/
Текст
ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (11—111 вв. н. э.)
Диофант был последним великим математиком античности. Его творчество оказало влияние на развитие алгебры, неопределенного анализа и теории чисел, сравнимое с влиянием Архимеда на исследования по математическому анализу и механике.
О жизни Диофанта мы знаем очень мало. В Палатинской антологии сохранилась его эпитафия:
«Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей —~ и
камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком И половину шестой встретил с пушком па щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его
* прожил,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей».
(Перевод С. Н. Боброва) Легко подсчитать, что Диофант прожил 84 года, но когда точно — неизвестно. Время (II—III вв. н. э.) его жизни определено из косвенных соображений.
Во II—III вв. н. э. Египет был уже не самостоятельным государством, а провинцией Римской империи. Центр науки по-прежнему находился в Александрии, но математическая школа уже мало походила на классическую, созданную Евклидом и его последователями (III—II вв. до н.э.) Основанием математики служила теперь не геометрия, а арифметика, развивались вычислительные алгоритмы, плоская и сферическая тригонометрия и, наконец, новая алгебра.
Во времена Евклида алгебра строилась геометрически: величины изображались отрезками, которые можно было складывать и вычитать (из большего меньший). Произведение двух отрезков представлялось построенным на них прямоугольником, а произведение трех отрезков — соответствующим . прямоугольным параллелепипедом. Произведение четырех отрезков не рассматривалось. Геометрическое представление дало возможность доказать общим образом алгебраические тождества (ведь буквенной алгебры не было!) и решать квадратные уравнения. Например, тождество (a-\-b)2 = a2-\-2ab-\-b2 Евклид доказывал по рис. 1. Геометрическая алгебра была, однако, малооперативной и
ИМИ
xz-Ar х3-кг Х4 - ЛГЛ X5— Л кг
X~7-S*
г-2
лГХ
Х~^-Лг Х~3-Кгх Х~4- ЛГЛХ
Х~5- л кгх
Х~6-КтКх
©
©
До нас дошли 2 его сочинения — «Арифметика» и «О многоугольных числах». Оба не полностью: из 13 книг «Арифметики» сохранились 6, от второго сочинения остались только отрывки.
В «Арифметике» Диофант ввел буквенные обозначения для неизвестного, шести его положительных степеней, шести отрицательных и нулевой степени (см. рис. 2). Qh определил и действия с этими степенями, которые- мы можем коротко записать так: хтххп = = хт+п1 —Появление степеней, больших третьей, а также отрицательных, означало окончательный разрыв с геометрическими представлениями и зарождение буквенной алгебры.
Диофант первым стал обозначать минус перед числом особым знаком, ввел сокращенное обозначение равенства. Все это позволило ему записать условие задачи в виде уравнения. До этого никаких уравнений не было. Были только задачи, эквивалентные уравнению. Не более того.
Наконец Диофант понял, что нельзя развивать алгебру, имея только положительные числа. Он первым ввел отрицательные числа,назвав их словом «лейпсис» (недостаток). Но что значит «ввести новые числа»? Диофант придумал для этого специальный метод, который мы бы назвали аксиоматическим: определил правила действий с новыми числами Если обозначить отрицательные числа знаком (—), а положительные—( + ), то «таблицу умножения» Диофанта можно записать так:
(-)(-)=(+), (-)(+) = (-)•
Диофант не определил правила сложения и вычитания отрицательных чисел, но свободно ими пользовался. Заметим, что Р. Бомбелли (XVI в.), ознакомившись с рукописями Диофанта, точно таким же методом ввел мнимые числа.
Построив поле рациональных чисел, Диофант развивал над ним алгебру и теорию неопределенных уравнений. Следуя античной традиции, он излагал свои идеи на конкретных примерах. Основное содержание его «Арифметики» — решение неопределенных уравнений и систем таких уравнений в рациональных числах, а методы его теперь относятся к алгебраической геометрии. Так, рассматривая неопределенное уравнение 2-й степени от двух переменных х и у, Диофант установил, что оно либо вовсе не имеет рациональных решений, либо если есть одно решение, то есть и бесконечно много других, причем шх и у выражаются как рациональные функции одного параметра. Одна из таких задач, в которой требуется разложить заданный квадрат на два квадрата, побудила Ферма сформулировать свою Великую теорему.
Диофант рассмотрел также неопределенные уравнения 3-й степени от двух переменных (определяющих кривые рода 1) и развил для них общие методы (метод касательной и метод секущей), позволившие по одному или двум известным рациональным решениям найти новое рациональное решение. Эти методы использовал А. Пуанкаре для построения арифметики кривых рода 1.
годилась ио существу только для действий с выражениями 2-й степени. В начале нашей эры математики постепенно возвращались к числовой алгебре, но решительный шаг сделал Диофант.
И. Г. Башмакова
(Москва)
Научно-методический журнал Государственного комитета СССР
по народному образованию
Москва «Педагогика»
Издается с 1934 года Выходит один раз
в д£а месяца НОЯБРЬ — ДЕКАБРЬ
МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ
БРЕМЯ. ПЕРЕСТРОЙКА. ШКОЛА,
£
Концепция среднего образования и совершенствование системы обучения математике (3. И. Слепхань; Т. А. Китова, П« А. Либензон, А. А. Столяр; Г. В. Злоцкий; Е. С. Дубинчук; П. К. Одинцов, Л, А» Одинцова; Б. П. Эрдниев)
Б. Е Корольков
п
Размышления учителя о проблемах школы
Г. Д. Глейзер,
и
Школе необходима концепция общего математического образования
Р. С. Черкасов
МЕТОДИЧЕСКИЙ
ОТДЕЛ
И. П, Раченко
17
Н. К. Крупская о научной организации труда в школе
Я, И. Груденов
18
Условия активизации мыслительной деятельности учащихся
Т. А. Берсенева
21
Зачетные формы организации контроля знаний старшеклассников
Т. С. Маликов
24
О доказательствах «очевидных» фактов школьного курса геометрии
Из опыта работы
К. О. Ананченко,
26
Система уроков М Н. Волкоза
Д. Е. Перлин
Т. М. Ковалева
31
Игра и учебная деятельность
А. Л. Правдин
33
Как составить уравнение, приводящее к посторонним корням
В. И. Мишин
35
Решение задач как средство повторения
В. Е, Ольхов
36
О формуле суммы членов геометрической прогрессии
Из писем и заметок
37
По поводу заметки Р. М. Нижегородцева
Ли Чанмин
38
Применение графической наглядности при изучении квадратного трехчлена
Чжоу Джункуй,
39
Интересные метрические соотношения в треугольнике
Ци Цзансинь
Внеклассная работа
В. Н. Руденко,
40
Математический час в IV классе
С. Н. Маркова
В. Г. Чванов
43
Инверсия в постановке математических задач
К. А. Мнацаканян,
45
Применение одного свойства функции к доказательству некоторых
Н. М. Седракян
неравенств
И. А. Кушнир
46
Полезные свойства элементов тетраэдра
В Н. Литвиненко
47
Метод уравнивания в геометрических задачах
А. П. Савин
43
Математический КВН на празднике юных математиков
Занимательная страница
И. С. Зельцер,
49
Занятные стайки простых чисел
S. А. Кордемский
Задачи
51
§) Математика в школе № 6, 1983
Математический календарь на 1988/8$ учебный год
А, И. Бородин 60 Январь — февраль
В. А. Гусев, 62 ?л А. Хабибу — 60 лет
Д. И[» Икрамов,
Ю М. Колягин,
В, в. Фирсов
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
А. Я. Халамайзер 62 Адмирал корабельной науки
Б. Е. Горенштейн 65 Памяти К. Г. Спатару
ЗА РУБЕЖОМ
; С. Крыговская 66 Роль определения в математической деятельности учащихся
Ю. М. Колягин, 70 Анализ японских учебников по математике для 1—VI классов
М. В. Ткачева
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
И. М. Яглом 75 Необыкновенная книга Н. Я. Виленкин 76 Полезное пособие
Ф» М. Шустеф 77 Новые книги
78 Тематический указатель статей, опубликованнвк в 1988 году
Редакционная коллегия
Редакционный совет (представители союзных республик)
Главный редактор Р. С. Черкасов
Зам. главнрго редактора А. И. ВерченкоА м Длтв (АзССР)
Члены редакционной коллегии
Н. М. Бескин
B. Г. Болтянский Н. Ф. Власик
fi Д. Глейзер Б. ВГнеденко Г. В. Дорофеев //. А. Ермолаева Ю. М. колягин М. Р. Леонтьева Г. Г. Маслова К. И. Мешков Л. М. Пашкова И. С. Петраков П. X, Розов £. А. Скворцов П. В. Стратилатов 3. С, Сухотина К. И. Шалимова
C. И. Шварцбурд
Гл А, Ястребинецкий
X. А. Асадов (ТаджССР)
Б. Б. Бердыев (ТССР)
В. А. Гусев (РСФСР)
A, С. Зибертас (ЛитССР)
Д. И. Икрамов (УзССР)
Ш. М. Майлиев (КиргССР)
B. Я. Миллере (ЛатвССР)
3. И. Моисеева (РСФСР)
Н. Н. Садовникова (РСФСР) Я. В. Саркисян (АрмССР)
3. И. Слепкань (УССР)
А. Э. Тельгмаа (ЭССР)
И. Ф. Тесленко (УССР)
Р. А, Хабиб (РСФСР)
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов Технический редактор Г. Б. Андреева Корректор Мщ А, Суворова
Сдано в набор 20.10.88.
Подписано в печать 2911.88,
Формат 84X108j/ig. Печать высокая. Уел. печ. л. 8,40. Уч.-изд. л. 11,16.
Уел. кр.-отт. 9,24. Тираж 465 370экз* Цена 45 коп. Заказ 247»
Издательство «Педагогика»
Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства:
107847, Москва, ГСП, Б-05, Лефортовский пер., д. 8,
Адрес редакции: 129278,
Москва, ул. Павла Корчагина, д 7, Телефон 283-85-83.
Московская типография № 13 ПО «Периодика»
ВО «Союзполиграфпром» Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
107005, Москва,
Денисовский пер., д, 30
ВРЕМЯ. ПЕРЕСТРОЙКА, школа
XXVH съезд КПСС и февральский (1988 г.) Пленум ЦК КПСС определили пути перестройки народного образования страны. Одним из основных документов, определяющих его развитие, должна стать концепция среднего образования.
Опубликованные в августе 1988 г. проекты концепции не могут оставить равнодушными всех, кто причастен к образованию и воспитанию. Ведь речь идет о преобразованиях, которые должны обеспечить новое качество обучения | и воспитания молодежи, создать необходимые условия для ускорения социально-экономического и духовного прогресса советского общества. Концепция, которая после ее обсуждения и принятия будет определять ближайшее будущее народного образования, волнует очень многих. Об этом свидетельствует поступающая в редакцию почта. Ниже публикуются стаУьи с первыми откликами на эти проекты*
«Концепция общего среднего образования», созданная Временным научно-исследовательским коллективом (ВНИК) «Базовая школа», опубликована в «Учительской газете» 23 августа. Для краткости авторы отзывов называют этот документ I проектом.
«Концепция общего среднего образования как базового в единой системе непрерывного образования (тезисы)», подготовленная рабочей группой АПН СССР, была напечатана в «Учительской газете» 25 августа. В отзывах эта публикация именуется II проектом.
Концепция среднего образования и совершенствование системы обучения математике
♦
В сентябре 1988 г. в Киеве состоялось несколько обсуждений двух проектов концепций общего среднего образования и проекта положения о средней школе. В обсуждениях приняли участие преподаватели Киевского государственного педагогического института им. А. М.
Горького, слушатели факультета повышения квалификации при этом институте, приехавшие из разных педвузов страны, а также учителя математики киевских физико-математических школ и классов с углубленным изучением этого предмета.
Выступавшие были единодушны в том мнении, что ряд важных положений в проектах обеих концепций трактуются фактически одинаково. Это прежде всего исходные принципы гуманизации и демократизации общего среднего образования, цели и задачи средней школы, ее структура, усиление дифференциации, свободный выбор направлений обучения на третьей ступени и другие. В то же время большинством было признано, что I проект содержит больше прогрессивных идей, направленных на развитие средней школы. Некоторые положения обоих проектов вызвали критические замечания, высказывались также предложения о внесении в окончательный текст документа ряда новых положений.
Р 3
Изложим подробнее результаты обсуждений и наше личное отношение к затронутым проблемам.
Положение I проекта о необходимости выделения базового компонента образования получило единодушную поддержку. В то же время было отмечено, что в I проекте нет даже приближенно очерченного содержания базового компонента, хотя бы на уровне перечисления учебных предметов, которые должны обязательно войти в базовый компонент. По нашему мнению, новая программа по математике, опубликованная в № 6 за 1985 г. журнала «Математика в школе», сделала существенный вклад в выделение базового компонента математического образования, который должен быть дополнен и усовершенствован после принятия окончательного варианта концепции средней школы.
В I и II проектах концепции и в проекте положения о школе подчеркивается необходимость выделения обязательного и продвинутого уровней образования. В этой связи нам представляется особенно актуальной проблема достижения обязательных результатов обучения по математике. Нб при ее решении нельзя ограничиваться указанием нижнего уровня навыков и умений, необходимо определить и нижний уровень теоретических знаний. Другими словами, следует четко определить, что
должен знать и уметь по математике каждый ученик на данном этапе своего образования. Одновременно надо создать оптимальные условия для обеспечения продвинутого урсгвня для хорошо успевающих учеников.
Участники обсуждений единодушно поддержали ключевое положение I проекта о школе развивающей и развивающейся, о том, что уровень развития ученика должен выступать как мера качества работы и отдельного учителя, и всей системы образования. Но чрезмерно пренебрежительное высказывание авторов I проекта о «пресловутых ЗУНах» создает впечатление, что знания, умения и навыки противопоставляются в нем развитию. Практика обучения математике в школе на протяжении двух последних десятилетий показала, что такое противопоставление не приводит ни к улучшению качества математической подготовки, ни к повышению уровня общего развития школьников.
Развитие ребенка происходит в процессе присвоения им исторически выработанных знаний, умений, навыков и способов деятельности. В результате активной воспроизводящей деятельности ребенок овладевает способами ориентации в окружающем мире и средствами его преобразования, которые постепенно становятся формами самостоятельности ребенка. Применительно к обучению математике это означает, что общее развитие всех учащихся должно осуществляться на программном материале.
Нельзя не учитывать давно установленную истину о том, что развитие учащихся может осуществляться только на базе глубокого и прочного усвоения учебного материала, хорошо развитой произвольной и непроизвольной памяти. Именно так мы понимаем и идею «опоры» в педагогике сотрудничества, объявленной ведущей в I проекте.
В свете сказанного более обоснованным нам представляется утверждение II проекта: «Следует отказаться от односторонней ориентации на знания и умения, разумеется, ни в коей мере не умаляя их значения для формирования личности».
Создается впечатление, что в 1 проекте пояснительно-иллюстративный и репродуктивный методы обучения противопоставляются активным методам. хОДногие участники дискуссий в Киеве указывали, что только разумное сочетание тех и других может привести к успеху в воспитании и развитии учащихся. Другое дело, что в обучении многим предметам, в том числе и математике, еще слабо разработаны активные, творческие методы. Необходимо форсировать исследование теоретических и практических основ этих методов в сочетании с изучением передового педагогического опыта. В
&тоы плане представляет интерес опыт учительницы киевской школы № 170 Н. П. Н н- к и те н ко, которая эффективно использует деловую игру. Играя и фантазируя, учащиеся проектируют, рассчитывают и воплощают свои проекты в виде моделей. Такой моделью может быть, например, макет дачного домика, теплицы, вольера для животных и т. д. В игре интегрируются графические, вычислительные и практические знания и умения, развивается инициатива и творчество школьников.
Необходимо внедрять в учебный процесс знания, которые учат школьников математизировать реальные практические ситуации, моделировать, решать задачи с числовыми данными, встречающимися в жизни, правильно оценивать полученный результат.
Особого внимания заслуживают дифференциация и индивидуализация. Во II проекте они составляют основополагающий принцип, а в I — одно из важных условий организации учебной деятельности учащихся всех трех ступеней. Эти вопросы давно разрабатываются педагогической наукой. Так, эксперимент, проводимый преподавателями кафедры методики математики Киевского пединститута, показывает, что использование дифференциального и индивидуального подходов на уроке является эффективным условием достижения обязательного уровня подготовки отстающих и продвинутого уровня хорошо успевающих. Но реализация этих подходов сопряжена с немалыми трудностями. Во-первых, требуется своевременная (а не на данном уроке) диагностика уровня знаний различных категорий учащихся. Во-вторых, от учителя требуется большое искусство, чтобы умело управлять в ходе урока деятельностью различных групп учащихся. Пути и способы реализации дифференцированного и индивидуального подходов при обучении математике в условиях развивающейся школы требуют дальнейших исследований в методике математики и специальной подготовки как будущих учителей, так и тех, кто уже имеет педагогический стаж.
По-видимому, в тех сельских школах, где нет пока условий для организации факультативов и классов с углубленным изучением математики, дифференциация и индивидуализация обучения на уроке будут иметь доминирующее значение. Что же касается городских школ, то факультативы в них должны уступить свою роль единственной формы дифференциации обучения.
Нет оснований утверждать, что в стране отсутствует опыт дифференцированного обучения математике. Было бы бесхозяйственно не учесть опыта работы факультативов, классов с углубленным изучением математики и физико-математических школ. Необходимо соз¬
4
дать под руководством АПН СССР временную рабочую группу из представителей различных регионов страны, которая бы изучила этот опыт и разработала конкретные рекомендации по организации деятельности названных форм дифференцированного обучения математике в новых условиях. Первоочередной задачей является и составление программ, создание и апробация учебных и методических пособий для факультативных занятий, для классов с углубленным изучением математики и физико-математических школ. Привлечь к их созданию следует людей компетентных, в том числе и учителей, работающих в таких классах и школах.
Учителя физико-математических школ справедливо отмечали, что в стране до сих пор нет четкого Представления о том, какими должны быть эти школы. Серьезным тормозом в их работе является также отсутствие учебников для учащихся и методических пособий для учителей.
Во время обсуждений выступавшие высказывали неудовлетворение тем, что в I проекте недооценивается роль учебного труда в трудовом начале школы. По этому поводу В. А. Сухомлинский писал: «Страшная это опасность— безделье за партой, безделье шесть часов ежедневно, безделье месяцы и годы. Это развращает, морально калечит человека, и ни школьная бригада, ни школьный участок, ни мастерская — ничто не может возместить того, что упущено в самой главной сфере, где человек должен быть тружеником,— в сфере мысли». Предмет математики располагает широкими возможностями трудового воспитания, если, разумеется, не вести разговоры об отказе от домашних заданий, а задавать их в объеме, реальном для выполнения и необходимом для формирования навыков самостоятельной учебной деятельности.
В связи с ориентацией обоих проектов на воспитание творческого, рационального подхода к трудовой деятельности особенно важно учить школьников рационально решать любую задачу, уметь планировать работу, контролировать и оценивать результаты своего учебного труда и труда товарищей.
С этой проблемой тесно связана проблема диагностики усвоения материала. Единственным средством диагностики математических знаний пока выступают самостоятельные и контрольные работы. Наряду с ними нужны более объективные средства, в том числе и различные тесты целевого назначения.
Проект I ориентирует школу на то, чтобы фиксировать результаты обучения качественно и количественно. Но он же рекомендует только в конце учебного года {четверти или
полугодия) проводить аттестацию учащихся в баллах по результатам качественных оценок. Но как практически реализовать эту рекомендацию? Как учитель может удержать в памяти качественные оценки каждого ученика на протяжении даже четверти? Основывается ли эта рекомендация на каком-либо экспериментальном исследовании такой системы оценивания? Во всяком случае, Ш. А. Амонашвили, экспериментально доказавший возможность и целесообразность «безотметочного» обучения в начальной школе, не решился утверждать без серьезного экспериментального исследования, что оно применимо также в среднем и старшем звеньях школы. Наличный экспериментальный материал говорит совсем о другом. Так, учитель-методист Немешаевской средней школы Киевской области В. А. Швец показал, что в средних и старших классах эффективен тематический учет результатов обучения по математике, при котором решающее значение имеют итоговые отметки по темам. Наряду с качественными оценками они дают возможность объективно оценить в баллах результаты обучения за четверть.
Важнейшим фактором в перестройке деятельности средней школы остается личность учителя. К сожалению, в I проекте ему не уделено никакого внимания. Ничего не сказано о том, как обеспечить его высокий профессиональный уровень, как подготовить учителя к работе в условиях демократизации, гуманизации и гуманитаризации школы. Для этого необходимо перестроить прежде всего работу высших учебных заведений, выпускающих учителей.
Проводимая сейчас перестройка высшей школы в направлении увеличения доли самостоятельной работы студентов, предоставления вузам самостоятельности в совершенствовании учебных планов и программ улучшила условия обучения, но одновременно поставила и ряд новых проблем. Прежде всего ощущается острый недостаток учебных пособий для студентов, ориентированных на их самостоятельную работу, на применение компьютеров и видеотехники. Например, в Киевском пединституте уже много лет создан свой телецентр, но используется он слабо. В минувшем учебном году мы сделали попытку записать на пленку урок математики и семинар для учителей, проведенные Героем Социалистического Труда учителем Фастовской школы-интерната И. А. Караваем. Но записи оказались плохими из-за низкого качества бытовых видеокамер, которыми оборудован телецентр института. Уже давно пора оборудовать телецентры педвузов видеотехникой самого высокого качества.
Преподаватели выдвигают обоснованные
5<
претензии относительно условий проведения различных видов педагогической практики в школах. Часто в школах нет помещений, где можно было бы без помех проанализировать урок или провести консультацию студентов. При строительстве базовых школ необходимо предусмотреть аудитории для обучения студентов, как это сделано в клиниках, где идет подготовка будущих врачей.
Добрым пожеланием до сих пор остается требование профессионально ориентировать психолого-педагогическую подготовку студентов. Печально, но факт: до сих пор психологию и педагогику преподают одинаково и сту- дентам филологам, и математикам.
В новых документах 6 школе должно прозвучать требование об улучшении условий труда и быта учителя. Необходимо не на бумаге, а на деле уменьшить наполняемость классов, издавать больше научно-методической литературы для учителей, научно-популярной — для учащихся, больше выпускать средств наглядности, технических средств обучения и обеспечивать ими целенаправленно как городские, так и сельские школы, Учителя математики, кроме того, заинтересованы в том, чтобы журнал «Математика в школе» стал ежемесячным изданием.
Только при объединении усилий общества и государства, многочисленного корпуса учителей, преподавателей вузов и университетов, ученых АПН СССР и республиканских НИИ педагогики и психологии могут быть успешно решены проблемы школы.
3. И. Слепкань — доцент Киевского пединститута им.-А, М* Горького
♦
На августовском совещании учителей Центрального района г. Могилева подверглись обсуждению два проекта концепции общего среднего образования.
У учителей вызвало удовлетворение то, что в обоих проектах объявлена обязательной лишь «основная школа», после окончания которой молодежь может продолжить учебу в школах разного типа или же включиться в трудовую деятельность. С энтузиазмом встретили учителя и предусмотренное обоими проектами дифференцированное обучение на старшей ступени общеобразовательной школы, в которой большой удельный вес будут иметь предметы по выбору, т. е. будут учитываться склонности школьников.
Положительно и то, что оба проекта выдвигают на первое место формирование личности. Это, однако, не означает, что знания и умения отодвигадотся на задний план. Образованность,
знания, умения и навыки, развитый интеллект составляют важнейший компонент личности.
В I проекте правильно поставлен вопрос об интенсификации обучения с помощью деятельностного подхода. Обучение деятельности по приобретению норых знаний в наше время, когда знания быстро стареют, важнее, чем обучение готовым знаниям.
Положительно оценивали участники обсуждения раздел «Современный учитель» во И проекте. Вполне естественно, что концепция общего среднего образования должна включать и концепцию современного учителя.
Учителя отмечали и другие положительные стороны проектов, но мы обратим особое внимание на серьезную критику, которая прозвучала в адрес обоих проектов.
1. В проектах (особенно в I) много расплывчатых, нечетких формулировок. Язык далек от научного, стиль рекламно-пропагандистский, совершенно не подходящий для изложения научной концепции. Непонятно, зачем включать в концепцию, ориентированную на будущее, общеизвестную, повторявшуюся во многих публикациях средств массовой информации критику школы, народного образования и педагогики прошлого. Сотрудники ВНИК, составлявшие I проект, щедро раздают уничижительные эпитеты: «авторитарная», «безлич- ностная и технократическая школа», «административно-бюрократическая», «технократическая педагогика» и т. п. Некоторые категорические утверждения проекта I ложны именно в силу своей общности и категоричности. Например: «Нынешнее содержание „образования нацелено на усвоение знаний, умений и навыков, а не на развитие личности». Мнение, высказанное в такой общей и категорической форме, нельзя признать истинным. Иначе неизвестно, откуда взялось столько развитых личностей хотя бы во ВНИКе.
Нам представляется, что научная концепция должна быть изложена на соответствующем научном языке.
2. Много места в I проекте уделено педагогике сотрудничества. Это понятие пока нигде не уточнено, хотя идея сотрудничества сама по себе ясна. Поэтому авторы проекта I попытались охарактеризовать концепцию педагогики сотрудничества. Однако сделали они это, мягко говоря, не лучшим образом. Сначала объявили, что педагогика сотрудничества — «целостная новая методическая система» (хотя неизвестно, где эта система описана), а затем, что «педагогика сотрудничества не является законченной, а тем более закрытой педагогической и методической системой». Дальше уже совсем непонятно: «Она открыта любым идеям и средствам, которые не наносят духовного и физического ущерба личности ученика
б
и учителя». Оказывается* можно считать принадлежащими педагогике сотрудничества любые идеи и средства (пусть и бесполезные?), лишь бы они не наносили ущерба. Таким образом, все хорошее —это педагогика сотрудничества, даже если и не имеет никакого отношения к идее сотрудничества, а всякое плохое— плохо именно потому, что не принадлежит педагогике сотрудничества. И это называется научной концепцией!
3. При обсуждении проектов многие высказывали удивление совершенно недостаточным вниманием, которое проекты (особенно I) уделили компьютеризации школы.
4. Недоумение учителей вызвал вопрос об оценке знаний (проект I). Никто не понял, что означает «качественная оценка знаний». Почему учет текущих достижений школьников «нецелесообразно строить по принципу количественной (балльной) отметки, предпочтительнее качественный характер оценки». А разве количественная отметка не характеризует качество знаний? Зачем же нас призывают отказаться от кодирования информации о качестве знаний системой баллов? Оказывается: «Необходимо решительно избавиться от использования отметок малоквалифицированными учителями в качестве внешней побудительной силы насильственного учения» (проект I). Избавление от этого недостатка I проект видит в том, чтобы ликвидировать саму систему оценок. Можно с уверенностью утверждать, что малоквалифицированные учителя не смогут учрть без принуждения, даже если не будут ставить оценок. Двоек не будет, но двоешники останутся. Только их . могут иначе называть, скажем «неаттестованными». Можно представить себе картину: текущих отметок нет, в классе все как будто хорошо, а в конце года несколько человек оказываются неаттестованными. Странное решение проблемы оценки знаний!
Нам представляется, что следует провести тщательное и глубокое обсуждение обоих проектов, учесть то положительное, что в них есть, отказаться от необдуманных утверждений и разработать один проект для представления его Всесоюзному съезду работников народного образования.
Т. А* Китова, П. А. Либензон —
учителя математики школы JSTo 23 г. Могилева,
А. А. Столяр — профессор Могилевского пединститута
♦
Появление сразу двух проектов концепции общего среднего образования — еще одно свидетельство развития плюрализма мнений. Каждый из этих проектов имеет свои достоинст¬
ва и недостатки. Остановлюсь сначала на I проекте, так как с некоторыми его утверждениями никак не могу согласиться.
Прежде всего хочу отметить, что I проект показался мне более масштабным документом, с более глубокой детализацией целей и задач общего среднего образования. Вместе с тем совершенно не понятно, почему в нем противопоставляется социалистическое общество социалистическому государству. В I проекте сказано, что на определенном этапе своего развития советская средняя школа «стала работать только в один адрес —на государство. Огосу- дарствливание школы привело к ее трансформации в закрытое, фактически режимное учреждение. Интересы ребенка и потребности общества постепенно оказались за порогом школы». Разве это верно —утверждать, что потребности социалистического общества и социалистического государства различны? Беда в том, что произошли определенные деформации и в государстве, и в обществе, и это пагубно сказалось на положении дел в советской школе вообще. Так что ее недостатки порождаются отнюдь не «закрытостью», «режим- ностью» и т. д.
В I проекте значительное место отводится пёдагогике сотрудничества, в которой авторы видят лекарство от всех болезней нашей школы. Я не знаю, кто придумал этот термин, насколько он правомерен, но как человек, который с 1961 г. связан со средней школой, а с 1965 г, и с высшей, я не представляю себе какой-то педагогики без сотрудничества учителя с учащимися, воспитателя с воспитанниками, преподавателя со студентами. Другое дело, что не каждый преподаватель может установить с учащимися отношения доверия и сотрудничества. Для этого надо иметь призвание, талант. Высокому мастерству педагога надо учить в школе и в вузе.
В связи с этим хотелось бы заметить, что шум, поднятый «Учительской газетой» и другими средствами массовой информации вокруг педагогики сотрудничества, представляется мне неуместным, а в списке идей, составляющих основу педагогики сотрудничества (см. проект I), встречаются просто мелочи, неприятно контрастирующие с крупными задачами школы наших дней.
То главное, что заложено в обоих проектах,— это идеи гуманизации, демократизации школы, дифференциации и индивидуализации обучения. Все эти идеи заслуживают всесторонней поддержки.
Известно, что следствиями искаженного понимания единства советской школы явились перегрузки, снижение интереса к учебе и в конечном итоге ухудшение качества знаний учащихся. Где же выход из создавшегося поло-.
7
жения? В I и II проектах он намечен в глубокой дифференциации обучения. Думаю, что курс взят правильный.
Один из наиболее проверенных путей дифференциации — создание специализированных школ и классов с углубленным изучением математики. В этом деле школе должны помочь преподаватели вузов.
Там, где нет возможности создавать школы и классы с углубленным изучением математики, надо пойти на обучение математике в каждом классе на трех уровнях: общекультурном, прикладном и творческом. Первый уровень должен быть обязательным и содержать минимум сведений, необходимых человеку любой специальности. На втором уровне должны заниматься ученики, жизненные планы которых увязаны с профессиями, где математической подготовке отводится важное место. Наконец, творческий уровень учебы можно предложить учащимся, которые собираются стать математиками-профессионалами. Учитель должен иметь не один, а три варианта учебника для каждого класса. Учитель также должен иметь право переводить отдельных учащихся с одного уровня обучения на другой. В I и II проектах концепции общего среднего образования почему-то обойден вопрос о школьном учебнике. Пора отказаться от стереотипа, создать несколько учебников по каждому курсу и дать учителю право выбрать из них наиболее подходящий.
Каждому учителю для успешной работы в классе сегодня требуются две вещи. Первое— четко определить, чему и в каком объеме он должен учить, что его ученики должны твердо знать, заканчивая школу. Содержание математического образования должно быть адекватно потребностям научно-технического прогресса и дальнейшего самообразования. Его нельзя отдавать на откуп ни тенденции «минимизации», ни тенденции «максимизации».
И второе, на мой взгляд, не менее существенное: учитель должен иметь безусловное право выбирать свои средства и методы работы, прежде всего учебники и учебные пособия. Учитель также должен самостоятельно определять, какое количество часов целесообразно отвести на изучение той или иной темы, какую методику реализовать в каждом отдельном случае.
Долгие годы с учителя спрашивали за мероприятия, за субботники, за четкую структуру урока (объяснение, опрос, повторение пройденного), за направление учащихся в ПТУ и за многое другое... Не спрашивали за интеллектуальный фон класса, за содержательность урока, за интеллигентность, духовность его учеников. Поэтому в школе сейчас нередко
процветают педагоги, умеющие прикрикнуть на коллегу, на ученика, умеющие создать видимость работы.
Конечно, командно-бюрократическая система управления народным образованием, регламентация сверху, застой в академической науке нанесли определенный урон нашей школе, но мне думается, что самый страшный ее бич— низкий общекультурный и профессиональный уровень самого учителя. Такая ситуация не вина, а беда современного учителя, загруженного большим количеством часов, большой наполняемостью классов, огромной общественной работой.
Перестройка системы образования предъявляет повышенные требования к работе вузов, готовящих кадры школьных учителей. Бытует мнение, что высокий уровень математических знаний, которым должны по идее владеть выпускники университетов, как бы автоматически предопределяет их высокий профессионализм как педагогов. Сторонники такой точки зрения считают, что основная задача преподавателей факультета «впихнуть» в студента как можно больше специальных сведений. Но ведь это не так.
Мой многолетний опыт преподавателя университета и учителя средней школы свидетельствует о том, что высокий уровень владения теоретической математикой вовсе не является достаточным условием для того, чтобы выпускник университета был профессионально годен к педагогической деятельности. Математические курсы нашего университета долгое время были оторваны по содержанию и методам изложения от школьного курса математики. Сама жизнь заставила нас продумать систему подготовки наших студентов к работе в школе.
В первую очередь мы устранили дублирование в математических курсах, обеспечили их взаимосвязь и преемственность. Все математические курсы увязали со школьным курсом математики. Установили более тесные связи между курсами общественно-идеологического, психолого-педагогического и математического циклов. Но еще многое предстоит сделать. Новый стимул этой работе могло бы дать установление концепции взаимоотношений школы и вуза, которая, к сожалению, пока еще не отражена ни в одном из проектов.
Следует подчеркнуть, что только II проект сделал попытку определить социальное положение учителя и конкретизировать требования к его профессии. Это очень важно. Нужно направить все силы на то, чтобы воспитать учителя человеком широко мыслящим, духовно богатым, увлеченным творчеством. Такой человек никогда не превратится в бездушную деталь некоего рабочего механизма, которая
а
кем-то задействована в общую цепь, но не ведает, зачем, ради чего она вращается. Человек, не замыкающийся в рамках своей узкой профессии, способный выйти на простор духовных исканий, неизбежно наращивает свой педагогический потенциал. Он богаче живет сам, больше дает школе и людям. Такие педагоги сегодня особенно нужны стране, потому что нельзя перестроить систему образования, не перестроив самих себя. Сейчас, как никогда, ясно, что тот народ, который более всего ценит знания, подготавливает фундамент для будущего развития экономики, науки, техники.
Г. В. Злоцкий — доцент, заведующий кафедрой Самаркандского университета
♦
Преобразования, намечаемые в обоих проектах, глубоко затрагивают обучение математике, открывают простор для коренного улучшения математической подготовки выпускников школы. Этому призвана способствовать прежде всего идея базового образования, которая отражена в обоих документах. К сожалению, основные положения этой части концепции авторские коллективы изложили нечетко и с разных позиций. Если во II проекте общее среднее образование рассматривается как базовое в единой системе непрерывного образования и связывается с общими целями и задачами образования, то в I проекте говорится только о базовом компоненте содержания общего образования.
Для математики как учебного предмета определение базового компонента образования является важной задачей. Можно согласиться с требованием I проекта заменить громоздкое, далекое от жизни и чуждое учащимся содержание образования реалистичным, экономным, развивающим личность, близким к нуждам детей уже сегодня. Но, отказываясь от нереализуемых целей и ориентируясь на перспективу, нельзя перечеркивать накопленный ранее положительный опыт обучения математике, в том числе и в части содержания математического образования.
В объяснительной записке к действующей программе по математике достаточно полно раскрыты общие цели и задачи обучения предмету, которые в значительной степени ориентированы на развитие личностных качеств учащихся. Однако в самом содержании программы эти цели отражены недостаточно и совершенно неудовлетворительно реализованы в учебниках. Поэтому установки концепции общего среднего образования на гуманизацию всего образования чрезвычайно актуальны и
требуют пристального внимания. Что касается математических знаний, то именно они часто оказываются отторгнутыми от реальной жизни школьника, а в результате школьник отчуждается от процесса учения. Совершенствование характера взаимоотношений учителя и учащихся — одна из важнейших задач, кото» рые предстоит решать учителям математики. Нечего греха таить: именно из-за неуважения учителя к личности ученика, игнорирования его индивидуальных возможностей, интересов и способностей математика остается для части школьников недосягаемой.
Таким образом, проблему базового'компонента образования необходимо рассматривать в неразрывной связи с формированием личности школьника, что, в свою очередь, требует перестройки педагогического процесса. Выдвинутые в проекте I положения о перестройке педагогического процесса содержат много полезного. В частности, считаем правильным утверждение о том, что новые социальные функции и образовательные задачи школы должны воплотиться в новом отношении пёдагогов и учащихся к целям своей совместной деятельности.
Вместе с тем нельзя согласиться с авторами I проекта, которые сводят перестройку педагогического процесса преимущественно к стратегии сотрудничества и лишь вскользь упоминают о содержании обучения. При обучении математике содержание обучения имеет принципиальное значение для осуществления взаимодействия между учителем и учениками, оно выступает связующим звеном в их совместной деятельности.
Эти вопросы непосредственно связаны с формами и методами обучения. К сожалению, в настоящее время отсутствует единый подход ученых-педагогов, психологов и методистов к понятийному и терминологическому аппарату, относящемуся к этим категориям. Наблюдается некритическое отношение к теориям, разрабатываемым педагогами и психологами, стремление практиков внедрять их в учебный процесс без каких-либо поправок на возрастные возможности учащихся, специфику учебных предметов и т. п.
Известно, например, что попытка универсализировать проблемное обучение не дала желаемых результатов. Не оправдал себя и курс на интенсификацию учебного процесса с помощью кабинетной системы. Основное внимание в кабинетах обращалось на техническое оснащение, а не на обеспечение методического поиска учителей.
Учителями не были восприняты и другие прогрессивные в своей основе педагогические идеи из-за попыток применить их изолированно, вне связи с общими закономерностями
9
учебного процесса й частными задачами обучения конкретного класса.
В связи с вышесказанным вызывает возражения следующее положение II проекта: «Для повышения качества педагогического процесса необходимо полнее применять разработанные в педагогике и психологии концепции эффективной организации учебно-воспитательной деятельности (теории содержательного обобщения, поэтапного формирования умственных действий, проблемно-развивающего обучения, интенсификации и оптимизации обучения, современных методов обучения и др.)»- Перечисление всех существующих теорий, которые к тому же не полностью согласуются или перекрывают одна другую, не дает конкретных ориентиров для методистов и учителей.
Более убедительно сформулированы основные направления совершенствования содержания, форм и методов обучения в I проекте. Здесь речь идет об использовании принципов деятельностного подхода к образованию, который предполагает усвоение не только знаний, но и способов мышления, деятельности.
Это направление уже вошло в практику работы преподавателей математики. Основной сферой его действия является работа под девизом «учить учиться». Много уже сделано преподавателями средних профтехучилищ, где проблема передачи учащимся опыта различных форм и видов деятельности стоит особенно остро.
В обоих проектах концепции общего среднего образования мало места отведено развитию мотивационной сферы обучения. Между тем в комплексе «знать — уметь — хотеть» последнее звено наиболее важно, и не только в начальной школе, как это отмечено в проекте I, но и на всех ступенях обучения. В этом вопросе преподаватели профтехучилищ накопили определенный опыт, который частично обобщен и рекомендован к внедрению Республиканской школой передового опыта обучения математике в ПТУ Украины.
Критику «ЗУНов» (знания, умения, навыки) в I проекте нельзя оставить без одного существенного возражения. Дело в том, что многие педагоги и методисты уже в течение ряда лет пользуются обоснованным психологами соотношением «знания — навыки — умения», рассматривая умения как синтез знаний и навыков. Таким образом, утверждение о том, что конечной целью обучения по традиционной методике является формирование навыков, Неправомерно.
Отметим еще нечеткость позиции I йроекта в вопросе о реализации принципа политехнизма в средней общеобразовательной школе.
Принципиальным является признание в обоих проектах того факта, что часть учащихся в
силу своих психофизиологических возможностей требуют индивидуального подхода. Этой проблеме надо уделить больше внимания и связать ее с обязательными результатами обучения, идея которых, без сомнения, продуктивна, Несмотря на наличие спорных и нерешённых вопросов.
Многие намеченные проектами направления, перестройки общего среднего образования предусматривают радикальные изменения в сложившейся системе обучения, воспитания, подготовки кадров, методического и материального обеспечения школы. Приветствуя эти изменения, следует, однако, предупредить о том, что в деле народного образования недопустимы прожектерство, необдуманные решения, скоростная ломка сложившегося опыта. К сожалению, школа уже не раз страдала от этого. В I проекте отмечено, что открытый способ формирования нового содержания образования позволит, не ломая существующих программ* постепенно и естественно вырастить новое его содержание. Эту мысль мы считаем вполне правомерной и разумной.
Е. С. Дубинчук — старший научный сотрудник НИИ педагогики УССР
♦
Проект концепции общего среднего образования как базового в единой системе непрерывного образования, подготовленный рабочей группой АПН СССР, с точки зрения системного подхода более соответствует своему названию. Проект I более похож на полемическую статью* вскрывающую недостатки современного среднего образования и намечающую некоторые пути их устранения (демократизация, школа развивающая и развивающаяся, педагогика сотрудничества, гуманитаризация и гуманизация педагогического процесса, перестройка воспитания и т. д.).
Безусловно, оба проекта прогрессивны, но в то же время ни один из них не может быть принят в качестве основного, необходимо разработать новый документ с четко определенной методологией общего среднего образования, включающей философские, социологические и экономические компоненты образования, с полно и четко сформулированными целями и задачами среднего образования.
Достойное место в системе среднего образования должна занять компьютеризация. Использование компьютеров в школе помогает выработать стиль мышления, позволяющий планировать структуру действий, находить необходимую для решения повседневных задач информацию, своевременно обращаться запо-
10
мощью к вычислительной технике. Именно эти особенности человека определяют его активную деятельность в условиях научно-техниче- ского прогресса. Использование ЭВМ в учебном процессе содействует его интенсификации, активизирует учебную деятельность учащихся, обеспечивает постоянную, обратную связь и индивидуализацию обучения. В концепции среднего образования должна быть отражена роль вычислительной техники в управлении школой (создание банков данных и программное обеспечение управленческой деятельности народного образования).
В структуре общего среднего образования следует четко выделить основные типы высшей ступени средней школы (X-—XII классы). В этой структуре следует предусмотреть специализированные (естественно-математические, гуманитарные, педагогические и т. д.) и профессиональные школы, включающие техникумы, СПТУ и другие училища, В сельской местности целесообразно создавать силами не» скольких близлежащих школ специализированные классы с углубленным изучением предметов физико-математического, гуманитарного, педагогического циклов.
Поскольку почти в каждом регионе СССР достаточно велик процент малокомплектных школ, в концепции общего среднего образования следует предусмотреть специальный раздел, посвященный основным идеям их развития.
Определяя содержание каждого школьного предмета, целесообразно исходить из того, что этот предмет вносит в изучение целостной картины мира. Опираясь на эту ведущую идею, в новую номенклатуру школьных предметов целесообразно включить интегративные курсы: единый курс математики в основной (девятилетней) школе, курс литературы и искусства и т. д.
В опубликованных проектах заключены глубокие мысли по коренной перестройке средней школы. Их реализация внесет существенный вклад в развитие школьного математического образования. Высказанное в проектах убеждение в необходимости использования в школьной практике разработок психолого-педагоги- ческой науки, достижений передового педаго-' гического опыта и открытий учителей-новато- ров создает предпосылки для глубокого, сознательного овладения математическими знаниями, методами исследования, навыками творческой работы.
Гуманизация и дифференциация обучения позволяют быстрее выявить математические способности, создать условия для их развития. Гуманизация преподавания ориентируем учителя математики на обращение к ее историй, на отражение ее приложений в различных об¬
ластях знания, в том числе в биологии, медицине, искусстве.
П. К. Одинцов, JI. А. Одинцова — доценты Барнаульского пединститута
♦
Авторы I проекта концепции общего среднего образования справедливо отмечают решающую роль в перспективном развитии советской школы таких принципиально новых идей, разработанных педагогами-новаторами, как идея «опоры», идея «опережения», идея «трудной цели». Упомянута в проекте I и идея «крупных блоков».
В итоге 30-летних исследований, проводимых в содружестве с учителями, сотрудники Калмыцкого университета создали методическую систему укрупнения дидактических единиц. Необходимость обучения крупными блоками ныне доказана Теоретически и признана на практике, но тем не менее не находит дороги к массовому школьнику. На пути реализации в школе идеи крупных блоков встал заслон в виде Действующих учебников, которые слишком аналитичны и дидактически однообразны. Кажется, что авторы нынешних учебников не признают никаких носителей информации, кроме слова.
Идея крупных блоков вступила в противоречие с установившейся методикой уроков, с привычными приемами и схемами написания учебников. В крупных блоках все необычно, а у большинства педагогов нет ни времени, ни желания рисковать, испытывая новые подходы к изложению теории и новые принципы составления систем задач.
Учебник математики для грядущей средней школы должен реализовывать новые идеи. Но увы, проведенный конкурс учебников математики не поддержал как раз новаторские поиски.
В портфеле конкурсной комиссии были варианты, альтернативные действующим учебникам и реализующие, например, идею крупных блоков. Но в «Решении конкурсной комиссии по школьным учебникам математики» о рукописи, получившей одно из первых мест, сказано следующее: «Рукописи свойственна
высокая степень завершенности, предложенные методические решения хорошо знакомы учителям» (Математика в школе. 1987. № 4.
С. 12). Создается впечатление, что хорошее знакомство рецензентов с методическими решениями, предложенными в рукописи, оказало влияние на их выбор, т. е, рецензентам показалось лучшим то, что вызывает меньше споров.
II
Все знают, что традиционные методы обучения привели к низкому качеству знаний. Учителям нужно показать новые методы. Для этого представители педагогической науки должны апробировать эти методы в школе, продумать их достойнства и недостатки и после этого рекомендовать для массового использования. Тем самым они помогут учителям, у которых нет возможности заниматься длительными испытаниями или штудировать педагогические монографии.
Лучшая помощь учителю — это издание материалов, реализующих крупные блоки. Такие материалы будут немедленно испробованы учителем, упражнения из них понадобятся ему буквально на «завтрашнем» уроке. Но в последнее время выявилось особое сопротивление идее крупных блоков со стороны тех, кто
составляет программы. Трудно надеяться на кардинальные изменения в этом вопросе в связи с организацией Госкомитета СССР по народному образованию вместо Минпроса СССР* В комиссиях Госкомитета снова будут работать все те же сторонники тезиса «тише едешь — дальше будешь».
Где же выход? Выход мы видим в издании авторских учебников усилиями кооперативных издательств. Когда-то авторитетные методисты издавали в помощь учителям свои журналы и пособия. Одним из них был, например, К. Ф. Лебединцев, много сделавший для улучшения преподавания в начальной школе. Почему бы и сейчас не найтись такому подвижнику?
Б. П. Эрдниев — преподаватель Калмыцкого университета
Размышления учителя о проблемах школы
Ознакомившись с положением о средней общеобразовательной школе, опубликованным в «Учительской газете» 16 августа 1988 г., и двумя проектами концепции общего среднего образования, учителя нашей школы с одобрением принимают трехзвенную структуру среднего образования. Отрадно, что в этих документах находят отражение такие вопросы, как дифференцированный подход к учащимся, совершенствование урока, специализация в среднем и особенно в старшем звене школы, расширение сети факультативных курсов во всех трех ее звеньях.
Вместе с тем следует отметить, что некоторые важные положения обоих проектов не могут быть реализованы в настоящий момент в силу объективных обстоятельств. Если не изменить эти обстоятельства, не затратить на развитие школы дополнительных материальных средств, то многое из того прогрессивного, что намечается в обоих проектах, так и останется добрым пожеланием.
