
^ln = PZ (Н„ + 3n2№j) 4 (М — 2/г2%3Л (М;	= (р2 — n2Z2) X
X 4 (р«г); 1\п = 0, Ъ2п = 35яп3Х28° .
По правилу Крамера
Сп =------=	j 03)
а2Пй1П	а1па2П. а2Па1П
Подставляя (3.103) в (3.97), получим
п 3 s Un (sin Зф Зат| sin ф) — Vn (cos Зф 4- 3&r| cos ф)
' Г£д Оя----------------------------------------------------,
2	4- ^1П) cos ф— V^s-in 2ф-• Un (ЗЬ] соэ2ф)] sin ф
(3.104)
126
где <p = arctg]/ ±±^L
U„ = U0„Uln + Vo Jln;I V„ = UOnVln -
=S<- v- si”
m~0	m=D
co	oo
uln = J] (- D" 4^У”1), cos (to + 1) Ф; Vln = 5 (-1Г X
m=G
----(nV)------sin (2m + 1) ф, п ~ 1, 2, 3, . . .
4отт! (/п-|-1)1 v	т
Следуя работам [20, 23], запишем условие устойчивости де-
формирования в виде 6уг>0 при г = 0, г — г«.
С учетом (3.138), (3.148) получаем условие устойчивости
со
х	(sin Зф 4- 3&г| sin ф) —: ’Уп (cos Зф -|- З&р cos ф)
п [(t/fп 4- Vf,Д cos ф — Vn sin 2ф —	(3feTj 4- cos 2ф)1 sin ф
(3.105)
В выражении (3.149) не определены коэффициенты бп. Для
их определения необходимо знать уравнение возмущенной
границы.
В соответствии с результатами экспериментальных исследо-
ваний закритической деформации холодных металлов опишем-
контур шейки уравнением
г = г0 — бе ' ;
и разложим приведенную функцию в ряд Фурье в интервале-
[—л/%, л/%]:
где
г = г0 — б V би cos п%г,
(3.106)
л А	/ Xz 1
Л' % f	V
бп = — I е
л J ,
—л/Х
определяются численно,
бз =0,00827...
Условие устойчивости
cos/iXafe, п ~ 1, 2, . .
Например, д! = 0,43913, 62=0,00625,.
можно теперь записать в виде
п=1
j' Уп (sin ^ф + 3Zn] sin ф) — Vn (cos Зф 4~ cos ф) q
П [(^1л + ^fn) cos Ф — sin 2Ф ~ (ЗЬ] + cos 2Ф)] sin ф
(3.107)
127
Численное решение выполнено на ЭВМ М-222 с удержанием де-
сяти членов ряда (3.107). На рис. 53 приведена полученная за-
висимость 6v'r от Лг0 для фиксированных значений парамет-
ра kx\.
В работах [6, 23] параметр Л определялся, исходя из пред-
положения, что иа длине стержня укладывается целое число
полуволн.
Более близко к действительности предположение о том, что
поверхность стержня имеет множество различных возмущений
с 0<%<оо. Одиако в этом случае оказывается, что согласно
принятому критерию устойчивости деформирование стержня
всегда неустойчиво, поскольку для любых kx\ имеются такие
Аго, при которых Йу'г<0. Этот результат согласуется с наблю-
дениями. Эксперименты показывают, что при растяжении об-
разца в состоянии сверхпластичностн по существу в любой мо-
мент времени имеются одна или несколько шеек, которые раз-
виваются, исчезают, появляются в новом месте. В литературе
это явление получило название «бегущей шейки». Поскольку,
Рис._53. Связь между параметрами Svr и 2.r.j
при различных значениях /гг|
128
несмотря иа указанное оостоятельство, в состоянии сверхпла-
стичиости достигают весьма значительных удлинений без раз-
рушения, представляется целесообразным изменить критерий
устойчивости. Испытания ряда металлов в холодном состоянии
показали, что в процессе локализации деформации параметр
Vo возрастает (15]. В связи с этим примем, что при 6и'г>0
Vo уменьшается, а при 6у'г<0 Vo возрастает, и будем считать
деформирование устойчивым, если прн неограниченном возра-
стании времени t для любого начального (т. е. при Z=0) зна-
чения Vo dv'r->0. Согласно этому критерию растяжение стерж-
ня устойчиво прн 0<йт]<0,15; 0,66<kx\<0,82. Действительно,
если в этих случаях (см. рис. 53, а, г, д) начальное Ага меньше
Vo прн ба'г=О, то возмущение границы усиливается, и наобо-
рот. При этом соответственно Vo возрастает и убывает, стре-
мясь к значению Vo при 6и'г=0, при достижении которого ско-
рость 6v'r оказывается равной нулю и развитие шейки прекра-
щается.
Для всех прочих k\\ существуют такие начальные Vo, при
которых происходит неограниченная локализация деформации.
Заметим еще,, что в полном соответствии с наблюдениями, опи-
санными в работе (47], в случае неустойчивого деформирования
могут наблюдаться как шейки, развитие которых может прекра-
титься (например, при &т] = 0,3 иа рис. 53,6 это возмущение с
Vo<3,8), так и шейки, развивающиеся вплоть до разрушения
(при £т) = 0,3 это возмущение с Vfl>3,8).
Полученный результат согласуется с экспериментальными
данными. Обычно функцию оо(ео)
(То-ае^. Если параметры матери-
ала а, т не зависят от скорости
деформации, то v[k=m. В работе
[22] указано, что если преоблада-
ет скоростное упрочнение, то ус-
тойчивая деформация сплава
ВТ6 наблюдается при т = 0,7—-
-т-0,8. В работе .[32] приведен бо-
лее широкий интервал устойчиво-
го деформирования 0,35
«^0,8, что можно объяснить зави-
симостью т от ео- На рис. 54 по-
казана приведенная в этой рабо-
те зависимость т от &о, по ней
нами получены функции (ео)
и Аз] (е0), при построении которых
не приняты во внимание участки
аппроксимируют уравнением
Рис. 54. Зависимость напряже-
ния, показателя упрочнения т
и параметра /ег| от скорости
деформации
5 Зак. 472
129
кривых, соответствующие krpCO. Как видим, полученные кц
достаточно близки к значениям из интервала устойчивости
[0,66; 0,82].
Области устойчивости 0<&q<0,15 могут соответствовать
процессы деформирования с очень малыми скоростями (если
при Ео~О Оо=?^0) или высокоскоростные процессы, при которых
согласно работе [47]	Этой же области может соот-
ветствовать устойчивость деформирования при ползучести ма-
териалов, у которых оо = оо(е0).
Полученное решение позволяет оценить критическую дефор-
мацию, если задана функция е°(/). По этой функции и харак-
теристике материала оо(ео) находим зависимость и опре-
деляем момент времени /Кр, при котором параметр Ъ] выходит
за пределы указанных областей устойчивости. Критическая де-
^кр .
формация екр= J е0°(/)<2Л Если коэффициенты аппроксимации
Оо=ае^ не зависят от скорости деформации, то независимо от
этой скорости деформирование либо устойчиво (если т изме-
няется в указанных выше для k\\ пределах), либо неустойчиво.
Критическая деформация в этом случае равна соответственно
либо бесконечности, либо нулю. В первом случае деформация
ограничивается пластичностью материала.
Условия (температура, скорость деформации), при которых
наблюдается сверхпластичность, по существу являются условия-
ми наиболее устойчивого осевого растяжения, поскольку о
пластичности судят по относительному удлинению при испыта-
ниях на растяжение. В общем случае нельзя считать эти усло-
вия оптимальными для различных операций листовой штампов-
ки, так как в этих процессах условия устойчивости могут ока-
заться иными.
Глава IV
Деформируемость металлов
при их обработке
§ 19. Общие замечания
Возможности пластического формоизменения металлов ог-
раничены. Очень часто необходимые для реализации техноло-
гического процесса деформации превышают пластичность мате-
риала—степень деформации, при которой образуется трещина,
видимая невооруженным глазом и являющаяся браковочным
признаком. Расчетная оценка деформируемости, т. е. способно-
сти заготовки выдерживать ту или иную технологическую опе-
рацию, ие разрушаясь, на стадии проектирования технологиче-
ского процесса способствует его интенсификации и значитель-
ной экономии, связанной с уменьшением объема эксперимен-
тальных исследований.
Задачу оценки деформируемости следует отнести к классу
задач теории разрушения, В настоящее время общепринят сле-
дующий механизм разрушения. Нагружение тела сопровож-
дается перемещением, образованием и исчезновением дислока-
ций. Объединение некоторого числа дислокаций может приве-
сти к зарождению микротрещины. Объединение микротрещии
приводит к появлению макротрещииы (магистральной трещи-
ны), в результате развития которой тело разрушается. При
оценке деформируемости необходимо определение деформаций,
при Которых образуется магистральная трещина, в зависимости
от свойств материала, напряженного состояния, истории де-
формирования, температурио-скоростиых условий. Очевидно, что
такое определение иа «дислокационном» уровне сейчас невоз-
можно. Известно, например, что при сжимающих напряжениях
вследствие снижения потенциальных барьеров подвижность дис-
локаций повышается, облегчается их объединение, но вместе с
тем облегчается и распад этих объединений. При этом (по
сравнению с растяжением) изменяется и число дислокаций, ко-
торые, объединившись, могут привести к образованию микро-
трещины (оно, вероятно, возрастает), может измениться и ха-
рактер этой трещины (например, вместо трещины отрыва об-
разуется скалывающая трещина). Отсюда, как видим, даже не
следует однозначный вывод о повышении пластичности при
сжатии по сравнению с растяжением.
В механике разрушения ограничиваются рассмотрением раз-
5*	131
вития трения в идеально упругом или упругопластическом мате-
риале, когда основной объем материала находится в упругом
состоянии и лишь вблизи вершины трещины материал деформи-
руется пластически.
Приведем некоторые результаты экспериментального иссле-
дования условий зарождения макротрещнны в пластичном мате-
риале и напряженно-деформированного состояния в привершин-
ной области развивающейся трещины*.
Исследована предельная деформация на контуре централь-
ного кругового отверстия в растягиваемых пластинах шириной
55 мм и толщиной 2 мм нз стали Ст.З, латуни ЛС59-1 и алю-
миния. Поверхность пластин полировали. Затем на нее алмаз-
ной иглой с помощью инструментального микроскопа наносили
поперечные риски с шагом 0,1 мм. Глубина рисок составляла
не более 0,005 мм, а ширина — не более 0,01 мм. Пластины
растягивали ступенчато возрастающей нагрузкой. На каждой
ступени деформирования после разгрузки на инструментальном
микроскопе измеряли расстояние между рисками и определяли
продольную деформацию еу в различных точках опасного сече-
ния.
На рис. 55 представлена полученная зависимость предель-
ной деформации ещ. от относительного градиента деформации
д = —- —-------, приближенно равного в рассматриваемом
(^)тах
случае относительному градиенту накопленной деформации.
