ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТДЕЛ I
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости. Простейшие
приложения
§ 2. Прямая и окружность
§ 3. Геометрические места
§ 4. Кривые 2-го порядка а простейшем виде
§ 5. Кривые 2-го порядка, заданные уравнением в общем виде . .
§ б. Центр, диаметры и упрощение уравнений 2-го порядка ....
§ 7. Сопряженные диаметры. Оси симметрии. Асимптоты
§ 8. Фокусы и директрисы
§ 9. Касательные к кривым 2-го порядка. Полюсы и поляры^.. . . .
§ 10. Разные задачи
ОТДЕЛ II
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Векторы и координаты в п^острэпстзе
§ 2. Плоскость ". ' . .
§ 3. Прямая в пространстве •
§ 4. Образование поверхностей .
5. Поверхности 2-го порядка- Центр и диаметральные плоскости .
6. Касательные плоскости и прямые к поверхностям 2-го порядка.
7. Упрощение уравнений поверхностей 2-го порядка
8. Круговые сечения, прямолинейные образующие и другие задачи.
ОТДЕЛ III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Теория пределов ¦ . . . .
§ 2. Разные задачи .
§ 3. Понятие о функции. Непрерывность. Графическое представ е-
нне функций
§ 4.'Нахождение производных •
§ 5. Геометрическое значение производной
§ 6. Производные высших порядков
§ 7. Функции нескольких переменных. Их производные и диффе-
дифференциалы
§ 8. Дифференцирование неявных функций
§ 9. Замена переменных ...
ОТДЕЛ IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ
§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Возрастание и убывание
функций и «равенства
§ 2. Нахождение наибольших и наименьших значений функций
одного переменного . . . •

§ 3. Построение графиков функций 97
§ 4. Разные задачи на наибольшие и наименьшие значения .... 99
§ 5. Ряды, их сходимость .- 102
§ 6. Разложение в ряды 108
§ 7. Ряды и действия с ними 114
§ 8. Раскрытие неопределённостей 119
§ 9. Экстремальные значения функций нескольких переменных . . 121
ОТДЕЛ V
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Уравнения кривых и их виды 127
§ 2. Касательнзя и нормаль . -. • 130
§ 3. Выпуклость, кривизна н раднус кривизны 135
§ 4. Эволюты кривых 137
§ 5. Огибающие кривые . 138
§ 6. Построение кривых НО
§ 7. Кривые двоякой кривиены: касательная прямая и нормальная
плоскость 147
§ , 8. Кривые двоякой кривизны: соприкасающаяся плоскость,
нормаль и бинормаль • 150
§ 9. Поверхности. Их уравнения . . . 154
§ 10. Касательные плоскости и нормали. Огибающие , 155
§11. Линии на поверхностях и кривизна поверхностей 160
Ответы . 165

ОТДЕЛ I
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Векторы, проекции и координаты на плоскости.
Простейшие приложения
1. Даны точки Л B, 5) и В( — 3, 2). Найти проекции вектора
АВ на оси координат.
2. Даны точки ЛA, 2) и В E, —1). Найти углы вектора АВ
с осями Ох и Оу, а также длину этого вектора.
3. Даны точки АB, —1), ВE, 3), СC, 5), D( — 5, 11). Найти
угол между векторами АВ и CD.
4. Даны точки АB, —1), В( — 1, 3),СD, 7), D(— 1, —5).
Найти проекцию вектора /IS на направление вектора CD.
б- Даны точки Л C, 5), В F, —2). Найти проекцию вектора
АВ на ось, направленную из начала координат по биссектрисе пер-
первого координатного угла. ч
6. Из начала координат проведены векторы в точки ЛA, 2),
В( — 2, 3), С F, —10). Найти их геометрическую сумму по вели-
величине и направлению.
7. Противоположные вершины прямоугольника суть А C, 7),
.В A1, —1). Найти центр прямоугольника.
8. Из точки Л B, 3) проведён отрезок до точки В G, — 2) и
¦продолжен еще на столько же. Найти координаты конца продолжения.
9. Отрезок АВ разделён на три равные части точками Afj(l, 2)
jr-yif9C, 4). Найти точки Л и В.
10. Точки Ml(l,'l)t Л*аB, 2), М3C, —1)—три последователь-
последовательные вершины параллелограма. Найти четвертую вершину.
11. Середины сторон треугольника — в точках Alt( — 2,1),
( 3), AfsD, —1). Найти координаты вершин.
12. Две последовательные вершины квадрата — в точках Л B, 3)
и В F, 6). Где остальные вершины?
13. Две последовательные вершины правильного шестиуголь-
шестиугольника— в точках Мj (О, 0) и М2D, 0). Где следующая вершина?
14. В точках C, 5) и (9, —7) помещены массы 2 и 1. Где
центр тяжести этих масс?
15. В точках Mt (xv yj, M2 (x2, yz), М3 (х3, у3) помещены
'массы mlt m2 и тл соответственно. Доказать, что координаты
.центра тяжести этих масс выражаются формулами

16. Массы равной величины помещены в вершинах многоуголь-
многоугольника. Доказать, что координаты их центра тяжести равны арифме-
арифметическим средним координат вершин.
17. Центр правильного многоугольника — в начале координат.
Двказать, что сумма координат вершин равна нулю.
18. К сторонам многоугольника восставлены перпендикуляры,
пропорциональные сторонам и направленные в наружную сторону.
Доказать, что их геометрическая сумма равна нулю.
19. Даны координаты середин сторон многоугольника с нечётным
числом сторон: Ml(xv yj, Ма(ха, у2), .... Msn_u (x2n_lt _y2n-i)-
Найти координаты вершин.
20. На оси Ох найти точку, расстояние которой до точки E, 12)
равно 13.
21.AfjB, 1), /И2(—:3, 2), М3(—1, 1) — вершины треугольника.
Найти центр и радиус вписанного круга.
22. Вершины треугольника — в точках 0@, 0), Мх C, 5),
М%(—2, 3). Найти его площадь.
23. Вершины треугольника — в точках ЛA, 2), 5C, —1),
С(—2, —5). Найти его площадь.
24. Две вершины треугольника — в точках (б, 1), (— 2, 2),
третья вершина — на оси Ох. Найти её, зная, что площадь
равна 10.
26. Найти площадь четырёхугольника по координатам его вер-
вершин: Мг{Ъ, 6), М>E, —6), /И3(-2, -1), /И4(-2, 1).
26. Найти площадь четырёхугольника по координатам его вер-
вершин: М1 E, 6), Ж2E, -6), Л*3(_2, 1), Л*4(-2, -1).
27. Найти площадь пятиугольника по его вершинам: М1 @, 0),
Л*аC, -2), Л*3E, -1), уИ<'(8, 4), Л*БD, 5).
28. После переноса начала координат без поворота осей точка
B, 4) получила координаты (—3, 0). Найти прежние координаты
нового начала. . ~
29. Новые оси делят на равные части углы между прежними.
Ось Oxt составляет положительный острый угол с Оу. Составить
формулы преобразования координат.
30. Новое начало — в точке B, 3). Точка F, 0) — на положи-
положительном направлении новой оси ординат. Каковы новые координаты
точки G, 8)? ^
,, 31. Вершина квадрата— в точках @, 0), B, 0), B, 2), @, 2).
Составить ,формулы преобразования координат, если за новые оси
приняты диагонали квадрата, а точка B, 0) находится на положи-
положительном направлении оси О1х1.
32. Новое начало — в точке A, —2). Новая ось ординат
составляет с прежней осью абсцисс острый угол, тангенс кото-
рого -. Найти точку, у которой прежние координаты равны
новым.
33. ПРИ какои .повороте осей величина ха—у* переходит

34. Доказать, что при общем преобразовании координат (с по-
поворотом осей) прежние оси могут быть совмещены с новыми путём
поворота всей плоскости вокруг нгкоторой точки.
36. Даны полярные координаты точки: г =10, <р = 30°. Найти
её прямоугольные координаты, если полюс — в точке B, 3),
а полярная ось параллельна оси Ох.
36. Найти расстояние между точками, зная их полярные коорди-
координаты: г, = 3, 9i = 10°; г2 = 5, <?2=130°.
_$7. Полюс—в точке C, 5). Полярная ось параллельна положи-
положительному направлению оси Оу. Найти полярные координаты точек
Л^(9, -1) и М2E,'5 + 2УТ).
.38. Рассматривая проекции некоторой ломаной линии, доказать
формулы:
sin ср + sin 3?+ ... + sin B« - 1) ? =
cos <p-f cos 3<p+...+cosB«-l)<p=
§ 2. Прямая и окружность
39. Найти уравнение прямой, параллельной оси Ох и удалённой
от неё на h.
40. Найти уравнение прямой, параллельной оси Оу и удалённой
от неё на А.
41. Вершина квадрата — в точках @, 0), A, 0), A, 1), @, 1).
Найти уравнения его диагоналей.
42. На прямой у = 2х — 3 найти точку, ордината которой
равна 7.
43. Считая, что ось Ох расположена горизонтально, определить,
какие из точек- Мх (—1, 2), М2 (—3, —10), М3 B, 1), MiE, 4)
расположены выше, ниже и на прямой у = 2х — 3.
44. Найти уравнение прямой, проходящей через точку B, 1)
и составляющей с Ох угол 45°.
46. Провести прямую через точки Мх (— 1, 2) и ЛГ2B, 1).
46. Найти уравнение прямой, проходящей через точки C, 7)
и C,-2).
47. Найти уравнения сторон треугольника, вершины которого —
в точках Л^О, —1), ЛГ2C, 5), Л*3(—7, 11).
48. Через точку B, —1) провести прямую, параллельную пря-
прямой 2х-\-Ъу = 0.
49. Через точку B, —3) провести прямую, перпендикулярную
,к прямой у = 2х + 1.
50. Через точку C, 5) провести прямые под углом 45° к прямой
Ъх — 2у -f7 = 0.
51. Найти углы треугольника с вершинами в точках Мх@, 2),
^аB, 2), /И8C + /3, 3 + 1/Т).
9

52. Найти вершины треугольника по уравнениям его сторон:
у +
63. Найти площадь треугольника по уравнениям его сторон:
д/ = 3лг— 9, у=* — 2х-\-1, у = — х-\-3.
54. Через точку A, 2) провести прямую, расстояния которой
до точек B, 3) и D, —5) были бы одинаковы.
55. Уравнения дву^ сторон параллелограма: х -\- 2у -\-1 •= О
и 2х-\-у— 3 = 0. Центр его — в точке A, 2). Найти уравнения
двух других сторон.
56. Через точку (—1, 2) провести прямую, расстояние которой
до точки F, 1) равно 5.
67. Через точку B,, —2) провести прямые, расстояния которых
до точки E, 2) равны 3.
58. Через точку F, 8) провести прямую так, чтобы она
образовала с осями координат треугольник, площадь которого
равна 12.
59. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (—4, 3)
# удалённой от начала координат на расстояние, равное 5.
60. Дана прямая 4х-\-ду-\- 1 =0. Найти прямую, параллельную
данной и удалённую от неё на расстояние, равное 3.
61. Найти расстояние между прямыми 2х -\- Ъу = 7, Ах-\-&у=\\.
62. Найти прямую, параллельную прямым х -\- 2у = 1, х -\- 2у = 3,
расположенную между ними и делящую расстояние между ними
в отношении 1: 3.
63. Найти уравнение прямой, лежащей по середине между дан-
данными прямыми Ъх -4- 2у = 5, 6х -f- 4у + 3 = 0.
64. Найти уравнение прямой, параллельной с прямой
2х -[¦ Ъу + 6 = 0 и отсекающей от координатного угла треугольник
с площадью 3.
66. Даны прямая 2х-\-у — 3 = 0 и точка М{\, 1) на ней. На
той же прямой найти точки, удалённые от М на ~^Ь.
66. Найти уравнения сторон треугольника, у которого
2х — 3_у-4-1=О и х-\-у = 0 — высоты, а ЛГA, 2)—одна из
вершин.
67. Mi B, 1) и М% D, 9) — вершины треугольника, NC, 4) —
точка пересечения высот. Найти уравнения сторон.
68. Середины сторон треугольника — в точках A, 2), G, 4),
C, —4). Найти уравнения сторон.
69. Пересечение медиан — в точке (—1, 0), а х-\-у—1=0
и _у —J— 1 = о — уравнения двух сторон. Найти уравнение третьей
стороны.
70. Вершины треугольника — в точках ЛA, 3), В (—1,0),
С B, —2). Найти уравнения высот.
71. Через точку пересечения прямых х — у—1=0 и х-\-2у —
— 2 = 0 провести прямую, проходящую через точку (—1,1).
72. Провести прямую через начало координат и точку пересече-
пересечения прямых 17х-\-29у=ш317 и ix-j- 10<y=»634.
10

73. Через точку пересечения прямых jc —{- 2_у—11 == 0 и 2х—у—
__2 = 0 провести прямую, расстояние которой от начала координат
равно 5.
74. Через точку (—1, 1) провести прямую так, чтобы середина
её отрезка между прямыми х-\-2у — 1 = 0 и х-\-2у — 3 = 0
лежала на прямой х — у—1 =0.
76. Через начало координат провести прямые так, чтобы отрезки
их между прямыми х — у-\- 1 = 0 и х — у — 2 = 0 были равны 3.
76. Найти прямую, проходящую через точку B, 3), зная, что
отрезок этой прямой между прямыми Ъх-\-Ау— 7 = 0 и 2>х-\-Ау-{-
.._|-8 = 0 равен зуТ
77. Найти биссектрисы углов между прямыми Зх-\-4у—1 = 0
и Ах — 3>/ + 5 = 0.
78. Найти биссектрису того угла между прямыми Ах-\-7у-^
—3 = 0 и 8х—у-\-6 = 0, в котором лежит начало координат.
79. Точки A, 2), (—1, —1), B, 1) — вершины треугольника.
Найти уравнение биссектрисы внутреннего угла при точке
-1, -i).
80. Найти радиус круга, вписанного в треугольник, если даны
•равнения сторон: Ъх— 4у = 25, 5х-\- 12^ = 65, 8х-)- 1 by-j- 85 =» 0.
81. Уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника
2х—,У + 8 = 0, х—2у—12 = 0. Точка D, 0)—на основании.
-1айти уравнение основания.
82. Луч света проходит через точку B, 3), отражается в прямой
„ -|- у -\- 1 = 0 и попадает в точку A, 1). Найти уравнения луча па-
падающего и луча отражённого.
83. Прямая 2х-\-у—1 = 0 — внутренняя биссектриса, а точки
A, 2) и (— 1, — 1) — вершины треугольника. Найти третью вершину.
84. Точка B, 5) — вершина треугольника, прямые Зх-\-4у—
г-12 = 0 и х—у — 1 = 0 — биссектрисы внутренних углов. Найти
уравнения сторон.
86. Точки A, 1) и E, 4) — вершины треугольника, 2х—у —
— 1 = 0 — внутренняя биссектриса. Найти уравнения сторон, зная,
что площадь треугольника равна 5.
,86. Уравнение основания равнобедренного треугольника: х-\-у—
-г-Гае 0, уравнение боковой стороны: х — 2у — 2 = 0. Точка
„сг-2, 0) — на другой боковой стороне. Найти уравнение этой сто-
стороны. '
^87. Доказать, что сумма расстояний любой точки внутри равно-
ЗСОроннего треугольника • до его сторон есть величина постоянная.
88. Биссектрисы внутренних углов треугольника А и В пересе-
4§ют его стороны в точках М и ЛЛ Доказать, что для любой точки
Зрезка MN сумма расстояний до сторон АС и ВС равна расстоя-
расстоянию до стороны АВ.
89.\Через точку на биссектрисе угла проведены две прямые.
j$Ha из них отсекает на сторонах угла, считая от вершины, отрезки
» другая — отрезки а, и Ь,. Доказать, что — -fi- = — -\-~.
U

90. Взять прямые 2х—j-j-I=0, x-\-2y—1=0 за новые
оси О1х1 и Oj^d выбрав направления так, чтобы новые координаты
прежнего начала были положительны. Найти формулы перехода от
одних координат к другим.
91. Прямые х—у—1=0 и х-\-у-)-2 = 0 приняты за новые
оси координат так, что новые координаты прежнего начала отри-
отрицательны. Найти новые уравнения прежних осей.
92. Прямая пересекает стороны треугольника АВ и СВ в точках
Ли1У,а продолжение стороны АС в точке Р. Доказать равенство
AM ¦ BN ¦ СР = АР • ВМ ¦ CN
(теорема Менелая).
93. Точки М, N, Р — на сторонах ВС, С А к АВ треугольника.
Прямые AM, BN и СР пересекаются в одной точке. Доказать ра-
равенство
94. Доказать, что уравнения биссектрис треугольника можно на-
написать в виде
где через slt sa и ss обозначены левые части уравнений сторон
треугольника, взятых в нормальной форме.
96. Томографическое или проективное преобразование плоскости
состоит в том, что каждая точка (х, у) переходит в точку (хи у{)}
где
Доказать, что при любом выборе коэффициентов ak, bk, ck (k = 0,
1, 2) проективное преобразование представляет" коллинеацию, т. е.
переводит прямые в прямые.
96. Ангармоническим отношением четырёх точек А, В, С, D,
лежащих на прямой, называется отношение
AC.AD
ВС BD-
Доказать, что при проективном преобразовании величина ангармо-
ангармонического отношения не - меняется.
97." Найти общий. вид уравнений окружностей, касающихся
оси Ох в начале координат.
98. Найти уравнение окружностей предыдущей задачи в поляр-
полярных координатах, если полярная ось совпадает с положительной
частью оси Ох.
99. Найти центр и радиус окружности
12

100. Найти уравнение окружности, описанной около треуголь-
треугольника ^ вершинами в точках Мt @, 0), Л72A0, 0), Л13F, 8).
101. На окружности x'-f-j9=l найти точку, одинаково удалён-
удалённую от точек A, 3) и ( — 2, 2).
102. Найти уравнение круга, вписанного в треугольник, стороны
которого даны уравнениями:
= 25, 5х— 12>>~65, 8х — 1 Ъу -}- 85 = 0.
103. Через точку A, 2) провести касательную к окружности
у* = 5.
104. Через точку (— 1, 3) провести касательные к окружности
105. Найти общую хорду окружностей
х*-\-у*~2ах и х*-\-у*~2Ьу.
106. Найти общие касательные к окружностям
107. Точка (х,,_у,)—вне окружности х2-\-у2-\-Ах -f-Ву-\-С = 0.
Найти длину / касательной из точки к окружности.
108, Точка (хи у\) — внутри окружности х2-\-у2-\-Ах-\-By -f-
-|-С = Ь. Доказать, что хорда окружности, проходящая через (*1,.у1),
делится этой точкой на части, произведение которых равно —
+ +
109. Окружность касается осей координат и проходит через
.точку D, 8). Найти её уравнение.
НО. Окружность касается оси Оу и проходит через начало коор-
координат и .точку C, 6). Найти её уравнение.
111. На оси Ох найти такую точку, касательные из которой
к окружностям х*-^-у2 = 6у — 6 и х2 -\-уй = 2х были бы одинако-
одинаковой длины.
112.-Найти общий вид окружностей, касающихся обеих биссек-
биссектрис координатных углов.
113. Показать, что геометрическое место точек, расстояния ко-
которых до двух данных точек находятся л данном отношении, не
равном единице,.-есть окружность (окружность Аполлония;.
114. Показать, что геометрическое место точек, касательные из
которых к двум данным окружностям имеют одинаковую длину, есть
Упрямая (радикальная ось двух кругов).
115. Доказать, что при любых а и b окружности х2 -{-у* ~ ах
И х*-\-у2 — by пересекаются под прямым углом. Здесь под углом
между кривыми понимается, как обычно, угол между их касатель-
касательными в точке пересечения.
116. Показать, что каждая из окружностей
(лг — e)«-hy« —a«-f А3
пересекается под прямым углом с каждой из окружностей
13

117. Доказать, что каждая из окружностей
дс2 -\-у* — 2ах -f- б3 = О
пересекается с каждой из .окружностей
под прямим углом.
§ 3. Геометрические места
118. Из начала координат проведены хорды окружности ха-{-
-\-у2 = 2ах. Найти геометрическое место середин этих хорд.
119. Найти уравнение геометрического места точек, расстояния
которых до прямых Ах -)- By -\- С = 0 и Ахх -{- В^у -(- С1 = 0 имеют
отношение т.:п.
120. Отрезок длиной а-\-Ь скользит концами по осям координат.
Найти кривую, описанную точкой М, делящей его на части а и Ь.
(Эллипсограф Леонардо да-Винчи.)
121. Проведены две окружности радиусов биде центром в на-
начале координат. Переменный радиус пересекает внутреннюю из них
в точке Л, внешнюю — в В. Из Л проводим прямую параллельно
оси Ох, из В — параллельно оси Оу до взаимного пересечения этих
прямых в точке М. Найти геометрическое место точки М.
122. Из начала координат проводится прямая, составляющая
угол -к- с осью Оу. Эта прямая в точке М пересекается прямой
х = аб. Найти уравнение геометрического места точки М. (Квадрат-
риса Динострата.)
•123. Из начала координат проводятся хорды окружности х*-\-
-^-у* = 2ах и продолжаются до пересечения с прямой х — 2а. Эти
продолжения откладываются на тех же хордах из начала координат.
Найти геометрическое место концов передвинутых продолжений.
(Циссоида Диоклеса.)
124. Из начала координат проведена произвольная прямая, пере-
пересекающая окружность jc9 -f- .У9 = о.у н прямую у = а в точках А а в.
Из точки Л проводится прямая параллельно оси Ох, а из точки В —
параллельно оси Оу. Найти геометрическое место точки пересечения
этих прямых. (Верзьера Марии Аньези.)
126. Найти геометрическое место точек, произведение расстояний
которых" до двух данных точек есть величина постоянная. (Овалы
Кассини.)
126. Найти геометрическое место точек, произведение расстояний
которых до двух данных точек равно квадрату половины расстояния
между ними. (Лемниската Бернулли.)
127. Найти геометрическое место точек, между расстояниями
которых до двух данных точек существует линейная зависимость
rx—ar2 — b. (Овалы Декарта.)
14

128. Через точку @, —а) проводятся прямые, пересекающие
ось Ох. На каждой из них, по обе стороны от точки пересечения
с Ох, откладываются отрезки длиною Л. Найти геометрическое место
концов этих отрезков. (Конхоида Никомеда.)
129. Из точки А на окружности диаметра а проводятся секущие.
На каждой из них по обе стороны от другой точки пересечения
с окружностью откладываются отрезки длиною Ь. Найти геометри-
геометрическое место их концов. (Улитка Паскаля.)
130. Нить, намотанная на окружность jca-f-j/a = aa, разматы-
разматывается, оставаясь туго натянутой. Найти геометрическое место, опи-
описываемое её концом, если начальное положение конца нити было
в точке (а, 0). (Эвольвента круга.)
131. Круг радиуса а катится без скольжения по оси Ох. Найти
уравнение кривой, описанной той точкой круга, которая в начальный
момент касалась оси Ох в начале координат. (Циклоида.)
132. Найти уравнение кривой, описанной точкой круга радиуса а,
катящегося без скольжения по оси Ох, если в тот момент, когда»
круг касался оси Ох в начале координат, эта точка занимала поло-
положение @, а — Ь). (Трохоида.)
133. Круг радиуса а катится без скольжения по кругу л:9-(-
_|_у2 = д9/га. Найти геометрическое место, описываемое той точкой
катящегося круга, которая в начальный момент касалась неподвиж-
неподвижного круга на оси Ох. (Эпициклоида.)
134. Круг радиуса а катится по кругу x*-\-y* = aQn2 внутри
его без скольжения. Найти геометрическое место, описываемое той
точкой катящегося круга, которая в начальный момент касалась не-
неподвижного круга на оси Ох. (Гипоциклоида.)
135. Показать, что при я = 4 гипоциклоида Обращается в астро-
* 1. —
иду х^-\~у* =а3 .
136. При я = 1 эпициклоида обращается в кривую, называемую
кардиоидой. Показать, что уравнение кардиоиды в соответственно
выбранных полярных координатах имеет вид: г = аA -\-cosv).
137. Показать, что кардиоида (см. предыдущую задачу) есть
частный случай улитки Паскаля.
138. Показать, что при л = 2 гипоциклоида обращается в пря-
прямую. (Теорема Кардана.)
139. Прямоугольный треугольник с катетами а и Ь скользит концами
их по осям координат. Найти геометрическое место вершины прямогоугла.
140. Найти геометрическое место центров прямоугольников, впи-
вписанных в данный треугольник так, что одна из их сторон лежит на
основании треугольника.
141. Найти геометрическое место центров параллелограмов,- впи-
вписанных в данный четырёхугольник, стороны которых параллельны
диагоналям четырёхугольника.
142. Концы основания треугольника — в точках (±а, 0). Один
из углов при основании вдвое больше другого. Найти геометри-
геометрическое место вершины треугольника.
15

143. Концы основания треугольника — в точках (rta, 0). Раз-
Разность углов при основании равна <р. Найти геометрическое место
вершины.
144. Найти геометрическое место центров тяжести'треугольников,
образуемых прямыми х = 0, у = 0, -.--[- 3 _ i = 1, '0 < А < 3.
145. Три вершины параллелограма, направления сторон которого
даны, скользят по трём данным прямым. Каково геометрическое
место четвёртой вершины?
146. Четыре стороны изменяющегося параллелогрзма . всё время
проходят через четыре данные точки на прямой. Показать, что диа-
диагонали параллелограма тоже проходят через некоторые неподвижные
точки.
147. Стороны прямого угла, положение которого меняется, про-
проходят всё время через две данные точки. Доказать, что также бис-
биссектриса его проходит через постоянную точку.
148. Сторона переменного квадрата проходит через начало коор-
координат, а концы её скользят по прямым, параллельным ^оси Ох.
Каково геометрическое место двух других вершин?
149. Найти геометрическое место середин хорд круга *a-f-.y2 = я2,
проходящих через точку Р (с, 0) внутри круга.
150. Прямые а, Ъ и с вращаются около точек А, В, С, лежа-
лежащих на одной прямой. При этом точка пересечения прямых а и b
скользит по прямой Р, а точка пересечения прямых а и с скользит
по прямой Q. Доказать, что геометрическое место точек пересечения
прямых бис скользит по прямой /?, проходящей через точку пере-
пересечения прямых Р и Q.
151. Доказать теорему Дезарга: если вершины двух треуголь-
треугольников лежат на трёх прямых, исходящих из одной точки, то три
точки пересечения соответствующих пар сторон треугольников ле-
лежат на одной прямой.
§ 4. Кривые 2-го порядка в простейшей виде
152. Ординаты окружное™ х% -\-у* = 36 уменьшены в два раза.
Найти уравнение полученной кривой.
153. Найти полуоси эллипса Зх2-\-5у2— 30 = 0.
154. Найти уравнение эллипса, проходящего через точки A, 4)
и G, 2) и симметричного относительно осей Ох и Оу.
155. Найти уравнение параболы, проходящей через точку F, 9),
с вершиной в начале и симметричной относительно оси Оу.
156. Ось Ох — ось симметрии параболы с вершиной в начале.
Найти уравнение этой параболы, зная, что она проходит через точку
B, 2).
157. Доказать, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом е
геометрически подобны, т. е. могут быть совмещены друг с другом
при соответствующем увеличении одного из них.
16

158. Доказать, что все параболы у- — 2рх геометрически по-
подобны.
159. Меридиан земного шара — эллипс, у которого сжатие, т. е.
Найти его эксцентриситет.
160. Орбита земного шара — эллипс с полуосью а = 150 • 106 км
и эксцентриситетом е — 0,017: Зная, что солнце в фокусе этого
эллипса, найти, на сколько кратчайшее расстояние земли до солнца
(в декабре) короче длиннейшего (в июне).
161. Параболическое зеркало рефлектора телескопа в Симеизе
имело фокусное расстояние 5,4 м и 1,02 м в диаметре. Найти глу-
глубину параболической вогнутости зеркала.
162. Зеркало автомобильного фонаря имеет в разрезе форму
параболы. Диаметр зеркала 20 см, глубина 10 см. Найти положение
фокуса зеркала.
163. Найти эксцентриситет равнобочной гиперболи,
164. Директрисы гиперболы делят расстояние между фокусами
на три равные части. Найти её эксцентриситет.
165. Фокусы эллипса делят расстояние между директрисами на
три равные части. Найти его эксцентриситет.
166. Каким станет уравнение равнобочной гиперболы л:2—j/3 = aa,
если повернуть оси на угол а = — 45"?
167. Расстояние между фокусами эллипса равно 2, расстояние
между директрисами 10. Найти полуоси.
168. Эксцентриситет гиперболы равен 2. Найти угол между
асимптотами.
169. Малая ось эллипса видна из фокуса под прямым углом.
Найти эксцентриситет.
170. Дана гипербола л:2—.у3 = 8. Найти софокусный эллипс,
проходящий через точку D, 6).
171. Дан эллипс 62jc2-j-a2j;2 = a263. Написать уравнение софо-
кусной равнобочной гиперболы.
172. Найти общее уравнение эллипсов и гипербол с фокусами
в точках (dzc, 0).
173. Найти расстояние фокуса гиперболы и2*9— a*yz = a4* от
асимптоты.
174. Полярное уравнение линии второго порядка есть г E -{-
-{-3 cos <р) —16. Найти её уравнение относительно осей сим-
симметрии.
175. То же для кривой г D -\- 5 cos <э) = 9.
176. Доказать равенство
1,1, ,1 п_
ТГ+р,"*""-" Р» Р'
где р^ ра, .7., р„ — радиусы-векторы, проведённые из фокуса под
2к
углами — друг к другу
2 ООоржи вадач, т. t П

177. Доказать равенство:
где rl и г2 — взаимно перпендикулярные радиусы-векторы, проведён-
проведённые из центра эллипса.
178. Доказать равенство:
^i-Tf + • • • + 7*" ~
где fj, /g, ..., /•„ —радиусы-векторы из центра эллипса, составляю-
составляющие между собой углы ~.
179. Найти уравнения диаметров эллипса л:3 -{- б_у2 = 2, длина
которых равна 2.
180. Доказать, что эллипс-^j--{-^-= 1 есть проекция круга с ра-
радиусом а, лежащего на. плоскости, которая образует с плоскостью
Ь
хОу угол <в, где cos <в = — .
181. Доказать, что при указанной проекции взаимно перпендику-
перпендикулярные диаметры круга переходят в сопряжённые диаметры эллипса.
182. Пользуясь теоремой о том, что площадь проекции равна
площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между пло-
плоскостью фигуры и плоскостью проекции, доказать теорему Аполло-
Аполлония:
ursine = ab,
где ау и &J — длины сопряжённых полудиаметров эллипса, а ш угол
между ними.
183. Исходя из результатов задач 180 и 181, доказать другую
теорему Аполлония, в силу которой
184. Обозначая через т и т1 угловые коэффициенты сопряжбн-
ных диаметров, доказать, что для эллипса тт1 = j-, а для рь
перболы отт1ф=-^-.
185. Найти угол между равными сопряжёнными диаметрами эллипса
^-3/ = 6.
186. Найти сопряжённые диаметры гиперболы х*—j/a=l, угол
между которыми равен 45°.
187. Найти сопряжённые диаметры эллипса *2+ 15_у2 = 5, угол
между которыми равен 150°.
188. Угол между сопряжёнными диаметрами эллипса равен 120*.
Один из них вдвое больше другого. Найти эксцентриситет.
IS

189. Длины сопряжённых диаметров эллипса 8жа-J-17_у9 =я 136
относятся как 4:3. Найти уравнения этих диаметров.
190. Сумма длин сопряжённых диаметров 6, угол между ними
150", а эксцентриситет е = т. Найти оси эллипса.
191. Найти длины сопряжённых диаметров эллипса Зд:а -i- 5_y2 = 15,
составляющих наибольший угол.
192. Найти угол между сопряжёнными диаметрами гиперболы,
зная отношение их длин т и эксцентриситет е.
193. Найти угол между асимптотами гиперболы, зная, что сопря-
сопряжённые диаметры её образуют угол 45° и относятся как 2 к 3.
194. Найти длины сопряжённых диаметров гиперболы 9л:а— 16_у3 ==
ят 144, сумма которых относится к сумме осей, как 5 к 2.
196. Доказать, что уравнение Axxl -f- Вуух -f- С = 0 изображает
касательную к кривой Ах*-f- By*-[- С = 0 в точке (xlt yt).
196. Доказать, что уравнение yyi = p(kx-{-x1) изображает каса-
касательную к параболе у2 = 2рх в точке (хи уг).
197. Доказать, что касательная к эллипсу ~ -f- ~ = 1, имеющая
угловой коэффициент т, изображается уравнением
у = тх±.Уа*т*-\-Ь*.
198. Доказать, что касательная к гиперболе -у -f- •=?— = а, имею-
имеющая угловой коэффициент т, изображается уравнением
у = тх ± y<j(a2m2 — 6а).
199. Доказать, что касательная к параболе у* = 2рх, имеющая
угловой коэффициент т, изображается уравнением
200. Найти касательную к параболе 4_у = д:8 в точке B, 1).
201. Через точку @, —4) провести касательную к параболе
=х*.
202. Через точку (— 4, —1) провести касательную к параболе
= 2х.
203. Через точку B, —1) провести касательную к эллипсу х24-
9У» 9
204. Через точку C, —6) провести 'касательную к гиперболе
4*8—9/» = 36.
205. Через точку A, —2) провести касательную к гиперболе
*а—у*= 1.
206. Провести параллельно прямой 2х — 3j/ = 0 касательные
к эллипсу *2 + 4уа=*4.
207. Параллельно прямой 10*-|-3.у = 0 провести касательные
к гиперболе 4лс9—/=4.
2» 19

208. Доказать, что хорды, соединяющие точки пересечения окруж-
окружности х2-\-у* = а*-\-№ с осями координат, касаются эллипса
209. Показать, что эллипсы ~ -\- —• = 1 касаются прямых dzxdz
¦±zy = c, если аа 4~ &3 = са.
210. Найти геометрическое место точек, из которых парабола
видна под прямым углом.
211. Доказать, что геометрическое место точек, из которых эл-
X* V2 о I
липе—5—f--тг= 1 виден под прямым углом, есть окружность х*-\-
212. Найти расстояние от фокуса параболы у- = 2рх до каса-
касательной к ней, угол которой с осью равен а.
213. Показать, что у гиперболы — —-^- = 1 произведенье рас-
расстояний фокусов от касательной равно 6а.
214. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров,
опущенных из фокуса параболы на касательные к ней.
§ 5. Кривые 2-го порядка, заданные уравнением
в общем виде
215. Определить вид линий, заданных уравнениями 2-го порядка:
a) ху = 0;
b) х2—у^=0;
е).* У ~~3 Х~'
1 о.
216. Определить вид линий, заданных уравнениями 2-го поряд-
порядка:
a) Зха — у\у f jj
b) x*-\-6xy-\-y*-\-6x-\-2y— 1=0;
c) х*-\-2ху4-у*-\- 2х — 2у—1 = 0.
217. Определить k так, чтобы уравнение
х* + бху -f У + 6х + 2у -f * — О
изображало пару пересекающихся прямых.
218. Определить k так, чтобы уравнение
Зл-а — Чху 4- Зуа — 2х 4- 2;/ 4" к = О
изображало точку.
20

219. Подобрать X так, чтобы # уравнение
хэ -f 2\ху + 4/ 4- 2х — Ху = О
изображало пару прямых, и найти их.
220. В уравнении
2л;2-f >-xy+ If — 7x -f-t*>' + 3 = О
подобрать коэффициенты X и jx так, чтобы уравнение изображало
пару параллельных прямых.
221. Найти уравнения асимптот кривой
2*3 — ху-\-Ъх—у—1=0.
222. Показать, что уравнение
{ах -f by -f с) (а,х -f- bty + с,) Л- X = 0,
где X ф 0 и abx — ахЬ ф 0, изображает гиперболу с асимптотами
ах-\-ЬуЛ-с=>0, a:x-{- bty -f-Cj™ 0.
223. Найти уравнение гиперболы, имеющей асимптотами прямые
х —1=0 и у—1=0 и проходящей через точку B, 2).
224. Доказать, что при любом значении коэффициентов X и ji
кривая X/j -{- [х/л = 0 проходит через точки пересечения кривых ft = О
и /я = 0. Здесь /t и /3 — полиномы относительно х и у.
225. Пусть % = 0 — уравнение прямой Акгх -j- ?й1у -{- Сйг = О,
проходящей через точки Аи/. Доказать, что при любых X и ji
уравнение
изображает линию 2-го порядка, проходящую через четыре данные
точки.
226. Найти уравнение линии 2-го порядка, проходящей через
точки A, 1), B, -1), A, -2), (-1, 1), C, 0).
227. Найти линию 2-го порядка по пяти её точкам: C, 1), B, 1),
( — 7, 1), (-2, 0), @, 1).
228. Найти параболу, проходящую через четыре точки: @, 1)
(О, 3), (-1, 0), C, 0).
229. Найти линию 2-го порядка, проходящую через точку A, 1)
и точки пересечения кривой лга — 2ху-\-2х — 2у — 17 = о с пря-
прямыми _y = OHJC-4-2,y-f-3 = O.
230. Через начало координат проведены хорды АВ и CD окруж-
окружности х34- СУ—й)8 = аа. Рассматривая пучок кривых 2-го порядка,
проходящих через концы хорд, доказать, что прямые AD и СВ,
а'также BD и АС пересекают ось Ох »а одинаковых расстояниях
от начала.
231. На кривой 2-го порядка взяты шесть точек: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Уравнения сторон полученного шестиугольника соответственно
обозначены следующим образом:
21

При этих условиях и при любом выборе коэффициентов к и р кри-
кривая 3-го порядка
проходит через 6 данных точек и через 3 точки пересечения пар
противоположных сторон.
Исходя отсюда, доказать теорему Паскаля: в шестиугольнике,
вписанном в кривую 2-го порядка, три точки пересечения пар противо-
противоположных сторон лежат на одной прямой.
§ 6. Центр, диаметры и упрощение уравнений 2-го порядка
Полином А**'+ Вху + Су* + Dх + Еу + F, дополненный до однород-
однородного введением степеней буквы г, обращается в тройничную квадратичную
форму
/ = / (х, у, г) = Ах* + Вху -г Су* + Dxz + Еуг + Fz\
Частные производные его по х, у и г выражаются равенствами:
f? = 2Ax + By+Dz; -^ = Вх + ЧСу + Ez; ^ = Dx + Ey + 2Fz.
Значения их при z = 1 обозначим через Г-—j , (-J-) и\!&) ' ОпРеделя'
тель из коэффициентов при х, у и z в формулах, выражающих частные
производные,,называется дискриминантом Д квадратичной формы трёх пере-
переменных:
Его минор
\2А В
2А
В
D
В
2С
Е
D
Е
2F
— 4АС—В1 есть дискриминант квадратичной формы
двух переменных Ах* + Вху + Су\ В теория квадратичных форм важно
тождество, которое иожно назвать формулой Тэйлора:
Из этой формулы при ? — х, у—у, С = * получается тождество Эйлера:
Другое следствие той же формулы выражается равенством:
В дальнейшем для краткости будем писать:
f{x, у, 1) = Ах"- + Вху + Су"- + Dx + Еу + F,
f (.х, у, 0) = Аг2 + Вху + Су*.
232. Пусть (х, у) — середина хорды кривой /(*, у, 1) = 0,
a (x-^-it, у-\-"чО и (х — it, у — т\() — концы хорды. Доказать,
что
22

233. Доказать, что середины хорд кривой f(x, у, 1) = 0, парал-
параллельных прямой 4-= — , лежат на прямой^-—A ?-j_f-/-)•»]--= 0или,
с 1 \ ох/1 ¦ \ оу/i
в полном виде:
(диаметр, сопряжённый с данным направлением).
234. Показать, что при переносе начала координат в точку (I, i\)
уравнение / (х, у, 1) = 0 переходит в уравнение
/(*„ Л. 0)+|f *1+^Л+/E, Ч, 1) = 0.
235. При 4АС — В2 ф 0 все диаметры проходят через точку E, щ),
где пересекаются прямые (-г-) =0, (-j~) =0. Показать, что при
переносе начала в точку, выбранную таким образом, уравнение
/(х, у, 1) = 0 переходит в такое:
А 4 + Вххух + Су\ = i- (?>; -f ?tj + 2F).
Здесь Z)? -f- ?"»l -f" ^Z7 есть значение (-g—) при * = 5, _y = ij.
236. Перенести начало координат в центр кривой jca —J— jcy -f-
—}- 2л: —{- ^ — 2 = 0 и составить новое уравнение кривой.
237. Упростить уравнение кривой
хй -Ь Ъху — 2f — 7х — Чу -f 16 = 0,
перенеся начало координат в центр.
238. Упростить уравнение линии
х8 — 2ху -f _у2 — 4х -f- 4^ — 3 = 0,
перенеся начало координат в тот её центр, абсцисса которого равна
единице.
239. Показать, что при повороте осей координат на угол а
трёхчлен Ах2 -f Вху -J- Су2 переходит в Ахх\ -f- Blxlyl -f- С1Л, где
Л14-С1 = Л + С>. Л1 —C1 = Bsin2a-f(^ —Qcos2a; Bj =
= В cos 2а — (Л — С) sin 2а.
240. Показать, что при повороте осей на угол а, где tg2а = . _-,
уравиение Ах*-\-Вху-\-Cy--\-Dx-\-Ey-\-F—Ъ переходит в урав-
уравнение вида Aix\-\-C1y\-\-D1x1-^-Elyl-\-Fl = Q.
241. Упростить уравнение кривой л:а — ху-\-у* — 5х-\-у—^2 = 0,
перенеся начало в центр, а затем повернув оси на соответствую-
соответствующий угол.
242.' То же для кривой
х* -f Ъху+у*-{- 8х -}- 24у + 39 = 0.
23

243. Упростить уравнение параболы
ха — 2ху-\-у* — 2х — 2у-\-1 = 0,
повернув оси так, чтобы новое уравнение не содержало дг^', и
перенеся затем начало так, чтобы в окончательном уравнении оста-
осталось лишь два члена.
244. Доказать, что при ААС—В3 = 0, Л>0 (так что можно
положить А = а?) имеет место тождество:
\
}y\y{ + y\(
где a—D — 2ah, $ = E — 2bh, •» = F~/г2.
245. Доказать, что в тождестве предыдущей задачи число h
можно выбрать так, чтобы прямые ах -\~ by -f- h = 0 и a_v-f %y-\-
4-^ = 0 были взаимно перпендикулярны, если только числа D и Е
не пропорциональны числам а и р.
246. Упростить уравнение кривой
х2 -\- 2ху + у3 — 8х -f 4 = О
с помощью тождества:
подобрав Л так, чтобы прямые а* -}- ,3_>' -}- Ys=» ° нх-\-у-\-/1 — 0
были взаимно перпендикулярны. При этом формулы преобразования
координат имеют вид:
„ _ x+y + h _ c
247. Тем же способом упростить уравнение параболы
16х2 4- 24.vy + 9У— 170* + 310^ — 465 = 0.
248. Упростить уравнение параболы
9*2 + ЗОх^ + 25/ 4- 4* — 16у 4- 8 = 0.
249. При данных А, В и С и соответственно подобранном значе-
значении X справедливо тождество: •
Ах* + Я*у + С/ - X (*« + /) = (aje 4- Ы,
где а и р — вещественные или мнимые коэффициенты. Доказать,
что такими значениями X являются корни уравнения
4X3 — 4 (А 4- С) X 4- ААС — В2 = 0.
250. Уравнение Аха + Вху \ Cy* + Dx 4- ?^4-/7=30 'изобра-
'изображает пару прямых, вещественных или мнимых, тогда и только тогда,
если дискриминант Д равен нулю. Пользуясь этим, доказать, что
при любых преобразованиях координат величина Д не изменяется.
251. Пользуясь инвариантностью величин А-\-С, 4АС—В9 п
дискриминанта Д, доказать, что при iAC — В9ф0 уравнение
Ах* 4- вху 4- су" 4-Dx + Дм + ? = о
п

после упрощения приводится к виду:
X,.vl 4- *2*з == Вг —
Здесь \у и Х2 корни уравнения X2 — 2 (A -f- С) X 4- 4ЛС — Ва = 0.
252. Доказать, что уравнение Ах* -j- 5*У 4~ Суя -\-Dx~\~Ey-\-F=
= 0 при Д ф 0 можно привести к виду (при 4АС—В8 = 0)
Привести к простейшему виду уравнения следующих линий.
253. 5*а -f 4*У + 8У — 32* — 56.У + 80 = 0.
254. 5*9-j-8*y-j-5.ya — 18л — l8^-f9 = 0-
255. 5л;а4-6^4-5^а— 16л; — 16у — 16 = 0.
256. 8л;2 — 4ху~\-Ьу*-\-4х — 10у=319.
257. 6ху-\-8у2— 12х~26у+\\ = 0.
258. 7x*~{-16xy—23v2— 14x — 16у — 218 = 0.
259. 7х* 4- 24ху 4~ 38x 4" 24^ 4" 175 — °-
260. х* — 8ху + 7уа + 6х — 6у-\-9 = 0.
261. 9ха4- 24.vy 4- 16/ — 40л; 4- 30^ = 0.
§ 7. Сопряжённые диаметры. Оси симметрии. Асимптоты
262. Найти уравнение гиперболы, проходящей через точки A,1),
B,1), (—1, — 2) и имеющей асимптоту х~{-у—1 = 0.
263. Найти равнобочную гиперболу, зная её асимптоту х—у 4- 1=0
и точки гиперболы A, Г), B,1).
264. Составить общее уравнение равнобочных гипербол с центром
в точке (а, Ь).
265. Парабола проходит через точки @,0) и @,1), а прямая
х 4- у 4- 1 = 0 — её ось. Найти параболу.
266. Точки @, 1), @, — 1), A, 1)— на параболе. Её ось параллельна
прямой у = х. Найти параболу.
267. Парабола касается оси Оу в начале координат. Прямая *4~
y^ = 0 — касательная к вершине. Найти параболу.
268. Прямая х-\-у-\-1 — 0—:ось кривой 2-го порядка, а точки
@,0), A,— 1), B, 1) лежат на кривой. Найти уравнение кривой.
269. Доказать что у кривой
А (ах 4- by 4- cf 4- В (ал; +'fty 4- т)я
прямые ax-{~by-{-c = 0 H<ix-\-jty-{-f = O — сопряжённые диаметры,
если а{3 zp. ab.
270. Доказать, что у параболы
(ex 4- dy 4- с)*+А (ах4- ?у+ т) = О
прямая ах 4- Ry 4" Т — ° — касательная, а ах -{- by -\- с = 0—диаметр,
сопряж8нный с ее направлением. При этом подразумевается, что ар ф ab.
25

271. Найти линию 2-го порядка, у которой прямые х — 2у— 1 =0
и2.г—у~\-\ = 0 — сопряжённые диаметры и на которой лежат точки
A,0) и @,1).
272. Парабола проходит через точку @,0), прямая х -\- у — 1=0 —
диаметр параболы, ах -\~2у — 1=0 — касательная, сопряжённая с ним.
Найти параболу.
273. Прямая х-\-у~{-\ = 0 — касательная, гх — у^-\-1 =0 — со-
сопряжённый с ней диаметр параболы с параметром \^2. Найти пара-
параболу.
274. Прямые х-\-у — 1=0 и х —у-±-1 = 0 — сопряжённые диа-
диаметры эллипса с полуосями 2 и 1. Найти эллипс.
275. Прямые х-\-2у — 4 = 0 и х — 3,у -}- 2 = 0 — сопряжённые диа-
метры эллипса с полуосями У*2 и -^-. Найти уравнение эллипса.
276. Доказать, что отрезки любой прямой, заключённые между ги-
гиперболой и её асимптотами, равны между собой.
§ 8. Фокусы и директрисы
277. Найти фокус и директрису параболы
х3 — 2ху -j- у* — 6л: — 2у -f- 9 = 0.
278. Найти фокусы и директрисы кривой
Зх2 — 4ху — 2х -f Ау — 5 = 0.
279. Найти фокусы и директрисы кривой
8Jca-f-4xjr-b5y»+ 8ж — 16у— 16 = 0.
280. Кривая 2-го порядка проходит через начало координат, её фо-
фокус — в точке (— 1,1), а соответствующая директриса имеет уравнение
х-\-у — 2 = 0. Найти кривую.
281. Найти эллипс, проходящий через точку D, 2) и имеющий фо-
фокусы в точках D,3) и @,— 1).
282. Найти эллипс с фокусами в точках A,2), B,1), проходящий
через точку E, 5).
283. Найти равнобочную гиперболу по директрисе х -\-у — 1 = 0
И фокусу A,1). :¦
284. Найти параболу по её точкам A,1), A, 2) и директрисе х-\-
10
285. Кривая 2-го порядка проходит через точку @,— 1), имеет
центром A,1), а директрисой прямую х -j- 2у-\-1 = 0. Найти кривую.
286. Найти кривую по её точкам @,1), A,0), @, 2) и фокусу A,1).
287. Найти кривую по директрисе х -j- у \-1 = 0, оси у = хн точ-
точкам @,0) и A,0).
288. Найти кривую по точкам D,5), (—3,4), фокусу A,1) и оси
симметрии х-\-у — 2 = 0.
289. Найти параболу по её вершине @,0) и фокусу A,1).
26

290. Найти гиперболу по асимптотам х -\-у — 1 = 0, х—у~\- 1=0
и фокусу @,2).
291. Найти геометрическое место фокусов парабол, проходящих
через точку A, — 1)"и имеющих директрисой прямую х-\-у-\- 1 = 0.
292. Найти геометрическое место вершин парабол, проходящих
через данную точку и имеющих данную директрису.
293. Найти геометрическое место центров равнобочных гипербол,
проходящих через точку @,0) и имеющих директрисой прямую х-\-
294. Каково геометрическое место фокусов кривых второго порядка,
вписанных в данный параллелограмм?
§ 9. Касательные к кривым 2-го порядка.
Полюсы и поляры
Если точка {х^у^ лежит на кривой 2-го порядка
Ах1 + Вху + Су1 + Dx -f Еу + F = О,
то уравнение касательной к кривой в этой точке можно написать в любой
из двух форы:
BЛ*1 + By! + D) х + (Bxt + 2СУ1 + F) у + Dxt + Еу t + 2F = О,
By + D) X! + (Вх + 2Су + F)>'i + Dx + Ey + 2F = 0.
Если же точка {хьуд ие лежит на кривой, то те же уравнения изобра-
изображают некоторую прямую, называемую полярой точки (хъу{). Сама точка
( называется полюсом этой поляры.
295. Найти уравнение касательной в начале координат к кривой
5х9 + 7ху+у*—*+2у = 0.
296. Найти касательную к кривой х2 — ху —у"- — 2х -f- 2y -J- 1=О,
параллельную прямой 2х-\-2у — 1=0.
297. Найти уравнения касательных к эллипсу х2-\-ху-\-у2 = 3~,
параллельных осям координат.
298. Найти уравнение касательной к кривой Зл?2 -f- ixy -j- 5y2 —
.—7х — 8у—3 = 0, проходящей через точку B,1).
299. Через точку D, — 2) провести касательную к кривой ха — ху —
—у9 — %х -f- 2у +1 == 0.
800. Доказать теорему: если полюс движется по прямой, то поляра
вращается вокруг некоторой точки.
801. Доказать теорему: если поляра точки М проходит через точку N,
то поляра точки N проходит через точку М.
302. Доказать теорему Брианшона: диагонали, соединяющие про-
противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой
2-го порядка, пересекаются в одной точке.
303. Доказать; что кривая 2-го порядка определяется своими
пятью касательными.
304. Доказать, что полюсы касательных к некоторой кривой
2-г\> порядка, взятые относительно данной кривой 2-го порядка, лежат
на кривой 2-го порядка.
27-

