Текст
секреты преподавания математики
С.В.Еременко А. М. Сохет В. Г. Ушаков
Элежнти геометрии $ зшиях
С. В. Еременко А. М. Сохет В. Г. Ушаков
Элементы геометрии £ зщмях
>
MUHMO Москва 2003
ББК 22.151.0
УДК 514.11
Е70
Еременко С. В., Сохет А. М., Ушаков В. Г.
Е70 Элементы геометрии в задачах. — М.: МЦНМО, 2003. — 168 с.
ISBN 5-94057-035-6
Книга написана на основе занятий по геометрии, проводившихся авторами со школьниками физико-математической школы № 27 г. Харькова в 1988—1991 годах. Занятия проходили по распространённому в математических школах методу «листочков». На каждом занятии школьники получали листочек, в котором излагались минимальные теоретические сведения и задачи для самостоятельного решения. Собрание листочков! за три учебных года и составляет содержание книги.
Книга предназначена для учителей математики, работающих в математических классах, и для всех тех, кто интересуется работой со школьниками, одарёнными в области математики.
ББК 22.151.0
ч
Редактор Ю. Л. Притыкин л
Набор Е. Н. Осьмовой о
Вёрстка В. М. Гуровиц
Дизайн обложки У. Сопова Г
Подписано в печать 18.7.2003 г. Формат 60 х 90 1/16. Бумага газетная.
Печать офсетная. Печ. л. 10,5. Тираж 3000 экз. Заказ № 297т Л
Идательство МЦНМО
121002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. С
Лицензия ИД №01335 от 24.3.2000 года.
Отпечатано с готовых диапозитивов во ФГУП ИПК «Полиграфические ресурсы» :т
И
© Еременко С. В., Сохет А. Мк Ушаков В. Г., 2003
ISBN 5-94057-035-6 © МЦНМО, 2003
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................................... 11
Литература........................................... 20
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ......................................... 25
Памятка...............................................26
Список того,*что запрещается забывать. Обозначения. Листок 1. Вписанный угол. Элементы логики................30
Угол, опирающийся на диаметр. Высказывание. Импликация. Посылка и заключение. Необходимость. Достаточность. Обратная импликация. Равносильность. Сшйюгизм. Упражнения по логике. Вписанный угол. Центральный угол. Угловая величина дуги. Теорема про вписанный угол.
Листок 2. Вписанный угол. Элементы логики.....................33
Определения импликации и равносильности. Упражнения. Отрицание высказывания. Логический квадрат. Доказательство от противного.
Задачи................'.......................................36
Задачи на вписанный угол. Угол между хордой и касательной. Вписанный четырёхугольник. Теорема синусов.
Листок 3. Отображения.........................................37
Множества и их элементы. Подмножество. Множества точек. Отображение (функция), его область определения и область значений. Образ элемента и подмножества. Полный прообраз. Композиция отображений. Тождественное отображение. Бйективное отображение. Обратное отображение. Преобразования плоскости. Упражнения.
Дополнительные материалы......................'...............42
Термин «конгруэнтность». Инъективность. Сюръективность. Задачи.
Листок 4. Параллельный перенос................................43
Преобразование плоскости. Движение (перемещение). Сонаправленность
и противоположная направленность лучей. Параллельный перенос.
Векторы.......................................................44
Закреплённый вектор и свободный вектор. Что значит «отложить вектор
от данной точки». Что такое «равенство векторов». Нулевой вектор. Одинаково и противоположно направленные векторы. Сумма векторов. Правило треугольника. Правило параллелограмма. Упражнения на сложение векторов. Вектор, противоположный данному. Разность векторов и как её вычислять.
Листок 5. Векторы (продолжение)...............................47
Коллинеарные векторы. Умножение вектора на скаляр. Критерий коллинеарности, сонаправленности, противоположной направленности векторов. Разложение произвольного вектора по двум данным, неколлинеарным. Упражнения и задачи на действия с векторами. В каком случае сумма коэффициентов
3
разложения равна единице. Теорема о медиане треугольника. Теорема о бис-
сектрисе (векторные доказательства). Листок 6. Векторы (продолжение)..................................49
Проекция точки и отрезка. Ось. Орт вектора. Угол между векторами. Проекция вектора на ось..........................................50
Скалярная и векторная проекции вектора на ось и на другой вектор, их свойства, связь между этими понятиями. Упражнения. Координаты вектора...................................................51
Определение координат, их связь с понятием проекции. Выражения для суммы векторов, произведения вектора на число и модуля вектора в координатах. Критерий коллинеарности векторов в координатах. Преобразование координат точки при параллельном переносе. Упражнения:
Замечания................................................521
Листок 7. Скалярное произведение векторов...............53
Два определения скалярного произведения векторов (бескоординатное и координатное), их эквивалентность. Свойства скалярного произведения. Упражнения. Тождество параллелограмма^ Вычисление угла между векторами,'
заданными в координатах. Теорема косинусов.
и
Листок 8. Векторы (окончание).................................55^
. Соответствие векторных и обычных геометрических понятий. Я
Задачи........................................................56
Формула проекции. Задачи на разложение вектора по двум данным неколлинеарным. Задачи про точку пересечения медиан треугольника. Вычисление длины медианы. Высоты треугольника пересекаются в одной точке (векторное доказательство). Прямая Эйлера. Разные задачи.
Указания к задачам.....................................58
П
Банк дополнительных задач ............................58;
Листок 9. Решение треугольников....................... 59
Теоремы синусов и косинусов, упражнения на йх применение. Теорема о биссектрисе. Вычисление длины биссектрисы. Применение неравенства треугольника. Формула синуса суммы углов. 0
Указания к задачам.........................................60
Листок 10. Преобразования плоскости.........................6Р
Примеры преобразований. Свойства движений. Что такое конгруэнтность1 и что такое равенство.
Симметрии и повороты.......................................62
Симметрия относительно прямой, ось симметрии. Симметрия относитель^1 но точки, центр симметрии. Поворот. Симметричные фигуры. Осевая симметрия, центральная симметрия и поворот как преобразования плоскости^ Упражнения.
4
Листок 11. Подобие и гомотетия........................... 64
Обобщённая теорема Фалеса, или Теорема о пропорционалы трезках. Гомотетия. Свойства гомотетии. Преобразования подобие и'- ства. Подобные фигуры. Гомотетичные фигуры. Конгруэнтные фигу( Обозначения различных преобразовании.
Задачи....................................................67
Все окружности-гомотетичны. Задачи о композициях преобр. юваний. Вычисление композиции двух гомотетии. Задачи на подобие.
Задачи на повторение......................................68
Указания к задачам........................................68
Листок 12. Многоугольники.................................69
Ломаная и её звенья. Длина ломаной. Замкнутая ломаная. Простая ломаная. Многоугольник, его граница (контур), стороны, вершины, диагонали. ДГ-угольник. Выпуклый многоугольник. Число диагоналей. Внутренние и внешние углы многоугольника. Сумма углов.
Правильные многоугольники....................................70
Определение. Вписанная и описанная окружность. Центр правильного многоугольника. Центральный угол. Величина центрального, внутреннего и внешнего угла правильного АГ-угольника. Связь длины стороны с длинами радиусов вписанного и описанного кругов. Все правильные ДГ-угольники подобны.
Векторные задачи. < Замечания............................................... 71
Листок 13. Площади многоугольников.......................72
Аксиоматическое определение площади. Замечания................................................ 72
с Вычисление площадей......................................73
Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма. Площадь треугольника. Формула Герона. Площадь трапеции. Возможность вычислить площадь
дюбого многоугольника. Площади подобных многоугольников. , Задачи.....................................................74
Листок 14. Окружность..................................... 75
Определения окружности и круга.
Последовательности.........................................75
Определение последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности. Ограниченные последовательности. Предел.
Длина окружности...........................................76
(Определение. Доказательство его корректности на основе теоремы Вейер-щтрасса.
-г Вычисление длины окружности................................77
Отношение длины окружности к её диаметру постоянно для всех окружностей. Число я. Формула удвоения. Формула для вычисления тг на её основе.
5
Упражнения на окружности и многоугольники. Длина дуги в п градусов.
Радиан.
Замечания...................................................79
Банк дополнительных задач. Вписанные и описанные многоугольники................................................ 80
Теорема Птолемея............................................81
Задачи на применение теоремы Птолемея...................... 82
Ещё две задачи..............................................82
Указания к задачам..........................................82
Листок 15. Площадь круга....................................83
Определение и его корректность. Формула площади круга. ,
Площадь сектора, сегмента и кольца..........................84
Определение и вывод формулы площади для сектора и сегмента. Задачи на площадь круга и кольца.
Замечания...................................................84
Листок 16. Задачи на построение.............................86
Построение окружностей. Построения методом геометрических мест. i
Листок 17. Задачи на построение (продолжение)...............87
Построения с помощью преобразований плоскости.
Листок 18. Задачи на построение (продолжение)...............88
Построения с помощью преобразований плоскости. Задачи на построение треугольников по данным неудобным элементам.
Листок 19. Задачи на построение (последний)................89
Задачи на построение треугольников по данным неудобным элементам/.
Построение четырёхугольников. я
Возможная тематика лекций...................................90
К листку 5: «Векторы в физике». К листку 7: «Скалярное произведение векторов в физике». К листку 8: «Стандартные задачи на векторы и координаты». К листку 9: «Решение треугольников». К листку 11 (1): «Производные пропорции». К листку 11 (2): «Теорема о пропорциональных отрезках (обобщённая теорема Фалеса)». К листку 13: «Площадь прямоугольника». Одна лекция вне
связи с листками: «О несуразных ответах». q
ЧАСТЬ ВТОРАЯ......................................... 97
Памятка............................................... 98
Список того, что забывать не рекомендуется. Листок 1. Задачи на повторение..........................106
Задачи на вписанный угол. Задача про трапецию. ;г(
Задачи на построение...................................106
6
Листок 2. Геометрические места......................... 108
Что такое «геометрическое место точек» (ГМТ). ГМТ, равноудалённых от концов отрезка—медиатриса. ГМТ, равноудалённых от двух данных прямых— крест биссектрис. ГМТ, удалённых от данной прямой на данное расстояние— пара параллельных прямых. ГМТ, удалённых от данной точки на данное расстояние — окружность. ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом — пара дуг. Упражнения.
Задачи................................................. 109
ГМТ, разность квадратов расстояний от которых до двух заданных точек постоянна—прямая. ГМТ, сумма квадратов расстояний от которых до двух заданных точек постоянна — окружность. Степень точки относительно
окружности. Радикальная ось двух окружностей.
Теорема о квадратах расстояний...........................ПО
к Листок 3. Геометрические места............................111
ГМТ, отношение расстояний от которых до двух заданных точек постоянно— окружность Аполлония. Задачи. ГМТ, отношение расстояний от которых до двух заданных пересекающихся прямых постоянно — пара прямых. ЗГМТ, сумма расстояний от которых до двух данных пересекающихся прямых постоянна^—контур прямоугольника. -
г Теорема о расстояниях до прямых......................... 112
Указания к задачам ...;................................ 113
g Банк дополнительных задач................................113
Задачи на пересечения и объединения геометрических мест.
Минимум и максимум.......................................114
Q Листок 4. Линии уровня...................................115
Множество уровня, линия уровня, карта линий уровня. Примеры. Использование карты линий уровня для решения задач, в частности задач на наиболь-
щие и наименьшие значения. Начала оптики...........................................117
Принцип Ферма. Закон отражения света. Закон преломления света.
_f T Семейство Аполлониевых окружностей....................117
ю Листок 5. Пространственные построения...................118
Листок 6. Эллипс, гипербола и парабола..................119
ГМТ, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна — эллипс. Его фокусы, центр, оси симметрии, полуоси, уравнение в координатах. Пересечения эллипса с прямыми. ГМТ, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек постоянен — гипербола. Её ветви. Её уравнение в координатах, фокусы, центр и оси симметрии. Пересечения гиперболы с прямыми. Асимптоты гиперболы. Равнобочная гипербола. Сжатие растяжение), его применение. Поворот равнобочной гиперболы на 45°. ГМТ, равноудалённых от данной точки и данной прямой—парабола. Её фокус, Директриса, ось симметрии, уравнение, пересечения с прямыми. Задачи.
7
Касательные к эллипсу, параболе и ветви гиперболы........121
Задачи. Оптические свойства эллипса, параболы и ветви гиперболы.
Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы...122
ГМТ, отношение расстояний от которых до данной прямой и до данной точки постоянно, есть эллипс, парабола или ветвь гиперболы.
Цилиндрические сечения.................................... •. 123
Цилиндр, его ось, образующая, направляющие. Свойства. Шары, вписанные в цилиндр. Теорема о сечениях цилиндра плоскостью.
Конические сечения..................................... 124
Конус, его вершина, ось, образующая, направляющие. Свойства. Шары, вписанные в конус. Теорема о сечениях конуса плоскостью.
Замечания................................................125
Выпуклость эллипса и т. п. Исторические замечания. Общая теорема о кривых второго порядка.
Листок 7. Теорема Менелая................................126
Прямая теорема Менелая, упражнения и задачи на её применение. Обратная теорема Менелая, упражнения и задачи на её применение.
Теорема Дезарга..........................................127
Замечания................................................128
Теорема Менелая на векторном языке. Трёхмерный вариант теоремы Дезарга. Указания к задачам.
Листок 8. Теорема Чевы...................................129
Прямая и обратная теоремы Чевы, упражнения на их применения. Единоч образные доказательства того, что три медианы (три биссектрисы, три вы-: соты) треугольника пересекаются в одной точке. Точка Жергона и точка Нагеля. I
Теорема ван Обеля...................................... 130
Отношение, в котором медианы разбивают друг друга точкой пересечения. То же для точки пересечения биссектрис, точки пересечения высот, точки Жергона и точки Нагелй.
Замечания................................................130
Случай параллельных прямых в теореме Чевы. Теорема Чевы на векторномг языке. Взаимосвязь теорем Менелая и Чевы. ,
Листок 9. Замечательные точки и линии в треугольнике......i.. 131
Обозначения. Биссектрисы внутренних и внешних углов треугольника. Описанная, вписанная и вневписанные окружности, их центры и радиусы.
Задачи на повторение.................................... 132
Банк дополнительных задач................................134*
Прямая Эйлера и окружность Эйлера. Педальный треугольник.
8
Листок 10. Применение векторов в стереометрии............136
Компланарные векторы. Существование и единственность разложения данного вектора по трём некомпланарным. Скалярное произведение векторов (бескоординатная и координатная формулы).
Задачи.................................................. 137
Нахождение угла между прямыми. Нахождение длины отрезка. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости, угол между прямой и плоскостью. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Применение выведенных формул к решению задач.
Листок 11. Векторы и косоугольные координаты.............138
Косоугольная (аффинная) система координат, её начало и оси. Упражнения. Трёхмерный случай.
Аффинные задачи......................................... 139
Аффинные задачи в векторной формулировке. Аффинные задачи в традиционной геометрической формулировке. Применение косоугольных координат. Метод неопределённых коэффициентов.
Метод центров масс.......................................140
Центр масс (центр тяжести), его единственность. Формула для его нахождения. Теорема о группировке точек. Центр масс пары точек. Центр тяжести треугольника.
Задачи на метод центров масс.............................141
Листок 12. Композиции преобразований плоскости...........142
Повторение теории. Упражнения на вычисление композиций преобразований плоскости. Задачи на применение движений. Композиции гомотетий, теорема о трёх центрах подобия. Параллельный перенос и поворот — композиции двух осевых симметрий. Композиция параллельного переноса и поворота. Композиция поворотов с разными центрами.
1 Листок 13; Классификация движений и подобий.
Теорема Шаля......................................*.........145
Поворотная гомотетия. Скользящая симметрия. Теорема о трёх гвоздях. Классификация движений плоскости по числу неподвижных точек. Зеркальная гомотетия. Классификация всех движений: теорема Шаля. Классификация преобразований подобия. Любое движение есть композиция не более чем трёх осевых симметрий. Ориентация. Теорема Браудера для преобразований подобия с неединичным коэффициентом.
Указания к задачам.......................................146
Банк дополнительных задач. Начала теории Томсена.........147
- Листок 14. Комплексные числа..............?............. 148
Предварительное определение комплексного числа. Его модуль и аргумент. Сложение комплексных чисел,--его свойства. Вычитание. Умножение комплексных чисел, заданных модулем и аргументом, его свойства. Деление
9
комплексных чисел. Аксиома, связывающая сложение и умножение. Действительные числа составляют подмножество комплексных. Умножение комплексного числа на действительное. Мнимая единица (число г). Чисто мнимые числа. Действительная и мнимая части комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы его записи. Умножение комплексных чисел, записанных алгебраически. Окончательное определение комплексных чисел. Дальнейшие свойства комплексных чисел. Решение квадратных уравнений. Комплексно-сопряжённые числа, их свойства. Как делить комплексные числа. Упражнения на умножение и деление. Упражнения на изображение множеств комплексных чисел. Связь преобразований плоскости и (комплекснозначных) функций комплексного переменного. Возведение комплексных чисел в степени, извлечение корней, формула Муавра.
Возможная тематика лекций...................................155
К листку 2: «Теорема о квадратах расстояний». К листку 3: «Теорема о расстояниях до прямых». К листку 4: «Линии уровня». К листку 6 (1): «Асимптоты гиперболы. Поворот равнобочной Гиперболы на 45°». К листку 6 (2): «Оптическое свойство параболы». К листку 6 (3): «Конические сечения». К листку 7: «Теорема Менелая». К листку 8: «Теорема Чевы. Теорема ван Обеля». К листку 9: «Расстояние между центрами вписанного и описанного кругов (формула Эйлера)». К листку 11: «Параллельное проектирование». К листку 13 (1): «О движениях собственных и несобственных». К листку 13 (2): «Классификация движений в пространстве». Одна лекция вне связи с листками: «О невозможных построениях».
I
I
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
I j Мы сталкиваемся ныне с парадоксальной ситуацией, когда образование стало одним из главных препятствий к развитию интеллекта и свободной мысли... Провозглашается, что образование призвано' выполнять две задачи — передавать инфор-i мацию (знания) и развивать способность
к самостоятельному мышлению. Пользу v информации признают как теоретически,
. так и практически. А пользу интеллек-
та— только теоретически, ибо самостоятельно думающие люди не так легко поддаются желательным воздействиям и служат источником административных
затруднений.
Бертран Расселл
Можно выделить два принципиально разных подхода к обучению. Первый подход ставит своей целью передать (вложить в головы) некоторую сумму знаний (информации), научить решать определённые виды задач. Именно на основании этого подхода в какой-то не очень счастливый момент живое тело математики (да и не только её) было разделено на теорию и практику. Передача «теории» осуществляется во время лекций (которые зачастую бывают хуже любого учебника: лектор читает большой аудитории и, как правило, не обращает внимания на степень участия слушателей1). «Практика» передаётся путём демойстрации решения определённых видов задач, выделенных как обязательные: требуется, чтобы ученики умели воспроизводить именно эти стандартные решения именно таких стандартных задач. При таком обучении ученик (если только он внутренне не сопротивлялся) не в состоянии сделать самостоятельно ни шага — ни вперёд, ни в сторону: исследователь из него получится едва ли. У этого метода есть ярые сторонники, доводящие количество передаваемых знаний в единицу времени до невиданных высот. Например, В.Ф. Шаталов.
1 Хорошим заменителем лекций может служить обыкновенное кино. Вот уж где отсутствует обратная связь! Но ведь и лекторы, боясь сбиться с мысли, запрещают задавать себе вопросы...
11
В противоположность первому подходу, цель второго пусть ученики учатся думать, и притом думать самостоятельно. Заметим: научить думать невозможно2 3, этому можно только научитьСЯ. Отсюда основной принцип: учитель не учит ученика. Ученик учится сам, а учитель лишь помогает ему научиться.
При первом подходе (назовём его информативным) роль ученика пассивна: в его голову вкладывают нечто. При втором (мыслительном) подходе, напротив, его роль активна. Он сам добывает себе знания. Учитель содействует ему в этом, не более того. Но и не менее.
Остановимся подробнее на нескольких важных моментах.
1. Ученик учится, делает свои маленькие открытия, однако человечество в целом давно эти открытия уже сделало. Человеческая мысль шла к тому или иному открытию, двигаясь определённым путём; каким же именно из множества путей? — чаще всего именно тем, который был наиболее естественным.
Поэтому разумно, чтобы каждый ученик воспроизвёл в своём раз-витии основные этапы развития всего человечества, шаг за шагом0. Разумеется, этот принцип нельзя проводить механически: иногда пройденный когда-то путь можно «сгладить» и «выпрямить»; затем, то, что было неестественным когда-то, может оказаться естественным сейчас, и наоборот.
Выбрать естественный и удобный путь, разметить его, расставить вдоль него вехи —задача учебных книг (и учителя). Пройти же вдоль этих вех, «прожить» этот путь — работа ученика.
2. Вехи должно ставить в местах, принципиально важных по ходу развития мысли,— не слишком редко, чтобы ученик мог восстановить промежуточные рассуждения (которые при этом опускаются), но и не слишком часто, пот ому что обилие чужих слов мешает думать самому. Искусство учителя как раз и состоит в умении выделить принципиальное из груды полезной информации.
3. Перед каждым своим шагом вперёд ученик должен видеть, куда шагать, зачем этот щаг нужен. Учитель (книга) должен мотивировать свои шаги, объяснять свои намерения. Чем удачнее это сделано, чем чётче обрисована цель, чем больше ученик обдумает (сам!) предстоящий шаг (задачу), тем лучше он будет подготовлен к усвоению решения. Если он увидел путь решения сам — это вселит в него уверенность
2 «Если вы чему-нибудь учите человека, он никогда ничего не выучит» (Бернард Шоу).
3 Тот, кто знаком с биологией, может усмотреть определённую аналогию с концепцией онтогенеза и филогенеза.
12
в своих силах. Если же он не увидел путь, или увидел, но не тот,— тем увереннее он пройдёт по правильному пути.
Направление движения и последовательность шагов определяются учителем, но для учеников они должны быть приемлемыми и естественными. Кроме того, нужно особо иметь в виду, что когда-нибудь по крайней мере некоторым ученикам придётся научиться самим определять себе и направление движения, и его этапы.
4. При «мыслительном» подходе нельзя просто прослушать (прочитать, просмотреть) чужие мысли. Их нужно продумать самому, свыкнуться с ними, «прожить» их. Память устроена так, что запоминается именно то, что сам открыл, или то, над чем долго размышлял.
А как же с усвоением необходимой информации и с умением решать стандартные задачи? О, об этом^тоже приходится заботиться, без этого нельзя. Но, кстати, ученик, умеющий думать самостоятельно, научается всему этому хотя и не без труда, но гораздо быстрее и легче, чем привыкший запоминать бездумно.
5. Скажем ещё пару слов о логике. Логика—это не что иное, как способность называть чёрное чёрным, а белое белым; это способность допоставлять факты (высказывания), делать при этом выводы там, где это возможно, и не делать выводов необоснованных. Что бывает при изгнании такой логики, показал Оруэлл («1984»). Впрочем, с двоемыслием мы знакомы не только по Оруэллу.
Меньшая часть учеников научается логике сама. Остальным приходится помогать. Это нужно сделать вовремя, потрму что без логики нельзя научиться математике. Без неё можно — самое большее—выучить отдельные формулы и стандартные приёмы решения стандартных задач. (Многие выпускники школ знают наизусть два десятка тригонометрических формул и блистательно решают стандартные уравнения, но приходят в ужас, увидев непривычное, хотя бы и более простое; забыв одну из формул и не имея под рукой шпаргалки, они пасуют, так как не понимают ни смысла формул, ни логической связи между ними. Мы не хотим, чтобы наши ученики пополнили их число.)
II
Тяжкий жребий — писать в наши дни математические книги...
Иоганн Кеплер
Существует три наиболее распространённых типа учебных книг. К первому мы относим книги типа справочников; их подавляющее боль
13
шинство. Они, безусловно, полезны—для тех, кто умеет их читать. Но они одни едва ли позволяют начинающему овладеть предметом вполне; тем более они не развивают способность думать. И это ещё полбеды; беда в том, что у многих справочников на обложке написано: «Учебник».
Книги второго типа являются простой данью «информативношаблонному» способу обучения. Каждый параграф такой книги начинается с теории, за ней следуют образцы решения задач, а после них — перечень задач, подогнанных под эти образцы. Авторы таких книг обычно очень гордятся своей 'методикой.
Авторы книг третьего типа заранее планируют логическую структуру учебника, и, задавшись ею, возводят стройное здание, не обращая никакого внимания на психологию школьника, на связь уже существующих в его мозгу понятий со вновь вводимыми. Полное незнание школьных проблем позволяет авторам довести свой замысел до конца. С целью сокращения объёма они выбрасывают, как несущественную, всякую мотивацию, так что в итоге и специалисту не сразу понятно, чем вызван тот или иной абзац такого «учебника». Стоит ли говорить, что школьники не в состоянии понять (а тем более воспроизвести) их логические построения. Своеобразной визитной карточкой этого стиля может служить задача: «Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке». Учебники второго типа скучны, но способны кое-чему научить; учебники третьего типа способны только вызвать отвращение ко всему изучаемому предмету.
А где же книги четвёртого типа, основанные на «мыслительном» подходе? Они есть. Нам хочется назвать прежде всего «Конечномерный линейный анализ» И.М.Глазмана и Ю.И.Любича, затем книги П. Халмоша, Д.Пойя, В. И. Арнольда,— однако это всё вузовские книги, не школьные. Но с вузовскими книгами положение вообще более благополучное: во-первых, кроме учебных книг, есть ещё книги первооткрывателей; во-вторых, книг, написанных учёцыми, много, а не одна-две, и среди них чаще попадаются удачные—хотя бы потому, что психологическая разница между учёным-профессионалом и студентом не столь велика, как между учёным и школьником; в-третьих, по счастью, в высшей школе вообще нет понятия «общеобязательный учебник», а есть конкуренция разных книг — в том числе и хороших.
Где же, опять-таки, школьные книги, основанные на «мыслительном» подходе? Тут вспоминаются «Прямые и кривые» Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера, превосходный «Задачник по геометрии» Б. Н. Делоне и О. К. Житомирского, библиографическая редкость, с натяжкой «Те-1
14
орема Абеля в задачах и решениях», написанная Алексеевым, книга не совсем школьная. А больше мы и не знаем.
Предлагаемая в нашей книжке система листков4 является, как нам кажется, аналогом именно этих книг5, но как бы «в миниатюрах». Дело в том, что у нас получилась не книга в общепринятом смысле слова, а нечто иное. Мы не намеревались писать книгу. Просто в ходе нашего общения со школьниками мы составляли и выдавали им листки на разные темы. Сейчас мы собрали эти листки вместе и переплели их, присовокупив атрибуты книги: предисловие, оглавление и список литературы.
Мы не ставили своей целью систематическое изложение какой-либо ветви математики. Выбор обсуждаемых тем диктовался, с одной стороны, потребностями школьного курса геометрии, а с другой стороны — личными вкусами авторов. Но в пределах каждой темы листки логически выверены, предшествующие задачи создают основу для последующих. При этом все необходимые определения и указания содержатся в самих листках.
Нашими непосредственными предшественниками в использовании такой системы были Н. Н. Константинов, Т. В. Гиря, А. Ю. Вайнтроб, А.Шень, организовавшие преподавание по этой системе в физико-математических школах Москвы. Знакомство с их листками и личное общение с ними были весьма полезны для нас.
Система листков, как нам кажется, развивает у учеников:
• самостоятельное мышление,
• критическое отношение к окружающему,
• хорошую логику,
• математическую культуру и вкус,
• умение читать книги —
ну и, кроме того, само собой, ученики овладевают курсом геометрии и кое-каким смежным материалом.
Есть и оборотная сторона медали. Эта система:
• отнимает много времени у учеников,
• отнимает много времени у преподавателей,
4 Описание смотри в обращении к ученикам на стр. 24.
1 5 Особенно важна для нас названная выше книга Глазмана и Любина, по которой йы учились. В предисловии к ней дано очень удачное описание книг, ориентированных на «мыслительный» подход. '
15
• требует гораздо большего количества преподавателей (эффективно удаётся работать, только если на одного преподавателя приходится не более семи учеников),
• и требует постоянной работы по составлению листков. Мы писали очередной листок для наших учеников не более, чем за две недели до его выдачи. Поэтому сам листок в какой-то мере отражает класс, для которого он написан. Аудиторией определяется размер шага (дробление на задачи), глубина проникновения в тему.
Хотя, наверное, последний недостаток устраним. В принципе можно разработать универсальные листки, рассчитанные на 2-3 разных уровня6. Но лучше всё-таки, даже при наличии типовых листков, сверять их с текущим состоянием учеников.
Всё же из-за перечисленных недостатков система листков, видимо, непригодна в общеобразовательной школе. Но в специализированных школах (классах), надеемся, она окажется полезной — не как единственная, разумеется, а как одна из многих сосуществующих. (Едва ли возможно изучать таким способом более одного предмета одновременно. С другой стороны, «информативно-шаблонные» методы экономят массу времени й хороши — в своих границах применимости.)
Логическое строение нашей книги таково. Она начинается с отработки логики; это делается не абстрактно, а на материале теоремы о вписанном угле (которая полезна сама по себе). Постепенно (в несколько шагов) восстанавливаются в правах теоретико-множественны^ подход, идеология отображений. В этот материал вклиниваются— из-за необходимости соответствовать школьной программе—две вынужденные темы: «Векторы» и «Решение треугольников»; темы эти хотя и важны, но, будь полностью наша воля, расположились бы по-другому. После того как весь обязательный школьный материал — включая многоугольники и круг — пройден (к слову, существенно более глубоко, чем в массовых школах), мы некоторое время занимаемся задачами на построение, следуя здесь Делоне и Житомирскому. Весь этот материал составляет первую часть книги и рассчитан на 9-й класс одиннадцатилетней школы.
Вторая часть начинается с темы «Геометрические места и линии уровня», в изложении которой мы следуем Васильеву и Гутенмахеру. Параллельно с этим материалом (или до него) следует, безо всяких листков, пройти с учениками по любому учебнику (хотя бы по Погорелову) основы стереометрии и взаимное расположение точек, прямых
6 Мы и сами кое-где старались делать изложение двухуровневым. i
16
и плоскостей. У нас этой теме посвящён только один (но очень важный) листок, так как задач в этой теме немного. Все последующие темы— «Геометрия треугольника», «Основы аффинной геометрии», «Векторы в стереометрии», «Движения», «Теорема Шаля» — не имеют, за исключением векторной, никакого отношения к программе массовых школ. Этот материал рассчитан на 10-й класс одиннадцатилетней школы. Благодаря тому, что основы стереометрии у Погорелова изложены приемлемо, мы позволили себе не писать по ним листков; из-за этого общее число листков во второй части меньше, чем в первой.
Третью (ненаписанную) часть могли бы составить инверсия, геометрия кругов, неевклидовы геометрии, геометрия и группы, начала проективной геометрии, эрлангенская программа Ф. Клейна.
III
Эй вы, задние! Делай как я!
Это значит: не надо за мной. Колея эта только моя. Выбирайтесь своей колеёй.
В. Высоцкий
Мы должны дать несколько советов тем отважным, кто возьмётся преподавать геометрию, следуя нашим разработкам.
Прежде всего, придётся подобрать учеников и учителей. Критерий отбора первых должен быть таков: будет ли ученику Имярек полезно учиться в специализированном классе? (Отбирать учеников по уровню знаний на день отбора—гораздо хуже.) Критерий подбора вторых мы сформулировать не берёмся.
Мы разбивали учеников на группы численностью обычно от 4 до 7 человек, и с каждой группой занимался один преподаватель. (Это выглядело так: в нескольких углах одной и той же классной комнаты проходили одновременно несколько негромких бесед.) Примерно раз в 2-3 месяца группы переформировывались на основании пожеланий преподавателей и/или учеников.
Очередной листок выдавался обычно раз в 10-15 дней; в зависимости от объёма предыдущего, интервал мог быть большим или меньшим. Ученики решали задачй, как правило, дома, а на занятиях (4 часа в неделю) сдавали (т. е. защищали) свои решения. Решения задач, безусловно, следовало грамотно и аккуратно записать. У учеников было по две папки; в одну складывались полученные листки с задачами, в другую — правильно записанные решения. (Папки, а не тетради, потому что не
17
всякое написанное учеником решение оказывалось правильным.) Если же ученик не мог решить задачу сам, то мы предлагали: 1) правильно записать по памяти показанное ему решение; 2) решить похожую задачу самостоятельно. Мы вели единый журнал, в котором отмечали решённые задачи.
Регулярно мы проводили проверочные письменные работы. На них выносились как задачи по материалу листков, так и любые задачи, которые должен умет£ решать ученик массовой школы. Собеседования на темы листков плюс письменные работы и образовывали механизм обратной связи.
Первоначально мы предполагали обойтись выставлением оценок только за письменные работы. Однако мы столкнулись вот с какой ситуацией.
Дано: невыполнение домашнего задания по любому предмету, кроме геометрии, наказывается двойкой. По геометрии — не наказывается никак.
Спрашивается: домашние задания по какому предмету ученики будут выполнять в последнюю очередь?
Ответ ясен, и, чтобы такого избежать, мы, не имея возможности изменить обстановку в целом, были вынуждены вводить искусственные стимулы к учёбе вроде выставления оценок за листки (например, путём объявления квоты: столько-то задач требуется решить на «3» к опреде-' лённому сроку, столько-то на «4», столько-то на «5»). Мы перепробовали несколько систем оценок и не нащли оптимальной.
Вообщё-то вся эта проблема носит, что называется, исторически^ преходящий характер. Она может существовать только в условиях едил ной общеобразовательной политехнической трудовой и всеобщего обязательного бесплатного среднего. На самом деле, обладание знаниями и способность их применять являются достаточными и единственно необходимыми стимулами к учёбе (а неполучение знаний вовремя—, достаточным отрицательным стимулом). Так должно быть; так, в конце концов, и будет. Не ясно только, когда.
Вернёмся, однако, к курсу геометрии. В каждую из двух частей книги входят, кроме листков, ещё такие разделы: «Памятка», «Дополнительные задачи» и «Возможная тематика лекций». Объяснимся по этим пунктам подробнее.
«Памятки» — это не что иное, как сводки результатов. По стилю изложения они являются чем-то средним между перечнем вопросов к экзамену и шпаргалкой. Первая памятка таким способом перечисляем всё, что нужно помнить из геометрии двух лет обучения в массовой школе. Эту цамятку мы выдавали ученикам вскорости после началам
18
занятий, но не сразу: прежде нужно было убедиться, что каждый из них действительно знает всё перечисленное там; а если это не так — дорассказать нужное. Вторая памятка предназначена к выдаче с началом второго года обучения по нашей системе и является сводкой результатов за первый год.
«Банки дополнительных задач» предназначены для того, чтобы заинтересовать наиболее сильных учеников, справляющихся с основным материалом легко и быстро. В некоторых из них задачи сгруппированы тематически и логически.
Что касается «возможной тематики лекций», то этот раздел, по большей части, отражает содержание лекций, читавшихся нами. Мы убедились в сравнительно малой эффективности лекций традиционного типа и поэтому считаем, что, во-первых, лекции, как правило, следует проводить раздельно по группам. (Может показаться роскошью, что 5 преподавателей в 5 разных углах класса рассказывают одно и то же, но эффективность при этом резко повышается. Кроме того, они всё же рассказывают не совсем одно и то же и не всегда одновременно.) Во-вторых, на лекции, как правило, можно, выносить лишь материал, удовлетворяющий следующему критерию: познакомиться с этим полезно, учить не обязательно. Иными словами, это дополнительный материал, иногда более сложный, чем основной, иногда позволяющий взглянуть на основной материал под другим углом.
Как использовать нашу книгу? Её можно, конечно, расшить на листы, ксерокопировать их и в виде листков раздавать ученикам. Нам кажется, что это не лучший вариант: см. эпиграф. Но если кто-нибудь и сочтёт, что наши листки столь хороши, что можно использовать непосредственно их, а не составлять заново, то даже и 6 таком случае придётся дополнительно подбирать задачи сверх листков, считаясь с индивидуальными особенностями учеников.
Кроме того, предупреждаем: листки эти соответствуют личным вкусам их авторов. Поэтому в них сравнительно мало задач на отработку (или проверку) голой техники, задач типа конкурсных с искусственно усложнёнными условиями. Такие задачи имеются в других задачниках (например, у Сканави). Мы и сами предлагали ученикам задачи оттуда в дополнение к листкам, в частности, на проверочных письменньрс работах. При этом обнаружилось, что наши ученики овладевают техникой не без усилий, но без зубрёжки.
t Надеемся, что наши разработки для кого-нибудь окажутся полезными.
19
Мы хотим поблагодарить следующих людей.
Предшественников: Н. В. Константинова, Т.В. Гирю, А.Ю.Вайн-троба, А. Шеня.
Коллег: Н. Н. Стрельченко, С.И. Акулову, А.В. Кравченко, В.М. Ог-рановича, Я. А.Перского, М. В. Симбирского, Л. М. Чурилова.
И всех наших учеников.
Харьков, 20 июля 1991 года
Авторы
ЛИТЕРАТУРА
I. Учебники для массовых школ
1. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. сред. шк. М.: «Просвещение», 1991. — 383 с.
Это ныне общепринятый учебник. Мы исходим из того, что к началу изучения нашего курса ученики занимались по Погорелову два года, и в некоторых местах ссылаемся на этот учебник и на факты, изученные по нему в течение двух лет. По ходу курса мы ещё дважды ссылаемся на Погорелова в тех местах, когда находим изложение какой-либо темы в нём приемлемым. Таковы «Решение треугольников» и «Основы стереометрии». В целом же этот учебник совершенно непригоден для математических школ. Мы ссылаемся на него, потому что он утверждён свыше и используется в школах повсеместно, но ссылаемся таким образом, что ссылки на него легко можно заменить ссылками на любой другой курс.
2. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия: Уч. пособие для 6-8 кл. сред. шк. М.: «Просвещение», 1982. — 383 с.
Этот учебник был общепринятым в те времена, когда мы сами учились в школе. Недостатки его общеизвестны, и он был справедливо раскритикован как плохо пригодный для массовых школ. Однако кое-что из него, неуместное в массовых школах, совершенно уместно в преподавании в школах с углублённым изучением математики. Соответственно, мы в своём курсе восстановили в правах теоретико-множественный подход и идеологию геометрических преобразований.