1. Весьма важной нам представляется акцентированная в проектах проблема развития учащихся. В триединой задаче — обучение, воспитание, развитие — последнему элементу пока еще уделяется действительно последнее место в практике проведения урока. При оценивании качества преподавания сейчас все чаще слышится слово «результативность», которое ассоциируется с отработкой у школьников знаний, умений, навыков. Все завучи школ скрупулезно ведут «Тетрадь учета ЗУН учащихся». О ЗУН судят по результатам проведенных срезов, устных и письменных конт¬
рольных работ и т. д. Подобные контрольные мероприятия, как правило, оказываются совсем не творческими. Их цель формальна: выяснить, насколько удалось учителю «вдолбить» в головы учеников все программные алгоритмы. В результате в более привилегированном положении часто оказывается наиболее «натасканный» по данным вопросам ученик. Те же учащиеся, которые забыли способ выполнения предложенного упражнения, оказываются в проигрыше. Так стоит ли в наш век обилия научно-технической литературы пытаться превратить ученика в подобие ЭВМ с огромным запасом памяти? Наша задача — всемерно содействовать развитию личности ученика.
Развитие же идет наиболее интенсивно в том случае, когда учащиеся вынуждены преодолевать трудности при выполнении учебных заданий. Но сильному учащемуся не представляется трудным выполнить большую часть заданий из учебника или дидактического материала. Значит, школьные упражнения практически не реализуют для такого ученика развивающий элемент обучения. Слабоуспевающему школьнику, наоборот, большая часть заданий кажется невыполнимой, и поэтому он вообще предпочитает ничего не делать. Никакого развития здесь тоже не происходит. Значит, для настоящего претворения в жизнь идеи развивающего обучения нужна учебная литература различной степени трудности, причем в таком количестве, чтобы все учащиеся могли работать с нею постоянно. Но в настоящее время далеко не все дидактические материалы по математике спланированы с учетом дифференцированного подхода. Многие издания содержат лишь большое число разнооб¬
12
разных по фабуле, но одинаковых по степени трудности вариантов.
Не способствует развивающему обучению и бытующие в настоящее время контрольные работы средней степени сложности для всех учащихся, усиленные лишь необязательным заданием. Зная, что это задание необязательное, многие даже сильные учащиеся к нему не приступают. Наиболее оптимальный выход из такой ситуации — составление дифференцированных контрольных работ.
Другой путь внедрения развивающего обучения в практику видится в том, чтобы издавать больше различных учебников для учащихся, в том числе и для тех, которые проявляют повышенный интерес к предмету.
Итак, развивающее обучение немыслимо без дифференциации, которая, кстати говоря, всегда присутствовала и присутствует у творчески работающих учителей. Но для этого им приходится тратить львиную долю своего времени на составление соответствующих заданий. А это никак нельзя считать решением вопроса, учитывая общую загруженность учителя математики не только как предметника, но и как классного руководителя. В целях углубления дифференциации полезно было бы практиковать и индивидуальные задания, разработав для них специальные материалы. Здесь есть о чем задуматься АПН СССР и попытаться практически помочь школе. При существующем положении дел эффективное осуществление дифференцированного подхода к обучению вызывает тревогу.
2. Следующий вопрос, который, на наш взгляд, не до конца продуман,— это проведение экзаменов в школе. Мы считаем, что в средних и начальных классах переводные экзамены излишни. На практике нередко бывает так: учитель перед экзаменами перестраховывается, занижает годовую оценку некоторым ученикам и тем их психологически травмирует. Годовая оценка порой вообще обесценивается. Учащимся внушают, что экзаменационная оценка — это е есть настоящий показатель их знаний. На самом деле фактор случайности шш экзамене намного выше, чем при выставлений годовой оценки, которая в действительности оказывается более объективной. Она носит комплексный характер. Для большей объективности четвертной или годовой едешш можно было бы провести зачеты.
Известны случаи, когда хорошо успевающие ребята получали неврозы в предэкзаменационный и экзаменационный периоды. Мы часто забываем одну из главных задач среднего образования — выучить и выпустить из стен школы не больных людей, а полноценное, здоровое, физачесша хцмшдое аотолешзе*
По окончании II ступени общеобразовательной школы экзамены необходимы. Они, думается, должны быть не только выпускными, но одновременно и вступительными в школу III этапа. Эти экзамены могли бы содействовать выявлению склонностей учащихся к предметам гуманитарного или технического цикла. При приеме на III этап обучения комиссия или педсовет учитывали бы количество баллов, набранных учеником на экзаменах (с учетом специализации), а также количество желающих учиться в IX (или в X) классе. В результате в эти классы устанавливался бы некоторый проходной балл.
Практика экзаменов на аттестат зрелости показывает, что они обезличиваются в сравнении с предстоящими вступительными экзаменами в вузы. Уже после сдачи школьных экзаменов выпускники начинают более серьезно готовиться к поступлению в вуз. Но за короткий промежуток времени невозможно качественно овладеть материалом программы средней школы и успеть восполнить пробелы в знаниях. Мы предлагаем совместить выпускные (за курс средней школы) и вступительные экзамены в вуз. Таким образом удалось бы решить сразу несколько задач. Во-первых, подготовка к таким экзаменам носила бы системный характер. Во-вторых, учащиеся уделяли бы больше времени дисциплинам избранной специализации на III ступени обучения. В-третьих, удалось бы избежать лишних стрессов у молодых людей.
На такие вступительно-выпускные экзамены можно было бы приглашать представителей преподавательского состава вузов по соответствующим специальностям. Тогда зачисление в вуз проводилось бы на основе собеседования и тех баллов, которые абитуриент заработал в школе на вступительно-выпускных экзаменах по тем предметам, которые необходимо сдать для зачисления в данный вуз. Такая система повысила бы престиж школы в общей структуре образования.
3. Особо следует подумать о приобщении юношества, имеющего склонность к педагогике, к учительской профессии. Как известно, молодые учителя, пришедшие работать в школу, испытывают большие трудности не в методике преподавания предмета, а в установлении тесного контакта с учащимися как на уроке, так и после него. Этот контакт в немалой степени порождается умением учителя правильно реагировать на конкретную ситуацию, возникшую в ходе учебно-воспитательного процесса. Такое умение учителя во многом зависит от опыта работы в школе. Именно опыта и не хватает закончившему педагогический вуз. Педагогическая практика в пединститутах малоактивна. Она редко предостав¬
13
ляет возможность студентам оказаться один на один с классом. В первые годы своей работы молодой учитель успевает совершить немало ошибок, за которые потом приходится расплачиваться.
Нам кажется, что приобретать педагогический опыт нужно еще будучи учеником школы, причем совершенно не обязательно учиться именно в педагогических классах, где ведется главным образом лишь теоретическое просвещение по основам педагогики, психоло¬
гии и т. д. Учащихся, способных к педагогическому труду, школа должна активно привлекать к решению школьных проблем, к работе педсоветов, к шефству над трудными учащимися, акцентируя внимание на том, чтобы будущие педагоги учились принимать самостоятельные решения,
Б. Е. Корольков — учитель математики московской школы № 967, заместитель директора по учебно-воспитательной работе
Школе необходима концепция общего математического образования
Мы находимся накануне знаменательных перемен. Уже в ближайшее время на школу и общество окажут серьезное влияние такие вынесенные на широкое обсуждение идеи, как реализм школьной политики, отказ от декларируемых лозунгов и неосуществимых предначертаний, осуществление непрерывного образования, акцентирование всей учебно-воспитательной работы на развитие ученика, демократизация школьной жизни, гуманизация образования, сотрудничество науки со школой, школы с обществом, учителя с учеником. Эти идеи изложены в двух проектах концепции общего среднего образования. Но многое в этих документах вызывает беспокойство, волнения и раздумья. Дело в том, что в них не усматривается с должной ясностью процедура намечаемой перестройки школы, этапность предлагаемых преобразований, и, главное, в проектах отсутствуют данные о том, на какие материально-технические ресурсы опирается эта перестройка. Ведь не секрет, что многие начинания и реформы терпели неудачи именно из-за того, что они опирались не на реальную материально-техническую и организационную помощь школе со стороны государства и общества, а на благие пожелания составителей этих проектов, в которых не было экономических расчетов и обоснований. К сожалению, и в обсуждаемых документах нет сведений о таких расчетах. Многое в проектах, особенно в I проекте, нуждается в теоретическом обосновании и широкой экспериментальной проверке.
Остановимся на вопросе о том, как в I проекте решается вопрос о математическом образовании. Специально такой вопрос не обсуждается. Однако из анализа концепции, из выступлений ее составителей следует, что математика как обязательный учебный предмет
будет только в девятилетнёй школе. По-видимому, предполагается, что в старшей школе [(III ступень) математика будет отнесена к предметам, изучаемым по выбору, т. е. станет необязательным предметом. Следовательно, общее математическое образование для многих (может быть, для подавляющего большинства) граждан нашей страны ограничится примерно уровнем теперешней восьмилетней школы. Это означает, что многие наши современники и потомки не будут приобщены к идеям дифференциального и интегрального исчислений, приведшим к революции в естествознании и технике XVIII в., не будут уметь исследовать элементарные функции, описывающие многие явления и процессы физики, химии, техники. Значительное число выпускников школы не получат подготовки в области компьютерной техники и информатики (тесно связанной со школьным курсом математики), не овладеют основами теории вероятностей и статистики, не будут знать свойств трехмерного пространства и многого, многого другого, что естественным образом входит в круг обязательных знаний культурного человека. Одновременно эти знания являются ключом к пониманию основ современной техники и производства, трамплином для овладения многими профессиями — не только естественно-техническими* но и гуманитарными.
Намечаемое в проекте решение вопроса о школьном математическом образовании не соответствует роли математики в современном мире, ее активному проникновению во все сферы человеческой деятельности. Овладение многими профессиями немыслимо без хорошей базовой математической подготовки, профессиональная деятельность всевозрастающего числа людей теснейшим образом связана с использованием математики. Следует также отметить, что математика играет важную роль в развитии умственных возможностей человека: его способности к обучению, доказательным рассуждениям, целенаправленным действиям. В случае утверждения этих положений
14
проекта многие граждане после школы останутся на очень низком уровне математической подготовки. При этом компенсирующие меры, которые, вероятно, будут предприняты в по- слешкольный период, не смогут в должной степени обеспечить математическое развитие. Такова специфика науки. Для успешного овладения ее основами нужен молодой, развивающийся интеллект. Поэтому при любом интегрировании в школе учебных предметов математика должна обязательно изучаться на всех ее ступенях.
В современных условиях полноценная математическая подготовка учащихся является важной стороной гармонически развитой личности, фактором, формирующим готовность к непрерывному образованию и самообразованию, которая во многом реально обеспечивает общественную и производственную активность гражданина.
Особенно большое значение математическое образование выпускников средней школы приобретает сейчас, в период перестройки и ускорения научно-технического прогресса. Ясно, что этЧуг прогресс не может быть обеспечен только силами интеллектуальной элиты. Внедрение новых научных идей в практику производства существенно зависит от уровня математической образованности основной массы трудящихся.
При перестройке нашей системы образования многие сейчас ссылаются на зарубежный опыт. Самое внимательное отношение к зарубежному опыту правомерно — в нем много поучительного. За рубежом не только признают важность улучшения математической подготовки учащихся, но и многое делают для этого. Например, в одном из докладов американского президента Рейгана, названном «Нация в опасности» говорилось, что особую тревогу вызывает слабая математическая подготовка американских школьников. В докладе была поставлена задача повысить успеваем мость американских школьников по математике и научно-техническим дисциплинам и сделать ее к 1995 г. лучшей в мире. Для этого предлагалось усилить требования к успеваемости учащихся, увеличить объем домашних заданий, ввести переводные экзамены и т. д. О том, что поставленная задача действительно решается, говорят успехи американских школьников на последних международных математических олимпиадах.
На фоне всего сказанного представляются крайне вредными все чаше проникающие в печать и на телевидение проекты, призывающие к снижению уровня математической подготовки учащихся. Их следствием в конечном итоге станет ухудшение общего образования, а значит, и культуры народа в целом.
(Последнее утверждение не относится к обсуждаемым проектам, в которых решение вопроса о математическом образовании в полной мере еще не ясно.)
Итак, нам представляется, что проблема математического образования требует самостоятельного осмысления и обсуждения. Назрела необходимость разработки специальной концепции общего среднего математического образования как важного компонента общей культуры, определяющего готовность человека к непрерывному образованию и самообразованию в избранном направлении.
При разработке такой концепции Необходимо критически осмыслить нашу систему школьного математического образования, решительно расставшись со всем, что мешает ее развитию, и в первую очередь с однообразием содержания, форм и методов математического образования, с формализмом в оценке работы учителя и знандй учащихся. Необходимо отказаться от рецептурности методических указаний учителю, сковывающих его деятельность. Методическая служба должна быть в основном направлена на идейную сторону обучения, на развитие творческого потенциала учителя и повышение его научно-методического уровня. Вместе с тем необходимо сохранить и приумножить всё то хорошее, что с таким трудом завоевано нашей методикой математики. Это в первую очередь .непрерывность математической подготовки учащихся, достаточно высокий уровень школьных программ и большинства учебников. Особо следует позаботиться об учебно-методическом! комплексе математических изданий, подготовка которого в настоящее время развертывается. Нельзя медлить с внедрением в практику систематического издания школьных учебников в различных вариантах. Этого давно добивается наша математическая общественность.
В основу концепции математического образования должны быть положены определенные, четко осознаваемые принципы. Назовем некоторые из них, не претендуя на полноту и завершенность перечня:
всеобщность, непрерывность математического образования на всех ступенях средней школы; v
преемственность и перспективность содержания, организационных форм и методов обучения на каждой ступени;
дифференциация и индивидуализация математического образования, создание таких условий, при которых будет возможен свободный выбор уровня изучения курса на III, а возможно и на II, ступени обучения в соответствии со склонностями, способностями и личными планами учащихся;
15
гуманизация математического образования; усиление воспитывающего характера обучения математике;
усиление практической направленности обучения математике;
осуществление интегративности в математической подготовке учащихся; компьютеризация обучения; перенос акцента в обучении на математическое развитие учащихся и обеспечение его гармоничности, т. е. органически взаимосвязанного и сбалансированного развития интуитивного, логического, пространственного, метрического, конструктивного, символического компонентов умственной деятельности;
применение альтернативных. вариантов учебно-методического обеспечения процесса обучения математике, предоставление учителю права выбора учебной и методической литературы.
Не имея возможности в небольшой статье раскрыть каждый из названных принципов, остановимся только на одном из них—необходимости гуманизации математического образования. В последнее время во многих публикациях и устных выступлениях деятелей народного образования принцип гуманизации понимается однобоко и потому искаженно. Нередко гуманизацию пытаются подменить гуманитаризацией образования. В связи с этим раздаются призывы изменить учебный план школы, резко сократить в нем время на изучение естественно-математического цикла, увеличив за его счет время на изучение гуманитарных предметов. Эту тенденцию мы считаем ошибочной. Конечно, необходима сбалансированность в изучении гуманитарных, естественных и математических дисциплин. В действующих учебных планах и в предложенных недавно новых проектах таких планов сбалансированность курсов во времени в общем-то соблюдена. Во всяком случае, гуманитарные дисциплины нельзя отнести к ущемленным. Попытки свести идею гуманизации к дальней¬
шей гуманитаризации образования свидетельствуют об искаженном понимании сути гуманизации. Формализовать, «обесчеловечить» можно и преподавание литературы, истории. Примеров тому немало.
Что же означает гуманизация обучения математике? Это такое обучение, для которого главное — личность ученика, его духовный мир, интересы и способности. Признание личности каждого человека как высшей социальной ценности общества — вот сущность гуманизации образования вообще и математического в частности.
В подходе к решению этой проблемы нам есть что взять из прошлого опыта. Осуществление гуманизации математического образования теснейшим образом связано с усилением воспитательного воздействия обучения, о чем, например, так ярко и убедительно писал в 1961 г. А. Я. Хинчин в статье «О воспитательном эффекте уроков математики». На положениях этой статьи и должна строиться методика воспитывающего обучения математике.
Большой вклад в решение проблем гуманизации математического образования был намечен в период реформы школьного курса математики, когда в школу внедрялись идеи комиссии АН СССР и АПН СССР, работавшей под руководством А. Н. Колмогорова, К сожалению, эти идеи в дальнейшем не получили развития, а их реализация была волюнтаристски приостановлена.
В процессе обсуждения неизбежно будут предложены коррективы, дополнения или даже другие принципы перестройки математического образования в нашей стране. Сейчас ясно одно: ближайшие и перспективные проблемы перестройки школьного математического образования должны стать предметом широкого обсуждения.
Г. Д. Глейзер — заведующий лабораторией НИИ ООВ АПН СССР, Р. С. Черкасов — профессор Московского пединститута им. В, И. Ленина
В издательстве «Педагогика» вышли следующие книги:
Антология педагогической мысли Киргизской ССР / Сост. А. И. Акулова — 3S8 с. — (В пер.): 2 р. 90 к., 9500 экз.
Гранин Г. Г., Бондаренко С. М., Концевая J1. А. Когда книга учит. — 192 с. — (Б-ка учителя и воспитателя). — 40 к., 70 000 экз.
Литература по педагогическим наукам и народному образованию. 1987 г.; Текущий библиогр. указ./Гос. науч. пед. б-ка им. К. Д. Ушинского АПН СССР. Вып. '3(148).— 120 с.—55 к., 10700 экз.; Вып. 4(149).—112 с.—50 к., 10700 акз.
Мальковская Т. Н. Социальная активность старшеклассников. — 144 с. — 60 км 24 000 экз.
Роль среды и наследственности в формировании индивидуальности человека / Под ред. И. В. Равич-Щербо.—335 с.: ил.—(В пер.): 1 р. 80 к., 17 000 экз.
Суслова Н. П., Тамбовкина Т. И.. Шамардин В. И. Как требует жизнь: Социально-педагогический эксперимент в Калининградской области. —104 с. — 30 к., 55 000 экз.
Щ МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Н. К. Крупская о научной организации труда в школе
И. 91. Рачето (г. Ставрополь)
В 1924 г., когда движение за научную организацию труда в школе набирало силу,
Н. К. Крупская выступила с программной статьей ^Памятка по НОТ для школы и юных пионеров». В ней она писала: «Мы ужасно плохо умеем организовывать нашу работу, не умеем точно ставить цели, выбирать для осуществления поставленной цели наиболее целесообразные средства, не умеем коллективно работать... И от этого нашего неумения происходит самая дикая растрата сил и средств» (т. 5, с. 106) *.
Много изменилось в нашей стране с тех пор. Иными стали и советские учителя. Одно, кажется, осталось прежним — неумение учителей организовать свою работу, а также индивидуальную и коллективную деятельность учащихся. Вот почему и ныне так злободневны слова выдающегося педагога-марксиста, призывающего вооружать учащихся необходимыми для строительства социализма организационными знаниями и умениями, учить ребят, как можно избежать ненужной затраты сил и средств. Надежда Константиновна подчеркивала: «Надо пропитать всю школьную жизнь, которая становится все многограннее, принципами научной организации труда. Надо научить ребят понимать, как надо организовывать жизнь и труд, и осуществлять понятое» (там же, с. 107).
Далее Н. К. Крупская изложила целую программу действий в этом направлении. Она предложила начинать воспитание организационных навыков уже у дошкольников: ставить перед ними самые простые цели и давать ребятам возможность пережить естественную радость при виде достигнутого результата.
Надежда Константиновна подчеркивала, как важно научить ребят работать коллективно. Она рекомендовала сначала просто объединять усилия ребят, учить их делать что-то вдвоем, втроем, затем большими группами. Именно в коллективе, по ее замыслу, ученик должен постигнуть идею разделения труда а научиться осуществлять ее наиболее целесооб-
1 Здесь и далее ссылки в скобках указывают на следующее издание: Крупская Н. К. Педагогические сочинения; В 10 т. М.. Изд во АПН РСФСР, 1957—1963.
разными способами, взвешивания собственные силы и особенности индивидуальности своих товарищей. Постепенно в коллективе рекомендовалось вводить планомерность, учет, экономию сил и средств.
Очень ценным было предложение Н. К. Крупской создать книгу о НОТ, нечто вроде памятки для учащихся: «Памятка должна состоять из ряда рассказов, каждый из них должен иллюстрировать какое-нибудь положение НОТ — самое элементарное и только одно. После рассказа должен быть вопрос, отвечая на который школьник должен осознать иллюстрируемое положение» (там же). Здесь ясно видно,, насколько разительно отличается то, что намечала Надежда Константиновна, от нынешних многочисленных «памяток», составляемых по всякому поводу и нередко сводящихся к набору общих фраз, сильно напоминающих бюрократические «указания».
В своих выступлениях, статьях и письмах
Н. К- Крупская не раз возвращалась к мысли о необходимости обучать детей умению организовать свой труд. Одно из ее писем к пионерам имеет знаменательное название: «Надо беречь свое и чужое время» (там же, с. 644— 646). В нем среди других советов дан и такой: завести себе тетрадку и в ней помечать по часам и минутам, сколько времени уходит на учебу, на труд, на общественную работу, на отдых и сон. По таким записям сразу станет видно, как много времени уходит зря и как можно распределить его иначе. Надежда Константиновна учила молодежь бескомпромиссно бороться за свое время, не допускать его бездумной траты даже в кругу семьи или близких друзей. «Неумение беречь свое и чужое время — настоящее бескультурье», — страстно писала она.
Очень интересна брошюра Н. К. Крупской «Как самостоятельно работать над книгой» (т. 9, с. 763—782). В. ней, в частности, подчеркнуто, что к каждой книге нужно подходить с известными запросами и, продумывая содержание прочитанного, отдавать себе отчет в том, как это прочитанное ответило на запросы читателя. Сообщила ли книга новые знания? Научила ли новым приемам наблюдения? Возбудила ли новые мысли? Такие вопросы читатель должен поставить перед самим собой после знакомства с каждой книгой. Надо делать выписки, но избегать длинных записей, а фиксировать главную мысль сжато и наглядно. Надежда Константиновна считала, что следует специально учиться умению делать такие записи и не жалеть времени на такое обучение. В этой брошюре много и практических советов. Вот одно из них. Записать по памяти какое-либо значительное место из книги, а затем раскрыть книгу и проверить
J7
запи&ь. Это помогает откорректировать свое восприятие и приучает точно воспроизводить прочитанное.
Говоря об организации труда, Н. К. Крупская всегда имела в виду труд не только одного человека, но и целого коллектива и в конечном счете проецировала задачи по НОТ на организацию труда во всей стране. Она часто подчеркивала роль математики в организации социалистического общества, предлагала создать книжку «Математика на фронте соц- строительства», которая показала бы, какую роль играет математика «в деле здравоохранения, в использовании сил природы, в планировании, в архитектуре, в технике, в агрономии» (т. 10, с. 436). Особо подчеркивала Надежда Константиновна роль статистики. В «Отзыве на рукопись методического письма о преподавании математики в школе» она писала, что надо показать ребятам «весь удельный вес этой науки» (там же). К сожалению, советская школа до сих пор не реализовала этот совет соратницы В. И. Ленина. Кун «Элементы статистики и теории вероятностей», успешно препсдаваемый в школах многих стран, у нас так и не нашел еще своего места. А ведь такой курс мог бы сыграть немалую роль в определении научных основ проблемы организации труда.
В начале 30-х гг., когда авторитарные tee- тоды руководства начали серьезно теснить подлинную науку, подменяя ее опорой на один только энтузиазм масс, было свернуто и движение за научную организацию труда в школе. Это отразилось и на положении учителя в обществе, и на его работе, и, наконец, на деятельности его учеников. Вот почему до сих пор остались актуальными для нас слова
Н. К. Крупской, написанные в «Памятке по НОТ для школы и юных пионеров», с которой мы начали эту статью: «Начнут строить — не достроят. Начнут делать — не доделают...
Что это —- прирожденное свойство русского человека? Конечно, нет. Нас воспитал столь бестолковыми весь предыдущий режим, который превращал нас всех в исполнителей, связывал нас по рукам и ногам, ставил непреодолимые препятствия всякой общественной организации. Теперь приходится дорого расплачиваться за нашу неумелость. Правда, мы многому научились, будем учиться и дальше» «т. 5, с. 106).
Оказалось, что сломать бюрократические рогатки гораздо труднее, чем изгнать помещиков и капиталистов. Но упорный труд народа и его верность истинным идеалам социализма делают свое дело. Закончим же эту статью той верой в народ, которой полны слова Надежды Константиновны Крупской: «Мы многому научились, будем учиться и дальше*.
Условия активизации мыслительной деятельности учащихся
Я. И. Груденов
(г. Таганрог)
В преподавании очень важно добиваться от учащихся сознательного и обоснованного решения задач, побуждать школьников опираться в решении на изучаемые определения, теоремы, законы, чтобы приобретенные ими знания неразрывно связывались с практическими навыками. Понимая важность этой проблемы, многие учителя требуют от вызываемых к доске учащихся, чтобы они обосновывали решаемые задачи, а остальные слушали их. Но это требование чисто внешнее; оно далеко не всегда соответствует внутренним процессам, протекающим в сознании учащихся. Поэтому многие ребята не вникают в суть обоснований, не прислушиваются к ним и решают задачи механически, несознательно, только по аналогии с предшествующими.
В своих экспериментах мы старались выявить методические подходы, побуждающие учащихся к обоснованию решаемых задач. Подходы эти сводятся не к внешним воздействиям, проявляющимся в требованиях учителя, а к созданию условий, при которых у учащихся возникают внутренние потребности в обосновании. Психологической основой эксперимента явилась закономерность, вскрывающая причины механического выполнения учащимися ряда действий при решении задач. Эта закономерность формулируется в виде указанных ниже пунктов 1)—5) и в дальнейшем обозначается знаком (*).
(*) Если при изучении новой темы выполняются условия:
1) учащемуся предлагают задачи только одного типа,
2) их решения сводятся к одной и той же операции, которая может быть и довольно сложной, состоящей из ряда элементарных операций,
3) эту операцию (ее результат) учащемуся не надо выбирать среди других, которые возможны в сходных ситуациях,
4) данные,задач не являются для учащегося непривычными,
5) он уверен в безошибочности своих действий,
то учащийся очень быстро (нередко при решении второй или Третьей задачи) перестает применять изучаемые определения, теоремы, прекращает обосновывать решения задач.
Если хотя бы одно из перечисленных условий нарушается при решении какой то ^а-
ш
дачи, то учащийся начинает обосновывать
решения этой и одной-двух последующих задач.
Идею этой закономерности выдвинул /7. А. Шеварев. Он обнаружил условия 1), 4) и 5), не упоминая о двух других (см.: Шеварев П. А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. М., 1959. С. 71—72).
Данная закономерность и методика ее применения экспериментально проверялись на уроках и индивидуальных занятиях.
Методика каждого эксперимента, проводимого, как правило, на уроке, сводилась к сопоставлению объективных факторов в контрастных ситуациях, свидетельствующих о вдумчивом или, наоборот, механическом, необоснованном решений задач только по аналогии с предшествующими.
Эксперимент № 1 должен быть проверить влияние условий 1), 3) и 5) закономерности (*).
В эксперименте использовались упражнения на применение свойств показательной функции. После объяснения этих свойств и ознакомления учащихся с образцами решения неравенств предлагалось решить неравенства:
3*>9; 5*<1; 6*>±; (А)
В группе упражнений (А) выполняются все пять условий закономерности (*): 1) упражнения одного типа; 2) их решение сводится к одной операции — переход к линейному неравенству с сохранением знака исходного неравенства; 3) эту операцию учащимся не надо выбирать среди других; 4) уже второе или третье задание этой группы становится привычным для учащихся; 5) поскольку в каждом случае решения учащихся оказываются безошибочными, у них не возникают сомнения по поводу своих действий.
Ожидалось, что уже при решении второго или третьего неравенства учащиеся не будут опираться на свойство монотонности функции. Наблюдения это подтвердили. Никто из учащихся по своей инициативе не ссылался на свойство монотонности функции. Если же ученик формулировал его, то только по требованию учителя.
Факт бездумного решения выявила и группа заданий (Б):
(<W<<0,.,.; (4-)'>(-гУ :
7‘>7-‘: (4T<i- ©
При решении первого из этих неравенств учащиеся допустили ошибку: «х<4». После ее анализа уверенность школьников в безошибочности своих действий ослаблялась, т. е. нарушалось условие 5) закономерности Поэто¬
2»
му второе неравенство группы (Б)’ учащиеся решали более вдумчиво, проверяли себя по тексту учебника, по графикам, некоторые рассуждали вслух.
Далее при решении второго и третьего неравенств группы (Б) снова выполнялись все условия закономерности (*). Поэтому активность мыслительной деятельности учащихся опять снижалась. Из-за этого в решении четвертого неравенства наблюдалась ошибка; (7х>7~2)=>(х<.—2). После анализа ошибки учащиеся решали последнее неравенство группы (Б) Намного дольше предшествующих, переводили взгляд на учебник, вопросительно смотрели на учителя, не решаясь сразу записать ответ.
Совсем иначе работали учащиеся, когда с самого начала изучения темы чередовались неравенства, у которых основания степеней были то больше, то меньше единицы. В этом случае учащимся с самого начала и все время приходилось выбирать операцию: менять знак неравенства на противоположный или сохранять его при переходе к линейному. А это можно сделать, только опираясь на свойство Монотонности функции. Значит, нарушение условия 3) закономерности (*), т. е. создание необходимости выбора операции, приводит к активизации мыслительной деятельности учащихся.
Эксперимент № 2 проверял влияние ус-> ловий 1), 3)—5) закономерности (*).
После изучения теоремы о прямой, перпендикулярной диаметру окружности, учащимся предлагали следующие задачи:
а) Диаметр АВ окружности перпендикулярен прямой М/С (рис. 1,а), точка В принадлежит прямой МК. Сколько общих точек имеют прямая МК и окружность?
б) Отрезок МР — диаметр окружности (рис. 1,6). Угол КМР прямой. Является ли прямая КМ касательной к окружности?
в) Прямая АВ Перпендикулярна диаметру окружности КС. Будет ли прямая АВ каса- -Гельной к этой окружности?
В этой серии не выполняется условие 4) закономерности (*): условия задач непривычны для учащихся в силу различного расположения фигур и вариаций в словесных формулировках. Поэтому при решении каждой задачи
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
в
»
ребята ссылались на теорему, переводили взгляд на ее формулировку, если еще не помнили ее. Но структура данной системы упражнений такова, что при решении задач а) и б) учащийся может получить верный ответ, не проверяя выполнимость одного из условий теоремы (прямая проходит через конец диаметра). Значит, по закономерности (*) осознание этого условия ослабляется. Если это так, то учащийся может допустить ошибку в задаче в). Действительно, при ее решении в одной из серий индивидуальных занятий 15 учащихся из 18 заявили, что АВ — касательная к окружности и показали это на рис. 1, а.
Для того чтобы показать эту ошибку и убедить учащихся в неправомерности их вывода, учитель продемонстрировал рис. 2, чем поколебал уверенность учащихся в безошибочности их действий. Так нарушилось условие 5) закономерности (*), т. е. учащиеся временно расстались с излишней самоуверенностью. Учитель предложил еще одну задачу:. «Угол ВАЕ прямой, отрезок АВ— диаметр окружности (рис. 3). Сколько общих точек имеют прямая АЕ и окружность?» Эта задача совершенно сходна с задачей б). Но на ее решение ребята затратили больше времени, чем на каждую из предшествующих; неоднократно переводили взгляд с чертежа на условие и на формулировку теоремы, вспоминали определение касательной к окружности.
Не ослабевала активность и у тех учащихся, которые не допустили ошибку в задаче в). Это можно объяснить тем, что в задачах все время варьирует одно из данных: прямая проходит (не проходит) через конец диаметра. Таким образом нарушается условие 3) закономерности (*): учащимся каждый раз приходится выбирать результат «операции». Следовательно, создается ситуация, при которой ребята не могут обойтись без тщательной проверки выполнимости всех условий теоремы.
Итак, эксперимент подтвердил, что, подбирая систему упражнений так, чтобы нарушались условия 1), 3)—5) закономерности (*), можно заметно активизировать мыслительную деятельность учащихся. При этом выявилась особая роль задач, заведомо провоцирующих учащихся на ошибки, так называемых провоцирующих упражнений. Ошибка и сопровождающий ее анализ не только активизируют мыслительную деятельность при решении нескольких последующих задач, но и в значительной мере усиливают интерес и внимание уча*- щихся.
Эксперимент № з, Его цель — путем непосредственных наблюдений за работой учащихся проверить влияние условий 1) и 3) закономерности (*).
Наблюдения проводились при решении за¬
дач на нахождение дроби от данного числа (тип А) и числа по данной величине его дроби (тип Б). В классах I группы вводились сначала задачи только типа А и лишь через несколько уроков — типа Б. Затем эти задачи учащиеся решали вперемежку. В классах II группы задачи типа А и Б были введены одновременно и все время чередовались. Таким образом, в I группе выполнялись все условия закономерности (*). Эго привело к тому, что учащиеся не обосновывали решения задач, а навыки, возникшие при таком механическом решении, оказались формальны и бесполезны. В дальнейшем, когда задачи типов А и Б начали чередоваться, учащиеся их не различали.
Во II группе учащиеся работали иначе. Сначала на решение задач у них уходило больше времени, чем в I группе, они медленнее переходили к свернутым рассуждениям, сами, без напоминания учителя, обращались к правилам, выбирая и применяя то из них, которое относилось к решаемой задаче. В дальнейшем, при переходе к свернутым рассуждениям, в этих классах путаницы не наблюдалось. Если же кто-либо ошибался при выборе действия, то множество поднятых рук свидетельствовало о том, что остальные учащиеся следят за ответом, вдумываются в него.
В этом эксперименте были созданы предпосылки для нарушения условий 1) и 3) закономерности (*) —учащиеся решали вперемежку задачи двух типов, им надо было выбирать операцию из двух возможных в сходных ситуациях. Это привело к активизации мыслительной деятельности учащихся. Они уже не могли обойтись без обоснования и аргументированных ссылок. Все это снижало вероятность возникновения формальных навыков.
Приведенные данные подтверждались и во время индивидуальных занятий, когда в спокойной и непринужденной обстановке удава' лось лучше проследить за мыслительной деятельностью учащихся.
Эксперимент № 4 посвящался проверке действенности единственного условия 2) закономерности (*).
Старшеклассникам были предложены упражнения типа «Выполните действие (сложите дроби, найдите производную, извлеките корень)», которые состояли из двух групп (А) и {Б)г
; (sin хУ, (х7У, Кх7; (А)
т + т* (ттУ. ri-Y*. (В)
Учащихся просили указать, в каком случае они вспоминали соответствующие теоремы.
Упражнения групп (А) и (Б) чередовались, поэтому учащимся по контрасту легче было контролировать особенности процессов, протекающих в их сознании. Подавляющее большинство старшеклассников отметили, что при выполнении упражнений группы (Б) они вспоминали соответствующие теоремы в сокращенном виде, а имея дело с заданиями группы (А), они подобных процессов в своем сознании не замечали. Эти различия согласуются с закономерностью '(*).
Действительно, задания группы (А) сводятся в основном к одной операции, поэтому в прошлом подобные тренировочные 7 упражнения, в соответствии с условием 2), не побуждали учащихся ссылаться на необходимые теоремы. При свертывании рассуждений такие ссылки тем более исчезли из процессов сознания. В группе (Б) условие 2) закономерности (*) нарушено; упражнения требуют не одной (пусть и сложной) операций, а целой иерархии операций, основанных на определенных теоремах и правилах. Поэтому учащиеся чаще ссылаются на нужный теоретический материал, и эти ссылки сохраняются при последующем свертывании рассуждений.
Выводы. Мы показали, что нарушение любого из условий закономерности (*) побуждает учащихся активизировать свою умственную деятельность. Условие 1) предупреждает об опасности однотипных упражнений. Но совсем отказаться от однотипности заданий практически невозможно, поскольку иначе у многих школьников будут с большим трудом формироваться необходимые умения и навыки. Можно рекомендовать учителю чередовать однотипные упражнения с такими, в которых условия варьируют и поэтому начинают казаться многим учащимся в какой-то мере непривычными, т. е. нарушается условие 4). Во многих случаях целесообразно подбирать однотипные упражнения двух видов, чередуя их и тем самым ослабляя условие 3). В таких случаях учащимся придется осуществлять выбор операции. Особенно тщательно надо создавать проблему выбора операции в тех случаях, когда упражнение сводится к одной операции, т. е. когда необходимо ослабить влияние условия 2).
Учителю можно также порекомендовать включать в систему заданий провоцирующие упражнения, наталкивающие учащихся на ошибку. Анализ ошибки ослабляет излишнюю самоуверенность школьников, т. е. нарушает условие 5), и последующую работу ребята делают внимательнее.
Зачетные формы организации контроля знаний старшеклассников
Т. А. Берсенева (Ленинград)
В целях повышения ответственности учащихся за результаты своего труда, для развития самостоятельности в овладении знаниями необходимо устранить стереотипность в обучении и воспитании, совершенствовать систему учета знаний учащихся. В этой связи все бо^ лее широкое распространение в школе получают зачетные формы организации контроля знаний учащихся.
В данной статье мы приведем примеры двух форм зачетных уроков, которые систематически проводятся учителями математики средней школы № 171 Ленинграда,
1. Урок-зачет
На зачетном уроке такого вида сочетаются индивидуальные, коллективные и групповые формы работы. Урок имеет следующую структуру.
1. Разминка (5—7 мин).
2. Опрос первой группы ассистентов (без предварительной подготовки, 10—12 мин).
3. Опрос второй группы ассистентов ассистентами первой группы (10 мин].
4. Первая группа ассистентов решает задачи (до конца урока).
5. Вторая группа ассистентов ведет опрос* Ответившие на оценку не ниже «4» присоединяются к второй группе ассистентов.
К зачету каждый ученик заготавливает лист учета знаний, в который ему будут выставляться оценки за определенный вид деятельности (см. табл. 1).
Таблица 1
Вид деятельности
Оценка
Подпись
Теория (без доказательства) Терминологический диктант
Решение устных задач
Теория (с доказательством)
Решение задач
Итоговая оценка
.
Остановимся более подробно на каждом этапе зачета. Разминка представляет собой фронтальный опрос учащихся по теоретическому материалу (без доказательств) и решению устных задач; сюда же можно включить
21
терминологический диктант. За разминку учитель может выставить две оценки в лист учета знаний.
Затем каждый ученик получает билет, в котором указаны два задания: теоретический вопрос (с доказательством) и задача. Учащиеся, входящие в группу ассистентов № 1, отвечают учителю без подготовки, остальные ученики в это время готовятся к ответам. Группа ассистентов составляется из наиболее подготовленных, хорошо усваивающих математику школьников. После их опроса учитель напоминает ассистентам их обязанности на зачете, совместно намечается круг дополнительных вопросов, и они приступают к опросу одноклассников по теоретическому вопросу билета и, если позволяет время, проверяют решение задачи. Освободившись, ассистенты решают специально подготовленные для этого задачи. Каждая задача оценивается определенным числом очков, и в зависимости от количества набранных очков всеми ассистентами им выставляется одна и та же оценка. Задачи даются различной трудности, й ассистенты, освободившиеся раньше других от опроса одноклассников, выбирают задачи более сложные, требующие для решения больше времени, чтобы дать вйзможность другим ассистентам тщательно, не торопясь, проверить знания опрашиваемых товарищей. Те учащиеся, которые ответили группе ассистентов № 1, образуют группу ассистентов № 2 и принимают зачет у еще не ответивших ребят. Аналогично можно организовать группу ассистентов № 3, а группу № 2 занять решением задач, как и группу № 1.
Приведем материалы к уроку-зачету по теме «Координатный метод в пространстве».
Учитель проводит разминку по двум вариантам, учащиеся записывают только ответы. На доске заранее написано:
i вариант
11 вариант
1
A{Xi; уг,),
м (х,; у,; г,),
В(х„ у3; г,)
у,; г,)
2
а (а, Ь, с)
3
а ( — 2; 1; 0),
m (1; —2; 0),
6(3; 4; — 2)
п (4; 2; 5)
4
Д ABC
Д ABC
СА-СВ^О
СА'СВ < 0
5
А(5; 0; 0),
А (0; 0; 0),
В(0; 5; 0), С(0; 0; 5)
В (0; 5- 0), С (0; 0; 5)
Учитель устно раскрывает содержание каждого задания.
1. 1. Запишите формулу нахождения координат вектора АВ по координатам его начала и конца.
И. 1. Запишите координаты середины отрезка ММ через координаты его концов.
I. 2. Запишите формулу вычисления длины вектора по его координатам.
II. 2. Запишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками.
I, II. 3. Установите, перпендикулярны ли данные векторы.
I, II. 4. Вокруг А АБС описана окружность. Укажите положение центра окружности при данном условий.
I, II. 5. Определите вид треугольника ABC, если его вершины имеют данные координаты.
Терминологический диктакт. Положительная полуось, аппликата, коэффициенты разложения, тетраэдр, расчет, рассчитать, ненулевые векторы, коллинеарные, компланарные, скалярное произведение, расстояние.
Билеты к уроку-зйчету1
J№ 1
1. Координаты вектора. Действия с векторами, заданными своими координатами (доказать для суммы векторов).
2. Треугольник ABC задан координатами вершин А (0;2; —1), В (1;—7;0), С (—1;0;3). Докажите, что A ABC — прямоугольный.
№ 2
1. Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца (вывод формулы).
2. Прямая задана точками /4(3; — I;2) и В(—1; 1;2). Найти угол а между прямой АВ и плоскостью хОу.
№ 3
1. Определение скалярного произведения векторов. Свойства скалярного произведения векторов, вытекающие из определения.
2. Ребро куба ABCDA\B\C\D\ равно а. Вычислите угол между прямыми АВХ и ВС,; найдите расстояние между серединами отрезков АВх и ВСи
№4
1. Скалярное произведение векторов в координатах (вывод формулы). Следствия.
2. Длина ребра куба ABCDAtBiC^D, равна
а. Вычислите скалярное произведение: A\D-CC\\ AiD-CBi.
1 При подборе системы задач учитель должен ори- ентироваться на уровень знаний своих учащихся и либо усложнять, либо облегчать задания,
22
№ 5
1. Свойства скалярного умножения векторов.
2. Дан куб ABCDAiBiCiDi. Точка К ‘—середина ребра ААЬ L — середина ADy М — центр грани CC\D\D. Доказать, что прямые КМ и и B\L взаимно перпендикулярны*
Карточки с задачами для ассистентов
Указание. Вам предлагается решить 5 задач. Если вы в сумме наберете от 21 до 27 очков, то все ассистенты получат оценку «5», если вы наберете до 21 очка, то все получают оценку «4».
№ 1
Дана прямая треугольная призма АВСА\В\Си A ABC — равнобедренный, АС = СВ = ау /_АСВ—120°, ребро ВВ\ — а. Найти расстояние между серединами отрезков АС и ВВь Решите задачу, используя метод координат. (6 очков)
№ 2
Вектор m компланарен векторам а( 1;—1;0)
и 5(1; 0;—1). Известно, что | лгг j =|/^б7 mJLa, Найдите координаты вектора т. (6 очков)
№ 3
Треугольник задан координатами своих вер- шин А (2; 0; —1), В( 3; К2;0), С(4;0;— 1). а) Найдите длину медианы данного треугольника, проведенной из йершины Л; б) Найдите величину /LBAC. (6 очков)
№ 4
На стороне МК треугольника МКЕ взята точка Р такая, что МР — РК. Вычислите длину отрезка РЕ, если ME—2а, ЕК=За, Z.MEK—120°. (бочков)
№ 5
_Даны точка А (1; —3; 4) и вектор ВА(4;—2; 2). Вычислите координаты точки В и расстояние бт начала координат до середины отрезка АВ. (4 очка)
II. Зачет-практикум
Зачетный урок такого вида рекомендуется проводить по тем разделам курса математики, где мало теоретических вопросов. Мы приведем материалы по теме «Площади поверхности тел».
Урок начинается с разминки (5—7 мин) — решения устных задач. Каждая задача оценивается в 2 очка. Листки с ответами сдаются учителю. Затем каждый ученик получает билет с 11 задачами различной трудности. Решение каждой задачи оценено определенным числом очков в зависимости от ее трудности.
Поскольку всем учащимся даются одинаковые задачи, то для внесения духа состязательности, а также чтобы предупредить списывание рекомендуется каждую задачу решать на отдельном листке, сдавать его учителю, а затем решать очередную задачу на новом листке.
Разминка (устные задачи). Полностью приводим условия задач I варианта, разночтения II варианта указаны в квадратных скобках.
1. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого равна 36 см2[100см2]. Найти
^основания [S6ok.] .
2. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной б см [8 см]. Найти площадь боковой поверхности конуса.
3. Полукруг радиуса 6 см [8 см! свернут в конус. Найти площадь боковой поверхности конуса.
2 [31
4. Диаметр одной сферы составляет “з" Т
диаметра другой. Как относятся площади поверхностей этих сфер?
5. В куб со стороной а см вписан цилиндр [описан цилиндр]. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.
Задачи к зачету-практикуму
1. Боковая поверхность цилиндра составляет половину его полной поверхности. Зная, что диагональ осевого сечения равна 5 см, найти полную поверхность цилиндра. (6 очков}
2. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее плоскость основания по хорде, равной 4 см, и отсекающее от круга основания дугу в 90°. Определить боковую поверхность конуса, если угол при вершине треугольника, образовавшегося в сечении, равен 60 (4 очка)
3. Образующая усеченного конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Зная, что радиус большего основания конуса равен 5 см, найти боковую поверхность усеченного конуса. (5 очков)
4. В .цилиндре перпендикулярно к радиусу его основания, через его середину проведено сечение* В сечении образовался квадрат площадью 16 см2. Найти боковую поверхность цилиндра. (3 очка)
5. Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса равно 2:3. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса. (5 очков)
6. Составьте уравнение сферы с центром в точке М(5; — 6; 0) и проходящей через точку Р(—3; 8; 1/19). (5 очков)
7. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от ближайшей к ней точки сферы на 2 см, а от точки касания на 18 см. Найти площадь поверхности сферы* (бочков)
8. Около цилиндра описана правильная четырехугольная призма, и в него же вписана
Таблица 2
Фамилия, имя ученика
Устные
задачи
Номер задачи и количество очков
Всего
очкав
Оцен¬
ка
ч
2
%
<1
5
6
7
8
9!
|10
11
и
1 4
5
з 1
5 1
1 5 |
1 5
4
3 1
I 4
4
Арсеньева М.
8
4
5
0
17
4
Вайсман М.
6
5
5
5
4
25
5
Редин А.
4
4
5
0
1
14
3
правильная шестиугольная призма. Как относятся боковые поверхности этих призм? (4 очка)
9. Докажите, что объем правильной четырехугольной призмы, описанной около цилиндра, в 2 раза больше объема правильной четырехугольной призмы, вписанной в этот же цилиндр. (3 очка)
10. В треугольную пирамиду, стороны основания которой равны 4 см, 7 см и 5 см, вписали конус с образующей в 8 см. Вычислите боковую поверхность пирамиды. (4 очка)
11. Диагональным сечением правильной четырехугольной пирамиды является прямоугольный треугольник, катет которого равен а. Вычислите радиус-описанного около пирамиды шара. (4 очка)
Подведение итогов зачета. Оценка за зачет- Орактикум может ставиться, например, по таким критериям: набрано до 10 очков — оценка «2»; 11—15 очков — «3»; 16—19 очков — «4»; 20—29 очков — «5». За каждые 10 очков после 20 можно ставить дополнительно оценку «5».
Зачет-практикум можно проводить на одном уроке (45 мин), можно на сдвоенном. Если зачет проводится два урока, то целесооб-
О доказательствах «очевидных» фактов школьного курса геометрии
Т, С. Маликов
(г. Кокчетав)
Мотивировка доказательств «очевидных» утверждений геометрии является одной из традиционных проблем преподавания математики в школе. В действующем пособии по геометрии [2] логические требования к обоснованию таких предложений подняты на новый качественный уровень. Например, рассматриваются следующие задачи: «Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что 1) для прямых АС и BD и секущей АВ углы ВАС и
разно после разминки провести ее проверку и разобрать задачи, вызвавшие затруднения. В этом случае критерии выставления оценки за зачет нужно изменить: набрано до 20 очков— оценка «2»; 21—30 очков — «3»; 31—40 очков — «4»; свыше 41 очка — «5». Для подведения итогов учителю рекомендуем иметь зачетную карту (см. табл. 2).
Примечание: ноль ставится в тех случаях, когда ученик решал задачу и не справился.