305. Найти геометрическое место полюсов касательных к окруж-
окружности радиуса R относительно концентрической окружности радиуса л
306. Если одна из сторон обращается в нуль, то шестиугольник
обращается в пятиугольник. Во что переходят при этом теоремы
Паскаля (зад. 231) и Брианшона (зад. 302)?
307. Такой же вопрос для дальнейших случаев вырождения, когда
шестиугольник переходит в четырёхугольник или треугольник.
§ 10. Разные задачи
308. Доказать, что площадь, заключённая между касательной к ги-
гиперболе и её асимптотами, имеет постоянную величину.
309. Доказать, что произведение отрезков секущей между асимп-
асимптотами и точкой на гиперболе равно квадрату полуднаметра, парал-
параллельного секущей.
310. Доказать, что у гиперболы точка касания делит пополам отрезок
касательной между асимптотами.
311. Найти уравнение гиперболы по её фокусу @,0) и трём касатель-
касательным: х — у —1=0, 2х—у—1=0, х+у —1=0.
312- Найти параболу по точке на ней E, 0), фокусу C,2)и касатель-
касательной х — Ъу — 7 = 0.
313. Найти гиперболу по её центру A,1), фокусу C, 3) и касатель-
касательной х-\-2у — 7 = 0.
314. Найти геометрическое место точек касания касательных, прове-
проведённых из начала координат к параболе [{х — a)9 -f- У — *8] О -|" т?)—
—{у — /га*)а = 0, где т — переменный параметр.
315. Найти геометрическое место проекций фокуса на касательные
к кривой -^-dr-^j- = 1.
316. Найти точку пересечения поляр точек, расположенных на
директрисе.
317. Если а и Ь — длины двух взаимно перпендикулярных касатель-
касательных к параболе у* = 4х, то а*й* = (аа-|-*а)8- Доказать.
318. Найти геометрическое место точек касания для касатель-
ных данного направления к софокусным кривым z , ¦.-] •i&,h «=¦ 1»
h — переменный параметр.
319. Равнобочная гипербола проходит через начало координат
и имеет асимптоту х -\- у -f-1 == 0. Найти геометрическое место точек
пересечения второй асимптоты с касательной в начале координат.
320. Равнобочные гиперболы проходят через точку A,0) и каса-
касаются оси Оу в точке @,1). Найти геометрическое место центров.
321. Каково геометрическое место вершин равнобочных гипербол,
проходящих через данную точку и имеющих данную асимптоту?
322. Каково геометрическое место точек, из которых можно провести"
к данной параболе две нормали, составляющие между собой прямой угол ?
323. Даны параболы j/a = 2рх и у* = 2р (х—в). Доказать, что
хорды первой, касающиеся второй, делятся пополам точкой касания.
28

324. Две параболы имеют общую ось симметрии. Две прямые парал-
параллельны оси симметрии. Через точки их пересечения с параболами прово-
проводятся хорды. Доказать, что точки пересечения этих хорд лежат на
одной прямой.
325. Каково геометрическое место вершин парабол с данными фоку-
фокусом и касательной?
326. Доказать, что круг, описанный около треугольника, соста-
составленного из трёх касательных к параболе, проходит через
фокус.
327. Доказать, что равнобочная гипербола, описанная около тре-
треугольника, проходит через точку пересечения его высот.
328. Каково геометрическое место фокусов парабол с данными
вершиной и касательной?
329. Из точки вне параболы можно провести три нормали к ней.
Доказать, что вершина параболы и три основания нормалей лежат на
одной окружности.
330. Даны кривая Ах*-j- ?уа -\~ С — 0 и точка М (а,Ь). Около
точки М, как центра, описываются окружности. Найти геоме-
геометрическое место середин хорд, общих этим окружностям и данной
кривой.
331. Дан четырехугольник ABCD. Каково геометрическое место
таких точек М, что сумма площадей треугольников АМВ и CMD равна
сумме площадей треугольников ВМС и DMA?
332. С помощью результата предыдущей задачи доказать теорему
Ньютона: в описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр
вписанного круга лежат на одной прямой.
333. Прямой угол, вершина которого М находится на кривой 2-го
порядка, вращается около вершины, а Л и В — точки пересечения его
сторон с кривой, отличные от М.
Доказать, что прямая АВ вращается около точки, расположен-
расположенной на нормали к кривой в точке М.
334. Около точки А внутри данного круга вращается прямой угол.'
В точках пересечения его сторон с окружностью проводятся касатель-
касательные к кругу. Найти геометрическое место точек пересечения этих
касательных.
335. Переменный круг касается эллипса в данной точке. Каково
геометрическое место точек пересечения общих касательных?
336. Фокусы эллипса соединяются радиусами-векторами с перемен-
переменной точкой эллипса. Каково геометрическое место центров кругов,
вписанных в треугольники, составленные из фокальной прямой и ра-
радиусов-векторов?
337. Инверсия, илипреобразованиеобратными радиусами-векторами,
состоит в том, что переменную точку М заменяют другой точкой Mt,
лежащей на прямой ОМ так, что ОМ ¦ OMt = aa. Здесь О—данная
точка, а — данная величина. Доказать, что при инверсии линия А Оса -4-
-±-)P)-{-Bx-\-Cy-±-D = 0 переходит в линию А^-^-у^-^-В^-}-
-j- Cty -f- ?>i — 0, т. е. круги или прямые переходят в круги или пря-
прямые (не обязательно соответственно).
29

338. Доказать, что инверсией относительно начала координат ги-
гипербола х2—_уа = а8 переводится в лемнискату Бернулли:
339. Доказать, что инверсия эллипса —-\-%р=1 относительно на-
начала с радиусом инверсии, равным Yab, дает кривую
340. Гипербола, конгруэнтная гиперболе —^— i9"===1» »где а
вписана в угол между осями координат и скользит по ним. Доказать,
что еб центр движется по окружности
340а. Эллипс с полуосями а и b касается осей координат и
скользит по ним. Доказать, что его центр движется по окружности

ОТДЕЛ II
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Векторы и координаты в пространстве
341. Проекции вектора на оси Ох, Оу и Oz равны 1, — 4, 8.
Найти длину вектора и косинусы его углов с осями.
342. Даны проекции векторов a, b и с на оси координат: ах = 5,
ау=>7, az = 8, &e«3, by = — 4, Ьг = 6, сх= — 6, <\, = —9,
5. Найти длину геометрической суммы этих векторов.
1 а Ь
343. Вычислить определитель
а \ с
Ь с 1
, где а, & и с — косинусы
углов вектора с осями.
344. Рассматривая сторону многоугольника, как замкнутую, с по-
помощью скалярного возвышения в квадрат равенства
доказать теорему: квадрат стороны многоугольника равен сумме ква-
квадратов остальных сторон плюс сумма удвоенных произведений ка-
каждых двух из них на косинус угла между ними.
345. Доказать теорему: квадрат площади грани многоугольника
равен сумме квадратов площадей остальных граней плюс удвоенная
сумма произведений их попарно на косинус угла между ними. При
этом углом между гранями считается угол между векторами, перпен-
перпендикулярными к граням и направленными в наружную сторону.
346. Найти расстояние между точками B, 4, 6) и(—1, 8, —6).
847. Найти угол между биссектрисами углов хОу и xCz.
348. Найти объём параллелепипеда, рёбра которого 1, 1, 2,
а плоские углы при трёхгранном угле равны 120°, 150° и 60°.
349. Найти объём параллелепипеда, рёбра которого 1, 2, 4,
а плоские углы при вершине равны 60°.
350. Найти равнодействующую сил, равных 1, 1 и 2, приложенных
к вершине О и направленных по рёбрам ОА, ОБ и ОС правильного
тетраэдра.
351. По рёбрам ОА, ОВ и ОС правильного тетраэдра напра-
направлены силы, величины которых 1, 2 и 3. Найти величину равнодей-
равнодействующей и косинусы её углов с рёбрами.
352. Найти острый угол между диагоналями прямоугольного парал-
параллелепипеда, рёбра которого: 04=1, 05 — 2, ОС а 2.
31

353. Найти угол между противоположными рёбрами правильного
тетраэдра.
354. Даны четыре точки 4A,-2,3), 5D, —4, —3), СB, 4, 3),
D(S, 6, 6). Найти проекцию вектора АВ на направление вектора CD.
355. Найти на координатных плоскостях точки А, В и С так, чтобы
тетраэдр ОАВС был правильный с ребром а. О — начало координат.
356. Даны точки Л/, A, 2, — 1) и Мя{—1, 2, 1). На прямой MlMi
найти точку М так, чтобы -птг = 2.
ММг
357. Тот же вопрос, но точка М ищется на продолжении МгМ%.
358. Центры тяжести граней тетраэдра — в точках A, 2, 1),
B,3,4), C, 1,2), D,—1,3). Найти вершины тетраэдра.
359. Три вершины куба расположены в точках О@, 0, 0), .4G, 6,
— 6), Л F, 2, 9). Найти четвёртую вершину С так, чтобы отрезок
ОС был ребром куба, а триэдр ОА, ОВ, ОС имел ту же ориенти-
ориентировку, что и триэдр Ох, Оу, Ог.
360. Рёбра куба ОА и ОВ исходят из начала координат. Точки
А F, 7, 6) и В B, 6, — 9) даны. Найти объём куба и конец третьего
ребра, исходящего из начала.
361. Новое начало координат—в точке A,2,3). Об углах
между новыми и старыми осями известно, что
1 2 ^ ч 2
О О О
Составить формулы перехода, если угол между Ох и Oizl — острый,
а угол между Оу и О1у1 — тупой.
362. Из начала координат проведены векторы в точки A0, — 5, 10),
(—11, — 2,10), (—2, — 14, — 5). Доказать, что они составляют
рёбра куба и найти его объём.
363. Доказать равенство:
«—1 Р Т
«I Pi—I Ti
«s Pj Та —]
где буквами а, р и f обозначены 9 косинусов углов между старыми
и новыми осями.
864. Косинусы углов между новыми и прежними осями даны
следующей таблицей:
X
У
*1
2
3
11
15
2
л
1
6
2
15
14
3
2
i
10
15
I
~т

Доказать, что у точек, для которых х '. у : г = 4 : — 2:1, новые
координаты равны прежним.
365. Три ребра тетраэдра идут из точки О @, 0, 0) в точки А B,
3, 1), ?A, 2, 2) и СC, — 1, 4). Найти объём тетраэдра.
366. Найти объём тетраэдра по его вершинам ЛA, 1, 1), В(—1,
1,1),-СA, —1, 1), D(l, 1,-1).
367. Найти площадь треугольника, вершины которого Мх A,— 1,1),
МаB, 1, — 1) и Afs(-1, — 1, — 2).
368. Найти площадь треугольника по его вершинам E, 2, 14),
D, 7, 22), @, 0, 0).
369. Найти площадь треугольника по его вершинам B,3, — 6),
F,4,4). C,7,4).
§ 2. Плоскость
370. Найти плоскость, образующую на осях координат отрезки
2,-3,4.
371. Найти отрезки ка осях, образуемые плоскостью х-\-2у—
f б о
f
372. Найти плоскость, проходящую через точку B, 1,— 1) и
образующую на осях Ох и Ог отрезки, равные соответственно 2 и 1.
373. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки @, 0, 0),
B, 1, 1) и C,-2, 3).
374. Найти уравнения граней тетраэдра с вершинами в точках
A,1,1), (-1,1,1), A,-1,1) A,1,-1).
375. Найти углы, образованные перпендикуляром к плоскости
х — 2y-\-z —1=0 с осями координат.
376. Найти косинусы углов, образованных плоскостью
1х — 2y-\-z — 5 = 0
с координатными плоскостями.
377. Найти синусы углов, образованных плоскостью 6.v— 2у—
—Зг—6 = 0 с осями координат.
378. Найти двугранный угол между плоскостями
2х-\-у — 2г — 4 = 0 и Зх -f-6у — 2г — 12 = 0.
379. Найти линейный угол того двугранного угла между плоско-
плоскостями х—y-\-z—1=0 и 2х—у-\-z~2 = 0, в котором лежит
начало координат.
380. Через точку A, —1, 1) провести плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную к плоскостям х—y-\-z —1=0, 2x-\-y-\-z-\-\ =0.
381. Через точки (I, 1, 1) и B, 2, 2) провести плоскость, перпен-
перпендикулярную к плоскости х -\- у — z = 0.
382. Лежат ли точки B, 1, 1) и B, 1, 3) по одну сторону от
плоскости х-\-2у—z — 2 = 0?
383. Найти объём тетраэдра по уравнениям его граней: х-\-у-^-
4-г—1=0, х— у — 1 = 0, х — z— 1=0, г —2 = 0.
384. Найти геометрическое место точек (х,у, г) таких, что объём
тетраэдра с вершинами (х,у, г), A,2,1), (— 1, 1, 1) B, 1, 1) равен 10.
3 Сбортпгк задач, т. I. 33

385.,Найти расстояние точки {2, 1, 1) от плоскости х-\-у— z-\-
+ 1=0.
386. Найти расстояние между параллельными плоскостями а; — 2у -{-
-j-г — 1 = 0 и 2а: — 4у-\-2г — 1 = 0.
387. Найти плоскость, равноудалённую от плоскостей х-\-у—
— 2г~ 1=0 и х-\-у — 2г+3 = 0.
388. На оси Ог найти точку, равноудалённую от плоскостей
12*4-9у — 20г — 19 = 0 и 16а;—12у + 15.г —9 = 0.
389. На линии пересечения плоскостей х -\-у -\-z — 2 = 0 и х-\-
-\-2у — z — 1 =0 найти точку, равноудаленную от плоскостей х-\-
-\-2у-}-г-}-1=0 их + 2у + г-3 = 0.
390. Найти плоскость, делящую пополам тот двугранный угол
между плоскостями a; -f- 2_у — z —1=0 и х-\-2у-\-z-\-\—0> в ко-
котором лежит точка A,— 1, 1).
391. Найти плоскость, в два раза более удалённую от плоскости
х-\-у — г +1=0, чем от плоскости х-\-у — z — 1=0, и не рас-
расположенную между ними.
392. Найти плоскость, расположенную между плоскостями х — 2у 4-
-L * — 2 = 0 и х — 2у-\-г — 6 = 0 и делящую расстояние между
ними в отношении 1:3.
393. Найти точку пересечения плоскостей; x-\-y-\-z — 6 = 0,
2а;— y-\-z — 3 = 0, х-\-2у — г — 2 = 0.
394. Доказать, что плоскости х -{-у -j-2z — 4 = 0, х-\-2у — z —
— 2 = 0, 2а; —у — z = 0, х -\-у -\-z — 3 = 0 пересекаются в одной
точке.
395. Через точку пересечения плоскостей 2х-\-у — г — 2 = 0
х — Зу-f-2-f-1 =0, x-\-y-\-z — 3 = 0 провести плоскость, парал-
параллельную плоскости A;-f-_y-f-22 = 0, не находя точки пересечения.
396. Проверив, что плоскости х— 2у-\~2г — 7 = 0, 2а;—у —
— 2г+-1=0, 2x-\-2y-\-z— 2 = 0 взаимно перпендикулярны, при-
принять их за новые плоскости координат, приписав новым осям такие
направления, чтобы новые координаты прежнего начала были поло-
положительны. Составить формулы перехода.
397. Найти общий вид плоскостей, пересекающих призму, образо-
образованную плоскостями х = 0, у = 0, х -\-у — 1 «=» 0, по равносторон-
равностороннему треугольнику.
398. В уравнении х-\-у-\-\г = 0 определить X так, чтобы через
Ох можно было провести только одну плоскость^ составляющую
угол 330° с плоскостью х-{-y-\-kz = Q.
399. Определить X так, чтобы плоскости а: — y-j-z — Q, 3x~ у —
— г + 2 = 0, 4х—у — 2г+-Х = 0 пересекались по прямой.
400. Доказать, что плоскости, проходящие через середины рёбер
тетраэдра нерпендикулярно этим рёбрам, пересекаются в одной
точке.
401. Доказать, что плоскости, делящие пополам двугранные углы
тетраэдра, пересекаются в одной точке.
402. Через точку A, 4, 1) провести плоскость, касающуюся пара-
парабол .у==0, г?=*:Ъх и г = 0, д»95=32а;.
34

403. В уравнении плоскости Ах -\- By -\- Сг -\- D = 0 все коэффи-
коэффициенты отличны от нуля. Доказать, что плоскость проходит через
семь координатных углов.
§ 3. Прямая в пространстве
404. Найти плоскости, проектирующие прямую х —у -{- 2г -{- 3 = О,
2х—у— z-\-\ = Q на плоскости координат.
405. Найти углы прямой За; —у -f- 2г = 0, 6а; — Зу -\- 2г = 2
с осями координат.
406. Найти угол между прямыми
{Хл-2у+г—1 = 0, и !х— у — г—1=0.
\ х — 2у-\-г-\-\—0 И \х — у-\-2г-\-\=,0.
401. Найти угол между прямыми
\а;— _у = 2
408. Найти угол между прямой а;-|-^-(- Зг = 0, а;—j;—г=О
и плоскостью д:—j; — z-\-l—0.
409. Провести прямую через точки A, 2, 1) и B, 1, 3).
410. Провести прямую через точки A, 2, 1) и A, 2, 3].
411. Через точку A,2,1) провести прямую, перпендикулярную
плоскости х-\-2у — г = 0.
412. Через точку B, 1, 1) провести прямую, параллельную пло-
плоскостям 2а; —у -f- 1 == 0, _у — 1=0.
413. Через точку (—1,2,1) провести прямую, параллельную
прямой х-\-у — 2г—1=0, а;-|-2.у — г-{-1=0.
414. Через точку B, 1, 1) провести прямую, параллельную плоско-
плоскостям х—y-{-z-\-2 = 0, x-\-y-\-2z—1=0.
416. Через точку B, 2,1) провести плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную прямой х-\-2у—г-|-1==0, 2х-\-у — г = 0.
416. Через точку A, 1, 2) провести плоскость, параллельную пря-
прямым
4Jr7. Через точку A,2,1) провести плоскость, параллельную
прямим
2а;—у-\- г = 0,
f а; + 2у — г+1=0, ( 2х —
\х— у + г—1=0 И ( х—
418. Через прямую 1х—y-\-z—1 =0, х-^-у — г = 0 и точку
B, 1, 1) провести плоскость.
419. Через прямую х —1=0; х-\-2у — г—1=0 провести
плоскость перпендикулярно к плоскости х-\-у-^-г = 0.
3« 3S

420. Через прямую х-^-у-\-г = 0, 2х—у-{-'йг — 0 провести
плоскость, параллельную прямой x = 2y — 3z.
421. Найти уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости
2 = 0 и проходящей через перпендикуляр, опущенный из точки
A, —1,1) на прямую х = 0, у—г-{-1 = 0.
422. Найти уравнение и длину высоты треугольника, высекаемого
на плоскости За;—y-Y^z —12 = 0 координатными плоскостями;
высота опущена из вершины, лежащей на Ог.
423. Найти точку пересечения прямой -*Г" = ~7 ¦- = —^—
с плоскостью х-\-у — г-}-1 = 0.
424. Найти проекцию точки B,1,1) на плоскость х-\-у-\-
З+5 0
425. Найти проекцию точки B,3,1) на прямую x = t — 7,
y = 2t — 2, z = 3t~2.
426. Найти уравнения проекции прямой 2х—y-\-z—1=0>
х-\-у— z-\-\=Q на плоскость х-\-2у — г = 0.
427. Найти отражение точки (—1,2,0) в плоскости х-\-Чу —
— г+ 1 = 0.
428. Определить к так, чтобы прямые —г— = — -— = -г~
~ —у пересекались.
—у
429. Найти прямые, перпенднкулярные прямой у — z -f-1 = О,
x-\-2z = 0 и лежащие в плоскости x-\-y-\-z-\-\=Q.
430. Через точку пересечения плоскости x-\-y-\-z= 1 и прямой
_у = 1, г = — 1 провести прямую, лежащую в данной плоскости и
перпендикулярную к данной прямой.
431. Найти уравнения и' длину перпендикуляра, опущенного из
точки @, — 1, 1) на прямую j;-j-l=O, x-\-2z — 7=0.
432. Найти плоскость, проходящую через начало координат и
через перпендикуляр, опущенный из точки A, —1,0) на прямую
2
433. Найти уравнения общего перпендикуляра к прямым
[х — 4^ + 9 = 0 " \ х-\- 2z-\- 4=0.
434. Найти плоскость, в которой лежат прямые
х—1 у+ 1 z—1 х— 1 .У+ У г—1
435. Найти плоскость, в которой лежат прямые
>у — z — 1 = 0, [ х-\-Ъу~\-Аг — 3 = 0,
{
I x-\-y — 3z = 0 \ х-\-2у-\-2г—1 = 0.
436. Найти плоскость, в которой лежат прямые x = 2t — \, у-
f. z = 2t — 3 и x = \
«О

437. Доказать, что расстояние точки М (х, у, г) до прямой, про-
[гР]
ходящей через точку А(а, Ь, с), можно выразить формулой ^=эТрГ»
где г=з/Ш, а Р — любой вектор, направленный по прямой.
438. Пользуясь предыдущим результатом, доказать, что расстоя-
расстояние d точки М(хиуи г{) до прямой х  а =¦ у ~ ¦ = _-П?. можно
выразить формулой
п (ft-Q-m (zt-
• да- + л3
439. Найти расстояние от точки C, — 1, 2) до прямой
2х — у-\-г — 4 = 0, х -\-у — г -{-1 = 0.
440. Доказать, что расстояние между двумя непараллельными
прямыми можно выразить формулой
d =
где Tj и г2 — какие-нибудь векторы, расположенные на данных пря-
прямых, а г3 — вектор, идущий из точки на одной прямой в точку на
другой прямой.
441. Доказать, что длину d общего перпендикуляра к прямым
х — а у — Ь г — с х — а\ у — bi г — ct
можно представить формулой
— a bi — Ь Cj — с
I m a
442. Найти расстояние между прямыми
Г х+у—г—1=*0, и f
\ 2х+у—z — 2=*0, \
= 0.
443. Найти расстояние между прямыми
х=*у = г и х—1 = 0, у—2 = 0.
444. Доказать, что расстояние h между параллельными прямыми
иожно выразить формулой
где г — вектор, идущий из точки на одной прямой в точку на дру-
другой прямой, а Р —вектор, параллельный данным прямым.
37

445. Доказать, что расстояние между прямыми
х—а _^у—Ь ^_ г — с х — gt у—6t г — ct
/ т п I m я
можно выразить формулой:
и* fm(ai - а)-1{Ъ% - й)}г-Ня(&, — b)-m(d - с)]* + №t - cY-nfa - а)?
446. Найти расстояние между параллельными прямыми
y = 2t—\, z=t и x = t + 2, y=*2t— 1,- 2 =
447. Если векторы rt и г, имеют равную длину и лежат на дан-
данных пересекающихся прямых, то векторы Г[Г±:г9 параллельны бис-
биссектрисам углов между прямыми. Исходя из этого замечания, дока-
доказать, что биссектрисы углов между прямыми
х— а у — Ь г —с х — а у — Ь г — с
/ т п lt /Hj nt
можно представить уравнениями
где
Д:
448. Найти биссектрисы углов между прямыми
x—S_iy + 2 __ г — 1 и дг — 3__j/ + 2 _ z —1
449. Найти биссектрисы угла между прямыми
¦е— 1 у— 2 г —3 х—1 j>—2 г —Э
__=_ 8 == j и 4 х=,— —_-
460. Найти прямые, пересекающие прямые
х+У — г—1=0,
а; —
1=0, и Bх— у + г—1=0,
l = 0 И \ дс+> — г+1=0
и параллельные плоскости х-\-у-\-г = 0.
451. Найти прямые, пересекающие три прямые
=\, Г ^ — 1=0,
462. Доказать, что плоскости, проходящие через рёбра трёхгран-
трёхгранного угла и биссектрисы противоположных граней, пересекаются по
прямой.
453. Три взаимно перпендикулярные прямые неподвижно связаны
с твёрдым телом. Сначала они были направлены по осям Ох, Оуг
38

Ог, а затем расположились по осям Охи Оуи Ог±. Косинусы углов
между осями даются таблицей
X
У
г
*1
«1
«»
«а
*i
h
h
с,
Доказать, что такое перемещение тела могло быть достигнуто вра-
вращением около прямой, и найти эту прямую.
454. Координаты х, у, г переходят в координаты *,, у1У г1 по
формулам:
9 4 + 7— 4г,
Затем по таким же формулам координаты aTj, yv zi переходят
в координаты д;2, yQ, г2, и т. д. Доказать, что л;4 = л:, yt=sy,
Zi = Z.
455. Координаты х, у, г переходят в координаты xv yl% г^ по
формулам:
9xt = E cos ip -\- 4) х + ( — 4 cos о -\- 3 sin о -f- 4)у -\- .
-}- ( — 2 cos а» -|- 6 sin a> ~\- 2) г,
9ух s=s ( — 4 cos <p — 3 sin <з + 4) х + E cos э + 4)j/ -f-
+ (—2 cos a»-f-6 sin e-f-2) г,
9гх == (— 2 cos ? + 6 sin <p -f 2) x -f (—2 cos ?— 6 sin <p + 2)^ -f
-f (8 cos в-fl) г.
Затем по таким же формулам координаты xv yu гх переходят
в координаты х2, у2, г2, и т. д.
Доказать, что координаты хп, уп, гп выражаются через х, у, г
такими же формулами, как и хи yv zv только угол ip заменяется
на я<р.
§ 4. Образование поверхностей
456. Найти геометрическое место точек, удалённых от прямой
х =у =az на расстояние, равное —j=. •
467. Найти геометрическое место точек, одинаково удалённых
от осей Ох и Оу.

458. Найти геометрическое место точек, одинаково удалённых
от оси Ох и от прямой у = 2, г ==2.
459. Найти уравнение геометрического места прямых, образующих
с плоскостью хОу угол 45° и проходящих через точку A, 0, 0).
460. Прямая скользит по прямым д: —0, у = 0 и х=1, г = 0,
оставаясь параллельной'плоскости X -\-у -j- г = 0. Найти поверхность,
образованную движением этой прямой.
461. Найти уравнение поверхности, образованной прямой, которая
скользят по прямым л: = 3 — г, у =2 — 2г и лг = — г, у = Ъг—'3,
оставаясь параллельной плоскости 2х — Зу-{-г-}-12 = 0.
462. Прямая скользит по трём прямым:
х = 0, { у = 0,
Найти уравнение образующейся поверхности.
463. Найти поверхность, получающуюся при скольжении прямой
по трём данным прямым:
х = — 2г — 2, у — — г; х = — г -f-1, у = 2; х = у = г.
464. Найти геометрическое место прямых, проходящих через ось
Ох и параллельных прямой x — \,y = z.
465. Составить уравнение цилиндрической поверхности, образую-
образующие которой параллельны прямой 2х= — 2у == г, а направляющая
задана уравнениями х -\-у — г = 0, 4_у2— 2г*-\-х — 8у—8г—2 = 0.
466. Найти геометрическое место перпендикуляров, опущенных
из точки @, 0, 1) на образующие конической поверхности ^3
2
467. Найти уравнение цилиндрической поверхности, образующие
которой параллельны прямой х=>у=з z, а направляющая—-окруж-
направляющая—-окружность х2-4-.у2= 1, z — Q.
468. Прямая, параллельная плоскости хОу, скользит по оси Ог
и по кривой х ==/¦ cos az, y = rsinaz. Найти уравнение получаю-
получающейся поверхности.
469. Прямая, параллельная плоскости х-\-у-\-г=аО, скользит
по оси Ог и по окружности х = Ь, у2 -\- г2 = а2. Найти получаю-
получающуюся поверхность.
470. Найти поверхность, образуемую движением прямой, пересе-
пересекающей окружность г = 0, х2-f-^y2 = 1 и прямые х—1 =^ = гг;
471. Составить уравнение конической поверхности, вершина кото-
которой в начале координат, а направляющая задана уравнениями г = 1,
2+/
472. Доказать, что уравнение конической поверхности вращения,
у которой оси Ох, Оу, Ог — образующие, имеет вид:
ху-\-хг-\-уг = 0.
40

473. Найти коническую поверхность, вершина которой в точке
A, 1, 1), а направляющая задана уравнениями у*-\-г* = \, лг {f
f
f
474. Круглый диск параллелен плоскости yOz. Его центр — в точ-
точке A, 0, 2), а радиус равен единице. На оси Ог расположена све-
светящаяся точка так, что тень от диска на плоскости хОу имеет вид
параболы. Найти уравнение этой параболы.
476. Лампочка висит под центром круглого абажура, на 10 си
ниже его и в 50 см. от стены. Радиус абажура 15 см. Найти очер-
очертание тени на стене.
476. Диск с центром в A,0, 2) и радиусом 1 освещен источ-
источником света, расположенным на оси Ог так, что тень от диска на
плоскости хОу имеет вид равнобочной гиперболы. Найти точку,.
в которой расположен источник света, если диск параллелен уОг.
477. Тот же вопрос, если тень имеет вид гиперболы с углом
4
между асимптотами, тангенс которого равен-*-.
478. Тот же вопрос для случая тени, имеющей вид эллипса, ось
о
которого, расположенная на оси Ох, равна -*-.
479. Куб с центром в начале координат вращается около диаго-
диагонали длиной 2а, расположенной по оси Ог. Найти уравнение поверх-
поверхностей, получаемых при вращении рёбер куба.
480. Ось вращения круглого цилиндра проходит через точку
(а, Ь, с) и параллельна вектору Р(/, от, п). Доказать, что уравне-
уравнение цилиндра имеет вид:
[т {х _ а) — 1(у — *I» + [я (х - а) — 1(г - с)\* +
+ [я (У — Ь) — т {г — с)]2 = г2 G2 + т>- + и«).
481. Доказать, что три линии: парабола х% -{- 4_уа-f- Аху — 6л: —
— 2y-f-3 = 0, г=0, гипербола д: = 0, 4уг-\-4г^—Юуг—2у-{-2г-\-
Ц-3=»0 и эллипс у = 0, д:2 + 4г3—6л:-j- 2z-\-3 = 0 поучаются
при пересечении координатными плоскостями одной и той же кони-
конической поверхности с вершиной в точке A, 1, 1).
482. Два шара радиуса а касаются друг друга и плоскости хОу.
Найти геометрическое место центров шаров, касающихся данных
шаров и плоскости хОу, если центры данных шаров — в точках
{±а, 0, а).
483. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся
двух прямых x=*a-\-lt, y=.b-\- mt, z=sc-\-nt и х = al -J- lxt,
y*a*bl-\-mit, г =.Ci-f-nj.
484. Найти уравнение цилиндрической поверхности вращения,
имеющей образующими прямые х = у — г; у = х-\-1, г = х-\-2;
ysssx — 2, г = х-\-1.
485. Найти геометрическое место центров шаров, касающихся
прямых ,у = 0, ?=*а и #==0, ?»= — а.
41

§ 5. Поверхности 2-го порядка-
Центр и диаметральные плоскости
486. Найти общее уравнение поверхностей второго порядка,
пересекаемых плоскостью хОу по кривой ах*-\-$ху-\-1у*-{-Ъх-{-
ffC O
487. Найти поверхность 2-го порядка, на которой лежат окруж-
окружности г = 0, х*-\-у*— 1=0; г = 1, xQ-\-y* — 3 = 0; г = 2,
у
488. Через начало координат провести прямые асимптотического
направления для поверхности х* — 2у2 — 4ху — 1 Охг — 4уг —10=0,
параллельные плоскости Зд; -\?у — 4г — 3 = 0.
489. Показать, что уравнению д:2 -{-у2 -\- г1 -}- 2xz -J- 2x -J- 1 = О
удовлетворяют только точки прямой х-{-г=0, у-\-1г=0.
490. Показать, что уравнению Зд:2 -f- Зуэ -\~ Зг9 -{- 2ху -f- 2хг —
— 2уг-\-2х — 2у — 2г-\- 3 = 0 удовлетворяют координаты лишь
одной точки (—1, 1,1).
491. Написать общий вид уравнения второго порядка, которому
удовлетворяют только координаты точки B, 1, 1).
492. Составить уравнение 2-го порядка, которому удовлетворяют
только координаты точек прямой 2дг -f- 2 = Ъу = 2г.
493. Найти уравнение совокупности плоскостей х-\-2у — г-\-
_}-1=0ид:—у -f- г -\-1 = 0.
494. Найти прямые, по которым поверхность конуса г2 — Чху —
— 4д; — 2у-{-2г—3 — 0 пересекается с плоскостью х-\-у-\-2г-\-
+ 5 = 0.
495. Найти образующие поверхности х*-\-у* — га = 1, прохо-
проходящие через точку A, 1, 1),
496. Найти образующую поверхности д;2 — у* = 2г, параллельную
плоскости х-\-y-\-z-0.
497. Найти прямые, параллельные образующим двух поверхностей
*L + yL-?.= i и iL-lL=.2x
ai "Г Ьг съ 1 и р д яягх-
498.^1ерез точки @, — 2, 2) и (—1, 0, 0) провести плоскости,
пересекающие конус д;2 -}- у9 = г% по параболам.
499. Через те же точки провести плоскости, пересекающие тот
же конус по эллипсам.
500. Преобразовать уравнение
|-гъ.J- 2ху — 2yz-\-6xz -f- 2x — 6у — 2г = О,
перенеся начало координат в центр.
501. То же для поверхности
— 4х—8у -f 3 = 0.
502. То же для поверхности 4ху-\-4хг — 4у — 4г— 1 =0.
503. Найти геометрическое место центров поверхностей.д;9-]-^9---
9+\ { — 2х — 2у—2г = <).

604. Из центра поверхности х2 -f- 4^а — 40г2 -)- 4л — 8у— 16г—
—12 = 0 провести прямые асимптотического направления.
605. Найти уравнение гиперболоида, проходящего через точку
B, 1, 1), зная асимптотический конус этого гиперболоида x2-f-j/2—
— г> = 0.
506. Доказать, что геометрическое место центров поверхностей
2-го порядка, проходящих через данный эллипс и через две точки,
симметричные относительно плоскости этого эллипса, есть поверх-
поверхность второго порядка.
507. Обозначая через sX(W левую часть уравнения плоскости, про-
проходящей через точки Л, р и v, доказать, что уравнение
S12SS456 Т ^5а34^6Б1 "Г ^S345S61J "Г ?Sms$66 Г О
при любом выборе коэффициентов А, В и С изображает поверхность
2-го порядка, проходящую через шесть данных точек, обозначенных
номерами 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Общее уравнение поверхностей 2-го порядка имеет вид:
Ах* + By2 + С*2 + Dxy -f Exz -f Fyz + Gx + Hy + 1г + К=0.
Для более удобяого обзора и запоминания ряда пунктов теории поверх-
поверхностей 2-го порядка следует применять обознач ния и сведения из теории
квадратичных фор и. Полином в левой части уравнения введением перемен-
переменного / можно превратить в квадратичную форму четырёх переменных Ф
(х, у, г, t) или попросту Ф, где
При t—\ эта форма обращается в левую часть уравнения поверхности,
которое можно записать в таком виде: Ф (х, у, г, 1)=0. При f=0 форма Ф
обращается в функцию трёх переменных—тройничную квадратичную
форму, которую обозначим через f(x, у, г) или, еще короче, через /. Та-
Таким образом,
/ (х, у, г) = Ах + By* + C* + Dxy + Exz + Fyz.
Обозначая для симметрии х, у, г к t через хи xt, xt, xt и вводя другие
обозначения для коэффициентов форм, можем написать ещё:
i
*i3xixs+auxixt +
Такнм же образом имеем:
з
/==2 aHxiXi
ЛУ=1
При этом положено:
А = ац, В-Оц,..., О

Часгаые производные функции Ф выражаются формулами:
1' дФ
aaxt т
При а14 = ап = <7М = аи= 0 правые части обращаются в величины
J_df_ \_df_ \_df_
2 дху' 2 d^j' 2 олгз'
Определитель
а13 «И
называется дискриминантом формы Ф.
Имеет значение тождество, которое можно назвать формулой Т»йлора:
/5Ф ЛФ ^Ф
*(*+ 6,^ + 4, * + С, / + г)=Ф(лг, J, г, 0 + -^?+ fe^
Здесь
При этом, например,
дФ _ дФ (х, у, г, 0 .
ЙФ , оФ. , дФ дФ . дФ . дФ
5Г:
S, г;, :, •:)
Из формулы Тэйлора следует тождество Эйлера:
508. Пользуясь формулой Тэйлора, доказать, что при переносе на-
начала координат в точку E, ¦»), С) уравнение поверхности Ф (х, у, г, 1) = 0
переходит в такое:
%х + ?у + ?-г + Ф& ?, С, 1) = 0.
Пх,у,
&09. Если определитель А, >
п
отличен от нуля, то
можно найти такие величины для $,.•»} я С, при которых^-
дФ
-г- = 0, ^=- = 0, Доказать, что при переносе начала координат в точку

E, vj, С) уравнение поверхности Ф(х, у, г, 1) = О переходит в такое:
Здесь (jf) —частная производная, взятая при t=\. Указанный
перенос есть преобразование к центру.
510. Если (х, у ,г) — середина хорды поверхности Ф (х, у, г, 1) = О,
а (х-{-h, y-\-mo, z-\-nz) и (х—/в, у — /лз, г—лз)— её концы,
то справедливо равенство:
I з—\- т х- 4г л — = 0.
Доказать.
511. Доказать, что середины хорд поверхности Ф(х,у, г, 1) = 0,
параллельных вектору Р (/, /л, л), лежат на плоскости
дФ . дФ . дФ п
дх ' ф» ' е>г
(Диаметральная плоскость, сопряжённая с направлением вектора Р.)
512. Доказать, что для поверхности f(x, у, г) цз k = 0 уравнение
диаметральной плоскости, сопряжённой с направлением век-
вектора Р(/, т, л), можно написать в каждом из двух видов:
^Н ЩУ +
= 0 и
Щ
, а/(/, m, ri)z
1 дл
513. Доказать, что для поверхности Ф (х, у, г,1)=0 уравнение диа-
диаметральной плоскости, сопряженной с направлением вектора Р (/, т, я),
можно написать в таком виде:
df_ _X_df
dlx '
Здесь ~, -J^ и ^ — частные производные от / (/, щ, л),
а (**) —значение величины *ФК "> *» при <в0.
514. Найти диаметральную плоскость поверхности я2—-2у2—г2—
—2ху — 2yz-\-2xz — 4х—1=0, сопряжённую с направлением векто-
вектора Р A,-1,0).
515. Найти диаметральную плоскость поверхности ла-|-2у3 — г2—
—2ху — 2уг -\- 2хг — 4х — 1=0, параллельную плоскости х -\-у -}-
4-гв=0.
516. У той же поверхности найти диаметральную плоскость, про-
проходящую через точки @, 0, 0) и (lv 1, 0).
517. Найти диаметральную плоскость поверхности *2-j-22—2х-\-
-j-l==0, проходящую через точку B, 1, 0), а также направление,
с ней сопряжённое.

618. Найти диаметральную плоскость поверхности 4л-а4-^а~Г"г "Ь
-\-4xy—4*2—2yz-\-x—у—1 = 0, проходящую через начало ко-
координат.
519. Найти уравнения диаметра поверхности 4.x* -\- 6у* + 4г24"
4хг-{-8у — 4г-|-3 = 0, перпендикулярного к плоскости хОг.
520. Плоскость х = 0 есть диаметральная плоскость поверхности
ху = г. Найти хорды, с которыми она сопряжена.
521. Найти диаметральную плоскость, общую поверхностям х*-\-
~\-у-\-г=0 и х2-\-у№—2х — 2у — 2г = 0.
522. Найти уравнения диаметра поверхности х%-\-2у<> — г9 —
—2ху—2уг-\~2хг — 4-v—1=0, соответствующего плоскости х-\-
f
523. Найти геометрическое место центров сечений поверхности
х* -\- 2у* -\~ 2г2—2ху — 2уг -\-2х — 2г — 1 = 0 плоскостями, парал-
параллельными плоскости х—y-\-z—0.
524. Зная диаметр y = z, х — 1=0 поверхности х2-\-у*'¦{-г2—
—2уг—2х—_у -f- 1 = 0, найти уравнения плоскостей, ему соответ-
соответствующих.
§ 6. Касательные плоскости и прямые к поверхностям
2-го порядка
Уравнение касательной плоскости к поверхности 2-го порядка Ф (х, У,
«> 1) = 0 в точке (*!, Ух, Zi) моигет быть иаписано в каждой из двух форм:
дФ , дФ , дФ , дФ . дф , дФ . дФ , дФ Л
' + ^ + ^+-05 х + У + я+ = й
В первом нз них производные взяты от Ф(х,у,г, 0 и в них положено
/ = 1, во втором — от Ф (х\, ух, 2\, /)ив инх положено t = 1.
Если в тех же уравнениях хь уь гь — координаты некоторой точки,
не обязательно лежащей иа поверхности, то они изображают некоторую
плоскость, называемую полярной плоскостью для точки (дгь уь z{).
Касательная прямая получается при пересечеяин касательной плоскости
с любой плоскостью, проходящей через точку касания.
Если М(х,у, г) — ючка поверхности, то вектор N, проекции которого
дФ дФ дФ т
иа осн координат равны величинам v-,^-,— при t — \, направлен по
нормали к поверхности в точке М.
х7 у*
525. Доказать, что плоскость, касательная к эллипсоиду -$ + р- +
-j--^- = l в точке (xvyv zt), может быть представлена уравнением
526. Доказать, что плоскость, касающаяся гиперболоида ^5 ~f
-f- p — -r = e в точке (xt, yu 2j), имеет уравнение
xx-i ,yyj zzt _
ai "Г > "— 7Г — 3-
46

527. Доказать, что плоскость, касающаяся в точке (xltylt zx) Пира-
Пирата у»
болоида -^ ± gj- =2г, имеет уравнение
дт2
528. Найти уравнение плоскости, касательной к эллипсоиду —+
-j-lj-J-j-sil и отсекающей на осях отрезки, отношение которых
а : Ь: с.
ХЪ \,1 21
529. Такой же вопрос для гиперболоида т'+"ев- г=1-
530. На эллипсоиде -5-{-Tj-]--y=l найти точку так, что ка-
касательная плоскость в ней отсекает на осях координат отрезки рав-
равной длины.
531. На касательной плоскости.к эллипсоиду предыдущей задачи
плоскостями координат образован треугольник с центром тяжести
в точке касания. Найти координаты точки касания.
532. Доказать, что при a2 -f- й2 -f- с2 = /Q эллипсоид-2+ р-"Ь
+ ^=1 вписан в октаэдр |*Ц-|.у| + |г| = /.
533. Доказать, что все нормали к поверхности ху -\- хг -J-уг =
= 0 образуют одинаковый угол с прямой х=у = z.
534. Доказать то же для поверхности „v2 -\- у% -\- z* = ху -\- xz -\-
+1
у+
635. На поверхности ху-\-xz-\-yz =Ъ найти точку, блмкай-
*шую к плоскости х-\-у -\- г = 0.
536. На поверхности х* -\- у* -\- г* -\- ху -\- хг -\- уг = & найти
наиболее высокую и наиболее низкую точки
537. На гиперболическом параболоиде ху = г найти точки, нормаль
в которых составляет с Ог угол 45°.
538. На параболоиде *2—у* = аг проводится линия, во всех точ-
точках, которой нормаль к поверхности составляет с Ог постоянный
угол. Доказать, что проекция этой линии на хОу есть окружность
с центром в начале коордипат.
539. Доказать, что плоскость, касающаяся поверхности х^-^-у2-}-
-\- г2= ху -\- хг -{-уг в точке М (xv yv zt), содержит прямую, прове-
проведённую из начала координат в точку М.
540. Плоскость, касательная к гиперболоиду х"*-{-у2—гг=\
в точке A, 0, 0,), пересекается с ним по двум прямым. Определить
угол между ними.
541. Тот же вопрос для параболоида х*—у*~г и точки @, 0, 0).
542. Через прямую г = еУъ, j =•?- провести плоскость, касатель-
*? , У2 | *г ,
ную к эллипсоиду -j —f—^~Г~Та3" !•
Л.7

543. Конусы касаются эллипсоида предыдущей задачи по плоским
линиям, плоскости которых параллельны плоскости х-{-у-\-г = 0.
Доказать, что геометрическое место вершин конусов есть прямая
x=a?t,y=b2t, г = сЧ.
544. Доказать, что условием касания плоскости г = ах 4- 8у 4- y и
поверхности Ах*-\-By* — 2Сг = 0 является равенство •т")-/Г--4-
+ Ц--0.
545. Доказать, что плоскость, параллельная плоскосги г = ах. 4-
4-J3,y и касающаяся эллипсоида i + ej-{--» = 1. имеет уравнение
г = ах -j- 3jr±/o*as-f.fta3*-|-c«.
546. Доказать, что условие касания прямой х = a -J- W, _у = 6 -[- /и^,
г = с -f- л^ и поверхности Av2 -f- Bj/2 -j- С г- 4- D := 0 выражается равен-
равенством
(Aal +
Если при этом выполняются равенства
Aal -j- 56/re + Cr/i=O, Л/2 -f Вт- -f Ск2 = 0.
то прямая лежит на поверхности.
547. Прямая, параллельная вектору Р (/, т, л), касается в точке
C*i> Л> ZD поверхности Ах2 -\- By2 -\- Сгг -|- D = Q. Доказать, что
Л/*! + Вшу,, -}- Сл*! = 0.
548. Плоскость, перпендикулярная к вектору Р (/, т, л), касается
поверхности Ах2 -f- By9 -j- Сг2 -j- ^ = °- Показать, что её уравне-
уравнение имеет вид:
549. Плоскость, перпендик}глярная к вектору Р G, /я, л), капается
поверхности Ах3 -\- By* -}- г = 0. Показать, что её уравнение имеет вид:
Р . т?
г +
550. Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных
трёхгранных углов, касающихся гранями поверхности Ах* -\- By2 -j~
-j- Сг3 -f- D = 0, есть поверхность шара
предполагая, что правая часть положительна.
551. Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных
трёхгранных углов, касающихся гранями поверхности Ах9-f-5y*-f-
-j- г = 0, есть плоскость г = ZT "Ь То •

552. Эллипсоид с полуосями а, Ъ и с скользит, касаясь трёх коор-
координатных плоскостей. Доказать, что расстояние его центра от начала
координат рашюУа3 -f- Ъ% -\- с.
553. Доказать, что геометрическое место вершин прямоугольных
трёхгранных углов, касающихся рёбрами поверхности Ах2 -\~ By2 -\-
-f- Сг -\- D = 0, есть поверхность
Л2*2 -1- В у -f- С2г2 = (А -}- В -\- С) (Ах* + By* + Сга -f D).
554. Прямоугольный трёхгранный угол скользит, касаясь рёб-
рёбрами поверхности Ах2~\-By2-\-2г = 0. Доказать, что его вершина
движется по поверхности
555. Найти минимальные размеры ящика со стенками, параллель-
параллельными плоскостям координат, в который может быть вложен эллин-
соид
(* +У + *J + х* +У* + ** = «2-
556. Шар х2-{-у*-\-г2 = 2г освещен пучком лучей, параллель-
параллельных прямой x = y = z. Найти форму тени на плоскости хОу.
557. Найти тень от эллипсоида {х-\-у-\-zf-\-х*-\-у*-\-z* = аг
на плоскости х-\-у-\-г = 0, если лучи перпендикулярны к этой пло-
плоскости.
558. Параболоид ху=г проектируется на плоскость хОу лучами,
параллельными прямой х = у = г. Найти форму тени.
559. Точки касания плоскостей с поверхностью 2-го порядка
расположены на линии пересечения её с плоскостью, проходящей
через центр. Доказать, что касательные плоскости параллельны одной
и той же прямой.
хг vi Z2
560. Около эллипсоида ^j + =p-f-^- = 1, где а^Ь^с, а>с,
можно описать цилиндр с круговым поперечным сечением. Найти
уравнение цилиндра.
561. Доказать, что при движении точек по некоторой плоско-
плоскости полярная плоскость точки относительно данной поверхности
2-го порядка вращается около соответствующей точки.
562. Доказать, что при движении точки по прямой её полярная
плоскость вращается вокруг соответствующей прямой.
563. Найти геометрическое место точек касания касательных пря-
прямых, проведённых из данной точки к данной поверхности 2-го порядка.
564. Найти геометрическое место касательных к данной поверх-
поверхности 2-го порядка, параллельных вектору Р(/, т,п).
565. Круг радиуса а скользит, касаясь трёх координатных пло-
плоскостей. Найти поверхность, по которой движется его.центр.
566. Прямоугольный трёхгранный угол касается гранями данной
окружности радиуса о. Доказать, что его вершина описывает поверх-
поверхность шара а]/2.
4 Зак. «4$. Сборник ввдач, г. I. 4в

§ 7. Упрощение уравнений поверхностей 2-го порядка
Уравнение поверхности 2-го порядка можно написать в таком виде:
Ах? + ДУ* + Cz* + IDxy + ЧЕхг + 2Fyz + 2Gx -f 2Ну + Ilz + К = О,
иди, сокращённо.
Здесь члены второй степени относительно координат образуют тройничную
квадратичную форму f(x,y,z) или попросту /. Таким образом
, z) = Ах"- + By* + Cz* + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz.
Упрощение уравнений 2-го порядка можно выполнять, исходя из свойств
диаметральной плоскости, сопряжённой с направлением вектора Р (/, т,п), т. е.
делящей пополам хорды, параллельные этому вектору. Её уравнение имеет
вид:
1 fdF, . dF , dF ~] п
-7Г Г- '-4-3-"*+—Л =0
2 lox ' ду ' oz J
или, в полной форме:
То же уравнение можно записать ещё и так:
или, в полном виде:
(Al + Dm + En) x+(Dl+Bm + Fn)y + (El + Fm + Cn) z -f 01 + Hm -f In == 0.
Направления вектора и сопряжённой диаметральной плоскости можно
назвать главными, если плоскость перпендикулярна к вектору. Главная
диаметральная плоскость есть плоскость симметрии поверхности. Для вектора
главного направления выполняются .условия:
Al + Dm + En = \l, Dl + Вт + Fn = Хот, El + Fn + Cn == In. (*)
Поэтому Х удовлетворяет характеристическому уравнению квадратичной
форыы /, имеющему вид:
А — X D Е
D 5-Х F
¦¦ 0. (•*)
Е F С — Х
Найдя какой-нибудь корень этого уравнения, из равенств (*) можно
найти направление вектора РA,т,п). Уравнение-(**) всегда имеет веще-
вещественные корни, если коэффициенты А, В, С,D,E,F .вещественны. Если
>.j и Xs — два различных его корня, то соответствующие им главные напра-
направления векторов Р1A1,тьп1) и Ps (/2, тг, п? взаимно перпендикулярны.
Если корни характеристического уравнения (*•) различны, то получаются
три взаимно перпендикулярных вектора главного направления: Pj (lh mi,nj),
Pj ('itтъ "«)• и Р» ('*• тЗ' пз)' Еыи оси координат направить по *тпм напра-
направлениям, то уравнение поверхности приобретает вид:
Atx\ + B&1 + Cj«J + 2GJAT1 + 2Hiy1 + Itzx -f Ki = 0. (••*)
При этом, если уравнение было раньше преобразовано переносом начала
координат в центр, то уравнение получает ещё более простои вид:
Если центра у кривой иет, то в уравнении (***) один или два ив коэф-
коэффициентов Аь В\ и С\ обращаются в нуль, а соответствующей из коэффи-
коэффициентов GbHbKi не равен нулю.

i С, = О, А\ -ф. О, Вх Ф О, Jt ф О. В этом случае можно перенести начало
координат в такую точку, что уравнение принимает внд
II. В% = О, С\ = О,Н\фО, /%фО. Здесь можно, сохраняя прежнее напра-
направление оси ОхХ\, заменить у\ н zx так, чтобы уравнение получило внд:
Характеристическое уравнение может иметь равные корни. Прв этом,
если все три кория равны, то менять направления осей излишне — незави-
независимо от их выбора, уравнение, после переноса начала в центр, получает
внд:
Если равны два корня: Xj = X3, a Xj^Xj, то значение X даёт возмож-
возможность найти одно главное направление и вектор P1(l,m1,ni) этого напра-
направления. Два другие в этом случае не вполне'определены. Их можно выбрать
следующим способом:
Р|*[РЛ], Р8 = IP, Pi Ь
Здесь г — любой вектор, ие параллельный Pj.
Заметим, что характеристическое уравнение в раскрытом виде можно
иапнсать так:
где коэффициенты р, д и г выражаются равенствами:
р ++,
q за АВ + АС + ВС — D* —P — F*,
i + BP 1 — ABC—2DEF.
Они являются ниварнаитамн уравнения поверхности 2-го порядка, т. е. их
величина не изменяется прн замене координат, включая н поворот осей
и перенос начала.
567. Найти плоскость симметрии поверхности
х2 -[- з'2 -f- г2 — 2ху^\- 2хг — 2уг — х -J- 4у — z -f- 2 = 0.
568. Найти плоскости симметрии поверхности
хъ _|__уЯ_}_гЯ-|_ 4* — 2у-\-9г— 1 =0.
669. Найти плоскости симметрии поверхности
ху-\-хг-\-уг = \.
570. В уравнении поверхности 2-го порядка
Ax*+By*-{-Cz'i-\-2Dxy-!r2Exz-}- 2Fyz-\-2Gx-\-2Hy -\-21z-\- К=0
величина определителей
A D Е О
Д3 =
A D Е
DBF
Е F С
D В F Н
Е F С I
G Н I К

которые можно назвать дискриминантами квадратичных форм
/= Лх2 -}- By* + Сг3-|- 2Dxy -f 2Ехг -f- 2Fyz
и
Ф = Лх2 -)- 5У + Сг2 -f 2Z)xy -f 2?хг -f- 2Fyz -f- 2Gx/ -f 2Hyt -{-
являются инвариантами, как и величины
—Z>9 — ?а
Пользуясь этим, доказать, что уравнения поверхности с, центром,
при Д8 ф 0, можно привести к виду:
671. Доказать, что при ка = 0, дф 0 уравнение поверхности можно
привести к виду
672. Доказать, что при Д4 = 0 поверхность есть кону^или ци-
цилиндр, либо уравнение изображает точку, прямую или пару пло-
плоскостей.
Упростить уравнения следующих поверхностей и дать формулы
преобразования координат, которыми это упрощение достигается.
673. ха+У + г2—6* + 8y-f Kte+^O-
674. 5х2 + 6.уа + 7.г2 — 4xy + 4yz — 10x + Sy+ 14г —6 = 0:
676. 2х2+5У4-11'г2— 20ху-\-4хг+\6уг—24х—6у—6г—18 ==0.
676. л:24-2у2—3^8+ 12ху — 8хг—4уг-\- 14л:+16у—12г— 33 = 0.
677. Зха—2у2—*2+4;cy-f 8лгг— 12^г -f 18.V —4^ — 14г=Го.
678. 4xa+2y-f 322 + 4xz —4^ + 6^ + 4^4-824-2 = 0.
679. У—га + 4;су — 4лгг — 6х + 4у + 2* _|_ 8 « 0.
680. 4х2+ 2У + Зг2 + 4хг — 4yz -f 8л: — 4у -f 82 = 0.
681. У—22 +4x^ — 4^2 —3 = 0.
682. 4x*-\-yQ-\-4z*—4xy-\-&xz — 4yz— \2x — \2у-\- 6г = 0.
683. 7уа—7г2 — 8х^ -f 8;С2 = °-
684. 5х2 -f 5У -f 8га — 8ху — 4хг — 4уг == 0.
. 686. Збх2 + Qf -f 4г3 4- Збху 4" 24x2 -\-\2уг = 49.
686. Збх2 4- 9/ 4" 4г2 4- Збх^ + 24хг +I2yz = 0.
687. х24-У4-2г2+4л: — 6У — 8г4-21=»Ь.
688. Составить уравнение геометрического места вершин поверх-
поверхностей 4yi — 2zi-lrx-j-ay -\-bz = 0.
689. Определить Я и jj. так, чтобы уравнение х2—у*-\-Ъгг-\-
4~ О^х 4~ jy)a = 1 изображало цилиндр вращения.
690. Найти условие для a, b к с,' при котором уравнение а (*¦.•-{-
-f- 2^/г) 4- 6 О2 -f- 2хг) 4~ с (г2 4~ 2х^) = 1 представляет поверхность
вращения.