Различные значения градиента q получали, изменяя диаметры
отверстий. Прерывистой линией приведены результаты испыта-
ния полос без отверстий. Как видим, с возрастанием градиента
деформации предельная деформация возрастает. Однако при
^<0,25 1/мм возрастание предельной деформации под влия-
нием градиента ие.превышает 10%..
Исследования напряженного состояния в привершинной об-
ласти развивающейся трещины выполнены измерением микро-
твердости. В § 12 приведены экспериментальные данные, под-
тверждающие существование единой для различных напряжен-
ных состояний связи между твердостью н интенсивностью
напряжений при пластическом деформировании. Пусть, напри-
мер, материал имеет две структурные составляющие с мнкро-
твердостью Н2. Предположим, что макротвердость Н сле-
дующим образом связана с мнкротвердостью структурных со-
ставляющих:
Н =	4- а2Н2 4- с,	(4.1)
где аь а2, с — постоянные, не зависящие от ё0. На рнс. 56 при-
ведены данные, свидетельствующие о том, что принятая линей
* Исследования выполнены совместно с Б. Д. Чебаевским и А. С. Соля-
ником.
132
Рис. 55. Зависимость предельной дефор-
мации от градиента деформации:
О — СтЗ; X — алюминий; Д — ЛС59-1
Рис. 56. Результаты экспе-
риментальной проверки ли-
нейной модели макротвео-
дости:
X-— расчет по формуле (4.1 >
ная модель согласуется с экспериментом. У сжатых до разной
деформации образцов нз стали Ст.З измеряли мнкротвердость
зерен перлита Н% и феррита под нагрузкой 0,1 Н и 0,5 Н со-
ответственно. Твердость по Виккерсу измеряли под нагрузкой
300 Н. Крестиками показаны результаты расчета макротвердо-
стн по уравнению (4.1) при ai = l,0656, ct2 =—0,065883, с=5,8.
Если справедливо соотношение (4.1), то нз существования
единой для различных напряженных состояний связи между
макротвердостью и интенсивностью напряжений в пластической
области следует существование единой связи между мнкро-
твердостыо отдельной структурной составляющей и о0. Разу-
меется, прн определении интенсивности напряжений измерением
мнкротвердости возникают некоторые затруднения, связанные
с анизотропией механических свойств зерен. Однако, как пока-
зал подробный статистический анализ, выполненный Б. П. Че-
баевским и А. С. Соляником, достаточно сравнительно неболь-
шого числа измерений микротвердостн структурной составляю-
щей для стабилизации арифметического среднего этих изме-
рений.
В области центра тяжести прямоугольной пластины разме-
ром 2,85x60, 1X150 мм из стали 10Г2С1 электроискровым спо-
собом наносили трещину — щель, ширина которой не превы-
шала 0, 1мм. Щель располагали таким образом, что при после-
дующем растяжении пластины плоскость щели была перпенди-
кулярна направлению растягивающего усилия. Пластину нагру-
жали усилием, прн котором почти по всему опасному сечению
материал переходил в пластическое состояние. Затем из нее
вырезали участок с щелью, его поверхность шлифовали и поли-
ровали вначале механически, затем электролитически до пол-
133
иого снятия слоя, упрочненного предшествовавшей обработкой.
О снятии этого слоя судили, сравнивая результаты замера
твердости по Виккерсу и микротвердости при нагрузке 0,1 Н.
Приборы были оттарнрованы таким образом, что их показания
на эталонах совпадали. Поэтому совпадение показаний прибо-
ров при измерении твердости исследуемого образца свидетель-
ствовало о снятии наклепанного слоя.
На рис. 57 показаны изолинии ннтеиснвностн напряжении
в привершинной области трещины при испытании пластин из
малоуглеродистой стали Ст.З и легированной стали 10Г2С1.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что если
трещина развивается после достижения значительных пласти-
ческих деформаций, то изол инн н интенсивности напряжений
геометрически подобны принятой в теории трещин форме гра-
ницы пластической области вблизи трещины прн упругопласти-
ческом разрушении.
В рассмотренных случаях напряженное состояние в окрест-
ности вершины трещины было близко к плоскому. Плоское де-
формированное состояние исследовали испытанием на изгиб
прямоугольного бруса размером 82x82X900 мм из стали
1Х2М1, в средней части которого наносили исходящий от на-
ружной поверхности острый надрез. На пульсаторе прн нагруз-
ках, вызывающих чисто упругие деформации, надрез развивали
до усталостной трещины. Затем брус нагружали статически до
страгивания трещины. Вероятно, в среднем по толщине бруса
134
сечении деформация в окрестности вершины трещины близка к
плоской.
На рис. 58 приведены изолинии микротвердостн на поверх-
ности бруса и на разном удалении г от этой поверхности. В со-
ответствии с теорией разрушения по мере удаления от поверх-
ности размеры пластической области и величина деформации
в окрестности вершины трещины уменьшаются.
При больших пластических деформациях и сжимающих на-
пряжениях наряду с зарождением н развитием дефектов про-
исходит их «залечивание». Экспериментальные данные о «зале-
чивании» дефектов прн различных напряженных состояниях и
историях деформирования чрезвычайно ограниченны.
Как видим, задача оценки деформируемости металлов при
их обработке обладает целым рядом особенностей, и иет осно-
ваний для оптимистичных прогнозов относительно развития ме-
тодов ее решения аппаратом механики разрушения.
Вероятно, как и в развитии расчетов на прочность, интен-
сивному проникновению в эту область методов теории разруше-
ния будет предшествовать достаточно длительный период пре-
обладания инженерных методов, основанных на критериях
деформируемости, роль которых аналогична роли критериев
прочности в прочностных расчетах. Ясно, что от этих методов
нельзя ожидать высокой точности. Полученные на их основе
расчетные зависимости могут быть использованы лишь для
весьма приближенных оценок деформируемости, точность и на-
Рис. 58. Изолинии микротвердостн Н-,о у вершины трещины при удалении
от поверхности:
a — z=0,4 мм; 6 — 2=4 мм; в — z==8 мм; г — z=40 мм
135
дежность которых можно со временем повысить, согласовывая
их с экспериментом, с практикой, вводя соответствующие коэф-
фициенты запаса и т. д.
§ 20. Диаграмма пластичности
Под пластичностью в дальнейшем понимается накопленная
к моменту разрушения пластическая деформация (или пара-
метр Удквиста). Зависимость пластичности от вида напряжен-
ного состояния характеризуется диаграммой пластичности, яв-
ляющейся механической характеристикой материала. Диаграм-
му пластичности обычно строят в координатах коэффициент
жесткости (нлн вида) напряженного состояния р— пластич-
ность епр. Предполагается, что диаграмма пластичности, по-
строенная в указанных координатах, является единой для раз-
личных напряженных состояний.
Предложены различные выражения коэффициента жесткости
напряженного состояния через напряжения. Так, по Я. Б. Фрид-
ману,
<1 =-----,	(4.2)
--- 2|л (ст3 - ст3)
где ц — коэффициент Пуассона, о^оз^оз!
по С. И. Губкину,
_£+&.+ «!»	(4.3)
или
1) = 1 —	~ gtnin.	(4.4)
2 I 4max 1
М. А. Зайков предложил следующее выражение:
(4.5)
Последние два выражения имеют очевидный недостаток. Из
формулы (4.4) следует, что пластичность материала одинакова
при всех напряженных состояниях, прн которых Omin=0, напри-
мер при двухосном растяжении с различным соотношением на-
пряжений, что, разумеется, не согласуется с экспериментом.
Аналогично из соотношения (4.5) следует, что при двухосном
сжатии пластичность не завнснт от соотношения напряжений.
Наиболее часто в современной литературе используется
выражение коэффициента жесткости напряженного состояния,
предложенное В. А. Бабичковым. Прн этом различные авторы
[27, 34] используют это выражение с разными значениями по-
стоянного множителя, что, конечно, не имеет принципиального
значения. Следуя В. А. Бабнчкову, будем в дальнейшем счи-
тать, что
136
(4.6)
(4.7)
За
Г|= ---.
Заметим попутно, что полученные к настоящему времени
экспериментальные данные, относящиеся главным образом к
области двухосного напряженного состояния, не позволяют счи-
тать такой выбор выражения т] обоснованным. С равным осно-
ванием можно, например, принять, что
3 а
lmax
Для более обоснованного выбора выражения т] через напря-
жения (если только существует коэффициент жесткости напря-
женного состояния, который позволил бы получить единую
для различных напряженных состояний диаграмму пластично-
сти) необходимы результаты испытаний материалов при объем-
ном напряженном состоянии.
А. А. Лабутнн (34] строил диаграммы пластичности по ре-
зультатам испытания материала на растяжение, сжатие, изгиб
и кручение. Были испытаны образцы нз двенадцати сталей. По-
лученные диаграммы аппроксимированы зависимостью
Z„p = 2epe-^,	(4.8)
где ер — пластичность при растяжении.
В работах В. Л. Колмогорова и его сотрудников, помимо
указанных испытаний, производились растяжение образца с вы-
точкой, растяжение н сжатие с наложением гидростатического
давления, выдавливание образцов жидкостью высокого дав-
ления.
Диаграммы пластичности можно строить путем испытания
сплошных цилиндрических образцов на растяжение (сжатие) с
кручением. Рассмотрим деформацию иа поверхности такого
образца.
Из условия несжимаемости следует, что
1п—— = —21п —,	(4.9)
U	Г0
где 10, г0 — расчетная длина и радиус образца до деформиро-
вания; I, г — те же размеры в рассматриваемый момент де-
формирования. На рис. 59 показана деформация квадрата на
поверхности растягиваемого и закручи-
ваемого стержня (ось х совмещена с ок-
ружным, ось у — с осевым направлени-
ем).
Рис. 59. Схема деформации на поверхности
круглого стержня при совместном растяжении и
кручении
137
Пусть до деформирования длина стороны квадрата равнялась
единице. Тогда в деформированном состоянии
ли - е 2 , уА = 0, хв = е'у, ys = ее,
где 8 = In 1/1а, у = tg а. Следовательно,
] л
dxA —------- е 2 de, dyA = 0, dxs — esyde + eFdy, dyB= tf-de.
По формулам (2.47) получаем, что
dex = —de, dey — de, dexy = -y- fdy yde\. (4.10)
С учетом несжимаемости материала можно записать
Согласно (2.87) на поверхности образца
Л = ^±°0 = (dej. + d6y) + 1=1 (ех + е).
Сто	de0	ea
Поскольку ех + еу = - er = In хАуъ =	, то с учетом (4-Ю) полу-
чаем
1 —Р 8
ёо
1	4- Р de
п = ———	,
'	2 Де0 2
(4-13)
Решением уравнений (4.11), (4.13) можно рассчитать про-
грамму деформирования образца у(е) для реализации требуе-
мой истории деформирования ёо(т]).