В конце урока целесообразно вывесить на стенде решение задач, дававшихся на зачете, чтобы учащиеся могли проверить себя. Подведение итогов проводится на следующем уроке: объявляется количество набранных очков и оценка. Рекомендуется разобрать задачи, вызвавшие у учащихся наибольшие трудности.
Опыт проведения зачетов показал, что учащиеся стали более ответственно подходить к изучению математики, заранее готовиться к зачету, повысился интерес к предмету. Можно надеяться, что систематическая организация контроля знаний старшеклассников в форме зачета приведет к повышению качества знаний, умений и навыков.
ABD внутренние накрест лежащие...» ([2], с. 42); «От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углы Z-BAC—QQ0 а /LBAD—70°. Найдите угол CAD» ([2], с, 25). В этих задачах логически обосновываются также положения, которые в других пособиях школьной геометрии принимаются интуитивно. Причем эта тенденция в сторону усиления строгости изложения взамен интуитивного принятия «очевидных» утверждений составляет существенный момент в методике изложения учебного материала в этом пособии. Поэтому рассмотрение вопроса мотивировки доказательств «очевидных» утверждений можно считать анализом одного из принципиальных положений действующего пособия по геометрии.
24
Вначале рассмотрим, каковы были мотивы для доказательств таких предложений в геометрии-науке. Как известно, впервые попытка логического упорядочения положений геометрии, его дедуктивного построения была предпринята Евклидом. Именно цели дедуктивного построения геометрии дали смысл доказательствам положений, обоснование которых вследствие их «очевидности» выглядело не совсем целесообразным делом. Но в изложении Евклида эта тенденция к доказательству «очевидных» фактов все-таки имела определенные ограничения, связанные, во-первых, с тем, что аксиомы и через них вся геометрия понимались как наука о свойствах и закономерностях окружающего нас пространства, что аксиомы понимались как опытно установленные истины. Такая трактовка аксиом несла гораздо большую информацию о неопределяемых понятиях геометрии, чем та, которая заложена в аксиомах, т. е. при содержательном понимании основных понятий можно сказать, что геометрия имела довольно излишнюю и зависимую систему исходных положений. Во- первых, в структуре геометрии существовал интуитивный компонент, порожденный вполне логичным положением: раз в аксиомах приняты свойства, которые обладают опытно установленной достоверностью, то можно и в структуре доказательств пользоваться наряду с аксиомами и доказанными теоремами и очевидными, опытно установленными утверждениями, обладающими той же степенью опытной достоверности. Тем более что выводимые положения понимались как свойства пространства и, вообще, геометрия считала изучение этих свойств своей целью в большей мере, чем сам процесс дедуктивного вывода новых теорем. Таким образом, при содержательном понимании геометрии существование интуитивных обоснований «очевидных» утверждений в структуре доказательств теорем является в общем-то логичным требованием (хотя это звучит несколько парадоксально).
В конце XIX в. в развитии математики произошел качественный скачок, начало которому было положено в трудах великого русского математика Н. И. Лобачевского. Геометрия была построена абстрактно в виде формальной аксиоматической теории, тем самым она «оторвалась» от содержания, перестала быть наукой только о пространственных формах, превратилась в логическую конструкцию, выводы которой применимы в разнообразных моделях, в том числе и для изучения пространства. При таком построении аксиомы стали пониматься как исходные положения для дедуктивных доказательств, стали служить, по выражению академика А. Д. Александрова, «определению абстрактного предмета теории,
ее основных понятий» ([1], с. 18). Как писал Гильберт в «Основаниях геометрии», вместо слов «точка, прямая, плоскость и др.» можно было бы говорить о кружках, стульях и других вещах, лишь бы отношения между ними удовлетворяли аксиомам геометрии. Иначе говоря, под неопределяемыми понятиями геометрии стали пониматься некоторые абстрактные элементы, про которых известна только та информация, которая заложена в аксиомах.
Покажем в упрощенном варианте, как стали восприниматься «очевидные» утверждения содержательной геометрии в формализованном варианте изложения. Пусть даны множества A = {x,y,z,...}, В = {а, Ь, с,...}. Заданы некоторые отношения между элементами этих множеств Ri, R2,Rn.
Сформулированы аксиомы, несущие определенную информацию об отношениях и элементах. Тогда предложение о том, что для любого элемента множества В найдется определенное множество элементов из Л, связанных отношением Ru представляет некоторую неочевидную проблему (если, конечно, такое утверждение не дается в аксиомах). В содержательном аспекте это предложение представляет собой одну из самых «очевидных» истин: если множество А интерпретировать как множество точек, множество В — как множество прямых, а отношение Ri — как отношение принадлежности, то приведенное предложение будет читаться: «Любой прямой принадлежит определенное множество точек».
Таким образом, приведенные рассуждения показывают, во-первых, что доказательство «очевидных» истин геометрии имеет мотивацию и определенный смысл, если геометрия формализована как аксиоматическая теория, если она «оторвана» от содержания, во-вторых, когда геометрия «привязана» к своей главной модели, выступает как наука о пространственных соотношениях, то логично обосновывать «очевидные» утверждения посредством интуитивных рассуждений.
С этих позиций рассмотрим теперь, как мотивируются доказательства «очевидных» утверждений в действующем учебном пособии по геометрии. В нем, как и в других пособиях, аксиомы формулируются на основе опыта учащихся, на основе обобщения наблюдаемых свойств окружающего пространства. Наглядно и интуитивно вводятся неопределяемые понятия: «Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. На чертеж точки и прямые наносятся остро отточенным карандашом. Для построения прямых пользуются линейкой... На рис. 3 вы видите точку А и прямую а» ([2], с. 4). Несмотря на такое интуитивное содержательное
25
начало, в дальнейшем, уже после § 1, говорятся: «При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя» ([2], с. 14). Такое требование в других пособиях не встречается, по крайней мере на том уровне, который выдержан в изложении учебного материала в курсе VI — VII классов. Хотя это требование в процессе обучения геометрии в школе выполнимо только в некоторой мере, надо сказать, что в пособии А. В. Погорелова удается его реализовать на сравнительно высоком уровне (примеры такого изложения мы приводили в начале статьи).
С нашей точки зрения, указанное требование к проведению доказательств может быть мотивировано и иметь смысл только при построении геометрии как формальной аксиоматической теории и никак нельзя мотивировать при том интуитивно-содержательном уровне введения понятий и аксиом, который принят в действующем пособии. Другая альтернатива в нашей позиции допускает такой уровень требований, но при этом аксиоматика и неопределяемые понятия должны быть введены абстрактно, в «отрыве» от содержания. Однако этот вариант в общеобразовательной школе, очевидно, неприемлем (возможно, такой подход можно реализовать в условиях факультативов или кружков).
Таким образом, требованиям, предъявляемым к доказательству «очевидных» фактов школьной геометрии, нельзя придать смысл, нельзя логично объяснить их необходимость. Они в глазах учащихся, видящих в геометрии естественную науку, которая изучает пространственные формы, а не математическую структуру, выглядят схоластическими. Получается так, что учащиеся, не поняв причину явления, должны усвоить его следствия, т. е. им не показана логика движения математической мысли, диалектика ее развития. Хотя логика обучения не всегда совпадает с логикой познания, обучение всегда должно быть мотивировано, без этого нельзя говорить о сознательности усвоения учебного материала.
Практическое изучение рассматриваемой проблемы полностью согласуется с теоретическими выводами. Анкетирование, проведенное с целью выяснения понимания необходимости доказательств «очевидных» утверждений, показало, что почти эсе учащиеся не понимают существа этого вопроса, притом это непонимание связано именно с содержательной стороной. Характерны, например, следующие ответы: «Непонятно, почему доказываются „оче¬
видные*9 факты», «Если представить себе (!).., то не может быть иначе», «Потому что никто не знает толщину прямой и точки». По нашему мнению, иных ответов мы не вправе ожидать от учащихся, эти ответы логично выходят из той информации, которой обладают они по данному вопросу.
Подведем итоги. Проблема мотивировки доказательств «очевидных» утверждений имеет два логических решения: 1) усиление логических требований к доказательству теорем может быть осознано полностью только при построении геометрии как формальной аксиоматической теории; (2) при содержательном, наглядно-интуитивном понимании основных понятий геометрии, когда она выступает как наука лишь о пространстве и его свойствах, необходимость доказательства «очевидных» утверждений не может быть осознана учащимися. В дидактическом аспекте первый вариант, очевидно, неприемлем в условиях общеобразовательной школы. Поэтому тенденцию к усилению логической строгости обоснования «очевидных» утверждений в действующем учебном пособии по геометрии мы считаем нецелесообразной. Эта тенденция ведет к формализму, к нарушению такого важного принципа, как принцип сознательности.
Литература
U Александров А. Д. Диалектика геометрии//Математика в школе. 1986. Ms 1.
2. Погорелое А. В. Геометрия: Учебное пособие для 6—10 классов средней школы, М.: Просвещение, 1986,
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ
Система уроков М. Н. Волкова
К. О. Ананченко, Д. Е. Перлин (г. Витебск)
Работа Михаила Николаевича Волкова, учителя математики витебской средней школы № 37, отличается творческой новизной в отборе форм, методов и средств обучения. Тщательная подготовка к урокам, исключительная заинтересованность внеклассными занятиями, дополнительная работа с различными по подготовке группами учащихся, желание и умение анализировать и исследовать результаты своего труда — вот далеко не полный перечень тех условий, которые обеспечивают эффективность его педагогической деятельности.
По каждой теме школьного курса математики М. Н. Волков планирует систему уроков.
26
В основе ее построения — комплексный подход к обучению. Учитель тщательно анализирует математическое содержание темы, изложенное в учебниках (действующих, экспериментальных, пробных), методической литературе, и выявляет ее возможности для обучения, воспитания и развития учащихся. Затем он устанавливает взаимосвязь нового материала с предыдущим и последующим, продумывает связи с другими предметами. После этого приступает непосредственна к разработке системы уроков по теме. При этом учитывается тематика каждого урока, его цели, связь с другими уроками, возможность использования имеющихся в кабинете средств обучения.
При поурочном планировании учитель предусматривает следующие виды уроков: урок изучения нового материала, урок выявления уровня знаний по изученному материалу и предупреждения ошибок через их диагностирование, урок отработки умений и навыков, обоб^ щающий урок с элементами консультации, тематический зачет, контрольная работа. Все эти виды уроков присутствуют в системе в различных соотношениях в зависимости от изучаемой темы.
Урок изучения нового материала проводится в виде лекции либо в виде практической работы с использованием проблемного метода обучения или метода целесообразных задач. Наибольший интерес представляет метод целесообразных задач, который применяется учителем в тех случаях, когда нужно: поставить учащихся перед необходимостью получения новых знаний; показать, что новые знания могут быть получены как следствие ранее изученного; подвести к выявлению новой математической закономерности, которую затем обосновать.
Покажем на примерах различных уроков, как М. Н. Волков пользуется методом целесообразных задач.
Урок геометрии в VII классе по теме «Теорема Пифагора». Он составлен с учетом того, что два предыдущих урока были посвящены выделению прямоугольного треугольника и нахождению косинуса острого угла в нем.
С первой минуты начинается решение задач
по готовому чертежу с краткой записью уело-: вия и заключения. При этом учащиеся ориентируются на алгоритм нахождения косинуса угла в прямоугольном треугольнике, который заключается в следующем: выделить прямоугольный треугольник; найти прилежащий катет, гипотенузу; составить отношение; вычислить косинус. (На доске изображен прямоугольный треугольник, обозначены гипотенуза, острый угол и катет, прилежащий к нему.)
Задача 1 (рис. I). Дано: ААВС, Z_C = =90°, CDJLABt ЛС=4 см, AD=2 см, DB — “б см. Найти: cos Л,
Решить задачу целесообразнее двумя способами.
I способ. Из AACD (ZJ5=90°) имеем:
II способ. Из ААВС (Z.C=90°j имеем: АС 4 _ 1 cos Л =^45* ==-8-— 2*
Задача 2 (рис. 2). Дано: A ABC, АВ—> = ВС—Ъ см, АС—8 см. Найти: cos Л.
Для решения задачи проводится дополнительное построение: BDJLAC.
Задача.З (рис. 3). Дано: A ABC, 2LC= =90°, РК — средняя линия, PDCK — прямоугольник, АВ—26 см, РК—5 см. Найти: cos А.
Рассматриваются два способа решения.
т л AD
I способ. COS А =
АС
II способ. cos4=
Задача 4 (рис. 4). Дано: отрезки АВ и CD пересекаются в точке О; BCA.CD, ADJ.CD, /30=10 см, ВС=6 см, АО=5 см. Найти: cos Л.
Решение. Применяется свойство внутренних накрест лежащих углов при параллельных ВС и AD и секущей АВ: А.В—АА. Из
, D ВС 3
этого следует, что cos А=cos & —
Задача 5 — кульминационная (рис.
5). Дано: ABCD — трапеция (BC\\AD),
CDA.AD, CD—4 см, ВС=5 см, AD—8 см. Найти: cos Л,
в
/|\
X 1
А д
С
27
Решение. Проводим ВК\BKA~AD, K^AD]. AK=AD—KD=8—5=3 (см).
, .л AI< L ' '
cos Л Ав
Учащиеся не могут довести решение задачи до конца, так как теоретический запас их знаний мал. Возникает потребность его расширить, т. е. необходимо установить метрическую связь между сторонами в прямоугольном треугольнике. Доказывается теорема Пифагора.
После этого учитель переходит к продолжению решения задачи 5, а затем возвращается к задачам 4, 3, 2, 1. В задаче 4 учитель предлагает найти CD (рассматриваются два способа решения), в задаче 3 — найти периметр четырехугольника DPKC, в задаче 2 — найти BD, в задаче 1—проверить верность равенства DC2—AD DB. Подводится итог урока.
Если проследить за ходом этого урока, то можно заметить следующее: задачи подобраны так, что, решая их последовательно, ученики успешно справляются с 1-й задачей, затем со 2-й, 3-й, и уже многие учащиеся вырвались вперед и принялись за решение 5-й задачи. Пробуют решить эту задачу, применяя разные подходы, но у них ничего не получается... Вот их догнал уже весь класс. И тогда учитель говорит: «Для того чтобы найти А В, надо расширить наши знания, т. е. установить, каким равенством связаны длины сторон в прямоугольном треугольнике. Это поможет нам сделать теорема Пифагора».
После доказательства теоремы Пифагора несогласованность между имеющимися знаниями у учащихся и теми, которые необходимы для решения возникшей задачи, исчезает.
Второе направление использования метода целесообразных задач рассмотрим на уроке геометрии в VI классе. Урок проводится по теме «Первый признак равенства треугольников». Учащимся предлагается следующая система задач.
Задача 1. На полупрямой от начальной точки А\ отложены два отрезка Л1С1 и А\С2, причем AiCi=A\C2* Верно ли расположение точек Ci и С2 на рис. 6?
©
Af £7 Ci
Ответ. Нет, на одной полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один (по аксиоме IVx).
Задача 2. От данной полупрямой А\С\ в заданную полуплоскость отложены два угла В1А1С1 и B2AiCu причем Z^B\A\C\ — /LB2A\CU Верно ли расположение лучей на рис. 7,а?
Ответ. Неверно, так как от одной полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной меры, и только один (по аксиоме IV2). Здесь возможны два случая (рис. 7,6).
Задача 3. Дополните условие задачи 2 так, чтобы был справедлив рис. 8, и объясните ваш ответ.
Ответ. Условие задачи 2 нужно дополнить двумя требованиями: 1) /LBiAiCx — Z-B2A\C\t
2) AiBi=AiB2.
Задача 4. От данной полупрямой А\С\ в заданную полуплоскость отложены два угла 3\А\С\ и б2Л?С2 (С2 лежит на луче А\СХ), Известно, что 1) А\СХ—А\С2, 2) Z.B\AXCX = ~ /~В2А\С2 и 3) A\Bi—A\B2. Измените рис. 9,а, выполняя последовательно условия (1), (2), (3). Объясните ваши построения, сделав ссылки на аксиомы.
Ответ. Так как Л,Ct == Л1С2, то точки С\ и С2 совпадут; Z-.BXAXC\ — /~B2A\C2, следовательно, . лучи А1В1 и А\В2 совпадут; АХВХ —
28
ess'^iBs, значит, точки Si и В$ совпадут* Рис. 9,а будет иметь вид (см. рис. 9,6).
Задача 5. От полупрямой А\С\ отложен AAiB2C2, расположенный следующим образом относительно АА\В\С\: вершина С2 лежит на луче AiCu а вершина В2 лежит в той же полуплоскости, где и вершина Вх (см. рис. 10).
Дополните условие задачи 5 так, чтобы можно было совершить последовательный переход от рис. 10,а к рис. 10,6, от aero к рис. 10,в, a затем к рис. 10,г, и сделайте вывод.
Ответ. Условие задачи 5 следует последовательно дополнить следующими требованиями:
1) АаСх=А2Съ тогда точка С\ совпадает с точкой С2 (рис. 10,6).
2) /-.B\AiC\—Z-B2A\C2, тогда луч А\В\ совпадает с лучом AiB2 (рис. 10,в).
3) A\Bi=AiB2, тогда вершина Вх совпадает с В2 (рис. 10,г).
Над каждой стрелкой записывается условие, а под стрелкой — аксиома, и на доске появляется динамичный чертеж (или опорный конспект), который может быть использован для доказательства теоремы.
Третье направление использования метода целесообразных задач учитель видит в подведении учащихся к выявлению математической закономерности, при этом широко использует логические приемы мышления, такие, как конкретизация и обобщение. Например, на уроках алгебры в VI классе при изучении формул сокращенного умножения предлагается серия задач на умножение двучленов, решая которые учащиеся подмечают определенные закономерности.
Следующий вид урока—урок выявления уровня знаний и умений учащихся по изученному
fra предшествующем уроке материалу, предупреждения ошибок через их диагностирование. С этой целью учитель проводит два вида диагностирования: анонимное диагностирование и внешнее диагностирование. При первом диагностировании по специально составленной карте ученики отвечают на вопросы, которые позволяют судить о степени подготовленности учащихся к уроку. Могут возникнуть ситуации:
1) свыше 30 % учащихся хотят еще раз послушать учебный материал или плохо выполнили домашнее задание. Тогда после его анализа еще раз отрабатываются практические умения по теме предыдущего урока. Группа хорошо подготовленных учащихся выполняет задания более сложного характера;
2) менее 30%, но более 10% учащихся хотят еще раз послушать учебный материал или плохо разобрались в домашнем задании. Тогда после анализа домашнего задания проводится комбинированный опрос;
3) 10 % учащихся хотят еще раз послушать учебный материал или плохо разобрались в домашнем задании. Тогда после обзорного анализа домашнего задания проводится ком-' бинированный опрос.
Для проведения комбинированного опроса используются возможности кабинета математики. Его оборудование позволяет иметь 9 рабочих мест у классной доски. Каждое рабочее место ученика пронумеровано. Нумерация рабочих мест имеет смысл, например, при организации индивидуальной работы по карточкам. В индивидуальном опросе у доски и по карточкам, на местах участвуют от И до 13 учащихся, а с остальными проводится фронтальная работа. Задания для выполнения у доски или на местах составляются обычно в трех вариантах (по степени трудности). Через некоторое время решение задач проверяется, выявляются допущенные ошибки. Для анализа ошибок привлекается необходимая теория, которая еще раз разбирается — осуществляется переход на более высокий уровень ее понимания. В конце урока проводится самостоятельная работа на 10—15 мин. В опросе участвуют учащиеся, разные по способностям, причем каждый из учащихся выполняет работу самостоятельно.
На таком уроке учитель выявляет пробелы в знаниях учеников, помогает их устранить путем повторного объяснения, индивидуальной помощи ученика-консультанта или самостоятельного чтения учебника, справочной литературы. Подведя итоги урока, можно однозначно ответить на вопрос: как отрабатывать на следующем уроке практические умения и навыки.
29
Третий вид урока. На нем отрабатываются практические умения и навыки с помощью задач, для решения которых необходимо использовать материал предыдущих тем и смежных дисциплин. На данном уроке учитель идет от простейшего ко все более сложному, обучает учащихся приемам и способам решения задач, выбирает наиболее рациональные из них, организует работу в классе так, чтобы каждый ученик как можно больше самостоятельно применял изученный материал к решению задач, при этом используются индивидуальная, групповая и коллективная формы работы. Учащиеся знают, что на уроке отработки умений и навыков Михаил Николаевич проводит оценку их знаний и умений. Для контроля результатов обучения применяется поурочный балл. Учитель заранее определяет, какие элементы существенны на данном уроке, и на планшетке выставляет оценки, например: оценка за устные упражнения, оценка за работу у доски (сюда относится работа по карточкам а фронтальный устный опрос), оценка за самостоятельную работу. Как показывает опыт работы, такая система оценок позволяет глубоко и основательно проверить знания учащихся, активизировать их познавательную деятельность на уроке.
При проведении урока данного вида учитель уделяет большое внимание самостоятельной работе учащихся, которая состоит из двух вариантов. У доски двое учащихся с хорошей подготовкой: один выполняет I вариант, другой — II вариант, класс не видит решения на доске. Через определенное время элементы доски разворачиваются, и ребята, сидящие в классе, сравнивают свои решения с решениями на доске.
Зачастую учитель, используя вращающуюся доску, вызывает для выполнения самостоятельной работы по одному варианту не одного, а двух учащихся с разной математической подготовкой. При таком проведении работы контроль становится эффективным, так как он позволяет ответить на вопрос: на каком уровне данная тема усвоена на уроке.
Четвертый тип урока — выявление уровня знаний учащихся после отработки практических умений и навыков. Урок проводится по следующему плану: диагностирование имеющихся знаний, комбинированный опрос, анализ решений и ошибок, систематизация знаний учащихся. Этот урок отличается от второго тем, что он проводится после отработки практических умений и навыков и для контроля предлагается более сложная система задач. Больше внимания при этом учитель уделяет индивидуализации процесса обучения.
Пятый урок — обобщающий урок с элементами консультации. За день до занятий уча¬
щиеся задают учителю вопросы в письменной или устной форме.
Учитель подбирает задачи так, чтобы они привели знания учащихся в систему, при этом включает задачи, решение которых помогло бы дать доступную и полную консультацию по всем поступившим вопросам. К решению н анализу ответов привлекаются учащиеся класса. В случае большого количества вопросов, которые свидетельствуют о недостаточном усвоении изученной темы, обобщающий урок переносится, а текущий урок становится еще раз уроком третьего вида — уроком отработки умений и навыков. И только после него проводится обобщающий урок с элементами повто« рения.
Шестой урок — тематический зачет. Учащиеся заранее знакомятся с перечнем определений, теорем и задач, необходимых для сдачи зачета. Этот перечень вывешивается в классе в первые дни изучения темы и служит ориентиром для подготовки к зачету. Например, при изучении темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей» учащимся дается следующий набор заданий:
1. Знать определения понятий: перпендикуляр к прямой, перпендикуляр к плоскости, наклонная, перпендикулярность плоскостей, расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости, расстояние между двумя параллельными плоскостями.
2. Знать доказательства: признаков перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности плоскостей, а также свойства прямых, перпендикулярных плоскости, теоремы о трех перпендикулярах, теоремы о расстоянии между скрещивающимися прямыми.
3. Уметь решать задачи (указываются номера задач из школьного учебника геометрии).
Зачет по теме состоит из трех частей: тестирования, ответа по билету, практической работы.
Лингафонное оборудование кабинета позволяет проводить тестирование с помощью магнитофона. Учащиеся через наушники прослушивают задания теста три раза. При первом прослушивании они записывают условие а пробуют ответить на вопросы теста. При втором прослушивании отвечают на задания теста, при третьем — проверяют свои ответы. Затем учащимся дается время для оформления ответов в тетради.
Билеты к зачету содержат два задания: доказать теорему и решить? задачу. Учащиеся письменно излагают ответ на каждое задание.
Практическая работа заключается в проведении необходимых измерений по геометрической модели для вычисления требуемых величин (объем, площадь, недоступное расстояние и т. п.).
30
После проверки работ всем учащимся выставляются оценки в журнал.
Данная система уроков проста, динамична, но требует вдумчивого и творческого подхода, глубоких теоретических знаний не только по методике предмета, но и по педагогике, психологии.
Творческая работа М. Н. Волкова по активизации познавательной деятельности позволяет формировать качественные знания у учащихся. Его уроки посещают не только учителя области, но и соседи из других республик.
Опыт учителя-методиста заслушан и одобрен на секции по изучению передового педагогического опыта при МП СССР и в лаборатории обучения математике НИИ СиМО АПН СССР.
Игра и учебная деятельность
Т. М. Ковалева (г. Томск)
Работа в IV—V классах средней школы имеет свою специфику, так как наряду с учебной игровая деятельность занимает в ней важное место. Как же формировать в этот возрастной период элементы учебной деятельности, ис- зользуя игровые приемы? Остановимся на некоторых сторонах этой проблемы. В качестве иллюстрации рассмотрим материал по теме «Десятичные дроби»*
I. Игровые приемы как способ объяснения цели урока.
Главным элементом учебной деятельности является осмысление цели, которое самым тесным образом связано с познавательным интересом учащихся.
Как часто учитель просто записывает на доске тему урока и сразу же начинает объяснение. Конечно, такой прием не возбуждает у учеников ни интереса, ни желания познать новое. И совсем по-другому воспринимается цель урока, когда учащиеся сами становятся исследователями той или иной проблемы, сами убеждаются в необходимости изучения темы. Так, при изучении деления десятичной дроби на 10; 100; 1000 и т. д. можно сразу не формулировать тему урока, а предложить ребятам следующую систему заданий:
1. Ребята! Попробуйте догадаться, как мож-. но быстро выполнить деление:
138,5:10; 138,5:100; 138,5:1000.
2. Объясните, почему 8,45:100 равно 0,0845. Если не можете, то прочитайте в учебнике о делении десятичных дробей на 10; 100; 1000 и т. д.
3. Придумайте сами похожий пример и предложите его решить товарищу по парте.
После выполнения такой системы заданий цель урока будет понятна всем ученикам и усвоение темы пойдет быстрее и качественнее.
Убедительнее воспринимается учащимися цель деятельности, когда они видят, как связаны новые знания с явлениями окружающей жизни. Вот почему при изучении округления чисел ученикам можно заранее предложить задание:
Подсчитайте, какова плата за вашу квартиру, если 1 кв. м стоит 13 коп. Попросите у родителей книжку по расчетам за квартирную плату и сравните ваш результат с действительной оплатой.
Для того чтобы раскрыть назначение учебной темы в системе знаний, необходимо проводить особые вводные уроки. Так, например, перед изучением темы «Десятичные дроби» полезно провести урок, на котором ребята познакомятся с необходимостью возникновения десятичных дробей, со старинными русскими мерами длины, старинными русскими деньгами, мерами веса и увидят целесообразность перехода к современной системе мер. (В подборе таких задач поможет книга Е. А. Ды- шинского «Игротека математического кружка».)
Важно, чтобы учащиеся постепенно сами могли определить назначение изучаемого материала. Для этого на каждом уроке на доске может появляться «светофор». Сначала его раскрашивает учитель, а потом сами ребята: красный цвет — новый материал, зеленый цвет — закрепление полученных навыков, отработка умений и желтый цвет — повторение ранее изученных тем.
Таким образом, для осмысления цели игровые приемы могут быть различными, а задача общая: приблизить содержание деятельности к ученику, раскрыть ее значимость.
II. Развитие с помощью игры потребности в умениях и навыках.
Следующим элементом учебной работы является формирование потребности в умениях и навыках. Это достигается разнообразными приемами, активизирующими познавательный интерес учащихся.
Очень любят школьники на уроках математики встречаться со сказочными героями. Особенно многим дорог Незнайка. Он старается учиться хорошо, но у него не всегда все получается. Поэтому все с радостью готовы помочь Незнайке, например, в таких зада* ниях:
1. Жители Цветочного города попросили Знайку и Незнайку вычислить значение выра-.
31
жения: 7,4- 14,3—р-14,3 при р—6,4. Незнайка начал решать так:
п 14,3 оч 14.3 I) х
7,4
2)
X
6,4
А Знайка внимательно посмотрел на пример и сразу записал ответ. Незнайка очень удивился! Ребята, а вы смогли бы решить так быстро?
2. Посмотрев на пример 9,84—16,32 > (8— 7,45)+2,186, Знайка сразу сказал, что получится приблизительно 4. Незнайка удивился быстрому ответу Знайки. Сам он не знал, как находить примерное значение выражения. Научите Незнайку.
Задания такого рода помогают ученику понять, зачем ему нужны те или иные умения и навыки, тем самым формируется потребность в них. С этим элементом учебной деятельности тесно связана выработка умений организовать свои действия в единую систему. Для этого необходима четкая последовательность заданий, отрабатывающая каждый шаг этой системы.
В качестве примера рассмотрим последовательность заданий при изучении умножения десятичных дробей.
Сначала предлагаются упражнения, помогающие вспомнить все трудные ситуации, возникающие при умножении натуральных чисел:
1) Незнайка, выполняя примеры на умножение, допустил ошибки. Помогите Незнайке отыскать их.
X
137
204
X
734
60
X
548
274
3288
+
4404
7056
8
6048
X
7056
8
57248
Посоветуйте Незнайке, где нужно быть осторожным при умножении.
2) Выполните действия и сравните результаты с данными ответами:
Ответы:
470 • 201 94 470
233 • 9014 2 100 262
2084 • 126 262 284
3) Придумайте сами 2—3 примера на умно-; акение.
4) Дополнительное задание.
Вместо (^с) поставьте нужную цифру:
*2* 128
^ \|/ 4U si/
/f4 ^Т4 'Т4
X
5 7
2 2*8 Ж * * Ж
Ф Ф 44 Ф
1 2 8
* * *
3 8 40 128
После выполнения этих заданий можно перейти к обычным тренировочным упражнениям на умножение десятичных дробей, разъясняя отдельно каждый шаг вычислений:
1. Перемножить числа: 241-38; 2,41-38;
2,41-3,8.
2. Выполнить умножение:
а) 33-2 г) 3,3-2 ж) 33-0,2
б) 3,3-0,2 д) 0,33-0,2 з) 3,3-0,02
в) 0,33-0,02 е) 0,2-0,33 и) 2-3,3
3. Ответить на вопросы к предыдущему заданию:
1) Почему в номерах д), е) иг), и) одинаковые результаты?
2) Объясните, как нужно выполнять умножение, если один из множителей является натуральным числом.
3) Можно ли воспользоваться правилом умножения десятичных дробей при умножении натуральных чисел?
4) Как следует поступать, если в произведении получается меньше цифр, чем содержится после запятой в обоих множителях?
4. Зная, что 632-38=24 016, найти значения произведений:
63.2-38 6,32-38
6,32-3,8 63,2-3,8
63.2-0,38 632-0,38
5. Найти произведения:
1.13-0,25 423-6,7
3.14-25,1 0,1245-200
III. Воспитание самоконтроля в игре.
Остановимся на более общих заданиях, которые можно использовать на заключительном уроке изучения определенного раздела в качестве итогового контроля или самоконтроля.
Так, на последнем уроке по теме «Сложение и вычитание десятичных дробей» могут быть предложены следующие задания:
1. Просмотрите еще раз задания, решенные вами по теме «Сложение и вычитание десятичных дробей».
2. Составьте рассказ о сложении и вычитании десятичных дробей. Где надо быть внимательным при выполнении этих действий?
3. Составьте лото на сложение и вычитание десятичных дробей (предварительное задание).
Инструкция. Возьмите основную карту 16X12. Разделите длину на 4 равных отрезка, а ширину — на 3. В итоге получите 12 квад-
32
ратов (4X4). На каждом запишите примеры на сложение и вычитание десятичных дробей. Заготовьте 15 квадратов таких же размеров с ответами, три из них заведомо ложные.
Цель игры: поменяться лото с товарищем по парте. Быстро и правильно заполнить карту.
Очень полезны задания, обучающие приемам контроля, задания, оценивающие контроль и самоконтроль, и задания, «провоцирующие» учащихся на контроль своих или чужих действий. Так, например, следующие упражнения позволяют ученику побыть в роли учителя, а значит, и проконтролировать правильность выполнения заданий:
1. Ниже даны два решения одного и того же примера. Как вы думаете, какое из них принадлежит Знайке, а какое — Незнайке? Какое из них верное?
4620 45 120 ~ 120
15
308
15
38
0
2. Выполните действия: 12,4:0,031 1,836:20,4 6:0,8 9:0,36 7,9:3,16
_4620 45 120 120 0
8,01:9
13,2:2,4
24,16:0,8
0,2091:4,1
Обменяйтесь с товарищем тетрадями и проверьте работы. Найдите ошибки, подчеркивая их, но не исправляя.
Посоветуйте друг другу, как быстрее себя проверить при выполнении деления.
Исправьте сами ошибки, если они есть.
3. Заполните таблицу (см. табл.). Составьте дома подобную таблицу на разные случаи умножения десятичных дробей. Заполните таблицу, составленную товарищем. (Оценку выставляет товарищ.)
Таблица
вать свои силы, видеть, что в теме он пока еще не смог усвоить, над чем ему нужно работать.
Очень полезны в этом отношении различные дидактические игры, поэтому хорошо, если в каждом классе будет создана математическая игротека.
Например, математическая игра «Тяжеловесы» из книги Е. А. Дышинского является необычным конкурсом по решению задач различной трудности. Для этой игры необходимо сделать планшет с кармашками, изображенный на рисунке.
^7
30 кГ
^7
40 кГ
50 кГ
vy
бОкГ
70КГ
С7
80 к Г
90КГ
100 кг
В каждый кармашек кладется набор карточек-заданий: в один кармашек — задачи одинаковой трудности, в разные — различной трудности.
Сложность задач оценивается в килограммах. Поэтому на каждом кармашке пишется «вес содержащихся задач». Выигрывает тот, кто набирает больший «вес». Эта игра ясно показывает учащимся, с какими задачами из пройденной темы они справляются легко, а какие им оказываются еще не по силам.
Итак, все игровые приемы, различные задания, дидактические игры, приведенные в данной статье, могут способствовать усвоению учащимися элементов учебной деятельности, воспитывать у них более заинтересованное и сознательное отношение к процессу обучения.
X
0,6
0,3
1.2
4
0,2
0,08
Чтобы у школьника была должным образом сформирована учебная деятельность, необходимо в каждый этап работы включать самооценку. Ученик должен уметь реально оцени-
2 «Математика в школе» № 6 33
Как составить уравнение, приводящее к посторонним корням
Л. Л. Правдин
(пос. Пижма Горьковской обл.)
Одна из распространенных ошибок учащихся при решении уравнений связана с появлением посторонних корней. Школьники IX—X классов, решая уравнения, как правило, уделяют
основное внимание только технике преобразований при переходе от исходного уравнения к более простому. Решив последнее, ребята торопятся объявить найденные значения переменной корнями исходного уравнения.
Причина такого положения, на наш взгляд, кроется в том, что в учебных пособиях редко встречаются уравнения, приводящие к посторонним корням. Иногда такие уравнения появляются при решении текстовых задач. Но здесь посторонние корни чаще всего отвергаются на основании фабулы задачи (например: рас¬
стояние не может выражаться отрицательным числом, число рабочих не должно быть дробным и т. п.). Само же уравнение, составленное по условию задачи, при решении вопроса о посторонних корнях учащимися не рассматривается.
Школьники должны чаще видеть те случаи, когда, решение о количестве корней уравнения принимается только на основании свойств самого уравнения. Но таких уравнений в учебных пособиях не хватает. Учителю Приходится самому их составлять. Плохо, если он будет действовать наугад: подбор нужных коэффициентов может занять много времени. Лучше сразу обратиться к общему случаю и на нем увидеть нужную закономерность для уравнений каждого вида.
Ниже рассмотрим два из самых распространенных типов дробно-рациональных уравнений и выясним, как необходимо действовать.
Пусть дано уравнение
*—т I * 1 * — л /1ч
х — a, ^ X2 — а2 ^ х+а J ^ '
где а=7^=0, тФ0, 0, п^Ф0.
Задача состоит в том, чтобы зафиксировать связи между параметрами а, /, т, пу при которых уравнение (1) сводится к квадратному, имеющему корни, посторонние для исходного уравнения.
Ясно, что значения х=а и х——а не входят в область определения функции, стоящей в левой части уравнения (1). Умножим обе части уравнения (1) на (х—а)(х-\-а). Тогда оно примет вид (х—т) (*+я)+Н“\(*—п) Lx—а) — = 0, или
2а:2—х\т-\-п) +/+7т—am =0. (2}
Пусть х—а, тогда после подстановки значения а вместо х в уравнение (2) получим t — 2a(m—а). Снова подставим полученное выражение для t в уравнение (2): 2л:2—
X (т+п)+ап+ат—2а2 = 0, или
+ а (" + »_а)„0. (3)
Первым корнем Х\ уравнения (3) является а. Второй корень легко установить из теоремы, обратной теореме Виета. Это х2 — {т+п) :2—а.
Итак: 1) х2 — а, если гс=4а—т\ 2)' х2=—а> если п =—т.
Таким образом, можно рекомендовать следующий способ составления уравнений вида (1), приводящих к посторонним корням:
Выбрать произвольные неравные 0 значения а и т(тфа).
Подсчитать значение t по формуле /=2аХ Х(т—а).
Если требуется, чтобы составленное уравнение имело только один посторонний корень, то ненулевое значение п можно взять любым, кроме 4а—т или —т.
Если предполагается составить уравнение, не имеющее корней, то следует взять любое из двух значений п: п——т или п=4а—т. Тогда в процессе решения уравнения (1) мы получим два посторонних корня.
Приведем примеры.
Выберем произвольно значения а и т: а= 1, т — —3. Тогда t—2-\ (—3—1)=—8. Зададим теперь три значения п: а) п—4-1+3=7, б) п——т=3, в) п—4 (п— любое, кроме 7 и 3). Составим три уравнения типа (1) с тремя наборами параметров а, т,' р и п:
а)
б)
в)
х 3
лг + З
X — 1
х -}- 3
х2—\
+
х~7 х +
Гт°»
1 •* — 3 п
■ 1 + Г+Т-и’ + £±4=0.
х — 1 х2 — 1 1 х -f 1
Остается проверить, что уравнения а) и б) не имеют решений, а уравнение в) имеет одно решение. Действительно, после преобразований и решения квадратного уравнения получаем: в случае а) Xi,2=l, в случае б) *1=1, х2=—1, в случае в) jci = 1, х2 — —4,5.
Конечно, каждая модификация дробно-ра- ционального уравнения требует заново найти соотношения между параметрами а, /, т и п. Но в случае, когда в знаменателе одной из дробей стоит выражение (х2—а2) или (л;—Ь)Х Х(*—#), преобразования начинаются с умножения обеих частей уравнения на (х2—а2) или на (х—Ь) (х—а). Затем следует выразить t и п через а и т.
Рассмотрим уравнение вида
t
■ т
+
+ п = 0.
Умножив его на х2—а2, получим
х2 (1 +п) +х (а—т) +/—am—а2п=0. (5)
Подставим в (5) параметр а вместо х и найдем t—2a{m—а). Заменим в (5) параметр t выражением 2а (т—а). Это позволяет от уравнения (5) перейти к уравнению
1 + л
х + а
т — а (2 + п) 1 +п
0 (п
1),
34
которое имеет корни хг —а и х2
т — а (2 + п) 1 + л
(6)
Итак, если t=2a(m—a), где афт, то уравнение вида (4) имеет по крайней мере один посторонний корень при любом п. Если же нужно составить уравнение, которое имеет два корня, посторонних для исходного уравнения, то следует подумать о дополнительных ограничениях для параметров. Из равенств (6) получаем: хх =а и х2 = а при п= (т—а): :2а—1 (тфа, пф\) \ Х\ = а и х2=—а при любом /г, но при а=т (тогда £=0). При п =—1 имеем один корень х—а.
Предлагаем читателям самим составить конкретные уравнения видов (1) и (4) по указанным соотношениям между параметрами и проверить, приводят ли они к посторонним корням. Рекомендуем также найти соотношения между параметрами в уравнениях
■ т
+
t
(х—а)(х— Ь) х—b
■о,
х— т
+
=о.
х — а ' х'г — а2 х + а
Условие одно: уравнения должны иметь один или два посторонних корня.
Решение задач как средство повторения
В. И. Мишин
(Москва)
В данной заметке представлен цикл задач на вычисление площадей треугольников и четырехугольников, которые можно использовать при повторении. Этот набор может быть дополнен и другими задачами по усмотрению учителя. Аналогичные циклы можно составить и по другим разделам программы.
При решении рассматриваемых задач используются известные из курсз планиметрии факты: 1) медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника; б) треугольники с общим основанием (или равными основаниями, лежащими на одной прямой) и вершинами, лежащими на прямой, параллельной основанию, равновелики; в) площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
1. СМ и СЕ — медианы треугольников, на которые прямоугольник ABCD разбивается его диагональю АС, Вычислить площадь четырехугольника АМСЕ, если стороны прямоугольника равны соответственно а и 6.
ОоЪ
твет: —гг.
2. В треугольнике ABC точка М делит сторону АС в отношении p:q (AM:MC=p:q). Вычислить площадь каждого из треугольников АВМ и ВМС, если площадь треугольника ABC равна Q.
Указание. Для вычисления площади каждого из треугольников АВМ и ВМС необходимо найти предварительно отношения АМ:АС и МС:АС.
Ответ: —, -ffi—.
Р+Я ' Р + я
3. В треугольнике ABC точка М делит сторону АС в отношении p:q (AM:MC=p:q). Площадь треугольника МВС равна Q. Найти площадь треугольника АВМ.
г\ PQ
Ответ:-^-^. ч
4. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Вычислить площади треугольников ABD и BDC, если площадь треугольника ABC равна Q, а стороны АВ и ВС соответственно равны р и q.
Ответ:-^- ТзПЗГТ*' р+я* Р + я
г 5. АС — одна из диагоналей прямоугольника ABCD; AM и CF соответственно биссектрисы треугольников ВАС и ACD. Вычислить площадь четырехугольника AMCF, если длины сторон прямоугольника равны а и Ь.
~ abYЛ- Ь2
Ответ:
b+Ya'+b*
6. В прямоугольнике ABCD проведена диа<* гональ АС, разбивающая его на два треугольника; ВМ и DF — биссектрисы треугольников ABC и ADC. Вычислить площадь четырехугольника BFDM, если длины сторон прямоугольника равны а и Ь.
ъ ab (а — Ь) ,
Ответ: —тзга •
CL и
7. ABCD — прямоугольник и АС одна из его диагоналей, СМ и CF биссектрисы треугольников АСВ и ACD. Вычислить площадь четырехугольника AMCF, если длины сторон прямоугольника равны а и Ъ.
abf^a2 + Ьг ■
Ответ:
аЬУа* + Ь‘
+
2 (а + У а* + Ь* ) 2 (Ь + Уа‘ + Ь*)~
8. В треугольнике ABC на стороне АС взята точка М так, что площади треугольников АВМ и ВМС соответственно равны Qi и Q2. Найти отношение АМ:МС.
Ответ: Qi:Q2.
9. ABCD — трапеция \CB\\DA), диагонали АС и DB которой пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и ВОС соответственно равны Qi и Q2. Вычислить площадь трапеции.
Ответ: (VQi + VQ2)2,
10. Р — произвольная точка на стороне АС треугольника ABC, прямые PD и PF парал-
2*
35
в
В
А27*
р \
г V
* . F ' и
в
Рис. I
Рис. 2
Рис. 3
лельны соответственно сторонам ВС и АВ. Площадь AADP равна Qu а площадь APFC равна Q2. Вычислить площадь ААВС.
Ответ: (KQi+ КО;)2'
[
11. Точка Р — произвольная точка внутри треугольника ABC (рис. 1). Прямые MD, FL, GE, проходящие через точку Р, параллельны соответственно сторонам АС, ВС и АВ треугольника ABC. Площади треугольников MFP, GDP, LPE равны соответственно Qi, Q2, Q3- Вычислить площадь треугольника ABC.
Указание. Заметим, что SA/4bc=Qi + Q2+ 4-Q34-Samp£+Sfbgp+5Pjdcl. Для вычисления площадей параллелограммов рассмотреть подобные треугольники.
Ответ: {VQi + V Q2 + УЩ2.
12. В треугольнике ABC точки D, L и F выбраны на сторонах АВ, ВС и АС так, что AD:AB — BL:BC=CF:AC=l:3. Точки D, L и F соединены соответственно с вершинами треугольника С, А а В. Найти площадь образовавшегося треугольника МРТ, если площадь треугольника ABC равна Q (рис. 2).
Указание. S&mpt=Q—Sabtc—S^amc—
—S&APB- Чтобы вычислить, например SAAMc, надо через точку D провести DDi\\AL и затем рассмотреть отношение полученных отрезков.
Ответ: Q/7.
13. Решить предыдущую задачу при условии, что AD : АВ = BL : ВС = CF: АС = I :k £рнс. 2).
Ответ:
(?(*- 2)»
k2 — k + 1 *
14. Р — произвольная точка внутри равностороннего треугольника ABC; PF±AB, PDX.BC и РЕХЛС (рис. 3). Доказать, что
•5дВР^+5дР0С+5дР£Л =5дрсв4*5д РЕС + *5дЛРР>
Указание. Провести через точку Р Л2С2||ЛС, A\Bi^AB, BiCiWBC и рассмотреть образовавшиеся при этом попарно равные треугольники.
Часть из предложенных задач можно рекомендовать для решения всем учащимся. Задачи 11—14 предназначены тем, кто проявляет повышенный интерес к изучению математики.
О формуле суммы членов геометрической прогрессии
В. Е. Ольхов
(г. Горький)
Вывод формулы суммы п первых членов геометрической прогрессии в учебнике «Алгебра 8» сложен. Предлагаем другой вариант доказательства этой формулы.
Рассмотрим пример с числом зерен пшеницы (см.: «Алгебра 8», с. 77).
S = 1 +2+22+23+...+262+263,
$'= 1±2 • {1_+_2_+2*_-Ь.,+2«).
Сумма в скобках в последнем равенстве меньше S на величину последнего слагаемого 26Э, т. е.
S==1+2_(S—263),
откуда S=264—1.
Также легко можно получить формулу в общем виде для суммы п первых членов геометрической прогрессии:
S=bt+biq+blq2+...+biqn-1, S^bi+qlS-biq*-*),
откуда
с _ Му»—1)
6“ q-1 •
36
Рассмотрим примеры.
1. Найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, в которой b i=3.
q — Y'
s= 3 + 4 + 4- +
откуда
+ "2Г
s=3 + 4-(s-|.),
о л 3 л 3 г- 509
2*~= 5Т2 “ 512 ‘
Отметим (см.: «Алгебра 8», с. 79, пример 1), что применение формулы в общем виде не дает выигрыша в вычислениях. Кроме того, с момента применения формулы учащиеся перестают думать, а только напрягают память, чтобы вспомнить формулу.
2. Найти сумму
S = 1 —2+4—8+16—32+64—128+256—512.
5=1— 2(5+512), 3S=—1023, S=— 341.
3. Найти сумму
1
++»• + 1
2п •
S— 1 + ~2 + -Т +
S=l+4(S_^.), 5 = 2 —
4. Найти сумму 5=1-4-+ 1
_L , , 1
27 Т — Т •
5—1 з . (s (_з)П),
45 = 3 +
1
4*(—3)" ‘
(-3)" ’
5. Найти сумму
S=1 +24-4+8+...4-2". .
S=1+2(S—2"), S=2n+I—1.
Перейдем теперь к понятию суммы бесконечной геометрической прогрессии при |д|<1. Рассмотрим запись
1 ООО 3.3, з .
+
. 0,333... =4 +4 +
3 — — 10 I 100 « 1000
Чтобы глубже понять смысл этой записи, вы¬
числим сумму первых п слагаемых.
3 ■+...+3
С ! L
°я— 10 ^ 10
9S„
1000 • (-V
i_A
10я»
1
10«’
_3
10"
3.10я •'
При неограниченном увеличении п (п- 1 1
разность -g -jjjq станозится сколь угодно
)
т. е. S . Отсюда и
близкой к числу-д-
запись 0,333 ... —
Затем полезно разобрать с учащимися, что происходит с суммами в примерах 3, 4, 5 при неограниченном увеличении п.
