Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей - Байокки К., Капело А.

Автор: Байокки К. Капело А.
Теги: хирургия ортопедия офтальмология математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 5-02-013766-9
Год: 1988
Похожие
Вариационное исчисление в примерах и задачах
Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах
Действительный анализ в задачах
Текст
                    БАЙОККИ, А. КАПЕЛО
ВАРИАЦИОННЫЕ
И КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ
НЕРАВЕНСТВА
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ
СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Перевод с английского
В. И. АГОШКОВА, Е. Э. ОВЧИННИКОВА, В. П. ШУТЯЕВА
Под редакцией
В. И. АГОШКОВА
,——¦—¦——ч
ИНВ № 33 S
ИЕБОнЕЕШКИИГИВ \
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ 1
КОЛОХ2А
москва «наука»
главная рвдакция
физико-математической литературы
1988

ББК 22.161.6
УДК 617 972 5
VARIATIONAL AND
QUASIVARIATIONAL
INEQUALITIES
APPLICATIONS
TO FREE BOUNDARY PROBLEMS
CLAUDIO BAIOCCHI AND ANTONIO CAPELO
Istkuto di Matematica dell' Universita di Pavia
and Istituto di Analisi Numerica del Consiglio Na-
zionale delle Ricerche
Translated by Lakshmi Jayakar A Wiley-Intersclence Public?»
tlon JOHN WILEY AND SONS Chichester New York Brisbane
Toronto Singapore
Байокки К., К a n e л о А. Вариационные и квазивариационные нера-
неравенства. Приложения к задачам со свободной границей / Пер. с англ. Под
{ед. В. И. Агошкова.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—448 с—
ISBN 5-02-013766-9.
Содержит изложение теории вариационных н квазивариационных нера-
неравенств эллиптического типа и приложения этой теории к изучению задач со
свободной границей. Материал книги четко систематизирован и снабжен об-
обширной библиографией.
Для специалистов в области прикладной математики, а также для студен-
студентов вузов н аспирантов соответствующих специальностей.
Ил. 60. Библиогр. 729 назв.
1702070000—162
Б 2-88
053@2)-88
ISBN 5-02-013766-9
1984 by John Wiley ? Sons Ltd.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы,
перевод на русский язык,
предисловие редактора перевода,
1988

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода • 6
Предисловие автора к русскому изданию 7
Предисловие °
ЧАСТЬ I
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ &
Глава 1. Введение 9
1.1. Пример вариационной задачи. Понятие корректно поставленной
задачи . 9
1.2. Некоторые результаты о существовании 12
Глава 2. Минимизация выпуклых функционалов 14
2.1. Основная теорема 14
2.2. Вариационная формулировка задачи о минимизации ... 21
2.3. Проекция на выпуклые множества 23
Глава 3. Вариационные неравенства 26
3.1. Основная теорема 26
3.2. Минимизация выпуклых функционалов 35
Глава 4. Транспонирование операторов. Приложения .... 4&
4.1. Понятие транспонирования. Основные свойства .... 45
4.2. Приложения понятия транспонирования 50
Глава 5. Пространства Соболева 72
5.1. О необходимости введения новых функциональных пространств 72
5.2. Пространства Ws >P(R") 75
5.3. Пространства WS-P(Q) 90
5.4. Пространства Ws- "(T) 101
5.5. Нормальные сжатия и пространства Дирихле 106
Глава 6. Примеры одномерных вариационных задач . . . . . 111
6.1. Задача о препятствии. Общие замечания о гладкости решений . 11-1
6.2. Некоторые утверждения для линейных задач второго порядка 119
Глава 7. Примеры многомерных вариационных задач . . . . . 125
7.1. Общие замечания о дифференциальных операторах .... 125
7.2. Линейные задачи 136
7.3. Нелинейные задачи 165
7.4. Результаты о гладкости ,. .,, 178
3

Глава 8. Вариационная формулировка задачи со свободной границей 192
8.1. Общие замечания. Физическая задача , 192
8.2. Преобразование задачи 197
8.3. Кназивариационные задачи 200.
ЧАСТЬ II
КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 205
Глава 9. Теоремы о неподвижной точке 205
9.1. Внедение 205
9.2. Теоремы о неподвижной точке для функций, непрерывных по
Липшицу 207
9.3. Теоремы о неподвижной точке для непрерынных функций . . 211
9.4. Теоремы о неподвижной точке для монотонных отображений . 229
Глава 10. Некоторые результаты о существовании решений вариацион-
вариационных неравенств 232
10.1. Общие результаты о существовании 232
10.2. Частные случаи. I 239
10.3. Частные случаи. II 241
Глава 11. Квазиварнацноиные неравенства 244
11.1. Введение 244
11.2. Метод монотонности 252
11.3. Метод компактности 260
Глава 12. Задача со свободной границей 269
12.1. Введение 269
12.2. Физическая задача 270
12.3. Математическая задача 282
Глава 13. Задача со свободной границей и вариационные неравенства 319
ЧАСТЬ III
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 324
Глава 14. Полунормы 324
Глава 15. Регуляризация и разбиение единицы 333
15.1. Регуляризация 333
15.2. Разбиение единицы 340
Глава 16. Гладкость открытых множеств 343
16.1. Многообразия. Открытые множества классов Ch и Ch' *\ Свойст-
Свойства конуса н сегмента 343
16.2. Обобщенные функции иа многообразии. Пространства W (Г) . 350
Глава 17. Принципы максимуме и его приложения 354
17.1. Введение 354
\ 17.2. Принцип максимума в R 355
17.3. Принцип максимума в С 358
17.4. Принцип максимума в R" 362
17.5. Приложения 366
Глава 18. Формулы Грииа 367
4

Глава 19. Упорядоченные структуры 378
19.1. Основные определения 378
19.2. Решетки 381
19.3. Упорядоченные векторные пространства. Векторные решетки 385
19.4. Топологические векторные решетки. Пространства Банаха—Рисса 391
19.5. Гильбертовы псевдорешетки 397
Глава 20. Многозначные отображения 398
20.1. Основные определения 398
20.2. Топологии в 2, 402
20.3. Отношение порядка в пространстве 2Ya( 412
Список литературы 415
Предметный указатель 446

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА1
Книга написана известными итальянскими математиками. Одной
из особенностей, положительно отличающей ее от ряда уже издан-
изданных книг по теории вариационных неравенств, является построе-
построение изложения с использованием результатов из различных разде-
разделов математики — функционального анализа, теории функций,
краевых задач, теории вариационных неравенств н др. Это делает
содержание книги богатым, красивым, не «выдернутым» из неко-
некоторого направления математики. Одновременно с этим не склады-
складывается впечатление о недоступности ее для чтения. Написана она
на строгом математическом языке. Изложение часто начинается с
рассмотрения основных идей на примере простых задач. Одновре-
Одновременно авторы описывают возможные пути их исследования, объяс-
объясняя, почему они выбирают тот или иной из них. Такой подход к
изложению текста делает чтение книги интересным и весьма по-
полезным для читателя, который получает возможность воссоединить
многие идеи и подходы математики в приложении к одному из на-
научных направлений. Если, кроме того, учесть достаточное коли-
количество материала справочного характера в книге, а также отсутствие
сложных доказательств (авторы указывают, где их найти), то все
это делает книгу если не учебником, то, по крайней мере, учебным
пособием по функциональному анализу и теории вариационных и
квазивариационных неравенств.
Книга несомненно будет с интересом воспринята студентами
старших курсов университетов, аспирантами, молодыми учеными,
а также специалистами по функциональному анализу, краевым за-
задачам, теории вариационных и квазивариационных неравенств,
методам вычислительной математики.
В. И. Агошков

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Мы с энтузиазмом приняли предложение об издании этой книги
на русском языке. Хотя первое издание ее в Италии появилось в
1979 году, мы надеемся, что она все еще оказывает хорошую помощь
студентам и научным работникам при изучении основ теории ва-
вариационных неравенств. Поэтому мы испытываем чувство благо-
благодарности к переводчикам, редакторам и издательству за благо-
благоприятную возможность обратиться к столь широкой читательской
аудитории.
16 июля 1987 г. ft. БайокКЫ
А. Капело

ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние 15 лет вариационные неравенства приобрели боль-
большое значение как с теоретической, так и с практической точки зре-
зрения.
Эта книга (некоторые главы которой составили курсы функцио-
функционального анализа, прочитанные К. Байокки в университете
Павиа в течение 1974—76 гг.) посвящена вариационным и квази-
квазивариационным неравенствам эллиптического типа и приложениям
этой теории к изучению задач со свободной границей. Книга далека
от полноты; так, эволюционные неравенства, численная аппрокси-
аппроксимация неравенств и другие применения неравенств либо совсем
опущены, либо только слегка затронуты. Тем не менее мы старались
провести систематизированное и самостоятельное изложение; при-
приведена обширная библиография.
Книга разделена на три части. В первых двух рассматриваются
задачи вариационного и квазивариационного типа. Для понимания
этого материала требуется знание анализа, основных элементов тео-
теории меры и интеграла Лебега, элементарных свойств гильбертовых
и банаховых пространств. Часть III посвящена дополнительным во-
вопросам, не относящимся к рассматриваемой тематике, но тем не
менее необходимым для развития теории (формулы Грина, полу-
полунормы, принцип максимума и т. п.); иногда в частях I и II мы ссыла-
ссылаемся на некоторые конкретные результаты и обозначения из час-
части III.
Некоторые разделы книги, например, пространства Соболева,,
в изложении мы не пытались сделать самостоятельными, но в этих
случаях предоставили читателю точные ссылки, позволяющие
расширить и пополнить знания о предмете.
Мы признательны Институту численного анализа при Нацио-
Национальном совете исследований в Павиа (Istituto di Analisi Numerica
del Consiglio Nazionale delle Ricerche, Pavia) и Итальянскому мате-
математическому союзу (Unione Matematica Italiana), которые сделали
возможной публикацию итальянского варианта этой книги. Мы так-
также благодарны нашим коллегам из Института математики при уни-
университете в Павиа (Istituto di Matematica dell'Universita di Pa-
Pavia) за конструктивную критику и исправление опечаток в тексте
итальянского издания.
Клаудио Байокки
Павиа, январь 1988 г. Антонио КпПвЛО

ЧАСТЬ I
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Пример вариационной задачи. Понятие корректно
поставленной задачи
Задача о препятствии. Рассматриваемый ниже пример на осно-
основе физической задачи позволит нам ввести понятие задачи вариа-
вариационного типа (причина использования термина «задача вариацион-
вариационного типа» будет ясна из последующего). Ради простоты мы рас-
рассматриваем случай задачи с одной независимой переменной, который
приводит нас к обыкновенным дифференциальным неравенствам.
Но если вместо упругой струны рассмотреть упругую мембрану,
а вместо двумерной преграды —трехмерную, то получим пример
задачи, в которой уже появляются частные производные и возни-
возникают соответствующие неравенства.
Рассмотрим тело A cz R2, которое будем называть препятствием
(преградой), и две точки Plt Р2, не принадлежащие А (рис. 1.1).
Соединим Рх и Р2 невесомой упругой струной, которая не может
проходить через А. Нас интересует форма, принимаемая данной
струной. Чтобы ее описать, введем систему прямоугольных коорди-
координат Оху, по отношению к которой точки Р1 и Р2 имеют координаты
@,0) и (/,0) соответственно. Предположим, что в выбранной системе
координат (на отрезке, которым мы интересуемся, т. е. на 10,1])
«нижняя часть» границы препятствия А задается кривой у = г|? (х).
Из практики следует, что если у = и (х) — кривая, форму кото-
торой принимает струна, то
"@)-и@ = 0 A.1)
(поскольку струна соединяет точки Р1г Р2); кроме того, струна не
проходит через А, поэтому
«(*)<*(*), A.2)
а поскольку, будучи упругой и невесомой, она должна принимать
выпуклую форму, то

далее,
«(*)<•»!> (*)=*""(*) = 0 A.4>
(т. е. там, где нет касания тела струной, она принимает линейную
форму), так как струна стремится принять форму с наименьшей

допустимой длиной—в частности, если бы не было препятствия, ее
длина равнялась бы I.
Соотношения A.1)—A.4) эквивалентны A.1)—A.3) с соотноше-
соотношением
"(х)=*0. A.5)
n
Рис. 1.1
Действительно, если A.4) верно, то или и (х)—if> (х) = 0, или
и" (х) = 0, т. е. верно A.5). С другой стороны, если верно A.5),
то при и (х) Ф -ф (х) имеем и" (х) — 0, и тогда в силу A.2), и (х) Ф
Ф ip (x) лишь при и (х) <if> {x).
Соотношения A.1)—A.3) и A.5) составляют математическую фор-
формулировку изучаемой нами физической задачи, а отыскание функ-
функции и (х), удовлетворяющей этим
соотношениям, и представляет со-
собой вариационную задачу, которой
(как мы увидим ниже) можно по-
поставить в соответствие вариацион-
вариационное неравенство. В последующем
мы будем ссылаться на данную за-
задачу как на задачу 1.0.
Пространства исходных данных
и пространства неизвестных. За-
Задача 1.0, однако, не является пол-
полной (замкнутой), поскольку мы
не определили гладкость, которой должна обладать неизвестная
функция и (х) (т. е. мы не определили пространство функций, кото-
которому должна принадлежать и (х)), а также гладкость, которую мы
требуем от заданной функции тр (х) (т. е. не определено функцио-
функциональное пространство, из которого выбирается^ (х)). Ясно, что для
конкретной функции гр (х) мы можем определить ее гладкость непо-
непосредственным изучением. Однако, если мы хотим решить «задачу о
-струне и препятствии» в общем случае, то мы не можем фиксиро-
фиксировать функцию тр (х), а можем лишь задать некоторые из ее свойств,
т. е. задать пространство, которому она принадлежит.
Понятие замыкания задачи не следует смешивать с понятием кор-
корректности, о котором мы будем говорить ниже. Как можно заметить
из последующих рассмотрений, процедура замыкания задачи далеко
не является общепринятой. Так, из физических соображений функ-
функция и (х) должна быть непрерывной (в противном случае в струне
должен быть разрыв), но она, например, не обязательно должна
быть дифференцируемой. В случае формы струны, изображенной на
рис. 1.2, мы будем иметь недифференцируемую функцию и (х), и если
в этом случае мы ищем и (х) в классе С0 ([0, I]) (что было бы есте-
естественным), то например, условие A.3), не имеет смысла. Здесь
¦форма струны по-прежнему остается выпуклой, однако математи-
математическое описание этого факта следует изменить. И очень важно так
¦определить функциональные пространства, в которых ставится за-
задача, чтобы было ясно, как понимать записанные математические
выражения. Например, если гр — заданная функция из С2 (Ю, Л),
10

и мы ищем и (х) в С2 ([О, Л), то A.1)—A.3), A.5) можно понимать в
обычном смысле. Если жег|) принадлежит С1 ([О, Л), и мы ищем и (х)
среди функций С1 ([О, Л), имеющих абсолютно непрерывную про-
производную, то A.1) и A.2) могут все еще рассматриваться в обычном
смысле, однако A.3) и A.5) должны быть записаны в таком виде,
чтобы они были справедливы почти всюду. Заметим, что если и 6
6 С1 ([О, Л) и и' 6 АС ([О, Л)*), то и" (х) существует почти всюду.
Задачи вида:
«для заданной функции -ф 6 С2 ([О, Л) (или -ф 6 С1 ([О, Л)) найти
Функцию и ее2 ([о, л (или и е {«е с1 (to, л>: и' е ас цо, л)}),
удовлетворяющую A.1)—A.3), A.5)
б обычном смысле (соответствен-
но A.1) ы A.2) — в обычном смыс-
смысле, а A.3) и A.5) — почти всюду)» у
являются замкнутыми задачами,
даже если в обоих случаях вы-
бранные пространства не являются
наилучшими из подходящих для
постановки задачи. (Отметим так- Рис. 1.2
же, что в приведенной постановке
задача может и не иметь решения и, кроме того, предположения от-
относительно if являются слишком ограничительными.)
Корректно поставленные задачи. Для корректной постановки-
задачи недостаточно задать пространства, при которых математи-
математические выражения имеют смысл. Поэтому мы вводим следующее
понятие.
Задача вида
чдля заданного множества {dn 6 $n}n=l N исходных данных dn
из топологических пространств j3n требуется найти множество
{ит ? U т)т=\ м неизвестных элементов ит из mono логически»
пространств Um, удовлетворяющих множеству {Ck}k=sl K условий,
которые связывают в терминах пространств 0п и Um неизвест-
неизвестные с исходными данными», .
называется корректно поставленной, если для каждого множества
исходных данных {dn} существует только одно множество неиз-
неизвестных {ит} (они будут называться решениями), удовлетворяющих
условиям {Ck}, и, кроме того, ит изменяются непрерывно при не-
М N
прерывном изменении dn в топологиях пространств [~| lim и [~| 0п
т=0 л=0
соответственно.
Заметим, что во многих задачах (в общем случае нелинейных)
исходные данные {dn} могут быть «скрыты» в условиях {Ck}. С
другой стороны, линейные задачи также могут включать задачи
с непрерывной зависимостью решений от «коэффициентов», которые
появляются в {Ch}.
*) Здесь и в дальнейшем АС([0, /]) —пространство абсолютно непрерыв-
непрерывных функций.
И

Одна из основных задач функционального анализа состоит в
том, чтобы определить пространства, в которых задачи из некото-
некоторого класса могли быть корректно поставленными (или для каждой
конкретной задачи найти пространства, в которых она является кор-
корректно поставленной), т. е. такие пространства, в которых можно
доказать существование, единственность и непрерывную зависимость
решений от исходных данных. Необходимо заметить, что задача мо-
может быть корректно поставленной по отношению к различным про-
пространствам, и тогда надо в принципе выбирать формулировку, кото-
которая накладывает наименьшие ограничения на исходные данные.
Однако здесь мы должны также принимать во внимание возмож-
возможность изучения «свойств гладкости» решений.
1.2. Некоторые результаты о существовании
Сейчас мы рассмотрим некоторые примеры задач, в которых мо-
можем гарантировать существование решений, а также упомянем не-
некоторые фундаментальные результаты, которые будут полезны в
дальнейшем. Результаты, которые приводятся без доказательства,
можно найти во многих книгах по функциональному анализу (см.,
например, [35, 40]).
Теорема Хана — Банаха. Рассмотрим первую задачу.
Задача 1.1 Пусть В — банахово пространство и у 6 В\
\ {0}. Требуется найти элемент L 6 В', такой, что L (у) =* I (как
обычно через В' мы обозначаем пространство, сопряженное к В).
Тот факт, что задача 1.1 имеет по крайней мере одно решение
является элементарным следствием следующей теоремы.
Теорема 1.1 (теорема Хана — Банаха). Если В —
нормированное пространство и V — линейное многообразие в В,
то каждый линейный непрерывный функционал над V можно про- <
должить линейным непрерывным (функционалом над В с той же
нормой.
Теорема Хана — Банаха решает также проблему продолжения
непрерывных линейных функционалов, и в дальнейшем мы ее час-
часто будем использовать.
Теорема Рисса. Продолжим рассмотрение задачи о представле-
представлении линейных непрерывных функционалов.
Задача 1.2. Пусть Я — гильбертово пространство и L 6 Я'.
Требуется найти элемент Ul 6 # такой, что Vv 6 Я Цр) =
Ответ на вопрос о существовании решения этой задачи дается
теоремой Ф. Рисса.
Теорема 1.2 (теорема Рисса). Если Я — гильбертово про-
пространство, то для каждого L^H' существует один и только
один элемент uL?H такой, что V t> 6 Я L(v) = (uvv)H. Кроме
того, имеет место равенство ||«LI|H =» II ^Ц^-
Интересно отметить, что эта теорема дает не только существова-
существование и единственность решения задачи 1.2, но и непрерывную зави-
зависимость решения от исходных данных (поскольку оператор, ставя-
ставящий в однозначное соответствие каждому элементу L элемент «t, ,
12

есть изометрия). Таким образом, задача представления линейных
непрерывных функционалов является корректно поставленной за-
задачей в каждом гильбертовом пространстве с топологией, порож-
порождаемой нормой.
Теорема Банаха о неподвижна точке. Очень важные теоремы
Хана — Банаха и Рисса являются результатами «векторно-тополо-
гического типа». Теперь же рассмотрим результат, который не за-
зависит от векторной структуры.
Пусть (S, d) — полное (непустое) метрическое пространство и
пусть Т : S -*- S — оператор сжатия, т. е.
Vx.ytS d{T(x), Т(у))<Щх,у). A.6)
Задача 1.3. Требуется найти элемент х g S такой, что х =
= Т (х) (т. е. требуется определить неподвижную точку операто-
оператора Т).
Существование решения данной задачи следует из следующей
теоремы.
Теорема 1.3 (теорема Банаха о неподвижной
т о ч к е). Если (S, d) — полное {непустое) метрическое простран-
пространство и Т : S -> S — сжатие, то существует одна и только одна
неподвижная точка оператора Т.
Доказательство. Единственность. Предпо-
Предположим, что существуют две различные неподвижные точки х, х
оператора Т, т. е. х = Т (х), х = Т (х) и хф х. Поскольку Т—сжа-
Т—сжатие, то d(х, х) = d (T (x), T(x))^.kd(x,x)<id(x~, х), и мы прихо-
приходим к противоречию.
Существование. Рассмотрим последовательность {*„},
определяемую рекуррентным соотношением
*Я = П*„_,)> л =-1,2,..., A.7)
и покажем, что независимо от выбора х* = х0 эта последователь-
последовательность сходится к неподвижной точке оператора Т. Заметим, что
*п - Г(*„_,) = Т*(хп_2) - ... = Т"(х0) A.8)
й что из A.6) для каждого п
Vx,y?S d (Г (х), Г (у))<knd {x, у). A.9)
Поэтому при m ^ п мы можем последовательно записать соотношения
d (xn, xm) - d (Г (дО, Т (Хо)) < knd (х,, хп_п) <
< kn [d(x0, Xl) + d (xv xt) + ... +d
n-l]= d(xo,Xl)(kn-^fT)/(l -k), A.10)
которые показывают, что {хп} есть последовательность Коши. По-
Поскольку (S, d) — полное, то эта последовательность сходится. Обо-
13

значим ее предел через х. Чтобы показать, что х есть неподвижная
точка, достаточно заметить, что оператор Т непрерывен (см. A.6)),
поэтому Т(х) = T(\im хп) = iim Т (хп) = lim х ,, = х. ?
Из теоремы Банаха следует, что задача 1.3 корректно поставле-
поставлена в непустом полном метрическом пространстве, так как эта тео-
теорема дает существование и единственность неподвижной точки (по-
(поскольку «исходные данные» в рассматриваемой задаче отсутствуют,
то проблема о непрерывной зависимости от них решения не воз-
возникает; однако обращаем здесь внимание на замечание, сделанное
после определения корректно поставленной задачи).
Интересно отметить, что доказательство существования непо-
неподвижной точки обладает важной особенностью: оно — конструк-
конструктивно. Действительно, мы доказали существование неподвижной
точки, указав процесс, которым она может быть найдена. Справед-
Справедливо и то, что предел х находится за счетное число шагов процесса,
и мы можем приблизиться к нему сколь угодно точно при осуще-
осуществлении конечного числа шагов, оценив при этом допускаемую
ошибку. Так, если мы примем за приближенное решение элемент
х — хп, то погрешность d (х, х) не будет превышать d (xv x0) X
X #7A - *).
В качестве первого приложения теоремы Банаха отметим ре-
результат, вытекающий из ее доказательства (теорема П и к а р а ):
если Q — открытое множество из R2, a / : Q -> R — непрерывная
по обеим переменным функция, удовлетворяющая по у условию Лип-
Липшица, то для заданной точки (х0, у0) ? ?2 задача Коши у' = f {x,
У)> У (хо) = У о корректно поставлена локально (т. е. существует та-
такое е > 0, что на (х0 — е, х0 + е) существует единственное решение
этой задачи, непрерывно зависящее от исходных данных).
В гл. 3 мы приведем еще одно приложение теоремы Банаха, а в
гл. 9 будут представлены другие теоремы о неподвижной точке.
Глава 2. МИНИМИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ
ФУНКЦИОНАЛОВ
2.1. Основная теорема
Общая задача о минимизации. В этом разделе мы найдем до-
достаточные условия для того, чтобы следующая задача о минимиза-
минимизации имела одно (или одно и только одно) решение.
Задача 2.1. Для вещественного векторного пространства Е,
функции /: Е -> R и множества X с Е требуется найти минимум
функции / в X, т. е. требуется найти точку xQ?X такую, что
f() iff()
Условия, которые мы ищем, включают предположения относи-
относительно Е, f и X.
И

Поиск «хороших» условий. В частном случае, когда Е = R", /
непрерывна и X компактно, теорема Вейерштраса дает существо-
существование минимума функции / в X. Но в действительности из этой
теоремы следует также существование и максимума, а это приводит
нас к выводу, что предположения теоремы слишком сильные. По-
Поэтому проанализируем их, чтобы получить некоторую полезную
информацию для нашей задачи.
Функция / предполагается непрерывной. Следовательно, R"
нужно рассматривать как топологическое пространство. Отсюда
первая проблема: «независимо от того, необходимо или нет пред-
предположение о непрерывности f, нужно ли использовать топологи-
топологическую структуру R"»? Функция fi : R -> R, определенная как
0] а;
Рис. 2.1
о
-v
Рис. 2.2
JC
/i М = I х\ для хф 0 и f @) = 1 (рис. 2.1), позволяет нам дать
утвердительный ответ: f1 не имеет минимума на R (точная нижняя
граница функции /х (R) есть 0, и она не достигается). Описание ха-
характера функций, таких как fu требует топологической структуры.
Поэтому мы заключаем, что пространство Е должно быть наделено
топологией. Будет также полезно, чтобы Е имело структуру век-
векторного пространства. Итак, мы требуем выполнения следующего'
условия.
(HI) E — топологическое векторное пространство.
С другой стороны, функция /2 : R -»- R, определяемая как
f2 (х) — |*|, если хФ 0 и f% @) = — 1 (рис. 2.2), которая имеет
минимум (—1 при х = 0) и не является непрерывной, показывает,
что непрерывность функции f в общем случае не является необ-
необходимым условием.
Теперь вспомним понятие полунепрерывности снизу (сверху).
Если Т — топологическое пространство, то функция / : Т -*~ R на-
называется полунепрерывной снизу в точке х0 6 Т, если для семей-
семейства открытых окрестностей К (х0) точки х0 имеем: Ve > 0 3Ue 6
6 ff (х0) Vy 6 Ue f (у) ]> / (x0) — e. В случае, когда топология в Т
может быть задана посредством сходимости последовательностей
(подобно метрическим топологиям, примером которых является так
называемая естественная топология в R"), мы можем также сказать,
что «/ : Т -*¦ R является полунепрерывной снизу в хо?Т, если
для каждой последовательности {хп} (хп-»-*<,) имеем lim^f(xn)^
^/(-^оК (Мы будем использовать символы lim' и lim" для обозна-
обозначения соответственно нижнего и верхнего пределов; другими часто
15

встречающимися здесь обозначениями являются lim и lim inf для
lim' и lim и lim sup для lim"). Понятие полунепрерывности сверху
вводится аналогичным образом.
Вернемся к нашей проблеме. На самом деле функция /2 полу-
полунепрерывна снизу (чего нет для fj), поэтому мы будем требовать
выполнения следующего второго условия.
(Н2) / полунепрерывна снизу в топологии пространства Е.
Это предположение можно сформулировать и так: / полунепре-
полунепрерывна снизу в соответствующей топологии пространства Е. (В даль-
дальнейшем нас в основном будут интересовать бесконечномерные век-
векторные пространства, в которых в отличии от конечномерных можно
ввести нескояько «естественных» топологий.)
Проанализируем теперь предположение о компактности X.
¦Функция f3 : R -> R, определяемая как /3 (х) — е~х' (рис. 2.3),
показывает, что это предположение необходимо. Тем не менее, мы
требуем большего относительно /,— это подсказывается функцией
/4: R -> R, имеющей вид ft (х) = 1 — е-*' (рис. 2.4).
У:
1
д?
Рис. 2.4
Можно было бы пойти и по другому пути (который, однако, не
•является естественным): сделать X = R компактом, например, спо-
способом Александрова, и положить fs (оо) = 0. Тогда fs имела бы
только один минимум, равный нулю, в точке х = оо.
Изучим введенные выше функции f3, f4 и попытаемся выяснить —
что же влияет на различие в их поведении. Рассмотрим множества
уровней этих функций. Напомним, что для заданной функции f :
Т -*¦ R и для значения а 6 R множество уровня функции / по
отношению к а есть множество
= Г'((-
B.1)
16

Замечаем, что множества уровней функции /4 являются компакт-
компактными, если а < 1, в то время как подобные множества функции /3
не являются таковыми. В этом и состоит различие (в изучаемых
нами вопросах) между двумя функциями. Чтобы увидеть, что /4
имеет минимум на R, достаточно заметить, что если ах < а3, то
L (fi)^ La (/4) и, следовательно, семейство компактных множеств
(естественно, что мы ограничиваемся непустым набором членов этого
семейства) (La(/4)} («6*—°°> 0) обладает свойством конечного
пересечения и поэтому имеет непустое пересечение: точки этого
пересечения, равные {0}, являются точками, в которых достигается
минимум.
Мы искали минимум функции ft на R. Если бы мы попытались
сделать это, например, на X = (—оо, 0), то могли бы заключить,
что в этом случае минимума нет, поскольку точная нижняя гра-
граница здесь равняется нулю, т. е. значению, которое не достигается
в точках множества X. Отметим также, что в действительности ком-
компактными множествами должны быть множества La (/) П X. Из
приведенных рассуждений следует, что естественно потребовать
выполнения условий:
(НЗ) X — замкнутое непустое множество.
Если X = 0, то задача не имеет смысла: f (X) = 0cR к
) inf 0 не существует в R.
4 (Н4) За 6 R Lra (/) П X — непустое компактное множество.
Э В условиях (НЗ), (Н4) подразумевается, что X замкнуто или
^компактно по отношению к той же самой топологии, в которой f
^полунепрерывна снизу. Очевидно, что для а < а множества La (/) П
•*Г) X не обязательно должны быть компактными, так как (Н2) пред-
предполагает, что La (f) являются замкнутыми множествами (заметим,
что E\La(f) —открытые множества). Интересно отметить, что
функции, непрерывные в топологии R, имеющей в качестве
подбазиса семейство {х 6 R : х > а, а ? R}, являются полунепре-
полунепрерывными снизу в смысле, определенном выше. (Дополнительные
сведения о полунепрерывных снизу функциях можно найти в [359,
с. 23; 90].)
Условие (Н4) трудно проверять. Поэтому представляется удоб-
удобным найти условия, которые гарантировали бы (Н4). Так, если
топология Е такова, что (как и в случае конечномерных про-
пространств) компактные множества ограничены и замкнуты, то до-
достаточно потребовать, чтобы множества La(f) f) X были ограни-
ограниченными. Для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы выполня-
выполнялось условие:
(Н5) X — ограниченное множество
или чтобы для f имела место коэрцитивность (для простоты, мы
предполагаем, что Е — нормированное пространство; см. (Н9)).
(Н6) lim /(*) = оо.
IMl
2 К. Байокки, А. Капело | ;. - .-•¦,• •¦- -.
( ' —• *• *
: .• ¦ ' ¦-'-;..¦-;Г':

Кг пцитивность / предполагает ограниченность множеств
La (/ (так как, если существует такое а, что множество La (/) не-
неогран и чено, то можно извлечь из него последовательность хп , для
кото > i || хп \\Е -*¦ оо, что совместно с (Н6) противоречит соотношению
/ (хп ¦• ^ а). Это условие исключает из наших рассмотрений функции,
такие, как /3 (см. рис. 2.3), /4 (см. рис. 2.4).
Теперь мы (с помощью частного случая задачи) выясним, какие
простринства мы можем выбирать в наших исследованиях, чтобы
ограи ценность замкнутых множеств La(f) [\ X предполагала их
компактность. Тогда мы получим не только описание подходящих
пространств Е, ной другие условия, налагаемые на/ и на X. Пусть
?=Н — бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство.
Здесь мы имеем естественные топологии — слабую и сильную. По
отношению к последней из них замкнутые и ограниченные множе-
множества не обязательно компактны (например, шар единичного радиуса
{х 6 Я : || х |'я^ 1} не компактен), но ограниченные слабо замкнутые
множества слабо компактны (что справедливо для любого нормиро-
нормированного пространства; см. [35]). Итак, можно было бы работать в
слабой топологии, однако условие слабой полунепрерывности /
(см. (Н2)) трудно проверять.
Обсуждаемая проблема упрощается, если мы к введенным выше
условиям добавим предположение о выпуклости, так как выпуклые
множества сильно замкнуты тогда и только тогда, когда они слабо
замкнуты (что справедливо при любой топологии пары двойствен-
двойственных пространств — см. [645, с. 34]). А чтобы множества La (/) П X
были выпуклыми, достаточно выпуклости X и La (/). Следователь-
Следовательно, мы приходим к условиям:
(Н7) X — выпуклое множество.
(Н8) / : Е -*• X — выпуклая функция.
Условие (Н8) сформулировано для / с учетом следующей теоремы.
Теорема 2.1. Если f : Е -*¦ R — выпуклая функция, то
Va 6 R множество La (/) выпуклое.
Доказательство. Если xvx2?La (/), то /(х^^а, f(x2)^.a;
поэтому VXe[0, I] /((l-^)^ + ^2)<(l-^)/(^) + V(^X
<A — K)a + hi = a. П.
Как упоминалось выше, основные свойства топологий гиль-
гильбертова пространства Н (которое мы выбрали как основу в про-
проведенном нами рассуждении, поскольку гильбертовы пространства
являются непосредственными обобщениями конечномерных про-
пространств) остаются справедливыми в любом рефлексивном норми-
нормированном пространстве. Таким образом, естественно ввести сле-
следующее условие.
(Н9) Е — рефлексивное банахово пространство.
В этом предположении мы также накладываем условие полноты
Е (поскольку неудобно работать с неполными пространствами).
Основная теорема. Учитывая условия (HI)—(Н9), мы можем
сформулировать следующий основной результат.
Теорема 2.2 (теорема о минимизации выпуклых функцио-
функционалов). Если Е — рефлексивное банахово пространство, f : Е -*¦ R—
18

выпуклая полунепрерывная снизу функция, Хф0— замкнутое
выпуклое подмножество из Е и X ограничено (или f коэрцитивна),
то задача 2.1 имеет решение. Это решение единственно, если f —
строго выпуклая.
Доказательство. Заметим, что не обязательно опре-
определять топологию, по отношению к которой / полунепрерывна сни-
снизу, поскольку выпуклые функции слабо полунепрерывны снизу тогда
и только тогда, когда они сильно полунепрерывны снизу (см. [90]).
Далее, множества La (/) сильно замкнуты (поскольку / сильно полу-
полунепрерывна снизу) и являются выпуклыми (поскольку / — выпук-
выпуклая). Поэтому эти множества слабо замкнуты и, следовательно,
такими же являются множества X f] La (/), которые, вследствие
ограниченности X (или коэрцитивности f), ограничены и, в силу
рефлексивности нормированного пространства Е, слабо компактны.
Существование минимума гарантируется тем, что это семейство сла-
слабо компактных множеств обладает свойством конечного пересече-
пересечения. (Очевидно, что существует по крайней мере одно непустое мно-
множество X Г) La (/)). Если функция / строго выпуклая, то минимум
(который обозначим т) достигается только в одной точке множества
X; если бы он достигался в двух точках хх, х%, то выпуклость мно-
множества X позволяла бы записать
что приводит к противоречию. ?
Минимизация квадратичных функционалов. Теорема 2.2 гаран-
гарантирует существование и единственность решения следующей задачи.
Задача 2.2. Пусть Н — гильбертово пространство, К с:
cz Н — непустое замкнутое выпуклое множество, L ? Н', а функ-
функция / : Я -> R определяется по формуле
±-\\vfH-L(v). B.2)
Требуется найти элемент ио?К такой, что
/()
«ек
Условия теоремы выполнены, поскольку Я рефлексивно, Кф 0
есть замкнутое выпуклое множество и / строго выпукла и коэрци-
коэрцитивна (так как / (v) > -^ || v \\'н - || L ||„, || v Ц
Но теорема не дает процедуры построения решения, и ее ут-
утверждение не является конструктивным результатом. Эта некон-
неконструктивность есть следствие того, что мы используем свойство
конечного пересечения семейства слабо компактных множеств
X Г) La (/), которое гарантирует непустоту пересечения, но не по-
показывает, как получить это пересечение.
В силу теоретической важности задачи 2.2 мы докажем су-
существование ее решения (снова неконструктивным способом)

независимо от теоремы 2.2. С этой целью положим
? = inf/>) B.3)
и, вспомнив определение точной нижней границы, запишем (при
i> —оо)
V/16N ЗопеК /(on)<t + l/n. B.4)
Отметим, что если бы мы знали, как строить последовательность
{vn}, то приводимое ниже доказательство также было бы конструк-
конструктивным. Из B.2), B.4) следует, что
¦f || i>X-4i>n)<*+¦?•. B-5)
поэтому
т11уХ<'+Т+11Чя'1К11„; B-6)
отсюда получаем Vn || vn \\н ^ М 6 R. Теперь из последователь-
последовательности ограниченных по норме элементов можно выделить слабо
•сходящуюся подпоследовательность. Пусть такой подпоследова-
подпоследовательностью является {Vnk}, и пусть vx — ее (слабый) предел. По-
Поскольку К слабо замкнуто, то v^ 6 К; ясно, что v^ — точка, в
которой достигается минимум. Действительно, из сходимости Vn^v^
следует, что lim' ||р„Х>\\voc\\h (см. [35]) и L(vnk)^~L(vJ (в
силу определения слабой сходимости). Применяя операцию lim' к
неравенству
получаем
Таким образом, согласно B.3) имеем f(vx) = i, т. е. существование
решения задачи 2.2 доказано
Приведенные рассуждения могут быть усилены, если показать,
что Vn-^v^. Для этого докажем, что для всей последовательности
{vn} (а не только для определенной выделенной подпоследователь-
подпоследовательности) имеем Vn-^-v^. Докажем это методом от противного. Пред-
Предположим, что {vn} не сходится слабо к vx. Это означает, что
Зе>0 ЭЫЛ=12 Vh\f(vnh-vJ\>B. B.9)
Однако, поскольку || р„А ||н ^ М, то мы можем выделить из {о„Л}
слабо сходящуюся подпоследовательность {vn }, и пусть v —ее
слабый предел. Теперь повторим для {vnh } рассуждения, применен-
примененные к {vnk}, и заключим, что / (v'x) = i, а это, в силу единствен-
20

ности минимума t и того, что из B.9) имеем v'^^v^, приводит
нас к противоречию.
Чтобы доказать сильную сходимость vn^-voo, заметим, что
lim || vn \\н = || vx ||й, так как соотношения lim" || vn \}н > lim' || vn ||„>
>1|»Ля и lim"||yn||H>||t>oo||H не могут выполняться одновре-
одновременно, поскольку в этом случае из B.7) мы имели бы i>f(vj.
Нам осталось лишь вспомнить, что в гильбертовом пространстве
сходимость норм совместно со слабой сходимостью дает сильную
сходимость. Этот результат справедлив и при более общих предпо-
предположениях относительно пространства Я; действительно, достаточ-
достаточно, чтобы Я было локально равномерно выпуклым нормированным
пространством — см. [31].
2.2. Вариационная формулировка задачи о минимизации
Вариационные неравенства. Рассмотрим следующую задачу.
Задача 2.3. Пусть Я — гильбертово пространство, L 6 Я'
и К ф 0 — замкнутое выпуклое множество из Я. Требуется найти
элемент и0 6 К такой, что
(«о, «о — и)н <?(«„ — v) VveK. B.10)
Наша ближайшая цель состоит в доказательстве следующей тео-
теоремы.
Теорема 2.3. Задачи 2.2 и 2.3 эквивалентны, т. е. элемент,
щ является решением задачи 2.2 тогда и только тогда, когда и0
есть решение задачи 2.3.
Доказательство. Сначала мы покажем, что если и0
есть решение задачи 2.2, то и0 является также решением задачи 2.3.
Если и„ — решение задачи B.2) (тогда и0 6 К) и v — любой элемент
из К, то мы можем рассмотреть отображение вида
%^F(X) = f(luo + (l-k)v) ([0,1]-*R) B.11)
(здесь Яио + A — А.)и?/(), которое имеет минимум при Х=1.
Следовательно,
[Ч.^0 BЛ2)
(отмечаем, что 1 является наибольшим значением на интервале, на
котором функция F (X) определена, и что F (Я) дифференцируема);
вспоминая вид функционала B.2), имеем
0 - *)» fH ~ L (Ч + A - Я) о)Щ < 0, B.13)
или (после простых вычислений)
y). B-14)
21

Чтобы показать, что если н0 — решение задачи 2.3, то ы0 —
также решение задачи 2.2, достаточно доказать единственность ре-
решения задачи 2.3, поскольку это свойство уже доказано для задачи
2.2, и тогда, учитывая уже изложенное выше, сразу же получим
требуемое утверждение. Доказательство проведем от противного.
Пусть и1( «2 — два решения задачи 2.3; тогда
B.15)
H B.16)
Полагая v = и2 в B.15) и v — их в B.16) (этот прием здесь необхо-
необходим, поскольку мы не можем вычитать соответствующие части не-
неравенств B.15) и B.16)), имеем:
(uvu1-u2)H <L К--»,), B.17)
(«ц.и. — Вх)» <*•(«• — и,). B.18)
Суммируя полученные неравенства и учитывая линейность L, полу-
получаем соотношение
(н,— и2,их — и2)н<0> B.19)
которое показывает, что «i = «2. П
Мы называем задачу 2.3 вариационной формулировкой задачи 2.2
о минимизации, а соотношение B.10) — вариационным неравен-
неравенством или неравенством Эйлера для задачи о минимизации (отме-
(отметим, что B.10) фактически состоит из card К неравенств).
Вариационные уравнения. В частном случае, когда К = Я,
задача 2.3 формулируется так:
Задача 2.4. Пусть Я — гильбертово пространство и Ц
6 #'. Требуется найти элемент н0 6 Я такой, что
B.20)
Это оправдано тем, что при К = Я имеем Vw?H Эиб/С
и0 — у = оу и Vw?H 3v?K н0 — у = — ш-
I Теперь задача 2.4 есть не что иное, как задача 1.2, а, поскольку
из теоремы 2.2 (или соответствующих рассуждений, проведенных
при изучении задачи 2.2) и из теоремы 2.3 следует, что задача 2.4
имеет одно и только одно решение, то мы заключаем, что доказали
теорему Рисса. Заметим, что если мы хотим доказать теорему 2.3
снова в этом частном случае, то B.11) и B.12) принимают соответ-
соответственно вид
») ¦ (R-*R). B.1 Г)
." BЛ2/)
В соответствии с принятой выше терминологией мы называем
B.20) вариационным уравнением Эйлера, соответствующим задаче
в минимизации — задаче 2.2 при К — Я.
22

Геометрическая интерпретация. Теорема Рисса позволяет дать
интересную геометрическую интерпретацию задач 2.2 и 2.3. Дей-
Действительно, эта теорема позволяет записать B.2) в виде
(с и* = и,). Поскольку минимизация / (v) над К очевидно эквива-
эквивалентна минимизации (снова над
К) функционала
и*
B.22) Рис. 2.5
(т. е. задаче минимизации расстояния от и* до К (рис. 2.5)), то
задачи 2.2 й 2.3 эквивалентны отысканию проекции и0 элемента и*
на К- Последнее определяется соотношением
B.23)
которое показывает, что щ — и* и и0 — v образуют тупой угол.
2.3. Проекции на выпуклые множества
В дальнейшем мы будем использовать понятие проекции на вы-
выпуклое множество гильбертова пространства, поэтому введем оп-
определение проекции и приведем некоторые ее свойства.
Определение 2.1. Пусть Я — гильбертово пространство
и К cz Я — непустое замкнутое выпуклое множество. Если и 6
€ Я, то проекцией элемента и на К называют элемент Рк (и) 6 К та-
такой, что
1|«-^(«I1я<11«-у1!я V^/C. B.24)
Другими словами, можно сказать, что Рк («) есть элемент мно-
множества К, ближайший к и. Заметим также, что соотношение B.24)
есть не что иное, как B.23), лишь иначе записанное.
Приведенное определение имеет ясный смысл, для заданного
элемента и ? Н его проекция на К существует и единственна, что
вытекает из фактов существования и единственности решения зада-
задачи 2.3. С другой стороны, любопытно, что среди слабо замкнутых
множеств гильбертова пространства выпуклые множества — един-
23

ственные, для которых может быть дано логически последователь-
последовательное и ясное определение проекции.
Операторы проектирования. Проекцию Рк (и) элемента и на К
можно затем интерпретировать как результат применения к и опе-
оператора Рк : Н -*• К- Некоторые свойства этого оператора задаются
теоремой 2.4. Прежде чем ее сформулировать, вспомним, что опе-
оператор Т, определенный на метрическом пространстве (S, d), назы-
называется не растягивающим, если (ср. с A.6))
Vx,yeS d(T(x),T(y))^d{x,y). B.25)
Введем также понятие монотонного оператора, которое является
обобщением понятия монотонно возрастающей функции.
Определение 2.2. Пусть Н — гильбертово пространство
и А : Н -*• Н — оператор (не обязательно линейный). Оператор А
называется монотонным, если
(A(Vl)~A(v2), vl — vi)H>0 Vvvv2eH, B.26)
н строго монотонным, если он — монотонный и
{A (t>j) — А (и2), vx — v2)H = 0 => t»t = »,. B.27)
Теорема 2.4. Пусть Н — гильбертово пространство, К с:
cz H — непустое замкнутое выпуклое множество и Рц есть опера-
оператор проектирования на К- Тогда Рк является нерастягивающим,
сильно непрерывным и монотонным, но не сильно монотонным.
Доказательство. Сначала отметим, что соотношение
B.23) для проекции при использовании обозначений, введенных в
определении 2.1, может быть записано в форме
(Рк (и) - и, Рк (и) - v)H < 0 Vy 6К. B.28)
Чтобы показать, что Рк монотонный, зафиксируем uv ua и запишем
неравенства
(Рк (их) - uv PK (Ul) - v)H < 0 Vy 6 К, B.29)
(Рк(и2)-и2, Рк(Ы2)-У)„<0 VvtK. B.30)
Полагая и = Рк(«2) в B.29) и v — Рк(щ) в B.30), что мы можем
сделать, поскольку Рк (щ) 6 К, имеем
к к0, B.31)
поэтому
|| Рк (ых) - Рк (и2) \\% < (и, - и2, PK{Ul) - Рк (и2))н Vuv u2 e Н,
B.32)
что в частности дает монотонность оператора Рк Кроме того, если
К = Я, то Рк — I (тождественный оператор), и здесь имеем стро-
строгую монотонность. Однако в общем случае, при КфН, оператор
24

Р не является инъективным (и поэтому не будет строго монотон-
монотонным): если но6/С, то Рк(и0)фи0, однако Рк(Рк(и0)) =
Чтобы показать, что Рк нерастягивающий, достаточно применить к
B.32) неравенство Шварца, после чего получаем
II Рк ("Л -Рк (»*)»« < II «1 - «• Ня II Рк К) - Рк ("*) Hi/' B-33)
или, после деления на \\PK(Uj) — Рк(и2)\\н (заметим, что если
PK(u1) — PK(ui) = 0, то B.25) справедливо),
II Рк Ы - Рк ("г) Ня < II «1 - «211Я. B-34)
Сильная непрерывность сразу же следует из B.34). ?
Геометрическая интерпретация нерастяжнмости Рк показана на
рис. 2.6: для пары иъ и2 в B.34)
имеет место знак <, т. е. опера-
тор уменьшает расстояние, а
для пары н3, и4 имеет место
знак =, т. е. оператор сохраня-
сохраняет расстояние.
В заключение отметим, что
множество неподвижных точек
оператора Рк есть множество /С и, Рис. 2.6
кроме того, как показано в [727,
с. 246], множество неподвижных точек нерастягнвающего оператора
всегда является замкнутым выпуклым множеством.
Замечание 2.1 (проекции на выпуклые конусы). В част-
частном случае, когда К — выпуклый конус, вершина которого нахо-
находится в нуле (т. е. такой конус, что /С + К с: /Си Я/С с: /CVJi,^O;
как обычно, если Л и В — два подмножества вещественного (или
комплексного) векторного пространства и Я, ц 6 R (или С), то мы
полагаем 1А + цВ = {Ял -f цб : а 6 A, b 6 В}), неравенство B.28)
эквивалентно паре условий
(PK(u)-u,v)H>0 VvtK, B.35)
(Рк(и)-и, Рк(и))н = 0. B.36)
Действительно, если B.36) и B.35) выполнены, то их разность дает
B.28). Обратно, если справедливо соотношение B.28) и /С — ко-
конус, то B.35) и B.36) также выполняются, поскольку, принимая в
B.28) v = Рк (и) + w (отмечаем, что К + К с: К), имеем
(Рк(и)~и, PK(u)-PK(u)-w)H^0 Vw?K, B.37)
т. е. получаем B.35); полагая затем в B.28) v — О, получаем нера-
неравенство (Рк(и) — и, Рк(и))н^0, которое совместно с B.37) (при
w = PK(u)) дает B.36).
Более подробное изучение проекций на конусы можно найти,
например, в [728].
25

Глава 3. ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
3.1. Основная теорема
Билинейные формы. Функционал B.2), рассмотренный в зада-
задаче 2.2, является частным случаем квадратичного функционала
вида
C.1)
где L?H', a:ЯхЯ-э-R — билинейная форма
1* ("«> vj)> C-2)
1.1-1
являющаяся непрерывной, т. е.
3/M6R \a(u,v)\^M\\u]\H\\v\\H Vu,veH. C.3)
Действительно, достаточно принять а (и, v) = (и, и)ц, и мы
получаем непрерывную билинейную форму (при М = 1); эта
форма также симметрична, т. е.
a(u,v) = a(v,u) Vu,v?H, C.4)
и обладает свойством коэрцитивности на Я (при а = 1):
, а>0 а(и,ы)>а||ы||2, Vu?H. C.5)
Если же а (и, v) есть коэрцитивная симметричная непрерывная
форма, то функционал C.1) не является более общим по сравнению
с B.2), так как при сделанных ограничениях мы можем записать
его в форме
f(v)=--T\\\v\\\2H-L(v), C.6)
где |||-||!я — норма, порождаемая скалярным произведением вида
((u,v))H = a(u,v) Vu,veH; C.7)
так как нормы ||-||я» III-Щи эквивалентны, то непрерывные линейные
функционалы для данных двух форм одни и те же (двойственность
не меняется относительно эквивалентных норм и поэтому — отно-
относительно эквивалентных сильных топологий). Отметим, что экви-
эквивалентность исходной нормы ||-||я и новой нормы ||| • |||я (очевидно,
что ((*.-))# есть скалярное произведение, и поэтому |||-|||й действи-
действительно является нормой) следует из соотношений а|| v \\2H^a (v, v) =
= «о. v)h = III v \\\2H = ((v, v))H - a (v, о) < М || v \\2H.
Задачи о минимизации и вариационные задачи. Мы уже пока-
показали эквивалентность задач 2.2 и 2.3. Поэтому естественным явля-
является вопрос об эквивалентности следующих задач (не обязательно
корректно поставленных).
26

Задача 3.1. Пусть Я — гильбертово пространство, К с
сг Я — непустое замкнутое выпуклое множество, и пусть f : Я ->
-> R определяется формулой C.1), где L 6 Я', а — непрерывная
билинейная форма. Требуется найти элемент ы0 ? /С такой, что
f (««)</ (v) *уб/С. C-8)
Задача 3.2. Пусть Я — гильбертово пространство, К с
сг Я — непустое замкнутое выпуклое множество, L 6 Я', а —
непрерывная билинейная форма. Требуется найти элемент и0 ? К
такой, что
a(uo,uo~v)^L(uo~v) Vye/t C.9)
Следуя рассуждениям доказательства теоремы 2.3, рассмотрим
отображение F: [0,1 ] -> R:
-\)uo + \v), C.10)
которое имеет минимум при Я = 0 (если f имеет один минимум
при и — ы0), т. е.
следовательно,
>0. C.12)
Учитывая линейность L и билинейность а, можем записать:
~-рг- -д- а (A — Я,) ы0 + ^у» A — М «о+^у)—^ (A — ^) «о + №,
= -g-a(«o>y —"о) + 4"a(w~"o'"o) —L(y —"о)' C-!3)
поэтому
Y а (щ, щ — v) + 4"а («о — о. «о) < i ("о — о)- C-14)
Если а симметрична, то соотношение C.14) тождественно соотно-
соотношению C.9); нам осталось только доказать снова первую часть тео-
теоремы 2.3.
Если а несимметрична, то разобьем а на симметричную часть
as и кососимметричную часть ад:
)a(vu) а Дд(и, р) + ^ (lt|p).
C.15)
Поскольку
Я C.16)
то мы можем записать функционал C.1) в виде
f(v) = ±as(v,v)-L(v); C.17)
повторяя все вычисления для этой новой (но эквивалентной ) формы
27

представления функционала, мы вместо C.14) получаем соотно-
соотношение
-~as(uo,uo — v)+-Yas(u0 — v,uo)^L(uo—v), C.18)
или
as(uo,uo — v)^L(uo — v) VveK. C.19)
Мы можем теперь сказать, что, если задача 3.1 имеет решение,
то справедливо неравенство C.19), а также заключить, что, если а
несимметрична, то задачи 3.1 и 3.2 не эквивалентны. Если, кроме
того, воспользоваться аналогией между вопросом об этой эквива-
эквивалентности и теоремой 2.3, можно найти условия, при которых за-
задача 3.2 имеет единственное решение. Так, если иъ и2 — два реше-
решения задачи 3.2, то мы можем записать:
a(uvu1 — v)^L(u^ — v) VveK, C.20)
а(и2,и2 — u)<L(h2 — v) VveK; C.21)
полагая, в C.20) v = н2, а в C.21) v = нх и суммируя эти два выра-
выражения, после обычного изменения знака в C.21) получаем
a (щ — и2, нх — н2)< 0. C.22)
Накладывая на а ограничение вида
а(и,н)<0=>н = 0 VueK — K, C.23)
или, что эквивалентно,
а(ы,н)>0 VueK — K н а(н,н) = 0«ы = 0, C.24)
мы из C.22) заключаем, что если решение задачи 3.2 существует,
то оно единственно. Однако, из соотношений C.24) не следует су-
существование такого решения. Чтобы найти условия на форму а, при
которых решение существует, вернемся к функционалу C.1). Явля-
Является или нет форма а симметричной, этот функционал может быть
записан в виде
f(v) = -?\\\v\\\ls-L(v), C.25)
где смысл обозначения |||-(||/j,s очевиден. Чтобы для C.25) были
выполнены предположения теоремы 2.2 и поэтому существовало
решение задачи 3.1, достаточно, чтобы а (или as) удовлетворяла
условиям типа
а(н,н)->оо при ||н||н->оо, иеК- C.26)
Но мы введем бол_е сильное ограничение — требование коэрцитнв-
ности а на К — К'-
Эа>0 а(н— и,н — и)>а||н — v\\2H Vu,veK. C.27)
Отмечаем, что C.27) подразумевает C.23), а C.27) предполагает
28

также C.26) — это как показывают соотношения
а(и,и)= а(и — w, u — w) + a(u,w) + a(w,u) — a(w,
>a(u-w,u-w)-M\\w\\H(\\w\\H + 2\\u\\H)^
>а(и —a»,u —a») —M||a»||HC||a»||w+2||u —а»||н)>
>a\\u-wfH-2M\\w\\H\\u-w\\H~3M \\и\\%,
где w — фиксированный элемент из К, и тот факт, что при || и ||н->-
-> оо имеем также \\и — о)||н->оо.
Теорема Лионса—Стампаккьи. В следующей (очень важной)
теореме мы покажем, что при условии C.27) задача 3.2 имеет толь-
только одно решение и0. При тех же самых предположениях задача 3.1
имеет также только одно решение «*, но и0 и и* никак не связаны
друг с другом. Тем не менее, если а симметрична, то и0 == и*0.
Теорема 3.1 (теорема Лионса — Стампаккьи).
Пусть Н — гильбертово пространство, Kcz Н — непустое замк-
замкнутое выпуклое множество, L 6 Н'', а : Н х Н -> R — непрерыв-
непрерывная билинейная форма над Н, коэрцитивная над К — К- Тогда
существует один и только один элемент и0 6 К такой, что
а(щ,и0 — v)^L(u0 — v) VvEK; C.28)
кроме того, отображение, которое ставит в соответствие элемен-
элементу L элемент и0, является непрерывным (т. е. задача 3.2 коррект-
корректно поставлена).
Доказательство. Непрерывную зависимость и0 от L
легко показать, если переписать C.20) и C.21) при L\ и L2 вместо
L соответственно, и принять v — и2 в C.20) и v = щ в C.21). После
этого мы вместо C.22) получаем соотношение вида
(щ — и2, щ — ы2) < Lx {щ — и2) + L2 («2 — щ) = (Lt — L2) {ut — и,),
C.29)
поэтому
а II «1 - «2 \\*н < II ^-L, ||„. 11%-и.Цд, C.30)
что и дает непрерывную (более того, непрерывную по Липшицу)
зависимость решения, а также его единственность.
Учитывая важность теоремы, приведем два доказательства суще-
существования решения задачи.
I. Разложим а на симметричную и кососимметричную части:
а (ы, v) = as (и, v) + aA(u, v) C.31)
и введем новую билинейную форму
at (u,v) = as (u,v) + taA (и, v), C.32)
зависящую от параметра 16 R и непрерывную при каждом t (дейст-
(действительно, |щ(и,v)|<М(\\и\\н||v\\н + 1111|и\\н ||v\\н). Теперь р«с-
смотрим задачу.
20

Задача 3.3. Требуется найти элемент ио?/С такой, что
at (и0, и0 — v) < L (и0 — V) Vve К. C.33)
Позднее мы покажем, что существует б > 0, не зависящее от
t0 и такое, что, если задача 3.3 имеет решение при t = t0, то та же
задача имеет решение для каждого значения t? Uo — б, t0 + SI.
Это и доказывает теорему: поскольку мы знаем, что задача 3.3 име-
имеет решение при t = t0 — 0 (в этом случае мы имеем по существу
задачу 2.3, так как а0 есть симметричная форма) и так как б не
зависит от t0, то мы можем продолжить на всю ось R множество зна-
значений t, для которых задача 3.3 имеет решение. В частности, после
конечного числа таких продолжений мы можем получить значение
t = 1, которое преобразует задачу 3.3 в задачу 3.2, так как а± =
= а. Этот способ доказательства называется методом продолжения
по параметру.
Задача 3.4. Требуется найти элемент ио? К. такой, что
C.34)
Предполагая, что эта задача имеет решение, перепишем C.33) в
эквивалентной форме:
аи («о- «о — и) < ^ («о — v) + (t0 — t) аА («0, «о — v) W 6 К. C.35)
И теперь для каждого фиксированного w ? Н сформулируем сле-
следующую задачу.
Задача 3.5. Требуется найти элемент и 6 К такой, что
C.36)
Поскольку элемент w фиксирован и правая часть неравенства
C.36) есть линейная непрерывная относительно и — v форма, то за-
задача 3.5 есть не что иное, как задача 3.4, поэтому она имеет одно и
только одно решение. Таким образом, мы построили отображение,
которое обозначим через т, ставящее в соответствие каждому w 6 И
решение и = т (w) задачи 3.5. Если элемент и0 удовлетворяет C.33),
то он также удовлетворяет соотношению C.35), и тогда очевидно,
что и0 есть решение задачи 3.3 в том и только в том случае, когда
и0 — т («0), т. е. когда и0 — неподвижная точка отображения т.
Теперь мы покажем, что если | t — t01 ^ б (по определению
б >• 0), то х есть сжатие и поэтому имеет неподвижную точку (по
теореме Банаха). Пусть wb w2 — два элемента из Я и иг = т (ш^,
«2 — т (да2). Тогда «j, «2 удовлетворяют соотношениям
C.37)
C.38)
Полагая v = u2 в C.37) и v = и, в C.38) (эти подстановки допус-
допустимы, так как uv u2?K), имеем:
а,„ (и,, «х — u2)^L (tij — и2) + (t0 — t) aA (wv щ — и2), C.39)
at, (и2, и2 — «,)< L (и2 — щ) + {t0 — t) па {w2, u2 — их). C.40)
30

Суммируя эти неравенства, получаем
№„(«! —иа. «1 — «2Х (^о — 0 оа (Щ — w2, нх — и2). C.41)
А поскольку (что легко проверить)
at,(u, u) = a (и, и) Vu 6 К, C.42)
то приходим к неравенству
а{иг — и2, ul — u2)^.(to—t)aA(w1 — w2, ut — u2). C.43)
Вспомнив, что форма ал непрерывна (с постоянной М), а форма а
коэрцитивна, запишем
а || и, - щ \\Ъ < 110 - 11М || шх - о,, ||н || «х - и, ||я. C.44)
После деления обеих частей этого неравенства на ||«г — «2||н (оче-
(очевидно, что если || их — и2\\н = 0, то мы имеем C.45)), получаем
||тЮ-т(ш2)||я<и0-М-§ Il^i-^lk C-45)
Отсюда делаем заключение о том, что как только \ t0 — t {• Mia <?
< 1, то т есть сжатие. Действительно, для этого достаточно при-
принять б = а/BМ) и выбрать \ t — t01 <! 6 F, как это ктребовалось,
не зависит от /0).
II. Предыдущее доказательство конструктивно (если мы знаем
как решать задачи типа задачи 2.3), однако оно дает нам вычисли-
вычислительный алгоритм, который медленно сходится (в частности, при
малом значении а/М). Теперь мы приведем другое доказательство,
которое дает более быстрый алгоритм. Нам необходимо записать
функционал L и форму а в виде скалярных произведений, что мож-
можно сделать, используя теорему Рисса. В дальнейшем мы будем
использовать обозначения L (о) или н- (L, v)H для значения функ-
функционала L ? Н' на элементе v ? Н, выбирая из них более удобное.
Теорема Рисса утверждает, что существует элемент ul 6 Я, для
которого
н-ф, v)H = («l, v)H Vv б Я, C.46)
и поэтому вопрос о представлении L оказывается решенным.
1 Теперь при фиксированном и 6 Я рассмотрим отображение
о-*- а (и, v) (Я -»- R). Обозначая это отображение через А (и), мо-
можем утверждать, что для каждого и 6 Я
[А (и)] (v) = а (и, v) Vv 6 Я. C.47)
При каждом « 6 Я отображение А («) линейно:
[Л (и)] (KjVj. + Яаи2) = а (и, ЯЛ + Ь|»«) =
= К, [А (и)] (уг) + *2 [А (иI (у2) C.48)
31

и непрерывно:
| [А (и)] (v) | = | а (и, v) |< М || и \\н \\ v \\„, C.49)
а поэтому C.47) можно переписать в форме
H.(A(u),v)H = a(u,v) Vv?H. C.50)
Отображение А (и) можно интерпретировать как значение, принимае-
принимаемое на элементе и оператором А:Н-+Н', который линеен:
„.{А (Х& + Я2и2), v)H = a (^«i + K2u2, v) =
= H4M(«i)+M(«2).y>H УобЯ. C.51)
А поскольку из C.49) получаем
= sup |И(и)](о)|<Л4||и||Я| C.52)
П»||я=1
то оператор А непрерывен:
C.53)
Отметим также, что для заданного оператора А : Н -> Н', удовлет-
удовлетворяющего условию C.53), уравнение C.50) задает непрерывную
билинейную форму (с потоянной М).
Теперь в силу А (и) 6 Н' теорема Рисса гарантирует существо-
существование элемента Л (и) 6 Н такого, что
C.54)
Тем самым задача представления формы оказывается решенной:
а (и, v) = (А (и), v)H Vu 6 Я. C.55)
Элемент Л (и) можно интерпретировать как результат действия на
и линейного непрерывного оператора Jt : Н -*¦ Н, причем
Легко заметить, что при заданном операторе Л : Я-> Я, удовлет-
удовлетворяющем условию C.56), уравнение C.55) задает непрерывную
билинейную форму (с постоянной М).
Операторы Л и А связаны между собой как А — Jo Л, где
J : Н -> Я' — оператор, определяемый равенством н- U («), »)я =
= (и, v)H (отметим аналогию с C.50)...), есть оператор Рисса или
оператор канонической инъекции Я в Н'. Оператор / является об-
обратным к оператору, естественным образом определяемым теоремой
Рисса (см. [687, с. 108; 551, с. 495; 599, с. 526]). Если Я и Я' отож-
отождествляются, то / совпадает с тождественным оператором / и А
автоматически совпадает с Л. Хотя отождествление Я с Я' всегда
можно осуществить, оно не всегда удобно, поскольку Я и Я' изо-
изоморфны как гильбертовы пространства, однако они имеют различ-
различную структуру, которая может быть утеряна. Процессы, посред-
32

ством которых теряются структуры пространств Я и Я' при их отож-
отождествлении, будут выяснены позднее на примерах пространств
Соболева.
Вернемся теперь к доказательству теоремы. Выражения C.46)
и C.55) позволяют нам записать C.28) в форме
(<A(uo),uo-v)H^(uL,uo — v)H Vve К, C.57)
или
(<A(uo) — uL, «0 —у)я<0 Vv?K. C.58)
Прибавляя и вычитая н0, имеем
(и0 — ио + А(ио) — uv u0 — у)я<0 weK, C.59)
что напоминает B.23) с и* = «0 — Л (н„) + uL и приводит нас
к мысли об отыскании проекции элемента «0 — Л (н0) + uL на К.
Однако здесь мы имеем дело с неявной проекцией, поскольку «0 —
— А (и0) + uL уже зависит от решения н„.
^Пусть р > 0 — вещественный параметр. Рассмотрим оператор
Гр(П) = /(а) — р(Л(П)-«Л, C.6Э)
который позволяет нам записать C.59) в эквивалентной форме:
(«о-Тр(«о),Ыо-у)я<О weK, C.61)
откуда следует, что «0 есть неподвижная точка оператора РкоТр.
Действительно, если и0=(РкоТр) (и0) = РК(ТР (и0)), то имеет место
соотношение C.61), поскольку в силу B.28) имеем
(Рк GР («„)) - Тр («0), Рк (Гр (и0)) - v)H =
= («о-Тр(«0),«о-а)я<0 we К. C.62)
Теперь мы покажем, что Рк о Тр есть сжатие при подходящем
значении р, и поэтому существует такая неподвижная точка и0.
Если vlt v2 e К, то, вспомнив, что Рк является нерастягивающим
(теорема 2.4), запишем
II Рк (ТР (v,)) - Рк (Тр (v2)) \\% < || Тр (Vl) - Тр (v2) \\2H =
= (Vl - р [Л (Vl) - и J - v2 + р [Л (v2) - и J, C.63)
»1-рИ («i) — «Ll — w2 + р И Ы — ^L])H =
= (о, — у2 — р И Ю — ^ (»«)], «1 — w2 — р И (»i) — ^ (v2)\)H;
следовательно,
II ^к G-р (Di)) - ^к (Гр (о8) |1Я < || «1 - «2 ||я + Р2 И (»i) -
-У2, ЛК)-ЛA;2))Я. C.64)
Теперь мы должны определить подходящую верхнюю границу
для правой части неравенства C.64). Оставляем первый член правой
3 К. Байокки. А. Кп 1 ВИВЛЭДУ"ДОГ4 \ КЗЙШЗ 33
I КОП0Х2А § \f^J

части тем же самым:
IK-M&; C-65)
второй оценим сверху, учитывая при этом C.56):
р21| A (Vl) - A (v,) fH < Р2М21| Vl - v2 \\% C.66)
(отметим, что не обязательна линейность оператора А — нужно
лишь чтобы он был непрерывным по Липшицу на К, т. е. чтобы
3 М € R \\А К) - A (v2) ||„ < М || о, - v2 ||„ Vvv v2 ? К). Для
третьего члена в правой части C.64) нам необходима оценка снизу.
Один из грубых способов получить ее состоит в том,чтобы заме-
заменить этот член нулем, поскольку мы знаем, что
(A (vt) — А (о2), «! — v2)H = a {vx — v2, v1 — v2) > 0. C.67)
Однако такая «простая» замена третьего члена нулем не позволяет
нам сделать заключение о том, что Рк. о Тр есть сжатие. Поэтому
мы должны найти более точную оценку. Теперь мы знаем, что есть
более сильное по сравнению с C.67) неравенство:
(А (их) — A (v2), vx — v2)H =
= a{Vl — v2, v, — v2) > a || vt - v2 \\%, C.68)
так как а коэрцитивна на К — К (отмечаем, что vx — и2 6 К)\ таким
образом, можем записать
- 2р {A (Vl) - А (о,), v, - v2)H < - 2ра || Ol - v2 fH. C.69)
(Здесь мы также не требуем линейности оператора А, а требуем
лишь сильной его монотонности.) Складывая C.65), C.66) и C.69),
из C.64) имеем
II Рк (ТР (v,)) - Рк (Тр Ю) \\2Н < A + МУ - 2ра) \\ vt - v2 \\l C.70)
Следовательно, РкоТр есть сжатие, как только р<2а/М2. Нако-
Наконец, согласно теореме Банаха, последовательность
un+i = (Рк о Тр) (ип) = Рк К - р [А (ип) - «J) C.71)
сходится к решению задачи 3.2, если р удовлетворяет тому же само-
самому ограничению. Легко заметить, что оптимальное значение р (т. е.
значение, при котором имеем наиболее быструю сходимость про-
процесса в смысле наименьшего числа его шагов при условии получе-
получения приближенного решения той же самой точности) есть р =
= а/М2. ?
Приведенное выше второе доказательство существования реше-
решения C.1) позволяет сформулировать следующий более общий ре-
результат.
Теорема 3.2. Пусть Н — гильбертово пространство,
К с: Н — непустое замкнутое выпуклое множество иА:Н->~Н —
34

оператор {не обязательно линейный — случай линейного оператора
соответствует теореме 3.1), непрерывный по Липшицу на К и силь-
сильно монотонный на К в том смысле, что существует а > О, для ко-
которого
(Л(и) — A(v),u — и)>а||м — v% Vm, v?K; C.72)
тогда для каждого элемента uL?H существует один и только
один элемент и0 6 К такой, что
(A(uo)~uL, uo-y)H<O Vue/C, C.73>
и непрерывно зависящий от uL.
Лемма Лакса — Мильграма. Легко заметить, что в случае К =
= Н задача 3.2 формулируется следующим образом.
Задача 3.6. Требуется найти такой элемент м0 6 Н, что
a(uo,w)=L(w) Vw?H. C.74)
Утверждение о том, что задача 3.6 корректно поставлена, явля-
является непосредственным следствием теоремы Лионса — Стампаккьи;
в литературе оно известно как лемма Лакса — Мильграма. Непо-
Непосредственное доказательство этого утверждения, являющегося ос-
основополагающим при исследовании дифференциальных уравнений
в частных производных (записанных в вариационной форме), мож-
можно найти в [18, 522, 525]. Если в C.74) форма а симметрична, то лем-
лемма Лакса — Мильграма есть не что иное, как теорема Рисса.
3.2. Минимизация выпуклых функционалов
3.2.1. Производная Гато.
Функционалы, определенные на гильбертовых пространствах.
Поскольку задача 3.2 накладывает более слабые ограничения на
форму а, то она является обобщением задачи 2.3. В этом пункте
мы сделаем обобщение другого типа, а именно, связанное с функ-
функционалом L: В силу линейности L выражение C.28) может быть
переписано в форме
а(щ,и0 — v) — L(uo)< — L(v) Vv?K, C.75)
которая говорит о возможности рассмотрения выражений типа
а (и, и — и)+ /(«)</И, C.76)
где /: Н ->¦ R — не обязательно линейный функционал. Кроме то-
того, теоремы 2.2 и 2.3 подсказывают, что при предположениях тео-
теоремы 3.1 совместно с требованием симметричности формы а и пред-
предположениями типа «выпуклости» и «полунепрерывности снизу» для
/ будет естественным проинтерпретировать задачу, соответствующую
C.76), как задачу о минимизации функционала
/(«) = 4 а (и.«)+ /(«)• C-77)

Мы рассматриваем функционалы даже более общего вида:
f(u)=*h{u)+j(u), C.78)
где Л (и) (в C.77) h (и) = -у а (и, и)) и /(и) — некоторые функцио-
функционалы, на которые в дальнейшем мы будем накладывать различного
типа ограничения.
Прежде чем искать ограничения на h и / такие, что,
например, задача о минимизации / имеет одно и только одно
решение, мы должны дать краткое описание плана исследований,
которого мы придерживаемся. Теорема 2.2 была доказана при до-
довольно общих условиях; особенно это касается условий на топо-
топологическое векторное пространство, на котором определен функ-
функционал и которое мы предполагали рефлексивным банаховым про-
пространством; однако результат остается справедливым даже при
^олее общих ограничениях. Но в основном мы всегда работали в
гильбертовых пространствах. Почему? Потому что гильбертова
структура, будучи более красивой, позволяет нам работать при
меньших затруднениях. Отметим также, что в гильбертовом про-
пространстве условия теоремы 2.2 имеют простую интерпретацию. Но
чтобы получить' наибольшее число интересных результатов (см.
{678, с. 1201), задачи типа изучаемых в теореме 3.2 рассматриваются
в банаховых пространствах.
В этом и в следующих пунктах мы будем использовать в основ-
основном гильбертовы пространства; однако, мы расширим понятие
функционала, допустив, что он может принимать значение + оо,т. е.
будем предполагать, что функционал есть отображение /: С ->
-*¦ (—оо, +оо] = RU{+°°}. где С—подмножество гильбертова про-
пространства Н. В (—оо, +оо] мы будем рассматривать обычную струк-
структуру упорядоченного множества с обычными алгебраическими опе-
операциями. Мы не изучаем функционалы, принимающие значение
—оо, поскольку, как будет видно из последующего, нас интересуют
главным образом выпуклые функционалы, а выпуклые функциона-
функционалы, принимающие значение —оо, являются весьма специальными,
так полунепрерывный снизу функционал, принимающий значение
—оо, не может принимать вещественных значений (см. [90]).
Удобно ввести следующую терминологию.
Определение 3.1. Функционал / : С -*- (—оо, +оо] на-
называется собственным, если существует такой элемент и ? С, что
/ (и) < +оо, и мы будем называть эффективным множеством
функционала f множество Dom / — {и 6 С : f {и) Ф +оо} (таким
образом, функционал является собственным тогда и только тогда,
когда Dom / Ф 0).
Задача о минимизации. Рассмотрим следующую задачу.
Задача 3.7. При заданных гильбертовом пространстве Н,
непустом замкнутом выпуклом множестве К с: Н и функционале
f : К-*- (—°°» +°°] вида / (и) = h (и) -\- j {и) найти такой элемент
и, 6 К, что
f(uo)<f(v) Vyg/<\ C.79)
36

Наша ближайшая цель состоит в отыскании условий на ft и /,
при которых задача 3.7 имеет одно и только одно решение. Случай
функций, определенных на R", подсказывает, что мы можем попы-
попытаться воспользоваться понятием того же типа, что и понятие про
изводной, но уже в связи с вариационными неравенствами. С дру-
другой стороны, второе доказательство теоремы 3.1 показывает, что
роль функционала L вторична и что, возможно, не нужно требо-
требовать слишком многого от функционала /, стоящего на месте L. В та-
таком случае мы будем накладывать ограничения только на функ-
функционал п, требуя от него достаточной гладкости, скажем, дифферен-
дифференцируемое™ в смысле, который мы определим в следующем пункте.
Производная Гато и дифференциал Гато. Возникает вопрос:
существует ли понятие производной для функционалов, определен-
определенных на гильбертовом пространстве? Ответ положителен. Существует
несколько различных понятий, которые так или иначе обобщают
понятие производной функции вещественной переменной. Здесь мы
будем использовать лишь одно из них — производную Гато, кото-
которая является скорее обобщением понятия производной по направ-
направлению для функций на R" со значениями в R.
Определение 3.2. Пусть Н — гильбертово простран-
пространство и ft: Н -*¦ R — (вещественный) функционал. Будем говорить,
что h имеет производную в смысле Гато (G-производную) в точке
и ? Н, если
зк (и) енг vyбн *(H+*q>-*(">_^^ (и)> 0>д при %_+ 0.
Элемент ft' (и) ? Н', который мы также обозначаем через yh (и), бу-
будет называться производной Гато {G-производной) или градиентом
функционала ft в точке и. Если для каждого элемента и ? Н выпол-
выполняется C.80), то функционал ft называется дифференцируемым в
смысле Гато (G-дифференцируемым) в Я и оператор Da '¦ Н -+¦ Н',
ставящий в соответствие каждому элементу и элемент Da (и) =
= Ы {и) = yft (и), называется дифференциалом Гато (G-дифферен-
(G-дифференциалом) от ft в пространстве Н.
Сделаем некоторые замечания к этому определению. Прежде
всего, производная Гато от ft в точке (если она существует) един-
единственна. Кроме того, не должно быть неожиданным то, что произ-
производная есть элемент двойственного пространства, поскольку это
имеет место также и для функций, определенных на R" со зна-
значениями в R (действительно, градиент от / : R" -*- R есть вектор
из (R")', однако мы отождествляем R" с (R")' ...).
Понятием, которое тесно связано с производной в смысле Гато,
является понятие производной в смысле Фреше: будем говорить, что
h имеет F-производную в точке и ? Н, если существует такой эле-
элемент ф ? Н', что ft (и + v) — ft (и) + ф (v) -\- о (\\ v\\) || v\\. ЕслиЬ.
имеет F-производную, то он также имеет G-производную, и обе
производные совпадают (см. [661, гл. 1]; абстрактную формулировку
связи между этими двумя понятиями, а также другие определения
производной можно найти в [644]).
37

G-производная от квадратичного функционала. Теперь мы при-
приведем пример, который будет полезен нам в дальнейшем. Пусть а —
билинейная форма. Рассмотрим функционал h : Я -+• R, определя-
определяемый как
h (и) = а (и, м)/2. C.81)
Нас интересует вид производной Гато от h (когда она существует)
в точке м0 6 Я. Используя билинейность формы а, запишем выра-
выражение
¦^- [а (м0 + to. и0 + to) — а (и0, и0)] =.
- gj- [Лл («о-«) + Ъа (V, и0) + №а (v, v)] =as (щ, v) + А а (и, и); C.82)
так как оно стремится к as (м0, и) при К -*¦ 0, то мы можем попытать-
попытаться сказать, что G-производная от ft в точке м0 задается выражением
H,(h'(u0),v)H^H,(vh(uQ),v)H = as(uQ,v) Vug Я. C.83)
Однако при одном лишь предположении о билинейности а это
неверно, так как «у-»- as (u0, v)» не обязательно является элементом
из Я'. В действительности мы можем говорить так, если а — били-
билинейная форма, симметричная часть которой непрерывна по второй
переменной
Vii 3M2 \as(u,v)\^M2\\v\\H. C.84)
В этом случае, используя симметрию формы as, имеем также и не-
непрерывность по первой переменной:
V» ЗМХ | as (и, о) КМ! || и ||я; C.85)
из C.84), C.85) (с применением теоремы Банаха — Штейнгауза) сле-
следует, что
ЗМ Vu, v б Я | as («, о) К М || и ||„ || v ||„, C.86)
поэтому мы можем (без ограничения общности) потребовать от as
непрерывности (по всем переменным). С другой стороны, посколь-
поскольку в C.81) мы используем лишь симметричную часть формы а,
то можем предположить, что а симметрична.
Суммируя изложенное, мы можем утверждать, что если а —
симметричная непрерывная билинейная форма, то G-производная в
точке м0 6 Я от функционала h (и) имеет вид
H,(h'(ua),v)H = e(u0,v) Vi» 6 Я. C.87)
Кроме того, вспоминая C.50), мы можем принять
Н.Ф' («о). о)„ = а (и0, v) = Н,(А («„), v)H Vi» 6 Н C.88)
и сказать, что G-дифференциал от h есть А (и что, поскольку
38

Ав&? (Я, #')> то G-производная от ft в точке и0 изменяется непре-
непрерывно в зависимости от изменения и0.., ).
3.2.2. Общие результаты.
Об эквивалентности двух задач. Учитывая уравнение C.88)
совместно с C.73) и C.75), рассмотрим выражения вида
я.МФо)."о —»>/, + /W</» *К C-89)
и на основе теоремы 2.3 найдем условия, при которых решение при-
приводимой ниже задачи 3.8, может быть интерпретировано как ре-
решение минимизационной задачи 3.7.
Задача 3.8. Пусть Н — гильбертово пространство, К с:
cz Н — непустое замкнутое выпуклое множество и / : Н ->• R U
U {+оо} — функционал вида f (и) = ft (и) -+¦ / (и). Найти элемент
"о 6 К, для которого справедливо C.89).
Ясно, чтобы задача 3.7 имела смысл, ft и / должны быть собствен-
собственными над К, а чтобы задача 3.8 имела смысл, функционал / должен
быть собственным над К и ft должен быть G-дифференцируемым на
К (что, сразу же, помимо других свойств, предполагает конечность
ft на К). С другой стороны, исследование задач, проведенное выше,
подсказывает нам наложить на f условия выпуклости на К, чего
мы достигнем, требуя выпуклости от ft и /. Таким образом, мы фор-
формулируем следующую теорему.
Теорема 3.3. Пусть Н — гильбертово пространство и
К с Н — непустое замкнутое выпуклое множество. Если f : К -*•
-^-R U {+°°} есть функционал вида f (и) = ft (и) + j (и) с конеч-
конечным, выпуклым и G-дифференцируемым функционалом ft (и) и с вы-
выпуклым и собственным на К функционалом j (и), то элемент и0 яв-
является решением задачи тогда и только тогда, когда и0 есть решение
задачи 3.8. Иными словами, соотношения
C.90)
C.91)
эквивалентны.
Доказательство. Сначала покажем, что C.90) вле-
влечёт C.91). Предположим, что v 6 Dom f и запишем C.91) в форме
„,< VU ("о), «о-у>„+/(«„)-/»< 0 Vyg/C C.92)
(при u$Dom/ оба соотношения справедливы; с другой стороны, от-
отметим, что «06Dom/). Поскольку C.90) верно, то
h (Щ) + / («0) < h (A — К) и0 + М + / (A - К) и0 + Щ
VX6I0.1]; C.93)
используя выпуклость /, можем записать
+ / («о) - h «1 - X) ип + Щ - A - Ц j (и0) - %} (v) < 0
VA€[O,1]; C.94)
39

после деления на К Ф 0 имеем
Vug/С VA, 6@,1]. C.95)
Переходя к пределу при Л->0+, получаем C.92).
Обратно, если h —¦ выпуклый и G-дифференцируемый, то
„.{Vh («о), «о — v)H > /г (и0) — /г (и) C.96)
(см. [90]); в силу C.92) получаем
Л(«о) —Л(о)+/Ю —/(о)<0 Vyg/C, C.97)
что и есть C.90). ?
Отметим, что в приведенном доказательстве мы не использовали
предположение о замкнутости К и то, что К непусто (если К не зам-
замкнуто или пусто, оба соотношения C.90) и C.91) неверны и, таким
образом,— эквивалентны). На самом же деле выпуклость К была
использована в C.93) (с другой стороны, рассмотрение выпуклых
функций, определенных на невыпуклых множествах, не представ-
представляет интереса). Кроме того, мы не доказали ни существования, ни
единственности решения этих задач—мы ограничились установле-
установлением их эквивалентности.
Индикаторные функции. Прежде чем найти дальнейшие огра-
ограничения на h и /, при которых решение задач 3.7 и 3.8 существует
и единственно, покажем, что задача о минимизации выпуклого
функционала / : Н -+• R U {+оо} на выпуклом множестве К с: Н
может быть всегда проинтерпретирована как задача о минимизации
/ на Н, если только воспользоваться простым приемом, основан-
основанным на индикаторной функции.
Определение 3.3- Пусть /С с: Я — выпуклое множество.
Индикатриса множества К (индикаторная функция) есть функция
+ оо, и$К
Функция jK является выпуклой в Н, поскольку неравенство
/к (Ли + A - %) v) ^ Х}к (и) + A-Ц jK (v) C.99)
тривиальным образом выполняется, если и$/(или v(? К и
если и 6 К и v 6 К, когда (поскольку К — выпуклое) %и + A —
— К) v б К и поэтому обе части C.99) тождественно равны нулю.
С другой стороны, /к является полунепрерывной снизу тогда и
только тогда, когда К замкнуто (как это показано, например, в [90]).
Рассмотрим следующие две задачи и докажем теорему об их эк-
эквивалентности.
Задача 3.9. Требуется найти такой элемент ы„ б К, что
/(«„)</(«) Vu€/C. C.100)
40

Задача 3.10. Требуется найти такой элемент ио?Н, что
. C.101)
Теорема 3.4. Пусть Н — гильбертово пространство, К с:
а Н — непустое выпуклое мнооюество и f : H -> R U {+00} —
выпуклый функционал. Тогда задачи 3.9 и 3.10 эквивалентны, т. е.
задачи о минимизации f над К и f + /к над Н эквивалентны.
Доказательство. Если функционал / не определен
на всем Н, то мы можем его продолжить значением +оо вне области
его определения, сохранив при этом значении свойство выпуклости,
Если и0 есть решение задачи 3.9, то jK(uo)~O. Следовательно.
C.101) выполнено, поскольку, если и?/С. то jK(v) — O и C.101)
сводится к C.100), а если vQK, то jK (v) = + °° и C.101) оче-
очевидным образом выполняется.
Обратно, если щ ? Н — решение задачи ЗЛО, то предположим
(чтобы исключить тривиальный случай), что f является собствен-
собственным. Тогда «0 ? К и, кроме того, из C.101) вытекает неравенство
что приводит к C.100) ?
Основной результат о существовании и единственности. Найдем
теперь достаточные условия существования и единственности зада-
задачи 3.8. Ясно, что было бы достаточно потребовать полунепрерыв-
полунепрерывности снизу функционалов h и / и коэрцитивное™ f = h + }
(или ограниченности К), так как в этом случае были бы выполне-
выполнены предположения теоремы 2.2. Однако, очевидно также, что эти
ограничения являются слишком общими. Более интересно полу-
получить подобные ограничения в частном случае.
Так, рассмотрим определенный на Н функционал
/(«)== 4- а («,«) + }к {и) +L(u) + } (и), C.103)
где а — непрерывная симметричная билинейная форма, L 6 Н'',
jK — индикатриса замкнутого выпуклого множества К и / — полу-
полунепрерывный собственный выпуклый функционал. Функционалу f
мы поставим в соответствие следующую задачу.
Задача 3.11. Требуется найти такой элемент ио?Н, что
w/w н
Чтобы гарантировать выпуклость функционала /, достаточно
предположить, что
a(u,u)>0 Vu6#, C.104)
и удовлетворить тем самым предположениям теоремы 3.3, в силу
которой задача 3.11 эквивалентна следующей задаче.
Задача 3.12. Требуется найти такой элемент м0 6 Н, что
а (ц,, и0 — v) + jK («„) + L (u0) + / (u0) <
. C.105)
41

Выражение C.105) является обобщением выражения C.75) в
том смысле, что если / есть линейный функционал, то снова имеем
C.75), где, однако, форма а предполагается симметричной.
При каких условиях задача 3.11 имеет решение? Для того чтобы
были выполненными предположения теоремы 2.2, достаточно любо-
любого из следующих ограничений: 1) форма а является коэрцитивной,
так как в этом случае
|/(и)|-* + оо при ||и||н-> + оо C.106)
(кроме того, если а коэрцитивна, то f — строго выпуклый функцио-
функционал, и поэтому решение задачи единственно); 2) К ограничено:
3) / (и) -+• +оо при || и \\н -*¦ +оо и а — неотрицательная форма.
Случай 1) является наиболее важным, мы переформулируем его
еще раз.
Теорема 3.5. Пусть Н — гильбертово пространство, Kcz
cz H — непустое замкнутое выпуклое множество, а — симметрич-
симметричная билинейная форма, непрерывная на Н и коэрцитивная на К —
— К, / — полунепрерывный снизу собственный выпуклый функцио-
функционал. Тогда существует один и только один такой элемент и0 6 К,
что
а («0, «„ — у)+ /(«<>)</» W6/0 (З.Ю7)
3.2.3. Понятие субдифференциала. Вариационные неравенства
возникают не только из-за ограничений выпуклости (например, при
минимизации функционалов на выпуклых множествах), но также
из-за недифференцируемости функционалов. Так, формулировка
задачи о минимизации выпуклого функционала (например, задачи
3, 7) в случае дифференцируемости f по Гато может быть записана и
как я-(/' (мо). «о — v)h ^ 0. Это неравенство переходит в урав-
уравнение в случае К = Н, и поэтому мы можем сказать, что задача о
минимизации без ограничений для дифференцируемых функцио-
функционалов приводит к задаче отыскания нулей производной. Если же f
не дифференцируем по Гато, то неравенство, эквивалентное C.79),
является неравенством типа C.91), где h — сумма G-дифференци-
руемых частей функционала f и / — сумма оставшихся частей; та-
таким образом, даже при К — Н мы уже не имеем уравнения в обыч-
обычном смысле этого слова. Здесь мы введем несколько понятий, ко-
которые позволят нам записывать подобные неравенства как некото-
некоторые «уравнения».
Правая и левая производные и субдифференциал, Кяк мы зна-
знаем, если f : R -*- R — выпуклая функция, то в каждой точке из
R существуют правая f'R и левая f'L производные и выполняется
свойство монотонности
V*. i/6R y>x=>rL(x)^f'R(x)<f'L(y)- C-108)
С другой стороны, график / лежит всегда выше левой и пра-
правой касательных, и множество точек, в которых не существует
42

производной, есть множество
.. /^ ^Л^ -/— /n \XJft \O.l\Jaj
имеющее мощность, не большую чем f0. Так, функция / : R ->- R,
определенная как / (х) — | х |, дифференцируема на R\ {0} (и по-
поэтому С = {0}), f'L @) = —1, f'R @) = 1; значения —1 и 1 являются
угловыми коэффициентами, соответствующими касательным к гра-
графику в точке @,0). Теперь рассмотрим множество угловых коэф-
коэффициентов прямых, которые «касаются» графика / в точке @,0),
но не пересекают его (рис. 3.1). Легко заметить, что эти угловые
1
0
-1
3\х\
X
Рис. 3.1
Рис. 3.2
коэффициенты (мы будем их обозначать через х') удовлетворяют
соотношению
f(O)-f(y)<x'(O-y) Vy€R, (ЗЛЮ)
которое перепишем в виде
ДО) — f(y)<R,(x,O-y)R VyeR- (ЗЛИ)
Чтобы подчеркнуть, что хотя х' являются вещественными числами,
они рассматриваются как угловые коэффициенты линий, или, ко-
короче, они являются элементами из R'. График f (который есть
не что иное, как множество точек вида (х, у), где у—угловой коэф-
коэффициент касательной к графику f в (х, f (x))), дополненный угло-
угловыми коэффициентами боковых касательных и «субкасательных»
в точке @,0), изображен на рис. 3.2.
Неравенство C.111) напоминает C.96); таким образом, мы при-
приходим к определению.
Определение 3.4. Пусть / : Н -*• R U {+оо} есть
выпуклый функционал и и 6 Н. Функционал / называется субдиф-
ференцируемым в точке и, если множество
df(u) = {h'eH': f(u)-f(v)<„.<&',u-v)H Vi>?#} C.112)
не является пустым. Множество df (и) называется субпроизводной
от / в точке и и его элементы называются субградиентами f в и.
43

Нсли V« ? H df (и) Ф 0, то мы говорим, что / субдифференцируем в
И и отображение df : И -»¦ 2я', ставящее каждому элементу и ? Н
в соответствие df (и) ? 2Н', называется субдифференциалом функ-
функционала /.
Отметим, что df может быть проинтерпретирован как однозначно
определенный оператор из Н в 2я' или как многозначный оператор
из Н в Я' ... Очевидно, что если / дифференцируем по Гато в точке
и, то df (и) = {/' («)}. При использовании только что введенных
обозначений, если / есть функция / (х) = \х\, которую мы рассмот-
рассмотрели выше, то мы можем записать: df (х) — {sen х}, если х Ф 0 и
a/(o) = [-i, и.
Выражение C.108) и график, изображенный на рис. 3.2,
подсказывают, что df является монотонным оператором в смысле
следующего определения (являющегося обобщением определе-
определения 2.2).
Определение 3.5. Пусть Н — гильбертово простран-
пространство и / — оператор из Н в 2Н'. Оператор / называется монотон-
монотонным, если
«, C.113)
и максимально монотонным, если он монотонный и не существует
такого оператора ]:Н-*- 2Н , что / — монотонный и Gr (/) = {(и, / (ы)):
u?H}g?Gr (f) = {(и, J{u)): и?Н), т. е. график / не имеет какого-
лиСю подходящего продолжения, являющегося графиком монотонного
оператора
В действительности справедлива следующая теорема.
Теорема 3.6. Если f : Н -*¦ R U {+оо} — выпуклый функ-
функционал, то его субдифференциал df является монотонным операто-
оператором, т. е.
\fu, v^H Vttdf(u), n63/(о) „,(Б — Л. и — ">н>0, C.114)
ыл«, что то дасе самое,
Vu, veH H.(df(u) — df(v),u — v)H^Q. C.115)
Доказательство. Если 5/ (ы) (или df (v)) пусто, то
C.114) очевидно. В противном случае, выбирая ? из df (и) и tj из
df (о), получаем неравенства
w.<S,u —w>H>/(и)-/(о) Voetf, C.116)
H.(Tl.f-H>w>/(i;)-/(H) УыеЯ- C.117)
Суммируя эти неравенства, после обычного изменения знака имеем
„Л — 1\, « —у>н>0, C.118)
что (в силу произвольности ?, т], и и v) и есть C.114). ?
Можно также показать, что / является максимально монотонным
(см. [593, с. 85]). Описание других свойств субдифференцируемых
операторов можно найти в [90, 36, 729].
44

Многозначные уравнения. Рассмотрим теперь неравенство
a(u.u — v)+h(u)^h(v) 4v?H, C.119)
которое можно переписать в виде
н.{А(и), u — v)H^h(v)—h(u) Vv?H, C.120)
где А —оператор (см. C.50)), соответствующий симметричной не-
непрерывной билинейной форме а, или в виде
А (и) — h («XH,<— А (и), и — v)H Vt>e#. C.121)
Из C.121) получаем
— A(u)edh(u), C.122)
или
Oe(dh + A)(u). C.123)
что представляет собой «уравнение», соответствующее многознач-
многозначному оператору dh + А: оно и есть «некоторое уравнение», о кото-
котором мы упоминали в начале пункта. Ясно, что если h дифференци-
дифференцируем по Гато, то C.123) можно записать в виде
, C.124)
что является уравнением в обычном смысле (мы не имеем здесь
неравенства, поскольку C.119) рассматривается во всем простран-
пространстве Я...; для задач с ограничениями формулировка типа C.123)
также возможна, но она усложняется тем, что в общем случае соот-
соотношение д (f + g) — df ¦+• dg не имеет места).
Глава 4. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
4.1. Понятие транспонирования. Основные свойства
Транспонирование линейных непрерывных операторов, опре-
определенных в топологических векторных пространствах, дает один
из наиболее плодотворных процессов обобщения в анализе. Ниже
мы определим эту операцию и приведем некоторые связанные с ней
абстрактные результаты; в следующих пунктах мы опишем некото-
некоторые ее приложения к конкретным — весьма важным — случаям.
Мы рассматриваем все векторные пространства (если не огово-
оговорено особо) как пространства над полем комплексных чисел.
Транспонированный оператор. Линейность и непрерывность.
Определение 4.1. Пусть Е и F — два топологических
векторных пространства и Т ? ?? (Е, F). Оператором, транспони-
транспонированным к Т, называется оператор 'T:F'-*-E', определяемый
4S

следующим образом:
\ff'€F' Че?Е E,{tT(r),e)E=F,(\T(e))F. D.1)
Этот оператор называют также сопряженным к Т, но мы не бу-.
дем использовать эту терминологию, потому что в частном случае,
когда Е и F являются конечномерными векторными пространства-
пространствами (предполагается также, что существуют два базиса, фиксирован-
фиксированные в Е и F) и Т представим матрицей [Tt)], то оператор 'Т пред-
представим (относительно соответствующих двойственных базисов)
через транспонированную к [Ти] матрицу, а не через сопряженную,
которая представляет собой нечто другое — доказательство этого
факта можно найти в работе [85] (ее автор, однако, называет Т
оператором, сопряженным с Т...).
Отметим, что определение 4.1 имеет смысл, поскольку, как мы
сейчас докажем (в качестве примера...), V/' ? F' 'Т (/') ? Е' (и, та-
таким образом, в частности, мы можем использовать обозначение
{•,• ) в левой части соотношения D.1), что мы и делали). Действи-
Действительно, зафиксировав /' ? F', получаем, что 'Т (/') есть функционал
над Е, поскольку
'е)в=Р,{ГгТ(е))реС. D.2)
Он является линейным функционалом, так как вследствие линейнос-
линейности /' и Т имеем
Vlv X2eC Velt ег?Е
Е. (Т (/'), Vi + Ке,)Е = F.</\ Т (Vi + V^V =
- „,</'. V (*i) + КТ(e,»F = V </', Т{ex))F + X2F, {/', T (e2))F =
= X ш,{^ (Г). е,>в + Я, 2В/Г (/'). е2)я, D.3)
а также непрерывным, потому что для каждого элемента е ? Е ве-
величина ?- ('Т (/'), е>Е есть значение на е композиции /'о Т непре-
непрерывного функционала и непрерывного оператора.
Теорема 4.1. Если Т ? {?(Е, F) и Е', F' имеют один и тот
оке тип двойственной топологии {например, оба пространства Е',
F' имеют сильную топологию), то *Т ?{? (F1, ?").
Доказательство. Линейность оператора 1Т может
быть доказана непосредственно:
Е.(Т (Kf\ + V2). e>B = rihfl + Kf'r T (e))F =
- r<№v T Wf + PMr T Wf = в-(К'Т (Г1). e)
E +
;). e)E = B.<tiT (f\) + K'T (/;), e)E Ve ? E. D.4)
Доказательство непрерывности fT в общем случае см. в [712,
с. 199]. Здесь же мы рассмотрим частный случай, когда Е, F явля-

ются нормированными пространствами и оба пространства ?", F'
имеют сильные топологии. При заданных непрерывных /', 7" можем
последовательно записать
I Е.(Т (/'), е)Е | = | F,(/', T (e))F | < || /' \\F, || T (е) \\F <
MI*. D.5)
Следовательно, справедливо неравенство
\\'Т(П\\Е.<\\Т\\е1ЕшР))\Г\1г. D-6)
а значит, и соотношение
то доказывает непрерывность *Т (более того, можно показать, что
\\TWz(E,F)=\\tT\\^F',E'—™-' например, [712, с. 242; 467, с. 257]). ?
Свойства транспонированного оператора. Предыдущая теорема
показывает, что существуют свойства оператора Т, которые сохра-
сохраняются и для 'Т. Естественным будет тогда найти другие такие же
свойства Т или, в более общей постановке вопроса, представить,
что же происходит с определенными свойствами оператора Т с точ-
точки зрения оператора *Т — такой путь исследований ведет нас к
интересным результатам.
Предположим, например, что Т является инъекпгивным, т. е.
что Т (е) = 0 =>• е = 0, и посмотрим какое свойство появится при
этом у оператора 'Т. В общем случае инъективность оператора 'Т
(т. е. *Т (П = 0 => f = 0) не следует из инъективности оператора
'Т. Действительно, по определению оператора 'Т равенство 'Т (/') =
= 0 означает:
( D.8)
а это, в свою очередь, предполагает, что /'= 0 на Т (Е), но не обя-
обязательно иа F. Казалось бы, что мы не можем получить какую-
лийо важную информацию об инъективности оператора 'Т. Однако
соотношения D.8) помогают сделать это и провести рассуждения
следующим образом. Если оператор Т не инъективен,то существует
такой элемент i"=? 0, что Т (ё) = 0, и при этих условиях из D.8)
следует, что
в.(ТЮ>ё)Е=0 Vf'tF', D.9)
т. е. е ортогонален к множеству *Т (F'). Следовательно, это мно-
множество — образ F' при действии оператора 'Т — не платно в Е'
(используемое здесь понятие ортогональности не включает в себя
гильбертов случай: если Е — топологическое векторное простран-
пространство и А — линейное подпространство из Е, то ортогональное до*
47

полнение к А есть линейное подпространство А0 из ?", состоящее из
линейных непрерывных функционалов над Е, которые тождественно
равны нулю на Л; в частном случае, когда Е — гильбертово про-
пространство, гильбертово ортогональное дополнение А1 к А совпа-
совпадает с А°, если осуществлено отождествление Е с двойственным к
нему пространством). Обратное утверждение формулируется сле-
следующим образом: если Т имеет плотный в Е образ, то Т явля-
является инъективным. Большое значение этого результата стимулиру-
стимулирует нас к поиску других результатов, подобных сформулированному;
следующая ниже теорема содержит ряд из них. Но сначала приведем
рассуждения, касающиеся места понятия инъективности среди
других понятий, чтобы познакомиться с обозначениями и термино-
терминологией, которые будем использовать в дальнейшем.
Инъективность, вложения и отождествления. Если Е и F —
два топологических векторных пространства, то мы называем jEF:
Е ->• F инъекцией Е в F, если jEF является инъективным линей-
линейным отображением Е в F. Если jEF — непрерывное отображение,
то инъекция называется непрерывной инъекцией, а если множество
Jef (E) плотно в F, то — плотной инъекцией. Всякий раз, когда
между двумя топологическими векторными пространствами Е и F
существует непрерывная инъекция jEF, то можно отождествить
Е с jEF (E) с: F, поскольку ]EF устанавливает векторно-топологи-
ческий изоморфизм между Е и jEF{E) cz F, если только последнее
пространство наделено топологией, принятой в ? (а не топологией
пространства F); при этих условиях мы пишем Е a F.
Этот тип отождествления очень часто встречается в анализе.
Среди других отметим отождествление, которое часто осуществля-
осуществляется как между гильбертовым пространством Ник нему сопряжен-
сопряженным, так и между топологическим векторным пространством Е и
частью.сильно антидвойственного к нему пространства Е". В по-
последнем случае \Ее- является так называемой канонической инъ-
инъекцией Е в Е". В первом случае отождествление достигается с
помощью основной теоремы о представлении функционалов в гиль-
гильбертовых пространствах, и если Н является вещественным, то ]нн'
есть оператор Рисса (однако, если Н — комплексное, то \НН' не
отождествляет Н с двойственным к нему пространством, а отож-
отождествляет его лишь с антидвойственным). В последующих разделах
мы рассмотрим дополнительные примеры, характеризующие изло-
изложенное выше.
Предположим, что имеется непосредственное вложение Е a F
(без какого-либо отождествления). В этом случае существует кано-
канонический оператор jef — оператор множественного вложения
iEF cz : Е -> F, определяемый как
D.10)
Если Ief непрерывен (это означает, что топология Е сильнее,
чем топология в Е, индуцируемая топологией пространства F), то
мы пишем^Еси F. Если Ief плотен (это означает, что замыкание Е
48

a»
в топологии F эквивалентно F), то пишем Е cz F. Заметим, что
различие между выражениями «непосредственное вложение Е сг
с: F» и «? cr F после отождествления» часто незначительно, как
это может быть замечено из следующего примера. Если множество
R вещественных чисел построено из множества Q рациональных
чисел (например, с помощью процесса пополнения Кантора), то мы
отождествляем Q с частью R (которое «получается» из сходящихся
последовательностей из Q), но если R вводится аксиоматическим
путем, то Q определяется непосредственно как подмножество из
R. Чтобы различать эти ситуации, достаточно при необходимости
заменить iEF на t[;?/,(?)]/r о/?/г; отметим, что сущность отожде-
отождествления лежит в соединении этих двух отображений.
Свойства повторно транспонированного оператора.
Теорема 4.2. Если Е и F — два топологических векторных
пространства и Т ? ?? (Е, F), то
ds
1) Т (Е) с: F «=* Т является инъективным;
ds
2) Т (Fr) cz Е' =$* Т является инъективным и обратное также
справедливо, если Е рефлексивно.
ds
Доказательство. 1) Сначала докажем, что Т (Е) cz F
подразумевает инъективность *Т, т. е.
<уе 6 Е Е.(Т (Г), е)Е Ar(f',T (е))р = 0) => f = 0, D.11)
а это следует немедленно, так как из F,{f, Т (е))р = 0 Ve g E вы-
вытекает, что /' = 0 на Т (Е) и, следовательно на F, поскольку из
плотности Т (Е) в F следует, что единственным расширением на F
функционала, равного нулю на Т (Е), является функционал, кото-
который равен нулю на F. Обратно, предположим, что *Т инъективен
и покажем, что Т (Е) cr F, т. е. что если функционал /' б F' явля-
является тождественным нулем на Т (Е), то /' есть тождественный нуль
на F. Теперь соотношение V/ ? Т {Е)р, (/', f)F — 0 эквивалент-
эквивалентно соотношению F.(f, T{e)>F=o ve б Е, которое (см. определение *Т)
эквивалентно следующему: Ve 6 Е ЕЛ1Т(['), е)Е — 0, или 'т (/') = 0
и, следовательно, (в силу инъективности *Т) эквивалентно тому, что
/' есть нуль пространства F'.
. ds
2) Мы уже видели, что из Т (f')czE' следует инъективность
оператора Т. Покажем обратное в случае рефлексивного прост-
пространства Е (если предположение о рефлексивности не выполнено,
то утверждение не выполняется — в следующей главе мы рассмот-
рассмотрим контрпример). Для этого введем оператор, транспонированный
к fT. Из определения 4.1 следует, что если Е" и F" являются анти-
антидвойственными пространствами (мы предполагаем их сильными про-
пространствами) к пространствам Е и F соответственно, то транспони-
4 К. Байоккн, А. Капело 49

рованным к 'Т оператором является оператор '(Т): Е" -»¦ F", опреде-
определяемый как
ve-еД" Vf'tF- г,(('Т)(е"),ПР.=ЕЛе',{Т(П)Е.. D.12)
Если iEE. и iFF, — канонические инъекции Е в Е" и F в F" соот-
соответственно, то D.12) мы можем записать в виде
ve tEvf'e F' ^(Т) ЦЕЕ„е), f%, = Е„ЦЕЕл, 'Т (/'))?,; D.13)
поскольку
E. = Е,(Т(Г), е)Е = FAf',T(e))F = r,tjFF,T(.e), f')F,,
D.14)
то получаем равенство
'(V)o/??. = /fF.oT. D.15)
Если пространство ? рефлексивно, то /Яй„ имегт обратный оператор
1~е~е" — 1е"е> и D-15) принимает вид
'(T) = jFr,oTojE.E. D.16)
Равенство D.16) показывает, что если оператор Т инъективен, то
'(*Т) также является инъективным, поэтому выполняются условия
1),<= , а значит, 'T{F')czE'. ?
Для более подробного изучения транспонированных операторов
с их приложениями в теории дифференциальных операторов можно
рекомендовать работы [713, с. 47; 253; 254] и др.
4.2. Приложения понятия транспонирования
Еще раз об инъекциях между топологическими векторными про-
пространствами. В качестве первого приложения понятия транспони-
транспонирования операторов остановимся еще раз на инъекциях между то-
топологическими векторными пространствами, которые мы рассмат-
рассматривали в п. 4.1.
Пусть Е и F — два топологических векторных пространства, та-
ds
кие, что EQ~,F, т. е. что оператор вложения iEF непрерывен и Е
плотно в F. Оператор iEF:E->F является элементом из *?(E,F).
Рассмотрим транспонированный к iEF оператор \iEF):F'-+E', ко-
который, в свою очередь, является линейным и непрерывным из F' в
Е' (см теорему 4.1) и инъективным (см. теорему 4.2, часть 1),=^).
Таким образом, F' может быть отождествлено с \iEF){F')dE'>
и можно писать F сг?'.
Случай нормированных пространств. Проанализируем смысл
включения F' cz Е' в весьма простом случае, когда Е и F явля-
50

ются нормированными пространствами. Начнем с замечания о том,
что здесь факт непрерывного вложения Е в F (другими словами,
того, что топология в Е является более сильной, чем топология в
Е, индуцируемая пространством F) может быть кратко записан
следующим образом:
\\e\\F^c\\e\\E. D.17)
Элемент /' ? F' является непрерывным линейным функционалом /-»•
-*¦ /?'(/'> /)/? (^"~*"Q; сужая этот функционал на Е (отмечаем, что
EcF), мы получаем функционал е -»¦,?,(/', е)р (Е-+С), который
также линеен и непрерывен (в топологии Е), так как из непрерыв^
ности /' имеем
Соотношения D.18) как раз и показывают, что сужение /' на Е
непрерывно в топологии Е, и мы можем записать
V/'gf ||/'|1я,<с||/%„ D.19)
откуда следует, что сильная топология пространства F" сильнее
топологии, индуцируемой на F' сильной топологией пространства
?". Отождествление F' с частью Е' заключается в отождествлении
непрерывных линейных функций над F с их сужениями на Е. Однако,
если предположение о плотности вложения Е в F неверно, то при-
приведенное выше отождествление уже невозможно. Действительно,
если Ief не является плотным, то 3/' 6 F' такой, что /' ф 0 и
(f', е) = 0 Ve ? Е. Когда мы рассматриваем сужение /' на Е, то
получаем нуль пространства ?", который, с другой стороны, может
быть получен, если исходить из нуля пространства /•"; поэтому опе-
оператор (ief) не инъективен и не является инъекцией из F' в Е'.
Чтобы привести конкретные примеры приложений транспони-
транспонирования, нам необходимы две составляющие части: топологические
векторные пространства и линейные непрерывные операторы в этих
пространствах. В п. 4.2.1 мы введем некоторые топологические
векторные пространства, полезные в приложениях, и определим на
них некоторые линейные непрерывные операторы; некоторые свой-
свойства рассматриваемых пространств мы приведем без доказательств.
Этот материал следует рассматривать как очень неполный словарь
специальных определений (более детальное изучение этих про-
пространств можно найти в работах 1467, 712, 420] и др.). В п. 4.2.2 мы
дадим краткую характеристику двойственных пространств и изу-
изучим операторы, транспонированные к предварительно определен-
определенным операторам. Иногда мы будем иметь дело с распределениями
(обобщенными функциями). Но мы не будем излагать теорию обоб-
обобщенных функций, а введем лишь основную терминологию. Для
изучения теории обобщенных функций среди прочих мы рекомен-
рекомендуем работы [664, 467, 712, 313, 86, 22, 23, 24, 20, 21].
4* 51

4.2.1. Некоторые примеры функциональных пространств, важ-
важных в приложениях. Примеры непрерывных линейных операторов.
Обозначения. Пусть А — произвольное множество. На множе-
множестве функций 3 (А) ? С4, определенных на Л со значениями в С,
мы введем структуру векторного пространства над полем С при
помощи обычных соотношений
g)(x)=-f(x)+g{x), D.20)
= VD D-21)
которые определяют соответственно сумму двух функций и произ-
произведение функции на число. Все векторные пространства, которые
рассматриваются в этом пункте, являются векторными подпро-
подпространствами из 3 (А) при соответствующих А или получаются из
подпространств <F (А). В любом случае, линейная структура на
них определяется естественным образом, и мы не будем ее опреде-
определять каждый раз заново.
Если А с: R" и f 6 & (А), то через supp / обозначаем носитель
7, т. е. замыкание А (в топологии R") множества {х 6 A: f (х) ф
ФЩ.
Мы будем использовать обычное краткое обозначение для произ-
производных. Если а = (ах, а2,..., а„) ? N*, то через | а | = а.х +... + ап бу-
будем обозначать порядок мультииндекса, а через Da — оператор Da =
= дт1дх\\.. дх°^ (условимся, что д°/дх°1 есть тождественный опера-
оператор и, в частности, если | а | = 0, то Da — тоже тождественный опе-
оператор). Кроме того, для мультииндексов а^(ах, ...,ап), р = (р\,...
—.Рп) будем писать:
Пусть Q — открытое множество из R". Под обозначением /CeQ
мы понимаем не только то, что К с Q, но также и то, что К есть
компактное множество из R".
Пространства Cm(Q) и <lm(Q).
Определение 4. 2. Пусть Q—открытое множество из R" и
/n?N или т = оо. Мы обозначаем через C"(Q) пространство функ-
функций, определенных и непрерывных на Q вместе с их производными
порядка ^ т, а через Лт (Q) — пространство Ст (Q), наделенное се-
семейством полунорм
sup|Da/(*)|, m6N, D.22)
где /CeQ произвольно. В последующем будем писать $°°(il)=
52

Итак, другими словами, С" (Q) — пространство функций fgif (Q)
таких, что производная Daf существует и непрерывна в Q для всех
a6N" таких, что |a|<m. Пространство бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых функций может быть определено с помощью алгебраического
соотношения С00 (Q) = Л С71 (Q) (заметим, что при изменении т в
mgN
N D.22) также обеспечивает топологию И°° (Q)). Если / ? С" (Q), то
будем также говорить, что / принадлежит классу С™ в Q.
Пространства Ьт (Q) являются пространствами Фреше (см. [35]).
Их топология известна как «топология равномерной сходимости (фун-
(функций и их производных ^ т) на компактных множествах», посколь-
поскольку последовательность {fh} {k ? N) сходится к f в %т (Q) тогда и
только тогда, когда последовательность {Dafh} сходится равно-
равномерно на каждом К е Q к Daf для всех \ а \ ^ т.
Пространства Ст (ft). Пространство функций класса Ст в Q,
непрерывных вместе с их производными «вплоть до границы dQ
множества Q», также часто используется в исследованиях. Мы оп-
определим это пространство как пространство С" (Q) продолжений по
непрерывности на Q = Q (j dQ функций, производные которых
порядка ^ т также имеют такие же продолжения, и наделим его
семейством полунорм D.22), где уже теперь К е Q. Если Q огра-
ограничена, то эти функции являются существенно ограниченными и
равномерно непрерывными в Q вместе с их производными порядка
< т. Если Q ограничена и т конечно, то C"(Q) является банахо-
банаховым пространством с нормой
| D.23)
в противном случае оно является пространством Фреше. Заметим, что
если / есть сужение на Q функции /eC7l(R")> то / 6 Ст (Q). Обрат-
Обратное справедливо, если только Q является «регулярной».
Пространства Ст* (ft) и Cm>tl(ft). Другим, близким к Ст (Q) яв
ляется пространство функций, обладающих производной m-го поряд-
порядка, удовлетворяющей условию Гёльдера. Вспомним, что если А есть
подмножество из R", то говорят, что /6#" (Л) непрерывна по Гёль-
Гёльдеру (удовлетворяет условию Гёльдера) с показателем р. 6 @, 1 ] в
А, если
3MeR Чх',хГ?А |/(*') — /(х")|<М|К— *Т- D.24)
Величина
называется модулем непрерывности f no Гёльдеру. Непрерывные по
53

Гёльдеру функции являются непрерывными в Л, а непрерывные по
Гёльдеру функции с показателем ц = 1 называются, в частности,
непрерывными по Липшицу функциями (Липшиц-непрерывные функ-
функции).
Через С1'" (й), т 6 N и ц€@, 1] мы обозначаем пространство функ-
функций класса С в й, которые имеют т-е производные, непрерывные
по Гёльдеру с показателем ц в каждом /Сей, наделенные семейст-
семейством полунорм
°7 (*) I + S [DX.« D-26)
|a|=m
Далее через Ст>ц (Q) мы обозначаем подпространство из Ст (Q),
состоящее из функций, имеющих производные т-то порядка, непре-
непрерывные по Гёльдеру в Q с показателем ц. Если Q ограничена, то
Q является компактом, и D.26) при Q = К задает норму, по отно-
отношению к которой Стц(Q) есть банахово пространство. Если f^C"'11 (Q)
и [?>аЯ„к остается ограниченным при изменении К, то говорят, что
/ принадлежит равномерно классу Cm>t*—это следует непосредствен-
непосредственно из того, что если feC'11 (Q), то / есть продолжение на Q функ-
функции такого же типа. Заметим, что если т^иО<г<^<1, то
C"+1 (Q) с=^ Ст (Э) и СГ-Х (Q)_c=^ Cm-V (Q),_ и если Q—например, вы-
выпуклое множество, то Cm+1 (Q) c=^ Cmy (Q) (см. [91, с. 111).
Пространства С" (П) и $" (Q).
Определение4.3. Пусть Q — открытое множество из R" и
т ? N или /и = оо. Мы обозначаем через С? (Q) пространство таких
функций / 6 Cm (Q), что supp /ей, а через #m (Q) пространство
Со (й), наделенное семейством полунорм
= У sup\Qa(x)Daf(x)\, m€N, D.27)
где в = {0a} n — набор непрерывных в Q таких функций, что се-
семейство {supp 0a} п локально конечно (т. е. для всех х ? Q суще-
существует окрестность U(x) точки х такая, что card{a 6 Nn :supp 0а П И(х)ф
Ф0) конечно) и U (supp0a)° = Q. В последующем мы будем пи-
ос
сать #°° (й) = 0 (Q) (с топологией, определяемой посредством D.27),
при т., меняющемся в N).
Векторное пространство С? (Q) является подпространством из С" (Q)
и, следовательно, топологическим векторным пространством, с тополо-
топологией, индуцируемой пространством %т (Q). Однако полученное топо-
топологическое векторное пространство не является полным (см. контр-
контрпример в [313, с. 13]), и по этой причине мы наделим CJT(Q) более
сильной топологией. Эта топология может быть охарактеризована
54

тем, что А с &т (Q) является открытым тогда и только тогда, когда
Л П Ск (Q) открыто в Ск (Я) для каждого К е Q, где Ск (О) есть про-
пространство функций f?Cm(Q) таких, что supp fez К, наделенное то-
топологией, определяемой семейством полунорм D.22) при фиксирован-
фиксированном К (см., например, [467, с. 1711). Другими словами, топология в
$m(Q) является индуктивным пределом топологий пространств
Ск (Q); дополнительную информацию об этих топологиях можно най-
найти, например, в [360, 6731. Из приведенного выше в частности сле-
следует, что последовательность {fh} (k ? N) сходится к f в У<т (й)
тогда и только тогда, когда ЗК^п VfegN supp fh ? К и после-
последовательность {Dafh} сходится равномерно на К к Daf при каж-
каждом |а| <т (см., например, [35]).
Пространства 0" (Q) являются полными локально выпуклыми
топологическими векторными пространствами (см. [664, с. 66; 360,
с. 871), они неметризуемы (см. [360, с. 701). Пространство j# (Q) вы-
вызывает особый интерес в анализе Оно является единственным из
пространств $т (Q), которое рефлексивно (см., например, [664,
с. 751), его элементы называются основными функциями {пробными
функциями); У> (Q) является «наименьшим»функциональным про-
пространством, которое мы будем рассматривать, однако оно не слиш-
слишком мало, в том смысле, что не сводится лишь к тождественно нуле-
нулевой функции (см. теорему 15.1).
Пространства jSm (Q). В дальнейшем через jSm (Q) (Q ф R") мы
будем обозначать пространство сужений на Q функций из Co^R").
Мы наделяем это пространство топологией, определяемой с помощью
D. 22), так что если Q ограничена и регулярна (например, класса
С°°, см. гл. 16), то мы имеем J&m(Q) = C*"(Q).
Пространства Sm(R").
Определение 4.4. Пусть m?N или т = оо. Обозначим через
Sm(R") пространство таких функций /gC'fR"), что
Ve>0 VfegZ V|a|<m
ЭМ 6 R I! x !| > M => |A + || x \\*?Daf (x)\ < 8, D.28)
с семейством полунорм
V/65m(R") |/|*e = sup|(l+||x||*)fcDe/(x)|, D.29)
где ftgZ и |a|^m. В дальнейшем полагаем S°°(R") = S (R").
Пространства Sm (Rn), элементы которых называются функци-
функциями быстро убывающими на бесконечности вместе с их производны-
производными порядка ^ т, являются пространствами Фреше (см., например,
[467, с. 116, 154). Зачастую тесно связанными с этими простран-
пространствами оказываются пространства мультипликаторов Ом и Ос,
с которыми мы не будем работать (информацию относительно них
можно найти в литературе по теории обобщенных фvикций).
55

Пространства LP (А).
Определение 4.5. Пусть Л — измеримое множество из R".
Обозначим через L" (Л), р ? [1, оо) пространство (классов) функций'
f?cF (А), измеримых в Л и таких, что функция | f \" суммируема в
Л, с нормой
А
Через L°° (Л) обозначим пространство (классов) функций / ? <F (Л),
измеримых и существенно ограниченных в Л, с нормой
VfeL~{A) ll/llt-Mj-esssupl/WI. D.31)
Вспомним, что две функции принадлежат одному и тому же клас-
классу тогда и только тогда, когда они равны почти всюду относительно
обычной меры Лебега (ц), которую мы только и будем рассматри-
рассматривать. Как это принято в теории интегрирования, мы не будем де-
делать различия между классом функций, равных почти всюду, и кон-
конкретным представителем этого класса. Таким образом, функция
f ? L" (Л) определена всюду за исключением множества меры нуль
и, если мы говорим, например, что функция / ? V (Л) является
непрерывной, то это понимается в том смысле, что / равна почти
всюду функции, непрерывной в Л.
Пространства L" (А) (рбП, оо]) банаховы (см., например,
[712, с. 103, 106]) и рефлексивны, если рф\, оо. Пространство
L2 (Л) — гильбертово, со скалярным произведением
(f,g)LHA) = \f(x)i(x)dx. D.32)
Можно также рассматривать пространства V (Л) при 0<р< 1, од-
однако D.30) здесь уже не является нормой. Если же при 0 < р < 1
ввести метрику р (f, g) = f \f(x)—g(x)f dx, то получаются полные
A
метрические пространства (см., например, [462, с. 200; 27]).
В общем случае мы будем выбирать Л открытым или компакт-
компактным множеством. Заметим, что если Л cz R" и дА имеет нулевую
меру (]i (дА) = 0), то фактически нет разницы между L" (А) и L"(A),
так как если f ? L" (Л), то любое (!) продолжение f на А принадле-
принадлежит V (Л).
Пространства /&тр (Q) и Lipoc (Q)*).
Определение 4.6. Пусть Q — открытое множество из R" и
р 6 И, оо]. Обозначим через Lcomp (&) пространство (класс) функций
/¦? L"(Q), supp / с Q, наделенное индуктивной предельной топологией
*) Здесь нижние индексы означают: сотр — компактно, 1ос — локально.
56

банаховых топологий пространств L^(Q) таких функций f?Lp(Q),
что supp/с^еЙ. Через Цос(Q) обозначим пространство функций
/g^"(Q), f\K?L"(K) для каждого /С<ей, наделенное семейством
полунорм
D-33)
Пространства Z,?omp(Q) являются полными локально выпуклыми
топологическими векторными пространствами (но не банаховыми!).
Пространства Lfoc (Q) являются пространствами Фреше. Пространство
?-1ос (?2) — пространстю локально суммируемых в Q функций — пред-
представляет особый интерес, поскольку оно является «наибольшим» из
рассматриваемых нами топологических векторных пространств, его
элементы — функции, определенные в точках множества (почти
всюду!).
Диаграмма пространств. С целью облегчения ссылок мы вклю-
включили в одну диаграмму (диаг. 4.1) вложения пространств, которые
3)"
-*- "-сотр -*-'
•I i i i
'\ i i
Диагр. 4.1
были определены ранее. Диаграмма является «транзитивной»: если
пространство может быть соединено с другим пространством цепоч-
цепочкой непрерывных (плотных) вложений, то вложение первого про-
пространства во второе непрерывно (плотно). Часть диаграммы, отно-
относящаяся к пространствам Sm(Rn) (но не вложения, с помощью ко-
которых пространства Sm(R") связаны с другими пространствами), не
должна рассматриваться, если Q Ф R"; это же должно быть сделано
и для вложений между пространствами LP(Q) (но не для вложений
между L?omp(Q), Lp (Q) и Lfoc(Q)) в случае, когда Q имеет беско-
бесконечную меру.
Все пространства на диаграмме соответствуют одному и тому же
открытому множеству Q, обозначение которого опущено лишь для
простоты; по этой же причине мы пишем -*¦ вместо с* и->-вместо
us
с-. Числа k > т > 0 (см. диаг.) — натуральные, р > q > 1 и
г ^ 1 — вещественные.
57

Мы не будем доказывать результаты, данные на диаграмме. От-
Отметим лишь, что конкретный случай D.17) при ц (Q) < оо и q <
<р, имеющий вид ||/ILe(Q)<(j*№))A/fl~(I/P)||/||tp(Q). сразу же сле-
следует из неравенства Гёльдера — он показывает непрерывность вложе-
вложения L'(Q) в L«(Q).
Наиболее важные результаты, касающиеся плотности, дока-
доказываются в гл. 15, а результаты, касающиеся непрерывности, выте-
вытекают из следующих двух теорем (см., например, [712, с. 64, 128;
467, с. 97]).
^Теорема 4.3. Пусть Е и F — два локально выпуклых топо-
топологических векторных пространства, топологии которых определя-
определяются соответственно семействами непрерывных полунорм {еу} еГ и
{h\^h- Линейное отображение L:E-*-F является непрерывным
тогда и только тогда, когда
%y.(X). D.34)
Теорема 4.4. Пусть Е и F — два локально выпуклых то-
пологических векторных пространства; предположим, что Е яв-
является индуктивным пределом семейства {Еа}а^А пространств
Фреше.Линейное отображение L:E-*-F непрерывно тогда и толь-
только тогда, когда для всех а ? А отображение ^\ва- Ea-*-F непре-
непрерывно.
Теперь мы приведем некоторые примеры линейных непрерывных
операторов, определенных на рассмотренных ранее пространствах.
Произведение.
Пример 4.1. Пусть i|)?C°°(Q)— фиксированная функция. Опе-
Оператор
D.35)
ставящий в соответствие каждой функции ф ? 0 (Q) ее произведение
, т. е. 'ф(ф) =1|)-ф, является
Линейность видна сразу же:
ty, т. е. 'ф(ф) =1|)-ф, является линейным и непрерывным.
Vq>lf
D-36)
Чтобы доказать непрерывность 'if, достаточно доказать (теорема 4. 4),
что для каждого К" ей оператор '\!р \ ~, : С к (Q) -*¦ ?> (Й) непреры-
вен. С другой стороны (теорема 4.3), чтобы доказать это, достаточ-
достаточно для любого т ? N построить семейство функций 0 = {0а}, удовлет-
удовлетворяющих условиям определения 4.3 и таких, что для каждой
58

функции ф ? Ск (?2)
V зир|Оа(г|,ф)(А;)|< V sup\ea(x)D\(x)\. D.37)
aUm *K win, *€Я
Преобразовывая левую часть неравенства D.37) с помощью формулы
Лейбница (см. [467, с. 101])
^^ D-38)
замечаем, что такое семейство может быть получено из производ-
производных от t|) с помощью подходящих преобразований, провести кото-
которые мы предлагаем читателю.
Сдвиг.
Пример 4.2. Если ф6<?([*п) и /igRn, то функция T^6#(Rn),
определяемая как
V* 6 Г (^ф) (х) А Ф (х - и), D.39)
называется h-сдвигом функции ф. Для фиксированного h D.39) оп-
определяет линейный непрерывный оператор
т„: #(Rn)->.0(Rn). D.40)
Производная.
Пример 4.3. Для каждого agN" оператор
Da: #(Q)->#(Q), . D.41)
который каждой функции ф g jZ5 (Rn) ставит в соответствие ее част-
частную производную порядка |а|
A?!!i«L D.42)
является линейным и непрерывным. Заметим, что Da фактически
действует между 0 (Q) и й5 (Q), так как взятие производной не уве-
увеличивает носителя функции.
Замена переменной.
Пример 4.4. Пусть Qx и Q2 — два открытых множества из
R" и ф : Qj -> й2 - диффеоморфизм класса С00 из Qx в Q2 (т. е.
г|7 есть биективное отображение класса С00 вместе с обратным"к
нему отображением). Оператор
°tJj:i2(Q2)->i2(Q1), D.43)
который каждой функции 9?i?(Q2) ставит в соответствие функцию
*Ь>(ц>)?0 (Qi), определяемую как
•ф(ф)(*)=^(фоф)(х)=фМ>(*)] V*eQ1( D.44)
является линейным и непрерывным.
59

Заметим, что если обозначить через |/ф| модуль якобиана пре-
преобразования ар, то справедлива формула
D.45)
Q.
(см. [55, с. 100]).
Свертка.
П р и м е р 4.5. Пусть гр ? Со° (R") — фиксированная функция. Опе-
Оператор
*^p:i3(R")->-i3(Rrl), D.46)
который каждой функции ф 6 $ (R") ставит в соответствие ее свер-
точное произведение с ар: *ар (ф) = ф*ар, определяемое как
R"
является линейным и непрерывным.
Преобразование Фурье.
Пример 4.6. Пусть ф 6 S(R"). Функция ф б S (Rn), определяемая
как
у(у)АBлГп/2 \e-2ni™<f{x)dx, D.48)
R"
где (х, у) = л:^ +...+*„«/„, называется преобразованием Фурье функ-
функции ф (чтобы заметить, что ф 6 5 (R"), нужно лишь вспомнить, что
\\)
Выражение D.48) задает оператор
r:S(Rn)->S(R"), D.49)
который каждой функции ф 6 5 (Rrt) ставит в соответствие ее преоб-
разование Фурье: ф = ^ф. Этот оператор — линейный и непрерывный,
(б ф
р урф рр рр
он является (алгебраическим и топологическим) эндоморфизмом про-
пространства 5 (Rrt) с обратным оператором, определяемым как
Г-1 (Ф (У)) = Ф W - B"Г/2 J ^Я'(^Ф (*) dy, D.50)
R"
точнее, ^ есть изоморфизм пространства S(R") (текущая переменная
х) в 5 (R" ) (текущая переменная у); однако, мы будем рассматривать
пространство R" и его двойственное R"' отождествленными с помо-
помощью оператора Рисса, соответствующего равенству (х, y)Rn—Rn'(x. y)Rn.
Сформулируем без доказательства следующий важный результат
(см.. например, [712, с. 270; 86]).
60

Теорема 4.5. Если ф, ^(^(R"), то справедливы следующие
соотношения:
J Ф (х) $Щ dx = J ф (у) $ (у) dy, D.61)
R" R"
D.52)
R" R"
J Ф (x) л|э (x) dx = J ф (*) $ (*) dx. D.53)
Эта теорема и тот факт, что S (R")c=is L2 (R") показывают, что пре-
преобразование Фурье & : S (R")-> S (R") может быть единственным об-
образом расширено до изометрии L2 (R") на L2 (R"). Используя то же
самое обозначение для оператора и для ё го расширения (что возмож-
возможно, так как последнее единственно) и вспоминая D.32), мы можем
переписать соотношения D.51) и D.52) в виде
(теперь ф, т|з есть два произвольных элемента из L2(R")), или, уби-
убирая показатель степени,
IHUr»>HMW»>- D-55)
О»отношения D.54) и D.55) известны как формулы Парсеваля и
Планшереля (соответственно).
4.2.2. Двойственные пространства и транспонированные опе-
операторы.
Диаграмма двойственных пространств. Вспоминая то, что мы
говорили об отождествлении двойственных пространств, исходя из
диаграммы 4.1, построим другую диаграмму для двойственных про-
пространств. Для этого достаточно заменить исходное пространство Е
на его, например, сильно двойственное Е' (исключаются простран-
пространства L^mp (Q), L°° (Q) и LSc ;Й), поскольку здесь операторы вложе-
вложения не являются плотными) и заменить на обратные направления
вложений, которые становятся уже не обязательно плотными. Для
пространств Z.P(Q), L^omp(Q) и Lfoc(Q) (Рб[1.°°)) мы можем сде-
сделать большее, так как имеем следующую простую характеристику
для их двойственных пространств: если р6[1. °°). то двойственное
к L"(Q) (соответственно к L?Omp(Q). L?Oc(Q)) пространство есть
L"' (О) (соответственно Lfo*c (Q), L?omP(^)), где р* =р/(р—1), если
рф\ и р* = оо при р= 1. После этого мы получаем диагр. 4.2
Пространство 0' (Q) : сходимость. При работе с топологическим
пространством обычно возникает вопрос об описании подходящим
61

образом понятия сходимости последовательностей в топологи-
топологическом рассмотрении.
Мы дадим такое описание для пространства 0' (Q), которое за-
заслуживает здесь быть представленным, поскольку оно является
«наибольшим» из пространств, изображенных на диаграмме 4.2.
Последовательность {ы,} (/ 6 N) элементов из 0' (Q) сходится (силь-
(сильно) к u?0'<Q) тогда и только тогда, когда для каждой функ-
функции ф ? 0 (Щ числовая последовательность {^(«) {Щ, ф>^а)} сходит-
сходится К 0'<Q)<". <P><gXQ) (СМ. [467, С. 315.]).
MM t t t
* ^_ *V- ?2s- X-6 /> -е- /7-«-
Щ -*- ^ -*- ^> -*- <e '-comp *-comp
Диагр. 4.2
Это понятие сходимости является одним из понятий, вводимых
в связи со слабыми топологиями двойственных пространств, а не с
сильными топологиями. Однако, оказывается, что в 26' (Q) после-
последовательность сходится сильно тогда и только тогда, когда она схо-
сходится слабо (см. [35]). Среди других свойств сильной топологии в
j3' (Q) отметим следующее: 0' (Q) является рефлексивным и пол-
полным хаусдорфовым пространством.
Псевдотопология. Интересно, что для любого заданного векторно-
векторного пространства Е можно определить на Е понятие сходимости без
предварительного введения топологии; тогда говорят, что в Е вво-
вводится псевдотопология. Дадим более точное определение (см. так-
также, например, [337, с. 11; 564, гл. I, II; 206]).
Определение 4.7. Под п^евдотопологическим векторным
пространством мы понимаем тройку (Е, С', lim), где Е — векторное
пространство, G с EN — векторное подпространство из Ен и
lim : ?-> ? есть линейный оператор, который каждому элементу
и 6 G ставит в соответствие и = lim (и) 6 Е согласно следующим
условиям:
1) если Vn ^ N и(п) = и, то и ? G и lim (и) = и,
2) Vu?G, если lim(и) = и и ф:М-»^ — строго возрастающая,
то ыоф 6 G и lim (иоф) = и,
62

3) если A,?CN— сходящаяся (в топологии С) к X последователь-
последовательность, то Vu 6 Е Xu?G и lim (Ku) = Ки.
Элементы пространства С называются сходящимися последова-
последовательностями, а и~ lim (и) —пределом последовательности
и (=и (п)=ип...). Очевидно, что на Е могут быть введены тополо-
топологии, относительно которых псевдотопологически сходящиеся после-
последовательности становятся сходящимися; наиболее сильной из этих
топологий является та, которая вводит наименьшее «число» тополо-
топологически сходящихся последовательностей, которые не являются
псевдотопологически сходящимися, и мы можем назвать эту топо-
топологию соответствующей псевдотопологии.
Таким образом, если мы хотим избежать изучения топологий
двойственности, то можем наделить 0' (Q) псевдотопологией, опре-
определенной через рассмотренное выше понятие сходимости, выбирая
соответствующие определения оператора lim, класса G ... Кроме
того, чтобы избежать изучения «предельных индуктивных» топо-
топологий, можно само 0 (Q) псевдотопологизировать путем исполь-
использования понятия сходимости, которое мы уже ввели в предыдущем
пункте. Этого достаточно для большинства приложений простран-
пространства 0' (Q) и здесь мы имеем оптимальную ситуацию: топология,
соответствующая псевдотопологии пространства 0' (Q), является
сильной топологией пространства 0' (Q) и, очевидно, не существу-
существуют сильно сходящиеся последовательности, которые не сходились
бы псевдотопологически (топология оказывается более ценной лишь
в фильтрах и сетях).
Перефразируя то, что происходит в случае нормированных про-
пространств (их топология, которую можно определить, исходя из
сходимости последовательностей, не может отличаться от псевдо-
псевдотопологии, определяемой теми же сходящимися последовательно-
последовательностями) мы можем построить, например, псевдотопологическую тео-
теорию непрерывности.
Пространство 0' (Q): характеризация. Следующий результат,
доказательство которого следует из теорем 4.3 и 4.4 (см., например,
[86, 313, с. !QU, дает описание элементов из 0' (Q), т. е. описание
таких линейных функционалов над 0 (Q), которые непрерывны
(отметим явно псевдотопологический характер условия 2)).
Теорема 4.6. Линейный функционал и : 0 (Q) -*• С непре-
непрерывен (и поэтому и ? 0' (Щ) тогда и только тогда, когда выполнено
одно из следующих условий:
Q 3m6N Эс>0
У sup | Д>**
2) если ф; -*- 0 в 0 (Q), то ^<<Q)(«. Фг)^а) -*- 0 в С.
В качестве первого очень важного приложения этой теоремы
покажем, что диаграммы 4.1, 4.2 могут быть «соединены», образуя
63

