В. Г. КАЦ, П. ЧЕН
КВАНТОВЫЙ АНАЛИЗ
Перевод с английского Ф. Ю. Попеленского и Ж. Г. Тотровой
Москва
Издательство МЦНМО
2005

Universitext
Victor Kac Pokman Cheung
Quantum Calculus
Springer

УДК 512.81+517.2 Издание осуществлено при поддержке РФФИ
ББК 22.16, 22.176 {издательский проект номер 04-01-14096).
кз° --и
Кац В. Г., Чен П.
К 30 Квантовый анализ / перевод с англ. Ф. Ю. Попеленского и Ж. Г.
Тотровой - М.: МЦНМО, 2005. - 128 с.
ISBN 5-94057-167-0
В книге рассмотрены основы квантового анализа. Последовательно проведена
аналогия с классическим анализом, рассмотрены многочисленные приложения в
теории чисел и комбинаторике.
Книга адресована широкому кругу специалистов в области математики, фи-
физики, а также computer since, она доступна студентам младших курсов.
ББК 22.16, 22.176
Translation from the English language edition: Quantum Calculus by Vicktor Kac
and Pokman Cheung.
Springer is a part of Springer Science+Business Media. All rights reserved.
ISBN 0-387-95341-8 (англ.) © 2002, Springer-Verlag New York, Inc
All right reserved.
ISBN 5-94057-167-0 © МЦНМО, пер. на рус. яз., ^05.

Оглавление
Введение 7
§ 1. Квантовые производные 10
§ 2. Обобщенная формула Тейлора для многочленов 14
§ 3. ^-аналог бинома (х — а)п для целого п и ^-производные бино-
биномов 16
§ 4. ^-формула Тейлора для многочленов 22
§ 5. Бином Гаусса и некоммутативная формула бинома 23
§ б. Свойства ^-биномиальных коэффициентов 26
§ 7. ^-биномиальные коэффициенты и линейная алгебра над конеч-
конечными полями 30
§ 8. ^-формула Тейлора для формальных степенных рядов и фор-
формула бинома Гейне 38
§ 9. Тождества Эйлера и ^-экспоненты 40
§ 10. ^-тригонометрические функции 44
§ 11. Тождество Якоби для тройного произведения 45
§ 12. Классическая функция разбиения и формула произведения
Эйлера 47
§ 13. g-гипергеометрические функции и формула Гейне 53
§ 14. Обобщенный бином 57
§ 15. Формула произведения Рамануджана 60
§ 16. Разложения целого числа в суммы двух и четырех квадратов 67
§ 17. Разложения целого числа в суммы двух и четырех треуголь-
треугольных чисел 72
§ 18. ^-первообразная 76
§ 19. Интеграл Джексона 80
§ 20. ^-формула Ньютона—Лейбница и ^-интегрирование по частям 87

Оглавление
§ 21. g-гамма- и ^-бета-функции 90
§ 22. /г-производная и /i-интеграл 96
§ 23. Многочлены Бернулли и числа Бернулли 102
§ 24. Суммы степеней 107
§ 25. Формула Эйлера—Маклорена 109
§ 26. Симметрический квантовый анализ 118
Приложение: список ^-первообразных 124
Литература 125
Предметный указатель 126

Введение
Всем, кто хоть немного знаком с математическим анализом, хорошо
известно выражение
/(*) - /(so)
х -хо
Его предел при х —> хо, если он существует, называется производной —
ах
функции f(x) в точке х = хо-
Подставим в наше выражение х = qxo или х = хо + h. Тогда мы по-
получим производную функции /(х), если перейдем к пределу при q —► 1
или, соответственно, h —> 0.
Что произойдет, если мы не станем переходить к пределу и, более
того, зафиксируем q ф 1 и, соответственно, h ф 0? Тогда, разумеется,
никакой производной в обычном ее понимании не получится. Тем не ме-
менее, оказывается, существует теория — она называется квантовым ана-
анализом, — в которой выражения Dqf(xo) = ———— и Dhf{xo) =
qxQ xo
/(х0 + h) - /(х0) ~
= — т- —- играют роль производных. В этой книге мы рас-
рассмотрим два варианта такой теории: ^-анализ, основанный на производ-
производной Dq, и h-анализ, в котором в качестве производной используется Dh-
Мы будем развивать квантовый анализ, подчеркивая его аналогию
с обычным или классическим анализом. В некоторых случаях эта ана-
аналогия будет подсказывать нам удачные определения и формулировки
теорем. Мы покажем, что квантовый анализ, несмотря на формальный
характер его построения, имеет многочисленные важные приложения
в комбинаторике, теории чисел и т. д.
Производная Dq (в дальнейшем мы будем называть ее ^-производной)
функции хп равна [п] хп~1, где
Величину [п] естественно рассматривать как ^-аналог числа п; это озна-
означает, в частности, что п — это предел [п] при q —> 1.
В комбинаторике важную роль играет функция
{х - а)" = (х - а) (х - qa)... (х - qn~la),

Введение
которая естественно появляется при попытках найти g-аналог бинома;
иными словами, поведение (х — а)™ относительно д-дифференцирования
аналогично тому, как (х — а)п ведет себя при взятии обычной производ-
производной. Заметим в этой связи, что общепринятое обозначение (a; q)n для
^-бинома не совсем удачно.
Затем мы выведем ^-аналог формулы Тейлора — в ней участвует
g-бином. Интересно отметить, что из g-формулы Тейлора можно очень
легко извлечь многие результаты XVIII и XIX вв., например: тожде-
тождества Эйлера для ^-экспоненциальных функций, формулу бинома Гаусса
и формулу Гейне для g-гипергеометрической функции. Коэффициенты
в формуле бинома Гаусса
3=0
являются g-аналогами биномиальных коэффициентов:
\П] = г ц г if ' где И! = И ' И " • • •' И-
Изучая их, мы заодно получим интерпретацию этих величин в терми-
терминах геометрии конечномерных линейных пространств над конечными
полями.
Тождества Эйлера приводят к знаменитому тождеству Якоби для
тройного произведения, а формула Гейне приводит к замечательной
формуле произведения Рамануджана.
Установив все эти факты, мы получим множество приложений, от-
открыв заново некоторые знаменитые результаты, полученные в XVIII
и XIX вв.: рекуррентную формулу Эйлера для классической функции
разбиения, формулу Гаусса для количества представлений целого числа
в виде суммы двух квадратов, формулу Якоби для количества представ-
представлений целого числа в виде суммы четырех квадратов и т. д. Особыми
случаями двух последних результатов являются, конечно, теорема Фер-
Ферма, утверждающая, что нечетное простое число р можно представить
в виде суммы квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда
р— 1 делится на 4, и теорема Лагранжа о том, что любое положительное
целое число является суммой квадратов четырех целых чисел.
Возвращаясь от приложений к ^-анализу, мы обратимся к ^-перво-
^-первообразной и ^-интегрированию. Последнее было введено Ф. Г. Джексоном
в начале XX в.: он первым систематически разрабатывал ^-анализ. Изу-
Изучение ^-анализа мы закончим исследованием ^-аналогов гамма- и бета-
функций Эйлера.

Введение
Квантовый /i-анализ достаточно сильно отличается от ^-анализа,
несмотря на их формальную аналогию. Прежде всего, отметим, что
/г-анализ — это исчисление конечных разностей. Систематическая ана-
аналогия с классическим анализом придает исчислению конечных разно-
разностей большую прозрачность. Например, /i-формула Тейлора — это не
что иное, как интерполяционная формула Ньютона, а /i-интегрирова-
ние по частям — преобразование Абеля. Мы покажем, что определен-
определенный /i-интеграл является интегральной суммой Римана, поэтому аналог
формулы Ньютона—Лейбница для /г-исчисления позволит нам вычис-
вычислять конечные суммы.
Мы проведем такое вычисление для сумм n-х степеней последова-
последовательных целых чисел, используя /г-интеграл функции хп при h = 1.
Это приведет нас естественным образом к числам Бернулли и много-
многочленам Бернулли. Непосредственное отношение к ним имеет формула
Эйлера—Маклорена, речь о которой идет в конце книги.
В настоящей книге используются лишь некоторые начальные сведе-
сведения из анализа и линейной алгебры, и адресована она в первую очередь
студентам (второй из авторов был студентом при подготовке настоя-
настоящей книги). Эта книга основана на лекциях и семинарах, проведенных
первым автором в Массачусетском технологическом институте: на ча-
части курса лекций по квантовым группам осенью 1993 г., на семинаре
по анализу осенью 1996 г. и на семинаре для первокурсников по кван-
квантовому анализу весной 2000 г., где второй автор был самым активным
участником. Мы признательны за помощь Программе поддержки сту-
студенческих исследований. Мы также благодарны Дэну Струку за весьма
полезные советы.
При написании главы, посвященной формуле Эйлера—Маклорена,
мы пользовались неопубликованными лекционными заметками Хайнса
Миллера, за что хотим выразить ему благодарность. Остальные исполь-
использованные источники перечислены в конце книги.

§ 1. Квантовые производные
Как было сказано во введении, мы будем изучать два варианта кван-
квантового анализа: д-анализ и h-анализ. Начнем с понятия квантового диф-
дифференциала.
Определение» Рассмотрим произвольную функцию /(х). Ее q-диф-
ференциалом будем называть выражение
dqf{x) = f(qx) - f{x), A.1)
а ее h-дифференциалом — выражение
= f(x + h)-f(x). A.2)
Так, например, dqx = (q — l)x и dhX = h. Интересное отличие кванто-
квантовых дифференциалов от обычного заключается в отсутствии симметрии
в формуле для дифференциала произведения двух функций. В самом
деле,
dq(f(x)g(x)) = f(qx)g(qx) - f(x)g(x) =
qx) - f{qx) g{x) + f(qx) g{x) - f(x) g(x),
следовательно,
dq{f{x) g{x)) = f(qx) dqg{x) + g{x) dqf{x); A.3)
аналогично
dh(f(x)g(x)) = f{x + h) dhgix) + <?(*) dhfix). A.4)
Тем не менее, в формулах A.3) и A.4) функции /(х) и д(ж) равно-
равноправны, поэтому также верны равенства
) gix)) = giqx) dgfix) + fix) d,ff(x),
dh(f(x) gix)) = gix + h) dhfix) + fix) dhgix).
Определим теперь соответствующие квантовые производные.

§ 1. Квантовые производные И
Определение. Следующие два выражения:
Dqf{x) = Ь№. = /у-Л»), A.5)
4 ч ' dqx (q-l)x v f
Dhf(x) = %&> = /(» + *)-/(») A.6)
называются q-производной и h-производной функции /(х) соответственно.
Заметим, что
lim Dqf(x) = lim Ufc/(i) = ^,
если функция /(х) дифференцируема. Обозначение Лейбница для про-
производной функции f(x) в виде отношения двух дифференциалов ^
оказывается особенно удачным в квантовом анализе, так как в этом
случае дифференциалы dq и dh имеют совершенно очевидный смысл.
Ясно, что в квантовом анализе, как и в классическом, дифференци-
дифференцирование является линейным оператором. Иными словами, для любых
констант а и Ъ и любых функций f(x) и д(х) выполняются равенства
Dq{af{x) + Ъд{х)) = aDqf{x) + bDqg{x),
Dh{af{x) + bg{x)) = aDhf{x) + bDhg{x).
Пример. Вычислим Dqxn, где п — натуральное число. По опреде-
определению
q-
DhXn = {x+hr-x = пх„_! + Mn-V_ хП_ч + +hn (Lg)
Так как отношение (gn — l)/(q — 1)в дальнейшем будет появляться
достаточно часто, введем для.него следующее обозначение:
[n] = ^fy=fln-1 + ... + l. A.9)
Эту величину будем называть q-аналогом положительного целого чис-
числа п. Тогда формулу A.7) можно записать в виде
Dqxn = [n]xn-\ A.10)

12 § 1. Квантовые производные
что похоже на формулу для обычной производной функции хп. Заме-
Заметим, что
[п] = qn~l + ... + 1->1 + 1 + ... + 1 = п
при q —> 1. В многочисленных примерах мы увидим, что величина [п]
играет в ^-анализе такую же роль, какую число п играет в классическом
анализе.
Формула для DhXn более сложна. В определенном смысле функ-
функция хп для д-анализа хорошая, а для /i-анализа — плохая. Мы оставим
/i-анализ до последних пяти разделов книги и сосредоточим внимание
на ^-анализе.
Вычислим ^-производные произведения и частного функций f(x)
и д(х). Из формулы A.3) получаем
VqU{x)g{x)) - {q_1)x - ^—jj- ,
и отсюда
Dq(f(x) g{x)) = f(qx) Dqg(x) + g(x) DJ(x). A.11)
Аналогичным образом, поменяв местами /ид, получим
Dq(f(x) д(х)) = /(ж) Dqg(x) + g(qx) Dgf(x), A.12)
что эквивалентно равенству A.11).
Продифференцировав с помощью A.11) равенство
получим
таким образом,
= j&m • (L13)
С другой стороны, если мы используем формулу A.12), то получим
следовательно,
Ш\ - 9{qx)Dqf{x)-f{qx)Dqg{x)
) 9(х)д(дх) ■

§ 1. Квантовые производные 13
Формулы A.13) и A.14) эквивалентны, но в определенных условиях
одна может оказаться полезнее другой.
После вывода правил #-дифференцирования произведения и част-
частного естественно попробовать вывести квантовый аналог формулы для
производной сложной функции. Однако не существует общей формулы
для вычисления q-производной сложной функции. Исключением явля-
является дифференцирование функций вида f(u(x)), где и(х) = ах@, а, /3 —
константы. В этом случае
- /(ах?) aq^x15 - ах15 _ fjq^u) - f(u) u(qx) - u(x)
aqPx& — ax@ qx — x q$u — и qx — x
и отсюда
Dqf(u(x)) = (Dq?f)(u(x)) ■ Dqu(x). A.15)
В качестве иллюстрации того факта, что общей формулы для ^-произ-
^-производной сложной функции не существует, рассмотрим, например, и(х) =
= х + х2 или и(х) = sinx. Ни в одном из этих двух случаев величина
u(qx) не может быть выражена через и(х) простым способом, и поэто-
поэтому невозможно получить общую формулу для производной сложной
функции, аналогичную классической.
Закончим главу обсуждением того, почему в квантовом анализе ис-
используются символы hn q. Буква q имеет несколько значений:
• первая буква слова «quantum»,
• символ, обычно используемый для обозначения числа элементов
конечного поля,
• независимая переменная, используемая при разложении в степен-
степенные ряды.
Буква h используется как напоминание о постоянной Планка, ко-
которая является наиболее важной физической константой в квантовой
механике (физике микроскопического мира). Под «классическим» пре-
пределом понимают предельный переход при q —> 1 или h —> 0; здесь два
квантовых параметра обычно связаны соотношением q — eh.

§ 2. Обобщенная формула Тейлора для
многочленов
В классическом анализе функция /(ж), обладающая производными
всех порядков, называется аналитической при х = а, если ее можно
разложить в степенной ряд в точке х = а. Теорема Тейлора утверждает,
что этот степенной ряд имеет вид
п=0
Разложение аналитической функции в ряд часто позволяет распростра-
распространить определение функции на более широкие области значений пере-
переменной х. Так, например, разложение в ряд Тейлора функции ех можно
использовать, чтобы определить экспоненты комплексных чисел и квад-
квадратных матриц.
Нашей ближайшей целью является вывод ^-аналога формулы Тейло-
Тейлора. Но прежде чем сделать это, докажем следующее более общее и очень
важное утверждение.
Теорема 2.1. Пусть а — некоторое число, D — линейный оператор
на пространстве многочленов, a {Po(x),Pi(x),P2{x),...} — последова-
последовательность многочленов, удовлетворяющих условиям
(а) Ро(а) = 1 и Рп(о) = 0 для любого п^\,
(с) DPn(x) = Pn-i{x) для любого п^1, и D(l) = 0.
Тогда для любого многочлена f(x) степени N справедлива обобщенная
формула Тейлора ,
N
f(x) = ^>2{Dnf)(a)Pn(x). B.2)
71=0
Доказательство. Заметим, что из условий (а) и (Ь) следует равенст-
равенство Ро(х) = 1. Пусть V — пространство многочленов степени, не превыша-
превышающей N. Ясно, что dim V — N + 1. Многочлены Ро(х), Р\ (ж),..., Pn{x)
принадлежат пространству V и, кроме того, линейно независимы, по-
поскольку по условию (Ь) их степени строго возрастают. Следователь-
Следовательно, они образуют базис пространства V, и поэтому любой многочлен

§ 2. Обобщенная формула Тейлора для многочленов 15
f(x) € V может быть представлен в виде
N
г) B.3)
fc=O
для некоторых однозначно определенных коэффициентов ск.
Полагая х = а и используя условие (а), получаем с0 = f{a).
Применим теперь п раз оператор D к обеим частям уравнения B.3),
где 1 ^ п ^ N. Тогда из условий (Ь) и (с) легко получить равенство
N N
(Dnf)(x) =
Положив в нем х = а и воспользовавшись условием (а), получим
cn = (Dnf)(a), O^n^iV,
N
и, тем самым, f(x) = £ (Dnf)(a) Pn{x). □
п=0
Пример. Если
i-i d г, / \ (х — а)п
то все три условия теоремы 2.1 выполнены. В этом случае разложе-
разложение Тейлора можно рассматривать как переразложение многочлена по
степеням разности х — а.
Легко видеть, что если для данного оператора D последователь-
последовательность многочленов, удовлетворяющих условиям (а), (Ь) и (с) теоре-
теоремы 2.1, существует, то она определена единственным образом. Кроме
того, если оператор D отображает пространство многочленов степени
п на все пространство многочленов степени п — I, то такая последова-
последовательность всегда существует.

§ 3. q-аналог бинома (х — а)п для целого п
и g-производные биномов
Как было отмечено в § 1, Dq является линейным оператором на
пространстве многочленов. Попытаемся применить теорему 2.1 к D = Dq.
Нам потребуется следующий ^-аналог числа п\:
г II J ^' если п — О,
|>] [*!] [!] еслип^1 ( ' }
Пусть а = 0. Тогда для оператора D = Dq несложно подобрать
последовательность многочленов {Р0(х), Pi (x),P2{x),...}, удовлетворя-
удовлетворяющую условиям теоремы 2.1:
Рп(х) = j£ C.2)
В самом деле,
(a) Ро@) = 1, Рп@) = 0 для п ^ 1,
(b) deg Pn=n,
(c) используя формулу A.10), получим для п ^ 1 равенство
Будем теперь искать последовательность многочленов Рп(х) для про-
произвольного а^О. Легко проверить, что многочлены Рп(х) = (х—а)п/[п]\
не удовлетворяют условиям теоремы 2.1: например, Dq(x — аJ/[2]! ф
фх — а. Найдем несколько первых многочленов Рп(х) и попробуем уга-
угадать общую формулу.
Ясно, что
Ро(х) = 1.
Из равенств DqP\(x) — 1 и Р\(а) = 0 очевидным образом следует, что
Р\(х) = х — а.

§ 3. g-аналог бинома (х — а)п для целого п 17
Далее, чтобы выполнялись соотношения DqP2(x) = х - о и P2W =0,
должно иметь место равенство
г> / \ ^2 д2 , 2 (х — а)(х — да)
Аналогично
г ч _ (х -а) (х- да) (х - д2а)
3lj~ [2][3]
и т. д. Естественное предположение состоит в том, что
( , _ (a:-a) (a:-go)... (a:-g"^
г{х) — гт^
F.6)
Заметим, что эта формула согласуется с C.2) при а = 0. Прежде чем
проверить, что для последовательности многочленов C.3) в самом деле
выполняется условие (с) теоремы 2.1, введем новое обозначение.
Определение. Положим
\ 1 при п = 0,
q 1 (х — а) (х — да)... (х — дп~1а) при п ^ 1.
Этот многочлен является д-аналогом многочлена (х — а)п.
Предложение 3.1. При п ^ 1 имеет место равенство
Доказательство. При п = 1 формула очевидным образом справед-
справедлива. Предположим по индукции, что Dq(x — а)£ = [к] (х — а)^1 при
некотором целом к. Согласно определению (х — а)£+1 = (х — а)£ (х — дка).
Используя формулу дифференцирования произведения A.12), получаем
Dq{x - a)kq+l = (x- a)kq + [дх - дка) Dq{x - а)к =
= {х-а)к + д(х- дк~га) • [к] {х - а)к~х =
Следовательно, равенство C.5) выполняется и для п = к + 1. □
Итак, равенство Dq(x — a)" = [n] (x — а), доказано. Теперь рас-
рассмотрим некоторые другие свойства многочленов (х — а)™.