Сделав соответствующие преобразования (с. 82—83 учебника) и дав определение суммы бесконечной геометрической прогрессии при |<71 < 1, следует сообщить учащимся, что необязательно использовать формулу
Можно пользоваться приемом, который мы проиллюстрируем на примерах.
6. Найти сумму
*=4-+4+£ + ~- *-4-+4-(т + 4-+~)-
Так как сумма бесконечна, то в скобках снова стоит исходное выражение, т. е.
2 + -|-5,откуда S=2.
5 = - 7.
5 = —
S — —
+ 4 8 + "■ ’
(--г + т—•)• s, s = -4-.
3^3 Найти сумму
с 1.1 i
2 _1
2 2
2
Выполняя такие упражнения, необходимо помнить, что имеет смысл говорить о сумме лишь бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т. е. при |^|<1. Если не учитывать этого, то можно прийти к абсурду.
Например, применяя только рассмотренный прием для вычисления суммы
1+2+4+8+16+....
(см. пример 5), получим
5= 1+2 (1+2+4+8+..J,
S = 1+2S, 5 = — 1.
ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК
По поводу заметки Р. М. Нижегородцева
В связи с заметкой Р. М. Нижегородцева «Об одном доказательстве правила Лопиталя», опубликованной в Ко 2 нашего журнала за этот год, в редакцию поступили заметки Б. Е. Вейца (Мурманск), А. А. Ко- нюшкова (Москва) и М. Р, Куваева (Томск), авторы
37
которых делают ряд замечаний и приводят доказательства более сильных утверждений. Авторы заметок отмечают5 что приведенный Р. М. Нижегородцевым вариант правила Лопиталя является более слабым, чем «классический» вариант
(при соответствующих условиях), и поэтому не позволяет в необходимых случаях осуществить последовательное применение теоремы. Это, безусловно, справедливо, и утверждать, что теорема применима к «весьма широкому классу» функций, по-видимому, не следовало. Однако суть здесь вовсе не в широкой применимости сильной теоремы, а в несложном доказательстве более слабой теоремы, полезной в простых случаях.
Доказательство «классического» варианта теоремы основывается на формуле Коши, выводящейся из формулы Лагранжа, и вполне уместно в курсе пединститута, хотя и может оказаться доступным для учащихся физико-математических школ. Представляется, однако, что и в таких школах вряд ли уместно заниматься вычислением сложных пределов и создавать для этой цели большую, чисто «вузовскую» теорию. Возможно, впрочем, что это дело вкуса.
В то же время доказательство Р. М. Нижегородцева использует, по существу, только определение производной, что весьма полезно с дидактической точки зрения: оперировать производными учащиеся умеют, а определение часто забывается.
Однако Р. М. Нижегородцев напрасно утяжелил доказательство сведением к случаю а=0. Это рассуждение полезно с развивающей точки зрения, но в дан¬
ном случае это представляется лишним, поскольку общее рассуждение проводится не более сложно;
/(*)--/(g)
f (х) х — а
■ ” il?a~Лх)-еТ5Г~°
х — а
иш /(*}-/(а)
„ •r->a _ Г (а)
Г lim Six) — g(a) ~ g' (о) •
•* —а
Авторы заметок критикуют Р. М. Нижегородцева также за неточные комментарии к случаю неопределен-
ОО
ности вида Следует отметить, что Р. М. Нижегородцев, утверждая применимость доказанной теоремы „ !/£(•*)
к дроби ■ |lf (xj, вовсе не имел в виду, что lim 1/£(•*> _ f' (fl)
х-*а 1 jf(x) g' (a)’
Он утверждает лишь, что, рассматривая числитель и знаменатель этой дроби как новые функции, можно применить соответствующий прием.
Укажем, наконец, что редколлегия журнала приняла решение ограничиться обзором присланных заметок, в частности, и по той причине, что и сами заметки, и критикуемая в них публикация вряд ли относятся к наиболее важным вопросам преподавания начал математического анализа в школе, в том числе и в школах с углубленным изучением математики,
Редакция журнала «Математика в школе» предлагает вниманию читателей две статьи китайских методистов. Они могут быть использованы учителем на уроке и во внеклассной работе при углубленном изучении тем «Квадратный трехчлен и его гра* фик», «Площадь треугольника». Рассматриваемые материалы полезны для советской методической общественности, интересующейся исследованиями педагогов КНР в области методики преподавания математики. Они также свидетельствуют о популярности исходящей из СССР информации в этой области.
Применение графической наглядности при изучении квадратного трехчлена
Ли Чанмин (КНР)
Наглядно-графическое истолкование квадратных неравенств играет большую роль в их решении и исследовании. При изучении квадратных уравнений роль наглядно-графических представлений не столь велика. Имеется, однако, полезный класс заданий, связанный с исследованием квадратных уравнений, где удобно использовать именно графические приемы.
В основе таких приемон лежит утверждение: квадратное уравнение ах2+Ьх+с~0 имеет два (здесь и далее действительных) корня в том и только в том случае, когда функция f{x)—ax2+bx+c в некоторой точке х0 имеет знак, противоположный знаку коэффициента a. (>j<)
Приведем задачи на применение этого утверждения. Задача 1. Докажите, что если 4а+26+с<0 и с>0, то уравнение ах2-\-Ьх+с=.0 имеет корни. Решение сразу следует из того, что выражение
4а+26+с представляет собой значение функции f(x) = j=ax2+bx+c в точке я0=2.
Задача 2. Пусть хи х2 — корни уравнения х2+ -}-ах+& = 0, *3, х4 — корни уравнения • jc2-fслс+rf —0. Доказать, что если хотя бы один корень одного из этих уравнений лежит между корнями другого, то уравнение
5 . а + с
х + —2— х + —9— “ 0 имеет корни.
Решение. Рассмотрим функции / (х) —х^ах+Ь, g(x) =zx2+cx+d. Левая часть исследуемого уравнения /(*) + £(*)
равна —2 Пусть, например, *з<*2<*4
(рис, 1,а,б), Тогда /(*2)=0, ё(х2)СО} следовательно,
/ (•*>) -f g Ш ^ л
2
т. е. уравнение, данное в условии, имеет два корня в силу утверждения (>(<).
Введем один полезный термин. Говорят, что число а разделяет числа бис, если точка Mfl лежит между точками М& и Мс. Ясно, что а разделяет b и с тогда, и только тогда, когда (а—Ь) • (а—с)<0.
Задача 3. Найти условие, при выполнении которого корни одного из уравнений x2+ax+b=zQ и х2+ 0 разделяются одним из корней другого. (За-
38
Рис. I
дача заимствована из материалов польских олимпиад, см. [1].)
Решение. Рассмотрим графики функций f (х) == = х2-\-ах-\-Ь и g(x) — x2+cx+d. Они являются конгруэнтными параболами. Легко показать, что они либо совпадают, либо не пересекаются, либо имеют единственную общую точку. Ясно, что в задаче 3 реализуется третий случай (см. рис. 2). Обозначим М(х0, уо) точку пересечения графиков. Легко видеть, что х0 является корнем уравнения f(x0)—g(x0), т. е. алг0+6 = = cx0i-d. Заметим, что точка М лежит в нижней полуплоскости, значит, /(лго)<0. Это и есть искомое условие. Подставляя сюда выражение для х0 и упрощая полученное выражение, можно представить искомое ус- ловие в виде (6— d)2+(a—с) (ad—be) <0.
Рис. 3
Из условий 2) —4) получаем, что ровно одно из чисел s, t (при обозначениях, принятых на рис. 3, б, это t) лежит между Xi и х2, т. е. между корнями уравнений, данных в условии, лежит единственный корень уравнения с==0.
Литература
1. Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. М.: Мир, 1978.
2. Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады, М.: Просвещение, 1986,
Рис. 2
В заключение приведем задачу, предлагавшуюся на XVI Московской олимпиаде по математике для школьников в 1953 г. [2].
Задача 4. Пусть хх — корень уравнения ах2+bx-b +с=0, х2— корень уравнения —ах2+Ьх+с=0. Доказать, что между ними имеется, и при этом единственный, корень уравнения §$ах2-\-Ьх+с—0.
Будем считать, что 0. Кроме того, ЬФ0 (иначе одно из данных уравнений не имело бы корней). Рассмотрим функции f(x) =ах2, g(x) =0,5ах2> l(x) ~Ьх-\-с.. Заметим, что график функции y — g(x) расположен между графиками i/=f(x) и */ = — f(x) (см. рис. 3, а), т. е. он проходит ниже графика функции у~ах2 и выше графика функции у=—ах2. Значит, и график функции y=g(x)+l(x) расположен между графиками у=* = f(x)+l(x) и г/ = — /'(*)+/(*) (рис. 3,6),
Проанализируем рис. 3, б:
1) уравнение 0t5ax2-\-bx + c—Q имеет корни, так как график функции tj = g(x)+l{x) пересекается с осью абсцисс;
2) пусть s, t (s<0—корни этого уравнения, тогда
3) пусть х0 — абсцисса точки пересечения прямой у=1(х) с осью абсцисс, тогда одно из чисел s, t лежит между Хо и хх\
4) л;0 лежит между хх и х2<
Интересные метрические соотношения в треугольнике
Чжоу Джункуй, Ци Цзансинь
(КНР)
Пусть а, b, с — стороны треугольника, S — его площадь. Рассмотрим несколько задач иа неравенства, связывающие величины S и а% 6, с.
Задача 1, Если а — наибольшая из сторон треугольника, то S<a2.
Решение сразу следует из того факта, что квадрат со стороной а содержит треугольник, описанный в условии (рис. 1 у а).
а) 6)
Рис. I
Задача 2. Если а=.шах {а, А с), то
Решение очевидно из рис. 1,6.
Обратимся теперь к неравенству, открытому в 1938 Финслером и Хадвигером:
4-S- У'З^а3+Ь2±с2— {а—Ь)2-^(b~r-c)2—{c-a)2, (1)
39
в № 3 журнала «Математика в школе» за 1965 г. дано доказательство этого неравенства и следствий из него. Мы предлагаем другое доказательство, которое, по нашему мнению, более доступно учащимся. Оно представляет дополнительный дидактический интерес, так как использует свойство тангенсов углов треугольника:
tg (А/2) -tg (В/2)+tg (В/2) -tg (С/2) -К
+tg (C/2)-tg (Л/2)==1. (2)
Из равенства (2) следует, что
tg2 (<4/2)+tg2 (B/2)+tg2 (С/2) 5=1
и тогда tg (4/2)+tg (В/2) +tg (С/2) ^ / 3. Имеем теперь:
(аг+62+с2— (а—Ь)2— (а—с)2— (Ь—с)2) /4S —.
= (2ab+2bc+2ac—а3—62—c*)/4S =
_= (2ab+2bc+2ac—2ab cos С—26с cos А—2ас cos B)JiS 2ab (1 —cos С) 26c (1 — cos A) t
4S + 4S *
2дс (1 — cos B) 2ab (1 — cos C) .
+ 4S — 2ab sin С
26c (1 — cos Л) , 2cc(l — cos B)
+ 26c sin Л + 2ac sin В ~
- ^ И/2) + tg(B/2) + tg(C/2) > /гг.
Неравенство (1) доказано.
Заметим, что из (1) следует неравенство
4S/3<а2 + 6г + сг,
предлагавшееся на III Международной олимпиаде по математике для школьников (см.: Морозова Е. А., Петраков И. С. Международные математические олимпиады. М.: Просвещение, 1971). Это неравенство сравнительно просто можно доказать и непосредственно. Соответствующая задача — хорошее упражнение для старшеклассников.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Математический час в IV классе
В. Н. Руденко, С. Н. Маркова
(Москва)
В формировании интереса учащихся к изучению математики большое значение имеет четко организованная внеклассная работа. Известно много ее интересных форм — от кружков до научных обществ. Однако отбор содержания внеклассных занятий и их организация вызывают немалые трудности у учителей, особенно у начинающих. В данной статье обобщен опыт проведения математических часов в московской школе № 425. Научно-методическое направление этих часов — развитие понятия числа и вычислительных навыков.
В качестве примера рассмотрим одно из таких мероприятий по теме «Десятичные дроби» (IV класс). На этапе подготовки к этому мероприятию учитель предлагает ученикам решить по 10 задач, тексты которых вывешены в кабинете. Задачи подбираются учителем так, чтобы в ходе их решения закрепить материал, трудно усваиваемый учащимися. Проверку решений ведут консультанты. За каждую задачу отвечает свой консультант. Сначала они объясняют решение задачи учителю, затем «принимают» решения у других учеников. Остальные 9 задач консультанты сдают другим консультантам, как все остальные учащиеся.
Решение считается принятым, если консультант оце¬
нивает его баллом 5. Учитель по сведениям консультанта выдает решившим задачу номерок. Номерки — это квадраты, нарезанные из бумаги. На каждом из них написано одно из натуральных чисел — от 1 до 360 и более (по количеству возможного их расхода). Например/если 10 задач решит каждый из 36 учеников, то таких номерков понадобится 360. Выбор номерков при выдаче их учащимся случаен (какой попадется под руку). Эти номерки станут затем лотерейными билетами, которые могут оказаться выигрышными или невыигрышными при розыгрыше номерков на заключительной части математического часа.
Чтобы увлечь решением задач большее число уча* щихся, подготовка ведется в условиях соревнования команд. В четвертых классах такими командами являются пионерские звенья, а командирами команд — звеньевые. Дух соревнования постоянно поддерживается учителем прежде всего у командиров команд. Наблюдая за ходом решения задач, он всячески поощряет успехи командиров и других ребят как словом, так и оценкой, выставляемой в журнал. В журнал выставляется одна пятерка за три решенные задачи.
Ход подготовки отражается в таблице, вывешенной на стене класса (табл. 1). Ее заполняют командиры на основании сведений консультантов.
Подготовка к математическому часу завершается контрольной работой, составленной из этих же 10 задач (по 3 задачи в каждом варианте) на 2—3 варианта. Она проводится накануне математического часа. Так учитель узнает, как ребята усвоили способы решений задач. Контрольную работу учитель проверяет вместе с консультантами. Решение каждой задачи оценивается по шестибалльной системе (0, 1, 2, 3, 4, 5); наибольшее число баллов, которое может получить ученик, 15, наименьшее — 0.
Математический час проводится на двух занятиях кружка. Перед началом учитель объявляет тему-девиз («Знания имей отличные по теме „Дроби десятичные44») и обращается к учащимся с небольшим вступительным сообщением: «Ребята! Вы знаете, что уже в глубокой древности приходилось считать. В результате счета предметов появились числа 1, 2, 3 и т. д.-—натуральные числа. Измерение расстояний, деление предмета на равные части привели людей к дробным числам. Сначала люди пользовались простыми дробями 1/2, 1/4, 1/3 (половина, четверть, треть), а затем и более сложными. Из множества дробных чисел они выделили те, которые имеют знаменатели 10, 100, 1000, ... т. е. записываются единицей с последующими нулями. Их назвали десятичными.
Вы уже знаете, что десятичные дроби записываются
2
не так, как обыкновенные. Например: 3 = 3,02.
Почему же десятичные дроби мы изучаем специально? Чем заслужили они такое большое внимание?
Попробуем ответить на эти вопросы.
Вспомним, что в записи любого натурального числа значение цифры зависит от занимаемого ею места, от ее позиции. Вот натуральное число 2072. Цифра 2 в первом разряде означает 2 единицы, а цифра 2 в четвертом — дзе тысячи единиц. Такую систему записи называют позиционной.
Если перемещаться по разрядам слева направо, то в записи чисел, которой мы пользуемся, единица каждого следующего разряда меньше в 10 раз единицы предыдущего. По этому же принципу записываются и десятичные дроби. Например, в дроби 2072,38 единица первого разряда после запятой в 10 раз меньше единицы, взятой из разряда единиц, и т. д.
Сейчас нам кажется: как же все это просто! Но к этому способу записи десятичных дробей люди шли очень долго. Об этом подготовил особый доклад один из учащихся класса (I ученик)».
40
Таблица 1
№
п/я
Фамилии
учащихся
Консультант задачи №
Номера задач
Общее
число
баллов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
I команда Лазарев Д., командир
N2 1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
50
2
Захаров С.
№ 8
5
5
5
5
5
5
5
5
5
45
3
Орлов О.
5
5
5
5
5
5
30
I ученик: «Решать задачу облегчения вычислений ученые начали еще с древних времен. Но только в XV в. самаркандский астроном ал-Каши в трактате «Ключ к арифметике» разработал полную теорию десятичных дробей и подробно изложил правила действий с ними. Труды ал-Каши долго не были известны европейским ученым. А потребность в упрощении вычислений с десятичными дробями возрастала все больше и больше. Это было^ связано с развитием техники, производства, мореплавания, торговли. Нужно было быстро и точно вычислять: складывать, умножать, вычитать и делить десятичные дроби, а способ их записи в виде обыкновенных дробей не давал возможности это делать.
Прошло полтора века после открытий ал-Каши, и вот талантливый фламандский инженер и ученый Симон Стевин в своей книге «Десятая» (1585) описал арифметические действия с десятичными дробями. Он же ввел для них символику, которая приближалась к современному виду. Популяризация десятичных дробей является огромной заслугой Стевина перед наукой. Обычно он признается и их изобретателем».
Учитель: «Посмотрим, почему же употребление десятичных дробей в современной форме записи значительно облегчило вычислительную работу».
К доске выходит II ученик и начинает свой рассказ: «Современный способ записи десятичных дробей одинаков со способом записи натуральных чисел. Правила действий тоже мало отличаются от правил действий с натуральными числами. Дело только в запятой». (Ученик демонстрирует способ сложения двух десятичных дробей.)
Учитель: «Умножение десятичных дробей можно
свести к умножению натуральных чисел. Здесь надо только уметь пересчитывать десятичные знаки во множителях и правильно ставить запятую в произведении». (Об умножении десятичных дробей рассказывает III ученик.)
Учитель: «Большое удобство представляет позицион** ная запись десятичных дробей для умножения и деления их на 10, 100, 1000 и т. д. Вы знаете, что при умножении на эти числа надо в десятичной дроби перенести запятую соответственно вправо на 1, 2, Зит.д. цифры, а при делении — влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры. Посмотрим, как вы научились узнавать, во сколько раз уменьшилось или увеличилось число от перенесения запятой».
Инсценировка. Ученики примерно одинакового роста надевают на головы бумажные колпаки с написанными на них цифрами (рис. 1). У того ученика, который ниже всех ростом, на колпаке знак запятой. «Запятая» перебегает на различные места в ряду учеников-цифр, а сидящие в классе устанавливают, во сколько раз увеличилось или уменьшилось число.
Учитель: «Деление десятичных дробей также не сложно. Оно сводится к делению на натуральное число. Сделать это как раз и помогает умение умножать на 10,
©
100, 1000 и т. д.». (О правиле деления рассказывает IV ученик.)
Учитель: «Десятичные дроби, записанные в позиционной системе, очень удобны в расчетах. Во-первых, величины, выраженные ими, можно записать с любой степенью точности и, во-вторых, эти величины легко сравнивать. Например: что больше 3/8 или 2/5? В такой форме записи трудно сравнить эти числа, а если их выразить десятичными дробями, то это сделать лег« ко: 0,375 <0,4.
Сравнение чисел очень важная операция. В медици* не, например, известно, что «великан» среди микробов имеет размер 0,1 мм, а наибольший мелкий вирус имеет размер 16 миллимикрон, т. е. (0,1 : 1000: 1000) -16= ,= 0,0000016 (мм). Сравнивая размеры, медики определяют, чем вызвано заболевание (микробом или вирусом?), и узнают, какая болезнь».
Далее учитель говорит о том, как важна точность в расчетах. Его слова подкрепляет один из учащихся строками из стихотворения «Три десятых» Вл, Лиф- шица:
Это кто из портфеля швыряет в досаде Ненавистный задачник, пенал и тетради?
И сует свой дневник, не краснея при этом,^
Под дубовый буфет, чтоб лежал под буфетом?..
Познакомьтесь, пожалуйста, Костя Жигалин,
Жертва вечных придирок,— он снова провален.
И шипит, на растрепанный глядя задачник:
— Просто мне не везет!.. Просто я неудачник!.,
В чем причина обиды его и досады?
Что ответ не сошелся лишь на три десятых!
Это сущий пустяк, и к нему, безусловно,
Придирается строгая Марья Петровна.
Три десятых... Скажи про такую ошибку,
И, пожалуй, на лицах увидишь улыбку.
Три десятых... И все же об этой ошибке Я прошу вас послушать меня без улыбки.
Если б, строя ваш дом, тот, в котором живете, Архитектор немного ошибся в расчете —
Что б случилось, ты знаешь ли, Костя Жигалин? Этот дом превратился бы в груду развалин!
41
Ты вступаешь на мост, он надежен и прочен»
А не будь инженер в чертежах своих точен;
Ты бы, Костя, свалившись в холодную реку,
Не сказал бы спасибо тому человеку!
Вот турбина, в ней вал токарями расточен.
Если б токарь в работе не очень был точен,
Совершилось бы, Костя, большое несчастье.
Разнесло бы турбину на мелкие части.
Три десятых — и стены возводятся косо!
Три десятых — и рухнут вагоны с откоса!
Ошибись только на три десятых аптека —
Станет ядом лекарство, убьет человека...
Ты подумай об этом, мой друг, хладнокровно
И скажи — не права ль была Марья Петровна?
Если честно подумаешь, Костя, об этом,
То недолго лежать дневнику под буфетом!
Заключительная часть математического часа состоит из различных соревнований и игр.
Соревнование «Думай и соображай».
Задачи предлагаются всему классу. Отвечает тот, кто первый поднял руку. За правильное решение — 5 баллов. Эти баллы выставляют в таблицу той коман- де, в которой состоит ученик, решивший задачу.
Возможны задачи следующего содержания;
1. Какой знак можно поставить между числами 7 и 8, чтобы получившееся число было больше 7 и меньше 8?
2. Между числами 5,2 и 5,3 поставьте число, большее 5,2 и меньшее 5,3 (ответ: например, 5,27).
3. Даны числа: 0,3; 7,7; 0,125. Поставьте между ними такие знаки, чтобы в результате выполнения указанных ими действий получилась 1 (ответ: (0,3+7,7)Х 1X0,125).
4. Найдите устно сумму 20 чисел 0,1+0,2+0,3+...+
0-1,8+1,9+2 (ответ: (0,1 +2). 10=21).
5. Даны две суммы: 2,184-4,36+6,53+8,77 и 7,82+ +5,64+3,47+1,23. Найдите устно сумму этих сумм (ответ: (2,18+7,82).4=40).
6. Найдите устно значение выражения:
(13—2,46:3,54)- (о,5— (ответ: 0).
Игра «Заполни клетку».
/ Учащиеся получают листочки, текст которых приведен в табл. 2,
Таблиц а 2
Вариант 1. Фамилия...
Вариант И. Фамилия...
1,4+ 0,6 - □
2,6+ 0,4 -□
□ — 1,7 - □
□ —2,8 = □
□ • 1,2 - □
□ • 1,8 - □
□ : 9 = □
□ :12 ■= □
□ + 0,96 - о
□ + 0,97 — □
0—0,2 - □
□ —0,1 - □
□ • 0,5 - □
□ • 0,5 - □
□ : 0,02 = □
□ : 0.15 — □
Правило заполнения клеток состоит в том, что ответ предыдущего действия ставится в первую клетку следующего. Число баллов команде начисляется по числу правильных ответов в последней клетке, В первом варианте ответ 20. а во втором — 3.
Игра «Сравни дроби».
На доске прикреплены три таблицы (по одной для каждой команды), на которых изображены квадраты, разбитые на 9 одинаковых клеток. В каждой клетке
написана десятичная дробь. Дроби во всех таблицах одинаковы, но расположены по-разному.
Учащимся предлагают в течение одной минуты рассмотреть числа в таблице, мысленно располагая их в порядке возрастания. Затем учащиеся в командах выстраиваются друг за другом. По знаку ребята, стоящие в команде первыми, бегут одновременно к таблицам и указывают на них самое маленькое число. Каждый следующий игрок указывает большее число. Он выбегает тогда, когда предыдущий возвратился и встал в конец строя.
Начисление баллов идет по двум критериям: кто быстрее?, кто без ошибок? В этом случае учителю помогают наблюдатели (пионервожатые, старшеклассники и др.). Обыкновенно игра очень увлекает учащихся, они хотят ее повторить. Можно провести игру еще раз, предлагая расположить числа в порядке убывания.
Игра вызывает еще больший интерес, если бегать будет каждая команда по очереди, а остальные в это время будут наблюдать и контролировать. В этом случае таблицы должны отличаться друг от друга не только порядком расположения чисел, но и самими числами. В содержании таблиц следует обеспечить одинаковую трудность (см., например, табл. 3).
Таблица 3
0,3
2,06
5,4
1,48
0,08
0,29
5,39
2,1
1,5
Итог соревнования. Учитель объявляет командное а личное первенство, награждает победителей.
В заключении математического часа — «Розыгрыш номерков». На доске прикреплены 3 листочка размером в лист тетради, на каждом из которых написано одно из неравенств, например таких:
х<1,2; 1,2 < лс < 2,4; х^2,4.
Отдельным учащимся предлагается с расстояния от задней стенки комнаты до доски бросить мяч так, чтобы он попал в один из листков. Эю и определит выигрышные номера. Допустим, мяч попал в листок 1,2<х<2,4. Учащиеся должны разделить числа на имеющихся у них номерках на 100 и выбрать те значения х, которые больше 1,2 и меньше 2,4.
В качестве выигрыша могут быть чертежные инструменты, недорогие, но необходимые учащимся принадлежности, наконец, конфеты, яблоки и т. д.
Предложенный материал для математического часа можно использовать при проведении дней математики и математических вечеров (по параллелям или по группе классов).
Литература
Минковский В. Л. За страницами учебника математики. М.: Просвещение. 1966.
Шустеф Ф. М. Материал для внеклассной работы по математике. Минск: Народная асвета, 1968.
Чистяков В. Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. Минск: Народная асвета, 1969.
Малыгин /С. А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе, М,: Учпедгиз, 1963,
42
Инверсия в постановке математических задач
В. Г. Чваноо
(Москва)
Нет дел важнее ерунды,
Нет линии прямей кольца,
Нет золота ценней руды...
Ф. Вийон. Баллада истин наизнанку
В настоящей статье мы познакомим читателей с инверсией — одним из эффективных приемов Добывания новых знаний, имеющихся в творческом арсенале исследователя. Необычайная яркость и неожиданность результатов, полученных с его помощью, снискали этому методу самое широкое использование. Наряду с наукой к нему с успехом обращались музыка и поэзия. Его границы простираются от блестящих острот до фундаментальных открытий.
Дословный перевод слова «инверсия» означает «перестановка», «превращение». В математике этот термин имеет несколько значений. Например, в геометрии инверсией называют специфическое преобразование, связанное с окружностью. В комбинаторике под инверсией понимают любое изменение нормального (например, алфавитного) порядка двух элементов. Мы же этим термином будем обозначать своеобразный прием постановки но'вых задач. Его практическая реализация чрезвычайно проста. Она заключается в замене одного или нескольких элементарных утверждений формулировки исходной задачи в некотором смысле противоположными. При этом наиболее простым и самым распространенным является случай (в дальнейшем мы его рассмотрим подробно), когда условие и требование задачи меняются местами.
Большинство задач, полученных с помощью инверсии, отличают необыкновенная красота и своеобразие. Особую привлекательность им придают почти всегда присутствующие в них парадоксальные интонации. Наглядным примером этому служит следующая задача.
Задача 1. Некая просвещенная и честолюбивая принцесса, сознавая, что династического брака не избежать, нашла достойный выход из положения, предложив своим поклонникам пройти испытание. Незаурядность ее натуры осветила этот испытанный способ выбора суженого особой оригинальностью. Судите сами: претендентам на свою руку принцесса объявила, что выйдет замуж за того из них, чья лошадь последней прискачет к тому дубу, что виднеется из окон замка.
Столь, казалось бы, нелепое задание поначалу обескуражило нетерпеливых женихов. И не мудрено: испытание грозило стать бесконечным. Но замешательство длилось недолго. Среди соперников, к их чести, нашелся не менее одаренный юноша, предложивший блестящую идею... Коротко посовещавшись, они вскочили на коней и во весь опор поскакали к заветному дереву. Спустя минуту судьба принцессы была решена. Находчивый юноша оказался и самым удачливым. В чем состояло его предложение?
Решение. Инверсия в этой задаче встречается дважды. В начале ею пользуется принцесса, меняя привычное требование «достичь цели первым» противоположным «прийти к пели последним» и делая тем самым, как ей казалось, эту цель недостижимой. Но, адресуя действие не всаднику, а его лошади, принцесса допускает логическую небрежность, которую умело использует ее будущий избранник. Он предлагает соперникам остроумное и справедливое для всех решение: поменяться конями. Изменившаяся ситуация сразу же меняет и стратегию конкурентов, приближая ее к традиционной: находясь на чужом коне, каждый
всадник заинтересован гнать его что есть мочи, дабы оставить позади свою собственную лошадь.
Приведенный пример наглядно показывает, как, помогая исследователю проникнуть в двойственную суть вещей, в мир «истин наизнанку», инверсия в то же время требует от него отказа от сложившихся представлений, готовности стать на иную точку зрения, умения видеть явление в единстве своих противоречий. Иными словами, искусство «инверсного» мышления предполагает определенные навыки. Их недостаток, как показывает школьная практика, приводит к тому, что решение даже несложных задач, формулировки которых содержат утверждения в инверсной (например, с отрицательной частицей «не») форме, вызывает у учащихся определенные трудности. Примером этому может служить известная школьная задача.
Задача 2. Тане не хватило 13 коп., а Гале — 2 коп., чтобы купить по порции мороженого. Когда они сложили свои деньги, их не хватило на покупку даже одной порции. Сколько стоит порция мороженого?
Ее решение, не встречая трудностей у одних учащихся, для других может стать камнем преткновения.
Как же приблизиться, к искусству инверсии, овладеть ее навыками? Простым и доступным средством для этого служат упражнения на постановку обратных задач. Напомним, что обратной к данной называют задачу, условие которой является требованием, а требование— условием исходной (прямой) задачи. Когда обе (прямая и обратная к ней) задачи имеют смысл, их называют взаимно обратными. Например, задачи (3) и (4) — взаимно обратные.
Задача 3. Докажите, что во всяком неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
Задача 4. Докажите, что если в некотором треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины, то данный треугольник — неравнобедренный.
Нехитрый прием постановки обратной задачи, принося радость самостоятельного творчества, в то же время н.е требует особых усилий. Для его реализации формулировку исходной задачи достаточно разбить на условие и требование и затем аккуратно поменять их местами.
Задание I. Сформулируйте задачи, обратные зада* чам (5), (6). Проверьте, имеют- ли они смысл.
Задача 5. Докажите, что разносторонний треугольник нельзя разбить на два конгруэнтных треугольника.
Задача 6. Даны 4 точки, не принадлежащие одной плоскости. Докажите, что никакие 3 из них не принадлежат одной прямой.
В плену сложившихся представлений иногда могут оказаться не только школьники, но и составители задач, оставляя мотивы инверсии в стороне от своего творчества. Например, не случайно в популярной ли- тературе большую известность приобрели задачи о «магической» нумерации элементов (вершин, ребер, граней) правильных многогранников, с определенной группировкой их номеров в попарно равные суммы. Нам понадобится одна из них.
Задача 7. Можно ли занумеровать грани куба числами i, 2, ..., 6 так, чтобы суммы номеров граней, соответствующих каждой вершине, были равны?
В то же время менее известны задачи, в которых бы ставился вопрос о существовании аналогичной нумерации элементов многогранников с группировкой их номеров в попарно различные суммы. Сформулировать же такую задачу с помощью инверсии не составляет труда, например следующим образом.
Задача 8. Сколькими различными1 способами мож*
1 Две нумерации вершин считают различными, если их нельзя совместить в пространстве вращением октаэд* ра вокруг его осей,
43
но занумеровать вершины октаэдра (грани куба) числами 1, 2, 6 так, чтобы суммы номеров вершин
(граней), соответствующих каждой грани (вершине), образовали 8 последовательных натуральных чисел?
Задача 8 дается в двух эквивалентных формулировках, использующих двойственность куба и октаэдра. В основе ее постановки лежит идея замены требования к суммам Си ..., С8 «быть равными» (задача 7), противоположным — «быть попарно различными». Но преобразованное таким образом условие оказывается, чересчур широким. Этот недостаток легко устраня* ется выдвижением дополнительного требования к последовательности искомых сумм.
Ответ к задаче 8. Решение задачи удобнее искать через октаэдр. Всего существует два искомых способа нумерации вершин октаэдра (граней куба). Они изображены на рис. 1. Эти нумерации двойственны. Они переводятся одна в другую следующей подстановкой:
/ 1, 2, 3, 4, 5t б \
[ 6, 5, 4, 3, 2, 1 у
Решение. Всего из чисел 1, 2, 6 можно по¬
лучить 10 неповторяющихся сумм по три неповторяющихся числа в каждой Из них две наименьшие (6=14*2+3), (7 = 1+2+4) и две наибольшие (14 = = 3+5+6), (15=4+5+6) имеют единственное представление. Если искомая нумерация возможна, то в ней участвует 8 из указанных 10 сумм, причем
С1+С2+.. .+ С8—(1+2+.. .+6)4=84,! (1)
поскольку каждая вершина считается 4 раза.
Кроме того, суммы номеров вершин каждых двух несмежных (не имеющих общих ребер и вершин) граней (они попарно параллельны) постоянны и равны (1+2+.:.+6)=21, т. е.:
С’1 + ^2==: ^3+^4 ===: ^5+^6 ==: С?4" £^8 === 21. (2)
Исходя из свойств (1) и (2) и единственности представления сумм 6, 7, 14, 15, нетрудно построить две возможные нумерации, изображенные на рис. 1.
Более трудной в решении оказывается аналогичная задача о нумерации вершин икосаэдра.
Задача 9. Можно ли занумеровать вершины икосаэдра числами 1, 2, .. м 12 так, чтобы суммы номеров вершин, соответствующих каждой грани, образовали отрезок натурального ряда?
Одно из ее решений изображено на рис. 2. О существовании других решений автору неизвестно.
Задание II. Сформулируйте и решите пары задач о нумерации ребер или вершин куба с группировкой их номеров в попарно равные и попарно различные суммы, аналогичные задачагл (7), (8).
Для постановки новой задачи вовсе не обязатель* но условие и требование ее прототипа менять целиком. Иногда того же эффекта можно достичь инверсией единственного утверждения. Именно так и была по*
Рис. 2
ставлена задача 8. Этот прием имеет некоторые особенности, на которых мы остановимся подробнее. Во-первых, он требует от исследователя умения делить условие на элементарные утверждения, что, впрочем, является естественной операцией предварительного анализа задачи. Далее стоит проблема выбора элементарного утверждения, инверсия которого обещает быть наиболее плодотворной. Именно в нем заключены наибольший творческий элемент и залог предстоящего успеха исследователя. Но здесь уже не обойтись без помощи интуиции в сочетании с разумным перебором.
Наконец, как мы уже убедились, формулировка новой задачи может потребовать дополнительной корректировки, с учетом смысловых и эстетических критериев.
В задаче 1 мы познакомили читателей с любопытным случаем инверсии, когда ее двукратное применение способно восстановить исходную ситуацию. В заключение статьи приведем еще один такой'пример. Он касается известной комбинаторной задачи о маршруте коня.
Задача 10. Можно ли обойти конем все поля шахматной доски, посетив каоюдое из них один раз?
Используя инверсию, ее можно сформулировать по- иному.
Задача 11. Все, за исключением одного, поля шахматной доски заняты конями. Можно ли последовательно каждым конем сделать ровно по одному ходу?
Нетрудно заметить, что свободным в задаче 10 полям доски соответствуют поля, занятые в задаче 11 фигурами, а маршруту коня — перемещение свободной клетки. В таких случаях говорят, что задачи эквивалентны. Они имеют один и тот же смысл, одно и то же решение.
Разумеется, не каждое инверсное преобразование условий обязательно завершается постановкой новой задачи. Чаше всего такое экспериментирование с исходными данными помогает исследователю глубже понять решаемую задачу, найти ее место в кругу родственных проблем, связанных общей идеей, создавая тем самым предпосылки для творческого прорыва к расширению знаний.
44
Применение одного свойства функции к доказательству некоторых неравенств
К. А. Мнацакаиян, Н. М. Седракян (Ереван)
Известно, что если функция f определена и монотонна на отрезке [а, Ь] или имеет внутри отрезка один экстремум, то в случае минимума наибольшее ее значение достигается в концах отрезка (свойство Л), а в случае максимума наименьшее значение достигается в концах отрезка (свойство В),
Это очевидное свойство функции можно применять к доказательству некоторых нестандартных неравенств.
Пример 1. Пусть Х\, хъ х3 — действительные числа и i=l; 2; 3. Доказать
Х1-\-Х2+Х3~Х1Х2—Х2Хз—Х3Х1 ^ 1.
Доказательство. Рассмотрим функцию
f(x) — х+х2+хг—хх2—**з=
=х(1—х2—х$) 4**24**з—*2*з> *£[0; 1]«
Это монотонная функция, поэтому наибольшее значение она принимает в одном из концов отрезка [0; 1],
/(0) =*2+*3—*2*3= 1 + (1—*з) (*2—1) ^ 1;
/ (1) = 1 — хг—Х2+Х2+Хъ—*2*3 = 1 —*2*3 ^ 1.
Следовательно, f (*) ^ 1 и поэтому
[ (*!) = *i + *24-*3—*1*2—*2*3—*3* 1 ^ 1. '
Пример 2. Доказать неравенство:
а24-62+с2^а2&+62с+с2а-f I,
где числа а, Ь, с принадлежат отрезку [0; 1].
Доказательство. Рассмотрим на отрезке [0; 1 ] функцию
f{x) =ХЦ1—Ь)~ d*x+b*+c2—ЪЧ— 1;
f'(x) =2(1—b)x—с2.
Если ЬФ1, то /'(*) возрастает, следовательно, f(x) обладает свойством А и принимает наибольшее значение в концах отрезка [0; 1],
f (0) =b2+c2—b2c—l = (1— С) (&2—(1-f с)) ^о,
{(1) = 1 —6—с24-62+с2—62с— 1 =6 (b— 1) ~62с< 0.
Таким образом, f(*)^0 на отрезке [0; I], и поэто- му f(a)< 0.
В случае b — 1 доказательство аналогично.
Пр и м е р 3. Доказать, что если неравенство |a*2+6*-fc|
верно для всех х из [—1; I], то для этих значений х справедливо неравенство
\сх2—Ьх+а\^2. Доказательство. Имеем:
| с*2—6*4- а | ^ | с*2—с | +1 с—6*4-а | =
= I с I (1 —*2) 4-1 с—bx+а | < | с (4-1 с—Ьх+а |, *£ [0; 1 ]«
Если *==0, то из \ахр+Ьх+с\ ^1 следует Таким образом,
\cx2-~bx+a\i^:l + ]c--bx+a\.
Остается заметить, что функция f(*) = |с—6*4-а| принимает максимальное значение в одном из концов отрезка [—1, 1], следовательно,
f(*)<max (f(— l); f(l))~
==max (\c+b+a\\ |с—64-a|)^ 1.
Значит,
| с*2—6*4-я | ^ 1 +1 = 2,
Пример 4 * Доказать, что если a, b, с принимают
значения из [0; 1], то
а Ь с
+ (1 —я) (1 — Ь) (1 — с) <[ К
Доказательство. Рассмотрим на отрезке [0; I] функцию
х b с
/(•*) = + c-f-jc4-l 4- ^ 4-1
4- (1 —л:) (1 — (1
Найдем ее производную. Она имеет вид
X! t ^ ^ ч
fix) = d — (с + х + 1)а — + 1), >’
где d=const.
Очевидно, что /'(*)—возрастающая функция на отрезке [0; 1] и поэтому /(*) обладает свойством А, т. е. наибольшее значение принимает или в точке 0, или в точке 1.
Фактически мы доказали, что f(a) принимает наибольшее значение или в точке 0, или в точке 1. Если теперь зафиксировать значение а в 0 или 1, то выражение в левой части неравенства как функция от b примет наибольшее значение при 6=0 или 6=1. Зафиксировав значения а и b в концах промежутка [0; 1], получим, что интересующее нас выражение примет наибольшее значение при с=0 или с= 1.
Так как исследуемое выражение симметрично относительно а, b и с, то остается рассмотреть четыре набора (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1) и (1; 1; 1) их значений, при которых выполняется равенство.
Неравенство доказано.
Далее приводим для самостоятельной работы задачи, которые могут быть решены указанным способом.
1*. Если числа а, bt с, d, е принадлежат отрезку [р. я\. где 0</?<<?, то
+4-)
/1 1 1 1 (о -f b 4- c+tf + -*■ Ь "** с
2 (неравенство Чебышева). Пусть а^а2^.. .г^ап» bi^b2^-. .^bn и положительные числа пг%
п
= 1, 2, п) таковы, что 2 mi = 1, тогда
/=1
/ п \ /я \ я
] * ( 2mibi
i=i
\*=! / \/=1
3. Числа *ь *2. •••» */» принадлежат отрезку [а, Ъ], где Qcacb. Докажите неравенство:
(*»
/11 1 \
4-■*, 4- + *п) ^ 4- *7 4- ... + —J <
<
■ <g+jg-w,
4 ab
4. Пусть 0^*/^ 1 действительные числа. Докажи- те, что величина
*|4-*2+. • *4"*я—|4"*«"~"*i*2“~‘*2*3'~~* • .—Хп—\Хп—ХпХ\ не превосходит a) 1 при я=3, б) 2 при п = 4, в) [п/2] при л^З.
* Неравенства, отмеченные «звездочкой», предлагались на национальных математических олимпиадах
в США,
45
5. Докажите, что для любых чисел хх, хъ хп, принадлежащих отрезку [0; 1], выполнено неравенство
(x^xi + • • • + + х~2 + ... + )•
Полезные свойства элементов тетраэдра
И. А. Кушнир (Киев)
Рассмотрим некоторые свойства высот и ребер тетраэдра, которые часто применяются при решении задач.
Свойство 1. Если одна вершина тетраэдра про- ектируется в ортоцентр противоположной грани, то остальные вершины проектируются в ортоцентры соответственных противоположных граней.
Доказательство. Пусть в тетраэдре DABC вершина D проектируется в ортоцентр Я4 грани ABC (рис. 1). Проведем плоскость через ребро AD и высоту DHa. Получим треугольник AD.Au стороны которого перпендикулярны ребру ВС. Проведем высоту тетраэдра АНХ. Поскольку плоскости ADA{ и DBC перпендикулярны, то эта высота принадлежит плоскости ADAXt Соединим точки С и Я, и продолжим отрезок СН| до пересечения с ребром BD в точке N. Покажем, что точка Н\ — ортоцентр треугольника DCB. Действительно, проведем в грани ABC высоту ВВХ. Из теоремы о трех перпендикулярах, примененной к перпендикуляру ОЯ4, наклонной DB\ ее проекции ВВХ и прямой АС, следует, что прямые DB и АС перпендикулярны. Вновь применим эту теорему к перпендикуляру АНи наклонной АС, ее проекции CN и прямой DB. Мы видим,. что прямые DB и CN перпендикулярны. Итак, DAX±.CB и CNJ-BD, значит, точка Нх — ортоцентр треугольника DBC.
Свойство 2. Вершины тетраэдра проектируются в ортоцентры противоположных граней тогда и только тогда, когда скрещивающиеся ребра попарно перпендикулярны.
Доказательство следует из свойства L
Свойство 3. Для того чтобы две высоты тетра* эдра пересекались, необходимо и достаточно, чтобы ребро, из концов которого опущены эти высоты, было перпендикулярно противоположному ребру тетраэдра.
Доказательство. Достаточность фактически до-, казана при обосновании свойства 1. Докажем необходимость. Пусть высоты,. опущенные из вершин D и С тетраэдра DABC% пересекаются в точке Я. Тогда
Рис. 1
Рис. 2
АВ-CD— (HD — НС).АВ = HD-АВ — ЯС-Л£ = 0, т. е, ABX.CD.
Свойство 4. Четыре высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда одна из вершин тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани.
Доказательство необходимости аналогично доказательству свойства 1. Докажем достаточность. Если одна из высот тетраэдра проходит через ортоцентр основания, то скрещивающиеся ребра попарно перпендикулярны и каждые две высоты тетраэдра пересекаются (свойство 2). Но четыре прямые, не лежащие в одной плоскости и попарно пересекающиеся одна с другой, имеют общую точку.
Тетраэдр, у которого высоты пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим, а эта точка — ортоцентром тетраэдра.
Укажем теперь задачи, решения которых основаны на перечисленных свойствах тетраэдра.
Задача 1. Доказать, что вершины А. В, С, D, правильной треугольной пирамиды DABC проектируются в ортоцентры противоположных граней.
Доказательство сразу следует из свойства 1.
Задача 2. В тетраэдре DABC высоты Dtf4 и АНХ пересекаются в точке Я, а высоты ВН2 и СЯ3 в точке Q. Доказать, что отрезок QH принадлежит общему перпендикуляру ребер AD и ВС.
Доказательство. Проведем сечения через каждую из указанных пар высот. Получим треугольники ADK и BCL (рис. 2). Из свойства 3 следует, что точка Я4 лежит на отрезке А К и AKJ-BC. В треугольнике AKD проведем KL±AD. Снова по свойству 3 устанавливаем, что BC±AD. Выходит: BC±AD и ВСА.АК. Значит, BC-L(AKD) и тогда BC±.KL. Таким образом доказано, что KL — общий перпендикуляр ребер AD и ВС.
Высоты тетраэдра ОЯ4 и АНХ являются одновременно и высотами треугольника ADK, поэтому точка Я принадлежит высоте KL. Точно так же из треугольника BCL доказывается, что точка Q лежит на отрезке KL.
Задача 3, В ортоцентрическом тетраэдре проведены три отрезка, каждый из которых перпендикулярен двум противоположным ребрам. Доказать: а) эти отрезки пересекаются в ортоцентре тетраэдра; б) ортоцентр тетраэдра делит эти отрезки на части* произведение которых постоянно для данного тетраэдра; в) концы этих отрезков принадлежат сфере.
Доказательство, а) Рассмотрим сёчение ADAX (рис. 1), которому принадлежит ребро AD и высота тетраэдра ОЯ4. Проведем в треугольнике ADA{ высоту AXQ1. Отрезок Л^ (как доказано в предыдущей задаче) перпендикулярен ребрам AD, ВС, и ему принадлежит ортоцентр тетраэдра точка Я. Аналогично доказывается принадлежность этой точки двум другим отрезкам, перпендикулярным соответственной паре скрещивающихся ребер тетраэдра.
б) Плоские углы DQiAx и DH^AX равны 90°. Значит, точки D, Qi, Я4, А1 принадлежат одной окружности, и тогда QXH• HAX=DH-ННА.
Пусть отрезок Q2BX перпендикулярен ребрам АС и DB, а отрезок QZCX перпендикулярен АВ и CD. Тогда Q2H-HBl=DH-HH4 и <?3ЯЯС, = ОЯ-ЯЯ4. Произведение DH‘HH4 для тетраэдра DABC постоянно, и утверждение доказано.
в) Из равенства QXH-HAX~Q2H-НВХ следует, что точки Qи Q2, А и Вх принадлежат одной окружности. Аналогично точки QXt Q3, Аи Сх тоже лежат на окружности. Значит, точки Qu Q2, Q3, Аи Ви Сх принадлежат сфере.
Задача 4. Доказать, что объем ортоцентрического тетраэдра вычисляется по формуле V « -gr- abd%
46
где а и b — длины скрещивающихся ребер, d — длина общего перпендикуляра к этим ребрам.
Доказательство. Через ребро ВС тетраэдра DABC (рис. 3) проведем сечение, перпендикулярное ребру О А. Получим треугольник BQC, в котором высота AiQ=d. (Тот факт, что AXQ±AD и A\Q±~BCy доказан в задаче 2). Обозначим объемы тетраэдров AQCB и DQBC через Vx и V2. Тогда
1 d • ВС 1
V = -f К9 = -д- • g *AQ Н~ “ X J
X \-d.BC-{AQ+DQ)—^abd.