тем самым основу третьей диаграммы — диагр. 4.3. Поэтому мы по-
кажем, что Lioc (&) <=.¦ 5b' (Q). Однако мы будем доказывать только
то, что L{0C(Q)c=^. $' (Q); плотность вложения следует из плотности
jS(Q) в j3' (Q) (доказательство можно найти, например, в [467,
с. 316; 664, с. 75]).
Вложение L\0C(Q)cz.^ $' (Q) должно быть надлежащим образом
прокомментировано, поскольку, с одной стороны, мы имеем прост-
пространство L}oc (Q), элементы которого определены поточечно на Q, а,
с другой — пространство JZ)' (Й), чьи элементы определяются глобаль-
глобально на Q через элементы пространства j3 (Q). Беглый взгляд на диа-
диаграмму 4.2 позволяет представить, что уже здесь мы имеем явление
Диаграмма b.1
, ds
Лос(П)
Диаграмму 4.Z
Диагр. 4.3
такого типа: пространство V (Q), например, появляется как подмно-
подмножество из jZ)' (Q), Мы не должны однако забывать, что данное про-
пространство IP* (Q) возникает как двойственное к V (Q) пространство,
и что элементы из (LP(Q))' являются линейными непрерывными функ-
функционалами над V (Q), которые затем отождествляются с элементами
из V (Q) (последние участвуют в представлении этих функционалов
над L" (Q)). Поэтому слева в соотношении L"*(Q) с* 0' (Q) мы дол-
должны видеть представителя функционала над L" (Q), а не функцию
из L"' (Q).
Для соотношения L\oc (й) с^. jZ»' (й) рассуждения те же самые:
мы отождествляем f ^ L{oc (Q) с линейным непрерывным функциона-
функционалом A (f), который определяется как
D.56)
Его линейность очевидна, а непрерывность следует из теоремы 4.6,
1) при т — 0 и с = \х (К)'\ f \\lhk)- Кроме того, отображение А==
ев j 1 пространства L.1 (Q) в jb' (^). которое каждому эле-
менту / ставит в соответствие A (f), является линейным и инъектив-
ным (это следует из плотности вложения j? (Q) в L\oc (Q) — дока:-а
тельство см. в [91, с. 59]). Поэтому здесь мы имеем дело с непре-
непрерывной инъекцией, что позволяет нам записать Цос (?2) <=- $' {&)¦
Впредь, когда мы будем работать с элементом и пространства
i&'(Q), который, как мы знаем, может быть представлен через /?
64

€?{0С(Й) (т. е. существует такой /6L|oc(Q), что u = A{f)), мы не
будем делать различия между следующими представлениями {и, ф)=
= (А (/)> Ф> = (/> Ф> = \ f (х) ф (х) dx, чтобы указать значение этого
функционала и на cp?jS(Q). Заметим, что когда говорят, что 0(Q)
плотно в j3' (Q), то подразумевают, что каждый элемент и?$ (Q)
может быть приближен в смысле топологии 0' (Й) функционалами
вида {ит, ф> = ] «m(л:)ф(х)dx с ит?$(Й).
а
Пространство ^' (Q): терминология. Прежде чем начать изу-
изучать операторы, транспонированные к операторам, рассмотренным
в п. 4.2.1, надо ввести некоторую терминологию.
Элемент из j5' (Й) называется распределением (обобщенной функ-
функцией) на Q. Говорят, что обобщенная функция и?$'(п) есть нуль
на открытом множестве йсЙ, если @>{Q)(u, ф)^(н> — 0 для каждой
фб^(Й) с виррфСЙ. Легко можно заметить, что если обоб-
обобщенная функция и ? j3' (Й) есть нуль на семействе открытых мно-
множеств {QjJAeA, то и на ii^J\ оно тоже нуль. Соответственно,
suppu — носитель и, определяется как дополнение объединения от-
открытых множеств, на которых и есть нуль (если и может быть
интерпретировано через /?L{oc(Q), то suppu = supp/). Естественно,
что две обобщенные функции иг, u26iS'(Q) называются равными на
Qcfi, если их — ы2 есть нуль на Q. Можно показать, что элемен-
элементы из %' (Q) являются обобщенными функциями, носители которых
являются компактными (см., например, [467, с. 320; 712, с. 256).
Если в условии 1) теоремы 4.6 можно зафиксировать т независимо
от К, то говорят, что и является обобщенной функцией конечного
порядка, и порядок обобщенной функции определяется как наимень-
наименьшее целое в этих условиях.
Можно показать (см., например, [467, с. 339; 712, с. 258]), что
если и есть обобщенная функция порядка т, то и ? jZ)m (Щ. Мно-
Множество обобщенных функций конечного порядка часто обозначают
через iZ)F (Q): оно является двойственным к пространству 0F (Q),
которое получается путем наделения Со" (Й) наименее точной тополо-
топологией, при которой вложение Co°(Q) в j3m(?2) непрерывно. Можно
показать, что S'(fi)c/(Q) (см. [467, с. 340; 712, с 259]). Обоб-
Обобщенные функции нулевого порядка называют мерами Радона и
среди них можно найти такие, которые могут быть представлены
через локально суммируемые функции, которые называют плотнос-
плотностями соответствующих мер. Обобщенная функция, соответствующая
функции f (х) = 1. есть не что иное, как обычная мера Лебега!
(Подробнее познакомиться с мерами Радона можно в [665]). Обоб-
Обобщенная функция и называется вещественной, если ^'(н)(ы, Ф>^;в> 6R
для каждой функции ф6.2)(?!) при ф:Й-»-Я. Вещественная обоб-
6 К. Байокки, А. Капело 65

щенная функция и называется положительной, если ^'(q>(
^ 0 для каждой функции ф 6 iZ5 (Q) при ф ;> 0.
Интересно отметить, что если и — непрерывный линейный функ-
функционал над 3) (й), которому можно приписать знак (как это дела-
делалось выше), то и может быть продолжен единственным образом до
линейного непрерывного функционала над ««значительно большим
множеством» jb° (Q). Этот результат (доказательство см. в [664,
с. 29]) разочаровывает, так как он показывает, что понятие поряд-
порядка в j3' {Q) не может быть продолжено вне поля мер). Наконец,
элементы из S' (R") называют медленно растущими обобщенными
функциями.
Следующим этапом в наших исследованиях будет изучение опе-
операторов, являющихся транспонированными к операторам, рас-
рассмотренным в примерах 4.1—4.6 в п. 4.2.1.
Произведение.
Пример 4.Г. Транспонированным к 'т|з6?С@(Q), $(Щ опе-
оператором является оператор *'$:$' (&)-»-$'(Q), определяемый как
| = ®'<Q)(«. Wmay D-57)
Если и может быть представлено через функцию /, то из D.57)
следует, что
= j / (х) Ф (дс) -ф М d* = ®'@)<Л1', Ф>«@). D.58)
и снова имеют обычное определение произведения двух функций.
Поэтому естественно записать D.57) в форме
Vue$'(Q) Уф 6.0 (?2) Л'(О)<т|», Ф>жа) A e'(Q) <«. фф>в») D-59)
и взять это выражение за определение произведения обобщенной
функции «6 5)' (Q) на функцию л|э 6 С00 (Q). Пространство $' (й) яв-
является тогда модулем над алгеброй С00 (Q).
Отметим, что нельзя определить оператор ' : jZ)' (Q) X $>' (Q) ->-
->jZ)' (Й) такой, что алгебраическая система ($' (Q), +, ">есть
кольцо и ' обобщает (в смысле, который мы только что изучили)
обычное произведение двух функций. Этот отрицательный резуль-
результат не является таким уж необычным, если только заметить, что
произведение двух функций из L1 (Q) не обязательно является
функцией из L1 (Q) ... .
Сдвиг.
Пример 4.2'. Транспонируя оператор %h6#(J0(Rn), 0(R")),
мы имеем оператор *тЛ 6 ^ E)' (Rn), iZ)' (R")), определяемый следую-
следующим образом:
66

Вспоминая предыдущий пример, естественно спросить: обобщает
ли 'тЛ оператор тЛ на j3' (R4)? Ответ — отрицательный. Действи-
Действительно, если и может быть представлено функцией /, то, чтобы гово-
говорить об обобщении, мы должны иметь
J f(x)q>(x-h)dx = ^ f(x-h)q>(x)dx Vq>ei0(Q), D.61)
R" R"
что неверно,— имеется изменение знака. Но именно это подсказы-
подсказывает, как понятие сдвига может быть обобщено на случай j3' (Q):
вместо тА мы должны транспонировать оператор т_Л (контргради-
(контрградиент по отношению к xh) и, таким образом, определить в качестве
ft-сдвига элемента и обобщенную функцию т_Л (и), которую впредь-
будем обозначать (при естественном не совсем правильном употреб-
употреблении обозначений) через xh (и).
Более точно, мы будем определять Л-сдвиг обобщенной функ-
функции и с помощью выражения
«1И«1Л- D-62)
Производная.
Пример 4.3'. Транспонированным к Da: 0 (Q)-* j3 (Q) является
оператор '/)*: jS' (Q) -»¦ jZ)' (Q), определяемый как
D.63)
Здесь мы встречаемся с проблемой, аналогичной той, которая
была в предыдущем примере: чтобы рассматривать 'Da как обоб-
обобщение производной на j3' (Q), в случае представимости и ? 0' (Q)
через функцию / (по крайней мере, класса С|а|...) необходимо
иметь соотношение
J Daf (x) Ф (х) dx = f / (x) D\ (x) dx УФ 6 iZ5 (Q). D.64)
Q Q
Однако, последовательное интегрирование по частям показывает, что
на самом деле мы имеем:
J DPf (x) <p(x)dx = (— l)lot| J / (x) Daq> (x) dx V<p 6 Sb (Q). D.65)
Q Q
Но из. D.65) видно, что можно ввести обобщение производной
посредством транспонирования оператора (— l))ot| Da (а не оператора
Da). Обозначая по-прежнему оператор '(— 1 )'а| Da через Da, получаем:
У/и <Е & (Q) та) чта) ( та)
D.66)
что и определяет производную, точнее оператор Da, в смысле $' (Q).
5* 67

Вообще, когда мы используем эту формулу, то говорим, что произ-
производная «осуществляется» на гладкой функции...
Из D.66) сразу же следует, что каждая обобщенная функция
бесконечно дифференцируема и частные производные являются ком-
коммутативными операторами.
Если и ? 0' (Й) может быть представлено через f ? Lloc (Q), то, не
делая различия, будем писать Da и или Daf. Однако, в общем случае
D^f не является функцией, а только лишь обобщенной функцией
(конечного порядка ^ | а |) — оно будет функцией и будет совпадать
с соответствующей обычной производной от /, если / ? Clal (Q).
Если Da есть новое определение производной, ф ? & (Q) и
¦ф ? С°° (й), то формула Лейбница по-прежнему справедлива.
Среди других свойств обычной производной, которые сохраняются,
упомянем следующее: если I есть открытый интервал из R и об.
общенная функция / 6 0' (/) такова, что Dkf = 0, то f может быть
представлена полиномиальной функцией степени ^.k — 1 — в част-
частности, если k = 1, то f может быть представлена постоянной (см.,
например, [467, с. 3281). Наконец, отметим, что производную от
обобщенной функции и 6 S6' (R") можно определить как предел
разностного отношения: частная производная от и по переменной
xh, I ^ k ^ п, определяется как
где ft = @,..., ftft,.... 0)? R" и, очевидно, предел берется в смысле
iZ5'(R") (см. [467, с. 330; 664, с. 77]).
Замена переменной.
Пример 4.4'. Транспонированным к °т|з6^@(й8), i
является оператор t°^>:0'(Q1)-^0'(Q2), определяемый как
Этот оператор не может быть взят в качестве обобщения оператора
т|з потому, что, если и может быть представлено через функцию
/iQi-i-C, то из D.68) следует выражение
( Ф (Ф (*)) ^ уФ 6 iS (Q2) D.69)
{у есть переменная в Q2, x — в Q^, левая часть которого не имеет
смысла.
Далее, рассмотренный в примере 4.2 сдвиг есть частный случай
замены переменной, и когда мы обобщаем его на обобщенные функ-
функции, то мы транспонируем x_h = т-', а не xh. Поэтому и в данном
примере мы должны попытаться транспонировать оператор V
G8

(а не °г|>) и определить '°т|з ' (u) — uoty. Теперь транспонированным
к °г|Г' ?{?(?> (Qj), # (fi2)) является оператор '°г|Г'6^E)'(Q2),
j3' (Qj)), определяемый как
D.70)
Если и может быть представлено через /:й2->-С, то аналог D.69)
принимает вид
С / (г|> (х)) Ф (х) Лк = { / (у) Ф ОТ1 (У)) dy. D-71)
4 4
что теперь имеет смысл, но противоречит D.45) (чтобы заметить
это, достаточно принять f = 1).
Подходящий способ обобщения оператора замены переменной
на обобщенные функции базируется на транспонировании операто-
оператора l/i^r^ (отметим, что модуль якобиана, соответствующего сдви-
сдвигу, равен I, и по этой причине мы его не вводили в рассмотрение):
Свертка.
Пример 4.5'. Транспонированным к *т|з: j3(Rrt)-»- j3(R"> явля-
является оператор '*т|з, определяемый как
'Ч) (и).
Обобщенная функция ('*г|з) (и) не может быть названа сверткой и
с if, так как если ы представима через функцию f, то обобщенная
функция ('*т|з) (ы) не соответствует f*ty. Действительно, мы должны
иметь
J / (*) (J Ф (У) У (х-У) dy\ dx = j Ф (х) / J / (у) i|) (*- у) dy\ dx
R" \R" / R" \Rrt /
V?6^(R"), D.74)
однако, вместо этого, как легко может быть замечено, мы имеем
R" W / R" \R" /
V(p 6 i3 (R"). D.75)
69

Введем новую функцию ср, определяемую как
Ф(*) = Ф(-*) VxtR", D.76).
и свертку обобщенной функции и?$' (R") с функцией г|з ? Со" (R") —
как обобщенную функцию ($)(и) (обычное смешение терминологик
б)
здесь, как и ранее, не создает неудобств):
W
D.77)
Заметим, что м*г|з является очень частным случаем обобщенной
функции. Действительно, можно показать, что она может быть
представлена через функцию класса C°°(R") (см., например, [86]);
обозначая вновь эту функцию через u*ty, можем записать ы*г|>€
6 С°° (R"). Следовательно, получаем:
(ы*г|>) (х) = тяП){иу, -Ч? (* - t/))^(Rn, = ^дап/и, т^ 0/)>^(Rn) D.78)
(где под иу понимаем, что и действует на г|з (х — у) как функция от у
при фиксированном *), что имеет смысл, так как ы*г|> есть функция.
Если в D.78) заменим г|з на ij?e (х) — ф (л:/е) e~" (при ф, задава-
задаваемой посредством A5.8)), то получаем последовательность беско-
бесконечно дифференцируемых функций, сходящихся к и в iZ/ (R") (см.,
например, [86; 712, с. 30] и доказательство теоремы 15.2).
Для каждого а 6 N" справедлива формула
Da (ы*г|з) = u*D°S|3 = Оаы.г|з, D.79)
т. е. для того чтобы продифференцировать сверточное произведение,
нужно лишь продифференцировать один из его сомножителей —
что обобщает хорошо известный результат.
Наконец, заметим, что в более общем случае, можно рассмотреть
сверточное произведение двух обобщенных функций и 6 $>' (R") и
v 6 8' (R") — для изучения этого вопроса можно рекомендовать
работы по теории обобщенных функций, в частности, [467, 712, 664].
Преобразование Фурье.
Пример 4.6'. Транспонированным к оператору 3 6 ^ (S (R"),
S (R")) является оператор '*& 6 # (S' (R"), S' (R")), определяемый как
1
D.80)
Сразу же получаем, что если и может быть представлено функцией
/65 (R"), то {<F (и) может быть представлено через 3 (/), и поэтому
естественно назвать '&" преобразованием Фурье в S' (Rn) В таком
70

случае, будем обозначать *&" просто как &" и определять как
D.81)
Важно упомянуть здесь, что в литературе часто можно найти за-
запись «'&" = 3"~\ — однако авторы такой записи определяют '#" как
сопряженный к 3~ оператор, а не как транспонированный.
Преобразование Фурье является изоморфизмом пространства 5' (R").
Мы упомянем следующие его свойства в силу их важности (имею-
(имеющие место в S(Rn), а также в L2(R"), когда только они имеют
смысл; заметим также, что оператор 5": 5' (R") -*¦ S' (Rn) является
расширением оператора & :L2(Rn)-»-L2(Rn)...): если u6 5'(R") и
<p€Co°(Rn), то
^ D.82)
*& (ф), D.83)
(du/dxh) = 2niyh& (и), D.84)
Ь^ D-85)
? (%hu) = е-™'»? (и). D.86)
Доказательства приведенных свойств можно найти, например, в
[712, с. 219, 220; 75, гл. 1].
Нормальные и локальные пространства. Чтобы закончить эту
главу, мы дадим важное определение.
Определение 4.8. Векторное подпространство Е из
i$' (Q) называется нормальным пространством обобщенных функ-
ds
ций, если JS (й) а*.Е cr-jS' (й) и локальным пространством обоб-
обобщенных функций, если Е является модулем над алгеброй Cg° (Q).
Заметим, что пространство, двойственное к нормальному про-
пространству обобщенных функций, также является пространством
обобщенных функций (хотя не обязательно нормальным). Все про-
пространства на диаграмме 4.3 являются локальными и, за исключе-
исключением L°°(Q), L?omp(Q) и Ьи>с(Щ, — нормальными. Примером нело-
нелокального пространства является пространство функций из Ll(Q) со
средним значением, равным нулю.
Распределение Дирака и функция Хевисайда.
Замечание 4.1. Среди обобщенных функций, которые не
могут быть представлены через локально суммируемые функции,
мы упомянем (в силу его важности) б-распределение Дирака. Мы
будем называть распределением Дирака, сосредоточенным в точке
*o€R"> обобщенную функцию fi;to€#'(Rn). которая каждой функции
Ф 6 ?> (R") ставит в соответствие 8*0 (ф) = ф (*0).
Если п = 1, то 6Х„ может быть представлена как производная
в смысле обобщенных функций от функции Хевисайда Н (х — *0) =
71

= Х(*..+оо). В общем случае, в R", обобщенная функция 6*0 может
быть представлена как прямое произведение производных в смысле
обобщенных функций от Н (xt — xOl), i = 1, ..., п. (Прямое про-,
изведение двух обобщенных функций является очевидным обобще-
обобщением прямого произведения двух функций, которое, например,
функциям / : R -»- R, g : R -> R ставит в соответствие функцию
/ <g> g : R2 -»¦ R, определяемую как (/ ® g) (х, у) = / (х) g (у).)
Заметим еще, что & A) = б0.
Ультрараспределения. Классы Жеврэ.
Замечание 4.2. Грубо говоря, чем «меньше» топологи-
топологическое пространство, тем «больше» двойственное к нему. Естествен-
Естественно тогда подумать о расширении понятия обобщенной функции
(распределения), налагая дополнительные ограничения на про-
пространство основных функций: таким образом приходят к понятию
ультрараспределения.
Особенно важными с теоретической точки зрения являются ульт-
ультрараспределения Жеврэ (см. [23, 24, 550]): если s > 1 есть веще-
вещественное число, то ультрараспределение Жеврэ класса s в Q есть
элемент пространства 5b\ (Q), (сильно) двойственного к простран-
пространству JSS (й) функций Жеврэ класса s в й, которое является индук-
индуктивным пределом при т —>- оо семейства банаховых пространств
sup
Ы
K (ii) = sup J—h s -
\a\=h m
(сравните с рассуждениями, следующими за определением 4.3), где
Lm -*¦ оо — возрастающая последовательность вещественных по-
положительных чисел, Кт — возрастающая последовательность
множеств, содержащих й.
Приложения и другие типы ультрараспределений можно найти
в книге [550] и библиографии к ней, другие расширения понятия
обобщенной функции и их приложения в физике — в [675].
Глава 5. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
5.1. О необходимости введения
новых функциональных пространств
Как мы уже говорили (раздел 1.1) в связи с понятием корректно
поставленной задачи, одной из основных целей функционального
анализа является построение пространств, в которых определен-
определенные задачи могли бы быть корректно поставленными. Кроме того,
на примере (задача 1.0) мы видели, что классические пространства
72

(под этим неясным термином мы подразумеваем пространства не-
непрерывных функций, дифференцируемых функций и т. д.) могут
и не быть подходящими для этой цели.
Теперь мы построим семейство пространств, которые создадут
подходящую основу для формулировки большого количества задач.
Зачем новые пространства? Не просто построить функциональное
пространство; более того, некоторые из используемых нами про-
пространств, как мы увидим, не будут являться пространствами функ-
функций, понимаемых в обычном смысле... Поэтому нам нужен «путево-
«путеводитель». И чтобы сориентировать себя, мы изучим «патологию» клас-
классических пространств, другими словами, зададим следующий
вопрос: почему эти пространства являются неудобными для
постановки многих задач, которые возникают, например, в физике?
Классические пространства в анализе прошлого определяются
на основе понятия производной, которое само является весьма
тонким. Так, в С0 (R) производная, в смысле оператора, не опре-
определяется всюду, в то время как в С1 (R), где она уже всюду опре-
определяется, она не удовлетворяет самому элементарному свойству
непрерывности: если {/т} есть последовательность функций из
С1 (R), которая сходится равномерно к функции /, то не всегда / ?
? С1 (R), и если f ? С1 (R), то не обязательно /' является пределом
последовательности {f'm} (вспомним, например, последовательность
{/ш}> /т (х) = sin mxlVmy которая равномерно сходится к / = 0).
Однако недостатки понятия производной более очевидны в силу
неперестановочности порядка дифференцирования; мы укажем на
следствие этого факта. Предположим, что двумерное физическое
явление моделируется с помощью уравнения :
д2и/дхду = 0 в R2, E.1)
где и=*и(х, t/):R2-»-R, дУдхду— оператор, как обычно, опреде-
определяемый с помощью равенства
дхду
а/*ч E2)
дх у ду ) у '
(если правая часть выражения имеет смысл). Теперь отметим, что с
точки зрения физики мы также можем вместо E.1) рассмотреть
уравнение
д2и/дудх = 0 в R2. E.3)
где дги1дудх определяется аналогично д2и/дхду. Возвратимся к
E.1). Если мы формулируем задачу в пространстве таких функций
и ? С° (R2), что существуют /, g ? С0 (R2), причем / = ди/ду и
g = dfldx (мы не будем беспокоиться о замыкании задачи...), то
видим, что каким бы способом ни задавались k 6 С° (R) и h 6 С1 (R),
функция
ы (дг, у) =-*(*) +Л (jj) E.4)
является решением E.1). Однако, вообще-то, и не является реше-
решением E.3I
73

Таким образом, мы нашли необходимый нам «путеводитель»:
поскольку мы не можем избежать понятия дифференцирования при
изучении дифференциальных задач, то нам надо модифицировать
его. Нам необходим «оператор дифференцирования» с широкой об-
ластью определения, с хорошими свойствами непрерывности, кото-
который не зависел бы от порядка, в котором берется «.производная»,
и который, чтобы быть действительно полезным, давал бы произ-
производную, совпадающую с обычной производной на классе «гладких»
функций.
Мы уже имели такой оператор: дифференцирование в смысле об-
обобщенных функций. Является ли тогда пространство обобщенных
функций тем, что мы ищем? Ответ лишь частично утвердительный:
это пространство «слишком большое» и, хотя это может быть пре-
преимуществом с точки зрения результатов о существовании, несом-
несомненно имеет недостатки при изучении вопросов, касающихся един-
единственности и гладкости. В действительности нам нужны определен-
определенные подпространства из пространства обобщенных функций, и цель
этой главы — определение и изучение важного семейства подпро-
подпространств из 0' (й): пространств Соболева Ws'p (й) (часто они обо-
обозначаются как Lsp(Q),Wsp(Q)).
Слабая и сильная производные. Заметим, что пространства Собо-
Соболева были введены в анализ прежде, чем была основана теория об-
обобщенных функций, исходя из понятия слабой производной (см.
[70, 71, 678]), которая также является частным случаем производной
в смысле обобщенных функций.
Говорят, что функция /6 LP(Q) является а-ой слабой производ-
производной от u?Lp(Q!) (в смысле пространства L" (й)), если f/(*) X
X<p(x)dx = (— 1)||Х|С u(x)Daq(x)dx VcpбCi°" (Й)(см. D.66)). Слабая
Q
производная, если она существует, единственна. Связанным с поня-
понятием слабой производной является понятие сильной производной:
функция g(zLp(Q) называетсяа-й сильной производной omu?L'(й\
(в смысле_ L" (й)), если существует такая последовательность {uTO}
из С|а| (О), что ит^и в L"(Q) и Daum^g в LP(Q).
Если сильная производная существует, то слабая производная
также существует, и они совпадают (следовательно, сильная произ-
производная, если она существует, единственна); обратно, при определен-
определенных предположениях о гладкости на О, можно показать, что если
слабая производная существует, то также существует и сильная
(и эти производные совпадают) (см. [409, 575]) — в дальнейшем мы
обсудим этот вопрос.
Другие классы пространств. Существует много других семейств
пространств, которые важны при изучении дифференциальных за-
задач и которые тесно связаны с рассматриваемыми здесь: простран-
пространства бесселевых потенциалов или пространства Лебега, простран-
пространства Бесова, весовые пространства, неизотропные пространства и др.
74

Относительно этих пространств см. [19, 556, 56, 57, 72, 8, 67, 81,
82, 34, 124, 410, 515, 78] (кроме этого, существует обширная библио-
библиография в работе [14]). Для более детального изучения пространств
Соболева см., например, [415, 416, 542, 543, 544, 545, 546, 547,
548], для гильбертового случая — [49, 714].
Для облегчения понимания пространства Соболева, относящи-
относящиеся к Rn (Ws'p (Rn)) и пространства, относящиеся к произвольному
открытому множеству QcR"(Ws'p(Q)) будут вводиться раздельно;
кроме того, по тем же причинам, мы будем рассматривать раздельно
случаи «неотрицательного целого s» (s 6 N), «вещественного положи-
положительного нецелого s» (s 6 R+\N) и «вещественного и строго отри-
отрицательного s» (s6R_\{0}).
5.2. Пространства W*<p(Rn)
Пространства Wk'"(Rn), fc?N. Сначала мы определим простран-
пространства Соболева с неотрицательным целым s, точнее (принимая тради-
традиционную систему обозначений, в которой i, j, k, I, m, n — целые
числа), пространства Соболева с целым неотрицательным k.
Определение 5.1. Пусть k^fi и р?[1, оо]. Мы обозначаем
через HT'p(Rn) векторное пространство {ы 6 #' (Rn) :Daue L" (R"),
| a | ^ k}, с нормой
(с обычным видоизменением выражения для нормы при р = оо).
Заметим сначала, что с векторной структурой, индуцируемой
пространством $'(Rrt), Wk'p (Rn) является векторным пространством,
для которого E.5) действительно определяет норму. Если к = 0, то
мы очевидным образом имеем W°'"(Rn) — L"(Rn), в общем
случае имеем Wk'p(R") с Lp(Rn). Естественно тогда спросить»
имеет ли топология в Wk'"(Rn) те же самые характерис-
характеристики, что и топология в Lp (R") (отметим также, что топология в
Wk'p (Rn) является наименее сильной из топологий, для которых
операторы Da:Wk'p(Rn)-+Lp (Rn), |cx|^ являются непрерывными)'
Утвердительный ответ дается следующей теоремой.
Теорема 5.1. Пространства Wk-p(Rn), &6N и ре[1,оо] яв-
являются банаховыми; если р6A.°°), tno они рефлексивны.
Доказательство. Сначала покажем, что пространства
Wk'"(Rn) полные, т. е. если {ип} есть последовательность Коши в
W '"(R"), то существует такая функция щ?№к'р(Rn), что мт-»-м0 в
№fe'p(Rn). То, что{мто} есть последовательность Коши по отношению
75

к норме E.5), означает:
Ve>0 3mN Vm,/6N m >т => ||ит — ит+,
Ve, E.6)
и подразумевает, что последовательности {Daum}, \ a | ^ k являются
последовательностями Коши в V (R"). Поскольку Lp (Rn) полное, то
мы можем найти для каждого а, |а|^&, функцию Ua?Lp(Rn)
такую, что Daum^>-u<x, в L"(Rn). Полагаем ы„ = %>,...,о>- Чтобы по-
показать, что W '" (R") полное, достаточно доказать, что иа = Dau0,
|a|<ft. А поскольку um->Uo в Lp(Rn) и L^R^cr^^'iR"), то
заключаем, что ит -+ щ в ^Й' (R"), а отсюда с учетом непрерывнос-
непрерывности операторов Da в 0' (R"), следует, что Daum-+Daua в $'(R")-
Таким же способом мы можем показать, что Lfum^-Ua в 2)' (Rn),
и так как это пространство отделимое, то предел является единст-
единственным, поэтому ыа = Dau0.
Для доказательства рефлексивности пространства ^'"(R") при
р€A> °°) (если р— 1 или р = оо, пространства Lp(Rn) сами нере-
нерефлексивны...) мы отсылаем читателя ко второй части доказательст-
доказательства теоремы 5.3, где доказывается более общий результат для
пространств с дробными индексами. ?
Пространства Ws'p(Rn), «6R+\14. Здесь мы рассмотрим прост-
пространства Соболева с вещественным положительным нецелым s.
Определение 5.2. Пусть s?R+\N и р?A,<х>). Полагая
s = [s] + а при [s] = max {k 6 N : k < s) и
dc.a(u) = |Dau{x)- Dau (y) |/||x-y \\ln/p)+a, E.7)
мы обозначаем через ^'"(R") векторное пространство {и ? $'(Rn):
ueWlslP(Rn) и do,a(u)eLp(Rn x Rn), |a| = [s]}, с нормой
2 ^RxR)] E.8)
lo;=[s] J
Норма da,a(") в Lp (Rrt X R"), т. е. р-й. корень из интеграла
j j \da.a<U)\Pdxdy, E.9)
R" R"
связана с понятием дробной производной и по этой причине говорят,
что элементы из Ws'p (R") имеют производные дробного порядка,
суммируемые в р-и степени. Мы можем также рассмотреть прост-
пространства ^''(R") и tfs'°°(Rrl) при нецелом s: последнее пространст-
пространство при естественной интерпретации E.8) при р — <х>, может быть
отождествлено с Clsl'°(R'') (в связи с этим, см. [626, с. 286]).
76

Теорема о замкнутом графике. Прежде чем для пространств
Ws'p (R") с дробным s сформулировать результат, аналогичный
теореме 5.1, мы обсудим понятие замкнутого оператора.
Определение 5.3. Пусть ? и f- два топологических
пространства и / : D с Е ->¦ F — функция, определенная на под-
подмножестве D из Е. Множество
G(/) = {(*,/(*))?? XF:*6D} E.10)
будет называться графиком /, и мы будем говорить, что / замкнута,
если G (/) является замкнутым подмножеством из пространства Е X
X F, в котором топология образована произведением топологий.
Это понятие отличается от аналогичного понятия в случае от-
открытой функции. Мы говорим, что / : D с E ->¦ F является от-
открытой, если она преобразует открытые множества из D (с топо-
топологией, индуцируемой Е) в открытые множества из F (эти два по-
понятия, однако, близко связаны; см., например, [469, с. 58]).
Наибольший интерес определение 5.3 имеет в случае, когда Е
и F являются топологическими векторными пространствами,
D — векторным подпространством из Е и / — линейным оператором
(при этих предположениях G (/) есть векторное подпространство
из ? X F). В этом случае имеется интересная связь между свой-
свойствами «/ замкнута» и «/ непрерывна». В связи с этим мы сначала
докажем основной результат для частного случая, когда Е и F —
банаховы пространства.
Теорема 5.2 (теорема о замкнутом графике). Пусть Е и
F — два банаховых пространства {соответственно с нормами ||*||в,
\\-\\f) и f : Е ->¦ F — линейный оператор; тогда условия
1) / непрерывен,
2) / замкнут,
эквивалентны.
Доказательство. Сначала покажем, что 1) =Ф- 2). Здесь
достаточно заметить, что поскольку Е и F являются нормирован-
нормированными пространствами, то факт замкнутости / может быть описан в
терминах сходимости последовательностей: / замкнут тогда и только
тогда, когда для каждой последовательности {ит} элементов из Е
условия um ->- ы0 и / (uj ->- v0 предполагают, что v0 = / (ы0), —
Е F
что является необходимым условием непрерывности /. Эта часть
теоремы верна и при более общих условиях: достаточно, чтобы
Е и F были топологическими векторными пространствами и F было
отделимым — доказательство в этом случае проводится аналогич-
аналогичным образом, путем выбора сетей или фильтров вместо последо-
последовательностей (см., например, [89]; другое доказательство см. в
[469, с. 34]).
Теперь мы покажем, что 2) =ф- 1). Введем в Е вторую норму, так
называемую норму графика, для каждого и 6 Е мы полагаем
I|f. E.11)
77

Если мы докажем, что
||?, E.12)
то мы закончим доказательство, так как из E.11) и E.12) следует,
что || / (и) \\F ^(М — 1) || и ||б, поэтому / непрерывен. Теперь из
E.11) мы всегда имеем
VutE ||и||?<|||и|||?> E.13)
поэтому остается лишь доказать эквивалентность норм || -\\е, \]\-)\\е-
Для этой цели мы воспользуемся теоремой Банаха, согласно кото-
которой две банаховы нормы на векторном пространстве такие, что
одна больше другой, обязательно являются эквивалентными (см.,
например, [332, с. 421]. Чтобы проверить условие этой теоремы,
достаточно показать, что ||| • \\]е есть банахова норма, т. е. что Е
с этой нормой — пространство, которое мы будем обозначать во
избежание недоразумений через Е*, является банаховым простран-
пространством. Пусть тогда {ит} — последовательность Коши в Е*, т. е.
такая последовательность, что
Ve>0 3/ngN Vm, /?N
m>m =*» ||| tir,, — tim+i ||fE — || и» — um+[ \\E +\\f(uj — f (um+t)\\F<e.
E.14)
Докажем, что существует такой элемент ио?Е, что ыт-»-ы0. Из
E.14) следует, что {i^} и {/(ит)} являются последовательностями
Коши в Е и F соответственно, и поскольку эти пространства бана-
банаховы, то существуют такие и?Е и v?F, что ыт^-ы и ffuJj-^-w.
Е F
так как / замкнут, то v~f{u)\ следовательно мт-»-м = м0. Вторая
часть теоремы также остается справедливой при более общих
предположениях относительно Е и F (см., например, [89, гл. 6;
469, гл. 3]). ?
В связи с понятиями структур и операторов линейного типа ин-
интересно следующее понятие, которое является более общим по
сравнению с понятием замкнутого оператора: / : D с Е -*¦ F назы-
называется линейным предзамкнутым оператором, если G (/) есть гр: •
фик линейного оператора /, который мы будем называть сильным
замыканием или замыканием по Фридрихсу оператора /. Переход
от линейного оператора / к его замыканию в некоторых случаях
является важным способом осуществления обобщений; он срав-
сравним и связан с процедурой транспонирования (здесь уместно вспом-
вспомнить понятия слабой и сильной производных). Наконец, заметим,
что существует взаимосвязь между теорией меры и теоремой о зам-
замкнутом графике (см. [665, с. 160]).
Снова о пространствах Ws'p (Rrt), s 6 R+\N. Вернемся к изуче-
изучению пространств Соболева.
78

Теорема 5.3. Пространства Ws'D(Rn), s6R+\N и реA,оо),
являются рефлексивными банаховыми пространствами.
Доказательство. Оператор
б5'": V (R") -* [ <й' (R")]^ X [«Й' (R" X R" - A)][sr, E.15)
где А = {(д;, д;) 6 R" x Rn:xeRn}, [s]*5 = cardfaeN" : |а|< [s]} и
[s]= = card {а 6 N": | a | == [s]} (если [s]= = 0, то полагаем б0'" s
L°(R.n)-+0'(Rn x Rn —А)), который каждому u?Lp{Rn) ставит в
соответствие 6s'" (и) = (D(lp0 V ... ,Dau da,a(u), ...) является
линейным и непрерывным и поэтому замкнутым (отметим, что про-
пространство значений является отделимым). Полагая
Ds'p = {и 6 LD (Rn): Dau 6 Lp (R"), | a | < [s] и
d0M (u) € Lp (R" X R"), I a | = is]}, E.16)
определим, исходя из 6S>P, оператор
^" E.17)
являющийся, как легко можно заметить, также линейным и замкну-
замкнутым. Можно непосредственно заметить, что Ds'°, наделенное нормой
графика, соответствующей ds'°, является полным пространством, ко-
которое совпадает с Wip(Rn). Таким образом, мы доказали, что
Ws'p (R") есть банахово пространство. Пространство WSip(Rn) может
быть рассмотрено как график G(ds'D) с топологией, индуцируемой
пространством [Lp(Rfl)][s]^x [Lp[Rn x R")]ts)=; в этом случае мы
имеем дело с замкнутым подпространством из рефлексивного прост-
пространства, которое поэтому также рефлексивно (см., например, [698,
с. 192; 27 с. 67]). ?
Пространства WS'P(R"), «?R_\{0}. Теперь мы изучим простран-
пространства Соболева с вещественным и строго отрицательным s.
Определение 5.4. Пусть s?R-\{0} и /?6A,оо). Мы обо-
обозначаем через ^'"(R") двойственное пространство к W~s'p'(Rn), где
Р р(р)
Для этих пространств доказательство теоремы, аналогичной тео^
ремам 5.1 и 5.3, получаем сразу же, так как пространства, двой-
двойственные к рефлексивным банаховым пространствам, являются
рефлексивными. Однако определение 5.4 поднимает новую проб-
проблему: какими характерными свойствами обладают элементы так
определенных пространств? Действительно, если для s :> 0 из оп-
определений 5.1 и 5.2 следует, что мы имеем дело с обобщенными функ-
функциями, то это не так для s < 0. Следующая теорема, которая пока-
показывает, что Ws'p (Rn), s^O и рбA> °°) есть нормальное про-
пространство обобщенных функций и, следовательно, что к нему двой-
79

ственное является также пространством обобщенных функций, ре-
решает эту проблему.
Теорема 5.4. Если s — вещественное неотрицательное число
и ре (hoo), то 0(Rn) плотно в Ws'p (R").
Доказательство. Поскольку Ws'p(R") — нормальное прост-
ds
ранство, то, чтобы показать, что jZ)(R") с: ^'"(R"), необходимо лишь
показать, что 0 (R") секвенциально плотно в Ws'p (Rn), т. е. что
каждый элемент u?Ws'p(Rn) может быть аппроксимирован в тополо-
топологии этого пространства элементами из 0 (R").
В доказательстве мы будем использовать методику срезки и регу-
регуляризации, которая очень важна в процессе построения аппрокси-
аппроксимирующих последовательностей.
1. Срезка. Возьмем и 6 №s>p (R") и для каждого вещественного
числа г>0 построим шар В (О, г) = {x?Rn : || jc|| <r} и функ-
функцию фг ? 0 (R") такие, что 0 ^ фг (х) < 1, фг (х) = 1, если
х?В@,г) и ф, {х) = 0, если х? Rn\B@,2r). Произведение ыг=«фг6
g Ws'p (Rn) мы будем называть срезкой функции и. Заметим, что
простое сужение и на В @, г) и последующее продолжение сужения
нулем вне В @, г) (т. е. рассмотрение функции иТ = ихВ(о,Г) гДе
5Св<о,г) — характеристическая функция шара В @, г)) не сохраняет
класса гладкости и — это достигается посредством введенной опе-
операции срезки.
Семейство {иГ} сходится к и при г->оо в норме Ws"p (Rn), по-
поскольку
E-18)
стремится к нулю при г -> cxj (так как для || х || <С г 1 — фг = 0).
Таким образом, мы имеем доказательство того, что множество функ-
функций из Ws'p (Rn) с компактными носителями, плотно в WSfP (Rn). Те-
Теперь нам осталось только показать, что каждая функция из Ws'"(Rn)
с компактным носителем может быть аппроксимирована функциями
из jZ)(R"). Для этого мы используем регуляризацию.
2. Регуляризация. Пусть и 6 Ws'p (Rn) — такая функция, что для
фиксированного г имеем supp и а В @, г). Пусть ие — последователь-
последовательность е-регуляризаторов функции и в смысле определения 15.1. Тог-
Тогда доказательство теоремы 15.2 может быть автоматически примене-
применено к доказательству того факта, что ие ->• и в Ws'p (R"). ?
Это доказательство справедливо для пространства Wk' (Rn),
AtgN, но неверно в случае Wk'a> (RB) (вспомним, что С° (R") не плот-
плотно в L°°(R") = W°'M (ТС)...). Теорема показывает, что мы можем оп-
определить пространство №SlP(Rn), s?[0,oo) и />6A,оо), как попол-
пополнение 0 (R") в норме E.5) или в норме E.8), в зависимости от
80

того, что s?N или s(JN (это обстоятельство обобщает так называе-
называемое определение пространств L"(R") через процесс пополнения).
Следующая теорема характеризует также обобщенные функции,
которые являются элементами из (ftPfc'"(Rn))', &?N и /?6A. °°). т. в.
характеризует (в частности и для случая целого индекса) элемен-
элементы пространств, введенных абстрактным способом с помощью опре-
определения 5.4.
Теорема 5.5. Обобщенная функция Т принадлежит
{Wk'p (Rn))' = W~k-"' (R"), A6N и /»6A,оо), тогда и только тог-
тогда, когда Т может быть представлено как
Т= %°а8а> E-19)
|а|<*
где gaeLp'(Rn).
Доказательство. Сначала мы покажем, что еслиТб$' (R")
имеет вид E.19), то Т 6 W~k'"' (R"). По определению равенства в
0'{R") имеем
Ф> = 2 <^«. Ф> = 11
- I)'"' \ga^)^{x)dx. E.20)
Отсюда с применением неравенства Шварца — Гёльдера следует, что
E.21)
где с — постоянная, не зависящая от <р. Из плотности .0(R") в
Wk'p (Rn) следует, что Т есть линейный непрерывный функционал
над Wk'p (R").
Обратно, покажем, что если T?(Wk'p(Rn))', то Т может быть
записана в виде E.19), откуда в частности следует, что Т является
обобщенной функцией конечного порядка ^.k (разложение E.19),
вообще говоря, неединственное). Мы говорили в доказательстве тео-
теоремы 5.3, что Wk'"(Rn) может быть рассмотрено как график G(dkl")
оператора dk-p: DKp -+ [Lp (R")]^. На G{dk'p) мы определяем функ-
функционал L по формуле
L ((о, dk-p (w))) = (T, v) Vw ??>*•". E.22)
Этот функционал очевидно линеен и из непрерывности Т в Wk'p (R")
следует, что он также непрерывен. Из теоремы Хана — Банаха
тогда следует, что мы можем его расширить до линейного непрерыв-
непрерывно го функционала над [L"(R")]ft . При условии, что двойственное
в К. Байокки, А. Капело 8]

пространство к [Lp (R")]*^ может быть отождествлено с [Lp* (R")]ft ,
существует kr* таких функций ga6?p*(R")> что для каждого v 6
6 Wk'p (R") и, следовательно, в частности, для каждого ф 60(R") <= ¦
czWk>p(R") имеем
(Г, v) = L ((v, dk'p (v))) = J ? ga (x) Dav (x) dx; E.23)
из E.23) получаем тогда E.15) при ga = (— l)|a|ga. D
Гильбертовы пространства Соболева. Если р = 2, то пространст-
пространства W5'2 (R"), s 6 R, имеют особую структуру, отражающую особую
структуру пространства L2 (R").
Теорема 5.6. Пространства WSi2(R"), s 6 R. являются гиль-
гильбертовыми пространствами: со скалярным произведением
«>ОУ)
если s = k g N; со скалярным произведением
|a|=[s]
s 6 R+\N; со скалярным произведением, связанным с соот-
соотношением двойственности, если s ? R_\{0}.
Доказательство. Если s^O, то достаточно показать, что
нормы E.5) и E.8) удовлетворяют равенству параллелограмма
II« + " Ilia,* + 'I" ~ v K^m = 2 (|| и \\^П) + \\v ||;s,2(Rn)) E.26)
и что скалярные произведения E.24) и E.25) удовлетворяют соот-
соотношению
( \ ( II + V ^ II 11^) +
+ 4" (II " + v К*.,(ЯП) -Wu-v ||;s>2(Rn) E.27)
(см., например, [35]). Если s<0, то достаточно отметить, что
пространство, двойственное к гильбертову пространству само являет-
является гильбертовым. D
Функции из Wk'2(Rn), k?N называются функциями с конечным
интегралом Дирихле, поскольку норма E.5) может быть разложе-
разложена на сумму из k интегралов:
^1 2 lDau(X)Dau(x)dx F.28)
{1 |Ы
(см. [119, с. 401]).
82

Пространства Hs'p(Rn). Теперь мы дадим интересное описание
пространств Ws'2(Rn), s^O, базирующееся на преобразовании Фурье.
Определение 5.5. Пусть sGR и /?6A. °°)- Мы будем обо-
обозначать через Н*'р (R") пространство медленно растущих на беско-
бесконечности обобщенных функций таких, что <F~X [A + || г/||2)s/2^m1 6
6LP(R"), и для которых определена норма
== II ^ К1 + И у UV^l IW»,- E-29)
Эти пространства являются так называемыми пространствами бессе-
бесселевых потенциалов (см. [119, 92]). Они—рефлексивные банаховы
пространства и, если р = 2, они к тому же гильбертовы.
Цель следующей теоремы — показать, что пространства Ws'2 (Rn)
и Hs'2 (Rn), s ;> 0 изоморфны (заметим, что если р =* 2, то мы мо-
можем исключить #"""' в определении, так как & есть изометрия в
Z/4R")).
Теорема 5.7. Яг/сть s>0; «GW^fR") тогда ы только
тогда, когда A +1| i/||2)s/2yQ/N?2(Rn). /Осшг того,
(Rf!) E-30)
эквивалентна норме E.5) при /? = 2 или ко/ше E.8) при р = 2,в
зависимости от того, целое ли s.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай s = k?N. Если
u6^'2(R"), то ?>аы6L2(R"), |o|<ft, поэтому, применяя D.84),
имеем
E.31)
/=«
п
и, полагая f~I л:// = л^2, получаем
E.32)
Учитывая первую часть двойного неравенства
о + и и*)*< 2 **<сA + н^n2)ft> E-33)
где с — подходящая константа, приходим к соотношению
J О + \\У И2)*1«(«/) I2 ^ < J 2 (гп)^2» | и {у) |2 dy < оо E.34)
цп Rn |
(вспомним, что BяJа^1), которое означает, что u?#*'2(Rn) и
6* 83

^u II ft 2 n ^ IIu II *,2 n • Обратное доказывается аналогичным спо-
способом. Пусть теперь s ? R+\N. Здесь нам достаточно рассмотреть
лишь случай 0<a = s<l. Мы увидим, что если u?Wa'2(Rn),
то и 6 Н"'2 (R"). Из второй части двойного неравенства
о,(\+\\у |f)<0 + II 0 И2)" <с2A + ||у |f), E.35)
где Ср с2 — подходящие постоянные, следует, что
J A + IIУ ИТI и (У) 12Ф < с2 ( J | и (у) \Чу + J|| у \\2аШ |2 dy). E.36)
R" R" R"
Поскольку, согласно формуле Планшереля, мы можем заменить
и на и в первом члене правой части E.36), то нам необходимо лишь
показать (рассматриваем E.8) с [s] — 0 и р = 2), что существует
постоянная с такая, что
R" R" R"
или, подставляя для удобства у — х + г,
f 1 Т-~у№ dydx=tl ГЧ.У»' dxdz=
R" R" R" 1
=*c§\\y\\2a\u(y)\2dy. E.38)
R"
Из формулы для обратного преобразования Фурье
и (х)=BяГп/2 j с2"'^;; (у) dy E.39)
R"
и из D.86) мы имеем
и (х + г) = x-zu (х) = Bя)~"/21 е2л1<х'0е2Ш<г-«>и (у) dy, E.40)
R"
поэтому
R"
Из E.41) и D.52) мы получаем равенство
\и (х + z)-u(x)\4x = j \и(у)\*\ е2лНг>у) - 1 \2dy, E.42)
R" R"
тогда можем последовательно записать:
R" R" R« R"
84

(f I" (</)
-11'*) «a
R" R"
1
К
R"
" /. E.43)
[\u
R"
где мы положили
Ц?-Л- E-44>
Подставляя в E.44)
t = z\\y\l, E.45)
мы получаем (модуль якобиана преобразования E.45) равен
выражение
1' ^. E-46)
которое, что легко может быть замечено, не зависит от у; значит,
мы доказали E.37) с с*=с{у). Таким образом, мы можем сказать,
что Me#°'2(Rn) и что \\и\\наЛ{кП<\\и\\у,а,ЧкП)- Обратное может быть
полностью доказано аналогичным способом. П
Этот результат верен также для s<0, и впредь мы будем обо-
обозначать пространства W*'2 (R") и Hs'2 (Rn), s 6 R, просто через #S(R").
Используя теорему Михлина о мультипликаторах в пространстве
^¦(LP(R")) (см., например, [204, с. 135; 86, 368, с. 152]), мы мо-
можем доказать более общий результат о том, что пространство
Wk'p (Rn) изоморфно пространству Hk'p (R") для каждого /??A,оо)и
k?Z. С другой стороны, можно показать, что для каждого s?R и
каждого />60> °°)
Ve > 0 Я8+8'р (R") с^ U7S'P (R") с=^ Я8-8'" (R") E.47)
(см. [544, с. 66]); это означает, что класс пространств Соболева
является смежным (в смысле Гальярдо, см. [417, 418]) классу бес-
бесселевых потенциалов. Функция я (у) =¦ A +1| у\\*У, присутствую-
присутствующая в E.29), является простейшим случаем весовой функции. Если
выбрать другие весовые функции (из подходящих классов, см..
89

например, [86; 191), то можно получить так называемые весовые
пространства Г
Теорема вложения Соболева. Описание пространства Ws'2 (R"),
приведенное в теореме 5.7, дает нам интересный результат: если
s>n/2, то A +|MI2r5/26?2(R"). и поэтому для каждой / 6 Ws>2 X
X(Rn)=#s(R") имеем f(y) = A + \\у\\ТФ{\ + II У II2)S/2/ Ы€
6L4(R")> что подразумевает /6C°(R") (действительно, если feV-^C),
то /?C°(R ) — см., например, [65]). Таким образом, мы показали,
что Ws'2 (R") а С0 (R"), если s > л/2. Это является частным случаем
более общего результата, называемого теоремой вложения Соболева,
которую мы вскоре рассмотрим. Но сначала кратко проанализируем
значение вложения Ws'2 (Rn) dC°(R"). Если / 6 №s'2 (Rn), s>0, то
/ является функцией, определенной всюду за исключением множест-
множества меры нуль или, более точно, / есть представитель класса [/]
функций, которые равны почти всюду. Поэтому принадлежность / к
C°(R") может быть интерпретирована так: существует /6 [Я такая,
что /6C°(R"). С другой стороны, включение /6C°(R") показывает,
что слабая гладкость (/ ? Ws'2 (Rn)) и классическая гладкость (/6
6C°(R")) намного больше взаимосвязаны, чем это можно было по-
подумать априори: увеличение «количества» гладкости сопровождается
улучшением «качества» самой гладкости.
Теорема 5.8 (теорема вложения Соболева). Еслик^Х
есть целое и />6П»оо), то справедливы следующие вложения:
(I) Если n>kp, то WktP (Rn) <=_>L4 (Rn) с q = np/(n — kp).
В общем случае, если m6N, m^.kun>{k — m)p, mo Wk'"(Rn)<=->
c^ Wm-q (Rn) с q = np/(n -ik — m)p).
(II) Если n = kp, mo WktP (R") <=_, L?oc (Rn) для каждого q 6[1 ,oo).
(III) Если n < kp, mo Wk'p (R") c^ С°'й (Rn) при следующих зна-
значениях ц: ц = k — {nip), если k — {nip) < 1; ц — произвольное при
ц < 1, если k — {nip) = 1; ц = 1, если k — {nip) > 1. В общем слу-
случае, если mgN, m<ft к n<(t- m)lp, то Wk'p (R") с - С*1* (Rn)
при значениях ц: ц = А — m — (nip), если k — т — (л//?) < 1; ц —
произвольное при ц<1, если ife—-m — {nip) = 1; ц=1, ес^ы
ft — m —{nlp)> 1.
Доказательство этой теоремы достаточно длинное и содержит
некоторые технические трудности: см. [618, с. 72; 415, с. 120 и
136; 528, с. 37; 91 с. 97J (в последней книге рассматриваются более
общие результаты, касающиеся вложения пространств типа Ws'"(Rn)
в пространства типа W1'4 (Rfc), k ^ п).
Теорема справедлива даже, когда k и т — произвольные веще-
вещественные положительные числа (за исключением второй части
(III), которая в этом случае не будет иметь смысла, если т $ N),
см. [544, с. 61; 91, с. 217; 526, с. 3001.
66

Совместно с вложениями, упомянутыми выше, мы можем рас-
рассмотреть вложения, в которых один из индексов, k или р, фиксиру-
фиксируется; тогда мы очевидно имеем вложение Wk'p (R") с* Wm'p (R"),
k,m?N, m^k и /?6[1.°о) (оно справедливо даже при любых ве-
вещественных числах k и т — см. [618, с. 97] и, для гильбертова
случая, [49]). С другой стороны вложение Wk'p (R") cr Wkl" (R"),
рфц, всегда несправедливо, что является естественным, поскольку
не имеет места вложение Lp (R") с L*(R"), рфц (отметим, что
Rn не обладает конечной мерой ...).
Одномерный случай. Теорема 5.8 оптимальна в том смысле, что
для произвольных k, p и п вложения нельзя улучшить путем замены
пространств в правых частях на «меньшие» пространства (см. контр-
контрпримеры, подтверждающие это утверждение, в работе [91, с. 117]).
Однако это возможно в частных случаях: так, если р = 1, то часть
(II) может быть записана как Wn>l (R")d^.C°(R"), и, еслил=/>=1,
мы сможем доказать даже следующую теорему.
Теорема 5.9. №u (R)c ЛСюс (R), т.е. если m€№u(R), то "
абсолютно непрерывна в каждом компакте /Се R (и, кроме то-
того, и равна «нулю на бесконечности» в том смысле, что и(х)->0
при |jc|->-oo). Кроме того, справедливо неравенство
max | и {х) К с (С| и (х) \ dx + Пи' {х) \ dx) , E.48)
хек VJ ^ /
где постоянная с к не зависит от и, но зависит от /С; и' = Du.
Доказательство. Мы будем обозначать функции и их
сужения одними и теми же символами. Пусть и 6 W1-1 (R); докажем,
что и абсолютно непрерывна в каждом компакте К е R. Очевидно,
что нам надо рассмотреть лишь компактные множества вида
К = la, b] (а, Ъ 6 R, а <. Ь) и показать, что в [а, Ь] функция и сум-
суммируема и может быть записана в форме
X
{t)dt, xe[a,b], E.49)
где с— постоянная, и функция и, которая будет тогда почти всюду
производной от и в обычном смысле, суммируема в [а, Ь]. Если и 6
6 W1-1 (R), то и суммируема в R и и' — производная «ив смысле
0' (R) — также суммируема в R. Теперь мы можем рассмотреть в
[а, Ъ] абсолютно непрерывную функцию
X
E.50)
у которой существует почти всюду производная в обычном смысле,
равная и'. Если мы покажем, что в [а, Ы разность и — v является
константой, то тем самым мы завершим доказательство, поскольку
87

можем взять с — v — и и и = «'. Для этого нам необходимо лишь
показать, что в смысле S6' (R) имеем D(u — v) = 0, и после этого
воспользоваться результатом из п. 4.2.2, утверждающим, что если
Df = 0 (в смысле обобщенных функций), то f есть постоянная.
Из E.50) при любой функции ф 6 $> ((а, Ь)) мы можем записать
соотношение
(Dv, ф) = (D (j и' (t) dt) , ф> = - (J и' @ dt, ф'> -.
а
a a at
Ь Ь Ь
= — ^u'{t)dt^q>'(x)dx=: |и'@ф@^»<и',ф>, E.51)
at a
поэтому D(и — v\— и' — Dv — 0. Следовательно, мы показали, что
и еАС ([а, Ь]).
Теперь докажем справедливость неравенства E.48), которое по-
показывает, что вложение W1'1 (R) <=_ L?oc (R) непрерывно (вложение
W1'1 (R) с: Li^c (R) следует сразу же из первой части теоремы — см.
также обсуждение, которое следует после доказательства). Легко
заметить, что с = и (а), и поэтому E.49) мы можем записать в виде
E.52)
Последнее выражение остается справедливым, если вместо а мы
возьмем произвольное у ? [а, Ь], т. ё. для каждого у 6 [а, Ь] имеем
u(x)=u(y)+^u'(t)dt. E.53)
У
Из E.53) мы имеем соотношение
|«M|<|«(irt| + |jV@l*|<l"te)l + \\u'{t)\dt, E.54)
У а
интегрируя которое по переменной у 6 [а, Ь], получаем
(й-а)|и(*)|< $\u(y)\dy+(b-a) \\u'{t)\dt, E.55)
а а
а значит и E.48) с с* = max{1,(й — а)~1} .О
Важно заметить, что это доказательство не может быть обобщено
на случай теоремы 5.8. Мы привели его потому, что оно включает
соображения, которые свойственны одномерному случаю Благо-
Благодаря им же, можно показать, что Hl (R) = W1'2 (R) с: /4CiOt IR) —это
86

усиливает часть (III) теоремы 5.8, которая утверждает только лишь,
что Я4 (R) с: С0>1/2 (R). Наконец, если и 6 W1'1 (R), то и равна «нулю
на бесконечности», поскольку она абсолютно непрерывна на компакт-
компактных множествах, и ее модуль имеет конечное среднее значение;
функции из W ' (R) являются поэтому ограниченными в R, и мы
можем писать W1'1 (R)cr L°°(R), что усиливает утверждение, сфор-
сформулированное в доказательстве теоремы. Аналогичные рассуждения
дают нам также вложение Н1 (Rj с* L°° (R).
Контрпример, относящийся к свойствам транспонированного
оператора. В заключение мы, как и обещали, рассмотрим контр-
контрпример, показывающий, что если в теореме 4.2 (см. 2)) предполо-
предположение о рефлексивности Е опущено, то не обязательно справедливо
утверждение «Т инъективен => 'Т (/•") с: dsE'y>.
Все пространства, рассматриваемые ниже, являются веще-
вещественными, но мы оставляем за ними те же обозначения, которые
мы использовали в комплексном случае. Пусть Е = L1 (R), F —
— Н~{ (R) и Т : Е -*¦ F — оператор, определяемый соотношением
E.56)
Мы замечаем, что Т корректно определен из L1 (R) в Н~1, посколь-
поскольку каждому и? L1 (R) соответствует функционал Т (и) : Н1 (R) -*¦
-*¦ R, который, очевидно, линеен и непрерывен. С другой стороны,
Т является линейным непрерывным и инъективным оператором
(отметим, что если Т(и) = 0, то (и(х)v(x)dx= 0 для каждой функ-
R
ции u(xN^(R) и поэтому почти всюду и = 0). Докажем то, что
'Т[{Н~1(К))'\ не плотно в (L1(R))'. Рассмотрим диагр. 5.1.
1н
Диагр. 5.1
В этой диаграмме мы имеем:
О \н — i i 1 ,—канонический инъективный оператор из
в (Я (R))' — изоморфизм (здесь H~l (R)— есть двойственное к )
пространство, которое является гильбертовым и следовательно реф-
рефлексивным), который характеризуется при каждом u?Hl (R) с помо-
помощью соотношения
¦ </„"."> , -' . (о,и) , vw6#~"'(R); E.57)
2) ir ** i ^ 1 —канонический инъективный оператор из L*° (R)
в (L1 (R))' — изоморфизм (заметим, что пространство L°" (R) —двойст-

венное к Ll(R)), который при каждой функции и€Ь°°(Я) характе-
характеризуется как
<l.<r»< </l«> w>l.(R) - J « W о (x) dx Vv?L1 (R); E.58)
R
3) '71 — транспонированный к Г оператор;
4) Т — оператор, определяемый как
f~jZxo'ToJH, E.59)
является единственным отображением Н1 (R) в L°° (R), при котором
диаграмма коммутативна (единственность следует из того, что ком-
коммутативность диаграммы означает, что jL о Т = *Т о \н и /я, jL, (T
определяются однозначно).
Поскольку \н и jL гомеоморфизмы, то из E.59) следует, что
*Т имеет плотную область значений, если и только если Т имеет
плотную область значений. Если бы мы смогли показать, что
Т = / , (мы используем символ I, означающий множественное
вложение, нз обсуждения, которое мы привели после доказательства
теоремы 5.9...), то мы закончили бы наши рассмотрения, так как
Н1 (R) а С0 (R) и С0 (R) не плотно в L°° (R). Теперь докажем, что
оператор множественного вложения Я1 (R) в L°° (R) делает диаграм-
диаграмму коммутативной. При каждом и?Н*(К) мы можем записать
ju(x)o(*)dje Vu6Lx(R); E.60)
R
учитывая E.58), для каждой функции u?#x(R) получим
A4*»' </?.«¦ W>i-'(R) = ИЧЮУ <(<Г ° W "' W>L.(R) VW € ^ (R)- E-61)
Таким образом,
iLu = ('Г о 1Н) и Vu 6 Н1 (R), E.62)
что при сравнивании с jL о f = *Т о ]н позволяет нам заключить, что
Т есть тождественный оператор.
5.3. Пространства Ws<p(Q)
Теперь мы рассмотрим пространства Соболева, соответствую-
соответствующие произвольному открытому множеству Q с R".
Пространства IF**(О), fr?N и ^'"(Q), *6R+\N-
Определение 5.6. Пусть QcrR" — произвольное открытое
множество. Если &?N и рбП. оо], то мы обозначаем через Wk'p(Q)
90

векторное пространство {и6$' (й):DauбL" (Q), \a\^k), с нормой
- E-63)
Если s?R+\N и рбA. оо), то мы обозначаем через Ws'p (Q) век-
векторное пространство {и б #' (й): ы б ^[!]'р (й) и do,a (и) б L" (й х й),
|о| == [s]}, с нормой
= f II "
Пространства W$'2(Q) будем также обозначать через Hs (Щ,
Если Q = R", то мы сразу же получаем определения 5.1 и 5.2.
Здесь могут быть также повторены наши замечания, касающиеся
втих определений. Заметим, что свойство «ы б W*'p (Q)» имеет локаль-
локальный характер: если {Qt}i=i т — открытое покрытие множества Q
и для каждого / = 1,..., /п и ? №8>р (Q,) (s> 0), то ueWs'p(Q) и суще-
ствует такая постоянная с> 0, что \\ и \\ws-P(Q) ^ с V || ы ||н
(см., например, [618, с. 62]); мы обозначаем тем же символом
функцию и?& MJ й, и ее сужения на й и й, (i =. 1,..., т). В
связи с локальной структурой пространств Ws'p (й) отметим, что про-
пространства W'&(Q) и ^сотпр(Й) могут быть определены по аналогии
с пространствами Lfoc (й) и Цотр (й).
Топология пространств Ws'p (й), s ^ 0, имеет те же самые ос-
основные характерные свойства, что и топология пространств Ws'p (R")—
это видно из следующей теоремы.
Теорема 5.10. Пространства Wk'p(Q), 66N и рб[1.°°] яв-
являются банаховыми; если р6A» °°)> то они рефлексивны и если
р = 2, то — гильбертовы пространства со скалярным произведе-
произведением
(и, f)Hft@) "¦ т] №аи, Dav)mQ). E.65)
tcel **k
Пространства ^"'"(й), s6R+\N и р?{\,<х>)—рефлексивные бана-
банаховы пространства и если р = 2, то являются гильбертовыми,
со скалярным произведением
1<Х|=[!]
(Для доказательства достаточно повторить доказательства теорем
б.З и 5.6.)
91

Не все свойства пространств W''p (Rn) могут быть обобщены на
пространства Wsp(Q) с произвольным Q; так, в частности, теорема
5.4 неверна, а справедлива следующая теорема.
Теорема 5.11. Если й — открытое ограниченное множество
класса Сх и &>1 есть целое, то $(Щ не плотно в Wk'"{?2), pi
€[1.оо].
Доказательство. Сначала мы заметим, что утвержде-
утверждение теоремы верно в более общих условиях: достаточно, например,
чтобы Q было открытым множеством таким, чтобы мера множества
R"\Q была положительной. Относительно более точных условий,
базирующихся на понятии (k — р)-полярного множества, см. [353
и 528, с. 211.
Доказательство мы разделим на две части: в первой покажем,
что если и есть функция из замыкания $(Q)W '(й> множества j5(?2)
в норме Wk'p (й), то ее тривиальное продолжение на R" (т. е. функ-
функция и, определяемая как и га и найны^аО в R"\Q) принадлежит
к Wk'p (Rn); во второй части мы покажем, что существует такая
функция v?Wk'p(Q), что ее тривиальное продолжение не принадле-
принадлежит Wk'p (R"). Через Р: $ (Q) -> $ (R") мы обозначаем оператор, ко-
который функции ф 6 0 (Q) ставит в соответствие функцию <р = Р(<р) ?
6 i3 (Rn), являющуюся тривиальным продолжением на R™ функции <р,
Очевидна линейность оператора Р, и, если наделить $(Q) и jZ)(R")
топологиями, индуцируемыми соответственно пространствами Wk"p(Q)
и Wk'p (R"), этот оператор также непрерывен, поскольку [| ф l|H7fe.p(Q)="
¦ || Р {<p)]\wk,p{Rny Таким образом, можно расширить Р по непрерыв-
непрерывности до оператора P:jZ)(QI*'*'''(Q)-*- Wk'p (Rn), который также лине.
ен и непрерывен (кроме того, Р (и |Q) = и и Р(и \Rn\Q) =¦ 0). Следо-
Следовательно, мы показали, что если и 6 0 (Q)w 'P{Q), то и = Р (и) g
6 Wk'p (R"). Перейдем теперь ко второй части доказательства. Мно-
Множество Q ограничено, поэтому функция цз1 в й является эле-
элементом из Wk'p(Q). Однако ее тривиальное продолжение — функция
ыше^д не принадлежит пространству Wk'p (R"), поскольку производ-
производные dijdxi являются обобщенными функциями, тождественно рав-
равными нулю вне Г-границы п и поэтому, если бы они принадлежали
Z/(Rn), из равенства %Q = 0 следовало бы, что %п есть постоян-
постоянная. ?
Пространства Wo"(Q). Пространства g)(Q)w''P{a) представляют
очень большой интерес в теории пространств Соболева. Мы об этом
не упоминали в явной форме в разделе 5.2, так как для Q = R" они
не отличаются от пространств Ws'p (R"). Мы увидим, что некоторые
92

из результатов раздела 5.2 будут теперь интерпретироваться в тер-
терминах пространств #(Rn)w'!'P<Rn), так как (что играет фундаменталь-
фундаментальную роль) это означает возможность аппроксимации их элементов
гладкими функциями.
Определеннее.7. Пусть QcR" — произвольное открытое мно-
множество. Если k?N и р?[1, оо], то через Wo'p(Q) мы обозначаем
замыкание $(й) по норме пространства WkfP(Q), наделенное тополо-
топологией, индуцируемой последним пространством. Если s 6 R+\N и р 6
€A, оо), то через Wo"(й) мы обозначаем замыкание $(?2) в норме
Ws'p (й), наделенное топологией, индуцируемой пространством WS'P(Q).
Интуитивно мы можем сказать, что если функция и 6 W'p (й)
может быть аппроксимирована функциями из $(Й), то и есть «нуль»
на границе множества Й (понятие зануления будет пояснено в сле-
следующем пункте) — это является основанием для написания нижнего
индекса в обозначении Wo" (й). В связи с обсуждаемыми вопросами
мы можем также говорить, что функции из Ws'p (Rn) «зануляются
на бесконечности». Заметим также, что, если s^l/p, то Wop (Q) =»
«= WSfP (Q) (доказательство см. [545] и, в случае р — 2 в [49]).
Теорема 5.12. Пространства Wt'p(й), AgN и р6[1,о°] яв-
являются банаховыми; если р6(Ь °°)> то они рефлексивны и если
р = 2, то гильбертовы пространства, которые мы обозначаем
через Ho(Q). Аналогично, пространства Wqp(Q), sgR+\N и рб
€ A, оо) являются рефлексивными, а при р = 2 — гильбертовы про-
пространства, обозначаемые Hq(Q).
Доказательство. Здесь достаточно заметить, что простран-
пространства Wo"(Q), s^O являются замкнутыми подпространствами из
Wk'p(Q) и вспомнить теорему 5.10.
Интересно отметить, что если Q — ограниченное множество, то
топология пространства Ho{Q) может быть определена, исходя из
скалярного произведения
2 DXw E-67)
а именно, —справедлива следующая теорема.
Теорема 5.13. Пусть йс:R" — открытое ограниченное мно-
жество и k 6 N. Существуют две постоянные clt ca такие, что для
каждой функции u?Ho(Q) выполняется неравенство
E.68)
Доказательство. Для неравенства в левой части E.68)
мы сразу же можем принять q= 1. Для неравенства в правой час-
S3

ти нам нужно лишь показать, что для каждой ф 6 .25 (Q) справед-
справедливо так называемое неравенство Фридрихса
х E.69)
j
(=1 Q
и после чего отметить, что Hq(Q) есть замыкание jZ5(Q) в норме
Я* (Й).
Докажем E.69): поскольку й ограничено, то мы можем предпо-
предположить, что Q<=Q — {x?R":\Xi\<a, i— I, ..., л}, где a?R+ и
тогда
Ф(*1 *») = - J Ц-ffi. *, *•)<& E-70)
—а
Отсюда, используя неравенство Шварца — Гёльдера, получаем
iJ2.(?f* д:п)
E.71)
Интегрируя E.71) по переменной хх в интервале (—а, а), имеем
J IФ (*i **)№ < 4a2 j -^ (xlt ..., хп) ^dxv E.72)
—а —а *
и интегрируя E.72) по переменным х2 хп в интервале (—а, а)
мы получаем E.69) с с = 4a2. Q
Мы привели это доказательство, главным образом, потому, что
оно содержит неравенство Фридрихса, интересное само по себе;
оно, в частности, используется прн изучении однородной задачи
Дирихле. Другое очень важное неравенство, о котором упомянем в
связи с рассмотрением пространств Соболева,— это неравенство
Пуанкаре: если Q cz Rn — открытое ограниченное множество клас-
класса С°, то существует такая постоянная с 6 R, что для каждой функ-
функции и 6 Я* (Q) имеем
1/2 E.73)
(см., например, [618, с. 18]). Это неравенство позволяет вводить
норму, эквивалентную норме E.63) при р — 2 (для этого нужно
лишь взять в качестве нормы от функции и 6 Я* (Q) правую часть
E.73)). В других исследованиях неравенство Пуанкаре может быть
полезным, например, при изучении задач, которые используют про-
пространства функций со средним значением, равным нулю. Важна
отметить, что поиск эквивалентных норм имеет большую практи-
практическую важность,— эффективность методологии изучения задач,
формулируемых в терминах пространств Соболева часто зависит
от подходящего выбора норм в этих пространствах.
94

Пространства Ws'p (Q)i * ? R-\M- Как следствие того факта, что
j3 (Q) в общем случае не плотно в пространстве Ws'p (Q), которое
поэтому, вообще говоря, не является нормальным пространством
распределений, возникают две важные проблемы: 1) могут ли эле-
элементы нз W$'p (Q) быть аппроксимированы гладкими функциями и
2) как определить пространства W*'P(Q) при строго отрицательном s.
Существует в основном два способа определения пространств WS'P(Q),
s<0: или мы просто механически переносим определение 5.4 для
случая «й => R"» на случай «общего ?Ъ, или мы ищем определение,
которое в качестве следствия дает характерные свойства элементов
из WS'P(Q,), s<0, аналогичные сформулированным в теореме 5.5.
Мы пойдем по второму пути, так как первый может вывести нас
нз рассмотрения теории обобщенных функций, необходимость ко-
которой возникает естественным образом при изучении многих задач.
Сначала дадим определение.
Определение 5.8. Пусть Q c= R" — произвольное открытое
множество s6 R-\{0} ир6A,оо). Мы обозначаем через WS'"(Q)
пространство, двойственное к Wo~s'p* (Q), где р' «= р/(р—1). Про-
Пространства WS'2(Q), s<0, будут снова обозначаться через H$(Q).
Мы сразу же получаем, что если Q = R", то это определение сво-
сводится к определению 5.4. Также сразу приходим к заключению о
рефлексивности пространств Ws'p (Q), s<0. Кроме того, как мы
и требовали, справедлив следующий результат.
Теорема 5.14. Обобщенная функция Т принадлежит
(W%""(Q))' = W~ktP'(Q), fe?N и р6A,°°), тогда и только тогда,
когда Т может быть представлена в виде
Za E.74)
I«I«S*
с ga6L" (Q).
(Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.5.)
Результаты о плотности. Обсудим проблему возможности аппрок-
аппроксимации элементов из Ws'p (U), s^O, с помощью более общих
функций. Эта проблема, имеющая важное теоретическое и практи-
практическое значение, заключается, главным образом, в поиске функ-
функционального пространства, плотного в W$'p (Q) и элементы которого
удовлетворяют определенным требованиям гладкости и, что осо-
особенно важно в численных приложениях, простоте представления
для реализации на электронно-вычислительных машинах. Для
задач численного анализа введено несколько функциональных про-
пространств со специальными свойствами: см., например, [58, 642,
699J и, в частности, для вариационных неравенств [25, 374, 438,
247, 2481.
Здесь мы рассмотрим лишь следующий важный результат.
95

Теорема 5.15. Если Я cr R" — ограниченное множество
класса С0, то?{п) плотно в Ws'p (Q).
Непосредственным следствием этой теоремы является то, чтъ
если Q — ограниченное открытое множество класса С0, то понятия
сильной и слабой производных совпадают. Другое следствие заклю-
заключается в том, что если 1^/?<оо, то Wm'p (Q) может быть
определено как абстрактное пополнение множества {и ? Ст (Q):
lNlw"".p(a) < °°} в ноРме II • Km-pw
Доказательство теоремы 5.15 можно найти в [618, с. 67; 528,
с. 42; 544, с. 52]. Заметим также, что теорема может быть доказана
при более слабых предположениях относительно Q, а именно,
когда Q обладает свойством сегмента (см. [91, с. 54]).
Кроме того, этот результат естествен. Нам необходимо лишь
отметить, что # (R") плотно в Ws'p (Я"),_что (при достаточно глад-
гладкой границе множества Q) элементы 0 (Q) являются сужениями эле-
элементов из 0 (R") и можно ожидать, что элементы из Ws'p (Q) могут
быть выбраны как сужения элементов из W$'p(Rn).
Операторы продолжения. Элементы из Ws'p (Q) могут быть вы-
выбраны как сужения элементов из Ws'p (Rn). Это приводит нас к так
называемой проблеме продолжения, которая заключается в поиске
условий (на Q), гарантирующих, что элементы пространства WS'P{Q)
будут сужениями на Q элементов из Ws'p (R"), или, что эквивалент-
эквивалентно, — в поиске условий, которые гарантируют, что элементы из
WS'P(Q) могут быть продолжены на R" как элементы из Ws'p (Rn).
Этот вопрос представляет большой интерес, так как ответ на него
составляет основу для возможности распространения некоторых ре-
результатов, доказанных для WSlP (Q), на результаты для пространства
Ws-p{Rn), и наоборот.
Определение 5.9. Пусть QcrR" — произвольное открытое
множество. Мы говорим, что v 6 W'p (R") — продолжение функции
ueWs-p(Q), если и = « почти всюду на Q. Оператор Рб(?(WSlP(Q),
Ws'p(Rn)) такой, что Р(и) — продолжение функции и (для каждого
и 6 Ws'p (Q)) называется оператором продолжения, заданным на
Ws'p (Q).
Заметим, что таким же способом мы можем определить опера-
операторы продолжения на Wop (?2) — примером оператора продол-
продолжения является оператор Р, который мы ввели в доказательстве
теоремы 5.11.
Проблема продолжения функций может быть теперь сформули-
сформулирована следующим образом: каковы условия на Q, которые гаран-
гарантируют существование, по крайней мере одного оператора продол-
продолжения, заданного на Wsp(Q)? В качестве ответа на эту проблему
мы ограничимся следующей теоремой.
96

Теорема 5.16. Если йсг R" — ограниченное открытое мно-
множество класса СГ~ ''., где k~^\—целое и рбП.оо), то сущест-
существует по крайней мере один оператор продолжения, заданный на
Заметим, что в случае пространств W%p (Q) ответ не является
простым, как это может показаться: если Qc R"ecTb произволь-
произвольное открытое множество н и нз пространства 53 (Q), которое плотно
в Wo" (й) (отмечаем, что в действительности нам достаточно по-
построить непрерывное продолжение на плотном множестве...), то
тривиальное продолжение (продолжение нулем) и функции и явля-
является продолжением в смысле определения 5.9; однако для того
чтобы оператор продолжения, ставящий в соответствие функции и
функцию и, был оператором продолжения на Wo" (й), необходи-
необходимо иметь s ф целое + \1р, так как в противном случае этот опера-
оператор не будет непрерывным (см. [545, с. 231; 49] для р = 2).
Доказательство и обобщение теоремы 5.16, можно найти в [618,
с. 75, 528, с. 44, 291, с. 45, 545, с. 319]. Здесь же мы главным образом
будем строить оператор продолжения в очень простом случае, в ко-
котором Q = @, оо) с R. Однако, используемая методика может
быть легко распространена на случай, когда п = R+, и поэтому
(с использованием локальных покрытий) — на общий случай.
В рассматриваемом случае Q является неограниченным множеством,
поэтому мы не имеем точного выполнения условий теоремы 5.16...
В связи с этим в этом и последующих пунктах этой главы, мы не бу-
будем формулировать наиболее слабые предположения относительно
Q, которые гарантировали бы справедливость результатов — боль-
большинство из них (подобных теореме 5.16) справедливы также в слу-
случае, когда Q есть полупространство, хотя онн были сформулирова-
сформулированы лишь для ограниченных открытых множеств.
Таким образом, возникает следующая проблема: ««о заданной
функции «€fl^>p(R+), fe?N и рб[1,оо), найти u?WKp(R) такую,
что и = и почти всюду на R+». Если k = О, то в качестве и
можно взять функцию вида
х) = { E.75)
I 0, если х<0
/ч
с произвольным значением при х = 0. Если мы выбираем и @) = 0,
то и есть тривиальное продолжение и на R (рис. 5.1). Эта функция,
в общем случае, не является непрерывной, н поэтому при k = 1,
мы не решили поставленную проблему (заметим, что Wl'p (R) с
czC°(R) — см. теоремы 5.8 (III) н 5.9). Если & = 1, то в качестве
/ч
и можно взять
> E.76)
и(— х), если л;<0.
7 К. Байокки, А. Капело 97

Если мы хотим определить ее и при х = 0, то надо это сделать так,
чтобы и была непрерывной, что всегда возможно, так как и (О"*") =
= и (ОТ). Таким образом, мы получаем так называемое симметрич-
симметричное продолжение, или продолжение зеркальным отражением
(рис. 5.2). Получаемая функция в общем случае не является диф-
дифференцируемой, и поэтому при k = 2 поставленная проблема вновь
О
Рис. 5.1
о
Рис. 5.2
не решена. Следуя намеченному пути рассуждений, мы приходим к
тому, чтобы выбирать и функцией вида
и (х), если х > О,
и(х)
щи (— jx), если х < О,
E.77)
определенной при х = 0 так, чтобы она была непрерывной и с такими
коэффициентами а}, что непрерывны производные от и порядка
^/г — 1. Теперь мы покажем, что E.77) действительно определяет
продолжение, т. е. существуют k чисел а}, удовлетворяющих требу-
требуемым условиям. Если k = 0, то проблема полностью решена с по-
помощью тривиального продолжения без дополнительных условий.
Если k = 1, то мы должны наложить на и единственное условие
ы@+) = ы((Г);
тогда, как следует из E.77), при k = 1 получим
E.78)
E.79)
т. е. а, = 1, что согласуется с E.76). Если k = 2, то мы имеем не
только условие E.78), касающееся непосредственно функции, но и
условие на ее первую производную
и' @+) = и' @~). E.80)
Из E.78) "мы имеем E.79) при k = 2, и из E.80) совместно с E.77)
98

следует, что
(снова с k = 2). Уравнения E.79) и E.81) составляют систему двух^
уравнений с двумя неизвестными, решение которой есть ^ = с
иа, = —2. В общем случае мы имеем k условий
и@ @+) = u{i) (ОТ), I = 0,..., k — 1, E.82)
которые, как легко может быть замечено, совместно с E.77) позво-
позволяют нам получить систему k уравнений с k неизвестными
? (-/¦)'«, = 1, f = 0 Л— 1. E.8ф
/¦=1
Эта система всегда разрешима, поскольку ее матрица является мат-
матрицей Вандермонда для чисел —1, —2, ..., —k. Таким образом, мы
показали, что для фиксированного k > 0 существует по крайней
мере одно продолжение, которое решает проблему продолжения
функций из Н> (R+) функциями из Н1 (R) для / = 0, 1, ..., k. Это^
продолжение известно как продолжение Бабича. Беря большее чис-
2k
ло слагаемых в суммах (V ...\, мы могли бы также построить-
/=о
• о
оператор продолжения, действующий из Н' (R+) в Н' (R) для |/|^
< k (см. [125]).
Теорема вложения Соболева: общий случай. Прежде чем про-
продолжить разговор о теореме вложения Соболева, аналогичной тео-
теореме 5.8, мы введем понятия компактного оператора и компактного-
вложения.
Определение 5.10. Пусть Е и F — два банаховых про-
пространства. Оператор Т ?{? (Е, F) называется компактным (или
вполне непрерывным) оператором, если Т преобразует ограничен-
ограниченные множества из ? в относительно компактные множества из F
(т. е. множества, замыкания которых компактны). Если Е с F и
оператор множественного вложения ief '• Е -> F является ком-
компактным оператором, то вложение Е в F называется компактным
вложением и пишется Ec+C-*F.
Сразу же из определения следует, что если {fm} есть ограничен-
ограниченная последовательность элементов из Е и Т 6 & (Е, F) является
компактным, то последовательность {Т (/,„)} имеет подпоследова-
подпоследовательность, сходящуюся в F. В общем случае легче показать, что
последовательность ограничена, чем показать, что она сходится
(даже относительно других норм...), и поэтому результаты, показы-
показывающие, что определенные вложения компактны, представляют
значительный интерес — в теореме Соболева, которую мы сейчас
сформулируем, присутствуют результаты именно этого типа.
7* - 99

Теорема 5.17 (теорема вложения Соболева).
Если Q с= Rrt — ограниченное открытое множество класса С0Л
с целым & !> 1 и р 6 [1, оо), то справедливы следующие вложения:
(I) Если п > kp, то Wk-P (Q) с= - L" (О) с q< np/(n — kp) и
Wk'p (Q) с=_> c=_> L" (О), если q < пр/(п — kp); в более общем случае,
если m€N, m<? и n>(k — m)p, то Wk>p(Q)cz^ Wm'"(Q) с g<
< npl(n — (k — m)p) и Wktp (Q) c^ c^ W-" (Q), если q < np/(n —
— (k — m)p).
(II) Если n=kp, mo Wk>p (Q)c=.,cr_>Z,* (Q) для каждого </6[1,оо).
(III) Если n < kp, mo WklP (Q) с*с=_> COl]i (Q) со следующими зна-
значениями ц: ц = k — {nip), если k — (nlp)<.\\ |x — произвольное и
ц <1, если k — (nip) = 1; ц = 1, если k — (nip) >1. В более общем
случае, если т6 N, m^k и n<(k — m)р, то WklP(Q)c^c:^ Cm>fi(Q)
при: ц =й — /n — (n/p), есш /г — /n — (nlp)<L\\ произвольным \К.\,
если k — m — (nip) = 1; |г = 1, если /г — m — (nip) > 1.
Соответствующие вложения справедливы также и для пространств
{Щ при любом открытом ограниченном множестве Q.
Доказательство утверждений теоремы можно найти в работах,
упомянутых в связи с теоремой 5.8 и, в особенности, касающихся ре-
результатов о компактности — [618, с. 107; 528, с. 53; 91, с. 144;
415, с. 133].
Эта теорема может быть доказана при более общих условиях от-
относительно Q. С другой стороны, здесь могут быть повторены ком-
комментарии, сделанные к теореме 5.8; однако необходимо отметить,
что WklP (Q) cz Wk'q (Q), если p>q, поскольку множество Q (будучи,
ограниченным) имеет конечную меру. Приведем также следующий
очень важный результат: для каждого s 6 R и е > 0,
()c=^/ys-8(Q) (см. [49]).
Наконец, мы имеем аналог теоремы 5.9: если — оо<а<6<+ со,
то W1'1 ((а, Ь))=АС ([а, Ь)). И при тех же самых условиях
Однако, при п > 1 этот результат не имеет места: функция
/(x) = log|logM|.
определенная в
disc D={xeR2:||x||<l/2}
является элементом из //' (D), но она не непрерывна. Кроме то-
того, если Q не является интервалом, то существуют некоторые па-
патологические явления; так, например, если а < с < Ь, то кусочно-
постоянные функции принадлежат к Hk((a,c)\J(c,b)) для каждого k...
Чтобы закончить этот раздел, мы должны упомянуть, что иног-
иногда используются также пространства HS'P(Q), которые являются
обобщениями пространств H*'"(Rn), введенных в определении 5.5, и
которые могут быть определены как пространства сужений на Q
элементов из #SlP(Rn) (см., например, [19; 544, с. 67]).
100

5.4. Пространства W»-* (Г)
Понятие следа. При изучении дифференциальных задач и, в
частности, когда рассматриваются краевые условия, соответству-
соответствующие дифференциальным уравнениям в частных производных, при-
приходится говорить о значениях, принимаемых на границе Г множе-
множества й некоторыми элементами из Ws-P (й). Если функция и ?
6 Ws-p (й) непрерывна вплоть до границы Г, то можно считать, что
значение, принимаемое функцией и на Г, есть сужение ее на Г (точ-
(точнее, сужение на Г ее продолжения по непрерывности на й). В об-
общем случае, однако, элементы из
Ws'p (й) определяются везде за
исключением множества нулевой
меры, и поэтому не имеет смысла
говорить об их сужениях на гра-
границу Г, которая имеет л-мерную
меру, равную нулю (за исключе- "qI S !?
нием патологического случая, ко-
который не интересует нас). Поэтому " Рис. 5.3
нам необходимо новое понятие,
заменяющее и обобщающее упомянутое выше. Здесь мы будем иметь
дело исключительно со значениями функций на границе, а в более
общем случае, могут представлять также интерес и значения функ-
функций на любом многообразии меньшей размерности, содержащемся
вЙ(см. [56, 57, 6351).
Сначала изучим простой случай. Пусть й — множество внут-
внутренних точек прямоугольника, изображенного на рис. 5.3 и пусть
и — элемент из Я1 (й); тогда и — функция из!2 (й) такая, что обе.
производные и% — DA>0)« и иу = ОФЛ)и также принадлежат L2(Q).
Мы покажем, что выражение g (у) = и (О, у) имеет смысл, т. е. при-
придадим смысловое значение фразе «g есть значение, которое и при-
принимает на стороне АВ».
Для этой цели рассмотрим сначала линейный оператор
р: С1 (Q)-+&(!?>*]), E.84)
который каждой функции и (х, у) 6 С1 (Q) ставит в соответствие функ-
функцию р[и(х,у)\ = и (О, у). Этот оператор корректно определен, так
как если и непрерывна в Q, то имеет смысл говорить о ее сужении
на сегмент АВ; это сужение дифференцируемо, как только диффе-
rfs d%
ренцируема функция и. Как мы знаем, С1 (Q) сгЯ1 (Q) и С1 ([О, Ь\) сг
ds
crL2(@, b)). Слэцэзатгльнэ, если жл сможем показать, наделяя
С1 (Q) и С1 ([О, Ь]) топологиями, индуцируемыми соответственно Я1 (Q)
и L2 (@, &)), что оператор р является непрерывным, то мы тогда
можем сделать заключение, что он может быть однозначно расши-
расширен до оператора
р: Hi(u)-^U'{{Q,b)), E.85)
который линеен и непрерывен.
101

Если и ? Hl (Q), то естественно назвать ри сужением и на АВ.
Чтобы избежать недоразумений и подчеркнуть, что мы уже имеем
сужение не в классическом смысле этого слова, мы предпочтем
называть ри следом функции и на АВ.
Сейчас мы увидим, что оператор р действительно непрерывен.
По основной формуле интегрального исчисления
^ *06[0,d], E.86)
мы можем записать при х = О
|и @,у) | < | и (х0, у) | +|°| их (g, у) | dg. E.87)
Отсюда, с учетом неравенства (а + р*J ^ 2а2 + 2р*а и неравенства
Шварца — Гёльдера, следует, что
и @, у) |2 < 2 | и (х0, у) |« 4- 2 ([| их (g, у) | dgJ<
о
<2|и (хо,у)\> + 2d ПихA,у) |2
с/
E.88)
Интегрируя первую и последнюю части в E.88) по xo(i(Q,d), мы
имеем
d | и (*„, У) Г < 2 J | и (х0, у) |2 dx0 + 2d2 J | ux (g, г/) |2 dg; E.89)
о о
интегрируя обе части неравенства E.89) по у 6 (О, Ь), получаем
ь
d [ | и @, у) |2 dy < 2 [ | и (х0, у) |а dxjy + 2d* J| их (g, у) |2 dg ф, E.90)
или
Him»,,
21| и ||i,@) + 2d* || их ||22(а), E.91)
что доказывает непрерывность р. Естественно, мы можем определить
следы функции и на ВС, BD и DA аналогичным способом, а следо-
следовательно, и след и на Г = Лfl (J fiC |J CD [j DA, который мы
обозначим (по причинам, которые мы объясним позже) симво-
символом уои.
Приведенное выше доказательство после простой модификации
применимо и для случая произвольного открытого множества Q
102

(как только оно достаточно регулярно), граница которого предва-
предварительно «распрямлена» с помощью системы локальных отображе-
отображений,— поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема 5.18. Пусть Йс R" —открытое ограниченное
множество с границей Г, непрерывной по Липшицу. Существует
единственный оператор yo?k(Hl(Q), L2(F)) такой, что если
u?j3(Q), то Yo« = «|r- Если uZHl(Q), то мы будем называть
уои следом (порядка 0) функции и на Г. (Определение L" (Г) см.
в разделе F.1).
В более общем случае можно доказать следующий результат
(см., например, [618, с. 86 и с. 107]).
Теорема 5.19. Пусть Q с: R" — открытое ограниченное
множество с границей Г, непрерывной по Липшицу, целое k ^ 1 и
р ? [1, оо). Тогда справедливы следующие предложения.
(I) Если kp<.n и l^q^.(n—\)pl{n — kp), то существует
единственный оператор у0g^(Wk'p(Q), //(Г)) такой, что, если
u6iZ)(Q), то You = «|r, а если u?Wk'"(Q), то мы называем уои
следом (порядка 0) функции и на Г; если р>\, то у0 — ком-
компактный оператор.
(II) Если kp — п, то (I) выполняется при произвольном q^\.
(III) Если kp>n, то след уои функции ufWk-p(Q)c=C0(Q)
является классическим сужением и на Г.
На вопрос, является ли оператор следа Yo сюрьективным, дают
ответ следующие рассуждения (мы будем проводить их в очень
частных условиях, но они могут быть легко обобщены): оператор Yo
не может быть «обратимым» с сохранением непрерывности, а это
подразумевает то, что он не сюрьективен. Пусть р = 2, k = 1 и
й = S — единичный открытый шар в R2 с границей С; далее,
пусть {ыт}—последовательность элементов из L2 (С)~/-а (@, 2я)), опре-
определенных как «! =1/]^2п,..., ы2( = cos tx/Yn, ы2/+1 = sin lx/Уп,...
...(/ = 1,2,...): последовательность {ит} такова, что для каждого
wllum|lii(C, — 1 и> с Другой стороны, ит-^0 в L2 (С) (отметим, что
функции ит составляют полную ортонормированную систему в
Ь2(@,2л)). Если было бы возможным «обратить» y0 c сохранением
непрерывности, то мы могли бы продолжить ит функциями ит ?
_ ? Я1 (S) при || ит |JH,(S. ^ С (С — подходящая постоянная): из ком-
компактности Yo тогда следовало бы, что существует подпоследователь-
подпоследовательность {ит}, ит. = уо(ит.), сильно сходящаяся в L2(C), чего не
может быть.
Однако в некоторых частных случаях Yo сюрьективен: так, на-.
пример, yo(Wl-l(S))=Ll(C). Кроме того, yo(Hl(S)f{C) = L2(Q;
в более общем случае, если Q есть открытое ограниченное множе-
ство с границей Г, непрерывной по Липшицу, то y0 (№''" (&))tP<I>) =
= 1"(Г) (см. [618, с. 87]).
103

Пространства следов. Несюрьективность у0 порождает другой
вопрос: каковы характерные свойства ye{W'p (Q)), т. е. каковы ха-
характерные свойства элементов Lq(T), являющихся следами функций
из W*'P{Q). Чтобы выявить их, нам необходимо ввести пространст-
пространства следов.
Определение 5.11. Пусть s;>0 — вещественное число, р6
€A,оо) (или /?? [1. °°). если s:>l—целое) и Qc:R" — открытое
ограниченное множество с границей Г класса С1*-1'1. Мы предпола-
предполагаем определенной систему локальных отображений при условиях
определения 16.5. Мы обозначаем через Ws'p (Г) векторное простран-
пространство {и 6 L" (Г): и (х'а, фа (яд) 6 WSlP (Да), а = 1,... , /и}, с нормой
II" IUm = [ 2 И " К' Фа (О) 11^.Р(даг E-92)
а=1
Если s<0 и /76A» °°). то через №SlP(r) мы обозначаем простран-
пространство СИГ"8'"* (Г))' > где p* = pl(p—l). Пространства WSt2 (Г) будем
обозначать через Н*(Т).
Пространства WS'P(T) — банаховы, они рефлексивны при р>\.
Кроме того, многие другие результаты, которые упоминались для
пространств Ws'p (Q), также справедливы для пространства Ws'p (Г).
Среди этих результатов мы, в частности, упомянем теорему
5.17, касающуюся вложений пространств Соболева, и теорему 5.15,
которая в этом случае сформулируется следующим образом: iS6 (Г)
плотно в Ws<p (Г), где Ь ? N (J {оо} — показатель гладкости Г (см.
[544, с. 58] для случая бесконечно дифференцируемой Г). Анало-
Аналогичным образом можно определить пространства Я5-" (Г) (см., на-
например, [544, с. 68]).
Производная по нормали. Прежде чем продолжить изучение
теорем о следах, которые позволят нам полностью охарактеризовать
образы пространств Ws-P (Q) при действии на них Vo> введем сле-
следующее понятие.
Определение 5.12. Пусть QczR" — открытое множество с
границей Г класса С0'1, v^(vx,... ,vn) — (внешняя) нормаль к Г и
пусть и 6 Ck (й) с целым k ;> 1. Если 0 ^ / ^ k, то функция, опре-
определенная почти всюду на Г формулой
где а! = аг! а2!... ап! и v'" = vf-vi*»... v"*, называется j-й производ-
производной от и по направлению v.
Это определение имеет смысл, поскольку, с одной стороны,
функции Da определяются во всех точках на Г и, с другой, Г, будучи
непрерывной по Липшицу, обладает почти всюду нормалью. В сле-
104

дующей теореме мы обобщим это понятие на функции из Ws'p (Q) с
помощью методики, аналогичной той, которую мы ввели для обоб-
обобщения понятия сужения функции на Г (оператор Vo); именно, мы вве-
введем семейство операторов yf (j — 1,2, ...), которые будем называть
операторами следа (порядка 1, 2...), которые определены на Ws-P (Q)
и которые совпадают с операторами, определяемыми с помощью
E.93), если функции достаточно гладкие. След уои (часто будем
обозначать его просто и, что не должно вызвать недоразумений)
будет тогда производной нулевого порядка по нормали, a Vo — пеР"
вым элементом семейства операторов следа. Это является причиной
того, что мы ввели нижний индекс 0 в обозначении Yo-
Теоремы о следах.
Теорема 5.20 (теорема о следах). Пусть р6A, оо), s6{Up, оо),
s—Up$N и пусть QcR" — открытое ограниченное множество
с границей Г класса С^*'1 и (внешней) нормалью v = (yv..., vn);
при {s} = max{&6N: k<.s\ справедливы следующие предложения:
A) Существует единственный оператор
_ (s-1/pt
rp(Q), П Г-*-1*" (Г)) E.94)
такой, что_если «6iZ5(Q), то у}и — d'uldJ, j— 1,2 {s — l/p}t
you — и |г; уи называется следом функции и на Г. Мы замечаем,
что непрерывность оператора у может быть выражена с помо-
помощью неравенства
fs-1/pt
2 IIV^I|^-/-i/P.P(D<cll«ll^.P(a) E-95)
/=о
с постоянной с, независящей от и.
(И) Существует по крайней мере один оператор Л ?
(s-l/p(
е?( П Ws-'-i/p-p(П, W*-P(Q)) такой, что задавая любые {s —
-\1р} + \_ функций g,erf-'-I"w'(r) и полагая g=(ga,... ,g(s_m
и u — Jl{g), мы имеем yju = g} для / = 0,... ,{s—\1р); и назыг
вается обратным элементом к системе следов g и Л называется
оператором «обращения». Непрерывность оператора Л выражает-
ся с помощью неравенства
I s-1/pt
II"II^.p,q,<C 2 \\Sj\\ws-i-.i/p,P(r) E.96)
/=0
с постоянной с', независящей от g}.
Доказательство теоремы можно найти в [414, 618, с. 103—104].
Важно отметить, что если s — lip € N, то мы должны рассмотреть
105

семейство пространств Бесова: семейство пространств Соболева «не
замкнуто» относительно операторов следа, а пространства Бесова
обладают этим свойством. Заметим, что из части (II) теоремы сле-
следует, что оператор у сюръективен; с другой стороны, «обратный
элемент» к системе {g}} не единственный, что является следствием
неинъективности оператора у. В качестве первого приложения этой
теоремы отметим, что областью значений оператора р, который мы
рассмотрели в начале этого раздела, является пространство
Я1/2(@,6)).
Теперь приведем интересную характеристику пространств Wqp (Я),
основывающуюся на операторах следа.
Теорема 5.21. Если s>0, p?(l,oo) (или рбП.оо), если
s ;> 1 является целым) и Я a R" — открытое ограниченное мно-
множество с границей Г класса С1*1'1, то
WSO-P(Q) = ker(v) = {u6lF'p(Q): yjU = 0, / = 0, 1,..., {s- Up}}.
E.97)
Доказательство теоремы можно найти, например, в [544, с. 69;
618, с. 90; 528, с. 87]. В некоторых случаях эта теорема может быть
доказана при менее ограничительных предположениях относительно
Я; например, если s = 1, то достаточно, чтобы Я была из класса
С0'1 (см. [618, с. 87]). Эгот результат позволяет нам оправдать ут-
утверждение «функции класса Wo" (Я) равны нулю на границе мно-
множества Я», а также другие утверждения такого же типа.
Для функций, удовлетворяющих подходящим свойствам глад-
гладкости (например, для функций, имеющих первые частные произ-
производные из L2 (Я)), определение следа на основе понятия продолже-
продолжения по непрерывности не является единственно возможным. Отно-
Относительно другой точки зрения, приводящей к понятию следа, см.
работы [380, 355] и близкую к ним библиографию. При условиях
меньшей гладкости все еще можно определить след: так, для функ-
функций и из Я1 (Я), таких, что Аи ? L2 (Я), которые менее гладкие, чем
функции из Н2 (Я), имеет смысл говорить о следе производной по
нормали (см. гл. 18 и окончание настоящей главы).
5.5. Нормальные сжатия и пространства Дирихле
Одномерный случай. В этом пункте мы рассмотрим некоторые
свойства пространств Я1 (Я) и #о(Я), которые будем использовать
позднее, в частности, при изучении решетчатой структуры этих про-
пространств. Рассмотрим следующую проблему: «если и 6 Н\ ({а, Ь)),
— оо<а<6<4-оо, то возможно ли |и16Яо((а,Ь))Ъ Ответ —по-
—положительный. Действительно, если и?Н\((а,Ь)), то и?АС([а,Ь]) и
\и\?АС([а,Ь\) (это вытекает из того, что и?АС([а, Ь}), и из нера-
неравенства \\и\(у) — \и\(х)\ = \\и(у)\ — |ы(*)||<|ы(г/) — и(х)\, кото-
которое выполняется для каждых у, х?[а,Ь\). Таким образом, почти
106

всюду в [а,Ь] при у-*-х существует предел разностного отношения
) —|и|(*I <¦ I и (У) — и (*) I
которое приводит к
|1«Г(*)|<|«'(*)| почти всюду в [а, Ь], E.99)
и потому к выводу, что|«|' 6 L2 ((а, 6)). Этот результат верен
(с тем же самым доказательством), если вместо Но (а, Ь)) мы рас-
рассмотрим пространство Я1 ((а, Ь)) (и, в общем случае, мы можем рас-
рассмотреть пространство Я1 (Q) путем расщепления на составляющие
О компоненты...). Однако, эти рассуждения не применимы в слу-
случае, когда Q есть открытое множество из R" (п 1> 2), так как, во-
вообще говоря, функции из Hi (Q) не являются абсолютно непрерыв-
непрерывными. Но мы имеем следующую интересную характеристику эле-
элементов из Я1 (Q), где ficR" есть открытое множество с границей,
непрерывной по Липшицу: каждая функция и 6 Hl (Q), подходящим
образом видоизмененная на множестве меры нуль, абсолютно не-
непрерывна почти на всех линиях, параллельных осям декартовой си-
системы координат, рассматриваемой в R"; обратно, если и ? L2 (?2)
абсолютно непрерывна почти на всех линиях, параллельных осям,
и их обычные производные (они тогда существуют почти всюду)
квадратично суммируемы, то и 6 Я1 (Q) и производные от и в смыс-
смысле обобщенных функций совпадают с обычными производными: до-
доказательство этого утверждения можно найти, например, в [618,
с. 61; 51].
Нормальные сжатия и пространства Дирихле. Чтобы решить,
верно ли утверждение и 6 Но (Я) =Н и \ 6 #о (&) и другие соот-
соотношения того же типа в случае, когда Йс R"(«> 2), мы будем
использовать некоторые понятия, широко применяемые в теории
потенциала («естественный» контекст здесь предусматривает функ-
функции от одной комплексной переменной...).
Определение 5.13. Пусть А есть произвольное подмножест-
подмножество из R"; если и, v?cf (А) = С4, то мы говорим, что v—нормаль-
v—нормальное сжатие функции и, ecu
\v(x)-v(y)\^\u(x)-u(y)\ Vx, у?А, E.100)
|i>(*)|<|u(*)| Vx?A. E.101)
Определение 5.14. Г:С->С называется нормальным сжа-
сжатием комплексной плоскости, если
\Т(х)-Т(у)\^\х-у\ Vx,ycC, E.102)
Г@) = 0. E.103)
Определение 5.15. Пусть А — произвольное подмно-
подмножество из R" и Я — гильбертово пространство такое, что имеет
место теоретико-множественное включение Я с: #"(Л); Я называ-
107

ется пространством Дирихле, если выполняется условие: «если
«6 Н и Т — нормальное сжатие С, то Т(и)?Н и || Т (и) \\н < 1| и }ц»
(т. е. пространства Дирихле являются гильбертовыми пространства-
пространствами, «замкнутыми» для нормальных сжатий).
Следующий результат показывает, что существует тесная связь
между понятиями, введенными в определениях 5.13 и 5.14.
Теорема 5.22. Если Т — нормальное сжатие С и и 6 &(А),
то Т°и = Т (и) ~ нормальное сжатие функции и; обратно, если
v — нормальное сжатие функции и, то существует по крайней
мере одно сжатие Т множества С, такое, что v — Т (и).
Доказательство. Первая часть утверждений очевид-
очевидна. Чтобы доказать вторую часть, рассмотрим отображение t:
и (A) (J {0} -> С, определяемое как t (и (х)) = v (х) и t @) = 0.
Если 0 6 « (А), то из E.101) мы имеем t @) = 0 и, с другой стороны,
E.100) показывает, что если и (х) = и (у), то t (и (х)) = t (и (у)).
Отображение t корректно определено. Теперь мы докажем суще-
существование расширения Т отображения t при условиях, приводимых
ниже,— это гарантируется леммой Кирцбрауна — Валентина, ут-
утверждающей, что если С1 cz С2 есть два подмножества из R" и
f-.C-f+C есть отображение, непрерывное по Липшицу с константой L,
то существует непрерывное по Липшицу отображение F.C^-^C с
той же самой константой L, такое, что f = F\c. Эта лемма
применяется с Сх = и{А) \) {0}, С2 = R2 ~ С, L ='l, / = t и
F = 7\ ?
Доказательство леммы Кирцбрауна—Валентина можно найти,
например в работах [717, с. 105; 579, с. 164]; во второй статье
доказан значительно более общий результат, который содержит в ка-
качестве частных случаев не только лемму Кирцбрауна—Валенти-
Кирцбрауна—Валентина, но также и аналогичный результат, относящийся к непрерывным
по Гёльдеру функциям. Другие общие результаты имеются в рабо-
работе [724], интересную геометрическую интерпретацию леммы можно
найти в [589, 717, с. 101]. Заметим также, что F может быть пост-
построено таким образом, что F (С2) будет любым заданным подмно-
подмножеством из замкнутого выпуклого множества К => F (С2).
Если и 6 &(А), то существенный интерес представляют следу-
следующие нормальные сжатия функции и: сжатие модуля (|ы|), сжатие
вещественной части (Re (и) = (ы + «)/2, где г — комплексно со-
пряженное к г число), сжатие мнимой части (Im (ы) = (и — u)/Bi),
i = V—1) и, если и — вещественная, то сжатие положительной
части ([ир = (| и | + и)/2) и сжатие отрицательной части ([и]~ =
(||)/2)
«-мерный случай. Докажем, что если u?Hl0(Q,) (или иб//^)),
то |н|, Re(«), 1т(н), и если и — вещественная, [и]+ и [н]~ также
являются элементами пространства Н\ (Q) (или Нх (Q)).
Теперь теорема 5.22 гарантирует, что этим нормальным сжати-
сжатиям могут быть поставлены в соответствие нормальные сжатия ком-
комплексной плоскости, которые мы вновь будем обозначать через
108

I • |, Re, Im, [•]+, [•]-, и, следовательно, рассматриваемая нами за-
задача решается с помощью следующей теоремы.
Теорема 5.23. Если QcR" — ограниченное открытое мно-
множество, то н\ (Q) является пространством Дирихле, если, кроме
того, Q непрерывно по Липшицу, то Я1 (Q) также является
пространством Дирихле.
Доказательство. Достаточно доказать первую часть
утверждения, поскольку вторая сразу же будет ее следствием (так
как, если ?2 непрерывно по Липшицу, то для любого открытого мно-
множества О гэ Q функции из Н1 (Q) могут быть продолжены на О
элементами из Н10(О). Кроме того, мы можем применить к Н1^)
рассуждения, приводимые для Но (Q) — нужно лишь воспользовать-
воспользоваться тем фактом, что ф(&) плотно в Н*(О), а это подразумевает
предположение о регулярности Q, например, что множество Q — не-
непрерывно по Липшицу.
Теперь мы докажем, что Н1(О) есть пространство Дирихле, по-
показывая, что если Т есть нормальное сжатие С и и?Н10(Щ, то
Т(и)?Н10(п) и || У (ы) || , < || и || , • Доказательство будет состо-
состояло» Й„(О)
ять из двух частей: в первой мы покажем, что если и 6 $(?2), то
7»e//J(Q) и II П«) ILi О1 < II«1Ь,О,; во второй —привлекая тот
q q
факт, что $(Q) плотно в Hl0(Q), и выводы первой части, рассмот-
рассмотрим общий случай.
Если и 6 0 (й), то ы и Т (и) являются абсолютно непрерывными
функциями на каждой линии, параллельной координатной оси, и
поэтому почти всюду при й->0 существуют пределы (мы исполь-
используем обозначения главы 15) разностных отношений
\Т (u)(x)-T(u)
I
и (к) — и (к -f het)
= 1,...,л, E.104)
которые приводят к неравенству
дТ(и)
dxi
<
ди
дх.
= \ п.
E.105)
Отсюда совместно с соотношениями
|и(*)-0|=»|и(х)|, E.106)
что предполагает, в частности, принадлежность Т (и) к L2 (Q) (изме-
(измеримость Т (и) следует из E.102) и из измеримости и), получаем
Т (и) ? Н\ (Q). Из E.105) и E.106), кроме того, мы имеем
109

Теперь мы перейдем ко второй части доказательства. Пусть и —
произвольный элемент из H\{Q). По определению пространства
Н\ (Q) мы можем гарантировать существование последовательности
{ит} элементов из 0(й) таких, что ыт->ы в Hl0(Q). Из сходимости
ит-+и в #J(Q) и первой части доказательства имеем
Эс>0 Vm6N||7'(«im)|||fj(a)<||«in,||^a)<c, E.108)
поэтому из последовательности {Т(ит)} мы можем извлечь подпо-
подпоследовательность, слабо сходящуюся в H0(Q); пусть {Т(ит[)} есть
эта подпоследовательность и v = lim* T (umi) — ее слабый предел.
С другой стороны, из |Т(и1П) — Т(и)|^|ит — и\ мы имеем сходи-
сходимость Т (ит) -> Т (и в L2 (Я), и, следовательно (согласно единствен-
единственности слабого предела), v = Т (и); таким образом, Т(и) 6 н\ (Щ. Мы
можем легко увидеть также, что вся последовательность {Т(ит)}
сходится к Т(и), и поэтому имеем
IIТ(и) 1\н>) = || lim* T (um) \\н>) < lim' || T(um) 1^ <
E-109)
что и дает неравенство, которое мы хотели доказать. Заметим, что
если мы знаем, что \\Т(и)\\ \ =||«|| i (как для сжатия |-|), то
Нр (Я) Ho(Q)
E.109) гарантирует сильную сходимость {T(umj} к Т (и) в Ho(Q). ?
В последней части приведенного доказательства мы между про-
прочим доказали для HlQ(Q) свойство, которое справедливо в любом
пространстве Дирихле: если {ит} — последовательность элементов
пространства Дирихле Н, которая сильно сходится к и в Н, и
если Т — нормальное сжатие С, то {Т(ит)} слабо сходится к
Т(и) в Н\ сходимость будет сильной, если \\Т(и)\\ — ^и\\н (на
самом деле этот результат справедлив независимо от последнего
предположения — см. [115]).
Среди других свойств пространств Дирихле (и поэтому, в част-
частности, пространств #0 (Q) и Н1 (й)) мы упомянем следующий.
Теорема 5.24. Пусть Н — пространство Дирихле, которое
как множество содержится в <F (А); тогда:
(I) Если и?Н ограничена константой с (т. е. Vx?A \и(х)| ^
г^с), то иг?Н и
||ы2||н<2й!||ы||Н) d = max{c, 1/2}. E.110)
(II) Если и и v ограничены соответственно постоянными с'
и с", то uv?H и
c'+cM}. E.111)
110

(Ill) Если и, v^H — вещественные функции, то (см. опреде-
определения E.115) и E.116)) inf [и, v) е И, sup {и, v)?H и
|| inf (и, v) \\% + || sup (И| v) II», < || и \\н + || v HI,. E.112)
Доказательство. Чтобы доказать (I), нам необходимо пока-
показать, что и2 есть нормальное сжатие функции 2du, поскольку
\(){y)\
E.113)
Для (II) достаточно записать произведение uv в виде
ио= j[(u + vJ — {u — vJ] E.114)
и воспользоваться результатом (I). Наконец, для (III) вспомним, что
iai(u,v)±±(u + v)—j\u — v\, E.115)
sup(Uly) = j(« + y)+yl« — »|. E-116)
и что для сжатия | • |, как и для любого сжатия, [| | и [ ||л <|| и \\н- О
Если и 6 #о((а, ^)). то мы можем увидеть, что | и \' {х) = и' {х) X
X sgn и (х), т. е. в [а, Ь] (вещественная функция вещественной пере-
переменной sgn определяется следующим образом: sgn х = 1, если
х > 0, sgn х = —1, если х < 0 и sgn 0 = 0). Тогда естественно
возникает вопрос: существует ли аналогичный результат в случае
нескольких переменных и, в общем случае, есть ли он для других
нормальных сжатий функции и? Ответ дает следующая теорема.
Теорема 5.25. Если и 6 Но (Q) и Т — нормальное сжатие С
такое, что Т' имеет конечное число точек разрывов, то почти всю-
всюду в смысле пространства 0' (Q)
дТ (и) ди ф, , ч . , /с 11 -?\
Ч^ = ~дГьТ («>• f = I "• EЛ17>
Доказательство теоремы можно найти, например, в [686, с. 15, 321]).
Глава 6. ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНЫХ
ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
6.1. Задача о препятствии. Общие замечания
о гладкости решений
Вариационная формулировка задачи о препятствии. Простран-
Пространства Соболева, введенные в гл. 5, удобны для формулировки большо-
большого числа задач. В качестве первого примера снова рассмотрим задачу,
введенную в разделе 1.1, о струне, натянутой под препятствием.
ill

Формулировка задачи 1.0 через уравнения A.1), A.2), A.3) и A.4)
или A.5) показывает, что это задача второго порядка, поскольку
в уравнениях появляется вторая производная от неизвестной функ-'
ции.
Предыдущая формулировка задачи является одной из простей-
простейших возможных формулировок, но не единственной. Так, физик,
возможно, отдал бы большее предпочтение формулировке задачи о
препятствии в следующих терминах: «конфигурация, которую при-
принимает струна, такова, что она минимизирует энергию системы».
Мы увидим, что эти две формулировки эквивалентны, и вторую из
них можно записать математически, если использовать только
первые производные. Кроме того, вторая формулировка будет фор-
формулировкой вариационного типа.
О системе струна — препятствие, когда учитывается лишь энер-
энергия упругой деформации (струна предполагается невесомой и од-
однородной), мы скажем, используя принцип минимума энергии: из
всех конфигураций, которые возможны при наложенных на струну
ограничениях, конфигурация и, которую принимает струна, тако-
такова, что она минимизирует энергию упругой деформации
F.1)
С учетом сказанного переформулируем задачу 1.0.
Задача 1.0*. Найти функцию и 6 К такую, что
E(u)^E(v) Vv?K, F.2)
где К = {v '. v @) = v ([) = 0 и v ^ г|)} — множество возможных
конфигураций.
Задача 1.0* поставлена не полностью, потому что не уточнена
гладкость функций v и \р и, в частности, К, по существу, определено
не полностью. Мы постараемся дополнить задачу так, чтобы она
стала корректно поставленной.
Отметим, что в этой главе, за исключением случаев, когда
оговаривается обратное, рассматриваются только вещественные
пространства, и потому, в частности, мы можем говорить, что ка-
какая-то функция, например, меньше или равна другой.
Выражение F.1) приводит нас к требованию, что функция v
имеет квадратично суммируемую первую производную на [0, Л,
так что интеграл в правой части F.1) имеет смысл. Естественно по-
поэтому потребовать, чтобы v ? Я1 (@, I)); в нашем частном случае мы
можем даже рассмотреть пространство #о (@, /)), что мы и сделаем
позднее (но если одна из точек Plt P2 или обе одновременно не лежат
на оси х, то формулировку необходимо рассматривать в простран-
пространстве Я1 (@, /)))•
Относительно функции -ф предположим, что она просто непре-
непрерывна на [0, I], поскольку этого достаточно для того, чтобы
112

определить К. полностью:
К={у€Я1(@,0):у@) = у(/) = 0; v(x)
- {v 6 Hi (@, /)): v (*) < гр (*) V* ? @, 0}. F.3)
Такое определение множества /( имеет смысл, поскольку v не-
непрерывна на [0, Л, точнее, она абсолютно непрерывна. Легко ви-
видеть, что К — замкнутое выпуклое множество, возможно, пустое.
Рис. 6.1
Рис. 6.2
На рисунках 6.1 и 6.2 представлены две ситуации, в которых К =
= 0; в обоих случаях v < гр =>¦ v ? Н10(@, /)) (заметим, что гр (х) =
= _ (Х1 _ д2I/2 g Я1 (@, 0). И ИЗ
того, что v 6 Яо (@. + °°)) тогда и
только тогда, когда v^H1 (@,+со))
и x~lv (*)€ ?2(@, +оо)) (см., на-
например, [49]), следует более об-
общее свойство: если v (х) ^ гр (х),
то v$Hlo(@, О))- Чтобы избе-
избежать случая, когда /( пусто и
задача, тем самым, теряет смысл,
наложим на гр дальнейшие огра-
ограничения. А именно, потребуем, чтобы гр удовлетворяла, по край-
крайней мере, одному из следующих условий:
Рис. 6.3
(гр1)
М>2)
г|5 ? С0 (@, /)), г|) @+) > 0 и гр (Г) > 0,
грбЯ^О.О), г|)@)>0 и гр(/)>0
(если одна из точек Р^ или Р2 не лежит на оси абсцисс, то мы должны
наложить условия типа «гр @+) больше ординаты точки Р{» и т.п.).
Легко видеть, что при этих условиях К не пусто: если гр удовлет-
удовлетворяет (ф1), то функция, приведенная на рис. 6.3, является одним из
элементов множества К (условие (гр1) влечет существование б > 0);
а если г|з удовлетворяет (гр2), то функция v = —[гр]~ принадлежит
К (см. теорему 5.23).
Теперь формулировка задачи 1.0* о препятствии полностью за-
завершена.
8 К- Байокки, А. Капело
113

Задача 6.1. Найти функцию и 6 К такую, что
Е(и)^Е (у) Vye/C, F.4)
где Е определяется формулой F.1), К — формулой F.3), а гр удов-
удовлетворяет (гр1) или (гр2).
Записывая функционал Е в виде
E(v) = ±a(v,v), F.5)
где а(и, v):#i(@,1)) X Н\ (@, l))-> R — симметричная, коэрцитивная
и непрерывная (на #о (@> 0) и> следовательно, в частности, на К—
¦— К сг #0 (@, /))) билинейная форма, определенная равенством
a{u,v)= [и {x)v'{x)dx F.6)
о
(здесь следует вспомнить теорему 5.13, которая утверждает, ч о
а (и, v) является скалярным произведением в #о ((О, I))), замечаем,
что выполняются условия теоремы 2.2. Из этой теоремы следует,
что решение задачи 6.1 существует, и оно единственно.
Из теоремы 2.3 мы можем заключить, что задача 6.1 эквивалентна
следующей вариационной задаче.
Задача 6.2. Найти функцию и 6 К такую, что
i
J и'(*)(«'(*) — v'(x))dx^0 Vu6K, F.7)
о
где F.7) — неравенство Эйлера, соответствующее проблеме мини-
минимума 6.1.
Интерпретация вариационной задачи как краевой задачи. Пока-
Покажем теперь, что постановка задачи 6.2 эквивалентна постановке за-
задачи 1.0, уточненной надлежащим образом. Сначала мы покажем,
что решение задачи 6.2 является решением «хорошего расширения
задачи 1.0» (оно будет задачей 6.3). Рассуждения приблизительно
следующие: мы начинаем с задачи 6.2 и рассмотрим различные спо-
способы интерпретации A.1). A.2), A.3), A.4) и A.5), учитывая, что
мы ищем функцию и в Нх (@, I)) и что гр лежит в {гр 6 С0 (@, I)) '•
: (гр1)} или в {гр € Н1 (@, /)) : (^2)} (на самом деле уравнение A.5)
не будет рассматриваться, поскольку оно следует из других).
Из и 6 К следует, что
и @) = и (I) = 0 в смысле С0 ([0,1]), A.1)*
и (*)< гр {х) в смысле С0 (@,1)). A.2)*
Кроме того, если мбЯ1^,/)), то и' 6 L2 {{0,1)) и при L2(@, /))cr
с: 0' (@, /)) имеет смысл рассмотреть и" = Du' ? 0' (@, /))• Теперь
мы покажем, что если и — решение задачи 6.2, то
и" > 0 в смысле 0' (@, /)), A -3)*
0'((о./>><"">Ф^((о./>)>О V<P€#+(((W)). F.8)
114

Пусть ф ? 0+ (@, /)); рассмотрим уф = и — ф. Легко видеть, что,
какое бы ни было ф?0+((О, /)), о9?К, и, следовательно, из F.7)
получаем
$ +((О,/)). F.9)
о
Теперь из определения производной в 0' (@, /)) имеем
j
F.10)
и, таким образом, A.3)* имеет место.
Рассмотрим соотношение A.4). Для этого разобьем интервал
@, 0 на два множества, в которых (непрерывная) функция и —о|>
либо отрицательна, либо обращается в нуль, т. е. положим @, /) =
= /~ U /°, где /- = {х € @, 0 : и (х) <Ц(х)} и Р = {х € @, I) :
: и (х) = гр (х)} (последнее множество по очевидным причинам на-
называют множеством соприкосновения или контактным множе-
множеством). При условии, что и и ар непрерывны, /~~ должно быть откры-
открытым множеством, тем самым имеет смысл рассматривать простран-
пространство 0' (/-). Обозначая через и" сужение, обобщенной функции
и"е #'(@, 0) на /- (см. A.3)*), запишем:
м" = 0 в смысле 0' (Г). A.4)*
Докажем теперь A.4)*, т. е. покаж м, что
*.„-,<«", Ф>*(/_, = 0 Уф ? 0 (/-)• F- И)
Легко видеть, что если ф€$(О> то существует число Яф+\
\{0} такое, что при |Я|^ХФ имеем м + Х,ф^о|5 на @,1) (здесь
Ф означает тривиальное продолжение ф на @, /)) и, следовательно,
v = и + Яф 6 К- Для этого достаточно заметить, что min (о|> —
supp ф
— и) — т > 0 (т существует, потому что функция о|> — и непре-
непрерывна на носителе виррф, являющемся компактом; более того,
т>0, поскольку эиррфс:/""; тогда, чтобы выполнялось неравен-
неравенство гр — м^Яф, можно взять \, = т/тах|ф|. Вводя функцию
1—
v = и + ^.ф, в F.7) получаем
?F.12)
о
или
^ F.13)
115

Поскольку к может быть как положительным, так и отрицательным,
Ф произвольно, то из F.13) следует F.11).
Таким образом, мы пришли к заключению, что если и — решение.
задачи 6.2, то и является решением следующей задачи.
Задача 6.3. Дана функция ф в {гр6С°(@, /)):(гр1)} или в
{¦ф 6 Я1 ((О, I)): Сф2)}. Найти функцию и ? н\ (@,1)), удовлетворяющую
A.1)* —A.4)*.
Эквивалентность двух постановок задачи о препятствии. Пока-
Покажем теперь, что задача 6.3 корректно поставлена и, следователь-
следовательно, является хорошим расширением задачи 1.0. Для этого нам не-
необходимо доказать, что если и — решение задачи 6.3, то и явля-
является и решением задачи 6.2, поскольку это показывает, что и —
единственно. Существование решения гарантируется приведен-
приведенными выше рассуждениями, а непрерывная зависимость от гр сразу
следует из справедливости этого факта для задачи 6.2.
Чтобы показать 6.3 =ф- 6.2, мы предположим, что и" 6 L1 (@, /))
и будем считать соотношения A.3)* и A.4)* справедливыми почти
всюду, а не в смысле обобщенных функций (позднее мы вернемся к
этому предположению относительно и"). Из уравнений A.1)* и
A.2)* следует, что и?К, поэтому нам остается только доказать,
что
j и'(х) (и'(х) — o'(x))dx<0 Vv?K- F.14)
о
Прежде всего заметим, что рассматриваемый интеграл имеет смысл,
поскольку и', v'eL2(@,l)), откуда (м')гб^(@, /)) и u'v'= jl(u' +
+ v'J — и'2 — v'2]?L} (@,1)). Интегрируя левую часть F.14) по
частям (это можно сделать в силу предположения и" 6 L1 (@, [))),
имеем
i
^u'(x)(u'(x) — v'(x))dx =
о
= J (- и* (х)) (и (х) - v (х)) dx + \u' (х) (и (х) - v (хЩ, F.15)
о
или, учитывая, что и, v?K и тем самым [и' (х)(и(х) — v(x))]'Q — 0,
f и' (х) («' (х) - V (х)) dx = f (- и" (x)) (и (х) - v (х)) dx =
о о
= j (— и" (х)) (и (х) — v (x)) dx + J (— и" (х))(и(х) — v (x)) dx. F.16)
Используя A.4)*, получаем
о
116
j и' (х) (и' (х) - v' (х)) dx = j (- и" (х)) (и (х) - v (х)) dx. F.17)
о /•

Учитывая, что ы = 1|з в /°, перепишем F.17) в виде
i
§u'(x)(u'(x) — v'(x))dx= U~u"(x))ty(x)—v(x))dx, F.18)
О /о
откуда следует F.14), поскольку —и" <0 и if» — и > 0.
Таким образом, мы показали, что две задачи эквивалентны пока
и" 6 L (@, 0). Теперь, естественно, возникает вопрос: действительно
ли и" принадлежит L1 (@, I)),
т.е. является ли свойство м"?
6 L1 (@, /)) следствием того фак-
факта, что и— решение задачи? От-
Ответ — отрицательный, на рис.
6.4 представлен контрпример (от-
(отметим, что и" с точностью до
константы является б-функцией
Дирака, сконцентрированной в
точке х = 1/2, и не может при-
принадлежать L1 (@, I))).
Доказательство эквивалент-
эквивалентности двух задач, следовательно,
не завершено. Однако, мы не бу-
будем доказывать здесь этот резуль-
результат, который справедлив незави-
независимо от предположения ы"? /^((О,
0), поскольку мы вернемся к об-
обсуждению такого рода вопросов в
У,
О
и'
Рис. 6.4
более широком контексте. Мы предпочитаем пока обсудить пробле-
проблемы, которые поднимает сформулированный выше вопрос.
В основном, нас интересует вопрос: принадлежит ли решение
задачи 6.3, которое априори следует искать в Яо((О, 0), более уз-
узкому множеству (а именно, множеству {и 6 #о (@, [)): «" € L1 (@,
/))}), т. е. обладает ли и большей гладкостью, чем это требуется для
постановки задачи? Ответ оказывается отрицательным, но этот
вопрос поднимает другой: какие дополнительные предположения на
гр необходимо сделать, чтобы получить и" ? L1 (@, /))? Как было
показано (см., например, [606, с. 651), для этого достаточно, чтобы
¦ф" являлась мерой Радона и ее положительная часть могла бы быть
представлена функцией / ? L1 (@, 0). Другой вопрос, который в
некотором смысле противоположен предшествующему, заключается
в следующем: как изменяется гладкость и при повышении гладкости
¦ф? Здесь мы имеем: на рис. 6.5 представлен случай, в котором
г|) 6 С°°(@, 0). а с другой стороны и<? С2 (@, /)) (на самом деле и"'
включает в себя б-функции Дирака в точках х = 1/2 V2 и х =
= .' A — 1/2 |/2)). Можно показать (см., например, [606, с. 66]),
что если 1|з удовлетворяет (opl) или (а|J), -ф" является мерой Радона и
h|>1 6 L" (@, /)). Р € A. +°°), то решение и задачи о препятствии
принадлежит пространству W2'" (@, /)) и, следовательно, по тео-
117

реме 5.17 — пространству С1'1 1/р(@Л)). Очевидно, что в отдельных
частных случаях гладкость и может быть более высокой — так, на-
например, если i|) {х) = х2 — 1х, то uZC°° (@,1)).
Результаты по гладкости. Проблемы, подобные рассмотренным
выше, называются проблемами гладкости. Резюмируя и обобщая
изложенное, скажем следующее. Если решение и = {im}m=i м кор-
корректно поставленной задачи нужно искать в пространстве / = №т>
а исходные данные d = {dn}n=i n выбирать из пространства D =
= U0n, то рассматривают, по существу, три типа результатов по
гладкости:
1) Определить фактическую гладкость и, т. е. найти подпро-
подпространство /' пространства / такое, что для каждого d 6 D решение и
принадлежит /' и, с другой
стороны, /' не имеет собст-
собственного подпространства с
таким свойством.
2) При заданном под-
подпространстве /' простран-
пространства / найти подпростран-
подпространство D' пространства D
такое, что если d ? D', то
и 6 /', и, кроме того, D'
не имеет надпространства
с таким свойством.
3) При заданном под-
подпространстве D' простран-
пространства D найти подпростран-
подпространство /' пространства / та-
такое, что если d ? D', то
«6 /', и, кроме того, /' не
имеет собственного подпро-
подпространства с таким свой-
свойством.
Относительно первого типа результатов следует сделать не-
несколько замечаний. Предположим, что задача Р корректно постав-
поставлена по отношению к паре пространств (/, D), и мы доказали, что ее
решение и (d) при d из D принадлежит подпространству /' про-
пространства /. Это означает, что задача Р корректно поставлена по
отношению к (/', D). Почему же тогда мы не сформулировали эту
задачу в (/', D) с самого начала? По существу здесь может быть две
причины: либо доказательство того факта, что задача Р корректно
поставлена, в (/', D) гораздо труднее, чем в (/, D), либо формулиров-
формулировка задачи в (/, D) более «естественна», чем в (/', D). Конечно, термин
«естественный» не является вполне определенным; мы видели, что
пространства, пригодные для надлежащей формулировки задачи
1.0*, естественным образом выбираются из условия, чтобы имел
смысл функционал Е (v) (возникновение его само по себе не совсем
ясно...). Эти пространства позволяют дать надлежащую формули-
118
Рис. 6.5

ровку задачи 1.0, но не очевидно, что они являются «естественны-
«естественными» пространствами...
Отметим еще один момент, также относящийся к результатам
первого типа. Определение /' в общем случае является чрезвычай-
чрезвычайно сложной задачей, и часто приходится ограничиваться подпро-
подпространством, которое не удовлетворяет второму условию, т. е. не
является минимальным. Аналогичная ситуация возникает и в слу-
случаях 2) и 3). Когда же стоит конкретная задача, в которой исход-
исходные данные d фиксированы, бывает интересно определить глад-
гладкость решения и этой частной задачи соответствующего й.
Выбор пространств для постановки задачи является одним из
наиболее важных и трудных этапов ее рассмотрения. По существу,
для общности пространства исходных данных должны быть как
можно более широкими. Что касается пространств неизвестных, то,
грубо говоря, они должны быть, с одной стороны, достаточно ши-
широкими, чтобы можно было доказать теоремы существования, а с
другой,— достаточно узкими, чтобы можно было доказать теоремы
единственности. Наконец, те и другие пространства должны быть
подходящими для задачи в том смысле, чтобы можно было получать
результаты, связанные с гладкостью решений.
Задача о мембране. Обобщение задачи о струне и препятствии
на двумерный случай состоит в следующем: отыскать форму, кото-
которую принимает упругая мембрана, натянутая под трехмерным пре-
препятствием (для более общего л-мерного случая см. [240, 524, 606,
611], а также раздел 7.3 настоящей книги).
С этой задачей тесно связана так называемая задача Плато с
препятствием, которая состоит в отыскании поверхностей с наи-
наименьшей площадью, опирающихся на препятствие (см., например,
1433, 621], а в классической трактовке — [641]). В одномерном слу-
случае задача о препятствии и задача Плато с препятствием (которая
в этом случае и является задачей о минимальной длине) имеют одно
и то же решение, однако в общем случае это не так.
6.2. Некоторые утверждения для линейных задач
второго порядка
На примере простого частного случая — одномерного, мы начи-
начинаем исследование некоторых проблем, которые затем рассмотрим с
более общих позиций. С помощью нескольких примеров мы поясним
смысл результатов по гладкости, рассмотренных нами в конце раз-
раздела 6.1.
Краевая задача. Начнем со следующей задачи.
Задача 6.4. Найти функцию и такую, что
— u"{x)=f{x) в [0Л]; u(Q = u@)=0. F.19)
Мы рассматриваем уравнение —ы" = /, а не и" — f только в це-
целях согласованности с последующим изложением (см. задачу 6.6).
Задача 6.4 поставлена не полностью, поскольку не указана глад-
119

кость функций и и /. Однако мы попытаемся решить ее формально,
а затем обратимся к выбору «естественных» пространств для над-
надлежащей формулировки задачи. Формально интегрируя уравнение .
—и" (х) = / (л;), получим выражение
l
е. F.20)
Оно имеет смысл, если /? L1 (@, /))• При этом условии из F.20)
следует, что и ? С1 (@, /))• Таким образом, полагая в F.20)
a=Udt[f(Q)dQ, МО, F.21)
о о
мы можем утверждать, что равенство
u(x)= — [dt [ f(Q)dQ+ j [d$ [f(Q)dB F.22)
0 0 0 0
является решением следующей задачи.
Задача 6.5. При заданной функции / 6 ?-4@. 0) найти функ-
функцию и еС1 ([0, /]) такую, что и' 6 АС ([0, /]) и
— u"{x)=f{x) п. в. в @,0; ы@ = «@)=0. F.23)
(Заметим, что если и 6 Сг([0, /]) и и' 6 ЛС (Ю, /1), то ы* существует
почти всюду в [0, /]...).
Эта задача, как легко видеть, имеет единственное решение, кото-
которое непрерывно зависит от /. Таким образом, задача 6.5 корректно
поставлена.
Есть аналогия между сформулированным результатом о суще-
существовании решения и результатом Каратеодори для задачи Коши
(см., например, [656, с. 14]): в обоих случаях налицо обобщение
понятия решения. Как в первом, так и во втором случаях клас-
классические результаты по гладкости решения являются только ре-
результатами типа 3). Так, в нашем случае, если принять, что /
удовлетворяет (классическому) предположению / 6 С0 ([0, Л), то из
F.22) следует: существует функция и? С* ([0, П) такая, что
—и" (х) = f (х) в [0, I] и и @) = и @ = 0. Это — классический
результат. Вообще, можно утверждать, что если f ? СГ ([0, /]), то
«€С*+2([0, Я).
Следует отметить существенное различие между этим результа-
результатом о гладкости и аналогичным результатом для задачи о препят-
препятствии — это различие в свойствах гладкости решения при повыше-
повышении гладкости исходных данных. Оно является, по существу, след-
следствием того факта, что задача 6.5 является линейной, задача же о
препятствии нелинейна. Вообще, грубо говоря, в большинстве слу-
случаев гладкость решения линейных задач повышается вместе с по-
повышением гладкости исходных данных, а в нелинейных задачах
120

часто возникает порог гладкости, который решение не может прев-
превзойти, как бы ни росла гладкость исходных данных. Позже мы убе-
убедимся в этом на других примерах.
Вариационная формулировка краевой задачи. Чтобы рассмот-
рассмотреть проблемы, более близкие тем, которые встретятся в последу-
последующих пунктах, доопределим задачу 6.4 другим способом. Умно-
Умножая обе части уравнения —и" = / на произвольную функцию v {x),
обращающуюся в нуль в точках к = 0 и л: = /, и интегрируя фор-
формально полученное равенство от 0 до I, имеем:
— С и" (х) v(x)dx=[f (х) v (x) dx. F.24)
о oJ
Интегрируя по частям (опять формально) левую часть F.24) и учи-
учитывая v @) = v ([) = 0, получаем выражение
i i
j и' (х) v' (x) dx = j / (x) v (x) dx. F.25)
о о
Чтобы это выражение имело смысл, достаточно выполнения условий
и?Н10(@, /)), и6#о(@,0) и /€?2(@, [)). Это приводит нас к сле-
следующей задаче.
Задача 6.6. При заданной функции f^L2(@,[)) найти функ-
функцию и 6 Н\ (@, /)) такую, что
i i
j и' (х) v'(x)dx= f / (x) v (x) dx Vu ? Hi (@, 0)- F.26)
о о
(Знак «минус», в F.9) был выбран для того, чтобы устранить его в
вариационной формулировке, такой как, например, F.26). Это
довольно удобно, поскольку мы имеем дело по существу с выраже-
выражениями именно такого вида, а не с самими дифференциальными урав-
уравнениями.)
Задача 6.6 является вариационной задачей, которая, как легко
видеть из леммы Лакса — Мильграма, корректно поставлена.
В самом деле, в левой части F.26) стоит скалярное произведение
и на v в #о (@, 0) (см. теорему 5.13), а в правой части значение не-
непрерывного линейного функционала в Но (@, /)). определенного
функцией /, на v (см. теорему 5.14). Теперь зададимся вопросом:
какая связь между задачами 6.6 и 6.4? Ответ вытекает из того факта
(см. теорему 6.1), что задача 6.6эквивалентна следующей.
Задача 6.7. При заданной функции f?L2(@,l)) найти функ-
функцию и^Н10(@, 0) такую, что
— u" = f в смысле 0' (@, /)). F.27)
Эта краевая задача, очевидно, является уточнением задачи 6.4.
Кроме того, задачу 6.7 интерпретировать, несомненно, гораздо
легче, нежели задачу 6.5. В таком случае естественно возникает во-
121