§ 3. д-аналог бинома {х — а)п для целого п
В общем случае, как легко проверить, (х — а)™+п ф{х — а)™ (х — а)™.
Вместо этого выполняется равенство
{х - а)™+п = (x-a){x-qa)...{x- ^ma) x
х (х - qma) {x - ?m+1a) ...(x- qm+n-la) =
= (х — а) (х — qa)... (х — ^m~1a) x
х [х - qma) (х - Ч{Чша)) ...{х- qn-\qma)),
откуда
(х - <+n = (x- a)?(x - q^a)". C.6)
Определим теперь (х — а)™ для отрицательных целых чисел п так,
чтобы формула C.6) была справедлива для любых целых тип. Для
этого заметим, что если в C.6) подставить т = —п, где п > 0, то должно
выполняться равенство
которое мы примем за определение (х — а)~п. Два следующих предло-
предложения показывают разумность этого обобщения.
Предложение 3.2. Для любых двух целых числел тип справед-
справедливо равенство (З.б).
Доказательство. Случай, когда т > 0 и п > 0, уже рассмотрен, а
случай, когда одно из чисел тип равно нулю, тривиален.
Пусть сперва т = — т' < 0 и п > 0. Тогда
(х - о)™(х - (?т< = (ж - а)-т (х -
)"-m>
{(x-qm'(q-m'a))"
1
— —, п < т',

§ 3. g-аналог бинома (х — а)п для целого п 19
Пусть теперь m > 0 и п = -п' < 0, тогда
= {х- а)™{х - qmaOn' =
(х - qm-n'а)%'
m ^ п',
(Х - дтп-п>а)п>
1 , =
; п,_ш , ТП < П ,
— (х — аУп~п' — (х — аУп^гП
Наконец, если га = —га' < 0 и п = —п' < 0, то
(х - q-n'-™'a)${x - qn'tq-n'-n'a))™' ~ (х - q-n'-ш'а)^+т/
Следовательно, равенство C.6) справедливо для любых целых чисел га
и п. □
Теперь хотелось бы убедиться в том, что предложение 3.1 верно для
любого целого числа п. Но прежде чем доказать это, необходимо опре-
определить величину [п] (см. A.9)) для большей области значений перемен-
переменной п.
Определение. Для любого действительного числа а положим
М = Йг- C-8)
Предложение 3.3. Для любого целого числа п выполняется равен-
равенство
Dq{x-a)nq=[n]{x-a)nq-\
Доказательство. При положительных целых п утверждение дока-
доказано в предложении 3.1. Заметим, что [0] = 0, поэтому равенство C.8)
справедливо для п = 0.

20 § 3. д-аналог бинома (х — а)п для целого
Для п = -п' < 0 применим A.13) и C.7). Получим
=
(х - q-n'a)${qx - q~n>a)$ qn' (x - q~n>а)Ц'{х - q-n'-la)$
-1 (x-q-la)(x-q-n'-la)%' q-1 (x - q-n'-la)%'+1
что и требовалось. □
Предложение 3.3 нельзя применить непосредственно, для того чтобы
найти ^-производные функций
(а_х)п
поскольку, например, (а — х), Ф (—1)™(х — а)д.
Однако, нетрудно видеть, что при п ^ 1 имеет место соотношение
(а — х)д = (а — х) (а — qx) (а — q2a)... (а — qn~lx) =
= {a-x)-q {q-la - х) ■ q2 {q~2 - x)... q"'1 {q-n+1a - x) =
= (-1)" g^"-1)/2 {x - q-n+1a)... (x - q-2a) {x - q^a) (x - a),
иными словами,
(a - x)nq = (-l)»^-1)/2^ - q-n+la)nq. C.9)
Нетрудно проверить, что равенство C.9) справедливо и для всех осталь-
остальных целых чисел п ^ 0.
Закончим эту главу вычислением ^-производных функций
Из равенства C.7) следует, что
Дважды применив формулу C.9), получим
Dq(a - x)nq = (-1) V("-D/2 ■ [n] (x - Q-^Mr1 =
- -[n] qn~l (q-'a - x)^1 = -[n] (a - qx)^1.

§ 3. g-аналог бинома (х — а)п для целого п 21
Наконец, используем формулу для дифференцирования частного A.13):
Da
]{a-x)^ (a - x)% (a - qx)% (a - x)J" (a - qnx) (a - x)\
Итак, для любого целого числа п выполняются равенства
ь] (а — qx)™ г, C.11)

4. ^-формула Тейлора для многочленов
Как было показано в предыдущем параграфе, последовательность
многочленов Рп(х) = (х — о>)%/[п}\ удовлетворяет условиям теоремы 2.1
относительно линейного оператора Dq. Следовательно, любой много-
многочлен допускает ^-разложение Тейлора.
Теорема 4.1. Зафиксируем произвольное число с. Тогда для любого
многочлена f(x) степени N имеет место q-разложение Тейлора:
щ&^. D.1)
3=0
Пример. Пусть f(x) = хп, где п — положительное целое число,
а с = 1. При j ^ n имеем
(Dif)(x) = [n] Щ-1!»-1 = [п] [п - 1] Di~2xn-2 = ...=
= [n}[n-l}...[n-j + l]xn-j D.2)
и, следовательно,
(D{№) = [п] [п - 1]... [п - j + 1]. D.3)
Поэтому g-формула Тейлора для /(ж) = х" и с = 1 принимает вид
j=0 j=0
Будем называть q-биномиальными коэффициентами величины
п] [ra][n-l]...[n-j + l] [га]1
В § 7 мы приведем красивую комбинаторную интерпретацию уравнения
D.4).
Легко видеть, что ^-биномиальные коэффициенты при q —> 1 стре-
стремятся к обычным биномиальным коэффициентам, а равенство D.4) пре-
превращается в обычную формулу бинома. В следующих двух параграфах
мы изучим свойства ^-биномиальных коэффициентов более подробно.

§ 5. Бином Гаусса и некоммутативная
формула бинома
В этом параграфе мы получим две формулы бинома, содержащие
g-биномиальные коэффициенты. Рассмотрим сперва пример, подобный
приведенному в предыдущей главе.
Пример. Пусть число а произвольное, а число п неотрицательное
целое. Разложим f(x) = (х + а)™ в точке х = О, используя ^-формулу
Тейлора. По аналогии с D.2) для j ^n имеем
(Dj/)(i) = [n] [п - 1]... [п - j + 1] (х + о)?"*. E.1)
Напомним, что
(х + а)™ = {х + а) (х + qa).. .(х + ^та).
При х = 0 правая часть этого равенства принимает вид
(a)(qa)...(qm-1a)=qm(-m-1V2am.
Применим это наблюдение к E.1) и получим, что для j ^n выполняется
соотношение
(Dj/)(O) = [n] [п - 1]... [п - j + 1] g("-J)("-^-1)/2 о""'. E.2)
Таким образом, ^-формула Тейлора дает равенство
(х + a)nq =^%^-Mn-j-i)/2an-JaJm E.3)
3=0
Заметим, что для ^-биномиальных коэффициентов выполняется равен-
равенство
п 1 =_NL_= \n] E.4)
аналогичное равенству для обычных биномиальных коэффициентов.
Тогда равенство E.3) можно переписать в виде
(х + < = V [" VCi-D/Vs»-'. E.5)

24 § 5. Бином Гаусса и некоммутативная формула бинома
Формула E.5) называется формулой бинома Гаусса. В следующих гла-
главах мы будем неоднократно ею пользоваться.
Теперь обратимся к другой (хотя и имеющей отношение к предыду-
предыдущей) теме. Как известно, умножение вещественных чисел коммутатив-
коммутативно, т. е. ху = ух. Так же хорошо известно, что в более общих случаях,
например, для умножения матриц или композиции операторов, условие
коммутативности нарушается.
Пример. Пусть х и Mq — операторы, действующие на пространстве
функций по формулам
Mq[f{x)\ = f(qx). E.6)
Тогда для любого многочлена f(x) имеем
Mqx[f(x)} = Mq[xf(x)} = qxf(qx) = qxMq[f(x)},
поэтому
Mqx = qxMq. E.7)
Следующая теорема содержит некоммутативную формулу бинома
для (х + уO1, где элементы х и у удовлетворяют специальному переста-
перестановочному соотношению, аналогичному E.7).
Теорема 5.1. Если ух — qxy, где q — величина, коммутирующая
как с х, так и с у, то
j=0
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по п. Равен-
Равенство E.8) очевидным образом справедливо при п = 1. Заметим, что
ykx = qyk~lxy = q2yk~2xy2 = ... = qkxyk. Кроме того, нам понадобится
^-формула Паскаля

§ 5. Бином Гаусса и некоммутативная формула бинома 25
которая будет доказана в следующем параграфе (см. F.3)). С учетом
вышесказанного имеем
=0
n
n+1
= E ^n-
j=o
- J + ["])^2/П
Таким образом, теорема доказана. □

§ 6. Свойства g-биномиальных
коэффициентов
В этом параграфе мы изучим некоторые свойства ^-биномиальных
коэффициентов. Напомним, что они определяются формулой D.5), в ко-
которой п и j — неотрицательные целые числа, причем п^ j. Поскольку
при переходе к пределу при q —* 1 мы получаем обычные биномиаль-
биномиальные коэффициенты, хотелось бы проверить, похожи ли их собственные
свойства на свойства ^-аналогов. Прежде всего, напомним равенство
(см. E.4))
И - И! _ Г " ] (б1)
которое буквально повторяет аналогичное равенство для обычных би-
биномиальных коэффициентов. Однако формула Паскаля
не допускает такого буквального обобщения. Например,
Предложение 6.1. Имеют место следующие два q-аналога фор-
формулы Паскаля:
где 1 ^ j; ^ п — 1.
Доказательство. Поскольку при любом j, I ^ j ^ п — 1, выполня-
выполняются равенства
= A+ q + ...

§ 6. Свойства g-биномиальных коэффициентов 27
мы получаем
[J]
что дает равенство F.2). С помощью F.1) легко получить оставшееся
равенство F.3). В самом деле,
[! = [ .1 [ г
Ы in-ji Ln-j-lJ
Следствие 6.1. Каждый q-биномиальный коэффициент является
многочленом от q степени j{n—j), причем его старший коэффициент
равен 1.
Доказательство. Для любого неотрицательного целого п выполня-
выполняется равенство
тем самым, для j = 0 и j = n следствие доказано. Применив предло-
предложение 6.1 и индукцию по п, получим, что для любого j, 1 ^ j ^ п — 1,
коэффициент . является суммой двух многочленов.
С другой стороны, согласно определениям D.5) и A.9) ^-биномиаль-
^-биномиальный коэффициент можно представить в виде
Ы (qj-l)(qi-l-l)...(q-
(qj-l)(qi-l-l)...(q-l) '
Поскольку I — многочлен от q, числитель дроби в F.4) делится на
знаменатель без остатка. Старшие коэффициенты числителя и знаме-
знаменателя равны 1, поэтому то же самое справедливо и для частного.
Наконец, степень . относительно q равна разности степеней числи-
числителя и знаменателя, т. е. (n+(n-l)+.. .+(n-j+l))-(j+(j-l)+.. .+1) =
= (n-J) + {n-j) + ... + (n- j) =j{n- j). □
Из явного выражения F.4) для ^-биномиального коэффициента мож-
можно сделать еще один вывод. Зная, что коэффициент — это многочлен
от q степени j (n — j), положим
«о + aiq + ... + aj{n4)_iq^n-rt-1 + aj{n4)qHn-fi =

28 § 6. Свойства g-биномиальных коэффициентов
Если мы заменим в этом равенстве q на \jq и умножим обе стороны на
qi(n~i\ то, как легко проверить, его правая часть не изменится, в то
время как левая часть окажется равной
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях q, получим, что
коэффициенты представления . в виде многочлена по степеням q
симметричны, т. е. сц = a^n-j)-i.
Подобно обычным биномиальным коэффициентам, ^-биномиальные
коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию. Одну из них
приведем сейчас, а другую — в следующей главе.
Теорема 6.1. Пусть Ап — {1,2,... ,п}; и пусть srfnj — совокуп-
совокупность всех подмножеств множества Ап, состоящих из j элементов,
где О ^ j ^ п. Тогда
Доказательство. Докажем теорему индукцией по п. Сперва рас-
рассмотрим случай п = 1. Если j = 0, то J2/1O = {0} и w@) = 0. Поэтому
правая часть F.5) равна единице и совпадает с левой частью равен-
равенства. Если j — 1, то единственным элементом множества srf\,\ является
А\ = {1}, причем ги({1}) = 1. В этом случае и левая, и правая части
равенства F.5) также равны единице.
Предположим, что равенство F.5) выполняется для всех п, не пре-
восходяшдх т — 1, где т ^ 2, и всех j. Пусть п = т. Случай j• = 0 рассма-
рассматривается аналогично случаю п = 1, j — 0, описанному выше. Для j ^ 1
разобьем ^/mj на две части: «^m,j — ЗВ^Зё1, где & = {S е я/mj - т £ S}
и 9S1 = {S € s&mj' rn e S}. Элементами множества в& служат подмно-
подмножества множества Am_b состоящие из j элементов, т. е. 2ё — ^/m-ij-
Элементами множества SB1 являются j-элементные подмножества мно-
множества Ат, каждое из которых содержит «тп». Выбросив из каждого
такого подмножества элемент «т», получим, что в качестве элементов
множества &$' можно рассматривать подмножества множества Am_i,
содержащие в точности j - 1 элементов. Отсюда следует, что правая

§ 6. Свойства g-биномиальных коэффициентов 29
часть равенства F.5) может быть записана в виде
V^ qW(S)-j(j+l)/2 + V^ qW(S)-j(j+l)/2 =
# qm-j =
Здесь в последнем равенстве мы использовали одну из ^-формул Пас-
Паскаля F.3). □
Для дальнейшего заметим, что, используя равенство C.8), опреде-
определение ^-биномиального коэффициента можно обобщить по аналогии с
обычным биномиальным коэффициентом:
..[g-j + l] ( ,
Га] _ [a][a
где а — любое число, a j — неотрицательное целое число.

§ 7. g-биномиальные коэффициенты и
линейная алгебра над конечными полями
В этой главе мы приведем еще одну комбинаторную интерпретацию
^-биномиальных коэффициентов.
Теорема 7.1. Пусть конечное поле ¥q состоит из q элементов,
в частности, q — степень простого числа. Тогда
. = число j-мерных подпространств
в п-мерном векторном пространстве F™. G.1)
Прежде чем доказывать эту теорему, напомним некоторые основ-
основные определения и конструкции линейной алгебры. Совокупность век-
векторов в векторном пространстве V над полем F называется подпро-
подпространством, если она содержит нулевой вектор и замкнута относительно
операций сложения векторов и умножения вектора на произвольные
скаляры. Совокупность линейно независимых векторов подпростран-
подпространства называется его базисом, если линейная оболочка этих векторов
совпадает со всем подпространством. Подпространство конечномерно,
если количество элементов его базиса конечно; при этом два базиса
содержат одинаковое количество элементов, и это число называется раз-
размерностью подпространства. Нульмерное подпространство единствен-
единственно — оно состоит только из нулевого вектора: {0}. Одномерное под-
подпространство натянуто на один ненулевой вектор: {av: v ф 0,а £ F},
двумерное подпространство натянуто на два линейно независимых век-
вектора: \av\ + bv2'- V\,V2 линейно независимы,а,Ъ £ F}, и т. д. Векторное
пространство F™ состоит из всевозможных упорядоченных наборов вида
где ai e Fg, г — 1,... ,п. Так как |Fg| = q, существует в точности qn
таких наборов, тем самым, |F£ | = qn.
Доказательство теоремы 7.1. Пусть V — F£. Случай j = 0 тривиа-
лен, так как =1 и существует лишь одно нульмерное подпростран-
подпространс V
ство в V.

§ 7. g-биномиальные коэффициенты и линейная алгебра 31
Пусть j > 1. Подпространство однозначно определяется своим бази-
базисом. Разумеется, в одном и том же подпространстве базис может быть
выбран многими способами. Вычислим вначале количество всевозмож-
всевозможных наборов, состоящих из j линейно независимых векторов простран-
пространства V, а затем выясним, какие наборы образуют базисы одного подпро-
подпространства в V. Пусть такой набор состоит из векторов vi,...,Vj. Первый
вектор V\ может быть любым из qn — 1 ненулевых векторов. Вектор г>2
может быть любым вектором, не принадлежащим подпространству, на-
натянутому на г>1. Так как любое одномерное подпространство V состоит
в точности из q элементов, существует qn — q возможностей для вы-
выбора второго базисного вектора. Далее, число способов выбора векто-
вектора г>з равно qn — q2, поскольку он может быть любым вектором, не при-
принадлежащим подпространству, натянутому на v\ и^, содержащему q2
элементов. В общем случае после выбора г-ro базисного вектора число
векторов в подпространстве, натянутом на первые г базисных векторов,
равно ql, поэтому имеется в точности qn — ql возможностей для выбора
(г + 1)-го базисного вектора. Таким образом, число различных способов
выбора j линейно независимых векторов в пространстве V = F™ равно
(qn - 1) (qn - q) (qn - q2)... (qn - q^1). G.2)
Ясно, что линейные оболочки таких наборов из j линейно независи-
независимых векторов могут совпадать. Количество всевозможных различных
базисов в отдельном j-мерном пространстве, как легко видеть, задается
выражением G.2) при п = j:
Разделив G.2) на эту величину, мы получим число различных j -мерных
подпространств в V:
(qj - 1) (qi - q) (qi - q2)... (qi - qJ-1)
Я 'Я2 ■ • • J-1 • (Qn ~ 1) (Я71'1 -!)■•■ (ЯП-Ш ~ 1) = \n]
[j
= \n]
[jl
согласно формуле F.4). □
Подобно формуле Паскаля, многие тождества, включающие биноми-
биномиальные коэффициенты, имеют д-аналоги. Представим, что у нас есть
т + п шаров и они разделены на две группы: в одной т шаров, а в
другой п. Каждый способ выбора к шаров из всех т + п соответствует

32 § 7. q-биномиальные коэффициенты и линейная алгебра
в точности одному способу выбора j шаров из группы с т шарами и вы-
выбора к — j шаров из группы в п шаров, где j — некоторое число от О
до к. Обратное тоже верно, поэтому мы имеем следующее тождество
для биномиальных коэффициентов:
Пример. Получим ^-аналог тождества G.3), используя комбина-
комбинаторную интерпретацию ^-биномиальных коэффициентов, приведенную
в теореме 7.1.
Пусть V — ¥т+п и Vm С V — фиксированное подпространство раз-
размерности т. Подсчитаем количество fc-мерных подпространств в V сле-
следующими способами. Во-первых, по теореме 7.1 это число равно
Во-вторых, пусть W — некоторое fc-мерное подпространство в V. Как
пересечение двух подпространств, Wn Vm также является подпростран-
подпространством, причем его размерность j удовлетворяет неравенству 0 ^ j ^ к.
Подпространство W можно рассматривать как расширение подходяще-
подходящего J-мерного подпространства в Vm. Допустим, что такое подпростран-
подпространство W с Vm, dim W = j, выбрано. Выберем векторы v\,..., Vk-j так,
чтобы для всех г вектор vi не содержался в подпространстве, натянутом
на Vm, v\,..., Vi-i. Тогда пространство W, натянутое на W, v\,..., Vk-j,
очевидно, А:-мерно, причем его пересечение с Vm совпадает с W. Ясно,
что любое А:-мерное подпространство W в V, для которого WTlV^ = W,
получается таким образом.
Заметим, что v\ можно выбрать из q17l+n — qm векторов, не принад-
принадлежащих Vm, г>2 можно выбрать из qm+n — gm+1 векторов, не принадле-
принадлежащих подпространству, натянутому на Vm и v\, и т. п. Следовательно,
существует
различных способов выбрать векторы v\,..., Vk-j.
Теперь нужно подсчитать количество различных способов выбора
векторов vi,...,Vk-j, приводящих к одному и тому же подпростран-
подпространству W. Так как dim W = к и dim W — j, это число равно
-qj+1)...(gk-Qk-1)- G-5)

§ 7. ^-биномиальные коэффициенты и линейная алгебра 33
Тем самым, число различных подпространств W размерности к, полу-
полученных расширением данного подпространства W размерности j, равно
qrnqrn+l
Ik-ji
Поскольку существует . различных способов выбора W, а любые
два различных из них порождают различные пространства W, получа-
получаем равенство
которое является ^-аналогом тождества G.3).
Пример. Напомним, что ^-разложение Тейлора функции f(x) = хп
в точке х = 1 имеет вид (см. D.4))
j=0
Получим еще одно, на этот раз комбинаторное, доказательство этой
формулы. Для этого покажем, что это равенство справедливо при х — qm,
где т — произвольное натуральное число. Отсюда легко вывести, что
тогда равенство справедливо для всех х. В самом деле, обе части дока-
доказываемого равенства являются многочленами от х. Если же для много-
многочленов f(x) и д(х) равенство f(x) = g(x) выполняется для бесконечно
многих значений х, то разность h(x) = f(x)—g(x) имеет бесконечно мно-
много нулей, что возможно только если многочлен h тождественно равен
нулю.
Пусть пит — положительные целые числа. Обозначим через У
множество линейных отображений А = F™ в В = F™. Предположим,
что векторы {ei,... ,еп} образуют базис пространства А. Если задано
какое-либо линейное отображение Г Е У, то образ Т(е*) может быть
любым из qm векторов пространства В, где 1 ^ к ^ п. В то же время,
если векторы Т(ек), 1 ^ к ^ п, выбрать произвольно, то вместе они
единственным образом определяют Т. Поэтому число элементов мно-
множества 5? равно #J^ = (qm)n, что совпадает с левой частью равенства