Задача 5. В правильную четырехугольную пирамиду вписан полушар так, что его большой круг принадлежит основанию пирамиды. Доказать, что полушар касается боковых граней в их ортоцентрах.
Доказательство. В правильной пирамиде SABCD (рис. 4) рассмотрим тетраэдр SOB А (рис. 4), а в нем радиус полусферы ОН. Поскольку полусфера касается плоскости SB А, заключаем: ОН Л-(SB А). В данном тетраэдре скрещивающиеся ребра попарно перпендикулярны, значит, вершина О проектируется в ортоцентр треугольника SB А (свойство 2), т. е. Н — ортоцентр боковой грани исходной пирамиды. Доказательство относительно других граней совершенно аналогично.
В заключение отметим, что, рассматривая свойство 4, мы фактически установили существование тетраэдра, все четыре высоты которого пересекаются в одной точке. Но существование тетраэдров, у которых все четыре высоты не пересекаются (могут быть и другие варианты: две высоты не пересекаются, две высоты имеют одну общую точку, а две другие — другую общую точку), нами не рассматривалось, поскольку такие тетраэдры описаны в опубликованной недавно статье
А. М. Елиной «Ортоцентрический тетраэдр и его свойства» (Математика в школе. 1987. № 3).
Использование свойств тетраэдра при решении задач рассмотрено в следующих книгах: Бевз Г. П. Геометрия тетраэдра (Киев: Радянська школа, 1974); Гот- ман Э. Г., Скопец 3. А. Решение геометрических задач аналитическим методом (М.: Просвещение, 1979); Ша- рыгин И. Ф. Избранные задачи по геометрии, Стерео^ метрия (М.: Наука, 1984),
Метод уравнивания в геометрических задачах
В. Н. Литвиненко (Москва)
При решении различных геометрических задач часто используют так называемый метод уравнивания. Онсво-
Л
i
\.
К
$
С н а °
с а а
В А
Рис, I Рис. 2 Рис. 3
дится к следующему: одна из величин, не являющаяся искомой, выражается двумя способами через данные в условии величины. Такую величину называют опорной* По крайней мере одно из двух выражений опорной ве* личины должно содержать искомое. Тогда, приравни* вая два выражения, получают уравнение относительно искомой величины. Сама же опорная величина при со* ставлении уравнения исключается.
Метод уравнивания применяется во многих задачах начиная уже с VI класса. Приведем ряд таких задач, отметив, что первую можно рассмотреть уже в VII классе, вторую в VIII, следующие в IX—X. Наиболее широко такие задачи применяются после изучения начал тригонометрии.
Задача 1. В остроугольном треугольнике ABC со сторонами ВС=а, А С=Ь и АВ—с проведена высота АН. Найти, в каком отноиХении точка Н делит сторону ВС (рис. 1).
Решение. Выразим дважды АН2. Из прямоуголь* ного треугольника АВН находим, что АН2—с2—£#V Из прямоугольного треугольника АСН следует: АН2— = Ь2~СН2, или АН2 = Ь2— (а—ВН)2.
Приравнивая эти значения АН2, получим уравнение с2—ВН2=Ь2—(а—ВН)2, откуда ВН == (а2—Ь2-\-с2)/2ащ Но СН=а—ВН—(а2+Ь2—с2) /2а. Следовательно,
ВН : СЯ= (а2—Ь2+с2) : (а2+Ь2—с2).
Задача 2. В треугольнике ABC: ВС—а, АС^Ь и Z- АСВ—у. Найти высоту СН этого треугольника.
Решение. В качестве опорной величины использу* ем площадь треугольника ABC (рис. 2);
5д авс=0,5ab sin \ и S^abc—OjSAB'CH.
По теореме косинусов
АВ = У~ а2 + b2 — 2a6cosY.
Теперь можно составить уравнение:
ab sin 7 = СН |Аа2 4- Ь2 — 2аЬ со$ч>
откуда
Yа2 4* — ^оЬ cos 7
Отметим, что если, в частности, у=90°, то СН = ab!Vа24- Ь2.
Задача 3. Найти плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что он равен углу наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.
Решение. Пусть Z. SAO — Z. ASD—x. Выразим дважды длину бокового ребра SA. Полагая АВ=а (вспомогательный параметр), из треугольника SO А по- лучим^ SA = ОA/cos х—а У 2/2 cos х. Из треугольника SAM (где точка М — середина ребра AD и, следовательно, SALL/4Z)) имеем: SA—а/2 sin 0,5*, Уравняем два значения опорного элемента SA:
а У2 а ’
2 cos х ~~ 2 sia 0,5л'*
47
Выражая sin 0,5* через cosx, получаем уравнение cos2x4-cos д:—1=0. Решив его, находим, что cos*= ~ (Уъ—\)!У29 т. е. *«39°.
Задача 4. Две взаимно перпендикулярные грани ААХВХВ и AAiCiC треугольной призмы — квадраты со стороной а. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями ACi и ВАХ этих боковых граней.
Решение. В плоскости грани АА\С\С через точку А\ проведем прямую AXD, параллельную прямой АСХ. Тогда прямая АСХ параллельна и плоскости AXBD, т. е. расстояние от любой точки прямой АСХ до плоскости AiBD равно искомому расстоянию между АСХ и ВАХ.
Найдем расстояние от точки А до плоскости AXBD. Ясно, что длина высоты этой пирамиды, опущенной из ее вершины Л на основание AXBD, и является искомым расстоянием. Обозначим это расстояние через х. Заметим теперь, что треугольник AXDB равносторонний и его стороны равны а У2 . Тогда £д Ахвп ** а2|^3"/2 . Выразим дважды объем пирамиды AXABD:
1 л 1 У “ ~ SA AtBD * * = “ aS У '6 Х'
. ^ ” ~ 5Д ABD • АА, = -ц- а3.
Приравнивая эти значения V, получим уравнение: У3jc = я, откуда х=аУЗ/3.
Во всех предыдущих задачах для составления уравнения мы выражали дважды одну величину. Применение метода уравнивания можно несколько расширить, если выражать не одну и ту же величину дважды, а равные величины.
Задача 5. Найти углы треугольника ABC, если известно, что его высота СН и медиана СМ делят угол при вершине С на три равных угла.
Решение. Используем равенство отрезков AM и ВМ для составления уравнения.
Пусть ZACH= /.МСН== ZBCM=x. Полагая^СН—h [(вспомогательный параметр), получим AH==hts х. MH=h tg х9 AM — 2h tg
Далее, BM=BH—MH—htg2x—htgx. Таким образом получим уравнение 2h tg*=/i tg 2х—htgx, откуда, выразив tg2* через tg* и решив уравнение относительно tg*, найдем tgx=*y3/3,r, е. *=30°. Итак, ЛАСВ=90°, /LCAB = 60° и /LCBA=30°.
Замечание. Эту задачу можно решить иначе, используя как опорную величину площадь треугольника
Математический КВН на празднике юных математиков
А. П. Савин
(Москва)
О традиционном празднике юных математиков в г. Ба- туми многие читатели, вероятно, слышали. Он проводит- ся регулярно с 1968 г. С 3 по 10 ноября в Батуми собираются команды школ из многих городов страны: Москвы, Ленинграда, Киева, Тбилиси, Баку, Свердловска и многих других. Всего около 20 команд.
Главное мероприятие праздника — научная конференция школьников, доклады которых комментируют ученые из Москвы, Ленинграда и Тбилиси. Конференция проходит 4—5 дней. Во время отдыха — экскурсии по городу и окрестностям, посещение дельфинария и краеведческого музея, встречи с учеными, редколлегией журнала «Квант» и ...с еще теплым морем.
Завершается праздник заседанием Клуба веселых и находчивых (КВН). Все команды готовятся к этому заседанию еще у себя дома и в Батуми выступают во всеоружии, поддерживаемые искренним сочувствием болельщиков — учеников батумских школ. Основные эле* менты соревнований заимствованы у студенческих КВН, транслируемых по телевидению.
Начинаются соревнования с конкурса «Разминка». Ведущий предлагает командам задачи. Ребята подают свои ответы в письменном виде. Практика устных ответов себя не оправдала — становится шумно, и бывает трудно определить, кто же ответил первым. Естественное требование к задачам этого конкурса — существование краткого ответа. Здесь недопустима формулировка: «Докажите, что...». Конечно, задачи на доказательство вполне могут быть использованы, но их надо несколько переформулировать. Например: «Верно ли, что квадрат суммы квадратов двух любых натуральных чисел сам является суммой квадратов двух натуральных чисел?» Только после того, как ответы («Да» или «Нет») зачитаны, можно попросить команду, которая первой правильно ответила на этот вопрос, привести доказательство.
В конкурсе «Разминка» предлагаются 8—10 легких задач из журнала «Квант» (раздел «Квант для младших школьников»). Причем используются номера журнала 5—10-летней давности. Как показывает практика, эти задачи неизвестны школьникам, начавшим учиться 8— 10 лет назад.
Следующий конкурс — «Приветствие». Перед ним нужно перенумеровать команды, установив порядок их выступлений. Веселый смех в зале вызывает этот процесс, если он выполняется с помощью известной ребятам с детства или специально придуманной считалоч- ки. Выступление на этом конкурсе команды готовят, как правило, у себя дома. В нем ребята с юмором рассказывают о себе, своем городе, своей школе. Звучат песни, написанные по этому случаю на популярные мелодии.
Долгое время основным в состязании был конкурс «Домашнее задание». Его тема обычно объявляется за 2—3 дня до соревнований. Темы разные: «Математика и море», «Математика в дороге», «Теорема в живых картинах», «Неопознанные математические объекты» и др.
Еще до «Приветствия» ведущий объявляет другие конкурсы, на подготовку которых командам дается по 1—1,5 ч. Это состязания поэтов, музыкантов, художников, логиков, изобретателей...
Участникам конкурса поэтов обычно предлагается или зарифмовать формулировку какой-нибудь теоремы, например теоремы Пифагора, или сочинить буриме — стихотворение на заданные рифмы. Например, однажды ребятам дали рифмы: пять-опять, раз-запас, и они прочитали такое четверостишие:
48
Вы устроили ва тт>
Этот праздник нам опять.
Не иссяк и в этот раз Вашей доброты запас.
Это стихотворение, придуманное командой школы № 42 из Тбилиси, очень понравилось и зрителям, и жюри, в которое входили многие организаторы праздника. (Несколько слов о тех, кто готовит праздник. Это работники Министерства просвещения Аджарской АССР, сотрудники общества «Знание», учителя школ г. Батуми. Благодаря им встречи юных математиков проходят интересно и четко. Инициатором этого праздника и его душой по праву считается заслуженная учительница школ Аджарской АССР Медея Илларионовна Жген- т и.)
Темы для конкурса художников бывают очень разными: нарисовать эмблему праздника, придумать новый внак для йустого множества, кроме уже существующих 0 и Л. Запомнился случай, когда ребятам было предложено художественно изобразить следующие три кривые: трезубец Нептуна, локон Аньези и улитку Паскаля. Их уравнения:
* 1 1
t у „ р *= a cos <р + /.
Ребята объединили все три кривые в одном изображении Нептуна (на рисунке эти кривые прочерчены жирной линией; они следуют в том же порядке, что и их уравнения—слева направо).
Весьма трудным для ребят оказывается конкурс логиков. Замечу, что погода в Батуми в ноябре не всегда солнечная, и в тот год, когда шли проливные дожди, задание этого конкурса соответствовало ситуации. Требовалось сформулировать утверждение, обратное следующему: «Нет ничего лучше плохой погоды». К сожалению, большинство участников не справилось с заданием. Вместо утверждения «Есть что-то лучшее плохой погоды», как правило, звучало: «Есть что-то худшее хорошей непогоды», т. е. каждое слово ребята заменяли словом противоположного смысла. - Запомнились и конкурсы музыкантов. Однажды каждой команде выдали по свистульке в виде птички, наполняемой водой, из которой можно было извлекать гвукн. напоминающие птичий щебет. Должен сказать, что на этих примитивных инструментах школьники с помощью своих товарищей-гитаристов ухитрялись исполнять прекрасные музыкальные этюды. Были и другие задания. Например: пропеть слова песенки «Чижик- пыжик» на какую-нибудь другую мелодию. Попробуйте сами, и вы убедитесь, что это очень трудно. Но все команды смогли подобрать подходящую мелодию.
Конечно же в конкурсах поэтов, музыкантов, художников совсем мало математики, но они существенно оживляют КВН, делают его более зрелищным.
Самый шумный конкурс — эстафета. Он появился на гразднике недавно, но сразу сделался популярным. Проводится он. так. Выстраиваются друг за другом по 5 человек от каждой команды. По сигналу ведущего стоявшие первыми бегут к сцене. Там каждый из них получает листок с задачей, решает ее, передает в жюри и бежит на свое место. После этого выбегает следующий участник команды и т. д. В качестве эстафетной палочки передается карандаш.
Решение задач — основной элемент и заключительного конкурса — конкурса капитанов. Здесь тоже предлагается по 5—6 задач. Нужно отметить, что каждый капитан получает листок с условием задачи (такой порядок и во время остальных задачных конкурсов). Таким образом решающий всегда может видеть условие своей задачи, а ведущий громко читает это условие всем сидящим в зале. Это дает возможность зрителям самим порешать задачи конкурса, что все делают, как правило, с удовольствием и без дополнительных приглашен ний.
Последним заданием в конкурсе капитанов по традиции является игра, проводящаяся по олимпийской системе. Например, игра 'в крестики-нолики на доске с заранее заготовленной таблицей 3X3. Каждый капитан может ставить как крестик, так и нолик. Выигрывает тот, чей ход приведет к появлению трех одинаковых значков, стоящих на одной прямой.
Но чаще всего капитанам предлагается одна из разновидностей игры «Ним». Игра состоит в отборе камешков по заданным правилам из одной или нескольких кучек. В «классическом» варианте игры двое играющих по очереди берут произвольное количество камешков из одной кучки (не обязательно всякий раз из одной и той же). Выигрывает тот, кому достанется последний камешек. Видоизменения могут состоять в добавлении ограничений на количество камешков, которые можно взять за один ход. Например, можно ввести условие, что всякий раз допустимо взять не более 5 камешков, или запрещается брать более чем вдвое больше камешков, чем взял перед этим соперник.
Отборочные соревнования проводятся на кучках гальки (из нее состоят батумские пляжи), а финальные — на доске, где игроки по очереди выписывают количество камешкбв в каждой из кучек после сделанного ими хода, чтобы зрители могли видеть ход игры.
Математический КВН в Батуми проходит шумно и весело. После игры ее участники и зрители еще долго обсуждают запомнившиеся эпизоды соревнований.
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
Занятные стайки простых чисел
Темы для поиска и наблюдений
Существуют разнообразные — известные и ке очень знакомые — признаки, объединяющие простые числа в занятные «стайки» разной численности, многие из которых привлекают присущей им структурной красотой.
I. 168 мест первой тысячи натуральных чисел занимают простые числа: 2, 3, 5, 997, Из них 16 чисел —
палиндромические — каждое равно обращенному: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.
Четырехзначных простых чисел всего 1061, и ни одно из них не является палиндромическим.
Пятизначных простых палиндромических чисел много. В их составе и такие красавцы: 13331, 15551, 16661,
19991. Несомненно, есть стайки и такого вида: 3***3~
7***7, 9***9. Но сколько же экземпляров в каждой такой стайке?
3 «Математика в школе» № (?
Существуют ли палиндромическиё числа среди прос* тых я-значных чисел при п>5?
II. Из 12 различных чисел, получающихся при перестановках цифр числа 3211, ровно 8 — простые: 3121, 2311, 2131, 2113, 1321, 1231, 1213, 1123.
Также 8 простых чисел формируются из цифр 1, 1,3, 9; 1193, 1319, 1913, 1931, 3119, 3191, 3911, 9311. Возможно, это рекорд для четырехзначных простых чисел с двумя одинаковыми цифрами. Так ли это?
Для четырехзначных простых чисел с тремя одинаковыми цифрами рекорд — 3 простых из возможных четырех, например: 1777, 7177, 7717 и еще 7333, 3733, 3373.
Сколько же всего подобных «стаек» вылетает из гнезда четырехзначных чисел? Трехзначных чисел?
III. Некоторые простые числа находят в своем семействе симметричное себе число. Так формируются красивые стайки симметричных пар-«перевертышей»: 4 пары двузначных— 13—31, 17—71, 37—73, 79—97, 14 пар
трехзначных— 107—701, 113—311, 739—937, 769—
967, 100 пар четырехзначных, среди которых только 6 пар с одинаковыми средними цифрами: 1009—9001, 1223—3221, 1559—9551, 1669—9661, 3889—9883, 7229— 9227.
Сколько всего симметричных пар-перевертышей среди пятизначных простых чисел? Сколько из них имеют вид аххха?
IV. В первой тысяче чисел есть 5 «квартетов», состоящих из подряд идущих простых чисел, последние цифры которых образуют последовательность 1, 3, 7, 9: (И, 13; Г7, 19), (101, 103; 107, 109), (191, 193; 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823; 827, 829) — и все, кроме одного, имеют в составе по две пары «близнецов».
Сколько таких же «квартетов» есть среди я-значных простых чисел при я>3?
V. В четырех «гнездах» разместились трехзначные простые числа
1 9 9\ /337\ /719>
91 9 11 373 1 I 1 97
991/Д733/Д971,
тай, что их цифры образуют квадратные матрицы с одинаковыми суммами по строкам, столбцам и одной диагонали в каждой матрице. В первых трех матрицах формируются простые числа даже при чтении цифр справа-налево, сверху-вниз и снизу-вверх.
Найдутся ли матрицы с аналогичными свойствами среди я-значных простых чисел при л>3?
VI Стайка из девяти простых чисел: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669 и 1879 — привлекательна не только тем, что она являет собой арифметическую про- грессию с разностью d=210, но и способностью разместиться в девяти клетках так, что образуется магический квадрат с константой, равной разности двух простых чисел: 3119—2:
1669
199
1249
619
1039
1459
829
1879
409
Следующий, десятый член рассматриваемой прогрессии: аю—2089 — также число простое. Если удалить из стайки а! = 199, но включить сио, то и в этом составе стайка может образовать магический квадрат — тема для поиска.
VII. Интересна стайка «жар-птиц» — простых чисел с «пером» 13 в «хвостике»: 13, 113, 313, 613, 1013, 2113, 3613, 4513, ... . «Гнездо» их—формула Р== 13+100*ГЛ,
где (Гл), исключая нуль, — последовательность тре* угольных чисел (без вычеркнутых):
1,3,6,10,# 21, ?&, 36,45,# ##
Ji, IOS, 136, 153, \/\, 190, 210,... -
Конечно ли число «жар-птиц» в этом гнезде? Дополнительное наблюдение:
Я(Я+1) 2 ,
= 2 =гСл+1»
следовательно, все треугольные числа входят в состав треугольника Паскаля, располагаясь вдоль одной из параллелей к его «боковой стороне»;
N
1
У
< \2/ V
1 \ЗАЗ/1 1 4X6X4 1
1 5 /10д10\5 t 1 6 /l5/2D\15\ 6 1
1 7/21/35 35\21\7 1
/ / \ \
VIII. 31—обращенное числу 13 — другой «хвостик» у стайки простых чисел: 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331. Их «гнездо» — формула
Я* = -д"(10*-7),
где &=*=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Нет ли в этом «гнезде» других Р* с тем же «хвости¬
ком»?
IX. Всякое простое число, являющееся членом последовательности Фибоначчи
(Fn)*= ...2, 3, 5, 8, 13, ..., 89, ..., 233, ..., 1597, ..„
может быть закономерно представлено суммой чисел из треугольника Паскаля. Например,
5 ** С4 +.С3 + С\, 13 «= С? + С5 + С4 -f cl
89-C}e + Cj+Cf + C? + C* + Cg.
Получим удовольствие, обратив внимание на то, что в любое число Фибоначчи равно
ь
2
i-\
где п — номер места, занимаемого числом Fn в последовательности- Фибоначчи k—п/2, если п четное, и я -f* 1
k = —^— > если п нечетное.
Тема: поиск линии расположения на треугольнике Паскаля слагаемых для каждого Fn.
X. Существует несколько (а сколько всего?) троек простых чисел вида (3. 3-f-d, 3+2d)t например; (3, 5,
7), (3, 53, 103) и др., пятерок простых чисел вида (5,
5-ftf, 5-f2d, 54-3d, 5-b4d), например: (5, 11, 17, 23,29)» (5, 53, 101, 149, 197) и др. (а сколько всего?), семерок простых чисел с aj“=7 и a7 = aj-{-6d, например: (7, 157, 307, 457, 607, 757, 907); есть ли еще семерки с а| = 7 и другими значениями d?
50
Попытки подобрать последовательность рааноотстоя• щих простых чисел с == 11 и = 13 не увенчались успехом, но не удастся ли это кому-нибудь?
И. С. Зельцер (Тирасполь), Б. А. Кордемский (Москва)
Примечание. Заметим, что рассмотренные в статье проблемы авторы поставили, имея в виду «ручное» решение. Если же читатель захочет использовать для их решения компьютер по типу тех программ перебора, о которых говорится в статьях В. Г. Болтянского (Математика в школе. 1986 N° 1. С. 68; Квант. 1988. № 1. С. 3)? то ответы на указанные вопросы, видимо, можно получить достаточно быстро»
ЗАДАЧИ
Напоминаем читателям, что решения алгебраических задач (их 12) и геометрических (их 8) следует присылать в отдельных конвертах с соответствующей пометкой «Алгебра» и «Геометрия» В каждый из них просим вложить две сводки — общую и по соответствующему разделу.
Решения задач этого номера должны быть отправлены в редакцию не позднее 1 марта 1989 г. О правилах оформления см. в № 1 журнала за 1988 г., на 3-й с. обложки.
Задачи для IV—VIII классов
3261. В результате деления двузначного числа на его обращенное получились равные остаток и частное. Найти это число.
А. Ф. Пилавов (Ставропольский край, ст. Суворовская)
3262. Найти наименьшее и наибольшее пятизначные числа, которые в сумме со своим обращенным дают точный квадрат.
Б. М. Ц а кое в (Рязанская обл., пос. Солотча)
3263. В клетках шахматной доски произвольным образом поставлены знаки -}- а —, и разрешается сменить знак на противоположный во всех 15 клетках, стоящих в одном столбце и в одной строке. Можно ли такими преобразованиями из заданной таблицы получать любую другую?
3264. Сколько различных комбинаций знаков может быть получено у дробей
{а — b){b — с) {Ь — с) (с — а) (с—а)(а — Ь)
(а —1)(с—1)* {Ь— I) (я — 1)’ (с—- 1)^—1)
при различных значениях переменных?
Э А 51синовый (Куйбышев)
3265. Можно ли представить квадратный трехчлен 29п2—18/г + б в виде разности квадратов двух линейных двучленов?
Э. А. Яси-новый
3266. Ученик задумал натуральное число, являющееся точным квадратом, извлек из него квадратный корень, прибавил 2, снова извлек квадратный корень, снова прибавил 2 ив результате получил задуманное число. Какое число он задумал?
Математический кружок 206-й шк. Киева (рук. И. А. К у ш н й р)
3267 Внутри квадрата ABCD взята точка М так, что Z. МВС = А. MDB — a. Найти угол MAD,
3* 51
3268. В плоскости даны три отрезка АВ, CD и EF. Построить все точки М, для которых треугольники MBA, MCD и МЕР равновелики.
Задачи для IX—X классов
3269. Доказать неравенство
М. Ее Апозян (ГССР, с. Корх)
3270. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
(sin х + sin у) cos г -f cos х cos у sin z 1 + sin x sin у
Э. А. Ясиновый
3271. Найти наибольшее число целых решений уравнения
Ьх+ау~Ьу
где а, b £2 и а не делится на 5, удовлетворяющих неравенствам |*|^50, |у|^50.
А. М. Алиев (АзССР, с. Каракая), К. Ф. Мансуров (АзССР, с. Курекчи)
3272. Найти целую часть числа
1
1989 \1900 * 1901+“*+1988
ТшоУ
М. Е. А п о з я я
3273. Дан описанный четырехугольник ABCD, обозначим через Ах, Вх, С» и D) основания перпендикуляров, проведенных из точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD соответственно к АВ, ВС, CD и DA. Доказать, что прямые А\ВХ, АС и DXC\ пересекаются в одной точке,
Е М Гольберг (Ленинград)
3274. На сторонах треугольника ABC вне его построены равносторонние треугольники ABR, ВСР, ACQ. Точки Аь В\. С\—середины сторон ВС, СА, АВ; точки Ръ Qi, Ri — середины QR, RP, PQ. Доказать, что
а) отрезки B{Qb Р\АЬ C\Ri равны друг другу;
б) прямые BiQi, Р\А\, C\Ri пересекаются в одной точке;
в) центры тяжестей треугольников ABC и PQR совпадают.
£. М. Гольберг
3275. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD как на основаниях построены четыре подобных равнобедренных треугольника АВМ, CDP, BCN и ADQ, причем первые два расположены во внутрь, а последние два — во вне данного четырехугольника. Доказать, что MNP Q. — параллелограмм.
Е. М. Г о л ь б е р г
3276. Стороны четырехугольника ABCD служат диагоналями квадратов AQBP, BKCL, CVDT. DNAM (точки Q, К, V, Л расположены вне четырехугольника ABCD). Доказать. что
а) четырехугольники NTKP и CLVM—равные параллелограммы, стороны которых соответственно перпендикулярны;
б) отношение площади четырехугольника A BCD к площади параллелограмма NTKP равно |tga|, где а — угол между АС и BD, a#90.
Е. М. Г о л ь б е р г
3277. Нусяъ щ, a% <Ът — разяшшые натуральные
числа, не превосходящие натурального числа т, т не делится ни на какие два из этих чисел. Доказать, что
3278. Решить без применения таблиц и электронной техники неравенство
< 3 < tg(x+l)e f0 < x < 90°, * eN).
Б. UL З^ах&ряев (АзССР, с- Карадапш)'
3279. В окружность вписан треугольник А\ВХСХ. Вер* шинами треугольника i4<+iBt+iCi+i служат точки пересечения биссектрис треугольника AiBiCi с данной окружностью, 2=1, 2, ...; /ч радиус окружности, вписанной в треугольник AiBiCi, Доказать, что а) гп+у^гп; б) 2Гп^:Гп^1+Гп+1ш
Е. М. Годьберг
3280. Внутри тетраэдра A BCD, объем которого равен V, взята точка М. Прямые AM, ВМ, СМ и DM пересекают противоположные грани в четырех точках, служащих вершинами второго тетраэдра, объем которого равен U. Через точку М проведены также три прямые, каждая из которых пересекает два скрещивающихся ребра тетраэдра ABCD. Шесть точек пересечения этих прямых с ребрами тетраэдра ABCD служат вершинами многогранника (октаэдра) объема W. Доказать, что имеют место неравенства
V^2W^ 27 U.
Е. М, Гольберю
Решения задач, помещенных в № 2 за 1988 г.
3181. В натуральном числе переставили цифры и получили число, в три раза большее исходного. Доказать, что полученное число делится на 27.
Решение. Пусть а — данное, Ь ~ полученное число; тогда 6=За, и поэтому 6 делится на 3, а поскольку суммы цифр чисел а и Ь одинаковы, то число а также делится на 3. Следовательно, 6 делится на 9, т. е. а делится на 9, и поэтому 6 делится на 27.
3182. $ клетках квадрата размером 3x3 записать различные натуральные числа так, чтобы 6 произведений (по строкам и по столбцам) были равны между собой*
а) Показать, что это можно сделать.
б) Каково наименьшее возможное значение этих произведений?
Решение. Поставим в левом верхнем углу размером 2X2 данного квадрата произвольные различные натуральные числа а, Ь, с, dt а в правой нижней клетке — отличное от них натуральное число е. После этого квадрат 3x3 можно заполнить до конца так, чтобы выполнялись требуемые условия равенства произведений единственным образом.
В самом деле, если, например, на пересечении первой строки и третьего столбца поставить число k, то должно выполняться равенство cd=ke, откуда k~cd/e. Легко проверить, что указанный далее квадрат удовлетворяет условиям задачи: все приведенные в нем числа — натуральные, отличные друг от друга.
а
ё
ed
е
с
d
ab
е
bd
ас
е
е
е
При е=1, а=2, 6=3, с—4, d=5 квадрат имеет вид
2
3
20
4
5
6
15
8
1
В общем случае мы можем считать число е меньшим чисел а, 6, с, d: в самом деле, заданные свойства квадрата не изменяются при перестановке его строк и столбцов, и с помощью подходящей перестановки наименьшее число всегда можно поместить в правый нижний угол квадрата.
При е— 1 наименьшее значение произведения Р = =abcd/ef очевидно, равно 120, при е=2 Р^ 180, при е=3 Р^280, при е=4 Р^420, и наконец, при е>5
———• > > 125.
Таким образом, наименьшее возможное значение «общего» произведения равно 120.
3183. Латышский алфавит (без удлиненных гласных и без мягких согласных) содержит 22 буквы:
ABCDEFQH1JKLMNOPRST U V Z.
В списке в алфавитном порядке выписаны все семибуквенные строки латышского алфавита: ААААААА,
ААААААВ, ..., ZZZZZZZ. Пусть k — число строк в этом списке, лежащих между строками GVLBENE и SIGULDA. Найти k-ю строку рассматриваемого списка.
Решение. Будем считать буквы заданного алфавита цифрами в системе счисления по основанию 22 и для удобства выпишем соответствующие обозначения: ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVZ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91011 12131415161718192021
Тогда список строк представляет собой записанные последовательно числа 0, 1, 2, 227—1, и на месте
с номером k стоит число £—1. При этом
GVLBENE=G • 22б+ V • 225-f I • 224+£ * 223+ +£.22Ч-Л/г-22+£,
SIGULDA = S • 22б+/ • 225+ G22A+V- 223+ +L-222+D-22+A
и
k = (11 • 228— 11 • 225—5 • 224-18 • 223+7 * 222—
-10* 22—4)—1 = 10 • 224- (22е—11 *225)—5- 224+
+18 • 223+6 • 222-f (222— 10 • 22) — 5 = 10 • 22е-f 4-11* 225—5 • 224+18 • 223+6 • 222~И 2 • 22—5 =
= 10- 22е-f-10 • 2254“ 17 • 224-f 18 • 2234-6 • 2224- 4-11* 224-17=KKST GLS.
Поэтому искомая строка есть KKSTGLS.
3184. Доказать, что куб можно разрезать на п меньших кубов (не обязателыю разных), если п^Ю0
Решение. Если ребро данного куба разделить на р частей и вырезать из куба «угловой» куб, ребро которого состоит из р—1 таких частей, то исходный куб можно разрезать ва 1 +р3—(р~ 1)3=3р2—Зр+2 мень-
62
ших кубов, т. е. увеличить число имеющихся кубов на 3р2—Зр+1. Такого рода операцию можно применить к каждому из меньших кубов, и следовательно, если мы уже разрезали куб на п кубов, то его можно разрезать и на п-\-Зр2—3/7+1 при любом р.
Выражение 3р2—Зр+1 при р = 2, 3, 4 принимает значения 7, 19, 37, и поэтому из одного куба разрезанием можно получить 1+7а+196+37с меньших кубов.
Поскольку
100=1+42+57, 101 = 1+63+37, 102 = 1+63+38,
103=1+7+95, 104=1+84+19, 105=1+28+76, 106=1 + 105,
то куб можно разрезать на число ЮО+г (0<^г<^:6) меньших кубов. Но любое число п, большее 100, можно представить в виде 100+7т+л, где О^г^б, что и доказывает требуемое утверждение.
3185. Рассмотрим недописанную систему неравенств
atx+ b,y + Ci-^O, апх + Ь^у + Сч 0,
Q$X + #зУ + Сз>|<0.
Доказать, что, какие бы ни были коэффициенты аь bj, Ck, всегда можно вместо звездочек поставить знаки > или < так, чтобы сиаема не имела решений.
Решение. Рассмотрим на координатной плоскости прямые lu 12, /3, определяемые соответственно уравнениями
aiX-\-biy-\-Ci=0, Я‘2Я+^2#+£2~0, а$х-\~Ьзу-\-Сз~0.
Тогда каждое из неравенств, получаемое при замене звездочек на один из знаков неравенства, задает полуплоскость, ограниченную одной из этих прямых.
Если две из эгих прямых, например 1г и /2» параллельны или совпадают, то, взяв для каждой из них полуплоскость, не содержащую другой прямой, мы получим, что уже первые два неравенства не имеют общих решений Если же среди этих прямых нет параллельных, то прямая /3 не может пересекать всех четырех углов, образованных прямыми 1\ и 12. Выбрав полуплоскости, заштрихованные на рис. 1, мы получим, что заданная система не имеет решений.
3186. Найти пример 12-угольника, 12 сторон которого леошт на 6 прямых. Можно ли найти пример такого 13- угольника?
Решение. Пример 12-угольника показан на рис. 2. Если этим свойством обладает 13-угольник, то, по крайней мере, на одной из прямых лежат три его стороны АВ, CD, EF, а тогда другие его стороны с вершинами А, В, С, D, Е, F определяют не меньше 6 прямых, и следовательно, такого 13-угольника не существует.
3187. Жирной линией обозначено шоссе, тонкими линиями — пешеходные дорожки, точками — дома в селе (см. рис. 3). Где на шоссе надо построить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний, которые надо пройти от домов до остановки, была наименьшей возможной?
Рис. I
Рис. 2
Решение. Автобусную остановку следует построить в той точке, в которой от шоссе отходит 7-я пешеходная дорожка (эта дорожка затем разветвляется к трем домам). Таким образом, слева от автобусной остановки окажется 12 домов, справа—14. Докажем это. Ес- ли автобусную остановку переместить вправо на величину х>0, где х меньше, чем расстояние до начала ближайшей пешеходной дорожки, то сумма расстояний увеличится на 15*—14x=jc. При больших х -это возрастание будет еще больше. Аналогично при небольшом перемещении влево на х сумма расстояний увеличится на 17*—12*=Ъх.
3188. В прямоугольник ABCD вписан правильный треугольник так, что одна вершина лежит в вершине А, а две другие — во внутренних точках его сторон, не содержащих вершину А. Доказать, что площадь одного прямоугольного треугольника, отсекаемого стороной правильного вписанного треугольника, равна сумме площадей двух других таких прямоугольных треугольников.
Решение. Пусть стороны прямоугольника равны АВ—а, BC=b, AEF — вписанный правильный треугольник, М — середина AF (рис. 4). Треугольник ВМС
также является правильным. Докажем это. Четырех* ^Т°?й?к АВЕМ является вписанным, поскольку * Следовательно, Z.EBM^'L = Z. ЯЛУИ=60°. Аналогично Z.£CAf = 60°. Значит расстояние от точки М до стороны AD равно
ьуз
я— —2—, а
DP - 2 (а_ . 2в - ЬУЗ.
Аналогично найдем BE = 2d—aJ/r3. Далее
$аве в ~2~ — л УЗ ) « ab —
ь2 Уз
■- ab-
*ADF *= ии — 2
1
«.-=» 2 а Ь
£
что и требовалось.
$ECF= ~2~ (а У 3" — b) (Ь УЗ — с) =л аг УЗ Ьъ УЗ
оЗ
31В9. Последовательности (о*) и (Ьи} определяются так: а*>0, Ьг>0 и при л= I, 2, i «.
вй+> “ а„ + Ьп+1 = 6Я +
Доказать, что а5о+б5о>20.
Решение. Положим сп = (в«+Ь»)®. Тогда
/ 1 1 \2 «»+. - + Ьп + + Ьп)>
> (йд + */»)* + 2 (оя н- *„) (— + —■
'=с» + 4 + 2(т7 + ^)>с-» + 8-
откуда c3^c2-f8, с4^С2+1б, и продолжая, получим, что с5о>с2+48*8.
Но
С, = ((а, -г —) + (а. + -^-)) > 16,]
так что Сбо>50*8, и поэтому або+&5о>20, что и требовалось доказать.
3190. На клетчатом листе бумаги нарисована замкнутая ломаная без самопересечений (простая лома- ная), проходящая по линиям клеток. В граничных клетках конечной области,, ограниченной этой линией. записаны произвольные числа. Записать в остальных клетках этой области некоторые числа так, чтобы каждое вновь записываемое число было равно среднему арифметическому четырех своих соседей. Доказать, что это всегда можно сделать, и притом единственным способом.
Решение. Будем считать сначала, что все граничные клетки заполнены нулями. Тогда оставшиеся п пустых клеток можно заполнить нулями, и мы докажем, что этот «нулевой» способ заполнения единствен.
В самом деле, если занумеровать внутренние клетки в произвольном порядке и обозначить через хи *2> ...» хп числа, стоящие в этих клетках, то среди них есть наибольшее, скажем хР=а, и, представив его как среднее арифметическое его соседей, получим, что
4хр —Xi+Xj+Xh+Xi^a.
Следовательно, все соседи числа xv равны а. Ясно, кроме того, что этот блок из чисел а ограничен граничными точками, в которых поставлены, по предположению, нули. Отсюда следует, что а—0, и таким образом, в рассматриваемом случае пустые клетки можно заполнить единственным образом — поставить нули во всех внутренних клетках.
В общем случае условие задачи приводит к, вообще говоря, неоднородной системе п линейных уравнений с п неизвестными. По доказанному, соответствующая однородная система уравнений имеет единственное решение, а тогда из известной теоремы линейной алгебры следует, что данная система имеет единственное решение, что и требовалось доказать.
3191. Пусть \<dx<d2< <dh<n — все делители на- турального числа п Известно, что d\ + d\~ 1 = п. Найти п.
Решение. Пусть «пятый» и «шестой» делители а и 6 числа п удовлетворяют равенству а2+62—1 =л. Тогда числа а и 6 взаимно просты, и поэтому п делится на их произведение:
a?-\-b2—\—mab. (1)
Из равенства (1) следует, что а2—1 делится на b, b2— 1 делится на а, и мы предположим сначала, что числа а+1 и а—1 оба не делятся на 6, а числа 6+1
и Ь—1 оба не делятся на а. Из этого предположения следует, что числа а и b — составные.
Если каждое из чисел а и b раскладывается в произведение взаимно простых множителей, т. е. a—pq (p<q), b=rs (r<s), то
q<r*=>pq<pr<rst
r<q =Ф- pr<pq,
и в первом случае мы имеем делитель рг числа п между а и 6, а во втором имеется больше четырех (отличных от 1) делителей числа л, меньших а. То и другое противоречит условию, и следовательно, рассматриваемый случай невозможен.
Это означает, что по крайней мере одно из чисел а и b является степенью простого числа. Пусть, например, а=р* Одно из чисел 6+1, 6—1 делится на р, и поскольку при рф2 второе из них уже не делится на р, то оно взаимно просто с р, так что первое делится на р*=а, что противоречит предположению, т. е. a=2h. Так как с и 6 взаимно просты, то в этом случае 6 уже не может быть степенью простого числа, так что 6 имеет вид rs, где г и s взаимно просты (r<s), причем г и s нечетны.
Поскольку а^6, то &^3, и при k>3 имеется по крайней мере 5 делителей числа л, меньших а (это 2, 4, 8, г, s), что неверно, а при &=3 число 2s либо является «лишним» делителем, меньшим а, либо «промежуточным» между а и 6. Мы снова пришли к противоречию. Аналогично приводится к противоречию случай, когда 6=2*.
В результате мы привели к противоречию исходное предположение. Будем теперь считать, что одно из чисел 6+1 и 6—1 делится на а, т. е. 6=а£±1. Тогда равенство (1) можно преобразовать следующим образом: a2+(ak32l)2—l=ma(ak±l)9 a+ak2 ±2k*=*m(ak±l),
(akdt 1)&±&+а=а/п(а&±1)'
(m—k) (ak± 1) —a±k.
В случае «верхних знаков» ясно, что т—кФ0, а при «нижних знаках» из m — k получаем а=&, ,b*=a2—I, и число а+1 является «промежуточным» делителем числа п. Таким образом, в обоих случаях т~кф0, т. е.
|т—k\ 1, так что
|а&±1| \a±k\, (а&±1)2г^! (а±£)2,
(а£±1+а±&) (а&± 1—a^k) ^0,
(а± 1) (&+1) (аЧЧ) (k—1) ^0,
(а2— 1) (k2—1) ^0,
и поскольку а2—1 >0, то fe=l, т. е. 6=а±1, но Ь>а, так что 6=а+1.
Случай, когда одно из чисел а+1 и а—1 делится на 6, сразу же приводит к тому же результату, поскольку а±1<26.
Итак, 6=а+1, и из равенства (1) получаем, что т=2, и остается найти, при каких а число 2а (а+1) имеет «пятым» делителем число а.
Так же как и в начале решения, можно показать, что либо а, либо а+1 является степенью простого числа. Если а=2\ то /?^5 и соответствующие случаи легко перебрать; в результате при а=8 мы получим решение задачи л=144 Аналогично если а+1=2А, то при а=31 получим решение л=1984.
Если а=р* (р>2), то
я=2р*(р*+1) = 4р*<7,
и при k^2 мы имеем по крайней мере 5 делителей п, меньших а, — это 2, 4, р, q, 2р. При &=1 л=4р<у, и если q=srs — составное, то снова имеется 5 делителей, меньших а, — эт;о 2, 4, rf s, q; если q простое, то q^2 (иначе р+1=2? = 4 и а=3), и п имеет лишь 3 делителя, меньших а, — это 2. 4, q. Поэтому в данном случае новых решений не возникает.
54
Случай a+l—P* рассматривается аизлагичао й т* вых решений не дает.
Таким образом, решениями задачи являются числа п— 144 и /г= 1984.
3192. Рассмотрим таблицу размером 8X8 клеток. В каждой клетке записан знак «+» или знак «г—». Одним ходом разрешается менять знаки на противоположные во всех 8 клетках одного столбца или во всех 8 клетках одной строки. Две таблицы называются эквивалентными, если их можно перевести одну в другую серией таких ходов. Сколько существует попарно неэквивалентных таблиц?
Изменится ли ответ, если одним ходом разрешается менять знаки на противоположные во всех 15 клетках, лежащих в одной строке и в одном столбце?
Решение. С помощью рассматриваемых ходов всякую таблицу легко привести к виду, где первая строка и первый столбец состоят из знаков «+». Заполняя оставшийся квадрат 7x7 произвольным образом, мы получим 249 таблиц, никакие две из которых не эквивалентны. В самом деле, если в некоторой клетке в одной таблице стоит плюс, а в другой — минус, то для преобразования одной в другую требуется совершить нечетное число преобразований, затрагивающих эту клетку; среди этих преобразований нечетным будет либо число «строчных», либо число «столбцовых» преобразований, и поэтому в результате получится таблица, в которой либо в первой строке, либо в первом столбце стоит минус. Таким образом, число попарно неэквивалентных таблиц равно 249.
В случае, когда речь идет о преобразованиях третьего типа, нетрудно показать непосредственно, что, «работая» с первыми двумя строками и первыми двумя столбцами, угловой квадрат 2X2 можно заполнить одними плюсами. Аналогично можно заполнить одними плюсами квадрат 2X2 в третьем и четвертом столбцах и третьей и четвертой строках, а также следующие по диагонали два таких квадрата. Поэтому, заполняя оставшиеся 48 мест произвольным образом, мы получим 248 таблиц, так что число попарно неэквивалентных таблиц не больше чем 248. Следовательно, в этом случае ответ меньше, чем в первом.
3193. На международную конференцию приехали делегации из 100 стран. В каждую из них входили президент и премьер-министр. Перед началом конференции некоторые участники обменялись рукопожатиями, но ни один президент не здоровался со своим премьер-министром.
В перерыве президент Иллирии спросил у всех других участников конференции, сколько рукопожатий они сделали. Все полученные им ответы были разные. Сколько рукопожатий сделал премьер-министр Иллирии?
Решение. Каждый участник конференции сделал не более 198 рукопожатий, и поскольку президент Иллирии не входил в число опрашиваемых, то числа, которые они назвали,— это 0, 1, 2, ..., 197, 198. Делегат, сделавший 198 рукопожатий (делегат-198, будем считать его президентом), не поздоровался только со своим премьер-министром. Другими словами, все, кроме этого премьер-министра, сделали хотя бы по одному рукопожатию, и следовательно, делегат-0 — это премьер- министр той же страны, что и делегат-198.
«Удалив» эту делегацию и исключив все рукопожатия с ее членами, мы окажемся в исходной ситуации, но для 99 стран. Аналогично рассуждая, мы убеждаемся, что участники, сделавшие 0 и 196 рукопожатий, также из одной страны Продолжая, получаем, что делегат-99 остался без пары, и поскольку в списке опрошенных нет только президента Иллирии, то этот человек— премьер-министр Иллирии. Таким образом, премьер-министр Иллирии сделал 99 рукопожатий.
3194. В лесу живут гномики трех разных племен: вотываппы, шиллишаллы и пуккы. Некоторые из них дружат между собой. Известно, что:
Аь Если вотываппа v и пукка р дружат с одним в тем же шиллишаллой, то v и р дружат между собой.
А2. Если два разных вотываппы дружат с шиллишаллой s и пуккой р, то s и р дружат между собой.
Л3. Если два разных шиллишаллы и s2 дружат между собой, то можно найти вотываппу, который дружит как с sь так и с
Л4. Для каждого вотываппы v и шиллишаллы s можно найти пукку, который дружит как с v, так и с s.
Доказать теорему: €Если три разных шиллишаллы
все попарно дружат, то найдется или вотываппа, или пукка, который дружит со всеми тремя шиллишал- лами».
Решение. Запишем условие задачи на языке математической логики, где знаки Д, \/, V» 3 означают соответственно логическое следствие, конъюнкцию, дизъюнкцию и кванторы общности и существования. Для удобства рассуждений, чтобы не употреблять индексов при переменных, мы используем буквы различных алфавитов, обозначая вотывапп, шиллишалл и пукк соответственно греческими, строчными латинскими и прописными латинскими буквами. Кроме того, тот факт, что, например, а и Л дружат, будем обозначать символом аЛ.
Тогда на основании утверждений
А] : аа Д Аа => а Л;
Л2: а=5^РД аа Дра Д аЛ Д рЛ =► Аа;
Л3: аФЬ/\аЬ => g а(ааД ab);
А4: уауад Л(аЛДЛа) мы должны доказать утверждение
Т : афЬ/\Ьфс^\афс f\ab Д ас)\/
V 3 А(Аа/\АЪ/\Ас).
Возьмем попарно различные элементы а, Ь, с и предположим, что не существует а такого, что аа/\аЬ Дас. Мы должны доказать, что а А(Аа/\АЬ /\Ас).
Применив условие Л3 для каждой из пар (bt с), (а, с)> (а, Ь), мы получим элементы р, а, т, такие, что
р&Дрс, ста Д ас, ха/\хЬ, (1)
а применив условие Л4 для полученных б пар (р, Ь)9 (р, с), ..., (т, Ь), будем иметь элементы Pt Q, Rt S, Т, U, такие, что
рР/\РЬ, рQ/\Qc, oR Д Rat oS/\Sct
хТ/\Та, хU/\Ub. (2)
Из сделанного вначале предположения и утверждения xa/\xb следует, что тс неверно, так что т^р, т Фоу и аналогично можно получить, что р^а, так что элементы р, а, х попарно различны.
Из условия Л2 получаем, что
хфа Д хЬ Д ab Д хТ Д оТ => ТЬ.
В условии этого следствия первые четыре утверждения истинны, а пятое вытекает из условия Ль ааДГа=Ф- оТ,
поскольку аа и Га истинны вследствие (1) и (2), и поэтому ТЬ истинно. Последнее из нужных нам утверждений (Тс) вытекает теперь из доказанных выше утверждений оТ и ТЬ, а также из Л! и Л2;
pb/\Tb^pT, р=^аДрсДосДрГДоТ => Тс.
Итак, все утверждения Та, ТЬ, Тс истинны, т. е. аЛ(ЛаДЛбДЛс),
что и заканчивает решение.
3195. В квадрате размером 1X1 нарисованы три замкнутые простые ломаные (каждая ломаная может пересекать другие). Играют двое: они по очереди выбирают ломаную (каждый раз другую) и по своему желанию закрашиваюч часть квадрата, лежащую внутри или вне этой ломаной. Первый игрок стремится к
55
тощ, чтобы по окончании игры трижды закрашенная площадь была как можно меньше. Какую наименьшую площадь он может закрасить независимо от ломаных и от игры второго игрока?