прос: почему мы «усложнили проблему», рассмотрев вариационную
формулировку и оставив, тем самым, краевые задачи?
Сейчас, за исключением простых частных случаев, таких как
задачи 6.5 и 6.7, мы не можем в общем случае доказывать непо-'
средственно, что какая-либо задача корректно поставлена. Поэтому
для заданной краевой задачи ЧР{? мы систематически будем пытаться
построить эквивалентную ей вариационную задачу Фи (что не
всегда возможно) и применить для последней теорию, развитую в
гл. 3 и, в частности, сильные результаты Лионса — Стампаккьи
и Лакса — Мильграма. Однако, как мы увидим далее, ^^-форму-
^^-формулировка задачи часто более удобна для доказательства результатов
о гладкости решения, чем ФУ-формулировка. Поэтому задаче, по-
поставленной в вариационной форме*), мы будем стараться построить
эквивалентную ей краевую задачу, которая называется интерпрета-
интерпретацией вариационной задачи как краевой задачи.
Вариационная постановка задачи. Задачи 6.5 и 6.7 — это два
разных способа доопределения задачи 6.4. Точнее, задача 6.7 не
только отличается от задачи 6.5, но она «хуже» ре в том смысле, что в
задаче 6.7 требуется большая гладкость от исходных данных (/ 6
€ L2 (@, /)), а не / б L1 ((О, /))) и меньше информации содержится о
гладкости неизвестной функции (и 6 #о (@, /))> а не " 6 С1 ((О, /))).
Может возникнуть мнение, что вариационная техника приводит к
более «скудным» формулировкам, но это не так. На поверку второй
недостаток (то, что решение менее гладко) является скорее кажу-
кажущимся, чем есть на самом деле: если и — решение задачи 6.7, то из
F.27) сразу следует, что и ? Я2 (@, /)) (это результат о гладкости
типа 1)!). Что касается первого недостатка (исходные данные менее
общие), то мы можем «обогатить» формулировку задачи 6.6, исполь-
используя следующую задачу.
Задача 6.8. При заданной функции /?Н~х(@,1)) найти функ-
функцию и 6 Яд (@> 0) такую, что
V^(((U)). F.28)
Это — вариационная задача, которая по-прежнему корректно
поставлена и, как мы покажем далее, эквивалентна следующей за-
задаче.
Задача 6.9. При заданной функции / б Н~ (@, /)) найти
функцию и 6 Но (@, /)) такую, что
— u" = f в смысле 0' (@,0). F.29)
В конечном счете, задача 6.9 — это краевая задача, которая «скуд-
«скудна» не более, чем задача 6.5, но отличается от нее.
*) Таковыми являются задачи физики, к которым приходят с помощью прин-
принципа минимума энергии или принципа виртуальных перемещений.
122

Теорема 6.1. Задачи 6.8 и 6.9 эквивалентны, т. е. функция
и является решением задачи 6.8 тогда и только тогда, когда и явля-
является решением задачи 6.9.
Доказательство. Докажем сначала, что решение зада-
задачи 6.8 является решением задачи 6.9. Если и — решение задачи
6.8, то имеет место F.28) и, следовательно, при $ (@, /)) с: #' ((О,
/)) и /Г ((О, /)) с #' (@, /)), в частности, имеем
)). F.30)
Вспоминая определение производной в iZ>' (@, /)). запишем F.30) в
виде
W б 0 (@, /)), F.31)
что совпадает с F.29). Это означает, что и является решением зада-
задачи 6.9.
Теперь докажем, что решение задачи 6.9 является решением
задачи 6.8. Если и — решение задачи 6.9, то справедливо F.31);
учитывая, что и?Н\({0,1)), имеем F.30). Теперь, если w — любой
элемент из н\ (@, /)), a wm—последовательность элементов из $ (@,
/)), сходящаяся к w в Н\ (@, /)), то мы можем записать
J и' (х) wm (x)dx = й
F.32)
Таким образом, поскольку, с одной стороны, / является непрерыв-
непрерывным линейным функционалом на Но (@, /)), а с другой
| и' (х)«; (х) dx = (и, wn)<m)) -> (и, «^ ,
получаем
j = H7i((oJ,w)Hl((oi)), F.33)
что совпадает с F.28). Это означает, что и — решение задачи
6.8. ?
Как следствие, из этой теоремы немедленно вытекает, что зада-
задачи 6.6 и 6.7 также эквивалентны. Отметим следующее. Тот факт,
что задача 6.7 (или 6.6) корректно поставлена и имеет место резуль-
результат по гладкости типа 1) (это гарантирует нам, что решение принад-
принадлежит С1 ([0, /])), является сам по себе результатом по гладкости ти-
типа 3) для задачи 6.9 (или 6.7). Кроме того, с учетом замечаний, при-
приведенных в разделе 6.1 после введения различных типов результатов
123

по гладкости, можно переформулировать задачу 6.7 на паре про-
пространств (L2 ((О, 0). С1 A0, /])), а не на паре (L2 (@, 0), Яо (@, /))).
Этот вариант, однако, не вполне пригоден, поскольку с одной сторо-
стороны, С1 (Ю, /1) не является гильбертовым пространством, а с другой
стороны, мы уже не имеем задачи, которую автоматически можно
было бы сформулировать в вариационной форме.
Операторы более общего вида. Оператор — d2ldx2, который мы
рассматривали в предыдущих примерах, является простейшим диф-
дифференциальным оператором второго порядка. В следующих разде-
разделах мы будем исследовать задачи в я-мерном случае, связанные с
операторами более общего вида. Такой оператор для п = 1 можно
определить формулой
Laз=—зг
± а + -^ шп 1+Ф)п, F.34)
(здесь выражение типа — (d2/dx2) ? означает, что мы обращаемся к
самому оператору — (dt/dx2), а не к результату его действия), где
коэффициенты а, Ь, с и d берутся из подходящих функциональных
пространств. Если эти коэффициенты достаточно гладкие, то мож-
можно записать оператор L в эквивалентной форме:
-а(х)~П +ЬМ±п +с(х)П, F.35)
где
Ь(Х) = — da(x)/dx + b(x) + c(x) F.36)
и
с (х) = dc (x)/dx + d(x). F.37)
Однако в общем случае операторы L и L различны, хотя каж*
дый их них не является более общим, чем другой. Здесь мы будем
использовать оператор L, поскольку его структура, называемая
дивергентной структурой, наиболее удобна для применения фор-
формулы интегрирования по частям (или формул Грина в п-мерном
случае), которая является основным аппаратом при вариацион-
вариационном исследовании дифференциальных задач.
Задачи на собственные значения. В заключение на простом
примере продемонстрируем трудности, с которыми приходится стал-
сталкиваться в процессе исследований. Рассмотрим оператор
L%n=-~n+bU, ^6R, F.38)
— простой частный случай оператора L (или L) — и связанную с
ним следующую краевую задачу.
Задача 6.10. Найти функцию и ? На (@, 0) такую, что
Uu = — и" (jc) + ku(x) = 0 в @, /). F.39)
124

Простые вычисления показывают, что если X имеет вид
*»] = — (*я//J, * = 1,2 F.40)
то функция
u[ik](je)=sin-y-*, ft =1,2,..., F.41)
является решением задачи 6.10. Это означает, что задача не явля-
является корректно поставленной, поскольку (для любого X б R) функ-
функция и (х) = 0 также является решением.
В связи с этим обстоятельством наряду с задачами типа 6.10
естественно рассматривать такие задачи как следующая.
Задача 6.11. Найти множество a (d2/dx2) действительных
чисел X, для которых задача 6.10 не является корректно постав-
поставленной .
Задачи такого вида называются спектральными задачами или
задачами на собственные значения, поскольку множество a (tf/dx2)
называется точечным спектром оператора d2/dx2, а его элементы,
определенные формулой F.40) числа \щ, называются собствен-
собственными значениями задачи 6.10. Аналогично, решения ищ (х), опре-
определенные формулой F.41), называются собственными функциями
задачи 6.10.
Исследование проблем типа 6.11 лежит в области спектральной
теории — одного из наиболее развитых разделов функционального
анализа (см., например, [35, 37, 660, 723, 7, 382]), к которому мы
вернемся, хотя и очень кратко, в следующей главе.
В заключение воспользуемся возможностью, представленной
сформулированой выше задачей, которая дает типичный пример
применения спектральной теории. Так, квадратные корни из соб-
собственных значений \[ft] задачи 6.10 определяют частоты (или моды)
собственных колебаний струны длины / с закрепленными концами,
а собственные функции щщ (х) представляют собой форму, которую
принимает струна, если она колеблется с собственной частотой,
соответствующей Х[^. Отметим, что уравнение — и"(х) + Хи(х) =
= 0 получено из уравнения колебания струны методом разделения
переменных — см., например, [663, с. 34, 43]. Подобный анализ
движения колеблющейся мембраны — естественное обобщение пре-
предыдущей задачи на двумерный случай — можно найти, например,
в [33].
Глава 7. ПРИМЕРЫ МНОГОМЕРНЫХ
ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
7.1. Общие замечания о дифференциальных операторах
Мы интересуемся только линейными эллиптическими оператора-
операторами второго порядка, однако будет полезно сделать несколько заме-
замечаний о дифференциальных операторах вообще, с тем чтобы иметь
надлежащую основу для наших исследований.
125

Дифференциальные операторы: квазилинейные, полулинейные
и линейные. Что мы подразумеваем под дифференциальным операто-
оператором? Не исчерпывающий, но достаточный для наших целей ответ
заключается в следующем. Пусть Q — произвольное открытое мно-
множество из R", т — положительное целое число, а Ф — действи-
действительная функция, определенная на цилиндре
т
ИХ П R[<1=, [i]= = card {ос б N": | а | = i}.
i=0
Тождество
Ли = Ф/д;,,... , д; и, -^— и,..., -х—и,..., —-и,..., и) G.1)
определяет Л — дифференциальный оператор порядка m на Q, вся-
всякий раз, когда правая часть G.1) имеет смысл. (Отметим, что оп-
определение Л не полно без информации о его области определения —
множества функций и, на которые оператор может действовать.
Здесь мы просто предполагаем, что функции и принадлежат соот-
соответствующему функциональному пространству U (Q), и вернемся
к этому вопросу позднее). Впредь мы всегда будем рассматривать
случай т = 2 и, следовательно, операторы, определенные тож-
тождествами вида
Оператор Л называется квазилинейным, полулинейным или
линейным, если функция Ф такова, что G.2) можно записать в виде
(| 4) G>3>
п
Ли = 2< Ун\%v
или
п
соответственно.
126
~'Хп)
п
1=1
д*
dx.dxj
i f
и +
>Хп)-
д
t
д
дхг
д
п

В последнем случае, если к тому же функции ср^, % и ср являются
константами, говорят, что Л — линейный дифференциальный опе-
оператор второго порядка с постоянными коэффициентами. Есте-
Естественно, что для этих операторов известно наибольшее количество
результатов (см. [711] или, в более общем рассмотрении, [61]).
Дифференциальные уравнения: квазилинейные, полулинейные
и линейные. Дифференциальное уравнение в О (дифференциальное
уравнение в частных производных, если п> 1, и обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение, если п = 1) есть выражение вида
Ли = /, G.6)
где Л — дифференциальный оператор, и — неизвестная функция,
/ — исходные данные (и и / лежат в соответствующих функциональ-
функциональных пространствах на Q). Это равенство интерпретируется следую-
следующим образом (что тесно связано, кроме того, с упомянутыми про-
пространствами): если функция и такова, что Ли =г /, то и называется
решением уравнения G.6). Уравнение называется квазилинейным,
полулинейным или линейным в зависимости от вида Л.
Фундамента.!ьные решения. В общем случае к дифференциаль-
дифференциальному уравнению присоединяют дополнительные условия, которым
должно удовлетворять решение. Однако может быть полезным ис-
исследование некоторых дифференциальных уравнений независимо
от других условий. В этой связи интересен следующий результат
(см., например, [86]).
Теорема 7.1. Для любого линейного дифференциального
оператора Л с постоянными коэффициентами существует по
крайней мере одна обобщенная функция и 6 ?>' (R"), являющаяся
решением уравнения
Аи = б0 в смысле ЗУ (R"). G.7)
Обобщенная функция и называется фундаментальным решени-
решением оператора Л. Понятие фундаментального решения оператора
тесно связано с понятием функции Грина, соответствующей опера-
оператору. Это понятие широко изучалось в классических трудах по
дифференциальным уравнениям в частных производных (см., напри-
например, [43]). Например, обобщенная функция
П»/2) w+ , +X2f~n^ если п>2>
го -\ о_и/2 ч 1 ' ' п>
и =
4rlog(x2i+xl)l/2, если п=2, I7-8)
[х]+, если п = 1,
где Г — гамма-функция, является фундаментальным решением в
R" оператора Лапласа
127

Классификация дифференциальных операторов второго порядка-
Мы приведем здесь классификацию линейных дифференциальных
операторов второго порядка, которая легко может быть применена
и для квазилинейных и полулинейных операторов второго порядка.
Кроме того, существуют классификации, которые распространяют-
распространяются и на операторы более высоких порядков.
Классификация основана на том факте (который мы проверим
позднее для эллиптических операторов), что свойства линейных
дифференциальных операторов существенно зависят от той части,
которая содержит производные высших порядков. Оператор
мы будем называть главной частью оператора Л, определенного ра-
равенством G.5).
С другой стороны, очевидно, что свойства оператора РЛ зависят
только от функций 4>u(xlf ...,хп) в каждой точке Q. В таком случае
нам необходима классификация локального характера. Пусть тогда
¦*°=(*i *?) — какая-либо точка из Q, рассмотрим оператор
рл*. п - f ф,,(*? дф —- а. G.П)
Легко видеть, что формула
РЛ*. (е<^>) = Q*« (&)<**•», G.12)
п
где | == (li |п) 6 R", (x,l) = ^ xtlt, a Q*» — квадратичная форма
G.13)
устанавливает изоморфизм между множеством операторов G.11) и
множеством форм G.13). Таким образом, проблему классификации
дифференциальных операторов мы свели к проблеме классифика-
классификации квадратичных форм.
Так, оператор Л, определенный равенством G.5), называется
эллиптическим, параболическим или гиперболическим в точке х° в
зависимости от того, какой является квадратичная форма, соот-
соответствующая главной части оператора в точке х°: определенной,
полуопределенной или неопределенной. Мы вообще будем рассмат-
рассматривать функциональные пространства, в которых последователь-
последовательное дифференцирование не зависит от того порядка, в котором оно
выполняется. Следовательно, мы можем предположить, что в G.5)
Ф(У = 4>н в й. При этих условиях мы можем дать более точную
128

классификацию дифференциальных операторов. В самом деле, в этом
случае матрица [фгП*0)]» соответствующая форме G.13), является
симметричной и, следовательно, ее можно привести к диагональной
т
подходящей заменой переменных 0г = V ctl (х°) \j. Тогда квадратич-
/=i
ную форму G.13) можно записать в виде алгебраической суммы
квадратов:
*0)е?, G-14)
где kt (х°) — постоянные, зависящие от матрицы [ctj (х°)], которая
определяет преобразование переменных. Однако известно (закон
Сильвестра об инерции квадратичных форм), что так называемые
инварианты квадратичной формы, инерция /=card {/ег (jc0) : /е^ (л:0) >- 0}
и дефект D = card {kl(x°):ki (х°) = 0}, не зависят от матрицы
[сц(х0)]. Теперь, полагая Т — п— (I + D), будем говорить, что в
точке х° оператор Л, определенный равенством G.5) при срг;- = ф;г,
является
эллиптическим, если / = п, D = О, Т = 0 или / = 0, D = 0,
Т = п;
гиперболическим, если / ;> 0, D = 0, Т > 0;
нормальным гиперболическим, если / = п — 1, D = 0, Т = \
или / = 1, D = 0, Т = п — 1;
ультрагиперболическим, если / >> 1, D = 0, Т>1;
параболическим, если D > 0;
нормальным параболическим, если I = п — 1, D = 1, 7" = 0
или / = 0, D = 1, Г = п— 1.
Оператор Л называется эллиптическим (гиперболическим и т. д.)
в области Q, если оператор Л — эллиптический (гиперболический
и т. д.) в каждой точке Q. Используются также различные комби-
комбинации этих терминов. Например, если Л — эллиптический в Q, с
с: Q, параболический в Q2 cr Q (Qx f\ Q2 — 0) и гиперболи-
гиперболический в Q\(Qj U Q2), то говорят, что Л —оператор смешанною
типа (эллиптично-параболично-гиперболический в Q). Далее,
уравнение, соответствующее оператору, который является эллип-
эллиптическим (параболическим и т. д.) в Q, также называется эллипти-
эллиптическим (параболическими и т. д.) в Q.
«Геометрическая» терминология, используемая при классифи-
классификации дифференциальных операторов, возникла из-за того, что
в случае двух переменных оператор
Л П = Фи (*i, х2) -^- ? + 2ф12 (xv x2) -^j- ? +
+ ф22 (*i> х,) -г ? + Ф1 (xv хя) -jr— П +Ф2 (xv *2)-j— П + Ф (JCi, Xt) D
оХу ил1 "^а
G.16)
является эллиптическим, параболическим или гиперболическим в
9 К. Байокки, А. Капело <2Я

точке х = х° 6 Q — когда выражение
в ф22, (дс°, дс°) - ф11 (дс°, *°) ф22(до, *°) G.16)
меньше нуля, равно нулю или больше нуля соответственно (см.,
например, [68]), т. е. когда уравнение
12 (дс°, дфЕхБ, + ф22 D, *°Щ +
+ q>, (до, дф^ + ф2 D *°)|2 + фD дф - 0 G.17)
описывает эллипс, параболу или гиперболу. (Отметим, что d (я0) яв-
является дискриминантом квадратичной формы G.17).)
Мы не будем рассматривать здесь вопросы, связанные с теори-
теорией характеристик и особенно важные для параболических и гипер-
гиперболических уравнений. В этой связи см. [68, 314]. Для оператора
вида G.15) характеристиками являются кривые, определяемые урав-
уравнением
yudx\ + уггйх\ —- 2^1^1х1йхг =¦ 0. G.18)
Некоторые классические операторы. Классическими примерами
эллиптических, (нормальных) гиперболических и (нормальных)
параболических операторов в R3 являются соответственно оператор
Лапласа (или оператор потенциала)
АП = {Р/дя*) ? + (дУдх22) ? + (У/Лф О, G.19>
х2
оператор Д'Аламбера (или волновой оператор)
? ? = (dVdt2) ? — (дЧдх*) ? — (<32/<?4) п G.20)
и оператор Фурье (или оператор теплопроводности)
* ? = (d/dt) ? — (<32/<3*2) ? — (dVdxl) ? G.21)
(в G.20) и G.21) мы написали t вместо х3, поскольку эта переменная
(«временная») имеет совершенно иной физический смысл, нежели
(«пространственные») переменные jc1 и х2).
Примером оператора смешанного типа в R2 является оператор
Трикоми
Т ? = у (дЧдх2) ? + (дЧду2) ?, G.22)
который имеет большое значение в гидродинамике и является ги-
гиперболическим при у < 0, эллиптическим при у > 0 и параболи-
параболическим при у = 0.
Начальные и краевые задачи. Классификация операторов по
типам, которую мы привели, может показаться искусственной (если
не совершенно бесполезной), потому что мы охарактеризовали объ-
объекты, мало относящиеся к алгебре, с помощью алгебраических
инвариантов. Однако последующие обсуждения покажут, что та-
такая классификация имеет глубокое значение.
130

Явления переноса излучения (или, например, электромагнитной
энергии) описываются, как правило, довольно хорошо гиперболи-
гиперболическими уравнениями, а явления диффузии (например, тепла)
обычно описываются достаточно полно с помощью параболических
уравнений. Как иррадиация, так и диффузия являются эволюцион-
эволюционными процессами, т. е. явлениями, которые явным образом зави-
зависят от времени. В связи с этим при их математическом модели-
моделировании естественно сформулировать гак называемые задачи Коши,
в которых к дифференциальным уравнениям присоединяют опре-
определенные условия, называемые начальными условиями. Этим усло-
условиям должно удовлетворять решение (а в гиперболическом случае
и его производная по времени) в заданный момент времени. В даль-
дальнейшем мы приведем примеры таких задач; однако, отметим, что
они — не единственные «естественные» задачи, возникающие при
моделировании явлений эволюции. Особую важность представляют
здесь смешанные задачи в смысле Адамара, в которых одновремен-
одновременно ставятся начальные и краевые условия. Сейчас мы обсудим имен-
именно этот второй тип условий.
Для эллиптических уравнений задачи Коши, как правило, явля-
являются некорректно поставленными. Эллиптические уравнения описы-
описывают довольно хорошо стационарные процессы, т. е. явления,
которые не зависят явным образом от времени (например, явле-
явления, связанные с электрическим потенциалом), и для них есте-
естественно формулировать задачи совершенно иного рода. Учитывая,
что наш основной интерес сосредоточен на эллиптических операто-
операторах, напомним с помощью некоторых примеров классические фор-
формулировки наиболее важных задач такого типа. В следующем раз-
разделе мы вновь обсудим их в несколько другом контексте.
Пусть Q cz R2 — открытое ограниченное множество класса
С1, /б С0 (Й) — функция, заданная на Q, /ь /2, /„ б С0 (Г) — три
функции, заданные на границе Г области Q. Рассмотрим дифферен-
дифференциальное уравнение
— Ди + Ал = / на Q, G.23)
где А — оператор Лапласа, Я — действительное число. В зави-
зависимости от того, какие дополнительные условия мы присоединим к
этому уравнению, получим различные задачи; эти задачи называ-
называются краевыми задачами (или задачами с условиями на границе) по
причинам, которые скоро станут вполне понятными.
Задача 7.1. Найти функцию и б С2 (Q) f) C° (Q) такую, что
— Au + lu=-f в Q, G.24)
и = fx на Г (условие Дирихле). G.25)
Следующая задача, где через d/dv мы обозначаем оператор диф*.
ференцирования по (внешней) нормали к Г, известна под названием
задачи Неймана.
9* 131

Задача 7.2. Найти функцию и 6 С2 (Я) П С1 (Я) такую, что
— Au + Xu = f в Я, G.26)
duldx = /2 на Г (условие Неймана). G.27)
Отметим, что это — не задача Коши! (Производная по нормали
имеет только «геометрические» характеристики, а не «временные».)
Естественным обобщением этой задачи является следующая зада-
задача с косой производной, где через dldl обозначена производная по на-
направлению /, которое непрерывно связано с каждой точкой грани-
границы Г.
Задача 7.3. Найти функцию и 6 С2 (Я) с: С1 (Я) такую,
что
— Au + %u = f в Q, G.28)
duldl = /3 на Г (условие с косой производной). G.29)
Если существует постоянная а такая, что для каждой точки гра-
границы Г cos (v, I) ;> а > 0, то задача с косой производной называ-
называется регулярной. Заметим, что если в какой-то точке cos (v, t) = О,
то эта задача вырождается в задачу с тангенциальной производной,
которая трудна для рассмотрения.
Возможны обобщения и сочетания этих задач; особый интерес
представляет следующая смешанная задача Дирихле — Неймана:
Задача 7.4. Найти функцию и 6 С2 (Я) |~| С1 (Я) такую, что
— Au + Ku = f в Я, G.30)
и = fx на Гх (условие Дирихле), G.31)
duld\=f2 на Г2 (условие Неймана), G.32)
где 1\ — часть Г и Г2 = Г\1\.
Отметим следующее важное обстоятельство, касающееся терми-
терминологии. Если f = 0, то уравнение G.23) называется однородным
уравнением; далее, если fj = /2 = /з = 0 (даже если f Ф 0), то все
предыдущие задачи называются однородными задачами.
Оператор —ДП + ^П, который фигурирует в рассмотренных
эллиптических задачах разных типов, иногда называют мепгагар-
моническим, так как А называют иногда гармоническим операто-
оператором. Любопытно, что всякий эллиптический линейный дифферен-
дифференциальный оператор второго порядка с постоянными коэффициен-
коэффициентами может быть приведен к метагармоническому оператору под-
подходящей заменой переменных. Кроме того, в связи с заменой пере-
переменных отметим еще, что наличие у дифференциального оператора
постоянных или переменных коэффициентов не является инвариант-
инвариантным относительно этой замены. Так, например, параболический
оператор с переменными коэффициентами ЛП = (д2/длф ? +
+ 2х2 (dVdjqdjtsj) ? + х\ (dVdxf) ? переходит в параболический опе-
оператор с постоянными коэффициентами ЛП = (d2/<ty|) ? — {д/ду^ ?
при (нелинейной) замене переменных у2 = ха и ух = хх — (х\12).
132

Интересен следующий результат, аналогичный по духу теоре-
теореме 7.1 (исследование дифференциального уравнения независимо от
дополнительных условий): если Q cr R2 — односвязное открытое
ограниченное множество, содержащее начало координат, то каждое
регулярное действительное решение (т. е. из класса С2 в Q) урав-
уравнения Аи + "Ки = 0 можно представить в виде
х2) = aJ0 (Ь1/21 z |) + Re (J Ф (?) Jo
о
где г = Хх + г*2> «Л> — функция Бесселя первого рода нулевого по-
порядка, а — действительное число, ф (?) — голоморфная в п функ-
функция (здесь Q — уже подмножество С с учетом соответствия (хи
*г) ** z = *i + г'^г)- Дополнительные условия на решение позво-
позволят нам в каждом конкретном случае найти постоянную а и функ-
функцию ф (см., например, [17]).
Задача Коши. Рассмотрим пример задачи Коши. Это известный
пример Адамара, который подтверждает наше высказывание о
том, что задачи Коши для эллиптических операторов являются,
вообще говоря, некорректно поставленными (в связи с этим см.
[446—448,477,521]).
Задача 7.5. Найти функцию и 6 С2 (R+) П С1 (R+) та-
такую, что
Аи а дги1дх\ + д2и/дх22 = 0 в R+, G.33)
u(*lf0) = 0, G.34)
^ n(nxI). G.35)
Условия G.34) и G.35) являются так называемыми начальными
условиями, иначе они известны под названием условий (данных)
Коши (переменная х2 заменяет здесь «временную» переменную).
Эта задача, единственным решением которой является аналити-
аналитическая функция
и (х1г х2) = A /n2) sinh (nx2) sin (nx^, G.36)
некорректно поставлена. В самом деле, при п -*¦ оо условие G.35)
переходит (равномерно) в однородное условие
-j?-(*i.0)=°. G-37)
которому соответствует решение и = 0. Но с другой стороны, функ-
функция G.35) не сходится при п -*• оо (по крайней мере, в классических
пространствах) к функции, тождественно равной нулю. (Здесь,
таким образом, нет непрерывной зависимости от исходных данных,
и задача, по существу, некорректно поставлена.)
Другой вариант этого примера можно найти у Мизохаты (см.
[51]).
133

Оператор L. Рассмотрим теперь дифференциальный оператор,
который является л-мерным аналогом оператора, определенного
формулой F.34):
-2 (ir^w~
n
2 ?? ¦ G-38)
Этот оператор, который называют оператором с главной частью
в дивергентной форме, не может быть записан в виде G.5) (если мы
не требуем, чтобы коэффициенты были дифференцируемыми —
а как раз этого требовать мы не будем). Операторы такого вида воз-
возникают в задачах физики естественным образом — например, в ра-
работе Ладыженской, Уральцевой (см. [45]) есть такой пример, взятый
из теории дифракции. Так или иначе, этот оператор, очевидно,—
линейный дифференциальный оператор второго порядка, который,
несомненно, поддается классификации. Мы ограничимся случаем,
когда L эллиптический, точнее, когда L удовлетворяет условиям
следующего определения.
Определение 7.1. Оператор G.38) называется равно-
равномерно сильно эллиптическим в Q, если
Зс>0 -f ||БIIs<| J аи(х)Us\<Р\\\II2 п.в. в Q, ?€R"- G-39)
Отсюда сразу следует, что если L равномерно сильно эллипти-
эллиптичен в Q, то L эллиптичен в Q. Поскольку мы будем рассматривать
операторы только при этих условиях, то термин «эллиптический»
будем использовать как синоним выражения «равномерно сильно
эллиптический». Теорию, развитую при более слабых ограниче-
ограничениях, не требующих, чтобы оператор был равномерно эллипти-
эллиптическим (эллиптически-параболические операторы), можно найти,
например, в [59, 381].
Как уже сказано, чтобы полностью определить оператор, недо-
недостаточно записать формулу типа G.1) — нужно еще задать область
определения. В нашем случае пока еще нет необходимости опреде-
определять G.38) полностью: в самом деле, мы должны еще указать глад-
гладкость коэффициентов ai}, Ьь сь d (i, /=1, ..., п). В этом отношении
с целью достижения наибольшей общности можно пойти двумя пу-
путями: либо установить гладкость коэффициентов и найти «про-
«пространство функций минимальной гладкости», на которых G.38)
имеет смысл, либо зафиксировать область определения оператора
и определить «минимальную гладкость», которой могут обладать
коэффициенты, так, чтобы оператором можно было действовать на
элементы выбранной области определения. Здесь мы будем следо-
134

еать второму пути: в качестве области определения оператора L
выберем пространство Н\ж (Я) и определим минимальную гладкость
коэффициентов (среди всего семейства пространств, которое мы до
сих пор рассматривали) так, чтобы имело смысл ур авнение вида
Lu = / в $' (Я) G.40)
при ие#1ос(Я) и /€#'(Q)-
Итак, наши исследования мы будем проводить в гильбертовых
пространствах; в банаховых пространствах эллиптические операто-
операторы рассматриваются, например, в работах [618, 93, 542—548].
Сначала наложим на Lu и на коэффициенты оператора L требо-
требования локальной гладкости, с тем чтобы среди операторов L оказа-
оказались также операторы с постоянными коэффициентами. В дальней-
дальнейшем мы ограничимся рассмотрением ограниченных множеств и тогда
введем условия гладкости в целом.
Анализируя почленно выражение Lu, т. е.
-к ш+du'{7Л1)
г
1=1 1=1
мы убеждаемся в следующем. Чтобы Lu принадлежало .23' (Я), дос-
достаточно выполнения следующих условий:
(h 1) аи 6 L?oc (Я), t, / = 1,.... п,
поскольку в этом случае условие и 6 Н\ос (Я) влечет ди/dxj g
€^?ос(Я), поэтому aij(du/dXj)(zL\Oc{?i) и, следовательно, имеет смысл
рассматривать производную -г—Ыц-^—\ в 0' (Я);
cxi \ axj I
(h2) bt 6 Lfoc (Я) при любом р > 2, i = 1,..., п,
поскольку элемент 6, (du/dxi) 6 L\oc (Я) и, следовательно, является
элементом $' (Я);
(пЗ) сг6-Мое(Я1 при любом q~^2, г = 1,...,я,
в этом случае ctu 6 L\oc (Я) и, по существу, имеет смысл рассматри-
рассматривать производную -5— (ctu) в 0' (Я);
ох1
(h4) йF^1Гос(Я) при любом г>2,
поскольку элемент du 6 Li'Oc (Я) и, следовательно, является элементом
$ (Q).
При условиях (Ы) — (h4) мы имеем Le{?(Hioc(Q), 0' (Й)).
Линейность оператора L. очевидна, а непрерывность следует нз
того, что операции дифференцирования, сложения и умножения,
содержащиеся в G.14), непрерывны. Это очень важное заключение,
поскольку в современной теории дифференциальных уравнений об-
общей тенденцией является сведение исследований дифференциальных
№

уравнений к изучению дифференциальных операторов, действующих
в подходящих функциональных пространствах.
Условия (hi)—(h4) можно еще более ослабить. Однако это не
очень интересно, поскольку они и так слишком слабы для эффектив-
эффективного исследования оператора L (в смысле доказательства коррект-
корректности некоторых задач, связанных с этим оператором). В связи с
этим в следующем пункте мы перейдем к другим предположениям,
требующим большей гладкости от коэффициентов благодаря допол-
дополнительным ограничениям на степени их суммируемости (рассмат-
(рассматривая при этом гладкость в целом).
7.2. Линейные задачи
7.2.1. Введение. Однородная задача Дирихле. Рассмотрим сна-
сначала следующую краевую задачу с оператором L, определенным
формулой G.38).
Задача 7.6. При заданной функции / ? Sb' (Q), где Q —
ограниченное открытое множество из R", найти функцию и 6 #о (й)
такую, что
Lu = f в &'{Q). G.42)
Заметим, прежде всего, что задача 7.6 является краевой задачей;
условия на границе включены в требование и ? Но (Q). Когда Я не-
нерегулярно, эти условия имеют чисто формальное толкование. Но
если граница Г области Q принадлежит, например, классу С0-1, то
эти условия можно записать как и |г = 0 (в смысле следов функций
класса Н1 (Я) — см. теорему 5.21). В таком случае задачу 7.6
следует назвать однородной задачей Дирихле.
Вариационная формулировка однородной задачи Дирихле.
Сформулируем задачу 7.6 в вариационной форме, которую потом
можно будет рассматривать в рамках теории, развитой в гл. 3.
С этой целью распишем G.42) подробнее, используя G.38) и опре-
определение равенства в смысле обобщенных функций:
^(r)
Vq>6iS(Q) G.43)
или по определению производной в смысле обобщенных функций
п п
' ?=1
п
136

G.44)
Теперь условие u?Ho(Q) и условия (hi) — (h4) на коэффициенты
оператора L позволяют переписать G.44) в виде
i=\ a
(=1 Q Q
Рассмотрим билинейную форму а {и, <р): HJ, (Q) х 0 (Я) -»¦ R:
G.46)
тогда G.45) примет более компактный вид;
а (и, ф) - ®,@)(f, ф)^(й) УФ б iZ) (Q). G.47)
(Отметим, что, как и в главе 6, все рассматриваемые здесь функцио-
функциональные пространства действительны, так что предполагается,
что билинейная форма а принимает действительные значения.)
Уравнение G.47) не является вариационным уравнением в смыс-
смысле определений гл. 3. В нем, с одной стороны, а (и, ф) является били-
билинейной формой только на Н\ (Q) х $> (Я), а не на Н\ (Q) x H\ (Q),
а с другой стороны, / — не обязательно линейный функционал над
//J(O).
Второй недостаток можно немедленно исправить, если считать
впредь / 6 U~x (Q) вместо f € 0' (Q).
Первый недостаток будет объектом последующего обсуждения.
Нашей целью будет доказать тот факт, что при достаточно гладких
коэффициентах оператора L билинейная форма а (и, ф) может быть
продолжена с HlQ(Q) x #(Q) на //o(Q) X //o(Q). Для этого нам нуж-
нужны, по существу, такие коэффициенты atj, bt, ct, d (i, j = 1, ...,n),
чтобы произведения
au(ди/dxj)(ду/дхД, bt(du/dxt)ф, с,и{ду1дхг), йщ, i,j = l,...,n,
были суммируемыми в Q при и, ф^//о(й). Используя вложения
Но (Q) с н. L2n/(n-2) (Q) при п > 2,
Н\ (Q) c=^. Lr (Q) при любых г > 1, п = 2, G.48)
прип = 1,
137

сразу заключаем следующее. Чтобы билинейная форма а (и, <р):
Но (Q) х Но (Q) -> R имела смысл, достаточно, чтобы коэффициенты.
оператора L удовлетворяли следующим условиям при i,j = l,...,n:
(HI) ay€Z."(Q);
(Н2) b, 6 Ln (Q) + L°° (Q) при n > 2,
6,6 ?2+E (Й) + ?°° (fi) при n = 2, e > 0,
?"(fi) прип=1;
(H3) ci 6 Z/1 (fi) + L°° №) при л > 2,
С; 6^2+E (fi) + Z-00 (Й) при n = 2, б > 0,
сг6^2(й)+^°°(^) прип=1;
(H4) d 6 Ln/2 (Q) + Z-00 (Q) при n > 2,
deL1+s(Q)+L°°(Q) при п = 2, б>0,
dei-1^) + L°°(?2) прия=1.
(Конечно, для ограниченной области Q пространство L°° (Q) может
быть опущено в условиях (Н2) — (Н4).)
Обозначим опять через а расширение билинейной формы G.46) с
fil(Q) х i5(S) на Ho{Q)xHo(Q)- Позже мы докажем, что форма а не-
непрерывна на Нй (Q) х Но (Q). Отсюда, в частности, следует, что она
непрерывна на Н\ (Щ х 0 (й) в топологии Н\ (Q) X Н\ (й) и, следо-
следовательно, поскольку $(Q) плотно в Hl(Q), билинейная форма G.46)
имеет единственное непрерывное расширение в этой топологии.
Используя условия (HI) — (Н4), которые сильнее, чем (Ы) —
(h4), мы можем фактически доказать следующую теорему.
Теорема 7.2. Если коэффициенты atj, bt, cv d (i, j = 1, ...,ri)
удовлетворяют условиям (HI) — (H4), то билинейная форма а {и,
ф): Я0(й) x #o(Q)-^-R непрерывна, т. е.
| а (и, Ф) |< A \\ u\\Hha) \\ <p||Hl(Q) Уи,Ф€//о(П)- G-49)
Доказательство. Мы проведем доказательство только для
случая п > 2, используя неоднократно неравенство
il«llL2ri/(ri-2,(fi)<^ll«llHi(Q) VueHl(Q), Co = const>0,
G.50)
которое означает непрерывность вложения Но (Р>) в L n/(n~2)(Q). Слу-
Случаи п = 1 и п = 2 рассматриваются аналогично. При доказательстве
138

мы будем использовать эквивалентность обычной нормы в Но (Q)
и (не гильбертовой) нормы
¦•"<*.-
<*.
<752>
Эта эквивалентность выражается через двойное неравенство
ci II«11н1(й) < III " НЦго < С2II и 11„1<а). clf c2 = const > 0. G.53)
При условии, что u,q>E.H0(Q) и выполнены условия (HI) — (Н4),
из G.46) следует:
\а(и,ф)|< 2 IIа»Нь-
+ S II fe« IL»(O) IIди/дх*
i
(=1
+ II d ||Ln/2(Q) II « l|L2n/(n-2)(Q) II ф l|L2n/(n-2)(Q). G.54)
Учитывая G.50) и G.53) и вспоминая, что ||^«/^||^@)<|||и|||н1(В)»
приходим отсюда к утверждению теоремы при
k = An2cl + Впс0с2 + Спс0с2 + Del, G-55)
где
А = max || аи ||L«,(Q)> В = max || bt ||Ln(Q),
С = max || cf ||tn(o). D = IId llz.«/2(n>- ?
Теперь мы можем сформулировать следующую задачу.
Задача 7.7. При заданной функции f^H~1(Q) найти функцию
u?Hl(Q) такую, что
a(«,t>) = H_I(Q)(/,t>)Hi(Q) Vo€ffJ(Q). G.56)
Это уже вариационная задача, она эквивалентна задаче 7.6 (когда
вместо условия /6$'Ф) рассматривается f?H~l(Q)). Таким обра-
образом, мы достигли нашей цели, т. е. сформулировали задачу 7.6 в
вариационной форме. Теперь мы будем исследовать задачу 7.7.
139

О коэрцитивности билинейной формы. Билинейная форма а не
является в общем случае коэрцитивной и, следовательно, мы не
можем применить результаты главы 3 к задаче 7.7. У нас есть две
возможности: либо наложить на коэффициенты ai}, bt, cit d (i, j =
= 1, ..., n) дополнительные ограничения, которые гарантируют ко-
эрцитивность билинейной формы а, либо воспользоваться возму-
возмущением задачи, изменяя билинейную форму на коэрцитивную (в
этом случае по информации о возмущенной задаче нам придется вос-
восстановить информацию об исходной задаче!...). Здесь мы рассмотрим
обе эти возможности, но в основном будем использовать вторую,
поскольку она дает очень интересные результаты.
Что касается первой возможности, предложенной выше, сфор-
сформулируем следующий результат.
Теорема 7.3. Если коэффициенты atj, bt, ct, d {i,j = l,...,n)
удовлетворяют условию
t au W Uj > « ? ?? П 6 Г п.в. в Q, G.57)
где а — const>0u
c0c2nB + coc^tC -f- c\D < a/2, G.58)
mo
JQ), G.59)
т. е. билинейная форма а коэрцитивна на Ho(?i).
Доказательство можно найти, например, в [685, с. 200]. По су-
существу, эта теорема утверждает, что если оператор L эллиптичен в
Я (выполнено G.57)) и коэффициенты Ьс, сь d (i, j = 1 п) до-
достаточно малы (выполнено G.58)), то форма а коэрцитивна на Но (Я).
Условие G.58), которому легче удовлетворить при меньшей [г (Я),
совершенно отличается от условий (HI)—(Н4): последние явля-
являются предположениями о гладкости, в то время как G.57) является
алгебраическим условием, а G.58) — это условие, которое можно
назвать метрическим. Как было упомянуто выше (см. раздел 7.1),
мы предполагаем, что G.57) всегда верно и, тем самым, рассматри-
рассматриваем только эллиптические операторы.
Что касается второй возможности, докажем сначала следующий
результат.
Теорема 7.4. Существует вещественное число Я ? R такое,
что для всех %^% билинейная форма
ах {и, v)=a (и, v) + K (и, t»)L,(Q) G.60)
является коэрцитивной на Hl0(Q), т. е.
ЭХ>0 V*>X ax (и, f)>T-|M&>(Q). G-61)
где a>0 — множитель из G.57).
140

Доказательство. Заметим сначала, что при f?Lp(Q) и е>
>0 всегда можно найти функции f2^?Lp(Q) и /['3?L°°(Q) такие,
[2]
/ = /Ш + fm. G.62)
Действительно, пусть k — положительное действительное число. Рас-
Рассмотрим множества
и функции
k при
/ (x) при х ? Q\(QJ U ФГ),
. — k при хбОГ,
G.63)
/[2] = /-Л G.64)
Чтобы убедиться в существовании такого k > 0, что /[1] и /[2] удов-
удовлетворяют сформулированным выше условиям, достаточно только за-
заметить, что
= J
+
. G.65)
Отсюда следует, что при возрастании k величина || / ] ||i.P(Q) стремит-
стремится к нулю (поскольку [д,(Оа~) и ц(ЯГ) стремится к нулю), и, следо-
следовательно, существует k (не зависящее от б) такое, что || /[2] ||lP(Q) <
< е и, в то же время, || /[1 [I
= supess | /[I
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Сог-
Согласно предыдущему замечанию, представим функции bit ct, d (i =
== \,...,n) в виде разложений вида G.62) и вместе с тем рассмот-
рассмотрим разложение билинейной формы а на сумму двух форм
, G.66)
*, G.67)
141
eW (и, v) = J B йрт ^L о - j; ^« ^
которые мы рассмотрим по отдельности.

Для любой функции u6#o(Q) имеем
1=1
n
+ Ё 6II ~Щ |Ца> "V
G.68)
или с учетом G.50) и G.53),
оВ1 @, v) < Bес0с2 + ucg) || у ||» ,(в). G.69)
Если выбрать е (до сих пор на е мы не накладывали ограничений)
такое, что
G.70)
TO
О
Следовательно, доказательство G.61) эквивалентно доказательству
следующего утверждения:
G.72)
Теперь, используя эллиптичность оператора L, запишем (полагая
? = grady(*) в G.57))
I !>?J2|жГ^ G73)
и далее, полагая р = max || b\l] ||Loo(Q), 7 = max || ф \\L<X>{Q) и б =•
,> имеем:
IS J 6'1] ж-у ^ | < ^ IIу H»i» II ° Hiw G-74>
(=1 Й
I 2 J С'П Ж" °ЛI < ^2II о Ия> II v \\L4a), G.75)
\(a)(Q) G.76)
а
Таким образом, найдена оценка (грубая, но достаточная для наших
142

целей):
с№ (v, v)>a\\v |fci@) - cs ® + у) || v Ц0) || v ||t,(Q) - б || v |
G.77)
Используя справедливое для любых a6R. &6R> a>0 неравенстю*)
+ -J-62 G.78)
при a = || v ||Н1(Й), • & = c2 (p + 7) || v \\U(Q) и a = a, получаем
с* (Р + 7) II v \\Hi |
G.79)
Подставим G.79) в G.77): ^
a 1 (V, Ь/а^1л\\и ||Hi(Q) 2"
- 6 || v HLw = -f- || о |fo@) -1 '2vr2' " + б 11| v \\hm- G.80)
0 ^ J
Полагая
'" L +6, G.81)
'" ~ 2a ^"'
получаем требуемый результат. ?
Замечание. Терминология, используемая в работах, ука-
указанных в библиографии, не является единообразной. Во многих
работах, если выполнено G.61), форма а называется коэрцитивной
(или коэрцитивной относительно U1 (Q) — по причинам, которые
станут понятными в дальнейшем), форма а называется эллипти-
эллиптической (или сильно коэрцитивной), если выполнено G.59).
Форма а^, очевидно, непрерывна на //0(Q) X #0(&)и, по суще-
ству, если К^Х, то мы можем утверждать, что следующая задача
корректно поставлена.
Задача 7.8. При заданной функции /6Я~ (Q) найти функцию
и 6 Н\ (Q) такую, что
>wi@) Vo6tfJ(Q). G.82)
А задача 7.8 эквивалентна следующей задаче 7.9, которая, сле-
следовательно, также корректно поставлена.
*) Из (\А\ — |б|J=|Л|2+ б_|2-2|Л||б|->0 следует 2|Л||Д|<
<|А|2 +1 В|2; полагая здесь А = ~\/оа и В = b/уа, приходим к G.78).
143

Задача 7.9. При заданной функции /6# (Q) найти функцию
« 6 Яо (й) такую, что
Lu + Xu = f в смысле 0' (Q). G.83)"
Теорема Рисса—Фредгольма. Нашей исходной задачей явля-
является задача 7.6, которая есть не что иное как задача 7.9 при X = О
(исключается вопрос о гладкости исходных данных /). В общем слу-
случае форма а не является коэрцитивной, поэтому мы не можем ут-
утверждать, ,что задача 7.6 корректно поставлена. Однако тот факт,
что задача 7.9 корректно поставлена для некоторых значений X (а это
так для любых X ^ X), позволяет нам получить полезную информа"
цию о задаче 7.6 и вообще о всех задачах 7.9 с параметрами X, не
обязательно большими или равными X. Эту информацию содержит
следующая ниже теорема, которая вытекает из теории Рисса —
Фредгольма в применении к задачам 7.9 и 7.10.
Задача 7.10. Найти функцию u?Ho(Q) такую, что
1м + Хи = 0 в смысле 0' (Q). G.84)
Теорема 7.5 (альтернатива или теорема Рисса —
Фредгольма). Справедливы следующие результаты.
1) Для того чтобы задача 7.9 имела единственное решение, необ-
необходимо и достаточно, чтобы задача 7.10 имела только нулевое ре-
решение.
2) Задача 7.10 имеет только нулевое решение для всех значений
X, не принадлежащих счетному множеству a (L) — спектру задачи.
3) Если Х? о (L), то задача 7.10 имеет не более чем конечное чис-
число линейно независимых решений иъ ..., us.
Заметим, что результат 3) можно усилить (точнее, дополнить),
если рассмотреть однородную сопряженную по отношению к 7.9
задачу, которая в условиях 3) имеет s решений щ, ..., щ: чтобы
задача 7.9 имела решение, необходимо и достаточно, чтобы функция /
была ортогональна щ, ..., us. Доказательство этого факта можно
найти в работе Лионса (см. [525, с. 30]). О сформулированной тео-
теореме см. также [528, с. 108; 562, с. 293], а о классической теории Рис-
Рисса — Фредгольма см. [63, гл. IV, V].
Вопросы существования, единственности и непрерывной зави-
зависимости решения задачи 7.6 полностью изучены. Об исследовании
гладкости и других свойств решения задач Дирихле см., например,
у Стампаккьи [685] (о гладкости мы будем говорить в п. 7.3.1).
Успешное использование при изучении однородной задачи
Дирихле вариационного метода, известного также под названием
метода минимизации интеграла Дирихле, позволяет исследовать
другие краевые задачи. Именно этим мы будем заниматься в сле-
следующих пунктах, но в отличие от предыдущего изложения начнем с
задачи, которая уже сформулирована в вариационной форме, и кото-
которую потом будем интерпретировать (если это возможно) как краевую
144

задачу. Известно, что в большинстве случаев в физике и технике
возникают краевые, а не вариационные задачи, но не всегда. Так,
задачи, возникающие при использовании принципа минимума энер-
энергии или принципа виртуальных перемещений, более естественно
формулировать именно в вариационной форме (примером может
служить задача 6.2). Упомянутый способ исследования задачи поз-
позволяет нам получить большое количество результатов по дифферен-
дифференциальным уравнениям в частных производных в рамках единой тео-
теории и показывает как формулировать в вариационной форме некото-
некоторые наиболее важные и часто встречающиеся краевые задачи (дру-
(другие замечания на этот счет см. в [525] со с. 38 и далее).
7.2.2. Общая вариационная постановка. Мы приведем здесь
довольно упрощенный вариант вариационной постановки, сфор-
сформулированной Лионсом (см. [525]) в теории краевых задач. Обсуж-
Обсуждение этой формулировки в гораздо более общем случае можно найти
у Лионса [525] и Мадженеса — Стампаккьи [562]. Более простые
случаи рассмотрены в работах [662, с. 218; 618, с. 131], незначи-
незначительно отличаются от них постановки из работ [527, с. 9; 528,
с. 93].
Исходные данные и вариационная задача. Пусть выполнены
следующие условия:
(LI) Q — открытое множество из R",
ds
(L2) Q — гильбертово пространство, такое что i3 (Q)cr-Q cr.»
С $' (Й),
(L3) V — гильбертово пространство, i3 (Q) c+Fc^Qc^jZ)' (Q),
(L4) 91 (и, о): V X V -*¦ R — билинейная форма, непрерывная
и коэрцитивная на V.
Рассмотрим вариационную задачу.
. Задача 7.11. При /6Q' найти функцию и 6 V такую,
что
G.85)
Сначала заметим, что задача 7.11 действительно является ва-
вариационной, хотя в G.85) вместо отношения двойственности
ds
v{,)v стоит отношение двойственности q-(,)q, поскольку Fcr- Q
и v пробегает V. Мы не рассматривали пространство Q (в разделе
3.1) при изучении абстрактных вариационных задач. Здесь мы вво-
вводим это пространство, чтобы избежать рассмотрения пространства
V', которое, вообще говоря, не является пространством обобщенных
функций (если пространство V — нормальное, то мы можем, ко-
конечно, выбрать Q — V и рассмотреть, тем самым, задачу 7.11 в наи-
наиболее общем виде).
Теорема Лионса — Стампаккьи, а точнее ее следствие — лемма
Лакса — Мильграма, гарантирует нам, что задача 7.11 корректно
поставлена (отметим, что если к коэрцитивна на V, то она коэрци-
тивна и на V — V = V (ср. с формулой C.27))).
10 К- Байокки, А. Капело 145

Интерпретация вариационной задачи. Теперь попытаемся ин-
интерпретировать задачу 7.11 как краевую задачу (в тех случаях,
когда это возможно). Для этого форме St поставим в соответствие
оператор Л 6 ? (V, 0' (Q)). При фиксированном и 6 V функционал
Ф -*¦ 91 (и, ф) является линейным непрерывным функционалом над
0 (Q) (поскольку St непрерывна и 0 (Q) с+ V). Обозначая этот
функционал через Аи, запишем
G.86)
Равенство G.86) определяет оператор Л : V -*¦ &' (Q), который
очевидно, является линейным и непрерывным: Л 6 ? (V, ЗУ (®))г
переводящим и из У в Аи. (Отметим, что если ип -*¦ О, то в силу
непрерывности 2t 21 (ып, ф) ->- 0 равномерно относительно ф, в то
время как ф остается в ограниченном множестве пространства
3> (Q). Это означает, что Аип ->-0в (сильной) топологии ЗУ (Q).)
Соответствие между операторами и формой не является для нас
чем-то новым — в разделе 3.1 (где вместо V и 21 мы рассматривали
И и а) форме 91 мы поставили в соответствие два оператора А : V -*-
-+¦ V и А : V -*¦ V по формулам
%{u,v) = v,{Au,v)v VveV G.87)
и
%(u,v) = (Au,v)v VveV G.88)
соответственно. Оператор Л, определенный выше, является, по
существу, сужением оператора А, которое фактически совпадает
с А, если V — нормальное пространство (другими словами, в G.86)
мы заменили отношение двойственности m,iQ)QmQ) на v,{,)v и поло-
положили ф 6 V, что возможно, поскольку iZ) (Q) плотно в V)- Чуть
позже мы введем аналог оператора Л. В G.85) мы рассмотрели
отношение двойственности Q,(,)Q, а не m,iQ)(,)mQr B отличие от того,
как было при определении Л. Возникает естественное предположе-
предположение, что для интерпретации задачи 7.11 как краевой задачи доста-
достаточно рассмотреть сужение оператора Л на множество
G.89)
(Интересно заметить, что D плотно в V, а следовательно, и в Q (см*
[527, с. 12; 618, с. 132]).)
Это сужение, которое для удобства мы по-прежнему будем обо-
обозначать через Л, можно определить непосредственно с помощыа
формулы
G.90)
поскольку свойство Аи 6 Q' означает, что Аи — непрерывный линей-
линейный функционал над 0 (Q) в топологии Q (т. е. 19t (и, ф) | =
UA W I ^ const * 'I ф1|<э V(P ^ ^ (й)) и' следовательно, в-
146

силу плотности 0 (Q) в Q мы можем заменить отношение двойствен-
двойственности ^(йР^й) в G.86) на Q,{,)Q (но не выражение Vq>6 0(Л) на
V(p6QI)- В силу того, что Q—гильбертово пространство, по тео-
теореме Рисса мы можем представить функционал Лu€Q' элементом
к. (и) ? Q и записать формулу
Q), G.91)
которая определяет оператор ?:Q->-Q, аналогичный оператору
А (и который совпадает с А, если V— нормальное пространство и
Q = V, так как V = D).
В дальнейшем мы наделим D (гильбертовой) топологией, зада-
задаваемой нормой графика
\\и\\1=-\\и\\1 + \\Аи\\1„ G.92)
если, конечно, БфУ. (Эта топология гарантирует нам, что ?>с* V
и Л б ? (Я, Q'))
Формулы G.85) и G.90) приводят нас к рассмотрению линейного
многообразия
G.93)
которое мы, конечно, наделим топологией, индуцированной D.
Пространство N, которое будет играть очень важную роль, в
общем случае является собственным подмножеством D; оно совпа-
совпадает с D, если V — нормальное пространство и Q = V — в этом
предельном случае мы будем иметь V = Q = N — D. Любопытным
свойством пространства N является следующее: N есть дополнение
к DA = {и 6 D : Аи = 0} = ker (Л), т. е. DA Ф N = D. (Дока-
(Доказательство этого факта можно найти у Лионса (см. [525, с. 27]).)
На языке N тот факт, что задача 7.11 корректно поставлена, озна-
означает, что (дальнейшее сужение) Л является топологическим изо-
изоморфизмом из N на Q'; прямое доказательство этого факта см. в
[525, с. 26; 562, с. 273, 281].
Теперь мы можем интерпретировать задачу 7.11 как краевую
задачу. Очевидно, что если и — решение задачи 7.11, то, в част-
частности, ^
<&(u,v) = Q4,v)Q Vye0(Q) G.94)
и, следовательно, сравнивая это с G.90) (отметим, что решение и
фиксировано), имеем / = Ли 6 Q'• С учетом G.85) это доказывает,
что и 6 N. С другой стороны, также очевидно, что если мы пола-
полагаем f = Au?Q'nu€N,Tou — решение задачи 7.11. Таким об-
образом, мы доказали, что задача 7.11 эквивалентна следующей
задаче.
Задача 7.12. При заданной функции / 6 Q' найти функцию
и ? V такую, что
Ли = /, G.95)
u?N. G.96)
Ю* 147

Мы будем называть эту задачу однородной краевой задачей, а
свойство G.96) — однородным краевым условием. Условие G.96)
необычно по форме, в каждом конкретном случае нужно пояснить,
что мы под ним понимаем — этим мы будем заниматься довольно
часто в следующем пункте.
Главные и естественные условия. Рассмотрим вопрос о том,
как учтены краевые условия в формулировке вариационной за-
задачи 7.11. Часть из них заключена в условии, что и принадлежит
V, а часть содержится в самом вариационном уравнении G.85).
Первые из условий известны под названием «главные, устойчивые,
или жесткие условия», а последние — «естественные условия или
условия трансверсальности». Обсуждение «физического смысла»
этих двух (очень разных) типов условий можно найти в [33, с. 4].
Неоднородные краевые задачи. В связи с названием задачи 7.12,
можно подумать, что вариационная формулировка позволяет из-
изучать только однородные краевые задачи. Вариационные же методы
можно применять также и для решения неоднородных краевых за-
задач. Для этого придется ввести еще одно функциональное простран-
пространство — пространство исходных данных на границе. Пусть /С-Г>?) —
такое гильбертово пространство, что Л ? (? (D, Q') можно рассмат-
рассматривать как сужение на D непрерывного линейного оператора (для
удобства мы его снова обозначим через Л) из К в Q'. При этих ус-
условиях имеет смысл рассмотреть следующую задачу.
Задача 7.13. При заданных функциях / 6 Q' и А ? К найти
функцию и 6 К такую, что
Ли - /, G.97)
u — h?N. G.98)
Назовем эту задачу неоднородной краевой задачей, точнее, зада-
задача является неоднородной, если h? N (и, следовательно, в част-
частности, А Ф 0). В связи с этим заметим, что если т] ? N, то условие
G.98) эквивалентно условию и — (A + tj) 6 N. Это соотношение
часто дает единственность решения для многих задач.
Рассмотренная задача 7.13 эквивалентна следующей.
Задача 7.14. При заданных функциях / 6 Q' и А 6 /С найти
функцию и 6 К такую, что w = и — h ? V удовлетворяет вариаци-
вариационному равенству
%(w,v) = Q,(f-Ah,v)Q Vvev. G.99)
Эта вариационная задача полностью аналогична задаче 7.11.
По существу мы использовали хорошо известный способ перехода
от неоднородной задачи к однородной.
Еще о задаче Дирихле. Вернемся теперь к задачам 7.8 и 7.9 и
проанализируем их в свете рассмотренной абстрактной теории. Мы
имели пространства V = #o(Q), Q = Ho(Q) (причем Но (Q)—нор-
(Q)—нормальное) и форму 3t = av которая, как мы убедились, является
непрерывной и, если % достаточно велико, коэрцитивной на #о(й)х
148

X#o(Q). Таким образом, задача 7.8 является частным случаем
задачи 7.11. В свою очередь, задача 7.9 с операторами L + Х = Л€
6 iC(Ho{Q),H~l (Q)) является частным случаем задачи 7.12. Усло-
Условие G.96) не вводилось в задаче 7.9 в явном виде, поскольку при
N = D = Но (й) это есть не что иное, как условие и ? Но (й), кото-
которое уже накладывалось ранее. (Здесь нет естественных условий.)
Тогда согласно теории приходим к уже известному нам факту:
задача 7.9 является интерпретацией задачи 7.8 как краевой задачи.
Есть еще один вопрос, который следует прояснить. Если мы
возьмем, как и ранее, форму St (и, v) = aj, (и, v) при подходящем
X (т. е. X ;> X), то мы полностью находимся в условиях (LI) — (L4).
Но мы можем взять форму а, а потом наитий, такое, что билинейная
форма St (и, v) — а (и, v) + X (и, v)viQ) коэрцитивна при X > X.
В обоих подходах форма Sf, по существу, одна и та же, но во вто-
втором случае мы не находимся в условиях (LI)—(L4)! В самом деле,
когда во втором случае мы переходим от формы а (и, о)к! (и, v) =
= ах, {и, v) = а (и, v) + Я (и, и)щй), мы вводим «паразитическое»
пространство — пространство L2 (Q), присутствие которого не
предусмотрено теорией. Это частный случай более общей ситуации,
которую мы сейчас коротко обсудим.
Предположим, с одной стороны, что мы исключаем в (L4) пред-
предположение о коэрцитивности формы 9t на V (что влечет, кроме все-
всего прочего, крах всей теории, рассматриваемой до сих пор), и с дру-
другой — что Я — гильбертово пространство, удовлетворяющее двум
условиям
(pi) v"^H,
(р2) существует Я. 6 R такое, что если X!> X, то форма Six. («,») =
«=" Э[ (ы, v) + X (и, v)h коэрцитивна на V.
При этих условиях, поскольку исследовать задачу по отноше-
отношению к форме & невозможно, мы естественным образом изучаем ее по
отношению к формам 3tx. при X ^ X, а потом, если возможно, приме-
применяем теорию Рисса — Фредгольма — это как раз то, что мы делали
в предыдущем пункте.
В большинстве интересных приложений в качестве простран-
пространства Я, которое мы будем называть основным пространством, мож-
можно взять пространство L2 (й), однако в некоторых случаях это не так
(см., например, работы [529, с. 127, 49]). Мы систематически будем
отождествлять Н с его двойственным пространством Я' (даже если
Я Ф L2 (Q)) и писать, что
Ксг^Я = Я'сГн.У'. G.100)
Эту цепочку иногда называют гильбертовым триплетом, посколь-
поскольку она содержит, по существу, три гильбертовых пространства V,
Я и V'.
149

В связи с этим заметим, что если мы отождествляем Я и Я',
то мы не можем отождествлять также У и У! Причиной этому явля-
является тот факт, что диаграмма 7.1 является коммутативной тогда и
только тогда, когда пространства V я Н алгебраически и топологи-
топологически изоморфны (короче говоря, это одинаковые пространства:
V = Я).
Диагр. 7.1
Запись цепочки G.100) означает, что инъективные отображения
]V[f, *jVH и оператор Рисса JH отождествляются соответственно с
множественными вложениями ivH, *iVH и iHH,, что, в свою очередь,
влечет отождествление множественного вложения ivv, с отображе-
отображением '}VHoJHo ']VH. С другой стороны, отождествить V и V' озна.
чает отождествить оператор Рисса Jv с ivv;, но это невозможно»
если V Ф Я, поскольку некоммутативность диаграммы можно интер-
интерпретировать через ^=т^%ноУно/^н. В качестве конкретного при-
примера такой ситуации рассмотрим случай, когда V = Н\ (Q) и
Я = ?2ф). Тогда отображение t" , = i \ \ является канони-
ческим вложением Яi(Q) в Я~' (Q), а оператор Рисса Jv — J
является оператором — А, если в Но (Q) мы введем обычную норму.
(Если же мы рассмотрим в Но(&) норму, индуцированную простран-
пространством Я1 (Q), то получим У 1 = — Д 4- /, где / — тождественный
но(й)
оператор).
7.2.3. Примеры краевых задач.
Исходные данные. Приведем исходные данные для примеров
краевых задач.
(dl) Q c= R" — ограниченное связное открытое множество с гра-
границей Г класса С0'1;
(d2) V — замкнутое подпространство пространства #'(Q) такое,
что Я^(й)с=^.Ус=ч.Я1(О) (точнее, мы берем У=#о(й), или 7=//1(Q),
или У = УГо, где УГо — пространство {и 6 Я1 (Q): уои = 0 на Го} с
топологией, индуцированной пространством Я1 (Q), здесь Гос=Г —
гладкое подмножество Г с (п—1)-мерной положительной мерой);
(d3) Q = Яо (Q), если V = Н\ (Q), и Q = V- (Q) иначе;
(d4) H = L*(Q);
(d5) \: V X У-^-R — сужение на VXV билинейной формы
(которую мы обозначаем тем же символом) \ •.№(&) х
150

определенной равенством
i=\
где аи, bt, С;, d (i,j — l,...,n) удовлетворяют условиям (HI)—(H4)
и G.57), К — подходящее действительное число, a T^it(H1(Q),
Я~~1/2(Г)) (точнее, мы берем TsO, или Т = *у<» или T=t (д/дт), где
t?Cl A5), а д/дх — оператор тангенциального дифференцирования на Г);
(d6) К = Я1 (Q), если V = Hi (Q), а иначе К = HlL (Q) =
= {и 6 Я1 (Q) :Lu + ku?L2 (Q)}, где L + ^ — оператор вида
«./=1
n
с коэффициентами atj, bt, ct и d из (d5).
Перед тем, как рассмотреть частные случаи этих исходных дан-
данных в конкретных примерах, следует проанализировать их. Что
касается (dl), мы требуем от Г указанной гладкости, чтобы краевым
условиям, которые появляются в рассматриваемых задачах, придать
точный смысл. Сами задачи имеют смысл и в условиях меньшей
гладкости по Q (нам требуется лишь вложение Ус^^""~2)(й)
при п~>2...), но тогда краевым условиям приходится давать чисто
формальную интерпретацию.
Что касается (d2), отметим высказанное Лионсом [527, с. 17]
предположение о том, что замкнутые подпространства V cr H1 (Q),
являющиеся модулями над алгеброй Wx'°° (Q) (т. е. такими, что
V«?K Vv(zW['°°(Q) uv?V), — это, по существу, и есть те прост-
пространства, которые следует здесь рассматривать. Точная формулировка
предположения (в которую, в частности, не входит требование о
гладкости Го) включает понятия, которые мы здесь не вводили.
Пространства Vr определяются через локальные условия; примером
замкнутого подпространства Н1 (Q), определенного через глобальное
условие, является подпространство \и ? Я1 (Q); f you da = Ol (см.
1 ? '
[527, с. 21]).
В отношении (d5) напомним, что оператор д/дх можно определить
с помощью надлежащей интерпретации (согласно теории следов)
151

тождества
ди
а
при Yt Tivi = °- в этой связи см- 1618> с- 124, 138]. В двумерном
случае тангенциальную производную ди/дх от функции и?Н1{Щ
можно интерпретировать как производную по длине дуги s (мы
используем ее как параметр для Г) от следа функции и на Г:
ди/дх = d (you)/ds
(эта запись имеет смысл, поскольку %и 6 Я1/2 (Г)).
Относительно (d6) заметим, что указанный выбор К находится
в соответствии с теорией, поскольку, с одной стороны, {и ? Я1 (Q) i
Lu + Xu? H~\Q)} = Я1 (Q) (вспомним условия (HI) — (Н4)), а с дру-
другой стороны, Hl (й) — не что иное, как пространство D, введенное
в G.89). Отметим также, что определение #l(Q) непротиворечиво,
потому что при и ? Я1 (Q) свойство Lu + %и 6 L2 (Q) выполняется
тогда и только тогда, когда Lu?L2(Q).
Вернемся к (d5) и проанализируем более внимательно били-
билинейную форму Six- Здесь важно, что мы уже имеем форму, возму-
возмущенную выражением с параметром %. Этот параметр не зафикси-
зафиксирован, как, например, функции aijt но его можно выбрать так, что-
чтобы форма ЧЬ% была коэрцитивной (далее мы увидим, что при наших
условиях это всегда возможно) — в этом и заключается смысл тер-
термина «подходящее действительное число», используемого в (d5).
(В этом случае совсем не обязательно уточнять (d4) в отношении
основного пространства, что мы и сделали.) Итак, нам нужно пока-
показать, что существует % такое, что форма ЭДх непрерывна и коэрци-
тивна на Я1 (й) х Я1 (й) и, следовательно, на всяком замкнутом под-
подпространстве V X V cz^. Я1 (Q) х Я1 (Q). Кроме того, очевидно, что
если форма \ непрерывна и коэрцитивна на Я1 (Q) X Я1 (Q) (или,
короче, на Я1(й)), то она непрерывна и коэрцитивна на К.—К,
где К. — замкнутое выпуклое множество из Нгф). Это очень важно
для задач, связанных с вариационными неравенствами, которые мы
будем рассматривать в разделе 7.3. Доказательство существования
подходящего действительного % становится проще, если принять во
внимание, что форму %% [и, и) можно представить в виде суммы двух
форм: формы ax(u,w), уже рассмотренной в п. 7.2.1, и формы
H-i/2(T){Tu, yov)^ в(Г), которую по очевидным причинам мы назы-
называем граничной Ьилинейной формой. В п. 7.2.2 мы предполагали»
что форма а^ определена на Н10(п) х Яо(й), а не на Н1(ЩхН1(&)-
Однако, возможность продолжения формы с первого пространства
на второе следует из того факта, что в случае регулярной области Q
152

(как в (dl)) для #1(,Q) справедливы вложения, загисанные в G.48)
в терминах Ho(Q).
Теперь, чтобы показать, что (для любого К) форма 2tx непрерыв-
непрерывна, достаточно убедиться в том, что имеет место неравенство
и что доказательство теоремы 7.2 можно легко модифицировать для
доказательства непрерывности формы ах: Я1 (Q) х Я1 (Q) -> R. Нужна
лишь воспользоваться эквивалентностью норм
S ll^^iHEwj G-104>
i-'(Q) G-J 05>
вместо эквивалентности норм G.51) и G.52).
Перейдем теперь к вопросу о коэрцитивности ЭДх- Доказатель-
Доказательство теоремы 7.4 можно видоизменить (как и теоремы 7.2), чтобы
показать существование % такого, что форма а% коэрцитивна на
Я1 (Q) при % ~^*\. Теперь нам нужно исследовать на коэрцитивность
форму Щ, получающуюся при сложении а% с граничной билинейной
формой. Для этого рассмотрим три типа билинейных граничных
форм, каждая из которых представляет для нас интерес, а именно,
те формы, которые соответствуют операторам Т = О, Т = ty0 и
Т = t (д/дт). Более общее рассмотрение граничных билинейных
форм можно найти в работах [525, со с. 44 и далее; 562, с. 272; 618,
с. 29; 123; 526, с. 225].
Первый случай тривиален! если Т = 0, то У1% — ах и, следова-
следовательно, ЭДХ коэрцитивна на Я1 (Q) при Я Г> %.
Во втором случае отношение двойственности //-1/^Г)(»}д1/2(Г) можно
записать в виде
f ty0uyov da, G.106>
поскольку y0ueL2(T), yov€L2(T) и t\reCl(D. Из G.106) полу-
получаем, что
|„-1/2(Г) (tyov, YoO>«i/str> I = I J ' (Vo«Jda | < * || Yo^ l||w, G.107)
а с этим выражением мы поступим так же, как и с G.110).
Перейдем теперь к третьему случаю. Предположим, что Q с: R2,
а под ди/дх понимаем производную d(you)/ds в соответствии со
сказанным выше. Поскольку в общем случае (d {you)/ds) $ L2 (Г), то
153

мы не можем записать отношение двойственности я-1/2(Г)(.)/л/2(Г) в
виде интеграла, как мы это сделали в предыдущем случае. Тем не
менее формально запишем
j G.108)
Еще раз перепишем формально
•где k = -5- max —j- , и, следовательно, отсюда и из G.108)
ЯГ* I I
получаем
I W /л» «1 I
G.110)
Орогое (не формальное) доказательство этого неравенства можно
«айти в ([526, с. 221]). Здесь мы будем считать это неравенство спра-
справедливым и преобразуем его в другое неравенство, которое будет
нам полезно в дальнейшем. Для этой цели нам потребуется следую-
следующий общий результат.
Теорема 7.6. Пусть Е, F и G — три банаховых простран-
¦ства с нормами \\-\\e, \\-\\f и ||-||<? соответственно и предположим,
-что F cz Е. Если Ф 6 ^ {F, G) — компактный оператор, то
Ve>0 3ke Vu?F |k(u)||e<e|M|F + fte||H||?. G.111)
Доказательство. Будем доказывать теорему от противного.
Если G.11) не верно, то
Эб>0 Vn luneF IW(un)||o>e||un|]J,4-«||«ll||B G.112)
и, следовательно, существует последовательность {«„} (элементов
из F) такая, что
||Ф(и„)||0=1>е|К1и + «К11Е- G.ПЗ)
В самом деле, полагая в G.12) последовательно п = 1, 2, 3, ...
и обозначая через ult иг, и3, ... соответствующие элементы и, которые
^существуют по свойству G.112), мы убедимся, что последователь-
последовательность ип = ип 11| ф («„) ||о удовлетворяет требуемым условиям.
Из G.113) следует, что
ип—>0, G.114)
Эс Vn6N || «„!!,< с. G.115)
154

Отсюда и из компактности ф приходим к выводу, что существует
подпоследовательность {иПк} последовательности {«„} такая, что
ф(ы„Л) сходится в G. Из G.114) и непрерывности ф получаем
Ф(««Л)—>0, что противоречит G.113). Следовательно, теорема
доказана. ?
Полагая E = L2(Q), F = Hl{u), G = L2(V) и ф = у0» из преды-
предыдущей теоремы получаем, что
Ve>0 3fee>0 ()
в || и \\%HQ) + kju \\1<Q) G.116)
(появление здесь квадратов — проблема второстепенной важно-
важности — вспомним, например, G.78) ...). Отсюда и из G.110) прихо-
приходим к тому, что
Ve>0 3fee>0 VueWiQ)
е II" ""•<«> + КII«112*,- G-П7)
Неравенство G.117) позволяет нам исследовать коэрцитивность фор-
формы 9tr
Мы сформулируем результат в более общей форме, чем это
нужно, поскольку в обоих случаях доказательство одинаково
просто. Другие результаты общего характера, касающиеся коэрци-
тивности форм с «граничными кусками» можно найти в работах
[618, со с. 136 и далее; 562, с. 285, 286; 526]. Итак, справедлива сле-
следующая теорема.
Теорема 7.7. Если форма а% коэрцитивна на #X(Q) при
и если Т?.&(Н1{п),Н~х/2(Г)) — такой оператор, что
Ve>0 3fee>0 УибЯ1^)
|„_1/2(Г)<7Ч>, %v)hU2(V) |< в || о fH4Q) + К || v ||?,(й), G.118)
то форма ЭДХ коэрцитивна на #*(Q) при %^Х + k 8.
Доказательство. Доказательство теоремы следует из соот-
соотношений G.61), где вместо Ho(Q) берется #X(Q) (мы не проводили
выкладки для пространства Я1 (О), но формула тем не менее оста-
остается справедливой, а изменяется лишь значение X), и G.118) при
в = ос/8. D
Наконец-то мы полностью решили поставленную нами задачу;
мы знаем, что при условиях (d5) форма У1Х непрерывна и при тех
же условиях она коэрцитивна, если % достаточно велико. В слу-
случаях, когда коэффициенты atl, bit ct, d и t(i, j = 1 n) не заданы
в явном виде (они зафиксированы и по предположению удовлетво-
удовлетворяют ограничениям в (d5)), мы всегда будем предполагать, что %
удовлетворяет указанным условиям, и не будем их всякий раз
155

оговаривать снова. В конкретных случаях, когда ац, bh ch d и
t(i,j=\,...,n) — заданные функции, мы должны проверить, удов-
удовлетворяют ли они условиям в (d5).
Кроме того, если задано фиксированное значение X, то также
необходимо проверить, подходит ли оно нам. Эта задача чрезвы-
чрезвычайно трудная (за исключением некоторых частных случаев).
Дифференциальный оператор. Теперь мы должны связать форму
с оператором согласно G.86). Легко видеть, что оператором,
соответствующим форме Ш%, является оператор L + X, определен-
определенный равенством G.102) —это тот же самый оператор, который в
п. 7.2.1 мы связывали с формой а%\ Таким образом, мы пришли к за-
заключению, что две различные формы могут определять один и тот
же оператор. Это говорит о том, что необходимо обсудить связь
между формами и операторами, что мы сейчас и сделаем.
Формула G.86) позволяет нам поставить в соответствие (непре-
(непрерывной) билинейной форме ЭД : V X V -> R, заданной ранее, един-
единственный оператор Л 6 ^ {V, 0' (й)). Предположим теперь, что
вместо формы ЭД нам задан оператор Л, что тогда дает формула
G.86)? Она ставит в соответствие оператору Л форму ЭД: V X
X 0 (й) -> R, но не определяет ЭД на всем пространстве V X V\
Следовательно, для того, чтобы оператору Л поставить в соответ-
соответствие форму ЭД : V X V -> R, необходимо продолжить форму (опре-
(определенную формулой G.86)) с V X 0 (Q) на V X V, а это продолже-
продолжение не является единственным в общем случае. Это продолжение бу-
будет единственным, если V — нормальное пространство, посколь-
поскольку в этом случае мы имеем продолжение по непрерывности с V X
Х#(Й) на VX0(Of*v = Vx V.
В общем случае, грубо говоря, различие между двумя продолже-
продолжениями определяется «граничными кусками», которые исчезают на
V X 0 (Q). Этот факт объясняет, почему две различные формы могут
соответствовать одному и тому же оператору. На языке краевых
задач это означает, по существу, что с одним дифференциальным
уравнением можно связать несколько граничных условий — мы
убедимся в этом на некоторых примерах.
Однако многообразие продолжений — это не единственный путь
поставить в соответствие одному оператору две различные били-
билинейные формы. В самом деле, что означает фраза «задан оператор
L 6 ^ (Я1 (й), j5' (й))»? Оператор L обозначает хорошо определен-
определенную часть декартова произведения Я1 (й) X 0' (й), но мы, конеч-
конечно, не будем представлять его таким способом. Под фразой «задан
оператор L» мы понимаем, что заданы коэффициенты at), bu cjt d
(i, j = 1 n) в G.38). Далее, два различных выбора коэффици-
коэффициентов могут соответствовать одной и той же части L декартова про-
произведения Н1 (й) х 0' (й), т. е. один и тот оюе оператор L можно
разложить на элементарные операторы dldxt различными путями.
Об этом важном вопросе — разложении операторов, которого (здесь
мы коснемся его лишь кратко) см., например, [525, с. 43; 562, с. 265;
49, 618, с. 25]. Каждому разложению оператора L мы будем, ко-
156

нечно, ставить в соответствие свою билинейную форму, а на языке
краевых задач это вновь означает, что с одним дифференциальным
уравнением связываются различные краевые условия.
Разложение оператора Лапласа. Один и тот же оператор может
быть разложен различными способами на элементарные операто-
операторы. Продемонстрируем это на примере, который мы обсудим еще
раз позднее. Для удобства при записи формул предположим, что
Q a R2. Часть декартова произведения Я1 (й) X jS' (Q), которую
мы назовем оператором Лапласа и обозначим через Д, может быть
представлена в виде G.38) различными способами:
1) с коэффициентами ап = а2г = —1, а21 = а12 = Ьг — Ь2 =
= c1 = c2 = d = 0 — стандартное разложение А, согласно кото-
которому имеем
и, например, билинейную форму
¦«*-••> —{(??+?&
<7120>
2) с коэффициентами ап = а22 = — 1. olz = — t, a21 — t,
fcj = dt/dx2, b2 = — (dt/dxj, cx = c2 = d = 0, где 16 C1 (Q), — асим-
асимметричное разложение Д, согласно которому имеем
и, например, билинейную форму
ди dv , ди dv , , ди dv
f /
-'•feife-fe'^ + ^-fe)* <7-122)
3) с коэффициентами ап = а22 = — 1, alz = а21 = 0, _&х = Ь2 =
= — сх = — с2 = /, d = (df/djq) + (d^/djc,), где 16 С1 (Q); тогда
имеем
157

например, билинейную форму
ди ди , ди dv . ди , ди
dv . dv I dt . dt \ \ , ,_ 1n ..
Примеры. Приведем несколько примеров, характеризующих,
как нам кажется, типичные ситуации, с которыми мы часто сталки-
сталкиваемся на практике; они удобны также для прояснения некоторых
аспектов изложенной выше теории. Другие примеры можно найти в
работах [562, 525, 527, 528] и др.
Как мы уже отмечали ранее, все примеры, которые мы приве-
приведем, могут быть получены при конкретизации исходных данных
(dl)—(d6) (тем способом, которым эти данные можно конкретизи-
конкретизировать, т. е. выбором пространства V и формы 21 %). Мы будем рас-
рассматривать два типа примеров. В примерах первого типа (с 7.1
по 7.3) будем брать 31 = ах (т. е. ЭЦ при Т = 0) в качестве били-
билинейной формы, а в качестве пространства V будем брать поочередно
Щ (Q), Я1 (Q) и Vr0 — для каждого из этих пространств мы будем
рассматривать задачи 7.12 и 7.13 и будем стараться переписать
G.96) и G.98) в более «понятной» форме. В примерах второго типа
(с 7.4 по 7.8) мы будем считать V = Я1 (Q) (при Q c= R5*), а в ка-
качестве билинейной формы 31 будем рассматривать поочередно пять
различных форм, связанных с оператором — А + X. Для каждой
из них мы будем записывать задачу 7.12, пытаясь опять интерпре-
интерпретировать G.96) подходящим образом. Мы выбрали оператор —Д + А,
по той же причине, что и п =¦ 2,— для удобства записи нужных нам
выражений. Однако все, что мы будем излагать, может быть пол-
полностью обобщено как на случай большего числа переменных, так и
на случай более сложного дифференциального оператора.
Благодаря равенствам типа формулы интегрирования по час-
частям, одна и та же задача может быть сформулирована различными
способами с помощью добавления интегралов на границе и вычи-
вычитания соответствующих интегралов в области — см. пары задач
G.22, 7.24) и G.23, 7.25).
Пример 7.1 (задачи Дирихле). Исходные данные: (dl) —
(d5) при Т аа 0, (d6) и V = Щ (Q).
В этом случае, как известно, N — Но (Q). Однородный случай,
соответствующий задаче 7.12, подробно рассматривался в п. 7.2.1
(см. также анализ, проведенный в п. 7.2.2). Фактически мы имеем
дело с задачей 7.9, которую перепишем в другой форме, выделив в
явном виде краевые условия, а именно:
Задача 7.15 (однородная задача Дирихле). При заданной
функции /^//^(й) найти функцию u^Hi(Q) (или u?Ho(Q)) та-
такую, что
Lu + lu = f в Q, G.125)
Ya« = O на Г. G.126)
158

Как мы уже отмечали, здесь нет естественных условий. Здесь,
есть только одно краевое условие G.126), и оно главное.
Теперь рассмотрим неоднородный случай. Условие G.98) можно
записать в виде
и —he Н'о^), GЛ27У
что в свою очередь, можно переписать как
7о« = ?«АнаГ. G.128)
Таким образом, все, что нас интересует относительно функции А,—
это лишь ее след на Г, который является функцией из класса
Я1/2 (Г): g0 = yji ? Я1/2 (Г). Это и есть естественный вывод, по-
поскольку в классических краевых задачах краевые условия задают-
задаются с помощью функций, определенных на Г, а не на й. Теперь, по
скольку для каждого g0 6 Я1/2 (Г) можно найти «обратный» к g0 эле-
элемент кеНЦп) (такой ЛбЯ^Й), что yji = g0 6 Я1/2 (Г)), то в этом
случае задачу 7.13 можно записать в следующей форме.
Задача 7.16 (неоднородная задача Дирихле). При заданных
функциях /б//-1^) и go€#1/2(r) найти функцию и 6 Я1 (Q) такую,
что
Lu + "ku=*f в Q, G.129)
7о« = &) на Г. G.130)
Здесь также только одно краевое условие, и оно главное. Кроме
того, отсутствие естественных краевых условий можно использо-
использовать для того, чтобы охарактеризовать задачи Дирихле. А именно,
краевая задача называется задачей Дирихле, если все ее краевые усло-
условия — главные.
Пример 7.2 (задачи Неймана). Исходные данные: (dl) —
(d5) при Т = 0, V = Я1 {Q).
Сначала определим пространство N. Из G.93) и рассмотренных
исходных данных имеем
N = {и 6 Я1 (Q): Lu + kueL2 (Q) и а% (и, v) =
L4Q)(Lu+Xu,v)L4Q)
Отсюда, используя формулу Грина A8.32) (см., в частности, замеча-
замечание 18.1), получаем
= {« 6 HlL (Q): у%и = 0 на Г}, G.132)
и, следовательно, в этом случае задачу 7.12 можно записать в та-
таком виде.
Задача 7.17 (однородная задача Неймана). При заданной функ-
функции /6L2(fl) найти функцию u?HlL{u) такую, что
Lu + Ku^f в й, G.133):
7яи = 0 на Г. G.134)
159-

Здесь, в противоположность задачам Дирихле, нет главных ус-
условий. Единственное краевое условие G.134) является естествен-
естественным.
Теперь рассмотрим неоднородный случай. При наших условиях
G.98) можно записать в виде
уэд(ы — Л) = 0 на Г, G.135)
или, поскольку u?H\.{Q) и h?HxL(Q),
на Г- (
Из теоремы 18.8, в особенности из той части, в которой гово *
рится о возможности «обращения» следов g ? Н~ 12 (Г) относительно
7И, легко заметить, что задачу 7.13 можно сформулировать следую-
следующим образом.
Задача 7.18 (неоднородная задача Неймана). При заданных
функциях /?L2(Q) и gl?H~1/2(Г) найти функцию «6#L(&) такую,
что
Lu + Xu=f в Q, G.137)
а Г. G.138)
Здесь также мы имеем только одно краевое условие, и оно есте-
естественное. Отсутствие главных условий характерно для задач Нейма-
Неймана: краевая задача называется задачей Неймана, если все ее краевые
условия естественны. Отметим, что наша терминология здесь отли-
отличается от терминологии, приведенной в разделе 7.1 для классичес-
классических постановок краевых задач. В частных случаях задачами вида
7.17 и 7.18 являются не только задачи, которые связаны с именем
Неймана (и которые включают краевое условие на нормальную про-
производную или на ее продолжение), но и многие другие; среди них
мы отметим задачи, которые связаны с условием на косую производ-
производную — так называемые задачи с косой производной. Вопрос, связан-
связанный с терминологией, будет прояснен с помощью задач в примерах
7.4 и 7.8.
Неоднородные задачи Неймана (а в общем случае — все неод-
неоднородные задачи) можно рассматривать непосредственно, без пер-
первоначального сведения их к однородному случаю: это, например,
будет сделано для задачи 18.1. Мы не развиваем далее этот подход,
поскольку, как увидим из задачи 18.1, он выходит за рамки обоб-
обобщенных функций. Рассмотрение таких объектов можно найти в рабо-
работах [543, с. 162; 562, с. 300].
Пример 7.3 (смешанные задачи). Исходные данные: (dl) — (d5)
при Т = 0, (d6) и V = Vr0- В этом случае имеем
N = {и 6 Vr,: Lu + hi ? L2 (Q) и
**(". v) = L4Q){Lu + Xu, v)LHQ) W?Vr); G.139)
160

тем самым, полагая 1\ = Г\Г0 и используя A8.36), получаем:
= {и € VTo П HI (Q): Y2l« |ri - 0}. G.140)
Тогда задачу 7.12 можно записать в следующем виде.
Задача 7.19 (однородная смешанная задача). При заданной
функции /?L2(&) найти функцию u?HlL(Q) такую, что
Lu+Xm = /bQ, G.141)
7и«!Го = 0, G.142)
7я"|г, = 0- G-143)
Задача 7.13 при видоизменении доказательства существования
«обращения» ^б^(Я^0/2(Г0) х(Я^2(Г1))', HlL(Q)), которого мы не
будем здесь приводить, может быть записана в следующем виде.
Задача 7.20 (неоднородная смешанная задача). При заданных
функциях feL*(Q), &,€Я1/2(Г0), ft€(tfof W найти u6«t(Q) та-
такую, что
Lu + Ui = f вО, G.144)
7о«1г„=?о. G-145)
,=A- G146)
, Как в однородной смешанной задаче 7.19, так и в неоднородной
задаче 7.20, мы имеем два типа краевых условий: условия G.142)
и G.145) являются главными, в то время как условия G.143) и
G.146) являются естественными. По этой причине мы называем такие
задачи «смешанными задачами» (по-фраицузски problemes meles).
Задачи для оператора Лапласа.
Пример 7.4. Исходные данные: (dl) при п = 2, (d2) при
V = Я1 (О), (d3), (d4), а в (d5) и (d6) au = аи = 1, аы = а21 =
= Ьх = b2 = Cj = с2 = d и Т s= 0.
Мы имеем билинейную форму 21 (ы, и) = — а^\ {и, v) -\-% {и, v)l\q),
где ад1 определена в G.120), и дифференциальный оператор — А •+¦
+ %, где А — оператор, соответствующий разложению G.119). Оче-
Очевидно, что условия (HI) — (Н4) и G.57) выполнены, поэтому форма
21 непрерывна и коэрцитивна на Я1 (Q) для достаточно больших %.
Эта ситуация является частным случаем ситуации, рассмотренной в
примере 7.2, следовательно, задачу 7.12 мы можем записать в сле-
следующем виде.
Задача 7.21. При заданной функции /?L2(Q) найти и?Н^(О,)
такую, что
— Ди + Хи = /. в Q, G.147)
7Од« = 0 на Г. G.148)
Заметим, что эта задача Является частным случаем задачи 7.17.
Проанализируем теперь условия G.148) в предположении, что ре-
11 К. Бьйокки, А. Капело 161

шение и задачи G.21) является элементом пространства Я3 (Q).
При этих условиях и? С1 (Q) (см. теорему 5.19 при п = 2), и мож-
можно записать
Та (") = л~~ cos (v> *i) "Ь л~~ I cos (v> *г) = ~д^~ = 0 на Г.
G.149)
Таким образом, задача 7.21 является задачей Неймана, связанной
с нормальной производной. В таком случае, можно сказать, что
мы имеем дело с истинной задачей Неймана. Отметим, что предпо-
предположение и 6 Я3 (Q) вполне естественно, поскольку можно доказать,
что если / 6 Я1 (Q), то « 6 Я3 (Q) (это результат о гладкости "типа 3),
к которому мы еще вернемся). Однако в настоящий момент нас
интересует чисто формальная дискуссия, и мы не будем наклады-
накладывать на исходные данные / требования дополнительной гладкости.
Мы уже отмечали ранее, что в общем случае очень трудно отыс-
отыскать множество значений X, при которых билинейная форма типа
91*, коэрцитивна. Однако в нашем частном случае это сделать
очень просто: форма 91 (и, v) — — а^\ (и, v) + X (и, i>)l*<q) коэрцитивна
на Я1 (Q) тогда и только тогда, когда X 6 @, + °°)- Вообще, можно
доказать следующий результат.
Теорема 7.8. Пусть QczR" — открытое множество; аи?
?L°° (Q) (/, / = 1, .... п) — я2 функций, удовлетворяющих G.57); /??
6L°°(Q) — заданная функция такая, что р(х)^а'>0 почти
всюду в Q. Тогда форма
а (и, v) = j ( 2 аа ~^~+ puv) dx G.150)
коэрцитивна на ()
Доказательство. Достаточно заметить, что
a (v, v) > а 2 || dv/dxt \\l(Q) +a'\\v \Цт > min {а, а'}|| v ||^1(П).
G.151)
Из G.151) следует, что для того, чтобы а была коэрцитивной на
Яц (Q) (при ограниченной Q), достаточно, чтобы р (х) ^ 0 почти
всюду в Q. В частности, отсюда следует, что при ограниченной об-
области Q задачи Дирихле для оператора —А (или А) корректно по-
поставлены в Яц (Q). ?
Пример 7.5. Исходные данные: (dl) при п =• 2, (d2) при V =
= Я4(О), (d3), (d4), а в (d5) и (d6) au=a2a=l, о^ = t, an =
= — tL bi = — (дМдхй), b% = dt/dxv cx = ca = d = 0 и Т = 0, где
Здесь мы имеем билинейную форму 91 (и, v) = —ам (и, v) +
А, («, v)l4u), где аД2 определена формулой G.122), и оператор
162

—А +Л, где А соответствует разложению G.121). Легко показать,
что условия (HI)—(Н4) и G.57) выполнены, и, следовательно, форма
ЭД непрерывна и коэрцитивна на Н1 (Q), если "к достаточно велико (в
общем случае недостаточно, что % > 0). Теперь мы находимся в ус-
условиях примера 7.2, и, следовательно, задачу 7.12 можно запи-
записать в следующем виде.
Задача 7.22. При заданной функции /?L2(fl) (и ^С'Й-)
найти и 6 Яд (Q) такую, что
— Дм + %и = f в Q,
V. и— 0 на Г.
1 идо
"Д2
G.152)
G.153)
Эта задача — другой частный случай задачи 7.17. Предполагая,
как и ранее, что «6//s(Q), запишем
ди
дхл
cos(v,
ди
'Г дх.
cos (v, xt) —
ди
cos (v, x2) = -^ ' lr -|- на Г, G.154)
где ди/дт — производная по касательной к границе области Q.
(Предполагаем, что направление касательной сориентировано с
«основным направлением» на Г.) Выражение (ди/dv) — t\T ди/дх
определяет производную по направлению v — rf|r т, которое явля-
является («косым») вектором, выходящим из Q. Таким образом, задача
7.22 является задачей Неймана, связанной с условием на косую
производную — в литературе эта задача достаточно известна под
названием «задача с косой производной».
Задачи 7.21 и 7.22 показывают, что в зависимости от разложения
оператора ему можно поставить в соответствие очень разные задачи.
Задача G.23) является еще одним таким примером.
Пример 7.6. Исходные данные: (dl) при я = 2, (d2) при У =
#1(fi). (d3), (d4), а в (d5) и (d6) an = a22 = l, а12 = а21 =_0,
fci=fc2 = — <а = — с2 = — t nd = — (dt/дх! + dt/dx2), где t б С1 ()
Здесь мы имеем билинейную форму 91 (и, v) = — адз (и, v) +
+ ^ (и, v)l'(Q), где адз определена формулой G.124), и оператор
— А + ^. где А соответствует разложению G.123).
Очевидно, что условия (HI)—(Н4) и G.57) выполнены, и, сле-
следовательно, форма 91 непрерывна и коэрцитивна на Я1 (Q) при
достаточно больших %. Тогда мы опять находимся в условиях
примера 7.2, и поэтому задачу 7.12 можем записать в следующем
виде.
Задача 7.23. При заданной функции /?L2(Q) (и t?Cl(Q)...)
найти м?Яд(?2) такую, что
— Аи + hi = /
вдз
в Q,
на Г.
G.155)
G.156)
1Г
163

Эта задача — другой частный пример задачи 7.17. Снова пред-
предполагая, что «6 Я3 (Q), получаем:
ди
COS (V, Xj) +
cos (v, х2) — t |г и |г cos (v. ^!) —
дх2
— t\vu |гcos(v, *я) = -|? — /|ги|г (cos(v, ^) + cos(v, x2j) --= 0.
G.157)
Следовательно, задача 7.23 является задачей Неймана, но ее тип
отличается от типа предыдущих задач. Некоторые авторы называют
ее задачей Ньютона.
Пример 7.7. Исходные данные: (dl) при п = 2, (d2) при V =
= Я1 (Я), (d3), (d4), а в (d5) и (d6) ап = ам = 1, а21 = а12 = Ьх =
= Ь2 = d = с2 = d = 0 и 7П = t{д1дт)П.
Здесь мы имеем билинейную форму
% (и, v) = ^- аД1 (ы, w) + X, (ы,
и оператор —А + X,, где ам определена формулой G.12), а А задан
формулой G.119). Мы уже знаем, что при достаточно больших X,
форма ЭД непрерывна и коэрцитивна на Я1 (Q).
Как легко видеть, из G.93) и A8.32) следует, что
=0 на
и мы можем записать задачу 7.12 в следующем виде.
Задача 7.24. При заданных функциях /??2(?2) и *6С4(Й) най-
найти и?Н1А(п) такую, что
— А«+Х« = / в Q, G.159)
Твд1„_/|р^- = 0 на Г. G.160)
Если и 6 Я3 (Q), условие G.160) можно представить в виде
ди ди
ди
-^-=0наГ; G.161)
дх
слёдовательнб, мы имеем еще одну задачу с косой производной.
сЦдачд 7.22 и 7.24 показывают, что одни и те же краевые усло-
йия можно получать самыми различными путями. В случае задачи
7.22 мы «десимметризовали» оператор Лапласа, а в случае задачи
7..24 вместо этого мы добавили к билинейной форме ам, связанной
(^.'стандартным разложением оператора, подходящую граничную
билинейную форму.
164

Пример 7.8. Исходные данные: (dl) при п = 2, (d2) при
V = Я1 (Q), (d3), (d4), а в (d5) и (d6) au == a22 = 1, аи = а21 =
= bx = b2 = ct = с2 = d = 0 и 7 ? = ty0 ?•
Теперь мы имеем билинейную форму
91 (м, v) = — flAi (и, у) + Ц«, o)t.(a) + я
где аД1 задана формулой G.120), и дифференциальный оператор
—А + %, где А определен формулой G.119). Нам известно, что при
достаточно больших % (а именно, Я, > 0) форма 21 непрерывна и
коэрцитивна на Hl (Q). В этом случае имеем
N = {utHlA (Q): H-i/2(r)(YaA1«. yov)H^(T) =
= H-i/2(r)(*Yo«> ТоУ>н1/2(Г) v^ 6 Я1 (Q)} =
= {и 6 Яд (Q): 7вд1« - *Yo« = 0 на Г}; G.162)
следовательно, задачу 7.12 можно сформулировать следующим обра-
образом.
Задача 7.25. При заданных функциях /?L2(Q) и t?Cf(Q)
найти и ? Яд (Q) такую, что
— bu + lu = f в Q, G.163)
7ад1«-*|гТо« = О на Г. G.164)
Если и ? Я3 (Q), то G.164) можно записать в виде
1г = ° на Г- <7-165>
Это показывает, что задачи 7.25 и 7.23, по существу, одинаковые.
Таким обоазом, мы снова пришли к ситуации, отмеченной в пре-
предыдущем примере: одна и та же краевая задача может быть свя-
связана с дифференциальным оператором несколькими различными
путями.
7.3. Нелинейные задачи
Мы уже подробно рассматривали нелинейную одномерную зада-
задачу — задачу о струне и препятствии (разделы 1.1 и 6.1). Здесь мы
исследуем некоторые многомерные нелинейные задачи, одна из ко-
которых является обобщением упомянутой задачи (пример 7.10).
Отсутствие общей теории. Для нелинейных вариационных задач
не существует теории, подобной той, которая была представлена
нами (следуя Лионсу, 1955) для линейного случая. Это обусловле-
обусловлено существенным образом широким выбором факторов, которые оп-
определяют нелинейность задачи (т. е. нелинейные функционалы, ко-
которые могут присутствовать в вариационных неравенствах, и вы-
165

иуклые множества, на которых эти функционалы определены).
В связи с этим сама по себе сложная проблема интерпретации ва-
вариационных задач как дифференциальных становится еще более
сложной в нелинейном случае, поскольку каждая задача здесь слож-
сложна сама по себе (за исключением, конечно, случаев, когда можно
развить соответствующие аналогии).
Мы рассмотрим три задачи, которые кажутся нам наиболее ти-
типичными. Много других примеров задач, связанных с вариацион-
вариационными неравенствами, можно найти в литературе, представленной
в библиографии, и, в частности, в работах [32, 599, 687, 46—48,
3661. Кроме того, далее в этой книге мы приведем другие приме-
примеры, связанные с задачами со свободной границей.
Во всех примерах примем обозначения:
Q — ограниченное связное открытое множество из R";
Г — граница Q, ее будем предполагать непрерывной по Липши-
Липшицу; далее, 91 — билинейная форма 91^, определенная в
G.101), где предполагается, что 7s0 и Я такое, что форма коэр-
цитивна на Н1 (Q);
L + % — дифференциальный оператор G.102), соответствую-
соответствующий форме 91.
Пример 7.9 (задача Синьорини). Обозначим через Ki мно-
множество
/Ct = {vеЯ1 (Q): Yof>O п. в. на Г}. G.166)
I /9
Это множество вполне определено, поскольку yov ?H (Г) с:
с: U- (Г), и, тем самым, высказывание «yov ^ 0 п. в. на Г» имеет
смысл. В дальнейшем мы будем сокращать это высказывание и за-
записывать его как «Yuf^O на Г», как мы делали ранее в подобных
ситуациях. Можно убедиться в том, что К\ — выпуклое множество
(более того, это — выпуклый конус), оно не пусто (в частности,
/J^(Q)cr Ki) и замкнуто в Н1(п). (Для того, чгобы это показать,
необходимо только взять в К\ последовательность {vn} такую, что-
чтобы vn--v в Н1(п), и заметить, что непрерывность оператора Yo
влечет Yo^^O на Г, и, следовательно, v ? /С,.)
Билинейная форма 91, будучи непрерывной и коэрцитивной на
Нх (О), непрерывна и коэрцитивна на /Ct — Ki и, следовательно,
мы можем воспользоваться теоремой Лионса — Стампаккьи, что-
чтобы гарантировать существование и единственность решения сле-
следующей задачи.
Задача 7.26. При заданной функции / 6 L2 (Q) найти функ-
функцию u(i H1 (Q) такую, что
9Г(«, и — »)< j/(« — v)dx VvtKi. G.167)
Задача 7.26 является нелинейной вариационной задачей. Заметим,
что правую часть неравенства G.167) можно записать в виде
/, ы — v)lhu), или в виде м\шуA, и — v)h\u), и, следовательно,
166

G.167) является, по существу, вариационным неравенством, к кото-
которому применима теорема Лионса — Стампаккьи.
Мы не стали рассматривать функцию f из (Я1 (&))', поскольку
это вывело бы нас за рамки обобщенных функций; кроме того, в
этом случае граничные условия и уравнение в Q были бы «пере-
«перемешаны» в задаче 7.26.
Рассмотрим теперь следующую задачу.
Задача 7.27. При заданной функции / 6 L2 (Q) найти и 6
6 Я1 (Q) такую, что
Lu + lu = f в Q, G.168)
на Г, G.169)
на Г, G.170)
= ° на г- G.171)
Это нелинейная краевая задача, соответствующая дифферен-
дифференциальному уравнению G.168) (нелинейность задачи относится толь-
только к краевым условиям). Естественно, что уравнение G.168) и усло-
условия G.169) и G.170) рассматриваются соответственно в смысле
$' (Q), Н1'2 (Г), т. е. почти всюду на Г, и Я~1/2(Г), т. е. в смысле
меры на Г. Смысл равенства G.171) не ясен при одном только пред-
предположении и 6 Я1 (Q). Если бы вдобавок и принадлежала С0 (Q),
то мы могли бы G.171) заменить равенством
=0 на Г+(«), G.172)
которое имеет следующий смысл:
+ ("»¦ G-*73)
Замечание (по поводу обозначений). Если А — произволь-
произвольное множество из Rn, a f? С° (А), то через Л+ (/), AQ if) и А~ (/)
мы обозначаем соответственно множества, где f — положительна,
равна нулю или отрицательна, т. е. Л+ (/) = {х 6 A: f (х) > 0},
A0 (J) = {л; 6 Л: / (*) = 0} и А- (/) = {х 6 Л: / (л) < 0} (см. обо-
обозначения, используемые в разделе 6.1). Легко видеть, что А+ (/)
и А~ ф — открытые множества (в А ) и
supp f = A+(f) U А-ф = A\int (Л° (/)).
Покажем теперь эквивалентность задач 7.26 и 7.27 в предполо-
предположении, что и 6 С0 (Q) П Н1 (Q) (и в задаче 7.27 мы заменим G.171)
на G.172) — об этом больше не будем напоминать). Важно заме-
заметить, что это предположение не является обязательным как для
точной интерпретации равенства G.171), так и для доказательства
эквивалентности двух задач. Однако, при отсутствии этого предпо-
предположения все становится более сложным, и, теряя в общности, мы
выигрываем в ясности изложения. К тому же такое предположение
не является серьезным ограничением для большинства задач, кото-
167

рые имеют физическую интерпретацию. На самом деле можно пока-
показать, что решение задачи 7.26 принадлежит пространству Я2 (Q)
(это результат о гладкости типа 1)) и, следовательно, по теореме
5.17 оно непрерывно при п ^ 3. Если предположение о непрерыв-
непрерывности не выполнено (а существуют контрпримеры, показывающие,
что это возможно при достаточно больших значениях п — см. 1240,
с. 176]), то наша дискуссия носит чисто формальный характер.
Теперь докажем, что если и — решение задачи 7.26, то и — ре-
решение задачи -7.27 (т. е. задача 7.26 =$¦ задача 7.27). Точнее,
предположим, что нам не известна задача 7.27, и мы пытаемся ин-
интерпретировать задачу 7.26 как дифференциальную задачу. Это,
естественно, приведет нас к задаче 7.27. Пусть тогда <р — произ-
произвольная функция из 0 (Q); рассмотрим функции wx == и — <р и
Щ = и + ф, которые, очевидно, являются элементами /Сх. Заме-
Заменяя v в G.167) на Vi и v2, поочередно получаем:
91 (и, ы — 1>х)< j /(м — ух) dx и 91 (и, и — у2) ^ J / (и ~ t»2) dx,
и а
G.174)
или
И(н. фК$/фЛе и «(и, — <p)<J/(—<р)Ле;
G.175)
следовательно,
ЧЦ (и, Ф)= Uydx. G.176)
Поскольку ф — произвольная функция из 0 (Q), можно утверждать
(вспомним раздел 7.2), что функция и удовлетворяет уравнению
Lu + Xu = f в Q G.177)
в смысле 0' (Q).
Найдем теперь краевые условия, которые в задаче 7.26 неявно
связаны с G.177). Как и в линейном случае, частично они «содер-
«содержатся» в G.167), а частично — в конусе /Сх (который теперь играет
роль пространства V). Первое условие (главное) очевидно. По-
Поскольку и 6 /Ci, мы можем записать, что
на Г. G.178)
Это условие следует понимать в смысле почти всюду на Г (или,
поскольку и непрерывна на Q,— в классическом смысле). Далее
из G.167) и формулы Грина A8.32), которую можно записать в
виде
Я (и, и — о) = J Aм + Ал) (ы — v) dx + н-щТ){уф, уо(и — у)>н1/2(Г)
G.179)
(и которую мы можем применять, поскольку из G.177) следует
168

ы 6 HXL (Щ, вытекает, что
h-i/WV«u' Ти (« - w )W(r, < 0 V» б /Сх. G.180)
Дадим теперь интерпретацию этому условию. Пусть ф?Я1/2(Г),
Ф>0 на Г и положим о «= и + Лф, где ? 6^ (Я1/2(Г), Я1 (О)) —
оператор «обращения». Имеем i>6Ki и, следовательно, из G.180)
получаем, что
я-'/2 (Г><Т21«> То (- Йф))„1/2(Г) < 0 Уф б Я1/2 (Г), Ф > 0 на Г,
G.181)
или
на Г G.182)
в смысле Н~ (Г) (или в смысле меры на Г, при условии, что в
G.181) выражение «ф6Я1/2(Г), ф^О на Г» можно заменить на
«Ф6Я1/2(Г) П С0(Г), ф>0 на Г» и что С°(Г) П Я1''2(Г) плотно в
С (Г)). Итак, G.182) является вторым условием (теперь уже естест-
естественным), связанным с G.177).
Если вспомнить линейный случай, то можно подумать, что
для интерпретации задачи 7.26 больше ничего не требуется и что в
качестве этой интерпретации можно рассмотреть следующую задачу:
три f 6 L? (п) найти функцию и ? Я1 (Q) такую, что выполняются
соотношения G.177), G.178) и G.182)». Но эта задача некорректно
поставлена, и, следовательно, мы не можем рассматривать ее в
качестве интерпретации для задачи 7.26, которая поставлена кор-
корректно. Это показывает, что задача 7.26 «богаче», чем следовало ожи-
ожидать: она содержит условия, которые мы пока не сформулировали
в явном виде, поэтому нам следует продолжать поиск. У нас есть
два условия на Г — G.178) и G.182), и естественно предположить,
что между ними существует некая связь, т. е. совместность. Дру-
Другими словами, эти условия не являются полностью независимыми
друг от друга. В самом деле, связь существует: мы покажем, что
«7здЫ = 0 при уои > 0». Смысл этого утверждения станет ясен после
его доказательства.
Из непрерывности и в Q следует, что уои = м|г непрерывна на Г
и, следовательно, имеет смысл рассматривать множество Г+ (уои)
(здесь мы впервые по существу пользуемся предположением о не-
непрерывности «!). Обозначим через X пространство функций ф 6
б 0° (Г+ (Yo«)) таких, что фбЯ1/2(Г), где ф обозначает тривиальное
расширение ф на Г. Легко убедиться, что X плотно в ЗЪ° (Т+(уои)).
Пусть теперь ф — произвольная функция из X, а ц, =
= min you/ max |ф|, если ф^О и ц = 0, если ф = 0. Нетрудно
supp ф Г+Gо(И»
видеть, что функции v1 = и — \иЛ (ф) и у2 = и + \иЛ (ф) являются
169

элементами конуса Кх и, следовательно, из G. 180) вытекает, что
То (- V® (Ф)))Н1/2(Г) < 0, G.183)
или
^ 0. G.184)
Поскольку ф — произвольная функция из X, а X плотно в
(Г+ (yo«)), можно записать
)), G.185)
откуда следует, что
?яи = 0 на Г+(Уои) G.186)
в смысле меры на Г+ (уои). Итак, G.186) является третьим усло-
условием, связанным с G.177).
Все это приводит нас к заключению, что решение задачи 7.26
является решением задачи 7.27. Чтобы убедиться в правильности
интерпретации задачи 7.26, необходимо показать, что задача 7.27
корректно поставлена. Это будет вытекать из того, что решение
задачи 7.27 является решением задачи 7.26. Мы сейчас докажем
это, тем самым завершая доказательство (формальной) эквивалент-
эквивалентности двух задач.
Итак, пусть и 6 Я1 (Q) Г) С0 (Q) является решением задачи
7.27. (Заметим, что мы пока не доказали единственность решения
задачи 7.27 — это будет следовать из эквивалентности задач 7.26
и 7.27; однако, факт существования решения имеет место.) Из G.169)
вытекает, что и?К\, а из G.168) получаем представление
lu){u — v)dx=[f(u — v)dx VveKv G.187)
которое в соответствии с формулой Грина G.179) можно заменить
на
Ж {и, и — v) = j / (ы — v) dx + H-iftppyU, Y0 (и — v))Hi/2(r) Vv 6 Kv
G.188)
Для завершения доказательства нам нужно показать, что если и
удовлетворяет G.188), то и удовлетворяет G.167). Это можно сде-
сделать, доказав неравенство
н-ЩгРя»' Yo (« — »)>wi/atr, < 0 Vv 6 Ki- G.189)
170

Имеем
что вместе с G.170) дает неравенство
ци' То (« — ")>«1/2(Г)<я-1%1(Тяи, То")я1/2(г) v"€^r G-!91)
Таким образом, нам нужно показать, что
и-»/*(г>< V» Vo«>Hi/2(r) = 0 G.192)
или (при условии 70ы?С°(Г))
= 0. G.193)
А последнее равенство следует из G.172) и того (легко доказывае-
доказываемого) факта, что уои можно приблизить в топологии 0° (Г) функ-
функциями пространства &° (Г+ (уои)). Следовательно, задачи 7.26 и
7.27 эквивалентны.
Задача 7.27 (а, следовательно, и задача 7.26) называется задачей
Синьорина. Она принадлежит семейству так называемых задач
с односторонними условиями (из-за присутствия знака ^ в G.169)
и G.170)). Задача 7.27 называется также смешанной задачей с
неопределенными условиями (см. [672, с. 128]), поскольку на
Г+ (То") накладывается условие Неймана, а на Г°G0и) =
= Г\Г+ (уои) — условие типа Дирихле. Но поскольку само
множество Г+ (уои) (например) неизвестно в задаче, то мы не
знаем, какое условие на самом деле накладывается на решение в
каждой точке границы Г. В связи с этим задача 7.27 в некотором
смысле является задачей со свободной границей, причем граница яв-
является свободной из-за Г+ (уои). Задачи Синьорини естественным
образом возникают в некоторых задачах механики сплошной сре-
среды—в этой связи см. работы [672, 383].
Задача 7.27 является однородной. В неоднородной задаче усло-
условия G.169), G.170) и G.171) заменяются соответственно на условия
7о">?о «а Г, 72Iu>g1 на Г и (уои — g0) (у%и — gt) = 0 на Г, где
So и 8i — заданные функции, например, из Я!/ (Г) и Н~ ! (Г) соот-
соответственно. (Третье условие следует интерпретировать надлежащим
образом. Если и 6 С0 (Q) Г) Н1 (Щ и gQ 6 С" (Г), то смысл его очевиден:
"Va« = gi на Г+ (уои — g0) в смысле меры на Г+ (уои — g0).) Эта не-
неоднородная задача является интерпретацией вариационной задачи, по-
полученной из задачи 7.26 заменой в G.166) условия «Yot»^s0 на Г»
на «Yo^^go на Г» и добавлением в правую часть неравенства G.167)
выражения „-i/2(r)<g,, Yo (« — »)>»!%)•
171

Соображения такого рода справедливы и для задач, которые
будут рассматриваться в дальнейшем, и мы не будем повторять их
заново.
Пример 7.10 (задача о препятствии). Пусть г|> 6 Я1 (Q) —
такая функция, что уо^\>^ 0 на Г. Рассмотрим множество
K2 - {v € Н\ (Q): v < \p в Q}. G.194)
Легко видеть, что К2 — замкнутое выпуклое подмножество про-
пространства Но (Q), которое вполне определено и не пусто (—[i|>l~ 6
6 /С2). Тогда билинейная форма 91 непрерывна и коэрцитивна на
Кг—Кг, и из теоремы Лионса — Стампаккьи следует существова-
существование и единственность следующей задачи.
Задача 7.28. При заданной функции / 6 L? (Q) найти функ-
функцию и 6 К2 такую, что
<u(u,u — v)^[f{u~v)dx VveK2- G.195)
Для интерпретации этой задачи предположим (по аналогичным
причинам, что и в примере 7.9), что ее решение непрерывно в ft.
Далее, предположим, что функция г|> также непрерывна в Q. Эти
два ограничения не очень жесткие, поскольку можно показать
(см., например, 1240, с. 164]), что если / 6 Я (Q) f| Lp (Q) и т|з 6
6 Я1 (Q) Г) W2>p (Q) A < р < + оо), то_ и е W2-" (Q), и, следовательно,
при р~>п12 и и 1|з непрерывны на Q.
Теперь пусть и 6 CJ (Q) П Я1 (Q)—решение задачи 7.28, г|э — про-
произвольная функция из j#+ (Q), т.е. фg jS(Q) и ф>0 вй. Функция
v = и — ф является элементом множества Кг и, следовательно, из
G. 195),
УФе#+(О). G.196)
или
Lu + Xu</bQ G.197)
в смысле i3' (Q). Далее, поскольку и 6 /С2. то
и<г|> в Q. G.198)
Таким образом, мы имеем пару односторонних условий G.197)
и G.198), которые одновременно выполнены на одном множестве
Q. Из этих двух условий можно получить третье, аналогично тому,
как в примере 7.9 из условий G.178) и G.182) мы получили G.186).
Пусть тогда ф6^Й(й~(ы — г|>)), а ц, = гшп(г|) — ы)/тах|ф|. Отсюда
SUPP ф Q—
немедленно следует, что ut = и — Цф и у2 = и + цф являются эле-
элементами множества /С2 и, тем самым,
172
91 (и, |1ф) < (/цфЛс и «(и, -щр)<(Д-|i.q>)dx, G.199)

что влечет
9t (и, ф) = f /ф dx Уф 6 0 (й~ (и — \f)). G.200)
а
Из G. 200) заключаем, что
Lu + Ku = f в Q~(u — if) G.201)
в смысле #' (Q~ (ы — if)). Уравнение G.201) можно заменить на
равенство
(Lu + ки — /) (и — if) = 0 в Й, G.202)
которое следует толковать как G.201). Без требования непрерыв-
непрерывности и и if равенство G.202) является условием, о котором мы долж-
должны помнить и которое следует интерпретировать в надлежащем
смысле (аналогично G.201)). Отметим аналогию между парой усло-
условий G.171), G.172) и G.201), G.202).
Условия G.197), G.198) и G.201) должны иметь место в Q, к ним
мы можем добавить краевое условие
уои = 0 на Г G.203)
в смысле Я1/2 (Г) (или в классическом смысле уои = ы|г), что сле-
следует из и 6 Кг-
Учитывая сказанное, можно утверждать, что если и— решение
задачи 7.28, то и является решением следующей задачи.
Задача 7.29. При f?L*(Q) и ty?Hl(Q), yoty>0 на Г найти
функцию u?ffl(Q) такую, что выполнены условия G.197), G.198),
G.201) (или G.202)) и G.203).
Убедимся, что задача 7.29 является надлежащей интерпрета-
интерпретацией задачи 7.29. Для этого покажем, что в предположении не-
непрерывности и и if решение задачи 7.29 является решением зада-
задачи 7.28.
Из условий G.198) и G.203) вытекает, что если и — решение
задачи 7.29, то и 6 Кг. поэтому нам нужно только доказать, что и
удовлетворяет вариационному неравенству G.195). Для этого нам
придется воспользоваться техникой, существенно отличной от той,
которая использовалась в предыдущем примере, так как мы не мо-
можем умножать обе части G.197) на ы — и. Поскольку Yo (" — v) —
— Yo" — You — 0, то для и, v б К2 можно записать формулу Грина
G.179) в виде
Я
(и, и — v) = J Aм + %и) (и — v) dx. G.204)
Q
Правая часть G.204) представима в виде суммы
f (Lu +Xu)(u — v)dx=- [ (Lu+ku)(u — v)
° Q—(u—1|3)
+ f (Lu + Xu)(u — v)dx, G.205)
О°(и-Ч»
173

в которой первое слагаемое можно заменить, с учетом G.201), на
J {Lu + Ku)(u — v)dx = f f(u — v)dx, G.206)
Q—(U—1|)) Q—(U— l)))
а для второго слагаемого имеем неравенство
J (Lu + )m)(u — v)dx = j (Lu + lu)(y\> — v)dx^
й°(и—у> а>(и—Ф)
< j /M> —о)Л< j f(u—v)dx, G.207)
G°(u—ф) Я°(ы—i|>)
которое справедливо, поскольку в Q° (u — г|>) мы имеем и = л|э, Lu +
¦4-Ял = /иг|> — и>0. Из G.207) и G.206) получаем
f (Lu
в
+ Щ (u — v)dx^U(u — v) dx, G.208)
в
это неравенство вместе с G.204) дает G.195). Следовательно, мы до-
доказали, что задачи 7.28 и 7.29 эквивалентны.
Как и задача 7.27, задача 7.29 является задачей с односторон-
односторонними и неопределенными условиями, которую можно рассматривать
как задачу со свободной границей (причем свободной границей явля-
является граница области Q~ (и —\|з)). Но если в задаче 7.27 условия
наложены на Г, здесь они наложены в Q. Краевое условие в задаче
7.29 является условием Дирихле. По аналогии с линейным случаем
возникает естественное предположение, что если выражение
«и € Щ (Q)» в определении Кг заменить на «у 6 И1 (Q)», то полу-
получится задача, отличающаяся от задачи 7.29 только тем, что условие
Дирихле заменено на условие Неймана. Но это не так: задача, по-
полученная таким образом, является неопределенной не только во
внутренней части области, но и на границе (см., например, 146]).
Задача 7.29 называется задачей о препятствии, поскольку она,
очевидно, является обобщением задачи о струне и препятствии,
рассмотренной в разделах 1.1 и 6.1.
Приведем теперь еще один частный случай задачи 7.29. Пусть
л = 2, /=0, ^бЯ2 (й). ап = а22 = 1 и а12 = a2t = 6Х = Ь2 =
— ci = сз = d = X — 0. При этих условиях задачу 7.29 можно за-
записать в следующем виде.
Задача 7.30. При ¦§ 6 Н% (Q), о|з |г> 0 найти функцию и 6 Я'(й)
такую, что
— Ды<0 в Q, G.209)
ы<г|> в Q, G.210)
Аи = 0, где и < t|) (иначе в ОТ (и —1|))) G.211)
и |г = 0. G.212)
Решение этой задачи описывает форму, которую при отсутствии
внешних сил if si 0) принимает невесомая упругая мембрана, натя-
174

нутая под препятствием А = {х 6 Rs: (xv х2) 6 & и хг = \|з (л^,
х2)} и закрепленная на границе Г области Я. Непрерывность этого
решения, вытекающую из теоремы о гладкости, на которую мы уже
ссылались, можно интерпретировать следующим образом: она
означает, что мембрана не разрывается. Множества Q0 (и — \|з) и
Q~ (и — ¦$) называются соответственно множеством соприкосно-
соприкосновения и множеством несоприкосновения, эти множества, как мы уже
отмечали, являются неизвестными в задаче. Можно легко показать,
что по аналогии с одномерным случаем конфигурация, которую
принимает мембрана, такова, что она минимизирует интеграл энер-
энергии
± G.213)
из всех возможных конфигураций, т. е. в Кг-
Пример 7.11 (еще одна нелинейная задача). В примерах 7.9
и 7.10 мы рассмотрели нелинейные задачи, в которых нелинейность
была обусловлена выпуклым ограничением (Ki или Кг)- Теперь
приведем пример задачи другого рода — нелинейной задачи, в ко-
которой нелинейность обусловлена присутствием недифференцируемо-
го функционала. Пусть / : Hl0{Q) -*¦ R — функционал, определен-
определенный формулой
= -\fvdx+\[v]+dx, f6L2(Q)- G.214)
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 7.31. При заданной функции f?L2(Q) найти функцию
такую, что
81 (и, и — у) + / («X / (w) Vy 6 #о (й). G.215)
Здесь /, очевидно,— подходящий выпуклый функционал, полу-
полунепрерывный снизу на Щ (Я), и, следовательно, можно применить
теорему 3.5, которая гарантирует существование и единственность
решения задачи 7.31, являющейся вариационной задачей (и, оче-
очевидно, нелинейной). Чтобы интерпретировать задачу 7.31 как диф-
дифференциальную задачу, сделаем обычное предположение о непре-
непрерывности решения: и6#о(Я)ПС0(Я).
Пусть теперь ер?,2)(Я), положим « = и+ф. Очевидно, что у —
функция из #о (Я) и, следовательно, из G.125) имеем неравенство
И (и, — <р) + f [и]+^ < f [и + <f]+dx + [ /(— ф) dx, G.216)
которое можно записать в виде
,u + ki — f, — <p)mQ) + f [ы]+^д; < f [и + ф]+^д;. G.217)
175

Далее, в предположении <р ? Sb+ (Й) (а, следовательно, [ф]+ =
неравенство G.127) принимает вид
{Lu + ku-f,- Ф)^(й) + j [u]+dx < j [u]+dx + j ф dx, G.218)
в в
mQ){
или, с учетом Гф??л:= ,(й)A,ф) (й) и того, что ф — произвольная
Q
функция из j3, (Q),
Lu + lu — /+l>0 bQ G.219)
в смысле #' (Q). Если же мы предположим, что ф 6 $_ (Q) (и, следо-
следовательно, [ф+] = 0), то получим
Lu + lu — fs^O bQ G.220)
в смысле $'(Q). Из G.19) и G.220) получаем двойное дифферен-
дифференциальное неравенство
— 1 +/<L« + Ь«</ в Q, G.221)
которое следует понимать в смысле jZ)' (Q) и к которому мы присо-
присоединим краевое условие
Yo« = O на Г. G.222)
Условие G.222) следует понимать в смысле выполнения почти всю-
всюду на Г, оно вытекает из того факта, что и 6 Щ (?2). До настоящего
момента мы пока не использовали предположение о непрерывности
и (но из G.221) и из / 6 ^2 (&) вытекает на самом деле, что и ? Н2 (Q),
и, следовательно, и ?С° (Q) при п = 1, 2, 3 (ср. с нижеследующей
теоремой 7.12)). Теперь мы воспользуемся предположением о не-
непрерывности и для получения более тонкого результата, чем G.221).
А именно, сформулируем в явном виде неопределенные условия,
которые дополнят двойное одностороннее условие G.221). Пусть
тогда ф ? jZ) (fi+(«)); положим v = и + Цф при fx = min и/ max| ф|,
SUPP ф Q+(U)
где ф — тривиальное продолжение ф на Q. Вместо G.219), мы те-
теперь получаем неравенство
mu+m(Lu + Ku — f> — W@iQ+iu))+ J W+dx^
й+(ы)
< j [и + \iq>]+dx, G.223)
ф+(Ы)
которое с учетом [и]+зин[и + }Хф]+ = и + цф в Q+(«) (поскольку
176

J
Q+(u
и + цф !> 0 в Q+ (и)) принимает вид
J J
G.224)
что приводит нас к уравнению
Lu + ht — f = — l в Q+ (и) G.225)
в смысле $' (Q+ (и)). Аналогичным образом получаем, что
Lu + %и — / = 0 в ОТ (и) G.226)
в"смысле $' (?2~ (и)). Уравнения G.225) и G.226) являются упомя-
упомянутыми выше неопределенными условиями.
В итоге мы можем утверждать, что решение задачи 7.31 явля-
является (формально) решением следующей задачи:
Задача 7.32. При заданной функции / ? L2 (?2) найти функ-
функцию и 6 Но (?2) такую, что выполнены условия G.221), G.225) и
G.226).
Теперь покажем, что, обратно, если и — (непрерывное) решение
задачи 7.32, то и — решение задачи 7.31. Из формулы Грина (заме-
(заметим, что Lu + %и — / 6 L,2 (Q) и, следовательно, и 6 #1 (Q)) выте-
вытекает, что и удовлетворяет G.215) тогда и только тогда, когда и удов-
удовлетворяет неравенству
Г [(Lu + bu — f)(u — v) + [u]+] dx < f [v]+dx Vy 6 Hi (О). G.227)
а а
Покажем теперь, что и на самом деле удовлетворяет G.227).
С этой целью интеграл в правой части G.227) представим в виде
суммы трех слагаемых:
[(Lu + %u-f)(u — v) + [u]+] dx =
-/)(« — v)+[u]+]dx +
j
О+(и)
J [(Lu + ku-/)(«-v) + [u]+]dx
[(Lu + ku — f)(u — v) + [u]+]dx, G.228)
каждое из которых будем рассматривать отдельно:
j [(Lu + hi — /)(« — v) + [u]+]dx~
О+(«)
= J [(— 1) (и — у) -f и] dx - j у d*, G.229)
12 К. Байокки, А. Капело 177

поскольку \и]+ = и в Q+(«) и (из G.225)) Lu + hi — f = — l;
f \(Lu + lu — f)(u — v) + [u]+]dx< J [v]+dx, G.230)
C>»(u) fi°(u)
поскольку — 1 ^Lu + Xu — /<0 (из G.221)) и ыг=[и]+ = 0 в
Й° (и);
j [(Lu-f-bu — /)(ы — у) + [м]+] йл: = 0, G.231)
й-(и)
поскольку Lu + lu — f^O (из G. 226)) и [и]+ зОвй" (и).
Теперь в силу
J vdx-\- J v dx < J [v]+dx, G.232)
Q+(U) й°("' fi
убеждаемся, что G.227) справедливо. Таким образом, мы завер-
завершили доказательство (формальной) эквивалентности задач 7.31 и
7.32.
Замечание 7.1. Из рассмотренного в п. 3.2.3 можно за-
заключить, что условия G.221), G.225) и G.226) могут быть записаны
в компактной форме Lu + ^« 6 / — Я (и), где Я — субдифферен-
субдифференциал положительной части функции Я = д [ ]+ (мы обозначаем
его через Я, поскольку д I ]+ можно представить как монотон-
монотонный максимальный граф, связанный с функцией Хевисайда Я (х) =
= 1 при х > 0 и Я (х) = 0 при jc < 0). Аналогичные обозначения
можно использовать для записи односторонних условий, которые
возникают в примерах 7.9 и 7.10.
7.4. Результаты о гладкости
7.4.1. Гладкость решений дифференциальных уравнений.
Результаты о гладкости решений дифференциальных уравнений
в общем случае доказывать трудно — не столько потому, что они
сложны в идейном плане, сколько из-за их технической сложности.
Мы рассмотрим простой частный случай, в котором, тем не менее,
эти трудности можно усмотреть. Простейший возможный случай —
это тот, в котором область не имеет границы, т. е. Q = Rrt. В этом
случае из теории преобразования Фурье имеем, что отображение
— Аи + и: Hs+2 (Rn) -»- Я5 (Rn) G.233)
является сюръективным изоморфизмом для каждого s 6 R.
Рассмотрим теперь результат по гладкости типа 2) (см. раз-
раздел 6.1), касающийся однородной задачи Дирихле для уравнения
—Ли + и = / в полупространстве. Точнее, рассмотрим следую-
следующую задачу.
Задача 7.33. При заданной функции /?Я"~'(Й+) найти функ-
функцию ив Но (R+) такую, что
— Ды + ы = / в R+. G.234)
178

Эта задача, очевидно, корректно поставлена. В самом деле, зада-
задача 7.33 эквивалентна вариационной задаче три f?H~ (R+) найти
«6#o(R+) такую, что
uv dx + j (grad и, grad v) dx = H_i(|.n,(/, v)H^„} Vu e #o (R+)».
Эта вариационная задача является корректно поставленной, по-
поскольку билинейная форма в левой части вариационного равенства
непрерывна и коэрцитивна на #о (R+). Этот результат можно по-
получить из теоремы Рисса, поскольку упомянутая форма есть не что
иное, как (и, f)Hi(^n r Из этой же теоремы следует, что !l"|lHi(^n)=
= || / ||я-1(?п j — априорная оценка, к которой мы позднее вернемся.
Наша цель — доказать следующую теорему.
Теорема 7.9. Если /е?.2(&|-), то и€#о(К+) П (+)
Для доказательства этой теоремы, нам, по существу, необходимо
показать, что (d2u/dxjdxi)?L2(R+) (I, j = 1,..., л), т. е. что (du/dxt)?
€Я1(Й+) (i = 1, ..., л). Очевидно, что «касательные» переменные
xv... ,хп—\ и «нормальную» переменную хп следует рассматривать
по отдельности. Пусть хг A^/^п—1) — касательная переменная,
положим щ = du/dXf Мы предположили, что и — решение следую-
следующей задачи.
Задача 7.34. При заданной функции /6^a(R+) найти функцию
m?//o(R+) такую, что
— Au + u = f в А+. G.235)
Таким сбразом, их является (формально) решением следующей задачи
Задача 7.35. При заданной функции f?L2(K\.) найти функцию
щ 6 Но (R+) такую, что
— Дм,- + щ = df/dx, в U.+. G.236)
Это корректно поставленная задача (заметим, что dfldxt ? Н~х (R+)).
При этих условиях можно записать, что
дщ/dXj = d2u/dXjdXi eL2(R+), / = 1,..., п. G.237»
Следовательно, чтобы показать, что u?#2(R+), необходимо всего
лишь доказать, что (д2и/дх^) 6 L2 (R+), а последнее очевидно,
12" 179

поскольку
" Л2" "" G.238)
Таким образом, мы привели очень простое доказательство тео-
теоремы 7.9, хотя и предсказывали, что оно будет довольно сложным.
К сожалению, приведенное доказательство не верно! Оно содер-
содержит ошибочное рассуждение. Мы не можем гарантировать, что ut
является решением задачи 7.35 до тех пор пока мы не уверены, что
щ 6 #о (R+). тогда как именно это мы хотели доказать. Мы при-
привели это псевдодоказательство как предупреждение: при доказа-
доказательстве результатов о гладкости нам следует быть особенно осто-
осторожными и не пользоваться рассуждениями, которые лишь
формально справедливы. Приведем теперь правильное доказатель-
доказательство.
Доказательство теоремы 7.9. Покажем, что
j) 6 Я1 (R+). (Аналогичные рассуждения будут иметь место и
для других касательных переменных, тогда как для нормальной пе-
переменной справедливо приведенное выше «доказательство».) Для
этой цели используем метод (касательных) разностных отношений
и воспользуемся априорной оценкой. Этот метод очень широко
используется для доказательства результатов по гладкости (см.
[620, 618, 49] и т. д.).
Будем употреблять следующее обозначение. Если «?Z,2(R+) и
А > 0, то через plft обозначим разностное отношение функции и
по переменной хг относительно параметра h, т. е.
plhu(xv ...,*„) =-у И*, +h,x2 xn) — u(xvx2 xn)]. G.239)
Очевидно, что G.239) определяет преобразование L2(R+) в себя,
по отношению к которому Я1 (R+) и #о (R+) замкнуты, т. е.
Р,ь (Я1 (R+)) с= Я1 (Rn+) и plh (Hi qk+)) cz Hi (An+). Менее очевидно,
что это отображение не продолжимо на Н1(А%)-
II Р1„« II'2(й„} < II«lUtf-p V« 6 Я1 (R+) G-240)
— это фундаментальный результат, который мы сейчас докажем.
Легко видеть, что для любой функции и ? Я1 (R+)
1 h д
plhu{xlt х , хп) = х ?l*~ "(*i + T> Xv ¦¦•>xn)dx G-241)
180

и, следовательно,
Ц.
Применяя неравенство Шварца — Гельдера и теорему Фубини к пра-
правой части равенства G.242), последовательно получаем
-•J-Ш (?"
0
<||«||2 , G.243)
я1»")
что доказывает G.240).
Поскольку отображение p17l линейно, то мы можем утверждать,
что Pift 6 # (Я1 (R+), Z,2(R+)). Приведенное рассуждение показывает
также, что plft ? {? (Но (R+), Z,2(R+)), причем справедливо неравен-
неравенство,'аналогичное G.240). Завершая наше отступление о свойствах
оператора plft, отметим, что если Au?L2(A+), то
р1Л(Ди) = Д(р1А«). G.244)
Продолжим доказательство теоремы. Рассмотрим следующую
задачу:
Задача 7.36. При заданной функции /6^2(R+) найти функцию
- Д (Plh«) + plhu = plhf в k+. G.245)
Эта задача корректно поставлена, поскольку корректно постав-
поставлена задача 7.34, а уравнение G 245) можно записать в виде
plh(-Au + u) = plhf в Rn+, G.246)
что следует из G.235). Задача 7.36 заменяет здесь задачу 7.35 так
же, как и plhu заменяет «,. Теперь мы покажем, что р^м-^и, в
/^(fcj.) при Л-»-0, это завершит доказательство теоремы. Для этой
цели воспользуемся априорной оценкой
II Pift" ll«>(frp < II Pihf lU-i(R^). G-247)
181

которая следует из теоремы Рисса. Легко видеть, что
H-Hin+)(Plhf, ifl^frp - H-i&njif, Рц-н^Ац Vv 6 Я° $+) G'248)
и, следовательно, при условии /?Z,2(R+)
<НЛийп+)||Р1(_йI»1ЬД»). G.249)
Отсюда с учетом G.240) получаем
11Р1*П1«-1*«_,<с, G-250)
где с—постоянная, зависящая от /, но не зависящая от у и А. Из G.247)
и G.250) имеем
G.251)
откуда следует, что из семейства plhu мы можем извлечь последо-
последовательность, слабо сходящуюся в #o(Ri-), — пусть vt будет ее сла-
слабым пределом. Если, с другой стороны, мы можем показать, что
plhu-+Ul в jZ)'(R+) при Л-»-0, G.252)
то доказательство закончено, поскольку из единственности слабого
предела следует, что их = v16 #о (R+) (более того, вся последова-
последовательность {plft«} сходится слабо к иг = щ ъ Hi (R+)) Для доказа-
доказательства G.252) заметим, что по аналогии с G.248)
+) G-253)
и р,(_Л)ф сходится равномерно к — dtp/дл:, в R'J. при /i->-0, что сле-
следует, например, из формулы
Рк_й)Ф = — 1^ Ф (*!, -«2 хп) — j—^Г Ф Ui — 5. ¦« ' -^п).
G.254)
где 0^?^Л, и из того факта, что вторая производная ограничена.
Свойстю G.252) вытекает из определения производной в jZ)'(R+)-D
Методом математической индукции можно легко доказать, что
если /6#*(R+), то решение задачи 7.33 принадлежит простран-
пространству #J(R+) Г) Н*+г (R5-).
182

