Автор: Письменный Д.Т.
Теги: математика учебные пособия и учебники по математике высшая математика
ISBN: 978-5-8112-3775-3
Год: 2009
Текст
Д.Т. ПИСЬМЕННЫЙ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
Полный курс
Высшее образование
Д.Т.ПИСЬМЕННЫЙ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
Высшее образование
9-е издание
МОСКВА
АЙРИС ПРЕСС
2009
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73-2
П35
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может переиздаваться
или распространяться в любой форме и любыми средствами,
электронными или механическими, включая фотокопирование,
звукозапись, любые запоминающие устройства
и системы поиска информации,
без письменного разрешения правообладателя.
Серийное оформление А. М. Драговой
Письменный, Д. Т.
П35 Конспект лекций по высшей математике: полный курс /
Д. Т. Письменный. — 9-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. —
608 с.: ил. — (Высшее образование).
ISBN 978-5-8112-3775-3
Настоящий курс лекций предназначен для студентов, изучающих
высшую математику в том или ином объеме в различных учебных заведе-
ниях.
Книга содержит необходимый материал по всем разделам курса высшей
математики (линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, осно-
вы математического анализа), которые обычно изучаются студентами на
первом и втором курсах вуза, а также дополнительные главы, необходимые
при изучении специальных курсов (двойные, тройные, криволинейные
и поверхностные интегралы, дифференциальные уравнения, элементы
теории поля и теории функций комплексного переменного, основы опе-
рационного исчисления).
Доступный, но строгий с научной точки зрения язык изложения, а
также большое количество примеров и задач позволят студентам освоить
курс высшей математики и эффективно подготовиться к сдаче зачетов и
экзаменов.
ББК 22.1я73-2
УДК 51(075.8)
© ООО «Издательство
ISBN 978-5-8112-3775-3 «АЙРИС-пресс», 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................ 15
Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§1. Матрицы........................................... 16
1.1. Основные понятия.............................. 16
1.2. Действия над матрицами........................ 17
§ 2. Определители...................................... 20
2.1. Основные понятия.............................. 20
2.2. Свойства определителей........................ 22
§ 3. Невырожденные матрицы............................. 24
3.1. Основные понятия.............................. 24
3.2. Обратная матрица.............................. 25
3.3. Ранг матрицы.................................. 27
§ 4. Системы линейных уравнений........................ 29
4.1. Основные понятия.............................. 29
4.2. Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли.......................... 30
4.3. Решение невырожденных линейных систем.
Формулы Крамера.................................... 32
4.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса .. 34
4.5. Системы линейных однородных уравнений......... 37
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§5. Векторы........................................... 39
5.1. Основные понятия.............................. 39
5.2. Линейные операции над векторами............... 40
5.3. Проекция вектора на ось....................... 42
5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.
Модуль вектора. Направляющие косинусы.............. 44
5.5. Действия над векторами, заданными проекциями. 45
§ 6. Скалярное произведение векторов и его свойства.... 47
6.1. Определение скалярного произведения........... 47
6.2. Свойства скалярного произведения.............. 48
6.3. Выражение скалярного произведения
через координаты................................... 49
6.4. Некоторые приложения скалярного произведения. 50
§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства.... 51
7.1. Определение векторного произведения........... 51
3
7.2. Свойства векторного произведения.............. 52
7.3. Выражение векторного произведения
через координаты.................................... 53
7.4. Некоторые приложения векторного произведения.. 54
§ 8. Смешанное произведение векторов................... 55
8.1. Определение смешанного произведения,
его геометрический смысл............................ 55
8.2. Свойства смешанного произведения.............. 55
8.3. Выражение смешанного произведения
через координаты.................................... 56
8.4. Некоторые приложения смешанного произведения.. 57
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 9. Система координат на плоскости.................... 58
9.1. Основные понятия.............................. 58
9.2. Основные приложения метода координат
на плоскости........................................ 60
9.3. Преобразование системы координат.............. 61
§10. Линии на плоскости................................ 64
10.1. Основные понятия............................. 64
10.2. Уравнения прямой на плоскости................ 68
10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи... 73
§11. Линии второго порядка на плоскости................ 74
11.1. Основные понятия............................. 74
11.2. Окружность................................... 75
11.3. Эллипс....................................... 76
11.4. Гипербола.................................... 79
11.5. Парабола..................................... 84
11.6. Общее уравнение линий второго порядка........ 86
Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 12. Уравнения поверхности и линии в пространстве..... 90
12.1. Основные понятия............................. 90
12.2. Уравнения плоскости в пространстве........... 92
12.3. Плоскость. Основные задачи................... 96
12.4. Уравнения прямой в пространстве.............. 98
12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи. 101
12.6. Прямая и плоскость в пространстве.
Основные задачи.................................... 103
12.7. Цилиндрические поверхности.................. 104
4
12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности.. 106
12.9. Канонические уравнения поверхностей
второго порядка.................................... 109
Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 13. Множества. Действительные числа.................. 116
13.1. Основные понятия............................. 116
13.2. Числовые множества.
Множество действительных чисел..................... 117
13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки....... 119
§ 14. Функция.......................................... 120
14.1. Понятие функции.............................. 120
14.2. Числовые функции. График функции.
Способы задания функций............................ 120
14.3. Основные характеристики функции.............. 122
14.4. Обратная функция............................. 123
14.5. Сложная функция.............................. 124
14.6. Основные элементарные функции и их графики.... 124
§ 15. Последовательности............................... 127
15.1. Числовая последовательность.................. 127
15.2. Предел числовой последовательности........... 128
15.3. Предельный переход в неравенствах............ 130
15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности.
Число е. Натуральные логарифмы............. 130
§ 16. Предел функции................................... 132
16.1. Предел функции в точке....................... 132
16.2. Односторонние пределы........................ 134
16.3. Предел функции при х —> ос................... 135
16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.).......... 135
§ 17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)................ 136
17.1. Определения и основные теоремы............... 136
17.2. Связь между функцией, ее пределом
и бесконечно малой функцией........................ 140
17.3. Основные теоремы о пределах.................. 141
17.4. Признаки существования пределов.............. 144
17.5. Первый замечательный предел.................. 145
17.6. Второй замечательный предел.................. 146
§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции........... 148
18.1. Сравнение бесконечно малых функций........... 148
18.2. Эквивалентные бесконечно малые
и основные теоремы о них........................... 149
5
18.3. Применение эквивалентных бесконечно
малых функций...................................... 151
§ 19. Непрерывность функций............................ 153
19.1. Непрерывность функции в точке................ 153
19.2. Непрерывность функции в Интервале
и на отрезке....................................... 155
19.3. Точки разрыва функции и их классификация..... 155
19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций................. 158
19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке..... 159
§ 20. Производная функции.............................. 161
20.1. Задачи, приводящие к понятию производной..... 161
20.2. Определение производной; ее механический
и геометрический смысл. Уравнение касательной
и нормали к кривой............................. 164
20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции............................................ 166
20.4. Производная суммы, разности, произведения
и частного функций................................. 167
20.5. Производная сложной и обратной функций....... 169
20.6. Производные основных элементарных функций..... 171
20.7. Гиперболические функции и их производные..... 175
20.8. Таблица производных.......................... 177
§21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных
функций................................................ 179
21.1. Неявно заданная функция...................... 179
21.2. Функция, заданная параметрически............. 180
§22. Логарифмическое дифференцирование................ 181
§ 23. Производные высших порядков......,............... 182
23.1. Производные высших порядков
явно заданной функции.............................. 182
23.2. Механический смысл производной второго порядка .... 183
23.3. Производные высших порядков
неявно заданной функции............................ 183
23.4. Производные высших порядков от функций, заданных
параметрически..................................... 184
§ 24. Дифференциал функции............................. 185
24.1. Понятие дифференциала функции................ 185
24.2. Геометрический смысл дифференциала функции.... 186
24.3. Основные теоремы о дифференциалах............ 187
24.4. Таблица дифференциалов....................... 188
6
24.5. Применение дифференциала
к приближенным вычислениям....................... 189
24.6. Дифференциалы высших порядков.............. 190
§ 25. Исследование функций при помощи производных.... 192
25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях ... 192
25.2. Правила Лопиталя........................... 196
25.3. Возрастание и убывание функций............. 200
25.4. Максимум и минимум функций................. 202
25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке....................................... 205
25.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба... 207
25.7. Асимптоты графика функции.................. 209
25.8. Общая схема исследования функции
и построения графика............................. 211
§26. Формула Тейлора................................ 213
26.1. Формула Тейлора для многочлена............. 214
26.2. Формула Тейлора для прои звольной функции.. 215
Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 27. Понятие и представления комплексных чисел...... 218
27.1. Основные понятия........................... 218
27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел. 218
27.3. Формы записи комплексных чисел............. 219
§ 28. Действия над комплексными числами.............. 221
28.1. Сложение комплексных чисел................. 221
28.2. Вычитание комплексных чисел................ 221
28.3. Умножение комплексных чисел................ 222
28.4. Деление комплексных чисел.................. 223
28.5. Извлечение корней из комплексных чисел..... 224
Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 29. Неопределенный интеграл........................ 226
29.1. Понятие неопределенного интеграла.......... 226
29.2. Свойства неопределенного интеграла......... 227
29.3. Таблица основных неопределенных интегралов... 230
§ 30. Основные методы интегрирования................. 232
30.1. Метод непосредственного интегрирования..... 232
30.2. Метод интегрирования подстановкой
(заменой переменной)............................. 234
30.3. Метод интегрирования по частям............. 236
§ 31. Интегрирование рациональных функций............ 237
31.1. Понятия о рациональных функциях............ 237
7
31.2. Интегрирование простейших рациональных дробей. 244
31.3. Интегрирование рациональных дробей........... 246
§32. Интегрирование тригонометрических функций........ 248
32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка.. 248
32.2. Интегралы типа J sin™ х соя*1 х dx......... 249
32.3. Использование тригонометрических преобразований.... 250
§33. Интегрирование иррациональных функций............ 251
33.1. Квадратичные иррациональности................ 251
33.2. Дробно-линейная подстановка.................. 253
33.3. Тригонометрическая подстановка............... 254
33.4. Интегралы типа J R(x-, Vах2 + bx + с) dx..... 255
33.5. Интегрирование дифференциального бинома...... 255
§ 34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы............ 256
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы ... 259
§ 36. Геометрический и физический смысл определенного
интеграла.............................................. 261
§ 37. Формула Ньютона-Лейбница......................... 263
§38. Основные свойства определенного интеграла........ 265
§39. Вычисления определенного интеграла............... 269
39.1. Формула Ньютона-Лейбница..................... 269
39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной) ... 269
39.3. Интегрирование по частям..................... 271
39.4. Интегрирование четных и нечетных функций
в симметричных пределах............................ 272
§ 40. Несобственные интегралы.......................... 273
40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
(несобственный интеграл I рода).................... 273
40.2. Интеграл от разрывной функции
(несобственный интеграл II рода)................... 276
§ 41. Геометрические и физические приложения определенного
интеграла.............................................. 278
41.1. Схемы применения определенного интеграла..... 278
41.2. Вычисление площадей плоских фигур............ 279
41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой......... 283
41.4. Вычисление объема тела....................... 287
41.5. Вычисление площади поверхности вращения...... 289
41.6. Механические приложения определенного интеграла... 291
§42. Приближенное вычисление определенного интеграла... 298
42.1. Формула прямоугольников...................... 298
8
42.2. Формула трапеций.......................... 299
42.3. Формула парабол (Симпсона)................ 300
Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 43. Функции двух переменных....................... 304
43.1. Основные понятия.......................... 304
43.2. Предел функции............................ 305
43.3. Непрерывность функции двух переменных..... 306
43.4. Свойства функций, непрерывных
в ограниченной замкнутой области................ 307
§ 44. Производные и дифференциалы функции нескольких
переменных.......................................... 308
44.1. Частные производные первого порядка
и их геометрический смысл................... 308
44.2. Частные производные высших порядков....... 310
44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал
функции......................................... 311
44.4. Применение полного дифференциала к приближенным
вычислениям................................... 312
44.5. Дифференциалы высших порядков............. 313
44.6. Производная сложной функции. Полная производная .. 314
44.7. Инвариантность формы полного дифференциала... 316
44.8. Дифференцирование неявной функции......... 317
§45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 318
§ 46. Экстремум функции двух переменных............. 320
46.1. Основные понятия.......................... 320
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума. 321
46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области......................... 323
Глава X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 47. Общие сведения о дифференциальных уравнениях.. 325
47.1. Основные понятия.......................... 325
47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям.................................... 325
§ 48. Дифференциальные уравнения первого порядка.... 327
48.1. Основные понятия.......................... 327
48.2. Уравнения с разделяющимися переменными.... 330
48.3. Однородные дифференциальные уравнения..... 332
48.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли. 334
48.5. Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель..................... 338
9
48.6. Уравнения Лагранжа и Клеро.................. 342
§ 49. Дифференциальные уравнения высших порядков...... 344
49.1. Основные понятия............................ 344
49.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.... 346
49.3. Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков...................................... 349
49.4. Линейные однородные ДУ второго порядка...... 350
49.5. Линейные однородные ДУ n-го порядка......... 353
§ 50. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами......................................... 354
50.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами.................. 354
50.2. Интегрирование ЛОДУ n-го порядка
с постоянными коэффициентами...................... 357
§51. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
(ЛИДУ)................................................. 358
51.1. Структура общего решения ЛИДУ второю порядка.... 358
51.2. Метод вариации произвольных постоянных...... 360
51.3. Интегрирование ЛИДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида............................. 362
51.4. Интегрирование ЛИДУ n-го порядка (п > 2)
с постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида................................. 365
§ 52. Системы дифференциальных уравнений.............. 367
52.1. Основные понятия............................ 367
52.2. Интегрирование нормальных систем............ 369
52.3. Системы линейных ДУ с постоянными
коэффициентами.................................... 372
Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§53. Двойной интеграл................................ 378
53.1. Основные понятия и определения.............. 378
53.2. Геометрический и физический смысл двойного
интеграла......................................... 379
53.3. Основные свойства двойного интеграла........ 381
53.4. Вычисление двойного интеграла
в декартовых координатах...................... 382
53.5. Вычисление двойного интеграла
в полярных координатах............................ 386
53.6. Приложенйя двойного интеграла............... 388
§ 54. Тройной интеграл................................ 391
10
54.1. Основные понятия............................ 391
54.2. Вычисление тройного интеграла
в декартовых координатах.......................... 392
54.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление
тройного интеграла в цилиндрических и сферических
координатах....................................... 395
54.4. Некоторые приложения тройного интеграла..... 398
Глава XII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 55. Криволинейный ин геграл I рода.................. 402
55.1. Основные понятия............................ 402
55.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода.. 404
55.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла
I рода........................................ 405
§56. Криволинейный интеграл II рода................... 407
56.1. Основные понятия............................ 407
56.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода. 410
56.3. Формула Остроградского Грина................ 412
56.4. Условия независимости криволинейного интеграла
II рода от пути интегрирования.................... 414
56.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла
II рода....................................... 418
§ 57. Поверхностный интеграл I рода................... 420
57.1. Основные понятия............................ 420
57.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода.. 422
57.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла
I рода............................................ 425
§ 58. Поверхностный интеграл II рода.................. 427
58.1. Основные понятия............................ 427
58.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода. 429
58.3. Формула Остроградского-Гаусса............... 431
58.4. Формула Стокса.............................. 433
58.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла
II рода........................................... 437
Глава XIII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 59. Числовые ряды................................... 438
59.1. Основные понятия............................ 438
59.2. Ряд геометрической прогрессии............... 441
59.3. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Гармонический ряд................................. 442
11
§ 60. Достаточные признаки сходимости
знакопостоянных рядов................................. 444
60.1. Признаки сравнения рядов.................... 444
60.2. Признак Даламбера........................... 446
60.3. Радикальный признак Коши»................... 448
60.4. Интегральный признак Коши.
Обобщенный гармонический ряд.................. 449
§61. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды........ 451
61.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.... 451
61.2. Общий достаточный признак сходимости
знакопеременных рядов......................... 453
61.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов............... 454
Глава XIV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§62. Функциональные ряды............................. 457
62.1. Основные понятия............................ 457
§ 63. Сходимость степенных рядов...................... 458
63.1. Теорема Н. Абеля............................ 458
63.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.. 459
63.3. Свойства степенных рядов.................... 462
§ 64. Разложение функций в степенные ряды............. 463
64.1. Ряды Тейлора и Маклорена.................... 463
64.2. Разложение некоторых элементарных функций
в ряд Тейлора (Маклорена)..................... 465
§ 65. Некоторые приложения степенных рядов............ 471
65.1. Приближенное вычисление значений функции.... 471
65.2. Приближенное вычисление определенных интегралов .. 473
65.3.Приближенное решение дифференциальных
уравнений......................,.............. 475
Глава XV. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 66. Ряды Фурье...................................... 478
66.1. Периодические функции. Периодические процессы. 478
66.2. Тригонометрический ряд Фурье................ 480
§ 67. Разложение в ряд Фурье 2тг-периодических функций.. 483
67.1. Теорема Дирихле............................. 483
67.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.. 486
67.3. Разложение в ряд Фурье функций произвольного
периода........................................... 487
67.4. Представленье непериодической функции
рядом Фурье................................... 489
12
67.5. Комплексная форма ряда Фурье............... 491
§68. Интеграл Фурье................................. 493
Глава XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§69. Основные понятия теории поля................... 499
§ 70. Скалярное поле............................... 501
70.1. Поверхности и линии уровня................. 501
70.2. Производная по направлению................. 502
70.3. Градиент скалярного поля и его свойства.... 504
§ 71. Векторное поле............................... 506
71.1. Векторные линии поля....................... 506
71.2. Поток поля................................. 507
71.3. Дивергенция поля. Формула Остро! радскот о Гаусса ... 510
71.4. Циркуляция поля............................ 513
71.5. Ротор поля. Формула Стокса................. 515
§ 72. Оператор Гамильтона............................ 518
72.1. Векторные дифференциальные операции
первого порядка.................................. 518
72.2. Векторные дифференциальные операции
второго порядка.................................. 519
§ 73. Некоторые свойства основных классов векторных полей .... 520
73.1. Соленоидальное поле........................ 520
73.2. Потенциальное поле......................... 521
73.3. Гармоническое поле......................... 524
Глава XVII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 74. Функции комплексного переменного............... 525
74.1. Основные понятия........................... 525
74.2. Предел и непрерывность функции комплексного
переменного...................................... 526
74.3. Основные элементарные функции комплексного
переменного...................................... 527
74.4. Дифференцирование функции комплексного
переменного. Условия Эйлера Даламбера............ 532
74.5. Аналитическая функция. Дифференциал........ 535
74.6. Геометрический смысл модуля и аргумента
производной. Понятие о конформном отображении..... 538
§ 75. Интегрирование функции комплексного переменного. 540
75.1. Определение, свойства и правила вычисления
интеграла........................................ 540
13
75.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный
интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.............. 544
75.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши.... 547
§ 76. Ряды в комплексной плоскости................... 551
76.1. Числовые ряды............................ 551
76.2. Степенные ряды............................. 553
76.3. Ряд Тейлора................................ 555
76.4. Нули аналитической функции................. 558
76.5. Ряд Лорана................................. 558
76.6. Классификация особых точек. Связь между нулем
и полюсом функции............................... 563
§ 77. Вычет функции.................................. 567
77.1- Понятие вычета и основная теорема о вычетах. 567
77.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов
в вычислении интегралов......................... 568
Глава XVIII. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 78. Преобразование Лапласа......................... 572
78.1. Оригиналы и их изображения................. 572
78.2. Свойства преобразования Лапласа............ 576
78.3. Таблица оригиналов и изображений........... 588
§ 79. Обратное преобразование Лапласа................ 590
79.1. Теоремы разложения......................... 590
79.2. Формула Римана-Меллина..................... 593
§ 80. Операционный метод решения линейных
дифференциальных уравнений и их систем............... 594
Приложения......................................... 599
Предисловие
\ Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студен-
товщнженерно-технических специальностей; может быть полезным для
всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую
математику. Оно представляет собой конспект лекций и адресовано, в
основном, студентам первого и второго курсов. Набор освещаемых во-
просов хорошо виден из оглавления.
Данный конспект содержит необходимый материал по всем раз-
делам курса высшей математики и дополнительным iлавам, необхо-
димым при изучении специальных курсов Изложение теоретическо-
го материала по всем темам сопровождается рассмотрением больше)! о
количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможное!и
строгом языке.
Пособие может быть использовано студен тми также для самое ю-
ятельного изучения соответствующею материала, является базой для
подготовки к семест ровым зачетам и «заменам по высшей маюмш ике
Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, koi да
он что-то не успел записать на лекции, какие-г о лекции были пропу-
щены, в чем-то трудно (или не! времени) разобраться по дру, им учеб-
никам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» вею конспектах
или много фактического материала, который следует изучить за огра-
ниченное количество недель, дней.
Автор надеется, что данный курс лекций будет полезен и препода-
вателям, а использование данного пособия будет способствовать более
глубокому изучению студентами курса высшей математики и смежных
дисциплин.
Список обозначений:
(^ • — начало и конец решения примера или задачи;
Q — начало и конец доказательства;
р5| - важные определения;
|©| — «обратите особое внимание!»
В рамку заключены формулы, которые важно помнить.
Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Лекции 1-3
§1. МАТРИЦЫ
1.1. Основные понятия
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая
т строк одинаковой длины (или п столбцов одинаковой длины). Ма-
трица записывается в виде
<*П <*12 ••• <*1п \
д _ <*21 <*22 • <*2п
\ <*ml <*т2 - - • ^тп /
или, сокращенно, А = (аг1), где г = 1, т (т. е. г = 1, 2,3,..., т) — номер
строки, j = 1, п (т. е. j = 1,2,3,..., ri) — номер столбца.
Матрицу А называют матрицей размера тхп и пишут AmXn- Чи-
сла а1}, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элемен-
ты, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют
главную диагональ.
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие
элементы этих матриц, т. е.
А = В, если at} = Ь13, где г = 1, т, j = 1, п.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется
квадратной. Квадратную матрицу размера п х п называют матрицей
тг-го порядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов
главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диаго-
нали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.
Пример 1.1. ,
/10 0
Езхз =10 10
\ 0 0 1
— единичная матрица 3-го порядка.
_( 1 1 о'
Епхп —
\ 0 1 )
— единичная матрица n-го порядка.
16
Квадратная матрица называется треугольной, если все элемен-
\ ты, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны
нулю.
|ф| Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Обозначается буквой О. Имеет вид
/0 0 ... 0 \
0 0 ... 0
о =
\ о о ... о /
В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1
в арифметике.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется
вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соогветствен-
но). Их вид:
at
«2
, В = (6j Ь2 ... Ьп).
Матрица размера 1x1, состоящая из одного числа, отождествля-
ется с этим числом, т. е. (5)ixi есть 5.
g Матрица, полученная из данной заменой каждой се c i роки столб-
цом с тем же номером, называется матрицей транспонирован-
ной к данной. Обозначается А7 .
Так, если А= Q , то ДТ = Q , если А= , то Ат = (1 0).
Транспонированная матрица обладает следующим свойством:
(Ат)т = А.
1.2. Действия над матрицами
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинако-
вых размеров.
Суммой двух матриц А„,уп = (аг}) и Втуп = (6и) называется
матрица Ступ = (су) такая, что сг] = аг] + btJ (г = 1,т, j = 1,тг).
Записывают С = А + В.
Пример 1.2.
/ 2 -3 0 \ ( 3 3 -1 А
\ 4 5 6 J + \ —2 -5 4 )
-1
10
5 0
2 0
Аналогично определяется разность матриц.
17
Умножение на число
Произведением матрицы Атхп = (atJ) на число к называется ма-
трица Втхп = (&у) такая, что bv = к a;j (г = 1,т, j = 1,п) Записы-
вают В = к А.
Пример 1.3.
-1
4
Матрица —А = (— 1) • А
k = 2 4-fc=f° 4
’ \ 6 8 10
называется противоположной матрице А.
А =
О
3
2
5 7
Разность матриц А — В можно определить так: А — В = А + (—В).
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обла-
дают следующими свойствами:
1. А + В = В + А; 5. 1-Л = А;
2. А + (В + G) = (А + В) + С; 6 а (А + В) = аА + аВ,
3. А + О = А; 7. (а +/3) А = аА + /ЗА;
4. А - А = О; 8. а • (/ЗА) = (а/3) А,
где А, В, С — матрицы, а и /3 — числа.
Элементарные преобразования матриц
Элементарными преобразованиями матриц являются:
• перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
• умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от
нуля;
• прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих
элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же чи-
сло.
Две матрицы Л и В называются эквивалентными, если одна из
них получается из другой с помощью элементарных преобразова-
ний. Записывается А ~ В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно
привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят под-
ряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую
матрицу называют канонической, например
/1 о о 0\
0 10 0
0 0 10'
\о о о о/
18
Пример 1-4- Привести к каноническому виду матрицу
/2 3 1 2\
А = 0 2 -1 1 .
\4 О 5 1/
Q Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем
,------------ с .Il -з t I I.
/2 3 1 2\ jj= / 1 3 2 2\ /1 3 2 2\
(О 2 — 1 1 ~ -1 2 0 1) ~ (О 5 2 3 ~
\4^ 0 J5 1/ L\ 5 0 4 1/ \0 -15 -6 -9/
/1 0 0 0\ /1 0 0 0\
~ I О 5 2 3 ) ~ |—I 0 1 1 1 ~
\0 -15 -6 —9/ £\0 -3 -3 -3/
5 2 3
1 0 0 0\ /1 о о 0\
О 1 1 1 ~ 0 1 о о
0000/ \о о о о/
Произведение матриц ।—’
Операция умножения двух матриц вводится только для случая,
когда число столбцов первой матрицы равно числу (трок второй
матрицы.
Произведением матрицы Аткп = (av) на матрицу Впхр = (Ъ3ь)
называется матрица Стхр = (сгА.) такая, что
<\k = a»i &ifc + аг2 • b2k Н-1- агпЬпк, где г = 1, т, к = 1,р,
т. е. элемент i-й строки и к-ro столбца матрицы произведения С равен
сумме произведений элементов г-й строки матрицы А на соответству-
ющие элементы к-ro столбца матрицы В.
Получение элемента сгк схематично изображается так:
Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения
АВ и В А всегда существуют Легко показать, что А - Е = Е А = А, где
А — квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.
/ \ /&i 1
Пример 1.5. Г11 “12 “13) х Ь21
\а21 Й22 а23/2х3 U
Ь1г\
^22 I
&32/
3x2
/ Я11&11 + 012^21 + <*13^31 Й11&12 + 012^22 + <*13^32^
\(Z21&11 + Й22&21 + ^23^31 Я21&12 + <*22&22 + а23&32/ 2х2
19
Пример 1.6. А = I „ , „ 1, В = I о) - Тогда произведение
\ о 1. U у \ JL AI
А - В не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпада-
ет с числом строк матрицы В (2). При этом определено произведение
В к А, которое считают следующим образом:
1 3\ /1 2 1\ _ /1 + 9 2 + 3 1 + 0\
1 2 J \3 1 О J ~ + 6 2 + 2 1 + О J
10 5 1\
7 4 V
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = В А.
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. А • (В С) = (А В) С- 3. (А + В) С = АС + ВС;
2. А • (В + С) = АВ + АС; 4. а(АВ) = (аА)В,
если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют
смысл.
Для операции транспонирования верны свойства:
1. (А + В)т = Ат + Вт;
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
2.1. Основные понятия
2. (АВ)Т =ВТ АТ.
Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число det А
(или | А|, или Д), называемое ее определителем, следующим образом:
1. n = 1. А = («1); det А = «1-
2. п = 2. А = «11 «12 ; det А = «11 «21 «12 «22 — «11 - а22 — «12 ’ «21
\ «21 «22
/ «11 «12 «1з\ «11 «12 «13
3. п = 3, А = «21 «22 «23 1; det А = «21 «22 «23 —
\«31 «32 «33/ «31 «32 «33
— «11«22«33 + «12«23«31 + «21«32«13 — «31«22«13 ~ «21«12«33 — «32«23«11-
Определитель матрицы А также называют ее детерминантом.
Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N являет-
ся довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны
методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких
порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов
20
основан на свойстве разложения определителя по элементам некото-
рого ряда (с. 23, свойство 7). При этом заметим, что определители
невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно
определению.
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
i: :hxhzi
Пример 2.1. Найти определители матриц
2
5
-3\
67
cos а
— sin а
sin а
cos а
и
Q Решение:
= 2 • 6 - 5 • (-3) = 12 - (-15) = 27;
cos a sin а
— sin a cos а
= cos2 а + sin2 а = 1.
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться
правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно
записать так:
(основания
равнобедренных
треугольников
параллельны
главной
диагонали)
(основания
треугольников
параллельны
побочной
диагонали)
Пример 2.2. Вычислить определитель матрицы
5
3
6
А =
—2 1
1 —4
О -3
Q Решение:
det А =
= 5-1 • (—3)-I-(—2) • (—4)-6 + 3-0-1 — 6-1-1 — 3-(—2) • (—3) — 0-(-4)-5 =
= -15 + 48 - 6 - 18 = 48 - 39 = 9. •
21
2.2. Свойства определителей
Сформулируем основные свойства определителей, присущие опре-
делителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на опре-
делителях 3-го порядка.
Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель
не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
Иными словами,
Оц 012
021 022
Оц 021
012 022
Оц 012 «13 «11 «21 0.31
021 022 023 = 012 022 «32
а31 Оз2 О3з «13 023 «33
В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами опре-
делителя.
Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов опреде-
литель меняет знак.
Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен
нулю.
Свойство 4- Общий множитель элеменюв какого-либо ряда опре-
делителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда
пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда,
то такой определитель равен нулю.
□ Действительно,
Оц
к ац
аз1
012
к • 012
032
013
к • а13
«33
= к-
ац
Оц
«31
012
012
O32
013
013
«33
= Ь0 = 0.
Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя пред-
ставляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть
разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Например,
ОЦ 012 013 + Ъ «11 012 а13 Oil «12 Ь
021 022 0.23 + С = 021 022 «23 + «21 «22 С
«31 032 Озз + d «31 O32 а33 «31 «32 d
Свойство 6 («Элементарные преобразования определителя»).
Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить
соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на лю-
бое число.
Пример 2.3. Доказать, что
Оц Я12 013
021 ’ 022 «23
031 Я32 «33
Оц Я12 Я13 + к 012
021 022 023 + к 0'22
031 «32 Озз + к • O32
22
Q Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим
«11 Я12 «13 + к «12
«21 022 023 + к 022
«31 032 Озз + к 032
«11 «12 а13 «11 «12 «12
«21 «22 «23 + к «21 «22 «22
«31 «32 «33 «31 «32 «32
= д + ьо = д.
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора
и алгебраического дополнения.
Минором некоторого элемента «,; определителя n-го порядка на-
зывается определитель п — 1-го порядка, полученный из исходного
путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых нахо-
дится выбранный элемент. Обозначается тг].
Так, если
Д =
«п
«21
«31
«12 «13
«22 «23
«32 а33
ТО
Ши =
«22
«32
«23
«33
«11 «13
«21 «23
™32 =
Алгебраическим дополнением элемента «); определителя на-
зывается его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j' —
четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозна-
чается Аг]: Ац = (—l),+j • mtJ.
Так, Ап = +ШЦ, Л32 = -ш32.
Свойство 7 («Разложение определителя по элементам некоторого
ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого
ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере
определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что
Д =
1 «11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
— «11 • 2111 + «12 А12 + «13 • и13.
□ В самом деле, имеем
«11 ‘ Tin + «12 ’ Д12 + а13 ’ 2113 —
— «11 '
«22 «23
«32 «33
+ «12 •
«21 «23
«31 «33
«21 «22
«31 «32
+ «13 ’
= «н(«22«33 — «23О32) — «12(021033 “ «23«31) + О1з(«21«32 — «22«31) =
= «11«22«33 ~ ail«23«32 — «12«21«33 + «12«23а31 +
+ «13«21«32 — «13«22«31 — Д- ।
23
Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей вы-
соких порядков.
Пример 2.4. Вычислите определитель матрицы
/ 3 5 7 8\
-1 7 0 1
0 5 3 2’
\ 1 -1 7 4/
Q Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд,
где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в раз-
ложении будут равны нулю.
7 8
0 1
3 2
7 4
0 1
3 2
7 4
7
3
7
7 8
+ 1-
5
5
-1
+ 0-
5
7
-1
0 1 -1-
7 4
8
2
4
5 7 8
7 0 1
5 3 2
= 3 • (7 • 3 • 4 + (-1) • 0 • 2 + 5 • 7 • 1 - (-1) • 3 • 1 - 7 • 7 • 2 - 5 • 0 • 4)+
+ (5 • 3 • 4 + (-1) 7 • 2 + 5 • 7 • 8 - (-1) -3-8-5-7-4-5-7-2)-
- (5 • 0 • 2 + 7 • 1 - 5 + 7- 3- 8- 5 0-8-3-1 - 5 - 7 - 7-2) = 122.
Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда оп-
ределителя на алгебраические дополнения соответствующих элемен-
тов параллельного ряда равна нулю.
Так, например, ацЛ21 + «|2 А22 + а13А2з = 0.
§ 3. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ
3.1. Основные понятия
Пусть А — квадратная матрица n-го порядка
^11 Я12
«21 «22
\«п1 Un2
Я1п
^2п
@пп
Квадратная матрица А называется нев'ы.рощсЗенно'й, если опре-
делитель Д = det А не равен нулю: Д = det А 0. В противном
случае (Д = 0) матрица А называется вырожденной.
24
Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица
/Ац А21 . . . Дг1\
_ А12 А22 Ап2 I
\Ain Аяп • • • Апп!
где Ау — алгебраическое дополнение элемента atJ данной матрицы А
(оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента
определителя).
Матрица А1
условие
называется обратной матрице А, если выполняется
А-А-1 = А~'А = Е,
(ЗА)
где Е — единичная матрица того же порядка, чю и матрица А. Ма-
трица А’1 имее> те же размеры, что и матрица А.
3.2. Обратная матрица
Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
□ Проведем доказательс тво для случая матрицы 3-го порядка. Пусть
(«11 Я12 «1з\
«21 022 «23 I , причем det А 0.
«31 «32 «зз/
Составим союзную матрицу
(Ад А21 A3i\
А12 А22 А32 I
А]3 А23 А33)
и найдем произведение матриц А и А*:
А-А*
«12
«22
«32
А22
Агз
А31 \
А32 1 =
Азз/
(«11Ац + «1гА12 + «1зА13
«21 Ад + «22А12 + «2зА1з
«31А11 + а32А12 + а33Ахз
аиА,ц + «1гА32 + «13А33
а21А31 + «22А32 + «2зА3з
«31А31 + «з2А32 + аззА33
/det А 0 0 \ /1 0 0\
= I 0 det А О I = det А • I 0 1 О I = det А • Е,
\ 0 0 det А/ \0 О 1/
Т’е‘ А- А* = det А -Е. (3.2)
Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).
25
Аналогично убеждаемся, что
А* • А = det А Е.
(3.3)
Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде
А • ---- = Е и
det А
А*
det А
• А = Е.
Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем
Л*
д-1 =
det А’
1 /Ац 2I21 А31А
т. е. Л'1 = — 1 А12 а22 А32 I •
det А \А1з А2з А33 /
Отметим свойства обратной матрицы:
L <leU/1') = di?;
2. (Л • В)-1 = В"1 •
3. = (AT)~X.
Пример 3.1. Найти А х, если А —
2 3
-1 1
= —3, а12 = -(-1) =
Q Решение: 1) Находим det A: det А =
2) Находим А*: Ац = 1, А21
л* А -за
поэтому А = I I.
= 2 + 3=5^ 0.
1, А22 = 2,
3) Находим А 1: А 1
-3
2
Проверка:
_ з
5
2
5
_1 А
5 \1
а
5
5
Со о\ /1 -3\ / 2,3 _6 , 6\
>> 1 /5 5 1 / 5 "Г 5 5^51 / 1 0 \
1*1 I — I — I I
-1 1/ 11 21 \_1>1 3,2/ (о 1)
/ \5 5/ \ 5 "г 5 5^5/ х 7
Пример 3.2. Определить, при каких значениях А существует ма-
трица, обратная данной:
А —2 2\
А = А 3 0 .
\2 1 1/
26
Q Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем
определитель матрицы А:
1
А
ДА =
—2 2
3 О
1 1
= 3 - 0 + 2Х - 12 - 0 + 2А = 4А - 9.
Если 4А — 9 -ф- 0, т. е. X А то ДА А 0, т. е. матрица А невырожденная,
имеет обратную. •
Пример 3.3. Показать, что матрица А является обратной для В,
если
/1 1 1\ / 3 —3 1 \
А = 1 2 3 , В = -3 5 -2 .
\1 3 6/ \ 1 —2 1 )
Q Решение: Найдем произведение матриц А и В:
/1 1 1\ /3 -3 1 \
А - В = 1 2 3 -3 5 -2 1 =
\1 3 6/ \ 1 —2 1 J
/3 - 3 + 1 -3 + 5- 2 1 — 2 + 1\
=3-6+3 -3+10-6 1-4 + 3
\3 - 9 + 6 -3+15-12 1-6 + 6/
/1 0 0\
0 1 0 = Е.
\() 0 1/
Аналогично В • А = Е.
для В.
Следовательно, матрица А является обратной
3.3. Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу А размера т х п.
2
/,'«11 012)
;«2i а22;
А = «31 «32
\аш1 ат2
«13 • &1п
«23 U2n
«33 азп
«m3 ^тп /
Выделим в ней к строк и к столбцов (к min(m;n)). Из элемен-
тов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим
определитель к-го порядка. Все такие определители называются ми-
норами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го
порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить САп • Сап штук,
где С* = т ,/-n—, vf — число сочетаний из п элементов по к.)
п к'[п — fc)! ’
27
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от
нуля, называется рангом матрицы. Обозначается г, г (А) или
rang Л.
Очевидно, что 0 г min(m; п), где min(m; п) — меньшее из чисел
тип.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется
базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Пример 3.4. Найти ранг матрицы:
/2 0 4 0\
А = 3 0 6 0 ) .
\1 0 -3 О/
Q Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го
3
1
порядка, отличный от нуля
= —15 0. Значит, г(Л) = 2.
Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.
Отметим свойства ранга матрицы:
1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не
изменится.
3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях
матрицы (см. с. 18).
Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диа-
гонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.
Пример 3.5. Найти ранг матрицы
/2 3 1 2\
А = I0 2 -1 1 ) ,
\4 0 5 1/
используя результаты примера 1.4.
Q Решение: В примере 1.4 показано, что
то есть
/1 0 0 0\
А ~ I О 1 О О I ,
\0 О О О/
/1 О О 0\
^0 1 О О J •
Таким образом, ранг матрицы А равен г (Л) = 2.
28
§4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
4.1. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей т
уравнений и п неизвестных, называется система вида
ацх1 + а12ж2 + • • • + ainxn = bt,
421X1 + 022X2 + • • • + О2пХп = Ь2,
OmiXi 4“ 0^2X2 4“ 4~ атпхп — Ь,г)
где числа aaJ, i = 1,т, j = 1,п называются коэффициентами системы,
числа Ьг — свободными членами. Подлежат нахождению числа хп.
Такую систему удобно записывать в компактной матричной
форме _________
Ц-X = В.
Здесь А
матрицей:
матрица коэффициентов системы, называемая основной
Оц 0,12
021 022
А =
4т2
вектор-столбец из неизвестных х3,
\хп/
/ЬД
вектор-столбец из свободных членов Ьг.
\bmJ
Произведение матриц А X определено, так как в матрице А столб-
цов столько же, сколько строк в матрице X (п штук).
Расширенной матрицей системы называется матрица А системы,
дополненная столбцом свободных членов
А =
«21
022
\®ml
От2
а1п
<12п
®тп
«12 -..
Решением системы называется п значений неизвестных xi=Ci, ж2 = с2,
..., хп = сп, при подстановке которых все уравнения системы обраща-
ются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в
29
виде матрицы-столбца
/сЛ
С =
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя
бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного
решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет
единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного
решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным
решением системы. Совокупность всех частных решений называется
общим решением.
Решить систему — это значит выяснить, совместна она или не-
совместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если
они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы
эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением
другой,и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементар-
ных преобразованиях системы при условии, что преобразования
выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однородной, если все сво-
бодные члены равны нулю:
ЙцХ! + <212^2 + • + <Jinxn — О,
4“ ^тп2^2 4" * ’ ' 4" — 0.
Однородная система всегда совместна, так как я?! = х2 = • • = хп = 0
является решением системы. Это решение называется нулевым или
тривиальным.
4.2. Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли
Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п не-
известными
а11ж1 4- <212^2 4- • • • 4- а^пхп — &i,
а21ж1 4- <222^2 4- • • 4- а2пХп — &2,
<21711^1 4- <2т2Ж2 4- • 4- атпхп — Ьт.
30
Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает
теорема Кронекера Капелл.и.
Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен
рангу основной матрицы
Примем ее без доказательства.
Правила практического разыскания всех решений совместной си-
стемы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.
Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвест-
ных, то система имеет единственное решение
Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвест-
ных, то система имеет бесчисленное множество решений
Правило решения произвольной системы
линейных уравнений
1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если
г(А) ф г(А), то система несовместна.
2. Если г(Л) = г( А ) = г, система совместна. Найти какой-либо ба-
зисный минор порядка г (напоминание: минор, порядок которого опре-
деляет ранг матрицы, называется базисным). Взять г уравнений, из
коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные урав-
нения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в ба-
зисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные
п — г неизвестных называют свободными и переносят в правые части
уравнений.
3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Полу-
чено общее решение системы.
4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, по-
лучим соответствующие значения главных неизвестных. Таким обра-
зом можно найти частные решения исходной системы уравнений.
Пример 4-1- Исследовать на совместность систему
J X + у = 1,
| Зх + Зу = —2.
31
Q Решение:
1
3
A = Q f) , r(A) = 1,
у, r(A) = 2. (д =
1
-2
t o).
Таким образом, r(A) r( А), следовательно, система несовместна. •
Пример 4-2. Решить систему
ад - 2х2 + ХЛ + ж4 = 1,
< Ж4 — 2х2 + Хз — Х4 = —1,
X] — 2x2 + Хз + Зж4 — 3.
Q Решение: г(А) = г( А) =2. Берем два первых уравнения:
fxi - 2x2 +|^з + яд] = 1,
Ж1 — 2жг +!.жц — xjj — —1.
= —2 #0,
ж3 + ж4 = 1 - Ж1 + 2ж2,
Хз — Х4 = — 1 — Ж1 + 2ж2-
1 — жх + 2ж2
-1 - Ж! + 2ж2
1
-1
= 2ж1 — 4ж2,
1
1
Д2 —
1 - Ж! + 2ж2
—1 - Ж1 + 2ж2
= —2.
Следовательно, жз = —ж4 + 2ж2, ж4 — 1 — общее решение. Положив,
например, ж4 = 0, ж2 = 0, получаем одно из частных решений: ж4 = 0,
ж2 = 0, Жз = 0, ж4 — 1. •
4.3. Решение невырожденных линейных систем.
Формулы Крамера
Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными
<2цЖ1 + О12Ж2 + • • • + О1ПЖП = 61,
<221Ж1 + а22х2 + ' ’ ’ + О,2ПХП =
k<2nl^l Т <2n2^2 Т ' * ’ Т <2,,/i4‘n — Ьп
или в матричной форме А • X = В.
Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель
этой матрицы
<2ц • • • din
д = .............
(Zni . . . Q-nn
32
называется определителем системы. Если определитель системы от-
личен от нуля, то система называется невырожденной.
Найдем решение данной системы уравнений в случае Д 0.
Умножив обе части уравнения А • X = В слева на матрицу А'1,
получим А-1 • А • X = А-1 • В. Поскольку А’1 -А-ЕяЕ-Х = Х, то
X = А-1 В.
(4-1)
Отыскание решения системы по формуле (4Л) называют матрич-
ным способом решения системы.
Матричное равенство (4.1) запишем в виде
/ жЛ
Х2
\Хп }
то есть
/
Х2
\Хп /
Отсюда следует, что
/ Au 6] + A2i + • • • + Ап1 Ь„ \
Д
Aj2bi + А-22^2 Н--+ Ап2Ьп
д
Ain^i + А2пЬ2 + • • • + АппЬп
\ д /
х, - Anbi + ^21^2 Н------и Ап1Ьп
X1 - д
Т — А]„&1 + А2п&2 + • • • + АппЬп
Хп - д
Но Ац&1 + A2ib2 + • • • + Anibn есть разложение определителя
«12 &1п
Д1 = ъ2 «22
бп «п2 • Q-nn
по элементам первого столбца. Определитель Дх получается из опре-
делителя Д путем замены первого столбца коэффициентов столбцом
из свободных членов.
Итак, ад =
Аналогично: х2 = где Д2 получен из Д путем замены второго
столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; Хз = Д^,...
_ Д„ Л
•' • ’Хп - Д ‘
2 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
33
РЗ Формулы
(4-2)
Аг . т—
Хг — —, I = 1, п
называются формулами Крамера.
Итак, невырожденная система п линейных уравнений с п неиз-
вестными имеет единственное решение, которое может быть найдено
матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).
I 2ж1 — ж2 = О,
Пример 4-3- Решить систему <
Ж! + Зж2 = 7.
Q Решение: А =
Значит, Ж1 = у = 1, ж2 = =2.
4.4. Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов реше-
ний линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоя-
щий в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
'йцЖ! + Д12ж2 -I--1- ainxn = bl,
а21ж1 4" а22х2 + • • ‘ + 0-2nxn — Ь2, .
flmlxl ~^~(^т2х2 4“ ~^~^"тпхп — Ъщ-
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На пер-
вом этапе (прямой ход) система приводится к > ступенчатому (в част-
ности, треугольному} виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
<2цЖ1 + а12Ж2 + • • + a^-Xk 4- • • • 4- а±пхп = bi,
0-22X2 + • • • + O-2kxk + • • • + а^пХп = Ь2,
<
, ®kkxk 4“ * * * “Ь aknxn — b&,
где к si п, аи ф 0, i — 1,к. Коэффициенты агг называются главными
элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определе-
ние неизвестных из этой ступенчатой системы.
34
Опишем метод Гаусса подробнее.
Прямой ход.
Будем считать, что элемент ац 0 (если ац = 0, то первым в
системе запишем уравнение, в котором коэффициент при Xi отличен
от нуля).
Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное Xi во всех урав-
нениях, кроме первого (используя элементарные преобразования си-
стемы). Для этого умножим обе части первого уравнения на — Oil. и
ац
сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе
части первого уравнения на —^21 и сложим с третьим уравнением си-
ац
стемы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему
ацТ] + 012^2 + + (iinxn — Ь},
4-----
(1)
т •
г.,+ ...г -ъ
т2’1 - ' п — и
Здесь Ojp, (i,j = 2,m) новые значения коэффициентов и правых
частей, которые полу чаю 1ся после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом а.^ 0, ис-
ключим неизвестное х% из всех уравнений системы, кроме первого и
второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду по-
явятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0 = 0, их отбрасывают.
Если же появится уравнение вида 0 = Ьг, а Ъг ф 0, то это свидетель-
ствует о несовместности системы.
Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенча-
той системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет
бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой си-
стемы выражаем первое неизвестное хь через остальные неизвестные
(xfc+i,..., хп). Затем подставляем значение Xk в предпоследнее урав-
нение системы и выражаем x^-i через (а:&+1,..., тп); затем находим
Xk-2, • •, ^1- Придавая свободным неизвестным (xfc+i,..., хп) произ-
вольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается треуголь-
ной, т. е. к = п, то исходная система имеет единственное решение. Из
последнего уравнения находим жп, из предпоследнего уравнения тп_ц
далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные
(тп_2,... ,Ж1).
2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расши-
ренной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над
35
ее строками. Удобно, чтобы коэффициент ац был равен 1 (уравнения
переставить местами, либо разделить обе части уравнения на ац 1).
Пример 4-4- Решить систему методом Гаусса:
2X1 — Х2 + Зхз — . 5x4 = 1,
xi — х2 — 5х3 = 2,
3xi — 2х2 — 2хз — 5x4 = 3,
7xi — 5х2 — 9хз — 10x4 = 8.
Ci Решение: В результате элементарных преобразований над расши-
ренной матрицей системы
/2 -1 3 -5 1\ Л -1 -5 0 2\
1 -1 -5 0 2 2 -1 3 -5 1
3 -2 -2 -5 3 3 —2 —2 -5 3
V "б -9 -10 8/ V -5 -9 - -10 8/
Л -1 -5 0 2 \ Л -1 -5 0 2 \
0 1 13 -5 -3 0 1 13 -5 -3
0 1 13 -5 -3 0 0 0 0 0
\0 2 26 -10 -6/ 0 0 0 0/
исходная система свелась к ступенчатой:
xi - х2 - 5х3 = 2,
х2 + 13хз — 5x4 = — 3.
Поэтому общее решение системы: х2 = 5x4 — 13хз — 3; xi = 6x4 — 8x3 — 1.
Если положить, например, хз = 0, Х4 = 0, то найдем одно из частных
решений этой системы xi = — 1, х2 = —3, хз = 0, Х4 = 0. •
Пример 4-5. Решить систему методом Гаусса:
Х1 + х2 + Хз = 3,
2xi + Зх2 + 2х3 = 7,
<
3xi + х2 + х3 = 5,
k5xi — х2 — хз = 3.
Ci Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками
расширенной матрицы системы:
Л 1
2 3
3 1
V -1
1 3\
2 7
1 5
-1 3/
Л 1
0 1
0 —2
\0 -6
1
о
-2
-6
3 \
1
-4
-!2/
Л 1 1 3\
0 10 1
0 112
\0 1 1 2/
Л 1 1 3\
0 10 1
0 0 11
^0 о о о/
36
Полученная матрица соответствует системе
xi + х2 + х3 = 3,
< Х2 = 1,
Х3 = 1.
Осуществляя обратный ход, находим хз = 1, х2 = 1, xi = 1.
4.5. Системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система линейных однородных уравнений
<211X1 + <212^2 + • • • + dlnXn — О,
<221X1 + <222X2 + + <12пХп ~ О,
/ZmlXi +<2m2^2 + ~\~dmnXn — 0.
Очевидно, что однородная система всегда совместна (г(Л) = г (А )),
она имеет нулевое (тривиальное) решение х, = х2 = = х,, = 0.
При каких условиях однородная система имеет и ненулевые реше-
ния?
Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела
ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг г ее основ-
ной матрицы был меньше числа п неизвестных, т. е. г < п.
□ Необходимость.
Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевид-
но, г п. Пусть г = п. Тогда один из миноров размера п х п отличен
от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет
единственное решение: х, = ^ = 0, Д, = 0, Л 0. Значит, других, кро-
ме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение,
то г < п.
Достаточность.
Пусть г < п. Тогда однородная система, будучи совместной, явля-
ется неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество реше-
ний, т. е. имеет и ненулевые решения.
Пусть дана однородная система п линейных уравнений с п неиз-
вестными
®ЦХ1 + <212^2 + ’ ’ ’ + CllnXn = 0,
< ......................................................................................................
^«,,12'1 + ^ц2Х2 Т ’ Т иппхп — 0.
37
Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система п линейных урав-
нений с п неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и до-
статочно, чтобы ее определитель Д был равен нулю, т. е. Д = 0.
□ Если система имеет ненулевые решения, то Д = 0. Ибо при Д / 0
система имеет только единственное, нулевое решение. Если же Д = 0,
то ранг г основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е.
г < п. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых)
решений.
Пример 4-6. Решить систему
xi — 2х2 + 4х3 = 0,
2х, — Зх2 + 5х3 = 0.
Ci Решение:
/1 —2 4\ /1—2 \
Л=(2 -3 б/ = 2 2 -3 =1^0/
п = 3.
Так как г < п, то система имеет бесчисленное множество решений.
Найдем их
xi — 2x2 — — 4т'3,
2xi — Зя?2 = — 5х3.
-4ж3 -2
-5х3 -3
= 2хз, х2 =
2х3, Д2
1 - 4х3
2 —5х3
= Зх3. Стало быть, Xi
= Зх3 — общее решение.
Положив хз = 0, получаем одно частное решение: х± = 0, х2 = 0,
х3 = 0. Положив хз = 1, получаем второе частное решение: х± = 2,
х2 — 3, х3 — 1 и т. д. •
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ
АЛГЕБРЫ
Лекции 4-6
§5. ВЕКТОРЫ
5.1. Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своим численным
значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин
являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определя-
ются не только своим числовым значением, по и направлением. Такие
величины называют векторными. Векторная величина геометрически
изображается с помощью вектора.
Вектор эю направленный прямолинейный отрезок, i. е. отре-
зок, имеющий определенную длину и определенное направление.
Если А начало вектора, а В его конец, ю вектор обозначается
символом АВ или а. Вектор В А (у него начало в точке В, а конец в
точке Л) называется противоположным век гору АВ. Вектор, про-
тивоположный вектору а, обозначается — а.
Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обо-
значается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нуле-
вым вектором и обозначается 0. Нулевой вектор направления не имеет.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным век-
тором и обозначается через ё. Единичный вектор, направление которо-
го совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а
и обозначается аР.
|ф| Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллельных прямых; записывают а || Ь.
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или
противопол ож но.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два вектора а и b называются равными (а = 6), если они колли-
неарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Из определения равенства векторов следу-
ет, что вектор можно переносить параллельно
самому себе, а начало вектора помещать в лю-
бую точку О пространства.
На рисунке 1 векторы образуют прямо-
угольник. Справедливо равенство b = d, но а
с. Векторы а и с — противоположные, а = —с.
b
а с
d
Рис. 1
39
Равные векторы называют также свободными.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если
они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые колли-
неарны, то такие векторы компланарньТ.
5.2. Линейные операции над векторами
Под линейными операциями над векторами понимают операции
сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на
число.
Пусть а и b — два произвольных вектора. Возьмем произволь-
ную точку О и построим вектор О А = а. От точки А отложим вектор
АВ = Ь. Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом
второго, называется суммой векторов а и Ь: ОВ = а + b (см. рис. 2).
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Сумму двух векторов можно построить также по правилу паралле-
лограмма (см. рис. 3).
На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, b и с.
Ъ
Рис. 4
40
Под разностью векторов а и b понимается вектор с = а — b такой,
что Ь + с = а (см. рис. 5).
с=а—Ь
Рис. 5
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и
Ь, одна направленная диагональ является суммой векторов а и 6, а
другая — разностью (см. рис. 6).
а+Ь
а—Ь
Рис. 6
Можно вычитать векторы по правилу: а — b = а + (—Ь), т. е. вычи-
тание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противопо-
ложным вектору Ь.
Произведением вектора а на скаляр (число) Л называется
вектор Л • а (или а Л), который имеет длину |Л| • |а|, коллинеарен
вектору а, имеет направление вектора а, если Л > 0 и противоположное
направление, если Л < 0. Например, если дан вектор —то векторы
За и —2а будут иметь вид . „ и .. ~----
Из определения произведения вектора на число следуют свойства
этого произведения:
1) если b = Л • а, то b || а. Наоборот, если b || а, (а 0), то при
некотором Л верно равенство b = Ла;
2) всегда а = |а| • а0, т. е. каждый вектор равен произведению его
модуля на орт.
Линейные операции над векторами обладают следующими свой-
ствами:
1. а -К b — b + а, 4. (Ах 4- Аз) а — Ах • а 4- Аз * а,
2. (а 4- Ь) 4- с = а 4- (Ь 4- с), 5. Л • (а 4- Ь) = Л • а 4- Л • Ь.
3. Ах • (Аз • а) = Ах Аз • а,
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных
операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: сла-
41
гаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за
скобки как скалярные, так и векторные общие множители.
5.3. Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось Z, т. е. направленная прямая.
Проекцией точки М на ось I называется основание М\ перпенди-
куляра MMi, опущенного из точки на ось.
Точка Мг есть точка пересечения оси I с плоскостью, проходящей
через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).
Если точка М лежит на оси I, то проекция точки М на ось совпа-
дает с М.
Пусть АВ — произвольный вектор {АВ 0). Обозначим через Ai
и Bi проекции на ось I соответственно начала А и конца В вектора АВ
и рассмотрим вектор Л1В1.
Проекцией вектора АВ на ось I называется положительное число
|Л17?1|, если вектор A[Bt и ось I одинаково направлены и отрицатель-
ное число — | A^Bi |, если вектор A^Bi и ось I противоположно направле-
ны (см. рис. 8). Если точки и Bi совпадают (Л1В1 = 0), то проекция
вектора АВ равна 0.
Проекция вектора АВ на ось I обозначается так: npz АВ. Если
АВ = 0 или АВ ± Z, то пр; АВ = 0.
Угол ip между вектором а и осью Z (или угол между двумя векто-
рами) изображен на рисунке 9. Очевидно, 0 у? тг.
42
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.
Свойство 1. Проекция вектора а на ось I равна произведению мо-
дуля вектора а на косинус угла между вектором и осью, т. е. пр; а =
= |а| • cosy?.
□ Если у? = (a, Z) < то npz а =
= h-ISt| = |а| • cosy?.
Если у? > (у? тг), то пр( а =
= —131| = —|а| • cos(tt — у?) = |а| • cosy?
(см. рис. 10).
Если У?=ту, то пр; а = 0 = |а| cosy?.
Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицатель-
на), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю,
если этот угол — прямой
Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны
между собой.
Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту
же ось равна сумме их проекций на эту ось.
□ Пусть, например, d — d+b+c. Имеем пр; d = +|di| = + |«i| + |bi| — |ci|,
т. е. пр;(а + b + с) = пр; а + пр; Ъ + пр; с (см. рис. 11). I
Свойство 3. При умножении вектора а на число Л его проекция на
ось также умножается на это число, т. е.
пр;(Л • а) — Л • пр; а.
□ При Л > 0 имеем пр;(Л-а) = |Ла| • cosy? =
(свойство 1)
= Л • |й| • cos у? = Л • npz а.
При Л < 0: npz(А • а) = |Ла| • cos(?r — у?) =
= — Л - |о| - (— cos у?) = Л • а cos у? = Л npz а.
Свойство справедливо, очевидно, и при Л =
= 0.
Рис. 11
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к со-
ответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
43
5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.
Модуль вектора. Направляющие косинусы
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат
Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные век-
торы (орты), обозначаемые г, j, к соответственно (см. рис. 12).
Рис. 12
Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его на-
чало с началом координат: а = ОМ.
Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через
конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоско-
стям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответ-
ственно через Mi, М2 и М3. Получим прямоугольный параллелепи-
пед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда пр7. а =
= |OMi|, пру а = |ОМ2|, прг а = |ОМз|. По определению суммы не-
скольких векторов находим а = ОМ i + M^N + NM.
А так как M^N = О М2, NM = О М3, то
а — ОМ\ + ОМ2 + ОМ3. (5*1)
Но
ОМ1 = \ОМ1\-1, OM2 = \OM2\-J, бм3 = \бм3\-к. (5.2)
Обозначим проекции вектора а = ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответствен-
но через ах, ау и az, т. е. |OMi| = ах, |ОМ2| = ау, |ОМз| = az. Тогда из
равенств (5.1) и (5.2) получаем
(5.3)
Эта формула является основной в векторном исчислении и называ-
ется разложением вектора по ортам координатных осей.
а = ах i + ау j + az к.
44
Числа ах, ау, az называются координатами вектора а, т. е. коор-
динаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные
оси.
Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом ви-
де: а = (ax-,ay,zz).
Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для моду-
ля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного
параллелепипеда можно написать \ОМ\2 — \ОМ1\2 + \ОМ%\2 + |ОМз|2,
Отсюда
|а|2 = а2 + а2 + а2. (5.4)
т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы,
квадратов его проекций на оси координат.
Пусть углы вектора а с осями От, Оу и Oz соответственно равны
а, /3, у. По свойству проекции вектора на ось, имеем
аг = |а| • coso, ау = |а| • cos (3, az = |а| • cos 7. (5-5)
Или, чго то же самое,
ах о ау az
coso = —, cos/3 = —, cos 7 = —.
|a| |а| |а|
Числа cos a, cos /3, cos 7 называются направляющими косинусами век-
тора а.
Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем
|а|2 = |ц|2 cos2 а + |а|2 • cos2 /3 + |а|2 • cos2 7.
Сократив на |d|2 0, получим соотношение
cos2 а + cos2 /3 + cos2 7 = 1,
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулево-
го вектора равна единице.
Легко заметить, что координатами единичного вектора ё являются
числа cos a, cos/3, cos 7, т. е. ё = (cos а; cos/3; cos 7).
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его мо-
дуль и направление, т. е. сам вектор.
5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
Пусть векторы а — (ах; ау; az) и b = (bx; by; bz) заданы своими про-
екциями на оси координат Ох, Оу, Oz или, что то же самое
а = ах • i + ау • j + az • k, b = bx i + by j + bz k.
45
Линейные операции над векторами
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответству-
ющим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно
записать:
1. а ± b = (ах ± bx)i + (ау ± by)j + (az ± bz)k, или кратко а ± b =
= (ax±bx;ay±by',az±bz). То есть при сложении (вычитании) векторов
их одноименные координаты складываются (вычитаются).
2. Аа = Xax-i + Xay-j + Xaz-k или короче Ха = (Хах; Хау-, Ха~). То есть
при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются
на этот скаляр.
Равенство векторов
Из определения вектора как направленного отрезка, который мож-
но передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что
два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются ра-
венства: ах = Ьх, ау = Ьу, az = bz, т. е.
ах — Ьх,
< Пу — Ьу,
о.. bz.
Коллинеарность векторов
Выясним условия коллинеарности векторов а и Ь, заданных своими
координатами.
Так как а || Ь, то можно записать а = Х-b, где А — некоторое число.
То есть
ах i + ау j + az k = X(bx • i + by j + bz • к) = Xbx i + Xby j + АЬ2 • к.
Отсюда
ох — ХЬх, ау — Xby, az — Xbz,
т. е. a dz ах ау az
Т =х’ К = л’ = Л ида ~Г = К = Т-
Ьх Ьу Uz Ьх by bz
Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональ-
ны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорцио-
нальные координаты, коллинеарны.
Координаты точки
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система ко-
ординат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМ называют-
ся координатами точки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором
точки М, обозначается г, т. е. ОМ = г. Следовательно, координаты
точки — это координаты ее радиус-вектора
r=(x-,y;z) или r = x-i + y-j + z-k.
Координаты точки М записываются в виде M(x;y;z).
46
Координаты вектора
Найдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты
точек A(xi;yi; Zi) и В(х2', У2', ^г)- Имеем (см. рис. 13):
АВ = ОВ - О А = (х2 г + у2 j + z2 к) - (.X! i + yi j + zi к) =
= (х2 - а?1)г + (у2 - yi)j + (z2 - Zi)k.
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответству-
ющих координат его конца и начала: АВ = (хг — a?i; «/2 — yi’,z2 — Zi).
§6 . СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
И ЕГО СВОЙСТВА
6.1. Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и Ь на-
зывается число, равное произведению длин этих векторов на ко-
синус угла между ними.
Обозначается ab, а - Ь (или (а, Ь)). Итак, по определению,
(6-1)
где р = (d, 6).
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как |S| cosy? = пр^й,
(см. рис. 14), а |6| cos р = nps6, то получаем:
(6-2)
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из
них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с пер-
вым вектором.
а • b = |а| • |Ь| • cos <р,
ab = |а| nps6 = |6| -прБа,
47
6.2. Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством:
ab = Ьа.
Cj ab = |а| • |6| -cos(a, b), aba= |6| • |а| -cos(6, а). И так как |а| • |6| = |6| • |а|,
как произведение чисел и cos(a, b) = cos(6, а), то ab = Ьа.
2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством от-
носительно скалярного множителя: (Ла) • b = Х(аЬ).
□ (Xa)b = |6| npj Ха - Л • |6| • пр^ а = Л(а6).
3. Скалярное произведение обладает распределительным свойст-
вом: а{Ь + с) = ab + ас.
□ + с) = |а| • пр5(6 + с) = |а| • (пр5 Ъ + пр5 с) = |а| пр„ Ь + |й| пра с =
= ab + ас.
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: а2 = |а|2.
□ а? = а • а = |а| • |а| cosO = |а| • |а| = |а|2.
-2 —2 —2
В частности: i = j = к =1.
Если вектор а возвести скалярно в квадрат и затем извлечь ко-
рень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль |а|, т. е.
Va2 = |а| (Va2 а).
Пример 6.1. Найти длину вектора с = За—46, если |а| = 2, |6| = 3,
(а J) = I.
Q Решение:
|с| = Vc2 = yj(За - 46)2 = ^9а2 - 24а6+ 1662 =
= у9-4-24-2 -3 | + 16-9 = У108 = бА •
5. Если векторы а и 6 (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то
их скалярное произведение равно нулю, т. е. если а ± 6, то аЬ = 0.
Справедливо и обратное утверждение: если ab = 0 и а 0 6, то а ± 6.
□ Так как ip = (a,b) = Т, то cosy? = cos = 0. Следовательно,
а • 6 = |а| |6| • 0 = 0. Если же а • 6 = 0 и |а| 0, |6| 0, то cos(a, 6) — 0.
Отсюда = (а, 6) = 90°, т. е. а ± 6. В частности:
i j = j • к = к • i = 0.
48
6.3. Выражение скалярного произведения
через координаты
Пусть заданы два вектора
а = axi + ayj 4- azk и b = bxi + byj 4- bzk.
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как мно-
гочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произве-
дения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов г, j,
4- aybxji
-|- azbxki
4- dybyjj 4- aybzjk 4-
4- azbykj 4- azbzkk
— axbx 4- 0 4~ 0 4~ 0 4- o,yby 4~ 0 4~ 0 4- 0 4~ azbz.
t. e.
a b — axbx 4- a>yby 4- azbz.
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их
одноименных координат.
Пример 6.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, задан-
ного координатами вершин А(—4;— 4; 4), В(—3;2;2), С(2;5; 1),
0(3; —2; 2), взаимно перпендикулярны.
Q Решение: Составим вектора АС и BD. лежащие на диагоналях дан-
ного четырехугольника. Имеем: АС = (6; 9; —3) и BD = (6; —4; 0). Най-
дем скалярное произведение этих векторов:
АС BD = 36 - 36 - 0 = 0.
Отсюда следует, что AC ± BD. Диагонали четырехугольника ABCD
взаимно перпендикулярны. •
49
6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
Угол между векторами
Определение угла р между ненулевыми векторами а = (ах;ау;а2)
а b
cos р = ———, т. е. cos р =
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а
и Ь:
+ ayby 4- azbz = 0.
Проекция вектора на заданное направление
Нахождение проекции вектора а на направление, заданное векто-
ром Ь, может осуществляться по формуле
а • b ( - а b
пр,;а
т. е.
axbx + avbu + а~Ь~
прь- а = ---
а ± Ь
Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из поло-
жения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей
угол р с перемещением АВ = S (см. рис. 15).
Из физики известно, что работа си-
лы F при перемещении S равна
А = F S • cos р т. е. А = F • S.
Таким образом, работа постоянной силы
при прямолинейном перемещении ее точ-
ки приложения равна скалярному произ-
ведению вектора силы на вектор переме-
щения.
F
В
S
Рис. 15
Пример 6.3. Вычислить работу, произведенную силой F=(3; 2; 4),
если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения
А(2; 4; 6) в положение В(4; 2; 7). Под каким углом к АВ направлена
сила F?
Q Решение: Находим S' = АВ — (2, —2,1). Стало быть,
A = F- S = 3- 2 + 2- (—2) +4-1 = 6 (ед. работы).
— - F S
Угол р между F и S находим по формуле cos р = —^=-, т. е.
6 6 2 2
л/9 + 4 + 16 V4 + 4 + 1 3 У29 v^9
•
50
§7 . ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
И ЕГО СВОЙСТВА
7.1. Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора а, b и с, взятые в указанном порядке,
образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший
поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершаю-
щимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
с\ -V
\ с\ /
правая тройка, левая тройка
а
Рис. 16
|ф| Векторным произведением вектора а па вектор b называется
вектор с, коюрый:
1) перпендикулярен векторам а и b, т. е. с ± а и с ± Ь-
2) имее1 длину, численно равную площади параллелот рамма, по-
строенного на векторах а и Ь как на сторонах (см. рис. 17), 1. с.
|с| — |а| |Ь| sin <р, где = (а, Ъ);
3) векторы а, b и с образуют правую тройку.
Рис. 17 Рис. 18
Векторное произведение обозначается а х Ь или [а, 5].
Из определения векторного произведения непосредственно вытека-
ют следующие соотношения между ортами i, j и к (см. рис. 18):
i х j = к, j х к = г, к х г = j.
Докажем, например, что г х j = к.
51
Q 1) к ± i, к ± j;
2) |fc| = 1, но \i x j| = |j| • |j| • sin90° = 1;
3) векторы i, j и к образуют правую тройку (см. рис. 16).
7.2. Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей
векторное произведение меняет знак, т. е.
а х b = —(Ь х а) (см. рис. 19).
Q Векторы а х b и b х а коллинеарны, име-
ют одинаковые модули (площадь паралле-
лограмма остается неизменной), но проти-
воположно направлены (тройки a, b, а х Ь
и a,b,b х а противоположной ориентации).
Стало быть, а х b = — (Ь х а).
2. Векторное произведение обладает
сочетательным свойством относительно
скалярного множителя, т. е. А(а х 5) =
= (Аа) х b = а х (ЛЬ).
Рис. 19
Q Пусть А > 0. Вектор А(ахЬ) перпендикулярен векторам а и Ь. Вектор
(Аа) х b также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, Ха лежат
в одной плоскости). Значит, векторы А(а х Ь) и (Аа) х b коллинеарны.
Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
|А(а х 5)| = А|а х Ь\ = А|а| |5| sin(a, b)
и _ _
| (Аа) х Ь| = |Аа| • |Ь| • sin(Aa, b) = А|а| • |Ь| sin(a, b).
Поэтому А(а х Ь) = Аа х Ь. Аналогично доказывается при А < 0.
3. Два ненулевых вектора а и Ъ коллинеарны тогда и только то-
гда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.
а || b <=> a х 6 = 0.
□ Если а || Ь, то угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда |а х Ь| =
= |а| • |Ь| • sin(a, 5) = 0. Значит, а х Ь = 0.
Если же а х Ь — 0, то |а| • |b| sin ср = 0. Но тогда ср = 0° или ср = 180°,
т. е. а || Ь.
|@| В частности, ixi=jxj = kxk = O.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойст-
вом: _ _
• (а + 6) хс = ахс + Ьх с.
Примем без доказательства.
52
7.3. Выражение векторного произведения
через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векто-
ров г, j и к:
Чтобы не ошибиться со
знаком, удобно пользо-
ваться схемой:
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму со-
впадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему век-
тору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора а = axi 4- ayj 4- azk и b = bxi 4- byj 4- bzk.
Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как
многочлены (согласно свойств векторного произведения):
а х b = (axi 4- ayj 4- azk) х (bxi 4- byj 4- bzk) =
— о^Ьх^ъ x i) 4- axby(i x J) 4- axbz(i x k') 4- aybx(j xi)-|- ayby(j x J)4-
+ aybz(j x fc) 4-azbx(k xi) 4- azby(k x j) 4- azbz(k x fc) =
= 0 4- axbyk — axbzj — aybxk + 0 4- aybzi 4- azbxj — azbyi 4- 0 =
— azby)i {o>xbz cizbx}j 4- (cixby aybxyk —
ay
Ьу
bx
az
bz
bx
ay
Ьу
аг -
к
t. e.
(7.1)
Полученную формулу можно записать еще короче:
а х Ь =
%
&Х
&х
j к
dy dz
by bz
(7.2)
так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению опреде-
лителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2)
легко запоминается.
53
7.4. Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов
Если а || Ъ, то а х b = 0 (и наоборот), т. е.
Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов а и Ь
|а х Ь| = |а| • |b| sin 92, т. е. бпар = |а X 5|. И, значит, бд = ^|а х 6|.
Определение момента силы относительно точки
Пусть в точке А приложена сила F = АВ и пусть О — некоторая
точка пространства (см. рис. 20).
Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О
называется вектор М, который проходит через точку О и:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2) численно равен произведению силы на плечо
|М| = |F| -ON = |Г| • |г| -sin^ = |Г| • |ОЛ|8ш(Д32);
3) образует правую тройку с векторами О А и АВ.
Стало быть, М = О А х F.
Рис. 20
Рис. 21
Нахождение линейной скорости вращения
Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой ско-
ростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера
v = ш х г, где г = ОМ, где О — некоторая неподвижная точка оси
(см. рис. 21).
54
§8 . СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
8.1. Определение смешанного произведения,
его геометрический смысл
Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следу-
ющим образом: (ах &) с. Здесь первые два вектора перемножаются
векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведе-
ние называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением
трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое
число.
Выясним 1еоме'1рический смысл вы-
ражения (ах 6)-с. Построим параллелепи-
пед, ребрами которого являются век юры
а, Ь, с и век гор d = а х Ъ (см. рис. 22).
Имеем: (а х Ь) с = d с = |7| • пр(^с,
|d| = |а х b| — S, где S площадь парал-
лелограмма, построенного на векторах а
и Ь, пр^с = Н для правой тройки век-
торов и npjc = —Н для левой, где Н
высота параллелепипеда. Получаем:
(а х Ь) с = S (±Я), т. е. (а х Ь) с =
= ±V, где V объем параллелепипеда,
образованного векторами а, b и с.
Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объ-
ему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со зна-
ком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком
«минус», если они образуют левую тройку.
8.2. Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при циклической переста-
новке его сомножителей, т. е. (а х Ь) с = (Ь х с) • а = (с х а) Ь.
Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллеле-
пипеда, ни ориентация его ребер.
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами зна-
ков векторного и скалярного умножения, т. е. (а х Ь) • с = а (Ь х с).
Действительно, (а х Ь) с = ±V и а • (Ь х с) = (Ь х с) а = ±У. Знак
в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки
векторов а, Ь, с и Ь, с, а — одной ориентации.
55
Следовательно, (а х b) - с = а(Ь х с). Это позволяет записывать сме-
шанное произведение векторов (а х Ь)с в виде abc без знаков векторного,
скалярного умножения.
3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест
любых двух векторов-сомножителей, т. е. abc = -acb, abc = —bac, abc =
— —cba.
Действительно, такая перестановка равносильна перестановке
сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения
знак.
4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю
тогда и только тогда, когда они компланарны.
Q Если abc = 0, то а, Ь, с — компланарны.
Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллеле-
пипед с объемом V 0. Но так как abc = ±V, то получили бы, что
abc 0. Это противоречит условию: abc = 0.
Обратно, пусть векторы а, Ь, с — компланарны. Тогда вектор d =
= 3x6 будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы 5,
Ь, с, и, следовательно, d ± с. Поэтому d • с = 0, т. е. abc =0.
8.3. Выражение смешанного произведения
через координаты
Пусть заданы векторы а = axi + ayj + azk, b = bxi + byj + b-fc,
c = cxi + cyj + czk. Найдем их смешанное произведение, используя вы-
ражения в координатах для векторного и скалярного произведений:
Полученную формулу можно записать короче:
abc =
&х
Ьх
Сх
ау
Ьу
Су
&Z
bz
Cz
так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение
определителя третьего порядка по элементам третьей строки.
Итак, смешанное'произведение векторов равно определителю тре-
тьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.
56
8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на
следующих соображениях. Если abc > 0, то а, Ь, с — правая тройка;
если abc < 0, то а, Ъ, с - левая тройка.
Установление компланарности векторов
Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их сме-
шанное произведение равно нулю (а О, Ъ 0, с 0):
abc - 0 <==>
Hr Пу az
bx by bz
Cj Су Cz
= 0 <=> векторы а, Ь, с компланарны.
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на
векторах а, b и с вычисляется как V = |<Й>с|, а объем треугольной
пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V = |abc|.
Пример 8.1. Вершинами пирамиды служат точки А(1;2;3),
В(0; —1; 1), (7(2; 5; 2) и Р(3; 0; —2). Найти объем пирамиды.
Q Решение: Находим векторы а, Ь, с:
а = АВ = (-1;-3;-2), b = АС = (1; 3;-1), с = AD = (2; -2; -5).
Находим abc:
-3
3
—2
—2
-1
-5
= -1 • (-17) + 3 (-3) - 2• (-8) = 17 -94-16 = 24.
Следовательно, V — • 24 = 4.
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
Лекции 7-9
§9 . СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
9.1. Основные понятия
Под системой координат на плоскости понимают способ, по-
зволяющий численно описать положение ючки плоскости. Одной
из таких систем является прямоугольная {декартова) система ко-
ординат.
Прямоугольная система координат за-
дается двумя взаимно перпендикулярными
прямыми — осями, на каждой из которых
выбрано положительное направление и за-
дан единичный (масштабный) отрезок.
Единицу масштаба обычно берут одинако-
вой для обеих осей. Эти оси называют ося-
ми координат, точку их пересечения О -
началом координат. Одну из осей называ-
ют осью абсцисс (осью Ох), другую — осью
ординат (осью Оу) (рис. 23).
На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и на-
правленной слева направо, а ось ординат — вертикально и направлен-
ной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области —
четверти (или квадранты).
Единичные векторы осей обозначают г и j (|г| = |j| = 1, г ± j).
Систему координат обозначают Оху (или Oij), а плоскость, в ко-
торой расположена система координат, называют координатной плос-
костью.
Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор ОМ
называется радиусом-вектором точки М.
Координатами точки М в системе координат Оху {Oij) на-
зываются координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ — {х;у), то
координаты точки М записывают так: М(ж; у), число х называется аб-
сциссой точки М, у — ординатой точки М.
Эти два числа ж, и у полностью определяют положение точки на
плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единствен-
ная точка М плоскости, и наоборот.
58
Способ определения положения точек с помощью чисел (коорди-
нат) называется методом координат. Сущность метода координат на
плоскости состоит в том, что всякой линии на ней, как правило, сопо-
ставляется ее уравнение. Свойства этой линии изучаются путем иссле-
дования уравнения линии.
Другой практически важной системой координат является поляр-
ная система координат. Полярная система координат задается точкой
О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и еди-
ничным вектором ё того же направления, что и луч Ор.
Возьмем па плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение
точки М определяется двумя числами: ее расстоянием г oi полюса О
и углом <р, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет утлов
ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки)
(см рис. 24)
Числа г и <р называются полярными координатами точки М,
пишут М(г;р), при этом г называют полярным радиусом, р
полярным углом.
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол
<р ограничить промежутком (—тг; тг] (или 0 р < 2тг), а полярный
радиус — [0;оо). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О)
соответствует единственная пара чисел г и <р, и обратно.
Установим связь между прямоут олытыми и полярными координа-
тами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху,
а полярную ось — с положительной полуосью Ох. Пусть х и у - пря-
моугольные координаты точки М, а г и р — ее полярные координаты.
Из рисунка 25 видно, что прямоугольные и полярные координаты
точки М выражаются следующим образом:
х = г • cosр, (г = у/х2 +у2,
у = г • sin99; (tg= ^-
Определяя величину <р, следует установить (по знакам х и у) че-
тверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что —я < <р л.
59
Пример 9.1. Дана точка М(—1; —\/3). Найти полярные коорди-
наты точки М.
Решение:
Находим г и <р:
Отсюда 1/з =
7Г
3
то п
г = л/З + 1 = 2, tg <р = --= \/3.
+ тш, п £ Z. Но так как точка М лежит в 3-й четверти,
= — я = — Итак, полярные координаты точки М
г = 2, ip = — т. е. М ^2; . •
есть
9.2.
Основные приложения метода координат
на плоскости
Расстояние между двумя точками
Требуется найти расстояние d между точками АДар; г/Д и В(х2; У‘>)
плоскости Оху.
Ci Решение: Искомое расстояние d равно длине
= (х2 -х1;у2- г/Д, т. е.
d = |ЛВ| = д/(аг2 -жД2 + (у2 -У1)2.
Деление отрезка в данном отношении
Требуется разделить отрезок АВ, сое-
диняющий точки A(j:i;z/i) и В(х2',У2^ в за-
данном отношении А > 0, т. е. найти коорди-
наты точки М(х; у) отрезка АВ такой, что
= А (см. рис. 26).
Ci Решение: Введем в рассмотрение векто-
ры AM и МВ. Точка М делит отрезок АВ
в отношении А, если
AM = А МВ. (9.1)
Но AM = (х — xi; у — г/Д, т. е. AM = (х — а:Дг + (у — yi)j и МВ =
= (х-2 — х;у2 — у), т. е. МВ — (х2 — x)i + (у2 — y)j. Уравнение (9.1)
принимает вид
(х - а:Дг + (г/ - г/Д/ = А(а?2 - x)i + А(г/2 - у)]-
Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем
Xi + А.т->
вектора АВ =
х — х\ = Хх2 — Хх, т. е.
(9-2)
= —1 и
60
. . У1 + Аг/2 /о „х
У - У1 = Лг/2 - Аг/, т. е. у = г д • (9-3)
Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в дан-
ном отношении. В частности, при А = 1, т. е. если AM = МВ, то они
примут вид х = Х1 ;/'2, у = . В этом случае точка М(х;у)
является серединой отрезка АВ. •
Замечание: Если А = 0, то это означает, что точки А и М совпа-
дают, если А < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что
точка М долит отрезок АВ внешним образом (А —1, т. к. в противном
случае = —1, т. е. AM + МВ = 0, т. е. АВ = 0).
Площадь треугольника
Требуется найти площадь треугольни-
ка АВС с вершинами Л(а:1;г/1), В(а:2,г/2),
С(ж3;г/з).
Q Решение: Опустим из вершин А, В, С
перпендикуляры AAi, BBt, CCi на ось Ох
(см. рис. 27). Очевидно, что
SABC — SaAxB^B + ЗвгВССг ~ SamcCi
Поэтому
c У1 + Z/2 , ч У2 + Уз , х У\ А уз .
Sabc = —-----(ж2 - Ж1) + —-----(х3 - х2)-----?---(х3-х1) =
= ^(х2У1 - 3712/1 + х2у2 - Хгу2 + х3у2 - х2у2 + х3у3-
- Х2уз - ХзУ! + Х1у1 - ХзУз + Х^з) =
= |(^з(г/2 -г/1) - X! (у2 -г/1) - х2 (у3 -гд) + х^ (у3 - гд)) =
= ^((У2 - У1)(х3 - Х1) - (уз - У1)(х2 - Х1)) = ,
х3 - Xi х2 - Z1 _
Уз ~У1 У2-У1
Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим
S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если
же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.
9.3. Преобразование системы координат
Переход от одной системы координат в какую-либо другую назы-
вается преобразованием системы координат.
61
Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной си-
стемы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зави-
симость между координатами произвольной точки плоскости в разных
системах координат.
Параллельный перенос осей координат
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху.
Под параллельным переносом осей координат понимают переход от си-
стемы координат Оху к новой системе Оргру-,. при котором меняется
положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются
неизменными.
Пусть начало новой системы координат точка имеет коорди-
наты (жо;г/о) в старой системе координат Оху, т. е. 01(жо;2/о)- Обозна-
чим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через
(х,у), а в новой системе Орхру^ через (ж';у') (см. рис. 28).
Рассмотрим векторы
OM = xi+yj, ОО! = xoi + yoj, O1M = x'i + y'j.
Так как ОМ = OOi + OiM, то xi + yj = Xoi + yoj + x'i + y'j, t. e.
x • i + у j = (ar0 + ж') • i + (y0 + y’) j.
Следовательно,
x = x0 + x',
У = Уо +у'-
Полученные формулы позволяют находить старые координаты х
и у по известным новым х' и у1 и наоборот.
Поворот осей координат
Под поворотом осей координат понимают такое преобразование
координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол,
а начало координат и масштаб остаются неизменными.
62
Пусть новая система Oppyi получена поворотом системы Оху на
угол а (см. рис. 29).
Пусть М — произвольная точка плоскости, (ж; у) — ее координаты
в старой системе и (ж'; у1) — в новой системе.
Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и
полярными осями Ох и Ох. (масштаб одинаков). Полярный радиус г в
обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны а + </?
и р, где р — полярный угол в новой полярной системе.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным
имеем
!х = г • cos(a + <д), I х = г cos р cos о — г sin р sin а,
т. е. <
у = г • sin(a + </?), I у = г cos р sin а + г sin р cos а.
Но г cos р х' и г sin р = у1. Поэтому
х = х' cos а — у' sin о,
у = х' sin а + у’ cos а.
|ф| Полученные формулы называются формулами поворота осей.
Они позволяют определять старые координаты (т; у) произвольной
точки М через новые координаты (т';г/') этой же точки М, и наоборот.
Если новая система координат Орхру, получена из старой Оху пу-
тем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом
осей на угол а (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной систе-
мы Oixy легко получить формулы
х = х1 • cos а — у1 • sin а + Xq ,
у = х' • sin а + у1 • cos а + уо,
выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее
новые координаты х1 и у1.
63
§10. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
10.1. Основные понятия
Линия на плоскости часто задается как множество точек, обла-
дающих некоторым только им присущим геометрическим свойством.
Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоско-
сти, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О
(центра окружности).
Введение на плоскости системы координат позволяет определять
положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а
положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е.
равенства, связывающего координаты точек линии).
Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется та-
кое уравнение F(z; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетво-
ряют координаты х vty каждой точки линии и не удовлетворяют коор-
динаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Переменные х ну в уравнении линии называются текущими ко-
ординатами точек линии.
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств ли-
нии заменить исследованием его уравнения.
Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(аг0 ;у0) на данной
линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построе-
ниям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии
в выбранной системе координат.
Пример 10.1. Лежат ли точки А'(—2; 1) и L(l; 1) на линии
2х + у + 3 = 0?
Q Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К,
получим 2 • (—2)+ 1 + 3 = 0. Следовательно, точка К лежит на данной
линии. Точка L не лежит на данной линии, т. к. 2 • 1 + 1 + 3 0. •
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных
уравнениями Fj (х; у) = 0 и Рг(а:;г/) = 0, сводится к отысканию точек,
координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сво-
дится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
Fi(x;z/) = 0,
F2(x;y) = 0.
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пе-
ресекаются.
Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в поляр-
ной системе координат.
64
Уравнение F(r; <р) = 0 называется уравнением данной линии в по-
лярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей
на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.
Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
х = x(t),
У = 2/(0,
(10-1)
где хну — координаты произвольной точки М(х\ у), лежащей на дан-
ной линии, a t — переменная, называемая параметром', параметр t
определяет положение точки (ж; у) на плоскости.
Например, если х = t + 1, у = t2, то значению параметра t = 2
соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х = 2 + 1 = 3, у = 22 = 4.
Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещает-
ся, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется
параметрическим, а уравнения (10.1) параметрическими уравнени-
ями линии.
Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению
вида F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исклю-
{х = t,
путем подстанов-
У = t ,
ки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = х2; или
у — х2 = 0, т. е. вида F(x;y) = 0. Однако, заметим, такой переход не
всегда целесообразен и не всегда возможен.
Линию на плоскости можно задать век- v
торным уравнением г = г (2), где t — ска-
лярный переменный параметр. Каждому I
значению t0 соответствует определенный \М
вектор fo = г(20) плоскости. При изменении
параметра t конец вектора г = г(2) опишет
некоторую линию (см. рис. 31). х
Векторному уравнению линии г = f(t) Рис. 31
в системе координат Оху соответствуют
два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси ко-
ординат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравне-
ния.
Векторное уравнение и параметрические уравнения линии име-
ют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то
указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия —
траекторией точки, параметр t при этом есть время.
Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравне-
ние вида F(x;y) = 0.
3 Конспект лекций по высшей математике Полный курс
65
Всякому уравнению вида Г(.г; у') = 0 соответствует, вообще говоря,
некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением
(выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исклю-
чения. Так, уравнению (х — 2)2 + (г/ — З)2 = 0 соответствует не линия,
а точка (2; 3); уравнению х2 + у2 + 5 =“0 на плоскости не соответствует
никакой геометрический образ).
В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные
задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее урав-
нение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.
На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и ука-
заны их уравнения.
Рис. 32. Окружность радиуса R
Рис. 33. Лемниската
Бернулли
Уравнение в прямоугольных коорди-
натах: (х2 + у2)2 — а2(х2 — у2) = 0,
а > 0; в полярных .координатах:
г = а • \/cos2(^.
Рис. 34. Трехлепестковая
роза
В полярных координатах ее уравне-
ние имеет вид г = а • cos З92, где а > 0.
66
Рис. 35. Улитка Паскаля
Уравнение в полярных координатах имеет вид г = b + acostp.
Рис. 36. Полукубическая
парабола
Уравнение кривой у2 = д3 или
Рис. 37. Астроида
Уравнение в прямоугольных коорди-
2 2 2
натах: хз +уз = аз - параметрические
уравнения:
х — а • cos3 t,
у = а • sin3 t.
Рис. 38. Кардиоида
Уравнение в полярных координатах
имеет вид г — а(1 + cos^?), где а > 0.
Кардиоида — частный случай улитки
Паскаля (а = Ь).
Рис. 39. Спираль Архимеда
Уравнение кривой в полярных коор-
динатах г = где а > 0 — постоян-
ное.
67
Рис. 40. Циклоида
{х = a(t — sint),
где а > 0 Ци-
у = а(1 — cos t),
клоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катя-
щаяся без скольжения по неподвижной прямой.
10.2. Уравнения прямой на плоскости
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания
прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные ви-
ды ее уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не парал-
лельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки
2V(0;b) пересечения с осью Оу
(см. рис. 41).
и углом а между осью Ох и прямой
Под углом а (0 St а < тг) наклона
прямой понимается наименьший угол,
на который нужно повернуть вокруг
точки пересечения прямой и оси Ох
против часовой стрелки ось Ох до ее
совпадения с прямой.
Возьмем на прямой произвольную
точку М(х;у) (см. рис. 41). Проведем
через точку N ось Nx1, параллельную
оси Ох и одинаково с ней направлен-
ную. Угол между осью Nx1 и прямой равен од В системе Nx'y точка
М имеет координаты х и у — Ь. Из определения тангенса угла следует
равенство tgа = , т. е. у = tga-x + b. Введем обозначение tga = к,
получаем уравнение
у = кх 4- Ь,
(10.2)
которому удовлетворяют координаты любой точки М(:г: у) прямой.
Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне
данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.
pyj Число к = tg а называется угловым коэффициентом прямой,
а уравнение (10.2) — уравнением прямой с угловым коэффи-
циентом.
Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следо-
вательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у — кх.
68
Если прямая параллельна оси Ох, то а = 0, следовательно, к =
= tga = 0 и уравнение (10.2) примет вид у = Ь.
Если прямая параллельна оси Оу, то а = уравнение (10.2) те-
ряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент к = tga = tg не
существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид
х = а, (10.3)
где а — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что
уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.
Общее уравнение прямой
Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем
виде
Ах + By + С = 0, (10.4)
где А, В, С - произвольные числа, причем А и В не равны нулю
одновременно.
Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Воз-
можны два случая.
Если В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид Ах + С = 0, причем
С1
А 7^ 0, т. е. х = Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу
и проходящей через точку (“^>0^.
4 Л1
Если В 0, то из уравнения (10.4) получаем у = ~^х — Это
есть уравнение прямой с угловым коэффициентом к = tga =
Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называ-
ется общим уравнением прямой.
Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:
1) если А = 0, то уравнение приводится к виду у = — jj. Это есть
уравнение прямой, параллельной оси Ох;
2) если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;
3) если С = 0, то получаем Ах+Ву = 0. Уравнению удовлетворяют
координаты точки 0(0; 0), прямая проходит через начало координат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении
Пусть прямая проходит через точку 7И(а?о;?/о) и ее направление
характеризуется угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой
можно записать в виде у = кх + Ь, где b — пока неизвестная величина.
Так как прямая проходит через точку Л/(;со; ?/о), то координаты точки
удовлетворяют уравнению прямой: уо = кхо + Ь. Отсюда b = уо — кхп.
69
Подставляя значение b в уравнение у — кх + Ь, получим искомое урав-
нение прямой у = кх + уо — кхо, т. е.
У ~ Уо = к(х - аг0).
(10.5)
Уравнение (10.5) с различными значениями к называют также
уравнениями пучка прямых с центром в точке М(хо: уо). Из этого пуч-
ка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через точки Му(ху:уу] и Уз)- Урав-
нение прямой, проходящей через точку Mi, имеет вид
y-yi = к(х - Xi),
(10.6)
где к — пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит через точку AGfe; J/2), то координаты
этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6): y?—yi = k(x2~xi).
Отсюда находим к = . Подставляя найденное значение к в урав-
нение (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки Mi
И М2'
(Ю.7)
У -yi _ х - XI
У2 -У1 Х2-Х1'
Предполагается, что в этом уравнении Xi х%, yi у%-
Если Х2 = Xi, то прямая, проходящая через точки Mi(xi;yi) и
М2(х2',У2), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = Xi.
Если у2 = yi, то уравнение прямой может быть записано в виде
у = У1, прямая Mi М2 параллельна оси абсцисс.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть прямая пересекает ось Ох в точке Mi (а; 0), а ось Оу — в
точке A WO; Ь) (см. рис. 42). В этом случае уравнение (10.7) примет вид
у -о
Ь-0
х — а
0 — а’
т. е.
Это уравнение называется уравнением
прямой в отрезках, так как числа а и b
указывают, какие отрезки отсекает пря-
мая на осях координат.
70
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку
Мо(хо;уо) перпендикулярно данному ненулевому вектору п = (А-,В).
Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим
вектор MqM = (ж — Хо'у — уо) (см. рис. 43). Поскольку векторы п
и MqM перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:
п MqM = 0, то есть
А(х - аг0) + В(у - уо) = 0. (10.8)
Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через за-
данную точку перпендикулярно заданному вектору.
Вектор п — (А; В), перпендикулярный прямой, называется нор-
мальным вектором этой прямой.
Уравнение (10.8) можно переписать в виде
Ах + By + С = 0, (10.9)
где А и В — координаты нормального вектора, С = — Ах(1 — Вуо — сво-
бодный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой
(см. (10.4)).
Полярное уравнение прямой
Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение
можно определить, указав расстояние р от полюса О до данной прямой
и угол а между полярной осью ОР и осью I, проходящей через полюс
О перпендикулярно данной прямой (см. рис. 44).
Для любой точки М(г; на данной прямой имеем:
npz ОМ = р.
71
С другой стороны,
прг ОМ = |ОМ| • cos(a — <р) = г • cos(p — а).
Следовательно, ----------------
т cos(<p — а) = р.
(10.10)
Полученное уравнение (10.10) и есть уравнение прямой в полярных ко-
ординатах.
Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая определяется заданием р и а (см. рис. 45). Рассмо-
трим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систе-
му, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно
записать в виде
г cos(<p — а) — р = 0, т. е. т • cos <р cos а + т sin <р sin а — р = 0.
Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные коорди-
наты, имеем: rcostp = ж, rsinip = у. Следовательно, уравнение (10.10)
прямой в прямоугольной системе координат примет вид
х cos а + у • sin а — р = 0.
Рис. 45
(10.11)
Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой.
Покажем, как привести уравнение
(10.4) прямой к виду (10.11).
Умножим все члены уравнения
(10.4) на некоторый множитель А 0.
Получим АЛх + ХВу + АС = 0. Это
уравнение должно обратиться в урав-
нение (10.11). Следовательно, должны
выполняться равенства: ХА = cos а,
ХВ = sin а, АС = —р. Из первых двух
равенств находим
”2 „ е
1
А2А2 + А2В2 = cos2 а + sin2 а,
у/А2 + В2 '
Множитель А называется нормирующим множителем. Согласно тре-
тьему равенству АС = — р знак нормирующего множителя противопо-
ложен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.
Пример 10.2. Привести уравнение — Зх + 4у + 15 = 0 к нормаль-
ному виду.
1
Решение: Находим нормирующий множитель А = ——
= — ^. Умножая данное уравнение на А, получим искомое нормальное
о Л
уравнение прямой: — 3 = 0. •
D и
72
10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между двумя прямыми и условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых
Пусть прямые Li и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффи-
циентами у = к^х + bi и у — к^х + 62 (см. рис. 46).
Требуется найти угол р, на который
надо повернуть в положительном напра-
влении прямую Li вокруг точки их пере-
сечения до совпадения с прямой Тг-
Решение: Имеем аг — Р + Qi (теорема
о внешнем угле треугольника) или р =
= «г — од- Если р то
tg¥> = tg(a2 - ai) =
tg a2 - tg ai
1 + tgai • tga2
Ho tgai = ki, tga2 = k2, поэтому
&2 - ki
(10.12)
откуда легко получим величину искомого угла.
Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учиты-
вая, какая прямая является первой, какая — второй, то правая часть
формулы (10.12) берется по модулю, т. е. tg 11 | •
|©| Если прямые Li и L2 параллельны, то р = 0 и tgy> = 0. Из форму-
лы (10.12) следует к2 — ki = 0, т. е. А'г = fci. И обратно, если прямые
Li и L2 таковы, что ki = &2, то tg(/? = 0, т. е. прямые параллельны.
Следовательно, условием параллельности двух прямых является ра-
венство их угловых коэффициентов: ki = к-2-
|©| Если прямые Li и L2 перпендикулярны, то <р = . Следовательно,
ctgw = 1 ' ^2 _ 0. Отсюда 1 + &! • &2 = 0, т. е. fcj • &2 = — 1
к2 - ki
(или к2 = — Л-). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом,
условием перпендикулярности прямых является равенство ki-k2 = — 1.
Расстояние от точки до прямой
Пусть заданы прямая L уравнением Ах + By + С = 0 и точка
Mo(xQ-,yo) (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от точки Мц до
прямой L.
73
Ci Решение: Расстояние d от точки Mq до прямой L равно модулю про-
екции вектора М\М0, где Mi(xi;yi) — произвольная точка прямой L,
С = — Axi — Вух. Поэтому
на направление нормального вектора
п = (А; В). Следовательно,
, । * и । М^М0 п
d = I пр™ Л^1М)| = --п---- =
|п|
_ |(ж0 - Ж!)А + (уо - yi)B| _
>/А2 + В2
_ | Аж0 + Ву0 - Аж1 - Вуг |
VA2 + В2
Так как точка Mi(xi-,yi) принадлежит
прямой L, то Аж1 + Byi + С = 0, т. е.
, _ |Ажр + Вуд + С|
у/А2 + В2
(10.13)
что и требовалось получить.
Пример 10.3. Найти расстояние от точки Л/р(2; —1) до прямой
Зж + 4у — 22 = 0.
Ci Решение: По формуле (10.13) получаем
_ |3 • 2 + 4 • (-1) - 22| _ 20 _
х/9 + 16 5
§11. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА плоскости
11.1. Основные понятия
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени от-
носительно текущих координат
Аж2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0. (11.1)
Коэффициенты уравнения — действительные числа, но по крайней ме-
ре одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называ-
ются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено,
что уравнение (ПА) определяет на плоскости окружность, эллипс, ги-
перболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению,
изучим свойства перечисленных кривых.
74
11.2. Окружность
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напо-
мним, что окружностью радиуса R с центром в точке Мо назы-
вается множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию
М0М = R. Пусть точка Мо в пря-
моугольной системе координат
Оху имеет координаты хо,уо, а
М (х; у) — произвольная точка
окружности (см. рис. 48).
Тогда из условия MqM = R по-
лучаем уравнение
У(ж - аг0)2 + (У - J/o)2 = R,
то есть
(Ж-Жо)2 + (7/-№)2 = Д2.| (11.2)
Уравнению (П-2) удовлетворя-
ют координаты любой точки
М(х: у) данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой
точки, не лежащей на окружности.
Уравнение (11-2) называется каноническим уравнением окружно-
сти.
В частности, полагая жо = 0 и уо = 0, получим уравнение окруж-
ности с центром в начале координат х2 + у2 = R2.
Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований
примет вид х2 + у2 - 2жож - 2уоУ + жо + Уо ~ R2 = 0- При сравнении этого
уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко
заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:
1) коэффициенты при х2 и у2 равны между собой;
2) отсутствует член, содержащий произведение ху текущих коор-
динат.
Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11-1) значе-
ния В = 0иА = С^0, получим
Ах2 + Ау2 + ‘IDx + 2Еу + F = 0.
(П-3)
Преобразуем это уравнение:
х2 + у2 + 2—х + 2—у + -г=0,
А А А
т. е.
9 ~ 2D
D2 9 Е Е2 F D2 Е2
12 +У +2Лу+12 + А ~ А2 “°’
75
т. е.
D\2 ( Е\2 Е2 D2 F
X Ч-- I + ( У Ч-- I — —у Ч-73-7-
А) \ AJ А2 А2 А
(П-4)
Отсюда следует, что уравнение (11-3) определяет окружность при уело-
1д2 г^2 тр / г~\ тр\
вии —г + ~ > 0. Ее центр находится в точке Oi ( — ), а
А А А * \ А А/
радиус _____________
/ т-j 2 ТА
у А2 А2 А
тд2 Г) 2 7?
Если же Ч- — Д- = 0, то уравнение (11-3) имеет вид
А А А
D\2 / Е\2
1+л) + (»+ л) =0-
Ему удовлетворяют координаты единственной точки Oi В
этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой
радиус).
Если < +
А А
— < 0, то уравнение (11.4), а следовательно,
и равносильное уравнение (11-3), не определяет никакой линии, так
как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть — не
отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).
11.3. Эллипс
У Р2(с-,Ъ) х
Рис. 49
М(х,у)
F^-c-0)
Каноническое уравнение эллипса
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма
расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плос-
кости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая,
чем расстояние между фокусами. 1
Обозначим фокусы через F| и F>,
расстояние между ними через 2с, а
сумму расстояний от произвольной
точки эллипса до фокусов — через 2а
(см. рис. 49). По определению 2а > 2с,
т. е. а > с.
Для вывода уравнения эллипса
выберем систему координат Оху так,
чтобы фокусы Fi и F> лежали на оси Ох, а начало координат совпа-
дало с серединой отрезка F1F2. Тогда фокусы будут иметь следующие
координаты: Fi(-c;0) и F2(c;0).
76
Пусть М(х\ у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно
определению эллипса, MFi + MF2 = 2а, т. е.
i/(x + c)2+y2 + У (ж - с)2 + у2 = 2а. (11.5)
Это, по сути, и есть уравнение эллипса.
Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим
образом:
^/(я? 4- с)2 + у2 = 2 а — у/(х — с)2 + у2,
х2 + 2сх + с2 + у2 = 4а2 — 4а \/(х - с)2 + у2 + х2 — 2сх + с2 + у2,
ау/ (ж — с)2 + у2 = а2 — сх,
а2х2 — 2а2 сх + а2 с2 + а2у2 = а4 — 2а2 сх + с2ж2,
(а2 — с2)т2 + а2у2 = а2(а2 — с2).
Так как а > с, то а2 — с2 > 0 Положим
(П-6)
Тогда последнее уравнение примет вид Ь2х2 + а2у2 = а2Ь2 или
а2-с2=Ь2.
х2 у2
----И — = 1
а2 Ъ2
(П-7)
Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному
уравнению. Оно называется каноническим уравнением эл-
липса.
Эллипс — кривая второго порядка.
Исследование формы эллипса по его уравнению
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравне-
нием.
1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, по-
этому если точка (х\ у) принадлежит эллипсу, то ему также принадле-
—у). Отсюда следует, что эллипс сим-
жат точки (ж;— у), (—х;у), (—х;
метричен относительно осей Ох
и Оу, а также относительно точ-
ки 0(0; 0), которую называют цен-
тром эллипса.
2. Найдем точки пересечения
эллипса с осями координат. По-
ложив у = 0, находим две точки
Ai(a;0) и А2(—а; О'), в которых ось
Ох пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнении (11-7) х = О,
находим точки пересечения эллипса с осью Оу: Bi(O;b) и Вг(0; — Ь).
Точки Ai, А2, By, В2 называются вершинами эллипса. Отрезки А1А2 и
77
В1В2, а также их длины 2а и 2Ь называются соответственно большой и
малой осями эллипса. Числа а и Ь называются соответственно большой
и малой полуосями эллипса.
3. Из уравнения (11-7) следует, что каждое слагаемое в левой части
т2 и2
не превосходит единицы, т. е. имеют место неравенства 1 и < 1
а b
или —а ^х^аи-b^y^b. Следовательно, все точки эллипса лежат
внутри прямоугольника, образованного прямыми х = ±а, у = ±6.
2 „2
4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых л и
равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого дру-
гое будет уменьшаться, т. е. если |аг| возрастает, то |j/| уменьшается и
наоборот.
Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на
рис. 50 (овальная замкнутая кривая).
Дополнительные сведения об эллипсе
Форма эллипса зависит от отношения . При b = а эллипс превра-
щается в окружность, уравнение эллипса (11-7) принимает вид ж2 +у2 =
= а2. В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются от-
ношением -.
а
Отношение половины расстояния между фокусами к большой
полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и
обозначается буквой е («эпсилон»):
(И-8)
причем 0 < е < 1, так как 0 < с < а. С учетом равенства (П-6) формулу
(11.8) можно переписать в виде
т. е.
Е =
и - = i/l ~ £2-
а
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс бу-
дет менее сплющенным; если положить е = 0, то эллипс превращается
в окружность.
Пусть М(х;у) — произвольная точка эллипса с фокусами Fi и
F} (см. рис. 51). Длины отрезков F^M = гг и F2M = г2 называются
фокальными радиусами точки М. Очевидно,
ri + г2 = 2а.
78
Имеют место формулы
Прямые х — ±“ называются директрисами эллипса. Значение
директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.
Теорема 11.1. Если г — расстояние от произвольной точки эллипса
до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от этой же точки до соответ-
ствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная
величина, равная эксцентриситету эллипса: — £.
Из равенства (П-6) следует, что а > Ь. Если же а < Ь, то уравне-
ние (11-7) определяет эллипс, большая ось которого 2Ь лежит на оси
Оу, а малая ось 2а — на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса
находятся в точках Fi(0;c) и Ег(0; —с), где с = л/^2 — а2.
11.4. Гипербола
Каноническое уравнение гиперболы
Гиперболой называется множе-
ство всех точек плоскости, мо-
дуль разности расстояний от ка-
ждой из которых до двух данных то-
чек этой плоскости, называемых фо-
кусами, есть величина постоянная,
меньшая, чем расстояние между фо-
кусами.
Рис. 53
79
Обозначим фокусы через Fi и F2, расстояние между ними через 2с,
а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов
через 2а. По определению 2а < 2с, т. е. а < с.
Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Оху
так, чтобы фокусы Fi и F2 лежали на оси Ох, а начало координат
совпало с серединой отрезка FiF2 (см? рис. 53). Тогда фокусы будут
иметь координаты Fi(—с;0) и F2(c;0).
Пусть М(х;у) — произвольная точка гиперболы. Тогда согласно
определению гиперболы \MFi — MF2| = 2а или MFi — MF2 = ±2а,
т. е. ^/(а; + с)2 + у2 — у/(х — с)2 + у2 = ±2а. После упрощений, как это
было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое
уравнение гиперболы
ж2 _ = 1
а2 62 - ’
(И-9)
где
Ь2=с2 — а2.
(11.10)
Гипербола есть линия второго порядка.
Исследование формы гиперболы по ее уравнению
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравне-
нием.
1. Уравнение (11-9) содержит х и у только в четных степенях. Сле-
довательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу,
а также относительно точки 0(0; 0), которую называют центром ги-
перболы.
2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Поло-
жив у = 0 в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гипербо-
лы с осью Ох: Л1(а;0) и Л2(—а;0). Положив х = 0 в (11.9), получаем
у2 — —Ь2, чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не
пересекает.
Точки nj(a;0) и Л2(—а;0) называются вершинами гиперболы, а
отрезок AiА? = 2а — действительной осью, отрезок OAi =
= ОА2 = а — действительной полуосью гиперболы.
Отрезок В1В2 (В1В2 = 26), соединяющий точки Bi(0; 6) и В2(0; —6)
называется мнимой осью, число b — мнимой полуосью. Пря-
моугольник со сторонами 2а и 26 называется основным прямоуголь-
ником гиперболы. 2
3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое не меньше
2 а
единицы, т. е. что 1 или |а?| а. Это означает, что точки гипербо-
лы расположены справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы) и
слева от прямой х = —а (левая ветвь гиперболы).
80
4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда |ж| возрастает,
2 V2
то и |у| возрастает. Это следует из того, что разность сохраняет
постоянное значение, равное единице.
Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную
на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).
Асимптоты гиперболы
Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой JC, ес-
ли расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к нулю
при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала ко-
ординат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты:
прямая L является асимптотой для кривой К.
2 у.2
Покажем, что гипербола — ут = 1 имеет две асимптоты:
а о
b b
у = —х и у —------X.
а а
(ПИ)
Так как прямые (11.11) и гипербола (П-9) симметричны относительно
координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки ука-
занных линий, которые расположены в первой четверти.
Возьмем на прямой у = ^х точку N имеющей ту же абсциссу х,
что и точка М(ж; у) на гиперболе у = — а2 (см. рис. 56), и найдем
разность MN между ординатами прямой и ветви гиперболы:
MN = ~х — - \Лс2 — а2 = — (х — V'ж2 — а2) =
а а а
b (х — у/х2 — а2) (х + yjx2 — а2)
а х + у/х2 — а2
b а2 аЪ
а х + у/х2 — а2 х + у/х2 — а2
81
Рис 55
Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается;
числитель — есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка
MN стремится к нулю. Так как MN больше расстояния d от точки М
до прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые у = ±-а?
При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить
основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 57), провести пря-
мые, проходящие через противоположные вершины этого прямоуголь-
ника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины Ai и Л> гиперболы.
Уравнение равносторонней гиперболы,
асимптотами которой служат оси координат
Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси
равны (а = Ь). Ее каноническое уравнение
х2 — у2 = а2. (11.12)
Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения у = х и у= —х
и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.
Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат
Ох'у' (см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат
82
на угол а = Используем формулы поворота осей координат (их
вывод показан на с. 63):
х = х' cos а — у' sin а,
у = х' sin а + у' cos а.
Подставляем значения х и у в уравнение (11.12):
I , I 7Г\ , . ( 7Г \ \2 / , . / 7Г\ , / 7Г \ \ 2 2
(ж cos^— — J — у sm^— — j J — (ж sin^- — j+y cos^—— J J =a ,
|(ж' + у')2 - |(-ж' + у')2 = a2, x' - у' =(^~, или у' =
2
где к = у.
Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу
к
являются асимптотами, будет иметь вид у = —.
Дополнительные сведения о гиперболе
Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение
расстояния между фокусами к величине действительной оси ги-
перболы, обозначается г:
с
е = -.
а
Так как для гиперболы
с > а, то эксцентриситет гиперболы боль-
ше единицы: е > 1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы.
7 г 2
Действительно, из равенства (11.10) следует, что = %• — 1, т. е.
- = у/е2 ~ 1 и е = </1 + f—') .
а у \а/
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем
меньше отношение — ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основ-
ной прямоугольник.
Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен у/2. Действи-
тельно, ,____ ________
с у/а2 + а2 2а2 г
е = - =----------= О— = у/2.
а а V а
Фокальные радиусы ri = у/(х + с)2 + у2 иг2 = у/(х — с)2 + у2 для
точек правой ветви гиперболы имеют вид п = ex + а и гг = ех — а, а
для левой — ri = — (ех + а) и гг = — (ех — а).
Прямые х = называются директрисами гиперболы. Так как
для гиперболы е > 1, то < а. Это значит, что правая директриса
расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая —
между центром и левой вершиной.
83
Директрисы гиперболы имеют то же свойство = е, что и дирек-
трисы эллипса.
д2 2
Кривая, определяемая уравнением гт — щт = 1, также есть гипер-
b а
бола, действительная ось 26 которой расположена на оси Оу, а мнимая
ось 2а — на оси Ох. На рисунке 59 она изображена пунктиром.
Рис. 59
2 2 2 2
Очевидно, что гиперболы — = — 2^ = 1 имеют общие
a b о а
асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
11.5. Парабола
Каноническое уравнение параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из
которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и
данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до
директрисы называется параметром параболы и обозначается через р
(р > 0).
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху
так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно дирек-
трисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О рас-
положим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В
выбранной системе фокус F имеет координаты а УРавнеиие Ди-
ректрисы имеет вид х = или х + = 0.
84
Пусть М(х;у) — произвольная точка параболы. Соединим точку
М с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно
определению параболы MF = MN. По формуле расстояния между
двумя точками находим:
MF=yJ(x-^ + у2, a MN = (х + + (у - у)2.
Следовательно,
у (* Ю +у2 = у (*+2) •
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
х2 — рх + + у2 = х2 + рх + ,
у2 = 2рх.
(11.13)
Уравнение (11.13) называется каноническим уравнением параболы. Па-
рабола есть линия второго порядка.
Рис. 60
Рис. 61
Исследование форм параболы по ее уравнению
1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, зна-
чит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью
симметрии параболы.
2. Так как р > 0, то из (11.13) следует, что х 0. Следовательно,
парабола расположена справа от оси Оу.
3. При х = 0 имеем у = 0. Следовательно, парабола проходит через
начало координат.
4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограничен-
но возрастает. Парабола у2 = 2рх имеет вид (форму), изображенный
на рисунке 61. Точка 0(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок
FM = г называется фокальным радиусом точки М.
85
Уравнения у2 = — 2рх, х2 = 2ру, х2 = —Ъру (р > 0) также опреде-
ляют параболы, они изображены на рисунке 62.
Рис 62
Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена у — Ах2 +
+ Вх + С, где А У 0, В и С любые действительные числа, представляет
собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.
11.6. Общее уравнение линий второго порядка
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии,
параллельными координатным осям
Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке 01(ад;Ро),
оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и
полуоси соответственно равны а и Ь. Поместим в центре эллипса Oi
начало новой системы координат Oix'y', оси которой О\х' и Oiy' па-
раллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними напра-
вленны (см. рис. 63).
В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид
,2 ,2
X У
----F — = 1.
а2 Ь2
Так как х' = х — хо, у' = х — у0 (формулы параллельного переноса, см.
с. 62), то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в
виде , .2 / >2
(х-х0)2 (у - уоу =
л а2 Ь2
Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром
в точке Oi(a?o;?/o) и полуосями а и b (см. рис. 64):
(х - а?о)2 _ (у - уо)2 =
а2 Ь2
И, наконец, параболы,, изображенные на рисунке 65, имеют соответ-
ствующие уравнения.
86
(j/ -Уо)2 = 2р(х-х0)
Рис. 65
Уравнение Ах2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружно-
сти (х — а?о)2 + (у — Уо)2 = R2 после преобразований (раскрыть скобки,
перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные чле-
ны, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с
помощью единого уравнения вида
Ах2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О, (П-14)
где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет од-
ну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго по-
рядка? Ответ дает следующая теорема.
87
Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет, либо окружность
(при А — С), либо эллипс (при А С > 0), либо гиперболу (при
А-С < 0), либо параболу (при А-С = 0). При этом возможны случаи
вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эл-
липс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых,
для параболы — в пару параллельных прямых.
Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной
уравнением 4а;2 + Ъу2 + 20а; — 30;у + 10 = 0.
Q Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс (Л-С = 4-5 >
> 0). Действительно, проделаем следующие преобразования:
4^х2 + 5х + + 5(у2 - бу + 9) - 25 - 45 + 10 = 0,
/ 5)2
4(х+ |)2 + 5^ - 3)2 = 6°, + = 1.
Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в Oi з) и
полуосями а = \/15 и b = у/12. •
Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной
уравнением х2 + 10х — 2у 4-11 = 0.
Q Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Дей-
ствительно,
х2 + 10х + 25 - 2у + 11 - 25 = 0,
(х + 5)2 = 2у + 14, (х + 5)2 = 2(у + 7).
Получилось каноническое уравнение параболы' с вершиной в точке
Oi (—5; — 7) и р = 1. *
Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной
уравнением 4х2 - у2 + 8х — 8у - 12 = 0 (Л С = -4 < 0).
Q Решение: Преобразуем уравнение:
4(х2 + 2х + 1) - (у2 + 8у + 16) - 4 + 16 - 12 = 0,
4(х + I)2 - (у + 4)2 = 0,
(2(х + 1) + [у + 4)) • (2(х + 1) - [у + 4)) = 0,
(2х + у + 6)(2х - у - 2) = 0.
88
Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2х + у + 6 = О
и 2х — у — 2 = 0. •
Общее уравнение второго порядка
Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неиз-
вестными:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0. (11.15)
Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением
координат (В 0). Можно, путем поворота координатных осей на угол
а, преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением
координат отсутствовал.
Используя формулы поворота осей (с. 63)
х = х' cos а — у' sin а, у = х' sin а + у' cos а,
выразим старые координаты через новые:
А(а/ cos а — у' sin а)2 + 2В(х' cos а — у' sin а) (я/ sin а + у1 cos а)+
+ С(х' since + у' cos а)2 + 2D (х1 cos а — y'sina)+
+ 2Е(х' sin а + у' cos а) + F = 0.
Выберем угол а так, чтобы коэффициент при х' у1 обратился в
нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство
—2А cos a sin а + 2B(cos2 а — sin2 се) + 2С sin се cos се = 0,
т. е.
(С-A)sin2ce + 2Bcos2ce = 0, (11.16)
т. е.
2В cos 2се = (А — С) sin 2се.
Отсюда 2п
Таким образом, при повороте осей на угол се, удовлетворяющий
условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).
Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15) определяет на
плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следу-
ющие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.
Замечание: Если А = С, то уравнение (11.17) теряет смысл. В этом
случае cos2ce = 0 (см. (11.16)), тогда 2се = 90°, т. е. се = 45°. Итак, при
А = С систему координат следует повернуть на 45°.
Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Лекции 10-12
§12. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
12.1. Основные понятия
Поверхность и ее уравнение
Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать
как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо
условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке Oi есть гео-
метрическое место всех точек пространства, находящихся от точки Oi
на расстоянии R.
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволя-
ет установить взаимно однозначное соответствие между точками про-
странства и тройками чисел х, у и z — их координатами. Свойство,
общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, свя-
зывающего координаты всех точек поверхности.
Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе
координат Oxyz называется такое уравнение F(x, y,z) — 0 с тремя
переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой
точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты то-
чек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении
поверхности называются текущими координатами точек поверх-
ности.
Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических
свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для
того, чтобы узнать, лежит ли точка Mi (тц; у1; zi) на данной поверхно-
сти, достаточно подставить координаты точки Mi в уравнение поверх-
ности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют урав-
нению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не
лежит.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке Oi (хо'Уо- Zq).
Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(ац у, z) от
центра Oi(zo;yo,’zo) равно радиусу R, т. е. OiM = R. Но OiM =
где OiМ = (х — Хо',у — Уо', z — z0). Следовательно,
у/(х - х0)2 + (у- уо)2 + (z - z0)2 = R
90
или
(ж - Zo)2 + (у - Уо)2 + (z - z0)2 = R2-
Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты
любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на
данной сфере.
Если центр сферы Oi совпадает с началом координат, то уравнение
сферы принимает вид х2 + у2 + z2 = В?.
Если же дано уравнение вида F(x; у; z) = 0, то оно, вообще говоря,
определяет в пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях
уравнение F(z; у; z) ~ 0 может определять не поверхность, а точку, ли-
нию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говоря!,
«поверхность вырождается».
Так, уравнению 2х2 + у2 + z2 4- 1 = 0 не удовлетворяют никакие
действительные значения х, у, z. Уравнению 0 • х2 + у2 + z2 = 0 удовле-
творяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения
следует: у = 0, z = 0, а х любое число).
Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и
аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:
1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти урав-
нение этой поверхности.
2. Дано уравнение F(x\ у, z) = 0. Исследовать форму поверхности,
определяемой этим уравнением.
Уравнения линии в пространстве
Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересе-
чения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место
точек, общих двум поверхностям.
Если Fi (.г: у; z) = 0 и Fz(x;y;z) = 0 — уравнения двух поверхно-
стей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удо-
влетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
fF1(x;y;z)=0,
]F2(x-,y;z) = Q. С
|£| Уравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в
( у = 0,
пространстве. Например, < есть уравнения оси Ох.
I z = 0
Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию дви-
жения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным урав-
нением
г = f(t) (12.2)
91
или параметрическими уравнениями
х — x(t),
' У = y(t),
S = 2(t)
проекций вектора (12.2) на оси координат.
Например, параметрические уравнения винтовой линии имеют
вид (
I х = Rcost,
)y~Rs\nt,
р= At
Z7T
Если точка М равномерно движется по образующей кругового ци-
линдра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М
описывает винтовую линию (см. рис. 68).
12.2. Уравнения плоскости в пространстве
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в про-
странстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них
соответствует определенный вид ее уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой
Mo(xQ-,yo\zo) и вектором п = (Л;В;С), перпендикулярным этой плос-
кости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней
произвольную точку M(x-,y;z) и составим вектор
М0М = (х - х0 -,у - y0;z - zo).
92
При любом расположении точки М на плоскости Q векторы п и
MqM взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение
равно нулю: п MqM = 0, т. е.
Т(ж - жо) + В(у - у0) + C(z - z0) = оГ[ (12.3)
Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению
(12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравне-
нию не удовлетворяют (для них п М0М 0).
Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, прохо-
дящей через данную точку Mo(zo; ?/□; zq) перпендикулярно
вектору п = (А; В; С). Оно первой степени относительно текущих
координат х, у и z. Вектор п = (А;В;С) называется нормальным
вектором плоскости.
Придавая коэффициентам А, В к С уравнения (12.3) различные
значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей
через точку Mq. Совокупность плоскостей, проходящих через данную
точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) — уравнени-
ем связки плоскостей.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными
х, у и z:
Ax + By + Cz + D = 0. (12.4)
93
Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не
равен нулю, например В 0, перепишем уравнение (12.4) в виде
А(х-0) + в(у + ^- ) + C(z —0) = 0. (12.5)
\ н /
Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что урав-
нения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным
вектором п = (А; В; С), проходящей через точку
Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz не-
которую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравне-
нием плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1. Если D = 0, то оно принимает вид Ах + By 4- Cz = 0. Этому
уравнению удовлетворяет точка 0(0;0;0). Следовательно, в этом слу-
чае плоскость проходит через начало координат.
2. Если С = 0, то имеем уравнение Ах + By + D = 0. Нормальный
вектор п — (А; В; 0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плос-
кость параллельна оси Oz- если В = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 —
параллельна оси Ох.
3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через 0(0; 0; 0) парал-
лельно оси Oz, т. е. плоскость Ах + By — 0 проходит через ось Oz.
Аналогично, уравнениям By + Cz = 0 и Ах + Cz = 0 отвечают плоско-
сти, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.
4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид Cz + 0 = 0,
т. е. z = Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично,
уравнениям Ах + D = 0 и By + 0 = 0 отвечают плоскости, соответ-
ственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.
5. Если А = В = О = 0, то уравнение (12.4) примет вид Cz = 0, т. е.
z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение
плоскости Oxz-, х = 0 — уравнение плоскости Oyz.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют
единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей
через три данные точки AG (24; ?/i; zi), М2(х2-, у2- £2) и М3(хз; уз; Z3), не
лежащие на одной прямой.
Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим
векторы МуМ = (х - 24; у — у^, z - zr), MtM2 = (х2- хг;у2 -уу, z2- Zi),
Mi М3 = (хз — Xi; уз — у у, Z3 — Zi). Эти векторы лежат на плоскости Q,
следовательно, они компланарны. Используем условие компланарно-
сти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем
94
MrM МгМ2 МгМ3 = О, т. е.
x-xi у ~У1 z -Z1
Х2 - X! У2 ~ У1 Z2 - Z1
Хз -Х1 Уз - У1 Z3 - Z1
(12-6)
Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три дан-
ные точки.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно
отрезки а, b и с, т. е. проходит через три точки Л(а;0;0), В(0;Ь;0) и
(7(0; 0; с) (см. рис. 70).
Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем
У
b
= 0.
Раскрыв определитель, имеем bcx — abc 4- abz + асу = 0, т. е. Ьсх + асу +
Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрез-
ках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
Положение плоскости Q вполне определяется заданием единично-
го вектора ё, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного
на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра
(см. рис. 71).
95
г е — р = 0.
zcosa -+- у cos/3 + z cos7 — р = 0.
Пусть OK = р, а а, (3, у — углы, образованные единичным век-
тором ё с осями Ох, Оу и Oz. Тогда ё = (cosa; cos/3; cos 7). Возьмем
на плоскости произвольную точку M(x‘,y,z) и соединим ее с началом
координат. Образуем вектор г = ОМ = (ж; у, z).
При любом положении точки М на, плоскости О проекция радиус-
вектора г на направление вектора ё всегда равно р: нре- г = р, т. е.
(12-8)
Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости
в векторной форме. Зная координаты векторов г и ё, уравнение (12.8)
перепишем в виде
(12-9)
Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плос-
кости в координатной форме.
Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к
нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения
прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4)
на нормирующий множитель А = —2 2 ’ где знак берется
противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плос-
кости.
12.3. Плоскость. Основные задачи
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности
и перпендикулярности двух плоскостей
Пусть заданы две плоскости Qi и Q2:
х 4- Biy + Ci z + Dy — 0,
А2Х + В2У 4- C2Z + D2 — 0.
Под углом между плоскостями Qi и понимается один из
двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Угол ip между нормальными векторами П] = (Ai; Bi; Ci) и n2 =
= (А2;-#2; Сг) плоскостей Qi и Q2 равен одному из этих углов (см.
рис. 72). Поэтому costp = |.^ ' । или
Ai А2 + Bi В2 + Ci С2
cos. = —, ---.
УА2 + Bl + Cl yjA% + B22 + Cl
Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.
Если плоскости*Qi и Q-> перпендикулярны (см. рис. 73, а), то та-
ковы же их нормали, т. е. fi.] ± п2 (и наоборот). Но тогда fi.i • п2 = 0,
96
т. е. Ai Аг + В\В> 4- С1С2 = 0. Полученное равенство есть условие пер-
пендикулярности двух плоскостей Qi и Q^.
Если плоскости Qi и Q-} параллельны (см. рис. 73, б), то будут
параллельны и их нормали fi\ и n-z (и наоборот). Но тогда, как известно,
координаты векторов пропорциональны: 41 = 4U = S1. Это и есть
Л'2 £>2 г>2
условие параллельности двух плоскостей Q\ и СВ-
Расстояние от точки до плоскости
Пусть задана точка Mg(xg; yg; Zg) и плоскость Q своим уравнением
Ах + By + Cz + D = 0. Расстояние d от точки Мо до плоскости Q
находится по формуле
_ |Az0 + Вуд + С Zg + _D|
V^ + B2 + C2
Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от
точки М0(хд-, уд) до прямой Ах + By + С = 0 (см. с. 73).
Расстояние d от точки Мд до плоскости Q равно модулю проек-
ции вектора MiMg, где Mi(xi— произвольная точка плоскости
Q, на направление нормального вектора п = (А; В; С) (см. рис. 74).
Следовательно,
d=\прй AfiAfol =
М1 Мд П
|Й|
|(а~0 —Ж1)А+(т/0 —7/1)B + (z0 —z1)C| _
VA2 + B2 + C2
__ \Axg + Byg+Czg-Ax1-By1~Cz1\
VA2+B2+C2
А так как точка Afi(zi; yi',zi) принадлежит плоскости Q, то
Axi + Byi + Czi + D = 0, т. e. D = — Axi — By} — Cz\.
Поэтому d = + ^z° + ^1. Отметим, что если плоскость Q
У А2 + В2 + С2
задана уравнением .г cos о -Т у cos /3 + ZCOS7 — р = 0, то расстояние от
4 Конспект лекции по высшей математике Полный курс
97
точки М0(х0; Уо', го) до плоскости Q может быть найдено по формуле
d = |z0 cos а + уо cos /? + zq cos 7 — p|.
Рис. 74
Рис. 75
12.4. Уравнения прямой в пространстве
Векторное уравнение прямой
Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать
какую-либо точку Mq на прямой и вектор S, параллельный этой
прямой. Вектор S называется направляющим вектором прямой.
Пусть прямая L задана ее точкой Мо(хо',Уо', £□) и направляющим векто-
ром S = (т; п-,р). Возьмем на прямой L произвольную точку М(х\ у; z).
Обозначим радиус-векторы точек Мо и М соответственно через г0 и г.
Очевидно, что три вектора Го, г и MqM связаны соотношением
г = го + MqM . (12.10)
Вектор MqM, лежащий на прямой L, параллелен направляюще-
му вектору S, поэтому MqM = tS, где t — скалярный множитель,
называемый параметром, может принимать различные значения в за-
висимости от положения точки М на прямой (см. рис. 75).
Уравнение (12.10) можно записать в виде
(12-11)
Полученное уравнение называется векторным уравнением
прямой.
Параметрические уравнения прямой
Замечая, что f = (x;y;z), f0 = (хо',Уо', zq), tS = (tm;£n;tp), уравне-
ние (12.11) можно записать в виде
ап + yj + zk = (xq 4- tm)i 4 (у0 + tri)j 4- (z0 4- tp)k.
г = r0 4- tS.
98
Отсюда следуют равенства:
х — Хо 4- mt,
< У = Vo+nt,
Z = Z0 + pt.
(12.12)
Они называются параметрическими уравнениями прямой в простран-
стве.
Канонические уравнения прямой
Пусть S = (пг,п-,р) — направляющий вектор прямой L
и Mq(xo', Уо, zq) — точка, лежащая на этой прямой. Вектор МрМ, соеди-
няющий точку Mq с произвольной точкой М(ж; у; z) прямой L, паралле-
лен вектору S. Поэтому координаты вектора MoA'f=(x—xo;y—yo;z—Zo)
и вектора S = (т;п;р) пропорциональны:
X - Хр _ у - Уо _ z - z0
m n p
12.13
Уравнения (12.13) называются каноническими уравнениями
прямой в пространстве.
Замечания: 1) Уравнения (12.13) можно было бы получить сразу
из параметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр t.
Из уравнений (12.12) находим
х - хр _ у — уо _ z — z0 _ t
т п р
2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (12.13)
означает обращение в нуль соответствующего числителя.
_ О и —|— у 1
Например, уравнения - Q — = --п задают прямую, про-
о Z и
ходящую через точку 1Ио(2; —4; 1) перпендикулярно оси Oz (проекция
вектора S на ось Oz равна нулю). Но это означает, что прямая лежит
в плоскости z = 1, и поэтому для всех точек прямой будет z — 1 = 0.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей
через две точки
Пусть прямая L проходит через точки Мi (Ж1; /д; Zi) и М2 (х2; у2z2)
В качестве направляющего вектора S можно взять вектор MiM2 —
= (ж2 — хг; у2 — ?/1; z2 — .гд), т. е. S = МгМ2 (см. рис. 76). Следовательно,
т = х2 — Xi, п = у2 — yi, р = z2 — Zi- Поскольку прямая проходит
через точку М1 (ад; у}; Zi), то, согласно уравнениям (12.13), уравнения
прямой L имеют вид
(12.14)
X-X1 _ У~У1 _ Z - Z!
x2 - Xi y2- У1 Z2 - Zi ’
99
Уравнения (12.14) называются уравнениями прямой, проходя-
щей через две данные точки.
Рис. 76
Рис, 77
Общие уравнения прямой
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух
непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений
Aj.r + В\у + C\Z + D\ — О,
Ага: + В2у + C2z -t- Z?2 = 0.
(12.15)
Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плос-
кости не параллельны (координаты векторов щ = (А^ Bj;Ci) и п2 =
= (Аг; ТЕ; Сг) не пропорциональны), то система (12.15) определяет пря-
мую L как геометрическое место точек пространства, координаты ко-
торых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис. 77).
Уравнения (12.15) называют общими уравнениями прямой.
От общих уравнений (12.15) можно перейти к каноническим урав-
нениям (12.13). Координаты точки Mq на прямой L получаем из систе-
мы уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значе-
ние (например, z = 0).
Так как прямая L перпендикулярна векторам щ и и,г, то за напра-
вляющий вектор S прямой L можно принять векторное произведение
ni х п2:
S = «1 х п2 =
г j к
Ai В, С,
А2 в2 с2
Замечание-. Канойические уравнения прямой легко получить, взяв
две какие-либо точки на ней и применив уравнения (12.14).
100
Пример 12.1. Написать канонические уравнения прямой L, за-
данной уравнениями
I х + у — г + 1 = О,
12х — у — 3z + 5 = 0.
Q Решение: Положим z = 0 и решим систему < ’ Находим
I 2х — у = —5.
точку М\ (—2; 1; 0) £ L. Положим у = 0 и решим систему < ’
I 2.г —3z= —5.
Находим вторую точку М2(2; 0; 3) прямой L. Записываем уравнение
прямой L, проходящей через точки Mt и М2:
х + 2 у — 1 z
4 “ -1 ~ 3'
12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Угол между прямыми. Условия параллельности
и перпендикулярности прямых
Пусть прямые Li
и L2 заданы уравнениями
х - Xi _ у -у\ _ z — Z\
mi rii Pi
И Ж - Ж2 _ У - У-2 _ Z - Z2
т-2 П2 Р2
Под углом между этими прямыми по-
нимают угол между направляющими
векторами Si = (mi;nr,pi') и S2 =
= (т2;п2',Р2) (см. рис. 78). Поэтому,
по известной формуле для косинуса
ccw = Жы1лили
Рис. 78
между векторами, получаем
_ пцт2 +nin2 +Р1Р2__________
у/т^ +nl + pl у/т% +п% + р%
(12.16)
Для нахождения острого угла между прямыми Li и С2 числитель пра-
вой части формулы (12.16) следует взять по модулю.
Если прямые Li и L2 перпендикулярны, то в этом и только в этом
случае имеем cosy: = 0. Следовательно, числитель дроби (12.16) равен
нулю, т. е. тщь + ЩП2 +Р1Р2 = 0.
101
Если прямые L\ и L2 параллельны, то параллельны их направля-
ющие векторы Si и S2. Следовательно, координаты этих векторов про-
порциональны, т. е.
т2 п2 р2
Пример 12.2. Найти угол между'прямым и
х _ у — 2 z + 2
2 ~ -1 ~ 3
2 а; + j/ — z — 1=0,
2х — у + Зж + 5 = 0.
Q Решение: Очевидно, Si = (2; — 1;3), a S2 = п\ Х772, где = (2; 1; —1),
п2 = (2; —1; 3). Отсюда следует, что S2 = (2; —8; —4). Так как Si S2 =
= 4 + 8 - 12 = 0, то у: = 90°. •
Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости
Пусть прямые Li и L2 заданы каноническими уравнениями
Рис. 79
х - xi _ у -yi _ Z — Zi
mi rii Pi
X - Xi _ у -y2 _ z ~ Z2
7712 772 P2
Их направляющие векторы соответст-
венно Si = (ttiijtixJPi) и S2 = (m2-, n2;p2)
(см. рис. 79).
Прямая Li проходит через точку
Mi (xi; у i, zi), радиус-вектор которой
обозначим через ту; прямая L2 проходит
через точку М2(х2; у2, z2), радиус-вектор которой обозначим через г2.
Тогда
r2 - ri = МгМ2 = (х2 - xi\y2 - yi',z2 - Zi).
Прямые Li и L2 лежат в одной плоскости, если векторы Si, S2 и
MiM2 = f2 — гi компланарны. Условием компланарности векторов явля-
ется равенство нулю их смешанного произведения: (r2 — fi)SiS2 = 0,
т. е.
х2 - xi у2 - yi z2 - Zi
mi 77i Pi
7712 772 P2
При выполнении этого условия прямые Li и Ь2 лежат в одной плос-
кости, то есть либо пересекаются, если S2 ф XSi, либо параллельны,
если Si || S2.
102
12.6. Прямая и плоскость в пространстве.
Основные задачи
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности
и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть плоскость Q задана уравнением Ах + By + Сz + D = 0, а
прямая L уравнениями ——~——.
т п р
Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух
смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плос-
кость. Обозначим через ср угол между плоскостью Q и прямой L, а
через 0 — угол между векторами п = (А; В; С) и S = (т;п;р) (см.
рис. 80). Тогда cos# = Найдем синус угла ср, считая ср %:
sin 99 = sin(^ — #) = cos#. И так как sin 99 0, получаем
|Ат + Вп + Ср\
sin р =
fl
(12.17)
Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы п и S пер-
пендикулярны (см. рис. 81), а потому S п = 0, т. е.
Ат + Вп + Ср = 0
является условием параллельности прямой и плоскости.
Рис. 81
Рис. 80
Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы п и S
параллельны (см. рис. 82). Поэтому равенства
А _ В _ С
т п р
являются условиями перпендикулярности прямой и плоско-
сти.
103
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности
прямой плоскости
Пусть требуется найти точку пересечения прямой
x-xg = y-yg.= z-^g
т п р
с плоскостью
Ах + By + Cz + В = 0. (12.19)
Для этого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19). Проще все-
го это сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом
виде: .
х = То + mt,
< У = Уо + nt,
Z = z0 + pt.
Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости (12.19),
получаем уравнение Л(а:0 + mt) + В(уд + nt) + C(zg + pt) + В — 0 ипи
t(Am + Bn 4- Ср) + (Ат0 + Вуд + Cz0 + D) = 0. (12.20)
Если прямая L не параллельна плоскости, т. е. если Ат + Вп + Ср 0,
то из равенства (12.20) находим значение t:
_ .Ттц + Вуд + Czg + В
Ат + Вп + Ср
Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения пря-
мой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим теперь случай, когда Ат + Вп + Ср = 0 (L || Q):
а) если F — Ах0 + Ву0 + Czg + В ф 0, то прямая L параллель-
на плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не
имеет, так как имеет вид 0 • t + F = 0, где F А 0);
б) если Ахд + Вуд + Czg + В = 0, то уравнение (12.20) имеет вид
t 0 + 0 = 0; ему удовлетворяет любое значение t, любая точка прямой
является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: пря-
мая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение
равенств .
J Ат + Вп + Ср = 0,
Ах‘() + Вуд + Czg + В = 0
РЗ является условием принадлежности прямой плоскости.
12.7. Цилиндрические поверхности
Поверхность, обрадованная движением прямой L, которая переме-
щается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пере-
секая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндрической
104
поверхностью или цилиндром. При этом кривая К называется на-
правляющей цилиндра, а прямая L — его образующей (см. рис. 83).
Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляю-
щие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие
параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия К, уравнение ко-
торой
F(x-,y) = 0.
(12.21)
Построим цилиндр с образующими параллельными оси Oz и направля-
ющей К.
Теорема 12.1. Уравнение цилиндра, образующие которого парал-
лельны оси Oz, имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты z
Рис. 83 Рис. 84
□ Возьмем на цилиндре любую точку M\x',y',z} (см. рис. 84). Она ле-
жит на какой-то образующей. Пусть ./V — точка пересечения этой обра-
зующей с плоскостью Оху. Следовательно, точка N лежит на кривой
К и ее координаты удовлетворяют уравнению (12.21).
Но точка М имеет такие же абсциссу х и ординату у, что и точка N.
Следовательно, уравнению (12.21) удовлетворяют и координаты точки
М (х; у; z), так как оно не содержит z. И так как М — это любая точка
цилиндра, го уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра. М
Теперь ясно, что F(x; z) = 0 есть уравнение цилиндра с образую-
щими, параллельными оси Оу, a F(y-z) = 0 — с образующими, парал-
лельными оси Ох. Название цилиндра определяется названием напра-
вляющей. Если направляющей служит эллипс
в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверх-
ность называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 85).
105
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой
цилиндр, его уравнение х2 + у2 = R2. Уравнение х2 = 2pz опреде-
ляет в пространстве параболический, цилиндр (см. рис. 86). Уравне-
ние 9
а2 Ъ2
Рй определяет в пространстве гиперболический цилиндр (см.
рис. 87).
Все эти поверхности называются цилиндрами второго поряд-
ка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относи-
тельно текущих координат х, у и z.
12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой
вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вра-
щения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения
этой кривой запишутся в виде
о ’= °’ (12'22)
Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L во-
круг оси Oz.
Возьмем на поверхности произвольную точку M(x',y,z} (см.
рис. 88). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси
Oz, и обозначим точки пересечения ее с осью Oz и кривой L соответ-
ственно через 01 и N. Обозначим координаты точки N через (0; yi; z\).
Отрезки О\М и O\N являются радиусами одной и той же окружности.
Поэтому О\М = 01 .У.«Но О^М = у/х2 + у2, O±N = |j/i|. Следователь-
но, |?/i| = у/х2 + У2 или ух = ±у/х2 + у2. Кроме того, очевидно, zx = z.
106
У.
Рис 88
Рис 87
Так как точка N лежит на кривой L, то ее координапя удовлпво-
ряют уравнению (12.22). Стало быть, F(?/i;zi) = 0. Исключая вспомо-
гательные координаты (/1 и z\ точки N, приходим к уравнению
F(±y/x2 +y2;z) = 0. (12.23)
Уравнение (12.23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему
удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удо-
влетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.
Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заме-
ной у на ±у/.;:2 + у2, координата z сохраняется.
Понятно, что если кривая (12.22) вращается вокруг оси Оу, то
уравнение поверхности вращения имеет вид
F(y; ±\/х2 + г2) = 0;
если кривая лежит в плоскости Оху (г — 0) и ее уравнение F(x; у) = 0,
то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой
вокруг оси Ох, есть F(x; ±у/у2 + z2) = 0.
Так, например, вращая прямую у = z вокруг оси Oz (см. рис. 89),
получим поверхность вращения (ее уравнение Р\/ х2 Ру2 = z или
х2 + у2 = г2). Она называется конусом второго порядка.
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими че-
рез данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L
(не проходящую через F), называется конической поверхностью
или конусом. При этом линия L называется направляющей конуса,
точка Р — ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, назы-
вается образующей.
107
Рис. 89
Рис 90
Пусть направляющая L задана уравнениями
F1 (ж; у; z) = 0,
F2(x;y;z) = 0,
(12.24)
а точка Р(хо; уо; zq) — вершина конуса. Найдем уравнение конуса.
Возьмем на поверхности конуса произвольную точку М(х; у, z) (см.
рис. 90). Образующая, проходящая через точки Р и М, пересечет на-
правляющую L в некоторой точке Nixy, у у Zi). Координаты точки N
удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей:
Fitxyyyzi) = 0,
F2(x1-,yyz1) = 0.
(12.25)
Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р и N,
имеют вид
х~хо = У ~Уо = z0 (12 26)
Х1 -Хо У1~Уо Zi-Zo'
Исключая ад, т/i и z\ из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение
конической поверхности, связывающее текущие координаты ад у и z.
Пример 12.3. Составить уравнение конуса с вершиной в точке
2 ..2
0(0; 0; 0), если направляющей служит эллипс + тт = 1, лежащий в
а о
плоскости z = с.
Q Решение: Пусть М (х; у, z) — любая точка конуса. Канонические
уравнения образующих, проходящих через точки (0;0;0) и точку
(ад; т/i; 21) пересечения образующей ОМ с эллипсом будут — = F. =
)'1 У1
108
= —. Исключим Xi, yi и zi из этих уравнений и уравнения
Z1
2 2
^ + 4 = 1 (12.27)
а b
(точка (xi;yr,Zi) лежит на эллипсе), zy = с. Имеем: — = = -.
с yi с
Отсюда Xi = с' и 3/1 = с' Подставляя значения х^ и у\ в уравнение
эллипса (12.27), получим
с2-г2 с2-у2 , л2 у2 z2
2 2 + 2 т 2 ~ 1 И,1И 2 + I,2 ~ ,2 ’
z • a z о а о с
Это и есть искомое уравнение конуса. •
12.9. Канонические уравнения поверхностей
второго порядка
По заданному уравнению поверхности вюрого порядка (т. е. по-
верхности, уравнение' коюрой в нрямоу!олыюй системе координа! яв-
ляется а.шебраическим уравнением шорой степени) будем определясь
ее геометрический вид. Для ною применим сак называемый метод
сечений: исследование' вида поверхности будем производить при помо-
щи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными
плоскостями или плоскостями, им параллельными.
Эллипсоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
х2 у2 z2
-----F --1----
а2 62 с2
1.
(12.28)
Рассмотрим сечения поверхности (12.28) с плоскостями, параллельны-
ми плоскости хОу. Уравнения саких плоскостей: z = h, тде h любое
число.
Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями
(12.29)
Исследуем уравнения (12.29);
а) Если \h\ > с, с > 0, то
% + “С < 0. Точек пересечения поверх-
а и
ности (12.28) с плоскостями z = h не существует.
109
2 ,,2
б) Если |/г| = с, т. е. h = ±с, то + ^ = 0. Линия пересече-
ния (12.29) вырождается в две точки (0; 0; с) и (0; 0; —с). Плоскости z = с
и z = — с касаются данной поверхности.
в) Если |7г| < с, то уравнения (12.29) можно переписать в виде:
Как видно, линия пересечения есть
эллипс с полуосями (см. рис. 91)
При этом чем меньше |/i|, тем больше полуоси ai и bi - При h = 0 они до-
стигают своих наибольших значений: а; = a, bi = b. Уравнения (12.29)
примут вид
/ а Ь
(/г = 0.
Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверх-
ности (12.28) плоскостями х = h и у = h.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить по-
верхность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверх-
ность (12.28) называется эллипсоидом. Величины а, Ъ и с называются
полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид назы-
вается трехосным; если какие-либо две полуоси равны, трехосный
эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если а = b = с,
то — в сферу х2 + у2 + z2 = а2.
Однополостный гиперболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
ж2 j/2 _
а2 Ь2 с2
(12.30)
Пересекая поверхность (12.30) плоскостью z = /г, получим линию пе-
ресечения, уравнения которой имеют вид
110
Как видно, этой линией является эллипс с полуосями
Qi — Q
h2
h2
Рис. 92
Полуоси ai и bi достигают своего наименьше-
го значения при h = 0: ai = a, bi = b. При
возрастании |/г| полуоси эллипса будут увели-
чиваться.
Если пересекать поверхность (12.30) плос-
костями х = h или у = h, то в сечении полу-
чим гиперболы. Найдем, например, линию пере-
сечения поверхности (12.30) с плоскостью Oyz,
уравнение которой х = 0. Эта линия пересече-
ния описывается уравнениями
J Ь2 ? ’
= 0.
Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис. 92).
Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая
уравнением (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся
трубки. Поверхность (12.30) называется однополостным гипербо-
лоидом.
Замечание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида
(12.30) проходят две прямые, лежащие на нем.
Двухполостный гиперболоид
Пусть поверхность задана уравнением
= -1.
(12.31)
Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями z = h, то линия пере-
сечения определяется уравнениями
f ж2 . З/2 _ /г2 1
J а2 + Ь2 ~ с2
I z = h.
(12.32)
Отсюда следует, что:
а) если |/г| < с, то плоскости z = h не пересекают поверхности;
б) если |/г| = с, то плоскости z = ±с касаются данной поверхности
соответственно в точках (0; 0; с) и (0; 0; —с).
в) если |/i| > с, то уравнения (12.32) могут быть переписаны так
9 2
X У
< a2(£-i) + ь2(^-1) = ’
z = h.
111
Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ро-
стом |/г|.
Пересекая поверхность (12.31) координатными плоскостями Oyz
(х = 0) и Oxz (у — 0), получим в сечении гиперболы, уравнения кото-
рых соответственно имеют вид
2 2
И
И а2 с2
г2
= -1.
С."
У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод се-
чения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93), определяе-
мую уравнением (12.31), как поверхность, состоящую из двух полостей,
имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность (12.31)
называется двухполостным гиперболоидом.
Эллиптический параболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
= 2г,
р q
(12.33)
где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12.33) плоскостями z = h. В
сечении получим линию, уравнения которой есть
/ — + = 2/г,
< р q
z = h.
Если h < 0, то плоскости z = h поверхности не пересекают; если h = 0,
то плоскость z = 0 касается поверхности в точке (0;0;0); если h > 0,
112
то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет вид
2 ,,2
—---1-— = 1
< 2ph 2qh ’
z = h.
Его полуоси возрастают с ростом h.
При пересечении поверхности (12.33) координатными плоскостями
Oxz и Oyz получатся соответственно параболы z = и z =
Таким образом, поверхность, определяемая уравнением (12.33), имеет
вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис. 94). Поверх-
ность (12.33) называется эллиптическим параболоидом.
Гиперболический параболоид
Исследуем иоверхпосчь, определяемую уравнением
— ~ — =2z,
Р Q
(12.34)
где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12 34) плоскосчями z = h.
Получим кривую
'2 у2 -
< 2ph 2qh —
z = h,
которая при всех значениях h 4' 0 является i иперболой. При h > 0 ее
действительные оси параллельны оси Ох-, при h
г'2 и2
оси Оу, при h = 0 линия пересечения р ~ q
пару пересекающихся прямых = 0 и
пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz
(у = h), будут получаться параболы
.2
< О параллельны
= 0 распадается па
= 0. При
2
У
ветви которых направлены
парабола
= h,
вверх. При у = 0 в сечении получается
х2 = 2pz,
У = 0
с вершиной в начале координат и осью симметрии Oz.
Пересекая поверхность (12.34) плоскостями х = h, получим пара-
/ , 2 \
болы у2 = — 2<7^z — ветви которых направлены вниз.
Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности:
она имеет вид седла (см. рис. 95). Поверхность (12.34) называется
гиперболическим параболоидом.
113
Рис 95
Рис 96
Конус второго порядка
Исследуем уравнение поверхности
2 2 2
а2 + Ь2 с2
(12 35)
Пересечем поверхность (12.35) плоскостями z = h. Линия пересечения
2 ?,2 >2
% + ^2- = ^7,z = /i. При h = 0 она вырождается в точку (0; 0; 0). При
h 0 в сечении будем получать эллипсы
х2 У2 _
, a2fe2 + b2h2 ~ 11
z = h.
Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании |7г|.
Рассечем поверхность (12.35) плоскостью Oyz (х = 0) Получится
линия
W2 г2
< Ъ2 с2
х = 0,
распадающаяся на две пересекающиеся прямые
У z у z
------=0 и - + - = 0.
ос-----ос
При пересечении поверхности (12.35) плоскостью у = 0 получим линию
2 .,2
а
У = о,
114
также распадающуюся на две пересекающиеся прямые
х z х z
------=0 и - + - = 0.
ас----ас
Поверхность, определяемая уравнением (12.35), называется кону-
сом второго порядка, имеет вид, изображенный на рисунке 96.
Поверхности, составленные из прямых линий, называются линей-
чатыми. Такими поверхностями являю 1ся цилиндрические, ко-
нические поверхности, а также однополостный i инерболоид и гипербо-
лический параболоид.
Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Лекции 13-22 |
§ 13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
13.1. Основные понятия
Понятие множества является одним из основных неопределяемых
понятий математики. Под множеством понимают совокупность
(собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по
какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов ин-
ститута, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравне-
ния ж2 + 2ж + 2 = 0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются ею элемен-
тами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин-
ского алфавита А, В,..., X, У,..., а их элементы — малыми буквами
а, Ь,..., х, у,...
Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х £ X;
запись х g X или х $ X означает, что элемент х не принадлежит мно-
жеству X.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пу-
стым, обозначается символом 0.
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри ко-
торых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свой-
ство, которым обладают все элементы данного множества.
Например, запись А = {1,3,15} означает, что множество А состоит
из трех чисел 1, 3 и 15; запись А = {ж : 0 х 2} означает, что
множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное)
чисел, удовлетворяющих неравенству 0 х 2.
Множество А называется подмножеством множества В, если
каждый элемент множества А является элементом множества В.
Символически это обозначают так А С В («А включено в В») или
В D А («множество В включает в себя множество А»).
Говорят, что множества А и В равны или совпадают, и пишут
А = В, если АсВиВсА. Другими словами, множества, состоящие
из одних и тех же элементов, называются равными.
Объединением (или суммой) множеств А и В называется множе-
ство, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит
хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обо-
значают АиВ (или А + В). Кратко можно записать АиВ = {ж : х Е А
или х Е В}.
116
Пересечением (или произведением) множеств А и В называется
множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад-
лежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) мно-
жеств обозначают АПВ (или A-В). Кратко можно записать АпВ = {ж :
х е А и х е В}.
В дальнейшем для сокращения записей будем использовать неко-
торые простейшие логические символы:
а => /? означает «из предложения а следует предложение /?»;
а <=> (3 «предложения а и (3 равносильны», т. е. из а следует
/3 и из /? следует а;
V — означает «для любого», «для всяко! о»;
Е «существует», «найдется»;
: «имеет мссю», «шкое чю»;
>-> «соо I ве I ст вие»
Например: 1) запись V.r G А : а означал!: «для всякою элемента
х £ А имел! месю предложение о»;
2) (л G A U В) <=> (л G А или х 6 В); эта запись определяет
объединение множеств А и В.
13.2. Числовые множества.
Множество действительных чисел
Множесюа, элементами коюрых являются числа, называются
числовыми. Примерами числовых множеств являются:
N = {1; 2; 3; ...; п; ... } множество натуральных чисел;
Zo = {0; 1; 2; ...; и; ... } множество нелых неотрицательных чи-
сел;
Z = {0; ±1; ±2; ...; ... } множество целых чисел;
Q = : m 6 Z, п е nJ - множество рациональных чисел.
К — множество действительных чисел.
Между этими множествами существуй! соо[ношение
NcZoCZcQcIR.
Множество К содержит рациональные и иррациональные числа. Вся-
кое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью
или бесконечной периодической дробью. Так, = 0,5 (= 0,500...),
i = 0,333 ... — рациональные числа.
О
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называ-
ются иррациональными.
117
Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого
равен числу 2.
Q Допустим, что существует рациональное число, представленное не-
сократимой дробью —, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:
/ • • 1 О _ г»
— ) =2, т. е. т2 = 2п2.
\п /
Отсюда следует, что т2 (а значит, и т) — четное число, т. е. т = 2к.
Подставив т = 2к в равенство т2 = 2п2, получим 4А:2 = 2г/2, т. е.
2к2 = п2. Отсюда следует, что число п — четное, т. е. п = 21. Но то-
гда дробь — = 1ц сократима. Это противоречит допущению, что —
дробь несократима. Следовательно, не существует рациональною чи-
сла, квадрат которого равен числу 2.
Иррациональное число выражается бесконечной непериодической
дробью. Так, у/2 — 1,4142356 . ., тг = 3,1415926 ... - иррациональные
числа. Можно сказать: множество дейсгви/ельных чисел есть множе-
ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать
К = {ж : х = а, с^агаз • •}, где а £ Z, a, G {0,1,..., 9}.
Множество К действительных чисел обладает следующими свой-
ствами.
1. Оно упорядоченное ', для любых двух различных чисел а и b имеет
место одно из двух соотношений а < b либо Ь < а.
2. Множество Ж. плотное: между любыми двумя различными чи-
слами а и b содержится бесконечное множество дейс/вительных чисел
ж, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а < х < Ь.
Так, если а < Ь, то одним из них является число -
а < b => 2а < а + b
и а + b< 2Ь => 2а < а + b < 2Ь =>
3. Множество К непрерывное. Пусть множество К разбито на два
непустых класса АиВ таких, что каждое действительное число содер-
жится только в одном классе и для каждой пары чисел a G А и b G В
выполнено неравенство а < Ь. Тогда (свойство непрерывности) суще-
ствует единственное число с, удовлетворяющее неравенству а с b
(Va £ A, \fb £ В). Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Чи-
сло с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В
нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда
в классе А нет наибольшего).
118
Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однознач-
ное соответствие между множеством всех действительных чисел и мно-
жеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу х £ R
соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, на-
оборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное)
действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят
«точка».
13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки
Пусть а и b — действительные числа, причем а < Ь.
Числовыми промежутками (интервалами) называют подмноже-
ства всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
[а; Ь] = {ж : а х Ь} — отрезок (сегмент, замкнутый промежу-
ток);
(а;Ь) = {ж : а < х < Ь} — интервал (открытый промежуток);
[а; Ь) = {х : а х < Ь};
(а; Ь] = {х : а < х Ь} — полуоткрытые интервалы (или полуот-
крытые отрезки);
(—сю; Ь] = {ж : х Ь}', [а, +оо) = {х : х «};
(—оо; Ь) = {ж : х < 6}; (а,+оо) = {ж : х > а};
(—сю, сю) = {ж : —сю < х < +оо} = К бесконечные интервалы
(промежутки).
Числа а и Ъ называются соответственно левым и правым концами
этих промежутков. Символы —сю и +оо не числа, это символическое
обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от
начала 0 влево и вправо.
|ф| Пусть хо — любое действительное число (точка на числовой пря-
мой). Окрестностью точки xtl называется любой интервал (а; Ь),
содержащий точку ж0. В частности, интервал (хо —£,хо+ е), где е > О,
называется е-окрестностью точки xq. Число хо называется цент-
ром, а число е — радиусом.
О
Рис. 97
Если х £ (жо — е; Хо + е), то выполняется неравенство х^ — е < х <
< Xq+e, или, что тоже, |х—а?о| < Е. Выполнение последнего неравенства
означает попадание точки х в s-окрестность точки .r(l (см. рис. 97).
119
§14. ФУНКЦИЯ
14.1. Понятие функции
Одним из основных математических понятий является понятие
функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (свя-
зи) между элементами двух множеств.
|5| Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, ко-
торое каждому элементу х € X сопоставляет один и только один
элемент у G У, называется функцией и записывается у = f (х), х € X
или f : X —> У. Говорят еще, что функция / отобрамсает множество
X на множество У.
Рис. 98
Например, соответствия fug, изображенные на рисунке 98 а и б,
являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не
каждому элементу х € X соответствует элемент у G У. В случае г не
соблюдается условие однозначности.
Множество X называется областью определения функции f и обо-
значается D(f). Множество всех у € У называется множеством зна-
чений функции f и обозначается E(f).
14.2. Числовые функции. График функции.
Способы задания функций
Пусть задана функция f : X —> У.
Если элементами множеств X и У являются действительные числа
(т. е. X С Ж и У С К), то функцию f называют числовой функ-
цией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции,
для краткости будем именовать их просто функциями и записывать
У = f СП-
Переменная х называется при этом аргументом или независимой
переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от х). От-
120
носительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функ-
циональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от
х пишут в виде у = у(х'), не вводя новой буквы (f) для обозначения
зависимости.
Частное значение функции f(x) при х — а записывают так: f(a).
Например, если f (ж) — 2х2 — 3, то /(0) = —3, /(2) = 5.
Графиком функции у = f(x) на-
зывается множество всех точек плос-
кости Оху, для каждой из которых
х является значением аргумента, а
у — соответствующим значением
функции.
Например, графиком функции
у = 1 — х2 является верхняя полу-
окружность радиуса R = 1 с центром
в 0(0; 0) (см. рис. 99).
Чтобы задать функцию у = f(x), необходимо указать правило,
позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: ана-
литический, табличный, графический.
Аналитический способ: функция задается в виде одной или не-
скольких формул или уравнений.
Например:
1) S = я/?2;
I х2 + 1 при х < 2,
2) У = < .
I х — 4 при х > 2;
3) у2 — 4х = 0.
Если область определения функции у = f (т) не указана, то пред-
полагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента,
при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью
определения функции у = х/1 — х2 является отрезок [—1; 1].
Аналитический способ задания функции является наиболее совер-
шенным, так как к нему приложены методы математического анализа,
позволяющие полностью исследовать функцию у = f(x).
Графический способ: задается график функции.
Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими
приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции
у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосред-
ственно находятся из этого графика.
Преимуществом графического задания является его наглядность,
недостатком — его неточность.
Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений ар-
гумента и соответствующих значений функции. Например, известные
121
таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические
таблицы.
На практике часто приходится пользоваться таблицами значений
функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.
14.3. Основные характеристики функции
1. Функция у = /(ж), определенная на множестве О, называется
четной, если Vx G D выполняются условия —х G D и f(—х) =
= /(х); нечетной, если \fx 6 D выполняются условия — х € D и
f(-x) = -/(т).
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а не-
четной — относительно начала координат.
Например, у — х2, у = у/1 + х'2, у = 1п|а?| — четные функции; а
у — sin х, у = х3 - нечетные функции; у = х — 1, у = л/х — функции
общего вида, т. е. не четные и не нечетные.
р5| 2. Пусть функция у = f(x) определена на множестве D и пусть
Di С D. Если для любых значений xi, Х2 € Di аргументов из
неравенства xt < х% вытекает неравенство: f(xi) < f(x2), то функция
называется возрастающей на множе-
У стве D^, f(xi) /(т2), то функция на-
S зывается неубывающей на множестве
s' ] Dy, f(xi) > fixt), то функция назы-
/1 I вается убывающей на множестве Z?i;
। \ | f(xi) то функция называется
| | невозрастающей на множестве J)L.
—1----—1-------1----!—— Например, функция, заданная гра-
х фиком (см. рис. 100), убывает на интер-
Рис. 100 вале (—2; 1), не убывает на интервале
(1; 5), возрастает ца интервале (3; 5).
р5| Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие
функции на множестве Г)\ называются монотонными на этом
множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными.
Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервала-
ми монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна
на (—2; 1) и (3; 5); монотонна на (1; 3).
р5| 3. Функцию у = f(x), определенную на множестве D, называют
ограниченной на этом множестве, если существует такое число
М > 0, что для всех х е. D выполняется неравенство |/(т)| М (ко-
роткая запись: у = f(x), х € D, называется ограниченной на D, если
ЗМ > 0 : \fx € D =£- |У(яг)| 51 М). Отсюда следует, что график
ограниченной функции лежит между прямыми у = —М и у = М (см.
рис. 101).
122
4. Функция у = f(x), определенная на множестве D, называется
периодической на этом множестве, если существует такое число
Т > 0, что при каждом х 6 D значение (х + Т) 6 D и f (х + Т) = f(x).
При этом число Т называется периодом функции. Если Т — период
функции, то ее периодами будут также числа m Т, где m — ±1; ±2,...
Так, для у = sin ж периодами будут числа ±2я; ±4я; ±6тг,... Основной
период (наименьший положительный) — это период Т — 2тг. Вообще
обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т,
удовлетворяющее равенству f(x + Т) = /(т).
14.4. Обратная функция
Пусть задана функция у = f(x) с областью определения D и мно-
жеством значений Е. Если каждому значению у 6 Е соответствует
единственное значение х 6 D, то определена функция х = ip(y) с обла-
стью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102). Такая
функция <р(у) называется обратной к функции f(x') и записывается в
следующем виде: х = <р(у) = /-1(у). Про функции у = f(x) и х = <р(у)
говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию
х = <р(у), обратную к функции у = /(х), достаточно решить уравнение
f(x') = у относительно х (если это возможно).
Примеры-.
1. Для функции у — 2х обратной функцией является функция
Х = ^У:
2. Для функции у = х2, х 6 [0; 1], обратной функцией является
х = д/у; заметим, что для функции у = х2, заданной на отрезке [—1; 1],
обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два зна-
чения х (так, если у — 1, то xi = 1, х-> = — ^).
123
|@| Из определения обратной функции вытекает, что функция у = /(т)
имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f (х) задает
взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда
следует, что любая строго монотонная функция имеет обрат-
ную. При этом если функция возрастает*(убывает), то обратная функ-
ция также возрастает (убывает).
Заметим, что функция у = f(x)
и обратная ей х — <р(у) изображают-
ся одной и той же кривой, т. е. графи-
ки их совпадают. Если же условить-
ся, что, как обычно, независимую пе-
ременную (1. е. аргумент) обозначить
через х, а зависимую переменную че-
рез у, то функция образная функции
у = f(x) запишется в виде у = ip(x).
Это означает, что точка Л/, (.т0; </0)
кривой у = /(т) становится точ-
кой М2(уа',ха) кривой у = tp(x). Но
точки Mi и М2 симметричны oi носительно прямой у = х (см. рис. 103).
Поэтому графики взаимно обратных функций у = f(x) и у = <р(х)
симметричны относительно биссектрисы первого и третье-
го координатных углов.
14.5. Сложная функция
Ц5] Пусть функция у = /(и) определена на множестве D, а функция
и = <р(х) на множестве Di, причем для \/х € D\ соответствующее
значение и = <р(х) G D. Тогда на множестве Z?i определена функция
и = /(^(т)), которая называется сложной функцией от х (или су-
перпозицией заданных функций, или функцией от функции).
Переменную и = <р(х) называют промежуточным аргументом
сложной функции.
Например, функция у = sin 2х есть суперпозиция двух функций
у = sin и и и = 2х. Сложная функция может иметь несколько проме-
жуточных аргументов.
14.6. Основные элементарные функции и их графики
Основными элементарными функциями называют следующие
функции.
1) Показательная функция у = ах, а > 0, а 1. На рис. 104 пока-
заны графики показательных функций, соответствующие различным
основаниям степени.
124
2) Степенная функция у = j-a, а 6 Ж. Примеры графиков сте-
пенных функций, соответствующих различным показателям степени,
предоставлены на рис. 105.
125
3) Логарифмическая функция у = loga х, а > 0, а 1; Графики
логарифмических функций, соответствующие различным основаниям,
показаны на рис. 106.
4) Тригонометрические функции у = sin .г, у = cost, у — tgz, у =
= ctg а?; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный
на рис. 107.
5) Обратные тригонометрические функции у = arcsin ж, у =
= arccosx, у = arctg.r, у = arcctgrr. На рис. 108 показаны графики
обратных тригонометрических функций.
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных
элементарных функций и постоянных с помощью конечного чи-
сла арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, де-
ления) и операций взятия функции от функции, называется элемен-
тарной функцией. Примерами элементарных функций могут слу-
жить функции
J/ = 3cos^. = arcsjnl _ ; у = ]g(2 + ж3).
х 8х2 + 3
126
Примерами неэлементарных функций могут служи гь функции
х > О,
у = sign л; = О,
.г = О,
если х О,
если х > О;
3 <5 р 2 п 1
ЗГЗ + 5К5 ~ 71^7 +• + (- ) (2п + 1)! (2тГ+Т)
§ 15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15.1. Числовая последовательность
Под числовой последовательностью х^,Х2,хз,... ,хп,.
нимается функция
Хп = fin),
.. по-
(15-1)
заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последователь-
ность обозначается в виде {хп) или х„, п € N. Число xi называет-
ся первым членом (элементом) последовательности, х? — вторым,...,
хп — - общ им или п-м членом последовательности.
Чаще всего последовательность задается формулой его общего чле-
на. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательно-
сти по номеру п, по ней можно сразу вычислить любой член последо-
вательности. Так, равенства
1 ^2 — 1
Vn = п2 + 1, zn = (-1)" • п, Уп = ~, ип =--------------, П G N
п п
127
задают соответственно последовательности
vn = {2,5,10,..., n2 + 1,... }; zn = {-1,2, -3,4,..., (-1)п • п,... };
rill 1 1 ( 1 2 3 4 5 п-1 1
уп - | i,ип - (°>2’3’4’5’6’”,—Г
Последовательность {а?п} называется ограниченной, если суще-
ствует такое число М > 0, что для любого п 6 N выполняется
неравенство
|ящ| М.
В противном случае последовательность называется неограниченной.
Легко видеть, что последовательноеiи уп и и„ ограничены, a vn и zn -
неограничены.
Последовательность {./„} называется возрастающей (неубыва-
ющей), если для любою п выполняется неравенпво a„+j > «„
(a„+i а„). Анало1ично определяется убывающая (невозрастающая)
последовательное гь.
Все зги последовательности называются монотонными после-
довательностями. Последовательности i’,t, уп и щ, монотонные, а
zn не монотонная.
Если все элементы последовательности {.гп} равны одному и тому
же числу с, то ее называют постоянной.
Другой способ задания числовых последовательностей рекур-
рентный способ. В нем задается начальный элемент .щ (первый
член последовательности) и правило определения n-i о элемента по
(п - 1)-му:
£П — f (j'n—1 )•
Таким образом, х-з = /(щ), хз = /(^г) и т- Д- При таком способе за-
дания последовательности для определения 100-го члена надо сначала
посчитать все 99 предыдущих.
15.2. Предел числовой последовательности
Можно заметить, что члены последовательности ип неограниченно
приближаются к числу 1. В этом случае товорят, что последователь-
ность ип, п G N стремится к пределу 1.
Число а называется пределом последовательности {тп}, если
для любого положительного числа е найдется такое натуральное
число N, что при всех п > N выполняется неравенство
|т„ - а| < е. (15.2)
В этом случае пишут lim хп = limi„ = а или хп —> а и говорят, что
П-+ОО
последовательность {тп) (или переменная хп, пробегающая последо-
вательность хз, Х2, Хз,...) имеет предел, равный числу а (или хп стре-
мится к а). Говорят также, что последовательность {•/',,} сходится к а.
128
Коротко определение предела можно записать так:
(Vs > О ЗЛ: : \/п > N => — а| < е)
lim хп = а.
П-+ОО
Пример 15.1. Доказать, что lim -—1 = 1.
п—>оо ТЬ
Q Решение: По определению, число 1 будет пределом последователь-
ности хп = , n € N, если Ус > 0 найдется натуральное число N,
такое, что для всех п > N выполняется неравенство | ~~ — 1| < е,
т. е. i < е. Оно справедливо для всех п > i, т. е. для всех п > N = Щ,
где [ij - целая часть числа i (целая часть числа г, обозначаемая [Д,
есть наибольшее целое число, не превосходящее х; так [3] = 3, [5,2] = 5).
Если е > 1, то в качестве N можно взять + 1.
Итак, Уе > 0 указано соответствующее значение N. Это и доказы-
вает, что lim - = 1. •
п—>оо П
о
Заметим, что число N зависит от е. Так, если s = ю
N =
11 Г26'
3
если е = 0,01, то
N =
3
26
-Li = [юо] = юо.
Too J
Поэтому иногда записывают N = 7V(e).
Выясним геометрический смысл определения предела последова-
тельности.
Неравенство (15.2) равносильно неравенствам — е < хп — а < е или
а — е < хп < а + е, которые показывают, что элемент хп находится в
Е-окрестности точки а.
f) Хп
----------( I I 1111Н ИМИ11 I I I—)----*
а—£ а а+е х
Рис. 109
Поэтому определение предела последовательности геометрически
можно сформулировать так: число а называется пределом последова-
тельности {хп}, если для любой Е-окрестности точки а найдется нату-
ральное число N, что все значения хп, для которых п > N, попадут в
Е-окрестность точки а (см. рис. 109).
5 Конспект лекций по высшей математике Полный курс
129
Ясно, что чем меньше е, тем больше число N, но в любом слу-
чае внутри е-окрестности точки а находится бесконечное число членов
последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.
Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет
только один предел. Последовательность, не имеющая предела,
называется расходящейся. Таковой является, например, последова-
тельность v„ (см. с. 128).
Постоянная последовательность хп = с, п € N имеет предел, рав-
ный числу с, т. е. lime = с. Действительно, для Ve > О при всех нату-
ральных п выполняется неравенство (15.2). Имеем \хп — с| — |с — с| =
= 0 < £.
15.3. Предельный переход в неравенствах
Рассмотрим последовательности {z„}, {уп} и {zn}.
Теорема 15.1. Если lim хп = a, lim уп = b и, начиная с некоторого
п—>оо n—too
номера, выполняется неравенство хп уп, то а ЕС Ь.
Q Допустим, что а > Ь. Из равенств lim хп = а и lim уп = Ъ следует,
72 —>ОО П—^ОО
что для любого е > 0 найдется такое натуральное число N (е), что при
всех п > IV (е) будут выполняться неравенства \хп — а| < е и |уга — Ь| < е,
т. е. а — £ < хп < а + г и b — s < уп <54-е. Возьмем е = Тогда:
хп>а-е = а- , т. е. хп > uyn<b + e = b +
т. е. уп < Отсюда следует, что хп > уп. Это противоречит условию
хп С Уп- Следовательно, а Ь.
Теорема 15.2. Если lim хп = a, lim = а и справедливо нера-
72—>ОС 72 —>ОС
венство хп zn уп (начиная с некоторого номера), то lim z.n = а.
п—>оо
(Примем без доказательства.)
15.4. Предел монотонной ограниченной
последовательности. Число е. Натуральные
логарифмы
Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без
доказательства признак существования предела последовательности.
130
Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная по-
следовательность имеет предел.
В качестве примера на применение этого признака рассмотрим по-
/ 1 \"
следовательность хп = (1 4- I , п € N.
По формуле бинома Ньютона
, 7\Т1 И П П-1 7 П(П ~ 1) 77 — 2 ,2
(а + 6)п = а 4- - а • b -|--а'1 -Ъ + ...
п(п- 1)(п-2)...(п - (n- 1))
1-2-3..............п
Полагая а = 1, b = получим
Л 1\" = j п 1 п(п - 1) 1 п(п - 1)(п - 2) J_
\ п) 1'п 1-2 ’ п2 1-2-3 ' п3
п(п — 1)(л — 2)... (п — (п — 1)) 1
' ” + Г- 2-3............п п” ~
или
_____1____fl-1)... fl-^—1
1-2-3....п\ п> \ п
(15.3)
Из равенства (15.3) следует, что с увеличением п число положительных
слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении
1 ( 1 \ ( 2 \
п число Л убывает, поэтому величины ( 1 — — ), (1—— 1, ... возрастают.
п \ п) \ п)
Поэтому последовательность {#„} = { fl + ~") ) — возрастающая^ при
этом „
(1 + 1) >2. (15.4)
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части
равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим нера-
венство
(Ч)”<
1
11
1 1
1-2-3 + ”+1-2-3.............п
131
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,..., стоящие в
знаменателях дробей, числом 2:
Л 1\” ! Л 1 1 1 \
(1 + n) <1+(1 + 2+? + ”'+FrT)-
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической про-
грессии:
Поэтому . .
(1 + 1) <1 + 2 = 3. (15.5)
Итак, последовательность ограничена, при этом для Vn € N выполня-
ются неравенства (15.4) и (15.5):
2 < fl + i)” < 3.
\ nJ
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последователь-
/ л \ ”
ность хп = (1 + ± , п 6 N, имеет предел, обозначаемый обычно бук-
вой е: , 1 \ п
lim (1-1— ) = е. (15.6)
п—>оо \ П /
Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его
приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045...). Число
е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по осно-
ванию е называется натуральным логарифмом и обозначается In ж, т. е.
Inz = loge х.
Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами.
По определению логарифма имеем х = е1пж. Прологарифмируем обе
части равенства по основанию 10:
1g х = lg(elna;), т. е. Igx = Inx Ige.
Пользуясь десятичными логарифмами, находим Ige » 0,4343. Значит,
1gх « 0,4343 • Ina;. Из этой формулы следует, что Inx и тгткут 1gх, т. е.
In ж « 2,30261g х. Полученные формулы дают связь между натураль-
ными и десятичными логарифмами.
§ 16. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
16.1. Предел функции в точке
Пусть функция у' = /(а;) определена в некоторой окрестности
точки xq, кроме, быть может, самой точки хд.
132
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения пре-
дела функции в точке.
|ф] Определение 1 (на «языке последовательностей», или по
Гейне). Число А называется пределом функции у = f(x) в точ-
ке xq (или при х -> xq), если для любой последовательности допусти-
мых значений аргумента хп, п € N (хп ф xq), сходящейся к Xq (т. е.
lim хп = Хо), последовательность соответствующих значений функ-
п—
ции f(xn), п € N, сходится к числу А (т. е. lim f(xn) = Л),
п—>оо
В этом случае пишут lim f(x) = А или f(x) -> А при х -> Xq.
X —>Хо
Геометрический смысл предела функции: lim f(x) = А означает, что
X —IXQ
для всех точек х, достаточно близких к точке xq, соответствующие
значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
|ф] Определение 2 (на «языке е-д», или по Коши). Число А на-
зывается пределом функции в точке xq (или при х —> х0), если
для любого положительного е найдется такое положительное число 6,
что для всех х ф Xq, удовлетворяющих неравенству |х — а-0| < <5, вы-
полняется неравенство |У(ж) — А| < е.
Записывают lim f(x) = А. Это определение коротко можно запи-
X —>Хо
сать так:
^Vc > О 35 > 0 \fx : 1 < 6, х х0 ==> |/(ж) — А| < ej <=>
или 0 < 1ж — а?о| < 5
<=> lim f(x) = А.
X—tXfy
Геометрический смысл предела функции: А = lim f(x), если для
х—¥Хо
любой е-окрестности точки А найдется такая 5-окрестность точки xq,
что для всех х х0 из этой 5-окрестности соответствующие значения
функции f(x) лежат в Е-окрестности точки А. Иными словами, точки
графика функции у = f(x) лежат внутри полосы шириной 2s, ограни-
ченной прямыми у = А + г, у = А — е (см. рис. 110). Очевидно, что
величина 5 зависит от выбора е, поэтому пишут 5 = 5(e).
Пример 16.1. Доказать, что lim (2т — 1) = 5.
х—>3
Q Решение: Возьмем произвольное е > 0, найдем 5 = 5(e) >0 такое,
что для всех х, удовлетворяющих неравенству |ж — 3| < 5, выполняется
неравенство |(2ж — 1) —5| < е, т. е. |ж — 3| < |. Взяв 5 = |, видим, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству |т — 3| < 5^= выполняется
неравенство |(2х — 1) — 5) < г. Следовательно, lim (2х — 1) = 5. •
133
Пример 16.2. Доказать, что, если /(х) = с, то lim с = с.
Х~>Хо
Q Решение: Для Ve > О можно взять V5 > 0. Тогда при |ж — х0| < 8,
х Xq имеем |У(ж) — с| = |с — с| = 0 < е. Следовательно, lim с = с. •
Л ж—>Хо
16.2. Односторонние пределы
В определении предела функции lim f(x] = А считается, что х
х—
стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем z0 (слева
от х0), большим, чем х() (справа от хо), или колеблясь около точки х0.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к :г() суще-
ственно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия
односторонних пределов.
Число А, называется пределом функции у = f[x) слева в точке
а?о, если для любого число е > 0 существует число 6 = 5(e) > 0
такое, что при х € (хо — 5;х0), выполняется неравенство |/(х) — Ai| <
< е. Предел слева записывают так: lim f(x) = Ai или коротко:
х —О
f(xt) — 0) = Al (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с
помощью символов:
Ve > 0 35 = 5(e) \/х е (х0-,х0 4- 6) => |/(ж) - А2| < е
lim f(x) = А2.
х—>хо+О
Коротко предел справа обозначают f(x0 + 0) = А2.
134
Пределы функции слева и справа называются односторонними
пределами. Очевидно, если существует lim f(x) = А, то существу-
X—¥Xq
ют и оба односторонних предела, причем А = Ai = А%.
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба преде-
ла/(хо—0) и У(хо+0) и они равны, то существует предел Л = lim f(x)
X~>Xq
И А = f(x0 ~ 0).
Если же Ai А%, то lim f(x) не существует.
•Г—
16.3. Предел функции при х —> оо
Пусть функция у = /(х) определена в промежутке (—сю; сю). Число
А называется пределом функции /(т) при х —> сю, если для
любого положительного числа е существует такое число М = М(е) > 0,
что при всех х, удовлетворяющих неравенству |ж| > М выполняется
неравенство |У(а") — А| < е. Коротко это определение можно записать
так:________________________________________________________
(Vs > ОЭЛ/> OVa;: |z|>М ==> |/(х) — А]<е) <=> lim /(т)=А.
X / Х—ЬХ)
Если х -> 4-сю, то пишут А = lim /(х), если х -> —сю, то — А =
х —>+оо
= lim f(x). Геометрический смысл этого определения таков: для
X —> — OQ
Vs > О ЭЛТ > 0, что при х € (—сю; — М) или х € (М;4-оо) соответ-
ствующие значения функции f(x') попадают в s-окрестность точки А,
т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2s, ограниченной прямыми
у = А + е иу = А- е (см. рис. 112).
Рис. 112
16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
Функция у = f(x) называется бесконечно большой при х —> xq,
если для любого числа М > 0 существует число 6 = <У(ЛГ) > 0, что
для всех х. удовлетворяющих неравенству 0 < |ж—х0| < д, выполняется
135
неравенство |/(х)| > М. Записывают lim f(x) = оо или f(x) -> оо при
Х~¥Хй
х -> хо- Коротко:
(уМ > О Эд > 0 \/х : (ж - х0| < <5, х # х0 => |/(х)| > м) <^=>
<=> lim f(x) = оо.