3. Киселёв А. П. Геометрия: Учебник для семилет. и сред, школы. Часть I. Планиметрия. М.: Учпедгиз, 1962. —104 с.
По этому учебнику учились люди старшего поколения. Для своего времени он был превосходен. Сейчас он несколько устарел, но, похоже, всё равно остаётся наилучшим из существующих: он более, чем какой-либо другой, приспособлен к психологии школьника. Было бы здорово, если бы кто-нибудь
20
взялся его переработать, включив современные тёмы и идеи и не испортив общего стиля.
II. Задачники для массовых школ
4. Сборник задач по математике для поступающих во в^узы. В. К.Еге-рев, В. В. Зайцев, М. И. Сканави и др. Под ред. М. И. Садвави. М.: «Высшая школа», 1988. — 429 с.
5. Рыбкин Н. А. Сборник геометрических задач на выч^вление. М.: Гос. тип. «Образцовая», 1932. — 47 с.
Школьники должны научиться решать любую геометрическою задачу оттуда. Мы даём в нашем курсе для этого всё необходимое, кроше одного: кроме опыта самостоятельного решения задач. Этот опыт они должны приобрести сами. С этой целью рекомендуем преподавателям, коэд^ые отважатся работать по нашей методе, предлагать своим ученикам задачи из этих задачников как в виде домашних заданий (помимо наших листков), так и в виде проверочных письменных работ.
Ш. Задачники повышенного уровня
6. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. М.: МЦНМОу2001.— 584 с. Мы заимствовали отсюда много разных задач. Но ученики не должны этого знать, потому что там есть раздел «ответов и решений».
7. МоденовП. С. Задачи по геометрии. М.: «Наука», 1979. — 368 с.
Мы заимствовали оттуда несколько задач, главным образом^векторных.
%. Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М.: «Высшая школа», 1960. — 768 с.
Мы заимствовали оттуда несколько разных задач.
9. ШарыгинИ.Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. (Б-ка «Квант», вып. 17). М.: «Наука», 1986. — 224 с.
Это превосходный задачник, из которого мы почерпнули мщого задач.
10. Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. М.: Физ-матгиз, 1959. — 296 с.
Это превосходный задачник, к сожалению, давно не переиздававшийся. Тему «Задачи на построение» мы почерпнули оттуда целиком. Дцва ли вообще возможно изложить её лучше, чем там. Но ученики не должвы об этом знать, потому что там есть раздел «ответов и решений».
IV. Книги ПОВЫШЕННОГО УРОВНЯ
11. ВаСильевН.Б., ГутенмахерВ.Л. Прямые и кривые. М.: МЦНМО, 2002. —128 с.
Тему «Геометрические места точек и линии уровня» мы заимствовали целиком оттуда; там она изложена превосходно.
21
12. КоксетерГ. С.М., ГрейтцерС.Л. Новые встречи с геометрией. М.: «Наука», 1978. — 224 с.
Очень хорошая книга, способная пробудить вкус и интерес к геометрии даже у самых закоренелых алгебраистов. Мы заимствовали оттуда много разных задач.
13. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.
Том I: Арифметика, алгебра, анализ. М.: «Наука», 1987. — 432 с.;
Том II: Геометрия. М.: «Наука», 1987. — 416 с.
Второй том этой книги, посвящённый геометрии и её преподаванию, оказал на нас некоторое влияние. В одном месте мы ссылаемся на теорему, доказательство которой есть в этой книге.
14. Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. М.: Гостехиздат, 1955. — 193 с.
В нескольких своих листках мы затрагиваем оптику. Для более глубокого с ней знакомства можно посмотреть эту книжку.
15. ЯгломИ.М. Геометрические преобразования.
Том I. М.: Гостехиздат, 1955. — 282 с.
Том II. М.: Гостехиздат, 1956. — 611 с.
Сюда полезно заглянуть по поводу композиций преобразований, теоремы Шаля и групп в геометрии.
16. КоксетерГ. С. М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966. — 648 с. Из этой книги мы почерпнули начала теории Томсена.
17. Гильберт Д., КЬн-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981. —344 с.
Эта книга редкостным образом соответствует своему названию: в ней действительно замечательно сочетаются наглядность и научность. К этой книге полезно обращаться, начиная с темы «Конические сечения».,
18*. Адамар Ж. Элементарная геометрия. 4.1. Планиметрия. М.: ГУ-ПИ, 1936.
19*. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. М.': Учпедгиз, 1962.
20*. Шклярский Д. О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи . и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). М.: Физматлит, 2000.
21*. Заславский А. А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2003.
22*. Мякишев С. С. Элементы геометрии треугольника. М.: МЦНМО, 2002.
Книги, отмеченные знаком *, добавлены издательством.
22
' V. Статьи
23. ГотманЭ.Г. Геометрические преобразования.
Часть I: Движения // «Квант», 1989, №2, с. 50-54.
Часть И: Преобразования подобия // «Квант», 1989, №3, с. 52-55.
24. Сосинский А. Перемещения пространства // «Квант», 1980, №8, с. 2-7.
Эти статьи содержат рассуждения, близкие к нашим; в них полезно заглянуть при изучении соответствующих листков.
25. ГостевЮ.А. С чего начинается логика // «Квант», 1975, №1, с. 24-29, 35.
К этой статье можно обратиться при изучении первых листков нашего курса.
26. МихеевЮ. Одной линейкой // «Квант», 1980, №10, с. 26-29.
Эта статья содержит банк задач, которые можно и полезно предложить нескольким самым сильным ученикам после того, как будут изучены теоремы Менелая и Чевы.
27. Рабинович В. Аффинные задачи и теоремы // «Квант», 1977, №8, с. 38-41.
28. Звонкин А. Что такое тг? // «Квант», 1978, №11, с. 28-31.
29. МатизенВ. Найди ошибку // «Квант», 1980, №10, с. 43-46.
Эти статьи были нами использованы при подготовке соответствующих листков и лекций.
23
Дорогой друг!
Сегодня Вы приступаете к необычному способу изучения математики. Основное отличие его от общепринятого состоит в том, что материал не делится на «теорию» и «практику». На наш взгляд, человек может изучить математику, лишь решая задачи. Доказательство любой самой сложной теоремы может быть проведено в виде последовательности несложных задача Несложными же они оказываются именно потому, что опираются одна на другую.
Мы хотим познакомить Вас с правилами работы.
1. Вместо учебника каждому школьнику выдаются листки. Листок состоит из задач и вставок сопроводительного текста; в этом тексте Вы найдёте все необходимые определения, указания к некоторым задачам и другие комментарии. Задачи выделяются в тексте номером.
2. Листок составляется на определённую тему и содержит от 5 до 30 задач. В пределах одного листка решённые задачи создают основу для дальнейших, многие из которых сами по себе, вне контекста, могли бы представиться трудными. Поэтому за задачи желательно браться последовательно, не забегая вперёд. (Впрочем, если Вам удалось решить задачи правильно в другом порядке, то, значит, так тому и быть).
3. Новый листок выдаётся раз в 10-20 дней. Школьники решают его дома. Четыре часа в неделю они общаются с преподавателями в классе, где сдают решённые задачи и, при необходимости, получают консультации и разные полезные советы.
4- Каждый термин, встречающийся в решении задачи, автор должен уметь объяснить.
5. В листке могут быть приведены названия книг и статей, рекомендуемых к прочтению. Как правило, они содержат развитие вопросов, обсуждаемых в листке, или другие подходы к ним. Ни одна из этих книг не может рассматриваться как учебник по предлагаемому курсу. Более общо: вообще никакая книга не может рассматриваться как учебник по предлагаемому курсу. Для решения задач обращение к литературе не требуется. Всё, что встречается в листке, либо определено в тексте, либо изучено Вами ранее. В случае возникновения каких-либо вопросов обращайтесь к преподавателю. Самостоятельное чтение книг — занятие для любознательных. Оно полезно, и даже очень, но не необходимо.
6. Совет: когда Вы будете читать листок, возьмите в руки карандаш и бумагу. Только достаточно опытный человек способен воспринимать математические (а тем более геометрические) утверждения устно. В наших листиках обычно чертежей не будет. Их сделаете Вы.
Будьте настойчивы, и успех будет сопутствовать Вам.
24
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Образование — это то, что остаётся у человека после того, как он забудет всё, чему его учили.
Альберт Эйнштейн
Памятка
Список ТОГО, ЧТО ЗАПРЕЩАЕТСЯ ЗАБЫВАТЬ
Начинающий < ... > не должен смущаться, если < ... > он обнаружит, что у него не хватает предварительных знаний даже для чтения предварительных сведений.
П. Халмош
1) Обозначения:
А, В, С, ... —точки;
(АВ) — прямая, проходящая через А и В;
[АВ] — отрезок с концами в А и В;
[АВ)—луч (полупрямая) с началом в А, проходящий через В;
ДАВС — треугольник с вершинами А, В и С;
|АВ| или просто АВ — расстояние от А до В. (Второе обозначение проще и будет использоваться нами чаще всего. Первое — только там, где без него текст становится непонятным или двусмысленным. Но различать [АВ] и АВ мы будем неукоснительно: первое состоит из точек на плоскости, а второе есть просто число.);
Z.ABC — величина угла, образованного лучами [ВА) и [ВС). Мы будем также писать кратко ZB, где это возможно. Для угла как геометрической фигуры мы не вводим никакого специального обозначения;
{а, Ь, с} — множество из трёх элементов, обозначенных а, Ь и с;
а 6 М — элемент а принадлежит множеству М\
N— множество всех натуральных (т. е. целых положительных) чисел; запись п 6 N читается: «п есть натуральное число»;
Z — множество всех целых чисел (включая положительные, отрицательные и ноль);
Q — множество всех рациональных чисел (каждое из них может быть представлено в виде несократимой дроби где т — целое, п — натуральное число, и притом единственным образом);
R — множество всех действительных (иначе: вещественных) чисел
26
(каждое из них может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби, и притом только единственным образом; записи, в которых, начиная с некоторого места, идут сплошь девятки, не рассматриваются; десятичная дробь соответствует рациональному числу, если она либо конечная, либо периодическая).
2) Признаки равенства треугольников:
а) по трём сторонам;
б) по двум сторонам и углу между ними;
в) по двум углам и любой стороне.
3) Углы, образующиеся, когда некоторая прямая пересекает пару параллельных прямых (внешние и внутренние накрест лежащие и т.п.), их свойства; две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу.
4) Равнобедренный треугольник:
равенство углов при основании; совпадение медианы, высоты и биссектрисы, опущенных на основание.
5) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних.
6) Окружность:
а) определение; понятия хорды и диаметра;
б) понятия касательной и секущей; равенство двух отрезков касательных к окружности, выходящих из одной точки;
в) вокруг треугольника можно описать окружность, и притом только одну: центр её находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
г) в треугольник можно вписать окружность, и притом только одну: центр её находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
7) Задачи на построение с помощью циркуля и линейки без делений:
а) треугольника—по трём сторонам; по двум сторонам и углу между ними; по двум углам и любой стороне;
б) угла, равного данному;
в) биссектрисы данного угла;
27
г) середины данного отрезка;
д) прямой, перпендикулярной данной и проходящей через данную точку;
е) прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку.
8) Теорема Фалеса; деление отрезка на п равных частей.
9) Средние линии треугольника и трапеции: определение и свойства.
10) Параллелограмм:
а) определение;
б) четырёхугольник является параллелограммом, если и только если* две противоположных его стороны равны по длине и параллельны;
в) четырёхугольник является параллелограммом, если и только если длины противоположных его сторон попарно равны;
г) четырёхугольник является параллелограммом, если и только если обе его диагонали в точке пересечения делятся пополам.
11) Прямоугольный треугольник:
а) теорема Пифагора;
б) катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на неё;
в) высота, опущенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций двух катетов на гипотенузу;
г) произведение катетов равно произведению гипотенузы и опу-щенной на неё высоты;
д) синус острого угла— отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе; тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему; котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
12) Тригонометрия:
а) синус и косинус как ордината и абсцисса точки на единичной окружности;
28
б)-‘g® = = ssf; tgs • = *;
в) основная формула: cos2 х + sin2 х = 1; следствия её, получае-мне делением на квадрат косинуса (или синуса);
г) простейшие формулы приведения:
sin(180° — х) = sin х; cos(180° - х) = - cos я;
sin(90° — х) = cos х; cos(90° — х) = sin а:;
sin(90° 4- х) = cos х; cos(90° 4- х) = — sin ж;
д) значения sin, cos, tg, ctg важнейших углов—см. таблицу:
угол 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sin 0 1 2 2 2 1 2 \/2 2 1 2 0
cos 1 2 ^2 2 1 2 0 _ 1 2 2 -^3 2 -1
tg 0 3 1 y/3 00 -a/3 -1 3 0
Ctg 00 y/3 1 & 3 0 _V3 3 -1 ->/3 00
29
Листок № 1
Вписанный угол. Элементы логики
— Нужно всегда говорить то, что ты думаешь,— заметил Мартовский Заяц.
— Я так и делаю,— поспешила объяснить Алиса.— По крайней мере... я думаю то, что говорю... А это одно и то же.
— Совсем не одно и то же,— возразил Болванщик.— Так ты ещё, чего доброго, скажешь, будто «я вижу то, что ем» и «я ем' то, что вижу» — одно и то же!
Л. Кэрролл. Алиса в Стране Чудес^
В следующих шести задачах вам предлагается доказать некоторые, утверждения. Пожалуйста, прежде чем решить задачу, подумайте, что именно в этой задаче дано, а что требуется доказать. , н
1. Докажите, что бели медиана, проведённая к стороне [ВС] тре-j угольника АВС, равна половине этой стороны, то угол ВАС прямой. п 2. Докажите, что если центр окружности, описанной вокруг тре« угольника АВС, лежит на середине стороны [ВС], то медиана, провес дённая к этой стороне, равна её половине.
3. Докажите, что если медиана, проведённая к стороне [ВС] тре+i угольника АВС, равна её половине, то центр описанной окружности лежит на середине стороны [ВС]. г
4. Докажите, что если в треугольнике АВС угол ВАС прямой^ то медиана, проведённая к стороне [ВС], равна её половине.
5. Докажите, что если в треугольнике АВС угол ВАС прямой;7 то центр описанной окружности лежит на середине [ВС]. u
6. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на середине стороны [ВС], то угол ВАС — прямой.
* * *
Мы называем высказыванием любое повествовательное предложение, про которое можно сказать, истинно оно или ложно.
Пусть Р и Q—два высказывания. Высказывание вида «из Р следует ф» или «если верно Р, то верно и Q» называется импликацией (от английского слова imply — влечь за собой). ,г
30
Импликация, как и любое другое высказывание, может быть истинной или ложной. Импликация вида «из Р следует Q» оказывается ложной, если обнаруживается, что Р истинно, a Q —ложно. Истинность импликации означает, что выполнение условия Р влечет за собой и выполнение условия Q7.
Коротко импликация записывается в виде Р => Q (следует читать «Р влечёт Q»). При этом предложение Р называют посылкой (или условием) импликации, а предложение Q — следствием (или заключением). Вы также знаете, что в импликации Р => Q высказывание Р называют условием, достаточным для Q, а высказывание Q — условием, необходимым для Р.
Наряду с импликацией Р => Q можно рассматривать и импликацию Q => Р, которую называют обратной к первой. Если импликация Р => Q истинна, то это ещё не значит, что и обратная импликация тоже будет истинной, и наоборот. Две взаимно обратные импликации нужно проверять каждую в отдельности.
' Если же истинны обе импликации, и Р => Q, и Q => Р, то высказывания Р и Q называют равносильными и пишут, что Р Q. В этом случае говорят ещё, что Р выполняется тогда и только тогда, когда и Q; или: Р верно, если и только если верно Q; или что для истинности Р необходимо и достаточно, чтобы истинным было Q, причём в этих формулировках Р и Q можно менять местами.
Запомните: встретившись с утверждением вида Р => Q, вы должны найти, где в нём посылка (т.е. что дано), а где следствие (т.е. что требуется доказать). Встретившись с утверждением вида Р <=> Q, вы должны выделить в нём две независимые импликации и проверить их пр отдельности.
7. Все шесть решённых вами задач являются примерами импликаций; найдите в каждой из них посылку и следствие. Какие из них являются взаимно обратными? Равносильность каких трёх высказываний вы в результате доказали?
Импликация обладает таким свойством: если Р => Q и Q => R, то Р => R. (Это свойство называется силлогизм.)
' * * *
Несколько вопросов по логике.
£} 8. Среди перечисленных далее фраз найдите:
7 В листке № 2 мы уточним понятие импликации; пока же заметим вот что: если условие Р само не выполнено, то импликацию «из Р следует Q» принято считать йКЙгинной, каково бы ни было Q. Это соглашение кратко формулируется так: «из лжи следует всё что угодно».
31
а) невысказывания;
б) заведомо ложные высказывания;
в) заведомо истинные высказывания;
г) остальные высказывания;
д) высказывания, являющиеся импликациями, как бы они ни были сформулированы;
е) пары взаимно обратных импликаций.
1) прямоугольный треугольник;
2) если у четырёхугольника диагонали перпендикулярны, то он — ромб;
3) четырёхугольник является параллелограммом, если и только если противоположные его стороны попарно равны по длине;
4) если квадрат действительного числа отрицателен, то и пятая степень тоже;
5) кого это интересует?
6) слава труду!
7) пошёл вон!
8) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
9) всякий треугольник — прямоугольный;
10) данный треугольник — прямоугольный;
11) существует хотя бы один прямоугольный треугольник;
12) не всякий треугольник — прямоугольный;
13) не существует ни одного прямоугольного треугольника;
14) «если 2 х 2 = 5, то существуют ведьмы» (Ф. Хаусдорф);
15) данные точки А, В, С лежат на одной прямой;
16) для данных точек А, В, С верно: АС = АВ + ВС;
17) для того, чтобы квадрат данного числа х был больше 16, достаточно, чтобы х был больше 4;
18) для того, чтобы квадрат данного числа х был больше 16, необходимо, чтобы х был больше 4;
19) данные точки А, В, С не могут являться вершинами никакого треугольника;
20) данные точки А, В, С не могут принадлежать одной окружности.
9. Какие высказывания вы бы назвали независимыми?
10. Сформулируйте заново:
а) задачи 1 и 3 — в терминах достаточности;
б) задачи 2 и 4 — в терминах необходимости;
в) результат пары задач 5 и 6 — в терминах необходимости и достаточности;
г) результат пары задач 2 и 3 — в терминах «тогда и только тогда»;
д) результат пары задач 1 и 4 — в терминах «если и только если».
32
11. При решении двух задач из 1-6 вы должны были применить силлогизм; найдите эти задачи и проверьте себя.
* * *
Определение 1. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в неё.
Говорят, что вписанный угол опирается на дугу окружности, высекаемую сторонами угла. Говорят также, что вписанный угол опирается на хорду, стягивающую эту дугу.
12. Переформулируйте утверждения задач 5 и 6 с использованием введённого определения.
Определение 2. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Угловой величиной дуги называется величина центрального угла, стягивающего эту дугу.
При рассмотрении центральных углов и величия дуг обычно считают, что величина угла может изменяться от 0 до 360 градусов.
Теорема. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, 5 на которую он опирается.
13. Докажите теорему для случая, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности.
Д4. Докажите теорему для общего случая.
Листок № 2
Вписанный угол. Элементы логики
— Я так рада, что я не люблю спаржу!
— Отчего же, милая?
— Потому что если б я её любила, то мне пришлось бы её есть, а я её не выношу!
Ч. Л. Доджсон {из разговора двух девиц)
В предыдущем листке мы доказали теорему про вписанный угол. ^В задачах этого листка вам придётся пользоваться этой теоремой. ’*Кроме того, вам придётся аккуратно пользоваться логикой, знакомство с которой мы сейчас продолжим.
/
33
* * *
В формальной логике, когда имеют пару высказываний Р и Q, то рассматривают такие четыре возможности:
1) Р и Q оба истинны;
2) Р ложно, a Q истинно;
3) Р и Q оба ложны;
4) Р истинно, a Q ложно.
Импликацию Р => Q, по определению, считают истинной в первых трёх случаях и ложной в четвёртом — вне зависимости от конкретного содержания Р и Q. Такое словоупотребление хотя и не всегда совпадает с интуитивным представлением о логике, но тем . не менее удобно и сейчас общепринято.
Второй и третий случаи, как вы уже знаете, объединяются формулировкой: «из лжи следует всё что угодно». Первый и второй случаи означают, что если высказывание (в данном случае Q] заведомо истинно, то можно считать, что оно следует откуда угодно.
Поэтому, с точки зрения формальной логики, такие три высказывания одинаково являются истинными:
1) поскольку 2 меньше 5, то Париж — столица Франции;
2) поскольку 2 больше 5, то Париж — столица Франции;
3) поскольку 2 больше 5, то Париж — столица Лапландии.
Как видим, применение формальной логики к утверждениям, которые заведомо истинны или заведомо ложны, мало содержательно,. Однако для того чтобы пользоваться логикой в сложных ситуациях, её нужно освоить; а потому решайте упражнения.
1. Известно, что импликация Р => Q истинна. Кроме того, известно а) что посылка Р истинна. Что можно сказать про Q?
б) что посылка Р ложна. Что можно сказать про Q?
в) что следствие Q истинно. Что можно сказать про Р?
г) что следствие Q ложно. Что можно сказать про Р?
Решив это упражнение, вы поймете, что:
• для истинности заключения Q достаточно истинности Р, и
• для истинности посылки Р необходимо удостовериться в истинности Q. Этим объясняются термины «необходимое условие» и «достаточное условие».
34
2*. Как доказать принцип силлогизма? (См. листок № 1.)
Пусть теперь дана пара высказываний Р и Q, и мы интересуемся, равносильны они или нет.
3*. Рассмотрите четыре перечисленные выше возможности. В каких из них верно, что Р О Q? В каких неверно? Убедитесь, что высказывания равносильны, либо если оба истинны, либо если оба ложны.
4. Вернёмся к примерам задачи 8 листка X2 1. Найдите там:
а) пары равносильных высказываний;
б) пары неравносильных высказываний, из которых можно образовать верную импликацию (хотя бы 15 разных пар).
* * *
Пусть Р — некоторое высказывание. Знаком -,Р обозначается отрицание высказывания Р; -»Р— это такое высказывание, которое истинно, когда Р ложно, и ложно, когда Р истинно. Оно образуется дописыванием к высказыванию Р спереди слов: «неверно, что». Например, если Р = «данное число х больше 0», то -»Р = «неверно, что данное число х больше нуля»; попросту -»Р означает, что х 0.
Надпись «-1Р» следует читать так: «не Р».
4. в) Сформулируйте отрицания всех высказываний из задачи 8 листка № 1.
* * *
Пусть дана импликация Р => Q. Наряду с ней рассмотрим ещё три импликации: всего их будет четыре, и они образуют так называемый логический квадрат.
данная
P^Q
обратная Q => Р
-Р => Q
противоположная
-*Q => Р
обратная к противоположной
или противоположная к обратной
В этом квадрате высказывания, лежащие друг от друга по диагонали, равносильны, и вот почему. Рассмотрим опять четыре случая:
1) Р и Q истинны;
2) Р ложно, a Q истинно;
35
3) Р и Q ложны;
4) Р истинно, a Q ложно.
Данная импликация истинна в 1-м, 2-м и 3-м случаях, а в 4-м ложна, но и импликация, обратная к противоположной, такая же. Поэтому они одновременно истинны или одновременно ложны, а значит, равносильны.
5. а) Проверьте, что действительно импликация, обратная к противоположной, истинна в случаях 1, 2, 3 и ложна в случае 4.
б) Разберитесь сами со второй диагональю этого квадрата.
Пусть теперь вам надо доказать теорему вида Р =Ф Q, т.е. вам дано, что верно’ Р, и требуется доказать, что Q верна. Вместо этого вы имеете право доказывать другую, равносильную теорему о том, что
=> ~*Р- Такой прием называется доказательством от противного. Мы надеемся, что он вам знаком.
Теперь, наконец, можно начинать решать
Задачи
Докажите следующие утверждения.
6. Величины вписанных углов, опирающихся на равные дуги, равны.
7. Величины вписанных углов, опирающихся на равные хорды, либо равны, либо составляют в сумме 180°.
8. Из точки А, лежащей вне круга, выходят лучи АВ и АС, пересекающие его. Докажите, что угол ВАС равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключённых внутри угла ВАС.
9. Точка А лежит внутри круга. Докажите, что угол ВАС равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключённых внутри угла ВАС и угла, симметричного ему относительно точки А.
10. Из каких точек плоскости данный отрезок АВ виден под данным углом а?
11. Сумма величин противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180°.
12. Что можно сказать о боковых сторонах трапеции, вписанной в окружность?
13. Если сумма двух противоположных углов четырёхугольника, равна 180°, то вокруг него можно описать окружность. Доказать.
14. Величина угла между хордой АВ и касательной к окружности в точке А равна половине угловой величины соответствующей дуги АВ,;
15. Угловые величины дуг, заключённых между параллельными хордами, равны.
।
36
16. Из точки Р, расположенной внутри острого угла ВАС, опущены перпендикуляры PBi и PCi на прямые АС и АВ. Доказать, что ZCiAP = ZCiBiP.
17. Вершина А остроугольного треугольника АВС соединена отрезком с центром О описанной окружности, из вершины А проведена высота АН. Доказать, что /.ВАН = /ОАС.
18* . Прямоугольный треугольник АВС (/ВАС = 90°) двигается по плоскости таким образом, что вершины В и С скользят по сторонам заданного на плоскости прямого угла Р, а вершина А находится внутри угла Р. Найти линию, которую описывает точка А при движении. Найти длину этой линии.
19* . В стороне от прямолинейной дороги стоит замок. В какой точке дороги следует остановить экскурсионный автобус, чтобы фасад был виден лучше всего?
20. Пусть а, Ь, с—длины сторон треугольника, а, /3, у — соответственно величины противолежащих им углов, R—радиус описанной окружности.
а) Доказать, что = 2R.
б) Доказать, что -А- — — 2Я.
/ ни sina sin/3 Sin 7
Результаты задач 10, 11 и 20, б) достойны называться теоремами и достойны того, чтобы вы их запомнили навсегда. Результат задачи 20, б) называется Теоремой синусов.
Листок №. 3
Отображения
Функция есть кривая, начертанная свободным влечением руки.
Л. Эйлер
Мы полагаем, что вы уже встречались с множествами. Два понятия— «множество» и «быть элементом множества»—относятся к основным понятиям всей математики. Мы не берёмся сформулировать их определения.
Тот факт, что элемент а принадлежит множеству А, записывается так: а 6 А. Если хотят написать, что множество А содержит элемент а, то пишут ещё и так: А Э а.
Запись В С А означает, что множество В является подмножеством множества А, или что В содержится в А (с тем же успехом можно
37
написать и A D В). Это значит, что всякий элемент множества В является также и элементом А.
Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов; пишут: А = В. Ясно, что А = В тогда и только тогда, когда верно, что А С В, и верно, что В С А.
1. Разберитесь, что означают следующие надписи:
а) А С В О (а € А => а е В);
б) А = В О (а е А О а € В).
В геометрии, как и во всей остальной математике, имеют дело со множествами. Так, геометрические фигуры обычно рассматривают как множества точек. С этой точки зрения нехорошо говорить, например, что «два треугольника равны, если у них соответственные стороны равны»: ведь треугольник—это множество точек; а множества равны, только если они состоят из одних и тех же элементов. Итак, треугольник может быть равен только самому себе, так как другой треугольник состоит из других точек. Вообще, две фигуры могут быть равны, только если они состоят из одних и тех же точек.
Можно рассматривать и другие множества, а не только множества точек. Так, можно рассмотреть множество всех прямых, проходящих через данную точку (оно называется «пучок»). Его элементами являют^-ся прямые, а вовсе не точки. Правда, каждый его элемент при желании сам может быть рассмотрен как множество.
* * *
Пусть X и Y — два множества.
Определение 1. Пусть задан закон, который для каждого элемента х е X указывает соответствующий ему один-единственный элемент у 6 Y. Тогда говорят, что мы имеем отображение (иначе: функцию) из множества X в множество Y.
Если мы обозначим вышеупомянутый закон буквой /, то элемент у 6 У, соответствующий какому-нибудь х 6 X, может быть записан как у = f(x). Часто используется запись /: X -> У; она читается так: «f действует из множества X в множество У».
Как видим, функция характеризуется тремя объектами:
1) множеством X, из которого она действует (его ещё называют областью определения функции f и обозначают £)(/));
2) множеством У, в которое она действует (его иногда называют областью значений функции f и обозначают E(f));
3) законом, определяющим действие этой функции.
38
Когда хотят сказать, что две функции равны, то под этим понимают, что все три перечисленных объекта у них одинаковы.
2. Рассмотрим примеры:
/: [—1;3] —> [0;5],
[—1;3]-> [—1;2],
h: [-1;3] -> [0;5],
р : [-1;3] [0;5],
/(ж) = |ж|;
р(ж) = |х|;
h(x) = такому положительному числу, квадрат которого равен квадрату х;
Р(®) = (^)2;
q: [—1;3] -> [-1;2], . 9(х) = 0;
г: [—1;3] -> [—1;3], г(х) = такому числу у, что
(у - I)2 + (х - I)2 = 4.
Все ли эти примеры суть8 примеры функций? Все ли функции здесь одинаковы?
Определение 2. Пусть /: X У, f(x) = у. Тогда элемент у называется образом элемента х. Если А С X, то образом множества А называется множество всех /(я), где х 6 А. Образ множества А обозначают /(А).
Как видно из определения функции, образ всякого элемента х Е X существует, и притом только один. Иногда вместо «г/ есть образ х под действием /» говорят, что «у есть значение f на элементе х».
Определение 3. Пусть снова /: X -> У, f(x) = у. Элемент х называется прообразом у.
3. Рассмотрите ещё раз пример f из задачи 2. Что является прообразом точки 4? Что является прообразом точки 0,5? Что является прообразом точки 3? Убедитесь, что прообразов у точки может быть и один, и ни одного, и несколько.
Определение 4. Полный прообраз множества В С У — это множество всех х 6 X, таких что f(x) Е В. Его можно обозначать /-1(В).
8 Слово суть, используемое нами здесь и кое-где ниже — это не существительное, а глагол. Это— (полузабытая) форма третьего лица множественного числа глагола быть (смотри в старых грамматиках: он, она, оно есть; они, оне суть). Мы^старались не злоупотреблять этим словом, но иногда затруднялись построить без него фразу столь кратко и определённо, как считали нужным.
39
4. В примере / из задачи 2 укажите полный прообраз:
а) множества [0,4; 0,8);
б) множества [3; 3,5];
в) множества (0,7; 2,5);
. г) кроме того, укажите образ множества [—1; 3].
5. Представьте, что X и Y — множества точек, и если под действием данной функции элемент х переходит в у, то х и у соединяются тонкой трубкой. При этом, если в какую-нибудь точку капнуть зелёных чернил, то все точки, соединённые трубками с покрашенной, сами станут зелёными—краска мгновенно распространяется по трубкам. Итак, если в элемент х капнуть чернил, то немедленно окрасится его образ. Объясните таким же образом и остальные только что введённые термины.
6. Пусть X — множество слов русского языка, Y — множество слов английского языка. Зададим соответствие между X и Y с помощью словарей. Получились ли у нас отображения:
а) из множества X в множество У?
б) из множества У в множество X?
* * *
Определение 5. Пусть /: X У, д: У -> Z. Отображение Л, которое действует из X в Z по правилу h(x) = g(f(x)), называется композицией f и д. Запись: h = д о /. (Как видим, записи о композициях следует читать справа налево: если написано д о /, то раньше действует /, а потом д. Порядок букв в записи h = д о f принят таким, как в записи h(x) = <?(/(ж)). Композицию иногда еще называют сквозным отображением. Физики вместо «композиция» любят говорить «суперпозиция».)
7. Пусть X и У — одно и то же множество из трёх элементов а, Ь, с. Зададим отображения f: X X и д: X X так:
/(а) = Ь; д(а) = с;
f(b) = с; д(Ь) = а;
f(c)=>a; g(c) = b.
Вычислите: а) / о р; б) д о /; в) /2 = / о /; г) д3 = д о д о д.
Определение 6. Отображение из множества X в себя, которое оставляет все точки на месте, называют тождественным и обозначают id (от английского слова identity—тождество). По определению, id: X -> X, id(x) = х для всех х 6 X.
Композиция двух отображений может быть выполнена только тогда, когда область значений первого из них совпадает с областью
40
определения второго. Но поскольку тождественное отображение можно определить в любом множестве, то
8. Каково бы ни было /, композиция f о id определена и равна /. То же верно и для id о /.
* * *
Определение 7. Отображение /: X -> Y называется биективным (или взаимно-однозначным отображением X на У), если у всякого элемента у 6 Y существует прообразуй притом единственный.
9. Являются ли биективными:
a) id;
б) f и у из задачи 7;
в) отображение К в К, сопоставляющее числу его квадрат;
г) отображение Ж в Ж, сопоставляющее числу его куб?
10. Композиция двух биективных отображений биективна.
Определение 8. Пусть f: X -> У — биективное отображение. Определим отображение J”1: У -> X так: если f(x) = у, то /-1(з/) = х. Полученное отображение называется обратным к /.
11. а) Докажите, что /-1 — действительно отображение.
б) Докажите, что оно биективно.
в) Проверьте, что f о /-1 = id и о f id (заметьте, что это id разных множеств).
г) Укажите отображение, обратное к J”1.
12. Вычислите д~г о /, где f и д — из задачи 7.
Часто рассматривают отображения из множества X в себя. Биективные отображения X на X иногда называют преобразованиями множества X.
Определение 9. Преобразованиями плоскости называются биективные отображения этой плоскости на себя.
13. Сколько существует различных преобразований:
а) множества, состоящего из двух точек?
б) множества, состоящего из трёх точек?
в) существуют ли взаимно-однозначные отображения X на У, если X состоит из 7 точек, а У — из 6?
14. Пусть в плоскости введена система координат. Рассмотрим отображения, переводящие:
а) точку (х,у) — в точку (з/, ят);
б) точку (ж, у) — в точку (гг, 0);
в) точку (ж, у) — в точку (ж, у), если х 0, и в точку (х — 1,у), если х > 0;
41
г) точку (х,у) —в точку (х,у), если х 0, и в точку (х + 1, у), если х > 0.
Есть ли здесь преобразования плоскости?
Дополнительные материалы
15*. Мы видели в задаче 1, что понятию импликации в логике соответствует понятие вложенности множеств, а понятию равносильности в логике соответствует понятие равенства множеств. Какое понятие, по-вашему, должно быть аналогом понятию отрицания высказывания? Если вам известны понятия пересечения и объединения множеств, то опишите, каковы должны быть их аналоги в логике.
Вы уже знаете, что с теоретико-множественной точки зрения неправильно называть две фигуры равными, если они не совпадают, а лишь имеют одинаковые размеры. Принято называть такие фигуры конгруэнтными. Впоследствии нам придётся точно определить понятие конгруэнтности и пользоваться им, всякий раз отличая его от понятия равенства. (Составители нынешнего учебника для массовых школ, возненавидев неизвестно почему слово «конгруэнтность», потратили массу усилий для изгнания этого слова из программы, но при любом сколько-нибудь аккуратном использовании общепринятого в математике языка теории множеств это ненавистное им понятие неизбежно всплывает вновь).
16*. Пусть /: X У, В С У. Прообраз множества В и образ его при обратном отображении обозначаются одинаково: /-1(В). Случайно ли это? Есть ли разница между этими понятиями?
Определение 10. Отображение /: X —У называется инъективным (или взаимно-однозначным отображением X в У), если различные элементы х Е X имеют разные образы.
Разница между 0.10 и 0.7 — в предлоге: «в» вместо «но».
Определение 11. Отображение f : X —> У называется сюръективным (или отображением X на У), если каждый элемент у G У является чьим-нибудь образом.
Разумеется, в этом определении слово «на» — главное.
17*. Сравните определения 7, 10, 11 и убедитесь, что:
а) отображение биективно тогда и только тогда, когда оно и сюръективно, и инъективно;
б) отображение из X в У инъективно тогда и только тогда, когда у каждого у 6 У имеется не более одного прообраза;
в) отображение из X в У сюръективно тогда и только тогда, когда у каждого у € У имеется не менее одного прообраза.
18*. Каждому дому на Сумской поставим в соответствие его высоту в метрах. Будет ли это отображением (из множества домов на Сумской в множество чисел)? Будет ли оно сюръективным? инъективным?
19 *. Пусть А—центральная входная дверь Харьковского университета. Зададим отображение земного шара в множество неотрицательных чисел^
42
сопоставив точке М расстояние от нее до А. Будет ли оно сюръективным? инъективным?
20*. Пусть X — множество из трёх точек, Y — из двух.
а) Сколько существует сюръективных отображений из X в У? Сколько инъективных? Сколько отображении вообще?
б) Те же вопросы для отображений из У в X.
в) Те же вопросы для отображений из У в У.
г) Те же вопросы для отображений из X в X.
21. Пусть f, ди h — отображения множества X в себя. Рассмотрим такие два равенства:
a) f°9 = 9°f', б) (fog)oh = fo(goh).
Покажите, что равенство а) верно не всегда, и приведите опровергающий пример. Равенство б) верно всегда, докажите его.
Листок № 4
Параллельный перенос
Ум сугубо математический будет пра-вильно работать, только если ему заранее известны все определения и начала, в противном случае он сбивается с толку и становится невыносимым.
Блез Паскаль. Мысли
Определение 1. Преобразование плоскости—это биективное отображение плоскости на себя.
Определение 2. Движение (иначе: перемещение) — это преобразование плоскостй, сохраняющее расстояния (то есть расстояние между точками должно быть р^вно расстоянию между их образами).
Определим понятия сонаправленности и противоположной направленности лучей.
Определение 3. Два луча, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если один из них целиком содержится в другом, и противоположно направленными, если это не так. Лучи, лежащие на разных параллельных прямых, называются сонаправленными, если они содержатся в одной полуплоскости относительно прямой, соединяющей их начала; они называются противоположно направленными, если лежат в разных полуплоскостях относительно такой прямой.