34 § 7. g-биномиальные коэффициенты и линейная алгебра
D.4) при х = qm. С другой стороны, ясно, что
(число отображений из S? ранга j).
3=0
Покажем, что j-e слагаемое в этой сумме равно . Uqm — lKq. Заметим,
что ранг отображения Т не может превышать га, что согласуется с тем,
что (q171 — lKq = О при j > га. Следовательно, мы можем рассматривать
только такие j, для которых j ^ га.
Напомним некоторые свойства линейных отображений, которые нам
сейчас понадобятся. Если линейное отображение Г имеет ранг j, то его
образ W = Т(А) С В является j-мерным подпространством. Кроме
того, при этом пространство А разлагается в прямую сумму двух под-
подпространств А = V 0 К, где dim V = j и dimiif = n — j, причем Г
отображает V на W взаимно однозначно, а К — {у G A: T(v) = 0}.
Иначе говоря, любой вектор из А можно единственным способом пред-
представить в виде суммы двух векторов так, что один из них принадле-
принадлежит V, а другой — К. Это разложение пространства А можно постро-
построить следующим образом. Выберем векторы щ,... ,Uj G А так, чтобы их
образы под действием Т образовывали базис пространства W. Посколь-
Поскольку образы векторов щ,..., Uj линейно независимы, сами эти векторы
также линейно независимы. Обозначим через V пространство, натяну-
натянутое на ui,...,Uj. Для любого v G А вектор T(v) содержится в W и,
следовательно, разлагается по базису Т(щ):
для некоторых п{. Пусть г/ = ]Г а*^. Тогда г/ G V и T(v — v') = 0, сле-
следовательно, v — v'eK. Таким образом, v = vf + (v — г/). Легко показать,
что К является подпространством. Далее, заметим, что T(V) = W, при
этом пространства V и W содержат qp векторов. Следовательно, Г —
взаимно однозначное отображение на V, и поэтому г/ является един-
единственным таким вектором в V, что T(v) = T{v'), из чего следует един-
единственность разложения.
Вернемся к доказательству нашей формулы. Отображение Т можно
задать, выбрав подпространства V С AylW С В, а также взаимно од-
однозначное отображение V в W. По теореме 7.1 число возможностей для
выбора подпространств V и W равно . . . Теперь предположим,
что попространства V и W заданы. Пусть {щ,... ,Uj} — базис в V. Учи-
Учитывая, что Т — взаимно однозначное отображение, легко видеть, что

§ 7. ^-биномиальные коэффициенты и линейная алгебра 35
Т(и\) может быть любым из q3' — 1 ненулевых векторов пространства W,
Т(и2) может быть любым из q3 -q векторов W, не принадлежащих под-
подпространству, натянутому на T(ui), T(us) может быть любым из q3 —q2
векторов W, не принадлежащих подпространству, натянутому на Т(и\)
и Т(и2), и т. д. Следовательно, существует (q3 — 1) (q3 — q)... (q3 — q3~l)
способов отобразить Ув^ биективно. Поэтому число элементов в У
ранга j равно
3~г
г=0
г=0
что и требовалось доказать.
Из теоремы 7.1 следует, что количество всех подпространств вектор-
векторного пространства F£ равно
G.7)
Будем называть эту величину п-м числом Галуа. Если ^-биномиальные
коэффициенты заменить на обычные, то сумма в G.7) в точности бу-
будет равна 2П. Однако сами числа Галуа вычисляются не очень просто.
Следующее утверждение, принадлежащее Голдману и Рота, показыва-
показывает, что числа Галуа можно вычислять рекуррентно.
Предложение 7.1. Числа Галуа удовлетворяют рекуррентному
соотношению
Gn+1 = 2Gn + (qn - 1) Gn_i, G.8)
кроме того, Go — 1 и G\ — 2.
Доказательство. Пусть Рп{х) — (х — 1)^. Определим на простран-
пространстве многочленов линейную функцию L так, чтобы для любого неотри-
неотрицательного целого числа п выполнялось равенство
L{Pn(x)} = 1. G.9)
Такая линейная функция существует, поскольку многочлены (х—а)™ ли-
линейно независимы. Применив L к обеим частям равенства D.4), получим
[]
3=0 j=0

36 § 7. g-биномиальные коэффициенты и линейная алгебра
Заметим теперь, что Pn+i(z) == (х - qn) Рп(х) = хРп(х) - qnPn(x),
поэтому из линейности функции L следует соотношение
L{xPn(x)} = L{Pn+1(x)} + qnL{Pn{x)} = l + qn. G.11)
С другой стороны, из DgPn(x) = [n] Рп-\(х) вытекает, что
l + qn = 2L{Pn(x)} + (q-l) L{DqPn{x)}. G.12)
Из соотношений G.11) и G.12) получаем равенство
L{xPn{x)} = 2L{Pn(x)} + (q-l) L{DqPn(x)}, G.13)
справедливое при любом п ^ 0. Поскольку любой многочлен можно
представить в виде конечной линейной комбинации многочленов Рп(х),
равенство G.13) останется справедливым, если заменить Рп{х) любым
многочленом. В частности, если заменить Рп(х) на хп, получим
L{xn+l} = 2L{xn} + {q-l) L{[n]xn-1} = 2L{xn} + {qn - 1) Ljx71}.
Согласно G.10), отсюда следует G.8). □
Если выбрать линейную функцию I/ так, чтобы выполнялось равен-
равенство Lf{Pn} = tn, с помощью аналогичных рассуждений можно вывести
рекуррентную формулу
Ь'{хп+г} = (t + l)Lf{xn} +t{qn-
Определим последовательность многочленов fn(t) формулой
j=0
Тогда fn(t) = L'{xn}, и, следовательно,
fn+1(t) = (t + 1) fn(t) + (qn - 1) t/n_i(t), n > 1.
Заметим, что Gn = /n(l)- Поэтому, положив t = 1, получим новое до-
доказательство предложения 7.1. При t = — 1 рекуррентное соотношение
несколько упрощается:
Поскольку /о(—1) = 1 и /i(—1) = 0, при любом т ^ 0 имеют место
равенства
2тп
-iy [2m] = A - g2-1) A - q^~3)... A - q) G.14)

§ 7. g-биномиальные коэффициенты и линейная алгебра 37
2тп+1
E()[
Эти два тождества впервые были получены Гауссом. Их доказатель-
доказательство, приведенное нами, принадлежит Голдману и Рота.

§ 8. g-формула Тейлора для формальных
степенных рядов и формула бинома Гейне
Обратимся теперь к тождествам, содержащим бесконечные суммы
и произведения. Прежде всего, покажем, что при небольших ограниче-
ограничениях обобщенная формула Тейлора B.2) при а = 0 и, следовательно,
^-формула Тейлора D.1) при с — О могут быть применены не только
к многочленам, но и к формальным степенным рядам. Как обычно, мы
называем ряд
к=0
формальным, потому что нас не интересует его сходимость. Это дает
возможность некоторые операции с такими рядами определить фор-
формально. Например, производная формального степенного ряда опреде-
определяется почленным его дифференцированием. Кроме того, естественно
считать, что /@) = со, хотя во всех остальных точках ряд может расхо-
расходиться, оо
Для формального степенного ряда f(x) — ^2 скхк производную
Dqf(x) определим формулой к=0
Ясно, что
[k}lck = (Dq
= (Dkqf(x))@).
В частности, отсюда следует, что два формальных степенных ряда, ко-
которые сходятся в некоторой окрестности точки х = 0 к одной и той же
функции, равны почленно.
Теорема 8.1. Пусть па пространстве формальных степенных ря-
рядов задан линейный оператор D, а последовательность многочленов
{Р0(х):Р1(х),Р2(х),...}
удовлетворяет условиям теоремы 2.1 при а — 0. Предположим, кроме

§ 8. g-формула Тейлора для формальных степенных рядов 39
того, что степень младшего одночлена в Pj (x) стремится к бесконеч-
бесконечности при j —* оо. Тогда для любого формального степенного ряда f(x)
справедлива обобщенная формула Тейлора
71=0
Следствие 8.1. Для любого формального степенного ряда f(x) спра-
справедлива ^-формула Тейлора
Доказательство теоремы 8.1. В качестве несложного упражнения в
линейной алгебре читателю предлагается доказать, что любой формаль-
формальный степенной ряд f(x) можно единственным образом представить в виде
для некоторых постоянных величин Cj. При этом нужно использовать
условие, что степень младшего одночлена в Pj(x) стремится к беско-
бесконечности при j —► оо. Затем применим к этому равенству k-ю степень
оператора D и положим х = 0. Получим Ск = {Dkf)(O), что и требова-
требовалось. □
Пример. Рассмотрим функцию f(x) = 1/A — х)™. Используя де-
деление «уголком», легко показать, что f(x) представляется в виде фор-
формального степенного ряда. Найдем разложение функции f(x) в #-ряд
Тейлора. По формуле C.12) получаем
Тогда по индукции
[n][ra +
Следовательно, (D|/)@) = [п] [п + 1]... [п + j• — 1] при любом j ^ 1.
Поэтому имеет место равенство
AX) щ
которое является д-аналогом разложения в ряд Тейлора функции f(x)
= 1/A — х)п. Формула (8.1) называется формулой бинома Гейне.

§ 9. Тождества Эйлера и д-экспоненты
Теперь в нашем распоряжении имеются две формулы бинома, а имен-
именно, формула бинома Гаусса E.5) (где х и а заменены на 1 и х соответ-
соответственно)
3=0
и формула бинома Гейне (8.1):
JV- [n][n+l]...[ra + j-l] j
A-х)? ^ [j]!
Изучим, как ведут себя эти равенства в пределе при п —> оо. В клас-
классическом анализе, т. е. при q = 1, ответ не представляет большого инте-
интереса, поскольку в зависимости от х мы получим либо бесконечно боль-
большую, либо бесконечно малую величину. Однако в квантовом анализе
ответ будет принципиально другим. Например, при \q\ < 1 бесконечное
произведение
сходится к некоторому конечному пределу. Кроме того, если |д| < 1, то
lim [»1 = lim
(l-q)(l-q*)...(l-qJ)
откуда
w \\ ~( jv (9-2)
Отсюда видно, что поведение целых чисел и биномиальных коэффици-
коэффициентов при больших п совершенно отлично от поведения их д-аналогов.

§ 9. Тождества Эйлера и g-экспоненты 41
Применив соотношения (9.1) и (9.2) к формулам бинома Гаусса и
Гейне, мы получим два следующих тождества для формальных степен-
степенных рядов от х (в предположении, что \q\ < 1):
g"'A.)(,4(.rt- (9-3)
- (94)
Эти два тождества связывают бесконечные произведения и бесконеч-
бесконечные суммы. Они не имеют классических аналогов, поскольку ни одно
слагаемое в суммах не имеет смысла при q = 1. Интересно, что оба
тождества были открыты Эйлером, жившим до Гаусса и Гейне. Будем
называть (9.3) и (9.4) первым и вторым тождествами Эйлера соответ-
соответственно, а для краткости будем ссылаться на них как на тождества Е1
иЕ2.
Внимательно рассмотрев тождество Е2, легко увидеть, что в его пра-
правой части стоит выражение
,_0
j=0
которое похоже на разложение Тейлора классической экспоненты
e* = JTXj. (9.6)
j=o J'
Определение. Зададим формальный степенной ряд е* формулой
3=0 U1
будем называть его ^-аналогом классической экспоненты ех.
Из равенств (9.4) и (9.5) легко получить соотношение
ex/(l-q) _

42 § 9. Тождества Эйлера и д-экспоненты
или
Используя тождество Е1, аналогичным образом можно определить
другую ^-экспоненту.
Определение. Зададим формальный степенной ряд Eq формулой
и будем рассматривать его в качестве еще одного ^-аналога экспонен-
экспоненты ех.
Изучим простейшие свойства рядов eq и Eq. Производная классиче-
классической экспоненты совпадает с самой экспонентой. Выясним, что происхо-
происходит при дифференцировании с ^-экспонентами. Имеют место равенства
А ОО г ,л л_л ОО -_i
п рх - V DqX - V ^х Х^ х
h h h
D Ex _ f j(i
q q~u
u ш h
oo
поэтому
Dqexq=e*q и DqE* = El*. (9.11)
Заметим, что производная Eq не равна в точности ей самой.
Формулы (9.11) можно также получить, если перейти к пределу при
п —* оо в формулах
Do
П-1
Dg(l + A - q) x)nq = A - q) [n] A + q A - g) x)
Что можно сказать о произведении е*е^? В общем случае exqevq ф eq+y.
Но если х и у удовлетворяют перестановочному условию ух — qxy

§ 9. Тождества Эйлера и ^-экспоненты 43
(см. теорему 5.1), то exeyq = ех+у. Чтобы доказать это, преобразуем
произведение ^-экспонент следующим образом:
ОО jL\ OOOO -
гг^_ у )( у у \ ._ у у *3
qq ftwn^w; й^
Заменим теперь переменные j и А: соответственно на j и n = j; + А:.
Тогда если значение п фиксировано, то j пробегает все числа от 0 до п.
Применив теорему 5.1, получим
Следовательно,
exqevq — eq+y при условии ух = qxy.
В условие ух = qxy переменные х и у входят несимметрично, поэтому,
вообще говоря, evqexq ф exqevq.
Между двумя ^-экспонентами существует тесная связь. Например,
из равенств (9.9) и (9.10) следует, что
A - A - q) x)? = L (9ЛЗ)
е^ = 0-0- я)х)
Используя (9.3) и (9.4), получаем
еЬя =
j=u
j=0
откуда
(9-14)

§ 10. ^-тригонометрические функции
В классическом анализе хорошо известны формулы, связывающие
тригонометрические функции с экспонентой. Примем ^-аналоги этих
формул в качестве определения ^-тригонометрических функций.
Определение. Формальные степенные ряды
гх -гх pix p-ix
ix+E~ix
A0.1)
A0.2)
будем назвать ^-тригонометрическими функциями. Функции A0.1) яв-
являются g-аналогами синуса, а A0.2) — косинуса.
Из равенства (9.14) следует, что Sing х — sin^ х и Cosg х = cosx/g x.
Применяя (9.13), получаем
COSQ X LOSQ X =
ч ч
Лх nix , „—гх 771—гж . о
eq bq + eq bq +2
= — ~
л—гх тр—ix
\ Е
Следовательно,
cosg х Cosg x + sing x Sing x = 1, A0.3)
что является g-аналогом тождества sin2 x + cos2 x = 1. Читателю пред-
предлагается самостоятельно найти ^-аналоги других тригонометрических
тождеств.
Для вычисления производных ^-тригонометрических функций при-
применим формулу производной сложной функции A.15) для и(х) — гх,
а затем используем (9.11). В результате получим равенства
Dq sing x = cosg x, Dq Sing x = Cosg qx, (Ю.4)
Dq cosg x = — sing x, Dq Cosq x = — Sing ^x. A0.5)

§ 11. Тождество Якоби для тройного
произведения
Напомним, что соотношения (9.3) и (9.4) связывают бесконечные
произведения и бесконечные суммы. В этой главе мы используем их
для доказательства важного тождества, впервые полученного Якоби.
Несколько интересных его применений в теории чисел мы приведем
в следующих главах.
Теорема 11.1. Для \q\ < 1 имеет место равенство
пп ОО
qn2zn = Y[ (I - q2n) A + q2n~lz) A + q2n-lz~l), A1.1)
71=1
которое называется тождеством Якоби для тройного произведения.
Доказательство (Дж. Е. Эндрюс). Напомним тождество Е1:
71=0 J=0
Заменив в нем g на д2, а затем х на zq, получим
fid+,*-,)
Умножив обе части равенства на
71=1
приведем его к виду
71=1 j = ~OO ^ 71=0
Заметим, что в правой части равенства мы заменили нижний предел
суммирования на — оо вместо нуля. Сумма при этом не изменилась, по-
поскольку при отрицательном j для некоторого п ^ 0 выполняется равен-
равенство A - g2*+2i+2) = 0.

46 § 11. Тождество Якоби для тройного произведения
Вернемся к тождеству A1.2) и заменим в нем индекс суммирования j
на A;, q на д2, а х — на —g2j+2. Получим
K]i-q2)(l-q4)...(l-q2k)'
Подстановка этого выражения в равенство A1.3) дает
у
^^{1_q2ni_qi) {1_q2k)
-f f SJi-V-1? A14)
где последняя строка получена заменой индекса j на j - к. Теперь за-
запишем тождество Е2, в котором q заменено на q2, а х — на — qz~l:
(+9) ^{1qHlqy,_{
71—1 К — U
Из соотношений A1.4) и A1.5) следует равенство
-98п)A+«2п-1*)= Е (
71=1 j=-OO Ч 71=1
которое эквивалентно A1.1). □

§ 12. Классическая функция разбиения
и формула произведения Эйлера
Подстановки различных значений qnzB тождество Якоби для трой-
тройного произведения приводят ко многим интересным результатам. На-
Например, если положить q = q3/2 и z — —q~1^2 в формуле A1.1), то
получится равенство
71 = 1 71=1
которое называется формулой произведения Эйлера. Как показывают
результаты предыдущей главы, она справедлива при \q\ < 1. Отсюда
следует, что ее можно рассматривать как равенство формальных сте-
степенных рядов по q (см. § 8).
Используя обозначение
71=1
эту формулу можно также записать в виде
¥>(«) = £(-l)V", A2-2)
где коэффициенты
= Зп2 - п
называются пятиугольными числами. Читателю предлагается перемно-
перемножить несколько первых членов произведения Эйлера, чтобы убедиться
в том, что коэффициент при q€n получается равным (—1)п, в то время
как коэффициенты при остальных степенях переменной q равны 0.
Определение. Для п > 0 положим р(п) равным числу способов
представления числа п в виде суммы натуральных чисел без учета по-
порядка слагаемых. Пусть также по определению р@) = 1 и р(п) = 0
при п < 0. Функцию р{п), определенную для целых п, будем называть
классической функцией разбиения.

48 § 12. Классическая функция разбиения
Вычислим р(п) для небольших п. Ясно, что рA) = 1, поскольку су-
существует единственный способ представить 1 в виде суммы натураль-
натуральных чисел: 1 = 1; рB) = 2, потому что таких способов в точности два:
2 = 2и2 = 1 + 1; аналогично рC) = 3, рD) = 5 и т. д. Такой медленный
рост р(п) при малых значениях п обманчив; в действительности при
п —> оо имеет место асимптотическая оценка
р(п) ~ -±-е«^\
Таким образом, время, необходимое для перечисления всех разбиений
числа п, растет экспоненциально вместе с ростом п. Следующее утвер-
утверждение показывает связь tp(q) с классической функцией разбиения.
Предложение 12.1. Имеет место следующее равенство формаль-
формальных степенных рядов по q:
оо
^ ' ч п A2.4)
71 = 0
Доказательство.. Следующее рассуждение будет часто использо-
использоваться нами в дальнейшем. Пусть |д| < 1. Формула для суммы беско-
бесконечной геометрической прогрессии дает равенство
- = (l+g + g2+g3 + _) x
<p(q)
в котором все показатели степеней переменной q в n-м сомножителе
представляют собой неотрицательные целые кратные числа п. При раз-
разложении произведения в правой части в степенной ряд каждое слага-
слагаемое представляется в виде,qniq2n2q3ns ... — ^1п1+2п2+3п3+..^ где п. _
неотрицательные целые числа. Такое слагаемое равно qn, если п — \-П\ +
+ 2 • П2 + 3 • пз + •.. при некоторых щ. Тем самым, каждое слагаемое qn
соответствует какому-то одному способу представления п в виде суммы
натуральных чисел, а именно, суммы, в которой число г встречается
щ раз. Другой способ разбиения числа п дает еще одно новое слагае-
слагаемое qn. Поэтому коэффициент при qn в точности равен числу способов
разбиения п на натуральные. □
Такая интерпретация функции ip(q) позволяет применить тождество
Эйлера, чтобы получить соотношение между числами р(п).