691. Найти ось вращения поверхности
у _j_ (г2_2г)A— X2) -f 2XJC2 — 2л = 0.
692. Найти с, при котором конус х* — 2.vy-{-сг2 = 0 есть конус
вращения, и дать уравнения оси.
693. Доказать, что конус с вершиной в точке A,0,0) и с напра-
направляющей х*-\-у"— 2х—у = 0,2=1 есть конус вращения.
694. Исследовать характер поверхности
2yz = 2tn'i — dm -f 1
при изменении т от —со до -\-а>.
695. При каком соотношении между а и |3 уравнение
хч _f_ys - г9 -f 2а*г -)- 2?уг — 2х — 4у -f 2* = О
представляет коническую поверхность?
696. Найти уравнение геометрического места точек вне куба со
стороной а, произведение расстояний которых до трёх сходящихся
граней куба равно произведению расстояния до трёх других граней
куба.
697. Определить вид поверхности, получающейся при движении
прямой, параллельной плоскости Ах -\- By -{- Cz -f- D = 0 и сколь-
скользящей по прямым jc = O, г = а; у = 0, z = — а.
698. Векторы Р(а, Ь, с), PiC^, bu с^) и Р2(а2, 6а, са) взаимно
перпендикулярны. Доказать, что поверхность
A (fix +АУ + сг +• d)* +B (а,х
имеет главными направлениями векторы Р, Plf Ра.
699. Поверхность 2-го порядка проходит через точки @, 0, 0),
A, 1,-1), @, 0, 1) и имеет плоскости симметрии -
х-^-у + г = 0, 2х—у — г = 0, .у —г4-1 = 0.
НаДти её уравнение.
600. Цилиндр проходит через точки A, 0,— 1), B, 0, 2). Его
ось дана уравнениями х = — y = z, а плоскости симметрии — урав-
уравнениями х-\-2у-\-г-=0 и х = г. Найти J цилиндр.
601. х = 0 и ^=0 — плоскости симметрии поверхности. Точки
@..1. 1). B, 0, 1), A, 1, 2) и B, 0, 3)—на поверхности. Найти
её уравнение.
602. Поверхность вращения проходит через точки A, 0, 0),
A,-1, 1), @, 1, 2). Ось вращения — ось Ог. Найти уравнение
поверхности.
603. Образующие параболического цилиндра параллельны пря-
прямой Ч.х = 2у= — г» уравнение плоскости симметрии х -\-у-^-г = О,
а точки A, 1, 1), Ц, — 1, 1) — на поверхности. Найти уравнение
нилинлпа.

604. Si = 0, sa»=0, ss=0 — уравнения трёх диаметральных
плоскостей поверхности. При этом каждая из них сопряжена с ли-
линией пересечения двух других плоскостей. Доказать, что уравнение
поверхности можно написать в таком виде:
Л*,2 -f- Bsf + Css2 + D = 0.
605. Три хорды эллипсоида, проходящие через центр, такие,
что каждая из них сопряжена с плоскостью, проходящей через две
другие, можно назвать тремя взаимно сопряжёнными осями эллип-
эллипсоида. Доказать, что объём параллелепипеда, построенного на трёх
взаимно сопряжённых осях эллипсоида, есть величина постоянная.
606. Доказать, что уравнение
изображает параболоид, у которого рх -{- qy -f- rz -j- 5 = 0 — каса-
касательная плоскость, а совместные уравнения
ax-+-by-\-cz-\-d=0, ах -f- ?У -\- f z -\- 8 = 0
дают диаметр, проходящий через точку касани^,
607. Найти уравнение параболоида, касающегося плоскости х-\-
-\-y-\-z = Q в начале координат, имеющего диаметральную пло-
плоскость х=у и проходящего через точки A,1, 2), @, 2, 2), C, 1, 1),
|, 2, 2).
§ 8. Круговые сечения, прямолинейные образующие
я другие задачи
608. Через прямую 2х = 2у = z провести плоскость, пересе-
пересекающую поверхность 4х* — д;2-|-г = 0 по равнобочной гиперболе.
609. Найти геометрическое место центров сечений эллипсоида
лга-т-2,уа4-га=1 плоскостями, проходящими через прямую л: =„)/•=.?.
610. Найти вершину параболы, получающейся при сечении
цилиндра _уа = 2* плоскостью x-\-y-\-z=l.
611. Найти плоскости, в которых лежат оси. симметрии эллип-
эллипсов; получаемых при сечении эллипсоида х*-\-2у* -|~гг2= 1 пло-
плоскостями, параллельными плоскости 2х-\-у-\--г = 0.
612. Найти уравнения оси параболы, получаемой в сечении
поверхности х2-\-у* — 2г2=1 плоскостью х-\-у — 2г=1.
613. Найти плоскости, в которых лежат оси симметрии пере-
пересечения поверхности х2-\-2у2 — 2z = Q плоскостями, параллельными
плоскости х-\-у-\-г = 0.
614. Найти плоскость, в которой лежат оси симметрии парабол,
получаемых при пересечении поверхности ,уа-}-2га = 2л: плоскостями,
перпендикулярными к вектору Р@,1, — 1).
615. Найти плоскость, проходящую через начало координат и
через ось вращения поверхности
= 0.

616. Найти уравнения плоскостей, пересекающих эллипсоид
?г +7?+ ¦^¦e=1 п0 кругам. При этом а>Ь>с.
617. Найти геометрическое место вершин конусов, касающихся
эллипсоида предыдущей задачи по кругам.
618. Найти круговые сечения одно полостного гиперболоида ~ -\-
619. Найти круговые сечения поверхности
2л:2 + У -г *2 -г ху — хг — 2х ==• 0.
620. Найти геометрическое место центров круговых сечений
эллипсоида
х* -f 2/ -}- 2г> -4- 2ху — 2х — 4у -f 4г -f 2 = 0.
621. Найти общий вид плоскостей, пересекающих по кругам
поверхность
х2 -\-у- — ьхг — pyz — haz — а2 = 0.
622. Найти круговые сечения поверхности
623. При каких X и ji круговые сечения поверхности х2-\-у2 —
— Xxz — \>.yz — kaz—а2 = 0 перпендикулярны к вектору РA, 1, 1)?
624. Найти уравнение цилиндра, проходящего через круг х2-\-
-\-yi=\, г = 0 и точку (О, 1, 1) и имеющего взаимно перпенди-
перпендикулярные плоскости круговых сечений.
625. Какозо геометрическое место центров сфер радиуса R,
пересекающих эллипсоид *2-\-2у* + Зг2 = 1 по кругам?
626. Найти геометрическое место вершин конусов вращения,
проходящих через параболу z = 0, у2 = 2рх.
627. Поверхности 2-го порядка с центром в точке (а, Ь, с) про-
проходят через круг x*-\-yi = R2, z = 0. Найти геометрическое место
круговых сечений, плоскости которых проходят через начало коор-
координат.
628. Найти уравнения прямых, по которым поверхность конуса
"вращения ху -\- xz -f-yz = 0 пересекается с плоскостью, преходя-
преходящей через ось и точки @, 0, 0) и A, 2, 3).
629. На гиперболическом параболоиде у2 — г2 = 2* найти место
точек, через которые проходят две взаимно перпендикулярные обра-
образующие.
630. Тот же вопрос для поверхности = 2х.
631. Найти прямолинейные образующие поверхности
ху -\- xz -f- х -\-у -\-1 = 0.
632. Тот же вопрос для поверхности
*2 _j. 3/ + Зг2 — 2ху — 2хг — 2yz — 6 — 0.
55

633. Найти уравнения прямслтнейных образующих поверхности
4у9 — z2 -f- х — by — Ьг — 2 = 0, пересекающих ось Ох.
634. Найти величину наибольшего угла между образующими
конуса х2-\-у* = (х-{-у-\-гJ, а также направление его оси.
635. Найти уравнение гиперболоида, у которого прямые 2х—1 = О,
у = г; 2х = г, у-{-1=0; 2х = — г, у=\ являются образующими
одной системы.
636. Найти уравнение параболоида, у которого прямые
(х — у — 2 = 0, (x-\-y + z = Q, Г 2*4- у+г = 0,
— у — 2 = 0, (x-\-y + z = Q,
— z—l = 0, [у — г4-1=0,
.— образующие одной системы.
637. Найти общее уравнение параболоидов, проходящих через
круг х*-\-у2 = сР, г = 0 и имеющих ось, параллельную вектору
Р(/, т, п).
638. Найти уравнение конуса, на поверхности которого лежат
круги * = 0, /4-*2 — 2аг = 0; z = 0, x*-\-y*=*2bx.
639. Найти координаты вершины конуса, на поверхности кото-
которого лежат круг х = 0, у2 -{- г2 = 2аг и парабола z = 0, у4 = 2рх.
640. Найти параболоид, на котором лежат уточки F, 1,—1),
A,-1, 0) и прямые х = 0, г=2; у=0, г= —2."
641. Найти параболический цилиндр, на котором лежат параболы
г = 0, у* = 2х; x = z, 2y2*=x-{-z.
642. Найти параболоид вращения, проходящий через точку A,1, 2)
и круг x = z, x*-{-y*-\-z* = 2x-{-2z.
643. Каково геометрическое место центров сфер данного радиуса,
пересекающих эллиптический* параболоид по кругам?
644. Найти длины осей эллипса, получаемого сечением эллипсоида
x*-\-y2-\-4z'i = \ плоскостью x-\-y-\-z = 0.
645. Найти длины осей эллипса, получаемого сечением парабо-
параболоида 2,у24-23 — 2х = 0 плоскостью х—у.
646. Найти параметр параболы, лежащей на поверхности *а4"
-\-2y*-\-z*-\-Axy — 2xz—4yz-{-2x—6z=*0 и в плоскости х==г.
647. Конус имеет вершину в фокусе вытянутого эллипсоида
вращения и опирается на плоское сечение того же эллипсоида.
Доказать, что этот конус есть конус вращения.

ОТДЕЛ III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Теория пределов
Если числитель и знаменатель рациональной дроби при х = а обра-
обращаются в нудь, то дробь можно сократить на х — я. Поэтому, например,
х* — 5*4-6 _и (х — 2)(х— 3)_,. х—3 _2— 3_ 1
1Й ]ЙЛ У
Пользуясь этим приёмом сокращения дробей, вайти пределы в следую-
следующих примерах.
648- 2??r4qS? • б49- !?
650' L1" (*ДУ •
ч хп 1 ^1» 1
652. Нт г ; я— целое. 653. Ит —-—г;/гаи я — целые.
».il X i ^_а.1 X"— 1
666. Hm (. а ¦••¦•— Л; а и Ь — целые.
656. lim ±~
Следующие задачи сводятся к предыдущему типу введением новой
переменной: величину, стоящую под радикалом, обозначают через ип, где
показатель л выбирают так, чтобы корень извлекался.
657. lim x ~Ч. 658.
х1 —1
659. Нт —г^:. 66°- Um<
Если числитель и знаменатель содержат степени переменной, которая
стремится к бесконечности, то во ыаогих случаях предел выражения удобно
находить, разделив числитель и знаменатель на соответствующую степень
переменной. Так, например,.имеем:
L4--L
я 'л»

Следующие задачи решаются этим приёмом либо прямо, либо после
предварительного преобразования.
(«+ !)(« +2)(«+ 8)
"
Замечание. В последней задаче, а также и в следующих удобно
пользоваться формулой для суммы квадратов натуральных чисел:
1 -f 23 +3*+ ... +(л— 1J = "С"-1^2"-1),
легко доказываемой по методу полной индукции.
670. Шп^ " + J""^n - 671. Шп J р^ — |).
672. Hm • '
¦п-ко
673. Hm -
Одним из приёмов нахождения пределов иррациональных выражений
является перевод иррациональности из знаменателя в числитель или из
числителя в знаменатель. Так, например, имеем;
= о.
Подобными приёмами решаются следующие задачи.
674. lim
675.
fi7fi Hm
676. Hm
¦*

677. lim
679. Hm
__^. 678. Hm
i
y2+x+x
681. Um
•680. Hm
682. lim
683. lim (
JT->a5
x).
685. Um л:
а^->oo
— ? - i.
686. lim {(*+l)8—(x—1)»]. 687. lim [x3 —(д:*—1)»].
688. lim
689. Ига
!В->+0О
690. lim
4_
691. Hm x8fl/*"+l—]/*"¦—0-
as-юо
692. Определить Х и [i из условия
lim (y/l— л:3— lx — [i) = 0.
693. Определить Х. и [i из условия
lira
c,-^-l»]='); a,>0.
Иногда оказывается возможным путём удачного преобразования выраяевия
свести вычисление его предела к нахождению пределов более простых
выражений. Так, например, имеем:
l)
— 6.
x x
Подобными приёмами легко решаются следующие примеры:
694. \\гаУ а~т~Х~~~" а~* .
695. Hm
1+3* + У1 + * —Vl-t-*—1

697. lira
sr->0 *
Иногда при нахождения пределов формальные преобразования яе дости-
достигают цели и нужно рассмотрение по существу. Так, например, при изучении
выражений, содержащих а", пря я-юо, надо иметь в виду, что при 0<л<1
величина а"->0 при л->оо, а при а>1 величина а" безгранично растёт.
Пользуясь этим, легко решить следующие примеры, в которых а>0.
698. lira ,,¦.¦¦ 699. lira . , .„ ¦¦.
700. lira 21^. 701. lim
При изучении пределов тригонометрических выражений очень часто
удобно пользоваться фундаментальной теоремой, по которой lim = 1.
«-> о •*
Tik, например, при нахождении величины Ига ^\^ полагаем х = к4-и,
где н->0. После этого.без труда находим;
sin3u
,. $1пCя + 3и) .. — sin3« ,. За 3
-!!? tgE.+5») =!^~tpir = -Jl;nip5- s
Подобными приёмами, а иногда и применением способов, разобранных
раньше, решаются следующие примеры.
702. lira *»М . 703. Ига $
* 8
704. lim 4^. 705. lim
... .. sin mx
706. lira m ил — целые числа.
g^, sin ллг
707. Ига *ctgx. 708. lim 2»sin
709. lira L=^ii. 710. нга
711. Hm(l-x)tg^. 712. Hm<
7J3. lira sin(a + jr) —sin(a —jt) ^
ic->0 •*
714. Jim s»n(a + x) + sin (а —ж) —2sin a
tik "~ cos<a + ^+ cos (a — ^) — 2со» а
715. lim г .
iB-> 0 I — COS Ж
716. Ига (sinl/x-f 1—
60

Следующий ряд задач содержит пределы выражений, у которых пока-
показатель степени бесконечно возрастает, т. е. выражений вида и», где и-* 1, а
о-»-со. Все они могут решаться введением новой переменной л по такой
схеме:
Отсюда следует:
»—
Здесь предел выражения в показателе находится предыдущини приёмами.
728. Hm f^-j-^T4. 729. Urn A -f- tgx)«s *.
я-»0
730. lim A + 3 tg3*)"*1*. 731. Urn
732. Hm (cos -Y" . 733. Hm (cos -4»Y" .
734. Hm fcos —-f-XsIn — J . 735. Hm
[sia(a-\—)
—^ ^ . 737. Hm
sine J _^
4
738. Hm [sln^tJ ™ j n+1 2> 739. iim Hg^-j- л:)]с'г2х .
61

Следующие примеры, похожие на предыдущие по виду, отличаются пв
существу, так как в инх основание не стремится к единице. Они решаются
прямых рассмотрением вопроса.
п — целое положительное.
Дальнейшие несколько задач содержат логарифмы я показательные
функции. При их решении важны два основных предела:
.. In A4- х) ,
игп —s—^ =я> 1, где логарифм — натуральный.
743. Яга
х-*е
sr->0 *
Hm -^-=
x->0 X
In jc — 1
> !п а, где логарифм — натуральный.
744. lira
747. lira
In COS ax
749. lira
In \%x
„1—ctg.*
х->10
e—10 *
746. lim n8 In cos-?-.
n
748.
я ->co
750. lira
752. lira (a» —-1).
754. lira ла(а"" + а"""—2).
n->eo
756.
758. lira
x
ax — ae
753. limn* (/a — y7).
755. lim -
x->oo
757. lim —
760. Hra
n->oo
761.
lim
x —
/ n
ya
n
С
n
+ yi
2
n
+ yi
¦-)¦-
2+ •
m
a>0, b:
n
sin ax —sing* •
759. lim A-l-a»)», a>0.
n->oo
762. llra
as-W
763. Ига л:In

§ 2. Разные задачи
764. Доказать неравенство Бернулли:
где числа а, |3 X одного знака и больше, чем —1.
765-, Пользуясь неравенством Бернулли, доказать, что при п це-
целом A-^)">1— •-, если я>1.
766. Доказать, что {} + ^) >{} +-^ZI\J~%' если п>1ш
767. Доказать, что (l -f -^)"+1<(l -f -^
768. Величина (l -| Г возрастает, а величина fl -| у убы-
убывает при возрастании целого числа п. Отсюда и из очевидного нера-
неравенства [1-] J <(М ) Т вывести, что обе эти величины при
я-юо стремятся к общему пределу. Этот предел обозначается
через е:
Ига fl4--Y = e.
769. Доказать равенство:
предполагая, что предел в правой части существует.
770. Доказать равенство
предполагая, что lim?^ существует и что i>i-f-tf2 + ч>з + • • • +
-{-¦о„-^-с» при л^-со, а числа 1>„>0.
771. Доказать равенство:
Hm Ьа
л-+оо pn
предполагая, что предел в правой части существует и и„->ао при
л ->оо, a «n>«n_i.
772. При т целом положительном доказать равенство:
.. 1"» + 2т -f 31» Н 1- л»> _ 1
773. При том же условии доказать равенство;
II Г1от + 21" + 3"» 4-»• • + я"* л 1 _ I
63

774. Доказать равенство:
-
775. Доказать равенство:
lf»j-3'»4-5m4-..-+B/i — IVй 2»
"^
776. Найти Hm 2J(V 1-^~n« —V' заметив сначала, что
... УТ+7— 1 1
х-*о х *¦
п ________
777. Найти Пт _^](|/ 1 + ^ — l) •
778. Из неравенств ^1 +~)"<е<П + —)"+ следует, что
<1
л+1
Исходя отсюда, доказать равенство:
+++
Здесь С — постоянная, называемая постоянной ЭЛлера, а в (л)-»0
При R-+CO.
779. Пользуясь предыдущим результатом, доказать равенство:
+ + + +
780. Исходя из равенства lim '" ^ + ^ == 1, найти
П->00
781. Пользуясь формулой Hm^-?e_l, доказать, что
и» *
782. Доказать, что при я—>оо
а 2а па —г-
COS у=. « СО$ —=:. . ..COS ?=.->« * .
пуп %уп пуп
64

783. Доказать, что
784. Доказать равенство
,-(-i)(< -i)-(>-*K-
изучив возможности сокращения дроби, стоящей в одной скобке,
с соседними с ней дробями.
Доказать следующие равенства.
9S 1 З3 1 п3 — 1
787. Hi» у л | ~/ \* t " д» i ~ j • • • \* i ~ / — 1 ^>
П -> СО 1 А
788. Hm cos \ cos^-.. .cos?j = ^-^ (Эйлер).
789.
790. Последовательность значений ип даётся формулами: ut = "j/2,
'2", и3 = И 2 + |/2 + /2" и вообще и„ = |/2-j-an-1.
Заменив последнюю двойку под радикалом на 4, убедиться, что ип
ограничено. Доказав, что Нт ап при л-»-со существует, найти его
из равенства и? = 2 -f- an_x.
Замечание. Ещё легче находится этот предел из равенства
791. Последовательность vn задана равенствами:
Заменив под последним корнем число а величиной a -f- x, где х —
положительный корень уравнения х2 — а-\-х, убедиться, что vn огра-
ограничено, и доказать, что vn-*-x при и-+со.
792. Последовательность чисел задаётся равенствами
х0 == а, л-j = *, х2 = x° g"*1 , .. ., х„
Найти выражение хп через д и Ъ и найти Нт х„.
793. Даны числа а и Ь, где а > & > 0. Затем составляются новые
пары чисел по формулам: дц-ц= -"-Т ¦ п , А " "
5 ООорвшс видач, т. I.

При этом ао-=а и bo= b. Доказать, что anbn = ab, что
а„ — Vih&i fa —
ап +
fa
и, наконец, что lim an = lim bn — Yab.
794. По двум данным положительным числам а и Ъ можно по-
построить ряд новых чисел с помощью равенств: а0 = а, Ьй = Ь,
и, вообще, вяив2й^2, *ntl =
«, = -&!, b
= Yanbn. Доказать, что при л-+со числа ап и ^„ стремятся к обще-
общему пределу. (Арифметико-геометрическое среднее Гаусса.)
795. Две последовательности чисел составляются по формулам:
При этом ао = а, bQ = b— данные положительные числа. Найти Вт ап,
равный Umbn, полагая a = b cos да при а<й и a — bchv при а>&.
796. Последовательность .чисел составляется по формулам: хп =
= тт[хп_1-\ —), где а>0— данное число, a xQ — произвольное
положительное число. Доказать, что хп-+У1Гпрн п -* со.
Замечание. На этом основан довольно удобный, особенно на
арифмометре, способ извлечения корней.
797. Числа последовательности составляются по такому закону:
х0 — произвольное положительное число, а дальнейш... находятся
по формуле
_*„(>»+За)
Здгп + а
где а — данное положительное число.
Доказать, что хп-+Уа при л-» со.
Замечание. Зак<§1 составления чисел хп здесь сложней, чем
предыдущий, но зато числа 'тх^ быстрее приближаются к '[Га,'чем
раньше, особенно если х9 взять близким к у а.
798. Доказать, что последовательности, составляемые подобно
прежним по формуле хпл.1= — [2хп-\—А или по формуле
= —5——^- , стремятся к Уа.
2х„ + а
799. Последовательность уп определяется следующим способом:
Ух— ¦?, где 0<х<1;^2= y + ^~> и вообще^„=-| ^^-.
Доказать, что уп—ограниченная монотонная величина и найти Нш уп.
66

800. Л = ?-, где0<*<1;Л=^ — Й;...;_Уд
Показать, что Пт у„ существует и равен У^-|-л'—1.
я-foo
§ 3. Понятие о функции. Непрерывность. Графическое
представление функций
801. Из кусков, длина которых равна 1 дм, 2 дм, 1 дм и вес
которых равен 2 кг, 3 кг и 1 кг, составлен один сплошной брус
АС. Найти вес отрезка АВ этого бруса в функции от длины его х,
где х считается от точки А — начала куска весом в 2 кг.
802. В каких промежутках можно рассматривать функции у, г,
а и v, определяемые равенствами
(x—1),
803. В каких промежутках можно рассматривать функции
3 2х
у = arc cos —, г = arc sin -r—;—-. ?
804. В каких промежутках можно рассматривать функции, опре-
определённые равенствами:
_у = д:1п;е при хфО и у —0 при х = 0,
г = -я- х In х2 при д: ^fc 0 и г = 0 при х = О?
805. Функция задана равенствами:
/(х) = 2х при 0<х<1 и/(х) = 3 — х при 1<х<2.
Будет ли /(*) непрерывна во всём интервале 0 < х < 2?
806. При каком а функция _у, заданная равенствами
_у =xln(#а) при хфО и _у = а при х = 0,
непрерывна в промежутке (—со, со)?
807. Обозначая через [а] целую часть а, определить, при каких
значениях х имеет разрыв непрерывности функция у, определенная
равенством
808. При каком значении х функция ех имеет разрыв непрерыв-
непрерывности и каков этот разрыв?
809. Какой разрыв непрерывности и при каком х имеет функция
б* 67

i810- При каких значениях х имеют разрыв непрерывности функ-
функции
х х* + 3 I ,
При каких знамениях х имеют разрыв следующие функции:
•»• IS- 812- аЬ-
Т.Х
COS-
813. In In (!+*»). 814. ^—.-y
816. Имеет ли разрыв непрерывности функция, определённая ра-
_i_
венствами у — е х' при хфО и у = 0 при л: = 0?
Построить по точкам графики целых функций 2-й степени (пара-
(параболы):
816. ^ = х- 817. ^=—^.
818. у~?^&-. 819. ^ = 4-^
820. ^ = ах2 при а = 4, 2, 1,-1-, -L.
—
821. _у=зл:2 + л—1 при а — 1, —-, ^-, и прямую
822. Воспользовавшись тождеством
построить график функции у — ах*-\-Ьх-\-*.
Построить графики целых рациональных функций степени выше
второй (параболы высших порядков):
823. jr-jj". ?L??
= ?Lll?
825. ^10"' 826.^ = 24
827. У = Щ??. 4*- 5^
829. jr-^. .у Й5
Построить гиперболы, являющиеся графиками следующих дроб-
дробных функций:
831. У = -у- 832.3' = З^ЁГГ'
833. у= ^t1 • 834.^=2лг— Н—XT-
Построить графики дробных функций, имеющие* асимптоты, па-
параллельные оси Ох.
68

835. у = Г7~-; (локон Марии Аньези).
836. у = гтЩ| (серпентин Ньютона).
v__
.У —
+
Построить графики дробных функций, имеющие асимптоты, па-
параллельные осям:
838. У = ^Г- 839. у = ~^.
840. У = ^. 841^ ^ ^
Построить графики дробных функций, имеющие вертикальные и
наклонные асимптоты:
844. у = х + ±. 845.^ = x+-^?_-.
Построить графики следующих иррациональных функций.
846. y = z*=Yx — 2 (парабола).
847. _у=> ± -^-/25 — ха (эллипс).
848. ^= ."I: -у к х2—1 (гипербола).
849. y = dz —к— (парабола Нейля).
= d-xy ~r~i (Циссоида Диоклеса).
850.
851. y=d=
_2_
852. У = * 3 • 853. .у = rt: .V
Построить графики следующих трансцендентных функций.
854. у = ах при а>1 и при а<1.
855. ^ = е-я'.
856. jf=» «T. 857. jf= Г*.
858. j;=Inx. 859. _у = Л sin д: при А = -у , 1 и 2.
-с 1 , „
860. у = sin — при а = -я- 1 и 2.
861. ,y = cos л. 862. y =
69

863. у = ^-^-. 864. у == е-°ж sin Ьх.
865. _y=-sin;e3. 866. y = tgx.
867. у= ¦—— . 868. yr=xsia^- .
¦* cos x •* х
В высшей математике обратные тригонометрические функции имеют
значительно большую важность, чем в элементарной. По определению
имеем:
1) Если sin .у = х, то 3"= arc sin x.
2) Если cos .у = х, то у = arc cos*.
3) Если igy = х, то у «=¦ arc tgx.
4) Если ctg.y = •*• то jr = arc ctg x.
Определённые таким образом функции от х многозначны. Чтобы сде-
сделать их однозначными, в определение этих функций вводят дополнитель-
дополнительные условия. Они состоят в том, что значения arc sin x и arclgx берутся
/ * я \ ,
винтервалеГ —, -«-)» * значения arc cos л; и arcctgje берутся в ин-
интервале @, к).
Построить графики функций:
869. у = arc sin x. 870. у = arc cos x.
871. y = aictgx. 872. _у = arc ctg x.
873. _y=arctg -i-. 874. y = arc ctg -j- .
875. .y = arc sin (sin x). 876. ^ = arc cos (cos x).
877. _y = arctg(tgx).
Доказать равенства:
878. arctgx-(-arctg — = "|~ ПРИ *>? и —j" ПРИ
879. arc tg x -f- arc tg .y = arc tg J+^ -f- ew, где
e = 0, если ху<1;
e = — 1, если х_у>1 и
8=1, если х_у> 1 и
880. arc sin x -J- arc sin у = kj arc sin (x V^l—y*-\- y\ 1 — xa)
+ e^, где
ij=l, e = 0, если *у<0 или xa-|-_ye<[ 1;
ij= — 1, e=—-1, если x3-f-y>l и x < 0, ^<0;
7)=—1, e=l, если х8-}-^а>Ги x>0, _j/>0.
881. arctgx-j-arctg |^| = -^-, если — 1<х<оо;
= ?-, если — oo<x< —1,
882. weeos* -farecos ^-|--}--i-yз_зхз^__|_
при -у
70

„„„ , sin x 4- cos x Зп к . v 5t
883. arc sin ~= = -^ x, если -^- < x < -^-.
884. -J. = 4 arc tg -1 — arc tg^.
885. 2 arc tg х-4-arc sin , ¦ ¦¦ в — к при х>1.
886. —я arctgftg—к™ icj = [x] целой части от х, если
х — не целое.
887. Доказать, что сумма
arc sin x -j- 3 arc cos x -{- arc sin 2x)/l — xa
при xa< г?- не зависит от х.
Если график функции _у=/(х) построен, то уравнение /(д-) = 0 легко
решить графически, измерив абсциссы точек, где график функции пересе-
пересекает ось Ох.
Таким же образом, измеряя абсциссы точек пересечения лииий.у = <у (х)
и у= Ь(х), получаем кории уравнения «у (л-) = ф (х). Степень точности та-
такого решения может быть произвольно высока, если вычертить графики
в окрестности точек пересечения в соответственно увеличенном масштабе.
888. Решить уравнение х3 — 7х-|-5 = 0 построением графика
функции ^г=*8~~7* + 5 .
889. Решить уравнение Xs -}- Зх -\- 2 = 0, построив график функ-
890. Редиить уравнение .х1 — 7х — 5 = 0, построив графики двух
л. „ х* 7х + Ь
функций: у = -$ и у = —^- .
891. Решить графически уравнение
х* _ 4л» -f 7х* ~ Зх -f- 2 = О,
и Аи *г—4х+7 Зх— 2
построив графики двух функций: у— „—— и у— _ . ¦.
892. Решить уравнение 2х = 4х, построив графики функций
2»
893. Решить графически систему двук уравнений:
894. Решить уравнение x==tgx графическим путём.
895. То же для уравнения г* = sin x.
896. Найти первые два положительных корня уравнения х cos х = 1,
построив графики функций у = cos х и .у = — .
71

Изучение последовательностей, заданных законом составления:
можно облегчить, изучая графики двух функций: ы = ? (л:) (I) и v = x A1).
Для этого проводим вертикаль х = лго до пересечения в точке Аа с графи-
графиком функции и. Зятем через точку Ао проводим горизонталь до пересече-
пересечения в точке Во с графиком функции v. Отсюда проводим вертикаль до пе-
пересечения в точке А\ с графиком и. Затем снова ведём горизонталь до
точки Вх графика v, и т. д.
Ординаты точек Aq, A%, Аг,... будут равны числам х\, х* х3,... Во
многих случаях из чертежа видно, стремятся ли точки хп к пределу при
возрастании л.
897. Последовательность чисел составляется по такому закону:
хх = ~2~ е~х°, х^:ш-^-е~Х1, xs = —^-e~r',...,
где хо = произвольное вещественное число. Доказать, что при л ->со,
.*„->• 2, где ?—единственный корень уравнения 2; = е-«.
398. Числа последовательности составляются по такому закону:
где a, j3> у, о — данные вещественные числа такие, что ао — ру = 1,
(а_|_8J^4. Число х0 выбирается так, что у.го-}-8^:О. Найти
limxn при л —со.
§ 4. Нахождение производных
Найти производные от функций, указанных в следующих при-
примерах.
899. у = 2х3 — 5х2 -f 7х — 12. 900. у = х* — Зх* +17.
901. у = х - -|-х2 -f-у xS — 4" *'•
902. у = Xs (х« - 1J. — д:-~1
908. ^ = >^х.
910. ^ = еа(ха-2
912. у = х2 sin х -\- 2х cos д: — 2 sin
913. y = xlax — х.
917.
903.
90S.
907.
909.
911.
914.
916.
918.
у =
У —
У =
у —
У —
У =
х+1'
з*—1
V*V
xsinx.
T[ax~
1
sin л:
1
In л: '
хух.
9 х •

921. у = (ах-\-b)n.
923. у=(х* — 1)Б.
925. у= УЗх — 5.
927. _у = |Л*а — *а-
929. у= х
у I ~"~ •
931. у=
933. у = xj/x
935. ^ = V х
937. jf = f
939. ^ = cos ax sin 6
941. y=*e°*cosbx.
943. jf- 5^
945. ^ = ^
947. y- In
948. jf= In
950. y=ln
95b ^=tg
953. ^ == у tga x-f- la cos x.
920. ,v = «*(sinx-cosx).
922. y = sinsx.
924. ^ = cos5a;.
925. _у = sin 5л:.
928. _у = е-».
930. y = \asinx.
932. y = \atgx.
934. v = е-.
936. ,v = In (xs -f x«).
938. jf = In (л
940. ^ = In у l~L .
942. у = ln т/l
^ r 1
946. >- =
955. j/ = -L arc tg -j.
957. ^ = arc sin-i-.
959. у = arc sin sin x,
956. у == arc sin -j .
958. у = (arc sin xf.
960. ,y = arc cos —.

961. v = arcsinyi
9 9r 4- 1
963. у = -~= arc tg =™-.
965. у = arc sin
967. jr = ^ arc tg
962. ^ =
; x Ф 1.
964. у = arc cos Cjc — 4л8).
966. у == arc sin j-=f~.
968. у - ^arc tg(/± tg л)
969. .у = у arc tg jc + ~ arc tg -?—.
... 1 ,
970. v = = In
4y2
^
. x
arc tg—
972. у = **. 973. у =¦ *sin». 974. у = \ х \. 975. у =
976. Из равенства
—1
найти формулу для суммы 1 -j- 2х -\- Зх9 -\- ...-{- пх"-1.
977. Из равенства
sin (я-4--.j-
Y -\- cos х -j- cos 2x -{-•-.-{- cos лл =
найти формулу для sin х -{- 2 sin 2jc -j- ... -f « sin
978. Из равенства
cos3jc+ ... + cos B/t— *fx
получить формулу для суммы
sin д: + 3 sin 3jc + ... -f Bн,— 1) sin Bя — 1) jc.
979. Существует формула
= от ctg отд;.
Получить отсюда, что
74