Непараллельные лучи не бывают ни сонаправленными, ни противоположно направленными.
43
Обозначение сонаправленности лучей: [ЛВ) ft [CD). Обозначение противоположной направленности лучей: [ЛВ) fj, [CD).
1. Начертите произвольную фигуру F (лучше, если это будет многоугольник), луч I и отрезок длины а. Из произвольной точки Л фигуры F проведите луч, сонаправленный с I (такой луч существует, и притом единственный; почему?); отметьте на нём точку В, такую что АВ = а. Говорят, что точка В получена из Л параллельным переносом в направлении луча I на расстояние а. Изобразите фигуру F', которая получится, если к каждой точке фигуры F применить такой параллельный перенос.
Определение 4. Параллельным переносом вдоль луча [ЛВ) на расстояние АВ называется такое преобразование плоскости, при котором точка Л переходит в точку В, а всякая другая точка С плоскости переходит в такую точку D, что лучи [ЛВ) и [СР) сонаправлены и расстояния ЛВ и CD равны.
2. Что из следующих примеров является параллельным переносом:
а) перемещение груза, поднимаемого подъемным краном за некоторый промежуток времени;
б) перемещение маятника ходиков;
в) перемещение катящегося бочонка?
Приведите ещё примеры параллельных переносов.
Заметим, что параллельный перенос вполне определяется упорядоченной парой точек (Л, В), из которых вторая является образом первой.
3. Пары точек (Л, В) и (C,D) задают один и тот же параллельный перенос. Какое утверждение о четырёхугольнике ABDC можно сформулировать? Верно ли обратное утверждение?
4. а) Докажите, что параллельный перенос является движением.
б) Точки Лх, Л2 и Лз лежат на одной прямой (Л2 — между Л1 и Л3). Пусть выполнен такой параллельный перенос, что точка Л1 перешлр, в Bi, Л2 — в точку В2, Лз — в В3. Докажите, что точки Bi, В2 и Вз опять будут лежать на одной прямой, причём В2 — между Bi и В3.
в) Докажите, что параллельный перенос переводит прямую в параллельную ей прямую.
г) Докажите, что параллельный перенос переводит луч в сонаправленный ему луч.
Векторы
Определение 5. (Закреплённый) вектор А$— это направленный отрезок Л В, то есть просто [ЛВ], у которого вершина Л объявлена началом, а вершина В — концом.
44
Определение 6. (Свободный) вектор А&— это параллельный перенос, переводящий точку А в точку В.
В геометрии нужны только свободные векторы. В физике чаще всего встречаются закреплённые векторы.
Чтобы задать параллельный перенос, ну к но указать какой-нибудь направленный отрезок. Вы видели в задаче 3. что один и тот же параллельный перенос может задаваться разными направленными отрезками. Другими словами, одному свободному вектору соответствует целое семейство закреплённых векторов. Два закреплённых вектора А$ и сВ задают, или, как ещё говорят, изображают один и тот же параллельный перенос (свободный вектор), если АВ = CD и [АВ) [CD).
Часто говорят о векторе, отложенном от данной точки А плоскости, понимая под этим закреплённый вектор аВ с началом в точке А, который задаёт данный параллельный перенос.
Начиная с этого места, под словом «вектор» мы будем понимать свободный вектор. Он потому и свободен, что его можно изобразить направленным отрезком, отложенным от любой точки плоскости, в то время как у закреплённого вектора есть закреплённые начало и конец.
Определение 7. Два вектора, дВ и ci) называют равными, если один и тот же параллельный перенос переводит точ^у А в точку В и точку С в точку D. Другими словами, «дра равных вектора» — это просто один и тот же вектор, изображённый двумя способами; и вы уже понимаете, что при этом АВ = CD и [АВ) ft [CD). О закреплённых векторах аВ и сЬ при этом можно было бы сказать, что они принадлежат, одному семейству. , .
5. В треугольнике АВС точки М, К, Р — середины сторон [АВ], [ВС] и [АС] соответственно. Докажите, что МР переводит ДМКВ в &РКС.
Определение 8. Тождественное отображение плоскости на себя, то есть «движение», при котором каждая точка остаётся на месте, может считаться тривиальным примером параллельного переноса (на расстояние 0 и неважно в каком направлении). Его называют также нулевым вектором и обозначают 7?. Ясно, что it = А& = вВ = ...
Определение 9. Ненулевые векторы А$ и сВ называются одинаково (противоположно) направленными, если лучи [АВ) и [СР) одинаково (противоположно) направлены.
6. На чертеже к задаче 5 укажите пары сонаправленных, но не равных векторов.
45
7. Докажите, что композиция двух параллельных переносов снова есть параллельный перенос.
Определение 10. Композицию двух векторов называют суммой этих векторов, и вместо знака композиции пользуются знаком «+» (плюс).
8. Докажите правило треугольника для сложения векторов:
Аё + В(5 = А&.
9. Докажите правило параллелограмма для сложения векторов: если ABCD — параллелограмм, то +лё = лё.
10. а) Покажите, что сложение векторовудовлетворяет перемести-тельному закону (т. е. А& + ci> — С15 4- Ad).
б) Покажите, что сложение векторов удовлетворяет сочетательному закону (т.е. (4^ + сё) + Ёё = Аё + (сё + £^)).
11. Дан тридцатисемиугольник Ai АМз ... А37. Найдите сумму:
А1А2 4" Аз Аз 4- A3 Ад 4- • • * 4- А37А1.
12. Докажите, что обратное движение к вектору АВ есть вектор в!
Определение 11. Вектор В% называют против оположным к вектору А^. Пишут = —A/L
Определение 12. Модулем вектора А^ называют длину отрезка АВ. Обозначение: |А^|.
Векторы иногда записывают строчными латинскими буквами со стрелочкой (или с чёрточкой) наверху: 7^, 6,7^,... или а, 5, с, ... Сумма векторов обозначается ~ct 4- b , модуль вектора it — как Г4 а вектор, противоположный к вектору 7?,— как (-7?).
Определение 13. Разность векторов ~ct и b (обозначается 7^ — Ь ) — это it 4-'(-7?).
13. Докажите: А& — Аё = В(5.
14. Дан параллелограмм ABCD. Найдите вектор Azl — В(5 4-
46
Листок № 5
Векторы (продолжение)
Слова состоят из букв алфавита, пред-ложения из слов, которые можно найти в словаре, и книги из предложений, которые можно найти и у других авторов. Однако если то, что я говорю, содержательно и связано таким образом, что следует одно из другого, то вы столь же можете порицать меня за заимствование моих предложений у других, сколь и за заимствование моих слов у словаря.
Рене Декарт
Определение 1. Два вектора называются коллинеарными (или параллельными), если они либо сонаправлены, либо противоположно направлены. Обозначение: 7?|| b . Нулевой вектор считается коллинеарным любому.
Если сложить два одинаковых вектора 7? + 7?, то получится вектор, который естественно можно обозначить 2 • 7^; он сонаправлен с 7? и в 2 раза длиннее его. Точно так же 7^4-7? + 7^ = 3- 7^.
Определение 2. k-~ct — это вектор, такой что
z при к > 0 вектор к • сонаправлен с 7?, а модуль его равен к • |7?|; при к < 0 вектор к • 7^ направлен противоположно 7?, а модуль его равен — к • |7?|; }
0-^ = ^. '
Из определения следует, что всегда ]к • 7i^| = |fc| • |7^|.
Часто на письме точку (знак умножения) опускают, так же как и при умножении чисел. Однако нужно чётко понимать, что здесь мы умножаемою число на число, а число на вектор, и получаем в результате именно вектор, а не что-либо иное.
1. Докажите, что два ненулевых вектора 7? и Ь тогда и только являются
а) коллинеарными, когда существует такое число к, что Ь = к • 7?;
б) сонаправленными, когда такое к существует и больше 0; при этом к = \1)\ / 17?|;
в) противоположно направленными, когда это к существует и отрицательно; при этом к = — | b | / |7?|.
47
2. Отложите от произвольной точки О два неколлинеарных вектора и b . От той же точки отложите вектор 7?. Покажите, что может быть представлен в виде = к • "3 4- п • Ь , и притом единственным образом (т. е. если заданы 7?, b и 7?\ то к и п можно найти).
3. Докажите тождества:
a) fc-C^ + T) = к + к -1);
б) (А^+ ri) -~ct = + п • 7?;
в) (fcn) • 7? = А; • (п • 7?).
В задачах 4, 5, 16 предполагается, что векторы заданы направленными отрезками, отложенными от одной точки.
4. Дано: |^.| = 5, |Т| = 12. Найти + Т| и - Т|.
5. Дано: угол между направлениями векторов 7^ и Ь равен 60°, |^| = 5, |V| = 8. Найти |^ + t| и
в. В параллелограмме ABCD обозначим A^j = Jet, лд = Вы-разите через 7? и Ь векторы мХ мд, мд, мд, где М — точка пересечения диагоналей параллелограмма.
7. В обозначениях задачи 6 докажите, что
мХ+мд+мд+мд = д.
8. Докажите, что если мХ+мд+мд+мд = it, где А, В, С, D — вершины параллелограмма, то М — точка пересечения его диагоналей.
9. Пользуясь параллелограммом, построенным на векторах 7? и Ь, проверьте формулы:
а) Сс? + ^) + С^-Т).= 2^;
б) С^ + Т)-^-"?) = 2^;
в) + =
r)l.(^-t) + V = f(^ + V)^
10. При каких условиях на и 6 будут справедливы такие соот
ношения:
a) |^4-t| = |^| + |T|;
б) -Д- • = -Д- • д.
1^1 |7| ' .
11. а) Три вектора Ад = , вд = ~et, (jX = X) служат сторонами
треугольника. Выразите через них его медианы.
б) Выразите их только через и Ь .
12. Проверьте, что векторы, совпадающие с медианами треуголь
ника, в свою очередь могут служить сторонами другого треугольника.
48
13. Выразить стороны ромба через его диагонали.
14. Пусть М и N — середины отрезков [ЛВ] и [CD] соответственно. Докажите, что = |(АС + вВ).
15. Даны два вектора О А и 0$. Доказать, что вектор од может быть представлен в виде х • оА + (1 — х) • ОВ тогда и только тогда, когда С лежит на прямой (АВ). Для каких точек С выполняются такие условия:
Заметьте! Вектор 0(5 (для любой точки С) заведомо можно представить в виде 0(5 = х • оА -I- у • ОВ. Смысл задачи состоит в том, что х + у = 1.
16. Какому условию должны удовлетворять и 6 , чтобы вектор + Ъ делил пополам угол между 7^ и 6 ?
17*. Используя результат задачи 15, докажите,' что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят друг друга точкой пересечения в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины треугольника.
18*. Отрезок [АУ] — биссектриса угла Ав треугольнике АВС. Вывести формулу, выражающую вектор ЯЙ через векторы А% И А&.
Листок № 6
Вёкторы (продолжение)
Прочь, единичных векторов засады!
С. Лем. Кибериада
Определение 1. Проекция точки А на прямую I — это основание перпендикуляра, опущенного на прямую I из точки А.
Определение 2. Проекция отрезка [АВ] на прямую I — это отре-. зок [CD], где С и D суть проекции на I точек А и В соответственно.
Можно говорить о проектировании как об отображении плоскости на прямую, сопоставляющем точке её проекцию. Тогда проекция отрезка—это его образ при проектировании.
Определение 3. Ось — это прямая, на которой выбрано направление.
Чтобы выбрать направление на прямой, достаточно, например, указать какой-нибудь лежащий на ней луч или направленный отрезок. Хотя
49
в прямой и содержится весьма много разных лучей и направленных отрезков, тем не менее прямая может быть превращена в ось ровно двумя способами.
Определение 4. Орт вектора ~ct— это вектор, сонаправленный ему и имеющий единичную длину. Он обозначается 7? °.
Легко видеть, что = j—- • ~ct.
Если отложить орты всевозможных векторов от какой-то одной точки, то концы их заполнят окружность (какую?).
Точно так же определяется орт оси I. Он обозначается
Определение 5. Угол между векторами и b —это угол между лучами, сонаправленными с "3 и b и выходящими из одной точки. Обозначение: ("^, 5). Вектор "(/ считается перпендикулярным любому вектору. у
Внимание! В 0.5 мы говорим о лучах, выходящих из одной точки, не задумываясь о том, какая именно это «одна точка». Это можно себе позволять, только если интересующий нас угол не зависит от того, где выбрать эту точку. И он действительно не зависит от выбора точки; подумайте, почему.
Проекция вектора на ось
Определение 6. Векторная проекция вектора А& на ось I—это вектор сВ, где С и D — проекции на I точек А и В соответственно.
Внимание! Так как «вектор» у нас— это свободный вектор, то следует читать и понимать: проекция свободного вектора есть свободный вектор ct>. Нижеследующая задача 1, а) поможет вам с этим освоиться. Если бы мы захотели определить проекцию закреплённого вектора на ось, то определение дословно совпало бы с 0.6 (или с 0.2), и разумно было бы считать, что проекция направленного отрезка есть направленный отрезок.
В геометрии, как правило, имеют дело с определённой в 0.6 векторной проекцией. Физики, однако, предпочитают работать со скалярной проекцией вектора на ось, определяя её так:
. Определение 7. Скалярная проекция вектора А$ на ось I—это число, равное модулю векторной проекции сВ, взятому со знаком «+», если CD сонаправлен с Z, и взятому со знаком «—», если направлен противоположно// .
50
Векторная проекция вектора ~ct на ось I обозначается Ш^(Т^) (с чертой над буквами ПР). Скалярная проекция на I обозначается ПР/(7^) (без черты над ПР).
1. а) Проекция вектора лё ~ 7? на ось I не зависит от выбора точки А.
б) Проекции вектора 7? на все сонаправленные оси равны.
Утверждения а) п 6 . как для скалярной, так и для век-
торной проекций. Дскаялгге.их длд обоих с.пчаев.
в) Убедитесь, что Ш\(7?) = ПР/(7?) •
Кроме проекций вектора на ось полезно рассматривать проекции вектора ~cl на вектор Ь , понимая под этим проекции ~ct на любую ось, сонапра-вленную с Ъ . Благодаря задаче 1, б) такой подход корректен. Именно так следует понимать записи вроде Ш^(7?), употребляемые нами в дальнейшем.
2. Выполните такое построение: отложите от точки О два вектора б! = It и О& = V. Из точки А опустите перпендикуляр на пря-мую (ОВу основание его обозначьте буквой С. Выразите вектор 0(5 через |7?|, "?° и Л АО В = (7Z, b ). Укажите на вашем чертеже
3. Для каких 7? и b верно: Ш^(Ь) = П?Г(7Г)?
4. Jia векторах 7^ и 6 построен^квадрат. Постройте проекции ндТ^ и на Ь таких векторов: а) 7^ 4- 5 ; б) 7? - 2 • 6 ; в) 2 -7? + - • b .
Выразите эти проекции через it или Ь .
5. Докажите свойства проекции:
а) Ш^С<? + V) = + Ш^(7) (заметьте при этом, что
проекция — вектор, и в правой части стоит сумма векторов!);
б) • #) = к •
в) если 7? и 7 перпендикулярны, то Ш^(7) = 7'
6. При каком условии на 7^ и b для любого вектора будет верно, что + шЦ> Д) =
7. Даны коллинеарные векторы 7^ и 6 , отложенные от точки О. Для каких точек А проекция OCt на it равна ?
Координаты вектора
Возьмём какую-нибудь прямоугольную декартову систему координат на плоскости; пусть О — её начало, а V и — векторы единичной длины, сонаправленные координатным осям (их называют координат- v ными ортами).
51
Определение 8. Координаты вектора — это координаты его конца, когда этот вектор отложен от начала координат. ;
Другими словами, как легко понять, координата х вектора — это его скалярная проекция на ось Ох, а координата у — на ось Оу.
8. Координаты точек А и В суть (хд,?/д) и (хв,Ув)- Найти координаты вектора А$.
9. Если вектор 7? имеет координаты (х,у), то:
а) а: = у~? = 0$-^): б) = х -V + у
в) |^| = \Д2 + у'-. •
10. Используя результаты задачи 8, докажите, что если координаты векторов at и at суть (#1,2/1) и (.т>,?/2), то:
а) координатами их суммы at + at будут (х\ -I- 4- 3/ 2);
б) вектор к • 7? должен иметь координаты (кх, ку).
11. Докажите, что векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны (т.е. atЦа^ <=> в обо-
значениях предыдущей задачи).
12. Вектор ~ct имеет координаты (1,-3). Найти fc, если \к • 7it\ = 5;
13. Рассмотрите два высказывания:
(1) под действием вектора 7? точка С переходит в точку D
и (2) 0(5 + = оё, где О — любая точка плоскости.
Докажите, что они равносильны (т. е. обозначают одно и то. же). А теперь выберите точку О за начало координат и сообразите, по каким формулам преобразуются координаты точек плоскости при параллельном переносе 7t.
14. При параллельном переносе точка (1,1) переходит в точку (-1,0). Куда переходит начало координат — точка (0,0)?
15. Вектор ~ct имеет координаты (3,1), вектор Ь имеет координаты (1, —2). Найдите координаты таких векторов:
а) 2^-^; + в)^-Т; г) 2^ +
Замечания
(1) Мы всюду, не оговаривая этого особо, рассматриваем только ортогональные (иначе: прямоугольные) проекции. Кроме них иногда рассматривают ещё и всевозможные косоугольные проекции; мы этим заниматься не будем. _ I
{2) Теперь мы можем дать точное определение часто употребляемого слова «направление».
Определение 9. Разобьём все лучи на семейства сонаправленных друг другу. Каждое такое семейство называется направлением.
52
Теперь вместо «Два луча сонаправлены» можно говорить, что два луча принадлежат одному семейству; они — два элемента одного и того же множества.
В этом определении можно заменить слово «лучи» на слово «векторы»; получится то же самое.
Мы можем определить также угол между направлениями.
Определение 10. В каждом из двух данных направлении возьмем по лучу, так чтобы эти лучи выходили из одной точки. Угол между ними называется углом между данными направлениями.
Сообразите сами, почему это определение корректно (т.е. не зависит от выбора этой «одной точки»).
Отныне можно говорить, что угол между векторами — это угол между их направлениями. Это соответствует нашему интуитивному представлению.
Ответ к задаче 2. ПР-^(^) = |7?| • cos(^, Ь) • ~1>о (рассмотрите три случая: когда угол АО В острый, прямой и тупой).
Листок № 7
Скалярное произведение векторов
Математические доказательства, как алмазы, тверды и прозрачны, и поддаются лишь самой строгой логике.
Джон Локк
Дадим два определения.
Определение 1. Скалярное произведение векторов ~ct и Ь равно
1^1 • |Т| • cos(5??).
Определение 2. Скалярное произведение векторов, координаты которых (ЯТ1,2/1) и (x25J/2), равно £1X2 -4- 3/13/2-
Обозначения: (а, 6), реже (а, Ь), а иногда ещё (обычно в школе) 7?- Ь .
Внимание! В скалярном произведении перемножаются два вектора, а в результате получается число.
Для того, чтобы в качестве ответа на вопрос «что называется скалярным произведением векторов?» можно было назвать любое из определений 1 и 2, необходимо убедиться, что они определяют одно и то же. То есть нужно проверить, что для любых двух векторов b
53
их скалярное произведение, вычисленное по 0.1, равно их скалярному произведению, вычисленному по 0.2.
Заметим, что в0.2 подразумевается, что выбрана некоторая система координат. Давайте выберем другую систему координат (например, сместим начало координат или повернём оси). При этом координаты наших векторов могут измениться. Изменится ли скалярное произведение этих векторов, вычисленное по формуле 2? (Сравните: 0.1 заведомо не зависит от выбора системы координат.)
1. Докажите, что определения 1 и 2 равносильны (и поэтому пользоваться можно любым из них) и что 0.2 не зависит от выбора системы координат.
Мы предлагаем вам решать задачу в четыре этапа:
а) выведите из. 0.2 (только из него), что 7^-7^ = |7?|2. Заметьте, что правая часть уже не зависит от начала координат.
б) теперь из а) и 0.2 выведите, что
!^ + Т|2 = (? + ?) • (t + t) = |^|2 + r?|2 + 2-^-t;
в) из этого равенства выведите, что 0.2 не зависит от выбора системы координат;
г) а теперь выберите самую удобную систему координат и убедитесь, что в ней 0.2 превращается в 0.1.
Впрочем, допустимы и другие пути решения задачи 1.
2. Исходя из определения 1, проверьте такие факты:
а) ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда
их скалярное произведение равно нулю;
б) в)_Г^|2 =
г) (4 + 4)-V = 4- & + 02-V;
д) (kit) t = k(ct- 1>У, е) |^| = 1 => ~ct • t =
3. Зная векторы 7? и b , на которых построен параллелограмм,
выразите через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма, перпендикулярной к стороне 7^.
4. Дано: (^, Ь) = 120°, |^| = 3, | b | = 4. Найти: а)^?; б) Г^ + в) (3^ - 2^) • (^ + 2^).
5. Даны три единичных вектора 7?, 6,7^, удовлетворяющие равенству: t 4- - 0 . Найти + +
6. Даны векторы 7? = (1,-2) и V = (2^3). Найдите вектор 7^, сонаправленный с 7^ и такой, что + #)± ь.
54
7. Проверьте справедливость тождества
+ ^|2 + |вГ - t|2 = 2(|^|2 + |V|2),
дайте ему геометрическое истолкование.
8. Вычислите длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах с координатами (5,2) и (1, —3).
Пусть два вектора ~ct и b заданы своими координатами
и (x2,t/s) соответственно, и требуется вычислить угол между ними. Существует стандартный, основанный на применении скалярного произведения векторов, способ вычислять косинус этого угла:
cos(^, b ) =
• ь _ Ж1Х2 + У1У2 1^1 • |"?| VX1 +У1\/Х2+У2
Постарайтесь его понять, запомнить и научиться применять.
9. Вычислите угол между векторами (3, л/3) и .(—2д/3,6).
10. Докажите, что в треугольнике со сторонами а, 5, с, в котором против стороны а лежит угол а, верно:
а2 = Ь2 + с2 — 2Ьс • cos а.
(Эта формула имеет громкое название: Теорема косинусов.)
Листок № 8
Векторы (окончание)
Математики как французы: всё, что вы им говорите, они переводят на свой язык, и это тотчас же становится чем-то совершенно иным.
* И. В. Гёте
В этом листке приводятся 18 задач. Хотя в формулировке некоторых из них векторы и не упоминаются, но тем не менее для решения их удобно применить параллельный перенос или язык векторов. Здесь мы приводим нечто вроде словарика для перевода условий задач полностью или частично с «обычного» языка на векторный.
55
длина отрезка [АВ] модуль вектора А15
угол Z.BAC угол между А15 и А/?, СОЗ(ЛО^) =
сонаправленные лучи сонаправленные векторы, 7? ft Ь , если "ct = kb при к > 0
противоположно направленные лучи противоположно направленные векторы, 7? f 6 , если 7? = к Ь при к < 0
параллельные прямые (или отрезки) коллинеарные векторы, 7?|| b . если 7? = к b '
перпендикулярные прямые (или отрезки) ортогональные векторы, 7^± Ь ; при этом 7? • 6=0
три точки А, В, С лежат на одной прямой 1) А(5 коллинеарен А^; 2) 0(5 = хО% + (1 - х)О15 (для любой точки О)
катет АС прямоугольного треугольника ABC (Z.C = 90°) находится пй формуле АС = ABcosZA проекция вектора Al5 на вектор АС. Ш^^(Х^), равна |A^|cos(A^,A^)A^0
Точка А имеет координаты (х. у) Вектор оА имеет координаты (х, у); оХ = x~t + уУ
Черта под таблицей не подведена, потому что эту таблицу можно было бы продолжать и дальше.
Задачи
1. Как разложить (опишите порядок действий циркулем и линейкой) данный вектор на два слагаемых, b и 7^, если известны:
а) модуль b и направление b ; б) направления Ь и ;
в) направление Ь и модуль 7^; г) модуль, b и модуль 7^?
2. Докажите, что = ^ф7?.
3. Стороны параллелограмма равны а и Ь. а острый угол а. Найдите угол между его диагоналями.
4. При каком п векторы с координатами (1, п) и (п, 4) коллинеарны?
5. Дан вектор с координатами (т.п). Найдите координаты вектора той же длины, ортогонального данному.
56
6. В трапеции ABCD основание AD в два раза длиннее основания ВС, точка М — середина [ABJ, О — точка пересечения диагоналей,
= nt, 0(5 = Выразить ОМ через nt и 7^.
7. В параллелограмме ABCD точка М — середина [АВ]; К — точка пересечения [АС] и [ВМ]; А^ = at, АЙ = Выразить В/£ через at и Т.
8. Выразите длину медианы та треугольника АВС через длины его. сторон.
9. Дан ДАВС; G—точка пересечения его^ медиан. Докажите, что для любой точки М верно: М(5 = |(МА -Ь М15 4- М(^).
10. Точки А, В, С, Н таковы, что [АЯ]±[ВС], [ВЯ]±[СА]. Докажите, что [СЯ]±[АВ].
11. Пусть О — центр описанной вокруг ДАВС окружности, а точка Н определяется равенством О// = ОА 4- 4- ОС. Докажите, что
все три высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н.
12. В обозначениях предыдущих задач докажите, что три точки О, G, Н лежат на одной прямой (она называется «прямая Эйлера»). Каково взаимное расположение этих точек на ней?
13. Найдите- точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин данного треугольника минимальна.
14. Докажите, что если в четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины [АВ] и [СВ], равна полусумме длин [АВ] и [ВС], то этот четырёхугольник либо параллелограмм, либо трапеция.
15. В трапеции ABCD даны: длина основания АВ, равная а, длина боковой стороны АВ, равная 5, величины углов Z А = а и ZB = Д. Найдите длины обеих её диагоналей и угол между ними. Решив задачу в общем виде, подставьте конкретные данные: а = 6, Ь = 4, а = 60°, & = 45°.
16. Трижды воспользуйтесь теоремой косинусов и найдите величины всех трёх углов треугольника, стороны которого равны 7, 24 и 25 см.
17* . Дан прямоугольник ABCD. Для каких точек М верно, что сумма расстояний от М до прямых (АВ) и (СВ) равна сумме расстояний от М до (АВ) и (ВС)?
18. Докажите, что для любых чисел яч, ятг» Уъ У2 верно неравенство:
kia>2 +J/13/2I +У1)2 + (х2 +уг)2-
Исследуйте случай равенства.
57
Указания к задачам
Во всех задачах, в которых требуется найти какой-нибудь угол, достаточно найти его косинус, потому что по косинусу угол, который больше 0° и меньше 180°, отыскивается однозначно.
3. Углов между диагоналями два; который из них вы нашли? Почему именно его? И как найти другой?
5. Сколько решений имеет эта задача? Зависит ли число решений 01' координат данного вектора?
8. Воспользуйтесь так называемым тождеством параллелограмма, доказанным вами в листке №7, задача 7.
10. Вы не можете построить чертёж к задаче? Прочтите условия двух следующих!
11. Докажите для начала, что [АН] перпендикулярен [ВС].
13. Попробуйте сравнить эту сумму квадратов, вычисленную для произвольной точки, с такой же суммой, вычисленной для точки пересечения медиан данного треугольника.
14. В этой задаче удобно применить параллельный перенос.
17. Четыре прямые—(АВ), (ВС), (CD) и (DA) — разбивают плоскость на девять частей. Поиски точек М с нужными свойствами легче всего вести отдельно в каждой из частей (конечно, некоторые из них симметричны друг другу; это облегчает работу). Если вам понадобится для решения задачи в какой-то части плоскости ввести систему координат, выберите ту, которая будет вам удобна. Да не забудьте: после того как решите задачу в общем случае и найдёте ответ, проверьте, годится ли он для квадрата—частного случая прямоугольника!
Банк дополнительных задач
Занятия математикой, говорю я им, превосходное средство против вожделений плоти.
Томас Манн
1. В круге проведены два радиуса. Построить хорду, которая делится точками пересечения с радиусами на три равные части.
2. Доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции, делит основания пополам.
3. Даны отрезки а и Ь. Построить отрезок \/а4 -I- Ь4.
4. Дан угол и точка внутри него. Построить треугольник наименьшего периметра, так чтобы одна из его вершин лежала в данной точке, а две другие — на сторонах угла.
5. В данном направлении провести между двумя окружностями отрезок данной длины.
58
6. Построить четырёхугольник, зная длины трёх его сторон и величины двух углов, прилежащих к четвёртой.
7. Построить четырёхугольник ABCD, у которого диагональ [АС] является биссектрисой угла А, зная длины всех сторон четырёхугольника.
8. Доказать, что где ha, hb> hc — высоты треуголь-
ника, опущенные на стороны а, 6, с соответственно, а г — радиус вписанной окружности.
9. Диагонали данного четырёхугольника перпендикулярны. Докажите, что диагонали любого другого четырёхугольника, соответствующие сторо-' ны которого имеют те же длины, также перпендикулярны.
Листок № 9
Решение треугольников
— То, что изобретено одним человеком, может быть понято другим,— сказал Холмс.
А. Конан Дойл. Пляшущие человечки
Введём такие обозначения: в треугольнике АВС Сторона, противолежащая какой-либо вершине, обозначается соответствующей строчной буквой а, Ь, с; величины углов обозначаем ZA = a, ZB = /3, Z.C = 7; высоты, опускаемые из вершин А, В, С, обозначаем ha, hb, hc соответственно; медианы—та, ть, тс\ биссектрисы—/а, /&, /с; радиус вписанной окружности г, а радиус описанной окружности R.
Все задачи в этой теме решаются с использованием трёх важнейших теорем.
Теорема косинусов: а2 = Ь2 + с2 — 2Ьс • cos а.
Теорема синусов: = 2R.
Теорема о биссектрисе: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Точнее, если [АК] — биссектриса ZА, то (сравните эту теорему с задачей 18 листка №5).
1. а) Вспомните доказательства теоремы синусов и теоремы косинусов.
б) Примените теорему синусов к треугольникам АВК и АСК и докажите теорему о биссектрисе.
Мы предлагаем вам сначала порешать задачи из одноименного параграфа в учебнике А. В. Погорелова, и лишь затем вернуться к задачам данного листка.
59
2. В треугольнике АВС из вершины А проведена биссектриса [АК]. Обозначим \ВК\ = р, |С/С| = q; АК, как обычно, равно 1а-
а) Докажите, что р = q =
б) Примените теорему косинусов к треугольнику АКВ и выразите 1а через р, с, р.
в) Выразите 1а через а, b и с.
г) Докажите, что 1% = Ьс — pq (и запомните эту формулу!).
3. Дан треугольник АВС и точка D внутри него. Доказать:
AD + DC < АВ + ВС.
4*. Дан прямоугольный треугольник ABC, Z.C = 90°. Доказать:
а) 2г = а + b — с;
б) 2г + 27? = а + Ь.
5. а) Опустите из вершины А треугольника АВС высоту и докажите, что а = b • cos 7 + с • cos
б) Выведите отсюда формулу: sin(/? -+-7) = sinД • cos7 + cos/? • sin7.
Указания к задачам
Во всех задачах, в которых требуется найти какой-либо угол, достаточно найти его косинус, потому что по косинусу угол находится однозначно. Если же вы нашли вместо косинуса синус, то вам придётся провести ещё дополнительное исследование и определить, должен ли быть искомый угол острым или тупым (по синусу нельзя отличить острые углы от тупых).
4. Звёздочкой эта задача отмечена только потому, что самое короткое её решение не имеет никакого отношения к теме «решение треугольников». Пункт а) решается совсем легко, если вспомнить, что два отрезка касательных, проведенных из данной точки к данной окружности, равны по длине (вспомните, как это доказывается). Пункт б) выводится из а) ещё проще: помните ли вы задачи 1-6 из первого листка?
60
Листок № 10
Преобразования плоскости
— Холмс! — воскликнул я.— Это невероятно!
— Браво! — сказал он.— Вывод исчерпывающий. В моем изложении события выглядят невероятно — следовательно, где-то х я допустил ошибку.
А. Конан Дойл. Случай в интернате
Прежде чем решать эти задачи, вспомните материал листка № 3.
1. Приведите примеры взаимно-однозначного отображения
а) круга на круг;
б) плоскости на себя.
2. Л АВС—равносторонний. Рассмотрим отображение, равномерно сжимающее каждый луч, выходящий из центра описанной окружности, так что окружность переходит в стороны треугольника. То есть, если [ОМ) пересекает окружность в точке Я, а одну из сторон треугольника в точке S, то точка М переходит в такую точку Я, что ОМ : ON = OP : OS.
а) Докажите, что описанное отображение есть преобразование плоскости.
б) Найдите коэффициент сжатия вдоль луча [ОМ), если Z.AOM = 60°.
в) Постройте прообраз отрезка [МЯ], если [МЯ]||[АВ], М и Я лежат внутри угла АО В.
г) Нарисуйте (приблизительно) его образ.
* * *
Вам известно понятие движения и такие свойства движений.
(1) Тождественное отображение (далее обозначаем Е) есть движение.
(2) Преобразование, обратное движению—движение. '
(3) Композиция двух движений — движение.
Вам известна следующая теорема (см., например, учебник А. В. Погорелова): точки, лежащие на прямой, переходят при движении в точки, лежащие на прямой, причём сохраняется порядок их следования. Из неё вытекает, что при движении прямые переходят в прямые, отрезки — в отрезки, лучи — в лучи.
61
Кроме того, при движении сохраняются величины углов (восстановите доказательства всех этих фактов!).
* * *
Сравните записи: Mf — М и F' = F, где М, М1— точки; F, F1 — фигуры. Что означает каждая из них?
Первая означает, что М' и М — одна и та же точка.
Означает ли вторая, что F' и F совпадают или что они могут быть переведены друг в друга движением?
Чтобы не сталкиваться с подобными разночтениями, впредь фигуры, которые могут быть переведены друг в друга движением, мы будем называть конгруэнтными (а не равными, как вас учили говорить раньше). Обозначение: F ~ F'. Равными мы будем называть фигуры,1 которые совпадают на плоскости. То есть, запись Ff = F обозначает,-что F и F' состоят из одних и тех же точек.
Не следует поэтому называть углы (или отрезки) равными. Лучше, говорить о равенстве их величин (длин).
Симметрии и повороты
Вы помните, что две точки А и В называются симметричными относительно прямой /, если I—серединный перпендикуляр к [АВ].,. Прямая I при этом называется их осью симметрии.
Вы также помните, что две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если О — середина [АВ]. Точка О при этотЛ называется их центром симметрии.
И ещё вы, должно быть, помните, что такое поворот. Обратите внимание, что в определении поворота важен не только угол, но и направление поворота: если вращение происходит против часовой стрелки, то угол поворота считают положительным, а если по часовой стрелке — отрицательным. Заметьте, что повернуться можно на любой угол, даже больший 180°, даже больший 360°. Правда, результаты поворотов^ на 45°, на 405° и на -315° выглядят одинаково. i
* * *
Говорят, что фигура F имеет ось симметрии /, если из того, что. М 6 F и что N симметрична М относительно I, следует N 6 F.
3. Докажите, что
а) серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника— его оси симметрии;
б) диагонали ромба—его оси симметрии;
в) диаметр круга — его ось симметрии;
62
г) точка пересечения диагоналей параллелограмма—его центр симметрии (а что это значит?).
* * *
А теперь от наблюдения свойств точек и фигур перейдём к преобразованиям плоскости.
Определение 1. Осевой симметрией относительно прямой I называется преобразование плоскости, при котором всякая точка переходит в точку, симметричную данной относительно прямой I.
Определение 2., Центральной симметрией относительно точки О называется преобразование плоскости, при котором всякая точка переходит в точку, симметричную данной относительно точки О.
Определение 3. Поворотом вокруг точки О на угол а называется преобразование плоскости, при котором...
4. а) Закончите определение поворота.
б) Вспомните определение параллельного переноса и запишите его.
5. Докажите, что поворот, центральная и осевая симметрии являются движениями (для вектора это уже было доказано).
6. В декартовой системе координат /1 — симметрия относительно прямой у = 2, /2 — симметрия относительно точки (2; 1).
а) Найдите координаты точки /1(М), если М = (х,у).
б) Найдите координаты точки ), если М == (ж,у).
в) Найдите координаты точек (Д о /2)(АГ) и (/2 ° Л)(М), если М==(-1;2).
7. Даны три точки X, X* и У. Известно, что X переходит в X1 при симметрии относительно некоторой прямой. Построить точку У(, в которую переходит точка У.
8. На сторонах АВ, ВС, СР, DA параллелограмма ABCD взяты точки Д', В', С', D', так что А'В'CD* — параллелограмм. Доказать, что центр ABCD совпадает с центром A'B'C'D'. ,
9. На биссектрисе внешнего угла С треугольника АВС взята точка М 0 С. Докажите, используя осевую симметрию, что МА + МВ >
> С А 4- СВ.
10. Перечислите все известные вам движения, которые переводят в себя а) квадрат; б) равносторонний треугольник.
63
Листок № 11
Подобие и гомотетия
Ежели чувствуешь, что закон полагает тебе препятствие, то, сняв оный со стола, положи под себя. И тогда всё сие, сделавшись невидимым, много тебя в действии облегчит.
М. Е. Салтыков-Щедрин. История одного города
Обобщённая теорема Фалеса, она же теорема о пропорциональных отрезках. Пусть даны две прямые (АВ) и (А'В') и точки А, В, С, D на первой прямой (неважно в каком порядке) и А1, В', С', D' на второ# прямой, такие что (ylA/)||(jBjB/)||(C,Cr/)||(Z>Z>/). Тогда = ^7757 (или, что равносильно, = <^77)-
Доказательство слушайте на лекции.
* * *
Определение 1. Гомотетия с центром О и коэффициентом к (где к 0 0) — это такое преобразование плоскости, при которой произвольная точка М плоскости переходит в такую точку 7V, что Ш = к ОЙ.
Для к > 0 это понятие, вам уже знакомо. Гомотетия с отрицательным коэффициентом — это новое для вас понятие. При к = 0 мы не получим преобразования плоскости.
* * *
Перечислим некоторые свойства гомотетии.