х—> а: о
Например, функция у = —есть б.б.ф. при х -> 2.
X А
Если У(х) стремится к бесконечности при х —> Xq и принимает
лишь положительные значения, то пишут lim f(x) = +оо; если лишь
х—>Xq
отрицательные значения, то lim f(x) = —оо.
х->хо
|ф| Функция у = У(х), заданная на всей числовой прямой, называется
бесконечно большой при х —> оо, если для любого числа М > О
найдется такое число N = N(M') > 0, что при всех х, удовлетворяющих
неравенству |х| > ЛГ, выполняется неравенство |/(х)| > М. Коротко:
(\/М > О 3W > 0 Vx : |х| > N => |/(х)| > м} lim /(х) = ос.
\ / х—>ОС
Например, у = 2 х есть б.б.ф. при х оо.
Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принима-
ет лишь натуральные значения, т. е. х € N, то соответствующая б.б.ф.
становится бесконечно большой последовательностью. Например, по-
следовательность vn — п2 + 1, п € N, является бесконечно большой
последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки Хо
является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение
неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например,
у = х sinx.)
Однако, если lim /(х) = А, где А — конечное число, то функция
X —>Хо
У(х) ограничена в окрестности точки х0.
Действительно, из определения предела функции следует, что при
х -> хо выполняется условие |/(х) — А\ < £. Следовательно, А — s <
< f(x) < А + s при х € (х0 — е; х0 + е), а это и означает, что функция
У(х) ограничена.
§17. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.)
17.1. Определения и основные теоремы
Функция у = У(х) называется бесконечно малой при х -> хо,
если
lim У(х) = 0.
Х-ЛХ0
(17.1)
136
По определению предела функции равенство (17.1) означает: для лю-
бого числа е > 0 найдется число д> 0 такое, что для всех х, удо-
влетворяющих неравенству 0 < |ж — Хд | < ф выполняется неравенство
|У(Х)| < Е.
Аналогично определяется б.м.ф. при х -> Хд + 0, х -> Хд — О,
х —> +оо, х —> —сю: во всех этих случаях f(x) -> 0.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми
величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими
буквами a, [3 и т. д.
Примерами б.м.ф. служат функции у ~ х2 при х 0 ; у = х - 2
при х -> 2; у = sin ж при х —> тгк, к Е Z.
Другой пример: хп = п Е N, — бесконечно малая последова-
тельность.
Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно
малых функций есть бесконечно малая функция
Q Пусть а(х) и /3(х) — две б.м. функции при х -> Хд. Это значит,
что lim а(х) = 0, т. е. для любого е > 0, а значит, и > 0 найдет-
x—^xq 2
ся число ф > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству
0 < |ж — xq| < ф, выполняется неравенство
|а(х)| < | (17.2)
и lim /3(х) = 0, т. е.
X —>То
(v| > 0 Эф > 0 Vx : О < |х - х0| < ф) => \0(х)I < |. (17.3)
Пусть 6 — наименьшее из чисел ф и ф. Тогда для всех х, удовле-
творяющих неравенству 0 < |ж — Жо| < Ф выполняются оба неравен-
ства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение
|а(х) + £(ж)| <: |а(х)| + |£(ж)| < | + | = £•
Таким образом,
Ve > 0 3d > 0 Vx : 0 < |х — ж0| < <£ ==> |а(ж) + ^(х)| < е.
Это значит, что lim (а(х) + (3(х)) = 0, т. е. а(х) + /3(х) — б.м.ф. при
X —»Жо
X Хд. И
Аналогично проводится доказательство для любого конечного чи-
сла б.м. функций.
Теорема 17.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно
малую функцию есть функция бесконечно малая.
137
□l Пусть функция /(rr) ограничена при х -> хо- Тогда существует такое
число М > 0, что
|/(х)| < М (17.4)
для всех х из ф-окрестности точки х0. И пусть а(х) — б.м.ф. при
х -> х0. Тогда для любого е > 0, а значит, и -^ > 0 найдется та-
кое число ф > 0, что при всех ж, удовлетворяющих неравенству 0 <
< |ж — Хо| < ф, выполняется неравенство
кФ01<^- (17-5)
Обозначим через 6 наименьшее из чисел ф и 62- Тогда для всех
х, удовлетворяющих неравенству 0 < |ж — Хо| < А выполняются оба
неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, |/(т) •а(а?)| = |/(х)| |а(х)| <
< • М = е. А это означает, что произведение f(x) а(х) при х —> хо
есть бесконечно малая функция.
Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы
(17.2) вытекает- произведение двух б.м ф. есть функция бесконечно
малая.
Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция беско-
нечно малая.
Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на
функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция беско-
нечно малая.
Q Пусть lim а(х) = 0, a lim f(x) = а 0. Функция Зу д может быть
X —>хо X —Xо J уХJ
представлена в виде произведения б.м.ф. а(х) на ограниченную функ-
цию . Но тогда из теоремы (17.2) вытекает, что частное =
= а(х) < есть функция бесконечно малая.
J \х)
Покажем, что функция Л ограниченная. Возьмем е < |а|. То-
J (А)
гда, на основании определения предела, найдется <5 > 0, что для всех
х, удовлетворяющих неравенству 0 < — t()| < ф выполняется нера-
венство |/(ж) — а| < е. А так как е > |/(ж) — а| = |а — /(ж)| д |а| — |/(ж)|,
138
то |а| — |/(ж)| < е, т. е. |У(х)| > |а| — е > 0. Следовательно,
|/(ж)1 1«|—
т. е. функция ->/-г — ограниченная.
Теорема 17.4. Если функция а(х) — бесконечно малая (а 0), то
функция есть бесконечно большая функция и наоборот, если
функция f(x) — бесконечно большая, то — бесконечно малая
□ Пусть а(х) есть б.м.ф. при х -> х0, т. е. lim а(ж) = 0. Тогда
^Ve > 0 ЕМ > 0 \/х : 0 < |х — zo| < => |a(z)| < е,
т. е. —> 1, т. е. - К-г > М, где М = 1. А это означает, что функ-
I а I х) | в I а I х J | в
ция есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное
утверждение.
Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда
х -> х0, но они справедливы и для случая, когда х -> сю.
Пример П.1. Показать, что функция
f(x) = (х - I)2 sin3 —
при х -> 1 является бесконечно малой.
Q Решение: Так как lim (а- — I)2 = 0, то функция у?(х) = (х — I)2 есть
х —>1
Л 1
бесконечно малая при х -> 1. Функция д(х) = sin , х 1, ограни-
чена sin3 —L-г < 1.
I х - 11
Функция f(x) = (х — I)2 • sin3 £ представляет собой произведе-
ние ограниченной функции (д(х)) на бесконечно малую (у?(х)). Значит,
У (а;) — бесконечно малая при х -> 1. •
139
17.2. Связь между функцией, ее пределом
и бесконечно малой функцией
Теорема 17.5. Если функция /(ж) имеем предел, равный А, то ее
можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции
а(х), т е если lim /(ж) = А, то /(ж) = А + а(ж)
□ Пусть lim f(x) — А. Следовательно,
Х~АХо
(Уе > 0 35 > 0 Ух : 0 < |ж — жо| < 5^ => |/(ж) — Л| < е,
т. е |/(ж) — А — 0| < е. Это означает, что функция /(ж) — А имеет
предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через
а(ж): /(ж) — А = а(х). Отсюда /(ж) = А + а(ж). В
Теорема 17.6 (обратная). Если функцию /(ж) можно представить
в виде суммы числа А и бесконечно малой функции а(ж), то число
А является пределом функции /(ж), т. е. если /(ж) = А + а(ж), то
lim f(x) = А
X~AXq
□ Пусть /(ж) = А+а(ж), где а(х) — б.м.ф. при х —> жо, т. е. lim а(ж) =
х—УХо
= 0. Тогда
(Уе > 0 35 > 0 Ух : 0 < |ж - жо| < 5^ => |ск(ж) | < £-
А так как по условию /(ж) = А + а(ж), то а(ж) =t f(z) — А. Получаем
(Уе > 0 35 > 0 Ух : 0 < |ж — ж0| < 5^ ==> |/(ж) - А| < е.
А это и означает, что lim /(ж) = А.
Х—УХо
Пример 17.2. Доказать, что lim (5 + ж) = 7.
х—>2
Q Решение: Функцию 5 + ж можно представить в виде суммы числа 7
и б.м.ф. ж — 2 (при ж —> 2), т. е. выполнено равенство 5 +х = 7+ (ж — 2).
Следовательно, по теореме 17.6 получаем lim (5 + ж) = 7. •
х—>2
140
17.3. Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов
функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда
х —> Жо и х —> оо, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать,
что пределы lim /(ж), lim у?(ж) существуют.
X —>Хо X—AXf)
Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме
(разности) их пределов
lim (/(ж) ± <^(ж)) = lim /(ж) ± lim <£>(ж).
X—¥Xq х—¥Xq X—AXq
Q Пусть lim /(ж) = A, lim <^(ж) = В. Тогда по теореме 17.5 о свя-
X—>Zo ж—
зи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать /(ж) = А + о(ж) и
<^(ж) = В + /?(ж). Следовательно, /(ж) + <£>(ж) = А + В + (о(ж) + /?(ж)).
Здесь о(ж) + /3(ж) б.м.ф. как сумма б.м.ф По теореме 17.6 о связи
функции, ее предела и б.м.ф. можно записать lim (/(ж) + <^(ж)) = А+В,
X—> Хо
т. е.
lim (/(ж) + <^(ж)) = lim /(ж) + hm <£>(ж).
X—YXQ х—¥Хо X~AXq
В случае разности функций доказательство аналогично.
Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечно-
го числа функций.
Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при
Ж —> Жо.
Q Пусть lim /(ж) = А и lim /(ж) = В. По теореме 17.7 имеем:
X~AXq X—A-Xq
О = lim (/(ж) - /(ж)) = lim /(ж) - lim /(ж) = А - В.
X—>Xq X—A-Xq X—A-Xq
Отсюда А — В = 0, т. е. А = В.
Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведе-
нию их пределов:
lim (/(ж) • <^(ж)) = lim /(ж) • lim </?(ж).
Х~АХо X—¥Хо X—AXq
141
□ Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых
пояснений. Так как lim f(x) = A, lim tp(x) = В, то
X—AXq X~AXq
f(x) = А + а(ж), <Дж) = В + /3(х),
где а(х) и /3(х) — б.м.ф. Следовательно^
/(х) р(х) = (А + а(ж)) • (В + /?(ж)),
т. е.
/(ж) • р(х) = АВ + (А • /3(х) + В а(х) + а(ж)/?(ж)).
Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому
lim f(x) ip(x) = А - В,
X-AXq
т е.
lim (Дж)<Дж)) = lim /(ж) lim ip(x).
X-AXq X—X —¥Xq
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого ко-
нечного числа функций.
Следствие 17.4. Постоянный множитель можно выносить за знак
предела:
lim с- Дж) = с • lim /(ж).
х—¥Xq X-AXq
□ lim (с -/(ж)) = lim с- lim /(ж) =с- lim f(x).
x-axq х—>жо x—¥xq x—>жо
Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен
(\ п
lim /(ж)) . В частности,
X-AXQ /
lim хп = Xq , п € N.
X~AXq
□ lim (Дж))" = lim (/(ж) • /(ж) •... • /(ж)) = lim Дж) •... • lim /(ж) =
ж—>Хо X.-A-Xq х. —-у— ~ -- X^fXQ X—AXq
п сомножителей
(\ п
lim /(ж)) .
X~AXq J
Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на
предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю-
f(r\ Нт /(ж)
lim 44 = - ( lim ^(ж) # О).
Х-АХо (р[Х) 11Ш (р(Х) \X~AXO /
Х—>Хо
142
Q Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств
lim /(ж) = А и lim <Дж) = В О
X—>Xq X—AXq
следуют соотношения /(ж) = А + а(ж) и </?(ж) = В + /3(ж). Тогда
f(x) Л + а(ж) А /А + а(х) А\ _ А В • а{х) — А (}{х)
ф) = В + /3 (ж) = В + \В +/3(х) ~В) ~В+ В2 + В /3(х)
Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функ-
цию, имеющую отличный от нуля предел.
fM л fM
Поэтому lim •*> ( = ^, т. е. lim = Д х°—==.
X—¥Хо д{х) В' X—AXq <р(х) lim <р\х)
j:o
Рассмотрим пример.
Пример 17.3. Вычислить Пт(3ж2 — 2ж + 7).
Q Решение:
lim (Зж2 — 2ж + 7) = lim Зж2 — lim 2ж + lim 7 =
X —>1 X—>1 X —>1 X—>1
/ \2
= 31 lim ж ) — 2 lim ж + 7 = 3-1—2 + 7 = 8. •
\z—>1 / х—>1
Пример 17.1. Вычислить lim х ~ .
н J42 Ж - 6ж + 8
Q Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к.
предел знаменателя, при ж —> 2, равен 0. Кроме того, предел числи-
теля равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность
вида 2. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби
на множители, затем сократим дробь на ж — 2 0 (ж —> 2, но ж 2):
ж2 + 14ж — 32 (ж — 2)(ж + 16)
lim 7 = 1™ ----------------ТГ7---77“ =
z-+2 ж2 — 6ж + 8 ж >2 (ж — 2)(ж — 4)
1.тх + 16_1йГ2(ж + 16) = 2 + 16_ 9 е
®->2 ж —4 lim (ж —4) 2 — 4
х—>2
Пример 17.5. Вычислить lim + i •
г н Т 4ж2 + 2ж + 5
Q Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида Для
нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель
143
о
на х.
2ж2 + Зж+1 2+| + ^ 1
lim —— -------- = lim ---% т- = ------------~-=— =
z->oc 4ж2 4- 2x + 5 ж-н-оо 4 + - + Л- lim (4 + - + Л-) 2
' X ' X2 X—¥<X> X X2'
3 1 4
Функция 2 4- — + есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому
•е X
/ 3 1 \ / 2 5 \
hm (2-|--1—=-) =2; lim (4 Ч------1—=4=4. •
хчоо\ X X ' 1ЧОО\ X X >
17.4. Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например,
функция у — sin ж при х —> оо предела не имеет. Во многих вопросах
анализа бывает достаточно только убедиться в существовании преде-
ла функции. В таких случаях пользуются признаками существования
предела.
Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функ-
ция /(ж) заключена между двумя функциями <р(х) и д(х), стремящи-
мися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому
пределу, т. е. если
lim <р(х) = 4, lim д(х) = А, (17.6)
X —>Т0 х~>ж0
9?(ж) < /(ж) < д(х), (17.7)
то
lim /(ж) = А.
X—>Xq
□ Из равенств (17.6) вытекает, что для любого е > 0 существуют две
окрестности ф и ф точки хд, в одной из которых выполняется нера-
венство |<£>(ж) — 4| < £, т. е.
-е < <р(х) - А < е, (17.8)
а в другой |д(ж) — А| < £, т. е.
-£ < д(х) — А < £. (17.9)
Пусть <5 — меньшее из чисел ф и ф. Тогда в (5-окрестности точки жо
выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9).
Из неравенств (17.7) находим, что
<^(ж) - .4 ф /(ж) — А ф д(х) — А. (17.10)
144
С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют не-
равенства —г < f(x) — А < е или \f(x) — А| < е.
Мы доказали, что
Vs > 0 35 > 0 \/ж : 0 < |ж — ж0| < 5 => |/(ж) — >1| < £,
то есть lim /(ж) = А.
X—+Xq
Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух мили-
ционеров». Роль «милиционеров» играют функции <р(ж) и д(х), функ-
ция /(ж) «следует за милиционерами».
Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция
f(x) монотонна и ограничена при ж < жо или при ж > жо, то суще-
ствует соответственно ее левый предел lim /(ж) = /(ж0 — 0) или
х—¥Хо~ О
ее правый предел lim /(ж) =/(жо + 0).
Доказательство этой теоремы не приводим.
Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность ж„,
п € N, имеет предел.
17.5. Первый замечательный предел
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометри-
ческие функции, часто используют предел
„ 81ПЖ
lim ---- = 1,
(17.11)
р>| называемый первым замечательным пределом. Читается:
предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда
аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).
□ Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ че-
рез ж (см. рис. 113). Пусть 0 < ж < ^. На рисунке |ЛМ| = sin ж, дуга
МВ численно равна центральному углу ж, |В(7| = tgx. Очевидно, име-
ем Злмов < ^сектора мов < 8&сов- На основании соответствующих
1 11
формул геометрии получаем ршж < ~х < Разделим неравен-
ства на A sin ж > 0, получим 1 < —— < —-— или cos ж < 8*пж < 1.
2 sin ж cos ж ж
145
Так как lim cos ж = 1 и lim 1 = 1, то
х—>0 х—>0
по признаку (о пределе промежуточ-
ной функции) существования пределов
„ зтж
lim ------= 1.
,.х->0 X
(ж>0)
(17.12)
Пусть теперь х < 0. Имеем х =
sin(—ж) п „
= —~, гДе ~ ж > (J. Поэтому
lim
х—>0
(ж<0)
sin z
X
(17.13)
вытекает равенство (17.11).
Пример 17.6. Найти lim
ж-+о 2ж
Q Решение: Имеем неопределенность вида S. Теорема о пределе дроби
неприменима. Обозначим Зж = t; тогда при ж —> 0 и t —> 0, поэтому
зтЗж sint , 3 sin£ 3 sin£ 3,3 _
lim —— = lim-------r = lim - ---- = - lim--- = - 1 = -. •
z-+o 2ж t^o 2 • | t-ю 2 t 2 t-ю t 2 2
Пример 17.7. Найти lim
ж-Ю Ж
„ .. tgx sini 1 .. sin ж , 1
Q Решение: lim -S— = lim--------------- hm-------—----- = 1- = 1.
ж-+о ж z-ю ж cos ж ж-+о ж lim cos ж 1
x —>0
17.6. Второй замечательный предел
/ 1 \ И
Как известно, предел числовой последовательности хп = 11 + ^1 ,
п € N, имеет предел, равный е (см. (15.6)):
/ 1 \ "
lim (1 + — ) = е. (17.14)
п-+оо \ п/
( 1V
Докажем, что к числу е стремится и функция хп = 11 + — 1 при ж —> оо
/ 1 v
lim (1 + - ) = е.
х—>ос\ X/
(17.15)
146
1. Пусть х —> +оо. Каждое значение х заключено между двумя
положительными целыми числами: п х < п + 1, где п = [ж] — это
целая часть ж. Отсюда следует —у-ц- < 1 < —, 14-< 14-^ 1 + -,
п +1 жпп +1 х п
поэтому
/ 1 / 1\* / l\"+i
(1 ---ТТ ) < (1 "I— ) 1 “I )
\ п + 1/ V х) \ п/
Если х —> 4-оо, то п —> оо. Поэтому, согласно (17.14), имеем:
. 1 . п lim (1 4—тг)"+1
lim fl + —!—) = 2^---------- . ч
п-+оо\ п + 1/ lim (1 4—1-0
п—УОО ”+1
/ 1\»+1 / 1>п ,
lim (14--) = lim (14---) • lim (1 +
п—>ос \ 71/ п—>оо \ 71/ п—юс\
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пре-
делов
lim fl -|—'j = е. (17.16)
ж-> + оо\ X/
2. Пусть х —> —оо. Сделаем подстановку —х = t, тогда
, / 1\ж
lim 1+-
х —> — ос X х/
lim
t—>+оо
lim
i—>+оо
/ 1 V-1 / lx1
= lim fl-I-----------) • lim f 1 4-----) = e • 1 = e. (17.17)
t—^-|-oc \ f, — 1 / t—>-|-oc \ £ — 1 /
Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).
Если в равенстве (17.15) положить 1 = а (а —> 0 при х —> оо), оно
запишется в виде
lim (1 + а) ° = е.
а—>0
(17.18)
Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечатель-
ным пределом. Они широко используются при вычислении пре-
делов. В приложениях анализа большую роль играет показательная
функция с основанием е. Функция у = ех называется экспоненци-
альной, употребляется также обозначение ех = ехр(х).
Пример 17.8. Найти lim fl -f- — X .
Q Решение: Обозначим х = 2t, очевидно, t —> оо при х —> оо. Имеем
/ 2\ж / l\2t
lim (1-1— ) = lim (1 + - ) =
z—s-oo \ X/ t—>oo \ tJ
/ l\i
= lim (1 + - )
t—>oo \ t /
/ 1X * ,
lim (1 + - ) = e e = e .
i-+oo \ t /
147
§18. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
ФУНКЦИИ
18.1. Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и прЪизведение двух б.м.ф. есть
функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести се-
бя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно боль-
шой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к ка-
кому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть а = а(х) и 0 = /3(х) есть б.м.ф. при х —> хо, т. е. lim а(х) =
X —>Хо
= 0 и lim (3(х) = 0.
Х-^Хо
1. Если lim ту=А^0(4€1Ю, тоаи/3 называются бесконечно
ж->ж0 Р
малыми одного порядка.
2. Если lim = 0, то а называется бесконечно малой более высо-
X—>®0 р
кого порядка, чем /3.
3. Если lim % = оо, то а называется бесконечно малой более низ-
х—И
кого порядка, чем 13.
4. Если lim § не существует, то а и [3 называются несравнимыми
X —>ж0 Р
бесконечно малыми.
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х —> ±оо,
х —> х0 ± 0.
Пример 18.1. Сравнить порядок функций а = Зж2 и /3 = 14ж2
при X —> оо.
Q Решение: При х —> 0 это б.м.ф. одного порядка, так как
г а г Зж2 3 / п
lim — = lim ----5- = — / U.
ж-щ 3 ж->о 14х2 14
Говорят, что б.м.ф. а и /3 одного порядка стремятся к нулю с примерно
одинаковой скоростью. *
Пример 18.2. Являются ли функции а = Зж4 и /3 = 7ж б.м.ф.
одного порядка при х —> 0?
148
Q Решение: При х —> 0 функция а есть б.м.ф. более высокого порядка,
о 4 о 3
чем в, так как lim 77 = lim 4т— = Нт = 0. В этом случае б.м.ф. а
ж-со /3 Я-Ш 7ж ж-ш 7 ^'t-
стремится к нулю быстрее, чем /3.
Пример 18.3. Сравнить порядок функций а — tg х и [3 = ж2 при
х -> 0.
Q Решение: Так как
, а tgx sin ж 1 1
lim — = lim —5- = lim -------------- — = 00,
ж-10 /3 ж-+о X х^О X COS Ж X
то а есть б.м.ф. более низкого порядка, чем /3-
Пример 18.4- Можно ли сравнить функции а = х • sin ~ и [3 = х
при х —> 0?
Q Решение: Функции а = х • sin ~ и /3 = х при х —> 0 являются не-
х • sin 1 1
сравнимыми б.м.ф., так как предел lim = lim-------— = lim sin — не
х—>0 р х—>0 х х—>0 X
существует. ®
18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные
теоремы о них
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль
играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
Psi Если lim 77 = 1, то а и (3 называются эквивалентными беско-
Н Ж-+ЖО /3
нечно малыми (при х —> жо); это обозначается так: а ~ [3.
Например, sin ж ~ ж при ж —> 0, т. к. lim sm х = 1; tgж ~ ж при
х—>0 X
ж —> 0, т. к. lim = 1.
Ж-+0 Ж
Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций
не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной
ей бесконечно малой.
Q Пусть а ~ а' и [3 ~ /3' при ж —> жо- Тогда
.. а (а а
Inn — = 11П1 — • —- • —
р а р
г а г г а' 1 1 г а'
Inn — • lim — • lim — = 1 • 1 • hm —,
х-Лх0 a1 x-+x0 /3 x—fXr, p' x ,xn p'
149
т. е. lim § = lim %.
X—^XQ P x—¥Xq p
Очевидно также, что lim = lim %- = lim %.
ж—>a?o P x—^xq p x—>a?o p
Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функ-
ций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из
них
□ Пусть а ~ р при х —> жо- Тогда
1- а~Р I- Л 1 1-^110
lim ---- = hm (1-----= 1 - hm =11=0,
ar-тжо а ж—>жо \ а/ а
аналогично lim а а-@ =0. Я
Д’ —МО р
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. а и
Р есть бесконечно малая высшею порядка, чем а или Р, то а и р
эквивалентные бесконечно малые.
Действительно, так как lim ——I- = 0, ю lim (1 — — ] = 0, т. е.
я?—.г—>д'о \ Of/
1 — lim — — 0. Отсюда lim — = 1, т. е. а ~ р. Аналогично, если
x—^-xq си x—>-xq а
lim а а = 0, то а ~ р.
x—Yxq р
Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций
разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Q Докажем теорему для двух функций. Пусть а —> 0, /? —> 0 при
х —> Жо, причем а — б.м.ф. высшего порядка, чем Р, т. е. lim = 0.
Х—Ь-Хо р
Тогда
lim = lim (+ 1/) = lim ^ + 1 = 0+1 = 1.
X^-Xq р X—¥XQ X р / Ж—YXQ р
Следовательно, а + Р ~ р при х —> х0.
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется
главной частью этой суммы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасывани-
ем бесконечно малых высшего порядка.
Пример 18.5. Найти предел lim Зж +
150
Q Решение: lim ^x.+ Iх = lim ?x
Ж-И) sm2.T ж-м) sin2a:
Зх + 7x2 ~ Зх и sin 2x ~ 2x при x —> 0.
lim
г-40 2x
3
, поскольку
18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых
функций
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида часто бывают полез-
ным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и
другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как из-
вестно, sin х ~ х при х —> 0, tg х ~ х при х —> 0. Приведем еще примеры
эквивалентных б.м.ф.
Пример 18.6. Покажем, что 1 — cos а- ~ при х —> 0.
„ l-cosa- „ 2sm2y sin у
Решение: lim ------=-- = nm -----5—= lim —-—
ж-М) ж->0 S- J' >0 4
2 2 (|->0) 2
sin у
2
= 11 = 1.
Пример 18.7. Найдем lim arcsln х
х—>0 X
Q Решение: Обозначим arcsinx = t. Тогда х = sin! и t —> 0 при х -4 0.
Поэтому
arcsm х
lim-------
ш-Ю X
1- t 1
= lim-------- = lim —г
t->0 Sin t t-yO
1
1=L
Следовательно, arcsin x ~ x при x —> 0.
Пример 18.8. Покажем, что \/1 + — 1 ~ при х —> 0.
Q Решение: Так как
у/1+х - 1 (\/1 + х - 1)(л/1 + х + 1)
lim------------ = lim --------, , ----г----
2 f ' (а/1 + х + 1)
у(-\/1 + + 1) л/Г+Д + 1 2
ТО \/1 + х — 1 ~ ~ при х -> 0- •
Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые исполь-
зуются при вычислении пределов:
151
1. sin ж ~ x при x —> 0;
2. tg.r ~ x (x -> 0);
3. arcsin.c ~ x (ж —> 0);
4. arctg.c ~ ж (ж —> 0);
Г2 z
5. 1 — cos ж ~ (ж —> 0);
6. ex — 1 ~ x (ж —> 0);
7. ax — 1 ~ x • Ina (ж —> 0);
8. ln(l + ж) ~ ж (ж —> 0);
9. loga(l + ж) ~ x • loga e (ж -> 0);
10. (1 + x*jk — 1 ~ fc ж, fc > 0 (ж —> 0);
в частности, y/1 + x — 1 ~
Пример 18.9. Найти lim --ff .
sin Зж
Q Решение: Так как tg2x ~ 2x,sin3x ~ Зж при ж —> 0, то
tg2ж 2ж 2
lim -—— = lim — =
.1'^0 sm З.г ж-ш Зж 3
Пример 18.10. Найти lim ж(е1/,ж — 1).
х—>ЭО
Q Решение: Обозначим 1 = t, из х —> оо следует t —> 0. Поэтому
1 1
lim ж(е1//:г — 1) = lim ~(е1 - 1) = lim - • t = lim 1 = 1.
я->оо t->0 t t-»0 t t->0
Пример 18.11. Найти lim а7Иж --1\
x-n x — 5ж + 4
Q Решение: Так как arcsin(x — 1) ~ (ж — 1) при ж —> 1, то
агс8ш(ж -1) (ж -1) 1 1
lim -- --— = lim -——— = lim --- = --.
®-э1 ж2 — 5ж + 4 я->1 (ж — 1)(ж — 4) ж-н ж — 4 3
Приближенные вычисления
Если а ~ /3, то, отбрасывая в равенстве а = /3 +
+ (а — (3) бесконечно малую более высокого порядка,
т. е. а — (3, получим приближенное равенство а « /3.
Оно позволяет выражать одни бесконечно малые
через другие. Приведенные выше важнейшие эквива-
лентности служат источником ряда приближенных
формул.
Приведенные формулы справедливы при малых
ж, и они тем точнее, чем меньше ж.
Например, графики функций у = tg хну = жв
окрестности точки 0 практически не различимы (см.
рис. 114), а кривая у = sin ж в окрестности точки 0
Рис. 114.
tg хкх (ж—>0)
152
сливается с прямой у — х (рис. 115). На рисунках 116 118 проиллю-
стрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых го-
ворилось выше.
Рис. 115. sin х » х (х —> 0)
Рис. 116. ln(l+x)Rsx (ж—>0)
Рис. 118. \/1 + х rs 1 + | (х —> 0)
Рис. 117. cos х RS 1 - (ж —> 0)
Пример 18.12. Найти приближенное значение для In 1,032.
Q Решение: In 1,032 = 1п(1 + 0,032) rs 0,032 Для сравнения результата
по таблице логарифмов находим, что In 1,032 = 0,031498 ... •
§19. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
19.1. Непрерывность функции в точке
Пусть функция у = /(х) определена в точке хо и в некоторой
окрестности этой точки. Функция у = f(x) называется непрерывной
в точке Хо, если существует предел функции в этой точке и он равен
значению функции в этой точке, т. е.
(19-1)
lim /(х) = /(х0).
Д’ —УХ()
153
Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:
1) функция /(ж) определена в точке Хо и в ее окрестности;
2) функция /(ж) имеет предел при х —> хд;
3) предел функции в точке Хд равен значению функции в этой
точке, т. е. выполняется равенство (19.1).
Так как lim х = хд, то равенство (19.1) можно записать в виде
X —YXq
lim /(х) = /( lim х) = /(х0). (19.2)
х—¥Xq x—Yxq
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции
f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию
f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение хд.
Например, lim = е*™0 “ = е. В первом равенстве функция
х—>0
и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функ-
ции ех.
Пример 19.1. Вычислить А = lim
ж-»0 X
Q Решение:
.. 1п(1 + х) 1 . 1
lim —------= lim - • ln(l + x) = lim ln(l + x)« =
I—>0 x я—>0 X я—>0
= In I lim (l+x)»l=lne = l. •
\ж-МГ /
Отметим, что ln(l + x) ~ x при x —> 0.
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опи-
раясь на понятия приращения аргумента и функции.
Пусть функция y = f(x) опре-
делена в некотором интервале
(а; Ь). Возьмем произвольную точ-
ку хд&(а-,Ь). Для любого х&(а;Ь)
разность х — хд называется прира-
щением аргумента х в точке Хд
и обозначается Ах («дельта х»):
Ах = х —xq. Отсюда х=хо + Ах.
Разность соответствующих
значений функций /(х)—/(хо) на-
зывается приращением функции
f(x) в точке хд и обозначается А у
(или А/ или А/(х0)): Ау = /(х)-/(х0) или Ау = /(х0 + Ах)-/(х0) (см.
рис. 119).
Очевидно, приращения Ах и Ду могут быть как положительными,
так и отрицательными числами.
154
lim Ау = 0.
Дж-Ю
Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия
х —>£оигс — zq —> О одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид
lim (/(ж) - /(z0)) = 0 или
Ж —YXq
(19.3)
Полученное равенство (19.3) является еще одним определением не-
прерывности функции в точке: функция у = f(x) называется не-
прерывной в точке xq , если она определена в точке хо и ее окрестно-
сти и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому прираще-
нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое
(равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.
Пример 19.2. Исследовать на непрерывность функцию у = sin х.
Q Решение: Функция у = sin х определена при всех х 6 Ж.
Возьмем произвольную точку х и найдем приращение Ау:
* / л \ ( Az\ . Az
Ay = sm(z + Az) — sm х = 2 cos I х -)—— I • sin .
Тогда lim Ay = lim 2cos(z + • sin = 0, так как произ-
ведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.
Согласно определению (19.3), функция у = sin х непрерывна в точ-
ке х. •
Аналогично доказывается, что функция у = cosx также непре-
рывна.
19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Функция у = f(x) называется непрерывной в интервале (а, Ь), если
она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция у = f(x) называется непрерывной на отрезке [а, 6], если
она непрерывна в интервале (а, Ь) и в точке х = а непрерывна спра-
ва (т. е. lim f(x) = /(а)), а в точке х = b непрерывна слева (т. е.
\ х—>а-(-0 / V
^/(*) = ж)-
ж—>6—0 /
19.3. Точки разрыва функции и их классификация
|ф| Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называют-
ся точками разрыва этой функции. Если х = хо — точка
разрыва функции у = /(z), то в ней не выполняется по крайней ме-
155
ре одно из условий первого определения непрерывности функции, а
именно:
1. Функция определена в окрестности точки х0, но не определена
в самой точке xq.
Например, функция у = 2 не определена в точке .со = 2 (см.
рис. 120).
Рис. 121
2. Функция определена в точке хо и ее окрестности, но не суще-
ствует предела /(ж) при х —> .со-
Например, функция
{х — 1, если — 1 х < 2,
2 — х, если 2 х 5,
определена в точке хо = 2 (/(2) = 0), однако в точке .т0 = 2 имеет
разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х —> 2:
И™ /(ж) =
->2-0
а д(хо) = д(0) = 2.
, a lim fix') = 0.
3. Функция определена в точ-
ке хо и ее окрестности, существу-
ет lim fix'), но этот предел не ра-
Ж—¥xq
вен значению функции в точке .с0:
lim /(ж) ± /(ю)-
X—¥XQ
Например, функция (см.
рис. 122)
f ^п—, если х 0;
д(ж) = х
^2, если т = 0.
Здесь .то = 0 — точка разрыва:
, sin х
lim - = 1,
х->0 X
156
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва перво-
го и второго рода. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва
первого рода функции у = /(.с), если в этой точке существуют конеч-
ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.
lim /(ж) = Ai и lim f(x) = А^. При этом:
х —*xq — 0 ж—>жо+О
а) если Ai = Аг, то точка xq называется точкой устранимого раз-
рыва; б) если Ai Аг, то точка хц называется точкой конечного раз-
рыва. Величину |Ai — Аг| называют скачком функции в точке разрыва
первого рода.
|ф| Точка разрыва xq называется точкой разрыва второго рода
функции у — f(x), если по крайней мере один из односторонних
пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120).
у = ~7г, х0 = 2 — точка разрыва второго рода.
2. Для функции
{х — 1, если — 1 < х < 2,
2 — х, если 2 х $ 5,
.со = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен
|1-0| = 1.
3. Для функции
Г при х ф- 0,
5(т) = х
( 2 при х — 0
то = 0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив
g(x) = 1 (вместо д(х) = 2) при х = 0, разрыв устранится, функция
станет непрерывной.
Пример 19.3. Дана функция /(ж) = Найти точки разры-
ва, выяснить их тип.
Q Решение: Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой
„ ~ ,, . J 1 при х > 3,
оси, кроме точки х = 3. Очевидно, j(x) = < Следова-
1—1 при х < 3.
тельно, lim /(т) = 1, a lim /(х) = —1. Поэтому в точке х = 3
х—>3_|-0 х—>3—0
функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке
равен 1 — (—1) = 2. •
157
19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из
соответствующих теорем о пределах.
Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных
функций есть функция непрерывная (для частного за исключением
тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю)
Q Пусть функция f (х) и <р(х) непрерывны на некотором множестве
X и То — любое значение из этого множества. Докажем, например,
непрерывность произведения F(x) — f(x) <р(х). Применяя теорему о
пределе произведения, получим:
lim F(x) = lim (f(x)-<p(x)) = lim f(x)- lim y>(x)=f(xo)-p(xo)=F(xo)-
X~¥Xq X~±XQ x—¥XQ X—txo
Итак, lim F(x) = F{x0), что и доказывает непрерывность функ-
Ж—>XQ
ции /(х) • <р(х) в точке xq. И
Теорема 19.2. Пусть функции и — у>(х) непрерывна в точке хо, а
функция у = /(д) непрерывна в точке ио = <р(хо). Тогда сложная
функция /(9?(х)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в
точке xq.
□ В силу непрерывности функции и = if(x), lim tp(x) = ip(xo) = До,
2E—>XQ
т. е. при х —> хо имеем и —> ио- Поэтому вследствие непрерывности
функции у = f(u) имеем:
lim J(^(x)) = lim f(u) = f(u0) = /(<р(х0))-
X—+XQ u—^uq
Это и доказывает, что сложная функция у = /(^(х)) непрерывна
в точке Хо- И
Теорема 19.3. Если функция у = /(х) непрерывна и строго монотон-
на на [а; 6] оси Ох, то обратная функция у = у>(х) также непрерывна и
монотонна на соответствующем отрезке [с; d] оси Оу (без доказатель-
ства).
158
Так, например, функция tgx = -1П-Ж , в силу теоремы 19.1, есть
COS X
функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых
cosх = 0, т. е. кроме значений х = + тт. n EZ.
Функции arcsin.c, arctgx, arccosrc, arcctgz, в силу теоремы 19.3, не-
прерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.
Можно доказать, что все основные элементарные функции
непрерывны при всех значениях х, для которых они опре-
делены.
Как известно, элементарной называется такая функция, которую
можно задать одной формулой, содержащей конечное число ариф-
метических действий и суперпозиций (операции взятия функции от
функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных
выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерыв-
на в каждой точке, в которой она определена.
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить
пределы элементарных функций в точках, где они определены.
Пример 19-4- Найти lim 2ctga:.
4
Q Решение: Функция 2ctg2: непрерывна в точке х = ^, поэтому
lim 2ctga: = 2ctg? = 21 = 2. •
19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.
Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрез-
ке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наимень-
шего значений.
Изображенная на рисунке 123 функция у — f(x) непрерывна на
отрезке [а;6], принимает свое наибольшее значение М в точке Xi. а
наименьшее т — в точке з.?. Для любого х е [а; 6] имеет место нера-
венство т С /(ж) М.
Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она огра-
ничена на этом отрезке.
159
Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у = f(x) непре-
рывна на отрезке [a; ft] и принимает на его концах неравные значения
/(а) = А и f(b) = В, то на этом отрезке она принимает и все проме-
жуточные значения между А и В.
Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).
Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка
с внутри этого отрезка такая, что /(с) = С. Прямая у = С пересечет
график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие 19.2. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; ft]
и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка
[a; ft] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x)
обращается в нуль: /(с) = 0.
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функ-
ции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось
Ох (см. рис. 125).
Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половин-
ного деления», который используется для нахождения корня уравне-
ния f(x) = 0.
Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются невер-
ными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна
не на отрезке [a; ft], а в интервале (а; Ь), либо функция на отрезке [a; ft]
имеет разрыв.
Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график
разрывной функции не пересекает ось Ох.
160
Рис. 125
Рис. 126
Пример 19.5. Определить с точностью до е = 0,00001 корень
уравнения е2ж+1 + х2 — 5 = 0, принадлежащий отрезку [0; 1], применив
метод половинного деления.
Q Решение: Обозначим левую часть уравнения через /(ж).
Шаг 1. Вычисляем <р = f(a) ttw = /(6), где а = 0, Ъ = 1.
Шаг 2. Вычисляем х = а + \
Шаг 3. Вычисляем у = f(x). Если f(x) = 0, то х — корень уравне-
ния.
Шаг 4. При f(x) 0 если у • р < 0, то полагаем b = х, ф — у, иначе
полагаем а = х, <р = у.
Шаг 5. Если b — а — е < 0 то задача решена. В качестве искомого
корня (с заданной точностью е) принимается величина х = а + . Ина-
че процесс деления отрезка [а; 5] пополам продолжаем, возвращаясь к
шагу 2.
В результате произведенных действий получим: х = 0,29589. •
§20. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
20.1. Задачи, приводящие к понятию производной
Понятие производной является одним из основных математических
понятий. Производная широко используется при решении целого ряда
задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении
скорости разных процессов.
Скорость прямолинейного движения
Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется нерав-
номерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответ-
ствует определенное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной
точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).
6 Конспект лекций по высшей математике Полный курс
161
Это равенство называют законом движения точки. Требуется най-
ти скорость движения точки.
О
М МА I
S(t)
Рис 127
Если в некоторый момент времени t
точка занимает положение М, то в момент
времени t + At (At — приращение времени)
точка займет положение Mi, где О Mi =
= S + &.S (&S — приращение расстояния)
(см. рис. 127). Таким образом, перемеще-
ние точки М за время At будет AS =
= S(t + At) — S(t)
A S
Отношение выражает среднюю скорость движения точки та
время At:
v _AS
Vcp “ At
Средняя скорость зависит от значения А/: чем меньше At, тем
точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный
момент времени t.
Предел средней скорости движения при стремлении к нулю про-
межутка времени At называется скоростью движения точки в данный
момент времени (или мтновенной скоростью). Обозначив эту скорость
через V, получим
V =
г Д5
пт ——,
д<->о At
или
V = lim
д/^о At
(20 1)
Касательная к кривой
Дадим сначала общее определение касательной к кривой.
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и Mi (см. рис. 128).
Прямую MMi, проходящую через эти точки, называют секущей.
Пусть точка М\, двигаясь вдоль кривой L, неот раниченно прибли-
жается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стре-
мится к некоторому предельному положению МТ.
Касательной к данной кривой в данной точке М называ-
ется предельное положение МТ секущей MMi, проходящей через
точку М, когда вторая точка пересечения М\ неограниченно прибли-
жается по кривой к точке Mi.
Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = /(х), имею-
щий в точке М(х;у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой
коэффициент k = tga, где a — угол касательной с осью Ох.
Для этого проведем через точку М и точку Mi графика с абсцис-
сой х + Да: секущую (см. рис. 129). Обозначим через — угол между
секущей MMi и осью Ох На рисунке видно, что угловой коэффициент
секущей равен
Ду f(x + Дж) - /(ж)
UK=tgV = — = -----------.
162
Рис 129
При Дж —> 0 в силу непрерывности функции приращение Аг/ тоже
стремится к нулю; поэтому точка Mi неограниченно приближается по
кривой к точке М, а секущая MMlt поворачиваясь около точки М,
переходит в касательную. Угол р —> а, т. е. lim и> = а.
Л.х—>0
Следовательно, lim tgi^^tgo.
Дж —>0
Поэтому угловой коэффициент касательной равен
t = tsa= lim tgy = lim lim Л* + ^ ~ (20,2)
Дж-Ю ДгчО Дж Д®->0 Дж
К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят решения и
множества других задач. Можно показать, что:
- если Q = Q(t) — количество электричества, проходящего через
поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент
времени t равна
/ = lim = lim W + (20.3)
д«-ю At д«->о Д1
- если N = N(t) — количество вещества, вступающего в химиче-
скую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент
времени t равна
AN N(t + At) - N(t)
V = lim —— = hm —---------------------(20.4)
Д1—>o At ai^o At
- если m = т(ж) — масса неоднородного стержня между точками
0(0; 0) и М(ж;0), то линейная плотность стержня в точке х есть
S= lim = lim + (20.5)
Дж—>0 Дж Дж->0 Дж
Пределы (20.1)~(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется най-
ти предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:
V = S't- ^a = y'x- I = Q't- V=N't- S = т'х
(читается «V равно S штрих по t», «тангенс а равен у штрих по ж»
и т. д.).
163
20.2. Определение производной; ее механический
и геометрический смысл.
Уравнение касательной и нормали к кривой
Пусть функция у = /(ж) определена ра некотором интервале (а; Ь).
Проделаем следующие операции:
- аргументу х Е (а;/>) дадим приращение Дж: х + Дж 6 (a; ft);
- найдем соответствующее приращение функции: Ду = /(ж + Дж) —
- /И;
- составим отношение приращения функции к приращению аргу-
мента:
!\х
- найдем предел этого отношения при Дж —> 0: lim .
Если этот предел существует, то его называют производной функ-
ции /(ж) и обозначают одним из символов f'x, у'; ух.
Производной функции у = /(ж) в точке Жо называется предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
, /(ж0 + Дж) - /(ж0) , /(ж) - /(ж0)
у = hm или / ж0) = lim .
Да-->0 Дж Ж — Жо
Производная функции /(ж) есть некоторая функция /'(ж), произ-
веденная из данной функции.
Функция у = f(x), имеющая производную в каждой точке интерва-
ла (а;Ь), называется дифференцируемой в этом интервале; опе-
рация нахождения производной функции называется дифференциро-
ванием.
Значение производной функции у = /(ж) в точке ж = жо обознача-
ется одним из символов: /'(жо), у'\ _ или у'(жо).
Пример 20.1. Найти производную функции у = С, С = const.
Решение:
- Значению ж даем приращение Дж;
- находим приращение функции Ду: Ду = /(ж + Дж) — /(ж) =
= С-С = 0;
Ду о п
- значит, s = 0:
- следовательно, у' = lim = lim 0 = 0, т. е. (с)' =0. •
У Дх->0 &Х Дя-Ю ’ v '
164
Пример 20.2. Найти производную функции у = ж2.
получено
прямоли-
есть про-
Q Решение:
- Аргументу х даем приращение Дж;
- находим Ду: Ду = (х + Дж)2 — ж2 = 2ж • Дж + (Дж)2;
Ду Ду 2ж • Дж + (Дж)2 .
- составляем отношение -г*-: = -----т—*---— = 2ж + Дж;
Дж Дж Дж
- находим предел этого отношения:
А?/
lim —— = lim (2ж + Дж) = 2ж.
Дж->0 Дж Дх >0
Таким образом, (ж2)' = 2ж.
В задаче про скорость прямолинейного движения было
V = lim -^4-
At—>0 Дь
Это равенство перепишем в виде V = S't, т. е. скорость
нейного движения материальной точки в момент времени t
изводная от пути S по времени t. В этом заключается механический
смысл производной.
Обобщая, можно сказать, что если функция у = /(ж) описывает
какой-либо физический процесс, то производная у1 есть ско-
рость протекания этого процесса. В этом состоит физический
смысл производной.
В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффи-
циент касательной k = tga = lim^ Это равенство перепишем
в виде /'(ж) = tga = к, т. е. производная f'(x) в точке х рав-
на угловому коэффициенту касательной к графику функции
у = f(x) в точке, абсцисса которой равна ж. В этом заключается
геометрический смысл производной.
£5] Если точка касания М имеет координаты
(жо;уо) (см. рис. 130), то угловой коэффи-
циент касательной есть к — /'(жд). Пользуясь
уравнением прямой, проходящей через задан-
ную точку в заданном направлении
(у—уо = /г(ж-ж0)), можно записать уравнение
касательной: у — у0 = /'(ж0) • (ж — ж0).
Прямая, перпендикулярная касательной в
точке касания, называется нормалью к
кривой.
Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой ко-
эффициент 1
&норм. - '7Г', Г •
"'к ас I (З'О)
165
Поэтому уравнение нормали имеет вид у — уо — —) <'Х ~ х°)
(если f'(xQ) ± 0).
20.3. Связь между непрерывностью
и дифференцируемостью функции
Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке,
то она непрерывна в ней
□ Пусть функция у = /(ж) дифференцируема в некоюрой точке х.
Следовательно, существует предел lim = f'(x)
Да?—>0
Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно
малой функции, имеем = f'(x) + а, где а —> 0 при Дж —> 0, го есть
Ду = /'(ж) ’ Ах + а ’ Ах
Переходя к пределу, при Дж —> 0, получаем lim Ду = 0. А это и
Ди? —>0
означает, чго функция у = f(x) непрерывна в ючке х.
Обратная теорема неверна, непрерывная
V функция может не иметь производной Приме-
/ ром такой функции является функция
\ / У = \х\ . . I х. если х 0,
у = И = s
------------Т — х, если х < U.
U Л к
Изображенная на рисунке 131 функция не-
Рис 131 прерывна в точке х = 0, но не дифференцируема
в ней.
Действительно, в точке х = 0 имеем
Ду _ /(0 + Ax') — /(0) f(Ax) |Дж| J 1, если Дж > 0,
Ах Дж Дж Дж I — 1, если Дж < 0.
Отсюда следует, что lim не существует, т е функция у = |ж|
Ди? —>0
не имеет производной в точке ж = 0, график функции не имеет каса-
тельной в точке 0(0; 0).
Замечания: 1. Существуют односторонние пределы функции у = |ж|
в точке ж = 0: lim = — 1, lim = 1. В таких случаях
Дж-Щ-0 Дж Дж-ю+о Дж
говорят, что функция имеет односторонние производные (или «про-
изводные слева и справа»), и обозначают соответственно f'_(x) и Д_(ж).
166
Если Д(ж) 7^ то производная в точке не существует. Не
существует производной и в точках разрыва функции.
2. Производная у' = f'(x) непрерывной функции у = f(x) сама не
обязательно является непрерывной.
|@| Если функция у = /(ж) имеет непрерывную производную у' = f'(x)
в некотором интервале (а, 6), то функция называется гладкой.
20.4. Производная суммы, разности, произведения
и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определе-
нию часто связано с определенными трудностями. На практике функ-
ции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Пусть функции и = и(ж) и v = г(т) две дифференцируемые в
некотором интервале (а; Ь) функции.
Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна
сумме (разности) производных этих функций (и ± г)' = и' ± v'
□ Обозначим у = и ± V. По определению производной и основным
теоремам о пределах получаем:
, (и(х + Дж) ± v(x + Дж)) — (и(х) ± и(ж))
у = пт ------------------------------------- =
Дж->о Дж
/ и(х + Дж) — и(х) v(x + Дж) — н(ж) \
= д™о^ Д^ Д^ ) =
= lim —— ± lim —— = и ± v ,
Дж—>о Дж Дж-ю Дж
т. е. (и ± и)' = и' ±v'.
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произ-
ведению производной первого сомножителя на второй плюс произве-
дение первого сомножителя на производную второго: {u-v)'—u'v+v'u
167
I- т Л 1-
hm —-----1- hm Ди hm -— =
Дж->о Дж Д.г ->о Дж->о Дж
= и(ж)
□ Пусть у — uv. Тогда
, Ди , и(х + Дж) • v(x + Дж) — и(х) v(x)
у — hm —- = hm --------------------—----------—----— =
Дж->0 Дж Дж->0 Дж
_ (и(х) + Ди) • (и(ж) + Ди) — и(ж) • и(ж) _
Дж-ю Дж
__ р и(ж) • и(ж) + и(ж) • Ди + и(ж) • Ди + Ди • Ди — и(ж) • и(ж)
Дж->о Дж
/ Ди . Ди Ди\
= hm и(ж) • — 1- и(ж) • -----1- Ди • —- =
Дж->о \ v ' Дж v ' Дж Дж/
Ди
hm —
Д/-»о Дж
= и • и + и • v1 + 0 • и' = и и + и • и',
т. е. (и • и)' = и' • и + и • и'.
При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи не-
прерывности и дифференцируемости: так как функции и — и(ж) и
и = и(ж) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому Ди —> О
и Ди —> 0 при Дж —> 0.
Можно показать, что:
а) (с • и)' = с • и', где с = const;
б) (и • и • ш)' = и1 v w + и v' w + и v w'.
Теорема 20.4. Производная частного двух функций —4-4, если и(ж) /
v(x)
/ 0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений зна-
менателя дроби на производную числителя и числителя дроби на про-
изводную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаме-
нателя- (= u'-v-u-vL v 0
\ V / U
□ Пусть у = Тогда
и(а?+Дд?) •и(аг) ц(ж)4~Ди и(х')
Дж->0 Дж Дж—>0 Дж
Дж-н) Дж • (и(ж) + Ди)и(ж)
168
V-Au — U'Av v • - и •
= hm ------------------- = lim -----—-------=
Дж->о Дж • (v2 + v Ди) Да:~>о v2 + v Ди
v2 + v • lim Av v2
Дж—>0
Т. е = u'v-uv' _
_ лл ч (и\ 1 /
Следствие 20.1. j — ~ - и
(с \ ?
- ) = ——}' , где с = const
V / V
20.5. Производная сложной и обратной функций
Пусть у = f(u) и и = у>(х), тогда у = /(<^(ж)) — сложная функция
с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.
Теорема 20.5. Если функция и = <р(ж) имеет производную и'х в точке
х, а функция у = f(u) имеет производную у'и в соответствующей точке
и = <р(х), то сложная функция у = /(</>(ж)) имеет производную у'х в
точке х, которая находится по формуле у'х = у'и и'х.
□ По условию JimQ = Уи- Отсюда, по теореме о связи функции, ее
предела и бесконечно малой функции, имеем = у'и + а или
Ау = Уи ’ + а ' Aw, (20.6)
где а —> 0 при Ди —> 0.
Функция и = <р(х) имеет производную в точке х: lim = и'х,
Дж—>0
поэтому
Ди — их Ах + /3 • Ах, где /3 —> 0 при Ах —> 0.
Подставив значение Ди в равенство (20.6), получим
Дт/ = у'и(их Ах + /3 Ах) + а(и'х Ах + /3 Ах),
Ау = у'и-и'х- Ах + у'и- /3 • Ах + и'х-а- Ах + а /3 • Ах.
Разделив полученное равенство на Ах и перейдя к пределу при Ах —> 0,
получим =у'и-и'х.
169
j@i Итак, для нахождения производной сложной функции надо произ-
водную данной функции по промежуточному аргументу
умножить на производную промежуточного аргумента по
независимому аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов не-
сколько. Так, если у = f(u), и = <p(v), v = g(x), то ух = у'и • u'v • v'x.
Пусть у — f(x) и х = р>(у) — взаимно обратные функции.
Теорема 20.6. Если функция у = /(ж) строго монотонна на интер-
вале (а; Ь) и имеет неравную нулю производную /'(ж) в произвольной
точке этого интервала, то обратная ей функция х — <р(у) также име-
ет производную р'(у) в соответствующей точке, определяемую равен-
1 1
CTBOM <р'(у) — ИЛИ х'и — Ц-
У у'х
Q Рассмотрим обратную функцию х = <р(у). Дадим аргументу у при-
ращение Ду 0. Ему соответствуе г приращение Дж обратной функции,
причем Дж 0 в силу строгой монотонности функции у — f(x). Поэто-
му можно записать .
J Л /Т» 1
Если Ду —> 0, то в силу непрерывности обратной функции прира-
щение Дж —> 0. И так как lim = f'(x) 0, то из (20.7) следуют
Дт >0 Аж
равенства lim = ----------т— = , т. е. ip'(y) = тлтл-
р д^оДу Ит Ду f(xy PW
Дж—>о Дж
j@i Таким образом, производная обратной функции равна
обратной величине производной данной функции.
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
^ = р-
dy 1
или — - -Г- .
dx
dy
Пример 20.3. Найти производную функции у = log| tg ж4.
ф Решение. Данная функция является сложной. Ее можно предста-
вить в виде цепочки «простых» функций: у = и3, где и = log2 z, где
z = tg<7, где q — х4. По правилу дифференцирования сложной функ-
ции (у'х = у'и • u'z • z'q • q'x) получаем:
Ух = 3 • W tg ж4
1
tg ж4 • In 2
1
2 4
COS X
4ж3.
170
Пример 20-4- Пользуясь правилом дифференцирования обрат-
ной функции, найти производную у'х для функции у = у/х — 1.
Q Решение: Обратная функция х = у3 +1 имеет производную х'у = Зу2.
Следовательно,
, _ 1 _ i 1
~ ~ ~ з • 7(ж -1)2'
20.6. Производные основных элементарных функций
Степенная функция у = хп, п € N
Дадим аргументу х приращение Дж. Функция у = хп получит при-
ращение Ду = (х + Дж)" — х". По формуле бинома Ньютона имеем
Ду = + п хп-' Дж + П(~П~ 1^и~2 Дж2 + + (Дж)’1) - ж" =
= п. 1 Дж + И(П2~ ^ж^Дж2 + + (Дж)п.
Тогда
Ду п хп~1 Дх + п(п2~^ хп~2 Дх2 + + (Дж)"
Дж Дж
= п ж"-1 + П(П2~ . я;"-2 . дж + . . . + (Да;)"-1.
Находим предел составленного отношения при Дж 0:
lim = lim (п-хп~1+ ^-п-(п — 1)-ж"~2ДжН-----НДж)” 1 | = п-ж"-1.
Дж—>0 Дж Дж->0\ 2 /
Таким образом,
(ж")' = п-хп~\
Например, (ж3)' = Зж2, (ж2)' = 2ж, ж' — 1.
Ниже (см. замечание на с. 175) будет показано, что формула произ-
водной степенной функции справедлива при любом п £ Ж (а не только
натуральном).
Показательная функция у = ах, а > 0, а 1
Найдем сначала производную функции у = ех. Придав аргументу
ж приращение Дж, находим приращение функции Ду: Ду = еж+Дж— ех =
= ех(еАх — 1). Стало быть, = е V"1) и
V / ’ Да:
т V х еЛХ ~ 1 X 1- еЛХ “ 1 X Т X X
lim -— = hm е------------= е • lim —--= е lim -— = е • 1 = е .
Да:—>0Дж Д.х-^-0 /\х Дж->0 Дж Да:^()Дж
171
При вычислении предела воспользовались эквивалентностью
ех — 1 ~ х при х —> 0.
Итак, у' = ех, т. е.
(еж) = е .
Теперь рассмотрим функцию у = ах, х G Ж. Так как ах = ех1па,
то по формуле производной сложной функции находим:
(аху = (ех 1п а)' = ех 1п а (х In а)1 = ех |п а • In а = ах In а.
Таким образом, (ат)' = ах In а.
Пример 20.5. Найти производную функции у = 7ж2-4я:.
Q Решение: Используя формулу производной сложной функции и
формулу производной показательной функции, находим
у, = = . 1п7 . (ж2 _ 4ху = Г2-4Ж . in 7 . (2Ж _ 4). . •
Логарифмическая функция у = loga х, а > 0, а / 1
Найдем сначала производную функции у = In х.
Для нее
Ду = 1п(ж +Дж) -1пж = In(^) = 1п(1 +
Дж Дж Дж Дж
Переходя к пределу при Дж -4 0 и воспользовавшись эквивалент-
ностью 1п(1 + ~ при Дж -> 0, получаем:
Ду 1п(1 + ^) 1
lim = lim - -- - х ’ = lim = lim -
Да:—>0 Дж Д1--И1 Дж Да:->0 Дж Да:->0 Ж
T. е. у' = i или (In ж)' = i.
Теперь рассмотрим функцию у — loga ж.
Так как log„ ж = , то
оа m a
=bb'(lnl), = ji S'
Таким образом, (logaz)' = —I—.
X * lU Q
1
ж ’
Пример 20.6. Найти производную функции у = 1п(ж4 — 2ж2 + 6).
О Решение: у' = -ц---Ц • (ж4 - 2ж2 + 6)' = 44ж- •
ж — 2ж + 6 ж — 2ж + 6
Производную логарифмической функции у — loga ж можно найти
иначе. Так как обратной для нее функцией является ж = ау, то по
формуле производной обратной функции имеем:
^аУу ау-1па ж-Ina"
172
Тригонометрические функции у = sinx, у = cosx, у = tgx, у = ctgx
Для функции у = sinx имеем:
Ду _ sin(x + Дх) - sinx _ 2sin cos(x + 4р) _ sin / Дх\
Дх “ Дх “ Дх ~ cos ^х+ — J .
Переходя к пределу при Дх —> 0 и воспользовавшись первым за-
мечательным пределом д1>П1 = 1’ получаем
Ду .. sin
lim -— = Inn —‘ cos
Д.с—>0 Дх A.z jO
• COS X,
т. е. у' — cos х или (sin х)' = cos х.
Найдем производную функции у = cosx, воспользовавшись форму-
лой производной сложной функции:
= cos
= cos
— sin x,
т. е. (cosх)' = —sinx.
Для нахождения производных функций y=tgx и у—ctgx восполь-
зуемся формулой производной частного:
/sinxV (sinx)' cosx — sin x(cosx)' cos2x-f-sin2x 1
(tg X) = ----- =---------------------------=--------------= ——,
\ COS X} cos2 X COS2 X COS2 X
т. e. (tgx)' =—V-.
7 cos x
Проделав аналогичные операции, получим формулу
(ctgx) = —
sin X
Этот результат можно получить иначе:
( / 7Г 1 , _
1
sin2 x
Пример 20.7. Найти производную функции у = cos2x.
Q Решение: (cos2x)' = — sin2x • (2х)' = —2sin2x. •
Обратные тригонометрические функции у = arcsinx, у = arccosx,
у = arctgx, у = arcctgx
Пусть у = arcsinx. Обратная ей функция имеет вид х = sin у,
у е — 5-; 5- . На интервале ( — ту; ту ) верно равенство х' = cos у 0.
По правилу дифференцирования обратных функций
, - v 1 1 1 1
(arcsinx) = — — =------- = —. = . ,
(smj/)' cosy ^/i _ Sin2 у y/l-x2
173
где перед корнем взят знак плюс, так как cosy > 0 при у £ 1 —
Итак, (агсзпгж)' = -т - - .
ч/1 - Ж2
Аналогично получаем, что (агссозж)' =----, . Эту формулу
« v 1 - х2
можно получить проще: так как агссозж + arcsine = т. е. агссозж =
= 5 — arcsinx, то (агссозж)' = I 5 — arcsinx) =-j-= - .
2 / yl/\ — x2
Найдем производную функции у = arctg х.
Она является обратной к функции х = tgy, где у 6
Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, по-
лучаем, что
/ u 1 1 2 1
(arctg x) = --------- = —1— = cos у = ----------
v ) (tgy)' l + tg2y
1
+2
Итак, (arctg х)' =
Функции arctg х и arcctga: связаны отношением
я я
arctg х + arcctga? = —, т. е. arcctga: = — — arctg х.
Дифференцируя это равенство, находим
— arctg х
1
I- 1
т. е. (arcctgx)' — — -—L-j.
Пример 20.8. Найти производные функций: 1) у = arccos х2; 2) у =
= £-arctga:; 3) у — (1 + 5ж — Зж3)4; 4) у = arccos у/ж: 5) y = log'2(3 + 2
1 2х
Q Решение: 1) (агссозж2)' —--------р- _ = • (ж2)' =-----у —
у/1 - (ж2)2 у/1^
2) (х arctgж)' = ж' arctgж + ж • (arctgж)' = arctgж 4-——я;
1 + ж
3) ((1 + 5ж — Зж3)4)' = 4(1 + 5ж — Зж3)3 • (5 — 9ж2);
4) (arccos Дж)' =----, ~ — - • тД=;
М V у/1 - (y/S)2 2у/ж
5) (log3 (3 + 2-Д/ = 31оё22(3 + 2-Д L -2^ - In 2- (-1). •
(3 4-2 х) In 3
174
Замечание: Найдем производную степенной функции у — ха с лю-
бым показателем a G Ж. В этом случае функция рассматривается для
х > 0.
Можно записать ха = е“ 1п х. По правилу дифференцирования
сложной функции находим
1
(хау = (е“ 1ПЖ)' = е“ ln* (a - Ina:)' = а еа 1пж - = «• — = а х*-1,
т. е. (х°У = а ж“-1.
Формула остается справедливой и для х < 0, если функция у = ха
существует:
(^зу = -Х~з
о
при всех х 0.
„2 1
Пример 20.9. Показать, что функция у = + С удовле-
творяет уравнению .г3 у' + 1 = х4.
ф Решение: Находим у':
У' = |-2х + |-(-2К3+0,
т. е. у' = х-ip Подставляем значение у' в данное уравнение:
х3 • (х--+ 1 = ж4, т. е. х4 — 1 + 1 = х4, 0 = 0.
\ х' /
Функция удовлетворяет данному уравнению. •
20.7. Гиперболические функции и их производные
В математике, механике, электротехнике и некоторых других дис-
циплинах встречаются гиперболические функции, определяемые следу-
ющими формулами:
sh х = -—-------гиперболический синус;
ch ж = -—-------гиперболический косинус («цепная линия»);
th х = -Ф-^- = е ~ е и cth х = = ех + е_х — гиперболиче-
ch х е + е sh х е — е
ский тангенс и котангенс, где е — неперово число.
На рисунках 132-135 показаны графики гиперболических функ-
ций.
Между гиперболическими функциями существуют следующие ос-
новные зависимости:
175
Рис 132
Рис 133
Рис 134
ch2 х - sh2 х = 1;
sh(a: ± у} = shx • ch у ± ch ж shy;
ch(x ± у) = ch x • ch у ± sh x • sh y;
th(j:±2/)= th^±th^_
v 1 ± th ж • thy
sh 2x = 2 sh x • ch x; ch 2x = ch2 x + sh2 x.
Все эти формулы вытекают из определения гиперболических
функций.
Например,
,2 ,2 / е Т с
ch х — sh х = ------------
= lte2x + 2 + е~2х - е2х + 2 - = 1-4=1.
4V ! 4
176
Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см.
рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см.
рис. 136).
Рис 136 Параметрические
уравнения х = cos t и у =
= sm t определяют окружность
х2 + у2 = 1, причем О А = cost,
AM = sm t
Рис 137 Параметрические уравнения
x = chtnj/=sht определяют гипер-
болу х2 — у2 = 1, причем ОА = cht,
AM = sh t
Найдем производные гиперболических функций:
(sha:)' = ) = е—+ е— = cha:, т. е. (sha:)' = cha:;
tnh tV — (e—±_e—A — e—z c— _ T e (cha:)' = sha:;
(sha:)'ch a: - sha:(cha:)' _ ch2 a: - sh2 a:
ch x ch2 x
(thx)' = PF =
v ' \ ch x)
= -Д-, T. e. (ths)' = —i—;
ch x ch x
(ctha:)' = (nF) = sh ХЛ ch
v ' XshaJ sh2x
-Д—, т. е. (ctha:)' = Ti-
sh х sh x
20.8. Таблица производных
Выведенные правила дифференцирования, формулы производных
основных элементарных функций запишем в виде таблицы.
На практике чаще всего приходится находить производные от
сложных функций Поэтому в приведенной ниже таблице формул
дифференцирования аргумент «а:» заменен на промежуточный аргу-
мент «и».
Правила дифференцирования
1. (и ± v)' = и' ± v1;
2. (и • v)' = u'v + uv', в частности, (си)' = с • и’;
177
3. Г «у = в частности ( су = _«/
\vj v \vl v-
4- у'х = у'и и'х,если у = /(«)> и = ‘/’О);
5- у'х = ~Г^ если У = Кх) и х = ^(z/)-
ху
Формулы дифференцирования
1.
2.
3.
4.
(с)' = 0;
(и“)' = а иа~4
и', в частности, (л/йУ = и'-,
(аи)' = аи In а и', в частности, (е“)' = еи и'-,
(log,, иУ = —I— • и', в частности, (In it)' = — • w';
\ оа 7 ц. In а ' и ’
5. (sinи)' = cosit it';
7. (tg it)' = —V- и';
v ' cos и
9. (arcsinit)' = -j- - - • it';
11. (arctgn)' = у 2 • и1-,
13. (sh it)' = ch и • it';
15. (thu)' = 2 ' u';
ch it
6. (cos it)' = — sin it it';
8- (ctgu)' =----- u';
sin и
10. (arccosn)' =------, * u'-
xA - u2
12. (arcctgn)' = — ]—у u';
14. (ch it)' = shit u1;
16. (cthii)' =-----I— • it'.
sh2 и
Для вычисления производных надо знать лишь правила диффе-
ренцирования и формулы производных основных элементарных функ-
ций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.
Пример 20.10. Найти производную функции у = х4 — Зж3 + 2х — 1.
Q Решение:
у' = (х4 - Зж3 + 2ж - 1)' = (ж4)' - (Зж3)' + (2ж)' - (1)' =
= 4ж3 — З(ж3)'+ 2(ж)'— 0 = 4ж3 — 9ж2 + 2. •
Надо стараться обходиться без лишних записей.
2т3
Пример 20.11. Найти производную функции у = .
tg х
Q Решение:
' = (= 2 (ж3)' ~ж3 • = 2 • Зж2 ' ~ *3 '
У Vgz/ (tgx)2 (tgz)2
Производная найдена. В процессе решения использованы правила
2, 3 и формулы 2, 7.
Пример 20.12. Найти производную функции у — cos(ln12 2х).
178
Q Решение: Коротко: у' = — sin(ln12 2х) 12 In11 2х • i • 2.
Решение с пояснениями: данную функцию можно представить сле-
дующим образом: у = cos и, и = t12, t = Inz, z = 2x. Производную
сложной функции найдем по правилу у'х — у'и • u't • t'z z'x (здесь проме-
жуточных аргументов три):
у'х = — sin и 12 tn • - • 2,
т. е. ,
Ух - -sin^12 12 • (Inz)11 • — • 2,
т. е. ,
у' = — sin(lnz)12 • 12 • In11 z • -,
х
т. с. ,
у'х = — sin(ln12 2х) 12 In11 2х —.
Окончательно .
у'х = —12 • sin(ln12 2х) In11 2х —. •
§21. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ
И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ
21.1. Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у = /(т), разрешенным относи-
тельно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданием функции понимают задание функции в
виде уравнения Е(х; у) = 0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у = f(x) можно записать как
неявно заданную уравнением f(x) — у = 0, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение от-
носительно у (например, у + 2х + cos у — 1 = 0 или 2У — х + у = 0).
Если неявная функция задана уравнением Е(ж; у) = 0, то для нахо-
ждения производной от у по х нет необходимости разрешать урав-
нение относительно у. достаточно продифференцировать это
уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х,
и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и
функцию у.
Пример 21.1. Найти производную функции т/, заданную уравне-
нием ж3 + у3 - Зху = 0.
179
Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равен-
ство ж3 + у3 — 2>ху = 0. Из полученного соотношения
Зж2 + 3 у2 у' — 3(1 у + х у') =0
_ 2
следует, что у2у' — ху' = у — ж2, т. е. у' = К,—— . •
. У -х
21.2. Функция, заданная параметрически
(21-1)
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана па-
раметрически в виде двух уравнений
{х = x(t),
у = y(t/
где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную у'х, считая, что функции (21.1) имеют произ-
водные и что функция х = ж(1) имеет обратную t = ip(x). По правилу
дифференцирования обратной функции
4 = 4- (21.2)
Функцию у — /(ж), определяемую параметрическими уравнения-
ми (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = y(t), где
t = (Дж).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'х =
С учетом равенства (21.2) получаем
/ 1 , y't
Нх = yt iv II . a Sb Ф
Полученная формула позволяет находить производную у'х от
функции заданной параметрически, не находя непосредственной зави-
симости у от х.
(ж = t3 ,
Пример 21.2. Пусть < ’ Найти у'х.
[У = t
Q Решение: Имеем x't = 3t2, y't = 2t. Следовательно, y'x = т. e.
Ov
=2. *
Vx 3f
В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у
от ж.
Действительно, t = у/х. Тогда у = у/х?. Отсюда у'х = т. е.
У =
ОЬ
180
§22. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно задан-
ную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат про-
дифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим диф-
ференцированием.
Пример 22.1. Найти производную функции
(ж2 + 2) • У(Ж - I)3 • ех
(ж + 5)3
Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифферен-
цирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим ло-
гарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:
In= 1п(ж2 + 2) + 11п(ж - 1) + х - 31п(ж + 5).
Дифференцируем это равенство по х:
1 , 1 „ 3 1 „ 1
- • у = -5—т • 2ж + - --- + 1 - 3 ---.
у ж2 + 2 4 х - 1 ж + 5
Выражаем у1’.
, / 2х 3 3 \
У "4^2 + 4(^1) +
т. е.
, (ж2 + 2) • У(ж - I)3 • ех / 2ж 3 , 3 \
(х + 5)3 у ж2 + 2 4(ж — 1) х + 5)
|©| Существуют функции, производные которых находят лишь лога-
рифмическим дифференцированием. К их числу относится так на-
зываемая степенно-показательная функция у = uv, где и = и(х)
и v = «(ж) - заданные дифференцируемые функции от х. Найдем про-
изводную этой функции:
т. е.
In у = v • In и,
1 , , , 1 ,
=> — у = V 1пи + V — и ,
У и
у' = у \ V1 • In ц + V • — • и1),
\ и /
у' = uv [v' • In и + v • — и' ) ,
\ и )
или
(uv)' = uv • In ц • v' + v • uv 1 и .
(22.1)
181
Сформулируем Правило запоминания формулы (22.1): производ-
ная степенно-показательной функции равна сумме производной пока-
зательной функции, при условии и = const, и производной степенной
функции, при условии v = const.
Пример 22.2. Найти производную’функции у = (sin 2х)х +1.
Ci Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:
у' = (sin2a:):c +1 • lnsin22: • 2ж + (х2 + l)(sin22:):c со&2ж-2. •
Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче за-
помнить суть лот арифмического дифференцирования.
§23. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
23.1. Производные высших порядков явно заданной
функции
Производная у' = f'(x) функции у = f(x) есть также функция от
х и называется производной первого порядка.
Если функция f'(x) дифференцируема, то ее производная называ-
ется производной второго порядка и обозначается у"
ГиЛИ f"(x), Ц“2‘,
\ J v dx2
Производная от производной второго порядка, если она существу-
ет, называется производной третьего порядка и обозначается у'" I или
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется про-
изводная от производной (п — 1) порядка:
Производные порядка выше первого называются производными
высших порядков.
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозна-
чают римскими цифрами или числами в скобках (yv или у^ — про-
изводная пятого порядка).
Пример 23.1. Найти производную 13-го Порядка функции у =
= sin ж.
182
Решение:
у' = (sin х)' = cosx = sin
(у'У = (cos ж)' = — sin ж = sin
= — cos x = sin I x + —
= (— cos ж)' = sin x = sin
t/13> = sin^x + • 13j. •
23.2. Механический смысл производной второго
порядка
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону
S = f(t). Как уже известно, производная S't равна скорости точки в
данный момент времени: S[ = V.
Покажем, что вторая производная от пути по времени есть ве-
личина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. 5" = а.
Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент
t + Az — скорость равна V + AV, т. е. за промежуток времени AZ ско-
рость изменилась на величину AV.
Отношение выражает среднее ускорение движения точки за
время AZ. Предел этого отношения при AZ —> 0 называется ускорением
точки М в данный момент Z и обозначается буквой a: = <l-
т. е. V' = а.
Но V = Sf. Поэтому а = т. е. а = 5"
23.3. Производные высших порядков неявно заданной
функции
Пусть функция у = /(ж) задана неявно в виде уравнения
К(ж; у) - 0.
Продифференцировав это уравнение по ж и разрешив полученное
уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (пер-
вую производную). Продифференцировав по ж первую производную,
получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут ж, у и
183
у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй произ-
водной, выразим у" через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и
дальше) порядка.
Пример 23.2. Найти у"', если х2 + у2 = 1.
Q Решение: Дифференцируем уравнение х2 + у2 — 1 = 0 по х: 2х +
+ 2у • у' =0. Отсюда у' = — —. Далее имеем: у” = — -—т. е.
У У
„ У~Х-(-^ У2+Х2 1 , 2 , 2 п
у =--------—— =---------— — —- (так как х* + у = 1), следова-
У2 У3 У3
23.4. Производные высших порядков от функций,
заданных параметрически
Пусть функция у = /(ж) задана параметрическими уравнениями
{х — x(t),
у = y(t)-
Как известно, первая производная у'х находится по формуле
У'х = 4- (23.1)
xt
Найдем вторую производную от функции заданной параметриче-
ски.
Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что
У XX
т. е.
Ухх
TV ____ (Vxxx^t
Ухххх /
xt
(23.2)
Аналогично получаем
III _ (Ух
У XXX п
{х — cos t
у = sin t.
Q Решение: По формуле (23.1)
, (sin cos t
=^h7 = “ct8t
184
Тогда по формуле (23.2)
7<" = (— _ sin21 _ 1 ф
хх (cos t)'t - sin t sin31
Заметим, что найти y"x можно по преобразованной формуле (23.2):
„ = (y'xYt = = у” x't - х” y't
Vxx A x't (x'ty
запоминать которую вряд ли стоит.
§24. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
24.1. Понятие дифференциала функции
Пусть функция у — f(x) имеет в точке х отличную от нуля про-
изводную д11т0 = Г(х) 7^ 0- ТогДа, по теореме о связи функции, ее
предела и бесконечно малой функции, можно записать = /!(ж) + а,
где а —> 0 при Дж —> 0, или Ду = /'(ж) • Дж + а &.х.
Таким образом, приращение функции Ду представляет собой сум-
му двух слагаемых /'(ж) • Дж и а Дж, являющихся бесконечно малыми
при Дж —> 0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функ-
ff (• /\.т
ция одного порядка с Дж, так как ^hm - -— f'(x) # 0, а второе
слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка,
чем Дж: а • Дж ,
lim —- = lim а = 0.
Дж-10 Дж Дж-10
Поэтому первое слагаемое /'(ж) • Дж называют главной частью
приращения функции Ду.
Дифференциалом функции у = /(ж) в точке ж называется глав-
ная часть ее приращения, равная произведению производной функ-
ции на приращение аргумента, и обозначается dy (или <//(ж)):
dy = /'(ж) • Дж. (24.1)
Дифференциал dy называют также дифференциалом первого
порядка. Найдем дифференциал независимой переменной ж, т. е. диф-
ференциал функции у = ж.
Так как у' — х' = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy = dx =
= Дж, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению
этой переменной: dx = Дж.
Поэтому формулу (24.1) можно записать так:
(24.2)
dy = f'(x)dx,
185
иными словами, дифференциал функции равен произведению
производной этой, функции на дифференциал независимой
переменной.
Из формулы (24.2) следует равенство Теперь обозна-
чение производной можно рассматривать как отношение дифферен-
циалов dy и dx.
Пример 24-1. Найти дифференциал функции
f(x) = Зж2 — sin(l + 2ж).
Q Решение: По формуле dy = f'(x) dx находим
dy = (Зж2 — sin(l + 2ж))' dx = (6ж — 2 cos(l + 2ж)) dx.
Пример 24-2. Найти дифференциал функции
у = 1п(1 + е10а:) + \/ ж2 +~1.
Вычислить dy при х = 0, dx = 0,1.
Ci Решение:
. / ТОб’Ю'Е т \
dy = (1п(1 + е10*) + \/ж2 + 1)' dx = ( + - ) dx.
\1 + е1иж у/х2 + 1/
Подставив х = 0 и dx = 0,1, получим
dy\ х=0, = (у+ 0)0,1=0,5.
dx=O,l Z
24.2. Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл
дифференциала.
Для этого проведем к графику
функции у — f(x) в точке М(х-,у) ка-
сательную МТ и рассмотрим ордина-
ту этой касательной для точки х + Дж
(см. рис. 138). На рисунке |АМ| = Дж,
|AMi| = Ду. Из прямоугольного тре-
угольника МАВ имеем:
IABI , 1П1
tga = —-—, т. е. АВ = tga • Дж.
Дж
Но, согласно t геометрическому
смыслу производной, tga = f'(x)- По-
этому АВ — f’(x) Д.х.
186
Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем
dy = АВ, т. е. дифференциал функции у = /(ж) в точке х ра-
вен приращению ординаты касательной к графику функции
в этой точке, когда х получит приращение Д.х.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
24.3. Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя
связь дифференциала и производной функции (dy = f'(x')dx) и соот-
ветствующие теоремы о производных.
Например, гак как производная функции у = с равна нулю, то диф-
ференциал постоянной величины равен нулю: dy = c'dx = 0- dx = 0.
Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух
дифференцируемых функций определяются следующими формулами
d(u + v) = du + dv,
d(uv) = v • du + и • dv,
, / и \ v du — и dv , , ,
d - = ------j--- «#0 •
\v J v-
□ Докажем, например, вторую формулу. По определению дифферен-
циала имеем:
d(uv) — (uv)'dx = (u'v + uv')dx = v u'dx + и v'dx = vdu + u dv.
Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведе-
нию производной этой функции по промежуточному аргументу на
дифференциал этого промежуточного аргумента.
□ Пусть у = f(u) и ц = (р(х) две дифференцируемые функции, образу-
ющие сложную функцию у = f(ip(x')). По теореме о производной слож-
ной функции можно написать
I / /
уг = у», • иТ.
ЭХ О II X
Умножив обе части этого равенства на dx, получаем y'^dx—y^u^dx.
Но у'х dx = dy и их dx = du. Следовательно, последнее равенство можно
переписать так:
dy = у'и • du.
187
Сравнивая формулы dy = у'х • dx и dy = у'и • du, видим, что пер-
вый дифференциал функции у = /(ж) определяется одной и той же
формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой
переменной или является функцией другого аргумента.
g Это свойство дифференциала называет инвариантностью (не-
изменностью) формы первого дифференциала.
Формула dy = у'х • dx по внешнему виду совпадает с формулой
dy — Уи ' du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой
формуле х — независимая переменная, следовательно, dx = Ах, во
второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du
ф Ди.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о диф-
ференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу
дифференциалов.
Например, d(cosu) = (cosu)^ • du = — sinu • du.
24.4. Таблица дифференциалов
1. d(u ± v) = du ± dv;
2. d(u v) = vdu + и dv, в частности, d(cu) = c • du;
3. d(= vdu-udv в частн d(c\ _cdv
4. dy = y'x dx, если у = f(x);
5. dy = y'u du, если у = /(u), и = (p(x);
6. de = 0;
7. d(u“) = a u"J • du;
8. d(au) = au • Ina • du, в частности, d(eu) = eu du;
9. d(log„ u) = —у— • du, в частности, dikin') = 1 du;
v ' и • In a ’ ’ v 7 и ’
10. d(sinu) = cos и du;
11. d(cosu) = — sinu du;
12. d(tgu) = —К—du;
cos2 и
13. d(ctgu) =---7Д— du;
sin и
14. d(arcsinu) = , - du;
yl-u2
15. d(arccosu) =---7~^~ du;
V 1 — u2
16. d(arctgu) = ——j du;
17. d(arcctgu) = — । J 2~ du~.
18. d(shu) = ch и du;
19. d(ch u) = sh и du;
20. d(thu) — —p— du;
21. d(cthu) =----—du.
188
24.5. Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
Как уже известно, приращение А у функции у = f(x) в точке х
можно представить в виде Ду = /'(ж) ’ ^х + а Ах, где а —> О при
Аж —> 0, или Ау — dy + а Ах. Отбрасывая бесконечно малую а Ах
более высокого порядка, чем Аж, получаем приближенное равенство
Ау яа dy,
(24.3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше Дж.
Это равенство позволяет с большой точностью вычи-
слить приближенно приращение любой дифференцируе-
мой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем прира-
щение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычи-
слительной практике.
Пример 24-3. Найти приближенное значение приращения функ-
ции у = х3 — 2ж + 1 при ж = 2 и Дж = 0,001.
Q Решение: Применяем формулу (24.3): Ду ~ dy = (ж3 — 2ж +1)'• Аж =
= (Зж2 - 2) • Аж.
dy\ х=2 = (3-4 - 2)-0,001 = 10-0,001 = 0,01.
Az=0,001
Итак, Ду » 0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен-
циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Ау:
Ау = ((ж + Аж)3 -- 2(ж + Аж) + 1) — (ж3 - 2ж + 1) =
= ж3 + Зж2 • Дж 4- Зж • (Аж)2 + (Дж)3 — 2ж — 2 • Дж + 1 — ж3+2ж — 1 =
= Аж(3ж2 + Зж • Дж + (Аж)2 — 2);
Ау| ж=2 = 0,001(3-4 + 3- 2 0,001 + 0,0012 - 2) = 0,010006.
Az=0,001
Абсолютная погрешность приближения равна
|Ау - dy\ = |0,010006 - 0,01[ = 0,000006.
Подставляя в равенство (24.3) значения Ау и dy, получим
/(ж + Дж) - /(ж) и /'(ж) • Дж
или
/(ж + Аж) яз /(ж) + /'(ж) • Дж.
(24.4)
Формула (24.4) используется для вычислений приближенных зна-
чений функций.
Пример 24.4. Вычислить приближенно arctgl,05.
189
Q Решение: Рассмотрим функцию f(x) = arctga:. По формуле (24.4)
имеем:
arctg(a; + Дж) arctga; + (arctga;) • Дж,
Т. в. д
arctg(:c + Дж) яй arctgic + ----.
V X 4~ х
Так как х + Дж = 1,05, то при ж - 1 и Дж = 0,05 получаем:
arctgl,05 яй arctgl + + 0,025 яй 0,810- •
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не
превышает величины М (Дж)2, где М — наибольшее значение | f "(х) |
на сегменте [ж; ж + Дж] (см. с. 196).
Пример 24-5. Какой путь пройдет тело при свободном падении
на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения
,2
тела Н = —, дл = 1,6 м/с2.
Q Решение: Требуется найти 7/(10,04). Воспользуемся приближенной
формулой (ДН яй <7/7)
H(t + Д7) яй H(t) + H'(t) At.
При t = 10 с и At = dt = 0,04 с, H'(t) = g,,t. находим
/7(10,04) яй 1-,621— + 1,6 • 10 • 0,04 = 80 + 0,64 = 80,64 (м). •
Задача (для самостоятельного решения). Тело массой т =
= 20 кг движется со скоростью v = 10,02 м/с. Вычислить приближенно
кинетическую энергию тела -Ек(10,02) яй 1004 (Дж)^.
24.6. Дифференциалы высших порядков
Пусть у = /(ж) дифференцируемая функция, а ее аргумент ж —
независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f'(x) dx
есть также функция ж; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у = /(ж) называется
сс вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и
обозначается (Ру или d2/(ж).
Итак, по определению (Ру — d{dy). Найдем выражение второго
дифференциала функции у = /(ж).
Так как dx = Дж не зависит от ж, то при дифференцировании
считаем dx постоянным:
d2y = d(dy) = d(J'(x) dx) = (/'(ж) dx)1 dx = f"(x) dx • dx = f'(x)(dx)2,
190
d2y = f"(x)dx2. (24.5)
Здесь dx2 обозначает (dx)2.
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего по-
рядка:
d3y = d(d2y) = d(f"(x) dx2) = f"'(x)(dx)3.
И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от
дифференциала (п — 1)-го порядка: dny = d(dn~1y) = f^n')(x)(dx)n.
Отсюда находим, что
соответственно получаем:
dnv
В частности, при п = 1, 2, 3
d2y
dx2 1
d3y
dx3 ’
т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее
дифференциала соответствующего порядка к соотвегствующей степени
дифференциала независимой переменной.
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы юль-
ко, если х — независимая переменная. Если же функцию у = f(x),
где х — функция от какой-то другой независимой переменной,
то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством
инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем
это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(u v) =
= v du + и dv), получаем:
d2y = d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx + f'(x) d(dx) = f"(x) dx dx + f'(x) d2x,
d2y = f"(x) dx2 + f'(x) d2x. (24.6)
Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае
сложной функции формула дифференциала второго порядка изменя-
ется: появляется второе слагаемое f'(x) • d2x.
Ясно, что если х — независимая переменная, то
d2x = d(dx) = (/(1 • dx) — dx d(l) = dx • 0 = 0
и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).
Пример 24-6. Найти d2y, если у = е3х и х — независимая пере-
менная.
Q Решение: Так как у' = Зе3ж, у" = 9е3:с, то по формуле (24.5) имеем
d2y = 9е3ж dx2. •
Пример 2^.7. Найти d2y, если y = x2vix = t3 + '\.vit — незави-
симая переменная.
191
Q Решение: Используем формулу (24.6): так как
у' = 2х, у" = 2, dx = St2 dt, d2x = &tdt2,
то
d2y = 2dx2 + 2x 6tdt2 = 2(3t2 dt)2 + 2(f3 + l)6idi2 =
= 18t4dt2 + 12t4 dt2 4- 12tdt2 = (30t4 + 12t) dt2.
Другое решение: у = ж2, х = i3 + 1. Следовательно, у = (t3 + I)2.
Тогда по формуле (24.5)
d2y^y"-dt2,
Т’е' d2y = (30/4 + 12i) dt2. •
§25. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ
ПРОИЗВОДНЫХ
25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых
функциях
Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и при-
кладное значение.
Теорема 25.1 (Ролль). Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, 6], дифференцируема на интервале (а;Ь) и на концах отрезка при-
нимает одинаковые значения /(а) = f (b), то найдется хотя бы одна
точка с 6 (а;Ь), в которой производная f'(x) обращается в нуль, т е.
/'(с) = О
□ Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а;Ь], то она дости-
гает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений (по
теореме 19.4), соответственно, Мит. Если М = т, то функция f(x)
постоянна на [а; 6] и, следовательно, ее производная f'(x) = 0 в любой
точке отрезка [а; Ь].
Если М т, то функция достигает хотя бы одно из значений М
или т во внутренней точке с интервала (а; Ь), так как /(а) = f(b).
Пусть, например, функция принимает значение М в точке х =
= с е (а; 5), т. е. /(с) = М. Тогда для всех х е (а; Ь) выполняется
соотношение
с) /(т). (25.1)
Найдем производную f'(x) в точке х = с:
/(с) = lim feA-HW
7 Даг-Ю Дж
192
Рис 141
В силу условия (25.1) верно неравенство /(с + Дж) — /(с) $ 0. Если
Дж > 0 (т. е. Дж —> 0 справа от точки ж = с), то
Лс+11 ~№)0
Если Дж < 0, то
Ьои /'(с) 0.
Дж
Таким образом, /'(с) = 0.
В случае, когда /(с) = т, доказательство аналогичное.
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции
у = /(ж) найдется точка, в которой касательная к графику параллель-
на оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.
Теорема 25.2 (Коши). Если функции f{x) и <^(ж) непрерывны на
отрезке [а;Ь], дифференцируемы на интервале (а; 6), причем (р'(х) ф О
для х е (а;Ь), то найдется хотя бы одна точка с е (а;Ь) такая, что
/(6) — /(а) /'(с)
выполняется равенство = >, (
<р(Ь)-<р(а) <р'(с)
□ Отметим, что <р(Ъ)—<р(а) 0, так как в противном случае по теореме
Ролля нашлась бы точка с, такая, что </>'(с) = 0, чего не может быть по
условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
Г(П = ЛИ -/(«)- мп - Я»))-
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на от-
резке [а; 6] и дифференцируема на интервале (а; Ь), так как является
7 Конспект лекции по высшей математике Полный курс
193
линейной комбинацией функций /(х) и на концах отрезка она
принимает одинаковые значения F(a) = F(b) = 0.