Прн построении диаграммы пластичности реализуется про-
стое нагружение т) = const. Из (4.13) следует, что достаточным
138
условием для этого является _6 =	= const. В этом слу-
йе0 еа
чае в соответствии с (4.11) (4.13) программа деформирования
находится решением дифференциального уравнения
Учитывая, что прн е = 0 у = 0, получаем
2	[ 1	. и -4 у
7=тг)/ v~1,e ь
Поскольку
(4.14)
(4.15)
где (р — абсолютный угол закручивания
дианах,
на длине I в ра-
Ф =
(4-16)
Прн испытании стержня связь между <р и I должна соответст-
вовать уравнению (4.16).
На рнс. 60 приведены диаграммы пластичности ряда мате-
риалов, построенные по изложенной методике Л, К. Спиридо-
новым.
К недостаткам изложенной методики построения диаграммы
пластичности в первую очередь относятся использование урав-
нений состояния при расчете программы деформирования и оп-
ределении результатов испытания, а также неоднородность на
пряжеино-деформированного состояния.
Рис. 61. Сопоставление пре-
дельной деформации, опреде-
ленной по различным методи-
кам:
стичности:
/— дюралюминий Д16; 2— сталь
Р18;	3 —латунь ЛС59-1; 4 —
сталь ЗОХМА; 5— сталь 1ПХ[5
X — испытанием трубчатых образ-
цов; С’-по предлагаемой методи-
ке; Д — по методике В. И. Мак-
сака.
139
Наибольший градиент деформаций возникает прн чистом
кручении. Согласно данным, приведенным в § 19, при выпол-
нении условия
а =	---!---=	— = — С 0,25 1/мм,
dr foUx dr ъ '
т. e. прн радиусе образца, превышающем 4 мм, влияние гради-
ента на предельную деформацию несущественно.
На рис. 61 приведены результаты испытаний латуни ЛС59-1,
проведенных совместно с Л. К. Спиридоновым по трем различ-
ным методикам. В области т)>0 диаграмма пластичности по-
строена по результатам испытания тонкостенных трубчатых
образцов, нагружаемых осевой силой и внутренним давлением.
В области 1>т]>0 испытывали сплошные цилиндрические об-
разцы по изложенной выше методике, а также по методике,
предложенной В. И. Максаком. Согласно последней два цилинд-
рических образца разных диаметров нагружают осевой силой
Р н крутящим моментом М таким образом, чтобы отношение
Р/М у образцов было одинаковым. По результатам испытания
строят графики зависимости крутящего момента и осевого уси-
лия от сдвига на поверхности нли удлинения. Затем, вычитая
нз крутящего момента и осевого усилия, приложенных к об-
разцу большего диаметра, соответствующие нагрузки, действо-
вавшие на меньший образец в момент, когда деформации на
поверхности стержней одинаковы, определяют нагрузки М', Рг
иа условную трубку, дополняющую образец меньшего диаметра
до большего образца. Если различие в диаметрах образцов
незначительно, то напряжения в этой трубке можно определить
но Mf н Рг так же, как и прн испытании трубчатых образцов.
Как видим, результаты испытания сплошных образцов по
разным методикам оказались достаточно близкими.
Вернемся теперь к вопросу об аппроксимации диаграмм пла-
стичности. Практическая важность этого вопроса очевидна:
при достаточно обоснованной и надежной аппроксимации диаг-
рамм пластичности число испытаний материала для определе-
ния зависимости пластичности от вида напряженного состояния
может быть сведено к минимуму. Кроме того, эти испытания
могут оказаться весьма упрощенными. Так, если принять урав-
нение (4.8), то для построения диаграммы пластичности до-
статочно ’испытать материал иа растяжение. Одиако уравнение
(4.8) сравнительно плохо согласуется с экспериментальными
данными.
Значительно лучше описывает экспериментальные данные
аппроксимация, предложенная Г. Д. Козловым:
при т| > 0 епр « А + Вт] 4- Crf;	(4.17}
при т] < 0 епр = еке°*	(4.18)
140
или прн — 1,73 < т] <3,46 епр = ЛВт]Ст]2 4-(4.19)
где А, В, С, D, а — коэффициенты аппроксимации; ек—пла-
стичность при кручении. Однако использование этих уравнений
затруднено необходимостью испытания материала прн слож-
ном напряженном состоянии (простейшие испытания на растя-
жение, сжатие, кручение не позволяют определить все коэф-
фициенты этих уравнений).
Очевидны следующие недостатки рассмотренных аппрокси-
маций.
Во-первых, многие материалы способны претерпевать при
испытании на осевое сжатие сколь угодно большие деформации
без разрушения, что противоречит уравнению (4.8).
Во-вторых, при испытании многих материалов на растяже-
ние разрушению предшествует потеря устойчивости пластиче-
ского деформирования, выражающаяся в образовании шейки и
сопровождающаяся аномальным возрастанием пластичности.
При общей тенденции уменьшения пластичности с возрастанием
Т| очень часто оказывается, что пластичность, определяемая как
деформация в шейке разрушенного образца, выше пластичности
прн кручении. Поэтому нецелесообразно использовать пластич-
ность прн осевом растяжении в качестве параметра уравнения,
аппроксимирующего диаграмму пластичности.
Эта аномалия, вероятно, объясняется следующим. Как уже
указывалось, под пластичностью понимается накопленная де-
формация в момент появления макротрещины. Если разруше-
нию стержня, подвергаемого совместному распоряжению и кру-
чению, не предшествует потеря устойчивости деформирования,
то макротрещнна зарождается иа поверхности, и последующий
процесс разрушения не сопровождается заметным возрастанием
деформаций на поверхности, что позволяет определять пластич-
ность по деформациям на удалении от места разрушения. Если
же разрушению предшествует потеря устойчивости деформиро-
вания, то наиболее опасная область смещается к осн стержня.
Процесс развития зарождающейся в этой области трещины мо-
жет сопровождаться значительным возрастанием деформаций
на поверхности в месте разрушения, в силу этого определенная
по ннм пластичность оказывается завышенной. Определить пла-
стичность по деформациям на удалении от места разрушения
также нельзя, поскольку они характеризуют лишь критическую
деформацию. В связи с этим нами принимались во внимание
лишь результаты испытаний стержней, у которых не
далась шейка. Это позволяло не учитывать изменение
женного состояния в процессе разрушения.
Приведенные иа рнс. 60 диаграммы пластичности
летворнтельной точностью описываются уравнением
«С + Я (ес — еек)
наблю-
напря-
с удов-
(4.20)
141
где — пластичность при сжатии со смазкой. Это уравнение
применимо лишь прн ес>еек. Указанному условию не удовлет-
воряет диаграмма пластичности латуни ЛС59-1 (см. рис. 60).
При бс-^оо уравнение (4.20) преобразуется к виду
епр = -^-е-п	(4.21)
1 +т]
Экспериментальные данные, на основе которых получено
уравнение (4.20), принадлежат интервалу—1 л +1, поэто-
му маловероятно, чтобы это уравнение с удовлетворительной
точностью описывало пластичность за пределами указанной об-
ласти, скажем, при двухосном растяжении.
§ 21. Критерии деформируемости
Методы оценки деформируемости получили свое развитие
главным образом в работах Л. Д. Соколова, Г. А. Смирнова-
Аляева, В. Л. Колмогорова. Наиболее простой метод заклю-
чается в следующем. Предполагается, что деформирование про-
исходят без разрушения, если накопленная деформация удов-
летворяет неравенству
< ^пр (л)>	(4-22)
где £пр — пластичность, зависящая от вида напряженного со-
стояния, температуры, скорости деформации. Обычно предпо-
лагается, что она не зависит от градиента напряжений и де-
формаций и истории деформирования.
Укажем на близость условия (4.22) к критерию прочности
Шлехтера — Надаи. Согласно этому критерию интенсивность
напряжений при разрушении есть определенная для данного
материала функция гидростатического давления
= /(<*)•	(4-23)
Если исходить из гипотезы о единой кривой течения в коорди-
натах ст0 — ёо, то из условия (4.23) следует, что накопленная
деформация к моменту разрушения это некоторая определенная
для данного материала, но единая для различных напряженных
состояний н историй деформирования функция коэффициента
жесткости напряженного состояния т], что н соответствует усло-
вию (4.22),
Оценка деформируемости по критерию (4.22) производится
следующим образом.
Пусть известно напряженно-деформированное состояние прн
некоторой технологической операции. Вычислим в различных
точках заготовки ёо (часто ее можно считать равной интенсив-
ности логарифмических деформаций е0) н т| и представим полу-
ченные результаты в виде некоторой совокупности точек на
плоскости ёо—л- Эта совокупность (рис. 62) образует область,
142
верхнюю границу которой (кривая 1) назовем необходимой
пластичностью е'о. Необходимая пластичность является функ-
цией технологических параметров и свойств материала. Если
она располагается под диаграммой пластичности (кривая 2),
то материал способен выдержать данную технологическую опе-
рацию без разрушения. В противном случае необходимо либо
повысить пластичность материала (например, нагревом), либо
изменить необходимую пластичность. Последнее достигается,
например, наложением дополнительного гидростатического дав-
ления.
В связи с тем, что гидростатическое давление сравнительно
слабо влияет на кинематику процессов деформирования, мож-
но легко определить необходимую пластичность при дополни-
тельном гидростатическом давлении ст'. Если прн наложении
отрицательного о' поле интенсивности деформации не изменяет-
ся, то все точки кривой / смещаются по горизонтали влево.
Если исходить из гипотезы о единой кривой течения, то можно
считать неизмсняющимся и поле интенсивности напряжений.
Коэффициент жесткости напряженного состояния прн дополни-
,	, . За'
тельном давлении определяется равенством “	~	—
ц — коэффициент жесткости напряженного
т/ = Л +;
состояния
---, где
Сто
до нало-
жения дополнительного давления.
Для того чтобы рассчитать смещение некоторой точки А
кривой / (рис. 64) при наложении давления а', необходимо по
ее ординате с0 нз кривой течения найти сто- Сместив точки кри-
вой 1 влево на величину Зст'/сто, получаем необходимую пластич-
ность при дополнительном давлении o' (кривая 7).
В. Л. Колмогоров [27] предложил следующий критерий де-
формируемости без разрушения:
t
ф - [£(/ —T)B(T)-^-dT< 1,
J	еПр (т)
(4.24)
где ф—величина, характеризующая использование ресурса
пластичности; т, / — время или некоторый заменяющий его па-
раметр; E(t— т) — коэффициент, учитывающий самозалечива-
ние дефектов прн высоких температурах и монотонно убываю-
щий от 1 до 0 с увеличением аргумента; В — коэффициент, учи-
тывающий историю деформирования.
Использование этого критерия затруднено тем, что в литера-
туре не приводятся данные о коэффициентах Е и В при различ-
ных процессах пластического деформирования. Поэтому эти
коэффициенты обычно принимают равными единице. Тогда
критерий (4.24) можно переписать в виде
ео
С
g епр (во)
(4-25)
143:
Рис. 62. К оценке деформируе-
мости по критерию (4. 22)
Рис. 63. к оценке дефор-
мируемости по критерию
(4.25)
Отметим аналогию между приведенным условием деформируе-
мости и линейным законом суммирования повреждений [44] в
условиях ползучести и при циклических нагружениях.