Решение. Приведем пример, когда первый игрок не может добиться того, чтобы трижды закрашенная площадь была бы не больше 1/6 (при правильной игре второго), а затем докажем, что он всегда может добиться, ^гобы закрашенная трижды площадь не превосходила 1/6.
Рассмотрим единичный квадрат ABCD, точки К, £, М ъ N делят соответственно стороны ВС и DA на три равные части, а точки Р и Q — середины АВ и CD (рис. 5, а). Первая ломаная — ABKN, вторая — CDML, третья — APQD. Второй игрок всегда имеет возможность закрасить внешнюю часть либо первой, либо второй ломаной, значит, трижды закрашенным будет один из шести равных прямоугольников, на которые заданные ломаные разделили квадрат.
Докажем теперь, что первый игрок всегда может добиться того, чтобы трижды закрашенная площадь была не больше 1/6. Рассмотрим следующую интерпретацию нашей игры. Возьмем куб и запишем в. его вершинах числа а, Ь, с, d, aXt bx, си dx (рис. 5, б) так, чтобы сумма чисел на нижней грани равнялась площади внутри первой ломаной, а сумма на верхней грани — площади вне ее; аналогично передняя грань соответствует внутренней части второй ломаной, задняя — ее внешней части, левая и правая грани соответствуют внутренней я внешней частям третьей ломаной; ребра куба соответствуют попарным пересечениям соответствующих площадей, а вершины — пересечениям трех множеств. Инк- ми словами, в каждой вершине записано число, равное площади пересечения трех соответствующих множеств.
На кубе имеем следующую игру: первый игрок выбирает любую грань куба, затем второй в этой грани выбирает ребро, после чего первый выбирает любую вершину этого ребра. Понятно, что если в какой-то грани найдутся две вершины—концы диагонали этой грани такие, что оба соответствующих числа не больше 1/6, то первый игрок, выбрав первым ходом эту грань, всегда может своим вторым ходом выбрать одну из этих вершин. Докажем, что такая пара вершин существует. Наименьшее из чисел, записанных в вершинах, не превосходит 1/8. Пусть это будет число а. Предположим, что все числа с, bu dx больше 1/6. Тогда сумма a-fc-f m\~dx-\-b\ больше 1/2. Значит, сумма четырех оставшихся чисел меньше 1/2. Таким образом, одно из них меньше 1/8, а одно из трех оставшихся меньше 1/6. Они и образуют нужную пару.
3196. В окружность вписан треугольник ABC, и внутри его взята точка 5. Проекции S на стороны АВ, ВС и АС обозначим соответственно через С\, Ах и Вх, а точки пересечения прямых AS, BS и CS с окружностью, отличные от вершин треугольника,«соответственно
через А2, В2 и С2. Доказать, что треугольники АХВХСХ и А2В2С2 подобны.
Решение. Пусть углы треугольника ABC соответственно равны А, В и С, а Z.BSC—a, Z-CSM = j3, Z-ASB—y. Тогда в треугольниках АХВХСХ и А2В2С2 соответствующие углы будут a—А, fj—В, у—С. Докажем это. Рассмотрим треугольник АХВХСХ (рис. 6, а). Четырехугольник AXCBXS является вписанным, следовательно, Z-BXAXS=Z B{CS. Аналогично Z-CXAXS — A.CXBS Таким образом, Z. BXAXCX = Z. ACS+ZL ЛВ5 = 360°— —Z. САВ—(360°—Z. С SB) —а—А.
Рассмотрим треугольник А2В2С2 (рис. 6,6). Угол CSB измеряется полусуммой дуг ВС и В2С2, следовательно, a=Z-CSB = Z.BAC+Z-B2A2C2, т. е. В2А2С2=а—А.
3197. Каждая точка плоскости окрашена в один из трех цветов. Доказать, что, по крайней мере, один из этих цветов такой, что для любого d>0 найдутся две точки, окрашенные в этот цвет и лежащие на расстоянии d друг от друга.
Решение. Рассмотрим следующую конструкцию, которую будем называть d-семиточием. Как она получается, видно из рис. 7. На этом рисунке ЛИ2Л4, А2АзА4, АхАьА7, A5AqA7 — правильные треугольники со стороной dt кроме того, A^A^—d. Обратим внимание на следующее свойство tf-семиточия: из любых трех точек семиточия, по крайней мере, две находятся на расстоянии d друг от друга. Это легко проверить.
Перейдем теперь к нашей задаче. Предположим, что ни один из трех цветов не обладает нужным свойством. Пусть для первого цвета не реализуется расстояние а, для второго — расстояние b, для третьего — с. Рассмотрим соответственно три семиточия: а-семиточие,
6-семиточие и с-семиточие. При этом их всегда можно расположить таким образом, чтобы никакие 4 точки, не принадлежащие одному семиточию, не образовывали параллелограмма.
Обозначим вершины семиточий соответственно через Ai, Bj, Ch\ i, /, k— 1, 2S 7. Пусть О — произвольная точка плоскости. Рассмотрим всевозможные суммы ОЛ?; +OBj-f OCh- Получим 343 = 78 точек плоскости. Эти 343 точки можно равным образом рассматривать как совокупность из 49 a-семиточий, или 49 6-семиточий, или 49 с-семиточий. Из этих 343 точек, по крайней мере, 114 одного цвета Пусть они первого цвета. Тогда среди 49 a-семиточий найдутся такие, у которых три точки первого цвета. (В противном случае число точек первого цвета не более 2*49 = 98.) Значит, вопреки предположению существуют две точки, окрашенные в первый цвет, находящиеся на расстоянии а друг от друга.
3198. Пусть Di — произвольный выпуклый п-угольник, при 1^1 Di-н — выпуклый п-угольник, вершины которого лежат в серединах сторон Di, Si — площадь многоугольника D, (г = 1, 2, 3, ...).
а) При п—5 выразить S3 через S| и S2;
б) при п~1 выразить SA через Sх, S2 и S3;
в) обобщить полученные результаты для других значений п.
Рис. 5
66
Рис. 7 Рис, 8
Решение. Обозначим через [а, Ь] векторное произ* ведение векторов а и 6; аи £=1, 2, я— векторы, начала которых — в некоторой общей для всех точке внутри многоугольника, а концы — в вершинах; нумерация— против часовой стрелки. Пусть далее
п
1=1
где ап+г=аг•
Докажем, что Qfc+Qn-fc=0.
Рассмотрим слагаемые, содержащие аи
lai-h, аЛ + fab di+k) + [СЦ-n+ft, di] + [Я*, =
= [Л<, (—Gi-k+Cli+k—0i-»+fc+fl*+»~fc) 1 — 0,
поскольку
5<-п+л=а<+л, 5f+n-ft==Of-ft.
Выразим S2, S3 и S4 через Q<. Очевидно,
Sg *=» -gr Qt«
Далее
"" 2 2 • 2 “
1=1 L J
n
e T 2 <[«!. a*+*J + eH**l + [ai+1» —
e“g“ (2Qt + (?*); я
1 ^3 r^/ + 2fl/+i + 0*+*
6jES 2 Zj 4 '
/=1 L
n
ai+t + 2a/+, + а*-и1 1 ,r . , e,
4 - 32 2j ([«*. «М-il +
J /=1
+ 2[a/t в/ч-el + f°/» £/+«]•+ 4 fa л-i, a*+,J + '
+ 2[a/+t, <**+*) + ia^+9, [<2/4.,, a/+8)) =»
*® 1U ^ ^ + Ф*) ^
я “32" *b “Ь Q*)»
n
1 5П Г a; + 3a/+1 + 3a/+2 -f- b* “ 2 8 #
/=i L
+Q4+ 9Qt+9Q3+3Q3—3Qi+ 9Qi+ 3 Q*—Qa— 3Qi+Qt) «*
- Ш (14(?1 + 14& + 6<?3 + <?*).
а) Пусть я=5. Тогда Q3——Q2 и
S3 — *02“ (5Qi + 3Qa).
Имеем: Qi===2Si, Q2==:8S2'~'2Qi=:=8S2-i—45j,
Значит,
s» = w <10S* + 245«—12s«> - ж <125» — s’>-
б) я=7, В этом случае Q4——Q3 и
S4 — J2g (HQi + 14Q* + 5Q3).
Выражая Qb Q2 и Q3 через Sh S2 и S3, найдем Qj = = 2Sb Q2 —8S2—4Sb 03=3253—3252+65!. Следова* тельно,
S4 — 0^r (80S3 - 24S9 + St) •
в) Об этом пункте см. в «Замечаниях к решениям задач».
3199. В плоскости дано 6 отрезков, равных по длине ребрам треугольной пирамиды ABCD (известно, какой отрезок какому ребру равен). При помощи циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине высоте пирамиды, проведенной из вершины А.
4 Решение. Пусть АО — высота пирамиды ABCD, АК и AM — высоты боковых граней ABC и АС О (рис. 8). Тогда ОК и ОМ как проекции соответствующих высот перпендикулярны соответственно ВС и CD. Отсюда сразу следует нужное построение: строим треугольник ABC, а затем отрезки АК и СК (вернее, равные им); точно так же строим AM и СМ; строим треугольник BCD и на его сторонах откладываем отрезки СК и СМ; проведя перпендикуляры к ВС и CD в точках К и М, находим точку О; строим прямоугольный треугольник АКО по гипотенузе А К и катету КО и на ¬ ходим второй катет Л О, являющийся искомой высотой.
3200. Существует ли выпуклый многогранник, у которого 1988 вершин и который обладает следующими свойствами:
а) любые 1987 его вершин можно одновременно увидеть из некоторой точки пространства;
б) все 1988 его вершин нельзя одновременно увидеть ни из какой точки пространства.
Многогранник предполагается непрозрачным.
Решение. Докажем, что при произвольном п^2 существует выпуклый многогранник, имеющий 4п вершин и такой, что все его вершины нельзя одновременно увидеть ни из одной точкй пространства, а любые 4л—1 вершины увидеть можно. Нужный многогранник можно построить, например, следующим образом. Рассмотрим правильный (2п—1)-гранный угол. Возьмем произвольную точку О на его оси и построим (2п—1)- гранный угол, симметричный исходному относительно точки О. Многогранник, ограниченный поверхностями этих двух (2п—1)-гранных углов, обладает нужным свойством. Мы будем доказывать это утверждение в общем виде, иллюстрируя рисунками, соответствующими я=3 (на рис. 9, а показан фрагмент поверхности получившегося многогранника для произвольного я).
Прежде всего заметим, что если существует некоторая точка М, из которой видны все вершины многогранника, то все вершины этого многогранника будут видны и из любой точки, расположенной нз продолжении отрезка ОМ за точку М. При этом понятно, что прямая ОМ не может быть перпендикулярной общей оси (2я—1)-гранных углов —прямой АВ, Значит, если мы возьмем плоскость, перпендикулярную АВ и удален* ную на достаточно большое расстояние от точки О, то
можно. (Из точек внутри многоугольника Л',Л'2... Л'2П_,
видны все вершины, кроме В.) Заметим далее, что для всех плоскостей а расстояние между параллельными сторонами многоугольников А\А'2... Л'2п-1 и В\В'2... ... B'2n-1 одно и то же Пусть R — точка пересечения продолжений сторон многоугольника А\А'2... Л'2П-ь соседних со стороной А\А'2. Плоскость а можно выбрать столь далеко от точки О, что R окажется вне многоугольника В\В'2... B'2n_i. Тогда из точек, расположенных внутри треугольника PQR (см. рис. 9, в), можно увидеть все вершины многогранника, за исключением вершины Bi. Этим завершается наше доказательство.
на любой такой плоскости должны найтись точки, из которых видны все вершины нашего многогранника. Еще одно соображение: множество тех точек пространства, из которых не видна данная вершина многогранника, состоит из внутренних точек многогранного угла, соответствующего этой вершине, лежащих вне многогранника. (Всем вершинам, кроме Л и В, соответствуют трехгранные углы.)
Рассмотрим некоторую плоскость а, перпендикулярную АВ, и продолжим грани нашего многогранника до пересечения с этой плоскостью (рис. 9, б и 9, в; на этих рисунках Аи Л2» Л2п-1 и В\, В2, ..., В2п-} — вершины
многогранника, лежащие соответственно на ребрах (2я—1)-гранных углов с вершинами Л и В; Л'|Л 2... ... Л'2п-1 и В\В'2... B'2n-i— правильные (2л—^«угольники, высекаемые ца рассматриваемой плоскости (2л—1)-гранными углами с вершинами Л и В).
Точка М не может лежать внутри (2л—1)-угольника В'\В'2... В'гп-ь так как из точек этого многоугольника не видна вершина В. Если же точка М лежит внутри угла A'iO'As и вне многоугольника А\А'2... Л'2п-ь то из нее не видна вершина В\. В самом деле, грани трехгранного угла с вершиной В\ пересекают плоскость а по отрезку EF (Е и F — точки пересечения А\А'2 соответственно с B'jBV-i и В'\В'2) и лучам, являющимся продолжениями отрезков В'\Е и B\F за точки Е и
F. Таким образом, точки плоскости а, расположенные вне треугольника EB\F и внутри угла EB\F, находятся внутри трехгранного угла с вершиной В\ и из них не видна точка В j. Из приведенного рассуждения следует, что ни из какой точки пространства нельзя увидеть одновременно все вершины нашего многогранника.
Докажем теперь существование точек, из которых можно увидеть любые (2л—1) вершины многогранника. Понятно, что все вершины/ кроме Л или В, увидеть
Замечания к решениям задач
На нашу просьбу высказаться о целесообразности комплектования целого номера задачами республиканских олимпиад откликнулись, к сожалению, лишь двое читателей — М. Тухтабаев из Янгикурганского района Наманганской области и постоянный участник отдела задач Б. М. Ц а к о е в из пос. Солотча Рязанской области. И если первый из них горячо поддерживает нашу идею, то второй в своем весьма сердитом письме резко ее осуждает, утверждая, что набор, целиком состоящий из весьма непростых задач, «отпугнет» многих читателей, «отучит» их работать с задачами из журнала. Эта мысль определенным образом подтверждается и тем, что на этот раз мы получили значительно меньшее число писем, чем когда бы то ни было. Б. М. Цакоев считает более целесообразным давать особо сложные задачи только среди конкурсных, оставляя для, так сказать, массового любителя задачи традиционного для отдела стиля.
В принципе с такой структурой, вполне стандартной для большинства номеров журнала, можно согласиться, однако нам хотелось бы обратить внимание на следующее обстоятельство. Как известно, мы считаем участие читателя в решении задач достаточно успешным и сообщаем об этом в сводке, если он решил хотя бы 4 задачи из 20 предложенных. Скажем прямо, требования невысокие, особенно если учесть обычную структуру номера, где решить 4 задачи не представляет большого труда.
Тем самым мы не заставляем читателей гнаться за количеством, а успехи заочного соревнования между ними, как нам кажется, определяются в первую очередь решением трудных задач, а не общим числом решений. Поэтому, в частности, опытные и сильные читатели зачастую делают грубые ошибки в решении простых задач, что иногда оказывало существенное влияние на итоги проведенных конкурсов.
Но самое главное, по нашему мнению, состоит в том, что для воспитания у учащихся упорства, настойчивости представляется полезным организовать процесс решения ими задач таким образом, чтобы та или иная конкретная задача решалась в течение долгого времени, постоянно «вертелась в голове» — именно такой подход является, по существу, моделью математического творчества.
В подборке задач № 2 журнала вполне традиционной для нашего отдела *?. на наш взгляд, совсем простой является задача 3181; не представляет особых трудностей и задача 3185, для решения которой геометрическая интерпретация напрашивается сама собой и немедленно приводит к результату.
В задаче 3182 естественно возникает аналогия с широкоизвестным понятием магического квадрата, с кото* рым полезно знакомить в математическом кружке (а ■ может быть, и на уроке) учащихся IV—V классов. Поэтому для решения ее первой части остается лишь
догадаться, что возведете в степень «заменяет» сложение на умножение.
Для решения задачи 3183 требуется лишь самое общее представление о различных системах счисления, т. е, материал программного факультативного курса, а^ идея решения задачи 3184 появляется после некоторой «игры» с вырезанием углового куба.
Другими словами, за 2 месяца, которые были отведены на решение задач, не так уж трудно «завоевать» право быть упомянутым в сводке решении. Поэтому нам кажется, что основной причиной малой активности наших читателей в решении задач Ns 2 журнала была, скорее, необычность предложенных задач, необходимость выбора из них более или менее доступных и настойчивости в поиске их решений.
Серьезного упрека заслуживает, быть может, задача 3190, решение которой требует знаний линейной алгебры, заведомо выходящих за пределы школьного курса и не входящих даже в факультативы. Однако эти знания являются азбучными для любого учителя с высшим образованием. Другим решением мы не располагаем.
Решения задачи 3181 не нуждаются в комментариях, и отметим лишь, что некоторые читатели считали необходимым кроме доказательства требуемого утверждения привести конкретный пример числа, удовлетворяющего условию задачи. Конечно, кашу маслом не испортишь, однако логической необходимости в этом в данном случае нет.
Задача 3182а) решена весьма успешно, а основным недостатком решений задачи 31826) было отсутствие обоснования того, «то 120 является наименьшим значением произведения, или недостаточная убедительность такого обоснования. Впрочем, мы зачли решение этой задачи всем читателям, которые привели правильный ответ и сделали хотя бы попытку соответствующего доказательства.
В задаче 3183 мы привели решение, которое использует фактически только определение позиционной системы счисления. Если учащиеся умеют проводить вычитание «в столбик» в произвольной системе счисления, что, впрочем, делается точно так же, как и в десятичной системе, то решение можно провести и более просто.
Задача 3185 может быть решена в из чисто количественных соображений: с помощью знаков > и < можно составить 8 различных систем неравенств, а три прямые делят плоскость не более чем на 7 частей, и следовательно, по крайней мере, одной из систем не будет соответствовать никакая из этих частей, так что система не будет иметь решений.
В условии задачи 3189 допущена опечатка, и ее решение мы даем для правильного условия. Многие читатели заметили, что в предложенной формулировке утверждение задачи неверно: если ах — Ь\, то ап = Ьп.
Самой трудной оказалась задача 3191, и не только для читателей, но и для руководителей отдела, поскольку авторы этой задачи не представили ее решения, как, впрочем, и решений других задач. Решение получилось весьма непростое, а его, на наш взгляд, основная часть — переход к неравенствам в случае, когда Ь-{-1 делится на а, придумана В. Протасовым, который уже хорошо знаком читателям журнала по геометрическим задачам. Надо сказать честно, что, если бы мы знали заранее сложность этой задачи (если, конечно, авторы не имеют более простого решения), мы разбили бы ее как минимум на три отдельные задачи.
В решении второй части задачи 3192 мы ограничились прямым ответом на вопрос, но более тщательный анализ показывает, что во втором варианте условия можно получить более точный рзультат. Соответствующую задачу мы предлагаем в этом номере журнала.
В решении задачи 3194 мы хотели показать, что логическая символика делает более наглядными связи между 'высказываниями, о которых идет речь в задаче, и путь рассуждений отыскивается почти автоматиче¬
ски: на каждом шагу ясно, каким именно условием можно воспользоваться. Именно для подчеркивания автоматичности поиска доказательства мы не стремились к экономии рассуждений, и поэтому некоторые утверждения, выведенные нами, могут быть опущены. Надо сказать, что решения, присланные читателями, отличаются от нашего лишь отсутствием логической символики, однако в них нет, естественно, и описания того, как им удалось найти нужное рассуждение. В известном смысле разница между нашим и читательским стилями решения такая же, как между алгебраическим и арифметическим способами решения текстовых задач.
Отметим также, что некоторые читатели пытались придумать конкретную геометрическую интерпретацию условия задачи. Однако допускалась логическая ошибка: из того, что все условия и заключение задачи верны в конкретной интерпретации, совсем не следует, что в общем случае заключение следует из условий.
Геометрическая часть начинается с достаточно простых задач. Компактная по формулировке задача 3186 относится к той категории задач, для которых не существует регулярных методов решения и которые тем не менее предоставляют богатые возможности для всевозможных обобщений. Приятной особенностью этой задачи является то обстоятельство, что для ее решения не требуется никаких знаний и опытный решатель не имеет никаких преимуществ перед школьником, начинающим познавать азбуку геометрии.
Задача 3187 по сути алгебраическая. Наличие картинки позволило нам по формальным признакам отнести ее к геометрии. На самом же деле «картинка» несколько камуфлирует истинное содержание задачи и делает это весьма нетрадиционным образом. В своем решении мы оставили «за кадром» первый шаг рассуждения (который затем, как оказывается, можно отбросить) — каждый дом передвигается в точку на шоссе, в которую выходит пешеходная дорожка.
Доказательство в задаче 3188 легко проводится традиционными вычислительными средствами, хорошо освоенными нашими читателями, и они легко с нею справились. «Маленькая хитрость», использованная в нашем решении, позволила существенно сократить объем вычислений.
Решение «игры», описанной в условии задачи 3195, представляет собой своеобразную иллюстрацию к методу «выход в пространство». Пространственная интерпретация позволила нам заменить малонаглядную плоскую конфигурацию достаточно прозрачной пространственной, сразу указывающей оптимальный алгоритм для первого игрока в конкретных ситуациях.
Факт, сформулированный в задаче 3196, достаточно хорошо известен. С его помощью утверждения, относящиеся к «педальным» треугольникам (A/^BjCi), трансформируются в утверждения, относящиеся к треугольникам типа А2В2С2 (у них нет специального названия). Существенная часть решения основывается на хорошо известном нам методе «вспомогательной окружности».
На задаче 3197 следует остановиться особо. Прежде всего, некоторые читатели неверно поняли условие и решали (и решили) другую хорошо известную задачу, что для любого d найдется пара точек одного цвета, находящихся на расстоянии d друг от друга. Все решение сводится к рассмотрению одного <2-семиточия. В данном же условии говорилось о том, что найдется цвет, э котором реализуется любое расстояние. Безусловно, назвать эту задачу оригинальной нельзя, поскольку в качестве нерешенной проблемы (!) она была сформулирована в вышедшей в 1965 г. у нас книге Хадвигера и де Бруннера «Комбинаторная геометрия плоскости». Приоритет в решении этой проблемы принадлежит нашему соотечественнику Д. Райскому, его решение было опубликовано в журнале «Математические заметки» (т. 7, вып. 3, март 1970 г., с. 319). Статья была получена редакцией журнала 10 декабря 19618 г. Для полноты картины остается добавит^ что в тот мо¬
50
мент Дмитрий Райский был учеником выпускного класса школы рабочей молодежи № 105 Москвы. Насколько нам известно, публикация в «Математических заметках» привлекла внимание ряда зарубежных ученых, занимавшихся решением проблемы, закрытой Д. Райским, чье решение и приведено в этом номере журнала. К сожалению, у нас нет сведений о том, насколько успешно справились с решением этой задачи участники той математической олимпиады, на которой она предлагалась. Наши читатели с ней не справились, но ставить это им в укор мы просто не имеем морального права.
Комментарий к задаче 3198 следует начать с напоминания об опубликованной не столь давно в нашем разделе задаче 3039, в которой рассматривался случай п—6 и несколько иное задание: надо было выразить S1 через S2 и Чисто школьного решения мы не знаем. Все попытки обойтись без векторного произведения приводили к трудно преодолимым техническим трудностям. Что касается пункта в), то мы ограничимся тем, что приведем лишь формулы, связывающие площади получающихся многоугольников. Формулы эти, по свидетельству Макса Симона (Simon Max. Ober die Ent- wicklung der Elementar — geometrie im XIX Jahrhun- dert. Leipzig, 1906. S. 165—166), были получены E. Пруэ (E. Prouhet) в середине прошлого столетия. (Никакими сведениями об этом математике мы не располагаем.)
Если п — четное, то имеет место соотношение
-2а
31
(п2 — 22) (л2 —42) 5!
(л* —. 22) (/г2 — 42) (п2 — б2) Л
О4+ , . .
£+1 (я2 22)•...»(п* (п 2)2)
1) (л —1)1 ^ = 0.
2
При нечетном п справедливо равенство л* —1» (гг3— Г) (/г2— З2)
2!
п—1
4!
. + (-1)
(п2— I2)*... -(/г2— (п—2)2)
(я—1)1
+1
Если следовать по пути, намеченному в нашем решении задачи 3198, то главное в пункте в) состоит в преодолении технических трудностей, связанных с суммированием некоторых последовательностей, члены которых выражены через биномиальные коэффициенты.
Может быть, наши читатели подумают над формулами Пруэ и поищут другие, более простые методы их доказательства.
В отличие от двух предыдущих задача 3199 простая и чисто учебная. Задача хороша прежде всего своей идеей, далеко не исчерпанной указанным в ней заданием. Полезно на занятиях математического кружка и просто на уроках стереометрии заняться построением других отрезков, например, равных расстоянию между скрещивающимися ребрами данного тетраэдра, радиусу вписанного или описанного шара и т. д.
Задача 3200 прекрасный образец весьма трудной и типично олимпкадной задачи. В ней две трудности — придумать многогранник и доказать, что он обладает нужными свойствами.
Г, В. Дорофеев, И. Ф, Шарыгин (Москва)
Сводка решений задач, помещенных в № 2 за 1988 г.
Ахмедов И. А. (ГССР) — 81, 82а, 85—88, 99. Его- ров П. В. (Рязань) —81, 82а, 84—86, 88. Зискинд Л. Е. (Винница) — 81—88, 96, 99. Зубилин Н. И. (Орловская обл.)—81, 86, 88, 99. Ильясов М. Н. (Павлодар) — 81,
82, 85—88, 93, 94. Ишметов А. А. (Ташаузская обл.) —
81, 84, 85, 86. Кременецкий Л. М. (Московская обл.) —
81, 83, 85, 86. Лотоцкий Я (Тернополь) — 81, 82, 84—
86, 88. Повелий В И. (Ровенская обл.) —81, 82, 84—88, 94, 96. Трошин В. В. (Волгоградская обл.)—81, 82, 84—86а, 87, 93. Тухтабаев М. (Наманганская обл.) — 81—85, 87, 93. Цакоев Б. М. (Рязанская обл.)—81, 82а, 85—88, 99.
Математические кружки: Республиканского Дворца
пионеров и школьников Алма-Аты (рук. Г. В. Белянская)— 81—88, 93, 94, 96, 99; 7-х классов 6-й шк. г. Винницы (рук. Е. А. Кац)—81—86, 88, 96, 99; «Кол* лективный ученик» Ивьевской шк. Гродненской обл. (рук, В. И. Кот)—81, 82, 85, 86, 88; «Эврика» 79-й шк. Киева (рук. В. Е. Куценок) — 81 —88, 90, 93, 94, 96, 99; студентов подготовительного ф-та Дагестанского мединститута (рук Р. Р Рабаданов) — 81—83, 85, 94; 35-й шк. Кургантепинского р-на Андижанской обл. (рук. М. М. Туйчиев) —81, 82, 84, 86а; 51-й шк. Киева (рук. Б. Н. Школьник) — 81—88, 93, 99; X класса Школьного центра по математике и информатике г. Стара Загора (НРБ) —93, 96, 99. 11-го класса гимназии «Дичо Петров» г. Своге (НРБ) — 81, 85, 88, 96, 99.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1938/89 УЧЕБНЫЙ ГОД
Январь
I января— 100 лет со дня рождения английского математика Эрика Харольда Невилля (1889—1961).
Занимался эллиптическими функциями и численными методами анализа. Из его книг особую известность получили двухтомные «Математиче¬
ские таблицы» (1950, 1956). Был президентом Математической ассоциации и вице-президентом Лондонского математического общества.
5 января — 80 лет со дня рождения американского математика Стевина Коуэла К «I и н и. Преподавал в
Принстонском и Висконсинском университетах (с 1948 г.— профессор). Основные труды по теории алгоритмов и рекурсивных функций, а также по проблемам интуиционистской логики и математики. Введенное им понятие рекурсивной реализуемости формул лежит в основе интуиционистской интерпретации арифметических суждений, Клини — автор ряда монографий по математической логике, основаниям математики и теории рекурсивных функций. Некоторые из них изданы в нашей стране (см.: Боголюбов А. Н. Математики, механики. Киев, 1983),
15 января — 60 лет со дня рождения советского механика и математика Михаила Онуфриевича Бешелей- швили. Родился в с. Баши Грузинской ССР. Окончил Тбилисский университет. Работал в Институте вычислительной математики АН ГССР, в Тбилисском математическом институте им. А. М. Размадзе АН ГССР, затем в Институте прикладной математики им. И. Н. Векуа при Тбилисском университете (с 1970 г.— профессор). Основные труды по математической физике, математической теории упругости, интегральным уравненияем* Заслуженный деятель
60
науки ГССР, лауреат Государственной премии ГССР.
17 января— 100 лет со дня рождения английского физика и математика Рольфа Говарда Фаулера (1889—1944), Преподавал в Кембриджском университете (с 1932 г.— профессор). Основные труды по статистической механике и термодинамике, квантовой теории, астрофизике, теории дифференциальных уравнений. Предложил метод вычисления статистических интегралов (см.: Храмов Ю. А. Физики: Биографический справочник. М. 1983).
22 января — 100 лет со дня рождения советского математика Антона Казимировича Сушкевича (1889— 1961). Родился в Борисоглебске. Выпускник Петербургского университета. Работал в Харькове, сначала в средних учебных заведениях, затем в университете. Научные труды относятся в основном к алгебре. Первым в нашей стране стал заниматься так называемыми обобщенными группами. Автор монографии «Теория обобщенных групп» (1937). Широкую популярность ^получил его курс «Основы высшей алгебры». Кроме того, ему принадлежат пособия «Элементы новой алгебры», «Теория чисел», а также публикации по .истории математики (см.: Успехи математических наук. 1959, Т. XIV. Вып. 1; 1962. Т. XVII. Вып. 2).
27 января — 100 лет со дня рождения голландского физика, математика и инженера Бальтазара Ван дер Поля (1889—1958). Руководил исследованиями в электротехнической лаборатории в Эйндховене. Основные математические труды по теории колебаний. Вывел дифференциальное уравнение, описывающее автоколебания в ламповом генераторе. Для его решения предложил метод «медленно меняющихся коэффициентов» и рас: пространил его на более общий случай. Наряду с Бромвичем и Карсоном дал первое математически приемлемое изложение операционного исчисления (см.: БСЭ. 3-е изд.; Математическая энциклопедия, Т. 4).
27 января — 70 лет со дня рождения советского математика и механика Константина Ивановича Бабенко (1919—1987). Родился в г. Брянский рудник, ныне Ворошиловградской обл. Окончил Харьковский университет и Военно-воздушную инженерную академию. Участник Великой Отечественной войны. Работал в Институте прикладной математики АН СССР (с 1958 г.— профессор). Основные труды по теории функций, функциональному анализу, дифференциальным уравнениям в частных производных, приближенным и численным методам, математической физике и аэродинамике. Член-корреспондент АН СССР, лауреат Государственной премии СССР и премии им. Н. Е.
Жуковского (см.: БСЭ. 3-е изд.
(доп.); Вестник АН СССР. Ш79«
№ 11. Успехи математических наук. 1980. 35. № 2; Прикладная математика и механика. 1987. 51. № 5)*
30 января —370 лет со дня рождения итальянского физика и математика Микеланджело Риччи (1619— 1692). Ученик Э. Торричелли. Труды относятся к аналитической геометрии. В его «Геометрическом этюде о максимумах и минимумах» впервые появился термин «абсцисса». Занимался исследованием касательной к кривой хч-уч— (ах+Ьу+с) *>+« (сил Математика в школе, 1967* № 2)»
Февраль
10 февраля — 150 лет со дня/рождения русского математика-педагога Александра Николаевича Странно- любского (1839—1908). Родился на Камчатке. Окончил Морской кадетский корпус в Петербурге. Был учителем С. В. Ковалевской и А. Н. Крылова. Выдающийся педагог, горячий поборник высшего образования женщин. Автор многих учебных пособий. Его «Курс алгебры, основанный на постепенном обобщении арифметических задач» (1868) был первой методикой алгебры в России (см.: Прудников В. Е. Русские педагоги- математики XVIII—XIX вв. М. 1956; Математика в школе. 1950. № 5.
С. 9—13).
11 февраля —150 лет со дня рождения американского физика, механика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839—1903). Преподавал в Йельском университете (с 1871 г'.— профессор). Как математик разрабатывал вопросы векторного анализа. Благодаря его усилиям векторный анализ стал самостоятельным разделом математики. Внес существенный вклад в развитие математической физики, в частности теории решений дифференциальных уравнений в частных производных, а также теории тригонометрических рядов. Один из основоположников термодинамики и статистической механики (см.: БСЭ.
2-е и 3-е изд.).
14 февраля — 150 лет со дня рождения немецкого математика Германа Ганке л я (1839—1873). Преподавал в университетах Лейпцига, Эрлангена, Тюбингена (с 1867 г.— профессор). Основные труды по теории функций, основаниям арифметики, а также по проективной геометрии. В труде «Теория комплексных числовых систем...» (1867) дал исторический обзор последовательных обобщений понятия числа и сформулировал основной принцип распространяемости на них законов арифметических операций. Эти исследования содействовали развитию учения о кватернионах и теории общих гиперкомплексных числовых систем. По Ганкелю, «идеальная цифровая система должна с помощью воз¬
можно малого числа знаков представлять каждое число в наиболее сжа~ том и наиболее наглядном виде»* Это требование часто называют постулатом Гаекеяя (см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд,; Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963; Депман И. Я. История арифметики. 2-е изд* М.. 1965).
15 февраля —150 лет со дня рождения немецкого математика Адольфа Кристиана Густава Майера (1839— 1908). Преподавал в Лейпцигском и Гейдельбергском университетах (профессор). Основные труды по вариационному исчислению и родственным проблемам, относящимся к механике и дифференциальным уравнениям с частными производными. Известна задача Майера — одна из основных задач вариационного исчисления на условный критерий (см.: Математическая энциклопедия. Т. 3).
18 февраля — 70 лет со дня рождения советского математика Владислава Кирилловича Д з я д ы к а. Родился в с. Сахновщина Харьковской обл. Окончил Днепропетровский университет. Работал в Луцком пединституте, с 1960 г.— в Институте математики АН УССР и в Киевском университете. Основные труды по математическому анализу и теории функций. Разработал аппроксимаци- онный метод решения дифференциальных уравнений. Член-корреспондент АН УС£Р (см.: Украинская советская энциклопедия. 2-е изд.; Успехи математических наук. 1979. 34. № 1; Математика в школе 1978. № 6).
19 февраля—-70 лет со дня рождения советского математика Александра Андреевича Самарского. Родился в Новоивановке, ныне Донецкой обл. Окончил МГУ. Участник Ве-
1 ликой Отечественной войны. С 1948 г.—сотрудник МГУ и Института прикладной математики АН СССР (с 1959 г.—профессор). Вместе с А. Н. Тихоновым выполнил большой цикл работ по созданию однородных разностных схем для дифференциальных уравнений с гладкими и разрывными коэффициентами. Работы А. А. Самарского успешно применяются для решения на ЭВМ актуальных задач науки и техники. Академик АН СССР, Герой Социалистического Труда, лауреат Государственной премии СССР и Ленинской премии (см.: Бородин А. И. Советские математики. Киев, 1982).
22 февраля — 140 лет со дня рождения русского математика Николая Яковлевича Сонина (1849—1915). Родился в Туле. Окончил Московский университет. Преподавал в Варшавском университете (профессор), позже читал лекции на Высших женских курсах и в Петербургском университете* Основные научные результаты касаются теории различных
ц
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
специальных функций: гамма-функ¬
ций и цилиндрических функций, полиномов Бернулли, ортогональных многочленов и т. д. Академик Петербургской АН (см.: Бородин А. И., Бугай А. С. Выдающиеся математики: Биографический словарь-справоч- ник. 2-е изд., перераб. и доп. Киев, 1987),
А. И. Бородин (г. Донецк)
Р. А. Хабибу — 60 лет
31 декабря 1988 г. исполняется 60 лет Рушану Абдулхаевичу Хабибу, заведующему редакцией математики крупнейшего издательства страны «Просвещение»,
Р. А. Хабиб родился в г, Казани. Окончив в 1951 г. математический факультет Казанского университета, он начал трудовую деятельность учителем математики. Годы преподавания в средней школе дали начало многим ярким педагогическим идеям Р. А. Хабиба, с которыми он выступал на «Педагогических чтениях» различного уровня (начиная от городских и кончал всесоюзными). После защиты в 1963 г. кандидатской диссертации Р. А. Хабиб становится доцентом кафедры общей математики Самаркандского университета, однако связи со средней школой не прерывает. На общественных началах он руководит работой юношеской математической школы при Самаркандском университете, математического факультета учительского Университета педагогических знаний.
В 1965 г. Р. А. Хабиба назначают заместителем директора по научной части НИИ педагогики УзССР, где он курирует естественно-математические лаборатории института и его Каракалпакского филиала. В 1973 г. Р. А. Хабибу поручают заведование редакцией математики издательства «Просвещение».
На протяжении всей своей педагогической деятельности Рушан Абдулхаевич Хабиб ведет плодотворную научно-исследовательскую работу. Он автор трех книг, около 70 научных статей. Как член Союза журналистов СССР Р. А. Хабиб ведет большую журналистскую деятельность, опубликовав более 200 статей в различных газетах страны. Активная деятельность Р. А. Хабиба по достоинству оценена — он отличник народного образования СССР. РСФСР, УзССР, отличник печати, награжден медалью К. Д. Ушинского.
Поздравляя Рушана Абдулхаевича с юбилеем, все его многочисленные ученики, друзья и товарищи желают ему доброго здоровья, счастья, дальнейших творческих успехов.
В. А. Гусев, Д. И. Икрамов, Ю. М. Колягин, В. В. Фнрсов
Адмирал корабельной науки
К 125-летию со дня рождения академика
А. Н. Крылова
Выдающийся математик, механик, кораблестроитель, академик, обладатель множества титулов и званий — от генерала царской службы до Героя Социалистического Труда, Алексей Николаевич Крылов родился 3(15) августа 1863 г. в селе Висяга (ныне пос. Крылово Чувашской АССР).
Вместе с отцом, отставным артиллерийским офицером, будущий ученый провел детство в разъездах; проживая на юге Франции, он усвоил французский язык; обучаясь в немецкой гимназии в Риге, овладел немецким и латынью; впоследствии изучил английский и все иностранные языки знал не хуже родного, русского.
«Из всего, что в детстве учишь, все потом забудешь, кроме того, с чем дело иметь станешь, и кроме языков, которым только в детстве и можно научиться на всю жизнь, -*• часто говорил Алеше отец. — Взрослым можно читать да писать выучиться, а язык, хоть он и без костей, не переломаешь, и говорить все будешь с нижегородским выговором, А а жизни знание языков есть первое дело».
В апреле 1877 г. началась война между Россией и Турцией. Начитавшись газетных отчетов о подвигах русских моряков, Алеша, которому не было еще 14 лет, тоже решил стать моряком: он хотел поступить в морское училище в Петербурге. Отец, бывший морской офицер-артиллерист, поддержал сына.
— Моря, Друг Алеша, народы разъединяют, а корабли да знанье языков их объединяют,—- любил повторять отец. — Запомни это.
В сентябре 1877 г. Алеша Крылов поступил в подготовительный пансион в Петербурге; год спустя он блестяще первым из 240 кандидатов не 40 мест -ч- сдал вступительные экзамены. Вся его дальнейшая жизнь была посвящена русскому флоту, кораблестроению и связанным с кораблестроением наукам, прежде всего математике, механике, астрономии.
Обучение в Морском корпусе (Морское училище) велось на самом высоком научном и методическом уровне. Кадетам — так называли воспитанников военных учебных заведе- ний — предоставлялась известная самостоятельность в занятиях, в то же время от них требовали фундамен¬
тальных знаний в области математики и смежных наук. «Как можно меньшему учить, как можно большему научиться самим» — таков был девиз Морского корпуса, и, по свидетельству А. Н. Крылова, следование ему давало самые лучшие результаты.
В эти годы Крылов занимается ма~ тематикой и самостоятельно, «большей частью по французским руководствам». Он изучает университетские курсы, далеко выходящие за программы корпуса. «Так как математика служит основой специально морских предметов, то учиться мне было легко, и я все время шел в своем выпуске первым, имея полный балл по всем предметам»,— вспоминал Крылов впоследствии.
После блестящего окончания корпуса (1884) мичман Крылов направляется в компасную часть Главного гидрографического управления. Уже на первом году самостоятельной работы он изобрел, создал и внедрил в практику новый прибор для определения девиации — отклонения магнитной стрелки компаса под воздействием корабельного железа и магнитных полей. Этот прибор позволял вести корабль в открытом море точнее, чем, например, аналогичный, но гораздо более сложный и дорогой прибор французского адмирала Фурнье. Морской технический комитет рекомендует морскому министру России «ввести прибор на судах» и выдать Крылову премию в размере 1000 руб. — деньги в конце Х!Х в. немалые.
В 1888 г. Крылов поступает на кораблестроительное отделение Морской академии, два года спустя блестяще заканчивает ее (с занесением имени на Мраморную, доску академии) и оставляется «для подготовки к профессорскому званию», т. е. в аспирантуре.
Преподаватель, а с 1896 г. профессор Крылов обучает будущих моряков математике и кораблестроению; одна за другой печатаются его научные работы. В 1908 г. Алексей Николаевич, оставаясь профессором академии, становится Главным инспектором кораблестроения России и председателем Морского технического комитета. Он проектирует и консультирует строительство первых русских линкоров. Его пост настолько значителен, что он имеет право личного доклада царю.
В 1916 г. «флота генерал-лейте- нант», член-корреспондент Российской академии наук (с 1914 г.)
А. Н. Крылоэ был представлен к избранию в академики, к назначению директором Главной физической обсерватории и одновременно началь¬
ником Главного военно-метеорологического управления.
Алексей Николаевич подает рапорты: он возражает против назна* чения на административные должности; он занимался и продолжает заниматься совсем другими проблема-” ми. Однако назначение уже объявлено и утверждено царем. Несколько месяцев спустя А. Н. Крылов высказал более категоричное возраже* ние: ни в той, ни в другой должно- сти компетентным себя не считает; полагает бесполезным «своею подписью придавать видимый вес, а званием академика — мнимый научный авторитет бумагам, составляемым в Управлении. В самую техническую сущность этих бумаг по отсутствию специальных познаний я входить не могу, а если бы стал это делать, то вызвал бы лишь напрасные проволочки... И я должен сидеть в обсерватории и исполнять роль механического штемпеля, которым стукают по бумагам»,
Вскоре непременный секретарь академии С. Ф. Ольденбург сообщил, что общее собрание академии «с глубоким сожалением выслушало» заявление Крылова и «с глубоким прискорбием согласилось» освободить его от должности.
Несмотря на дворянское происхождение, генеральский чин и руководящее положение в дореволюционном морском ведомстве, А, Н, Крылов по искреннему убеждению и велению совести в 1917 г. переходит на сторону восставшего народа. Он руководит восстановлением и строительством Красного флота. С 1919 г, Крылов — начальник Морской академии. В 1921 г. Совнарком направляет его на несколько лет за границу во главе группы ученых — для восстановления научных связей, закупки оборудования и научной литературы...
С 1928 г. академик Крылов возвращается к научной и педагогической деятельности. Помимо специальных дисциплин, связанных с теорией и практикой кораблестроения, он постоянно читает курсы математики» механики, начертательной геометрии. Ему принадлежит более 300 печатных работ: курсы лекций и расчеты кораблей, статьи по теории кораблестроения, артиллерии, механике, тео^ рии приближенных вычислений... Одной из важных заслуг Крылова ярля- ется перевод с латыни основного труда Ньютона «Математические начала натуральной философии», опубликованный впервые в 1916 г, и вошедший позднее в качестве тома VII в собрание сочинений ученого.
Многие работы А. Н. Крылова не потеряли практического значения и поныне. Ученики Алексея Николаевича и ученики его учеников продолжают и развивают исследования замечательного ученого.
В 1982 г. по заказу Академии наук СССР построено новое крупное судно для исследования морских течений, В ознаменование заслуг А. Н. Крылова в морском деле судну присвоено его имя.
Около 50 лет Алексей Николаевич преподавал математику и связанные с ней дисциплины в различных учебных заведениях, неоднократно высказывал весьма ценные соображения по вопросам обучения и прежде всего — обучения математике.
Многие педагогические мысли А. Н. Крылова весьма актуальны и в наши дни.
Еще в 1890-х гг., начав преподавательскую деятельность в Морском корпусе и Морской академии, он составил несколько докладных записок, касающихся обучения математике и другим предметам.
«Чтобы предложить меры к устранению малоуспешности учебных занятий кадет младшего специального 1 класса, считаю необходимым высказать причины, которые, по моему мнению, ее вызывают, — говорится в «Записке 1» (1895); — Причины эти следующие.
1. Недостаточное умственное развитие для ясного понимания преподаваемых в специальном классе наук... Принятые в корпус 12-ти лет, они попадают к 15 годам в младший специальный класс. За три года они должны вполне усвоить: повторительный курс арифметики, элементарную алгебру, геометрию и тригонометрию плоскукэ, кроме всех общеобразовательных предметов. Одолевая все памятью, они не вдумываются в сущность предмета.., и являются в специальный класс совершенно неразвитыми и утратившими способность самостоятельно мыслить, что видно по их ответам — они не соображают, а припоминают.
2. Ставшая обычаем практика давать... переэкзаменовки по трем и четырем предметам, а в некоторых случаях и по большему числу их, да не по одному разу из каждого предмета, а по нескольку раз.
Благодаря такой системе, принятый в младший приготовительный класс с весьма плохой подготовкой малоразвитой мальчик, имея плохой годовой балл и не выдержав экзамена по арифметике, алгебре, геометрии, получает несколько переэкзаменовок; его экзаменуют до тех пор, пока он не попадет к снисходительному экзаменатору или... благодаря искусному репетитору, который в три дня сумел заставить уче¬
1 Поступавшие в Морской корпус обучались 3 года в подготовительных классах (общеобразовательная подготовка), а потом еще 3 года — в специальных*
ника запомнить нужные ответы, чтобы тотчас же после экзамена он их забыл.
Попав в старший приготовительный класс, этот юноша уже совсем не учится ни по алгебре, ни по геометрии с уверенностью перейти — и действительно совершенно так же переходит в специальный класс».
Отметим, что и сегодня, почти 100 лет спустя, наша система образования «больна» теми же болезнями! Правда, страдают от этого не несколько десятков кадет, о которых беспокоился Крылов, а десятки миллионов учащихся наших школ, техникумов, вузов.
Далее Крылов предлагает меры для устранения этих «причин»; «по математическим предметам давать переэкзаменовки не более как из одного предмета, и то лишь в случае удовлетворительного годового балла... Имеющих неудовлетворительные отметки по двум и более предметам — не допускать до экзамена...»
В «Записке 2» (год спустя) резко критикуется прием в Морской корпус не выдержавших экзамена «по протекции» или «по предпочтению»:
«„.ввиду предпочтения, отдаваемого детям флотских офицеров, зачастую принимался не выдержавший сын офицера и не принимался выдержавший сын неморяка... поэтому на экзамены стали являться конкуренты все в меньшем числе, которое теперь стало равным или немногим больше числа вакансий, вследствие чего экзамен бесполезен. Такой порядок комплектации корпуса равносилен желанию создать привилегированную касту, которая бы сама себя пополняла; но такая каста именно в силу своего привилегированного положения осуждена на упадок и вымирание — лишь борьба и конкуренция ведут к совершенствованию.
Если придерживаться строго устава, что и необходимо, то из второгодников очень многие будут подлежать исключению из корпуса, поэтому надо будет допустить прием во все классы до младшего специального включительно... Такого порядка обновления состава и удаления малоспособных и ленивых необходимо придерживаться и на будущее время.
...При преподавании русского языка первое требование, чтобы будущий морской офицер приучался ясно, толково и грамотно выражать свою мысль. Его же учат славянской грамматике с аористами2, правилам стихосложения, требуют, чтобы он умел отличать и ямб от хорея, и анапест от амфибрахия, чтобы он из
2 Аорист — грамматическая временная форма в некоторых (главным образом древних) языках.