§ 5. Геометрическое значение производной
Если .у =/(.*) — уравнение кривой, а функция f(x) имеет производную
y'=f (х), то кривая имеет каептельную в точ!<е с абсциссой х. Если а —
угол наклона касательной, т. е. угол от положительного направления оси
Ох до касатгльней, то tg a =/'(•*)- В силу этого уравнение касательной
к кривой имеет вид
У—УУ(Х—х).
а уравнение нормали таково:
Г-У = -у(Х-х).
Здесь (х, у) — точка касания, а (X, V) — точка иа касательной или нормали.
При этом у =f'(x). Если М{х,у) — точка касания, Р — её проекция на ось
Ох, а касательная и нормаль к кривой в точке М пересекают Ох соствет-
ственно в точках Т и N, то получающиеся отрезки имеют названия: ТР —
подкасательная, PN — поднормаль, ТМ—касательная, MN—нормаль. Они
выражаются че(:ез у и у', взятые в точке касания, по формулам:
~~~7 * " —„V I л '" — —г 1 *¦ Л J I /YlJi s
4д; х7
980. У параболы у = —j— проведены касательные в точках
@, 0), B, 1), D, 0). Найти их углы наклона к оси ОХ.
981. Найти угол наклона касательной к гиперболе ху = а'3 в точке
(а,а).
982. Под каким углом кривая у = In x пересекает ось ОХ?
983. Тот же вопрос для синусоиды у = sin x.
984. При каком значении А синусоида у = A sin — пересекает
Оу под углом 45°?
985. При каком а кривая у = ах пересекает ось Оу под углом 45°?
986. Под каким углом пересекаются с осью Оу кривые
r= sinjc-l/:r" - х х
987. При каком значении а кривая у = аХ~^Х пересекает ось
Ох под углом 45°?
988. Доказать, что у параболы у = ах9 подкасательная равна
половине абсциссы.
•989. Доказать, что у параболы _у2 = 2рх поднормаль постоянна,
независимо от выбора точки касания.
990. Доказать, что у кривой у = ах подкасательная имеет по-
постоянную длину.
991. Доказать, что у параболы у3 = 2рх подкасательная равна
удвоенной абсциссе точки касания.
992. Доказать, что у цепной линии y = ach— ордината есть
среднее геометрическое между нормалью и величиной а.
993. Доказать, что у кривых у = ахп отношение Ъодкасательной
к абсциссе точки касания есть величина постоянная.
75

994. Найти уравнение касательной к параболе у = Zx — х1 в точке
П. 2).
996. Найти касательную к параболе у == **~3* + 3 ^ параллельНуЮ
прямой у = х.
996. Доказать, что касательная к гиперболе ху = а3 образует
с осями координат треугольник постоянной площади.
L 1 2.
997. Доказать, что у астроиды .v3 -\-у3 =а3 длина отрезка каса-
касательной между осями есть величина постоянная.
998. При каком соотношении между коэффициентами парабола
у = ах2 -\-bx-\-c касается оси Ох ?
999. Тот же вопрос для параболы 3-го порядка у = хг -\- рх -f- q.
1000. При каком значении а кривая у = а* касается прямой у — х}
Найти точку касания.
1001. Последовательность чисел составляется по такому закону:
хх=а, х2 — ап, х3 = аа",... и вообще х„ = аХп-1. Доказать, рас-
рассмотрением линий у = а" и v = х, что при в~е<а<г1/в величина хп
стремится к определённому пределу, когда л— со.
Если кривая задана в параметрическом виде уравнениями х — <р (/),
у=*^((), где t — параметр, то производную от у по х удобнее всего на-
находить с помощью дифференциалов: dx = 4' (t) dt, dy = ф' (t) dt, отсюда
d Ф'(*> У(О
1002. Эллипс задан уравнениями х = a cost, y = bsint. Найти
угол касательной к нему с осью Ох.
1003. Астроида задана уравнениями jc = acoss/, .у = a sin8/.
Найти угол касательной к ней с осью Ох в точке, где /=135°.
1004. Циклоида задана уравнениями
x — a(t—sin t), _v = a(l—cos t).
Найти угол наклона касательной к ней.
1005. Циклоида образована качением круга по прямой. Доказать,
что нормаль к циклоиде проходит через точку касания круга и
прямой.
1006. Найти касательную к кривой х — t2— 3/ -f- 4,у — t2 — At -j- 4
в точке B, 1).
1бО7. На кривой jc = 2*s— 9^-f- Ш— 1, .у = *»-J-*-j-1 найти
точки, касательные в которых параллельны оси Оу.
1008. Найти наклон касательной к кривой
x = l* —2& — P -f At — 2, у— t* 4- 2*8 — t2 — At — 2,
если @, 0) — точка касания.
§ 6. Производные высших порядков
Производная от первой производной, т. е. (у')' или \f' (x)]', называется
второй производной и обозначается через у" или /" (х).
Производная от второй производной называется третьей производной,
и т. д. Во избежание смешения с показателем степени показатели про-
76

иэводной обозначают числом, поставленным я скобки. Иногда применяют
также римские цифры. Если в данной точке кривгй _у=/(л) величина
У>0, то кривая обращена выпуклостью вниз, т. е. в сторону отрицатель-
отрицательного направления оси Оу. Если же J'"<0, то кривая з окрестности данной
точки обращена выпуклостью вверх. Если при перехоте через данное зна-
значение х величина у" меняет знак, то точка на кривой при этом'* есть
точка перегиба.
J009. Показать, что кривая у = \пх выпукла вверх.
1010. Показать, что кривая у=ах выпукла вниз.
1011. Показать, что, синусоида y — sinx выпукла вверх, если
_у>0, и вниз, если,у<0.
1012. Показать, что тангенсоида у = tg .v выпукла вниз там, где
_у>0, и вверх там, где^<0.
1013. Исследовать направление выпуклости кривой у = ахг-\-Ьх
при а>0.
1014. Найти точки перегиба кривой у—е-х'.
1015. Тот же вопрос для кривой у — . , ,.
» тл
Производные высших порядков обыкновенно находятся последователь-
последовательным дифференцированием. Иногда при этом обнаруживается закономерность,
позволяющая написать производную высшего порядка, не находя предыду-
предыдущих. К числу тагих случаев относится формула Лейбница для производной
порядка л от произведения двух функций:
Здесь С^, СД,,,. —биномиальные коэффициенты.
В следующих примерах найти производные указанного порядка.
Найти уЮ.
Найти уО).
Найти
"
Найти у
Найти у'
Найти /".
Найти У7.
Найти ут.
Найти У7.
1025. у — jc2cos Ъх. Найти У v.
1026. у~хЧ1а. Найти _у(»°>.
1027. j==jc- sin x. Найти j(w>.
1028. у = е* sin х. Найти Уv.
1029. ¦ Полагая у = е* sin x, z=excosx, доказать равенства
\1^ ™ О^ ^' п ^^^ Oil
1030. Доказать, что функция у = Се~х-\-С1е-9х удовлетворяет
уравнению у" -\- Ъу' -\- 2у = 0.
77

1031. Доказать, что функция j = «-^cosjc удовлетворяет уравне-
уравнению yv4-4y=o.
В следующих задачах найти общее выражение для величины у(п)
при любом п.
1082. .у-}±?. ЮЗЗ.
1065. .у =
1036. J = У~х. 1037. ^ = sin2x.
1038. .y = jcV<». 1039. y = xi sin a*.
1040. у = х*1пх 1041. ^ = ln(ajc-f-
1042. у = In ЬЬ|. 1043. у = sin ax.
Доказать равенства:
1045. [«e»sinFjc-bc)](») = e«*(a8 + 62J sin (&jc-f no -f f),
1047. (sin* x + cos* jc)(») = 4»-1 cosJ
1048. Полагая .у = cos/re In jc, доказать, что
хЗуСп+З) ^_ Bя + 1) xy«"+1) + (я9 4- ота)^С«) = 0.
1049. Полагая у равный одной из функций
sin (mate sin jc), cos (от arc sin jc), sin (яг arc cos дг), cos (/га arc cos jc),
доказать, что A — x2) у"—xy' -\- т*у. = О.
1050. Доказать, что производная у(п) сложной функции у =/(и),
где.и = л:2, выражается формулой:
у(.п) = 2"jc»/(n) + г»-'"^"'^"-'/?'-1) 4"
1051. Производная порядка л от е~** имеет вид е~°*Нп(х), где
Нп(х) — полином, называемый полиномом Чебышева-Эрмита. Дока-
Доказать справедливость равенств: -
1) Яя+1 (х) + 2хНп (х) -f 2яЯ„_! (х) = 0.
2) Ип(х) — Нп.1(х)+2хНп_1(х) = 0.
3) й; (*) - 2*#,; (х) + 2пНп (х) . 0.
7S

1052. Доказать для полиномов Чебышева-Эрмита формулу
Нп (Л") = ( - 1Г [ B.v)" - -(~Р^ B*)»-» 4-
+ JL?L
1053. Полиномы Лагерра /.„(а;) определяются формулой
Доказать равенства:
xL"n (х) + A -х) ^; (я) + л^„ (*) = О,
Ь.+х 00 — Bп 4- 1 — jc) 1„ (х) + «»?,,., (л) = О,
1054. Полиномы Лежандра Рп(х) определяются равенством
[(*»—1)»1№ =»/>„(*).
Доказать равенства:
; *) - и (л + 1) Рл (л-) = О,
Pn+i (*) — Dл + 2) */>„ (*) + 4«V«-1 (*) = 0.
1055. Полиномы Чебышева Г„(л;) определяются равенством
Тп (х) = ^jri cos (л arc cos ж) =
(полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля). Доказать равенство:
1056. Производная порядка п от arc sin jc имеет вид
I—2n
где /7n(jc) — полином. Доказать равенство:
A —*¦)<(*)+ Bя — 3)*?(*)-(я-1)»рЛ*) = 0.
1057. Для полиномов предыдущей задачи доказать равенства:
Т^ ij 123 2 ^ ¦*
-3.. 2ч
I yBx
г-Д b2.3...Bv + l) l ^
Здесь 4=11 -3-5...Bot-1)]2.
79

n-L „ . -L
1058. Справедливо равенство: "*Л = ¦*-"" \„-ех, где
р„ (х) — полином. Доказать равенства:
1059. Доказать равенство:
Указание. Обозначая левую часть через и„, доказать ра-
равенство: ип — (п—1)«„_1 — ип_2 и применить полную индукцию.
1060. В равенстве I^-L-^ =-_Ы^_ числитель рп(х) -
полином степени п. Доказать равенства:
3) A+*3)р; п
1061. Для предыдущих полиномов доказать формулы:
§ 7. Функции нескольких переменных. Их производные
и дифференциалы
Следующие примеры показывают, что понятия предела и непрерывности
для функций нескольких переменных несколько сложней, чем для одного
переменного.
1062. Показать, что Um Ит . : ¦. =— 1, Нт-Нт , : ". д= 1.
1063. Показать, что
Hm lim . f.+y*.. = lim l!m , ?.+У\,
а величина Um . !( и всё же смысла не имеет.
1064. Показать, что если х-* оо и #у-*со так, что отношение
*¦¦> имеет любое данное постоянное значение, то ^ , , 8_уч -*0>
80

В то же время эта величина может не стремиться ни к какому пре-
пределу, если отношение — не постоянное.
1085. Показать, что /(*), определённая равенством
/(jc)=lim lim cosmn!2-r,
равна 1, если х — рациональное число, и 0, если х — иррациональное
число.
1066. Показать, что в любой окрестности точки @, 0) функция
/(•*» У)> определённая равенствами
/@, 0)=0, /(.г, .у) = ^
принимает всякое значение в интерсале (—1, 1). При этом под
окрестностью точки @, 0) подразумевается любая область (круг,
прямоугольник и т. п.), содержащая точку @, 0) внутри.
1057. Функция определена равенствами:
= -щг
. /(о. о)=-
Показать, что эта функция непрерывна относительно каждой из
переменных х и у в отдельности, не будучи в окрестности точки
@, 0) непрерывной функцией обеих переменных при их совместном
изменении. _
1068. Показать, что функция, определённая при хя-\-уя равен-
__эг
ством f(x, y) = e<t'+t'' , принимает любое вещественное значение,
кроме нуля, в любой области, внутри которой содержится точка
@, 0).
В следующих примерах найти частные производные от указан-
указанных функций.
1069. a = jcs-f-y» — Зху. 1070. и =2x3
1071. u = xy-j-xz-\-yz. 1072. и=х».
1073. u = x*-\-yz<i\-Zxy — х-\-г.
1074. u = e*v. 1075. a = arctg —
1075. «=*у—1 +А.
1077. и — х*-\-у*-\-г*-\-ху-{-xz ¦
1078. u = (xy)*. 1079. u = z*v.
Найти полные дифференциалы от функций:
1080. a = sin(jc8-f-.y5). I081- ur=itctg~
1082. a = lntg —. 1083. и =/л?
1084. и = In (x-\-у -j-z). 1085. ж=*х».
Q СОорнже »адач, т. L 81

Если при увеличении всех переменных в / раз функция умножается
на 1п, то она называется однородной функцией измерения я. Так, например,
если
/(/*. (у, b)=t"f{x.y, г),
то f(x,y,z) — однородная функция измерения п. По теореме Эйлера,
если /(Xi, xit ...,*„)— однородная функция степени я, то имеет место
равенство
1 *«>¦
Проверить на следующих примерах теорему Эйлера непосред-
непосредственным вычислением производных:
1086. и = (дгг+У + г3J 1п-у. 1087. ы = — е* .
1088. H=sin-^4-v + ? . 1089. и
1080. u=VxiJry'iJrz\ 1091. «=*arctg
ctg
Найти частные производные в следующих примерах:
.„.. д"и д-и д:и 1 «
1092- «?• ; и ^
Ю94. -J-, ¦^-, —;
1095. дхд , если и —xv.
1096# 1F5" еСЛН и1^11111
1097. -g^Ly , если и = 1п (хг +/).
если и==
Найти дифференциалы в следующих примерах:
1100. (Ра, если и = jc3—jcy-f- 2y'i-\-Zx —
11<I. ^и, если и = д;г_уг.
1102. <^и, если u — e*v.
1103. йРи, если a = yln(jc2+>'3).
1104. d*u, если «==sin (jc+,y-j-^).
1105. d*u, если и = jc* -f 4x*y -f- 2х^2г—Ъхуг* + г*.
1106. <f4 если и = xL — Zxty*-^у* -\- Ьхуг — хг—уъ ¦{¦ х* —
— ху+У> + 2х — Ъу. » -
1107. d*u, если и = х*-\-Зх*у+г* — х*у-\-г?.
82

1108. dsu, если и = хуг.
1109. d*u, если и = !п Bх -\-ду — г).
Найти частные производные, вычислив сначала полные дифферен-
дифференциалы нужного порядка.
1110. и = sin Bx -\-у);
1111. и =
1112. u = lu(ax-j-by-\-cz); -^ и
1113. И=!
xy.
9
Л*3 d д: ду дг '
Найти полные дифференциалы первых двух порядков для слож-
сложных функций в следующий примерах:
1114. и = ?(/), где
1115. « = <?(/); t =
1116. и = ?@. где t = .
1117. и =
1118. и =
, т,); l = ax-\-by-j-cz, i\ — ахх
, к), С); 5 = fl.v, t\ — by, C = «.
Найти производные первых двух порядков от функций
1119. и = фE, к)), где i = x-\-y, ¦») = jc—^.
1120. « = <?(?, ¦»)), где 5=jc2-}-3;2) >»] = jc.v.
1121. Найти производные порядка п от «= <р (/), где f = a;t-[-
+ by + сг.
1122. Найти -^?, если « = tp(S, ¦»], С), l = ax, t\ = by, Z — cz.
1123. Полагая jc = pcos<p, j/ = psln<p, найти
дх дх
а? а?
ду ду
др ду
1124. Полагая х = р sin в cos6, у = р sin?sin6, z
вычислить величину функционального определителя (якобиана)
D (х, V. г)
дх дх
a? d<f
дх
dp df dty
дг дг дг
dp dy д<\>
1125. Положив r9s=a9 + pa — 2apcos?, найти* ^' у' у.
1126. Полагая *s=s5ijC, у=%т[ — %т{-., г=а-ц — щ, найти якобиан
D {х, у, г)
6»
83

1127. Доказать, что при x = cosc), у = sin ep cos в,"
г = sin <р sin 6 cos <J» якобиан равен — sin3 e sin2 8 sin if.
1128. Доказать, что при ut= ~L=-, и„ = ——*?—-г , и, =
V 1 — г- V 1 — л*
Vl—г3
Xi — , где ra = x*-j-x|-f-x*, справедливо равенство:
, Ид, И8)
1129. Доказать, что
dv dv dv \ D / dv dv dv
j 1
/5 О,, j/s уп) D {хь х,, ,.., л,j
Здесь •р = г;(х1, *,, ..., хп; ^1( _у2 уп)~функция с непре-
непрерывными вторыми производными,
ИЗО. Доказать, что для однородных функций cp(.v, у, г) изме-
измерения п справедливо равенство:
1131. Функция, называемая потенциалом шара х"* -{-у -f- га = а*,
определяется равенствами:
[У+г3) при
при
Проверить, что а и её перзые производные непрерывны при
любых х, у и г и что лаплзсиан
Ди =-з—=¦ Ч--гт +-гтг = О или —4it,
смотря по тому, лежит ли точка М(х, у, г) вне шара
^\-г- = а- или внутри его.
1132. Проверить равенство
Проверить следующие равенства:
1134. JL-jj + i-TF-^. "Ри »
1135. лс-~+у-0-л?У + в при в-
64

SB'
1136.
1137.
П38.
H39.
«tin
1140.
П4Ь
. + Xy^.=t xyz при г
i = a--.r>-/, если „-^(I
^0' еСЛИ
(Pit
если « = 7
, если г
, если
-яЧ где
„45.
(»-l)«, где
П47. -g
1148. a
^-=0( если а =
A5rj J,
где
и = в (а_у -(- ft.t) <{> (d.v — ay).
Замечание. В ответах на большинство задач от 1134 до U48 содер-
содержатся неопределённые функции ? ( )• '{'(•*+ аОнт-Д-Этн функции могут
выбираться произвольио нз числа функций, имеющих нужныг в данной за-
задаче производные. Сами же эти задачн содержат решення уравнений в част-
частных производных, встречающихся в вопросах математической физики.
85

§ 8. Дифференцирование неявных функций
Уравнение f(x,y) = 0, имеющее решением пару чисел (хо.у<>), опреде-
определяет в окрестности числа л-о величину .у как функцию от х, если частная
производная -*— отлична oi нуля в точке (дго, J'o) и непрерывна в её окрест-
окрестности. Последовательные производные от у no x могут быть получены, нз
равенств;
Подобный путём можно вычислять и производные от неявных функций,
заданных одним уравнением с несколькими переменными.
Если несколько неявных функций заданы несколькими уравнениями, то
при вычислении производных иногда удобно пользоваться дифференциалами.
При этом следует иметь в вилу, что.дифференциалы высших порядков от
тех переменных, которые приняты за независимые, равны нулю.
1149. Xs + у3— Заху~0. Найти у' при х—у.
1150- х3-\-у3 — Заху?=0. Найти х, при котором у' = 0.
1151. ху=у. Найти У при хфу.
1152. xsiny — cos_y+cos2_y=0. Найти у'.
1153. х — у — asin_y. Найти у' к у".
1154. х--\-2ху-\-у* — 4х-\-2у — 2 = 0. Найти /" при х = \,
у\.
1155. Доказать, что при х*у*-{-х3-{-у*—1 = 0 имеет место ра-
dx , dy n
венство •¦ . -\- -г = 0.
у 1-х* yi — у*
1156. Доказать, чтб при а -\- Ъ {х -\-у) -|- сху = т. (х—у) име,ет
место равенство
их dy
а + 2Ьх -\- ex1 a-f-2*y -Fo'5"
1157. (х — af-\-(y — 6J=/<а. Считая здесь х независимой пере-
переменной, а у — функцией, взять четвёртую производную от обеих ча-
частей уравнения.
1158. В уравнении х (х2 + у2) — с (х2—у9) ~ 0 при х = 0, у — 0
формула -j- -\- -•.-у' = 0 не даёт возможности найти у'; однако, у'
можно найти и здесь из формулы
Найти./.
1159.
66

1160. Тот же вопрос для уравнения xs -j- У— Зху — 0.
1161. Даны уравнения х2—у2 -f *2 = 1, У— 2х-{-г = 0. Найти
и г" при х = 1, y=V, г— 1.
1162. Из уравнений ха+.у2 — га = 0, х2-{-2/+ 3г2 = 1 найтн
и ерг, если х— независимое переменное.
1163. Из уравнений х*-\-у* = 2г\ л:8-|-2уа _|_ г* = 4 найти ^-
и -т^- в точке A, — 1, 1), если г — независимое переменное.
1164. х -{-у -{- г— а, х3 -\-у3 -\- г3 = Ъхуг. Найти производные
от у и г.
1165. В точке A,1, — 2) найти производные от у и г, если л: ~
8|8310
11 ее. *а+у+z%=2г- Най™ ?- •
1167. лг54-/ + г8 — Зг = 0. Найти-g—.
1168. ха — 2уа-|-га — 4л:-|-2г— 5==0. Найти |i и ~-.
1169. х cos _у-|" У cos г4~ ^cosx = a. Найти -j-h-j^-.
1170. ху -\- xz-\-yz = 1. Найти <*г и ^2г.
1171. При Том же уравнении найти
1172. xu -\- yv = 0, «г» — ху = 5; при х= 1, у =¦ — 1 принимаем
и = г» = 2. Найти
1173. х = ?(/), у = '|'@. г==^а. Найти производные от х и у
по г.
1174." ж = a cos и sin г>, у == 6 cos u cos v, z=с sin и. Найти ,-«j-,
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее про-
производные от неизвестной функции. Нахождение этой функции представляет
вообще трудную задачу; ыы будем её рассматривать во второй qac-ти. В сле-
следующих семи задачах дело идёт о более лёгком ¦ вопросе. В нем предла-.
гается проверить, что указанные функции удовлетворяют данным уравнениям.
1175. Показать, что г, определённая как функция от х и у урав-
уравнением х — аг — о(у — Ьг), где в — любая функция, имеющая произ-
производную, удовлетворяет уравнению в частных производных
дг . . дг
а+Ь 1
называемому уравнением цилиндрических поверхностей.
1176. Показать, что г, заданный как функция от х и у уравнением
z = xo(—J, удовлетворяет уравнению конических поверхностей
дх

1177. Показать, что при соблюдении уравнений г = ах -{->"•? (a) -J-
«), 0—-х +>''т|/(а) + |т'' («0> г удовлетворяет уравнению
A*1 oy-s ^dxdyj ^
1178. Показать, что при _у = Х'э (г) -|- т1 (^) удовлетворяется урав-
уравнение
дг dz d»z , d»z / dz
1179. Функция г от х к у задана уравнениями:
[г — о (аI3 = л-2 (У — а2), (г — в (а)] -/ (а) = ах3.
Показать, что
dz dz
1180. Даны уравнения:
Показать, что
d
§ 9. Замена переменных
Иногда приходится менять рель переменных, принимая за неизвестные
переменные те, которые раньше считались функциям:!. От этого выражения,
содержащие производные, обыкновенно &:епяют вид.
Если независимое переменное * заменяется новым независимым пере-
переменным t с помощью равенства х =» i (t), то удобнее всего пользоваться
формулами #
Здесь в девых частях производные взяты по х, а в правых частях произ-
производные берутся по L
В частности, если за новую переменную берётся у, то, полагая х •¦
можем применить прежние формулы, где теперь
Таким образом получаются равенства:
v' = -L- Y"-x" - 1*
у х1 • у х1* ' у jc's ' • •'
1181. Принять у за новое независимое переменное и преобразо-
преобразовать уравнение У — ху's -f- e»y'e = 0.
1182. Преобразовать уравнение у'ут—Зу = 0, приняв незави-
независимое переменное х за функцию от у.
1183. Таким же образом преобразовать уравнение:
у' У v — 10//У" + 15/s = 0.
88

1184. В уравнении A—*2L"т— * d7 + а*У=® положить л:
= cos/.
1185. В уравнении х*у" -\-3xy" -\-у~ О положить х = е*.
1186. В уравнении х*у"' ~\- 2з?у" — ху' -\-у = 0 положить t = 1п х.
1187. В уравнении (х -\- а)йут+ 3 (a -f *J/' + (а -\- х) у' -f by = 0
положить In (a -j- x) = /.
1188. В уравнении A -f д:2J/' + 2х A -f х9) / -f У = 0 положить
1189. Показать, что подстановкой х = ¦„- In tg 2t уравнение
йл:' ' ^«-f,.-:» йл: ' (^-* 4-«-toy: ~ u
преобразуется в такое:
1190. Подстановкой х = }^1—/2 преобразовать уравнение
(л — х*)у" + A — Зл:>)У — ху = 0.
Доказать, что новое уравнение будет того же вида, что и прежнее.
1191. Преобразовать уравнение
ПОЛОЖИВ ДГг= -.
* "г *
В следующих задачах удобно воспользоваться формулами, выражаю-
выражающими производные через дифференциалы и незавнслаые от выбора аргу-
иента:
, йу „ dx rf'y — dyePx
У ^U: У d7*
1192. Преобразовать выражение —у-—^ к полярным координа-
координатам, положив х в г cos в, у -— г sin f.
1193. Тот же вопрос для выражения *~Jуу ¦¦.
ху у
1194. Тот же вопрос для выраженияу.
1195. В уравнении A—л:2J (а—у") = Ьу положить
где ? — аргумент, а ^ — функция.
1196. В уравнении 2у" -\-(х-\-у) A—УK = 0 положить д:—j; =
"=а, д:-(-^; = 'О, приняв а за аргумент, а г> — за функцию.
1197. Преобразовать уравнение у" = (>_B)ifr __а)» ¦у> положив
а==—^-т, / = 1п—^4 и приняв / за аргумент, а « — за функцию.
х р х — р

1198. Переменное х есть функция от /. Вместо него вводится новая
1 О
функция с помощью дробно-линейной подстановки у = j"> , где
о5 — {2? Ф 0. Доказать равенство:
(Шварц).
Указание. Полезно свести вопрос к случаю подстановки у— —.
В этой случае равенство ху — 1 следует трижды продифференцировать по L
1199. В уравнении 9/V.— 45/'/Vv + 40/"з = 0 перемен-
переменные х и у подвергаются томографическому преобразованию по форму-
формулам:
„ - fjK±hLt?
У~~ аХ+ЬУ+с
Доказать, что вид уравнения не изменится.
В следующих задачах требуется преобразовать выражение, содержащее
частные производные no x и по у, вводя новые независимые переменные.
Ес^н новые переменные даны равенствами и*=ч(х> .V). о = ф С*. .У). т0 по
правилу днффе]5енцнрования сложной функции имеем:
дг dz d<f I dz df dz dz df ¦ dz di
д.* du dx ' dt/ <J.f ' dy <?u dy ' dv dy '
Эти равенства позволяют от производных по х и по у перейти к производ-
производный по и я v. Следуя тому же пути дальше, можно выразить и производ-
производные высших порядков.
1200. В уравнении у-? х~- = 0 ввести новые независимые
переменные и и v, положив а = х, v = ха -\- у*.
1201. В уравнении Х~^Л~У ~^т — г = 0 положить и =а х,v = —
и принять и и v за новые независимые переменные.
1202. Такой же вопрос для уравнения
где и=*х, V-
Преобразовать к полярным координатам, положив х =» /• cos ep,
v =а г sin о, следующие выражения:
1203. w = х — У ~х~ •
,ш. —(#)'+D)*.
1207. te =
90

Приняв и и v за новые независимые переменные, преобразовать
следующие уравнения:
1208. -g-*2-0 = O;«=,v + a*, v^y-ax.
1209. -g + ^. + ^ = 0; 2*=. «« — ««, ;, = «•.
1211. При помощи подстановки вида я=.!с-}-ау, v
~ — (а + *) -gjj^r + ab ~
пресоразовать уравнение ~ — (а + *) -gjj^r + ab ~ = 0 к виду
д
Приняв к и о за новые независимые переменные, а та — за новую
функцию, преобразовать к новым переменным следующие уравнения:
1212- ¦wJri~yJ?==i' u==f' v=x> w=--^~y-
1215. Какой вид принимает уравнение -g-y-j- y-j-"-f" « = 0, если «
«(г), где г=
1216. Тот же вопрос для уравнения
+ 2 +
.1217. Какой вид принимает уравнение -х—¦?—|~ато = 0, если w-
= ©(«), где и = (х — хо)(у—у0)?
1218. Какой вид принимает уравнение -r^-i—ТТ~Г~я~т~h a—
если « = 9 (г). »" = /
1219. Выражения '
\« . а'» . а5» , а*»
преобразовать к сферическим координатам, полагая
х — г sin 8 sin о, у = г sin 8 cos <э, г = г cos 8.
1220. .Если х==о(и, v), y = ty (u,v) и притом -р- = -
= — -т^-, то
i/-w I I-1" uc/ ^^ I u~w I U'tV \\ f Р? Д I / Оу \~ I
91

Доказать.
1221. Доказать, что, вводя новые переменные по формулам
*=-g, у = х?-у, получим, что * = U, y = X-§r-Y.
1222. Преобразование Ампера состоит в том, что новые перемен-
переменные вводятся формулами:
Доказать, что при этом получаются равенства:
3Z дг dZ dZ
У zzy
1223. Преобразование Лежандра состоит в том, что вместо пере-
переменных х, у п z вводятся новые по формулам Х= р, Y — q, Z = рх -{¦
-\-qy-z, где р«=-^- и q = -^~-. Доказать, что для производных
от новых переменных получаются равенства:
dZ dZ
~ rt — s* ' дХдУ rt — s*
где
f = -^—г S = -^—-¦— , t ¦¦
dx1 ' dxoy

ОТДЕЛ IV
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К АНАЛИЗУ
§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Возрастание и убыва-
убывание функций и неравенства
Теорема Ролля. Если в интервале a<x<6 производная f (x)
существует и lim f(a4-ti) — llm f {b — h), то уравнение f(x) = 0 имеет по
Й-М) Й->0
крайней мере один корень в том же интервале.
Теорема Лагранжа. Если в интервале а<.*•<;* производная
/ (а) суцествует и f(a) = lim f(a+ti),f(b) = Um f(b — h), то
ЙНЛ й->+0
/(»)—/(«) = (* — «)/ (О.
где с—'Некоторое число в том же интервале.
1224. Доказать, что корни производной от полянвма
х(х— 1) (х — 2)(x — 3)(x — 4)
вещественные, и указать пределы, между которыми они заключены.
1225. Доказать, что производная от полиноме, все корни которого
вещественны, не имеет мнимых корней.
1236. Доказать, что полином Лежандра
имеет все корни вещественные и лежащие в интервале (— 1, 1).
1227. Доказать, что у полинома Лагерра
все корни положительные.
1228. Доказать, что у полинома Эрмита-Чебышева - е. п" ех'2 все
корни вещественные.
1229. Существует равенство $+$
полином степени п—'1. Доказать, что все корни этого полинома
вещественны.
1230. При каких значениях х функция ¦. ¦ .^ возрастает?
1231. При каких значениях х функция х3 A—х) убывает?
93

1232. Доказать, что функция хпе~х, где л>0, возрастает при
О < х < п и убывает при х > п.
1233. Доказать, что при 0< *<-5- функция .-—— убывающая.
1234. Доказать, что при увеличении числа сторон периметр
правильного вписанного многоугольника возрастает, а периметр опи-
описанного — убывает.
1235. Доказать с помощью теорем о возрастании функций, что
A-f- —J возрастает при любых л >0.
Пользуясь формулой Лагранжа, доказать неравенства:
1236. n(b — a)a"-l< Ьп — а"<яF — а) &»-1 при &> а > 0.
1237. j-~:<]n A + *)<х при*>0.
1238. e*>l-f *¦
1239. е* ><?* при ху 1.
1240. х*\\пх j <-!- при 0< *< 1.
1241. Доказать теорему: если при х = 0 функции »(*), о' (л:),...
..., efo-1) (*) обращаются в нуль, а функция «ры (•*) положительна
при х >0, то <?(#) >0 при положительных х.
1242. Доказать теорему: если
о @) = ф 10), в' @) = -У @), .... T(»-i> @) = ^f»-1) @)
и e'n)(jc) >^(n)(x) при х>0, то при положительных л: справедливо
неравенство
Доказать неравенства:
л3
1243. х—g-<sinjc<jc при
1244. х — — <arctgx<jc при jc>0.
1245. tgf л: > л: -J- ^ при0<л:<?.
1246. х-^<\пA+х)<х; х>0.
1247. Непосредственным возведением в квадрат доказать неравен-
неравенства
J/f^ + |- при 0<*<8.
1248. Доказать, что при 0<*<1 величина е-х меньше, чем
1249. Доказать, что если р„ — периметр правильного вписанного,
О 1
а Рп — правильного описанного многоугольника, то yPn+Т ^я
больше длины окружности (Гюйгенс).
94

1250. Доказать, что у геометрической прогрессии с положитель-
положительными слагаемыми сумма членов, равноудалённых от концов прогрес-
прогрессии, меньше суммы крайних членов.
1251. У арифметической и геометрической прогрессий число
членов и крайние члены соответственно одинаковы, а все члены
прогрессий положительны. Показать, что у арифметической прогрес-
прогрессии сумма членов больше, чем у геометрической.
1252. Числа ти т2, ..., тп положительны, а точки
(*1. }'l)> (*2. У*\- • ". (Хп> Уп)
лежат на кривой _у = ц(.г). Доказать, что если кривая выпукла вниз,
то имеет место неравенство
о /!] + *2 + • - • + ntnxn\ wi? (t) + ЩЧ {г) f +
Если же кривая выпукла вверх, то знак неравенства меняется на
обратный.
Следующие задачи сводятся к предыдущей. Числа *lt a2, ..., ап
в них положительны. Числа хх, х2, ...,хп предполагаются поло-
положительными и такими, что среди них имеются неодинаковые.
1253. Доказать, что при /я>1 справедливо неравенство:
4-
где
1254. Доказать, что среднее арифметическое положительных
чисел меньше среднего квадратичного тех же чисел, т. е. что
1255. Доказать, что при т>1 и положительных числах хи
х2, .. •, хп справедливо неравенство
1256. Если числа а и числа х положительны и аг +аз~Г • • • 4"
_j_an=l, то справедливо неравенство
В частности, среднее арифметическое положительных чисел больше
среднего геометрического тех же чисел. Доказать.
1257. При любых вещественных значениях коэффициентов а, и Ь„
а также переменного х имеет место очевидное неравенство
«5

Исходя из него, получить неравенство Коши:
4- ¦•¦-\-ь1).
В следующих задачах полезно применить преобразование коор-
координат.
1258. Доказать, что на окружности x2-f-_y3=l выполняется
неравенство
если кривая Ах3 — Вху-\-Су9 = I есть эллипс с полуосями а и 6.
1259. Поверхность Ах1 + By2 -f Сг1 -(- 0-ЧУ + Е*г + ^ = 1
после соответственного поворота осей имегт уравнение Ахх\-\-
у1 -\-С^\ = 1, где Л1<В1<С1. Доказать неравенство
ч + Cz4' + Dxy + Ехг + Fyz , r
§ 2. Нахождение наибольших и наименьших значений функций
одного переменного
В дальнейшем под наибольшим значением функции подразумевается
значение, большее всех достаточно близких соседних, и под иануеньшим —
меньшее всех достаточно близких соседних. Нахождение наибольших и
наименьших значений, в собственном смысле слова, сводится к нахождению
таких наибольших и наименьших значений по сравнению с соседними, а
также к изучению значений функции ка концах интервала, в котором она
изучается. Основной признак, дающий возможность находить наибольшие
или наимеиьшне (экстремальные) значения функдин, доставляет следующая
теорема:
Если при переходе через некоторое значение аргумента производная
от функдпи меняет знак + на — (идя от меньших значений аргумента к
большим), ю фуяхиия получает наибольшее значение; если же знак про-
производной переходит с — на + , то функция получает наименьшее значение.
Часто бывает удобен и другой критерий:
Если при некотором значении аргумента величина первой производной
равна нулю, а вторая производная отрицательна, то функдия имеет макси-
максимум; если первая производная равна нулю при положительном значения
второй производвон, то функция имеет минимум.
1260. Найти максимум функции у = 6х — х5.
1261. Найти минимум функции у==*х* — 8*.
1262. Найти экстремальные значения функции у = хь—\2х.
1263. Показать, что функция у = Xs (8 — х) имеет максимум при
х = 6 и не имеет экстремума при х ==¦ 0.
1264. Показать, что функция у ~х2 -(-у*8 sin — имеет минимум
при л; = 0, хотя первая производная при переходе х через нуль не
меняет знака ни с — на -\-, ни с -f- на —.
Найти экстремальные значения следующих функций.
96

1265. y = xs — 3x2 + 6x4-7. 1266. y = x* — 9x2 + 15л: — 3.
1267. y = a-\-(x — by. 1268. .у = a + (x — ?K.
1269. y = x* — 8x3-f22x2 — 24л:+12.
1270. ^ = д:6 — 5.t4 + 5-V-3 — 1. 1271. .у = (at — 4)* О -f 3)s.
1272.^ = ^. 1273. .y = *-[-!.
,274. ^ = ^ + _^
1J276. _y = ^. 1277. ^=^^.
1278. .у —л- In .v. 1279. .y = xaIn x.
J280. .y==x*. 1281. .у = х 1п*х.
1282. y = xne-*. 1283. ^ = x2e~x-.
1284. y = e*-\-e~*. 1285. у = e~* — e~2*.
1286. у = xs j/(x—1)а при — 2 < x < 2.
1287. у — In at — arctg л\ 1288. y~ex cos x.
1289. ^ = 1_i,"pti при е2<1 (рассмотреть два случая 2«4> 1
и 2ва<1).
1292. ^ = sin Зх — 3 sin х. 1293. у = arcsin sin л\
Найти экстремальные значения функций _у, заданных неявно сле-
следующими уравнениями:
1294. У-}-2^Ага-(-4д:—3=0. 1295. У-(-2^д:2 — 4д: — 3 = 0.
1296. .rya — xV=2a3.
1297. x*-f 2ху+У — 4x4-2^—2 = 0.
1298. ха—2ду-|-5у2 — 2x-f 4y4-1 = 0-
1299. xa-f 4ху + 4у* + х-{-2у — 1=0-
1300. л3-}-^3—Звжу = 0 при х>0.
1301. Л*4-/ — 4xj/ = 0. 1802. x
§ 3. Построение графиков функций
Графики, предлагаемые в этом параграфе, должны исследоваться
с помощью теорем о возрастании функций, исследования экстремаль-
экстремальных значений и направления выпуклости кривой, если это оказывается
возможным.
1303. у = х3 — Зад:. 1304. у= J'f
7 Зав. 4649. ССорняв задал, т. I. 97

1305. у=(
1321. д» = (jc -f IK1/J».
1329. ay = ±zxVx(a—x), fl>0.
1330. У = л;3-|-Р-<4-^ при
1331. у2 = Xs+px 4- q при 4р3 -j- 27?a < 0.
1332. _уа = л;34-/7А:-|- Я при 4ps-j-27?a = 0.
1333. ^ = cos3л--]-sin3x. 1334. ^ = cos4a:-]-sin4 a:.
1335. .y == cos x -f- у cos 2a: -\- у cos 3a:.
1336. ^==sinA;4--jSin2x + -i-sin3A;. 1337.
1341. y =
1344. у =
1339. У =
1342.^y =
1340. y = sin Л
1343. д» = 1п(х2
при
1).
Изучение графиков соответствующих функций во многих случаях по-
зволяет определить число вещественных корней уравнений, даже в случае
наличия буквениых коэффициентов. Так, например, имея уравнение ае* = х3,
переписываем его в таком виде: х3е~х = а. После этого вопрос сводится к
9S

определению числа точек пересечения прямой у ~ а и кривой у = х*е~х.
Ордината последней возрастает от — со до 27 е~3 при возрастании х от
—со до 3. После этого она убывает до нуля при х, изменяющемся от 3
до4-со. Отсюда следуют выводы: а) при «>27«-3 уравнение ие имеет
вещественных решепий; Ь) при я = 27«-9 .уравнение имеет кореиь*=3—
эте будет кратный корень; с) при 0 < а < 3 уравнение имеет два веще-
вещественных корня: 0 < Хх < 3 и xt > 3; d) при а < О уравнение имеет один
отрицательный корень.
Определить число вещественных корней уравнений:
1346. 12л-1 — 14л;3— За:2—5 = 0.
1347. л-4 — 4ахй— 2 = 0. 1348. 2xz — Sax1 -f 1 = 0.
1349. xlax = a. 1350. 1плг = ал-.
1351. Доказать, что уравнение л-3 -j- px -\- q = 0 при веществен-
вещественных р и q имеет один вещественный корень при 4/>1!-}-27</э>0 и три
вещественных корня при 4ps-}-27<72<0.
1352. Доказать, что при а>1 уравнение ах <= Ьх имеет два веще-
вещественных корня при b > e In а, не имеет ни одного вещественного
корня при elna>ft>0 и имеет один корень при ?>0.
Определить, при каких значениях параметра следующие уравне-
уравнения имеют указанное число вещественных корней.
1353. '3xi-\-4x& — 6х2—12х-\- т = 0, два различных корня.
1354. 2*3—13а:2 — 20х-\-т==0, один корень.
1355. Злг1 — 14.vs—45х2-\-т== О, четыре различных корпя.
1356. 2дг3 — 4х2 — 30^4-^ —°> два совпадающих корня и один
простой.
1357. х2-\-х-\-е-"-\- т = 0, два совпадающих корня.
1358. х3 — х — In х -f-w* = O, ни одного корня.
1359. 6 arctg.x; — x3-f-/w = 0, три корня, из которых два совпа-
совпадающих.
§ 4. Разные задачи на наибольшие и наименьшие значения
1360. Определить наибольшую площадь прямоугольника с пери-
периметром 4а.
1361. Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписан-
вписанного в круг радиуса а.
1362. Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписан-
вписанного в сегмент круга радиуса а, если центральный угол, замыкаемый
сегментом, равен 2а.
1363. Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписан-
вписанного в параболический сегмент, ограниченный параболой _v2 = 2px и
прямой х <= -я—.
1364. Определить наибольшую площадь прямоугольника, у кото-
которого одна сторона лежит на основании а данного треугольника, а
две вершины — на боковых сторонах треугольника, если треугольник
имеет высоту А.
7* 99

1365. По углам прямоугольной пластинки со сторонами а и b вы-
вырезаны четыре равных квадрата. Из оставшейся крестообразной
фигуры образована коробочка, выеота которой равна стороне квад-
квадрата. Найти длину стороны вырезаемого квадрата, при которой по-
получается наибольший объём коробочки.
1366. Поперечное сечение бревна есть круг радиуса а. Из бревна
вытёсывается брус с прямоугольным поперечным сечением. Прочность
бруса п юпорциональна основанию и квадрату высоты поперечного
сечения. Найти форму поперечного сечения, при которой брус имеет
наибольшую прочность.
1367. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного
в сектор круга радиуса а с центральным углом 2а.
1368. Найти наибольший объём цилиндра, вписанного в шар
радиуса а.
1369. Найти наибольший объём цилиндра, у которого периметр
осевого сечения равен 6 т.
1370. Найти наибольшую боковую поверхность цилиндра, вписан-
вписанного в шар радиуса а.
1371. Найти наибольший объём цилиндра, вписанного в данный
конус.
1372. Найти наибольший объём цилиндра, вписанного в сегмент
параболоида аг =* х3 4-у3, а > 0, ограниченный плоскостью z = A>0.
1373. Найти наибольший объём конуса, вписанного в шар радиуса а.
3374. Найти наименьший объём конуса, описанного около полу-
полушара радиуса а.
1375. Найти наименьший объём конуса, описанного около шара
радиуса а.
1376. Найти наибольший объём цилиндра, ось которого прохо-
проходит по диагонали куба с ребром а, а основания которого касаются
граней куба.
1377. Найти наибольший объём цилиндра, ось которого пересе-
пересекает под прямым углом ось данного цилиндра с радиусом а, а осно-
основания которого касаются боковой поверхности данного цилиндра.
1378. Найти наибольший объём конуса с данной образующей /.
1379. Из сектора круга данного радиуса свёртывается коническая
воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объём?
1380. Из трёх досок одинаковой ширины сколачивается жолоб.
При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сече-
сечения жолоба будет наибольшей?
1381. Яркость освещения выражается формулой / = Л^1. t где
о — угол наклона лучей, г — расстояние от площадки до источника
света, т. — постоянная (сила источника света). На какой высоте h
надо поместить фонарь на столбе, чтобы освещение горизонтальной
площадки на расстоянии а от столба было наибольшим?
1382. Точки движутся по осям координат со скоростями vx иг»2-
В начальный момент они занимали положения (а, 0) и (О, Ь). Найти
кратчайшее расстояние между точками.
100

1383. Найти кратчайшее расстояние от точки (xlf yu г,) до
точек прямой x = a-\-lt, y = b-\- mt, z — c-\-nt.
1384. Точка перемещается в среде I со скоростью vv а в среде
II со скоростью г»2. Линия разаела сред прямолинейна. Доказать,
что перемещение движущейся точки из точки А в одной среде
в точку В в другой среде совершается в кратчайшее время при
условии, что путь состоит из прямолинейных отрезков АС и СВ,
где С—на границе двух сред, причём ^?- =¦—, где <ох и <эа —
углы, образованные прямыми АС и СВ с линией раздела.
^ 1385. Точка движется по плоскости со скоростью vt, а, попав
на ось Ох, может двигаться со скоростью «3>t»1. Найти скорейший
путь из точки А @, а) в точку В (Ь, 0).
1386. От канала шириной а под прямым углом к нему отходит
канал шириной Ь. Стенки каналов прямолинейны вплоть до вер-
вершины угла. Найти наибольшую длину бревна /, которое можно
сплавлять по этим каналам из одного в другой.
1387. Рычаг^торого рода имеет точку опоры на одном конце и
уравновешивается силой / на другом конце. При этом на расстоя-
расстоянии а от точки опоры подвешен груз р, а вес единицы длины ры-
рычага равен т. Определить длину рычага х так, чтобы сила / была
наименьшая.
1388. Из точек А и Аг по прямым АО и АХО по направлению
к точке О выходят одновременно два тела со скоростями v и vv
При этом АО = 1, АХО — 1Х, а угол между АО и Afi равен а.
Когда расстояние между телами наименьшее?
1389. Чашка имеет форму полушара радиуса а. В неё опущен
стержень длины />2а. При каком положении стержня его середина
находится нижз всего (положение равновесия)?
1S90. Стержень длиной 26 опирается концами на две прямые
в вертикальной плоскости, наклонённые к горизонту под углами о
и р. При каком положении стержня его середина находится выше
всего?
1391. Светящаяся точка находится на линии центров двух шаров.
При каком её положении сумма освещенных частей поверхностей
шаров будет наибольшая?
1392. К окружности проведены две касательные. Провести третью
касательную так, чтобы треугольник, ограничиваемый касательными,
имел наименьшую площадь.
1393. Через точку внутри прямого угла провести прямую так,
чтобы её отрезок между сторонами угла был наименьшим.
1394. Сосуд с вертикальной стенкой высотой h стоит на гори-
горизонтальной плоскости. Из отвеостия в стенке бьёт струя. Опреде-
Определить положение отверстия, при котором дальность струи наиболь-
наибольшая, если скорость вытекающей жидкости, по закону Торричелли,
равна y^2gx, где х — глубина отверстия.
1395. Через точку внутри утла провести прямую, отсекающую
от угла треугольник наименьшей площади.
101

1396. Доказать, что хорда, проходящая через данную точку
внутри кривой и отсекающая сегмент наименьшей площади, делится
в длиной точке на две равные части.
1397. Плоскость, параллельная противоположным рёбрам тетра-
едра, пересекает его по параллелограму. Когда площадь этого па-
раллелограма наибольшая?
1398. Две стороны параллелограма —на сторонах треугольника,
а вершина — на третьей стороне. Когда площадь параллелограма
наибольшая?
1399. Прямой круговой конус пересекается плоскостью по пара-
параболическому сегменту. Площадь такого сегмента равна произведению
о
-=¦ основания на высоту. Найти наибольшую площадь сегмента,
з
1400. К параболе провести нормаль, отсекающую от неё сегмент
наименьшей площади.
1401. На частях АС и СВ диаметра АВ полуокружности, как
на диаметрах, построены внутри данной полуокружности новые
полуокружности. Где поместить точку С, чтобы круг, касающийся
трёх полуокружностей, имел наибольший радиус?
1402. Верхним основанием правильной шестигранной призмы яв-
является шестиугольник ABCDEFA. Через точку О на оси призмы,
«лежащую выше верхнего основания, и через диагонали АС, СЕ и
ЕА проведены три плоскости, пересекающие боковые рёбра призмы,
не проходящие через А, С и Е, в точках Ви Dx и Fv Объём мно-
многоугольника, ограниченного с боков и снизу гранями призмы, а
сверху крышей OAB^DfiF^A, не зависит от выбора точки О. При
каком условии поверхность многогранника будет наименьшей? (За-
(Задача о пчелиных сотах.)
§ 5. Ряды, их сходимость
Если прил->оо суммаап = и1 + и2+•••+ип стремится к некоторому
определенному конечному пределу s, то говорят, что ряд ut + и, -j- ... -f-
-f-Kn+... — сходящийся, a s — его сумма. В этом случае пишем: Hi-f-
+ щ-) + ип + •¦¦ =s. Необходимое и достаточное условие сходимости
ряда И1 + И2+Из+ ... состоит в том, что при любом положительном по-
-стоянмом s можно найти такое щ = щ (е), что
1*»4-р — Sn\ = \Un+1 -f Ип+5 + • • • + «»-i-plO
при всех л > л„ н любых положительных р.
Ряд не сходящийся называется расходящимся.
В следующих примерах можно установить сходимость ряда и
величину его суммы непосредственно.
1403. Непосредственным делением по возрастающим степеням
можно установить тождество:
ДО

Исходя из него, показать, что ряд
i-b*-f*a-f...
\
сходится при |а:|<1 и его сумма равна у—г-
1404.'Пользуясь тождеством —— , ^=* , ^ , доказать,
что ряд
J_.J_ J 1 L
1-2 ' 2-3 ' 3-4 '
сходится и имеет сумму, равную единице.
1405. Доказать равенство
_L__j L__j L_i -1
1 ¦ 3 "г" 3 • 5 1" 5 • 7 "г" * • ¦ — 2 •
1408. Доказать равенство
1 I L__L L_J- -1
Ь2.3 т2-3-4 1"з.4-5 "Т" • • • — 4" •