На основании теоремы Ролля найдется точка х = с е (а; Ь) такая,
что F'(c) = 0. Но F’(x) = f'(x) - следовательно,
F'(c) = /'(с) -
/(&) -7(0
¥>(&) - <р(а)
<р'(с) = 0.
Отсюда следует
Г(с) = №)^№).-,м „ - -WWW
ДЬ)-ДаЦ Д6)-Да)
Теорема 25.3 (Лагранж). Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[а; 5], дифференцируема на интервале (а; Ь), то найдется хотя бы одна
точка с е (а; Ь) такая, что выполняется равенство
/(Ь)-/(а) = /'(с)(Ь-а).
(25.2)
Q Решение: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный
случай теоремы Коши. Действительно, положив <р(х) = х, находим
ip(b) — 99(a) = b — а, 99'(ж) = 1, <р'(с) = 1.
тт ж /(b)-/(a) /'(с)
Подставляя эти значения в формулу -------ч\а) = '( ) ’ П0ЛУча~
ем = /'(с) или _ /(а) = /'(с)(6 - 0). •
Полученную формулу называют формулой Лагранжа или
формулой о конечном приращении: приращение дифференци-
руемой функции на отрезке [а; Ь] равно приращению аргумента, умно-
женному на значение производной функции в некоторой внутренней
точке этого отрезка. 1
Теорема Лагранжа имеет про-
стой геометрический смысл. Запи-
шем формулу (25.2) в виде
/М=/Чс),
Ь — а
где а < с < о. Отношение ^-4—-v J
b — a
есть угловой коэффициент секущей
АВ, а величина /'(с) — угловой ко-
эффициент касательной к кривой в
точке с абсциссой х = с.
194
Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков:
на графике функции у = /(ж) найдется точка С(с; /(c)) (см. рис. 142),
в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некото-
ром промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
□ Пусть /' (ж) = 0 для \/ж е (а;Ь). Возьмем произвольные Xi и x-j из
(а; Ь) и пусть х± < х%. Тогда по теореме Лагранжа Эс е (2ц; ж2) такая,
что /(ж2) — /(жх) = /'(с)(ж2 — Жх). Но по условию f'(x) = 0, стало быть,
/'(с) = 0, где хт < с < ж2. Поэтому имеем /(ж2) — /(жх) = 0, т. е.
/(ж2) = /(жх). А так как хл и х% — произвольные точки из интервала
(а; Ь), то Ух е (а; Ь) имеем /(ж) = с.
Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на
некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоян-
ное слагаемое.
□ Пусть /((ж) = /£(ж) при х & (а;Ь). Тогда (/х(ж) - /2(ж))' = f[(x) -
— /^(ж) = 0. Следовательно, согласно следствию 25.1, функция fi(x) —
— f2(x) есть постоянная, т. е. fi(x) — /2 (ж) = С для Ух е (а; Ь).
Пример 25.1. Доказать, что arcsin ж+arccos ж = где х е [—1; 1].
Q Решение: Пусть /(ж) = arcsine + arccosж. Тогда Ух е (—1; 1) имеем
/'(ж) = , 1 --. = 0. Отсюда следует, что f(x) = С, т. е.
V 1 — ж2 v 1 — х2
arcsin х + arccos х = С. Положив х = 0, находим 0 + = С, т. е. С =
Поэтому arcsin х + arccos х = . Это равенство выполняется и при
х = ±1 (проверьте!). *
Аналогично доказывается, что arctgic + arcctgic =
Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему
Лагранжа к отрезку [ж; х + Дж] (Дж > 0), будем иметь
/(ж + Дж) -/(ж) =/'(с)Дж. (25.3)
Каждое число сё (ж; ж + Дж) можно записать в виде с = ж + 9 Дж,
где 0 < 9 < 1 (действительно, ж < с < ж + Дж => 0 < с — ж < Дж =>
==> 0 < С Г х < 1; положим СТ х = 9 => с = ж + 0Дж). Формула (25.3)
ДА Д/ ДА Д?
примет вид
/(ж + Дж) - /(ж) - f'(x + 0Дж)Дж,
где 0 < 9 < 1.
195
Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность прибли-
женного равенства Ду яй dy. Сделаем это, считая, что функция f(x)
имеет непрерывную вторую производную f"(x):
Ду — dy = (/(ж + Дж) — /(ж)) — /'(ж)Дж = /'(с)Дж — /'(ж)Дж =
= (/'ДО -= /"(С1)(С - ж)Дж,
где Ci 6 (ж; с) (рис. 143).
Итак, Ду — dy = /”(ci)(c — ж)Дж. Пусть М = max |/''(ж)|. Так
[я
как |с —ж| < Дж, a /"(щ) М, то получаем оценку | Ду — dy\ 7И|Дж|2.
х С1 с ж+Дж
Дж
Xq С X
Рис. 143
Рис. 144
25.2. Правила Лопиталя
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида 2 и ко-
торый основан на применении производных.
Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
вида д). Пусть функции /(ж) и <р(х) непрерывны и дифференци-
руемы в окрестности точки жо и обращаются в нуль в этой точке:
/(ж0) = у>(жо) = 0. Пусть <р'(ж) 0 в окрестности точки жо- Если
f?(x} fix} ff(x}
существует предел lim •'Д- ( = I, то lim - ) -4 = lim J Д < = I.
х~^хо (р (х) х—>хо ф(Х) X-+XQ <р (X)
Q Применим к функциям /(ж) и <р(ж) теорему Коши для отрезка [жд; ж],
т /(ж) — /(ж0) f'(c)
лежащего в окрестности точки Жд. Тогда ) (--- ,4 = \, где с
<р(ж)-<р(ж0) у/(с)’
лежит между Жд и ж (рис. 144). Учитывая, что /(жо) = у>(жо) — 0,
получаем . .
ср(ж) <р'(с)’ (25’4)
При ж —> жо, величина с также стремится к ж0; перейдем в равен-
стве (25.4) к пределу:
г г
lim — — = lim
х—>Х0 (р[х) С—^Хс
196
гр Г f'(X) 1 Г /ЧС) 7 ГТ Г /(Ж) 7
Так как hm - л < — I, то lim f = I. Поэтому lim ; = I.
X—^Xq <p \X) C—>Xq ф \C) x—±xq </4*^/
Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух
бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если по-
следний существует.
Замечания: 1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции f(x)
и <р(х) не определены при х = Xq, но lim /(ж) = 0 и lim <р(х) = 0.
х—УХО >XQ
Достаточно положить f(x0) = lim /(т) = 0 и <рДо) = Um <р(х) = 0.
х—>а?о х—txo
2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х -> оо. Дей-
ствительно, положив х — получим
(/(!))
.. /Д) Г /(|) Г WVz/7 Г
lim = lim ——- = hm = hm
г>-х.у>Д) 2~~>0 (Д-у))' 2>,J
= lim
Ж —>0(
3. Если производные f'(x) и Д Д) удовлетворяют тем же условиям,
что и функции f(x) и <р(х), теорему 25.4 можно применить еще раз:
lim -ДД
ф\Х)
х—^xq (р'(х)
lim
Ж—>£(
И Т. Д.
Пример 25.2. Найти lim ~—1.
ж->1 ж In ж
Q Решение: lim -------
®->1 ж In ж
0] Д-1)' ,. 1
- = lim —------7 = lim -------
0J ^ >|(тТп.т)' х—>i Inх + 1
Пример 25.3. Найти lim 1—с»8
z-ю 2Д
Q Решение:
1 — cos 6ж
lim ---—г----
z-ш 2х2
0 , 6 sin 6ж
- = hm-------------
0 <-+« 4х
3 г
= - lim
бсозбж
= 9.
0
0
0
О’
Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида
Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопреде-
оо
ленности вида —.
оо
197
Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
вида g).
Пусть функции f(x) и <р(х) непрерывны и дифференцируемы в окрест-
ности точки х0 (кроме, может быть, точки т0), в этой окрестности
lim f(x) = lim <р(х) = оо, ф 0. Если существует предел
z—>20 х—YX0
г Г(х) г fi3*) г Г(х)
lim 'Аг, то lim = lim .
я-нго <Р (X) х^-хо ip\X) х у.гг, ср (X)
Пример 25.4- Найти
lim
tg5x
Q Решение:
,, tg Зге оо 3 • cos2 5т 3 , 1+cos 10т 0
lim —— = — = lim ----------- = - lim --------- = -
x->% tg5T oo cos 3т • 5 5 .r 1+cos 6т 0
3 — lOsm Юж , sin 10т
= - lim ----;--- = lim -----
5 — бзтбт ar-^j sm6i
0 10 cos 10т 5
- = lim ------------- =
0 .r A 6 cos 6т 3
2-й способ:
tg3T оо
lim -2— = —
tgOT [оо
x — £ = t
t -> 0
tg(|7r + 3/) ctg,3t tg5i 5
lim —----------- = lim----- = lim —— =
t-ю tg(|7r + 5t) t-Mictg5t t-»otg3t 3
Раскрытие неопределенностей различных видов
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенно-
стей вида q и которые называют основными. Неопределенности
вида 0 • оо, оо — оо, 1°°, оо°, 0° сводятся к двум основным видам путем
тождественных преобразований.
1. Пусть f(x) —> 0, ср(х) —> оо при х —> х0. Тогда очевидны следую-
щие преобразования:
lim (J(x)cp(x)) = [0- оо] = lim —— =
х—>х0 х—>хо -А~_
О
О
ГО] , -1 4
— — lim ------------- = —
Например,
•ТТГГ О ___ ПУ
lim tg — (2 - т) = [оо • 0] = lim-----------------—
х->2 ь 4 v 71 J х^2 etg
198
2. Пусть f{x) —> оо, <р(х) —> оо при х —> х0. Тогда можно поступить
так:
lim (f(x) — = [оо — оо] =
Х~4
= lim
Х—^Хо
1______1
Нт ---------ДД
->.ТГ, —1—
О
О
На практике бывает проще, например,
lim
х—>1
1 \ . . , ж - 1 — In х
------- = оо - оо = lim --------------------------—
х — 1/ а.->1 In х (ж — 1)
О
1-1
lim -rl---2—
3--11 + In X
1
2
3. Пусть или f(x) —> 1 и p(x) —> оо, или f(x) —> оо и ^(т) —> О,
или f(x) —> 0 и ip(x) —> 0 при х хо- Для нахождения предела вида
lim f(x'yp^ удобно сначала прологарифмировать выражение
X—>2*0
А = /(х\^хК
Пример 25.5. Найти lim (cos 2ж) .
я—>0
Q Решение: Имеем неопределенность вида 1°°. Логарифмируем выра-
жение А = (со8 2ж)^, получим: In А = ^1псо8 2ж. Затем находим пре-
дел:
1псоз2ж О
lim In А= Inn--------= -
т-10 ж->0 10
—sin2:c)2 tg 2х
= lim ««АД--------Д = _2 Пт -2— =
х—>о 2ж т>о 2х
= —2,т. е. In lim А= —2. Отсюда lim А=е '2. и lim(cos2х) »2 =е~2. •
х —>0 х—>0 х—>OV
Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой»
формулой
, v hm р(х) In f (x) / 4 \
lim /(а:)*’!1) =e»-"o =exp( lim <p(x) In f(x))
X—>X0 \x~-¥Xq /
(использовано основное логарифмическое тождество: fv = eln^v).
Пример 25.6. Найти lirn(i)tg:r.
Решение:
lim ( — ) = loo0] = expl lim tg x In—)= expl lim----------— ) =
x-yo\x J \ar-10 X/ Var-lOCtgiC/
(z(-^)\ /sin:c\2\ 01 о ,
= exp lim ----------г— I = exp lim x --------) ) — e = e = 1. •
>0 Д— / \a:->0 \ X / /
' sin2 X /
199
Пример 25.7. Пусть
е~х 2 при х О,
О при х = О.
Найти /'(х). (Дополнительно: найти /("^(О).)
Q Решение: При х 0 имеем
f'(x) = е (—х“2)' = 2е~х х3.
При х = 0 по определению производной:
/'(0) = lim
А—>0
ДО + А)-/(0)
А
lim
А—>0
Делаем замену у = и применяем правило Лопиталя
lim
А—>0
ЛД7 1
= lim = lim ------------------- = 0.
y^>tx> eV y^oo 2y/y ev
Таким образом,
.... |2x Зе x при x 0,
f lx) = <
( 0 при x = 0.
Аналогично можно показать, что /(”\0) = 0.
25.3. Возрастание и убывание функций
Одним из приложений производной является ее применение к ис-
следованию функций и построению графика функции.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убы-
вания функции.
Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая
на интервале (а; 6) функция f(x) возрастает (убывает), то /'(х) 0
(/'(ж) 0) Для Vх £ («; Ъ).
Q Пусть функция /(х) возрастает на интервале (а; Ь). Возьмем произ-
вольные точки х и х + Дх на интервале (а; Ь) и рассмотрим отноше-
Дп f(x + - /(ж) п ч
ние —- '. Функция ][х) возрастает, поэтому если
Дх > 0, то х + Дх > х и f(x + Дх) > /(х); если Дх < 0, то х + Дх < х
и f(x + Дх) < /(ж). В обоих случаях > 0, так
200
как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По усло-
вию теоремы функция /(а:) имеет производную в точке х и является
пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,
= lim
Дж—>0
f(x + Дх) - /(ж)
Дх
Аналогично рассматривается слу-
чай, когда функция f(x) убывает на ин-
тервале (а; Ь).
Геометрически теорема 25.6 означа-
ет, что касательные к графику возрасха-
юхцей дифференцируемой функции об-
разуют острые углы с положительным
направлением оси Ох или в некоторых
точках (на рисунке 145 в точке с абсцис-
сой Xq) параллельны оси Ох.
Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция /(т) диффе-
ренцируема на интервале (а; 6) и f'(x) > 0 (/'(я:) < 0) для Vx б (а; 6),
то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; 6)
□ Пусть f'(x) > 0. Возьмем точки xi и .г2 из интервала (а; Ь), причем
хх < Х2- Применим к отрезку [жх;х2] теорему Лагранжа: /(х2) — /(^i) =
= f'(c)(x2 — ху), где с б (хх;х2). По условию /'(с) > 0, х% — хх > 0.
Следовательно, /(х2) — /(xi) > 0 или /(х2) > /(хх), т. е. функция /(ж)
на интервале (а; 6) возрастает.
Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто ис-
следовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возра-
стающая или убывающая называется монотонной (см. с. 122).
Пример 25.8. Исследовать функцию /(х) = х3 — Зх — 4 на воз-
растание и убывание.
(^Решение: Функция определена на ]R=(—оо;оо). Ее производная
равна:
f'(x) =3х2 — 3 = 3(х — 1)(х+ 1);
/'(х)>0 при х б (—оо; — 1) U (1; оо);
/'(х)<0 при хб(-1;1).
Ответ: данная функция возрастает на интервалах (—оо; — 1)
и (1; оо); убывает на интервале (—1; 1). •
201
25.4. Максимум и минимум функций
Точка Хо называется точкой максимума функции у = f(x),
если существует такая <5-окрестность точки х$, что для всех х жр
из этой окрестности выполняется неравенство /(ж) < /(жр).
Аналогично определяется точ-
ка минимума функции: хо — точ-
ка минимума функции, если Э<5 > О
Уж : 0 < |ж - жр| < <5 => /(ж) >
> /(ж0). На рисунке 146 Ж1 — точ-
ка минимума, а ючка х-2 — точка
максимума функции у = /(ж).
Значение функции в точке мак-
симума (минимума) называется
максимумом (минимумом) функ-
ции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функ-
ции.
Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью
точки из области определения функции. Поэтому функция может
иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения.
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 25.8 (необходимое условие экстремума). Если диффе-
ренцируемая функция у = /(ж) имеет экстремум в точке жр, то ее
производная в этой точке равна нулю: /'(жр) = О
Q Пусть, для определенности, жо — точка максимума. Значит, в
окрестности точки Жо выполняется неравенство /(жр) > /(жр + Дж).
Но тогда = /(^о + Дж)-/(жо) < если Дж > 0, и > 0, если
Дж Дж ’ ’ Дж ’
Дж < 0. По условию теоремы производная ,
f'M
lim /(ж0 + Дж) - /(ж0)
Дж
существует. Переходя к пределу, при Дж -> 0, получим /'(жр) 0, если
Дж < 0, и /'(жр) 0, если Дж > 0. Поэтому /'(жр) = 0. Аналогично
доказывается утверждение теоремы 25.8, если жр — точка минимума
функции /(ж).
Геометрически равенство /'(жр) = 0 означает, что в точке экстре-
мума дифференцируемой функции у = /(ж) касательная к ее графику
параллельна оси Ох (см. рис. 147).
Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если /'(жр) = 0, то
это не значит, что жр — точка экстремума. Например, для функции
202
у = х3 ее производная у' = Зх2 равна нулю при х = 0, но х = 0 не
точка экстремума (см. рис. 148).
Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют про-
изводной. Например, непрерывная функция у = |х| в точке х = 0 про-
изводной не имеет, но точка х = 0 — точка минимума (см. рис. 149).
Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум
лишь в точках, где производная функции равна нулю или не суще-
ствует. Такие точки называются критическими.
Теорема 25.9 (достаточное условие экстремума). Если непрерыв-
ная функция у = /(х) дифференцируема в некоторой <5-окрестности
критической точки хо и при переходе через нее (слева направо) про-
изводная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то xq есть точка мак-
симума; с минуса на плюс, то хо — точка минимума.
□ Рассмотрим <5-окрестность точки Xq. Пусть выполняются условия:
/'(х) > 0 Vx б (хо — S; хо) и /'(х) < 0 Vx б (хо; хо + <5). Тогда функция
f(x) возрастает на интервале (хо — <5;хо), а на интервале (xq;Xq + <5)
она убывает. Отсюда следует, что значение /(х) в точке Хо является
наибольшим на интервале (хо — <5;хо + <5), т. е. f(x) < /(xq) для всех
х б (хо — <5; Xq) U (хо; Хо + <5). Это и означает, что Хо — точка максимума
функции.
Графическая интерпретация доказательства теоремы 25.9 предста-
влена на рисунке 150.
Аналогично теорема 25.9 доказывается для случая, когда /'(х) < 0
Vx б (хо — <5;хо) и /'(х) > 0 Vx б (хо;хо + <5).
203
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстре-
мумы. Из теорем 25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследования
функции на экстремум:
1) найти критические точки функции у = f(x');
2) выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точ-
ками области определения функции;
3) исследовать знак производной /'(а:) слева и справа от каждой
из выбранных критических точек;
4) в соответствии с теоремой 25.9 (достаточное условие экстрему-
ма) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения
функции в них.
Пример 25.9. Найти экстремум функции у =
О
Q Решение: Очевидно, = К. Находим у'
= 1_______2_ т е -
3 3- W У ~
1
3
^/ж-2
3/Г
Производная не существует при Xi = 0 и равна нулю при аг2 = 8.
Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три
интервала (—оо; 0), (0; 8), (8; оо). Отметим на рисунке 151 знаки произ-
водной слева и справа от каждой из критических точек.
+ , ~ т + .
0 8 х
Рис. 151
Следовательно, ад = 0 — точка максимума, ута.х = у(0) = 0, и
£2=8 — точка минимума, ?/mln = у(8) — —•
и
Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак
существования экстремума, основанный на определении знака второй
производной.
204
Теорема 25.10. Если в точке хд первая производная функции /(х)
равна нулю (/'(^о) = 0), а вторая производная в точке х0 существует
и отлична от нуля (/"(хо) / 0), то при /"(xq) < 0 в точке Хд функция
имеет максимум и минимум — при /"(xq) > 0
Q Пусть для определенности f"(xg) > 0. Так как
= lim + А») -/>) = Ит №.. + А») > 01
7 ДгчО Дх Да:->о Дх
то > 0 в достаточно малой окрестности точки xq. Если
Дх < 0, то f'(xg + Дх) < 0; если Дх > 0, то f'(xg + Дх) > 0.
Таким образом, при переходе через точку х0 первая производная
меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 25.9, Хд есть
точка минимума.
Аналогично доказывается, что если /"(хо) < 0, то в точке х0 функ-
ция имеет максимум. М
25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
Пусть функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь]. Как извест-
но, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значе-
ний. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке
Хд отрезка [а; Ь], либо на границе отрезка, т. е. при Хд = а или хд = Ь.
Если хо £ (а; Ь), то точку хд следует искать среди критических точек
данной функции (см. рис. 152).
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наи-
меньшего значений функции на [а; Ь]:
1) найти критические точки функции на интервале (а; Ь);
2) вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках
х = а и х = Ъ:
4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее
и наименьшее.
Замечания: 1. Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] имеет лишь
одну критическую точку и она является точкой максимума (мини-
мума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее)
значение. На рисунке 152 /(х0) = /Нб = /max (нб — наибольшее, max —
максимальное).
2. Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] не имеет критических
точек, то это озачает, что на нем функция монотонно возрастает или
205
убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция при-
нимает на одном конце отрезка, а наименьшее (т) — на другом.
Пример 25.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f(x) = Зх4 + 4х3 + 1 на отрезке [—2,1].
Q Решение: Находим критические точки данной функции:
f'(x) = 12х3 + 12х2 = 12х2(х + 1);
/'(х) = 0 при xi = 0 б [—2; 1] и при Х2 -- — 1 б [—2; 1]. Находим /(0) = 1,
/(-1) = 3-4+ 1 = 0, /(-2) = 48 - 32 + 1 = 17, /(1) = 8. Итак, /нб = 17
в точке х = —2, /нм = 0 в точке х = — 1. •
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широ-
ко применяется при решении многих практических задач математики,
физики, химии, экономики и других дисциплин.
Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с
минимальными затратами, задача об организации производственного
процесса с целью получения максимальной прибыли и другие зада-
чи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию
и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших
значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математи-
ки — линейное программирование.
Рассмотрим более простую задачу
Пример 25.11. Из шара радиуса R выточить цилиндр наиболь-
шего объема. Каковы его размеры?
Q Решение: Обозначим через хтлу высоту и диаметр цилиндра. Тогда,
как видно из рисунка 153, у = л/47?2 — х2, а потому объем цилиндра
ТЛ/ \ (4Л2 - Х2\ 2 7ГХ3
V = V(х) ~ 7Г I ------ X = 7гТ?2Х-----,
\ 4 ) 4
где х б [0; 27?].
206
Находим наибольшее значение функции V = V (х) на промежутке
[0; 27?]. Так как Т'(х) = тгТ?2 — ^тгх2, то Т'(х) = 0 при х = ^Д^Д кроме
того, V"(x) = — < 0. Поэтому х = — точка максимума. Так
как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь
9 E>i/q
наибольший объем (равный Vmax) при х — > диаметр основания
цилиндра равен ____________________
1/47?2 - (27?у^З)2 =
Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную и
диаметр, равный ^Д^Д •
и
25.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпу-
клым вниз на интервале (а;Ь), если он расположен выше любой
клым вниз на интервале (а;Ь), если
ее касательной на этом интервале. Гра-
фик функции у = /(ж) называется вы-
пуклым вверх на интервале (а; Ь), если
он расположен ниже любой ее касатель-
ной на этом интервале.
Точка графика непрерывной функ-
ции у = f(x), отделяющая его части раз-
ной выпуклости, называется точкой пе-
региба.
На рисунке 154 кривая у = f(x) вы-
пукла вверх в интервале (а; с), выпукла
вниз в интервале (с; Ь), точка Л7(с; /(c)) —
точка перегиба.
Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следую-
щей теоремы.
Теорема 25.11. Если функция у — /(х) во всех точках интервала
(а;Ь) имеет отрицательную вторую производную, т е f"(x) < 0, то
график функции в этом интервале выпуклый вверх Если же f"(x) > 0
Vx Е (а; Ь) — график выпуклый вниз
Q Пусть /"(х) < 0 Vx £ (<z; Ь). Возьмем на графике функции произ-
вольную точку М с абсциссой xq £ (а; Ь) и проведем через М касатель-
ную (см. рис. 155). Покажем, что график функции расположен ниже
207
этой касательной. Для этого сравним в точке х Е (а; Ъ) ординату у кри-
вой у = f(x) с ординатой уках- ее касательной. Уравнение касательной,
как известно, есть
г/кас -/(а?о) =/'(а?о)(х-а?о), т. е. укас = /(ж0) + /'(ж0)(ж - ж0).
Тогда у — укас = f(x) — f(xo) — /'(а:о)(ж — ж0). По теореме Лагранжа,
/(ж) — f(xo) = /'(с)(ж — жо), где с лежит1между хп и х. Поэтому
у У- Укас = /'(с)(ж - ж0) - /'(ж0)(ж - ж0),
ук&с_________/ т. е.
кау У - у™ = (/'М - f'Mfc - Жо).
Лу ; । Разность f'(c) — f'(xo) снова преобразуем
' I । по формуле Лагранжа:
( : : : /'(с)-гм =/"(С1)(с -ж0),
ту—;—£------±---- ; ~ где с, лежит между Жо и с. Таким образом,
(j и до & Q JL V х '
получаем
Рис' 155 у - Укас = /"(с1)(с - жо)(ж - Жо).
Исследуем это равенство:
1) если ж > жо, то ж —жо > 0, с —жо > 0 и /"(сД < 0. Следовательно,
У ~ Укис < 0, т. е. у < укас'. * J ~
2) если ж < жо, то ж — х() < 0, с —Жо < 0 и /"(сД < 0. Следовательно,
У Укас < о, Т. е. У < Укас'. % * С1 Хо х
Итак, доказано, что во всех точках интервала (а; Ь) ордината ка-
сательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый
вверх. Аналогично доказывается, что при f"(x) > 0 график выпуклый
вниз.
Для нахождения точек перегиба графика функции используется
следующая теорема.
Теорема 25.12 (достаточное условие существбвания точек пере-
гиба). Если вторая производная /"(ж) при переходе через точку жо,
в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка
графика с абсциссой жо есть точка перегиба.
Q Пусть /"(ж) < 0 при ж < Жо и /"(ж) > 0 при ж > жо- Это значит, что
слева от ж = жо график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз.
Следовательно, точка (жо;/(жо)) графика функции является точкой
перегиба.
Аналогично доказывается, что если /"(ж) > 0 при ж < х() и /"(ж) <
< 0 при ж > жо, то точка (жо; /(жо)) — точка перегиба графика функции
?/ = /(ж).
208
Пример 25.12. Исследовать на выпуклость и точки перегиба
график функции у = х5 — х + 5.
Q Решение: Находим, что у' = 5х4 — 1, у" = 20а:3. Вторая производная
существует на всей числовой оси; у" = 0 при х = 0.
Отмечаем, что у" > 0 при х > 0; у" < 0 при х < 0.
Следовательно, график функции у = х5 — х + 5 в интервале
(—оо; 0) — выпуклый вверх, в интервале (0; оо) — выпуклый вниз. Точ-
ка (0; 5) есть точка перегиба. •
25.7. Асимптоты графика функции
Построение графика функции значительно облегчается, если знать
его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении
формы гиперболы (см. с. 81).
Напомним, что асимптотой кривой на-
зывается прямая, расстояние до которой от
точки, лежащей на кривой, стремится к ну-
лю при неограниченном удалении от начала
координат этой точки по кривой (рис. 156).
Асимптоты могут быть вертикальными,
наклонными и горизонтальными.
Говорят, что прямая х = а является вер-
тикальной асимптотой графика функции
у = f(x), если lim /(х) = оо, или lim /(х) =
х-^а х—О
= оо, или lim f(x) = оо.
Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 вид-
но, что расстояние точки М(х;у) кривой от прямой х = а равно d =
= |х — а|. Если х —> а, то d —> 0. Согласно определению асимптоты,
прямая х — а является асимптотой кривой у — f(x). Для отыскания
вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых
функция /(х) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки
разрыва второго рода.
Например, кривая у =
—=-у имеет вертикальную асимптоту (см.
2 2
рис. 157) х = —1, так как lim —= +оо, lim —f-v = — оо.
' 7 ж_>_Ц-0 X + 1 1-0 х +1
Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде
у = кх + Ь.
(25.5)
Найдем к и Ь.
209
Пусть М(х\ у) — произвольная точка кривой у — f(x) (см. рис. 158).
По формуле расстояния от точки до прямой (d = | —° h
V I Vх А2 + В2
находим расстояние от точки М до прямой (25.5): d = I , У I.
I V к2 + 1 ।
Условие d —> 0 будет выполняться лишь тогда, когда числитель
дроби стремится к нулю, т. е.
lim (кх — у + Ь) — 0. (25.6)
х —>ос
Отсюда следует, что кх — у + b = а, где а = а(х) бесконечно малая:
а —> 0 при х —> оо. Разделив обе части равенства у = b + кх — а на z и
перейдя к пределу при х —> оо, получаем:
Так как - -> 0 и — -> 0, то
х х
b = lim (у — кх).
(25.7)
Из условия (25.6) находим Ь:
(25.8)
Итак, если существует наклонная асимптота у = кх + Ь, то к и Ь
находятся по формулам (25.7) и (25.8).
Верно и обратное утверждение: если существуют конечные преде-
лы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой.
Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует
или равен бескопечиос га. то кривая у — f(x) наклонной асимптоты не
имеет.
210
В частности, если к = 0, то b = lim f(x). Поэтому у = b — урав-
X—>СХ)
нение горизонтальной асимптоты.
Замечание: Асимптоты графика функции у = f(x) при х —> +оо
и х —> — оо могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов
(25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х —> +оо
и когда х —> —оо.
Пример 25.13. Найти асимптоты графика функции у = хех.
Q Решение: Так как lim = lim ех = +оо, то график функции
х —>+оо X ж—> -]-оо
при х —> +оо наклонной асимптоты не имеет.
При х —> — оо справедливы соотношения
к = lim ---- = lim ех = О,
ж—> —ос х ж—>-оо
b = lim (хех — Oz) = lim хех = lim = — = lim —— = 0.
ж —> — оо ж—> —оо ж—> —оо е х СЮ ж—> —оо — е г
Следовательно, при х —> —сю график имеет горизонтальную асимптоту
У = о. •
25.8. Общая схема исследования функции и построения
графика
Исследование функции у = f (х) целесообразно вести в определен-
ной последовательности.
1. Найти область определения функции.
2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями
координат.
3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на
которых f(x) > 0 или /(z) < 0).
4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего
вида.
5. Найти асимптоты графика функции.
6. Найти интервалы монотонности функции.
7. Найти экстремумы функции.
8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функ-
ции.
На основании проведенного исследования построить график функ-
ции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обя-
зательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь не-
сколько операций, например 1, 2, 7. Если же график функции не совсем
211
понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно допол-
нительно исследовать функцию на периодичность, построить дополни-
тельно несколько точек графика, выявить другие особенности функ-
ции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопро-
вождать постепенным построением графика функции.
Пример 25.14. Исследовать функцию у = -—ту и построить ее
1 — х
график.
Q Решение: Выполним все восемь операций предложенной выше схе-
мы исследования.
1. Функция не определена при ж = 1иж = —1. Область ее опреде-
ления состоит из трех интервалов (-00; —1), (-1; 1), (1; +оо), а график
из трех ветвей.
2. Если ж — 0, то у = 0. График пересекает ось Оу в точке 0(0; 0);
если у — 0, то ж = 0. График пересекает ось Ож в точке 0(0; 0).
3. Функция знакоположительна (у > 0) в интервалах (—оо;—1) и
(0; 1); знакоотрицательна — в (—1; 0) и (1; Н-оо).
4. Функция у = ——т является нечетной, т. к.
1 — ж
у(-х) =
— о
= lim
2 ~ , 2 — УУ-Ч-
1 - X
Следовательно, график ее симметричен относительно начала коорди-
нат. Для построения графика достаточно исследовать ее при ж 0.
5. Прямые ж=1иж=—1 являются ее вертикальными асимптота-
ми. Выясним наличие наклонной асимптоты:
ж—>оо X
(к = 0 при х +оо и при х —> —оо),
b = lim (--Ж — Ож) = lim -~Х = 0.
®->оо 1 — X2 ж->оо 1 — X2
Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у — 0.
Прямая у — 0 является асимптотой и при ж —> +оо, и при ж —> —оо.
6. Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как
/ /г» \ / 1/1 _ _ т/_О/у»\ /у»2 । "I
\1 — ж2/ (1 — X2)2 (1 — Ж2)2 ’
то у' > 0 в области определения, и функция является возрастающей на
каждом интервале области определения.
7. Исследуем функцию на экстремум. Так как у' = , то
критическими точками являются точки .'щ = 1 и г? = — 1 (у' не суще-
ствует), но они не принадлежат области определения функции. Функ-
ция экстремумов не имеет.
212
8. Исследуем функцию на выпуклость. Находим у":
/ ж2 + 1 \2ж(1 — ж2)2 — (.г2 + 1)2(1 — ж2)(—2х) 2ж(ж2 + 3)
\(1 - ж2)2 J ~ (1 - ж2)4 = (1 - ж2)3 ’
Вторая производная равна нулю или не существует в точках .щ =
= 0, Жг = —1, Жз = 1. На рисунке 159 представлена схема изменения
знаков второй производной исследуемой функции.
Точка 0(0,0) — точка перегиба графика функции.
График выпуклый вверх на интервалах (—1; 0) и (1; оо); выпуклый
вниз на интервалах (—оо; —1) и (0; 1).
График функции изображен на рисунке 160. •
§ 26. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
В определении функции у = f(x) не говорится о том, при помощи
каких средств находятся значения у по значениям ж. В тех случаях,
ж3
когда функция является формулой вида у — — 5ж + 7, значения
О
функции найти легко с помощью четырех арифметических действий.
Но как найти значения, например, функций у = sin ж, у = 1п(1 + ж) при
любых (допустимых) значениях аргумента?
Для того, чтобы вычислить значения данной функции у = f(x),
ее заменяют многочленом Р„(ж) степени п, значения которого всегда и
легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию
многочленом дает формула Тейлора.
213
26.1. Формула Тейлора для многочлена
Пусть функция f(x) есть многочлен Рп(х) степени п:
f(x) = Рп(х) = а0 + aix + а2х2 + ... + апхп.
Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени п относитель-
но разности х — Хо, где хо — произвольное число, т. е. представим Рп(х)
в виде
Р„(х) = Ао + АДх - хо) +А2(х- хо)2 + ... + Ап(х - х0)п. (26.1)
Для нахождения коэффициентов Ао, Ai,... ,Ап продифференцируем п
раз равенство (26.1):
Р„(х) = Ai + 2А2(х - хо) + ЗА3(х - х0)2 + ... + пА„(х - Хо)”1,
Рп (х) = 2Л> + 2 • ЗА3(х — хо) + .. + п(п - 1)Ап(х - х0)га~2,
Р"'(х) = 2 • ЗА3 + 2 • 3 • 4А4(х - х0) + ...
... + п(п — 1)(п — 2)Ага(х — Хо)" 3,
Р^"'(х) = п(п — 1)(п — 2) .. .2 • 1Ага.
Подставляя х = Хо в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:
Рп(хо) — Ао, т.е. Ао = Рп(хо),
р;гы = Д1, т.е. Ах = 5^,
Рп (,хо) ~ 2А2,
р;"(хо) =2-ЗА3,
рИ(хо) = n(n — 1).. .2 • 1АП, т.е. Ап = Р^кх°) .
п!
Подставляя найденные значения Ао, А1;..., Ап в равенство (26.1), по-
лучим разложение многочлена n-й степени Р„(х) по степеням (х — Хо):
Р„(х) = РДх0) + ^(х - хо) + ^х - хо)2 + ...
... + ^^(х-х°)". (26.2)
214
|ф| Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочле-
на Рп(х) степени п.
Пример 26.1. Разложить многочлен Р(х) = —4а:3 + За:2 — 2а: + 1
по степеням х + 1.
Q Решение: Здесь Xq = —1, Р'(х) = — 12а:2 + 6х — 2, Р"(а:) = —24а: + 6,
Р"'(а:) = -24. Поэтому Р(-1) = 10, Р'(~1) = -20, Р"(-1) = 30,
Р'”(—1) = —24. Следовательно,
Р(а:) = 10 4——(а: + 1) + —(х + I)2 + + I)3,
т. е.
—4а:3 + За:2 - 2х + 1 = 10 - 20(а- + 1) + 15(а- + I)2 - 4(х + I)3. •
26.2. Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим функцию у = f(x). Формула Тейлора позволяем при
определенных условиях, приближенно представить функцию f(x) в ви-
де многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 26.1. Если функция /(а:) определена в некоторой окрест-
ности точки х0 и имеет в ней производные до (п + 1)-го порядка
включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка
с G (а:0; ат) такая, что справедлива формула
/(а:) = /(.го) + - а:0) + ^-~~{х - а:0)2 + ...
(с = Хо + 9(х — а:0), 0 < 0 < 1). (26.3)
|ф| Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции
f(x). Эту формулу можно записать в виде /(а:) = Рп(х) + Rn(x),
где
Рп (а:) = /(а:0) + (а: - а:0) + (а: - а:0)2 + ... + ^2Ы(х-х0Г
|ф| называется многочленом Тейлора, а
= тлтг(а: зд),‘+1
215
называется остаточным членом формулы Тейлора, записан-
ным в форме Лагранжа. 7?,г(ж) есть погрешность приближенного
равенства /(ж) rs Рп(.г). Таким образом, формула Тейлора дает воз-
можность заменить функцию у = f(x) многочленом у = Рп(х) с соот-
ветствующей степенью точности, равной значению остаточного члена
При ж0 — 0 получаем частный случай формулы Тейлора — фор-
мулу Маклорена:
М - Ло) + +...++ (2М)
где с находится между 0 и х (с — 0х, 0 < 0 < 1).
При п = 0 формула Тейлора (26.3) имеет вид f(x) = /(яд) +
+/'(с)(ж—жо) или f (ж) — f (ж0) = /'(с)(ж—жо), т. е. совпадает с формулой
Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для
приближенных вычислений /(ж) « /(жо) + f'(xo)(x — Жо) (см. «диффе-
ренциал функции») является частным случаем более точной формулы
/(ж) » /(хо) + ^-(х - Жо) + ... + - х0Г-
Пример 26.2. Найти число е с точностью до 0,001.
Q Решение: Запишем формулу Маклорена для функции /(ж)=еж. На-
ходим производные этой функции: /'(ж)=еж, /"(ж)=еж, ..., /<"+1)(ж) =
=ех. Так как /(0)=е° = 1, /'(0)=е° = 1, ..., /<n)(0) = l, /("+1)(с) = ес, то
по формуле (26.4) имеем:
х х2 х3
—I----1
1! 2! 3!
есхп+1
(п + 1)!
Положим х — 1:
111 1 ес
е~1 + Т! + 2! + 3!+--- + ^!+ ёТ71)!-
Для нахождения е с точностью 0,001 определим п из условия, что
„с
остаточный член меньше 0,001. Так как 0 < с < 1, тоес<3
(п + 1)!
Поэтому при п = 6 имеем
ес 3
= 0,0006 <0,001.
Итак, получаем приближенное равенство
е
11111
1 + 1 + 2! + 3! + 4! + 5! + 6!
« 2 + 0,5 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 = 2,7181 « 2,718,
т. е. е » 2,718.
216
Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других
элементарных функций:
5!
sin x = x —
x3
зГ
.2
cos я: = 1 —
2!
.r4
4?
.2
.3
,..2п+1 ,г2п+3
"(^ + <-1>“+‘(2^7з)Т“8с-
т‘2п т2п+2
---— + (—1)”+17-----Л~7 • COS С,
(2п)! v ’ (2п + 2)!
д;п+1
2 3
n I x
П
(1+а;)М = 1+лж+^2! 1Ja;2 +
д(д - 1) ...(д - п)(1 + с)*1
(n + 1)(1 +c)"+1’
P(P ~ l)-..(//-n + l)^ra ,
n!
Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Лекции 23-24 |
§27. ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
27.1. Основные понятия
|ф| Комплексным числом z называется выражение вида z = х + iy,
где х и у — действительные числа, a i так называемая мнимая
единица, i2 = —1.
|ф| Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым;
если у = 0, то число х + гО = х отождествляется с действительным
числом х, а это означает, что множество К всех действительных чисел
является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е.
К С С.
|ф| Число х называется действительной частью комплексного
числа z и обозначается х = Re z, ay мнимой частью z,
у = Im z.
р5| Два комплексных числа zx = ад + iy\ и zz = xz + iyz называются
равными (гд = zz) тогда и только тогда, когда равны их действи-
тельные части и равны их мнимые части: Xi = Xz, у-, = yz- В частности,
комплексное число z = х + iy равно нулю тогда и только тогда, когда
х = у = 0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не
вводятся.
|ф| Два комплексных числа z = х + iy и z = х — iy, отличающиеся
лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число z = х + iy
можно изобразить точкой М(х;у) плоскости
Оху такой, что х = Re г, у = Im г. И, на-
оборот, каждую точку М(х; у) координатной
плоскости можно рассматривать как образ
комплексного числа z = х + iy (см. рис. 161).
|ф| Плоскость, на которой изображаются
комплексные числа, называется комп-
лексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной
осью, так как на ней лежат действительные числа z = х + 0г = х.
Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые
комплексные числа z = 0 + iy.
218
|ф| Комплексное число z = х + iy можно задавать с помощью радиус-
вектора г = ОМ = (х',у). Длина вектора г, изображающего ком-
плексное число г, называется модулем этого числа и обозначается
|г| или г. Величина угла между положительным направлением дей-
ствительной оси и вектором г, изображающим комплексное число, на-
зывается аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z
или р.
|ф| Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент ком-
плексного числа z / 0 — величина многозначная и определяется с
точностью до слагаемого 2тгк (к = 0, —1,1, —2, 2 ...): Arg^ = argz-|-27rfc,
где arg г — главное значение аргумента, заключенное в проме-
жутке (—л; тг], т. е. — л < arg z л (иногда в качестве главного значения
аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2тг)).
27.3. Формы записи комплексных чисел
р$| Запись числа z в виде z = х + iy называют алгебраической фор-
мой комплексного числа.
р5| Модуль г и аргумент р комплексного числа можно рассматривать
как полярные координаты вектора г = ОМ, изображающего ком-
плексное число z = х + iy (см. рис. 161). Тогда получаем х = rcosp,
у = г sin ip. Следовательно, комплексное число z = х + iy можно запи-
сать в виде z = г cos <р + ir sin р или
z = г (cost/) + isin</?).
Такая запись комплексного числа называется тригонометрической
формой.
Модуль г = \z\ однозначно определяется по формуле
г = \z\ = у/х2 +у2-
Например, |г| = VO2 + I2 = 1. Аргумент р определяется из формул
х . у у
cos р = —, sm р = -, tg р = -.
г г х
Так как
р = Arg г = arg г + 2fc?r,
то
cos р = cos(arg z + 2k?r) = cos(arg z), sin р = sin (arg г).
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного чи-
сла к тригонометрической достаточно определить лишь главное значе-
ние аргумента комплексного числа z, т. е. считать р = arg г.
219
|@| Так как —я < argz тг, то из формулы tg</? = получаем, что
'arctg | для внутренних точек I, IV четвертей,
arg z = < arctg + я для внутренних точек II четверти,
arctg — я для внутренних точек
III четверти.
Если точка z лежит на действительной или мни-
мой оси, то argz можно найти непосредственно
(см. рис. 162). Например, argzi = 0 для z± = 2;
argz2 = я Для = —3; argz3 = для z3 = г; и
argZ4 = — 2" Для г4 — —8г.
Z\ = —8г
Рис 162
Используя формулу Эйлера
et<fi = cos р + г sin р,
|ф| комплексное число z = rfcosp + г sin р) можно записать в так
называемой показательной (или экспоненциальной) форме
z = rellfi, где г = \z\ — модуль комплексного числа, а угол р = Argz =
= argz + 2ктг (к = 0,-1,1,-2,2,...).
В силу формулы Эйлера, функция et<fi периодическая с основным
периодом 2я. Для записи комплексного числа z в показательной форме,
достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е.
считать р = arg z.
Пример 27.1. Записать комплексные числа z, = — 1 + ?’ и z2 = — 1
в тригонометрической и показательной формах.
Решение: Для z\ имеем
|z| = г = \/(-1)2 + I2 = л/2, argz = arctg(-^j-) + тг =-^ + тг = ^,
т. е. р = Поэтому
— 1 + i — >/2 (cos — + i sin = \/2e’,'r.
Для z2 имеем
г = у/ (-1)2 + О2 = 1, argz = arg(-l) = я,
т. е. р = я. Поэтому — 1 = cos я + i sin я = ег7Г. •
220
§28. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
28.1. Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексных чисел zi = Xi + iyi и z2 = #2 + iyz
называется комплексное число, определяемое равенством
Zi + Z2 = (яд + яг2) +г(?/1 + у2)-
©
(28.1)
Сложение комплексных чисел обладает переместительным.
(коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойст-
вами:
21 + 22 = Z2 + 21,
(21 + 22) + Z3 = Zi + (z2 + Z3).
Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа
складываются как векторы (см. рис. 163).
Непосредственно из рисунка видно, что |zi + 22| |2i| + |z2|. Это
соотношение
называется неравенством треугольника.
Рис. 164
28.2. Вычитание комплексных чисел
|ф| Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Раз-
ностью двух комплексных чисел гд и z2 называется такое ком-
плексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число зд, т. е.
Z = Z1 — 22, если 2 + Z2 = 21.
Если Z\ = яд + iyi, 22 = Х2 + iy2, то из этого определения легко
получить z: --------------------------------
Z = 21 - z2 = (яд - х2) + г(у1 - у2).
(28.2)
Из равенства (28.2) следует, что геометрически комплексные числа вы-
читаются как векторы (см. рис. 164).
Непосредственно из рисунка видно, что |zi — 22| |2i| — |22|. Отме-
тим, что ,-
|zi ~ z2| = V(xi - ж2)2 + (yi - у2)2 = d,
т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию
d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство \z — 2г| = 1 определяет на комплекс-
ной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от
точки zq = 2г, т. е. окружность с центром в zq = 2i и радиусом 1.
221
28.3. Умножение комплексных чисел
|ф| Произведением комплексных чисел zi = + iyi и z2 = ж2 + гу2
называется комплексное число, определяемое равенством
г = ziz2 = (ж1Ж2 - j/iJ/2) +40i?/2 + У1Ж2). (28.3)
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
г2 = -1. | (28.4)
Действительно, г2 = И = (0 + 1г)(0 + 1г) = (0 - 1) + г(0 + 0) = -1.
Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально
путем перемножения двучленов х± + iyi и ж2 + гу2:
(жх + гг/1)(ж2 + гу2) = хгх2 + Xiiy2 + iyix2 + iyiiyz =
= xrx2 + i2yiy2 + z(a:ij/2 + yix2) - xxx2 - yxy2 + i(<riy2 + г/1Ж2).
Например,
(2 - Зг)(—5 + 4г) = -10 + 8г + 15г - 12г2 = -10 + 23г + 12 = 2 + 23г.
Заметим, что zz — (х + iy)(x — iy) = х2 + у2 — действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, соче-
тательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:
ZrZ2 = Z2Zi,
(г1г2)г3 = zi(z2z3),
Zl(z2 + Z3) - ZiZ2 + Z1Z3.
В этом легко убедиться, используя определение (28.3).
Найдем произведение комплексных чисел zi = ri(cos</?1 -j-isin^)
и z2 = T2(cos(p2 + г sin ср2), заданных в тригонометрической форме:
Zi z2 = n (cos + г sin(pi)r2(cos<£>2 + г sin </г2) =
= (cos y>i cos tp2 + г sin cos y>2 + г cos sin </?2 — sin sin ip2) —
= Г] r2 ((cos tpi cos tp2 — sin tpi sin cp2) + i (sin cos (^2 + cos sin ip2)) =
= rir2(cos((pi + <p2) + isin(cpi + cp2)),
t. e. -----------------------------------------
Z1Z2 = TiT2(cos((pi +cp2) +«sin((pi +cp2))-
Мы показали, что при умножении комплексных чисел их
модули перемножаются, а аргументы складываются.
Это правило распространяется на любое конечное число множите-
лей. В частности, если есть п множителей и все они одинаковые, то
(28.5)
Формула (28.5) называется формулой Муавра.
Пример 28.1. Найти (1 + \/Зг)9.
г" = (r(coscp + г sin у>))" = r"(coszicp + isinznp).
222
Q Решение: Запишем сначала число z = 1 + л/Зг в тригонометрической
форме:
г = у 1 + (л/З)2 = 2; arg г = arctg — ==>
7Г / 7Г . . 7Г
==> arg z = —, z = 2 (cos — + г sm —
О \ О О
По формуле Муавра имеем
z9 = (1 + л/Зг)9 = 29 fcos9 — + i sin 9—^ =
\ о о '
= 29(cos Зтг + i sin Зтг) = 29(—1) = —512. *
28.4. Деление комплексных чисел
|ф| Деление определяется как действие, обратное умножению. Част-
ным двух комплексных чисел z± и z2 0 называется ком-
плексное число г, которое, будучи умноженным на z2, дает число ^j,
т. е. = г, если z^z = zi-
z-i
Если положить Zi = a:i + гг/i, zq. = Тг + Фг 0, z = х + iy, то из
равенства (тг + iy?)(x + iy) = xi + iyi следует
{XX2 - УУ2 - Xl,
ХУ2 +yx2 = У1-
Решая систему, найдем значения х и у:
_ХуХ2+У1У2 _У1Х2-Х!У2
X -- су су . У -- су су -
Х22 + У2 Х2 + У?
Таким образом,
_ _ XiX2 +У1У2 .У1Х2 -Х-ГУ2
Z -- су су I h су л »
Z2 Х2 + У2 Х2 + У2
На практике частное двух комплексных чисел находят путем
умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знамена-
телю («избавляются от мнимости в знаменателе»).
Пример 28.2. Выполнить деление
„ _ 1 + Зг (1 + Зг)(2 - г) 2 - i + бг + 3 5 + 5г
Q Решение: —------- = ф---= --------------------- = —-— = 1 + г.
2 + г (2 + г)(2 — г) 4+1 5
223
Для тригонометрической формы комплексного числа формула де-
ления имеет вид
ri(cos^! + jsin^i) О . .
—-------——-------- = — (cos(<pi - ^2) +«sm(^i - ip2)).
r2(cos^2 + г Sin ^2) r2
При делении комплексных чисел их модули, соответст-
венно, делятся, а аргументы, соответственно, вычита-
ются.
28.5. Извлечение корней из комплексных чисел
Извлечение корня n-й степени определяется как действие, обрат-
ное возведению в натуральную степень.
|ф| Корнем п-й степени из комплексного числа z называется
комплексное число ш, удовлетворяющее равенству wn = z, т. е.
x/z = щ, если wn = z.
Если положить z = r(cos<£> + г sin 92), aw = p(cos# + г sin#), то, по
определению корня и формуле Муавра, получаем
z = w" = p”(cosn# + isinn#) = r(costp + «sin<£>).
Отсюда имеем рп = г, пв = р + 2ттА:, к = 0, —1,1, —2,2,... То есть
# = и р = ‘у/r (арифметический корень).
Поэтому равенство ‘y/z = щ принимает вид
п /—Г~--———-V пГ( у? + 2тгк . . р + 2тгк\
{/г(cos р + 1 smр) = yr cos-----H г sm----- ,
\ п nJ
fc = 0,1,... ,n — 1.
Получим п различных значений корня. При других значениях к, в силу
периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпада-
ющие с уже найденными. Так, при к = п имеем
( р + 2тт . . р + 2тт\
— vrl cos---------F г sln--- =
\ п nJ
(f р \ (р \\ _/ р р\
cos I —I- 2тг + г sin-Н 2тг I = у г I cos —F г sin — = wq
J \n ) J \ n nJ
(k = 0).
Итак, для любого z 0 корень n-й степени из числа z имеет ровно
п различных значений.
Пример 28.3. Найти значения а) у/г — ш; б) у/—1 = ш.
224
Решение: а) Запишем подкоренное выражение в тригонометриче-
ской форме: i = 1 ^cos + г sin . Стало быть,
з/7 з/ я • it з/т( ^+2тгк
V/ = у cos — + г sin — = V1 ( cos -—--
5 + 2ттк
+ г sin -—------
О
А; = О,1,2.
При к = 0 имеем
% . . 71 \/3 1
Wo = COS - + I Sin - = — + I -;
при к = 1 имеем
5 + 2ti § + 2ti 5тг
wi = cos------------1- i sin-------— = cos — +
3 3 6
1
. . 5тг v3
г sm — =--------M-;
6 2 2’
при к = 2 имеем
9тг
Qtt о
~п~ , , «) О7Г . , о7Г
шг = cos — + г sm — = cos —- + г sin —- =
3 3 2 2
Зтг
2 ~г'
б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической
форме:
— 1 = cos тг + г sin 71.
Поэтому
--- 71 + 2тгк . . 71 + 2ттк , п ,
V ~ 1 = V cos 71 + г sm 7i = cos---Н г sm------, к = 0,1.
При к = 0 получаем wq = cos + i sin = i, а при к = 1 получаем
Wj = cos + г sin = —г. Таким образом, >/—Т = г и Т = —г. *
Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекции 25-28 |
§29. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
29.1. Понятие неопределенного интеграла
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной
функции f(x) найти ее производную (или дифференциал). Интеграль-
ное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная
ее производную F'(x) — f(x) (или дифференциал). Искомую функцию
F(x) называют первообразной функции f(x).
|ф| Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на ин-
тервале (а; Ь), если для любого х G (а; Ь) выполняется равенство
F'(x) = f(x) (или dF(x) = /(ж) dx).
Например, первообразной функции у = х2, х € К, является функция
F(x) — так как
О
л*) = (у) = х'2 = /(ж)-
Очевидно, что первообразными будут также любые функции
F(x) = ^+C,
где С — постоянная, поскольку
F'[x) = (?-+c\ =x2=f(x) (хе К).
х О /
Теорема 29.1. Если функция F(x) является первообразной функции
f(x) на (а; Ь), то множество всех первообразных для f(x) задается
формулой F(x) + С, где С — постоянное число
Q Функция F(x) + С является первообразной fix). Действительно,
(F(x)+C)'=F'(x) =/(х).
Пусть Ф(х) — некоторая другая, отличная от F(x), первообразная
функции /(х), т. е. Ф'(х) = f(x). Тогда для любого х е (а; Ь) имеем
(Ф(х) - F(x))' = Ф'(х) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0.
А это означает (см. следствие 25.1), что
Ф(х) - F(x) = С,
где С — постоянное число. Следовательно, Ф(х) = F(x) + С. В
226
|ф| Множество всех первообразных функций F(x) + С для /(ж) на-
зывается неопределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается символом f f(x)dx.
Таким образом, по определению
У f(x)dx = F(x) + С.
|ф| Здесь /(ж) называется подынтегральной функцией, f(x)dx —
подынтегральным выражением, х — переменной интегри-
рования, у — знаком неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции на-
зывается интегрированием этой функции.
|ф| Геометрически неопределенный интеграл представляет собой се-
мейство «параллельных» кривых у = F(x} + С (каждому число-
вому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см.
рис. 165). График каждой первообразной (кривой) называется инте-
гральной кривой.
Рис. 165
Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?
Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная
на (а; Ь) функция имеет на этом промежутке первообразную», а
следовательно, и неопределенный интеграл.
29.2. Свойства неопределенного интеграла
Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из
его определения.
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынте-
гральному выражению, а производная неопределенного интеграла рав-
на подынтегральной функции:
d( f(x)dx) = f(x)dx, ( f(x)dx) = f(x).
227
Q Действительно,
f(x) dx) = d(F(x) + C) = dF(x) + d(C) = F'(x) dx = f(x) dx
(/ f(x) dx)' = (F(x) + cy = F'(x) + 0 = f(x).
Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверя-
ется дифференцированием. Например, равенство
У (Зж2 + 4) dx = ж3 + 4ж + С
верно, так как (ж3 + 4ж + С)' = Зж2 + 4.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ-
ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
У dF(x) = Г(ж) + С.
[_J Действительно, J dF(x) = J F'(x)dx = f /(ж) dx — F(x) + С. И
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
У а/(ж) dx - а • J f(x) dx, а^О — постоянная.
Q Действительно,
jaf(x)dx = у aF'(x)dx = J(аТДж))' dx = J d(aF(x)) =
= а • F(x) + Ci = а - (.Г(ж) + —) = а(^(ж) + С) = a J f(x) dx
( Сл \
I положили —4- = С .
\ а )
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов
от слагаемых функций:
У (/(ж) ± 9^)) dx = у /(ж) dx ± у д(ж) dx.
[_J Пусть F'(x) — f(x) и С'(ж) = д(ж). Тогда
У (/(ж) ± 9(ж)) dx = у (Г'(ж) ± С'(ж)) dx =
= у (ТДж) ± С(ж))' dx = у d(F(x) ± С(ж)) = Г(ж) ± (7(ж) + С =
— (.Г(ж) + Ci) ± (С(ж) + С2) = У /(ж) dx ± у g{x) dx,
где Ci ± Сг = С.
228
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если j f(x')dx =
= F(x) + С, то и J f(u) du = F(u) + С, где и = tp(x) — произвольная
функция, имеющая непрерывную производную.
Q Пусть х — независимая переменная, Да:) — непрерывная функция
и F(x) — ее первообразная. Тогда J f(x) dx = F(x) + С. Положим те-
перь и = Да:), где <р(х) — непрерывно-дифференцируемая функция.
Рассмотрим сложную функцию F(u) = F(tp(a:)). В силу инвариантно-
сти формы первого дифференциала функции (см. с. 188) имеем
dF(u) = F'(u) du = f(u) du.
Отсюда у f(u)du = J d(F(u)) = F(u) + C.
Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается
справедливой независимо от того, является ли переменная интегриро-
вания независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей
непрерывную производную.
/з
х2 dx = у- + С путем замены х на и (и = <р(ж))
/з
и2 du = у- + С. В частности,
г . 2 „ \ sin3 а:
J sm xd{sinx) = —----НС,
J In2 х d(ln х) = + С,
f tg2xd(tgx) = +С.
Пример 29.1. Найти интеграл j (2х4 — Зх2 + х — 5) dx.
Q Решение:
У (2х4 — Зх2 + х — 5)dx = 2 J х4 dx — 3 J х2 dx + J xdx — 5 f dx =
r5 t3 t2 2 1
= 2— + Ci - 3— + C2 + — + C3 - 5x + C4 = -x5 -x3 + -x2 -5x + C,
5 3 2 5 2
где C = Ci+C2 + C3 + C4.
Пример 29.2. Найти интеграл f———dx.
J x
Ci Решение: J X dx = /(1 + i) dx = x + In |ar| + C.
229
29.3. Таблица основных неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное диф-
ференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем
обращения соответствующих формул дифференциального исчисления
(таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного
интеграла.
Например, так как
c?(sin и) = cos и du,
ТО / /
/ cos и du = / c?(sin и) = sin и + С.
Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных
методов интегрирования.
Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными.
Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых
и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных
функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения
первообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию
приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Сле-
довательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узна-
вать.
Отметим, что в таблице основных интегралов переменная инте-
грирования и может обозначать как независимую переменную, так и
функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантно-
сти формулы интегрирования).
В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться,
взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтеграль-
ному выражению в левой части формулы.
Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция 1 опре-
делена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.
Если и > 0, то In |u| = Inw, тогда cHn |u| — c/lnu = Поэтому
у dp, _ in u _|_ q _ in |u| _|_ q ПрИ u > o.
Если и < 0, то In |u| = ln(—u). Ho c?ln(—u) = Значит,
У ~ = ln(-u) + C = In |u| + С при и < 0.
Итак, формула 2 верна.
Аналогично, проверим формулу 15:
1 а
- arctg - + С
а а
1 1 1 , _ du
а ‘ 1+ О2 ' a U~ а2 + и2'
230
Таблица основных интегралов
1. J иа du = + С (а -1) (у du = и + (У);
2. у = In |u| + С;
3. f аи du = -^-+ С;
J In а
4. / с11 du = еи + С;
5. / sin и du = — cos и + С
6. у cos и du = sin и + С
7. / tg и du = — In I cos и
(У ch и du — sh u + C*y
8.
9- / =tgu + C
J cos и
10. f -&A- = -ctgu + C
J sin и
11. f =ln|tg^l + C;
J sm u 1 21
du
ch2 и
du
sh2 и
12 f _du_ = j L H | + c
J cosu I 6\2 41I
13. / . = arcsin + C;
J y/a? — u2 a
14. [ - = In |u + vV +а2| + C;
J Vu2 + a2
/ 2^ •> ~ ~ arctg - + C
J a2 + u~ a ° a
16. [ du = 1 ln|o±ji| +c
J a -u2 2a \a-u\
17. у Vа2 — и2 du = ’ Va2 — u2 + arcsin + C;
_________ ___________________ 2
18. / y/u2 ± a2 du = • y/u2 ± a2 ± In |u + y/u2 ± d21 + C.
231
§30. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
30.1. Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то-
ждественных преобразований подынтегральной функции (или вы-
ражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводит-
ся к одному или нескольким табличным интегралам, называется не-
посредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используют-
ся следующие преобразования дифференциала (операция «подведения
под знак дифференциала»):
du = d(u + а), а — число,
du = — d(au), а 0 — число,
и • du — ~d(u2),
cos и du = c?(sinw),
sinwr/n = —d(cosu),
— du = d(ln u),
и
---du = rf(tgw).
cos2 и
Вообще, f'(u) du = d(J(u)), эта формула очень часто используется при
вычислении интегралов.
Примеры:
1) (------ = ( —-—±-— = In |ж + 3| + С (формула 2 таблицы инте-
J х “I- 3 J х Н- 3
гралов);
2) [(За: - l)24da; = 1 [(Зх - 1)2МЗя - 1) = | • -(3-9-1)2- + С
j (j J о
(формула 1);
3) f ctg2 xdx = f -—S^n - dx = [ (—-------I5) dx = [ —dx -
J J sin a; J \sin x ) J sin a;
— у dx = — ctgx — x + С (формулы 10 и 1);
.. r dx If d(V%-x) 1 . \/3 x ,,
4) / -r ~ ~ = -7= / , — - - . = —p- arcsin —---h C
•/ у/4-Зх y/ZJ ^/(2)2 - (л/3-а;)2 2
(формула 13);
232
5) J sin2 &x dx = - у (1 — cos 12a;) dx = - J dx — - J cos 12a; dx =
= ^x — f cos 12a;d(12a;) • — = -x — sin 12x + С (формулы 1 и 6);
Z Z J 1.Z Z ZQ
(a; — 1) — (a: + 2)
(a: —l)(a; + 2)
a; + 2 , _
(a;-l)(a; + 2) “
= |a; + 2| + |ln|a; - 1| + C;
О о
1 / x — 1 1 r
3 J (x- l)(ar + 2) dX + 3 J
1 r d(x + 2) If d(x - 1)
3 J x+2 + 3 J x-1
f , /-sinudw f d(cosu) , . , z
7) I tgudu = I-------= — I---------— — In | cosw| + С (вывод
J J COS TZ J cos zz
формулы 7);
r cos2 + sin2 у
J 2 sin § cos |
. + C = Inltg + С (вывод
cos ~ | 121
cos2 |
2 sin | cos | dU +
+ [ Sin2 t
J 2 sin cos
— ln|cos + C = In
формулы 11);
sin |
9) у x(x + 2)9 dx = у (a: + 2 — 2)(a; + 2)9 dx — j\x + 2)10 dx —
- 2 J~(x + 2)9 dx = У (a; + 2)10 d(x + 2) - 2 J(x + 2)9 d(x + 2) =
(a; + 2)11 (a:+2)10
=-----jp----2----—---4- С (формула 1);
10) / 5^-2' = ~ d(ctgx) = - ~g ~ + C =
J ctg X sin x J —4
= - -4 + С (формула 1);
4 Ct£ X
/ dx _ r dx _ r d(x — 1)
J V3-2a; + a;2 ' ^/2 + (a: - I)2 ' ^(^2)2 + (a; - I)2
= In | x — 1 + \/3 — 2a; + a;2 | + С (формула 14);
12) у (4a:3
—5——I- 31 x ) dx = 4 I x3 dx
cos^ 2x / J
5 г d{2x)
2 J cos2 2x
- у 31-жс?(1 — a;) =
9, 3);
5 31-ж
x4 — - tg2x —-----h С (формулы 1,
2 ln3
233
х3 \/1 + x2 dx = у (1 + х2)3 • х • (х2 + 1 — 1) dx =
= |/(i + z2)1 d(l + x2) - | ^(1 + x2) J d(l + x2) =
= ^(l+z2)’ ~ |(1+®2)1 +C-
14 о
Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изо-
бретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой по-
дынтегральной функции».
Соответствующие навыки приобретаются в результате значитель-
ного числа упражнений.
30.2. Метод интегрирования подстановкой
(заменой переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении но-
вой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом задан-
ный интеграл приводится к новому интегралу, который является та-
бличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).
Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно
определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл f f(x) dx. Сделаем подста-
новку х — <p(t), где <p(t) — функция, имеющая непрерывную производ-
ную.
Тогда dx — ip'(t)dt и на основании свойства инвариантности фор-
мулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу
интегрирования подстановкой
(30 1)
Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в не-
определенном интеграле. После нахождения интеграла правой части
этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования
t назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t — </р(х), то-
гда у/(<^(ж)) • ip'{x}dx = у где t = </>(z). Другими словами,
формулу (30.1) можно применять справа налево.
Пример 30.1. Найти е« dx.
Q Решение: Положим х = 4/, тогда dx = 4 dt. Следовательно,
[ dx'= 4 / е* dt = 4е' + С = 4е* + С. •
У /(ж) dx = у /(</>(*)) • <p'(t) dt.
234
Пример 30.2. Найти J х у/х — 3c?z.
Q Решение: Пусть у/х — 3 = Л тогда х = t2 + 3, dx = 2t dt. Поэтому
У х \/.r — 3 dx = у (i2 + 3) • t • 2t dt =
= 2 y<74 4- 3f2) dt = 2
= | (z - 3)5/2 + 2(.r - З)3/2 + C. •
5
Пример 30.3. Получить формулу
[ , > = ln|« + а/и2 + a2 I + C.
J /и2 + a2
c t5
t4dt + 6 t2dt = 2-- + 6-~ + C =
J 5 3
Q Обозначим t = у/и2 + a2 + и (подстановка Эйлера). Тогда
dt = —= du + du, i. e. dt = -=====
2y/U2 + а2 x/id+a2
0ТСЮДа du - dt -
y/u2 + a2 y/u2 + a2 + и t
Стало быть,
du
у//? + a2
= f = ln\t\ + C = ln\u + \/u2 + a2| + C.
Пример 30.4- Найти J x • (z + 2)100 dx.
Q Решение: Пусть x + 2 = t. Тогда x = t — 2, dx = dt. Имеем:
У а: • (а: + 2)100 dx = j\t - 2) t100 dt = f twl dt-2 f two dt =
_ i102 t1M „(ж + 2)102 2(x + 2)101
” 102 ' 101 + ~ 102 101 + ’
Пример 30.5. Найти [-----.
J ex + 1
Q Решение: Обозначим еж = t. Тогда x = InZ, dx = Следовательно,
г dx г у r dt г dt
J ex + 1 - J t + 1 - J t(t + 1) - J t2 +t ~
- f dt _ _ f + 1) ____1 2 + * + i I , r _
-/(f+l)2_l- УШ2_(,+ 1)2- 2. 1 1|
235
= - In
, е
In------
Здесь используется формула 16 таблицы основных интегралов.
30.3. Метод интегрирования по частям
Пусть и = и(х) и v = v(x) — функции, имеющие непрерывные
производные. Тогда d(uv) = и dv + v du. Интегрируя это равенство,
получим
vdu или
uv
Полученная формула называется формулой интегрирования
по частям. Она дает возможность свести вычисление интегра-
ла / и dv к вычислению интеграла j v du, который может оказаться
существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы-
ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в
виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, мож-
но осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и
du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту фор-
мулу приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять
методом интегрирования по частям.
1. Интегралы вида j Р(х)екх dx, J P(x)-sinkxdx, j P(x)coskxdx,
где P(x) — многочлен, к — число. Удобно положить и = Р(х), а за dv
обозначить все остальные сомножители.
2. Интегралы вида J Р(х) arcsin xdx, j Р(х) arccosx dx,
У P(x)lnxdx, У P(x)arctgxdx, J P(x) arcctgx dx. Удобно положить
P(x)dx = dv, a за и обозначить остальные сомножители.
3. Интегралы вида j еах sinbxdx, j еах cosbxdx, где а~ и b —
числа. За и можно принять функцию и = еах.
Пример 30.6. Найти (2.г + 1)е3ж dx.
и = 2х + 1
dv = е3х dx => v = У е3ж dx = 1е3ж
положить С — 0). Следовательно, по формуле интегрирования по ча-
стям:
Q Решение: Пусть
du = 2dx
(можно
ie3*- [ ^e3x2dx = l(2x+l)e3x~le3x+C. •
О J О О У
236
Пример 30.7. Найти / In a; da;.
Q Решение: Пусть
и = Ina;
dv = dx
du — — dx
x
V = X
. Поэтому
In x dx = x • In x — / x • — dx = x • In x — x + C.
J x
Пример 30.8. Найти / x2ex dx.
_ „ и = x2 => du = 2a: da: „
Cj Решение: Пусть , .r , г Поэтому
dv = е dx => v = ех
У" х2ех dx = х2ех -2 ех х dx. (30.2)
Для вычисления интеграла j ехх dx снова применим метод интегриро-
вания по частям: и = х, dv = ех dx => du = dx, v = ex. Значит,
У ex • x dx = x • ex — j ex dx — x • ex — ex + C. (30.3)
Поэтому (см. (30.2)) f x2ex dx = x2ex — 2(x ex — ex + C). •
Пример 30.9. Найти / arctga;da:.
Q Решение: Пусть
и = arctg a;
dv = dx
du — -—dx
1 + x2
. Поэтому
, f x 1 /•«(! +ar I
arctg x dx = x • arctg x — j —-—dx = x • arctg x — - J x2 =
= a;arctga; — ln(l + a;2) + C. •
§31. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
31.1. Понятия о рациональных функциях
Многочлен (некоторые сведения справочного характера)
Функция вида
Рп(х) = аохп + aia;"-1 Ч-F an-ix + ап, (31-1)
где п — натуральное число, аг (г = 0,1,..., п) — постоянные коэф-
фициенты, называется многочленом (или целой рациональной
функцией). Число п называется степенью многочлена.
237
Корнем многочлена (31.1) называется такое значение Хд (во-
обще говоря, комплексное) переменной ж, при котором многочлен
обращается в нуль, т. е. Рп[хд) — 0.
Теорема 31.1. Если xi есть корень многочлена Рп(х), то многочлен
делится без остатка на х — Xi, т. е
Fn(z) = (а: - Жг) • Pn-i(a:), (31-2)
где Рп_х(х) — многочлен степени (л — 1).
Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положи-
тельный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.
Теорема 31.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен л-й
степени (л > 0) имеет по крайней мере один корень, действительный
или комплексный
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разло-
жении многочлена на линейные множители.
Теорема 31.3. Всякий многочлен Рп(х) можно представить в виде
Рп(х) = а0(х - xi)(x - х2) • • (х - хп), (31.3)
где xi, х2,... ,хп — корни многочлена, ад — коэффициент многочле-
на при хп.
□ Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обо-
значим его через х±. Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как
Рп-1(х) — также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через
Х2- Тогда _Рп_1(;г) = (ж—Ж2)-Рп-2(х), где Рп-2(х) —многочлен (л — 2)-й
степени. Следовательно, Рп(ж) = (х — Xi')\x — Ж2)Рп-2(х).
Продолжая этот процесс, получим в итоге:
Рп(х) = ад(х — х^)(х — Х2) . (х — хп).
Множители (х - хг) в равенстве (31.3) называются линейными
множителями.
Пример 31.1. Разложить многочлен Рз(х) — х3 — 2х2 — х + 2 на
множители.
238
Q Решение: Многочлен Р3(ж) = ж3 — 2ж2 — х +2 обращается в нуль при
х = — 1, ж = 1, ж = 2. Следовательно,
ж3 - 2ж2 - ж + 2 = (ж + 1)(ж - 1)(ж - 2). •
Пример 31.2. Представить выражение ж3 — ж2 + 4ж — 4 в виде
произведения линейных множителей.
Q Решение: Легко проверить, что
ж3 — ж2 + 4ж — 4 = (ж — 1)(ж — 2г) (ж + 2г). •
Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретил-
ся к раз, то он называется корнем кратности к. В случае к = 1 (т. е.
корень встретился один раз) корень называется простым.
Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде
Р„(ж) = а0(х - Жх)*1 • (ж - х2)к2 ... (ж - хг)кг, (31-4)
если корень жх имеет кратность к2, корень ж3 — кратность к2 и так
далее. При этом Ад + к2 Ч-+ кг = п, а г — число различных корней.
Например, разложение
Р8(ж) = (ж — 3)(ж + 1)(ж — 4)(ж — 3)(ж — 3)ж(ж — 4)(ж — 3)
можно записать так:
Р8(х) = (ж - З)4 • (ж + 1) (ж - 4)2 • ж.
Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать следующие утвержде-
ния.
Теорема 31.4. Если многочлен Рп(ж) = аохп + агжп 1 + • • Ч- ап
тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.
Теорема 31.5. Если два многочлена тождественно равны друг другу,
то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэф-
фициентам другого
Например, если аж3 Ч- bx2 + сх + d = ж3 — Зж2 + 1, то а = 1, b = —3,
с = 0, d = 1.
239
Теорема 31.6. Если многочлен Рп(ж) с действительными коэффици-
ентами имеет комплексный корень a + ib, то он имеет и сопряженный
корень а — ib.
В разложении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопря-
женными парами. Перемножив линейные множители
(ж - (а + ib)) • (ж — (а — ib)),
получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами
ж2 + рх + q. В самом деле,
(ж — (а + г’Ь))(ж — (а — ib)) = ((ж — а) — г'Ь)((ж — а) + ib) =
= (х — а)2 + Ь2 = ж2 — 2аж + а2 + Ь2 = ж2 + рх + q,
где р = —“2а, q = а2 + Ь2.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответству-
ющих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом
с действительными коэффициентами.
С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.
Теорема 31.7. Всякий многочлен с действительными коэффициента-
ми разлагается на линейные и квадратные множители с действитель-
ными коэффициентами, т. е многочлен Р,г(х) можно представить в
виде
Рп(х) = - Ж1)*1 (ж - Ж2)*2 ... (ж - хг)кг X
X (х2 +Р1Ж + Q1)S1 ... (ж2 +ртож + qm)Sm. (31.5)
При этом fci + fc2 4-1- кт + 2(si + s2 + • • + sm) = п, все квадратные
трехчлены не имеют вещественных корней
Примеры разложений (31.5);
1) ж4 - 1 = (ж - 1)(ж + 1)(ж2 + 1);
2) ж3 — 16ж = ж(ж2 — 16) = ж(ж — 4)(ж + 4);
3) ж5 — 6ж4 + 9ж3 — ж2 + 6ж — 9 — ж3 (ж2 — 6ж + 9) — (ж2 — 6ж + 9) =
= (ж2 — 6ж + 9) (ж3 — 1) = (ж — З)2 • (ж — 1)(ж2 + ж + 1).
Дробно-рациональная функция
Дробно-рациональной функцией (или рациональной
дробью) называется функция, равная отношению двух многочле-
нов, т. е. /(ж) = , где Рт(х) — многочлен степени т, a Qn(%) —
^п\х)
многочлен степени п.
240
|^| Рациональная дробь называется правильной, если степень числи-
теля меньше степени знаменателя, т. е. т < п; в противном случае
(если т п) рациональная дробь называется неправильной.
.Р(х}
|@| Всякую неправильную рациональную дробь можно,
путем деления числителя на знаменатель, представить
в виде суммы многочлена L(x} и правильной рациональной
5роби§И’те-
F(z)
д(ж)
= L(x) +
R(x)
Q(x)'
Например, = —---------5т+_9 — неправильная рациональная дробь.
Ц/ I X ) X Zi
Разделим числитель на знаменатель в столбик:
ж4 — 5ж + 9 х — 2
х4 — 2х3 х3 + 2х2 Р 4ж + 3
2.г3 — 5х + 9
2.г3 — 4х2____________
4х2 — 5х + 9
4,г2 - 8х
Аг. + 9
Зж — 6
15.
Получим частное L(x) = х3 + 2х2 + 4х + 3 и остаток R(x) = 15. Следо-
вательно, х ~ + 9 _ д.3 + 2Х2 -|- 4х + 3 -I-
’ х — 2 х — 2
Правильные рациональные дроби вида
А .
х — а’
(п)-
(III). Mx+N (корни знаменателя комплексные, т. е. р2 — 4q<0);
х ~^~px~^Q
(IV). ^х + N (k 2, корни знаменателя комплексные),
{^Х рХ р Qj
где А, а, М, N, р, q — действительные числа, называются про-
стейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.
241
-t ( X)
Теорема 31.8. Всякую правильную рациональную дробь , зна-
У \ж/
менатель которой разложен на множители
Q(x) = (х -Xi)kl (х-х2)к2 ... (ж2 H-piZ + Qi)81 ... (х2 + ртх + qm)Sm,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следую-
щей суммы простейших дробей
= А1 , А2 Акг
Q(x) х — a?i (ж —жД2 (ж—жД*1
X - ж2 Cix + Di x2+pix + qi + — + ... + — + . (ж - ж2)2 (ж - ж2)*2 С2Х + D2 6'81ж + Л81 (ж2 + Р1Х + Qi)2 ' (ж2 + Р1Х + <71)S1
Мух + Ni । М^х + N2 । । MSmx + NSm
x2+pmx + qm (x2+pmx + qm)2 (x2 + pmx + qm)s™ ’
(31.6)
где Ai, A2, .... Bi, B2...Ci, D\.....Mi, Ni, ... — некоторые
действительные коэффициенты.
Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
ж2 + 4 А В С D
(х — 2)(ж — З)3 ж - 2 + ж - 3 + (ж — З)2 + (ж — З)3 ’
ж3 + 1 _ А В Сх + D
ж2(ж2 + 1) Ж + Ж2 + ж2 + 1 ’
7ж2 + 8ж + 9 А В Сх + D
(ж — 1)(ж — 2) (ж2 + ж + I)2 ж-1 + ж- 2 + ж2+ж + 1 +
Mx + N
+ (ж2 + ж + I)2
Для нахождения неопределенных коэффициентов Ai, А2,. •., Bi,
В2, в равенстве (31.6) можно применить метод сравнивания коэф-
фициентов. Суть метода такова:
1. В правой части равенства (31.6) приведем к общему знаменате-
лю <Э(ж); в результате получим тождество = где —
многочлен с неопределенными коэффициентами.
2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тожде-
ственно равны и числители, т. е.
Р(ж) = 5(ж). (31.7)
242
3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по те-
ореме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7),
получим систему линейных уравнений, из которой и определим иско-
мые коэффициенты Аг, А%,..., Bf,...
Пример 31.3. Представить дробь - А. —— в виде сум-
(х — 1)(ж — 2х + 5)
мы простейших дробей.
Ci Решение: Согласно теореме 31.8 имеем:
2х2 — Зж — 3 _ А Вх + С
(х — 1)(ж2 — 2х + 5) х — 1 + ж2 — 2х + 5 ’
т. е.
2ж2 — Зж — 3 А(ж2 — 2ж + 5) + (ж — 1)(Вж + С)
(ж — 1)(ж2 — 2ж + 5) (ж — 1)(ж2 — 2ж + 5)
Отсюда следует
2ж2 — Зж — 3 = Аж2 — 2Аж + 5А + Вх2 — Вх + Сх — С,
т. е.
2ж2 - Зж - 3 = (А + В)х2 + (-2А - В + С)х + (5А - С).
Приравнивая коэффициенты при ж2, ж1, ж0, получаем
2 = А + В,
< -3 = -2А - В + С,
-3 = 5А - С.
Решая систему, находим, что А = —1, В = 3, С = —2. Следовательно,
2ж2 — Зж — 3 —1 Зж — 2
(ж — 1)(ж2 — 2ж + 5) ж — 1 "I" ж2 — 2ж + 5
Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют так-
же метод отдельных значений аргумента: после получения тожде-
ства (31.7) аргументу ж придают конкретные значения столько раз,
сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо ж
значения действительных корней многочлена <Э(ж)).
Пример 31.4. Представить дробь ~ 4 . в виде суммы
Х\Х £)\Х “г J.)
простейших дробей.
Q Решение: Имеем: —т—~ 4 _ А ---/1 ---С! Отсюда сле-
ж(ж - 2)(ж + 1) ж ж-2 ж +1
Зж — 4 = А(ж — 2) (ж + 1) + Вж(ж + 1) + С*ж(ж — 2).
243
Положим х = 0, тогда —4 = —2Л, т. е. А = 2; положим х = 2, тогда
1 7
2 = 6В, т. е. В = положим х = — 1, тогда — 7 = ЗС, т. е. С = —
Следовательно,
Зж - 4
х(х — 2)(ж + 1)
2 1 —I
= - + ^- + —
х ж — 2 ж + 1
31.2. Интегрирование простейших рациональных
дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.
1. у ~ f ~^х—= '1п — а1 + С (формула (2) таблицы
интегралов);
2. у -—— у. dx = А у (ж — а)~к d(x — а) = А • ----•" С
(формула (1));
3. Рассмотрим интеграл J = / -.Мж + - dx.
J х + рх + q
Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:
Мх + N
(ж + £)2+д-£
dx,
причем q — >0. Сделаем подстановку ж + = t. Тогда ж = t —
2
dx = dt. Положим q — = а2. Следовательно, используя формулы (2)
и (15) таблицы интегралов, получаем
Мх + N , г
-------dx = /
ж2 + рх + q J
..г tdt
M(t—%)+N
--------at =
С +а2
dt
+ а2
= ~ 1п(£2 + а2) + (N - - arctg - + С,
& х ' d cl
т. e., возвращаясь к переменной ж,
т г Mx + N ^1/2 , Л? . х+2
J = -------dx = In (ж + рх + q) Н-== • arctg ----i. + С.
!^+рХ + <! 2
Пример 31.5. Найти [ 2 dx.
И J х2 + 2ж + 10
244
Ci Решение: ж2 + 2х + 10 = (х + I)2 + 9. Сделаем подстановку х + 1 = t.
Тогда х = t — 1, dx = dt и
г Зж+1 _ г 3(t - 1) +1 r tdt г dt
Jx2 + 2x + lQ J t2 + 9 Jt2+9 J t2+9
= ln(t2 + 9) - | arctg | + C = ln(.r2 + 2.r + 10) - | arctg + C.
Z о о Z о о
2
4. Вычисление интеграла вида f Mx + N 2, q — 21 > 0.
«/ (X “I- 'рХ -Н Q)
Данный интеграл подстановкой х + 2 = t сводится к сумме двух
интегралов:
г t dt { Мр\ г dt 2 р2
М f (t2 + а2)к + (N ~ J (f2 + а2)к ’ а -<г-Т
Первый интеграл легко вычисляется:
/ (t2 + а2)к = 2 + +а^= 2(1 — fc)(t2 + a2)fc-1
Вычислим второй интеграл:
т _ Г dt 1 г (t2 + а2) -12 _
к J (t2+a2)k ~ a2 J (t2+a2)k
1 ( / dt f t2 dt у 1 / r t2 dt \
= ~^\J (t2+a2)k^ - J (t2+a2)k) = Vt-1 ~ J (t2 + a2)k )
(31.8)
К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Поло-
жим
t
u - t, dv = —г-—г, du = dt,
’ (t2 + а2)к ’
" = 5/(‘2 + “2>’‘ + “2) = ^1^+а^’
тогда
г t2 dt t 1 г dt
J (t2 + a2)k = 2(1- A:)(t2 +a2)fcS? ~ 2(1 - k) J (t2 + a2)*”1 =
t_______________1 T
2(1 - fe)(t2+a2)fc-i 2(1-fc) k~1'
Подставляя найденный интеграл в равенство (31.8), получаем
1 t 1
к а1' 2(1 - fc)(t2 + a2)fc-1 + 2(1 - к)
245
1 /2fc-3 t \
k ~ & \2k-2Jk~l + 2(fc - l)(i2 + a2)*"1 J '
Полученная формула дает возможность найти интеграл Jk для любого
натурального числа к > 1.
Пример 31.6. Найти интеграл J3 = ,
Ci Решение: Здесь а = 1, к = 3. Так как
, f dt .
Ji = J = arCtSf + С’
то
г dt 2-2-3 t
' ~ J (Z2 + I)2 ~ 2-2- 2'71 + 2 - (2 — l)(f2 + 1) ~
= 1“ГС‘6‘+2ЙД)+С-
3 t t 3/1 £ \
J3 = 4J2 + 4(^Tl^ = 4FT> + ll2arCtgt+2(^Tl)J +C- *
31.3. Интегрирование рациональных дробей
Рассмотренный в пункхах 31.1-31.2 материал позволяет сформу-
лировать общее правило интегрирования рациональных дробей.
1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы мно-
гочлена и правильной дроби;
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на мно-
жители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дро-
бей;
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших
дробей.
Пример 31.7. Найти интеграл f х з~ + 4 dx.
J х -р £х “I- 2/Х
Q Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим ее
целую часть путем деления числителя на знаменатель:
х5 + 2.г3 + 4х + 4 z4 + 2ж3 + 2х2
х5 + 2.г4 + 2.г3 х — 2
— 2.г4 + 4х + 4
— 2.г4 т 4.г3 — 4.г2_
4.г3 + 4.г2 + 4х + 4 (остаток).
246
Получаем:
х5 + 2s3 + 4х + 4 _ 4.r3 + 4s2 + 4х + 4
х4 + 2.г3 + 2х2 + х4 + 2х3 + 2х2
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:
4х3 + 4.г2 + 4х + 4 _ 4.г3 + 4.г2 + 4х + 4 А В Сх + D
х4 + 2т3 + 2х2 х2(х2 + 2х + 2) х х2 х2 + 2х + 2 ’
4.г3 +• 4.т2 + 4х + 4 = Ах(х2 + 2х + 2) + В(х2 + 2х + 2) + (Сх + D)x2,
т. е.
4z3 + 4.г2 + 4х + 4 = (А + С)х3 + (2А + В + D)x2 + (2А + 2В)х + 2В.
Отсюда следует, что
'А + С = 4,
2А + В + D = 4,
2А + 2В = 4,
2В = 4.
Находим: В — 2, А = О, С = 4, D = 2. Стало быть,
4.г3 + 4:г2 + 4х + 4 2 4х + 2
х4 + 2,г;! + 2х2 х2 + х2 + 2х + 2
и ж5 + 2ж3 + 4х + 4 2 4х + 2
х4 + 2ж3 + 2х2 + х2 + х2 + 2х + 2
Интегрируем полученное равенство:
г х5 + 2ж3 + 4х + 4 , г ( п 2 4х + 2 \ ,
I —; ах = [х — 2 н—-4— --------------------- ах
J х4 + 2х3 + 2х2 J\ х2 x2+2x + 2J
Обозначим х + 1 — t, тогда х — t — 1 и dx — dt. Таким образом,
г 4х + 2 г 4t- 4 + 2 г tdt г dt _
J {x + l)2+ldX~J t2 + l -4/t2 + l 2Jt2+l~
= 4 • ln(i2 + 1) - 2 arctg t + C =
— 2 ln(x2 + 2x + 2) — 2 arctg(a: + 1) + C.
Следовательно,
r x5 + 2x3 + 4x + 4 x2 2 2 n n . г -о
/ —1dx~ -TT~2x-------------------1-2In ? + 2x + 2) -2arctg(s +1) + C.
J x4 +2x3 +2x2 2 x ' 7
Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в эле-
ментарных функциях.
247
§32. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригоно-
метрических функций. Функцию с переменными sinx и cosx, над ко-
торыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание,
умножение и деление) принято обозначать Л (sin х; cos х), где R — знак
рациональной функции.
Вычисление неопределенных интегралов типа f J?(sinx;cosx)dx
сводится к вычислению интегралов от рациональной функции под-
становкой tg = t, которая называется универсальной.
l-tg2|
1 — t2
cos X =-----,
1 + tg2 f 1 +12
2tgf 2t
Действительно, sm x = г ~x = ’
2 2
x = 2 arctg t, dx =-- dt. Поэтому
1 + t2
sin х; COS X
2t 1-t2
2 г
Y^2dt = J dt’
где i?i(t) — рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма
громоздкий, зато он всегда приводит к результату.
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в
зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частно-
сти, удобны следующие правила:
1) если функция J?(sinх;cosх) нечетна относительно sinx, т. е.
R(— sinx; cosx) = —J?(sinx; cosx), то подстановка cosx = t рационали-
зирует интеграл;
2) если функция J?(sinx;cosx) нечетна относительно cosx, т. е.
J?(sin х; — cosх) — —B(sinx; cosх), то делается подстановка sinх = t;
3) если функция J?(sinх;cosх) четна относительно sinx и cosx
R(— sinx; — cosx) = Л(sin x; cosx), то интеграл рационализируется под-
становкой tg x = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл
имеет вид [ -R(tg х) dx.
Пример 32.1. Найти интеграл / =-:—г аг~---------.
r r J 3 + sin х + cos х
Ci Решение: Сделаем универсальную подстановку t = tg . Тогда dx —
248
q jj. i __ л2
-L , sin ж = cos ж — 7—%-. Следовательно,
1+t2 1+t2’ 1 + t2
dx
dt
3 + sin x + cos x
f d(t + |) _
j (*+l)24 “
r 2dt
j (l + <2)(3+i^ + ^
2 t + „ 2 1 + 2 tg §
y?aretg^ + c = 7rarcts------
7
Пример 32.2. Найти интеграл I = j j 2—•
Ci Решение: Так как
R(— sins:; — cos ж) = -----77 = --- = Л(8шж;со8ж),
7 1 + (-8Шж)2 1 + зш2ж v
то полагаем tg ж = t. Отсюда
dt . 2 tg2 ж t2
ж = arctg t, dx = --- и sin ж = -------— = -----r.
1+t2 1 + tg2 ж 1+t2
Поэтому
dt г dt 1 r d(y/2t)
(i + t2)(i + ^) = J 2t2 +”i = 75 J (72t)2 +1
= -^= arctg T2t + C = ~^= arctg(^/2tgж) + C.