63
риторики знал, что такое синекдоха, метонимия3 и прочую схоластическую премудрость... В результате оказывается, что синекдоху знают, амфибрахий с амфибией не смешивают, а десяти слов толково и грамотно написать не умеют. В таком же положении находится преподавание истории, отчасти географии, о так нозываемом естествоведении и говорить нечего... Репетиторство, в особенности казенное, должно быть применяемо с крайней осмотрительностью... Кадет, имеющий репетитора, обыкновенно не потрудится даже заглянуть до его прихода в тетрадь или книгу, а тем болеэ сам решить задачу; очевидно, что за несколько лет такого учения он вполне и навсегда утрачивает способность что-либо самостоятельно обдумать и сообразить»,
В «Записке 3» говорится о весьма серьезных требованиях к математической подготовке поступающих в «Политехническую школу» и «Морскую школу» во Франции («Ecole Polytechnigue», «Ecole Navale»):
«...о чем-либо подобном у нас в России нет и помину (я сам экзаменовал несколько лет для поступления в Институт путей сообщения). Такие требования в «Политехнической школе» выработались сами собой, вследствие постоянно возрастающего числа конкурентов — до 2000 человек на 225—250 вакансий.» На экзамен в «Морскую школу» является 700—1000 конкурентов, из коих принимается 75».
Еще 100 лет назад А. Н. Крылов возмущался показухой, липовой отчетностью о результатах обучения. «Вновь назначенный начальник Морского корпуса, — читаем мы в «Воспоминаниях», — приказал все баллы ниже 84 считать неудовлетворительными; преподаватели и начали ставить 8 вместо 6, балл средней успеваемости поднялся почти на 2 единицы — а брат царя великий князь Алексей Александрович... выразил свою августейшую благодарность за повышение успеваемости».
(А не с этого ли начальника брали пример чиновники от педагогики, при явном попустительстве которых столь пышным цветом разрослась процентомания в народном образовании, от которой мы и по сей день никак не можем избавиться?)
Немало внимания уделял А. Н. Крылов и принципам обучения — прежде всего принципам обучения математике.
3 Синекдоха, метонимия — так называемые тропы, т. е. слова, употребляемые в необычном (например, переносном) смысле, чаще всего в поэтической речи.
4 По 12-балльной системе; удовлетворительной оценкой считалось 6 бал¬
лов.
«Надо различать развитие науки от изложения начал ее учащимся», которым приходится слышать излагаемые истины впервые и усваивать устанавливаемые понятия вновь, — пишет он 5. — Стремление № полной строгости ведет к тому, что многие истины, кажущиеся очевидными, приходится подтверждать длинными доказательствами, ибо эти истины надо свести к сделанным аксиомам, не допуская чувства и здравого смысла... Такое направление преподавания уместно в университетах, да и то на старших курсах, и совершенно неуместно в средней школе».
Крылов считает необходимым «несколько поступиться в требованиях безукоризненной строгости... более сообразоваться с практическими целями преподавания». В средней школе следует стремиться научить главным образом пользоваться арифметикой, алгеброй и другими математическими средствами, «а не зада* ваться превыспремной и недостижимой целью развития способности точного логического мышления».
Особенно не любил Алексей Николаевич «теорем о существовании», в результате рассмотрения которых учащийся после нескольких часоз строгих рассуждений убеждается, например, что искомый предел существует, но по-прежнему не знает, как его найти-
Крылов понимал, что уровень образованности определяется не столько объемом сведений, усвоенных в школе, сколько общим развитием выпускника, владением основами наук, умением самостоятельно добывать недостающие сведения. «Школа не может давать вполне законченного знания, — писал он. — Цель школы— дать основы знания, дать общее развитие, дать необходимые на выки... Главная задача школы — научить учиться. Для того, кто в школе научился учиться, практическая деятельность будет наилучшей школой на всю его жизнь».
Будучи долгие годы профессором Морской академии, Алексей Николаевич не мог не заметить, что некоторые офицеры приходят в академию без достаточной подготовки и учатся без особой охоты. «Если офицер „насильно” помещен в класс,— замечает он, — то будет работать без всякого желания извлечь пользу и приобрести познания; будет стараться выполнять требования лишь настолько, чтобы не подвергаться взысканиям. Принудительные же работы для взрослого человека вряд
5 Как тут не вспомнить слова Ф. Энгельса: «Способ изложения не может с формальной стороны не отличаться от способа исследования» (Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 23. М,: Политиздат, 1960. С. 21
ли уместны в учебном заведении».
(А ведь и наши старшеклассники (и даже студенты1) выполняют подчас требования «лишь настолько, чтобы не подвергаться взысканиям». Некоторые не боятся даже «исключения из заведения»: они считают, что за их право на образование должен отвечать педагог!)
Крылов не уставал повторять, что как школьнику, так и студенту важно не столько накапливать сведения, запоминать факты, сколько уметь осмысливать каждый факт самостоятельно. Кроме того, Алексей Николаевич постоянно предостерегал профессоров и преподавателей от чрезмерного увлечения деталями «своей» науки.
В выступлении на совещании профессоров ЛКИ 14 июля 1941 г, он сказал: «Никакая школа не может дать готовых инженеров. Но она обязана дать основные познания, основные принципы, некоторые основные навыки и умение прилагать знания к делу... В оснрву учебных планов кладутся программы. Каждая программа составляэтся специалистами по данному предмету, и они всегда склонны излагать предмет в полном объеме... А ведь студент может уделить на изучение этого предмета лишь небольшую часть года или полугодия... Сдав зачет или экзамен, студент стремится как можно скорее «освободить голову» для следующего предмета...
В старину московские купчихи откармливали к рождеству гусей. Гуся зашивали по шею в мешок и пичкали горохом и орехами; так же поступали и с индюком; они и жирели. Подобно этому часто поступают со студентом: его пичкают на лекциях знаниями, но не оставляют ему достаточно времени для обдумывайня, усвоения и настоящего изучения предмета...»
(Эти рекомендации Алексея Николаевича актуальны и сегодня. В самом деле: до 40, а подчас и еще больше часов обязательных занятий в неделю не оставляют студенту времени ни для работы с книгой, ни даже для обдумывания того, что он услышал на лекции.)
Несколько месяцев спустя Крылоз повторил основное содержание этого выступления на расширенном заседании Президиума Академии наук. Оно было опубликовано в «Вестнике АН» (1941. № 9—10. С. 76) со следующим примечанием: «Президиум
Академии наук СССР считает вопросы, выдвинутые А. Н. Крыловым, имеющими общее значение и заслуживающими особого внимания».
А. Н. Крылов был первым, кто разработал строгую теорию приближенных вычислений.
— Я заметил,— вспоминал впоследствии Алексей Николаевич, — что в справочниках, русских и иностранных, рекомендуемые приемы числен-
64
HBix вычислений могут служить образцом, как не надо делауь: ведь вычисления должны производиться с той точностью, которая необходима для практики.
В $892 г., читая будущим морякам курс теории корабля, он начал с рас- суждений о приближенных вычисле- • ниях вообще — и показал, что во многих случаях 90 % (а в одном примере даже 97 %) работы, проведенной вычислителями, оказались ненужными*
Крылов пишет обстоятельную статью о принципах приближенных вычислений вообще и в морском деле в частности. В 1894 г, статью напечатал французский морской журнал.
Из года в год читает Крылов лекции о приближенных вычислениях — в качестве введения в специальные морские курсы. В 1906 г. лекции были литографированы. Пять лет спустя вышла книга «Лекции о приближенных вычислениях», по которой учились чуть ли не все инженеры как до 1917 гм так и в советское время.
Крылов тщательно следил за соблюдением правил вычислений — во всяком случае, в морских учебных заведениях и в подведомственных ему, главному инспектору кораблестроения России, морских учреждениях. «Когда главный корабельный инженер Севастопольского порта указаний о кораблестроительных вычислениях не выполнил, то был по моему представлению уволен», — читаем мы в «Воспоминаниях».
— Помните, что каждая неверная цифра — это ошибка, всякая лишняя цифра — это пол-ошибки, — говорил он курсантам Высшего военно-морского училища им. Ф. Э. Дзержинского 1 октября 1945 г. (за несколько недель до своей смерти). — Снимая с чертежа ординату, скажем,
12,37, вы возвышаете ее в куб и выписываете все 11 цифр, но уже четвертый из найденных вами знаков является неверным.
A. Н. Крылов по праву считается инициатором создания Политехнического института в Петербурге.
На встрече кораблестроителей в Лондоне (1898) он познакомился с молодым немцем, который делал доклад об устойчивости судов. Это был студент выпускного курса Высшего технического училища в Берлине (Шарлоттенбург) Людвиг Гюмбель.
Возвращаясь через Берлин в Россию, Алексей Николаевич встретился с Гюмбелем, который представил его руководителю кораблестроительного отделения профессору Фламу; тот показал Крылову отделение и рассказал о нем.
Вернувшись в Петербург, А. Н. Крылов представил в Морское министерство обстоятельный доклад о работе Высшего технического училища в Берлине и особенно его кораблестроительного отделения. Одновременно он внес предложение о создании в Петербурге политехнического института для подготовки инженеров.
По докладу Крылова Морское министерство обратилось в Министерство народного просвещения и в Министерство финансов (май 1898 г.), Заработала бюрократическая машина. Осенью 1899 г. было решено («с высочайшего соизволения») соорудить на участке, приобретенном в Сосковке, в 8 верстах от Финляндского вокзала, главное здание будущего института, а также общежитие студентов и дом с квартирами для преподавателей. В институте намечалось открыть 4 отдела: экономический, металлургический, электромеханический и кораблестроительный. В 1902 г. Политехнический институт принял первых студентов.
Деканом кораблестроительного от*
дела предложили стать Алексею Николаевичу; однако к этому времени он, оставаясь профессором Морской академии, стал еще и заведующим Опытовым бассейном (для испытания моделей судов); а потому дал согласие лишь разработать учебные планы и читать лекции; деканом же рекомендовал известного корабельного инженера К. П. Боклевского, На каждом курсе кораблестроительного отдела обучалось вначале по 24 студента.
В 1921 г* на базе отдела создан кораблестроительный факультет, который в 1930 г. выделился в самостоятельный Ленинградский кораблестроительный институт (ЛКИ). Ныне ЛКИ имеет несколько факультетов, на которых различным специальностям обучаются свыше 8 тыс. студентов.
В заключение приведем слова чле- на-корреспондента АН СССР, адмирала флота И. С, Исакова: «В лице академика Крылова мы видим редкое сочетание исключительно многогранного ученого, истинного советского патриота, отличного моряка и изобретателя-инженера».
Литература
в{рьш®8 А, И, Мои воспоминания. М.: Судостроение, 1984.
Лшилии В. Алексей Николаевич Крылов, М.: Молодая гвардия, 1983.-— (ЖЗЛ).
Лучиш&шв С. выдающийся кораблестроитель, математик и педагог. М.з Учпедгиз, 1959.
Хаэювич И. Г, Академик А. Н. Крылов. Л.: Наука, 1967.
Штрайх С. Алексей Николаевич Крылов. М,: Военмориздат, 1956.
Яновская Ж. Адмирал корабельной науки. Л,: Детгиз, 1955.
А. Я. Халамайзер (Москва)
Памяти К. Г. Спатару
18 июля 1988 г. оборвалась жизнь заслуженного учителя Молдавской ССР, отличника народного образования, замечательного математика-методиста Константина Георгиевича Спатару. Ушел из жизни педагог-энтузиаст, посвятивший всю свою деятельность совершенствованию преподавания математики в средней школе, делу, которому он был страстно предан.
Константин Георгиевич родился 1 июня 1906 г. в молдавском селе Точены Леовского района. Окончив математический факультет Ясского университета, он работал учителем математики в Кишиневе. В 1942— 1944 гг. К. Г. Спатару в рядах Красной Армии сражался с фашистскими захватчиками. После демобилизации в ноябре 1944 г. он был назначен инспектором Управления школ Министерства просвещения республики. С 1967 г. К. Г. Спатару — заведующий редакцией математики, физики и астрономии Молдавской советской энциклопедии при Академии наук МССР. Все это время он постоянно вел занятия на курсах переподго¬
товки учителей при ИУУ, публиковал на страницах журналов статьи (всего свыше 50) по различным вопросам преподавания математики, организовывал республиканские математические олимпиады школьников.
К. Г. Спатару было написано около 20 книг по самым трудным и методически мало разработанным темам элементарной математики. Такие его книги, как «Решение задач по геометрии с применением тригонометрии», «Абсолютная величина числа и ее применение при решении задач и примеров», изданные на русском и молдавском языках, оказали неоценимую помощь учителям, особенно молодым.
Человек кипучей энергии, исключительно трудолюбивый, ’ Константин Георгиевич продолжал трудиться до последних дней. В рукописях остались его работы «Век-, торы в упражнениях и задачах», «Координаты в упражнениях и задачах», «Исследование функций и построение графиков с помощью производной».
Светлая память о Константине Георгиевиче Спатару навсегда сохранится в памяти и сердцах тех, кто его звал.
Б. В, Грренштейн
ф ЗА РУБЕЖОМ
Роль определения в математической деятельности учащихся1
С. Крыговскзя (ПНР)
Критическое отношение к крайним проявлениям реформы обучения математике, проведенной в 1960—1970 гг. (сейчас эти крайности связываются с направлением в методологии математики, известным как «бурбакизм»), переносится в настоящее время вообще на формальные элементы школьной математики. Заметна тенденция к уменьшению влияния формализма на язык школьной математики, к ограничению области применения формализма, насколько это возможно, лишь введением символики и терминов. Она проявляется в сокращении количества четко сформулированных определений, теорем, правил. Их место занимают специальные циклы примеров и описательные определения.
Согласно взглядам противников формализма, выдвижение формальных элементов в изучаемом материале на первый план и соответствующая организация контроля препятствуют проявлению творческого отношения к учению: затрудняется формирование интуиции, меньше внимания уделяется разработке планов и гипотез, вообще, ограничивается математическая активность. В особенности ставится под сомнение роль определений, которым уделялось много места в рамках формальной дедуктивной системы. Подчеркивается, что в обучении математике на основе наглядности и интуиции определения возникают как естественный итог математической деятельности учеников; но такой способ введения определений исключается, если содержание и структура математического образования подчинены формальной системе. На этом замечании противники формализма особенно настаивают еще и потому, что лишь малая часть учеников школ станут профессионалами-математиками.
Один (но не единственный) источник изложенной тенденции — реакция на вскрытые неверные установки в обучении математике. Однако, бросившись из одной крайности в другую, пусть даже с самыми лучшими намерениями, можно лишить школьную математику об* щеобразовательных ценностей, связанных с принципиальными особенностями математики и ее языка. Разумное ослабление формалистического стиля, отказ от чрезмерного увлечения терминами и символами, упор на сознательность усвоения, развитие интуиции и эвристических сторон мышления отнюдь не должны опираться на разрушение структуры учебного предмета и отказ от усвоения наиболее ценных качеств математического языка—точности, ясности, краткости, конкретности.
В данной статье рассматривается один из аспектов затронутой проблемы — явная формулировка определений. Определение, сформулированное как учеником, так и математиком, должно быть, помимо всего прочего, адекватным тому, что именно нужно определить. Это условие кажется противоречивым, так как предполагает знание предмета, который еще не определен. Можно подумать, что определение используется лишь в общении и, следовательно, вообще не требуется тому, кто его формулирует.
1 Редактирование перевода статьи с польского языка выполнил А. #. Блох.
Дело, однако, обстоит иначе. В рамках некоторой системы входящий в нее объект начинает жить собственной жизнью. Проявляемые им свойства оказываются зависящими в первую очередь от отношений, которые имеются в данной системе, но почти не зависят от первоначального подхода к нему. Принятая в данной системе дефиниция, т. е. текст определения объекта, выявляет такие его свойства, которые вступают в противоречие с первоначальным интуитивным подходом. Анализ таких новых свойств ведет к уточнению интуиции. Свойства объекта, открытые в результате анализа, могут служить исходным пунктом дальнейшего развития системы и, в свою очередь, дать толчок развитию более изощренной интуиции.
В школьной математике дедукция обычно ограничена малыми частями изучаемого материала, она «локальна». Определение служит для введения объекта в некоторую подсистему, и, по-моему, оно должно играть в этой подсистеме роль, сходную с ролью определения в общей дедуктивной системе. Но это не самое главное с точки зрения задач математического образования. Определение, понимаемое как процесс поиска описания абстрактного объекта при помощи средств математического языка, обсуждение возникающих при этом формулировок могут служить прекрасной возможностью для глубокого проникновения в понятие и для развития языка. Эта форма работы должна быть важной частью математической деятельности учеников. Анализ уроков, на которых ученики пытались давать определения понятиям, известным раньше частично или интуитивно, выявляет общеобразовательную ценность этого вида деятельности Приведем примеры поиска определений на уроках, сгруппировав их по видам определений.
> 1. Отыскание описательного определения,
не расширяющего объем понятия
На наглядном уровне понятие прямоугольника хорошо известно 12-летним ученикам. Они встречались с ним уже в начальных классах Само слово «прямоугольник», обороты речи типа «форма прямоугольника» они слышат и употребляют в повседневном общении. На уроке, который мы наблюдали, учитель стремился упорядочить знания учеников о прямоугольниках (понятие параллелограмма им было уже известно). Он спросил: «Какую геометрическую фигуру вы назовете прямоугольником?» Из известных ученикам свойств прямоугольников они пытались отобрать те, которые, по их мнению, характеризуют прямоугольники наиболее естественным образом. Среди ответов содержались следующие: «Прямоугольник — это четырехугольник»,
«...это параллелограмм», «...это четырехугольник, имеющий прямые углы» (или «прямые углы и равные противоположные стороны», «прямые углы и равные диагонали»). Ответы учеников — исходный материал для обсуждения, направляемого учителем в нужное русло. Во время обсуждения выяснилось, достаточно ли сведений в каждом ответе, чтобы иметь полное представление о прямоугольнике, надо ли включать в определение все данные, считают ли учащиеся прямоугольником такой объект, как квадрат. Возникла возможность изменить ошибочные мнения, провести обоснования. При этом ученики овладевали полезными приемами анализа данных, подведения итогов, выделения условий и т п.
Но нахождение определений в процессе беседы и уточнения позиции не расширяет области известных ученикам математических объектов. Деятельность учителя и учащихся выступает здесь как средство упорядочения некоторых фактов, развития математической речи, анализа ситуаций Применять этот прием введения определения, разумеется, можно лишь в случае, если ученики активно участвуют в обсуждении, и при условии, что такой процесс вызывает живой интерес
класса, как это было на уроке, где проводилось описанное выше обсуждение. Ученики спорили, сравнивали ответы, приводили контрпримеры, сопровождали их рисунками на доске.
2. Формулировка определения путем обобщающего описания
Расширение известного ученикам круга математических понятий в ряде случаев можно связать с нахождением определения путем обобщающего описания. Приведем несколько примеров,
А. На пятом году обучения ученики знакомятся с понятием выпуклой фигуры. В одном из классов это было организовано так. Рассматривались контурные карты нескольких вымышленных стран. Ученики отвечали на вопросы: «Всегда ли можно соединить две точки страны на карте прямым путем, не пересекающим границу?» По этому признаку ученики разделили страны на два типа: безопасные и опасные. Жители безопасной страны могут, не покидая ее, добраться по прямой из любой точки страны в любую другую; для опасной страны такого пути может не быть. Учитель ввел термин выпуклая фигура для изображений безопасных стран. После небольшого числа упражнений ученики научились различать выпуклые и невыпуклые фигуры. Теперь ребят попросили написать письмо другу — ученику того же класса (ученики обмениваются письмами попарно) и рассказать в нем, как надо понимать выражение выпуклая фигура. Оказалось, что текст своего письма многим пришлось дополнять устным разъяснением. Ребята были довольно критически настроены по отношению к чужим формулировкам, так что возникшее обсуждение получилось живым и поучительным.
Анализ формулировок привел к интересным заключениям. В письмах сказались разные уровни владения выразительными средствами языка, которые выделил Г. Фрейденталь. Например, встречался «язык рисунков»: в качестве объяснения ученик поместил рисунки выпуклых и невыпуклых фигур. Появлялись и не всегда удачные попытки использовать «язык структур отношений». В данном случае это выражалось в том, что рисунок выпуклой или невыпуклой фигуры дополнялся изображениями отрезков, соединяющих некоторые точки этих фигур. Попадались и правильно построенные описания, например: «Из одной точки фигуры в другую всегда можно провести отрезок, содержащийся в выпуклой фигуре. В невыпуклой фигуре бывает, что это невозможно». Видно, что в этом ответе отражен опыт «путешествий» по вымышленным странам. Отметим также использование кванторов «всегда», «бывает».
Нет нужды на данном уровне освоения понятия стремиться к полной формализации. Здесь самое важное — переход от рассмотрения исходного сюжета к математическим представлениям. Введение формального определения, его усвоение, расширение и уточнение объема введенного понятия можно провести только в дальнейшей беседе и при умелом руководстве ею. Допустим, учитель спрашивает: «Выпуклая ли фигура отрезок?» Некоторые ученики отвечают отрицательно: «Отрезок не выпуклый, он прямой». Тогда учитель задает второй вопрос: «Можно ли каждую его точку соединить с любой другой отрезком, целиком в нем содержащимся?» Ответ, конечно, утвердителен. «Значит... — учитель делает многозначительную паузу, подготавливая учеников к парадоксальному для них выводу,— отрезок тоже выпуклая фигура». В такой беседе учитель нацеливает ребят на формальный путь применения ими же предложенных определений. Это пока что еще очень осторожный шаг вперед в направлении осознания роли определений в математике.
В. С периодическими функциями 14-летние ученики еще не встречались. На одном из уроков учитель решил дать им представление о таких функциях до систематического изучения тригонометрии, так как ребята
обычно отождествляют класс периодических функций^ классом функций тригонометрических.
Учитель поставил задачу достроить схематически графики функции;
1) /(*) = {*}. xgR;
2) g(х) = (х—2л)2, х ё [2п—1; 2а + I] а п е Z;
3) h (х) = НОД (х; 6), х еМ,
После построений ребята заметили, что графики имеют общую важную особенность. Один из учеников дал ее интересное описание: можно сделать шаблон части графика; в первом случае длина шаблона равна 1, во втором — 2, в третьем — 6; если передвигать его вдоль оси абсцисс, то можно изобразить весь график. Для функции f достаточно перемешать шаблон на 1 в обоих направлениях, для g — на 2 в обоих направлениях, для h — на 6 в положительном направлении.
Учитель попросил описать выделенное свойство, пользуясь не геометрическими, а арифметическими понятиями, т. е. как свойство функций, а не их графя- ков. Затем он сообщил, что рассматриваемое свойст-* во называется периодичностью, и попросил дать определение периодической функции (в классе речь шла только о периодических числовых функциях). Так математический мир ученика обогатился новыми абъек- тами.
Работа над определением на данном этапе не может считаться законченной. Следует убрать несущественные признаки, связанные с конкретными примерами, рассмотреть контрпримеры, поработать над текстом. Особое внимание надо обратить на то, чтобы основанием для подведения итогов служила формулировка определения, данная самими учениками, формулировка, выработанная в ходе обсуждения, постоянных уточнений и исправлений. Еще раз подчеркнем важный момент анализируемого подхода: ученики з качестве данных имели геометрические объекты (графики функций), а описание требовалось получить на ином языке -— арифметическом. Замена языка является здесь некоторым элементом формализации, доступным для 14-летних.
С. Опишу теперь интересный прием введения понятия предела последовательности. По плану, разработанному учителем, сначала следовало определить равенство предела нулю, а затем установить, что iima«=g как lim(a«—g)=0.
На доске учитель изобразил числовую ось, отметил на ней точки, соответствующие дробям со знаменателями вида 2k, и рассмотрел последовательность, заданную формулой а*= (-—1)*/2*. Одному из учеников учитель поручил отсчитывать номера, а другой одновременно с названием номера указывал значения аи на оси. Все ребята в классе должны были представить себе клоуна, прыгающего по точкам аи а2, .... По обеим сторонам от нулевой точки на расстоянии 1/2 от нее поставили «заборчики». Учитель задал классу^ вопрос: «Будет ли подана команда, начиная с которой клоун навсегда останется прыгать внутри заборчиков?» Затем заборчики сблизили на расстояние 1/7 от нулевой точки, и вопрос повторился. В конце концов было предложено установить заборчики на отметках ±1/100. Оказалось, что показать эти заборчики на оси теперь уже невозможно. Ученикам пришлось отыскивать ответ, называя члены последовательности подряд до члена а7=—1/128. Только в этой точке клоун попал между заборчиками и будет оставаться между ними. Ребята сформулировали окончательный ответ: начиная с седьмой команды клоун будет находиться между заборчиками, удаленными от нуля на 1/100. Учителю осталось только развить эту ситуацию, задав вопрос: «Что будет, если расстояние от заборчиков до нуля станет равным 1/1050?». Здесь не годились ни рисунок, ни простой перебор. Ученики самостоятельно пришли к мысли о необходимости решить в натуральных числах неравенство (1/2)*<(1/10)50 и нашли ответ; *>50/lg2. После вы¬
67
кладок они увидели, что начиная со 167-й команды клоун будет находиться между заборчиками, расположенными на расстоянии 1/1050 от нуля.
Затем учитель поставил проблему: описать изученную ситуацию на языке математики, без прыгающих клоунов. Расстояние от заборчиков до нуля он предложил обозначить буквой 8 (традиционным в математике обозначением). Ученики без труда осуществили перевод: имеется положительное число е (расстояние от заборчиков до нуля), дана последовательность k^ak (правило прыжков клоуна), требуется узнать, найдется ли такое натуральное число п (такая команда п), что для каждого т>п (начиная с команды п) —8<аш<е (клоун прыгает между заборчиками). В нашем случае ответ таков:
Если 8^1, то [—lg e/lg2] + l; если 8>1, то
п=].
Работа в классе продолжалась в виде рассмотрения аналогичной задачи для последовательности k -> Ьь, где &*=(—1 )kip(k) и p(k) — наибольший простой делитель числа к. Оказалось, что в этом случае дело обстоит ииаче, чем для последовательности k->ak. Если заборчик установить на расстоянии меньшем, чем 1/2 от нуля, то клоун будет время от времени выпрыгивать за участок, ограниченный заборчиками. Осталось описать ситуацию математически: существует такое число 80, что для любого п найдется натуральное' число /я0!>/г, для которого
*т0<~Е. ИЛИ 0.
Сопоставление этих двух примеров привело к определению понятия предела последовательности, равного нулю. Термин' ввел учитель, уточнив' формулировки, предложенные учениками. В процессе обсуждения он задавал наводящие вопросы типа: «Что нужно знать, чтобы иметь уверенность в равенстве нулю предела данной последовательности? Как доказать, что предел последовательности равен нулю?» и т. д.
Существенно, что к формулировке формального определения, в котором присутствуют целых три квантора, ученики подошли, используя математические представления для описания предметных действий, предъявленных в образной форме. Непосредственно вслед за первоначальной формулировкой шло ее уточнение и преобразование к виду рабочего правила для доказательства (равенства предела нулю), причем и здесь опорой служили примеры, приведшие к формулировке определения. Такой способ введения форма льно-логической
структуры определения облегчил учащимся ее усвоение.
Обратим внимание на один общий вопрос. В описываемых примерах учитель не шел по пути непосредственного предъявления четкого, окончательного текста. Напротив, несмотря на заведомые трудности, он искал подходящие дидактические приемы, направленные на конструирование учениками собственного определения, ибо оно и усваивается, ч запоминается легче. Такими приемами служили: разложение сложных представлений на отдельные простые ситуации, побуждение учеников к активному анализу конкретных образных ситуаций в сочетании с последующим применением к ним уже известного математического аппарата. Использовались также идеализация, экстраполяция, преобразование определения к виду цепочки шагов, облегчающих его применение и усвоение.
По нашему мнению, такой способ обучения целесообразно применять на любом уровне, если есть необходимость в уточнении научного понятия. Нам не раз приходилось наблюдать такой момент: ученик, характеризуемый как неспособный, который и сам признавал себя таким, при работе над определением смог преодолеть весьма существенный барьер в формировании математического мышления. При этом процесс бътл настолько естественным, что ученик барьера не заметил и оперировал обобщенными математическими
понятиями так же свободно, как в начальной школе он учился правильно жестикулировать, рисовать и читать,
3. Формулировка определения посредством конструктивного описания
Этот способ введения понятия содержит две характерные черты: 1) исходным пунктом служат нечеткие очертания, первая идея об объекте, который в дальнейшем станет предметом определения; формулировка определения является не столько описанием чего- то готового, сколько очередной модификацией объекта, возникающего «на глазах», 2) человек, дающий определение, обладает некоторой свободой в предъявлении отдельных частей всей конструкции.
При простом описании ученик выбирает одно из известных ему свойств определяемого объекта и считает его условием в дефиниции. При обобщенном описании это условие проявляется в предлагаемых к рассмотрению примерах, а затем оно используется как общее условие в дефиниции. В конструктивном же описании условие в дефиниции дается самим учеником.
Приведем пример этого процесса, который мы наблюдали в классе 14-летних учеников. Учитель задал вопрос: «На плоскости даны точка и множества Что следует понимать под расстоянием от данной точки до данного множества?» Ученики спорили, делали рисунки, предлагая разные подходы. Все они стремились к тому, чтобы описать «самый короткий путь от точки до фигуры». Наконец один из учеников представил ситуацию следующим образом: «Имеется круг с центром в данной точке. Круг растет, как мыльный пузырь, расширяется и расширяется, пока не коснется множества. Радиус этого круга и есть расстояние от его центра до данного множества». В этот момент вмешался учитель и предложил применить это определение к различным случаям: а) фигура представляет собой внутренность некоторого круга, а точка находится вне этого круга; б) фигура произвольна, а точка принадлежит этой фигуре; в) фигура — внутренность какого-то квадрата, а точка выбрана на контуре квадрата. Сопоставление привело учеников к последовательным уточнениям, усовершенствованию текста определения. В конце концов предложена дефиниция: «Пусть существует круг с центром в данной точке и не содержащий внутри себя точек данного множества. Тогда расстояние от данной точки до данного множества — радиус самого большого такого круга. Если же такого круга не существует, то расстояние от точки до фигуры равно нулю».
Конечно, это еше не очень удачное определение. Но на данном этапе обучения, когда ученики не знают понятия границы числового множества, а стиль преподавания геометрии навязывает им определенные образы в качестве исходных, эта их дефиниция может считаться не только формально верной, но и адекватной тому, что желали назвать расстоянием от точки до множества. (Заметим, что приведенное определение по отношению к плоскости эквивалентно определению, основанному на понятии нижней грани числового множества.) Для учеников было очевидно существование «самого большого» круга, не содержащего внутри себя точек множества, для случая, когда данное множество непусто, а центр круга не принадлежит ни данному множеству, ни его краю (т. е. замыканию).
Представленная ситуация отличается от предыдущих степенью свободы учеников в их высказываниях о предмете изучения, в изменении точек зрения, в ходе которого «проигрывались» различные определения, происходило уточнение интуиции, связанной очень общим пониманием расстояния как меры «самого короткого пути».
4. Формулировка определения, основанная на аналогии и переносе
Разнообразные проявления инициативы учеников в обсуждении определений можно наблюдать при переходе от планиметрии к стереометрии. Применяя к известным плоским объектам (фигурам и преобразованиям) «операцию увеличения размерности», учащиеся конструируют их пространственные аналоги.
Нам приходилось наблюдать, как 17-летние ученики самостоятельно разрабатывали понятия, доказывали теоремы, относящиеся к трехмерной мере Жордана, опираясь на аналогию с известной им плоской теорией меры (размерность поднимается путем замены квадратов на кубы). Также самостоятельно ученики определяли ряд топологических понятий (окрестность точки, внутренность множества, область), заменяя круг шаром, а окружность сферой.
Но и ученики младше 17 лет при изучении локальнодедуктивного курса геометрии также могли производить подобный перенос. Например, мы были свидетелями того, как в ходе беседы они смогли преобразовать определение параллельных прямых (на плоскости) таким образом, что оно стало отвечать их представлению о параллельности в пространстве. В ходе такой беседы школьники определили перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей. Такая деятельность имеет большую общеобразовательную ценность. Ученики начинают понимать, что некоторые определения можно без изменений перенести из планиметрии в стереометрию (отрезок, луч). Они видят также, что при переходе из плоскости в пространство некоторые определения нужно дополнить условием «лежать в плоскости» (окружность, шестиугольник). Но есть и такие определения, которые, будучи «перенесенными в пространство» без изменений, приводят к более общим понятиям (ломаная).
В некоторых случаях возможны различные способы переноса. Демонстрация этих случаев приводит учеников к мысли об условном характере определений. Например, если считать тетраэдр аналогом треугольника и «поднять по размерности» медиану грани тетраэдра, то получится сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через медиану грани и противоположную вершину. Ученики, однако, не решаются на эту операцию, хотя легко соглашаются с тем, чтобы назвать медианой тетраэдра отрезок, концы которого — вершина тетраэдра и центр тяжести противоположной грани. Тогда из теоремы о делении медиан треугольника точкой их пересечения, «поднимая размерность» получаем аналог— теорему о делении медиан тетраэдра точкой их пересечения в отношении 1:3. Высказанную гипотезу следует подтвердить доказательством.
Учитель должен ограничить свое участие в такого рода рассуждениях. Ему необходимо следить лишь за тем, чтобы беседа имела деловой характер, отсекать несерьезные и бессмысленные высказывания. Особую роль играет участие в таких обсуждениях слабоуспевающих учеников, которые могут проявить в них свою творческую активность.
5. Формулировка определений на основе классификации
Классификация естественно приводит к определению. Покажем это на примере урока с 15-летними учениками, с которыми предварительно было изучено понятие изсметрии как преобразования «плоскости в плоскость», сохраняющего расстояния, а также понятие осевой симметрии как особого рода изометрии, имеющей ровно одну прямую неподвижных точек. Другие примеры изометрии с учащимися еще не рассматривались в основном курсе геометрии, но из пропедевтического курса они звали о физическом движении, имели наглядные
представления о параллельном переносе и повороте на плоскости.
На уроке учитель объяснил, что любая изометрия плоскости является осевой симметрией или результатом последовательного выполнения двух или трех осевых симметрий. Эту теорему он предложил использовать для классификации множеств изометрий на основе количества и взаимного расположения осей симметрий. Попытка достигнуть цель привела к возникновению таблицы—-основы будущей классификации (см. рис.). Учитель подчеркнул, что некоторые из позиций этой таблицы могут содержать одинаковые преобразования. Классификация нуждается в исключении таких случаев. На чертежах учащиеся рассмотрели поочередно все позиции и пришли к следующим выводам: I — множество осевых симметрий; II — множество параллельных переносов; III — множество нетождественных поворотов. Множества IV и VII оказались пустыми. Учащиесй увидели, что композиция трех осевых симметрий с осями, имеющими общую точку или параллельными, является осевой симметрией. Множество V ученики описали как состоящее из последовательного выполнения параллельного переноса и осевой симметрии. Относительно множества VI было установлено, что оно состоит из пово* ротов с последующей осевой симметрией.
Дальнейшее исследование, однако, показало, что каждый поворот с последующей осевой симметрией можно представить как параллельный перенос с последующей осевой симметрией. В конечном итоге классификация множества изометрий свелась к позициям I, II, III и V (причем позицию V надо дополнить условием аФЬ), которые определили нечто вроде «геометрии симметрий». Учитель задал вопрос: «Как можно было бы определить в рамках этой классификации («нашей геометрии») параллельный перенос и поворот?» В ответ ученики сформулировали определение, основанное на композиции осевых симметрий. Такое определение явилось одним из проявлений математизации, направленной на использование принятой классификации*
6. Формулировка определения путем выделения частного случая
Старшеклассникам, познакомившимся с тетраэдром, учитель предложил выделить особые, интересные, по их мнению, виды тетраэдров. Поступили предложенияз равнобедренный тетраэдр, т. е. тот, у которого в одной вершине сходятся три равных ребра (аналог равнобедренного треугольника) j
69
равносторонний тетраэдр, значит, имеющий только равные ребра (аналог равностороннего треугольника);
прямоугольный тетраэдр, имеющий такой трехгранный угол, у которого каждые два ребра перпендикулярны (аналог прямоугольного треугольника).
Учитель сказал, что эти определения в математике не приняты, но выделенные учениками формы заслуживают внимания, поскольку изучение таких тетраэдров приводит к интересным наблюдениям. Например: в прямоугольном тетраэдре квадрат площади грани, противоположной трехгранному углу с прямыми плоскими углами, равен сумме квадратов площадей остальных граней. Это аналог теоремы Пифагора для тетраэдров.
7. Формулировка определения посредством обобщения известного определения
Объясняя на уроке понятие предела функции е точке, учитель рассмотрел функцию q(x) — [x) и сравнил ее с функцией Дирихле:
<р (л:) = 0 при х рациональном,
<р(лг) = 1 при х иррациональном.
Ученики заметили основную разницу: первая функция в каждой точке имеет левый и правый пределы (в интуитивном смысле), но они не совпадают. Учитель сообщил, что в математике имеются соответствующие термины, и назвал их, а определения предложил сформу¬
лировать самостоятельно. Модифицируя определение предела функции на промежутке путем «ослабления» соответствующих условий, учащиеся получили формулировку нового определения — предела функции в точке.
Заключение. Приведенные примеры не исчерпывают всех ситуаций, способствующих формированию у учащихся умения давать определения понятий. Они, однако, показывают возможности включения учеников в разнообразную деятельность, заслуживающую внимания и учителей, и методистов. Сказанное не означает, что при обучении нельзя знакомить учеников с готовыми определениями. Наоборот, оба пути равноправны. В любом случае правильно организованная деятельность учеников служит для них школой применения языка математики, элементов математического метода, некоторых эвристических приемов.
Описанные приемы работы с определениями в большей мере относятся к старшим классам средней школы. Но осторожно вводить соответствующие методические приемы можно и раньше. Не следует только стремиться к преждевременной формализации и настаивать на этих приемах в случае, когда они не оправдывают себя. Это относится также и к самостоятельной формулировке определений учениками. Недостаткам, присущим чрезмерной формализации, не следует противопоставлять сложности, связанные с организацией математического творчества. К успеху может привести только разумное сочетание формализованных и эвристических сторон в обучении математике,
Анализ японских учебников по математике для I—VI классов
Ю. Mr Колягин, М> Б. Ткачева (Москва)
Никого уже не удивляет, что качество почти любой японской продукции — лучшее в мире. Проникнуть в суть «японского феномена» пытались многие ученые: историки, экономисты, психологи, литераторы, социологи. Но пока они сходятся в одном: з силу самых разнообразных условий Япония, помимо воспитания в определенных моральных нормах уникального отношения к труду у всех членов общества, заимствует, преломляя через свою специфику, все лучшие достижения мировой науки, техники, технологии и культуры.
Так и в области образования: японская школа, переосмыслив, использует лучшие европейские и американские методы обучения. Например, в ней весьма популярен так называемый метод проектов, при котором класс делится на группы и перед каждой из них ставится своц «проект-задание». На уроке класс нередко разбивают на 6—7 групп (при наполняемости класса около 40 человек) путем перераспределения посадочных мест в зависимости от успезаемости учащихся. В группах идет индивидуальная работа: обсуждаются ответы на вопросы учителя, вырабатывается общий ответ.
Распространен прием дискуссий, когда учитель «сталкивает» между собой мнения учащихся, учит возражать, оценивать ответ собеседника и свой собственный.
В японской педагогике традиционно сильна наглядность. В учебниках много иллюстраций, схем, чертежей, таблиц, инструкций по проведению опытов и практических заданий, указаний по изготовлению поделок. Все это способствует организации самостоятельной работы учащихся.
Характеристика программы по математике для школ Японии приведена в статьях В. Нш Шапкиной и С. Ми¬
не, Б. В. Гнеденко и Р. С. Черкасова (см.: Математика в школе. 1973. № 6. С. 86—89; 1979. № 6. С. 64—67;
1988, № 5. С. 72—76). Последняя публикация по этому вопросу появилась в журнале «Математика в школе» совсем недавно, но она основана на анализе другого комплекта учебников (в японских школах функционируют сразу до 8 учебных комплектов, написанных разными авторами). В статье Б. В. Гнеденко и Р. С. Черкасова были подробно перечислены темы, изучаемые в каждом классе. Поэтому мы на таком перечислении останавливаться не будем. Попытаемся показать лицо учебников, т. е. дать краткий анализ их структуры, оформления и методических подходов к введению нового материала.
Авторский коллектив рассматриваемых учебников состоит из 28 человек (Утида А., Курода С., Такэути Р., Года X. и другие). Среди них профессора, методисты, учителя, директора начальных школ.
В состав комплекта, упакованного в одну картонную папку, помимо учебников для I—VI классов входят методические указания для учителя по использованию комплекта и таблица для учителя, позволяющая ориентироваться в распределении курса по темам и содержательным линиям, В уровнях сложности заданий.
Курс математики в японской начальной школе группируется вокруг четырех главных содержательных линий, которые развиваются в основном концентрически: числа н действия над ними (Л), величины и их измерения (В), геометрические фигуры (С), математические отношения (D).
В I классе в явном виде реализуются только содержательные линии А и В (хотя подготовка к изучению вопросов линий С и D проводится). Начиная со II класса реализация всех четырех линий идет параллельно.
Основные темы I класса: счет от 1 до 100, сложение и вычитание двузначных чисел, деление на равные части. С первых страниц учебника школьник на интуитивной основе знакомится с понятием соответствия. По ярким, занимательным картинкам ребенок
70
сам устанавливает: хватит ли, например, реем зайчатам подарков, лисятам — подброшенных вверх мячиков, птицам — сучков и т. п. Аналогичных сюжетов немного, но линия соответствия в той или иной форме прослеживается до своего явного проявления при рассмотрении функциональных понятий.
Значительное внимание уделяется практическим навыкам: навыкам счета, измерений, вычерчивания различных фигур, моделирования, систематизации наблюдений, измерений и вычислений.
Немало страниц в учебнике, оформленных в занимательной форме. В I классе применяются различные игры, способствующие заучиванию пар чисел, из которых складываются все числа до 10. Например, на уроке, а затем в свободное время, дети играют в игру «Загони щелчком в круг», которая заключается в следующем. На листе бумаги изображены круг и прямая, его не пересекающая. «За прямой» ставят 10 пластмассовых фишек. Каждый играющий должен соизмерить силу щелчка так, чтобы загнать фишку в круг. При многих проигрываниях неоднократно повторяются различные комбинации фишек вне и внутри круга, моделируя пары чисел, сумма которых равна 10 (рис. 1),
О
о
с
о
о
1 1
о
V о J
о
В играх часто используются игральные кости. Прямо в учебнике предложены «нуриэ» — раскраски, в которых нужно найти в замысловатом узоре прямоугольники, треугольники, кружки и раскрасить их указанными цветами.
Во II классе материал также распределяется в соответствии с четырьмя ранее названными содержательными линиями:
A. Группировка предметов по общим признакам и их подсчет. Сложение и вычитание трехзначных чисел. Таблица умножения. Свойства сложения и умножения. Счет до 10 000.
B. Измерение и вычисление длин (сантиметр, миллиметр, метр) и объемов (литр, децилитр).
C. Треугольники и четырехугольники (прямоугольники, квадраты). Развертка прямоугольного параллелепипеда (изготовление картонных коробок).
D. Формулы. Символы равенства и неравенства. Составление задач по картинкам. Определение местонахождения предмета в «сотах» (ряд, место). Знакомство с таблицами; занесение в таблицу результатов измерений, вычислений, наблюдений.
Таким образом, в разделе D осуществляется развитие трех направлений; алгебраическое, функциональное и статистическое.
В учебниках нередко при решении задач, при разъяснении законов сложения и т. д. используются практические ситуации: определение стоимости покупки в магазине; разрезание цветной бумаги на различные части; раскрашивание специальных раскрасок; моделирование и т. п.
Bill классе рассматриваются:
А. Четыре арифметических действия. Расчеты с большими (около 10 000) числами. Умножение двузначных чисел. Сложение и вычитание на японских счетах (соробан), Остаток от деления.1 Десятичные и обыкно¬
венные дроби (примеры простейших действий с ними)'.
Изображение чисел на числовой оси.
B. Расписание уроков и время. «Малое время» (секунды). Покупки в магазине. Измерение длины (дорога; карта местности). Километр. Масса тела.
C. Окружность, круг, шар. Треугольники (равнобедренный, равносторонний). Угол.
D. Определение неизвестного компонента во всех арифметических действиях. Формулы. Таблицы и графики (столбчатыё диаграммы).
В учебниках для II и для III классов значительное место продолжает занимать игровая основа введения и запоминания основных понятий (помимо специальных игр, выделенных в отдельные рубрики). Так, умножение чисел закрепляется в результате игры «Забрасывание бит в круг». Из-за черты играющие бросают биты по направлению концентрических окружностей. Попадание в центральный круг или в удаляющиеся кольца оценивается определенным числом очков.
«Передвигаясь» по карте, разбитой на одинаковые квадраты, дети учатся ориентироваться в плоскости по направлению частей света, вычислять длины маршрутов, определять свое местоположение на плоскости, проводить устные вычисления. В последующих классах эти навыки поддерживаются задачами на определение стоимости проезда в зависимости от против женности маршрута.
В курс математики IV класса входит следующий материал:
Л. Сложение и вычитание, умножение и деление десятичных дробей. Различные обозначения чисел (арабские, римские цифры), исторические сведения. Прибли- женные значения чисел. Обыкновенные дроби. Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями* Совместные действия с целыми и дробными числами.
B. Угол (величина угла, способы его построения)* Вычисление площадей различных фигур путем разделения их на прямоугольники.
C. Способы построения параллельных и перпендикулярных прямых. Четырехугольники (трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат). Прямоугольный параллелепипед и куб (развертка; параллельные и перпендикулярные ребра и грани). Единицы площади (см2, м2, км2).
D. Расчеты по формулам с учетом последовательности выполнения действий. Свойства числовых равенств (прибавление к обеим частям одного и того же числа). Нахождение неизвестного по условию текстовой задачи. Графики в виде ломаных линий.
В IV классе остается ведущим принцип наглядности. Проиллюстрируем его применение в различных ситуациях.
Изучается так называемый способ компенсации, который позволяет записывать уравнение с двумя неизвестными, зависимость одной величины от другой, например, с помощью такой картинки: □ «Зх Д.
Законы арифметических действий также записываются с применением символов, отличных от алгебраических (рис. 2).
При определении положения точки в пространстве указанием трех ее координат само это пространство изображается не координатными прямыми, а представляется «выложенным» из кубов, по ребрам которых
Рис. 2
□ + О = О + □ , (□ 4- о) + Д = □+ (СН-А),
oxo^oxd, (пх о)х д=пх(охл),
71
движется данная точка (длина ребра каждого куба — 1).
После построения графика функции в виде ломаной линии отдельно изображают три ее участка (рис. 3, а—в). При рассмотрении каждого из них вводятся термины, описывающие характер «протекания процесса»: увеличивается (рис. 3, а), уменьшается (рис. 3, б) не изменяется (рис. 3, в).
В IV классе школьники накапливают статистические навыки. Например, в течение недели они совместно с врачом школы собирают и заполняют табл. 1, а затем на ее основе сами составляют табл. 2, которая помогает определить наиболее опасное, с точки зрения возможности травматизма, место в школе (где, возможно, будут устранены причины травм).
Таблица 1
!
о
•
к
Дни недели
Год обучения (класс)*
Группа
Имя, фамилия пострадавшег
Место получе ния травмы
Повреждение: часть тела
Вид травмы (ушиб, вывих и т* д.)
Таблица 2
фигур путем разбиения их на треугольники. Длина окружности и площадь круга.
C. Конгруэнтные фигуры (треугольники, четырехугольники), соответствующие вершины, углы, стороны. Сумма внутренних углов треугольника, четырехугольника. Окружность, круг, сектор, правильный многоугольник (построение его с помощью окружности).
D. Последовательные наблюдения, выявление закономерностей. Формулы с буквой (нахождение значения х). Отношения, пропорции, проценты. Круговые и столбчатые диаграммы с использованием процентов. (В приложении дана диаграмма скоростей движения различных животных, технических средств передвижения.)