(1) Гомотетия переводит прямую в прямую, и притом в параллель»* ную исходной.
(2) Гомотетия с положительным коэффициентом переводит любой' луч в луч, сонаправленный с исходным. Гомотетия с отрицательным коэффициентом переводит любой луч в луч, направленный противопо^ ложно исходному.
(3) Образ отрезка при гомотетии—отрезок, параллельный исходнсР му; образ треугольника—треугольник; образ параллелограмма—параллелограмм; образ трапеции — трапеция.
(4) Гомотетия переводит угол в угол такой же величины.
64
(5) При гомотетии с коэффициентом к все расстояния изменяются ровно в |fc| раз. Поэтому, в частности, середина отрезка переходит в середину образа этого отрезка; точка, делившая данный отрезок в данном отношении, переходит в точку, которая делит образ этого отрезка в таком же отношении, и т. д.
Для гомотетии с положительным коэффициентом все эти свойства вам должны быть известны из прошлого года (обязательно вспомните или придумайте заново, как выводятся все они из обобщённой теоремы Фалеса). Для гомотетии с отрицательным коэффициентом все эти свойства нужно доказывать заново. Впрочем, нижеследующая задача 4, пункт г), позволит вам не проделывать заново все эти утомительные проверки, если, конечно, вы сообразите почему.
1. Все свойства гомотетии можно очень легко вывести, используя язык векторов. Сделайте это!
Гомотетию обозначают буквой Я. Если требуется указать центр гомотетии — точку О —и коэффициент, обозначаемый fc, то пишут Hq. Это позволяет образ точки М при гомотетии записывать как N = прямую, гомотетичную данной прямой Z, записывать
как образ отрезка [АВ] обозначать через Hq([AB]) и т. д.
Внимание! В записи [СР] = Н£([АВ]) в левой части стоит отрезок [СР], в правой — отрезок Hq([AB]), и между ними стоит знак равенства. Вы сделаете большую ошибку, если подумаете, что эта запись обозначает просто равенство длин отрезков [СР] и Н^([АВ]): эта запись обозначает, что отрезки [СР] и Hq([AB]) совпадают. Для длин их следовало бы писать CD = |Bq([AB])| = |fc| • АВ. Точно так же следует понимать и записи с треугольниками и т. п.
* * *
Определение 2. Преобразование подобия — это такое преобразование плоскости, при котором все расстояния умножаются на одно и то же число. Это число обозначают обычно буквой к и называют коэффициентом преобразования. Здесь, конечно, к > 0.
Гомотетия с коэффициентом к является, конечно, преобразованием подобия с коэффициентом |fc|. Однако существуют преобразования подобия, не являющиеся гомотетиями. Приведите пример!
Перечислим некоторые свойства преобразований подобия. Все они верны для гомотетий (это частный случай!), но, конечно, не все свойства гомотетий, перечисленные выше, справедливы для преобразований подобия.
(V) При преобразовании подобия прямая переходит в прямую, а пара параллельных друг другу прямых — в пару параллельных прямых-
65
(2') Пара сонаправленных лучей переходит в пару сонаправленных; пара противоположно направленных лучей — в пару противоположно направленных же.
(3') Отрезок переходит в отрезок, не обязательно параллельный исходному, треугольник—в треугольник, параллелограмм—в параллелограмм, трапеция — в трапецию.
(4х) См. (4).
(5х) См. (5).
* * *
Определение 3. Две фигуры F и F' называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее одну в другую.
Обозначение: F ~ F'.
Это определение является аналогом следующего, вам давно известного.
Определение 4. Две фигуры F и F' называются конгруэнтными (у Погорелова равными), если существует движение, переводящее одну в другую (обозначение напоминаем: F ~ Fx).
Заметьте, что движение—это то же самое, что преобразование подобия с коэффициентом 1.
Определение 5. Две фигуры F и F' называются гомотетичными (в старых учебниках подобно расположенными), если существует гомотетия, переводящая F в F1.
Приведём часто употребляемые обозначения для различных классов движений. Запомните их: центральную симметрию относительно точки О обозначают Zq, осевую симметрию относительно прямой I обозначают Si, поворот вокруг точки О на угол а обозначают Rq.
Вот таблица обозначений различных преобразований.
знак смысл примечание
центральная симметрия относительно точки О Z — первая буква слова Zentrum (нем.) от лат. Centrum—остриё
St осевая симметрия относительно прямой 1 S — от Symmetrie (нем.), Symmetria (греч.) — симметрия
<зО поворот вокруг точки О на угол а R—от Rotierung (нем.), Rotatio (лат.) — круговращение
Hq гомотетия с центром О и коэффициентом к Н — от homos (греч.) — одинаковый, thetos — расположенный
лё Параллельный перенос (вектор), который переводит точку А в точку В
66
Например, где бы мы ни взяли точки О и Л/, верно, что
Ro° ° &о\М) = R%° ° Ro°(M) =
Можете ли вы как-нибудь обобщить это равенство?
Задачи
2. Даны две окружности радиусов 7?i и Т?2 с центрами в точках и О2 соответственно; вычислите коэффициент и постройте центр гомотетии, переводящей первую окружность во вторую. Сколько решений имеет задача?
3. Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.
4. а) При каких к гомотетия Hq является движением? И каким именно?
б) Какое преобразование плоскости является обратным к Hq? Докажите тождества:
в) Hq О Я*2 = н^- г) Н°к = Zo о Я*; д) Нко о Я“ = R* о Нко.
5. Докажите следующие утверждения:
а) композиция движения и преобразования подобия есть преобразование подобия;
б) всякое преобразование подобия может быть представлено в виде композиции движения и гомотетии с положительным коэффициентом.
в) Единственно ли представление, существующее согласно пункту б)?
6. Данное преобразование обладает следующимсвойством: если А1 и В1 —образы точек А и В под его действием, то Д'В' = где к — постоянное число.
а) Докажите, что если это к равно 1, то данное преобразование является параллельным переносом.
б) Докажите, что если это к не равно 1, то данное преобразование является гомотетией.
в) Верны ли обратные утверждения?
7*. а) Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами fci, где fci • fc2 И 1, является гомотетией с коэффициентом fci • к%, причем её центр лежит на прямой, соединяющей центры данных гомотетий.
б) Исследуйте случай • &2 = К
в) Верно ли, что Нк\ о Я*2 = Я*2 о Нко\ ?
67
8. Биссектриса [ЛР] в ДЛБС пересекает описанную окружность в точке Р. Докажите, что ДАВР ~ ABDP.
9. На стороны [PC] и [СР] параллелограмма ABCD (или на их продолжения) опущены перпендикуляры [AM] и [ЛА7’]. Докажите, что ДМААГ - ДЛВС.
10. На стороне [ВС] равностороннего треугольника АВС как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, на которой взяты точки К и L, делящие эту полуокружность на три равные (по угловой величине) дуги. Докажите, что прямые (АК) и (ЛВ) делят [ВС] на три части равной длины.
11. а) На сторонах [ВС] и [СР] квадрата ABCD построены внешним образом равносторонние треугольники ВСК и CDL. Докажите, что треугольник AKL равносторонний.
б) На сторонах [ВС] и [СР] параллелограмма ABCD построены внешним образом равносторонние треугольники ВСК и CDL. Докажите, что треугольник AKL равносторонний.
12. В треугольник вписана окружность радиуса г. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольничка. Пусть и, г2, гз—радиусы вписанных в эти треугольнички окружностей. Докажите, что Г1 + г2 + гз = г.
Задачи на повторение
13. Докажите, что три точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно трёх его сторон, лежат на описанной окружности.
14. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований. Сравните этот результат с тождеством параллелограмма (задача 7 листка №7).
Указания к задачам
7. Вы сможете сослаться на результат предыдущей задачи, если докажете, что её условие выполнено.
12. Воспользуйтесь теоремой об отрезках касательных и докажите равенство, аналогичное требуемому, для периметров, а затем примените подобие.
14. Эту задачу можно решить с применением языка векторов. В ней, как и во многих других задачах на векторы, рекомендуется выбрать несколько основных векторов (как можно меньше!) и постараться все остальные векторы выразить через эти основные, а затем работать уже только с ними.
68
Листок № 12
Многоугольники
Я с детства не любил овал.
Я с детства угол рисовал!
П, Коган
Определение 1. Ломаной линией (или просто ломаной) называется объединение конечного числа отрезков, в котором конец каждого отрезка (кроме, быть может, последнего) является началом, следующего отрезка, причём отрезки, имеющие общий конец, не лежат на одной прямой. Отрезки, составляющие ломаную, называются звеньями ломаной, а отрезки, имеющие общий конец— смежными звеньями ломаной.
Сумма длин звеньев ломаной называется длиной ломаной.
1. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.
Определение 2. Ломаная называется замкнутой, если конец её последнего звена совпадает с началом первого звена.
2. Изобразите замкнутые ломаные, состоящие из трёх, четырёх, пяти звеньев. Обязательно ли при этом возникает треугольник, четырёх-, пятиугольник?
Определение 3. Ломаная называется простой (т. е. без самопересечений), если её звенья не имеют общих точек, кроме концов, и каждый общий конец принадлежит не более чем двум звеньям.
Простая замкнутая ломаная линия разбивает плоскость на две области.
Внешней областью называют ту из них, в которой можно провести прямую, целиком принадлежащую области. Вторую— внутренней.
Определение 4. Простая замкнутая ломаная вместе со своей внутренней областью называется многоугольником. При этом сама ломаная называется границей (или контуром) многоугольника, её звенья — сторонами многоугольника', их концы— вершинами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются его диагоналями. Многоугольник, имеющий п сторон (или, что равносильно, п вершин), называется п-уголъником. Многоугольник, вершины которого— А|, А2, Аз, ..., Ап, обозначают Ai Да Аз • • • Ап.
Определение 5. Многоугольник называется выпуклым, если он целиком содержит отрезок, соединяющий любые две его точки.
3. Многоугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда он лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону.
69
4. а) На сколько треугольников п-угольник^не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?
б) Определите наибольшее возможное число непересекающихся диагоналей, которые могут быть проведены в п-угольнике.
в) Сколько всего диагоналей у выпуклого п-угольника?
Определение 6. Проведём из вершины выпуклого многоугольника два луча, содержащие его смежные стороны. Эти два луча разобьют плоскость на две области. Выпуклый многоугольник будет целиком (не считая, конечно, двух сторон) находиться в одной из этих областей. Эту область называют внутренним углом (или просто углом) многоугольника. Внешним углом называется угол, смежный с внутренним.
Подумайте, как определить внутренний угол невыпуклого многоугольника.
5. а) Докажите, что сумма величин внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180° • (п — 2), и запомните это.
б) Чему равна сумма внешних его углов?
в) А для невыпуклого?
6. Может ли быть у выпуклого n-угольника четыре острых угла?
Правильные многоугольники
Определение 7. Выпуклый многоугольник называется правильным, если длины его сторон равны и величины его углов равны.
7. Докажите, что правильный многоугольник можно вписать в окружность (то есть что существует окружность, называемая описанной, такая что все вершины многоугольника на ней лежат).
8. Докажите, что правильный многоугольник можно описать вокруг окружности (то есть что существует окружность, называемая вписанной, такая что все стороны многоугольника ее касаются).
9. а) Убедитесь, что центры вписанной и описанной окружностей у правильного многоугольника совпадают.
Определение 8. Эта точка О называется центром правильного п-угольнйка А1А2А3 .. .Ап, а угол ZA1OA2 называется его центральным углом.
б) Найдите, чему равна величина центрального угла правильного п-угольника.
в) Чему равна величина его внутреннего угла?
г) Чему равна величина его внешнего угла?
70
10. Длина стороны правильного n-уголышка равна а. Найти длины радиусов его вписанной (г) и описанной (1?) окружностей. Отдельно выпишите выражения для п = 3, 4, 6.
11. Постройте правильные шести-, восьми- и двенадцатиугольники по заданной стороне с помощью циркуля и линейки без делений. При каких ещё п вы могли бы построить правильный п-угольник?
12. Докажите, что все правильные n-угольники (п задано) друг другу подобны.
13. Пусть А1 А2 Аз • • Ап — правильный n-угольник, О — его центр, М — произвольная точка плоскости. Докажите, что
a) oAi 4- оЯ.2 4- 0А3 4~ • • • 4* О^п = 0 5
б) А/Ai + мА2 4" А/Аз 4" • • • 4" МАП = п • А/(3.
14. Правильный многоугольник Ai А2А3 • • Ап вписан в окружность радиуса R с центром в точке О; М — произвольная точка плоскости. Докажите, что AiМ2 4* А2М2 4- А3М2 4- • • • + АпМ2 = п(7?2 4- d2), где d = ОМ.
15. а) Дана окружность радиуса Я; три окружности радиуса г касаются данной изнутри, а также друг друга. Найдите г.
б) Дана окружность радиуса 7?; четыре окружности радиуса г касаются данной снаружи, а также друг друга. Найдите г.
16. Пусть X—некоторая точка внутри правильного п-угольника А1А2А3 ... Ап, У — некоторая точка вне его. Может ли при этом модуль вектора 4- А 4- хАз 4~ • 4- А быть больше модуля векто-pa А + YA2 + У1з + • • • + А?
Замечания
(1) Фраза, отмеченная знаком || на полях, безусловно, нуждается в обосновании. Подумайте, что нужно здесь доказывать и как это сделать. Подумайте ещё, как точно определить смысл слов «область» и «разбивает».
(2) Термины «угол», «многоугольник» в этом листке имеют не такой смысл, как эти же термины в учебнике геометрии А. В. Погорелова. Сравните и разберитесь сами. Обратите при чтении учебника внимание на понятия «плоский угол» и «плоский многоугольник».
Указание к задаче 4: не забыли ли вы метод математической индукции?
71
Листок № 13
Площади многоугольников
Изучение математики приближает к бес-смертным богам.
Платон
Определение 1. Некоторым геометрическим фигурам удаётся сопоставить действительное число, называемое площадью этой фигуры. При этом возникает отображение из некоторого подмножества множества всех плоских фигур в числовую ось. Это отображение обозначают буквой S, а площадь фигуры F записывают как S(F). Требуется, чтобы отображение S обладало такими свойствами:
(П. 1) всегда S(F) 0;
(П. 2) конгруэнтные фигуры имеют равные площади;
(П. 3) если фигуры Fi и F2 не имеют общих внутренних точек, то площадь их объединения равна S(Fi) 4- £(^2);
(П. 4) если на плоскости выбран отрезок, длина которого принята за единичную, то площадь квадрата со стороной длины 1 равна 1.
Эти свойства называют аксиомами площадей.
Замечания
(1) Мы намерены показать, что площадь можно определить у всех многоугольников.
(2) Площадь можно определить не только у многоугольников. Вскоре вы узнаете ещё, чему равна площадь круга.
Однако отнюдь не у каждой фигуры на плоскости можно определить площадь. Например, рассмотрим множество точек в единичном квадрате на координатной плоскости, абсцисса и ордината которых суть рациональные числа. Найти, чему равна площадь такой фигуры (в смысле данного выше определения), невозможно.
Бели не верите, попробуйте.
(3) Площадь измеряется в квадратных единицах, соответствующих выбранной единице длины. Так, если длина измеряется в сантиметрах, то площадь — в квадратных сантиметрах, а если длина измеряется в милях, то площадь — в квадратных милях.
(4) Знакомы ли вам ещё какие-нибудь отображения, определённые для некоторого класса плоских фигур и принимающие числовые значения? Вот ещё несколько примеров отображений такого рода:
72
Д) сопоставим всякому отрезку его длину;
2) сопоставим всякому многоугольнику длину наибольшей его диагонали;
3) сопоставим фигуре наибольшее из расстояний между её точками (оно называется диаметр фигуры). Чему, к примеру, равно оно для квадрата со стороной /? Для параллелограмма с диагоналями d\ и cfo? Для круга радиуса R?
Придумайте сами ещё какой-нибудь пример такого отображения.
(5) Напоминаем: геометрическая фигура—это произвольное множество, точек на плоскости. z
(6) Вы пока ещё не знакомы со строгим определением множества вообще, равно как и с определением «какого-нибудь множества точек на плоскости», и с определением «какого-нибудь семейства геометрических фигур», и с определением множества всех действительных чисел. Однако мы полагаем, что вы имеете интуитивные представления об этих вещах, и именно на эти ваши представления будем опираться.
(7) Точка М является внутренней точкой фигуры <F, если М € F и существует круг положительного радиуса с центром в М, целиком лежащий в F.
(8) Придумайте сами, как вывести из аксиом, что площадь отрезка равна нулю и площадь точки равна нулю.
Вычисление площадей
1. а) Чему равна площадь прямоугольника со сторонами 2 и 1?
б) Как изменится площадь квадрата, если его стороны увеличить в три раза?
2. Чему равна площадь прямоугольника со сторонами тип, где т и п — целые числа?
3. Чему равна площадь прямоугольника со сторонами р и q, где р nq— рациональные числа?
Следующий шаг состоит в выводе формулы площади прямоугольника для общего случая, когда длины его сторон — какие угодно положительные действительные числа. Так как для этого требуется твердое знание теории действительных чисел, то мы не будем формулировать его в виде задачи для обязательного решения. Вы можете познакомиться с выводом формулы площади прямоугольника по учебнику геометрии А. В. Погорелова или на лекции.
4. Сторона параллелограмма равна а, а длина опущенной на неё высоты равна h. Найдите его площадь.
5. а) Сторона треугольника равна а, а длина опущенной на неё высоты равна h. Найдите его площадь.
б) Как найти площадь треугольника, зная две его стороны и угол между ними?
73
в) Как найти площадь треугольника, зная три его стороны?
6. Найдите площадь трапеции, зная её основания и высоту.
7. Придумайте метод вычисления площади произвольного многоугольника.
8. а) Треугольник Fi подобен треугольнику F2 с коэффициентом к. Найдите S(Fi)/S(F2).
б) Можете ли вы обобщить результат пункта а)?
Задачи !
9. Докажите, что радиус описанной (7?) и вписанной (г) окружностей треугольника АВС связаны с его площадью и длинами его сторон такими соотношениями: S = г • Р/2, где Р — периметр; S = abc/^R.
10. Через точку О, лежащую внутри треугольника АВС, проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник АВС на три параллелограмма и три треугольничка. Площади треугольничков равны Si, S2, S3. Найдите площадь треугольника АВС.
11. Докажите, что площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Что можно сказать о четырёхугольнике со взаимно перпендикулярными диагоналями? О ромбе? О квадрате? О прямоугольнике?
12. Пусть ABCD — равнобочная трапеция ([ВС]11[АР]). Даны длина диагонали [АС] и угол Z.CAD. Найдите площадь трапеции ABCD.
13. Докажите, что любой треугольник разбивается тремя своими медианами на шесть треугольников равной площади.
Определение 2. Фигуры, площади которых равны, называют равновеликими.
14. Пусть ABCD — трапеция, О—точка пересечения её диагоналей. Докажите: S( ДАОВ) = S( ДСОР) = VS(ABOC) • S(AAOP).
15. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки длин 1± и /2. Докажите,!что площадь этого треугольника равна li -Ь}.
16. а) Дан прямоугольник. Постройте прямоугольник, равновеликий данному, если большая сторона искомого прямоугольника известна.
б) Дан прямоугольник. Постройте равновеликий ему квадрат.
17. Дан квадрат. Построить квадрат площади, большей а) вдвое; б) втрое.
18. Пусть ABCD — квадрат со стороной 1; К, В, М, N — середины его сторон [АВ], [ВС], [СР], [РА] соответственно. Отрезки [АВ],,[ВЛГ],
74
[C TV] и [PjK] разрезают квадрат на части. Докажите, что одна из этих частей является квадратом, и найдите площадь этого квадрата.
19. Пусть а и b—длины двух сторон треугольника, а > Ь. Какая высота длиннее, ha или hb?
20. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон есть величина постоянная.
ЛИСТОК № 14
Окружность
В «пи» цифры не пересчитать, х «е» бесконечно столь же.
А если их с конца писать, Какое будет больше?
Автор неизвестен (цитируется по М. Гарднеру)
Напомним некоторые определения.
Определение 1. Окружность с центром О и радиусом R — это множество точек, удалённых от О на расстояние R.
Определение 2. Круг с центром О и радиусом R — это множество точек, удалённых от О на расстояние, не превосходящее R.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬЙОСТИ
Определение 3. Пусть задан закон, в соответствии с которым всякому натуральному числу п поставлено в соответствие некоторое число ап. В этом случае говорят, что числа ап образуют последовательность. Записывают её так: ai, аг, ..., ап, ... или сокращённо (ап).
Как видно из определения, нас интересуют только бесконечные числовые последовательности. Иногда, допуская вольность речи, говорят и о «последовательности» из, скажем, пяти элементов, понимая под этим множество из пяти чисел, элементы которого зачем-либо упорядочены и пронумерованы.
Определение 4. Последовательность называют возрастающей, если каждый следующий её член больше предыдущего.
Придумайте сами определение убывающей последовательности. Обязательно придумайте пример последовательности, которая не является ни возрастающей, ни убывающей.
75
Определение 5. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число М, что каждый член этой последовательности меньше М по модулю.
Определение 6. (Предел последовательности.) Пусть задана последовательность (ап), и пусть число А таково, что каким бы мы ни задались числом е > 0, хотя бы и очень маленьким, окажется, что все члены данной последовательности, начиная с некоторого, отличаются от А не более чем на е. В этом случае говорят, что А есть предел последовательности (ап) или что последовательность (ап) сходится к А. Записывают это так: ап —> А, или так: lim ап = А.
п—>оо п—>оо
Заметим, что существуют последовательности, не имеющие предела в смысле О. 6. Такова, например, последовательность 1,0, 1,0, 1, 0, ... (все члены с нечётными номерами ^>авны 1, а с чётными 0) или последовательность ап = п. Приведите сами пример последовательности, имеющей предел.
Длина окружности
Определение 7. Длиной окружности называется предел последовательности периметров правильных 2п-угольников, вписанных в эту окружность.
Обозначим периметры этих 2п-угольников через Рп.
Теорема 1. Последовательность (Рп) возрастает и ограничена.
Доказательство теоремы содержится в следующих двух задачах.
1. Периметр правильного n-угольника, вписанного в окружность, меньше периметра правильного 2п-угольника, вписанного в эту же окружность.
2. Периметр выпуклого многоугольника меньше периметра всякого многоугольника, содержащего данный (сравните эту задачу с задачей 14 листка № 9).
Теорема 1 доказана.
Мы воспользуемся следующими двумя фактами, не доказывая их.
Теорема 2. (Теорема Вейерштрасса). Возрастающая ограниченная последовательность имеет предел.
Теорема 3. Если предел последовательности существует, то он единствен. Другими словами, если две последовательности почленно равны, то равны и их пределы.
Эти теоремы вы научитесь доказывать в следующем году.
В силу теорем 1, 2 и 3 последовательность (Рп) периметров правильных вписанных 2п-угольников имеет предел, а значит, определение 7 корректно (то есть имеет право на существование);
76
Вычисление длины окружности
Теорема 4. Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей.
Прежде чем доказывать эту теорему, докажите вот что:
3. Отношение периметра правильного n-угольника к диаметру описанной окружности одинаково для всех правильных п-угольников.
Для доказательства теоремы 4 заметим, что если дана последовательность (ап), имеющая предел А, и если все её члены одновременно умножить на одно и то же число /с, то получившаяся последовательность будет иметь предел, равный кА. Другими словами, постоянный множитель можно выносить из-под знака предела.
Итак, пусть даны две окружности. Обозначим их длины через L и I/, диаметры их через Р и Р', и пусть Рп и — периметры правильных 2п-угольников, вписанных в них. Согласно задаче 3,
Отсюда lim ^4 = lim ->=4; следовательно, . Значит,
п->оо u n-too и и
и теорема 4 доказана.
Отношение длины окружности к её диаметру обозначается буквой 7Г. Число тг не является рациональным,, но его можно вычислить с любой степенью точности.
4. Обозначим через ап сторону правильного n-угольника, через «2п — сторону правильного 2п-угольника, через R—радиус окружности, в которую они оба вписаны. Докажите так называемую формулу удвоения: ______________________
а2п = ^2R2- 2R
5. Сторона квадрата, вписанного в окружность радиуса R, равна, как вам известно, R • у/2. Найдите сторону правильных восьми-, шестнадцати- и тридцати двухугольников, вписанных в эту окружность.
6. Докажите формулу:
(после знака минус идут п — 2 радикала и п — 2 двойки), где в2п — сторона правильного 2п-угольника, вписанного в окружность радиуса R.
Мы получили (из задачи 6), что периметр правильного 2п-угольника
равен 2n-R\l2 — у 2 4- v 2 4- • —F \/2 (после знака минус идут п — 2 ра
77
дикала и п — 2 двойки), и в силу определения числа тг можно написать:
тг = lim 2П-1 • V 2 - V 2 + 1/2 + • • • + д/2.
п—>00 у v ’
7. Посчитайте на микрокалькуляторе значение выражения 2я”1 • у 2 — ^/2+ \/2 + •••-+- (после знака минус идут п — 2 радикала и п — 2 двойки) при п = 2, 3, 4, 5, 6 и получите приближенные значения числа тг.
После того, как число тг = 3,14159265358... вычислено, длину окружности радиуса R и, соответственно, диаметра d можно вычислять по формуле I = 2тг7? = тгс?.
8. На футбольный мяч и на земной шар надели стальные обручи, опоясав ими оба шара по экватору. Затем обручи сняли, удлинили каждый на 1 метр и надели снова, так что между обручем и поверхностью шара возникли зазоры. Где зазор больше и во сколько раз?
(Вам нужны для решения задачи дополнительные данные? Вот они, пожалуйста: длина земного экватора—около 40000 км; длина экватора футбольного мяча — около 70 см).
9. Доказать, что
а) каждый вписанный равносторонний многоугольник—правильный;
б) каждый описанный равноугольный многоугольник— правильный.
в) Верно ли, что каждый вписанный равноугольный многоугольник — правильный? А описанный равносторонний?
10. Доказать, что
а) каждый правильный n-угольник имеет п осей симметрии, причём все они проходят через его центр;
б) для правильного многоугольника с чётным числом сторон его центр является центром симметрии.
11. а) Какие движения переводят правильный n-угольник в себя (перечислить их все)?
б) Тот же вопрос для круга.
12. Как вы думаете, чему равна длина полуокружности радиуса 7?? Четверти окружности? Дуги величиной в 60° ?
13. а) Чему равна длина дуги в 1°, если радиус равен 7??
б) Чему равна длина дуги в п градусов?
78
в) Убедитесь, что длина дуги всегда больше длины хорды, стягивающей эту дугу.
г*) Придумайте корректное определение длины дуги.
Вы умеете измерять величины углов в градусах. Сейчас мы введём другую единицу измерения величин углов: радиан.
Определение 8. Угол величиной в 1 радиан высекает из окружности дугу, по длине равную радиусу этой окружности.
Сравните: угол величиной в 1 градус высекает из окружности дугу, длина которой в 360 раз меньше длины этой окружности.
14. а) Убедитесь, что радиан меньше 60°.
б) Докажите, что развёрнутый угол в тг раз больше радиана.
Замечания
(1) Мы рассмотрели последовательность 2П-угольников для определения числа тг. Вы вправе поинтересоваться: почему именно 2П? Получился бы или нет такой же результат, если бы мы рассматривали, скажем, 3-2те-угольники или 5П-угольники?
На самом деле можно рассмотреть последовательность правильных n-угольников (а не 2П-), вписанных в данную окружность, и действовать по той же схеме, что и выше: доказать, что последовательность их периметров возрастает и ограничена, отсюда по теореме Вейерштрасса заключить, что она имеет предел, и назвать его длиной окружности, а затем вывести, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от выбора окружности, и назвать это отношение тг. Доказательства здесь куда более трудны, чем те, которые мы проделали; интересующимся предлагаем прочесть статью А. Звонкина «Что такое тг?» в журнале «Квант», № 11 за 1978 г.
(2) Внимательный читатель заметит, что в последовательности Рп из теоремы 1 первый член не определён. Но это не должно вас смущать! Например, можно назвать «правильным вписанным двуугольником» диаметр окружности. Вообще, предел последовательности не изменится, если мы изменим как угодно или даже вовсе выкинем из неё несколько первых членов.
(3) Длину окружности можно ввести способом, двойственным к определению 7.
Определение 9. Длина окружности равна lim Qn, где Qn — периметр п~>оо
правильного описанного 2П-угольника.
Затем можно снова провести рассуждения, аналогичные вышеизложенным: предел существует, потому что последовательность (Qn) убывает и ограничена; далее, отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей, и его можно обозначить, снова тг. Придумайте сами метод вычисления тг, аналогичный вышеприведённому, посчитайте и убедитесь, что число тг, определённое здесь, равно числу тг, определённому после теоремы 4 (строгим доказательством этого мы заниматься не будем).
79
(4) Вот ещё одно определение длины окружности.
Определение 10. Длина окружности— это такое число, которое больше периметра любого вписанного в неё многоугольника и меньше периметра любого описанного.
К сожалению, доказательство существования такого числа требует средств, отсутствующих в школьном курсе математики.
(5) При построении теории, излагаемой в этом листике, желательно обойтись без тригонометрии, так как определение тригонометрических функций (sin, cos и т. д.) и вывод многих их свойств используют окружность.
(6) Указание к задаче 3: все правильные n-угольники подобны, все окружности тоже.
(7) Внимательный читатель может заметить некоторую неаккуратность, допущенную нами в задаче 13, пункт б): она решается без труда, только если предположить (как это обыкновенно и делается), что п—целое число. Если вы хотите доказать формулу, выражающую длину дуги через её угловую величину, и для случая дуги в дробное число градусов, то сделайте это сами и тем исправьте нашу неаккуратность.
Банк дополнительных задач
Вписанные и описанные многоугольники
Угрюмые, ворчливые, плохо воспитанные люди < ... > утверждают, что отступления в книге подобны иностранным войскам в государстве, которые наводят на мысль, что у населения не хватает собственной, храбрости и силы.
( Дж. Свифт. Сказка бочки
Вам известна следующая теорема.
Теорема 1. Для того чтобы четырёхугольник ABCD можно было вписать в окружность, необходимо и достаточно: ZA 4- Z.C = ZB 4- Z.D = 180°.
Имеет место также теорема, двойственная к этой.
Теорема 2. Для того чтобы четырёхугольник ABCD можно было описать около окружности, необходимо, а в случае выпуклого четырёхугольника и достаточно: а 4- с = b 4- d (мы обозначаем здесь и далее стороны четырёхугольника ABCD так: АВ = а, ВС = Ь, CD = с, DA = d).
1. Докажите необходимость в теореме 2.
2*. Докажите достаточность в теореме 2.
Доказательство достаточности несколько труднее, чем доказательство необходимости в этой теореме. Можно предложить, например, такую схему решения задачи 2: нам требуется построить окружность, касающуюся всех
80
четырёх сторон четырёхугольника ABCD; так построим окружность, касающуюся трёх из них, скажем а, b и с (это всегда возможно—подумайте, почему и как), и докажем, что и четвёртая сторона [РА] касается этой окружности. Для этого проведём из точки D касательную к этой окружности, отличную от (CD), и обозначим А' её точку пересечения с (АВ). Осталось лишь доказать, что А = А'; сообразите сами, как это сделать. Подумайте ещё, зачем нужна оговорка про выпуклость.
Ради полноты изложения приведём ещё один, впрочем очень простой, критерий того, что данный четырёхугольник — вписанный.
3. Обозначим буквой М точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD; четырёхугольник этот может быть вписан в окружность тогда и только тогда, когда AM • СМ = ВМ • DM.
Теорема Птолемея
Теорема 3. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма попарных произведений противоположных его сторон равна произведению длин его диагоналей.
Обозначим длины диагоналей четырёхугольника ABCD: АС = х, BD = у. Теорема утверждает: ас + bd = ху.
4. Сделайте дополнительное построение: отметьте на диагонали [АС] точку F, такую что Z.ABF = Z.DBC. Обозначьте I = AF.
а) Докажите, что AABF ~ &DBC. Выведите отсюда: ас = 1у.
б) Докажите, что ACBF ~ АРВА. Выведите отсюда: = (ж — 1)у.
в) Докажите теорему Птолемея.
В теореме Птолемея интересно разобрать трт частный случаи, когда точка F оказывается точкой пересечения диагоналей. Это означает, очевидно, что диагональ [ВР] является биссектрисой угла В. Можно, конечно, доказывать теорему, отталкиваясь не от В, а от какой-нибудь другой вершины; но всё становится особенно интересным (и даёт повод сформулировать задачу), когда диагонали оказываются биссектрисами во всех углах.
5. У какого четырёхугольника диагонали являются биссектрисами во всех углах? Во что превращается для такого четырёхугольника теорема Птолемея?
6. Сравните тождество параллелограмма с теоремой Птолемея. И то, и другое суть обобщения одного простого высказывания. Какого?
7*. Сформулируйте высказывание, обратное к теореме Птолемея. Верно ли оно?
81
Задачи на применение теоремы Птолемея
8. Вокруг правильного треугольника АВС описана окружность, и на ней взята точка Р. Докажите, что расстояние от неё до дальней вершины треугольника равно сумме расстояний до двух ближних.
Разумеется, эту задачу можно решить простой ссылкой на теорему Птолемея. Однако вы можете получить некоторое удовольствие, если применительно к этому частному случаю вновь проделаете все этапы доказательства самой теоремы.
9. На дуге ВС окружности, описанной вокруг правильного тре-. угольника АВС, взята точка Р. Отрезки [АР] и [ВС] пересекаются в точке Q. Докажите, что 4-
10. а) Дан правильный пятиугольник. Докажите, что длина его стороны (обозначим её а) и длина его диагонали (обозначим её d) связаны соотношением: d = а • (д/5 4-1)/2.
б) Придумайте способ построения правильного пятиугольника по его стороне.
11. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи и вычислите синус и косинус угла в 18 градусов.
12. Дан правильный семиугольник А1А2А3А4А5А6А7. Докажите, что та = та + та-
13. Дан правильный девятиугольник. Докажите, что длина его большой диагонали равна сумме длин малой диагонали и стороны.
Ещё две задачи
14. Докажите, что всякий вписанный равноугольный нечётноуголь-ник— правильный, а для чётноугольников это неверно.
15. Докажите, что всякий описанный равносторонний нечётно-угольник—правильный, а для чётноугольников это неверно.
Указания к задачам
7. Для того чтобы заявить, что такое-то высказывание верно, нужно его доказать. Для того чтобы заявить, что это высказывание неверно, нужно привести опровергающий пример (хотя бы один).
9. По ходу доказательства вы можете вывести ещё одну формулу: PQPA = PBPC.
13. У девятиугольника есть три вида диагоналей: малая, средняя и большая. Средняя в этой задаче не участвует.
14 и 15. Вначале покажите, что Z.A1OA3 = Z.A2OA4, а затем рассмотрите поворот на этот угол.
82
Вообще, самое лучшее, что есть у правильного п-угольника— это # поворотов (на углы 0°, 2^01, и т.д.) и N осевых симметрий, оставляющих его на месте. На досуге вы можете попытаться даже доказать, что если выпуклый ЛГ-угольник выдерживает N поворотов и N осевых симметрий, то он правильный. Поэтому решение всякой задачи о правильном многоугольнике разумно начинать с вопроса: «А что случится с этой задачей, если её повернуть? А что, если применить симметрию?»
Листок № 15
Площадь круга
Площади — наши палитры!
В. Маяковский. Приказ по армии искусства
Определение 1. Площадью круга называется предел последовательности площадей правильных 2п-угольников, вписанных в него.
Обозначим площади этих 2п-угольников через Sn.
1. Докажите, что последовательность (Sn) возрастает и ограничена.
2. Проверьте корректность определения 1.
3. Докажите, что площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса Я, равна | • р • R • cos где р— периметр.
4. Рассмотрите семейство прямоугольных треугольников с общим катетом и переменной гипотенузой и покажите, что
а) чем меньше острый угол, тем больше его косинус;
б) когда этот угол стремится к нулю, косинус его стремится к единице.
Имеет место следующая теорема, которую вы научитесь доказывать в 9-м классе:
Теорема 1. Пусть даны две последовательности: (ап), имеющая предел А, и (6П), имеющая предел В. Образуем новую последовательность, членами которой будут ai&i, <1262, • •, an6n, .... Полученная последовательность сходится к АВ] короче говоря, предел произведения равен произведению пределов.
5. Воспользуйтесь теоремой 1 и докажите, что площадь круга радиуса R равна ttR2.
83
Площадь сектора, сегмента и кольца
Определение 2. Круговой сектор (или просто сектор) — это та часть круга, которая лежит внутри некоторого центрального угла.
6. Докажите, что площадь сектора равна , где а — градусная мера соответствующего центрального угла.
Определение 3. Круговой сегмент — это пересечение круга и полуплоскости.
7. В круге радиуса R проведена хорда; она разбивает его на два сегмента. Найдите площади сегментов, если даны
а) Я и угол а, под которым хорда видна из центра;
б) Я и длина хорды I.
8. Вычислите радиус окружности, которая делит круг радиуса В, имеющий с ней общий центр, на две равновеликие фигуры: кольцо и круг.
9. Около правильного n-угольника со стороной I описан круг, и в этот же многоугольник вписан другой круг. Найти толпщну и площадь образовавшегося кольца.
10. Точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку [АВ]. При вращении плоскости вокруг центра О точки отрезка [АВ] заметают кольцо с центром О. Докажите, что площадь кольца не зависит от расстояния между точкой О и [АВ].
11. В окружности с центром О проведена хорда [АВ]. На радиусе [ОА] как на диаметре построена окружность. Доказать, что площади двух сегментов, отсекаемых хордой [АВ] от обоих кругов, относятся как 4:1.
12. Разделите данный круг на заданное число равновеликих частей с помощью окружностей, имеющих общий центр с данным кругом. Построения должны выполняться как обычно, циркулем и линейкой без делений.
13. Произвольный многоугольник, имеющий площадь Si, вписан в круг, имеющий площадь S2, и описан вокруг круга площади S3. Доказать: 2Si < S2 + S3.
Замечания
(1) Разумеется, можно рассматривать последовательность правильных вписанных n-угольников, а не 2п-угольников; мы отмечали в предыдущем листке, что последовательность их периметров сходится к длине окружности, а поэтому и площади их сходятся к тгВ2, то естьzк площади круга (это немедленно следует из задач 3, 4 и теоремы о пределе произведения).