§12. Классическая функция разбиения 49
Теорема 12.1. Для любого положительного целого числа п имеет
место равенство
р{п) =р(п-ег)+ р{п - e_i) - р(п - е2) - р{п - е_2) +
{п - е3) +р{п - е_3) - ..., A2.5)
где еп — пятиугольные числа, определенные формулой A2.3).
Доказательство. Из равенств A2.2) и A2.4) следует, что
Разложим правую часть в ряд по степеням q. Из равенства A2.6) сле-
следует, что коэффициент при qn, где п > О, должен быть нулевым.
С другой стороны, при перемножении рядов в правой части A2.6)
слагаемые, содержащие qn, имеют вид (—iyp(k)qn, где п = е3; + к для
некоторых целых j и к. Следовательно,
О = р(п - е0) - р(п - ei) - р(п - e_i) +
+ р{п - е2) + р[п - е_2) - р(п - е3) - р{п - е_3) + ..., A2.7)
что равносильно A2.5), поскольку ео = 0. П
Рекуррентная формула A2.5) очень удобна для быстрого вычис-
вычисления р[п). Например, рE) = рD) + рC) — р@) = 5 + 3 — 1 = 7,
рF) = рE) +рD) — рA) = 11, и т. д. Время, необходимое для вычис-
вычисления р[п) с использованием формулы A2.5), растет медленнее, чем п,
что, разумеется, гораздо эффективнее, чем перечисление всех разбие-
разбиений числа п.
Как подсказывает их название, пятиугольные числа еп имеют гео-
геометрический смысл. Иллюстрацией служит следующий рисунок:

50 §12. Классическая функция разбиения
Соединив n-е вершины на каждом луче, мы получим пятиугольники,
подобные друг другу. Число точек, попавших внутрь и на стороны п-го
пятиугольника, является n-м пятиугольным числом. Например, е^ — 5
и ез = 12. По индукции легко показать, что в общем случае для еп
имеет место формула A2.3).
Аналогичным образом можно определить m-угольные числа для лю-
любого т ^ 3. Из них наиболее часто используются треугольные числа
_ п(п + 1)
и, конечно, квадратные числа
В общем случае из геометрических соображений легко получить следу-
следующую формулу для m-угольного числа с номером п:
, пЧ л , п (тп — 2п — га + 4)
тп = {т- 2) Дп_1 + п = -^ L.
Тождества для треугольных и квадратных чисел, подобные форму-
формуле произведения Эйлера (см. A2.1) и A2.2)), также можно получить из
тождества Якоби для тройного произведения. Оба приведенные ниже
тождества были получены Гауссом до того, как Якоби открыл тожде-
тождество для тройного произведения.
Предложение 12.2. Имеет место равенство
71 = 0 71 = 1
Доказательство. Заменив в A1.1) и q, и z на д1/2, получим
Y, 9Ап = П 0- ~ 9") (! + 9") A + Яп~Х) = 2 П С1 " Ч2П) A + <?")•
716Z 71=1 71=1
ОО -1
Заметим, что Дп = Д_п_1. Поэтому J2 qAn = J2 qAn и
П = 0 71= —ОО
l-q2n)(l + Qn)- A2-9)
П = 0 71=1
Наконец, из равенства
оо °° 1 2n °° -I
71 = 1 71=1 71=1
требуемый результат вытекает очевидным образом. □

§12. Классическая функция разбиения 51
Предложение 12.3. Имеет место равенство
оо
2 I—г | — ft
(\ 71 II* /if) 1 1 \
—q) = I I . (lz.ll)
71=1
Доказательство. В равенстве A1.1) положим z = —1. Тогда
Е(
n=i
71=1 71 = 1
где в последнем равенстве мы использовали соотношение A2.10). □
Тождества A2.8) и A2.11) пригодятся нам позднее при изучении
разбиений целых чисел в суммы треугольных или квадратных чисел.
В качестве следствия выведем из равенства A2.10) один комбинатор-
комбинаторный факт, который заслуживает отдельного внимания. Произведение в
левой части A2.10) равно
поэтому в его разложении qn появляется в том и только в том случае,
когда п = а\ +а,2 + а>з -Ь..., где целые числа ai > 0 различны. Рассуждая
так же, как при доказательстве предложения 12.1, легко показать, что
коэффициент при qn — это число способов представить п в виде суммы
различных положительных целых чисел.
В то же время, произведение в правой части A2.10) равно
поэтому при разложении его в ряд по степеням переменной q каждое
слагаемое вида qn соответствует способу представления числа п в виде
суммы положительных нечетных чисел.
Таким образом, равенство A2.10) означает, что число способов раз-
разбиения числа числа п на различные натуральные числа равно числу
способов разбиения числа п на положительные нечетные числа.
В заключение этой главы мы ненадолго прервем обсуждение ^-ана-
^-анализа, для того чтобы ввести важную в теории чисел функцию d(n),
которая вместе с р(п) подчиняется рекуррентному соотношению A2.5).

52 § 12. Классическая функция разбиения
Для натурального числа п обозначим через d(n) сумму всех его
положительных делителей. Для отрицательных п будем считать, что
d{n) = 0.
Теорема 12.2. Для натурального числа п имеет место равенство
d(n) = d(n - ei) + d(n - e_i) - d(n - e2) - d(n - e_2) + ..., A2.12)
где мы считаем, что d@) = п, если оно входит в правую часть.
Доказательство. Рассмотрим производящую функцию
71=1
Изменив порядок суммирования, получим
П=1 77l|n 771=1 77l|n
oo oo
771=1 771=1 771 = 1
d
П A-
171 = 1 11 V
771 = 1
следовательно,
Используя равенство A2.2), получаем
Сравнивая коэффициенты при qn в обеих частях, получаем равенство
V"V -. \fc i/ ч I (—1)т+1ет> если п = ет для некоторого m e Z,
2^(-1) d(n-efc) = ^
^^ 10 в остальных случаях,
которое, как нетрудно проверить, совпадает с A2.12). □

§ 13. g-гипергеометрические функции
и формула Гейне
Для дальнейшего изучения бесконечных сумм и бесконечных произ-
произведений нам понадобится гипергеометрический ряд.
Определение. В классическом анализе гипергеометрическим ря-
рядом называется ряд
оо
F(x) = Y^cnxn, A3.1)
71=0
для которого
= К{п), Со = 1, AO.2J
где R — рациональная функция, знаменатель которой не обращается
в нуль для неотрицательных целых чисел.
Если функция R(t) задана, то коэффициенты сп определяются по
формуле
Например, если R(t) = 1, то сп = 1 для всех п и F(x) — сумма бес-
бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем х. Умножив t,
если это необходимо, на подходящую константу, можно с точностью до
постоянного множителя представить R(t) в виде
где числа а^, bj таковы, что а,{ ф bj для всех 1 ^ г ^ г и 1 ^ j ^ s, и при
этом ни одно из чисел bj не является неположительным целым.
Обозначение для гипергеометрического ряда, введенное Гауссом, со-
содержит всю информацию, необходимую для определения гипергеомет-
гипергеометрического ряда. Если ряд F(x) определен в соответствии с формулами
A3.1) и A3.2), а функция R(t) имеет вид A3.3), то будем писать
A3.4)

54 § 13. g-гипергеометрические функции и формула Гейне
что в явном виде равно
^ у ai(ai + 1)... @1 + n - 1)... ar (ar + 1) ■■■ (ar + n - 1) xn A35)
*—< h\(b\ 4- 1)... (&i +n — 1).. .bs (bs + 1)... FS +n - 1) n! * ^ ' ^
71 = 1
Например,
71=1
( + ) n_
n| x
71=1
Таким образом, многие важные функции являются частными случаями
гипергеометрического ряда.
Для гипергеометрического ряда существует ^-аналог, который был
введен Гейне. Будем предполагать, что \q\ ф 1.
Определение. Ряд
пхп A3.6)
71=0
будем называть q-гипергеометрическим рядом, если
£2±!=Д(д»), со = 1 A3.7)
и R(t) является рациональной функцией, знаменатель которой при t =
= 1, q, q2,... не обращается в нуль.
При п > 1 имеет место равенство
cn = R(l)R(q)...R(qn-1). A3.8)
В этом случае без ограничения общности рациональную функцию R
удобно рассматривать в следующей форме:
где п{ ф bj и bj ф q~n для всех целых чисел г, j, 1 ^ г ^ г, 1 ^ j ^ 5, и
п ^ 0. Тогда из равенства
П—1 71-1
П (° - Я4) = П (-«"'') (J " 9'а) = (-1)" Q-n(n-1)/2 (I - a)," A3.10)
j=0 j=0

§13. g-гипергеометрические функции и формула Гейне 55
следует, что
Будем использовать для g-гипергеометрического ряда обозначение, по-
подобное A3.4):
A3Л2)
Например, из равенств (9.3), (9.4), (9.8) и (9.10) следует, что
0Ф0
I; q; х] = £ ^"Г X" = A - х)Г = ^А«-1) A3.13)
oo
71 = 0
OO
71 (
— я
1
n-1)
)?
2L (i g) A _ x)oo ~ eq • A6.Ы)
Теперь рассмотрим следующий простейший ^-гипергеометрический
ряд:
^0[a;g;x] = l + f;|^|xn. A3.15)
Здесь для простоты мы пишем i<£>o[a;g;x] вместо 1Ф0 _;^;х . Если
а = qN, где iV — натуральное число, то
71=1
Воспользовавшись формулой бинома Гейне (8.1), окончательно получаем
1Фо[9*;9;*] = —^-тдг. A3.16)
U ~ x)q
Этот результат позволяет предположить, что верно следующее утвер-
утверждение.
Теорема 13.1. Для любого а справедлива формула Гейне
1Ф0[а;Я;х]={1{-_а^. A3.17)

56 § 13. g-гипергеометрические функции и формула Гейне
Доказательство. Нетрудно убедиться, что формула A3.17) справед-
справедлива при а = qN. В самом деле,
а это выражение равно 1Фо[а;^;х] согласно формуле A3.16).
Для завершения доказательства применим метод, который будет
нам полезен и в следующих главах. Заметим, что обе части равенства
A3.17) можно представить в виде степенных рядов по х:
71=0 ^ Ы 71=0
причем их коэффициенты с(а) и с'[а) — рациональные функции от а.
Из формулы A3.16) следует, что равенство сп(а) — cfn(a) выполня-
выполняется для всех п и для всех а = qN, где N — произвольное натуральное
число. Таким образом, для любого п разность сп — с'п является рацио-
рациональной функцией переменной а с бесконечным множеством нулей. Но
тогда она тождественно равна 0, поскольку число нулей рациональной
функции не может превосходить степени многочлена в ее числителе.
Следовательно, сп = с'п при любом п, что завершает доказательство. □

14. Обобщенный бином
Равенства A3.16) и A3.17) подсказывают следующее естественное
обобщение g-бинома на произвольные степени.
Определение. Для любого числа а положим
<1+< = <tw- A4Л)
Очевидно, что для положительных целых чисел а это определение
совпадает с первоначальным, заданным формулой C.4), а для отрица-
отрицательных целых — с определением, заданным формулой C.7). Следую-
Следующие два утверждения являются обобщениями предложения 3.2 и фор-
формулы C.11).
Предложение 14.1. Для любых двух чисел а и C имеет место
равенство
f +* A4.2)
Доказательство. Равенство A4.2) следует непосредственно из опре-
определения, поскольку
A + *)°° (l + qax)? = A + х)°°
(l + gas)§° (l + 9a+^x)§° A +
Предложение 14.2. Для любого числа а справедливо равенство
Доказательство. Непосредственное вычисление ^-производной дает
1 _
(q - 1)х ~
Остается вспомнить, что по определению [а] = — (см. C.8)). □

58 §14. Обобщенный бином
Предложение 14.2 позволяет нам вычислить g-ряд Тейлора для
A + х)д. В самом деле, используя правило дифференцирования слож-
сложной функции A.15), получаем
[a] • q [a - 1] • q2 [a - 2] A + g3*)- =
и, таким образом, D\ (I + x)q\x=Q = qi(-j~1)/2 [a] [a - 1]... [a - j + 1].
Следовательно,
3=0
j=0
а это равенство можно рассматривать как обобщение формулы бинома
Гаусса E.5).
Предложение 14.3. Для любого а имеет место равенство
Ы
Доказательство. Непосредственное вычисление ^-производной дает
D
1
A-х)- J (q-l)x
- x) - A - gQx) =
(l-x)°° " (<?-l)x (l-x)°+1 9-1 '
что и требовалось. □
Применяя это предложение, а также индукцию по j, легко пока-
показать, что
= [a][a + l]...[a+i-l]. A4.6)
х=0

§ 14. Обобщенный бином 59
Отсюда получаем следующее разложение в q-ряд Тейлора:
1
A-*)? =
Учитывая равенство A3.15) и подставив в числителе а вместо qa, мы
получаем новое доказательство формулы Гейне A3.17).

§ 15. Формула произведения Рамануджана
В этой главе мы применим формулу Гейне для доказательства заме-
замечательного тождества, открытого индийским математиком Рамануджа-
ном. Это тождество связывает двусторонний q-гипергеометрический
ряд с некоторым бесконечным произведением и имеет много интересных
применений в теории чисел, которые будут рассмотрены в следующих
главах.
Для доказательства формулы Рамануджана нам понадобятся нес-
несколько элементарных фактов из теории комплексных аналитических
функций. Формальный степенной ряд по 2, сходящийся в открытой
окрестности
D£ = {z: \z\<e}
комплексной плоскости при некотором г > О, называется аналитиче-
аналитической функцией в D£. Простейшими примерами аналитических функций
в £>оо, т. е. во всей комплексной плоскости, являются многочлены от z
с произвольными комплексными коэффициентами. Менее очевидный
пример аналитической функции в D^ дает ряд A + г)£°. Сходимость
этого ряда для всех z можно вывести из соотношения (9.3), применив
признак сходимости Даламбера. Легко показать^ что если f(z) и g(z) —
аналитические функции и а, Ъ £ С, то аналитическими являются функ-
функции af(z) + bg(z) и f(z)g(z). Кроме того, если функция f(z) аналити-
аналитическая, то функция l/f{z) также аналитическая при условии, что f(z)
не имеет нулей в D£.
оо
Ряд Y1 /п(^)> составленный из функций, аналитических в D£, cxo-
п=1
дится к аналитической функции в D£, если при всех п на D£ выполня-
выполняется оценка \fn{z)\ ^ Мп и при этом ряд ^ Мп сходится. В самом деле,
оо
коэффициенты ряда fn{z) = Y1 апш^ш можно представить как
гп—О
аптп = ЪН[ ^^
П
где интеграл берется по произвольной окружности радиуса г, 0 < г < е,
с центром в начале координат. Читатель, незнакомый с этой формулой,

§15. Формула произведения Рамануджана 61
может легко доказать ее, представив fn{z) в виде ряда и применив под-
подстановку 2 = гег<9, О < в < 2тг. Из этой формулы легко вывести, что
\а>пт\ ^ Мпг~ш. Но г можно выбрать произвольно близко к е, поэто-
поэтому \апт\ ^ Мпе~ш. Для каждого га ряд Ylanm сходится, поскольку
п
YHanm\ < Ме~т, где М — ^2Мп- Сумму ряда Ylanm обозначим ат.
п . п п
ОО
Тогда формальный степенной ряд /B) = Yl amZTn определяет ана-
аналитическую функцию в De. В самом деле, т~°
If!
тп=0 тп=0 Х
а последний ряд сходится при любом 2, \z\ < е. Такая же оценка \ат\ <
ОО
< Ме~т показывает, что ряд Yl fn{z) сходится к f(z) в De.
n=l
Аналитические функции обладают важным свойством, которое ана-
аналогично конечности множества нулей для многочленов: если аналити-
аналитическая функция f(z) имеет имеет бесконечное число различных нулей
2i, 22,... в D£, для которых Пш Z{ = 0, то f(z) является тождествен-
тождественным нулем. В самом деле, в противном случае можно было бы предста-
представить f(z) в виде
где сп ф 0. Так как f(zi) = Yl cjzi= 0? разделив на zf, для любого г
получим равенство
Сп + Cn+1Zi + Cn+22:? + • • • = 0.
Переходя к пределу при г —* оо, получим сп = 0, что противоречит вы-
выбору Сп. От условия lim zi = 0 здесь отказаться нельзя, так как суще-
существуют ненулевые аналитические функции, имеющие бесконечно много
нулей. Например, нулями функции ez — 1 являются числа 2тггп, где п —
любое целое число.
Рассмотрим двусторонний гипергеометрический ряд
оо - -
V—^
1 Н 1 ' 4.1 ) — / ^
п= —ос
для которого формулируется основной результат этой главы.

62
§ 15. Формула произведения Рамануджана
Теорема 15.1 (формула произведения Рамануджана). Пусть
выполняются ограничения
Ь , , .
\q\ < 1, \а\ > \q\, \b\ < 1 и
Тогда справедливо равенство
i*i(a,6;g;x) =
n=0 n-bqn)(l-- ) (l- -^-)(l-
\ а / V ах /
A5.1)
A5.2)
Доказательство (М. Измаил). Основная идея состоит в том, чтобы
сперва показать, что обе части равенства A5.2) являются аналитически-
аналитическими функциями переменной Ъ (при фиксированных а,рх)в непустой
области, определенной выражением A5.1) (т. е. области |Ь| < min{l, |аж|}).
Затем мы докажем равенство A5.2) при Ъ = qM, qM+l, qM+2,..., где М —
некоторое целое число. Отсюда будет следовать, что разность правой
и левой частей равенства A5.2) является аналитической функцией пе-
переменной 6, имеющей бесконечную последовательность нулей, сходя-
сходящуюся к нулю, и поэтому должна тождественно обращаться в нуль.
A — а)п °°
Положим fn(b) = ——7т^хп. Чтобы увидеть, что ряд £ fn(b)
сходится к аналитической функции от 6, достаточно показать, что fn{b) —
аналитическая функция при любом п € Ъ и что, кроме того, при п —► ±оо
имеет место оценка |/п(Ь)| < М±с± для некоторых с±, 0 < с± < 1,
и некоторых положительных констант М±.
Если п > 0, то A — 6)^ является многочленом от 6, который не обра-
обращается в нуль в рассматриваемой области, поскольку |Ь| < 1 и \q\ < 1.
Отсюда следует аналитичность функций fn{b) при п > 0.
Далее, при п —► оо имеем
(l-9na)x
Mb)
\-qnb
Поэтому выполняется оценка |/п+1F)| < с+|/п(Ь)| для произвольного
фиксированного с+ G (|х|,1) и любого достаточно большого п. Следо-
Следовательно, \fn{b)\ < M+c+ при некотором подходящем М+ и всех доста-
достаточно больших п.
Подобным образом при п < 0 функция 1/A - Ь)£=A - ^пЬ)дП| явля-
является многочленом (см. C.7)), поэтому она аналитична. Кроме того,
/-n-i(b)
/-nF)
ax
< 1

§15. Формула произведения Рамануджана 63
при п —> +оо. Поэтому существуют константы с_ и М_, для которых
\fn(b)\ < М-С_ при всех достаточно больших по модулю отрицатель-
отрицательных целых п.
Для того чтобы показать, что произведение в правой части равен-
равенства A5.2) аналитично по 6, заметим, что сомножители в знаменателе
не обращаются в нуль в рассматриваемой области и что каждый со-
сомножитель либо не зависит от 6, либо имеет вид A + с&)£°, где с не
зависит от Ъ. Как было сказано выше, функция f(z) = A + z)£° анали-
тична в Dqq. Поскольку умножение аналитических функций и деление
на аналитические функции, не обращающиеся в нуль, приводят к ана-
аналитическим функциям, произведение в правой части равенства A5.2)
аналитично по Ь в рассматриваемой области.
Теперь выполним подстановку Ъ = qM, где М настолько велико, что
Ь принадлежит области, указанной в условии теоремы. Заметим, что
\—n
=0,
если п — —nf ^ — М. Отсюда видно, что левую часть равенства A5.2)
можно переписать в виде
п
О-*)?
— /у» -*■ ** *■* * X ~*1я /у»' * -_—.
где мы применили соотношение A4.2) при а = I — М и C = п. С по-
помощью формулы Гейне A3.17) и равенства C.7) полученное выражение
можно преобразовать к виду
г_м
A_х)ос
1-М
(

64 §15. Формула произведения Рамануджана
Для завершения доказательства сравним обе части равенства A5.2).
При подстановке в правую часть b = qM получим
A - дма-1)^ A - д)? A - да*)^ A - ах)~ =
A - qM)f A - qa~l)f (I - qMa~lx-l)f A - х)°°
Чтобы доказать, что A5.3) и A5.4) совпадают, остается проверить ра-
равенство
(l-9i-Ma)f-i- (l-^a-l^-1 { ]
или, что эквивалентно,
A - qa-1)^-1 = A - ga-^-1)^-1 A - ax)g°
X
M-id-^x)^ м-!
Если подставить в правую часть этого равенства х — 1, то результат
будет совпадать с выражением, стоящим в левой части, которая, заме-
заметим, от х не зависит. Поэтому нам остается доказать, что правая часть
равенства также не зависит от х. Преобразуем ее следующим образом:
A - да*-1) A - (fa-1!-1)... A - gM-1a-1x~1) Xм-1 ^_
A - ql~Max) A - q2~Max)... A - q-^ax)
— q~lax \ — q~2ax '" 1 — ql~Max
ax
полученное выражение не зависит от х, что и требовалось. • □
В формулу произведения Рамануджана входят три переменные: а, Ъ
и х. Один из важных частных случаев имеет место при а — у и b = qy.
В этом случае область A5.1) принимает вид
\q\ < \х\ < 1, \q\ < \у\ < \q\~\ A5.6)
Легко проверить, что она непуста. В этом случае левая часть равенства
A5.2) оказывается равной
nez H nez

§ 15. Формула произведения Рамануджана 65
поскольку для любых целых п выполняется соотношение
A - y)nq A - qny) = A - y)nq+l = A - у) A - qy)nq.
Наложим на у дополнительное ограничение \q\ < \у\ < 1, тогда выпол-
выполняются неравенства \qny\ < 1 при п^Ои \qny~1\ < 1 при п ^ 1. В этом
случае можно использовать формулу для суммы бесконечной геомет-
геометрической прогрессии, чтобы продолжить преобразование левой части
равенства A5.2):
Ъ l-qUy
,
1 qy 1 —
71=0 П= —1
1 qny 2-^ 1 — qny~1
71 = 0 71=1
i=0 m=0 n=lm=l
С другой стороны, произведение в правой части равенства A5.2) может
быть приведено к виду
°° '- nn+h2/, -1 -1яп+Ь
{l-q^Y{l-X-^y-\^l){l_xyqn)
ч . - yqn+l) A - x^1) A - у" V+1) A ~ Щп)'
71=0
Разделив обе части на 1 — у, получим
qmnxnym _
771,71=0 771,71=1
= ~ A - g"J A - х-^-^") A - худ")
71=1
Следовательно, в области |g| < \z\ < 1 выполняется равенство
со со
\ Л -,77171^771+^- \ ^ ^77171,.,, — 771 — 71
> q z — у q z =
771,71=0 771,71=1
71=1

66 § 15. Формула произведения Рамануджана
которое получается из A5.6) подстановкой х — у — z. Это равенство
можно упростить, выделив слагаемые с т = 0 или п — О в первой
сумме. Для этого заметим, что сумма этих членов равна
71=0 771=0
Поэтому, домножив обе части A5.7) на = — ^-, получим, что
1 -г £ 1 — z
при условии \q\ < \z\ < 1 выполняется равенство
qmn (zm+n _ z-m-nj =
771,71=1
_ ТТ A - qnJ A - z~2qn) A - z2qn)
71=1
Эти результаты играют важную роль в теоретико-числовых приложе-
приложениях, о которых пойдет речь в следующих двух параграфах.