Положительной особенностью всех рассматриваемых учебников, с нашей точки зрения, является то, что введение нового материала в них всегда, когда это возможно, начинается с разбора практической задачи. Такой подход в полной мере реализуется и в учебнике для V класса, что видно на примере изучения гемы «Среднее значение».
Объяснение начинается с практической задачи: «Разлить поровну воду в три одинаковых стакана, если сейчас в них находится соответственно 105 см3, 100 см3 и 125 см3 воды». Условию сопутствует рис. 4. Решение
Рис. 4
задачи разобрано в учебнике и завершено пояснительной диаграммой (рис. 5).
Для лучшего запоминания свойств, правил и т. п, с помощью средств наглядности активизируется зрительная память учащихся. Приведем примеры.
Нахождение места запятой в произведении после умножения десятичных дробей оформлено следующим образом;
а)
6) t
V
Рис. 3
Место получения травмы
Поврежденная часть тела
нога
рука ...
коридор
лестница
Краткое содержание учебника V класса:
A. Умножение и деление десятичных дробей. Четные и нечетные числа Кратное и общее кратное, делители и общие делители. Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю. Четыре действия с обыкновенными дробями. Совместные действия с целыми числами, десятичными и обыкновенными дробями.
B. Объем, единицы объема (см8, м8, л). Различные способы измерения длины, площади, объема; среднее значение. Измерения с помошью частей своего тела. Скорость; задачи на движение. Вычисление площадей
4.23.-.......2 знака)
3.4 ..........1 знак j
16 9 2 12 6 9
1 4.3 8 2,
.3 знака*-
,rrw"
%
1
&
1
%
1
$
А
ф
Ул
%
4
ъ
&
%
%
к
ъ
%
%
1
0 2
1 - I,
к I
± — _2_ — А 2 ~ 4 ~ б
bid-J
А __ АХО □ □ X О
Рис. 5
Рис. о
П
Возможность умножения числителя и знаменателя обыкновенной дроби на одно и то же отличное от нуля число поясняется по рис. 6.
Общее правило умножения дроби на число формулируется словесно и затем записывается схематически (рис. 7).
Использование аналогичной символики (не числа и не буквы) для рассматриваемых учебников очень характерно и весьма удачно соответствует возрастным особенностям восприятия учащимися элементов алгебры.
В V классе японской школы не изучаются признаки равенства треугольников, однако подробно рассматриваются алгоритмы построения треугольника: а) по трем заданным сторонам, б) по двум сторонам и углу между ними, в) по стороне и двум прилежащим к ней углам. С помощью треугольника, вырезанного из цветной бумаги (стороны листа окрашены разными цве-' тами), при минимальном текстовом пояснении обосновывается тот факт, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°. На рис. 8 показан порядок выполнения перегибаний бумажного треугольника до тех пор, пока углы при вершинах треугольника ни сложатся в развернутый угол.
Таблица 3
Количество фишек по одной стороне квадрата
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Разность между числом белых и черных фишек
2
3
Во второй половине V года обучения вводится поня« тие формулы с буквами. Объяснение сопровождается схемой, указанной на рис. 10 (т. е. знакомое обозначение неизвестного числа пустым квадратиком заменяется буквой х или любой другой буквой). Рассматриваются формулы типа у—Х’ 4+50. По ним учащиеся прослеживают изменение одной величины у в зависимости от другой — х. Учащиеся решают также задачи на нахождение значения х из равенств типа х-4-{-50= = 370. Причем во многих случаях с помощью уравнения находят неизвестный элемент геометрической задачи или стоимости купленного товара.
В теме «Величина, приходящаяся на единицу количества» равноправно рассматриваются такие понятия, как цена товара, плотность вещества, скорость движения (и других процессов), плотность населения. Затем в книге показаны образцы решения (с использованием таблиц) задач на движение навстречу, в одном направлении, на заполнение сосудов с помощью двух кранов. По графикам учащиеся сравнивают скорости протекания процессов.
В V классе рассматривается и тема «Последовательные изменения», являющаяся пропедевтической к изучению последовательностей. Школьники учатся наблюдать закономерности в изменяющихся по определенным правилам явлениях, заносить наблюдения и вычисления в таблицы.
Например, рассматриваются задачи, аналогичные следующей: «Найдите закономерность в изменении количества черных и белых фишек на рис. 9 (изменения
Рис. 10
Пропорциональность чисел и количеств рассматривается одновременно с процентами. Для наглядности используется «круглый график» — круг со 100 делениями по окружности, внутри которого последовательно строятся секторы, чьи площади находятся в заданном отношении. Отметки, установленные по окружности, помогают выражать найденные соотношения в про» центах.
Формула длины окружности выводится эмпирически различные круглые тела прокатывают по линейке с де* лениями, находя тем самым длины различных окружностей, При этом каждый раз вычисляют отношение длины окружности к ее диаметру, убеждаясь всякий раз, что оно близко к 3.14. После этого данное отношение принимается равным 3.14.
Площадь круга находят, разрезав его на равные секторы (рис. 11, а) и выложив из этих секторов фигуру, изображенную на рис. 11,6. Площадь этой фигуры стремится к площади прямоугольника со сторонами nR и /?.
щ |Ц|Ш
происходят до 10 фишек на одной стороне квадрата). Посчитайте разницу между белыми и черными фишками, Заполните табл, 3»g
Рис. 11
Укажем теперь содержание курса математики VI к л а с с а:
A. Все действия с целыми числами и дробями. Задачи. Обзор изученных классов чисел.
B. Метрическая система мер. Соотношения между единицами длины, площади, объема, Плотность вещества.
73
C. Призма и цилиндр. Пирамида и конус. Развертки объемных тел. Проекции объемных тел на плоскость. Симметричные фигуры (относительно оси; точки). Различные виды треугольников и четырехугольников. Построение плоских тел, изображение объемных. Чтение простых чертежей, выполненных в масштабе.
D. Пропорциональность. Формулы и графики прямой и обратной пропорциональности. Исследование взаимно изменяющихся величин. Способы обработки измерительных данных. Простейшие случаи частотных таблиц и диаграмм.
При рассмотрении пространственных фигур учащиеся знакомятся с параллельным проектированием объемных тел на плоскость, учатся узнавать по двум проекциям призму, цилиндр, пирамиду, конус. Изучают развертки объемных тел. Эта тема помимо развития простран* ственного воображения иллюстрирует общие методы рассуждений и исследований в математике.
Пониманию этих методов в значительной степени способствует стиль изложения материала в учебнике. Так, объяснение материала, связанного с разверткой куба, проходит в виде диалога между учителем и ученицей:
2
5 6 7
» 13
10 9 8
— Как вы думаете, какие точки совместятся при
сборке данной развертки куба?
« Ю
— Понятно, что при сборке соединятся вершины 1, 3, 7е
-* Такие вершины лежат на концах диагонали прямоугольника, составленного из двух соседних квадратов,
— Попробуйте использовать это положение. На рисунке справа наиболее удаленными от вершины 13 являются вершины 4 и б. Эти вершины при сборке совпадут.
Теперь определим наиболее удаленные вершины >чки 10. Это 1, 3, 7. Поэтому эти три вершины при
от точки сборке совпадут.
3 4
5
6
12 11
2 3
к
5
13
12
6
11
10
*— Правильно*, но об этом можно догадаться, не собирая развертку.
На нарисованном справа кубе назовите наиболее удаленные друг от друга вершины.
Например, А и В. /
— Очень хорошо. Наверное, понятно, что точки 4 и 6; 9 и 11; I, 3 и 7; 8, 12 и 14 после сборки совпадут. Здесь нарисованы развертки куба. Назовите, какие точки совпадут при сборке.
Отметим, что так же, как и самым младшим школьникам, учащимся V—VI классов в учебниках предлагаются игры (в основном с карточками) с целью закрепления навыков устного счета в действиях с целыми и дробными числами.
В конце учебника для VI класса предложен материал для повторения следующих тем начальной школы: числа и счет; количество и способы его измерения; чертежи и построения; взаимозависимость величин; задачи. В приложении даны исторические сведения о числах и древних чертежах, указания по вырезанию из бумаги занимательных фигур.
Понятие подобия фигур как таковое в начальной школе не вводится, но оно воспринимается учащимися достаточно глубоко при изучении (с наглядным прак*
74
ф КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Необыкновенная книга (О книге Н. Б. Васильева,
В. Л, Гутенмахера, Ж. М. Раббота,
А. Л. Тоома «Заочные математические олимпиады».
М.: Наука, 1986)
И. М. Яглом
Эта рецензия носит вызывающее название «Необыкновенная книга». Разумеется, нужно объяснить, что в этой книге «необыкновенного». Известно много сборников олимпиадных задач. При этом структура этих сборников стандартна — или задачи и их решения (так построен, например, сборник задач московских олимпиад А. А. Лемана), или задачи и указания к решениям задач (книга Г. А. Гальперина, А. К. Толпыго), или, наконец, задачи, указания к их решениям и сами решения (так построены первые книги серии «Библиотека математического кружка»). Книга Н. Б. Васильева, В. Л. Гутенмахера, Ж. М. Раббота, А. Л. Тоома построена не так.
Она состоит из краткого предисловия и шести деловых параграфов: «Задачи для первого знакомства», «Целые числа и многочлены», «Построения на плоскости и в пространстве», «Неравенства, экстремумы, оценки», «Необычные примеры и конструкции», «Последовательности и итерации».
Каждый из параграфов книги содержит 2—3 десятка задач. Особый характер имеет § 1, содержащий 26 задач смешанного характера, иногда довольно легких — часть из них можно отнести к разряду математических развлечений. Цель этих задач: заинтересовать читателя и побудить его к работе над остальными — более сложными и более содержательными. § 1 завершается краткими, но достаточно полными «Ответами и указаниями», расшифровывающими решения всех задач. В § 2—5 за разделом «Задачи» следует более сложно построенный раздел «Обсуждение задач» и «Задачи для самостоятельного решения». Краткие указания к ним составляют содержание следующего за § 1—6 раздела «Указаний».
Наибольший интерес в книге составляет именно «Обсуждение задач». Рецензируемая книга посвящена
задачам заочной олимпиады. Она рассчитана на более продолжительное и глубокое их обдумывание. Поэтому «Обсуждение» строится нетривиальным образом. Оно идет после решения задачи и отмечается специальным знаком (V). Обсуждение затрагивает как решен vie задачи, так и само ее условие. Здесь анализируются движущие пружины решения, продумывается суть поставленного вопроса, возможные его обобщения или модификации. Эта часть книги наиболее интересна, тем более что «Обсуждением» разбор задач часто не заканчивается: многие из них содержат специальные замеча- ния («Для знатоков»). В них иногда затрагиваются свежие математические идеи, относящиеся к современной математике. Так, например, задача об отыскании нескольких целых или рациональных решений несложного уравнения г/2== 6 (л:3—х) естественно связывается с доказательством в 1983 г. молодым западногерманским математиком Фалтингсом так называемой гипотезы Морделла из области алгебраической геометрии (результат Фалтингса описан в книге в доступных для начинающего читателя терминах) и со знаменитой великой теоремой Ферма. Аналогично этому «чисто олимпиадная» задача (6—13) об определении заданного члена довольно просто описываемой последовательности приводит к «теории сложности» Колмогорова. «Задача на математическую смекалку» типа Кордемского (5—15) связывается с теоремой Куратовского — Пон- трягина о плоских графах. Это соединение «чисто школьных» задач с идеяхми «настоящей» математики очень полезно для читателей.
Тщательно продумана литературная форма задач: в их условиях встречаются автобусы и автомобили» люди и звери, сказочные герои (Малыш и Карлсон), Иван Александрович Хлестаков и его друзья Добчин- ский и Бобчинский, дама и ее багаж. Все это подается с хорошим юмором, удачно . маскирующим сложную «начинку» задачи и вызывающим желание думать над ее решением.
Но к книге можно предъявить и ряд критических замечаний.
1) Предисловие слишком кратко и не поясняет несколько загадочное название книги. Что это за «заочные олимпиады»? Ведь о них мало кто знает!
2) Разделы «Обсуждение» и «Для знатоков» не разграничены по существу. Так, например, в обсуждении задачи 3—9 («Прямая отсекает от одной стороны параллелограмма 1/3 стороны, а от соседней—1/4; какую часть отсекает она от диагонали, выходящей из общей для этих сторон вершины?») в начале дано элементарное и разумное обобщение этой задачи. 1/2 « 1/3 заменяются произвольными дробями 1Д и 1/ц. За-
тическим и прикладным обоснованием) масштабных построений различных фигур, планов местности.
Фабула задач самая разнообразная, однако видна тенденция приблизить их к реальности, к интересным статистическим данным, понятным учащимся. Напри* мер, в теме «Пропорции» есть такая задача: «В школе 120 шестиклассников, среди них 42 человека с кариесом зубов. Запишите отношение учеников с кариесом к общему числу шестиклассников. Запишите это отношение в процентах».
Составление частотных таблиц осуществляется в ос» иовном на материале, доступном пониманию учащимися данной возрастной группы (распределение ребят своего класса по росту, по весу и т. д.).
Хочется обратить внимание читателей на то, что в рассматриваемых учебниках математики для японской начальной школы не предусмотрено применение ми крокалькуляторов.
В заключение отметим тенденцию в почасовом изменении учебного плана в начальной школе Японии.
Так, в 70-е гг. на японский язык с элементами литературного чтения отводилось 36 % всего времени, отпу* щенного на обучение в начальной школе, на математику—16%, на эстетическое воспитание—16%, на физическое воспитание—12%, на естествознание — 8 %. Общественные дисциплины и другие предметы занимали 12 %. В 80 е гг. после усовершенствования программ на 6 % сократилось учебное время на изучение основных предметов, однако на математику стало отводиться одним часом в неделю больше. Модернизация учебных программ в Японии в 80-е гт. коснулась в основном средней, а не начальной школы. В старших' классах были введены предметы по выбору, на них приходится 1/8 часть учебного времени. В неполной средней школе время на физическое воспитание увеличилось на 20%, на математику — на 10%. Модернизация программ по математике выразилась, например, в том, что в VII класс включили понятие множества, в VIII—элементы комбинаторики а тео* рии вероятностей, в IX — элементы статистики.
75
тем вдруг сразу появляется метрика Минковского (не названная!) и норма вектора (в этой метрике). Ясно, что последняя часть обсуждения уже рассчитана только на «знатоков».
3) Указания к задачам для самостоятельного решения должны быть расширены.
4) Список литературы составлен небрежно. Необходимо отделить элементарную литературу и ту, которая адресована «знатокам». Кроме того, авторы во всех необходимых случаях стремятся отослать читателя к какой-нибудь литературе. Но эта литература не всегда доступна школьнику и даже преподавателю пединститута. Так, например, к задачам на построение авторы рекомендуют старинную «Энциклопедию элементарной математики» Г. Вебера, И. Вельштейна (1906) вместо превосходной статьи Ю. И. Манина в ЭЭМ (кн. IV). Вместо «Неравенств» Э. Беккенбаха, Р. Беллмана можно было бы назвать гораздо более простое «Введение в неравенства» тех же авторов. Вместо абсолютно недоступных для начинающих «Оснований геометрии» Д. Гильберта — хорошую книгу для школьников А. Адлера «Теория геометрических построений» (Л.: Учпедгиз, 1940). В ней вопрос о построениях линейкой и эталоне длины обсуждается на доступном для школьников уровне. Ссылка на книгу А. Адлера была бы уместна и в связи с задачей 3—2 о построениях одним циркулем. Авторы же в обсуждении этой задачи в связанной с ней теоремы Мора — Маскерони вообще не упоминают датчанина Мора, доказавшего этот факт за 100 лет до Маскерони.
5) Хорошо бы расширить замечания историко-математического характера. Так, например, упоминая (с. 119) американского архитектора и любителя математики Р. Бакминстера Фуллера, авторы могли бы кратко рассказать об этом удивительном человеке — друге П. Пикассо и Ч. Чаплина.
Но все эти критические замечания не отменяют и даже не уменьшают то удовольствие, которое получит каждый, кто захочет познакомиться с этой необыкновенной книгой.
Полезное пособие
Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Йод ред. М. И. Скан&ви. 5-е изд., иерераб. и доп. М.; Высшая школа, 1988
Н. Я. Вилеш^н (Москва)
Преподавателям математики средней школы и вузов, а также многотысячной армии абитуриентов, готовящихся к вступительным экзаменам, хорошо известна эта книга. Предыдущие ее издания давно стали библиографической редкостью и почти не встречаются на полках букинистических магазинов; в 1988 г. вышло новое, пятое издание.
Написание такой книги — весьма затруднительное дело, поскольку и программа вступительных экзаменов, и предъявляемые к абитуриентам требования сильно варьируют как от вуза к вузу, так и от года к году. Нам представляется поэтому, что авторы приняли решение дать такой список задач, который удовлетворил бы любые, в том числе и повышенные требования к математической подготовке абитуриентов. Это привело к тому, что задачник включает в себя небольшое число задач, выходящих за рамки действующих сейчас программ вступительных экзаменов (например, комбинаторика, бином Ньютона, интегральное исчисление). Однако происходящее сейчас повышение требований к качеству знаний студентов неизбежно должно привести и к повышению требований к математической подготовке
абитуриентов, и весьма возможно, что эти разделы снова станут актуальными. Разумеется, экзаменационные комиссии при отборе задач для вступительных экзаменов должны руководствоваться соответствующими нормативными документами.
Отметим, что данная книга может быть использована не только абитуриентами, но и учителями, а также учащимися школ и классов с углубленным изучением математики и ее приложений.
Как и в предыдущих изданиях, все задачи разделены на три группы: А, Б, В, причем задачи группы А определяют минимально необходимый уровень подготовки учащихся к вступительным экзаменам во втузы, задачи группы Б определяют более высокое качество усвоения школьной программы, а к группе В отнесены задачи повышенной трудности. Разумеется, отнесение задачи к той или иной группе зависит от взглядов авторов и рецензент не всегда согласен с некоторыми из их решений. Однако несомненно, что такой подход позволяет абитуриентам орентироваться в предъявляемых к ним на разных уровнях требованиях.
Задачник решает важную проблему: помочь вузам унифицировать в определенных границах требования к математической подготовке поступающих, а самим поступающим помочь в подготовке к вступительным экзаменам и самопроверке уровня своей готовности. Ряд вузов в течение нескольких лет проводил вступительные ; экзамены, заранее известив абитуриентов, что задачи будут взяты из рецензируемого сборника. Это создавало большую психологическую устойчивость у абитуриентов без нарушения «тайны» вариантов на экзаменах. Популярности задачника способствовали его несомненные достоинства: разнообразный подбор задач,
удачное расположение их внутри разделов, разбиение задач на группы по уровню трудности, наличие по каждому типу задач достаточного их количества, чтобы решивший приобрел должный навык в решении этого типа задач,
Таким образом, данный задачник позволяет абитуриентам преодолеть образовавшийся за последнее время разрыв между уровнем знаний и навыков, даваемых школой, и требованиями, предъявляемыми на вступительных экзаменах.
В новом издании в каждой главе добавлено несколько примеров решения задач (всего 90 таких задач), проведена значительная редакционная работа над текстом. Кроме того, учитывая, что во многих вузах приемные экзамены проводятся с использованием ЭВМ, в книгу включен новый материал, содержащий 30 примерных вариантов по 10 задач (с ответами) для ознакомления с таким видом экзаменационных заданий. Проведено согласование используемых в книге терминов и символов с принятыми в современных школьных учебниках.
К сожалению, в некоторые из приведенных решений задач вкрались неточности. Так, в примере 5 на с. 14 при доказательстве тождества используется это же самое тождество. Приведем более корректное решение.
Положим,
У\Ш- + )/з8 — утш
Тогда, возведя обе части в куб, получим после несложных преобразований кубическое уравнение x3-f-3*—
—76—0- Подстановка х~4 показывает, что 4 является одним из корней stoto уравнения. Деля обе части уравнения аа х—4> получаем квадратное уравнение 4x4*19—0, не имеющее действительных корней. Значит, 4 — единственное возможное действительное значение для х, чем и доказано требуемое равенство (поскольку очевидно, что
j/~3 8 + У1Ш 4- Y И45 —
действительное число).
76
Однако эти легко устранимые недочеты не меняют общего положительного впечатления от задачника. Вб* ход в свет пятого издания «Сборника задач н© мате* матике» под редакцией М. И. Сканави следует считать
весьма полезным.
Новые книги
Учебники и пособия для вузов.
Монографии
Вентцель Е. С. Исследование операций: Задачи,
принципы, методология.—2-е изд.— М.: Наука, 1988.— 208 с.—65 к. 34 ООО экз.
Верлань А. Ф., Широчин В. П. Информатика и ЭВМ.— Киев: Техника, 1987.—343 с.— (Б-ка инженера).—! р. 60 к. 22 000 экз.
Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие для вузов.— 2-е изд., испр.— М.: Наука, 1987.—
248 с.—45 к. 36 000 экз.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Для
ун-тов.—6-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1988.— 447 с.—1 р. 20 к. 53 000 экз,
Добрушевич Г. А. Словарь программиста.— Минск: Вышэйшая школа, 1988.—144 с.—75 к. 40 000 экз.
Ивашев-Мусатов О. С. Начала математического анализа: Для вузов.—5-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1988.—288 с.—85 к. 39 000 экз.
Кузнецов О. П., Адельсон- Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера.—2-е изд., перераб. и доп.— М.: Энергоатомиздат, 1988.—480 с.—1 р. 80 к. 30 000 экз. 7
Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии.— М.:
Наука, 1987.—159 с.—55 к. 25 000 экз.
Шнеперман JL Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях: В 2 ч. Ч. 2.—Минск: Вышэйшая школа, 1987.—258 с.—78 к. 5000 экз.
Яремчук Ф. П., Рудченко П. А. Алгебра и элементарные функции: Справочник.— 3-е изд., перераб. и доп.— Киев: Наукова думка, 1987,—648 с.—2 р. 20 к,
60 000 экз.
Научно-популярная литература.
Внеклассная работа
Александров В. В., Арсентьев В. Н., Арсентьева А. В. Что может ЭВМ? — Л.: Машиностроение, 1988.—
124 с.— (Научно-популярная б-ка школьника).—40 к. 200 000 экз.
Гайшут А. Г. Калькулятор — твой помощник и соперник в играх.— Киев: Радянська школа, 1988.—246 с.— 60 к. 165 000 экз.
Золотарев В. М. Закон больших чисел.— М.: Знание, 1987.—46 с.— (Новое в жизни, науке, технике. Математика. Кибернетика).—11 к. 36 120 экз.
Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. Старинные занимательные задачи.— 2-е изд., испр.— М.: Наука, 1988.—160 с. 55 к. 700 000 экз.
Соколов Э. Т. Кентавр, или Как математика помогает физике.— 2-е изд., доп.— Минск: Вышэйшая школа. 1988—287 с.— 1 р. 50 к. 20 000 экз.
Успенский В. А. Машина Поста.— 2-е изд., перераб.— М.: Наука, 1988. 96 с.— (Популярные лекции по математике).—20 к. 89 000 экз.
Хованский Г. С. Номография сегодня.— М.: Знание,
1987.—30 с.— (Новое в жизни, науке, технике. Математика. Кибернетика).—11 к. 36 216 экз.
Учебники и пособия для средних учебных заведений
Богатырев Г. И., Боковнев О. А. Математика для подготовительных курсов техникумов (на базе 8 клас*
сов средней школы).—2-е изд., перераб.— М.з Наука, 198а.—408 с.—1 р. 10 к. 600 000 экз.
Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварц-
бурд С. И. Алгебра и математический анализ для 9 класса: Для школ с углубленным изучением курса математики.—2-е изд., дораб.—М.: Просвещение,
1988.—351 с.—70 к. 42 000 экз.
Жалдак М. И., Морзе Н. В. Основы информатики в вычислительной техники: Учеб. пособие для техникумов.—2-е изд., перераб. Киев: Вища школа, 1987.— 199 с.—55 к. 8000 экз.
Основы информатики и вычислительной техники: Пробное учебное пособие для сред, учебных заведений: В 2 ч. Ч. 2/Под ред. А. П. Ершова, В. М. Монахова,- Киев: Радянська школа, 1987.—143 с.—20 к. 200 000 экз.
Понтрягин JI. С. Математический анализ для школьников.—3-е изд., стереотип.—М.: Наука, 1988.—96 с. 15 к. 197 000 экз.
Программное обеспечение микроЭВМ: Учеб. пособие для системы проф.-техн. образования: В 11 кн. / Под ред. В. Ф. Шаньгина.—М.: Высшая школа, 1987. Кн. 1. Структура и функционирование микроЭВМ / А. Е. Костин.—95 с.—30 к. 100 000 экз.
Солодовников А. С., Торопова Г. А. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии: Для техникумов.—М.: Высшая школа, 1987.— 255 с.— 45 к.
40 000 экз.
Стойлова А. П., Пышкало А. М. Основы начального курса математики: Учебное пособие для педагогичен ских училищ.— М.: Просвещение, 1988.—320 с.—85 к# 328 000 экз.
Методика преподавания
Вопросы компьютеризации учебного процесса: Книга для учителя. Из опыта работы / Сост. Н. Д. Угринович. под ред. Л. П. Шило.— М.: Просвещение, 1987.—
127 с.—25 к. 115 000 экз.
Дидактические материалы гю математике для 10 класса вечерней (сменной) общеобразова тельной школы: Пособие для учителя / А. С. Алексеев и др.—2-е изд., перераб.— М.: Просвещение, 1988.—144 с.—20 к.
238 700 экз.
Ивлев Б. М., Саакян С. М.т Шварцбурд С. И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 9 класса: Пособие для учителя.—2-е изд., перераб.— М.: Просвещение, 1987. — 142 с. — 15 к.
831 000 экз.
Изучение качества знаний, умений и навыков учащихся по основам информатики и вычислительной техники: Методические рекомендации / Сост. А. Г. Олейник и др.— Киев: МГ1 УССР, 1987.—51 с.—Беспл. 5000 экз.
Изучение информатики и вычислительной техники: Методическое пособие для учителей и преподавателей средних учебных заведений: В 2 ч. Ч. 1 / Под ред.
А. П. Ершова и В. М. Монахова.— Киев: Радянська
школа, 1987.—191 с.—25 к. 30 000 экз.
Сергиенко Л. Юм Самойленко П. И. Планирование учебного процесса по математике: Учебно-методиче¬
ское пособие для средних специальных учебных заведений.— М.: Высшая школа, 1987.—424 с,—1 р. 70 к.— 15 000 экз.
Ф. М, Шустеф (.Минск)
77
Тематический указатель статей, опубликованных в 1988 году
ПЕРЕДОВЫЕ
К 100-летию со дня рождения А. С. Макаренко —
№2, с. 3.
Обсуждение проекта учебного плана средней общеобразовательной школы — № 1, с. 2.
Пичурин Л. Ф. Конкретно решать проблемы перестройки математического образования — № 4, с. 3.
Сивова Т. М., Окунев А. А., Гордеева А. В. Время требует поиска — № 2. с, 6.
Уроки февральского Пленума — № 3, с. 3.
ВРЕМЯ. ПЕРЕСТРОЙКА. ШКОЛА
Глейзер Г. Д., Черкасов Р. С. Школе необходима концепция общего математического образования — № 6, с. 14.
Ефремович В. А., Вайнштейн А. Г. О перестройке преподавания математики в школе — № 5, с. 10.
Колягин Ю. М. Размышления о некоторых педагогических и методических проблемах школы — № 5, с. 3.
Концепция среднего образования и совершенствование системы обучения математике (З. И. Слепкань; Т. А. Китова, П. А. Либензон, А. А. Столяр; Г. В. Злоц- кий; Е. С. Дубинчук; П. К. Одинцов, Л. А. Одинцова; Б. П. Эрдниев) — № 6, с. 3.
Корольков Б. Е. Размышления учителя о проблемах школы — № 6, с. 12.
Рыбников К. А. К вопросу о дифференциации обучения — № 5, с. 16.
Сайтов Ё. О структуре школы — № 5, с. 9.
Семенов Е. Е. Демократизация советского общества и преподавание математики в средней школе — № 5, с. 6.
Слабиков В. И Непременная трудность или активная деятельность? — № 5, с. 8
Совершенствовать подготовку учителей (обзор ста- тей) — № 5, с. 19.
КОНКУРС УЧЕБНИКОВ МАТЕМАТИКИ
Результаты конкурса учебников по математике для VII—XI классов — № 5, с. 48.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ Творческое лицо учителя
Генкин Г. З. Воспитание гражданина — № 4, с. 15.
Далингер В. А., Ситко Ф. Б. Верой и правдой — № 4, с. 14.
Мищенко Т. М. В гуще жизни — № 4, с. 16.
Время требует поиска и решений
Болтянский В. Г., Глейзер Г. Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования — № 3, с. 9.
Ворон В. А. О некоторых сторонах содержания образования по математике — № 3, с. 17.
Зив Б. Г. Быстротечные минуты урока — № 3, с. 13.
Трофимов А. П. Учить учащихся мыслить на уроках — № 3, с. 19.
Берсенева Т. А. Зачетные формы организации контроля знаний старшеклассников — № 6, с. 21.
Болтянский В. Г., Груденов Я. И. Как учить поиску решения задач — № 1, с. 8.
Виленкин Н. Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты — № 4, с. 7.
Груденов Я. И. Условия активизации мыслительной деятельности учащихся — № 6, с. 18.
Маликов Т. С. О доказательствах «очевидных» фактов школьного курса геометрии — № 6, с. 24.
Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э. Математика. Учебник для IV класса — № 1, с. 15.
Раченко И. П. Н. К. Крупская о научной организа- ции труда в школе — № 6, с. 17.
Из опыта работы
Ананченко К. О., Перлин Д. Е. Система уроков М. Н. Волкова — № 6, с. 26.
Барабан М. А. О проведении уроков «Анализ контрольной работы» — № 3. с. 24.
Богомолова Л. Г. Игра с числами — № 6, обложка.
Богомолова С. Н. Карточка с калькой — № 4, с. 23.
Борода Л. Я. Некоторые формы контроля на уроке — № 4, с. 18.
Буловацкий М. П. Разнообразить виды задач — № 5, с. 37.
Дорофеев Г. В., Тараканова О. В. Постановка текстовых задач как один из способов повышения интереса учащихся к математике — № 5, с. 25.
Клейман Я. М. О проблемных ситуациях при обучении математике в профтехучилищах — № 2, с. 16.
Ковалева Т. М. Игра и учебная деятельность — № 6, с. 31.
Мишин В. И. Решение задач как средство повторения — № 6, с. 35.
Мурина И. Н., Соловьев А. Ф. О наибольшем и наименьшем значении функции — № 5, с. 28.
Мышкис А. Д., Шамсутдинов М. М. К методике прикладной направленности обучения математике — № 2, с. 12.
Ольхов В. Е. О формуле суммы членов геометрической прогрессии — № 6, с. 36.
Перевощикова В. Н. Составление конспекта-таблицы во время школьной лекции — № 3, с. 21.
Попадюк А. В. Графический метод решения некоторых тригонометрических уравнений и неравенств — № 4, обложка.
Правдин А. Л. Как составить уравнение, приводящее к посторонним корням — № 6, с. 33.
Рогановский Н. М. О методе подготовительных задач — № 2, с. 15.
Родин А. В. Карточка-консультант — № 3, с. 25.
Софронова Н. В. Как помочь детям на первых уроках геометрии — № 4, с. 24.
Станкевич П. А. Из опыта проведения зачетов в V классе — № 4, с. 21.
Фельдман А. М., Гуревич В. Ю. Работает прямоугольный тетраэдр — № 5, с. 32.
Хмелик В. И. Планирование лекционно-практических занятий в старших классах — № 4, с. 22.
Чичаева И. В. Один из приемов обучения решению задач — № 2, с. 19.
Компьютер в школе
Болтянский В. Г. Простые дроби и вычислительная техника — № 5, с. 41.
Груденов Я. И. Решето Эратосфена и микрокалькулятор — № 5, обложка.
Оксман В. М. Дидактические возможности программируемой игрушки — № 2, обложка.
Оксман В. М. Компьютер при изучении показательной функции — № 5, обложка.
Шерпаев Н. В. Графическая система для геометриче- ских построений — № 5, с. 44.
Проблемы и суждения
Башмаков М. И. Определение основных понятий анализа в школьном курсе математики — № 3, с. 41.
Мантуров О. В., Исаева М. А. Об аксиоматическом методе в школьном курсе геометрии — № 3, с. 38.
75
Подумаем вместе
Ваганян В. О. О развитии логического мышления учащихся — № 4, с. 36.
Ефремов А. В. Каким быть школьному учебнику-— № 4, с. 35.
Матюхин В. И. Мелочей не может быть — № 4, с. 34.
Рогановский Н. М. Наши предложения — № 4, с. 37.
Из писем и заметок читателей
Больсен Е. М., Горнштейн П. И. Сомнительная помощь — № 2, с. 49.
Буловацкий М. II. Где искать время?—№ 1, с. 59.
Гладкий А. В. О методической системе В. Ф. Шатало- ва — № 4, с. 38.
Готман Э. Г. Ошибки в задачах — № 2, с. 50.
Кючуков А. Н. А можно и лучше — № 2, с. 48.
Кючуков А. Н. А можно гораздо лучше! — № 5, с. 53.
Ли Чанмин. Применение графической наглядности при изучении квадратного трехчлена — № 6, с. 38.
По поводу заметки Р. М. Нижегородцева — № 6, с. 37.
Отвечаем на письма читателей — № 2, с. 52.
Ошибки на экране — № 4, с. 43.
Рутмая Л. М. Проверим практикой — № 5, с. 50.
Столяр А. А. Тревожные сигналы — № 1, с. 61.
Тяжко И. Е. За обязательные результаты обучения — № 5, с. 54.
Чжоу Джункуй, Ци Цзансинь. Интересные метрические соотношения в треугольнике — № 6, с. 39.
Шматков Б. А. Сколько корней у квадратного уравнения? — № 5, с. 51.
Эрдниев Б. П. Не выбрасывайте русские счеты! — № 5, с. 53.
Консультация
Болтянский В. Г. Еще раз о фигурной скобке — № 2, с. 29.
Зандер В. К. Пора внести ясность — № 2, с. 28.
Кострикина И. П. Об использовании раздела «Задачи повышенной трудности» учебника «Алгебра 6» — № 4, с. 32.
Минаева С. С., Чернышева Л. Ю. В помощь учителям, работающим в IV классе по учебнику Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа — № 3, с. 26; № 5, с. 38.
О преподавании математики в 1988/89 учебном году — № 3, с. 30.
От Министерства просвещения РСФСР — № 2, с. 21.
Рекомендации учителю по подготовке учащихся к пробным переводным экзаменам — № 2, с. 21.
Тельгмаа А. Э., Нурк Э. Р. О содержании, структуре и методических особенностях учебников математики для IV—V классов — № 4, с. 25
Вступительные экзамены в вузы
Кация К. В., Кварацхелия Н. М. Абхазский государственный университет им А. М. Горького — № 2, с. 37.
Морозов В. В., Сергеев И. Н., Соколихин А. Н., Сухарев А. Г. Московский государственный университет — № 2, с. 31.
О вступительных экзаменах по математике в 1987 г.— № 2, с. 42.
Терешин Н. А., Шахов Ю. Н. Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина — № 2, c. 41.
Эксперимент
Арутюнян Е. Б., Глазков Ю. А., Левитас Г. Г. Взаи- мообучение школьников на уроках математики — № 4, с. 49.
Гузеев В. В. О новых формах организации обучения — № 4, с. 47.
Кузнецова Л. В., Лурье И. А., Мельникова Н. Б., Минаева С. С., Фирсов В. В. Экспериментальная зачет- ная система в школах Молдавской ССР — № 3, с. 32.
Райляну А. И., Герчиу М. Ф., Семенюк Ф. И. Из опыта проверки знаний с помощью зачетной системы — № 3, с. 35.
Внеклассная работа
Азамов А. А. Как отгадать квадратный или кубический корень — № 3, с. 53.
Анджанс А. В. Об углубленном изучении математики в школах Латвийской ССР — № 2, с. 57.
Вавилов В. В., Кузнецова Г. М., Резниченко С. В. XXII Всесоюзная математическая олимпиада школьников — № 5, с. 55.
Вавилов В. В., Соловьев Ю. П., Фомин А. А. XXVIII Международная олимпиада — № 1, с. 67.
Готман Э. Г. Различные способы решения задач «на экстремум» — № 4, с. 55.
Дворянинов С. В. О построении графиков сложных функций на основе свойства монотонности — № 4, с, 50.
Зельцер Д. Н. Еще одно доказательство формулы Ге- рона — № 3, с. 52.
Ивашев-Мусатов О. С. Производная показательной функции — № 1, с. 73.
Коганов Л. М. Об одном утверждении Леонарда Эйлера — № 1, с. 74.
Крайзман М. Л. Свойства вписанного в окружность четырехугольника со взаимно перпендикулярными диа- гоиалями — № 3, с. 50.
Куанг Буй Ван. Неопределенные уравнения — № 4, с. 53.
Купцов Л. П., Канунникова Г. А., Маркова С. Н., Резниченко С. В. Третий этап Всероссийской олимпиады школьников по математике — № 3, с. 44.
Кушнир И. А. Об исследовании неопределенности в геометрических задачах — № 1, с. 69.
Кушнир И. А. Полезные свойства элементов тетраэдра — № 6, с. 46,
Литвиненко В. Н. Метод уравнивания в геометрических задачах — № 6, с. 47.
Мнацаканян К. А., Седракян Н. М. Применение одного свойства функции к доказательству некоторые неравенств — № 6, с. 45.
Нижегородцев Р. М. Об одном доказательстве правила Лопиталя — № 2, с. 57.
Низамов И. М. Определение числа атомов, приходящихся на ячейку кристаллической решетки — № 4, с. 57.
Никитина Г. Н. Проверим построение — № 2, с. 55.
Руденко В. Н., Маркова С. Н. Математический час в IV классе — № 6, с. 40.
Савин А. П. Математический КВН на празднике юных математиков — № 6, с. 48.
Петровская Н. А. Вечер веселых и смекалистых в IV классе — № 3, с. 55.
Прасолов В. В. Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника — № 1, с. 72.
Чванов В. Г. Инверсия в постановке математических задач — № 6, с. 43.
Ясиновый Э. А. О международном математическом конкурсе «Дружба» — № 3, с. 50.
Задачи
№ 1, с. 76; № 2, с. 58; № 3, с. 59; № 4, с. 62: № 5, с. 62; № 6, с. 51.
Замечания к решениям задач — № 2, с. 63, 68; № 3,
с. 64; № 4, с, 68; № 5, с. 67; № 6, с. 58.
Занимательная страница
Антонович Н. К. Кросснамбер — № 4, с. 58.
Апозян М. Е. Целые и дробные части чисел пи иев
примерах — № 5, с. 62.
Домашенко А. М. Точки и ломаные — № 5, с. 60.
Егоров Ф. Ф. Числовой восьмиугольник с интересными свойствами — № 3, обложка.
Зельцер И. С., Кордемский Б. А. Занятные стайка простых чисел — № 6, с, 49.
79
Зельцер И. С. О задаче Н. И. Бовсуновского — № 1, с. 75.
Кордемский Б. А. Еще раз вернемся к курьезным ра- венствам вида
№ 3 с. 57.
Неожиданное родство трех разных задач — № 1, с. 75.
Самедов Т. С. В коллекцию интересных числовых конструкций— № 2, с. 70.
Юркина С. Н. Математическая пьеса-сказка «Путешествие с Арифметикой» — № 4, с. 59.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Дорофеева А. В. Из истории открытия проекции Мер- катора — № 3, обложка.
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
Башмакова И. Г. Диофант Александрийский — № 6, обложка.
Дорофеева А. В. Аполлоний — № 5, обложка.
Дорофеева А. В. Николай Меркатор — № 2, обложка.
Дорофеева А. В. Эратосфен — № 4, обложка.
Халамайзер А. Я. Адмирал корабельной науки (о А. Н. Крылове) — № 6, с. 62.
Черкасов Р. С. О методическом наследии Алексея Ивановича Маркушевича — № 2, с. 71.
Юткевич А. П. Ньютон и математическое естествознание — № 1, обложка, с. 64.
Яглом И. М. Дьердь Пойа — № 3, с. 67.
Математический календарь
На 1987/88 учебный год: март — апрель — № I, обложка; май — июнь — № 2, с. 75; июль — август — № 3, с. 66.
На 1988/89 учебный год: сентябрь —- октябрь — № 4, с. 70; ноябрь — декабрь — № 5, с. 70; январь — февраль — № 6, с. 60.
Максудов Ф. Г., Набиев Г. М. М. Р. Эфендиев — № 5, с. 71.
Р. А. Хабибу — 60 лет — № 6, с. 62.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Виленкин Н. Я. Полезное пособие — № 6, с. 76.
Гальперин Г. А. Ценный подарок —№ 2, с. 77.
Готовится к выпуску в 1989 г. — № 2, с. 78.
Ефимов В. И., Луканкин Г. Л. О книге В. Н. Кел- бакиани «Межпредметные связи в естественно-математической и педагогической подготовке учителей» — № 5, с. 78.
Исследования в области математического образования (непериодическое издание ЮНЕСКО) — № 5, с. 77.
Конюшков А. А. Некоторые замечания о функциях.— № 4, с. 79.
Кузнецова В. А., Шарова О. П. Задачник для фа- культативных и внеклассных занятий — № 4, с. 77.
Фомин А. А. Новое справочное пособие по математике— № 4, с. 78.
Шепелева З. В. План выпуска литературы издательства «Педагогика» на 1989 год — № 3, с. 78.
Шустеф Ф. М. Новые книги — № 2, с. 77; № 3, с. 79; № 4, с. 79; № 6, с. 77.
Шушанский Н. И. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» в 1989 г. (план изданий) — № 3, с. 76.
Хабиб Р. А. План выпуска литературы издательства «Просвещение» на 1989 г. — № 3, с. 74.
Юшкевич А. П. Новая книга по истории математики — № 5, с. 78.
Яглом И. М. Необыкновенная книга — № 6, с. 75.
ЗА РУБЕЖОМ
Георгиев В. С. Опыт активизации деятельности школьников на основе использования циклов задач — № 1, с. 77.
Гнеденко Б. В., Черкасов Р. С. О курсе математика в школах Японии — № 5, с. 72.
Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Анализ японских учебников по математике для I—VI классов — № 6, с. 70.
Крыговская С. Роль определения в математической деятельности учащихся — № 6, с. 66.
Халамайзер А. Я. Экзамены по математике в школах ГДР —№ 3, с. 71.
Ястребинецкий Г. А., Блох А. Я. О математическом образовании в средних школах США — № 4, с. 73.
ХРОНИКА
Бурда М. И., Литвиненко Г. Н. Республиканские педагогические чтения в г. Черкассы — № 2, с. 79.
Гисин В. Б., Мордкович А. Г. Межвузовский семинар в Красноярске — № 5, с. 79.
Гуревич В. Ю. Республиканский семинар в Минске— № 2, с. 79.
Злоцкий Г. В. Заседание проблемного совета при Самаркандском университете — № 2, с. 80.
Лауреаты высоких премий 1987 г. —№ 2, с. 54.
Манцаев Н. Г. IV конференция по проблеме укрупнения дидактических единиц — № 1, с. 78.
Новое пополнение Академии наук СССР — № 2, с. 76.
Ованесов Н. Г. Поволжский зональный семинар — № 2, с. 80.
Садыхов С. Н., Садыхов Н. А., Попов В. В. Результаты Всесоюзной олимпиады студентов педагогических вузов — № 5, с. 80
Шапкина В. Н., Антипов И. Н. Московские научно- методические семинары в 1986/87 учебном году — № 1, с. 78.
Некрологи
Матвей Семенович Мацкин — № 2, с. 76.
Памяти И. М. Яглома — № 4, с. 71.
Памяти К. Г, Спатару — № 6, с. 65.
Игра с числами
Арифметические действия с положительными и отрицательными числами обычно вызывают значительные за* труднения у учащихся. Предлагаем игру, с помощью которой школьники быстрее овладеют действиями с целыми числами и одновременно лучше усвоят понятие переменной.
Для игры надо изготовить из тонкого картона 70 карточек размером приблизительно 7X5 см. В центре каждой карточки надо написать одно, целое число, модуль которого не больше 10. Числа на карточках должны быть разного цвета: черные, зеленые, красные и синие. (Красный и синий цвета здесь переданы серым цветом и белым на темном фоне. В дальнейшем цвет изображения будем называть таким, какой дан на рисунках.) Учащимся нужно разъяснить, что числа черного цвета следует прибавлять, зеленого — вычитать. На число серого цвета надо умножать, а белого — делить. Соответствующие знаки действий желательно поставить в уголках каждой карточки так, как сделано на рис. 1.
Таким образом, знак перед каждой цифрой — это знак числа, а знак в каждом уголке карточки — это знак действия, которое надо выполнить с этим числом. Например, изображение на рис. 1 следует понимать так: ((—2) — ( + 4) — (—8)): (—3).
Играть одновременно могут от 2 до 6 человек. Каждый играющий получает по 5 карточек. Остальные карточки кладут лицевой стороной вниз в общую кассу.
Игра проходит так: I ученик кладет на стол перед своим соседом справа (это II играющий) одну карточку, рядом с ней II играющий кладет одну свою карточку. Затем выкладывает карточку снова I, а за ним II и т. д. Тот, кто начинает, стр(емится получить положительный результат, а его партнер — отрицательный. При этом каждый может выкладывать на стол из своего набора любую карточку, стремясь получить выгодный для себя результат. Выкладывая карточку, игрок называет знак действия, число и получающийся при этом результат. Например, ход игры, представленный на рис. 1, может сопровождаться следующим диалогом:
I ученик. Минус 2.
II ученик. Вычесть +4, будет —6.
I ученик. Вычесть —8, будет +2.
II ученик. Разделить на —3, получится —2/3.
Выкладывание карточек на стол партнерами прекращается в трех случаях:
на стол выложено максимально допустимое количество карточек, о котором следует договориться заранее (допустим, 6 штук, т. е. от каждого партнера по 3; 8 штук, значит, от каждого — по 4 и т. д.);
партнеры, проанализировав свои оставшиеся карточки, видят, что у них нет подходящих;
один из играющих положил на стол стоп-карточку.
На стоп-карточке число заключено в прямоугольную рамку. «Стоп-карточку» может выложить любой из игроков во время очередного хода. После нее выкладывать на стол карточки нельзя! Для игры рекомендуем изготовить 7 стоп-карточек с числами черного цвета, 5 стоп-карто- чек зеленого цвета и по одной стоп- карточке с числами серого и белого цветов.
Если результат получился положительный, то все выложенные на стол карточки составляют выигрыш начинавшего ход. Если же результат отрицательный, то выигрыш следует уступить партнеру. Эти выигранные карточки ученик кладет на стол в свою стопку выигрышей. В дальнейшей игре они уже не участвуют.
Если общий результат выложенных карточек оказался равным нулю, то эти карточки ничьим выигрышем не будут. Их можно ' положить в кассу. Участники первого тура добирают из кассы столько карточек, чтобы у каждого их оказалось по 5.
Во втором туре участвуют II и III игроки, причем II начинает тур. Он тоже стремится получить положительный результат, результат III играющего должен быть отрицательным. Затем играют III и IV участники и т. д. Остальные игроки при этом следят за правильностью ходов и результатов подсчета.
Среди карточек 8 с буквами. Это карточки-переменные. В ходе игры можно придавать своей переменной то значение (целое положительное или отрицательное), .какое играющему в данный момент выгодно. Это значение объявляется вслух при выкладывании карточки с буквой на стол. На рис. 2 изображены выложенные в ходе игры карточки. Результат игры при этом нетрудно подсчитать: (+8) X (—2) — (+9) +
+ (—7) — (—6) = —26. Но это I играющему невыгодно. Ему надо получить положительный результат. Допустим, ему попалось карточка с буквой с зеленого цвета. Он может выложить ее на стол и сказать при этом: «с = —27». Тогда окончательный результат будет +1, так как (—26) — (—27) = +1. Естественно, что карточки-переменные очень выгодны, но их не так много. Поэтому тот, кому попалась такая карточка, использует ее только в трудных случаях и очень дорожит ею. Можно перед игрой договориться, что значения переменных по модулю должны
+ +
—
—
-2
+4
-8
+ +
X X
—
+ +
—
+8
-2
+9
-7
-6