84
(2) Рассмотрим теперь правильные описанные n-угольники. Так как последовательность их периметров тоже сходится к длине окружности, и так как... '
14*. Площадь всякого описанного, а в частности и правильного, многоугольника равна рг/2, где р—периметр, г — радиус вписанной окружности,
° 2
... то последовательность площадей этих n-угольников сходится к тгг , потому что > 2^г = ягг2.
(3) Определение 1 площади круга на самом деле излишне; для определения площади круга вполне было бы достаточно и общего, аксиоматического определения площадей фигур, данного в листке № 13. Именно, из аксиом (1) и (2) следует, что если фигура Fi содержится в фигуре F2, то S(Fi) < 5(Рг). Поэтому площадью круга нужно считать такое число, которое больше площади любого вписанного многоугольника и меньше площади любого описанного; надо лишь убедиться, что такое число существует, и единственно.
Ограничимся рассмотрением только правильных многоугольников (подумайте на досуге, почему это правомерно). Будем обозначать через Sn площади вписанных правильных n-угольников, а через 5^ — описанных.
Как было отмечено ранее, (Sn) — возрастающая последовательность, и Sn —> тгЯ2; также и S'n —> тг-R2. Отсюда, воспользовавшись тем, что площадь п—>оо п—>оо
вписанного многоугольника меньше площади любого описанного, можно легко вывести следующее утверждение.
15*. Для всякого наперёд выбранного € > 0 окажется, что, начиная с некоторого п, верно: irR? — е < Sn < nR2; вдобавок, начиная с некоторого п, верно также: nR2 < Sfn < nR2 + €.
Поэтому тг#2 — это единственное число, которое больше Площади любого вписанного многоугольника и меньше площади любого описанного; это число и следует считать площадью круга.
(4) Общая схема разыскания площадей произвольных фигур.
Определение 4. Пусть дана фигура F; рассмотрим всевозможные многоугольники, содержащиеся в F, и всевозможные многоугольники, содержащие F внутри себя. Предположим, что существует
1) такая последовательность вложенных многоугольников, что lim Sn су-п-^оо ществует
2) и такая последовательность объемлющих многоугольников, что lim S'n n—>oo существует, причём
3) lim Sn = lim S'n. П—¥ОО П—>OO
Тогда фигура F называется квадрируемой.
Для квадрируемых фигур, и только для них, существует площадь, определённая в листке № 13; она, конечно, равна общему значению обоих пределов. Термин «некоторые фигуры», употреблённый в 0.1 листка № 13, означает теперь в точности множество всех квадрируемых фигур.
85
Возвращаясь к примеру, рассмотренному в замечании (2) листка № 13, скажем теперь, что все многоугольники, содержащиеся в той фигуре, суть точки (площади ноль); все же многоугольники, объемлющие её, содержат и единичный квадрат. Поэтому та фигура квадрируемой не является, то есть площади не имеет.
(5) Известный на практике метод отыскания площадей с помощью палетки состоит как раз в том, что рассматривают многоугольники, содержащиеся в данной фигуре, и многоугольники, объемлющие её, но не произвольные, а палеточные, то есть составленные из конгруэнтных квадратов, сторона которых равна единице измерения или её десятой, сотой и т. д. доле.
Листок № 16
Задачи на построение
Круг—первая, наиболее простая и наи-более совершенная геометрическая фигура.
Прокл. Комментарий к «Началам» '
Евклида
1. Построить окружность данного радиуса, проходящую через данную точку и касательную к данной прямой.
2. Построить окружность данного радиуса, касательную к данной окружности и к данной прямой.
3. Построить окружность, касательную к двум данным параллельным прямым и к данной окружности.
4. Построить окружность, касательную к двум данным концентрическим окружностям и к данной прямой.
5. Построить окружность, проходящую через три данные точки.
6. Построить окружность, касающуюся трёх данных прямых.
7. Построить окружность, касательную к данной прямой в данной точке и к другой данной прямой.
8. Построить окружность, касательную к данной окружности в данной точке и к данной прямой.
9. Построить окружность, касательную к данной прямой в данной точке и к данной окружности.
10. Построить окружность, касательную к данной окружности в данной точке и к другой данной окружности.
86
11. Построить точку, из которой данный круг и данный отрезок видны под данными углами. '
12. Построить прямую, равноудалённую от трёх данных точек. /
Листок № 17
Задачи на построение (продолжение)
Хотя они довольно искусно. владеют на бумаге линейкой, карандашом и циркулем, однако что касается обычных повседневных действий, то я не встречал других таких неловких, неуклюжих и косолапых людей. Они очень плохо рассуждают и всегда с запальчивостью возражают, кроме тех случаев, когда бывают правы, но это редко с ними случается.
Дж. Свифт. Путешествия Гулливера
J
1. Провести касательную к данной окружности, одинаково наклонённую к двум данным прямым.
2. Через точку вне круга провести секущую, внешняя часть которой была бы равна внутренней по длине.
3. Через точку пересечения двух окружностей провести секущую, часть которой внутри окружностей была бы равна данному отрезку по длине.
4. Около данного треугольника описать треугольник, конгруэнтный другому данному треугольнику.
5. В данный треугольник вписать треугольник, конгруэнтный другому данному треугольнику.
6. Провести к данной окружности касательную, часть которой между продолжениями двух данных радиусов была бы равна данному отрезку по длине.
7. Построить отрезок, равный по длине и параллельный данному, концы которого лежали бы на данной прямой и данной окружности.
8. Построить отрезок, равный по длине и параллельный данному, концы которого лежали бы на двух данных окружностях.
9. Построить хорду данного круга, равную по длине и параллельную данному отрезку.
87
10. Через данную точку внутри круга провести хорду, равную по длине данному отрезку.
11. Построить равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы на данной окружности, другая на данной прямой, а третья в данной точке.
12. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенуза которого опиралась бы на две данные окружности, а вершина прямого угла лежала бы в данной точке.
Листок № 18
Задачи на построение (продолжение)
Ничто не воспринимается мозгом так легко, как геометрические фигуры.
Р. Декарт
1. Через точку пересечения двух окружностей провести секущую, часть которой внутри кругов делйлась бы в этой точке пополам.
2. Через данную точку провести прямую, часть которой между данной прямой и данным кругом делилась бы в этой точке пополам.
3. На прямой построить такую точку, чтобы сумма расстояний от неё до двух данных точек была минимальна.
4. На прямой построить такую точку, чтобы разность расстояний от неё до двух данных точек была максимальна.
5. Построить треугольник наименьшего периметра, две вершины которого лежали бы на сторонах данного угла, а третья в данной точке внутри угла.
6. Построить равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на одной стороне данного угла, вершина—на другой стороне того же угла, а боковые стороны проходили бы череЬ данные точки внутри этого угла.
, В задачах 7-14 требуется построить треугольник, и указаны только данные.
7. Две стороны и медиана, проведённая к третьей.
8. Сторона, её медиана и ещё одна медиана.
9. Три медианы.
10. Две стороны и высота, опущенная на третью.
11. Сторона и высоты, опущенные на две другие стороны.
88
12. Сторона и проведённые к ней высота и медиана.
13. Сторона, опущенная на неё высота и противолежащий ей угол.
14. Угол и выпускаемые из него высота и биссектриса.
Листок № 19
Задачи на построение (последний)
Потому что во многой мудрости много печали, и кто умножает познание, умножает скорбь.
Екклесиаст 1 : 18
В задачах 1-6, 8, 9 требуется построить треугольник, и указаны только данные.
1. Сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон.
2. Два угла и периметр.
3. Сторона, разность двух других сторон и угол, противолежащий вычитаемой стороне.
4. Сторона, разность двух других сторон и угол, противолежащий уменьшаемой стороне.
5. Сторона, противолежащий ей угол и разность двух других сторон.
6. Две стороны и разность противолежащих им углов.
7. В треугольнике АВС проведена биссектриса угла при вершине А до пересечения с [ВС] в точке В; на большей из боковых сторон [АВ] отложен [АВ], равный по длине меньшей боковой стороне [АС]; и точки В, В соединены. По данным углам ZB и ZC треугольника определить угол Z.BDE.
8. Разность двух сторон, разность противолежащих им углов и ещё одна сторона.
9. Сумма двух сторон, разность противолежащих им углов и ещё одна сторона.
10. Построить параллелограмм по углу и диагоналям.
11. Построить трапецию по четырём сторонам.
12. Построить трапецию по основаниям и диагоналям.
13. Построить четырёхугольник по трём сторонам и углам, прилежащим к четвёртой.
14. Построить четырёхугольник по сторонам и углу между противоположными сторонами.
89
Возможная тематика лекций
Умные речи подобны строкам, напечатанным курсивом.
Козьма Прутков. Мысль N 27
К листку 5. Векторы в физике.
Проиллюстрировать на физических примерах понятие вектора й суммы векторов (сложение скоростей, сложение сил). Показать разницу между свободными, скользящими и закреплёнными векторами. Заметить, что свободные векторы можно складывать всегда; закреплённые же—только если они отложены от одной и той же точки. Хорошим примером свободного вектора будет напряжённость электрического поля между обкладками плоскопараллельного конденсатора (здесь стоит забежать немного вперёд по сравнению с курсом физики). Этот же пример позволяет показать физическую модель умножения вектора на скаляр — как на положительный, так и на отрицательный, в зависимости от знака заряда частицы, вброшенной в поле.
К.листку 7. Скалярное произведение векторов в физике.
Школьники знают, что работа силы вычисляется по формуле А = FS, где А—сила (скаляр), S—путь (скаляр). Нужно продемонстрировать им пример (нулевой) работы, совершаемой силой, направленной поперёк перемещения, и пример (отрицательной) работы, совершаемой силой, направленной назад. После этого можно вывести общую формулу для работы: А = F S • cos а, где а—угол между направлением силы и направлением перемещения. Наконец, вводим векторы и пишем А = 7^ • о .
К листку 8. Стандартные задачи на векторы и координаты.
Начать нужно с общего уравнения прямой Ах + By -+-(7 = 0. Затем нужно вывести уравнение прямой, проходящей через точку М = (гго, £/о) и параллельной вектору с координатами (Z,m) в виде:
x-xq _ у -уо 1т
Затем вывести уравнение прямой, проходящей через две данные точки, скажем, М = (xi,t/i) и N = (#2,3/2):
Х-Х! __ У ~У1 Х2-ХГ У2~У1'
90
Затем можно легко показать, что вектор т? с координатами (Л, В) перпендикулярен прямой Ах + By + С = 0. Пользуясь этим, можно быстро получить решение задачи о расстоянии от точки М = (гг0,2/о) до прямой Z, заданной уравнением Ах + By + С = 0. Именно, пусть d— искомое расстояние, отложим от М всевозможные векторы вида Л ♦ 7?. Конец одного из них должен попасть на прямую Z; это даёт уравнение
А(жо + ЛА) B(t/o + АВ) С = 0.
Найдём отсюда А и заметим, что d = |А| • у/А2 + В2; окончательно,
j + Вуо
у/А2 + В2
К листку 9. Решение треугольников.
Показать образцы решения треугольников с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов. Провести аналогию между задачами на вычисление треугольников по трём данным элементам и задачами на построение треугольников по трём данным элементам. Обратить внимание вот на что:
— если задача на построение может иметь два решения, то и в задаче на вычисление треугольника с такими данными элементами должны получаться два решения, а если получилось только одно, то, значит, второе—потеряно;
— если в какой-то задаче на построение не может быть решений, то и в задаче на вычисление с такими данными элементами это же должно быть видно;
— если в задаче на построение решение заведомо одно, то и в задаче на вычисление решение должно быть единственным, а если получилось два разных решения, то, значит, одно из двух — от лукавого.
К листку 11 (1). Производные пропорции.
Как правило, ученики помнят о пропорциях только то, что f = | влечёт ad = be Часто оказывается, что ученик не может решить задачу только потому, что написал | а не и не понимает, что это то же самое. Нужно научить их мгновенно получать пропорции вида
= £±d a^b _ c^d _а _ и т ЕСЛИ д _ а _ с TQ д также b a ’ о а ’ а+2о c-t-2d и а1
равной
91
К листку 11 (2). Теорема о пропорциональных отрезках (она же обобщённая теорема Фалеса).
Школьникам обычно известно, что если длины отрезков АВ и CD равны, то и длины отрезков А'В’ и CD' тоже равны. Отсюда легко можно вывести, что если [С7>р вдвое длиннее [АВ], то и [С'Р'] вдвое длиннее [А'В']. Обобщая, находим, что, если = п, и п 6 N, то и = п тоже.
Следующий (тривиальный) шаг: пусть где n Е N; тогда и
Отсюда без труда можно вывести, что если отношение равно рациональному числу г = (m,n EN), той также равно этому г.
Нетривиальная часть доказательства связана с переходом от рациональных чисел к произвольным действительным. Ученикам нужно честно объяснить, что строгое доказательство здесь можно провести только после того, как будет построена строгая теория действительных чисел, а это превосходит возможности школьной программы. Однако
можно и даже желательно провести «почти строгое доказательство», опираясь на интуитивно понятные свойства действительных чисел, а во всём остальном действуя вполне аккуратно.
Пусть = А, обозначим отношение через А' и докажем, что А = А'. Пусть рп и qn — конечные десятичные дроби с п знаками после запятой, дающие приближение числа А снизу и сверху, так что Рп А qn и qn — рп = Отметим на луче [CD) точки Рп и Qn так, чтобы СРп = рп АВ, CQn = qn AB. Точка D (для которой CD = Х АВ) лежит между Рп и Qn, Проведём через Рп и Qn прямые, параллельные (РТУ), они пересекут прямую Г в точках Р^ и Q'n, и точка D' окажется между ними. По доказанному, С'Р'п = рп • А1 В1 и = qn • A’B’. Отсюда имеем рп А' qn. Сопоставив оба неравенства, находим, что
|А А | qn рп —
Левая часть неравенства заведомо неотрицательна, от п она не зависит. Но из самого неравенства следует, что (при достаточно больших п) она может быть сделана сколь угодно малой, меньше любого заранее
92
заданного положительного числа. Но единственное неотрицательное число, которое меньше любого положительного числа, есть 0, а потому А = А'.
К листку 13. Площадь прямоугольника.
Если бы не необходимость следовать а
школьной программе, то мы бы объяви- |~ Т
ли формулу площади прямоугольника & | [
аксиомой. Но поскольку мы не вправе .. J Ц
давать меньше знаний, чем обязатель- ___________Рп__________ J
нал школьная программа, то пришлось 4
объявить аксиомой формулу площади квадрата и выводить из неё
площадь прямоугольника. Ученики сами должны разобраться с прямоугольниками с рациональными сторонами. Пусть теперь дан прямоугольник со сторонами а и Ь, причём Ь— рациональное число, а а— иррациональное. Пусть рп и qn будут конечными десятичными дробями с п знаками после запятой, дающими приближение числа а сверху и снизу, так что рп а qn и qn — рп = Прямоугольник со сторонами рп и Ь целиком содержится внутри исходного, и потому (по аксиоме 3) искомая площадь S больше, чем рпЬ. Аналогично, S qnb. Итак, имеем:
Г Pnb S Qnb^
1 Pnb ab qnb‘
поэтому |S — Левая часть неравенства неотрицательна и мо-
жет быть сделана меньше любого заранее заданного положительного числа, поэтому S = ab. Общий случай сводится к рассмотренному и доказывается так же.
Одна лекция вне связи с листками. О несуразных ответах (по статье В.Матизена «Найдём ошибку»).
«... Простейшая проверка геометрической формулы основана на том, что обе её части должны иметь одинаковую размерность. Складывать можно лишь величины одной размерности; при этом сумма имеет ту же размерность, что и слагаемые. Размерность произведения равна сумме размерностей сомножителей, размерность частного — разности размерностей делимого и делителя. Константам приписана нулевая размерность, длине — размерность 1. Площадь и объём имеют размерности 2 и 3 соответственно, тригонометрические функции — нулевую. В силу свойств размерности невозможны, скажем, такие
93
«формулы»: I = V = а2 • sina = \ S = а2 + £, где Z, S,
V — длина, площадь и объём соответственно, а — угол, а, Ь, с — длины.
Столь же просто использовать для контроля симметрию. Дело в том, что симметрия в условиях задачи должна влечь за собой симметрию ответа. Например, если в задаче требуется найти расстояние от точки внешнего касания двух окружностей с радиусами а и b до их общей касательной, то в формуле для искомого расстояния а и b должны быть равноправны, то есть формула не должна меняться от их перестановки. Поэтому из трёх ответов
/ «-» л»n 1 d ~~ Ь ч 2аЬ
х = у а2 + 2Ь2. х = Ь-(1-]-----), х =------
первый явно не годится, про второй сразу ничего не скажешь—его следует преобразовать к симметричному виду, который и дан в третьей формуле. Точно так же ещё до решения задачи о выражении длины медианы та треугольника со сторонами а, b и с можно заметить, что в ответ лишь b и с могут входить одинаковым образом (почему?).
Можно проверять ответ и подстановкой частных значений. Например, в приведённой задаче о касательной в случае а = b ответ очевиден; формула должна с ним согласовываться. Почти не требует расчётов проверка в предельных случаях, когда одна из переменных стремится к границе области определения. В приведённой задаче про касательную в качестве предельного случая можно взять а — 0; ответ при этом должен быть нулевым, и то же даёт и формула.
Чтобы проверить задачу с численными данными, нужно представлять себе примерную величину ответа. Скажем, если требуется найти длину биссектрисы 1а треугольника со сторонами а = 7, Ь = 6, с = 5, то ответы л/50 и явно неверны: первый слишком велик, а второй слишком мал».
Перечислим в заключение описанные приёмы.
1. Следить за размерностью.
2. Следить за симметрией.
3. Подставлять частные значения.
4. Подставлять предельные (граничные) значения.
Указанные приёмы оперативной самопроверки могут быть полезны не только в геометрических задачах, но и в алгебраических. Особенно они полезны в физических задачах, поскольку размерность и симметрия для физики являются ещё более фундаментальными понятиями, чем для математики.
94
Часто эти приёмы позволяют даже найти, в каком именно месте решения была допущена ошибка, для этого надо своё решение проверить пошагово.
Задача. В трапеции с основаниями а и Ь найти длину отрезка, заключённого между боковыми сторонами, параллельного основаниям и
а) проходящего через середину одной из боковых сторон;
б) проходящего через точку пересечения диагоналей;
в) делящего трапецию на две равновеликие части;
г) делящего трапецию на две подобные части.
Мы перечисляем двадцать ответов. Среди них есть правильный ответ на каждый вопрос. Найдите их, не решая задачу.
1) 2) 3) V1; 4) 5) + 3); 6) 7) а2 + ь-
8) 9) 10) 7^+^; 11) ^6; 12) 13) Д; 14)
15) ^5 16) 17) 18) 19) £ - 20)
Часть ответов не выдерживает проверки на размерность и на симметрию. Затем, подставим частный случай а = b (трапеция выродилась в параллелограмм), в котором все четыре отрезка должны иметь длину а, и отбросим ответы, не выдерживающие этой проверки. На этом этапе остаётся четыре ответа: среднее арифметическое (6), среднее геометрическое (11), среднее гармоническое (16) и среднее квадратическое (1), которые и нужно распределить по четырём вопросам Задачи. В качестве двух частных случаев рекомендуем сначала рассмотреть трапецию, выродившуюся в треугольник (5 = 0), а затем трапецию, у которой а = 2Ь (однако проверять частный случай стоит лишь тогда, когда ясно, что в этом частном случае ответ к задаче можно найти достаточно быстро и легко).
Заметим, что мы не решили задачу, а лишь нашли правдоподобные ответы. НапиГ рассуждения не были доказательными в том смысле, что они заранее опирались на уверенность в том, что среди двадцати формул есть четыре правильные.
После решения этой задачи можно дать красивую интерпретацию известных неравенств между средними:
2аЬ /-г a + b I (а2 + 62) .
-—г < vab < —- < W —г—. (а > 0, b > 0, а / Ь). о 2 V 2
Именно, оказывается, что четыре рассмотренных отрезка в трапеции всегда располагаются в следующем порядке (от меньшего к большему):
— отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей;
95
— отрезок, делящий трапецию на две подобных;
— средняя линия;
— отрезок, делящий трапецию на две равновеликие части.
96
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Нет такой уловки, к которой не прибегал бы человек, чтобы избежать настоящих трудностей, связанных с процессом мышления.
Джошуа Рейнольдс
Памятка
Список ТОГО, ЧТО ЗАБЫВАТЬ НЕ РЕКОМЕНДУЕТСЯ (Второй выпуск)
После того, как мы усвоим несколь-ко простых положений, < ... > полезно обозреть их путём последовательного и непрерывного движения мысли, обдумать их взаимоотношения и отчётливо представить одновременно наибольшее их количество; благодаря этому наше знание сделается более достоверным и наш ум приобретёт больший кругозор.
Р. Декарт
12) Вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, прямой.
13) Координаты.
а) Понятие декартовой системы координат; координаты точки.
б) Расстояние между точками, координаты которых заданы.
в) Координаты середины отрезка.
г) Координаты суммы векторов и произведения вектора на число.
д) Условие коллинеарности векторов, заданных координатами.
е) Общее уравнение прямой.
ж) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки, координаты которых (a:i,t/i) и (гг2,2/г)? имеет вид:
х-х^ _ у-yi Х2 - Xi у2 - У1
з) Расстояние от точки (М, 7V) до прямой Ах + By + С = ,0 находится так:
(А • М + В • N + С| у/А2 + В2
98
и) Если дан отрезок, координаты концов которого суть (ят1, j/i) и (#2,3/2) соответственно, то координаты точки, которая делит данный отрезок в отношении п : т, считая от точки (#1,3/1), находятся по такой формуле:
ТП • Х\ + П • Х2 ТП'У\ +п-у2 min 1 min
к) Уравнение окружности радиуса г с центром в точке (а, 6) имеет вид:
(х - а)2 4- (у - Ь)2 = г2.
14) Преобразования плоскости.
а) Понятия отображения одного множества в другое, отображения одного множества на другое, взаимно-однозначного отображения одного множества в другое, взаимно-однозначного отображения одного множества на другое.
б) Понятия обратного отображения и тождественного отображения; понятие композиции данных отображений.
в) Понятие преобразования плоскости.
15) Движения.
а) Определение движения как преобразования плоскости, сохраняющего расстояния между точками.
, б) Свойства: движение переводит прямые в прямые, углы в равные углы, параллельные друг другу прямые—в параллельные друг другу прямые.
в) Понятие композиции двух движений, тождественного отображения и движения, обратного данному.
г) Понятие конгруэнтности фигур и отличие его от понятия равенства фигур.
д) Понятия центральной симметрии (иначе: симметрии относительно точки), осевой симметрии (иначе: симметрии относительно прямой), поворота и параллельного переноса.
16) Пропорциональные отрезки. Подобие. Гомотетия.
а) Обобщённая теорема Фалеса.
б) Понятия гомотетии и преобразования подобия; их свойства.
99
в) Признаки подобия треугольников: по пропорциональности трёх пар сторон; по пропорциональности двух пар сторон и равенству углов между ними; по равенству двух углов.
г) Подобие фигур; признаки подобия многоугольников.
д) Всякое преобразование подобия есть композиция движения и гомотетии с положительным коэффициентом.
17) Векторы в плоскости.
а) Понятия свободного вектора и закреплённого вектора, связь между ними. Закреплённый вектор, изображающий данный свободный вектор и отложенный от данной точки.
б) Сонаправленность и противоположная направленность лучей (лежащих и не лежащих на одной прямой) и векторов. Коллинеарность векторов.
в) Определение равенства векторов А15 = СЙ. Его необходимое и достаточное условие: (ЛВ)||[С7Э) и АВ = CD.
г) Сложение векторов. Правило треугольника Л15 + В(5 = А&. Правило параллелограмма ABCD: аЬ + А$ = А(5.
д) Вычитание векторов. Правило А& — А& = В&.
е) Умножение вектора на скаляр. Критерий сонаправленности, противоположной направленности, коллинеарности векторов: ~ct = kb , в зависимости от знака к.
ж) Разложение любого вектора по двум данным неколлинеарным.
з) Если точка С лежит на (ЛВ), то в разложении 0(5 = хО% + 4- yOl5 сумма коэффициентов х и у равна 1.
и) Проекция вектора на ось (скалярная и векторная). Корректность определения (проекция не зависит от точки, от которой отложен вектор). Равенство проекций данного вектора на все сонаправленные оси. Связь скалярной и векторной проекций. Вычисление проекции через орт оси, модуль вектора и угол между вектором и осью.
к) Координаты вектора как проекции его на координатные оси; как разность координат конца и начала, если вектор закреплён; как координаты конца, если он отложен от начала координат.
100
л) Формулы суммы и разности векторов в координатах. Формула произведения вектора на скаляр в координатах.
м) Скалярное произведение векторов 7^- b = |7?|-|"?|-cos(7?>,"?). н) Скалярное произведение векторов в координатах: Х1Х2+У1У2. о) Связь скалярного произведения с проекцией.
18) Решение треугольников.
а) Теорема косинусов: а2 = Ь2 + с2 — 2bccosa.
б) Теорема синусов: = 2R.
в) Теорема о биссектрисе: биссектриса внутреннего угла тре-угольнйка делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
19) Важнейшие неравенства геометрии.
а) Во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против меньшего угла лежит меньшая сторона, против равных углов лежат равные стороны.
б) Неравенство треугольника. Для любых точек А, В, С верно: АС АВ •+* В С, причём равенство достигается, если и только если точка В лежит на [АС].
в) Следствие: АВ |АС — ВС|, причём равенство достигается, если и только если либо А лежит на [ВС], либо В лежит на [АС].
г) Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.
д) Длина объемлющей ломаной не меньше длины выпуклой объем лемой.
е) Скалярное произведение векторов, взятое по модулю, не превосходит произведения модулей этих векторов, причём равенство достигается, если и только если эти векторы коллинеарны.
20) Ломаные. Многоугольники.
а) Ломаная Ai Аг ... Ап — это геометрическая фигура, состоящая из точек Ai, А2, ..., Ап и соединяющих их отрезков [AiA2], [А2Аз], ..., [АП_1АП]. Точки Ai, А2, .Ап называются вершинами ломаной, точки Ai и Ап — её концами, а перечисленные отрезки — её звеньями.
101
б) Понятие замкнутой ломаной (Ai = Лп).
в) Понятие простой ломаной (то есть не имеющей самопересечений).
г) Теорема Жордана: простая замкнутая ломаная линия разбивает плоскость на две области; одна из них называется внутренней, а другая внешней (без доказательства).
д) Простая замкнутая ломаная вместе со своей внутренней областью называется многоугольником; принтом сама ломаная называется границей (или контуром) этого многоугольника; понятия вершин, сторон и диагоналей многоугольника; понятия внутренних и внешних его углов.
е) Многоугольник является выпуклым; если выполняются такие три равносильные друг другу условия: 1) вместе с любыми двумя своими точками многоугольник содержит и отрезок, их соединяющий; 2) многоугольник лежит целиком в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону; 3) все его внутренние углы меньше 180°.
ж) Сумма внутренних углов n-угольника равна 180° • (п — 2); сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.
з) Из одной вершины n-угольника может быть выпущено п — 3 диагонали; всего у n-угольника есть диагоналей.
Замечание 1. Областью называют фигуру, удовлетворяющую следующим двум условиям: 1) вместе с любой своей точкой она содержит и некоторый круг с центром в этой точке; 2) любые две её точки можно соединить ломаной, целиком лежащей внутри рассматриваемой фигуры.
Замечание 2. Терминам «контур многоугольника», «многоугольник», упоминаемым здесь, отвечают соответственно термины «многоугольник», «плоский многоугольник» в учебнике геометрии А. В. Погорелова.
21) Правильные многоугольники.
а) Определение (все стороны равны и все углы равны).
б) Существование вписанной окружности; существование описанной окружности; совпадение их центров.
в) Внутренний угол правильного n-угольника равен 18- ^п-~2^.
г) Сумма векторов, проведённых из центра правильного многоугольника к его вершинам, равна 0 .
102
д) Bcefro есть 2п различных движений, оставляющих правильный n-угольник на месте: это п поворотов (на углы 0°,
2 • и т. д.; один из них есть тождественное отображение, а другой — при чётном п — центральная симметрия) и п осевых симметрий.
22) Длина окружности.
а) Определение её, как предела последовательности периметров' правильных вписанных 2п-угольников.
б) Определение корректно, потому что предел существует, единствен и не зависит от того, каким образом эти многоугольники вписываются.
> в) Определение числа тг как отношения длины окружности к её диаметру (это отношение одинаково для всех окружностей).
г) Формула длины окружности I = 2ят, вытекающая из пунк-к та в).
д) Формула для числа тг:
тг = lim 2П-1 • \ 2 - V2 + J2 + --- + V2 п—>оо у V *
(после знака минус идут п — 2 радикала и п — 2 двойки).
е) Длина дуги в а градусов равна fffi.
ж) Определение радиана: длина дуги в 1 радиан равна радиусу. ?' з) Развёрнутый угол равен тг радиан; перевод из градусной меры в радианную и обратно.
23) Площади фигур.
• Ч ч
а) Определение площади как отображения, ставящего в соответствие некоторым фигурам число и обладающего известными свойствами; аксиомы площадей.
б) Площадь прямоугольника со сторонами а и b равна ab.
в) Площадь параллелограмма со стороной а и высотой h равна ah.
г) Площадь треугольника равна или - а.
д) Формула Герона: площадь треугольника равна
S = у/р(р — а)(р — Ь)(р — с), где р—полу периметр.
103
е) Площадь трапеции с высотой h и основаниями а и Ь рав-на^1.
ж) Площадь четырёхугольника с диагоналями di и d2 и углом между ними в а градусов равна |did2 sin а.
з) Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса г, равна ±pr cos(^—^-), где р — периметр.
и) Площадь многоугольника с периметром р, описанного около круга радиуса г, равна |рг.
к) Площадь круга радиуса г равна ят2.
л) Площадь кругового сектора в а градусов равна 3^.
м) Площадь кругового сегмента в а градусов равна
тгга 1 -------г sin а, 360°--2
если а < 180°, и «-Н вместо «—», если а > 180°.
24) Важнейшие методы решения задач на построение.
а) Метод геометрических мест состоит в следующем: пусть \ требуется построить точку, удовлетворяющую двум данным условиям. Отбросив одно из них, получаем обычно целую линию— геометрическое место точек, удовлетворяющих оставшемуся условию. На пересечении двух таких линий находим искомые точки.
б) Метод преобразований состоит в применении какого-нибудь движения (например, параллельного переноса или поворота, осевой или центральной симметрии) или преобразования подобия (например, гомотетии), а иногда и более сложного преобразования.
в) Метод «обратности» состоит в том, что сначала рисуют искомую фигуру, а затем пытаются пристроить к ней данные элементы..
г) Алгебраический метод состоит в том, что искомый отрезок или угол вычисляют, а затем найденную формулу реализуют построением.
Простейшие построения были перечислены в разделе 7. К ним добавляются ещё два (сравните их с задачей 16 листка 13):
104
1.7, ж) построение четвёртого члена пропорции при трёх известных (выполняется с помощью обобщённой теоремы Фалеса);
1.7, з) построение среднего пропорционального двух данных отрезков (выполняется с помощью результата, отмеченного в памятке, пункт 11, в).
25) Технические соотношения между элементами треугольника.
а) Выражение медианы через стороны: та = |д/2Ь2 + 2с2 — а2.
б) Выражение высоты через стороны: ha = где S находится по формуле Герона (23, д).
в) Выражение биссектрисы через стороны: =,Ьс — кп, где к и п — отрезки, на которые биссектриса 1а разбивает сторону а; согласно 17, в, к = п =
г) Выражение для радиуса вписанной окружности: г = где р—периметр.
д) Выражение для радиуса описанной окружности: Я =
105
Листок № 1
Задачи на повторение
Комфорт— состояние ума, достигав-мое созерцанием затруднений ближнего.
А. Бирс. Сло&арь Сатаны
I
1. На гипотенузе [АВ] прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построен квадрат с центром в точке О. Докажите, что [СО) — биссектриса прямого угла С.
2. Из точки А, лежащей вне круга, проведены две касательные к нему, В и С — их точки касания. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника АВС лежит на исходной окружности. ,
3. На окружности даны точки А, В,С, D в указанном порядке, М — середина- дуги АВ. Обозначим точки пересечения хорд [МО] и [МО] с хордой [АВ] через Е и К. Докажите, что KECD — вписанный четырёхугольник.
4. Пусть ABCDEF—вписанный шестиугольник, вершины расположены в указанном порядке. Известно, что [АВ]||[ОВ] и [BC]||[BF}. Доказать: [CD] 11 [FА].
5. Задача про трапецию. Даны длины оснований трапеции: а и Ь<
а) Найдите длину отрезка, параллельного основаниям и разбиваю-. t щего трапецию на две подобные друг другу части.
б) Найдите длину отрезка, параллельного основаниям и проходяще^ го через точку пересечения диагоналей.
в) Найдите длину отрезка, параллельного основщтиям и разбивающего трапецию на две равновеликие части.
г) А теперь нарисуйте все три линии на одном чертеже. Добавьте к ним четвёртую — среднюю линию трапеции, которая проходит через середины сторон и длину которой вы знаете. Какая из этих линий самая длинная? Какая занимает второе место по длине? Какая—тре^ тье? Какая самая короткая? В каком порядке эти линии располагаются на чертеже? (Все ответы обосновать.)
Задачи на построение
В задачах на построение, предложенных ниже, для получения искомого множества иногда удобно применять йреобразования плоско сти (поворот, симметрию, параллельный перенос, гомотетию). Поэтому вспомните:
определения этих преобразований;
106
как они действуют на отрезок, луч, прямую, окружность;
как восстановить преобразование по отрезку и его образу.
6. Провести через данную точку прямую, так чтобы данная окружность высекала на ней хорду заданной длины.
7. Даны точка А и окружность; найти множество вершин М равносторонних треугольников ANМ, у которых вершина N лежит на данной окружности.
8. Найти множество вершин С квадратов ABCD, у которых вер- * шина А находится на данной прямой, а В— в данной точке.
9. Дан угол и внутри него точка D.
а) Постройте отрезок с концами на сторонах данного угла, середина которого находилась бы в точке D.
б) Проведите через D прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей возможной площади.
10. а) Даны две точки А и В. Найдите множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки А на всевозможные прямые, проходящие через точку В.
б) На плоскости даны окружность и точка А. Найти множество середин хорд, высекаемых этой окружностью на прямых, проходящих через точку А.
в) Даны две точки А и В. Найти множество точек, каждая из которых симметрична точке А относительно некоторой прямой, проходящей через точку В.
г) Пусть А и В — два города. Найти множество точек М, обладающих следующим свойством: пешеход, идущий напрямик из М в город В, всё время удаляется от города А.
( д) Даны круг и две точки А и В внутри него. Требуется вписать в окружность прямоугольный треугольник, так чтобы его катеты проходили соответственно через данные точки.
г 11. а) На плоскости даны окружность и точка А. Найти множество середин отрезков [АЯ], где Н — произвольная точка данной окружности.
tv б) Дан круг и точка вне его. Проведите через эту точку секущую, так чтобы длина отрезка секущей вне круга равнялась длине отрезка секущей внутри круга.
12. Даны две пары параллельных прямых и точка А. Найти такую прямую, проходящую через точку А, на которой обе полосы (ограниченные данными парами прямых) высекают отрезки равной длины.
107
Листок № 2
Геометрические места
А ещё они рисовали... всякую всячину. .. Всё, что начинается на «М». Они рисовали мышеловки, месяц^ математику, множество... Ты когда-нибудь видела, как рисуют множество?
Л. Кэрролл. Алиса в Стране Чудес
Мы обозначаем расстояние между А и В через АВ, расстояние от точки А до прямой I через р(А, Z), и вообще расстояние между множествами X и Y точек на плоскости через р(Х, У) (если только это последнее расстояние можно определить).
Буквой М, как правило, будет обозначаться переменная точка плоскости. Если Р — некоторое высказывание о точках плоскости, то запись {М: Р(М)} обозначает множество всех точек плоскости, для которых высказывание Р истинно, иначе говоря, геометрическое место точек М, обладающих свойством Р.
Напомним несколько известных вам фактов.
(А) Множество точек, одинаково удалённых от двух данных точек А и В — прямая, перпендикулярная отрезку [АВ] и проходящая через его середину.
Вот формальная запись утверждения (А):
{М: АМ = ВМ} = 1, гдеЩАВ], /П[АВ] = {С}, АС = ВС. .
Прямая I называется медиатрисой (или серединным перпендикуляром) отрезка [АВ].
(Б) Множество точек, одинаково удалённых от двух данных прямых /1 и I2 — две взаимно перпендикулярные прямые, делящие пополам углы, образованные прямыми Ц и I2] мы будем их называть «крест биссектрис». Формально,
{М: р{М, I2)} —крест биссектрис для li и /2-
(В) Множество точек, расстояние которых до данной прямой I равно данному числу d (d > 0)—пара прямых Zi, /2, параллельных I и расположенных по разные стороны от I. Формально,
{М: p(M,l) = d}= /1 UZ2, где Zi||Z, Z2||Z, p(Z, Zx) = p(Z,Z2) = d.
108
(Г) Множество точек, расстояние которых до данной точки О равно данному числу г (г > 0) — окружность радиуса г с центром О. Формально,
{М: МО = г} = Окр(О, г).
(Д) Множество точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом—пара дуг окружностей, симметричных относительно (АВ), с концами в точках А и В. Формально,
{М: Z.AMB — а} —пара дуг.
Вот несколько упражнений на повторение этих фактов.
1. Найти множество центров окружностей, проходящих через две данные точки.
2. Найти множество центров окружностей, касающихся двух данных пересекающихся прямых.
3. Найти множество центров окружностей радиуса г, касающихся данной прямой.
4. Даны две точки А и В. Найти множество таких точек М, для которых площадь треугольника AM В равна заданному числу S.
Задачи
5. Задана окружность и две точки А и В на ней. Пусть М — произвольная точка этой окружности. На продолжении [AM] за точку М отмечается точка 7V, такая что ВМ = MN. Найти геометрическое место точек N.