1407. Доказать равенство
п=1
где предполагается, что lim г>н = и.
л ->оо
1408. Установив равенство
I Im x9Um J- Я\ '
доказать, что в данном случае при т -> со предел суммы ряда не
равен сумме пределов членов ряда: lim (ut -j- иа -J- чг -J- . • •)_ здесь
равен 1, а т-*Ьо
lim Ht -f lim иа + Иш н3 -f • •. = 0 -j- 0 j- 0 + ... = 0.
Одним нз способов изучения' сходимости рядов является признак срав-
сравнения: если члены данного ряда и1 + и2 + и3+>- по абсолютной величине
ие больше соответствующих членов сходящегося ряда положительных сла-
слагаемых fi+ f2 + fg+ .... то данный ряд—сходящийся. В этом случае ряд
называется абсолютно сходящимся.
Если ряд Ki + «j + и3 -+-... сходятся, то 11га ип = 0. Если же ип при
л—»оо
п -»со не стремится к нулю, то ряд расходящийся.
Исследовать сходимость следующих рядов при разных значениях
переменного л::
,409. х + 4 + Х + тЧ-"-'
1410.

, ., _ sin jc i sin 2jc . sin 3jc ,
1412. -JT2-+ -2T3- + -3T4- + • • •
141 o» X ——¦ ¦"—¦ *j~ ¦-,.¦- —— ...
1414.
Указание. Воспользоваться неравенством: —=-<
* и2 ^
и2 ^ (и— 1)и
Во многих случаях д.тя изучения сходимости рядов полезен признак
Даламбера: если, начиная с некоторого места, отношение последующего
члена ряда к предыдущему по абсолютной величине меньше одной и той
же правильной дроби q, т. е. если
Ц'1 <СЧ>
дится (абсолютно). В частности: если Игл
«пМ
ряд схо-
схо< 1, то ряд и, + Щ-т
-\-а3+ ¦•• сходится.
Если же lim
ц"+1
и
п
то ряд расходится.
Исследовать сходимость рядов:
1416. 1+^+^ +
1417.
1418. х 4- 2а:2 + Зд:3 + 4.V* -\-5хь
2х% 1гхг 2*х* ,
1419. х -\ g J—^ j у Г • •
1420. х + ±х'+1?-хЧ-±1
1422.
х*
3
_ 1 Т
я=1
1424. Ряд ui -f- "«-f- "si" • •' составлен по следующему закону:
ц.„ =-gjjj-, где 2"»<; л<2»»+1, о — постоянное число. Доказать, что
при о>1 ряд «j-f- «9 + «g-f- • • • сходится, а сумма его равна
2'
2' —2 '
1425. Пользуясь предыдущим результатом, доказать, что при
о>1 ряд 1 4-.-27-J-—- + —-f ,,- сходится,
т

1426. Члены ряда составляются по правилу:
1_
где 2т~1<.п^2т, о— постоянное число.
Доказать, что при 0<о<1 ряд ц1 + ц2 + и3+... расходится.
1427. Доказать, что ряд 1 +-—¦ + — + — + ... приО<в<1
расходится.
1428. Установить, что ряд 1 -\ —-j — -j ... расхо-
j У2 уЗ у4
дящийся, опираясь на неравенство
Уп
В тех случаях, когда—?^- -*¦ 1 при я-*оо, признак Даламбера
н„
недостаточен. Если при этом дробь п4-1 равна отношению двух
полиномов относительно и, то может быть полезно применение
признака сходимости Гаусса:
Признак Гаусса. Если -^ = -"!±П"! 1 - +""' , то
ряд сходится при &! — а, > 1 и расходится при ^ — <Zj < 1.
Исследовать сходимость рядов:
1 | 1-3 1 | 1-3-5 1
1
2 1 i 2-4 1 , 2-4-6 1
1488. 1 —7-
В обширном классе случаев, хогда предыдущие признаки яе дают воз-
возможности судить о сходимости рядов, можно убедиться в сходимости
с помощью других признаков. Из них один, особенно важный, основан на
тождестве Абеля
аА + "А + a3ba + ... + anbn =
где
Признак сходимо ст и Абе ля: ряд %»i + m«»j + «3»з + • • • схо-
сходится, если сумма Hi+Mj+ ••• +н» остаётся ограниченной при воз-
возрастании п, а числа vu vb vs>... убывают и стремятся к нулю при не-
неограниченном возрастании номера.
Частный случай признака Абеля: знакопеременный ряд щ —
— и» + из — ««+••• сходится, если величина иц убывает при возрастании
П и притом Ига и 0
п*х
105

Исследовать сходимость следующих рядов:
-144—7 +••• 1434.1-^
I 2.1,2-4.1 2-4-6 1
. l j 2 i 13 3 1-3,5 4.
..„_ sin x , sin2jc , sin Зл- , sin Ax ,
14d/. j | j 1 3 Г 4 Г
1438.
14Ч« ill 2,1,1 2,1,1 2
1439. 1 + T-T-f-T-f T— -+T____
Если ряд щ + иг +a3A-tii+ ... сходится, а ряд | Н] | + |«sl + 1нз1 +
+ ..., составленный из абсолютных значений его членов, расходится, то-
данный ряд вазывается неабсолютно сходящимся. Следующие примеры
показывают глубокую разницу в характере абсолютной и неабсолютной
сходимости.
1441. Пользуясь основным критерием сходимости, доказать, что
сумма абсолютно сходящегося ряда не изменится, если расположить
те же члены ряда в любом другом порядке.
1442. Показать, что сумма неабсолютно сходящегося ряда не
меняется, если члены ряда переставить так, что ни один из них не
удаляется со сноего места больше, чем на т мест, где те — любое
заданное число.
1443. Показать, что сумма неабсолютно сходящегося ряда не
меняется от группировки слагаемых, если члены не сдвигаются
со своего места, а число членов в любой группе не превосходит за-
заданного числа т.
1444. Доказать равенство
показав тем самым, что у неабсолютно сходящихся рядов сумма
существенно зависит от порядка слагаемых.
1445. Пользуясь равенствами
^1 - (у—jj- (т~ т) ~ • • •'
106

1
1_LI_[_1
— Т ' 7 "Г 9"
доказать, чт-J s<1, a Sj>1 и, следовательно,
1446. доказать, что ряд 1 -
-сходящийся, а ряд
1 1
"-j- ¦ ' 7^"^ ''" • П0ЛУченный из первого перестановкой слагае-
слагаемых,— расходящийся.
Если ряд, члены которого зависят от л:, остаётся сходящимся в иятер-
вале а<лг<6, то, иапнсав равенство:
И, (А") + иг (*) +...+«„ (*) +...«=«! (Л) + BS (X) +... -I- ('„ (Л) f Л» W,
можем быть уверены, что /?„(л:)->0 при и^-со при люГом данном х.
Поэтому при любом данном е>0 неравенство | Rn (х)\ <[ г будет выпол-
выполняться, если и достаточно велико: и > «о- При этом число иП, вообще г»воря,
зависит ие только от е, но и от значения х. Если при любом данном s ^> О
неравенство \Rn(x)\ < s выполняется для всех л: в интервале а<.г<6,
как только и>«о. где «о зависит лишь от s, то ряд называется равномерно
сходящм ся. Для равномерно сходящихся рядов справедливы теоремы:
1) Предел суммы ряда равен сумме пределов членов ряда.
2) Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть
. г.епрерывиая функция.
3) Если ряд, составленный из производных от членов данного ряда,
сходится равномерно, то производная суммы данного ряда равна сумме
ряда, составленного из производных от членов данного ряда.
" 4) Если члены данного ряда по абсолютной величине не ботыцг, чем
соответствующие члены сходящегося ряда положительных постоянны* сла-
слагаемых, то ряд сходится равномерно.
1447. Доказать, что ряд
2A— A')-f •*'(!— х)-\
сходится в интервале О <^ х ^ 1, но неравномерно.
1448. Доказать, что ряд
сходится при любом >:, но неравномерно. Тот же ряд сходится рав-
равномерно в любом конечном интервале ^^Ь
1449. Доказать, что ряд ^ jp'+n* сходнтся равномерно при
любом х, —оо<*<оо.
1450. Доказать, что ряд
Si"
моншо дифференцировать почленно,
107

1451. Доказать, что ряд
cos .с ¦ cos 2-е , cos 3-У
1-2 ' 2-3 ' 3-4
представляет непрерывную функцию от х.
t452. Пользуясь тождеством Абеля, доказать, что ряды
t 2jc -f- a3 sin 3jc -f-... ,
CjCOSJC-j- С,, COS 2x -\~ Oj COS 3jC -f- • • •
при выполнении условий
ax !> д2 !> аъ >- д4 !> . . ., lim я„ = О
сходятся равномерно во всяком ннтерпале, не заключающем пи
внутри, ни на концах значений х = 0, it 2л, =г: 4т:, ...
1453. Доказать, что сумма ряда
*ггЛ— -I Sin 2"* л:
п=1
представляет непрерывную функцию.
1454. Доказать, что при д>2 предыдущая сумма ряда имеет
производную:
Л=1
1455. Доказать, что при 1<с<2 функция s(jc) задачи 1453 не
имеет производной (будучи, однако, непрерывной).
Указание. Воспользоваться тождестзом:
Я—1 , со
sin 2' х . sln2njc_ , VI sin 2Л х
V-1 П+1
где л - любой выбранный номер, и изучать , , при условия, что /z-> ia
выбирая числа \х особым образом в зависимости от выбора яомерз п.
§ 6. Разложение в ряды
1456. Непосредственным делением, расположенным по возрастаю-
возрастающим степеням буквы х, доказать разложения в ряды:
1 __ 1 , Ьх , 6Ч2 ,
а — Ьх—~а~х~~~Зг~*~сР~ * ""' :,
в-\-Ьх ~ #" аг~'~ а3 ~^~ '''
105

cj Ox 1 1
1457. Пользуясь тождеством д—=—^—, —-^ J--s ri дока-
зать разложение и ряд:
5-2л- _5 ¦ 13 ,JS ,, , /JL,_LW»4- •
~ 6 ^36 А+ 216 * ~Г '•• "Г ^2" + 3'1/ ~Г •"'
1458. Предполагая законным разложение в ряд
A a + a
и умножая обе части равенства на 1 — х — х-, доказать, что ао = 1,
а1 = 1, #2 = 2, Д3 = 3, Д4 = 5,... и вообще я0, alt a2,...—числа
ряда Фибоначчи, определяемые равенствами дл = ап_! -j- д„_2 при
п>2, до = 1, ах — 1.
1459. Воспользовавшись тождеством
1—х-х* у$\ /5
L
Ч-
найти формулу, дающую общий член ап ряда Фибоначчи.
1460. Доказать, что и разложении и ряд дроби
& Д + "* + ^ + ** +
Л +
имеющем место при А ф 0 и при достаточно малых значениях | х \,
между коэффициентами ап существует соотношение: Аап-{- Вап_1-\-
+ С}Дп_3 = 0; л>2.
Важное средство для разложения функций в ряд дают формулы Тей-
Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора может быть записана в таком виде:
/<*)-/<«)
Здесь #„ —остаточный член, применяемы! в двух вндаз:
(форма Лаграижа),
^^ в 1-2...(д-1) (^ ~ С)" (^ "" Я) (Ф°рМа К0ШИ)-
В обоих случаях с означает некоторое среднее между числами а и х.
Ф/нкция f{x) предполагается имеющей в интервале между а и х произ-
производную л-го порядка.
Формула Маклореиа получается из формулы Тейлора при д = 0 и
имеет вид:
109

При этом
Rn = -^g ? х» (форма Лагранжа),
=1)х1х~е)п~1 (форма КоШй)'
Здесь с—некоторое среднее между числами 0 и х.
В формулах Тэйлора и Маклорена величина п может выверяться про-
произвольно, если f(x) имеет производные нужного порядка во всех точках
интервала (а, х).
Если Rn-> 0 при я->со, то из этих формул получаются ряды Тэйлора
и Маклорена, имеющие вид:
2
п=0
и=0
Сходимость этих рядов следует нз условия: Rn -> 0 при л -»¦ со, но не
обратно. Следует заметить, что исследование условий, при которых
Нш Ra = 0, удаётся лишь в сравнительно простых случаях. По счастью, тео-
Я->оо
рия функций комплексного переменного даёт простое решение вопроса
о законности рядов Тэйлора и Маклореиа для широкого класса функций:
Следующие пять разложений получаются из ряда Маклорена:
е*=1+х
xi Х3 xi
!П A + JC) = ЛГ — -g h -g ?-+•••
Первые три из них справедливы при всяком значении х. Два последних
справедливы при |-*|<1. При |х|>1 последнее лишено смысла, так как
Г яд расходится. Формула для {\-\-х)т, называемая биномом Ньютона, при
х\~^>\ справедлива лишь тогда, когда т — целое положительное или нуль.
К указанным пяти рядам по простоте и важности можно присоединить
шестой ряд:
Xs X* х
Непосредственное получение его из ряда Маклорена несколько затруд-
затруднительно, и другие приёмы ведут к цели легче. Один из них покажем иа
примере функции у = arcsin x. Дифференцируя это равенство и оснобож-
даясь от знаменателя, получаем: У1 — хгУ = I. Беря ещё раз производную
м опять освобождаясь от знаменателя, приходнм к равенстну:
A— л»)У — ху1 =0. (*)
ПО

Оно представляет так называемое лиффереициальное уравнение для. функ-
функции у = arcsin .v. Предполагая, что разложение .у по степеням х существует,
напишем:
со
у = а0 + ахх -f а^ + • • • =» 2 "»*"•
»=о
Так как для степенных рядов допустимо почленное дифференцирование, то
отсюда следуют равенства:
со со
у = 2 ««n-v-1. у = 2я(«-!)e"v'1-8-
Подставляя эти выражения в уравнение (*), получаем:
A — *2) 2 п(-п~ ^ "и*" — х 2»7n*»'-J = 0.
Группируя члены по степеням дс, что тоже для степенных рядов за-
законно, получаем:
2 [(я + 2) (и + 1) «п ьз - «2«nJ *" = 0.
п=о
Чтобы это равенство выполнялось, необходимо должно быть
д,и.,-я*д„ = 0 или <?,ц.,= ( + "^'
Исходя отсюда, можно найти все ап, если знать а0 и аь Но разложение
arcsinх = а0 -f- «i-v -f- <V!-г ••• должно совпадать с рядом Маклореиа дли
arcsin х. Поэтому а0 и а\ равны значениям arcsin а- и (arcsin .v)' при х = О,
т. е. tfo = O, a1 = 1. Отсюда следуют равенства:
о„ = 0, в4 — 0, *6=:0,....
1-3 i
Таким образом, если arcsin x разлагается в ряд по степеням х, то должно
быть:
.1 х» , 1-3 х* , ЬЗ-5 хт ,
*+ 2"' Х^гТТ "X + "FTT • — +•••
По признаку Даламбера ряд сходится при |*|<1. То, что arcsinx дейст-
действительно разлагается в ряд, с лёгкостью даёт теория функций комплексного
переменного.
1461. Разложить по степеням х — 2 полином
х* — 5-r3 -f- 5.-е2 + х + 2.
1462- Разложить по степеням jc —{— 1 полином
дл+гх* —*«-!-*+1-
1463. Доказать равенства:
sin (a-\-x) = sin a cos x-\- cos а sin ж,
cos (а + а) = cos а cos jc — sin a sin л,
разложив левые части по степеням лг.
111

1464. В разложении для In A + *) заменить х на— х и, исходя
из рядов для 1пA-{-л:) и In A—х), получить ряд Грегори:
1465. Получить равенство:
Л/>0.
1466. Из ряда для с* получить разложение для с-*, а также
разложения:
2 ~ ?> ' 4!
годные при всяком х.
1467. Пользуясь биномом Ньютона, получить разложение
* ч I 1 ..о I 1*3 _j 1 1 • 3 • 5 R , , , ,
1468. Доказать, что при |дг|<1 справедливы равенства:
«=о
1469. Доказать равенство:
ех cos х
22 > cos -~
и!
Здесь, как н в других случаях, считается, что 0!-=1.',
1470. Доказать равенство:
1-3-5
1471. Доказать равенство:
(a + *)« = о» + «лгя»-1 + -^"—^*2c»-2 + ...; |jc|<a.
Разложить по степеням л; следующие функции:
1472. yi + ж. 1474. 1пA —х + х*).
i
1473. ln-2il^. 1475. In
й — дг
112

1476. In B — %x -f **). 1477. ?±?1! In
1478. Доказать, что при |.yJ<1 сппапедливо равенство:
С помощью подходящей замены переменной получись следующий
азложения в ряды:
,480. ,.ж-
1481. -~^
Получить следующие разложения в ряды:
1483. ^L+?).=,_
v-2 9 у4 9 Д
1484. (W3ta*)«i+{i +
.2-4-6 х» ,
+ -37FT'-4-r
1485. sin (,u arcsin x) ==
1486. cos (it atcsin x) = 1 — 1^- jc3 -f
1488. in(i — 2*cos?-{-*¦)=»—
n=l
1489. A-}-д:а) ''sinCm arctg x) =
•.=.0
8 tot. 4549. Cfopnx wm т. I. 113

1490. A -f *2) 2 cos О arcfg x) =
CO
i\, «(и+1) ...(/n + 2v — 1
Bv)!
1491. em iTCaia *= ж' "*
m* (« + 2) (w + 4) ¦ ¦ ¦ (m + 4^) ..,.,4 ,. .
Л" ¦ IXI
§ 7. Ряды и действия с ними
1492. Найти сумму ряда 5 = 1 -{- 2х -(- Зх2 -f 4х3 -4- . .. , восполь-
воспользовавшись равенством:
s ^1^.х~\-Х^-\-Хв + Х1-]-Х&-\- . ..
х-\- x--{-xz-irxi -f -^5+ ¦ ¦ •
2|344 5
X4 -}- .V5 -f- ¦ ¦ •
х5 4-¦• •
1493. Найти сумму ряда s = \-\-Ъх-\-Ьх*-\-7xz-\- . . ., соста-
составив 'произведения л:$ и x2s.
1494. Заметив, что коэффициенты ряда
1 + 4*+ 9ха + 16xs+ 25л*-f ...
связаны соотношением: а„+2 — 2а„+1+ а„ = 2, где а„ — коэффициент
при хп, найти сумму ряда умножением её на 1—2х-\-Хя.
1495. У ряда
каждый следующий коэффициент равен сумме трёх предыдущих.
Найти сумму ряда.
1496. Перемножить два ряда:
1497. Непосредственным умножением доказать, что
(l + x)sm(x) = sm+1(x),
где sM=\+mx-\ 1~Т~Х^ ьТ1
1498. Перемножением рядов доказать равенство:
114

1499. Доказать равенство:
перемножая ряд для —In . иа ряд для ^ д.
Найти прямым дифференцированием производные от рядов:
1500. *_-?+?_:?+..•; |*|<1.
1501. я-4+т-т + --' N<h
¦¦З j-Б v7
1602. Л_*г+^г_7г+...;
,S03.
1504. Доказать, что сумма гипериометрического ряда Гаусса
удовлетворяет уравнению:
х(х — 1)/' -}- [-т + A +3+ Р) *1У -Ь«^ = о,
где
1505. Функция Бесселя /0(л:) определяется рядом
'ov.x/ — * 25" Т" 2^ -45 Ж7\г7$± "Т • * *
Доказать, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению
л:у -{-.у -}- л:^ = 0.
1506. Доказать, что
v==1 __?!__( f! ?? i_
^ 2-3 ' 2-3-5-6 2-3-5-6-8-9 "т"'"•
удовлетворяет дифференциальному уравнению
1507. Замечая, что sec x — чётная функция, можем заключить,
что разложение sec x имеет вид:
8» 115

где Еп— соответствующие коэффициенты (числа Эйлера).- Умножая
почленно на равенство
получить рекуррентную формулу для чисел Эйлера:
JEHl F-n-\ . | ?»-» _0
BлI 21B/1—2I 14! Bл — 4I •••—«•
Так как Ео = 0, то из этой формулы следует, что
Ei — l, Еа = 5, Е8 = 61, ?4=1385, ...
1508. 1 — ¦? ctg ~ = 2"ЩГ *2"> где В» ~ К0ЭФФИ1*иенты ( на*
зываемые числами Бернулли). Доказать, что для чисел Бернулли
существует рекуррентная формула:
&п ВП-\ j Дд-г j_
2 Bл)Г 233! Bл — 2)! ' 2^. 5! Bя —4)! " " ' '
i (-1)"-
1~2="-1Bл —
Из этой формулы следует, что
Написать первые пять членов разложения по степеням л: Для сле-
следующих функций:
1509. 1пA+в*). 1511. eaia*.
4
1510. A + Jf)*. 1512.
4
1513. Доказать, что при малости величины -,- приближённое ра-
раa»
. MUuOT ПЛГПОНШЛЛТ1 TT
венство УаЯ^Ъ ~ а -J- ^- имеет погрешность, приблизительно равную
а / 6 \а
•o-(-j-) > и вычислить с помощью этого равенства значения ради-
радикалов:
л)УТ, Ъ) V2A, с) 1/84, d) V235; е) /240".
1514. Доказать приближённую формулу
и вычислить с её помощью корни:
]/245,
116

1615. Существует следующаь приближённая формула для извле-
извлечения корней:
где ап — точная степень, близкая к N. Доказать, что погрешность
этой формулы приближённо равна ._ 3 (—] .
1516. Вычислить по предыдущей формуле следующие корпи:
а) УЗО, Ь) f/7O7 с) |/5ОО7 d) |/25a e) УЩ f)
1517. Воспользовавшись биномом Ньютона и равенством
вычислить с 10 знаками величину |/2.
1518. С помощью бинома Ньютона и тождества
вычислить ]/2 с 10 знаками.
1519. С помощью ряда для In (I -f- х) при л:=> — -^ , — 25 и go >
а также тождеств
In ^ = 2In 3— In 2 — In5, In^ = 31n2-f In3 —21n 5,
In|i = 41n3 —41n2 —In5
вычислить натуральные логарифмы чисел 2, 3,5и10с10 знаками
после запятой.
1620. Доказать, что величины
Д1п я = 1п(я + 1) —In я, Д21п я = In (я+ 2) — 2 In (я
Л»In я = 1п(я + 3) —31n(n-f 2) + 31n (я + 1)—1п и
имеют соответственно следующие разложения в ряды:
^ -Ь зBлV 1Я
. f 1 , 1 , 1 , 1
д шя—-^(я + 1J -г 2(я + 1)* г3(л + 1)( — ••• J,
| И , 312 ¦ ]
ГBЯ + 3N Г(Зя-|-3O +••• J-
AS1 —
Л 1пя —
1521. Доказать, что табличная разность обыкновенных пятизначных
логарифмов чисел, т. е. lg(/i+ 1) — lg n, при 1000<п< 10 000 при-
Af 4 J 429
ближёнио выражается формулой Д=105-—= ;М=0,43429—
логарифмический модуль, Д выражена в стотысячных долях.
117

1Б22. Доказать, что табличная разность таблицы логарифмов си-
синусов, данных через одну минуту, выраженная в стотысячных долях,
может быть дана приближённой формулой
Д1п sin хд^ 12,6 ctg х.
1523. Доказать, что формулы того же рода для синусов и для
логарифмов тангенсов имеют вид:
ОС О
Asin х-* 29,1 cos x, Algtg*^ '
' sin 2x '
Несколько следующих задач основаны на приближённых, равенствах
sin -cs5.tr, tgx^x, обладающих высокой точностью для малых углов. Киеко-
торых из этих задач нужно воспользоваться более точными формула^:
i-8 v3
1524. Под каким углом зрения виден за 10 км диаметр фабрич-
фабричной трубы с радиусом 2 м?
1525. Диск Солнца виден под углом 30'. Во сколько раз рас-
расстояние до Солнца больше диаметра Солнца?
1?2б. Полотно железной дороги имеет уклон 0,012. Какой угол
с горизонталью оно составляет?
1Б27. За «утки земной шар пробегает приблизительно дугу в 1°
своей орбиты, диаметр которой 150 • 106. Определить, на сколько
отклоняется от прямой линии путь Земли за 1 секунду B7 км) и за
1 минуту?
1528. Дуга 1° земного меридиана имеет около 112 кж. На сколько
она длиннее своей хорды?
1529. Доказать приближённую формулу: / = "^13 k, где h — вы-
высота наблюдателя над горизонтом в метрах, а /—дальноать до гори-
горизонта в километрах.
1530. При измерении расстояния между точками отсчёт на про-
протянутой ленте показал 12 л. Зная, что провес ленты был 30 см, и
считая форму ленты дугой круга, определить расстояние между точ-
точками с поправкой на провес.
В следующих задачах вычислить с помощью рядов величины
с указанной точностью.
1531. Найти sin 1° с точностью до 10~6.
1532. Найти cos 1° с точностью до Ю-4.
1533. Найти sin 10° с точностью до Ю-4.
1534. Вычислить к с точностью до 10~10 с помощью тождества
1535. Шенкс вычислил я с 707 знаками с помощью тождества
предыдущей задачи. Сколько членов в разложениях arctg '-g- и
arctg 5яд °н должен был удерживать?

1536. Одно из правил Гюйгенса для вычисления длины окруж-
окружности эквивалентно равенству:
о Рп+2Рп
z з^— ,
где Рп и рп—периметры описанного и вписанного правильного мно-
многоугольников, г — радтт круга. Доказать, что погрешность этого ра-
30
венства приближённо равна —г.
§ 8. Раскрытие неопределённостей
Решение ближайших задач удобно находится с помотыо теоремы, кото-
которую не совсем точно называют правилом Лопиталя. В силу её, если при х,
стремящемся к конечному или бесконечному пределу, числитель и знаме-
нагель дроби тт"т одновременно стремятся к нулю или же к бесконеч-
V'vV
ности, то
111X1 , , ¦' j ¦ ^в 11П1 ¦ L t . ¦ •
i/{x) f{x)
При этом предполагается, что предел в правой части существует.
Найти пределы следующих выражений:
,_., ,. \nuosax .... ,. ё° — е~х—2х
1541. lim -;——г-. 1542. lim
[aco%bx' х^о х —
1543. lim -§. 1544. lim ~.; д>0.
1545. lim (I— x)tg^-. 1546. Hm x*.
1 l b
1547. limarcsin(jc — a)ctg(jc — a).
x-? a
л
1548. Hm-^-; m>0. 1549. Hm-iH-; m>0.
Применяя разложение в ряды, найти пределы, указанные в сле-
следующих задачах.
„___ ,. х—s:'n.« «__« 1- In3(I 4-х) — sin2дг
1550. lira д-. 1551. lim —i_-E_2__ .
X-*Q x1** Х-*й
1552. Hm [* —«"Infl + IYI. 1563. lim (-i-_
119

1555'Лт0(^-жг)- 1556-Дт<
1557. lim
х-
155S. И
1 — sin х —
л' sin х
7» -»• 0 ft>
1559
»->o
В следующих задачах пределы находятся разными приёмами.
1560. lim —т^:—. 1561. lim In'*In(l— x).
<?г~ I + д;3 sin— 1
1562. lim —. 1563. Hm х^~*
1564. lim '"(Д,+ ^Я; 6>0, л>0. 1б65. lim
1566. lim (sin д:)^*. 1567. lim
1568. lim fl—jcinfl + I)]. 1569. Hm
1570. ..ъ ii±4^n. 157i. am
1572. Найти предел отношения площади сегмента к площади тре-
треугольника, образованного хордой и касательными в концах дуги, при
условии, Что дуга сегмента стремится к нулю.
1573. Такой же вопрос по отношению к сегменту и треугольнику,
составленному хордой и двумя хордами, соединяющими её концы
с серединой дуги.
1574. Если а, Ь, с—стороны сферического треугольника, А, В, С—
противолежащие углы, то
cos с = cos a cos b -J- sin a sin b cos C.
Во что переходит эта формула, если a, b и с малы?
1575. Тело падает в среде, сопротивление которой пропорцио-
пропорционально первой степени скорости. Путь, пройденный за t секунд,
выражается формулой
к
а аг *• ''
где т — масса, а — коэффициент трения. Найти приближённые фор-
at at
мулы для s, если — велико, а также для случая, если —• весьма
мало.
12Q

§ 9. Экстремальные значения функций нескольких переменных
Наибольшие и наименьшие значения функций от двух переменных,
имеющих в данной области частные производные нужных порядков, нахо-
находятся с помощью следующих теорем. .
I. Для того чтобы функция f(x, у) имела экстремальное значение в не-
некоторой точке (х, у), необходимо, чтобы в этой точке обращались в нуль
df df
частные производные -р и -г—.
II. Для того чтобы f (х, у) в некоторой точке (х, у) имела экстремаль-
экстремальное значение, достаточно, чтобы величина rt.— а! была положительна, а вели-
величины р и q равны нулю. Если при этом г и /> 0, то величина f(x,y) имеет
минимальное значение, если же г и /<0, то / (х, у) имеет максимальное
значение. Здесь приняты для краткости обозначения Монжа:
_ д/ _ df _ d'-f _ дУ _ ff*-f
р-~дх~' q~l^> r~dF' s-!7dJ' '~lyi-
Для функций нескольких независимых переменных существуют подоб-
подобные же, но несколько более сложные критерии.
III. Для того чтобы функция нескольких переменных f {хь хг,..., х^
имела в некоторой точке (хх, хг,. •., хп) экстремальное значение, необхо-
необходимо выполнение равенств:
?-0. f = 0 «С„а
axi ox*. дхп
При этом Предполагается, что во всех точках области функция имеет
все нужные производные.
IV. Для того чтсбы функция f(xu x,, ..., х„) имела в некоторой точке
(хь хг, ..., х„) экстремальное значение, достаточно выполнение следующих
условий:
Ь) все главные миноры чётного порядка у определителя
Рп Рп--Рт
Ргх Рх--Рт
Рт Рт- ¦ -Рпп
положительны, а знак у главлых миноров нечётного порядна одинаков со
знаком рп. При этом для краткости положено:
Если при этих условиях /?ц>0, то функция имеет минимум. Если же
iO, то функция имеет максимум.
Найти экстремальные значения следующих функций, заданных
в явном виде;
1576. г — х*-\-ху-\-у* — Ъах — ЪЬу.
1677. г = хгу*{а — х—у).
1678. г = xi -{-у* — 2х* -f- ixy — 2yJ.
1Б79. z = x* — xy+y*-\-Zx — 2y+l.
121

1580. z = x*-\-xy+у*+ ¦—-{-¦-- при х>0, v>0.
1581. z = x*+y* — Ъаху.
1582. z = Ax* + Bxy-\-Cy
1583. г = хъ-\-уъ — 9ху + 27 при 0<дг<а, 0<_у<а, а>3.
1584. г = д:4+у —2x2-f.4x_y —2У при
1585. г = е-*-!Г(вл»+ Ь*Ь а>0,
1586. г - у{а-х)(а-у)(х+у-а). 1587. г
1588. г + jf^
0<л:< 0<У<
1589. ^ =
1590. z = cos xcos_y cos (.* -j-y);
1591. г- = (а cos л: -f * c°s УJ -j" (я sin д: -f- 6 sin_yK.
1592. ^ = cosxcosa-j- sin x sin acos(_y — p).
1593. и =
1594. и — +
x& 4_ v3 4-
1595. n= ^g
1596. и=а_?_ + .Д_ + _?_; x>Oi y>0> г>0.
1597. и = (ад: + &y ^- сг) e~~- v'~*
1598. Задача Гюйгенса: между положительными числами а и Ь
вставить п других чисел xv ха, ..., хп так, чтобы величина дроби
(а + хО (*» + х,)... (лгп_! + л„) (х„ +•)
получила наибольшее значение.
В следующих задачах требуется найти наибольшее и наименьшее
значения функций г, заданных неявно, как функции от х и у.
1599. 2x2 + 2/-f га+8дгг — г+8 = 0.
1600. 2л:2 + 6у2 -j- 2г2 + $хг — 4х — 8^ + 3 = 0.
1601. 6ла + 6уа + 6г3-}-4д: —8^ —8г-г-5 = 0.
1602. 5л:3 + 5у2 + 5^2 — 2ху — 2л:г — 2уг — 72 = 0.
1603. *3v — Зл:^2 + 6л:-|-^2 + 7у + г9 —Зг—14 = 0.
1604. л:4'+^*+г* = 2«2
Дальнейшие примеры содержат вопросы о нахождении относительных
экстремальных значений, т. е. о нахождении экстремальных значений функ-
функции ««=/(.«[, хъ ..., хп), переменные которой связаны несколькими урав-
уравнениями «1<ДГ1, Хъ¦ • •.хп) = О/*, C*i. -«г....,хп) =0 f т(хьхъ хп) = 0,
где функции /. %. <?2. •••, Ч»т имеют первые и вторые частные производные
во всей области изменения переменных хъ ль..., хп.
132

При отыскании экстремальных значений здесь удобен способ Лагранжа.
Оя заключается в том, что составляют вспомогательную функцию
Ф =/+ hn + hit + •
гхе Хъ Xj,..., Хот—неопределённые постоянные множители. После этого
пишем ряд уравнений:
0 °°
Из них, а также и из уравнений ?i = 0, <?5 = 0, ..., <?т = 0 можно найти
значения Х|, х* ..., .*„, а также и величины )-i, Х2,.... Хт. Значения пере-
переменных Xi, Хч,..., х„, при которых и=/ получает экстремальное значение
при соблюдеш1И условий <Pi = 0, <fs=f0, -..i (pnt = O, находятся среди полу-
полученных по способу Лагранжа.
Критерий, дающий возможность узнать, достигается ли экстремальное
значение /, и какое именно, при величинах хл, лч ..., хп, полученных по
способу Лагранжа, сравнительно сложен и здесь не приводится.
Найти наибольшие и наи?леньшие значения следующих функций
переменных, связанных указанными условиями:
1606. и = хт-\-ут; х-\-у = 2а; а>0,
1607. и = х? + хТ-{-...+х'>!!; jcj + jcj,+ ...+*„=: не;
я>0, /и
1608. а = хГ + лГ+...-г*7; xl-\-xi-\-...+xn = na;
а>0, ;я
1609. b =
1610. и =
1611. и = х+у + г, ? + |.+? = 1; а>0, &>0, с>0.
1612. и = дг2/^4; 2x-f3y-f4? = e.
1613. и = д:2+2У-}-3г2; Аг2 + >2 + г2=1, л: + 2у-\-Ъг =¦ 0.
1614. и = хуг; х-\-у-\-г = 5, ху-\-уг-\- хг = 8.
1615. о =
1616. a = sin |-sln^-siny ; д: + ^ + г = ъ\ дг>0, ^>0, г>0.
1617. и = х—у\ tg* = J J
1618. a = ^L + J|+...
все аир положительны, так же, как и числа jc,, x2t..., х„.
1619. к = Лл2 +
1620. и = -§+$J
123

1621. Неравенство Адамара для определителя третьего порядка
а Ь с
и=
имеет вид:
1, если
Доказать это неравенство.
1622. Неравенства Маклореиа: если
••+•*» = ла' т0
х2)
.7
3' и Tl д<
Доказать эти неравенства.
1623. Задачу Гюйгенса (см. Ms 1593) можно свести к доказа-
доказательству неравенства:
О-f «i)d+ «»)•• •<! + «»)> О+ ?)•».
если MjMj. . ,un = qn. Доказать это неравенство.
В заключение приводится ряд задач на нахождение наибольших и наи-
наименьших Ееличин, которые могут быть решены как изложенными методами,
так я другими.
1624. Из всех треугольников с одинаковым периметром 2р найти
треугольник с наибольшей площадью.
1625. Найти наибольшую площадь треугольника с данными осно-
основанием а и углом при вершине А,
1626. Данный треугольник разделить на две равновеликие части
прямою наименьшей длины.
1627. Доказать, что в треугольнике радиус вписанного круга не
больше, чем половина радиуса описанного круга.
1628. В данный треугольник вписать треугольник с наименьшим
периметром.
1629. В данный квадрат вписать четырёхугольник с наименьшим
периметром.
1630. Внутри четырёхугольника найти точку, сумма квадратов
расстояний которой до вершин была бы наименьшей.
1631. Внутри четырёхугольника найти точку, сумма расстояний
которой до вершин была бы наименьшая.
1632. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой до дан-
данных точек была бы наименьшей.
1633. Найти наибольшую площадь четырёхугольника с данными
сторонами а, Ь, с, </.
124

1634. Найти многоугольник с наибольшей площадью и с данными
сторонами а, Ь, с /.
1635. Найти наибольшую площадь многоугольника с я сторонами,
вписанного в круг радиуса а.
1636. Найти наименьшую площадь многоугольника с я сторонами,
описанного около круга радиуса а.
1637. В данный круг вписать треугольник, сумма квадратов сто-
сторон которого была бы наибольшей.
1638. В данный круг вписать наибольший по площади четырёх-
четырёхугольник с данным углом а.
1639. На плоскости треугольника найти точку, сумма квадра-
квадратов расстояний которой до сторон треугольника была бы наи-
наименьшей.
1640. Из всех плоскостей, проходящих через данную точку, найти
наиболее удалённую от начала координат.
1641. На эллипсоиде-^j--f-^ ~Ь "Т =3 1 найти точку, наиболее
удалённую от начала координат.
1642. Найти наибольший объём параллелепипеда при данной сумме
его рёбер 12а.
1643. Найти наибольший объём прямоугольного параллелепипеда
с данной полной поверхностью 6а2.
1644. Около прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2а, 26
и 2с описать наименьший по объёму эллипсоид.
1645. Через точку (а, Ь, с) провести плоскость, образующую
с плоскостями координат тетраэдр наименьшего объёма.
1646. Определить размеры прямоугольного открытого сверху
ящика так, чтобы при данных объёме v и телщине стенок А на них
пошло наименьшее количество материала.
1647. Определить размеры цилиндрического сосуда с данной по-
поверхностью н наибольшим объёмом.
1648. В данный конус вписаяъ прямоугольный параллелепипед
наибольшего объёма.
1649. Из конусов с данной боковой поверхностью 5 какой имеет
наибольший объём?
1650. Найти наибольший по объёму сосуд формы усечённого
конуса с данными основанием и образующей: / = 4г.
1651. На эллипсе даны две точки. Где на том же эллипсе поме-
поместить третью так, чтобы получившийся треугольник имел наибольшую
площадь ?
1652. Найти кратчайшее расстояние точки (/?, 4р) до параболы
г
/
1653. В заданный равнобедренный треугольник вписать парабо-
параболический сегмент с общей осью и наибольшей площадью. Площадь
2
сегмента параболы равна произведению -г основания на высоту.
о
1654. В данный эллипс вписать равнобедренный треугольник наи-
наибольшей площади с основанием, параллельным оси.
125

1655. На эллипсе найти точку, наиболее близкую к данной точке
большой оси (т, 0).
1656. Около эллипса описать треугольник наименьшей площади
с основанием, параллельным оси.
1657. Найти нормаль эллипса, наиболее удалённую от центра.
1658. Найти нормаль к эллипсу с полуосями а и Ь, отрезок
которой внутри эллипса имел бы наименьшую длину.
1659. Провести к эллипсу касательную, отрезок которой между
осями имеет наименьшую длину.
1660. Найти площадь 5 эллипса, полученного при сечении эллип-
эллипсоида -^? + "р" +-рг = 1 плоскостью 1х -(- ту -f- nz = 0.
Х2 уЗ г2
1661. Провести к эллипсоиду — -{--^ И—т = * касательную пло-
плоскость с наименьшей суммой отрезков на осях.
1662. Доказать, что из хорд, параллельных оси Oz и заключён-
заключённых между плоскостью г== ах-\- by -j-c и эллиптическим парабо-
параболоидом z =¦ Ах2 -f- Вху -\- Су- -\- Dx -\- Ex -\- F, наибольшая проходит
через центр плоского сечения.
1663. В сегмент эллиптического параболоида г = —f-r^i выре-
вырезанный плоскостью z = А, вписать прямоугольный параллелепипед
с наибольшим объёмом.
х- у2 z*
1664. К эллипсоиду ~ -f- ~ ~\—г = 1 провести касательную
плоскость так, чтобы центр тяжестд» треугольника, выделяемого на этой
плоскости плоскостями координат, был наименее удалён от начала.
J?2 V- Z^
1665. К эллипсоиду —у —f— ^г—i—?==^ провести касательную
плоскость, образующую с его плоскостями симметрии тетраэдр наи-
наименьшего объёма.

ОТДЕЛ V
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕН-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Уравнения кривых и их виды
1666. На-горизонтальную ось насажен плоский диск-эксцентрик.
Какую форму он должен иметь, чтобы упирающийся в него верти-
вертикальный стержень совершал гармоническое колебательное движение
при равномерном вращении оси?
1667. Тот же вопрос, но вертикальный стержень должен совер-
совершать равномерное движение вверх и вниз. (Так устроено движение
трубки у некоторых микроскопов.)
1668. Косо срезанный цилиндр покрыт красящим веществом и
катится по плоскости. Какой кривой ограничена окрашивающая часть
плоскости?
1669. Доказать, что кривые г=е°^ и г = сеа<? геометрически по-
подобны — одна переходит в другую при увеличении масштаба рисунка.
В то же время они равны, переходя друг в друга при повороте на
некоторый угол.
1670. Доказать, что площади, заключённые между осью л; и кри-
кривыми у = ьх и у = аех, при передвижении одной из этих кривых
вдоль оси х остаются равными друг другу.
1671. Прямая данной длины / скользит концами А и В по осям
Ох и Оу. Из вершины С прямоугольника ОАСВ на прямую опус-
опускается перпендикуляр. Найти геометрическое место основания этого
перпендикуляра.
1672. Тот же вопрос для конца перпендикуляра, опущенного из
начала координат. (Четырёхлепестник.)
1673. Дан отрезок 00^ = а. На произвольный луч, проходящий
через точку О, опущен из точки Oj перпендикуляр О^М, а из осно-
основания этого перпендикуляра Мх опущен перпендикуляр М%М на луч,
симметричный с первым относительно линии ОО1. Найти геометри-
геометрическое место оснований второго перпендикуляра М.
1674. Из точки МA,у) окружности х*-\-у2 = а2 проводится пря-
прямая у = т) до пересечения с осью ординат в точке ЛГ. Из точки (а, 0)
проводится прямая в точку N. Найти геометрическое место точки её
пересечения с ординатой точки М.
1675. Прямой угол вращается около вершины А (а, 0). Из начала
координат через точку пересечения одной из сторон угла с окруж-
127

ностыо jca-f-.ya = /'a проводится прямая до пересечения с другой сто*
роной угла. Найти геометрическое место точки пересечения.
1676. Прямоугольный треугольник имеет катеты а и 2а. Гипоте-
Гипотенуза скользит одним концом по оси Ох, а другим — по окруж-
окружности х% -|-.у9 = «8. Найти геометрическое место вершины пря-
прямого угла.
1677. Найти геометрическое место точек касания прямых яз начала
координат, касательных к окружностям с радиусом а и с центром
на оси Ох.
1678. Две равные параболы вращаются около своих вершин так,
что четыре точки их пересечения всегда лежат на окружности. Найти
геометрическое место центра окружности.
1679. Найти геометрическое место вершины равнобочной гипер-
гиперболы с данным центром, проходящей через данную точку.
1680. Тот же вопрос для фокуса гиперболы.
1681. Гипербола с полуосью а проходит через данные две
точки с расстоянием 2с. Найти геометрическое место центра гипер-
гиперболы, если она равнобочная.
1682. Найти геометрическое место., середин отрезков нормалей
к эллипсу ~л~\-~[5— 1> заключённых внутри эллипса.
1683. Два стержня длиной ]/2 вращаются вокруг своих концов,
закреплённых в точках A, 0) и (— 1, 0). Другие, концы их соединены
шарннрио стержнем длиной 2. Определить, какую кривую описывает
середина соединительного стержня.
1684. Инверсор Поселлье-Липкина состоит из ромба ABCD со
стороной, равной а. Точки А и С соединены с неподвижной точ-
точкой О прямыми О А и ОС длиной Ь, где &>а.
Стороны ромба и отрезки ОА и ОС— стержни, соединённые
шарнирами. Доказать, что точки О, В и D лежат на одп<}и прямой
и притом OB-OD*=b2 — а2, так что движение вершины ромба по
данной криво"й позволяет выполнить инверсию.
1685. Доказать, что при движении точки В в инверсоре Поселлье-
Липкина по окружности, проходящей через точку О, точка D
описывает прямую.
Какие линии изображаются параметрическими уравнениями:
1686. х = Р—*+1 fl + +
1687. х = Р —
1688. * = asi _
1689. x^^asi^t, .у = я cos*/.
1690. На кривой х = Р — 2/-f-3, y = P-{-2t — l найти самую
левую и самую низкую точки.
1691. Воспользовавшись тождеством cosa/-(- sin3/ = 1, предста-
х2 у2
вить уравнение эллипса —j--j-^|-=»l в параметрической форме.
1692. Воспользовавшись тождеством е~*-е*=\, представить
уравнение гиперболы -^ — г?Г==1 в параметрической форме
128

1693. Представить уравнение окружности ха -\- у4 — а9 в пара-
параметрической форме, приняв за параметр угловой коэффициент хорды
окружности, проходящей через точку (—а, 0).
1694. Доказать, что координаты точек кривой 2-го порядка можно
рационально выразить через угловой коэффициент переменной хорды
кривой, проходящей через какую-нибудь выбранную точку кривой.
1695. Кривая /(х,у) = 0, координаты точек которой можно
рационально выразить через параметр, называется уникурсальной.
Доказать, что кривые r=/(cos<p, sin»), где/—рациональная функ-
функция, уникурсальны.
1696. Доказать, что циссоида у* = ¦=——— уникурсальна, выразив
координаты её точек через угловой коэффициент хорды, соединяю-
соединяющей начало с данной точкой кривой
1697. Решая совместно уравнение декартова листа хъ-\-уъ = Ьаху
и уравнение вспомогательной прямой y = tx, получить параметриче-
параметрические уравнения декартова листа:
За/ За/2
1698. Доказать, что три точки декартова листа, соответствующие
значениям параметра tu t% и f3, лежат на одной прямой тогда и
только тогда, когда /j^8 = — 1. Точки различные.
1699. Доказать, что координаты точек кардиоиды r — a{\ -\- cos?)
могут быть выражены через некоторый параметр t формулами:-
_ Ча A — Р) _ Aat
Х— A + /2J ' У — A-f Г')''
1700. При каком условии три точки кардиоиды, соответствующие
значениям параметра tu tit tz (см. предыдущую задачу), лежат на
одной прямой?
1701. Доказать, что координаты точек строфоиды Bа — х)_уа =
с=х(х—а)а можно выразить рационально через некоторый пара-
параметр t по формулам:
2а/2
Х
1702. При каком условии точки строфоиды, соответствующие зна-
значениям tv tit t3 параметра (см. предыдущую задачу), лежат на одной
прямой?
1703. При каких значениях tu t%, ts, tt соответствующие точки
строфоиды (см. задачу 1701) лежат на одной окружности?
1704. Доказать, что четыре точки циссоиды х = ^-т, у =,,/.,.,
соответствующие значениям параметра tv /a, tt и tv лежат на одной
окружности при условии *i ~\- /3 -f- tu -\- ti = 0.
1706. Выразить рационально через вспомогательный параметр ко-
координаты точек лемнискаты (х* -|-.У2-)а ш а2 (^2—У*)-
9 Эа«. Оборвтгк аадич, т. !. 129

1706. Показать, что кривая xv=yx распадается ка биссектрису
первого координатного угла и кривую
где п — переменный параметр.
§ 2. Касательная и нормаль
1707. Показать, что кривые
~
пересекают ось Ох под одинаковыми углами, независимо от вели-
величины а.
1708. Найти угол, под котором кр;:зан
х ¦— ¦¦"¦>v3 :- а.,хл -• ... --- а,х2_
У ~~ r+bx*~btt -г ... -j~ 0ых^
пересекает ось Оу. ^
1709. При каком значеим:! й кривая у = -—j~— "ересенаег ось 0.^
под углом 45°?
1710. Тот же вопрос для кривой у— _и" .;¦
1711. Какая из прямых, идущих из начала координат, пересекает
гиперболу ху = а'2 под прямым углом?
1712. Тот же вопрос для эллипса —т-г4з-=1.
1713. Найти уравнение синусоиды, пересекающей ось Ох в начале
координат под углом 45°, а в точке (а, 0) — под углом 135°.
1714. Доказать, что угол между радиусом-вектором, проведё-нным
из начала координат в точку (г, «р) кривой rn = a" cos яэ, и её каса-
касательной равен яэ-[~у-
1715. Доказать, что кривая r = f°? пересекает все радиусы-век-
радиусы-векторы, идущие из начала, под одинаковым углом.
1716. Доказать, что угол между касательной к спирали Архимеда
г = ао и радиусом-вектором, проведённым к точке касания из начала,
стремится к 90° при »->со.
1717. Найти угол между касательной к кардиоиде r = a A-j-cos'f)
и радиусом-вектором точки касания.
1718. Найти уравнение касательной к кривой у = х \ax-\-1
в точке с ординатой 1.
1719. Найти уравнение касательной к кривой 2xs — х*у% — Ъх-\-
^|7 = 0 в точке A, —2).
1720. Провести нормаль к кривой хй-\-у--\- 2х — 6 = 0 в точке,
где у = 3.
130

1721. Найти нормаль к'локону Марии Лньсзн ,v5_y = a2(a—у),
параллельную прямо?! у = 2х.
1722. НаЯти нормаль к кривой _y = alncos — в точке х — 2ъа.
1723. Найти нормаль к кардиоиде r = a{\ -J- cos о), составляющую
угол 45° с полярной осью.
1724. НаЯти наиболее удалённую от начала координат касатель-
касательную к астроиде x's -\-уя =я3\
1725. Доказать, что касательные к кривым y = af(x), имеющие
общую абсциссу точки касания, пересекаются в одной точке.
1726. Доказать, что в точках с одинаковой абсциссой поднормали
к кривым y—f(x) и y=Yf'2(x)-\-a- одинаковы.
1727. Доказать, что у кривых у = ахп отношение подкасательной
к абсциссе точки касания равно —.
1728. Доказать, что у кривой у = а\п(х2 — а2) сумма длин ка-
касательной и подкасательной пропорциональна величине ху.
1729. Доказать, что длина касательной к трактрисе — —
я_|_ Ya1 — У*'
= 1п——- ^— равна а.
1730. Доказать, что все нормали к кривой
х = a (cos t -j- i sin (), y = a (sin t — t cos t)
одинаково удалены от начала координат.
1731. Доказать, что отрезок нормали к кривой
х = 2а sin t-\- a sin tcosrt, y = —
заключённый между осями координат, равен 2а.
1732. Доказать, что у кривой
х = 2а In sin t — 2а sin21, y = asln2t
отрезок оси Ох между касательной и нормалью равен 2а.
1733. Доказать, что окружность ,*?-}-_у2 == а2 и нормали к эпици^
клоиде
х = а ГA -f к) cos t — \ cos (l -f- у)']'
у = а A -~- л) sin t — Xsir
пересекаются в точке (acosrf, asin^).'
1734. То же для гипоциклоиды
х = аГA— X) cos <-f-X cos Л— у
у = а ГA — X) sia t -f X sin ^1 — -J-) <].
8* 131

1735. У .кривой л;8—уъ?=3х2 найтн касательную, параллельную
прямой у = х.
1736. Доказать, что углы между касательными к кривым г=/(<р)
и г= —-: и радиусами-векторами при одинаковом значении <р в точ-
точках касания составляют в сумме 180°.
1737. Доказать, что касательные к кривым у = '* fo. Т.1^'
при одинаковых абсциссах точки касания пересекаются в одной точке,
положение которой не зависит от к и р.
1738. Каждый радиус-вектор кривой r = asms~ пересекает её
в трбх точках, отличных от полюса. Доказать, что касательные