Далее, посредством локальных отображений можно показать (см.
Лионе — Мадженес, 1972а, с. 149), что ограничение Q = R+ можно
снять. Можно доказать также следующие два результата теорем 7.10,
7.11, в которых открытое множество Q c= R" имеет сколь угодно
гладкую границу.
Теорема 7.10. EcAuf?Hs(Q) и go6 Я5+3/2(Г), s>0, то ре-
решение задачи 7.16 (неоднородной задачи Дирихле) принадлежит
Я<+2 (Q).
Теорема 7.11. Если f?Hs(Q) и & 6 Hs+l/2 (Г), s>0, то ре-
решение задачи 7.18 (неоднородной задачи Неймана) принадлежит
H5+2(Q).
С другой стороны, для смешанной неоднородной задачи 7.20
общий результат такого типа не имеет места, если /, g0 и g, не удов-
удовлетворяют определенным условиям согласования. О многих других
результатах, касающихся гладкости решений эллиптических
дифференциальных уравнений см. [618, 542—548, 95, 620, 52, 45,
669, 639, 50, 87, 685, 562, 2, 96].
Теорема, которую мы только что доказали, является «глобаль-
«глобальным» результатом по гладкости или результатом о гладкости
«вплоть до границы». Она говорит нам о гладкости решения в замы-
замыкании открытого множества, которое фигурировало в формулиров-
формулировке задачи. Когда мы говорим о гладкости рассматриваемой задачи,
мы обычно имеем в виду именно такой тип информации (сюда, на-
например, относятся и теоремы 7.10 и 7.11). Теперь, анализируя ут-
утверждения теорем 7.10 и 7.11 и вспоминая сказанное относительно
смешанной задачи, заключаем следующее. (Глобальная) гладкость
решений различных задач, связанных с заданным о; eoimopOM, зави-
зависит от вида (и не только от гладкости) исходных данных на гра-
границе. Эти рассуждения приводят нас к рассмотрению (наряду с
уже упомянутыми результатами) так называемых результатов по
«локальной» гладкости, или гладкости «внутри» области, которые
не зависят от граничных условий, а зависят только от дифферен-
дифференциальных операторов, входящих в уравнение.
Приведем пример по этому поводу.
Теорема 7.12. Пусть Q a R" — произвольное открытое мно-
множество, a /6L?oc(&)- Если функция u?H\0C(Q) такая, что
— Au + u = f в Q, G.255)
то и 6 Я?ос (Q).
Доказательство. Пусть х0 6 ?2, положим В (х0, г) = {х ? Q:
II * — ЧII <г}> гДе г < 0/2) -dist (xn, R"\fi). Мы хотим доказать,
что если — Аы + u=f 6 пос (Q) и и 6 #!<* (Q), то и \щХо,г) 6 Я2 (В (*0, г)).
Для этой цели нам необходимо только показать, что u=M(p6//2(R"),
где и — тривиальное продолжение и на R", а ф — тривиальное про-
продолжение на R" функции ф g С™ (В (х0, 2г)) такой, что ф = 1 в
183

В (х0, г) (вспомним лемму, которая используется при доказательстве
теоремы о разбиении единицы (см. теорему 15.4)). Теперь, обозна-
обозначая через / тривиальное продолжение / на R", получаем
— Аи + v = — А (мф) + ыф =
= — ыАф — фАм — 2 (grad и, grad ф) + и ф =
= — мАф + ф (— Аи + «) — 2 (grad и, grad ф) =
= — мАф + Ф/ — 2 (grad й, grad ^) 6 L2 (R"), G.256)
и, следовательно, из G.233) v?H2(fC). П
Этот результат справедлив для гораздо более общих операторов,
нежели —А + / (при этом доказательство будет другое). С этими
результатами связано понятие гипоэллиптического оператора —
см., например, [86].
7.4.2. Гладкость решений вариационных неравенств. Исследо-
Исследование гладкости решений задач, связанных с вариационными нера-
неравенствами, вообще говоря, намного сложнее, чем исследование глад-
гладкости решений задач, связанных с уравнениями. Причина здесь,
естественно, в нелинейной природе этих задач. Кроме того, как
правило, из-за нелинейности техника или методы исследования,
которые хорошо работают для некоторых задач, будут не приме-
применимы для исследования других не слишком отличающихся задач.
Далее, прямые методы исследования гладкости, как например,
метод касательных разностных отношений, использованный в пре-
предыдущем разделе, здесь редко применимы. Примечательным исклю-
исключением является задача Синьорини (см. [46]), которая, однако, явля-
является задачей «линейной внутри области» (поскольку в открытом
множестве Q справедливо дифференциальное уравнение (Аи = /
в Q), а не дифференциальное неравенство (Аи < / в Q), как, напри-
например, в задаче о препятствии). Для такой задачи применим первый
шаг упомянутого метода.
Мы приведем здесь неявный метод довольно общего вида, хотя
даже и он не всегда применим. Этот метод заключается в переходе
от проблемы гладкости для неравенств к проблеме гладкости для
уравнений. Основная идея метода состоит в том, чтобы ликвидиро-
ликвидировать нехватку информации (она возникает из-за того, что мы имеем
дело с дифференциальным неравенством (Аи ^ / в Q), а не с урав-
уравнением (Аи = / в Q)) и показать, что при определенных условиях
(т. е. для некоторых задач) гладкость Аи каким бы то ни было об-
образом совпадает с гладкостью /. Мы докажем этот результат, кото-
который опирается по существу на неравенство Леви — Стампаккьи
(см. [524]) при достаточно общих ограничениях на оператор А.
Оператор А может быть, в частности, нелинейным (в противополож-
противоположность операторам, ассоциированным с билинейными формами,—
только они рассматривались до сих пор в настоящей главе. Чтобы
184

подчеркнуть этот факт, оператор будем обозначать буквой Л, а не
L). В гл. 3 мы уже рассматривали вариационные неравенства, свя-
связанные с нелинейными операторами (см. теорему 3.2) — здесь мы
обратимся к еще более общему случаю.
Коэрцитивность, монотонность, полунепрерывность. Для облег-
облегчения дальнейшего чтения, повторим здесь несколько определе-
определений, рассмотренных уже в предыдущих главах.
Определение 7.2. Пусть V — банахово пространство,
V — сопряженное к нему, а К с V — непустое множество. Опе-
Оператор А: К-*¦ V называется
1) коэрцитивным, если
*\,6К У'{А\и^°)у -> + °о при 1Ик->°о, иеК G.257)
(если /С — ограничено, то это определение, конечно, не имеет смысла);
2) монотонным, если
Vu, v € К v.(Au — Av,u — v)v^0; G.258)
3) строго монотонным, если он монотонный и
v,(Au — Av,u — v)v = O^u = v; G.259)
4) сильно монотонный, если
Эа>0, Vu,v?K v.(Au — Av,u — v)v>a\\u — v\\*i G.260)
^ 5) полунепрерывным, если для любых u,v?K и любой после-
последовательности {tm}(tm->-0) неотрицательных действительных чисел,
такой, что и + tmv 6 К, последовательность {А (и -\- tmv)} сходится
слабо* к Аи в VI
~' Для изучения этих или других понятий, тесно связанных с ними
(таких, как псевдомонотонность, максимальная монотонность,
неопределенная непрерывность и т. п.), см., например, [46, гл. 2;
487, 488, 208, 15, гл. I; 697, 231, 234, 255]. Здесь мы только ука-
укажем на тот очевидный факт, что сильно монотонный оператор явля-
является строго монотонным и коэрцитивным, и сделаем несколько
коротких замечаний по поводу понятия полунепрерывности. Если
К, — выпуклое множество, что является наиболее распространен-
распространенным случаем в приложениях, то определение полунепрерывности
можно переформулировать следующим образом: оператор А : К ->-
-*¦ V является полунепрерывным, если для любых u,v 6 К, и> 6 V,
функция k~*~ / (К) = V>(A (ku + A + X) v), w)v непрерывна из
[0, 1] в R (т. е. сужение А на отрезки, содержащиеся в К, непрерыв-
непрерывно в слабой* топологии V). Записанное в такой форме определение
полунепрерывности можно обобщить самым естественным образом:
так, оператор А : К-*• V называется полунепрерывным сверху (со-
(соответственно, полунепрерывным снизу), если функция f (К) полуне-
полунепрерывна сверху (соответственно, полунепрерывна снизу).
Теперь рассмотрим следующую задачу.
185

Задача 7.37. Пусть V — рефлексивное банахово простран-
пространство, V' — сопряженное к нему, К с: V — непустое замкнутое
выпуклое множество, а А : V -*• V — монотонный оператор, полу-
полунепрерывный и коэрцитивный (на К). При / 6 V найти элемент
и 6 К такой, что
— f,u — у\,<0. G.261)
Мы пока не в состоянии сказать, корректно ли поставлена эта
задача. В гл. 10 мы убедимся, что на самом деле эта задача имеет ре-
решение, которое единственно, если А — строго монотонный опера-
оператор (см. также [46, 257, 459, с. 273; 595]). Однако, мы докажем ре-
результат о гладкости решений задачи 7.37. Проблема гладкости ре-
решений вариационных неравенств, начиная с работы Леви — Стам-
паккьи [524], широко рассматривалась несколькими авторами
(см., например, [240, 606] ...) — здесь мы будем следовать подходу
Брезиса и Стампаккьи [240].
Теорема Брезис — Стампаккьи и лемма Минти.
Теорема 7.13. Предположим, что условия задачи 7.37 выпол-
выполнены, а К и А совместимы в том смысле, что
VutK Ve>0 3ue6/C uE+eAuE=u. G.262)
ds
Тогда, если Н — гильбертово пространство, такое ч/поКс=^.Я~
ds
~ Н' с _ V, то справедливо следующее свойство гладкости: если
f(:H, а и — решение задачи 7.37, то Аи?Н.
Эта теорема не является должным результатом гладкости в
смысле, описанном в гл. 6, поскольку мы говорим о гладкости Аи,
а не непосредственно о гладкости и. Тем не менее, это результат,
подобный результатам типа 3). Эту теорему можно доказать и при
более общих ограничениях на пространство Н, которое может быть
рефлексивным банаховым пространством — однако, в этом слу-
случае G.62) следует заменить на другое условие, включающее так
называемые двойственные отображения (см. [240, с. 156; 46]).
Для доказательства теоремы нам потребуется другой результат,
который так же важен, как и сама теорема (и который имеет не-
несколько разнообразных приложений — см. [589, с. 318]):
Теорема 7.14 (лемма Минти). Пусть V — банахово про-
пространство, V — сопряженное к нему, К с: V — непустое замкну-
замкнутое выпуклое множество, f?V, А : К -*¦ V — полунепрерывный
монотонный оператор. Элемент и является решением задачи
иеК, VveK v,{Au — f,u — v)v^0 G.263)
тогда и только тогда, когда он является решением задачи
иеК, Vu6/C v.{Av — /,ы —у\,<0, G.264)
т. е.
{ueKiWZK улЛи—f, м—y)v<0}={u6/C: VveKv.(Av—f, u—v)v^0}.
G 265)
186

Кроме того, множества, входящие в G.265), являются замкнутыми
выпуклыми множествами (возможно пустыми).
Доказательство. Если и удовлетворяет G.263), то и
удовлетворяет также и G.264), поскольку можно записать
v,(Av — f,u — v)v = v,(Av — f + Аи — Аи, и — viv =
= v,(Av — Аи, и — v)v + v.{Au — f,u — v)v G.266)
и из G.263) и того факта, что А — монотонный оператор (заметим,
что у,(Аи — Аи, и — v)v=—v, (Аи—Av, и—y)v^0), получить G.264).-
Обратно, если и удовлетворяет G.264), зафиксируем w ? К и
положим v = Xw + A — X) и, X 6 @, 1) (заметим, что v 6 К, по-
поскольку К выпукло). Тогда из G.264) можно записать
= Ху. (А (Хш + A — X) и), u — w)v^ 0. G.267)
Разделив G.267) на X (>0) и устремив X к нулю, получим с уче-
учетом полу непрерывности А неравенство
v,(Au — f,u — w)vs^0, G.268)
которое совпадает с G.263) в силу произвольности w из К- Следо-
Следовательно, неравенства G.263) и G.264) эквивалентны. Для завер-
завершения доказательства заметим, что К — замкнутое выпуклое мно-
множество, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым
множеством, что
; v.(Av — f,u — u>v<0} =
= n {К П { V i v(Av -/,«-»>„< 0}} G.269)
и, наконец, что множество {u?V t v.(Av — f,u—u)v^0} является
замкнутым полупространством, определяемым гиперплоскостью с
уравнением v,{Av — f,u — v)v — 0. П
Перейдем теперь к доказательству теоремы 7.13.
Доказательство теоремы 7.13. Основная идея
этого доказательства состоит в том, чтобы приблизить и последова-
последовательностью иЕ в условиях G.262) и затем показать, что последова-
последовательность Л не сходится к Ли в Я; отсюда будет следовать, что
Аи 6 Я. По теореме 7.14, которой, очевидно, можно воспользовать-
воспользоваться, G.261) заменим на
G.270)
Пусть теперь е>0, положим в G.270) и ~и&.
v,(Aue-f,u-up)v^0, G.271)
где ие определяется из G.262}. (Это имеет смысл, поскольку иЕ 6/С.)
187

При
и = ие + вАие G.272)
из G.271) получаем
tv.(Aus-f,Aue)v^0 G.273)
или, поскольку е > О,
f G.274)
Из G.272) имеем Аие?VczH, и поскольку мы предположили, что
/6 Я, G.274) можно записать в виде
н,{Аие - /, Аиг)н = (Аие - Д Auz)H < 0, G.275)
откуда
\\А\\Ш Ve>°- G-276)
Из неравенства G.276) и из G.272) следует, что
ые->и при е>0; '¦"" G.277)
(Лй8, ые— ы)->0 при е->-0. G.278)
Пусть о0 6 /( — один из элементов, удовлетворяющих G.257)
(по условию теоремы такие элементы и0 существуют); запишем ра-
равенства
v.(Aue, us — yo>v = v,(Aue, ue — u + u — v0)v =
= v, {Aue, ue — u)v + v.(Aue, и — vo)v =
= r{Aue, и — vo)v + (Aue, ue — u)H. G.279)
Из G.278) и из того факта, что у (Аие, и — vo)v ограничено (по-
(поскольку Аиг ограничен, а (и — v0) — фиксированный элемент),
можно видеть, что v(Aue, ue — vo)v ограничено. Отсюда и из
коэрцитивности А следует, что
3c>0 Ve>0 ||«e||v<c. G.280)
Из G.280) и из того, что V — рефлексивно, заключаем, что из {ие}
можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся в V:
и при еЛ
0. G.281)
Из G.277) и из единственности слабого предела имеем и = и и,
следовательно,
Uzh~^u при еЛ->0 G.282)
Далее, записывая G.276) для AuBh и вспоминая, что Н — гильбер-
гильбертово пространство и, следовательно, рефлексивное, заключаем, что из
/4ыеЛ можно извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся р Н;
Au4m~fft ПРИ Ч«-*0- G-283)
188

Для завершения доказательства теоремы нам остается только по-
показать, что % — Аи. Из монотонности А следует, что
Ve>0 Vw?V v(Aueh — Aw, uefl —w)v>0\ G.284)
принимая
au = (l — 9)ы + 9ы, 96@,1) G.285)
при фиксированном v из V, из G.284) запишем
v{Au4m - А [A - в) и + во], u&hm - [A - 0) и + во1)у =
. "еЛт — и)н + 9 (ЛивЙ1я, ы — u)w —
— 8)и+ 6»], и — u>v>0. G.286)
Полагая ЕАт->0, получаем (с учетом G.278), G.283), G.282) для
первых трех слагаемых соответственно)
вн' (X. " — ")н— в^ (/4 [A — 9) ы + 9у], и — v)v> 0. G.287)
Разделив G.287) на 9(9>0) и устремив 9 к нулю, с учетом по-
полунепрерывности А приходим к неравенству
V'(X — Au,u — v)v>0. G.288)
Поскольку v — произвольный элемент из V (и, следовательно,
и — v — тоже произвольный), мы получаем требуемый результат:
X = Аи. ?
Конкретный пример. Приведем здесь пример, в котором вос-
воспользуемся только что доказанным общим результатом. Рассмот-
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 7.38. Пусть Qcz R" — открытое множество с границей
Г, непрерывной по Липшицу, V = #o(Q), K= {v?Ho(Q)'- и^'Ф}.
где tJj6Hl(Q) и уогр]>0 на Г, a a:VxV-*R — билинейная форма,
непрерывная и коэрцитивная (на /С — /С). При / 6 Я (Q) найти
и 6 Яо (?2) такую, что
Vug К а(ы,н-и)<„_1(й)</,и>„1(а). G.289)
(
Эта задача является просто обобщением задачи 7.31, причем
обобщение состоит в том, что форма а не задана в явном виде, а ис-
исходная функция / рассматривается из более широкого класса.
Пусть теперь Н = L2 (Q). Мы хотим установить, какие дополни-
дополнительные ограничения необходимо наложить на а (или на оператор
А, ассоциированный с а), чтобы можно было применить теорему
7.13 и сказать, что если /? L2 (Q), то Аи 6 L2 (О.) (и, следователь-
следовательно, по крайней мере, для случая, когда А — эллиптический диф-
189

ференциальный линейный оператор, как в задаче 7.31, u?Ho(Q) f)
ПЯ2(Q)).
Очевидно, что если а — билинейная, непрерывная и коэрцитив-
коэрцитивная форма, то соответствующий ей оператор А является монотон-
монотонным (более того, линейным), полунепрерывным (более того, непре-
непрерывным) и коэрцитивным. Таким образом, нам нужно отыскать ус-
условия, которые следует наложить на а и г|>, чтобы А и К были сов-
совместимыми в смысле G.262), т. е., чтобы задача
Use К; (Не, V)L4Q) + Ш (Не, V) = (и, о)«О> V» 6 #0 (Q) G.290)
имела решение для любого ы из /С и любого е > 0. Очевидно, что
задача G.290) имеет решение ие в Нх0 (Q) = V; тогда нам нужно до-
доказать, что при подходящих предположениях, которые мы найдем,
это решение принадлежит К, т. е. ые ^ ^ или, что эквивалентно
(см. раздел 5.5), [не — г|)]+ = 0.
Из G.290) запишем равенство
(ыЕ — г|5, u)L!(Q) + еа (ы8 —y,v) = (и, w)Li(Q) — (ф, у)^(й) — еа (ф, и);
G.291)
выбирая v = [ы8—г|>]+ (что правомочно, поскольку из уоие =0 и
0 следует [ые — г|)]+ 6 #о (^)) • получаем
J (и* — S>) 1«в — i|5]+dx + ва (нв — г|>, [tfe — г|>]+) =
а
= J (и — 1|з) [«в — W+d* — еа (S>. [«в — Ч>1+)- G.292)
Далее, и — Ч>^0 (поскольку мы предположили, что и 6 К) и если
мы предположим, что
а (ф, [йе — г|5]+) > 0 G.293)
(это первое из разыскиваемых условий), то
J («в — ф) [не — tl+ d* + еа (и8 — ф, [«8 — 1|?]+) < 0. G.294)
Теперь, поскольку
(не — г1>) = [ые — tl+ — [не — +Г. G.295)
|i (supp [не — tl+ П supp [ив — if ]~) = 0, G.296)
неравенство G.294) принимает вид
J A«в - tl+J dx + ea ([и» — г|>]+, [иЕ - г|>]+) —
— га Aне — фГ, [ыв — tl+) < 0. G.297)
190

Предполагая, что
а ([не - Ч>Г, [«в - Ч>]+) = 0 G.298)
(это второе искомое предположение), неравенство G.297) перепишем
в виде
^+ Щ+, [ие-Мр]+)^О, G.299)
из которого получаем, что
а ([и, — tl+- [«в — ф]+) < 0. G.300)
Из G.300) и из коэрцитивности а следует, что [ие— ip]+==0, что
и требовалось доказать.
В заключение можно сказать, что если G.293) и G.298) выпол-
выполнены, то мы можем пользоваться теоремой 7.13. Эти предположе-
предположения трудно проверять, поскольку для этого нужно знать прежде
всего решение и задачи, поэтому мы потребуем, чтобы форма а и
функция препятствия ф удовлетворяли условиям
a(i|>,0)>O Vo€//o(Q), u>0, G.301)
a([v]~,[v]+) = 0 Vu6//J(Q). G.302)
Условие G.302) является предположением на а, которое выпол-
выполнено, в частности, для формы G.101). Это условие, таким образом,
не является чересчур обременительным во многих приложениях.
Условие G.301) является условием совместимости для а иф, кото-
которое в терминах оператора А можно записать следующим образом:
Лф>0 bJZ)'(Q) G.303)
(или в смысле мер на Q).
Более короткое доказательство того, что ие ^ i|>, можно полу-
получить с использованием принципа максимума, который мы, до не-
некоторой степени, «скрывали» в предыдущем доказательстве. Сейчас
мы докажем этот факт, используя принцип максимума в явном
виде, в простом частном случае, когда
а (и, v) = \ (grad и, grad v) dx G.304)
&
(этой форме соответствует оператор А = —А). При этих условиях
вместо G.291) можно записать равенство
«е— 'ф — eA(ug — 1|)) = ы — 1|> + еДг|). G.305)
Далее, полагая v — ие — г|з и вспоминая, что и — ij> ^ 0 (по-
(поскольку мы предположили, что и — решение задачи) и Aip ^ 0
(поскольку из G.303) следует, что — Аг|> ^ 0), имеем
V — еДи<0. G.306)
Отсюда в силу е > 0 и yov ^ 0 из принципа максимума (см. раз-
раздел 17.5) получаем v ^ 0, т. е. ие ^ ty.
191

В общем случае, гладкость решения задачи, связанной с неравен-
неравенством, не обязательно растет вместе с повышением гладкости ис-
исходных данных. Здесь мы имеем дело с явлением, которое можно тол-,
ковать предположительно следующим образом: для таких задач
существуют пороги гладкости, которых не могут преодолеть (или
достичь) решения, какой бы гладкостью ни обладали исходные дан-
данные (см. замечания, сделанные в главе 6). Точное определение та-
таких порогов в общем случае невозможно, и поэтому приходится
удовлетворяться их оцениванием. Эти оценки (оценки снизу) полу-
получаются обычно с помощью контр-примеров, среди которых очень
полезен пример, придуманный Шамиром при обсуждении глад-
гладкости решений уравнений (эта проблема рассматривается, напри-
например, в работах [240, с. 176; 46]. Пороги гладкости естественным об-
зом зависят от совокупности (или шкалы) рассматриваемых функ-
функциональных пространств. Так, если мы работаем в пространствах
Hs (?2), то s называется порогом гладкости, достижимым (соответ-
(соответственно недостижимым) решением и задачи t/5, если при сколь угод-
угодно гладких исходных данных (из этих пространств) в общем случае
и $ Hs+E (Q) (е > 0), но и 6 Яs (Q) (соответственно и б HS~E (Q) для лю-
любого е>0, но H#tfs(Q)).
Исследование других свойств гладкости можно найти, напри-
например, в работах [166, 236, 240, 356, 393, 524, 46, 606, 611, 687, 232,
233]. Для решений неравенств с препятствием также возникает
проблема гладкости «множества соприкосновения», в этой связи
см. [501] и библиографию этой работы.
Глава 8. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА
ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
8.1. Общие замечания. Физическая задача
Вариационные неравенства и задачи со свободной границей.
На связь между вариационными неравенствами и задачами со сво-
свободной границей указали еще Леви и Стампаккья (см. [524]); однако
многие задачи со свободной границей, возникающие в приложениях,
нельзя записать непосредственно с помощью вариационных нера-
неравенств. Для одной из таких задач (она возникает в гидравлике, а
именно задача 8.1) в работах Байокки [126, 127] было показано,
что ее можно сформулировать в виде вариационного неравенства,
если сделать подходящую замену неизвестной функции. Эта мето-
методика оказалась полезной для многих других задач: кроме несколь-
нескольких задач гидравлики, более общих, чем рассмотренные у Байокки
[126, 127], на которые мы дадим некоторые ссылки позднее, ана-
аналогичные методы были использованы и для задач со свободной гра-
границей, возникающих в динамике жидкостей (дозвуковой поток во-
вокруг профиля крыла — см. [241] для случая с вихрем и [235] для
192

случая без вихря), для задач параболической природы в термоди-
термодинамике (задача Стефана— см. [365, 366]), а также для эволюцион-
эволюционных задач, включающих эллиптическое уравнение внутри области
и условия эволюции на свободной границе (см. [710]).
Задача о дамбе. Здесь мы будем описывать только задачи со сво-
свободной границей, возникающие при изучении движения жидкостей
через пористые материалы. Точнее, мы будем рассматривать случай
двух водных бассейнов с различными уровнями, разделенных грун-
грунтовой дамбой. По закону тяготения вода .будет просачиваться с
более высокого уровня на более низкий; задача состоит в том, чтобы
определить некоторые физические величины (распределение ско-
скорости и давления, пропускная способность и т. п.), а также некото-
некоторые геометрические неизвестные величины (линии тока, размер
влажной части дамбы и т. п.), связанные с движением.
Мы будем изучать эту задачу для двумерного стационарного те-
течения при отсутствии испарения и капиллярных явлений, предпо-
предполагая, что жидкость несжимаема, а пористый материал — однород-
однородный, изотропный и также несжимаемый.
Рассмотрение других или более общих задач можно найти в ра-
работах [710] и приведенной там библиографии (эволюционные зада-
задачи); [428, 74] (трехмерные задачи); [398, 632, 633] (задачи с учетом
явлений испарения); [326] (задачи с учетом капиллярных явлений);
[150] и [168] (задачи, связанные с переменной проницаемостью).
О других физических задачах, таких, как дренаж канала или зада-
задачи о выведении к морю подземных разломов, см. соответственно ра-
работы [704, 150].
Дальнейшие вводимые нами ограничения будут касаться гео-
геометрии дамбы, которая по предположению должна иметь верти-
вертикальные стенки и горизонтальное основание. В ч. II мы будем рас-
рассматривать задачу и с более сложной геометрией.
Введем некоторые обозначения (остальные см. на рис. 8.1 и
8.2):
Уъ Уп с — высоты бассейнов и толщина дамбы соответственно;
Q — область течения, т. е. влажная часть дамбы,
Р (х> У) — давление в данной точке дамбы (атмосферное давление
предполагается нулевым);
Ф (х) — «свободная граница», т. е. «верхняя граница» области Q;
ф(Х)
q —пропускная способность дамбы (q = — f px (х, t) dt п. в. в @, с),
о
если положить равными 1 некоторые физические коэффициенты)
В дополнение к условию, что основание дамбы непроницаемо,
предположим, что левая стена на высоте, большей d, также непро-
непроницаема. Последнее предположение не влияет на рассматриваемое
явление, если d ^ уг (как на рисунке 8.1, где непроницаемая часть
не показана), но это играет важную роль, если d < у (как на
рис. 8.2). Второй случай будет рассматриваться в разделе 8.3; здесь
же мы рассмотрим случай, представленный на рис. 8.1.
13 К. Байокки, А. Капело 193

Не вдаваясь в физические детали задач (за ними мы отсылаем
читателя ко второй части, а также к книгам по гидротехнике, напри-
например, [161, 458, 62]), рассмотрим следующую математическую за-
задачу.
Рис. 8.1
Рис. 8.2
Задача 8.1. Заданы три числа с, уг, у2, причем
О 0, Уг>у2>0.
Найти кривую у = q> {x) такую, что
Ф — определенная на [0, с] «гладкая» функция,
Ф не возрастает, q>{0) — yv q>(c)>#2>
и такую, что в области
(8.1)
(8-2)
(8-3)
(8.4)
имеет решение следующая краевая задача относительно неизвест-
неизвестной функции р (х, у), где
р — заданная в Q гладкая функция,
Ар = 0 в Q,
Р (О> У) ~ У\ — У ПРИ
Р (с> У) — Уъ — У при
при
при О < х ^ с,
=« 0 при О < л; < о,
Р (С У)=О
р(х,ч{х)) =
(8.5)
(8.6)
(8.7)
(8.8)
(8.9)
(8.10)
(8.11)
(8.12)
194

Заметим, что если бы мы наложили только одно из условий C.10),
(8.11), то при фиксированной ф задача относительно р была бы сме-
смешанной задачей Дирихле — Неймана; как мы увидим далее, имен-
именно требование одновременного выполнения двух условий (8.1С)
и (8.11) на кривой ф позволит найти эту кривую однозначно.
Задача 8.1 является, очевидно, не полной. Чтобы ее дополнить,
начнем прежде всего со следующего соображения. При минималь-
минимальных требованиях на гладкость ф и р, принцип максимума дает
неравенство
р(х,у)>0 в Q. (8.13}
Для дополнения задачи 8.1 мы будем использовать (8.13) и ра-
работать вместо р с тривиальным продолжением р на множество D,
определенное равенством
?>=@, с)х@, +оо). (8.14)
Мы должны, следовательно, положить р (х, у) = р (х, у) для (х, у) ?
6 Q и р (х, у) = 0 для (х, у) 6 D\Q, для упрощения обозначений мы
будем продолжать писать по-прежнему р, а не р.
Рассмотрим теперь задачу в следующей (полной) форме.
Задача 8.2. Заданы с, уъ уг такие, что выполнено 8.1, и мно-
множество D, определенное формулой (8.14). Найти функцию р такую,
что
p?C?iP)[\W-(L), (8.15)
р{х,у)^О в -Д (8.16)
Р(О,У)=[У1 — У\+ при yeiO, +oo), (8.17)
Р(с> У)=1У2 — У]+ при у6[0, +оо), (8.18)
(*о.Уо)€А /Фо> #о)>О> Уе(О,уо)=^р(хо,у)>О (8.19)
и такую, что, полагая
Q = {(х, y)?D: р(х, у)> 0}, (8.20)
получаем следующие свойства:
Q — компакт, (8.21)
@. с)х(— оо, + оо)). (8.22)
Выражения (8.16), (8.17), (8.18) и (8.19) имеют смысл, посколь-
поскольку р 6 С0 (D), откуда также следует, что множество Q, определенное
формулой (8.20), открыто. Выражение (8.22) имеет смысл, посколь-
поскольку Р 6 Я1 (D). Свойство (8.19) еще раз выражает тот факт, что мно-
множество Q имеет вид (8.4), однако без каких-либо дополнительных ус-
условий на ф (на самом деле из р 6 С0 (?>) следует, что функция х ->¦
-*¦ Ф (х) полунепрерывна снизу). Условие (8.21) означает, что ср
13* 195

ограничена. В дальнейшем зафиксируем действительное число у+
такое, что
Q с [0, с] х [0, yj (8.23)'
и ограничимся рассмотрением замыкания D# прямоугольника D#,
определенного формулой
fr). (8.24)
Относительно единственности г/* отметим следующее. Если у нао
есть два решения ръ р2 и соответствующие Qt удовлетворяют ус-
условию
йг с [0, с] х [0, г/жг],
то мы выберем
У* = max (г/#1, г/ж2).
Формула (8.22) является обычной слабой формулировкой (8.6),
(8.11) и (8.12), свойство (8.10) содержится в (8.15), условие (8.7)
переписано в виде (8.17), а условия (8.8) и (8.9) записаны одним ус-
условием (8.18). Что касается «гладкости» — см. обсуждение после
теоремы 8.1.
Для задачи 8.2 имеют место следующие результаты.
Теорема 8.1. Задача 8.2 имеет одно и только одно реше :ие;
далее,
(8.25)
PxUL-(PJ, (8.26)
+00 2 2
- j" px(x, t)dt = У{~У2 п. в. в @, с) (8.27)
о
и при
Ф (л;) = max {у: (х, у) 6 Q} (8.28)
выполнено (8.3) и, более того,
Ф6С°([О, с]), ф аналитшна в @, с), (8.29)
Ф вогнута, ф' @) = 0, <р'(с) — — оо. (8.30)
Мы докажем здесь только некоторые из этих результатов, дру-
другие будут доказаны в части II в более общем случае. Тем не менее,
относительно всех результатов теоремы 8.1 см. работы [127, 150,
405].
Что касается гладкости, наложенной на ф, (полная) формулиров-
формулировка (неполной) задачи 8.1, приведенная в задаче 8.2, является очень
«слабой» формулировкой, в то время как эта формулировка явля-
является очень «сильной», когда речь идет о гладкости р ((8.25) и (8.26)
показывают, что условие (8.15) почти оптимально).
196

8.2. Преобразование задачи
Чтобы сформулировать задачу 8.2 в «более удобной» форме,
отметим сначала, что свойство (8.22) эквивалентно следующему:
f gradp grad tydxdy = — f xQtyydxdу Vto6C~(@, c)x(— oo, +oo))
D D
(8.31)
(%q обозначает характеристическую функцию области Q в D). В
самом деле, левая часть равенства (8.31) есть f gtadpgradipdxdy,
по определению области Q, а правая часть (8.31) есть— f gvady X
Q
X grad i|) ^л;d«/, в силу определения %q-
Преобразуем (8.31) далее, показав, что из (8.31) вытекают два
свойства:
А/> = Dyfo в смысле 0' (D), (8.32)
+00
функция х-»- f px(x,t)dt линейна на [0, с] (8.33)
(на самом деле (8.31) эквивалентно (8.32) и (8.33), однако для наших
целей достаточно доказать лишь сформулированное выше). Соот-
Соотношение (8.32) следует из (8.31), если в нем выбрать supp \|зс: D, в
то время как для получения (8.33) нужно выбрать в (8.31) i|) (x,
У) = Ь (х) to (У) при to 6 # (@, с)) и to ? & (R). причем to — 1 на
[О, г/*]; тогда имеем
с У, У»
J (J Рх(*> 0 dt} t'i (*)dx = 0, т. е. Dx J /?,(дс, 0dt = 0.
0 0 0
Другая неизвестная функция. Оператор Dy в правой части (8.32)
мешает нам непосредственно показать, что решения задачи 8.2 яв-
являются решениями неравенств с препятствием (функция препятст-
препятствия тождественно равна нулю — см. (8.16)). Чтобы убрать этот опе-
оператор, мы и рассмотрим новую неизвестную функцию — первооб-
первообразную от р по у. Положим
+оо
w(x,y)= [ p(x,t)dt V(x,y)?D. (8.34)
Эта замена неизвестных, введенная Байокки, [126, 127], является
основной идеей данного метода. Относительно других случаев, в
которых пригодна такая замена, см. [136]. Общее рассмотрение задач
со свободной границей, которые после аналогичной замены неизвест-
неизвестных становятся вариационными неравенствами, приведено в [140]
и в гл. 13 настоящей книги.
197

Теорема 8.2. Если р — решение задачи 8.2, то для функ-
функции w, определенной равенством (8.34), справедливы следующие ут-
утверждения:
w?H2 (D), supp w — компакт, (8.35)
w{x, y)>0}, (8.36)
Aw = %q в D, (8.37)
y) = -~ J [y2-t]+dt при 0<г/< + °о, (8.38)
у
У) = -g- J Ii/i —<]+^ "/>« 0<г/< + °°, (8.39)
У
„2 „2
(8.40)
Доказательство. Функции хо и а» (а следовательно, и Aw),
очевидно, имеют компактные носители. Отсюда и из (8.32) (которое
эквивалентно Dv(Aw — Хо) = 0) следует (8.37). Из (8.15) вытекает,
что wu, wxV, wyy?L2(D). Поскольку функция w имеет компактный
носитель, то для доказательства (8.35) нам необходимо лишь по-
показать, что wxx ? L2 (?>), а это следует из того факта, что wyy ? L2 (D)
и выполняется (8.37).
Свойство (8.36), очевидно, следует из (8.16), (8.19), (8.20), а (8.38)
и (8.39) следуют соответственно из (8.17) и (8.18). Наконец, (8.40)
вытекает из (8.38), (8.39) и (8.33) (заметим, что (8.38) и (8.39) дают
нам значения w @, 0) и w (с, 0); отметим также, что из (8.35), напри-
например, следует, что w ? С0 (D)). П
Свойства (8.36) и (8.37) имеют несколько следствий. Например,
из них заключаем, что
в D, Дщ)<1вА ш>0=*-Дщ| = 1, (8 41)
что является «составной частью» вариационного неравенства (8.47),
сформулированного ниже, а также что
Aweti(w), (8.42)
что является «составной частью» приведенного ниже неравенства
(8.45). (Напомним, что Н обозначает монотонный максимальный
граф, соответствующий функции Хевисайда. Свойство (8.42) являет-
является сокращенной записью ряда соотношений: Дау^1, w > 0 =>¦
=> Aw = 1, w < 0 =>¦ Aw — 0. См. замечание 7.1 в конце раздела
7.3.)
В частности, если мы зафиксируем D*, то w удовлетворяет следу-
следующим двум задачам.
198

Задача 8.3. Пусть g (x, у) определена на dD* равенствами
ц2 — и2 и2
g(x,y) = 0, g(x, 0) = 1 2с 2 {х — с) + -|- при 0<л;<с,
й @> У) = J [«/x - t\+dt, g (с, у) = J [г/2 - /]+d/ при 0 < у < Л;
У У
(8.43)
положим
r^DJ: о|ао, = g}. (8.44)
Найти такую функцию да, что да 6 К и
^ grad да grad (z — w)dxdy+ f [z]+dxdy^ f [ш]+с?л;^г/. (8.45)
D» D» D»
Задача 8.4. Пусть g(x, у) и /С определены равенствами (8.43)
и (8.44), положим
DJ. (8.46)
Найти такую функцию да, что да ? К+ и Vy ? /С+
f grad да grad (z — w)dxdy^ f (— 1) (z — да) dx dy. (8.47)
Поскольку как задача 8.3 (она является задачей такого же типа,
что и задача 7.31), так и задача 8.4 (являющаяся задачей типа 7.28)
имеют одно и только одно решение, мы приходим к следующей тео-
теореме.
Теорема 8.3. Задача 8.2 имеет не более одного решения.
Если это решение существует, то его можно найти с помощью ре-
решения задачи 8.3 при
р = — Dyw, (8.48)
Й - {(х, y)eD*:w (х, у) > 0}. (8.49)
Заметим, что мы можем решить задачу 8.3, положив, например,
У* — Уъ поскольку функция ф будет убывающей. Конечно, можно
воспользоваться и задачей 8.4, но теоретически некоторые свойства
получаются более простыми при использовании задачи 8.3. С вы*
числительной точки зрения, наоборот, задачу 8.4 «легче» дискрета-
зировать (см., например, [149]).
Пусть да — решение задачи 8.3 при г/# = yv Из (8.42) с учетом
того, что да \dD = g. получаем
да 6 W%r (D#) Vr 6 [ 1, + оо). (8.50)
(Относительно гладкости решений краевых задач в открытых мно-
множествах с углами см. работу Грисварда [442]. Из (8.42) вытекает,
что Дда ? L°° (Д,) и, следовательно, мы пользуемся только резуль-
результатами о гладкости решений уравнений, а не неравенств.) Из (8.50)
и (8.48) заключаем, что справедливо (8.25) и, кроме того, да, wx, wy 6
199

6 C° (D*). Тогда принцип максимума в форме Хопфа (более подроб-
подробно см. [150]) приводит нас к неравенствам
ш>0, о^<0, ауу<0 в D#. (8.51)
Первое из этих неравенств выражает тот факт, что на самом деле
эквивалентно что решать: задачу 8.4 или задачу 8.3, в то время
как из последних двух неравенств вытекает, что область Q, опре-
определенная равенством (8.49), ограничена кривой, непрерывной по
Липшицу относительно осей X — х + у, Y — х — у.
Что касается других свойств, упомянутых в теореме 8.1, см.
приведенные там ссылки.
8.3. Квазивариационные задачи
Как мы увидим в ч. II, при исследовании аналогичной задачи
в случае дамбы с «более сложной геометрией» (такой, как приведен-
приведенная на рис. 8.3), удобно сделать следующую замену неизвестных
z(x,y)=-^p(x,t)dt, (8.52)
о
которая, очевидно, связана с заменой, введенной в (8.34), соотноше-
соотношениями
w (х, у) = z(x,y)-z(х, Y (х)), г (х, у) = w (x, y)~w (x, 0). (8.53)
Заметим, что рис. 8.1, например, при Z)* = @, с) х @, yj, явля-
является частным случаем рис. 8.3, в котором а = 0, b — с, Y (х) гз
= г/i-
Задача, с которой мы будем иметь дело, имеет в качестве ана-
аналога (8.41) задачу о препятствии:
в Д», Дг<1 в D*, 2>1|5=>Дг= I, (8.54)
где, однако, «функция препятствия» i|) сама зависит от решения.
В самом деле,
4>(x,y) = z(x,Y(x)). (8.55)
Задачи такого типа, когда функция препятствия зависит от са-
самого решения, называются квазивариационными неравенствами и
будут подробно рассматриваться в ч. II. Здесь мы только заметим,
что благоприятным обстоятельством, которое позволило нам изучать
задачу 8.2 в вариационной форме (задача 8.3 или задача 8.4), явился
тот факт, что нам удалось вычислить z {x, Y (х)) в явном виде (из
(8.53) значение z {x, Y (х)) определяется разностью w (x, у*) —
— w (х, 0), a w (х, у*) == 0, в то время как функция w {x, 0) опре-
определяется формулой (8.40)). (Другая методика исследования этой
задачи в общей геометрии (в случае п переменных) была предложена
в работе Альта, 1977а; она «локально» использует результат тео-
теоремы 8.1 и преобразование (8.34), а затем метод «выметания».)
200

Как мы увидим далее, случай, приведенный на рис. 8.2, явля-
является промежуточным — значения функции г {х, Y (х)) не извест-
известны, но известно, что г (х, Y (х)) имеет вид X — qx, где "К — извест-
известно, a q — нет (см. формулу (8.40'), которая следует ниже). Это поз-
позволяет исследовать данную задачу, записав ее в виде семейства
вариационных неравенств с действительным параметром q (а не с
функциональным параметром г {х, Y {х))).
Мы наметим здесь в общих чертах метод, которому следовали
Байокки — Коминчиоли — Мадженес — Поцци 1150]. Сначала
сформулируем аналоги задач 8.1 и 8.2: •
Si
F(O,y,)
A(a,O)/
о \Ta
Ы \C(c,i/z)
@,0) №O)|\8ft(l)
Рис. 8.3
Задача 8.Г. Решить задачу 8.1, если условия (8.1), (8.3)
и |(8.7) заменены соответственно на следующие:
с>0, «/1>«/а>0, de(Q,yi), (8.Г)
Ф — неубывающая функция, ф (с) > у3, Ф @) 6 (d, г/х), (8.3')
Р(О,У) = У1 — У при 0<г/<с(, рх{0, г/) = 0 при d<y«((O).
(8.7')
Задача 8.2'. Решить задачу 8.2, если условия (8.17), (8.22)
еаменены соответственно на следующие:
=У1 — у при 0<(/<d, (8.17')
j j ([0, с) х (—оо, + оо)),
Q
причем 1|з равно нулю в окрестности {@, у): 0^.y^.d}. (8.22')
Сформулируем теперь аналог теоремы 8.1.
Теорема 8.Г. Задача 8.2' имеет одно и только одно реше-
шение; более того,
Vr6[l,4)
"(OJ,
3</6R [px{x,t)dt=—q п. в. на @, с).
(8.25')
(8.26')
(8.27')
201

Кроме того, если ф определена формулой (8.28), то справедливы
свойства (8.3') и (8.29).
Эта теорема намного менее «точна», чем теорема 8.1, тем не ме-
менее, хотя в некоторых случаях этого недостатка точности можно из-
избежать (например, для доказательства (8.30) можно было бы вос-
воспользоваться рассуждениями Фридмана и Иенсена [405]), в дру-
других случаях недостаток точности вытекает из самой задачи. Свой-
Свойство р ? WUr (Ц,), возможно, не имеет места при г > 4; мы также
не знаем априорной формулы для явного вычисления пропускной
способности q через параметры с, уъ у2, d (типа равенства (8.27),
которое обеспечивает справедливость формулы q = {у\ — у\I2с при
d>)
yi)
Теорема 8.2'. Если р — решение задачи 8.2', a w определена
формулой (8.34), то справедливы соотношения (8.35), (8.36), (8.37),
(8.38) и, кроме того, существует q ? R такое, что
да@, y) = qc + о У\У пРи «/610, d],
(8.39')
™х@, у) = 0 при y?(d, + оо),
н»(*.0) = ?(с —*) + г/1/2. (8.40')
Доказательство. Доказательство этой теоремы пол-
полностью совпадает с доказательством теоремы 8.2 до того момента,
в котором рассматривается (8.38). Из (8.33) и равенства w (с, 0) =
= у\ /2 следует (8.40'). Отсюда (для w @,0) получаем выражение
через q) и из (8.17') вытекает (8.39'). П
При фиксированном D* (как в (8.24)) положим
и rd = dD.\Tn (8.56)
и для каждого q ? R определим функцию g4 (x, у) на Г^:
gq (X, i/J = U, gq (X, U) = q (X С) -| д- ПРИ 0 ^ х ^ с>
gq (с, у) = f [г/2 — ^1+^>
V
2
gq@,y) = —^ +-<r + г/г/i -т- при О^г/^d (8.43')
и множество
/С, = {у 6 Я» (DJ : у |Г, = gq}. (8.44')
Рассмотрим теперь следующую задачу.
Задача 8.3'. Пусть q ? R; в условиях (8.56), (8.43'), (8.44')
найти функцию wq (x, у) такую, что
? gradayygradB — wjdxdy + j [z\+dxdy> j [ьу«]+Л; ф. (8.45')
О. О. D,
202

Для решения задачи 8.3' нам необходимо исследовать, в част-
частности, следующую задачу.
Задача 8.5. Найти <7?R такое, что соответствующее решение
w- задачи 8.3' принадлежит H2(D*): w-^.H2{D^).
Отметим, что для каждого q 6 R существует одна и только одна
функция wq, являющаяся решением задачи 8.3'. Таким образом,
обозначая через wq решение задачи 8.3', соответствующее каждому
фиксированному q ? R, докажем следующие результаты (более
подробно см. [150]).
Теорема 8.4. Существуют постоянные a, P6R и фунт и i
F '¦ R ->- R, непрерывная и ограниченная, такие, что для q ? R
wq 6 Я2 (DJ тогда и только тогда, когда F (q) + aq + р = 0, (8.57)
причем а Ф 0, и, следовательно, задача 8.5 имеет по крайней мере
одно решение.
Теорема 8.5. Для каждого q, являющегося решением зада-
задачи 8.5, справедливо соотношение
w- f yp2-r ф) При г g [1 д). (8.58)
Теорема 8.6. Задача 8.5 имеет не более одного решения
^6R-
Приведем здесь краткую схему доказательства свойств (8.57)
и (8.58). Для этого отметим прежде всего следующее. Что касается
решения задачи 8.3', отображение q -> wq непрерывно из R в
Я1 (D^), следовательно, отображение q -> Awq непрерывно из R в
Н~х (D*). Поскольку, кроме того (по аналогии с (8.42)) 0^.Awq^.l
V<7 ? R, то получаем, что
отображение q-*-Awq непрерывно из R в ^2(Ц*),
наделенное слабой топологией; его образ ограничен на L2(D^). (8.59)
Обозначим через X пространство следов на Fd элементов
пространства Я2 (D) (см. обозначения (8.56)). Оказывается, что X —
гильбертово пространство по фактор-норме (отметим, что из-за углов
границы dD* мы не можем работать с пространством Я3/2 (Td)).
Из результатов Петре (см. [624, 625]) для смешанных краевых за-
задач вытекает, что следующая задача 8.6 является задачей с индек-
индексом.
Задача 8.6. При фиксированных /, g:
(8.60)
найти функцию и такую, что
и 6 Я2 (Ц,), (8.61)
Аи = / в Dt, (8.62)
u\T=g, их\Гп=0. (8.63)
203

В общем случае задача (8.62), (8.63) имеет одно и только одно
обобщенное решение, т. е. решение из Я1 (DJ. По свойствам глад-
гладкости, на которые мы уже ссылались, это решение обладает #2-глад-
костью в окрестности каждой точки области D, за исключением,
быть может, точек @, d) и @, yj. Поскольку задача 8.6 является
задачей с индексом, то справедливо следующее. Если функция g
обращается в нуль на множестве вида {(х, у%) f Гй: 0 ^ к ^ е} при
некотором е > 0 (что соответствует автоматически выполнению уже
упомянутого условия согласования в окрестности точки @, г/,)), то
существуют функции Ли/:
h 6 L* (Dt), ЦХ' (8.64)
такие, что задача 8.6 имеет решение в том и только в том случае,
если
J h (*, у) f {х, у) dx dy + х,(/, g)x = 0. (8.65)
D»
Решение wq задачи 8.36 удовлетворяет (8.62), (8.63) при / =
= Awq, g = g4. Используя (8.59) и аффинность отображения q-*- gqt
получаем (8.57) при
F (q) = j Л (х, у) (Дш„) (х, у) dx dy и aq + fL = (/, gq).
t Наконец, отметим, что свойство (8.58) связано с тем фактом, что
задача (8.62), (8.63) является задачей с индексом даже в про-
пространстве W2'r (Dt) (см. [669]), в то время как теорема единствен-
единственности 8.6 следует из свойства монотонности отображений q~+ wq {x, у)
и q-+wq (x, 0) — wq (x, у) (относительно дальнейших подробностей
см. |1501).
Описанные здесь теоретические рассуждения, хотя, очевидно, и
очень сложные, легко применимы для численного решения задачи
со свободной границей 8.Г. Об описании численного подхода см.
[149], о полном обосновании этого подхода — работу [321] и свя-
ванную с ней библиографию.

ЧАСТЬ II
КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Глава 9. ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ
9.1. Введение
Различные тиьы теорем о неподвижной точке. Многие задачи,
которые можно рассматривать в рамках функционального анализа
(дифференциальные задачи, вариационные задачи, интегро-диф-
ференциальные задачи и т. д.), могут быть сведены к отысканию не-
неподвижных точек отображений, надлежащим образом связанных с
самими задачами. Это оправдывает интерес к теоремам, которые
гарантируют, что определенные отображения имеют неподвижные
точки (теоремы, которые рассматриваются как теоремы существо-
существования решений ...), и объясняет большое число результатов такого
типа.
Здесь мы представим только небольшую часть теории неподвиж-
неподвижных точек, связанную со следующими тремя типами задач:
1. Неподвижные точки операторов, непрерывных по Липшицу,
в рамках метрических структур как в однозначном (см. п. 9.2.1),
так и в многозначном (см. п. 9.2.2) случаях. Развитие этих вопро-
вопросов, связанное с понятием а-сжатия, введенного Дарбо (см.
{345]), можно найти в работах [565, 627, 411—413] и в их
ссылках.
2. Неподвижные точки непрерывных отображений в рамках
векторно-топологических структур как в однозначном (см. п. 9.3.2),
так и в многозначном (см. п. 9.3.3) случаях. На этом мы также оста-
остановимся очень кратко; например, мы не будем касаться развития
результатов, связанных с теорией гомологии или вопросов, связан-
связанных с топологической степенью (ср. [370, 523]). Литература в
этой области обширна; см., например, [449, 344, 347, 567] и другие
ссылки.
3. Неподвижные точки монотонных операторов в рамках упо-
упорядоченных структур (раздел 9.4).
Касаясь доказательства результатов, связанных со вторым слу-
случаем, отметим, что здесь можно следовать многими взаимоисклю-
взаимоисключающими путями, поскольку эти результаты тесно связаны друг с
другом. Путь, которым следуем мы, не совпадает с хронологическим
порядком, в котором эти результаты были получены. Например,
205

теорема 9.17, доказанная Шаудером в 1930 г. (ср. [659]) и незави-
независимо Каччиполи в 1931 г. (ср. [268]), была получена нами как след-
следствие теоремы 9.16, доказанной Тихоновым в 1935 году (ср. [716]).
Более полное объяснение этих связей можно найти в таблице в
конце раздела 9.3.3.
Мы будем проводить рассмотрение однозначного и многозначно-
многозначного случаев параллельно. Рассмотрение многозначных отображений
дает вместе с тем, в определенном смысле, полноту рассмотрения,
но оно требует знания понятий и обозначений, которые делают это
рассмотрение очень утомительным. По этой причине мы предпочли
дать эти предварительные сведения в гл. 20, а в настоящей главе
провести параллельное рассмотрение двух случаев.
Разделы 9.2.2 и 9.3.3 (они являются обобщениями разделов 9.2.1
и 9.3.2 на случай многозначных отображений) могут быть опущены
читателем, интересующимся только рассмотрением однозначных
отображений. На самом деле, перед чтением разделов 9.2.2 и 9.3.3
мы советуем ознакомиться с гл. 20, в которой собраны определен-
определенные фундаментальные понятия и обозначения, касающиеся много-
многозначных отображений.
Об использовании теорем о неподвижных точках в областях,
отличных от рассматриваемых в этой книге (таких как теория ве-
вероятности, численный анализ и т. д.) см., среди многих других,
работы [470, 60, 692, 77, 118, 122].
Неподвижные точки и свойство неподвижной точки. Введем
несколько понятий, которыми в дальнейшем мы будем пользоваться
(ограничимся здесь однозначным случаем — многозначный случай
будет рассмотрен в п. 9.2.2).
Определение 9.1. Пусть М — непустое множество, а
функция / действует из М в М (это записывается / : М -WW). Эле-
Элемент х 6 М называется неподвижной точкой отображения /, если
/ G) = х.
Если card М >• 1, то для доказательства теорем о неподвижной
точке (т. е. того факта, что / : М -*¦ М имеет по крайней мере одну
неподвижную точку) нам необходимы определенные предположения
на М и /. В этой связи в литературе часто сталкиваются с выраже-
выражением «свойство неподвижной точки», относящимся к классу отобра-
отображений и к классу структур. Этим понятием мы будем пользоваться
редко, тем не менее введем его.
Определение 9.2. Пусть # — класс структур, а 9Г—
класс отображений этих структур в себя. Говорят, что пара ($,
&) обладает свойством неподвижной точки, если
VS6» V/:S-*»S, f?& ixtS: /(*)=*. (9.1)
Примером пары, обладающей свойством неподвижной точки яв-
дается пара ($, &), где $ — класс непустых полных метрических
лространств, <F — класс сжатий этих пространств в себя; теорема
Банаха для сжатий утверждает, что свойство (9.1) в этом случае
справедливо.
206

9.2. Теоремы о неподвижной точке для функций,
непрерывных по Липшицу
9.2.1. Однозначные отображения: теорема Банаха.
Теорема Банаха для сжатий. Сначала мы сформулируем ре-
результат, о котором только что говорилось в конце предыдущего раз-
раздела (ср. [158, с. 160]; доказательство см. в ч. I настоящей книги —
теорема 1.3).
Теорема 9.1 (теорема Банаха для сжатий). Пусть (S, d) —
непустое полное метрическое пространство. Если f : S -*¦ S является
сжатием, то у f существует одна и только одна неподвижная
точка.
Это один из немногих результатов о неподвижных точках, га-
гарантирующий единственность. В действительности же теоремы о не-
неподвижных точках в большинстве случаев являются обычно резуль-
результатами типа существования. В связи с этим отметим, что в теореме
предположением, относящемся к существованию, является пред-
предположение о полноте метрического пространства (S, d) — оно су-
существенно используется при доказательстве.
Некоторые следствия теоремы Банаха. Рассмотрим некоторые
результаты, связанные с теоремой 9.1, опуская много других,
среди которых — результаты, основанные на различных обобще-
обобщениях понятия сжатия (см. библиографию, цитированную в начале
этой главы, и в частности, работу [470, со с. 147 и далее]).
Первый результат является элементарным следствием из тео-
теоремы Банаха для сжатий.
Теорема 9.2. Пусть (S, d) — непустое полное метрическое
пространство. Если отображение f : S ->¦ S таково, что по крайней
мере для n I> I fn является сжатием, то для f существует одна и
только одна неподвижная точка.
Доказательство. Единственность неподвижной точки
очевидна. Что касается существования, заметим, что если х —
единственная неподвижная точка для f (отметим, что fn и (S, d)
удовлетворяют условиям теоремы Банаха для сжатий), то /"(/(*))—
1=1 /(/"(*)) = f(x), и, следовательно, f(x) является неподвижной
точкой для f". В силу единственности имеем / (*) = х. ?
Отмгтим, что условиям доказанной теоремы удовлетворяет ин-
интегральный оператор Вольтерра (см., например, [463, с. 179]). Об-
Обобщения этой теоремы можно найти у Ру—Сорди [652].
Другим интересньм результатом является следующая теорема.
Теорема 9.3. Пусть (S, d) — метрическое пространство,
fx : S -*¦ S, ft : S -v S — два отображения такие, что fiO f2 —
— fipfi> m- e- fi u fi коммутативны. Если f2 имеет единственную
неподвижную точку х, то х является неподвижной точкой для fv
Доказательство. Если х = f2 (х), то Д (х) = fx (f2 (x))=?
= Д, (Д (х)). Следовательно, fx (x) является неподвижной точкой для
/2- В силу единственности неподвижной точки х = /j, (x). ?
207

Другие результаты о неподвижных точках, общих для двух
или нескольких отображений, можно найти, например, в работах
1470 со с. 97 и далее; 676 со с. 53 и далее].
Любопытным моментом в только что приведенных двух теоремах
является тот факт, что существование неподвижной точки вытекает
из двух предпосылок: из предположений типа существования (при-
(присутствие которого естественно) и типа единственности (что менее
ожидалось, но существенно использовалось при доказательстве).
Непродолжимые отображения. Рассмотрим теперь коротко не-
продолжимые отображения. Здесь мы не надеемся получить ре-
результаты о единственности (возьмите тождественное отображение...),
здесь даже существование доказать трудно: простой метрической
структуры недостаточно, чтобы утверждать существование не-
неподвижной точки. Справедлива следующая теорема.
Теорема 9.4. Пусть Н — гильбертово пространство, М —
непустое ограниченное замкнутое и выпуклое подмножество Н.
Каждое непродолжимое отображение f : М —*-М имеет неподвижную
точку.
Доказательство этой теоремы можно найти в [256, с. 1274, тео-
теорема 1] (в этой работе, где имеются и другие результаты такого ти-
типа, автор называет сжатиями те отображения, о которых мы говорим
здесь «непродолжимые») и в [676, с. 36]; ср. также с работой [234,
с. 5], где изложено обобщение на случай равномерно выпуклых ба-
банаховых пространств и приведен контр-пример, показывающий,
что результат не имеет места для любого банахова пространства.
Приведем теперь результат о квазинеподвижных точках в бана-
банаховых пространствах.
Теорема 9.5. Пусть В — банахово пространство, а М —
непустое ограниченное замкнутое и выпуклое подмножество В.
Если / : М -*¦ М — непродолжимое отображение, то
Ve>0 Зх(г)?М: || / (* (е)) - х (г) \\В < е. (9.2)
Доказательство. Пусть R > 0 такое, что М с В @,
R) = {х 6 В : IJ х \\в ^ R} (М ограничено). Предположим для удоб-
удобства, что 0 6 М (это можно сделать без потери общности, поскольку
пространство В линейно). Далее, пусть г < 1. Отображение ф =
= г/ является сжатием из М в М, поскольку М — выпуклое мно-
множество, содержащее начало координат, a f — неиродолжимое ото-
отображение. Из теоремы Банаха для сжатий (М замкнуто) следует,
что ф имеет единственную неподвижную точку; пусть это будет точ-
точка х {г). Имеем:
Л / (х (г)) - х (г) Цв = || / (х (г)) - ф (х (г)) \\в <
(r))||B<(l-r)#; (9.3)
выбирая г таким, чтобы A — г) R < е (е предварительно зафикси-
зафиксировано), приходим к утверждению теоремы. ?
Отметим, что эта теорема не утверждает, что элемент х (е) «бли-
sok» к неподвижной точке, она утверждает лишь, что х (е) является
208

«квазинеподвижной» точкой (неподвижных точек может не суще-
существовать!).
Последовательности и неподвижные точки. Рассмотрим кратко
проблему сходимости последовательности неподвижных точек,
отвечающих соответствующим последовательностям отображений.
Теорема 9.6. Пусть (S, d) — непустое метрическое про-
пространство, а отображения /,¦ : S -*¦ S имеют по крайней мере по
одной неподвижной точке xt (i = 1, 2,...). Пусть также /«, : 5 -*¦
-*¦ S является сжатием с неподвижной точкой хх. Если Д ->¦ /«,
равномерно, то xt ->¦ х^.
Доказательство. Пусть ах < 1 является постоянной
Липшица для /«,. Рассмотрим произвольное число е >> 0 и выбе-
выберем целое число N такое, что
Vi># Vx?S d{f,(x), /„(*))< в A — а.) (9.4)
(такое N должно существовать, так как последовательность {/,-} схо-
сходится равномерно к /«,). Поскольку xt — неподвижная точка для Д-,
Хж — неподвижная точка для /«,, то для каждого i можно записать
равенство
d d/) f() (9.5)
а из неравенства треугольника — неравенство
d (xt, х„) < d (ft (xj), /с. (*,)) + d (/с. (*,), /с. (*-)). (9.6)
Вспоминая, что /„. — сжатие, и используя (9.4) при х = xit из (9.6)
имеем:
d (xit Xo.) < в A — о») + and (xi, хю). (9.7)
Следовательно,
d{x,, *»)<e, (9.8)
что и доказывает теорему. П
Если отображения Д- также являются сжатиями, a (S, d) локаль-
локально компактно, то доказанный результат остается в силе даже в слу-
случае лишь поточечной сходимости последовательности {/J к /«, (см.
[612 с. 580]). Другие результаты такого типа можно найти в [612,
470, гл. 6; 2343.
9.2.2. Многозначные отображения. В случае многозначных
отображений определение 9.1 следует заменить на следующее.
Определение 9.3. Пусть М — непустое множество, а / —
отображение из М в 2,: f:M-*-2^. Элемент х?М называется не-
неподвижной точкой для /, если x?f(x).
Обозначение 2Я и другие такого вида можно найти в разделе
20.0. Для облегчения чтения этой главы мы будем давать точные
ссылки, как только в тексте будут встречаться понятия, определения
или результаты главы 20.
Определение 9.2 следует переформулировать совершенно анало-
аналогично определению 9.1, мы не будем здесь этого делать.
14 К. Байокки, А. Капело 209

Обобщение теоремы Банаха. Докажем сначала следующую тео-
теорему (см. [613, с. 479]):
Теорема 9 7. Пусть (S, d) — непустое полное метрическое
пространство. Если отображение f : S -> 2щС1 является сжатием
(в смысле определения 20.9), то оно имеет неподвижную точку.
Доказательство. Отметим, что если A,B?2%ct и а?А, то
Vt)>0 3beB) d(a>b)^H(A,B) + j\ (9.9)
(здесь Н — хаусдорфово расстояние — см. определение 20.8; заме-
заметим, что если В компактно, то (9.9) справедливо также и для т] =
=0). Пусть а<1 — постоянная Липшица для f, пусть также р0—
произвольный элемент S, а рг — произвольный элемент / (р0). Из
(9.9) следует, что существует р2 6 / (Pi) такое, что
d fa, ft) < Я (f (p0), f (Pl)) + а, (9.10)
далее из (9.9) вытекает существование р3 ? / (р2) такого, что
d (р2, Р3) < Я (/ (Pl), f (p2)) + а2, (9.11)
и т. д. Теперь мы можем построить последовательность {рп} эле-
элементов 5 такую, что при п ^ 1 pn?f (рп_д и
(9.12)
Теперь
d{pn,p
d (Pn, Pn+i) <
мы можем записать
п+1)<^(!(Рп-1)'!(Р
<<*[Н(!(рл
»))+«"<
, / (р _.)) 4
»./(Р»))+«"-
«d (/>n_i. ft.)+ «
-rf^-1]+on<...
(9.13)
и, следовательно, для любых п,
pn+l) + ... + d (pn+l_v pn+l)
^0, Pl) + nan + .... 'd
= d(p0, Pl) J a«+' + ? {n + i)««+'. (9.14)
t=0
Таким образом, мы показали, что последовательность {рп} яв*
ляется последовательностью Коши, пусть она имеет предел р из S.
Поскольку / непрерывно (см. теорему 20.5. 1)),_то можно заклю-
заключить, что последовательность {/ (рп)} сходится_к f (р), а в силу рп g
€/(/?п 0 для любого п отсюда следует, что р 6 / (/>)• ?
Эта теорема является обобщением теоремы Банаха для сжатий,
поскольку отображение х -> {х} является изометрией из E, d) в
{2та, Н) (см. замечания перед теоремой 20.4). Возможны даль-
дальнейшие обобщения как за счет развития понятия сжатия (см., на-
210

пример, [613 со с. 480 и далее; 470 со с. 304 и далее]), так и за счет
развития понятия самой метрики Хаусдорфа (см., например, [335]).
Отметим следующее. Если (S, d) полно, то Bщ?, Н) также полно
(см. замечания после теоремы 20.4). Кроме того, если отображение
f\S-+2saq является сжатием, то отображение f'-2sUq-^2suq также
сжатие (см. теорему 20.5, 4)). Имея в виду эти два факта, из тео-
теоремы Банаха для сжатий мы можем заключить следующее. Если
(S,d) — непустое полное метрическое пространство, а /:5->
-*¦ 2» — сжатие, то fs имеет одну и только одну неподвижную
«точку» Acz S. Кроме того, можно доказать, что неподвижные
точки / являются элементами А.
Последовательности и неподвижные точки: многозначный слу-
случай. Наконец, сформулируем без доказательства следующий ре-
результат о последовательностях сжатий (см. [613, с. 484; 470, с. 307]).
Теорема 9.8. Пусть (S,d) — непустое полное метрическое
пространство, а fiiS->2%q-—сжатия с постоянными Липшица
а,< 1 и неподвижными точками xt. Если отображение /«, :¦ S ->
—у 2suq является сжатием и выполнено одно из условий:
1) постоянные а, равны а<1 и /;-*-/<» поточечно;
2) fi-^-foo равномерно;
3) (S,d) локально компактно и /г-»-/» поточечно;
то последовательность {xt} имеет подпоследовательность, сходя-
сходящуюся к неподвижной точке отображения f^.
9.3. Теоремы о неподвижной точке
для непрерывных отображений.
9.3.1. Лемма Кнастера—Куратовского—Мазуркевича и лем-
лемма Фана. Здесь мы изложим два важных результата, которые по
историческим причинам названы леммами: лемму Кнастера — Кура-
Куратовского — Мазуркевича (сокращенно ККМ; см. [508, с. 134]) и лем-
лемму Фана (см. [376, с. 305]). Это два результата о существовании,
которые выражены через утверждение о том, что заданные мно-
множества имеют непустое пересечение. Существуют и другие матема-
математические результаты такого типа — приведем здесь три примера.
Три результата о пересечениях. Начнем с хорошо известной тео-
теоремы из общей топологии. Напомним, что семейство Л непустых
множеств обладает свойством конечного пересечения, если каждое ко-
конечное непустое подсемейство семейства Л имеет непустое пересе-
пересечение (очевидно, что это не означает, что Л Л ф 0 — достаточно
рассмотреть семейство ]0, е[ (е > 0) подмножеств R).
Теорема 9.9. Пусть Е — компактное топологическое про-
пространство, а $ — семейство замкнутых подмножеств Е. Если
*3- обладает свойством конечного пересечения, то П ?ф 0.
Обратное также справедливо, так что компактные топологичес-
топологические пространства можно охарактеризовать как пространства, в ко-
14* 211

торых всякое семейство замкнутых множеств, обладающих свой-
свойством конечного пересечения, имеет непустое пересечение. Дока-
Доказательство теоремы 9.9 и обратного утверждения см., например, в
[38]. Сформируем теперь также без доказательства (см., например,
1688, с. 7; 369, с. 33]) результат, часто используемый в выпуклом
анализе в конечномерных пространствах.
Теорема 9.10 (теорема Хелли). Пусть /С,- (t = 1,... ,т,т^
^sn + 1) — т выпуклых множеств из R". Если каждые п + 1 из
т
тих множеств имеют непустое пересечение, то f\ Kt ф 0.
G этим результатом тесно связана следующая теорема, которую
легко доказать.
Теорема 9.11. Пусть Ж — произвольное семейство компакт-
компактных выпуклых множеств из Rn. Если любое множество из (п + Х)-го
элементов Ж имеет непустое пересечение, то [\Ж Ф 0.
Доказательство. Пусть К 6 Ж. Рассмотрим семейство
{/СП К '¦ К € Ж} подмножеств К- Поскольку К — компактное
пространство, мы можем утверждать (по теореме 9.9), что каждое
семейство замкнутых множеств со свойством конечного пересече-
пересечения имеет непустое пересечение. Таким образом, если {"} К = 0.
то существует конечное подсемейство с пустым пересечением, пусть
т будет кардинальным числом этого семейства. Однако в. силу
теоремы Хелли это невозможно, следовательно, ^\Кф 0, и тео-
рема 9.11 справедлива. ?
Лемма Спернера. При доказательстве леммы ККМ мы будем
пользоваться результатом комбинаторного характера: леммой Спер-
Спернера (ср. [681, с. 267]; см. также [668]). Мы не будем доказывать
здесь этот результат, а введем некоторую терминологию, которая
позволит нам понять, что он означает.
Прежде всего напомним, что т + 1 точек х0, хг,..., хт в R"
называются аффинно независимыми, если т точек хх — хо,...,хт—
— х0 линейно независимы (т > 0); одна точка {х0} также называет-
называется аффинно независимой. Если хо,хи ... ,хт—(т + 1) аффинно не-
независимых точек из R" (О^т^л), то множество 5 = simp{*0,...
..., хт} всех выпуклых комбинаций точек xt называется т-симплек-
сом или симплексом размерности т. Точки xt называются верши-
вершинами S, а множества simp{*(.,...,xik} @^.k^.m^.n) носят
название граней S (или граней 5 размерности k\ таким образом,
любая вершина xt является гранью размерности 0).
Если х — точка /и-симплекса S=simp{;t0,... ,хт} из R", то можно
единственным образом определить т +1 действительных чисел
т т
\,..., Хт таких, что Ьг> 0 (i = 0,... tm), ? ^=1 их=^ \txt —
212

такие числа ^г называются барицентрическими координатами
точки х.
Пусть теперь S —m-симплекс в R". Семейство 2 симплексов,
содержащихся в S, называется симплексным подразделением S,
если выполнены следующие условия:
(cTj) 5 является объединением m-симплексов из 2,
(сг2) пересечение двух симплексов из 2 является гранью, общей
для этих симплексов,
(сг3) грани симплексов из 2 являются симплексами из 2.
Грани из 2 размерности 0, которые являются, безусловно,
вершинами симплексов из 2, называются узловыми точками (уз-
(узлами) симплексного подразделения. Максимальное значение диамет-
диаметров симплексов из 2 размерности 1 (в обычной метрике простран-
пространства R") называется длиной шага подразделения. Можно доказать,
что для любого числа е > 0 существует симплексное подразделение
с длиной шага, меньшей, чем е.
Пусть снова 5 = simp {х0, ..., хт} — m-симплекс из R", -2 —
симплексное подразделение S, a N — множество узловых точек
2. Подразделение 2 называется меченым, если существует отобра-
отображение е : N -*-{0, ..., т) называемое меткой 2, которое каждому
z 6 N ставит в соответствие число е (z) f {0, .... т}, называемое
меткой узла г, так, что выполняется условие
(е) г 6 simp {xta,..., x,k} => е (z) 6 {iot... , ih)
(заметим, в частности, что е ({xj}) = /).
Если Т = simp{z0,..., z;-} (/>1) принадлежит 2, мы говорим,
что е(Т) = {е (г0),... ,е(г;)} является меткой Т. Наконец, лемма
Спернера утверждает: если S= simp {хь,..., хт} — любой т-симплекс
из R", 2 —любое симплексное подразделение S, а е — любая мет-
метка 2, то число т-симплексов с меткой {0, ... ,т] нечетно.
Лемма ККМ. Рассмотрим результаты, упомянутые в начале на-
настоящего раздела.
Теорема 9.12 (лемма ККМ). Пусть S = simp{х0,...,хт} —
т-симплекс из R и пусть Ft (i = 0,... ,т) — (т + 1) замкнутых
подмножества из Rm такие, что
1) Wc{0,...,m} simp {*,},6/6 U *V.
m
тогда П ^г Ф 0-
Доказательство. Как нам известно, для каждого k :>
1> 1 существует симплексное подразделение 2Й симплекса S такое,
что diam Bft) ^ \lk. С помощью леммы Спернера покажем, что
для каждого k найдется m-симплекс из 2ft, имеющий вершины в
каждом Ft, — тогда утверждение теоремы получим путем предель-
предельного перехода по k. Сначала пометим 2Й так, чтобы узел z^Fe[z),
где е—метка 2fe. Пусть тогда t»(A) — узловая точка 2ft, a S' =
2IS

= simp {я,.,... ,xts} — грань 5 наименьшей размерности, содержащая
v{k\ Из условия 1) следует, что S' a \J Ft. и, следовательно,
/=о_
у'*' 6 Ft. для некоторого ij — пусть это будет ij. Полагая е (v{k)) —
= Ij, мы получаем метку с требуемыми условиями. Тогда из лем-
-мы Спернера следует, что в 2ft существует m-симплекс simpjo^,...
...,y(*'} с меткой {0,1,...,/га}. Без ограничения общности мы мо-
можем принять e(v№) — i и, следовательно, vW^F^ Пусть теперь k
стремится к бесконечности. Поскольку S — компактное множество,
из последовательности {vp} точек из Ft мы можем извлечь подпо-
подпоследовательность, сходящуюся к точке vt ? Ft (напомним, что Ft
замкнуто). Далее, diam BЙ)->¦ 0 при ?->-оо, и, следовательно, вер-
_ _ т
шины о<*> сходятся в одну точку v0 = vx = ... = vm? П Ft. П
Лемма Фана. Докажем теперь следующее утверждение.
Теорема 9.13 (лемма Фана). Пусть Y — хаусдорфово то-
топологическое векторное пространство, X — непустое подмноже-
подмножество Y, a F: Х^*-2ЛЯС такое, что
п
1') 4{xlt...,xn}<=.X conv{x1,...,xn}<=]jF(xl),
2') Зх?Х: F(x) компактно;
тогда [\F(x)=? 0.
х?Х
Доказательство. Отметим, что лемма ККМ является част-
частным случаем этого результата: нужно только положить Y = Rm,
X — {хй,..., хт} и обозначить через F отображение лг;->- Ft (в лемме
ККМ условие 2') нам не нужно, поскольку в этом случае мы, по
существу, работаем в S). Заметим также, что из условия 2') вы-
вытекает, что Vx?X x?F(x) (следовательно, тождественное отобра-
отображение является селекцией отображения F согласно определению
20.7) и Хс \J F(x) (условие Г) в теореме 9.12 дает нам анало-
х?Х
т
гично Xi 6 Ft и S с: \J Ft\.
1=0
Основная идея доказательства состоит в том, чтобы использовать
условие 2') и работать с компактным множеством, воспользоваться
теоремой 9.9 и перейти к рассмотрению конечномерного случая, а за-
затем применить лемму ККМ. Из условия 2') и теоремы 9.9 следует,
что для доказательства теоремы нам необходимо лишь показать,
что
S14
_ _ т
(F(x)r\F(x,)) =F(x)n\f[F (*,)]Ф 0 (9.15)
1

Далее, поскольку в общем случае xt не являются аффинно неза-
независимыми, то мы не можем непосредственно воспользоваться лем-
леммой ККМ для доказательства (9.15), и нам нужно обойти этот мо-
момент. Положим тогда х — х0 и рассмотрим с одной стороны мно-
множество {х0, ... ,хт}, а с другой стороны — m-симплекс T = simp{e0,
е1У ...,ет}, где е0 — начало координат, a {elt...,em} — канонический
базис в Rm. Рассмотрим также отображение <р: T—>-Y, определенное
формулой
mm m
<рB «1*0 = S ад> ai>0' 1а' = 1' (9Л6)
,¦=0 1=0 1=0
Отображение <р, вообще говоря, не является инъективным, по-
поскольку xf не обязательно аффинно независимы, и, следователь-
следовательно, размерность выпуклого множества conv {x0, ..., хт} может быть
меньше т. Но <р непрерывно, потому что at — непрерывные функ-
ции от xt. Положим теперь G,=9-1 {F(xtj) и покажем, что {"}
<=0
Отсюда будет следовать (9.15) (поскольку для I = 0,... ,т мы
имеем ф (Gt) = ф (ф-1 (F (*,))) с: F (xt)), и тем самым теорема будет
доказана.
т
Чтобы убедиться в том, что {~J G? =^= 0» нам необходимо лишь
заметить, что Gt удовлетворяют условиям леммы ККМ. В самом
деле, Gt замкнуты, поскольку они являются прообразами замкнутых
множеств F (xt) при непрерывном отображении ф. Кроме того, если
I с{0,... ,т], то simp {?j}<€/cr \J Gt (условие 1)), поскольку если
г = S ^А € simp {ег}{,, то г ? ф-1 (ф (г)) = ф-1 (У, %&), а из 1') сле-
дует, что ф-1 (J kiXt) с= ф-1 (U F (х,)) = U Ф Р W)=IJG«- ?
Как мы уже отмечали, лемма Фана является обобщением
леммы ККМ. Дальнейшим обобщением является следующая
теорема.
Теорема 9.14. Пусть Y — хаусдорфово топологическое век-
векторное пространство, X — непустое подмножество Y, а отобра-
отображение F : X -*¦ 2| (отметим, что F (х) не обязательно замкнуто\)
таково, что
п
1 ; v l*ii... , хп) С— л. conv \Xi, ..., хп) <_ \j r [xt),
2") 3,1с^Х: F(x) компактно,
3") если L— подпространство Y конечной размерности, moV х?
?Х F(x)f\L замкнуто,
215

4") если D — выпуклое подмножество Y, то
тогда [\Р(х)Ф0.
хбХ
Этот результат является на самом деле обобщением леммы Фана,
поскольку если Wx 6 X F (х) замкнуто, то условия 3") и 4") авто-
автоматически выполнены. Доказательство теоремы 9.14, в котором ис-
используется лемма ККМ, а не лемма Фана, можно найти в работе
[238, с. 295].
9.3.2. Однозначные отображения: теоремы Брауэра, Шаудера
и Тихонова.
Теорема Брауэра. Среди теорем о неподвижной точке наиболее
известной является, несомненно, теорема Брауэра (см. [251,
с. 115]), для которой существует несколько доказательств. Напри-
Например, Истратеску [470, с. 196] и Данфорд, Шварц [27] дают доказа-
доказательство на основе классического анализа, Кронин [338, с. 152] и
Миранда [590, с. 136] приводят доказательство, основанное на тео-
теории топологической степени (при таком подходе работают с функ-
функцией g (х) = х — / (х) и, заметим, что для доказательства теоремы
Брауэра в одномерном случае к этой функции применяют теорему
Больцано о нулях непрерывных функций); Базби [225] использует
при доказательстве методику, связанную с теорией дифференци-
дифференциальных форм. В последней работе наряду с теоремой Брауэра при-
приведено доказательство результата, который формулируется прос-
просто, но очень сложно доказывается, а именно: непрерывное вектор-
векторное поле, касающееся сферы (границы шара) четной размерности,
принимает нулевое значение по крайней мере в одной точке. Связь
между этими результатами не удивительна, поскольку в алгебраи-
алгебраической топологии они оба возникают естественным образом (см.,
например, [228 со с. 129 и далее], см. также [588, 385, 651, 486]).
Здесь мы пользуемся леммой ККМ, а значит, и леммой Сперне-
ра,— таким образом, мы используем комбинаторные методы. Как
нам кажется, метод, которому мы здесь следуем, позволяет доказать
георему наиболее быстро; однако это справедливо, если только мы
уже знаем что-нибудь о комбинаторных методах.
Сейчас мы докажем теорему Брауэра, за которой последует одно
из ее обобщений — теорема Тихонова (см. [716, с. 770]), а затем
Шаудера (см. [659, с. 173]) — результат, являющийся «промежуточ-
«промежуточным» между двумя предыдущими.
Теорема 9.15 (теорема Брауэра). Пусть К — непустое вы-
выпуклое компактное множество из R". Если /:/(-*-/( — непрерыв-
непрерывная функция, то_ f имеет по крайней мере одну неподвижную точку,
т. е. Эх б К: f (v) = ~х.
Доказательство. Этот результат вытекает из следую-
следующих трех лемм.
216

Лемма 1. Свойство неподвижной точки сохраняется при ре-
ретракциях, т. е. если всякая непрерывная функция f : К -*¦ К имеет
неподвижную точку и К является ретрактом К, tno каждая непре-
непрерывная функция ф: К -> К также обладает неподвижной точкой.
Напомним, что множество X называется ретрактом множества
Y =з X, если существует непрерывное отображение (ретракция)
г : К-> X, такое, что г (х) = х Vx 6 X, т. е. г\х — тождественное
отображение (заметим, что существует целая теория ретракций,
которая интересна тем, что она связывает общую и комбинаторную
топологии — см., например, [468]). Пусть г: /(->/(— ретракция;
кк
1кк 1
к
к <—к к <— к
Диагр. 9.1 Диагр. 9.2
рассмотрим, отображение t- oyor:K-*-K (см. диагр. 9.1), которое
(по предположению) имеет неподвижную точку — пусть это будет
точка х. Тогда мы имеем x = (i~ осрог)(л;); и поскольку i~ —
множественное вложение, а г | - — тождественное отображение, то-
к
мы можем утверждать, что у(х) = х, что и доказывает лемму 1.
Лемме 1 аналогичен следующий результат, который мы докажем
в силу его важности: свойство неподвижной точки инвариантно от-
относительно гомеоморфизмов, т. е. если всякая непрерывная функ-
функция f : К -> К имеет неподвижную точку и К гомеоморфно К, то
кажая непрерывная функция ср : К,-*- К также имеет неподвижную
точку. В самом деле, пусть h : К -*¦ К — гомеоморфизм, рассмот-
рассмотрим отображение h~lo ц> о h: К -> К (см. диагр. 9.2), которое не
предположению имеет неподвижную точку — пусть это будет
точка х. Тогда х = (h~lo ф о п) (х) и, следовательно, h (х) = ф о
о h (x), откуда вытекает, что h (x) является неподвижной точкой для
Ф, и это доказывает сформулированное утверждение.
Лемма 2. Пусть S — т-симплекс из Rm. Если К с S — зам-
замкнутое выпуклое множество, то К является ретрактом S.
Для доказательства достаточно рассмотреть отображение г:
5 -v К, определенное для каждого х 6 5 равенством г (х) = Рк (х)г
где Рк — обычный оператор проектирования на К-
Лемма 3 (теорема Брауэра для симплексов) *). Пусть S =
= simp (х0, ..., хт] — т-симплекс из Rm. Если f : 5 -> S — не
*) На самом деле эта лемма исторически предшествует работе Брауэра и бы"
ла сформулирована Бойлем [220].
217

прерывное отображение, то оно имеет по крайней мере одну непо-
неподвижную точку.
Основная идея доказательства очень проста: следя за тем, как
функция / действует на различные точки S, мы обнаруживаем, что /
имеет по крайней мере одну неподвижную точку в S. Для этого пред-
представим точки S в барицентрических координатах. Если х 6 S, то
m m
можно записать x=^1'kixl, где Х^О и ^lKi = l. Здесь Xt =
= Xt (х) — барицентрические координаты точки х, которые, как легко
видеть, являются непрерывными функциями от х. Положим теперь
т
Ft = {х 6 5 : К, (/(*)) < Xt (x)} (i = 0, ..., т) и покажем, что П Ft Ф
Ф 0. Тогда мы сможем убедиться в том, что существует точка
x?S, барицентрические координаты которой не меняются при ото-
отображении /, и, следовательно, эта точка неподвижна. В самом деле,
т
«ели х 6 П Ft, то %г (/ (х)) <! %t (х) (t = 0 т), а поскольку
2 ^ (/ W) = S х« W = !> то имеем х' V W) = х' (х) С = °> •••'т)-
т
Чтобы показать, что |~| РгФ 0, воспользуемся леммой ККМ. Функ-
t=0
ции lj и/ — непрерывны, отсюда сразу следует, что Ft замкнуты.
Убедимся в том, что simp{xt}ia с \J Ft для всякого / с {0,..., т).
Пусть у 6 simp {х,-},-е/; тогда ^ Я,,- (у) = 1. Если, от противного, у #
6 U Л> то ^i (f («/)) > ^i («/) (i = 0. •••' m) и, следовательно, 1 =
= J] Л,,- (/ (i/)) > ^ Я,г (у) = 1 — противоречие, что и доказывает лем-
му 3. 1еорема полностью доказана. ?
Если какое-либо одно условие теоремы опустить, то утвержде-
утверждение теоремы может не иметь места (это, однако, не означает, что
условия теоремы являются необходимыми). Продемонстрируем это
на следующих трех контрпримерах: \) К — не является выпуклым
•множеством; мы можем взять, например, /С = {л: 6 R2: 1/2^||л;||^
^ 1} и f — вращение; 2) К — не является компактным множеством;
можно взять, например, К. = R и / (х) = х + 1 (К. — не ограничено)
или /С = (—1, 1) и f(x) = -2 (х+ 1) {К — не замкнуто); 3) f — не
является непрерывной функцией: можно взять, например, К —
= 1—1, 1] и f(x) = x/2 при хфО и /@) = 1.
При дополнительных довольно жестких предположениях на
функцию f можно гарантировать единственность неподвижной точ-
точки. В этой связи см. [494].
218

Если мы не хотим использовать понятие ретракта при доказа-
доказательстве теоремы 9.15 (и, следовательно, лемм 1 и 2), нам следует
заменить лемму 1 результатом, сформулированным выше (перед
леммой 2), а лемму 2 заменить следующим результатом: два ком-
компактных выпуклых множества из Rm одинаковой размерности гомео-
морфны (см., например, [688, с. 1211; 16]).
Что касается понятия ретракта, следует также отметить, что
теорема Брауэра эквивалентна следующему утверждению: дВ @, 1)
не является ретрактом В (О, 1) = {л; 6 Rm : || х || ^ 1}. В самом
деле, если бы множество дВ (О, 1) было ретрактом В (О, 1), из лем-
леммы 1 и теоремы Брауэра следовало бы, что дВ @, 1) обладает свой-
свойством неподвижной точки, что не верно, поскольку отображение
х -*¦ — х из дВ (О, 1) в дВ @, 1) (антиподальное отображение) не
имеет неподвижной точки. Обратно, если существует непрерывная
функция f : В (О, 1) -v В @, 1), не имеющая неподвижной точки,
то отображение h, которое каждому элементу х?В (О, 1) ставит в со-
соответствие элемент h (х) 6 дВ @, 1), определяемый пересечением
xf (х) с дВ (О, 1), будет ретракцией из В (О, 1) в дВ @, 1) (заметим,
что поскольку хф) (х), линия, выходящая из точки х и проходя-
проходящая через f.(x), всегда определена). Отметим далее, что теорема
Брауэра эквивалентна следующему факту: В (О, 1) не гомеоморфно
дВ (О, 1). Теорема Брауэра эквивалентна также лемме ККМ.
Теорема Тихонова. Рассмотрим теперь очень важное обобщение
теоремы Брауэра.
Теорема 9.16 (теорема Тихонова). Пусть Е — локально
выпуклое хаусдорфово действительное топологическое векторное
пространство, К — непустое компактное выпуклое множество
из Е. Если f : К ->¦ К — непрерывная функция, то f имеет по край-
крайней мере одну неподвижную точку.
Для доказательства воспользуемся следующей леммой, сфор-
сформулированной Фаном (см. [376, с. 309, лемма 4]).
Лемма. Пусть Е — хаусдорфово топологическое векторное
пространство, X — компактное выпуклое множество из Е. Пусть
также А — множество из X X X такое, что
1) А замкнуто,
2) V х 6 X (х, х)?А (т. е. Ах с А),
3) V у ? Y множество {х ? X : (х, у)(?А} выпукло (возможно пус-
пусто).
Тогда 3 у0 6 X такой, что X X {у0} cz A.
Доказательство. Из условия 3} следует, что пересе-
пересечение «горизонтальных отрезков» с X X Х\Л выпукло или эти
«горизонтальные отрезки» содержатся в А (множество А на рис. 9.1
удовлетворяет условию 3), а Л на рис. 9.2 не удовлетворяет этому
условию). На самом деле лемма утверждает, что существует по край-
крайней мере один «горизонтальный отрезок», содержащийся в А.
Для х ? X положим F (х) = {у : (х, у) ? А}. Множество F (х)
является пересечением «вертикальных отрезков», проходящих через
точку х, с множеством А. Если мы сможем показать, что Л F (х) Ф
?Х
219

Ф0, то мы тем самым докажем лемму. Действительно, любой эле-
элемент у0 6 П F (х) удовлетворяет утверждению леммы, поскольку
Vx?X (х,уо)?А, т. е. Xx{yo}czA. Чтобы показать, что
|~| р(х)Ф0, воспользуемся леммой Фана.
х?Х
Тем самым нам следует проверить, что все предположения леммы
Фана выполнены. Из условия 2) имеем, что F (х) — непустое мно-
множество. Кроме того, F (х) замкнуто и даже компактно, поскольку
F (х) = А П ({х} XX), а А является компактным множеством
(ведь оно является замкнутым подмножеством компактного мно-
множества X X X в хаусдорфовом пространстве Е X Е) и {х} — замк-
замкнуто (поскольку Е — отделимое пространство и, следовательно,
отделимым является и 7\).
Рис. 9.1 Рис. 9.2
Покажем теперь, что V {хг xm}czX conv{xv..., xm}G
т
c\jF(xi). Допустим, от противного, что 3{xv ..., хт} czX
т _
Э х 6 conv {*!, ..., хт}: x^\jF(Xi). Тогда x$F(xt) (i = l,...,m), и
поэтому из определения F (х,) следует, что (xit x)$A (t = l m).
Отсюда и из условия 3) получаем, что точка (хь х) лежит в вы-
выпуклом множестве. Этому же выпуклому множеству принадлежит
и точка (х, х) (поскольку xgcbnvfo,.... хт}), следовательно, (х, х)
не принадлежит А, что противоречит условию 2). ?
Доказательство теоремы Тихонова. Пусть {рх}Кел—
отделимое семейство непрерывных полунорм, которое определяет на
Е локально выпуклую топологию. Для ^ 6 Л положим
= 0}. (9.17)
Для доказательства теоремы нам необходимо лишь показать, что
Ex Ф 0 (см. доказательство теоремы Брауэра для симплексов).
220

В самом деле, если у 6 [~] Ех, то V К 6 Л р% {у — / (у)) = 0 и, сле-
следовательно (поскольку семейство рх отделимо) у — f(j/) = O; таким
образом, у является неподвижной точкой для f. Из непрерывности
полунорм р% следует, что Ех являются замкнутыми подмножествами
компактного множества К, поэтому чтобы доказать, что |~] Е%Ф 0,
нам достаточно показать, что {?л}а,ел обладает свойством конечного
т
пересечения. Пусть тогда {kv ...Дт} сЛ, покажем, что Г\Бхр
т. е. что Г\{у€К:- Pi;(y — fiy)) = ЩФ 0> или, другими словами,
m
С" S ^- ^ — ^ (^)) = 0} т^ 0. Положим
n m
= {(*.
и покажем, что Л удовлетворяет условиям леммы. Из этой леммы
будет следовать утверждение теоремы, поскольку если Зу0
т т
(х,уо)еА, т.е. если ? р (^ — f (у0)) > J р (у0 — f (y0)) для лю-
i=i t=i
m
бого х из /С, то (полагая х = /(#0)) имеем V Р^. (/(f/0) — f Ы) =•
<i '
= ° > 2 j°a. (^о — f (Уо)) и> следовательно, t/0 6 П ^г Очевидно,
г=1 ' <=i
что (а;, х)?А, а из непрерывности / и р% следует, что А замкнуто,
следовательно, условия 1) и 2) выполнены. Что касается условия 3),
зафиксируем у 6 К и покажем, что множество {х 6 /С: (х, у)(?А} =
- 2 Рч (х — f (у)) <%Px.(y — f (У))} выпукло, т. е. что
i=i <=i
неравенство
tpy.(xx-fW<tPx,(y-f(y))' *-= 1.2, (9.19)
mi i=i
Влечет
§ P^ F^ + A - 6) *2 - f (y)) <^P%i(y~f (У)) (9.20)
для каждого В 6 [0, 1]. Отсюда и из (9.19) сразу следует, что
221

-e^-e/(#)-0-
S Iх* - f (у)) + 2 0 - e) Pk, (*2 - / (</)) <
i=l 1=1
(9.21)
Другие доказательства этого результата можно найти в [716,
470, с. 166; 27].
Теорема Шаудера. ото хорошо известная теорема является не-
непосредственным следствием теоремы Тихонова.
Теорема 9.17 (теорема Шаудера). Пусть В — нормирован-
нормированное пространство, К — непустое выпуклое компактное множество
из В. Если f : К -*¦ К — непрерывная функция, то f имеет по край-
крайней мере одну неподвижную точку.
Доказательства именно этого результата можно найти, напри-
например, в [659; 268, 470 со с. 134 и далее]; см. также [207, 98, 267]. Кро-
Кроме различных формулировок и обобщений (см. среди других рабо-
работы [252, 269]) существует много модификаций этого результата.
Одной из таких модификаций, также принадлежащей Шаудеру»
является следующая теорема.
Теорема 9.18. Пусть В — банахово пространство, С —
непустое замкнутое выпуклое множество из В. Если f : С -*¦ С —
непрерывная функция и / (С) компактно, то f имеет по крайней ме-
мере одну неподвижную точку.
Доказательство. Пусть Q = conv (/ (С)). Множество
Q является подмножеством множества С, поскольку С — замкну-
замкнутое выпуклое множество и / (С) сг С. Далее, теорема Мазура гаран-
гарантирует нам , что Q компактно.
На самом деле, теорема Мазура утверждает, что если В — ба-
банахово пространство и А а В компактно, то conv (А) компактно
(см. [571, 16, с. 164], а для конечномерного случая — [688, с. 92]).
В работе Варги [16] приведен контрпример, показывающий, что в
бесконечномерном случае conv нельзя заменить на conv. Предполо-
Предположение о полноте пространства В (которого не было в теореме 9.17)
необходимо для того, чтобы воспользоваться теоремой Мазура.
Тогда из теоремы Шаудера следует, что отображение /|q имеет не-
неподвижную точку — эта точка заведомо является неподвижной точ-
точкой /. ?
Важность этого результата заключается в том, что в банаховом
пространстве «редко» встречаются сильно компактные подмноже-
подмножества. В этой связи важно напомнить другую модификацию теоремы
Шаудера — теорему 9.4, в которой не требуется даже, чтобы / (С)
было компактным (но зато там накладываются сильные ограниче-
ограничения на / и В).
222

Далее, хотя банаховы пространства и «богаты» слабо компакт-
компактными множествами, но использовать здесь слабую топологию, во-
вообще говоря, неудобно, поскольку условие непрерывности функ-
функций становится в этом случае очень сложным условием. Для того
чтобы убедиться в том, что в банаховых пространствах «достаточно
много» слабо компактных множеств, необходимо лишь вспомнить,
что замкнутая единичная сфера рефлексивного банахова простран-
пространства слабо компактна. В самом деле, теорема Алоглу — Бурбаки
(см. [97, 202, 467, с. 230]) утверждает следующее: для того чтобы
нормированное пространство В было рефлексивным, необходимо и
достаточно, чтобы множество {х 6 В : || х \\в ^ 1} было слабо ком-
компактным. Здесь уместно напомнить, что Какутани построил гомео-
гомеоморфизм замкнутой единичной сферы гильбертова пространства в-
себя, который не имеет неподвижной точки (см., например, [676,
с. 15; 338, с. 125]).
В заключение сформулируем без доказательства (см., например,
[231, с. 171]) следующую модификацию теоремы Тихонова (ср. с
теоремой 9.18).
Теорема 9.19. Пусть Е — локально выпуклое хаусдорфово
топологическое векторное пространство, а С — замкнутое выпуклое
множество из Е. Если f : С -*¦ С — непрерывная функция и f (С)
компактно, то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
9.3.3. Многозначные отображения. Приведем теперь результаты,
которые обобщают теоремы Брауэра, Шаудера и Тихонова на
случай многозначных отображений. Эти результаты принадлежат
Какутани (см. [485, с. 457]), Боненбласту и Карлину (см. [221,
с. 159]) и Гликсбергу (см. [436, с. 171]) соответственно.
Теорема Какутани.
Теорема 9.20 (теорема Какутани). Пусть К, — непустое
выпуклое компактное множество из R". Если f '. К,-*- 2?cft {или
/ : /С -> 2щЧк).— многозначное отображение, полунепрерывное свер-
сверху (согласно определению 20.11), то f имеет по крайней мере одну
неподвижную точку, т. е. Зх ? К' х 6 f (x).
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы
Брауэра, разобьем доказательство теоремы 9.20 на три части.
Лемма Г. Свойство неподвижной точки в многозначном
случае сохраняется при ретракциях, т. е. если любое многозначное-
полунепрерывное сверху отображение f : Ц -*- 2^ck имеет неподвиж-
неподвижную точку, а К является ретрактом К, то всякое многозначное
полунепрерывное сверху отображение ф : К -*- 2mck также имеет
неподвижную точку.
Пусть г: /С -> К — ретракция; рассмотрим многозначное отображе-
отображение i~ офог :/<"-> 2шск (диагр. 9.3), которое, очевидно, полу-
Vmck
непрерывно сверху и, следовательно по предположению, имеет не-
неподвижную точку — пусть это будет точка х. Отображение i ~
2 Uck2 тек

является множественным включением, поэтому мы можем утверж-
утверждать, что х является элементом К и х 6 (фог) (х). Отсюда и из ра-
равенства г(х) = х, следует: х^(р(х), что^и доказывает лемму Г.
К—-> К
Ф
2* 2К
¦с.4 Ис*
Диагр. 9.3
Лемма 2' (формулируется так же, как лемма 2 из теоремы
Брауэра).
Лемма 3' (теорема Какутани для симплексов). Пусть S =
= simp \х0, ..., хт} — т-симплекс из Rm. Если отобраэюение f :
S -v 2suck полунепрерывно сверху, то оно имеет по крайней мере
одну неподвижную точку.
Это доказательство существенно отличается от доказательства
теоремы Брауэра для симплексов. Здесь, как и при доказатель-
доказательстве леммы ККМ, мы воспользуемся уже упомянутым фактом о том,
что для каждого I ;> 1 существует симплексное подразделение 2,
симплекса S такое, что diam B;)^ 1//. Предположим теперь, что
мы имеем последовательность таких симплексных подразделений сим-
симплекса S, и определим для каждого / ]> 1 отображение /('*: S ^*- S,
полагая, что в вершинах и<;) симплекса 2г /( У' является точкой
множества /(и*'*), а внутри 2, /"' есть линейное продолжение. Оп-
Определенные таким образом отображения /(;) являются непрерывными
и, следовательно, по теореме Брауэра для каждого / существует
точка х{1) 6 5 такая, что fl) (x(l)) = х{1}. Предположим, что хA) 6
? simp {Ы'> Ф}, и положим
'о itn
при о#>О и 2<# = 1. (9.22)
(=0
Из линейности (или даже из аффинности) отображения / в каждом
симплексе ?. имеем:
f"> (?'») = 2 «ЯГ ivfo (9.23)
f"> (?'») =
1=0
Из последовательностей {»//}, {х^}, {а//} мы можем извлечь под-
подпоследовательности (за которыми мы оставим эти же обозначения) и
224

записать, что
lim v{fl = Vjt, lim x{l) — x, lim a'? = a/.,
/->OO /-»» 1-ЮО
m
при а/^>0 и Va,, = 1. (9.24)
f=0
Из (9.24) и из того, что lim diam Bг) = 0, имеем снова, что »/, =
_ /-ЮО
= л; (/ = 0 т) и, следовательно, l\mv(f} = x. Далее, полагая
lim /'" (vft) = tti, получаем
х = lim *"> = lim /(/) (?'>) = lim V afj(l) ф = V a,fit. (9.25)
Покажем теперь, что х—неподвижная точка отображения/. Для
этого докажем, что tit 6 f (x), а затем воспользуемся тем, что f (x)
выпукло. Так, из определения /(/) имеем, что (х/Ц, /(/) (v(/j)) 6 Gss if),
и, таким образом, поскольку f — полунепрерывно сверху (см. также
теоремы 20.14 и 20.15) получаем, что (x.t/^Gssif)- Таким образом
лемма 3' доказана. Из лемм Г — 3' вытекает утверждение теоре-
теоремы. О
Обобщения теорем Шаудера и Тихонова. Рассмотрим более об-
общую теорему о неподвижной точке и приведем здесь ее доказатель-
доказательство (см. также [436, 470, с. 200; 203, с. 259]).
Теорема 9.21. Пусть Е — локально выпуклое хаусдорфово
топологическое векторное пространство, а К — непустое выпуклое
компактное множество из Е. Если отображение f : К -> 2?сЛ полу-
полунепрерывно сверху, то f имеет по крайней мере одну неподвижную
точку.
Доказательство. Пусть V — замкнутая выпуклая ок-
окрестность начала координат, симметричная относительно нуля.
о
Семейство открытых множеств {х + V: х 6 К} покрывает /С, а по-
поскольку К компактно, то из этого покрытия мы можем выбрать
конечное подпокрытие, т. е. существуют точки xv ...,xm?K такие,
т т
что К с: U (xt + V) или заведомо К cr \J (xt + V); множество точек
{xv...,xm}, удовлетворяющее этим условиям, называется V-плот-
V-плотным в К,-
Положим теперь
%v = conv {Xj хго}. (9.26)
Множество %v является выпуклым компактным подмножеством
множества К и, кроме того, оно имеет конечную размерность. Это
15 К. Байокки, А. Капело 225

влечет за собой среди других свойств тот факт, что топология про-
пространства Е, связанная с %v, является евклидовой. Положим теперь
для каждого х 6 К
(9-27)
и покажем, что эта формула определяет отображение fv: %v^>-2^ck>
полунепрерывное сверху. Это вытекает из следующих четырех утвер-
утверждений:
1) М*)^ 0 Для всех *6Ху- поскольку Xi?xv(i=-l,...,tn) и
для некоторого i мы имеем xt^f (x) + V (в самом деле, если t?
?f(x), то t?K и, следовательно, для некоторого i получаем, что
t?xt + V, т. е. t — xt-\-y при y?V, откуда xt = t— у, так что
xt?t — У и, следовательно, xt?(f(x)—V); а поскольку V == — V,
то имеем х-{ ? (/ (х) + V)):
2) fv(x) выпукло для всех x<z%v, поскольку f (х), V и %v вы-
выпуклы (очевидно, что если А и В — выпуклые множества, то А +
-f- В также выпукло);
3) fv (x) замкнуто для каждого х 6 ^v, поскольку Ху и V замкну-
замкнуты, a f (х) — компактно (ведь f {x) является замкнутым подмноже-
подмножеством компактного множества К в отделимом пространстве Е; от-
отметим, что если А — замкнутое множество, а В — компактно, то
А + В замкнуто — доказательство см., например, в [203, с. 246];
если же Л и В — компактны, то А + В также компактно);
4) fv полунепрерывно сверху, поскольку мы можем записать (см.
определения 20.5 и 20.6) fv(x) = [(f •/)(") с] (х), где отображения
с (д:) — yv и v {х) = х + V, очевидно, полунепрерывны сверху.
Положим теперь
fv = {x?K:x?(f (x) +V)()K} (9.28)
и покажем, что Г\ fv?=0- (Здесь, по-прежнему, V — замкнутая
v
выпуклая окрестность начала координат, симметричная относительно
нуля.) Это утверждение следует непосредственно из следующих
трех результатов:
1') %Ф0 для любой окрестности V, поскольку {x:fv(x)=x}cz
cz fv, a fv имеет по крайней мере одну неподвижную точку (по
теореме Какутани — вспомним, что топология Е, связанная с %v,
евклидова);
2') fv замкнуто для любой окрестности V, поскольку, полагая
v(x) = x + V, k(x)=K, u(x) = {x) и h(x) = [(vf)f\kf]u](x) (при-
(причем h полунепрерывно сверху и такое, что h {х) = 0 или h {х) =
= {;ф, мы имеем^ = {*e/t:*€(fM + ^n/t} = {*:*e(f(*) +10П
П КП {х}} =*{x:xeh(x)} = {x:h(х)_Ф 0} = E\h~l+ @), а посколь-
поскольку / полунепрерывно сверху, то h~i+@) — открытое множество (см.
теорему 20.8, 4+));
226

3') семейство {fv}v обладает свойством конечного пересечения,
поскольку если Vx Vt — замкнутые выпуклые окрестности начала
координат, то полагая V* => Vx[\... П Vt (У* также является замкну-
замкнутой выпуклой окрестностью начала координат), мы получаем
= {х:хе [(/ (х) + УОП - П (/ (х) + Vt)]r\K} =
= {х :х € [f (х) + (V, П... П Vft П К] = fv Ф 0.
Выберем теперь х? U fv и покажем, что x(zf(x),— тем самым
v
мы докажем теорему. Предположим от противного, что x(?f(x). Тог-
Тогда существует замкнутая выпуклая окрестность / (х) точки х, сим-
симметричная относительно х, такая, что I (x\ czE\f(x). Положим/0=
— х—1(х) (/0 является замкнутой выпуклой окрестностью начала
координат, симметричной относительно нуля) и покажем, что х(?
(?fbh. В самом деле, если *?//„. то, в частности, x?f (х) + 10, т\_ е.
х = у_ + x—t при у ? / (х) и t?l{x), _откуда следует y = t?f{x){\
П / (х), что невозможно, поскольку / (х) cz E\f (x). ?
Непосредственным следствием из теоремы 9.21 является следу-
следующая теорема.
Теорема 9.22. Пусть В — нормированное пространство,
а К — непустое компактное выпуклое множество из В. Если отоб-
отображение f : К -»- 2^ck полунепрерывно сверху, то f имеет по крайней
мере одну неподвижную точку.
Непосредственное доказательство этого результата можно найти
в [221, 470, с. 161]. Важной модификацией этого утверждения явля-
является следующая теорема.
Теорема 9.23. Пусть В — банахово пространство, а С —
замкнутое выпуклое множество из В. Если отображение /:С->-
полунепрерывно сверху и множество fB (С) = \J f (x) ком-
пактно, то f имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
Доказательство этой теоремы идентично доказательству теоремы
9.18.
Сформулируем еще одно утверждение (см. [376, с. 308]):
Теорема 9.24. Пусть F — локально выпуклое хаусдорфово
топологическое векторное пространство, Е — хаусдорфово топо-
топологическое векторное пространство, К — непустое компактное вы-
выпуклое множество из Е. Далее, пусть f': К^>-2Fnqk— непрерывное
многозначное отображение, g:K^-F — непрерывное отображение
такое, что
1) Ухе К f{x) П ё{х)ф0,
2) если С cz F замкнуто, то g~l (С) выпукло (и, возможно, пус-
пусто). Тогда существует точка х 6 К такая, что g {x) 6 / (*)¦
15* 227

Отметим, что теорема 9.24, подобно теореме 9.21, является
обобщением теоремы Тихонова. В самом деле, если предположить,
что Е = F, g — тождественное отображение, a f — однозначное
отображение, то теорема 9.24 превращается в теорему Тихонова
(если f : К ~^Fmqk однозначное отображение, то мы можем положить
f:K-*-F, а используя условие 1), имеем f:/С->-/()• Далее, ни
одна из теорем 9.21, 9.24 не является более общей, чем другая, если
Е Ф F. В случае же Е = F теорема 9.24 является частным слу-
случаем теоремы 9.21.
Другие результаты о неподвижных точках отображений, опре-
определенных на подмножествах топологических векторных пространств,
можно найти, среди других, у Браудера [258].
Логическая связь между сформулированными теоремами.
Замечание 9.1. На диагр. 9.4 стрелками отмечен логи-
логический порядок, которому мы следовали при изложении основных
результатов раздела 9.3.
Теорема 9.15
A912)
Теорема 9.17
A930)
Теорема 9.12
A929)
t
Теорема 9.16
A935)
i
Теорема 9.20
A941)
Теорема 9.22
A950)
t
Теорема 9.13
A961)
Теорема 9.21
A952)
Диагр. 9.4
Этот порядок отличен от порядка хронологического, в котором
теоремы были получены. В диаграмме приведены даты публикаций
оригинальных статей (отметим, однако, что теорема Брауэра, в
частности, была уже приведена Брауэром в статьях, предшествую-
предшествующих его работе 1912 года). В одном и том же столбце диаграммы или
на одной и той же строке результаты расположены так, что каж-
каждый результат является более общим, чем результаты, находящи-
находящиеся «выше» или «левее». Диаграмма показывает, что мы могли бы
избежать доказательства теоремы Брауэра, рассмотрев ее как
непосредственное следствие теоремы Шаудера; или могли бы избе-
избежать введения леммы Фана, рассмотрев теорему Тихонова как
следствие теоремы 9.21.
228

9.4. Теоремы о неподвижной точке
для монотонных отображений
л Здесь мы будем рассматривать главным образом две теоремы о
неподвижной точке для монотонных отображений: теорему Кнас-
Кнастера — Биркгофа (см. [9]), которая требует решетчатой структуры
(причем решетка должна быть полна — это гипотеза существова-
существования, являющаяся фундаментальной для доказательства) и утверж-
утверждение Колоднера (см. [510]), успешно использованное Тартаром
(см. [694, 695, с. 98]) при исследовании упорядоченной структуры
(она должна быть вполне индуктивной — это гипотеза существова-
существования, заменяющая предыдущую). Следует, однако, отметить, что ни
один из этих результатов не является более общим, чем другой. Ин-
Интересной характеристикой обоих результатов является тот факт,
что хотя они и не гарантируют нам единственность неподвижной
точки, но позволяют сформулировать правила «отыскания» непо-
неподвижных точек, поскольку в них говорится о том, что множества
таких точек имеют минимальные и максимальные элементы.
Теорема Кнастера — Биркгофа. Рассмотрим первое утвержде-
утверждение.
Теорема 9.25 (теорема Кнастера — Биркгофа). Пусть
(L, ^) — полная решетка. Если f : L -*¦ L — монотонное неу-
неубывающее отобраоюение, то f имеет по крайней мере одну непо-
неподвижную точку, т. е. За € L а = / (а). Множество Ф неподвижных
точек имеет максимальный и минимальный элементы.
Доказательство. Положим S = {х 6 L: х ^ f {x)}. Это
множество не пусто, поскольку min L 6 S (отметим, что полнота ре-
решетки L гарантирует существование min L — см. раздел 19.2).
Положим а = sup S (верхняя грань также существует в силу пол-
полноты L). Из определения верхней грани мы имеем, что х^ a Vx?
S и, следовательно, из монотонности f, f (x) ^.f (a) Vx 6 S. Отсюда
и из определения S получаем, что х ^ f (х) ^ / (a) Vx 6 S и, сле-
следовательно, еще раз из определения верхней грани, а ^ f (a).
Отсюда и опять из монотонности вытекает, что f (a) ^.f (f (а)) и,
следовательно, f (а) 6 S, и, наконец, f (a) ^ а. Таким образом, мы
показали, что а = f (а). Полагая Ф = {х? L: f (х) = х), мы по-
получаем, что Ф Ф 0 (поскольку а 6 Ф) и, кроме того, очевидно, что
а = max Ф. Аналогичные рассуждения, примененные к системе
(L, ]>), приводят к доказательству существования b ¦= min Ф. ?
Отметим, что даже в случае, когда f строго монотонно, мы не
можем гарантировать единственность неподвижной точки. Чтобы
убедиться в этом, просто следует рассмотреть тождественное ото-
отображение.
Результат Колодиера и Тартара. Рассмотрим теперь второе
утверждение, упомянутое в начале пункта.
Теорема 9.26. Пусть (Е, ^) — упорядоченное множество.
Если f : Е -у Е — монотонно неубывающее отображение и
1) За, Ь 6 Е, а < Ь: а < / (а)< / (ft)< b и [а, Ь] — вполне
индуктивно,
229

mo f имеет по крайней мере одну неподвижную точку, точнее, Зс ?
6 [а, Ь]: с = f (с). Множество Ф неподвижных точек, лежащих меж-
между а и ft, имеет максимальный и минимальный элементы.
Доказательство. Чтобы гарантировать существова-
существование неподвижной точки, достаточно, чтобы множество (a, ft] было
либо вполне ^-индуктивным, либо вполне (г)-индуктивным. В пер-
первом случае мы можем утверждать, что Ф имеет минимальный эле-
элемент, а во втором — что Ф имеет максимальный элемент. Здесь
мы будем негласно рассматривать
первый случай: доказательство
для второго аналогично (кроме то-
того, этот случай можно получить
из первого по свойству двойствен-
двойственности, если рассмотреть алгебраи-
алгебраическую систему (Е, ;>)).
Полагая X = {и ? [a, ft]
^ и), Z = {и ? X: и ^у Vy
(см. схему, приведенную на
Рис 93 рис. 9.3), покажем, что спра-
справедливы следующие утверждения:
1) X, Y и Z не пусты; 2) X устойчиво относительно / (мы говорим,
что множество А с В устойчиво относительно отображения / : В -+¦
->- В, если / (А) с Л); 3) Z устойчиво относительно /; 4) множе-
множество X с индуцированным порядком вполне ^-индуктивно; 5) мно-
множество Z с индуцированным порядком вполне ф-индуктивно;
6) Z имеет максимальный элемент и*; 7) элемент и* является не-
неподвижной точкой отображения /; 8) ы* является наименьшей не-
неподвижной точкой /, лежащей между а и ft. Доказательство теоремы
состоит в доказательстве этих утверждений. Докажем их.
Утверждение 1). Здесь необходимо лишь заметить, что
Утверждение 2). Если х 6 X, то из определения X имеем
а ^ х ^ ft и х ^. f {х). Отсюда и из монотонности / получаем, что
/ (а) < / (х) < / {Ь) и / {х) < / (/ (х)). Таким образом, в силу пред-
предположения а ^ / (а) ^ / (ft) ^ ft, можно записать a^.f(x)^.b
и / (х) < / (/ (*)), т. е. / (х) 6 X.
Утверждение 3). Если z f Z, то из определения Z имеем
z 6 X и z < у У/у 6 Y. Из устойчивости X относительно f получаем
/ (г) 6 X, а из монотонности f следует, что f (г) ^.f (у) Чу 6 Y. Но
при у 6 Y f (у) < у, поэтому / (г) < у Vy 6 У- Таким образом, мы
показали, что / (z) 6 Z.
Утверждение 4). Пусть S — цепь в X, а с = sup S б
6 [a, ft] (отметим, что sup S должен существовать, поскольку множе-
множество [а, Ь] вполне ^-индуктивно). Если и 6 S, то ы 6 X и, следо-
следовательно, и ^. f (и) Vu 6 ©¦ С другой стороны, и ^ с Vu 6 ©.
и поэтому из монотонности f вытекает / (и) ^ / (с) Vu 6 в. Таким
образом, и ^ / (с) Vu f S. Отсюда и из определения верхней гра-
грани имеем с ^ f (с) и, следовательно, с 6 X.
230

Утверждение 5). Пусть &' — цепь в Z и с' — sup &' 6
? [а, Ь]. Элемент с' принадлежит X, поскольку &' является также
цепью в X, причем X ^-индуктивно. Далее, Vug ©' и ^ у Vy 6 У
и поэтому из определения верхней грани с' ^ # Vy 6 Y. Таким об-
образом, получаем, что с' 6 Z.
Утверждение 6). Это утверждение является непосред-
непосредственным следствием чеммы Цорна (отметим, что и* не обязатель-
обязательно является верхней гранью множества Z. Эта грань может не су-
существовать, поскольку Z не обязательно является цепью).
Утверждение 7). Из определения Z имеем и* 6 X и,
следовательно, «*^/(н*). Далее, из устойчивости Z относи-
относительно / заключаем, что / (и*) ? Z. Таким образом, / (и*) = и*,
поскольку и* — максимальный элемент.
Утверждение 8). Можно сразу заметить, что Ф = X Л
П Y и (поскольку и* 6 Z превосходит все элементы множества Y
и заведомо все элементы множества X П Y) и* = min Ф. Q
Здесь, как и в случае теоремы Кнастера — Биркгофа, строгой
монотонности отображения / недостаточно для того, чтобы гаранти-
гарантировать единственность неподвижной точки. Однако мы можем дока-
доказать единственность, наложив на f условия «векторного типа». Эти
условия, кроме того, представляют практический интерес, по-
поскольку в некоторых важных приложениях теоремы 9.26 множе-
множество Е имеет не только упорядоченную структуру, но и обладает
векторной структурой. Так, имеет место следующая теорема.
Теорема 9.27. Пусть выполнены условия теоремы 9.26.
Пусть, кроме того, Е — векторное пространство, отображение f
вогнуто, f (а) ф а. Если Ф — мноокество неподвижных точек отоб-
отображения f и существует е >• 0 такое, что
min Ф > а + г (Ь — а), (9.29)
то неподвижная точка f единственна (т. е. множество Ф состоит
лишь из одного элемента).
Доказательство. Пусть и* = min Ф и м* = max Ф.
Положим
и = и* — (е/2) («* — и*), (9.30)
тогда мы имеем a^.us^u*. Из (9.30) следует, что
и ~ l + e/2 •
Отсюда и из вогнутости отображения / получаем
1 + (е/2)
или, поскольку / («*) — и* и / (м*) = и*,
..«^ /(й) + (е/2)ц«
1 + (е/2)
231

Из (9.33) и (9.30) сразу следует, что / (н) ^ и, а при условии
a^.f (а), пользуясь теоремой 9.26, заключаем, что f имеет непо-
неподвижную точку в [а, и]. Поскольку и* — минимальный элемент,
должно быть и* = и и, следовательно, из (9.30), и* = м*. ?
Если отображение f выпукло и / (Ь) Ф Ь, то имеет место анало-
аналогичный результат с аналогичным доказательством.
В заключение отметим результат о неподвижных точках отобра-
отображений, определенных на упорядоченных множествах, в котором
нет требования монотонности.
Теорема 9.28. Если {Е, ^) — вполне (^-индуктивное упо-
упорядоченное множество, a f : Е -*¦ Е — отображение такое, что
V* 6 ? / (х) > х, тоЗс?Е:с = f (с).
Доказательство этого утверждения можно найти в [160, с. 21].
Глава 10. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ
ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ
В этой главе мы снова вернемся к абстрактной теории вариацион-
вариационных неравенств, рассмотрение которой мы прервали в гл. 3. Тогда
мы сделали это не только для того, чтобы привести некоторые
конкретные примеры (что и было сделано в последних нескольких
главах первой части), но также и потому, что у нас не было надле-
надлежащего аппарата для развития этой теории. Этот недостаток воспол-
восполнила предыдущая глава.
Роль леммы Фана. При рассмотрении задачи 7.37 мы упоминали
о недостатке результатов существования более общего вида, чем те,
которые мы доказали ранее. Приведем теперь самый общий абстракт-
абстрактный результат, доказательство которого вытекает из леммы Фана.
Чтобы дать представление о роли таких результатов, как лемма Фа-
Фана, при исследовании вариационных неравенств, мы приведем схе-
схематичный набросок третьего доказательства теоремы Лионса —
Стампаккьи, аналогичного доказательству теоремы 2.2. Рассмот-
Рассмотрим для каждого v0 6 К множество «уровней» N (i/0) = {v 6 К :
a (v, v — v0) ^ L (v — v0)}. Очевидно, что функция и удовлетво-
удовлетворяет неравенству C.28) в том и только в том случае, когда и ? N (v0)
Vy0 6 К- Доказательство существования решения сводится, таким
образом, к доказательству того факта, что П N(vo)=?0.
10.1. Общие результаты о существовании
Основной результат. Здесь мы будем рассматривать главным об-
образом следующее утверждение (см. также [257, 459, 595])
Теорема 10.1. Пусть пространство Е и функционалы
Ф : Е -у (—оо, +оо] и f : Е X Е -*~ R таковы, что выполнены еле-
дующие условия:
232

(hi) E — действительное хаусдорфово топологическое линей-
ное пространство;
(п2) функционал ф — выпуклый, собственный и полунепрерыв-
полунепрерывный сверху;
(h3) Vi> 6 Е ф (v)< + оо =*- / (v, v) < 0;
(h4) Vu6 E функция f (v, •) выпукла;
(h5) Vi> 6 i: функция f (v, •) полунепрерывна сверху;
(пб) Viei 6 ? функция f (•, да) полунепрерывна снизу на отрез-
отрезках;
(h7) Vi>, wf(v,w)+f (w, v) > 0;
(h8) W cz E, В — компактное множество: Эи0 6 5: Vo ?E\B
Ф (o) + f (w, i>0) > ф (i>0).
Тогда существует решение следующей задачи:
Задача 10.1. Найти элемент и? Е такой, что
Ф(ы)+/(н,о)<Ф(о) Vye^. (ЮЛ)
Кроме того, множество решений задачи 10.1 замкнуто и выпукло и
совпадает с множеством решений следующей задачи:
Задача 10.2. Найти элемент и 6 Е такой, что
Ф (и) — / (v, ы)< ф (у) Уу6^. (Ю.2)
Перед доказательством этой теоремы необходимо сделать не-
несколько замечаний. Прежде всего следует сказать, что эта теорема
охватывает несколько важных случаев.
Здесь мы отметим лишь, что задача 10.1 включает в себя в ка-
качестве частных случаев, например, следующие задачи:
1) задача минимизации функционала ц> в Е: нам следует лишь
положить / е= 0;
2) задача отыскания седловых точек функции g : R2 -*¦ R: до-
достаточно положить Е = R2, ф ?= 0 и / (у, du) = g (vlt w2) — g (wlt
v2)- В самом деле, если и = (ult u2) — решение задачи 10.1, то
g (Ыц w2) ^ g (wv u2) Vtt< ^ (о>,, ш2) 6 R2. и поэтому, полагая ш, =
= «х, имеем g («!, а>2) ^ g («x. и*) (это означает, что в точке и дости-
достигается максимум функции g на u, x R), а полагая w2 = u2. полу-
получаем g (иг, и2) ^ g (wlt u2) (это означает, что в точке и достигается
минимум функции g на R х н2),— следовательно, ы — седловая
точка функции g;
3) задача, связанная с вариационными неравенствами (это наи-
наиболее важная для нас задача): положим, например, ф = /к, где
1к— индикатриса выпуклого множества К в Е, а / (v, w) = a (v,
v — w), где а : Е х Е -*• R — билинейная форма.
Упомянутые предположения теоремы 10.1 были выбраны глав-
главным образом для того, чтобы получить из нее как частные случаи
теорему Лионса — Стампаккьи и другие аналогичные результаты.
Связь между предположениями теоремы 10.1 и предположениями
теоремы Лионса — Стампаккьи, однако не очевидна и требует до-
довольно сложного осмысления. В связи с предположениями теоремы
10.1 отметим также следующее Условия (h7) и (п8) по причинам,
которые выяснятся в дальнейшем, называются соответственно ус-
233

ловием монотонности и условием коэрцитивности. Далее, условие
(h6), которое означает, что для любых и, w, v из Е функция t-*-
->¦ / (tu + A — f)v, w) является полунепрерывной снизу, можно
назвать условием полунепрерывности снизу. Наконец, последняя
часть теоремы 10.1 является обобщением леммы Минти, которую
мы доказали в гл. 7.
Лемма Минти. Прежде чем доказывать теорему, докажем две
леммы о «множествах уровней»
о(w) = {v _ Е:Ф (у) + /(у, цу)<ф(ы>)} A0.3)
и
а* И = {и 6 Е: ф (v) — f (v, ю) < ф (а;)}, A0.4)
связанных с неравенствами A0.1) и A0.2) соответственно.
Лемма 1. Если пространство Е и функционалы ц> : Е -> (—оо,
+оо] и f : Е X Е -*¦ R удовлетворяют условиям (hi)—(h4) и (h8),
то
A0.5)
Доказательство. Это утверждение следует из леммы
Фана. Проверим в таком случае, что все условия леммы Фана вы-
выполнены. Нетрудно видеть, что множества о (w) замкнуты и непусты
(отметим, что w?o (w), поскольку если ф (w) = +оо, то о (w) =
= Е, а если ф (w) < + оо, из (h3) имеем / (w, ш)< 0 и, следова-
следовательно, ф (w) + f (w, w) < ф (w)). Чтобы проверить выполнение
условия 2') леммы Фана, заметим, что условие (h8) гарантирует нам
существование компактного множества В с Е и точки va 6 В такой,
что о (i/0) с В. Отсюда и из условия (hi) получаем, что о (у0) с В
компактно. Наконец, проверим выполнение условия Г). Для этого
докажем, что
t wn?E conv {wj} cz \J a (ws) cz \J a (wj), A0.6)
n
т. е. покажем, что если w = J] ^цу; (при 1,>0и Jlj = l), то
ш6о(ш7) по крайней мере для одного индекса /. Предположим про-
противное: пусть для каждого / wQo(wj), т. е.
(p(w) + f(w,w})>cp(Wj) для /=1 п. A0.7)
Из A0.7) следует, что q>(wj)<. -f- оо для /= 1,...,п и, следователь-
следовательно, из (h2) имеем
Фи = ф(? V/) < 2 hv(щ) < + «о. A о.8)
При %)^0 из A0.7) заключаем (учитывая, что при некотором /
234

может быть Xj = 0), что
Xj4>(w) + Xjf(w,wJ)^XJ(p(wJ), /=l,...,n, A0.9)
и, следовательно,
? ^Ф (да)
) + У у (w, wj) > V lj4> (w,), A0.10)
поскольку существует по крайней мере одно /, при котором к}- > 0.
Отсюда, а также из выпуклости f (из условия (h2) следует, что
V Д,7<р (Wj)) и из выгнутости f(a>, •) (из условия (h4)
/-1 /-1
п п
следует, что V А,у/ {w, w,) < / {w, J] ^ОУ/)) получаем:
/-i /-i
4 A0.11)
Неравенство A0.11) с учетом A0.8) дает нам f (w, w) > 0, что про-
противоречит условию (h3). ?
Лемма.2 (лемма М и н т и). Если пространство Е и функ-
функционалы ф*. Е -у (—с», -f-оо] и /: Е X ?->-R удовлетворяют усло-
условиям (hi) — (h4), (h6) и (h7) теоремы ЮЛ, то
fio(w)=fio*(w), A0.12)
и эти множества являются выпуклыми (и, возможно, пустыми).
Доказательство. Прежде всего заметим, что
a(w)cza*{w) Vw?E. A0.13)
В самом деле, если v^a(w), то
/(!»,ш)<фD A0.14)
Вычитая f(v,w) + f(w,v) из обеих частей неравенства A0.14) и при-
принимая во внимание условие (h7), получаем:
Ф(у) — /(оу,1>Хф(оу). A0.15)
Отсюда следует, что v?o*(w) и, следовательно, 10.13 справедливей
Из 10.13 имеем ГЛ a(w)cz C\o*(w). Докажем теперь обратное; что
? ?
П a* (w) с n a (w). (Отметим, однако, что в общем случае о*
E w$B
о (w).)
Пусть теперь v6 Г) о*(w), докажем, что »?Г)о(w). Из v6
ш€? <»€? _
o*(w) следует: v?a*(w) Vw?E. Зафиксируем элемент w из Е
235

такой, что <р(оЛ< + оо. Далее, положим для t?@,1)
а»@-й» + A — t)v. A0.16)
Заметим, что v?o*(w(t)). Это означает, что
+ A-t)v), <6@,1) A0.17)
+ оо, *6@,1), A0.18)
как следует из условия (h2) и того, что ф (w) < +оо и ф (у) < +оо
(это должно быть именно так, иначе мы бы имели ф s -|-оо, что
противоречило бы условию (h2)).
Из условия (h2) и неравенства A0.17) имеем:
A0.19)
Прибавляя tf(v,w) к обеим частям последнего неравенства, полу-
получаем, что
/(v, w)\< tf(v, w) + f(tw + (I — f)v,v), t?@, 1).
A0.20)
Поскольку из условий (h3) и (h7) следует, что
то из A0.20) с учетом A0.18) находим
— ф (w) +f{v,w)]^tf(v, w) + f (to + A — f)v, v) —
a-Ou.to + tl-Of), ^6@,1). A0.21)
Отсюда, используя условие (h4), приходим к неравенству
— t)f(tw + (l— f)v,v)]=*
,1). A0.22)
Разделим обе части A0.22) на t. Устремляя /к нулю и принимая во
внимание условие (h6), получаем
Ф (v) — ф (w) + f(v,w)^f (v, w) — f (v, w), A0.23)
т. е.
A0.24)
и, следовательно, обо (ш). Поскольку w — произвольный элемент
из Е (отметим, что единственным ограничением, наложенным на
236

w, является требование <р (w) < +00; если же q> (w) = +00, то
a* (w) = a (w) = E), тогда v? Г\в (w). Таким образом, мы доказали
равенство A0.12). Отсюда сразу следует и доказательство последней
части леммы. ?
Доказательство теоремы 10.1. Перейдем теперь к доказатель-
доказательству теоремы 10.1.
Доказательство теоремы 10.1. Задача 10.1 имеет
решение, если существует такой элемент и 6 Е, что и ? a (w) Уву ?
??, т. е. г\о{т)Ф 0, или (по лемме 2) П о*(аи)Ф 0. В таком
случае для доказательства первой части теоремы (т. е. того факта,
что решение задачи 10.1 существует) нам необходимо лишь пока-
показать, что для любого элемента w?E множество a*(w) замкнуто.
Тогда отсюда и из A0.13) будет следовать, что a (w) c= a* (w), и
значит, П a(w) с= Г» а*(ш), а по лемме 1 Р| о*{ш)Ф 0.
E E
Кроме того, в то же время мы докажем и оставшуюся часть тео-
теоремы, поскольку эквивалентность задач 10.1 и 10.2 следует из лем-
леммы 2. Из этой леммы также получаем, что множества обеих задач
(которыми являются соответственно множества |~| ст (w) и О a* (w))
E
выпуклы. Замкнутость этих множеств следует из того, что пересе-
пересечение замкнутых множеств замкнуто.
Для доказательства замкнутости множества o*(w) рассмотрим в
a*(w) фильтр {va}a?A с предельным элементом v и покажем, что w6
6<х*(о>). В самом деле, из неравенства
— f (w, t»eX ф (w) V«6^ A0.25)
и того факта, что функции <р и —/ (w, •) полунепрерывны снизу
(см. условия (h2) и (h5)), получаем, переходя к пределу:
Ф(v) — f(w,w)<ф(ш). ?
Еще два результата о существовании и единственности. Если ус-
условие монотонности (h7) усилить, то мы сможем также гарантиро-
гарантировать и единственность решения, о существовании которого утверж-
утверждается в теореме 10.1. Другими словами, справедлива следующая
теорема.
Теорема 10.2. Пусть выполнены условия теоремы 10.1, а ус-
условие (h7) усилено следующим образом:
(h9) Vv,w?E уфт f(v,w) + f(w,v)>0.
Тогда решение задачи 10.1 {а следовательно, и задачи 10.2) един-
единственно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть и и
и* — два решения задачи 10.1.
237

Тогда
A0.26)
A0.27)
Полагая а» = ы* в неравенстве A0.26) и ш» = и в неравенстве A0.27)
и складывая эти неравенства, имеем
Ф (и) + Ф (u*) + f (и*, и) + f (и, и*) < ф (и) + ф (и*). A0.28)
Поскольку ф (и) <С + оо и ф (ы*) •< + оо (ведь иначе мы имели бы
Ф== + оо), из A0.28) получаем:
A0.29)
Отсюда и из условия (h9) следует, что и — и*. Условие (h9)
обычно называют условием строгой монотонности. ?
Сформулируем теперь следующий общий результат о существова-
существовании, в котором нет предположения о монотонности.
Теорема 10.3. Если пространство Е и функционалы ф:
Е -*¦ (—оо, +оо] и f : Е X Е -»¦ R удовлетворяют условиям (hi),
(h2), (h3), (h4), (h8) и
(Ы0) Vw 6 ? функция f (•, ш) полунепрерывна снизу, то зада-
задача 10.1 имеет решение.
Доказательство. Решения задачи ЮЛ являются, как
мы видели, элементами множества Л о (ш). Тогда утверждение
теоремы следует из леммы 1 и того факта, что множество ст (w) замк-
замкнуто (это вытекает из условий (h2) и (Ы0)). В самом деле, рассмот-
рассмотрим в a (w) фильтр {va}a?A с предельным элементом v. Из нера-
неравенства
фЫ + /К-»)<фИ *а€Л A0.30)
и того факта, что функции ф и f (•, w) полунепрерывны снизу
(т. е. из условий (h2) и (hlO)), получаем, переходя к пределу, ф (v) +
+ f (у, w) ^ ф (w) и, следовательно, v 6 о (w). П
На первый взгляд, этот результат может показаться более об-
общим, чем теорема 10.1, поскольку в нем нет требования на моно-
монотонность, и хотя условие (Ы0) сильнее, чем (h6), зато условие (h5)
вообще опущено. Однако теорема 10.1 имеет множество приложе-
приложений, а теорема 10.3 не представляет большого интереса. Это про-
происходит потому, что предположение о полунепрерывности снизу
функции f (w, •) не является очень жестким в большинстве при-
приложений, а, с другой стороны, «различие» между условиями (h6) и
(h 10) на самом деле очень велико. В условии (h6) у нас не вызывает
сильного беспокойства топология пространства Е, поскольку мы
работаем в конечномерных пространствах и можем взять в Е, на-
например, слабую топологию, которая наиболее удобна для удов-
удовлетворения условия (h8). В условии (Ы0), наоборот, топология
играет существенную роль и, в частности, для слабой топологии это
условие является очень жестким. Все это станет более понятным в
следующем разделе.
238

10.2. Частные случаи. I
В этом пункте в качестве Е мы рассмотрим произвольное реф-
рефлексивное банахово пространство, пусть Е' — сопряженное к нему.
Очевидно, что условие (hi) выполнено. Мы будем рассматривать в
Е, вообще говоря, слабую топологию, потому что такая топология
дает «много компактных множеств» и, кроме того, в этой топологии
наиболее легко удовлетворить условию (п8) (в связи с этим заме-
заметим, что слабо компактные множества ограничены и слабо замкну-
замкнуты, и наоборот).
Рассмотрим функционал ср, определенный по формуле
A0.31)
где /к — индикатриса непустого замкнутого выпуклого множества
из Е. Отметим, что jK полунепрерывна снизу для любой топологии
(между сильной и слабой) пространства Е. Кроме того, /« является
собственным выпуклым функционалом, и, следовательно, условие
(h2) выполнено. Наконец, рассмотрим функцию f, определенную
формулой
f(v,w) = B,{Av,v — w)B, A0.32)
где А : Е -*¦ Е' — оператор (не обязательно линейный и непрерыв-
непрерывный), в терминах которого мы будем интерпретировать условия
теоремы 10.1 (и теоремы 10.2), связанные с функцией f.
Условие (h3) выполнено без дополнительных предположений на
оператор А:
B,(Av,v — v)B = B,(Av,0)B = 0. A0.33)
Условие (h4) также выполнено без каких-либо дополнительных пред-
предположений на А: если мы зафиксируем v из Е, то имеем:
в, (Av, v — w)B = B,{Av, v)B + B.{— Av, w)B; A0.34)
а поскольку B,(Av, v)B — постоянная, отображение w-+ B,(Av, v—w)B
аффинно и, следовательно, вогнуто. Отсюда следует, что условие
(h5) также выполнено без дополнительных предположений на А:
поскольку отображение w-> B,{Av, v — w)B аффинно, оно не только
полунепрерывно сверху, но даже и непрерывно.
Это подтверждает тот факт, что условие (п5), как мы уже гово-
говорили ранее, не является очень жестким в приложениях. Отметим
здесь, что при этих же условиях, предположение (Ы0) является
просто гибельным: если предположить, что Е — гильбертово про-
пространство со своей слабой топологией, а Л — тождественный опе-
оператор (и, следовательно, линейный!), то условие (Ы0) будет озна-
означать, что отображение v -*¦ (v, v — w)B = || v ||| — (v, w)B слабо непре-
непрерывно; но мы знаем, что существуег последовательность {vn},
vn -jj- 0, такая, что || vn \\в = const Ф О!
Рассмотрим теперь условие (h6). Зафиксируем элемент w из Е.
Нам нужно найти ограничения, которые следует наложить на опе-
239

ратор А, такие, чтобы вещественная функция вещественного пере-
переменного
t-+B,{A(tz + A — t)v, tz + A — t)v — w)B A0.35)
была полунепрерывной снизу для любых элементов г и виз Е.
Достаточным условием этого является полунепрерывность операто-
оператора Л, т. е. (см. определение 7.2 и соответствующие замечания) сла-
слабая непрерывность отображения t -> A {tz + A — f) v) для любых z
и v из Е. В самом деле, при этих условиях отображение
t->B,{A(tz + A — t)v),w)B непрерывно, а поскольку отображение
t-y B,{tz + (I —t)v,х)в непрерывно для любого х из Е, то функция
A0.35) не только полунепрерывна снизу, но и также непрерывна.
Что касается условия (h7), мы требуем, чтобы
B — v)B^0, A0.36)
т. е.
Vv,w?E B,(Av — Aw,v — w)B^0, A0.37)
а это есть не что иное, как монотонность оператора А (см. опреде-
определение 7.2). Таким образом, мы должны потребовать, чтобы опера-
оператор А был монотонным. Отметим в связи с этим, что условие (h9)
есть условие строгой монотонности оператора А:
Vv,w?E, уфпо, B,(Av — Aw,v — w)B>0. A0.38)
Наконец, рассмотрим условие (h8), которое, как мы уже видели,
можно записать в виде
ЭВ cr E, ограниченное и слабо замкнутое множество:
фк (v) + E.{Av, v — vo)B > фк (v0). A0.39)
Из A0.39) сразу следует, что должно быть ц>к (и0) = 0, поскольку
в противном случае ц>к (и0) = +оо, и строгое неравенство не будет
выполняться. Таким образом, заключаем, что v0 6 В П ^С. и усло-
условие A0.39) можно записать в виде
35 cr E, ограниченное и слабо замкнутое множество:
Фк (Р) + B'(Av'v — vo>b > °- 0°-40)
Если множество К ограничено, то нам не нужно накладывать на опе-
оператор А дополнительные ограничения, потому что условие A0.40)
выполняется при К = В, поскольку тогда q>K(v)=+oo, а это озна-
означает, что неравенство A0.40) справедливо для любых v0 из К- Од-
Однако наиболее интересным является случай, когда К не ограничено.
8 этом случае достаточно, например, потребовать, чтобы оператор А
240

был коэрцитивным (см. определение 7.2):
B,(Av,v — v0)E= + oo. A0.41)
При этих условиях требование A0.40) на самом деле выполнено, по-
поскольку условие A0.41) гарантирует существование сферы (В), вне
которой E,(Av, v — ио>?>0.
Наконец, отметим, что при сформулированных выше условиях
неравенство A0.1) можно записать в виде
ивЕ, Ф/с(«) + E,{Au,u-v)E^<?K(v) Vv?E, A0.42)
или проще (что эквивалентно),
«б/С, Е,(Аи,и — и)Е<0 Vyg/C. A0.43)
Резюмируя сказанное, сформулируем следующее утверждение
(которое, в частности, гарантирует существование решения задачи
7.37, причем это решение единственно, если оператор А строго мо-
монотонный).
Теорема 10.4. Если Е — рефлексивное банахово простран-
пространство, К — непустое замкнутое выпуклое множество из Е, а А :
Е -*• Е' — монотонный, полунепрерывный и коэрцитивный опе-
оператор {последнее предположение не обязательно в случае ограничен-
ограниченности К), то неравенство A0.43) имеет решение. Это решение един-
единственно, если А, кроме того,— строго монотонный оператор; более
того,
E.{Au,u— y>?<0} = {«etf:Vy eK E,{Av,u — и)Е< 0}.
A0.44)
Замечание 10.1. Если К — выпуклый конус с вершиной в
начале координат, линейное подпространство или аффинное мно-
многообразие, то неравенство A0.43) можно записать соответственно
в следующем виде:
«б/С, Е,(Лц,ц}?=0 и Уу6/С?,(Л«,у)е>0, A0.45)
иек, vveK E,(Au,v)E = о, (Ю.46)
или
иеК, VveK E,(Au,u — у>е = 0. A0.47)
(Доказательство этого простого факта оставляем читателю.
10.3. Частные случаи. II
В этом разделе мы будем предполагать, что Е — вещественное
гильбертово пространство. Мы могли бы в качестве Е взять любое
рефлексивное действительное пространство, но это не приведет к
рассмотрению более общего случая. В самом деле, мы не будем ис-
использовать явно гильбертову структуру пространства Е (более
16 К. Вайокки, А. Капело 241

того, мы обозначаем скалярное произведение как отношение двой-
двойственности), но в любом случае мы приходим к следующему за-
заключению: если наши предположения выполнены, то мы можем
определить в Е скалярное произведение. В качестве ф мы рассмот-
рассмотрим функционал, отображающий пространство Е в (—оо, + оо],
который является выпуклым собственным функционалом, полу-
полунепрерывным снизу. Функцию / снова определим равенством
A0.32), но где А : Е -*• Е' — линейный оператор. Первоначально
мы не будем требовать непрерывности от оператора А (но мы убе-
убедимся в том, что непрерывность А следует из других условий, ко-
которые мы введем).
Здесь мы хотим проделать процедуру, аналогичную той, кото-
которая была проделана в разделе 10.2, а именно: пг^нтерпретиро-
вать в терминах оператора А условие теоремы 1С.2 относительно
функции f.
Мы уже знаем, что условия (h3)—(h5) выполняются без допол-
дополнительных ограничений на оператор А. Из линейности А вытекает,
что условие (h6) также автоматически выполнено. В самом деле,
отображение
t-+B,(A(tz + A — 0v), w)B = tB.(Az, w)E + A — t)B,(Av, w)E
A0.48)
линейно и непрерывно по t, и, как следствие, оператор А полу-
полунепрерывен. Рассмотрим теперь условие (h8), которое в нашем
случае можно записать в виде
ЗВ cz E, ограниченное и слабо замкнутое множество:
3voeB:VveE\B <p(v) + B.(Av,v — vo)B>y(vo). A0.49)
Для выполнения A0.49) потребуем, чтобы оператор А (вместе с ф)
удовлетворял условию
Зио?Е, ф(уо)<+ °o:<p(v) + B,(Av,v — v0)B-+ + оо
при ЦоЦ^+oo, A0.50)
которое является видоизмененной формой условия A0.41). Было
бы хорошо убрать ср из A0.50) и оставить только условие на опера-
оператор А. Для этой цели положим v = Хи при || v \\е =¦ 1 и А, ? R
и перепишем ограничение A0.50) в виде
Эиое?. ф(уо)< +сх>: Ф(Ь) + №B,(Av,v}B — %E,(Av, vo)B-+ + оо
при Х^~+ оо. A0.51)
Поскольку ф (kv) не может стремиться к —^ быстрее, чем линей-
линейная функция (из-за выпуклости), то условие A0.51) выполнено,
если
Эиое?, ф(ио)< + °°: WB.(Av,TfjB — XB,(Av,v0}B-++oo
при Х-^ + оо. A0.52)
242

В свою очередь ограничение A0.52) выполняется, если
Эу0 6 Е, ф (»„) < + оо: ЭР > 0 V», || v \\в = 1 В.(М $в > Р-
A0.53)
Первая часть условия A0.53) показывает, что функционал <р соб-
собственный — это мы уже знаем из условия (h2), и, следовательно,
еще раз этого требовать не нужно. Таким образом, мы получаем,
что для выполнения условия A0.49) достаточно, чтобы
A0.54).
или, что эквивалентно, при условии линейности оператора А,
A0.55^
Линейный оператор, удовлетворяющий условию A0.55), обыч-
обычно называется коэрцитивным (кроме того, это наиболее общепри-
общепринятый способ определения коэрцитивности линейных операторов):
Довольно любопытным является следующий факт: чтобы выполня-
выполнялись условия теоремы 10.1 (или даже теоремы 10.2), нам не нужно-
других дополнительных условий на оператор А. В самом деле,,
если оператор А линейный и коэрцитивный, то он строго монотон-
монотонный (следовательно, выполняется не только условие (h7), но и (h9)),.
поскольку
Vu, w ? Е B,(Av — Aw, v — w)B — B,(A (v — w),v — w)B ^
>P||o —"»IIb>°. A0-56)
причем обращение в нуль происходит только при v = w.
Далее, поскольку оператор А линейный и коэрцитивный, то
на самом деле он является и непрерывным оператором, т. е. А 6
6 i? (E, Е') и, кроме того, выражение
(и, »)в=4- [в.(Аи, v)B + B,{Av,u)B] A0.57)
есть скалярное произведение в Е. Условие коэрцитивности, как
можно убедиться, является условием, которое приводит к несколь-
нескольким важным следствиям.
Рассмотрим теперь в качестве ср функционал, определенный по
формуле
<f(v)=J{v)+jK(v), A0.58)
где jK — индикатриса непустого замкнутого выпуклого множест-
множества К а Е, а / : Е -*¦ (—оо, +оо] — собственный выпуклый (на
/С!) и полунепрерывный снизу функционал (здесь мы не будем
подробно останавливаться на ср).
При этих условиях неравенство A0.1) можно записать в виде
«6 К: VvtK !(u) + B,(Au,u — v)B^j(v).. A0.59)
Справедлива следующая теорема.
16* 243

Теорема 10.5. Если Е — вещественное гильбертово прост-
пространство, К <= Е — непустое замкнутое выпуклое множество, j : Е —>¦
-*¦ (—оо, +оо] — выпуклый собственный {на К) полунепрерывный
снизу функционал, а А : Е -*¦ Е' — непрерывный и коэрцитивный
линейный оператор, то существует одно и только одно решение
неравенства A0.59).
В заключение сформулируем несколько важных следствий из
этой теоремы, которая, в свою очередь, является следствием тео-
теоремы 10.1.
Положим Е, {Аи, и—v)E = a(u,u — v), где a:?x?->-R — непре-
непрерывная и коэрцитивная билинейная форма, и обозначим через I произ-
произвольный элемент из Е'. Если j(v) = Е,(—/, v)E, то неравенство
A0.59) можно записать в виде
иеК, Vv?K a(u,u—v)^E,(l,u — v)E, A0.60)
и теорема 10.5 превращается не во что иное как в теорему Лионса—
Стампаккьи.
Если при этих же условиях К = Е, то A0.59) можно записать
следующим образом:
a(u,v)= E,(l,v)E, A0.61)
и теорема 10.5 становится ни чем иным как леммой Лакса—Миль-
грама.
Наконец, если а (и, v) = (и, v)E, К = Е и j(v) = E,(—/, v)E, то
неравенство A0.59) можно записать так:
и?Е, VveE (u,v)F = F,{l,v)E, A0.62)
й теорема 10.5 в этом случае есть не что иное, как теорема Рисса.
Глава 11. КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
11.1. Введение
Точки Нэша. Чтобы привести наш первый пример квазивари-
квазивариационной задачи, обратимся к важному вопросу теории игр с п
игроками — определению точек Нэша для п функционалов, под-
подчиненных выпуклым ограничениям. Мы рассмотрим здесь задачу,
которая уже исследовалась в работе Бенсусана [169], но не была
там решена полностью.
Мы рассмотрим упрощенную форму задачи (при п = 2), однако
возникающие здесь трудности, по существу, остаются в силе и в
общем случае, причем обобщение происходит почти автоматичес-
автоматически — это мы кратко обсудим в замечании 11.1 в конце данного раз-
раздела.
Пусть даны:
(Ы) Нг и Н2 — вещественные гильбертовы пространства;
244

R — непрерывные
/i
Ш
$Ш
к
K(v)
«*
(Ь2) аа: Яа X Нх -*• R и а2: Я2 X Я2 ->- R — непрерывные
билинейные формы, симметричные и неотрицательные на диаго-
диагонали;
(ЬЗ) ^ffjXff^R и Ъ2: Н2Х
билинейные формы;
(Ь4) Lv : Нх -» R и L2 : Я2 -»-
-> R — непрерывные линейные
функционалы;
кроме того, в проводимой ниже
задаче 11.1:
(Ь5Х) Ki с Я, и /С2 с= Я2 —
непустые замкнутые выпуклые
множества;
а в задаче 11.2:
(Ь52) /С с= Я, X Н2 — непус-
непустое замкнутое выпуклое множе-
множество.
Положим Н = Нх хЯа. Обоз-
Обозначив через v s (»!, w2) произ-
произвольный элемент пространства Я, определим функционалы Jx:
: Яа ->¦ R и У2 : Я2 ->- R по формулам
Рис. ll.l
(о2, оа) — 2L2 (w2).
A1.1)
г: Blt u2) 6 /С}. Km (v) = {z2 6 Нг: (vv z2) б К],
J2(v) = a2(v2,v2)
Далее положим
) (v) =
Заметим, что если v 6 К, то /C(d(o) czPHl(K) и /СB) (w) с РНг {К) —
непустые замкнутые выпуклые множества и, следовательно, /C(w)
является непустым замкнутым выпуклым множеством из Ка (см.
рис. 11.1). Таким образом, мы построили следующее отображение:
v-*-K (o)(/C-*- 2,^) (символ 2^о~ обозначает множество непустых замк-
замкнутых выпуклых подмножеств из Ка', ср. 20.0).
Рассмотрим теперь следующие две задачи.
Задача 11.1 Найти элемгнт «s=(«j,«2N^a такой, что
A1.2)
A1.3)
245
Задача 11.2. Найти элемент «s= (ux,ы2)?/( такой, что
и).