6. Докажите, что
(Е) {М: AM2 —ВМ2 = с}—прямая, перпендикулярная [АВ]. Какая прямая получается при с = 0?
7. Пусть АВ = 2а. Докажите, что
(Ж) {М: AM2 4- ВМ2 = с} есть
при с > 2а2 — окружность с центром в точке О — середине [АВ] — и радиусом г = ^/(с - 2а2)/2;
при с = 2а2 — одна точка О;
при с < 2а2 — пустое множество.
Определение 1. Даны окружность с центром О и радиусом г и точка А; степень точки А относительно Окр(О,г) — это число, равное О А2 — г2.
8. а) Степень каких точек относительно Окр(О,г) положительна? отрицательна? равна нулю?
109
б) Пусть точка А лежит вне круга (О, г), (АВ)—касательная к Окр(О,г), В— точка касания. Докажите, что степень точки В относительно Окр(О,г) равна АВ2.
в) Пусть точка А лежит вне круга (О, г), I — прямая, проходящая через А и пересекающая Окр(О, г) в точках В и С. Докажите, что степень точки А относительно Окр(О,г) равна АВ • АС.
г) Сформулируйте и докажите аналог утверждения в) для точек, лежащих внутри круга.
9. Найти множество точек, для которых отрезки касательных, проведённых к двум данным кругам, равны по длине.
Определение 2. Даны две окружности. Множество точек, степени которых относительно этих окружностей равны, называется радикальной осью этих окружностей. (Как это множество выглядит?)
10. Даны две окружности. Рассмотрим всевозможные окружности, пересекающие каждую из данных в двух диаметрально противоположных точках. Найти множество центров таких окружностей.
Теорема о квадратах расстояний
Теорема. Множество точек М , для которых выполняется условие
Ai • МА} + Л2 • МА2 4- • • • 4- Ап • МА2п = //,
где Ai, Л2, ..., Ап — заданные точки, Ai, А2, ..., Ап, и д— заданные числа, есть одна из следующих геометрических фигур:
если Ai 4- А2 4- • • • 4- Ап 0, это может быть окружность, точка или пустое множество;
если Ai 4* А2 4-1- Ап = 0, это может быть прямая, вся плоскость или
пустое множество.
11. Прослушайте доказательство теоремы на лекции, а затем по памяти запишите его.
12. Выведите утверждения (А), (Г), (Е), (Ж) из этой теоремы.
13. Найти множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух противоположных вершин данного прямоугольника равна сумме квадратов расстояний до двух других его вершин.
14. Дан круг и точка А внутри него. Найти множество четвёртых вершин С прямоугольников ABCD, вершины В и D которых лежат на данной окружности.
15. Доказать, что МА2 — МВ2 = 2 • АВ • р(М, I), где I — медиатри-са [АВ], если МА > МВ.
ПО
Листок № 3
Геометрические места
— Откуда вы это знаете?
— Знаю. Мне говорили.
— В таком случае я знаю, кто вам говорил.
И. Ильф, Е. Петров
Везде в этом листке А, В, С — заданные точки плоскости, 1± и I2 — заданные прямые, .М — переменная точка плоскости, к, Ах, А2— заданные числа.
Мы продолжаем буквенную («азбучную») нумерацию результатов, начатую в предыдущем листке. Мы вынуждены пропустить букву 3, так как она слишком похожа на цифру 3.
1. Докажите, что
(И) {М: МА/МВ = к}, где к > 0, к 0 1, есть окружность, диаметр которой лежит на прямой (АВ).
Определение. Окружность из задачи 1 называется окружностью Аполлония (она названа в честь Аполлония Пергского—древнегреческого математика, 260-190 гг. до н. э.).
2. Пусть М точка окружности Аполлония, построенной в задаче 1; Mi и М2 — точки пересечения (АВ) с окружностью Аполлония. Докажите, что «крест биссектрис» прямых (AM) и (МВ) пересекает (АВ) в точках Mi и М2.
3. На диаметре круглого биллиардного стола были расположены два шара А и В. Шар В ударили так, что после одного отражения от борта стола он попал в шар А. Восстановить траекторию шара В, если удар не был направлен по диаметру.
4. На данной прямой лежат точки А, В, С, D. Построить на плоскости точку, из которой отрезки [АВ], [ВС] и [СР] видны под одинаковым углом.
5. Пусть точки А, В фиксированы, а число к меняется, принимая всевозможные положительные значения. Как будет выглядеть семейство линий вида {М: МА/МВ = к}?
* * *
6. Дан треугольник АВС. Найти множество точек М, таких что площади треугольников АМС и ВМС равны.
111
7. Докажите, что
(К) {М: p(M,li)/'р(М,12) = к}—пара прямых, проходящих через точку пересечения Ц и /2.
8. Дан равнобедренный треугольник АО В (АВ — основание). Доказать, что сумма расстояний от точки М 6 [АВ] до прямых (АО) и (ВО) равна длине высоты, опущенной на боковую сторону.
9. Докажите, что
(Л) {М: р(М, /1) + р(М, /2) = к} — контур прямоугольника, диагонали которого лежат на прямых /1 и /2.
Теорема о расстояниях до прямых
Рассмотрим множество точек М, для которых
Ai • р(М, Zi) + Д2 • р(М, /2) + • • • + Ап • р(М, 1п) = к. (*)
Прямые ii, /2, •••? In разбивают плоскость на несколько кусков. Пусть Q будет один из них.
Теорема. Множество точек, удовлетворяющих условию (*) и принадлежащих Q, есть либо 1) пересечение куска Q с некоторой прямой (луч, отрезок или даже целая прямая), либо 2) весь кусок <2, либо 3) пустое множество.
В каждой конкретной задаче, когда хотят найти множество точек, удовлетворяющих условию вида (*),решают задачу отдельно для каждого куска и в итоге находят искомое множество.
10. Прослушайте доказательство теоремы на лекции, а затем по памяти запишите его.
11. Воспользуйтесь задачей 15 листка М 2 и попытайтесь найти другое доказательство этой теоремы.
12. Выведите утверждения’(Б), (В), (К), (Л) из этой теоремы.
13. а) Дан правильный ДАВС. Найти множество точек, для которых сумма расстояний до (АВ), (ВС) и (СА) равна данному числу к > 0,. 1
б) Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек, для которых^ сумма расстояний до прямых (АВ), (ВС), (CD) и (DA) равна данному числу к > 0.
14*. а) Три прямые Zi, Z2, /з пересекаются в одной точке, причём величина угла Между каждыми двумя из них равна 60°. Найти множество точек, для которых р(М,1\) = р(М,/2) + р(М,/3).
б) Дан равносторонний треугольник АВС. Найти множество точек М, для которых расстояние до одной из прямых (АВ), (ВС), (СА) равно полусумме расстояний до двух других. >.е
112
Указания к задачам
1. Воспользуйтесь теоремой о квадратах расстояний.
2. Сравните это утверждение с теоремой о биссектрисе внутреннего угла треугольника. Верна ли аналогичная ей теорема для биссектрисы внешнего угла треугольника?
3. Отражение от стенок биллиардного стола происходит по такому закону: угол между направлением падения и касательной к стенке* проведённой в точке падения, должен быть равен углу между направлением отражения и этой касательной.
Банк дополнительных задач
Перед троном стоял большой стол, заваленный < ... > различными математическими инструментами. Его величество не обратил на нас ни малейшего внимания <...>; король был тогда погружен в решение трудной задачи, и мы ожидали по крайней мере час, пока он её решил. По обеим сторонам короля стояли два пажа с пузырями в руках. Когда они заметили, что король решил задачу, один из них почтительно хлопнул его по губам, а другой пд правому уху; король вздрогнул, точно внезапно разбуженный, и, обратив свои взоры на меня и сопровождавшую меня свиту, вспомнил о причине нашего прихода.
Дж. Свифт. Путешествия Гулливера
При решении предлагаемых здесь задач вам придётся пользоваться понятиями «пересечения» и «объединения» множеств.
1. Даны две точки А, В на плоскости. Найти множество точек М, для которых треугольник AM В
а) прямоугольный; б) остроугольный; в) тупоугольный.
2. Даны две точки А, В на плоскости. Найти множество точек М, таких, что
а) треугольник AM В — равнобедренный;
б) в треугольнике AM В сторона АВ — наибольшая;
* в) в треугольнике AM В сторона AM — наибольшая.
v 3. На плоскости дан квадрат со стороной 1. Доказать, что если точка плоскости находится на расстоянии не больше 1 от каждой вершины этого
113
квадрата, то она находится на расстоянии не меньше 1/8 от каждой стороны | квадрата. , |
4. Через точку О плоскости проведены три прямые, разбивающие эту плоскость на шесть конгруэнтных углов. Докажите, что если расстояние от точки М до каждой прямой меньше 1, то расстояние ОМ меньше 7/6.
5. Дан квадрат ABCD. Найти множество точек, которые ближе к прямой (АВ), чем к прямым (ВС), (CD) и (DA).
6. Дан треугольник АВС. Найти множество точек М плоскости, таких что площадь каждого из треугольников AM В, ВМС, СМ А меньше площади треугольника АВС.
7. На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD как на диаметрах построены круги. Доказать, что они покрывают весь четырёхугольник.
8*. Участок леса имеет форму выпуклого многоугольника площади S и периметра Р. Доказать, что внутри леса можно указать точку, удалённую от опушки леса более чем на .
9. а) Дана точка О. Рассмотрим семейство окружностей радиуса 3 см, центры которых находятся на расстоянии 5 см от точки С, и семейство окружностей радиуса 5 см, центры которых находятся на расстоянии 3 см от точки О. Доказать, что объединение окружностей первого семейства совпадает с объединением окружностей второго семейства. а
б) Найти мнбжество середин отрезков, у которых один конец лежит на одной данной окружности, а другой— на другой данной окружности. к
10. Дана полуплоскость и точка О на её границе. Внутрь этой полуплося кости проведено п векторов единичной длины с началом в точке О. Доказать, что если п нечётно, то длина суммы этих векторов не меньше 1.
11. Через деревню А, окружённую со всех сторон лугами, проходит одна прямолинейная дорога. Человек может идти по дороге со скоростью 5 км/ч, по лугу — со скоростью 2 км/ч.
а) Начертить множество точек, до которых он мог бы дойти из А за один час.
б) Какой маршрут он должен выбрать, чтобы как можно быстрее попасть из деревни А к избушке В, находящейся на расстоянии 13 км от деревни и на расстоянии 5 км от дороги?
Минимум и максимум
12. Под каким углом к берегу человек должен направить лодку, чтобы её за время переправы как можно меньше снесло течением, если скорость течения— 6 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде— 3 км/ч?
13. Из всех треугольников с данными основанием и данным углом при вершине выбрать треугольник
а) с наибольшим радиусом вписанной окружности;
б) с наибольшей площадью. г
14. По двум взаимно перпендикулярным дорогам идут два пешеход#: один—со скоростью и, другой—со скоростью v. Когда первый пересекал
114
дорогу второго, тому оставалось до пересечения идти ещё d километров. На каком наименьшем расстоянии будут находиться пешеходы?
15. Даны две пересекающиеся окружности. Провести через точку их пересечения А прямую, так чтобы расстояние между ее точками (отличными от А), в которых она пересекает окружности, было наибольшим.
16. Задана точка О. Требуется, чтобы одна вершина равностороннего треугольника была удалена от неё на расстояние а, а другая—на расстояние Ь. На каком наибольшем расстоянии от О может находиться третья его вершина?
17. На каком наибольшем расстоянии от О может находиться вершина М квадрата AKMN, если известно, что
а) ОА = ON = 1; б) ОА = pi, ON = р2.
18. Из всех треугольников с данным основанием и данным углом при вершине выбрать треугольник наибольшего периметра.
19. На участке леса, ограниченном тремя прямолинейными железными дорогами, живёт медведь. В какой точ^е леса он должен построить берлогу, чтобы расстояние от неё до ближайшей дороги было как можно больше?
I 20. У мышки три выхода из норки в известных кошке точках А, В, С. Где должна сидеть кошка, чтобы расстояние от неё до самого далёкого из трёх выходов было как можно меньше?
21*. а) В круглом озере живут три крокодила. Где они должны сидеть, чтобы наибольшее из расстояний от любой точки озера до ближайшего к ней крокодила было как можно меньше? ,
б) Та же задача для четырёх крокодилов.
Рекомендуемая литература: [12] Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер. Прямые и кривые.
Листок № 4
ЛИНИИ УРОВНЯ
Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые; иначе такое бросание будет пустою забавою.
Козьма Прутков. Мысль № 156
Пусть Q—некоторое множество точек на плоскости. Рассмотрим функцию /: Q —> R, где буквой R обозначено множество действительных чисел. Примерами таких функций могут служить расстояние до фиксированной точки A (/(Af) = AM), или площадь треугольника ABM, две вершины А, В которого фиксированы (/(М) = Sabm),
115
или кратчайшее из расстояний до нескольких заданных прямых:
/(М) = min((M, / J, (М, /2),..., (М, /п)).
Пусть с—действительное число.
Определение 1. Множеством уровня с для функции f называют такое подмножество множества Q, на котором функция f принимает значение с.
Во многих примерах множествами уровня оказываются динии. Поэтому часто употребляется термин «линии уровня».
1. Какой вид имеют линии уровня для приведённых выше примеров?
Если провести на рисунке линии уровня, отвечающие всем возможным числам с, то они, конечно, заполнят всё множество Q — область определения заданной функции /. Обычно, чтобы выяснить, как устроена функция /, рисуют несколько линий уровня и называют этот рисунок картой линий уровня.
Подробнее об этих понятиях и простейших примерах работы с ними слушайте на лекции.
2. Начертите карту линий уровня функции:
a) f(M) = max(AAMB,ABAM,AMBA) (множество Q — вся плоскость);
б) f(M) = min(AM, МВ, АВ) (множество Q — вся плоскость). Здесь А, В — заданные различные точки.
3. На гипотенузе данного прямоугольного треугольника найти точку, для которой расстояние между её проекциями на катеты наименьшее.
4. Дана окружность с центром О и точка А внутри неё. Найти на окружности точку М, для которой величина угла AM О
а) наименьшая; б) наибольшая.
5. Пусть А и В—данные точки. Найти на данной окружности точку М\
а) сумма квадратов б) разность квадратов расстояний от которой до А и В минимальна.
6. а) Дана прямая I и параллельный ей отрезок [АВ]. Найти положения точки М на прямой, в котором величина AM/МВ принимает наибольшее и наименьшее значения.
б*) Та же задача в случае, если I и [АВ] непараллельны.
7. Между двумя прямолинейными дорогами расположено
а) круглое б) прямоугольное в*) произвольной формы озеро. Где на берегу озера нужно выстроить санаторий, чтобы сумма расстояний от него до двух дорог была минимально?
116
Начала оптики
Принцип Ферма. Лучи света из точки А в точку В движутся так, чтобы время прохождения из А в В было минимально.
Для сведения: скорость света в вакууме 300000000 м/с.
Пусть в точке А находится источник света, а наблюдатель—в точке В. Из точки А в точку В свет не может распространяться по прямой (мешает перегородка). Рассмотрим «зеркальную» прямую /, относительно которой точки АиВ лежат в одной полуплоскости; эта прямая I препятствует прямолинейному движению лучей света, так что луч, дошедший до какой-либо точки I, возвращается в ту же полуплоскость, откуда пришёл.
8. Доказать, что из принципа Ферма следует известный вам закон отражения света: угол падения равен углу отражения.
9. а) Построить траекторию луча, идущего из точки А в точку В.
б) Описать (словами) траекторию движения луча из точки А в точку В, если нет зеркальной прямой, а есть зеркальная окружность.
в*) Та же задача для случая произвольной зеркальной кривой.
Пусть плоскость разделена прямой I; точки А и В — в разных полуплоскостях. Пусть при этом скорость света в одной полуплоскости, ci, а в другой С2-
10. Выведите из принципа Ферма закон преломления света.
Семейство аполлониевых окружностей
Пусть А и В — данные точки. Рассмотрим всевозможные их окружности Аполлония.
11*. Доказать, что радикальная ось любой пары окружностей Аполлония из этого семейства совпадает с медиатрисой отрезка [АВ].
12*. Доказать, что любая окружность Аполлония из этого семейства ортогональна любой окружности, проходящей через точки АиВ.
(Угол между кривыми в их точке пересечения определяется как угол между соответствующими касательными.)
* * *
Замечание. В задачах 6, 7, в, 9, б, 9, в, 10 не требуется выполнять построение циркулем и линейкой. (В действительности в задаче 9, б построение циркулем и линейкой возможно, но для этого придётся использовать отображение плоскости на себя, которое раньше нам не встречалось. Оно называется инверсией или ещё — симметрией относительно окружности.)
117
Листок № 5
Пространственные построения
Нужно всегда уметь сказать вместо «точки, прямые линии, плоскости» — «столы, стулья, пивные кружки».
Давид Гильберт
Всюду в этом листке мы считаем, что умеем проводить плоскость через три заданные точки (а значит, и через точку и прямую, и через две пересекающиеся или две параллельные прямые), умеем получать прямую пересечением двух плоскостей (а значит, и проводить прямую через две точки пространства), и в любой плоскости мы можем проводить построения циркулем и линейкой.
1. Построить прямую, проходящую через данную точку пространства и пересекающую две данные прямые в пространстве.
2. Построить прямую, которая была бы параллельна данной прямой и пересекала бы две другие заданные прямые, не лежащие в одной плоскости.
3. а) Построить прямую, проходящую через данную точку пространства и ортогональную данной плоскости.
б) Построить проекцию данной прямой на данную плоскость.
в) Построить прямую, лежащую в данной плоскости Р, проходящую через данную точку А этой плоскости и перпендикулярную к данной в пространстве прямой I.
4. Построить отрезок длины d, параллельный данной плоскости Р и такой, что концы его опираются на две данные прямые li и /2-
5. В пространстве даны плоскость Р и точки А, В. Где в плоско-^ сти Р надо взять точку С, так чтобы ломаная АС В была кратчайшей?
6. Доказать, что если имеется конечное число прямых, таких что любые две из них пересекаются, то либо все они лежат в одной плоскости, либо все они проходят через одну точку.
7. Каково геометрическое место точек пространства,
а) равноудалённых от всех трёх вершин данного треугольника?
б) равноудалённых от обеих граней данного двугранного угла?
в) равноудалённых от двух заданных пересекающихся прямых?
8. Найти все прямые, проходящие через заданную точку пространства и образующие одинаковые углы с двумя данными скрещивающимися прямыми.
118
9. Доказать, что любой четырёхгранный угол можно пересечь так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
ЛИСТОК № 6
ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА
Однажды один молодой математик предложил ввести в программу Казанского университета курс «Конические сечения».
' Попечитель Казанского учебного округа
М. Л. Магницкий запретил это, сказав, что курс сей более подобает ветеринарному училищу, нежели университету. Он, по невежеству, полагал, что конические сечения— это от слова «конь».
Анекдот девятнадцатого века
Определение 1. Пусть А и В — две данные точки, АВ = 2с и а > с. Эллипсом называется множество точек М, таких что
AM + МВ = 2а.
Точки А и В называются фокусами эллипса. (При а < с точек М с нужным свойством не существует,, а при а = с эллипс вырождается в’[АВ].)
Точка О—середина [АВ] —v называется центром эллипса. Введём систему координат с началом в точке О; ось Ох направим по (АВ).
1. а) Составьте уравнение эллипса.
! б) Тождественными преобразованиями приведите его к виду
л.2 л«2
— + Tj = 1, где Ь2 = а2 - с2. а2 о2
в) Опишите линии уровня функции f(M) = AM + MB.
г) Покажите, что О есть центр симметрии эллипса, и найдите у него две оси симметрии.
д) Что случится с эллипсом, если с сделать равным нулю?
2. а) Рассмотрим эллипс и прямую вида х = const. Сколько у неё точек пересечения с эллипсом и каковы их координаты?
119
б) Тот же вопрос для прямых вида у = const.
в) Числа а и b называются длинами полуосей эллипса; сробразите сами, почему.
г) Докажите, что эллипс и прямая ах 4- by + с = 0 не могут иметь более двух общих точек.
Определение 2. Гиперболой называется множество точек М, таких что
\АМ - ВМ\ = 2а.
Точки А и В называются фокусами гиперболы, а О—её центром. При а > 0 гипербола состоит из двух ветвей: на одной из них AM — ВМ = 2а, а на другой ВМ - AM = 2а. Расстояние АВ, как выше, обозначаем за 2с; считаем, что с > а.
3. а) Составьте уравнение гиперболы (в той же системе координат, что и выше).
б) Тождественными преобразованиями приведите его к виду
у2 1 г2 2 2
— - — = 1, где Ь2 = с - а2. а2 о2
в) Опишите линии уровня функции f(M) = AM — ВМ. 1
г) Найдите у гиперболы центр и две оси симметрии.
4. а) Исследуйте точки пересечения гиперболы с прямыми вида х = const и у = const.
б) Докажите, что гипербола и прямая вида ах +Ьу 4- с = 0 не могут иметь более двух общих точек.
Прямые у = ^х и у = — ^х называются асимптотами гиперболы! Если х неограниченно возрастает, то точки гиперболы с положительными ординатами неограниченно приближаются к первой асимптоте, а точки с отрицательными ординатами—ко второй (доказательство слушайте на лекции). и
Гипербола называется равнобочной, если b = а, то есть если две её асимптоты перпендикулярны.
Мы называем сжатием вдоль оси Ох преобразование плоскости, при котором точка (х,у) переходит в точку (кх,у), где к — коэффициент сжатия. Если fc > 1, уместно говорить о растяжении, а не о сжатии. Сжатия и растяжения вдоль оси Оу определяются аналогично.
5. а) Подвергнем сжатию вдоль оси Ох с коэффициентом к окружность Окр(О,г). Какая фигура получится? Ответ обосновать.
б) Тот же вопрос для сжатия вдоль оси Оу с коэффициентом к.
в), г) Те же вопросы про сжатие равнобочной гиперболы, которая задана уравнением х2 — у2 = а2.
120
6. Рассмотрим равнобочную гиперболу х2 — у2 = а2. Выполним поворот её вокруг начала координат на угол 45°. Написать уравнение получившейся кривой (предварительно прослушав его вывод на лекции) .
Определение 3. Пусть I — данная прямая, F—данная точка, не лежащая на ней, и р(В, /) = 2р. Параболой называется множество точек, равноудалённых от I и F:
MF = р(М,1).
Точка F называется фокусом параболы, а прямая I — директрисой. * Выберем систему координат с началом в точке О, удалённой от F и от I на р, а ось Ох направим параллельно I.
7. а) Выведите уравнение параболы и приведите его к знакомому вам виду. Найдите у параболы ось симметрии.
б) Найдите координаты точек пересечения параболы с линиями вида х = const и вида у = const.
в) Сколько общих точек могут иметь прямая и парабола?
8. На плоскости даны точки А и В. Найти множество точек М, для которых
а) периметр треугольника AM В равен постоянной величине р;
б) периметр треугольника AM В не больше р;
в) разность МА — МВ не больше d.
9. Даны отрезок [АВ] и точка Т на нём. Найти множество точек М, для которых окружность, вписанная в треугольник АМВ, касается (АВ) в точке Т.
10. Найти множество центров окружностей, касающихся
а) данной прямой и проходящих через данную точку;
з б) данной окружности и проходящих через данную точку внутри окружности;
7у в) данной окружности и проходящих через данную точку вне окружности;
г’ г) данной окружности и данной прямой.
Касательные к эллипсу, параболе
И ВЕТВИ ГИПЕРБОЛЫ
Определение 4. Назовём касательной к эллипсу (или к параболе, или к ветви гиперболы) прямую, обладающую такими двумя свойствами: (1) прямая имеет общую точку с нашей кривой; (2) вся кривая лежит в одной полуплоскости относительно этой прямой.
121
11. Пусть М—точка эллипса, I — касательная в ней, А и В—.фокусы этого эллипса. Докажите, что [ЛМ] и [ВМ] образуют одинаковые углы с I.
Указание: воспользуйтесь задачей 1, в и задачей 8 листка № 4.
12. а) Пусть I — прямая, А и В — точки по разные стороны от неё, причём А расположёна дальше от /, чем В. Найдите на I точку М, для которой разность AM — ВМ максимальна.
б) Сформулируйте и докажите утверждение о гиперболе, аналогичное сформулированному в задаче 11.
13. Пусть даны эллипс и гипербола с общими фокусами. Выведите иэ задач 11 и 12, б, что касательные к эллипсу и гиперболе, проходящие через их точку пересечения, перпендикулярны.
14. Прослушайте на лекции вывод оптического свойства параболы, а затем по памяти сформулируйте и докажите его.
15. Пусть даны две параболы с общим фокусом и общей осью симметрии, но ветви одной направлены «вниз», а другой — «вверх». Докажите, что касательные к ним, проходящие через какую-нибудь их точку пересечения, перпендикулярны.
16. а) Пусть дан эллипс с фокусами А и В. Доказать, что множество точек, симметричных фокусу А относительно всех касательный к эллипсу—окружность.
б) Доказать, что множество оснований перпендикуляров, опущен1 ных из фокуса А на все касательные к эллипсу — окружность. 1
17. Что можно сказать о траекториях световых лучей, отразившихся от зеркальной поверхности )
а) эллипса; б) ветви гиперболы; в) параболы, 1
если источник света—в фокусе?
18. Пусть, как и в предыдущей задаче, в фокусе эллипса, гиперболы или параболы находится источник света, который в некоторый момент времени на мгновение вспыхнул и погас. Как будут распространяться световые лучи до и после отражения? В какие точки свет придёт одновременно?
ДИРЕКТОРИАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
Теорема 1. Пусть заданы прямая I и точка F, не лежащая на ней'. Рассмотрим множество точек М таких, что
MF , я
= ь где к— заданное число.
p(Az,/) f
122
Это множество есть: эллипс при 0 < к < 1, парабола при к = 1 и гипербола при к > 1. При этом во всех случаях F — фокус кривой.
Прямая I из условия теоремы называется директрисой (эллипса, гиперболы и параболы соответственно).
19. Выберите такую же систему координат, как при выводе уравнения параболы. Докажите теорему 1. После этого нарисуйте карту линий уровня функции g(M) =
Цилиндрические сечения
Определение 5. Пусть в плоскости дана окружность. Через все её точки проведены перпендикуляры к данной плоскости. Объединение этих прямых называется цилиндром; сами эти прямые—его образующими, а исходная окружность — направляющей. Перпендикуляр к плоскости, проходящий через центр О исходной окружности, называется осью цилиндра.
20*. а) Цилиндр остаётся на месте при всех вращениях вокруг оси (говорят, что он является телом вращения) и при всех параллельных переносах на векторы, параллельные оси (доказать). Где у цилиндра плоскости и центры симметрии?
б) В цилиндр можно вписать бесконечно много шаров: все они имеют один и тот же радиус, а центры их лежат на оси. При этом точки касания шара и цилиндра образуют окружность.
21*. Пусть цилиндр пересечён плоскостью, не параллельной его оси. Тогда в цилиндр можно вписать ровно два шара, касающиеся плоскости.
22*. Докажите теорему о цилиндрических сечениях:
Теорема 2. Сечение цилиндра плоскостью есть
— эллипс, если плоскость не, параллельна и не перпендикулярна оси цилиндра;
— окружность, если плоскость перпендикулярна оси;
— пара прямых, если плоскость параллельна оси и пересекает цилиндр;
— одна прямая, если плоскость параллельна оси цилиндра и касается его; 7
— пустое множество в оставшемся случае.
Для доказательства первого утверждения заметьте, что точки касания шаров из задачи 21 и секущей плоскости будут фокусами искомого .эллипса.
123
Конические сечения
Определение 6. Пусть в плоскости дана окружность, а через центр её проведён перпендикуляр к плоскости. Отметим на перпендикуляре любую другую точку О. Конусом называется объединение всевозможных прямых, проходящих через какую-нибудь точку окружности и через точку О. При этом О называется вершиной конуса, исходная окружность — направляющей, а прямые—образующими конуса. (Образующие— прямые, а не лучи и не отрезки!) Осью конуса называется вышеуказанный перпендикуляр. Угол между осью и (любой) образующей называется углом при вершине и обозначается а.
Таким образом определённый конус отличается от обычно рассматриваемого в школе. Наш конус имеет две полости, каждая из которых простирается в бесконечность, в то время как «школьный конус» ограничен снизу и сверху (основанием и вершиной) и имеет только одну полость, отнюдь не бесконечную.
23*. а) Конус остаётся на месте при всех вращениях вокруг оси (и тоже является телом вращения). У него есть центр симметрии и много плоскостей симметрии; найдите их.
б) В конус можно вписать бесконечно много шаров; у каждого из них центр лежит на оси, а точки касания образуют окружность. Как связан радиус этой окружности с расстоянием от её центра до вершины конуса?
Мы будем исследовать сечения конуса плоскостью тг. Угол между секущей плоскостью и осью конуса обозначим через /3 (если секущая плоскость параллельна оси, естественно считать, что /3 = 0°).
24*. Пусть конус пересечён плоскостью, не проходящей через вершину. Тогда при /3 0 а в него можно вписать два шара, касающиеся этой плоскости. При /3 = а (то есть когда секущая плоскость параллельна одной из образующих) можно вписать только один такой шар.
25*. Докажите следующую теорему, называемую теоремой о конических сечениях.
Теорема 3. Пусть О — вершина конуса, а — угол при вершине, тг — секущая плоскость, /3 — угол между тг и осью конуса. Сечение конуса плоскостью есть:
О $ 7Г О Е 7Г
0 < а гипербола пара пересекающихся прямых
/3 = а парабола одна прямая
/3 > а эллипс одна точка
Содержательными здесь являются только три случая, в которых О тг; доказательства в трёх других тривиальны. Для эллипса, ги-
124
пер болы и параболы фокусы суть точки касания секущей плоскости тг с шарами9 из задачи 24 , а директриса оказывается линией пересечения тг с плоскостью, содержащей окружность точек касания конуса и вписанного шара. Какие-то случаи доказательства этой теоремы вы сможете услышать на лекции, а потом записать по памяти.
Замечания
1) Мы всюду за недостатком места и желания не рассматриваем такие вопросы, как непрерывность, гладкость и выпуклость эллипса, гиперболы и параболы; существование и единственность касательной к такой кривой в данной её точке. Вы имеете шанс восполнить наши пробелы самостоятельно. Так, выпуклость эллипса выводится из следующей задачи.
26*. Пусть Mi и Мг — две точки эллипса, a Fi и ft — его фокусы. Пусть N — точка, принадлежащая [М1М2]. Тогда
NFi 4- NF2 < Mi.Fi 4“ M1F2 = Aft-Pi 4-
(В частном случае, когда [Mi М2] пересекает [F1F2], эта задача сводится к задаче 14 из прошлогоднего листка X* 9. Общий случай сведётся к этому частному, если, например, рассмотреть точку, симметричную F2 относительно (MiМ2). Разумеется, аналогичные задачи можно сформулировать й решить для параболы и для ветви гиперболы).
Другие наши пробелы легко восполняются методами дифференциального исчисления.
2) Эллипс, гипербола и парабола известны под общим названием «конические сечения». Это связано с теоремой, отмеченной в этом листке под номером 3. Теория конических сечений была известна ещё древним грекам, подробно изложена в книгах Аполлония. Греки доказывали эти теоремы гораздо более сложными методами, чем мы здесь.
(3 ) Эллипс, гипербола и парабола известны также под общим названием «кривые второго порядка». Действительно, все они описываются квадратными уравнениями с двумя неизвестными. Обратно, имеет место такая теорема.
Теорема 4. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению вида ах2 4- by2 4- сху 4- dx 4- еу 4- f = 0, в зависимости от значений коэффициентов а, 6, с, d, е, f является: эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых (пересекающихся или параллельных), прямой, точкой или пустым множеством.
Доказательство этой теоремы мы проводить не будем.
Рекомендуемая дополнительная литература:
[12] Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер. «Прямые и кривые»
[18] Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. «Наглядная геометрия»
9 Эти шары называются шарами Данделена^ по имени бельгийского математика, давшего столь красивое доказательство лишь в 1822 году, хотя сама теорема была известна ещё древним грекам.
125
Листок № 7
Теорема Менелая
Геометрия в большей степени, чем лк> бой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет возможности насладиться.
Э. Т. Белл н
Теорема 1. Пусть дан ДАВС и три точки К, М, N: К Е (ВС), М Е (СА), N Е (АВ). Если точки К, М, N лежат на одной прямой, tq, верно равенство ‘ ЖПГ ‘ L
Считается, что точки К, М, N не совпадают с вершинами треугольника. Тогда каждая из них может попасть либо на сторону тре-угольника, либо на её продолжение. Легко сообразить, что все три точки не могут оказаться на сторонах, и точно так же не может тар, случиться, чтобы только одна из точек В, М, N лежала на стороне, а две другие точки — на продолжениях сторон. (Непременно убедитесь, что эти случаи являются невозможными, потому что противореча^ аксиомам геометрии.)
Итак, в теореме есть два случая: 1) когда две из точек К, N лежат на сторонах треугольника, а одна—на продолжении; 2) когда все три точки К, М, N лежат не на самих сторонах, а на их продолжениях. Доказательство теоремы для обоих случаев проводите^ одинаково; для первого случая доказательство вы сможете услышать, на лекции. } ,f
1. Докажите теорему Менелая (Т1).
Теорема Менелая позволяет решать вычислительные задачи, наподобие следующих.
2. Дан треугольник АВС. Точка D лежит на [АВ] и делит его в отношении 1:3, считая от вершины А. Точка Е лежит на [ВС] и делит его в отношении 2:5, считая от вершины В. Пусть отрезки [СР] и [АВ]: пересекаются в точке F. В каком отношении F делит [СР]? В каком отношении F делит [АВ]? (При ответе на первый из этих вопросов^ удобно применить теорему Менелая к &BCD у (АЕ).)
3. Докажите, используя теорему Менелая, что медианы треуголь4 ника делят друг друга точкой пересечения в отношении 2:1, считая* от вершины.
126
4. В треугольнике АВС точка касания вписанной в него окружности со стороной [ВС] делит её в отношении к. Чему равно отношение РВ : ВС, если Р есть точка пересечения (ВС) с прямой, проходящей через точки касания окружности со сторонами [АВ] и [АС]?
5. Точка Р лежит на [АВ), и АР = 2,5 • АВ. Точка Q лежит на [СВ], и QB = 0,25 • СВ. Пусть R есть точка пересечения (АС) и (PQ). Найти AR, если АС = 2.
Обратная теорема Менелая позволяет доказывать, что некоторые, три точки лежат на одной прямой, в ситуации, когда не известно ни одного расстояния, а известны только некоторые их отношения. Она тоже имеет два случая — такие же, как и прямая теорема; формулировку и доказательство для первого из них вы сможете услышать на лекции.
6. Сформулируйте и докажите обратную теорему Менелая для обо-йх случаев.
Вот несколько задач на её применение.
7. а) Докажите, что прямая, соединяющая концы биссектрис двух внутренних углов разностороннего треугольника, пересекает продолжение третьей стороны в той же точке, что и биссектриса внешнего угла при третьей вершине.
" б) Доказать, что точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника с продолжениями противоположных сторон лежат на одной г^рямой.
8*. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из лю-ббй точки окружности на стороны вписанного в неё треугольника, лёжат на одной прямой. (Эта прямая носит название прямой Симпсона.) ° 9*. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота [СК] и& вершины прямого угла С, а в треугольнике АСК проведена биссектриса [СЕ]. Точка D — середина [AC], F — точка пересечения (DE) и (СК). Доказать, что (BF)\\(CE).
0 Теорема Дезарга
10. Докажите такую теорему.
•п Теорема 2. Пусть два треугольника АВС и А1 В1 С расположены в-плоскости так, что прямые (АА'), (ВВ1) и (СС') проходят через точку О. Обозначим через Р точку пересечения (АВ) и (А'В'), через Q — точку пересечения (ВС) и (В'С')? через R—точку пересечения (АС) и {А'С'). Тогда Р, Q, R лежат на одной прямой.
Строить чертёж к теореме Дезарга (Т2) лучше начинать с точки О. Если вы уже построили чертёж, проверьте: на вашем чертеже должно быть отмечено 10 точек и 10 прямых, причём в каждой отмеченной точке пересекаются ровно 3 прямые, а на каждой отмеченной прямой
127
лежат ровно 3 отмеченные точки. Для доказательства теоремы Дезар-га придётся трижды применить прямую теорему Менелая и один раз обратную. Мы считаем при этом, что никакие из отмеченных прямых не параллельны: это не слишком существенно, но всё же облегчает работу.
11*. Сформулируйте и докажите обратную теорему Дезарга.
Замечания
(1) Теорему Менелая удобно формулировать на векторном языке: пусть А, В, С— данные точки, ипусть точки К, М, N таковы, что Bit = Л1К(3, СМ = ЛгЛ/Л, АЙ = ЛзАгА Точки К, М, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда А1А2А3 = — 1.
Такая формулировка избавляет от необходимости рассматривать разные случаи. Действительно, произведение трёх чисел равно —1 в двух случаях: 1) когда два сомножителя положительны, а третий отрицателен; 2) когда все три сомножителя отрицательны, что как раз соответствует двум случаям в предыдущей формулировке (проверьте!). Это же рассуждение исключает и оба случая невозможного расположения точек К, М, N.
12*. Дайте доказательство теоремы Менелая на векторном языке. (Такое доказательство можно осуществить^ методами, аналогичными методам прошлогоднего листка № 5, задачи 15, 17, 18.)
(2) У теоремы Дезарга есть трёхмерный вариант: пусть &АВС д ДА'В'С' лежат в разных плоскостях... далее по тексту. Замечательно, что доказать его гораздо проще, чем доказать плоский вариант, и никакая теорема Менелая для этого не нужна. Векторы тоже не нужны. Нужно только знать аксиомы стереометрии.
13*. Докажите трёхмерный вариант теоремы Дезарга.
14*. Докажите трёхмерный вариант обратной теоремы Дезарга.
15*. Почему простое доказательство теоремы Дезарга невозможно в плоском случае? Или всё-таки возможно?
(3) Указания к задачам.
8. Примените теорему Птолемея и теорему Менелая.