§ 16. Разложения целого числа в суммы
двух и четырех квадратов
Одна из давних проблем теории чисел касается разбиения целого
числа в сумму квадратов некоторых целых чисел. Знаменитый резуль-
результат, впервые доказанный Лагранжем, состоит в том, что любое положи-
положительное целое число всегда можно представить в виде суммы четырех
квадратов. В этой главе мы получим доказательство этого результата
и выведем явные формулы Гаусса и Якоби для количества разбиений
целого числа в сумму двух и четырех квадратов.
Обозначим число способов представления целого числа N в виде
суммы т целых квадратов с учетом порядка слагаемых через Dm(JV).
Например, П2B) = 4, поскольку 2 представляется в виде суммы квад-
квадратов двух целых чисел с учетом порядка слагаемых четырьмя различ-
различными способами:
2 = I2 + I2 = (-1J + I2 = I2 + (-1J = (-1J + (-1J.
Также нетрудно видеть, что П2E) = 8. В самом деле,
здесь знаки в каждом слагаемом выбираются независимо.
Рассмотрим формальный степенной ряд
Тогда
Dm(N) = коэффициент при qN в П(<?)т. A6.2)
Чтобы убедиться в этом, заметим, что при разложении
в формальный степенной ряд слагаемые вида qN находятся во взаим-
взаимно однозначном соответствии с упорядоченными наборами целых чисел

68 §16. Разложения целого числа в суммы квадратов
(а\,..., ат), для которых N = а\ +... + а^. Таким образом, коэффици-
коэффициент при qN в \3(q)m равен числу способов представления N в виде сум-
суммы квадратов т целых чисел с учетом порядка слагаемых. При т — 4
имеет место следующая теорема.
Теорема 16.1. Для любого натурального числа N справедлива фор-
формула
□4(JV) = 8 ]Г d. A6.3)
d>0,4\d,d\N
Из этой теоремы немедленно следует, что любое положительное число
является суммой четырех квадратов, поскольку 1 является делителем
любого целого числа, и 1 не делится на 4. Например, б = 22 + 12 + 12 + 02,
97 = 82+52 + 22 + 22.
Доказательство теоремы 16.1. В равенстве A5.8) перейдем к пре-
пределу при z —► — 1. Используя соотношение A2.11), получим, что правая
часть равенства A5.8) стремится к
4i=l
Левую часть равенства A5.8) удобно записать в виде
771,71=1
Применив правило Лопиталя, получим, что это выражение при z —► — 1
стремится к
оо
1 + 4 ]Р (-l)m+n(m + n)^mn.
771,71=1
Заметим, что имеет место очевидное равенство
оо оо
Y {-\)m+n-lmqmn = Y, {-^)m+n~1nqmn.
771,71=1 7П,П=1
Следовательно,
оо оо
771,71=1 771,71=1
+ q
ТП=1 771=1

§ 16. Разложения целого числа в суммы квадратов 69
Таким образом, после перехода к пределу при z —> — 1 в равенстве
A5.8) и замены q на — q получим
тп=1
Поскольку
Emqm _ v-> mqm тг^ mq
1 + (-q)m ~ ^ l-q171 2-j l + q
m=l m^l m}zl
m нечетное т четное
•■■) =
2kq2k
2kq2k
выполняется равенство
+ (g) q
m=l m^l rn^\ n=l
4fm 4fm
Следовательно,
4 £f><f"\ A6.5)
m^l n=l
4fm
Таким образом, для любого N ^ 1 коэффициент при qN в разложе-
разложении П(^L представляется в виде 8^ш, где тп — N для некоторого
натурального числа п и такого числа т, что А \ т. Иными словами,
D4(iV) в 8 раз больше суммы положительных делителей числа N, не
кратных 4. □
Наименьшее число квадратов, в сумму которых можно разложить
любое положительное целое число, равно 4. Например, 7 не представ-
представляется в виде суммы 3 квадратов.

70 §16. Разложения целого числа в суммы квадратов
Однако можно получить формулу для ^{N) — количества спосо-
способов представления целого числа N в виде суммы двух квадратов. На-
Напомним, что через фА мы обозначаем количество элементов конечного
множества А.
Теорема 16.2. Для любого натурального числа N имеет место
равенство
D2(JV) = 4#{d: d делит N,d>0,d = l (mod 4)} -
- 4#{d: d делит N,d>0,d = 3 (mod 4)}. A6.6)
Доказательство. В равенстве A5.8) сделаем предельный переход
при z —> г — V--T. Выражение в правой части A5.8) будет стремиться к
1 +iqnJ A -iq71J
n=l ч H J v ч J 4n=l
В то же время, левая часть A5.8) стремится к
оо
1-г J2 tfmn(zm+n-(-z)m+n).
тп,п=1
Заметим, что (—г)т+п = гт+п, если число т + п четное, т. е. если числа
тип одной четности, и (—г)т+п = —гт+п, если число т + п нечетно,
т. е. числа тип разной четности. С учетом этого предел левой части
можно переписать в виде
1 О<? \ \ тп'гп+п с\- \ \ Л тпп-тп+п
1 — £1 7 7 q о — £о 7 / Ч. " '
тп нечетное п четное тп четное п нечетное
Две суммы в этом выражении совпадают, так как получаются друг из
друга перестановкой переменных тип.
Таким образом, переходом к пределу при z —> г = у/^Л из A5".8) мы
получили равенство
т нечетное п четное
Заменив q2 на —q, получим
/ \mn/2 г-тп+п+1 _
т нечетное п четное
т нечетное п четное

§16. Разложения целого числа в суммы квадратов 71^
Наконец, заменив п на 2к, получаем
X)()/fc. A6.7)
т нечетное
Рассмотрим правую часть равенства A6.7). Для любого N ^ 1 слага-
слагаемые вида 4qN взаимно однозначно соответствуют нечетным числам т,
являющимся делителями числа N и сравнимым с 1 по модулю 4, по-
т — 1 А
скольку —-— четно в точности для таких т. Аналогично слагаемые
А
вида —AqN взаимно однозначно соответствуют таким нечетным т, ко-
которые являются делителями N и сравнимы с 3 по модулю 4. Следо-
Следовательно, коэффициент при qN в разложении П(^J в степенной ряд
задается равенством A6.6). □
Следствие 16.1 (теорема Ферма). Простое нечетное числор мо-
может быть представлено в виде суммы двух квадратов натуральных
чисел в том и только в том случае, когда р=\ (mod 4). Кроме того,
если такое представление возможно, то оно единственно, если не при-
принимать во внимание порядок слагаемых.
Доказательство. Число р имеет два положительных делителя: 1
и р. Если р = 1 (mod 4), то оба делителя сравнимы с 1 по модулю 4.
В этом случае П2(р) — 8 по теореме 16.2. Таким образом, число р можно
представить в виде р = а2 + 62, где а и Ъ — натуральные числа. Для каж-
каждой из восьми упорядоченных пар (±а,±Ь), (±Ь,±а) сумма квадратов
равна р. Кроме того, эти восемь пар различны, поскольку из того, что
число р нечетное и простое, следует, что \а\ ф \Ъ\. Таким образом, мы
перечислили все возможности представить р в виде суммы квадратов
двух целых чисел. Очевидно, что если не обращать внимания на поря-
порядок слагаемых, то представление числа р в виде суммы квадратов двух
натуральных чисел единственно.
Если р = 3 (mod 4), то П2(р) — 0 по теореме 16.2. □

§ 17. Разложения целого числа в суммы
Двух и четырех треугольных чисел
Формулу произведения Рамануджана можно также применить для
изучения количества разбиений целого числа в сумму двух или четырех
треугольных чисел. Напомним, что n-м треугольным числом в § 12 мы
Назвали число
_ п(п + 1)
Так как A_n_i = Ап, бесконечная в обе стороны последовательность
n}nez симметрична. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать
при п > 0. Рассмотрим формальный степенной ряд
п=0
Он отличается от ряда A6.1), использованного в предыдущем парагра-
параграфе, тем, что здесь суммирование производится только по неотрицатель-
неотрицательным целым п. Так же как и в предыдущем параграфе, легко проверить,
что число способов представления натурального числа N в виде сум-
суммы 7п треугольных чисел с учетом порядка слагаемых равно коэффи-
коэффициенту при qN в степенном ряде A(q)m. Будем обозначать это число
через Am{N).
Теорема 17.1. Для любого положительного целого числа N имеет
место равенство
A2(N) = #{d: d > 0, d\4N + 1, d =ё 1 (mod 4)} -
: d > 0, d\4N + 1, d = 3 (mod 4)}. A7.1)
Доказательство. В равенстве A5.7) заменим q на —q, a z на — y/q.
Будем считать, что 0 < q < 1. Тогда с помощью соотношения A2.8)
правую часть равенства A5.7) можно преобразовать следующим образом:

§ 17. Разложения целого числа в суммы треугольных чисел 73
n=l
A _ (-руJ A - (-1)у1) A + (-i)V) ^
71=1
71 = 1
Левая часть равенства A5.7) приводится к виду
V^ /_|\mn+ra+n
_ V~^ (
771,71=0
ОО
( -1
771,71=1
4 77171—1^77171
) Ч
771,71 = 1
7П + 71
/ -
4 77171 — 771 —71 77171
ТП-\-П
771,71 = 1
здесь в первой сумме мы заменили m на m - 1 и п на п - 1. Заметим,
что если число m + n нечетно, то соответствующие члены в последних
двух суммах отличаются знаком, поэтому они взаимно уничтожаются.
Тем самым, выражение в левой части принимает вид
771,71^1
771+n четное
= 2
771,71^1
771,71 нечетные
4^-2 ]
m
rn,n
E
,71^1
четные
Отсюда получаем соотношение
A7.2)
771,71^1
771,71 нечетные
qN
771,71^1
тп,п четные
Слагаемое вида ±qN появляется в правой части этого равенства в том и
только в том случае, когда N — тпп—Ш П, т. е. 4/V+1 = Bш—1) Bп—1),
для некоторых натуральных чисел тип, четных или нечетных одно-
одновременно. Если они оба нечетны, то 2т — 1 = 1 (mod 4), а если оба
четны, то 2т — 1 = 3 (mod 4). Следовательно, каждый делитель числа
4iV +1, сравнимый с 1 по модулю 4, дает вклад +1, и каждый делитель
числа 4/V+1, сравнимый с 3 по модулю 4, дает вклад —1 в коэффициент
при qN.

74 § 17. Разложения целого числа в суммы треугольных чисел
В частности, если AN + 1 — простое число, справедливо следующее
утверждение.
Следствие 17.1. Ea/iuN — натуральное число, причем число 47V+1
простое, то N единственным образом представляется в виде суммы
двух различных треугольных чисел с точностью до перестановки сла-
слагаемых.
Доказательство. Если число AN + 1 простое, то его положительны-
положительными делителями являются только 1 и 4/V+1. Оба эти делителя сравнимы
с 1 по модулю 4, и из теоремы 17.1 следует, что A2{N) = 2-0 = 2. Вспом-
Вспомним теперь, что Am(N) равно количеству всевозможных представлений
числа N в виде суммы т треугольных чисел с учетом порядка слагае-
слагаемых. Поэтому из равенства A2(N) = 2 следует, что мы имеем в точности
две возможности: либо
либо
N = Ak + Ak = At + Ah кф\.
Второй вариант невозможен, поскольку последовательность {Ап}п^0
строго возрастает. Этот вариант можно исключить и другим способом.
Для этого нужно заметить, что из равенства N = 2Д^ следует, что
AN + 1 = Bfc + IJ, и тогда число AN + 1 не может быть простым. □
Приведем простые примеры применения следствия: 7 = 1 + 6, 13 =
= 3-+-10и43 = 15 + 28. Следующая теорема касается разбиения на
четыре треугольных числа.
Теорема 17.2. Для любого натурального N имеет место равен-
равенство
Y к-
Доказательство. Разделим обе части равенства A5.7) на 1 - qz~2,
заменим q на q2 и устремим z к q. Тогда правая часть равенства A5.7)
с помощью соотношения A2.8) преобразуется к виду
п
n=l

§ 17. Разложения целого числа в суммы треугольных чисел 75
Поскольку в правой части равенства получается конечное значение, ле-
левая часть также конечна. Применив правило Лопиталя, получим
ОО
НШ—-4—9 Y q2rnnzm+n_ у 2mnz
z-^ql — q2z~2\ *-^ *-^
2mnz-rn-n\
тп,п=0 тп,п=1
771,71=0 771,71=1
(ОО ОО
J2 (m + n-2)q2mn-m-n+ E (m + n)q2mn-m-n) =
771,71 = 1 771,71=1
ОО
771,71=1
Полученное выражение симметрично относительно тип, поэтому его
можно переписать в виде
771,71=1 771,71=1
Тем самым,
оо
A{qL= ]Г Bт - 1
771,71=1
Сделав замену к = 2т — 1, £ = 2п — 1, получим
/с,€ нечетные
Легко видеть, что слагаемое qN появляется в этой сумме в том и толь-
к£ — 1
ко в том случае, когда N = —-—, т. е. 2N + 1 = Ы, для некоторых
нечетных положительных чисел к и £. Поскольку каждый делитель чис-
числа 2N -f 1 нечетный, коэффициент при qN равен
А4(АГ)= ^2 к. ' П

18. g-первообразная
Рассмотрев некоторые приложения, вернемся к ^-исчислению. До
сих пор мы обсуждали квантовое дифференцирование. Теперь рассмот-
рассмотрим обратную операцию: квантовое интегрирование. Сперва рассмот-
рассмотрим д-первообразную.
Определение. Функция F(x) называется q-первообразной для /(х),
если DqF(x) — f{x). Обозначим ее
rf(x)dqx. A8.1)
Обратим внимание на то, что, как и в классическом анализе, ^-перво-
^-первообразная не единственна.
В классическом анализе производная разности первообразных F\ (x)
и F2(x) одной и той же функции f(x) равна 0. Если исходная функция
f(x) была определена на интервале, то легко показать, что разность
Fi(x) — F2(x) постоянна.
В квантовом анализе ситуация несколько сложнее. Разумеется, две
^-первообразные одной и той же функции f(x) отличаются на функ-
функцию (р(х), ^-производная которой равна 0. Но дело в том, что равенство
Dq(p(x) — 0 выполняется тогда и только тогда, когда <p(qx) — (р(х),
откуда, вообще говоря, не следует, что функция Ц)(х) постоянна.
Ограничения, при которых ^-первообразная единственна с точно-
точностью до аддитивной постоянной, могут быть различными. Например,
если мы потребуем, чтобы д-первообразная задавалась формальным
степенным рядом, то разность двух д-первообразных одной функции
оо
также разлагается в степенной ряд: ip(x) = Y1 спХп- Тогда из условия
71=0
¥>(qx) = (р(х) следует, что qncn = сп для всех п. Это возможно, только
если сп — 0 для всех п ^ 1, иными словами, функция <р должна быть
постоянной.
Следовательно, функция
71=0

§ 18. g-первообразная 77
среди формальных степенных рядов имеет единственную ^-первообраз-
^-первообразную с точностью до произвольной аддитивной константы:
a-^ + C. A8.2)
71=0 L J
Для функции f(x) более общего вида единственность д-первообраз-
д-первообразной с точностью до аддитивной константы можно доказать, если на-
наложить некоторое ограничение на рассматриваемые ^-первообразные.
При этом также придется уточнять область определения функции f(x).
Часто нам будет удобно считать, что функция f(x) определена на про-
промежутке вида (О, А] или на всей вещественной прямой. Вопрос существо-
существования ^-первообразной для произвольной функции f(x) мы рассмотрим
в следующей главе.
Рассмотрим функцию (р(х), имеющую нулевую #-производную. Усло-
Условие <p(qx) — <р(х) означает, что график функции ip выдерживает сжатие
по оси Ох с коэффициентом q. Пусть, например, q = 0,1. Предположим,
что нам известно поведение функции tp на промежутке @,1; 1], тогда
равенство ip(qx) = tp(x) позволяет выяснить, как функция tp устроена
на промежутках @,01; 0,1], @,001;0,01] и т. д. В частности, если гра-
график функции (р на промежутке @,1; 1] представляет собой прямую, не
являющуюся горизонтальной, то на любом промежутке вида (qn+1,qn]
график функции (р также является прямой, но угловой коэффициент
наклона будет тем больше, чем ближе промежуток к 0. Нетрудно ви-
видеть, что такая функция (р обязана быть разрывной в точке 0. Общее
утверждение формулируется следующим образом.
Предложение 18.1. С точностью до прибавления произвольной
постоянной любая функция f(x), определенная на всей вещественной
прямой, имеет не более одной q-первообразной, непрерывной при х = 0.
Доказательство, которое мы приведем, очевидным образом можно
применить и в том случае, когда функция f(x) определена на проме-
промежутке вида @, А]. В этом случае условие непрерывности в точке 0 нуж-
нужно заменить на условие существования предела при х —> 0.
Доказательство. Пусть F\ и F2 — две д-первообразные функции /,
непрерывные в точке 0. Положим ip — F\ — F2. Тогда функция (р опре-
определена на всей вещественной прямой и непрерывна в точке 0, причем
для любого х выполняется равенство ip{qx) — <р(х). Рассмотрим вначале
случай 0 < q < 1. Зафиксируем произвольное число А > 0. Пусть
т — inf {(р(х): qA ^ х ^ А},
М = sup {(р(х): qA ^ х ^ А},

78 §18. g-первообразная
где величины ти М могут обращаться в бесконечность, если функция
ip не ограничена снизу или соответственно сверху.
Предположим, что т < М. Тогда должно быть справедливо по край-
крайней мере одно из неравенств <р@) Ф т и <р@) Ф М. Без ограничения
общности можно считать, что tp(O) Ф т. Пусть е < |<р@) — т\/2. Из
непрерывности функции (р в точке х = О следует, что существует 5 > О,
для которого
Легко видеть, что тогда
С другой стороны, qNA < 5 для некоторого достаточно большого N.
Поскольку ip(qx) = y?(rc), мы имеем
G (m,M) С pfoA,A] = ip[qN+1A,qNА] С
что приводит к противоречию. Поэтому т — М, т. е. функция ip посто-
постоянна на отрезке [qA, А], откуда следует, что она постоянна при х ^ 0.
Аналогично можно показать, что функция ip постоянна при х ^ 0; тем
самым, она принимает одно и то же значение при всех х € R.
Если q > 1, то следует рассмотреть величины
т = inf {tp(x): q~lA ^ х ^ А},
М = sup {с^(х): q~l А ^ х ^ А},
которые могут обращаться в бесконечность, если функция (р не ограни-
ограничена снизу или соответственно сверху. Дальнейшие рассуждения про-
проводятся аналогично. □
Существование ^-первообразной будет обсуждаться в следующей
главе.
В заключение этой главы выясним, как ведет себя ^-первообразная
при замене переменной вида и{х) = ах@, где а и /3 — постоянные числа.
Пусть F(x) является д-первообразной функции f(x). Заменив хнаи,
запишем этот факт в виде равенства
Рассмотрим сложную функцию F(u(x)). Используя формулу #-диффе-
#-дифференцирования сложной функции A.15), получаем, что для любого q'
справедливо равенство
F(u{x))= Dq,F(u{x))dq>x= [(Dq,0F){u{x))Dq>u{x)dq>x.

§ 18. g-первообразная 79
Полагая qf = q1^, получаем Dq,&F = DqF — f и, следовательно,
F(u(x)) = j f(u(x)) Dql/0u(x) dqi/0x. A8.3)
Эта формула означает, что F(u(x)) является одной из q1 /^-первообраз-
/^-первообразных фуНКЦИИ f(u(x)) Dqi//3U(x).