32.2. Интегралы типа J sinTOx • cos” xdx
Для нахождения таких интегралов используются следующие при-
емы:
1) подстановка sin ж = t, если п — целое положительное нечетное
число;
2) подстановка cos ж = t, если т — целое положительное нечетное
число;
3) формулы понижения порядка: cos2 ж = i(l +соз2ж), sin2 ж =
= i(l — соз2ж), sin ж • cos ж = i 8ш2ж, если тип — целые неотрица-
тельные четные числа;
4) подстановка tg ж = t, если т + п — есть четное отрицательное
целое число.
Пример 32.3. Найти интеграл I = / sin4 ж cos5 ж dx.
249
Q Решение: Применим подстановку sinx = t. Тогда х = arcsin i, dx =
= —,= =- dt, cos x = д/l — t2 и
л/l — t2
I = p4 • (x/l-i2)5 • = У t4(l - t2)2 dt = I(t4 - 2t6 + ts) dt =
= ~ — 2— + 1— + C = sin5 x — - sin7 x + sin9 x + C. •
Пример 32.4- Найти интеграл I = I sin4 x cos2 x d,r.
Q Решение:
I = / (sin x cos x)2 sin2 x dx
sin2 2x • | (1 — cos 2.c) dx =
lr. 1 r 1/1
- / siv?2xdx---/ sin2 2x cos 2x dx = - / -(1 — cos4x') dx—
8 J 8 J 8 J 2V 7
— —- / sin2 2x d(sin 2x) = — x — — sin 4./-sin3 2x + C.
16 J v 7 16 64 48
Пример 32.5. Найти интеграл
т f dx / -1 • -3 J
1 = ---------q— = I cos x sm x dx.
J cos x sin x J
Q Решение: Здесь m + n — —4. Обозначим tg# = t. Тогда x = arctgt,
dx = sin ж = —, cos ж = 1 и
1 + i л/1 + t2 a/1 + t2
I = f_________1+E________
J i t3
v'l+t5’ (л/i+t2!3
г 1 + t2 , г о , r dt
-^+ln|t| + C = ' ctg2 X + In I tgx| +c.
32.3. Использование тригонометрических
преобразований
Интегралы типа J sin ах cos bxdx, J cos ax cos bx dx,
У sin ax sin bx dx вычисляются с помощью известных формул тригоно-
метрии:
sin a cos /3 = -(sin(a - /?) + sin(a + (3)),
250
cos a cos /3 = ^(cos(a — /3) + cos(a + /3)),
sinasin/3 = -(cos(a — /3) — cos(a + /3\).
Пример 32.6. Найти интеграл I = J sin8x cos2x dx.
Q Решение:
I = j sir: 8.r cos 2xdx = | j (sin 10x + sin 6z) dx =
= 2 Tocos — лcos 6х) ®
§33. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
33.1. Квадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррацио-
нальные функции.
Интегралы типа
г dx г /— ------- г тх + п ,
/ . —, / y/axz + Ьх + cdx, / -- dx
v ах2 + Ьх + с J 'у/ах2 + Ьх + с
называют неопределенными интегралами от квадратичных иррацио-
нальностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом вы-
делить полный квадрат
ах2 + Ьх + с =
/ 9 Ь с\ // Ь \2 с Ь2 \ // Ь \ 2 Зас — 52\
= ala; +-х+- =а х+— -|--------—у =в /+— -I---------—j—
\ а а) \\ 2а/ а 4а / \\ 2а/ 4а /
и сделать подстановку х + = t. При этом первые два интеграла при-
водятся к табличным, а третий — к сумме двух табличных интегралов.
Пример 33.1. Найти интегралы I = [ —. .
/ V 4х2 + 2х + 1
Решение: Так как 4х2 + 2х+ 1 = 4^ж2 + ^х + ’
то ji- dx 1 f dx
\/4((ж + 1)2 + 1Й 2 +
251
Сделаем подстановку х + i = i, х = t — 1, dx = dt. Тогда
Пример 33.2. Найти интеграл I = / , ' 4 dx
J Уб - 2х - х2
Q Решение: Так как 6 — 2х — х2 = —(ж2 + 2х — 6) = —((ж + I)2 — 7) =
= 7 — (х + I)2, то подстановка имеет вид х + 1 = Л х = t — 1, dx = dt.
Тогда
т ft — 1 + 4 f t dt r dt
= -1/'(7-^)-Ы(7-(2) + з/-7^= =
J y(\/7)2 ~t2
= — У 7 — i2 + 3 • arcsin + C = 3 arcsin —__ Уб — 2x — x2 + C. •
У7 У7
n f РПМ J n / \
Интегралы типа / . - 7 dx, где Pn(x) — многочлен сте-
J у/ax2 + bx + c
пени n, можно вычислять, пользуясь формулой
f -7==== dx = Qn-i(z) • \/ах2 + bx + c + X f =. = ,
J у ax2 + bx + c J у ax2 + bx + c
(33.1)
где Qn-dx) — многочлен степени n — 1 с неопределенными коэффици-
ентами, X — также неопределенный коэффициент.
Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, по-
лучаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):
-7==== (<Эп-1У) • Vax2 + bx + c)' + х- . =,
у ах2 + Ьх + с у ах2 + Ьх + с
после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых сте-
пенях неизвестной х.
/2
. -х dx.
У1 - 2х - х2
Q Решение: По формуле (33.1) имеем:
I — [ . -Х - dx = (Ах + В)У1 — 2х — х2 + X • [ - -
J у/Г- 2х - х2 J у/1 - 2х - х2
252
Дифференцируя это равенство, получаем:
-г2 t------- —2 —2т А
- . - -= = А \/1 — 2х-х2 + (Ах + В) - = + . =,
уД —2т —ж2 2\/1 —2т —z2 л/1 — 2т — т2
т. е.
т2 = А(1 — 2т — т2) + (Ах + В)( — 1 — т) + А,
т2 = А — 2 Ат — Ат2 — Ах — В — Ат2 — Вт + А.
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях т:
1 = —А — А при т2,
< 0 — —2А — А — В при т1,
О = А — В + А при т°.
1 Q
Отсюда А = — В = А = 2. Следовательно,
2 2/ J у2 - (т + I)2
/ 1 3 \ г ~ т . т +
= —т Ч— V1 — 2т — х2 + 2 arcsm —-j=
\ 2 2/ у/2
33.2. Дробно-линейная подстановка
Интегралы типа / r(x, (ах-А (ах + ) dx, где а, Ь,
с, d — действительные числа, а, /3,..., 6, у — натуральные числа,
сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки
ах 3- b = ^.k. где fc — наименьшее общее кратное знаменателей дробей
сх ~Н а
а 6
'У к
Действительно, из подстановки = следует, что х= '
, —dktk~l(ctk — а) — (b — di^ckt?-1 ,
и dx = -----------------р-----------dt, т. е. т и dx выражаются
через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби
выражается через рациональную функцию от t.
Пример 33.А. Найти интеграл I = / - . - —--==.
J Зу/(х + 2)2 -
9 1
Решение: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и
есть 6. Поэтому полагаем х + 2 = t6, х = t6 — 2, dx = 6i5 dt, t = y/x + 2.
253
Следовательно,
r г 6t5 dt r t2 dt г (t2 — 1) + 1 ,
J t1 — t3 J t — 1 J t — 1
= 6 j (t + 1 + -—dt = 3i2 -M 6t + 61n|i — 1| + C =
= 3 • Vx. + 2 + 6 • y/x+~2 + 6 In | WT2 - 1| + C. •
Пример 33.5. Указать подстановку для нахождения интегралов:
х/ж — 1 т t з /ж + 1 dx
—=-----dx, I2 = I t ------- --—.
2y/x — x J \x — 1 (1 — x)2
Q Решение: Для Д подстановка х = t2, для 12 подстановка + j = t3.
33.3. Тригонометрическая подстановка
Интегралы типа
У R(x; х/а2 — x2)dx, f R(x; у/а2 + x2)dx, j R(x; \/х2 — a2)dx
приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от три-
гонометрических функций, с помощью следующих тригонометриче-
ских подстановок: х = а sin t для первого интеграла; х = а • tg t для
второго интеграла; х — 5 для третьего интеграла.
Пример 33.6.
Найти интеграл I — J
dx.
Q Решение: Положим х = 2sint, dx = 2costdt, t = arcsin^. Тогда
x/4 — 4 sin2 t
--------5------ 2 cos
4 sin21
r 1 — sin2 t ,
= / -------5---dt =
J sin t
r 4 cos2 t ,
= / ----5- dt =
J 4 sm2 t
dt r, _
—5------dt = — ctg t — t + C =
sin t J
x ( x\ x — x2
= C — arcsin — — ctg ( arcsin — 1 = C - arcsin —----------------
Zi ' / Z X
\/l — sin2 t . a/1 — (^)2 x/4 — x2 \
254
33.4. Интегралы типа J Я(гг; у/ах2 + bx + с) dx
Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция от-
носительно х и у/ах2 + Ьх + с. Выделив под радикалом полный ква-
драт и сделав подстановку х + = t, интегралы указанного типа
приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т. е. к интегралам
типа уR(t', у/а2 — t2} dt, J R(t', у/a2 +12) dt, J R(t', у/12 — a2) dt. Эти ин-
тегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометри-
ческих подстановок.
Пример 33.7. Найти интеграл I = [ х —-dx.
J [х И-
Q Решение: Так как т2 + 2г — 4 = (z4-1)2 — 5, то т +1 = t, х = t — 1, dx =
= dt. Поэтому I = [ —- dt. Положим t = , dt = —z dz,
J t3 sin z sin2 z
z = arcsin . Тогда
| J(1 + cos2z)dz =
(-х/5)созг 1 г 2 ,
•-----------dz =-----= I cos zdz =
sin z v5 J
1
Z+2
- sin ^2 arcsin ) + C =
1 / Vb
— sin 2 arcsin------
2 \ x + 1
y/b \Лг2 + 2ж — 4
Замечание'. Интеграл типа f —, целесообразно нахо-
J xyj ах2 + bx + с
дить с помощью подстановки х =
33.5. Интегрирование дифференциального бинома
Интегралы типа J хт (а + Ьхп)р dx (называемые интегралами от
дифференциального бинома), где а, Ъ — действительные числа; т, п,
р — рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А., лишь в
255
случае, когда хотя бы одно из чисел п, m + 1 или m + 1 + п является
пп
целым.
Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следу-
ющими подстановками:
1) если р — целое число, то подстановка х = tk, где k — наимень-
шее общее кратное знаменателей дробей тип;
2) если + 1 — целое число, то подстановка а + bxn = ts, где s —
знаменатель дроби р;
3) если т + 1 + р — целое число, то подстановка а + Ьхп = хп ts,
где s — знаменатель дроби р.
Во всех остальных случаях интегралы типа J хт(а + bxn)p dx
не выражаются через известные элементарные функции, т. е. «не бе-
рутся».
Пример 33.8.
Найти интеграл I =
Q Решение: Так как
/ = У • (1 + а;*)з dx,
то т - — 1, n = |, Р = ™ п 1 = Поэтому делаем подстановку
у/х + 1 = t3, х = (i3 — l)4, dx = 4(i3 — I)3 • 3i2 dt, t = у/ \Jx + 1. Таким
образом,
t
(t3 - I)2
• 12/2(f3 - I)3 dt = 121(i6 - t3) dt =
1=/
= 12 y-12-j+C = y(V» + l)* -3-( V»+l)!+C. •
§34. «БЕРУЩИЕСЯ» И «НЕБЕРУЩИЕСЯ»
ИНТЕГРАЛЫ
Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций зна-
чительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда
выбранный путь интегрирования является наилучшим, более корот-
ким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не един-
ственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих
искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тре-
нированности. Например, f —— можно найти, не используя реко-
J cos х
256
мендуемую подстановку tg х = t, а применив искусственный прием:
г dx г (cos2 х + sin2 х)2
J cos6 х J cos6 х
г ( 1 tg2 x tg4 x \ 2 ,, 1 г
= / ----5---F 2-------F---y- dx = tg x + - tg3 x + - tg5 x + C.
J ycos2 x cos2 x cos2 x J 3 5
Вряд ли стоит вычислять интеграл
г Зт2 + 4ж + 1
J х(х2 + 2х + 1) '
разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:
Зж2 + 4т + 1 Зт2 + 4т + 1 А В С
х(х'2 + 2т + 1) х(х -F I)2 х х + 1 (х + I)2
Заметив, что числитель Зт2 + 4т+1 является производной знаменателя
х(х2 + 2х + 1) = х3 + 2х2 + х, легко получить:
г Зт2 + 4т + 1 г d(x3 + 2т2 -F т) 3 2
/ —ГЪ 7,----77 dx = / -2- — -------= In т3 + 2т2 + т + С.
J т(т2 + 2т + 1) J т3 + 2т2 + т
На практике при вычислении неопределенных интегралов исполь-
зуют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто
встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных
интегралов» М. Л. Смолянского.
Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях
вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функ-
цию для подынтегральной функции.
Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную.
В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции
/(т) является также элементарной функцией, говорят, что J f(x)dx
«берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции
(или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через
элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или
«его найти нельзя»).
Так, например, нельзя взять интеграл J у/х cosxdx, так как не
существует элементарной функции, производная от которой была бы
равна a/xcos.c. Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, ко-
торые имеют большое значение в приложениях:
У е-®2 dx — интеграл Пуассона (теория вероятностей),
/ Тпх — интегральный логарифм (теория чисел),
9 Конспект лекций по высшей математике Полный курс
257
J cos ж2 dx, j sin®2 dx — интегралы Френеля (физика),
f f c<^~r' — интегральные синус и косинус,
Г ех , ,
I dx — интегральная показательная функция.
Первообразные от функции е~х , cos®2, и других хорошо из-
учены, для них составлены подробные таблицы значений для различ-
ных значений аргумента х.
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекции 29-33 |
§35. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ
ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ
Пусть функция у = /(ж) определена на отрезке [а; 6], а < Ь. Вы-
полним следующие действия.
1. С помощью точек xq = a, xt, ад, . ., хп = b (a?o < ад < ... < хп)
разобьем отрезок [а, 6] на п частичных отрезков [a;0; ад], [ад; х%], • • •
... , [адг-i, жп] (см. рис. 166).
Ci С2 сг сп х
—।---1—•—i—•—।—•—।—•—।—•—।—•—।—•—।—•—।------
О а = Хо X-l Х2 ЯД-1 Хг Ь = хп
Рис. 166
2. В каждом частичном отрезке [ад_х;ад], i = 1,2,... ,п выберем
произвольную точку сг € [ад_г; ад] и вычислим значение функции в
ней, т. е. величину /(сг).
3. Умножим найденное значение функции /(сг) на длину Дад =
= хг — хг-1 соответствующего частичного отрезка: /(сг) • Дад.
4. Составим сумму Sn всех таких произведений:
п
Sn = /(С1)Дад + /(с2)Дад + + f(cn)Axn = У^/(сг)Да;г. (35.1)
г=1
Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции
у = на отрезке [а; 6]. Обозначим через X длину наибольшего
частичного отрезка: X = max Дад (г = 1, 2,..., и).
5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда п —> оо так,
что X —> 0.
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не
зависит ни от способа разбиения отрезка [а; 6] на частичные отрез-
ки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным
интегралом от функции у = /(ж) на отрезке [а; 6] и обозначается
ь
У f(x)dx. Таким образом,
а
Ь п
f f(x)dx= ^lim, ^/(сг)Дад.
а (X—>0) г=1
(35.2)
259
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной
функцией, f(x) dx — подынтегральным выражением, х — пере-
менной интегрирования, отрезок [а; £>] — областью (отрезком)
интегрирования.
Функция у = f(x), для которой на отрезке [а; 5] существует опреде-
ленный интеграл J f(x) dx, называется интегрируемой на этом
отрезке.
Сформулируем теперь теорему существования определенного ин-
теграла.
Теорема 35.1 (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрез-
ъ
ке [а; 5], то определенный интеграл J f(x)dx существует
а
Отметим, что непрерывность функции является достаточным ус-
ловием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может су-
ществовать и для некоторых разрывных функций, в частности для вся-
кой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число
точек разрыва.
Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосред-
ственно вытекающие из его определения (35.2).
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной
интегрирования:
ь ь ь
У f(x)dx = у f(t)dt = у f(z)dz.
а а а
Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следователь-
но, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается
аргумент данной функции.
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегриро-
вания равен нулю:
У f(x) dx = 0.
а
Ь
3. Для любого действительного числа с: j сdx = с - (Ъ — а).
а
260
§36. геометрический и физическим смысл
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Площадь криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [а; Ь] задана непрерывная функция у = /(х) 0.
Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = /(х), сни-
зу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = Ь, называется криволи-
нейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.
Рис 167
Для этого отрезок [«:/>] точками а = Xo,xt,...,b = хп (xft <
< xi < ... < хп) разобьем на п частичных отрезков [хо; Ж1Ь [^1! хг], • •
... , жп]. (см рис. 167). В каждом частичном отрезке [xt-i;xt]
(г = 1,2,...,п) возьмем произвольную точку сг и вычислим значение
функции в ней, т. е.
Умножим значением функции /(с,) на длину Дх, = хг — x,-i соот-
ветствующего частичного отрезка. Произведение /(с,) Дх, равно пло-
щади прямоугольника с основанием Дх, и высотой Сумма всех
таких произведений
п
/(С!)ДЖ1 + /(с2)Дж2 + . . . + /(сп)Джп = ^2/(сг)Джг = Sn
г=1
равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S
криволинейной трапеции:
п
s /(сг) -
i=i
С уменьшением всех величин Дх, точность приближения криволиней-
ной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы
увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволиней-
ной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь
ступенчатой фигуры Sn, когда п неограниченно возрастает так, что
А = шахДх, —> 0:
п b
S= lim Sn = lim /(с,)Дх,, то есть S= / /(x'jdx.
n—^oo n-^oo J
(X—>0) г=1 a
261
Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции чи-
сленно равен площади криволинейной трапеции.
В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается под действием си-
лы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину
F = F(х), где х — абсцисса движущейся точки М.
Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох
из точки х = а в точку х = Ь (а < Ь). Для этого отрезок [а; 6] точ-
ками а = хд, xi, b = хп (жо < xi < ... < хп) разобьем на п
частичных отрезков [ж0; Ж1], [ад; ж2], • •, [жп-15жп]. Сила, действующая
на отрезке [жг_х;жг], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка
Джг = хг — ж,_1 достаточно мала, то сила F на этом отрезке изме-
няется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и
равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке
ж = ct 6 [хг-1; жг]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке
[жг_ 1; хг], равна произведению F(ct) Ахг. (Как работа постоянной силы
F(cJ на участке [жг-1;ж,].)
Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; 6]
есть
п
А « F(ci)Axi + ^(с2)Джг + ... + К(с„)Дж„ = К(сг)Дж,. (36.1)
г=1
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Ахг. По-
этому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1)
при условии, что наибольшая длина А частичных отрезков стремится
к нулю:
п b
А = Нт ^2^(сг)Джг = у F(x) dx.
г=1 а
Итак, работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная
функция F = F(r), действующей на отрезке [а; Ь], равна определенно-
му интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; Ь].
В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за
промежуток времени от t = а до t = Ь, равен определенному интегралу
от скорости v(t):
S = у v(t) dt-,
а
масса т неоднородного стержня на отрезке [а; 6] равна определенному
ъ
интегралу от плотности 7(ж): т — J 'у(х) dx.
а
262
§37. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕИБНИЦА
Пусть функция у = /(ж) интегрируема на отрезке [а; 6].
Теорема 37.1. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и
F(x) — какая-либо ее первообразная на [a; b] (F'(x) = /(ж)), то имеет
место формула ь
I f(x)dx = F(b) — F(a). (37.1)
□ Разобьем отрезок [а; Ь] точками а = Жд, Ж1,..., b = хп (жд < Ж1 < ...
... < жп) на п частичных отрезков [жо; Ж1], [жх; ®2], . •, [хп-Г, хп\, как
это показано на рис. 168.
С1 с2 с,
—I----1—•—I—•—I—•—I—•—I—•—I—
О а = Хо xi Х2 Жг-1 хг
сп х
Н---•--1------
Ь = х!>
Рис. 168
Рассмотрим тождество
F(b) - F(a) = Р(ж„) - Г(жо) = (F(xn) - F(xn_1)) +
+ (^(жп_1) - Г(жп_2)) +-----Н (^(ж2) - ^(Ж1)) + (^(Ж1) - Г(ж0)).
Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа
/(6)-/(п) = /'(с)-(Ь-а).
Получим
F(b) - F(a) = F'(cn) (жп - жп_1) + F'(cn_i) (жп_1 - жп_2) + ...
• • • +F'(c2) (ж2 -Ж1) + F'^tr-i - т0) = ^2^'(сг)Джг = £/(сг)Джг,
г=1 г=1
т. е. п
(37.2)
/=1
где ct есть некоторая точка интервала (жг_1;жг). Так как функция
у — f(x) непрерывна на [а; 6], то она интегрируема на [а; Ь]. Поэтому
существует предел интегральной суммы, равный определенному инте-
гралу от /(ж) на [а; 6].
Переходя в равенстве (37.2) к пределу при А = шах Джг —> 0, полу-
чаем п
F(b) - F(a) = lim У' /(с,)Дж„
A->0 '
2=1
263
т. е.
ь
F(b) - F(a) = у /(х) dx.
а
Равенство (37.1) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Если ввести обозначение F(b) — F(a) = F(x)|^, то формулу Нью-
тона-Лейбница (37.1) можно переписать так:
ъ
I f(x)dx = F(x)|\
а
Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления опре-
деленного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от не-
прерывной функции /(х) на отрезке [а; Ь], надо найти ее первообразную
функцию F(x) и взять разность F(b) — F(a) значений этой первообраз-
ной на концах отрезка [а; Ь].
з
/3 2
х2 dx = ~ |0 = 9 — 0 = 9,
о
2 2
“ / if? = 5“«1^L2= К?-(“?))=?
— 2
Пример 37.1. Вычислить интеграл J c^°~
о ’
Q Решение:
71 It , п ™
г /1 + cos 2х г !-----
J \ ------2------= J vcos х®х
о V о
7Г
У | cos х| dx =
2
У cos х dx +
о
У (— cosx) dx = sinx|Q2
2
+ (- sinx)|Z = 1 + 1 = 2. •
2
е2
Пример 37.2. Вычислить интеграл J х\^х •
е
е2 ,
/аг
—---- = In’l Inх| | — In 2 — In 1 = In 2.
xlnx 1 l|e
e
264
§38. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая
подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [а; 6]. При вы-
воде свойств будем использовать определение интеграла и формулу
Ньютона-Лейбница
1. Если с — постоянное число и функция f(x) интегрируема на
[а; Ь], то
У с • /(ж) dx = с • у /(ж) dx, (38.1)
а а
т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного
интеграла.
□ Составим интегральную сумму для функции с f(x). Имеем:
п п
5?с • /(сг)Джг = с-^2/(сг)Дхг.
г=1 г=1
Ь
п п *
Тогда lim 52 с ' /(ж)Джг = с • Нт 52 /(с«) = с ' f(x)dx. Отсюда
п->оог=1 «~>°Ог=1 J
а
вытекает, что функция с • /(ж) интегрируема на [а;Ь] и справедлива
формула (38.1).
2. Если функции /1(ж) и /г(ж) интегрируемы на [а; 6], тогда инте-
грируема на [а; Ь] их сумма и
ь ъ ъ
У(/1(ж) + f2^x))dx = у Д (ж) dx + у fa(x)dx, (38.2)
а а а
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.
Ъ п
□ [(Л(ж) + h(x))dx = lim У2(Л(сг) + /2(с1))Джг =
J П—+ОО
а *=1
п п Ь Ь
= lim У'/1(сг)Дж’ + lim У2Ь(сг)Дя:г = / fi(x)dx+ / f2(x)dx.
п—>оо ' п—>оо ' J J
г=1 г=1 а а
Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа
слагаемых.
Ь а
3. у /(ж) dx = — у /(ж) dx.
а Ь
265
Это свойство можно принять по определению. Это свойство также
подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.
Ь а
У /(ж) dx = F(b) - F(a) = —(F(a) - F(b)) = - f /(ж) dx.
a b
4. Если функция f(x) интегрируема на [a; 6] и a < с < b, то
Ь c b
У f(x)dx = у /(ж) dx + у f(x)dx, (38.3)
а а с
т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям
этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью опреде-
ленного интеграла (или свойством аддитивности).
□ При разбиении отрезка [а; 6] на части включим точку с в число точек
деления (это можно сделать ввиду независимости предела интеграль-
ной суммы от способа разбиения отрезка [а; Ь] на части). Если с = хт,
то интегральную сумму можно разбить на две суммы:
п т п
+ ^2/(cj)Axi.
i=l i=l i=m
Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно
для отрезков [а; Ь], [а; с] и [с; Ь]. Переходя к пределу в последнем равен-
стве при п —> оо (А —> 0), получим равенство (38.3). И
Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а,Ь, с (счи-
таем, что функция /(ж) интегрируема на большем из получающихся
отрезков).
Так, например, если а < b < с, то
с Ь с
У f(x)dx = у f(x)dx + у f(x)dx.
а а Ъ
Отсюда
Ь с с с b
У f(x)dx = у f(x)dx — у f(x)dx = у f(x)dx + J f(x)dx
а а Ъ а с
(использованы свойства 4 и 3).
5. «Теорема о среднем». Если функция /(ж) непрерывна на отрезке
[а; Ь], то существует точка с 6 [а;Ь] такая, что
ь
У f(x)dx = f(c) (b-я).
а
266
□ По формуле Ньютона-Лейбница имеем
ъ
У f№dx = F(x)\ba=F(b)-F(a),
а
где F'{х} = /(ж). Применяя к разности F(b) — F(a) теорему Лагранжа
(теорему о конечном приращении функции), получим
F(b) - F(a) = F'(c) • (b - а) = /(с) (b - а).
Свойство 5 («теорема о среднем»)
при /(ж) 0 имеет простой геометриче-
ский смысл: значение определенного ин-
теграла равно, при некотором с 6 (а;Ь),
площади прямоугольника с высотой /(с)
и основанием b — а (см. рис. 169). Число
называется средним значением функции /(ж) на отрезке [а; Ь].
6. Если функция f(X) сохраняет знак на отрезке [а; Ь], где а < Ь,
ъ
то интеграл j
а
Ь
f(X) 0 на отрезке [а; Ь], то J f(x) dX 0.
а
□ По «теореме о среднем» (свойство 5)
имеет тот же знак, что и функция. Так, если
ь
У /(ж) dX = f(c) (b - а),
а
где с £ [а; Ь]. А так как /(ж) 0 для всех Х £ [а; Ь], то и
/(с) 0, b — а > 0.
ъ
Поэтому /(с) • (Ь — а) 0, т. е. J f(x) dX 0.
а
7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; Ь],
(а < Ь) можно интегрировать. Так, если /1(ж) fo'.x) ПРИ х € [а;Ь],
ь ъ
то У fi(x)dX^ у /г(ж) dX.
а а
267
□ Так как /2 (ж) — Л (ж) 0, то при а < Ь, согласно свойству 6, имеем
ь
У" (/г(ж) - ft (ж)) dx 0.
а
Или, согласно свойству 2,
ь ь ь ь
У /г(ж) dx — у /1(ж) dx 0, т. е. /1(ж) dx / /г(ж) dx.
а а а а
Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.
8. Оценка интеграла. Если т и М — соответственно наименьшее
и наибольшее значения функции у = /(ж) на отрезке [а; 6], (а < Ь), то
ь
т(Ь — а) / /(ж) dx М(Ь — а).
(38.4)
□ Так как для любого ж £ [а; 6]
свойству 7, имеем
имеем т /(ж) М, то, согласно
ь ъ Ъ
У mdx у /(ж) dx у М dx.
Применяя к крайним интегралам
свойство 5, получаем
ь
т(Ь — а) у f(x)dx М(Ь— а).
Если ffx) 0, то свойство 8
иллюстрируется геометрически:
площадь криволинейной трапеции заключена между площадями пря-
моугольников, основание которых есть [а; &], а высоты равны т и М
(см. рис. 170).
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от
модуля подынтегральной функции:
ь ь
У /(ж) dx у\f(x')\dx;
а а
а < Ь.
Q Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам —|/(ж)| /(ж)
|/(ж)|, получаем
ь ь ь
|/(ж)|йж^ у f(x)dx^ у |/(ж)|с/ж.
а а а
Отсюда следует, что
ь
У flxjdx
а
Ь
У |/(ж)|с/ж.
а
268
10. Производная определенного интеграла по переменному верхне-
му пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная
интегрирования заменена этим пределом, т. е.
\[ = f(x).
\а / х
□ По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
X
У f(t)dt = F(t)\xa = F(x)—F(a).
а
Следовательно,
Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним
пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
§39. ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
39.1. Формула Ньютона-Лейбница
Простым и удобным методом вычисления определенного интегра-
ъ
ла ff(x)dx от непрерывной функции является формула Ньютона -
Лейбница:
J f(x)dx=F(x)\f = F(b') — F(a').
а
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найде-
на первообразная функции F(x) для подынтегральной функции /(ж).
7Г
Например, f sinxdx = — cos.'r|^ = —(cost? —cosO) = 2.
о
При вычислении определенных интегралов широко используется
метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
39.2. Интегрирование подстановкой
(заменой переменной)
ь
Пусть для вычисления интеграла f f(x) dx от непрерывной функ-
а
ции сделана подстановка х = </?(£).
269
Теорема 39.1. Если-
1) функция х = ip(t) и ее производная х' = y'(i) непрерывны при
t е [а;/?],
2) множеством значений функции х = ip(t) при t 6 [а,/?] является
отрезок [а; &],
3) у>(а) = а и у>(/?) = Ь,
то Ь 0
У f(x)dx= У /((?(*)) • <p(t)dt. (39.1)
а а
Q Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [cz, Ь]. Тогда по
ь
формуле Ньютона-Лейбница J f(x)dx = F(bi) — F(a) Так как
а
(F(<p(t)y = /(у?(£)) •//(£), то F(</?(t)) является первообразной для функ-
ции /(y>(t)) • <p'(t), t g [а, /?]. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница
имеем
0
У f^(ty ЯО dt = F(^ty\0a = F&(/3y) - F(<p(a)) =
= F(b) - F(a) = У f(x)dx.
a
Формула (39.1) называется формулой замены переменной в опре-
деленном интеграле.
Отметим, что:
1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки
возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки х = y>(i) применяют подстановку t =
= 9(хУ,
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене
переменных1
2
Пример 39.1. Вычислить J х2у/4 — х2 dx.
о
Q Решение: Положим х = 2sint, тогда dx = 2 cos t dt. Если x = 0, то
t = 0; если х = 2, то t — 5. Поэтому
Z
2 ______ тг/2
У х2 \/А. — х2 dx = у ’ 4 sin2 tV4 — 4 sin2 t • 2 cos tdt =
о о
270
= 16
тг/2 тг/2 тг/2 1
У sin2 t cos2 t dt = 16 у -sin22tdt = 4 J -(1 — cos4t) dt =
о oo
= 20lo/2-Isin</2) =2(j-°) =7r'
39.3. Интегрирование по частям
Теорема 39.2. Если функции и = и(х) и v = v(x) имеют непрерыв-
ные производные на отрезке [а; Ь], то имеет место формула
ь ь
У и dv = uv\ba — У v du. (39.2)
а а
□ На отрезке [а, Ь] имеет место равенство (iw)' = u'v + uv1. Следо-
вательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции
u'v + uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
ь
У (u'v -I- uv') dx = w|a.
a
Следовательно,
Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям
для определенного интеграла.
е
Пример 39.2. Вычислить J xhixdx.
1
Q Решение: Положим
и = In х => du = — dx
х
х2
dv = xdx => v =
271
Применяя формулу (39.2), получаем
e
.2
2 1.
— • — dx =
е2 1 х2 Iе _ е2
Т ~ 2 ’ Т к “ Т
2 e2 1 1/ 2 .
-T + 4 = 4(e +1У •
Пример 39.3. Вычислить интеграл J х sin xdx.
о
Q Решение: Интегрируем по частям. Положим
du — dx
V = — COS X
dv = sin x dx
Поэтому
J = —xcasx
cosxdz — —-n (—1) + 0 + Sinzig
0
а
У f(x) dx = <
— а
39.4. Интегрирование четных и нечетных функций
в симметричных пределах
Пусть функция /(т) непрерывна на отрезке [—а; а], симметричном
относительно точки х = 0. Докажем, что
а
2 • у f(x} dx, если f(x) — четная функция,
О, если /(т) — нечетная функция.
□ Разобьем отрезок интегрирования [—а; а] на части [—а; 0] и [0; а]. То-
гда по свойству аддитивности
У f(x)dx= У f(x)dx + у f(x)dx. (39.4)
— а —а 0
В первом интеграле сделаем подстановку х = —t. Тогда
О 0 а а
У f(x)dx=-j f(-t)dt = у f(-t)dt = у f(-x)dx
— а а О О
(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения
переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), полу-
чим
а а а а
У f(x)dx = У f(-x*)dx + у f(x)dx = у (/(—т) + /(я)) dx. (39.5)
~а 0 0 0
272
Если функция /(х) четная (/(—г) = /(х)), то f(—x) + /(х) = 2f(x);
если функция f(x) нечетная (/(—х) = — f (х)), то /(—х) + /(х) = 0.
Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3). И
Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не произ-
водя вычислений,сказать, что
7Г 3
У cos2 х sin3 х dx = 0, f е~х sinxdx = 0.
-я -3
§40. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ь
Определенный интехрал J f(x)dx, где промежуток интегрирова-
а
ния [а; 6] конечный, а подынтет ральная функция /(х) непрерывна на
отрезке [cz; Ь], называют еще собственным интегралом.
|ф[ Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е.
определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконеч-
ным промежутком интегрирования или определенный интеграл с ко-
нечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем
бесконечный разрыв.
40.1. Интеграл с бесконечным промежутком
интегрирования (несобственный интеграл I рода)
Пусть функция /(х) непрерывна на промежутке [а; -Но©). Если
ь
существует конечный предел lim / f(x)dx, то его называют несоб-
а
ственным интегралом первого рода и обозначают / f(x)dx.
а
Таким образом, по определению
+ оо Ь
У /(x)dx = ^lim у f(x)dx.
а а
В этом случае говорят, что несобственный интеграл j f(x) dx exo-
a
дится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен,
+ оо
то говорят, что интеграл J f(x)dx расходится.
а
273
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке
ь ь
( f(x)dx = lim у f^x^dx.
-о &
Несобственный интеграл с двумя бесконеч-
ными пределами определяется формулой
У f(x)dx= у f(x)dx +
где с — произвольное число. В этом случае
интеграл слева сходится лишь тогда, когда
сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функ-
+ос
ция f(x) 0 на промежутке |а;+оо) и интеграл j f(x)dx сходит-
а
ся, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной тра-
пеции (см. рис. 171).
Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или устано-
-f-oo 0 оо
вить „х расходимость, 1) / 2) / cost*; 3) /
1 -оо 1
Q Решение: 1) [ = lim [ х ~ dx = - lim Ц = -(0- 1) = 1,
J X Ь->+оо J h- .i^cX'i
1 1
интеграл сходится;
о о !
2) / cosxdx = lim cosxdx = lim sinxl =0— lim sin a,
7 J a-^-ooJ a-t-oo a->-oo
— oo a
интеграл расходится, так как при а —> — оо предел lim sin а не суще-
ствует.
оо 6
3) у ~ = lim у ~ = Jim In 6 = оо, интеграл расходится. •
1 1
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; до-
статочно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.
274
Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +оо)
непрерывные функции f(x) и tp(x') удовлетворяют условию 0 /(z)
+ оо
9?(х), то из сходимости интеграла J <p(x)dx следует сходимость
интеграла J f(x) dx, а из расходимости интеграла J f(x)dxcne-
дует расходимость интеграла J dx.
Пример 40.2. Сходится ли интеграл J +
Q Решение; При х > 1 имеем < -X. Но интеграл / X) = 1
аг(1 + Зж) х2 J х2
сходится. Следовательно, интеграл J
1
значение меньше 1).
(--х - также сходится (и его
I I *2^ \ \
Теорема 40.2. Если существует предел lim
(/(#) > 0 и 9?(z) > 0), то интегралы j f(x) dx и J <p(x) dx одновре-
a a
менно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в
смысле сходимости).
Пример 40.3. Исследовать сходимость интеграла f In х2 dx.
Q Решение: Интеграл [ In х2^~^ dx сходится, так как интеграл
J х + 1
г dx
/ сходится и
J X
lim —
-»+о° X
11Ш -------:------
lim
= 1.
275
40.2. Интеграл от разрывной функции
(несобственный интеграл II рода)
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; Ь) и имеет бес-
конечный разрыв при х = Ъ. Если существует конечный предел
Ь — Е
lim у f(x)dx. то его называют несобственным интегралом второго
а Ь
рода и обозначают J /(x'jdx.
а
Таким образом, по определению,
ь
I f(x) dx = lim
J s—>0
Ъ — Е
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл
ь
У f(x) dx сходится. Если же указанный предел не существует или бес-
а ..
конечен, то говорят, что интеграл / f{:c)dx расходится.
Аналогично, если функция f(x)
терпит бесконечный
х = а, то полагают
ь
У f(x) dx = lim у /(z) dx.
a a+e
Если функция f(x) терпит разрыв во
внутренней точке с отрезка [cz; 6], то не-
собственный интеграл второго рода
определяется формулой
Ь с b
разрыв в точке
ь
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несоб-
ственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
В случае, когда /(ж) > 0, несобственный интеграл второго рода
ь
У /(z) dx (разрыв в точке х = Ь) можно истолковать геометрически как
а
площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 172).
Пример 40.4- Йычислить [
J X
о
276
Q Решение: При х = 0 функция 1/ = Цт терпит бесконечный разрыв;
г dx г _2 , 111 А 1А
/ —- = lim / х dx = — lim — L , = — 1 — hm - = оо,
J X2 e->o J e-»0 X и+г \ e —s-0 E j
0 o+e
интеграл расходится. *
Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегра-
лов второго рода.
Теорема 40.3. Пусть на промежутке [а; Ь) функции /(#) и y>(z) не-
прерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют
ь
условию 0 /(z) ^(я). Из, сходимости интеграла J <p(x)dx вы-
текает сходимость интеграла / f(x)dx, а из расходимости интеграла
Ь а b
У f(x)dx вытекает расходимость интеграла f tp(x)dx.
Теорема 40.4. Пусть функции /(я) и ^(.т) непрерывны на проме-
жутке [а; Ь) и в точке х = Ъ терпят разрыв. Если существует предел
ь ь
lim = fc, 0 < fc < оо, то интегралы j f(x) dx и j ip(x) dx одно-
временно сходятся или одновременно расходятся.
Пример 40.5. Сходится ли интеграл J
о
Q Решение: Функция f(x) = ~ имеет на [0; 1] единственный разрыв
в точке х = 0. Рассмотрим функцию tp(x) = Интеграл
г dx
о
расходится. И так
= lim [ — = lim In z|1 = 0 — lim Ins
e—>0 J X s'—>0 le e—>0
0+5
как
4. f(x) 1- x
lim . . = lim —;— = 1,
(p{X) £->0 sinx
то интеграл j
о
также расходится.
277
§41. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
41.1. Схемы применения определенного интеграла
Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или
физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жид-
кости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [cz; 6]
изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта вели-
чина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; 6] точкой
с € (cz; b) на части [cz; с] и [с; 6] значение величины А, соответствующее
всему отрезку [cz; 6], равно сумме ее значений, соответствующих [cz; с]
и [с; 6].
Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной
из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или
метод дифференциала).
Первая схема базируется на определении определенного инте-
грала.
1. Точками Xq = а, X],..., хп = Ь разбить отрезок [cz; Ь] на п частей.
В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на п
«элементарных слагаемых» ДА, (г = 1,... ,тг): А = ДА) + ДА2 4- ...
• + ДА,,.
2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произ-
ведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычи-
сленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:
ДА, « /(с,)Да:,.
При нахождении приближенного значения ДА, допустимы некото-
рые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стя-
гивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно
приближенно считать постоянной и т. д.
Получим приближенное значение величины А в виде интегральной
суммы: п
А » /(с1)Дхг + ... + f(cn)&xn = ^f(ct)bxt.
1=1
3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.
п Ь
А= ^2/(с,)Дх, = [ f(x)dx.
(А-Щ) ,=1 а
Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении инте-
грала как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слага-
емых.
Схема I была применена для выяснения геометрического и физи-
ческого смысла определенного интеграла.
278
Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схе-
му I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания
бесконечно малых высших порядков»:
1) на отрезке [а; 6] выбираем произвольное значение х и рассматри-
ваем переменный отрезок [а; аф На этом отрезке величина А становит-
ся функцией х. А = Л(х), т. е. считаем, что часть искомой величины
А есть неизвестная функция Л(г), где х Е [а; 6] — один из параметров
величины А;
2) находим главную часть приращения АЛ при изменении х на
малую величину Az = dx, т. е. находим дифференциал dA функции
Л = Л(ж): dA = f(x)dx, где /(ж), определяемая из условия задачи,
функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);
3) считая, что dA к, АЛ при Az —> 0, находим искомую величину
путем интегрирования dA в пределах от а до Ь:
ь
Л(Ь) = А = у /(я) dx.
а
41.2. Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты
Как уже было установлено (см. «геометрический смысл опреде-
ленного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположен-
ной «выше» оси абсцисс (/(г) 0), рав-
на соответствующему определенному ин-
тегралу:
(> ь
S= у /(x'jdx или S = У ydx. (41.1)
а а
Формула (41.1) получена путем при-
менения схемы I — метода сумм. Обосну-
ем формулу (41.1), используя схему II.
Рис. 173
Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = f(x) 0,
х = а, х = Ь, у = 0 (см. рис. 173). Для нахождения площади S этой
трапеции проделаем следующие операции:
1. Возьмем произвольное х 6 [а; 6] и будем считать, что S — S(x).
2. Дадим аргументу х приращение Az = dx (х + Ах 6 [а; />]). Функ-
ция 5 = S(x) получит приращение AS, представляющее собой площадь
«элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).
Дифференциал площади dS есть главная часть приращения AS
при Az —> 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основа-
нием dx и высотой у. dS = у • dx.
279
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = Ь,
ь
получаем S = j у dx.
а
Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже»
оси Ох (/(ж) < 0), то ее площадь может1'быть найдена по формуле
Рис 174
ь
S = — у у dx. (41-2)
а
Формулы (41.1) и (41.2) можно
объединить в одну:
у dx
Площадь фигуры, ограниченной
кривыми у = fi(x) и у = /2(ж), пря-
мыми х = а и х = b (при условии /г^) /1(т)) (см. рис. 174), можно
найти по формуле
Рис 175
Рис 176
Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), то
прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так,
чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d,
осью Оу и непрерывной кривой х = ip(y) 0 (см. рис. 176), то ее
d
площадь находится rfo формуле S = j xdy.
С
280
И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, за-
данной параметрически
х = x(t),
У = y(t),
t е [а; /3],
прямыми х — а и х = b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле
S =
0
У y(t)
где а и (3 определяются из равенств х(а) = а и x(J3) = b.
Пример 41.1. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и
графиком функции у = х2 — 2х при х 6 [0; 3].
Q Решение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 177. Нахо-
дим ее площадь S:
2 з
S = — у (х2 — 2х) dx + у (х2 — 2х) dx =
о 2
8 , 27 8 „ ,8 п2
-----И 4 Ч--------9 + 4= - = 2-.
3 3 3 3 3
Пример 41-%- Вычислить площадь фигуры, ограниченной элли-
псом х = a cos t, у = b sin t.
Q Решение: Найдем сначала 1 площади S. Здесь х изменяется от 0
до а, следовательно, t изменяется от до 0 (см. рис. 178). Находим:
-S = у bsmt • (—asint)dt = — ab j sin2 tdt =
тг/2 tt/2
281
, w/2 1. i » i-,
tzo с , \ , ab / I £ 1 л 12 \ ttciu
= - f (l-coS2t)dt=-(t\0 --sin2^) = —.
0
Таким образом, Значит, S = тгаЬ. •
Полярные координаты
Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры,
ограниченной непрерывной линией г = г (93) и двумя лучами 93 = а и
99 = /3 (а < /3), где г и 99 — полярные координаты (см. рис. 179). Для
решения задачи используем схему II — метод дифференциала.
1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла ср,
т е. S = S(p), где a р fl (если р = а, то S(a) = 0, если99 = fl, то
ЭД = S)
2 Если текущий полярный угол р получит приращение А 93 = dp,
то приращение площади AS равно площади «элементарного криволи-
нейного сектора» О АВ.
Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения
AS при dp —> 0 и равен площади кругового сектора О АС (на рисун-
ке она заштрихована) радиуса г с центральным углом dp. Поэтому
dS = 1г2 • dp.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от р = а до р = fl,
получим искомую площадь
S = f Лр) dp.
Рис. 179
Пример 41-3- Найти площадь фигуры, ограниченной «трехле-
пестковой розой» г = асоз39? (см. рис. 180).
282
Q Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «ро-
зы», т. е. i часть всей площади фигуры:
1 1 7r/6 i
gS = - У (a cos З93)2 dip = —a2
0
а" , |7г/б
= уМо
7г/6 i
J -(1 + cos 699) dip =
0
+ ^sin69</6) =
a2 7Г
T(6
7ГО2
IT’
1 2 2
т. е. Следовательно, S =
Если плоская фигура имеет «сложную»
форму, то лучами, выходящими из полюса, ее
следует разбить на криволинейные секторы, к
которым применить полученную формулу для
нахождения площади. Так, для фигуры, изо-
браженной на рисунке 181, имеем.
1 /
Г1 d‘P~2Jr2 d<fi'
/з
Р
о
Рис 181
41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ,
уравнение которой у = f(x), где а х Ь.
pgj Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится
длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев
ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стре-
мится к нулю.
Покажем, что если функция у = /(х) и ее производная у' = f'(x)
непрерывны на отрезке [а; Ь], то кривая АВ имеет длину, равную
ь
I = J л/1 + (f'(x)ydx.
а
(41-3)
Применим схему I (метод сумм).
1. Точками Xq = a, Xi, .., хп = b (яд < яд < ... < ;rn) разобьем
отрезок [а; Ь] на п частей (см. рис. 182). Пусть этим точкам соответ-
ствуют точки Мо = A, Mi,..., Мп = В на кривой АВ. Проведем хорды
MqMi, М1М2, , Mn^iMn, длины которых обозначим соответствен-
но через ДВ1, ДВг, • • •, ^Ln. Получим ломаную М0М1М2 . . Mn-iMn,
п
длина которой равна Ln — Z\£i + ZXL2 4- ... +
?=1
283
Рис 182
2. Длину хорды (или звена ломаной) АД можно найти по теореме
Пифагора из треугольника с катетами Дтг и Ду,:
ДД = У(Джг)2 + (Д?/г)2,
где Дхг = xt — A-i, Ду, = /(х,) — /(хг_1). По теореме Лагранжа о
конечном приращении функции Ду, = /'(с«) ' ^xi, где Q £ (яЧ-Н^г)-
Поэтому
ДД = 7(ДД2 + (/'(с,) • Д^)2 = \Л + (/'(с,))2 • Д*„
а длина всей ломаной MqMi ... Мп равна
п п
Ln = £ ДД = 52 v/1 + (/'(Сг))2 • Д^г. (41.4)
г~1 г~1
3. Длина I кривой АВ, по определению, равна
п
I = lim Ln = lim > ДД.
max Д£г—>0 max Д1/г—>0
г=1
Заметим, что при ДД-»0 также и Дж,—>0 (ДД = уДжД2 + (Д?/1)2 и,
следовательно, |Джг|< ДД). Функция ^/1 + (/'(ж))2 непрерывна на от-
резке [а; &], так как, по условию, непрерывна функция Следова-
тельно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда
max Дж,->0:
п Ъ
1 = n IS Vх1 + (/'(С*))2Да;г = [ (f'(XW dx-
max Д/г->0 J
(n—>oo) г~ 1 a
b
Таким образом, I = / ^/1 + (/'(a;))^ dx, или в сокращенной записи I =
<z •
= IV1 + (y'x)2dx-
a
284
Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме
х = x(t),
у = y(t),
a ^t /3,
где x(t) viy(t) — непрерывные функции с непрерывными производными
и х(а) = а, ж(/3) = Ь, то длина I кривой АВ находится по формуле
0
f \Z(^'G))2 + (у'И)2 dt.
(41-5)
Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой
х = x(t), dx = x'(t) dt, f'(x) = .
Пример 41-4- Найти длину окружности радиуса R.
Решение: Найдем часть ее длины от точки
(0;7?) до точки (R; 0) (см. рис. 183). Так как у =
= \/R2 — ж2, то
1 Г I X2 Т I 7Г
-I = \/1 + ™------7 dx = R • arcsin - = R~.
4 J V R2 — x2 R Io 2
У
Рис. 183
о
Значит, I = 2irR. Если уравнение окружности запи-
сать в параметрическом виде х = R cos t, у = R sin t
2tt
l = J у/(—7?sin t)2 + (7? cos t)2 dt = T?t|27r = 2-irR. •
о
Вычисление длины дуги может быть основано на применении ме-
тода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3),
применив схему II (метод дифференциала).
1. Возьмем произвольное значение х £ [а; Ь] и рассмотрим перемен-
ный отрезок [а; ж]. На нем величина I становится функцией от х, т. е.
I = l(x) (1(a) = 0 и 1(b) = I).
2. Находим дифференциал dl функции I = 1(х) при изменении х на
малую величину Дж = dx: dl = l'(x)dx. Найдем l'(x), заменяя беско-
нечно малую дугу MN хордой Д/, стягивающей эту дугу (см. рис. 184):
l'(x) = lim ——
Дж->0 Дж
r vW)2 + (Ду)2
пт —-----------------
Дж—>0 Дж
Стало быть, dl = у/1 + (у'х)2 dx.
285
3. Интегрируя dl в пределах от а до Ь, получаем I = J у 1 + ух2 dx.
а
Равенство dl = ^/1 + у'х2 dx называется формулой дифференциа-
ла дуги в прямоугольных координатах.
Так как ух = то
dl = y/(dx)2 + (dy)2.
Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для беско-
нечно малого треугольника МСТ (см. рис. 185).
Рис. 184
Рис 185
Полярные координаты
Пусть кривая АВ задана уравнением в поляр-
ных координатах г = г(</з), а р 0. Предположим, что г(р) и г'(р)
непрерывны на отрезке [а; /?].
Если в равенствах х = г cosip, у = г sin р, связывающих полярные
и декартовы координаты, параметром считать угол р, то кривую АВ
{х = r(p) cos р,
Тогда
у = r(p) sin р.
{х', = г' (р) cos р — r(p)sYnp,
у' = г' (р) sin 93 + r(p) cos р.
Поэтому
У^Ю2 + {y'v)2 =
= у/(r'(p) cos р — r(p) sin р)2 + (r'(p) sin р + r(p) cos р)2 =
= + (ГЫ)2-
286
Применяя формулу (41.5), получаем
Пример 41.5. Найти длину кардиоиды г = а(1 + cos 93).
Q Решение: Кардиоида г = а(1 + cos 99) имеет вид, изображенный на
рисунке 186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем по-
ловину длины кардиоиды:
= у" у/(а(1 + cos 93))2 + (а(— sin 99))2 <^99 = aj у/% + 2 cos99 (/99 =
о о
7Г I---------- 7Г
// _ „ 99 С :-Р 9? |7Г
02-2 cos2 — dip = 2а у cos — dp = 4а • sin — | = 4а
о v о
Таким образом, ^1 = 4а. Значит, I = 8а
Рис 186
Рис 187
41.4. Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных
сечений
Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S
сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси,
например оси Oxi S = S(x), а х Ь.
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку х £ [а; Ь] проведем плоскость П, пер-
пендикулярную оси Ох (см. рис. 187). Обозначим через S(x) площадь
287
сечения тела этой плоскостью; S (ж) считаем известной и непрерывно
изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части те-
ла, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х]
величина v есть функция от х, т. е. v = и(ж) (и(а) = 0, v(b) — V).
2. Находим дифференциал dV функции v — v(x). Он представляет
собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными
плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и ж + Дж, который при-
ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S (ж) и высотой
dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.
3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пре-
делах от а до Ь: --------------
V = у 5(ж) dx.
(41-6)
Полученная формула называется формулой объема тела по
площади параллельных сечений.
2 2 2
Пример 41-6. Найти объем эллипсоида + % = 1-
Q Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости
Oyz и на расстоянии х от нее (—а х а), получим эллипс (см.
рис. 188):
(41.6), имеем
Рис. 188
Площадь этого эллипса равна S(x) =
= 7гЬс( 1 — ^1. Поэтому, по формуле
// Х“\ 4
(1-----= I dx — -тгаЪс. •
\ а2 / 3
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, огра-
ниченная непрерывной линией у = /(ж) 0, отрезком а ж b и
прямыми ж = а и ж — b (см. рис. 189). Полученная от вращения фигура
называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпен-
дикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку ж оси Ох
(х 6 [а; Ь]), есть круг с радиусом у = f(x). Следовательно, 5(ж) = тгу2.
Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных
сечений, получаем -------------
ь
Vx = тг у2 dx.
(41-7)
288
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной
функции х = 93(2/) 0 и прямыми х = 0, у = с, у = d (с < d), то
объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по
аналогии с формулой (41.7), равен
Рис. 189
Рис. 190
(41-8)
Пример 41.7. Найти объем тела, образованного вращением фи-
гуры, ограниченной линиями у — , х — 0, у = 2\/2 вокруг оси Оу (см.
рис. 190).
Q Решение: По формуле (41.8) находим:
2V2
Vy = к I ^ydy = 7ry2\2Q 2=8я. •
о
41.5. Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции у = /(ж) 0, где
х е [а;Ь], а функция у — f(x) и ее производная у' = f'(x) непрерывны
на этом отрезке.
Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой
АВ вокруг оси Ох.
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку х G [а; Ь] проведем плоскость П, пер-
пендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность враще-
ния по окружности с радиусом у = f(x) (см. рис. 191). Величина S
поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, явля-
ется функцией от х, т. е. s = s(a:) (s(a) = 0 и s(b) = S).
] 0 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
289
2. Дадим аргументу х приращение Дж — dx. Через точку х + dx 6
6 [а; 6] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция
s = s(x) получит приращение Дз, изображенного на рисунке в виде
«пояска».
Sx
Найдем дифференциал площади ds, за-
меняя образованную между сечениями фи-
гуру усеченным конусом, образующая кото-
рого равна dl, а радиусы оснований равны у
и у + dy. Площадь его боковой поверхности
равна ds = тг(у + у + dy) dl = 2тп; dl + ~dydl.
Отбрасывая произведение dy dl как беско-
нечно малую высшего порядка, чем ds, по-
лучаем ds = 2тгу dl, или, так как dl =
= V1 + (.y'x)2dx> то ds = 2тгу д/1 + (у'х)2 dx.
3. Интегрируя полученное равенство в
пределах от х = а до х = Ь, получаем
ь
= 27г J у • у/1 + (ух)2 dx. (41.9)
а
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t), у =
= y(t), I ^2, то формула (41.9) для площади поверхности враще-
ния принимает вид
*2
sx = 2тг f y(t) • ^(z'(i))2 + (y'G))2 dt.
ti
Пример 41-8. Найти площадь поверхности шара радиуса R.
Q Решение: Можно считать, что поверхность шара образована враще-
нием полуокружности у = л/Д2 — х2, —R Sj х R, вокруг оси Ох. По
формуле (41.9) находим
R
— 2тг J у/R2 — х2 + х2 dx = 2тг Д • х | = 4тгR2. •
— R
Пример 41-9.
Дана циклоида
X = a(t — sini),
у = а(1 — cos t),
О t 2тг.
290
Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг
оси Ох.
Q Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох
площадь поверхности вращения равна
-Sx = 2тг J а(1 — cost) • д/(а(1 — cos t))2 + (a sin t)2 dt =
о
. 2 t
2 sm2 -
2
x/l — 2 cos t + cos2 t + sin2 t dt =
= 4тга2 f sin2 - • д / 2 • 2 sin2 - dt = 87га2 f sin2 - • sin - dt =
J 2 V 2 J 2 2
о 0
2 7/ ->t\ t\ 2/ t r COS3 4 I
= —87га2 -2 / 11 — cos2 - I dI cos - I = - 1б7га2 (cos ----------- )
J \ 27 \ 27 \ 2 Io 3 Io7
0
_ 2 n M . z, •>( 2\ 32тга
= — 16тга210 — 1 — 0 + - J = — 16тга2( — - j = ——-
\ О / x о' О
т. е. -^Sx = ^утга2. Следовательно, Sx = ^у7га2.
41.6. Механические приложения определенного
интеграла
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей-
ствием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой
оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из поло-
жения х = а в положение х = b (а < &), находится по формуле
ь
А = jF(x)dx (41.10)
(см. п. 36). “
Пример 41.10. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть
пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?
Q Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину,
пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = кх, где к — коэффи-
циент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н
растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = к-0,01, откуда
к = 10000; следовательно, F = ЮОООж.
291
Искомая работа на основании формулы (41.10) равна
0,05
А = j lOOQOxdx = 5000z2|J’05 = 12,5 (Дж),
о
Пример ^1.11. Найти работу, которую необходимо затратить,
чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндриче-
ского резервуара высоты Н м и радиусом основания R м.
Q Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высо-
ту h, равна р h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся
на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) раз-
личных слоев не одинакова.
Для решения поставленной задачи
применим схему II (метод дифференциа-
ла). Введем систему координат так, как
указано на рисунке 192.
1. Работа, затрачиваемая на выкачи-
вание из резервуара слоя жидкости тол-
щиной х (0 х sj /Г), есть функция от ж,
т. е. Л = Л(ж), где 0 х <: Н (Л(0) = 0,
Л(Я) = Ло).
2. Находим главную часть прираще-
ния ДЛ при изменении х на величину
Дж = dx, т. е. находим дифференциал dA
функции Л (ж).
Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидко-
сти находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 192).
Тогда dA = dp-x, где dp — вес этого слоя; он равен g-ydv, где g — уско-
рение свободного падения, у — плотность жидкости, dv — объем «эле-
ментарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dp = tj'ydv.
Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен "R2 dx, где dx — вы-
сота цилиндра (слоя), "R2 — площадь его основания, т. е. dv = tiR2 dx.
Таким образом, dp = gy • irR2 dx и dA = gyitR2 dx x.
3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н,
находим „
л |
А = J gyKR2xdx = -gyxR2H2 (Дж),
о
Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной
скоростью v = v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток
времени от ti до
292
Q Решение: Из физического смысла производной известно, что при
движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного дви-
жения равна производной от пути по времени», т. е. v(t) = Отсюда
следует, что dS = v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах
от до i2, получаем S = J v(t)dt. 9
ti
Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой
I или II применения определенного интеграла.
Пример 41-12. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от
начала движения, если скорость тела v(t) = 10/, + 2 (м/с).
Q Решение: Если v(t) = 10/ + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от
начала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен
4
S = J\10t + 2)dt = 5t2|g +2t|o = 80 + 8 = 88 (м). •
о
Давление жидкости на вертикальную пластинку
По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пласти-
ну равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку,
а высотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жид-
кости, т. е. Р = д • 7 • S • h, где д — ускорение свободного падения,
7 — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h — глубина ее
погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикаль-
но погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных
глубинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная
линиями х = а, х = b, yi = /1(ж) и у? = /г(ж); система координат
выбрана так, как указано на рисунке 193. Для нахождения давления Р
жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).
1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(ж),
т. е. р = р(х) — давление на часть пластины, соответствующее отрезку
[а; ж] значений переменной х, где х 6 [а; 6] (р(а) = 0, p(b) = Р).
2. Дадим аргументу х приращение Az = dx. Функция р(х) полу-
чит приращение Др (на рисунке — полоска-слой толщины dx). Найдем
дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближен-
но считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся
на одной глубине х, т. е. пластинка эта — горизонтальная.
Тогда по закону Паскаля dp = g • 7 (у2 — У1) dx • х .
a h
293
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = Ь,
получим
Рис 193
Рис 194
Пример 41-13. Определить величину давления воды на полу-
круг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр
О находится на свободной поверхности воды (см. рис. 194).
Q Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения да-
вления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пла-
стинка ограничена линиями у у = —\/R2 — х2, у? = -J R2 — ж2, х = О,
х = R. Поэтому
R
Р = gy J (\/Р? — х2 ~ [—\/R2 ~x2))xdx = 1
о
R ________ R
= 2ду J \/R2 - х2х dx = 2ду • ) j\R2 - х2)1/2 d(R2 - х2) =
о о
2л/(Л2 -z2)3|fl 2 ,п 2 „
= -97--------й------1 = -х97(0 - R ) = Д97-В • •
о I о 3 3
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести
плоской кривой
Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек
yi), Mz(x2', У2), • • •, Мп(хп;уп) соответственно с массами
..., тп.
294
Статическим моментом Sx системы материальных точек отно-
сительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на
п
их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ox): Sx = -уг.
г=1
Аналогично определяется статический момент Sy этой системы
п
относительно оси Оу: Sy = ^тг xt.
7=1
Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой
кривой, то для выражения статического момента понадобится интегри-
рование.
Пусть у = f(x) (а х Ь) — это уравнение материальной кривой
АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью
у (7 = const).
Для произвольного х 6 [а, &] на
кривой АВ найдется точка с коорди-
натами (х;у). Выделим на кривой эле-
ментарный участок длины dl, содер-
жащий точку (х,у). Тогда масса этого
участка равна ydl. Примем этот уча-
сток dl приближенно за точку, отстоя-
щую от оси Ох на расстоянии у. Тогда
дифференциал статического момента
dSx («элементарный момент») будет
равен ydl - у, т. е. dSx = ydl • у (см.
рис. 195).
Отсюда следует, что статический момент Sx кривой АВ относи-
тельно оси Ох равен
Sx=y^ydl = yjy - У1 + (у'х)2 dx.
Аналогично находим S„: а
н ь
Sy = 7lx - V1 + (y'x)2dx-
Статические моменты 5жаи Sy кривой позволяют легко установить
положение ее центра тяжести (центра масс).
Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(x), х 6
6 [а; Ь] называется точка плоскости, обладающая следующим свой-
ством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой,
то статический момент этой точки относительно любой координатной
оси будет равен статическому моменту всей кривой у = f(x) относи-
тельно той же оси. Обозначим через С(хс',ус) центр тяжести кривой АВ.
Из определения центра тяжести следуют равенства т • хс = Sy и
S S
т • ус = Sx или yZ хс = Sy и 7Z • ус — Sx. Отсюда хс — , ус = или
295
ь
f xdl
a_____
l
fx- y/1 + (y'J2 dx
a_____________
b
f У1 + Ш2^
a
J У dl
b
f У у/1 + Ш2Лх
a
J у/1 + (У%)2 dx
a
Пример 1.14. Найти центр тяжести однородной дуги окружно-
сти х2 + у2 = R2, расположенной в первой координатной четверти (см.
рис. 196).
Рис. 196
Рис. 197
Q Решение: Очевидно, длина указанной дуги окружности равна
т. е. I = Найдем статический момент ее относительно оси Ох. Так
как уравнение дуги есть у = y/R2 — х2 и у'х = , , то (7 = const)
VR2 — х2
= 7 f у/R2 -х2 -j=^== dx = yR у /dx = yRx\f = yR2.
0 v 0
Стало быть, Sx yR2 _ 2R
Ус 7 • '
Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы перво-
го координатного угла, то хс = ус = Итак, центр тяжести имеет
координаты •
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести
плоской фигуры
Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограничен-
ная кривой у = f(x) 0 и прямыми у = 0, х = а, х = Ь (см. рис. 197).
296
Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна
ь
(7 = const). Тогда масса всей пластинки равна 7-S, т. е. т = yj f(x)dx.
а
Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой
вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоуголь-
ником.
Тогда масса его равна 7 • у dx. Центр тяжести С прямоугольника
лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка С от-
стоит от оси Ох на а от оси Оу на х (приближенно; точнее на
расстоянии х + ^Ах). Тогда для элементарных статических моментов
относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения
dSx = 7 • ydx • —у = ^7 • у2 dx и dSy = 7 • у dx • х = уху dx.
ь ь
Следовательно, Sx = J у2 dx, Sy = 7 J xydx.
a a
По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты
центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(жс;ус), что
т • хс = Sy, т • ус = Sx. Отсюда
Sy Sy Sх Sx
хс = — = —и ус = — = —-
т yS т yS
или ь ь
f xydx j f у2 dx
J ydx fydx
a a
Пример 41.15. Найдем координаты центра тяжести полукруга
х2 + у2 R2, у 0 (7 = const) (см. рис. 198).
Q Решение: Очевидно (ввиду симметрии
фигуры относительно оси Оу), что хс = 0.
Е>2
Площадь полукруга равна 2^. Нахо-
дим Sx:
Рис. 198
Sx = ^7 У (\Л?2 ~ х2)2 dx =
-R
Q
3
= ^7(Я2ж
= Т(Я’ + Я’-^-^) = 7.|я».
297
Стало быть,
Sx _ 27Д3 _ 4 R
7S 37^ 3 7Г ’
(4 7? \
0; I.
o7T /
§42. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
b
Пусть требуется найти определенный интеграл f f(x) dx от непре-
а
рывной функции /(ж). Если можно найти первообразную F(x) функции
/(ж), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
ь
У f(x)dx = F(b) - F(a).
а
Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кро-
ме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее перво-
образная выражается через элементарные функции. В этих и других
случаях (например, функция у = /(ж) задана графически или таблич-
но) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых опре-
деленный интеграл находится с любой степенью точности.
Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближен-
ного вычисления определенного интеграла — формулу прямоугольни-
ков, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на
геометрическом смысле определенного интеграла.
42.1. Формула прямоугольников
Пусть на отрезке [а; &], а < Ь, задана непрерывная функция f(x).
ъ
Требуется вычислить интеграл J f(x) dx, численно равный площади
а
соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой
трапеции, т. е. отрезок [а; 6], на п равных частей (отрезков) длины
h = ~ а = хг — жг_1 (шаг разбиения) с помощью точек ж о = а,
Ж1, Жг,.. •, хп = Ь. Можно записать, что хг = Xq + h • г, где г = 1, 2,..., п
(см. рис. 199).
В середине сг = Хг каждого такого отрезка построим орди-
нату уг = f(ct) графика функции у = f(x). Приняв эту ординату за
высоту, построим прямоугольник с площадью h • уг.
298
Рис. 199
Тогда сумма площадей всех п прямоугольников дает площадь сту-
пенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение ис-
комого определенного интеграла
S , п
( f(x)dx « h{yx + Й2 + • . + yn) = ----------~ С42-1)
</ 'Th \ i f
а
Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольни-
ков.
Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оцени-
вается с помощью следующей формулы:
(& - а)3 • М2
24п2
1де Л/2 — наибольшее значение |/"(а:)| на отрезке [а; Ь],
Отметим, что для линейной функции (/(ж) = kx + b) формула (42.1)
дает точный ответ, поскольку в этом случае /”(ж) = 0.
42.2. Формула трапеций
Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольни-
ков: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяет-
ся обычной.
Разобьем отрезок [а; &] на п равных частей длины h = а. Аб-
сциссы точек деления а = Хо, Xi , х?. • • , b = хп (рис. 200). Пусть уд,
Ух,... ,у„ — соответствующие им ординаты графика функции. Тогда
299
У
Рис. 200
расчетные формулы для этих значений примут вид хг = а + h i, уг =
= г = 0,1,2,... ,п; Л = ~ Q.
Заменим кривую у = f(x) ломаной линией, звенья которой соеди-
няют концы ординат у, и yl+i (г = 0,1,2,... ,тг). Тогда площадь кри-
волинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных
трапеций с основаниями уг, y,+ i и высотой h = Ъ — а.
ь
У0 + У1 , , У1 + У2
Уп—1 + Уп ,
или
ь
J f(x)dx
Ь-а/у0+уп \
' п (------Ь Vi + У2 + • • • + З/п-1 )
(42.2)
2
Формула (42.2) называется формулой трапеций.
Абсолютная погрешность Rn приближения, полученного по фор-
муле трапеций, оценивается с помощью формулы |7?„| • М2,
где М2 = max |/"(ж)|. Снова для линейной функции у = кх + b фор-
мула (42.2) — точная.
42.3. Формула парабол (Симпсона)
Если заменить график функции у — f(x.) на каждом отрезке
[zj-ijZj] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и
прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную форму-
ь
лу приближенного вычисления интеграла J f(x) dx.
а
300
Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, огра-
ниченной сверху графиком параболы у = ах2 +Ьх +с, сбоку — прямыми
х = —h, х = h и снизу — отрезком [—/г; /г].
Пусть парабола проходит через три точ-
ки Mi(-h;y0), М2(0;г/х), М3(/г;г/2), где у0 =
= ah2 — bh + с — ордината параболы в точке
х = —h; yi ~ с — ордината параболы в точке
х = 0; У2 = ah2 + bh + с — ордината парабо-
лы в точке х = h (см. рис. 201). Площадь S
равна
Рис. 201
h
S = у (ах2 + bx + с) dx =
— h
= |a/i3 + 2ch. (42.3)
Выразим эту площадь через /г, уд, yi, У2- Из равенств для ординат уг
находим, что с = yi, а = ~ + У2)- Подставляя эти значения с
и а в равенство (42.3), получаем
2 , 1
S = дЛ тт^(г/о - 2z/i + у2) + 2h-yt =
о £ГЬ
= ^(уо - 2yi + г/2) + 2/ij/i = ~(г/о + 4 г/, + у2). (42.4)
ь
Получим теперь формулу парабол для вычисления интегралаjf (х) dx.
а
Для этого отрезок [а; 6] разобьем на 2п равных частей (отрезков)
длиной h = точками хг = хд + ih (г = 0,1,2,..., 2тг). В точках
£Т1
деления а -- Хд, xi, х2,. •, х2п-2, x.2n i, х2п = b вычисляем значения
подынтегральной функции f(x): у0, уг, у2,..., у2п-2, У2п-1, у2п, где
Уг = (см. рис. 202).
Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных
трапеций с основаниями, равными /г, одной элементарной параболиче-
ской трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [xq; х2] парабола
проходит через три точки (хд^уо), (xi;j/x), (х2;у2). Используя форму-
лу (42.4), находим
f2 h
Si = J f(x) dx = -(г/о + 4г/х + г/2).
301
Рис 202
Аналогично находим
/4 h
S‘2= J /И dx = -(2/2 + 4уз + 2/4), • • ,
х2
Xfn h
Sn= J f(x)dx = -(У211--2 +4y2n-l + У2п\
^2n-2
Сложив полученные равенства, имеем
г h
J /(ж) dx « ~(у0 + 4уг + 2у2 Н---+ 2у2п-2 + 4j/2n-i + J/2n)
а
или
ь Ь-а
[ f(x)dx « —----((уо + У2п) + 4(2/! + 2/3 + • • + 1/2п-1) +
J on X
+ 2(//2 + 2/4 +'•••+2/2п-г)^ • (42.5)
Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).
Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценива-
ется соотношением
l-Rnl 79^(4 ’ М4, где М4 = max \fIV(x)\.
loU • a^x^b
b
Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла f f (х) dx
а
во всех случаях, когда /(х) — многочлен, степень которого меньше или
равна трем (тогда fIV = 0).
302
2
Пример 42.1. Вычислить J х3 dx, раз-
fl
бив отрезок интегрирования [0; 2] на 4 части.
Q Решение: Имеем: /(х) = х3,
п t п , Ъ — а 2 1
а = хо = 0: о = х± = 2, h = ----- = - =
п 4 2
х0 = 0, уо = 0; Xi = yi = -: х2 = 1, у2 = 1;
2 о
3 27
х3 = X, Уз = V’ ж4 = 2, 7/4 = 8;
Z о
(см. рис. 203)
а) по формуле прямоугольников:
1 1 3 27
С1 = 4’ = С2 = 4’ У2 = 6~4’
5 125 7 343
Сз=4’ Уз = "бТ; С4=4’ У,= 1Г'
Рис 203
1 / 1
2 \64 +
27 125
64 + 64
= 3,875, т. е.
2
У х3 dx » 3,875;
О
б) по формуле трапеции:
2 2
f х3 dx » i & + i + 1 + = 4,25, т. e. Г x3 dx » 4,25;
J 2 \ 2 8 8 / J
о о
в) по формуле парабол:
[ x3 dx « (o + 8 + 4(J + + 2 1) = 4,
J O’Zx \о о / /
О
т. е.
Точное значение интеграла j х3 dx = ^-| =4.
о
Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы:
а) 0,125; б) 0,25; в) 0.
Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Лекции 34-36
Функции одной независимой переменной не охватывают все зави-
симости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить из-
вестное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функ-
ции нескольких переменных.
Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важ-
нейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются
уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай
большего числа переменных. Кроме того, для функций двух перемен-
ных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.
§43 . ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
43.1. Основные понятия
р5| Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Со-
ответствие /, которое каждой паре чисел (ж:?/) G D сопоставляет
одно и только одно число г € Ж, называется функцией двух пере-
менных, определенной на множестве D со значениями в Ж, и записы-
вается в виде z = f(x;y) или f : D —> Ж. При этом х и у называются
независимыми переменными (аргументами), аг — зависимой пере-
менной (функцией).
Множество D = D(f) называется областью определения функции.
Множество значений, принимаемых г в области определения, называ-
ется областью изменения этой функции, обозначается или Е.
Примером функции двух переменных может служить площадь S
прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S — ху.
Областью определения этой функции является множество {(х; у) | х >
>0, у>0}.
Функцию z = где (х; у) е D можно понимать (рассматри-
вать) как функцию точки М(х:у\ координатной плоскости Оху.
В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее
часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую
область, называют границей области. Точки области, не лежащие
на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних
внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной
к ней границей называется замкнутой, обозначается I). Примером
замкнутой области является круг с окружностью.
304
Значение функции z — f(x-,y) в точке Мо(хо;уо) обозначают zq =
= /(zo'jUo) или zq = f(M0) и называют частным значением функции.
Функция двух независимых переменных допускает геометрическое
истолкование. Каждой точке Мо(хо] Уо) области D в системе координат
Oxyz соответствует точка M(xlt: Уо', ^о), где Zq = f(xo; уо) — аппликата
точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некото-
рую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную
функцию z = f(x; у).
Например, функция z = у/1 — х2 — у2 имеет областью определения
круг х2 + у2 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке
0(0;0;0) и радиусом R = 1 (см. рис. 204).
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, мо-
жет быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графи-
ком. Будем пользоваться, как правило аналитическим способом: когда
функция задается с помощью формулы.
Рис. 204 Рис. 205
43.2. Предел функции
Для функции двух (и большего числа) переменных вводится по-
нятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции
одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех
точек М(ж; у) плоскости, координаты которых удовлетворяют нера-
венству у/(х — ж0)2 + (у — уо)2 < 3, называется 3-окрестностью точки
Мо(хо;уо). Другими словами, J-окрестность точки Мо — это все вну-
тренние точки круга с центром Мо и радиусом 3 (см. рис. 205).
р5| Пусть функция z — f(x: y) определена в некоторой окрестности
точки Мо(хо’,Уо), кроме, быть может, самой этой точки. Число А
называется пределом функции z — f(x; у) при х —> хо и у —> уо (или,
что то же самое, при М(х\у) —> Мо(хо; Уо)), если для любого е > 0
существует 3 > 0 такое, что для всех х А хо и у А Уо и удовлетворяю-
305
щих неравенству -^/(ж — х0)2 + (г/ — ?/о)2 < 8 выполняется неравенство
|/(ж;г/) — А| < г. Записывают:
А= lim f (х; ц) или А = lim f(M).
у->уо
Из определения следует, что если предел’ существует, то он не зависит
от пути, по которому М стремится к Мо (число таких направлений
бесконечно; для функции одной переменной х —> xq по двум направле-
ниям: справа и слева!)
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит
в следующем. Каково бы ни было число е > 0, найдется ^-окрестность
точки M0(xq-, у0), что во всех ее точках М(х\ у), отличных от Мо, ап-
пликаты соответствующих точек поверхности z = f(x;y) отличаются
от числа А по модулю меньше, чем на г.
ж2 - и2
Пример 43.1. Найти предел lim А----
X +у
Q Решение: Будем приближаться к 0(0; 0) по прямой у = кх, тде к -
некоторое число. Тогда
2 2
X ~У ..
-г.---7 = lim
I Т.__кП
х2 — к2х2 1 — fc2 1 — fc2
х2 + к2у2 z-»o 1 + fc2 1 + к2
lim
х—>0
у-Ю
,2
х2 - W2
Функция z — —j—в точке 0(0; 0) предела не имеет, т. к. при разных
ж -к у
значениях к предел функции не одинаков (функция имеет различные
предельные значения). *
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогич-
ными свойствам предела функции одной переменной (см. п. 17.3). Это
означает, что справедливы утверждения: если функции f(M) и д(М)
определены на множестве D и имеют в точке Мо этого множества пре-
делы А и В соответственно, то и функции f (М) ± р(М), f(M) д(М),
7- 0) имеют в точке Мо пределы, которые соответственно
равны А ± В, А • В, 4 (В 0).
43.3. Непрерывность функции двух переменных
Функция z = f(x; у) (или /(М)) называется непрерывной в точ-
ке Мо(хо-,уо), если она:
а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
б) имеет предел f(M),
306
в) этот предел равен значению функции z в точке Л/о. т. е.
=/(-^о) или lim = f(x0;y0).
M—^Mq ж—>ло
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, назы-
вается непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность
нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности
функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точ-
ки разрыва z = f(x;y) могут образовывать целые линии разрыва. Так,
2
z = —имеет линию разрыва у = х.
Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определе-
ние непрерывности функции z = /(х; у) в точке. Обозначим Дх = х—х0,
Ау = У ~ Уо, Az = f(x-y) — /(х0;у0). Величины Дх и Дт/ называются
приращениями аргументов х и у, a Az - полным приращением функ-
ции f(x-,y) в точке Мо(хо\уо).
Функция z = f(x;y) называется непрерывной в точке ЛМ-Гол/о) €
€ D. если выполняется равенство lim Az = 0, т. е. полное прира-
Дт —>0
Ду—>0
щение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее
apiументов х и у стремятся к нулю.
Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах,
можно доказать, что арифметические операции над непрерывными
функциями и построение сложной функции из непрерывных функций
приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место
для функций одной переменной (см. п. 19.4).
43.4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной
замкнутой области
Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкну-
той области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функ-
ций одной переменной — см. п. 19.5). Предварительно уточним понятие
области.
Областью называется множество точек плоскости, обладающих
свойствами открытости и связности.
Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с
некоторой окрестностью этой точки.
Свойство связности: любые две точки области можно соединить
непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.
Точка No называется граничной, точкой области D. если она не
принадлежит D, но в любой окрестности ее лежат точки этой обла-
сти (см. рис. 206). Совокупность граничных точек области D называет-
307
ся границейD.
ся замкнутой
Рис. 206
Область D с присоединенной к ней границей называет-
областью, обозначается D . Область называется огра-
ниченной, если все ее точки принадлежат некоторо-
му кругу радиуса R. В противном случае область на-
зывается неограниченной. Примером неограничен-
ной области может служить множество точек перво-
го координатного угла, а примером ограниченной —
J-окрестность точки Мо(хо;уо).
Теорема 43.1. Если функция z — f(N) непрерывна в ограниченной
замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. суще-
ствует такое число R > 0, что для всех точек N в этой области выпол-
няется неравенство )/(Ar)| < R; б) имеет точки, в которых принимает
наименьшее т и наибольшее М значения; в) принимает хотя бы в од-
ной точке области любое численное значение, заключенное между т
и М.
Теорема дается без доказательства.
§44 . ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
44.1. Частные производные первого порядка и их
геометрический смысл
Пусть задана функция z = Так как хну — независимые
переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое
значение. Дадим независимой переменной х приращение Дт, сохраняя
значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое назы-
вается частным приращением z по х и обозначается Джг. Итак,
Джг = f{x + Дт; у) - /(ж; у).
Аналогично получаем частное приращение z по у:
Lyz = f(x; у + Ду) - /(ж; у).
Полное приращение Дг функции z определяется равенством
Дг = /(ж + Дх;у + Ду) - f(x;y).
Если существует предел
lim = lim /О + £/) ~ /О? £/)
Дж-ю Дж Дж-»о Дж ’
308
то он называется частной производной функции z = f(x; у) в точке
М(х:у) по переменной х и обозначается одним из символов:
J hfdl
х' дх'1х’ дх'
Частные производные по х в точке Л/о(хо;?/о) обычно обозначают сим-
волами /'(ж0; г/0), /Ч .
I Мо
Аналогично определяется и обозначается частная производная от
z — f(x',y) по переменной у.
Z = lim = lim
у Ду Ду >о Ду
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех
и больше) переменных определяется как производная функции одной
из этих переменных при условии постоянства значений остальных неза-
висимых переменных. Поэтому частные производные функции /(ж; у)
находят по формулам и правилам вычисления производных функции
одной переменной (при этом соответственно х или у считается посто-
янной величиной).
Пример 44-1. Найти частные производные функции
z = 2у + ex2~v + 1.
Q Решение:
4 = (2у + ех2~У + 1)'ж = (2г/)' + (Z^)'a + (1)' =
= 0 + ех2-у (х2 - у)'х + 0 = ех2~у (2х - 0) = 2х • е*2"*';
4 = 2 + е-2-^.(_1).
Геометрический смысл частных
производных функции двух переменных
Г рафиком функции z = / (ж; у) яв-
ляется некоторая поверхность (см.
п. 12.1). График функции г = /(х;г/о)
есть линия пересечения этой поверх-
ности с плоскостью у = У(]- Исходя
из геометрического смысла произ-
водной для функции одной перемен-
ной (см. п. 20.2), заключаем, что
/X (aso; Уо) =tg ск, где а — угол ме-
жду осью Ох и касательной, прове-
денной к кривой z = f(x',yo) в точке
М0(х0-,у0;/(х0-,у0У) (см. рис. 207).
Аналогично, (ж0; j/0) = tg/3.
Рис. 207
309
44.2. Частные производные высших порядков
df(x‘y} df(x-y}
Частные производные ~ и Qy называют частными про-
изводными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от
(х;у) & D. Эти функции могут иметь частные производные, которые
называются частными производными второго порядка. Они определя-
ются и обозначаются следующим образом:
д дх ( dzy \<Эж, / дх2 = z"x = /"2(23 у);
д 1 f dz\ d2z
дх \ <ду) ду дх ^ху fху(.'^'>у}'!
а / 'dzX d2z
ду \ \дх ) дх ду %ух fyxfa > у) 1
= z'yV = f№;y\
д / dz \ d2z
ду \ду) ду2
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. поряд-
Татт — д I д2 z । д ( д3 z । _ d4z i-jh у _
’ хху ду \дх^ J ’ дх \дх ду дх ) дхдудх2'
(4) \
= ZJX*) И т. д.
|ф| Частная производная второго или более высокого порядка, взя-
тая по различным переменным, называется смешанной частной.
аЗ
производной. Таковыми являются, например, z"y, 2, z'xyx.
(У •Л-' '-'U
Пример 44-2. Найти частные производные второго порядка
функции z = х4 — 2х2у3 + у5 + 1.
Q Решение: Так как z'x = 4.г3 — 4жу3 и z'y = — Qx2y2 + 5г/4, то
4'у = (4ж3 - 4Ч/')у = — 12шг/2,
zyX = (~Ьх2у2 + 5/)^ = -Y2xy2.
Оказалось, что z" = z" •
Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приве-
дем без доказательства.
Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего поряд-
ка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отлича-
ющиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
В частности, для z = f(x',y) имеем:
d2z _ d2z
дх ду ду дх'
310
44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал
функции
Пусть функция z = j'(:r: y) определена в некоторой окрестности
точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:
Az = f(x + Ах; у + Ay) - f(x; у).
|^j Функция z = f(x;y) называется дифференцируемой в точке
М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно предста-
вить в виде
Az = А Ах + В Ау + а • Ах + (3 Ау, (44-1)
где а = а(Ах, Ау) —> 0 и /3 = /3(Ах,Ау) -> 0 при Ах —> 0, Ау —> 0.
Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой
главную часть приращения функции.
Главная часть приращение функции z = f(x;y), линейная относи-
тельно Ах и Ау, называется полным дифференциалом этой функции и
обозначается символом dz:
dz = А- Ах + В Ау. (44.2)
Выражения А-Дх и В-Ay называют частными дифференциалами.
Для независимых переменных х и у полагают Ах = dx и Ay = dy.
Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде
dz = А • dx + В • dy. (44.3)
Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости
функции). Если функция z = f(x;y) дифференцируема в точке
М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные произ-
водные и причем &- = А, тЛ = В.
дх ду г дх ду
□ Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место
равенство (44.1). Отсюда вытекает, что lim Az = 0. Это означает,
Ду—>0
что функция непрерывна в точке М. Положив Ау = 0, Ах 0 в
равенстве (44.1), получим: Axz = А Ах + а Ах. Отсюда находим
= А+а. Переходя к пределу при Ах —> 0, получим ^lim = -4:
т. е. = А. Таким образом, в точке М существует частная производ-
ная fx(x;y) = А. Аналогично доказывается, что в точке М существует
частная производная /' (х; у) = = В.
311
Равенство (44.1) можно записать в виде
. dz dz . , ,
Д/: = — Дх +--Д;!/+ 7. (44.4)
dx ду
где 7 = а • Дж + 0 Дт/ -> 0 при Дж —> 0, Дт/ -> 0.
Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывно-
сти функции или существования частных производных не следует диф-
ференцируемость функции. Так, непрерывная функция z = \/ж2 + у2
не дифференцируема в точке (0; 0).
Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления пол-
ного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:
(44.5)
dz dz
dz = —dx + — dy
dx dy
или
dz = dxz + dyz.
где dTz = ^dx, dyz = ^dy — частные дифференциалы функции
z = f(x;y).
Теорема 44.3 (достаточное условие дифференцируемости
функции). Если функция z = f(x-,y) имеет непрерывные частные
производные z'x и z'y в точке Л£(ж;у), то она дифференцируема в этой
точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).
Примем теорему без доказательства.
|@| Отметим, что для функции у = f(x) одной переменной существо-
вание производной /'(ж) в точке является необходимым и доста-
точным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Чтобы функция z = f(x;y) была дифференцируема в точке, не-
обходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно,
чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов
функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функ-
ции двух (и большего числа) переменных.
44.4. Применение полного дифференциала
к приближенным вычислениям
Из определения дифференциала функции z = f(x-,y) следует, что
при достаточно малых |Дж| и |Ду| имеет место приближенное равенство
Дг ss dz. (44.6)
312
Так как полное приращение Az = f(x + Дж; у + Ду) — f(x;y), равен-
ство (44.6) можно переписать в следующем виде:
f(x + Ах;у + Ду) «/(ж;у) + /^(ж;у)Дж + /^(ж;у)Ду. (44.7)
Формулой (44.7) пользуются в приближенных расчетах.
Пример 44-3- Вычислить приближенно 1,О23’01.
Q Решение: Рассмотрим функцию z =xv. Тогда 1,О23,01 = (ж +Дж)у+Лу,
где ж = 1, Дж = 0,02, у = 3, Ду = 0,01. Воспользуемся формулой (44.7),
предварительно найдя z'x и z'y: z'x = (xy)'x=yxv~1, z' = (хУУу = хУ -In ж.
Следовательно, 1,023,01»I3 Ч-3 -13-1 - 0,02 +13 - In 1 - 0,01, т. е. 1,О23,01 ~
»1,06.
Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:
1,О23’01 и 1,061418168. •
Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти:
границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных
вычислениях; приближенное значение полного приращения функции
и т. д.
44.5. Дифференциалы высших порядков
Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный диф-
ференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциа-
лом первого порядка.
Пусть функция z = f(r-.y') имеет непрерывные частные производ-
ные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по
формуле cPz — d(dz). Найдем его:
dz dz , \
zz-dx + — dy =
dx dy )
(dz dz \' •
= — dx + — dy d:
ydx dy Jx
(d2z d2z
= dx +
\dx dydx
dz , dz \
— dx+ —dy
dx dy J y
, ( d2z ,
dx + Q о dx +
\dxdy
dy.
q2
Отсюда: d2z = ^—^dx2 + 2 • У: У d x dy + ^-4dy2. Символически это
dx2 oxdy * dy2
записывается так:
>2 / о , о , \
d z = — dx + -^-dy z.
ydx dy J
313
Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего
порядка:
/ Q Q \ О
d3 z — d(d2z) = I —— dx + —dy ) • z,
\ox dy J
где
( д d \3 Э3 3 <92 2<9 л & d2 . з
— dx + —dy = —3dx +3—^dx — dy+3—dx---1dy‘- + —^dyl.
\dx oy J dx dx dy dx dy dy
Методом математической индукции можно показать, что
/ q д \п
dnz = | — dx + yr-dy ) • z, n e N
\dx dy J
Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае,
когда переменные х и у функции z = f(x;y) являются независимыми.
Пример 44-4- {Для самостоятельного решения.) Найти d2z, если
Z = х3у2.
Ответ: d2z = &ху2 dx2 + 12х2у dx dy + 2a:3 dy2.
44.6. Производная сложной функции. Полная
производная
Пусть z = /(х; у) — функция двух переменных х иу, каждая из ко-
торых является функцией независимой переменной t: х = x(t). у = y(t).
В этом случае функция z = f(x(t)-, y(t)) является сложной функцией
одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные
переменные.
Теорема 44.4. Если z = f{x-,y) — дифференцируемая в точке
М(х-,у) е D функция и х = x{t) и у = y{t) — дифференцируемые
функции независимой переменной t, то производная сложной функ-
ции z{t) = f {x{t);y{t)) вычисляется по формуле
dz^dz dx dz dy
dt dx dt dy dt '
О Дадим независимой переменной t приращение Ai. Тогда функции
х = x{t) и у = y{t) получат приращения Дх и Ду соответственно. Они,
в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.