Решения задачи 11.1 мы будем называть точками Нэша для па-
пары функционалов (Уъ У2) ПРИ ограничениях Кг и Кг, а решения
задачи 11.2 — точками Нэша для этой же пары функционалов при
ограничении К- Здесь важно отметить, что в задаче 11.1 мы имеем
два независимых ограничения (выпуклые множества /Ct и /С2),
а в задаче 11.2 — бесконечное число зависимых между собой
ограничений (выпуклые множества К (v), определяемые множеством
К). Отсюда естественно вытекают соответственные трудности этих
двух задач.
Постараемся теперь найти необходимые и достаточные условия
существования решений задач 11.1 и 11.2. Сначала рассмотрим
задачу 11.1.
Введем в рассмотрение функционалы Gt : Hl -*¦ R и G2 : H2 -*¦
-*¦ R, определенные по формулам
G1(y1) = yi(y1,«2), 0,@,) = У, Ко,); A1.4)
здесь и з= (uv ы2) — фиксированный элемент из Я. Из A1.1) имеем
G, (у ) = пу К» »i) + 2 [6г (мя, ух) — Lx (vj)] + с1?
A1.5)
G2 (о,) = а2 (»„ о,) + 2 [6, (о„ ыг) — L2 (у2)] + с2,
где сх — постоянная, не зависящая от vv c2 — постоянная, не за-
зависящая от у2. Отсюда сразу следует, что если элемент и г= (ult
и2) является точкой Нэша для пары функционалов (Jv J2) при ог-
ограничениях Ki и /С2, то на их достигается минимум функции G, на
/fi, а на u2 — минимум функции G2 на /С2, и обратно, если на их
достигается минимум функции Gx на Klt а на ы2 — минимум функ-
функции G2 на /С2, то элемент и ^ (ыг, и2) является точкой Нэша для па-
пары функционалов (Уг, У2) при ограничениях /Сх и /С2. Из предполо-
предположения, что билинейные формы at и а2 неотрицательны на диагона-
диагонали, вытекает, что функционалы J1 и У2 выпуклы, и, следовательно,
(см. теорему 3.3) чтобы на иг достигался минимум функции Gj на
К\, а на и2 — минимум функции G2 на /С2, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условия
A1.6)
Эти условия, учитывая, что билинейные формы аг и а2 симметрич-
симметричны, и принимая во внимание пример, приведенный после определе-
определения 3.2, запишем в виде
at (uv «х — v^ + bx (ы2, «j — yx) — Lx {иг -^ х i
A1.7)
a2 (u2, u2 — v2) + b2 (u2 — v2, иг) — L2 (u2 — y2)< 0 Vy2 6 /C2.
Теперь, определяя билинейную форму a : Н X Н -*¦ R и функцио-
246

нал L : Н -> R по формулам
a (w, v) — щ (wx, vj + а2 (w2, v2) + b2 (wlt v2) + bt (vlt w2), A1.8)
L(w) = L1(w1) + L2(w2), A1.9)
сформулируем следующее утверждение.
Теорема 11.1. Элемент и 6 Кп является решением за-
задачи 11.1 в том и только том случае, когда
. A1.10)
Следуя тем же самым рассуждениям, для задачи 11.2 приходим
к следующему утверждению.
Теорема 11.2. Элемент и 6 К является решением задачи
11.2 в том и только том случае, когда
a(u,u — v)^L(u — v) VveK(u). (ПН)
Очевидно, что а — непрерывная билинейная форма, a L — неп-
непрерывный линейный функционал. Следовательно, условие A1.10)
является вариационным неравенством, которое мы уже можем ис-
исследовать. В частности, мы можем сформулировать следующую
теорему.
Теорема 11.3. Если билинейная форма а коэрцитивна, то
существует одно и только одно решение задачи 11.1.
С другой стороны, условие A1.11) в общем случае не является
вариационным неравенством; оно является таковым только в слу-
случае, когда Vu 6 К К (и) = Q, где Q — непустое замкнутое выпук-
выпуклое множество из Н (тогда мы находимся в условиях задачи 11.1,
поскольку Q в этом случае обязательно должно быть таким, что
Q ~ Qi X Q2, 1де Qi — непустое замкнутое выпуклое множество
из Ни a Q;- непустое замкнутое выпуклое множество из Я2).
На самом деле условие A1.11) является объектом нового типа —
мы будем называть его, следуя Бенсусану, Гурса, Лионсу (см.
[176]), квазивариационным неравенством.
Отметим, что вариационное неравенство A1.10) является час-
частным случаем квазивариационнсго неравенства A1.11), так же как
и вариационное уравнение
a(u,v) = L(v) VveH, A1.12)
отвечающее задаче отыскания точек Нэша для пары функционалов
(Jlt J.z) с ограничениями, является частным случаем вариацион-
вариационного неравенства A1.10). Однако важно заметить, что даже когда
билинейная форма а симметрична, задача, связанная с неравенст-
неравенством A1.11), не является в общем случае задачей вариационного ис-
исчисления.
Как исследовать квазивариационное неравенство A1.11), что-
чтобы для задачи 11.2 сформулировать утверждение, аналогичное тео-
теореме 1.3?
Здесь возникла ситуация, очень сходная с той, которая возника-
возникала при рассмотрении теоремы Лионса—Стампаккьи (гл. 3). Это
247

сходство заключается в следующем: мы знаем, как решать какую-
либо задачу, но хотим решить другую, которая является не слиш-
слишком широким обобщением первой. При первом доказательстве тео-.
ремы Лионса—Стампаккьи мы свели вопрос о существовании реше-
решения вариационного неравенства, связанного с несимметричной
билинейной формой, к предварительно решенной задаче для симмет-
симметричной формы и к существованию неподвижной точки. Здесь мы
хотим воспользоваться, по существу, этим же способом: исследо-
исследование квазивариационного неравенства мы сведем к исследованию
семейства вариационных неравенств и к отысканию неподвижной
точки отображения, выбранного надлежащим образом.
Квазивариационному неравенству A1.11) мы можем естествен-
естественным путем поставить в соответствие семейство (в общем случае бес-
бесконечное) вариационных неравенств: если и — фиксированный
элемент из К, то вариационное неравенство
a(w, w — v)^L(w— v) VveK(u) A1.13)
мы назовем вариационным сечением квазивариационного неравен-
неравенства A1.11) по и.
При условии коэрцитивности билинейной формы а (это условие
является стандартным ограничением в вариационном случае и
мы будем предполагать его выполненным также и здесь) мы можем
утверждать, что неравенство A1.13) имеет одно и только одно ре-
решение, и, следовательно, полностью определено отображение
2 : К -*¦ Kq, вводимое следующим образом:
Z(u)=*w, weK(u)czKD — решение A1.13). A1.14)
Отображение 2 мы будем называть вариационной селекцией,
соответствующей квазивариационному неравенству A1.11). Обо-
Обозначая через
°u(v) = {weK(u):a(w,w— v)^L(w — v)} A1.15)
множества уровней вариационного сечения A1.13), мы можем
характеризовать вариационную селекцию 2 с помощью фор-
формулы
} = д а». A1.16)
Отсюда сразу следует, что элемент и ? К а К (и) является реше-
решением квазивариационного неравенства A1.11) в том и только том
случае, когда и — неподвижная точка отображения 2. К сожале-
сожалению, поскольку 2 не является отображением множества в себя,
не так просто определить условия, при которых существуют непод-
неподвижные точки для 2. Мы обойдем эту проблему и вместо 2 рас-
рассмотрим отображение 2' : /Сп -*• /Сп, определенное по формуле
2'(») = 2 (/>«(»)>• (И.17)
Заметим, что неподвижные точки отображения 2' совпадают с не-
248

подвижными точками отображения 2 (в самом деле, если и =
= 2' (и), то и 6 К (и), и, следовательно, 2' (и) = 2 (и), т. е. « =
= 2 (и); обратно, если и =2 (и), то и ? К («), поэтому РЛ (и) =
= и и 2 (и) = 2' (и), т. е. и == 2' (и)).
Теперь нам необходимо найти ограничение, которое будет га-
гарантировать существование по крайней мере одной неподвижной
точки отображения 2'. Здесь возникает следующий вопрос: каким
типом теоремы о неподвижной точке мы собираемся воспользовать-
воспользоваться? Мы не рассчитываем в нашем случае на свойства непрерывнос-
непрерывности по Липшицу или свойства монотонности, поэтому теоремы из
разделов 9.2 и 9.4 не принесут пользы. Таким образом, остается
применить теорему Шаудера. Значит, Kq должно быть компакт-
компактным множеством, а 2' — непрерывным отображением.
Мы будем предполагать, что К — компактное множество, от-
откуда будет следовать, что Ка также компактно.
Для непрерывности отображения 2' мы должны потребовать
непрерывность отображений ы -v Рк(и) и 2. Если мы работаем с
сильной топологией (это является довольно жестким ограничением,
поскольку означает, что К по предположению есть сильно компакт-
компактное множество), то отображение и-*- Рк.{и) непрерывно (посколь-
(поскольку операторы проектирования являются непродолжимыми отоб-
отображениями и, следовательно, сильно непрерывными). Докажем
теперь, что отображение 2 также непрерывно, без каких-либо до-
дополнительных ограничений. Для этого покажем, что если ип -*¦ и,
то 2 (ып)-»-2 (и). Положим wn — 2 (ип) и w = Hm wnk> где {wnk} —
сходящаяся подпоследовательность последовательности {wn} (напом-
(напомним, что Ка компактно).
Если мы покажем, что w = 2 (и), то мы тем самым завершим
доказательство, поскольку единственность задачи, соответствую-
соответствующей вариационному сечению квазивариационного неравенства
A1.11) по и, позволяет нам заключить, что элемент w на самом де-
деле является пределом последовательности {wn}. Имеем: wnk 6
ZK(Unk), a(wnk,wnk — v)^L(wnk — v) Vy?/C(un). Если множество
2И9 наделить хаусдорфовой метрикой (это можно сделать, посколь-
поскольку мы зафиксировали метрическую топологию в Н, относительно
которой Ка — ограниченное замкнутое множество и, следовательно,
мы работаем на самом деле в 2 ВЭ;), то отображение и-»- К (и) (К-*-
-»-2И°) будет непрерывным. Поэтому мы можем утверждать, что
если v?K(u), то существует последовательность {yra/j, сходящаяся
к v, причем VnkZK(unk). Пусть v — произвольный элемент из К (и),
a {Vnk} — последовательность, удовлетворяющая сформулированным
условиям. Тогда, записывая a (wnk, ац — vnk) < L (wnk — vnk) и, пере-
переходя к пределу, мы получаем (в силу линейности и непрерывности
аи!) неравенство a(w,w — v) ^ L (w — v). Это означает, что w =¦
= 2 (ы), поскольку v — произвольный элемент
Наконец, мы можем сформулировать следующую теорему.
249

Теорема 11.4. Если билинейная форма а коэрцитивна, л
множество К — компактно, то существует по крайней мере одно
решение задачи 11.2.
Теперь, рассматривая абстрактную форму исходной задачи, мы
сформулируем следующую задачу.
Задача 11.3. Пусть Н — вещественное гильбертово прост-
пространство, а : Н X Н -¦*• R — непрерывная билинейная форма, L ?
6 Н', С с: Н — непустое компактное множество, a Q : С -*• 2^ск —
заданное отображение из С в 2и<*- Найти u?Q(u) такое, что
ueQ(u); a(u,u — v)^L(u — v) Vv?Q(u). A1.18)
Позже мы рассмотрим обобщения этой задачи, а также обобще-
обобщения утверждения о ее разрешимости, заключающегося в следую-
следующей теореме.
Теорема 11.5. Если билинейная форма а коэрцитивна, а
отображение Q — непрерывно, то задача 11.3 имеет по крайней
мере одно решение.
Доказательство этой теоремы практически совпадает с дока-
доказательством теоремы 1.4, оно даже проще, поскольку вариацион-
вариационная селекция 2 уже является отображением компактного (в общем
случае слабо компактного) множества на себя, а отображение Q
(по предположению) непрерывно. Теоремой о неподвижной точке,
которой нам следует здесь воспользоваться, вновь является теоре-
теорема Шаудера. Позже мы будем пользоваться более сложными тео-
теоремами о неподвижной точке, например теоремами 9.21 и 9.26, но
основная идея остается в точности той же самой, а именно: рас-
рассматриваем вариационную селекцию, а затем находим ее непод-
неподвижные точки.
О библиографии. Задачу, в которой явным образом фигуриру-
фигурирует квазивариационное неравенство, впервые рассмотрели Бен-
сусан и Лионе в [177]; это была эволюционная задача, связанная с
теорией управления. Бенсусан, Гурса, Лионе в [176] рассмотрели
соответствующую стационарную задачу. Они ввели понятие «ква-
«квазивариационного неравенства» и доказали первый результат о су-
существовании; соответствующий результат о единственности был до-
доказан Лаешом в [518]. Другие статьи о квазивариационных нера-
неравенствах и теории управления можно найти в списке, приводимом
в конце данного пункта. Относительно общих вопросов, связан-
связанных с теорией управления, см., например, [48, 170].
В работе Лионса 1536] рассмотрены вопросы гомогенизации
квазивариационных неравенств. Гомогенизация — это способ ис-
исследования математических моделей неоднородных материалов.
Этот способ исследования, развитый совсем недавно, лежит вне сфе-
сферы нашего рассмотрения. Здесь мы только сошлемся на несколько
статей, касающихся этих идей: [349, 351] (G-сходимость и Г-схо-
димость); [536, 539, 199] и заметки Бенсусана, Лионса, Папанико-
лау для C.R. Ac. Scf. Paris [194—198] (метод многократных масш-
масштабов); [696] (энергетический метод). Приведем также ссылку на
250

работу [373] — это статья физического характера, в которой го-
гомогенизация используется для описания краевых условий в явле-
явлениях, связанных с фильтрацией через пористые материалы (эти
вопросы будут предметом нашего рассмотрения в гл. 12; см. [66]).
Другим предметом изучения, который приводит к исследованию
многочисленных проблем с квазивариационными неравенствами, яв-
является рассмотрение задач со свободной границей, связанных с
фильтрацией через пористые материалы. Эти задачи мы будем под-
подробно рассматривать в гл. 12, где будет приведена и библиография
по этим вопросам.
Укажем, наконец, и другие работы, в которых изучаются квази-
квазивариационные неравенства: [116, 117, 171, 173, 172, 175, 174, 178,
180, 179, 182, 181, 183, 6, 185, 184, 188, 186, 187, 191, 193, 192,
214, 212, 209, 213, 210, 211, 215, 216, 218, 230, 244, 280, 281, 304,
306, 305, 331, 329, 330, 361, 363, 362, 389, 391, 394, 395, 397, 399,
402, 407, 421, 423, 422, 424, 439, 441, 440, 453, 451, 452, 455, 456,
479, 484, 482, 481, 480, 483, 517, 530, 47, 535, 531, 534, 533, 532,
537, 538, 541, 552, 568, 570, 569, 573, 574, 587, 580, 586, 581, 583,
585, 582, 584, 605, 600, 604, 601, 603, 602, 610, 607, 609, 608, 615,
616, 648, 646, 647, 670, 694, 695].
Замечание 11.1. Как мы уже отмечали, задачи 11.1 и 11.2
являются простейшими случаями задач, рассмотренных Бенсуса-
ном в 1974а. Коснемся теперь коротко общего случая. Пусть мы
имеем п гильбертовых пространств Ht (i = 1, ..., п; п > 1), п2
симметричных непрерывных билинейных форм аи: #4x//;->-R
(i,I = 1,...,п) таких, что ап(vt,vt)>0 ^vt^Ht, (n3 — п2)/2 непре-
непрерывных билинейных форм bijh: //jX#ft->-R (i,j,k=\,... ,п; j>k), п2
непрерывных линейных функционалов Lu: #;->-R (г, /=1,... ,п) и, в
зависимости от задачи, либо п непустых замкнутых выпуклых множеств
КгаНг (/ = 1,... ,п), либо одно непустое замкнутое выпуклое мно-
п п
жество /Ссг [~1#г. Положим // = [~|#г и обозначим через v=s
= (»i> -:,vn) — произвольный элемент пространства Н. Определим
п функционалов /;: #->-R (t = 1 п) по формулам
Ji (v) = ? аи (vj, Vj) + 2% bm (v}, vh)-2$i Ltt (vj)
i=i />* /=i
n n
(ср. с A1.1)). Далее, положим /Сп= [1 ^' *Ъ = П^ЛЮ- Вводя
обозначения (о| i) = (vv...,и<_ь vi+u ... , vn) и (v\i\ zt) = (vL, ...
.... Vi-i, zt, vl+i,..., vn), положим также К (v \ i) = {zt 6 H: (v\i\ zt) 6
и K(v)=f\K(v\i). Задачи 11.1 и 11.2
принимают тогда, соответственно, следующий вид: «найти элемент
и?Ки такой, что Jt (и) ^ J, (и | /1 vt) Vv^Kt (f = l,. •-.«)» и «най-
«найти такой элемент и 6 АГп, что Jt (и) ^ /г (и | i \ vt) Vvt 6 К (и \ i) (i =
251

= 1,... ,rt)». Утверждения, которые мы получили для задач 11.1 и
11.2, можно теперь сформулировать в терминах билинейной формы
п
a (w, v) = ? ан (Wi, vt)+ ? bnj (wjt vt) + ? Ьш (vt, Wj) и функциона-
(=1 i<i j>l
n
ла L (w) = ? Ln (wt). В тексте мы использовали п = 2 и полагали
ап = ах, а22 = а2, а12 = а.п = 0, Ln = Lv L22 = L2, L12 = L21 = 0,
&121 = *1. 6=21 = Ьг И /С (О | 1) = K(I) И. /С (У | 2) = КB) (С).
В следующих разделах мы будем исследовать квазивариацион-
квазивариационные неравенства двумя методами, совершенно отличными друг от
друга. Это отличие обусловлено разными абстрактными простран-
пространствами, в которых мы рассматриваем эти задачи. В разделе 11.2 мы
буд?м во многом пользоваться работой Тартара [694], а в разделе
11.3 — работой Джоули, Моско [482].
11.2. Метод монотонности
Исходные данные.Пусть даны:
(dl) вещественная гильбертова псевдорешетка Я (или (Н,
А, V), или даже (Я, ^>; см. раздел 19.5),
(d2) вещественное гильбертово пространство V такое, что
(d3) непрерывная билинейная форма a: VxV-»-R, которая явля-
являя Я-коэрцитивной (другими словами такой, что За > 0: ЗХ f R:
Ь||||2||||»)
(d4) два элемента а1? а2 6 V таких, что аг ^ а2,
(d5) отображение <р : [а1( а2] X V-*-(—оо, +оо] такое, что
для каждого «6 [fli, аг] функция ф (и, •) : V-*¦ (—оо, +оо] явля-
является собственным выпуклым функционалом, полунепрерывным
снизу.
Предположим также, что а, V и <р сравнимы с псевдорешетча-
псевдорешетчатой структурой Я в том смысле, что выполнены следующие три ус-
условия:
а ([«]+, [«Г) < 0 Vu?V, A1.19)
Зс: Vv?V [v]+eV и ||[y]+||v<c||y||r A1.20)
> •). A1.21)
где =^ — порядок, введенный в определении 19.19.
Задача общего вида и ее частные случаи. В предположении, что
введены упомянутые исходные данные, рассмотрим следующую
задачу.
Задача 11.4. Найти элемент и 6 V такой, что
u?V; а (и,и — v) + ф (ы, ы)< ф(ы,и) Vv?V. A1.22)
Заметим, что мы рассматриваем задачу, связанную с билиней-
билинейной формой а, которая не обязательно коэрцитивна, а только Я-
252

коэрцитивна. Это — важное замечание, поскольку метод, который
мы будем развивать здесь, может быть использован и для иссле-
исследования существования решений некоторых вариационных задач,
связанных с некоэрцитивными билинейными формами (задачи,
в которых ф {и, v) == г|з (о)).
Полагая для и 6 [alt a2]
K(u) = {veV: ф(и,у)< + оо}, A1.23)
мы можем легко убедиться в том, что из A1.21) вытекает следую-
следующее утверждение:
«i<«2 ^б/СЫ и и2€/С(«2)=**
=*-»iA0,6tf(«i) и и.УщеКЫ. A1.24)
В самом деле, если Oj 6 К (иг) и v2 6 К (и2), то ф (ы1( vj < + oo и
ц>(и2, v2)<. + оо и, следовательно, <p(u1,v1Vv2)<. + °° и ф(ы2, г^Д
Д п2) < + оо, поскольку при условии, что правая часть условия 2)
в определении 19.19 конечна, конечной должна быть и левая часть
условия 2).
Обратно, если К : \аг, аг] -*¦ 2,cfe такое, что выполнено A1.24),
то отсюда сразу следует, что семейство собственных выпуклых по-
полунепрерывных снизу функционалов
Ф(«, •) = /*(„> (П.25)
удовлетворяет условию A1.21). Если f?V', то семейство, опреде-
определенное по формуле
Ф («• v) = U {а) - v,</, v)v = {- v</. *>v при г, 6 /С (и),
у> 1+со в противном случае,
также удовлетворяет условию A1.21).
В связи со сказанным мы можем сформулировать следующую
задачу. l
Задача 11.5. Пусть даны Я и V, удовлетворяющие условиям
задачи 11.4, f?V' и К: [avа2]^-2шск, удовлетворяющее A1.24).
Найти элемент «6 К (и) такой, что
VveK(u) a(u,u — v)^v,(f,u — v)v. A1.27)
Исходя из изложенного выше, мы можем утверждать, что эта
задача является частным случаем задачи 11.4, причем связь между
ними такая же, как связь между теоремой 3.5 и обычной задачей
для квазивариационных неравенств, подобной задаче, рассмотрен-
рассмотренной в теореме 3.1. Задача 11.5, также как и задача 11.3, связана с
линейным квазивариационным неравенством. Однако из условия
A1.24) можно предположить, что мы будем пользоваться методом
«монотонности», а не методом «компактности», как мы делали в раз-
разделе 11.1. Другими словами, это означает, что вместо теоремы Ша-
удера мы будем пользоваться теоремой о неподвижной точке 9.26.
253

Мы ввели задачу 11.5 так, чтобы записать квазивариационное не-
неравенство в явном виде, ведь в A1.22) его присутствие «скрыто».
Тем не менее при исследовании интерес для нас представляет бо-
более общая задача 11.4. Для решения этой задачи мы сначала пред-
представим ее в виде семейства (бесконечного, если К не является пос-
постоянной) вариационных задач, рассмотрев вариационную селекцию
2 — или лучше 2д, (по причинам, которые выяснятся позже), а
затем докажем существование неподвижных точек для 2^.
Теорема существования. Пусть в условии (d3) Я, ^ 0, рассмот-
рассмотрим вариационную селекцию 2^, соответствующую следующей
квазивариационной задаче: «найти элемент и ? К (и) такой, что
Vo 6 К (и) a(u,u — v)-{-X(u,u — v)H + (ф (и, и) — Х (и, и)н) <
< (Ф (и, v) — X {и, о)н).» A1.28)
Эта задача имеет вариационные сечения, связанные с коэрцитив-
коэрцитивной формой (а именно, с формой а% (и, v) = а (и, v) + X (и, v)h),
она эквивалентна задаче 11.4, которая не имеет таких сечений.
Следует также отметить, что эти две задачи эквивалентны и с кон-
концептуальной точки зрения, поскольку если отображение ф(-, •)
удовлетворяет условию A1.21), то этому же условию удовлетворя-
удовлетворяет и отображение ф(-,-) — Х(-,-)н. В самом деле, если >,>() н
aUiOij, то — X(w1,-)H^ — X(w2,-)H, т. е. Vu, и 6 [а^а^ —
— X(wltи Л v)H — X(WvuVv)H^ — X(wltu)H~X(w2, v)H, и упо-
упомянутый факт следует тогда из свойства 2), которое будет сфор-
сформулировано сразу после определения 19.19. В таком случае мы
можем утверждать, что формула
2д, (и) = {w ? У: а (до, w — v) + X (w, w — v)H + ф («, w) —
— Мы, ш)„<<P(и, о) — Мы,о)д Vv?V} A1.29)
определяет отображение I,x- [alt a2] -*• V (мы будем рассматривать
2д, (и) как множество, совпадающее со своим единственным элемен-
элементом). Отсюда непосредственно вытекает, что элемент и является
решением задачи 11.4, если и = 1,),(и), причем этот элемент не за-
зависит от величины X (пока выполнены условия на X). Докажем
теперь, что отображение Е^ имеет по крайней мере одну непод-
неподвижную точку, для этого мы воспользуемся теоремой 9.26.
Заметим сначала, что согласно теореме 19.12 отрезок [alt аг],
будучи ограниченным множеством из Я, вполне индуктивен, а
поскольку пространство V полно, то множество [а1г аг\ П V также
вполне индуктивно. Для выполнения условий теоремы 9.26 нам
необходимо, чтобы функция 2Х (а, следовательно, и сужение
2я.|. о ,nV) была возрастающей, а множество [aj, а21 fl ^ было устой-
устойчивым относительно 2^,. Функция 2^ в самом деле является воз-
возрастающей, поскольку, как следует из A1.21), если Uj^^u^ то
ф(«1- •) —M"i» ' )я ==* f ("а> ") —М«2» *)н> и> следовательно, по тео-
теореме сравнения 19.20, 2^ (uj ^ 2Х (и2). Устойчивость множества
254

относительно \ |[ej a^v не следует, однако, из условий
на исходные данные, и мы должны ввести дополнительное предпо-
предположение об этом. Другими словами, предположим, что
и 2„(а2)<а2 A1.30)
и введем в связи с этим следующую терминологию: если элемент
w 6 [аи а2] Л V таков, что да ^ 2*, (да) (или да ^ 2*, (ау)), то да назовем
%-подрешением (или Х-надрешением) задачи 11.4. Здесь любопытно
отметить, что в терминах исходных данных задачи 11.5 для выпол-
выполнения A1.30) достаточно удовлетворить условию
и условию
a2^w2 A1.32)
(т. е. если ах удовлетворяет условию A1.31), а а2 условию A1.32),
то ах является А,-подрешением, а а2 — А,-надрешением задачи 11.5.)
Теперь мы можем сформулировать следующий результат о су-
существовании решения.
Теорема 11.6. Если ах — к-подрешение, а а2 — к-надре-
шение задачи 11.4, то множество решений этой задачи на отрезке
1аъ а2] не пусто и имеет наименьший элемент ит и наибольший
элемент им.
Теорема единственности. В общем случае решение задачи 11.4
не является единственным (см. ниже пример 11.2). Однако мы сфор-
сформулируем без доказательства следующий результат.
; Теорема 11.7. Пусть выполнены условия теоремы 11.6.
Если, кроме того,
ит > ax + в (а2 — ах) при в > 0, A1.33)
ф(й,И)<+оо И Ш^И=>-ф(И,Ш)< + оо, A 1.34)
Vz 6 V, z > 0 отображение
(и, v) -»- ф (u, v) — ф (и, v — г) выпукло A1.35)
или если
им<а2 — е(а2 — ах) при 8>0, A1.36)
ф(и,у)< + оо и w^v=xp(u,да)< + со, A1.-87)
Vz 6 V, 2^=0 отображение
(и, v)-»-ф(и,v) — <p(u,v-\-z) выпукло, A1.38)
то задача 11.4 имеет единственное решение на отрезке [%, а2],
т. е. ит = ыл*-
Отметим, что из условий A1.34) и A1.35) следует, что отображе-
отображение 2^ вогнуто, а из условий A1.37) и A1.38) вытекает, что 2^
выпукло (это трудная часть доказательства). Утверждение теоремы
255

11.7 следует тогда из теоремы единственности 9.27. Кроме того,
на языке исходных данных задачи 11.5 условия A1.34) и A1.35)
можно записать соответственно следующим образом: \
A1.39)
^6 К (их) и
ек + еУ2), вею, и. (п.4О)
Аналогично можно записать и условия A1.37) и A1.38).
Теорема сравнения. Наконец, прежде чем рассмотреть некото-
некоторые примеры, приведем утверждение о сравнении решений задачи
11.4 с решениями следующей задачи.
Задача 11.6. Эта задача совпадает с задачей 11.4, только
вместо ф рассматривается отображение ф' такое, что V« ? \аъ
а2] ф (и, •)< ф' («. •)•
Результат, который вытекает из теоремы сравнения 19.20, за-
заключается в следующем.
Теорема 11.8. Если ах — Х-подрешение задачи 11.4, а а2 —
V-надрешение задачи 11.6, то ит^и'т и им^.и'м, где и'т и и'м —
соответственно наименьший и наибольший элементы множества
решений задачи 11.6.
Вместо с этим утверждением из теоремы 19.20 вытекает, что ес-
если Хх ^ %2> а элемент w — ^2"п°ДРешение (или ^2"наДРешение)
задачи 11.4, то w является и ^-подрешением (или ^-надрешением)
задачи 11.4.
Примеры. Рассмотрим два примера.
Пример 11.1. Здесь мы исследуем задачу, рассмотренную
в работе Бенсусана, Гурса, Лионса [176] и докажем существование
и единственность ее решения, пользуясь развитой выше методи-
методикой. Пусть мы имеем ограниченное открытое множество Q cr R" с
границей Г класса С0-1, эллиптический дифференциальный опера-
оператор
с коэффициентами из L°° (Я), оператор М: L°° (Q) -> L°° (Q), опреде-
определенный формулой
= 1+ inf Ф(х + е), A1.42)
и функцию /?L°°(Q) такую, что f>0 п. в, в Q.
Рассмотрим теперь следующую задачу (условия в которой сле-
следует понимать чисто формально).
256

Задача 11.7. Найти функцию и? Н1 (Я) такую, что
в Q, A1.43)
в Q, A1.44)
{Lu — f)(u — M(u)) = 0 в Я, A1.45)
-^-<0, {u-M(u))-jg-=0 на Г. A1.46)
а а
В частности, выражение ди/дма следует понимать формально
как конормальную производную, связанную с билинейной формой
{[?? ^Н <1М7)
Й (,/=1 ' (=1
которую мы будем предполагать коэрцитивной на Нх (й) и которая
связана обычным образом с оператором L. Задача 11.7 напоминает
задачи с внутренним ограничением для вариационных неравенств,
но она не является вариационной задачей. На самом деле задача
11.7 (формально) эквивалентна следующей задаче.
Задача 11.8. Найти функцию ue#!(Q) такую, что
М («); а (и, и — и)< L!(Q)(/, и — v)LHQ)
lQ Л1. A1.48)
Эта задача квазивариационная (с внутреннним ограничением).
В самом деле, полагая
К (и) = {v ? Н* (Q): i/<M(u)}, A1.49)
условие A1.48) можно записать в виде
и), A1.50)
что является, очевидно, квазивариационным неравенством. В работе
Ханузета, Джоули [451], доказано, что если аи = 8U (i,j =1,... ,п),
bt= const (i— 1,...,л), rf>0 и Q = @, 1)", то задача 11.8 имеет
по крайней мере одно решение из W2'p (Q) для каждого />6(Ь + оо),
которое, кроме того, удовлетворяет соотношению ди/д\а == 0, более
точному, чем условие A1.46).
Докажем теперь существование решения задачи 11.8. Для это-
этого покажем, что мы можем воспользоваться теоремой 11.6. Мы
положим Н = L2 (Q), что является гильбертовой псевдорешеткой
(на самом деле это гильбертова решетка). Имеем: V = Н1 (Q),
а согласно результатам раздела 5.5 пространство V удовлетворяет
требуемому условию. Форма A1.47) также удовлетворяет нужным
предположениям. С другой стороны, очевидно, что множества
К (и), определенные в A1.49), являются непустыми замкнутыми
выпуклыми множествами, удовлетворяющими условию A1.24).
Далее, если М : U (Q) -*¦ L\oc (Q) — произвольный возрастаю-
возрастающий оператор, то формула A1.49) определяет отображение К :
17 К. Байокки, А. Капело 257

L* (Q)-»-2rt'(Q). которое опять удовлетворяет A1.24) (мы не гаран-
гарантированы, однако, что К(и)Ф0—это нужно проверять отдельно
в каждом случае). Что касается этого обобщения, отметим также,
что если Ml:L4Q)-*-tioe(Q) и М2: L? (й) ->¦ L\oc (Q) — возрастаю-
возрастающие отображения, то формула К (u)={v 6 //* (?2): Мх (и) ^ v ^ М2(«)}
определяет отображение К'- L2(Q)->- 2rt(B1, удовлетворяющее A1.24).
Все эти выпуклые множества (см. конкретные примеры в ука-
указанной нами литературе) определены с помощью локальных ус-
условий; в качестве любопытного примера приведем отображение ф,
которое определяет семейство функционалов, удовлетворяющих
условию A1.21); оно определяется глобальным условием ф(«, и) =
= f \|) (и, v) dx, где \|)(s, / —выпуклая по t функция, имеющая про-
и
изводные надлежащих знаков (см. [694]).
Таким образом, для доказательства существования решения
задачи 11.8 нам необходимо лишь показать, что существует отре-
отрезок [а,, а2], устойчивый относительно 20 (положим X = 0, посколь-
поскольку на A/1 (Q) форма а коэрцитивна, а не только L2 (й)-коэрцитив-
на). В качестве а, возьмем решение и — 0 задачи Неймана
HQ), A1.51)
а в качестве аг — решение и = ty задачи Неймана
A1.52)
Очевидно, что О^чр, поскольку 0 ^ /, и'мы находимся в услови-
условиях теоремы сравнения 19.10. Теперь нам нужно показать, что 0^
^ 20 @) и if > 20 (\|)). В этом легко убедиться, если учесть доста-
достаточные условия A1.31) и A1.32), которые выполнены, соответствен-
соответственно, при и»1 = 1 и ш2 = 0. Таким образом, мы показали, что решение
задачи 11.8 существует.
Теперь исследуем вопрос о единственности решения (на отрез-
отрезке [0, 1E]!— в теореме 11.7 говорится о «локальной» единственнос-
единственности). Сначала заметим, что оператор М, определенный в A1.42),
является вогнутым, а для любого вогнутого оператора М: L2 (Q) -*¦
->Li0C(Q) формула A1.49) определяет отображение /(: L2(Q)->
-*¦ 2Й<Й)> которое удовлетворяет условиям A1.39) и A1.40) (выпук-
(выпуклость оператора М очевидна: для б?[0,1]
М(Ьщ +A — в) и,) = 1+ inf <вмг + A — в)ыг)>
> 1 +6mfu! +A — 0)infu2 = 6 + (l— 4)) + 6inf«! +
+ A - 6) inf щ = 0M (щ) + A - 6) М (и2)).
С другой стороны, условие A1.33) также выполнено, поскольку
нуль не является решением задачи, в чем можно убедиться непо-
непосредственно. Тогда задача 11.8 имеет единственное решение на
Ш, !>].
258

Наконец, проиллюстрируем применение теоремы сравнения 11.8.
Заменяя в постановке задачи 11.8 функцию / и отображение I- со-
соответственно на функцию /' ^/ и отображение М': L2(Q)-+ L) Q)x
определенное формулой
(ЛГ (<р))(*) = 2 + inf Ф (* + ?), A1.53}
мы получаем задачу, которая имеет решение и', причем «' > и,
где и — решение задачи 11.8.
Пример 11.2. Этот пример на самом деле состоит из трех
контрпримеров, но все вместе они показывают, что в общем слу-
случае решение задачи 11.5 не единственно. Пусть V = Н = R,
Рис. 11.2
Рис. 11.3
Рис. 11.4
и б ГО, 2];
— и2}, и 6 Ю, И;
3) К3 (") = {v: v <¦
а (и, v) = uv, f = 1 и 1) Kt (u)
2) K2(u) = {v :2ы-2<1/<2},
<2([ы]+J}, и 6 1—1, П.
Рассмотрим теперь три задачи (i = 1, 2, 3).
Задача 11.9. t. Найти элемент и 6: Kt (и) такой, что
— v VveKi(u). A1.54.0
Очевидно, что мы находимся в условиях теоремы 11.6. Однако
условия теоремы 11.7 не выполнены: в задаче 11.9.1 выполнены ус-
условия A1.33) и A1.40), но не выполнено условие A1.33); в задаче
11.9.2 выполнены условия A1.33) и A1.40), но не выполнено условие
A1.39); в задаче 11.9.3 выполнены условия A1.33) и A1.39), но не
выполнено условие A1.40). С другой стороны, легко видеть, что
ы = 0 и ы = 1 — решения задачи 11.9.1 на [0, 1]; и = 1 и и = 2 —
17* 259

1-ешения задачи 11.9.2 на [0, 2]; и = О, и = 1/2 и и = 1 есть реше-
решения задачи 11.9.3 на [—1, 1]. На рисунках 11.2—11.4 показаны
вариационные селекции 2? для этих задач.
Эти примеры показывают также, что если какое-либо из трех
условий теоремы 11.7 опустить, то утверждение теоремы переста-
перестает быть верным.
11.3. Метод компактности
Общая задача. Предположим, что мы имеем:
(dl') вещественное линейное пространство Е,
(d2') непустое выпуклое множество К а Е,
(d3') отображение /: К X К -*- R такое, что для каждого
и? К функция / («, -): К ->• R вогнута и / (и, и) ^ О,
(d4') непустое множество С а К,
(d5') отображение qp: С х К -*¦ (—°°, +°°1 такое, что для
каждого и?С <р (и, •): К-*¦ (—«\ +°°1 является собственным
выпуклым функционалом.
Рассмотрим тогда следующую задачу.
Задача 11.10. Найти элемент и 6 С такой, что
и?С, q>(u,u) + f(u,w)^(p{u,w) Vw?K. A1.55)
Частные случаи. Следующие ниже примеры частных случаев за-
задачи 11.10 покажут, насколько общей является эта задача: целый
ряд различных задач можно свести к неравенству вида A1.55).
Доказательство того, что исходные данные в этих примерах удов-
удовлетворяют условиям (dl'), .... (d5')t мы оставим читателю.
Пример 11.3. Исходные данные: вещественное линейное
пространство Е, выпуклое множество К = С ф 0 из Е, qp;=O
и / («, v) = (Аи, и — v), где А — оператор, действующий из ? в
Е* (А: Е -*¦ Е*). Тогда задача 11.10 является «вариационной»
задачей: «найти элемент и 6 К такой, что
(Аи,и — ш><0 Vm-6/C». A1.56)
Строго говоря, эта задача не является вариационной, поскольку
мы не сделали предложенный относительно топологии, а термин
«вариационная» обычно связывают с задачами, сформулированны-
сформулированными в топологических пространствах. Это замечание относится так-
также и к примерам 11.3', 11.6 и 11.6'.
Пример 11.3'. Исходные данные: Е, К, С и / такие же, как
и в примере 11.3, ф (и, v) = ty (v), где ty: /(->- (—оо, +оо] — соб-
собственный выпуклый функционал. Задача 11.10 снова является
«вариационной», однако она более общая, чем задача в примере
11.3, а именно: «найти элемент и ? К такой, что
>. A1.57)
Пример 11.4. Исходные данные: вещественное линейное про-
пространство Е, выпуклое множество К = Сф0 из Е, /==0 и
260

Ф(и, v) — j^u) (v), где Q: Л"-*-2,*. Неравенство A1.55) в данном
случае принимает вид
«ел"; /«.о(")</¦«„,и ^ек. (п.58>
Таким образом (поскольку Q (и) Ф 0 и, следовательно, для не-
некоторого ш? /С мы имеем шб Q («)), задача 11.10 превращается в
следующую: «найти элемент и ? К такой, что и 6 Q («)»,— а это
есть задача о неподвижной точке для многозначного отображения.
Пример 11.4'. Исходные данные: Е, К, С и / — такие же,
как и в предыдущем примере; ф(ы, у) =е=/Q(t)) («), где Q: К-+2К—
квазисюръективное отображение такое, что если и 6 Q (ах) Л Q (^г) и
^6 [0,1], то u^QGuI + (\—tyv2). Неравенство A1.55) в данном
случае принимает вид
uf К', i (и) sC / iu) Vw f К П1 59)
^ " 'Q{u) \ ' ^ 'Ч(ш) v ' ^ ' х '
Таким образом (поскольку Q — квазисюръективно и, следователь-
следовательно, по крайней мере для одного элемента w 6 К имеем и ? Q (w)),
задача 11.10 снова превращается в задачу: «найти элемент и?К
такой, что и 6 Q («)»¦
п
Пример 11.5. Исходные данные: Е = J~J Е(, где Et (i == 1,...
n
..., л) — вещественные линейные пространства, Л" = С = PJ/Cj, где
KiczEi (i — 1, ... , л) — непустые выпуклые множества, / = 0 и
га
ф(«, у) = ? ф; (« 111 У;), где фг: /( -^- R (i = 1,..., л) — функции, вы-
выпуклые по t'-му аргументу. Тогда задача 11.10 становится задачей
об отыскании точек Нэша для л функционалов фх, ...,фп при неза-
независимых ограничениях К\, ¦¦¦ >Кп- «найти элемент и?К такой, что
ф (и, и) ^ ф (ы, w) Vffii ^ /С». A1.60)
Пример 11.5'. Исходныэ данные: E,Kaf такие же, как и в преды-
предыдущем примере, С — непустое выпуклое подмножество К, а ф(«, v) =
ft fl
= 2 Ф< (и 111 vt) + J] /C(u|0 (о), где ф,: /С -*> R (i = 1,..., n) — функ-
функции из примера 11.5. В этом случае задача 11.10 становится зада-
задачей об отыскании точек Нэша для л функционалов фх, ...,фп при
взаимозависимых ограничениях, определяемых через С: «найти элемент
«6С такой, что
ыбС; ф(«,«)<ф(«,ш) УшбС(и)». A1.61)
Пример 11.6. Исходные данные: действительное линейное
пространство Е, непустое выпуклое подмножество К из Е, С — не-
261

пустое подмножество К, f (и, v) = (Аи, и — v), где А — оператор,
действующий из ? в Е*(А : Е-+Е*), а <p(u, v)=jQ(u) (v), где Q: С-^2щк-
В этом случае задача 11.10 является следующей «квазивариационной»
задачей: «найти элемент и ? С такой, что
«6Q(«) и (Ли,и — йу><0 Vw?Q(u)». A162)
Пример 11.6'. Исходные данные: ?, /(. С и / такие же, как
и в предыдущем примере, qp (и, v) = /Q(u) (о) + t (у), где Q: С-+ 2и*.
а 1E: /(->¦(— оо, -(- со]—собственный выпуклый функционал
В этом случае задача 11.10 опять является «квазивариацион-
«квазивариационной» задачей (которая является обобщением предыдущей задачи —
так же, как пример 11.3' является обобщением примера U.3):
«найти такой элемент и 6 С, что
и 1|з(и) +(Ли, и —и»><г|) (и») Vw?Q(u)». A1.63)
Основная теорема. Теперь покажем, что при надлежащих пред-
предположениях задача 11.10 имеет по крайней мере одно решение.
Эти предположения являются, с одной стороны, условиями, кото-
которые мы уже наложили на исходные данные задачи, а с другой —
это предположения, тем или иным образом связанные с топологией
Е. Последние предположения мы не упоминали, чтобы не делать
описание примеров излишне утомительным. Исключением здесь
является предположение о монотонности функции / в теореме 11.9,
которого мы пока не требовали (хотя оно и не содержит топологи-
топологических понятий). Это предположение, однако, не является обяза-
обязательным для доказательства утверждения о существовании реше-
решения, как мы увидим в теореме 11.10. Условия теоремы 11.9, как и
условия теоремы 11.10, в конечном итоге нужны для того, чтобы
гарантировать, что отображение 2 : С -*¦ 2К, определенное фор-
формулой
2{u) = {veK:y(u,v)+f(v,wX4>(u,w) Vju^K}, A1.64)
имеет по крайней мере одну неподвижную точку в С. Отображение
2 является на самом деле естественным обобщением понятия ва-
вариационной селекции, и мы собираемся здесь воспользоваться ме-
методом, указанным в разделе 11.1 и успешно примененным также в
разделе 11.2.
Теорема 11.9. Если пространство Е, множества 0 Ф К сг
с= Е, 0 Ф С а К, функции <р : С X К -» (—со, +со] и f : К X
х К -*¦ R такие, что выполнены условия:
(HI) E — вещественное локально выпуклое хаусдорфово линей-
линейное топологическое пространство, а К — замкнутое выпуклое
множество,
(Н2) Vu 6 С ф (и, •) : К -*¦ (—со, +со] — собственный вы-
выпуклый функционал, полунепрерывный снизу,
(НЗ) W 6 К f (v, v) < 0,
(Н4) Vv 6 К f (v, •) : К -*• R — выпуклая функция,
262

(Н5) Vv ? К f (v, •) полунепрерывна сверху,
(Н6) Уш ? К VL cr ?, L — векторное подпространство ко-
конечной размерности, функция /(-.&)|KnL полунепрерывна снизу,
(Н7) Vv, w?K f(v,w) + f(w,v)^0.
(Н8) Vu?C 3BuczE— компактное множгстзэ: ^wu^K^\Bu:
Vo e K\BU <p (и, v) + f (v, wu) > ф («. wu),
(H9) 3Fcz^.E, F — локально выпуклое хаусдорфово линейное
топологическое пространство, чтч 30 =?=SczF[\С — компактное
выпуклое множество из F: Vu?S
: Vm-6/C Ф(и, v) + f (v, ш)< ф(и. w)} a S,
любого фильтра SxS^(u0
[УШ 6 К ф («а, Va) + / (Va, ш)< ф (ыа, Ш)]
(HI0) для любого фильтра SxS^ (ua, va)-+¦(и, v) в FxF имеет
место
[ф («, о) г^ lim inf ф («а, va)]
а
(HI 1) для любого фильтра SxS}(«а. va)-+(u,v) в FxF имеет
место
[VD2-16 К iwa 6 К: Ит inf (ф (иа, wa) —
а
— f {Va, Wa) + / (fa. w)) ^ ф («, да)],
me существует по крайней мере одно решение задачи 11.10.
Замечания. Перед тем как перейти к доказательству этого вну-
внушительного из-за его общности (и, к сожалению, из-за большого
числа сделанных предположений) результата, сделаем несколько
замечаний и сформулируем без доказательства теорему 11.10.
Условия (HI)—(Н8) являются, по существу, условиями теоре-
теоремы 10.1. Однако мы не можем рассматривать теорему 10.1 как след-
следствие теоремы 11.9, поскольку при доказательстве последней мы
существенно используем теорему 10.1, которая рассматривается,
таким образом, как вспомогательное утверждение. В качеств' в по-
могательного утверждения мы также будем пользоваться Tt p мой
9.21; эта теорема в более слабой формулировке (при Е = F и в
предположении непрерывности /, а не полунепрерывностн сверху)
также является частным случаем теоремы 11.9 (непрерывность /
гарантируется по существу условиями (НЮ) и (НИ)).
Теорема 11.9, как мы увидим, является по существу «объеди-
«объединением» теорем ЮЛ и 9.21.
У.-ловие (Н9), из которого следует существование компактно-
компактного выпуклого множества S такого, что 2 (S) с 2s, является ана-
аналогом условия устойчивости в теореме существования 11.6. При
К = С для выполнения этого условия достаточно, чтобы условие
коэри1 т.шности (Н8) выполнялось равномерно по и, т. е. чтобы
(Н8') В а Е — компактное множество Эш0 6 В Л К' Vu ? К
Vv 6 К\В ф (и, v) + / (v, w0) > ф (и, w0). В самом деле, чтобы
263

при этих ограничениях выполнялось условие (Н9), достаточно при-
принять F = EhS = K0 conv (Б). Заметим, что S — непустое мно-
множество, поскольку до0 ? S. Кроме того, S — компактное выпуклое
множество, так как С — замкнутое выпуклое множество, conv (В)—
компактное выпуклое множество, а Е — хаусдорфово пространст-
пространство. Далее, множество S устойчиво относительно 2, поскольку, с
одной стороны, I («) с ^ V« ? /(, а с другой стороны, 2 («) с: В
V« 6 К (если z 6 2 (и) и z $ Б, то по определению 2 имеем ф (и,
г) + / (г, w) ^ ф (и, до) Vw ? К, а из (Н8') получаем ф (и, z) +
+ / (z, до0) > ф («, до0), т. е.— противоречие).
Сформулируем теперь теорему, на которую часто ссылаются.
Теорема 11.10. Если пространство Е, множества 0 Ф
ФКаЕ, 0фСаК, функции ф : С х К -* (—оо, +°°1 и
f: К х K-+R удовлетворяют условиям (HI)—(Н4), (Н6), (Н8)—
(НЮ) и
(HI2) для любого фильтра SxS^(ua,va)-^(u,v) в FxF имеет
место [ф(иа,va) + f (va. йу)< ф(иа,w) Vw6К] =*¦ [Vtw6^С ЗйУа6 ^Г:
Hm SUp (ф (Ыа, И»о) — f G->а. О»а)) < ф («• &У) — f (V, W)],
а
(HI 3) Vu 6 S множество {v 6 Л": ф («. и) + / (и. a») < ф («, tw)
Voi 6 К} выпукло,
(HI4) Vu?C для любого выпуклого множества %с:К и, для
любого фильтра /СЭ^а-^бХ в Е имеет место [y(u,va) + f(vat
а>Х ф («, и») Уйу 6 х1 => [ф (и- v) + f (v>w) ^ Ф («• ^ Vuy 6 х)> m9 ci/'
ществует по крайней мере одно решение задачи 11.10.
Мы не будем приводить здесь доказательство этого утвержде-
утверждения*), которое является обобщением теоремы 10.3, так же как и
теорема 11.9 является обобщением теоремы 10.1. Круг применения
теоремы 11.10, как и теоремы 10.3, строго ограничивается услови-
условием полунепрерывности снизу: условие (HI2) является на самом де-
деле предположением о полунепрерывности снизу для / по двум пе-
переменным, кроме того, оно предполагает полунепрерывность свер-
сверху для отображения ф (•, до); в связи с этим отметим, что условие
(НЮ) является предположением о полунепрерывности снизу для
Ф по двум леременным.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 11.9.
Доказательство теоре мы 11.9. Из условий (HI)—
(Н8) и из теоремы 10.1 следует, что для каждого элемента и ? С
2 («) является непустым замкнутым выпуклым подмножеством
К, т. е. 2: C-+2*Ck- Из (Н9) мы можем утверждать, что 2 дейст-
действует из S в 2,rt. т. е. 2: S->-2bc*. где S — непустое компактное
выпуклое множество. Чтобы были выполнены условия теоремы 9.21,
необходимо лишь, чтобы отображение 2|s было полунепрерывным
сверху. Показав это, мы тем самым докажем теорему 11.9.
Рассмотрим тогда наряду с задачей 11.10 следующую задачу.
*) Доказательство теоремы 11.10 можно найти в работе Джоули, Моско
[482, § 2.3]. В этой работе теорема 11.9 была получена как следствие теоремы
11.10.
264

Задача 11.11. Найти элемент и 6 С такой, что
Ф(и,и) —7(и1,иХф(и,иО Vay6/(. A1.65)
Вместе с отображением 2: С-»-2к рассмотрим отображение 2*:
С->2К, связанное с задачей 11.11 обычным путем:
A1.66)
Покажем теперь, что 2*|s замкнуто и, следовательно, поскольку S
компактно, из теоремы 20.15 получим, что сужение 2*|s полуне-
полунепрерывно сверху. Отсюда следует, что отображение 2 |s также полу-
полунепрерывно сверху, поскольку из теоремы 10.1 вытекает, что 2 ==2*.
Другими словами, из теоремы 10.1 следует, что задачи 11.10 и
11.11 эквивалентны. Это можно трактовать как (очевидное) обоб-
обобщение леммы Минти (задачи 11.10 и 11.11 играют здесь аналогич-
аналогичную роль, что и задачи 10.1 и 10.2 в теореме 10.1 и ее лемме 2).
Пусть тогда ша, vJaiA^.SxS — фильтр, сходящийся к (и, v) в
FxF. Мы покажем, что если Va?A Va?2*(ua), то и 62* (и). Если
имеет место включение i/a?2*(«a), то
4>(Ua,Va)+f{Va,w)^<p(Ua,w) Vffi^/t, A1.67)
поскольку 2*{Ца) = 2 (Ца). Следовательно, учитывая условие (НЮ),
мы получаем:
ф («, «X lim inf ф (Ua, va). A1.68)
a
Кроме того, выполнено условие (HI 1), поэтому
lim inf [ф (iia, wa) — / (va, wa) + f {va, w)\ s^ ф («, w). A1.69)
a
Из A1.69) и условия (Н7) следует, что
lim inf [ф (Ua, Wa) — f (Va, Wa) + f (Va, w) —
— f (Va, W) + f (W, Va)} < Ф («, W), A1.70)
или
lim inf [ф(ы«,aya) — f(va, wa) + f(w, va)] <ф(«, w). A1.71)
Условие (Н5) позволяет нам записать lim inf (—f (w, va))
a
— lim sup / (tt), ua) = — f(w,v); тогда из A1.71) получаем:
a
lim inf [ф (Ua, Wa) — f (va, wa)\ < Ф («, v) + f (w, v). A1.72)
a
265

Из A1.67) следует, что
Vex б А ф (ы<х. va) + /(»„, wa) < ф (««, wa), A1.73)
или, другими словами,
ф(«а, и«)<Ф(««, twa) — f(va,wa). (П.74)
Отсюда переходя к (нижнему) пределу по а и учитывая A1.68) и
A1.72), получаем неравенства
Ф (и, v) < lim inf ф («а, va) <
а
< lim inf [ф (ыа, ша) — f (va, wa)) < Ф («, о) + / (а», о). (И -75)
В силу произвольности w это означает, что у?2*(«). ?
*-непрерывность. Пример 11.6, представляет практический ин-
интерес, и поэтому мы проанализируем его более подробно. Мы при-
приведем утверждение, которое является непосредственным обобще-
обобщением теоремы 10.4. Пусть Е — рефлексивное вещественное бана-
банахово пространство, Е' — сопряженное к нему пространство, К —
непустое выпуклое замкнутое множество из Е, С — непустое под-
подмножество К- Положим
f(u,v)^E.{Au,u-v)E, A1.76)
где А — оператор, действующий из ? в Е' (А: ?->?"), и
Ф («.») = /««) (о). О»-77)
где Q — многозначное отображение из С в 2и<* (Q: С->2нС*).
В этом случае, как мы уже убедились в примере 11.6, задачу
11.10 можно сформулировать так.
Задача 11.12. Найти элемент и? С такой, что
u?Q(u) и Е'(Аи, и — v)E < 0 VveQ(u). A1.78)
Выясним, какие ограничения следует наложить на А и Q, что-
чтобы выполнялись условия (HI)—(НИ) и гарантировалось существо-
существование решения задачи 11.12. Из гл. 10 (в связи с теоремой 10.4)
заключаем, что для выполнения условий (HI)—(Н8) достаточно,
чтобы оператор А был монотонным, полунепрерывным и (если
К не ограничено) коэрцитивным. Опуская условие (Н9), которое
нужно каждый раз проверять, посмотрим еще, что нужно для вы-
выполнения условий (НЮ) и (НИ). Для этого введем определение.
Определение 11.1. Пусть В — вещественное рефлексив-
рефлексивное банахово пространство, В' — сопряженное к нему простран-
пространство, X — непустое выпуклое замкнутое множество из В, Z — не-
непустое подмножество X, Т — оператор, действующий из В в В',
a R — многозначное отображение из Z в 2?fft. Далее, пусть G с_»
С-.В — рефлексивное банахово пространство, U с G П 2 — не-
непустое замкнутое выпуклое множество из G. Пара G\ R) называется
266

^-непрерывной на 5, если для любой последовательности (uh,vh)?
?1/ xif, (uk,vk)-*(u,v) в GxG
lvh€R{uh) и V
и VweR(u) 3wheR(uh):limmi{Tvh,wh—w)^0]. A1.79)
Очевидно, что если пара (A, Q) '-непрерывна, то условие (НЮ)
и (НИ) выполнены; так что мы можем сформулировать следую-
следующую теорему
Теорема 11.11. Пусть Е — рефлексивное вещественное
банахово пространство, Е' — сопряженное к нему, К — непустое
замкнутое выпуклое множество из Е, С — непустое подмножество
К, А : Е -*¦ Е' — полунепрерывный и коэрцитивный монотонный
оператор, a Q: С -*¦ 2щСк — многозначное отображение. Если су-
существуют рефлексивное банахово пространство Fa->E и непустое
компактное выпуклое множество S cz F f) С такие, что пара
(A, Q) *-непрерывна на S и {v 6 Q («): Vo; 6 Q («) B'(Av, v — w)e С
^ 0} cz 5 при «6 5, то существует по крайней мере одно реше-
решение задачи 11.12.
Теорема 10.4 является частным случаем этой теоремы при С =
= К и V« ? К Q (и) = К- Заметим также, что даже в случае стро-
строгой монотонности оператора Л, мы не можем гарантировать един-
единственность решения.
Прежде чем перейти к рассмотрению примера о приложениях
описанной в данном разделе методики, отметим, что если А 6 ^ (Е,
?")', то для того, чтобы пара (A, Q) была *-непрерывна на S, доста-
достаточно, чтобы отображение Q было непрерывным для конечной тополо-
топологии Виеториса в 2щСм. Это важный момент, поскольку сюда отно-
относится и случай линейных квазивариационных неравенств, таких,
как, например, неравенство из задачи 11.3 или неравенство, возни-
возникающее в следующей задаче.
Задача из теории мембраны.
Пример 11.7. Пусть QcR" — ограниченное открытое мно-
множество с границей Г класса С)Л, Л6#1/2(Г), f?L%(Q). ^ — вещест-
вещественное положительное число, a L — эллиптический дифференциаль-
дифференциальный оператор с ^коэффициентами из L°° (Q), определенный формулой
^ Следующая задача, условия которой следует интерпретировать
чисто формальным образом, описызает течение жидкости через
полупроницаемую мембрану.
Задача 11.13. Найти функцию и 6 Я1 (?2) такую, что
L« = /bQ, A1.81)
— К~~ на Г, A1.82)
267

-^~>0 на Г, A1.83)
Производную ди/dva следует интерпретировать формально как
ненормальную производную, связанную с непрерывной билинейной
формой
п
a(u,v)= П% аи-Ц%- -?- +dw]dx, A185)
которая предполагается коэрцитивной на Я1 (Q). Задача 11.13 на-
напоминает задачи с препятствием на границе для вариационных не-
неравенств, но она не является вариационной задачей. Полагая для
Q (и) = \v б W- (Q): yov > h - V,/2(r)<^- • Ф>«1/2(Г) Vq, б Я1/2 (Г)},
A1.86)
можно показать формальную эквивалентность между задачей 11.13
и следующей квазивариационной задачей (с препятствием на гра-
границе).
Задача 11.14. Найти функцию u?Hl (Q) такую, что
и а(и,и — y)<L,(Q)</,« — v)L,{Q) Vw6Q(m). A1.87)
Для доказательства существования решения этой задачи мы
воспользуемся теоремой 11.11, которую, очевидно, здесь можно
применить. Положим ? = Я1(?2), К = Н[(О) и F = HlL(Q), а также
):Lv = f и -^->0\. A1.88)
Равенство A1.86) определяет многозначное отображение Q: я! (й)->
->2rt( '. сужение которого на Z принимает непустые значения. В
самом деле, если u?Z, то решение задачи Дирихле
Lu — f в Q.
и = h на Г
является элементом множества Q(и). Кроме того, Z=?0, посколь-
поскольку решение задачи Неймаиа
Lu = / в Q,
d«/dva = 0 на Г
является элементом множества Z. Отображение Q является также
непрерывным для конечной топологии Виеториса, поскольку неп-
непрерывны операторы следа. Следовательно, условие *-непрерыв-
268

ности выполнено. Наконец, выполнено условие устойчивости при
5 = conv B (Z)). Таким образом, мы можем утверждать, что за-
задача 11.14 (а следовательно, и задача 11.13) имеет по крайней мере
одно решение.
Глава 12. ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
12.1. Введение
Фильтрация через пористую среду. В этой главе мы применим
методы, рассмотренные в предыдущих главах, к изучению некото-
некоторых задач со свободной границей для эллиптических линейных диф-
дифференциальных операторов второго порядка. Грубо говоря, это
задачи, в которых неизвестным является не только решение соответ-
соответствующего дифференциального уравнения, но и область, в которой
ищется решение. Часть границы этой области известна, и на ней
мы можем задавать соответствующие краевые условия (например,
условие Дирихле); другая же часть — свободная граница, на ко-
которой мы задаем пару независимых условий (например, условие
Дирихле и условие Неймана),— неизвестна. Важно отметить, что
наличие двух краевых условий на свободной границе, которое в
случае задачи с фиксированной границей, скорее всего, сделало
бы эту задачу некорректной, здесь вполне допустимо (и, факти-
фактически, необходимо), поскольку свободная граница будгг, в неко-
некотором смысле, «приспосабливаться» к двойному условию, задан-
заданному на ней.
В ч. I нам уже встречались некоторые задачи со свободной гра-
границей: к ним относятся задачи из гл. 8, которые мы явным образом
называли задачами со свободной границей, а также задачи, рас-
рассмотренные в гл. 7 (см., например, замечания к примерам 7.9 и
7.10).
Далее, тот факт, что вариационные неравенства сводятся в
общем случае к задачам со свободной границей, отмечался уже в
работах Леви и Стампаккьи (ср. [524, ч. IV]).
Задачи, которые мы рассмотрим здесь, возникают при изучении
явлений, связанных с фильтрацией жидкости через пористые ма-
материалы. Эти задачи имеют большой практический интерес, однако
до семидесятых годов не существовало строгих математических
методов их решения. В 1971 году Байокки (см. [126, 127]) предло-
предложил новый метод, обобщенный им в 1974 году (см. [131, 132]), ко-
который, в сущности, заключается в преобразовании задачи со сво-
свободной границей в задачу в фиксированной области (вариационную
в формулировке 1971 г. и квазивариационную в формулировке
1974 г.). Этот математически строгий метод был впоследствии при-
применен к изучению различных явлений, связанных с фильтрацией,
группой исследователей из Лаборатории численного анализа На-
Национального совета Италии по научным исследованиям (Павиа)
269

и Института математики при Университете Павии (см. ниже биб-
библиографический комментарий).
Библиографический комментарий. Обзор методов, применявшихся к изуче-
изучению задач о фильтрации через пористые материалы до 1970 года, содержат ра-
работы [135, 151] (см. также работы [54, 339—341]).
Работу, проделанную в Павии, отражает следующий список литературы:
[126—155, 5, 156, 157, 222—224, 245, 249, 318—328, 425, 427—432, 108, 109,
283, 557—559, 629, 632, 633, 640, 704—710, 408, 719, 720, 721].
Отметим также следующие работы в этой области: [101 —104, 114, 165, 167,
168, 237, 260—266, 271, 277, 278, 282, 289, 294—299, 311, 342, 336, 434, 435, 473,
475, 476, 489, 495—497, 594, 631, 671, 74, 690].
Метод успешно применялся также к задачам со свободной границей, возни-
возникающим при изучении других физических явлений—см. [226, 227, 235, 241,
243, 703, 371, 365, 366, 367, 406, 537, 392, 561], см. также [560, 377] и ссылки из
этих работ.
Заметим, однако, что не все задачи со свободной границей, встречающиеся
в приложениях, могут быть преобразованы с помощью предложенного метода в
вариационные неравенства (в этой связи см. гл. 13, где мы развиваем идеи, выд-
выдвинутые в [140] для изучения всех задач со свободной границей, для которых
указанное преобразование возможно; см. также [142, приложение 1, и 425], где
рассматриваются параболические задачи). Обратный подход, т. е. формулиров-
формулировка вариационных неравенств в виде задач со свободной границей, рассматрива-
рассматривается в работе [242].
Поскольку нашей целью является формулировка метода, мы рассмотрим
здесь лишь задачи, связанные с явлением фильтрации воды через земляную дам-
дамбу. Мы не будем рассматривать все задачи указанного типа, при решении кото-
которых использовался этот метод и которые мы здесь упомянем.
Перечислим некоторые другие задачи о фильтрации, которые исследовались
с помощью рассматриваемого метода: в работе [704] изучается стационарная
фильтрация воды через стенки и дно канала, в [708] изучается нестационарная
фильтрация сжимаемой жидкости в вертикальном канале, заполненном порис-
пористым материалом (см. также [403]), в работах [149, 150, 153] изучается задача о
фильтрации нескольких несмешивающихся жидкостей с различными плотностя-
плотностями — эта задача возникает при отыскании водонесущих сдвиговых скважин в
море.
Иная формулировка рассматриваемой в настоящей главе задачи, не исполь-
использующая в явном виде предположений вида 12.13, приведена в работе [101]: за-
задача решается путем локального применения преобразования, рассмотренного в
гл. 8, с последующим применением метода «выметания». Эта формулировка поз-
позволяет обойтись гораздо более общими предположениями о геометрии дамбы
и получить результаты о гладкости свободной границы н о единственности реше-
решения задачи (см. [102, 289]).
12.2. Физическая задача
Жидкость *) и пористая среда. Рассмотрим следующую задачу о
фильтрации. На непроницаемом горизонтальном основании стоит
дамба, разделяющая два водных бассейна с различными уровнями.
Вода*) фильтруется из более высокого бассейна в более низкий под
действием силы тяжести. Нас будут интересовать физические ве-
величины (распределение скоростей и давления, пропускная способ-
способность и т. п.) и геометрические величины (линии тока, форма влаж-
влажного участка дамбы и т. п.), связанные с потоком воды (рис. 12.1).
*) В этой главе слова «жидкость» и «вода» будут синонимами, так же как и
слова «пористый материал» и «земля». Свойства пористых материалов и процессы
фильтрации в пористых материалах изучаются, например, в [4, 301, 62, 458,
161, 162].
270

Предположим, что материал, из которого построена дамба, нес-
несжимаем, однороден и изотропен, жидкость однородна и изотропна,
поток несжимаем и является безвихревым, стационарным и двумер-
двумерным, капиллярные явления и испарение отсутствуют Однород-
Однородность и изотропность дамбы, естественно, следует понимать в макро-
макроскопическом смысле: пористый материал состоит из частиц твердо-
твердого материала различной величины, сложенных произвольным об-
образом, через поры между частицами течет вода. Рассматриваемое
явление, как и всякое физическое явление, очевидно, трехмерно —
мы, однако, предполагаем, что параметры дамбы не меняются вдоль
Линия -АС
просачиван.
Влажная
часть
^.Bodd
Непроницаемое основание
Рис. 12.1
оси, перпендикулярной плоскости рисунка, и что поток воды име-
имеет одни и те же характеристики в каждом поперечном сечении. Су-
Существенно трехмерные явления рассматриваются в работах [74]
(дамба с вертикальными стенками) и [428] (дамба, стенки которой
не обязательно вертикальны; вогнутости поверхности дамбы, ко-
которую мы будем предполагать в дальнейшем, не требуется). Мы бу-
будем пользоваться двумерной терминологией, т. е. говорить, напри-
например, о влажной поверхности вместо влажного объема, о свободной
линии вместо свободной поверхности и т. д. Случаи, когда наблю-
наблюдается явление капиллярности, рассмотрены в работах [326, 322];
другие задачи со свободной границей, связанные с этим явлением,
см. в работе [83]. Случай, когда учитывается испарение, см. в ра-
работах [632, 633, 398, 473].
Обозначения. Для упрощения описания всюду в даль-
дальнейшем мы будем пользоваться обозначениями, приведенными на
рис. 12.2 и на диаграмме обозначений 12.1 (естественно, рисунки
этой диаграммы следует рассматривать наложенными друг на дру-
друга).
Позднее мы уточним топологические детали — сейчас же лишь
укажем, что множества D, Dlt D2, Ds и Q берутся открытыми (с
физической точки зрения не имеет никакого значения, рассматри-
рассматриваем мы их как открытые или замкнутые, но с математической точ-
точки зрения это существенно).
Свободная линия, линия просачивания и висящий источник.
Опыт показывает, что в общем случае не вся дамба пропитана во-
271

дой (однако если она имеет треугольное сечение и угол, противо-
противоположный основанию, не превышает п/2, а более высокий уровень
равен высоте дамбы, то вся дамба влажна — можно показать, что
это следует из так называемых условий втекания и вытекания, ко-
которые были сформулированы на основе экспериментов в [458, с. 21]).
У - Г(х)
Рис. 12.2
А(а,0){0,0) (s,0)(c,0) B(b,O)
Диагр. 12.1
Влажная часть дамбы ограничена сверху линией, проходящей че-
через пористый материал — свободной линией (линия между точка-
точками F и Сф на рис. 12.1 и 12.2).
Вдоль свободной линии вода контактирует с воздухом, содер-
содержащимся в порах сухого участка дамбы, поэтому если мы считаем
атмосферное давление равным нулю, как это обычно делается в
гидравлике, то можем сказать, что внутри сухого участка дамбы
давление равно нулю, а внутри влажного — положительно (стро-
(строго положительно, поскольку вода имеет массу). Далее, свободная
линия не может касаться непроницаемого основания, поскольку в
этом случае поток воды через дамбу отсутствовал бы — таким об-
образом, в окрестности основания дамба влажна. Опыт показывает,

что если материал дамбы однороден и испарение отсутствует, то
свободная линия опускается вдоль оси Ох и ее конец Сф не совпа-
совпадает с точкой С. Точку Сф называют висящим источникам, а учас-
участок стенки дамбы между точками Сф и С — линией просачивания,
или крайней линией. Вдоль линии просачивания вода вытекает, ко
не может втекать — фактически это линия, где вода покидает по-
пористый материал и попадает в зону непосредственного контакта с
атмосферой.
Резюмируем сказанное.
Давление равно нулю внутри сухого участка дамбы,
положительно во влажном участке дамбы и всегда положительно
возле ее основания. A2.1)
Вода может вытекать из дамбы через линию просачивания,
но не может втекать через эту линию. A2.2)
Закон Дарси и его следствия Поток воды через дамбу подчи-
подчиняется закону Дарси, который выражается соотношением
у = — k grad {у + ply) в Q, A2.3)
где V = V (х, у) — скорость жидкости во влажном участке дамбы,
р — р (х, у) — давление, у — удельный вес жидкости (у = pg,
где р — плотность, g — ускорение силы тяжести), k — коэффици-
коэффициент проницаемости материала по отношению к данной жидкости.
Закон Дарси — линейный закон, установленный эксперимен-
экспериментальным путем, однако имеется и теоретическое подтверждение это-
этого закона — см., в частности, [161]; он не имеет четких границ
применимости (они определяются так называемым числом Рей-
нольдса). Этот закон учитывает неявно вязкость жидкости (см.
ниже), которую, таким образом, можно рассматривать как невяз-
невязкую; далее, его можно интерпретировать как частную формули-
формулировку уравнения Навье—Стокса. Как и другие законы общей гид-
гидродинамики, закон Дарси является макроскопическим, поскольку
невозможно (да и бессмысленно) анализировать движение каждой
частицы жидкости через поры материала. Константа k зависит как
от пористого материала, так и от жидкости: k = ky/ц, где ц — вяз-
вязкость жидкости, у — ее удельный вес, а величина k определяется
свойствам материала, называемым физической проницаемостью.
В общем случае k (и, следовательно, k) — симметрический тзнзор
второго порядка, компоненты которого зависят от координат х и
у. Из изотропности материала следует, что k — скаляр, а из одно-
однородности — что k — константа. Фильтрация через дамбу из неод-
неоднородного материала изучается в работах [150] (величина k посто-
постоянна в вертикальных и горизонтальных слоях), [167, 1681 (k имеет
вид: k (х, у) = k{x)-k (у)), [155] (обобщение предыдущего случая),
[277, 278, 142] (более общая формулировка задачи).
В рассматриваемом нами случае мы можем без потери общности
предполагать, что k — 1, что мы и сделаем. Тогда, полагая
и=У + р/у, A2.4)
18 К. Байокки, А. Капело 273

закон Даре и можно записать следующим образом:
V = — gradu в Q, A2.5)
откуда видно, что и — потенциал скорости. В дальнейшем всюду,
где говорится о линиях равного потенциала, имеются в виду линии
уровня функции и — и (х, у). Заметим, что существование кинети-
кинетического потенциала полностью согласуется с том, что поток безвих-
безвихревой. Величину и называют пьезометрической высотой; в слу-
случае покоящейся жидкости она постоянна (основной принцип гид-
гидростатики; напомним также, что в невязкой однородной жид-
жидкости, совершающей свободное безвихревое несжимаемое стацио-
стационарное движение, полная высота и + V2/Bg), где V2/Bg) — кине-
кинетическая высота, постоянна (теорема Бернулли)).
Уравнение неразрывности, которое является дифференциальной
формулировкой принципа сохранения массы, имеет в общем слу-
случае вид Dp/Dt + p div V = 0, где DlDt — оператор материально-
материального дифференцирования, или оператор дифференцирования Эйлера.
Заметим, что величина V (х, у) является не скоростью данной час-
частицы жидкости при ег движении, но скоростью различных частиц
в точке (х, у), т. е. мы описываем движение жидкости с точки зре-
зрения Эйлера. Из несжимаемости потока жидкости следует, что
в рассматриваемом нами случае уравнение неразрывности прини-
принимает вид
dvK = 0, A2.6)
что, вместе с законом Дарси A2.5), позволяет записать
Аы = 0 в Q, A2.7)
т. е. пьезометрическая высота является гармонической функцией
(разумеется, внутри дамбы). Из уравнения A2.7) следует, что су-
существует функция v — v (х, у), также гармоническая — гармо-
гармонически сопряженная к функции и, определяемая с точностью до
аддитивной постоянной уравнениями Коши—Римана:
ди/дх — dvldy = ди/ду + dv/dx =0. A2.8)
Эту функцию мы будем называть функцией тока (комплексную
гармоническую функцию Ф = и + iv часто называют комплекс-
комплексным потенциалом). Линии уровня функции v, являющиеся в то же
время силовыми линиями векторного поля V, называют линиями
тока — поскольку поток безвихревой, они совпадают с траекто-
траекториями частиц жидкости. Линии тока ортогональны линиям равно-
равного потенциала, и, если нарисовать эти линии для v=clt v=c2, ...
..., v = сп и и = dt, и = d2, ..., и ~ а^, то получится решетка,
которую называют сеткой тока — позже мы приведем ряд приме-
примеров таких сеток.
Если процесс фильтрации через дамбу стационарен, то линии
тока фиксированы в пространстве, и можно определить трубку
тока как поверхность, ограниченную двумя линиями тока (на-
(напомним, что мы рассматриваем двумерный случай) — жидкость
274

течет вдоль трубки тока так, как если бы эта трубка имела твер-
твердые стенки. Частным случаем трубки тока является вся влажная
часть дамбы, поскольку непроницаемое основание и свободная ли-
линия являются линиями тока. Если, кроме того, поток жидкости нес
жимаем, то поток поля V через любое сечение трубки тока посто-
постоянен — эта постоянная называется пропускной способностью, или
выходом трубки.
Пропускная способность всей дамбы определяется выражением
Ял = [v-nLdl, A2.9)
где L — любая линия, соединяющая точку на Го с точкой на I\, a
пи — вектор нормали к L. Мы определим здесь ориентацию nL для
случая, когда L — вертикальный отрезок, т. е. возьмем nL = eY и
d/ = di/ — тогда, с учетом соотношений A2.5) и A2.8), можем за-
записать
о
A2.10)
Я (х) = Яа = о |г0 — v |rv если 0 < х < s.
Поскольку функция v определяется с точностью до аддитивной
постоянной, мы можем выбрать эту постоянную так, чтобы линия
тока 1\ соответствовала v = 0 — пропускная способность дамбы
будет тогда равна значению (вообще говоря, неизвестному), кото-
которое функция v принимает на основании дамбы. В некоторых слу-
случаях пропускная способность дамбы известна — пример этого мы
увидим, когда будем рассматривать дамбу с вертикальными стен-
стенками (случай а = 0, s = b = с), для которой qa = (у\— </^)/Bс).
Интересно отметить, что это же значение получается для про-
пропускной способности дамбы, изображенной на рис. 12.1, если
исходить из так называемых условий Дюпюи. Последними являют-
являются два упрощающих (и противоречивых!) предположения, из ко-
которых, помимо всего прочего, следует, что свободная линия явля-
является параболой, соединяющей точки F и С (парабола Дюпюи), и,
таким образом, линия просачивания отсутствует. Решение, пред-
предложенное Дюпюи, приведено в [458, с. 50], где приведены также
приближенные решения по Шаффернаку—Ван Итерсону (с. 51),
Касагранду (с. 52) и Павловскому (с. 55).
Из принципиальных соображений мы будем работать с неиз-
неизвестной р, а не с неизвестными «ив, поэтому нам необходимо выра-
выразить пропускную способность через р, что сразу получается из со-
соотношений A2.4) и A2.10):
18* 275

Учитывая, что внутри сухого участка дамбы р = 0 (ср. A2.1)),
и исходя из минимальных предположений о гладкости функции
(фактически, достаточно предположить, что др/дх 6 L1 (D)), мы
в общем случае свяжем с функцией р другую функцию q, определя-
определяемую соотношением
ум
которая предпочтительнее первой тем, что использует известную
функцию Y (х) вместо неизвестной ср (х).
Введем следующее предположение: функция
О
не убывает на [0, с].
Заметим, что из равенств A2.4) и A2.7) следует, что давление
является гармонической в области Q функцией:
А/> = 0 в й. A2.14)
Давление гармонично (поскольку равно нулю) и в области D\Q,
однако оно не является таковым во всей области D.
Условия на границе. Рассмотрим теперь граничные условия для
уравнений A2.7), A2.8) и (наиболее интересного для нас) уравне-
уравнения A2.14). Имеем следующие четыре типа границ, которые будем
рассматривать по отдельности:
1) Непроницаемое основание Го. Вода не может
проходить через непроницаемое основание, поэтому нормальная
компонента скорости равна нулю на Го, т. е. Го является линией
тока. Таким образом, полагаем
v = const на Го, A2.15)
или, поскольку V-n = —ди/дп = ди/ду,
ди/ду= 0 на Го, A2.16)
где п, как обычно,— внешняя нормаль; напомним, что основание
горизонтально (это ограничение на основание несущественно*)).
Заметим, что константа в правой части условия A2.15) неизвестна.
В соответствии с замечаниями по поводу соотношений A2.10) мы
можем ввести новую неизвестную qd — пропускную способность
дамбы — и положить
v-qd на Го. A2.17)
Используя равенство A2.4), мы можем записать для функции р
условие, эквивалентное условию A2.16):
др/ду = —у на Го. A2.18)
*) Некоторые проблемы, связанные с наклоном основания, изучаются в
[150, 321].
276

2) Границы бассейнов Г, и Г,. Рассмотрим границу
Гг. Пьезометрическая высота и имеет на Г, то же значение, что и в
прилегающем бассейне. Пренебрегая скоростью воды в бассейне по
сравнению со скоростью воды в дамбе, будем считать, что вода r
бассейне покоится, и, таким образом, пьезометрическая высота ео~ы
в бассейне постоянна. Тогда Г\—линия равного потенциала, т. е.
ы = const на Г\. A2.19)
Постоянную в правой части условия A2.19) можно вычислить —
для этого достаточно заметить, что в точке F вода имеет контакт с
атмосферой, следовательно, в этой точке р = 0. Отсюда и из равен-
равенства A2.4) получаем: и (F) = ylt поэтому условие A2.19) прини-
принимает вид
ы = г/, на Г,. A2.20)
Аналогичным образом находим, что Г2 — линия равного потенциа-
потенциала, и
и = у2 на Г2. A2.21)
Используя равенство A2.4), запишем для давления р следую
щие условия, эквивалентные условиям A2.20) и A2.21):
Р = У{У1-У) "а ri. A2.22)
— У) на Г2- A2-23)
Изложенный здесь метод применялся также для случая, когда
стенка дамбы, соответствующая бассейну с более высоким уров-
уровнем воды, частично непроницаема — см. раздел 8.3, а также рабо-
работы [150, 128, 156, 427].
3) Линия просачивания Г0. На этой линии вода
имеет контакт с атмосферой, поэтому
р=0 на Го, A2.24)
или, с учетом равенства A2.4),
и^у на Г„. A2.25)
Линия просачивания не является ни линией тока, ни линией рав-
равного потенциала.
Условие A2.2) аналитически можно записать следующим об-
образом:
ди/дп^0 на Г0, A2.26)
или, эквивалентно,
д{р/у+у)/дп^0 на ГО. A2.27)
4) Свободная линия. Эта линия является линией то-
тока и имеет контакт с атмосферой, поэтому
v = const на Гъ A2.28)
/7=0 на 1\. A2.29)
277

Константа в правой части условия A2.28) неизвестна, однако если
ввести новую неизвестную qd, то из равенства A2.17) получим
у = 0 на 1\. A2.30)
Переходя с помощью соотношений A2.4), A2.5) к функции и,
условия A2.28), A2.29) можно заменить следующими эквивалент-
эквивалентными им условиями:
ди/дп = 0 на ГЬ A2.31)
и = у на 1\. A2.32)
Кроме того, условие A2.31) можно записать также следующим об-
образом:
дп^0 на 1\. A2.33)
Итак, на 1\ мы можем задать одну из следующих трех пар не-
независимых условий: {A2.28), A2.32)}, {A2.31), A2.32)}, {A2.29),
A2.33)}.
Покажем теперь, что в рассматриваемом нами случае должно
выполняться условие: функция
х-+<р(х) A2.34)
строго убывает. Действительно, используя условие A2.31), имеем
V = — grad и = — (du/ds) т, A 2.35)
где т — вектор касательной к 1\, ориентированный в направлении
потока. Таким образом,
— du/ds>0 на 1\, A2.36)
откуда следует, что функция и строго убывает на 1\. Используя
теперь условие A2.32), получаем условие A2.34).
Математическая постановка задачи. Задача, которая нас интере-
интересует, состоит в нахождении области Q (или, что эквивалентно,
функции ф) и функции р (или функции и — или даже пары функ-
функций (и, у)). Есть несколько способов постановки этой задачи. Мы
возьмем в качестве неизвестных давление р и область Q и будем
решать уравнение A2.14). В литературе можно встретить и другие
формулировки, например, формулировку, в которой искомыми не-
неизвестными являются функция и и область Q и решается уравнение
A2.7) с условиями A2.16), A2.20), A2.21), A2.25), A2.31), A2.32);
формулировку, в которой неизвестными являются и, v, Q, ср и qd
и решается уравнение A2.8) с условиями A2.17), A2.20), A2.21),
A2.25), A2.30), A2.32) и т. п.
С точностью до некоторых дополнительных предположений о
гладкости, задача, которую мы будем решать, имеет следующий
вид.
278

Задача 12.1. Найти функцию р и область Q такие, что
Q
А й Ф 0 — открытое
А/7 = 0 в й,
Р = У(Уг — У) на
р = у (у2 — у) на
/7 = 0 на
/7 = 0 на
д (р/у + и) 'дп = 0 на
множество,
г,.
Га,
Гъ
Гъ
A2.37)
A2.38)
A2.39)
A2.40)
A2.41)
A2.42^
A2.43)
др/ду = — у на Го. A2.44)
Пропущенные условия. В приведенную формули-
формулировку задачи не вошел ряд условий, таких, как A2.1), A2.13),
A2.27), A2.34), полученных при анализе физического явления.
В принципе, если эта формулировка полна, то «пропущенные» ус-
условия должны выводиться из приведенных. Посмотрим теперь с
точки зрения, промежуточной между строгой и эвристической, что
имеет место в действительности.
Рассмотрим сначала условие A2.1). Пусть р 6 С0 (&); тогда из
A2.38) имеем р 6 С0 (й) Г) С°° (й|. Воспользуемся принципом мак-
максимума (минимума). Пусть т(: Q — точка минимума функции р.
Из принципа максимума имеем т 6 дй, поскольку если т 6 й, то
р — постоянная и не может удовлетворять краевым условиям.
По определению минимума имеем т ? Го, поскольку на Го произ-
производная по у является производной по внутренней нормали. Анали-
Анализируя условия A2.39), A2.40), A2.41) и A2.42), имеем т б I\ U
U Га и р (т.) = 0. Обозначая тем же символом тривиальное про-
продолжение функции р в D, которое непрерывно, поскольку р = 0
на 1\, получим
/)>0вД />>0 в й, р>0 на ГО, A2.45)
что, в сущности, совпадает с A2.1).
Условия A2.45) позволяют определить область Q следующим
образом:
Q = {(x,y)?D:p(x,y)>0}. A2.46)
Далее, чтобы область й эффективно представляла влажную часть
дамбы, требования к ее гладкости должны быть, очевидно, мини-
минимальными; в этом смысле подходящим, т. е. очень слабым, являет-
является требование, чтобы эта область была подграфиком:
fry) 6^ и 0<у<у=>(х,у)е&. A2.47)
Это свойство не обязано оставаться выполненным, если материал
неоднороден, однако в нашем случае оно естественно; его можно
279

определить следующим образом:
ip(*) = sup {у :(*, у) еЩ, Os^x^c, _ A2.48)
Q = D, U A> U {(*,*/): 0<*<с и 0<у<у(х)}. A2.49)
Заметим, что график функции ср состоит из кривых Г0 и 1\, а не
только из кривой 1\, как график функции ф.
Нефизические решения. Вопрос, касающийся условий A2.13),
A2.27) и A2.34), более тонок: фактически, эти условия нельзя вы-
вывести из представленной формулировки. Чтобы исследовать этст
вопрос, заметим сначала, что задача в том виде, в каком мы ее пос-
поставили, имеем псевдорешения, т. е. решения, не имеющие физи-
физического смысла. Одним из таких решений, например, является ре-
решение, соответствующее полностью влажной дамбе; точнее гово-
говоря, решением задачи 12.1 будет пара, состоящая из Q = D и реше-
решения следующей смешанной задачи Дирихле—Неймана.
Задача 12.2. Найти р такое, что
A2.50)
A2.51)
A2.52)
A2.53)
A2.54)
Это — задача с фиксированной границей. Ее вариационная
формулировка имеет вид: найти такую функцию р 6 К, что
Л/7
Р
Р
р
др/ду
= 0 в
= Y (У,
= У (У2
= 0
= —v
А
-у)
-у)
на
на
на
на
Г1(
г.,
Г3,
Го-
grad p grad {р — v) их dy^ { (р {х, 0) — v {x, 0)) dx Vy 6 К, A2.55)
Ь а
где
K = {veHi(D):v = y(y1 — y) на 1\,
f = Y(#2 — У) на Г2, у = 0 на Г3} A2.56)
(в задаче 12.2 подобное условие гладкости отсутствовало). Задача
A2.55) (и, следовательно, задача 12.2) имеет единственное решение,
которое согласно принципу максимума строго положительно в D.
Оно является также решением задачи 12.1, поскольку если Й == D,
то условия A2.41), A2.42) и A2.44) превращаются в единственное
условие A2.53).
Каким образом можно исключить решения подобного рода?
Мы не можем требовать, чтобы Q Ф D, так как в ряде случаев
Q =s D соответствует истинному решению — например, в случае
треугольной дамбы. Наиболее естественным предположением яв-
является условие A2.34), однако это условие, помимо того что требу-
требует гладкости функции ф, не исключает нефизических решений,
соответствующих полностью влажной дамбе — например, если
280

уг = max Y (x), функция Y {x) — выпуклая и Й ^э D не соот-
U.fr]
ветствует физическому решению. Ввиду этого вместо условия A2.34)
наложим условие A2.13) или эквивалентное ему условие A2.27).
Прежде чем доказать, что условие A2.27) исключает псевдоре-
псевдорешения, по крайней мере, если граница Y (х) гладкая (это, помимо
всего прочего, исключает случай треугольной дамбы), докажем
эквивалентность условий A2.13) и A2.27). Эта эквивалентность
вытекает из следующих выкладок, являющихся формальными,
поскольку на функцию ср не наложено никаких условий гладкости:
JLl. Г ЕЕ а — J__?.
У J У
дР
и
= -A +ф'2 {Х))^ИЕ!1±У1 (х^(х)) (,2.57)
(в третьем равенстве использовано условие A2.50)).
Докажем теперь, что задача 12.2 с условием A2.27) не имеет ре-
решений. Для удобства перейдем от функции р к функции и, т. е.
рассмотрим эквивалентную задачу: «Аы = 0 в D, ди/ду = 0 наГ0,
и_= ул на Г,, и. = у2 на Г2, и = у на Г3 и du/дя < О^на Г3». Пусть
и — решение этой задачи, М — точка максимума и. Из того, что
Аи = 0 в D, и из принципа максимума следует, что М % D, а из
того, что ди/ду — 0 на Г„, и из принципа максимума Хопфа имеем
М $; Го; следовательно, М ? Г. Далее, тахр и =» таХ[а,й) V^Jx),
поэтому одной из точек максимума функции и является точка М ==з
= (х, Y (х)), где х — точка максимума функции Y (х). Из принци-
принципа максимума Хопфа имеем duldn (M) > 0, что противоречит ус-
условию ды/<Эя <0 на Г3.
Замечание. Всюду в дальнейшем для простоты изложе-
изложения мы полагаем у = 1, что не ведет к потере общности — мы прос-
просто делаем замену неизвестного р -*- ply. Между выбором у — 1
и выбором k = 1 нет несовместимости, даже если вид соотношения
между k и у задан: все улаживается путем соответствующего (воз-
(возможно, не очень рационального) выбора единиц измерений.
281

12.3. Математическая задача
В этом разделе мы дадим более строгую формулировку задачи '
12.1 и докажем результат, касающийся существования решения.
ААы приведем также результаты, касающиеся единственности и
гладкости решения в случае дамбы со специальной геометрией.
12.3.1. Строгая формулировка задачи со свободной границей.
Геометрия задачи. Определим сначала строго геометрию зада-
задачи (см. рис. 12.2 и диагр. 12.1).
Определение 12.1. Пусть а, Ь, с, у1 и у2 — пять таких
вещественных чисел, что а <0 <.с <.Ь и 0 <. у2<С Уг, а Кб
€ С3 ([а, Ь\) — такая вогнутая функция, что Y (а) = Y (Ь) = О,
Y @) = уъ Y (с) = у% и Y' @) ;> 0. Термином дамба будем назы-
называть множество D = {(х, у) 6 R2: а < х < Ь; 0 < у < Y {х)}. Да-
Далее, положим Ог = {{х, у) 6 D: а < х < 0}, D2 = {{х, у) 6 Ь:
с < я < b), D3 = {(*, у) € D: 0 < а: < с}, Го = {(*, 0): а < х <
<Ь}, Г *={(*, К (ж)): а <*<&}, 1\ = {(*, К (ж)): а < х < 0},
Г2 = {(х, Y (*)): с < ж < 6} и Г3 = {(х, Y (х)): 0<х< ср
Интегральная формулировка. Рассмотрим теперь задачу, яв-
являющуюся строгой переформулировкой задачи 12.1 в интеграль-
интегральной форме.
Задача 12.3. Найти такую пару (р, й), что
П Я1 (Я). A2.58)
УМ
функция х-*- I -? dy не убывает на [0, с], A2.59)
о
A2.60)
A2.61)
A2.62)
A2.63)
A2.64)
если
} A2.65)
то
p>
p>
p =
p =
p =
0
0
У\ — У
У 2 —У
0
в
на
на
на
на
А
Го.
Гг.
Г„
г3;
Сг = {1|) 6 С°° (D): i|j = 0 в окрестности Г}, A2.66)
V^p € Сг Г grad ip + y) grad tydxdy^O. A2.67)
Q
Докажем, что задача 12.3 действительно является переформули-
переформулировкой задачи 12.1 (или, точнее, ее «расширением»; кавычки обу-
обусловлены гем, что мы исключили какое-либо явное упоминание о
свободной границе). Из A2.58), A2.61) и A2.65) получаем A2.37).
Условия A2.62) и A2.63), которые следует понимать в смысле неп-
непрерывных функций, совпадают с условиями A2.39), A2.40) соот-
282

ветственно. Условие A2.64), которое также следует понимать в
смысле непрерывных функций, включает условие A2.41), а также,
вследствие непрерывности функции р и по определению области
й,— условие A2.42) (точки 1\ являются точками аккумуляции ну-
нулей функции р).
Проанализируем теперь информацию, содержащуюся в уравне-
уравнении A2.67). Для любой функции г|з 6 Сг имеем
О = f grad {р + у) gradibdxdy= [ grad (p + у) grad tydxdy —
i &
— f grad (/?+</) grad tydxdy =
= ^ grad [p+y) grad ydxdy — j -~dxdy=*
d o\a
= J f grad (p + y) grad ф - xo4a Q] dx dy. A2.68)
Отсюда, взяв tji ? C^° (D), имеем
К =0в 5J'(D) A2.69)
или
= 0 в 0'(D), A2.70)
что включает уравнение A2.38).
Кроме того, из A2.67) и из A2.70) (или лучше из A2.38)) с по-
помощью формулы Грина получаем
0= t grad (р +у) grad у dxdy
Q 30 dQ\r
A2.71)
Таким образом,
д(р + у)/дп = 0 на ЗО\Г = Г0иГ^ A2.72)
в смысле следов функций из Яд (й)е={м6Я'Ф):Ды?12(й)}, что
включает как условие A2.43), так и A2.44).
Дифференциальная формулировка. Интегральная формулиров-
формулировка 12.3 удобна как иллюстрация того, что задачи 12.1 и 12.3 —
это «одно и то же». Для дальнейших рассуждений, однако, более
удобна следующая эквивалентная дифференциальная формули-
формулировка.
Задача 12.4. Найти функцию р и область Q такие, чтобы
выполнялись условия A2.58)—A2.64),
др/ду = — 1 на Го A2.73)
283

и, если Q определено условием A2.65),
в 0'(D). A2-74)
Мы уже видели, что формулировка задачи 12.3 включает форму-
формулировку задачи 12.4. Чтобы увидеть, что формулировка задачи
12.4 включает формулировку задачи 12.3, покажем, что из условия
A2.73) (его следует понимать в смысле следов функций из Н A(Q))
и равенства A2.74) следует через условия A2.61), A2.65) равенст-
ео A2.67) (и, следовательно, в частности, что информация о Г\,
содержащаяся в условии A2 72), уже присутствует в уравнении
A2.70)). С одной стороны, мы можем применить формулу Грина
(см. A8.31)) (поскольку div (grad/? + X,, grad у) = А/? + djldy =
= 0 6 La (D) и gradp + Хц grad у ? {L2 (D)}2), а с другой.- \сло-
вии A2.61) и A2.65) гарантируют, что xbi = 1 в окрестности Го.
Следовательно, для любой функции г|; 6 Сг имеем
f grad (p-\-y) grad tydxdy = f grad (/?-)-у) gradty dxdy —
4 D
— f grad (p-\-y) grad t|) dx dy =
= J [grad {p + y) — XDNagrad y) grad ф dx dy =
D
= j" [grad/? -)- ^rady — A —^grady] gradtydxdy =
и
= ^ [grad/? и- хй grad y] grad \)pdxdy= [ \gnd p+%agrad y]-ntydy =
D Г,.
J J
l\, Г»
Если убрать промежуточные члены, то равенство A2.75) станет не
чем иным, как равенством A2.67). Напомним, что в гл. 7 нам уже
встречались задачи со свободной границей, хотя они и не формули-
формулировались как таковые. Так, задачи с препятствием 7.29 является
настоящей задачей со свободной границей: при этом свободной
границей является та, что разделяет контактное и отделенное мно-
множества. Далее, в задаче с препятствием мы имели пару условий
—Аи =s^ 0 и и ^ г|), в задаче же о дамбе имеем условие —i\p =
== д%.: /ду ^0 (заметим, что при возрастании у функция у вме-
вменяется от 1 до 0), а также условие /? ^ 0 (а пе р ^ip): naj я усло-
условий, таким образом, не является «хорошо подобранной», и мы не
можем поэтому надеяться получить область Q как отделенное
множество вариационного неравенства для переменной р. Другой,
несколько менее эвристический путь, приводящий к тому ле чы-
воду, основан на том, что если бы функция р была решением вари-
вариационного неравенства, то она была бы более гладкой (напгч-, чер(
р?С* (D)); но тогда из пары условий p|D\u= 0, д (/?+ у)о^1п —
284

= 0 следовало бы, что Г\ — вертикальный отрезок. Это приводит
к необходимости преобразования задачи.
12.3.2. Преобразование задачи со свободной границей.
Интегральное преобразование. Введем функциональное преоб-
преобразование, являющееся основой представляемого в настоящей кни-
книге метода решения задач со свободной границей Заметим, что пре-
преобразование р -*-U, определяемое ниже равенством A2.76), тесно
связано с преобразованием р -*¦ г, определенным в ч. I, формулой
(8.52), точнее U = —г. Здесь мы предпочтем работать с функцией
U, а не г, как для того, чтобы сохранить обозначения из работы
[1371, которыми мы будем часто пользоваться, так и потому, что
рассуждения, проводимые здесь, не зависят от рассуждений, при-
приведенных в ч. I.
Определение 12.2. Положим для функции р 6 С0 (D) Л
Л Н] (D) и точки (х, у)еЪ
U{x,y)= \p{x,l)dt. A2.76)
6
Ясно, что это определение функции U эквивалентно условию
«dU/dy = р в D и (У = 0 на Го», и, таким образом, зная U. мы
можем восстановить все физические и геометрические величины,
которые мы до сих пор рассматривали. Первый вопрос, который
мы обсудим, заключается в формулировке условий задачи 12.4 с
помощью функции U, т. е. в ответе на вопрос — какую задачу ре-
решает функция (У?
Задача для функции U. С помощью результатов о гладкости ре-
решений задачи 12.3 (они устанавливаются независимо от того, суще-
существуют ли эти решения или нет) можно доказать, ]т>
UeW2'(D) Vr< + oo. A2.77)
Позднее мы наметим путь этого доказательства; дальнейшие дета-
детали можно найти в [137, с. 595].
Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удов-
удовлетворять функция U. Из A2.76) и A2.74) (мы используем обозна-
обозначения для производных, отличные от ранее использованных, но
являющиеся, однако, стандартными) получим соотношения
Dy (At/ + Xo) = bDyU + Dy%Q = Ap + Dyla = 0 в #' (D), A2.78)
которое показывает, что А(/ + %q — обобщенная функция, не за-
зависящая от переменной у, т. е. вида / (х) ® 1. Далее, из A2.61)
и A2.65) следует, что существует открытое множество 9 в R2 та-
такое, что Го с 6 и 6 Л D с= й: положим 9' = 9 Л D и 6" = 9' U Го.
В 9' имеем %ц з= 1 и, поэтому из A2.74) получаем Ар =
= 0 в 9'. Следовательно, р ? Сх (9') (в действительности р (Е
€ С<° (9') ...), а отсюда и из A2.73) следует, что р 6 О (9"). Мы мо-
можем поэтому утверждать, что U ? С™ (9") и, таким образом, в 9"
можно вычислять производные функции 0 в классическом смысле.
285

Поскольку xQ = 1 в 6', имеем
(Д[/ + Хо)(х,У) = DlJ/ф, t)dt+D2u\p(х, t)dt=
о о
= lpxx(x,t)dt + py(x,y)+\, A2.79)
о
то из A2.73) находим, что
a0) = 0. A2.80)
Таким образом, At/ + Xq — обобщенная функция, не зависящая
от у и совпадающая в 9' с гладкой функцией, равной нулю на Го:
путем продолжения в D получаем
At/+ 5^ = 0 в $'(D) A2.81)
или
— Л?/ = Хц п- в- в D- A2.82)
Краевые условия для функции U. Предыдущие рассуждения
позволяют записать:
Q содержит окрестность Го. A2.83)
Из A2.76) и A2.60) имеем
t/s>0 в D, A2.84)
из A2.76) и из A2.62)—A2.64) имеем соответственно следующие
условия для наклонной производной на границе:
Уу = У1 — У на Гх, A2.85)
Uy = y2 — y на Га, A2.86)
t/y = 0 на Г3. A2.87)
К этим условиям добавим условие Дирихле
U = 0 на Го, A2.88)
которое следует из A2.76).
Покажем теперь, что информацию, содержащуюся в A2.59),
можно выразить через функцию U с помощью условия
x-*U(x,Y(x)) выпуклая на [0,с]. A2.89)
Действительно, из A2.77) и из теоремы вложения Соболева (см.
ч. 1) следует, что U ? С1 (D). Таким образом, если Y — функция
класса С8, то след функции U на Г — функция класса С1. Следо-
Следовательно, при х 6 @, с) имеют смысл следующие выражения:
?¦ U (х, Y (х)) = Ux (х, Y (х)) + Y' (х) Uy (x, Y (*)) =
У М
= Ux (х, Y (х)) =[Dx$p (х, t) dt] = j px (x, t) dt A2.90)
о о
286

(заметим, что из Uy = р и из A2.60) имеем Uy (x, Y (х)) = 0 на
@, с)). Отсюда и из A2.59) заключаем, что справедливо неравен-
неравенство
-^U(x,Y(x))>0 на @,с). A2.91)
Это неравенство следует понимать в смысле обобщенных функций
и интерпретировать как аналитическую запись условия A2.89).
Запишем теперь область й с помощью функции U. Поскольку
функция р непрерывна, из A2.60) и A2.65) имеем условие
Q = \(x,y)eD: J p(x,t)dt>Oy, A2.92)
у
следовательно, по определению функции U,
Q = {(x,y)eD:U(x,y)<U(x,Y{x))}. A2.93)
Это условие можно записать в более строгой форме, поскольку
D, U D2 <= Q:
nU (x,y)<U(x,Y (x))}. A2.94)
Чтобы показать, что Dx cz Q (соответственно D2 с: й), напомним,
что из условий A2.84) и A2.93) следует, что й — подграфик, а
поскольку функция р непрерывна, из A2.65) и A2.62) (соответст-
(соответственно A2.63)) следует, что в D существует окрестность Гх (соот-
(соответственно Г2), внутренние точки которой лежат в области Q.
Заметим еще, хотя это и не представляет непосредственного
интереса при формулировке задачи с помощью функции U, что
пропускная способность дамбы определяется выражением
qd = -Ux@,yi) A2.95)
и что линии уровня функций Ux и Ux + у в области Й являются
соответственно линиями тока и линиями равного потенциала.
Таким образом, функция U является решением следующей
смешанной краевой задачи с граничными условиями типа Дирихле
и типа наклонной производной.
Задача 12.5. Найти функцию U такую, что
A2.96)
x-+U(x,Y(x)) выпукла на [0,с], A2.97)
A2.98)
A2.99)
A2.100)
A2.101)
A2.102)
287
ив>о
и = о
Uy = z/x --
U у = Уг~
иу = о
в
на
У на
У на
на
D,
Го.
г,.
г3;

если
Q = DX U D2 U {(х,г/NО:0<х<с и U(x,y)<U(x,Y(x))}, A2.103)
TO
й содержит окрестность Го, A2.104)
— A?/ = Xq п. в. в D. A2.105)
Условия A2.98)—A2.102) следует (в силу A2.96)) понимать в
смысле функций класса С1; условие A2.96), кроме того, гаранти-
гарантирует, что множество й, определяемое A2.103), открыто.
Введем теперь следующее понятие.
Определение 12.3. Решение задачи 12.5 назовем глад-
гладким, если функция х -*¦ ц> (х), где
Ф(х)= sup {«/:(*, г/) 6Й}, 0<х<с. A2.106)
непрерывна и строго убывает, и существует число s? @, с) такое,
что ф (х) < Y (х) на @, s) и ф (х) = Y (х) на Is, с].
Заметим, что число s интерпретируется как абсцисса висящего
источника в точке Сф, кривая {(х, ф (х)): х 6 @, s)} — как свобод-
свободная линия Г\, а кривая {(х, ц> (х)): s < х < с} — как линия про-
просачивания Го. Сужение функции ф на [0, s] будем обозначать че-
через ф.
План действий. Преобразуем дифференциальное уравнение A2.105)
в соответствующее многозначное дифференциальное уравнение —
это преобразование укажет направление дальнейшего исследова-
исследования задачи 12.5 и поможет выяснить истинную природу этой за-
задачи.
Пусть М : L1 (D) -*- L1 (D) — оператор, определяемый соотно-
соотношениями:
U
[ , A2Л07)
lconv[«(x,K(x))]+, если {x,y)eDt,
где conv : L1 (@, с)) -*¦ L1 (@, с)) — оператор, определяемый соот-
соотношением (conv /) (x)=sup {ax + р: а, р ? R, ах+ р < / (х) п. в.
на @, с) (т. е. conv / — верхняя оболочка аффинных функций, ко-
которые «ниже» функции /; если / ^ 0, то 0 ^ conv / ^ /; conv —
непрерывный оператор, например, в пространстве Н1 @, с))). Пусть
|3: R -*- 2R — максимальный монотонный оператор такой, что
р@={1} если f>0, Р(О)ЭО. A2.108)
Теорема 12.1. Если U — решение задачи 12.5, то выполня-
выполняется условие
— We${M(U)~U) п. в. в D. A2.109)
288

Доказательство. Пусть U—решение задачи 12.5. Из
A2.98) и A2.99) имеем
U(x,Y(x))^U{x,y)>0 в D; A2.110)
из A2.103) имеем
V(x,Y(x))>UJx,y) в Q, A2.111)
U(x,Y{x))=U{x,y) в D\Q; A2.112)
из A2.10) и A2.97) имеем
conv [77 (х, Y {x))]+ = U{x,Y (x)). A2.113)
Теперь из A2.107), A2.111) и A2.113) следует, что
M{U)>U п. в. в Q, A2.114)
а из A2.107), A2.112) и A2.113) —что
Мф) = п в D\Q. A2.115)
Из A2.114), A2.115), A2.105) и A2.108) получаем окончательно
A2.109). ?
Наименьшим возможным является оператор р, определяемый со-
соотношениями
'!}, если ^>0,
¦ = (—00,1], если t = 0, A2.116)
Л @ = 0, если ^<0;
для него условие A2.109) может быть также записано в виде
МG/)>/7, — Д?7<1, ф—Мф)){—ДСГ— I) = 0 п. в. в D;A2.117)
этот набор выражений напоминает об интерпретации квазивари-
квазивариационного неравенства как краевой задачи (в частности, о задаче
11.7) и показывает истинную природу задачи 12.5. Наибольшим
возможным оператором р является монотонный максимальный опе-
оператор, связанный с функцией Хэвисайда, т. е. оператор
= {1} если t>0,
= [0,1], если * = 0, A2.118)
= {0}, если ?<0,
для которого условие A2.109) можно также записать в виде
— ДС/бХо +%D +XDH(conv[U(x,Y(x))]+-U(x,y)) п. в. в D,
A2.119)
т. е. в виде многозначного дифференциального уравнения, которое
мы, фактически, и будем изучать.
Преимущество выбора р = Я по сравнению с р = h (и с любым
другим выбором р\ удовлетворяющим A2.108)), заключается в том,
19 К. Байокки, А. Капело 289

что условие A2.119) содержит информацию о том, что 0 ^ — АС/,
а условия A2.117) не содержат. Важно заметить, что (как мы толь-
только что показали) если U — решение задачи 12.5, то U — решение
•задачи 12.5, в которой уравнение A2.105) заменено условием
A2.119); но если U — решение последней задачи, то для того, что-
бы U было также решением задачи 12.5, необходимо знать, что
dQ имеет нулевую меру (см. начало п. 12.3.6).
Доказательство существования решения задачи 12.5 проведем
в три этапа. На первом этапе (см. п. 12.3.3) будем предполагать
правую часть A2.119) полностью известной, т. е., полагая правую
часть равной F = %Dt + %Dl + Xd, Н (conv W {х, Y (х))]+ — U (х,
у)), будем изучать линейную смешанную задачу с краевыми условия-
условиями типа Дирихле и типа наклонной производной для дифферен-
дифференциального уравнения — At/ = F. На втором этапе (см. п. 12.3.4)
предположим, что известна лишь функция / = conv [U (x, Y (х))]+,
и изучим смешанную краевую задачу с краевыми условиями типа
Дирихле и типа нелинейной наклонной производной для много-
многозначного дифференциального уравнения — AU g %D + %D -\-%D H (/—U)
(используя, естественно, информацию, полученную на первом этапе).
Наконец, на третьем этапе (см. п. 12.3.5) мы изучим задачу
12.5 (используя результаты, полученные на предыдущих этапах),
а именно мы покажем, что решения задачи 12.5 являются непод-
неподвижными точками преобразования, связанного соответствующим
образом с задачей, изучаемой на втором этапе.
12.3.3. Изучение линейной смешанной задачи.
Задача. Этот пункт посвящен изучению следующей задачи.
Задача 12.6. Даны функции ?б(#оо2(Г))' и F6L2(D). Найти
функцию u^IP-(D) такую, что
— A« = F в #'(D), A2.120)
7о« = О на Го, A2.121)
YoM = g на Г. A2.122)
Укажем сначала, в каком смысле следует понимать условия
A2.121), A2.122). Для A2.121) задача проста: это условие следует
понимать в смысле (сужений) функций из Я1/2 (dD), т. е. в смысле
функций из #оо2 (Го) (ср. с примечаниями в конце раздела 17.5).
Смысл условия A2.122) более сложен.
Мы изучим задачу 12.6 при помощи вариационной методики.
Для этого необходимо выбрать подходящее представление опера-
оператора А и связанной с ним билинейной формы. Это представление не
может быть стандартным, поскольку на Г задано (в задаче 12.5,
а потому и в данной задаче, если мы хотим связать их) условие
наклонной производной, точнее, условие для функции иу. Таким
образом, A2.122) следует понимать в смысле следов, полученных
с помощью формулы Грина, связанной с билинейной формой, т. е.
290

ya — конормальная производная, связанная с билинейной формой,
которую мы выбираем,— формой а. Итак, мы должны, прежде
всего, определить, что представляет собой эта форма, а затем до-
доказать формулу Грина.
Билинейная форма. Искомую билинейную форму построим
исходя из эвристических соображений. Представление оператора
А должно быть таким, чтобы конормальная производная воспро-
воспроизводила наклонную производную на Г; подходящим представле-
представлением будет представление G.121), которому соответствует, напри-
например, форма G.122). Остается найти такое t, что
где k — коэффициент, который должен быть соответствующим об-
образом контр-сбалансирован; его присутствие объясняется тем,
что мы знаем, в каком направлении необходимо производить диф-
дифференцирование, но не знаем величины производной. Имеем на Г:
л = (-ГМ/)/1 + Y'(xf, \IV\ + Y' (xf\ A2.124)
r = (l/Kl + Y' {xf, Y' {x)lV\ + Y' (xf); A2.125)
таким образом,
-1^ = jr- . Y> (x) =r + 4^- , ' A2.126)
^u ^ ди - 1 ди K'W П2 127^
дт д* Vl-fK'(xJ аУ У1 + К'(*J' '
Подставляя A2.126) и A2.127) в A2.123) и полагая коэффициент
при ди/дх равным нулю, получаем
* = — Y'(x), A2.128)
k(x,y)=l+Y'(xf. A2.129)
Подставляя A2.128) в G.122), находим искомую билинейную форму:
/. A2.130)
На этом мы заканчиваем эвристические рассуждения.
Формула A2.130) определяет непрерывную билинейную форму из
Я1 (D) X Я1 (D) в R, которая, вообще говоря, не является коэр-
коэрцитивной. Эта некоэрцитивность, однако, не составляет серьез-
серьезной проблемы, поскольку из A2.121) видим, что нас интересует
сужение формы а на Vo x Vo, где
1/0 = {у6Я1(?>):То^ = 0 на Го}, A2.131)
и форма а непрерывна и коэрцитивна в Vo X Vo. Непрерывность а
в Vo X Vo следует, фактически, из непрерывности а в Я1 (D) х
X Я1 (D) и из того, что Vo — замкнутое подпространство прост-
19* 291

ранства Я1 (D). Форма а коэрцитивна в Vo, так как соотношение
02.132)
определяет в Vo норму, эквивалентную индуцируемой из Я1 (D),
пространство СГо = {г|> 6 С°° (D) : г|>|Го = 0} плотно в Vo, и для
любой функции 1|э 6 СГо можно записать последовательно (исполь-
(используя, в частности, вогнутость функции Y):
py - Y"^) dx dy =
j \\y \\2Vo-
- f Y'W dx dy = \\4 \\2Vo - 4- J Я» (i"'t2) ^ ^ = II * '^. -
- -y j Y" W t2 (*. ^ (*)) d* > IIФ H2k0- A2.133)
a
Формула Грина. Докажем следующую теорему — частный слу-
случай теоремы 18.9.
Теорема 12.2. Ест u?Hl(D) и v?Vv то справедлива фор-
формула Грина
a(u,v) = — j Auvdxdy +шиа1Т)у(Уаи\Т, Yo" |г>^/2{Г)- A2.134)
и
Доказательство. Пространства Яоо2(Г) и Яоо2((а. Ь)) изо-
изоморфны, поскольку кривая Г параметризована с помощью переменной
х 6 (а. Ь). То же самое справедливо и для двойственных пространств.
В этих условиях функции уаи\г и уо«|г могут быть представлены
как функции переменной х. Для уои |г это легко: уоы |г = и (х, Y (х)),
где функция и гладкая. Для уаи\г имеем
yau = {\+Y'{xf)uy{x,Y{x)), A2.135)
где функция и тоже гладкая (отметим присутствие множителя
1 + Y' (хJ!). Мы знаем, что Сг плотно в Vo, a C°° (D) плотно
в H\(D), поэтому нам достаточно рассмотреть гладкие функции,
после чего с учетом указанной плотности можно будет заключить,
что отображение и-*-уаи (уа определяется соотношением A2.135))
можно расширить до линейного непрерывного отображения из Яд (D) в
Ноо2((а,Ь))' (отображение v-+yuv\r из У в Hlb2([a, b]) линейно и
непрерывно). Именно в таком обобщенном смысле и следует пони-
понимать условие A2.122) —заметим, что из F ? L2 (D), и ? Н1 (D) и
A2.120) имеем l
292

Нам нужно доказать, таким образом, что для и 6 С°° (D) и v 6 СГо
ь
a(u,v) = — j Auvdxdy+ J A + Г' (xJ)^ (х,Г (*))и(*, V (x))dx.
D a
A2.136)
Эта формула получается путем следующих выкладок:
а (и, v)= j {(«я — Y'uy) vx + (иу + Y'ux) vy — Y"uyv) dx dy =
= J P, (» («* - ^Ч)) + Я» (о («у + *"«,)) - ™хх + ^ '
D
— ш„„ — vY'uxy} dx dy= — f i/Ли dxdy+ f Дж (и (иж — К'и
+ Г Dy (и (И„ + Y'uJ) dxdy = —\ vAu dx dy +
D D
> — J v(uu + Y'uJdx =
$D dD
b b
- f v {ux — Y'Uy) Y'dx — f v (uy + Y'ux) dx =
Da a
b
= — [vAudxdy+ f o(l +Y'2)uydx. A2.137)
D a
Заметим, что при переходе от четвертого члена к пятому dx Л
Д dy=—dy/\ dx. Заметим, далее, что интегрирование по dD вы-
выполняется в прямом смысле и что функции их, иу и v под знаком
ь
интеграла \ вычисляются в точках (х, Y (х)) — мы не выписали
а
всего этого полностью, чтобы не усложнять выражений. ?
Вариационная задача. Исследуем теперь задачу 12.6. Для это-
этого рассмотрим следующую вариационную задачу.
Задача 12.7. Пусть F?L*(D) и я€(Яо^(Г))'; найти
аМ = ^Шу+ш]^.у^фт. A2.138)
Задачи 12.6 и 12.7 эквивалентны (иными словами, задача 12.6
является интерпретацией задачи 12.7 как краевой задачи). Дей-
Действительно, если и — решение задачи 12.6, то из того, что и 6
6 Я1 (D), и из условия A2.121) имеем и 6 Vo, а из A2.120) и A2.122)
(с учетом A2.134)) — равенство A2.138). Наоборот, если и — ре-
решение задачи 12.7, то и ? Vo, поэтому, и ? Я1 (D) и выполняется ус-
условие A2 121). Далее, полагая v ? 2) (D) в A2.138), получаем
A2.120), а отсюда, также с помощью A2.138) и A2.134),— равен-
равенство A2.122)
293

Лемма Лакса — Мильграма, которую мы можем теперь приме-
применить, поскольку а—коэрцитивная непрерывная билинейная форма,
a v -+¦ f Fv dx dy+ ,/2 ,(g>Vov\r) ,/2 —непрерывный линейный
r\ 00 00
функционал в Vo> гарантирует, что задача 12.7 имеет одно и только
одно решение; следовательно, задача 12.6 также имеет единствен-
единственное решение.
Правые части g и F. Правые части g и F были взяты в очень об-
общей форме, но нас интересуют вполне конкретные случаи. Так,
в дальнейшем g будет функцией, определяемой следующим обра-
образом (множитель A + Y' (л:J) компенсирует тот, что присутствует
в уаи ...):
Ш+Y' (хJ) (у, — Y (х)), если а < х < О,
g(x)= 0, если 0<х<с, A2.139)
W+Y'(xJ)(y2 — Y{x)), если c<x<b
(вспомним, что мы говорили в начале доказательства теоремы
12.2 ...), а второе слагаемое в правой части уравнения A2.138)
будем в дальнейшем записываться просто как интеграл
~ ^g(x)v(x,Y(x))dx.
а
Что касается функции F, то, поскольку она «является» правой
частью уравнения A2.119), мы предполагаем, что выполнены ус-
условия
FeL~(D),
F=l в
•F>0 n
. в. в D.
A2.140)
A2.141)
A2.142)
Гладкость решения. С помощью довольно тонкой методики (см.
[137, с. 595]) можно доказать следующее утверждение о гладкости
решения задачи 12.6: если функция g задана соотношениями
A2.139), а функция F удовлетворяет условиям A2.140) и A2.141),
то
ueW2'r(D) Vr< + oo. A2.143)
Гладкость функции и вдали от углов области D следует из
обычных результатов о гладкости решений краевых задач для опе-
оператора Лапласа; предположения же, касающиеся функций g и F,
являются здесь условиями совместимости этих функций вблизи
углов области D. Утверждение A2.143) можно получить, например,
применяя к данному случаю рассуждения из [442] (дальнейшие
подробности см. в [137]).
Используя утверждение A2.143), краевые условия задачи 12.6
(где функция g задана соотношениями A2.139)) можно теперь
294

интерпретировать в смысле функций класса С1:
и|Го = О, A2.144)
A2.145)
Tt A2.146)
иу\Гз=0. A2.147)
Примем без доказательства (оно основано на том, что задача
12.6 является проблемой индекса,— см. [137, с. 5961) утверждение:
если функция g задана соотношениями A2.139), Fv F2 6 Lr (D) (r ?
6 B, +oo)) и Fi = F2 = 1 в Dx U D2, то существует постоян-
постоянная cr, не зависящая от Fls F2, такая, что
>,- A2.148)
u\x,y)>
иу(х,у)>
u(x,Y(x))>
uy (x, 0) >
0
0
0
0
в
на
на
на
D,
3D,
(а.
(а,
Ъ),
Ъ).
Неравенство A2.148) выражает разновидность непрерывной зави-
зависимости решения и от правой части F.
Докажем теперь, что решение и задачи 12.6 обладает также сле-
следующими свойствами: если функция g определена соотношениями
A2.139), а функция F удовлетворяет условиям A2.140) — A2.142),
то
A2.149)
A2.150)
A2.151)
A2.152)
Для доказательства мы воспользуемся принципом максимума
(или, скорее, минимума). Пусть М — точка минимума функции и
в области D. Из равенств A2.120), A2.121) и классического прин-
принципа максимума имеем: М QD (функция и не является постоянной
в области D, это исключается условиями A2.145) и A2.146)). Да-
Далее, М $ Г, поскольку согласно принципу максимума Хопфа про-
производная функции и в точке М по любому внешнему направлению
должна быть строго отрицательна, в то время как из условий
A2.145)—A2.147) следует, что производная иу (она является на Г
производной по внешнему направлению) неотрицательна. Таким
образом, заключаем, что М 6 Го> поэтому согласно условию A2.144)
и (М) = 0 это доказывает неравенство A2.149). Одновременно мы
доказали неравенство A2.151). Из условий A2.145)—A2.147) по-
получаем на Г неравенство A2.150). Пусть теперь Р — точка на Го.
Поскольку Р — точка минимума функции и, производная иу в
точке Р по любому внешнему направлению должна быть строго
отрицательна согласно принципу максимума Хопфа; таким ^обра-
^образом, производная иу (на Го она является производной по внутрен-
внутреннему направлению) строго положительна. По непрерывности от-
отсюда следует, что в точках (а, 0) и (Ь, 0) справедливо неравенство
A2.150). Одновременно мы доказали неравенство A2.152).
295

12.3.4. Исследование нелинейной смешанной' задачи. Здесь мы
изучим следующую задачу.
Задача 12.8. Пусть / 6 L1 ((О, с)); найти функцию и такую,
что выполнены условия A2.143)—A2.147) и
0< —Лн<1 п. в. в D, A2.153)
— Au=l в Dt\)Dt. A2.154)
Чтобы показать, что эта задача имеет решение (к вопросу о
единственности мы вернемся позже), покажем, что ее можно рас-
рассматривать как интерпретацию в терминах краевых задач следую-
следующей вариационной задачи (в которой функция g задается соотно-
соотношениями A2.139)).
Задача 12.9. Пусть / ? L1 ((О, с)); найти такую функцию «,
что
a(u,u — v)+ Uf(x)-u(
Ь,
ь
< J I/(x) - v(x, y)]+dxdy+^g(x) (u (x, Y(x)) -v(x,Y(*))) dк -f
D3 a
+ j (u{x,y)-v(x,y))dxdy. A2.155)
Эта задача тесно связана с задачей 12.7: первый член в выра-
выражении для линейного непрерывного функционала (в Vo)
b
L(v) = ^g{x)v{x,Y(x))dx+ j v(x,y)dxdy, A2.156)
a D,UD.
который используется при задании краевых условий, уже рас-
рассматривался в связи с вариационным неравенством A2.138), за-
заметим в этой связи, что второй член в выражении A2.156) гаранти-
гарантирует, что на ?>i U D2 правая часть равна 1 (ср. с A2.141)). Заметим
также, что присутствие непрерывного выпуклого функционала
(в Vo)
It (v) = \[f{x)-v{x, y)]+dx dy A2.157)
делает задачу нелинейной.
Из результатов гл. 3 следует, что задача 12.9 имеет одно и толь-
только одно решение. Покажем теперь, что решение задачи 12.9 явля-
является также решением задачи 12.8. Полагая в неравенстве A2.155)
v = и — г|), где \р ? 0 {D), имеем
I/ — u]+dxdy^\ [f~и + \р]+dxdy +
i
+ j ypdxdy Vye2)(D), A2.158)
296

т. е., поскольку для i|>6jZ)(Z))
имеем
(- Ли, t>^(D) < J ([/ - " + if ]+ - [/ - u}+) Ax dy
+ j \pdxdy V^ ?#(?>). A2.159)
DiUD,
Если взять теперь в неравенстве A2.159) функцию \f> ^ 0, то (пос-
(поскольку [/ — и -f- ip]+ ^ [/ — и]+) получим неравенство
mD){-Au,Mp)mD)^0 V-фб^Р), t<0, A2.160)
то есть
— Дн>0 в #'(?>), A2.161)
Если же взять в неравенстве A2.159) функцию г|)^0, то получим
(поскольку в этом случае [/ — и + ty]+ < [/ — и]+ + №+ =
— [/ — "]+ + ¦ф) соотношения
0. A2.162)
то есть
— Ды<1 в #'(?>). A2.163)
Таким образом, мы доказали, что
0< —Л«<1 в 3)'(D), A2.164)
а, поскольку отсюда, в частности, следует, что Аи 6 J-°° (D), то
справедливы неравенства A2 153) Полагая теперь в A2.159)
¦ф = ± X, где %? 0 (D) и supp % с D1 \J D2, получим равен-
равенство A2.154) Поскольку, как уже указывалось, мы не изменили дан-
данные на границе при переходе от задачи 12 7 к задаче 12.9 и посколь-
поскольку из A2.153) и A2.154) следует, что существует функция F такая,
что условия A2.140) и A2.14!) выполнены, можно утверждать в
соответствии с тем, что было показано в п. 12.3.3, что решение и
задачи 12.9 удовлетворяет условиям A2.143) и A2.147)
Предположим теперь, что функция / непрерывна (/ 6 С° A0, с]))
и положим
Й+ = {(х, y)eD:}(x)>u (х, у)}, A2.165)
Q- = {(х, у) 6 Д,: / (х) < и (х, у)}, A2.166)
где и — решение задачи 12.9. Поскольку функции f и ы непрерыв-
непрерывны, из A2 165) и A2.166) следует, «то Q+ и Q- — открытые мно-
множества, и можно, таким образом, рассматривать пространства
297