* § 19. Интеграл Джексона
Пусть f(x) — произвольная функция, областью определения кото-
которой является либо вся вещественная прямая, либо промежуток вида
(О, А]. Предположим, что F(x) является ^-первообразной функции f(x).
Напомним, что в гл. 5 мы определили оператор Mq, который действует
на функциях по формуле Mq(F(x)) = F(qx). Равенство DqF(x) = f(x)
можно переписать в виде
I (М - 1) F(x) ~ F{qx) ~ F{X) ~ fix) A9 1)
Отметим, что порядок операторов Mq и деления на х важен, поскольку
они не коммутируют. Теперь, используя формулу суммирования беско-
бесконечной геометрической прогрессии, можно формально записать ^-перво-
^-первообразную в виде
F(x) = —Lr(l-q)xf(x) = {l-
M
i — iviq
Тем самым, получаем формальное равенство
оо
f(x) dqx = (l-q)x^2QJf(<lJx)- A9-2)
3=0
Ряд, стоящий в правой части этого равенства, называется интегралом
Джексона функции f(x). Из этого определения легко получить более
общую формулу, а именно,
/оо
f(x)Dqg(x) dqx = {l-q)xY^ qJ f{qJx)Dqg(qJx) =
3=0
ИЛИ
/ f(x) dqg(x) = 2^ f{qJx)(g(qJx) - g{qJ+1x)). A9.3)
J j=o

§19. Интеграл Джексона 81
Равенства A9.2) и A9.3) выполняются только формально, поэто-
поэтому необходимо выяснить, при каких условиях ряд, задающий интеграл
Джексона, сходится к некоторой ^-первообразной. В следующей теореме
приводятся достаточные условия сходимости.
Теорема 19.1. Пусть 0 < q < 1. Предположим, что функция f(x)
определена на промежутке (О,А], причем функция \f(x)xa\ ограни-
ограничена на (О, А] при некотором а < 1. Тогда ряд A9.2), задающий ин-
интеграл Джексона, для всех х 6 (О, А] сходится к некоторой функ-
функции F(x), которая является q-первообразной f{x). Кроме того, предел
F(x) при х —» 0 равен 0.
Если функция f(x) не определена в точке 0, то формула A9.2) не
имеет смысла, но теорема 19.1 показывает, что естественно положить
F@) = 0. Если же функция f(x) определена в точке 0, то при х = 0
формула A9.2) дает нулевое значение. В любом случае оказывается, что
функция F(x) непрерывна в 0.
Доказательство. Пусть \f(x)xa\ < М для всех х £ @, А]. Тогда для
любого х, 0 < х ^ А, и j ^ 0 выполняется равенство
Отсюда получаем оценку
\qjf(qjx)\ < Mqi{qix)-a = Mx"^1"^, A9.4)
которая справедлива для любого х, 0 < х ^ А, и j ^ 0. Посколь-
Поскольку 1 — а > 0 и g < 1, мы получаем, что ql~a < 1. Следовательно,
оо
ряд Yl q^f(q^x) мажорируется сходящейся геометрической прогрессией.
j=o
Таким образом, ряд
j=o
задающий интеграл Джексона, сходится поточечно при х е @,А\ к
некоторой функции F(x).
Покажем, что lim F(x) = 0. Для этого достаточно заметить, что
х—>0
имеет место оценка
j=0

82 § 19. Интеграл Джексона
Проверим, что F(x) является ^-первообразной функции f(x):
DqF{x) = т~-^{{1 -q)xY,q>f(jx) - A - q) qxf^q>fW+1*)) =
V 4) j=0 j=0
OO OO OO OO
j=o j=o j=o j=i
Заметим, что если х 6 (О, Л] иО<д< 1, то qx £ (О, Л], и q- дифферен-
дифференцирование корректно. □
Согласно предложению 18.1, если условия теоремы 19.1 выполняют-
выполняются, то интеграл Джексона задает единственную с точностью до адди-
аддитивной постоянной ^-первообразную, непрерывную при х = 0. Обратно,
если F(x) является ^-первообразной функции /(х), причем F(x) непре-
непрерывна в точке х = 0, то F(x) задается с точностью до аддитивной
постоянной формулой Джексона A9.2). В самом деле, частичная сумма
ряда A9.2) равна
N N
{l-q)xY,qJf{qjx) = (l-q)xJ2qJ DqF(t)\t=qJx =
j=0 j=O
= £№*) - W+1x)) = F(x) -
3=0
а это выражение стремится к F(x) — F@) при N —> oo, поскольку F(x)
непрерывна в точке х = 0.
Рассуждая аналогично, легко показать, что если функция f(x) опре-
определена на промежутке @,А], a F(x) — это ее первообразная, причем
Нт F(x) = 0, то F(x) задается интегралом Джексона.
х—»0
Приведем пример, когда формула Джексона A9.2) неверна. Рассмот-
Рассмотрим функцию f(x) = 1/х. Легко проверить, что
Dqlnx = "np_ iw = ГГТ t> A9-5)
поэтому
- dqx = -— \nx. A9.6)

§19. Интеграл Джексона 83
С другой стороны, формула Джексона не имеет смысла, поскольку
/1 ^л
Х Я f^o
Причиной служит тот факт, что функция f(x)xa не является ограни-
ограниченной ни при каком а < 1. Заметим при этом, что функция -; In а;
inq
не имеет конечного предела при х —> 0.
Формула Джексона A9.2) позволяет задать определенный ^-инте-
^-интеграл.
Определение. Пусть 0 < а < Ь. Положим по определению
ь
f(x) dqx = A - q) b У ] qjf{qjb) A9.7)
о
о
/■
О
/■
b b a
f f(x) dqx = f f{x) dqx - I f{x) dqx. A9.8)
a 0 0
По аналогии с A9.3) из A9.7) следует более общая формула
ъ
f(x)dqg(x) = £ f(qjb)(g^b) - g(qj+1b)). A9.9)
о
Заметим, что это определение согласуется с тем фактом, что инте-
интеграл Джексона обращается в нуль при х — 0. Геометрически интеграл
в формуле A9.7) соответствует площади бесконечного числа столбцов,
показанных на следующем рисунке.
Рассмотрим отрезок вида [е,Ь], где 0 < е < Ь. Тогда для q = л/ejb
он разбивается на конечное число отрезков вида [bqTn+1,bqTn]. Тем са-
самым, для указанных значений q определенный ^-интеграл является ин-
интегральной суммой Римана функции f(x) на отрезке [е, Ь]. Заметим, что
если п —> оо, то q = yfefb —> 1. Если функция f(x) интегрируема по
ь ъ
Риману на [е, Ь], то при этом J f(x) dqx —> J f(x) dq. Поскольку е можно
e e
взять произвольно малым, при условии, что функция f(x) непрерывна
на [0,6], получаем равенство
ъ ь
lim j f{x) dqx = I f{x) dx. A9.10)

84
§ 19. Интеграл Джексона
V
q3b q%
qb
Формула A9.7) не позволяет определить несобственный интеграл
предельным переходом при Ъ —> +оо, поскольку при этом она теряет
смысл. Заметим, однако, что имеет место равенство
ч ч ч
J f(x)dqx = Jf(x)dqx- J f(x)dqx =
-A-q)
о о
oo
= d-e)E
fc=0
к=0
поэтому
J f(x)dqx = (l-
A9.11)
Определение. Пусть 0 < q < 1. Несобственным ^-интегралом функ-
функции f(x) на [0,+оо) будем называть
A9.12)
Jf(x)dqx= JT j f(x
0 ^=~°°9j+i

§19. Интеграл Джексона 85
Предложение 19.1. Несобственный q-интеграл, определенный фор-
формулой A9.12), сходится, если функция xaf(x) ограничена в окрестно-
окрестности точки х — 0 для некоторого а < 1 и при всех достаточно боль-
больших х для некоторого а > 1.
Доказательство. Мы имеем
оо оо оо
j=-oo j=0 j=l
Сходимость первого ряда в правой части A9.13) доказана в теореме 19.1.
По условию для некоторых а > 1 и М > 0 при всех достаточно
больших х имеет место оценка \xaf(x)\ < М. Тогда для всех достаточно
больших целых j получаем
\q~Jf(q~J)\ = qJ^a~ \q~^af{q~J)\ < MqJ^a~ .
Следовательно, второй ряд в правой части A9.13) мажорируется сходя-
сходящейся геометрической прогрессией и поэтому сходится. □
Теперь рассмотрим замену переменной вида и — и(х) — ах@ в опре-
определенном интеграле. Если для функции f(x) интеграл Джексона схо-
сходится, то формулу Джексона можно применить для нового доказатель-
доказательства равенства A8.3). В самом деле, используя формулу A9.3), получаем
/оо
f(u)dqu = Y,fWlfi*))Wlfix) - "
ОО
j=o j=o
i=o
ju) = Jf(u(x))dql/0u(x).
Заменив в этом равенстве х вначале на а, а потом на Ь и, воспользовав-
воспользовавшись определением A9.8), получим
и(Ъ) ъ
J f(u) dqu = J f(u(x)) dqi/0u{x). A9.14)
u(a) a
Равенство A9.14) также можно получить с помощью формулы Нью-
Ньютона—Лейбница B0.1), которая будет выведена в следующем парагра-
параграфе. Из формулы B0.1) следует, что обе части равенства A9.4) равны

86 § 19. Интеграл Джексона
F(u(b))—F(u(a)), где F — некоторая ^-первообразная функции /, непре-
непрерывная при х = 0.
Формула B0.1) справедлива и для несобственных интегралов. В част-
частности, если а,/3 > 0, то и(+оо) — -Ьоо. В этом случае формула A9.14)
справедлива и при Ь = -Ьоо. Например, при а > 0, /3 = 1 имеет место
равенство
00 оо
1 f{ax) dqx=^ I f(x) dqx. A9.15)

§ 20. g-формула Ньютона—Лейбница
и ^-интегрирование по частям
В классическом анализе производная определяется как предел от-
отношения приращений функции и ее аргумента, а определенный инте-
интеграл — как предел интегральных сумм. Между этими операциями есть
замечательное соотношение — формула Ньютона—Лейбница.
С другой стороны, определенный ^-интеграл мы ввели с помощью
^-первообразной, поэтому отношение между ^-производной и опреде-
определенным ^-интегралом более очевидно.
Как и раньше, будем предполагать, что 0 < q < 1.
Теорема 20.1 (g-формула Ньютона—Лейбница). Пусть функ-
функция f(x) определена на (О, А), где О < А ^ оо, а функция F(x) является
ее q-первообразной, причем F(x) определена и непрерывна при х = 0.
Тогда справедливо равенство
= F(b)-F(a), B0.1)
где О ^ а < Ъ и, кроме того, Ъ < А, если А < оо, и Ъ ^ А, если А = оо.
Доказательство. Функция F(x) непрерывна при х — 0, поэтому,
как было показано в предыдущей главе, F(x) определяется формулой
Джексона с точностью до некоторой аддитивной постоянной, т. е.
оо
F{x) = A - <?) хХУЯ^х) + F{0).
3=0
По определению
а
Г
J q
о
следовательно,
а
Jf(x)dqx = F(a)-F(O).

88 § 20. g-формула Ньютона—Лейбница
Аналогичным образом, для b < оо выполняется равенство
dqx = F{b)-F{0),
/
следовательно, при 0^а<6<оомы получаем
ъ ь а
[ f{x) dqx = f f(x) dqx - f f(x) dqx = F{b) - F(a).
a 0 0
Подставим в это равенство а = gJ+1, b — qK Тогда из определения
несобственного ^-интеграла A9.12) мы видим, что формула B0.1) спра-
справедлива также при b = оо, если существует lim F(x). Если же предел
х—>оо
lim F(x) не существует, то, как легко видеть, не существует и несоб-
несобственный интеграл. □
Следствие 20.1. Предположим, что функция f(x) определена на
промежутке [0, Л), где А > 0, и непрерывна при х = 07 а функция
xaDqf(x) ограничена на интервале @, Л) для некоторого а < 1. Тогда
для 0 < а < b < А справедлива формула
ь
Dqf(x)dqx = f(b)-f(a). B0.2)
о
/■
Заметим, что это следствие справедливо также при b = +оо, если
наложить дополнительное условие, что существует предел lim /(x),
который мы будем обозначать /(+оо). ~*
Важное отличие определенного ^-интеграла от его классического
аналога состоит в том, что, интегрируя функцию на отрезке, не содер-
содержащем 0 (например, [1,2]), мы должны учитывать ее поведение в точке
х — 0. Этого требуют определение ^-интеграла и условие сходимости
интеграла Джексона.
Для произведения двух функций f(x) и д(х) имеет место формула
A.12):
Dq(f(x)g(x)) = №(Dqg{x)) + g(qx)(Dqf(x)).
Предположим, что функции f(x) и д(х) непрерывны при х = 0 и для
некоторых а < 1 и /3 < 1 функции \xaf(x)Dqg(x)\ и \x^g(qx)Dqf(x)\
ограничены на интервале @, А). Пусть 0 < а < b < А. Тогда по след-
следствию 20.1.1 и теореме 19.1 имеет место равенство
ъ ь
f(b) gib) - f(a) g(a) = J f(x) (Dqg(x)) dqx + f g(qx) (Dqf(x)) dqx,

§ 20. g-формула Ньютона—Лейбница 89
или
о ь
J f(x) dqg(x) = f(b) g(b) - f(a) g(a) - J g(qx) dqf(x), B0.3)
a a
которое естественно называть формулой ^-интегрирования по частям.
Заметим, что в этой формуле Ъ = +оо также допустимо.
С помощью ^-интегрирования по частям можно получить ^-формулу
Тейлора с остаточным членом в форме Коши.
Теорема 20.2. Предположим, что производные DJqf(x) определены
и ограничены на интервале \х\ < А и непрерывны в точке х = 0 для
всех j ^ п+1. Тогда при a,b e {—Л, А) имеет место q-формула Тейлора
с остаточным членом в форме Коши
B0.4)
* ' i л: vil\: Iм ' ~
3=0
Доказательство. Проведем индукцию по п. Функция Dqf(x) непре-
непрерывна в точке х = 0, поэтому по теореме 20.1 имеем равенство
ъ
f(b) — f(a) — j Dqf(x) dqx,
a
которое совпадает с B0.4) при п = 0.
Предположим теперь, что формула B0.4) справедлива для п — к — 1:
f(b) = Yj,D{f){a) ^^ + р~ j Dkqf(x) (b - qx)k~l dqx.
Воспользуемся соотношением C.11) и применим формулу g-интегриро-
вания по частям:
6 1 гь
Dkf(x) (Ь - qx)k-x dqx = -±j Dkf(x) dq(b - x)k =
ь
— 7") f (n\ — —— -I- I (h пф\ 7") ' f (t\ f\ t
— UqJ\(l) 7j-, h . I [0 4X)q Uq J \X) Uqd,.
a
Отсюда следует, что равенство B0.4) справедливо для п = к, что завер-
завершает доказательство по индукции. □

§ 21. q~гамма- и g-бета-функции
Многие функции, играющие важную роль в анализе, допускают
представление в виде интегралов. К наиболее важным из них относятся
введенные Эйлером гамма-функция
оо
T(t) = j хг-1е~х dx, t > О, B1.1)
о
и бета-функция
1
B{t,s)= [ хг-1(\-ху-1<1х, s,t>0. B1.2)
о
Приведем их простейшие свойства:
B1.3)
откуда, в частности, нетрудно вывести, что для натуральных п имеет
место равенство
Г(п) = (п-1)!, B1.4)
и, наконец,
Ш B15)
Равенство B1.4) позволяет рассматривать гамма-функцию как обоб-
обобщение факториала. В этой главе мы рассмотрим ^-аналоги этих двух
функций и докажем некоторые их свойства, включая ^-аналоги ра-
равенств B1.3)—B1.5). В этой главе мы будем предполагать, что 0 < q < 1.
Тогда естественно считать, что [оо] = .
Определение. Для t > 0 интеграл
[оо]
Tq(t) = Jx^E-^dgX B1.6)
о
будем называть q-гамма-функцией.

§21. g-гамма- и g-бета-функции
Сперва заметим, что из (9.10) следует, что Е® = 1 и ££~'°°' = 0.
Применяя соотношение (9.11) и ^-интегрирование по частям, получаем
[оо] [оо] [оо]
J х1Е-** dqx = - J хг dqE~x = [t] J хг~1Е-*х dqx,
О 0 0
следовательно, при любом t > 0 выполняется равенство
r,(t+l) = [t]r,(t). B1.7)
Заметим теперь, что
[оо]
Г,A) = I Е;ч* dqx = E°q - Е,-[О0' = 1,
о
поэтому при любом неотрицательном целом п имеет место равенство
Гд(п + 1) = [п]!. B1.8)
Для изучения поведения функции Tq(t) при t £ N полезно рассмот-
рассмотреть функцию, более сложную на вид.
Определение. Для любых t, s > 0 интеграл
B1.9)
будем называть q-бета-функцией.
Из определения ^-интеграла (см. A9.7)) получаем
Одно полезное соотношение между функциями Tq(t) и Bq(t,s) можно
вывести с помощью формулы Е* = A + A — q) x)^°. Из нее, в частности,
следует, что
1
в,
(t,oo)= [хг-хЕд 1~q dqx,

92 §21. g-гамма- и g-бета-функции
откуда, сделав замену переменных х = A — q) у (см. A9.14)), получаем
[оо]
Bq(t^) = (l-qY J y'-'E-^d.y.
о
Таким образом,
Г,Ю - *&$■ B1-10)
На первый взгляд, введение функции Bq(t, s), зависящей от двух пе-
переменных t и 5, только усложняет исследования. На самом деле задача
упрощается, поскольку увеличивается свобода действий с функциями.
Предложение 21.1. (а) Пусть t > 0, а п — натуральное число.
Тогда справедливо равенство
в,(«,п)=A~д)[1~;)? . Bi.il)
(Ь) Для любых t, s > 0 справедливо равенство
Доказательство. Вначале выведем некоторые рекуррентные соот-
соотношения для Bq(t,s). Применив формулу C.11) и ^-интегрирование по
частям, получим, что для всех t > 1, 5 > 0 выполняется равенство
1
J x
следовательно,
Bq(t, s) = —р:— Bq(t ~1,5+ 1). B1.13)
С другой стороны,
1
Г
Ва(£,п + 1)= IX 41 —qx)™ A — qnx)dax =
J q
о
l l
= У x'-'il - qx)^1 dqx - qn Jx\l - qx)nq~l dqx.

§21. д-гамма- и g-бета-функции 93
Таким образом,
Bq(t, п + 1) = Bq(t, п) - qnBq{t + 1, п). B1.14)
Из соотношений B1.13) и B1.14) следует, что
иными словами, для любого t > 0 и любого натурального числа п спра-
справедливо равенство
B,(*," + l) = j^feB,(t,n). B1.15)
Заметим, что
B,
1
(i,l) = Jх*-1 dqx = щ,
поэтому
ъ«п\- (i-g")-^-?) = A - g) A - g)?
что и требовалось установить в пункте (а).
Для доказательства пункта (Ь) применим прием, использованный
при выводе теоремы 13.1. Заметим, что имеют место равенства
поэтому из формулы B1.11) следует, что равенство B1.12) справедливо
при всех натуральных значениях s.
Представим левую часть равенства B1.12) в виде интеграла
/:
а правую часть — в виде

94 §21. g-гамма- и g-бета-функции
где а = qs. Тогда обе части представляют собой формальные степенные
ряды по q и ql, при этом коэффициенты этих рядов являются много-
многочленами от а. Соответствующие коэффициенты этих рядов совпадают,
поскольку они равны для бесконечного множества значений а, а именно
для а = qk, к € N. Отсюда следует равенство B1.12). □
Из пункта (а) только что доказанного предложения можно получить
явное выражение для ^-гамма-функции. Для этого рассмотрим равен-
равенство B1.10) и перейдем к пределу при п —> оо в B1.11). Получим
ад = a-^f-vr B1Л6)
В пункте (Ь) показано, в частности, что ^-бета-функция симметрич-
симметрична относительно аргументов, т. е. Bg(£,s) = Bq(s,t), что неочевидно
при первом взгляде на определение B1.9). Сравнив B1.12) и B1.16),
получим выражение для ^-бета-функции через ^-гамма-функцию, ана-
аналогичное равенству B1.5):
Замечание (добавлено в русском переводе). Имеется другое ^-ин-
^-интегральное представление функции Гд(£), использующее ^-экспонен-
^-экспоненту exq вместо Е*. В нем также используется следующая замечательная
функция от двух переменных:
Легко проверить, что К(х, t) является ^-константой по х, т. е. K(qx, t) =
= K(x,t). Для любой константы А ф 0 имеет место равенство
Tq(t) = К {A, t) I х*-1 е~* dqx. B1.18)
е
о
оо/а
Здесь несобственный интеграл / f(x) dqx при а ф 0 является обоб-
о
оо
щением несобственного интеграла f f(x)dqx (см. A9.12)) и задается
о
формулой
3=-оо

§ 21. g-гамма- и g-бета-функции 95
Полагая z = ql /А в B1.18), получаем
B1.19)
Так как lim АпA+А г)" = qn^n г^2, получаем, что при А —► оо равен-
Л—+0 ч
ство B1.19) превращается в один из вариантов тождества Якоби A1.1).
Для функции Bg(t, s) также имеется интересное ^-интегральное пред-
представление
оо/Л
Bg(t,s)=K(A,t) [ nXl+sdgx. B1.20)
J [I -T X)q
0
Можно показать, что это соотношение превращается в тождество Ра-
мануджана A5.2), если положить а = —1/А, Ь = — qt+s/A, x = ql. До-
Доказательства этих результатов можно найти в работе [11]. Они исполь-
используют только относительно элементарные манипуляции с ^-интегралами
и, следовательно, дают более концептуальные доказательства тождеств
Якоби и Рамануджана, чем те, что были приведены нами ранее.

§ 22. ^-производная и /г-интеграл
До сих пор мы изучали только ^-анализ. Теперь вернемся к ft-анализу.
Напомним, см. § 1, что ft-производная определяется формулой
Dhfix) = /(»+*)-/(»),
где ft ф 0. Мы исследуем свойства ft-производной, а затем обсудим ее
приложения в следующих параграфах. Будем в дальнейшем предпола-
предполагать, что ft > 0.
Легко проверить, что ft-производные произведения и частного двух
функций вычисляются по формулам
Dh(f(x)g(x)) = f(x)Dhg(x) + g(x + h)Dhf{x), B2.1)
_ 9(x)Dhf(x) - f(x)Dhg(x)
Сходство формул для вычисления /i-производной и g-производной про-
произведения подсказывает формулу для /i-аналога бинома (х — а)п.
Определение. Произведение
(х - аI = (х - а) (х - а - К)... (х - а - (п - 1) ft) B2.3)
будем называть ft-аналогом бинома (х — а)п при п ^ 1, и, кроме того,
будем считать, что (х — а)£ = 1.
Проверим, что выполняется равенство
-a^nfr-aft-1. B2.4)
В самом деле,
Dh{x - a)l = i((x - a + ft) (x - а)... (х - а - (п - 2)ft) -
— (х — а) (х — а — ft)... (х — а — (п — 1) ft)) =
/ ч (x-a + h) - (х-а- (п - 1) ft)
= (ж - а)... (х - а - (п - 2) ft) —^— —L.
Отсюда, в частности, следует, что в качестве ft-аналога целого числа п
следует рассматривать само это число. Отметим, что (х — 0)£ ф хп.