Так как по условию функция z = f{x-,y) дифференцируема в точке
М{х;у), то ее полное приращение можно представить в виде
. dz dz д д ,,д
Az = — • Дх + — • Ду + аДх + /ЗДу,
дх ду
314
где a —> 0, (3 —> 0 при Дх —> 0, Ду —> 0 (см. п. 44.3). Разделим выра-
жение Дх на Д1 и перейдем к пределу при Д1 —> 0. Тогда Дх —> 0 и
Ду —> 0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию
теоремы — они дифференцируемые). Получаем:
Дх dz Дх Эх Ду г Дж , т д V ДУ
lim —— = — • lim —--h — lim —--)- lim а lim —-h lim В lim -т—,
Ai—>0 Д1 OX Ai—>0 L±t Oy Ai—>0 Д1 Ai-10 Ai AZ Ai->0 Ai->0 Д1
или
dx „ dy
-г +0- -F,
dt dt
dy
dz dz dx dz dy
-r- = 7:— ~z~ 4—r- -r- + 0
dt dx dt dx dt
dz dz dx dz
dt dx dt dy dt
Частный случай: z ~ f(x-,y), где у = y(x), т. e. x = /(x;y(x)) —
сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сво-
дится к предыдущему, причем
формуле (44.8)
роль переменной t играет х. Согласно
имеем:
dz _ dz
dx dx
dx dz dy
dx dy dx
или
dz dz dz dy
dx dx dy dx
(44.9)
носит название
формулы полной производной.
Формула (44.9)
Общий случай: z = f(x-,y), где x = x(u;v), у = y(u;v). Тогда
x = f(x(u;v);y(u;v')') — сложная функция независимых переменных
и и и. Ее частные производные и можно найти, используя фор-
с/'T
мулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней
соответствующими частными производными 5^-:
Lev Cvv Cz V4/ Cz Lv С/ (Ji
dz dz dx dz dy
du dx du + dy du
(44.10)
Аналогично получаем: = 4^- • & + Ip- •
dv dx dv dy dv
Таким образом, производная сложной функции (х) по каждой не-
зависимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных
производных этой функции (х) по ее промежуточным переменным (х
и у) на их производные по соответствующей независимой переменной
Пример 44-5- Найти и если х = 1п(х2 + у2), х — и • ц,
у =
У V
315
Q Решение: Найдем — самостоятельно), используя формулу
(44.10):
dz _ 1 1
ди х2 + у2 х2 + у2
Упростим правую часть полученного равенства:
•2у-.
V
dz
ди
2
—2 , 2
X + у
и
uv • v 4---
v v
2у2
u2(v4 + 1)
и • (v4 4- 1)
2
и ’
е.
dz = 2
ди и
44.7. Инвариантность формы полного дифференциала
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно
показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариант-
ности-. полный дифференциал функции z = f(x;y) сохраняет один и
тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми
переменными или функциями независимых переменных.
□ Пусть z = f(x: y), где х и у — независимые переменные. Тогда пол-
ный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид
, Эх dz .
dz - — dx + — - dy
дх ду
(формула (44.5)).
Рассмотрим сложную функцию z = f(x;y), где х = x(u;v), у =
= y(u;v), т. е. функцию z = f(x(u; v); у(и-, v)) = F(u;v), где и и v —
независимые переменные. Тогда имеем: 1
J dF dF , dz , dz ,
dz = —— du 4- —— • dv = —— • du 4- — • dv =
du dv du dv
_ / dz dx dzdy\ / dz dx dz dy\
du dy du) U dv + dy dv) V
dz (dx , dx , \ dz f dy , dy
- ’ du + + Z- Z- ’ du + я~
dx \du dv ) dy \du dv
Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx
и dy функций х = х(и; v) и у = у(и; v). Следовательно, и в этом случае,
<9z , dz t
dz = — • dx 4- — • dy.
dx dy
316
44.8. Дифференцирование неявной функции
Функция z = f(x;y) называется неявной, если она задается урав-
нением
F(x; у; z) = О,
(44.11)
неразрешенным относительно z. Найдем частные производные и
неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив
в уравнение вместо z функцию /(ж; у), получим тождество
F(x;y;f(x;y)) = 0.
Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю,
также равны нулю:
д dF dF dz
~F(x;y;f(x;y)) = "о F дх lb. дх = 0 (у — считаем постоянным),
Q dF dF dz
7^F(x;y,f(x;y)) = ——Н ду 1k ' ду = 0 (ж — считаем постоянным),
откуда dz F' dz F'
дх X Р'г и ду = (f; о). (44.12)
Замечания.
а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную
как неявную функцию двух других. Так, уравнение ж2 + ?/2 + z2 —4 = 0
определяет функции Zi = у/4 — х2 — у2 и Z2 = — \/4 — ж2 — у2, опреде-
ленные в круге ж2 + у2 4, Z3 = \/4 — ж2 — у2, определенную в полу-
круге ж2 + у2 4 при у 0 и т. д., а уравнение соз(ж + 2у + 3z) —4 = 0
не определяет никакой функции.
g Имеет место теорема существования неявной функции двух
переменных: если функция F(x;y;z) и ее производные F^.(x;y; z),
Fy(x;y; z), F'z(x',y.z') определены и непрерывны в некоторой окрестно-
сти точки M0(x0;y0;z0), причем Г(ж0;г/0; z0) = 0, а ТДж0; у0; z0) # 0, то
существует окрестность точки Mq, в которой уравнение (44.11) опреде-
ляет единственную функцию z = f(x;y), непрерывную и дифференци-
руемую в окрестности точки (жо;г/о) и такую, что /(жо;?/о) = zq.
б) Неявная функция у = /(ж) одной переменной задается уравне-
нием F(x:y) = 0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены
условия существования неявной функции одной переменной (имеется
теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функ-
ции находится по формуле
(f;^o).
F'
I _ х
X T7f
Пример 44-6. Найти частные производные функции z, заданной
уравнением е2 + z — х2у + 1 = 0.
317
Q Решение: Здесь F(x\ у; z) = ez + z — x2y + 1, F'x = — 2xy, F^ = — x2,
F'z= ez + 1. По формулам (44.12) имеем: = + ё^1’ = ёЧ- x•
•
Пример 44-7. Найти если неявная функция у = /(х) задана
уравнением у3 + 2у = 2х.
Q Решение: Здесь F(x;y) = у3 + 2у — 2х, F) = —2, F^ = 3t/2 + 2. Сле-
, _ о dv 2 ~
довательно, у... = т. е. -# = д-т—-. •
’ 1 Зу2 + 2 dx Зу2 + 2
§ 45. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим одно из геометрических приложений частных произ-
водных функции двух переменных. Пусть функция z = f(x;y) диф-
некоторой области D е IR2. Рассечем
поверхность S, изображающую функ-
цию Z, ПЛОСКОСТЯМИ X = Xq и у = у0
(см. рис. 208). Плоскость х = xq пе-
ресекает поверхность S по некоторой
линии z0(y), уравнение которой полу-
чается подстановкой в выражение ис-
ходной функции z = f(x] у) вместо
х числа х0. Точка М0(х0', у0-, f(x0; у0))
принадлежит кривой z0(y). В силу
дифференцируемости функции z в
точке Mq функция zo(y) также явля-
ется дифференцируемой в точке у =
= уо. Следовательно, в этой точке в
ПЛОСКОСТИ X = Xq К КРИВОЙ Zo(y) мо-
жет быть проведена касательная Zi.
Проводя аналогичные рассуждения для сечения у = уо- построим
касательную I2 к кривой zq(x) в точке х = Xq. Прямые и 12 опре-
деляют плоскость а, которая называется касательной плоскостью к
поверхности S в ючке Mq.
Составим ее уравнение. Так как плоскость а проходит через точку
Mq(xq-, у0; zq), то ее уравнение может быть записано в виде
А(х - х0) + В(у - уо) + C(z - Zq) = 0,
которое можно переписать так:
Z - Zq = Л1(х - Хо) + В1(у - Уо) (45.1)
ференцируема в точке (xq; уо)
Рис. 208
318
(разделив уравнение на —С и обозначив - = Ai, - = ВА.
— С/ — С/
Найдем Ai и Bi.
Уравнения касательных li и 1-2 имеют вид
Z - ZO = fy(x0-y0) • (у - t/о), х = х0;
2 - 2о = Л(хо;Уо) • (х - х0), у = у0
соответственно.
Касательная Zi лежит в плоскости а, следовательно, координаты
всех точек удовлетворяют уравнению (45.1). Этот факт можно запи-
сать в виде системы
Z - Zo = /у(х0;у0)(у - Уо),
X = х0,
Z - zo = Aj(x - Хо) + В1(у - у0).
Разрешая эту систему относительно В1; получим, что Bi =
= fy(xo;i/o)-
Проводя аналогичные рассуждения для касательной 12, легко уста-
новить, что Ai = /Яхо;уо)-
Подставив значения А; и Bi в уравнение (45.1), получаем искомое
уравнение касательной плоскости:
z - zo = Л(жо; Уо) (х - х0) + /'(х0; Уо) • (у - Уо)- (45.2)
|ф] Прямая, проходящая через точку Мо и перпендикулярная каса-
тельной плоскости, построенной в этой точке поверхности, назы-
вается ее нормалью.
Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (см.
с. 103), легко получить канонические уравнения нормали:
х - х0 = у - Уо = z - Zo I
а^о;уо) f^yo) -1'1 1 }
Если поверхность S задана уравнением В(х; у; z) = 0, то уравнения
(45.2) и (45.3), с учетом того, что частные производные могут быть
найдены как производные неявной функции:
г,, > Д^(жо;уо) Д(^о;уо)
/ж(Ж°’Уо) F>0;y0)’ F'z{x0-y0)
(см. формулы (44.12)), примут соответственно вид
Р'Лхо',Уо) (х - х0) + Ву(х0;у0) • (у - Уо) + F'z(x0;y0) • (z - z0) = 0
и х - х0 _ у - уо _ z - Zq
^(хо;уо) Еу(х0;у0) F'z(x0;y0)'
319
Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверх-
ности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности.
Точка Mq поверхности называется особой, если в этой точке все част-
ные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует.
Такие точки мы не рассматриваем.
Пример 45.1. Написать уравнения касательной плоскости и нор-
мали к параболоиду вращения z = ж2 + у2 в точке Мо(1; —1; 2).
О Решение: Здесь z'x = /'(ж;у) = 2ж, %(х;у) = 2у, /'(1;-1) = 2,
fg(l; —1) = —2. Пользуясь формулами (45.2) и (45.3) получаем урав-
нение касательной плоскости: z — 2 = 2 - (ж — 1) — 2 • (у + 1) или
- 1 _ У + 1 _ 2_2 а
2ж — 2у — z — 2 = 0 и уравнение нормали: у ' = ~—j • •
§46. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
46.1. Основные понятия
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух пере-
менных аналогичны соответствующим понятиям функции одной неза-
висимой переменной (см. п. 25.4).
Пусть функция z — f(x',y) определена в некоторой области D.
точка N(xq-, уо) € D.
|^| Точка (ж0;у0) называется точкой максимума функции z =
= f(x;y), если существует такая J-окрестность точки (жо;уо), что
для каждой точки (х;у), отличной от (жо;уо), из этой окрестности вы-
полняется неравенство f(x;y) < f(xo; уо).
|^| Аналогично определяется точ-
ка минимума функции: для
всех точек (х; у), отличных от (жо; уо),
из J-окрестности точки (жо;уо) вы-
полняется неравенство: f(x~,y) >
> f(x0;y0).
На рисунке 209: TVi — точка мак-
симума, а Ач> — точка минимума
функции z = f(x; у).
|^| Значение функции в точке мак-
симума (минимума) называется
максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функ-
ции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции
лежит внутри области определения функции; максимум и мини-
мум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке
320
(жо;уо) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к
(жо! Уо). В области D функция может иметь несколько экстремумов или
не иметь ни одного.
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке
Жжо;Уо) дифференцируемая функция z = f(x-,y) имеет экстремум,
то ее частные производные в этой точке равны нулю- f^(xo',yo) = О,
fy(xo;yo) = 0.
Q Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у = уо- То-
гда получим функцию f (ж; уо) = <Дт) одной переменной, которая имеет
экстремум при х = xq. Следовательно, согласно необходимому условию
экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), <р'(х0) = 0, т. е.
Л(^о;Уо) = 0.
Аналогично можно показать, что fy(xo;yo) = 0. И
Геометрически равенства /Дто;Уо) = 0 и
/'(жо;уо) = 0 означают, что в точке экстрему-
ма функции z = f(x;y) касательная плоскость z
к поверхности, изображающей функцию f(x:y), ।
параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение ка-
сательной плоскости есть z — zq (см. форму- /v/T\
лу (45.2)).
Замечание. Функция может иметь экстремум /// 1 \
в точках, где хотя бы одна из частных произвол-
ных не существует. Например, функция z = 1 —
— x/х1 +у2 имеет максимум в точке 0(0; 0) (см. ^ис-
рис. 210), но не имеет в этой точке частных про-
изводных.
|^| Точка, в которой частные производные первого порядка функции
z = f(x-,y) равны нулю, т. е. /' = 0, /' = 0, называется стацио-
нарной точкой функции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная про-
изводная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может
и не иметь. Равенство нулю частных производных является необхо-
димым, но не достаточным условием существования экстремума. Рас-
смотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка 0(0; 0) являет-
ся критической (в ней z'x = у и z' = х обращаются в ноль). Однако
11 Конспект лекций по высшей математике Полный курс
321
экстремума в ней функция z = ху не имеет, т. к. в достаточно малой
окрестности точки 0(0; 0) найдутся точки для которых z > 0 (точки I
и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной
области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть
дополнительному исследованию.
Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стаци-
онарной точке (а?о; Уо) и некоторой ее окрестности функция f(x-y)
имеет непрерывные частные производные до второго порядка вклю-
чительно. Вычислим в точке (хо;Уо) значения А — f"x(xo',yo), В =
= fxy(xo;yo), С = fy'y(xo-,yo). Обозначим
Д = = АС — В2.
О Су
Тогда:
1) если А > 0, то функция f(x;у) в точке (xq;уо) имеет экстремум:
максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2) если А < 0, то функция f (ж; у) в точке (х0; уо) экстремума не имеет.
В случае Д = 0 экстремум в точке (х0; уо) может быть, может не быть.
Необходимы дополнительные исследования.
Примем без доказательства.
Пример ^6.1. Найти экстремум функции z = Зх2у — х3 — у4.
Q Решение: Здесь z'x = бху — Зж2, z'y = Зж2 — 4у3. Точки, в которых
частные производные не существуют, отсутствуют.
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
(бху — Зж2 = 0, '
(Зж2 — 4у3 = 0.
Отсюда получаем точки МДб^) и Л12(0:0).
Находим частные производные второго порядка данной функции:
z"x =бу- бх, z'xy = бх, z”y = — 12у2.
В точке Mi(6;3) имеем: А = —18, В = 36, С = —108, отсюда
АС - В2 = -18 • (-108) - 362 = 648,
т. е. А > 0.
Так как А < 0, то § точке Mi функция имеет локальный максимум:
zmax = z(6; 3) = 3 • 36 • 3 - 63 - З4 = 324 - 216 - 81 = 27.
322
В точке Л/-2(0;0): А = О, В = О, С = 0 и, значит, Д = 0. Проведем
дополнительное исследование. Значение функции z в точке М-> равно
нулю: z(0; 0) = 0. Можно заметить, что z = —у4 < 0 при х = 0, у ф 0;
z = —ж3 > 0 при х < 0, у = 0. Значит, в окрестности точки М2(0;0)
функция z принимает как отрицательные, так и положительные зна-
чения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет. •
46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области
Пусть функция z = f(x'. у) определена и непрерывна в ограничен-
ной замкнутой области D . Тогда она достигает в некоторых точках
D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. и. глобальный
экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, располо-
женных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений диф-
ференцируемой в области D функции z = f(x',y) состоит в следующем:
1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D, и
вычислить значения функции в них;
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x; у)
на границах области;
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них
наибольшее М и наименьшее т.
Пример 4^.2. Найти наибольшее и наи-
меньшее значения функции z = х2у + ху2 +ху
в замкнутой области, ограниченной линиями:
у = х = 1, х = 2, у = —1,5 (см. рис. 211).
Q Решение: Здесь z'x — 2ху + у2 + у, z'y = ж2 +
+ 2жу + ж.
1. Находим все критические точки:
у(2ж + у + 1) = 0,
ж(ж + 2у + 1) = 0.
Решением системы являются точки (0;0), ( —1;0), (0;—1), (— — ^).
Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .
2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участ-
ков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 211).
323
На участке АВ: х = 1, z = у2 + “2у, где у G [— lj, z'y = ‘2у + 2,
“2у + 2 = 0, у = —1. Значения функции z( — 1) = —1, = —4’
2(1) = 3.
На участке ВС: у = z = х + ± + 1, где х G [1; 2], z'x = 1-
1----= О, Ж1 — 1, х? = — 1 [1; 2]. Значения функции z(l) = 3,
2(2) = 3,5.
На участке СЕ: х = 2, z = 2у2 + бу, у € [— , z'y = 4у + 6,
4у + 6 = 0, у = — Значения функции zl — I = —4,5, zl % I = 3,5.
На участке АЕ: у = -|, z = —р х е [1;2], z'x = -Зж + |,
—Зх + 3 = о, х = i [1; 2]. Значения функции z(l) = — z(2) = —4,5.
3. Сравнивая полученные результаты, имеем-
М = +3,5 = z^2; = z(C),
а т = — 4,5 = z^2; — = z(E'). •
Глава X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Лекции 37-43
§47. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
47.1. Основные понятия
|^| При решении различных задач математики, физики, химии и дру-
гих наук часто пользуются математическими моделями в виде
уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию
и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальны-
ми (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г). Решением дифферен-
циального уравнения называется функция, которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество.
Так, решением уравнения у' = /(ж) является функция у = F(z) —
первообразная для функции /(.г).
Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных урав-
нениях (ДУ).
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной перемен-
ной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае — ДУ в
частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновен-
ные ДУ.
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется по-
рядком этого уравнения
Например, уравнение у'” — Зу" + 2у = 0 — обыкновенное ДУ тре-
тьего порядка, а уравнение х2у' + Зху = у2 — первого порядка; у • z'x =
= х • z' — ДУ в частных производных первого порядка.
Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием,
а график решения ДУ — интегральной кривой.
Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к диф-
ференциальным уравнениям.
47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
Задача 1
Материальная точка массы т замедляет свое движение под дей-
ствием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скоро-
325
сти V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки
через 3 с после начала замедления, если V(0) = 100 м/с, а У (1) = 50 м/с.
Q Решение: Примем за независимую переменную время t, отсчитыва-
емое от начала замедления движения материальной точки. Тогда ско-
рость точки V будет функцией t, т. е. V = V(t). Для нахождения V(t)
воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механи-
ки): т • а = F, где а = V'(t) — есть ускорение движущегося тела, F —
результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.
В данном случае F = —kV2, к > 0 — коэффициент пропорциональ-
ности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается).
Следовательно, функция V = У (t) является решением дифференци-
ального уравнения т • V = -k-V2 или V = — Дс2. Здесь т — масса
тела.
Как будет показано ниже (пример 48.5), V = -------, где с —
т С
const. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость
точки через 3 с после начала замедления.
Найдем сначала параметры ~ и с. Согласно условию задачи, име-
ем: У(0) = - = 100 и V’(lj - -г-^— = 50. Отсюда с =
7 с 4 7 А с 100 т 100
т
Следовательно, скорость точки изменяется по закону V = . По-
t I 1
этому У(3) = 25 м/с. •
Задача 2
Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), зная, что отрезок
любой касательной к ней, заключенный между осями координат, де-
лится в точке касания пополам.
. Q Решение: Пусть М(х;у) —произвольная точка
кривой, уравнение которой у = f(x). Для опреде-
\ У _ ленности предположим, что кривая расположена в
\ первой четверти (см. рис. 212).
--^М Для составления дифференциального уравне-
I ния воспользуемся геометрическим смыслом первой
~О~х~С—В х производной: tga есть угловой коэффициент каса-
тельной; в точке М(х;у) он равен у', т. е. у' = tga.
Рис. 212 „ , , МС тт
Из рисунка видно, что tg(ZMBC) = А&С Но
dC
tg(ZMBC) = tg(180° — a) = — tga,
MC = у. По условию задачи AM = MB, следовательно, ОС = СВ = х.
326
Таким образом, получаем — tga = или у' — Решением по-
лученного дифференциального уравнения является функция у =
(гипербола). Решение будет приведено в п. 48.2 (пример 48.4). •
Другие задачи
Можно показать, что:
• закон изменения массы радия в зависимости от времени («радио-
активный распад») описывается дифференциальным уравнением
= -к-т, где к > 0 — коэффициент пропорциональности,
m(t) — масса радия в момент t;
• «закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела
в зависимости от времени, описывается уравнением =к(Т—to),
где T(t) — температура тела в момент времени t, к — коэффици-
ент пропорциональности, t0 — температура воздуха (среды охла-
ждения) ;
• зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реак-
цию, от времени t во многих случаях описывается уравнением
= к • х, где к — коэффициент пропорциональности;
• «закон размножения бактерий» (зависимость массы т бактерий
от времени t) описывается уравнением m't = к • тп, где к > 0;
• закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над
уровнем моря описывается уравнением = — к р, где р(/г) —
атмосферное давление воздуха на высоте h, к > 0.
Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную
роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообраз-
ных задач.
§48. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
48.1. Основные понятия
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае
можно записать в виде
F(x;y;y')=0. (48.1)
327
Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию
у и ее производную у'. Если уравнение (48.1) можно разрешить отно-
сительно у', то его записывают в виде
y' = f(x;y) (48.2)
и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно произ-
водной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.
Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между коор-
динатами точки (ж; у) и угловым коэффициентом у' касательной
к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно,
ДУ у' = f(x'. y') дает совокупность направлений (поле направлений) на
плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого по-
рядка.
Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, на-
зывается изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближен-
ного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по-
лучить, если положить у' = с, т. е. f(x-,y) = с.
Пример 48.1. С помощью изоклин начертить вид интегральных
кривых уравнения у' = 2х.
Решение: Уравнение изоклин этого ДУ
будет 2ж = с, т. е. изоклинами здесь будут
прямые, параллельные оси Оу (х = ^).
В точках прямых проведем отрезки, обра-
зующие с осью Ох один и тот же угол а,
тангенс которого равен с.
Так, при с = 0 имеем х = 0, tg а = О,
поэтому а = 0;
при с = 1 уравнение изоклины х = i,
поэтому tga = 1 и а = 45°;
при с = —1: х = —i tga = —1, a =
= -45°;
Рис. 213
при с = 2: х = 1, tga = 2, a = arctg2 и 63° и т. д.
Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стре-
лочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис. 213),
по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют со-
бой семейство парабол. •
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное от-
носительно производной, можно записать в дифференциальной форме:
Р(х;у) dx + Q(x;y) dy = 0, (48.3)
328
где Р(х;у) и Q(x;y) — известные функции. Уравнение (48.3) удобно
тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них мож-
но рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида
записи ДУ можно перейти к другому.
Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному мно-
жеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величи-
нами). Легко догадаться, что решением уравнения у' = “2х является
функция у = х2, а также у = х2 + \, у ~ х2 — \/2 и вообще у = х2 + с,
где с — const.
Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчи-
нить некоторым дополнительным условиям.
Условие, что при х = Хо функция у должна быть равна заданно-
му числу уо, т е. у = уо называется начальным условием. Начальное
условие записывается в виде
у(хо) = Уо или у = уо- (48.4)
\х=хо
|^5| Общим решением ДУ первого порядка называется функция у —
— <р(.г; с), содержащая одну произвольную постоянную и удовле-
творяющая условиям:
1. Функция <р(х:.с) является решением ДУ при каждом фиксиро-
ванном значении с.
2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое
значение постоянной с = Со, что функция у — у?(а:;со) удовлетворяет
данному начальному условию.
|^| Частным решением ДУ первого порядка называется любая
функция у = ip(x;co), полученная из общего решения у = </?(ж;с)
при конкретном значении постоянной с = со-
Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде урав-
нения Ф(х;у;с') = 0, то такое решение называется общим интегралом
ДУ. Уравнение Ф(ж;у;со) = 0 в этом случае называется частным ин-
тегралом уравнения.
С геометрической точки зрения у = <Д.г; с) есть семейство инте-
гральных кривых на плоскости Оху; частное решение у = <р(х;со) -
одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (жо;Уо)-
|^| Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетво-
ряющего заданному начальному условию (48.4), называется зада-
чей Коши.
Теорема 48.1 (существования и единственности решения задачи
Коши). Если в уравнении (48.2) функция f(x;y) и ее частная про-
изводная f'y(x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей
точку (.То;Уо). то существует единственное решение у = «/’(ж) этого
уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).
329
(Без доказательства).
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении
ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, прохо-
дящая через точку (жо;Уо)-
Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка
определенного типа.
48.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида
Р(х) • dx + Q(y) • dy = 0. (48.5)
В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое — от у. Иногда
такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Про-
интегрировав почленно это уравнение, получаем:
У Р(х) - dx + у Q(y) • dy = с
— его общий интеграл.
Пример 48.2. Найти общий интеграл уравнения x-dx + y - dy = 0.
Q Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными.
//• 2 2
х • dx — I у • dy = ci или -2L. = С1. Обозначим = ci.
Тогда х2 — у2 — с — общий интеграл ДУ. •
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися пе-
ременными, которые имеют вид
Pi ' Qi (у) ' dx + Р2(х) Q2 (у) • dy = 0. (48.6)
Особенность уравнения (48.6) в том, что коэффициенты при dx и
dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из
которых зависит только от х, другая — только от у.
Уравнение (48.6) легко сводится к уравнению (48.5) путем почлен-
ного деления его на Qi(y) • Р2(х) 0. Получаем:
ВД Q2(y) , „ f Pl(x) , f <Ъ(у) ,
~Б~Г\ ' dx + 7ГГТ dy = 0, / ' dx + / dy = c
P2{x) Qi{y) J P2(x) J Q^y)
— общий интеграл.
Замечания. 1. При проведении почленного деления ДУ на Qi(y)x
хР2(х) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует
отдельно решить уравнение Qi(y) Р2(х) = 0 и установить те решения
ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, — особые
решения.
330
2. Уравнение у' = fi(x) /2(2/) также сводится к уравнению с раз-
деленными переменными. Для этого достаточно положить у'
разделить переменные.
3. Уравнение у1 = f(ax + by + с), где а, Ь, с — числа, путем заме-
ны ах + by + с = и сводится к ДУ с разделяющимися переменными.
Дифференцируя по х, получаем:
du dy
Тх=а + Ъ'Тх’
т. е.
— = a+b- f(u),
dx
откуда следует
--= dx.
a + b- f(u)
Интегрируя это уравнение и заменяя и на ах + by + с, получим общий
интеграл исходного уравнения.
Пример 48-3. Решить уравнение (у + ху) dx + (х — ху) dy = 0.
Q Решение: Преобразуем левую часть уравнения:
у • (1 + х) • dx + х • (1 — у) • dy = 0.
Оно имеет вид (48.6). Делим обе части уравнения на ху ф 0:
1 + х 1 - у , п
----dx ------- dy = 0.
х у
Решением его является общий интеграл х + In |х| + In |у| — у = с, т. е.
In |;г7/| + х — у = с.
Здесь уравнение Qi(y) • -Р2О) = 0 имеет вид ху = 0. Его решения
х = 0, у = 0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общий
интеграл. Значит, решения х = 0, у = 0 являются особыми. •
Пример 48-4. Решить уравнение?/' = — удовлетворяющее усло-
вию у(4) = 1.
Q Решение: Этот пример представляет собой решение задачи 2
из п. 47.2.
Имеем: -Л = — или = — —. Проинтегрировав, получим:
dx х у х
In |?/| = In |с| — In |х|,
т. е. у = — — общее решение ДУ.
Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторон-
них гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1).
Подставим х = 4 и у = 1 в общее решение уравнения: 1 = ^, с = 4.
Получаем: У = % — частное решение уравнения у' = — •
331
Пример 48-5. Найти общее решение ДУ т • V — —к V2.
Q Решение: Этот пример демонстрирует решение задачи 1 из и. 47.2.
Приведем данное уравнение к виду (48.5):
т = — kV2, т dV + kV2 dt‘— О, + — dt = 0.
dt V т
dt = —с, t. e. — 1 + —t + c = 0. Отсюда
V m
Интегрируем: J
V = -r-------общее решение уравнения.
48.3. Однородные дифференциальные уравнения
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся одно-
родные ДУ первого порядка.
Функция /(ж; у) называется однородной функцией п-го порядка (из-
мерения), если при умножении каждого ее аргумента на произ-
вольный множитель А вся функция умножится на Ап, т. е.
/(А Х-, А- у) =АП /(ж; у).
Например, функция f(x;y) = х2 — 2ху есть однородная функция
второго порядка, поскольку
/(А -ж; А -у) ~ (Аж)2 - 2(Аж)(Ау) = А2 - (ж2 - 2ху) = А2 /(ж; у).
Дифференциальное уравнение
У1 = f(x-y) (48.7)
называется однородным, если функция f(x'.y) есть однородная
функция нулевого порядка.
Покажем, что однородное ДУ (48.7) можно записать в виде
(48.8)
□ Если f(x',y) — однородная функция нулевого порядка, то, по опре-
делению, f(x;y) — f(Ax;Ay). Положив А = j, получаем:
Однородное уравнение (48.8) преобразуется в уравнение с разделя-
ющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)
или, что то же самое, I у = а • ж. I (48.9)
У
— = и
X
332
Действительно, подставив у = их и у' = и'х + и в уравнение (48.8),
получаем и'х-\-и = </?(и) или х-= </?(и) — и, т. е. уравнение с разделяю-
щимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл),
следует заменить в нем и на Получим общее решение (интеграл) ис-
ходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
Р(х; у) dx + Q(x; у) • dy = 0.
(48.10)
ДУ (48.10) будет однородным, если Р(х; у) и Q(x;y) — однородные
функции одинакового порядка.
Переписав уравнение (48.10) в виде и применив в
правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение
У' = ^хУ
При интегрировании уравнений вида (48.10) нет необходимости
предварительно приводить их (но можно) к виду (48.8): подста-
новка (48.9) сразу преобразует уравнение (48.10) в уравнение с разде-
ляющимися переменными.
Пример 48.6. Найти общий интеграл уравнения
(х2 — у2) dx + 2ху • dy = 0.
Q Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х-,у) =
= х2 — у2 и Q(x-,y) — 2ху — однородные функции второго порядка.
Положим у = и-х. Тогда dy = x-du + u-dx. Подставляем в исходное
уравнение:
(х2 — и2х2) dx + 2х их х du + 2х их и dx,
х2(1 — и2 + 2и2) • dx + 2ux3 • du = 0,
(1 + и2) dx + 2их • du = 0,
последнее — уравнение с разделяющимися переменными. Делим пере-
менные
и интегрируем
1п |;г| + ln(l + w2) = Ci, 1п(|ж| (1 + и2)) = Ci, |х|(1 + и2) = еС1.
Обозначим с = еС1, с > 0. Тогда
|х| • (1 + и2) = с.
Заменяя и на получаем: х2 + у2 = сх — общий интеграл исходного
уравнения.
333
Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к
виду (48.8):
х2 - у2 + 2ху • = О,
dy = у2 - х2
dx 2ху
(Я2 -1
2.1
У
Затем положить у = и х, тогда у' = и'х 4- и и т. д.
Замечание. Уравнение вида у' = f \Ja х + b + с J ’ гДе а' с’ а1’
bi, ci — числа, приводится к однородному или с разделяющимися пере-
менными Для этого вводят новые переменные и и v, положив х = и + а,
у = v 4-/3, где а и 3 — числа. Их подбирают так, чтобы уравнение ехало
однородным.
Пример 48.7. Найти общий интеграл уравнения
(ж + 2у + 1) dx — (2х + у — 1) dy = О,
I х 4- 2у 4- 1
т-е У =2х + у-Г
Q Решение: Положив х = и + а, y = v + /3, получаем:
dx = du, dy = dv,
. dy dv и + a + 2v 4- 2/3 4- 1 и 4- 2v 4- (a 4- 2/3 + 1)
у = ----- = - = ------------------ = ---------i
dx du 2u + 2a + v + fl — 1 2u 4- v 4- (2a + /3 — 1)
Подберем а и /3 так, чтобы
(a 4- 2/3 + 1 = О,
[ 2a 4-/3 - 1 = 0.
Находим, что а = 1, /3 = — 1. Заданное уравнение примет вид
dv и + 2v
du 2и + v
и будет являться однородным. Его решение получается, как это было
показано выше, при помощи подстановки v = tu. Заметим, что, решив
его, следует заменить и и v соответственно на ж — 1 и у 4- 1. В итоге
получим (у—х+2)3 = с(х+у) —общий интеграл данного уравнения. •
48.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли
Дифференциальное уравнение первого порядка называется ли-
нейным. если его можно записать в виде
у1+р(х)-у = д(х), (48.11)
где р(х) и д(х) — заданные функции, в частности — постоянные.
Особенность ДУ (48.11): искомая функция у и ее производная у'
входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Рассмотрим два Метода интегрирования ДУ (48.11) — метод
И. Бернулли и метод Лагранжа.
334
Метод И. Бернулли
Решение уравнения (48.11) ищется в виде произведения двух дру-
гих функций, т. е. с помощью подстановки у = и V, где и = и(х) и
v = ц(х) — неизвестные функции от х, причем одна из них произволь-
на (но не равна нулю — действительно любую функцию у(х) можно
записать как
где ц(х) -ф 0). Тогда у' = и' v + и v’. Подставляя выражения у и у' в
уравнение (48.11), получаем: и' v + и v' +р(х) и v = д(х) или
и' v + и • (v1 + р(х) v) = д(х}. (48.12)
Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было
равно нулю, т. е решим ДУ v' +р(х) v = 0. Итак, + р(х) • г = 0, т. е.
= —р(х) dx. Интегрируя, получаем:
Ввиду свободы выбора функции г?(х), можно принять с = 1. Отсюда
v = е” dx.
Подставляя найденную функцию v в уравнение (48.12), получаем
и'.е-/р(О^ = д(ху
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
. е-/Р(О dx = du = . e+fP(x) dxdx,
u = I g(x) • eJ pW dxdx + c.
Возвращаясь к переменной у, получаем решение
у = и - v = (у д(х) dxdx + С) • е“ dx
исходного ДУ (48.11).
(48.13)
Пример 48.8. Проинтегрировать уравнение у1 + 2ху = 2х.
Q Решение: Полагаем у = и • v. Тогда и' v + и • v' + 2х uv = 2х, т. е.
и1 • v + и • (у1 + 2xv) = 2х. Сначала решаем уравнение v' + 2х • v = 0:
. ill 2 - X2
— = — 2х dx, In |t?| = — х , v = е
v
Теперь решаем уравнение и е~х + и • 0 = 2х, т. е.
du п ...2 Г 2 2
— = 2х • е , du = 2х • е dx, и = е + с.
dx J
Итак, общее решение данного уравнения есть у = и • v = (ех + с) • е~х ,
т. е. у = 1 + с- еж. •
335
Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)
Уравнение (48.11) интегрируется следующим образом.
Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е.
уравнение у' + р{х) у = 0. Оно называется линейным однородным ДУ
первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:
— = —р(х) dx и In |у| = — f р(х) dx + In |ci |.
У J
Таким образом, | У-1 = е- / р(ж) dx, т. е.
у = ±С|У /р(х) dx Или у = с • е~ Sdx, где c=±ci.
Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что по-
стоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. пола-
гаем с = с(х). Решение уравнения (48.11) ищем в виде
у = с(х) е-J dx. (48.14)
Находим производную1:
у1 = с'(х)ехр^— уp(x)dx^ +с(х)ехр^-уp(x)dx^ (-p(z)).
Подставляем значения у и у' в уравнение (48.11):
с
с(х)р(х) ехр
Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет
вид / /* \
с'(х)ехр(— / p(x)dx) = g(x).
Следовательно,
dc(x) = g(x) ехр (У p(x) dx'j • dx.
Интегрируя, находим:
• exp
dx + c.
Подставляя выражение c(x) в равенство (48.14), получим общее реше-
ние ДУ (48.11):
у = [у д(х) ехр(у р(х) dx^ • dx + с] • ехр(- jр(х) dx^.
Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (ср.
с (48 13)).
Пример 4^-9- Рещить пример 48.8 методом Лагранжа.
'Для удобства записи пользуемся обозначением eF(x) = exp(F(a:))
336
Q Решение: Решаем уравнение у' + 2ху = 0. Имеем = — 2х dx, или
у = с • е-®2. Заменяем с на с(х), т. е. решение ДУ у' + 2ху = 2х ищем в
виде у = с(х) • е~х . Имеем
у' = с'(х) е~х + с(х) • е~х (—2х).
Тогда
с/(.г) е х — 2хс(х) е~х + 2хс(х) е~х = 2х, т. е. с'(х)-е~х =2х,
или с(х) = у 2ж е®2 • dx, или с(ж) = ех^ + с. Поэтому у = (ех2 + с) с J' ,
или у = 1 + с • е~х — общее решение данного уравнения. *
Замечание. Уравнение вида (а: • Р(у) + Q(y)) • у' = R(y), где Р(у),
Q(y). R(y') 0 заданные функции, можно свести к линейному, если
х считать функцией, а у — аргументом: х = х(у). Тоща, пользуясь ра-
, 1 х Р(у) + Q(y) D/ х , Р(у)
венством ух = получаем ---------х т. е. х — \ % =
Ху X ЛуУ)
= — линейное относительно х уравнение. Его решение ищем в
виде х = и • v, где и = u(tf), v = v(y) — две неизвестные функции.
Пример 48.10. Найти общее решение уравнения (х + у) - у' = 1.
Q Решение: Учитывая, что у' = от исходного уравнения переходим
к линейному уравнению х' = х + у.
Применим подстановку х = и • и. Тогда х1 = и1 v + и и1. Получаем:
и' • v + и • v' = и • v + у, или и' • v + u(v' — v) = у.
Находим функцию v: v1 — v = 0, = dy, v = еу.
Находим функцию и: и' • еу + и • 0 = у, т. е. и1 = у е~у, или
и = у у • е~у dy. Интегрируя по частям, находим: и = —у еу — е~у + с.
Значит, общее решение данного уравнения:
х = и • v = (—у е~у — е~у + с) • еу,
или х = —у — 1 + с • еу. •
Уравнение Я. Бернулли
Уравнение вида
у' + р(х) у = д(х) уп, n Е R, п 0, п 1 (48.15)
называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно
привести к линейному.
Если п = 0, то ДУ (48.15) — линейное, а при п = 1 — с разделяю-
щимися переменными.
337
В общем случае, разделив уравнение (48.15) на уп ф 0, получим:
(48.16)
У п -у' + р(х) - у п+1 =д(х).
Обозначим y~n+1 = z. Тогда z' = ^ = (1 — п) -у~п-у'- Отсюда находим
У п У1 = । г п Уравнение (48 16) принимает вид
z' +р(х) z = д(х).
Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение
его известно. Таким образом, подстановка z — y~n+1 сводит уравнение
(48.15) к линейному. На практике ДУ (48.15) удобнее искать методом
И. Бернулли в виде у = и • v (не сводя его к линейному).
48.5. Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
Уравнение
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = 0 (48.17)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его
левая часть есть полный дифференциал некоторой функции
и(х; у), т. е.
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = du(x; у).
В этом случае ДУ (48.17) можно записать в виде du(x; у) = 0, а его
общий интеграл будет:
и(х; у) = с. (48.18)
Приведем условие, по которому можно судить, что выражение
Д = F(x; у) dx + Q(x; у) dy
есть полный дифференциал.
Теорема 48.2. Для того чтобы выражение Д = Р(ж; у) dx+Q(x-, у) dy,
где функции Р(х;у) и Q(x;?/) и их частные производные и
непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, было полным
дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия
ДР _ 3Q
ду дх
(48.19)
338
Необходимость
Q Пусть Д есть полный дифференциал, т. е.
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = du(x-, у).
Учитывая, что du(x-,у) = dx + dy (см. п. 44.3), имеем:
р(^;у) =
Дифференцируя эти равенства по у
дР _ д2и
ду дх ду
Q^y) = d/y-
и по х соответственно, получаем
dQ д2и
дх ду дх
д2и д2и
А так как смешанные частные производные и равны
между собой (см. п. 44.2), получаем (48.19).
Достаточность
Пусть в области D выполняется условие (48.19). Покажем, что су-
ществует функция и(х;у) в области D такая, что
du(:r: у) = Р(х; у) dx + Q(a;; у) dy.
Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требо-
ваниям: я», я,,
^=г(х;2/)и £-^Q(T;y).
дх ду
Если в первом уравнении (48.20) зафиксировать у и проинтегриро-
вать его по х, то получим:
и(х;у) = у P(x;y)dx + <р(у).
Здесь произвольная постоянная с = <р(у) зависит от у (либо является
числом). В решении (48.21) не известна лишь <р(т/). Для ее нахождения
продифференцируем функцию (48.21) по у:
= (V Р(х; у) dx\ + <р'(у).
оу \j ‘у
Используя второе равенство (48.20), можно записать:
Q(x-,y)= (у P(x,y)dx) +</(?/).
(48.20)
(48.21)
Отсюда
<р'(у) = Q(x-,y)- (J P(x;y)dxj . (48.22)
В равенстве (48.22) левая часть зависит от у. Покажем, что и правая
часть равенства зависит только от у.
339
Для этого продифференцируем правую часть по ж и убедимся, что
производная равна нулю. Действительно,
S 9) - Г, (/ р(1; 9) *)) = Й Й (т, U Fl-X’9> *)) =
dQ д(д(г 9Q д ,р. 8Q ЭР п
Ъ---P(x,y)dx\ I = --------— (F) = д---д- = °
дх ду\дх\1 )) дх ду дх ду
в силу условия (48.19).
Из равенства (48.22) находим <^(у):
¥>(у) = f у) - (/ р(ж; у) ) dy 4- с, с — const.
Подставляя найденное значение для <Ду) в равенство (48.21), находим
функцию ы(т; у) такую, что du(x; у) = Р(х; у) dx + Q(x; у) dy.
Таким образом, при решении ДУ вида (48.17) сначала проверяем
выполнение условия (48.19). Затем, используя равенства (48.20),
находим функцию ы(т;у). Решение записываем в виде (48.18).
Пример 48.11.
Решить уравнение у1 =
5 — 2ху
Зу2 + х2'
Q Решение: Запишем уравнение в дифференциальной форме:
(2ху — 5) dx + (Зу2 + т2) dy = 0.
Здесь Р(т;у) = 2ху — 5, <2(т;у) = Зу2 + т2. Проверяем выполнение
условия (48.19):
^Р_9 dP dQ
ду Х' дх Х' ду дх ’
Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифферен-
циалах. Условия (48.20) будут здесь выглядеть как
ди „ ди „ 9 9
— = 2ху - 5, — = Зу2 + т2'.
дх ду
Отсюда имеем
и(т; у) — J (2ху — 3)dx = х2у — 5т + <р(у);
г)?/
— = (т2у - 5т + <р(уУ)'у = х2 + </Ду).
Далее
Зу2 + т2 = т2 + у/(у), ip'(y)=3y2,
<Ду) =У3 +ci, и(х-,у) = х2у - 5т + у3 + Cj.
Общим интегралом является т2у —5т+у3 + С1 — С2, или т2у—5т+у3 = с,
где с = с2 - ci. •
340
Если условие (48.19) не выполняется, то ДУ (48.17) не является
уравнением в полных дифференциалах.
Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в пол-
ных дифференциалах умножением его на некоторую функцию t(x;y),
называемую интегрирующим множителем.
Чтобы уравнение t(x;y) P(x-,y)dx + t(x~,y) Q(x,y)dy = 0 было
уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условие
д д
— (1(ж; у) • Р(х; у)) = у) Q(x; у)).
Оу 0Х
Выполнив дифференцирование ^ Р+ • t = ’* и приведя
подобные слагаемые, получим
ду дх \ дх ду)
(48.23)
Для нахождения t(x-,y) надо проинтегрировать полученное ДУ в
частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение
интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить су-
ществование t как функции только одного аргумента х либо только у.
Пусть, например, t = t(x). Тогда уравнение (48.23) принимает вид
_ /ЭД _ дРх
dx V дх ду /
или
,. дР _ 9Q
____ ду дх
7 - Q
dx.
Отсюда , 0Р _
t(x) = expf У 9у q 9х dx) . (48.24)
дР dQ
т-г ду дх
При этом выражение .... ...должно зависеть только от х.
Аналогично получаем, что если t = t(y) (t не зависит от х), то
/ _ др
t(y) = exp f у 9х р 9у dy
а подынтегральное выражение должно зависеть только от у.
Пример 48.12. Решить уравнение (х2— у) dx+(х2у2 + х)-dy = 0.
Q Решение: Здесь = — 1; = 2ху2 + 1, т. е. Однако
ду дх " ду Т дх
дР _ 9Q 2 1 О
ду дх ____ 1 2,Ху____1 __ _2
Q х2у2 + X X
зависит только от х.
341
Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, за-
висящий только от х, выражение которого может быть получено при
помощи формулы (48.24). В нашем случае получим, что
t(x) = ехр(— J — dx^ = ехр(—21п |ж|) = —.
Умножая исходное уравнение на t = получаем:
т. е. уравнение в полных дифференциалах! Решив его, найдем, что об-
щий интеграл заданного уравнения имеет вид
У у3 е
х -I--р — = с. •
х 3
48.6. Уравнения Лагранжа и Клеро
Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные отно-
сительно производной. К ним, в частности, относятся уравнения Ла-
гранжа и Клеро.
Уравнение Лагранжа
Уравнение вида
у = х • р(у ) + V>(y ), (48.25)
где р и ф — известные функции от у' = называется уравне-
нием Лагранмса.
Введем вспомогательный параметр, положив у' = р. Тогда уравне-
ние (48.25) примет вид
у = х • <р(р) + ^(р).
Дифференцируя по х, получим:
dy , , . dp ,ч dp
-=^+х.^.-+ф(р)._
т. е. р - р(р) = (х р'(р) + ^'(р)) • или
(Р - <р(р)) ~х' ‘/’'(р) = /(р)-
dp
Уравнение (48.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной
функции х = ж(р). Решив его, найдем:
х = А(р; с).
(48.26)
(48.27)
(48.28)
342
Исключая параметр р из уравнений (48.26) и (48.28), получаем общий
интеграл уравнения (48.25) в виде у = 7(ж; с).
Отметим, что, переходя к уравнению (48.27), мы делили на
При этом могли быть потеряны решения, для которых = 0, т. е.
р — Ро = const. Это значение ро является корнем уравнения р — <р(р) = О
(см. (48.27)).
Решение у = х-<р{ро) +'ф{Ро) является особым для уравнения (48.25)
(см. понятие особого решения в п. 48.2).
Уравнение Клеро
Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при <р(у') = у’.
Уравнение (48.25) принимает вид
у = х- у' + V’(y')
(48.29)
и называется уравнением Клеро.
Положив у' = р, получаем:
у = хр + ф(р'). (48.30)
Дифференцируя по ж, имеем:
dp ,,, ч dp , .. dp
р=р+х-~—hw(p)-—, или (ж + w (р)) • — = 0.
dx dx dx
Если = 0, то р = с. Поэтому, с учетом (48.30), ДУ (48.29) имеет
общее решение
у = хс + ф(с'). (48.31)
Если х + ф'(р) = 0, то получаем частное решение уравнения в
параметрической форме:
ж = —^'(р), у = хр + тДр). (48.32)
Это решение — особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в
формуле общего решения уравнения.
Пример 48.13. Решить уравнение Клеро у = ху' + у'2.
Q Решение: Общее решение, согласно формуле (48.31), имеет вид у =
= сж + с2. Особое решение уравнения получаем согласно формулам
2 2
(48.32) в виде х — —2р, У = жр+р2. Отсюда следует: у = — т. е.
343
§49. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
49.1. Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются
ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записыва-
ется в виде
F(x',y,y'',y") = 0 (49.1)
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей
производной'.
у” = f^x-y-y'). (49.2)
Будем в основном рассматривать уравнение вида (49.2): от него
всегда можно перейти к (49.1).
Решением ДУ (49.2) называется всякая функция у = </?(ж), кото-
рая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общим решением ДУ (49.2) называется функция у = </?(ж; ci; C2),
где ci и с2 — не зависящие от х произвольные постоянные, удовле-
творяющая условиям:
1. tp(x; ci; С2) является решением ДУ для каждого фиксированного
значения щ и сг-
2. Каковы бы ни были начальные условия
3/1 =Уо, 3/'| =Z/o, (49-3)
lx=xo lz=®0
существуют единственные значения постоянных щ = с° и с2 = с$ такие,
что функция у — <£>(я:; с°; с°) является решением уравнения (49.2) и
удовлетворяет начальным условиям (49.3).
Всякое решение у = <р(х-, с°; с2) уравнения (49.2), получающееся из
общего решения у = 9?(ж; Ci; с2) при конкретных значениях посто-
янных cj = с°, с2 = с2, называется частным решением.
Решения ДУ (49.2), записанные в виде
$(x;t/;ci;c2) = 0, Ф(х; у, с°; с2) = О,
называются общим и частным интегралом соответственно.
График всякого решения ДУ второго порядка называется инте-
гральной кривой. Общее решение ДУ (49.2) представляет собой мно-
жество интегральных кривых; частное решение — одна интегральная
кривая этого множества, проходящая через точку (ху, уо) и имеющая в
ней касательную с заданным угловым коэффициентом yz(xo) = у'.
Переписав ДУ (49.1) в виде
344
видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координа-
тами точки (ж; у) интегральной кривой, угловым коэффициентом к = у'
у"
касательной к ней и кривизной К = ——у ,2^3/2 в точке (ж> У)- В этом
состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.
Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения
решения ДУ (49.2), удовлетворяющего заданным начальным услови-
ям (49.3), называется задачей Коши.
Теорема 49.1 (существования и единственности задачи Коши).
Если в уравнении (49.2) функция /(ж; у; у') и ее частные производные
fy 1/1 fy' непрерывны в некоторой области D изменения переменных
ж, у и у', то для всякой точки (жо;уо;уд) G D существует единствен-
ное решение у = <^(ж) уравнения (49 2), удовлетворяющее начальным
условиям (49.3)
Примем теорему без доказательства.
Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п-го
порядка, которое в общем виде записывается ка
^(ж;у;у';у";...;у(п)) = 0,
ИЛИ , . ,
у(п) =/(ж;у;у';у";...;у("-1))=0, (49.4)
если его можно разрешить относительно старшей производной.
Начальные условия для ДУ (49.4) имеют вид
у\ = Уо, У'\ =Уо, У"\ =Уо, У(п11| =УоП~1}- (49-5)
1ж=жо laj=j?o 1ж=жо 1ж=жо
Общее решение ДУ n-го порядка является функцией вида
у = ^(ж;С1;с2;...;с„),
содержащей п произвольных, не зависящих от ж постоянных.
Решение ДУ (49.4), получающееся из общего решения при конкрет-
ных значениях постоянных щ = с)1, с2 — с(), ..., сп = с°, называется
частным решением.
Задача Коши для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (49.4), удо-
влетворяющее начальным условиям (49.5).
Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее:
найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того,
заданы начальные условия или нет.
Задача нахождения решения ДУ n-го порядка сложнее, чем перво-
го. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.
345
49.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является
метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью
замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению,
порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение по-
рядка.
I. Пусть дано уравнение
У" = /И- | (49.6)
Порядок можно понизить, введя новую функцию р(ж), положив у' =
= р{х). Тогда у" = р'(х") и получаем ДУ первого порядка: р1 = /(ж).
Решив его, т. е. найдя функцию р = р(ж), решим уравнение у1 = р(ж).
Получим общее решение заданного уравнения (49.6).
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредствен-
но путем последовательного интегрирования уравнения.
Так как у" = (у'У = уравнение (49.6) можно записать в ви-
де dy' = f(x)dx. Тогда, интегрируя уравнение у" = /(ж), получаем:
У' = f /(ж) г,х- или у' = ^?i (ж) +ci. Далее, интегрируя полученное урав-
нение по ж, находим: У — J(^г(ж) + ci) dx, т- е- У — ^{х) + щс + С2 —
общее решение данного уравнения.
Если дано уравнение
= /(*),
то, проинтегрировав его последовательно п раз, найдем общее решение
, х ж"-1 ж"-2
уравнения: у = у?„(ж) + щ • + С2 ’ (w _~2)! + • • • + сп.
Пример 49.1. Решить уравнение yIV = зш?ж.
Q Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравне-
ние, получим
у'" = J sin 2ж dx = — - cos 2ж + q ,
Г 1 с 1
у" = / — - соз2ж dx + / щ с/ж = — - зш2ж + С1Ж + С2,
, 1 ж2
у = - соз2ж + С1—- + С2ж + Сз,
о 2
1. ж3 ж2
У = ух sin 2ж + щ — +с2— + с3ж + с4. •
16 б 2
346
II. Пусть дано уравнение
У" = f(x;y'),
(49.7)
не содержащее явно искомой функции у.
Обозначим у1 = р, где р = р(х) — новая неизвестная функция.
Тогда у" = р' и уравнение (49.7) принимает вид р' = f(x;p). Пусть
р = ip(x; Ci) — общее решение полученного ДУ первого порядка. Заме-
няя функцию р на у', получаем ДУ: у' = <р(х; сД. Оно имеет вид (49.6).
Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение.
Общее решение уравнения (49.7) будет иметь вид у = J tp(x; Ci) dx + с?-
Частным случаем уравнения (49.7) является уравнение
у" = /(У),
(49.8)
не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется
тем же способом: у' = р(х), у"
= р'
с разделяющимися переменными.
dp
dx'
Получаем уравнение р' = /(р)
Если задано уравнение вида
F(:c;yW;y(/:+1);...;y(n)) = О,
(49.9)
которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок мож-
но понизить на к единиц, положив = р(ж). Тогда y(-k+l'l = р'; . . .;
у(п) = р(п~Ч и уравнение (49.9) примет вид F(x;p;p';... = 0.
Частным случаем уравнения (49.9) является уравнение
F^y^-^y^) = 0,
или
yW =/(Ж;у("-1’).
С помощью замены у1'" = р(ж), у^ = р' это уравнение сводится к
ДУ первого порядка.
Пример 49.2. Решить уравнение у" — = 0.
Q Решение: Полагаем у' = р. где р = р(ж), у" = р'.
Тогда р1 — — — 0. Это уравнение с разделяющимися переменны-
ми: gp = £
dx х р
= Интегрируя, получим In |р| = 1п|ж| + ln|ci|,
In |р| — In |с1ж|, р = С1Х. Возвращаясь к исходной переменной, получим
, ж2
у = сгх, у = ci + С2 — общее решение уравнения. •
347
III. Рассмотрим уравнение
у" = Ш,
(49.10)
которое не содержит явно независимой переменной х.
Для понижения порядка уравнения'введем новую функцию р =
= р(у), зависящую от переменной у, полагая у' = р. Дифференцируем
это равенство по х, учитывая, что р = р{у{х))'.
п _ d(y’) _ dp(y) _ dp(y) dy = dp(y)
dx dx dy dx dy ’
t. e. y"=p-^-. Теперь уравнение (49.10) запишется в виде р-Ф^=/(у;р).
a?/ dy
Пусть р = pfy'C]) является общим решением этого ДУ первого поряд-
ка. Заменяя функцию р(у) на у', получаем у1 = сД — ДУ с раз-
деляющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл
уравнения (49.10):
г + Сг.
J ^(У^Д
Частным случаем уравнения (49.10) является ДУ
У" = /(У)-
Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у' =
= р(у), у" =
Так же поступаем при решении уравнения Е(у; у'; у"-...; = 0.
Его порядок можно понизить на единицу, положив у' — р, где р = р(у).
По правилу дифференцирования сложной функции находим у" — Р^Уу'
Затем найдем у'" = (р • р'у) = ^(р • р'у) • = р((р'Д2 + р • р"Д и т. д.
Замечание. Уравнение (49.8) также можно решать, применяя под-
становку у' — р, где р = р(у).
Пример 49-3. Найти частное решение уравнения
у” - (у')2 +у\у - 1) = 0,
удовлетворяющее начальным условиям: у(0) = 2, у'(0) = 2.
Q Решение: Уравнение имеет вид (49.10). Положив у' = р(у), у‘
dp
= V'dy’ полУчаем:
р- ~р2 +р(у ~ 1) = °-
dy
348
Так как р 0 (иначе у’ — О, что противоречит начальному условию
у' — 2), то 4^ — р+у— 1 = 0 — получили линейное ДУ первого порядка.
ау
Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли
(п. 48.4). Полагаем р = и • v. Имеем: u'v + uv' — uv + у — 1 = 0, или
u'v + и(у' — и) = 1 — у.
Подберем функцию v так, чтобы v' — v = 0. Тогда — = dy, v = еу.
Получаем:
и1 • еу + и • 0 = 1 — у, т. е. du = (1 — у) • е у dy.
Интегрируя это равенство, находим, что и = — (1 — у) • е~у + еу + а-
С ледовательно,
р = uv — ((—1 + У)с й + <-у + Ci) • е+у, или р = Ciey + у.
Заменяя р на у1, получаем: у' = ci • еу + у. Подставляя у' = 2 и у = 2 в
это равенство, находим с^.
2 = Cie2 + 2, ci = 0.
Имеем у' = у. Отсюда у = с^ех. Находим С2 из начальных условий:
2 = с2е°, С2 = 2. Таким образом, у = Чех — частное решение данно-
го ДУ. •
49.3. Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков
Основные понятия
Многие задачи математики, механики, электротехники и других
технических наук приводят к линейным дифференциальным уравне-
ниям.
Уравнение вида
&о(ж)у(п) + &1(ж)у^"~1) + ... + Ьп(ж)у = у(ж), (49.11)
где бо(^) 7^ 0, 61 (ж),..., Ъп(х), д(х) — заданные функции (от ж),
называется линейным ду п-го порядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в
первой степени. Функции Ьо{х), bi{x),..., Ьп(х) называются коэффици-
ентами уравнения (49.11), а функция д(х) — его свободным членом.
Если свободный член у(ж) = 0, то уравнение (49.11) называется
линейным однородным уравнением; если д(х) 0, то уравне-
ние (49.11) называется неоднородным.
Разделив уравнение (49.11) на Ьо(х) ^0и обозначив
Ь0(ж) Ъ0(х) Ьо(х)
349
запишем уравнение (49.11) в виде приведенного:
у(п> + аДж)У("-1) + а2(ж)г/(п-2) + ... + ап(х)у = /(ж). (49.12)
Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (49.12) и считать,
что коэффициенты и свободный член уравнения (49.12) являются не-
прерывными функциями (на некотором интервале (а;Ь)). При этих ус-
ловиях справедлива теорема существования и единственности решения
ДУ (49.12) (см. теорему 49.1).
49.4. Линейные однородные ДУ второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
(ЛОДУ) второго порядка:
у" + аДж)у' + а2(х)у = 0 (49.13)
и установим некоторые свойства его решений.
Теорема 49.2. Если функции yi = yi(x) и у2 = У2(х) являются
частными решениями уравнения (49 13), то решением этого уравне-
ния является также функция
у = сц/Дж) + с2у2(ж), (49.14)
где Cj и с2 — произвольные постоянные
□ Подставим функцию у = Ciyi + с2у2 и ее производные в левую часть
ЛОДУ (49.13). Получаем:
(сц/1 + с2у2у + аДж) • (ciyi + с2у2)' + а2(ж) • (сц/i + с2у2) =
= Ciy'y + с2у2 + щ (ж) (cij/i + С2У2) + а2(х) (С1У1 + с2у2) =
= ci(y” + аДж) у{ + а2(ж) у) + с2(у2 + аД?)^ + а2(х)у2) =
= ci • 0 + с2 0 = 0,
так как функции у± и у2 — решения уравнения (49.13) и, значит, вы-
ражения в скобках тождественно равны нулю.
Таким образом, функция у — с-ру^ + с2у2 также является решением
уравнения (49 13).
Из теоремы 49.2, как следствие, вытекает, что если уi и у2 —
решения уравнения (49.13), то решениями его будут также функции
У = У1 + У2 и у = с «/j .
Функция (49.14) содержит две произвольные постоянные и явля-
ется решением уравнения (49.13). Может ли она являться общим ре-
шением уравнения (49.13)?
350
Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и ли-
нейной независимости функций.
|ф| Функции yi — yi (х) и у2 — У2 (ж) называются линейно независи-
мыми на интервале (а; 6), если равенство
«11/1 + а2у2 = 0, (49.15)
где «1, «2 G К, выполняется тогда и только тогда, когда «1 = а2 = 0.
|ф| Если хотя бы одно из чисел «j или а2 отлично от нуля и выполня-
ется равенство (49.15), то функции у у и у2 называются линейно
зависимыми на (а; 6).
Очевидно, что функции i/j и у2 линейно зависимы тогда и только
тогда, когда они пропорциональны, т. е для всех х G (а; 6) выполняется
равенство ^- = А, или yi = Ху2, А = const.
Z/2
Например, функции yi = Зеж и у2 = ех линейно зависимы: =
Z/2
= 3 = const; функции г/ j и уз = е2х — линейно независимы: —
= Зе~ж const; функции тд — sin х и у5 = cos х являются линейно
независимыми: равенство sin х + а2 cos х = 0 выполняется для всех
х G R лишь при от = а2 = 0 (или = tga: const).
Средством изучения линейной зависимости системы функций яв-
ляется так называемый определитель Вронского или вронскиан
(Ю. Вронский — польский математик).
Для двух дифференцируемых функций тц = yi(x) и у2 = у2(,х)
вронскиан имеет вид --------------------
W (ж) = У2, .
У1 У2
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 49.3. Если дифференцируемые функции уДж) и у2(ж) ли-
нейно зависимы на (а; Ь), то определитель Вронского на этом интер-
вале тождественно равен нулю
□ Так как функции у1 и у2 линейно зависимы, то в равенстве (49.15)
значение о, или а2 отлично от нуля. Пусть о, 0, тогда i/j = — ^2-у2',
поэтому для любого х G (a; b) Q1
Теорема 49.4. Если функции уДж) и у2(ж) — линейно независимые
решения уравнения (49.13) на (а; 6), то определитель Вронского на
этом интервале нигде не обращается в нуль
351
Доказательство теоремы опустим.
Из теорем 49.3 и 49.4 следует, что вронскиан не равен нулю ни в
одной точке интервала (а; &) тогда и только тогда, когда частные
решения линейно независимы.
Совокупность любых двух линейно независимых на интервале
(а;&) частных решений г/х(ж) и г/2 (•'<?) ЛОДУ второго порядка опре-
деляет фундаментальную систему решений, этого уравнения:
любое произвольное решение может быть получено как комбинация
у = 011/1 (ж) + О21/2(ж).
Пример 49.4.. Частные решения yi = sin х и у 2 = cos х, у3 = 2 sin х
и 1/4 = 5 cos ж (их бесчисленное множество!) уравнения у" + у = О
образуют фундаментальную систему решений; решения же у$ = 0 и
Уб = cos х — не образуют.
Теперь можно сказать, при каких условиях функция (49.14) будет
общим решением уравнения (49.13).
Теорема 49.5 (структура общего решения ЛОДУ второго поряд-
ка). Если два частных решения у} = уДж) и у2 = 1/2(ж) ЛОДУ (49 13)
образуют на интервале (а; &) фундаментальную систему, то общим ре-
шением этого уравнения является функция
У = сгуг + с21/2, (49.16)
где ci и С2 — произвольные постоянные.
□ Согласно теореме 49.2, функция (49.16) является решением урав-
нения (49.13). Остается доказать, что это решение общее, т. е. что из
него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям
у| = Уо, у'| =У6, (49.17)
1х=Я?0 1ж=Хо
где ж0 € (а; Ь).
Подставив начальные условия (49.17) в решение (49.14), получим
систему уравнений
Уо = С1У1(ж0) + с2у2(ж0),
Уо = с'1?/1(жо) + с21/2(жо),
где у о = у(жо), Уд = у'(хд), с неизвестными Ci и С2.
Определитель этой системы
У1(ж0) ?/2(ж0)
. У1(хо) У2М
равен значению вронскиана 1У(ж) при ж = хд.
- ТУ(ж0)
352
Так как решения yi (ж) и г/г(ж) образуют фундаментальную систему
решений на (а; Ь) и х0 € (а;&), то, согласно теореме 49.4, И'’(Т0) 0.
Поэтому система уравнений имеет единственное решение:
. = _о = 1 . Уо У2 (ж0)
1 1 ТУ(жо) Уо Уг(^о)
„ _ „о _ 1 . У1(жо) Уо
2 2 ТУ(ж0) У{ (*о) Уо
Решение у = с^уДж) + с2у2(х) является частным решением (единствен-
ным, в силу теоремы единственности) уравнения (49.13), удовлетворя-
ющим начальным условиям (49.17). Теорема доказана.
Пример 49.5. На основании теоремы 49.5 общим решением урав-
нения у" +у=0 (см. пример 49.4) является функция y = d sin ж + сг cos ж.
49.5. Линейные однородные ДУ n-го порядка
Полученные результаты можно распространить на линейные од-
нородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид
у(п) + аДж) у(" 11 + а2(ж) у(п-2) + ... + ап(ж) у = 0. (49.18)
1. ЕСЛИ фуНКЦИИ 1/1 = уДж),у2 = У2^х),... ,уп = у„(ж) являются
частными решениями уравнения (49.18), то его решением является и
функция у = dy! + С2У2 + + спуп.
2. Функции ух, у2,..., Уп называются линейно независимыми на
(а; &), если равенство ацух + а2у2 + + otnyn = 0 выполняется лишь
в случае, когда все числа аг = 0 (i = 1,2,...,п); в противном случае
(если хотя бы одно из чисел аг не равно нулю) функции у±, у2,..., уп —
линейно зависимы.
3. Определитель Вронского имеет вид
У1 У2 Уп
у'1 У2 Уп
ТУ(ж) = У" У2 Уп
„ (п-1) (п-1) (п-1)
У1 У2 Уп
4. Частные решения yi, у2,..., уп уравнения (49.18) образуют фун-
даментальную систему решений на (а; &), если ни в одной точке этого
интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. ТУ (ж) Д 0 для всех
ж 6 (а; &).
5. Общее решение ЛОДУ (49.18) имеет виду = dyi+c2y2 + .. .+спуп,
где сг (? = 1,..., п) — произвольные постоянные, у, — частные решения
уравнения (49.18), образующие фундаментальную систему.
12 Конспект лекций по высшей математике Полный курс
353
Пример 4^-6. Показать, что функции уг=ех, у2=х-ех, у$ = х2-ех
образуют фундаментальную систему решений некоторого ПОДУ тре-
тьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).
Q Решение: Найдем ТУ (ж):
ех хех х2ех
туО) = (х + 1)еж (ж + 2)ех 1 X (ж2 + 2ж)еж (ж2 + 4ж + 2)еж ж2 — 1 ж ж2
= е3х 1 х + 1 1 х + 2 ж2 + 2ж = е ж2 + 4ж + 2 Зж 0 1 2ж 0 2 4.7- + 2
= е3ж • (4ж + 2 - 4т) = 2е3'с.
Ясно, что ТУ (ж) 0 для всех ж 6 К. Следовательно, данные функции
образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего поряд-
ка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:
у'" + aj (ж)у" + а2(х)у' + а3(ж)у = 0.
Подставив функции у1,у2,уз в это уравнение, получим систему из трех
уравнений относительно функций аДж), й2(ж), а3(ж). Решая ее, полу-
чим ЛОДУ у'11 — Зу" + Зу1 — у = 0; его общее решение:
у = Cie® + с2хех + с3ж2еж. •
§50 . ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
50.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных
дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэф-
фициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
у" + р • у' + g • у = 0, (50.1)
где р и q постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения (50.1) достаточно най-
ти два его частных решения, образующих фундаментальную систему
(см. теорему 49.5).
Будем искать частные решения уравнения (50.1) в виде
t/ = efc*,
354
где к — некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя
эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у” в урав-
нение (50.1), получим: к2 екх + р к екх + q екх = 0, т. е.
екх (к2 + рк + q) = 0, или к2 + рк + q = 0 (екх ± 0). (50.2)
Уравнение (50.2) называется характеристическим уравнени-
ем ДУ (50.1) (для его составления достаточно в уравнении (50.1)
заменить у", у' и у соответственно на к2, к и 1).
При решении характеристического уравнения (50.2) возможны сле-
дующие три случая.
Случай 1. Корни Aj и к2 уравнения (50.2) действительные и раз-
/ „2 \
личные: Aj к2 \D = — q > 0 I.
В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются
функции у} = ек1Х и у2 = ек2Х. Они образуют фундаментальную систе-
му решений (линейно независимы), т. к. их вронскиан
W(x) =
к!ек1Х к2ек2Х
= k2e(kl+k2)x - kie(kl+k2)x =
= е(к1+к2^х (к2 - к,) 0.
Следовательно, общее решение уравнения (50.1), согласно формуле
(49.16), имеет вид
у = с]ек,х + с2ек2Х.
(50.3)
Пример 50.1. Решить уравнение у" — 5у' + бу = 0.
Q Решение: Составим характеристическое уравнение: к2 — 5к + 6 = 0.
Решаем его: к] = 2, к2 = 3. Записываем общее решение данного урав-
нения: у = С1е2ж + сге3®, где сх и с2 — произвольные постоянные (фор-
мула (50.3)). •
Случай 2. Корни А?х и к2 характеристического уравнения (50.2) дей-
ствительные и равные: ki = к2 — q = 0, Aj = к2 = —.
В этом случае имеем лишь одно частное решение ух = ек1Х.
Покажем, что наряду с ух решением уравнения (50.1) будет и у2 =
= хек1Х.
Действительно, подставим функцию у2 в уравнение (50.1). Имеем:
У2 + РУ2 + ЧУ2 = (хек1Х)" + р(хек1Х)' + q(xeklX) =
= (2к1ек1Х + хк2ек1Х) + р(ек1Х + хк1ек1Х) + q(xeklX) =
= efci:c(2fex + k2x + p + pxky + qx) — ekiX(x(k2 + pfej + q) + (p + 2fci)).
355
Ho fej +pki +q = 0, т. к. fej есть корень уравнения (50.2); p+2fei = 0,
т. к. по условию кг = к2 =
Поэтому у2 + ру2 + qy2 = 0, т. е. функция у2 = хек1Х является
решением уравнения (50.1).
Частные решения уг = ек1Х и у2 = хек1Х образуют фундаменталь-
ную систему решений: W(x) = e2fci:c 0. Следовательно, в этом случае
общее решение ЛОДУ (50.1) имеет вид
У = С1ек1Х +с2хек'^ (50.4)
Случай 3. Корни ki и к2 уравнения (50.2) комплексные: ki = a+/3i,
2 I 2
к2 = а- (D = ^- - q <0, a = -2, f3 = Jq - > 0).
В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются
функции yi = и у2 = е(а~г^)х. По формулам Эйлера (см. п. 27.3)
= cos <р + i sin ip, е~г<р = cos p — i sin p
имеем
yi = eax ег>3х — eax cos 0x + ieax sin /Зж,
y2 = eax е~г1)х = eax cos fix - ieax sin /Зж.
Найдем два действительных частных решения уравнения (50.1).
Для этого составим две линейные комбинации решений yi та. у2:
У1 + У2 ах а ~ У1 — У2 ах О ~
— = е cos /Зж =У1 и ——— = е sin Зж = уг-
2 2г
Функции yi и у2 являются решениями уравнения (50.1), что следует
из свойств решений ЛОДУ второго порядка (см. теорему 49.2).Эти ре-
шения yi и у2 образуют фундаментальную систему решений, так как
ТУ (ж) 0 (убедитесь самостоятельно!). Поэтому общее решение урав-
нения (50.1) запишется в виде у = Cieax cos/Зж + С2вах sin/Зж, или
у = е“ж(с1 cos/Зж 4-С2 sin/Зж): (50.5)
Пример 50.2. Решить уравнение у" — бу' + 25у = 0.
Q Решение: Имеем: к2 — 6fc + 25 = 0, ki = 3 + 4г, к2 = 3 — 4г. По
формуле (50.5) получаем общее решение уравнения:
у = еЭх (ci cos 4ж + с2 sin 4ж). •
Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго поряд-
ка с постоянными коэффициентами (50.1) сводится к нахождению
корней характеристического уравнения (50.2) и использованию фор-
мул (50.3)-(50.5) общего решения уравнения (не прибегая к вычисле-
нию интегралов).
356
50.2. Интегрирование ЛОДУ n-го порядка
с постоянными коэффициентами
Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка (п > 2) с
постоянными коэффициентами
У^ + Р1У(п-1) + Р2«/(п-2) + • + рпу = о, (50.6)
где рг, i = 1,п, — числа, решается аналогично случаю уравнения вто-
рого порядка с постоянными коэффициентами.
Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.
Частные решения уравнения (50.6) также ищем в виде у = екх, где
к - постоянное число.
Характеристическим для уравнения (50.6) является алгебраиче-
ское уравнение n-го порядка вида
кп + pi А-”'1 + р2кп~2 + ... + рп-1к + рп = 0. (50.7)
Уравнение (50.7) имеет, как известно, п корней (в их числе могут быть
и комплексные). Обозначим их через к2, ..., кп.
Замечание. Не все из корней уравнения (50.7) обязаны быть раз-
личными. Так, в частности, уравнение (к — З)2 = 0 имеет два
равных корня: к] = к2 = 3. В этом случае говорят, что корень один
(fc = 3) и имеет кратность — 2. Если кратность корня равна еди-
нице: пц- = 1, его называют простым.
Случай 1. Все корни уравнения (50.7) действительны и просты
(различны). Тогда функции у± = ек1Х, у2 = ек2Х, ..., уп = екпХ являют-
ся частными решениями уравнения (50.6) и образуют фундаменталь-
ную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение
уравнения (50.6) записывается в виде
у = схек'х + с2ек2Х + ... + спек~х.
Пример 50.3. Найти общее решение уравнения
у"' - 2у" -у' + 2у = 0.
Q Решение: Характеристическое уравнение к3 — 2к2 — к + 2 = 0 имеет
корни Aj = —1, к2 = 1, к2 = 2. Следовательно,?/ = С!в~х + с2ех + с2е2х —
общее решение данного уравнения. •
Случай 2. Все корни характеристического уравнения действитель-
ные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность т > 1). Тогда
каждому простому корню к соответствует одно частное решение вида
екх, а каждому корню к кратности т > 1 соответствует т частных
решений: екх, хекх, х2екх ..., хт~1екх.
Пример 50.4- Решить уравнение yIV — у1" — Зу" + 5у' — 2у = 0.
357
Q Решение: Характеристическое уравнение
А;4 - к3 - Зк2 + 5к - 2 = (к + 2) (fc - I)3 = О
имеет корни kj = —2, к-> = 1, к3 = 1, fc4 = 1. Следовательно,
у = cie~2x + с2еж + с3хех + с4ж2еж
— общее решение уравнения. *
Случай 3. Среди корней уравнения (50.7) есть комплексно-сопря-
женные корни. Тогда каждой паре а ± /Зг простых комплексно-со-
пряженных корней соответствует два частных решения еах cos /Зх и
еах sin /Зх, а каждой паре а ± (Зг корней кратности т > 1 соответствуют
2т частных решений вида
еах cos /Зх, х еах cos /Зх,..., ж'"1 • еах cos /Зх-,
еах sm /Зх, х еах sin /Зх,..., хт~г еах sin /Зх.
Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систе-
му решений.
Пример 50.5. Решить уравнение yv +yIV + 2у'" + 2у" + у' + у = 0.
Q Решение: Характеристическое уравнение
к5 + А-4 + 2к3 + 2к2 + к + 1 = (Ач- 1)(А;4 + 2к2 + 1) = 0
имеет корни к} = —1, к2 — г, к3 = —г, к^ = г, кь = —г. Следовательно,
у = с-\е~х + с2 • cos ж + Сз • зшж + с4ж • созж 4- с5ж sin ж
— общее решение уравнения. *
§51 . ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЛНДУ)
51.1. Структура общего решения ЛНДУ второго
порядка
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
у" + аДж)?/'+ а2(ж)у =/(ж), (51.1)
где аДж), а2(ж), /(ж) — заданные, непрерывные на (а; Ь) функции. Урав-
нение
у” + аДж)?/' + а2(х)у — 0, (51.2)
левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (51.1), на-
зывается соответствующим ему однородным уравнением.
358
Теорема 51.1 (структура общего решения ЛНДУ). Общим реше-
нием у уравнения (51 1) является сумма его произвольного частного
решения у* и общего решения у = сгуг + с2у2 соответствующего од-
нородного уравнения (51 2), т е
у = у*+у- (51.3)
□ Убедимся, что функция (51.3) — решение уравнения (51.1). Так как
у* есть решение уравнения (51.1), а у — решение уравнения (51.2), то
(у*)" + ai(x)(y*Y + a2(x)y* = /(ж) и (у)" + ах(ж)(у)' + а2(ж)у = 0.
В таком случае имеем:
(у* + у)" + а1(ж)(г/* + у)' + Мж)(у* + у) =
= ((?/*)" + аДж)(у*)' + М^У*) + ((у)" + а1(ж)(?7)' + аг(ж)у) =
= + 0 = /(ж).
Это означает, что функция (у*+у) является решением уравнения (51.1).
Покажем теперь, что функция
У = У* + С1У1 + с2у2 (51-4)
является общим решением уравнения (51.1). Для этого надо доказать,
что из решения (51.4) можно выделить единственное частное решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям
У(^о)=уо, у'(хо)=Уо- (51-5)
Продифференцировав функцию (51.4) и подставив начальные ус-
ловия (51.5) в функцию (51.4) и ее производную, получим систему урав-
нений:
|с1У1(ж0) + с2у2(ж0) =Уо~ У*(х0),
(С1у((жо) + С2у(,(жо) = Уо - (у*)'(ж0),
где уо = у(жо), Уо = у'(жо), с неизвестными щ и с2. Определителем
этой системы является определитель Вронского W(жо) для функции
У1(ж) и у2(ж) в точке ж = Жо- Функции у Дж) и у2(ж) линейно незави-
симы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. И'’(Т‘о) Д 0.
Следовательно, система имеет единственное решение: с, = cj* и с2 = с^.
Решение у = у* + с^уг(х) + с°у2(ж) является частным решени-
ем уравнения (51.1), удовлетворяющим заданным начальным услови-
ям (51.5). Теорема доказана.
359
51.2. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим ЛНДУ (51.1). Его общим решением является функ-
ция (51.3), т. е.
У = У*+ У-
Частное решение у* уравнения (51.1) можно найти, если известно об-
щее решение у соответствующего однородного уравнения (51.2), мето-
дом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоя-
щим в следующем. Пусть у = С1У1(х)+с?у2(х) — общее решение уравне-
ния (51.2). Заменим в общем решении постоянные Сх и с2 неизвестными
функциями сх(х) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция
у* = сх (х) • тд (х) + с2 (х) • у2 (х) (51.6)
была решением уравнения (51.1). Найдем производную
(?/*)' = + С1(ж)^; (ж) + <^(х)у2(х)+ с2(х)^(х).
Подберем функции Сх(х) и с2(х) так, чтобы
с'х(х) • ?/х(х) + с2(х) у2(х) = 0. (51.7)
Тогда
(?/*)' = сх(х) • у'^х) + с2(х) • у'2(х),
(У*)" = с'1(х) У1(х) +сх(х) • х/" (х) + с2(х) • у'2(х) + с2(х) • у2 (х).
Подставляя выражение для т/*, (у*)7 и (?/*)" в уравнение (51.1), полу-
чим:
сДх) • у'1(х) + С1(х) • у'1(х) + сг(ж) • У2(х) + сг(х) • У2 (х)+
+ °х (х) [сх (х)т/х (х) +с2 (х)у2 (х)] + а2 (х) [сх (х)гд (х) +с2 (х)т/2 (х)] = Дх),
ИЛИ
С1 (ж) • [у'1 (ж) + °1 (Ж) • У1 (х) + а2 (х) • У1 (х)] + I
+ с2(^)[^2ХД+Мж)У2(ж)+Мх)Ых)]+с'1(х)г/((х) + с2(х)г/2(х) = Дх).
Поскольку yi(x) и ?/2(х) — решения уравнения (51.2), то выражения в
квадратных скобках равны нулю, а потому
с'х(ж) • 7/((х) +с!,(х) • у'2(х) = Дх). (51.8)
Таким образом, функция (51.6) будет частным решением у* уравне-
ния (51.1), если функции сх(х) и с2(х) удовлетворяют системе уравне-
ний (51.7) и (51.8):
с'х(х) • ух(х) + с2(х) у2(х) = 0,
с'х(ж) • ?/1(х) + 4(х) • у'2(х) = /(х).
(51.9)
360
Определитель системы
у2(х)
У'АХ) У'-Ах)
Ф 0, так как это определитель
Вронского для фундаментальной системы частных решений ?/i(x) и
?/2(х) уравнения (51.2). Поэтому система (51.9) имеет единственное ре-
шение: с'Дх) = </?1(ж) и сДх) = ip2 (х), где уд (ж) и у>2(х) — некоторые
функции от х. Интегрируя эти функции, находим ci(x) и с2(х), а затем
по формуле (51.6) составляем частное решение уравнения (51.1).
Пример 51.1. Найти общее решение уравнения у" + у = —-—
COS X
Q Решение: Найдем общее решение у соответствующего однородного
уравнения у" +у = 0. Имеем: к2 +1 = 0, Ад = i, к2 = —г. Следовательно,
у = С| • cos х + с2 • sin х. Найдем теперь частное решение у* исходного
уравнения. Оно ищется в виде (51.6): у* = Ci(x) • cosх + с2(ж) -sinx. Для
нахождения щ (ж) и с2(х) составляем систему уравнений вида (51.9):
с'х(ж) • cos ж + б*2 (ж) • sinx = 0,
с', (ж) • (— sin ж) + с(, (ж) • cos ж = ——
’ v ’ 2 ' cos ж
Решаем ее:
cos ж
— sinx
sinx
cos x
— cos2 x + sin2 x = 1,
0 sin x _
ki — i —
—— cosx
COS X
I ( \ Al
сДж) = -jr = -tg^
-tgx, Д2
0
-Slna;
cosx
Ci (x) = / (— tgx) dx = In | cosx|;
= 1,
1 • dx = x.
Запишем частное решение данного уравнения: у* = In | cos х\ cos х +
+ х sin х. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
у = (у -р у*') = ci • cosx + с2 • sinx + cosx • In | cosx| + x - sinx. •
При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной
следующая теорема.
Теорема 51.2 (о наложении решений). Если правая часть уравне-
ния (51 1) представляет собой сумму двух функций: /(ж) = Д(х) +
+ /2(х), а у* и у2 — частные решения уравнений у" + од (ж) • у' +
+ а2(х) • у — /Дх) и у" + аДх) • у' + а2(х)т/ = /2(х) соответственно,
то функция у* = у^ + у2 является решением данного уравнения.
361
у" +р-у' +q-y = f(x),
Q Действительно,
(.У* + У2У + °1(ж) ’ (У1 + УзУ + °2(ж) • (?/Г + У2) =
= ((У1)" + °1О) • (у*У + а2(х) У1) + (0/2)" + °1О) (У2У + а2(х) =
= ЛО) + /2 (ж) = Дх).
51.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами
и правой частью специального вида
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициен-
тами, т. е. уравнение
(51.10)
где р и q — некоторые числа.
Согласно теореме 51.1, общее решение уравнения (51.10) предста-
вляет собой сумму общего решения у соответствующего однородного
уравнения и частного решения у* неоднородного уравнения. Частное
решение уравнения (51.10) может быть найдено методом вариации про-
извольных постоянных (и. 51.2).
Для уравнений с постоянными коэффициентами (51.10) существу-
ет более простой способ нахождения у*, если правая часть Дх) урав-
нения (51.10) имеет так называемый «специальный вид»:
I. Дх) = Рп(х) еах
ИЛИ
II. Дх) = еах • (Рп{х) cos/Зх + Qm(x') sin/?x).
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициен-
тов, состоит в следующем: по виду правой части Дх) уравнения (51.10)
записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными
коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (51.10) и из полу-
ченного тождества находят значения коэффициентов.
Случай 1. Правая часть (51.10) имеет вид Дх) = Р„(х) • еах, где
а € К, РДх) — многочлен степени п. Уравнение (51.10) запишется в
(51.11)
В этом случае частное решение у* ищем в виде:
(51.12)
где г — число, равное кратности а как корня характеристического
уравнения k2 + рк + q = 0 (т. е. г — число, показывающее, сколько
раз а является корнем уравнения к2 + рк + q = 0), a Qn(x) = Аохп +
+ Aix"-1 + ... + Ап -г многочлен степени п, записанный с неопреде-
ленными коэффициентами Аг (г = 1,2,..., п).
у" +р-у' + q-y = РДх) еах.
У* = хг • Q„(x) • еах,
362
Q а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения
к2 + рк + q = О,
т. е. а^ ki,2- Следовательно,
г = 0, у* =Qn(x)-eax, (у*)'= Q'n(x) еах + Qn(x) еах а,
(у*)" = Q'^x) еах + 2Q;(x) • еах • а + Qn(x) еах а2.
После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (51.11),
сокращения на еах, получим:
Q”(x) + (2а + p)Q'n(x) + (а2 + ра + <?) • Qn(x) = Рп(х). (51.13)
Слева — многочлен степени п с неопределенными коэффициентами,
справа— многочлен степени п, но с известными коэффициентами. При-
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систе-
му (n + 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов
Чо, Ai, •••> Ап•
б) Пусть а является однократным (простым) корнем характери-
стического уравнения к2 + рк + q = 0, т. е. а = Aj ^fo-
il этом случае искать решение в форме у* = Qn(x)eax нельзя, т. к.
а2 + pa + q = 0, и уравнение (51.13) принимает вид
Q'n(^) + (2а+ р) -Q'n{x) = Рп(х).
В левой части — многочлен степени (п — 1), в правой части — много-
член степени п. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*,
нужно иметь многочлен степени (п + 1). Поэтому частное решение у*
следует искать в виде у* = х Qn(x)eax (в равенстве (51.12) положить
г = 1).
в) Пусть а является двукратным корнем характеристического
уравнения к2 +pk+q = 0, т. е. а = Ад = А^. В этом случае a2 +pa + q = О
и 2а+р = 0, а поэтому уравнение (51.13) принимает вид Q„(x) = Рп(х).
Слева стоит многочлен степени п — 2. Понятно, чтобы иметь слева
многочлен степени п, частное решение у* следует искать в виде
У* = x2Qn(x)eax
(в равенстве (51.12) положить г = 2). М
Случай 2. Правая часть (51.10) имеет вид
/(ж) = еах (Рп(х) cos/Зх + Qm(x) sin/Зх),
где Рп(х) и Qm(x) — многочлены степени пит соответственно, а и
(3 — действительные числа. Уравнение (51.10) запишется в виде
(51.14)
у” +ру' +qy = еах (Рп(х) cos/Зх + Qm(x) sin/Зж).
363
Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения
(51.14) следует искать в виде
у* = хг • еах (М/(х) - cos/Зх + Ni(x) sin/Зх), (51.15)
где г — число, равное кратности a + /3i как корня характеристического
уравнения k2 +рк + q = 0, Mi(x) и Ni(x^ — многочлены степени I с не-
определенными коэффициентами, I — наивысшая степень многочленов
Рп(х) и Qm(x), т. е. I = max(n,m).
Замечания.
1. После подстановки функции (51.15) в (51.14) приравнивают мно-
гочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функци-
ями в левой и правой частях уравнения.
2. Форма (51.15) сохраняется и в случаях, когда Рп(х) = 0 или
Qm(-^') ~ О*
3. Если правая часть уравнения (51.10) есть сумма функций вида
I или II, то для нахождения у* следует использовать теорему 51.2 о
наложении решений.
Пример 51.2. Найти общее решение уравнения у"—2у'+у = х —4.
Q Решение: Найдем общее решение у ЛОДУ у" — 2у' + у = 0. Характе-
ристическое уравнение к2 — 2к +1 =0 имеет корень Aj = 1 кратности 2.
Значит, у = Ci • ех + с2 • х • ех. Находим частное решение исходного
уравнения. В нем правая часть х — 4 = (х — 4) • е° х есть формула ви-
да Р\(х) е°'х, причем а = 0, не является корнем характеристического
уравнения: а Ад. Поэтому, согласно формуле (51.12), частное реше-
ние у* ищем в виде у* = Qi(x) е° х, т. е. у* = Ах + В, где А и В —
неопределенные коэффициенты. Тогда (у*)' = А, (у*)" = 0. Подставив
у*, (У*У, (у*У в исходное уравнение, получим — 2А + Ах + В — х — 4, или
Ах + (—2А + В) = х — 4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х, получаем систему уравнений:
(А=1,
[ -2А + В = —4.
Отсюда А = 1, В = — 2. Поэтому частное решение данного уравнения
имеет вид?/* = х — 2. Следовательно, у = (у+у*} = Cie® +с2хех +х —2—
искомое общее решение уравнения. *
Пример 51.3. Решить уравнение у” — 4?/' + 13г/ = 40 • сонЗх.
Q Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид у = у + у*. Находим
решение однородного уравнения у-, у" — Ау' + 13г/ = 0. Характеристиче-
ское уравнение к2 — 4Л + 13 = 0 имеет корни Ад = 2 + Зг, к2 — 2 — Зг.
Следовательно, у = е2х (щ • cos Зх + с2 • sin Зх).
364
Находим частное решение у*. Правая часть ЛНДУ в нашем слу-
чае имеет вид /(х) = е° т • (40cos3x + 0 • sin3x). Так как а = 0, /? = 3,
а + pi = Зг не совпадает с корнем характеристического уравнения,
то г = 0. Согласно формуле (51.15), частное решение ищем в виде
у* = A cos Зх + В sin Зх. Подставляем у* в исходное уравнение. Имеем:
(у*)' = —ЗА sin3x + 37? cos Зх, (у*)" — — 9Acos3x — 97?sin3x. Получаем:
— 9 A cos Зх — 97? sin Зх — 4(—ЗА sin Зх + 37? cos Зх)+
+ 13( A cos Зх + В sin Зх) = 40 cos Зх,
или
(—9А —127?+13A) cos3x + (—9В +12А + 137?) sin3x = 40 cos3x+0-sin3x.
Отсюда имеем: ,
( 4А - 127? = 40,
|12А + 47? = 0.