2b' (Q+) и &' (й~). Покажем теперь, что
— Лы=1 в JS'(Q+), A2.167)
— Лы = 0 в ?>'(Q~). A2.168)
Действительно, если ф ? JZ) (D) и supp ф а Я+, то существует такое
число Яф>0, что |Я.КЯф=>/ + ^фф>« в Q+.
Поэтому, полагая в неравенстве A2.159) i|> = tap, запишем
^,(D)(— Ан, ЩтО) < j (/ — и + ХФ — [/ — н]+
+ f Xydxdy = [Хц> dxdy
D,UD, D
supp ф с Q+ при I Я, I < Я,ф; A2.169)
следовательно, поскольку % ^ 0, имеем равенство A2.167). Анало-
Аналогичным образом можно доказать равенство A2.168).
Заметим, что если функция f непрерывна, то задача 12.9, в сущ-
сущности, эквивалентна задаче 12.8, которую можно теперь записать
следующим образом.
Задача 12.10. Пусть f€C°([Q, с]); найти функцию и та-
такую, что выполнены условия A2.143)—A2.147) и условие
-Au(ExDl+XD,+XD3tftf-«)- 02.170)
Докажем эквивалентность задач 12.9 и 12.10, которая, в част-
частности, гарантирует единственность решения задачи 12.10. Мы
уже видели, что всякое решение задачи 12.9 является также реше-
решением задачи 12.10. Пусть теперь и — решение задачи 12.10. Из
A2.143) и A2.144) следует, что и 6 Vo> а справедливость вариацион-
вариационного неравенства A2.155) следует из приводимых ниже выкладок,
в_которых v — произвольный элемент пространства Vo:
а (и, и — и) — L(u — v) = — [ &и(и — v)dxdy -f-
6
4- f (« — v)dxdy— — f Au(u — v)dxdy=
Dt\JD, D,
a+
f (н — v) dx dy -f- f (/ — v) dx dy— f (/ — v) dx dy
+ +
q+
— J (/ — u)dxdy+ J {f — v)
^- [ [f-u}+ dxdy + [ [f-v]+dxdy. A2.171)
298

Заметим, что при переходе от первого выражения ко второму
мы воспользовались формулой Грина, доказанной ранее.
12.3.5. Исследование квазивариационной задачи. Существо-
Существование решения задачи со свободной границей.
Задача о неподвижной точке. В дальнейшем символом т будем
обозначать оператор из L1 (@, с)) в Vo, который каждой функции
/ 6 L1 ((О, с)) ставит в соответствие единственное решение задачи
Л
12.9 (х (/)=«), а символом 703 — обозначать оператор из Ко в Яоо2 (Г8)
(жНу^(@,с))), который каждой функции v?V0 ставит в соответствие
Л
сужение на Г3 ее следа нулевого порядка {yo-v = v{x,Y (х))>
0<х<с).
Отправляясь от операторов т, y03. conv и [.]+, построим оператор
Ф: Ко -> Vo посредством формулы
(D(c) = T(conv [yosv]+), A2.172)
и рассмотрим следующую задачу о неподвижной точке.
Задача 12.11. Найти такую функцию и ? Ко, что
Ф (?/) = ?/. A2.173)
Сказанное выше позволяет предположить, что решение задачи
12.5 совпадает с решением задачи 12.11. Здесь мы как раз собира-
собираемся доказать эквивалентность задач 12.5 и 12.11, а также дока-
доказать, что задача 12.11 имеет решение, и тем самым ответить на воп-
вопрос о существовании решения задачи 12.5.
Квазивариационное неравенство. Очевидно, что задача 12.11
эквивалентна следующей.
Задача 12.12. Найти функцию U ? Ко такую, что
VveV0 a(U,U — v) + i(U,U)^j(U,v) + L(U—v), A2.174)
где
/ (и, v) = f [conv [уози)+ — v)+ dx dy. A2.175)
Квазивариационные неравенства типа A2.174) рассматрива-
рассматривались в разделе 11.2: к сожалению, методика, использующая поня-
понятие монотонности, здесь неприменима, поскольку функционал
A2.175) зависит от параметра v, значения которого принадлежат
пространству Vo, не являющемуся полной векторной решеткой.
Заметим, что результаты о неподвижных точках из раздела 9.3
также неприменимы к исследованию задачи 12.11, поскольку в
данном случае в нашем распоряжении нет никаких предположений
о компактности и непрерывности по отношению к той же топологии
пространства Vo (отображение Ф сильно непрерывно, а простран-
пространство Vo слабо компактно). При доказательстве существования ре-
решения задачи 12.5 (в другой ее эквивалентной формулировке)
299

мы воспользуемся методикой, подобной той, что была разработа-
разработана Бенсусаном и Лионсом для вариационных неравенств.
Оператор т. Следаем небольшое отступление, чтобы исследо-
исследовать некоторые свойства оператора т, которые понадобятся нам,
в частности, при доказательстве эквивалентности задач 12.5 и
12.12.
Лемма 1. Оператор х непрерывен по Гё'льдеру и монотонен
в том смысле, что
I! т (Д) - т (/2) \\Ъ < || Л - /, ||Lmc)), A2.176)
/!</, п. в. на [О, c]=^(x(f1))(x,y)^(x(fi))(x,y) в D.
A2.177)
Доказательство. Сначала докажем неравенство
A2.176). Пусть «1 = т (/i) и и2 = х (/2); положим v = н2 в вари-
вариационном неравенстве A2.155), соответствующем /х, и v = щ в
вариационном неравенстве A2.155), соответствующем /2, и сложим
полученные неравенства почленно. Получим неравенство
а (и, - и„ И1 - и,) < J | /х W - /2 (х) I dx dy. A2.178)
Из A2.133) имеем
II «г - «2 IPVn < II к — Ы кнФ.с)У A2.179)
следовательно, справедливо неравенство A2.176).
Докажем теперь утверждение A2.177). Пространство С0 ([0, с])
плотно в L1(@, с)), поэтому мы можем аппроксимировать /х и /а
последовательностями {/i^,} и {/2>m} непрерывных на [0, с] функции
таких, что
</2,m(x) V*6I0,c], m?N.
Отсюда и из неравенства A2.176) видно, что достаточно доказать
A2.177) для функций fv/26С0([0,с]). Пусть /t(*)</,(*) —дае
непрерывные на [0, с] функции иС={(х,у):(х(/х)) (х, у) > (т (/2)) {х, у)}
(из A2.143) следует, что это множество открыто): на множестве С,
в силу условия A2.170), имеем А(т(/Х) — т(/2))^*0, и, следователь-
следовательно, по принципу максимума Хопфа и из условий A2.144) — A2.147)
получаем, С = 0. Q
Лемма 2. Для любой функции ^^((О.с)) имеем
(т (/)) (*. ^ W) > 0 при а < х < 6, A2.180)
(*(/))(*,$0 >0 в Д A2.181)
D. A2.182)
Доказательство. Неравенства A2.180), A2 181) сле-
следуют соответственно из неравенств A2.151) и A2.149) Для дока-
доказательства A2.182) ограничимся, как мы сделали это при доказа-
300

тельстве леммы 1, непрерывными функциями /. Положим С —
=¦ {(х, у): Dv (т (/)) (х, у) < 0} (это множество согласно A2.143)
открыто): на D3 [) С функция у >-*¦ f (x) — (т (/)) (х, у) строго воз-
возрастает, поэтому функция Н (J (х) — (т (/)) (х, у)) — невозрастаю-
щая. Отсюда и из условия A2.170) следует, что ADj,t (/) ^ 0, и,
следовательно, поскольку Dyx (f)\dD ^ 0 (согласно неравенству
A2.150)), принцип максимума Хопфа приводит к тому, что С=0.П
Еще две задачи. На этом мы заканчиваем наше отступление и
будем теперь рассматривать следующую задачу.
Задача 12.13. Найти функцию U такую, что
U?V0; ?/>0 и U = x(convy03U). A2.183)
Задача 12.13 эквивалентна задаче 12.11. Действительно, если
U — решение задачи 12.13, то U, очевидно, решение задачи 12.11,
и наоборот, если U — решение задачи 12.11, то согласно неравен-
неравенству A2.181) U ^ 0, и, таким образом, функция U является также
решением задачи 12.13.
Другой эквивалентной формулировкой задачи 12.11 является
следующая
Задача 12.14. Найти функцию U такую, что U 6 Vo, U ^ 0,
функция 7оз^ — выпуклая и
U = x(y03U). A2.184)
Легко видеть, что если U — решение задачи 12.14, то U — реше-
решение задачи 12.11. Докажем обратное: если U — решение задачи
12.13 (которая эквивалентна задаче 12.11), то
U(x,y)^(convy03U)(x) V(x,0)eA,, A2.185)
откуда следует, что y03U <; conv y63U и функция y03U — выпуклая
(заметим, что если О — решение задачи 12.13, то ?/!> 0, поэтому
Yost/ > 0).
Неравенство A2.185) докажем от противного; пусть
а = max {U (х, у) — (conv y03 Щ (х)} > 0. A2.186)
Из неравенства A2.182) следует, что этот максимум должен дости-
достигаться хотя бы в одной точке границы Г3, и, таким образом, пос-
поскольку (y@,K@)) = (convY03^)@) и U{c,Y{с)) = conv(y03U)(с) (за-
(заметим, что YMtf бСЧМ). так как UeCl(D) и Y б С3 ([а, 6])), мно-
множество
С= {* б @, с): t/(*,/(*))-(conv Yo8^W = «} A2.187)
непусто. Функции U и 70з^ непрерывны, поэтому множество С
замкнуто. Пусть х0 6 С. Из A2.187) имеем
U(x0,Y(x0))->(Convy03U)(x0); ¦
учтем также предположение, что U — решение задачи 12.13, откуда
U = т (conv Yo3^0' ИСХ°ДЯ из этого и из рассуждений, проводившихся
301

при исследовании задачи 12.10 (напомним, что yoa(J ? С1 ([0, с]), вы-
выводим, что — Ш = 0 в окрестности точки (х0, Y (х0)). Далее, из не-
неравенства
(conv y0SU) (x) < U (x0, Y (x0)) * (yoaU) (x0)
вытекает (напомним снова, что y03U ?С1([0,с])...), что функция y0SU
линейна в окрестности точки {х0, Y {х0)). Из всего сказанного следу-
следует, что функция
b(x,y) = U(x,y)-{convy03U)(x) A2.188)
— гармоническая в окрестности точки (х0, Y (х0)). Теперь из A2.186)
и A2.187) находим: б (х0, Y (х0)) — а!> б (х, у) и Ьу (х0, Y (х0)) —
= 0. Из принципа максимума следует, что существует окрестность
точки (х0, Y (л:0)), внутри которой 8 (х, у) з= а, т. е. что множество
С содержит окрестность точки х0, получено противоречие.
Интерпретация квазивариационной задачи как краевой задачи.
Теперь мы можем доказать эквивалентность задач 12.5 и 12.11, или,
точнее, задачи 12.5 и эквивалентных задач 12.11, 12.12, 12.13 и
12.14, о которой мы высказывали предположение в начале этого
пункта; этот результат мы сформулируем для задачи 12.12.
Теорема 12.3. Задачи 12.5 и 12.12 эквивалентны, или точ-
точнее, задача 12.5 является интерпретацией квазивариационной за-
задачи 12.12 как краевой задачи.
Доказательство. Если U — решение задачи 12.5, то
U является также решением задачи 12.14 и, следовательно, зада-
задачи 12.12. Обратно, пусть U — решение задачи 12.14. Докажем,
что U — решение задачи 12.5. Действительно, условие A2.96) сле-
следует из A2.143); условие A2.97) включено в условие A2.184);
A2.98) следует из A2.182); условия A2.99), A2.100), A2.101) и
A2.102) совпадают соответственно с условиями A2.144), A2.145),
A2.146) и A2.147); определение множества Я с помощью A2.103)
и A2.104) следует из A2.144) и A2.180). Равенство A2.105) вытека-
вытекает из следующих рассуждений: —At/ = 1 в Я, в силу A2.170);
MJ = 0 в D\Q, поскольку MJ < 0, согласно A2.170) и A2.184)
(учитывается также, что в D\Q имеет место равенство V (х, у) =
== Gоз^0 (*)> следующее из неравенств U !> ум^> по определению
множества Я, и Us^y03U, в силу A2.182)); MJ=Ay03U=(yoaU)"^O
(в ?>\Я), в смысле обобщенных функций, но также и почти всю-
всюду в D\Q, поскольку можно показать, что функция y03U — гладкая,
точнее: y03U 6 Wi? (@, с)) — см. [137, с. 603, лемма 3.5]). ?
Существование решения. Перейдем теперь к теореме о существо-
существовании решения задачи 12.5. Введем сначала следующее определе-
определение (полезное также с вычислительной точки зрения).
Определение 12.4. Обозначим через {0т} последова-
последовательность, определяемую рекуррентной формулой
t/m+i=T(conv"i>03?/m), m>0, A2.189)
где Uo — решение задачи 12.7, в которой g определяется соотно-
302

шениями A2.139), F = %Dt + %d,- Обозначим через {Um} после-
последовательность, определяемую рекуррентной формулой
1Г+1 = т (conv y03Um), m>0, A2.190)
где 11° — решение задачи 12.7, в которой g определяется соотно-
соотношениями A2.139), FaleD.
Как уже отмечалось, это определение важно с вычислительной
точки зрения. Фактически, здесь предложен новый эффективный
алгоритм численного решения данного типа задач со свободной
границей — см. [138, 151, 327, 249] (в последней работе исполь-
используются конечные элементы — большинство остальных использу-
используют конечные разности; см. также [141]), [149] (где рассмотрено зна-
значительное число задач наряду с обзором эвристических методов
решения задач со свободной границей), [318] и [156] (дамба с непро-
непроницаемым слоем), [319—321] (случай дамбы с наклонной левой и
вертикальной правой стенками), [633] (задачи с учетом испарения)
[326, 322] (задачи с учетом капиллярности), [328], (нестационарные
задачи).
Нам понадобятся следующие вспомогательные результаты.
Лемма 3. Для любой функции f 6 L1 (@, с)) справедливы
неравенства
A2.191)
Кроме того,
?/0 = т@), A2.192)
?/° = т(М), A2.193)
где М ? R удовлетворяет условию
U°(x,y)^M V(x,y)?D. A2.194)
Доказательство. Из A2.170) следует, что
— Д?/о< —Дт(Я< —Д(/°; A2.195)
функции Uo, х (/) и U0 удовлетворяют краевым условиям A2.144)—
A2.147), поэтому, применяя принцип максимума Хопфа, имеем
A2.191). Пусть теперь е>0 — произвольное число; из A2.170)
и из определения функции Uo можем записать
-Af/0 = XDi +XD,6XD, +lDt +%DH(-*-U0) A2.196)
(поскольку H (—е — Uo) — {0} — это следует из того факта, что
если справедливо неравенство A2.181), то U0^0). Из условия
A2.170) и определения функции U0 получаем
- AU0 = 1 6 %Dt + lDi + %DH (М + г-U*) A2.197)
(поскольку Н (М + в — U0) — {1}, так как из неравенства A2.194)
следует, что М ^ U0). Из A2.196) имеем соотношение
Ve>0 ?/о = т(— е), A2.198)
303

а из A2.197) — соотношение
Ve>0 ?/° = т(М + е). A2.199)
Переходя к пределу при е -+¦ 0+, что мы можем сделать благодаря
A2.176), из A2.198) получаем A2.192), а из A2.199) будем иметь<
A2.193). П
Лемма 4. Справедливы неравенства
V{x,y)eD, m = 0,1,2...., A2.200)
U™(x,y)>Um+l(x,y)>U0{x,y)
V(x,y)eD, т = 0,1.2,... A2.201)
Если U — любое решение задачи 12.5, то справедливы неравенства
y)^Um(x,y) V(x,y)eD, m = 0,1,2,... A2 202)
Доказательство. Правые неравенства в A2.200) и
A2.201) следуют из A2.191); левые неравенства можно доказать
по индукции, как и левые неравенства в A2.202). Мы докажем
здесь лишь неравенства для функций из последовательности {Um},
поскольку для остальных доказательство аналогично. Если М —
вещественное число из условия A2.194), то Vos^° <* М, и, таким
образом, conv 7оз^° <* М. Отсюда, если воспользоваться свойст-
свойством A2.177), следует, что т (conv yO3?/°) ^ т (М), поэтому по опре-
определению функций U0 и U1 имеем W^U0. Если теперь If" ^.Um~l
(предположение индукции), то conv yoaUm ^ conv yu3Vm~x и, таким об-
образом, из A2.177) и из определения 12.4 получаем
Um+X = х (conv yoaUm) < т (conv yoaUm-l)=Um.
Докажем теперь правое неравенство в A2.202). Если U — решение
задачи 12.5, то из A2.184) имеем равенство U = t (y03U), поэтому
из A2.191) следует, что U <; U0. Если теперь U ^ Um (предполо-
(предположение индукции), то имеем неравенство y03U ^ 7оз^т; следователь-
следовательно, получаем соотношения conv yoaU = y03U ^ conv y0SUm и
U = т (conv ymU) < т (conv y03Um) = Um+\ П
Полученный результат (точнее, неравенства A2.200) и A2.201))
показывает, что последовательности {Um} и {Um} сходятся; поэто-
поэтому имеет смысл ввести следующие обозначения.
Определение 12.5. Введем обозначения:
Uоо (х, у) = lim Um (x,y) V(x,y)eD, A2.203)
m-»°o
U°° {х, у) = lim IT (x, у) V (x, у) 6 D. A2.204)
т-кх>
Теорема 12.4. Задача 12.5 имеет по крайней мере одно ре-
решение. Точнее, функции UM и Vх являются решениями задачи
304

12.5, будучи соответственно минимальным и максимальным реше-
решениями в том смысле, что для любого решения U данной задачи вы-
выполняются неравенства
Uoo{x,y)^U(x,y)^Uco{x,y) 4(x,y)?D. A2.205)
Доказательство. Неравенства A2.205) следуют из
неравенств A2.202). Покажем, что U°° — решение задачи 12.5 (в
действительности мы покажем, что (У°° — решение задачи 12.13);
доказательство того, что Ux также является решением этой зада-
задачи, полностью аналогично. Из неравенств Uo <| Um < U° (см.
A2.191)) следует, чтг- 0 < yoaUm < y03U°, поэтому 0 < conv y03Um^
^y03U°; из неравенства A2.176) следует тогда, что последователь-
последовательность {Um} сильно ограничена в Уо. Поэтому мы можем выделить
из этой последовательности подпоследовательность, слабо сходящую-
сходящуюся к некоторому элементу V ? VV Из единственности слабого пре-
предела и из A2.204) следует, что U — U00, а поскольку последова-
последовательность {(/"} монотонна (см. A2.201)), вся последовательность слабо
сходится:
Um-^U°° в Уо. A2.206)
Отсюда и из неравенства A2.148) следует, что
Um-^U°° в W%r(D) Vr< + oo, A2.207)
а поскольку соболевские включения компактны,
Vm-^UX в С1ф), A2.208)
откуда, в частности, имеем
в&ЦО.с]), A2.209)
а поскольку оператор conv: Я1 (@, с)) -*¦ Н1 (@, с)) непрерывен,
conv y03Um -> conv Yogt/00 в Я4(@,с)). A2.210)
Из A2.210) и A2.176) получаем
UK = lim Um+i = lim т (convy03Um) =
- т (lim conv y03Um) = т (conv y0SLT), A2.211)
что вместе с неравенством U°° ^ 0 (вытекающим, например, из
A2.204)) и условием U°° 6 Vo (вытекающим из A2.206)), показыва-
показывает, что U°°— решение задачи 12.13. П
Теорема 12.4 завершает обсуждение вопроса о существовании
решения задачи со свободной границей, поставленного в п. 12.3.1.
В следующем пункте мы рассмотрим вопросы, касающиеся единст-
единственности и гладкости решения.
20 К. Байокки, А. Капело 305

/12.3.6. Единственность н гладкость решения задачи со свобод-
ной границей.
Два предположения о задаче 12.5. На рис. 12.3 изображена
сетк-i тока, соответствующая решению U°° для трапециевидной дам-
дамбы. Мы не приводим соответствующую сетку тока для решения ?/«,,
поскольку она практически совпадает с той, что изображена на
рис. 12.3 (сетки, изображенные на рис. 12.3-, 12.8 и 12.9, нарисо-
нарисованы с помощью программы, написанной В. Комннчиоли, на гра-
графопостроителе Calcomp 936, подключенном к ЭВМ Honeywell
Н6030).
Рис. 12.3
Совпадение решений U°° и ?/«, и рисунки типа рис. 12.3 дают
основание высказать следующие предположения:
(П1) задача 12.5 имеет единственное решение;
(П2) решение задачи 12.5 — гладкое в смысле определения
12.3.
Справедливость данных предположений будет доказана в
п. 12.3.7 для случая дамбы с вертикальными стенками; сейчас мы
покажем справедливость предположения (Ш) в общем случае,
что касается предположения (П2), то здесь мы приведем лишь
частный результат.
Единственность решения задачи о дамбе. Напомним сначала
результат, касающийся гладкости контактного множества решений
неравенств с барьером:
пусть ?>* с R" — открытое множество в R", г 6 W2' (D*) Vr <
< + оо, г>0 в D*, Дг>1 в Q* = {PeD*:z(P)>0}\
тогда ц(О* П dQ*) = 0 A2.212)
(здесь ц. — мера Лебега в R"). Напомним, что за последние пять
лет получено много важных результатов, касающихся подобных
вопросов гладкости — см., например, [270—276, 284—288, 357,
388, 390, 396, 406, 502—504, 506, 507] и соответствующие ссылки в
этих работах.
306

Пусть теперь {й, p} — решение задачи 12.4, к U — соответству-
соответствующая функция, определяемая равенством A2.76); зафиксируем
произвольноз е> 0 и положим D* = {(х,y)?D: &<.х<.с — е} и
z(x,y) = U(x, Y(x))-U(x,y)V(x,y)eD*. Из A2.96), A2.97),
A2.105) и из того, что y03U ? W\? (@, с)) следует, что мы можем
применить результат A2.212), откуда в силу произвольности е
имеем:
если {й, р} — решение задачи 12.4, то
множество д?1 имеет нулевую плоскую меру. A2.213)
Утверждение A2.213) — первый шаг на пути к доказательст-
доказательству предположения (П2). Покажем связь нашей формулировки
с той, что приведена в работе [101] — мы используем последнюю
для усиления утверждения A2.213), а также для доказательства
предположения (Ш) (мы не будем доказывать предположения
(П2), ср. ниже с A2.218)).
Следуя [101], назовем пару (Л, /) суперрешением задачи 12.4Г
если, полагая
V = {v 6 Я1 (D): v (х, Y (х)) = у (х)}, A2.214)
где
— Y{x), a<x<0,
0, 0<*<с, A2.215>
у2 — Y(x), c<x<b,
имеем
/ ? F, AczD, / = 0 почти всюду в D\A,
A2.216)
Vg € V — V J grad (/ + у) grad g dx dy > 0.
A
Введем для суперрешения (A, f) функционал
J (A, f) = J | grad (/ + y) \4x dy. A2.217)
A
В работе [101] показано, что функционал / имеет минимум на се-
семействе суперрешений, и для каждой точки минимума (А, /) пара
{Q, р], где U = А, р = /|q, является решением задачи 12.4 (по
поводу условия A2.59) см. [102, теорема 2.8]).
Обратно, согласно утверждению A2.213) каждое решение {Q,
р) задачи 12.4 обладает тем свойством, что пара (А, /), где А =
— Q, f = р (тривиальное продолжение функции р в D\Q), являет-
является суперрешением и минимизирует функционал /, определяемый
выражением A2.217) на семействе суперрешений (ср. [101]); поэ-
поэтому, используя результаты работы [102], имеем
если {й, р) — решение задачи 12.4, то
Q = DX U A U {(
где функция ф — такая, что дуги ее графика
в области D — аналитические. A2.218)
20* 307

Далее, можно доказать (ср. [103, 289]), что минимум функционала
J на семействе суперрешений единствен, и, таким образом, справед-
справедливо следующее утверждение.
Теорема 12.5. Задача 12.4 имеет одно и только одно ре-
решение.
Тем самым, в частности, доказано, что справедливо предполо-
предположение (Ш). Что касается предположения (П2), то утверждений
A2.213) и A2.218) недостаточно для его подтверждения. В следую-
следующем разделе мы покажем непосредственно (т. е. не используя ре-
результатов Альта), что предположения (Ш) и (П2) справедливы
для случая дамбы с вертикальными стенками.
12.3.7. Дамба с вертикальными стенками. Дадим сначала точ-
точное описание новой геометрии дамбы (рис. 12.4, диагр. 12.2).
с'
т
1
А
~^^-
Q
Ег
Е
¦ i
В '
4@,0)
В(с,0)
Рис. 12.4
Диагр. 12.2
Определение 12.6. Пусть с, d, yu уг — вещественные
числа такие, что 0 < с, 0 < у2 <. yt ^ d. Прямоугольник D =*
= @, с) х @, d) назовем дамбой с вертикальными стенками. Да-
Далее, положим
Го ={(л;>0):0<л;<с},
¦ = {{с,у):0<у<у2},
Новые краевые условия. В новой геометрии краевые условия
A2.100), A2.101) и A2.102) претерпевают значительные изменения,
поскольку производная по у является уже не наклонной, а тан-
308

генциальной на стенках и нормальной на верхней поверхности
дамбы. Так, интегрируя A2.100) и A2.101), получаем соответ-
соответственно
U = {y\!2)-{yi-y)V2 на Г1(
A2.102)
на Г2.
Границу Г3 следует разбить на три части: краевым условием на
участке Г30 является, по-прежнему, условие Uy = 0 (теперь это
уже не условие наклонной производной, а условие Неймана); на
участках Г31 и Г82, используя непрерывность функции ?/|ао и
условия на 1\ и Г2 путем интегрирования, получаем соответствен-
соответственно условия U = у\12 и U — у\12. Из проделанных рассуждений
также видно, что эффективная высота дамбы d не входит в краевые
условия (этого следовало ожидать, поскольку мы предполагаем,
что пористый материал несжимаем, и игнорируем явление капил-
капиллярности). Поэтому можно положить без потери общности d = уц
таким образом, F' == F, Е' = Е, Г31 = 0 и Т80={{х,у^: 0<*<
< с}, (последнее множество представлено на рис. 12.4 пунктиром).
Задача в новой геометрии. Внесем теперь соответствующие из-
изменения в формулировку задачи 12.5.
Задача 12.15. Найти функцию U такую, что
A2.219)
A2.220)
A2.221)
A2.222)
A2.223)
A2.224)
A2.225)
A2.226)
функция х-*- U(x, yt) — выпуклая на [0,с],
в D,
0 на Го,
y\l2-{yx-yfl2 на Г1(
на Г„
U = г/|/2
на
на
¦ 32>
если
то
и U{x,y)<.U(x,y1)}, A2.227)
Q содержит окрестность Го,
— AU = xQ п- в- в D.
A2.228)
A2.229)
Естественно, понятие гладкого решения, введенное определе-
определением 12.3, также следует модифицировать.
Определение 12.7. Решение задачи 12.15 назовем
гладким, если функция х -у ф (*), х б [0, с], определяемая
309

соотношениями
Ф(лс) = sup {у :(/)?}
A2.230)
Ф @) = lim ф (х); ф (с) = lim ф (х),
х-»(Н" х->е~
строго убывает, непрерывна и ф @) = у1г ф (с) > у2.
В этом случае, как легко видеть, висящий источник находится
в точке с абсциссой с; свободной линией является кривая 1\ =
= {(х, ф (х)) : 0 < х < с}, а линией просачивания — кривая Го =
= {(с, У) : У1<У<ф(с)}.
Задача 12.15 является смешанной краевой задачей Дирихле —
Неймана, которую нельзя рассматривать как частный случай за-
задачи 12.5, но можно интерпретировать как предельный случай этой
задачи (точно так же, как геометрия, описываемая определением
12.6, является предельным случаем той, что описывается определе-
определением 12.1).
Легко видеть, что все, что было проделано в п. 12.3.6, может
быть проделано также, с соответствующими упрощениями, и для
задачи 12.15. Так, в частности, можно утверждать, что задача
12.15 имеет максимальное—U°° и минимальное — U^ решения.
Докажем теперь, что 11Ж = L/°°, т. е. что задача 12.15 имеет един-
единственное решение, и что это решение — гладкое в смысле опреде-
определения 12.7.
Замечание. Дамбы с вертикальными стенками были объек-
объектом исследования первых работ, в которых применялся метод за-
замены неизвестной функции, описанный в п. 12.3.2 (ср. с гл. 8 ...).
В этих работах вместо условия A2.220) рассматривалось условие
«функция х -*¦ U (х, уг) линейна на [0, с]», выражающее постоян-
постоянство пропускной способности вдоль всей дамбы или какое-либо
эквивалентное ему, при котором задаче можно дать вариационную
формулировку (в то время понятие квазиварнационного неравен-
неравенства еще не было введено) — к этому вопросу мы еще вернемся.
«Промежуточной» по отношению к задачам 12.5 и 12.15 является
задача, в которой дамба имеет вертикальную правую и наклонную
левую стенки; в этом случае задачу можно сформулировать с по-
помощью семейства вариационных неравенств, зависящего от пара-
параметра — см. [150, 319, 321] и [320], где эта формулировка сравни-
сравнивается с квазнварнацноннон с вычислительной точки зрения.
Единственность решения. Докажем сначала несколько предва-
предварительных результатов (ниже yoso — оператор следа на Г80 нуле-
нулевого порядка).
Лемма 1. Функция уОзо^с вогнута.
Доказательство. Положим
z0 = y + DyU° A2.231)
и выясним, решением какой задачи является функция 2°. По опре-
определению функции U0 имеем
Дг° = 0; A2.232)
310

из A2.193) и A2.182) следует, что
г°>0 в D. A2.233)
Снова из определения функции U0 видим, что функция 2° удовлет-
удовлетворяет краевым условиям задачи 12.15, поэтому к уравнению
A2.232) необходимо добавить условия
г° = г/, на 1\, A2.234)
г° = у2 на Г2, A2.235)
2°= у на Г32, A2.236)
2°=^ на Г30, A2.237)
2°= 0 на Го. A2.238)
ag
Условия A2.234)—A2.237) вытекают из условий A2.223)—A2.226)
соответственно, а условие A2.238) следует из условия A2.222),
согласно которому можем записать U°xx = 0 на Го; из определения
функции U0 получаем, что — Д?/° = 1 в D; следовательно,
4 = О°„ + 1 - U°xx на Го.
Далее, из принципа максимума Хопфа следует, что max^z0 = у1
достигается на Гх [} Г30 U {@, у^}, поэтому функция б = z°— ух
строго отрицательна в D. Отсюда и из условия A2.237) (оно пока-
показывает, что б = 0 на Гзд) следует, что должно выполняться нера-
неравенство
Y03A>0; A2.239)
поэтому по определению функции г°
+l>0, A2.240)
т. е., поскольку Д?/° = — 1,
УозЛ-^°>О. A2.241)
Таким образом, имеем окончательно уозои1х^О; следовательно,
справедливо утверждение леммы. ?
Лемм а 2. Функция ymU°° линейна и U1 >= U°°.
Доказательство. Из леммы 1 следует, что функция
А. (х) = (conv То3о^°) (х) A2.242)
линейна на [0, с]. По определению имеем U1 = т (к (х)); таким сб-
разом, если мы сможем доказать, что (Уозо^1) W ^^ W. то
лемма доказана, поскольку в этих условиях (conv Уозо^1) (*) =
= X (х), откуда U1 =» U2 = ... = t/"°, а поскольку функция yQaolf
выпукла, первая часть леммы доказана.
Равенство U1 = U°° имеет большое практическое значение:
оно говорит о том, что итерационный процесс вычисления функции
U°° состоит из одного шага.
311

Вторую часть докажем от противного: пусть 0 Фу а Г30 —
интервал, на котором (Тозо^1) (х) < ^ (х) (напомним, что мы рас-
рассматриваем непрерывные функции). Доказательство леммы 1 легко
модифицировать для доказательства того, что функция Тозо^1
вогнута на у,— а это является противоречием, поскольку функция
Тозо^1 непрерывна на [0, с). Заметим, что линейность функции X
используется для того, чтобы гарантировать, что At/1 = 0, где
U1 — Я, (и, таким образом, получить аналог уравнения A2.232)),
и что шаг, соответствующий переходу от A2.240) к A2.241), воз-
возможен в силу того, что в окрестности у имеем U1 < X, следователь-
следовательно, в этой окрестности —AU1 = 1 (см. задачу 12.10). ?
Поскольку след Yoso^°° — линейная функция, его можно выпи-
выписать, используя A2.223) и A2.225), в явном виде:
(ТозоОD=4+^-^*' *€[0,с]; A2-243)
отсюда и из A2.95) получаем так называемую формулу Дюпюи
для пропускной способности дамбы:
Мы можем теперь утверждать, что 1Г |зо = g, где g — функция,
определяемая соотношениями
У?/2-0/г-уJ/2 на Tv
О на Го U {@, 0), (с, 0)},
g(x,y)= УУ2~(у2-у)г12 на Г2, A2.244)
УУ2 на Г32 U {(с,у2)},
уу2-(у*-у1)х/Bс) на Г80 U {@, ух), (с, у г)}.
Лемма 3. Справедливы неравенства
Ас [Уозо^°° — У] < 0 яа Д A2.245)
Dy [Уозо^°° — ^°°] < 0 на D. A2.246)
Доказательство. Неравенство A2.246) является пря-
прямым следствием неравенства A2.221). Чтобы доказать неравенство
A2.245), положим
h (х, у) = (уо3о?Г) (jc) - 1Г (х, у), A2.247)
A2.248)
Здесь Qx — открытое множество, поскольку функция DJi (л;, у)
непрерывна. Обозначая через Q°° отделенное множество, соответ-
соответствующее решению ?/°° (и через Q» — соответствующее множество
для решения Ux; мы будем использовать его позже), имеем йяс:
с: Q°°, поскольку если (лс0, у0) 6 ®х\®°° (доказательство от против-
противного), то DJi (х, у о) > 0, так как (х, у0) 6 Qx и h (х0, у0) = 0, так
312

как (х0, уо)$ Q00; отсюда следует, что h (х, у0) < 0 прн х < х0 в
окрестности точки (х0, у0),— это является противоречием, посколь-
поскольку h (х, у) :> 0 всюду в D. Предположим теперь, что Qx Ф 0. Из
включения Qx с: й"°, равенства A2.229) и линейности функции
Уозо^У00 следует, что
ADJi (х, у) = DxAh {х,у) = 0 в Qx. ' A2.249)
Отсюда получаем; максимум
y)} A2.250)
(который существует в силу того, что функция Dxh непрерывна в
Qx) достигается в точке (х„, у0) 6 дпх, и по определению множества
&х должно выполняться неравенство ц > 0;
далее, (х0, у0) ? <ЭЙЖП dD, поскольку Dxh (x,
у) = 0 в дпх П D по определению множе-
множества ?),[> в силу непрерывности функ-
функции Dxh.
Докажем теперь, что (х0, yo)(?dD, чтобы
получить противоречие. Имеем: (х0, у0) ?Г0,
поскольку в силу условий A2.222) и
A2.243) Dji<0 на Го; (х0, уо) ? Г30) так
как по определению функции hDxh=0 на Г30;
(хо> Уо) $ Г"82, поскольку Dx ft < 0 на Г32,
что видно из того факта, что ft^>0 в D и из
A2.225) и определения функции А, имеем
А=0 на Г82; наконец, чтобы увидеть, что (лг0,
Уо) ? ri U Г2. Достаточно заметить, что Dxx/i (х, у) = 0 на I\ U Г2
(это следует из определения функции А, из A2.223), A2.224) и, пос-
поскольку 1\ U Г2 с д^°°. из A2.229)), и что, согласно принципу
максимума Хопфа, если (х0, у0) 6 Гх, то Ожа.А (х0, у0) < 0, а если
(лг0. Уо) 6 Г2) то Ожа.А (л;0, у0) > 0. П
Лемма 4. Положим для любой точки Р0==(х0, yo)?D:
A2.251)
A2.252)
тогда для любой точки P?D
PeD\Q°°=>Qtc=D\Qi", A2.253)
Р 6 D П дй°° => Q7 с Q°°. A2.254)
Доказательство. Геометрический смысл данного ут-
утверждения интуитивно ясен из рис. 12.5 (присутствие осей X =
= х + у и Y = х — у будет пояснено позже). Докажем сначала
A2.253). Пусть Ро = (х0, Уо) 6 D \Q°°; по определению множества
Q°° и из A2.247) имеем А (л:0, г/0) = 0. Поскольку ft > 0 в D и в си-
313
y<y0};

лу A2.245) функция h ие возрастает по х, то h (х, у0) = 0 на [хв,
с]. Учитывая, что h ]> 0 в D и тот факт, следующий из A2.246), что
функция h по у не возрастает, получаем h = 0 на [х^, с] х [Уо^] =
— Q+. По определению множества Q°° имеем тогда, что Q+ сг
сО\Й°° и, таким образом, Q+ = (Q+ )° с (D\Q°°y> cz ф)°\й~ =
= d\q"~.
Докажем теперь A2.254). Пусть (доказательство от противного)
точка Ро ? D П <5Q°° такова, что Q^, 9^ ^°°; тогда существует точка
/>, 6?>\й°° такая, что Pt ? Q^, и, следовательно, Ро ? Q^,; из A2.253)
следует тогда, что P0?D\Q°°; но это противоречит предположению
PoeD()dQ°°. П
Лемма 5. Имеем
д&°°[\ТЙО = 0. A2.255)
Множество dQ°° f]D не содержит ни горизонтальных, ни верти-
вертикальных отрезков.
Доказательство. Докажем сначала, что множество
dQ°° П D не содержит горизонтальных отрезков; для вертикаль-
вертикальных отрезков доказательство полностью аналогично. Пусть (дока-
(доказательство от противного) у — такой отрезок и у0 — его ордината.
По определению множества Q°° и в силу непрерывности функции
h (см. соотношение A2.247)) h = 0 на у; далее, на у должно выпол-
выполняться равенство Dvh = 0, поскольку по лемме 4 h = 0 «над» у0.
Теперь, из единственности решения задачи Коши для уравнения
Ah = —1 (см. A2.229)) с полученными начальными условиями, на
всем множестве Q°°, которое, согласно лемме 4, связно, функция h
имеет вид h (х, у) = ^ (у — у0J, и, следовательно, в силу СО'
отношений A2.247) и A2.243), функция U°° имеет вид
Ц"(х, у) = 4 (У - У of +4 ^2?^- *• 02.256)
что противоречит A2.244). Аналогичные рассуждения показывают,
что множество дй°° не содержит отрезка Г30. Теперь убедимся в том,
что Г30 не содержит изолированных точек множества д?1°°. Для
этого покажем, что, если (лс0, yj 6 dQ~ при х0 ? @, с], то отрезок
{(х, уг) : 0 < х < х0} содержится в dQ°°, что противоречит только
что доказанному. Пусть теперь точка х0 б @, с] — такая, что {х0,
yj 6 dQ°°. Тогда h (х0, у) > 0 при у 6 [0, yj, поскольку если х0 = с,
то по лемме 4 Q°° = D, а если бы для х0 <. с выполнялось равенст-
равенство h (х0, у0) ~ 0, то из A2.246) мы имели бы h {х0, у) = 0 на [у0,
Ух). Следовательно, (х0, ух) ^<ЗЙ°°(это следует из того факта, что сог-
согласно первой части леммы вертикальный отрезок {(х0, у) : у0 <
<У < Hi) содержится внутри множества D\Q°°). Отсюда и из
314

A2.245) следует, что h(x, у)>0 в R = @, хс) x @, yt), и, таким
образом, R a Q°°; что {(х, уу): 0 < х < х0} cr dQ°°. П
Мы можем теперь доказать, что предположение (П1) в случае
задачи 12.15 справедливо. Приводимое ниже доказательство, ес-
естественно, не зависит от рассуждений, приведенных в разделе 8.2.
Следует также отметить разницу между данным результатом о
единственности решения квазивариационной задачи и результатом
о единственности, полученным в теореме 8.3 для вариационной за-
задачи.
Теорема 12.6. Задача 12.15 имеет единственное решение.
Доказательство. Покажем, что функция Уозо^°° линейна —
это означает, что Y030^«. = Уозо^°°' поэтому LT° ==?/«,, откуда (и из
A2.205)) следует утверждение теоремы. Чтобы показать линейность
функции Yo3O?/°c» докажем, что
QMcQ°°; A2.257)
отсюда фактически следует, что в окрестности границы Гзп имеем
(Уозо^°°)"= А?/°о = 0, и, таким образом, функция уояоих линейна.
Чтобы доказать включение A2.257), покажем, что верно неравенство
в D, A2.258)
поскольку из этого неравенства и из определения множеств Q,*, и
Q°° следует: если U°° = y^30U°° почти всюду в D\Q°°, то Ux=ymU°°>
поэтому D\Q°° czD\Qx.
Пусть справедливо обратное;
0 фС ={(*, y)eD:6 = Ua,-у030^-(Ux-ymU~)<0}. A2.259)
Мы имеем дело с непрерывными функциями, поэтому множество С
открыто, и из неравенства U°° ^уОзо^°° в D и определения мно-
множества Qx имеем Cc:Q«,. Таким образом, поскольку функция y030U°°
линейна, функция уояоих выпукла и — 1 <. AU°°, получаем
Дб = AU» - Ду030^ - ALT* + Ay030Ux < 0. A2.260)
С другой стороны, 6;>0 на дС(]Тг (/ = 1,0,2, 32), поскольку функ-
функции и«, и U°° удовлетворяют одним и тем же краевым условиям и
> Yo3O>Yo3o
По определению следа имеем б = 0 на Г30, а по определению
множества С имеем б = 0 на дС П D. Таким образом, функция
б является решением в каждой связной компоненте множества С
задачи вида шайти функцию б, субгармоническую и строго отрица-
отрицательную внутри данной компоненты и неотрицательную на ее гра-
границе» — из принципа максимума получаем кротиворечн?. П
Эквивалентные формулировки задачи 12.15. Мы мон^м теперь
утверждать, что задачу 12.15 можно записать в виде задачи
я»

Дирихле для многозначного уравнения
yJ — U) в D A2.261)
с краевым условием g на 3D (оно определяется соотношениями
A2.244)). Запишем эту задачу в вариационной форме.
Задача 12.16. Найти такую функцию U 6 К, что
Vi> €/C \ grad t/grad (?/ — a) dx <%+ J [g(x, г/J —1/]+ dx d«/ <
D
f/> A2.262)
D
где
К = {у € Я1 (D): Y0c = g на 3D}. A2.263)
В сущности, именно в такой форме рассматривалась первона-
первоначально задача о дамбе с вертикальными стенками. Задачу 12.16,
которая связана с задачей 12.12 точно так же, как задача 12.15 —
с задачей 12.5, можно записать эквивалентно в виде следующей за-
задачи минимизации.
Задача 12.17. Найти на множестве К минимум функцио-
функционала
J(v) = 4-J \ grad vfdxdy + J [g(x, yj-v)+dxdy. A2.264)
D D
Гладкость свободной границы. Продолжим нашу серию лемм,
необходимых для доказательства предположения (П2) в случае
задачи 12.15. Пусть U — решение задачи 12.15, Q — соответствую-
соответствующее отделенное множество.
Лемма 6. Функция ф, определяемая соотношениями A2.230),
непрерывна и строго убывает на [0, с); в частности, график этой
функции в осях X = х -\- у и Y =з х — у непрерывен по Липшицу.
Доказательство. Уравнение A2.228) гарантирует, что
для любой точки х 6 @, с) множество {у : (х, у) 6 ^} непусто (кро-
(кроме того, согласно лемме 5 множество д?1 П D не содержит верти-
вертикальных отрезков), следовательно, соотношения A2.230) действи-
действительно определяют на [0, с] функцию. Эта функция, по лемме 4,
монотонна, поэтому пределы, присутствующие в A2.230), сущест-
существуют. Таким образом, заключаем, что соотношения A2.230) опре-
определяют монотонно убывающую на отрезке [0, с] функцию. Непре-
Непрерывность графика функции ф в осях X и Y (см. рис. 12.5) по Лип-
Липшицу и, стало быть, непрерывность функции ф следует тоже из
леммы 4. Согласно лемме 5 функция ф строго монотонна, а это га-
гарантирует, что ее график (в осях х и у) не содержит горизонтальных
отрезков. ?
Лемма 7. ф @) = уг и ф (с) > уг.
Доказательство. Из того, что ^ у Г2 с дп (это
следует из того, что функция U непрерывна в силу A2.244) и из
определения множества Й), сразу же видим, что ф @) = уг и ф (с) 1>
316

^ y2. Приведем кратко схему доказательства неравенства ф (с) >
> уг с помощью одной из методик теории функций комплексной
переменной (полное доказательство см. в [399]) — так называе-
называемой методики плоскости годографа. Преобразуя множество Q с
cz R2 конформно в множество Q*cC с помощью отображения
(х, у) е R2 м- (р = их = Uyx, q = vx = Uxx) б С A2.265)
(рис. 12.6) видим, что должно выполняться неравенство Сф Ф С,
поскольку в противном случае множество Q* было бы пусто, как
У/
F
А
0
я
С?
С
в
La,
А*
\
м
В*
Я*
qKq
с*-р
-0
С*
Рис. 12.6
я множество Q. Мы, в то же время, доказали, что U <? W2'"* (D),
так как функция их = Uyx не может оставаться ограниченной в
окрестности точки (с, у2), в которой есть особая точка плоскости
(/>. Я)- О
Заметим в связи с приемом, использованным в последней части
приведенного доказательства, что в гидродинамике пористых ма-
материалов плоскость переменных (х, у) обычно называют физиче-
физической плоскостью, а плоскость переменных (их, vx) — плоскостью
годографа. Один из эвристических приемов решения задачи фильтра-
фильтрации в пористых материалах — так называемый метод плоскости
годографа — состоит в преобразовании задачи, сформулированной
в физической плоскости в задачу, формулируемую в плоскости го-
годографа (см. [161, § 7.3; 62, гл. 2]).
Докажем следующее утверждение.
Теорема 12.7. Решение задачи 12.15 является гладким в
смысле определения 12.7; сужение функции ц> на интервал @, с)
является аналитической функцией.
^Доказательство. Первая часть утверждения теоремы
следует из лемм 6 и 7. Чтобы доказать вторую часть, воспользуемся
снова комплексными переменными, преобразуя множество Qc R1
конформно в множество й'сСс помощью отображения
(x,y)-+(u = Uy + y, v=Ux), R2-vC. A2.266)
Функции и и v сдвинуты, по сравнению с теми, которые обозна-
обозначались теми же символами в разделе 12.2, на величину qd =
317

= (г/2 — г/^)/2с (рис. 12.7). Заметим, что преобразование A2.265)
является производной данного преобразования — аргумента-
аргументация, используемая в настоящем доказательстве, принадлежит
У,
F
= У,
А
0
SI
v = 0
С
s=f2
V ,
0
Id
В'
С
/г У
А'
Я.'
\v=v(u)
и.
г
Рис. 12.7
Каччиопполи (см. [591]). Конформное преобразование, обратное к
A2.266), можно записать в виде
(и, v) -+ {х (и, v), у (и, v)), C-+ R2; A2.267)
при этом гармоническую функцию у {и, v) можно продолжить ана-
аналитически в окрестность отрезка CVF' (вместе с гармонически со-
сопряженной функцией х{и, v)), поскольку она принимает на нем
Рис. 12.8 Рис. 12.9
значение и. Следовательно, функцию и=и (х, у) также можно про-
продолжить аналитически в окрестность кривой FCV, и тогда справед-
справедливо утверждение теоремы. Q
Свободная линия, или, точнее, функция ф обладает также сле-
следующими свойствами:
функция ф вогнута, A2.268)
Ф'@) = 0, Ф'(с) = —оо, A2.269)
318

поэтому, в частности, справедливы экспериментальные условия
«втекания и вытекания» (ср. [458, с. 21]). Доказательство этих
свойств см. в работе [405], см. также 1342].
На рис. 12.8 изображена сетка тока для дамбы с вертикальны-
вертикальными стенками — отметим монотонность свободной линии и наличие
висящего источника (оно было очевидно уже для сетки тока, изоб-
изображенной на рис. 12.3). На рис. 12.9 приведена сетка тока для той
же дамбы, но с учетом явления капиллярности: возле свободной
границы видна область отрицательного давления — так называе-
называемая капиллярная кайма.
Глава 13. ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
И ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
В этой главе мы рассмотрим кратко связь между задачами
со свободной границей и вариационными неравенствами, придер-
придерживаясь направлений, предложенных в работе [140]. Иными сло-
словами, мы проанализируем условия, при которых задачу со свобод-
свободной границей для дифференциального оператора второго порядка
можно переформулировать в виде вариационного неравенства в
фиксированной области.
Операторы grad, Grad, div и Div. Введем ряд обозначений.
Пусть S —открытое множество в R" (п :> 1). Если и 6 &' (S),
то символом grad и мы обозначим вектор
grad и \
ди/дх1
.ди/дхп
A3.1)
а символом Grad и — вектор
Grad и =
и
ди/дх1
_ди/дхп _
A3.2)
Если v = (&!,..., уп) 6 {iZ)'(S)}", то обозначим через div у обобщен-
обобщенную функцию
A3.3)
если w == {и, v)е= (и, »! vn)d{$' (S)}n+1, то обозначим череа
Div до обобщенную функцию
Div w == и — div v 6 0' (S).
A3.4)
319

Оператор — div: {iS'(S)}"->iS'(S) является, очевидно, транс-
транспонированным по отношению к оператору grad: 0' C) -> {$' C)}":
I
хA3.5;
Аналогично, оператор Div: {$' C)}"+1 -»¦ #' C) является транспониро-
транспонированным по отношению к оператору Grad: 0' (S) -> {55' (S)}"+1:
• - div <P>^(S) =
Оператор L. Обозначим через [К] матрицу
~d
— с I a
nl
A Divx>,
A3.6)
A3.7)
Относительно ее элементов сделаем следующие предположения:
аф bt, сь d 6 Wl'°° (S), i,j=l,...,n. A3.8)
Введем теперь дифференциальный оператор, который будет
рассматриваться в этой главе.
Определение 13.1. Обозначим через L линейный диф-
дифференциальный оператор с коэффициентами atj, bt, cit d, опреде-
определяемый соотношениями
dom (L) = {veL2 (S): [к] Grad v 6 {L2 B)}"+'},
Lv = Div [X] Grad v в #'(S).
A3.9)
A3.10)
Данное определение имеет смысл в силу того, что при v 6 L2 (S)
имеем Grad t>6 {H~l (S)}"+'; тогда в силу условия A3.8) имеет
смысл выражение Ш Grad v, входящее в определение области оп-
определения оператора L. Кроме того, в общем случае dom (L) zd
zd Hl (S), причем dom (L) = H1 C), если матрица [а] положитель-
положительно определена; в последнем случае L является эллиптическим опе-
оператором.
Формально определения A3.10) и G.41) совпадают, фактичес-
фактически же использованная здесь форма записи элементов матрицы
[X] была продиктована именно стремлением достичь этого совпа-
совпадения.
320

Задача со свободной границей. Рассмотрим следующую задачу
со свободной границей для оператора L (определение пространства
Ldiv (S) см. в гл. 18).
Задача 13.1. Пусть /6^2(S), ярбdom(L), jigLav (Щ. Найти
{Q, и} такие, что:
ficS, Q ф 0 — открытое множество, A3.11)
A3.12)
Q A3.13)
supp(«— i|3)c:Q, A3.14)
dvL
Для функции и = и |Q условия A3.13), A3.14), A3.15) можно
формально записать следующим образом:
Lu = f в Q, A3.16)
и = 1|з на dQ Л S. A3.17)
= я-ла на dQ Л S. A3.18)
Из этой записи видно, что задача A3.1) является, в действитель-
действительности, задачей со свободной границей: на свободной части грани-
границы dQ (т. е. на dQ Л S) заданы два условия — A3.17) и A3.18).
С другой стороны, постановка задачи неполна: к условиям на сво-
свободной границе необходимо добавить условия на фиксированной
части dQ (на dQ Л dS).
Условие A3.18), естественно, следует понимать в смысле следе в
функций из L^iv (Q) : формально имеем
J?- _==[— Yia]Gradu-nQ, A3.19)
и из A3.8) и A3.9) имеем
div [— y I al Grad и = — Div [X] Grad и — и [Ь j Р] Grad и =
= — / — ы[6|Р] Grad ueL2(Q) A3.20
(ср. A8.13)...). Заметим также, что из A3.18) имеем
[a] grad (и — г|э) grad (и — г|э) + {[— y ! а1 Grad f — я} grad (и —1|>) = 0
на dQ Л Е. A3.21)
В это условие нормаль па к dQ в явном виде не входит; фактичес-
фактически, используя A3.17), A3.18), A3.19) и тот факт, что grad (и —
—1|>) — либо нуль, либо вектор, параллельный вектору па,
21 К. Байокки, А. Капело 321

вапишем (формально)
О = [—у\ a] Grad и grad(«— я|э) — ngrad(u —я|>) =
= ([у i a] Grad и — п) grad (и — -ф) =
= ([—Y| а1 Grad(u — г|)) + [—y! а1 Gradi|)— л) grad(« — ф) =
= ([— У) (" — "Ф) + [«] grad (ы—-ф)+[— у' а] Grad if.—n) grad («—¦ф)=
= [a] grad (и — if>) grad (и — я|>) + {[— Y i «1 Grad я|> — л} grad (ы — -ф).
A3.22)
Задача 13.1 является задачей с ненулевым препятствием i|\ ее
частным случаем является, очевидно, задача с нулевым препят-
препятствием. Однако эта задача не является более общей, поскольку
она, в действительности, эквивалентна соответствующей задаче с
нулевым препятствием. Точнее, задача 13.1 эквивалентна следую-
следующей.
Задача 13.2. Пусть 1 = (п", я')€{^2B)}"+1.Найти {Q,p} такие,
что
Q — непустое открытое подмножество S, A3.23)
m(L), A3.24)
supp/?cQ, A3.25)
Lp = Div (/XQ) в 3. A3.26)
Эту эквивалентность следует понимать в том смысле, что пара
(Q, и} является решением задачи A3.1) в том и только в том слу-
случае, если пара {Q, и—1|)} является решением задачи A3.2) при
jt' = ji_[_Yia]Gradif>, A3.27)
n" = / + divn + [6|p]GradiJj. A3.28)
Интересно отметить, что равенство A3.21) можно записать сле-
следую дим образом:
[a] grad/? grad/? — n'gradp = 0 на dQ fl 2, A3.29)
откуда видно, что оператор d/dvL определяется только симметрич-
симметричной частью матрицы [а] из представления оператора L в виде
Div IM Grad, которая, в свою очередь, не зависит от представления
этого оператора (поэтому корректной будет запись d/d\L вместо
сбычной d/dva ...).
Преобразование задачи со свободной границей. Выясним усло-
условия, при которых задача со свободной границей может быть преоб-
преобразована в задачу, связанную с вариационным неравенством. При
этом мы воспользуемся псевдодифференциальными операторами:
обозначения и обзор по псевдодифференциальным операторам мож-
можно найти в [509} (см. также библиографию [509]) и в [715].
322

Предположим, что выполнены следующие условия:
1) существуют дифференциальный оператор Q и оператор R
(дифференциальный, либо псевдодифференциальный) такие, что
. A3.30)
2) задача « найти {Q, w} такие, что
suppuycQ, A3.31)
#ш = Хй» A3.32)
имеет достаточно гладкое решение.
Тогда
p = Qw A3.33)
— решение задачи A3.2),
u = Qw + ty A3.34)
— решение задачи A3.1).
Следовательно, задачу A3.31), A3.32) можно записать в сле-
следующем виде: найти {Q, до} такие, что
Q={xeS:w(x)<0}, A3.35)
до<0 в S, %<1 вВ, шA— #ш) = 0 в В, A3.36)
т. е. в виде задачи, связанной с вариационным неравенством (эта
постановка задачи неполна: в частности, отсутствуют условия на
фиксированной части границы). Заметим, что условие щ^Ов Е
не является ограничением, если оператор R удовлетворяет прин-
принципу максимума.
В случае задачи со свободной границей, рассмотренной в гл. 12,
имеем S = D, L = —Д, / = 0, я|) = у и я = 0. Далее, задача
12.4 является, в сущности, задачей 13.2, в которой Div (/) =
= д/ду — в этом случае R = L и Q = д/ду удовлетворяют усло-
условию A3.30) (а равенство A3.33) является обратным к A2.76) ...)
Заметим, наконец, что из равенства A3.21) видно, что предло-
предложенная здесь формулировка не включает задачи со свободной гра-
границей, подобные рассмотренным в [343], т. е. задачи, в которых
условие A3.15) заменено условием вида
[a] grad (и —1|>) grad (и —1|>) = 1 в dQ Л 3- A3.37)
Другие типы задач со свободной границей рассматриваются в
работах [105—107, 111, 112, 200, 239, 315, 572, 607, 700, 701] (см.
также упоминавшуюся ранее библиографию [341] и библиографию
«Задачи со свободной границей», составленную на основе Zentral-
blatt fur Mathematik/Matematics Abstracts (Fachinformationszent-
rum Energie Physik Mathematik GmbH, Карлсруэ, 1981)).
21*

ЧАСТЬ III
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Глава 14. ПОЛУНОРМЫ
В гл. 4 мы рассматривали векторные пространства, топология
которых не является ни гильбертовой, ни банаховой.
Один из способов задания топологии векторного пространства
основан на использовании полунорм; здесь мы рассмотрим кратко
некоторые понятия теории полунорм, не вдаваясь в детали (мы не
будем, например, обсуждать понятие двойственности). Более пол-
полную информацию можно получить, например, из работ [120, 121,
10, 332, 89, 444, 467, 511, 512, 492, 712, 35].
Понятие топологического векторного пространства. На любом
отдельном множестве можно определить различные структуры
(алгебраические, топологические и др.). Эти структуры могут рас-
рассматриваться независимо; более интересен случай, когда все они
составляют часть некоторой более сложной структуры — в этом
случае говорят, что структуры согласованы. Мы ограничимся
здесь изложением понятия согласованности топологической и ли-
линейной структур.
Определение 14.1. Пусть Е— векторное пространст-
пространство над С, наделенное топологией. Говорят, что Е — топологичес-
топологическое векторное пространство, если топологическая и векторная
структуры согласованы в следующем смысле:
(VT1) векторное сложение (и, v) -> и + v является непре-
непрерывным отображением Е х Е на Е; i
(VT2) умножение на скаляр (X, и) -*- \и является непрерывным
отображением С X ? на Я.
(Пространства Е X Е и Сх Е наделены соответствующей то-
топологией произведения.)
Везде в дальнейшем, как и в этом определении, рассматрива-
рассматриваются векторные пространства над полем С, однако С может быть
в любом месте заменено на R.
Системы окрестностей и открытые множества. Из определения
14.1 сразу же следует, что если V с Е — окрестность точки а 6 Е,
то существует окрестность Vo точки 0 (начала координат) такая,
что V = а + Vo (из (VT1) следует, что сдвиг есть гомеоморфизм
Е в Е, или, другими словами, операции и -*¦ и + а и к -> ы — а
являются непрерывными отображениями Е в Е). Отсюда следует,
что для задания системы окрестностей любой точки топологичес-
топологического векторного пространства достаточно задать систему окрест-
окрестностей точки 0, а это, в свою очередь, приводит к тому, что в прин-

ципе наиболее подходящим способом задания топологии является
способ, в основе которого лежит понятие окрестности.
Напомним теперь следующее определение.
Определение 14.2. Топологическим пространством на-
называется пара (?, U), где Е — непустое множество, U : Е ->
_^ 2^{Е)*)— функция, которая каждой точке и 6 Е ставит в со-
соответствие непустое семейство U (и) подмножеств Е, которые мы
будем называть окрестностями, так, что выполняются следующие
аксиомы:
(U1) и ? U для каждой окрестности U?U (и),
(U2) если Ult U2 6 U (ы), то ?/, Л U2 6 U (и),
(U3) если Ux 6 U (и) и[/,с U2, то U2 e U (и),
(U4) для любой окрестности 1)х 6 U (и) существует окрест-
окрестность U2 6 U (и) такая, что ?/, 6 U (w) для любой точки w 6 ?/2-
Исходя из этого определения, мы вводим открытое подмножест-
подмножество множества Е как любое множество О а Е такое, что Vx 6 О
О 6 И (я). Обозначим символом О семейство открытых множеств;
тогда пара (?, О) удовлетворяет следующему альтернативному
определению топологического пространства.
Определение 14.2'. Топологическим пространством на-
называется пара (Е, О), где Ос 2? — семейство подмножеств Е,
которое мы будем называть открытыми множествами в Е и кото-
которые удовлетворяют следующим аксиомам:
@1) Е, 0еО,
@2) если Ор 02 е О, то Ох ("| 02 6 О.
@3) если 0ае0. а6Л, то [}а€А0ае0.
Если, наоборот, исходить из (Е, О), удовлетворяющих опреде-
определению 14.2', то мы можем построить семейство U, полагая Vx 6
6 Е У(х) = {U с: Е : 30 6 О при * 6 О с: U}. Легко видеть, что
полученная таким образом пара (Я, 11) удовлетворяет определению
14.2 и порождает семейство открытых множеств. Таким образом,
определения 14.2 и 14.2' эквивалентны.
Напомним также, что если даны две топологии в Е, т. е. две
структуры (Е, Ui) и (Е, U2), то говорят, что первая тоньше, чем
вторая, если Vu ? Е U2 (и) с: 11Л (и).
Фильтры и базисы фильтров. Понятия окрестности точки и от-
открытого множества являются понятиями общей топологии. Напом-
Напомним теперь два понятия из общей теории множеств.
Определение 14.3. Пусть Е — непустое множество.
Фильтром в Е называется семейство & с: 2? подмножеств Е,
удовлетворяющее следующим условиям:
(F1) если Ах?$ и /4хс А2, то /426^.
(F2) если Аъ А2е^, то Л, ("I А2 6 &,
(F3) 0 $ & ¦
Если Е — топологическое пространство, то особый интерес
представляют фильтры, порождаемые системами окрестностей то-
точек множества Е.
*) где 9> (Е) = 2е.
325

Определение 14.4. Пусть Е — непустое множество.
Базисом фильтра называется непустое семейство % а 2В подмно-
подмножеств Е, удовлетворяющее следующим условиям:
(BF1) если Въ В2 ? %, то существует подмножество В ? %
такое, что В а В± Л В2,
(BF2) 0 $ SB.
Название «базис фильтра» обусловлено тем, что семейство
% — {F 6 & (Е) : ЭВ 6 ®» Be f} является фильтром, порожден-
порожденным базисом %.
Понятие фильтра тесно связано с понятием последовательнос-
последовательности; кроме всего прочего, если {ит} — последовательность в Е, то
семейство Up = {up, up+i, ...} (р 6 N) является базисом фильтра
в Е; его называют элементарным фильтром, связанным с последо-
последовательностью {ит} (образом при отображении р -*• ир из N в Е,
фильтра Фреше в N, т. е. фильтра с базисом Fp = {р, р + 1, ...},
J»€N).
Фундаментальная система окрестностей точки. Мы уже видели,
что для описания топологии топологического векторного прост-
пространства необходимо задать лишь структуру окрестностей начала
координат; практически — как будет видно из приводимой ниже
теоремы — топологии допускают описание с помощью так называе-
называемых фундаментальных окрестностей начала координат.
Определение 14.5. Пусть Е — топологическое прост-
пространство, и пусть а 6 Е. Фундаментальной системой окрестностей
точки а называется базис фильтра U (а) окрестностей точки а.
Таким образом, семейство <Р (а) окрестностей точки а являет-
является фундаментальной системой окрестностей точки а, если VV6
?U (a) 3W 6 & (a) WczV. Особый интерес представляют фун-
фундаментальные системы окрестностей точки а, состоящие из откры-
открытых окрестностей.
Основная теорема. Сформулируем теперь без доказательства
фундаментальный результат, который является глубоким следст-
следствием аксиом согласованности (VT1) и (VT2):
Теорема 14.1. Любое топологическое векторное простран-
пространство Е имеет фундаментальную систему окрестностей начала
координат & @) такую, что выполнены следующие условия:
1) если Уб2Г@), то Vug? 3a>0 u?%V УЯ?С|Я|>а,
2) если Уб^-(О), то XVczV VA.6C |Ч<1,
3) если V?T{0), то 3^6^@) U + Uc:V.
Обратно, если Е — векторное пространство над С и $ @) —
базис фильтра в Е, удовлетворяющий условиям 1)—3), то сущест-
существует единственная топология в Е такая, что Е — топологическое
векторное пространство, а of @) — фундаментальная система
окрестностей начала координат.
Доказательство приведено, например, в [467, с. 81]. Множество
V, удовлетворяющее условию 2), называют сбалансированным,
а множество, удовлетворяющее условию 1) — абсорбирующим.
Последнее понятие можно обобщить следующим образом: если
326

U, V cz Е, то говорят, что V абсорбирует U, если
Эа>0 UczhV VA.eC, |Х|>«
(в формулировке условия 1) имеем U = {и}). Важность этого
обобщения заключается в том, что оно позволяет ввести понятие
ограниченности независимо от метрики: подмножество L топологи-
топологического векторного пространства Е называется ограниченным,
если оно абсорбируется каждой окрестностью начала координат.
Хаусдорфовы пространства. Напомним, что топологическое
пространство (Е, 11) называется отделимым, 7^-пространством
или хаусдорфовым пространством, если
В случае топологических векторных пространств условие при-
принимает более простой вид: Vu=^=0 3V6 И@)ы$ V; это уп-
упрощение является следствием согласованности топологической
и линейной структур множества Е. Другим следствием сог-
согласованности является то, что каждое хаусдорфово топологичес-
топологическое векторное пространство регулярно (т. е. удовлетворяет аксио-
аксиомам отделимости 7\ и Т3), поскольку в любом топологическом век-
векторном пространстве каждая окрестность начала координат со-
содержит замкнутую окрестность начала координат.
Сходящиеся фильтры. Полнота. Как мы уже видели, понятие
фильтра тесно связано с понятием последовательности; продол-
продолжим изучение примеров.
Определение 14.6. Пусть (Е, Щ — топологическое про-
пространство, & — фильтр в Е. Говорят, что фильтр & сходится к
точке а 6 Е, а точка а является пределом фильтра S- , если
Легко видеть, что фильтр & сходится к точке а ? Е тогда и толь-
только тогда, когда фильтр <F тоньше, чем фильтр U {а) всех окрест-
окрестностей точки а, и что предел фильтра в хаусдорфовом пространстве,
если он существует, единствен (это условие фактически является
необходимым и достаточным и характеризует хаусдорфовы про-
пространства). Понятие фильтра особенно существенно для топологи-
топологических пространств, не являющихся метризуемыми. Действитель-
Действительно, если топологию метризуемых структур можно описать с помо-
помощью сходящихся последовательностей, то в случае пространств,
не являющихся метризуемыми, этого недостаточно.
Введем обобщение понятия последовательности Коши.
Определение 14.7. Пусть Е — топологическое вектор-
векторное пространство, А — подмножество Е. Фильтр <F в А называет-
называется фильтром Коши, если для любой окрестности V начала коорди-
координат существует множество F6 & такое, что F — Fc V. Множест-
Множество А называется полным, если каждый фильтр Коши в А сходится
к точке из А.
Примем без доказательства (см. [467], с. 131]), что если Е —
хаусдорфово топологическое векторное пространство, то сущест-
327

вует такое полное хаусдорфово топологическое векторное прост-
пространство Е (единственное с точностью до изоморфизма), что Е изо-
/ч /ч
морфно подпространству, плотному в Е. Пространство Е называ-
называется пополнением пространства Е.
Локально выпуклые топологические векторные пространства.
Большое значение в анализе имеют топологические векторные
пространства, удовлетворяющие условиям следующего определения.
Определение 14.8. Топологическое векторное прост-
пространство называется локально выпуклым, если оно имеет фундамен-
фундаментальную систему окрестностей начала координат, состоящую из
выпуклых множеств.
Из этого определения сразу же следует, что в локально выпук-
выпуклом топологическом векторном пространстве существует фунда-
фундаментальная система окрестностей начала координат, состоящая
из абсорбирующих сбалансированных замкнутых выпуклых мно-
множеств — бочек. Наоборот, локально выпуклое топологическое век-
векторное пространство называется бочечным пространством, если
каждая бочка является окрестностью начала координат. Значение
этого класса пространств заключается в том, что онн образуют
структуру, в которой справедлива теорема Банаха—Штейнгауза
(в случае банаховых пространств эта теорема формулируется так:
если семейство {f\}, % ? Л линейных непрерывных функционалов в
банаховом пространстве равномерно ограничено, т. е. Vu б В
3 М (и) VA. (Ё Л | /а, (и) | ^ М (и), то существует число М такое,
что | fx (и) | ^ М || и || Vu 6 В, Я 6 А). Всюду далее пространст-
пространство является бочечным в том и только том случае, если в нем спра-
справедливо соответствующее обобщение этой теоремы.
Сформулируем теперь (также без доказательства) следующий
результат — следствие теоремы 14.1.
Теорема 14.2. Пусть Е — векторное пространство, Л —
семейство абсорбирующих сбалансированных выпуклых подмно-
подмножеств Е, of @) — семейство множеств, каждое из которых явля-
является пересечением конечного числа множеств вида XV, где V 6 <А,
Я,'^> 0; тогда существует единственная топология в Е, при которой
пространство Е является локально выпуклым топологическим век-
векторным пространством, а семейство & @) — фундаментальной
системой окрестностей начала координат.
Полунормы. Введем теперь основной инструмент теории локаль-
локально выпуклых топологических пространств.
Определение 14.9. Пусть Е — векторное пространст-
пространство над полем С. Полунормой в пространстве Е называется функция
р : Е -*• R, удовлетворяющая следующим аксиомам:
(SN1) р(и)>0 V«6?;
(SN2) p(u + v)^p(u) + p(v) Vu, veE;
(SN3) р(аи)=-\а\р(и) УссбС, и^Е.
Из определения следует, что
р@) = 0. A4.1)
328

поскольку р @) = p(P'u) = O'p(u) = 0. Если, обратно,
то мы получим определение нормы.
Заметим, что аксиома (SN1) — лишняя, поскольку из аксиом
(SN2) и (SN3) следует более общее утверждение:
р(и —»)>| р(и)-р (о)| Vu,v?B A4.2)
Действительно, из аксиомы (SN2) имеем р (и — о) + р (v) >
^ р (ы), следовательно, р (и — v)^ р (и) — р (v); из аксиомы
(SN3) имеем р (и — v) = р ((—1) (v — и)) = | — 1 | /? (v — и) =
= р (v — и), поэтому р (и — у) 33» /? (у) — /? («); полагая в A4.2)
у = 0, получаем аксиому (SN1).
Кроме того, аксиомы (SN1), (SN2) и (SN3) эквивалентны одной
аксиоме:
(SN) р{аи + М<\а\р(и) + \$\p(v) Va, pfC, u,v?E.
Действительно, аксиома (SN) следует из аксиом (SN2) и (SN3).
Обратно, полагая в аксиомах: в (SN) а = р = 1,— придем к (SN2),
полагая в (SN) Р = 0, получим р {аи) ^ | а | р (и); с другой сто-
стороны, р (а-1 аи) ^ | а-11 р (аи), откуда следует, что р (аи) =
= | а | р (и), а ф 0, откуда, в свою очередь, как показано выше,
следует аксиома (SN1).
Полунормы и окрестности. Чтобы показать, каким образом по-
полунормы могут быть использованы при описании топологии ло-
локально выпуклого топологического векторного пространства, до-
докажем сначала следующее утверждение.
Теорема 14.3. Пусть Е — векторное пространство над
полем С, р — полунорма в Е. Множество
A4.3)
содержит начало координат и является выпуклым, сбалансиро-
сбалансированным и абсорбирующим.
Доказательство. Имеем 0 6 М, поскольку р @) =
= 0< 1. Выпуклость множества М следует из того, что для лю-
любых и, УбМи0<а<1 получаем р (аи + A — a) v) ^ ар (и) +
+ A — а) р (v) ^ а + A — а) = 1 и, таким образом, аи + A —
— a) v 6 М. Сбалансированность множества М следует из того,
что если ыбМ и |а|<1, то р (аи) = \ а | р (и) < | а \ < 1,
поэтому аи? М. Чтобы показать, что множество /И — абсорби-
абсорбирующее, заметим только, что если точка и 6 Е такова, что р (и) =
== а Ф 0 (при р (и) = 0, очевидно, и ? М), то р (аи) = 1, поэтому
arlu eM. D
Пусть теперь {рк} (Л. 6 Л) — любое семейство полунорм, оп-
определенное на множестве Е. Рассмотрим семейство множеств ви-
вида М% = {и 6 Е : р%х (и) ^ 1}. Исходя из этого семейства, путем
взятия пересечений конечного числа гомотетичных образов из Мк
329

получим семейство
VU к, • •„ =-{« 6 ?: fy; (и) < в„ 1< / <п}, A4.4)
которое согласно теореме 14.2, образует фундаментальную систему
окрестностей начала координат для локально выпуклой тополо-
топологии в Е.
Мы показали, таким образом, что, исходя из семейства полу-
полунорм, мы задаем такую топологию векторного пространства, для
которой оно будет локально выпуклым топологическим векторным
пространством. В предельном случае, когда семейство полунорм
состоит из всех полунорм, определенных в векторном простран-
пространстве, эта топология будет самой тонкой локально выпуклой топо-
топологией, которая может быть введена в данном пространстве. Дру-
Другие примеры топологий, заданных с помощью семейств полунорм,
приведены в гл. 4 — фактически этот способ задания локально
выпуклых топологий в векторном пространстве является наиболее
общим (и, вдобавок, наиболее удобным).
Функционалы Минковского. Покажем, что всякая локально
выпуклая топология может быть описана с помощью соответствую-
соответствующего семейства полунорм. Для этого введем сначала определение.
Определение 14.10. Пусть Е — векторное пространст-
пространство над полем С, М — подмножество Е. Функционалом Минковско-
Минковского для множества М называется отображение f/n '• Е -*¦ [0, +оо],
задаваемое соотношениями
fM(u) = + оо, если Va>0 ugaM, A4.5)
/ (и) = inf а, если Эа>0ы6аМ.
а>0
Докажем теперь следующее важное утверждение.
Теорема 14.4. Пусть Е — векторное пространство над
полем С, М — сбалансированное выпуклое абсорбирующее подмно-
оюество Е. Функционал Минковского для множества М является
полунормой в Е.
Доказательство. Из соотношений A4.5) следует, что
если М — абсорбирующее множество, то /м — вещественная функ-
функция, как и требует определение 14.9. Из A4.5) следует также, что
аксиома (SN1) выполнена. Множество М сбалансировано, поэтому
V8>0 №+
а поскольку множество М выпукло, то
Vu, v?E Ve>0
Ы")+в и !м (р) +8
fM(u)+fM(v) + 2e fM(u)+e n fM(u) + fM(v) + 2e fM(v)+e
A4.7)
(коэффициенты линейной комбинации, очевидно, соответствуют
330

определению выпуклого множества), откуда следует, что и -\- v ?
6 Ом (и) + /м (v) + 2е) Ж. Таким образом, по определению функции
fM (поскольку число е произвольно) аксиома (SN2) также выполне-
выполнена. Из A4.6) следует также, (поскольку е произвольно), что Vu?E
VA. 6 С /м (Ъи) = | Я- | fM (и), т. е. выполнена аксиома (SN3). ?
Напомним теперь, что в локально выпуклом топологическом век-
векторном пространстве существует фундаментальная система окрест-
окрестностей начала координат, состоящая из бочек, и рассмотрим сле-
следующие факты (Е — произвольное топологическое векторное про-
пространство):
1) пусть А с Е — сбалансированное абсорбирующее выпуклое
множество; тогда А является окрестностью начала координат в
том и только том случае, если функционал Минковского }а непре-
непрерывен;
2) пусть V с Е — сбалансированная абсорбирующая выпук-
выпуклая окрестность начала координат; тогда V = {и 6 Е : /у (и) ^
<!}¦
Теперь мы можем сказать, что семейство функционалов Мин-
Минковского для множеств фундаментальных систем окрестностей на-
начала координат, составленных из бочек, состоит из непрерывных
полунорм (из 1), =$-)) и что задаваемая этим семейством топология
совпадает с исходной, поскольку V = {и 6 Е : /у (и) ^ 1} являет-
является окрестностью начала координат (из 1), <=)) и бочкой (из B)).
Насыщенные семейства полунорм. Пусть Е — векторное про-
пространство, & = {рх}, Я, 6 Л — семейство полунорм в Е. Семейст-
Семейство $ называется насыщенным семейством полунорм, если для лю-
любого конечного подсемейства {pt} (i — 1, ..., п) полунорма, опреде-
определяемая соотношением р (и) — тахг/?, (и), принадлежит ^ (опре-
(определение имеет смысл, поскольку функция р; очевидно, является
полунормой в Е). Семейство всех непрерывных полунорм в локаль-
локально выпуклом топологическом векторном пространстве является
насыщенным. Таким образом, любую локально выпуклую тополо-
топологию можно задать с помощью насыщенного семейства полунорм.
Аксиома отделимости. Хаусдорфовы пространства характери-
характеризуются через понятие полунормы следующей теоремой.
Теорема 14.5. Пусть Е — локально выпуклое топологи-
топологическое векторное пространство, топология которого задана с по-
помощью семейства полунорм {рь} (Я, 6 Л). Пространство Е являет-
является хаусдорфовым в том и только том случае, если это семейство
удовлетворяет следующей аксиоме отделимости:
(Н) V«6?\{0} ЗЯ,бЛрх(и)#0.
Доказательство. Если аксиома (Н) выполнена, то при
и ф 0 и X, удовлетворяющих условиям аксиомы (Я), и при а =
= pi. (и) множество {и : р\ (и) ^ а/2} является окрестностью на-
начала координат, не содержащей точку и,— таким образом, про-
пространство Е хаусдорфово. Наоборот, если Е — хаусдорфово про-
пространство и и ф 0, то существует окрестность V начала координат,
не содержащая точку и; поскольку окрестность V обязательно со-
331

держит множество вида V\, х„: е, е„, существует kj такое,
что p\t (и) Ф О, так как в противном случае и 6 V. ?
Метризуемость. Пространства Фреше. В локально выпуклом
топологическом векторном пространстве Е, топология которого
задана с помощью семейства полунорм $ = {ру] (Я. 6 Л), множест-
множество L с Е ограничено в том и только том случае, если V к ? Л
Можно доказать (см., например, [467, с. 109]), что если Е —
локально выпуклое топологическое векторное пространство, в ко-
котором имеется ограниченная окрестность начала координат, то то-
топология пространства Е может быть задана с помощью одной по-
полунормы. Эта полунорма является нормой в том и только том
случае, если Е — хаусдорфово пространство; в этом случае гово-
говорят, что пространство нормируемо. Если же топология локально
выпуклого топологического векторного пространства может быть
задана с помощью конечного семейства полунорм {pt} (i — 1, ...,«),
то ее можно задать с помощью одной полунормы — например,
р (и) = maXiPi (и) или р (и) = 2;/^ (и).
В более общем случае топологическое пространство называют
метризуемым, если существует метрика d в этом пространстве,
которая индуцирует в нем топологию, совпадающую с исходной.
Можно показать (см., например, [467, с. 111]), что если хаусдорфо-
хаусдорфово топологическое пространство имеет счетную фундаментальную
систему окрестностей начала координат, то оно метризуемо с по-
помощью метрики d, инвариантной относительно сдвига, в том смысле,
что Vu,v,a 6 Е d (и + a, v + а) = d (и, v); пространство Е с та-
такой метрикой называется линейным метрическим пространством.
Для локально выпуклых топологических векторных пространств
этот результат можно сформулировать следующим образом: ес-
если Е — хаусдорфово локально выпуклое топологическое вектор-
векторное пространство, топология которого задана с помощью последо-
последовательности полунорм {рп} (п 6 N), то инвариантная метрика, ин-
индуцирующая в пространстве Е исходную топологию, задается фор-
формулой
d(u, v) = ? 2~пРп(и-о)!A +рп(и- v)).
1=0
Функция [•] : и -*¦ [и] —¦¦ d (и, 0) называется квазинормой и
удовлетворяет условию
Полные метризуемые локально выпуклые топологические век-
векторные пространства называют пространствами Фреше.
Теорема Хана—Банаха. Сформулируем без доказательства сле-
следующее утверждение — обобщение теоремы 1.1.
Теорема 14.6 (теорема Хан а—Б а н а х а ). Пусть Е —
векторное пространство над полем С, р — полунорма в Е, V —
332

линейное многообразие в Е. Если f : V-*~ С — линейный функцио-
функционал такой, что Vv?V\f(v)\^p(v), то существует линейный
функционал g:E-+С такой, что g|v = / и Vv?E |g(v)\ ^ р(v).
Доказательство приведено, например, в [467, с. 176]. Возможно
дальнейшее обобщение утверждения теоремы, поскольку нет необ-
необходимости, чтобы функция р была полунормой — в случае вещест-
вещественных пространств достаточно, чтобы она была субаддитивным
неотрицательным функционалом, равным нулю в начале коорди-
координат и таким, что Vu ? Ер (ки) -*- О при X -*• 0+ (см. [513]).
Глава 15. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И РАЗБИЕНИЕ
ЕДИНИЦЫ
15.1. Регуляризация
При изучении задач, которые связаны с функциями, имеющими
особенности, широко используется прием, который заключается в
том, что эти функции заменяют последовательностями гладких
функций, сходящимися к исходным в подходящей топологии —
этот прием называют регуляризацией.
Функция <pq (x). В качестве гладких функций (особенно в воп-
вопросах теоретического характера) чаще всего используют функции
из Q° (Q); в связи с этим представляет интерес следующее утверж-
утверждение.
Теорема 15.1. Если QczR"— непустое открытое множест-
множество, то существует такая функция ф?Со°(?2), что ф>0 s Q и
l. A5.1)
Доказательство. Покажем сначала, что при Q = R" сущес-
существует функция из Со° (Rn), не равная тождественно нулю. Пусть
<pRn: R" -*¦ R — функция, задаваемая соотношениями
,ул.-,да> при [М1<1)
при ||х||>1. A5'2)
где Ц - И — евклидова норма в R". Покажем, что фкп6Со° (R"). ИзA5.2)
следует, что supp cpRn = {x 6 Rn: || х || ^ 1} — компактное множество
в R". Покажем теперь, что фк„ ? С°° (R"). Учитывая симметрию фк„,
достаточно рассмотреть одномерный случай, причем, поскольку, оче.
видно, фк 6 С°° (R\{— 1.1}) и фк — четная функция, достаточно
изучить поведение фк в окрестности точки х = 1. Функция фк то-
тождественно равна нулю на [—1, + оо], поэтому задача сводится к
доказательству равенства
lim ф<*> (х) = 0 Vfe6N. A5.3)
333

По индукции легко доказать, что
l'ilnm на (-1,1), A5.4)
где Рт и Qm — многочлены от х степени т; следовательно, условие
A5.3) выполнено. Мы, таким образом, показали, что <pRn6Co°(R").
Пусть теперь Q с: R" — непустое открытое множество и х0 6 й.
Учитывая структуру евклидовой топологии пространства R", утвер-
утверждаем, что
Эе>0 1Е(хо)= {лгб R" Ч1 ^ — XdK8}cQ, A5.5)
поэтому функция ф: Q -*¦ R, задаваемая соотношением
Фа (х) = <PR« {(х — хо)/в), х б Q, A5.6)
принадлежит Co°(Q), поскольку она бесконечно дифференцируема и
ее носитель supp q>Q = /е (х0) — компактное множество.
Таким образом, мы показали, что если Q — непустое открытое
множество, то существует функция фй ? Со° (Q) такая, что фй Ф 0.
Далее, легко проверить, что фа (х) :> 0 V х б Q, и, следовательно,
0< §q>Q(x)dx<+ оо A5.7)
(заметим, что функция фо интегрируема по Q, поскольку эта функ-
функция непрерывна и ограничена на Q, причем интеграл по Q равен
интегралу по /8 (х0)).
Мы можем теперь рассмотреть функцию ф : Q -> R:
г, A5.8)
которая, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы. ?
Функции ф„п. Фа и ф, фигурирующие в доказательстве, часто
называют «функциями-колоколами» по виду их графиков при п == 1
и п = 2 — график функции фк изображен на рис. 15.1.
Сглаживание. Теорема о регуляризации. Прежде чем перейти
к доказательству основного результата, лежащего в основе регу-
регуляризации, введем важное определение (здесь под тривиальным
продолжением функции u:Q-*-R на R" мы понимаем функцию
«:R"->-R такую, что u = u в Q и usO на R"\Q).
Определение 15.1. Пусть QcR" — открытое множество,
u?L'(Q) и и — тривиальное продолжение и на R". Если е>0 и
среднее значение функции фбС1Г^п) равно 1, то функцию
иг (х) = J и (х — гу) ф (у) dy A5.9)
334

называют е-регуляризацией или е-сглаживанием функции и функ-
функцией ф.
Заметим, что ие (х) — функция из R" в R, поскольку для любо-
любого фиксированного х имеем и (х — гу) ф (у) ? U (R"), так как и 6 D (R")
и ф € С" (R") — фактически, мы имеем дело со сверткой.
В дальнейшем тривиальное продолжение функции и будем обо-
начать тем же символом, так что
равенство A5.9) можно записать
следующим образом:
ие (х) = \ и{х — гу) ф (у) dy,
A5.10)
X
Рис. 15.1
а символом ые будем обозначать
как саму эту функцию, так и ее
сужение на Q. В качестве функции ф будем брать функцию
Ф (х)
(хI \ фк„ (х) dx,
A5.11)
R"
что не ограничивает общности следующего утверждения.
Теорема 15.2 (теорема о регуляризации). Пусть
Q сг R" — открытое множество, К е Q — компактное множест-
множество и и — функция из L'(Q) такая, что "|fl\^^0. Справедливы
следующие утверждения:
" 1) если e<d(K, R"\Q), mo «e6C"(Q);
2) если u6C*(fi), fe6N, mo ue^-u npus->0 в $k(Q);
3) если u6^"(fi). p€lb +oo),mo ue^-u при e^-0 в If (Q).
Доказательство. 1) Покажем, что при фиксирован-
фиксированном е для любого а 6 N" существует непрерывная производная
DaUg и, следовательно, ие 6 C°°(Q). Для этого преобразуем равен-
равенство A5.10) в выражение, в котором функция и (которую мы не
можем дифференцировать) не зависит от переменной х, что можко
сделать с помощью замены переменных
г = х — гу.
A5.12)
Якобиан этого преобразования равен (— 1)"е", поэтому можно запи-
записать
и, (х) =. е-" J и (z) ф (-~^-\ 6г. A5.13)
R" V '
Функция и8 (л;), очевидно, непрерывна. Покажем, что ее первая про-
производная по переменной xt (т. е. Daue = dujdxt, где a — (biv...
335

...» 6ц, ..., 62n), a 8^ — символ Кронекера) существует. Пусть {et} —
канонический базис R"; тогда (для фиксированного х) эта производ-
производная, если она существует, задается выражением
дх1 ft->0
,. «е ( + **|) — «в
= 11Ш 7
4ЬМ
R
где ft?R. Поскольку Фб^СО» то мы можем теперь записать
Jim a «-s- (Ф ( J j - Ф (-j-)) = - Д- (-j-J к B).
A5.15)
поэтому существует постоянная с>0 такая, что
Применяя теорему Лебега о доминантной сходимости (см., например,
[654, с. 26]), перепишем A5.14) в виде
A6Л7)
это позволяет сделать вывод о существовании и непрерывности рас-
рассматриваемой производной. Далее, поскольку
где Up ? Co° (R"), то проведенные рассуждения можно автоматически
распространить на все остальные производные. Мы показали, таким
образом, что ие 6 С°° (R").
Найдем теперь носитель функции ие. Из равенства A5.10) вид-
видно, что для того, чтобы функция tie (x) была равна нулю при неко-
некотором фиксированном значении х, достаточно, чтобы для любого
у такого, что || у || < 1, выполнялось условие х — гу 6 Й\/С,
т. е. функция ие (х) равна нулю в тех точках х, которые не могут
быть передвинуты в К преобразованием х -*¦ х — гу при || у || < 1,
или, более наглядно (рис. 15.2), функция ие {х) равна нулю в тех
точках х, где существует соответствующая сфера типа Въ и может
быть не равной нулю в тех точках, где существует соответствую-
соответствующая сфера типа В2- Точки, для которых существует сфера первого
типа, характеризуются условием к (х, К) > е; следовательно,
взяв е < А {К, R"\Q) (легко видеть, что d(k, R"\Q)>0 в силу
непрерывности отображения d:RnxR"->-R), утверждаем, что сущест-
336

вует компактное множество /С2 с: Q, содержащее носитель функции
иг, т. е. ие 6С~(Й).
2)'Утверждение «ые -*-и в топологии $*(Q)» означает согласно оп-
определению 4.3, что существует такое компактное множество /C*eQ,
что для любого е имеем supp ие а К*, и для любого а ? N" такого»
Рис. 15.2
что | а | ^ k имеем Daue -> Dau равномерно на К* Такое множест-
множество К* существует: поскольку мы хотим устремить е к нулю, мы
можем положить е ^ о = -^ d (К, R"\Q) и взять К* = Ка = {х 6
Докажем теперь, что для фиксированного а такого, что | а | ^ к,
выполняется соотношение
V6>0 За !> е > О Vx?K* е < е =s-1 Daue (x) — Dau (x) | ^ 6.
A5.19)
Рассмотрим разность \Daus(x) — Dau(x)\. Учитывая, что среднее
значение функции q> равно 1, запишем
)-Dau(х)\ = | J Dau(x-by)q(y)dy-Dau(<x)\ =
R"
(Dau (x — еу) — Dau (x)) ф (у) dy I ^
R"
| Dau (х — гу) — Dau (х) | Ф (у) dy. A5.20)
R"
Функция Dau непрерывна в Q, следовательно (по теореме Гейне—
Кантора), равномерно непрерывна в /С* = Ко, т. е.
V6>O
-Dau(x")\^8. A5.21)
22 К. Вайокки, А. Капело

При фиксированном х точки х — гу расположены на сфере о
центром в точке х и радиусом е, поэтому, взяв е < е/2 и учитывая
A5.21), получим
\Dau(x — гу) — ?>"«(*) |< 8. A5.22)
Теперь из A5.20) имеем
|Daue{х) — Dau(х)|<J бФ(y)dy = 8, A5.23)
R"
и тем самым утверждение 2) доказано.
3) Мы хотим доказать, что если u?L"(Q), то
Уб>0 3<Г>0 г<г=>\\и — ие||^(о)<8. A5.24)
Для этого докажем сначала неравенство, которое важно само по
себе:
(й) ueif(Q), A5.25)
где постоянная с не зависит от е.
Действительно, применяя к A5.10) неравенство Шварца—Гёль-
дера (и сводя интеграл по R" к интегралу по единичной сфере пу-
путем рассуждений, аналогичных проделанным при доказательстве
утверждения 1)), находим
J \и(х-гу)\рс1у}1/р[ j \<v(y)fdy\lp\ A5.26)
где р и р* — сопряженные показатели, и, следовательно,
) J [ J I «(* ~ Щ) \Pdy\ dx.
A5.27)
Применяя к A5.27) теорему Фубини и учитывая, что интеграл
Лебега инвариантен относительно сдвига, получаем
A5.28)
что совпадает с A5.25), поскольку функция и тождественно равна
нулю вне К', при этом
(R,l}))I/''. A5.29)
338

Как известно, пространство Co(Q) плотно в If (Q), р€[1, + °°),
т. е. любую функцию u?Lp(Q) можно аппроксимировать (в топо-
топологии V (й)) последовательностью непрерывных функций с ком-
компактным носителем, содержащимся в п:
VS>0 VueLp(Q) 3d<ECo°(Q) ||«-y||LP(Q)<6 A5.30)
(см., например, [91, с. 28]; при р = +оо утверждение неверно:
предел последовательности непрерывных функций, сходящейся в
L°° (Q),— непрерывная функция, но L°° (Q) Ф О> (Q) ...).
Возьмем теперь функцию о, удовлетворяющую условию A5.30),
и рассмотрим ее е-регуляризацию. Запишем
1|И — «е II^(Q) = II « — V + V — Ve + Ve — Ue \\LP(Q) <
или, поскольку операция регуляризации линейна,
II « — «е \\LP(Q)< || «— V \\mQ) + || V — Ve ||iP(Q) -HI (И — V)e \\LP(Q),
A5.32)
или, наконец, применяя неравенство A5.25) к функции и — y?Lp(Q)
и используя условие A5.30), получим
II«-«.IUO,<A +6)8 + 110-0.11^,. A5.33)
Теперь утверждение 2) гарантирует существование числа е такого,
что если б<е, то
4v — ve \\mQ)<mes(supp(о— ое))¦ max|о — oe |<mes(K-eN, A5.34)
что, вместе с неравенством A5.33), доказывает утверждение 3). ?
При доказательстве мы использовали тот факт, что С° (Q) плот-
плотно в LP (Q). В качестве приложения теоремы 15.2 докажем более
тонкий результат.
Теорема 15.3. Пространство С™ (Q) плотно в IP (Q)
О» €11, +00».
Доказательство. Покажем, что любую функцию v6
? Lp (Й) можно аппроксимировать в норме пространства Lp (Q)
последовательностью функций из пространства Cg° (Q). Пусть
v ? Lp (Q). Рассмотрим последовательность компактных множеств
A5.35)
и последовательность функций
{vm} = {v%KJ, A5.36)
где Х/( — характеристическая функция множества Кт- Очевидно»
22* 339

что vm 6 L" (Й), Km c= Km+i e Q и Q = Ц /Cm (последовательность
компактных множеств, удовлетворяющих этим условиям, называют
заполняющей). Непрерывность интеграла по отношению к области
интегрирования позволяет заключить, что vm -> v в Lp (Q), поскольку
$\v(X)-vm(x)\pdx= Г H*)|pd*. A5.37)
Q Q\/Cm
Теперь, рассматривая для любого фиксированного числа т после-
последовательность {ут,е} е-регуляризаций функции vm, утверждаем
согласно теореме 15.2 (ее можно применять, поскольку функция
vm обращается в нуль вне Кт), что существует подпоследователь-
подпоследовательность последовательности {vm,e}, сходящаяся к функции v в LF(Q).
Поскольку vm,e^Co>(й) для любых т и е, теорема доказана. ?
15.2. Разбиение единицы
Локализация. Решение дифференциальной задачи зачастую
оказывается более гладким, чем того требует ее формулировка.
Так, задача Коши
у' = у на @, 1), у @) - 1
корректна, если необходимо найти у из С1 (@, 1)) П С°([0, 1]);
в то же время, легко видеть, что решение этой задачи принадлежит
пространству С°° ([0, 1]). Однако исследовать гладкость функции,
как правило, непросто; кроме того, функция может быть менее
гладкой в целом, на всей области, чем на некотором ее участке,
представляющем особый интерес. Из этих и других соображений
часто удобно разбить область, на которой рассматривается функ-
функция, на подобласти и исследовать ее гладкость в каждой подоблас-
подобласти отдельно; это разбиение, очевидно, должно удовлетворять неко-
некоторым условиям — например, чтобы по гладкости в каждой под-
подобласти можно было определить гладкость в целом.
Разбиение. Поставленную задачу можно решать с помощью так
называемого разбиения единицы, к рассмотрению которого мы
переходим.
Определение 15.2. Пусть К с R" — компактное множество,
{Qi}i=i....,m — открытое покрытие множества К (т. е. Qt cR"(i =
т
= 1,... , пг) — открытые множества, и К с О^'« напомним, что из
любого открытого покрытия множества К можно выделить конеч-
конечное подпокрытие). Разбиением единицы, класса С", соответствую-
соответствующим покрытию {Q,}, называется набор функций {ф<},=1 т таких, что
340

1) <p,eCS°(Q,), i = 1,... ,m;
2) 0<ф,<1, i = 1 m;
m
3) ]? Ф* (x) = 1 в окрестности множества К.
Термин «разбиение единицы» продиктован, очевидно, усло-
условием 3). В более общем случае вместо множества К можно рас-
рассмотреть открытое множество Q (при этом покрытие не обязано
быть конечным) или же многообразие — см. [664, с. 22] или [354,
с. 4].
Определение 15.2 показывает, как исследовать гладкость функ-
функции: выбираем подходящее покрытие {Q,} и исследуем гладкость
функции и = 2гыф; на множестве й путем исследования гладкос-
гладкости функций щ = шрг. Необходимо, однако, доказать, что для лю-
любого покрытия множества К конечным числом открытых множеств
существует соответствующее разбиение единицы. Для этого восполь-
воспользуемся следующей леммой.
Лемма. Пусть Q — открытое множество и /CeQ. Сущест-
Существует функция i|>6CiT(Q) такая, что 0<i|>(*)<1 е ^ " ty(x)ssl
в окрестности множества К, т. е.
3p>0 3iKC0°°(Q) 0<Ч>(*)<1 dfa К)<р=>Ц(х)=1. A5.38)
Доказательство. Если б<-g~d(/<¦, Rn\Q), то /Ce={*€
6 Q : d (х, К) ^ Щ — компактное множество. Пусть 1Кб — его харак-
характеристическая функция, Хкбе—е-регуляризация этой функции. Мы
можем говорить о е-регуляризации функции Хка> поскольку эта
функция измерима (она является характеристической функцией ком-
компактного множества, а компактные множества измеримы) и сумми-
суммируема (так как ц(/Св)< + °°). Таким образом, Х^вб^1^).
Докажем, что при подходящем выборе е можно взять i|> = ^кв>е-
Очевидно, что 0 г^ ХЛв g (я) sg; 1 — это следует из равенства A5.10)
и из неравенства
R" R"
= f [1—XK&(x— Ey)](p{y)dy^O. A5.39)
R"
Далее, для того чтобы Х^ Е € С~ (й), можно взять е < 6/2.
Покажем, что при таком выборе е функция Хк&& будет тождест-
тождественно равна 1 в окрестности множества К, т. е. по крайней мере в
/Се/2 = {х € Q г d (x, /Q < 6/2}. Действительно, при х 6 Km можем за-
записать
= \ (p(y)dx = l; A5.40)
341

если е<6/2 и ||у||<:1, то х — ey?/(j, поэтому х—щ — 1. Взяв
теперь, например, р = F/2) — ей i|) = %Кб е, где е < 6/2, получим
A5.38).
На рис. 15.3 приведена схема, которая дает представление о виде
функции i|) в одномерном случае (на рисунке Й = (а, Ь), К. = [с, d],
Кб =- 1с— 6, d + 6] и Кб/2 = [с — 6/2, с — 6/2]). ?
Теорема 15.4 (теорема о разбиении единицы).
Для любого компактного множества К cr R" и любого его конечно-
конечного открытого покрытия {&*}г=1 т существует соответствующее
разбиение единицы класса С°°.
Доказательство. Легко проверить, что существует семей-
т
ство {Кг-}г=1 т компактных множеств таких, что Kcr {_J/(,• и /C,cz
cr Q; (i = 1, ... , m). Лемма гарантирует существование т функций
¦фг таких, что:
1) t,€Co°(Q), i= I, ... ,m;
2) 0<^(х)<1, t=l,... ,m;
3) ij3f (л:) ^= 1 в окрестности /(г A = 1,... , m).
Положим
Ф1 =
— %)' t = 2, ... , /и.
A5.41)
и покажем, что определенные таким образом функции ф,- образуют
разбиение единицы, соответствующее покрытию {Q,}i=:,...m.
Очевидно, что условие 1) определения 15.2 выполняется, пос-
поскольку функция г|)г удовлетворяет условию 1), а операции, присут-
присутствующие в [A5.41), не меняют гладкость и не увеличивают носи-
носитель функций. По тем же причинам удовлетворено условие 2)
342

Что касается условия 3), то здесь имеем
т i—I fft i—1
? Ф« = Ф1 + ? [** ПС" Ч>Л] = «Pi - ? [(-*») П
t=l i=2 /=1 i=2 j=\
т i—1
1=2
т г—1
=-Ф1-П0-%) + 0-Ф1) = 1-ПA-^)- A5.42)
т
Взяв ^ из множества \J Kpt, где /CPi — окрестность множества /(г,
в которой функция Opi тождественно равна 1, получим
^) = 0, A5.43)
поскольку при некотором / имеем я|O- (х) = 1. D
Приведенное доказательство конструктивно и, более того, да-
дает больше информации, чем определение само по себе. Функции
<р; могут быть выбраны таким образом, чтобы в окрестности данной
точки все они были тождественно равны нулю, за исключением од-
одной, которая при этом будет тождественно равна 1, что в ряде
случаев очень удобно.
Глава 16. ГЛАДКОСТЬ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ
При изучении функциональных пространств, и в частности
пространств Соболева, мы часто получали результаты, зависящие
от гладкости границы открытого множества, на котором задаются
элементы пространства. Здесь мы рассмотрим некоторые способы
описания открытых множеств, наиболее часто используемые в
функциональном анализе, подходя к вопросу с более общих пози-
позиций и используя понятие многообразия с границей и без границы.
16.1. Многообразия. Открытые множества
классов С* и Ck'P. Свойства конуса и сегмента
Локальные карты, атласы и многообразия. Рассмотрим снача-
сначала фундаментальные определения, касающиеся понятия многооб-
многообразия.
343

Определение 16.1. Пусть М — хаусдорфово топологи-
топологическое пространство; л-мерной локальной картой пространства
М называется тройка (V, U, ф), где V — открытое множество в М,
U — открытое множестро в R", ф : V -*¦ U — гомеоморфизм; п-
мерным атласом пространства М называется семейство А =
*= {(Va, Va, ф„)}аб/? л-мерных локальных карт такое, что М =
= U Va, л-мерным топологическим многообразием называется па-
пара (М, А), где А — л-мерный атлас пространства М.
Размерность многообразия единственна (она является, таким
образом, одной из его характеристик), поскольку по известной тео-
теореме Брауэра (см., например, [3, с. 213; 26, с. 97]) пространства
R" и Rm гомеоморфны тогда и только тогда, когда л —т.
Определенные выше многообразия называют вещественными мно-
многообразиями или многообразиями на R"; в более общем случае
можно рассматривать многообразия на любом банаховом прост-
пространстве В (см., например, [519, с. 16]). В частности, взяв В = С»
получим л-мерное комплексное многообразие (см., например, [679,
с. 79]).
Топологические многообразия называют также многообразия-
многообразиями класса С0, а пространство М — носитель структуры многооб-
многообразия —¦ локально евклидовым.
Если x?Va, то локальными координатами точки х будем на-
называть вещественные числа фа (*) фа (х), где фа (i = 1, ...,п)—
компоненты вектора фа. Если для некоторой пары (a, P)€^2 раз-
различных индексов имеем Уа[\У$ф 0, то на множестве x?VaOV$
можно задать две системы локальных координат, и возникает есте-
естественный вопрос как они связаны друг с другом? Сразу же можно
сказать, что функция ФиОф~', соответствующая замене локальных
координат, является (возможно, при соответствующем сужении функ-
функций фа и фр) гомеоморфизмом множеств фа (Va П ^р) и фр (Уа П Ур)-
Кроме того, функция ФрОф~' задает соответствие между двумя
открытыми множествами в R", и можно, таким образом, говорить о
ее дифференцируемости, что приводит к следующему определению
(где со таковы, что k <С + оо <; со V& ? N).
Определение 16.2. Пусть М — хаусдорфово топологическое
пространство; л-мерный атлас А = {{Va, Ua> фа)]аел пространства М
назовем атласом класса С*, &6N(J {+ °°>и}, если выполнено сле-
следующее условие согласованности локальных карт:
Va,$?A если Vaf[Vp?= 0, то функция фроф-' является (при
соответствующем сужении функций фа и фр) диффеоморфизмом мно-
множеств фа(Уа|~|Ур) и фр(УаПУр) класса С*.
Назовем n-мерным многообразием класса Ck пару (М, А), где
Л — л-мерный атлас класса С* пространства М. При k — 0 это
определение совпадает с предыдущим (с точностью до некоторого
этимологического несоответствия, которое заключается в том, что
344

здесь диффеоморфизм класса С0 называют гомеоморфиз-
гомеоморфизмом).
На каждом отдельно взятом топологическом пространстве мож-
можно задать несколько атласов класса С* : два атласа Л и !В клас-
класса С*, называют (k)-эквивалентными (или индуцирующими на М
одинаковую {Щ-дифференциальную структуру), если атлас Л U ^
является атласом класса С*. Данное отношение между атласами
является, очевидно, отношением эквивалентности, и, таким обра-
образом, определение 16.2 вводит элементы класса эквивалентности.
Чтобы не вдаваться далее в частности, можно определить много-
многообразие класса С* как пару (М, Л), где Л— объединение атласов
класса С*, (й)-эквивалентных данному атласу Л; таким образом,
Л является единственным максимальным расширением атласа Л-
Многообразия класса С* при 1 <: k <: +00 называют диффе-
дифференцируемыми, а многообразия класса Са — аналитическими мно-
многообразиями (соответственно атласы класса Са называют аналити-
аналитическими атласами).
В дальнейшем (там, где это не может привести к недоразумени-
недоразумениям) многообразия будут обозначаться как одним символом М, так
и парой (М, Л).
Простейшим примером л-мерного многообразия является мно-
многообразие, в котором М — открытое множество Q cr R", наделен-
наделенное топологией, индуцированной R", и атласом, по понятным при-
причинам называемым каноническим, который состоит из единствен-
единственной карты (У = Q, U = Q, ср — тождественное отображение).
Это многообразие — аналитическое, поскольку нет проблемы со-
согласованности локальных карт. Далее, это многообразие называют
погруженным, поскольку его носитель — подмножество евклидо-
евклидова пространства.
Класс дифференцируемых многообразий, которые можно рас-
рассматривать как погруженные в соответствующее евклидово прост-
пространство, весьма обширен, именно: результат, полученный Уитни
(см., например, работу [123, с. 116]) гласит: если (М, А)—п-
мерное дифференцируемое многообразие, и пространство М удов-
удовлетворяет второй аксиоме счетности, то М диффеоморфно замкну-
замкнутому подмножеству в R2"+1.
Многообразия с границей. Из сказанного ясно, что нет смысла
рассматривать открытое множество Q как многообразие — эта
усложнение бесполезно; в общем случае этого нельзя сказать о
границе Г множества Q. С топологической точки зрения Г и Q тесно
связаны. Сохранится ли эта связь в каком-либо смысле, если мы
будем рассматривать Й и (если возможно) Г как многообразия?
Ответ на этот вопрос ведет к необходимости рассмотреть понятие
многообразия с границей. Обозначим символом R^_ полупростран-
полупространство {*6R" '¦хп>Щ, а символом dR+ — гиперплоскость R"~'x{0}
{еГп>}Ф(+))
Определение 16.3. Пусть М — хаусдорфово топологическое
пространство. Многообразие (М, Л) называется /г-мерным многооб*
345-

.разием класса С* с границей, k^H\J{+ оо, &}, если Л — {(F«,
•Ua, фа)}аел — семейство (опять назовем его атласом класса С ) тро-
троек (мы опять назовем их локальными картами), каждая из которых
состоит из открытого множества Va из М, открытого множества
¦Ua из R+ (с топологией, индуцированной R") и гомеоморфизма <ра:
:Va-*-Ua таких, что U V« = М и Va, РбЛ если VariVp#0, то
функция фрОф-1 является диффеоморфизмом класса С* множеств
р
фа (Va П Vp) и фр (Va П Vp). Если точка х?М имеет окрестность V
такую, что существует локальная карта (Va, Ua, Фа) такая, что V с:
ci Va и фа^) с R+, то точка х называется внутренней точкой мно-
множества М, а множество М. внутренних точек М называется внут-
внутренностью множества М. Если точка х (; M имеет окрестность V'
такую, что существует карта (Va', Uar> фа0 такая, что V с: Va- и
Фа, (V) GdR+, то точка х называется граничной точкой множества
М, а множество дМ всех граничных точек М называется границей
множества М.
Здесь, как и в определении 16.2, функцией, которая должна
¦быть диффеоморфизмом, является сужение на фа (Va f| Vp) функции
ФрОф-1. Далее, поскольку фцО^Г^р) и фр(V«П Vp) — открытые
множества в Ri, но не обязательно в R", понятие диффеоморфизма
нуждается в уточнении: если Ох и О2 —открытые множества в
R+, то отображение f:0l->0.2 называется диффэоморфизмом класса
Ck, если существует отображение F: R" -> R такое, что f:F \&i и
F — диффеоморфизм класса С*.
В рассуждениях, следующих за определением 16.2, можно по-
потребовать, чтобы атлас <А был максимальным атласом класса С*.
Многообразие в смысле определения 16.2 является в то же времй
многообразием с границей (она является пустым множеством),
поскольку пространства R" и R4- (аналитически) диффеоморфны.
Многообразия в смысле определения 16.2 называют также много-
многообразиями без границы, но мы не будем пользоваться этой терми-
о
нологией. Очевидно, что М и дМ —• многообразия класса С* раз-
размерности п и п — 1 соответственно; очевидно также, что дМ =
= М\М.
Открытые множества и их границы. Возвращаясь к вопросу,
который привел к предыдущему определению, можем сказать, что
если Q с R" — открытое множество, граница Г которого явля-
является (п—¦ 1)-мерным многообразием, то й = й [| Г—¦многооб-
Г—¦многообразие с границей 3D с: Г. Далее, если замыкание Q открытого
множества йс R" является п-мерным многообразием с границей,
346

mo dQ с _Г = Q\Q. Чтобы найти условия на множество Q, при
которых дп = Г, введем определение.
Определение 16.4. Говорят, что открытое множество QcrR"
имеет границу Г класса Ck, &?NU {°°,со}, или, проще, Q называют
открытым множеством класса Ck, если выполнено следующее ус-
условие !
(с) для любой точки х 6 Г существуют два открытых множества
VcR" и ?У_с R" и диффеоморфизм q>: R"-*¦ R" класса Ck такие,что
5
(+ Ф()?
Очевидно, что если Q — открытое множество класса С*, то Q—•
k
многообразие с границей класса Ck (погруженное) и дО. — Г. Если в
условии (с) функции ф и ф~ являются диффеоморфизмами класса
Cfe>(\ то Q называют открытым множеством класса Ck'* — в част-
частности, при k = О множество Q называют ^-непрерывным по Гёльде-
ру, а при ц='1 — непрерывным по Липшицу открытым множест-
множеством.
Приводимая ниже теорема характеризует открытое множества
класса Ck, часто используемые в ^анализе, и, по существу, дает
новую интерпретацию тождества dQ — Г — через тождество Q =
= Q, смысл которого заключается в том, что множество Q локаль-
локально находится только по одну сторону от своей границы.
Теорема 16.1. Открытое множество Йс R" принадле-
принадлежит классу Ck в том и только том случае, если выполнены следую-
следующие условия:
(cl) п = п;
(с2) для любой точки х?п сущиствуют два открытых мно-
множества FcR" к t/cR" и диффеоморфизм 9:R"->-R'1 класса С*
такие, что x?V и ф(КЛФ = ^П R+-
Доказательство. Покажем сначала, что условия (cl)
и (с2) необходимы. Мы уже отмечали, что из условия (с) следует
условие (с2), которое говорит о том, что множество Q является мно-
многообразием с границей класса С*. Чтобы показать, что из условия
(с) следует условие (cl), воспользуемся приемом доказательства
от противного. Поскольку всегда имеет место включение ficfi,
допустим, что Q ф ?2, т. е. предположим, что существует точка
х g Q\Q. Тогда х 6 й\й = Г; пусть (V, U, ф) — локальная кар-
карта, существование которой в данной ситуации гарантировано ус-
о
ловием (с). Из того, что xgQf) V и x^Q, следует, что существу-
существует открытая окрестность W точки х такая, что W с й П V; тогда
Ф (W) является открытой окрестностью точки ф (х) (в R") такой, что
R^, откуда следует, что ф(х)$^+; получено противоречие
347

Покажем теперь, что условия (cl) и (с2) являются достаточны-
достаточными. Пусть х ? dQ, и пусть (V, U, ср) —• локальная карта, существова-
существование которой гарантировано условием (с2). Достаточно доказать, что
Ф (х) 6 dR+> а поскольку если х 6 Q (] V, то ф (x) 6 R+ П U, достаточно
доказать, что ф (х) (? R+ П V. Если ф (х) 6 R+ П U>T0 У точки ф (х) есть
открытая окрестность WcU () R+, поэтому из соотношений х6
6 ф^1 (W) с: Q следует, что х 6 Q, так как функция ф* непрерывна,
а из условия (cl) следует, что x?Q, и мы пришли к противоречию. Q
В литературе открытые множества U из условия (с) часто опре-
определяют более точно, чтобы упростить некоторые выкладки. Из та-
таких определений, более сложных, чем наши, но эквивалентных им,
мы приведем одно, данное в работе [618, с. 14] для ограниченного
открытого множества (другие определения этого типа можно най-
найти в работах [634, с. 371 и [544, с. 56]).
Определение 16.5. Пусть ficrR"—ограниченное открытое мно-
множество. Множество Q называется открытым множеством класса
С*'1*, если существуют два вещественных числа Ь>0 и h>0,m сис-
систем координат (хаь,... Xan_vха„) = (х'а, Ха„) (а = 1 т) и т веще-
вещественных функций фа таких, что для
Да = {Ха 6 R"^ : | Xat |< Ь. I = 1 П — 1}, фа 6 ^ (Да)
И ДЛЯ
Го = {(Ха, Ха„) 6 R" : Ха 6 Да- фа (Ха) = Ха„},
Vt - {{х'а, Ха„) 6 R" 1 Ха 6 Да, фа (*а )< Ха„ < фа {х'а) + Щ,
Va = {(Ха, Ха„) 6 R" »Ха 6 Да. фа (*а) — Л < Хо„ < фа
m
имеем Г = \J Га и для любого а имеем У<? cr Q и Fa* cr
а=1
Это определение, в сущности, утверждает, что граница Г мно-
множества Q может быть локально представлена как график функции
класса О1*, и что, тоже локально, множество Q является надгра-
фиком этой функции. Геометрический смысл накладываемых опре-
определением условий пояснен на рис. 16.1.
Свойство сегмента и свойство конуса. Приведем еще две кон-
концепции гладкости открытых множеств, совершенно отличных от
предлагаемой определением 16.5. Обозначим через Сх (к, со, d)
внутренность конуса вращения с вершиной х, высотой к, углом
раствора со и осью, направленной вдоль вектора d. Напомним, что
открытое покрытие множества Сс R" называется локально ко-
конечным, если любая точка множества С имеет окрестность, пересе-
пересекающуюся лишь с конечным числом покрывающих множество С
открытых множеств.
Определение 16.6. Говорят, что открытое множество
обладает свойством конуса, если
(к) ЗЬ>0 Эш>0 УхбГ Bd:Cx(K,(o,d)c:Q
348

(по очевидным причинам множество Q называют также обладающим
свойством внутреннего конуса; говорят, что множество Q обладает
свойством внешнего конуса, если множество R"\Q удовлетворяет
Рис. 16.1
Рис. 16.2
Рис. 16.3
условию (к)). Говорят, что множество Q обладает свойством сегмен-
сегмента, если
(s) существует локально-конечное покрытие {Га}а6Л границы
Г и семейство {уа}аеА точек R" такие, что V* €~Q Л Га V/ 6 (О,
1) * + tya 6 Я.
Рассмотрим кратко взаимосвязь между введенными различны-
различными типами гладкости открытых множеств.
Очевидно, что, если Q — множество класса С1, то Q удовлетво-
удовлетворяет условиям (к) и (s), тогда как обратное неверно.
Действительно, открытое множество
«i =» {(*, У) 6 R2: х2 + ы2 < 1}\{(х, 0) 6 R2: х < 0}
(рис. 16.2) удовлетворяет условиям (к) и (s), но не удовлетворяет
условию (cl) и, таким образом, не принадлежит даже классу С0.
Далее, кривая-снежинка, или кривая Коха (на рис. 16.3 показаны
первые шаги ее построения), позволяет построить открытое мно-
множество класса С0, не удовлетворяющее ни (к), ни (s).
349

Непрерывность множества Q по Гёльдеру не означает, что оно
обладает свойством конуса — это видно на примере открытого
множества Q2 = {(х, У) ? R2 : У > V\x 1} (рис. 16.4); последнее же
свойство, даже в случае множеств класса С0, не означает непрерыв-
непрерывности множества Q по Гёльдеру, что можно видеть на примере от-
открытого множества Q3 = {(*> У) 6 R3 : I х | < 1, у < 1/1 log | x ||}
(рис. 16.5).
Рис. 16.4
Более интересна, однако, связь между непрерывностью по Лип-
Липшицу и свойством конуса, что можно видеть из следующего резуль-
результата (см. [415, с. 104]).
Теорема 16.2. Пусть Йс R" — ограниченное открытое
множество. Если множество Q имеет границу, непрерывную по
Липшицу, то оно обладает свойством конуса. Если множество
обладает свойством конуса, то его можно представить в виде Q =
m
= (J ?1г, где множества Q4 непрерывны по Липшицу.
i=i
Открытые множества, обладающие свойством конуса, изуча-
изучаются более подробно в [293, с. 138; 639, с. 313; 95, с. 11 и др.].
Заметим еще, что, если множество Q имеет границу Г, непрерыв-
непрерывную по Липшицу, то почти везде на Г существует нормаль (см.,
например, [618, с. 88]).
16.2. Обобщенные функции на многообразии.
Пространства ?>(Г)
Функции класса Ck на многообразии. Понятие непрерывной
функции было первоначально введено для вещественных функций
одной вещественной переменной, а затем весьма естественным об-
образом обобщено на функции в любых топологических пространст-
пространствах. Возможность такого обобщения указывает на то, что понятие
непрерывности связано исключительно с топологической струк-
структурой пространства R и не связано ни с какими другими определен-
определенными на R структурами (это обстоятельство, возможно, трудно
350

увидеть сразу, поскольку оно скрыто невероятным богатством
структуры вполне упорядоченного поля R).
Понятие же дифференцируемой функции, также введенное,пер-
введенное,первоначально для вещественных функций вещественной перемен-
переменной, нельзя столь же естественным образом обобщить на функции,
определенные на любом топологическом пространстре. Действитель-
Действительно, чтобы определить производную функции / : R -> R, необходи-
необходимо использовать не только топологическую, но и алгебраическую
структуру R, поскольку здесь нельзя обойтись без отношения раз-
разностей.
Имеются, в сущности, два способа обобщения (по отношению к
пространствам, на которых определены функпии) понятия произ-
производной. Первый способ заключается в построении теории диффе-
дифференцирования, аналогичной теории, разработанной для функций,
определенных на R", и применимой к функциям, определенным на
некоторых топологических векторных пространствах — на этом
пути возникают понятия производной Фреше, Гато и т. п. (обзор
различных концепций производной содержится в работе [1]). Вто-
Второй способ, который мы вкратце рассматриваем ниже, использует
понятие дифференцируемого многообразия, и это одна из причин,
по которой данное понятие было введено.
Определение 16.7. Пусть (М,Л) — n-мерное многообразие
класса Ck (k ? N (J {+ оо, со}). Функция /: М -¦*¦ R называется функцией
класса Сг@г^/•<.&). если Для любой карты (Va,Ua,q>a) из атласа
<Л =¦ {{Va, Ua, Фа)}а€Л функция fa = /оф«' принадлежит классу С
BUa.
Заметим, что на множестве М можно задавать различные струк-
структуры дифференцируемого многообразия, и данная функция может
быть функцией класса Сг по отношению к одной структуре и не быть
таковой по отношению к другой. Мы будем предполагать, что на
множестве М зафиксирована с помощью точного атласа некоторая
заданная структура.
Таким образом, мы связали понятие дифференцируемое™ в
топологическом пространстве М с дифференцируемостью в обыч-
обычном смысле в R", воспользовавшись структурой многообразия,
определенного на М, т. е. используя возможность представления
пространства М с помощью локальных карт. Определение 16.7
предполагает, что мы представляем функции / : М -> R с помощью
семейств функций, определенных на открытых множествах в R".
Это возможно, поскольку для любой данной функции / : М -*¦ R
автоматически определено семейство {/„ = focfu1 -Uu-*- Щ^а1 пРичем
легко проверить, что
/а (*) = h О (ф» ° Фа ') (*)• A6.1)-
и наоборот — для любого данного семейства {/а: Ua -*¦ Ща?А' УДОВ"
A61)
летворяющего условию согласованности A6.1), существует единствен-
единствен' ель-
351-
),
ная функция / = М -> R такая, что /а = / о ф|Г' на Ua. Действитель-

но, для любой точки у 6 М существует а ? А такое, что у ? Va. Пола-
Полагая f(y) = faoq>a(t/), из условия A6. 1) заключаем, что функция f =
= {/а}а6д определена корректно.
Обобщенные функции на многообразии. Теперь дадим следую-
следующее определение.
Определение 16.8. Пусть (М,А) — я-мерное многообразие
класса С°° или Сш. Семейство и = («а}аеЛ обобщенных функций иа б
€ ЗЬ' (Уа) называется обобщенной функцией на (М, Л), если
Уа,РбЛ Ма = ИрО(фрОфа1) На фа(УаП^р). A6.2)
Символом j3' (M) обозначим пространство обобщенных функций на
многообразии (М, Л).
Если М = Q с: R" и А — канонический атлас на открытом
множестве Q, то пространство 0' (М) идентично пространству
0' (Q), рассмотренному в первой части. Пространство $>' (М)
можно рассматривать как двойственное к пространству 0 (М) не-
некоторых дифференциальных форм на М (см., например, [354, с. 43
и 47]) или некоторых функций, определенных на М (см., например,
C13, с. 43]).
Далее, если М — многообразие класса С* (k < +oo), то пол-
полностью аналогичным образом можно определить обобщенные функ-
функции порядка k на М и пространство Sb'k (M). В частности, при k —
— О можно определить меры Радона на М и, таким образом, про-
пространство Lp (M); здесь возникает серьезная проблема: поскольку
непрерывные функции отображают множества нулевой меры во
множества, мера которых не обязательно нулевая, нельзя утверж-
утверждать, что два семейства, совпадающие почти всюду, определяют
одну и ту же функцию на М — гомеоморфизмы фа должны быть по
крайней мере би-липшицево непрерывны, т. е. многообразие долж-
должно принадлежать классу Со>1.
Функции класса L" на многообразии. Пространство Lp (M)
можно определить напрямую способом, аналогичным определению
16.7. Здесь мы введем его для частного случая, который представ-
представляет наибольший интерес для нас, именно: для случая, когда Г —
граница (или dQ или просто dQ) ограниченного открытого множест-
множества Q с: R" класса С0'1. Если множество Q ограничено, то Г — ком-
компактное множество, и, следовательно, из семейства открытых множеств
V из условия 1) (см. определение 16. 4) можно выделить конечное
подсемейство с теми же характеристиками.
Пусть {Уа}а=, т — это семейство и {фа}а=1> m — соответствую-
соответствующее семейство диффеоморфизмов. С семейством {^а}а=, т мы связы-
связываем, кроме того, разбиение единицы (см. 15. 2). Пусть {|а}а=1> т —
это разбиение. Положим Га = Г ("| Va, Ра = Фа |га и 0а = la |га — это
дает нам покрытие границы Г, поскольку множество Га относитель-
относительно открыто на Г, и соответствующее разбиение единицы (того же
класса, что и граница Г, если Г не аналитическая). В этих обозначе-
обозначениях введем следующее определение.
352

Определение 16.9. Пусть /:F->-R — функция, определен-
определенная на границе Г открытого ограниченного множества класса С0'1.
Будем говорить,что /б^Р(Г) (/»€[!,+ оо]),если /„= fo$aleLp{$a(Ta))
для любого а= 1,...,т. Норму в пространстве LP(F) зададим соот-
соотношением
\1/р
) A6.3)
(с соответствующей модификацией при р = +оо).
Функции из LP (Г) нельзя рассматривать как сужения на Г
функций из пространства L» (R"), поскольку n-мерная мера мно-
множества Г равна нулю. Возникает естественный вопрос можно ли
ввести на Г меру, скажем а, такую, чтобы построить теорию инте-
интегрирования по мере а и снова получить понятие функции, суммиру-
суммируемой на Г с /?-й степенью? Ответ на этот вопрос — положитель-
положительный. Здесь, однако, мы просто определим меру, не развивая теории
интегрирования (мы воспользуемся теми же обозначениями, что
и в определении 16.9).
Определение 16.10. Пусть Q a R" — ограниченное от-
открытое множество с границей Г класса С0-1. Множество Т с Г
называется а-измеримым, если для любого а = 1 m (За (Т {]
Л Га) — измеримое множество в R1*; число
S ИР(Па)] A6-4)
а=1
называется мерой множества Т (ц — обычная (п — 1)-мерная
мера Лебега).
Численное значение меры а (Т) множества Т (называемой так-
также, по очевидным причинам, внешней мерой множества Т) зависит,
вообще говоря, от атласа, используемого для описания границы
Г, но само понятие измеримости множеств на Г не зависит от ат-
атласа — класс множеств нулевой меры также инвариантен.
Дадим теперь определение пространства L» (Г), основанное
на определении 16.5 и использующее его обозначения.
Определение 16.11. Пусть Q с: R" — ограниченное от-
открытое множество класса С0'1 и / : Г -> R"—функция, определен-
определенная почти всюду (по отношению к Г) на границе Г множества Q.
При этих условиях для а= 1,...,/п функция f(x'a,q>a(x'J) определе-
определена почти всюду в A«. и если /(х'а, фа(x'J)GLp(Aa) (р6[1. + оо]),то
будем говорить, что f?Lp(Y) Норму в пространстве ?Р(Г) определим
соотношением
/p
S j J /«, Фа«))jp^;J A6.5)
(с соответствующей модификацией при р = +oo).
23 К. Байокки, А. Капело 35$

Пространство L» (Г) с нормой A6.5) является банаховым (см.
[618, с. 82]). Численное значение нормы влемента /? L" (Г) зави-
зависит от конкретного способа описания границы Г, но при замене
семейства координатных осей и би-липшицево непрерывных функ-
функций, обеспечивающих это описание, мы получаем эквивалентные
нормы (см. [618, с. 119]).
При тех же условиях, что и в определении 16.11, мы можем оп-
определить интеграл по поверхности от функции / 6 L1 (Г) соотноше-
соотношением
ж Г 1'/2
Jfdor-S |/(^,Фа(/а))в„(х;,Фа(Ха))[1 + J! (d<pjdxt)*\
г
J! (d<pjdxt)*\
A6.6)
(здесь 6а — функции из разбиения единицы, соответствующие
Га); значение интеграла по поверхности не зависит ни от карт,
ни от связанных с ними разбиений единицы (см. [618, с. 122]).
Наконец, элемент поверхности ,
] dx'a, A6.7)
начиная с которого можно построить теорию интегрирования по Г,
определен корректно, поскольку производные би-липшицево неп-
непрерывных функций фа существуют и ограничены почти всюду.
Глава 17. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
17.1. Введение •
В этой главе будут рассмотрены результаты, которые форму-
формулируются примерно следующим образом: «если функция и удов-
мтворяет неравенству L (и) ;> 0 на открытом множестве Q,
где L — соответствующий дифференциальный оператор, то и
не может иметь максимума на Q»; в таких случаях говорят, что
функция и удовлетворяет принципу максимума. Можно, естест-
естественно, рассматривать и симметричное понятие «принцип миниму-
минимума», связанное с неравенством L (и) ^ 0. Какой из этих принци-
принципов использовать — вопрос вкуса: если функция и удовлетворят
ет принципу максимума, то функция — и удовлетворяет принци-
принципу минимума, и, таким образом, все результаты автоматически
преобразуются при переходе от одного принципа к другому.
Большой интерес, который представляют результаты данного
типа, обусловлен тем, что максимумы и минимумы решений диф-
дифференциальных задач часто имеют глубокий смысл, а также тем,
что эти результаты используют при доказательстве единственности
решений некоторых задач. Мы рассмотрим здесь лишь эллипти-
354

ческие операторы второго порядка — эллиптические операторы
высших порядков обсуждаются, например, в работе [94], а опера-
операторы параболического и гиперболического типов — в [636, гл. 3
и 41.
17.2. Принцип максимума в R
Рассмотрим сначала простейший возможный случай. Известно,
что если функция и : (а, Ь) ->> R класса С2 на интервале (а, Ь) име-
имеет максимум (локальный или глобальный) в точке с ? (а, Ь), то
н'(с) = 0 и н" (с) ^ 0. Отсюда заключаем, что если функция
и ? С2 ((а,Ь)) удовлетворяет дифференциальному неравенству
и"(х)>0 на (а,Ь), A7.1)
то и не имеет максимума на (а, Ь). Можно, таким образом, сказать,
что функция, удовлетворяющая неравенству A7.1), удовлетворя-
удовлетворяет принципу максимума. С другой стороны, если интервал (а, Ь)
ограничен и и 6 С2 ((a, b)) f) С0 (la, b]), то (по теореме Вейер-
штрасса : ^непрерывная функция отображает компактные мно-
множества в компактные») функция и имеет на [а, Ь] максимум ц, и,
таким образом, и (х) < ц, на (а, Ь) и и (а) — \х или и (Ь) = ц,. Да-
Далее, можно утверждать, что, если и (а) = ц и в точке а существу-
существует правая производная, то u'r (а) < 0 и, аналогично, если и (Ь) =»
= ц и в точке Ь существует левая производная, то u'l (b) > 0. Имен-
Именно эти результаты целесообразно обобщить в нескольких направ-
направлениях.
В качестве первого обобщения видим, что если функция и ?
6 С2 ((а, Ь)) удовлетворяет неравенству
u"(x) + g(x)u'(x)>0 на (а,Ь), A7.2)
где g — ограниченная функция, то и удовлетворяет принципу мак-
максимума. Но из того, что и 6 С2 ((а, Ь)) удовлетворяет неравенству
вида
«" М + g (х) и' (х) + h (х) и (х) > 0 на (а, Ь), A7.3)
где g и h — ограниченные функции, не следует, что функция и
не имеет максимума на интервале (а, Ь) — это легко видеть на сле-
следующем примере: а, Ъ = @, я), g (х) = 0, h (х) з= 2 и и (х) = sin x.
Мы сталкиваемся, таким образом, с проблемой поиска дополнитель-
дополнительных условий (на функции и, g и К), при которых принцип макси-
максимума можно связать с неравенством A7.3). Мы вернемся позже
(теорема 17.3) к этой проблеме, которую сформулируем даже в
более общих условиях: фактически мы будем предполагать, что
функция и удовлетворяет неравенству
и" (*) + § № "' (х) + h(x)u (x) > 0 на (а, Ь), A7 4)
вместо строгого неравенства A7.3).
Неравенства A7.1), A7.2) и A7.3) являются, в действитель-
действительности, слишком сильными ограничениями, поэтому практическое
23* 355

значение связанных с ними принципов максимума невелико; нам
нужны принципы максимума, связанные с нестрогими неравенст-
неравенствами. Доказательство подобных результатов, однако, более слож-
сложно, и мы докажем лишь простейший из них (отсылая читателя к
библиографии за остальными).
Теорема 17.1. Если функция и б С2 ((а, Ь)) удовлетво-
удовлетворяет неравенству
«"(*)> 0 на (а,Ь) A7.5)
и имеет на интервале (с, Ь) максимум, равный ц, то и (х) = ц
на (с, Ь). В частности, если —<х> < а < 6 < + °° и функция
и?С2 ((с, Ь)) Г) С0 ([a, b\) не является постоянной, то она прини-
принимает максимальное значение \i только в точке а или в точке Ь; да-
далее, если и (а) = ц (или и (Ь) = ц) и функция и имеет правую
[левую) производную в точке а {точке Ь), то и'Л\а) < 0 (u'L (b) >0).
Доказательство. Если и" = 0, то утверждение теоремы оче-
очевидно . Предположим теперь, что и" ф. О и и (с) =¦ jx, где с ? (а, Ь). При
этих условиях и' (с) = 0, и мы можем записать
х
A7.6)
Отсюда и из неравенства A7.5) видно, что и' (х) ^ 0 на интервале
(а, с) и и' (х) ^ 0 на интервале (с, Ь), а это противоречит предполо-
предположению о том, что с — точка максимума. Тем самым первая часть
теоремы доказана.
Чтобы доказать .вторую часть теоремы, напомним, что по тео-
теореме Вейерштрасса существует точка с 6 [а, Ь] такая, что и (с) —
= ц; первая часть позволяет заключить, что с? {а, Ь). Чтобы оп-
определить знак односторонней производной в точке максимума,
предположим, что ею является точка Ь, т. е. и (Ь) — \х. Сразу же
видим, что неравенство u'L (b) < 0 невозможно. Если u'L (b) — 0, то мы
получим
и'(ж) = j u" (Q Л. A7.7)
ь
Таким образом, из неравенства A7.5) имеем: и' (х) ^ 0 на ин-
интервале (а, Ь), т. е. функция и не возрастает на интервале [а, Ь),
что противоречит предположению о том, что она имеет максимум
в точке Ь; следовательно, Ui (b) > 0. Аналогичные рассуждения
показывают, что если и (а) = \ь, то и% (а) <с 0 ? ¦
Первым обобщением теоремы 12.1 является следующий резуль-
результат.
Теорема 17.2. Если функция и? С2 ((с, Ь)) удовлетворя-
удовлетворяет неравенству
u"(x) + g(x)u'(x)^0 на (а,Ь), A7.8)
где g — ограниченная функция, и имеет на интервале (а, Ь) макси-
356

мум, равный fj,, то и (х) = ]i на (а, Ь); при этом справедлива также
вторая часть теоремы 17.1.
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [636,
с. 2 и 4]. Там же (с. 6 и 7) приведено доказательство следующей
теоремы — дальнейшего обобщения теоремы 17.1.
Теорема 17.3. Если функция и ? С2 ((а, Ь)) удовлетворя-
удовлетворяет неравенству A7.4), в котором функция g — ограниченная, а
функция h — неположительная ограниченная, и принимает не-
неотрицательное максимальное значение \i (^ 0) в точке с?(а, Ь),
то и {х) = }х на [а, Ь\ {более того, \к = 0, если h {x) щЬ 0).
В частности, если —оо < а <. b < + оо, функция и ? С2 ((с,
Ь)) П С° ([а, Ь]) не является постоянной и существует точка d 6 (а,
Ь) такая, что и (d) ^ 0, то справедливы утверждения второй час-
части теоремы 17.1.
Данное утверждение содержит два сильных ограничения —
h {х) <; 0 и [I ;> 0, которые, однако, существенны, как показыва-
показывают следующие примеры:
1) (а, Ь) = @, я), g (x) s= 0, h {х) =з 1 и ы (л:) = sin x (макси-
(максимум \i = 1 в точке х — я/2);
2) (с, Ь) = (-1, 1), g (х) = 0, A (jc) = -1 и и (х) = -е*-
— е~х (максимум ц = —2 в точке х = 0).
Возможны другие обобщения сформулированных принципов
максимума (см. [636, гл. 1]), однако, мы не будем их рассматривать;
вместо этого мы приведем следующий пример возможного прило-
приложения теоремы 17.3. Сначала сформулируем задачу.
Задача 17.1. Пусть f ?& ([а, Ь]) (—оо < а < b < оо)»
Фь ф2 € R и 91( 92 е [О, л/2]; найти функцию и е С2 ((а, Ь)) П С1 (la,
b]) такую, что
"" (х) + g (х) и' {х) + h(x)u (х) = / (х) на (а, Ь), A7.9)
— u'R (a) cos 0Х + «(a) sin 0Х = фх, A7.10)
+ «F)sine2 = q>2, A7.11)
где h ^ 0 и g — ограниченные функции.
Теорема 17.4. Пусть их и и2 — два решения задачи 17.1,
Тогда иг = и2 + k, где k 6 R, если h ^ 0 и 0Х = 02 = 0; в против-
противном случае щ = ы2.
Доказательство. Прежде чем приступить к доказа-
доказательству, заметим, что при 0Х = 02 = 0 задача 17.1 является за-
задачей Неймана, а прн 0, = 02 = я/2 — задачей Дирихле. В пос-
последнем случае решение можно искать в пространстве С2 ((а, Ь)) Г)
П С0 ([а, Ь]), поскольку этого достаточно для того чтобы гранич-
граничные условия A7.10) н A7.11) имели смысл.
Легко видеть, что функция и = иг — ы2 является решением
следующей задачи.
Задача 17.2. Пусть 01( 026[О. я/2]; найти такую функцию
и?С2({а,Ь)) П (^([а.Ь]) (— оо<а<&<+ оо), что
и"(x) + g(x)u (х) + h{x)u(x) = 0 на (а,Ь), A7.1 2)
357

— u'R (a) cos 0X + и (a) sin 02 = 0, A7.13)
uL (b) cos 02 + и (b) sin 9a = 0, A7.14)
где Л ^ 0 n g — ограниченные функции.
Если /iM = 0h 0X = 02 = 0, то любая постоянная k6 R бу-
будет решением задачи 17.2. Обратное справедливо, если k ф 0,
т. е. если k Ф 0 — решение задачи 17.2, то (в силу равенства A7.12))
h = 0 и (в силу равенств A7.13) и A7.14), учитывая, что и (с) =
= и (b) = k и ur (a) =ul (b) = 0) 0, = 02 = 0. Таким образом,
функция и является ненулевой постоянной лишь в том случае,
если h := 0 и 0! = 02 = 0. Покажем теперь, что в любом другом
случае единственным решением задачи 17.2 является функция,
тождественно равная нулю, т. е. и = 0. Предположим, чт°
задача 17.2 имеет решение и, не являющееся постоянной функци-
функцией, такое, что и (с) > 0 для некоторой точки с ? (а, Ь). Теорема
17.3 (ее мы можем применить, поскольку функции g и h ограниче-
ограничены, /i^0 и ц = max и (х) ]> и (с) > 0) гарантирует тогда, что функ-
1Ь]
ция и имеет максимум на множестве {с, Ь}\ если и (Ь) = ц, то та же
теорема гарантирует, что u'L(b)>0, а это неравенство, вместе с не-
неравенством и(Ь) = ц>0, противоречит условию A7.14)-
Точно так же можно показать, что максимум не может дости-
достигаться в точке с, и, следовательно, не существует точки с 6 (с, Ь)
такой, что и (с) > 0. Проведя аналогичные рассуждения для функ-
функции — и, заключаем, что не существует точки с 6 (с, Ь) такой, что
и (с) < 0; следовательно, и s= 0. ?
17.3. Принцип максимума в С
Теория функций одной комплексной переменной полна неожи-
неожиданностей. Часто, кажущиеся слабыми предположения ведут к
очень сильным результатам. Так, из условия голоморфности функ-
функции / : Й —> С, где QcC- открытое множество, следует сущест-
существование всех производных функции / и аналитичность /. Из этого
предположения следует также, что если функция | / (г) | имеет
максимум в точке г0 6 Q, то функция / (г) постоянна на Q — имен-
именно этот результат, известный как принцип максимума модуля, мы
и рассмотрим. Очевидно, что этот результат не является принци-
принципом максимума в том смысле, в каком мы рассматривали это поня-
понятие в разделе 17.1, поскольку здесь не присутствует в явном виде
дифференциальное выражение; мы увидим, однако, что на самом
деле оно присутствует, хотя и в скрытой форме, и что между упо-
упомянутыми результатами имеется глубокая связь, опирающаяся,
естественно, на условие голоморфности.
Чтобы доказать принцип максимума модуля, воспользуемся од-
одним из наиболее элегантных результатов теории функций комп-
358

пексной переменной — формулой Коши, которую мы примем без
доказательства (ее можно найти в любом учебнике по комплексно-
комплексному анализу — например, в {619, с. 134; 334, с. 79; 368, с. 211]):
Теорема 17.5 (формула Коши). Пусть йсС —
односвязное открытое множество, f : Q -*¦ С — голоморфная в Q
функция, у — замкнутый контур в Q. Для любой точки г0 6 й\?
справедлива формула
Цго)Ш{у,го) = -±г-[-±®-с12, A7.15)
v
где
A7.16)
v
Напомним, что под контуром мы понимаем непрерывную ку-
сочногладкую кривую, ориентация которой индуцирована одной из
ее параметризаций — типичным примером замкнутого контура яв-
является окружность с центром в точке а ? С и радиусом г > 0;
у (а, г) = {г: г = у (t) = а + re", 1? [0,2п]}, которую называют поло-
положительно ориентированной.
Величина ind (у, г0), называемая индексом контура у по отноше-
отношению к точке г0 — целое число (наглядная геометрическая интер-
интерпретация этого факта дана, например, в [619, с. 121; 358, с. 207]).
Наиболее интересен, несомненно, случай, когда у — замкнутая
жорданова кривая, кусочно гладкая и положительно ориентирован-
ориентированная: при этих условиях (у, 20) = 1, если точка г0 всегда находится
слева при движении вдоль контура у, и ind (у, Zy) = 0 — в против-
противном случае. Это справедливо для рассмотренной выше окружности,
для которой формулу A7.15), в предположении, что г < dist (с,
C\Q) и | г0 — с | •< г, можно записать в виде ¦
У{а,г)
Из формулы видно, что значения голоморфной функции внутри
круга определяются исключительно значениями на границе дан-
данного круга.
Полагая в формуле A7.17) г0 = с, получим так называемую
формулу среднего значения Гаусса
^ Hdt, A7.18)
которая, в сущности, утверждает, что значение голоморфной функ-
функции в центре круга равно арифметическому среднему от ее значе-
значений на соответствующей окружности. Мы воспользуемся частными
случаями A7.17) и A7.18) формулы A7.15) при доказательстве
следующего уже упоминавшегося результата.
Теорема 17.6 (принцип максимума модуля).
Пусть f : Q -*¦ С — голоморфная функция, определенная на связ-
359

ном открытом множестве йсС, Если функция \ f (z) | : Й -* Ц,
имеет в точке a?Q максимум, равный ц, то функция f (г) постоян-
постоянна на Й (ее модуль равен ц).
Доказательство. Пусть г — положительное вещест-
вещественное число такое, что г < р = dist (с, C\Q). Окружность у (а,
г) содержится в Q; используя формулу A7.18), запишем ^
2Я
\f(a)\-\i= ^
о
2Я 2л
J }х=0; A7.19)
таким образом,
2Я
¦§?- С (И- — I f(a + re")\)dt = O. A7.20)
о
Из равенства A7.20) заключаем, что
[х = |/(с + гей)|, A7.21)
а отсюда и из того факта, что число г ? @, р) произвольно, имеем:
|/ (z) I "" М1 в круге D = (z 6 С : | z — с | < р}. Голоморфная
функция, модуль которой — константа, сама является постоян-
постоянной; чтобы убедиться в этом, достаточно взять производные по х и
по у от функции | /|2 = [д.2 и воспользоваться системой Коши—
Римана (см. A7.23) и A7.24)). Таким образом, заключаем, что / (г) =
«= / (с) в D и, следовательно, в открытом множестве Й, которое
можно покрыть семейством «связанных» кругов.
Приведенный результат легко обобщается на функции п ком-
комплексных переменных — см., например, [219, с. 107].
Разберемся теперь, почему одного предположения о голоморф-
голоморфности функции / достаточно для доказательства принципа макси-
максимума. Положив 2 = х + iy и разложив функцию / на веществен-
вещественную часть и (х, у) = Re (/ B)) и мнимую часть v (х, у) = Im (f (z)),
запишем '*"'**
f(z)=u(x,y) + iv(x,y). A7.22)
Известно, что если функция / голоморфна, то функции и и v
удовлетворяют так называемым дифференциальным уравнениям
Коши—Римана:
ди/дх = dv/dy, A7.23)
ди/ду = — dv/dx. A7.24)
Справедливо и обратное: если функции и и v дифференцируемы и
удовлетворяют уравнениям A7.23) и A7.24), то функция /, опреде-
определяемая соотношение A7.22), голоморфна и
с/ /л ди , , dv dv . ди ,,_ пГч
360

Из уравнений A7.23) и A7.24) следует, что
Ли = 0, A7.26)
Ду = 0, A7.27)
т. е. вещественная и мнимая части голоморфной функции удовлет-
удовлетворяют уравнению Лапласа и являются, таким образом, гармони-
гармоническими функциями.
Возникает вопрос —не являтсюя ли равенства A7.26) и A7.27)
теми дифференциальными соотношениями, появления которых
можно было ожидать в связи с функцией, удовлетворяющей прин-
принципу максимума. Ответ на этот вопрос — положительный, и это
станет еще очевиднее, если ввести дифференциальные операторы
Коши—Римана
»-*(?-'?)• <17-28»
если / — голо-
голоA7.30)
т. е. голоморфные функции — это комплексные гармонические функ-
функции. Таким образом, принцип максимума является естественным
следствием очень сильного, хотя и кажущегося слабым условия
голоморфности.
Гармонические функции и и v — вещественная и мнимая части
голоморфной функции f — называются гармонически сопряжен-
сопряженными (точнее, функцию v называют гармонически сопряженной к
и, а функцию и — гармонически сопряженной к v). Отметим, что
если функция и — гармоническая в й с R2, то функция
и комплексный оператор Лапласа дд, поскольку
морфная функция, то
(Хо,Уо)
где (х0, г/0) — фиксированная точка множества Q, а интеграл бе-
берется по кривой, соединяющей точки (х0, у0) и (х, у) и полностью
содержащейся в Q, является гармонически сопряженной к функ-
функции и (единственной с точностью до аддитивной постоянной). От-
Отсюда видно, что любую гармоническую функцию а : Q с R2 -> R
можно рассматривать как вещественную часть голоморфной функ-
функции (соответствие между множествами Qc= Ra и йсС устанав-
устанавливается соотношением (х, у) ** г, определяемым равенством г =
= х + iy), следовательно, и? С°° (О). Это лишь один из множест-
множества примеров результатов, касающихся гармонических функций
двух переменных, которые можно получить с помощью комплекс-
комплексного анализа. Другим примером, особенно важным для нас, явля-
является следующий.
361

Теорема 17.7. Если и : й -> R — гармоническая функция
на открытом множестве й с R2, имеющая на й максимум, т$
и — постоянная на й функция. ^
Доказательство. Если v — гармонически сопряжен-
яая к и функция, то функция ef = eu+lv голоморфна на й. Таким
•образом, если функция | е'| = е" имеет на й максимум, то по тео-
теореме 17.6 и вследствие монотонности экспоненты и — постоянная
на й функция. ?
Заметим, что доказательство можно было, следуя доказательст-
доказательству теоремы 17.6, провести, начав с вещественного варианта форму-
формулы среднего значения Гаусса
• 2л
i(a + reu)dt, A7.32)
которую можно получить, приравняв вещественные части обеих
¦сторон формулы A7.18),—этот метод используется обычно при
доказательстве п-мерного аналога теоремы 17.3; мы воспользуем-
воспользуемся им в следующем разделе.
Из теоремы 17.7 следует, что если гармоническая на Q функция
имеет на й минимум, то она является постоянной на й функцией;
таким образом, если и ? С2 (Q) f) C° (й) — гармоническая функ-
функция на ограниченном мноокестве йс R2, не являющаяся постоян-
постоянной, то ее максимум и минимум достигаются на границе Гмно-
окества й.
Отсюда получаем: если u,v ? С2 (Й) Г) С0 (Q) — две гармони-
гармонические на ограниченном открытом множестве й функции и и ** v
на Г, то и = v на Q (это станет очевидно, если рассмотреть функцию
w — и — о). Заметим, что предположение об ограниченности мно-
множества Q существенно для того, чтобы функция имела максимум
и минимум (и в этом случае они достигаются на границе Г), что
можно видеть из следующего примера: в полосе Й = {(х, у) 6 Ra i
: х 6 @, я)} функция
и(х,у) =e"sinx A7.58)
гармоническая и положительная, однако на границе Й она равна
нулю.
17.4. Принцип максимума в Rn
Если функция и : Q -*¦ R класса С2 на открытом множестве
Q с R" имеет максимум в точке с ? Q, то du/dxt (с) = 0 (t = 1, ...
..., п) и д2и/дх%с) ^ 0 (/ = 1, ..., п). Следовательно, если функция
и 6 G2 (й) удовлетворяет неравенству
Ды>0на Й, A7.34)
то она не может иметь на й максимум; таким образом, решения
неравенства A7.34) удовлетворяют принципу максимума. Анало-
Аналогичным образом заключаем, что функции, удовлетворяющие не-
362

равенству
n
Yjr>0 на n>
где аг = аг (дг): fi -> R — ограниченные функции, удовлетворяют
принципу максимума.
Как и в одномерном случае, нас больше интересуют нестрогие
неравенства, чем строгие, каковыми являются неравенства A7.34)
и A7.35). В двумерном случае мы видели, что если мы заменим в
условии A7.34) строгое неравенство на нестрогое, то получим тот
же результат, с точностью до постоянных функций. Теорему 17.7,
которая позволяет сделать этот вывод, можно обобщить на я-мер-
ный случай, если использовать формулу среднего значения для
функции п переменных (ср. с формулой A7.32))
"(а)==Т7^ J u{x)ds' A7-36)
пГ S(a,r)
где ю„ = 2яп/2/Г (n/2), S (а, г) — гиперсфера радиуса г с центром в
точке а, определяемая уравнением \\х— а|| = г. Мы можем, таким
образом, сформулировать следующее утверждение.
Теорема 17.8. Пусть Q c= R" — открытое множество с
границей Г. Если функция и 6 С2 (Q) удовлетворяет неравенству
A«>0«aQ A7.37)
и имеет на О. максимум, равный ц, то и (х) ss ц на Q.
В частности, если множество Q ограничено, а функция и ё
? С2 (Q) П С0 (Q) не является постоянной, то максимальное зна-
значение ц достигается исключительно на Г.
Решения неравенства A7.37) называют субгармоническими функ-
функциями^ поскольку если множество Q ограничено и v 6 С2 (Q) Л
П С0 (Q) — гармоническая на Q функция, принимающая на Г те же
значения, что и решение и неравенства A7.37) (непрерывное на
Q), то и ^ v на Q (чтобы убедиться в этом, достаточно применить
теорему 17.8 к функции w = и — v). Аналогично решения нера-
неравенства Аи ^ 0 называют супергармоническими функциями.
Имея теорему 17.1, естественно спросить, нельзя ли добавить
к предыдущему утверждению что-либо касающееся поведения функ-
функции и в точках максимума. Это возможно и очень важно; сначала,
однако, нам необходимо ввести некоторые новые понятия.
Определение 17.1._ Пусть йс R" — открытое мно-
множество с границей Г. Точка х 6 Г называется точкой Хопфа, если
существуют точка х0 6 ?2 и число г > 0 такие, что шар
В (х0, г) — {х 6 R" : II х — х0 || < г} удовлетворяет следующим ус-
условиям:
2) хеВ(хо,г).