в этих точках составляют равносторонний треугольник.
1739. В трёх точках Ми Af8, Mz, расположенных на декартовом
листе jc8 —(— _у3 = Ъху на одной прямой, проводятся касательные, пере-
пересекающие эту кривую в точках Ри Ра и Р'а. Доказать, что эти точки
лежат на одной прямой.
1740. Из точки М на строфоиде Bа — х)у* = х(х—л)а прове-
проведены прямые, касающиеся строфоиды в точках Р и Q. Доказать, что
точки М, Р и Q лежат на одной окружности с началом координат.
1741. У лемнискаты (jc2 -^— >»8>8 = a3 (.va—у*) параллельно дан-
данному направлению можно провести две пары касательных. Доказать,
что прямые, соединяющие точки касания каждой пары, составляют
между собой угол 120°.
1742. Найти длину полярной подкасательной и поднормали у спи-
спирали г9 = а2«.
1748. Доказать, что полярные подкасательные у кривых г=/(э)
ат(а)
и т = —•_ у' г в точках, расположенных на одном радиусе-векторе,
равны.
1744. Доказать, что у кривых г =/(<р) и r = a~j-f(<o) в точках,
лежащих на одном радиусе-векторе, полярные поднормали равны.
1745. Найти круг радиуса а, касательный к декартову листу
х3 -{-у5 — Ъаху = 0 в точке, где д; = ~.
1746. Провести круг радиуса За, нормальный к циссоиде
х (х* 4-.р2) — 2ауг'= 0 в точке, те л; в а.
1747. Найти круг, проходящий через полюс и касательный к спи-
спирали Архимеда г = агл при <р = ~ •
Показать, что следующие пары линий пересекаются под прямым
углом.

1752. + У ,
1753. г=ае?, r = be~'t.
1754. ra = a2 cos 2?, r = 62 sin 2<?.
1755. r2 = In tg <p, r2 cos 2» +1 = 0.
1756. Доказать, что кривые
r2 cos 2? = а9, г2 cos B? -j- а) = ft2
пересекаются под углом а.
1757. Доказать, что кривая
~z)
пересекает прямую у = х пол прямым углом.
1758. Доказать, что окружности
пересекаются под прямым углом при соблюдении условия
1759. Географическая широта есть угел между нормалью к поверх-
поверхности Земли в данном месте и плоскостью экватора. Геоцентриче-
Геоцентрическая широта — угол между той же плоскостью и радиусом-вектором
из центра Земли в данную точку. Определить наибольшую разность
этих широт, считая меридиан Земли эллипсом, у которого а=6 400 км,
а — 6 = 21 км.
1760. Кривая f(x,y) =0 называется алгебраической, tcanf(x,y)~
полином относительно хну. Вводя степени вспомогательного пере-
переменного г, можно сделать этот полином однородным. Пусть
/(х,у,г) = 0 — получившееся уравнение. Доказать, что уравнение
касательной к кривой можно написать в таком виде:
где {х, у) — точка касания, (X, Y) — точка на касательной, а вели-
величины г и Z после нахождения производных заменяются единицей.
Подэрой кривой относительно данной точки называется геометри-
геометрическое место перпендикуляров, опущенных из данной точки на каса-
касательные к данной кривой. Найти подэры следующих кривых.
* v1
х* v
1761. Эллипса —т + -4г = 1 относительно центра.
1762. Параболы _у2 = 2рх относительно вершины.
1763. Параболы уа = 2рх относительно фокуса.
1764. Гиперболы х2—_у2 = а2 относительно начала координат.
1765. (•?•)"—(з)П=1 относительно @,0).
1766. г = е°т относительно полюса.
133

1767. rn = ancos n-s относительно полюса.
1768. Эвольвенты круга:
* = a (cos/-{-/sin/), y = a(s'mt— /cos/)
относительно начала координат.
1769. Доказать, что точки касания касательных, проведённых из
данной точки к логарифмической спирали г = ает?, лежат на окруж-
окружности, проходящей через полюс и данную точку.
1770. Из начала координат проведён луч, пересекающий стро-
строфоиду _у2 Bа— х) = х(х— яJ в точках М и Л?,.Найти геометрическое
.место точек пересечения касательных к строфоиде в точках М и Afj.
1771. Из данной точки М к кардиоиде г = a(l -j-cos<p) можно
провести три касательные. Каково геометрическое место точек М,
для которых три точки касания лежат на одной прямой?
1772. Каково геометрическое место концоз полярной подкасатель-
lioli у гиперболической спирали гэ — а?
Найти геометрическое место вершин прямого угла, стороны кото-
которого касаются следующих кривых:
1773. Гиперболы b-x1 — cf-f = аЧ*.
1774. Астроиды х = a cosb /, у — a sin3 /.
1775. Параболы Нейля 4у3='27яд;2.
1776. Циклоиды x = a(t — sin t), у = а(\—cos/).
1777. Каково геометрическое место вершин угла данной величины,
стороны которого касаются циклоиды?
1778. Из точки М кривой _у2 = се а -\- 4я (х 4- а) проводится
нормаль NIP до пересечения с осью Ох в тачке Р. Доказать, что
середина МР лежит на параболе у'2 = ах.
1779. Каково геометрическое место точек, из которых можно
провести к параболе две взаимно перпендикулярные нормали? .
1780. При преобразовании обратными радиусами-векторами, или
инверсии, точка с полярными координатами г и о переходит в точку
а*
с полярными координатами — и <э, где a — постоянная. Доказать,
что инверсия есть конформное отображение, т. е. что изображения
кривых пересекаются под теми же углами, что и сами кривые.
1781. Парабола j/ = — ах% каштся без скольжения по параболе
у s ах*. Найти геометрическое место её вершины, в предположении,
что в начальный момент вершины совпадали.
1782. Доказать, что при том же движении параболы её фокус
описывает прямую, а именно, директрису неподвижной параболы.
1783. По эллипсу Ъ%х^ -j- a?y2 = д2й2 катится без скольжения
другой такой же эллипс. В начальном положении их большие оси
соприкасались концами. Найти геометрическое место центра катяще-
катящегося эллипса.
Замечание. При решении последних двух задач полезно обра-
обратить внимание на расположение подвижной и неподвижной фигур
относительно их общей касательной.
134

§ 3. Выпуклость, кривизна и радиус кривизны
1784. При каких значениях х кривая у = х3 -J- ах -(- Ь обращена
выпуклостью вверх?
17S5. Определить направление выпуклости кривой х(х°—У2)~\-
Л-_у2=0 в точках, где х = —.
1786. Исследовать характер вогнутости кривой х*=у(х7—у2)
в точках, где _у<0.
1787. Исследовать характер выпуклости кривой гсо&<э=\ при
178S. Показать, что кривая х* -J- у1 = х- -J- _v2 в точках перес;-
чения с осями обращена к началу координат нмпуклой стороной,
а в точках пересечения с биссектрисами углов — вогнутой.
1789. Показать, что кривая х = «(/), y — <b(t) обращена к началу
координат вогнутой стороной, если
— Х'У) > О-
1790. Исходя из определения кривизны, наПтн длину дуги з 1"
земного меридиана у полюса п экпатора. Меридиан можно считать
эллипсом с полуосями а = 6 400 км и Ь = а — 21 км (полярная
полуось).
1791. Найти радиус кривизны кривой 3<н'- = 2л:3.
1792. Найти наименьший радиус кривизны у параболы у^=^2рх.
Найти радиусы кривизны у следующих линий:
1793. у = х3 в точке A, 1).
1794. х = Р, _y=i3 в точке A, !).
17S5. у = а ch— (цепная линия) в точке @, а).
1798. _y = alncos ~.
1797. x = a(cost-j~tsint), y = a{smt — *cosO-
1798. x = a(t — sin 0, y — a(l — cost).
1799. /• = a(l-(-cos<?). . 1800. /-2 = a2cos 2v, при '? = 0.
Найти наибольшую кривизну у кривых:
1801. у = \пх. 1802. х = a cos/, y= Ь sin f (эллипс).
1803. у = a In (l--^-). 1804. > = ech-J
1805. Если на нормали от точки кривой отложить в сторону во-
вогнутости кривой величину радиуса кривизны, то найдём центр кри-
кривизны. Доказать, что его координаты для кривой x = <s(t), y =
выражаются формулами:
У(^+Я) у „._
ху"—х"у"-
Найти координаты центра кривизны у кривых:
1808. Гипербола ху=^~а* в точке («, а).
135

1807. Строфоиды у* =,х*-а^.
1808. у = х\пх в той точке, где у'—0.
1809. r = a(l -f-cos'f). 1810. r — acosso.
1811. Доказать, что для точек спирали Архимеда /- = 0? при
«р -> оо величина разности между радиусом-вектором и радиусом
кривизны стремится к нулю.
1812. Доказать, что при тех же условиях центр кривизны пере-
перемещается по кривой, стремящейся к совпадению с окружностью /• = 1.
1813. Доказать, что у кривых rn = an cos no полярная нормаль
в n-f 1 раз больше радиуса кривизны.
1814. Доказать, что у кривых rn = ansinnv часть радиуса-век-
1г
тора, заключённая внутри круга кривизны, равна —-ц-у.
1815. Доказать равенство # = -;—, где Я — радиус кривизны,
г — радиус-вектор, р — перпендикуляр из полюса на касательную.
1816. Доказать, что на эллипсе существуют, вообще говоря, три
таких точки, что круги кривизны к эллипсу в этих точках проходят
через данную точку эллипса.
1817. Доказать, что центры кривизны в точках спирали Архимеда
г = а<р, лежащих на одном луче, расположены на эллипсе, размеры
которого не зависят от выбора луча.
1818. Координаты точек кривой можно выразить через длину
дуги кривой: x = x(s), y=sy(s). Обозначая через As малое прира-
приращение s, а через At— соответствующую хорду, доказать равенство:
где R — радиус кривизны кривой.
1819. Точка касания принята за начало, касательная — за ось Ох,
а ось Оу направлена от точки касания к центру кривизны. Доказать,
что в окрестности точки касания, т. е. при малых значениях х,
справедливы формулы:
+ах3+ >'5 + +
где R — радиус кривизны в точке @, 0), у1 — ордината гочек кри-
кривой, _у2—'Ордината точек круга кривизны.
1820. Найти параболу, соединяющую начало координат О с точ-
точкой В(а-\-Ь, 0), так, чтобы дуга параболы 03 вместе с нижней
половиной окружности (л; — а)8 -}-.у2 = Ь* образовала плавную кри-
кривую с непрерывной кривизной.
1821. Такой же вопрос, но нижняя полуокружность заменена ду-
дугой параболы, соединяющей точку А (а — Ь, 0) с точкой В, где она
имеет касательную xs=*a-\-b и кривую, равную единице.
1822. Найти параболу у = ах2 -\- Ьх -f с, имеющую с синусоидой
у«sin х в точке bp 1J общие касательную и кривизну.
136

1823. Найти параболу 5-го порядка
у = Ах6 + fix* -j- Cx3 + Dx* + Ex
которая бы в точках (а, А), (—а, —К) касалась прямых у = h и
у = — А, имея касание второго порядка. .
1824. Доказать, что окружность (х— За)а-|-(у — За)8 = 8а2 и
парабола Yx 4" V У — 2 У~<* имеют в точке (а, а) соприкосновение
3-го порядка.
1825. Доказать, что соприкасающийся круг (круг кривизны) к кри-
кривой 2-го порядка в вершине кривой имеет соприкосновение 3-го по-
порядка.
J826. Домазать, что для каждой точки, где кривая достаточно
гладка, существует кривая 2-го порядка, имеющая с данной кривой
в данной течке соприкосновение 4-го порядка.
1827. Деказать. что у циклоиды кривая 2-го порядка с сопри-
соприкосновением 4-го порядка — всегда эллипс.
1828. Доказать, что у логарифмической спирали кривые 2-го по-
порядка, имеющие с ней соприкосновение 4-го порядка, — эллипсы,
большие оси которых образуют постоянный угол с радиусом-векто-
радиусом-вектором точки касания.
1829. Найти геометрическое место фокусов парабол, имеющих
в данной точке соприкосновение 2-го порядка с данной кривой.
1830. Найти геометрическое место середин хорд, общих эллипсу
х2 v2
-2-{-Т2=1 и ег0 соприкасающемуся кругу. ;¦
1831. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров,
опущенных из центра эллипса —-+-45 = 1 на хорды, общие эллипсу
и его соприкасающемуся кругу.
§ 4. Эволюты кривых
Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой
данной кривой. Уравневие эволюты для кривой x = y(t), _y = i(/) полу-
получается исключением параметра / из уравнений
х х'у" — х"у" ' у~~ х'у"—х"у"
Найти эволюты следующих кривых:
1832. Параболы у^ = 2рх.
1833. Эллипса x = acos^, y = bsmt.
1834. Гиперболы x = achtt y = bsht.
1835. Астроиды x — acos^t, _y = a
1836. Циссоиды у9 Ba — дг) = xs.
1837. Гиперболы ху = аа.
1838. Цепной линии y = «ch—.
' а
1839. Циклоиды x = a{t—sin*), у = а{\ — cos*)-
137

1840. Кардиоиды /•=-- а A -j-cos-j). 1S41. Синусоиды у = a sin ~.
1842. Гипоциклоиды .v= а B cos t-\- cos 21), y=a B sin if— sin 2t).
1843. Трактрисы x=> — a Tin \gL _j_ СО5Л j _y = asin/.
1844. Кривой _y = alncos—.
1845. Эвольвенты круга x = a (cos/--f-/sin 1), y=a (s\n t — t cost).
1846. Логарифмической спирали г— eaf.
1847. Доказать равенство
где (х, у) — течка кривой, а (;, т,) — соответстзующая точка эволюты.
Пользуясь свойствами эволюты, найти длины дуг следующих
кривых:
1848. Одной дуги циклоиды x = a{t — sin/), у — а (\—cost).
JL г .1
1849. Астроиды х3 -\-у3 =сч между точками (а, 0) и @, а).
IScO. Кардмонды г = а ; 1 -f- cos э).
1851. Параболы Нейля v2 —.v3 от @, 0) до D, 8).
1352. Эволюты параболы у2 =-- 2рх от острия до точки пересече-
пересечения эволюты с параболой.
1S53. Логарифмической спирали г=еа* при '-Ро<<?<?о~г2-.
Замечание. Все перечисленные кривые — эволюты других кривых,
которые легко найти, пользуясь решениями задач, помещённых в первой
части параграфа."
§ 5. Огибающие кривые
Уразненне /(х, у, а) = 0 при различных значениях а изображает семей-
семейство кривых. Иногда существует огибающая этого семейства, т. е. крипзя,
касающаяся с кривыми этого семейства. Координаты точки касания кривой
семейства и огибающей удовлетворяют уравнениям:
Дх,у,а)шш0, ~=0. (*)
Исключая из них параметр л, получаем геометрическое уесто точек каса-
касания, т. е. огибающую. Однако тем же уравнениям tj удовлетворяют и точки
геометрического места особых точек кривых семейства, т. е. точек кривых,
Дпа примера характерны:
1) Сзмейство парабол Нейлл:
(у — af = .v3
Уравнения (*) принимают вид;
у — а = 0, (у — а)'! = Xs.
Из них, исключая в, получаем * = 0. Легко видеть, что это уравнение даёт
геометрическое место особых точек кривых.
2) Семейс:во листов Декарта:
х3 + (у — вI — Зх (у — в) = 0.
133

Уравнения (•) принимают вид:
Исключая_я, прпхсднм к уравнению: xi = Ах. Оно распадается на два: х = О
и х = У*4. Первое из них даёт геометрическое место особых точек, а вто-
второе — огибающую.
Не всякое семейство лннчй имеет огибающую: примером может служить
семейство концентрических кругов. Может оказаться также, что честь кри-
кривых f(x, у, а) = 0 касается общей огибающей, а другая часть кривых того
же семейства не касается её и не имеет вообще огибающей.
В следующих задачах найти огибающую заданного семейства
линий.
1854. (х — aJ4-v2=l. 1855. (x — af-'-f = ~.
Ш6. —-{--¦— =1 при а24-&2=1
а- ' Ь- ' '
1857. ).х- + W2 = 1 при ). -f- H- = Ь.
1855. &?л:2 -|- а~у- = а2^2 при a-l-^1^1^
1859. Прямых, отсекающих от данного угла, величиной о, тре-
треугольник с площадью 2;;:-.
18С0. bx -\-ay — ab при а-~-Ь = с.
1S61. ол-j-а_у = ai при я2-4-63 = с2.
1862. Вершина угла данной величины а сксльзиг по осп Ох,
а одна из сторон проходит через точку (О, Л). H;i;itii огибающую
другой стороны.
1863. Квадрат со стороной а движется так, что дзе стороны его
АВ и ВС проходят через точки (zizb, 0). Найти огибающую длг.го-
нали АС.
1864. Прямая равномерно вращается вокруг точки, движущейся
с данной скоростью по данной прямой. Найти огибающую подвиж-
подвижной прямой.
1885. Круг катится без скольжения по данной прямой. Найти
огибающую его диаметра.
1866. На хордах окружности х2 -\-у2 = а1, параллельных оси Оу,
строятся, как на диаметрах, окружности. Найти их огпбаюшую.
1867. Найти огибающую окружностей, имеющих центр па пара-
параболе и проходящих через её вершину.
1868. Найти огибающую окружностей, построенных, к:к на диа-
диаметрах, на хордах параболы, проходящих через фокус.
1869. Найти огибаюшую системы окружностей, имеющих центры
на данном эллипсе и проходящих через центр эллипса.
1870. Найти огибающую окружностей с центрами на гиперболе
ху = я'2, касающихся оси Ох.
1871. На радиусах-векторах привой, как на диаметрах, строятся
окружности. Доказать, что огибающая этих окружностей есть подэра
кривой относительно гкшеса*).
*) Определение подэры см. яа стр. 133.
139

1872. Круг л:2-(-_уа = г2 есть огибающая семейства —-[-^-=1.
Какова зависимость между а и Ы
1873. Переменные г и t связаны уравнением f—1"-(-| —j= 1.
Найти огибающую кривых (-—) -f- (-у) — 1.
1874. Светящаяся точка имеет координаты (а, 0). Найти оги-
огибающую лучей, отражённых от окружности, дг2 -f-у2 = а2. (Кау-
(Каустика.)
1875. Параллельные лучи падают на сферическое зеркало. Найти
огибающую отражённых лучей.
1876. Светящаяся точка имеет координаты (а, 0). Найти огибаю-
огибающую лучей, отражённых от параболы у2 = 2рх.
§ 6. Построение кривых
Найти вершины, т. е. точки, где касательная параллельна одной
из осей координат и где при этом нет точки перегиба, у следую-
следующих кривых:
1877. *
1878.
1879. (
1880. *4-f4-v\y2 — 6а3дг2-j-а< = 0.
1881.'^== sin —.
1882. _у= sin лг3.
1883. Найти расстояние по горизонтали между последовательными
вершинами кривой у = е-** cos bx.
Найти точки перегиба следующих кривых:
1884. y = xi — 6*a.
1885. ^4-/ = а3- 1886- *8 + У = ^
1887. (а2 + х2)у — ах*. 1888. у ==. 1 -f-ух5.
1889. _у = *1е-3! 1890. у = ех
1891. _у = д;а1пдг. 1892. _y = tg.x.
1893. _y = sin4Ar-(- cos4 л. 1894. г cos3 ср = I.
1895. r = a(tg<p — 1).
При исследовании- формы кривой вблизи данной её точки (а, Ь) полезно
разложение в ряд Тейлора. Если f(x, у) = 0 — уравнение кривой, то, разла-
разлагая левую часть по степеням разностей х — а=.%,у — b = <ц, в силу равен-
ст1а / (а, Ь) = 0, получаем:
140

Здесь для краткости через р, а, г, s и I обозначены соответ-
df д/ d*-f d-f &f
ствспно значения производных-г-, -г—, 'g~i< дТ~л~и ]ГТпРпх = а>
Если />- + <7">01 то при малых значениях |?| и |i)| кривая близка к яря-
мой pi-tq-ri =0, т. е. к прямой р (х—o)-\-q{y — Ь) = 0. Эта прямая — каса-
касательная к кривой в точке {а, Ь). Если же р = 0 и q = 0, т. е. если в данной
точке обе производные -г— и -~ обращаются в нуль, то уравнение {•)
переходит в такое:
Сочка (а, Ь) является особой точкой кривой.
Если при этом J5 — rt > 0, то точка {а, Ь) — двойная, В ней пересе-
пересекаются две ветви кривой. Угловые коэффициенты касательных к этим ветвям
равны корням квадратного уравнения ra1''-f-2si-j-1 = 0.
Если 5s — rt < 0, то точка (в, b) — изолированная: в достаточной близо-
близости от неё на кривой точек нет. Если 5 — /? = 0, то для полного изучения
характера особой точки нужно принимать во внимание дальнейшие члены
разложения ряда Тэйлора. Обычно при этом (а, о) есть точка возврата
кривой.
Исследовать особые точки следующих алгебраические кривыхе
1896. у2 = х3. 1897. у2 = Ьхъ -f ax*.
1898. у3 = ах*- + bx*. 1899. х3 + у* — ху = 0.
1900. х* — 2ах"'у -f 2ay* -f й*/ = 0; а ф 0.
1901. л:6 — 2а*х*у — Ъ гуъ = 0.
1902. 2у3х—у1 = х(у — х)*. 1903. xi-\-yi — x2-\-y*.
1904. При каком соотношении между а и Ь кривая у* = хъ-\-
-\- ах -\- Ь ил1еет двойную точку?
1905. Доказать, что при 4а3-|-27йа<0 кривая _у9 = хъ-\- ах-f Ь
состоит из двух отдельных частей, а при Ааг~\- 27&'->0 является
сплошной линией.
При нзучепии трансцендентных кривых формула Тэйлора не всегда
применима. Поэтому трансцендентные кривые имеют особые точки и таких
видов, каких яе имеется у алгебраических кривых. Таковы, например, точки
прекращения и угловые точки.
Исследовать особые точки следующих трансцендентных кривых:
1906. у = хх. 1907. у = х 1 п х.
1908. ylnx=l.
1
1+е»
1912. у = arctg —.
1914. ^ = sini.
1909. j
1911. у
1913. j
1915. >
1917. л
t = ex .
X
1+е*
, = х arctg
' х sin ~х
1
X
•
1916. ,у = .
141

При отыскании асимптот кривых следует различать два случая—асим-
случая—асимптоты, параллельные оси Оу, и асимптоты, не параллельные ей. Первые
иуеют уравнения х = .v0, где х0 — то значение х, при котором у =f(x)
обращается в оо. Прямая у = ах + Ь, не параллельная оси Оу, будет асимп-
асимптотой кривой в том случае, если при х -> оо для точек кривой имеет
место [.авенство
у = ах -f- Ь -{- е (х), где е (х) -> 0 при * -> оо.
Отсюда следует, что а = lira -=—, 6 = !im(y—ах).
НаПти асимптоты следующих кривых:
1919. v = -_L—.
1Q9Q » = -+- л/ х~~ '.¦ 1921. у = х4-—-
1922. ^=I+_Lr + _L7, 1923. y = ^f.
1924. У - 4^Г • ! 925- v3 — ^ = х'2 "Г У-
1926. л-3 —Vs = а3. ¦ 1927. х3 + у* = Заху.
1Э28. л3 -f- ,v3 — 2у — х = 0. 192Э. го —а.
Изучить форму следующих кривых, предварительно решив урав-
уравнение кривой относительно одной из координат:
1930. у2 = х5{2— х). 1931. х*-\-у* = аК
1932. х2т1-~-у-" = а-п, п — целое положительное и большое.
1933. х* — 4х*у3 — вхл — 4у* = 0.
1934. х4— бл^-г 25/— 16л:2 = 0.
1935. У — л:4-г*6 = 0.
1936. л-4 -+- х°-у- — 1 &xQy -f 9,v2 = 0.
1937. xi-\-yi — 3xs —4x^ = 0. 1938. У — 2xf — За:2 + а:4 = 0.
1939. л:4 -j-У — 6У -f ^лг2^ = 0.
1940. л4-|-У — 8-«2— ЮУ + 16 = 0.
Изучить форму следующих замкнутых кривых, перейдя к поляр-
полярным координатам:
1941. л:4-|-У
1942. (л24-У
1943. (х24-У —4л)8= 16(ха4-У)- (Улитка Паскаля.)
1944. х4-fy = 8хуа. 1945. д:44-У = х24-У-
1946. (д:24-^2K = 27д:2у. 1947. {х^-\-уУ = ху.
При исследовании кривых с ветвями, уходящими в бесконечность, важно
выяснить, имеются ли асимптоты и каково расположение далёких частей
кривой относительно асимптот. Следующие примеры указывают наиболее
удобные пути исследования.
.1. Кривая **—2х3у + х*у* =у.
142

Деля на х- и извлекая корень, получзем: х—у = ±
Если кривая имеет асимптоту _у = алг-j- р, ю при .v-> ее величина отношения
v VT"
г—> а. Поэтому слагаемое —f- представляет величину меньшего порядка,
чем х. Слсдоеателфо, у^ах. Вцося это первое приближеннее правую
Yx~ ' 1
часть равенства для у, получаем: у=х± ——--\-х±—= .Это— второе
х у*
up (/"лижеиие для у при больши: значениях \х\. Оно показывает, что кривая
ьмеет ai:ii.vnTory у = х. При этом она привлекается к ней только при
у ->¦ -J- со двумя ветвями — сверху и снизу.
У той же кривой есть и другая асимптота. Разделив уравнение кривой
¦+: y~v
на-(д-—уI и извлекши корень, находим: х = —. Если* оставлять
i i Y~V 1
ограниченным, то отсюда при \у\ -*¦ со следует, что х ^а а: - —
Это показывает, что у кривей есть асимптота х = 0. Гри этом кривая
приближается к ней в сторону её верхней половины, при .у-* + со. Прибли-
Приближение выполняется двумя ветвями—справа и слева.
?. КрнЕая л3 -{-у3 = хп-гу*-.
Совокупность слагаемых высшей степени хя-\-уа имеет лишенный
множитель х-\-у. Это даёт одну асимптоту. Деля на .г*— ху -гу"; находим:
х-\-у=—s—"^ -^ 2 или у = — х -4—s— -jj—. В г.разон части второг
слагаемое можем отбросить, как величину низшего порядка. Таким образом,
получзем первое приближение для у при х^-со-.улз — х. Подставляя его
в правую часть формулы для у, получаем:
~ _ 4- - —^~ ~ — — — -А-2
Это—второе приближение для у. Подставляя его в празую часть формулы
для у, получаем:
«... ,4,4
( з) ,
"-* (-* +т) + (-* +1)
2
Т
Это — третье приближение для у. Оно показывает, что кривая имеет аснмп-
2
тоту у = —х-\--=-. При этом оиа приближается к ней в обе стороны: при
о
+ оо и при лг->—оо, оставаясь выше, чем асимптота.
Изложенные приёмы дают простой~способ исследования асимптот алгеб-
алгебраических кривых. Каждая из них получается выделением линейного мно-
множителя, в совикупности членов уравнения, имеющих высшую степень
относительно х и у одновременно.
Более трудно исследование параболических ветвей кривой, по которым
кривая уходит в бесконечность, не приближаясь к какой-нибудь прямой.
143

Наиболее полный способ исследования основан на разложении у в ряд по
убывающим целым пли дребным степеням х.
Способ получения такого разложения принадлежит Ньютону, г полное
доказательство сходимости этого разложения при достаточно больших
значениях | х | было дано лишь в середине XIX в. французским учёным
Пюнзё. Этот способ даёт заодно и исследование ассимптот, если они
существуют. Мы рассмотрим его в применения к кривой
х* + хву=ув-\-ху.
Если заменить здесь у на л«, четыре члена уравнения обратятся в степени
х с показателями
4, 3 + о, 3s, 1 + »• (*)
Приравнивая эти показатели попарно друг другу, найдём такие значения о:
1, -=-, 3, гг. 4) • При этих значениях о числа (*) дадут такие четвёрки чисел:
3 2. ?.
о
1
4
3
3
3
2
1
'?
4
4
4
4
4
4
3 + 9
4
13
3
6
9
2
7
2
Зз
1
3
4
9
9
2
3
2
1+0
2
7
3
4
5
3
2
В каждой строчке этой таблицы доляшы находиться по край-ней мере
ава равных числа. Выбираем те строчки, где эти равные числа больше
остальных чисел той же строчки. Таких строчек две — при о=1 и при
о—• —. Каждая из них даёт разложение искомого вида. При з = 1 разло-
разложение будет иметь вид;
1+•?. + —. 0)
а при а:
• — вид:
B)
Коэффициенты находится обычными приёмами.
Для получения разложения A) удобно в уравнении х*+х*у =у*-\-ху
положить у =¦ -g-, х = -?-. После этого оно переходит в такое;
-г-
При 9TIX обозначениях разложение A) принимает вид:
C)
144

Отсюда находим:
ц* = Л2 4- 2ЛД? 4- BЛС4- Вс) ;* 4- • • •.
цз = л8 4- зл2Бб 4- (зл-с 4- зл?2) 52 4- • ¦
Подставляя эти разложения в уравнение C), получаем:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ? в обеих частях
равенства, находим
14-/1=0, В = А\ С
Отсюда получаются значения коэффициентов:
А = — 1, Я = — 1, С=— 4, ?> = — 16,...
Разложение A) принимает вид
, 4 16
•V = — X 1 5 •••
X X*
Оно показывает, что у кривой имеется асимптота у= — х—1. При этом,
если *->4"°°> то ветвь кривой приближается к ас ;vn тс те, идя снизу, а при
х->— оо, —идя сверху.
Для получения разложения B) в уравнении х*-\- .\3у = у3 + ху удобно
положить х—-^, y = -f. После этого оно переходит в такое:
= «3 4- и-*. D)
Вазложение B) принимает внд:
Отсюда получаем:
ф = в'4-2а*?4- Vac + 42) ?»+ Bad + 2tc) ;s4" • • •,
u» = в» 4- 3«s«? 4- (Зя'с 4- Зай^) 52 -f i^d + ба^с 4- b3) ? + ...
Подставляя эгн разложения в равенство D) н приравнивая коэффициенты
прн одинаковых степенях ;, пслучим:
, с = За!с 4-За*2, d = 2
Отсюда, так как вфО, получаем две системы решений:
а = 1, 6=2", <? = —• ^=1,..
1 3
1 * ^ 1
Поэтому разложение B) имеет вид:
уТ + |тГ7 41 + E)
Здесь УТ? может имгть каждое из значений 4" Y~* и— У~.
Полученный результат показывает, что у данио.1 криво"! имеются две
бесконечные ветви, уходящие в бесконечность при х -> 4- °°. так что рас-
стояние между ними н кривыми у — 3zx ух -\- - х+-^- ^x4-1 стре-
мится к нулю.
10 Зав. 4549, Сборник задач, т. I. 145

Замечание. В таблице, из которой мы получили значения а = 1
3 1
н« = 7, имеются значения о = 3 и г = у , при которых равные значения
являются наименьшими среди чисел соответствующей строчки. О :и дают
разложения, сходящиеся при достаточно малых значениях \х\ и расположен-
расположенные по возрастающим степеням х. Эти разложения имеют вид:
у = Ал* + Вх* + Сх* + ?>л«
i_ з &
у = ахТ+ Ьх + ехТ-{- dx^+ex1 + ...
Коэффициенты их находятся подобными же приёмам:;, косле чего первое
разложение даёт равенство:
у = х* + лгБ — jfi -f- л' -f- ...
Это равенство показывает, что в начале кооодтпт кривая нмзет соприка-
соприкасание четвёртого порядка с кривой у = х3 и подобно ей имеет точку
перегиба.
Другое разложение в данном случае геометрического смысла не имегт,
так как среди его коэффициентов имеются мнимые, — в частности, а = ±1.
Разложения "указанного типа дают наиболее сильное средство при нзу-
ченнн кривой в окрестности особой течки, которая путём переноса координат
помещена в начале координат.
Построить кривые:
1948.
1949.
1950.
1951.
1952.
1953.
1954.
1955.
1956.
1957.
1958.
1959.
1960.
1961.
1962.
1963.
1964.
1965.
1966.
1967.
уъ = х* — 2л;2-f х.
4_уа = 4дг2_у + лг3.
х5 -j- 5а хх—16а3_у2=0.
у3— х~у -j- .V5 = 0.
¦^6 _1 2jc^ v v^ — О*
х* -j- 2у3 = 4х2у.
у3— x3-j-y — 2дг = 0.
(л;2—_у2J = 2лг.
jc2 (х —— уJ -4—у = 0.
хЪуЪ = х __ у.
х2у2-{-х — 2у = 0.
{2х+у)Цх+у) = х.
(х*—у*)(х—у)=1.
3xi—yi-{-2x2y2j!-2x=Q.
хуЛх-у) + х-\-у = 0.
хЪуЪ -j-y = 1.
ху(х9-— у) + 1=0.
ху (х2-\-у2)—2х2у2= ] 2.
*(*2+.У2) = а(*2_У')-
1968.
1969.
1970.
1971.
1972.
1973.
1974.
1975.
1976.
1977.
1978.
1979.
1980.
1981.
1982.
1983.
1984.
1985.
1986.
1987.
(л:2—j;2J = 4xy.
^ЯуЗ _|_у __ 4xa.
х* —у -\- Ху = 0.
д;2 (X2 _}_ ^,2) == 4 (X —у)\
х1—у* = 4у* — х*.
х*у* = (у 4-1J D —у2).
{хя — 1) у- = хх — 4 х'2.
х*{у — 2J + 2ху =у2.
х*—у = х* — 2у3.
(x-j-l)(x-j-2)y2 = x2.
ху {х -\-у) -\- х2 = 2_yQ.
Bа — х)уй — х3.
X8_|_^3_3,v2.
х* — 2х*=у*(х— 1).
xi—у*= 4х2у.
х3 — 2at2^ —у4 = 0.
xi — 2д:2_у2 -\-у3 = 0.
;c2.y2 = ;c2-f _y2.
д^ -}-_уо = ху2.
д;* -f 2х2.у — ху2 4- У2 = 0.
Изучить следующие кривые, уравнения которых даны в парамет-
параметрической
1QOO
форме или могут быть заданы i
» такой форме:
146

1995. x-
,991. x-^, , = <-feP. 1996. ,-??,}
1993. * = g^ ^?=^ i
1994. x =
2000. Исследовать линию ху = yx, заметив, что она распадается на
прямую у = х и кривую
.•c = (l-fo)T, _y==(l-f-e)T + 1.
§ 7. Кривые двояквй кривизны: касательная пряная
и нормальная плоскость
2001. Показать, что линия
лежит в некоторой плоскости, и найти уравнение этой плоскости.
2002. При каком соотношении между коэффициентами а, Ь, с,
aii ^iicn a2' ^2> С2 кривая
х = a<?(*) -f Ь'Ь (t) -+• со» (() -f rf,
у = а1? @ -}- М @ + с1<й @ + du
z = а,? (О + *2<Ь (О -f с9<й (/) + rf9
лежит в плоскости?
2003. Показать, что кривая х = sin 2», у = 1 — cos 2<р, г = 2 cos «p
лежит на поверхности шара.
2004. Показать то же для кривой
t fi 2^
2005. Перевести в параметрическую форму уравнение кривой Виви-
ани, определённой пересечением шара х2 -\-у2 -{-г2 = а2 и цилиндра
х"* -\-у2 = ах, положив jc = asin9J.
008. Доказать, что проекция предыдущей кривой на плоскость
хОг есть парабола.
2007. Найти проекцию на плоскость хОу линии пересечения пара-
параболоида z == хя-\-у* и плоскости х-\~у -\-z =1.
2008. Найти проекцию линии х = ef sin t,^y =-el cos /, z = 2t на
плоскость
10* 147

2009. Доказать, что проекция винтовой линии
х = a cos t, y = asint, г = bt
на плоскость уОг есть синусоида.
2010. Доказать, что при переносе начала координат в точку
Ох @, 0, brf) и повороте осей абсцисс и ординат вокруг оси Оугх
на угол Р уравнениям винтовой линии х = a cos t, у = a sin /, г = 6?
можно придать вид: jc1 = acos/1, y1 = asint1, гх => Wj. Это показы-
показывает, что винтовая линия способна скользить сама по себе.
2011. Найти уравнение касательной к кривой
_ ii —Л _ .^
л — 4 , .у — 3 , ^ — 2 .
2012. Найти касательную к предыдущей кривой, параллельную
плоскости х -f- Ъу -\- 2г = 0.
2013. Найти косинусы углов с осями у касательной к кривой
х = t — sin /, у = 1 — cos /, г = 4 sin 4 •
2014. У кривой лг= —^cos /-f-sin/. ^ == ^ sin ^ -f- cos /, z = t-\-1
найти точки, в которых касательная параллельна плоскости yOz или
хОг.
2015. Найти касательную к кривой х*-\-у*=я 10, y*-\-z* = 25
в точке A, 3, 4).
2016. Найти касательную к кривой 2х2-\-Ъу*-\- г1 = 47, д:2-}-
2/= 2 в точке ( — 2, 1, 6).
2017. Найти касательную к кривой х<1-{-у2 = г! х = у в точке
(от, т, 2т2).
2018. Найти косинусы углов с осями у касательной к кривой
х2 = 2аг, f = 2bz.
2019. Такой же вопрос для круга х*-\-у2-\-гг = а2, у = тх.
2020. К кривой у2 = 2рх, z* = 2qx проведена касательная в точке,
где х=^-к-^- Найти её длину от толки касания до плоскости д: = 0.
2021. Найти нормальную плоскость у кривой г — x't-j-y^, y = x.
2022. В точке, где х = -^ , найти нормальную плоскость к кривой
у
2023. Доказать, что нормальные плоскости кривой x = acos/,
у == a sin a sin /, г = a cos a sin / проходят через прямую х = 0, г -{-
J O
2024. Доказать, что кривая х *=, е* cos /, y — e' sin t, г = е* пере-
пересекает все образующие конуса х3 -}- _у2 = г- под одним и тем же
углом.
2023. При каком а кривая x = eat cos t, у = е»« sin t,z = e^ пере-
пересекает все образующие конуса д:2-}-^'2 = г9 П°Д углом 45°?
2026. Доказать, что линии пересечения цилиндров у? -f- г1 = /»2
с поверхностью ху = аг пересекают все образующие этой поверхно-
поверхности, принадлежащие одной системе, под прямым углом.
148

2027. Линия х = a tg t, y — b cos t, г = b sin / расположена на
поверхности параболоида. Доказать, что она пересекает все образую-
образующие одной системы под прямым углом.
2028. Кривая, называемая локсодромией, определяется уравнением
, , / л 0 \ п
tp = alntgf- y)> r^e °—широта, а о—долгота точки на шаре.
Доказать, что она пересекает меридианы шара под углом ос, тангенс
которого равен а.
Стереографическая проекция состоит в следующем. Верхняя топка шара
х2 + уг + г2 = яг, т. е. точка А @, 0, а) соединяется прямой с произволь-
произвольной точкой М {х, у, 0) плоскости хОу. Точка Мъ в которой прямая АЛЛ
пересекает поверхность шара л:2 4-_у2 + г3 = az, является изображением на
шаре точки М плоскости хОу, а точка М является изображением точки
Mi {xi, yt, гх), лежащей иа шаре. Таким образом, стереографическая про-
проекция даёт взаимно однозначное соответствие точек плоскости и шара, за
исключением точки А, лежащей на верху шара. При этом
*• —__???__ v a'y z — «(-
У
2029. Доказать, что стереографическая проекция даёт конформное
изображение, т. е. что линии на плоскости пересекаются под тем
же углом, что и их изображения на шаре.
2030. Доказать, что кривая г = е""?, расположенная на плоскости
хОу, где полярная ось совпадает с положительной частью оси Ох,
при стереографической проекции переходит в локсодромию.
2031. Доказать, что окружности на шаре при стереографической
проекции переходят в окружности на плоскости. При этом прямые
считаются за частные случаи окружностей.
2032. Центральная проекция шара х*-\-у*-\-г* = 2аг на плос-
плоскость хОу состоит в следующем. Произвольная точка М (х, у, 0)
плоскости хОу соединяется прямою AM с центром шара А @, 0, а).
Точка Ми в которой AM пересекает шар, принимается за изобра-
изображение точки М, и обратно. Доказать, что эта проекция не есть
конформное изображение.
2033. Доказать, что касательная к кривой ж2 = Зу, 2ху = 9г
образует постоянный угол с некоторым определённым направлением.
2034. Координаты точек некоторой кривой удовлетворяют соотно-
соотношению
(*' +УЯ + г* — a"-) (dx2 -f- df -f d^) = (xdx -{-ydy -f zdz)*.
Доказать, что касательные к этой кривой касаются шара х24-у2-\-
+ г2 = а2.
2035. Доказать, что касательные к кривой
х = а (shi*-j-cos^)> у = а (sin t — cosf), г==Ье~г
пересекают хОу по окружности х2-\-у2 — 4а2.
Сферической индикатрисой касательных данной кривой называют гео-
геометрическое место юнцов единичных векторов, проведённых из начала
координат- и параллельных этим касательным.
149

2036. Найти сферическую индикатрису касательных винтовой линии
x = acost, y = asint, Z — bt.
2037. Тот же вопрос для кривой
x = 2t — sin 2/, j/ = cos2/, г = 4 sin/.
§ 8. Кривые двоякой кривизны:
соприкасающаяся плоскость, нормаль и бинормаль
В дальнейшем будут приняты следующие обозначения. Запись Р (Ь,т,п)
будет означать, что у векторЛ* проекции на оси Ox, Оу, Oz разиы 1,т ил.
Радиус-вектор, идущий из начала координат О в переменную точку М, будет
обозначаться просто через М. Таким образом, ОМ = М = М (х, у, г).
Если координаты х, у и г переменной точки М, каждая в отдельности,
являются функциями от параметра t, т. е. если х = а @. у = <Ь (t), z = ш (t),
то при изменении t точка М описывает кривую. В этом случае можем
писать M = f(/). Здесь f(/) означает вектор, проекции которого на оси
являются данными функциями от времени. Дифференцирование вектора по
переменному t означает дифференцирование его проекций по t
%л, rfM ,., , , , ,. ,
м' м'i*y'0м
M" = M" (x", y", z") и т. д.
При дифференцировании произведений и сумм применимы правила
обыкновенного дифференцирования:
(И + N)' = М' + N', (CiM + C,N)' = С, М' + C,N',
(MN)' = (MN') + (M'N), [MN]' = [MN'] + [M'N].
Здесь (MN) h[MN] означают соответственно скалярное и векторное про-
произведения. В частности, из равенства (МM = С следует, что 2 (ММ') = 0, т. е.
что у вектора М, длина которого постоянна, вектор М' перпендикулярен
к вектору М. Из определения касательной, как предельного положения
секущей, следует, что вектор М' направлен по касательной к кривой, дан-
данной уравнением М = ОМ == f (t).
Переменная s, для которой — = [М]' = yps -[-y'i -\- г'2, т. е. у кото-
которой ds = У dx? + dy- + dz-, является длиной дуги кривой, отсчитываемой
от некоторой начальной точки. Если переменную / считать временем, то
ds
величина— =о есть скорость движения точки М по кривой M = f(/)-
В равенстве М' = -—= ——. — = vl единичный вектор 5 направлен по
at as at
касательной, идущей в сторону возрастающих дуг. Дифференцируя его, полу-
получаем:
Полагая I —
ds
1, имеем: J= L ч, где |i)|-1.'h
М" = 504-71—.
Здесь и| перпендикулярен к 5. Нормаль к кривой, по которой направлен
вектор Y], называется главной нормалью. Величина — по определению кри-
150

визны кривой равна кривиайс, а р есть радиус кривизны. Перемножая век-
торыо соответствующие равенства для вектора скорости М'и ускорения М",
получаем:
Так как М' = М'(л', у', г) и М" = М" (х", у", г"), то проекции |М'М"]
равны величинам А=у'г"—g'y", B = z'x"— х'г", С=х'у"—у'х". Отсюда
у
1 улг -|- в- + С3
следует, что — = — ¦ —-.
Единичный вектор С, равный [;т|], перпендикулярен и к касательной
н к главной'нормали. Он направлен по бинормали.
Три единичных вектора S, *], * направлены, соответственно, по касатель-
касательной, главной пормали и бинормали. Они взаимно перпендикулярны и обра-
образуют сопровождающий точку М триэдр, ориентированный так же, как и оси
координат. Справедливы поэтому равенства:
Ы=1,Ш=1 [Г:] =71.
При этом, как было отмечено, -~ = —.
Дифференцируя равенство I = [;г(], получаем:
Отсюда следует, что вектор -т1 перпендикулярен к ?. Кроме того, он перпен-
днкулярен и к -ц, так как | -rj J = 1. Поэтому -г2 направлен по главной нормали
s
Величина — называется кручением или второй кривизной кривой.
Дифференцируя равенство т] = [";], получаем:
Отсюда следует, что ¦? = — . Три полученные формулы:
— — з. Ёз 1 L О. — л.
ds~ p ' ds~ p r' ds~ r
называются формулами Френе и дают скорости вращении рёбер сопровож-
сопровождающего триэдра при равномерном движении точки по кривой.
Косинусы углов а, р и y вектора Р (I, т, п) с осями Ох, Оу, Ог опре-
определяются по формулам:
/ - - т • п
COS а =*• —, i COS 3 =; — , COS Y
—
У
Поэтому для нахождения углов, образуемых касательной, главной нормалью
и бинормалью с осями, достаточно зна:ь векторы, направленные по этим
прямым. 'За такие аектсры можно взять следующие три вектора:
3 = М' = М' (х'.у.г')—направки по касательной;
[М'М"] = Z (А, В, С) — направлен по бинормали;
151

H = [Z2] = Н (у'С — г'В, г'А — х 'С, х'В —у'А) — направлен по главной
нормали.
Плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к бинор-
бинормали, называется соприкасающейся плоскостью. В ней расположены каса-
касательная и главная нормаль. Её уравнение можно написать в таком виде:
(РМ'М") = 0, где Р = Р(ЛГ—х, У—у, Z—z), а символ (РМ'М") означает
скалярно-векторное произведение трёх векторов: (РМ'М") = (Р[М'М"]). В яв-
явной форме оно имеет вид:
А (Х- х) + В (У-у) + С (Z- г) = О,
А, В и С имеют те же значения, что и раньше.
Взяв производную от обеих частей равенства M" = $»'-fi] — и приме-
применив формулы Френе, получаем:
Перемножая скалярно-векторно эти два равенства и равенство М'
получаем:
Отсюда следует формула для кручения кривой:— = — ^- (M'JWM"') или в
явном виде:
х' у'
г- И1
2038. Пользуясь третьей формулой Френе, показать, что кривая,
у которой кручение постоянно равно нулю, лежит в плоскости.
Найти соприкасающиеся плоскости кривых:
2039. у2==х, х3 = г в точке A, 1, 1).
2040. у = ? (х), г = аг?(х)-{-Ь.
2041. x* = 2az, y*2b
2042. x = e', у=ше-1,
2043. х = а cos t, у = a sin t, z = bt.
2044. х = аР-{-Ы + с, y = aifi + bxt + cv г = of + b%t + ca.
2046. Доказать, что соприкасающаяся плоскость линии л2 = <р' (t),
у2 = №?'(f),z = ®(i), расположенной на коноидальной поверхности
2 = <эГ—V совпадает с касательной плоскостью к этой поверхности.
Найти уравнения главной нормали и бинормали к кривым:
2046. х = a cos t, у = a sin t, г = Ы.
2047. х—у2, z = x* в .точке A, 1,1).
<* <5 (I
2048. at = -j, yaJ>2 = -2-
2049. х — ~2, y = -j-, г = у в точке ^у, у,

2050. Кривая x = ach/cos/, j/ = ach/ sin/, z — at лежит на
поверхности вращения х*-\-у* = a2 ch2 — , называемой катеноидом.
Доказать, что в каждой точке кривой бинормаль совпадает с нор-
нормалью к поверхности.
2051. Доказать, что одна из биссектрис углов между касатель-
касательной и бинормалью к кривой х = 3/, у = З/2, г = 2/3 имеет постоян-
постоянное направление.
2052. Кривая имеет проекцией на плоскость хОу синусоиду
у — sin х. Какому соотношению должны удовлетворять аппликаты г
её точек, чтобы главные нормали были параллельны плоскости уОг?
2053' По главным нормалям винтовой линии х = a cos t,y = a sin t,
z = bt откладываются отрезки данной длины/. Найти геометрическое
место их концов.
2054. Найти поверхность, на которой располагаются все главные
нормали винтовой линии предыдущей задачи.
2055. Тот же вопрос для бинормалей.
Найти радиусы кривизны р у следующих кривых:
2056. х = t — sin/, у — 1— cost, ? = 4siny.
2057. х = a ch t cos t, .y = ach/sin/, z = at.
2058. x = e*, y=e~t, z = tV2~.
2059. x = e*cost, _y = e'sin/, г=е*.
2060. -r = a
2061. x* = y
2062. x2—.y2-f г2 =1, У3 — 2х-{-г = 0 в точке A, 1,1).
2063. Найти кручение кривой у2 = х, х- = г.
2064. Найти кривизну и кручение кривой у = —-) z = -
2065. Тот же вопрос для кривой x — 2abt, ji/ = a2ln/, z =
2066. Доказать, что у сопровождающего триэдра кривой х =
= е* sin /, у = е* cos t, z — е* каждое из рёбер образует с Ог
постоянный угол.
2067. При каком условии центр кривизны винтовой линии
x = acost, у— a sin t, z = bt лежит на том же цилиндре, что и
сама винтовая линия?
2068. Доказать, что у кривой
х — a ch t cos /. у = a ch / sin t, z = at
отрезок нормали от точки на кривой до оси Ог равен радиусу вто-
второй кривизны.
2069. Через четыре точки кривой можно провести шар. Если
они стремятся к" одной точке, то при соответствующих условиях
шар этот стремится к некоторому предельному шару, называемому
соприкасающимся шаром. Найти его центр и радиус.
153

2070. Найти приближённые с точностью до малых высшего
порядка уравнения проекйий кривой на три плоскости сопровожда-
сопровождающего триэдра вблизи точки касания.
2071. Из центра шара проводятся радиусы, параллельные главным
нормалям замкнутой кривой, не имеющей особых точек. Доказать,
¦что геометрическое место их концов делит поверхность шара на
две равновеликие части. (Якоби.)
§ 9. Поверхности. Их уравнения
2072. Поверхности, описанные прямой, проходящей через данную
точку (а, Ь, с) и данную кривую, называются коническими. Доказать,
что их уравнения могут быть представлены в таком виде:
2073. Поверхности, образованные движением прямой, параллель-
параллельной вектору Р (/, т, п) и проходящей через данную кривую, назы-
называются цилиндрическими. Доказать, что общий вид уравнения цилин-