Следовательно, А = 1, В = —3. Поэтому у* = cos3x — 3sin3x. И нако-
нец, у = е2а:(с1 • cos Зх + с2 • sin Зх) + cos Зх — 3 sin3x — общее решение
уравнения. •
Пример 51.4- (Для самостоятельного решения.) Для предложен-
ных дифференциальных уравнений получить вид частного решения:
а) у" — Зу' + 2т/ = 5 + г';;
б) 2/"-22/'+2/ = 2;
в) у" + Ay = sin 2х + cos 7х;
г) у" + У — cos 2х — х sin 2х;
д) у" — Зу' — х2 — 1 + cos х.
Ответы: а) А + х • В • С; б) А; в) х(А cos 2х + 7? sin 2х) + С cos 7х +
+ D sin 7х; г) (Ах + 7?) cos 2х + (Сх + D) sin 2х; д) х(Ах2 + Вх + С) +
+ D cos х + Е sin х.
51.4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (п > 2)
с постоянными коэффициентами
и правой частью специального вида
Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го (п > 2) порядка
у'п> +аДх) • г/(п-1) + а2(х) у^2'1 + ... + ап(х) • у = /(х),
где ai (х), а2(х),..., ап(х), /(х) — заданные непрерывные функции
на (а; й).
Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид
г/п) + аДх) • + ... + ап(х) • у = 0.
365
Теорема 51.3 (о структуре общего решения ЛНДУ n-го порядка).
Общее решение у ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного решения
у* неоднородного уравнения и общего решения у соответствующего
ему однородного уравнения, т. е. у = у* + у.
— - -
Частное решение у* ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, если
известно общее решение у однородного уравнения, методом вариации
произвольных постоянных. Оно ищется в виде
у* = сДж) • + с2(ж) • у2(х) + • • + с„(х) • уп(х),
где у Ух), i = 1,п, — частные решения, образующие фундаментальную
систему, однородного уравнения.
Система уравнений для нахождения неизвестных сг(х) имеет вид
с'1У1 + с2?/2 + Ууз + •. • + с'пуп = О,
+ Фл> + с'зУз ++ с'пу'п = О,
* с'1У" + с'2у2 + У3у'з + . • • + с'п2/" = О,
/ (п — 1) . / (п— 1) , / (п — 1) . , / (n—1) £( \
lci?/i +с2?/2 +с-зУз +---+сп?А -/(ж).
Однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами,
правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* мо-
жет быть найдено методом неопределенных коэффициентов.
Метод подбора частного решения у* уравнения
7/(п) + . . . +рпу = /(ж),
где pi — числа, а правая часть /(х) имеет специальный вид, описанный
в п. 51.3 для случая п = 2, переносится без всякого изменения и на
случай уравнения, имеющего порядок п > 2.
Пример 51.5. Решить уравнение yIV — у' = 2х.
Q Решение: Находим у:
k4 — к = 0, к(к — 1) • (к2 + к + 1) = О,
1 -Уз
fci = 0, fc2 = 1, fc3?4 = --±—г,
£ &
X ~9Х ( УЗ . УЗ
у = Ci + с2е + е - ^сз cos + с4 sin
Находим у*-, /(х) = 2х (= е°'х-Pi(x)J ,г = 1,у*= х(Ах+В) = Ах2+Вх,
отсюда
(у*У = 2Ах + В, (у*)" = 2А, (у*У" = 0, (/)/v = 0.
366
Тогда — (2Ах + В) = 2х. Отсюда А = —1, В = 0 и получаем у* = — х2.
Следовательно, функция
У = {у + У*) = С1 + с?ех + е (с3 cos ^-х + с4 sin -^х^ - х2
является общим решением уравнения. •
§52. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ
52.1. Основные понятия
Для решения многих задач математики, физики, техники (задач
динамики криволинейного движения; задач электротехники для не-
скольких электрических цепей; определения состава системы, в ко-
торой протекают несколько последовательных химических реакций I
порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требу-
ется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к
нескольким ДУ, образующим систему.
Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых
содержит независимую переменную, искомые функции и их производ-
ные.
Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых
функций т/i, у2,..., уп, следующий:
F1(x-y1-,y2', ;yn,yi,y'y, -,Уп) =0,
< ...............................
Рп(х-у1;у2-,...-,уп;у'1;У2;---',Уп>) = °-
Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно произ-
водной, т. е. система вида
= fi(x-,yr,y2;. .-;уп),
< = (521)
= fn(x;y1;y2-,...-,yn),
называется нормальной системой ДУ. При этом предполага-
ется, что число уравнений равно числу искомых функций.
Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения
высших порядков можно привести к нормальной системе вида (52.1).
367
Так, система трех ДУ второго порядка
< 1Р = ^(ж;г/;гД;ж';?/'; Д),
= F3(x;y;z;t;x';y';z'),
GT
описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых
переменных: ~ = w, = v, = ш, приводится к нормальной систе-
ме ДУ:
dx
dt
= W,
dt ~ V'
& = w,
dt
= Fi(x;y; z-,t-u-,v, w),
dv
dt
= F3(x;y; z;t;u;v;w).
= F2(x; у; Z] u; v\ w),
Уравнение третьего порядка у"' = f(x;y;y';y") путем замены у' =
= Р- У” = р' = Q сводится к нормальной системе ДУ
У — Рч
• p' = q,
У' = f(x;y;p; q).
Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормаль-
ных систем.
Решением системы (52.1) называется совокупность из п функ-
ций т/i, у2, •.., уп, удовлетворяющих каждому из уравнений этой
системы.
Начальные условия для системы (52.1) имеют вид
У1(х0)=у°, у2(х0) =у°,...,уп(х0) = у°. (52.2)
Задача Коши для системы (52.1) ставится следующим образом:
найти решение системы (52.1), удовлетворяющее начальным услови-
ям (52.2).
Условия существования и единственности решения задачи Коши
описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.
368
Теорема 52.1 (Коши). Если в системе (52.1) все функции
/«(я-; У1; • • •; Уп)
непрерывны вместе со всеми своими частными производными по у,
в некоторой области D ((п + 1)-мерного пространства), то в каждой
точке A4o(xq; т/?; т/2;...; т/°) этой области существует, и притом един-
ственное, решение у\ = <рх(х), у2 = <р2(т)..Уп — ‘Рп(х) системы,
удовлетворяющее начальным условиям (52 2)
Меняя в области D точку М$ (т. е. начальные условия), получим
бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде ре-
шения, зависящего от п произвольных постоянных:
т/i = <рх(х;сх;с2;...;с„),...,у„ = ipn(x; сх; с2;...; сп).
Это решение является общим, если по заданным начальным усло-
виям (52.2) можно однозначно определить постоянные сх,с2,... ,сп из
системы уравнений
<рх(х;сх;с2;... ;с„) = у[,
<р„(х;сх;с2;... ;с„) = у°.
Решение, получающееся из общего при конкретных значениях по-
стоянных сх, с2,..., сп, называется частным решением системы (52.1).
52.2. Интегрирование нормальных систем
Одним из основных методов интегрирования нормальной системы
ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка.
(Обратная задача — переход от ДУ к системе — рассмотрена выше на
примере.) Техника этого метода основана на следующих соображениях.
Пусть задана нормальная система (52.1). Продифференцируем по
х любое, например первое, уравнение:
Ai _ dfi + <Э/Х дщ d/x dy^ ! dfi dyn
dx2 дх дуг dx ду2 dx дуп dx
Подставив в это равенство значения производных
dyi dy2 dyn
dx’ dx ’'' ’ ’ dx
из
системы (52.1), получим
Al дД <Э/Х д/1 , dfi
dx2 дх дуг 1 ду2 2 ' ’ ’ дуп
369
или, коротко,
d yi , ,
-—2- = F2[x;y1;y2;... ;уп).
dx
Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значе-
ния производных ..., из системы (52.1), получим
—у = F3(o:;yr,y2;...;yn).
ах
Продолжая этот процесс (дифференцируем — подставляем — получа-
ем), находим:
d”yi
= Fn(x;yi;y2;...;yn).
Соберем полученные уравнения в систему:
= fi(x;y1-,y2;...;yn),
= F2(x;y1;y2-.. .-,уп),
d]Q = р3(х;у1-,у2-...-,уп), (52'3)
dx
dnyi тг ( \
.~dx^ = Гп\^У1’У2-,---',Уп)-
Из первых (п — 1) уравнений системы (52.3) выразим функции у2,Уз, -
... ,уп через х, функцию у\ и ее производные y'i,y", ...,у[п Полу-
НИМ? , Гг> —1
р2 = 'ф2(.Х-у1-,у1-...-у(1 }),
I Уз=М^У1]у[-,...;у[п~1)),
1уп = • • • ;У1П-1))-
Найденные значения у2, у3,..., уп подставим в последнее уравнение си-
стемы (52.3). Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой
функции yi: — ^(ж; У1! Уп • • •! У1П1Ь- Пус^ь его общее решение
есть
yi =y?i(z;ci;c2;...;cn).
Продифференцировав его (п — 1) раз и подставив значения произ-
водных yi, у", •. •, в уравнения системы (52.4), найдем функции
2/2, Уз, • • • ,Уп-
У2 = <Р2(х;с1-,с2-,...;сп'),...,уп = tpn(x; щ; с2;...; сп).
Пример 52.1. Решить систему уравнений
,'й=4’-32'
1й = 2’-^
370
Q Решение: Продифференцируем первое уравнение: у” = 4у' - 3z'.
Подставляем z' = 2у — 3z в полученное равенство: у" = 4у' — 3(2у — 3z),
у" — 4у' + бу = 9z. Составляем систему уравнений:
у' = 4у - 3z,
у" — 4у' + бу = 9z.
Из первого уравнения системы выражаем z через у и у':
Подставляем значение z во второе уравнение последней системы:
„ 9(4у — </')
у -4у + бу = ----------,
т. е. у" — у' — бу = 0. Получили одно ЛОДУ второго порядка. Решаем
его: к2 - к —б = 0, ki = -2, к2 = 3 и у = «де-2® +г2е3‘с — общее решение
уравнения. Находим функцию z. Значения у и у' = (< > е 2х + с2е3х)' =
= — 2ае~2х + Зс2е3х подставляем в выражение z через у и у' (форму-
ла (52.5)). Получим: .
z = 2<це~'2х + -с2е3х.
Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет
вид у = С]в~2х + с2е3‘с, z = 2с]<‘ + 1с2е3а:. •
и
Замечание. Систему уравнений (52.1) можно решать методом ин-
тегрируемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством
арифметических операций из уравнений данной системы образуют так
называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые
уравнения относительно новой неизвестной функции.
Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.
Пример 52.2. Решить систему уравнений:
=у + 1’
Q Решение: Сложим почленно данные уравнения: х'+у' = х+у+2, или
(х+у)' = (ж+у) + 2. Обозначим х+у = z. Тогда имеем z' = z+2. Решаем
полученное уравнение: = dt, ln(z + 2) — Inci = t, Z.+-2. =
Z “r* Ci
z + 2 = Cje4, или x + у = (це1 — 2.
Получили так называемый первый интеграл системы. Из него
можно выразить одну из искомых функций через другую, тем самым
371
уменьшить на единицу число искомых функций. Например, у = сД —
— 2 — х. Тогда первое уравнение системы примет вид
х' = с3е1 — 2 — х + 1, т. е. х' + х = — 1.
Найдя из него х (например, с помощью подстановки х = uv), найдем
и у.
Замечание. Данная система «позволяет» образовать еще одну ин-
тегрируемую комбинацию: х' — у' — у — х, т. е. (ж — у)' = —[х — у).
Положив х — у = р, имеем: р' = —р, или ~ = —dt, 1пр — 1псг = — t,
р = сге_<, или х — у = с2е~1. Имея два первых интеграла системы, т. е.
х + у = с3е1 — 2 иж- у = с2е~1, легко найти (складывая и вычитая пер-
вые интегралы), что х = + ^с3е~{ — 1, у = — ^с2е-< — 1. •
52.3. Системы линейных ДУ с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы
уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой систему ли-
нейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему
вида . ,
I — аиУ1 + а12у2 + -.. + а1пуп,
— ап1У1 + а«2У2 + •. • + аппуп.
Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравне-
ний с тремя неизвестными функциями у1; у2 и у3:
f = й12^2 + а1зУз,
< = «212/1 + 022?/2 + О23УЗ, (52.6)
= а31У1 + а32у2 + «ззУз/
где все коэффициенты аг1 (i,j = 1,2,3) — постоянные.
Будем искать частное решение системы (52.6) в виде
У1=а-екх, у2 = 0-екх, у3 =у • екх, (52.7)
где а, р,у,к — постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы
функции (52.7) удовлетворяли системе (52.6).
Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель
екх 0, получим:
ак = а31а + а120 + «137,
< 0к = а21а + а2г/? + агз7,
Дк = а31а + «зг/? + а33у,
372
или . .
(«и - к)а + а12р + ап? = О,
< «21 а + (а22 - к)Р + О2з7 = 0, (52.8)
0310: + а32(3 + (азз - кУу = 0.
Систему (52.8) можно рассматривать как однородную систему трех ал-
гебраических уравнений с тремя неизвестными о, /3, 7. Чтобы эта си-
стема имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы опре-
делитель системы был равен нулю:
оц — к Оз2 Озз
021 а22 - к а23
031 аз2 азз — к
= 0.
(52.9)
£5] Уравнение (52.9) называется характеристическим уравнени-
ем системы (52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение тре-
тьей степени относительно к. Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и
различны: кг, к2, к3. Для каждого корня кг (г = 1,2,3) напишем систе-
му (52.8) и определим коэффициенты а,, /Зг, 7, (один из коэффициентов
можно считать равным единице). Таким образом, получаем:
для корня ki частное решение системы (52.6): = aIefcl'c, у^ =
= 0ieklX, у{31} = 7iefc1*;
для корня к2 — у^ = а2ек2Х, у^ = /32ек2Х, у^ = -у2ек2Х]
для корня кз — у^ = азекзХ, у^ = /ЗзекзХ, у3 = -ч3екзХ.
Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систе-
му, общее решение системы (52.6) записывается в виде
т/i = сходе*1® + с2а2ек2Х + с3а3екзХ,
У2 = с^1ек1Х + с2/32ек2Х + сзр3екзх,
Уз = C!7iefcia: + C272efc2a: + Сзуз^31-
(52.10)
Пример 52.3. Решить систему уравнений:
О Решение: Характеристическое уравнение (52.9) данной системы
имеет вид
1 - к -1
—4 1 - к
= о,
или 1 — 2к + к2 — 4 = 0, к2 — 2к — 3 = 0, к3 = —1, к2 = 3. Частные решения
данной системы ищем в виде у[^ = агек1Х, у^ = /Згек1Х и у^ = а2екзХ,
у^ = /32ек2Х. Найдем аг и /З3 (г = 1,2).
373
При ki = — 1 система (52.8) имеет вид
((1-(-!))<*!-Л = 0, те рсц-/?!=(),
|-4а1 + (1-(-1))/?1 =0, Т’е' |-4а!+2/?! = 0.
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим ai = 1,
тогда /?! = 2. Получаем частные решения
у[1} = е~х и у^ = 2е~х.
При к2 = 3 система (52.8) имеет вид
(—2аг — = 0,
( —4аг — 2/?г = 0.
Положим а2 = 1, тогда /32 = —2. Значит, корню к2 = 3 соответствуют
частные решения:
(2) _ Зх (2) _ _9р3ж
(/1 — е и у2 — л
Общее решение исходной системы, согласно формуле (52.10), запи-
шется в виде: yi = сге~х + сге3®, у2 = 2с!е-а: — 2с2е3,г. •
Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но
среди них есть комплексные: fci = а + ib, к2 = а — ib, к3. Вид частных
решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.
Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их
линейные комбинации (п. 50.1, случай 3), применяя формулы Эйле-
ра; в результате получим два действительных решения, содержащих
функции вида еах cos Ьх, еах sin Ьх. Или, выделяя действительные и
мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим
два действительных частных решения (можно показать, что они тоже
являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-
сопряженный корень к2 = а — ib не даст новых линейно независимых
действительных решений.
Пример 52-4- Найти частное решение системы
= У1 +У2,
< ^ = -У1+У2~Уз,
^- = Зу2 + у3,
удовлетворяющее начальным условиям: j/i(0) — 7, уг(О) = 2, уз(0) = 1.
374
Ci Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение:
1 - к 1 О
-1 1-к -1
О 3 1 - к
= О,
1 - к -1 -1 -1 = о,
(1-А:)- 3 1-к - 1 • 0 1-к
(1 - к)(к2 - 2к + 4) - (к - 1) = 0, (1 - к)(к2 - 2к + 5) = О,
ki = 1, = 1 4“ 2г, к$ = 1 — 2г.
Для ki = 1 получаем:
О • «1 + /?1 + 0 • 71 = О,
< -<*1 + 0 • /?i - 71 = О,
О • оц + 3/?i + 0 • 71 =0
(см. (52.8)). Отсюда находим: /31 = 0, од = 1 (положили), 71 = —1.
тт (1) т (1) л (1) X
Частное решение системы: у'. ' — е , у2 ' = 0, у2 = — е .
Для к^ = 1 + 2г получаем (см. (52.8)):
—2itti + /З2 — 0,
< -«2 - 2г/32 - 72 = О,
- 2 г 72 = 0.
Отсюда находим: а2 = 1 (положили), /32 = 2г, 72 = 3. Частное комп-
лексное решение системы:
у(2) = Д1+2,)., у(2) = 2^(1+2г)^ у(2) = 3е(1+2г)Ж_
В найденных решениях выделим действительную (Re) и мнимую
(Im) части:
у^ = е(1+2г)ж = еДсоэ 2х + г sin 2х),
Reyp) = ех cos2x, Imy^ = ех sin2x;
= 2ie^1+2^x = ex(2icos2x — 2sin2x),
Rey^2) = — 2еж8т2ж, Imy),21 = 2excos2x;
= зДи-2®)® = ex(3cos2i + i3sin2x),
Rey|2) = 3excos2x, 1тгД2) = 3exsin2x.
Как уже отмечено, корень к3 = 1 — 2г приведет к этим же самым реше-
ниям.
375
Таким образом, общее решение системы имеет вид
У1 = с1ех + С2вх cos 2х + сзех sin 2х,
У2 = ci 0 ~ 2с2ех sin 2х + 2с3ех cos 2х,
уз = —Ciex + Зеге® cos 2х + Зсзе* sin 2х.
Выделим частное решение системы. При заданных начальных услови-
ях получаем систему уравнений для определения постоянных с15 сг, С3:
7 = щ + с2 + О,
< 2 = 0-0 + 2с3, => ci = 5, с2 = 2, сз = 1.
1 = — Cl + Зс2 + 0,
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
yi = 5ех + 2ех cos 2х + ех sin 2х, У‘1 = —4еж sin 2х + 2ех cos 2ж,
уз = — 5ех + 6ех cos2x + Зех sin2a:. •
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень к кратно-
сти m (тп = 2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню,
следует искать в виде:
а) если тп = 2, то уг = (Л + Вх)екх, уз = (С + Dx)ekx, уз =
= (Е + Fx)ekx;
б) если тп = 3, то yi = (Л + Вх + Сх2)екх, у2 = (D + Ex + Fx2)ekx,
уз = (G + Hx + Nx2)ekx.
Это решение зависит от тп произвольных постоянных. Постоянные
А, В, С,..., N определяются методом неопределенных коэффициентов.
Выразив все коэффициенты через тп из них, полагаем поочередно один
из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим тп ли-
нейно независимых частных решений системы (52.6).
Пример 52.5. Решить систему уравнений:
= -У2+УЗ,
< i = ^ + ^2-УЗ,
^ = -У2^-
Q Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение
1 - к -1 1
1 1 — к -1
0 -1 2 —к
= о,
376
Pi = 0,
«1 - 71 = °-
(1 — fc)(2 — 2fc — fc +fc2 — 1) —1(—2 + fc +1) = O,ki = 2, k2=k3 = 1. Корню
hi = 2 соответствует система (см. (52.8)):
~<*i - /31 +7i =0,
«i - /31 - 7i = 0,
~Pi =0,
Полагая 71 = 1, находим «1=1. Получаем одно частное решение нс-
„ (1) 2х (1) л (1) 2х
ходной системы: у) 7 = е , у2 — 0, — е .
Двукратному корню к = к2 = к3 = 1 (т = 2) соответствует реше-
ние вида у<2’3) = (А + Вх)ех, у(2'^ = (С + Dx)ex, у{3'3} = (Е + Fx)ex.
Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:
В ех + (А + Вх)ех = (А + Вх)ех - (С + Dx)ex + (Е + Fx)ex,
< D • ех + (С + Dx)ex = (А + Вх)ех + (С + Dx)ex — (Е + Fx)ex,
F • ех + (Е + Fx)ex = -(С + Dx)ex + 2(Е + Fx)ex,
или, после сокращения на ех 0 и группировки,
' (D — Е)х + В + С — Е = 0,
< (В - F)x + А - D - Е - ().
JD - F)x + С + F - Е = 0.
Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда
'D - F = 0,
В — F = 0,
< В + С - Е = 0,
A -D-E = 0,
С + F — Е — 0.
Выразим все коэффициенты через два из них (т = 2), например че-
рез А и В. Из второго уравнения имеем F = В. Тогда, с учетом пер-
вого уравнения, получаем D = В. Из четвертого уравнения находим
Е = А — D, т. е. Е = А — В. Из третьего уравнения: С = Е — В, т. е.
С = А—В —В, или С = А — 2В. Коэффициенты А и В — произвольные.
Полагая А = 1, В = 0, находим: С = 1, D = 0, Е = 1, F — 0.
Полагая А = 0, В = 1, находим: С = —2, D = 1, Е = —1, F = 1.
Получаем два линейно независимых частных решения, соответ-
ствующих двукратному корню к = 1:
у(2) — рх (2) _ X (2) х
ур) = хех, у^ = (—2 + х)ех, у^ = (—1 + х)ех.
Записываем общее решение исходной системы:
У1 = С1б2ж + Сге® + Сзже®, у2 = с2ех + с3(ж - 2)ех,
Уз = cie2* + с2ех +с3(ж - 1)ех. •
Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Лекции 44-46 |
§ 53. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
53.1. Основные понятия и определения
Обобщением определенного интеграла на случай функций двух пе-
ременных является так называемый двойной интеграл.
У Пусть в замкнутой области D плос-
кости Оху задана непрерывная функция
z = Разобьем область D на п
«элементарных областей» Dt (г = 1, п),
./О' площади которых обозначим через Д5г,
V D а диаметры (наибольшее расстояние ме-
жду точками области) — через ф (см.
—------------------------- рис. 214).
В каждой области Dt выберем про-
рис 214 извольную точку Дф(жг;уг), умножим
значение /(жг;уг) функции в этой точке
на Дф и составим сумму всех таких произведений:
п
У(х1;у1)Д51 + /(х2;2/2)Д52 + • • + /(х„;у„)Д5„ = /(хг; уг)Д5г.
г=1
(53.1)
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x;y) в обла-
сти D.
Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремит-
ся к бесконечности таким образом, что тахф —> 0. Если этот предел
существует и не зависит ни от способа разбиения области D на ча-
сти, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом
от функции f(x;y) по области D и обозначается Ц f(x;y)dxdy (или
// f(x-,y)dSy D
D
[ф| Таким образом, двойной интеграл определяется равенством
п
jj f(x;y)dxdy = f)iin /(жг; у4) • Д5г. (53.2)
D (maxd,->0) г=1
В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в
области D; D — 'область интегрирования; х и у — пере-
менные интегрирования; dxdy (или dS) — элемент площади.
378
Для всякой ли функции f(x;y) существует двойной интеграл? На
этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь
без доказательства.
Теорема 53.1 (достаточное условие интегрируемости функции).
Если функция z = f{x-,y) непрерывна в замкнутой области D, то она
интегрируема в этой области
Замечания.
1. Далее будем рассматривать толь-
ко функции, непрерывные в области инте-
грирования, хотя двойной ин1еграл может
существовать не только для непрерывных
функций.
2. Из определения двойного интегра-
ла следует, что для интегрируемой в обла-
сти D функции предел интегральных
сумм существует и не зависит от спосо-
ба разбиения области. Таким образом, мы
можем разбивать область D на площадки
прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом
Д5, = Дх, • Ду,, равенство (53.2) можно записать в виде
п
Ц f(x-,y)dxdy = J-in^ J7/(x,;y,) Дх, • Ду,.
£> (max <7,—>0) ,= 1
53.2. Геометрический и физический смысл двойного
интеграла
Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.
Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = /(х; у)
0, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилин-
дрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а
направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело
называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем
область D (проекция поверхности z = /(х;у) на плоскость Оху) произ-
вольным образом на п областей D,, площади которых равны Д5, (г =
= 1,п). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Dt, огра-
ниченные сверху кусками поверхности z = f(x-,y) (на рис. 216 один из
379
них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив
объем столбика с основанием D, через ДЦ, получим
п
г = 52дц.
1=1
Возьмем на каждой площадке D, произ-
вольную точку Мг(х,-,уг') и заменим ка-
ждый столбик прямым цилиндром с тем
же основанием D, и высотой z, = f (а\;уг).
Объем этого цилиндра приближенно ра-
вен объему Д V, цилиндрического столби-
ка, т. е. ди ~ /(хг;уг) АЗг. Тогда полу-
чаем:
п п
V = 52 ди и 52 f(xt;уг) AS,. (53.3)
г=] г=1
Это равенство тем точнее, чем больше чи-
сло п и чем меньше размеры «элементар-
ных областей» D,. Естественно принять
предел суммы (53.3) при условии, что число площадок D, неограничен-
но увеличивается (п —> оо), а каждая площадка стягивается в точку
(max <7, —> 0), за объем И цилиндрического тела, т. е.
п
v = М ^f(xp,y,)ASt,
(maxeft—>0)
или, согласно равенству (53.2),
V = ff f(x-y)dxdy. (53.4)
D
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции
равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический
смысл двойного интеграла.
Масса плоской пластинки
Требуется найти массу т плоской пластинки £), зная, что ее по-
верхностная плотность 7 = 7(ж; у) есть непрерывная функция коорди-
нат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей D,
(г = 1,п), площади которых обозначим через AS,. В каждой области
возьмем произвольную точку 7Иг(жг; уг) и вычислим плотность в ней:
7(^г ;?/»)•
Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке
(х;у) € D, мало отли’чается от значения гу(хг;у1). Считая приближен-
но плотность в каждой точке области D, постоянной, равной
380
можно найти ее массу тг: тг и 7(37; уг)- ASt. Так как масса т всей пла-
п
стинки D равна т = тг, то для ее вычисления имеем приближенное
равенство 1=1
т ~ ASi. (53.5)
г=1
Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии
п —> оо и max dt —> 0:
n
т= 527(жг;уг)Д5г,
(max dj—>0) г=1
или, согласно равенству (53.2),
т — Ц 'y(x;y)dxdy. (53.6)
D
Ишк, двойной интеграл от функции 7(ж;у) численно равен мас-
се пластинки, если подынтегральную функцию 7(3:; у) считать плотно-
стью этой пластинки в точке (х:у). В этом состоит физический смысл
двойного интеграла.
53.3. Основные свойства двойного интеграла
Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D
дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения инте-
грала функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны
и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому
перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынте-
гральные функции интегрируемыми.
1. II с f(x; y'jdxdy = с • Ц f(x; у) dxdy, с — const.
2- Ц(f1(x-y)±f‘2(x-y))dxdy = II f1(x-y)dxdy± II f2(x;y)dxdy.
D D
D
3. Если область D разбить линией на две обла-
сти Di и D2 такие, что Di (J D2 = D, а пересече-
ние Di и D2 состоит лишь из линии, их разделяющей
(см. рис. 217), то
II f(x;y)dxdy = II f(x;y)dxdy + Ц f(x;y)dxdy.
D Di D2
381
4. Если в области D имеет место неравенство fix; у) 0, то и
УУ fix; у') dxdy 0. Если в области D функции flx;y) и у>1х;у) удо-
D
влетворяют неравенству fix; у') <р(х;у), то и
Ц f{x;y)dxdy Ц lp(x;y)dxdy.
D D
5. II dS = S, так как = S.
6. Если функция fix; у) непрерывна в замкнутой области D, пло-
щадь которой S, то mS I I f (x; у) dx dy <Z M S, где m и M — соответ-
D
ственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции
в области D.
7. Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, пло-
щадь которой S, то в этой области существует такая точка (д'о: ?/()) что
II у) dx dy = f(x0;y0) S. Величину
13 1 г г
ЛЗД Уо) = ~g- JJ f(x; у) dx dy
D
называют средним значением функции f[x;y) в области D.
53.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых
координатах
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последо-
вательному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл Jf (х; у) dx dy, где
D
функция f(x; у) 0 непрерывна в области D. Тогда, как это было
показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрическо-
го тела, ограниченного сверху поверхностью z = fix; у'). Найдем этот
объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было
показано, что
ь
V = I Six) dx,
а
где Six) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а
х = а, х — Ь — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.
382
Положим сначала, что область D представляет собой криволиней-
ную трапецию, ограниченную прямыми ж=аиж = Ьи кривыми у =
= <£1(ж) и у = </?2(ж), причем функции и </?2(ж) непрерывны и
таковы, что tpi(ж) С для всех х € [а; Ь] (см. рис. 218). Такая
область называется правильной в направлении оси Оу. любая прямая,
параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух
точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендику-
лярной оси 0х\ х = const, где х € [а; Ь].
Рис. 218
В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограничен-
ную линиями z = f(r;y), где х — const, z = 0, у = ipi(x) и у = (^(я)
(см. рис. 219).
Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного
интеграла
S(z) = У f(x-,y)dy.
viO)
Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем
цилиндрического тела может быть найден так:
Ь Ь / Р2(х) \
V= у S(x)dx = yi у f(x-,y)dy\dx.
a a '
С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндриче-
ского тела определяется как двойной интеграл от функции f(x: y 'j О
383
по области D. Следовательно,
Ъ / \
V = Ц f(x;y)dxdy = I f (ж; у) dy j dx.
D a V^fa?) '
Это равенство обычно записывается в виде
Ь ViO)
II f&;y)dxdy = I dx I f(x;y)dy.
D a ifii(x)
(53.7)
Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного инте-
грала в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) назы-
вают двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x',y) по
Vz(x)
области D. При этом /(ж; у) dy называется внутренним интегра-
V1 (х)
лом.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутрен-
ний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл,
т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от
а до Ь.
Если же область D ограничена прямыми у = с и у = d (с < d),
кривыми х = V’i(y) и х — ^(у), причем V’i(y) ^(у) Для всех у € [с; d\,
т. е. область D — правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело
плоскостью у = const, аналогично получим:
(53.8)
Здесь, при вычислении внутреннего интеграла,'считаем у постоянным.
Замечания.
1. Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда f(x;y) <
< 0, (ж; у) е D.
2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной
интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по форму-
ле (53.8).
3. Если область D не является правильной ни «по ж», ни «по у»,
то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить
на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.
4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле
всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
384
Пример 53.1. Вычислить jj (х + %У) dxdy, где область D огра-
D
ничена линиями у = х1 2, у = О, х + у — 2 = 0.
Q Решение: На рисунке 220 изображена
область интегрирования D. Она правильная
в направлении оси Ох. Для вычисления дан-
ного двойного интеграла воспользуемся фор-
мулой (53.8):
г , /ж2 \ |2—у г /(2 - у)2
= /*<(у + 2Д|Л =/(~+4’
О v о
/Ф-2)3
V 6
у3
-2- — — 2-2-
3
1 8 7 2 4
6 + 6 + 4 ~ 3“5
= 1,45.
Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла мож-
но воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует
разбить на две области: £>i и £>2- Получаем:
jj(ж + 2у) dx dy = jj(ж + 2у) dx dy + jj(ж + 2y) dx dy =
D Di d2
2
2y)dy + j dx
1
2 — x
j (x + 2y) dy =
0
1
= j dx (xy + y2)
0
x2 2
+ [dx- (xy + y2)
0 1
2~x
0
Ответ, разумеется, один и тот же.
13 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
385
53.5. Вычисление двойного интеграла в полярных
координатах
Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют
метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного
интеграла), т. е. вводят новые переменйые под знаком двойного инте-
грала.
Определим преобразование независимых переменных х и у (замену
переменных) как
x = ip(u;v) и у = ф(и-, v). (53.9)
Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv не-
прерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля
определитель
дх дх
ди dv
ду ду
ди dv
/(u; и) =
(53.10)
а функция f(x;y) непрерывна в области D, то справедлива формула
замены переменных в двойном интеграле:
Ц f (х; у) dx dy = f (ip(u; v); ф(и; v)) • \I(u; v)| dudv. (53.11)
D D‘
Функциональный определитель (53.10) называется определителем
Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказатель-
ство формулы (53.11) не приводим.
Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используе-
мый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых
координат х и у полярными координатами г и <р.
В качестве ниц возьмем полярные координаты г и </?. Они связаны
с декартовыми координатами формулами х = г cos ip, у = г sirup (см.
п. 9.1).
Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируе-
мые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как
/(г; v?) =
дх
дг
ду
дг
дх
д^р
ду
dip
cos ip
sin</?
—r sin</?
r COS ip
Формула замены переменных (53.11) принимает вид:
f (х', у) dx dy = Jу f (г cos ip\ r sin</?) • г • dr dip, (53.12)
D D-
где D* — область в полярной системе координат, соответствующая
области D в декартовой системе координат.
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах при-
меняют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если
386
область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лу-
чами tp — а и tp — Р, где а < /3, и кривыми г = ri(tp) и г — гг (</?), где
ri(</3) г2(</’), т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса,
пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть
формулы (53.12) можно записать в виде
0
Ц г-f (г cos tp; г sin tp) dr dtp = j dtp j r f(r cos tp;r sin tp) dr. (53.13)
D* a
Внутренний интеграл берется при постоянном tp.
Замечания.
1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтеграль-
ная функция имеет вид f(x2 + у2); область D есть круг, кольцо или
часть таковых.
2. На практике переход к полярным координатам осуществляет-
ся путем замены х = rcos<£>, у = rsin</?, dxdy = г dr dtp-, уравнения
линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным
координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют,
а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нуж-
ные пределы интегрирования по г и <р (исследуя закон изменения г и
tp точки (r;tp) при ее отождествлении с точкой (х;у) области D).
Пример 53.2. Вычислить / / \/9 — ж2 — у2 dxdy, где область D —
2 . 2 n J J
круг xz + у 9. D
Q Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным коорди-
натам:
Уf \/9 — х2 — у2 dxdy = Ц \/9 — (г cos tp)2 — (г sin tp)2 • г dr dtp =
D D
= yy r \/9 — r2 dr dtp.
D
Область D в полярной системе координат определяется неравен-
ствами (см. рис. 222) 0 С tp 2тг, 0 г 3. Заметим: область D —
387
круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, со-
гласно формуле (53.13), имеем:
2тг 3
УУ г • \/9 — г2 dr dp = у dtp у г • \/9 — г2 dr =
D о о
0 0 о
1 2Z |2тг
= “о / (0-27)d<£ = 9Ы =18тг. •
3 J I о
о
53.6. Приложения двойного интеграла
Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.
Объем тела
Как уже показано (п. 53.2), обьем цилиндрического тела находится
по формуле ------------------
v = УУ f(x;y)dxdy,
D
где z — f(x; у) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.
Площадь плоской фигуры
Если положить в формуле (53.4) f(x-,y) = 1, то цилиндрическое
тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем тако-
го цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D.
Получаем формулу для вычисления площади S области D:
S = Ц dxdy,
D
или, в полярных координатах,
S = II г • dr dp.
D
Масса плоской фигуры
Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с перемен-
ной плотностью 7 = 7 (ж; у) находится по формуле
т — j! 7(ж; у) dxdy.
D
388
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской
фигуры
Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см.
п. 41.6) могут быть вычислены по формулам
и Sy — Ц х • "/(х^у) dxdy,
D
по формулам
Sx
и ус = —.
т
Sx - Ц y-Mxyy)dxdy
D
а координаты центра масс фигуры
Sy
хс = —
т
Моменты инерции плоской фигуры
Моментом инерции материальной точки массы т относительно
оси I называется произведение массы т на квадрат расстояния d точки
до оси, т. е. М[ — m-d?. Моменты инерции плоской фигуры относитель-
но осей Ох и Оу могу г быть вычислены по формулам:
Мх = II у2 • 7(ж; у) dx dy, Му = Ц х2 • 7(2; у) dx dy.
D D
Момент инерции фигуры относительно начала координат — по форму-
ле Мо = Мх + Му.
Замечание. Приведенными примерами не исчерпывается примене-
ние двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного ин-
теграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).
Пример 53.3. Найти объем тела, огра-
ниченного поверхностями ж2 + у2 — г + 1 = 0 и
х2 + у2 + 3z - 7 = О
О Решение: Данное тело ограничено двумя
параболоидами (см. рис. 223). Решая систему
{X2 + у2 = z - 1,
х2 -|- у2 = — 3z + 7,
находим уравнение линии их пересечения:
х2 + у2 = 1, z = 2.
Искомый объем равен разности обьемов
двух цилиндрических тел с одним основанием
(круг х2 + у2 1) и ограниченных сверху соответственно поверхностя-
ми z = 1(7 — х2 - у2) и z = 1 + х2 + у2. Используя формулу (53.4),
О
имеем
V = Vi - V2 = II ~y2)dxdy - II(1 +х2 +y2)dxdy.
D D
389
Переходя к полярным координатам, находим:
Н = з — г2)г • cfr ofy? — //(1 + r2^r 'drdtp =
D D
2тг 1 2тг
= 3 f dlfi f (7r~ dr ~ f
оо о
1
/
о
Пример 53.4. Найти массу, статические мо-
менты Sx и Sy и координаты центра тяжести фигу-
ры, лежащей в первой четверти, ограниченной эл-
7*2 9 , ,
липсом =^- + у = 1 и координатными осями (см.
рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке
фигуры пропорциональна произведению координат
точки.
Q Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию,
7 = у(а:; у) = к • ху, где к — коэффициент пропорциональности.
т = Ц кху dxdy = к J х dx
D О
= I ’ z / ~ x^dx = I (2а;2
о
х4\ |2 _ к
ТЛо “ 2
Находим статические моменты пластинки:,
= ±к
15fc’
2
Sy = Ц x • кху dxdy = к J x1 dx I ydy = •
D 0 0
= Afc
15fc’
Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы
Sv Sy • IK я л
Хс = —И ус = ~JL'. Хс = Тг, ус = tv- •
т у т с 15’ у с 15
2
390
§54. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
54.1. Основные понятия
Обобщением определенного интеграла на случай функции трех пе-
ременных является так называемый «тройной интеграл».
Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интегра-
ла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.
Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непре-
рывная функция и = f(x-,y,z). Разбив область V сеткой поверхностей
на п частей Vi (г = 1,п) и выбрав в каждой из них произвольную точ-
п
ку Mi(xi', ус, Zi), составим интегральную сумму f(xi, yi', Zi)^Vt для
1=1
функции f(x; у, z) по области V (здесь Д У, — объем элементарной обла-
сти Vi).
Если предел интегральной суммы существует при неограничен-
ном увеличении числа п таким образом, что каждая «элементарная
область» К стягивается в точку (т. е. диаметр области di стремится к
нулю, т.е. di —> 0), то его называют тройным интегралом от функции
и = f(x-, у; z) по области V и обозначают
f(x;y,z)dv
Таким образом, по определению, имеем:
/// У' Z‘ du dz
111 f(x',y',z) dxdydz = ^lim, Z/b ^г)ДУ =
v (maxd,->0) i=i
= fjf f(x;yz)dv.
(54.1)
Здесь dv = dx dy dz — элемент объема.
Теорема 54.1 (существования). Если функция и = f(x-y;z) непре-
рывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной
суммы (54.1) при п —> оо и maxtZ, —> 0 существует и не зависит
ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек
Mi(xi-yi;zi) в них.
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной
интеграл:
1. Щ с - f(x-у, z) dv = с Щ f(x; у; z) dv, с — const.
391
2- fff(fi (х; у; z) ± f2(x; у; z)) dv =
v
/7 fi(x;y;z)dv± f77f2(x;y;г))dv.
3- Jff f(x;У;z)dv = fff f(x;y;z) 'dv + fff f(x;y,z)dv, если V =
V Ц v2
= Vi U^2, & пересечение V; и 1-2 состоит из границы, их разделяющей.
4. fff f(x’,y,z)dv 0, если в области V функция f(x-,y;z) 0.
v
Если в области интегрирования f(x; у; z) tp(x\ у; z), то и
fff ^Х’ y’z>)dv^ fff ^x’y’dv’
5. fff dv = V, так как в случае /(a:; y;z) = 1 любая интегральная
V п
сумма имеет вид AVi = V и численно равна объему тела.
6. Оценка тройного интеграла:
где т и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функ-
ции f(x-,y,z) в области V.
7. Теорема о среднем значении: если функция f(x;у, z) непрерыв-
на в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка
Mo(xo;yo-,zo), что
fff f(x’y’z)dv =-V,
где V — объем тела.
54.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых
координатах
В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводит-
ся к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное
снизу поверхностью z = гг(х-,у), сверху — поверхностью z = z2(x-,y),
причем 24 (а:; у) и z2(x‘y) (гг(х', у) z2(x-, у)) — непрерывные функции в
замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Оху
392
(см. рис. 225). Будем считать область V — правильной в направле-
нии оси Oz\ любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу
области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в
области V функции f(x;y;z) имеет место формула
У f(x-y-z)dz jds, (54.2)
V L> Zi(x;y)
сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного ин-
теграла от однократного (доказательство формулы (54.2) не приводим).
При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z
при постоянных х и у в пределах изменения z. Нижней границей инте-
грала является аппликата точки А — точки входа прямой, параллель-
ной оси Oz в область V. т. е. z = z\ (х; у); верхней границей — аппликата
точки В — точки выхода прямой из области V, т. е. z = zAx-,y). Ре-
зультат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных:
х и у.
Рис. 225
Рис. 226
Если область D ограничена линиями х = а, х = b (а < Ь), у = (рг (х)
и у = у?2 (х), где у?! (х) и у?2 (х) — непрерывные на отрезке [а, 5] функции,
причем <Р1(х) cp-ifx) (см. рис. 226), то, переходя от двойного интеграла
по области D к повторному, получаем формулу
(54.3)
по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.
393
Замечания.
1. Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее следует
разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым
можно применить формулу (54.3).
2. Порядок интегрирования в формуде
(54.3), при определенных условиях, может
быть иным.
Пример 54.1. Вычислить
У^(а: + z) dxdy dz,
v
где V ограничена плоскостями х = 0, у = О,
z = 1, х + у + z = 2 (рис. 227).
Q Решение- Область V является правильной
в направлении оси Oz (как, заметим, и в на-
правлении осей Ох и Оу). Ее проекция на плоскость Оху является пра-
вильной в направлении оси Оу (и оси Ох). Согласно формуле (54.3),
имеем:
ffj\x + z)dxdydz = fdx J dy
2-x~y
У (x + z)dz =
i
z2\
h 2 2 3 ^(1 - x)2 1 (2 - x)3 1 1 X
= / (z - x2 - x2 + X3 - -V - - + V - - - + -X\dx =
J \ 2 6 6 2 2 /
о
/За? x3 a? 1/x2 n x3 x4\ 2 (2 - x)4 xi1
(гт~2т + т-2(т~2т+«-К1- иЧ1о
_ 3 2 1 _ _1_ 2 _ 16 _ 1
* ~ 4 ~ 3 + 4 ~ 24 3 “ 24 + 24 “ 4’
394
54.3. Замена переменных в тройном интеграле.
Вычисление тройного интеграла
в цилиндрических и сферических координатах
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто приме-
няется метод подстановки, т. е. совершается преобразование перемен-
ных.
Пусть совершена подстановка х = </?(u;w;w), у = ^(u;w;w), z =
= x(u;v-,w). Если эти функции имеют в некоторой области V* про-
странства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от ну-
ля определитель
дх дх дх
ди ди dw
1(и-, v; w) = ду ди ду ди ду dw
dz dz dz
ди ди dw
то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:
/// ^Х’ У' dz =
v
= yyy f(p(u; v; w); ф(и; v; w); x(u; v; w)) • |/(w; v; w)| du dv dw. (54.4)
Здесь I(u-,v;w) — определитель Якоби, или якобиан преобразования
(примем без доказательства).
Для вычисления тройного интеграла
часто используют так называемые цилин-
дрические координаты.
Положение точки М(х; у; z) в простран-
стве Oxyz можно определить заданием трех
чисел г, </?, г, где i-длина радиуса-вектора
проекции точки М на плоскость Оху, (р —
угол, образованный. этим радиусом-векто-
ром с осью Ox, z — аппликата точки М (см.
рис. 228).
Эти три числа (г, <р, z) называются ци-
линдрическими координатами точки М.
Рис 228
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми ко-
ординатами следующими соотношениями:
х = г • cos р, у = г sin <р, z — z
(г 0, р € [0; 2тг], г € К).
395
Возьмем в качестве и, v, w цилиндрические координаты г, ip, z и
вычислим якобиан преобразования:
dx
dip
&IL
dip
dz
dip
дх
dz
ду
dz
dz
dz
dx
dr
dy
dr
dz
dr
cosy?
siny?
О
—r sin 9?
r cosy?
0
0
0
1
Формула замены переменных (54.4) принимает вид
Щ f(x',y;z)dxdydz = Щ f(r cos у?; г siny?; z)r dr dpdz. (54.5)
V V*
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к инте-
грированию по г, по у? и по г аналогично тому, как это делается в
декартовых координатах.
Замечание. К цилиндрическим координатам бывает удобно перей-
ти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической
поверхностью.
Пример 54.2. Вычислить Щ z-dxdy dz, где V — область, огра-
v
ниченная верхней частью конуса х2 + у2 = z2 и плоскостью z = 1.
Q Решение: На рис. 229 изображена область интегрирования V. Вы-
числим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: х =
= г cosy?, у = г • siny?, z = z. Здесь dxdydz = г • drdipdz. Уравнение
конуса примет вид г2 cos2 y?+r2 sin2 у? = г2, т. е. z = г. Уравнение окруж-
ности х2 + у2 = 1 (границы области D) запишется так: г — 1. Новые
переменные изменяются в следующих пределах: г — от 0 до 1, у? — от
О до 2тг, a z — от г до 1 (прямая, параллельная оси Oz, пересекающая
область D, входит в конус z = г и выходит из него на высоте z = 1).
Таким образом, согласно формуле (54.5), получаем:
Заметим, что, не переходя к цилиндрическим координатам, полу-
чим:
1
Цf z dx фу dz = I
v -1
/l^X2 1
I dy I z dz.
1—ж2 x/a^+i/2
396
Рис 230
Сферическими координатами точки М(х:ц:г') пространства Oxyz
называется тройка чисел р, <р, 0, где р - длина радиуса-вектора точки
М, (р - угон, образованный проекцией радиуса-вектора ОМ на плос-
кость Оху и осью Ох, 0 - угол отклонения радиуса-вектора ОМ oi
оси Oz (см. рис. 230).
Сферические координаты р, <р, 0 связаны с декар ювыми коорди-
натами х, у, z соотношениями:
х = pcostp • sin#, у = psin<p • sin#, z = pros#
(p 0, 0 sj <p sj 2tt, 0 sj # sj я).
В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно про-
изводить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно вос-
пользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле
(54.4). Так как якобиан преобразования
7(г; <р; г) =
cos <р sin# —psin <р sin# pcos<pcos#
sin <p sin # p cos <p sin # p sin <p cos #
cos# 0 —psin#
= p sin <p sin #
sin <p sin # p sin <p cos #
cos# —psin#
+ pcos<psin#
cos <p sin # p cos <p cos #
cos# -psin#
= p sin <p sin #(—psin <p sin2 # — psin <p cos2 #) +
+ p cos <p sin #(—p cos <p sin2 # — p cos <p cos2 #) =
= — p2 sin2 <p sin # • 1 — p2 cos2 <p sin # • 1 = —p2 sin # • 1 = —p2 sin #,
to
Щ f(x', У, z) dx dy dz =
397
= jj J /(pcos<psin#;psin<psin#; рсозв) • p2 sin# • dp dp de. (54.6)
v
Замечание. Переходить к сферическим координатам удобно, когда
область интегрирования V есть шар (уравнение его границы х2 + у2 +
+ z2 = R2 в сферических координатах имеет вид р = R) или его часть,
а также если подынтегральная функция имеет вид f(x2 + у2 + z2).
Пример 54-3. Вычислить
г г г dx • dy • dz
v 1 + (х'2 + р2 + г2) 2
где V — шар х2 + у2 + z2 1.
Q Решение: Вычислим интеграл путем перехода к сферическим коор-
динатам: х = pcos<psin#, у = psintpsin#, z = pcos#. Тогда
dV = dx dy dz = p2 sin в dp dip d6.
t. e.
Граница области V — сфера и ее уравнение имеет вид р = 1, подынте-
гральная функция после замены переменных примет вид -------Ц-
1 + (р )3/
. Новые переменные изменяются в следующих пределах: р -
от 0 до 1, <р — от 0 до 2тг, 0 — от 0 до я. Таким образом, согласно фор-
муле (54.6),
ЧНтЪ
V г
7Г
• р2 sin # dp dp dd = J sin 6 dO
о
2тг 1 2
0 0
J sinOdd J In |1 + p3|^ | = J sin#rf# J |ln2cZ<p =
oo oo
1 '
- In 2 ! sin 0 dO
~ In 2 J sin # d6 =
о
2тг i тг 4тг
= — ln2(— cos#) =—ln2.
3 Io 3
54.4. Некоторые приложения тройного интеграла
Объем тела
Объем области V выражается формулой V = JJJ dv или
v
V = У dxdy dz‘— в декартовых координатах,
398
V = fff r dr dp dz — в цилиндрических координатах,
v
V = fffp2 sinO dpdpdO — в сферических координатах.
Масса тела
Масса тела т при заданной объемной плотности 7 вычисляется с
помощью тройного интеграла как
т = fff 'y(x-,y,z)dxdydz,
где y(x;y;z) — объемная плотность распределения массы в точке
M(x;y;z).
Статические моменты
Моменты SXy, Sxz, Syz тела относительно координатных плоско-
стей Оху, Oxz, Oyz вычисляются по формулам
SXy = fff z- у(х-, у, z) dv, Syz = fff X • 7(x; y, z) dv,
sxz = fff у- 74; у,4dv-
Sxz
Ус = ---,
m
Sxy
m
Центр тяжести тела
Координаты центра тяжести тела V находятся по формулам
Syz
хс = —
т
Моменты инерции тела
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей
вычисляются по формулам
1ху = fff z2 у, z) dv,
ryz = fff X2 • 7(2; y, z) dv,
= fff У2 • y^-y-z'jdv,
а моменты инерции относительно координатных осей:
4 = fff (У2 + z2) ' 74; У,z) dv, Iy = fff (x2 + г2) • 74; у; z) dv,
Iz = Jjf 4'2 + y2) 7(z; y; z) dv.
Пример 54.4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z = х2 + у2 и z = 1.
399
Q Решение: Данное тело ограничено сверху плоскостью z ~ 1, снизу —
параболоидом z ~ х2+у2 (см. рис. 231). Объем тела находим, используя
цилиндрические координаты:
27Г 1 1
= Jг dr dp dz ~ J dp J г dr
V 0 0 r2
27Г
0
0 0
0
Пример 54-5. Найти массу шара а;2 4- у2 + z2 2Rz, если плот-
ность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от
нее до начала координат (дополнительно: найти координаты центра
тяжести).
Q Решение: Уравнение сферы х2 + у2 4- z2 — 2Rz можно записать так:
х2 4- у2 4- (z — R)2 = R2. Центр шара расположен в точке ОЦО; 0; R)
(см. рис. 232). Пусть M(x-y;z) — произвольная точка шара. Тогда, по
условию, плотность у определяется формулой
= 7^'т~2Д 2’
\/х/ 4- у2 4- z
где к — коэффициент пропорциональности, -\/а;2 4- р2 4- z2 — расстоя-
ние от точки М до начала координат.
Итак, m = fff у{х-у-z) dv = fff - к dv.
J "S j у x -j- у -j- Z
Вычислять интеграл будем в сферических координатах. Уравнение
сферы а;2 4- у2 4- z2 = 2Rz примет вид р2 = 2Rp cos#, т. е. р = 2i?cos#.
400
Поэтому сферические координаты будут изменяться в следующих пре-
делах: р — от 0 до 22? cos 0; в — от 0 до т~; tp — от 0 до 2тг. Подынте-
к к
тральная функция примет вид —7= = —. Поэтому
V Р2
2тг 2 2/1 cos#
m = yyy - • p2 sin 0 dp dip dd = к dtp J sin 0 dO J pdp =
v P оо о
27Г 2 2тг 2
dip J sinO d0 4R2 cos2 0 ~—2R2к j dp J cos2 0 d(cos 0) =
о 0
27Г
= ‘ J *J
о 0
2?r
= —22?2fc I dtp-
0
cos3 0 2
= -2R2k-
о
27Г
о
Из соображений симметрии следует, что хс = 0, ус = 0;
интеграл —-fff z . dv, найдем zc
т JJJ . х2 + и2 , ^2
4
= -якВ?.
о
вычислив
= ^2?. Итак, координа-
t)
3
О
ты центра тяжести (0; 0; $R).
О
Глава XII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лекции 47-50
Обобщением определенного интеграла на случай, когда область ин-
тегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криво-
линейный интеграл.
§55. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА
55.1. Основные понятия
Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L)
длины I Рассмотрим непрерывную функцию f(x;y), определенную в
точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками Mfl = A, Mi, М-2, • •
... ,Мп = В на п произвольных дуг с длинами Д/, (г = 1,
2,..., тг)(см. рис. 233). Выберем на каждой дуге Мг произвольную
точку (х,;)/,) и составим сумму
п
(55.1)
1=1
Рис 233
Ее называют интегральной суммой для функции f(x;y) по кри-
вой АВ.
Пусть А = max — наибольшая из длин дуг деления. Если
при А —> 0 (тогда п —> оо) существует конечный предел интегральных
402
сумм (55.1), то его называют криволинейным интегралом от функции
f(x; у) по длине кривой АВ (или I рода) и обозначают f f(x', у] dl (или
. АВ
J f(x;y)dl).
L
Таким образом, по определению,
п
I f(x-, у) dl = Jim, f(xt; yt)Mt
АВ (А>°) г=1
(55.2)
Условие существования криволинейного интеграла I рода (суще-
ствования предела интегральной суммы (55.1) при п —> оо (А —> 0))
представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без до-
казательства.
Теорема 55.1. Если функция f(x-,y) непрерывна в каждой точке
гладкой кривой (в каждой точке (х-,у) Е L существует касательная
к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемеще-
нии точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует
и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части,
ни от выбора точек в них
Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интегра-
ла от функции f(x;y; z) по пространственной кривой L.
Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине
дуги (I рода).
1. J f(x;y)dl = J f(x-,y)dl, т. е. криволинейный интеграл! ро-
АВ ВА
да не зависит от направления пути интегрирования.
2. J с f(x; y)dl = с - у f(x; у) dl, с = const
L L
3. У (А (ж; у) ± Л (ж; у)) dl = f fr(x;y)dl± у f2(x;y)dl.
L L L
4. J f(x;y)dl= J f(x;y)dl+ J f(x; y)dl. если путь интегрирова-
L Li l2
ния L разбит на части Lx и L2 такие, что L = Lt (J L2 и -^i и L2 имеют
единственную общую точку.
403
5. Если для точек кривой L выполнено неравенство fi(x;y)
^h(x-y\ то у f±(x,y)dl у f2(x;y)dl.
L L
/п
dl = lim ^2 А1г = I, где I —длина кривой АВ.
АВ ( а—>°)г=1
7. Если функция fix; у) непрерывна на кривой АВ, то на этой кри-
вой найдется точка (хс;ус) такая, что J f(x;y)dl = f(xc;yc) I (тео-
рема о среднем). дв
55.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода
Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено
к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказа! ельства
правила вычисления криволинейною интеграла I рода в случаях, если
кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t),
у = y(t), t е [о;/?], где x(t) и y(t) — непрерывно дифференцируемые
функции параметра t, причем точке А соответствует t = а, точке В —
значение t — /3, то
а ________
У” f(x;y)dl = у f(x(t);y(t)) • у/xf + yf dt. (55.3)
АВ а
Аналогичная формула имеет место для криволинейного интегра-
ла от функции /(z; у, z) по пространственной кривой АВ, задаваемой
уравнениями х — x(t), у = y(t), z = z(t), а t /3:
а ___________
У f(x;y;z)dl = у f(x(t);y(t);z(t)) у/х? + у?' + z?' dt. (55.4)
АВ а
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана уравнением у = <р(х), х Е [а; &], где ф(х) —
непрерывно дифференцируемая функция, то
Ь _____
У f(x-,y)dl = У f(x;ip(x)) yjv + yl' dx. (55.5)
АВ а
Подынтегральное выражение в правой части формулы (55.5) получа-
ется заменой в левой части у = fp(x) и dl = yjl + у%' dx (дифференциал
дуги кривой — см. п. 41.3).
404
Пример 55.1. Вычислить J ху2 dl, где L — отрезок прямой ме-
L
жду точками 0(0; 0) и 4(4; 3).
О
Q Решение: Уравнение прямой ОА есть у — ^х, 0 х 4. Согласно
формуле (55.5), имеем:
г 2j, г /3 \2 Г ?3?2 45 г з ж
/ ху2 dl = J х • \ 1 + (д J dx = J х dx = 45. •
L 0 V 0
Полярное представление кривой интегрирования
Если плоская кривая L задана уравнением г = г(<^), а р /3 в
полярных координатах, то dl = ^/r2 + (r(,)2dp и
в _______
У fix; у) dl = у f(rcosp;rsinp) yr2 + r'v2dp. (55.6)
L a
Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в фор-
мулах (55.3)-(55.6) должен быть меньше верхнего.
Пример 55.2. Вычислить j (х + y)dl, где L —
_______________________L_
лепесток лемнискаты г — у/sin 2р, расположенной в
I координатном углу.
Q Решение: Кривая интегрирования изображена на
рисунке 234. Воспользуемся формулой (55.6). Так
как
cos2 2р
—:—-—dtp —
sm 2p
dtp
у/ sin 2<p
dtp
r
то, заметив, что 0 p получаем:
7Г
2
У (cost/? + sine/?) dp = 2. •
55.3. Некоторые приложения криволинейного
интеграла I рода
Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения
в математике и механике.
405
Длина кривой
Длина I кривой АВ плоской или пространственной линии вычи-
сляется по формуле I = J dl.
АВ
Площадь цилиндрической поверхности
Если направляющей цилиндри-
ческой поверхности служит кривая
АВ, лежащая в плоскости Оху, а
образующая параллельна оси Oz
(см рис. 235), то площадь поверх-
ности, задаваемой функцией z =
= f(x;y), находится по формуле Q —
= I f&y)dl.
АВ
Масса кривой
Масса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос,...) определя-
ется формулой т = у у(М) dl, где у = = у(а;; у) — плотность
АВ
кривой в точке М.
□ Разобьем кривую АВ на п элементарных дуг М1^М1 (г = 1,п).
Пусть (Д; уг~) — произвольная точка дуги Мг_\Мг. Считая прибли-
женно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой
точке дуги такая же, как и в точке (хг:щ). найдем приближенное зна-
чение массы тг дуги
тг к 'у(хг-,у1)Л.1г.
Суммируя, находим приближенное значение массы т:
m « 7(^5 &)М- (55.7)
1—1
За массу кривой АВ примем предел суммы (55.7) при условии, что
maxAZ.t —> 0 (о —> оо), т. е.
п
т=
(тахД/г—>0) г=1
или, согласно формуле (55.2),
т = у 'у(х; у) dl.
АВ
(Заметим, что предел существует, если кривая АВ гладкая, а плотность
задана непрерывной в каждой точке АВ функцией.)
406
Статические моменты, центр тяжести
Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты
центра тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам
Sx= J У • y(x;y)dl, Sy = у х y(x; у) dl, хс = ^, ус = ^-.
АВ АВ
Моменты инерции
Для материальной кривой АВ моменты Ix, Iy, Iq инерции относи-
тельно осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны:
4= I y2-y(x-,y)dl, Iy= f x2"y(x;y)dl, Io = j\x2+у2)-у(х;у) dl.
AB AB AB
Пример 55.3. Найти центр тяжести полуокружности х2 + у2 = Я2,
лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице
в каждой точке кривой (7 = 1).
Q Решение: Из соображений симметрии ясно,
что центр тяжести находится на оси Оу (см.
рис. 236). Поэтому хс = 0. Ордината центра тя-
жести г ,,
AB
АВ
Знаменатель дроби — длина полуокружности.
Поэтому J dl = ttR.
АВ
Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими
уравнениями окружности х = i?cost, у — Rsint, 0 t тг. Имеем:
У у dl = у Я sin t • у/ R2 sin2 t + R2 cos2 t dt — R2 J sintdt = 2R2.
AB о о
7 R^ 7 R 2 R
Следовательно, yc — = —. Итак, xc = 0, yc = —.
ТГ It ТГ 7Г
§56. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА
56.1. Основные понятия
Решение задачи о вычислении работы переменной силы при пере-
мещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) при-
водит к понятию криволинейного интеграла II рода.
Криволинейный интеграл II рода определяется почти так же, как
и интеграл I рода.
407
Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) и
функция P(a:;i/), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кри-
вую АВ точками Мо = A, Mi,..., Мп = В в направлении от точки А к
точке В на п дуг с длинами Д/, (г = 1,2,...,п).
На каждой «элементарной дуге»
возьмем точку (х,;1/г) и соста-
вим сумму вида
п
52-Р(Жг;^) • (56.1)
7-1
где Да?, = хг — хг_ 1 — проекция дуги
М,_1Мг на ось Ох (см. рис. 237).
Сумму (56.1) называют интеграль-
ной суммой для функции Р(х\ у) по пе-
ременной х. Таких сумм можно соста-
вить бесчисленное множество. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно.)
Если при А = max Д/, -> 0 интегральная сумма (56.1) имеет ко-
нечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни
от выбора точек (хг;уг), то его называют криволинейным интегралом
по координате х (или II рода) от функции Р(х-, у) по кривой АВ и
обозначают
Итак,
J Р(х', у) dx или J P(x-,y)dx.
АВ L
п
f Р(х; у) dx = Jiiri^ Р(хг;у,)Лхг.
АВ г=1
Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции у)
по координате у:
П !
( Q(x;y)dy = \1тс'^20(хг;уг)Л.уг,
АВ О->0) 7=1
где Дд, — проекция дуги Mt_iMt на ось Оу.
Криволинейный интеграл II рода общего вида
/
АВ
Р(х;у) dx + Q(x;y) dy
определяется равенством
J Р(х;у) dx +'Q(x;y) dy = J P(x;y)dx + J Q(x;y)dx.
AB AB AB
(
<08
Криволинейный интеграл j Q(x;y;z) dx+Q(x-,y;z) dy+R(x;y;z) dz
L
по пространственной кривой L определяется аналогично.
Теорема 56.1. Если кривая АВ гладкая, а функции Р(х\у) и Q(x-,y)
непрерывные на кривой АВ, то криволинейный интеграл II рода су-
ществует.
Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла
II рода.
1. При изменении направления пути интегрирования криволиней-
ный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т. е.
1-4
АВ ВА
(проекция дуги Л/г_1Л/, на оси Ох и Оу меняют знаки с изменением
направления).
2. Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то
интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.
АВ АС СВ
3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох,
то
У P(x;y)dx = 0 (все Да;, = 0);
L
аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной
оси Оу.
jQ(x;y)dy-0 (все Дт/, = 0).
L
4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой ^обозначается
ф 1 не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направ-
J ' п
ления обхода кривой). ______
□ Действительно, (
чч ч ч________________________у
АтпСпА АтпС СпА тп
(см. рис. 238). С другой стороны,
409
СпАтС
СпА
АтС
Таким образом,
/ - /
АтСпА CnAtnC
56.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода
Вычисление криволинейного интеграла II рода, как и I рода, может
быть сведено к вычислению определенного интеграла.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t)
и у = y(t), где функции x(t) и y{t) непрерывны вместе со своими про-
изводными x'(t) и y'(t) на отрезке [а; /3], причем начальной точке А
кривой соответствует значение параметра t = а, а конечной точке В —
значение t = /3. И пусть функция Р(ж; у) непрерывна на кривой АВ.
Тогда, по определению,
п
I Р(х-, у) dx = Jim, ^2 р<Аг; уг)^хг.
АВ (Л“>0) г=1
Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Так как
Д-Л = хг - жг_х = x(tt) - ж(Зг-1),
то по формуле Лагранжа (см. (25.2)) имеем: Джг = ж'(сг)ДЗг, где сг €
€ (^г — 1 j ^г), Д^г — t2 — 1 •
Выберем точку (хг;уг) так, чтобы хг = х(сг). уг — у(сг). Тогда пре-
п
образованная интегральная сумма )Г) ^(^(ci); y(ct)) • Х'(СА ' ДС будет
г=1
интегральной суммой для функции одной переменной P(x(t\, y(t)) -x'(t)
на промежутке [а; /3]. Поэтому
/з
У Р(х;у) dx = у* P(x(t); t)(+)W(3) dt. ’ (56.2)
АВ а
Аналогично получаем:
/з
У Q(x;y)dy = у Q(x(t); у(3))у'(t)dt. (56.3)
АВ а
Складывая почленно полученные равенства (56.2) и (56.3), полу-
чаем:
/з
У P(x-,y)dx+Q(x-,y)dy = у [p{x{t)\y(t))x'(t) + Q(x(t)-,y(t)')y'(t)^ dt.
АВ а
(56.4)
410
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана уравнением у = р(х), х € [а; &], где функ-
ция <^(ж) и ее производная ip' (.г) непрерывны на отрезке [а; 6], то из
формулы (56.4), приняв х за параметр, имеем параметрические урав-
нения кривой АВ: х = х, у = р>(х), х € [а; &], откуда получим:
ь
У Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = J |^Р(ж; р>(хУ) + <2(ж; </>(ж))dx. (56.5)
АВ а
В частности,
ь
У P(x;y)dx = у Р(ж; ^(ж)) dx. (56.6)
АВ а
Если АВ — гладкая пространственная кривая, которая описыва-
ется непрерывными на отрезке [а;/3] функциями х — x(t), у = y(t) и
z = z(t), то криволинейный интеграл
У Р(х; у; z) dx + Q(x; у; z)dy + 7?(ж; у; z) dz
АВ
вычисляется по формуле
/з
У Pdx + Qdy + Rdz = J [P(a:(t); y(t); z(t)^)x'(t) +
AB a
+Q(x(t)-y(t)-z(t))y'(t) + R(x(t)-,y(ty, z(t))z'(t)]dt. (56.7)
Замечание. Криволинейные интегралы I и II рода связаны соотно-
шением у Pdx+Qdy— у (Pcosa + Q cos/3) dl, где а и /3 — углы,
АВ АВ
образованные касательной к кривой АВ в точке М(х;у) с осями Ох и
Оу соответственно.
Пример 56.1. Вычислить I = j (х — у)2
L
ломаная О АВ, где 0(0; 0), 4(2; 0), 13(4; 2).
Q Решение: Так как L = О АВ = О А + АВ (см.
рис. 239), то I = у = У + у.
L ОА АВ
Уравнение отрезка О А есть у = 0, 0 х 2;
уравнение отрезка АВ: у = х — 2, х Е [2; 4]. Со-
dx + (х + у)2 dy, L
Рис 239
411
гласно формуле (56.5), имеем:
2 4
I = у [(ж - О)2 + 0] dx + у [22 + (2ж - 2)2 • 1] dx =
О 2
= т1о + Ч + 2 = з + <16 -»>+ 5<21б~ 8> = Т •
Пример 56.2. Вычислить I = у2 dx + (x2 +z) dy + (x + y 4-z2) dz,
L
L — отрезок прямой в пространстве от точки А(1;0;2) до точки
В(3; 1; 4).
О Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и
В: ~ = г ~ или в параметрической форме: х — 2t + 1, у — t,
z = 2t + 2. При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется
от 0 до 1. По формуле (56.7) находим, что
1
I = У [t2 2 + ((2t + I)2 + 2t + 2) 1 4- (2t + 1 + t + (2t + 2)2) • 2] dt =
° r 95
= y (14t2 + 28t + 13) dt = y. •
0
56.3. Формула Остроградского-Грина
Связь между двойным интегралом по области D и криволиней-
ным интегралом по границе L этой области устанавливает формула
Остроградского-Трина, которая широко применяется в математиче-
ском анализе.
Пусть на плоскости Оху задана область D, ограниченная кривой,
пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не
более чем в двух точках, т. е. область D — правильная.
Теорема 56.2. Если функции Р(х;у) и Q(x;y) непрерывны вместе
со своими частными производными и в области D, то имеет
ду дх
место формула
//(1Д ^)‘ь<г’ = /р* + <г* (5М)
где L — границ^ области D и интегрирование вдоль кривой L произ-
водится в положительном направлении (при движении вдоль кривой,
область D остается слева).
412
Формула (56.8) называется формулой Остроградского-Грина.
□ Пусть у = <pi(x) — уравнение дуги АпВ, а у = tfi2[x) — уравнение
дуги АтВ (см. рис. 240). Найдем сначала
вычисления двойного интеграла, имеем:
/[ 15y dx правилу
an ь ап
// — dXdy = fdX f ^dy =
D ь a Ы®)
r jw)
= dx- Р(ж;у) =
J l<£l(z)
b
ь а
а а
Или, согласно формуле (56.6),
jf^-dxdy= J P(x-,y)dx— J P(x;y)dx =
D AmB AnB
= — у P(x',y)dx — у P(x',y) dx = — у P(x;y) dx. (56.9)
BmA AnB L
v Аналогщшо доказывается, что
У~^dx dy = у Q[x', у) dx. (56.10)
D L
Если из равенства (56.10) вычесть равенство (56.9), то получим
формулу (56.8). Я
Замечание. Формула (56.8) справедлива и для произвольной обла-
сти, которую можно разбить на конечное число правильных областей.
Пример 56.3. С помощью формулы Остроградского-Грина вы-
числить
I = У у/х2 + у2 dx + у [ху + 1п(ж + у/х2 + у2)) dy,
L
где L — контур прямоугольника с вершинами А(3;2), Г?(6;2), €7(6;4),
Е»(3;4).
Q Решение: На рисунке 241 изображен контур интегрирования. По-
скольку
dQ
дх
ле (56.8) имеем:
/ у • у/х2 +т/2 + 1\ . QP_
У \ у/х2 + у2 /’ дУ
у/х2 + У
по форму-
413
у(у^х2 + j/2 + 1)
л/ж2 + у2
Рис. 242
Рис. 241
56.4. Условия независимости криволинейного
интеграла II рода от пути интегрирования
Пусть 2/1) и В(х2',У2) — две произвольные точки односвяз-
ной области D плоскости Оху (область D называется односвяз-
ной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области,
ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область
без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на
рис. 242 это Li, Тг и Тз). По каждой из этих кривых интеграл
4 = / Р(х; у) dx + Q(x; у) dy
ab '
имеет, вообще говоря, свое значение.
Если же его значения по всевозможным кривым АВ одинаковы,
то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования. В
этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную
точку А(ж1;у!) и его конечную точку В(х2',У2) пути. Записывают:
(®2,Vi)
1= У Р(ж; у) dx + Q(x; у) dy. (56.11)
Oi;yi)
Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода
не зависел от вида пути интегрирования?
414
Теорема 56.3. Для того чтобы криволинейный интеграл
I = у Pdx + Qdy
не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в кото-
рой функции Р(ж;у), Q(x',y) непрерывны вместе со своими частными
производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой
области выполнялось условие
cPP_dQ
ду дх
(56.12)
□ Докажем достаточность условия (56.12). Рассмотрим произвольный
замкнутый контур АтВпА (иля L) в области D (см. рис. 243). Для
него имеет место формула Острогрз дского-Грина (56.8). В силу усло-
вия (56.12) имеем:
У Р dx + Q dy = 0, или
L АтВпА
У Р dx + Q dy — 0.
Учитывая свойства криволинейного ин-
теграла, имеем:
У Р dx + Q dy =
АтВпА
= у Р dx + Q dy + у Р dx + Q dy =
АтВ ВпА
— у Р dx + Q dy — у Р dx + Q dy = 0,
АтВ АпВ
Т. е.
АтВ АпВ
Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не
зависит от пути интегрирования.
|ла| В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется
М дР dQ
условие то интеграл по замкнутому контуру равен ну-
лю:
Pdx + Qdy = 0.
Верно и обратное утверждение.
415
Следствие 56.1. Если выполнено условие (56.12), то подынтеграль-
ное выражение P(x;y)dx + Q[x;y)dy является полным дифференци-
алом некоторой функции и = и(х',у) (см. (44.5)), т. е.
Р(х-, у) dx + Q(x; у) dy = dU(ж; у). (56.13)
Тогда (см. (56.11)):
(Х2;У2~) (Х2,У2)
1= ! P(x;y)dx + Q(x;y) dy = J dU(x;y) =
I (яг ;</2)
= U(x;y)\ =U(x2;y2)-U(xi;yi),
I <Ж1 ;j/i)
т. e. ,
(Х2;У2)
У P(x;y) dx + Q(x;y) dy = U(x2\y2) - U(x1;y1). (56.14)
(n ;.'л)
Формула (56.14) называется обобщенной формулой Ньютона-
Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.
Следствие 56.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть
полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то
У Р dx + Q dy = 0.
L
Замечания.
1. Чтобы не спутать переменную интегрирования х с верхним пре-
делом х, переменную интегрирования обозначают другой буквой (на-
пример, t, и т. д.).
2. Функцию U = U(x; у), удовлетворяющую условию (56.12), можно
найти, используя формулу
х у
U(x;y) = у P(x;y0)dx+ У Q(x;g)d£ + C. (56.15)
Хо Уо
В качестве начальной точки (хо; уо) обычно берут точку (0; 0) — начало
координат (см. пример 56.5).
3. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного ин-
теграла
У Р dx + Q dy + Rdz
L
416
по пространственной кривой. Условие (56.12), равенство (56.13), фор-
мулы (56.14) и (56.15) имеют соответственно вид:
dP_dQ dQ dR dR _ дР
ду дх ’ dz ду' дх dz ’
Р dx + Qdy + Rdz = dU(x;y; z),
(х2;У2;г2)
У Pdx + Qdy + Rdz = U(x2-,y2\Z2) ~ U^x^y^zi},
(xi,yi;zi) X
х У z '
U(x-,y;z)= У P(x;y0-,z0)dx+ j Q(x;^;z0)d^ + f R(x;y,QdC + C
xo yo zo
(cm. пример 73.1).
Пример 56.4. Найти I = j
(0;0)
Q Решение: Здесь Р = у, Q = х, = 1. Согласно вышепри-
веденной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В ка-
честве пути интегрирования можно взять отрезок прямой у = х, дугу
параболы у = х2 и т. д. или воспользоваться формулой (56.14). Так как
ydx + xdy = d(xy), то
z= / *-») = ^|№о> = i-o = i' *
(0;0)
Пример 56.5. Убедиться, что выражение e w dx — (2y + xe~y) dy
представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x;y)
и найти ее.
Q Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным
дифференциалом, необходимо выполнение условий (56.12):
А(е-^) = _е~У. ±^2у + хе~У)) = -е~У
ду дх
— условия выполнены, следовательно, e~ydx — (2у + xe~v)dy = dU(ж; у).
А так как полный дифференциал имеет вид
д д
;у) = -=-U(x; у) dx + — U(х; у)
дх ду
(см. п. 44.3), то верны соотношения
^-U(x;y) = е~у; ^-U(x-,y) = -(2у + хе~у). (56.16)
ох оу
14 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
417
Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом
вместо постоянной интегрирования следует поставить ср(у) — неизвест-
ную функцию, зависящую только от у:
U(ж; у) — е у dx — хе у + ср(у\
Подставляя полученное выражение во второе из уравнений (56.16), най-
дем <Ду):
^-[хе у +ср(у)) =
—хе у + ср'(у) — —(2у + хе у);
^'(у) = “2У, ‘/’(у) = “У2 + с-
Таким образом, U(х; у) — хе у — у2 + с. •
Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (56.15):
х у
U(ж; у) = У е~° dx + j(—2£ + хе~^) d£ + С =
° ° = х — у2 + хе у — х + С = хеу — у2 + С.
56.5. Некоторые приложения криволинейного
интеграла II рода
Площадь плоской фигуры
Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и
ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле
(56.17)
при этом кривая L обходится против часовой стрелки.
□ Действительно, положив в формуле Остроградского- Грина (56.8)
Р(х; у) = 0, Q(x; у) — х, получим:
УУ (1 — 0) dx dy = у 0 • dx + х dy,
D L
ИЛИ г
S — ф х dy. (56.18)
L
Аналогично, полагая Р = — у, Q = 0, найдем еще одну формулу
для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного инте-
грала:
S — — ф ydx. (56.19)
L
418
Сложив почленно равенства (56.18) и (56.19) и разделив на два,
получим: 1
S = - у х dy — у dx.
(56.2'G)’
Формула (56.17) используется чаще, чем формулы (56.18) и (56.19).
Работа переменной силы
Переменная сила F(P(x-, y);Q(x; у)) на криволинейном уч\"тке АВ
производит работу, которая находится по формуле \
А = у Р dx + Q dy.
АВ
Q Действительно, пусть материальная точка (ж; у) под действием пе-
ременной силы F перемещается в плоскости Оху по некоторой кривой
АВ (от точки А до точки В).
Разобьем кривую АВ точками
Mg = A, Mi, М->...., Мп = В на п «эле-
ментарных» дуг Mi-iMi длины Д/г и
в каждой из них возьмем произвольную
точку Сг(хг;уг), i = 1;2;...;п (см.
рис. 244). Заменим каждую дугу
Mi-iMi вектором Л/, , Л7, = (Д.г,: Ду,),
а силу F будем считать постоянной на
векторе перемещения M^iMi и равной
заданной силе в точке С[ дуги ЛД_1Мг:
Fi = (Р(£г;уг);<Э(^;уг)). _ ________
Тогда скалярное произведение Fi • можно рассматривать
как приближенное значение работы Ft вдоль дуги М,
А,- « Ft -Мг-iMi = Р(хг,уг) Дж; +Q(xi-,yi) Ду,.
Приближенное значение работы А силы F на всей кривой составит
величину п п п
^Р(1>-УА Джг + ^Q(xl-,yi) &Уг.
За точное значение работы А примем предел полученной суммы при
А = max Д/j —> 0 (тогда, очевидно, Дж/ —> 0 и Ду» —> 0):
1 i < 7?
lim \^ P(xl-yt)-^Xi + Q(xl;yi)-Ayi= / Р(х;у) dx + Q(x-, у) dy.
X—>0 ' J м
(n—>оо) i—1 АВ и
Замечание. В случае пространственной кривой АВ имеем:
А — у* Р(х;у; z) dx + Q(x;y; z) dy + R(x;y, z) dz.
AB
419
Пример 56.6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой
х = а • cos31, у = а • sin31.
Q Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении
параметр t изменяется от 0 до 2тг (см. рис. 245).
Применяя формулы (56.17) и (56.4), получим:
1 f”
S = - J (a cos3 t За sin2 t cos t + a sin3 t За cos2 t sin /.) dt =
° 1 „ 2 У sin2 21 За2 2f 1-cos 41 За2тг
= - За2 / —-—dt =--- / --------dt = ——
2 J 4 8 J 2 8
о о
Пример 56.7. Найти работу силы F = 4ж6г + xyj вдоль кривой
у = х3 от точки 0(0; 0) до точки В(1; 1).
Q Решение: По формуле (56.20) находим:
1 1
А = у 4ж6 dx + xydy = J (4х6 + х х3 Зж2) dx = J 7х6 dx = 1. •
L 0 0
§57. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА
57.1. Основные понятия
Обобщением двойного интеграла является так называемый поверх-
ностный интеграл.
Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S, простран-
ства Oxyz определена непрерывная функция f(x;y;z). Разобьем по-
верхность S на п частей Зг, площади которых обозначим через AS,
(см. рис. 246), а диаметры — через ф, i = 1;п. В каждой части S,
420
возьмем произвольную точку Мг (хг; у,; zt) и составим сумму
п
^2/(жг;уг;гг)Д5г.
г~ 1
(57.1)
Она называется интегральной для функции /(ж; у, z) по поверхно-
сти S.
Psi Если при X = max </, —> 0 интегральная сумма (57.1) имеет пре-
дел, то он называется поверхностным интегралом I рода от
функции /(ж; у; z) по поверхности S и обозначается ff f(x; у; z) ds.
s
Таким образом, по определению,
п
[[f(.x-,y;z')ds= lim Y'/(x/,7/,;z!)ASt.
«/ «/ А—
S (n—>cc) г—1
(57.2)
Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее точке су-
ществует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с
перемещением точки по поверхности), а функция f(x;y, z) непрерывна
на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема
существования).
Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
1.
2.
3.
// С ^Х’' У ’г^8 = с ’ // f(x'’ У’ (^s' где с — число.
S S
ff(fi(x;y;z)±f‘2(x;y;z))ds = Ц fi(x-y,z) ds± Цf2(x;y,z) ds.
S S S
Если поверхность S разбить на части Si и S2 такие, что S =
= Si (J S2, а пересечение Si и S2 состоит лишь из границы, их разделя-
ющей, то
f [ f(x; y;z')ds = Ц f(x; y;z)ds + Ц f(x; у; z) ds.
S S1 s2
4. Если на поверхности S выполнено неравенство fi(x-,y,z}
< f2(x-y,z'), то Ц fi(x;y;z) ds Ц f2(x;y; z)ds.
s s
5 Ц ds = S, где S — площадь поверхности S.
s
6.
II f(x-,y\z)ds
s
s
421
7. Если f(x',y, z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверх-
ности существует точка (хс;ус; zc) такая, что
У[ f(x; у; z) ds = f(xc; yc; zc) S
s
(теорема о среднем значении).
57.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода
Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычисле-
нию двойного интеграла по области D — проекции поверхности S на
плоскость Оху.
Разобьем поверхность S на части Sj, i = 1;п. Обозначим через щ
проекцию Si на плоскость Оху. При этом область D окажется разбитой
нап частей &i, с?2, • •, сгп. Возьмем в ст, произвольную точку Pi(xj- yi) и
восстановим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с поверх-
ностью S. Получим точку Mi(xi',yi', z^ на поверхности Si. Проведем в
точке Mi касательную плоскость и рассмотрим ту ее часть Т), которая
на плоскость Оху проектируется в область оу (см. рис. 247). Площади
элементарных частей S), Т) и оу обозначим как AS,, АТ) и Доу соот-
ветственно. Будем приближенно считать, что
AT) «AS,. (57.3)
Следовательно,
Обозначив через острый угол между осью
Oz и нормалью п, к поверхности в точке Mi, по-
лучаем:
АТ) • cos 7, = &.Oi (57.4)
(область <Ji есть проекция Т) на плоскость Оху).
Если поверхность S задана уравнением z =
= z(x;y), то, как известно ((см. (45.2)), уравнение
касательной плоскости в точке Mi есть
4(^0 Уг) - хг) + z'y(xi’ Уг) ’ (У ~ Уг) ~ (z ~ Zi) = О,
где z'x(xi,yi), z'yfx^yi), -1 — координаты нор-
мального вектора к плоскости. Острый угол 7,
есть угол между векторами к = (0;0; 1) и
«г = !)•
cos7i =
422
Равенство (57.4) принимает вид
Д7) = + %'х2(х^уг) + ^2(жг;?л)Да;.
В правой части формулы (57.2) заменим ДЗ) (учитывая (57.3)) на по-
лученное выражение для Д7), a z, заменим на z(xi',yi). Поэтому, пе-
реходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра Si (а
следовательно, и а,), получаем формулу
/[ f(x', y,z')ds = Ц f(x-у, z(x; у)) • yjl+z'2 + z'y2 dx dy, (57.5)
S D
выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по
проекции S на плоскость Оху.
Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида у =
= y(x;z) или х = х(у; z), то аналогично получим:
И f(x;y;z)ds = II f(x;y(x-zy,z) • ^/1 + у'х2 + y'z2 dx dz
S Di
И
II f(x-, у, z)ds = II f(x{y,zy,y-z) ^1 + x'2 +x'z2dydz, (57.6)
S D2
где Di и T?2 — проекции поверхности S на координатные плоскости
Oxz и Oyz соответственно.
Пример 57.1. Вычислить I = Ц(х — Зу + 2z) ds, где S -- часть
s
плоскости 4х + Зу + 2z — 4 = 0, расположенной в I октанте (см. рис. 248).
3
Q Решение: Запишем уравнение плоскости в виде z = 2 — 2х — %у.
О
Находим zx' = —2, zy — — По формуле (57.5) имеем:
I (4 — Зх — бу) dy =
О
423
\/29 r/16 16 2\
= J (у t1 ~x^~ 4з:(1 “ ж) _ у С1 “ х) )dx =
О
X3 16 (1-ж)3\|1 _ У29
3 а+ 3 3 / 1о ~ 9
Пример 57.2. Вычислить
I = уУ х(у + z) ds,
s
где S — часть цилиндрической поверхности х = у/1 — у2, отсеченной
плоскостями z = 0, z = 2 (см. рис. 249).
Q Решение: Воспользуемся формулой (57.6). Поскольку ху' —
=----77^ г, Xz' = 0, то
V1
I = уУ V1 - У2 - (у + z)- -I/1 + у 2 dy dz — //(y + z) dv dz =
Di ’ У Di
1 2 1 2 2 1
= У dy у (у + z)dz = у [yz + у У |о dy = у (2у + 2) dy = 4,
-1 о -1 -1
где Di — прямоугольник AAiBiB. •
424
57.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла
I рода
Приведем некоторые примеры применения поверхностного инте-
грала I рода.
Площадь поверхности
Если поверхность S задана уравнением z — z(x; у), а ее проекция на
плоскость Оху есть область D, в которой z(x;y), zx'(x;y) и zy'(x;y) —
непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле
s=//.s,
S
или S = уу + zx'2 + Zy'2 dx dy.
D
Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления
массы, координат центра масс, моментов инерции материальных по-
верхностей с известной поверхностной плотностью распределения мас-
сы у = 7(х; у; z). Все эти величины определяются одним и тем же спо-
собом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей,
делая для каждой области деления упрощающие задачу предположе-
ния; находят приближенное значение искомой величины; переходят к
пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллю-
стрируем описанный способ на примере определения массы материаль-
ной поверхности.
Масса поверхности
Пусть плотность распределения массы материальной поверхности
есть 7 = 7(35; у; z). Для нахождения массы поверхности:
1. Разбиваем поверхность S на п частей S,, i = 1,2,..., п, площадь
которой обозначим AS',..
2. Берем произвольную точку Мг(хг; уг\zt) в каждой области St.
Предполагаем, что в пределах области S, плотность постоянна и равна
значению ее в точке Мг.
3. Масса тг области S, мало отличается от массы 7(37; уг; zt)^St
фиктивной однородной области с постоянной плотностью
7 = y^^y^z^.
п
4. Суммируя тг по всей области, получаем: т » ^2 7(жб Уг-
г=1
5. За точное значение массы материальной поверхности S принима-
ется предел, к которому стремится полученное приближенное значение
425
при стремлении к нулю диаметров областей Si, т. е.
п
т= lim
inaxdt—>0
г=1
т. е. г с
т = у(х;у; 2^) ds. (57-7)
s
Моменты, центр тяжести поверхности
Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты
инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим
формулам:
C — J-Vy ~ II z • 7(1; y; z) ds, Mx = //(У2 + z2) 7(3;; y; z) ds,
s s
Syz = JI x 7(1; y; z) ds, My + z2) 7(3;; y; z) ds,
s s
Sxz = II у 'y(x-,y;z') ds, s Mz =f/^2 s + y2) 7(^5 y; z) ds,
Syz , Ус m SxZ Sxи = , Zc = m m Mo 4!^2 s + y2 + z2) • 7(1; y; z) ds.
Пример 57.3. Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой
точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от
радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.
Q Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса R. Ее
уравнение z = y/R2 — х2 — у2; 7 = -^х2 + у2 - поверхностная плот-
ность полусферы.
Переходим к полярным координатам:
m = R [[ == rdrdp = R [ dp- [ . Г dr = ------
JJ pp _ r2 J J ^/д2 _ r2 2
426
Внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки г = R sin t:
л/ R2 — г2
2 . 2
г R2 sin2 t „ , n2 г 1 — cos 2/ ,
/ —---------- R cos tdt = R2 / --------dt =
J Rcost J 2
о 0
§58. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА
58.1. Основные понятия
Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволиней-
ного интеграла II рода, где направленную кривую разлагали на элемен-
ты и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости
от того, совпадало ли ес направление с направлением оси или нет.
g Пусгь задана двусторонняя поверхность (таковой является
плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнени-
ем z = f(x;y), где f(x-,y), fx' и fy' — функции, непрерывные в неко-
торой области D плоскости Оху и т. д.). После обхода такой поверх-
ности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меня-
ется. Примером односторонней поверхности является так называемый
лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ и CD пря-
моугольника ABCD так, что точка А совмещается с точкой С, а В —
с D (см. рис. 251).
Рис. 251
Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности
S в пространстве Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Вы-
бранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность
ориентирована) разбиваем на части Si, где г = 1,2, ...,п, и проекти-
руем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции Дог
берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности,
или, что то же самое, если нормаль п к выбранной стороне поверхно-
сти составляет с осью Oz острый угол (см. рис. 252, а), т. е. со8 7г > 0;
со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или
cos7г < 0) (см. рис. 252, б). В этом случае интегральная сумма имеет
вид п
52 f(xi',y6Zi)^i, (58.1)
1—1
427
где A<7j = {Si}oxy — площадь проекции Si на плоскость Оху. Ее отли-
чие от интегральной суммы (57.1) очевидно.
Рис. 252
Предел интегральной суммы (58.1) при X = max с/, —> 0, если он
существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части
Si и от выбора точек Mi 6 S,, называется поверхностным интегралом
II рода (по координатам) от функции f(x;y;z) по переменным х и у по
выбранной стороне поверхности и обозначается
Ц f(.x;y;z)dxdy.
s
Итак,
п
11 f(x;y;z)dxdy = lim f(яч;у»;zQAgj.