9. Докажите, что BE = ВС, и проведите все три высоты в &СВЕ. Примените теорему Менелая к ЛАСК и точкам D, Е, F. Искомая параллельность будет следовать из равенства KF : FC = В К : BE.
128
Листок № 8
Теорема Чевы
Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.
Козьма Прутков. Мысль № 66
Теорема 1. Пусть дан ДАВС и три точки К, М, 7V, такие что К е (ВС), М е (СА), W е (АВ) и прямые (АЯ), (ВМ), (САГ) пересекаются в одной точке. Тогда = 1.
В этой теореме возможны два различных случая: 1) когда все три точки К, М, N лежат на сторонах треугольника; 2) когда одна из этих точек лежит на стороне треугольника, а две другие — на продолжениях сторон. Другие случаи невозможны.
Теорема Чевы имеет несколько разных доказательств. Два из них (методом площадей и методом пропорциональных отрезков) вы услышите на лекции.
1. Запишите по памяти два доказательства теоремы Чевы.
С помощью теоремы Чевы можно решать вычислительные задачи вроде, например, такой.
2. Дан треугольник АВС; точка Р лежит на [АВ] и делит его в отношении 3:2, считая от вершины А. Точка Q лежит на [ВС] и делит его в отношении 1:5, считая от вершины В. Отрезки [СР] и [AQ] пересекаются в точке О. В каком отношении (ВО) разбивает [АС]?
Обратная теорема Чевы позволяет доказывать, что какие-то три прямые цроходят через одну точку.
3. Сформулируйте и докажите обратную теорему Чевы. (Будьте очень осторожны при составлении формулировки!)
4. Докажите с помощью теоремы Чевы, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
5. а) Докажите с помощью теоремы Чевы, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной тойке.
б) Та же задача для биссектрис двух внешних углов и одного внутреннего.
6. Докажите с помощью теоремы Чевы, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
7. Проведём в треугольнике три отрезка, соединяющие его вершины с точками касания противолежащих им сторой со вписанной окружно
129
'7'
стью. Докажите, что эти три отрезка пересекаются в одной точке. (Эта точка называется точкой Жергона.)
8. Через каждую вершину треугольника проведём такую прямую, которая делит периметр треугольника пополам. Докажите, что три проведённые прямые пересекаются в одной точке. (Эта точка называется точкой Нагеля.)
Теорема ван Обеля
Теорема 2. Пусть дан ДАВС и три точки К, М, N, такие что К е [ВС], М е [СА], W е [АВ] и [АК], [ВМ] и [CW] пересекаются в точке L. Тогда $? = $? + #£
9. Прослушайте на лекции доказательство этой теоремы, а затем по памяти запишите его.
10. Выведите из этой теоремы, что медианы треугольника делят друг друга точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
11. В каком отношении делят друг друга биссектрисы точкой пересечения? (Выразите это отношение через стороны треугольника.)
12. Та же задача для высот.
13. Та же задача о точке Жергона.
14. Та же задача о точке Нагеля.
15. Можно ли придумать аналогичный теореме ван Обеля результат для трёх отрезков, пересекающихся вне треугольника? Если да, сформулируйте его и докажите.
Замечания
(1) Теорема Чевы допускает небольшое обобщение. Именно, во втором из случаев расположения точек К, М, N равенство = 1 будет
соблюдаться и тогда, когда все три прямые (АК), (ВМ) и (CN) параллельны. Разберитесь в этом сами.
(2) Как и теорему Менелая, теорему Чевы можно формулировать на векторном языке: пустьд ан треугольник АВС и три точки К, М, N, такие что вк' = AiКС, Сл/ = ЛгЛ/Л, А1$ = АзЛгА Тогда для того чтобы три прямые (АК), (ВМ) и (CN) проходили через одну точку или были все параллельны, необходимо и достаточно, чтобы А1А2А3 = 1.
16*. Найдите векторное доказательство теоремы Чевы.
(3) Двойственность между теоремами Менелая и Чевы видна невооружённым глазом, однако всё же заметьте, что в векторной формулировке теоремы Менелая произведение трёх чисел должно быть равно —1, а в теореме Чевы -1-1. Соответственно, оба случая расположения точек в теореме Менелая невозможны в теореме Чевы, а оба случая, невозможных для теоремы Менелая, реализуются в теореме Чевы.
Кроме того, эти две теоремы следуют одна из другой.
130
17*. Выведите теорему Чевы из теоремы Менелая.
18*. Выведите теорему Менелая из теоремы Чевы.
19*. Выведите теорему ван Обеля из теорем Менелая и Чевы.
Взаимная двойственность теорем Менелая и Чевы хорошо видна из сравнения задачи 7 листка № 7 с задачей 5 этого листка.
Листок № 9
Замечательные точки и линии в треугольнике
Идея, применённая однажды, порожда-ет искусственный приём; применённая два-жды, она становится методом.
Г. Полил, Г. Сеге
Мы полагаем, что вам известны такие понятия: треугольник, биссектриса его внутреннего и внешнего угла, медиана^ высота, медиатри-са. Треугольник всюду будет обозначаться буквами АВС. Мы полагаем, что вам известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности и обозначается буквой /, а радиус этой окружности мы обозначим через г. Медианы треугольника также пересекаются в одной точке, которая, является центром тяжести треугольника и обозначается буквой G. Высоты треугольника также пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром' треугольника и обозначаемой через Н. Наконец, медиатрисы сторон треугольника пересекаются в центре описанной около треугольника окружности О, а радиус этой окружности обозначается R. Мы надеемся, что вы умеете доказывать все перечисленные здесь факты, не являющиеся определениями.
Слова «докажите, что» в формулировках задач мы иногда будем опускать для краткости.
* * *
1. Биссектриса внутреннего угла треугольника и медиатриса противолежащей стороны пересекаются на описанной окружности.
2. Пусть [A7V] — биссектриса внешнего угла А неравнобедренного треугольника ABC, N 6 (ВС). Тогда BN : CN = В А : С А.
3. Проведём биссектрисы всех внешних углов треугольника. Они сами образуют треугольник. Биссектрисы внутренних углов исходного
131
треугольника оказываются высотами построенного. Вершины построенного треугольника равноудалены от всех трёх прямых, содержащих стороны исходного треугольника.
Следовательно, у треугольника есть три вневписанные окружности. Их центры, найденные в предыдущей задаче, обозначаются через /а, Д, /с, а радиусы — ra, гь, гс.
Всюду далее S—площадь треугольника АВС, р—его полупериметр.
4. S = рг = (р - а)га = (р- Ь)гь = (р - с)гс.
5. а) Если М—точка касания вписанной окружности со стороной [АВ], то AM = р — а.
б) Если М — точка касания вневписанной окружности и продолжения [АВ] за точку В, то AM = р.
6„х + х + х = 1. Га ГЪ Гс г
7. S = у/г • га • гь • гс.
8. га+гь+гс = 4 • R +'г.
9. Точки В, С, I, 1а лежат на одной окружности, причём её центр лежит, во-первых, на середине отрезка [Л/2], а- во-вторых, на описанной окружности.
10. Прослушайте на лекции вывод формулы: OI2 = R2 — 2Rr. Затем по памяти запишите его.
11*. Докажите такие формулы:
a) OI2a = R2 + 2Rra-, б) II2 = 4R(ra -г).
12*. Точки, симметричные центрам вневписанных окружностей относительно центра описанной окружности, лежат на окружности радиуса 2R с центром I.
13. Пусть [АР], [CF], [BE] — высоты треугольника, тогда [РА) — биссектриса угла FDE. (Это утверждение является обратным к сформулированному в задаче 3.)
14*. Если прямые (АЛ/), (ВМ) и (СМ) проходят через центры описанных окружностей треугольников ВМС, СМ А и AM В, то М — центр вписанной окружности треугольника АВС. (Это утверждение является обратным к сформулированному в задаче 9.)
Задачи на повторение
15. Пусть р и q—радиусы двух окружностей, проходящих через точку А и касающихся (ВС) в точках В и С соответственно. Тогда pq = R2.
16. Пусть X € [ВС], причём АХ = р, ВХ = т, СХ = п.
132
а) Выразите косинусы двух смежных углов с вершиной в точке X из треугольников АВХ и АСХ, сложите их значения и выведите теорему Стюарта: а(р2 + тп) = Ь2т + с2п.
б) Выразите длину биссектрисы внутреннего угла треугольника через две стороны и отрезки, на которые она разбивает третью.
17. Найдите отношение площади данного треугольника и площади треугольника, стороны которого имеют те же длины, что и медианы данного.
18. Дано: К € [ВС] и ВК : КС = Л1, М € [С А] и СМ : МА = А2, N 6 [АВ] и AN' : NB = A3. Выразить площадь треугольника KMN через Ai, А2, A3 и S — площадь исходного треугольника.
19. Пусть Q — точка описанной окружности, Ai, Bi, Ci — основания перпендикуляров, опущенных из неё на (ВС), (СА) и (АВ) соответственно. Тогда точки Ai, Bi, Ci лежат на одной прямой. (Эта прямая называется прямой Симпсона).
Указание: проверьте цепочку равенств:
ZA1B1C = ZAiQC = ZCiQA = ZC1B1 А.
20—22. Рещите повторно задачи 9, 10, 12 из прошлогоднего листка № 8.
133
Банк дополнительных задач
Я посетил также математическую школу, где учитель преподаёт по такому методу, какой едва ли возможно представить себе у нас в Европе. Каждая теорема с доказательством тщательно переписывается на тоненькой облатке чернилами, составленными из микстуры против головной боли. Ученик глотает облатку натощак и в течение трёх следующих дней не ест ничего, кроме хлеба и воды. Когда облатка переваривается, микстура поднимается в его мозг, принося с собой туда же теорему. Однако до сих пор успех этого метода незначителен, что объясняется отчасти какой-то ошибкой в определении дозы или состава микстуры, а отчасти озорством мальчишек, которым эта пилюля так противна, что они обыкновенно отходят в сторону и выплёвывают её прежде, чем она успеет оказать свое действие.
Дж. Свифт. Путешествия Гулливера
Мы сохраняем обозначения предыдущего листка. Кроме того, обозначим: основания высот &АВС через Ai, Bi и Ci (например, Ai лежит на [ВС], и т. д.), середины сторон треугольника через Аг, Вг и Сг, наконец, середины [АЯ], [ВЯ] и [СЯ] соответственно через Аз, Вз и Сз (Я—ортоцентр). Середина [ОЯ] будет обозначаться за N.
Прямая Эйлера и окружность Эйлера
Теорема 1. Точки С, С, Я лежат на одной прямой, причём G — между О и Я, и OG = |СЯ (прямая Эйлера).
Теорема 2. Точки Ai, Bi, Ci, Аг, Вг, Сг, А3, Вз, Сз лежат на одной окружности (окружность Эйлера или окружность девяти точек). Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера посередине между О и Н (выше ой был обозначен за N).
Теорема 1 вам уже известна. Сейчас мы мимоходом, доказывая теорему 2, найдём новое доказательство теоремы 1.
Вначале будет несколько простых задач.
134
1. Точки Аз, В3, Сз являются центрами окружностей, описанных вокруг треугольников АВ1С1, А1ВС1, А\В±С соответственно. Эти три окружности пересекаются в точке Н.
2. Треугольники АВ1С1, А1ВС1, А±В\С подобны между собой и подобны исходному треугольнику, причём соответственные вершины обозначены одинаковыми буквами.
3. Выразите углы ДА1В1С1 через углы А АВС. (Внимание! Ответ зависит от того, является ли треугольник остроугольным или тупоугольным!)
4. При гомотетии с коэффициентом — | и центром G треугольник АВС переходит в АА2В2С2. Поэтому расстояние от точки О до каждой стороны треугольника вдвое меньше, чем расстояние от противоположной вершины до ортоцентра (например, А2О = |АВ). Этим уже доказана теорема 1.
Перейдём к доказательству теоремы 2. (Стоит иметь в виду, что некоторые второстепенные детали доказательства могут выглядеть в остроугольном и тупоугольном случаях по-разному.)
5. Точки Ai, Аг, Вг, С2 лежат на одной окружности. (Указание: ZB2A1A = ZB2AA1 и ZC2A1A ZC2AA1.)
6. Точки Аз, Вз, Аг, Сз лежат на одной окружности. (Указание: выразите углы четырёхугольника А3В3А2С3 через углы А, В, С.)
7. Точки Ai, Bi, Ci, Аг, Вг, Сг, Аз, Вз, Сз лежат на одной окружности.
8. а) Окружность девяти точек гомотетична окружности, описанной вокруг треугольника АВС, с коэффициентом — | и центром С.
б) Эти же окружности гомотетичны, но уже с коэффициентом | и центром Н.
в) Центр окружности девяти точек лежит в точке N — середине [СВ], а радиус её равен
Теперь теорема 2 полностью доказана. .
Окружность девяти точек иногда называют ещё окружностью Фейербаха. Это связано с тем, что К. Фейербах доказал замечательную теорему про эту окружность.
Теорема 3. (Теорема Фейербаха.) Окружность девяти точек касается вписанной и всех вневписанных окружностей.
Мы не будем доказывать эту теорему.
Педальный треугольник
Пусть W — любая точка внутри треугольника АВС. Основания перпендикуляров, опущенных из W на стороны [ВС], [СА] и [АВ] данного треугольника, обозначим через X, У, Z соответственно»
Определение. Треугольник XYZ называется педальным треугольником треугольника АВС.
Разумеется, можно обобщить это понятие на случай, когда точка W лежит вне треугольника. Ей запрещается лишь (по как будто известным вам причинам) лежать на описанной вокруг треугольника окружности.
135
Два педальных треугольника вам уже встречались: 1) для случая W = Н\ 2) для случая W = О.
9*. Обозначим расстояния от W до А, В и С через х, у, z. Тогда длины ах by cz
сторон педального треугольника равны —, — и —. (Указание: восполь-2R 2R 2R
зуйтесь теоремой синусов.)
А теперь выполним такую операцию. По треугольнику АВС и точке W
построим педальный треугольник XYZ. Для этого треугольника—опять по точке W— построим его педальный треугольник, который естественно назвать вторым педальным треугольником треугольника АВС. Наконец, повторим это ещё раз и получим третий педальный треугольник треугольника АВС.
10*. Теорема 4. Третий педальный треугольник подобен исходному.
Для доказательства надо лишь заметить, что в точке W пересекаются три окружности—описанные окружности треугольников AXZ, BXY и CYZ.
Листок № 10
Применение векторов в стереометрии
Я почесал за ухом, прикинул в уме вектор и произвёл, запинаясь, акустическое воздействие (произнёс заклинание).
А. и Б. Стругацкие. Понедельник начинается в субботу
Напомним некоторые факты.
Определение 1. Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости.
Теорема 1. Пусть ~ct, Ь и — три данных некомпланарных вектора. Любой вектор может быть представлен в виде
причём коэффициенты разложения а, /3 и 7 определены однозначно.
Определение 2. Скалярным произведением векторов и Ь называется число = 1^1-1^1 • cos(^, b ).
Теорема 2. Если в пространстве выбрана прямоугольная декартова система координат, а в ней данные векторы и b имеют координаты соответственно (xa,ya,za) и (хь,уь^ь), то
‘ Ь — Ха • Xf) “Ь Уа ' УЪ 4“
136
Разумеется, можно принять вторую из этих формул за определение, тогда первая станет теоремой. Отметим, что скалярное произведение векторов, вычисленное по формуле теоремы 2, не зависит от выбора системы координат.
Вся теория векторов в пространстве вполне аналогична теории векторов на плоскости, и мы не будем её подробно излагать. Советуем вам повторить прошлогодний материал (листки №№ 4-8), а также внимательно прочитать соответствующий параграф в книге А. В. Погорелова «Геометрия».
Задачи.
Все перечисленные здесь задачи следует решать векторными методами.
1. В треугольной пирамиде ABCD все рёбра имеют одинаковую длину, точка М — середина [АР], точка О—центр треугольника АВС, точка N—середина [АВ] и точка К—середина [СР]. Найти угол между прямыми (МО) и (KW).
2. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна а, точки О и Oi являются центрами оснований АВС и А\В\С\ соответственно. Длина ортогональной проекции [AOi] на (BiO) равна -Я. Определить высоту призмы.
3. а) Пусть известно, что, А$ = Y* Сл1 = тй^С Е (АВ). Определить расстояние от М до (АВ), выразив его через I и nt.
б) В правильной треугольной пирамиде SABC (S— вершина) SA = 4, Р 6 ♦[SC], СР = 3, а расстояние от А до (BD) равно 2. Найти длину АВ.
4. а) Пусть di = 0$ = Т, СЙ = nt, точка С лежит в плоско-
сти (САВ). Найти расстояние от точки М до плоскости (САВ) и угол между (СМ) и плоскостью (ОАВ).
б) В основании прямой призмы ABCDA\B\C\D\ лежит ромб ABCD с углом ZA = 60°. Все рёбра призмы имеют длину а. Точка К является ортогональной проекцией точки Bi на плоскость (PAi Ci), а точка L — ортогональной проекцией точки К на плоскость (PPiCiC). Найти площадь треугольника LDC.
5. а) Известно, что AiBi = l\, А2В2 = h, С1С2 = nt, Ci 6 (А1В1), C2 6 (A2B2). Прямые (AiBi) и (A2B2) — скрещивающиеся. Найти расстояние и угол между этими прямыми.
б) Основание пирамиды SABC является равносторонним треугольником АВС, длина, стороны которого 4\/2. Боковое ребро [SC] перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найти величину
137
угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину [ВС], а другая через точку С и середину [АВ].
6. В правильном тетраэдре ABCD отрезок [МЛГ]Х соединяет середину [АС] с центром грани В DC, а точка Е является серединой [АВ]. Найти угол между прямыми (MN) и (DE)..
7. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD имеет длину а, боковое ребро — длину 2а. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали [ВВ] основания и на боковом ребре [SCJ, параллельные плоскости (SAD).
а*) Один из этих отрезков проведён через точку М 6 [ВВ], такую что DM : ВВ = 1:3. Найти его длину.
б*) Найти наибольшую длину всех таких отрезков.
ЛИСТОК № 11
Векторы и косоугольные координаты
Геометрия не может содержать ничего такого, чего не было бы уже в алгебре или в анализе: ведь геометрические факты — это те же факты алгебры или анализа, изложенные на другом языке.
А. Пуанкаре. Йаука и метод
Определение 1. Пусть на плоскости заданы три точки О, А, В, не лежащие на одной прямой. Числа (а, Ь) называются косоугольными (иначе: аффинными) координатами точки X относительно косоугольной (аффинной) системы координат О АВ, если О& = а • оХ 4- Ь • oi. Точка О называется началом координат, а прямые (ОА) и (ОВ) — осями координат.
Чтобы найти координаты произвольной точки X, нужно провести через X прямые, параллельные (СА) и (ОВ), и на пересечении их с осями координат отметить точки А' и В'. По правилу параллелограмма
= ОА'+ОВ', и остаётся лишь найти такие а и Ь, чтобы О А' = a-CCt, OB' = b • 0%. (Ср. с прошлогодней задачей 2 листка № 5.)
1. Задана косоугольная система координат. Нарисовать множество тех точек X, у которых
а) хотя бы одна из координат равна 1;
138
б) первая координата больше 1, а вторая—не больше 1;
в) сумма координат равна 1;
г) первая координата больше второй по модулю.
2. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника О АВ в косоугольной системе координат О АВ.
3. Были нарисованы: косоугольная система координат О АВ, точка X с координатами (1,1), точка Y с координатами (1,2). Точки А и В стёрли. Восстановить их.
4. Найти координаты точки С в косоугольной системе координат О АВ (каждая клеточка рисунка— квадрат!).
5. Точка С имеет координаты (1,2) в косоугольной системе координат О АВ. Какие координаты
имеет точка В в косоугольной системе координат О АС?
6. Направленный отрезок равен сумме направленных отрезков и О?. Как найти координаты Z в косоугольной системе координат О АВ, зная координаты точек X и У? Как найти координаты точки W, если OV& = к ОХ, а координаты точки X и число к известны?
7. Пусть в пространстве заданы точки О, А, В, (7, не лежащие в одной плоскости, X — произвольная точка пространства. Докажите, что числа а, Ь, с, такие что О^ = аО1 + b • 0$ •+* с ♦ 0(5, существуют и определяются однозначно. Придумайте им название.
Аффинные задачи
Мы называем задачу аффинной, если она допускает векторное решение с использованием только таких понятий, как
' сумма векторов;
разность векторов;
произведение вектора на скаляр.
В этих задачах никогда не упоминаются скалярное произведение векторов и связанные с ним понятия (модуль вектора, угол между векторами, ортогональная проекция вектора). Однако отношение модулей коллинеарных векторов упоминаться может.
С образцами таких задач вы уже сталкивались. Аффинными являются все задачи из прошлогоднего листка № 5 (за исключением 4, 5, 10, 13, 16), задачи 4 и 6-9 листка № 8. (Прежде чем читать дальше, непременно проверьте, умеете ли вы сейчас их решать; если нет, то не читайте дальше.) Аффицными являются также теоремы Менелая, Дезарга, Чевы и ван Обеля и многие задачи, их использующие.
139
Если аффинная задача формулируется не на векторном, а на традиционном геометрическом языке, то в её формулировке могут присутствовать такие понятия, как
точки и прямые;
принадлежность нескольких точек одной прямой;
прохождение нескольких прямых через одну точку;
параллельность и непараллельность прямых;
отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой;
отношение длин отрезков, лежащйх на параллельных прямых, и понятия, выражающиеся через перечисленные, а также аналогичные понятия из стереометрии (какие?). Другие понятия (длина отрезка, отношение длин непараллельных отрезков, перпендикуляр, величина угла, окружность и т.п.) не могут упоминаться в аффинной задаче, так как не могут быть должным образом переведены на векторный язык.
Практически во всех аффинных задачах можно применять косоугольные координаты: выбрать два неколлинеарных (три некомпланарных) вектора за базис и все остальные разложить по выбранным. Коэффициенты разложения иногда удаётся найти немедленно; если же не ясно, как их найти, то следует обозначить ненайденные коэффициенты буквами и продолжать работать так, как если бы эти коэффициенты были известны, в надежде, что потом как-нибудь по ходу решения их удастся отыскать (в этом случае говорят о методе неопределённых коэффициентов).
Метод косоугольных координат применим всегда; однако — и такова судьба всех слишком общих методов — он отнюдь не всегда оказывается самым удобным методом.
Метод центров масс
Определение 2. Пусть Ai, А2,..., Ап — заданные точки, mi, m2,..., тп — заданные числа. Точка Р называется центром масс точек Ах, А2, ..., Ап, несущих массы mi, m2, . ♦ 4mn, если справедливо равен-' ство mi • PAi + m2 • РА% Ч-h mn • РАп = 7?.
8. а) Докажите, что центр масс может быть только один.
б) Пусть О — произвольная точка плоскости. Докажите, что выполняется равенство
mi • ОAi Ч- m2 • ОА2 Ч- • • • Ч- mn • ОАп _
mi Ч- m2 Ч---И тп .
140
Это равенство позволяет найти центр масс системы точек, и притом независимо от выбора точки О. 1
Заметьте, что с точки зрения геометрии, «массы» могут быть и отрицательными; требуется лишь, чтобы сумма их всех не равнялась нулю. Если mi = m2 = • • • = тп = 1, то точку Р иногда называют центром тяжести точек Ai, А2, ..., Ап.
9 (Теорема о группировке точек). Докажите, что центр масс системы точек Ai, А2, ..., An, Bi, В2, ..., Вп, несущих соответственно массы mi, m2, ..., тп, к±, к2, , кп, совпадает с центром масс двух
точек Р и Q, где Р — центр масс точек Ai, А2,..., Ап, наделённый массой mi 4-т2 4--hmn, a Q — центр масс системы точек Bi, В2, ..., Вп,
наделённый массой fci 4- 4-----1- кп.
10. Докажите, что центр масс пары точек А и В, несущих массы т и к, лежит на [АВ] и делит его в отношении считая от точки А.
11. Где находится центр тяжести трёх точек А, В, С?
Задачи на метод центров масс
12. Докажите, что как бы ни были расположены точки А, В, С, D, три отрезка, соединяющие середины отрезков [АВ] и [СВ], [АВ] и [ВС], [АС] и [ВВ], имеют общую точку. (На самом деле эта общая точка является серединой каждого из трёх упомянутых отрезков и центром тяжести системы точек А, В, С, В.)
13. Пусть ABCDEF — шестиугольник; Ai, Bi, Ci, Bi, Bi, Fi —последовательно середины его сторон. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников А1С1В1 и B1B1F1 совпадают1.
14. На прямых (АВ) и (СВ), произвольно расположенных в пространстве, лежат точки А'и С', отсекающие соответственно от направленных отрезков и С В одну и ту же долю. На прямых (ВС) и (АВ) лежат точки В' и В', отсекающие от направленных отрезков ВС и АВ одну и ту же долю. Докажите, что прямые (А'С') и (В'В') обязательно пересекутся.
15. Каждая сторона четырёхугольника ABCD разделена на три равные части. Через те точки деления сторон [АВ] и [АВ], которые ближе других расположены к вершине А, проведена прямая. Аналогичным образом, через точки деления, ближайшие к вершинам В, С, В, проведены ещё три прямые. Докажите, что центр тяжести четырёхугольника, образованного этими четырьмя прямыми, совпадает с центром тяжести четырёхугольника ABCD.
16. Если вы до сих пор не нашли векторных доказательств теорем Менелая и Чевы, то сделайте это теперь!
141
Для разнообразия попробуйте одну доказать методом косоугольных координат, а другую — методом центров масс.
17. Просмотрите заново решённые вами задачи 8-15. Вы, наверное, решили их для случая, когда все данные точки лежат в одной плоскости. Останутся ли утверждения этих задач справедливыми для пространственного случая? Изменятся ли ваши решения?
А если какую-то задачу вы сразу решили для пространственного случая, то подумайте, годится ли ваше решение для плоского случая.
4 18*. В круглом диске радиуса 7?, сделанном из однородного по плотности материала, имеется круглая же дыра радиуса г, центр которой смещён на d от центра диска. Найти центр тяжести диска.
Листок № 12
КОМПОЗИЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПЛОСКОСТИ
Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями; лучший математик тот, кто устанавливает аналогии доказательств; более сильный математик тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии.
(7. Банах
В этом листке мы будем считать известными следующие понятия: преобразование плоскости (взаимно-однозначное отображение плоскости на себя);
преобразование подобия (такое преобразование плоскости, которое изменяет все расстояния одновременно в к раз);
движение (преобразование плоскости, сохраняющее расстояния);
параллельный перенос, заданный направленным отрезком ~ct (обозначается Т^);
осевая симметрия относительно прямой I (обозначается Si); центральная симметрия относительно точки О (обозначается Zq)\ поворот вокруг точки О на угол а (обозначается 7?g);
гомотетия с центром О и коэффициентом к (обозначается Hq); тождественное преобразование (обозначается Е);
композиция двух преобразований (обозначается знаком о ); преобразование плоскости, обратное данному.
142
1. Прежде чем решать задачи этого листка, повторите все определения и задачи из прошлогодних листков №№ 10, 11.
Это очень важная работа. Не проделав её, вы не сможете двигаться дальше.
2. Верно ли, что для любых преобразований /, g, h выполняются равенства
a) f ° 9 = 9 0 /; б) (/ О д) о h = f о (д о Л)?
3. а) Докажите, что Т, S, Z, R и Н имеют обратные отображения; укажите их.
б) Докажите, что Г, S, Z, R и Н действительно являются преобразованиями плоскости. Найдите среди них движения. Найдите преобразования подобия.
4. Найдите композицию:
а) Т-$ и T-g-, б) Za и ZB', в) Si и Sm-, г) Zo и
д) п центральных симметрий;
е) (7?§ о Si) о (Si о R& ж) Г* о Я* о Т_^.
5. Приведите пример движения, отличного от Г, J?, S.
6. Найдите кратчайший маршрут из точ- А ки А в точку В (см. рис.), если улицу можно переходить только перпендикулярно бровке тротуара.
7. В угол величиной а, образованный двумя зеркалами, влетел солнечный луч и не попал в вершину до первого отражения.
а) Докажите, что он вылетит обратно.
б) При каких значениях а он вылетит в противоположном направлении?
8. Постройте:
а) пятиугольник; б) семиугольник по серединам сторон.
9*. В единичном квадрате разбрызгали краску, причём расстояние между любыми двумя окрашенными точками не равно 0,001. Докажите, что площадь, забрызганная краской, не превосходит 0,34.
10. а) Докажите, что Н и Т переводят любую прямую в прямую, ей параллельную.
б) Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
11. Докажите, что композиция — ЭТО
параллельный перенос, если fci • &2 = 1;
гомотетия Hq1*2, где О € (АВ), если ki • к2 / 1.
143
Вторая часть утверждения задачи 11 называется иногда теоремой о трёх центрах подобия (то есть о том, что центр третьей гомотетии лежит на прямой, соединяющей центры двух первых).
12. Нарисованы три окружности разных радиусов. Общие внешние касательные к двум из них пересекаются в точке А, для другой пары — в точке В, а для третьей — в точке С. Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой.
13. Докажите, что
а) Т-$ и Rq представляются в виде композиции двух осевых симметрий бесконечным числом способов;
б) Т-g о Вд = Bg, и постройте О;
в) Вд о — перенос, если а + /3 кратно 2тг; и поворот Bq+/3, где О — такая точка, что Z.OBA = f и ^-ОАВ = f, в противном случае.
Заметьте в заключение, что задачи 10, 11 этого листка по существу равносильны задачам 6, 7 из прошлогоднего листка № 11.
144
Листок № 13
Классификация движений и подобий. Теорема Шаля
Усердный в службе не должен бояться своего незнания; ибо каждое новое дело он прочтёт.
Козьма Прутков. Мысль № 82
Определение 1. Композиция HqoRq поворота и гомотетии с общим центром называется поворотной гомотетией на угол а с коэффициентом к и центром О.
1. Докажите, что:
a) Hq о Jig = Jig о Hq (преобразования Н и R коммутируют);
б) композиция Ид о J?g — поворотная гомотетия. Как найти её центр?
2. а) Пусть прямые (AAi) и (ВВ\) пересекаются в точке F, отличной от A, Ai, В, Bi. Тогда существует ровно одна поворотная гомотетия, переводящая [АВ] в [AiBi], и её центр — это отличная от Р точка пересечения окружностей, описанных вокруг ДРАВ и ДРА1В1.
б) Поворотные гомотетии, переводящие [АВ] в [СР] и [АС] в [ВР], имеют один и тот же центр.
в) При пересечении четырёх прямых получилось Четыре треугольника. Доказать, что их описанные окружности проходят через одну точку.
Определение 2. Композиция Si°T-£ осевой симметрии Si и параллельного переноса Т-g при называется скользящей симметрией вдоль оси I на вектор 7?.
3. а) Если 7^||/, то Si о T-# = Т-$ о Si (преобразования T-# и Si коммутируют).
б) Если то Si о T-# и Т-g о Si — осевые симметрии; постройте их оси.
в) Композиция Si и Т-$ — скользящая симметрия даже при I
4. Если преобразование подобия F имеет
а) три неподвижные точки, не лежащие на одной прямой, то F = Е (теорема о трёх гвоздях);
б) две неподвижные точки А и В, то F = 5(дв) или F = В;
в) ровно одну неподвижную точку О и является движением, то F — поворот вокруг точки О на некоторый угол;
. 145
г*) ровно одну неподвижную точку О, то F — поворотная гомотетия с центром О или зеркальная гомотетия (т.е. Hq о Si, где О 6 /).
5. а) Пусть Ai — образ точки А при скользящей симметрии вдоль оси I. Докажите, что середина [AAi] принадлежит I.
б) Пусть треугольники АВС и А1В1С1 конгруэнтны и противоположно ориентированы (т. е. если вершины первого обходятся по часовой стрелке, то вершины второго — против, и наоборот); докажите, что середины [AAi], [ВBi], [CCi] лежат на одной прямой.
6 (Классификация). Докажите, что
а) движение, не имеющее неподвижных точек — параллельный перенос или скользящая симметрия;
б) преобразование подобия, не имеющее неподвижных точек — параллельный перенос или скользящая симметрия;
в) любое движение есть поворот, параллельный перенос или скользящая симметрия (теорема Шаля);
г*) любое преобразование подобия с неединичным коэффициентом — поворотная или зеркальная гомотетия.
7. Любое движение есть композиция не более чем трёх осевых симметрий.
8. Если многоугольник имеет три оси симметрии, то они пересекаются в одной точке.
9 (Ориентация).
а) Может ли композиция 93 осевых симметрий оказаться поворотом?
б) Пусть композиция п осевых симметрий равна композиции т осевых симметрий. Докажите, что п — т чётно.
10. Две карты Харькова (разных масштабов) положили так, что карта меньшего масштаба целиком уместилась внутри карты большего масштаба^ Докажите, что можно проткнуть обе карты булавкой так, чтобы на обеих была продырявлена одна и та же точка местности.
Последнее утверждение о существовании неподвижной точки у преобразования подобия с неединичным коэффициентом является частным случаем гораздо более общей (и более трудно доказываемой) теоремы Браудера, которая утверждает, что любое непрерывное отображение (т. е. такое, которое близкие точки переводит в близкие) многоугольника в себя имеет неподвижную точку.
Указания к задачам
1. Задача б) сводится к отысканию у преобразования Н\ о Щд непо-движной точки; другими словами, надо найти такую пару точек С и D, что 7?в(С) = D, Яд(Г>) = С.
146
2. a) — это задача на вписанный угол й подобные треугольники.
4. В пунктах б), в) и г) подберите преобразование G так, чтобы композиция G"1 о F имела три неподвижные точки.
5. В пункте б) стоит подействовать на ДА1В1С1 параллельным переносом AiX
Банк дополнительных задач
Начала теории Томсена
Разве это чепуха? — сказала Королева и затрясла головой.— Слыхала я такую чепуху, рядом с которой эта разумна, как толковый словарь!
1 Л. Кэрролл. Алиса в Зазеркалье
1. Известно, что Si о Sm = Sm ° Si. Что можно сказать о прямых I и т? Верно ли обратное?
2. Известно, что Zq ° Si = Si о Zo- Что можно сказать о точке О и прямой /? Верно ли обратное?
3. Известно, что SioSm°Sn = Sn°SmoSi. Что можно сказать о прямых Z, тип? Верно ли обратное?
4. Известно, что Za ° Zo = Zo ° Zb- Докажите, что О — середина [АВ]. Проверьте обратное.
5. Известно, что Za ° Si = Si о Zb- Докажите, что I — медиатриса [АВ]. Проверьте обратное.
6. Известно, что SioSm — SmQSn- Что можно сказать о прямых /, т и п? Верно ли обратное?
7. Известно,, что Za° Zb ° Zc ° Zb = В. Что можно сказать о точках А, В, С, D? Верно ли обратное?
147
Листок № 14
Комплексные числа
Числа делятся на чётные, нечётные и почётные. К последним относятся зачастую мнимые числа.
Ф. Кривин. Учёные сказки
Дадим предварительное определение.
Определение 1. Комплексное число z — это упорядоченная пара действительных чисел х и у. Пишут: z = (х,у). 10
Такое определение позволяет нам сразу ввести геометрическое изображение комплексных чисел. Пусть дана плоскость, и в ней введена прямоугольная декартова система координат Оху; тогда каждое комплексное число может быть нарисовано на плоскости как точка с координатами (я, у). Впоследствии х будет названо действительной частью комплексного числа, а у — мнимой частью; пока же они для нас — абсцисса и ордината точки z.
Комплексное число можно мыслить себе как вектор, отложенный от начала координат, конец которого — в точке (х,у).
Определение 2. Модуль комплексного числа z — это расстояние от точки z плоскости до начала координат. Он обозначается через |z|.
Определение 3. Аргумент комплексного числа z — это угол между лучом [Oz) и положительным направлением оси Ох. Он обозначается arg(z) и определён с точностью до прибавления (или вычитания) любого числа, кратного 2тг. Впрочем, обычно выбирают конкретное значение аргумента, заключенное между 0 и 2тг (или — если удобнее — между —л и тг)11.
Если нам известны х и у, то найти модуль г = |z| и аргумент ср = arg(z) комплексного числа z = (я, у) мы можем по формулам:
г = у/х2 + у2, tg(y?) = -. х
И наоборот, зная г и у?, можем найти хну так (проверьте!):
х = г • cos <р; у = г • sin у?.
10 Впоследствии мы уточним это определение и введём новые способы записи.
11 Конечно, модуль и аргумент комплексного числа — это не что иное как полярные координаты точки z плоскости.
148
1. a) z = (1, \/3). Найти Т 1Л Лр:
б) Пусть г = 3, = 45°. Найти х тлу.
г * * *
Определим действия над комплексными числами.
Определение 4. (Сложение комплексных чисел.) При сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и отдельно ординаты.
Таким образом, сложение комплексных чисел происходит как сложение векторов: если zi = (xi,t/i) и z2 = (#2,2/2), то z\ 4- z2 = (a?i 4-^2,3/1 +2/2).
Сложение комплексных чисел обладает такими свойствами:
(АЛ) Zl + Z2 = Z2 + Z1.;
(А.2) (zi 4- z2) 4- z3 = Zi 4- (z2 4- z3);
(А.З) существует комплексное число, называемое ноль, обозначаемое О и равное (0,0), оно обладает таким свойством: z4-0 = z при всех z;
(А.4) для всякого комплексного числа z — (ж, у) существует единственное противоположное к нему число, обозначаемое —z и равное (—х, —у), оно обладает таким свойством: z 4- (—z) = 0.
Последнее свойство позволяет определить вычитание комплексных чисел по правилу: zi — z2 = zi 4- (—Z2).
* * *
Определение 5. (Умножение комплексных чисел.) При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Умножение обладает такими свойствами:
(М.1) Zi -z2 = z2 - Zi;
(М.2) (zi • z2) • z3 = zi • (z2 • z3);
(М.3) существует единственное комплексное число, называемое единицей, обозначаемое 1 и равное (1,0), оно обладает таким свойством: z ♦ 1 = z для любого z;
(М.4) для любого комплексного числа z, кроме 0, существует единственное комплексное число, называемое обратным к z, обозначаемое z-1 и обладающее таким свойством: z • z~1 — 1.