§22. /i-производная и /i-интеграл 97
Соотношение B2.4) показывает, что для линейного оператора D = Dh
и последовательности многочленов {{х—а)£} выполняются условия тео-
теоремы 2.1. Поэтому имеет место следующая /i-формула Тейлора для мно-
многочлена f(x) степени N:
f(x) = Y^(Djhf)(a) (X ~(Q)/l. B2.5)
з=о J'
Пример. Применим /i-формулу Тейлора к функции f(x) = (x — b)%
и точке а — 0. Получим соотношение
N
3=0
Следующие формулы мы приведем без доказательств, поскольку
они аналогичны доказательствам соответствующих равенств для q-npo-
изводной:
(х - а)Г" = (x-a)nh(x-a- nhft, B2.6)
Dh{a-x)nh = -n{a-h-x)nh-\ B2.7)
*(^«-(Г^- B2-9»
Эти равенства можно распространить на все целые значения п, если
для п > 0 положить по определению
что согласуется с соотношением B2.6).
Перейдем теперь к рассмотрению /i-экспоненты f(x) — е£. Есте-
Естественно потребовать, чтобы такая функция f(x) обладала тремя свой-
свойствами:
(i) /@) = 1,
(ii) Dhf(x) = f(x) при всех х,
(in) f(x) допускает /i-разложение в ряд Тейлора B2.5) в точке х = 0
(при N = оо) для малых Л.
Оказывается, эти три свойства определяют /(ж) единственным об-
образом, поскольку из соотношений (i) и (ii) следует, что (DJhf)(O) — 1

98 § 22. h-производная и /i-интеграл
для всех j. Тогда
(«-»)...A-0-1L
7
j=o - j=o J
oo " ■ oo
Z—/ j\ Z—• \ 7 /
j=0 ' i=0
следовательно, в соответствии с разложением обычного бинома в ряд
Тейлора получаем
ех = (l + h)x/h. B2.11)
В частности, ех = 2х. Заметим, что при h —> 0 основание степени
A 4- h)l/h в соотношении B2.11) стремится к е.
Приведем пример, когда не выполняется формула для дифферен-
дифференцирования сложной функции. Производная D^e^ нам известна, кро-
кроме того, если а — произвольная постоянная, то Dh{cxx) = а. Однако
несложное вычисление
показывает, что
Dheah* = [а]1+неГ ф ае%*. B2.12)
Функция F(x), для которой DhF(x) = f{x), называется /i-первооб-
разной функции f(x) и обозначается
f(x) dhx.
Определенному /i-интегралу функции от х = а до х — Ъ мы можем
придать смысл только в том случае, когда а и Ъ отличаются на величину,
кратную h.
Определение. Пусть b—ae hZ. Тогда определенным h-интегралом
функции f(x) от х = а до х = Ъ будем называть величину
о
/
h)), если а < 6,
f(x) dhx = < 0, если а = 6, B2.13)
1 -Л)), если а > 6.
Ясно, что определенный /i-интеграл является интегральной суммой
Римана функции f(x) для разбиения, состоящего из отрезков равной

§ 22. /i-производная и /i-интеграл 99
длины. Следующая теорема в некотором смысле обосновывает правиль-
правильность определения B2.13).
Теорема 22.1 (/i-формула Ньютона—Лейбница). Пусть F(x)
является h-первообразпой функции f(x) и Ь — а £ KL. Тогда
ъ
J f(x)dhx = F(b)-F(a). B2.14)
а
Доказательство. Пусть Ъ > а. Тогда
Ь—а л b—a -,
1 —г 1
/h n
f(x)dhX = h У^ f(a + jh) = h ^ DhF(
x=a+jh
j=0 j=0
b-a
-1
что и требовалось. Случай Ъ < а рассматривается аналогично, а случай
Ъ — а тривиален. □
Предположим, что а < Ь. Применив теорему 22.1 к производной про-
произведения Dh(f(x) g(x)), с учетом B2.1) получим /i-вариант формулы
интегрирования по частям:
ъ ъ
J f(x) dhg(x) = f(b) g(b) - f(a) g(a) - Jg(x + h) dhf(x), B2.15)
где
ь
Jf(x)dhg(x) =
b —r 1
= f{x)Dhg{x)dhx = h ]P f(a + jh)(Dhg){a
a
b
j=0

100 § 22. /i-производная и /i-интеграл
Пусть a, b — неотрицательные целые числа, где а < 6, и пусть h — 1.
Для функции ф(х) положим по определению
где х — произвольное натуральное число. Кроме того, будем считать,
что /@) = 0. Заметим, что функция f(x) определена только для неот-
неотрицательных целых значений х, тогда как <р(х) может иметь более ши-
широкую область определения. Ясно, что для всех неотрицательных целых
чисел х выполняется равенство D\f(x) — (р(х). Из B2.15) получаем
Ь-1 Ь-1
£ <f(j) 9C +1) = 9(Ь) № - д(а) f(a) - £ f(j)(g(j +1) - g(j). B2.16)
j-a j=a
Эта формула известна как преобразование Абеля.
Еще одну полезную формулу можно получить с помощью повторно-
повторного применения /i-интегрирования по частям. Пусть х—а€ КЪ. Применив
формулы B2.7) и B2.15), получим
X X
f(x) - /(о) = JDhf(t)dht = - J Dhf(t)dh(x-t) =
а а
х
= (Dhf)(a) (x-a) + J(x-h- t) D\f{t) dht =
a
x
= (Dhf)(a) {x-a)-\J Dlf{t) dh(x - tfh =
a
x
= (Dhf)(a) (x-a) + \{Dlf)(a) (x-a)i-\J D3J(t) dh(x -tKh = ...
a
Эту цепочку равенств можно продолжать неограниченно. Следователь-
Следовательно, для любого неотрицательного целого числа п справедливо равенство
№ = L *"^ (* " < ~ J^y, J Dnh+1f(t) dh(x - 0Г1, B2.17)
3 a
или, что то же самое,
x
1
*) = Е

§ 22. /i-производная и /i-интеграл 101
Это равенство известно как интерполяционная формула Ньютона. Ее
можно рассматривать как /i-формулу Тейлора с остаточным членом в
интегральной форме. Пусть h > 0 и х > а. Согласно B2.13), для каждо-
каждого х абсолютная величина остаточного члена ограничена сверху числом
(<|£+1/|. B2.19)
Поясним, почему соотношение B2.18) называется интерполяционной
формулой. Пусть х = a+mh, где т — положительное целое число. Тогда
согласно формуле B2.13) интеграл в правой части равенства B2.18)
равен
т-1
^{{a + mh) - [а + jh) -h)nhDnh+lf{a + jh).
j=o
Функция g(t) = (a + mh — t — hI^ обращается в нуль при
t = а+ (т — l)h, а+ (т — 2)h, ..., а + (т — n)h,
поэтому остаточный член в соотношении B2.18) равен нулю, когда т
является целым числом, заключенным между 1 и п. Легко проверить
также, что остаточный член равен 0 при т = 0. Тем самым, первое
слагаемое в B2.18) совпадает с f(x) вп + 1 равноотстоящих точках
х = a,a + h,a + 2h,..., а + nh. Поэтому сумма Y1 —~ (х — а){, рас-
сматриваемая как функция переменной х, является интерполяционным
многочленом степени п, аппроксимирующим функцию f(x) на отрез-
отрезке [а, 6 = а + nh]. Ошибку аппроксимации можно оценить с помощью
B2.19).
Из-за сходства формул B2.18) и B0.4) подобные рассуждения спра-
справедливы и в ^-анализе, иными словами, сумму в правой части B0.4)
можно рассматривать как интерполяционный многочлен, принимаю-
принимающий точные значения в точках a, qa,..., qna.

§ 23. Многочлены Бернулли и числа
Бернулли
В этой главе мы введем последовательность многочленов, тесно свя-
связанную с /г-первообразными многочленов и имеющую много важных
приложений.
Определение. Коэффициенты Вп(х) разложения в ряд Тейлора
п=0
называются многочленами Бернулли.
Продифференцировав обе части равенства B3.1) по х, получим
_ v-> Bn(x) пЛ
n=0 n=0
Приравняв коэффициенты при zn, где п ^ 1, получим рекуррентное
соотношение
В'п{х)=пВп-1{х). B3.2)
Если в равенстве B3.1) перейти к пределу при z —* 0, то получим со-
соотношение Во(х) = 1. Отсюда легко вывести, что степень многочлена
Вп(х) равна п, а его старший коэффициент равен единице. С помощью
формулы B3.2) можно однозначно определить все многочлены Вп(х)
при условии, что их постоянные члены известны.
Определение. Величины Ьп = Вп@), где п ^ 0, будем называть
числами Бернулли.
При х = 0 равенство B3.1) принимает вид
У^^ = _£_ B3.3)
n=0
Разлагая в ряд Тейлора, получим
е*-1 z z2 z3

§ 23. Многочлены Бернулли и числа Бернулли 103
Тем самым, применив деление «уголком», можно последовательно най-
найти все числа Бернулли. Покажем, что существует более удобный способ
нахождения чисел Ьп и многочленов Вп(х). Для этого нам нужно дока-
доказать следующие утверждения.
Предложение 23.1. Для любого целого п ^ 1 имеет место соот-
соотношение
Вп{х + 1) - Вп{х) = пхп-\ B3.4)
Доказательство. Имеет место равенство
n\ ^ n\ ez — 1
n=0 n=0
d zx d °°
= —ezx =
dx dx ^—/ nl
n=0 n=l
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной г, по-
получим Вп(х + 1) — Вп(х) — -г-хп = пх71, что и требовалось. □
Предложение 23.2. Для любого целого п ^ 0 справедливо равен-
равенство
3=0
Доказательство. Рассмотрим многочлены
Нетрудно убедиться, что для доказательства равенства Вп(х) = Fn(x)
при всех п достаточно проверить, что
(i) Fn{0) = bn дляп^О;
(и) F^(x) = nFn_i(x) для любых п > 1.
Первое из них очевидно. Заметим, что при п > j ^ 0 выполняется
равенство

104 §23. Многочлены Бернулли и числа Бернулли
Следовательно, для п ^ 1 мы получаем
п-1
п-1
что и требовалось. □
Подставив х = 1 в формулу B3.5), получим соотношение
п-1
3=0
Кроме того, подставив х = 0в формулу B3.4), получим, что Вп{\) = Ьп
для любого п ^ 2. Таким образом, мы получаем равенство
п-1
3=0 j
которое позволяет вычислять числа Бернулли по индукции. Приведем
несколько первых из них:
bo = 1, Ьг = -±, b2 = J, Ьз = 0, Ь4 = ~, Ьъ = 0, Ь6 = ^. B3.7)
Есть соблазн предположить, что |ЬП| ~* 0 при п —> оо. Однако, если мы
рассмотрим некоторые другие числа Бернулли, например,
1 5 691 , 7
= ~30' = ^' = ~;
и 3617 , 43867 , 174611
616 = "10"' 6l8 " 98"' б20 " 330"'
то мы заметим, что их абсолютные величины в целом возрастают, а зна-
знаки меняются (см. соответствующие рассуждения в § 25). Другое важное
свойство чисел Бернулли состоит в том, что Ьп — 0 для всех нечетных
п ^ 3. Это следует из того, что функция
п=0

§ 23. Многочлены Бернулли и числа Бернулли 105
четна, т. е. f{—z) = f(z). В самом деле, коэффициенты при tn в разло-
разложении Тейлора в окрестности точки 0 любой четной функции g(t) обра-
обращаются в нуль при всех нечетных п, поскольку в этом случае g^n\t) =
= (—\)пд(п\—t) для всех п и, в частности, д(п\0) = —д^п\0) для всех
нечетных п.
Другую интересную формулу, содержащую числа Бернулли, мы по-
получим, если подставим х — — 1 в B3.4) и B3.5):
j=o
или, что то же самое,
п-1
п — 1 + ^ + У^(
j=2
Заменив j на j• + 1, п на п + 1 и проделав несложное вычисление с
биномиальными коэффициентами, получим
.7 = 1
Предложение 23.3. Для любого натурального числа п справедливо
равенство
п-1
\ л ( ^ ) J5fx) = 77.xn~^ f23 9)
i=o
Доказательство. Проведем индукцию по п. Случай п = 1 очевиден.
Предположим, что равенство B3.9) справедливо для п = к ^ 1. Тогда,
используя соотношение B3.2), имеем
к к
Х j=0 3 з=1
к-1
откуда
j=o

106 § 23. Многочлены Бернулли и числа Бернулли
для некоторой константы С. Чтобы найти С, положим х = 0 и приме-
применим формулу B3.6). Получим, что С = 0. Таким образом, равенство
B3.9) справедливо для всех п ^ 1. □
Как было сказано выше, если числа Бернулли известны, то форму-
формула B3.3) позволяет нам находить многочлены Бернулли рекуррентно.
Приведем первые шесть из них:
В0(х) = 1,
В1(х) = х--,
В2{х) = х2 - х + i,
±,

§ 24. Суммы степеней
Теперь мы установим связь между многочленами Бернулли и /i-ана-
лизом. Согласно предложению 23.1 имеет место формула
следовательно,
п f xn-1d1x = Bn(x),
B4.1)
где через D\ обозначена /i-производная при h = 1, а через / f(x)d\x —
соответствующая /i-первообразная. Применив /i-формулу Ньютона—Лейб-
Ньютона—Лейбница B2.14), получим для неотрицательного целого п равенство
ь
B+l(b^f"+l(Q), B4.2)
где а<ЬиЬ — а€%. Пусть а = 0, b = М+1. Подставив в правую часть
равенства B4.2) явное выражение B3.5) многочлена 2?n+i(M+1) через
числа Бернулли, получим
М п
к=о п+1^о^ j '
С помощью этой формулы можно легко получать формулы для сумм
п-х степеней первых М неотрицательных целых чисел.
Например, при п = 2 формула B4.3) принимает вид
м
При п = 3 получаем формулу
fc=l

108 § 24. Суммы степеней
Интересное совпадение состоит в том, что для любого натурального М
имеет место равенство
I3 + 23 + ... + М3 = A + 2 + ... + МJ.
Кроме того, из формулы B4.3) следует общий факт, состоящий в том,
что выражение для 1п + 2П + ... + Мп является многочленом от М
степени п + 1. Этот многочлен для любого натурального п делится на
М(М +1), поскольку правая часть равенства B4.3), очевидно, обраща-
обращается в нуль при М = — 1 и, согласно соотношению B3.6), при М = 0.

§ 25. Формула Эйлера—Маклорена
В ^-анализе для вычисления д-первообразной мы использовали фор-
формулу Джексона A9.2). Напомним, что при ее выводе был формально
обращен некоторый оператор. В этой главе мы применим аналогичный
подход для вывода формулы для /i-первообразной.
Пусть DhF(x) = f(x). Используя обычную формулу Тейлора, полу-
получаем
п \
п=0 \п=0 /
иными словами,
F{x + h) = ehDF{x), B5.1)
где D = —. Следовательно,
откуда формально получаем равенство
B5-2)
Из определения чисел Бернулли B3.3) следует, что имеет место фор-
формальное равенство
n=0
и, таким образом,
x) = f^b^(hDr ff(x)dx.
n=0 ' J
Вспомнив, что bn = 0 при нечетном п > 3, получаем формулу Эйле-
Эйлера—Маклорена
F(x)= I f(x)dx-±f(x) + f^b-^fVn-V(x). B5.3)
J n=l ^ ;'

110 § 25. Формула Эйлера—Маклорена
Заметим, что в ней интеграл и производная классические. Пусть h = 1
и Ъ — а е N. Тогда по /i-формуле Ньютона—Лейбница получаем
"г
= /
1
dx - ±(/(Ь) - /(а))
Е fe(/Bn-1}(b) - f{2n~l\a)). B5.4)
Если /(ж) вместе со всеми своими производными стремится к 0 при
х —> оо, то имеет место равенство
п=1
Чтобы показать, что полученные равенства имеют не только фор-
формальный смысл, рассмотрим несколько примеров. Пусть f(x) = Xs, где
5 — натуральное число. Тогда равенство B5.4) принимает вид
Ь-1
ns =
g 5 {s - 1)... {s - m + 2) (bs"m+1 - as"m+1) =
m=2
/ ч4-1 \ ж=^
1 / «4-1 5 + 1 e
\ rn=2
а последнее выражение согласно B3.5) равно
1
5+1
Таким образом, мы заново получили формулу B4.2) из предыдущей
главы. В качестве второго примера рассмотрим f(x) = е~х и а = 0.
Тогда в левой части равенства B5.5) получим геометрическую прогрессию
п=0
~

§ 25. Формула Эйлера—Маклорена И1
а это выражение совпадает с правой частью, которая равна
1 , 1 ■
Bп)! ~ е-1-Г
Здесь мы воспользовались равенством B3.3) при z = —1. Таким обра-
образом, можно ожидать, что формула Эйлера—Маклорена имеет не только
формальный смысл, по крайней мере для функций, быстро убывающих
на бесконечности, как, например, f(x) — e~x.
Хотя в обеих формулах B5.4) и B5.5) левые и правые части содер-
содержат суммирование, сумма в правой части может сходиться гораздо
быстрее, чем сумма в левой части. В этом случае формулы B5.4) и B5.5)
дают эффективные способы оценки конечных и бесконечных сумм. Од-
Однако эти формулы для оценки сумм следует применять с осторожно-
осторожностью, поскольку, как было сказано в § 23, величина |&2п| неконтроли-
неконтролируемо возрастает до бесконечности с ростом п. Рассмотрим, например,
f(x) = х~2. Так как fM{x) = (-1)П2 • 3... (п + 1)х~п, мы получаем
п=а п=1
В дальнейшем мы покажем, что частичные суммы ряда из правой
части этого равенства сперва быстро сходятся, но при некотором доста-
достаточно большом п величины |&2п| начинают превышать а2п, и тогда ча-
частичные суммы будут расходиться. Чтобы увидеть, насколько хорошее
приближение мы получим, заменив ряд конечным числом его первых
членов, мы выведем формулу, подобную B5.4). В этой новой формуле
вместо ряда будет использоваться его N-я частичная сумма sn, и при
этом, разумеется, появится дополнительное слагаемое Rn-
Для начала перепишем правую часть равенства B5.4) в виде
к=0
где h(x) — \ f(x) dx. Пусть ogZh6 = o + 1. Рассмотрим JV-ю частич-
частичную сумму этого ряда
к=0

112 § 25. Формула Эйлера—Маклорена
Положим д(х) = Bn(x)/N\. Тогда из формулы B3.3) мы получаем
g(N~k\x) = Вк(х)/к\. Предложение 23.1 показывает, что Вк{1) = Вк@)
для к ^ 2 и что £?i(l) = i?i@) + 1- Величина Во постоянна, поэтому
*"•= Е (нр- hik)(a + 1) - ^Л«(в)) + h'(a) =
к=0 ^ * '
Функция
имеет очень простую производную. В самом деле,
G'(x) = 2 9{N-k+1) (x) h^ {a+i-x)-jr gW-b) (x) />(fc+1> (o+1 -x)
k=0 k=0
N N+l
= E 5(JV-fc+1) (i) ^ (a + 1 - x) - ]T s("-*+i> (x) ft« (a + 1 - x) =
k=0 k=l
= 9{N+1) (x) h{a + 1 - x) - g{x) h{N+1) (a + 1 - x) =
где g(N+1\x) = О, поскольку deg# = deg Bn = N. Отсюда
l
sN = hf{a)-G(l) + G@) = h'{a) + f g{x) h{N+1) {a + 1 - x) dx,
о
или
N . 1
(a + l-x)dx,
fc=o ""
если обозначить / f(x) dx как
/ f(x)dx

§ 25. Формула Эйлера—Маклорена ИЗ
Сделаем теперь замену переменных х = a + l — t и получим
f(K){t)dtt B5J)
к=0
о+1
где {у} е [0,1) обозначает дробную часть вещественного числа у. В са-
самом деле, поскольку число а целое, при а < t < а + 1 выполняется
неравенство —а < 1 — t < —а + 1 и, таким образом, {1 — t} = а + 1 — t.
Наконец, заменив а последовательно нао + 1,о + 2,...,Ь—1 и просум-
просуммировав полученные равенства, получим
Ь-1 N b
п=а к=0 ' а
или, если подставить N = 2т + 1,
к=\
t. B5.8)
Последнее равенство называется формулой Эйлера—Маклорена с оста-
остаточным членом. Если функция f(x) и все ее производные стремятся к 0
на бесконечности, то
^