Если в процессе деформирования = const, то условие
(4.25) сводится к условию (4.22). В более общем случае по за-
данной функции ё0(л) и диаграмме пластичности можно уста-
новить зависимость епр(ёо), и, выполнив интегрирование в
(4.25), произвести оценку деформируемости.
На рис. 63 кривая 1 — диаграмма пластичности, а кривая
2— изменение накопленной интенсивности деформации ёо в за-
висимости от т) у некоторой частицы обрабатываемого металла.
Пусть для реализации процесса накопленная интенсивность де-
формации должна достигнуть величины ё'о. Определяя для
различных значений ?]ёо н епр, строим график измене-
ния 1/£цр в зависимости от ёо. Если площадь, заключен-
ная под этим графиком и а участке О^ёо^ё'о, меньше единицы,
условие (4.25) выполнено.
Для проверки н обоснования критериев деформируемости
необходимы экспериментальные данные о зависимости пластич-
ности металлов от историй деформирования. Разделим их ус-
ловно иа две группы — иа монотонное н немонотонное деформи-
рование. Немонотонным будем называть пластическое деформи-
рование, прерываемое промежуточными разгрузками с измене-
нием направления деформирования. Во всех прочих случаях
будем называть деформирование монотонным. Изложенная в
§ 20 методика испытания сплошных цилиндрических образцов
позволяет исследовать зависимость пластичности от истории де-
формирования при монотонном пластическом деформировании.
Пусть история деформирования задана уравнением
_	П = Л(е0).	(4.26)
Поскольку dea=deQ, решением уравнения (4.13) получаем со-
ответствующую зависимость между е и ёо:
144
1.	_
в =-------Ц-z- f ffae^de.,	(4.27)
J
(1 + ₽)ео1+э 0
Здесь учтено, что при ёо=О е = 0. Разрешив это уравнение от-
носительно ёо, получаем
ё0 = Ф (в).	(4.28)
Далее, из (4.11) следует уравнение
Поскольку при е = 0 у = 0, записываем решение этого уравнения
в виде
v = -|/3-e~7ej"	1 J'desFfy (4.29)
Теперь легко получить зависимость между рабочей длиной
образца I и соответствующим ей углом закручивания <р, при ко-
торой реализуется история деформирования (4,26):
Пусть, например, уравнение (4.26) задано в виде
т) = / (*о) = Сео-
Тогда из (4.27) получаем
2С -А+1
е =-------------.
2 + MI+P)
Следовательно,
;o = 0(e) = j'2+±a+£_e]ir.
Из уравнения (4.29) при этом следует, что
з е /~	3
у = Гз е- Т ‘ (•	/ Г. 2 + Н1+М р____________1_______, еТв
J I/ I 2С ~. J	2fe
° г	(fe + i)»e*+*
В частности, при k = 1
у = /3 е“Т ° С	_ 1 eT'de.
J |< оСв
О
На рис. 64, 65 приведены результаты испытания образцов
из сталей Р12, Р18 в отожженном состоянии [13]. Как видим, ес-
6 Зак. 472
Рис, 64, Зависимость пла-
стичности стали PL8 от ис-
тории деформирования:
1 — диаграмма пластичности;
2 — расчет по критерию (4.25)
Рис. 65. Зависимость пла-
стичности стали РГ2 от ис-
тории деформирования
лн в процессе деформирования -
исходит прн деформации
> 0, то разрушение про-
f^np — определяемая по диаг-
рамме пластичности предельная деформация, соответствующая
значению р в момент разрушения при-сложном нагружении).
Если же в процессе деформирования
^0
Г]
< о,
то при разру-
шении
На рис. 64 сопоставлена деформация к моменту разруше-
ния прн деформировании по программе г| = Се0, определенная
по критерию (4.22) (ей соответствует диаграмма пластичности
/) и по критерию (4,25) (кривая 2), с фактической. Приведен-
ные результаты показывают, что рассмотренные критерии де-
формируемости предсказывают деформацию к моменту разруше-
ния примерно с одинаковой точностью. По критерию (4,22) эта
деформация оказывается заниженной, а по критерию (4.25) за-
вышенной. Тем не менее в связи с естественным разбросом ре-
зультатов испытаний при построении диаграммы пластичности,
нестабильностью свойств материала, недостаточной точностью
информации о истории деформирования и т. д, в большинстве
случаев точность этих критериев вполне достаточна. Однако при
проектировании процессов обработки металлов с достаточно'
стабильными свойствами желательно исходить нз более точно-
го критерия деформируемости. Есть некоторое основание счи-
тать, что таковым является критерий, опубликованный в работе
[13] и полученный, исходя из следующих соображений.
Следуя работе [21], введем понятие трещиноватости — поло-
жительной, возрастающей со временем функции Ф. _Функция
трещиноватости в данный момент времени зависит от всей пред-
шествующей истории деформирования. Запишем ее в виде
146
"пр _
b
где е'пр — накопленная интенсивность деформации к моменту раз-
рушения.
Результаты изложенных экспериментов позволяют предпо-
ложить, что функция трещиноватости может быть представлена
в виде
Ф= f ClrsLrfc = 1,	(4.30)
.1 еп
о пр
где п = п ( —d— .
X de^ J
В случае, когда tj = const, соотношение (4.30) преобретает вид
епр __
J F(e0)de0 = eSp.
Отсюда следует, что
F (ё0) == псо“1.
Следовательно, критерий деформируемости прн заданной зави-
симости ёр(л) можно записать следующим образом:
= I п fa) -A----de0 < 1.
0	Ы
Для выявления вида функции и — ft \ обработаны
\ de0 )
данные экспериментов (рнс, 65), в которых реализовали слож-
ное нагружение по программам т) = Сёо, где С = 	— const.
^0
В этом случае
( Л
О ₽ПР
параметра т] к
значениями п,
Pi-1 , Сп
dr) - - —
п
(4.31)
где rf — значение
тлись различными
левой и правой части уравнения
для данной программы деформирования соответствует точка пе-
ресечения указанных графиков. Полученная функция п =
~п f - линеаризована (рнс. 66):
п=1
моменту разрушения, Задав-
стронлн график зависимости
(4.31) от п. Фактическому п
6*	147
Рис. 66. Эксперименталь-
ное определение пара-
метра а:
О — сталь Р18; х — латунь
ЛС&9-1
Окончательно критерий
eo
*= f
o'
деформируемости записывается в виде
а --г-
2 <к0
g0Q
{gnp (go)} de°
de0
(4.32)
dig \
Константа а оказалась равной 0,2. Для того чтобы выяснить,
зависит лн эта константа от материала, были аналогичным об-
разом обработаны результаты испытаний образцов из латуни
ЛС59-1. На рис. 66 показаны точки, соответствующие этим ре-
предположить, что а слабо зависит
(4.32) при —~ const испытали
программе Л = 7,71^о- Коэффициент
зультатам. Они позволяют
от свойств материала.
Для проверки критерия
образец нз стали Р12 по
7,71 выбран так, чтобы соответствующая этой программе кри-
вая ёо = ёо(т1) пересекла диаграмму пластичности в точке, соот-
ветствующей линейному растяжению. Фактическая величина
еПр составила 0,4, расчетная — 0,395.
§ 22. Деформируемость при раздаче трубы
Рассмотрим, например, раздачу толстостенной трубы под
действием внутреннего н внешнего давления. Трубу с началь-
ными внутренним н наружным радиусами а0, Ьа необходимо раз-
дать до внутреннего радиуса а. Требуется определить внешнее
давление, прн котором труба в процессе раздачи не разрушит-
ся. Деформацию будем считать плоской н устойчивой.
Начнем с рассмотрения деформированного состояния.
В силу осевой симметрии окружная, радиальная и осевая де-
формация являются главными. Окружная логарифмическая де-
формация
еф = In —,	(4.33)
'о
где Го, г — соответственно радиус до рассматриваемого момента
деформирования и в этот.момент.
148
Радиальная деформация
е, = 1п-£--	(4-34)
аг9
Поскольку деформация плоская, осевая деформация ez — О»
Из уравнений (4.33), (4.34) получаем, что
de
r-£- = 1 —	(4.35)
Из условия несжимаемости ег = —е<$. В связи с этим переписы-
ваем уравнение (4.35)
г^+е2'”-1 =0.
dr
Полученное уравнение подстановкой t ;= е~2е<р приводится к
линейному. Его общее решение запишется в виде
1 1 /. , С\
—---(1 4" ~г ) •
2	\ г2 /
Постоянную интегрирования С определяем, исходя из условия»
что
при г :-а е<$= е’ — 1п ~.
йо
В результате получаем
«ф =---Г1п[1 + (е’2<ф- !)-£]•
Интенсивность приращений деформаций
deQ = - _ detp.
у з
Интегрируя, получаем накопленную интенсивность деформаций
ей ~ f ^0 = уг— &ч>
(так как главные оси тензора деформации зафиксированы,
ttecp =
Интенсивность логарифмических деформаций
2
ео-—а,.
Следовательно, в рассматриваемом случае
;„=«„=—> infi + (е-ч_ 1)4].	(4.36)
у 3 L х	7 г» J
149
Коэффициент жесткости напряженного состояния определя-
ем из дифференциального уравнения равновесия
——7—ф- = °-	(4.37)
dr	2	'	!
Окружное напряжение
Оф = а + -£а	’ =_Л. п + у3)	(4,38)
3 d^ 3
н аналогично
^=-^-(4-/3),	(4.39)
Подставив соотношения (4.38), (4.39) в уравнение (4.37),
получаем
г 4х + — ~^г~ 0) - /3 ) - 2УТ = 0.
dr сг0 аг
Общее решение этого уравнения записывается в виде
т] = /з + f^i-dr + —.	(4.40)
а
Пусть внешнее давление р = аона, где Оон—интенсивность
напряжений на наружной поверхности трубы. Тогда при
г = b т] = т]н ~]^3 — За'
По этому условию можно определить постоянную интегрирова-
ния L. Наружный радиус трубы находим нз условия несжимае-
мости
b ~ й2 — с&-\- Ьо .
Задаваясь различными значениями r(a^Zr^Z-b), по соотно-
шению (4.36) находим распределение ёо вдоль радиуса. По кри-
вой течения находим соответствующее распределение оь. При-
няв, что р = 0, из уравнения (4.40) находим L, а затем по это-
му же уравнению определяем т] в различных точках. Из диаг-
раммы пластичности материала трубы по величине р определя-
ем соответствующие различным точкам значения спр. Если в
каждой точке выполняется условие (4.22), то можно произво-
дить раздачу трубы прн р = 0. В противном случае задаемся
р>0, н повторяем расчет до тех пор, пока условие (4.22) не
окажется выполненным.
Полученное решение позволяет также произвести оценку
деформируемости по критериям (4.25), (4.32). Для этого не-
обходимо для различных значений окружной деформации на
внутренней поверхности ефв (0 < еФв < е^) получить связь меж-
150
ду начальными и текущими значениями радиусов
г0 = г|/ 1+(е~*ф"—1)-^ ,	(4.41>
где Cj = и(>ее’р1’. Далее для различных частиц (им соответст-
вуют различные г0) по формуле (4.41) определяем функции
г(ё(рв), по соотношению (4.36) для данной , частицы находим
функцию ёо(е<рн) (при этом полагаем, что е^ = е<рВ, я =^1), а по
уравнению (4.40)—зависимость гДсгрв). По диаграмме пластич-
ности определяем зависимость 1/Сцр от ёо и производим оценку
деформируемости по условию (4.25).