149
Последнее свойство позволяет определить деление комплексных чисел по правилу: — = z • w-1.
Кроме того, дополнительно имеет место свойство12
(А-М) (zi + z2) • z3 = zi • z3 •+* z2 • z3.
2. Умножьте a) (1,2) на (2,1); б) (1,\/3) на (1,—х/З).
3. Проверьте, исходя из определений, свойства (А.1)-(А.4) и (М.1)-(М.4) (ссылки на ранее сделанные проверки принимаются). Укажите, как найти модуль и аргумент частного, зная модули и аргументы делимого и делителя.
* * *
Разберёмся с тем, что происходит при умножении комплексных чисел в некоторых частных случаях. *
4. Пусть оба сомножителя лежат на оси абсцисс, z± = (a?i,0) и Z2 = (#2, 0). Тогда Z1 • Z2 = (#1 • Х2ч 0).
Видно, что такие комплексные числа перемножаются так же, как и соответствующие действительные числа. Так как они ещё и складываются точь-в-точь как действительные числа, то приходится признать, что они ничем не отличаются от действительных чисел. Впредь мы будем отождествлять действительное число х с комплексным числом (я, 0) (для двух действительных чисел, 0 и 1, такое отождествление фактически состоялось выше).
Второй частный случай.
5. Пусть из двух сомножителей z^ и z2 один равен действительному числу, zi = (а,0) = а, а второй произволен, z2 = (ж,?/). Тогда
а ♦ z = (а • х,а ♦ у).
Значит, комплексные числа умножаются на действительные точно так же, как векторы на скаляры.
Третий и последний частный случай.
Определение 6. Число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается буквой г.
Умножим i на себя. Так как |г| = 1, arg(z) = тг/2, то у квадрата числа i модуль будет равен 1, а аргумент тг, то есть, i в квадрате равно — 1.
Как видим, число i обладает замечательным свойством, какому нет аналогов среди действительных чисел.
12 Буквы А и М, используемые при нумерации свойств, суть начальные буквы английских слов Addition (сложение) и Multiplication (умножение).
150
Определение 7.\Числа вида a i (где а — действительное) называются (чисто) мнимыми числами. Их координаты: (0, а).
6. Квадрат любого чисто мнимого числа является неположительным действительным числом.13
* * *
Пусть теперь z = (я, у) — любое комплексное число. Напишем цепочку равенств: z = (х, у) = (х, 0) 4- (0, у) = х + i • у (проверьте каждый знак равенства в этой выкладке). Как видим, любое комплексное число есть сумма действительного числа с чисто мнимым. Исходя из этого, получаем
Определение 8. Число х называют действительной (иначе: вещественной) частью комплексного числа z и пишут: х — Ji(z); у называют мнимой частью комплексного числа z и пишут у = 9(z).
Запись z = х 4- iy называют алгебраической формой комплексного числа z.
Написав z = х 4- iy и вспомнив выражения х и у через модуль г и аргумент комплексного числа z, получим:
z = х 4- iy = г - (cos 4- i • sin ip).
Определение 9. Запись z = х 4- iy = г • (cos <р 4 i • sin ср) называется тригонометрической формой комплексного числа z.
Наконец, научимся перемножать алгебраически записанные комплексные числа. Имеем: zi = 4- i • г/i, Z2 = #2 4- i -уъ,
zi • Z2 = (n • (coscpi 4- i • sin<pi))(r2 • (cos<p2 4- i • sin<£2)) =
= (по определению 5) = rir2 • (cos(<£i 4- y?2) 4- i sin(<£i 4- <^2)) =
= nr2 • ((costal • cos<£2 — sin<£i • sin<^2) 4-
4- i • (sin<£i • cos<£2 4- cos^>i • siny>2)) =
= (^1 • X2 - У1 • У2) 4“ i(yi • x2 4- Xx • У2).
Последний результат выражает координаты произведения через координаты сомножителей. Из него следует, что комплексные числа можно перемножать как обычные двучлены, вспоминая лишь под конец, что г, умноженное на г, даёт —1.
7. Докажите свойство (А-М).
13 Для самих же комплексных чисел нельзя говорить ни о положительности, ни об отрицательности, ни сравнивать их при помощи операций типа «больше-меньше». Корректные определения таких операций для комплексных чисел не могут быть введены.
151
Описание основных свойств комплексных чисел закончено.
Окончательное, уточняющее 0.1, определение выглядит так: «Комплексные числа суть упорядоченные пары действительных чисел, над которыми операции производятся по указанным выше правилам. При этом справедливы указанные выше свойства».
Сформулируем в заключение несколько свойств комплексных чисел; они тривиально следуют из определений, но тем не менее полезны. Так, всякое комплексное число представляется в виде линейной комбинации чисел 1 и г, и притом единственным способом. Ещё: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.
Поскольку все основные алгебраические свойства действительных чисел верны и для комплексных, то и все факты из алгебры, известные вам и вытекающие только из свойств (А.1)-(А.4), (М.1)-(М.4) и (А-М), верны и для комплексных чисел. Сюда относятся формула корней квадратного уравнения, так называемые тождества сокращенного умножения и др.
8. Решите квадратные уравнения:
a) z2 + 3 = 0; б) z2 - 2z + 2 = 0; в) z2 + z 4-1 = 0.
* * *
Определение 10. Пусть z = х 4- гу — комплексное число. Число х — iy называется сопряжённым к z и обозначается буквой z с чертой наверху (z). Сопряжённое к вещественному числу равно ему.
9. Докажите, что
a) zi 4- z2 = z? 4- zj;
б) zfz2 = zT • ^2; .
в) если w — сопряжённое к z, то z — сопряжённое к w;
г) сумма двух взаимно сопряжённых чисел есть число вещественное;
д) произведение двух взаимно сопряжённых чисел есть число вещественное. z
е) Если сумма двух комплексных чисел оказалась вещественной, то они ещё не обязаны быть сопряженными. Также, если произведение двух комплексных чисел есть число вещественное, то сомножители тоже не обязаны быть взаимно сопряжёнными. Но уж если и сумма, и произведение двух комплексных чисел вещественны, то эти числа либо сопряжённые, либо сами вещественные.
152
* * *
10. Выведите формулу, выражающую частное комплексных чисел через делимое и делитель, если все числа представляются в алгебраическом виде.
Когда хотят на практике разделить одно комплексное число на другое, действуют одним из трёх возможных способов: либо по определению, через модуль и аргумент, либо по формуле, выведенной вами только что, либо — и это предпочтительнее всего — домножают и делимое, и делитель на сопряжённое к делителю.
11. Вычислите:
а) (2 -Ь Зг) • (5 — 7г), по формуле, выведенной перед задачей 7;
б) (1 4- г) • Зг, пользуясь определением умножения;
в) пользуясь определением, через модуль и аргумент;
г) ^2 5~Ь пользуясь формулой из задачи 10;
д) по методу, указанному перед этой задачей.
12. Изобразите на комплексной плоскости, где находятся числа z, удовлетворяющие таким соотношениям:
a) SR(z) = 0; б) Q(z) > -2; в) ^(z) = 2 • 3£(z) 4-1; г) |z| = 2;
д) |z - 1| = 3; е) |z 4- 2 4- Зг| < 1; ж) arg(z) = тг/6; з) = 2; и) |z - 1| 4- |z - г| = 3; к) |z - г| - |z 4- 2г| < 1; л) 3?(z) = |z - 1|.
* * *
На уроках по началам анализа вы рассматривали функции действительного переменного. Подобно этому, можно рассматривать функции комплексного переменного — функции, еАтределённые на всей комплексной плоскости (или на её части) и принимающие значения в комплексной плоскости (или, если угодно, в её подмножестве). Такие функции записывают в виде w = f(z), где f — имя функции, axz = х 4- iy и w = и 4- w — комплексные числа.
Все преобразования плоскости могут быть теперь записаны как взаимно-однозначные отображения всей комплексной плоскости на себя. Например, параллельный перенос на вектор 7? = (р, q) есть не что иное, как функция комплексного переменного: /(z) = z 4-а = z + p + iq.
К сожалению, графики функций комплексного переменного трудно изобразить (для них нужнр четырёхмерное пространство). Именно поэтому при изучении функций комплексного переменного часто пользуются. геометрической формой описания — каждую такую функцию рассматривают как отображение плоскости в себя (эти отображения не обязаны быть взаимно-однозначными).
153
13. Среди перечисленных ниже функций комплексного переменного назовите известные вам из геометрии.
a) f(z) = z + a,
б) /(2) = h- z, где к — действительное число;
в) /(z) = z; г) /(z) = 2z + 1;
д) /(z) = с • z, где |с| = 1, то есть с — cos ер + i • sin 99;
е) /(z) = b • z, где b — любое комплексное число.
14. Запишите в виде функций комплексного переменного
а) ортогональную проекцию на ось х\
б) симметрию относительно оси у,
в) центральную симметрию с центром А;
г) поворот на угол у? относительно точки А;
д) гомотетию с коэффициентом к и центром А;
е) скользящую симметрию относительно прямой у = 3 со сдвигом на 1 влево;
ж) поворот, который переводит ось х в прямую у = 2х + 1;
з) симметрию относительно прямой 2х + 1.
* * *
Комплексные числа, записанные алгебраически, трудно возводить в степени. Но для тригонометрически записанных комплексных чисел формула N-й степени прямо следует из определения умножения. Она называется формулой Муавра:
(г • (cos ep + i • sin ep))N = rN • (cos Nep 4- i • sin Nep).
15*. Как извлечь корень N-н степени из комплексного числа? (Предостережение: имеется N различных значений этого корня.)
154
Возможная тематика лекций
Всход наук не в нашей власти.
Мы их зёрна только сеем.
А. К. Толстой
К листку 2. Теорема о квадратах расстояний.
Пусть уь) — координаты данной точки Ак, тогда квадрат расстояния МАк равен (X — Хк)2 + (Y — у к)2, где (X, У) — координаты текущей точки М из искомого ГМТ. Складывая выражения такого вида, умноженные на А&, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем уравнение такого вида: dX2 + dY2 + ах + by + с = 0, причём d равно сумме всех Аг, i = 1, ..., п.
Если d 0, то это уравнение преобразуется к виду:
. (x+S)2+(^+^)2=const’
которое в зависимости от знака правой части определяет окружность, или точку, или пустое множество.
Если d = 0, то остаётся уравнение вида ах+Ьу+с = 0, которое определяет прямую, если только а и b не обратились в 0 одновременно. В противном случае ему удовлетворяет вся плоскость (если окажется, что а = b = с = 0) или (при а = b = 0, с 0) пустое множество.
К листку 3. Теорема о расстояниях до прямых.
Пусть Q будет выбранный кусок плоскости и I — одна из ограничивающих его прямых, а ах + Ьу + с = 0 — её уравнение. Разделим все его коэффициенты на корень квадратный из суммы квадратов а и b и тем получим новое уравнение такого же вида. Домножив, если требуется, коэффициенты уравнения прямой на (—1), добьёмся того, чтобы значение выражения ах + by -4- с для внутренних точек куска Q было положительно.
Пусть а», bi и а обозначают теперь уже новые, преобразованные таким образом коэффициенты уравнения прямой Ц. Пусть М будет произвольная точка куска Q, а (X, Y)—её координаты, тогда расстояние от М до Ц равно в точности aiX + biY + а. Сложив п выражений такого вида, взятых с коэффициентами А*, мы получим из равенства (*): АХ -I- BY + С = 0, где А, В и С — константы, М = (X, У) € Q. Этому у равнению, удовлетворяет или прямая (если А и В не обратились в 0 одновременно), или вся плоскость, или пустое множество. В пересечении с Q мы поэтому можем получить в первом случае луч, отрезок, точку, целую прямую или пустое множество, во втором случае весь кусок Q, а в третьем — заведомо пустое множество.
155
К листку 4. Линии уровня.
С линиями уровня ученики давно и хорошо знакомы из курса географии. На физических картах изображают части земной поверхностней проводят линии, соединяя точки с высотой 200 м над уровнем моря, с высотой 500 м наД уровнем моря и т. д., а также линии, соединяющие точки океана, где глубина 1000 м, где глубина 3000 м и т. д. Граница моря и суши, конечно, тоже является линией уровня (какого?). Разница между математикой и географией здесь только в том, что в математике изучаются функции, определённые на плоскости или на её подмножестве, а в географии — функции на сфере.
Другой способ изучения числовых функций на плоскости мог бы состоять в построении их графиков. Такие графики были бы трёхмерными, поскольку значение функции пришлось бы откладывать по вертикальной оси. Аналогом такого графика функции является реальный рельеф Земли; каждый знает, что нарисовать карту проще, чем изготовить рельеф.
Линия уровня, таким образом, — это «линия постоянства» данной функции. Чтобы получить её из графика функции, нужно срезать график данной функции горизонтальной плоскостью на данной высоте (на данном уровне) и спроектировать линию среза на плоскость хОу.
Кстати заметим, что высота точки над уровнем моря — это не единственная функция, изучаемая в географии с помощью линий уровня. Рассмотрим, например, функцию, сопоставляющую точке Земли атмосферное давление в ней (на такой-то день и час). Эту функцию тоже всегда исследуют с помощью линий уровня, называемых изобарами; см. прогноз погоды. Или рассмотрим функцию «Средняя температура января в данной местности по многолетним наблюдениям»; её линии уровня называются изотермами.
В курсе геометрии мы столкнулись с несколькими функциями на плоскости. Изучая геометрические места точек, мы составили себе азбуку; каждой её букве (кроме А и Б) соответствует функция на плоскости, и сейчас мы нарисуем их трёхмерные графики и их карты линий уровня.
(Рисунки и их краткие описания приводятся по книге Васильева и Гутен-махера «Прямые и Кривые». См. рисунки на след, стр.)
(В) f(M) = р(М,/). График—двугранный угол, линии уровня—пары параллельных прямых.
(Г) f(M) = МО. График— конус, линии уровня— концентрические окружности.
(Д) f(M) = Z.AMB. График — гора с вершиной в форме горизонтального отрезка, у концов которого — вертикальные обрывы.
(Е) f(M) = МА2 —МВ2. График — плоскость, линии уровня — параллельные прямые.
(Ж) f(M) = МА2 + МВ2. График—параболоид, вращения, линии уровня — концентрические окружности.
(И) f(M) = МА/МВ. График имеет около точки А впадину, около В — поднимается к бесконечности. Линии уровня — непересекающиеся окруж-
156
в
г
в в
Д Е
157
158
ности, центры которых лежат на (АВ), причём каждые две из них имеют радикальной осью одну и ту же прямую — медиатрису [АВ].
(К) f(M) = Ь). При беглом осмотре этой поверхности мо-
жет показаться, что она состоит из четырёх кусков плоскости. Однако это не так. Она существенно искривлена.
Эта поверхность состоит из двух частей. Первая образована прямой, вращающейся по часовой стрелке (если смотреть сверху) от положения прямой I2 до li. При этом движущаяся прямая одновременно опускается от бесконечности до нулевого уровня. Эта часть поверхности похожа на винтовую лестницу (только у последней, в отличие от нашей поверхности, скорость вращения пропорциональна скорости спуска). Вторая часть поверхности аналогично образована вращением прямой по часовой стрелке от li к Z2, но при этом уже прямая поднимается от нулевого уровня к бесконечности.
Если отразить вторую часть поверхности относительно нулевой горизонтальной плоскости, то получится широко известная поверхность — гиперболический параболоид. По форме она напоминает седло или перевал в горах: справа и слева — вершины, спереди и сзади — долины. Но этот гиперболический параболоид рассматривается с непривычной точки зрения: он повёрнут так, что одна из прямых, лежащих на нём, вертикальная.
(Л) f(M) = p(M,li) -|- р(М,Ь). График—четырёхгранный угол, линии уровня — прямоугольники с диагоналями, лежащими на li и Ь-
* * *
- Если проводить линии уровня через равные промежутки по высоте, то по густоте этих линий можно судить о скорости возрастанйя или убывания функции.
Линии уровня позволяют иногда решитв задачи следующего типа. Пусть дана кривая 7 и функция /; требуется йайти точку кривой, в которой данная функция достигает максимума (или минимума). Для решения рисуют карту линий уровня и ищут ту линию, которая касается данной кривой. Точку касания можно подозревать в том, что она и есть искомая. В качестве иллюстрации можно решить этим способом задачу об отыскании точки на данной прямой, из которой данный отрезок виден под наибольшим углом (задача 19' листка 2 из части I).
К листку 6 (1). Асимптоты гиперболы. Поворот равнобочной гиперболы на 45 градусов.
Пусть дана гипербола, уравнение которой . = 1- Разрешая
это уравнение относительно у в первой координатной четверти, пишем: у = %Vx2 — а2. Докажем, что прямая у = -я является асимптотой этой полуветви гиперболы. Пусть М будет произвольная точка гиперболы, (ж, у) — её координаты. Пусть Р будет проекция точки М на асимптоту, a N будет точка асимптоты, абсцисса которой равна х. Мы должны доказать, что МР —> 0. Вместо этого мы сейчас докажем, что MN —> 0. Действительно, х—>сю х—>оо
159
имеем: MN = уя —у = -ж — — а2. Сейчас не ясно, к чему стремится эта
разность с ростом я, так как оба её члена по отдельности стремятся к оо. Преобразуем эту разность, домножив на сопряжённое. Получим:
MN =
b2
+ £у/х2 - а2
Вот теперь видно, что с ростом х знаменатель стремится к оо, а потому MN —> 0. Поскольку 0 MP MN, то и МР при достаточно больших х X —>оо
окажется меньше любого наперёд заданного числа.
* * *
Из курса математики предыдущих лет школьники знают, что гипербола—это кривая, определяемая уравнением ху = const и теперь у них закономерно возникает вопрос, почему две разные кривые одинаково называются и уж не обманули ли их. Теперь, однако, можно поговорить о том, что та и эта гиперболы очень похожи: у обеих есть центр симметрии, две оси симметрии, две асимптоты; правда, у кривой ху = const асимптоты перпендикулярны, но и у новой'гиперболы вида х2/а2 — у2/Ь2 — 1 при а = Ъ асимптоты тоже перпендикулярны (ими являются прямые у = х и у = —х). Мы сейчас докажем, что при повороте равнобочной гиперболы (а = 6; уравнение х2 — у2 = а2) на 45° вокруг начала координат она переходит в «старую гиперболу» ху = const. Для этого нам придётся вывести формулы, по которым преобразуются ко-ординаты точек при повороте.
В декартовых координатах удобно записывать формулы параллельного переноса; для формул поворота удобны полярные координаты. Ими являются: расстояние от данной точки М до начала координат О, обозначаемое г, и угол между [ОМ) и осью Ох, обозначаемый (р. Если при повороте на 45° вокруг О точка М переходит в точку N, то, очевидно, rn = г, pN = у? 4-45°.
Поскольку, очевидно, по полярным координатам г и р декартовы координаты х и у определяются формулами х = г cos у?, у = г sin р, то выводим: xn = rcos(y?-|-45Q) = r(cos<#cos45°—sin у?sin 45°) = \/2(х—у)/2 и, аналогично, yN = \/2(х + г/)/2. Если координаты точки М были связаны соотношением х2 — у2 = а2, то XNyN = (х2 — у2)/2 = а2/2 — const, что и было обещано.
К листку 6 (2). Оптическое свойство параболы.
Пусть А будет произвольная точка параболы, F—её фокус, N — проекция точки А на директрису. По определению, AF = AN. Проведём медиатри-су отрезка [FN]. Докажем, что именно она и является касательной к параболе в точке А. Эта прямая заведомо проходит через А; нужно доказать, что вся парабола лежит с одной стороны от неё. Пусть М будет произвольная точка параболы, отличная от А, и К — проекция точки М на директрису. Так как МА = МК < MN, то точка М лежит в той же полуплоскости относительно проведённой медиатрисы, что и F. *
160
Теперь очевидно, что отрезки [AF] и [A2V] образуют одинаковые углы с касательной к параболе. С точки зрения оптики это означает, что луч света, выпущенный из фокуса параболического зеркала, после отражения пойдёт параллельно оси параболы. \
В заключение можно упомянуть о «Гиперболоиде инженера Гарина», который на самом деле параболоид (или, в крайнем случае, эллипсоид с очень растянутыми фокусами).
К листку 6 (3). Конические сечения.
Пусть плоскость пересекает только одну из полостей конуса и при этом не параллельна ни одной из его образующих. Она разбивает эту полость конуса на две части, одну ограниченную, другую нет, и в каждую из них можно вписать шар.
Пусть Pi и Р2 будут точки касания шаров с плоскостью сечения. Пусть М— произвольная точка сечения; мы докажем, что множество всех этих М есть эллипс с фокусами Pi й Р2. Обозначим М и N% точки касания шаров с поверхностью конуса, лежащие на одной образующей с М. Сразу заметим, что расстояние есть величина, постоянная, не зависящая от выбора точки М. Но поскольку МР\ = MNi, МР2 = то сумма МPi -Ь МР2 =
= MNi -I- МЛГ2 = N1N2 постоянна* а в определении эллипса именно это и требуется.
Случай, когда плоскость сечения пересекает обе полости конуса и не проходит через’ его центр, исследуется точно так же; в сечении получается гипербола. '
, Параболический случай чуть более труден, но поддаётся исследованию теми же методами.
К листку 7. Теорема Менелая.
Выполним дополнительное построение: проведём через точку С прямую параллельно (КМ). Пусть L—точка пересечения её с [АВ]. Поскольку CN : NA = LK : КА и, аналогично, ВМ : МС = В К : KL, то имеем:
АК ВМ C1V_AK ВК LK _ КВ' МС' NA~ КВ’ KL КА~ ’
что и требовалось доказать.
Обратно, пусть дано, что = 1. Проведём прямую (КМ) и на
пересечении её с [АС] отметим точку N*. В силу прямой теоремы Менелая имеем = 1- Следовательно, = %ггт. Так как ещё и NA—CN =
Л. 2W О /V А /V A 2V А
= N'A - CN' = АС, то N = N .
161
К листку 8. Теорема Невы. Теорема ван Обеля.
Доказательство теоремы Чевы методом площадей. Пусть О— точка пересечения AM, BN и СК. Поскольку у треугольников AON и CON равные высоты, то = Поскольку у треугольников ABN и
CBN равные высоты, то, аналогично, Отсюда имеем:
CN_ _ S(ACBN)-S(ACON) _ S(ACOB) m AK _ S(bAOC)
NA “ S(£ABN)-S(&AON) “ S(bAOB)’ ±ичпи ldK KB — SI^BOC) и
- f(Acd-A)- Перемножая, получаем, что $£ = 1.
Доказательство теоремы Чевы методом пропорциональных отрезков. Выполним дополнительное построение: проведём через точку В прямую, параллельную (АС). При пересечении этой прямой с (AM) и (СК) отметим точки Р и Q соответственно. Имеем АК : КВ = АС : QB, ВМ : МС = ВР : АС, CN : NA = QB : ВР. Перемножая, получаем 1. Доказательство теоремы ван Обеля считывается с этого же чертежа. Действительно, при гомотетии с центром О (где О — точка пересечения трёх отрезков [AM], [B2V] и [C2V]) точки A, N и С переходят соответственно в точки Р, В и Q. Поэтому ВО : ON = QP : АС = (QB + ВР) : АС = ВК : КА + ВМ : МС.
К листку 9. Расстояние между центрами вписанного и описанного кругов (Формула Эйлера).
Вычислим степень точки. I относительно описанной окружности. Она равна, с одной стороны, OI2 — Л2, ас другой стороны —BI • ZD, где D — точка пересечения описанной окружности с биссектрисой, выпущенной из вершины В данного треугольника. (Конечно, I Е [ВР]- Сравните это всё с задачей 8 листка 2.)
Заметим, что Z.CID = {3/2 + 7/2 = Z.ICD. Следовательно, &CID равнобедренный и ID = CD. Поэтому
of — R2 -BICD = R2--------r-^ • 2Л • sin = Я2 - 2Rr.
sin f 2
К листку 11. Параллельное проектирование.
Пусть даны две плоскости, а и о', и прямая а, пересекающая обе плоскости. Определим отображение плоскости а на плоскость о', сопоставляя каждой точке А Е а точку А' Е а', такую что (АА')||а. Легко доказывается, что это отображение (называемое параллельным проектированием) обратимо (т,е. образы различных точек различны); что прямая переходит в прямую, причём сохраняется порядок следования точек на ней (связанный с понятием лежать между); что луч переходит в луч, отрезок — в отрезок; что пары параллельных прямых (или отрезков) переходят в пары параллельных же прямых (отрезков); что сонаправленные пары лучей переходят в сонаправленные же пары; что поэтому можно корректно определить и параллельное проектирование векторов. Далее, можно показать, что длины не сохраняются, и отношения длин отрезков сохраняться не обязаны, но всегда
162
сохраняются отношения длин параллельных отрезков или отрезков, лежащих на одной прямой. Углы не сохраняются, и площади тоже, но сохраняются отношения площадей (для треугольников это следует из формулы Герона, а отсюда получаем и для всех прочих фигур).
Теперь ясно, что при параллельном проектировании сохраняются аффинные свойства и только они. Зафиксируем какую-либо фигуру в плоскости а и рассмотрим всевозможные плоскости в качестве а' и всевозможные прямые в качестве а. Все фигуры, которые можно получить из данной параллельными проектированиями, мы будем называть её аффинными образами.
Ученикам можно предложить задачу.
1. Дан произвольный треугольник. Доказать, что среди его аффинных образов найдётся правильный треугольник (то есть требуется подобрать подходящую плоскость и подходящую прямую для удачного параллельного проектирования).
Точно так же среди аффинных образов любого параллелограмма есть квадрат, среди аффинных образов трапеции есть равнобочная трапеция и т. д.
2. Среди аффинных образов любого эллипса есть круг. Эту задачу очень удобно решать, нарисовав цилиндр и рассматривая всевозможные его сечения плоскостями.
3. Эллиптический (также гиперболический, параболический) цилиндр получается так: через все точки данной плоской кривой проводят прямые, перпендикулярные её плоскости. Исследовать сечения этих цилиндров плоскостями.
4. Изменится ли ответ задачи 3, если отказаться от того, чтобы (параллельные друг другу) образующие были перпендикулярны плоскости исходной кривой, и рассмотреть «косые цилиндры»?
Вот метод решения любых аффинных задач. Если и её условие, и то, что требуется найти, можно сформулировать на языке одних только аффинных свойств, то, значит, можно спроектировать задачу так, чтобы её максимально упростить, и решать задачу в проекции. С этой точки зрения свойство медиан пересекаться в одной точке (и делиться там в известном отношении) достаточно доказывать только для равностороннего треугольника! (Потому что если аффинное свойство верно для равностороннего треугольника, то верно и для всякого). Но аналогичные теоремы о биссектрисах и высотах так доказывать нельзя (так как определения биссектрисы и высоты нельзя сформулировать на языке одних только аффинных понятий).
В качестве простого примера можно доказать этим методом, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолжений её боковых сторон, разбивает оба основания пополам. Другие примеры — по вкусу.
163
К листку 13 (1). О движениях собственных и несобственных.
Термин «движение» в геометрии используется не совсем в таком смысле, в каком он принят в физике (и в повседневной жизни). В геометрии он означает произвольное преобразование плоскости, сохраняющее расстояния; в то время как само слово «движение» в нашем понимании ассоциируется с возможностью непрерывно перемещать что-либо. Ясно, что при непрерывном движении твердого тела расстояния между его точками не меняются; но обратного утверждать нельзя. Поэтому геометры иногда пользуются такой терминологией: те движения, которые могут быть реализованы как непрерывные перемещения всей плоскости (рассматриваемой здесь как твердое тело), называются собственными, а остальные — несобственными. Наглядно ясно, что параллельный перенос есть собственное движение (его можно выполнить непрерывно), и поворот тоже; а осевая симметрия не может быть «непрерывно сделана» в плоскости (без выхода в пространство), то есть является несобственным движением.
Строгие определения таковы.
Пусть F—.данное движение. Пусть, далее, при всех t из отрезка [0,1] существует такое F, что
1) Ft — движение, то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния;
2) для всякой точки А плоскости Ft (А) непрерывно зависит от t (это значит, что если е задано, а 6 достаточно мало, то как только |ti — £г| < <$, так сразу расстояние от точки Ft^A) до точки Ft2(A) меньше е);
3) Fo = F;
4) Fi = F;
5) неподвижные точки движения F неподвижны и для всех Ft.14
Тогда F называется собств енным движением.
Заметьте! Движение Ft есть отображение, ставящее в соответствие каждому числу от нуля до единицы преобразование плоскости; но при фиксированном t это Ft будет отображением плоскости на себя.
Например, если F есть параллельный перенос на вектор 7^, то в качестве Ft можно выбрать параллельные переносы на векторы Fof, а если F — поворот на угол а, то в качестве Ft можно выбрать повороты на угол ta вокруг той же точки.
Упражнение для учеников.
1. Проверьте аккуратно, по определению, что
а) параллельный перенос есть собственное движение;
б) поворот есть собственное движение;
в) осевая симметрия не есть собственное движение.
Заметим, что в определении не сказано, что «непрерывное движение» должно совершаться с постоянной скоростью. Поэтому указанные девятью
14 Это предположение, по существу, лишнее, но способно облегчить некоторые доказательства.
164
строками выше способы непрерывно реализовать параллельный перенос (поворот) не являются единственно возможными: с тем же успехом можно было бы взять и, например, Ft = t2^.
2: Проверьте, что
а) композиция двух собственных движении — собственное движение;
б) композиция собственного и несобственного движений есть несобственное движение;
в) композиция двух несобственных движений— собственное движение (воспользуйтесь уже известной классификацией движений).
Теперь можно по-новому взглянуть на понятие ориентации и попытаться определить его с тем, чтобы это свойство сохранялось при собственных движениях и не сохранялось при несобственных.
Выбрать ориентацию—это значит выбрать вокруг какой-нибудь точки направление вращения и объявить его положительным, а противоположное — отрицательным. Ясно, что при симметрии относительно прямой, проходящей через выбранную точку, ориентация меняется на противоположную, а при поворотах вокруг этой точки—сохраняется. Параллельными переносами распространим выбор положительного направления вращения на все точки плоскости. Остальное скучно.
К листку 13 (2). Классификация движений в пространстве.
Три вида движений в пространстве можно считать известными: это параллельный перенос, вращение вокруг оси и зеркальная симметрия относительно плоскости. Так же, как и в плоском случае, можно доказать, что никаких движений пространства, кроме перечисленных и их композиций, не существует. Композиции же эти могут быть вычислены подобно тому, как мы это делали для плоского случая.
Основная теорема гласит, что в пространстве есть всего три вида движений:
1) винтовые движения —композиции вращения вокруг оси с параллельным переносом вдоль этой оси;
2) вращения с переворотом (или зеркальные вращения) — композиции вращения вокруг оси с симметрией относительно плоскости, перпендикулярной этой оси; /
3) скользящие симметрии — композиции симметрии относительно плоскости со сдвигом параллельно этой плоскости.
Частными случаями 1) являются вращения и параллельные переносы, а зеркальная симметрия является частным случаем 2) и 3). Во всех трёх случаях результат не зависит от порядка множителей.
Доказательство этой теоремы проводится классификацией движений по числу неподвижных точек. Так, движение, имеющее четыре неподвижные точки—тождественное. Движение, имеющее три неподвижные точки, оставляет на месте и натянутую на них плоскость и потому является зеркальной симметрией относительно этой плоскости, если только не сводится к
165
предыдущему случаю. Далее, движение, имеющее две неподвижные точки^ оставляет на месте и прямую, на них натянутую, и, как легко видеть, является вращением вокруг этой прямой, если только не сводится к предыдущим случаям.
Движение /, имеющее ровно одну неподвижную точку — вращение с переворотом. Схема доказательства такова. Пусть А — неподвижная точка, Q — произвольная, Р—середина отрезка [Q /(Q)]. Плоскость, натянутая на А, Р и f(P)j будет зеркальной; перпендикуляр к ней в А — осью вращения, а угол между [АР) и [А /(Р)) — углом поворота.
Наконец, пусть у / нет неподвижных точек и /(А) = В. Композиция / с параллельным переносом вХ имеет (по крайней мере одну) неподвижную точку и потому является о^ним из перечисленных выше. Остаётся вычислить композицию их всех с сделать это несложно, и ответ состоит в том, что движение без неподвижных точек есть либо винтовое движение, либо скользящая симметрия.
Подведём итоги в виде таблицы; в первой колонке — число неподвижных точек. Понятия собственного и несобственного движений, как и в плоском случае, вводятся через возможность или невозможность выполнить данное движение непрерывно.
4 Тождественное движение Собственное
3 Зеркальная симметрия Несобственное
2 Вращение Собственное
1 Вращение с переворотом Несобственное
0 Винтовое движение Собственное
0 Скользящая симметрия Несобственное
В заключение — один почти риторический вопрос.
Ясно, что когда мы говорим, что данное движение можно (или нельзя) непрерывно выполнить, то мы должны указывать, в каком именно пространстве это возможно (или невозможно); так, осевая симметрия не может быть непрерывно проведена в плоскости, но легко может быть сделанаг с выходом в трёхмерное пространство: в нём осевая симметрия превращается в поворот на угол 180 градусов вокруг данной оси. (Наглядно это можно себе представить, двигая по столу—и над ним—левую и правую перчатки). Так вот: зеркальную симметрию относительно плоскости нельзя выполнить непрерывно; но так ли уж это фатально?
Одна лекция вне связи с листками. О невозможных построениях.
Если в какой-либо геометрической задаче данных достаточно для построения искомой величины циркулем и линейкой, то их достаточно и для вычисления. На эту идею учеников желательно навести: она, несомненно, будет поддерживать в них веру в свои силы при решении нудных вычислительных задач.
Обратное высказывание (если возможно вычисление, то возможно и построение), увы, ложно. Поэтому уточним исходное высказывание.
166
Предложение. Если в какой-либо геометрической задаче данных достаточно для построения искомой величины циркулем и линейкой, то данных достаточно и для вычисления, причём вычисление может быть Сведено к конечной последовательности таких операций над имеющимися величинами: сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение квадратного корня. Вот теперь обратное предложение тоже будет верно. Выясним, какие вычисления соответствуют каждому построению, выполняемому с помощью циркуля и линейки. С помощью линейки можно: 1) проводить прямую через две данные точки (заметим, что коэффициенты искомой прямой получаются из координат данных точек с помощью лишь четырёх действий арифметики и их комбинаций); 2) отмечать точку при пересечении двух данных прямых. В координатах это сводится к совместному решению уравнений
aix + biy + ci = О, 0-2% + Ь2У + С2 = О,
где di, bi и а даны. Ясно, что х и у выражаются через них с помощью лишь первых четырёх действий арифметики.
С помощью циркуля можно, кроме того:
3) проводить окружность с центром в данной точке, проходящую через данную точку (Это приводит к уравнению
(х — Х1)2 + (у — У1)2 = (Х2 — Я1)2 + (У2 - У1)2,
и опять хватает первых четырех действий арифметики для вычислений.);
4) отмечать точку при пересечении (касании) окружности с прямой (В координатах это сводится к решению системы уравнений вида
ах + by + с = О, (х - с)2 + (у - d)2 = г2.
Для нахождения х и у здесь к четырём действиям арифметики приходится добавлять операцию извлечения квадратного корня.);
5) отмечать точку при пересечении (касании) двух окружностей. В координатах это сводится к системе вида.
(х -С1)2 + (у — di)2 = г2, (х - с2)2 + (у - d2)2 = г%.
Если вычесть одно уравнение из другого, то получится линейное уравнение, и эта система сводится к системе вида, описанного в 4).
Мы перебрали все возможные операции циркулем и линейкой. При этом мы убедились, что каждой из них соответствуют вычисления, сводящиеся к конечной последовательности сложений, вычитаний, делений, умножений и извлечений квадратных корней.
167
Из сказанного следует, что если задача приводит к необходимости извлекать кубические корни, то ей не может соответствовать построение циркулем и линейкой.
Рассмотрим, например, задачу об удвоении куба. Она приводит к необходимости построить отрезок длины \/2а по заданному отрезку длины а, что невыполнимо циркулем и линейкой (но может быть сделано с помощью каких-нибудь других инструментов).
Задача о трисекции угла приводит (в координатах) к необходимости построить отрезок длины R cos а, если дан отрезок R cos За. Так как cos За = = 3cosa — 4 cos3 а, это неосуществимо циркулем и линейкой.15
Задача о построении правильного девятиугольника равносильна построению угла в 40°, что в свою очередь равносильно трисекции угла в 60° и потому неосуществимо.
Задача о построении правильного семиугольника тоже приводит к необходимости решать кубическое уравнение. В самом деле, поместим начало координат в центр правильного семиугольника, а ось абсцисс пропустим через одну из вершин. Пусть a—центральный угол правильного семиугольника. Известно, что сумма векторов, выпущенных из центра семиугольника ко всем его семи вершинам, равна нулевому вектору. В проекции на ось абсцисс это приводит к уравнению
1 + 2 cos a + 2 cos 2a + 2 cos 3a = 0,
которое приводится к кубическому относительно cos a.
Задача о квадратуре круга вообще не сводится к алгебраическим уравнениям и потому «ещё более неразрешима».
В заключение можно рассказать ученикам о теореме, которую доказал К. Ф. Гаусс. Правильный n-угольник может быть построен циркулем и линейкой в том и только том случае, если число п имеет вид п = 2J -ргрг .. -pm, где pi — различные простые числа вида 22 + 1, I = 0,1,2,....
Ученикам можно предложить самостоятельно найти ответы на такие вопросы.
1. Как построить правильный пятнадцатиугольник.
2. Как из невозможности построения правильного девятиугольника вывести, что угол в целое число градусов может быть построен циркулем и линейкой, только если это целое число кратно 3.
15 Мы пользуемся здесь без доказательства теоремой о том, что если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, то у него нет и квадратично-иррациональных корней. Без этой теоремы можно было бы задать вопрос: хорошо, пусть корни нашего кубического уравнения представимы в кубических радикалах; но откуда следует, что эти же корни нельзя представить с помощью одних только квадратных радикалов?
Доказательство этой теоремы можно найти в книге: [14] Ф. Клейн. Элементарная геометрия с точки зрения высшей. Том 2.
168