114 § 25. Формула Эйлера—Маклорена
Из формул B5.8) и B5.9) следует, что ошибка аппроксимации сумм в
левой части частичными суммами S2m+i описывается остаточным членом
+ ^})/Bт+1)^dt
Для оценки величины |i?2m+ii нужно оценить сверху многочлен Бер-
нулли B2m+iix) на отрезке [0,1]. По определению
f-B^ ^ B5.11)
для любого а, О ^ а ^ 1.
Из комплексного анализа известно, что радиус сходимости степенно-
степенного ряда функции f(z) в точке z = 0 равен расстоянию на комплексной
плоскости от начала координат до ближайшей особой точки этой функ-
функции. Например, радиус сходимости геометрической прогрессии ^ zn
равен 1. С другой стороны, этот ряд служит разложением в ряд Тейло-
Тейлора в точке 0 функции A — г), у которой ближайшей к 0 особой точкой
является 1.
Применим этот факт к функции (ez — I). Ее особыми точками слу-
служат точки 2тгпг, где п € Z. Ближайшими к 0 среди них являются ±2тгг.
Таким образом, радиус сходимости степенного ряда в B5.11) равен 2тг.
Воспользуемся еще одним фактом из комплексного анализа, кото-
который состоит в том, что если R — радиус сходимости степенного ряда
J2anXn, то верхний предел значений (la^iT1I/71 = R\an\l^n равен 1.
Это следует, например, из формулы для радиуса сходимости степенно-
степенного ряда
|а„, - д.
Для иллюстрации рассмотрим геометрическую прогрессию ^аПхП-> Для
которой, как нетрудно убедиться, R = 1/|о:|.
Из этих рассуждений следует, что при п —> оо имеет место соотно-
соотношение
|j?n(a)iy7" i.
^ n! ^ ~2тг'
или, что то же самое,
|Вп(о)| 1_
n! ~ Btt)"'

§ 25. Формула Эйлера—Маклорена 115
Таким образом, в соответствии с B5.10) мы получаем
ь
Важно заметить, что наши рассуждения об оценке величины |i?2m+i|>
приведенные здесь, не являются строгими. Тем не менее, предыдущий
результат остается в силе, поскольку известно, что при 0 ^ а ^ 1 спра-
справедливо неравенство
|B2m+1(g)| 4e2*
< ^LZ)
Bm+ 1)! О
Это неравенство можно доказать, используя разложение функции i?2m+i (я)
в ряд Фурье. Поэтому имеет место оценка
ь
2тг г
l#2m+l| < B%т+1 / |/Bт+1)(*I<Й- B5.13)
а
Например, для f(x) = е~х, а = 0и6 = ооиз неравенства B5.13)
следует, что |i?2m+i| < 4е27Г/BтгJт+1, и поэтому |i?2m+i| достаточно
быстро стремится к нулю. Ранее в этой главе мы видели, что в этом
случае ряд Эйлера—Маклорена сходится.
Пусть f(x) = х~2, Ъ = оо. Предположим, что мы хотим оценить
сумму
^ 1
V4r, B5.14)
п=1
сложив, например, первые 1000 членов. Погрешность можно оценить
с помощью интегралов, а именно,
J оо у
0,001 =/§<51^</^= 0,001001...
юоо п=юоо 999
Таким образом, этот способ дает ответ с точностью до шестого деся-
десятичного знака. Посмотрим теперь, какую погрешность дает формула
B5.9), если использовать ее для аппроксимации оставшейся части ряда
ОО 1
^2 ~2 и оценки ее погрешности. Из неравенства B5.13) следует, что
n=1000 n

116 § 25. Формула Эйлера—Маклорена
в этом случае
|^m+l| v. 100() B0007rJm+i •
В частности,
|Д3| < 1(Г10, |Л5| < Ю6, |Д7| < 103.
Это означает, что с использованием формулы B5.9) совсем небольшие
по объему дополнительные вычисления позволяют получить гораздо
большую точность.
Есть соблазн сделать вывод, что чем больше членов мы вычислим,
тем выше точность полученной оценки. Однако отношение
2mBm + l)
B000тгJ
для больших т существенно превосходит единицу. Таким образом, оста-
остаточный член |i?2m+i| с ростом т сначала быстро уменьшается, при
т « ЮООтг достигает минимума, а затем начинает быстро расти, при
этом частичные суммы начинают все более и более значительно откло-
отклоняться от истинного значения. В общем случае, если формулу B5.9)
использовать для аппроксимации Y1 ~-> т0 величина |i?2m+i| мини-
п=а п
мальна при т и тга.
В качестве замечания отметим, что точное значение суммы B5.14),
а именно тг2/б, впервые было получено Эйлером. Этот результат можно
получить различными способами, один из которых использует методы
комплексного анализа, а другой опирается на ряды Фурье. Оба эти ме-
оо
тода дают точное значение для Yl (Vn5)> гДе 5 ~~ четное положительное
п=1
число; оно оказывается равным 2s~1tts |6s|/s!. Однако для нечетных це-
целых 5 подобных компактных выражений не найдено.
В заключение этой главы рассмотрим еще два применения формулы
Эйлера—Маклорена B5.8) при а = 1,га = 1.
Пример 1. Пусть f(x) = -. Тогда
-= InЫ-Д(Ь), B5.15)
п—1
где lim R(b) = с. Число с называется постоянной Эйлера.
Ь—*оо

§ 25. Формула Эйлера—Маклорена 117
Пример 2. Пусть f(x) — lnx. Тогда
ь
1п(Ь-1)!= flntdt-^lnb + R^b), B5.16)
1
где lim Ri(b) = С. Интегрируя по частям, получаем
Ь—»оо
/ lnteft = ЬAпЬ-1).
1
Прибавив Inb к обеим частям равенства B5.16), получим
k ь
Следовательно, при Ь —* со
B5.17)
Можно показать, что ес = \/2тг. Таким образом, мы получили знаме-
знаменитую формулу Стирлипга.

§ 26. Симметрический квантовый анализ
Вместо дифференциалов dq и dh можно рассматривать дифферен-
дифференциалы более симметричного вида
x) = f(qx)-f(q-1x), B6.1)
x) = g(x + h)-g{x-h), B6.2)
где, как обычно, мы считаем, что q ф 1 и h ф 0. Соответствующие
производные определяются очевидным образом:
В этой главе мы кратко рассмотрим симметрический ^-анализ, посколь-
поскольку он играет важную роль в теории алгебраических объектов, которые
называются квантовыми группами.
Симметрические ^-производные произведения и частного двух функ-
функций вычисляются по формулам
Dq{f(x) д(х)) = f(qx) Dqg{x) + д{Ч~хх) Dqf(x) =
= /(q-'x) Dqg(x) + g{qx) Dqf(x), B6.5)
f) (Ш) = 9(qx)D4f(x)-f(qx)Dqg(x) =
g\9(x)J g(qx)g(q-1x)
1x) Dqf(x) - fjq-^x) Dqg(x)
9(Qx)g(q~1x)
~1x) ' { ' '
Для любого а имеет место равенство
Dqxa = [а]~ Xе*-1, B6.7)
где
H-=^ff?- B6-8)

§ 26. Симметрический квантовый анализ 119
Положим
(х - а)£ = (х- дп~1а) (х - дп~3а) (х - дп~5а) ...(х- tf"n+1a) B6.9)
для натурального числа п, и, кроме того, пусть (ж — а)~ = 1.
Заметим, что deg(x — аI- = п при любом п. Приведем три из этих
многочленов:
(x-aI = (x-qa)(x-q 1a),
(x - a)\ = (x- q2a) (x - a) (x - q~2a).
Предложение 26.1. Для любого натурального числа п выполня-
выполняется равенство
Доказательство. Применим индукцию по п. Случай п = 1 тривиа-
тривиален. Заметим, что (х — а)^+1 = (х — qa)\~ (x — q~na) для любого целого
п > 1. Следовательно, применяя формулу B6.5), получаем
Dq(x — a)^+1 = (qx — qaO- + [n]~ (x — qaj^~l {q~lx — q~na) =
= qn(x- a)? + q-1 [n]~ (x - qa)nfl (x - q-n+la) =
= (qn + q'1 [n}~) (x - a)£ = [n + 1]~ (x - a)?,
что и требовалось. П
К сожалению, если а ф 0, то при четном п многочлен (х—аO- не обра-
обращается в нуль в точке х — а. Поэтому многочлены Рп(х) — (х — а)^/[пу\
не удовлетворяют условиям теоремы 2.1, которая дает обобщенную фор-
формулу Тейлора. Заметим, что многочлены, удовлетворяющие условиям
теоремы 2.1, задаются формулой B6.23), которая будет получена в кон-
конце главы.
Тем не менее, при а = 0 имеет место разложение в ряд Тейлора вида
f
Пусть f(x) = (х + аO-. Для j ^ n выполняется равенство
[п]~ [п-1]-...[п-3 + I}' @ + a)nfj = ^

120 § 26. Симметрический квантовый анализ
кроме того, DJqf{x) = 0 при j > п, поэтому
(х ~Ь ciO- == / \ о> ^х , B6.12)
где
Соотношение B6.12) является ^-аналогом бинома Гаусса E.5). Попро-
Попробуем получить ^-аналог бинома Гейне (8.1).
Рассмотрим д(х) = 1/A — ж)-1. Поскольку
A - х)? = A - qn~lx) A - qn~3x) ... A - g1"»*) =
= 9" (91"" " *) 9"-3 (93-" - x) ... Q1-" (9n-X - x),
или, что то же самое,
A-х)? = (-!)"(*-1)?, B6-14)
получаем
£)9A - хM = (-1)" [„]" (х - I)?'1 = -[п]"A - х)?-1.
Согласно B6.6) отсюда следует, что
адх) = d-^d-U)?= (Г^г- B6Л5)
Поэтому при всех целых j' ^ 0 имеет место равенство
Следовательно,
а это равенство можно рассматривать в качестве аналога формулы би-
бинома Гейне (8.1).
Теперь обратимся к интегрированию. Чтобы вывести точную фор-
формулу для ^-первообразной произвольной функции /(ж), снова применим
подход, основанный на формальном обращении некоторого оператора.
Пусть F(x) — ^-первообразная функции /(х), т. е. DqF(x) = f(x). При-
Применив оператор Mq, определенный в E.6), получим
(М, - M,-i)F(x) = F{qx) - F{q~lx) = {q-q-X)x f(x).

§ 26. Симметрический квантовый анализ
Так как для любой функции д(х) выполняется равенство
MqMq-ig(x) = Mq-iMqg(x) = д(х),
мы получаем Mq-i = {Mq)~l. Следовательно,
Отсюда
= (q-1 - q) (M, + Mg3 + Mbq + ...) x f(x).
Таким образом, получаем соотношение
F(x)=x(q-1-q) ]T qnf(qnx). B6.17)
71 = 1,3,...
Нетрудно проверить, что если ряд в правой части равенства B6.17) схо-
сходится, то сумма ряда является <?-первообразной функции /(х), которая
обращается в нуль в точке х — 0. Следовательно, при условии, что ряд
сходится, определенный <?-интеграл задается формулой
a
/■
qx = a(q-1-q) ]T qnf(qna). B6.18)
71=1,3,...
Для того чтобы формула B6.17) определяла ^-первообразную един-
единственным образом с точностью до прибавления произвольной константы,
остается исследовать решения функционального уравнения DqG(x) = 0.
Из этого уравнения, в частности, следует, что G(qx) — G{q~lx) и, тем
самым, G(x) = G(q2nx) для любых х и целых п. Отсюда легко вывести,
что если функция G(x) непрерывна в точке х = 0, то она постоянна. Та-
Таким образом, как и в #-анализе, непрерывность ^-первообразной в точке
х — 0 приводит к тому, что ^-первообразная определена единственным
образом с точностью до постоянного слагаемого.
Положим по определению
Ь Ъ а
I f(x) dqx = I f(x) dqx - I f (x) dqx.

122 § 26. Симметрический квантовый анализ
В частности,
Г f(x) dqx = (q-1 -q)[ Y, 4n+m-lf(qn+m-1) ~
qrX+l \n=l,3,...
71 = 1,3,...
Несобственный интеграл естественно определить формулой
оо q™'1
ff(x)dqx= J2 I /(*)<*> =
{ m=±l,±3,...gB/+1
1 £ 9m/(9m)- B6.19)
m=±l,±3,...
На этом мы остановимся, оставив читателю самостоятельно развить
симметрический д-анализ по аналогии с ^-анализом.
Мы закончим книгу кратким обсуждением более общих вариантов
квантовой производной. Мы познакомились с тремя различными вида-
видами квантовой производной, а именно, q-производной A.5), h-производ-
h-производной A.6) и симметрической ^-производной B6.3). Квантовым диффе-
дифференциалом наиболее общего вида является
df(x) = f(qx + h) - f(qfx + ti).
Для такого дифференциала можно разработать теорию, содержащую
производную, формулу Тейлора, первообразную и т. п. Чтобы произ-
производная Df(x) = df(x)/dx была всюду определена, мы должны предпо-
предположить, что либо q ф q', либо h ф Ы. Семейство многочленов {Pn}n^(b
удовлетворяющих всем трем условиям теоремы 2.1, всегда существует,
поскольку они могут быть вычислены по индукции, начиная с п = 0.
В общем случае эти многочлены задаются выражением
Рп(х) = сп(х - а) [х - а2)... (х - ап), B6.20)
где 0,2, аз, ... являются функциями от а, q, q', h, Ы. Сравнив стар-
старшие коэффициенты многочленов DPn(x) и Pn_i(x), легко видеть, что
cn-i = 1/М, где
п fn
[п] = —_ , , если q ф qf, и [п] = nqn~l, если q = q1.

§ 26. Симметрический квантовый анализ 123
Положив [п]\ = [1]... [п] для натурального числа п и [0]! = 1, получим
1
Общее выражение для ап слишком громоздко. Сравнив коэффициен-
коэффициенты при хп~г в dPn(x) и Pn-i(x)dx, получим следующие рекуррентные
формулы для sn = а + а2 + ... + an, n ^ 2:
Jw_a |
£i'P°ff^> "■ <26-2i)
5n = -^— qsn-i + \n{h + ti), если q = g;. B6.22)
Легко видеть, что в общем случае уже для а2 и аз получаются до-
достаточно громоздкие формулы. Написанное рекуррентное соотношение
упрощается, если h — Ы. В этом случае соотношение B6.21) принимает вид
s* = r n Sn-i+nh, n^2,
[П — 1J
и вместе с начальным условием s\ = а оно дает явную формулу
Это решение очень легко получается при использовании подстановки
tn = sn/[n]. Таким образом,
ап = sn- sn-i = {а-К) ([п] - [п - 1]) +nh +
В частности, в симметрическом ^-анализе, т. е. при h = 0, q' = q г, мы
имеем
ап — ([п]~ — [п — V\) a = (qn~l — qn~2 + qn~3 — ... + ql~n) a, n ^ 1.
Следовательно, в симметрическом ^-анализе многочлены, удовлетворя-
удовлетворяющие условиям теоремы 2.1 об обобщенной формуле Тейлора, задаются
формулой
1 -1
... х (х - {qn~l - qn~2 + qn~3 -... + q1'") a). B6.23)

Приложение: список q-первообразных
ха+х
/dgX _ 1 . , .
(х-а)%~ qll-aKx-qa)?-1 ^ * '
/dqX _ 1 . , ,
Т^Щ~ \*-\\{а-х)ГХ [a^ '
/polx i _ }_ ax / pax j _ 4_ q'1ax
eq dQx ~ a ч J ч q ~ a *
I cosq(ax) dqX = — sinq(ax) / Cosq(ax) dqx = — 8тд(д~гах)
/ sinq(ax) dqx — cosq(ax) / Smq(ax) dqx = —- Cosq(q~1ax)
Интегрирование по частям:
ь
J f(x) dqg(x) = f(b) g(b) - f(a) g(a) - J g(qx) dqf(x)
Замена переменных:
u(b)
/ f(u) dqu = / f(u(x)) dqi/0u(x), где u{x) =
u(a) a

Литература
[1] Andrews G.E. ^-series: Their development and application in
analysis, number theory, combinatorics, physics, and computer algebra.
Providence, R.I.: AMS, 1986. (CBMS Regional conference lecture series
in mathematics, vol. 66).
[2] Extort H. g-hypergeometric functions and applications. Chichester:
Halsted Press, 1983.
[3] Fine N. J. Basic hypergeometric series and applications. Providence,
R.I.: AMS, 1988. (Math, surveys and monographs, vol. 27).
[4] Gasper G., Rahman M. Basic hypergeometric series. Cambridge:
Cambridge University Press, 1990. (Имеется перевод: Гаспер Дж.,
Рахман М. Базисные гипергеометрические ряды. М.: Мир, 1993.)
[5] Hardy G. #., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers.
Oxford: Oxford University Press, I960.
[6] Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.
[7] Goldman J., Rota G.-C. The number of subspaces of a vector space //
Recent Progress in Combinatorics. (Proc. Third Waterloo Conf. on
Combinatorics, 1968). New York: Academic Press, 1969. P. 75-83.
[8] Кириллов А. А. Дополнительные главы математического анализа.
М.: Издательство НМУ, 1994.
[9] Miller H. Euler-Maclaurin formula. MIT lecture notes, 1998.
[10] Vilenkin N. За., Klimuk A. U. Representation of Lie groups and special
functions. V. 1-3. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1991-1992. (См.
также: Виленкин Н. Я., Климык А. У. Представления групп Ли
и специальные функции // Некоммутативный гармонический ана-
анализ — 2. М.: ВИНИТИ. 1990. (Итоги науки и техники. Современные
проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 59).)
[11] De Sole А., Кае V. G. On integral representations of g-gamma and
<7-beta function. math.QA/0302032.

Предметный указатель
h-бином 96
h- дифференциал 10
^.-интеграл 96
^.-интегрирование по частям 99
h-первообразная 98
/г-производная 96
^.-формула Ньютона—Лейбница 99
— Тейлора 97
^.-экспонента 97
т-угольные числа 50
q-аналог числа п 11, 16
q-бета-функция 90
д-бином 17, 57
д-биномиальные коэффициенты 22,
26,30
д-гамма-функция 90
g-гипергеометрический ряд 54
q- дифференциал 10
^-интегрирование по частям 87, 89
^-первообразная 76, 124
^-тригонометрические функции 44
g-формула Ньютона—Лейбница 87
— Паскаля 24, 26
— Тейлора 22, 38, 89
д-экспонента 40
Абеля преобразование 100
Аналитическая функция 60
Бернулли многочлены 102
— числа 102
Галуа число 35
Гаусса бином 24
— тождества 50
— формула бинома 58
Гейне формула 55
бинома 38
Гипергеометрический ряд 53
Двусторонний <?-гипергеометричес-
кий ряд 60
Джексона интеграл 80
Классическая функция разбиения 47
Некоммутативная формула
бинома 24
Несобственный д-интеграл 84
Ньютона интерполяционная
формула 101
Определенный h-интеграл 98
Остаточный член в форме Коши 89
Паскаля формула 26
Пятиугольные числа 47
Рамануджана формула произведения
62
Симметрический квантовый
анализ 118
Стирлинга формула 117
Суммы квадратов 67
— степеней 107
— треугольных чисел 72
Тейлора обобщенная формула 14
Треугольные числа 51
Ферма теорема 71
Эйлера постоянная 116
— тождества 40
— формула произведения 47
Эйлера—Маклорена формула 109
с остаточным членом 113
Якоби тождество для тройного про-
произведения 45
Замена переменных 85

Научное издание
Кац В. Г., Чей П.
КВАНТОВЫЙ АНАЛИЗ
Редактор О.Васильева
Лицензия ИД №01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 20.05.2005 г.
Формат 60 х 90 Дб- Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 8.
Тираж 1000 экз. Заказ № 80т
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-05-00.
Отпечатано с готовых диапозитивов во ФГУП «Полиграфические ресурсы».
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине
«Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru
http:\www.mccme.ru\publications\

МАГАЗИН «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КНИГА» В МЦНМО
НОВЫЕ ПОСТУПЛЕНИЯ
/ А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — 2004. —
552 с.
/ Д. П. Желобенко. Основные структуры и методы теории представ-
представлений.—2004.—488 с.
/ В.П.Пикулин, С. И. Похожаев. Практический курс по уравнениям
математической физики. 2-е изд. — 2004 — 208 с.
/ А.Н.Ширяев. Вероятность. В 2-х кн.— 3-е изд., перераб. и доп.—
2004.-928 с.
/ Глобус. Общематематический семинар. Вып. 1 / Под ред. М. А. Цфас-
Цфасмана и В. В. Прасолова. — 2004. — 264 с.
/ Э. Артин. Теория Галуа. — 2004. — 66 с.
/СБ. Каток, р-адический анализ в сравнении с вещественным. —
2004.-112 с.
/ Н. Н. Савельев. Лекции по топологии трехмерных многообразий.
Введение в инвариант Кассона. — 2004. — 216 с.
/ В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной то-
топологии. — 2004. — 352 с.
/ О. А. Логачев, А. А. Сальников, В. В. Ященко. Булевы функции в тео-
теории кодирования и криптологии. — 2004. — 470 с.
/ С. К. Ландо. Лекции о производящих функциях. — 2-е издание,
испр.-2004.-144с.
/ Дж. Хамфрис. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений /
Пер. с англ. Б. Р. Френкина. —2003.—216 с.
Получить более подробную информацию об этих и других книгах изда-
издательства, а также заказать их можно через Интернет на сайте
http://www.mccme.ru/publications/
Книги можно купить в магазине «Математическая книга» в здании
Московского центра непрерывного математического образования.
Адрес магазина: 119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Проезд до
станции метро «Смоленская» или «Кропоткинская», далее пешком. Телефон
для справок: @95) 241-72-85. E-mail: biblioQmccme.ru
Магазин работает ежедневно кроме воскресенья с 11— до 20—.