цилиндрических поверхностей такой:
f{nx— lz, пу
2074. Доказать, что уравнение поверхностей вращения около оси
Ог имеет вид: / (x*-j-y2, г) = 0.
2075. Доказать, что уравнение поверхности вращения около
прямой х — a-j- It, У ~Ь-\- mt, z — c-j-nt имеет вид:
где
Я = [я (у — Ь) — т (z—<•)]* + I' (*— с) — п (х — a)]3 -f
-М«(*—«) — Ну—ь)?.
2076. Найти уравнение цилиндра, описанного около шара х*-\-
-\-у*-\-г* — а\ с образующими, параллельными прямой x — lt,
y — mt, z — nt.
2077. Найти уравнение цилиндра с образующими, параллельными
прямой х=у — г, описанного около эллипсоида *3-f- 4_ya-j-9^a= 1.
2078. Найти уравнение цилиндрической поверхности, направля-
направляющая которой кривая г = 0, х*-\-у* — ау, а образующие которой-
параллельны вектору Р (/, т, п).
2079. Найти уравнение конической поверхности, имеющей вер-
вершину в точке (—1, 0, 0) и описанной около параболоида 2уа +
+ г»=4х.
2080. Найти уравнение конической поверхности, имеющей вершину
в точке (л, Ь, с), а направляющей — параболу г = 0, у* — 2рх.
2081. Найти уравнение конической, поверхности, имеющей вер-
вершину в точке @, 0, —с), а направляющей — лемнискату z = O,
(x4/jis=eJ(*j-/).
154

2082. Около параболоида х*-\-у* = 2z описать коническую по-
поверхность с вершиной в точке @, 0, —2).
2083. Найти уравнение конической поверхности, описанной около
поверхности хуг = с3 и с вершиной в @, 0,—Зс).
Найти уравнения поверхностей, полученных вращением данной
кривой вокруг данной оси:
2084. Эллипса ¦^s-+J|r= 1 вокруг оси Ох.
2085. Гиперболы —у — =д- = 1 вокруг оси Оу.
2086. Параболы у'2 = 2рх вокруг оси Ох.
2087. Окружности (х — а)9 -{-у2 = R2 около Оу.
2088. Параболы у*=2рх около Оу.
2089. Лемнискаты (лг+/)а = а2 С*2—У*) около Ох.
2090. Той же кривой около Оу.
2091. Поверхность, происходящая от вращения синусоиды х = sin z,
у —0 около оси Ог, освещена параллельными лучами, составля-
составляющими с Ог угол 45°. Найти форму тени, отбрасываемой ею на
плоскость хОу.
Параметрическое представление поверхностей, введённое Гауссоу, со-
состоит в том, что координаты точек поверхности даются в функции от двух
параметров:
х = ч (a, v), у = ф (a, v), г = to (и, v).
Следующие вопросы имеют дело с параметрическими уравнениями,
поверхностей.
2092. Уравнение шара можно представить в таком виде:
х = a sin в cos <р, _у = a sin 9 sin -р, г — a cos 6.
Найти подобную форму уравнения для эллипсоида.
2093. Поверхность задана уравнениями
х = a cos4 и cos4 v, у = a cos* и sin1 v, г —a sin4 и.
Найти её уравнение в обычной форме.
2094. Тот же вопрос для поверхности, заданной уравнениями
х = a cos3 и cos3 v, у = a cos^ и sin3 v, г = a sin3 г;.
2095. Тот же вопрос для поверхности, заданной уравнениями
X a h2 _U »,2 J. 1 ' -У " „2 O. ,,2 _1_ 1 » г C „5 i~i,:
§ 10. Касательные плоскости и нормали. Огибающие
Если / (х, у, г) =0 — уравнение поверхности, то вектор
K(df df df\
Nld3F' '57' 157
есть вектор, нормальный к позерхвостн. Плоскость

проходящая через точку на поверхности (.*•, у, г) и перпендикулярная
к этому вектору, есть касательная плоскость к поверхности.
Если координаты точек М (х, у, г), лежащих на поверхности, выражены
через параметры им v по формулам
-* = ?(«,»). У = + («. v), z = ta(u,v), A)
то радиус-вектор, проведённый из начала координат О в переменную точку
поверхности М, есть функция переменных и и v. Таким образом; можно
писать
М = ОМ = М (х, у, г) = f (a, v). B)
Эта запись означает, что проекции вектора М или ОМ на оси координат,
равные х, у н г, представляют соответствующие функции от и н ». Иными
словами, запись B) эквивалентна равенствам A).
Векторы М„ = -т-иМ,=-х|-и вектор, идущий из точки касания
М {х, у, г) в некоторую точку М\ (X, Y, Z) касательной плоскости, комп-
компланарны. Поэтому уравнение касательной плоскости можно написать в та-
таком виде:
Х-х дх
Y-y
ди dv
ду ду
ди dv
dz_ jh_
ди dv
= 0.
Векторное произведение [MUMV] представляет вектор, направленный по
нормали к поверхности. Поэтому для единичного вектора п, направленного
по норкалн, имеет место формула:
п_ [МЦМ„]
|[М„М„]| •
Найти касательные плоскости к поверхностям:
2096. :р- + 1"Г + $=1 в точке (*i. Л. *i)-
•2097. xiJrf = z^ в точке (xv yu гх).
2098. ху2-\-га=12 в точке A, 2, 2).
2099. xn-{-yn-j-zn = an в точке (xv y,t гг).
2100. (*?.-f-.y2 + 2'2J = a2(*2—^2 + г2) в точке (xv yv z,).
2101. Уравнение алгебраической поверхности имеет вид/(л,^. г)=
= 0, где/ (х, у, г) — полином. Вводя дополнительно степень вспо-
вспомогательной переменной t, можно сделать этот полином однородным,
после чего уравнение поверхности принимает вид: F (х, у, z,t) = 0
при t=l. Доказать, что уравнение касательной плоскости к этой
поверхности можно написать в таком виде:
где переменное t после диффгренцирования заменено единицей.

2102. К поверхности xyz=^\ провести касательную плоскость,
параллельную плоскости x-\-y-\-z—3 = 0.
2103. ШНхи линии, по которым касательная плэскэсть к поверх-
поверхности xy = az в точке (хи уи zx) пересекается с поверхностью.
2104. Найти уравнение касательной плоскости к косому гели-
геликоиду * = и cosv, y = u%mv, z — av.
2105. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
* = «-!-?>, y=ui-\-v'1, z=zifi-\-vz в точке B, 2, 2).
2106. Доказать, что касательные плоскости к поверхности xyz=*
= а3 образуют с плоскостями координат тетраэдр постсянного
объёма.
2107. Доказать, что плоскости, касательные к поверхности ]A*-f-
+ У~У -\- V2 ~ Vй' образуют на осях координат отрезки, сумма
которых постоянна.
2108. Доказать, что у поверхности х'" -\-у''-\-г''г = а"' сумма
квадратов отрезков, образованных касательной плоскостью на осях,
есть величина постоянная.
2109. Доказать, что плоскости, касательные к поверхности
z=x/'.— J, проходят через одну и ту же точку.
2110. Доказать, что плоскости, касательные к поверхности
z=-x-\-f {у — z), параллельны одной и той же прямой.
2111. Доказать, что отрезок на оси Oz, образованный плоско-
плоскостью, касательной к поверхноати
прспорциснален расстоянию точки касания до начала координат.
2112. Найти поверхность, на которой лежат касательные к вин-
винтовой линии, и доказать, что нормаль к этой поверхности составляет
с Oz постоянный угол.
2113. Доказать, что точка пересечения нормали к поверхности
*2 ~Ь У1 ~Ь Z>1 — х/\~)с плоскостью хОу одинаково удалена от начала
координат и от основания нормали.
2114. Отрезок нормали к поверхности z2=^2aYx2-\-y'i -\~b,
заключённый меж;у поверхностью и плоскостью хОу, проектируется
на хОу. Доказать, что величина проекции постоянна.
2115. Доказать такое же свойство для нормалей к поверхности
х = v cos и — <р («) cos и -\- <р' («) sin и,
у = v sin и — «(u)sina — <р' (u) cos и,
2116. Из точки М на поверхности
, z% — — г*-\-/(ге1)
157

проводится нормаль MN до точки /V на плоскости хОу, и опу-
опускается перпендикуляр МР иа плоскость хОу. Доказать, что /^ NOP,
где О'—;начало координат, равен 45°.
2117. Доказать, что у поверхности
площадь треугольника NOP, полученного таким же путём, как и
в предыдущей задаче, есть величина постоянная.
Вектор, нормальный к поверхности f(x,y, z) = 0 в точке (х, у, г},
df д/ д/ „
т:еет проекции на осн, равные -g~, у-, ~т? • Поэтому, е:ли у двух
поверхностей ч(х, у, z) = 0, <\,(х, у, z) = 0 в точках их пересечения со-
блюдается равенство: *
U ~дх~>~ду~~ду"Т"дг~ 7)z~ ~°'
то поверхности пересекаются под прямым углом (ортогональны).
В следующих задачах требуется установить взаимную ортогональность
указанных поверхностей (так что, если заданы тпн поверхности, то надо
доказать, что каждая нз них пересекается с каждой из остальных под
прямым углом).
Доказать ортогональность следующих систем поверхностей:
2П8. ху=аг2, х*-\-у*-\-г* = Ъ, г--f 2дг2 = с(z*-f 2y2).
2119. хуг = а«, 2г2 = дг2 + ?' +/ (х* —
2120.
2121. х2+у2 + г'* = ах, x'i-\-f + z^ = by, х2+уп-+ г* = сг.
2122.
-f 2ax-\-2by = 0.
2123. Через каждую точку (х, у, г) проходят три поверхности вида
=l при Х==Х1' Ха Хз. представляющие
соответственно эллипсоид и однополостный и двуполостный гиперболо-
гиперболоиды. Доказать ортогональность этих поверхностей.
2124. Из точек прямой у = х, г = ~, лежащей на поверхности
y = xtgz, проводятся нормали к поверхности. Доказать, что они
располагаются на гиперболическом параболоиде.
2125. Такой же вопрос для прямой z = h, Ьу = х\/а* — Л2 и по-
поверхности Ь*-уа = х2(а2 — г2).
2126. Найти геометрическое место проекций центра эллипсоида
—j.-j-^T—г—1 на касательные плоскости.
2127. По эллипсоиду предыдущей задачи (при д>6>с) катится
без скольжения и верчения другой т«.кой же эллипсоид так, что
153

в один из моментов концы больших полуосей соприкасались, а дру-
другие оси были попарно пара.пельны. Найти геометрическое место
центра.
2128. Доказать, что поверхность х*у*-\-х*г*-\-у*г* = Чхуг пере-
пересекается шаром х1-\-у2-\-г* — \ по четырём кругам.
Поверхности f (х, у, г, а)=0, уравнения которых содержат коэффици-
коэффициент а, меняющийся от одной поверхности к другой, образуют однопарамет-
рическое семейство поверхностей. Если двг бесконечно близких поверхно-
поверхности пересекаются по некоторой линии, то координаты точек этсй Л1 пни,
называемой характеристической линией, удовлетворяют уравнениям:
f{x,y, г, a) = 0, ??=0.
Исключая параметр а из этих уравнений, найдём уравнение F(x,y, г) = 0.
Если данное семейство имеет сгибающую повзрхность, то она вся лежит
иа полученной поверхности.
Подобно-эгому, уравнение f(x,y, г, а, *) = 0 изображает двухпзра-
метрическое семейство поверхностей. Предельное положение точки пересе-
пересечения трёх близких поверхностей
/(х,У, г, а, *) = 0, f(x,y, г, а + \а. Ь) = 0, f(x,y,z,a,b + \b) = Q
при Дя-*•() и Д*-*•(), т. е. характеристическая точка поверхности семейства,
удовлетворяет уравнениям:
f(x,y,z,a,b) = 0, |? = 0. *? = 0.
Исключая отсюда параметры а ч Ь, получим уравнение поверхности
F(x, у, г) = 0. Е:л i данное семейство им:ег огибающую поверхность, то
все её точки удовлетворяют полученному уравнению; но ему мзгут удов-
удовлетворять и другие точки.
Найти огибающую следующих семейств поверхностей:
2129. Шаров {х — а)* + у*-\-г? = \. _
2130. Плоскостей, проходящих через точку (у^2, 0, 0) и удалён-
удалённых от начала на расстояние, равное единице.
2181. Найти огибающую шаров
(Х — //)« + (У — mtf -f (z — ntf = a\
где t — переменный параметр. v^
2132. Найти огибающую шаров, большие круги которых располо-
расположены на параболоиде г = х2-\-у*.
2133. Тот же вопрос для параболоида г=~ -{- —.
2134. Найти огибающую шаров радиуса а, центры которых лежат
на окружности xs -j- гй == г2, 2 = 0.
,- 2135. Найти огибающую плоскостей, касающихся парабол у2 = 2х,
г = 0; у* = 2г, х = 0,
2136. Найти огибающую шаров
(х — //)• + О — «О3 -г (г — «О2 = P*t\
где t — переменный параметр.
Х^ _У^ 2^
2137. Найти огибающую эллипсоидов—j--{-~-(—j-= 1 при усло-
условии аэ + 694-с2=1.
159

2138- То же при условии а -{- Ь -\-с= 1.
2139. Найти огибающую плоскостей, образующих при пересече-
пересечении с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объёма.
2140. Найти огибающую плоскостей, у которых отрезки а, Ь, с
на осях связаны равенством ап-\~ Ьп-\~ сп= 1.
2141. Показать, что круги у = tx, x2 -}-y* -f z* — 2/(/) х — а2 = 0
суть характеристики семейства шаров
*а +У3 + г* —2/ (/) + 2tf (г) л: — 2/ @ .У — а9 = 0.
§ 11. Линии на поверхностях и кривизна поверхностей
Если координаты точек поверхности даны формулами
х = <р (и, v), .у = ¦{. (и, v), г = ш (м, »),
иными словами, если радиус-вектор ОМ, или попросту М.проведёииый из
начала координат в переменную точку поверхности М(х, у, г), дан форму-
формулой М = f(u, i'), то дифференциал длины дуги на поверхности может быть
выражен формулой ds = M.'udu + t\'vdv, где Ми' = -=—, М'„ =-т—. Умно-
Умножая скалярно само на себя равенство для ds, получаем формулу:
dsi = F dtfl -f IF dudv+G du\
Каэ.ффпциенты квадратичной формы Гаусса, стоящей в правой части этого
равенства, выражаются формулами:
Если обозначить через dsx и ds2 днфференаналы дуг кривых, описыва-
описываемых ва поверхности точкой М при изменении только одного и или только
одного v, то элемент площади dS выразится равенством dS = ds^s^ sin 8,
где 8 — уго: между направлениями ds^ и ds* Отсюда следует равенство:
dS = | [М'иМ'Ф] \dadv= YEQ—P'dudv.
Если переменные и и v являются функциями одного параметра /, то
точка М{х, у, z) описызает ьривую, лежащую на поверхности, уравнелне
которой M = f(M, v). Дифференцируя это уравнение по s, где « — длина
указанной кривой, отсчитываемая от некоторой точкн, г.олучаем:
dM м' du л м' dv
575F rf7
Здесь —г— = ; — единичный вектор касательной.
uS
Дифференцируя ещё раз по s и учитывая формулу Френе -г— = —¦,
получаем:
) +2M + MJ +M
160

Здесь f — радиус кривизны кривой, at) — единичный вектор главкой нор-
нормали.
Умножая скалярно обе части равенства на единичный вектор нормали
Гм'м'1
к поверхности п, где п = —-ь t— —, получаем формулу:
у EG— F*
cos 8 _ (nJVQ du> + 2 (им;,) du dv + (nM^) do'
__ _j . .
Обозначая скалярные величины (nM^u), (nM?v), (nM^v) через D, D\, Dz,
получаем равенство
cos 8 _ D du1 + 2Di du dv -f D^ dv*
p ~~ E du* -f- 2> du dv -f- G do2 '
Здесь в — угол между нормалью к поверхности и главной нормалью к кри-
кривой. Квадратичные формы в знаменателе и числителе называются первой
и второй квадратичной формой поверхности. Они введены Гауссом.
Для коэффициентов D, Dt n Dt из предыдущего вытекают формулы:
F*' X
^
*
Y~EG—F*' X YEG — Г- '
Числители в этих формулах равны соответственно определителям:
ив
хии Уии
хт
/ш
Уи
t
У*
У™
Уи
Если кривая представляет сечеиие поверхности плоскостью, проходящей
через нормаль к поверхности, то 9 = 0, н нз формулы (*) получается
равенство:
1 Ddu* + 2Dt du dv + Dt dv*
E du2 + 2Fdudv+G dv*
(*•)
Существует равенство, верное, с точностью до малых высшего порядка:
Аяа=-, где |р —радиус кривизны кривой, /—ofрезок касательной от
точки касания, h — расстояние его конца от кривой, считая по перпенди-
перпендикуляру. Из этого равенства и формулы (**) следует простое геометриче-
геометрическое значение обеих квадратичных форм. Если величинам du и dv приписы-
приписывать такие значения, что точка (da, dvj'ua плоскости, где по осям координат
откладываются du н dv, описывает малый эллипс
? rfa' -f- 2F du dv -f- Q dv* = ds*,
размеры которого стремятся к нулю, то проекция точкн М (х -\- dx, у -f- dy,
z-\-dz) на касательную плоскость к поверхности описывает окружность
радиуса ds с центром в точке касания. Расстояния точек этой окруж-
окружности до поверхности, считая по перпендикуляру к плоскости, равны зна-
чениям второй квадратичной формы,, умноженным на 2.
Из формулы (**) следует, что среди нормальных сечений поверх-
поверхности существует два, кривизны которых — и — имеют максимальное
Pi Н
11 Зев. 4ЫЙ. Сборник аад»ч, х I.
161

н минимальное значения. Направления этих нормальных сечении взаимно
перпендикулярны. Величины pt н р2 называются главными радиусами кри-
кривизны. Величины — н — удовлетворяют уравнению:
pi fr?
(\F-Dd-— (W7 — D) Q.G - D:) = 0
илн
fi1i D\ = 0. (***)
Величина K= называется полной, нлн гауссовой, кривизной поверх-
ft?. t 1
ностн в данной точке. Величина Н=—I называется средней кривнз-
Fl р2
ной поверхности. В обоих выражениях рх и р» суть главные кривизны
поверхности, взятые с учётом их знаки. Из равенства (**) следует, что
F* ' EQ
Найти главные радиусы кривизны следующих поверхностей.
2142. Эллипсоида ^Н-^ + ^= 1 в точке @, 0, с).
2143. Параболоида ^--f ^"в2г в точке (°> °» °)-
2144. Геликоида ^ = acosv; y = usiav, z — mv.
2145. Параболоида xy — az.
2146. Поверхности e«cos .r =
2147. sin^ = sh^- shy.
2148. Катеноида х--\-у2 — a9cha-j .
2149. Доказать, что если р1 и р2 — главные радиусы кривизны
в некоторой точке эллипсоида, то на линии пересечения эллипсоида
с концентричным шаром ypfo = m (p, -J- Ра)> где т — постоянная.
2150. Омбилической точкой, или точкой закругления, называется
точка поверхности, где главные радиусы кривизны равны: pj «вра.
Найти точки закругления эллипсоида
а2
2151. То же для эллипсоида
хъ 4- 2у2 4- 2г2 -f %ху — 2х — 4у — Аг -f 2 = 0.
2152. Найти полную кривизну параболоида
2158. Доказать, что средняя кривизна поверхности
г = In cos x — In cos_y
равна нулю.
2154. Доказать, что полная кривизна параболоида постоянна для
точек пересечения его с соответствующим эллиптическим цилиндром.
162

2155. Найти полную и среднюю кривизны поверхности вращения
где р = у^
2156. Доказать, что поверхность вращения трактрисы
х+уЖ=Гу~? _1п« + /^1УТ
вокруг оси Ох обладает постоянной отрицательной кривизной, рав-
равной—^.
Замечание. Отсюда следует, что на этой поверхности выполняется
геометрия Лобачевского.
2157. Через вершину параболоида вращения v2-f-г2 = 2ря про-
проводятся кривые на его поверхности. Найти геометрическое место их
центров кривизны.
2168. Через точку на поверхности проводится я нормальных
сечений, где угол между последовательными сечениями равен —
Доказать, чхо арифметическая средняя кривизны сеченкй не зазиси!
ни от числа я, ни от направления первого сечения.
2159. Линия на поверхности, образующая с плоскостью хОу
в каждой своей точке наибольший из углов, какой в этой точке
возможен на поверхности, называется линией наибольшего ската.
Доказать, что касательная к ней, нормаль к позерхности и линия,
идущая через данную точку параллельно Ог, лежат в одной ило-
скости.
2160. Доказать, что проекции на плоскость хОу горизонталей
поверхности пересекаются под прямым углом с проекциями линий
наибольшего- ската.
216J. Доказать, что кривые, проекции которых на плоскость
хОу имеют уравнение ха' = Суь\ где С—постоянная, являются
линиями наибольшего ската для эллипсоида
2162. Две поверхности
Жг + Ж
уравнения которых отличаются величиной X, являются софокусными.
Доказать, что линии пересечения эллипсоида с софокусными ему
одно- и двуиолостным гиперболоидами будут линиями кривизны для
эллиисоида.
2163. Доказать, что у геликоида задачи 2144 вдоль каждой
линии кривизны одна из величин
остается постоянной.
11* 163

2164. Линия на поверхности, главная нормаль к которой повсюду
совпадает с нормалью к поверхности, называется геодезической.
Показать, что на поверхности шара геодезической линией являетсл
дуга большого круга.
2166. Показать, что на поверхности
х е= a cos и cos v, у = a sin и cost», z = latg(-^-\- ~j—asluv
для точек геодезической линии выполняется условие:
du Ус sin, у
dv cos4 v У a4 cos* t»—с '
где с—постоянное.
2168. Найти аналогичное условие для геодезических линий по-
поверхности вращения
*r=rcos<f, y — rsino, z=f{r).

ОТВЕТЫ
4 3
f. _5 и —3. 2. cos о =s —, sin a s=s — —; АВ = 5. 3> cos в =» О.
о 5
«. — -yi. 5. -2 -/2. б. 5 Y2; а = -45°. 7. G,3). 3. A2, —7). Я. А (-1,0),
Б E,6). 10. B.-2). 11.(8,1), @,-3), (-4.5). 12. C,1Щ. (-1,7) или (9,2),
E, —1). 13. F, ±2 Y3). 14. E. 1). IS. Координаты одной из в
« = Xj. — + + Л +
20. @, 0), A0. 0). 2S. ^~-\ ( • т). **• 9'5- 23> »Д 24' A2±20,0).
23. 49. ?9.-35. 27. 29,5. 28. E,4). 29. х У2 = — *1—УьУ Y2=* xx—yx.
30. (-7,1). 31. (х-1) У2 = х1 + уь (У-\) Y2 = -xl + yi.
32. (— -|,— 2). 33. а = 135°, —45°; Dл-f3) 45°. 33. B+5¦/% 8). 36. 7.
37. 6 УТ. 225»; 4, 330°. 39. у = it h. 40. х = ± h. 41. .у = х, х +у— 1 = 0.
42. E, 7). 43. Mi выше, /И4 и Mt ниже, /И8 на прямой. 44. у tax—1.
43. х4--ку— 5 = 0. 4G. х—3 = 0. 47. Здг—V—4 = 0, Здг-f 2у—1 — 0,
+ 5 —34=0.43. 2г+3у—1=0. 49. x-f2y -И = 0. 50. Sx+v—20=
5 + 22 0 51 15° ЗОР 15е 92 ( 1 1) B 2) (8 7)
+ 5у 340.43 2г+3у10 49 xf2y И 0. 50. Sx+v
0, /-5.У + 22 =«.0. 51. 135°, ЗОР, 15е. 92. (- 1. - 1), (-2, -2), (8, —7).
10 94 З + 2 7 0 4f6 0 35 + 2 —11=0, 24
2 6
0, .У + , , ( . ), (, ), (, )
53. 10. 94. З.с + 2у —7 = 0, 4.x:-fv-6 = 0. 35. х + 2у —11=0, 2дг4-
-5 = 0. 38. Зх —4у+11 =0. 4« + Зу—^ = 0. 57. 7х — 24у — 62 = 0,
2 = 0. 9«. 2х—3jr + 12 = 0, 8x —3j;—24 = а 59. 4х —3^ + 25=0.
60. 4х + 3^ +1 ± 15 = 0. 61. -—. 62. 2jc+4j;—3 = 0. 63.
64. 2jc + 3v±6 = 0. 63. @,3), B, —1). 66. х —V+1 =0, 3x + 2v--7 = 0,
2 + З + 7 0. 67. Лх-у — 7 =0, х + Зу — 31=0, х+5>- = 7. 60. Ъх +
З 15 2 69 + 3 70 З 2 + 3 0 2+3 +
+ у + 7 0. 67. Лху 7 0, х + Зу 310, х+5> 7. 0 +
+ у = 25, х —Зу = 15. v = 2дг. 69. v = .г + 3. 70. Зх —2v + 3 = 0, 2дг+3 v+
+2 = 0. х — 5/+1 = О. 71. 2х -г 7у — 5 = 0. 72. 31.t+48> = 0. 7в. Зх+4>=а
=25. 74. 2 tr + 7j; = 5. 75. х = 0, .у=0. 76. х — 7.у + 19=0, 7х +у—П = 0.
77. 7х.+.у + 4 = 0, х — 7j; + 6 = 0. 78. 4x4-2^+1 = 0. 7Э. ж = ^. 80. 8.
81.^ = *(х —4). ЯГ2. Зл:—
84. Зх — 46^+28 = 0, 9х + 2у — 28 = 0, 4Б* — 3y-77 = d 8S.
3^-4jf+l=0, х—8.у+ 27 = 0. 86. 2.«—^ + 4=Ь. 99. — У
Л У5=2л—^+1.9l.(x1+jf1) /2+3=0, (ДГ1—Л) У2+1= ^
93. г Waste?. 99. C,-4), а 100. д^ + J/2 = Ю*+$у. 161. F, 1), (|v-g-) .
102. x'+J'* =? 25. ЮЗ. x+2j; = 5. 104. — 2х+у = 5. х + 2у = 5. (93. адг=6у.
165

*—20УЧ.У-2ПГ=">0\ . xi+y'*=\5x. HI. (—3,0). 112. (х-а)п—у?=. i?,
^. ИЗ. -1-= + у- = алг. 119. Прямая л -^Х—^— —
У A" + В5
* У = j |2| Элли(]с ^ * _
122. у=х ctg ?*. 123. Bл—дг) v!=.v3.124. (jfl+a'-)y=oK 125. Если (±д,0)—
данные точки, то искомое уравнение: Цх+а)-+уЦ ((а—а)-+у*]=Ь*. В поляр-
полярных ьоо >дииатах. г*=Ь*—а1+2а"гп cos 2?. 126. ?с.ш (~д, 0;—данные точки-
,о ис.омое ураьнение: 1л*~\-у*)г>=2ач(лп—у% 127. Если @,0) и (с,0) — дан-
ныстиЧли, то в полярных координатах искомое уравнение: г- A—д2)—2г(яй4-
+с со* г) = *>'—Л 1**..У2[(л+.>')* + *;>) =*15(л+>'»'. 123. r.v* + v5 — ал-J=
= G"ij:2+j'?). IJ0. х = a(cos/-Ksin/), у = л fsin <— <cos 0-131. x=a r/—sin f>,
у = аЛ — со»0-132.х = a^ &sin? j; = a— 6cos^. 133. x — a [{n + 1) cosf—
— cos(/i+l)f], j/ = al(n+ l)sin f — sin(n + I)/]. 134. x = a[(« — l)cos/ +
•fcosfn - D^J.j' — a\(n — I>sin/—sin(/i—1)/]. 139. bx ~ ±ay. 140. Прямая,
соелиалю-цая середину высоты с серединой основан ш. 141. Прямая, соединяю-
соединяющая середины диагоналей. 142. 3j^— с2+2л^=л*. ИЗ. хг— у~+2хycig-i=a-
144. х +у = 1. I4S. Прямая. I «3. Две прямые, 149. х--\-у- = с*. 152. *'+
+4 )'3=%. 153. V^IO ii Yb. 154. А 4-4 v" = 63. 153. 4 у = х*. 156. у = 2*.
159. Приблизительно 0,08. ISO. 5,1 • 106. 1Б1. Около 1 см. 162. фокусное рас-
расстояние 2,5 см. 163. /i IS4. У& 165. -у-. 166. 2дго*1 = а"-. 167. уТи 2.
133. 120М69. -^. 170. Здг» + 4j>» = 192. 171. 2^ — 2j/2 = a3_ г,«.
172. ^Ч- д;^са = 1. «73. 6. 174. 1бдгг + 25^ = 192. 175. 9х*— 16у"-=Ш.
173. л:±2>' = 0. 135. 6Э1. 18В. Длины их
= 61=2.l92.mB-e)sin?=(ms —I) Yen--L 193. tgtp= y^. I94.2a1 =
= 17,9:2*1 = 17,1- 2.00. ^ = дг — I. 201. ±2* + .у + 4 = 0. 202. х — 2 V4-2=
= 0, л: + 4^ + 8 = С. 203. j» + 1 = 0,4* — Ьу = 13. 20*. х — 3 = 0,10*4-9у+
+ 24 = 0. tO3. дг — 1 = О^лг + Ау +¦ 3 =¦ 0. 206.2дг—Зу d:5 = 0. 207.10Jc-J-
-\-3y rt 8 = 0. 210. Директриса. 212. л ^ . 214. Касательная к вершине.
?15. а), Ь) — пары пересекающихся прямых: с) двойная прямая; d) параллель-
параллельны е'прямые; е) точка; i) мнимость. 21S. а} мнимость; Ь) гипербола; с> парабола.
217. k =1. 218. k = -1. 2В9. X=i-i-; 9X YS—2y=0,х — 2зу
+ .2 ; \ = 4j, (i = — 7;, дг + ву — 3 = 0, 2дг + 2з^— I =г 0;
в = л 1. 221. дг + 1 = 0, 2дг —j/ -1-1=0. 223. дгj; = х +у. 226. .vv — у?—*—
—2у + 3 = 0. 21.7. х v+2y—х— 2=0. 228. (jc -yf = 2л: -j- 2^+3. 229. *'+
+^+6/4-2^ + 7^-17 = 0. 236. С(-1,0);д:^+д:Л-3 = 0. 237. СB,1);
л?+3*|Л-2^-8.28в.СA.—I);xJ — 2-^^+^ — 7=0. 241. . С C,1);
« « 45* *J + 3j»J =- 18. 242. С ( - 4, -1); a = 45'; 4л» - 2^ + 23 = 0.
;1^7^ + , ^У 248.
166

Y2=x-y-2; y\=Axof2. 247. 5yl = 4x + 3y+5; 5*1=
= 36. 254. *2 + 9.y3 = 9. 255. .^ + 4j^=16. 256. 9*3 +
-f 4/* = 32-4. 257. 9*"; —y\ = 9. 258. $x\ — 25y\ = 225. 259. 9*s — 16j^ -
=144. 280. x\ — 9y\ = 9. 261. v* = 2xv 262. (* + у — 1) Bx — 3y—3)+4=0.
263. (* — J>+I)(*+.y —4) + 2 = 0. 264. [A (x-a) + В (у-Щ • [B(x-a)—
— A(y — b)] + k = O. 265. (x + y)t + Sx— y = 0. 266. (* — y?+x— 1 =0.
267. (* — Я2 = S*. 268. 4*2 — Ixy + 4 Vs —7л- + 8j/ = 0. 271. (x—2y—1
+ Bдг—^ + 1J = 9. 272. (ДГ+.У— lJ +ДГ+ 2j/—1=0. 273. (x- + l
±4(x + y+l) = 0. 274. (jc—j/+.1J + 4(jc+.j>—b« = S 4( +
+-U—J' —1J= 8. 275. 3(лг + 2.у — 4)г+2(.r—3^+2/-=10, ( + )+
( 3 + 22 = 20. 277. дг+^=1, FB. 1). 278. /-\(—1,2). AC,0);
2 279 / ( 24 F @0) Ч + 14 0 24 0
( j ) +^, (. ) \(,) A(,0);
j, = 2-tr, j; = 2-е — 2. 279. /4 (- 2,4}, F9 @,0); дг — Чу + 14 = 0, лт-2^-4 = 0.
280. л:*—2л-у+^2 + 8дг = 0. 281. 52 8 + 5 s12 + Ь 0
2
); у + , ^
+^ + 5л:2— 8лг^ + 5 Vs—12* + Ьу = 0.
282. 100 [(* — 2J + (у — IM] = (* — у — 50)8. 283. 2ху = 1. 284. Фокусы
в точка* (l л Щ., _J.). 285. Eдг -1)« +Ej;+3K = 5 (х+2у+1)\ Dх+1)'-+
+Aу + 6J=5(дг + 2j- + IJ. 286. (д: — IJ + (у — 1Я = [2 - х —у±-\[2 (х+
Г Г-\))-. 287. (х-а)'-+
+(-у)(+у+),У[()^)]и^+)
(х — 1 J + (у - 1 )= = 25. 289. f дг - у)*- =8(х+ у). 290. 2*»—2j>s+4^-I =0.
291. 2 (дг—1)8+2 (_у-|-1J=1. 292. Если директриса Оу, данная точка ta,O), то
искомое уравнение: 4дг2+уг = 4адг. 293. (х+\)-+(у+1)"=1. 234. Гипербола.
295. х—2у = 0. 296. х +у—2 = 0, 5дг + Ьу — 6=0. 297. v±2 = 0, х т 2=0.
298.9дг + \0у — '28 = 0. 299. х +у — 2 = 0,7дг + Юу — 8 = 0. 305. Окруж-
Окружность радиуса -= , концентрическая с данными. 306. В теореме Паскаля сторо-
на, обратившаяся в нуль, заменяется касательной в вершине пятиугольника.
В теореме Брианшона две стороны, между которыми заключалась обратив-
обратившаяся в нуль, становятся продолжением друг друга, и теорема становится три-
тривиальной. 311. 4лгг —5v"—12* + 4 = 0.31*. (х+у)* + 6х — 2бу — 55 = 0,
(X—y)i—lQx—6y + 25 = 0. 313. ху — х— у— 1=0. 314. ах = а*— Ь-.
315. х2 -j-y2 = a\ 316. Фокус. 318. Если направление параллельно прямой
у = тх, то искомое уравнение (х + ту) (ямг —у) = т (аа — й2). 319. дг +^—
—1 =0. 32О.л*Ч-^3 = ^. 321. Парабола. 322. Парабола. 325. Окружность.
328. Парабола. 330. (А — В)ху — Абх + Вау=0. 331. Прямая. 334. Если
x^-{-y'=az—уравнение данного круга, а (с,0)—точка А, то искомое уравнение:
(с2—в*)(дга+з^)—2а2сдг+2а*=0.335. Кривая второго порядка. 33S. Эллипс.
341. г= 9, cosa =1, cos? = - -1 ,cosT = 1.342. r=ll.343,2abc.348.13.
,0).356. ^-1,2,3-). 357. (-3,2, 3). 358. G,-1,7).
347.60°. 348. VVf-l. 349. /?звО. УП. 351.5; ^, i, ^. 352. cos B
-I. 353. 90». 3S4.-4-35S. (o. -%=. -±Л. Л-?=. 0. ^
9 7 V /2 УЧУ \V2 V2
D, — 4.2),A, 2, 4), f—2. 8, 1). 359. F, —9, —2). 360. 1331; (-9s. 6». 2e),
t = = l. 361. 3x = 3 + x1 — 2y1 — 2z1, 3y = 6 — 2xl — 2yi—z1,3z = 9 +
+2*t +J»i — 2zu 362. 1» = 3375.365. 6» = 19.366. 3» = 4. 367. 2* = У101.
888. 2« = 81. 369. 2* = 45. 370. •?. — .? +i-= 1. 871. —6, — 3,2г
167

372. x + 2y + 2z = 2. 373. 5дг — З.у - 7z = 0. 374. дг — 1 =0, у — 1 =0.
1 2 1
z— 1 =0, x+y + z= 1. 875. cpsa= —=, cosp = --=, cost =-7=
У 6 у 6 у 6 '
376. cos (Р, X0Y)= -*-• 377. sin(P, OX)= 4 ¦ 378. cos 8 = -if.
378. cos6 = lXi. 350. 2*—.у —Зг = 0. 3fil. дт — y = Q. 382. По
разные стороны. 383. 6. 384. z=lrt20. 385. УЗ. 386. —-~.
387. лг+.у — 2г+1=0. 388. 7г1== —2, 5г, = — 28. 389. C, —1,0).
З90.г+1=0.391.дг4-.у— г-3 = 0.392. дт —2v + 2 — =30. 393. A,2,3).
395. дг+^ + 2г-4 = 0. 396. Зж, = - дг + 1у — 2г + 7. Zyx — 2x—y—
— 2г + \, 3zl=-1x — 2y — z + 2. 397. ж+у^г=л. 398. Х=3±У'2'
399. Х=3. 402. 2дг— у — 2з + 4 = «, 4дг— j; — 2г + 2«0. 404. дг — Ъг —
— 2 = 0, ^ —5г —5 = 0, 5л;—3j; + 5=0. 405. coss=s——=, cos?=
6 1 ' 1 ^61
= -~s. cos v = - —i-. 406. cos ft =» j. 407. 93°. 408. 0°.
409. дг = /+1, v = —1 + % z = 2t+\. 410. X —1=0, j;—2 = 0.
411. i-=i = =ll=li = i=i. 412.2*— .у-3 = 0, .у—1=0. 413.
— 2*-fl=0, * + 2v— г — 2 = 0. 414. х — y + z — 2 = 0, ж+.у + 2г — 5=
0 4IS + + Зг — 7 0 418 + 10 417 + 0
f, + y + , +.у
= 0. 4IS. л:+ v + Зг — 7 = 0. 418. х — г + 1=0 417. х — у +
418. дг —5^ + 5г-2 = 0. 419. х — 2y + Z— 1 =0. 410. 7л: —26^ +18г=0.
421. Л- + 2.У-Ы =0. 422. x+3y=0, 3x-y+4z-\2=0. 423. (—7,-5,-11).
424.A,0,-2). 425. (-5,2,4). 426. Зх - y + z— 1 =0, х-\-2у~ г = 0.
427. (— "j - - 4 • 4) • 428ж 4)~5> *29' * + ^+г+1 =0' 2х~У-
( )
430. л+^ + г—1=0, дг—1=0. 431. v-)-l=0, 2лт—г+1=0; длшта равна У
432. x+y+z^rO. 433. y + z — 2 = 0, 2v-l5v + 4z-± 8 = 0. 484. 5x +
+ 3y—z-l=0. 435. x+2y + 2z —1 = 0. 4SB._ дг—г—2 = 0.
439. d /2 = 3. 442. d = L 443. d l/2'= 1. 446. ft /3 = 2. 448. дт =
= 3 + /, j; = -2, z=*l+t и лг = Э —2^. v = — 2 + 3f, * = l + 2f.
449. x=,l+7t, j; = 24-15/, z = 3+4»h x = l—t, y= 2 + t. z**S—2t.
45Q 0+ + 4Si 0, (a + \)(y — 1) +z+ 1 = 0.
0 480 V + l
j + , y +
45Q.x = 0,x+y + z=a.4Si.a(x- l) + z=z0, (a + \)(y — 1) +z+ 1 = 0.
458. (дг— j;)»J-(Ar— г,»-»-» v — г)г=1. 457. x re v = 0. 480. V + zsl
459. (jc —1Я+У2 = г?. 460. л* + xy + дтг = jc+ v. 461. 2jc* + г« — Зд:у +
+ Зхг — Зуг—5х + Зу — Нг+9 = 0. 462. дт v 4-'дгг — vz = дг. 463. 4жа —
— 10дг^ + 4«+7^_5уг + 8д: —10^ + 2г=0. 464. у=г. 485. 2д:2+2^а—
—2z*+12xy+4xz~4yz + 5x + 23v-ir9z + 4 = U. 468. д;« + У = (« — IK.
467. (х— г)Ъ + (у — *>3=1. 468. JJ = дг ig аг. 469. fe'yS-i-I^U+J'-b^) —
— »(Дг+^Я*=а<Л 470. дг»+уг — xz— yz — z—1=0. 471. x*+$ = xz.
473. Bx—y—zf* + (x — 2y + z)*=*(x + y + z — 3f. 474. ^ = 6дг —9.
473. Если лашкгша — в точке E, 0, 0), центр абажура—.в точке E. 0,^1),
радиус его ГД а стена — плоскость y'Oz, то уравнение тенш 9г* — 4у* =
= 100, д: = 0. 476. @,0,2). 477. (о, 0, 2 п: ^}. 4t8. (О, в, 4).
479. ха+у* = 2(г?:аK. 482. / + «2 = 4«г, д:=0. 483. ^«г?, где
/¦» (Р + m» + /i«) = [т. (х - a)-l (y-bp + [п (х — а)-/ (г-с)]°- + [я (.у-6) —
yp [
— /, (г—cifl8 + [»i (v — &t) — даг (г — с{))\ 434. (б*—Ьу — Зр + Eдг — 5*+
+5)* + (Ьу—bz + & = 98. 485. у> — х*- 4аг. 486. адг* + $ху + 1У* +
+ C* + Exz + Fyz + bx + Qy + Jz + Z = O. 487. x*+y* = 2z + 1. 488. дг=
=» Ж ^ «зг- &2i г = 5^ и дг = 2г, v = _ 2ь 481. Л (f - 2^,5 (j/ - lj'.+

12/1 D I
условиях: А > 0, > 0,
D 2B F
E F 2C
0. 492.
+ \{у)У + 1(у + )+?1(у )p , н#ф
493. (л: + 2у — 2 + 1) (л: - у + z + 1) = 0. 494. х + у + 2г + 5 = О, у — 3*-
—1 =г±(*+1) V*- 495. дг=1, y = z вушм1, х = г. 496. дг —з' + 2 = 0,.
x+y+z=0 и х+у=0. 2=0. 497. Если &*>• — , то искомые прямые: х =
= -±.— \fb'-—^-C; у=*±гЛ/2-. Если йг<^!. то таких прямых
и Г Ч * Я Ч
нет. 493. 4л: —3j/ —5г + 4 = 0. 499. 4х + 2у + 4 + X(y + z) = 0 при
Х<-5. 500. СA. 1,-1); \\ l
501. 2х\ + 6yl + 2г* + 8*^ + 1=0. 502. 4л:, .у, + 4л-,г1 =1. 503.
+ z* — дг—v-fz = O. 504. Образующие конуса 5 (лт + 2Л+20 (j'—1)г =
= 8 Eг + m 505. дг2 + V" — zs = 4. 514. 2х — 3> + 2г — 2 = 0. 515. *+ v+
+ г = 6. 516. х— V— г = 0. 517. г = 0; Я(/, яг, 0). 518. 2х+у — г = 0.
519. Зл- + 1=0, Зг —2 = 0. 520. Угловые коэффициенты О, 1 н О.
521. х=С. S22. 2=1, 2л = 3^ S23. x = 2z-2, y=z — l.
524. J.= C. 928. ? + %+JL=±V5: 329. ^-+Z+i.= ±1.
530, W,m,c*f); (a* + » + cT)fi = l. 331. (± -^, =s -^. ± ^)
935. (o, a, o), o=±l. 536. (в, г, — Зз), о=^г. 1. 537. T04KH
где Jfi+#=1. 540. 90P. 541. 90°. 542. J =
593. Куб с ребром аУ? 55G. 2х* + 2у2— 2xv + 2x + 2у— 1 =0.
597. 2(**+у*+г* — ху—хг—уг) = За-, x-{-y + z = 0. 558. \**_
— 2ху + j^ — 2 (•*+У) + 1 =* 0 — парабола. 56в. Его образующие
параллельны вектору Р(Уа^ — Ь-, 0, ^*2 —с3)- 3G3» Пересечение по-
поверхности Ф{х\ у, г, /) = 0> где /=1, и полярной плоскости дайной точки:
дО ЙФ дО дФ
т—дг! + тгУ1 + -г^-г1+^т=0, где f после дифференцирования поло-
положено равным единице. 564» Пересечение поверхности F(x, у, г) — О и
плоскости/-^- +ж-^.+ n|j- = 0. 885. Шар х*-+у* + г*- = 2а'-.
507. л:—jf + 2 —1=0. 5G8. /(л:+ 2) +/и (У— 1)+п B2+ 9) = 0.
969. л-+^+г = 0 я 1х + ту — (/ + ж)г = 0. 573. л|+^+г| = 49.
Новое начало OiC. — 4, —5). 574. д^ ¦+- 2j^ + Зг^ = 6. Формулы пере-
перехода: 3(л: —1) = 2дг1 + 1ух — гь 3y=2xi—yt + 2zu 3(г + 1) = -л:1 +
t. 575. 2х1 + у1 — г\ = 2- Формулы перехода: Здг = —^ -J- 2j/,-f
1-^ 376» xl + 2y»-
— Зг\ = в. Формулы перехода: 3(x + \) = —xl + 2y1-i-2zv 30>+l) =
= 2х1—У1 + 2г1, 3i = 2t1 + 2yl—tv 577. xl + 2y{ — Zz\ = 0. Формулы
перехода: дг+1=5, у+\=щ, г + 1 = С; # = — 2г!— 2у{ + гь Зщ =
= — 2xl+yl—2zv 3Z=*xl—2yl — 2z1. 378. *? + 2.^ =*2-?,. Формулы
перехода: 3(дг— 1)= — 2xt — ly^ гъ Зу ^ — 2xt-\-у, — 2zlt 32 = ^—
—'2^1 — 2гг 579. лг^—_j^ = 22t. Формулы перехода: дг = 5, .y+IssYj,
г +1 = С; 3? = - 2xi — 2yl + zl, 3-1 = - 2-q -f л — 2zb З'ъ =xi — 2yl — 2zl.
5Ztt. x\ + 7y\ = 2„ Формулы перехода: х +1 -\-1 = -, у — It — 1 = rt,

z — 2/=C; 3S = 2xJ + 2yl + zb 3Ч = 2*! — Л — 2гъ ЗС =-*
581. *|—.у*=1, *--« = ?, ^,+ 2« = Ч. *4-2л» = С, 3;
3^ = 2.^ —_з^г — 2?!, 3: = ~х1+2у—Ъ1. 582. ^ = 2дгг Формулы перс-
хоаа: х — т =;, .у 4-2я» =• т„ z4-2m = t и т.д., как в предыдущей за-
задаче. 583. х\—^ = 0. Формулы перехода: 9 (х 4- 7т) = 4*, — 4^ + 7ги
9 (у 4- 4m) = *г 4- 8)'i -H*i. 9(z 4- 4'л) = — 8*i —Л 4- 4zj. 584.a:^ -f j^s _о.
Формулы перехода: 3(.v — 2т) = xl — 2vl—2zl. 3(y—2m) = —2xl-{-y1—2z1,
Z(z — m) = '2xi-T-2yi — zt. S85. ^ = 1.580. *r = 0. В двух последних
задачах формулы преобразования одинаковы: х — Зт-{-2п = ?,у-{-2т —
— 6я = к), г 4- 6т 4- Зя = ?; 7= = бл^ — 3^ + 2z,, 7к) = 3^ + 2^ — &гь
7С = 2дгх4-бух + 3zj.587.дг^ + у?-\-2гх* = 0. Формулы перехода:х+2=хх,
у — 3=Vi. г — 2 = 2t. 588. 4>'2 — 2z"-=x. 989. К = ±1. ]х = ±/2".
530. аб + ас+?<:= 0. 531. ^ = О. Kx + h: + A + \) A — X)* - 1 = 0.
592. 2с=1+аУо; г = 0. 2лг= (Yb — е)у; е = ±1. 594.
эллипсоид; т = — 1 — эллиптический цилиндр; —1<т<-^-— однополост-
ный гиперболоид; '«=2—конус; -т,- < т < 1 — двуполостный гипербо-
гиперболоид; т = 1 — цилиндр; m > 1 — эллипсоид; 595. 5 (а3 + ?'+') == (а + 2S 4-1M.
59G. ху + xz -f jz + «2 = 0.597. Л (z + а) л: + Ву(г-а) + С(z2—л") = О—
гиперболический параболоид. 599. 4(х4-У +zJ—3 Bл— у—zK-f-
-i-fj. — г + 1)я= 1. 600. (a-4-2j; + z)*4-4(^ —zJ=!6. 601. ** + 4у2 +
+ (z —2)* = 5. 602. л2 +уг+ (г- IJ = 2. G03. (л: +^ 4- гK + 4(л: — у) =9.
G07. 9{x-y)-+(x+7y-7z)i = 9(x+y + z) и 9(Л_^.)г +
) (+y + ) (^) +
608. х— у + ( — 2± /7) B*— г) =0.
609.0@,0,0). 6IOl(-f- ~"J' т)' 6И"
i/33(л: —6z) = 0. 612. л:—j; = 0, x+y — 2z=\. 613. л: — 4.у — 1 *
i/1 (л—2,v) = 0. 614. j;+2z = 0. 615. 2х— у — 4г = 0. 616. /г±*.«: =
= const; 6с/= У#! — f2, дйА= yas_ua. 617. у = 0. Ixc-= kza-.
GI8. сЗv2 (аг — Ь3) = 6гг8 (л2 4- с2). 619. х = с. x+y — z = c.
620- «4-1 = 0, х + 2v = 2; г + 1 = 0, Зл: 4-4^ —4 = 0. 621. г = а и
Ьг ^_ jij, 4- г = ?• 622. 'г = а н аг J- Ьх 4- О'.+ / = z + р. 623. X == j* = 1.
624.л2 4-У 4-г*—J'z—1±хг УЗ =0. 625. Гипербола в плоскости xOZ.
626. у = 0, -г4 4- рх = рз. 627. л:2 4- f- + z* — lax — Aby — 2сг 4- 1z ct±HL _
— 7?!=0. 628. л: — 2j;4--« = 0, ^—A^/1)^ = 0. 629. л: = 0.
630. 2x = q— p. 631. х+\=]_г, \(у+\) = —х и л+1 = Хд:.
X(y-f 1) = — z.632. x—y—1 = X (Y3—.y 4- z), Х(дг-з--г)= 2( y~Z+y-z).
633. 4^4-2т)г = B = СУб) (.t — 8v— 8z— 2). 2j^ - v = B - С V~6) z;
l;±l 6»*« в-1353; а=бб°, S = 60°. т = 45э. 635. 4= + 4»
636. ^2 — zJ — л: = 0. 637. (ЛХ
638. д:«4->'»4-г*4-^~Ь-л:г — 2&л:
839. ох=— 2aS, ^ = 0. г=2а. 640. -г2 4- Зхг — j;z 4- бдг -^ 2^ — 4 = 0.
641 У2т — z. 642 242^ + 242 5 З 0 643 Пб
641. У=2лт — z. 642. дг24-2^ + -г24-2л:г —5у —Зг = 0. 643. Парабола.
п 1 1 О
644. 2 и —^= . 645. Окружность радиуса ——• 646. -7=- ^*8» —
649. —8. 630. 6. 651. ~. е52> "• 653' — • SM- — •*
о я
855. ^~. 656. CJ. 657- ^. 658. i. 659. |-
170

660. — . GEI. 1.
n
при x ¦+ ±oo.
669. <
662. 0.
663. 0. G64. —1. 655. ±
666. ±1 при je->i:
667. — ~. 668. — 1.
3 ~. 671. -1.672. -i. 673. 1. 674. -i .
675.1. 67S. 1. 677. y.678. 1. 679. i. 680. 2. 681. 0,
если jt-»-foo, и +oo, если дг->—оо. 682. 0. 683. ±1. 684. 0.
685. -L S8S. 0. 687. 0.688. —~. 683.
6SJ. ~, 632. \ = — 1, ji = 0. 693. X =
. 690.
a**
' 2 ij T/T '
694.
3 — J/
r ~. 695.
O1 О О JL.
^g. 696. ye6. 697. 2и. 698. 1 при в>1.
1
О при а = 1; у при 4=»1. 699. О при аф\, -д- при а = 1.
70Э. +1 при а>1. —1 при а<1, 0 при а = 1. 701. О. 702. 4.
703.4-704. 5. 705. —. 706. ( —1) "-'"—. 707. 1. 708. х.
о п п
709. ^-.710. ~?"8- 711. -;-. 712. J 713. 2 cos а. 714. —sin a.
715. -2 cos а. 716. 0. 717. ——. 718. ]=..
4 у>
720.
721. 1. 722.
719.
]=.. 719. -L, .
у> уз
723. -1.724.^. 725. 4.
726. е\ 727. «. 728. 0. 729. е. 730.
733.
2. 734.
735.
736.
738. 1. 739. е. 740. 0. 741. О. если х->•
731. ег. 1ZZ. 1.
euct«°. 737. е~*.
, оставаясь <-^-; оо.
если, дг -> д-, оставаясь
745. —1. 746. —
7SI. -| •
742. 0. 743. е~\ 744. ?! = 0.0431...
1. 750. 1.
К 747 °
753. 1п а. 754.
1п?а- 755'
—In
756. а —р. 757. 1. 758. ее In а. 759. а при а > 1; 1 при а < 1.
7S0. У^б. 761. Yaiai...am. 762. 1. 763. а. 776. J-- 777' ^ •
780.
. «in a ,
=»й —-, если а = ft cos
если
при я->• со. 793. lira а_ =
. sh»
lrni an = b —I
801. Если вес отрезка бруса АВ обозначить через у, то у = 2* при 0<* < 1;
171

К задаче 81 &
К .задаче 820.
К задаче 819.
К задаче 821.
172

Злг
при 1 <дг<3;
3<лг<4. 802. и при лг< —
и при дг>1, v при лг>1, у при —1 <лг<1, z при лг<1
и при дг>2. 803. у при лг <— 3 и лг>3, z при любом х. 804. .у при
х > 0, г при любом л-. 805. Да. 80S. При а — 0. 807. При .г = л-,
где л — целое чис.ю>0. 808. При
х
имеем: <?*->0, если х->О,
оставаясь <0, и «•*->• со, если дг-*-О, оставаясь > 0. 809. При х = \
имеем у -> 1, если х-*- 1, оставаясь< 1, и _у -И), если дг-*- 1, оставаясь >1.
810. и при л = =?2, v при х = ±У, ,t» при х = 0, * = :±1.
811/ дг = - „ ¦ , дг=^—б~^ ' л — целое- 812. х = пк, пфЪ целое.
813. л:=»0. 814. х а> 0. 815. Не имеет.
816—821—см. чертежи на стр. 172.822. При
а>0, ?>0, 4ас —6а>0 кривая имеет вид, изо-
изображённый на прилагаемом чертеже. Координаты
вершины /1 Г——, аС~—)• При а>0 вы-
выпуклость вниз, прк а < 0 — вверх. При Аас — й2 >0
кривая не пересекает Ох, при 4ас — й*<0 пе-
пересекает Ох в двух точках, при Аас — Ь" = 0
касается Ох. 82Э -877 и 888—89G см. чер-
чертежи ва стр. 174—188. 898. Если корни урав-
уравнения 7«>2 -)- (о — о) ш—р = 0 различны, то искомый
предел' равен <»i. если
а —
< 1, и равен ш*
> 1. Если о>1=«>2 = <1>, то предел ра-
раесли
вен <о. 899.y=6<cs—Юлг + 7. 9ОО.у=4дгЗ—
—Л 302. у' = 7х^ —
К задаче 822.
803./ =
_
A—
908. У =
. 909. у =
л'8
7
910.У =
= xicosx. 913. У = 1пдг. 914. у1 = х*-\я х. 915. У =
2V*
'. Sll.y = х cos дг+sin дг.
х
916. y = _iiil±-. 917. y = ^JL. 918. /=- —i—
Sin2* cos3* ' • дг]п2дг
2e*
920. дг' = 2^ sin x. 921. y> = na (ax -f- 6)n-4
= 381п2лгсо8дг. 923. У = 10* (дг» — 1)*. 924. У = -5 cos* xsinx.
y=
. 92S. У = 5 cos 5 лг. 927. У == ^^г
1
y=-e-». 929. У = -
Va2 — *2
930. y = ctg*.
2x2 + 1
934.
У= —2дг*-*г. 935. У

174

К задаче 827.
К задаче 829.
К задаче 828.
К задаче 830.
175

К задаче 831.
К задаче 832.
i У
К задаче 833.
1 /
I /
I I
/ 1
/ I
I t
К задаче 834.

К задаче 835.
К задаче 83д.
К задаче 837.
К задаче 839.
12 Зьк. 1519. Сбороик задач, х. I.
177

U-x']E-x2J
К задаче 843.
К задаче 846.
12*
179

к
задаче
У
¦
847.
¦г*
Ч
, i i
——1—»
X
К задаче 848.
К задаче 849.
К задаче 85Э.
ISO

К задаче 851.
К задаче 852.
К задаче 833.
При a>f
VZ
К задаче 85I
181

К задаче 855.
О а
К задаче 856.
К задаче S5S.
у Л sin х
——(/•sins
yisinx
jSin
К задаче 65Э.
182

•гп
К задаче 862.
sins
К задаче 863.
y*faxsin bx
гп
ш ш.
1 — й
К задаче 884.
183

К задаче 885.
Ч
¦ .
y.tgx
-t
К задаче 886.
К задаче 888.
134

К задаче 872.
К задаче 873.
yircC
tgi
185

\
4
-л
/. /
r\
0
n
\
/
К задаче 876.
у
/
f <?
д
/
"г
К задаче 877.
К задаче 888.
И
tt—0,6
f 1
К задаче S81.
Г
1
/ '
/ JWJW
X
/ >у yarccosfcosij
Ч I
yarctg(tgi)
1
V
/Г»
1
X
К задаче 890.
189

К задаче 891.
К задаче 892.
К задаче 893.
187

К задаче 894.
К задаче 895.
V
-or,
If COS 2
К задаче 899.
189

937. У==—?==-. 838. у—-—===. 939. У-6 cos ax cos >x —
— о sin ax sin ftx. 840. у = ^ZTi • 941 ¦ У = e°* (« cos ftx -r ft sin ftx).
ъя 943 ^^^ 9*4>'
852. У = л-:- . 853. y=tg3x. Э54.у =
1-4x2^0. 865. y=
873. y=xslna» (^JLj^ cosxinxV 874. / = sign .v; x/0. 875. у =
= 2xsln— —cos i , если х^:0;У=0 при x = 0. 876. 1
«V+Ij« + l)^ + l . 977.
-l) sin
880. tga=i, 0 и — 1, соответственно; а = 45°, 0 и —45". 981. 135°.
98i!. 45°. 883. 45° при х = 2яя и 133° при х = Bл+• 1) ir. 984. А = а.
985. а = е, 986. 30°; 45'; G0°, считая углы от касательной, идущей вверх,
до положительного направления оси Оу. 987. При а = 4, в начале коорди-
координат. 994. у = х+1. 995. у = х — 1. 998. ft2 — 4ac = 0. 999. 4рЗ +
4- 27?' = 0. 1009. a = ei;x = e. 1002. tg a = — — cig /. 1003. 45°.
1004. o = 90° —-| . 1086. _y = 2x — 3. 1007. D,3) и C,7). 1008. tga =
= 17±12y^2. 1013. При x>0 выпуклость вниз, при х<0 — выпуклость
вверх. 1014. x = znX^. Ю15. х=п=-^р. 1016. 120. 1017. 0.
189

_1Z
1018. 12960. 1О1Э. ~x \ 1020. *'F0Inx + 47). 1021. 27a»*In»*.
1022. а.п(т+11(п-т2)(т-\-3)х-™-К 1023. — r^—pw. «024. 16*2*(*«4-
4-4*4-3). 1025. 27 C*5 cos 3*4-8* sin 3* —4 cos 3v). 1026. г^'е2-" B*! 4-
4-100*4-1225). 1027. л:2sin* — 80*cos* — 780sin*. 1028. —46»sin*.
1032. 2я1A— х)-п-1(я|=Ь2-3...я). 1033. ( — ft)"-» a • nl{a-\- Ьх)~п~\
IO34.(—1)»-1и1(а5-Р7I»-»(тл:+5)-п-1.1О35. (—1)^![дг-»-»—(Л-+1)-"-1].
1036. (-D-i-^LZ^^"*. 1037. 2<>-i sin B* 4--?-*)•
1038. я»'»- Зе"!а: [m3*3 + Зли2*8 4- Зл (я — 1) m* 4- п (я — I) (я — 2)].
1039. jeVsin fa* + ^j) + 2Я.СЯ1»-» sin fax + ~ - -^\ + n (n — 1) e»-- X
U~ — it\ 1040/(-1)" 6 (л— 4)!**-л;л>4. 1041. (-1)'*- la» X
)-». 1042. (n-l)![(l—*)-"+(—l)"-i(l+*)-"]. 1043. ansinX
Ю44. (-l)»(l+*)-»[]
I06S. ^=3*2-3Л ^=зу—3*. 1070. д?=6х*-6ху\р = -
,_,, dn .oil , ди , .__, им „ i ди
.071. jj-Л-». ^-дг+ft.jj-x+j,. 107Д. Тх-ух> К j7
-.«•Int. 1078. iS_
1078.
1079. -^
1080. <iu = cos(*! + >2)Bл- rf* + 2y dy). 1081. du = У d*2~*?y . 1082.
-(!->) cos (*+>)-A + *) sin (* +.v), ^ = - B + *) sin (* 4- ;') -
-ycosix+y). 1093..^ = ^-A+>1п*). 1096. ^2
а»и г^-дг' а*и г»
• 1098ш Ы*-
rt i + **• Ю99. (*у«* + 3*yz 4-1) e*V*. 1100.
190

= 2dx"* — Idx dy + Ady\ 1101. d?-u = 2 (j? dx+ x dy)'-+4*y dx dy. 1102. d*u
— e*v (y dx + x dy)"- + 2e*v dx dy. 1103. d"!u t[ i
(xdx+ydy)*]. ШЬ. —sin (x +у+ z).(dx + dy+dzf. 1105.
4Л* dy ^_ 2rfrfy! rf 3d rf d2 + d*) 1106 24 (rf4 3d* d
y)] Ш ( +у+ )( + y+f ( +
2rf.rrfy! rfz — 3d.* rfy d*2 + dz*). 1106. 24 (rf*4 — 3dx* dy* -j- dy*).
1107. 24 (</.** + 3^3 dy + dz*). 1108. 6<1* dydz. 1109. — 6^+ ^ ~ **?
1110 dsu = _ cos B* + y) • Brfx + «fy)»f ^ = - 8 cos Bлг +
1112 rf*»- ( + У + ). ._ _JliL_
(ол:-f fty-(- cz)i ' dxi~~ (ax + by + czy' дх-ду*
1113. Й ?*
. 11 4. 1113. ffiu^fdrfl; Й = ^. д ?д
(ax -\-by-\- cz)* ' dx3 dxdydz
> + 1114. du =. tj.' @ (л: dy + у rf.t); d5u = ?() (
' (t) ¦ 2dx dy. 1115. du = ?' (/) Bjc йл: -f 2ydy); d*u = 9" @ Bдг