Открытое множество Q называется множеством Хопфа, если
все точки его границы Г — точки Хопфа.
О п р е д е л е н и е__ 17.2. Пусть Q c= R" — открытое мно-
множество с границей Г, х € Г — точка Хопфа; пусть точка х0 6 Г и
число г > 0 удовлетворяют условиям определения 17.1, а / — точ-
точка шара В (х0, г). Говорят, что точка / или вектор / = (х задает
направление вне Q в точке х, ес-
если существуют такие число t > О
и точка г > 0, что {л? R" : х = х +
+ f/, f 6 (О, Ц) с S (^г) П ( R" \ fi).
Если вектор / задает направление
!г вне Q в точке х, то предел
/-«¦0+
A7.38)
Рис- 171 называют нижней производной по
/ в точке х.
Очевидно, что если граница Г имеет внешнюю нормаль v в точ-
точке х, то эта нормаль задает направление вне Q в точке х (полагаем
/ = х0), а если и — достаточно гладкая функция, то соотношение
A7.38) включает как частный случай определение производной
функции и по внешней нормали в точке х — duldv {x). На рис_.
17.1 точка Xi (удовлетворяющая предыдущим условиям) и точка х2
(неудовлетворяющая) являются точками Хопфа границы Г, а точ-
точка х3 не является таковой; все точки открытого шара Вх задают на-
направление вне Q в точке хъ а направление вне ?2 в точке х2 задают
лишь те точки шара В2, которые попали в заштрихованный конус.
Теперь мы можем завершить формулировку теоремы 17.8.
Теорема 17.8'. В добавление к утверждениям теоремы
17.8, если х — точка Хопфа на границе Г такая, что и (х) = jx,
то, каким бы ни было направление I вне множества Q в точке х,
имеем д~и/д1 (х)> 0.
Доказательство приведено, например, в [465] и [636, с. 65] —
в этих работах доказан следующий более общий результат.
Теорема 17.9 (принцип максимума Хопфа). Пусть Q с:
cR" — открытое множество с границей Г, и 6 С2 (Q) — решение
неравенства
где функции ац = ait {х) и bt — bt (x) ограничены на Q и функции
atl таковы, что дифференциальный оператор, связанный с нера-
неравенством A7.39), равномерно сильно эллиптический на Q. Если
функция и имеет на Q максимум, равный jx, то и (х) = jx на Q.
364

В частности, если множество Q ограничено и функция и 6
? С2 (Q) Г) С0 (Q) не является постоянной, то ее максимум \i дости-
достигается исключительно на границе Г; далее, если х — /почка Хопфа
границы Г и и (х) = \i, то д~и/д1 (х) > 0, каким бы ни было направ-
направление I вне Q в точке х.
Точно так же, как теорема 17.3 обобщает теорему 17.2, следую-
следующий результат ([637, 638, 636, с. 64 и 67]) обобщает теорему 17.9.
Теорема 17.10. Пусть функции at] и bt — те же, что и
е теореме 17.9, с — неположительная ограниченная функция.
Если и 6 С2 (Q) — решение неравенства
имеющее на Q максимум, равный \i !> О, то и (х) = \i на Q (более
того, fx = О, если с (х) щк 0).
В частности, если О. — ограниченное мноокество, функция
и 6 С2 (Q) П С0 (й) не является постоянной и существует такая точка
х0 € Q> ww и (х0) ^0, то справедливы все заключения второй час-
части теоремы 17.9.
Как и в теореме 17.3, ограничения с (х) ^ 0 и \i ;> 0 сущест-
существенны, что можно видеть из следующих двух примеров:
1) функция и (х, у) = sin х sin у, имеющая максимум ц = 1 в точке
(*> У) — (зх/2, зт/2), удовлетворяет тождеству Аи + 2« = 0 в квадрате
Q^{(x,y)^R2:0<x<n и 0<г/<п}; 2) функция «(*,#)=«
= —еЛГ+|/ — ё~х~у, имеющая максимум jx = — 2 в точке (х,у) = (О,
0), удовлетворяет тождеству Аы — ы = 0 в области Q — {(х, г/) 6
Возможны и другие обобщения представленных здесь принци-
принципов максимума, однако, как и в одномерном случае, мы не будем
их рассматривать (см., например, [636], гл. 2), а рассмотрим следу-
следующий пример применения представленных результатов. Сначала
сформулируем задачу.
Задача 17.3. Пусть Qc=Rn — ограниченное открытое множест-
множество с границей Г, а Го и VN — два подмножества таких, что Г# f|
[}ГО = 0 и Г = Гои Глг; и пусть все точки TN — точки Хопфа.
По данным функциям /6^*(Q), gi^f(Tjf) и ^аб^Го) найти функ-
функцию и 6 С2 (Q) Г) С1 (Q) такую, что
l^- = ft на Гдг, A7.42)
u = g2 на TD, A7.43)
где функции ац, bt и с удовлетворяют условиям теоремы 17.10.
365

Теорема 17.11. Предположим, что иг и и2 — два решения
задачи 17.3. Тогда щ = «2 + k (k 6 R), если с(х) = 0 и TD =
= 0 и ых ?= «а — в противном случае.
Доказательство приведено в [636, с. 70].
17.5. Приложения
В предыдущих разделах мы всюду предполагали, что функции,
которые мы рассматривали, достаточно гладкие, что противоречит
принципам этой книги в целом. Здесь мы кратко рассмотрим слу-
случай негладких функций, чтобы дать важную формулировку прин-
принципа максимума, применимую к ним.
Пусть Q — ограниченное связное открытое множество в R".
Рассмотрим дифференциальный оператор
A7.44)
который мы будем предполагать равномерно сильно эллиптическим
на й и таким, что (ср. с разделом 7.2)
aueL~(Q), bteLn(Q), cteLn(Q) и deLn/2(Q)
если п>2 — для случаев «==1 и « = 2 необходимы обычные мо-
модификации). При этих условиях (см. гл. 7) L6^(^J(Q),Н~\п))>
и мы можем рассматривать билинейную форму а (и, v):Hl(Q) X
tf^QJ-R, определяемую соотношением
A7.45)
Как и ранее, естественно попытаться связать принцип макси-
максимума с решениями неравенства
L«<0 на Q, A7.46)
т. е. неравенства
а(ы,у)<0 VveHl0(Q), и>0п. в. на Й A7.47)
(главная часть оператора L имеет знак минус, поэтому нам не сле-
следует рассматривать неравенство Lu ^ 0, если мы хотим иметь де-
дело с принципом максимума).
Имеем тогда следующий результат, в котором неравенства
A7.48) аналогично предположению о неположительности функ-
функции с в теореме 17.10.
Теорема 17.12. Пусть и б Я1 (Q) f) L°° (Q) — решение не-
неравенства A7.47), коэффициенты ai}, bt, с, ы d (i, j = 1 га)
366

которого удовлетворяют сделанным выше предположениям, пусть
.0 в смысле iS'(Q), A7.48>
и пусть и = ess supaH > 0. Если существует точка х 6 Й такаяг
что Vr>0 esssupB(jr)nQu = (i (m. e. функция и имеет максимум
в точке х), то и = \i почти всюду на Й (в атом случае е = 0 в
смысле 0' (Й), а а (и, v) - 0 Vw 6 Я<1 (Й)).
Доказательство этого утверждения можно найти в [685, с. 206];.
см. также [618, с. 323; 307—309], где приведен этот и другие подоб-
подобные результаты.
Глава 18. ФОРМУЛЫ ГРИНА
Г Естественные краевые условия, неявно входящие в вариацион-
вариационные уравнения и неравенства, часто могут быть выписаны в явном
виде с помощью соответствующего обобщения так называемой пер-
первой формулы Грина. В этой главе мы рассмотрим формулу, позво-
позволяющую сделать явными упомянутые краевые условия задач
Неймана и других подобных задач. Приемы, которыми мы восполь-
воспользуемся, в сущности, те же, что были использованы при выводе фор-
формул, удобных при изучении многих других задач, таких, как сме-
смешанные задачи (к ним мы вернемся в конце главы).
Теорема о дивергенции. Напомним сначала доказательство пер-
первой формулы Грина (в классическом случае), поскольку его полез-
полезно иметь в качестве руководства, чтобы делать различные обобще-
обобщения. Начнем с известного результата (в дальнейшем запись
г 6 Еп, где Е — функциональное пространство, означает, что
2 =а {zt}i=\ п — вектор, компоненты zt которого принадлежат
пространству Е, а (•, •) означает скалярное произведение в R").
Теорема 18.1 (теорема о дивергенции, или. теорема Ос-
Остроградского — Гаусса). Пусть Й с R" — ограни-
ограниченное связное открытое множество с границей Г класса С0'1»
v — вектор внешней нормали к Г, a f?[Cl(Q)]n. Тогда справедли-
справедлива формула
Jdiv/dx= J(/|r,v) do. A8.1)
Q Г
/ В классическом случае эта теорема доказана, вообще говоря,
для открытых множеств с границей, принадлежащей классу С1
полностью или кусочно — см., например, [493, гл. 4; 384, с. 264 и
265]. В работе [384] теорема доказана в рамках теории интегриро-
интегрирования дифференциальных форм на многообразиях — эти рамки
естественны при обсуждении важных результатов теорем Остро-
Остроградского — Гаусса, Стокса и Грина (не следует путать их с фор-
формулами, которые мы рассматриваем здесь); в этом контексте все
367

цитированные результаты являются следствиями весьма общей и
абстрактной формулировки теоремы Стокса (см. [384, с. 273; 73]).
Обобщение на открытые множества класса С°л, помимо усложне-
усложнения доказательства, требует иной интерпретации входящих в фор-
формулу A8.1) интегралов, которые должны уже рассматриваться
как интегралы Лебега, а не интегралы Римана, однако, в сущности,
мы все же не выходим за рамки классического подхода (данный ре-
результат можно доказать методами, аналогичными примененным в
[618, с. 121]).
Первая формула Грина. Положим в формуле A8.1) f = v-w,
где v 6 С1 (Q), а> б [СЧ'й)]"; тогда
{vdivwdx-\- ({w, gradv)dx = fu|r (w\r,v)da. A8.2)
а а г
Предположим, что вектор-функция w имеет вид
w = gradu, A8.3)
где и б С2 (Q), т. е. мы предполагаем, что w (x) — консервативное
поле, которое можно задать с помощью потенциала и. Из равенств
{18.2) и A8.3) имеем
f vdiv grad udx + f (grad u, grad v) dx = f v |r (grad и |г, v) da, A8.4)
Й Q Г
или, в более компактной форме,
J v&udx + J (grad и, grad v) dx = J w |r -^- da, A8.5)
no г
используя определение лапласиана (его стандартное разложение)
A^divgrad A8.6)
и определение производной по нормали:
cos(v,xj). A8.7)
i=\
,- Формулу A8.5) мы будем называть первой формулой Грина или
просто формулой Грина.
Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 18.2. Пусть Q a R" — ограниченное связное от-
открытое множество с границей Г класса С0Л и v — вектор внешней
нормали к Г. Для любой функции v 6 С1 (Q) и любой функции и 6
•? С2 (Q) справедлива формула A8.5).
Если w 6 С2 (Q), то функции ниив формуле A8.5) можно при-
применять местами; тем самым мы получим формулу A8.5'); вычитая
368

A8.5') из A8.5), получим новую важную формулу —вторую фор-
формулу Грина
J (уАи - иАу) dx = J (о |г -ъг - и |г -fj-) «fo-
«foil г
Эту формулу также можно сделать гораздо более общей, однако
здесь мы этого делать не будем (см. [549, с. 114 и др.]). Заметим,
что классических формул Грина, в действительности, три — пос-
последняя, однако, не так интересна, как первые две, в современной
формулировке теории краевых задач для уравнений в частных
производных.
В одномерном случае формулу A8.5) можно записать при Q =
= (а, Ь) (—оо <а<6<4-оо)в виде
ь ь .
\ v (х) и" (х) dx = v (b) uL (b) — v (a) uR (a) — j «' (x) v' (x) dx; A8.8)
эта формула известна как формула интегрирования по частям.
И в многомерном случае в литературе можно встретить фразу
«интегрирование по частям», означающую «применение соответст-
соответствующей формулы Грина».
Формула Грина для оператора L (классическая). Присутствие
оператора А в формуле A8.5) обусловлено выбором вектор-функ-
вектор-функции w в виде A8.3); однако формулу A8.2) можно использовать и
для вывода формул, содержащих оператор гораздо более общего
вида, чем А. Так, выведем формулу, аналогичную A8.5), для опе-
оператора
A8.9)
где аф CjEC^Q), bt, d6C°(Q) (/,/=¦ 1 я), с которым мы связы-
связываем билинейную форму
A8.10)
Вместо формулы A8.3) возьмем теперь
где и?С2(й); отсюда и из формулы A8.2) имеем
24 К. Байокки, А. Капело 369

cos
Г
? aF ') + У с' 1ги 1г ст (V) *') da-
«./-1 ' Г <-1
A8.12)
Определим теперь производную функции и по конормали формулой
-^-±(w|г, v) - 2 а,,|г -j?- cos (v, *,) - J с, \ги |гcos(v,*,),
A8.13)
которая сводится к формуле A8.7) при ау = 6и и с, = 0 (мы обоз-
обозначаем производную функции и по конормали символом du/dva,
поскольку она зависит от вида оператора L и, следовательно, от
билинейной формы а, связанной с этим оператором). Из A8.9),
A8.10) и A8.12) имеем формулу
J|r^Ld(T, A8.14)
v
которая является обобщением формулы A8.5) — также в класси-
классическом смысле — ее мы также будем называть формулой Грина.
Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 18.3. Пусть QczR" — ограниченное связное откры-
открытое множество с границей Г класса С0'1 и v — вектор внешней
нормали к Т. Если аф Ci?Cl(Q) и bt, d6_C°(Q) (i, j = \,...,n), mo
для любых функций обС^Й), u6C2(Q) справедлива формула
A8.14), в которой производная du/dva определяется соотноше-
соотношением A8.13).
Этим результатом мы завершаем рассмотрение классического
пгдхода в данной главе. i
Случай негладких функций. Обобщим теперь теорему 18.3,
резко ослабив требование к гладкости коэффициентов atj, bt, ct,
d (i, j = 1,..., n) и функций и и v. Другими словами, найдем фор-
формулу, которая обобщает формулу A8.14) на случай, когда v^Hl(u)t
и6 Н{(й) = {«6Я1 (Q):Lu?L2(Q)}, а коэффициенты оператора L
удовлетворяют условиям
(HI) аие^(п);
(Н2) 6,6^"(Q);
(НЗ) CteLn(Q), если п>2; сF^2+?(О), если ге = 2 (при е>
>0); сгб^*(й)> ее™ « = 1".
(Н4) deLn(Q), если n>2; d6^2+E(Q)- если п = 2 (при е>0);
L2(^). если п = \.
370

Заметим, что в теореме 7.2 мы вместо условий (Н2), (Н4) счита-
считали выполненными соответственно условия
(Н2)' bteLn(Q), если п>2; Ь^Ь^Цп), если п=--2 (при е>
>0); b^L^Q), если «= 1;
(Н4)' deLn/2(Q), если п>2; deLH*(Q), если п=2 (при е>
>0); d6^(^)> есл" л=1-
Мы могли бы также ослабить подобным образом условия (Н2),
(Н4), но это потребовало бы иного выбора как пространства HlL (Q),
так и Li\v(Q) (они будут определены ниже). Например, мы могли
бы положить
Н{ (Q) = {v 6 Я1 (Q): Lv 6 S (Й)}
(&) = {ш 6 (?2 (И))" : div w 6 S (Q)}
(см. [49], где рассматриваются пространства Ss (Q) и модификации
подобного рода). Чтобы избежать введения пространств Н, ограни-
ограничимся условиями (HI)—(Н4).
Одним из путей обобщения теоремы 18.3 мог бы быть следую-
следующий: сохранив доказательство теоремы 18.3 как таковое, обобщить
формулу A8.2) на случай, когда у6Ях@) и w?[H1(Q)]n, и затем
положить
п.
A8.15)
где н?Я}.(й). К сожалению, этого нельзя сделать: упомянутое
обобщение формулы A8.2) вполне возможно (см. [618, с. 121]),
и можно утверждать, что для любой функции у 6 Я1 (Q) и любой
вектор-функции w 6 [Я1 (?2)]" справедлива формула
{vdiwwdx+ f (w, grady)dx= f you (уош, v) da, A8.16)
n n г
но замена (8.15) не может быть выполнена, поскольку, вообще го-
говоря, w (J [Я1 (й)]", и, таким образом, нельзя рассматривать вектор-
функцию yow = {70mJt=i „. Важно отметить, что негладкость ко-
коэффициентов atj и С; усложняет дело, но не решающим образом;
даже в очень простом случае, когда аи = — бц и сг — 0, мы не
можем придать точный смысл выражению yow (а с другой стороны,
при предыдущих условиях выражение (yow, v) можно интерпретиро-
интерпретировать как ухи, если h?#2(Q)...).
Здесь нам по тдобится дальнейшее обобщение понятия следа,
которое позволило бы точно определить смысл выражения yow
или, еще лучше, выражения (yow, v). Мы сделаем сейчас это обобще-
обобщение, но, скажем сразу, метод, который мы используем для обобще-
обобщения теоремы 18.3,— это не тот метод, от которого мы отказались,
хотя и очень похожий на него (мы не будем, однако, предполагать,
что формула A8.16) нам известна).
24* 371

Пространство Ljiv (Q). Если вектор-функцию w можно записать
в виде A8.15), то
e[L*(Q)]" и
и естественно ввести в рассмотрение пространство L%V(Q), опреде-
определяемое следующим образом.
Определение 18.1. Пусть QcR" — открытое множество.
Символом Ldiv(Q) мы обозначим пространство {w?[L2(Q)]n:divw =
п
= ? (dwi/dXi) 6 L2 (Q)} с нормой графика
II w \\1\и №, = || w \\12(а)]п + || div w ||2L2(Q), A8.17)
Приведем теперь теорему о следах для элементов пространства
() следуя формулировке Лионса и Мадженеса. В параллели с
теорией, разработанной в работе [49], заметим, что если y6^(Q)
и Аи g L2 (Q), то проблема следа функции dv/dx совпадает с пробле-
проблемой следа функции (grady, v), и grad v ? Ldiv (&)¦ Приведем сначала
два свойства пространства Lllv(Q).
Первое свойство имеет структурный характер, а второе предс-
представляет собой теорему вложения, которая будет играть фундамен-
фундаментальную роль в дальнейшем.
Теорема 18.4. Ldiv(Щ — гильбертово пространство со ска-
скалярным произведением
Доказательство. Легко видеть, что A8.18) — ска-
скалярное произведение, порождающее норму A8.17), и, таким обра-
образом, L?ui4 (Q) — предгильбертово пространство. Покажем теперь,
что пространство Ldiv (Q) полно. Пусть {vm} — последовательность
Коши в Ldiv(Q). Тогда {vm} — последовательность Коши в [L2(Q)]n,
и, поскольку это пространство полно, она сходится в нем: пусть
v — ее предел. Далее, {vm} — {div vm} — также последовательность
Коши, на этот раз в L2 (Q), поэтому она сходится; пусть v — ее
предел. Поскольку оператор div: [L*(Q)]"->-0'(Q) непрерывен, то
v = div v и, следовательно, v 6 ^div (^)- ?
Теорема 18.5. Если QcR" — открытое множество класса
С0'1, то пространство [0(&)]п плотно в L<nv(Q).
Доказательство. Предположим для простоты, что рас-.
сматриваемые векторные пространства вещественны: доказательст-
доказательство, однако, можно модифицировать и на случай, когда они являют-
являются комплексными (разница заключается лишь в используемой тео-
372

реме представления). Докажем теорему, показав, что если функ-
функция F?(L%v(?i))' равна нулю на [0(Щ]п, то она тождественно рав-
равна нулю. По теореме Рисса существует функция f^LuiV(Q) такая,
что
(Q). A8.19)
Обозначив символом / тривиальное продолжение функции / на R",
запишем:
0 = (?^)..,..... + (div/,div
¦ , 4>t) „ Vq>6[$(R)], A8.20)
i^i '
и, следовательно,
^-^(div/) я0 в ^'(r"), i = l,...,«; A8.21)
это означает, при соответствующей гладкости множества Q, что
div/6Яi(Q). Пусть теперь Wm — последовательность элементов
пространства 0@), сходящаяся в Ях(?2) к функции div/; тогда
имеем:
= lim (Ym, div a») = - lim V ^ <?Im.
ОТ ttt f^T OXj
= -(grad div f,w)[L2mn Va»e^div(^)- A8.22)
Из A8.19) и A8.21) следует, что
S H ^) A8.23)
что и доказывает теорему. D
Операторы следа у и 7а- Рассмотрим теперь оператор
е:шеиййГ^еи^нг^)бЯ-1/2(Г) A8.24)
и покажем, что его можно расширить единственным образом до
оператора у 6 ^ (^div (&)> Я~1/2 (Г)). Оператор в корректно опре-
373

делен (заметим, что 0 (w) ? L2 (Г) с Я 1/2 (Г)) и линеен, поэтому(
чтобы доказать существование и единственность расширения у, нам
достаточно показать, что оператор 0 непрерывен как оператор, дей-
действующий из пространства [0(fi)]n с топологией, индуцированной
пространством Lllv(Q), в пространство tf~1/2(Q) с его естественной
топологией (пространство [0 (Q)]" плотно в Ldiv (&))• Из формулы
A8.2) для любого фиксированного вектора из [0(й)]п имеем
I С v |г0 (о>) da = I С v |г (w |г, v) da
г г
I f v div щ^а; I + I j1 (оу, grad v) dx
w \\LHa}
18.25)
где с — константа из неравенств A/с)||а»||2 ^ || divw |L, +
^dlv'"'
Следовательно,
LdiV
+ 2 \\wi
утверждать, что линейный функционал
Iw II Jlv(n)
можно
A8.26)
непрерывен на $ (?2) в топологии пространства Я1 (Q); тогда, пос-
поскольку пространство 0 (Q) плотно в Я1 (Q), мы можем расширить
этот функционал до линейного непрерывного функционала
v 6 Я1 (Q) -»- f у„У0 И Жт 6 R A8.27)
г
и рассмотреть линейный непрерывный функционал
ФбЯ1/2(Г)-
A8.28)
который получается из A8.27), если учесть, что он зависит
от функции v только через ее след yov, и что любую функ-
функцию ф6Я1/2(Г) можно записать в виде ФиТо(^ф)> гДе -^6
(#(Я1/2(Г), Ях(й)). Из всего этого заключаем, что
1„_1/2(Г)(в (»). ф>„1/2(Г) I < с || Л 1!
I ф Н„1/2(Г) II • ll
874
L2iv(Q)
A8.29)

и, следовательно,
II° И И„-./2(Г) < с В Я 11
-114 ?« •
Последнее неравенство говорит о том, что оператор 0 непрерывен,
и позволяет рассматривать оператор у 6 ^ (^aw (й), #~1/2(Г)).
Рассмотрим еще раз формулу A8.2). Поскольку операции yov
и yw представляют собой продолжения по непрерывности соот-
соответственно операций и|г и (ш|г, v), вместо A8.16) можем записать
(
a
Прежде чем перейти к обобщению теоремы 18.3, определим, начав
с оператора у, оператор уа?(?(Нс(О,), #~1/2(Г)), обобщающий поня-
понятие производной по конормали. _
Определение 18.2. Если h6#l(Q)> то положим уаи = yw,
где w — вектор-функция, полученная по функции и с помощью фор-
формулы A8.15). Если функции и, аи и ct —достаточно гладкие, то
уаи = du/dva, и, таким образом, оператор уа является, в действи-
действительности, обобщением оператора d/dva.
Обобщенная формула Грина. Теперь сформулируем и докажем
следующее обобщение теоремы 18.3.
Теорема 18.6 (обобщенная формула Грина). Пусть Q с
с R" — ограниченное связное открытое множество с границей Г
класса С°Л. Если коэффициенты al}, bt, ct, d (i, j = 1 n) опера-
оператора L, определяемого выражением A8.9), удовлетворяют пред-
предположениям (Hi) — (Н4), то для любых функций u?HlL{Q), i>6
справедлива формула Грина
а (и, v) = J (Lu) vdx +H-i/2(T){yau, Yo«W(iy A8l32)
Q
Доказательство. Доказательство получается немед-
немедленно: достаточно подставить формулу A8.15) в формулу A8.31) и
ваметить, что вклад частей, связанных с коэффициентами bt и d
один и тот же как в а (и, v), так и в Г (Lu) vdx. ?
а
Две теоремы о следах. Операторы у и уа являются, в сущнос-
сущности, операторами следа; оказывается, что можно «обратить» сле-
следы, которые они дают, непрерывным образом.
Теорема 18.7. Пусть Q с R" — ограниченное открытое
связное множество с границей Г класса С°Л и внешней нормалью •'«.
Тогда справедливы следующие утверждения:
(I) существует единственный оператор у 6 & (Ldiv (Q), #~1/2 (Г))
такой, что если w 6 \2> (Щ]п, то у (w) = (w \r, v);
_(II) существует оператор Я 6^(Я~1/2 (Г), L\y(u)) такой, что
у (Л)—тождественный оператор; в частности, если дана любая
375

функция g?H 1/2(Г), то существует по крайней мере один век-
вектор w = &g?L%v(Q) такой, что y(w) — g.
Теорема 18.8. Пусть Q cz R" — ограниченное связное от-
открытое множество с границей Г класса С0-1 и внешней нормалью v;
пусть L — дифференциальный оператор, задаваемый выражением
A8.9), коэффициенты которого аг], Ьь ct, d(i, j = 1, ..., п) удов-
удовлетворяют условиям (HI)—(Н4). Тогда справедливы следующие
утверждения:
(I) существует единственный оператор yat??{H'i(Q), Я~1/2(Г))
такой, что если «6jZ)(Q) « %, ct?0(U), то уа(и)= du/dva;
(II) существует оператор $а 6 ^(Н~1/2(Г), Н\{&)) такой, что
Уа (&а) — тождественный оператор; в частности, если дана про-
произвольная функция ?€Я~1/2(Г), то существует по крайней мере
одна функция и = Jiag ? Н\ (Щ такая, что уа ($lag) = g.
Доказательство. Части (I) обеих теорем ужезоказа-
ны. Чтобы доказать существование обратных операторов Л и Яа,
рассмотрим следующую задачу.
Задача 18.1. Дана функция g?H~1/2(T); найти Я 6 R и «6
6 Я1 (й) такие, что
а(и, v) +K(u, v)L*iQ) = я_1/2(Г)(ёГ, 7ои>я1/2(г, W?Hl(Q). A8.33)
При достаточно большом Я, эта задача корректна, поскольку в
этом случае в левой части равенства A8.33) мы имеем значение,
которое принимает на функциях и и v непрерывная билинейная
коэрцитивная форма в Я* (Q), а с другой стороны, в правой части
мы имеем значение функционала goy0 6 (Я1 (Q))' на функции и.
Данная задача не укладывается в рамки подхода, представленного
в п. 7.2.2, поскольку мы рассматриваем пространство, двойствен-
двойственное к Я1 (Q), которое не является нормальным; задача 18.1, одна-
однако, может быть рассмотрена в рамках подхода, представленного
в гл. 3.
Легко видеть, применив формулу A8.32), что задача 18.1 эк-
эквивалентна следующей.
Задача 18.2. Дана функция #6Я~1/2(Г) и число Я 6 R; найти
функцию «6^J(Q) такую, что
Lu+lu= 0 в Q, A8.34)
7аи = ?наГ. A8.35)
Эта задача также корректна, если число К достаточно велико,
что мы в дальнейшем всегда будем предполагать. Пусть и = и (g) —
решение задачи 18.2; очевидно, что и (g) ? H\ (Q) и, поскольку за-
задача 18.2 корректна, отображение g -*¦ и (g) непрерывно из Я~/2 (Г)
в Hl (?2). Чтобы завершить доказательство теорем 18.7 и 18.8,
достаточно взять в качестве Яа отображение и =*¦ и (g), а в качест-
качестве Л — отображение и -»- grad u(g). ?
376

Пространство Ноо (Г) и двойственное ему. Приведем без дока-
доказательства формулу Грина, удобную при изучении смешанных за-
задач, рассмотренных в гл. 7.
Теорема 18.9. Пусть Q a R" — ограниченное связное от-
открытое множество с границей Г класса С°Л, Го — связное открытое
подмножество Г положительной (п — \)-мерной меры, а Тг —
= Г\Г0. Если коэффициенты аи, bh cit d (I, j = 1, ..., n) опера-
оператора L удовлетворяют предположениям (HI)—(H4),mo формула
Грина
a(u, v) = j (Lu) vdx + (Я1/2(Г)),(Тци |Гх, To" 1Г1>Н^(Г , A8-36)
справедлива для любых функций u?H[L{Q) и и ?Vr0 — {и?Нх(Q):
Vo« = 0 на Го}, где пространство Hod2 (I\) = {yov |r,: w 6 FrJ Золе-
Золено быть наделено топологией, задаваемой нормой
l|T|3|^2(r1)==inf{||t'll^):t'6l/rro и *в^|ггЬ A8.37)
Использование пространств Яо^2(Г1) и (Яо^2(Г!))' необходимо, по-
поскольку операция сужения на 1\ с: Г функций из Н~1/2 (Г) перево-
переводит эти функции не в #~/2(ri), а в более широкое пространство,
а именно в (Яос2^))' (свойство, двойственное юму факту, что три-
тривиальное продолжение «-*-« переводит в элементы пространства
Я1/2(Г) не элементы пространства #1/2(Гх), а элементы Яда2 (Г,), т. е.
ы->ы6^(Я^2(Г1), Я1/2(Г)) и «бЯ1/2(Г!)/^г1бЯ1/2(Г)). Эти про-
пространства рассматриваются в работе [49, с. 66 и др.]. Здесь же мы
просто заметим, что ФбЯо^2(Гх) в том и только том случае если
тривиальное продолжение функции ф на Г принадлежит пространст-
пространству Я1/2(Г).
Замечание 18.1. Во многих приложениях пространство Ljjiv(Q)
следует заменять пространством
(Q)]n : div w 6 L" (Q)},
где число р — такое, что Я1 (Q) a L" (Q). Результаты, которые по-
получены для пространства L2div (Q) остаются в силе и для простран-
ства L»>dlv(G).
Замечание 18.2. Продолжение по непрерывности — не
единственный способ определения следов функций; отметим здесь
два других возможных способа:
1) использование понятия сходимости в среднем величин, за-
заданных на «параллельных многообразиях» (см. [16, 173); см. так-
также [49, с. 191], где обсуждается связь этого понятия с продолже-
продолжением по непрерывности;
2) отправление от определения Лёясевича значения распре-
распределен ия в точке (см. [5533 и приведенную там библиографию)—
377

»та теория используется как при изучении краевых задач (см.,
например, [229]), так и при изучении начальных задач (см., напри-
например, [379]) и позволяет также построить интересную теорию ин-
интегрирования в распределениях (см., например, [674, 3781).
Глава 19. УПОРЯДОЧЕННЫЕ СТРУКТУРЫ
19.1. Основные определения
Напомним некоторые известные определения, и введем обозна-
обозначения, которые мы будем использовать. Более детальное и систе-
систематическое изучение затрагиваемых вопросов можно найти в кни-
книге [10] и в литературе, цитируемой в начале разделов 19.2 и 19.3.
Определение 19.1. Пусть А — непустое множество.
Бинарное отношение ^ в А называется отношением порядка,
если:
(cOj) Vх?А х^х (рефлексивность);
(о»г) Vх, у?А [х^у и у^х]=>х = у (антисимметрия);
(о»3) Vх, у, z ? Л [^<у иу<г]4-^<2 (транзитивность).
Отношение порядка, удовлетворяющее условию
(ш4) Vx, у?А х^.у или у^х (трихотомия), называется от-
отношением полного порядка, а отношение порядка, удовлетворяющее
условию
(о»5) V X с Л, ХФ0 3a?X:Vх?Х а < я, — отношением
правильного порядка.
Нёпомним, что бинарным отношением р на множестве С назы-
называется любое подмножество С2; если (х, у) 6 р, то мы пишем хру
и говорим, что элемент х находится в отношении р к элементу у.
Итак, мы можем сказать, что отношение порядка ^ является под-
подмножеством А2, которое обладает свойствами, определяемыми
условиями (щ), (сог) и (со3) (условие (©х), например, выражает тот
факт, что отношение ^ содержит диагональ АА = {(х, х) : х ? А}
множества А2; другие условия обсуждаются в [10, раздел 1]. Ес-
Если {х, #) 6 <*. то элементы х и у называют сравнимыми (или гово-
говорят, что х и у находятся в отношении ^). Кроме того, для ясности,
говорят, что элемент х предшествует элементу у, что элемент у
следует за элементом х, что х меньше или равен у и т. д. Если х ^ у,
то можно записать также у ^> х — отношение ^> является, как
легко видеть, отношением порядка на множестве А. Как обычно,
пишем х <. у (или х > у), чтобы обозначить, что х ^ у и хф у
(или х~^у и хфу). Таким образом, условие @94) можно записать
в виде
(<й'4): Vx, y?A х<у, х — у или х>у.
Данная формулировка оправдывает название «трихотомия»,
которое было дано условию (оэ4). В соответствии с обозначениями,
378

вводимыми ниже (определение 19.2), условие (<о5) можно выразить
словами «каждое непустое подмножество множества А имеет ми-
минимум» — существование минимума (или первого элемента) у лю-
любого непустого подмножества означает, что для каждого элемента
можно найти последующий, что в некотором смысле оправдывает
использование прилагательного «правильный».
Алгебраическая система {А, ^> (или, если нет опасности не-
недоразумений, просто А) называется упорядоченным множеством,
вполне упорядоченным или правильно упорядоченным множеством, в
зависимости от того, является ли отношение ^ соответственно от-
отношением порядка, отношением полного порядка или отношением
правильного порядка. Заметим, что правильно упорядоченные
множества вполне упорядочены: достаточно положить в условии
(ш5) X = {х, у]. В литературе можно встретить много различных
наименований рассмотренных понятий, что часто приводит к недо-
недоразумениям. Так, некоторые авторы называют отношением поряд-
порядка то, что мы назвали отношением полного порядка, а то, что мы
назвали отношением порядка, называют отношением частичного
порядка. Вполне упорядоченные множества называют также ли-
линейно упорядоченными множествами или цепочками; мы же будем
использовать термин «цепочка» в гораздо более узком смысле (см.
определение 19.3).
Итак, мы определили, что мы понимаем под упорядоченным
множеством, вполне упорядоченным множеством и правильно
упорядоченным множеством; мы, однако, не объяснили, как упоря-
упорядочить, полностью упорядочить или правильно упорядочить дан-
данное множество. Далее, между понятиями порядка, полного поряд-
порядка и правильного порядка есть большая разница. Так, очевидно,
что любое непустое множество А можно упорядочить, т. е. можно
построить алгебраическую систему (A, s^> с отношением порядка
^ на А—для этого достаточно рассмотреть систему (А, А^).
Более интересен следующий факт: при помощи аксиомы Церме-
ло можно показать, что любое непустое множество можно пра-
правильно упорядочить; далее, утверждение, что любое непустое
множество можно правильно упорядочить (теорема о правильном
упорядочивании) эквивалентно аксиоме Цермело. Аксиома Цермело
утверждает, что декартово произведение непустого семейства не-
непустых множеств непусто (т. е. из каждого множества данного
семейства можно выбрать по элементу: именно этой возможностью
выбора, последовательного или одновременного, объясняется наз-
название «аксиома выбора», которое часто используют при упомина-
упоминании об этой аксиоме). Поскольку возможность правильного упоря-
упорядочивания множества не является интуитивно ясным свойством,
многие математики в прошлом были против аксиомы выбора; одна-
однако функциональный анализ сильно пострадал бы без этой аксиомы,
в частности, теорема Хана—Банаха и теорема Тихонова о произ-
произведении компактных пространств были бы уже неверны. Теперь,
когда непротиворечивость аксиоматики Цермело—Френкеля дока-
доказана, часто вместо аксиомы выбора или теоремы о правильном
379

упорядочивании пользуются эквивалентными утверждениями, на-
например, леммой Цорна (см. ниже теорему 19.1). Заметим, что тео-
теорема Тихонова о произведении компактных пространств также эк-
эквивалентна аксиоме выбора (см. [491]).
Утверждение, что любое непустое множество может быть пол-
полностью упорядочено (теорема о полном упорядочении) можно до-
доказать, используя теорему о правильном упорядочении и затем
тот факт, что правильно упорядоченное множество вполне упоря-
упорядочено, или же применяя к системе {А, А^> результат Шпилрайна
(см. [691]: любое отношение порядка можно расширить до отноше-
отношения полного порядка. Связь между возможностью расширения от-
отношений порядка и аксиомой выбора обсуждается, например, в
работе [653, с. 24 и 101].
Определение 19.2. Пусть {А, ^) — упорядоченное
множество и X сг А. Мы будем говорить, что:
1) а ? X — максимальный (минимальный) элемент множества
X, если для любого элемента х ? X имеем а ^ х (х ^ а) => х = а;
2) а ? X — максимум (минимум) множества X, если для любо-
го х ? X, х ^ а (а ^ х);
3) а ? А — верхняя грань {нижняя грань) множества X, если
для любого х^Х, x^.a(a^Lx);
4) а^А — супремум или наименьшая верхняя грань (инфи-
мум или наибольшая нижняя грань) множества X, если а — ми-
минимум (максимум) множества верхних граней (нижних граней)
множества X.
Легко видеть, что максимум (минимум) множества X, если он
существует, единствен и является при этом единственным макси-
максимальным (минимальным) элементом множества X. Наименьшая
верхняя грань (наибольшая нижняя грань) множества X, если
она существует, также единственна, и если она принадлежит мно-
множеству X, то она совпадает с максимумом (минимумом) множества
X. Как обычно, обозначим max X, min X, sup X и inf X соответ-
соответственно максимум, минимум, наименьшую верхнюю грань и наи-
наибольшую нижнюю грань множества X. Если множество верхних
граней (нижних граней) множества X непусто, то множество X
называется ограниченным сверху {снизу); если множество X ограни-
ограничено и сверху и снизу, оно называется ограниченным. Важно рас-
рассматривать каждое понятие и каждый результат в соответствую-
соответствующем контексте — в какой же контекст следует поместить понятие
ограниченности? Здесь оно связано с понятием порядка, в метри-
метрических пространствах — с понятием метрики, в линейных — с по-
понятием абсорбирующего множества и т. д. Понятие ограниченности,
аксиомизируемое в борнологических структурах (см., например,
[464, с. 18; 722, с. 23]), по-видимому, не подлежит классификации ...
Вернемся к упорядоченным множествам. Случай X = 0 за-
заслуживает специального рассмотрения, — это множество про-
проявляет патологическое поведение — оно не имеет ни минимально-
минимального, ни максимального элемента, ни максимума, ни минимума;
с другой стороны, все элементы множества А являются верхними
380

гранями и нижними гранями множества 0, и, если min А и max A
существуют, то sup 0 = min A, a inf 0 = max А (этоединствен-
(этоединственный пример множества X такого, что inf XJ^supX...).
Определение 19.3. Пусть (А, <|> — упорядоченное
множество. Непустое подмножество L с А называется цепочкой в
А, если алгебраическая система (L, ^) является вполне упорядо-
упорядоченным множеством. Алгебраическая система {А, ^) называется
($)-индуктивной ((г)-индуктивной), если любая цепочка в А огра-
ограничена сверху (снизу), и полностью (^-индуктивной {полностью
(i)-индуктивной), если любая цепочка в А имеет наименьшую верх-
верхнюю грань (наибольшую нижнюю грань); наконец, система {А,
^) называется (полностью) индуктивной, если она (полностью)
^-индуктивна и (полностью) (О-индуктивна.
Отношение порядка в (L, ^), индуцированное на L отношением
порядка на А, мы обозначаем, конечно, тем же символом. Вообще
говоря, таким отношением является множество ^П ^Л однако для
упрощения обозначений это множество обозначают все же симво-
символом <СГ. В принципе, символом ^ мы будем обозначать все отноше-
отношения порядка, с которыми мы будем иметь дело; однако нам понадо-
понадобятся два различных символа для обозначения двух различных
отношений порядка, если они заданы на одном и том же множестве.
Приведем теперь очень важную теорему.
Теорема 19.1 (лемма Цорна). Щ-индуктьв&ое ((^-индук-
((^-индуктивное) множество имеет по крайней мере один максимальный
(минимальный) элемент.
В заключение напомним, что если (А, s^C) — упорядоченное
множество, и а, Ь 6 А, где а ^ Ь, то множество [а, Ь] = {д; 6 А :
: а ^Г х ^Ь] ((а, Ь) = {* 6 А : а < х < Ь}) называется замк-
замкнутым (открытым) интервалом с началом в точке а и концом в точ-
точке Ь. Аналогично можно определить интервалы (а, Ь] и [а, Ь). Эти
интервалы ограничены (каждый непустой интервал имеет наиболь-
наибольшую нижнюю грань а и наименьшую верхнюю грань Ь); аналогич-
аналогично можно определить неограниченные интервалы. Заметим, что,
в отличие от интервала в R, открытый интервал (а, Ь) может быть
пуст, даже если а < Ь, пересечение двух интервалов — не обяза-
обязательно интервал, и интервал — не обязательно цепочка.
19.2. Решетки
Здесь мы кратко рассмотрим алгебраическую структуру, про-
промежуточную по отношению к упорядоченным и вполне упорядо-
упорядоченным множествам—решеточную структуру. Дальнейшую инфор-
информацию можно получить из работ [9, 6551 и из литературы, цитируе-
цитируемой в начале раздела 19.3.
Вполне упорядоченные множества характеризуются тем, что
любое непустое конечное подмножество вполне упсрлдоченного
множества имеет максимум и минимум. Введем теперь класс струк-
структур, характеризуемых сходным, но более слабым свойством.
381

Определение 19.4. Упорядоченное множество (А, ^)
называется решеткой (отношение ^ называется отношением ре-
решеточного порядка), если любое непустое конечное подмножество
А имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани.
Аналогичным образом, рассматривая правильно упорядочен-
упорядоченные множества вместо вполне упорядоченных, приходим к следую-
следующему понятию, промежуточному по отношению к правильно упо-
упорядоченным и упорядоченным множествам.
Определение 19.5. Упорядоченное множество 04, <|>
называется полной решеткой, если любое непустое подмножество
А имеет наименьшую верхнюю и наибольшую нижнюю грани. (В
частности, если (А, ^> — полная решетка, то существуют max A
и miri A — однако если решетка имеет максимум и минимум, то
это не означает, что она полна.)
В применении к функциональному анализу, тем не менее, более
полезно следующее, более слабое понятие.
Определение 19.6. Упорядоченное множество (А, <|>
называется Х-полной решеткой, если любое непустое ограниченное
подмножество А имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верх-
верхнюю грани.
Понятие решетки в математике является весьма общим — мы
приведем здесь следующий наглядный пример: пусть Т — двумер-
двумерный симплекс, изображенный на рис. 19.1, и Ф = @, <ри ф2, Ф3.
Ф12. Фгз. Фз1> Ф123 = Т} — множество граней Т. Введем на множест-
множестве Ф отношение порядка следующим образом: если a, b ? Ф. то а ^
^i в том и только том случае, если а — грань Ь. Система (Ф,
<|>, изображенная на рис. 19.2 в виде так называемой диаграммы
Хасса (смысл ее очевиден), является полной решеткой, как и вся-
всякая конечная решетка. Эта решетка изоморфна (в смысле приводи-
приводимого ниже определения 19.8) решетке B'1-2'31, <!>, где отношением
^ является теоретико-множественное включение (т. е. если А,
В 6 211-2-31, то А ^ В тогда и только тогда, когда A cz. В). Вместо
симплекса мы, естественно, можем рассмотреть любой другой мно-
многоугольник.
382

При данном подходе множество многоугольников можно раз-
разбить на классы эквивалентности: два многоугольника называются
комбинаторно эквивалентными, или многоугольниками одного
комбинаторного типа, если соответствующие решетки изоморфны.
Рассмотрим теперь некоторые свойства решеток. Выбор этих
свойств преследует определенную цель, которая станет ясна позже.
Многие другие свойства можно найти в цитируемой литературе.
Для удобства (да и не только с этой целью) введем обозначение
х Д у (читается х inf у) для наибольшей нижней грани множества
{л:, у}, и обозначение х V У (читается х sup у) для наименьшей
верхней грани {х, у}.
Теорема 19.2. Если (А, ^> — решетка, то для любых
элементов х, у, z 6 А
хАу^уАх и x\Jy = y\Jx, A9.1)
Jz, A9.2)
A9.3)
(*Л </)V(*Az)<*A(</ У г) и x\f(yAz)<(x\/y)A(xVz),
A9.4)
*<*/=>*V(</A2)<</A(*Vz)> A9.5)
*<*/«=>* V У — У и *<«/«=** Л У — х- A9.6)
Доказательство. Докажем в качестве примера, что
х ^ у €> х — х А У- Другие свойства можно доказать путем ана-
аналогичных рассуждений (кроме того, нам достаточно доказать лишь
половину каждого свойства, а затем воспользоваться так называ-
называемым принципом двойственности). Если х = х Д у, то по опреде-
определению наибольшей нижней грани х ^ х и х ^ у, следовательно,
х = х А У => х ^У- Обратно, если х^Г у, то, поскольку х ^ х,
элемент х является нижней гранью множества {х, у}. Чтобы пока-
показать, что этот элемент, в действительности, наибольшая нижняя
грань, и что, следовательно, *^г/=>* = *Д у, достаточно за-
заметить, что х ? {х, у}. ?
Свойства A9.1), A9.2) и A9.3) показывают, что символы Д и
\J можно рассматривать не только как сокращения, но и как обозна-
обозначения для двух внутренних операций на множестве А, т. е. как
два отображения Д : А2 ->- А и V '¦ А2 -*¦ А.
Рассмотрим теперь алгебраическую систему (А, Д, \J ), где
операции Д и V определяются путем описания некоторых их
свойств, а не через отношение порядка ^ на множестве А.
Определение 19.7. Решеткой мы будем называть ал-
алгебраическую систему (А, Д, V). где Л —непустое множество,
а операции Д : А1 -»- А и V : А2 -* А (операции inf и sup на ре-
решетке) удовлетворяют свойствам коммутативности A9.1), ассоциа-
ассоциативности A9.2) и абсорбции A9.3).
При таком аксиоматическом определении, как правило, возни-
возникают два вопроса: совместимость (или непротиворечивость, или
383

существование модели) и категоричность (или минимальность
или независимость аксиом друг от друга). Предыдущая аксиома-
аксиоматика непротиворечива, поскольку ей удовлетворяют введенные
определением 19.4 решетки (теорема 19.2), а также независима, что-
чтобы убедиться в этом, достаточно построить алгебраическую систе-
систему (А, Д, VK удовлетворяющую первым двум аксиомам и отри-
отрицанию третьей (подробности см. в с. 7). Коснемся еще вопроса
«лингвистического» характера: почему мы даем одно и то же назва-
название «решетка» двум алгебраическим системам, вводимым определе-
определениями 19.4 и 19.7? Ответ заключается в том, что эти два определе-
определения эквивалентны; другими словами, имеем следующий резуль-
результат.
Теорема 19.3. Если (А, ^) — решетка в смысле определе-
определения 19.4, то {А, Д, V > {операции \/ и [\ определяются как отоб-
отображения, ставящие в соответствие паре (х, у) ? А2 наименьшую
верхнюю и наибольшую нижнюю грани множества {х, у}) соответ-
соответственно является решеткой в смысле определения 19.7. Обратно,
если (А, Д. \J ) —решетка в смысле определения 19.7, то (А,
^> (отношение ^ определяется условием х^у<&х = х/\у) —
решетка в смысле определения 19.4.
Доказательство. Первая часть следует непосред-
непосредственно из наших предыдущих рассуждений. Вторая часть также
доказывается сразу: нужно лишь заметить, что бинарное отноше-
отношение ^, определяемое условием х ^ у $$х = х Д у, является
отношением порядка на множестве А, поэтому для этого отноше-
отношения порядка х Д у = inf {х, у] и х \J у = sup {x, у), откуда сле-
следует, что любое непустое конечное подмножество А имеет наиболь-
наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани. ?
Свойство A9.4) означает «квазидистрибутивность» операций
Д и V; усилив его, получим так называемые дистрибутивные ре-
решетки, именно: решетка (А, V. Л) называется дистрибутивной,
если для любых элементов х, у, г б А имеем
* Л (У V z) = (х Д у) V (х Л г) и х V (У Л z) = (* V У) Л (* V г)-
A9.7)
Если мы усилим свойство A9.5), то мы получим так называе-
называемые модулярные ре метки, которыми являются решетки {А, Д, V)
такие, что для любых элементов х, у, г 6 А выполняется условие
х<у=>х\/(уАг) = у/\(х\/г) A9.8)
(дксгрибутивные решетки являются также модулярными, обрат-
обратное же неверно).
Определение 19.8. Пусть (А, V. Л>и (В, \J, Д> —
две решетки. Отображение / : А ->- В называется гомоморфизмом
решеток, если
f(x)/\}(y) и f(x\Jy)=*f(x)\/f(y). A9.9)
Если / — взаимно однозначное отображение и обратное ему также
384

является гомоморфизмом решеток, то отображение / называется
изоморфизмом решеток, и говорят, что данные две решетки изо-
изоморфны.
19.3. Упорядоченные векторные пространства.
Векторные решетки
Наиболее фундаментальными структурами в функциональном
анализе являются, несомненно, топологические векторные про-
пространства, которые, как мы видели в гл. 14, получаются путем вве-
введения на множестве как векторной структуры (в общем случае над
R или над С), так и топологической (согласованной с первой в том
смысле, что операции над векторами непрерывны).
В первой части этого раздела мы рассмотрим упорядоченные
векторные пространства, которые получаются путем, аналогичным
описанному в гл. 14, но при замене топологии отношением по-
порядка, согласованным с операциями над векторами в смысле,
который мы укажем позже.
Во второй части мы будем предполагать, что отношение поряд^
ка имеет решеточный тип, и рассмотрим векторные решетки.
Дальнейшую информацию об этих структурах можно найти,"
помимо других работ, в работах [617, 555, 657, 658, 471, 99, 726].
Упорядоченные векторные пространства.
"^Определение 19.9. Пусть Е — векторное пространство
над полем R, а ^— отношение порядка на Е. Система {Е, ^> на-
называется упорядоченным векторным пространством, если выпол-
выполнены следующие условия согласованности:
V/, g, h?E J<^g=>f + h^g + h, A9.10)
V/?? Va^R, 0<a /<0=>a/<0. A9.11)
В гл. 4 и 5 мы рассмотрели векторные пространства над полем
С, отправляясь от которых можно аналогичным образом определить
столько же пространств над R; последние же, наделенные вполне
естественными отношениями порядка, являются примерами упо-
упорядоченных векторных пространств. Пожалуй, нельзя утверждать,
что эти отношения были сформулированы в явном виде. Важным
исключением является лишь пространство 0' (Q): действительно,
было указано, что мы понимаем под положительной веществен-
вещественной обобщенной функцией и, тем самым, введено отношение поряд-
порядка в пространстве 0' (Q). Здесь возникают два вопроса:
1) определение отношения порядка, индуцируемого упорядочен-
упорядоченным векторным пространством в двойственном ему пространстве; \
2) определение отношения порядка в векторном пространстве
путем указания положительных элементов.
Проанализируем сначала первый вопрос, рассматривая, ко-
конечно же, алгебраически двойственное пространство, поскольку
в отсутствии топологии мы не можем рассматривать топологически
двойственное пространство (заметим также, что пространство,
25 К. БаЯокки, А. Капело 385

алгебраически двойственное данному векторному пространству»
содержит все возможные топологически двойственные ему прост-
пространства).
Определение 19.10. Пусть (Е, =%С) — упорядоченное
векторное пространство и Е* — пространство, алгебраически двой-
двойственное пространству Е (т. е. множество линейных отображений
f : Е -*- R). Двойственным к отношению порядка ^ называется от-
отношение порядка, также обозначаемое символом <!, определенное
в пространстве Е* следующим образом: если /*, g* ? Е*, то пола-
полагаем
/*<g*«=>V*6?. 0<* /*(*)<«•(*). f»9.12)
Бинарное отношение в пространстве Е*, определяемое услови-
условием A9.12), действительно является отношенчем порядка, при кото-
котором (?*, <!} — упорядоченное векторное пространство.
Иногда пространство Е отождествляют с частью Е* (благодаря
«существованию» топологии), и тогда возникает проблема согласо-
согласованности отношения порядка A9.12) с ранее введенным в Е отно-
отношением порядка. Например, в случае Е = н\ (Q) действительно
существует согласованность между отношением порядка в этом
пространстве (^ почти всюду) и в пространстве Н~1 (Q) с (Hq(Q))*
(^ в смысле обобщенных функций). Мы уже говорили об отношении
порядка в смысле обобщенных функций, и определение 19.10 яв-
является определением того же типа, что и ранее введенное для про-
пространства 0 (Q) (части пространства 0* (Q) ...) : разница лишь
в том, что там мы полагали /* = 0, т. е. сравнения проводились
только с нулевым элементом, рассматривались лишь положитель-
положительные элементы. Это подводит нас ко второму вопросу; прежде, од-
однако, дадим следующее определение.
"Определение 19.11. Пусть Е — вещественное вектор-
векторное пространство. Множество С cz E, С Ф 0 называется конусом,
точнее выпуклым конусом с вершиной в начале координат, если
vx, у ее х + уес A9.13)
Va:6CVA,>0 factC. A9.14)
Множество С называется строгим конусом, если
A9.15)
полным конусом, если
^ Vx?E x?C или —х?С; A9.16)
порождающим конусом, если
Зу, zeC x = y — z. A9.17)
/ Если ввести обозначение \ixAi ± и-Иа = {Ича1± V-tfh '• а\ 6 ^i»
<h 6 Аг} (и-ъ И-а 6 R)i то условия A9.13)—A9.17) можно записать
386

в виде
С + С^С, XCcC(VA,>0), СП(— С) = {0}, С[)(—С)=Е
С — С=Е
соответственно. С другой стороны, из условий A9.14), A9.17) сле-
следует: lin (С) = Е, где lin (А) — множество всех конечных (линей-
(линейных) комбинаций элементов множества А. Для любого конуса С
в пространстве Е множество С П (—Q является наибольшим ли-
линейным подпространством пространства Е, содержащимся в С,
а множество С — С — наименьшим линейным подпространством
пространства Е, содержащим конус С.
Рассмотрим теперь упорядоченное векторное пространство {Е,
О и введем обозначение Е+ = {х 6 Е : О ^ х}. Легко видеть, что
Е+ — строгий конус, являющийся также полным, если полным
является отношение порядка ^ в пространстве Е. Обратно, пусть
Е — вещественное векторное пространство, и С — строгий конус
в Е. Введем в пространстве Е бинарное отношение ^, определяе-
определяемое следующим образом:
Vx,yeE x^y&y — xtC. A9.18)
Отношение ^ является отношением порядка в пространстве Е,
при котором система {Е, ^> является упорядоченным векторным
пространством и Е+ = С; это отношение порядка является полным,
если С — полный строгий конус. Таким образом, введение в про-
пространстве Е отношения порядка, согласующегося с его векторной
структурой, равносильно указанию в пространстве Е строгого ко-
конуса — конуса положительных элементов пространства Е. Ска-
Сказанное равным образом справедливо, если вместо ?+ рассматри-
рассматривать конус ?_ = {х ? Е : х ^ 0} отрицательных элементов про-
пространства Е.
Для полноты мы ввели понятие порождающего конуса, но поль-
пользоваться им мы здесь не будем — это понятие связано с понятием
направленного множества в теории сходимости Мура — Смита.
Векторные решетки. Эти пространства впервые были введены
Риссом (ср. [643]).
Определение 19.12. Пусть (Е, ^) — уящядоченное
векторное пространство. Если каждое непустое конечно^ подмно-
подмножество Е имеет наименьшую верхнюю и наибольшую нижнюю гра-
грани, то система {Е, <!) называется векторной решеткой; А,-полные
векторные решетки называют пространствами Рисса.
Данное определение векторной решетки, основанное на опре-
определении 19.4, эквивалентно следующему, основанному уже на оп-
определении 19.7.
Определение 19.13. Векторной решеткой называется
алгебраическая система {Е, Д> V )> гДе Е — векторное простран-
пространство над R, а операции Д : & ~*~ Е, \/ : Е2-*-Е удовлетворяют
условиям A9.1)—A9.3) и согласуются с векторной структурой
25* 387

пространства Е в том смысле, что
A9.19)
{Xf\y) + 2 = (X + 2)/\(у + 2) И (х\/у) + 2~(Х + Z)\J'(У + 2),
Чх,у?Е V0<b l(xf\y) = Xx№y и Х(х\/у) = -кх\/Ху. A9.20)
Из условий A9.19) и A9.20) следует, что отношение порядка в
пространстве Е, определяемое с помощью олераций Д или V сог"
ласно условию A9.6), согласуется с векторной структурой прост-
пространства Е в смысле условий A9.10) и A9.11).
С помощью A9.19) и A9.20) можно показать, что для любого
непустого подмножества F пространства Е, имеющего наименьшую
верхнюю и наибольшую нижнюю грани,
Vx?E х + supF = sup(x + F) и x+ inf F = mi{x + F), A9.21)
supF = — inf (— F). A9.22)
Условие A9.19) выражает дистрибутивность операции сложения
по отношению к операциям Д и у. Эти операции, однако, не яв-
являются дистрибутивными относительно сложения; тем не менее
можно показать, что если x,y,z ? Е+, то
(X + y)h2^xh2+yhz A9.23)
(;м., например, [657, с. 53]). По поводу дистрибутивности заметим,
что векторные решетки всегда дистрибутивны — неожиданный ре-
результат, показывающий, насколько сильным является условие
согласованности векторной структуры с решеточными операциями.
Это условие обусловливает богатство структуры векторных реше-
решеток, отраженное в следующем определении, в котором мы вновь
встречаемся с некоторыми известными понятиями вещественного
анализа.
Определение 19.14. Пусть {Е, Д, V > — векторная ре-
решетка, и х ? Е. Положительной частью элемента х называется эле-
элемент [х]+
[x)+ = x\J0. A9.24)
Отрицательной частью элемента х называется элемент
[*]- = (— х) V0. A9.25)
Модулем или абсолютной величиной элемента х называется эле-
элемент
\х\ = х\/{—х). A9.26)
Согласно этому определению, наряду с отображениями Д:?2->?;
\/:Е2-^Е можно рассматривать отображения [•\+:Е-*-Е+,[-\~:
Е-*-Е+, | -| \Е->Е+, ставящие в соответствие элементу х?Е соот-
соответственно элементы [*]+, [х]~, \х\?Е+. Все отображения Д, V,
388

[•]+>['l »l • I можно выразить через какое-нибудь одно из них; так,
с помощью формул A9.24), A9.25), A9.26) и A9.28) можно выра-
выразить через V отображения [•!"*", [•]""> Н и Л соответственно. От-
Отсюда, в частности, следует, что упорядоченное векторное пространст-
пространство (Е, ^С) является векторной решеткой в том и только в том слу-
случае, если для любого элемента х?Е существует по крайней мере
один из элементов х/\0, х\/0, [х]+,[х\~ и \х\ (и, следовательно,
существуют все они).
Ниже выписан список элементарных свойств векторных реше-
решеток, которые легко доказываются (см., например, [657, с. 51 и 52]):
Теорема 19.4. Пусть (Е, /\, V ) — векторная решетка.
Для любых элементов х, у ? Е имеем
\х\ =[дг]\/[Г[] + [Г МЛМ
; A9.27)
<\х-у\ = (х\/у)-(х/\уу, A9.28)
[х — у]+ = [У — хГ = — У + (У Ух) = х — (х/\ у),
[х + УГ < [хГ- 1УГ. I [х}+ - [у]+ \<\х-у\,
\[хГ-[уГ\<\х-у\; A9.29)
\J У = \\х + у + \у — х\\, х/\у = Т[х + у — \у — х\],
A9.30)
\х\ + \у\=>
=> [х + у]+ =-- [х]+ + [у]+; A9.31)
х<у «- [х\+ < [у]+, [у]~<[хГО[х — у]+{=[у — хГ) = 0.
A9.32)
Два замечания по поводу свойств A9.27) и A9.31): разложение
х = [д;]+ — [х]~ — единственное разложение элемента х в виде
разности двух «ортогональных» элементов; если | х | Д | у \ = 0
(ср. F.31) ...), то элементы хну называют решеточно разъединен-
разъединенными или решеточно ортогональными (в' литературе часто встре-
встречается обозначение х _1_ у; например, можно написать [х]+ _1_
_L W-).
Приведем теперь один из наиболее известных результатов в тео-
теории векторных решеток.
389

Теорема 19.5 (лемма Рисса о разложении).
Если (Е, Д, V ) — векторная решетка и элементы x,ylt у2 ? Е+
таковы, что х ^ ух + уг, то существуют элементы х1г х2 ? Е+
такие, что х^ ^ ylt х2 ^ у2 и х = xt + х2.
Доказательство. Положим хг = х f\ уг н х2 = х — хг\
тогда имеем х = хг + х2. С другой стороны, очевидно, что 0 ^
< Ч < У и и из неравенства х < (х + у2) Д (г/х + у2) = у2 + (х Д
Л Уг) (с Учетом условия A9.19)) следует, что 0 <! х2 — х — (х /\
Л Уд < У*-
Этот результат имеет следующее важное следствие: функцио-
функционал f 6 Е* является ограниченным в том и только том случае, ес-
если существуют такие функционалы Д, /2 6 (?*)+> что f — Д — h-
Определением 19.8 было введено понятие гомоморфизма реше-
решеток; сформулируем теперь аналогичное определение для векторных
решеток.
Определен и е% 19.15. Пусть (Е, Д. V> и (F, /\, V >—
две векторные решетки, / : Е -*¦ F — линейный оператор. Опера-
Оператор / называется гомоморфизмом решетки {Е, Д, V > в решетку
F, Д, V). если
Vx.yeE f(x\ly) = f{x)\lf{y)vi f(xAy)=f(x)/\f(y). A9.33)
Определение 19.16. Пусть (?, Д, V) — векторная
решетка, А — подмножество Е. Множество А называется твердым,
если
A9.34)
/ Понятие твердого подмножества векторной решетки и гомомор-
гомоморфизма векторных решеток, на первый взгляд, не связаны между со-
собой, однако между ними существует связь того же типа, что и связь
между понятиями открытого множества и непрерывной функции,
что видно из следующей теоремы.
Теорема 19.6. Пусть (Е, Д, V > « <Л Л - V >— две век-
векторные решетки, /:?-»- F — такое линейное отображение, что
f (E+) = F+. Следующие утверждения эквивалентны:
1) отображение f является гомоморфизмом из {Е, Д, V) в
(F, д, v>;
2) отображение f~l переводит твердые подмножества F в твер-
твердые подмножества Е.
Доказательство можно найти, например, в [657, с. 60]. Другим
интересным результатом, доказательство которого можно найти в
той же работе, является следующий.
Теорема 19.7. Пусть (Е, Д, V ) « (^> Л > М ) — две век-
векторные решетки, f : Е -*• F — линейное отображение. Следующие
утверждения эквивалентны:
1) отображение f является гомоморфизмом из (Е, Д, V ) в
(F, д, v>;
2)V*6 E |/(*)| = /(|*|);
з) vxe я/(Ы+) л/(и-)-о-
390

19.4. Топологические векторные решетки.
Пространства Банаха — Рисса
Отношение порядка в упорядоченном векторном пространстве
(Е, ^) индуцирует в пространстве Е топологию, которая может
быть или не быть совместимой с векторной структурой пространст-
пространства Е (см., например, [471, с. 131]). Как правило, отношение поряд-
порядка и топология векторного пространства Е определяются совер-
совершенно независимо, причем обе структуры совместимы с векторной
структурой пространства Е. Наиболее интересен случай, когда
отношение порядка и топология также согласованы некоторым об-
образом. Существует несколько способов достижения этой согласо-
согласованности. Здесь мы остановим свой выбор на способе, который
представляется нам наиболее приспособленным к применению в
функциональном анализе; мы будем выбирать предпочтительно
отделимые локально выпуклые топологии и решеточные упорядо-
упорядочивания, поскольку этот случай наиболее интересен.
Топологические векторные решетки.
Определение 19.17. Пусть Е — векторное пространство;
Е называется топологической векторной решеткой, если на Е оп-
определены решеточное отношение порядка и отделимая локально
выпуклая топология, согласованные с векторной структурой и
друг с другом в том смысле, что топология имеет семейство окрест-
окрестностей начала координат, состоящее из выпуклых твердых мно-
множеств.
Очевидно, что при этих условиях топология всегда может быть
выражена через отделимое семейство полунорм — так называемых
решеточных полунорм — функционалов Минковского для твердых
выпуклых окрестностей начала координат. Особенно нас будет
интересовать случай, когда это семейство можно свести к единст-
единственной полунорме, которая в этом случае будет уже нормой.
Нормированные решетки.
Определение 19.18. Пусть (Е, Д, V ) — векторная ре-
решетка. Норма \\ • [\е '¦ Е -*¦ R+ называется решеточной, если
[*1<Ы=Н№<1М1е. A9.35)
Система (Е, /\, У, \\ ' \\е) называется нормированной решеткой.
Топологически полная нормированная решетка называется банахо-
банаховой решеткой, А,-полная нормированная решетка называется норми-
нормированным'пространством Рисса, а нормированная решетка, которая
и топологически и Агполна,— пространством Банаха — Рисса.
Заметим, что отделимые нормированные решетки являются
топологическими векторными решетками в смысле определения
19.17 : условие A9.35) выражает согласованность отношения по-
порядка и топологии. В связи с понятием нормированной решетки
упомянем следующий результат, доказательство которого приве-
приведено, например, в работе [657, с. 83].
Теорема 19.8. Пусть (Е, А, \/, \\ ¦ \\е) — нормирован-
нормированная решетка. Отображения х ->- Ы+, х -*• [х\~, х -*- \ х \ равно;
391

мерно непрерывны из Е в Е+, а отображения (х, у) -*¦ х/\ у и
(х, у) -*¦ х V У равномерно непрерывны из Ег в Е. Множества Е+
и ?_ замкнуты.
Если норма решетки (Е, Д, V • II ' Не ) удовлетворяет условию
параллелограмма
IU + у ||| + ||*- у ||| = 2(||*||»+|1 У |||), A9.36)
т. е. если выражение
(х>У)в = Т<\\* + У\ГВ-\\х-у№ A9-37>
является скалярным произведением в пространстве Е (см., напри-
например, [35, с. 391), то система (Е, Д, V> ('. ')е) называется пред-
предгильбертовой решеткой. Мы будем пользоваться также терминами
«предгильбертово пространство Рисса», гильбертова решетка» и
«пространство Гильберта—Рисса», смысл которых очевиден. В
этих условиях согласованность отношения порядка и топологии
можно выразить короче:
. A9.38)
Действительно, если х^ 0 и у ^ 0, то из условия | х — у | ^
<1* + #1=>||*— у\\Е<\\х + у]}Е (см. A9.35)), и из формулы
A9.37) имеем (х,у)Е^0. Обратно, если г/!>0 и (х,у)Е^0 (т. е.
II* + У\\2е>\\х— г/|||, см. A9.37)), то л:>0, поскольку если бы
х <С 0, то мы могли бы положить у — — х и, таким образом, полу-
получили бы || х — х \\Е = 0 > 21| х \\Е, откуда х = 0.
Далее, можно записать
[*]+ = РЕ+ (х) и [*]- = РЕ- (*); . A9.39)
тем самым получаем (Ы+, \х\-)е = 0, т. е. [х]+ _L [x]~ ...
Теорема Стоуна—Вейерштрасса. Приведем два примера рас-
рассмотренных структур, которые мы используем для разбора неко-
некоторых очень интересных результатов.
Пример 19.1. Здесь мы воспользуемся одним из наиболее
важных пространств Рисса — пространством С0 (Т) непрерывных
вещественных функций, определенных на компактном топологи-
топологическом пространстве Т.
Вообще говоря, если Т — любое непустое множество, то отно-
отношение порядка в векторном пространстве Rr функций / : Т -»¦ R
можно ввести, если положить (Rr)+ = (R+)r. Такое определение ко-
конуса положительных элементов в пространстве Rr эквивалентно сле-
следующему условию:
V/,g€Rr f<g&V*eT f(f)^g(t). A9.40)
Определенное таким образом отношение порядка является реше-
решеточным, оно согласовано с векторной структурой пространства
392

Rr (т. e. (Rr, ^> — векторная решетка и, фактически, пространст-
пространство Рисса), но если card T >- 1, то это отношение порядка не явля-
является полным: фактически, это — одна из причин, по которым отно-
отношения полного порядка не представляют большого интереса в ана-
анализе.
Пусть теперь Т — компактное топологическое пространство.
Введем в пространстве С0 (Г) (czRr) отношение порядка A9.40)
и топологию, определяемую нормой
= max I /@| A941)
т
(банахова топология, называемая топологией равномерной схо-
сходимости). Легко видеть, что при такой структуре пространство
С° G) является пространством Банаха—Рисса. Если Т = Q, где
Q cr R" — ограниченное открытое множество, то мы можем рас-
рассматривать также пространство С1 (Т) — упорядоченное вектор-
векторное пространство, которое имеет, однако, тот недостаток, что не яв-
является векторной решеткой, в то время как пространство Hl (Q) яв-
является таковым (при более высоких дифференциальных порядках,
однако, и пространства Соболева имеют этот недостаток).
Одним из наиболее интересных результатов, использующих
решеточные структуры, является теорема Стоуна—Вейерштрас-
са, вариант Какутани—Крейна которой мы представляем здесь
(см., например, [35, с. 10]; см. также [689], где подробно обсужда-
обсуждается эта тема):
Теорема 19.9. Пусть Т — компактное топологическое
пространство, А — часть С0 (Т) такая, что:
1) 'х-+1'еА;
2) V/, g?A Va.pe R f/\g?A, f\/g?A, af+$g?A',
3) /m?4(/n= 1,2,...), /„,-»¦/ равномерно =>-/6A
Тогда для того, чтобы А=С°(Т), необходимо и достаточно, что-
чтобы выполнялось условие
j^f,^/^) ,&/(*,). A9.42)
Условие 3) можно выразить словами: «Л — векторная решетка-
подпространство С0 (Г)». Условие A9.42) часто выражают слова-
словами: «решетка А разделяет точки пространства Т». Для комплекс-
комплексных функций теорема останется справедливой, если к условиям
1), 2) где R заменено на С, и 3), добавить условие
4) /6 А ^/ЧЕ Л.
Эту теорему можно понимать как теорему о плотности: если
ЛсС°(Г) удовлетворяет условиям 1), 2) и A9.42), то А =
= С0 (Т). Ее частным случаем является известная теорема Вейер-
штрасса об аппроксимации: если Q с: R"—ограниченное открытое
множество, то любая функция f ? С0 A2) является пределом равно-
равномерно сходящейся последовательности многочленов.
Пример 19.2. Пусть Q с R" — открытое множество. Про-
Пространство L2 (Q) с его вещественной векторной структурой и обыч-
обычной топологией является банаховым пространством, а если ввести
393

в нем отношение порядка
Vf,geL*(Q) /<*«/(*)<?(*) п. в. на Q, A9.43)
— пространством Банаха—Рисса, или точнее, Гильберта — Рис-
са. Среди его векторных подпространств — пространства Я1 (Q) и
Но (&), которые при достаточной гладкости множества Q (см. раз-
раздел 5.5) являются гильбертовыми решетками (ср. со случаем
пространств Cr (Q) /¦;> 1, рассмотренным в примере 19.1). Про-
Пространства Я1 (Q) и #о (Q) не являются, однако, ^.-полными поэто-
поэтому не являются пространствами Гильберта—Рисса.
Решеточные структуры и вариационные неравенства. Чтобы
привести пример использования упорядоченных структур в тео-
теории вариационных неравенств, мы сформулируем одну из так на-
называемых теорем сравнения (решений, соответствующих различ-
различным данным). Мы будем подходить к вопросу с абстрактных пози-
позиций, однако все, о чем мы будем говорить, можно конкретизировать
в рамках пространств, упоминавшихся выше. Другие резуль-
результаты, использующие решеточную структуру пространств, в кото-
которых формулируются вариационные задачи, приведены в [32, с. 58
и др.; 450, 454, 460, 461]. Э^ги методы применяются также в гл. 11
для случая квазивариационных неравенств, где можно найти и
дальнейшую библиографию.
Задача 19.1. Пусть Н — вещественная гильбертова решет-
решетка, Н X Н -*¦ R — коэрцитивная симметричная билинейная фор-
форма и ф : Н -*¦ (—оо, +оо] — выпуклый собственный полунепрерыв-
полунепрерывный снизу функционал. Найти функцию ы ? Н такую, что
Ф(ы) +а(и,и — i>X<p(i>) VveH. A9.44)
Как известно, эта задача имеет одно и только одно решение;
таким образом, можно рассмотреть оператор Л, который каждому
функционалу ф, удовлетворяющему указанным в задаче условиям,
ставит в соответствие решение и = Л (ф) данной задачи.
Выясним, является ли оператор Л монотонным, т. е. справедли-
справедливо ли утверждение типа: «если ц>х ^ ф2 (в том смысле, что фх (и) ^
=Ss Фг(у) Vt> 6 Н, 0 ^v), то Л (ф^ ^ Л (ф2) (в смысле отношения
порядка, заданного в пространстве Я)». Ответ на этот вопрос —
отрицательный, что легко видеть, если рассматривать задачу 19.1
как задачу о минимуме; ответ не изменится, даже если заменить
условие Л (фг) г^ Л (ф2) на Л (ф2) ^ Л (ф^ : функции Л (фх) и
Л (фг), вообще говоря, могут быть несравнимыми. Теперь, если мы
не хотим отказаться от теоремы сравнения, мы должны ввести на
множестве выпуклых собственных полунепрерывных снизу функ-
функционалов отношение порядка ^ (оно отличается от уже рассмот-
рассмотренного отношения порядка ^), для которого оператор Л дейст-
действительно является монотонным. Из практических соображений нам
нужно проверить тогда, что полученная таким путем теорема срав-
сравнения действительно будет иметь некоторые приложения, которые
покажут косвенно, что отношение порядка ^ имеет смысл, хотя оно
394

неизбежно будет менее естественным, чем отношение <! (отношение
порядка ^ не является двойственным к отношению порядка в Н,
поскольку, вообще говоря, <р,, <рг (?#*), тем не менее это — наибо-
наиболее естественное отношение порядка, какое только можно ввести
на множестве выпуклых собственных полунепрерывных снизу функ-
функционалов из Я в (—оо, +оо].
Определение 19.19. Пусть Н — вещественная гиль-
гильбертова решетка и <px : Н -*• (—оо, + оо] и ф2 : Н -*• (— оо, + оо]—
два собственных выпуклых функционала. Говорят, что q>i ^ <pJ(
если выполняется одно из условий:
1) 3ceR+:<p2 — ф1 = с;
2) Vc6 R Ф2 — <Pi фс и Vm, v6Нф, (u/\v) + ф2(нV») < Ф1 (и) +
+ Ф«(»).-
Мы предоставляем читателю доказать самому, что отношение
^ действительно является отношением порядка и что справедливы
следующие свойства:
1. Условие 2) эквивалентно условию
3) Vc 6 R+ фх — ф2 ф с и Vm, vv v2 6 Н\ (vv v2)H = 0 ф,, (ы)+Ф2(ы +
) ф], [U + V,) + ф2 (Ы + 1»2),
которое не содержит непосредственно операции Д и у.
2. Если фх ^ ср2 и of], ^ тф2, то ф1 + ^i ^ Ф2 + ^2-
3. Если функция ф возрастает, то ф ^ 0.
Рассмотрим теперь теоремы сравнения, связанные с отношением
порядка ^.
Теорема 19.10. Пусть А — оператор, который каждому
выпуклому собственному полунепрерывному снизу функционалу ц>:
Н -*¦ (—оо, +оо] ставит в соответствие решение и = Л (ф)
задачи 19.1. Если форма а такова, что
Vv?H a([v]~, [f]+)< 0, A9.45)
то оператор Л является возрастающим, в том смысле, что
Фх < Фг =*- Л (Фх) < Л (ф2). A9.46)
Доказательство. Положим ы, = Л (фх), ы2 = Л (ф2)
и запишем неравенства, соответствующие Ф1 и ф2:
ЧЬМ + а^.И! — оХф,(о) УобЯ, A9.47)
Ф2(ы2) + а(ы2,ы2 — и)<фг(и) УибЯ. A9.48)
Доказательство теоремы основано на подходящем выборе проб-
пробных функций v. Положим v = иг Д ы2 в неравенстве A9.47), и =
= «1 V "г в неравенстве A9.48) и сложим полученные неравен-
неравенства:
Ф1 К) + Ф8 («а) + а («к «I — («1Л «г)) + а (ы2, и, — (и, V Щ)) <
< Фх (Л «») + Ф» («1V ",>• A9-49)
39S

Поскольку мы предположили, что фх ^ ф2, из последнего неравенст-
неравенства получаем
а (Их, ы, — (ы, /\и.2)) + а (и2, и2 — (и, Vи2)) < 0 A9.50)
(если ф2 — ф! = с 6 R+, то это следует из того, что в этом случае
<Pi ("l) + Фа ("а) = <Pi К Л «г) + Ч>2 ("l V «г), а если фх — ф2 ф
Ф с ? R — непосредственно из второй части условия 2)), поэтому,
используя последовательно A9.29), A9.27) и A9.45), имеем соот-
соотношения
О > а (Ир [ы, — и2\+) + а (и2, — [ы, — ы2]+) =
= а («, — и2, [ы, — ы2]+) = a([«j — и2]+ — [«х — и2]~, [и, — и2)+) =
= а ([ы, — ы2]+, [Ых — и2]+) — а ([«х — и,Г, lut — ыа]+) >
>а(К-ы2]+,[Ых-ы2]+). A9.51)
Поскольку форма а коэрцитивна, заключаем, что [ut — и2]+ — О,
поэтому (см. A9.32)) ul^.u2. ?
Полагая фх = /к — /j и ф2 = jk — /2, где /к — индикатриса
непустого замкнутого выпуклого множества /С с Я, а /],
12? Н' (сН*), получим важный частный случай теоремы 19.10,
показывающий, что отношение порядка ^ имеет смысл. В этом
случае выражение фх ^ ф2 означает, что множество К устойчиво по
отношению к операциям Д и V и что 'i ^ h B смысле отношения по-
порядка, двойственного к отношению порядка в Я. Устойчивость
множества К по отношению к операциям Д и V очевидна. Далее,
если ф2 — ф, = с ? R+, то 12 — 1Х = с и, таким образом, обяза-
обязательно /х = 12. Если же ф2 — Фх Ф с 6 R, то для любых функций
и, о б Я,- /, (и) - l2 (v) > -/, (и Д о) — /i (« V v), т. е. Z, (ы -
- (и Д о)) < /, ((и У v) — v), или /, ([и — v]+) < 12 (\и — о]+);—
это означает, что 1г ^ /2 в Я*, потому и в Я'. Можем теперь сфор-
сформулировать следующий результат.
Теорема 19.11. Пусть Я — вещественная гильбертова
решетка, К а Я — непустое замкнутое выпуклое множество, ус-
устойчивое к операциям Д и V, а — такая коэрцитивная билиней-
билинейная форма, что а (Ы~, [v]+) ^.OVv ? К, a lt и 12— два непрерывных
линейных функционала в Н. Пусть снова их и и2— решения вариа-
вариационных неравенств
, A9.52)
a(u,u — u)</2v« — v) VveK A9.53)
соответственно. При этих условиях если lt ^ 12 в Н'', то их ^ и2
в Я.
Заметим, что условие устойчивости множества К не всегда вы-
выполнено: К = {X sin х : 0 ^ X ^ 1} — непустое замкнутое выпук-
выпуклое множество в Но (@, 2л)), неустойчивое по отношению к опера-
операциям Д и V-
396

19.5. Гильбертовы псевдорешетки
В разделе 19.4 мы видели, что если (Е, Д, V. (•. ')е) — гиль-
гильбертова решетка, то справедливо условие A9.38). Предположим
теперь, что Е — произвольное гильбертово пространство и что су-
существует непустое подмножество С пространства Е такое, что
A9.54)
С — строгий выпуклый конус с вершиной в начале координат,
поэтому мы можем задать в пространстве Е такое отношение
порядка ^, что Е+ = С. Отношение порядка ^, вообще говоря,
не будет решеточным, тем не менее, положим для х ? Е
\х]+ = Рс(х) и [хГ = Рс(-х); A9.55)
тогда справедливы равенства
х = [х]+— [хГ и ([*]+ [хГ)е = 0. A9.56)
Отметим, что, в то время как A9.38) и A9.39) — теоремы, A9.54)
и A9.55) — определения.
Введем еще одно определение: если х, у 6 Е, то положим
= х + [у-х]+ и хху=х-[х-у]+. A9.57)
Заметим сразу же, что элементы х Y Ц и х X У нельзя, вообще
говоря, рассматривать как элементы х \j у — sup {*, у) и х Д у =
= inf {x, у}, в существовании которых мы не уверены; однако ес-
если они существуют, ToxYy = x\JynxXy~x\/y. Опера-
Операции Y и X обладают также многими, но не всеми (что естественно)
свойствами операций V и Д. Введем теперь определение.
Определение 19.20. Гильбертовой псевдорешеткой мы
будем называть систему (Е, С), где Е — гильбертово пространст-
пространство, а множество С удовлетворяет условию A9.54).
Вместо гильбертова пространства мы можем рассмотреть
предгильбертово и получить предгильбертову псевдорешетку.
Отметим, что в примере 19.2 мы пользовались не решеточной
структурой пространства Я, но лишь его псевдорешеточной
структурой. Таким образом, если мы заменим везде Л на Л.
а V на Y, все результаты останутся справедливыми. В заклю-
заключение сформулируем следующий важный результат, который
справедлив также и для гильбертовых решеток.
Теорема 19.12. Если Е — гильбертова псевдорешетка, то
любая цепочка в Е, ограниченная сверху (снизу), имеет наименьшую
верхнюю грань (наибольшую нижнюю грань). В частности, любая
ограниченная часть Е полностью индуктивна.
Доказательство. Пусть {иа}а^А — цепочка в Е, ог-
ограниченная сверху элементом L ? Е, т. е.
A9.58)
397

Предположим, что множество А таково, что
в Л=^г/а<ые в Е, A9.59)
и пусть а 6 Л- Последовательность вещественных чисел {{ил, L—и^)Е}
возрастает и ограничена сверху, поэтому она сходится. Если же
то
II "в — "а III = ty» ~ "а' "Р — "Л < ("р — "а' L — U*)e> (I960>
и, поскольку последовательность {(иа, L — «й)?} сходится, {иа} —
последовательность Коши в Е; пусть и — ее предел. Тогда для лю-
любого элемента v 6 С
вэ A9.61)
ее
поэтому
«>ыа Va6A A9.62)
Таким образом, и — верхняя грань множества {«<*}; чтобы убе-
убедиться, что элемент и, в действительности, является наименьшей
верхней гранью, т. е. что и = sup^ {ыа}, заметим, что если w^ua
Va 6 /4, то (w, v)E ^г («, v)E Vu 6 -^ и, следовательно, ш ;> ы. П
Глава 20. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Введем обозначения (Y Ф 0):
2Y = 5й (Y) = {Т: Г — подмножество 7}, 2. = {Г 65й (V): Г непусто},
2J = {76^G): 7* замкнуто}, 2^ = {Т €# (К) : Г компактно},
2* = {Г 6 З5 (^) : Г выпукло}, 2Y% = {Т ? ^{У) : Т связно},
2f = {Г б5й00: 71 ограничено}, 2Y = {T?V{Y):T — замкнутый ин-
интервал}, 2Yuci = 2, П 2? П 2Г и т.п.
20.1. Основные определения
В этой главе мы изучим некоторые свойства отображений / : Х->
->2^, где X и К—непустые множества, на которых заданы некото-
некоторые подходящие структуры. Эти отображения мы будем называть
многозначными, поскольку отображению /: Л->- 2Ya мы можем
поставить в соответствие вполне определенным способом часть F
декартова произведения X X Y или, еще лучше, многозначное
отображение /:Xz?K (с графиком G(f) = F...). Это соответствие
между /:Х->2« и f:Xz^.Y частично оправдывает вводимые ниже
обозначения.
398

Здесь мы будем различать два понятия — однозначное отобра-
отображение / : X -> 2и и многозначное : / : X ^ К; в остальной части
книги они отождествляются. Позже мы введем некоторые множест-
множества, тесно связанные с отображением / : х :? У; сейчас же мы упо-
упомянем лишь следующее.
Если х 6 X, то множество / (х) = {у 6 У ' (х, у) 6 F} значений,
принимаемых функцией / на элементе х, называется образом эле-
элемента х при отображении /: если Vx? X card f(x)= 1, то отобра-
отображение f называется однозначным отображением или просто отоб-
отображением.
Здесь мы напомним читателю некоторые общие определения,
касающиеся отображения одного множества на другое и" введем
определенное количество специфических определений для отобра-
отображений f : X -> 2Y (они являются модификациями предыдущих,
необходимыми ввиду особенностей структуры множества 2Я).
В разделе 20.2 мы рассмотрим случай, когда X a Y — тополо-
топологические пространства, и изучим топологии, задаваемые на мно-
множестве 2я топологией пространства Y, и свойства непрерывных ото-
отображений f:X->2Yl. В разделе 20.3 мы рассмотрим случай, когда
X и У— упорядоченные множества, изучим отношения порядка, за-
задаваемые на множестве 2Yut отношением порядка на Y, и понятие
монотонности отображений f:X->2ui- Мы не будем затрагивать
такие важные вопросы, как дифференцируемость и интегрируемость
этих отображений (их можно найти в [159, 348, 566, 300, 649]; ряд
других вопросов и приложения см., в дополнениях к гл. 14—16
этой книги, в работах [201—203, 307, 302, 344, 346, 303, 84]).
Графики и образы. В дальнейшем X и У обозначают непустые
множества, a f — отображение из X в 2^.
Графиком отображения f называется подмножество G (/) =
= {{х, Т) : х 6 X и f {х) = Т} декартова произведения X X 2уи.
Это множество не представляет для нас интереса — нас интересу-
интересует множество Gxy (D = {(*, у) ? X X Y : х ? X и y?f (x)}~
подмножество декартова произведения XxY, совпадающее с G (/).
Определение 20.1. Множество Gxy (/) называется гра-
графиком отображения f, отнесенным к X X Y.
Образом множества АаХ при отображении / называется под-
подмножество f (А) = {Т б 2я : Т = f \х), х?А) множества 2¦ . Это мно-
множество также не представляет для нас интереса; более полезным
множеством является fY (А) =¦ {у ? Y: у 6 /(х), х6 A}— \J f (x) — под-
множество Y, совпадающее с / (А) = \J } (х).
х?А
399

Определение 20.2. Множество /у (А) называется об-
образом множества А (<аХ), отнесенным к Y.
Отметим следующие свойства образов /у (А), справедливые
также и для образов / (А) и / (А).
Теорема 20.1. Если Ах, Аг с X, то
B0.1)
B0.2)
B0.3)
YY B0.4)
Доказательство элементарно. Далее, мы можем интерпретиро-
интерпретировать отображение /у как отображение из 2х в 2У.
Рассмотрим теперь обратные образы {прообразы). Если Si с 2^,
то естественно положить /-' (.$) = {х 6 X : f (xfZ Щ\ в частнос-
частности, если $ = {?}, то /-1 (В) = {х f, X : f (x) = В). Приведем сле-
следующие свойства прообразов /-1 ф), справедливые, в частности,
для прообразов /-1 (В).
Теорема 20.2. Если ИВи 5В2 с: 2YU, то
/ \^1 U
/"' {% П
r'Bi\
^) = Г'№)иГ'№).
й2) = /"' (^x) n F1 (^2).
.^l/— / ^¦)\/ v^ij»
: ^2 =-> /-1 (^ ) c Г (^„).
B0.5)
B0.6)
B0.7)
B0.8)
Доказательство этой теоремы также элементарно. Подобно
тому, как мы пришли к рассмотрению образов /у (Л), введем сле-
следующие понятия.
Определение 20.3. Множество /~1+ (В) = /"' (&(В)) назы-
называется верхним прообразом множества В (с Y) при отображении f,
а множество f~l~ (В) = X\f~ ({P (Y\B)) — нижним прообразом
множ ства В (с Y) при отображении /.
Ясно, что Г1+ (В) = /~1+ (Б) = {а; б X ¦ f (x) ф 0 и /"(*) с: Б} и
что ГУ~{В) = Гх~{В) = {х^Х:'1(х)[\Вф 0). Верхние и нижние
прообразы (поскольку нет опасности недоразумений, мы не указы-
указываем: «отнесенные к Y») обладают следующими легко доказуемыми
свойствами.
Теорема 20.3. Если BvB2czY, то
r'+(Bi)<=r!~(Bi). B0.9)
г'+алво-ххг1-^), B0Л0)
Г1" (У\Вг) = Х\Г1+ (В,), B0.11)
BlczBt=>r4(B1)czri+(Bi), B0.12)
400

Г'~(Вг) с Г'~(В,).' B013)
)=r1+(Bi)nr!+(B2)- B0.14).
Г^^ПВ^сгГ^^ОПГ1"^). B0.15)
Г'+ (Sx U В,) => Г'+ (Bi) U Г'+ (В,), B0.16)
E2). B0.17)
Квазисюръективность, гиперинъективность и гипероднознач-
гипероднозначность. Сюръективность отображения /, которую можно определить
выражением VT 6 2^3* 6 X : / (х) = Т — очень сильное условие
на отображение /, так как, согласно теореме Кантора, если
cardX^card Y, то не существует сюръективного отображения X на
2щ. В противоположность этому, инъективность отображения /,
которую можно выразить условием / (xt) = f (х2) => xt =-jc2 —¦
очень слабое условие на отображение /, как и условие однознач-
однозначности, присущее самому понятию отображения.
Определение 20.4. Если /у (X) = Y, то отображение /
называется квазисюръективным; если / (*,) П / (х2) Ф & =*¦ хг —
= х2 — гиперинъективным, если / (х^) f\f (х2) Ф 0 => / (хг) =
= / (Х2) —¦ гипероднозначностью.
Гиперинъективное отображение является также гипероднознач-
гипероднозначностью, а если отображение / гиперинъективно и квазисюръектив-
но, то оно задает разбиение множества Y, определяемое множест-
множеством X.
Объединение, пересечение и композиция. Введем определения
объединения и пересечения отображений.
Определение 20.5. Пусть /х:Х-»-2? и /а:Х-*-2,. Ото-
Отображение /i П /2» задаваемое формулой (ft (] f2) (x) = fY (x) (] f2 (x), на-
называется пересечением отображений ft и f2, а отображение /х U /а,
задаваемое формулой (/х |J /2) (jc) = ft (x) [} /2 (jc), — объединением ото-
отображений /х и f2.
Объединения нельзя рассматривать как бинарную операцию
над отображениями ft : X -*• Y и f2 : X -*- Y, поскольку при /х Ф
Ф f2 результат является уже не отображением X в Y, а многознач-
многозначным отображением X в Y; по тем же причинам нет смысла рас-
рассматривать как операцию и пересечение.
Композиция однозначных отображений не имеет точных анало-
аналогий в случае многозначных отображений. Наиболее близкая ей
операция, которую мы также будем называть композицией, опреде-
определяется следующим образом.
Определение 2С.6. Пусть X, Y и Z—непустые множества,
/:Х-»-2р и g:Y->2zm. Отображение g-f:X-+ 2гя, определяемое
выражением (g-f) (x) = gz[fY (x)] = U{z€ §(«/):«/€ /(*)}, называется
композицией отображений /и g.
Введем, наконец, важное понятие.
Определение 20.7. Отображение а}: Х-+- Утакое, что
Vjc 6 Х(Т/ (*) 6 / (*). называется селекцией отображения / : X-*-2Ya.
26 К. Байокки, А. Капело 401

Заметим, что G (cry) cz Gxy (f) и что, очевидно, многозначное
отображение / : X =? У, соответствующее отображению / однознач-
однозначно и, следовательно, является отображением в том и только в том
случае, если существует единственная селекция отображения /.
20.2. Топологии в 2УЯ
Топологии в 2а можно вводить, пользуясь какой-либо из стан-
стандартных методик (через семейства открытых множеств, семейства
окрестностей и т. д.); наиболее интересны, однако, случаи, когда
топология множества 2а некоторым образом связана с введенной
ранее топологией множества У.
В п. 20.2.1 мы рассмотрим случай, когда У — метрическое
пространство, и введем в пространство 2^ci хаусдорфову метрику.
В п. 20.2.2 мы будем считать У общим топологическим пространст-
пространством и введем четыре различные топологии множества 2« — топо-
топологии Виеториса (ср. [718]). Дальнейшее изучение топологий мно-
множества 2| и его подмножеств — так называемых гиперпространств
из У, можно найти в [576, 490]. Понятие непрерывности многознач-
многозначных отображений рассматривается, помимо цитированной литера-
литературы, в работах [630, 312, 677], где можно найти также информацию
о пространствах многозначных отображений; в [677, 725, 577,
578], где рассматривается проблема существования непрерывных
селекции. В работе [516] содержится весьма абстрактное исследо-
исследование вопроса о непрерывности многозначных отображений.
20.2.1. Топология хаусдорфовой метрики. Если (У, d) —мет-
—метрическое пространство, А и В — непустые подмножества У (т. е.
А, В 6 2Я /, то неотрицательное вещественное число
б (А, В) = inf {d (a,b):aeA, b ? В} B0.18)
называют обычно расстоянием между множествами А и В. Вели-
Величина б, однако, не является истинным расстоянием, поскольку
если б (Л, В) =» 0, то отсюда не следует, что А = В. Если
б(Л,5)=0, то множества А и В называют близкими,—понятие бли-
близости обладает некоторыми любопытными свойствами, и оно аксио-
аксиоматизировано в структурах, называемых пространствами близо-
близости (см. [614, с. 7 и 8; 68, с. 8]). Определим теперь истинное рас-
расстояние в пространстве 2| е1 (позднее станет ясно, почему мы не
рассматриваем все множество 2>), так называемое хаусдорфово
расстояние.
Введем сначала следующее вспомогательное множество: если
е > 0 и Q 6 2, а, то полагаем
:BqeQ:d(x,q)<s} - {х?У :d(x,Q)<s}. B0.19)
Множество / (е, Q) есть окрестность множества Q радиуса е.
402

Определение 20.8. Пусть (Y, d) — метрическое прост-
пространство. Если А,В?2уис1, то хаусдорфовым расстоянием между
множествами А и В, обозначаемым Н (А, В) (или, если есть опас-
опасность недоразумений, Hd (А, В)), называется неотрицательное
вещественное число
Я(а, 6) = inf{e: Л с/(е, Я) и Вс/(е, А)}. B0.20)
Зависимость расстояния Нй от метрики d порождает неожидан-
неожиданное явление. Топология, задаваемая метрикой Hd, зависит от
конкретной выбранной метрики d, а не только от топологии, зада-
задаваемой d. Так, (ср. [38]) в R+ метрики dx (x, у) = min{l, [х — у\) и
d2{х,у) = | х/(\ + х) — у/(\ + у) | топологически эквивалентны, а мет-
метрики На, и На, в пространстве 2*+ — нет (множество R+ в метри-
метриках dx и d2 ограничено). Чтобы избежать явного вхождения мно-
множеств 1 (е, Q) в определение хаусдорфовой метрики, мы могли бы.
положить эквивалентно
Н(А, В) = sup {sup*^ infyeBd(x, у), sup^s infу$а d(x, у)}.
Покажем теперь, что выражение B0.20) действительно опреде-
определяет расстояние. Прежде всего, Н (А, В) — вещественное число,
поскольку множества А и В ограничены (в действительности, сле-
следуя работе [335], можем избавиться от этого ограничения, опреде-
определяя, таким образом, обобщенную метрику, в которой величина-
Н (А, В) может равняться -f oo). Очевидно, что число Н(А, В) не-
неотрицательно. Если Н (А, В) = 0, то А = В, поскольку из равен-
равенства Н (А, В) — 0 следует, что A cz В и В cz А, и, следовательно,
поскольку множества А и В замкнуты, А = В. Симметрия очевид--
на: Н {А, В) = Н (В, А). Что касается неравенства треугольник
ка Я (А, С) ^ Н (А, В) -f H {В, С), которое традиционно являет-
является наиболее трудным для проверки, заметим, что если Н (А, В) =
= е и Н (В, С) = I, то Лс / (ё + е, С), поскольку А с/ (в,В)
и В cz I (г, С), и С cz I (е -\- е, А) (по тем же причинам), поэто-
поэтому Я {A, Q <ё + i.
Снабжая множество 2^с, расстоянием Я, получаем метричес-
метрическое пространство, для которого справедливы основные результа-
результаты, касающиеся этих пространств. Множество {*}, х 6 Y замкнуто
(метрические пространства являются топологическими пространст-
пространствами типа 7\) и ограничено, поэтому имеет смысл отображение i :
:К-*-2яС1, определяемое равенством i (x) = {х} и являющееся
изометрией пространств (К, d) и {2YUci, Н), так как d(x,y) = Н ({х},
{у})\ мы говорим тогда, что топология хаусдорфовой метрики в про-
пространстве 2яг/ допустима в смысле Мишеля (ср. [576, с. 153]).
Докажем теперь главный результат этого пункта.
Теорема 20.4. Пусть (Y, d) — метрическое пространство.
Топология хаусдорфовой метрики пространства 2ЯС/, отнесенная
к пространству 2YUq, эквивалентна топологии, порождаемой се-
26* 403

мейством 11 множеств U+, U~, определяемых следующим образом:
- F) t/+ ^
2) ?/- = {762^:7
где U пробегает семейство открытых множеств в Y.
Доказательство. Докажем сначала, что топология,
порождаемая семейством 11 менее тонка, чем топология хаусдорфо-
хаусдорфовой метрики, показав, что ?/+ и U~— открытые множества в про-
пространстве B,,,, Н). Докажем, что множество U+ открыто, показав,
что если Q 6 U+ (т. е. если Q — непустое компактное множество
из Y такое, что QczU), то существует число е>0 такое, что
Э"е (Q) = {Т 6 2ут: Н G, Q) < е} czU+. Положим e=d(Q, Y\U): е >0,
лоскольку множества Q и Y\U не пересекаются и замкнуты. В даль-
дальнейшем нам достаточно рассмотреть ограниченное множество-
Если НG, Q)<е, то 7с:/(е, Q) и, следовательно, Та И, посколь-
поскольку / (е, Q) a U. Докажем, что множество 1Г~ открыто, показав, что
если Q6i/~ (т. е. если Q — непустое множество из Y, компактное
и такое, что Q О U Ф 0)- то существует число е > 0 такое, что
тг (Q) cz U~. Положим q 6 Q fl U: так как множество U открыто»
существует число е>0 такое, что Fe (q) = {x^Y :d(x, q) <e}c:U.
Если H(T, Q)<e, то 3~t?T:d(t, q) < e (поскольку если V t 6
?Td(t,q)^e, то q(?I(e, 7), откуда Qф I (e, 7) и, следовательно,
H(T, Q) < e), поэтому ~t?U и Т [} U Ф 0. Далее, докажем, что то-
топология хаусдорфовой метрики менее тонка, чем топология, порожда-
порождаемая семейством U, показав, что для любой окрестности тг (Q) =
= {7 6 2щ„: Н G, Q) < е} точки Q 6 2YUq в первой топологии существует
окрестность Q во второй, содержащаяся в ней (достаточно рассмотреть
лишь окрестности типа fTs (Q), поскольку они образуют фундамен-
фундаментальную систему окрестностей для метрической топологии). Посколь-
Поскольку Q — компактное множество, существует его покрытие открытыми
множествами й( (i = 1 m) такое, что diam(?2;)<e. Докажем,
что 0 — [I (e, Q)]+ П ЙГ П ¦•• П йй — окрестность множества Q, удов-
удовлетворяющая поставленным условиям. Очевидно, что Q6^ и что 0—
открытое множество в топологии, порождаемой семейством 11. По-
Покажем, что 0аТг (Q); если Т?0, то 7cr/(e, Q). Осталось дока-
доказать, что Q сг / (е, 7), откуда получим неравенство Н G, Q) < е.
Пусть х g Q, тогда Э«: * 6 ?2; и, поэтому 3^ 6 7: <2 (*, t) < e (посколь-
(поскольку 7 П &i =/= 0); следовательно, л; 6 / (е, 7). ?
Отметим, что из полноты пространства (К, d) не следует полнота
пространства B^ciH); из нее, однако, следует полнота пространства
{2щН) (см. [470, с. 296: 30, с. 61, задача 3]).
Многозначные отображения, непрерывные по Липшицу.
Определение 20.9. Пусть (Yt, dt) и (Y2, d2) — непустые ме-
метрические пространства. Отображение f:Y1-*- 2,^ называется не-
непрерывным по Липшицу, если
3k>0iVx,y^Y1 Hdt{f(x), /(t/))<kdx(x, у). B0.21)
404

Если существует число k ^ 1, удовлетворяющее этому условию,
то отображение / называют нерастягивающим, а если существу-
существует число k <C 1, удовлетворяющее этому условию, то отображение
/ называют сжатием.
Позже мы воспользуемся термином «константа Липшица» для
обозначения всякого значения k, удовлетворяющего условию
B0.21); мы, однако, не будем связывать с этим термином каких-
либо характеристик типа минимальности и, тем более, единствен-
единственности.
Теорема 20.5. Пусть (Ylt dj, (Y2, d2) и (Y3, ds) — непус-
непустые метрические пространства. Справедливы следующие утвержде-
утверждения:
1) если отображение f : У\ -*¦ 2щы непрерывно по Липшицу,
то оно непрерывно;
2) если отображения fx : У\ ->¦ 2^,'ы и /2 : Уг -*¦ 2«i( непре-
непрерывны по Липшицу с контактами Липшица ах и а2 соответствен-
соответственно, то отображение Д (J f2 непрерывно по Липшицу с константой
Липшица max {аъ аг} (аналогичный результат для отображения
А П /а не имеет места; контрпример приводится в работах [470,
с. 301; 613, с. 478]);
3) если отображения f1:Y1->2uq u fz'-Ya-^^mq непрерывны по
Липшицу с константами Липшица ах и а2 соответственно, то
отображение f2-ft непрерывно по Липшицу с константой Липши-
Липшица а1аа;
4) если отображение f:Y1-> 2,'? непрерывно по Липшицу е
константой Липшица а, то отображение /y1:2,1,-> 2я« непрерыв-
непрерывно по Липшицу с константой Липшица а.
Теорема 20.6. Пусть М — непустое замкнутое выпуклое
множество в банаховом пространстве и f : М -*¦ 2«d —непрерыв-
—непрерывное по Липшицу многозначное отображение с константой Лип-
Липшица а; пусть отображение conv : 2^ci -> 2щы задано тождест-
тождеством conv (A) A conv (А). Тогда отображение conv °f : M ->¦ 2де.
определяемое тождествоМ(сопч° j)(x) A conv [/(л;)] непрерывно по
Липшицу с константой Липшица а.
Доказательство см. в работах 613, с. 478; 470, с. 302 и 303.
Отметим следующую любопытную деталь: непрерывное много-
многозначное отображение / : F, -> 2^'ci, вообще говоря, не имеет не-
непрерывной селекции of : Y± ->• F2, поскольку сжатия не всегда
имеют непрерывные селекции (пример приведен в работе [613,
с. 4791).
20.2.2. Топологии Виеториса. Пусть Y — произвольное топо-
топологическое пространство. Введем в пространстве 2Уи четыре раз-
различные топологии, называемые топологиями Виеториса. Напомним
сначала, что множество Т топологий множества X, снабженное от-
отношением порядка щ ^ т2, если xt с т2 (т. е. если топология т,
405

менее тонка, чем топология т2)», является полной решеткой (см.
[10]). Топология тх Д т2 совпадает с топологией тх Г) Та> а Ti V
V т2 является топологией, порожденной подбазисом тх U т2. На-
Напомним, что семейство & а 2х называют порождающим тополо-
топологию т в пространстве X или подбазисом для топологии т, если лю-
любое открытое множество топологии т является объединением про-
произвольного числа конечных пересечений элементов семейства 9".
Заметим, что хх (J т2, вообще говоря, не является топологией;
далее, если $i — подбазис для топологии т1? а $32 — для тополо-
топологии т2, то ^ = {By П В2 : Bt 6 ^i и В2 6 $¦<} — еще один подба-
подбазис для топологии тг \/ т2. Далее, min Т = {0, X} (индискретная
топология), a max T = 5й (X) (дискретная топология).
Учитывая все сказанное, введем определение.
Определение 20.10. Пусть Y — топологическое пространство.
Топология пространства 2Ym, порождаемая семейством 0~~ множеств
вида U~ = {Т 6 2я: Т П U ф 0}, где t/ — открытое множество в Y,
называется нижней полуконечной топологией Виеториса и обозна-
обозначается с\}~.
Топология пространства 2», порождаемая базисом 0+ множеств
вида U+ = {Т 6 2,: Т сг {/} = 2, , где {/ — открытое множество в К.
называется верхней полуконечной топологией Виеториса и обозна-
обозначается 1}~+. Топология '?/+Д'2/~~ называется хе ми-полу конечной то-
топологией Виеториса и обозначается с}/ . Топология "?/+V "?/~ на"
зывается конечной топологией Виеториса и обозначается 'у.
Заметим, что базис топологии "?/ построен из семейства 0 —
= {[Uv...,Um\±cz2Ya:[U1 Um\± = {Te2Y,:Tcz\jT=iUl иГЛ
П Ui Ф 0}. где Ui (t = 1,.... т) — открытые множества в Y), опре-
определяемого конечным числом открытых множеств, что объясняет на-
название топологии у- и, тем самым, названия топологий 9/+, 9/~ и
Интересной характеристикой топологии V является тот факт,
что это — наименее тонкая из топологий пространства 2я , в кото-
которых множество U+ = 2иш открыто при открытом множестве U cY
и замкнуто при замкнутом U cz Y (заметим, что {Т 6 2YU :T czU} =
= {Те2у,:Т[\{У\и)=0} = 2уя\{Те2уя:Т(\{У\и)Ф0}, что
множество Y\U открыто, если множество U замкнуто, и что мно-
множество {Т 6 2я : Т Г) (Y\U) ф 0} открыто в топологии у-, поскольку
оно открыто в топологии 1f~), поэтому эта топология — наименее
тонкая из топологий, приемлемых в смысле Мишеля (ср. [576, с. 155]).
Далее, топологии Виеториса допустимы в смысле Мишеля (ср.
1576, с. 153]), поскольку отображение t : Y -> 2Я, определяемое
тождеством i (x) = {х} является гомоморфизмом. Пространство 2а
с одной из рассмотренных топологий, вообще говоря, не является
пространством типа 7\, даже если Y — пространство типа 7\;
пространство же 2ЯС с индуцированной топологией Виеториса
406

всегда является пространством типа То и является пространством
типа Ти если таковым является пространство Y.
Большой интерес представляет следующий результат, который
связывает вопросы, обсуждавшиеся в предыдущем разделе, с тем,
что мы рассматриваем сейчас:
Теорема 20.7. Если Y — метрическое пространство, то
топология, задаваемая в пространстве 2vUq хаусдорфовой метрикой,
совпадает с конечной топологией Виеториса.
Доказательство следует непосредственно из теоремы 20.4. ?
Введем теперь понятие непрерывности, связанное с топология-
топологиями Виеториса.
Определение 20.11. Пусть X и Y — топологические
пространства. .Многозначное отображение / : X -> 2YU называет-
называется полунепрерывным сверху, полунепрерывным снизу, хеми-полу-
непрерывным или непрерывным, если оно непрерывно в смысле то-
топологий %}¦+, <у~, 1J-' или <?/ соответственно.
Хеми-полунепрерывность не представляет для нас большого
интереса, и, поскольку функция, очевидно, непрерывна тогда и
только тогда, когда она п. н. св. и п. н. сн., в дальнейшем мы бу-
будем рассматривать только эти два вида непрерывности.
Теорема 20.8. Пусть X и Y — топологические простран-
пространства. Отображение f : Х-*- 2Уи является п. н. св. в том и только
в том случае, если удовлетворено одно из следующих пяти эквивалент-
эквивалентных условий:
1+) множество {х б X : f (x) f) А Ф 0} замкнуто в простран-
пространстве X, если множество А замкнуто в пространстве Y,
2+) множество {х б X : / (х) cz А} открыто в пространстве X,
если множество А открыто в пространстве Y,
3+) множество f~l~ (А) замкнуто в X, если множество А зам-
замкнуто в Y,
4+) множество f~1+ (А) открыто в X, если множество А откры-
открыто в Y,
5+) V* е X VA cz Y (А открыто) f (х) cz A =>3B cz X
(В открыто), х б В : Vz б В, f (г) cz A .
Аналогично, отображение f п.н. сн. в том и только в том случае,
если удовлетворено одно из пяти следующих эквивалентных условий:
{-) множество {х б X : / (х) f) A =/= 0} открыто в X, если
множество А открыто в Y;
2~) множество {х 6 X : f (x) cz А) замкнуто в X, если мно-
множество А замкнуто в Y\
3~) множество f~x~' (А) открыто в X, если множество А от-
открыто в Y;
4~) множество f~1+ (А) замкнуто в X, если множество А зам-
замкнуто в Y;
5~) Vx б X VA cz Y (А открыто) f (х) П А Ф 0 =*¦ 3 В cz X
(В открыто), х 6 В : Vz б В, f (г) П А Ф 0.
В частности (см. условия 4+), 3~)), если отображение f п. н.
сн. или п. н. св. и однозначно, то оно непрерывно в обычном смысле
407

{обычное понятие полунепрерывности предполагает особую струк-
структуру пространства Y).
Доказательство. Мы покажем только, что отображе-
отображение / п. н. св. в том и только в том случае, если удовлетворено ус-
условие 2+), и что условия 4+) и 5+) эквивалентны, оставляя дока-
доказательство остального читателю. Пусть U — открытое множество
в пространстве У, a U+ = {Т ? 2д : Т с: U} — соответствующее
открытое множество из подбазиса 0+ топологии V~+. Имеем:
f-1 ([/+) = {х ? X : / (х) с U}, согласно условию 2+),— открытое
множество в X. Тем самым мы доказали, что из условия 2+) следу-
следует, что отображение / п. н. св. (достаточно рассмотреть лишь откры-
открытые множества из 0+, поскольку отображение /~х обладает хоро-
хорошими свойствами B0.5) и B0.6)). Обратное можно доказать анало-
аналогичным образом. Покажем теперь, что 4+) => 5+). Пусть х 6 X
и A zd f [х) — открытое множество в Y, положим В = /^г+ (А).
Множество В удовлетворяет условию 5+), поскольку оно открыто
(согласно условию 4+)), х 6 В; если z ? В, то / (г) с А (по опреде-
определению /~1+ {А)). Чтобы показать, что E+) =*- D+), рассмотрим
открытое множество A cz Y и точку х 6 /-1+ (А). Множество В,
которое должно существовать согласно условию 5+), являет-
является открытой окрестностью точки х, содержащейся в множестве
/-1+ (Л), поэтому это множество открыто.
Условия 5+) и 5~) можно использовать для определения соот-
соответствующей полунепрерывности. Кроме того, п. н. св. &¦ п. н.
сн. и п. н. сн. ф~ п. н. св., что видно из следующего примера (из
[677, с. 33]).
Пример 20.1. Положим X = Y = [0, 1] с R и f(x) = {x/2],
если 0<х< 1/2, /A/2) = [1/4,3/4], /(*) = {(* + 1)/2}, если -^- <
<je^l (рис. 20.1). Отображение / п. н. св., но не п. н. сн., пос-
поскольку множество /~'~ (C/8,5/8)) = {1/2} замкнуто, что не согла-
согласуется с условием 3"~).
Пример 20.2. Положим X = Y = [0,1] с R и /(*) = [0,л:],
если 0<л:<1, /A) = 0 (рис. 20.2). Отображение / п. н. сн., но
не п. н. св., поскольку множество f~l~{[x, 1]) = [х, 1) не замкнуто
(если хФ 1), что не согласуется с условием 3+).
Объединение, пересечение и композиция п. н. сн. (п. н. св.)
многозначных отображений являются п. н. сн. (п. н. св.) много-
многозначными отображениями. Композиция же многозначных отобра-
отображений с замкнутыми значениями не всегда является многознач-
многозначным отображением с замкнутыми значениями, что вызывает заранее
видимые трудности.
Одним из наиболее интересных разделов топологии, помимо
самой сути общей топологии, является тот, в котором изучается,
как непрерывные отображения преобразуют множества опре-
определенных типов. Мы приведем сейчас два результата подоб-
подобного рода для случая полунепрерывных многозначных отобра-
отображений.
408

Теорема 20.9. Пусть X и Y — топологические простран-
пространства, С — связное множество в X. Если отображение f : X -*- 2>х —
п. н. сн. или п. н. св., то /у (С) — сеязное множество.
Мы не даем доказательства этого утверждения (см., например,
[677, с. 34]), а докажем следующее, наиболее важное для нас.
Теорема 20.10. Пусть X и Y — топологические простран-
пространства, Q — компактное множество в X. Если отображение f : X ->
-*- 2gg п. н. св., то множество /у (Q) компактно.
Доказательство. Пусть 0 — открытое покрытие мно-
множества /у (Q). Покажем, что из покрытия 0 можно выделить ко-
конечное подпокрытие. Пусть х 6 Q; поскольку множество / {х) ком-
компактно, существует конечное подсемейство Qb ..., Qm множеств из
YI
1'
3/4.
5/8
1/2
3/8
1/4
(
> 1/2
Рис.
20.1
1 X
к,
1'
1
А
^п1111 111! И11111И1
vi iiiiiiiimiJIIIIIMIIII
0
Рис. 20 2
Л
А
1 X
m
О, покрывающее это множество — положим Q(x) = \J
Семейство
{/ + (Q (jc)): jc 6 Q} является покрытием множества Q (полунепрерыв-
(полунепрерывность отображения / сверху гарантирует, что множества /~1+ (Q, (х))
открыты), поэтому, так как множество Q компактно, из этого се-
семейства можно выделить конечное подсемейство /~1+ (Q (^)), ...
...,f~l+(Q(xn)), которое также покрывает множество Q. Очевидно,
что семейство ^(Xj) &{xn) образует покрытие множества fY(Q),
которому соответствует конечное подсемейство множеств из О, пос-
mll\
тф
КОЛЬКу
П
Другим результатом (доказательство его: см., например, [203,
с. 1181), тесно свя?анным с предыдущим, является следующая тео-
теорема о фиксированном множестве.
Теорема 20.11. Если X — компактное топологическое про-
пространство, отображение f;X-+2^q п. н. св., то существует не-
непустое компактное множество QcrX такое, что fY{Q) — Q.-
Многозначные монотонные отображения. Мы уже упоминали
свойство монотонности многозначных отображений в гл. 3, в свя-
409

зи с понятием суб-дифференциала. Выдвигавшаяся тогда аргумен-
аргументация предполагала наличие линейной структуры, но ее можно
обобщить и на случай произвольных топологических пространств
с помощью следующего определения (см. также [677, с. 38 и 630,
с. 1291):
Определение 20.12. Пусть X и Y — топологические
пространства, и / : X -*- 2д. Отображение / называется монотон-
монотонным, если /-1- ({у}) — связное подмножество X для любого эле-
элемента у в Y.
В следующем пункте мы вернемся к вопросу о монотонности в
более подобающих рамках — в рамках упорядоченных структур.
Замкнутые многозначные отображения. Перейдем теперь к рас-
рассмотрению важного понятия замкнутых многозначных отображе-
отображений; мы остановимся на доказательстве утверждений, тем или
иным путем характеризующих это понятие.
Определение 20.13. Пусть X и Y—топологические про-
пространства, h/:X->-2>. Отображение / называется замкнутым,
если множество Gxy (/) замкнуто в X XY.
Теорема 20.12. Пусть X и Y — топологические простран-
пространства, }: X -*¦ 2д . Если X — пространство типа 7\, а отображе-
отображение f замкнуто, то множество f{x) замкнуто в Y для любого
Х.
Доказательство. Достаточно заметить, что /(х) = Gvy(/)f)
МхУ). а
Теорема 20.13. Пусть X и Y — топологические простран-
пространства. Отображение /: X ->¦ 2д замкнуто в том и только в том
случае, если
0l B0.22)
где U(x0) и У(Уо) — открытые множества соответственно в X
и в Y.
Доказательство. Из условия B0.22), означающего, что точка
(Хо'Уо) находится «далеко» от графика отображения /, отнесенного
к XxY, получаем: U(x0)xcl/(y0)(=XxY\GXY(f), поэтому мно-
множество GXY (/) замкнуто, поскольку его дополнение открыто (дейст-
(действительно, если мы берем точку (хо,уц) из множества XxY\Gxy(f),
то условие B0.22) гарантирует существование открытой окрестности
U (х0) х It (г/о) точки (х0, г/0), содержащейся в этом множестве).
Обратное можно доказать аналогичным образом. D
Теорема 20.14. Пусть X uY — топологические пространства.
Если отображение f: X ->- 2 и замкнуто, то
(хп-+х0, уп-+у0 и Vnynef(xn))=>yo?f(xo).
Доказательство. Этот результат, который можно ин-
интерпретировать как утверждение, что замкнутые многозначные
410

отображения замкнуты в смысле последовательностей, следует из
того, что (хп,уп)-+(хо,у0), из того, что (хп, уп) 6 G ^ (/) и из того,
что множество G^ (/) замкнуто. П
Теорема 20.15. Пусть X и Y — компактные хаусдорфовы
топологические пространства. Тогда отображение f: X -*• 2,е
п. н. св. в том и только в том случае, если оно замкнуто.
Доказательство. Покажем сначала, что из п. н. св.
следует замкнутость, заметив также, что это справедливо и в слу-
случае, когда X — произвольное топологическое пространство, а
Y — просто регулярное топологическое пространство*).
Пусть теперь х0 ? X, а у0 ? У причем у0 (? f (x0). Поскольку
пространство Y регулярно, существуют открытые множества Т гэ
=> f (*о) и Vd/o) ЭУо такие, что Т П Viilo) = 0- Согласно усло-
условию 5+) существует открытое множество U (х0) Э х0 такое, что
х 6 U (х0) =$*f{x)c: Т. Окрестности U (х0) и *у (у0) удовлетворяют
условиям теоремы 20.13 (поскольку если х g U (х0), то / (х) cz T,
и поэтому / (х) П V (Уо) = 0)- Таким образом, отображение /
замкнуто. Покажем теперь, что из замкнутости следует п. н. св.,
воспользовавшись приемом доказательства от противного. Если
отображение / не п. н. св., то (отрицание условия 5+)) существуют
точка х ? X и открытое множество V гэ / (х) такие, что VU ^ х
(U открыто) /у (U) ф V. Рассмотрим теперь семейство множеств
Аи = Gxy if) П Ф X (У\Ю). где множество U открыто в X.
Если мы покажем, что существует точка (s, f) ? f) Аи, то доказа-
и
тельство теоремы будет завершено, поскольку в этом случае долж-
должно быть s = х (П U = {х}, так как X — хаусдорфово пространст-
пространство) и 16 / (х), так как (х, f) 6 Gxy if)- Поскольку tQ V (имеем
(x,t) g UX(Y\ V)), то f (х)фУ, т. е. получено противоречие. Не-
Неравенство П Аи Ф 0 следует из того, что семейство Аи компакт-
и
но (так как множества Gxy (f), V и K\V замкнуты, а X X К —
компактное хаусдорфово пространство), непусто (если /у {U) ф V,
то существуют точки х 6 U и у 6 / (х) такие, что у$ V, и, таким об-
образом, х 6 U и у е (Y\V), поэтому (х, у) 6 Vх (Y\V), далее, у 6 / {х),
поэтому (x,y)?GxY(f)) и из того, что семейство {Аи}(] обладает
свойством конечных пересечений, поскольку
П ...
Замечание 20.1. Если X и К — компактные метричес-
метрические пространства, то теорема 20.15 (о замкнутом графе) позволяет
*) Напомним, что топологическое пространство Y называется регулярным,
если для любой точки у б Y и любого множества А 3 у существуют два таких
открытых множества U Э У и 7эД, что U П V = 0; заметим также, что ком-
компактные хаусдорфовы пространства регулярны — см., например, [38].
411