При использовании критерия (4.32) необходимо дополни-
тельно, располагая функциями eofe<pB) и тЦсфв), определять
производную drj/deo.
§ 23. Вероятность разрушения
обрабатываемого металла
Обобщая рассмотренные в § 21 критерии деформируемости,
запишем их в виде фС^1, где ф —параметр, характеризующий
использование ресурса пластичности и определяемый по диаг-
рамме пластичности епр(я), истории деформирования ёо(ц) и
необходимой пластичности ё'о посредством некоторого опера-
тора L:
Ф = ^1%(п); ео).	(4-42
Все параметры н функции, которые необходимо зиать для
оценки деформируемости, являются случайными. Случайность
диаграммы пластичности очевидна. Случайность истории дефор-
мирования и необходимой пластичности связана со случайно-
стью параметров технологических процессов (с неточностью
инструмента и заготовок, нестабильностью смазки и т. д.) и
случайностью свойств заготовки. Поэтому целесообразна стати-
стическая оценка деформируемости. Значения, принимаемые
случайными функциями епр(т1), ^«(п) и величинами ё'о, ф, бу-
дем соответственно обозначать в дальнейшем х(г|), у(т]), w, г.
Пусть известна плотность распределения параметра ф/(з).
Тогда вероятность разрушения обрабатываемого металла мож-
но, как это принято в теории надежности, определить соотноше-
нием
Р = J f (z) dz.	(4.43)
о
Таким образом, задача оценки вероятности разрушения метал-
ла прн его обработке сводится к следующей. Даны случайные
функции ёо(л), епр(л) н случайная величина ё'о со всеми стати-
стическими характеристиками. Требуется оценить плотность
151
распределения параметра ф, определенного уравнением (4.42).
Решение столь общей задачи сопряжено с большими математи-
ческими трудностями, поэтому ограничимся рассмотрением при-
ближенных методов оценки вероятности разрушения.
Пусть диаграмма пластичности случайна, а история дефор-
мирования и необходимая пластичность не случайны. Если
известна плотность распределения пластичности Л(х) при раз-
личных значениях то по условию P<= (fi(x)dx. можно опре-
о
делить деформацию Х{, соответствующую заданной вероятности
разрушения pi при различных значениях т].
Если закон распределения пластичности при фиксированном
т) близок к нормальному, то Рг = Ф*[~—~	где х^ О(Х) —
\ ст(*) /
арифметическое среднее и средиеквадратическое отклонение
пластичности при данном т]; Ф*— стандартная функция распре-
деления, таблицы этой функции приводятся в учебниках по те-
ории вероятностей.
Кривая хДт)) представляет собой диаграмму пластичности
при вероятности разрушения Р^ Таким образом, можно пост-
роить семейство диаграмм пластичности, соответствующих раз-
личной вероятности разрушения.
Для оценки вероятности разрушения металла при какой-ли-
бо технологической операции на основе критерия деформируе-
мости (4.22) теперь достаточно в плоскости ёо—л сопоставить
с указанными диаграммами точку с координатами е'о—гр
Если же оценка деформируемости производится по крите-
hi _
/ л гы- \	Г*	('Л)!	1	1
рию (4.25), то по условию 1 ------- - = 1,	где функция
J Му(П)]
о
хАУ(л)] определяется по диаграмме пластичности при вероятно-
сти разрушения рг, можно определить пластичность ёор соот-
ветствующую при заданной истории деформирования вероятно-
сти разрушения pi. Выполнив расчет при различных значениях
pi, можно построить график ёы(Рё), из которого по значению
необходимой пластичности ё'о можно определить вероятность
разрушения металла при рассматриваемой операции,
Аналогично оценивается вероятность разрушения по кри-
терию (3.32).
Рассмотрим теперь простое нагружение r] = const, при кото-
ром все рассмотренные критерии деформируемости сводятся к
условию (4.22). Будем считать, что т] — неслучайный параметр,
а пластичность апр и необходимая пластичность ё'о— случайные
величины' с плотностью распределения соответственно ft(x) и
152
Поскольку в рассматриваемом случае
= —
Глр
(4.44)
причем ё'о^О, c.jp^O. получаем следующую плотность распре-
деления ф:
00
/(г) = f xfx(x)f2(zx)dx.
6
(4.45)
В работах [4, 7] показано, что деформация разрушения вяз-
ких материалов при одинаковых условиях нагружения распре-
делена по закону, близкому к нормальному. Это же относится
и к необходимой пластичности. Следовательно, плотности ве-
роятности случайных величин ё'о н <?пр (при т] = const епр(т])—
случайная величина) соответственно могут быть представлены
в виде
/2л crU) I 2^
/2п сг(к) (	2с^ы) J
где O(U), а(х) и й, х — соответственно средиеквадратические от-
клонения и математические ожиданиия случайных величин ё'о
И ^пр.
Подставив эти соотношения в уравнение (4.45), получим
00
fit) = —!-(У exp /—dx.
.	on2	9rr2
W («) j V ZG(u)	zo(x) i
(4.46)
Здесь учтено, что u = zx. Интегрируя (4.46), получаем
t (?) = —jexp [— Ф (2)] -h /л ф (г) [1 + erf [ф (a)]]} T (?), (4.47)
2nff(Z)X2
где
f	(z~z)2|
Ф (2) = —---------—J T (2) = exp--------— ;
/2	I J
2 — —; (T(2)  ------—-------—;	erf <p = —— e J dt.
X	x	/л .J
В дальнейшем расчет сводится к определению численных
характеристик вир и ё'о и функции (4.47), вероятность разруше-
ния оценивается по соотношению (4.43).
153
В более общем случае, когда необходимо считаться со слу-
чайностью истории деформирования, необходимой пластичности,
диаграммы пластичности, можно оценить вероятность разруше-
ния приближенным численным методом*. Будем оценивать ве-
роятность разрушения на основе критерия деформируемости
(4.25). Для этого разобьем отрезок 0, ё'о (здесь ё'о —матема-
тическое ожидание необходимой пластичности) иа п интерва-
лов таким образом, чтобы с достаточной точностью можно было
записать
ф = V = V	>	(4.48)
йпр (Hi)
(=1	1=1
где (ёо)г_ 1, (ёо)г —соответственно накопленная интенсивность
деформаций в начале и в конце (-того интервала, причем
(ёо)о = О, (ё0)п= ео.
Примем далее, что в каждом интервале случайные функции
£пр(т)) и ^о(л) можно представить в виде
еПр (п) = («гП + A + (An + 1);	(4-49)
(n) = («£Т] +	+ Bi (d^ -h 1),	(4.50)
где Aif Bi — случайные коэффициенты, остальные коэффициен-
ты неслучайные. Коэффициенты nit ai} определяются при
линеаризации математических ожиданий функций епр(г)), ёо(т])
в t-том интервале. Если принять, что распределения ещ> и ёо при
фиксированном т] подчиняются нормальному закону, то можно
определить коэффициенты cit di по величине среднеквадратиче-
ских отклонений епр и ёо в начале и в конце интервала:
1 “	1 “ fplZ-l
где	— соответственно среднеквадратические отклоне-
ния епр и ёо при фиксированном тр Предполагается, что в пре-
делах каждого интервала зависимости ог(зс), от ц близки к
линейным.
Математические ожидания коэффициентов Лг- и Bi равны
нулю, а их среднеквадратическне отклонения можно определить
по соотношениям
_ а(х) г-i Пг — crfxjf'rK-i .	„	ст(у)(-	1
О(Д)1 -----------------,	~ ------------------•
ГЦ —тц-1	И»-1
Приращение параметра ф на (-том интервале деформирования
определяется теперь соотношением
* Разработав совместно с В. Г. Нахайчуком.
154
Дф, =
Qi
(4.51)
где
Xi = Oh ~ Ф-i) + 2Bf (Лы + 1);
Qi = ni*u + mi + Ai 4- I)-
Из соотношений (4.49), (4.50), (4.52) следует, что случайные
величины Qi и Ri распределены по нормальному закону, стати-
стические характеристики этих величин определяются соотно-
шениями
Т?£ =	— ф-i); Qi = или 4-
Q(R)i — (с^ш + 1); O(Q)i - (с^ + 1) ^л(о-
Среднеквадратнческие отклонения и о«?)г в полученных
соотношениях рассматриваются только на (-том интервале, по-
этому для упрощения записи в дальнейшем будем, опуская ин-
декс (, писать Ош), О(<?). Плотности вероятности случайных вели-
чин Qi и Xi можно записать в виде
Ш =—=------exp
И 2л g(Q)
(У-Qi)3
2<Т(<?)
Ш = —=:---------exp
И 2л a(7?)
(г-Rtf
2ff?R)
где q и г — соответственно текущие значения, принимаемые
случайными величинами Qi и Xi- Так как Q2- и Xi независимы,
а случайная величина Дф; определяется по формуле (4.51), то
плотность вероятности Дфг' выразится уравнением
fi Й = Г qh (rq) f3 (q) dq.	(4.53)
здесь учтено, что r = zq, индекс i означает, что плотность веро-
ятности Дф определена иа (-том интервале.
Интегрируя (4.53), получим
fi <г) = g(Rf(Q*  (exp [— <р( (г)3] 4- /л <pf (г) [ 1 4- erf [ср, (г)]]}	(г),
2ncr2)Qi
(4.54)
, Где
;	Ыг)= +	г-( = 4;	(4.55)
/2 СГ(Р)СГ(/?)СТ(2)
4	155
1Ж
'Г / \	f (z— Zj)3
Л (г) - ехр —
I 2СТ(г)
У ^(Q)z2~°2(R)
(4.56)
(4.57)
В ’ соотношениях (4.53)—(4.57) г — текущее значение ф, из
области 0<с<С1, где функция ft(z) отлична от нуля. Анализи-
руя эти соотношения, отметим, что функция (4.57) в интервале
слабо зависит от z„ поэтому с достаточной степенью точности
можно заменить z усредненным z в интервале. Функция
Ф,(г)^>1, следовательно, ехр {—фДг)2}^0, erf[ф<(г)]« 1, и
уравнение (4.54) сводится к уравнению нормального закона
распределения
fl (г) = —=^-------ехр	1,	(4.58)
/2я а(О	2^) J
4- с?/?j
где 0(f) —------------------------среднеквадратическое отклонение.
Случайная величина ф связана с Дф{ зависимостью (4.48);
определим ее плотность вероятности f(z) через f{(z), используя
преобразование Фурье. Применяя его к соотношению (4.58),
получим характеристическую функцию случайной величины Дф*
оо
£/ (О = J exp (t/z) Л (z) dz = exp (fat)---------Р о2./2.