'()B/2+20г 1П6. du = f'(t)(.2xdx4-2ydy + 2zdz), d*u
1117. du
c dzt df\ а» йх^ -}- tjrfy + Сх^г, II18. du
. Ш9. du = ^(dx + dy) + ^ (dx- dy),
?t dz;
У)г + 2 ^j" (dx+dy) (dx-d/)+ ?% (dx-dy)\ Произвол-
du
ные получаются из сравнения этих равенств с формулами: au=-^— dx 4-
где di =• 2j: dx + Чу ay, di\ — xdy+ydx, d4 = 2dx* + 2dy\ d
Поэтому, например, -щ^ - 4Ay -^ + 2 (х« + >^ -^ + ху
11211 .дЛрд* " вХЬ|1с^(П) W; X + ^ + v = й. 1122. в» ^Ь-. 1123. р.
1124. р2 sin ср. 1125. а srin ¦-. 1126. 5^. 1149. у' =* — 1. 1150. л: = а f.
11511 У==Л^- П52- У'=т^7+^7^2ШГУ' ii53- У-
-т=Ьъ>у-ъ2т?&- "**-У" = т- •«»¦ (у-ь)у™ +
.0. 1158. jr-±l. 1159. ± УЬ*~*8; 1Я>«>0.
191

ПВО. /—О и / = оо. 1161. У=1, «"= — 1. ||82.
5lf
dx\ 1163. x'**S,y''=*\2. 1164. j =
- ll65' У —1. г'-О. 5y = -4, 5*"= 4.
— x ааг _2> (.* — *) jz
cos л:— .у sin г*
— -^ d4r -il 1173 dx »'W d>
Г2' ^~32< Tz -Щ-' Чг-
аГ
1174. ^J—|tintrctga. |i.= -fco.tr ctgo. 1181.
1182. 0 = 0. 1133. ^IV=0. 1184. ^ + e2>-=0. 1183.
= 0. 1186. y"t' —y't —y't 4-^=0. 1187. y" + by = 0. 1188. / +> = 0.
1191. у . 1192. -jL-^fJ— . ||93. r,« + (»-l) i) =, J^ . 1194. ^"+ v ~ 0.
"99. «•-«'-1F4i?e. 1200. U=0. 1201. «g-ж-а
l?O2. -^- = 0. 1203. w=-^-. 1204. «/ = /- |^C08 2«p—|^- sin2f.
,гоз. *:(?)Ч^(?/. .206. ..g+.i4
.207. » = ^. I208.-|^ = 0. 1209.
.~ + 2н»^ + 2(»-»»)^ + иЧГ*=,а 1211. a—L . p - i-нлн
a .2.3. g.a .2.4.
.2.5. ^ + 1 -g + и = 0. .2.6. rVv + 2rV" - ru" + a' = 0.1217. a/ +
и = 0. .2.9. A,tr = (^)
1-
1 агг> , 1 агр , ctg8
1224. 0<*i<l <^»<2<-«8<3<j:4<4. Эти кории существуют по тео-
теореме Ролля, а большего числа корней производная иметь не может, как
О
полином четвёртой степени. 1230. При —1<.*<1. 1231. При*>-х.
1260. утлх = 9. 1261. Уп!»-—16. 1262. ута~16 прн х = — 2,
6 й 66
утлх = 9. 1261. Уп!»-—16. 1262. ута~16 прн х
In—16 прн х = 2. 1265. Нет экстремальных значений. .266. _уша1=
= 4 прн л:-= 1; уты=— 28 прн л; =5. 1267. >„,!„ = « при л = *.
1268. Нет экстремальных знач»:ннй. 1269. З'шах ПРН J* = 2; >m|n прн j;=l
и дг = 3. 1210. >тах при х=1; >щ1П прн дг«*3. .271. j'mtu при л«=4;
192

ута: при дг = О. 1272. ymin при х*= — \;утлх при .*=»!. 1273. >,„,„ rtpn
'л == 1; _утах прн х = — 1. 1274. >тах при .* = ~-^ ; >min при л: =
= ТХ7* |275' Л« ПРЦ •* = 4; >ш1" при -«=16- 127в" Утш при
1
х = ±1. 1277. ут1Л при л-= ±/2. 1273. >т1п при •* = -•
1279. J'mia при л=е * . 1280. _ут,„ при -< = --. 1281. jw при
1^
х = е г; ут,а при дг = 1. «282. vra«x np:i .* = я. Если п чёпюе, то
>min при х = 0. 1283. .ута, при х = :=1. j'rilia придг = и. !kS4. >ш1а прн
g
д; = 0. 1285. >т„ при д; = 1п 2. 1286. jw при х = -— н л; = 2;
>ш1П пРи дг = —2 н х = 1. 1287. Функция постоянно возрастает
1288. >Ш(и прн j;=j; ymia при х = -^-. I2S9. 1) 2е=<1: ушлх при
•* = у ; Уты при л: = -?-. 2) 2е2>1: >ш!п при х=~ и дг = 2г. —о;
3_
Утлх при •« == -j- и д; = а. Здесь е sin а = у 1 — е"; е>0. 1290. >max при
тс а тс 7тс Зя 5я
x = -j—-j. 1291. >max при •*=-?, -g-; j',.n!t) при v = 0, -g-, -g-.
•292. >„,!„ при x=j, yma при х=~. 1293. >т„ при дс =
Л^; J' Прн *=»-! 5 • 1294" >ш« ПРИ *=» — -j.
1295. j'max = 2 при 2л: = 1. 1296. Если а>0, топрилг^а- минимум _у;
если а<0, то при х = а максимум. 1297. ^тах = 1 при х=1.
1298. .Ушах = 0 при а:=1; >miD = — f при *=j- 1299. Экстре-
Экстремальных значений нет; у убывает, 1390. Ушах — aY$ при х-=а У.
1301. утлх = Уж при Л=^3; ymin = -l/27 при х—
1302. Для >>0 при д: = 0 минимум >, при д; = ±—— максимум у.
1303. При х = а минимум, при х = — а максимум, х = 0— точка пере-
перегиба. . Асимптот лет. 1304. Асимптота у = а. Минимум у при х = 0.
Точки перегиба при х = ±——-. 1305. Максимум у при д: = — 1,
уз
минимум при х = \. Точка перегиба при х = 0. Асимптот нет. 1306. Асимп-
Асимптоты х = — 1, у = 0. у — убывающая функция. Есть точка перегиба
при л: = 2,49. 1307. Асимптота у = 0. Точки перегиба х= ? —=.Макси-
—=.Максимум у = а при х = Я. 1308. Асимптота _у = 0. Течки перегиба при
д; = ±-^=, максимум у —А при д;==0. 1309. Если п чётное, то
при х = 0; >шах при дг = па. Если л нечётное, то только уткх при х = па.
Точки перегиба д;=-я± У"л, а при нечётном п к х = 0. Асимптота у = 0.
1310. Асимптота у = 0. Минимум у при х = 0, максимум при x = ^at
13 Зак. 4540. Сборвнк задач» х. L 1<93

Точки перегиба При х= ± -~- У 5 i YT7. I3M. Асимптоты х = 0, *=1,
j/ = 0. При х = -к- точки перегиба. См.чертёж на стр. 195.1312. Криволинейные
асимптотыу= -л- и_у = — .Точкаперегиба * = — У 2. Минимуму = -=• при
х = \. См. чертёж на стр. 195. 1313. Асимптоты * = zfcl, * = 0, у = 0,
у— убывающая функция. 1314. Асимптоты *=1, у = 0. Точка
перегиба при *= — 2. При х=—1 максимуму. 1315. Асимптоты jc=1, jc=3,j/=1.
Точка перегиба при х = -х О —У5 — ^25). Максимум .у при х = -^ A + У 5),
1 /•—
минимум при х = -к- A — у 5). 1316. Асимптоты jc = — 1, ,у = ±1.
Область существования j>: |*|>1. 1317» Асимптота v = 0. При ж = 1
точка возврата (остриё), а у минимум. Максимум у при х = —-л- и jc = 3.
См. чертёж на стр. 195.1313. у минимум при* = 0. Асимптоты у = ± х. Выпук-
Выпуклость вниз. См. чертёж на стр. 195. C39. Асимптоты у = sign x. у постоянно
возрастает. Точка перегиба х = 0. См. чертёж на стр. 195.1320. Максимум \у \
при Ъх = — 4. у существует при х > — 1. Точки перегиба при 15* = У4—12.
2
См. чертёж на стр. 196. 1321. Максимум у при * = — j- ; точки перегиб а при
х — — 1 и при 44* = — 16 it уТ08- Си. чертёж на стр. 196. 1322. Максимум
при х = 0. Точки возврата х = ге 1. Выпуклость вверх. См. чертёж на стр. 196.
1323. Асимптота у= 0;точка перегиба * = 0, точки возврата jc = :? 1. См. чер-
чертёж на стр, 196.1324. Выпуклость вниз. При *= :?1 точки прекращения. Асимп-
Асимптота у = 0. См. чертёж иа стр. 196.1325. Асимптота х= —1. Начало координат—
двойная точка. См. чертёж на стр. 193.1326.0<*<1. Асимптота х = 0. Точки
перегиба х = -j- • См. чертёж на стр. 196. 1327. Начало координат — двойная
точка. Асимптоты ля±1. См. чертёж на стр. 196. 1323. Экстремальные у при
2лг = — 3:t уТ7. Асимптота * = — 1. Начало — двойная точка. См. чертёж на
стр. 197.1329. Начало — точка возврата. Экстремальные^ при 4х — За. Точки
перегиба при 4* = 3— У 3. См. чертёж на стр. 197. 1330. Точки перегиба
х — ?^~. См. чертёж на стр. 197. 1331. См. чертёж на стр. 197.1332. См. чер-
чертёж на стр. 197. 1333. Максимум у при х = 0, —, -^минимум при* = ^-,
7с,-р^;точкиперегиба при х = -j , -—. См. чертёж на стр. 198. 1334. Максимуму
. л Зтс j: 3jc 5~ 7те _ ,
при х = 0, -уг, г., -=¦; минимум прих=-г,-г, -j-, —. Точки перегиба при
Bл + l)t к Зтг 5т: 7я 9л 11к 13тс 15п ,___ ,.
х = Ч-Х-?_( т. е.при j, -j , -j, -g-, j , -g-, -g- , -j-. 1335. iMaKCHMyMj/ при
x -=0,~ ,— ; минимум прн * = ~ , л, -^.См, чертёж на стр. 198.1336. Макси-
г. Зг. 4г. 2тс 5t "т: „
мум у при * = -у , -j , у, минимум- при дс = -j, -j »-т • См" чеРтёж на
стр. 198. 1387. Асимптоты х = Л^~ 7с Максимуму при * = 0,2л,... мини-
минимум у при х — к, 3it,... См. чертёж на стр. 198.1338. Асимптоты х =
= ля :?—. Максимум ^="з" ПРИ Bл +1) -к- Максимум у, равный 3. при х = пк.
См. чертёж на стр. 199. 1339. Асимптота у=0.. Экстремальные значения
194

г t
К задаче 13И.
К задаче 1312.
К задаче 1319.
13*
195

К задаче 1320.
К задаче 1321,
-» о
К задаче 1322,
К задаче 1323.
К задаче 1325.
К задаче 1326.
К задаче 1327.
196

1
0
ау=
-—
txYxla-xi
(а>0)
\ ,
К задаче 1328.
К задаче 1329.
,-KOpent> урабиеии»
3
К задаче 1330.
,2^щстВеио/
уравнения- х.'*рх*Ц'О
К задаче 1331.
(Mcutcuniyu\i/\ прих—х?)
К задаче 1332.
197

К задаче 1337.
198

К задаче 1338.
y-xlnx
К задаче 1341.
у*хг1пх
К задаче 1342.
К задаче 1343.
К задаче 1344.
К задаче 134?.

.чри *, равных корням уравнения х = tgx. Затухающие волны почти постоянной
длины. 1340. Воины постоянной высоты, нэ с уменьшающейся длиной. 1341. Ми-
Минимум у при х = —.Выпуклостьвниз. При *=0точка прекращения. См. чертёж
з
на стр. 199.1342. При х = е а точка перегиба. При х = 0 точка прекращения.
_i
Минимум у при х = е а. См. чертёж на стр. 199. '343. Асимптоты х= ± 1.
Выпуклость вверх. См. чертёж на стр. 199.1344.. Асимптоты *=:?l. Возрастаю-
щаяордината. Точка перегиба лг=О.См. чертёж на стр. 199.1345» .у—убывающая
функция. Асимптоты * = —1..У = 1 .См. чертёж на стр. 199. 1346.2. 1347. 2.
1348. Один вещественный корень при а <1 и три — при в>1. 1349. При в> О
один корень; приО>в> два корня. При а < нет корней. 1350. При
в>*-1неткорней,при0<Я'<— два корня, прив<0один корень. 1353. т<[11.
1354. т> 175; 27т < — 188. 1355. О <16т < 621.1356. т = 72; 21т = -i860-
1357. т = — 1. 1358. т>0. 135Э.2/и = ± (Зг. — 2). J36B.s==ea. 1381.2а2.
1N2. Сторона, параллельная основанию сегмента, должна стягивать дугу 2 <р,
где 4 cos ? = cos о + 1^8 + coss a. I3S3. —~р=- I3S4. — • 1365. Если
Зр у 3. 4
лг — сторона вырезанного квадрата, то 6х = а-\- Ь— у в2 —ab -\-br. 1366. Если
,v — основание, ay — высота поперечного сечения, то у = *У. 1367. аг tg-^-.
1368. 4 *«3- =- «369. «я». 1370. 2кв*. 1371. ^^. 1372.
3 уТ 27
C73. — «а».А. 1374. •^-3-не». 1375. А ядз. 1376. -^L_. 1377. Высота
3 27 2 •. 3 б/З
искомого цилиндра —р=. 1378. —~f=-lb- '379- Центральный угол <р =
= 2* |/|. 1380. 60°. 1381. Л = •— . 1382. г* fa* + »г) = («»г — bv^7-
1383. в* = {It + а — xtf +(mt+b —ytf + (nt+c — ztf. где (P+mi+n*) t =
= l(xi — в) -f- m O'i—*) + л («i — с). 1385. Если х < b, то ломаная ABC. где
координаты точки С такие: ^ = 0. х у^П^г _ вг;1. При х>Ь — прямая ЛВ.
а ^ з
1386. /=(в3 — 6s) ". 1387. /пдг* = 2вр. 1388. t(v*+ vf — 2wicose) =
= /о -f 'i»i — ('if — '»i) cos o. 1389. При />4<z равновесия нет. Прн / <4e
для угла <f наклона стержня имеем равенство: 1бв
1399. Если f — угол наклона стержня к горизонту, то 2 sin a sin jitg<p =
= sin(a — Э). 1391. Когда квадраты расстояний точки до центров относятся,
как кубы радиусов. 1392. Третья касательная должна быть перпендикулярна
к биссектрисе угла между первыми двумя. S393. Если стороны принять за осн,
а координаты точки равны а я Ь, то для угла <р прямой с осью х имеем фор-
мУлУ tg ф = — "I/ — . 1394. Отверстие должно быть на середине высотц.
200

1395. Прямая должна делиться в данной точке пополам. 1397. Когда
плоскость проходит через середины четырёх рёбер. I3S3. Когда вершина —
на середине стороны. 1399. -^ lr Y%где / — образующая, г — радиус осно-
основания. 1400. Искомая нормаль должна составлять с осью параболы угол 45^.
1401. В центр круга. 1402. Наибольшая поверхность достигается при ctg-^y^,
где у — наклон граней у вершины О к плоскости основания. I4U9. Сходится
при |*|<1, расходится при |*|>1. 1410. То же. 1411. То же. 1412. Схо-
Сходится при любом х. 1413. Сходится при|лК1, расходится при|*|>1.
1414. Сходится при любом х, не равном нулю или целому отрицательному
числу. 1415а Сходится при любом хфО. 1416. Сходится при всяком х.
1417. Сходится только при * = 0. 1418. Сходится только при \х\ <1.
14(9. Сходится при 1*|< -^, расходится при |*|> -тг- 1420. Сходится при
2
I *1< е, расходится при |*|>е. 1421. Сходится при |*|<2, расходится при
1*| >2. 1422. Сходится при 1*!<1, расходится при |jc |>1. 1423. Схо-
Сходится при дг>0, расходится при *<O. I42S. Расходится. 1430. Сходится.
1431. Расходится. 1432. Сходится. 1433. Сходится. 1434. Сходится при s>0.
1435. Сходится. 1436. Сходится. 1437. Всегда сходится. 1438. Сходится при
1 Г/V5~-4-l\n+1
лгф2п*. 1439. Сходится. 1440- Сходится. I4S9. в„= — I r ^ I +
+ (-1)" (—Г"^) • |461" 2 - 7 (*-2)-(дг- 2У- + 3 (х - 2K + (х- 2)К
1462. (* + 1)» + 2(* + 1K-3 (х+\)*+(х + 1M.1472. 1 + ^ * - J-. *=+
\х\<а. 1474. _
оа
1493. A — х)" s = 1 + х. 1494. (I—*)8 s=l+x. 1495. (i—x—x*—x3) s=l.
1496. да1=1+2гЧ-3**+4*1 + • •. 1500. -J— . 1501. ji-j . 1502.1- Ц +
^|+...=cosx 1503. i+* + jf^ + _^_+..,=*•. 1509. In2 +
1 2 113
e) 15 j. 1514. Зщ, 2^, 2^, 2gj^. 1516. Если вычислить указанные
корни с помощьюсемизначных логарифмов, то получится: а) 3,107233; Ь) 4,121286;
с) 7,937006; d) 3,017088; е) 7,745966; f) 9,165151. Если же вычислять по пря-
бяижённой формуле задачи 1515, то получаются числа: а) 3,1071; Ь) 4,12121;
с) 7,937008; d) 3,017089; е) 7,74603; f) 9,16514. 1517. ^2=1^599210499.
1518. У2~= 1,4142135624. 1524. 1,4'. 1525. В 114,6 раза. 1526. Около 41'.
1527. Около 3 мм и 11 м. 1528. Около 5 м. 1530. Расстоя-
Расстояние 11,99 М. 1531. 0,01745. 1532. 0,9985. 1533. 0,1736. 1534. 3,1415926536.
201

1535. Около 510 и 130. IS37. —.. 1538.-4. 1539. —. 1540.— '1.
/и 5 2 2
1541. ~.|542- 2- <S43. 0.1544.0.1545. —. 1546.1.1547.1.1548.0. 1549. 0.
1530. 1. 1551. 0. 1552.—. 1553. -~. 1554. 1. 1555. — -i ISS5. е-К
1557. 4. 1558. f"(x). 1539. Г" (х). 1560. 1. 1551. 0. I5S2. 1. 1563. е~К
1 _2! е
1564. -Tr=. IS65. е *. 1566. 1. 1587. 1. I56S. 0. 1589. 0. 1570. —-2*
•571. —-к • если х-+0, оставаясь >0; +со, если *->0, оставаясь < 0.
1572. — . 1573. -i. '574. с* = в'+6' —2e&cosC. 1575. s= ^ ——§
н s = ^". I57S. Минимум г — — 3(a*-f- 6!— вб) при.*== 2в — 6, .у = 26—а.
1577. Максимум при х = -|,У=-~-- IS78. Минимум при * = z У2, у= — а У?
а=гЫ. При jc = j/ = 0 нет экстремального значения. I57D. Минимум при
3,t=— 4, 3_у=1. 1580. Минимум при .* =_у = а-3 81581.При.<г=у=в
минимум, еслив>0; максимум, если в<0.1582. Если кривая 2 = 0 — эллипс,
а точка (хс, ус) — его центр, то при «х = хс,у = ус максимум, если Л<0, и
минимум, еслиЛ>0. Если кривая г = 0 — не эллипс, то экстремального зна-
значения г нет. 1583. Минимум г при х=у — Ъ. Максимум г=в3+27, если
в<9, и 2в3 — 9в2 + 27, если а>9. 1584, Максимум при * = в, у=ап
равен 2в*, минимум при х-= \,у = 0или^ = 0,у = 1 и равен — 1. 1585. Если
а > Ь, то максимум при * = ± 1, _у = 0. Если а < 6, то максимум при * = 0,
у = * 1. Если в= 6, то максимум при *2-}_^,г= 1. Наименьшее значение при
х = у = 0. 1586. Максимум при З* = 3.у = 2а. 1587. Максимум при ах = 6,
ау — с. 1588. Максимум при Зх = 3.1/ = п. 1589. Максимум при 6^ = j/=k,
минимум при 2* = 2у = Зя; максимум прн 6* = 6у = 5п. 1590. Минимум при
Здг= З.у = я или 2тг. Максимум г = 1. 1591. *—.у = 2пя — максимум, *—_у=
= B/1+1) я—минимум, если в6>0. Если в6<0, то наоборот. 1592. При
х = а,у = р максимум, при ^ = я — а,.У = « + 3 минимум. 1533. Максимум при
х — у = г = в. При * = j/=2=0 нет экстремального значения. 1594. Минимум
приЪх——2,Ъу — —1,2 = —1.1595. Минимум при х ~у = г. 1596. Минимум
при х=у—г. 1597. Максимум при тх=а, ту=Ь, тг= с, т= |/ (e2-f 62-f с').
1598. Числа а, х^у«, ..., хп, о должны составлять геометрическую прогрес-
прогрессию. I599. Минимум г при * = —2, у = 0. Максимум при 7*=16, .у = 0.
1600.' Минимум г при Ъх — — 1 — Уб, Ъу — 2. Максимум при Зх = — 1 + Y$>
Зу= 2. 1601. Максимум г при Зх = — 1, З.у = 2; минимум при тех же значе-
значениях. 1602. Максимум пря х = у= 1, минимум при * = j;=— 1. 1603. При
х = 1, у = 2нет экстремального значения. 1604. При ± х= а,±у-=. а ма-
максимум z=aYl-r Y&, минимум г — — а У\ -\- УзТ 1605. Максимум прн
х =у — —aY^, минимум при х = у=га V2J606. Минимум при*=.у = а.
1607. Минимум при;е1=*г= ...z=xn=a. 1ВО8ш Максимум при дг1 = лг2=
= .,,=хп=а. 1609. Максимум при хУ2 = у У?= ^ 1. Минимум при
*У~=—у Т^2~= ± 1. 1610. Максимум при* = .у = 2 = + 1, при х — ~у=
= — г = -f 1 и т. д.; минимум при х = у = г = — 1,*= — .у = — г = — 1 и т. д.
Максимум и=1, минимум ц = — 1. 1611 - Минимум х = t ~fa, у — t У&,
г= <Ус^ /= Ул+ У*+ УсГ1612.Максимум и равен ^J# I6IS.Минимум
202

равен уA2—V"l8), максимум уA2+ У8). I6l4i Наибольшее значение
112
=-, наименьшее 4. 16IS. Экстремальные значения и являются корнями урав-
Р т> пг 1
нения ц_дг + ц_бг + ц_ 3 = 0- 1616' Наибольшее значение-^, наимень-
наименьшее 0. 1617. Максимум при Зх = п, &у = т.. 1618. Минимум разен
— -(У^РТЧ- Уа2?г+ ••• + У апРя)!- 1619. Экстремальные значения в точках,
где главные диаметры поверхности Ах"'--\~Вуа--\- Сг*+ Dxy+Exz+Fyz = М
пересекают шар х2 -\-уъ -\-г- = а2.1620. Экстремальные значения там, где оси
х* у3 г2
симметрии эллипса-^ + гг + -г = 1. lx-\-my-\-сг = Q пересекают шар
хг _(_j,2-)- г2 = 1.1Б24. Равносторонний. I62S. Равнобедренный. 1626. Длина
равда ye6sin -J, где в, Ь — стороны треугольника, <$ — угол между ними.
IS23. Ортоцентрический треугольник, вершины которого — в основаниях вы-
высот данного. 1629. Прямоугольник. 1630. Координаты искомой точки равны
арифметическим средним координат вершин. 1631. Пересечение диагоналей.
IS32. Координаты её равны арифметическим средним координат данных точек.
1633. Площадь четырёхугольника, вписанного в круг. 1634. Многоугольник,
вписанный в круг. 1639. Площадь -=-e2sin— правильного многоугольника.
1636. Плодцадь ив8 tg — правильного многоугольника. 1637. Равносторонний
треугольник. 1638. Площадь его 2#*sin я, где R — радиус круга. 1639. Если
s — площадь треугольника, а, Ь, с — стороны, х, у, г — расстояния точки до
стороны, то (в8 + *! + с1) х = 2sa, (в! + *4 + <*)У = 2**. (в' + ь* + с')г = 2«с.
1640. Плоскость, перпендикулярная к радиусу-вектору, проведённому из на-
начала в данную точку. 1641. Точка (в, 0,0), если в>6>с. 1642. eJ. 1643. а3.
I644.j+fj + g = 3. 1645.-^ + ^ + 7- = 3- I64B- x=y = z =
где 6ft/3 = v — 2А3.1647. Осевое сечение цилиндра — квадрат. 1648. Высота
параллелепипеда равна -^ , где Л —высота конуса. 1649. Если R—радиус
о
основания конуса, то я#гУ~3 = .?. I6S0. R = I. I65I. Касательная
в этой точке должна, быть параллельна прямой, соединяющей данные точки.
о
I6S2. р У~5. 1653. Высота сегмента должна составлять j- высоты треуголь-
треугольника.. I6S4. Освоение должно проходить через середину другой полуоси.
1655. Абсцисса искомой точки х находится из равенства: (вг—Ьг) х'г=та!, если
|влг|<в2—№. При |о/л|>в2 — Л! должно быть: v = asi%nm. 1656. Равно-
Равнобедренный треугольник с вершиной на другой оси. 1857. Нормаль должна
/*в' — 26' .,,/~2e' —ft*
то нормаль проходит через точку х = it в* у gi_ft4 , у = ± Ь* у д4_^
Если же аг<26г, то нормаль совпадает с малой осью эллипса. 1659.x у"в-|-6=
= ^: Ув3, у Ув + й = ^ У*3. Здесь х и у — координаты точки касания.
203

I860. 5 YcfiP + Ъп-т* + с"л? = r.abc У'Р + /и* + «2- 1661. -^- + -^ + -^ =
ft
3
_
~у аЧ , 6з" , С1.1663. 2К=а6Л2;^-~—, jj - , -~\— вершина парал-
параллелепипеда. 1264. -4=-Ь-4^ Н—r^= Ya + Ь 4- с — одна из восьми таких
У а У ft Yc
плоскостей. 1665. Точка касания плоскости (=t —— , :? -—, bz —=).
\ УЗ т^З УЗ/
1666. Уравнение контура эксцентрика в полярных координатах имеет вид:
r — a-\-bcos(n?^a). 1667. Контур диска должен состоять из двух спи-
— 1. ?
ралей Архимеда г—а?. 1868. Синусоидой, 1671. Астроида х3 -{-.у 3 =/s ,
1872. (.«' + у-)* — Г-хгу\ 1673. {xi^-y^)'l=ax{xi—y'1). (Точка О принята за
начало координат, прямая OOL — за ось О#). 1674. (—J -f- (———J =1.
1675. л2(лг + у"— ах)* = aJ(*-аJ(^ + jr«). 1676. (х* + у5) (л= + 2v"—2у)
= 40^'. 1677. (д:2+^!),у2 = а4д;2. 1678. Две улитки Паскаля (см. отд. I,
зад. .N» 129). F7Э. Лемниската. 1630. То же. 1681. В полярных координатах:
(Г2_С2) sjj! e = ;? а". При этом полюс —в середине отрезка между данными точ-
точками, а полярной осью служит сам отрезок. 1882. F3jcs-(- а~Уг) iflty* + b^x^) =
==я<й*(а3 — №)'*х-у~. 1683. Окружность или лемниската (в зависимости от
того, находятся ли вращающиеся стержни по одну и ту же или по разные сто-
стороны от оси Ох). 1686. Парабола. 1687. Часть прямой х—у = 2, где jc>2.
1688. Отрезок прямой —-\-~- = 1, заключённый между осями. 1689. Часть
параболы Yx-\- УЧ— У а, заключённая между точками (а, 0) и @, а) её
касания с осями. 1690. B,2) — самая левая, F,—2)—самая низкая точка.
1691. je = ecos/,.y = &sin/. 1692. x = acht, _y = ftsh/. 1693. х = а
1700.
1702. tih + Va + V* +1 = 0. 1703. Ws + ^i?i + VA + W*'+ ^i + /»+
4- f3 ^- ^ = o. 1705. Пересекая лемнискату с окружностью #3 4-У3 — at(x —у),
получим при соответствующем t любую точку кривой. Её координаты выразятся
формулами:х == а (Л[ ,У = а ц,{-1708>45°-1709>и = *• 1710'я=1-
1711. ^ = л. 1712. * = 0н ^ = 0. 1713. j;=^-sin-^. 1717.A = -| 4-90°-
1718. у = х. 1719. л—j; —3 = 0. 1720. б.г — 5^4-21 = 0. 8721-4* —2^ —
— За = 0.' 1722. jc = 2г.а. 1723. Нормали в точках, где у = 2:30° и ? = sr 150°.
1724. (je±.y) у==^:а.1715.д:=>'+4-1742. Подкасательная-^ .поднормалья-.
/4 5 \
1745. Центр одного из кругов — в точке, где ¦* = (—!—7="-)а* У —
=)а. 1746. Центр одного из кругов —в точке (х, у),
3 /41/
C+ V$)a> У У^—(^+ У&)а. 1747. Центр круга —в точке {х, у).

где 4 У* =* я — 4, 4.у >/ = гс-j-4. 1749. Тангенс наибольшей разности
равен fl8~bfc2. Сама она около 11'. 1761. (х* + .у5)* =ea*3+ &".У*- 1762. Цис-
Циссоида, асимптотой которой служит директриса параболы. 1763. х = 0— каса-
и и
тельная в вершине. 1764. Лемниската. 1765.
и и
,в (х*4-.У*)""" • 1766. Логарифмическая спираль. 1767. г"+1 =
и
=гд"+гсо5 "?. . 1768. Спираль Архимеда (см. ответ на задачу № 1667).
п + 1
1770. Циссоида. 1771. Окружность. 1772. Окружность. 1773. {
— аъ—Ьг; аг>6*. При а*<Ь" таких углов нет. 1774. 2 {хг-{-y*
= а'(х«-Л!. 1775. Парабола. 1776. * = «(-§• +' — \ cos/), ^ =
+.-=-sinf, где /— тот же параметр, что и у циклоиды. 1777. Удлинённая
циклоида Делагира. 1779. Парабола. 1781. .у8-)-х-(у + тг) — 0 (циссоида).
1733. (х-+у-)- = 4(а-х^+Ь-у"). 1784. При jc<0. 1785. Выпуклость обра-
обращена к оси Ох. 1786. Вогнутость к оси Оу. 1787. Выпуклость к полюсу.
1791. 112 и 111 км. 1791. т/"BД"^3/)ЗЛ:- «792. р. 1793. -i
? оа- о
J794.-!| УТЗ. 1795. а. 1796. —^—. 1797. а/. I7S8. 4asin-?-
cosi
а
1799. —cos—. 1800. а. 1801. — • 1802. Ha конце большой оси;
3 2 3 У 5
равна -|j-(a>&). 1803. В точке @, 0); равна . 1804. В точке @, а);
равна i. 1806. Bа, 2а). 1807. хе = - - Д2^ ~ ^
. 1308. (е-ЧО). 1809.*с =- + - Bcos ? - cos2?),^e =
2 6
_^2=. 1308. (еЧО). 1809.*с = +
Bа+д:)уа— х 2 6
а ,п . , п\ 1в1_ Заcos«?A+8sin* н>)
_ {2 sin ? - sin 2?). 1810. * - - ^ "
1820. jr =
15^]' 1829ш ОкРУЖНОСТь ^2+У = ^,где га-
радиус кривизны в данной точке (касательная в данной точке принята за
ось х, нормаль —за ось у). 1830. *«= д cos/cos 2/, у = — b sin / сое 2/.
1831. 4 (jc* 4-УУ — *гхг + Ь*у*. 1832. 27ру"- = 8 (л: —р)8. 1833. (ал) ? +
i 1 2 ? _2
K == (а* — *«) s . 1834. {ах) 3 — F>) 3 = {а* + *")s • 1835. Астроида
205

i3. 1836. (if ).ба2(-^Г4-За:5л-=0. 1837.
1338. x = a ln-v~ »^ +y-=
1839. д: = tea + «("t — sin т), _y = — 2a 4- e A — cos i) (циклоида). 1840. Кар-
Кардиоида. 1841. 32
. 1842. Гипоциклоида x~3aBcost — cos2t), у = 3aBsint-{-
+ sin2f). 1843. Цепная линия _y = «ch —. 1844. jc = a(arccosn —
— u~l УI — u*), alnu = a-f ^. 1845. д?4-^*=»а*. 1846. При том же по-
полюсе и соответствующем повороте полярной оси уравнение эеолюты: ri =
= e-f1. 1848.8a. 1849. -у. 1830. Sa. 1831.-^A9/19 — 1).
1852. р C УЗ"— 1). 1833. ,У\ + a-2 e*f« (е2ка — 1). 1854.^ = rt 1.1853. v =
— + х. 1856. ^онтур квадрата |х| +1 У\ = 1.1857. ± д: ±^ = 1. 1838. х* +
-)-j'3=«i3. I8S9. Гипербола, для которой стороны угла — асимптоты.
_ 2
1860. Ух + У~У = Ус. 186<- х3+У3
— (v+ Л) cos a. 1863. (х+у-\-Ь)* + (у — х + Ь)*=:а*. 1864. Циклоида.
1863. Циклоида. 1866. x* + 2y* = 2(i\ 1867. л-' + ху* + ру* = 0, если у*=
— 2рх—уравнение параболы. 1868. Если у1 = 2рх-\-р*— уравнение пара-
параболы, то огибающей будет 1; прямая х-\-р — 0 и 2) окружность 2х--\-2уг =
= рх +р*. 186Э. iaV -f- 4йа>2 = (^2 +>"*)г. если &гж2 4- <*-у"" = aii>" ~ УРавне-
яие данного эллипса. 1870. 1) у — О, 2) х = a a°^T ," , ^ =д -п^гЦ «
тип год
= 7,- '«3. (^)'П+П +(|)m+" =1. 1874. Кардиоида.
1873. Эпициклоида, у которой радиус катящегося круга равен полрвине рд-
.„_ р *в4-бA+х)'*4б>гг44>-
диуса неподвижного круга. 1876. х=2{1 + 2к)—— — 3^ —
fi . 1877. (в.—2в), Bв, — о);о=±1. 1878. (О,
I ii^—, ^~- I; в = ± 1.1880. Вершины с касательными, параллельными оси
Ох, — в точках (± а, ± а); с касательными, параллельными оси Оу, — в точках
((i I =t У~2) а, 0). 1881. Bя 4-1)ж* = 2. 1882. ±.r /f=
1883.-|. 1884. x = =t.l. 1883. (О, a), (a,0). 1886. A,0). 1887. д: /3 =
= ±а. 1888. jc = O. 1889. д:=2 ид: = 6. 1890.2* = — 1. 1891. х=?е *.
1892. лг=даг. 1893. 8д: = Bn + U *• 1894. 6? = ±тс. 1895» Точка пере-
перегиба находится из уравнения 2«g3<f4-3tgs? 4-3 = 0. 189S. @,0)—точка
206

возврата. 1897. @,0) — двойная точка при а>0, изолированная при а<0,
точка возврата при л = 0 и Ь ф 0. 1893. То же. 1899. @,0) — двойная
точка. 1900. @,0) —изолированная точка. I9OI. @,0)—тройная точка
с/совпадающей касательной _у = 0. 1902. То же, но с касательными jc = O,
у — х. 1903. @,0) — изолированная точка. 1904.4а- -j- 27b~ = 0. 190S. @,1)—
точка прекращения. 1907.@,0) — точка прекращения. 1903. Тоже.
1909. В начале координат разрыв. I9IO.. Разрыв в начале координат.
1911а Угловая точка в начале координат. 1912. Конечный разрыв при х = 0.
1913. Угловая точка при х = 0. 1914. В окрестности точки х = 0 бесконеч-
бесконечное множество вершин. 1915. То же. 1916. То же. 1917. (е,е)—двойная
точка. 1913. х = 1, у= 1. 1919. у = 0г х = 3. 1920.* = — 1,у=±1.
1921. у = х, лг = О. 1922. х = 0, х = 1, х = 2. 1923. у = ±(х+а).
х = а. 1924. 2у = rt B* — Ь),х = — Ь. 1925.3^ = 3^ + 2. 1926. х+ v = 0.
1927. х -\-у + а = 0. 1928. х -{-у — 0. 1929. rsin ? = а. 1930. Максимум \у\
при 2х = 3. Остриё в @, 0). При 2х = 3 — УЗ точка перегиба. В точке B,0) ка-
касательная параллельна оси Оу. См. чертёж на стр. 208.1931. Псевдоквздрат с че-
четырьмя осями симметрии. О А = а, ВС = а(у2— \2). См. чертёж на стр. 208.
1332. Ещё большее приближение к квадрату. ВС = а У2 \1 — 2 ап/^» ;^--
1933. Похожа на гиперболу. Асимптота 2_у=±дг. Область существования: ,vs>6.
См. чертёж на стр.208.1934. Область существования: I* 1<5. В начале коорди-
координат двойная точка с касательными 5у=±4х. Максимум у при .t=±]/r2a
'минимум при* = ;? у~5. См. чертёж на стр. 208.1933. Область существования1
| х | <1. В начале двойная точка с касательной^ = 0. Максимум j у | при 3* = 2.
Точка перегиба при х УТ2 = ±У$— ]ЛзХ См. чертёж на стр.208.1936. Вна-
Вначале тонка с двойной касательной у=0. Вершины в точках (:±:6,12),
(±6 1^2,8). См. чертёж иа стр. 208. 1937. В начале точка самосоприкоснове-
д-+- у 209
ния. Максимум |.у| при Л = ~ . Область существования: — 1 <jc<4.
См. чертёж на стр. 208. 1938. В начале — точка самосоприкосновения. При
\х\<УЗ имеем у= ±Ух + УАх- — х*. Прн УТ<*<2 имеем у =
= ± У х± У4jc8 — х*. Касательная, параллельная оси- Ох, — при х =
-g^— . Касательная, параллельная оси Оу, — в точках (± 1^3,0)
и B, ± У%. См. чертёж на стр. 209. 1939. При 0<_у<6 имеем х =
yi6yi+by3— у*, при — 2 < у < 0. имеем х =
= ± V — *У± У\Ъуг + &у3—у*. Касательная, параллельная оси Ох,—
в точках @,6), (:? 2 У2, — 2). В начале тройная точка с касательными у=0.
у У~3 — 2:2х. См. чертёж_на стр. 209. 1940.. Касательная, параллельная оси
Од:, —в точках @, ± У2), @, ± 2 У2),_ (rt 2, rt: УТо). Касательная, парал-
параллельная оси Оу, — в точках (±3, ± У5); точки (±2,0) — двойные. См. чер-
чертёж на стр. 209. 1941. В начале двойная точка; оси координат — касательные.
8/-J 8/У
хг = у "Те" > -Vi = I/ jg • См. чертёж иа стр. 209. 1942. В начале двойная
точка с касательнымиy=zzx УЪЬ. Касательная, параллельная оси Ох, — в точ-
точках f-j, rt j У1 \ f -я-, :? —^—J. Касательная, параллельная оси Оу,—в точ-
точках E,0), G,0), \^-^'— %ц4^).Си.черг6ж на-стр.209. 1943.Кардиоида —
201

К задаче 1931.
П
К задаче 1930.
К задаче 1933.
у'-
К задаче 1934.
К задаче 1935.
х.
К задаче 1936.
К задаче 1937.
208

14 Зак. 45ЧЭ. CGodhhk задач, т. I

частный случай улитки Паскаля. В начале' точка возврата с касатель-
касательной у = 0. Касательная, параллельная оси Ох,— в точках J3, ± ^27). Каса-
Касательная, парзллельиая оси Оу. — в точках (8,0), (—1,± ]^3). См. чертёж на
стр.209.1944. Начало — тройная точка; оси координат—касательные в нём.Ка-
нём.Касательная, параллельная оси Ох,—в точках (УТ2, =t V& 1^12)- Касательная,па-
Касательная,параллельная осиОу,— в точках D, ±4). См. чертёж на стр. 213. 1945. Бисквит.
Начало — изолированная точка. Касательная, параллельная оси Ох, — в точках
1, Касательная; параллельная оси Оу,—в точках
См. чертёж на стр. 213. 1946. Четырйхле-
пе«тиик. Начало — четверная точка кривой; оси координат—касательные в нём.
Касательная, параллельная оси Ох,—в точках (з: у~:±: 2); касательная, парал-
параллельная оси Оу — в точках {± 2, ± У'2). Прямые у = ± х — оси симметрии.
См. чертёж иа стр. 213. 1947. Лемниската. Начало —двойная точка; оси коор-
координат—касательные в нём. Касательная, параллельная оси Ох,—в точках (о |/з,
о у 27); касательная, параллельная оси Оу, — в точках (j ]/27,о уЗ), где 4j =
= ± 1. Прямая у — х —ось симметрии. См. чертёж на стр. 213. 1948. Точка
(,0)—двойная с касательными у = + (х—1). Касательная, параллельная оси
/\ 2 \
Ох, — в точках (-к у ±"Г~Гг71. Касательная, параллельная оси Оу,—в точке
ГО, 0). См. чертёж на стр. 213. 1949. Двойная точка в @,0) с касательной у — 0.
Касательная.параллельпаяосиО.уг.дг+^О^асательная, параллельная оси Ох,—
24
в точке х — — =g. См. чертёж на стр. 213.1950. Начало—двойная точка с каса-
касательной _у = 0.'Касательная, параллельная сси Ох, — вточках(—4,±4).Каса-
вточках(—4,±4).Касательная, параллельная оси Оу,—в точке (—5.0). См. чертеж на стр.214.1951. На-
Начало— тройная точка с касательными: у =s о,у=х,у= — х. Есть параболические
ветви. Касательная, параллельная оси Ох, — в точках
касательная, параллельная оси Оу, — в точках
, ., : 1. См. чертёж на стр. 214.195Z. Начало координат—тройная
У /
точка с касательными х — 0 и _у =0. Имеется касательная, параллельная оси Ох,
и касательная, параллельная оси Оу (не считая касательных в начале координат;.
См. чертёж иа стр. 214.1Э53. Начало координат—тройная точка с касательной
у — 0. Касательная, парзллельиая оси Ох, — в точке A,-1;. Касательная, парал-
параллельная оси Оу, — ь точке [-7г |/4. — ¦— J. Криволинейная асимптота:_у = х- -{-
о
+ — х. См. чертёж на стр. 214. 1954. Начало — тройная' точка с касательными
3
у = о, у — =t У~2х. Касатель"ная, параллельная оси Оу, — в точках [db у -^-,
-г-). Касательная, параллельная оси Ох,—в точках C:2 2). Две параболические
210

ветви, на которых ха'.у-*—к 2 при удалении в бесконечность. См. чертёж на
стр. 214.1955. Асимптота у—х. В начале координат перегиб с касательной у=2х.
Вершин нет. См. чертёж на стр. 215. 1936. Асимптоты у — ^ х. Касательная,
параллельная оси Оу, — в точках @,0), (У2,0). См. чертёж на стр. 215. 1937.
Асимптоты х = 0 и у= х. Касательная, параллельная оси Ох, — в точках @,0);
(— У2, — 2 У2); касательная, параллельная оси Оу, — в точке (в, — о);
о У\ — 1; См. чертёж на стр. 215. 1958.. Асимптоты х — 0, у = 0. Касательная
/ъ/~~а 2 5/"9\
параллельная оси Ох, — в точке A/ -„- , -г-1/ -gh касательная, параллель-
/ 2 5/~ТГ &/~~9\
иая оси Оу, — в точке ( — -^ Т/ —, —1/ -j-). В начале — касательная
\ о Г о го/
j» = д:. Параллельная ей касательная — в точке (— ]/ 2, у 2). См. чертёж на стр.
215.1959. Асимптоты х-= 0,.у=0. Касательная, параллельная оси Ох,—в точке
(— 2, — уJ; касательная, параллельная оси Qy, — в точке A,1). В начале —
касательная х — 2у — 0. См. чертёж на стр. 215. (960. Асимптота jc+j/ = O.
В начале — точка перегиба с касательной х = 0. Две вершины с касательными,
параллельными оси Ох, в точкахх = _~ -,у = rt A^5 + 1)х.
См. чертёж на стр.215. 1961. Асимптоты у = ± х. Касательные, параллельные
осям, — в точках /—;—, -—\ и (-—, ^—J. См. чертёж на стр.
\ f32 f32/ \f32 f32/
216.1962. Асимптоты у — ±х У%. Касательные, параллельные оси Оу,—в точ-
точках: (о, о), (--\f~\, ± j^-j) • (- ~\[~\' °)' См" чертёж на стр" 216>
1963. Асимптоты х = 0, у = 0, у — х. В @, 0) — перегиб с касательной
у= —х. .Касательная, параллельная оси Ох, — в точках (а, (УТ+1)а),
(—а, а (У2 — I)); о= ±1. См. чертёж на стр. 216. 1964. Асимптоты * = 0,
.у = 0. Касательная, параллельная оси Ох,—в точке @,1)- См. чертёж на стр. 216.
1965. Асимптоты jf = 0, у = Q,y = =s x. Оси симметрии: у :? A :? Y2)x = Q.
См. чертёж на стр. 216.1966. Асимптоты х — 0, у = 0,У — х. Уравнение кривой
в полярных координатах: r*sin2<? A—sin2«p)=24. При ? = т^ • тт». "TJ' То" ве"
личина г минимальная. См. чертёж на стр. 217. 1967. Асимптота х-\-а = 0.
В начале — двойная точка с касательными у = п: х. Касательная, параллельная
оси Оу, — в точке (а, 0); касательная, параллельная оси Ох. — в точках
\1 5~ У а, ± Л/ 5 2~П а)' См" чеРтёж на СТР- 217> |968'
х—у zH 1 = 0. В @,0) —двойная точка с касательными х = 0,у — 0. См. чертёж
на стр. 217. 1969. Асимптоты у— ±2. Начало — двойная точка с касательной
х = 0. См. чертёж на стр. 217.1970. Асимптоты у — ± х. В начале координат —
двойная точка с касательными *=0 и ^=0. Пять точек перегиба. См. чертёж на
стр. 217.1971. Асимптоты х = rt 2. Начало—двойная точка с касательнойу=х.
Касательная, параллельная оси Ох, — в точках (:+: 2У tA — /),± 2/ У"/A—/)),
где ^—корень уравнения Р + 2/—1 =0 (/л;0.45); касательная, параллельная оси
Oj/,—в точках (±2 У?:р2 У*2). См. чертёж на стр. 218.1972. Асимптоты
14* 211

у = ±х. Пяти точек перегиба. В начале координат —двойная точка с касатель-
ными 2у rt х = 0. Вершин нет. См. чертёж на стр. 218. 1973. Асимптота у=0.
Особая точка @,-1) — двойная, с касательными Ъу -)-3 ± уГЗх = О.Касатель-
ная.параллельнаяосиОд:,—вточках@,^:2).(Конхоида Никомеда.) См. чертёж
на стр. 218.1974. Асимптоты х = ± l,y = znx. Касательная, параллельная беи
Оу, —в точках (±2, 0). Начало — двойная точка с касательными у-=*+2х.
См. чертёж на стр. 218.1975. Асимптоты у =2, х— ±\. Начало—Двойная точка
с касательными у = A±Уо)х. Касательная, параллельная оси Оу,—
в точке(-х, -=-)• См. чертёж на стр.218.1976. Асимптоты у = :? х. Начало-
двойная точка с касательннми2.у=:?у~2л:. Касательная, параллельная оси Ох,~
;касатёльная, параллельная оси
Оу —в точках (:? 1.0). См. чертёж на стр. 218.1977. Асимптоты^= +1, х— —1,
х =—2. Начало — двойная точка с касательными х = rtу У. См. чертёж на
стр.219. 1978. Асимптоты х = %_у = — 1,х +.У + 1 =0. Начало — двойная
точка с касательными 2у = zz ул:. Касательная, параллельная оси Ох,—в точ-
точках D,— 4 и 2 V~2). См. чертёж на cip. 219.1979. Асимптота х = 2а. Начало-
точка возврата с касательной у = 0. (Циссоида Диоклеса.) См. черт, на стр. 219.
1980. Асимптота, х 4-у= \. 'Начало — точка возврата с касательной х = 0,
.C, 0)—точка перегиба с касательной, параллельной оси Оу. В точке B, ~frty
касательная параллельна оснОх. См. чертеж на стр. 219. 1Э81. Начало коорди-
координат— точка возврата с касательной х = 0. Асимптоты х= \,у=х + -я--. Одна
о
касательная параллельна оси Ох. См. чертёж на стр. 219. 1982. Скифоида.
Асимптоты у + 1 = з= '*• Начало — тройная точка с касательными х = 0и
у = 0. См. чертёж . на стр. 220. 1983. Асимптота 4х — 8у—1=0. Криво-
Криволинейная асимптота Ьу = —16.*8 — Ах-\-\. Начало — точка возврата, с каса-
(9 27\
—<г . —оу);
касательная, параллельная оси Оу, — в точке (—1, —1). См. чертёж на стр.220.
1984. Асимптоты 8у = 1 ± 4х У. Криволинейная асимптота у =^хп- — -j.
Касательная, параллельная оси Ох,—в точках @, 0), (± 1, 1); касательная,
/ /7 9\
пара^ельная оси Оу, — в точках I —"I/ ^, -jr). См. чертёж на стр.220.
1985. Асимптоты д: = ±1,>=±1. См. чертёж на стр. 220. 1986. Асимп-
Асимптота j;+j» = O. Начало—тройная точка с касательными лс = 0, у = 0ш
5S
E S ч
У~4 V16 1
~=, —=. ]; касатель-
(ю ю N
V"lo8 У481
•' . -Ц=] • См. чертёж на
у 5 У 5 /
стр. 220.1987. Асимптота дс=1. Криволинейная асимптота^ = ±х Ух \х—1) +
4-х—1. Начало—точка возврата с касательной _у=0. Касательная, параллельная
ос* Ох\—вточке (-=-, ¦==-). См. чертёж на стр. 220. 1988.Асимптотах = 1.
Точка возврата B,0). См. чертеж на стр. 221.1989. Асимптоты * = —., y = -g,
( — 1 ± Y2 zc Y2\
у = 1. Касательная, параллельная оси Оу, — в 'точках 1 к • —jf—/"
См. чертёж на стр 221. 1990» Асимптоты 2^ = ^:1. Касательная, парал-
212

К задаче 1944.
К задаче 1946.
(
\
л
Y
к.
У
X'+!/*=
0
1
/i
1
\
1
К задаче 1948.
К задаче 1919.
213"

К задаче 1950.
У
11
1 1
1 1
I i z*+2x>y-y3=0
\ \
1 i
1 V
\ i
\ V
\ )
\ V
\ \
\ \
\\
0
/1
;
//
:
> t
ii
/
К задаче 1351.
У
К задаче 1052.
К задаче 1953.
К задаче 1951.
214

К задаче 1955.
хг(х-у)г*у*О
К задаче 1957.
К задаче 1956.
К задаче 1958.
К задаче 195Э.
К задаче 1960.
215

216

VI
I / %
1 I' V
К задаче 196S.
К задаче 1968.
К задаче 19S9.
К задаче 1970.
217

У
V
¦"Г
/
т
с" -
К задаче 1971.
К задаче 1973.
К задаче 1974.
К задаче 1975.
К задаче 1976.
218

К задаче 1977.
К задаче 1979.
К задаче 1980.
К задаче 1981.
219

К задаче 1982.
4,
К задаче 1984.
О
К задаче 1983.
А
1 0
Т"'
к
I
К задаче 1985.
К задаче 1986.
К задаче 1987.
220

¦У
2*t*
К задаче 1988.
К задаче 1989.
К задаче 1990.
\
Ч 0
V
А
К задаче 1991.
К.задаче 1992..
221

лельная оси Ох, — при t уЗ = ± 1; касательная, параллельная оси Оу, —
при t = Q и / = оо. См. чертёж на стр. 221. 1991* Асимптоты х+у±:2 = 0
и х=д. Касательная, параллельная оси Ох, — при 2^=^1^5+1^17.
См. чертеж на стр. 221. 1892. Асимптоты х=1, 3.v = 4, у = 2, 3^ = 2.
Касательная, параллельная оси Ох, — при t= — 2 ± VS, и параллельная оси
Оу—при t = 0. См. чертёж на стр.221. ?393. Асимптота х = 1. Двой-
Двойная точка в начале. Касательная, параллельная оси Оу, — при t=Q.
Две вершины с касательными, параллельными оси Ох. S3S4. Асимп-
Асимптота jc-)- 1 = 0. Двойная точка при / = 0 и t=l. Касательная, параллельная
осп Оу, — при t = —1 rt V; касательная, параллельная оси Ох, — при t,
равном корню уравнения fi-\-3t —
— 2 = 0, т.е. при / = 0,596.. 1995.
Асимптоты Ау = 2х — 3, 2х + 1 = 0,
у = 0. Касат'сльяая,параллельная оси
Ov,—при г = 0 и t=2.1996. Асимп-
тош: 2jc=9, 2y=—9,х — у=6. При
t = 0 — точка возврата. При t = —'2
касательная, параллельная оси Ох,
а при t = 2 касательная, параллельная
оси Оу, 1997. Б начале — тройная
точка. Асимптота у = х + 1. Две па-
параболические ветви. 1998. Начало-
двойная точка. Асимптота у = 0. Че-
Четыре точки, где касательная парал-
параллельна оси Ох. 1999. Асимптоты
у=^г.а. Начало—двойная точка.
2000. Двойная точка (е, е). Асимптоты
х — 1 =0hj/ — 1 = 0. См. чертёж.
К задаче 2000.
2002.
a b с
«i h cj.
= 0. 20Э5. * =
: a sin t cos /, z = a cos t.
2007,
ных коорцинатах г
_Зу+1 _2г-1 х — А _
1=0; г = 0. 2008. В соответствующих поляр-
Ах—\
=z — 2.2OI3.
, cosp;
= sin-^-, cos ^-,cos7= cos—. 2014. При/= ли касательная параллельна д:Оу,
при
/ = Bл+1)~ касательная параллельна хОг. 2015. х-\-Ъу= 10,
?016.
1:017. 2m (jcj-1- у) = г + 2т5; * = з>. 2018. т cos а = "^ а, т cos |
mcosY=>r2T; /я = 1Лг + * + 2г. ,2019. Л1соза = — /иг,
2020.
= г + 6.
2021.
¦:202Z.(x±y)
2025. а = i —:. 2036. Окружность гл: = т д sin б гу = а cos t,
rz = b; r= Ya"-+b-. 2037* Jc = sins/, > = —sin/cos/, г = cos t. (Кривая
Вивиани, см. зад. № 2005). 2039. 6х — &у — г + 3 = а 2040. * = ау + Ь.
2041. xY~b~±yVa = 0. 2042. — e-*x+e*y+z Y~
2043. bxsint — bycost+a(z— bt) = Q. 2044. (в.»! —
+ (аЬг — аф) [у — у0) + («1* — a»i) (г — г0) = 0. 2046. ху0 — хъу = <д.
z = Zq— главная нормаль; x0X + y0Y= а9, а*(Х—хо) = by(Z—z0) — бинор-
222

маль. 2047. Бинормаль: х = 6/ + 1, у = — 8/+1, z = — *+1; главная нор-
нормаль: jc = — 31/+ 1, у = — 23/+1. z = 22/+l. 2048. Вектор бинормали
5A, —2/, /8), главной нормали N{2t+P, 1—t*, — t — 2fi).2Q*9.x=:2t +
+ ~. jr = -2/+|. *=./ + !—бинорыам,; *=.» + -!. y = t+j.
z = — 2/+ -^- — главная нормаль. 2052. —- -у-^ = sin x cos .r. 2053. Вин-
Винтовая линия jc = (а +/) cos/, у = (а + /) sin t, z = bt. 2054. .y = Jctg-r .
20,55. Параметрическое представление точек поверхности: jc = acosa +
+ bv sin ц, у = a sin u — bv cos a, z — au-\-bv. 20S6. p l/ 1-j-sin2-^-= 4.
2057. psh/=a yich'/. 2058. p /2 = (* + у)*. 2059. рУ~2 = Зе<.
2080. 2p = ach/. 2051. p У а + b = У(л + 6 + 2z)'. 2062. Р=У"б'.
2063. 12т = 64.у« + 36уЗ+1. 2064. вр = в/-=(.у + л)г. 206S. 2aWp =
= (a* -f ЬЩ-; r = — p. 2067. Если шаг винта равен длине окружности
цилиндра. 2063. Центр лежит на оси кривизны на расстоянии —г ~?~.
от центра кривиз.чы. 2070. 9/-«г = 2?-/; — на соприкасающейся плоскости:
6рг!;=— с3 — на спрямляющей плоскости; 9rC! = 2pvJ — на нормальной пло-
плоскости. 2076. (тх — 1у)г-\- Aг — nxf-\-iny — mzp — а- (Г- + /я2 + л2).
2077( + 4+ 9« 14(^+4^ + 9'— 1). 2078. (nx-l)*+ ()*
( у)\ ( f\y p ( + +
2077.(* + 4jr+ 9z;« = 14(^+4^ + 92'— 1). 2078. (nx-lz)*+ (ny-mz)*
= an(ny — mz). 2079. (x+ 1)'= 2v2 + z«. 2030. Fz — cj/)!= 2^ f« — c)X
X(az —сд:). 2031. c^(je« + y*)* = a«(jc* — />)(z + cK. 2082. 4(«+^}
3( 2084.
20S5. ^'^ Z- — -^ ='1. 2086. y*+z*=:2px. 2087. (/F+l' — a)'* +
+y« = ^!. ?088. у* = 4p= (^ + z*). 2089. (д:2 + у"- + z-)* = a» {xi—yi — z*\
2090. (A2+y-+z2^ = a?(^— У + z5). 2091. Циклоида. 2092.
= a sin в cos <p, з> = 6 sin 0 sin <p, z = с cos 6. 2093. У x + VlM" У г =
2 2 2 2
2094. Л +у~* + z 3 а=аТ. 2095. ? + ^- + -? = 1.' 2096. ^
— zzi-20Э8' Х+У+Зг = 9. 2099. xx?rl
1"-i=a»-1. 2100. B/-2—а2)^^+B/-- + a-)y1y+Br'>~a?)zxz=r*;
\г\. 2S02. х + у + г — 3 = 0. 2103. ^ = JCi.
;с13'==аг> У—Ух< у]Х-=.аг. 2104. jcslno — _у cos о + -г- — и».
2105. Здс — З.у + z = 2. 2112. jecosa +>sin и = a;
2 — a1. 2126. (je*+.yJ + z2,2 = а2жг + &*у! + cJ22. 2127.
= 4 (a2*2 + №у* + с*гг). 2129. .y2+z2=l. 2130. _y2
=2 — xY^-r &• 2131. («jr — mz)- + (/г — nje)*+.(mr — /у)'=д5(/2 + /я
2132. 4(jc* + у«) = 4г + 1. 2133. л:2-" ' ^^ r''2 ' J
2134. л2 — z2 = (/- rt у л-* +>г). 2135. v2 = 2(je + z). 2136. {ях— >
+ {py — mtJ+(oz — пх)ъ=рН*, где и = Р + /я2 + лг-—Рг» t¦= Ix-\-my-\-nz.
• JL —
2137. U| + |.y| + |z| = l. 2138. x3 +y* +zs =1. 2139.
2140. -д*+>» + «»= с»; (rt + l)' = /i. 2142. .-^ и -^-. .2143. р н q.
2144. m^i = — тЛг = ц« + /и2 2145. aR^iz + У/я* + z*)m,
223

aR2 = (г — Ут- + г*) m; m~ = x -J-p -J- a-. 2146. Rx = — R* = e* -f e-*—
— cos д; cos j». 2147. #i = — R2 = ch x ch _y. 214S. /?i = — ^2 = ach2 —
a '
2150. Точки пересечения эллипсоида с прямыми _у = 0, схУ~Ь* — с'^г
i:агVa'- — № = 0, если «>6>с. 2151. Точки пересечения эллипсоида
( г — 1 = 0, f г — 1 = О, Л. _ 1
с прямыми \ , . . < „ , д „ 2152. —
\ х + 2у — 2 = 0, I Злт + 4у —1=0. *
V2\2 /'/"
+ ^2) . 2155. Полная кривизна равна — -t-Л*J » сРеДняя кри-
1 г /' A +/'2I
визна равна: \f-\ —! . 2157.
2A+ЛJ
2!S7. A+/'*)(-?г-)а = гЦсгг— 1); с —