выразить понятие п. н. св. в терминах сходимости последователь-
последовательностей:
если отображение / п. н. св. и хп -*• х, то для любой
последовательности уп -*• у, где уп 6 f (хп), имеем: у ? / (х) B0.23)
В общем случае утверждению B0.23) можно, естественно, дать ин-
интерпретацию в терминах сходимости фильтров или сетей.
Замечание 20.2. В условиях предыдущего замечания по-
понятие п. н. сн. также можно сформулировать в терминах сходимости
последовательностей:
если отображение /п. н. сн. и хп -*• х, то для любого у 6 / (х)
существует последовательность уп -*- у, где уп ? f (xn). B0.24)
Чтобы доказать B0.24), воспользуемся приемом доказательства от
противного. Предположим, что отображение / п. н. сн., хп -*¦ х,
у ? f (х) и что не существует последовательности уп ? / (хп), сходя-
сходящейся к у. Пусть, с другой стороны, Л с У — открытое множест-
множество, такое, что у ? А и / (х) П А Ф 0. Из условия 5~) (теорема 20.8)
имеем, что существует открытое множество В с X такое, что х ? В,
и, для любого 2gfi /B) П А Ф 0, откуда, в свою очередь, сле-
следует, что мы можем выбрать точку уп близко к у в / (хп), что явля-
является противоречием.
О замечаниях 20.1 и 20.2 см. также [597, 598, 601, 478].
20.3. Отношение порядка в пространстве 2VB,-
Введем сначала следующее определение.
Определение 20.14. Пусть {X, ^> и {Y, ^) — упоря-
упорядоченные множества. Отображение / : X -*¦ 2^ называется моно-
монотонным, если /""'- ({у}) — замкнутый интервал в X для любой точ-
точки у € Y.
Отображения /„: X -v 2,г (h — 1,2, 3, 4), представленные на
рис. 20.3 — 20.6 их графиками, сведенными к X х Y, монотонны
в смысле определения 20.14.
Здесь естественным образом возникают два вопроса, первый из
которых касается характеристики многозначных монотонных отоб-
отображений более наглядным образом, а второй — задания в прост-
пространстве 2Yui отношения порядка, по отношению к которому будет
рассматриваться понятие монотонности (в действительности, как
мы увидим, необходимы два отношения порядка). Остановимся сна-
сначала на первом вопросе. Для этого нам понадобятся следующие
обозначения.
Определение 20.15. Пусть (X,<) и (К,<)— упорядочен-
упорядоченные множества, и f:X^-2^t. Отображение о+: X-*-Y (ar.X-*-Y),
д д
определяемое тождеством oj- (х) = max / (х) (аг (х) = min / (x)) назы-
называется верхней селекцией (нижней селекцией) отображения f.
412

Из определения видно, что Ух 6 X ау (х) ^ af (х) и что, если
:Vx ? Хат (х) = о+ (х), то отображение / однозначно. Легко доказать
следующую теорему.
Теорема 20.16. Пусть (X, <> и (У, <> — упорядочен-
упорядоченные множества, и f : X -*¦ 2^;. Отображение f монотонно в смысле
определения 20.14 в^том и только в том случае, если отображения
af и of монотонны в обычном смысле.
Рис. 20.3
Рис. 20.4
Рис. 20.5
Рис. 20.6
Этот результат, дающий желаемую наглядную характеристику
понятия монотонности многозначного отображения, показывает,
что, в сущности, каждое многозначное отображение, монотонное
в смысле определения 20.14, является отображением одного из
четырех типов, изображенных на рис. 20.3—20.6. Другим возмож-
возможным применением данного результата является разбиение класса
монотонных многозначных отображений в соответствии с характе-
характеристиками селекции на возрастающие, неубывающие и т. п.
Перейдем теперь ко второму вопросу. Имея упорядоченное мно-
множество (У,^>, введем на множестве 2^- отношения р+, р+, р_и р—,
определяемые следующим образом:
[Ор Ьг] р+ [а2, bt]«-» ах < о,, B0.25)
B0.26)
B0.27)
b2 < bv B0.28)
413

Эти отношения рефлексивны и транзитивны, но они не явля-
являются отношениями порядка; однако, отправляясь от них, мы мо-
можем определить отношения порядка, которые нам нужны. Отметим,
что, если ^ и ^ — отношения порядка, то отношение (^ и ^)
12 12
является отношением порядка, а отношение (^ или ^), вообще
1 2
говоря, не является таковым (чтобы убедиться в этом, достаточно
положить ^ = ^).
2 1
Определение 20.16. Пусть {Y, <!} — упорядоченное
множество. Следующие формулы задают на множестве 2« отноше-
отношения порядка ^ и с:
[alt fej < [а2, Ь2] ** ([ар Ьх] р+ [о,, Ь2] и [ах, bj р+ [а2, 6„]), B0.29)
[avbx]cz[a2, Ь2]*=>([а1,Ь1]р+[а2,Ь2] и [av bx] p~~ [a2, b2]). B0.30)
Мы предлагаем читателю проверить, что отношения ^ и с дей-
действительно являются отношениями порядка, а также что ^ <^
(р~ и р_) и :d?> (p+ и р_) (заметим, что отношение порядка с: в
действительности является включением множеств, поэтому исполь-
использование такого символа оправдано).
Мы можем теперь говорить о ^-монотонных многозначных отоб-
отображениях, =э-невозрастающих многозначных отображениях и т. д.
Легко доказать теперь следующую теорему.
Теорема 20.17. Пусть (X, г^) и (Y, ^ — упорядочен-
упорядоченные множества. Отображение f : X -*¦ 2щ( монотонно в смысле
определения 20.14 в том и только в том случае, если оно ^-моно-
^-монотонно или а-монотонно.
В заключение заметим, что если отображение /, например,
^.-невозрастающее, то а+ и о~ не возрастают, и обратно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Авербух В. И., Смолянов О. Г. Различные определения про-
производной в линейных топологических пространствах//УМН.— 1968.—
Т. XXIII, вып. 4.—С. 67— 116.
2. Агмон С, Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи грани-
границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих
граничных условиях. I. — М.: ИЛ, 1962.
З.Александров П. С. Комбинаторная топология.—М.: Гостехиздат,
1947.
4. А р а в и и В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и
газов в недеформнруемой пористой среде.— М. : Гос. изд. техн.-теорет. лит.,
1953.
Б. Байокки К.. Маджеиес Э. О задачах со свободной границей,
связанных с течением жидкости через пористые материалы // УМН.— 1974.—
Т. XXIX, вып. 2.—С. 50—69.
6. Б е и с у с а н А., Лионе Ж.—Л. О некоторых вопросах, связанных с
оптимальным управлением//УМН.— 1974,—Т. 29, № 2.—С. 77—85.
7. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям само-
самосопряженных операторов.— Киев : Наукова думка, 1965.
8. Б е с о в О. В. Исследование одного семейства функциональных про-
пространств в связи с теоремами вложения и продолжения.— Труды мат. ии-та
им. В. А. Стеклова, 1961.— Т. 60.— С. 42—81.
9. Биркгофф Г. Теория решеток.— М. : Наука, 1984.
10. Б у р б а к и Н. Начало математики. Ч. I. Основные структуры анализа.
Ки. I. Теория множеств.— М. : Мир, 1965.
11. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры.— М. : Физмат-
гиз, 1958.
12. Бурбаки Н. Общая топология. Числа и связанные с ними группы и про-
пространства.— М. : Физматгиз, 1959.
13. Б у р б а к н Н. Топологические векторные пространства.— М. : ИЛ,
1959.
14. Б у р е н к о в В. И. Теоремы вложения и продолжения для классов диф-
дифференцируемых функций многих переменных, заданных во всем простран-
пространстве // Итоги науки. Математический анализ. 1965.— М. : ВИНИТИ, 1966.—
С. 71—155.
15. В а й н б е р г М. М. Вариационный метод и метод монотонных операто-
операторов в теории нелинейных уравнений.— М. : Наука, 1972.
16. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функцио-
функциональными уравнениями.— М. : Наука, 1977.
17. В е к у а И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений.— М.—
Л.: Гостехиздат, 1948.
18. В и ш и к М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных
уравнений. // Матем. сборник.— 1951.— Т. 29, § 3.— С. 615—676.
19. В о л е в и ч Л. Р., П а н е я х Б. П. Некоторые пространства обобщен-
обобщенных функций и теоремы вложения//УМН.—1965.—Т. XX, вып. I.—
С. 3—74.
20. ГельфаидИ. М., Вилеикии Н. Я. Некоторые применения гар-
гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства.— М. : Физ-
Физматгиз, 1961.
415

21. Гельфанд И. М., Граев М. И., Вилеикин Н. Я. Инте-
Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений.—
М.: Физматгиз, 1962.
22. Ге л ьф а и д И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории диффе-
дифференциальных уравнений.— М. : Физматгиз, 1958.
23. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия
над ними.— М. : Физматгиз, 1958.
24. Г е л ь ф а и д И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обоб-
обобщенных функций.— М. : Физматгиз, 1958.
25. Г лови иски Р., Лионе Ж.—Л., Тремольер Р. Численное
решение вариационных неравенств.— М.: Мир, 1979.
26. Г у р е в и ч В., Во л мэи Г. Теория размерности.— М. : Гос. изд.
иностр. лит-ры, 1948.
27. Д а н ф о р д Н., Шварц Дж. Линейные операторы. I. Общая теория.—
М. : ИЛ, 1962.
28. Д а н ф о р д Н., Шварц Д ж. Линейные операторы. П. Спектральная
теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.— М.:
Мир, 1966.
29. Данциг Дж. Б. Линейное программирование и его применения и об-
обобщения.— М. : Прогресс, 1966.
30. Дьедонне Ж. Основы современного анализа.— М. : Мир, 1964.
31. Дэй М. М. Нормированные линейные пространства.— М. : ИЛ, 1961.
32. Д ю в о Г., Лионе Ж-— Л. Неравенства в механике и физике.— М .:
Наука, 1980.
33. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных произ-
производных физики.— М. : ИЛ, 1950.
34. И л ь и и В. П. Свойства некоторых классов дифференцируемых функций
многих переменных, заданных в n-мерной области.— Труды матем. ии-та
им. В. А. Стеклова, 1962.— Т. 66.—С. 227—363.
35. И о с и д а К. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1967.
36. Иоффе А. Д., Левин В. Л. Субдифференциалы выпуклых функ-
функций.— Труды Моск. матем. общества, 1972.— Т. 26.— С. 3—73.
37. К а т о Т. Теория возмущений линейных операторов. — М. : Мир,
1972.
38. К е л л и Дж. Общая топология.— М. : Наука, 1981.
39. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные
неравенства и их приложения.— М. : Мир, 1983.
40. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа. Курс лекций. Вып. I. Метрические и нормирован-
нормированные пространства.— М. : Изд-во МГУ, 1954.
41. К о л м о г о р о в А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа: Курс лекций. Вып. 2. Мера, интеграл Лебега,
гильбертово пространство.— М. : Изд-во МГУ, 1960.
42. К у р а н т Р., Методы математической физики. Т.1.3-еизд, испр.— М.—
Л. : Гостехиздат, 1951.
43. К у р а и т Р., Г и л ь б е р т Д. Методы математической физики. Т. 2.—
М.—Л.: Гостехиздат, 1951.
44. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математиче-
математической физики.— Новосибирск: Изд-во Сиб. отд. АН СССР, 1962.
45. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квази-
квазилинейные уравнения эллиптического типа.— М. : Наука, 1964.
46. Лионе Ж-—Л. Некоторые методы решения нелинейных краеиых за-
задач.— М. : Мир, 1972.
47. Лионе Ж.—Л. Об оптимальном управлении распределенными систе-
системами // УМН.— 1973.— Т. XXVIII, вып. 4.— С. 15-46.
48. Лионе Ж-— Л. Оптимальное уравнение системами, описываемыми урав-
уравнениями с частными производными.— М. : Мир, 1972.
49. Лионе Ж.—Л., Мадж ей ее Э. Неоднородные граничные задачи и их
приложения.— М. : Мир, 1971.
50. Лопатииский Я. Б. Об одном способе приведения граничных за-
задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регу-
416

лярным интегральным уравнениям.— Украинский матем. журнал.— 1953.—
Т. V,№2.—С. 123—151.
51. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.— М., Мир,
1977.
52. М и р а н д а К. Уравнения с частными производными эллиптического ти-
типа.—М. : ИЛ, 1957.
53. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллип-
эллиптических систем уравнений: Лекции. Ч. I.— Новосибирск: Изд-во гос.
ун-та, 1968.
54. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллип-
эллиптических систем уравнений. Лекции. Ч. II.— Новосибирск: Изд-во ун-та,
1969.
55. Нарасимхаи Р. Анализ на действительных и комплексных много-
многообразиях.— М. : Мир, 1971.
56. Н и к о л ь с к и й С. М. О теоремах вложения, продолжения и прибли-
приближения дифференцируемых функций многих переменных.— Успехи мат.
наук, 1961, т. XVI, вып. 5, с. 63—114.
57. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и
теоремы вложения.— М. : Наука, 1969.
58. О б э н Ж.—П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.—
М. : Мир, 1977.
59. Олейиик О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с
неотрицательной характеристической формой.— В кн.: «Итоги науки. Мате-
Математический анализ. 1969.» —М. : ВИНИТИ, 1971.
60. О р т е г а Д., Рейиболдт В. Итерационные методы решения нели-
нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.— М. : Мир, 1975.
61. Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с посто-
постоянными коэффициентами.— М. : Наука, 1967.
62. Полубарииова-Кочииа П. Я. Теория движения грунтовых
вод.— М. : Наука, 1977.
63. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному
анализу.— М. : Мир, 1979.
64. Р о к а ф е л л а р Р. Т. Выпуклый анализ.— М. : Мир, 1973.
65. Р у д и н У. Функциональный анализ.— М. : Мир, 1975.
66. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний.—
М. : Мир, 1984.
67. С л о б о д е ц к и й Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их
приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в част-
частных производных.— Ученые записки Ленинградск. гос. пед. ии-та
им. А. И. Герцена, физ.-мат. факультет, 1958.— Т. 197.— С. 54—112.
68. С м и р и о в М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных
второго порядка.— М. : Наука, 1964.
69. Смирнов Ю. М. О пространствах близости.— Матем. сборник, 1952.—
Т. 31, №3.— С. 543—574.
70. С о б о л е в С. Л. Некоторые применения функционального анализа в
математической физике.— Л.: Изд-во Леииигр. гос. уи-та им. А. А. Жда-
Жданова, 1950.
71. Соболев С. Л. Об одной теореме функционального анализа.— Матем.
сборник, 1938.—^Т. 4, № 3.— С. 471 —497.
72. С о б о л е в С. Л., Никольский С. М. Теоремы вложения.—
В ки.: «Труды Четвертого Всесоюзного математического съезда. Ленинград,
3—12 июля 1961 г, Т. I.»,—Л. : Изд-во Акад. иаук, 1963.—С. 227—242.
73. С п и в а к М. Математический анализ на многообразиях.— М. : Мир,
1968.
74. Стампаккьи Г. О фильтрации жидкости через пористую среду с пере-
переменным поперечным сечением// УМН.— 1974.— Т. XXIX, вып. 4.— С. 89—
101.
75. С т е й н И. М., В е й с Г. Введение в гармонический анализ иа евклидо-
евклидовых пространствах.— М. :Мир, 1974.
76. С ь я р л е Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.— М. :
Мир, 1980.
27 К. Байокки, А. Капело 417

77. Т о д д М. Дж. Вычисление неподвижных точек и приложения к эконо-
экономике.— М. : Наука, 1983.
78. Т р и б е л ь X, Теория интерполя 1.чи, функциональные пространства,
дифференциальные операторы.— М. : Мир, 1980.
79. У и т т е к е р Э. Т., В а т с о н Дж. Н. Курс современного анализа.
Ч. I. Основные операции анализа.— М.: Физматгиз, 1962.
80. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа.
Ч. II. Трансцендентные функции.— М. : Физматгиз, 1963.
81. Успенский С. В. О теоремах вложения для весовых классов.— Труды
матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1961.— Т. 60.— С. 283—303.
82. Успенский С. В. О теоремах вложения для обобщенных классов
Wrp Соболева // Сиб. матем. журнал.— 1962.— Т. III, № 3.— С 418— 445.
83. Ф и н н Р. Явления капиллярности // УМН. — 1974.— Т. XXIX, вып. 4.—
С. 131—152.
84. Фон Нейман Д ж., Моргенштерн О. Теория игр и экономи-
экономическое поведение.— М.; Наука, 1970.
85. X а л м о ш П. Р. Конечномерные векторные пространства.— М. : Физ-
Физматгиз, 1963.
86. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частны-
частными производными.— М. : Мир, 1965.
87. Ш а п и р о 3. Я. Об общих краевых задачах для уравнений эллиптиче-
эллиптического типа // Изв. АН СССР. Математика.— 1953.— Т. 17, № 5.— с. 539—
562.
88. Шефе р X. Топологические векторные пространства.— М.: Мнр, 1971.
89. Э д в а р д с Р. Э. Функциональный анализ. Теория и приложения.—
М., Мир, 1969.
90. Э к л а н д И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.—
М. : Мир, 1979.
91. A d a m s R. A975). Sobolev Spaces, Academic Press, New York.
92. Adams R., A r о n z a j n N. and S m i t h К. Т. A967). Theory of
Bessel potentials, II. Ann. Inst. Fourier, 17 B), 1—135.
93. A g m о n S. A959). The Lp approach to the Dirichlet problem, Ann. Scuola
Norm. Sup. Pisa, C) 13, 405—448.
94. A g m о n S. A960). Maximum theorems for solutions of higher order elliptic
equations. Bull. Amer. Math. Soc, 66, 77—80.
95. A g m о n S. A965). Lectures on Elliptic Boundary Value Problems. D. Van
Nostrand, Princeton.
96. A g m о n S., D о u g 1 i s A. and N 1 r e n b e г g L. A964). Estimates
near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satis-
satisfying general boundary conditions, II. Comm. Pure Appl. Math., 17, 35—92.
97. A 1 а о g 1 u L. A940). Weak topologies of normed linear spaces. Ann. Math.,
B) 41, 252—267.
98. Alexander J. W. A922). On transformations with invariant points.
Irans. Amer. Math. Soc, 23, 89—95.
99. Aliprantis С andBurkinshaw O. A978). Locally Solid Riesz
Spaces. Academic Press, New York.
100. Allen G. A977). Variational inequalities, complementarity problems,
and duality theorems. J. Math. Anal. Appl., 58, 1—10.
101. A 1 t H. W. A977a). A free boundary problem associated with the flow of
ground water. Arch. Rational Mech. Anal., 64, 111—126.
102. Alt H. W. A977 b). The fluid flow through porous media. Regularity of
the free surface. Manuscripta Math., 21, 255—272.
103. Alt H. W. A979). Stromungen durch inhomogene porose Medien mit fre-
iem Rand. J. Reine and. Math., 305, 89—115.
104. Alt H. W. A980). A new numerical method for solving the dam problem.
In Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. 1, p. 89—108, Proc. Sem.
(Pavia, 1979), Istituto Nazionalle di Alta Matematica, Roma.
105. A 11 H. W.. С a f f a r e 1 1 i L. A. and F r i e d m a n A. A982a). Axl-
ally symmetric jet flows. To appear in Arch. Rational Mech. Anal.
418

106. A 11 H. W., С a f f a r e 11 i L. A. and F r i e d m a n A. A982b). Asy-
Asymmetric jet flows. Comm. Pure Appl. Math., 35, 29—68.
107. A 11 H. W., С a f f a r e 11 i L. A. and F r i e d m a n A. A982 c).
Jet flows with gravity. J. Reine Angew. Math., 331, 58—103.
108. A 11 H. W. and G i 1 a r d i G. A981). The behaviour of the free—bounda-
free—boundary for the dam problem. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, D)9, 571—625.
109. A 11 H. W. and G i 1 a r d i G. A982). The free-boundary In the dam prob-
problem. To appear in Proc. Symp. Free Boundary Problems: Theory and Applica-
Applications (Montecatini Terme, 1981) (eds. A. Fasano andM. Promicerio).
110. A m a n n H. A977). Ordered structures and fixed points. In SAFA 2, p. 1—61,
Atti 2°. Sem. Analisl Funzionale e Applicazionl (Arcavacata di Rende, 1977),
University del la Calabria, Cosenza.
111. Amerio L. A978). Continuous solutions of the problem of a string vib-
vibrating against an obstacle. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 59,
67—96.
112. Amerio L. and P г о u s e G. A975). Study of the motion of a string
vibrating against an obstacle. Rend, di Mat., F) 8, 563—585.
113. A m i с к С. A978). Some remarks on Rellich's theorem and the Poincare ine-
inequality. J. London Math. Soc., B) 18, 81—93.
114. A mi rat Y. and A t i к Y. A978). Approximation numerique d'un prob-
leme a frondiere libre. С R. Ac. Sci. Paris, 286, 203—206.
115. An con a A. A976). Continuity des contractions dans les espaces de Dl-
richlet. С R. Ac. Sci. Paris, 282, 871—873.
116. Anderson R. and F r i e d m a n A. A977). A quality control prob-
problem and quasi-variational inequalities. Arch. Rational Mech. Anal., 63, 205—
252.
117. Anderson R. and F r i e d m a n A. A978) Multi-dimensional quali-
quality control problems and quasi—variational inequalities. Trans. Amer. Math.
Soc., 246, 31—76.
118. A n t о s i e w i с z H. A. A977). Fixed point theorems and ordinary dif-
differential equations. In Studies in Ordinary Differential Equations (ed. J. Hale),
p. 169—200, Mathematical Association of America.
119. A r о n sz a j n N. and S m i t h К. Т. A961). Theory of Bessel potentials,
I. Ann. Inst. Fourier, 11, 385—475.
120. A u b i n J.—P. A977). Applied Analysis. Wiley, New York.
121. Aubin J.—P. A979a). Applied Functional Analysis. Wiley, New York.
122. Aubin J.—P. A979b). Mathematical Methods of Game and Economic
Theory. North—Holland, Amsterdam.
123. Au si an d er L. and M с К e n z i e R. E. A963). Introduction to
Differentiabbe Manifolds. McGraw — Hill, New York.
124. Avantaggiati A. A976). Spazi di Sobolev con peso ed alcune applica-
zioni. Boll. U. Mat. Hal., EI3—A, 1—52.
125. В a i о с с h i С. A966). Sul problema misto per l'equazione parabolica del
tipo del calore. Rend. Sem. Mat. Padova, 36, 80—121.
126. В a i о с с h i С. A971). Sur un probleme a frontiere libre traduisant le filt-
rage de liquides a travers des miliex poreux. С R. Ac. Sci. Paris, 273,
1215—1217.
127. В a i о с с h i С. A972). Su un problema di frontiera libera connesso a ques-
tioni de idraulica. Ann. Mat. Рига Appl., D)92, 107—127.
128. В a i о с с h i С. A973 a). Sur quelques problemes a frontiere libre. Asterisque,
2-3, 69-85.
129. В a i о с с h i С. A973b). About some boundary problems connected with
hydraulics. In Proc. 5th IFIP Conf. on Optimization Techniques (Rome. 1973)
(eds. R. Conti and A. Ruberti), part 1, p. 137—140, Lecture Notes in Computer
Science, 3, Springer, Berlin.
130. В a i о с с h i С. A973 с). Su alcuni problemi di frontiera libera connessi a ques-
tioni di idraulica. Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, 31, 69—80.
131. В a i о с с h i С. A947a). Problemes a frontiere libre en hydraulique. С R.
Ac. Sci. Paris, 278, 1201—1204.
132. В a i о с с h i С. A974b). Problemi di frontiera libera e disequazioni quasl-
variazionali. In Atti Giorn. Analisi Convessa e Applicazioni (Roma, 1974),
27* 419

p. 11—20, Quad. Gruppi Ric. Mat. C. N. R., Universita di Roma,
Roma.
133. В a i о с с h i С. A974c). Une nouvelle methode d'analyse numerique des
problemes de filtration dans les materiaux poreux. In Proc. Intern. Symp.
Computing Methods in Applied Sciences and Engineering (Versailles, 1973)
(eds. R. Glowinski and J. L. Lions), part 1, p. 410—415, Lecture Notes in Com-
Computer Science, 10, Springer, Berlin.
134. В a i о с с h i С. A974d). Sui problemi di frontiera libera nel moto dei fluidi
attraverso i materiali porosi. In Proc. Intern. Symp. Discrete Methods in En-
Engineering (Segrate, 1974), p. 490—500, Etas Libri, Milano.
Кб. В a i о с с h i С. A974e). Problemes a frontiere libre lies a questions d'hydrau-
lique. In New Variational Techniques in Mathematical Physics (eds. G. Capriz
and G. Stampacchia), p. 1—25, Proc. C. I. M. E. (Bressanone, 1973), Cremone-
se, Roma.
136. В a i о с с h i С. A975 a). Free boundary problems in the theory of fluid flow
through porous media. In Proc. International Congresses of Mathematicians
(Vancouver, 1974) (ed. R. D. James), vol. 2, p. 237—243, Canadian Mathema-
Mathematical Congress, Vancouver.
137. В a i о с с h i С. A975b). Studio di un problema quasi—variazionale connesso
a problemi di frontiera libera. Boll. U. Mat. Hal., DI1, (suppl. fasc. 3), 589—
613.
138. В a i о с с h i С. A975 с). Movimiento de un fluido en medios porosos. Enfo-
que variacional, cuasi variacional у numerico. Cuadernos Inst. Mat. «Beppo
Levi», 8, Universidad de Rosario, Rosario.
139; В a i о с с h i С. A976а). Inequations quasi—variationnelles dans les prob-
problemes a frontiere libre en hydraulique. In Applications of Methods of Functional
Analysis to Problems in Mechanics (eds. P. Germain and B. Nayroles), p. 1—7,
Proc. Joint Symp. ШТАМ/IMU (Marseille, 1975), Lecture Notes in Mathema-
Mathematics, 503, Springer, Berlin.
140. В a i о с с h i С. A976b). Problemes a frontiere libre et inequations variatio-
variationnelles. С R. Ac. Sci. Paris, 283, 29—32.
14). Baiocchi С A977). Estimations d'erreur dans L pour les inequations a
obstacle; In Proc. Conf. Mathematical Aspects of Finite Element Methods
(Rome, 1975) (eds. I. Galligani and E. Magenes), p. 27—34, Lecture Notes in
Mathematics, 606, Springer, Berlin.
142. Baiocchi С A978). Problemes a frontiere libre en hydraulique: milieux
non homogenes. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, D) 5, 429—453.
143. В a i о с с h i С. A979). Recent results on free boundary problems in flow
through porous media. In Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non —
Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi. E. Magenes, and U. Mosco),
p. 3—12, Pitagora, Bologna.
144. Baiocchi С. A980а). Variational inequalities and free-boundary prob-
problems. In Variational Inequalities and Complementarity Problems (eds.
R. W. Cottle, F. Giannessi, and J. L. Lions), p. 25—33, Wiley, Chiche-
ster.
145. В a i о с с h i С. A980b). Free boundary problems in fluid flow through
porous media and variational inequalities. In Free Boundary Problems (ed.
E. Magenes), vol. 1, p. 175—191, Proc-Sem. (Pavia, 1979), Instituto di Alta
Matematica, Roma.
146. Baiocchi С A981a). Disequazioni variazionali. Boll. U. Mat. Hal.,
EI8—A, 173—187.
147. Baiocchi С A981b). Free boundary problems and variational ine-
inequalities. Publ. Laboratorio di Analisi Numerica CNR, 186, Pavia.
148. Baiocchi С, В r e z z i F. and С о m i n с i о 1 i V. A978). Free boun-
boundary problems in fluid flow through porous media. In Finite Elements in Flu-
Fluids, Volume 3 (eds. R. Gallgher, O. Zienkiewicz, J. Oden, M. Cecchi, and C.
Taylor), p. 283—291, Wiley, Chichester.
149. В a i о с с h i С, С о m i n с i о 1 i V., G u e r r i L. and V о 1 p i G-
A973). Free boundary problems in the theory of fluid flow through porous
media: a numerical approach. Calcolo, 10, 1—86.
420

150. Baiocchi С, Comincioll V., Magenes E. andPozziG. A.
A973). Free boundary problems in the theory of fluid flow through porous me-
media: existence and uniqueness theorems. Ann. Mat. Рига Appl., D)97, 1—82.
151. Baiocchi С, С о m i n с i о 1 i V., Magenes E. and P о z z i G. A.
A976). Fluid Flow through porous media: a new theoretical and numerical app-
approach. In Mathematical and Numerical Methods in Fluid Dynamics, p. 395—
447, Proc. Intern. Autumn Course(Trieste, 1973), Intern. Centre for Theoretical
Physics, Trieste.
152. В a ifo с с h i С, С о m i с i о 1 i V. and M a i о n e U. A975). Unconfined
flow through porous media. Meccanica—J. Ital. Assoc. Theoret. Appl. Mech.,
10, 151-155.
153. Baiocchi С., С о m i с i о 1 i V. and Maione U. A977). A mathe-
mathematical investigation of salt-water intrusion into a coastal aquifer. Proc
Symp. Hydrodunamic Diffusion an Dispersion in Porous Media (Pavia, 1977),
p. 315—326, Istituto di Idraulica dell'Universita di Pavia, Pavia.
154. Baiocchi C, Evans L., Frank L. and Friedman A.
A980). Uniqueness for two immiscible fluids in a one—dimensional porous
medium. J. biff. Eq., 36, 249—256.
155. Baiocchi C. and Friedman A. A977). A filtration problem in a po-
porous medium with variable permeability. Ann. Mat. Рига Appl., DI14, 377—
393.
156. Baiocchi C, and Magenes E. A975). Problemi di frontire libera
in idraulica. Atti Convegno Intern. Metodi Valutativi nella Fisica— Matema-
tica (Roma, 1972), p. 395—421, Academia Nazionale dei Lincei, Roma, 1975.
157. Baiocchi C., and M a i о n e U. A972). Un nuovo metodo per lo sta-
dio dei moti filtranti a superficie libera. Atti XIII Convegno Idralica eCost-
ruzioni Idrauliche (Milano, 1972), p. 401—410, Milano.
158. В a n а с h S. A922). Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur
application aux equations integrates. Fum. Math., 3, 133—181.
159. Banks H. Т.. and Jacobs M. Q. A970). A differential calculus for
multifunctions. J. Math. Anal. Appl., 29, 246—272.
160. В a r s о 11 i I. A968). Appunti di Algebra. Zanichelli, Bologna.
161. Bear J. A972). Dynamics of Fluids in Porous Media. American Elsevier,
New York.
162. Bear J. A979). Hydraulics of Groundwater. McGraw — Hill, New Yo*.
163. Bear J. A980a). On the derivation of macroscopic description of tran-
transport phenomena in porous media by local volume averaging. In Free Boundary
Problems (ed. E. Magenes), vol. 1, p. 9—30, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto
Nazionale di Alta Matematica, Roma.
164. Bear J. A980b). Hydrodynamic dispersion an the movement and accu-
accumulation of pollutants in aquifers. Free Boundary Problems (ed. E. Magenes),
vol. 1, p. 33—54, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Matema-
Matematica, Roma.
165. В e g i s D. and G 1 о w i n s к i R. A975). Application de la methode des
; elements finis a l'approximation d'un probleme de domaine optimal. Metho-
des de resolution des problemes approches. Appl. Math. Optim., 2, 130—169.
166. Beirao daVeiga H. A969). Sulla holderianita delle soluzioni di alcune
disequazioni variazionali con condizioni unilatere sul bordo. Ann. Mat. Рига
Appl., D)83, 73—112.
167. В en с i V. A973). Su un problema di filtrazione in un mezzo poroso non
omogeneo, Rend. Ac. Naz. Lincei, (8M4, 10—15.
168. Benci V. A974). On a filtration problem through a porous medium. Рига
Appl., DI00, 191—209.
169. Bensoussan A. A974a). Points de Nash dans le cas de fonctionelks
quadratiques et jeux differentiels Hneaires a N personnes. SIAM J. Control,
12, 460-499.
170. Bensoussan A. A974 b). Teoria moderna de control optimo. Cuademo»
Inst. Mat. «Beppo Levb, 7, Universidad de Rosario, Rosario.
171. Bensoussan A. A974c). Inequations quasi-variationnelles et control*
impulsionnel. Atti Giorn. Analisi Convessa e Applicazioni (Roma, 1974), p. 21—
26, Quad. Gruppi Ric. Mat. С N. R., Universita di Roma, Roma.
421

172 Bensoussan A. A975). Contr61e impulsionnel et inequations quasi va-
riationneiles. In Proc. International Congresses of Mathematicians (Vancou-
(Vancouver, 1974) (ed. R. D. James), vol. 2, p. 329—334, Canadian Mathematical Con-
Congress, Vancouver.
173. Bensoussan A. A976). Variational inequalities and optimal stopping
time problems. Calculus of Variations and Control Theory (ed. D. L. Russel),
p. 219—244, Proc. Symp. (Madison, 1975), Academic Press, New York.
174. Bensoussan A., Brezis H. and Friedman A. A977). Esti-
Estimates on the free boundary for quasi-variational inequalities. Comm. Partial
Diff. Eq., 2,297—321.
175. Bensoussan A. and Friedman A. A978). On the support of the
solution of a system of quasi-variational inequalities. J. Math. Anal. Appl.,
65, 660—670.
176. Bensoussan A., Goursat M. and Lions J. L. A973). Contr6-
le impulsionnel et inequations quasi-variationnelles stationnaires. C. R. Ac.
Sci. Paris, 276, 1279—1284.
177. Bensoussan A. and Lions J. L. A973a). Nouvelle formulation
de problemes de contrdle impulsionnel et applications. C. R. Ac. Sci. Paris, 276,
1189—1192.
178. Bensoussan A. and Lions J. L. A973b). Controle impulsionnel
et inequations quasi — variationnelles d'evolution. С R. Ac. Sci. Paris, 276,
1333—1338.
179. Bensoussan A. and L i о n s J. L. A973 c). Inequations variationnel-
variationnelles non lineares du premier et du second ordre. С R. Ac. Sci. Paris, 276, 1411—
1415.
180. В en s ou s s a n A. and L i о n s J. L. A973d). Problemes d'arret opti-
optimal et inequations variationnelles paraboliques. Applicable Anal., 3, 267—
294.
181. Bensoussan A. and Lions J. L. A974a). Contr61e impulsionnel
et controle continu. Methode des inequations quasi variationnelles non line-
aires. С R. Ac. Sci. Paris, 278, 675—679.
182. Bensoussan A. and L i о n s J. L. A974 b). Controle impulsionnel
et systemes d'inequations quasi variationnelles. C. R. Ac. Sci. Paris, 278, 747—
751.
183. Bensoussan A. and Lions J. L. A974c). Sur de nouveax proble-
problemes aux limites pour des operateurs hyperboliques. С R. Ac. Sci. Paris, 278,
1345—1349.
184. Bensoussan A. and Lions J. L. A974d). Sur ['approximation
numerique d'inequations quasi—variationnelles stationnaires. Proc. Intern.
Symp. Computing Methods in Applied Sciences and Engineering (Versailles,
1973) (eds. R. Glowinski and J. L. Lions). Part II, p. 325—338, Lecture Notes
in Computer Science, 11, Springer, Berlin.
185. Bensoussan A. and L i о n s J. L. A974e). Propreetes des inequations
quasi—variationnelles decroissantes. Analyse Convexe et Ses Applications
(ed. J.—P. Aubin), Lect. Notes Econ. Math. Systems, 102, Springer, Berlin.
186. Bensoussan A. and Lions J. L. A975a). Nouvelles methodes
en contr61e impulsionnel. Appl. Math. Optim., 1, 289—312.
187. Bensoussan A. and Lions J. L. A975b). Sur les d'arret optimaux
et les inequations quasi variationnelles d'evolution. С R. Ac. Sci. Paris, 280,
989—992.
188. Bensoussan A. and Lions J. L. A975c). Sur le contr61e impul-
impulsionnel et les inequations quasi variationnelles d'evolution. С R. Ac. Sci.
Paris, 280, 1049—1053.
189. Bensoussan A. and L i о n s J. L. A975d). Controle impulsionnel et
temps d'arret; inequations variationnelles et quasi—variationnelles d'evolu-
d'evolution. Cahiers de Math, de la Decision, 7523, Universite de Paris, Paris.
190. Bensoussan A. and Lions J. L. A975e). Problemes de temps d'ar-
d'arret optimaux et de perturbations singulieres dans les inequations variationnelles.
Control Theory, Numerical Methods and Computer Systems Modelling (eds.
A. Bensoussan and J. L. Lions), p. 567—584, Proc. Intern. Symp. (Rocquen-
court, 1974), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 107, Springer, Berlin.
422

191. Bensoussan A. and L i о n s J. L. A977). Inequations quasi varia
tionneiles dependant d'un parametre. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, DL,
231—255.
192. Bensoussan A. and Lions J. L. A978a). Problemes de temps
d'arret optimal pour les systemes distribues stochastiques. Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa, DM, 181—213.
193. В e n s о u s s a n A. and Lions J. L. A978 b). Applications des Ine-
Inequations Variationnelles en Contr61e Stochastique, Dunod, Paris.
194. Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G. A975a).
Sur quelques phenomenes asymptotiques stationnaires. С R. Ac. Sci. Paris,
281, 89—94.
195. Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G.
A97Eb). Sur quelques phenomenes asymptotiques devolution. С R. Ac. Sci.
Paris, 281, 317—322.
196. Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G.
A976a). Sur de nouveaux problemes asymptotiques. С R. Ac. Sci. Paris, 282,
143—147.
197. Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G.
A976b). Homogeneisation, correcteurs et problemes non-lineaires. С R. Ac.
Sci. Paris, 282, 1277—1282.
198. Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G.
A977). Sur la convergence d'operateurs differentiels avec potential fortement
oscillant. С R. Ac. Sci. Paris, 284, 587—592.
199. Bensoussan A., Lions J. L. and Papanicolaou G. A978).
Asymptotic Analysis for Periodic Structures, North—Holland, Amsterdam.
200. Berestycki H. and Brezis H. A976). Sur certains problemes de
frontiere libre. С R. Ac. Sci. Paris, 283, 1091—1094.
201. В e r g e С A957). Theorie generate des jeuxja n personnes. Memcr. Sci. Math.,
138.
202. В e r g e С A958). Theorie des Graphes et Ses Applications. Dunod, Paris.
203. В e r g e С A959). Espaces Topologiques. Fonctions Multivoques. Dunod,
Paris.
204. В e r g h J. and Lofstrom J. A976). Interpolation Spaces, an Intro-
Introduction. Springer, Berlin.
205. Bharucha-Reid A. A976). Fixed point theorems in probabilistic
analysis. Bull. Amer. Math. Soc, 82, 641— 657.
206. В i n z E. A972). Recent results in the functional analytic investigations of
convergence spaces. In: General Topology and Its Relations to Modern Analysis
and Algebra III (ed. J. Novak), p. 67—72, Proc. Third Prague Topological
Symp. (Prague, 1971), Academia, Prague/ Academic Press, New York.
207. В i г к h о f f G. D., and К e 1 1 о g O. D. A922). Invariant points in
function space. Trans. Amer. Math. Soc., 23, 96—115.
208. В i г о 1 i M. A972). Gil operatori monotoni: teoria ed applicazioni. rend.
Sem. Mat. Fis. Milano, 42, 143—228.
209. В i г о 1 i M. A976). Sur les inequations quasivariationnelles (I. Q. V.) pa-
raboliques avec constraintes sur le bord. C. R. Ac. Sci. Paris, 283, 705—708.
210. В i г о 1 i M. A977a). Sur la G-convergence pour les inequations quasivaria-
quasivariationnelles. С R. Ac. Sci. Paris, 284, 947—950.
211. В i г о 1 i M. A977b). Sur la G—convergence pour les inequations quasiva-
quasivariationnelles. Boll. U. Mat. Ital., EI4-A, 540—550.
212. В i г о 1 i M. A977c). G—convergence for elliptic equations, variational
inequalities and quasi-variational inequalities. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano,
47, 269—328.
213. Biroli M. A979). G — convergence for elliptic variational and quasi-
variational inequalities. In Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non —
Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco),
p. 361—381, Pitagora, Bologna.
214. Biroli M. A980). Estimates in homogenization for variational and quasi-
variational inequalities. In Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. II,
p. 45—59, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Matematica,
Roma.
423

215. В i г о 1 i М., М а г с h i S. and N о г a n d о Т. A981). Homogenizatior»
estimates for quasi-variational inequalities. Boll. U. Mat. Ital., EI8—A,
267—274.
216. Boccardo L. A979). Eslstenza di alcune disequazionl quasi variazio-
nali non linearl. In SAFA 2, p. 177—180, Atti 2°. Sem. Analisi Funzionali e
Applicazioni (Arcavacata di Rende, 1977), Universita della Calabria,
Cosenza.
217. Boccardo L. and D о 1 с e t t a I. C. A978). Disequazionj quasivaria-
zionali con funzione d'ostacolo quasi—limitata: esistenza di soluzioni e G-con-
verfeiza. Boll. U. Mat. Ital., EI5—B, 370—385.
218. Boccardo L., D о 1 с e t t a I. C. and M a t z e u M. A979). Nouve-
anx reruitats d'existence, perturbation et homogeneisatlon de qualues prob-
lerr.e; non lineaires. In Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non—Li-
Non—Linear Analysis (Rome, 1878) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco),
p. 115—130, Pitagora, Bologna.
219. В о с h n e r S. and M a r t i n W. T. A948). Several Complex Variables.
Princeton University Press, Princeton.
220. В о h 1 P. A904). Uber die Bewegung eines mechanischen Systems in der
Nahe einer Gleichgewichtslage. J. Reine Angew. Math., 127, 179—276.
221. В о h n e n b 1 u s t H. F. and К a r 1 i n S. A950). On a theorem of Ville.
In Contributions to the Theory of Games, I (eds. H. W. Kuhn and A. W. Tuc-
Tucker), p. 155—160, Annals of Math. Studies, 24, Princeton Unversity Press,
Princeton.
222. В о i e r i P. and G a s t a 1 d i F. A980a). Studio di un problema di fron-
tiera libera: diga con base parzialmente impermeabile. Boll. U. Mat. Ital.,
EI7—В, 1220—1235.
223. Boieri P. and С a s t a 1 d i F. A980b). Convexity of the free boundary
in a filtration problem. In Free Boundary Probkms (ed. E. Magenes), vol. 1,
p. 193—196, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale di Alta Mathematica,
Roma.
224. Boieri P. and С a s t a 1 d i F. A981). Convexity of the free boundary
in a filtration problem. J. Diff. Eq., 42, 25—46.
225. Boothby W. H. A971). On two classical theorems of algebraic topology.
Amer. Math. Monthly, 78, 237—249.
226. Bourgat J. F. and Douvaut G. A975). Calcul numerique de
l'ecoulement avec ou sans sillage au tour d'un profile bidimensionnel symet-
rique et sans incidence. Rapport de Recherche, 145, IRIA — Laboria, Rocquen-
court.
227. Bourgat J. F. and Douvaut G. A977). Numerical analysis of
flow with or without wake past a symmetric two-dimensional profile without
incidence. Int. J. Num. Math. Engrg., 11, 975—993.
228. Bourgin D. G. A963). Modern Algebraic Topology. Macmillan, New
York.
229. Boutet deMonvel L. andGeymonat G. A971). Solutions irre-
gulieres d'un probleme aux limites elliptique. Symp. Mat., 7, 381—402.
230. Breton A. and L e g u а у С. A975). Application du contrdle stocha-
stique a la gestion des centrales thermiques et hydrauliques. In Control Theory,
Numerical Methods and Computer System Modelling (eds. A. Bensoussan and
J. L. Lions), p. 728 —744, Proc. Intern. Symp. (Rocquencourt, 1974), Lec-
Lecture Notes Econ. Math. Systems, 107, Springer, Berlin.
231. В г ё z i s H. A968). Equations et inequations non lineaires dans les espaces
vectorielsen dualite. Ann. Inst. Fourier, 18A), 115—175.
232. Brezis H. A971). Seuil de regularite pour certains problemes unilateraux.
С R. Ac. Sci., Paris, 273, 35—37.
233. Brezis H. A972). Problemes unilateraux. J. Math. Pures Appl., (9M1,
1-168.
234. Brezis A973). Operateurs Maximaux Monotones et Semi—groupes de Cont-
Contractions dans les Espaces de Hilbert, North—Holland, Amsterdam/American
Elsevier, New York.
235. Brezis H. and D u v a u t G. A973). Ecoulements avec sillages autour
d'un profil symetrique sans incidence. C. R. Sci. Paris, 276, 875—878.
424

236. В г ё г i s H. and Kinderlehrer D. A974). The smoothness of solu-
solutions to nonlinear variational inequalities. Indiana Univ. Math., J., 23, 831—
844.
237. Breiis H., Kinderlehrer D. and S t a m p а с с h i a G. A978).
Sur une nouveile formulation du probleme de l'ecoulement a travers une digue.
С R. Ac. Sci. Paris, 287, 711—714.
238. Brezis H., Nirenberg L. andStampacchia G. A972).
A remark on Ky Fan's minimax principle. Boll. U. Mat. Hal., DN, 293—300.
239. Br ezis H. and S i b о n у М. A971). Equivalence de deux inequations
variationelleset applicaltions. Arch. Rational Mech. Anal., 41, 254—265.
240. Brezis H. and Stampacchia G. A968). Sur la regularity de la
solution d'inequations elliptiques. Bull. Soc. Math. France, 96, 153—180.
241. Brezis H. and Stampacchia G. A973a). Une nouveile methode
pour l'etude d'ecoulements stationnaires. С R. Ac. Sci. Paris, 276, 129—132.
242. Brezis H. and Stampacchia G. A973b). Problemes elliptiques
avec frontiere libre. Seminaire Goulaouic—Schwartz, Expose 11, Ecole Poly-
technique, Paris.
243. Brezis H. and Stampacchia G. A976). The hodograph method in
fluid dynamics in the light of variational inequalities. Arch. Rational meeh.
Anal., 61, 1—18.
244. Brezzi F. A979). Implementation of finite element methods for the appro-
approximation of variational and quasivariational inequalities. Proc. Intern. Mee-
ting on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De
Giorgi, E. Magenes and U. Mosco), p. 533—538, Pitagora, Bologna.
245. В r e z z i F. and С a f f a r e 1 11 i L. A. A982). Convergence of the free
boundary for finite element approximations. To appear.
246. В r e z z I F. and G i 1 a r d i G. A982). Chapter 1 of Finite Element Hand-
Handbook. H. Kardestuncer, ed., McGraw-Hill, New York.
247. Brezzi F., H a g e r W. and R a v i a r t P. A977). Error estimates
for the finite element solution of variational inequalities, part I: Primal theory.
Numer. Math., 28, 431—443.
248. Brezzi F., Hager W. andRaviart P. A978). Error estimates
for the finite element solution of variational inequalities, part II: Mixed me-
methods. Numer. Math., 31, 1—16.
249. Brezzi F. , and S а с с h i G. A976). A finite element approximation
of a variational inequality related to hydraulics. Calcolo, 13, 259—273.
250. Br0ndstedA. A972). On the subdifferential of the suprernum of con-
convex functions. Math. Scand., 31, 225—230.
251. Brouwer L. E. J. A912). Ober Abbildung von Mannigfaltigkeiten. Math.
Ann., 71, 97—115.
252. Browder F. E. A959a). On a generalization of the Schauder fixed point
theorem. Duke Math. J., 26, 291—303.
253. Browder F. E. A959b). Functional analysis and partial differential
equations, I. Math. Ann., 138, 55—79.
254. Browder F. E. A962). Functional analysis and partial differential equa-
equations, II. Math. Ann., 145, 81—226.
255. Browder F. E. A964). Continuity properties of monotone nonlinear ope-
operators in Banach spaces. Bull. Amer. Math. Soc, 70, 551—553.
256. Browder F. E. A965a). Fixed-point theorems for noncompact mappings
in Hilbert space. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 53, 1272—1276.
257. Browder F. E. A965b). Nonlinear monotone operators and convex sets
in Banach spaces. Bull. Amer. Math. Soc, 71, 780—785.
258. Browder F. E. A968). The fixed point theory of multi—valued mappings
in topological vector spaces. Math. Ann., 177, 283—301.
259. Brown M., and Neumann W. A977). Proof of the Poincare—Bir-
khoff fixed point theorem. Michigan Math. J., 24, 21—31.
260. Bru ch J. C, Jr. A979). A numerical solution of an irrigation flowfield.
Int. J. Num. Anal. Math. Geomech., 3, 23—36.
261. Bruch J. C, Jr. A980a). A survey of free boundary value problems in the-
theory of fluid flow through porous media: variational inequality approach —
Part I. Adv. Water Resources, 3, 65—80.
425

262. В г и с h J. С, Jr. A980b). A survey of free boundary value problems in
theory of fluid flow through porous media: variational inequality approach —
Part II. Adv. Water Resources, 3, 115—124.
263. В r u с h J. C, Jr. and С a f f г е у J. A979a). Three—dimensional see-
seepage through a homogeneous dam. Adv. Water Resourses, 2, 167.
264. Bruch J. C, Jr. and Caffrey J. A979b). An analysis of seepage
through a dam with a toe drain. In: The Mathematics of Finite Elements
and Applications III (ed. J. Whiteman), p. 123—133, Academic Press, New
York.
265. Bruch J. C. Jr., S а у 1 e F. С and S loss J. M. A978). Seepage
from a trapezoidal and a rectangular channel using variational inequalities.
J. Hydrol., 36, 247.
266. Bruch J. C, Jr. and SI oss J. M. A978). A variational inequality
method applied to free surface seepage from a triangular ditch. Water Resour-
Resources Res., 14, 119.
267. Caccioppoli R. A930). Un teorema generate sull'esistenza di elementi
- uniti in una trasormazione funzionale. Rend Ac. Naz. Lincei, FI1, 794—799.
268. Caccioppoli R. A931). Sugli elementi uniti delle transformazioni
funzionali: un'osservazione sui problemi di valori ai limiti. Rend. Ac. naz. Lin-
Lincei, FI3, 498—502.
269. С а с с i op po 1 i R. A932). Sugli elementi uniti delle transformazion
funzionali: un teorema di esistenza e di unicita e alcunesue applicazioni. Rend.
Sem. Mat. Padova, 3, 1—15.
270. С a f f a r e 1 1 i L. A976a). The regularity of elliptic and parabolic free
boundaries. Bull. Amer. Math. Soc, 82, 616—618.
271. С a f f a r e 1 1 i L. A976b). The smoothness of the free surface in a filtration
problem. Arch. Rational Mech. Anal., 63, 77—86.
272. Caffarelli L. A977). The regularity of free boundaries in higher dimen-
dimensions. Acta Math., 139, 155—184.
273. Caffarelli L. A978). Some aspects of the one-phase Stefan problem.
Undiana Univ. Math. J., 27, 73—77.
274. Caffarelli L. A979a). Further regularity results for the Signorini prob-
problem. Comm. Partial Diff. Eq., 4, 1067—1075.
275. Caffarelli L. A979b). Regolarita di frontiere libere in piii dimensioni.
Pubbl. Laboratorio di Analisi Numerica C. N. R., 228, Pavia.
276. Caffarelli L. and E v a n s L. С A982). Continuity of the tempera-
temperature in the two phase Stefan problem. To appear in Arch. Rational Mech. Anal.
277. Caffarelli L. and Friedman A. A978a). The dam problem with
two layers. Arch. Rational Mech. Anal., 68, 125—154.
278. Caffarelli L. and F r i e d m a n A. A978b). Asymptotic estimates
for the dam problem with several layers. Indiana Univ. Math. J., 27, 551—580.
279. Caffarelli L. and Friedman A. A978c). The one-phase Stefan
problem and the porous medium diffusion equation: continuity of the solution
in n space dimensions. Proc. Nat. Ac. Sci. USA, 75, 2084.
280. Caffarelli L. and F r i e d m a n A. A978d). Regularity of the solu-
solution of a quasi-variational inequality for the impulse control problem I. Comm.
Partial Diff. Eq., 3, 745—753.
281. Caffarelli L. and Friedman A. A979). Regularity of the solu-
solution of the quasi-variational inequality for the impulse control problem,
11. Comm. Partial Diff. Eq., 4, 279—291.
282. С a f f a r e 1 1 i L. and F r i e d m a n A. A980). Regularity of the free
boundary of a gas flow in a n-dimensional porous medium. Indiana Univ. Math.
J., 29, 361—391.
283. Caffarelli L. and G i 1 a r d i G. A980). Monotonicity of the free
boundary in the two-dimensional dam problem. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa,
DO, 523—537.
284. Caffarelli L. and К inder lehrer D. A980). Potential methods
in variational inequalities. J. D'Analyse Math., 37, 285—295.
285. Caffarelli L., and Riviere N. A976a). Smoothness and analicity
of free boundaries in variational inequalities. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa,
DK, 289—310.
426

286. Caff arel li L. and R i v i ё г е N. A976b). On the rectifiability of
domains with finite perimeter. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, DK, 177—186.
287. С a f f a r e 1 1 i L. and R i v i ё г е N. A977a). The smoothness of the ela-
*• stic-plastic free boundary of a twisted bar. Proc. Amer. Soc, 63, 56—58.
288. С a f f a r e 1 1 i L. and R i v i ё г е N. A977b). Asymptotic behaviour
of free boundaries at their singular points. Ann. of Math., 106, 309—317.
289. С a f f a r e 1 1 i L. and R i v i ё г е N. A977 c). Existence and uniqueness
for the problem of filtration through a porous medium. Notices AMS, 24,
A—576.
290. Calderon A. P. A951). On the differentiability of absolutely continuous
functions. Riv. Mat. Univ. Parma, 2, 203—213.
291. Calderon A. P. A961). Lebesque spaces of differentiable functions and
distributions. Proc. Symp. Pure Math., 4, 33—49.
292. С a 1 d e r 6 n С P. and Lewis J. E. A976). On the differentiability
of functions of several real variables. Illinois J. math., 20, 535—542.
293. Campanato S. A964). Proprleta di una famiglia di spazi funzionali
Ann Scuola Norm. Sup. Pisa, CI8, 137—160.
294. С a r b о n e L. and V a 1 1 i A. A976). Filtrazione di un fluido in un me-
mezzo non omogeneo tridimensionale. Rend. Ac.Naz. Lincei., (8) 61, 161—164.
295. Carbone L. and V a 1 1 i A. A977). Free boundary enclosure in a three—
dimensional filtration problem. Appl. Math. Optim., 4, 1—14.
296. С a r b о n e L. and V a 1 1 i A. A978a). Asymptotic behaviour of the free-
boundary in a filtration problem. Boll. U. Mat. Hal., EI5—B, 217—224.^
297. Carbone L. and V a 1 1 i A. A978b). Filtration throughfa porous non-
homogeneous medium with variable cross section. J. D'Analyse Math., 33,
191—221.
298. С a r r i 1 1 о J. and С h i p о t M. A981). Sur l'unicite de la solution du
probleme de Pecoulement a travers une digue. C. R. Acad. Sci. Paris, 292, 19»
194.
299. С a r r i 1 1 о J. and С h i p о t M. A982). The dam problem. To appear in
J. Diff. Eq.
300. С a s t a i g n Ch. A967). Sur les multi-applications measurebles. Rev. Fran-
caise Inf. Rech. Oper., 1A), 91—126.
301. Cedergren H. R. A967). Seepage, Drainage and Flow Nets. Wiley,
New York.
302. С e 1 1 i n a A. A970). Multivalued differential equations and ordinary dif-
differential equations. SIAM J. Appl. Math., 18, 533—538.
303. С e 1 1 i n a A. and L a s о t a A. A969). A new approach to the definition of
topological degree for multi-valued mappings. Rend. Ac. Naz. Lincei, (8L7,
434—440.
304. Charrier P. and T г о i a n i e I 1 о G. A978). On strong solutions to
parabolic unilateral problems with obstacle dependent on time. J. Math. Anal.
Appl., 65, 110—125.
305. Charrier P. and Vivaldi M. A. A976). Existence d'une solution
forte reguliere d'une inequation quasi variationnelle devolution. С R. Ac.
Sci. Paris, 283, 465—467.
306. Charrier P. and V i v a 1 d i M. A. A977). Existence d'une solution
reguliere d'une inequation quasi variationnelle devolution avec conditions
de Dirichlet. Boll. U. Mat. Ital., EI4—A, 579—589.
307 С h i с с о М. A967). Principio di massimo forte per sottcsiluzioni di equazioni
ellittiche di tipo variazionale. Boll. U. Mat. Ital., CJ2, 368—373.
308. С h i с с о М. A970). Principio di massimo per soluzioni di problemi al con-
torno misti per equazioni ellittiche di tipo variazionale. Boll. U. Mat. Ital.,
DK, 384—394.
309. Chicco M. A975). Principio di massimo forte per soluzioni di problemi al
contorno misti per equazioni ellittiche di tipo variazionale. Boll. U. Mat. Ita.,
DI1 (suppl. fasc. 3), 100—109.
310. С h i p о t M. A978). Sur la regularite lipschitzienne de la solution d'inequa-
tions elliptiques. J. Math. Pures Appl., (9M7, 69—75.
311. С h i p о t M. A981). Sur quelques ineqi ations variationnelles — Probleme
I de l'ecoulement a travers une digue. These, Universite de Paris 6, Paris.
427

312. Choquet G. A948). Convergences. Ann. Univ. Grenoble, 23, 57—112.
313. Choquet-Bruhat Y. A973). Distributions. Theorie et Problemes,
Masson, Paris.
314. Cibrario-Cinquini M. A956). Modeme ricerche sulle equazionl
a derivate parziali del primo ordine. Rend. Sem. Mat. Torino, 15, 5—26.
315. С i m a t t i G. A977). On a problem of the theory of lubrication governed a
variational inequality. Appl. Math. Optim., 3, 227—242.
316. С i m m i n о G. A937). Nuovo tipo di condizioni al contorno e nuovo metodo
di trattazione il problema generalizzato di Dirichlet. Rend. Circ. Mat. Palmer-
mo, 61, 177—221.
317. С i m m i n о G. A952). Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di tipo
ellittico. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 23, 183—203.
318. С о m i n с i о 1 i V. A972). Algoritmi numerici per problemi di frontiera
libera nella teoria del fluidi attraverso mezzi porosi. In Atti Conv. AICA
Tecniche di Simulazione e Algoritmi (Milano, 1972), p. 77—86, Informatica
(special issue).
319. С о m i n с i о 1 i V. A974a). A theoretical and numerical approach to some
free boundary problems. Ann. Mat. Рига Арр., DI00, 211—238.
320. С о m i n с i о 1 i V. A974b). A comparison of algorithms for some free boun-
boundary problems. Pubbl. Laboratorio di Analisi Numerica C.N.R. 79, Pavia.
321. Co m i n с i о 1 i V. A975). On some oblique derivative problems arising
in the fluid flow in porous media. A theoretical and numerical approach. Appl.
Math. Optim., 1,313-336.
322. С о m i n с i о 1 i V. A976). Sur l'approximation numerique des problemes a
frontiere libre lies a la filtration dans les materiaux poreux. In Second Intern.
Symp. Computing Methods in Applied Sciences (Versailles, 1975) (eds. R. Glo-
winski and J. L. Lions), p. 193—206, Lecture Notes in Physics, 58, Springer,
Berlin.
323. С о m i n с i о 1 i V. A978). Un approccio teorico e numerico ai problemi di
filtrazione a frontiera libera mediante le disequazioni variazionali. In Atti
Conv. Metodologie Numeriche per la Soluzione di Equazioni Differenziali
della Idrogolia e della Idraulica (Bressanone, 1978).
324. С о m i n с i о 1 i V. A979). The numerical solution of a free boundary tran-
transient seepage flow problem using variational inequalities. Proc. Intern. Meeting
on Recent Methods in Non-Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi,
E. Magenes, and U. Mosco), p. 539—548, Pitagora, Bologna.
325. С о m i n с i о 1 i V. A980). Free boundary problems in fluid flow through
porous media and variational inequalities: a numerical approach. Free Boun-
Boundary Problems, (ed. E. Magenes), vol. I, p. 197—208. Proc. Sem. (Pavia, 1979),
Istituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
326. С о m i n с i о 1 i V. and G и е г г i L. A976). Numerical solution of free
boundary problems in seepage flow with capillary fringe. Comput. Methods
Appl. Mech. Engrg., 7, 153—178.
327. Com i n с i о 1 i V., G и e r r i L. and V о 1 p i G. A971). Analisi nu-
. merica di un problema di frontiera libera connesso col moto di un fluido attra-
attraverso un mezzo poroso. Pubb. Laboratorio di Analisi Numerica С N. R., 17
Pavia.
328. Comincioli V., Torelli A. A979). A new numerical approach to'a
non-steady filtration problem. Calcolo, 16, 93—124.
329. Cortey-Dumont Ph. A978). Contribution a l'approximation
numerique d'une inequation quasi-variationnelle. These, Universite de Be-
sancon.
330. Cortey-Dumont Ph. A979). Contribution a l'etude de l'approxi-
l'approximation par la methode des elements finis d'inequations quasivariationnelles
elliptiques. С R. Ac. Sci. Paris, 288, 141—143.
331. Cortey-Dumont Ph. A980). On the approximation of a class of quasi-
variational inequalities related to the impulse control. In Free Boundary Prob-
Problems (ed. E. Magenes), vol. II, p. 161—171, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto
Nazionale di Alta Matematica, Roma.
332. Co 11 а г М. and С i g n о 1 i R. A974). An Introduction to Functional
Analysis. North—Holland, Amsterdam / American Elsevier, New York.
428

333. Courant R. A943). Variational methods for the solution of problems of
equilibrium and vibrations. Bull. Amer. Math. Soc, 49, 1—23.
334. Courant R. A967). Introducao a Teoria das Funcoes. Sociedade Parana-
ense de Matematica, Curitiba.
335. Covitz H. and Na'dler S. B. A970). Multi-valued contraction
mappings in generalized metric space. Israel J. Math., 8, 5—11.
336. Crank J. and Ozis T. A980). Numerical solution of a free—boundary
problem by interchanging dependent and independent variables. J. Inst. Math.
Appl., 26, 77—85.
337. Cr i s t es ctf R. and Marines с u G. A973). Applications of the
Theory of Distributions. Academiei, Bucuresti / Wiley, London.
338. С г о n i n J. A964). Fixed Points and Topological Degree in Nonlinear Ana-
Analysis. Math. Surveys, 11, American Mathematical Society, Providence.
339. Cr у er C. W. A976a). A survey of steady stale porous flow free boundary
problems. MRC Technical Summary Report, 1657, University of Wisconsin,
Madison.
340. Cry er С W. A976b). A survey of trial free-boundary methods for the
numerical solution of free boundary problems. MRC Technical Summary Re-
Report, 1693, University of Wisconsin, Madison.
341. С г у e r C. W. A977). A bibliography of free boundary problems. MRC Te-
Technical Summary Report, 1793, University of Wisconsin, Madison.
342. С г у e r C. W. A980). A proof of the convexity of the free boundary for
porous flow through a rectangular dam using the maximum principle. J. Inst.
Math. Appl., 25, 111—120.
343. D a n i 1 j u к I. I. A971). Sur une classe de fonctionnelles integrates a do-
maine variable d'integration. In Actes du Congres International des Mathema-
ticiens (Nice, 1979) (eds. M. Berger, J. Dieudonne, J. Leray, J. L. Lions,
P. Malliavan, and J. P. Serre), vol. 2, p. 703 — 715, Gauthier — Villars,
Paris.
344. D a r b о G. A950). Grado topologico e teoremi di esistenza di punti uniti
per transformazioni plurivalenti di bicelle. Rend. Sem. Mat. Padova, 19, 371—
395.
345. D a r b о G. A955). Punti uniti in transformazioni a codominio non compa-
tto. Rend. Sem. Mat. Padova, 24, 84—92.
346. D a r b о G. A958). Teoria deH'omologia in una categoria di mappe pluriva-
plurivalenti ponderate. Rend. Sem. Mat. Padova, 28, 188—220.
347. Darbo G. A961). Estensione alle mappe ponderate del teorema dj Lef-
schetz sui punti fissi. Rend. Sem. Mat. Padova, 13, 46—57.
348. D e В 1 a s i F. A976). On the differentiability of multifunctions. Pacific
J. Math., 66, 67—81.
349. D e G i о r g i E. A977). Г — convergenza e G — convergenza. Boll. Mat.
Hal., EI4—A, 213—220.
350. D e G i о r g i E. and Franzoni T. A975). Su un tipo di convergenza
variazionale. Rend. Ac. Naz. Lincei, (8M8, 842—850.
351. De Giorgi E. and Franzoni T. A979). Su un tipo di convergenza
variazionale. Rend. Sem. Mat. Brescia, 3, 63—101.
352. Deny J. A979). Methodes hilbertiennes en theorie du potentiel. In Potential
Theory, p. 121—201, Proc. С I. M. E. (Stresa, 1969), Cremonese, Roma.
353. Deny J. and Lions J. L. A954). Les espaces du typo de Beppo Levi.
Ann. Inst. Fourier, 5, 305—370.
354. D e R h a m G. A960). Varietes Differentiables. Act. Sci. Ind., 1222, Her-
Hermann, Paris.
355. D e V i t о L. A958). Sulle funzioni ad integrate di Dirichlet finite Ann.
Scuoia Norm. Sup. Pisa, CI2, 55—107.
356. D i a s J. P. A973). Sur la regularite de la solution faible d'une inequation
variationnelle non lineaire de type elliptique. Boll. U. mat. Hal., D)8,
8—15.
357. Di Benedetto E. A980). Regularity properties of the solution of a
я-dimensional two—phase Stefan problem. Analisi Funz. e Appl. (Suppl. Boll.
U. M. I.), 1, 129-152.
358. Dieudonne J. A968a). Calcul Infinitesimal. Hermann, Paris.
429

359. D i e d о п п ё J. A968c). Elements d'Analyse. Tome II, Gauthier—Villars.
Paris (English ed. A970): Academic Press, New York).
360. Dieudonne J. and Schwartz L. A950). La dualite dans les es-
paces (#*) et (?¦#*). Ann. Inst. Fourier, 1, 61—101.
361. Dolcetta I. C. and Mosco U. A980). Implicit complementarity
problem and quasi-variational inequalities. In: Variational Inequalities and
Complementarity Problems (eds. R. W. Cottle, F. Giannessi and J. L. Lions),
p. 75—87, Wiley, Chichester.
362. Dolcetta 1. С and Vivaldi M. A. A977). Existence d'une solu-
solution reguliere d'une inequation quasi variationnelle elliptique sur un domains
non borne. С R. Ac. Sci. Paris, 284, 1033—1036.
363. D о I с e 11 a I. C. and V i у a I d i M. A. A978). Existence of a regular
solution of a quasi—variational inequality in a unbounded.domain. Comm. Par-
Partial Diff. Eq., 3, 443—470.
364. D u g u n d j i J. and G r a n a s A. A978). KKM maps and variationaJ
inequalities. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, DM, 679—682.
365. D u v a u t G. A973). Resolution d'un probleme de Stefan (Fusion d'un bloc
de glace a zero degre. С R. Ac. Sci. Paris, 276, 1461—1463.
366. D u v a_u t G. A974). Etude de problemes unilateraux en mecanique par des
methodes variationnelles. In: New Variational Techniques in Mathematical
Physics (eds. G. Cpriz and G. Stampacchia), p. 41—102, Proc. С I. M. E.
(Bressanone, 1973), Cremonese, Roma.
367. D u v a u t G. A976). Problemes a frontiere libre en theorie des milieux con-
tinus. Rapport de Recherche, 185, IRIA — Laboria, Rocquencourt.
368. Edwards R. E. and Gaudry G. I. A977). Littlewood—Paley
and Multiplier Theory. Springer, Berlin.
369. Eggleston H. G. A963). Convexity. Cambridge University Press,
Cambridge.
370. Eilenberg S. and Montgomery D. A946). Fixed point theorems
for multivalued transformations. Amer. J. Math., 68, 214—222.
371. Elliott С. М. A980). On a variational inequality formulation of an elec-
electrochemical machining moving boundary problem and its approximation by
the finite element method. J. Inst. Math. Appl., 25, 121—131.
372. Elliott С and О с к e n d о n J. A982). Weak and Variational Methods
for Moving Boundary Problems. Pitman, Boston.
373. Ene H. I. and Sanchez —Palencia E. A975). Equation et
phenomenes de surface pour l'ecoulement dans un modele de milieu poneux.
J. Mechanique, 14, 73—108.
374. F a 1 к F. A974). Error estimates for the approximation of a class of va-
variational inequalities. Math. Сотр., 28, 963—971.
375. Fan K. A952). A generalization of Tucker's combinatorial lemma with to-
pological applications. Ann. of Math., BM6, 431—437.
376. Fan K. A961). A generalization of Tychonoff's fixed point theorem. Math.
Ann., 142, 305—310.
377. F a s a n о A. and P г о m i с e r i о M., Editors A982). Proc. Symp.
ij_. Free Boundary Problems: Theory and Applications (Montecatini Terme, 1981),
to appear (Gordon and Breach, New York).
378. Ferreira J. С A967). Alguns Problemas de Prolungamento das Distri-
buicdes com Aplicacoes a Integracao, Lisboa.
379. Ferreira J. С and О 1 i v e i r a J. S. A964). Problemes aux condi-
conditions initiales dans la theorie des distributions. Rev. Fac. Ciencias Lisboa,
B—A) 10, 91—130.
380. F i с h e r a G. A950). Sull'esistenza e sul calcolo delle soluzioni dei prob-
lemi al contorno relativi all'equilibrio di un corpo elastico. Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa, CL, 35—99.
381. F i с h e r a G. A956). Sulle equazioni differenziali lineari ellittico—parabo-
liche del secondo ordine. Atti Ac. Naz. Lincei Mem. Sez. (8M, 1—30.
382. F i с h e r a G. A965). Linear Elliptic Differential and Eigenvalue Prob-
Problems. Lecture Notes in Mathematics, 8, Springer, Berlin.
383. F i с h e r a G. A966). Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il prob-
430

lema di Signorini con ambigue condizioni al contorno. Atti Ac. Naz. Lincei
Mem. Sez. I, (8O, 71—140.
384. Fleming W. H. A965). Functions of Several Variables. Addisonwesley,
Reading.
385. Franklin J. A980). Methods of Mathematical Economics, Springer, New
York.
386. F г e h s e J. A972). On the regularity of the solution of a second order varia-
tional inequality. Boll. U. Mat. Hal. DN, 312—315.
387. F r e h s e J. A977). On Signorini's problem and variational probiems with
thin obstacles. Ann. Scuola Nor. Sup. Pisa, DL, 343—362.
388. F r e h s e J. A982). On the smoothness of variational inequalities with ob-
obstacles. To appear.
389. Frehse J. and Mosco U. A979a). Sur la regularite de certaines ine-
inequations variationnelles et quasi-variationnelles. C. R. Ac. Sci. Paris, 289,
627—630.
390. Frehse J. and Mosco U. A979b). Variational inequalities with one-
onesided irregular obstacles. Manuscripta Math., 28, 219—233.
391. Frehse J. and Mosco U. A982). Irregular obstacles and quasivaria-
tional inequalities of stochastic impulse control. To appear in Ann. Sc. Norm.
Sup. Pisa.
392. Fremond M. A975). Variational formulation of the Stefan problem-
coupled Stefan problem—frost propagation in porous media. In: Computatio-
Computational Mechanics (ed. J. T. Oden), p. 341—350. Proc. Intern. Conf. Computer
Methods in Nonlinear Mechanics (Austin, 1974), Lecture Notes in Mathematics,
461, Springer, Berlin.
393. Friedman A. A968). Boundary behavior of solutions of variational ine-
inequalities for elliptic operators. Arch. Rational mech. Anal., 27, 95—107.
394. Friedman A. A975). Stochastic Differential Equations and Applications.
Volume 1. Academic Press, New York,
395. Friedman A. A976a). Stochastic Differential Equations and Applica-
Applications. Volume 2. Academic Press, New York.
396. Friedman A. A976b). The shape and smoothness of the free boundary
for some elliptic variational inequalities. Indiana Univ. Math. J., 25, 103—
118.
397. Friedman A. A976c). A class of parabolic quasi-variational inequali-
inequalities, II, J. Diff. Eq., 22, 379—401.
398. Friedman A. A976d). A problem in hydraulics with non—monotone
free boundary. Indiana Univ. Math. J., 25, 577—592.
399. Friedman A. A978). On the free boundary of a quasi-variatlonal inequa-
inequality arising in a problem of quality control. Trans. Amer. Math. Soc, 246, 95—
110.
400. Friedman A. A979). Time dependent free boundary problems. SIAM Rev,
21, 213—221.
401. Friedman A. A980a). The dam problem with variable permeability.
In Variational Inequalities and Complementarity Problems (eds. R. W. Cottle,
F. Giannessi and J. L. Lions), p. 135—141, Wiley, Chichester.
402. Friedman A. A980b). Stochastic control with partial observations. In
Variational Inequalities and Complementarity Problems (eds. R. W. Cottle,
F. Giannessi and J. L. Lions), p. 143—149, Willey, Chichester.
403. Friedman A. and J e n s e n R. A975). A parabolic quasi-variational
inequality arising in hydraulics. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, DJ, 421—468.
404. F r i e d m a n A. and J e n s e n R. A976). Elliptic quasi-variational
inequalities and applications to a non-stationary problem in hydraulics.
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, DK, 47—88.
405. Friedman A. and Jensen R. A978). Convexity of the free bounda-
boundary in the Stefan problem and in the dam problem. Arch. Rational Mech. Anal.,
67, 1—24.
406. Friedman A. andKinderlehrer D. A975). A one phase Stefan
problem. Indiana Univ. Math. J., 24, 1005—1035.
407. F r i e d m a n |A. and Kinderlehrer D. A976). A class of parabo-
parabolic quasi-variational inequalities. J. Diff. Eq., 21, 395—416.
431

408. Friedman A. and T о г e 1 I j A. A977). A free boundary problem con-
connected with non—steady filtration in porous media. Nonlinear Anal., 1, 503—
545 (and correction on the same journal A978): 2, 513—518).
409. Friedrichs К. О. A944). The identity of weak and strong extensions
of differential operators. Trans. Amer. Math. Soc, 55, 132—151.
410. Fu6ik S. and Kufner A. A980). Nonlinear Differential Equations.
Elsevier, Amsterdam.
411. F u r i M. and M а г t e 11 i M. A972). Some fixed—points theorems for
multi-valued mappings in topological vector space. Ann. Mat. Рига Appl.,
D)92, 169—175.
412. F и r i M. and M a r t e 1 1 i M. A974). On the minimal displacement of
points under a-Lipschitz maps in normed spaces. Boll. U. Mat. Ital., D)9,
791—799.
413. F и r i M., M a r t e 1 1 i M. and V i g n о 1 i A. A978). Contribution to
the spectral theory for nonlinear operators in Banach spaces. Ann. Mat. Рига
Appl., DI18, 229—294.
414. Gagliardo E. A957). Caratjerizzazione delle tracce sulla frontiera
relative ad alcune classi di funzioni in n variabili. Rend. Sem. Mat. Univ. Pa-
dova, 27, 284—305.
415. Gagliardo E. A958). Proprieta di alcune classi di funzioni in piu vari-
variabili. Ricerche Mat., 7, 102—137. —
416. Gagliardo E. A959). Ulteriori proprieta di alcune classi di funzioni in
piu variabili. Ricerche mat., 8, 24—51.
417. Gagliardo E. A961). Una struttura unitaria in diverse famiglie di spazi
funzionali, parte 1. Ricerche Mat., 10, 244—281.
418. Gagliardo E. A963). A common structure in various families of func-
functional spaces, part II. Ricerche Mat., 12, 87—106.
419. G а г n i r H. G., D e Wilde M. and S ch m e t s J. A968). Analyse
Fonctionnelle, tome 1. Birkhauser, Basel.
420. Garni r H. G.( De Wilde M. and S с h m e t s J. A972). Analyse
Fonctionnelle, tome II. Birkhauser, Basel.
421. Garroni M. A982). A nonlinear quasi-variational inequality with impli-
implicit obstacle on the boundary. To appear.
422. Garroni M., Hanouzet B. and J о 1 у J. L. A982). Regularity
pour la solution d'un systeme d'l. Q. V. To appear.
423. Garroni M., Troianiello G. A979). Some regularity results and
a priori estimates for solutions of variational and quasi-variational inequali-
inequalities. In Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non—Linear Analysis
(Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco), p. 493—518, Pi-
tagora, Bologna.
424. Garroni M., and Vivaldi M. A. A979). Esistenza, regolarita e
stime duali per la soluzione di una disequazione quasi-variazionale relative
ad un operatore quasi-lineare. Boll. U. Mat. Ital., EI6—B, 154—167.
425. G a s t a 1 b i F. A979). About the possibility of setting Stefan-like prob-
problems in variational form. Boll. U. Mat. Ital., EI6—A, 148—156.
426. Gerhardt С A973). Regularity of solutions of nonlinear variational
inequalities. Arch. Rational Mech. Anal., 52, 389—393.
427. G i 1 a r d i G. A976). Studio di una famiglia di disequazioni quasivariazio-
nal connessa con un problema di frontiera libera. Boll. U. Mat. Ital., EI3—B,
138—159.
428. G i 1 a r d i G. A977). Studio di una disequazione quasi-variazionale rela-
tiva ad un problema di filtrazione in tre dimension!. Ann. Mat. Рига Appl.,
DI13, 1—17.
429. G i 1 a r d i G. A979). A new approach to evolution free boundary problems.
Comm. Partial Diff. Eq., 4, 1099—1122 (and correction on the same journal
A980): 5, 983—984).
430. G i 1 а г d i G. A980a). The evolution dam problem. In Free Boundary Prob-
Problems (ed. E. Magenes), vol. 1, p. 209—217, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto
Nazionale di Alta Matematica, Roma.
431. Gilardi G. A980b). The behaviour of the free boundary near the fixed
boundary in the dam problem. In Recent Methods in Nonlinear Analysis and
432

Applications (ed. A. Canfora et al.), p. 347—352. Proc. SAFA IV—Int. Meeting
(Catania 1980), Liguori, Napoli.
432. Q i I a r d i G. A982). Proprieta della frontiera Hbera in un problema dl
filtrazione. To appear on Rend. Sem. Mat. Fis. Milano.
433. Giusti E. A973). Minimal surfaces with obstacles. In Geometric Measure
Theory and Minimal Surfaces (ed. E. Bombieri), p. 119—153, Proc. С I. M. E.
(Varenna, 1972), Cremonese, Roma.
434. G 1 a s h о f f K. and R о 1 e f f K. A977a). Uber eine elliptiscne freie Rand-
wertaufgabe. In: Freie Randwertprobleme I (Numerische Verfahren), p. 45—
61, Freie Univ. Berlin, Berlin.
435. G I a s h о f f K. and R о I e f f K. A977b). Uber eine elliptische freie
Randwertaufgabe, ein numerisches Beispiel. In: Freie Randwertprobleme II
(Numerische Tests), p. 40—47, Freie Univ. Berlin, Berlin.
436. Glicksberg I. L. A952). A further generalization of the Kakutani
fixed point theorem, with application to Nash equilibrium points. Proc. Amer.
Math. Soc, 3, 170—174.
437. Glow in ski R. A978). Finite elements and variational inequalities.
Technical report, INF—LAB 78010, IRIA—Laboria, Rocqencourt.
438. G 1 о w i n s к i R. A980). Lectures on Numerical Methods for Non—linear
Variational Problems. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay and
Springer, Berlin.
439. Goursat M. and Maarek G. A976). Nouv.I'e approche problemes
de gestion de stocks. Comparaison avec les methodes classiques. Rapport de
Recherche, 148, IRIA —Laboria, Rocquencourt.
440. Goursat M. and M a u r i n S. A975). Methodes de resolution numerique
des inequations quasi—variationnelles. In: Control Theory, Numerical Methods
and Computer Systems Modelling (eds. A. Bensoussan and J. L. Lions), p. 585—
609, Proc. Intern. Symp. (Rocquencourt, 1974), Lecture Notes Econ. Math. Sy-
Systems, 107, Springer, Berlin.
441. Goursat M. and Q u a d г a t J. P. A976). Analyse numerique d'ine-
quations quasi-variationnelles elliptiques associees a des problemes de cont-
role impulsionnel. Rapport de Recherche, 186, IRIA—Laboria, Rocquencourt.
442. Grisvard P. A975). Alternative de Fredholm relative au probleme de Di-
richlet dans un polyedre. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, DJ, 359—388.
443. Grothendieck A. A955). Produits tensoriels topologiques et espaces
nucleaires. Mem. Amer. Math. Soc, 16.
444. Grothendieck A. A958). Espaces Vectoriels Topologiques. Sociedade
Matematica de Sao Paulo, Sau Paulo.
445. Griinbaum B. A967). Convex Polytopes. Interscience, London.
446. Hadamard J. A968a). Sur les problemes aux derivees partielles et leur
signification physique. Euvres, tome III, p. 1099— 1105, С N. R. S., Paris.
447. Hadamard J. A968b). Sur les donnees aux limites dans les equations
aux derivees partielles de la physique mathematique. Euvres, tome III,
p. 1161—1163, С N. R. S., Paris.
448. Hadamard J. A968c). Quelques cas d'impossibllite du probleme de Ca-
uchy. Euvres, tome III, p. 1457—1470, С N. R. S. Paris.
449. Hamilton O. H. A947). A fixed point theorem for upper semicontinuous
transformations of n-cells for which the images of points are non -acyclic con-
tlnua. Dukeittath. J., 14, 689—693.
450. Hanouzet B. and J о 1 у J. L. A975a). Methodes d'ordre dans I'inter-
pretation de certains inequations variationnelles et applications. C. R. Ac. Sci.
Paris, 281, 373—376.
451. Hanouzet B. and J о 1 у J. L. A975b). Un resultat de regularity
pour une inequation quasivariationnelle du tupe de Neumann intervenant
dansun probleme decontrole impulsionnel. С R. Ac. Sci. Paris, 281, 799—800.
452. Hanouzet B. and J о 1 у J. L. A977). Un resultat de regularity pour
ine inequation quasi variationnelle du type de Neumann intervenant dans un
probleme de contrble impulsionnel. J. Math. Pures Appl., (9M6, 327—337.
453. Hanouzet B. and J о I у J. L. A978). Convergence uniforme des iteres
definisant la solution d'une inequation quasivariationnelle absraite. С R. Ac.
Sci. Paris 286, 735—738.
28 К. Байокки, А. Капело 433

454. Hanouzet В. and Joly J. L. A979a). Methodes d'ordre dans l'inter-
pretation de certains inequations variationneles et applications. J. Functional
Analysis, 34, 217—249.
455. Hanouzet B. and Joly J. L. A979b). Convergence geometrique des
iterees definisant la solution d'une I. Q. V. abstraite. In: Proc. Intern. Meeting
on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi,
E. Magenes, and U. Mosco), p. 425—431, Pitagora, Bologna.
456. Hanouzet B. and J о 1 у J. L. A979c). Regularity W^.p pour une
I. Q. V. avec conditions de Neumann. In Proc. Intern. Meeting on Recent
Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De Giorgi, E. Mage-
- nes and U. Mosco), p. 433—439, Pitagora, Bologna.
457. H a r a u x A. A977). How to differentiate the projection on a convex set in
Hilbert space. Some applications to variational inequalities. J. Math. Soc.
Japan, 29, 615—631.
458. H a r r M. E. A962). Groundwater and Seepage. McQraw—Hill, New York.
459. Hartman P. and Stampacchia G. A966). On some non-linear
elliptic differential—functional equations. Acta Math., 115, 271—310.
460. Haugazeau Y. A967). Sur les inequations variationnelles. С R. Ac.
Sci. Paris, 265, 95—98.
461. Haugazeau Y. A968). Sur les inequations variationnelles et la mini-
minimisation de fonctionnelles convexes. These, universite de Paris, Paris.
462. Hewitt E. and S t г о m b e г g K. A965). Real and Abstract Analy-
Analysis. Springer, Berlin.
463. H i 1 1 e E. A972). Methods in Classical and Functional Analysis. Addison —
Wesley, Reading.
464. Hogbe —Nlend H. A977). Bornologies and Functional Analysis.
North—Holland, Amsterdam.
465. H о р f E. A952). A remark on linear elliptic differential equations of se-
second order. Proc. Amer. Math. Soc, 3, 791—793.
466. Hormander L. A960). Estimates for translation invariant operators
_" In U spaces. Acta Math., 104, 93—140.
467?Horvath J. A966). Topological Vector spaces and Distributions.
'Volume I, Addison—Wesly, Reading.
468." H u S. T. A965). Theory of Retracts. Wayne State University Press, Det-
Detroit.
469. H u s a i n T. A965). The Open Mapping and Closed Graph Theorems in To-
Topological Vector Spaces. Vieweg, Braunschweig.
470. Istratescu V. I. A973). Introducere in Teoria Punctelor Fixe. Aca-
demiei, Bucuresti.
471. Jameson G. A970). Ordered Linear Spaces. Lecture Notes in Mathematics,
141, Springer, Berlin.
472. J a w e r t h B. A978). The trace of Sobolev and Besov spaces if 0 < p < 1.
Studia Math., 62, 65—71.
473. Jensen R. A977). Structure of the non-monotone free-boundaries in a
filtration problem. Indiana Univ. Math. J., 26, 1121—1135.
474. Jensen R. A980a). Boundary regularity for variational inequalities.
Indiana Univ. Math. J., 29, 495—504.
475. Jensen R. A980b). Fluid flow through a porous media. In: Free Boundary
Problems (ed. E. Magenes), vol. I, p. 133—149, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Is-
tituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
476. Jensen R. A982). Finite difference approximation to the free boundary
of a parabolic inequality. To appear.
477. John F. A955). A note on «improper» problems in partial differential equa-
equations. Comm. Pure Appl. Math., 8, 591—594.
478. Joly J. L. A973). Une famille det opologles sur Pensemble des fonctions
convexes pour lesquelles la polarite est bicontinue. J. math. Pures Appl.,
(9M2, 421-441.
479. Joly J. L. A974). 1. Q. V. stationnaire pour une operateur differentiet
du 2e ordre. In Atti Giorn. Analisi Convessa e Applicazioni (Roma, 1974),
p. 41—50, Quad. Gruppi Ric. Mat. С N. R., Universita di Roma, Roma.
434

4 80. J о 1 у J. L. and M о s с о U. A974). Sur les inequations quasi-variatlon-
nelles. С R. Ac. Sci. Paris, 279, 499—502.
481. Joly J. L., and M о s с о U. A975). Remarques sur les inequations quasi-
variationnelles. In Control Theory, Numerical Methods and Computer Systems
Modelling (eds. A. Bensoussan and J. L. Lions), p. 625—642, Proc. Intern.
Symp. (Rocquencourt, 1974), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 107, Sprin-
Springer, Berlin.
482. J о 1 у J . L. and M о s с о U. A979). A propos de l'existence et de la regir
larite de solutions de certaines inequations quasivariationnelles. J. Functional
Anal., 34, 107—137.
483. Joly J. L.Mosco U. and Troianiello G. A974). Un resultat de regula-
rite pour une inequation quasi — variationnelle intervenant dans un proble-
me de contr61e impulsionnel. C. R. Ac. Sci. Paris, 279, 937—940.
484. Joly J. L., M о s с о U. and Troianiello G. A977). On the regular solu-
solution of a quasi—variational inequality connected to a problem of stohastic
impulse control. J. Math. Annal. Appl., 61, 357—369.
485. Kakutani S. A941). A generalization of Brouwer's fixed point theorem.
Duke Math. J ., 8, 457—459.
486. К a n n a i Y. A981). An elementary proof of the no-retraction theorem.
Amer. Math. Monthly, 88, 264—268.
487. К a t о Т. A964). Demicontinuity, hemicontinuity and monotonicity. Bull.
Amer. Math. Soc, 70, 548—550.
488. Kato T. A967). Demicontinuity, hemicontinuity and monotonicity, II.
Bull. Amer. Soc, 73, 886—889.
489. Kawarada H. A979). Numerical methods for free surface problems by
means of penalty. Computing methods in Applied Sciences and Engineering, I
(eds. R. Glowinski and J. L. Lions), p. 282 — 291, Proc. Intern. Symp.
IRIA—Laboria A977), Lecture Notes In Mathematics, 704, Springer,
Berlin.
490. К e 1 1 e у J. L. A942). Hyperspaces of a continuum. Trans. Amer. Math.
Soc, 52, 22—36.
491. К e 1 1 e у J. L. A950). The Tychonoff product theorem implies the axiom
of choice. Fund. Math., 37, 75—76.
492. Kelley J. L., Namioka I. and Co — authors A963). Linear
Topological Spaces. D. Van Nostrand, Princeton.
493. К e 1 1 о g O. D. A929). Foundations of Potential Theory. Springer, Berlin.
494. К el log R. B. A976). Uniqueness in the Schauder fixed point theorem.
Proc. Amer. Math. Soc, 60, 207—210.
495. К i к u с h i N. A977a). An analysis of the variational inequalities of see-
seepage flow by finite—element methods. Quart. Appl. Math., 35, 149—
163.
496. К i к и с h i N. A977b). Seepage flow problems by variational inequalities:
theory and approximation. Intern. J. Num. Anal. Meth. Geomechanics, 1,
283.
497. Kikuchi N. and О den J. T. A979). Theory of variational inequali-
inequalities with applications to problems of flow through porous media. TICOM Report,
79—4, University of Texas, Austin.
498. Kinder lehrer D. A971). The coincidenee set of solutions of certain
variational inequalities. Arch. Rational Mech. Anal., 40, 231—250.
499. Kinderlehrer D. A973). How a minimal surface leaves an obstacle.
Acta Math., 130, 221—242.
500. Kinderlehrer D. A974). Remarks about the free boundaries occurring
in variational inequalities. New Variational Techniques in Mathematical Phy-
Physics (eds. G. Capriz and G. Stampacchia), p. 104—119, Proc. С I. M. E. (Bre-
ssanone, 1973), Cremonese, Roma.
501. Kinderlehrer D. A975). Elliptic variational inequalities. Proc. In-
International Congresses of Mathematicians (Vancouver, 1974) (ed. R. D. James),
vol. 2, p. 269—273, Canadian Mathematical Congress, Vancouver.
502. Kinderlehrer D: A978). Variational inequalities and free boundary
problems. Bull. Amer. Math. Soc, 84, 7—26.
28* 435

503. Kinderlehrer D. rA981). The smoothness of the solution of the boundary
obstacle problem. J. Math. Pures Appl., (9N0, 193—212.
504. Kinderlehrer D. and Nirenberg L. A977). Regularity in free
boundary problems. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, DL, 373—391.
505. Kinderlehrer D., Nirenberg L. and S p r u с к J. A978a).
Regularite dans les problemes elliptiques a frontiere libre. C. R. Ac. Sci. Paris,
286, 1187—1190.
506. Kinderlehrer D., Nirenberg L. and S p r u с к J. A978b).
Regularity in elliptic free boundary problems, I. J. D. D'Analyse Math., 34,
86—119.
507. Kinderlehrer D., Nirenberg L. and S p r u с к J. A979).
Regularity in elliptic free boundary problems, II. Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa, DN, 637—683.
508. Knaster В., Kuratowski C. and Mazurkiewicz S.
A929). Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur n-dimensionale Simplexe. Fund
Math., 14, 132—137.
509. Kohn J. J. A976). Uno sguardo agli operatori pseudo-differenziali. Boll.
U. Mat. Ital., DI0, 237—297.
510. Kolodner I. I. A968). On completeness of partially ordered sets and
fixpoint theorems for isotone mappings. Amer. Math.-Monthly, 75, 48—49.
511. К б t h e G. A970). Topological Vector Spaces I. Springer, Berlin.
512. К б t h e G. A979). Topological Vector Spaces II. Springer, Berlin.
613. К г a n z P. A972). Additive functional on abelian semigroups. Comment.
Math. Ann. Soc. Math. Pol., 16, 239—246. ~"
514. К r a s n о s e Г s к i I M. A. and R u t i с к i I Ya. B. A961). Convex
Functions and Orlicz spaces. Noordhoff, Groningen.
515. К u f n er A., J о hn O. and F u с i к S. A977). Function Spaces. Aca-
demia, Prague/Noordhoff, Leyden.
516. Kuratowski C. A972). A general approach to the theory of setvalued
mappings. General Topology and its Relations to Modern Analysis and Alge-
Algebra III (ed. J. Novak), p. 271— 280. Proc. Third Prague Topological Symp,
(Prague, 1971), Academia, Prague/ Academic Press, New York.
517. Laborde P. A976). Problemes quasi variationnelles en viscoplasticite
avec ecrouissage. С R. Ac. Sci. Paris, 283, 393—396.
518. L a e t s ch T. A975). A uniqueness theorem for elliptic quasi—variational
inequalities. J. Functional Anal., 18, 286—287.
519. Lang S. A962). Introduction to Differentiable Manifolds. Interscience,
New York.
520. L a n g 1 a i s M. A979). Un probleme unilateral degenere. Proc. Intern.
Meeting on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978) (eds. E. De
Giorgi, E. Magenes, and U. Mosco), p. 441—454, Pitagora, Bologna.
621. L a v r e n t i e v M. M. A967). Some Improperly Posed Problems of Mathe-
Mathematical Physics. Springer, Berlin.
522. L a x P. D. and M i 1 g r a m A. N. A954). Parabolic equations. Contri-
Contributions to the Theory of Partial Differential Equations (eds. L. Bers, S. Bo-
chner, and F. John), p. 167—190. Proc. Conf. on Partial Differential Equa-
Equations (Harriman, 1952), Princeton University Press, Princeton.
523. L e г а у J. and Schauder J. A934). Topologie et equations fonction-
nelles. Ann. Ecole Norm. Sup., CM1, 45—78.
524. L e w у Н. and Stampacchia G. A969). On the regularity of the
solution of a variational inequality. Comm. Pure Appl. Math., 22, 153—188.
525. Lions J. L. A955). Problemes aux limites en theorie des distributions-
Acta Math., 94, 13—153.
526. Lions J. L. A956). Sur les problemes aux limites du type derivee oblique.
Ann. of Math., BN4, 207—239. '¦¦ ,
527. Lions J. L. A961). Equations Differentielles Operationnelles et Proble-
Problemes aux Limitts. Springer, Berlin.
528. Lions J. L. A965). Problemes aux Limites dans Equations aux Derivees
Partielles. Les Presses de l'Universite de Montreal, Montreal Bnd ed.).
529. Lions J. L. A969b). Sur quelques problemes de calcul des variations.
Symp. Math., 2, 125—144.
436

630. Lions J. L. A973a). Sur le controle optimal des systemes distribues. En-
seignement Math., BI9, 125—166.
531. L i о n s J. L. A974). Various topics in the theory of optimal control of
distributed systems. Optimal Control Theory and Its Applications (ed. B. J.
Kirby), part I, p. 166—309, Proc. 14th Biennial Sem. Canadian Math.
Congress (London, 1973), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 105, Springer,
Berlin.
532. Lions J. L. A975a). Sur la theorie du controle. Proc. International Con-
Congresses of Mathematicians (Vancouver, 1974) (ed. R. D. James), vol. 1,
p. 139—154, Canadian Mathematical Congress, Vancouver.
633. Lions J. L. A975b). On the numerical approximation of problems of im-
impulse controls. Optimization Techniques (ed. G. I. Marchuk), p. 232—251,
Proc. IFIP Techn. Conf. (Novosibirsk, 1974), Lecture Notes Computer Sci-
Science, 27, Springer, Berlin.
534. Lions J. L. A975c). Remarks on some new nonlinear boundary value
problems. Proc. Symp. Partial Differential Equations and Related Topics*
(New Orleans, 1974) (ed. J. A. Goldstein), p. 301—328, Lecture Notes in Ma-
Mathematics, 446, Springer, Berlin.
535. Lions J. L. A975d). On free surface problems: methods of variational
and quasi—variational inequalities. Computational Mechanics (ed. J. T. Oden),
p. 129—148, Proc. Intern. Conf. Computer Methods in Nonlinear Mechanics
(Autin, 1974), Lecture Notes in Mathematics, 461, Springer, Berlin.
636. Lions J. L. A976a). Asymptotic behaviour of solution of variational
inequalities with highly oscillating coefficients. Applications of Methods
of Functional Analysis to Problems in Mechanics (eds. P. Germain and B. Nay-
roles), p. 30—55, Proc. Joint Symp. IUTAM/IMU (Marseille, 1975), Lecture
Notes in Mathematics, 503, Springer, Berlin.
637. Lions J. L. A976b). Sur Quelques Questions d'Analyse, de Mecanique
et de Controle Optimal. Les Presses de l'universite de Montreal, Montreal.
538. Lions J. L. A976c). Some methods of resolution of free surface problems.
Proc. 5th Intern. Conf. Numerical Methods in Fluid Dynamics (Enschede, 1976)
(eds. A. I. Van de Vooren and P. J. Zandbergen), p. 1—31, Lecture Notes in
Physics, 59, Springer, Berlin.
539. Lions J. L. A977a). Sur l'approximation de problemes a frontiere dans
les materiaux inhomogenes. Proc. Conf. Mathematical Aspects of Finite
Element Methods (Rome, 1975) (eds. I. Galligani and E. Magenes), p. 194—
203, Lecture Notes in Mathematics, 606, Springer, Berlin.
640. Lions J. L. A977b). Some aspects of the theory of linear evolution equa-
• tions. Boundary Value Problems for Linear Evolution Partial Differential
Equations (ed. H. G. Garnir), p. 175—238, Proc. NATO Adv. Study Institute
(Liege, 1976), D. Reidel, Dordrecht.
541. Lions J. L. A978). Remarks on the relationships between free surfaces
and optimal control of distributed systems. Optimization Techniques (ed.
J. Stoer), part 1, p. 28—40, Proc. 8th IFIP Conf. Optimization Techniques
/ (Wurzburg, 1977), Lecture Notes Control and Information Sciences, 6, Sprin-
- ger, Berlin.
542. Lions J. L. and Magenes E. A960). Problemi at limiti non omoge-
nei, I. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, CI4, 269—308.
543. Lions J. L. and Magenes E. A961a). Problemes aux limites mon
homogenes, II. Ann. Inst. Fuorier, 11, 137—178.
644. Lions J. L. and Magenes E. A961b). Problemi ai limiti non omo-
genei, III. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, CI5, 41—103.
545. Lions J. L. and Magenes E. A961c). Problemes aux limites non
homogenes, IV. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, CI5, 311—326.
546. Lions J. L. and Magenes E. A962). Problemi ai limiti non omoge-
nei, V. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, CI6, 1—44.
547. Lions J. L. and Magenes E. A963a). Problemes aux limites non
homogenes, VI. J. D'Analyse Math., 11, 165—188.
548. Lions J. L. and Magenes E. A963b). Problemes aux limites non
homogenes, VII. Ann. Mat. Рига Appl., DN3, 201—224.
549. Lions J. L. and M a g e n e s E. A972b). Non—Homogeneous Boun-
437

dary Value Problems and Applications. Volume II, Springer, Berlin
(French ed. A968): Dunod, Paris).
650. Lions J. L. and M a g e n e s E. A973). Non—Homogeneous Boundary
Value Problems and Applications. Volume III, Springer, Berlin (French ed.
A970): Dunod, Paris).
551. L i о n s J. L. and Stampacchia Q. A967). Variational inequali-
inequalities. Comm. Pure Appl. Math., 20, 493—519.
552. L о i n g e r E. A980). A finite element approach to a quasi-variational ine-
inequality. Calcolo, 17, 197—209.
553. Lojasiewicz S. A957). Sur la valeur et la limite d'une distribution en
un point. Studia Math., 16, 1—36.
554. Luenberger D. G. A973). Introduction to Linear and Nonlinear Pro-
Programming. Addison—Wesley, Reading.
555. L u x e m b e r g W. S. and Z a a n e n A. C. A971). Riesz Spaces, volume
I. North—Holland, Amsterdam.
556. Magenes E. A964). Spazi di interpolazione ed equazioni a derivate par-
ziali. Atti VII Cong, dell'unione Matematica Italiana (Qenova, 1963), p. 134—
197, Cremonese, Roma.
557. Magenes E. A972). Su alcuni problemi ellittici di frontiera libera con-
nessi con il comportamento dei fluidi nei mezzi porosi-.-^ymp. Math., 10, 265—
279.
558. Magenes E. A973). Problemes de frontiere libre lies a certaines questions
d'hydraulique. Equadiff 3, p. 51—58, Proc. Czechoslovak Conf. Differential
Equations and Applications (Brno, 1972), J. E. Purkyne Univ., Brno.
559. Magenes E. A977). Topics in parabolic equations: some typical free bo-
boundary problems. Boundary Value Problems for Linear Evolution Partial
Differential Equations (ed. H. G. Garnir), p. 239—312, Proc. NATO Adv.
Study Institute (Liege, 1976), D. Reidel, Dordrecht.
560. Magenes E., Editor A980). Free Boundary Problems, 2 vol. Proc.
Sem. (Pavia, 1979), Instituto Nazionale di Alta Matematica, Roma.
561. Magenes E. A982). Problemi di Stefan bifase in piu variabili. To
appear on Atti Sem. di Analisi Funzionale e Applicazioni (S. A. F. A. V) (Ca-
(Catania, 1981).
562. Magenes E. and Stampacchia G. A958). I problemi al contorno
per le equazioni differenziali di tipo ellittico. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, CI2,
247—358.
563. M a i о n e U. A980). Free boundary problems in fluid flow through porous
media from the engineering point of view. In Free Boundary Problems (ed.
E. Magenes), vol. I, p. 79—87, Proc. Sem. (Pavia, 1979), Istituto Nazionale
di Alta Matematica, Roma.
564. Marinescu G. A963). Espaces Vectoriels Pseudotopologigues et Theo-
rie des Distributions. Deutscher Verlag, Berlin.
565. M a r t e 1 1 i M. A975). A Rothe's type theorem for non-compact acyclic—
valued maps. Boll. U. Mat. Ital., DI1 (suppl. fasc. 3), 70—76.
566. M a r t e 1 1 i M. and V i g n о 1 i A. A974a). On differentiability of multi-
multivalued maps. Boll. U. Mat. Ital., DI0, 701—712.
567. M a r t e 1 1 i M. and V i g n о 1 i A. A974b). A generalized Leray—Schau-
der condition. Rend. Ac. naz. Lincei, (8M7, 374—379. •
568. M a t z e u M. and Vivaldi M. A. A979). On the regular solution of
a nonlinear parabolic quasi—variational inequality related to a stochastio
control problem. Comm. Partial Diff. Eq., 4, 1123—1147.
569. M a t z e u M. and Vivaldi M. A. A982). Esistenza e regolarita
'di soluzioni forti per disuguaglianze quasi—variazionali paraboliche relative
adun operatorenon lineare. To appear.
670. M a u r i n S. A976). Methodes de decomposition appliquees aux problemes
de controle impulsionnel. Optimization Modeling and Optimization in the
Service of Man, Part 2 (ed. J. Cea), p. 169—191, 7th IFIP Conf. (Nice, 1975),
Lecture Notes in Computer Science, 41, Springer, Berlin.
671. M a z u r S. A930). liber die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene kom-
pakte Menge enthalt. Studia Math., 2, 7—9.
672. McAllister G. and R о h d e S. A975). A variational formulation
438

for a class of free boundary problems arising in hydrodynamic lubrication.
Int. J. Eng. Sci., 13, 841—850.
573. Menaldi J. A977a). Sur le probleme de controle impulsionnel et l'ine-
quation quasi variationnelle degeneree assoicee. С R. Ac. Sci. Paris, 284, 1499—
1502.
574. Menaldi J. A977b). Sur le probleme de temps d'arret et l'inequation va-
variationnelle degeneree associee. C. R. Ac. Sci. Paris, 284, 1443—1446.
575. Meyers N. G. and S e r r i n S. A964). H = W. Proc. Nat. Ac. Sci.
U. S. A., 51, 1055—1056.
576. Michael E. A951). Topologies on spaces of subsets. Trans. Amer. Math.
Soc, 71, 152—182.
577. Michael E. A956a). Continuous selections, I. Ann. of Math., B) 63, 361—
382.
578. Michael E. A956b). Continuous selections, II. Ann. of Math., BN4, 562—
580.
679. M i с к 1 e E. J. A949). On the extension of a transformation. Bull. Amer.
¦Math. Soc, 55, 160—164.
580. M i e 11 о u J. С A976). A mixed relaxation algorithm applied to quasi—
variational inequations. Optimization Techniques: Modelling and Optimization
in the Service of Man., Part 2 (ed. J. Cea), p. 192—199, Proc. 7th IFIP Conf.
(Nice, 1975), Lecture Notes in Computer Science, 41, Springer, Berlin.
Б81. M i g n о t F. A975a). Contr61e dans Ies inequations variationnelles. С R.
Ac. Sci Paris, 280, 197—200.
582. M i g n о t F. A975b). Inequations variationnelles et contrdle. These, Uni-
versite de Paris, Paris.
583. Mignot F. A976). Contrdle dans Ies inequations variationnelleselliptiques.
J. Functional Anal., 22, 130—185.
584. Mignot F. and P u e 1 J. P. A975a). Solution maximum de certainsjine-
quations d'evolution paraboliques, et inequations quasi variationnelles para-
boliques. С R. Ac. Sci. Paris, 280, 259—262.
585. M i g n о t F. and P u e I J. P. A975b). Systemes d'inequations hyper-
boliques du premier ordre failblement couples et inequations quasi—varia-
quasi—variationnelles associees. С R. Ac. Sci. Paris, 280, 423—426.
586. Mignot F. and P u e 1 J. P. A976). Inequations variationnelles et
quasivariationnelles hyperboliques du premier ordre. J. Math. Pures Appl.,
(9M5, 353—378.
687. M i g n о t F. and P u e 1 J. P. A977). Applications aux inequations^qua-
si—variationnelles d'evolution. Arch. Rational Mech. Anal., 64, 59—91.
588. M i I n о r J. A978). Analytic proofs of the «hairy ball theorem» and the Brou-
wer fixed point theorem. Amer. Math. Monthly, 85, 521—524.
589. M i n t у J. G. A967). On the generalization of a direct method of the calcu-
calculus of variations. Bull. Amer. Math. Soc, 73, 315—321.
590. Miranda C. A949). Problemi di Esistenza in analisi Funzionale. Quad.
Mat. Scuola Norm. Sup. Pisa, 3, Tacchi, Pisa.
591. Miranda С A969). Su un problema di frontiera libera. Symp. Math., 2,
71—83.
592. Miranda С A978). Istltuzioni di Analisi Funzionale Lineare. Monografie
dell'Unione Mat. Hal., Oderisi, Gubbio.
593. Moreau J. J. A967). Fonctionnelles Convexes. Seminaire sur Ies Equa-
Equations aux Derivees Partielles, College de France, Paris.
594. Mo r i с e Ph. A975). Une methode d'optimisation de forme de domaine.
Application a i'ecoulement stationnaire a travers une digue poreuse. Control
Theory, Numerical Methods and Computer Systems Modelling (eds. A. Ben-
soussan anl J. L. Lions), p. 454—467, Proc. Intern. Symp. (Rocquencourt,
1974), Lecture Notes Econ. Math. Systems, 107, Springer, Berlin.
595. M о s с о U. A967a). A remark on a theorem of F. E. Browder. J. Math. Anal.
Appl., 20, 90—93.
596. M о s с о U. A967b). Approximations of the solutions of some variationa!
inequalities. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, CJ1, 373—394.
597. M о s с о U. A969a). Convergence of convex sets and of solutions of variatio-
variational inequalities. Adv. Math., 3, 510—585.
439

698. М о s с о U. A969b). Convergence of solutions of variational inequalities.
Theory and Applications of Monotone Operators (ed. A. Ghizzetti), p. 231—247,
Proc. NATO Advanced Study Institute (Venice, 1968), Oderisi, Gubbio.
599. M о s с о U. A973). An introduction to the approximate solution of variatio-
variational inequalities. Constructive Aspects of Functional Analysis (ed. G. Geymonat),
vol. II, p. 499—682, Proc. С I. M. E. (Erice, 1971), Cremonese, Roma.
600. M о s с о U. A974). Introduction to variational and quasi-variational inequa-
inequalities. Control Theory and Functional Analysis, Proc. Intern. Autumn Course
(Trieste, 1974), Intern. Centre for Theoretical Physics, Trieste.
601. Mo sco U. A976). Implicit variational problems and quasi-variational
inequalities. Nonlinear Operators and the Calculus of Variations (eds. J. P.
Gossez, E. L. Dozo, J. Mawhin and L. Waelbroeck), p. 83—166, Proc. Summer
School (Bruxelles, 1975), Lecture Notes in Mathematics, 543, Springer, Berlin.
602. M о s с о U. A977). Some quasi-variational inequalities arising in stochastic
impulse control theory. Theory of Nonlinear Operators, p. 183—195, Proc.
Intern. Summer School (Berlin, 1976), Akademie, Berlin.
603. Mosco U. A978a). Regularite forte de la fonction d'Hamilton — Jaco-
bi du controle impulsionnel et continu. C. R. Ac. Sci. Paris, 286, 211—
214.
604. Mosco U. A978b). Sur l'existence de la solution reguliere de l'inequation
quasi—variationnelle non lineaire du controle optimal impulsionnel et continu.
In Journees d'Analyse non Lineaire (eds. P. Benilan and J. Robert), p. 140—
159, Proc. Conf. (Bessancon, 1977), Lecture Notes in Mathematics, 665, Sprin-
Springer, Berlin.
605. Mosco U. A980). On some nonlinear quasi—variational inequalities and
implicit complementarity problems in stochastic control theory. Variational
Inequalities and Complementarity Problems (eds. R. W. Cottle, F. Giannessi
and J. L. Lions), p. 271—283, Wiley, Chichester.
606. Mosco U. and T г о i a n i e 1 1 о G. M. A973). On the smoothness of
solutions of unilateral Dirichlet problems. Boll. U. Mat. Ital., D)8, 57—67.
607. Mossino J. A976). Sur certaines inequations quasi—variationnelles
¦¦ apparaissant en physique. С R. Ac. Sci. Paris, 282, 187—190.
608. M о s s i n о J. A978). Application de inequations quasi—variationnelles a
quelques problemes non Iinearies de la physique des plasma. Israel J. Math,
30, 14—50.
609. Mossino J. , and T e m a m R. A977). Certains problemes non Iineaires
de la physique des plasmas. Proc. Conf. Mathematical Aspects of Finite Ele-
Element Methods (Rome, 1975) (eds. I. Galligani and E. Magenes), p. 237—260,
Lecture Notes in Mathematics, 606, Springer, Berlin.
610. Mossino J. and Zolesio J. A977). Solution variationnelle d'un
probleme non lineaire de la physique des plasmas. C. R. Ac. Sci. Paris, 285,
1033—1036.
611. Murthy M. K. V. and S t a m p а с с h i a G. A972). A variational
inequality with mixed boundary conditions. Israel J. Math., 13, 188—224.
612. N a d 1 e r S. B. A968). Sequences of contractions and fixed points. Paci-
Pacific J. Math., 27, 579—585.
613. Nadler S. B. A969). Multi— valued contraction mappings. Pacific J.
Math., 30, 475—488.
614. N a i m p a 1 1 у S. A. and W a r г а с к В. D. A970). Proximity Spaces.
Cambridge University Press, Cambridge.
615. Nakoulima O. A977a). Sur une notion de solution faible pour les ine-
inequations variationnelles devolution a deux obstacles. C. R. Ac. Sci. Paris,
284, 1037—1040.
616. Nakoulima O. A977b). Etude d'une inequation variationnelle bilate-
rale et d'un systeme d'inequations quasi-variationnelles unulaterals as-
sociee. These, Universite de Bordeaux, Bordeaux.
617. N a m i о к a I. A957). Partially ordered linear topological spaces. Mem.
Amer. Math. Soc.,24.
618. NeCas J. A967). Les Methodes Directes en Theorie des Equations Ellip-
tlques, Masson, Paris/Academia, Prague.
440

619. Nevanlinna R. andPaatero V. A969). Introduction to Complex
Analysis. Addison—Wesley, Reading (German ed. A965): Birkhauser, Basel).
620. Nirenberg L. A959). On elliptic partial differential equations. Ann.
Scuola Norm. Sup. Pisa, CI3, 115—162.
621. N i t s с h e J. С A975). Varlesungen tiber Minimalflachen. Springer, Ber-
Berlin.
622. N i t s с h e J. A977). Loo — convergence of finite element approximations
Proc. Conf. Mathematical Aspects of Finite Element Methods (Rome, 1975)
(eds. I. Galligani and E. Magenes), p. 261—274, Lecture Notes in Mathematics,
606, Springer, Berlin.
623. P a s с a 1 i D. and S b u r 1 a n S. A978). Nonlinear Mappings of Monotone
Type. Academiei, Bucuresti/Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn.
624. P e e t r e J. A961). Mixed problems for higher order elliptic equations in two
variables, I. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, CI5, 337—353.
625. P eet re J. A963). Mixed problems for higher order elliptic equations in
two variables, II. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, CI7, 1—12.
626. P e e t r e J. A966). Espaces d'interpolation et theoreme de Soboleff. Ann.
Inst. Fourier, 16A), 279—317.
627. Pejsachowicz J. A977). A Lefschetz fixed point theorem for multiva-
multivalued weighted mappings. Boll. U. Mat. Ital., EI4—A, 391—397.
628. P e[r e s s i n i A. A967). Ordered Topological Vector Spaces. Harper &
Row, New York.
629. P i e t r a P. A982). An up—wind finite element method for a filtration prob-
problem. To appear.
630. Ponomarev V. 1. A964). Properties of topological spaces preserved under
multivalued continuous mappings. Araer. Math. Soc. Transl. BK8, 119— 140
(Russian ed. A960): Mat. Sb., BM1, 515—536).
631. P о p a V. A980). Sur Ie mouvement a surfece libre dans Ies milieux po-
reux non homogenes. J. de Mecanique, 19, 663—678.
632. P о z z i G. A. A974a). On a free boundary problem arising from a fluid
flow through a porous medium in the presence of evaporation. Boll. U. Mat.
Ital., D)9, 416—440.
633. P о z z i G. A. A974b). Remarks about an evaporation problem. Pubbl. La-
boratorio di Analisi Numerica C. N. R., 81, Pavia.
634. Prodi G. A956). Tracce sulla frontiera delle funzioni di Beppo-Levi. Rend.
Sem. Mat. Univ. Padova, 26, 36—60.
635. Prodi G. A958). Tracce di funzioni con derivate di ordine 1 a qudrato in-
tegrabile su varieta di dimensione arbitratia. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova,
28, 402—432.
636. P rotter M. H. and Weinberger H. F. A967). Maximum Prin-
Principles in differential Equations. Prentice—Hall, Englewood Cliffs.
637. P u с с i С. A957). Proprieta di massimo eminimo delle soluzioni di equazio-
ni a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico e parabolico, I. Rend.
Ac. Naz. Lincei, (8J3, 370—375.
638. P u с с i С. A958). Proprieta di massimo e minimo delle soluzioni di equaziont
a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico e parabolico, II. Rend.
Ac. Naz. Lincei, (8) 24, 3—6.
639. P u с с i С. A964). Regolarita alia frontiera di soluzioni di equazioni elli-
ttiche. Ann. Mat. Рига Appl., DN5, 311—328.
640. Quarteroni A. and V i s i n t i n A. A980). On the numerical solu-
solution of a nonlinear variational equation related to a filtration problem. Boll.
U. Mat. Ital., EI7—B, 204—231.
641. R a d 6 T. A933). On the Problem of Plateau. Springer, Berlin.
642. R a v i a r t P. A. A972). Methode des Elements Finis. Universite de Paris
6 et С N. R. S., Paris.
643. R iesz F. A930). Sur la decomposition des operationsfonctionnelles Iine-
aires. Atti del Congresso Internazionale dei Matematici (Bologna, 1928), torm>
III, p. 143—148, Zanichelli, Bologna.
644. Robert R. A974). Differentiabilite et genericite. Atti Giorn. Analisi
Convessa e Applicazioni (Roma, 1974), p. 75—83, QuaH. Gruppi Ric. Mat.
C. N. R., Universita di Roma, Roma,
441

645. Robertson A. P. and Robertson W. A966). Topological Vec-
Vector Spaces. Cambridge University Press, Cambridge.
€46. Robin M. A975). Controle optimal de files d'attente. Rapport de Recher-
Recherche, 117, IRIA—Laboria, Rocquencourt.
647. Robin M. A976a). Contrdle impulsionnel avec retard pour les processus de
diffusion. С R. Ac. Sci. Paris, 282, 463—466.
648. Robin M. A976b). Sur le controle impulsionnel des processus markoviens
•% et semi—markoviens. С R. Ac. Sci. Paris, 282, 631—634.
649. Rockafellar R. T. A976). Integral functional, normal integrals and
measurable selections. Nonlinear Operators and the Calculus of Variations
(eds. J. P. Gossez, E. L. Dozo, J. Mawhin, and L. Waelbroeck), p. 157—207,
Proc. Summer School (Bruxelles, 1975), Lecture Notes in Mathematics, 543,
Springer, Berlin.
'650. Rockafellar R. T. A979). La Theorie des Sous—Gradients et ses
Applications a 1'Optimisation. Les Presses de l'universite de Montreal, Mont-
Montreal.
651. Rogers L. A. A980). A less strange version of Milnor's proof of Brouwer's
fixed—point theorem. Amer. Math. Monthly, 87, 525—527.
652. Roux D. and S о a r d i P. A971). Sui punti uniti di mappe continue
di uno spazio topologico in se. Riv. Mat. Univ. Parnw, BI2, 21—28.
653. R u b i n H. and Rubin J. A963). Equivalents of the Axiom of Choice.
North—Holland, Amsterdam.
•654. Rubin W. A970). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London/
Mladinska Knjiaga, Ljubljana.
655. Rutherford D. E. A965). Introduction to Lattice Theory. Oliver and
Boyd, Edinburgh.
656. Sansone G. and С о n t i R. A966).' Equazioni Differenziali Non Li-
¦¦ neari. Monografie Mat. С N. R., 3, Cremonese, Roma.
657. Schaefer H. H. A974). Banach Lattices and Positive Operators. Sprin-
Springer, Berlin.
658. Schaeffer D. A977). Some examples of singularities in a free boundary.
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, DL, '33—144.
659. Schauder J. A930). Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen. Studia
Math., 2, 171—180.
660. S ch ech t er M. A971). Spectra of Partial Differential Operators.
North—Holland, Amsterdam.
661. Schwartz J. T. A969). Nonlinear Functional Analysis. Gordon and
Breach, New York.
662. Schwartz L. A957). Su alcuni problemi della teoria delle equazioni di-
differenziali Iineari di tipo ellittico. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 27, 211—249.
663. Schwartz L. A960). Equations de Cordes Vibrantes. Centre de Docu-
Documentation Universitaire, Paris.
664. Schwartz L. A966). Theorie des Distributions. Hermann, Paris
Bnd ed.).
665. Schwartz L. A973). Radon Measures on Arbitrary Topological Spaces
and Cylindrical Measures. Oxford University Press, Oxford.
666. Scorza — Dragoni G. A955a). Un'osservazione sul lemma di Spemer.
Rend. Ac. Naz. Lincei, (8I9, 204—206.
667. Scorza — Dragoni G. A955b). Translazioni piane generalizzate.
Topologia, Proc. С I. M. E. (Varenna, 1955), Istituto Matematico dell'univer-
sita di Roma, Roma.
668. Scorza — Dragoni G. A978). II lemma di Spemer: sue implicazioni
negli spazi euclidei e questioni connesse. Applicazioni del Teorema del Punto
Fisso aH'Analisi Economica, p. 31—71, Ac. Naz. Lincei, Roma.
669. Shamir E. A968). Regularization of mixed second-order elliptic prob-
problems. Israel J. Math., 6, 150—168.
670. S h i m a M. A976). Analytical construction of the free boundary for non—
linear impulse control problems and its application to the optiaml design of
aerator systems. Rapport de Recherche, 194, IRIA—Laboria, Rocquencourt.
671. S h i m b о r s к i E. A975). Encadrement d'une frontiere Iibre relative
a un probleme d'hydralique. Boll. U. Mat. Ital., DI2, 66—67.
442

672. S i g n о r i n i A. A959). Questioni di elasticite non linearizzata e semill-
nearizzata. Rend. Mat., DI8, 95—139.
673. S i 1 v a J. S. A955). Su certe classi di spazi localmente convessi importantl
per le applicazioni. Rend. Mat., EI4, 388—410.
674. S i 1 v a J. S. A964). Integrals and orders of growth of distributions. Theory
of Distributions, p. 329—390, Proc. Intern. Summer Institute (Lisbon, 1964).
Instituto Gulbenkian de Ciencia, Lisboa.
675. S i 1 v a J. S. A967). Les series de multipoles des physiciens et la theorie des
ultradistributions. Math. Ann., 174, 109—142.
676. Smart D. R. A974). Fixed Point Theorems. Cambridge University Press,
Cambridge.
677. S m i t h s о n R. E. A972). Multifunctions. Nieuw Arch. Wisk., CJ0, 31—
53.
678. S о b о 1 e v S. L. A961). Sur les Equations aux Derivees Partielles Hyper-
boliques Non-Lineaires. Monografie Matem. del С N. R.» 9, Cremonese, Roma.
679. S о г a n i G. A969). An Introduction to Real and Complex Manifolds. Gor-
Gordon and Breach, New York.
680. S p a n i e r E. A966). Algebraic Topology. McGraw-Hill, New York.
681. Sperner E. A928). Neuer Beweis fur die Invarianz der Dimensionszahl
und des Gebietes. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 6, 265—272.
682. Sperner E. A955). Generalizzazioni del teorema di Brouwer sul punto
fisso. Topologia, Proc. С I. M. E. (Varenna, 1955), Istituto Matematico dell'
Universita di Roma, Roma.
683. Spruck J. A979). Regularity in elliptic free boundary problems. Proc.
Intern. Meeting on Recent Methods in Non—Linear Analysis (Rome, 1978)
(eds. E. De Giorgi, E. Magenes, and U, Mosco), p. 73—81, Pitagora, Bologna.
684. Stampacchia G. A964). Formes blllneaires coercitives sur les
ensembles convexes. С R. Ac. Sci. Paris, 258, 4413—4416.
685. Stampacchia G. A965). Le probleme de Dirichlet pour les equations
elliptiques du second ordre a coefficients discontinue. Ann. Inst. Fourier, 15A),
189—258.
886. Stampacchia G. A966). Equations Elliptiques du Second Ordre a
Coefficients Discontinue. Les Presses de'Universite de Montreal, Montreal.
887. Stampacchia G. A969). Variational inequalities. Theory and Appli-
Applications of Monotone Operators (ed. A. Ghizzeti), p. 101—192, Proc. NATO
„, Adv. Study Institute (Venice, 1968), Oderisi, Gubbio.
688. S t о e r J. and W i t z g a 1 1 С A970). Convexity and Optimization in
Finite Dimensions, I. Springer, Berlin.
689. Stone M. H. A962). A generalized Weierstrass approximation theorem.
Studies in Modern Analysis (ed. R. С Buck), p. 30—87, Mathematical Associ-
Association of America.
690. Szeptycki P. A982). A nonsteady problem in the theory of fluid flow
through porous media: existence and uniqueness of weak solutions. To appear.
691. S z p i 1 r a j n E. A930). Sur l'extension de l'ordre partie. Fund. Math., 16,
386—389.
692. SwaminathanS., Editor A976). Fixed Point Theory and Its App-
Applications. Proc. Sem.. (Halifax, 1975), Academic Press, New York.
693. Takahashi W. A976). Nonlinear variational inequalities and fixed
point theorems. J. Math. Soc. Japan, 28, 168—181.
694. Tartar L. A974a). Inequations quasi variationnelles abstraites. С R. Ac.
Sci. Paris, 278, 1193—1196.
695. Tartar L. A974b). Inequations quasi variationnelles. Atti Giorn. AnalisI
Convessa e Applicazioni (Roma, 1974), p. 94— 100, Quad. Gruppi Ric. Mat.
•'' С N. R., Universita di Roma, Roma.
896. Tartar L. A974c). Convergence d'operateurs differentiels. Atti Giorn.
Analisi Convessa e Applicazioni (Roma, 1974), p. 101—104, Quad. Gruppi
Ric. Mat. С N. R., Universita di Roma, Roma.
697. Tartar L. A975). Variational methods and monotonicity. MRC Technical
Summary Report, 1571, University of Wisconsin, Madison.
698. Taylor A. E. A958). Introduction to Functional Analysis. Wiley, New
York/Toppan, Tokyo.
443

699. T e m a m R. A970). Analyse Numerique. Presses Universitaires de France,
Paris.
700. T e m a m R. A976a). A non-linear eigenvalue problem: the shape at equilib-
equilibrium of a confined plasma. Arch. Rational Mech. Anal, 60, 51—73.
701. T e m a m R. A976b). Determination de la configuration d'equilibre d'un
plasma. Applications of Methods of Functional Analysis to Problems in Mecha-
Mechanics (eds. P. Germain and B. Nayroles), p. 511—520, Proc. Joint Symp.
IUTAM/IMU (Marseille, 1975), Lecture Notes in Mathematics, 503, Springer,
Berlin.
702. Temam R. A977). Remarks on a free boundary value problem arising
in plasma physics. Comm. Partial Diff. Eq., 2, 563—585.
703. T о m a r e 1 1 i F. A978). Un probleme de fluidodynamique resolu avec les
inequations variationnelles. С R. Ac. Sci. Paris, 286, 999—1002.
704. T о r e 1 1 i A. A974). Su un problema di filtrazione da un canale. Rend. Sem.
Mat. Padova, 52, 25—58.
705. T о r e 1 1 i A. A975a). Un probleme a frontiere libre devolution en hydrauli-
que. С R. Ac. Sci. Paris, 280, 353—356.
706. T о r e 1 1 i A. A975b). Su un problema di frontiera libera di evoluzione.
Boll. U. Mat. Hal., DI1, 559—570.
707. T о r e 1 I i A. A977a). Su un problema non Iineare con una condizione di
evoluzione sulla frontiera. Ann. Mat. Рига Appl., DI12, 91 — 106.
708. T о r e 1 1 i A. A977b). On a free boundary problem connected with a nor»
steady filtration phenomenon of compressible fluid. Pubb. Laboratorio Analisi
Numerica С N. R., 148, Pavia.
709. T о r e I I i A. A977c). Existence and uniqueness of the solution of a non
steady free boundary problem. Boll. U. Mat. Hal., E) 14—B, 423—466.
710. T о r e 1 1 i A. A977d). On a free boundary value problem connected with a
non steady filtration phenomenon. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, DL, 33—
59.
711. Tr eves F. A966). Linear Partial Equations with Constant Coefficients.
Gordon and Breach, New York.
712. T r e v e s F. A976a). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels.
Academic Press, New York.
713. T г е у е s F. A967b). Locally Convex Spaces and Linear Partial Differential
Equations. Springer, Berlin.
714. T r e v e s F. A975). Basic Linear Partial Differential Equations. Academic
Press, New York.
715. T r e v e s F. A978). Applications of pseudo—differential operators to coer-
coercive and non—coercive elliptic boundary value problems. Pseudodifferential
Operators with Applications (ed. A. Avantaggiati), p. 163—246, Proc. С I. M. E.
(Bressanone, 1977), Cremonese, Roma.
716. T у ch о n о f f A. A935). Ein Fixpunktsatz. Math. Ann., Ill,
767—776.
717. Valentine F. A. A943). On the extension of a vector function so as k>
preserve a Lipschitz condition. Bull. Amer. Math. Soc, 49, 100—108.
718. Vietoris L. A923). Kontinua zweiter Ordnung. Monatsh. Math., 33,
49—62.
719. V i s i n t i n A. A979). Study of a free boundary filtration problem by a non-
nonlinear variational equation. Boll. U. Mat. Hal., E) 16—B, 212—237.
720. V is i n t i n A. A980a). An existence result for an evolution free boundary
filtration problem. Free Boundary Problems (ed. E. Magenes), vol. I, p. 219—
227, Proc. Sem. (Pavia, 1979). Istituto Nazionale di Alta Matematica,
Roma.
721. V i s i n t i n A. A980b). Existence results for some free boundary filtration
problems. Ann. Mat. Рига Appl., DI24, 293—320.
722. Waelbroeck L. A971). Topological yector Spaces and Algebras. Lecture
Notes in Mathematics, 230, Springer, Berlin.
723. Weinberger H. F. A974). Variational methods for eigenvalue approxi-
approximation. Regional Conf. Series in Appl. Math., 15.
724. Wells J. H. and W i I 1 i a m s L. R. A975). Embeddings and Exten-
Extensions in Analysis. Springer, Berlin.
444

725. Whyburn G. Т. A965). Continuity of raultifunctions. Proc. Nat. Ac.
Sci. USA, 54, 1194—1501.
726. Wong Y. С and N g K. F. A973). Partially Ordered Topological Vector
Spaces. Clarendon, Oxford.
727. Zarantonello E. H. A971). Projections on convex sets in Hilbert
space andrspectral theory. Contributions to Nonlinear Functional Analysis (ed.
E. H. Zarantonello), p. 237—424, Academic Press, New York.
728. Zarantonello E. H. A974). L'algebre des projecteurs conlques. Ana-
Analyse Convexe et Ses Applications (ed. J. P. Aubin), p. 232—243, С R. Joumees
d'Analyse Convexe (S. Pierre de Chartreuse, 1974), Lecture Notes Econ. Math.
Systems, 102, Springer, Berlin.
729. Z о w e J. A974). Subdifferentiability of convex functions with values in an
ordered vector space. Math. Scand., 34, 69—83.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алоглу — Бурбаки теорема 223
Атлас 343, 344
— аналитический 345
— канонический 345
Бабича продолжение 99
Базис фильтра 326
Банаха — Рисса пространство 391
Банаха теорема о неподвижной точке 13
Бесселевы потенциалы 83
Билинейная форма 26
граничная 152
¦ коэрцитивная 26, 143
непрерывная 26
сильно коэрцитивная 143
симметричная 26
эллиптическая 143
Брауэра теорема 216
Брезнс —Стампаккьи теорема 186
Вариационная селекция 248
— формулировка задачи о минимизации 21
Вариацнониое неравенство 26
— сеченне 248
Верхняя грань множества 380
Висящий источник 271
Дифференциальный оператор полулинейный
126
равномерно сильно эллиптический 134
— ¦— с главной частью в дивергентной
форме 134
смешанного типа 129
ультрагиперболический 129
Фурье 130~
— — эллиптический 129
Дюпюи парабола 275
Естественные условия 148
Жеврэ класс 72
Замкнутая функция 77
Задача краевая 131
— на собственные значения 125
— о мембране 119
— — минимизации 14
— — препятствии 9, 111, 172
— с косоЗ производной 163
— — неопределенными условиями 171
односторонними' условиями 171
— со свободной границей 171
— с тангенциальной производной 132
Гато дифференциал 37
— производная 37
Гельдера условие 53
Гильбертов триплет 149
Главная часть оператора 128
Главные условия 148
Годографа плоскость 317
Гомогенизация 250
График 77
Грина формула 368
в задаче о дамбе 292
классическая 369
обобщенная 375
Дарси закон 273
Дирака распределение 71
Дирихле задача 131, 136, 158, 159, 183
— пространства 107
— условие 131
Дирихле — Неймана смешанная задача 132
Дифференциальный оператор 126
гармонический 132
гиперболический 129
Д'Аламбера 130
квазилинейный 126
Лапласа 130
линейный 126
метагармоиический 132
нормально гиперболический 129
параболический 129
параболический 129
446
Индикатриса 40
Индуктивная система 381
Интерпретация вариационной задачи 114,
146
Инъекция 48
— каноническая 48
— непрерывная 48
— плотная 48
Какутани теорема 223
Капиллярная кайма 319
Квазивариационное неравенство 247, 2491
Киастера — Бнркгофа теорема 229
Киастера — Куратовского — Мазуркевича
лемма 211
Контактное множество 115
Коши задача 131
Коши — Римана дифференциальные
уравнения 360
Кошн формула 359
Коэрцитивность билинейной формы 26
— оператора 185
— функции 17
Крайняя линия 273
Лакса — Мильграма лемма 35, 244
Линия просачивания 273
Лиоиса — Стампаккьи теорема 2Г, 244
Локальная гладкость 183
— карта пространства 344

Локальное конечное семейство 54
Максимальный элемент множества 380
Максимум множества 380
Метод компактности 260
— монотонности 260
— плоскости годографа 317
Минимальный элемент множества 380
Минимизация выпуклых функционалов 35
— квадратичных функционалов 19
Минти лемма 186, 235
Многозначное отображение 398
— — гиперинъективиое 401
квазисюръектиаиое 401
монотонное 410, 412
непрерывное 407
, непрерывное по Липшицу 404
иерастягивающееся 405
, полунепрерывное сверху 407
, полунепрерывное снизу 407
хеми-полуиепрерывиое 407 ¦
Многообразие 343, 344
— аналитическое 345
— дифференцируемое 345
— комплексное 344
— погруженное 345
— с границей 346
Модуль непрерывности по Гёльдеру 53
Неймана задача 131, 259, 160, 183
— условие 132
Непрерывность по Гёльдеру 53
— по Липшицу 54
Нормальное сжатие 107
комплексной плоскости 107
Ньютона задача 164
Нэша точки 244
Обобщенная функция 65
— — вещественная 65
—, медленно растущая 66
иа многообразии 352
—, положительная 66
Оператор инъективный 47
— компактный (вполне непрерывный) 99
— коэрцитивный 185
— максимально монотонный 44
— множественного вложения 48
— монотонный 24, 44, 185
— иерастягивающнй 24
— полунепрерывный 185
сверху 185
снизу 185
— продолжения 96
— проектирования 24
—, связанный с функцией Хэвисайда 289
— сжатия 13
— следа 105
— сильно монотонный 35, 185
— сопряженный 45
— строго монотонный 24, 185
— транспонированный 45
Основные функции 55
Отношение бинарное 378
— полного порядка 378
— порядка 378
— правильного порядка 378
— решетчатого порядка 382
Плато задача 119
Плотность меры 65
Порог гладкости 121, 192
Порядок обобщенной функции 65
Принцип максимума 354
модуля 359
Пробные функции 55
Проекция 23
Проекция иа выпуклый конус 25
Производная в смысле Фреше 37
— обобщенной функции 67
— по конормали 379, 375
нормали 104
— сильная 74
— слабая 74
Пропускная способность 275
Пространства близости 402
— Дирихле 107
— следов 104
— Гильберта — Рисса 392
— локальное 71
— нормальное 71
— «паразитическое» 149
— Рисса иормироваииое 391
предгильбертово 392
— упорядоченное векторное 385
Псевдорешетка гильбертова 397
— предгильбертова 397
Псевдотопологнческое векторное
пространство 62
Псевдотопология 62
Пуанкаре неравенство 94
Разбиение единицы 340
Распределение 65
Регуляризация 80,333
Результаты по гладкости lift
— — — глобальные 183
локальные 183
Решетка 381, 383
— векторная 385, 387
— гильбертова 392
— дистрибутивная 384
— модулярная 384
— нормированная 391
— полная 382
— предгильбертова 392
— топологическая векторная 391
Рнсса лемма о разложении 390
— пространство 387
— теорема 12, 244
Свертка 60, 69
Свободная линия 271
Свойство конуса 348
— неподвижной точки 206
— сегмента 349
Сдвнг 59, 66
Селекция 401
Сжатие 405
Синьоринн задача 166
Соболева теорема вложения 100
Соприкосновения множество 115, 175"
Спернера лемма 212
Срезка 80
Стоуна — Вейерштрасса теорема 392
Субгармонические функции 363
Субградиент 43
Субдифференциал 42, 44
Субпроизводная 43
Супергармоиические функции 363
Теорема о дивергенции 367
— о замкнутом графике 77
неподвижной точке 205, 207
следах 105, 375
Тихонова теорема 219
Топология Виеториса 405
— хаусдорфовой метрики 402
Ультрараспределеиие 72
Условие совместимости 191
— трансверсальности 148
Фана лемма 214
Фильтр 325
44Г

— Фреше 326 Хопфа множество 364
— элементарный 326 — принцип максимума 364
Фреше пространство 332 Хэвисайда функция 71
Фридрихса неравенство 94
Фундаментальная система окрестностей
326 Цорна лемма 381
Функционал 36
— квадратичный 26
— собственный 36 Шаудера теорема 222
Фурье преобразование 60, 70
Эйлера неравенство 22
Хана — Банаха теорема 12, 332 — уравнение 22
Хаусдорфово расстояние 403 Эффективное множество функцр
Хелли теорема 212
Хонфаили точка 363
Лаучное издание
Байокки Клаудио, Кипело Антонио
ВАРИАЦИОННЫЕ И КВАЗИВАРИАЦИОННЫЕ
НЕРАВЕНСТВА
Заведующий редакцией Е. Ю. Ходан
Редактор А. И. Селиверстова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры: М. В. Петанов, Л. С. Сомова
ИБ № 32329
Сдано в набор 09.12.87. Подписано к печати 20.07.88. Формат
60X90/16. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литератур-
литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 28. Усл. кр.-отт. 28.
Уч.-изд. л. 30,85. Тираж 3600 экз. Заказ №8-48. Цена 5 р. 80 к.
Ордена 1 рудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Киевская книжная типография научной книги.
252004 Киев 4, ул. Репина, 4
448