—оо
Характеристическая функция суммы случайных величин опре-
деляется из выражения
п
Е (t) = П (0 exp (izt)--------- о3/2,	(4.59)
i=i
где z = <r ==	<г(0.
Применив обратное преобразование Фурье к соотношению
(4.59), найдем плотность вероятности ресурса пластичности
/И = z2_ ехр
У 2л е
(Z — 2)Й
2ffa
(4.60)
156
где ст и z— соответственно среднеквадратическое отклонение и
математическое ожидание ресурса пластичности. Подставляя
уравнение (4.60) в (4.43), получим выражение для определения
вероятности разрушения металла при его обработке
СО
]
где Ф($) —нормальная функция распределения.
Глава V
Технологическая
наследственность
§ 24. О прочности изделия, получаемого
пластическим деформированием
Механический наклеп, неоднородность свойств, обусловлен-
ная в первую очередь неравномерным распределением накоп-
ленной деформации, деформационная анизотропия, остаточные
макронапряжения могут либо повысить, либо понизить проч-
ность изделия в тех случаях, когда оно не подвергается терми-
ческой обработке после холодного пластического деформиро-
вания.
Едва ли не важнейшими по влиянию на прочность из пере-
численных факторов являются остаточные макронапряження.
Расчет остаточных напряжений производят по теореме о раз-
грузке, согласно которой остаточные напряжения после пласти-
ческого деформирования равны разности напряжений при пла-
стическом деформировании и так называемых разгрузочных
напряжений, от которых материал освобождается при разгруз-
ке. Если при разгрузке происходят чисто упругие деформации,
то можно определять разгрузочные напряжения методами тео-
рии упругости. В работе [26] сформулирован и доказан вариа-
ционный принцип относительно остаточных напряжений, однако,
насколько нам известно, он не нашел практического приме-
нения.
Анизотропия свойств деформированного материала может
быть оценена иа основе соотношений, приведенных в § 5.
После обработки давлением детали или заготовки часто
подвергаются отжигу для снятия внутренних напряжений н
улучшения структуры металла. Размеры зерен в различных об-
ластях отожженной детали могут оказаться различными. В об-
ластях, где пластическая деформация была близкой к крити-
ческой, происходит интенсивный рост зерен. Такой металл об-
ладает низкими механическими характеристиками, поэтому при
проектировании технологических процессов необходимо выби-
рать такие режимы деформирования, при которых исключает-
ся область деформаций, вызывающих интенсивный рост зерен.
Для оценки критической деформации строят диаграмму ре-
кристаллизации растянутого (иди сжатого) металла. В про-
цессах же обработки металлов давлением напряженное состоя-
ние и нагружение могут быть сложными. В связи с этим возни-
158
кает вопрос о возможности оценки критической деформации в
таких процессах по диаграмме рекристаллизации растянутого
гу металла.
J Вопрос, является ли указанная диаграмма единой для раз-
.Д личных напряженных состояний и путей нагружен и я, интересен
$ и в следующем отношении. В некоторых работах зависимость
размера зерна от предшествовавшей отжигу пластической де-
формации использована для экспериментального определения
величины этой деформации. Прн этом диаграмма рекристалли-
.нации растянутого материала использована в качестве градуи-
ровочного графика. Для того чтобы такое определение дефор-
мации было обоснованным, необходимо убедиться в универсаль-
ности указанной диаграммы.
Для выяснения этого вопроса испытывали круглые сплош-
ные образцы, изготовленные из стали СтЗ *. Образцы диамет-
ром 20 мм после механической обработки резанием отжигали
при температуре 840° С в течение 3 ч с последующим медлен-
ным охлаждением. Затем их пластически деформировали до
различных степеней деформаций и подвергали рекристалл из а-
Д диодному отжигу при температуре 700° С. Механическим путем
" приготавливали шлиф, который для лучшего выявления струк-
туры подвергали электрополированию.
Было замечено, что размеры зерен у поверхности отожжен-
ного образца и на удалении от нее резко различны, что объяс-
няется, по-видимому, неодинаковыми условиями роста зерен иа
поверхности и внутри образцов. При этом у некоторых образ-
цов вблизи поверхности расположены более крупные зерна,
у других образцов — менее крупные зерна. В связи с этим в про-
 цессе приготовления шлифа удаляли слой металла толщиной
2—3 мм.
На рис. 67 приведена диаграмма рекристаллизации. при Gee-
д' вом растяжении и совместном кручении и растяжении. По вер-
7 тикальиой оси отложен параметр d- средний условный диа-
Н метр зерна. По горизонтальной оси отложена интенсивность
. логарифмической деформации. Для большей достоверности
размер зерна определяли в трех взаимно перпендикулярных
) плоскостях: в поперечном и двух меридиональных сечениях.
Размер зерна подсчитывали как среднеарифметическое полу-
ченных результатов. Диаграммы рекристаллизации, построен-
ные по результатам измерений в различных плоскостях, прак-
тически совпали.
Интенсивность логарифмической деформации
S& * Исследования выполнены совместно с И. Н. Темник и Б. П. Чебаев-
ж._ СКИМ.
159
В этой формуле <?г=1п ----продольная деформация. Здесь
^0
ft0, h — соответственно рабочая длина до н после деформирова-
фГ
ния; у ~ -у----относительный сдвиг, где г —расстояние от
h
рассматриваемой точки сечеиня до оси образца; ср — угол за-
кручивания в радианах. Заметим, что в области критических
деформаций различие между логарифмическими н относитель-
ными деформациями несущественно.
Испытания производили на машине ZDM.U-30. Отношение
сдвига на поверхности уп к продольной деформации выдержи-
вали примерно постоянным (Yn/^z«7). При этом отношение
главных напряжений
остается постоянным в процессе деформирования, но изменяет-
ся вдоль радиусов образца.
Для каждого деформированного образца строили зависи-
мость размера зерна от радиуса. Результаты, относящиеся к
фиксированному радиусу, соответствуют определенному отноше-
нию у/ег, а следовательно, и определенному значению 02/01.
На рис. 68 приведены аналогичные результаты, полученные
при испытании меди Ml. Как видим, диаграмма рекристаллиза-
ции, построенные в координатах размер зерна — интенсивность
логарифмической деформации (или, что в данном случае то же
Рис. 67. Диаграмма рекристаллизации
стали СтЗ:
Д —о ~'Т/ег-0.7; a-V/e2"2.1:
Д—X — y/^—5,6
Рис. 68. Диаграмма рекристалли-
зации меди:
V— v/e2-t.25: Л —y/<?z=.
-1,5; O-v/*2-l,75; • — Y/e*-2,25;
□ _ v/ez=2,5
160
У самое, накопленная деформация), совпадают при различных
t' напряженных состояниях.
Чтобы оценить влияние немонотонности процесса на разме-
ры зерна, из растянутых стальных образцов вырезали образцы
на сжатие. Для исключения бочкообразности при осадке при-
меняли смазку из коллоидного графита с глицерином с исполь-
зованием свинцовой фольги в качестве прокладок. После сжа-
тия в направлении предшествовавшего растяжения образцы
отжигали.
Полученные результаты показали, что при немонотонном
деформировании размер зерна не определяется суммарной де-
формацией. Какие-либо более полезные закономерности уста-
новить не удалось.
у Таким образом, если есть основание считать деформирова-
й, ние при исследуемой технологической операции близким к про-
;; стому, то для исключения интенсивного роста зерна необхо-
димо, чтобы удовлетворялось условие	млн ‘-’mar,
где впив, — определяемая по диаграмме рекристаллизации^
построенной испытанием материала иа растяжение .или сжатие,.,
минимальная и максимальная интенсивность деформации, при
которой размер зерна равен допускаемому значению этого раз-
мера.
Например, в случае раздачи толстостенной трубы (см. § 22}
размер зерна после отжига ие будет превышать допускаемого-
Й значения, если окружная деформация на внутренней поверхности
Й'	J -	/3
удовлетворяет условию	—emin или
I	§ 25. Оценка точности деталей
I	методом малого параметра
” Окончательные размеры изделия, получаемого холодной об-
Л работкой давлением, формируются при разгрузке от деформи-
Й рующих нагрузок. Этим обуслогвлеио большое практическое
значение оценок деформаций при разгрузке, во многих случаях
определяющих точность получаемой детали. Примером такого
й рода задач является известная задача о пружинении при фор-
мообразовании изделий из листовых материалов.
£ В некоторых случаях оценка деформаций при разгрузке и
Й точности получаемой детали может быть выполнена методом
Й. малого параметра [19]. Приведем пример такой оценки *.
’ Исследование выполнено совместно с А. П. Харченко и С. А. Вуль-
ман.
161
В последние годы получил широкое применение способ об-
работки цилиндрических отверстий деформирующим протяги-
ванием (или дориованием), заключающийся в проталкивании
пологого конуса вдоль цилиндрического канала. Способ отли-
чается высокой производительностью и экономичностью, одна-
ко при обработке этим способом деталей с переменной толщи-
ной стенки радиальные перемещения на обработанной поверх-
ности при разгрузке оказываются переменными, и в силу этого
.получаемая поверхность отличается от круговой цилиндриче-
ской. Поскольку инструмент (дорн) обладает высокой жестко-
стью и точностью, указанное отличие поверхности отверстия
ют цилиндрической определяет точность изделия.
Ограничимся рассмотрением деталей, наружный контур ко-
торых мало отличается от окружности. Пусть D/2 и В/2 соот-
ветственно максимальное и минимальное удаление точек наруж-
ного контура от оси отверстия. Обозначим 6=(D—+
.Решение рассматриваемой упругопластической задачи теории
идеальной пластичности будем искать в виде рядов по степеням
малого параметра б:
д/ = v 6«ДД"),
(5.1)
где 1V—-любая из величин, входящих в уравнения равновесия,
условие пластичности, уравнения состояния граничные условия
и условия сопряжения решений в упругой и пластической об-
ластях; — приближенная этих величин (нулевое, первое,
второе и т. д.).
Как показали экспериментальные исследования, начиная с
некоторого удаления от обрабатываемой поверхности, напря-
женно-деформированное состояние трубы, обрабатываемой дор-
новаиием при натяге 2Д, практически совпадает с напряжепно-
,деформированным состоянием трубы, растягиваемой внутрен-
ним давлением в условиях плоской поверхности до той же ок-
ружной деформации на внутренней поверхности. Поскольку ра-
диальные перемещения на внутренней поверхности являются
интегральными величинами, зависящими от деформаций по
всей толщине стеики, влияние деформированного состояния в
сравнительно тонком прнконтактном слое на эти перемещения
незначительно. В связи с этим будем считать, что рассматри-
ваемая деталь раздается на величину 2Д в условиях плоской де-
формации. Величина иатяга такова, что у внутренней поверх-
ности радиусом а возникает пластическая зона. С тем чтобы
в дальнейшем оперировать только безразмерными величинами,
отнесем все напряжения к пределу текучести на сдвиг k, а все
о
линейные размеры и перемещения — к радиусу rs пластиче-
ской зоны детали с постоянной толщиной стенки, равной мак-
симальной толщине рассчитываемой детали. Ограничимся ре-
шением задачи в первом приближении.
-162
Будем считать, что внешний контур детали с достаточной
точностью описывается уравнением
Р>Г- Р + J]	(5.2>
где Р, — отнесенные к rs постоянные, получаемые при раз-
ложении уравнения внешнего контура в ряд Фурье.
Подставив разложения (5.1) в уравнения, описывающие-
плоскую деформацию несжимаемого упруго-жесткопластическо-
го материала, и приравняв члены при одинаковых степенях
получаем системы линеаризированных уравнений относительно-
различных приближений в пластической области. Для напря-
жений и перемещений в упругой области, примыкающей к внеш-
нему контуру, имеется общее решение [3]. Граничными усло-
виями являются отсутствие нагрузок на внешнем контуре (5.2)
и условия сопряжения решений на упругопластической границе
[19].
Для нулевого приближения получаем систему уравнений,,
описывающую плоскую раздачу толстостенной трубы, решение-
которой записывается в виде
<У = 2сш-—; o^-g+zinA
^ = 20^+-^; ^ = -7+2(1 + 1п-^
= °: '❖о = °;	(5-3>
«0< = АЛЖн1|2С;1(1-2И)р + С-,-!_1; ^ = 0;
с	~ р J
Здесь
Р
Со2 = ^(1— q — 21nc0; Cf -k (1	(1—2p+P)(l—7—21па);
163
<q0— давление иа внутренней поверхности трубы; u, v— соот-
ветственно перемещения в радиальном и окружном направле-
нии, отнесенные к г!. Нижние индексы при обозначениях на-
пряжений изменены с тем, чтобы подчеркнуть, что речь идет о
.напряжениях без размерности.
Поскольку при р = а иОр = можем записать
-*£- = » (1 + g)_ /1 _ 2	, _£_\ 71 _ _ft-21п—\;
Г° £ I	0 J fe r° I
' s	\	r s / \	f S f
r° — a exp “ — 14-	4-
s 1 2	rfe
где cZ = pfs — первый член разложения внешнего контура в ряд
-Фурье. Решение приведенной системы уравнений запишется в
виде
^=2	+ ]/ 1 + 8(1 ^)Ай° )
й = 1	1 In gfe(l—2^+Р2)
4 рз	2р3Дб
где G — модуль сдвига.
Сообразуясь с уравнением внешнего контура (5.2), предста-
вим распределение контактных напряжений иа внутренней по-
верхности обрабатываемой детали в форме
i
<^4 + ^ cosmO;
Определим уравнение границы пластической области и зна-
чения компонент напряжений и перемещений в первом прибли-
жении.
В упругой области компоненты напряжений и перемещений
равны [Зф
—	р 2 (— С11Р 3 4- С12р) cos 0 4-
Р*
164
г
Г i
2 Y»i2^frt2p m 2 ТтЗ^лчЗР™ Yzai^miP W) COS/720,
if m=2
Og — 2C01 “J----y—p 2 (Cnp-3 4~ 3C12p) cos 9 4-
’	°	p3
i
+ 2	2 + y^Cm2p-m~2 + ym3Cm3Pm +	cos m9;
m-=2
= 2 (— СИР ’3 + C12p) sin 9 4- £ (T^iHiP^-2 — Ym2Cm2p"m“2 4-
m=2
+	sin /720;
----------= 2C01 1--2ft p +	-----J----+
(1 —p3>fer°	a	(1~и)Р
+ [(1 +	) Cup-2 + (1-3-j-H—) C12p»] cos 9 +
~(ni~2--------)W"+' +
4- ftn + 2 -|—(m~2) И Л Cmjp_'"+*1 cosm9;	(5.5)
\	1 — p J	J
-----= [ (1 + Th-') C“P-2 + (5 + -НН C12pSlsin 9 +
(1—pa)fer° L\	1—Н/	\	P* / J
+ m (1 ' ~tz~ ) c^iPm“1 + m (1 +	)c«2P~m_I +
m=2
4- (m 4- 44- -^— Vffl3p-+^ 4-	— 4 4- С^-^+Пзшm9;
\	I —]* /	\	1 —[X /	J
— 1);	= m (m 4- 1); ym3 = (m 4- 1) (m — 2);
где
155
Y4 = (fn — 1) (m 4- 2); Y/as = (m + 1) (m + 2); ym9 = (m—1) (m~~2)
В пластической области в первом приближении компоненты
напряжений равны [19]:
, i
= 2й02 -F cos 0 Ч-------У {[йт1 (1 — m2) — соаот2] sin (со In р) Ч-
Р	Р А
'	г т=2
Ч" 1ат2 (I — т2) + C0S (° 1п Р)} C0S т®’
I
‘ ‘ 2а02 -Ь cos 0 Ч-----У со [(aml — (оат2) cos (со 1п р) - -
р	Р
с	~ т=2
— (а,п2 + <Цп1) sin (<J) 1П р)] cos m0;	(5.6)
тод = sin 0 Ч—— У ть) [п,н1 cos (со In р) — ат2 sin (со In р)] sin тЭ
РИ р	р
r	r т=2
(со = ]/ т2 — 1 ),
а компоненты перемещений определяются из соотношения [37].
= (Си ]п р Ч- С12) cos 0 Ч- У cos (со In р)
Р	т=2
Ч-	Ск2 sin (со In р)] cos m0;
yip — [Cn (1 + In р) Ч- с12] sin 0 +	~ {со [С^з cos (оо In р) —
т~2
— Cml sin (со In р)] Ч- Ст1 cos (со In р) -|- Ст2 sin (со In р)} sin m0. (5.7)
Условия сопряжения напряжений сгр, о01 тр0 при р = 1 имеют
вид [19]
~ ^др = 4р1= т’р.	(5.8)
Граничные условия на внешнем контуре р = р запишем в
форме [19]
Gpe +	cos mQ = °’
t.	(5.9)
Че + w—gT) 4* 2 sin m9 °-
P m=rO
166
Выразим коэффициенты решения (5.5), (5.6) через коэф-
фициенты рядов (5.2), (5.4). Для этого воспользуемся условия-
ми сопряжения напряжений ор и тРе на окружности р=1 и
^граничными условиями на окружностях р = р и р = а.
В случае гп = О получим
2С01 - Cq2 — 2а02; 2С(ц ~~ —	' ф0; 2«ог — ^о* (5.10)
Р~	|Р
В случае, когда т = I,
2Сц ф- 2С12 = 2Спр 3 ф- 2С1зр =	—— фр й13 =
р
(5.11)
а в случае, когда т^2, для определения коэффициентов необ-
ходимо решить систему уравнений
Yml^ml Ym2^*rn2 Ym3^*m3 '	«m2 П )	®«ml>
Yml^ml Ут2рщ2 “Г	Ф“ Ут1^т^ = &таяй>
2
YmlCtfilP™ “	Ym2^m2^ П ~ УгазСдадР"1	т= — Фт1
"	“ Т/в2^тгР пг 2 ym2Cm3Pm J- Yml^ml — тФт’
Р3
(5-12)
{[«mi U — т2) — соаЯ12] sin (со In а) ф- [а^ (I — т2) ф- соа,к1 ] X
X cos (со In а)} =
— (от [ада1 cos (co In а)— «w2sin (co In a)] = dm, m = 2, 3, 4.
Решения систем (5.10) — (5.12) позволяют выразить коэф-
фициенты Соь С02 и п02 через неизвестный параметр коэф-
фициенты Сц, С12, «12 — через dx, коэффициенты CmLr Ст2> Ст4>
«mi и йте2 —через неизвестные параметры dm.
Границу пластической области находим из выражения
(5.8)
4pls — 2С01 X Соз 2&Q.2 ' (2Си ф- 6С12	й12) cos 0 ф~
“Г	И" Ут2^т2 “F Ттз^тз	(«ml ^«ягз)] COS Ш0.
(5.13)
Условия сопряжения перемещений и и v в упругой зоне
(5.5) и тех же перемещений в пластической зоне (5.7) при р=1
167
в первом приближении приводятся к
виду [69]
и1е 4-
duop
dp
Pis’ —
— ^*01 “В ^12 COS 0 +
I
4- 2 C"!1 cos m9;
m«2
(5.14)
vie-----(Cn 4~ CM)sin 0
Рис. 69. Поперечное сече-	z
ние детали, обрабатывав-	A W? 4, Г) sin m0.
мои дернованием	т - т т1'
ги=2
Воспользовавшись соотношениями (5.3), (5.5), (5.13), полу-
чим системы уравнений для определения коэффициентов. Для
этого необходимо сравнивать аналогичные выражения при оди-
наковых значениях т;
См = fo (d0);
c*i2 ” fi (^1);
(Си ^12) = fi
^znl ’ fm (^za)>
-------(<oCw2 4- Cml) = fm (dm).
m
(5.15)
И, наконец, условие	на контуре р = а позволяет оп-
ределить значения параметров d0, dh dm. Для этого необходи-
мо приравнять нулю каждый член решения (5,7) с коэффици-
ентами (5.18) при одинаковых значениях т. Таким образом»
решается задача о напряженно-деформированном состоянии Де-
тали при ее раздаче.
Перемещения при упругой разгрузке определяют из реше-
ния (5.5). Нулевое приближение (5.4) находим прн граничных
условиях: при р = ц и при р = р о0ер =0. Затем находим
2СМ = —L ^PL_;	с0. =	.	(5.16)
“	р рз _ а2	™ р» _ а» * v 7
Для определения констант в выражениях напряжений (5.5)
в упругой области необходимо воспользоваться новыми гранич-
ными условиями и значениями параметров d^, dx и dm, вычис-
ленных по приведенной выше методике. Полученные константы
168
Сдадут возможность определять перемещения (5.5) прн разгруз-
ке детали.
По приведенной методике рассчитали координаты точек
’йяутреиней поверхности деталей из стали 45, поперечное сече-
яие которых показано на рис. 69. Внутренний диаметр деталей
Доставлял 37 мм, размер В изменялся от 40 до 69 мм, D - от
ii40 до 80 мм соответственно, натяг составлял 0,3 и 0,6 мм. Внеш-
ний контур сечеиия описывался уравнением .
p J3 - 6 cos 40.
Расчетную оценку некруглости отверстия
Аден " Ртах РпНп»
.тде ртах, рпнп—соответственно наибольшее и наименьшее зна-
чения радиуса г точек обработанной поверхности, сопоставили
'с определенной экспериментально по круглограмме отверстия,
'снятой на профилографе. Расхождение этих оценок не превы-
шало 17%. Обычно такие ошибки в оценке точности допустимы.
Список литературы
1.	Александров А. Я., Ахметзянов М. X. Поляризационно-оптические ме-
тоды механики деформируемого тела. М., «Наука», 1973. 576 с.
2.	Андреев Л. С. О неустойчивости пластического деформирования прн
двухосном растяжении.— «Известия высших учебных заведений. Машинострое-
ние», 1965, № 1, с. 51—57.
3.	Бицено К. Б., Триммель Р. Техническая динамика, т. I. М., Гостех-
теоретиздат, 1950. 900 с.
4.	Богатов А. А., Брылунов Г. И., Мижирицкий О. И. Определение пре-
дельных деформаций из условия разрушения с учетом статистических свойств
пластичности металла.— В сб.: Обработка металлов давлением. Свердловск,
1974, с. 36—39.
5.	Головлев В. Д. Расчеты процессов листовой штамповки. М., «Машино-
строение», 1974. 136 с.
6.	Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев,.
«Наукова думка», 1971. 276 с.
7.	Гун Г. Я., Полухин П. И. К применению методов математической тео-
рии надежности для расчета вероятности разрушения металлов при обработке
давлением.— «Известия высших учебных заведений. Черная металлургия»,
1971, № 9, с. 63—66.
8.	Гуляев Б. А., Максак В. И. Особенности разрушения трубчатых образ-
цов при одноосном растяжении.— «Проблемы прочности», 1974, № 2, 103 с.
9.	Данилов В. Л. К формулировке закона деформационного упрочне-
ния.—«Известия АН СССР. Механика твердого тела», 1971, № 6, с, 146—150.
10.	Дегтярев В. П. О деформационных критериях разрушения при простых
и сложных нагружениях.— «Проблемы прочности», 1972, № 7, с, 22—25.
11.	Дель Г. Д. Определение напряжений в пластической области по рас-
пределению твердости. М., «Машиностроение», 1971. 200 с.
12.	Дель Г. Д., Зима Н. Ф., Дель В. Д. Исследование напряжений в поло-
се при листовой прокатке,— «Известия высших учебных заведений. Черная
металлургия», 1971, № 8, с. 90—94.
13.	Дель Г. Д„ Огородников В, А., Нахайчук В, Г. Критерий деформи-
руемости металлов при обработке давлением.—«Известия высших учебных за-
ведений. Машиностроение», 1975, № 4.
14.	Дель Г. Д., Одинг С. С. Устойчивость пластического деформирования
тонкостенной трубы под действием внутреннего давления.— «Известия высших
учебных заведений. Машиностроение», 1975, № 12, с. 30—35.
15.	Дель Г. Д., Одинг С. С. Устойчивость двухосного пластического рас-
тяжения изотропного листа.— «Известия АН СССР, Механика твердого тела»,
1976, № 3, с. 97—101.
16.	Дель Г. Д., Томилов Ф. X. Связь между напряжениях, твердостью
и пластической деформацией при повышенных температурах.— «Известия
АН СССР, Металлы», 1970, № 1. с. 144—149.
170
£	17. Деформации и напряжения при обработке металлов давлением. И.,
? «Металлургия», 1974. 336 с. Авт.: П. И, Полухин, В. К. Воронцов, А. Б. Кудрин
j w Др.
f 18. Жуков А. М. Пластические свойства и разрушение стали при двухос-
ном напряженном состоянии.— «Инженерный сборник», т. 20, 1954, с. 37—46.
•	19. Ивлев Д. Д. Приближенное решение методом малого параметра
плоских упругопластических задач теории идеальной пластичности.— «Вестник
; МГУ. Математика. Механика. Физика», 1957, № 5, с. 17—26.
;	20. Ильюшин А. А. Деформация вязкопластического тела.— «Ученые за-
•’ писки МГУ. Механика», 1940, вып. 39, с. 3—81.
21.	Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термо-
«язкоупругости. М., «Наука», 1970. 280 с.
22.	Исследование процесса получения заготовок растяжением в состоянии
сверхпластичности.— «Кузнечно-штамповочное производство», 1975, № 7,
с. 3—4. Авт.: О. М. Смирнов, Я- М. Охрименко, В. Е. Шкляев и др.
23.	Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы
«г круглого прутка.— «Прикладная математика н механика», 1943, т. 7, вып. 2,
ю. 109—130.
24.	Качанов Л. М. Основы механики разрушения. М., «Наука», 1974.
312 с.
25,	Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М., «Наука», 1969.
420 с.
26.	Койтер В. Общие теоремы теории упругопластнческих сред. М., ИЛ,
1961. 80 с.
27.	Колмогоров В. Л. Напряжения. Деформация. Разрушение. М., «Ма-
ли иностроение», 1970. 232 с.
28.	Комплект оборудования для ориентированного разделения пластин на
кристаллы.— «Электронная техника». Серия 7, «Технология, организация про-
изводства и оборудование». Вып. 5 (57), 1973, с. 48—50. Авт.: В. А. Назаров,
А. Я- Новак, В. И. Анисимов и др.
29.	Людвик П. Основы технологической механики. — В сб.: Расчеты на
прочность, вып. 15. М., «Машиностроение», 1970, с. 130—166.
30.	Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.,
«Машиностроение», 1975. 400 с.
31.	Малинин Н. Н. Устойчивость двухосного пластического растяжения
.^анизотропных листов и цилиндрических оболочек.—«Известия АН СССР,
•Механика твердого тела», 1971, № 2, с. 115—118.
32.	Рагаб А. Р., Дункан Дж. Л. Сверхпластичность: определяющие урав-
нения и проблемы формоизменения.— В кн.: Механика. М., «Мир», 1973,
<№ 4 (140), с. 121—132.
33.	Сегал В. М., Макушок Е. М., Резников В. И. Исследование пласти-
ческого формоизменения металлов методом муара. М., «Металлургия» 1974.
200 с.
34.	Смирнов-Аляев Г. А. Механические основы пластической обработки
металлов. Л., «Машиностроение», 1968. 272 с.
Зо.	Соколовский В. В, Теория пластичности. М„ «Высшая школа», 1969.
*608 с.
36.	Томленое А. Д. Теория пластического деформирования металлов. М.,
«Металлургия», 1972. 408 с.
37.	Харченко А. П. Распределение перемещений около эллиптического
^кругового) отверстия упругопластического тела.— В сб. трудов Воронежского
люлитехнпческого института: Исследования механизмов и металлических
конструкций, вып. 3. Воронеж, 1972, с. 172—181.
L 38. Цеханов Ю. А., Дель Г. Д. Определение поля скоростей в устаио-
явившихся процессах пластического деформирования по волокнистой макро-
структуре.—В сб.: Технология машиностроения. Исследования в области
Пластичности и обработки металлов давлением. Изд. Тульского политехни-
ческого института, 1973, вып. 29, с. 77—84.
39.	Шевелев В. В., Яковлев С. П. Анизотропия листовых материалов и ее
.-влияние на вытяжку. М., «Машиностроение», 1972. 136 с.
171
40.	Щеглов Б. А., Гловацкнй Е. Д., Голованов В. М. Механические свой-
ства тонких листов и труб из стали X18HI0T в условиях одноосного в
двухосного растяжений.— В сб.: Исследование процессов пластического тече-
ния металлов. М., «Наука», 1971, с. 76—85.
41.	Backhaus G. Zur anaiytischen Darstellung des Materialverhaltens im
plastischen Bereich.—ZAMM, 51, 1971, S. 471—477.
42.	Baltov A., Savezuk A. A rule of anisotropic hardening — «Acta Meeh.»,.
1965, Vol. 1, N 2.
43.	Chakrabarty J. A hypothesis ol strain-harden ng in anysotropic plasti-
city.—«Internet. J. Meeh. Sci.», 1970, Vol. 12, N 2, p. 169—176.
44.	Marciniak Z. Odksztafcenia graniezne przy tfoezenju blach. Warszawa.
Wydawnictwo naukowo — techniczne, 1971, 232 s.
45.	Shawki G. S. A., Pankin W. Plastische Instabilitat rotationssymmetri-
scher Schalen bei zweiachsiger Zugbeanspruchung.— «Werkstoff and Betrieb»^
105, 1972, N 4, p. 260—278.
46.	Storakes B. Plastic and visko-plastic instability of a thin tube under
internal pressure, torsion and axial tension — JJMS, 1968, Vol. 10, N 6„
p. 510—529.
47.	Wry P. I. Tensile Plastic Instability at an Elevated Temperature and
Its Dependence upon Strain Rate — «Journal of Applied Physics», V. 4IS N 8»
July, 1970, p. 3347—3352.
Оглавление
Предисловие .............................................
Глава ], Основы теории пластичности .......	7
§ 1.	Теория напряженного состояния.................................  7
§ 2.	Кинематика деформирования .	...........................12
§ 3.	Ассоциированный закон пластического течения....................18
§ 4.	Поверхность нагружения при изотропном упрочнении ....	21
§ 5.	Анизотропное упрочнение...................................... 26-
§ 6.	Кручение круглых стержней из анизотропно упрочняющегося ма-
териала .........................................................  36‘
Глава И. Экспериментально-расчетные методы исследования
напряженно-деформированного состояния в пласти-
ческой области...........................................41‘
§ 7.	Определение	пластических деформаций . ......	41
§ 8.	Определение	приращений и скоростей деформации ....	53-
§ 9.	Определение	напряжений по кинематике деформирования . .	61
§ 10.	Определение напряжений по теореме о разгрузке	76>
§ 11.	Метод догрузки.................................................79
§ 12.	Связь между твердостью и интенсивностью напряжений ...	83
§ 13.	Определение	напряженного состояния по распределению интенсив-
ности напряжений	89-
§ 14.	Определение напряженного состояния при осесимметричной дефор-
мации по волокнистой макроструктуре и распределению твердости 99
Глава 111. Устойчивость пластического деформирования .	. 104
§ 15.	Инженерные критерии .	.	  104
§ 16.	Двухосное растяжение листа , .................................111
§ 17.	Двухосное растяжение тонкостенной	цилиндрической оболочки	.	117
§ 18.	Вопросы устойчивости деформирования	в	состоянии сверхпластич-
ности ..........................................	122
Глава IV. Деформируемость Металлов при их обработке .	. 131
§ 19.	Общие замечания...........................................131
§ 20.	Диаграмма пластичности .......................................136
173
21. Критерии деформируемости.....................................142
§ 22. Деформируемость при раздаче трубы.............................148
$ 23. Вероятность разрушения обрабатываемого металла................151
Глава V. Технологическая наследственность. .	.	.	.	.158
24. О прочности изделия, получаемого пластическим деформирова-
нием .............................,..........................  158
§ 25. Оценка точности деталей методом малого параметра .	.	.	.161
Список литературы......................................  .	170
ИЕ Nq 1720
Гарри
Данилович
ДЕЛЬ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
Редактор издательства
И- С. Форет е н
Технический редактор
Л. А. Макарона
Переплет художника
А. Я. Михайлова
Корректор
О. Е. Мишина
Сдано в набор 24/V—77 г.
Подписано к печати 25/XI—77 г.
Т-16292. Формат бОХЭО'Ле.
Бумага типографская № 2.
Литературная гарнитура. Печать высокая:
Усл. пен. л. 11,0. Уч.-изд. л. 11,15.
Тираж 15 (МО экз. Зак. 472. Цена 90 к.
Издательство «Машиностроение»,
107885, Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., д. 3;
Московская типография № 6 Союзполиграфпрома-
прн Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
109088, Москва, Ж*88, Южнопортовая ул., 24»