J J А —^0
S (п—»оо) г=1
Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по пе-
ременным у и z и z и х:
п
[[ f(x;y;z)dydz = lim Уб 2’) ' (.Si)oyz,
J J A —^0
S (n—>oo) г=1 f
n
jf f(x;y;z)drdz = lim Уб *i) ' (Si)Oxz-
S (n—Хею) *—l
Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл
Уf Р(х; у; z) dydz + Q(x; у, z) dz dx + R(x; у; z) dx dy
s
\ = Ц Pdydz + Ц Qdzdx + I I Rdxdy],
x s s s'
где P, Q, R — непрерывные функции, определенные в точках двусто-
ронней поверхности S.
428
Отметим, что если S — замкнутая поверхность, то поверхностный
интеграл по внешней стороне ее обозначается $, по внутренней .
S -S
Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают сле-
дующие его свойства:
1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене
стороны поверхности.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного
интеграла.
3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соот-
ветствующих интегралов от слагаемых.
4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности S — Si + S2
равен сумме интегралов по ее частям Si и S? (аддитивное свойство),
если Si и S-2 пересекаются лишь по границе, их разделяющей.
5. Если Si, £>2, S3 — цилиндрические поверхности с образующими,
параллельными соответственно осям Oz, Ох, Оу, то
УУ 7?(т; у, z) dx dy = Р(х;у, z) dy dz = Ц Q(x;y; z) dx dz — 0.
S, S2 S3
58.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода
Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычисле-
нию двойного интеграла.
Пусть функция R(x-,y-,z) непрерывна во всех точках поверхности
S, заданной уравнением z = z(x;y), где z(x;y) — непрерывная функ-
ция в замкнутой области D (или Dxy) — проекции поверхности S на
плоскость Оху.
Выберем ту сторону поверхности S, где нормаль к ней образует с
осью Oz острый угол. Тогда Дсг, >0 (г = 1, 2,..., п).
Так как Zi = г(х};уУ), то интегральная сумма (58.1) может быть
записана в виде
п п
^Rtx^y^Zij&Oi = R(xi;yi; z(xt;yi))Aoi. (58.2)
г=1 i=l
Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции
Д(ж; у, z{x\уУ), непрерывной в области D. Переходя к пределу в равен-
стве (58.2) при А —> 0, получаем формулу
УУ R(x; у, z) dxdy = Ц R(x;y;z(x-,y)) dxdy, (58.3)
S D
выражающую поверхностный интеграл II рода по переменным х и у че-
рез двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю,
429
поверхности S', то полученный двойной интеграл берут со знаком «ми-
нус». Поэтому
JR(x; у; z) dx dy = ± J J R(x', у, z(x\ у)) dxdy. (58.4)
S D
Аналогично 14
J J CRx-.y-, z) dxdz ~ ± JJ Q(x;y(x; z); z) dxdz, (58.5)
S Г),Г:.
JJ P(x;y,z')dydz = ± JJ P(x(y; z);y; z) dy dz, (58.6)
S Dyz
где Dxz и Dyz -- проекции поверхности S на плоскости Oxz и Oyz
соответственно (замкнутые области).
В формуле (58.5) поверхность S задана уравнением у = y(x-,z~), а
в формуле (58.6) — уравнением х = x(y;z). Знаки перед интегралами
выбираются в зависимости от ориентации поверхности S (так, в фор-
муле (58.5) берем знак «плюс», если нормаль к поверхности образует
с осью Оу острый угол, а знак «минус» - если тупой угол).
Для вычисления общего поверхностного интеграла II рода исполь-
зуют формулы (58.4) (58.6), проектируя поверхность S на все три ко-
ординатные плоскости:
JJ Р{х\у, z) dydz + Q(x; у, z) dx dz + й(ж;у, z) dxdy =
s
= ± J J P(x(y;z);y,z)dydz±
Dyz
± JJ Q(x;y(x;z);z) dxdz ± JJ R(x;y; z(x;y)) dx dy.
Dxz Dxy
Замечание. Можно показать справедливость равенств
dx dy = cos 7 • ds, dx dz = cos/3 ds, dy dz = cos a • ds, (58.7)
где ds — элемент площади поверхности S; cos a, cos ft, cos 7 — напра-
вляющие косинусы нормали n к выбранной стороне поверхности S.
Поверхностные интегралы I и II рода связаны соотношением
JJ Р dy dz + Q dxdz + Rdx dy = JJ (P cos a + Q cos 3 + R cos'/) ds. (58.8)
s s
Пример 58.1. Вычислить
R — J J —x dy dz + z dz dx + 5 dx dy
s
по верхней стороне части плоскости 2х — Зу + z = 6, лежащей в IV
октанте.
430
Q Решение: На рисунке 253 изображена заданная
часть плоскости. Нормаль п, соответствующая ука-
занной стороне поверхности, образует с осью Оу ту-
пой угол, а с осями Ох и Oz — острые. В этом можно
убедиться, найдя направляющие косинусы нормаль-
ного вектора п = (2; —3; 1) плоскости:
Рис. 253
Поэтому перед двойными интегралами в формулах (58.4) и (58.6)
следует брать знак «плюс», а в формуле (58.5) -- знак «минус». Сле-
довательно,
z dz dx + 5
dxdy =
58.3. Формула Остроградского-Гаусса
Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой по-
верхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой по-
верхностью устанавливает следующая теорема.
Теорема 58.1. Если функции P(x-y,z), Q(x;y;z), R(x;y;z) непре-
рывны вместе со своими частными производными первого порядка в
пространственной области V, то имеет место формула
[[[+ + dz = $ Р dy dz+Q dx dz+Rdxdy, (58.9)
v x У z s
где S — граница области V и интегрирование по S производится по
ее внешней стороне.
Формула (58.9) называется формулой Остроградского-Гаусса
(является аналогом формулы Остроградского-Грина (см. п. 56.3).
Q Пусть область V ограничена снизу поверхностью Si, уравнение
которой z = Zi (х; у); сверху — поверхностью S2, уравнение которой
431
z = Z2(x-,y) (функции Zi(x;?/) и Z2(x;y) непрерывны в замкнутой обла-
сти D — проекции V на плоскость Оху, Zi(x;y) Z2(x;y)); сбоку —
цилиндрической поверхностью S3, образующие которой параллельны
оси Oz (см. рис. 254).
Рассмотрим тройной интеграл
ffj^dzdydt =
v Г Г z^Xf 'v}dR
D zi(z;s)
= // R^x'y^z^x'y^dxdy^
D
- fj R(x-,y;zY(x-,y\)dx dy.
D
Двойные интегралы в правой части равен-
ства заменим поверхностными интеграла-
ми II рода по внешней стороне поверхно-
стей Si и S2 соответственно (см. (58.3)).
Получаем:
Iff ~&~dx dydz = J J Rdxdy + J J R dxdy.
V s2 Si
Добавляя равный нулю интеграл J[R dx dy по внешней стороне S3
(см. свойство 5 п. 58.1), получим: Ц
Iff "дг^^У dz = J J Rdxdy + Rdxdy + J J Rdxdy,
S3
s2
Si
или
УУ"У ~g~dx dydz = уу R(x-, у; z) dx dy,
v s
где S — поверхность, ограничивающая область V.
Аналогично доказываются формулы
/// j^dx dydz = $ Q(xiy>dx dz>
v s
JJJ -g-dx dydz = ^ P(x-, y, z) dy dz.
v s
Складывая почленно равенства (58.10), (58.11) и (58.12), получаем
формулу (58.9) Остроградского Гаусса.
(58.10)
(58.11)
(58.12)
432
Замечания.
1. Формула (58.9) остается справедливой для любой области V,
которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного
вида.
2. Формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычи-
сления поверхностных интегралов II рода по замкнутым поверхностям.
Пример 58.2. Вычислить I = —xdydz + zdzdx + 5 dxdy,
+s
где S — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями
2ж — Зу + z = 6, х = 0, у = 0, z = 0.
Q Решение: По формуле (58.9) находим:
I = ууу (—1 + 0 + 0) dxdy dz = — Щ dv = — i • 3 • 6 = —6.
V V
Заметим, что интеграл Л (см. пример 58.1) мож-
но вычислить иначе:
S2 S3 S4
где поверхности S2, S3, St\ есть соответственно тре-
угольники ОАС, АОВ, СОВ (см. рис. 255).
Имеем:
Л =-6 + JJ 5 dxdy— JJ zdzdx+
(ОАС) (АОВ)
+ уу (—0) dy dz = —6 + 5 • - • 2 • 3 — У dx
(СОВ) о
6-2ж
zdz =
1 3
= +9 — - у(6 — 2ж)2 dx = 9 —
о
(6 ~ 2Ж)3 |3
3 1о
58.4. Формула Стокса
Связь между поверхностными и криволинейными интегралами II
рода устанавливает следующая теорема.
433
Теорема 58.2. Если функции Р(ж;г/;г), Q(x;y;z) и R(x;y;z') непре-
рывны вместе со своими частными производными первого порядка в
точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула
ff(dQ dPx,.(dR dQ\nfdP 9R\
(P,---R~]dxdy + л----"Б- ]dydz + ---— ]dxdz =
J J \dx dy) V dy dz J \dz dx /
= P dx + Q dy + Rdz, (58.13)
L
где L — граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L
производится в положительном направлении (т. е. при обходе границы
L поверхность S должна оставаться все время слева).
Формула (58.13) называется формулой Стокса (Д. Г. Стокс — ан-
глийский математик, физик).
Q Пусть z = f(x;y) — уравнение поверхности S, функции f(x;y),
fx'(x;y), fv’(x;y) непрерывны в замкнутой области D (проекции по-
верхности S на плоскость Оху), — граница области D (см. рис. 256).
Будем считать, что поверхность S пе-
ресекается с любой прямой, параллель-
ной оси Oz, не более чем в одной точ-
ке. Выберем верхнюю сторону поверхно-
сти S. Рассмотрим сначала интеграл вида
$ Р(х; у; z) dx.
L
Значения функции Р(х; у; z) на L рав-
ны значениям функции Р(ж; у; z(x; у)) на
Li. Интегральные суммы для криволи-
нейных интегралов II рода по контурам L
и L\ совпадают. Поэтому
Р(х;у, z) dx = у Р(х; у, z(x\ у)) dx.
l L,
Применим к этому интегралу формулу Остроградского-Трина
(см. п. 56.3). Тогда получим:
У P(x;y;z(x;y))dx =
L, D
dP dz\
— jdxdy.
dz dy/
434
Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверх-
ностный интеграл II рода (см. п. 58.2). Для этого последнее равенство
перепишем в виде
Гт,, , хх , СГ(дР dP dz\
Li 5
(см. 58.7) и используем уравнение нормали к поверхности S (см. (45.3)).
Так как выбрана верхняя сторона поверхности S, т. е. cosy > 0 (7 —
острый угол между нормалью п к поверхности S и осью Oz), то нормаль
п имеет
налъиы
проекции 1- Направляющие косинусы пропорцио-
соответствующим проекциям-,
о
cos ос : cos p : cos 7 = — — :
ox
dz
ду
1.
Отсюда
_dz
dy
= тогда
cos 7
COS fl
cos 7
s
rr/dP dP dz\ ГГ(дР dP
~ JRai + af' ai)coa',da = - fl lay ~ af
-- ff ~ cosyds - cosfids - ff fl-dx dz - “fl-dxdy.
JJ dy dz J J dz dy
Следовательно,
г с гdP dP
Р(х-,у, z) dx = J J ~g~dx dz — -7—dxdy.
L s
Аналогично получаются при соответствующих условиях еще два
равенства:
c f f9Q
Q(x;y;z)dy = J J —dxdy-—dydz,
L S
r D, . , ff dR dR
® Rix: y;z) dz = / / ~^~dy dz — —-dxdz.
J J J О kJ О Jj
L S
Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу
Стокса (58.13).
Отметим, что формулу Стокса (58.13) можно применить и для по-
верхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного
выше типа).
Формулу Стокса можно применять для вычисления криволиней-
ного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного ин-
теграла.
435
Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия
OQ_dP dR dQ 9P_dR
дх ду’ ду dz' dz дх
(см. п. 56.4), то криволинейный интеграл по произвольному простран-
ственному замкнутому контуру L равен нулю: Р dx + Q dy + Pdz = 0.
L
Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит
от вида пути интегрирования.
Пример 58.3. Вычислить I = у> х2у3 dx + dy + zdz. где кон-
L
тур L — окружность х2 + у2 = R2; z = 0: а) непосредственно,
б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу
z = +y/R2 — х2 — у2.
Q Решение: Поверхность интегрирования
изображена на рисунке 257.
а) Запишем уравнение окружности в
параме1рической форме:
х = Rcost, у = Rsint, z=Q, £ [0; 2тг].
По формуле (56.7) имеем:
2тг
1= у R2 cos2t R3 sin3 t(—7?sinZ) • dt+
о
sin41 cos2 t dt + 0 =
27Г 1 2 1
= -R6 J sin 2t) • - • (1 - cos 2t)dt =
о
2тг
• у sin2 2t dt+
о
2?r
R6 2Z R6
— / sin2 2tcos2tdt = - —- / (1 -cos4£) dt + O =
О J 16 J
0
б) По формуле Стокса (58.13) находим:
R6 7ГЙ6
— — 2tt -------—
16 8
0
I — Jf(0 — 0) dy dz + (0 — 0) dx dz + (0 — 3z2y2) dx dy =
s = —3 УУ x2y2 dxdy = —3 yy x2y2 dxdy.
s D
Переходя к полярным координатам, получаем:
2тг R
I = —3 УУ г5 sin2 tp cos2 tpdr dip = —3 J sin2 tp cos2 tpdtp- r5 dr =
D oo
436
3 27 I 11 27
= — -R6 / - • sin2 2ipdip = — -R6 - / (1 — cos4</?) dip =
6 J 4 8 2 J
о о
R6 № „ tvR6
=------• w + 0 =-------------
16 Mo 8
58.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла
II рода
С помощью поверхностного интеграла II рода можно найти объем
тела, ограниченного сверху поверхностью S? (z = Zz(x-,y)), снизу —
поверхностью Si (z = Z](x:y')'), сбоку — цилиндрической поверхностью
S3, образующие которой параллельны оси Oz:
V — - х dy dz + у dz dx + z dx dy, (58.14)
s
где S = Si + S2 + S3-
Действительно, положив в формуле Остроградского Гаусса (58.9)
Р(х; у; z) = х, Q(x; у; z) = 0, R(x, у, z) = 0, находим:
xdydz = fffdxdydz, т.е. V = х dy dz. (58.15)
SV s
Аналогично, полагая Р = О, Q = у, R = О, находим еще одну
формулу для нахождения объема тела с помощью поверхностного ин-
теграла II рода: ..
V = <H>ydxdz. (58.16)
s
Наконец, положив Р = О, Q = О, R = Z, по формуле (58.9) находим
третью формулу гг
V=tizdxdy, (58.17)
s
выражающую объем тела через поверхностный интеграл II рода.
Сложив почленно равенства (58.15)-(58.17) и разделив на три, по-
лучим формулу (58.14).
Другие применения поверхностного интеграла II рода рассмотрим
в главе XVI «Элементы теории поля»
Глава XIII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Лекции 51-52
§ 59. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
59.1. Основные понятия
Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследо-
ваниях математического анализа, имеют разнообразные практические
применения.
Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение
вида
ип = ui + и-2 + ... + ип + ..., (59.1)
71=1
где щ, U2,..., ип,... — действитсльные или комплексные числа, назы-
ваемые членами ряда, ип общим членом ряда.
Ряд (59.1) считается заданным, если известен общий член ряда ип,
выраженный как функция его номера п: ип = f(n).
р5[ Сумма первых п членов ряда (59.1) называется n-й частичной
суммой ряда и обозначается через Sn, т. е. Sn — Ui +U2 + • + ип.
Рассмотрим частичные суммы
S1= Mi, S2 = Mi+U2, S3 = Mi 4- u2 + u3,...
К] Если существует конечный предел S = lim Sn последовательно-
L—1 п—>оо
сти частичных сумм ряда (59.1), го этот предел называют суммой
ряда (59.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: S = un.
п= 1
Если lim Sn не существует или lim Sn = 00, то ряд (59.1) назы-
п—>ос п—>оо
вают расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Рассмотрим примеры.
1. Ряд 2 + 17 — 3^ + 196 + ... нельзя считать заданным, а ряд
2 + 5 + 8 +... — можно: его общий член задается формулой ип = Зп — 1.
2. Ряд 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... сходится, его сумма равна 0.
3. Ряд 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... расходится, Sn = п —> оо при п -+ оо.
4. Ряд 1 — 1 + 1 —1 + 1 —1+... расходится, так как последовательность
частичных сумм 1, 0,1,0,1,0,... (Si = 1, S2 = 0, S3 = 1,...) не имеет
предела.
438
5- Ряд £ п(п Дуу сходится. Действительно,
Sn 1-2 + 2- 3 + 3- 4+ ‘" + п(п + 1)
_л_Ь Л Л ЛЬ fl_______________________________1 \ i________L_
I 2/ ~\2 3/ ”\3 47 "\п п + 1/ п + 1
Следовательно,
lim Sn = lim fl--------) = 1,
п-юо тг-юо \ n + 1'
i. e. ряд сходи 1ся, его сумма равна 1.
Рассмотрим некоюрые важные свойства рядов.
Свойство 1. Если ряд (59.1) сходи гея и его сумма равна S, то ряд
сип = cui + си-2 + ... + сип + ..., (59.2)
п=1
где с — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS.
Если же ряд (59.1) расходится ис^ 0, той ряд (59.2) расходится.
□ Обозначим n-ю частичную сумму ряда (59.2)через . Тогда
= CU1 + CU-2 + • • + сип = c(ui + U2 + • - - + ип) = с Sn.
Следовательно,
lim S,f“) = lim cSn = с lim Sn = c • S,
71—>OO П~>OO 71—>OC
t. e. ряд (59.2) сходится и имеет сумму cS.
Покажем теперь, что если ряд (59.1) расходится, с 0, то и
ряд (59.2) расходится. Допустим противное: ряд (59.2) сходится и имеет
сумму Si. Тогда
Si = lim = lim cSn = c lim Sn.
71—»OC 71—>OC 71—> ОС
Отсюда получаем:
lim 5,г = -Г,
n-Joo С
т. е. ряд (59.1) сходится, что противоречит условию о расходимости
ряда (59.1). И
439
Свойство 2. Если сходится ряд (59.1) и сходится ряд
ОО
5>п, (59.3)
П=1
а их суммы равны Si и S2 соответственна, то сходятся и ряды
52(ип±«Д (59.4)
п=1
причем сумма каждого равна соответственно Si ± S2.
□ Обозначим п-е частичные суммы рядов (59.1), (59.3) и (59.4) через
SnU\ и S„ соответственно. Тогда
lim S„ = lim (S^ ± S^) = lim ± lim = Sj ± S2,
n—>00 n—>00 n—>00 n—>00
т. e. каждый из рядов (59.4) сходится, и сумма его равна Si ± S2 соот-
ветственно В
Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и рас-
ходящегося рядов есть расходящийся ряд.
В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от
противного.
Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может
быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.
Свойство 3. Если к ряду (59.1) прибавить (или отбросить) конеч-
ное число членов, то полученный ряд и ряд (59.1) сходятся или расхо-
дятся одновременно.
□ Обозначим через S сумму отброшенных членов, через к — наиболь-
ший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставших-
ся членов ряда (59.1), будем считать, что на месте отброшенных чле-
нов поставили нули. Тогда при п > к будет выполняться равенство
Sn — S'n = S, где S'n — это п-я частичная сумма ряда, полученного
из ряда (59.1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому
lim Sn = S + lim S'n. Отсюда следует, что пределы в левой и правой
п—>оо п—>оо
частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (59.1)
сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходят-
ся) ряды без конечного числа его членов.
Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного
числа членов. В
Ряд “
ц„+1 + ип+2 4--= 7 у ик (59.5)
k=n+l
называется п-м остатком ряда (59.1). Он получается из ряда (59.1)
отбрасыванием п первых его членов. Ряд (59.1) получается из остатка
440
добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3,
ряд (59.1) и его остаток (59.5) одновременно сходятся или расходятся.
|®| Из свойства 3 также следует, что если ряд (59.1) сходится, то его
остаток rn = S — Sn = un+1 + un+2 + ... стремится к нулю при
п —> оо, т. е. lim гп = 0.
п—ьоо
59.2. Ряд геометрической прогрессии
Исследуем сходимость ряда
a + aq + aq2 + ... + aq"~} + ... (а/0), (59.6)
который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (59.6) ча-
сто используется при исследовании рядов на сходимость.
Как известно, сумма первых п членов прогрессии находится по
формуле Sn = , 9 0 1- Найдем предел этой суммы:
о а(1-<7П) « г 9п
hm Sn = пт —Ч--------- = -----a lim
п—>оо п—>оо 1 — q 1 — q n—>оо 1 — q
Рассмотрим следующие случаи в зависимости о г величины q:
1. Если |g| < 1, то qn —> 0 при п —> оо. Поэтому lim Sn
ряд (59.6) сходится, его сумма равна ;
2. Если |g| > 1, то qn —> оо при п —> оо.
ряд (59.6) расходится;
3. Если |g| = 1, то при q = 1 ряд
а + а + а + - - + а + - , для него Sn = п- а и lim
72—> СК
расходится; при q = — 1 ряд (59 6) принимает вид а — а + а — а+... —
в этом случае Sn — 0 при четном п и Sn = а при нечетном п. Следова-
тельно, lim Sn не существует, ряд (59.6) расходится.
72—>ОО
Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при |g| < 1 и рас-
ходится при |g| 1.
а
1-9’
Поэтому lim Sn
= 00,
(59.6) принимает вид
Sn — оо, т. е. ряд (59.6)
Пример 59.1. Показать, что ряд 23 + 22 + 2 + ^ + ... +
сходится.
Q Решение: Данный ряд можно переписать так:
23 • 1 + 23 • | + 23 1 + ... + 23 • ^ + ...
Как видно, он представляет собой ряд геометрической прогрессии с
а = 23и</=|<1. Этот ряд сходится согласно свойству 1 числовых
рядов. •
441
59.3. Необходимый признак сходимости числового
ряда. Гармонический ряд
Нахождение п-й частичной суммы Sn и ее предела для произволь-
ного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для
выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки схо-
димости. Первым из них, как правило, является необходимый признак
сходимости.
Теорема 59.1. Если ряд (59 1) сходится, то его общий член ип стре-
мится к нулю, т е. lim ип = О
п—>оо
□ Пусть ряд (59.1) сходится и lim = S. Тогда и lim = S
n—>oo n—>oo
(при n —> сю и (n — 1) —> сю). Учитывая, что ип = Sn — .S'„i при п > 1,
получаем:
lim ип = lim (S„ - Sn-r) = lim Sn - lim S„_i = S - S = 0.
n—>oo n—>oo n—>oo n—>oo
Следствие 59.1 (достаточное условие расходимости ряда). Если
lim ип 0 или этот предел не существует, то ряд расходится
п—>ос
Q Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме) lim ип — 0.
п—>оо
Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.
Пример 59.2. Исследовать сходимость ряда ~ 2.
Q Решение: Ряд ^п + 5 Расходится> т- к- 1
П=\П , Зтг — 2
lim ип = hm ---------— = 3^0,
п—>оо п—>оо 72 + 5
т. е. выполняется достаточное условие расходимости ряда. •
Пример 59,3. Исследовать сходимость ряда
Q Решение: Данный рад расходится, т. к. lim ип = lim fl + i")
п—>оо п—>оо \ 71/
= е 0.
442
Теорема 59.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не
достаточное: из условия lim ип = 0 не следует, что ряд сходит-
ся. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых
lim ип = 0.
п—>оо
В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический
(59.7)
Очевидно, что lim ип = 0. Однако ряд (59.7) расходится. Покажем
п—>оо
ЭТО.
□ Как извесхно (см. (17.14)), lim fl + = е. Отсюда следует, что
п—>оо \ П /
/ 1 \ п
при любом п G N имеет место неравенство 11 +< е. Логарифмируя
это неравенс!во по основанию е, получим:
п Infl + -'l < 1,
\ п/
Т' е' 1/1 + 1 1 1X1
— > In ----, — > ln(n + 1) — In 71.
71 71 71
Подставляя в полученное неравенство поочередно 71 = 1,2,...,ti — 1, ti,
получим:
1 > In 2,
| > In 3 — In 2,
- > 1п4 — 1пЗ,
3
— > In (ti + 1) — In n.
71
Сложив почленно эти неравенства, получим Sn > ln(?i + 1). Посколь-
ку lim 1п(т1 + 1) = сю, получаем lim Sn = сю, т. е. гармонический
>оо п—>оо
ряд (59.7) расходится. И
В качестве второго примера можно взять ряд
Здесь lim ип = lim -Л = о. Однако этот ряд расходится.
п—>ос п—>оо уП
443
Q Действительно,
т. е. Sn > у/п. Следовательно, Sn —> оо при тг —> оо, ряд расходится.
§60. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
ЗНАКОПОСТОЯННЫХ РЯДОВ
Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возмож-
ности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и
расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью
так называемых достаточных признаков.
Рассмотрим некоторые из них для знакополомситпелъных ря-
дов, т. е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный
ряд переходит в знакоположительный путем умножения его на (—1),
что, как известно, не влияет на сходимость ряда).
60.1. Признаки сравнения рядов
Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто
устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом,
о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения
лежат следующие теоремы.
Теорема 60.1. Пусть даны два знакоположительных ряда
(60.1)
П - 1
И оо
' (60.2)
п—1
Если для всех п выполняется неравенство
ц„ < Ц„, (60.3)
то из сходимости ряда (60 2) следует сходимость ряда (60.1), из рас-
ходимости ряда (60 1) следует расходимость ряда (60 2)
□ Обозначим п-е частичные суммы рядов (60.1) и (60.2) соответствен-
но через и Sn}. Из неравенства (60.3) следует, что
(60.4)
444
Пусть ряд (60.2) сходится и его сумма равна 5г- Тогда lim = 82-
n—>оо
Члены ряда (60.2) положительны, поэтому 8„^ < S2 и, следовательно,
с учетом неравенства (60.4), 8^ 82- Таким образом, последователь-
ность S^u), SnU>, монотонно возрастает (ип > 0) и ограниче-
на сверху числом 82- По признаку существования предела (см. теоре-
ма 15.3) последовательность имеет предел lim Sn1'1 = Si, т.е.
п—>оо
ряд (60.1) сходится.
Пусть теперь ряд (60.1) расходится. Так как члены ряда неотри-
цательны, в этом случае имеем lim = 00. Тогда, с учетом нера-
п—>ос
венства (60.4), получаем lim 8^ = 00, т. е. ряд (60.2) расходится.
п—>оо
Замечание. Теорема 60.1 справедлива и в том случае, когда нера-
венство (60.3) выполняется не для всех членов рядов (60.1) и (60.2), а
начиная с некоторого номера N. Это вытекает из свойства 3 числовых
рядов (см. п. 59.1).
Теорема 60.2 (предельный признак сравнения). Пусть даны два
знакоположительных ряда (60 1) и (60 2) Если существует конечный,
отличный от 0, предел lim = А (0 < А < оо), то ряды (60.1)
n-loo Vn
и (60.2) сходятся или расходятся одновременно.
Q По определению предела последовательности (см. п. 15.2) для всех
п, кроме, возможно, конечного числа их, для любого е > 0 выполняется
неравенство — л| < е, или
(А - е) • vn < ип < (А + е) vn. (60.5)
Если ряд (60.1) сходится, то из левого неравенства (60.5) и тео-
ремы 60.1 вытекает, что ряд (Л — £)vn также сходится. Но тогда,
72=1
согласно свойству 1 числовых рядов (см. и. 59.1), ряд (60.2) сходится.
Если ряд (60.1) расходится, то из правого неравенства (60.5), тео-
ремы 60.1, свойства 1 вытекает, что и ряд (60.2) расходится.
Аналогично, если ряд (60.2) сходится (расходится), то сходящимся
(расходящимся) будет и ряд (60.1).
ОО 1
Пример 60.1. Исследовать на сходимость ряд о ,
п=1 д + 2
445
Q Решение: Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии
22 <рт, который сходится (д = 2 < !)• Имеем g < уп. Следова-
тельно, данный ряд сходится. *
ОО
Пример 60.2. Исследовать сходимбсть ряда 22 ^7=-
п=1 уИ
Q Решение: Здесь ип — -Д=- Возьмем ряд с общим членом vn — i
V71 п
который расходится (гармонический ряд). Имеем -Д= 1. Следова-
у 72 U
тельно, данный ряд расходится. *
Пример 60.3. Исследовать сходимость ряда 22
п=1 ЬП
Q Решение: Применим предельный признак сравнения. Так как
tg —
lim —= 5-^0 (см. пример 17.7), то по теореме 60.2 исходный
п—>оо — О
п
ряд расходится, как сравнимый с гармоническим рядом. •
60.2. Признак Даламбера
В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и за-
паса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера
(1717-1783, французский математик) позволяет часто решить вопрос о
сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим ря-
дом.
Теорема 60.3. Пусть дан ряд (59.1) с положительными членами и
существует конечный или бесконечный предел lim U|'+1- = I.
п-&оо Un
Тогда ряд сходится при I < 1 и расходится при I > 1.
□ Так как lim = /, то по определению предела для любого е > 0
п—>оо Un
найдется натуральное число N такое, что при п > N выполняется
неравенство
I Ц"+1 — / I < Е ИЛИ I — Е < < / _|_ е_ (60.6)
I ип I нп
Пусть I < 1. Можно подобрать £ так, что число I +е < 1. Обозначим
I + е = д, q < 1. Тогда из правой части неравенства (60.6) получаем
—< д, или un+1 < д • ип. п > N. В силу свойства 3 числовых рядов
Un
446
можно считать, что itn+1 < q • ип для всех п ~ 1, 2,3,... Давая номеру
п эти значения, получим серию неравенств:
it2 < q • Ui,
и3 < q • и2 < g2«i,
н4 < q • и3 < Q31Z1,
^11 — 1
ип < q • ип < q U1,
т. е. члены ряда и2 + из + 114 + ... + ип + ... меньше соответствующих
членов ряда qti\ + + ... + qn+l+..., который сходится как
ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0 < q < 1. Но тогда,
на основании признака сравнения, сходится ряд и2 + из +... + ип + ...,
следовательно, сходится и исходный ряд (59.1).
Пусть I > 1. В этом случае lim ы”+1 = I > 1. Отсюда следует, что,
11—ОО 'М'П
начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство > 1,
или > ипу т. е. члены ряда возрастают с увеличением номера п.
Поэтому lim ип ф 0. На основании следствия из необходимого призна-
п—>ос
ка (см. п. 59.3) ряд (59.1) расходится.
Замечания.
1. Если I = 1, то ряд (59.1) может быть как сходящимся, так и
расходящимся.
2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий
член ряда содержит выражение вида п! или ап.
ОО
Пример 604. Исследовать на сходимость ряд 52 ~-
71=1 П’
Q Решение: Находим
I = lim ^±1 = lim = lim —= lim — = 0.
71—>ОО un n-УОО -iy 71—><Х> (n -|- 1)! 71—100 fl + 1
Так как I = 0 < 1, то данный ряд по признаку Даламбера сходится. •
00 on
Пример 60.5. Исследовать сходимость ряда 52
,1=1 п
447
Q Решение: Вычисляем
, / 3"+1 3n\ 3" - 3 • n2
I = lim -------- I = lim ------------——~ =
n->oo \ (^72 + I)2 n2 ' 3" • (n + I)2
Qi- ( n v Qi- ( 1 V 1
= 3 lim (------- I = 3 lim I ----j- I = 3.
n—loo \n -К 1/ n—loo \ 1 /
' 1 П 7
Так как I = 3 > 1, то данный ряд по признаку Даламбера расходится.
60.3. Радикальный признак Коши
Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для
исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во
многом схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировка
и доказательство.
Теорема 60.4. Пусть дан ряд (59.1) с положительными членами и
существует конечный или бесконечный предел lim = I.
Тогда ряд сходится при I < 1 и расходится при I > 1.
Как и для признака Даламбера, в случае, когда I — 1, вопрос о
сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы анало-
гично доказательству признака Даламбера. Поэтому опустим его.
ОО „ , \ П2
Пример 60.6. Исследовать на сходимость ряд те • ( —у“Т )
„=1 о Кп + 1/
Решение: Так как
ОО ~ 2 оо ч !
V —7-^-Г =2.'Г-7-^-Г
з" U + 1/ з" и,+ 1/
71=1 72=1
то применим радикальный признак Коши к ряду
Вычисляем
/ 1 / п \ "2 1 1 11
I = lim Ч/и7, — lim 7 / — • |------- ) = - lim ------—~ = - • - < 1.
nloo п—loo у 3" + 1/ 3 п—1ОО (1 _|_ 1) Зе
ОО 1 7 X П2
Ряд 52 те • ( —) сходится, а значит, сходится и исходный ряд,
согласно свойству 1 числовых рядов. *
448
60.4. Интегральный признак Коши.
Обобщенный гармонический ряд
Теорема 60.5. Если члены знакоположительного ряда 52 ип могут
П=1
быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной
монотонно убывающей на промежутке [1; +оо) функции f(x) так, что
wi = /(1), и2 = /(2),..., ип = /(п),..., то:
1) если J f(x)dx сходится, то сходится и ряд (59.1);
1
+ оо
2) если у f(x)dx расходится, то расходится также и ряд (59.1).
1
О сходимости несобственных интегралов см. § 40.
Q Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху гра-
фиком функции у = f(x), основанием которой служит отрезок оси Ох
от х = 1 до х = п (см. рис. 258).
Рис. 258
Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями
которых служат отрезки [1;2], [2;3], ... Учитывая геометрический
смысл определенного интеграла, запишем:
п
/(2)-l+/(3)-l + ... + /(n)-l < f /И^</(1)-1+/(2)-1 + ...+/(71-1)-1,
1
15 Конспект лекций по высшей математике Полный курс
449
или
или
(60.7)
Н-оо
СлучаИ 1. Несобственный интеграл J fix') dx сходится, т. е.
1
-Too п + оо
J f(x)dx = А. Поскольку J f(x)dx < J f(x)dx = А, то с уче-
1 1 1
том неравенства (60.7) имеем: Sn — wi < А, т. е. Sn < щ + А. Так как
последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограни-
чена сверху (числом wj + .4), то, по признаку существования предела,
имеет предел. Следовательно, ряд (59.1) сходится.
Н-ос
Случай 2. Несобственный интеграл J f(x)dx расходится. Тогда
1
+оо п
J f(x)dx = +оо и интегралы J f(x)dx неограниченно возрастают
1 1
п
при п —> оо. Учитывая, что Sn > J f(x) dx + ип (см. (60.7)), получаем,
1
что Sn —> оо при п —> оо. Следовательно, данный ряд (59.1) расходится.
+ оо
Замечание. Вместо интеграла / /(ж) dx можно брать интеграл
+оо • J
J f(x)dx, где к G N, к > 1. Отбрасывание к первых членов ряда
k
в ряде (59.1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость)
ряда.
Пример 60.7. Исследовать на сходимость ряд ^2 —т—•
п=2 П ’
Ci Решение: Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция
/(ж) = —Д— удовлетворяет условиям теоремы 60.5. Находим
х in X
[ ^=1П|1ПЖ|Г
2
Значит, ряд с общим членом ип = расходится.
450
(60.8)
где р > 0 — действительное число, называется обобщенным гармони-
ческим рядом. Для исследования ряда (60.8) на сходимость применим
интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о
сходимости не дают).
Рассмотрим функцию /(ж) = -^р. Эта функция непрерывна, моно-
тонно убывает на промежутке [1;+оо) и f(n) — ~^р ~ ип- При р 1
имеем:
х р dx = lim
Д-Р |И
а1^
1 - р 1 - р
1
J-j, если р > 1,
>, если р < 1.
При р = 1 имеем
(второй способ:
гармонический ряд ип = —, который расходится
ОО
[ & = оо). Итак, ряд (60.8) сходится при р > 1,
расходится при р < 1. В частности, ряд 1 + Х + Х + ...+ ^- + ...
, ч 2 3 п
сходится (полезно знать).
Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакополо-
жительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого
положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практи-
ке.
§61. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ
И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
61.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующи-
мися. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
U1 - и2 + и3 - «4 + . . . + (-1)"+1U„ -I-= ^2(-1)"+1Ц„, (61.1)
П=1
где ип > 0 для всех п G N (т. е. ряд, положительные и отрицательные
члены которого следуют друг за другом поочередно).
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак
сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бер-
нулли) .
451
Теорема 61.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (61.1)
сходится, если:
1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно
убывает, т. е. иу > w2 > г*з > • • • > г*п > ;
2. Общий член ряда стремится к нулю: lim ип = 0.
rfr—toc
При этом сумма S ряда (61.1) удовлетворяет неравенствам
0<5<И1. (61.2)
Q Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов
ряда (61.1). Имеем
S^m — 1*1 — U2 + — IZ4 + . . . + 1*2m —1 ~ 1*2m =
= («1 - 1*2) + («3 - 1*4) + • • • + (l*2m-l - 1*2m)-
Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, поло-
жительно. Следовательно, сумма S^m > 0 и возрастает с возрастанием
номера 2m.
С другой стороны, S-2m можно переписать так:
82т = 1*1 - (1*2 - 1*з) - («4 - г*&)-(и2т-2 - г*2т-1) - 1*2т-
Легко видеть, что $2т < i*i- Таким образом, последовательность S2, 84,
Se,..., Szm, возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она
имеет предел lim S2„, = S, причем 0 < S < иу.
п—юо
Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2m+ 1) чле-
нов ряда (61.1). Очевидно, что З-у т у \ = 82т + i*2m+i- Отсюда следует,
что
lim S2m+i = lim (S2m + t*2m+i) = lim S2m + 0 = S,
т—>ос m—>00 m—>oo
т. к. lim i*2m+i = 0 в силу второго условия теоремы. Итак, lim Sn = S
m—toc n—>00
как при четном п, так и при нечетном п. Следовательно, ряд (61.1)
сходится, причем 0 < S < их.
Замечания.
1. Исследование знакочередующегося ряда вида
-U1 + 1*2 - 1*3 + 1*4 - • • • (61.3)
(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его
членов на (—1) к исследованию ряда (61.1).
Ряды (61.1) и (61.3), для которых выполняются условия теоремы
Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).
|@| 2. Соотношение (§1.2) позволяет получить простую и удобную
оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного
452
ряда его частичной суммой Sn. Отброшенный ряд (остаток) предста-
вляет собой также знакочередующийся ряд ( —l)"+l(wn+i — и,,+2 + •••),
сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е.
Sn < Mn+i- Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных
членов.
Пример 61.1. Вычислить приблизительно сумму ряда
Q Решение: Данный ряд лейбницевского
записать: 1 —1т + X — = S. Взяв пять
22 3
1 _ £ _L _ з 2_
? + 3s ? + 5® ” 4 + 27
типа. Он сходится. Можно
членов, т. е. заменив S на
— + —« 0,7834,
256 3125
сделаем ошибку, меньшую, чем = ^gggg < 0,00003. Итак, S » 0,7834.
61.2. Общий достаточный признак сходимости
знакопеременных рядов
|5] Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопере-
менного ряда. Числовой ряд ип, содержащий бесконечное мно-
п=1
жество положительных и бесконечное множество отрицательных чле-
нов, называется знакопеременным.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий доста-
точный признак сходимости.
Теорема 61.2. Пусть дан знакопеременный ряд
«1 + w2 +... + ип а-... (61.4)
Если сходится ряд
l^ll + |l*2 | + • • • + |l*n| + • • • , (61.5)
составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам
знакопеременный ряд (61.4).
453
Q Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов
(61.4) и (61.5):
ОО
(«1 + |ui I) + (u2 + |u2,) + • • • + (un + |ttnI) + • • • — 'У^(ип + |un|).
71=1
Очевидно, что 0 un + |«n| 2|un| для всех n £ N. Но ряд 52 2|un|
n=l
сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов (п. 59.1)
. Следовательно, на основании признака сравнения (п. 59.3) сходится
и ряд (ип + |un|). Поскольку данный знакопеременный ряд (61.4)
71 = 1
представляет собой разность двух сходящихся рядов
^71 ~ (%П “Ь |^71|) “ |^71|?
/1=1 71=1 71=1
io, на основании свойства 2 числовых рядов, он (ряд (61.4)) сходится.
Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится
ряд (61.4), то это не означает, что будет сходиться ряд (61.5).
Пример 61.2. Исследовать сходимость ряда 52 (—1)"+1 • — •
..— I п
Q Решение: Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены
условия признака Лейбница. Следовательно, указанный ряд сходит-
ся. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е.
РЯ« оо
1 1 1
1 + 2 + 3 + 4
расходится (гармонический ряд).
61.3. Абсолютная и условная сходимости числовых
рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся,
если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если
сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расхо-
дится.
Так, ряд, показанный в примере (61.2), условно сходящийся. Ряд
ОО -.
Хс-1)”- s
454
абсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов,
сходится (см. пример 60.4).
Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды зани-
мают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства ко-
нечных сумм (переместительность, сочетательность, распределитель-
ность).
Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без до-
казательства.
1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полу-
ченный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту
же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле).
2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S| и S2 можно почленно
складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящий-
ся ряд, сумма которого равна S± + S2 (или соответственно S\ — S2).
3. Под произведением двух рядов it] + «2 + • • и гд + г>2 + • • пони-
мают ряд вида
(ui V] ) + (l>ll>2 + «2^1) + (U1V.3 + U2V2 + W3V1) + . . .
. . . + (Ul«n + IWn-l + • • - + UnVi) + . . .
Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами Si и S2
есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна Si • S2.
Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычи-
таются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не за-
висят от порядка записи членов.
В случае условно сходящихся рядов соответствующие утвержде-
ния (свойства), вообще говоря, не имеют места.
Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добить-
ся того, что сумма ряда изменится. Например, ряд 1 — — ^ + •..
условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна S. Пе-
репишем его члены так, что после одного положительного члена будут
идти два отрицательных. Получим ряд
1111111 1
1-2_4 + 3- 6_8 + 5~10~12+’”“
_ 1 1 1 1 1 1
-2“4 + 6- 8+10_12+"'_
Сумма уменьшилась вдвое!
Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ря-
да можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или
расходящийся ряд (теорема Римана).
455
Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись
в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимо-
сти используют все признаки сходимости знакоположительных рядов,
заменяя всюду общий член ряда его модулем.
Глава XIV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Лекции 53-55 I
§62 . ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
62.1. Основные понятия
Ряд, членами которого являются функции от х, называется функ-
циональным:
^ип(х) = «1(Ж1) + и2(х) + ... + ип(х) + ... (62.1)
п— 1
Придавая х определенное значение ./'о, мы получим числовой ряд
wi(ar0)+и2(®о) + . . + u„(ar0)+ ...,
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
|5] Если полученный числовой ряд сходится, то точка х$ называет-
ся точкой сходимости ряда (62.1); если же ряд расходится —
точкой расходимости функционального ряда.
Совокупность числовых значений аргумента ж, при которых функ-
циональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
В области сходимости функционального ряда его сумма являет-
ся некоторой функцией от х: S — S'(.r). Определяется она в области
сходимости равенством
S(x) = lim Sn(x), где Sn(x) = нДж) + и2(х) + ... + ип(х) —
п—>0О
частичная сумма ряда.
оо
Пример 62.1. Найти область сходимости ряда ^2
п=0
Q Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии
со знаменателем q — х. Следовательно, этот ряд сходится при |ж| < 1,
т.е. при всех х £ (—1; 1); сумма ряда равна ж:
5(т) =
Пример 62.2. Исследовать сходимость функционального ряда
£
. о
Sinn X
457
Ci Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного
ряда:
sm х
+
Так как при любом х G
sin22j
sin п2х
(62.2)
R имеет место,, соотношение J -Н2П g х j
а ряд с общим членом сходится (обобщенный гармонический ряд,
р = 2 > 1, см. п. 60.4), то по признаку сравнения ряд (62.2) сходится
при х £ Ж. Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех
х G Ж = (—оо; +оо). •
Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях осо-
бую роль играет ряд, членами которого являются степенные функ-
ции аргумента х, т. е. так называемый степенной ряд-.
апхп = а0 + ахж + а2ж2 + ... + апхп + ... (62.3)
п=0
|5] Действительные (или комплексные) числа ао, ах, а2,..., а„,... на-
зываются коэффициентами ряда (62.3), ж £ К — действитель-
ная переменная.
Ряд (62.3) расположен по степеням х. Рассматривают также сте-
пенной ряд, расположенный по степеням {х — жо), т. е. ряд вида
ОО
У2 ап(х - ж0)” = а0 + ах(ж - ж0) Ч-Н а„(ж - ж0)" + ..., (62.4)
71=0
где гго — некоторое постоянное число.
Ряд (62.4) легко приводится к виду (62.3), если положить x—xq = z.
Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степен-
ными рядами вида (62.3).
§63 . СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (62.3).
Область сходимости степенного ряда (62.3) содержит по крайней
мере одну точку: х = 0 (ряд (62.4) сходится в точке х — Xq).
63.1. Теорема Н. Абеля
Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из
следующей теоремы.
Теорема 63.1 (Абель). Если степенной ряд (62.3) сходится при
х = xq 0, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удо-
влетворяющих неравенству |ж| < |жо|.
458
□ По условию ряд сходится. Следовательно, по необходимо-
п=0
му признаку сходимости lim апХд = 0. Отсюда следует, что величина
п—>оо
апХд ограничена, т. е. найдется такое число М > 0, что для всех п
выполняется неравенство |апЖд I М, п = 0,1, 2,...
Пусть |ж| < |а?о|, тогда величина q = — < 1 и, следовательно,
КЛ = |ап^|
п = 0,1,2,...,
т. е. модуль каждого члена ряда (62.3) не превосходит соответствую-
щего члена сходящегося (q < 1) ряда геометрической прогрессии. По-
этому по признаку сравнения при |ж| < |ж0| ряд (62.3) абсолютно схо-
дящийся.
Следствие 63.1. Если ряд (62.3) расходится при х = тх, то он рас-
ходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству |ж| > |жх|.
□ Действительно, если допустить сходимость ряда в точке х%, для
которой [эта j > |жх|, то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для
которых |ж| < |дт2|, и, в частности, в точке жх, что противоречит усло-
вию. И
63.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что если жо 0 есть точка сходимо-
сти степенного ряда, то интервал ( —|жо|; 1жо|) весь состоит из точек
сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала
ряд (62.3) расходится.
— R ряд сходится R
ряд расходится — |ж0| О |а?0| ряд расходится
Рис. 259
|5] Интервал (—|жо|; |жо|) и называют интервалом сходимости
степенного ряда. Положив |а?о| = R, интервал сходимости можно
записать в виде (—Я; Л). Число R называют радиусом сходимости
степенного ряда, т. е. R > 0 — это такое число, что при всех х, для
которых |ж| < R, ряд (62.3) абсолютно сходится, а при |ж| > R ряд
расходится (см. рис. 259).
459
В частности, когда ряд (62.3) сходится лишь в одной точке Хд — О,
то считаем, что R = 0. Если же ряд (62.3) сходится при всех значениях
х G К. (т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что R = оо.
Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при х = R и
при х — — R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (62.3) мож-
но поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов
данного степенного ряда
|а0| + |ais| + |а2х2| + ... + |апх"| + ...
и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует пре-
дел
lim -------
г—>оо ип
lim
п—
dnX
О’П
^0, х^О.
По признаку Даламбера ряд сходится, если |ж| • lim а”+1 < 1, т. е.
п—Юо| dn I
ряд сходится при тех значениях z, для которых
ряд, составленный из модулей членов ряда (62.3), расходится при тех
значениях х, для которых > lim -®п . Таким образом, для ря-
п—юо| ara+i I
да (62.3) радиус абсолютной сходимости
R = lim dn
п—»оо &п+1
(63.1)
Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши,
можно установить, что
lim \Z|an|
(63.2)
Замечания.
1. Если lim —-+1- = 0, то можно убедиться, что ряд (62.3) аб-
п—>оо| dn |
солютно сходится на всей числовой оси. В этом случае R = оо. Если
lim |а^Е11 = с», то R — 0.
n-?oo| ап I
2. Интервал сходимости степенного ряда (62.4) находят из нера-
венства — Zo| < R', имеет вид (z0 — R, хо + R)-
3. Если степенной ряд содержит не все степени х, т. е. задан непол-
ный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без опреде-
ления радиуса сходимости (формулы (63.1) и (63.2)), а непосредственно
460
применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из
модулей членов данного ряда.
оо п
Пример 63.1. Найти область сходимости ряда ^2
п=0 П'
Q Решение: Воспользуемся формулой (63.1):
(п + 1)!
= lim -----;— = lim (п + 1) = оо.
п—»оо 71! п—>оо
Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.
R = lim -4—
Пример 63.2. Найти область сходимости ряда
.2п— 1
рЗ г3 7
L + + ... + (-i)«+i
3 5 7 V ’ 2п-1
Q Решение: Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Да-
ламбера. Для данного ряда имеем:
|wn I —
д2’' L|
2n - 1 ’
|^п+1 | —
|ж2та+1|
2n + 1 ’
г ^п+1
lim ------
г->оо ип
|ж2п+1|-(2п-1)
n->oo (2n + 1) • |ж2п-1|
I 21 v 2т1 1 2
= м 1™ = х
Ряд абсолютно сходится, если х2 < 1 или — 1 < х < 1. Исследуем
поведение ряда на концах интервала сходимости.
При х = — 1 имеем ряд —1 + 1 — 1 + 1 — который сходится по
о О I
признаку Лейбница.
При х = 1 имеем ряд +1 — 1 + 1 — 1 + — это тоже сходящий-
о О I
ся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного
ряда является отрезок [—1; 1]. •
Пример 63.3. Найти область сходимости ряда
п 2"”1 ’
Q Решение: Находим радиус сходимости ряда по формуле (63.1):
R = lim -------- : ---т——
n-УСО П 2п 1 (п + 1) 2”
lim --------
г->оо п 2
= 2.
461
Следовательно, ряд сходится при —2 < х + 2 < 2, т. е. при —4 < х < 0.
При х = — 4 имеем ряд
ОО Z О\П 00 1
V" ("А!oVLnn1
п 2
п=1
который сходится по признаку Лейбница.
При х = 0 имеем расходящийся ряд
°°^ сх
п 2п~1
П=1
Следовательно, областью сходимости исходного ряда является по-
луотрезок [—4; 0). •
63.3. Свойства степенных рядов
Сформулируем без доказательства основные свойства степенных
рядов.
[@| 1. Сумма S(x) степенного ряда (62.3) является непрерывной функ-
цией в интервале сходимости (—Л; R).
И 2. Степенные ряды )Г апхп и )С Ъпхп, имеющие радиусы сходи-
L—п—Ъ п=0
мости соответственно и J?2, можно почленно складывать, вычи-
тать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности
рядов не меньше, чем меньшее из чисел Ri к R%.
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно
дифференцировать; при этом для ряда
S(x) = а0 + aix + а^х2 + азж3 + ... + апхп + ... (63.3)
при — R < х < R выполняется равенство
S'(x) = oi + 2а%х + За3х2 + ... + п апж""1 + ... (63.4)
4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом от-
резке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ря-
да (63.3) при — R < а < х < R выполняется равенство (см. замечание 1,
с. 416)
У S(t) dt = J ао dt + J ait dt + J a^t2 dt + ... + J antn dt + ... (63.5)
a a a a a
Ряды (63.4) и (63.5) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный
степенной ряд.
Перечисленные свойства 14 остаются справедливыми и для сте-
пенных рядов вида (62.4).
Свойства степенных рядов широко используются в теоретических
исследованиях и в приближенных вычислениях.
462
§64 . разложение функции в степенные
РЯДЫ
64.1. Ряды Тейлора и Маклорена
Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в
степенной ряд, т. е. функцию f(x) представлять в виде суммы степен-
ного ряда.
Как известно (см. теорема 26.1), для любой функции f(x), опре-
деленной в окрестности точки хо и имеющей в ней производные до
(п + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:
/'frn') /"Чо)
/И = /СМ + J j, -(х - Хо) + - 2! (х - х0)2 + ...
+ -———~(х - Хо)” + Rn(x), (64.1)
ЦЦ где Rn(x) =
/("+!) (С)
(п+ 1)!
(х — Хо)"+1, с С (жо, х),
остаточный член в
форме Лагранжа. Число с можно записать в виде с = xq + 0(х — х0),
где 0 < 0 < 1. Формулу (64.1) кратко можно записать в виде
f(x) = Рп(х) + Rn(x),
где Рп(х) = f(xo) + J р'°) (х — хо) +... + -—(х — Хо)п — многочлен
Тейлора.
Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е. бес-
конечно дифференцируема) в окрестности точки хо и остаточный член
Rn(x) стремится к нулю при п —> оо ( lim Rn(x) = 0), то из формулы
Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (х — хо),
называемое рядом Тейлора-.
t(\ ft ^/(п)СМ,
/(ж) = /(ж0) + 1; Цх - Хо) + • • • = > у-j-(х - Хо)".
п=0
(64.2)
Если в ряде Тейлора положить Хо = 0, то получим разложение
функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:
2—' п\
п=0
(64.3)
Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой
бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в
463
окрестности точки xq. Но отсюда еще не следует, что он будет схо-
диться к данной функции f(x); он может оказаться расходящимся или
сходиться, но не к функции /(ж). Так, например, функция
' _ 1^
/(ж) = < е х > если х £ °’
О, если х = О
имеет в точке х = 0 производные всех порядков, причем /(")(()) = О
при всяком п (см. пример 19.5). Ряд Маклорена имеет вид
„О 0 2 0 „
°+2!Ж+2!Ж +--- + ^ + "
Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке х равна нулю, а не f(x).
Пусть для функции f(x) составлен соответствующий ей ряд Тей-
лора.
Теорема 64.1. Для того чтобы ряд Тейлора (64.2) функции /(ж) схо-
дился к /(ж) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точ-
ке остаточный член формулы Тейлора (64.1) стремился к нулю при
п —> оо, т. е. чтобы lim Rn(x) = 0.
п—>оо
□ Пусть ряд Тейлора (64.2) сходится к функции f(x) в некоторой
окрестности точки жо, т. е. f(x) = lim Sn(x). Так как п-я частичная
п—>оо
сумма Sn(x) ряда (64.2) совпадает с многочленом Тейлора Рп(х), т. е.
Sn(ж) = Рп(х), находим:
lim Rn(x) = lim (f(x) - Pjx)) = lim (f(x) - 5„(ж)) =
n—>OO n—>OC n—>OC
= f(x) - lim Sn(x) = f(x) - /(ж) = 0.
n—1
Обратно, пусть lim Rn(x) = 0. Тогда
n—
lim Sn(x) = lim Pn(x) = lim (/(ж) — 7?п(ж)) =
n—>00 n—>oc n—>oo
= /0*0 - lim - о = /(ж).
n—>oo
Замечание. Если ряд Тейлора (64.2) сходится к порождающей
функции /(ж), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ря-
да Тейлора, т. е. Rn(x) = г„(ж). (Напомним, что Rn(x) = f(x) — Sn(x),
а гп(ж) = 5(ж) — 5„(ж), где 5(ж) — сумма ряда Тейлора.)
[@| Таким образом, задача разложения функции /(ж) в степенной
ряд сведена по существу к определению значений ж, при которых
464
Rn(x) —> 0 (при п —> оо). Если сделать это не просто, то следует каким-
нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора схо-
дится к данной функции.
На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает
простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
Теорема 64.2. Если модули всех производных функций f(x) ограни-
чены в окрестности точки xq одним и тем же числом М > 0, то для
любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции /(ж) сходится к
функции f(x), т. е. имеет место разложение (64.2).
□ Согласно теореме 64.1, достаточно показать, что lim Rn(x) = 0.
По условию теоремы 64.2 для любого п имеет место неравенство
|/(">(;г)| <: М. Тогда имеем:
lim |2?„(ж)| = lim
/(п+1)(с)
(п + 1)!
(х - ж0)п+1
lim М
п—+оо
(х - х0)
(п + 1)!
(ж - г0)п+1
(п + 1)!
Осталось показать, что
ряд
I (х — I
lim |v + 1)!— | = О’ ДЛЯ этого РассмотРим
Так как
«п+1 .. |ж-ж0|"+2 (тг+1)! 1
1пп ---- = hm --------—;-------—гт- = ж - жо • hm
г-юо Un п->оо (п -р 2)! • Ж — Ха + n-юо п +
то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но
тогда, в силу необходимого признака сходимости,
г г 1;с “ М П
hm ип = hm —- —— = 0.
п-»оо n-юо (п + 1)!
Следовательно, lim R,n(x] = 0.
64.2. Разложение некоторых элементарных функций
в ряд Тейлора (Маклорена)
Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена (64.3) нужно:
а) найти производные /'(ж),/"(ж),..., /1п)(ж),...;
б) вычислить значения производных в точке xq = 0;
465
в) написать ряд (64.3) для заданной функции и найти его интервал
сходимости;
г) найти интервал (—R: R), в котором остаточный член ряда Ма-
клорена Rn(x) —> 0 при п —> оо. Если такой интервал существует, то в
нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.
Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный
член стремится к нулю при п оо.
Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена не-
которых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):
г , X х2 хп ,
е—1Ч- — Ч- — Ч-...Ч------ + хе (-оо; оо),
1! 2! п!
(64.4)
...3 5 2п+1
- 3! + Я +
(64.5)
(64.6)
/ч , > Q а(а-1) 2 а(а - 1)... (а - п + 1)
(1 + ж)“ = 1 + —х + -Ц-—-х2 + ... + )---------'-хп + ...
1! 21 тг!
если а О,
х е
если — 1 < а < 0, (64.7)
если а — 1,
-------- = 1 + ж + ж2 + ... + ж" + ...,
1 - X
же(-1; 1), (64.8)
3 п+1 f
1п(1 4- х) = х - — + — - ... + (-1)”^ _|- + ..., X е (-1; 1], (64.9)
ж3 х5 х2п+1
хе [-1;1], (64.10)
1 ж3 1-3 X5 1-3-5 X1 arcsm х = х Ч— • — Ч 1 1- . 2 3 2-4 5 2-4-6 7 (64.11)
1 • 3 • 5... (2п - 1) ж2п+1 + 2 • 4 • 6 ... (2п) 2п + 1 + ’ ’ ’ ’ хе [—1;1], (64.12)
™3 5 2п|1 ч «ъ «ъ «ъ sn х = а: Ч 1 + .. , ч 1-..., 3! 5! (2тг +1)! ’ х е ( —оо; оо), (64.13)
466
х2 х4 ж6
С1'/;-1+ 2! + 4? + 6! +'" +
х2п
(2п)!
х е (—оо; оо).
(64.14)
Докажем формулу (64.4). Пусть f(x) = ех.
□ Имеем:
a) f (ж) = ех, /" (ж) = ех, ..., (ж) = ех, .
б) /(0) = 1,/'(0) = 1, ...,/W(0) = l, ...;
в) ех ~ 1+^ + ^т + .. .+^-г + ...; R = lim I —I = lim _
’ 1! 2! п\ n->oo|a„+il п-><х>1 п! |
= lim (n + 1) = оо, т. е. ряд сходится в интервале ( — оо; оо);
п—>ос
г) для всех х £ (—R;R) имеем |(ж)| = ех < eR = Л/, т.е.
все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом
М = eR. Следовательно, по теореме 64.2 lim Rn(x) = 0. Таким обра-
зом, €-Х — 1 + уу + 7Д + . . . И
Докажем формулу (64.5). Пусть /(ж) = sin ж.
□ Имеем:
а) /'(ж) = cos ж = зш(ж + ^), /"(ж) = — sin ж = зт(ж + 2 • ^),
/'"(ж) = — СО8Ж = вт(ж + 3 • тр, . . . , /1”\ж) = 8т(ж + п ^) ...;
о,
б) /(”)(0) = sin^ = < -1,
п = 0, 2, 4, 6, ...,
п = 3, 7, 11, ...,
тг = 1, 5, 9, ...;
«3 „о '2п-\-1
в) smж ~ ж - ду- + -уу - ... + (-1) у2/г +
Легко прове-
рить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех
ж £ ( — оо; оо);
г) любая производная функции /(ж) = sin ж по модулю не пре-
восходит единицы, (ж)| = |зт(ж + п 1. Следовательно, по
теореме 64.2 имеет место разложение (64.5). И
Докажем формулу (64.6). Пусть /(ж) = cos ж.
Q Формулу (64.6) можно доказать так же, как и формулу (64.5). Одна-
ко проще получить разложение функции cos ж, воспользовавшись свой-
ством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (64.5),
получим: „ .
1 жж
cos ж = 1 — — -- — ж € (—сю; сю).
Докажем формулы (64.13), (64.14). Пусть /(ж) = ch ж (или
/(ж) = зЬж).
467
□ Заменив в формуле (64.4) х на — х, получим разложение функции
е~х:
справедливое для всех х £ (—оо; оо).
Суммируя (и вычитая) почленно равенства (64.4) и (64.15), полу-
чим разложение гиперболического косинуса (синуса):
Формулы (64.13) и (64.14) доказаны.
Докажем формулу (64.7). Пусть /(ж) = (1 +ж)“, где а £ Ж.
□ Имеем:
а) /'(ж) = а(1 + ж)"’1, /"(ж) = «(а - 1)(1 + х)а~2, ...,
/(")(ж) = а(а - 1)... (а - (п - 1))(1 + х)а~п, ..., п е N;
б) /(0) = 1,/'(0) = а, /"(0)=а(а-1),
/(”)(0) = «(а — 1)... (а — п + 1), ...;
в) (1 + х)а ~ 1 + ах + 1)ж2 +
+ «(<*- 1)(а-2)---(а-п + 1)д.п +
п! ’ ’ ’ ’
' n-?oo|an+1| n~>oo| тг!-а(а —l)(a —2)... (а—(тг—l))(a —тг) |
= lim —M = 1, т. e. составленный для функции (1 + ж)а ряд сходится
в интервале (—1; 1).
Можно показать, что и в данном случае, т. е. при х £ (—1; 1), оста-
точный член Rn(x) стремится к нулю при п —> оо.
Ряд (64.7) называется биномиальным. Если a = п £ N, то все чле-
ны ряда с (тг + 1)-го номера равны 0, так как содержат множитель
а — тг = тг — тг = О. В этом случае ряд (64.7) представляет собой извест-
ную формулу бинома Ньютона:
f
2!
тг(тг- 1)...1^„
Докажем формулу (64.8). Пусть f(x) =
□ Формула (64.8) может быть получена разными способами:-
1) пользуясь правилом разложения функции в ряд;
468
2) рассматривая ряд 1 + х 4- х2 4- х3 + ... 4- хп + ... как ряд геоме-
трической прогрессии, первый член которой равен единице и знамена-
тель q = х' известно (см. пример 62.1), что данный ряд сходится при
х 6 ( — 1; 1) и его сумма равна ;
3) воспользовавшись формулой (64.7): положив в ней а = -1 и
заменив х на —х, получим формулу (64.8).
Докажем формулу (64.9). Пусть f(x) = 1п(1 4- х).
Формула (64.9) также может быть доказана разными способами.
Приведем один из них.
Q Рассмотрим равенство
—= 1- ж + ж2-ж3 + ... + (-1)"ж" + ...,
1 4- х
справедливое для всех х Е (—1; 1). Используя свойство 4 степенных
рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0; ж], х £ (—1; 1):
X 7 X X X X X
J -—- = J dt — J tdt + J t2 dt — J t3 dt + ... +- (—l)n J tn dt + ..
ooooo о
ИЛИ о □ it
zv.2 3 ^.n+I
1П(1 + Ж) =Ж-- + + (-1)"^— + ...
Zi О / L "T" 1
Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1. Н
Докажем формулу (64.10). Пусть /(ж) = arctgz.
□ Положив в формуле (64.7) а = -1 и заменив х на х2, получим
равенство
= 1-х2+х4 -...+ (-1)" • х2п 4-..., хе (-1; 1).
Тогда
Ж XXX X
j----2 dt — у 1 dt — у t2 dt+ у t4 dt — ... 4- У (— l)"t2" dt 4-...,
0 + о о о 0
ИЛИ r3 5 2n+l
Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при
всех х е [—1; 1]. И
Докажем формулу (64.12). Пусть /(ж) = arcsine.
469
□ Положив в формуле (64.7) а = — i и заменив х на (—ж2), получим
равенство
ж2 1 • 3 4 1 • 3 5 6 г 1 11
= 1 + Т + +2ТТв’ + 16[~Ч4-
Тогда
или
х 1 х х Ж13
[ —. -dt - [ dt Т f dt + f ——-t^ dt T ...,
J i/i _ +2 J J 2 J 2-4
0 v о о 0
1 ж3 1 • 3 ж5
агсзшж = ж + - • — + —-
2 3 2-4 5
Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех
же[-1;1].
Ряды (64.4)-(64.14) в комбинации с правилами сложения, вычита-
ния, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных ря-
дов (см. свойства степенных рядов) могут быть использованы при раз-
ложении (некоторых) других функций в ряд Маклорена (Тейлора).
Пример 64.1. Разложить в ряд Маклорена функцию /(ж) = Зж.
Q Решение: Так как 3х = е1п3 = еж1п3, то, заменяя ж на ж In 3 в раз-
ложении (64.4), получим:
3х
In 3 In2 3 In3 3
1пп3
п!
Пример 64.2. Выписать ряд Маклорена функции /(ж) = 1п(4—ж),
Q Решение: Так как
/(ж) = 1п(4 -ж)=1п4Н — = In 4 +In 1 +
4
то, воспользовавшись формулой (64.9), в которой заменим ж на (— ^),
получим:
1п(4-ж) = 1п4+ (-^) -
или
1п(4 — ж) = In 4----ж-----• —
v ' 4 42 2
1 жп+1
4"+1 п + 1
если — 1 < — < 1, т. е. —4 < ж < 4.
4 ’
470
Пример 64.3. Разложить в ряд Маклорена функцию
/(^) =
2
3 — х
Решение: Воспользуемся формулой (64.8). Так как
2 2 _ 2 1
3-ж “ з - (1 _ |) ~ 3 ’ 1 - f ’
то, заменив жна |в формуле (64.8), получим:
О
о о/ / \ 2 / \ з X
2 2 / х ( х\ {х\ \
----- — — • I 1 + — "hl — I “hl — I "h • • • I,
з-x--з \ з \зу \зу
или
2 _ 2 2 x 2 x2 2 ж2 2 ж3 2 хп
з-х “з + з’з + з'з2+з’? + з’? + ”+ з’?г
где — 1 < < 1, 1. е. — 3 < х < 3.
О
§65. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ
РЯДОВ
65.1. Приближенное вычисление значений функции
Пусть требуется вычислить значение функции /(ж) при ж = ж, с
заданной точностью е > 0.
Если функцию /(ж) в интервале (—Я; R) можно разложить в сте-
пенной ряд
/(ж) = а0 + aix + а2ж2 + ... + апхп + ...
и Ж1 6 (—R;R), то точное значение /(жх) равно сумме этого ряда при
ж = жх, т. е.
/(жх) = а0 + ахЖх + а2ж2 + ... + а„ж" + ...,
а приближенное — частичной сумме Sn(xi), т.е.
/(жх) и 5п(жх) = а0 + ахжх + а2ж2 + ... + а„ж".
Точность этого равенства увеличивается с ростом п. Абсолютная по-
грешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда,
т. е.
|/(жх) - 5*п(жх)| = |г„(жх)|,
где ,. ,Q
Гп(жх) — а„+хЖх + ап+2жх Т ...
471
Таким образом, ошибку — S'n (ж/)] можно найти, оценив остаток
/„(zj) ряда.
Для рядов лейбницевского типа
Ыж1)1 = |«п+1(*1) + «п+2(Ж1) +«п+з(Ж1) + ...| < |и„_|_1(ж1)|
(см. п. 61.1).
В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположи-
тельный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него старают-
ся найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обыч-
но это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы
суммировался. И в качестве оценки |гп(ж1)| берут величину остатка
этого нового ряда.
Пример 65.1. Найти sin 1 с точностью до 0,001.
Q Решение: Согласно формуле (64.5),
1 1 _°°, 1
sin 1 = 1- ^-13 + —I5----= V(-l)n+1 ---------
3! 5! ' (2n - 1)!
n=l v '
Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно).
Так как и 0,008(3) > 0,001, а уу « 0,0002 < 0,001, то для нахождения
sin 1 с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:
sin 1 « 1 - = 0,842.
3! 5!
Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член
(т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение
sin 1 примерно равно 0,84147. *
Пример 65.2. Вычислить число е с точностью до 0,001.
Q Решение: Подставляя х = 1 в формулу (64.4), получим:
„ 1 1 1
е“1+ 1! + 2! + --- + + - •
Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем п слагаемых и оце-
ним ошибку гп(х):
r"w = (^Tiji + (TT2j! + 57T3ji+ ' =
= 1 Л 1 1 А
(п +1)! \ п + 2 + (п + 2)(п + 3) + <
1 Л 1 1 \ _ 1 / 1 \ _ 1
< (п + 1)! \ п + 1 (n + I)2 ) (п + 1)! \1 - ) п! -п’
472
т. е. гп(х) < . Остается подобрать наименьшее натуральное число
п. чтобы выполнялось неравенство —Д— < 0,001.
п! • п ’
Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при п 6.
Поэтому имеем:
е
11111 „517 „
2! + 3! + 4! + 5! + 6! “ 2720 ~ ,718’
Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью
остаточного члена ряда Маклорена
|/(ж1)-5„(ж1)| = |Яп(ж1)| =
/(га+1)(с)
(п + 1)!
где с находится между 0 и х^. В последнем примере 7?„(1) = у—
(п + 1}!
0 < с < 1. Так как ес < е1 < 3, то 7?„(1) < ' ^Ри п = ® имеем:
Яб(1) < ^ < 0,001, e«l + l + i + ... + l« 2,718.
65.2. Приближенное вычисление определенных
интегралов
Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычи-
сления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда
первообразная не выражается в конечном виде через элементарные
функции (см. § 34) либо нахождение первообразной сложно.
ь
Пусть требуется вычислить J f(x) dx с точностью до е > 0. Если
а
подынтегральную функцию /(ж) можно разложить в ряд по степеням
х и интервал сходимости (—/?.; Л) включит в себя отрезок [а; Ь], то для
вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством по-
членного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют
так же, как и при вычислении значений функций.
1
4
Пример 65.3. Вычислить интеграл / e"J: dx с точностью до
е = 0,001. б
Решение: Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена,
заменяя х на (—ж2) в формуле (64.4):
_ 2 ж2 ж4 ж6 , , ,
е =1- ^т + ^Г- зГ + -”’ ж е ^ос,;°о)- (65.1)
473
Интегрируя обе части равенства (65.1) на отрезке [б; ij, лежащем вну-
три интервала сходимости (—оо; оо), получим:
Получили ряд лейбницевского типа. Так как ——=
> 0,001, а ——1 - 5 < 0,001, то с точностью до 0,001 имеем:
0,0052...
4
f е~х~ dx ~ 7---— = 0,245. •
J 4 192 ’
о
Замечание. Первообразную F(x) для функции /(ж) = е'г легко
найти в виде степенного ряда, проинте!рировав равенство (65.1) в пре-
делах от 0 до ж:
х х / /2 /4 \
Г(ж) = у e~t2dt = у И - - + ~ - ...\dt =
0 0 Х * ’ 7
ж3 ж5 ж7 , .
= ^1Гз + 2!Д“зГ7 + "-’
ж2 X (
Функции /(ж) — I—е 2 и F(x) = [ f(t)dt играют очень важ-
V 2тг J
о
ную роль в теории вероятностей. Первая — плотность стандартно-
го распределения вероятностей, вторая — функция Лапласа F(x) =
X t2
= ^== У е 2 dt (или интеграл вероятностей). Мы получили, что
о
функция Лапласа представляется рядом
,з
. 1 ( хл х5 ж7
Fix) = ,_ X — -------1-----------5-----
\/2я \ 2-3 222! -5 23 • 3! • 7
который сходится на всей числовой оси.
474
65.3. Приближенное решение дифференциальных
уравнений
Если решение дифференциального уравнения не выражается че-
рез элементарные функции в конечном виде или способ его решения
слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно
воспользоваться рядом Тейлора.
Познакомимся с двумя способами решения дифференциальных
уравнений с помощью степенных рядов.
Пусть, например, требуется решить уравнение
у" = (65.2)
удовлетворяющее начальным условиям
у|ж=л0 = Уо, У |ж=жо = Уо- (65.3)
Способ последовательного дифференцирования
Решение у = у(х] уравнения (65.2) ищем в виде ряда Тейлора;
У = у(хо) + У (х - ж0) + У - жо)2 + •••
•• + г/(П)(Жо)(ж-хо)п + ..., (65.4)
п!
при этом первые два коэффициента находим из начальных усло-
вий (65.3). Подставив в уравнение (65.2) значения ж = жо, у = уо,
у' = Уо, находим третий коэффициент: у"(жо) = f(.xo',yo',y'o)- Значения
у"'(жо), </4\жо),... находим путем последовательного дифференциро-
вания уравнения (65.2) по ж и вычисления производных при ж = жо-
Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в ра-
венство (65.4). Ряд (65.4) представляет искомое частное решение урав-
нения (65.2) для тех значений ж, при которых он сходится. Частичная
сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального
уравнения (65.2).
Рассмотренный способ применим и для построения общего реше-
ния уравнения (65.2), если уо и у о рассматривать как произвольные
постоянные.
Способ последовательного дифференцирования применим для ре-
шения дифференциальных уравнений любого порядка.
Пример 65-4- Методом последовательного дифференцирования
найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд ре-
шения уравнения у" = ж2 + у2, у(—1) = 2, т/'(—1) =
475
Решение: Будем искать решение уравнения в виде
у = у(-1) + +1) + ЦД* +1)2 + Я^(ж+ 1)3 + • • •
Здесь у(—1) = 2,у'(—1) = i. Находим у"(— 1), подставив х = — 1 в ис-
ходное уравнение: у"(—1) = (—I)2 + 22 = 5. Для нахождения последу-
ющих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное
уравнение:
у111 = 2х + 2уу',
у^ = 2 + 2(у')2 + 2уу",
У(5) = Ьу'у" + 2у'у" + 2уу"' = бу'у" + 2уу'",...
При х = —1 имеем:
у"'(-1) = -2 + 2-2 - | = О,
у(4)(-1)= 2 + 2- ^ + 2- 2- 5 = 22,5,
у(5)(-1) = 6-|-5 + 2-2-0=15,...
Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, полу-
чим:
У = 2 + |(ж + 1) + |(ж + I)2 + ^(ж + I)4 + ^(ж + I)5 + ... •
Z Z 10 о
Способ неопределенных коэффициентов
Этот способ приближенного решения наиболее удобен для инте-
грирования линейных дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами.
Пусть, например, требуется решить уравнение
у" + Р\(х)у' + р2(х)у = /(ж) (65.5)
с начальными условиями у(жо) = Уо, у'(хо) — у'о.
Предполагая, что коэффициенты рх(ж), р2(х) и свободный член
/(ж) разлагаются в ряды по степеням ж — Жо, сходящиеся в некото-
ром интервале (жо — R; жо + R), искомое решение у = у (ж) ищем в виде
степенного ряда
у = Со +сх(ж - Жо) + с2(ж — ж0)2 + ... + с„(ж - ж0)п + ... (65.6)
с неопределенными коэффициентами.
Коэффициенты Со и сх определяются при помощи начальных усло-
вий Со = уо, сх = у'о.
476
Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем
ряд (65.6) два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выраже-
ния для функции у и ее производных в уравнение (65.5), заменив в нем
р4(ж), Р'2(ж), /(ж) их разложениями. В результате получаем тождество,
из которого методом неопределенных коэффициентов находим недо-
стающие коэффициенты. Построенный ряд (65.6) сходится в том же
интервале (хд — R;xg + R) и служит решением уравнения (65.5).
Пример 65.5. Найти решение уравнения
у” + ху + у = х cos ж, у(0) = 0, у'(0) = 1,
используя метод неопределенных коэффициентов.
Q Решение: Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:
рх(ж) = Ж, Р2 = 1,
Л ж2 ж4 А
/(ж) — ж cos ж = ж! 1 - — + — - . . . ).
Ищем решение уравнения в виде ряда
у — Со + С| Ж + С2Ж2 + С3ж3 + . . .
Тогда
у' = сх + 2с2ж + Зс3ж2 + 4с4ж3 + ...,
у" = 2с2 + 2 • 3 • с3ж + 3 • 4 • с4ж2 + ...
Из начальных условий находим: сд = 0, с4 = 1. Подставляем получен-
ные ряды в дифференциальное уравнение:
(2с2 + 2 • 3 • с3ж + 3 • 4 • с4ж Т ...) Т ж(с4 -|- 2с2Ж -|- Зс3ж + 4с4ж3 Т ...) +
/ Л т4 6 \
+ (со+с1х + с2х +с3ж +) = ж (1- — + — I .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ж:
ж0 : 2с2 = О,
ж1 : 2 • 3 • с3 + 2 = 1,
ж2 : 3 • 4 • с4 + 2с2 + с2 =0,
ж3 : 4 • 5 • с5 + Зс3 + с3 =
ж4 : 5 • 6 • с6 + 4с4 + с4 = 0,
Отсюда находим, что с2 = с4 = с$ = ... = 0, с3 = — , с5 —
1
5!’
С7 = ~^,...
Таким образом, получаем решение уравнения в виде
ж3 ж5 ж7
У = х~ 3! + 5! +---’
т. е. у = sin х.
Глава XV. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Лекции 56-58 I
§66. РЯДЫ ФУРЬЕ
66.1. Периодические функции.
Периодические процессы
При изучении разнообразных периодических процессов, т е про-
цессов, которые через определенный промежуток времени повторяются
(встречаются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории и
практике автоматического регулирования и т. д.), целесообразнее раз-
лагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в сте-
пенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.
Напомним, что функция у = f(x), определенная на множестве
D, называется периодической (см. п. 14.3) с периодом Т > 0, если
при каждом х G D значение (ж + Т) 6 D и выполняется равенство
/(ж + Т) = /(ж).
Для построения графика периодической функции периода Т доста-
точно построить его на любом отрезке длины Т и периодически про-
должить его во всю область определения.
Отметим основные свойства периодической функции.
1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один
и тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т.
2. Если функция /(ж) имеет период Т, то функция /(аж) имеет
Т
период —; действительно,
/(а-
(Ж + а ) ) = ^аХ + Г) =
3. Если функция /(ж) имеет период Т и интегрируема на отрезке
а+Т Ъ+Т
[жо; жх] £ Ж, то у f(x)dx = j f(x) dx при люёых а и b 6 [жо;Ж]].
а Ь
Q Пусть, например, 0 < а < b < Т, тогда
ч-\-Т Ь а-\-Т
У /(ж) dx = у /(ж) dx + у /(ж) dx.
а а Ь
(66.1)
С другой стороны,
Ъ+Т а+Т Ь+Т
У f(x).dx= У /(ж)йж+ У f(x)dx. (66.2)
b Ь а-\-Т
478
b+т b b
Но у /(ж) dx — (подстановка x = u + T) = j. f(u + T)du = J f(x)dx.
a+T a a
Подставляем полученный результат в (66.2) и, сравнивая с (66.1), име-
а+Т Ъ+Т
ем у /(ж) dx = У /(ж) dx.
а Ъ
Т Ь+Т
В частности, j f(x)dx = j f(x)dx.
0 b
Простейшими периодическими функциями являются тригономе-
трические функции sin ж и cos ж. Период этих функций равен 2тг, т. е.
Т= 2тг.
Простейшим периодическим процессом (движением) является про-
стое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией
у = А • sin(wt + </?о), (66.3)
t О, где А — амплитуда колебания, ш — частота, ро — начальная
фаза.
Функцию такого вида (и ее график) называют простои гармони-
кой. Основным периодом функции (66 3) является Т = т. е. одно
полное колебание совершается за промежуток времени — показы-
(jj
вает, сколько колебаний совершает точка в течение 2тг единиц време-
ни)
Проведем преобразование функции (66.3):
у = Asin(wt + ipo) = A sin wt cos + A cos wt sin tpo = acoswt + ftsinwt,
(66.4)
где a = A sin p0, b = A cos po Отсюда видно, что простое гармоническое
колебание описывается периодическими функциями sinwt и coswt.
Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате на-
ложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также
описывается функциями вида sinwt и coswt. Так, функция
<p(t) = Ао + Ai sin(t + </?i) + А2 sin(2t + <^2) + -.. + Азо sin(30t + </?30) =
зо
= Ао + ^2 An sin (nt + tpn)
72=1
30
или, что равносильно, функция <p(t) = Aq + (ап cos nt + bnsinnt)
72=1
задает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гар-
моники есть Т) = 2тг, второй Т2 = третьей Т3 = ..., тридцатой
А о
479
2зо = щт, а период функции у = Aq («нулевая гармоника») есть любое
ои
число, то функция имеет период, равный 2тг, т. е. Т = 2тг.
Понятно, что при наложении простых гармоник получаем перио-
дическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание
(периодический процесс).
Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описываю-
щую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых
гармоник вида (66.3) или (66.4)? Если да, то как найти неизвестные па-
раметры (коэффициенты) каждой из этих гармоник? Ответим сначала
на второй вопрос, а потом и на первый.
66.2. Тригонометрический ряд Фурье
С помощью так называемого тригонометрического ряда любую
(практически) периодическую функцию можно представить в виде ря-
да, членами которого являются простые гармоники.
Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд
вида
ао
~2
+ ai cos х + b\ sin х + ... + ап cos tit + bn sin nx + • • • =
=------F } an cosn.-r + bn sinnx,
n=l
(66.5)
где действительные числа ао, ап, Ъп (п = 1,2,...) называются коэффи-
циентами ряда.
Ряд (66.5) можно записать в виде
ОО
у + Ап sin(na: + У’и)-
П=1
(66.6)
Действительно, положив ап = A„sin<pn, bn = Ап cos(рп, получим:
ancosnx 4- bn sin nx = .4nsin(n:r 4-<рп); ряд (66.5) принимает вид (66.6),
при этом Ап — у/а? + Ь? и tg<pn = т21- 1
Свободный член ряда записан в виде для единообразия полу-
чающихся в дальнейшем формул.
Приведем формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Считая тип целыми положительными, находим:
cos nxdx = <
sin пх Г
71 ] —jj-
I 7r
X — 27Г
I —7Г
(n / 0)
(n = 0),
(66.7)
7Г
У sinnxdx — 0 при любом n,
— 7Г
(66.8)
480
У cos тх cos пх dx =
1 г / , . , . х , ГО (т^п), (66-9)
= - / (cos(m + п)х 4- cos(m — п)х) dx = <
2 J тг (т = п),
7Г
I sin тх cos пх dx =
- 1 ;, х (66.Ю)
= - J (sin(m 4- п)х 4- sin(m — п)х) dx = 0,
— 7Г
7Т
У sin тх sin пх dx =
-7Г 1 [ / , . , х х , Гб (пг^п), (66.11)
= - / (cos(m — п)х — cos(zn 4- п)х) dx = <
2 J I тг (m = n).
— 7Г \
Замечания.
1. Формулы (66.7)-(66.11) показывают, что семейство функций
1, cost, sinx, cos 2x, sin 2x, cos 3т, sin 3т,...,cos пт,sin пт,...
обладает свойством ортогональности: интеграл от произве-
дения любых двух функций этого семейства на интервале, имею-
щем длину 2тг, равен нулю.
2. Формулы (66.7)-(66.11) справедливы и в случае, когда область
интегрирования есть отрезок [0; 2тг] (см. свойство 3 периодических
функций, и. 66.1).
Пусть /(т) — произвольная периодическая функция с периодом
2тг. Предположим, что функция f(x) разлагается в тригонометриче-
ский ряд, т. е. /(т) является суммой ряда (66.5):
ОО
/(-) = ? + £«п cosпх 4- bn sin пх. (66.12)
2 п=1
Так как функция f(x) (и сумма ряда) имеет период 2тг, то ее мож-
но рассматривать в любом промежутке длины 2тг. В качестве основ-
ного промежутка возьмем отрезок [—тг; тг] (также удобно взять отрезок
[0; 2тг]) и предположим, что ряд (66.12) на этом отрезке можно почленно
интегрировать. Вычислим коэффициенты ап и Ьп. Для этого проинте-
грируем обе части равенства (66.12) в пределах от —тг до тг:
7Г 7Г
У f(x)dx = у
— 7Г —7Г
cos пх
sin пх dx
= У °^-dx = тгво-
16 Конспект лекций по высшей математике Полный курс
481
Интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны нулю в силу
формул (66.7) и (66.8).
Отсюда
(66.13)
Умножив обе части равенства (66.12) на cos таг и проинтегрировав по-
лученный ряд в пределах от —тг до тг, получим:
cos тх dx =
cos тх dx+
cos тх cos пх dx + bn
cos mx sin nx dx
В силу формул (66.7), (66.9) и (66.10) из последнего равенства при
т = п получаем:
7Г
У f(x) cos пх dx = аптг.
— 7Г
Отсюда
(66.14)
Аналогично, умножив равенство (66.12) на sin таг и проинтегриро-
вав почленно на отрезке [—тг; тг], найдем:
(66.15)
Числа ао, ап, Ъп, определяемые по формулам (66.13)-(66.15), на-
зываются коэффициентами Фурье функции /(ат), а тригоно-
метрический ряд (66.5) с такими коэффициентами — рядом Фурье
функции /(ат).
Для интегрируемой на отрезке [—тг; тг] функции f{x) записывают
/(*) ~ + ап cos пх + bn sin пх
п=1
и говорят: функции f(x\ соответствует (поставлен в соответствие) ее
ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим S(x).
482
§67. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ
2тг-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
67.1. Теорема Дирихле
Выясним условия, при которых знак соответствия (~) можно за-
менить знаком равенства (=), т. е. условия, при которых ряд Фурье
функции /(т) сходится и имеет своей суммой как раз функцию /(т).
Будем рассматривать функции /(т), имеющие период Т = 2тг. Та-
кие функции называют 2~-периодическими.
Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие
разложимости функции в ряд Фурье.
Теорема 67.1 (Дирихле). Пусть 2тг-периодическая функция /(ж) на
отрезке [—тг; тг] удовлетворяет двум условиям:
1. f(x) кусочно-непрерывна, т е непрерывна или имеет конечное
число точек разрыва I рода,
2. f(x) кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке, либо
этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что
на каждом из них функция монотонна.
Тогда соответствующий функции /(т) ряд Фурье сходится на этом
отрезке и при этом:
1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с
самой функцией: S(x) = f(x),
2. В каждой точке .го разрыва функции сумма ряда равна
С/ X _ /(^о - 0) +/(аго + 0)
Й(хо) - --,
т. е. равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа
и слева;
3. В точках х = —тг и х = тг (на концах отрезка) сумма ряда равна
С( _ /(-7Г + О) + /(тг-°)
5(-тг) _ 6(тг) - ------------------.
|@] Таким образом, если функция /(х) удовлетворяет условиям 1 и 2
теоремы (условия Дирихле), то на отрезке [—тг; тг] имеет место раз-
ложение (66.12):
/(т) = cosna: + bn sin nx,
п~ 1
причем коэффициенты вычисляются по формулам (66.13) (66.1-5). Это
483
равенство может нарушиться только в точках разрыва функции f(x)
и на концах отрезка [—тг;тг].
В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье мо-
жет быть получено указанное разложение во всей области определения
функции.
Замечания.
1. Если функция /(х) с периодом 2тг на отрезке [0; 2тг] удовлетво-
ряет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (66.12),
где коэффициенты вычисляются по формулам
1 2я
аа = — / /(х) dx,
7Г J
О
1 2?Г
ап = — / J(x) cos пт dx, п = 1,2,3,...,
ТГ J
о
1 2/
Ьп = — / f(x) sin пт dx, п = 1,2,3,...
ТГ J
О
тг 2тг
(Интегралы J J(x) dx и J /(х) dx равны в силу свойства 3 периоди-
—тг О
ческой функции — см. п. 66.1.)
2. Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, кото-
рые встречаются в математике и ее приложениях. Существуют функ-
ции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые
в ряд Фурье, т. е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие раз-
ложимости, но не необходимое.
Пример 67.1. Разложить в ряд Фурье функцию /(х) периода 2тг,
заданную на отрезке [—тг; тг] формулой
2х при 0 х тг, г
—х при — тг х < 0.
/(х) =
Q Решение: На рисунке 260 изображен график функции /(х). Эта
функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит, она разложима в
ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда:
1г 1г 1 г Зтг
ао = — / /(х) dx = — / (—х) dx Ч— / 2xdx = —,
тг J тг J тг J 2
— ТГ — ТГ О
1 1 О 1
ап = — / У(х) cosnx dx = — / (—х) cos nxdx Ч— / 2х cosnx dx =
тг J ’ тг J тг J
— ТГ — ТГ О
484
интегрируем по частям:
и = х
dv = cos пх dx
du = dx
v = J- sin nx
n
1 i° \ 2 (x Iя
4—ycosn.rl H—I — sinnxl
n I —7Г J тг Io
12 3
y(l — COSTTZl) 4 ^-(coSTTn - 1) = ^(1 — (— l)n)-
ТГП--------------7ГП-ТГП
Аналогично находим
1 * 1
bn = — [ f(x)sinnxdx = • • = — (—l)n+1.
тг J n
— 7Г
Исходной функции /(x) соответствует ряд Фурье
/(ж) ~ S(x) = + У7----~2 (1 _ (-1)”) cosnx + — (-1)"+1 sinnx.
Функция f(x) непрерывна во всех внутренних точкой отрезка [—тг; тг],
поэтому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек имеем равен-
ство /(ж) = S(x), т. е.
... . Зтг 6 / cost cos3x cos5x \
/Ы = ад = т--(Л5- + —+ -^ + ..J +
(sin х sin 2x cos 3x \
1 2 3 J
В точках x = ±тг сумма S(x) ряда равна
/(—тг 4-0) +/(тг — 0) тг + 2тг 3
-------2----------= = Г'
Графики функций /(т) и S(x) показаны на рис. 260. •
485
67.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных
функций
Если разлагаемая на отрезке [—тг; тг] в ряд Фурье функция /(х)
является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэф-
фициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда
(он становится так называемым неполным).
Если функция /(х) четная, то ее ряд Фурье имеет вид
ОО
Дх) = V + ^2anCosnx, (67.1)
п~ 1
где
2 7 2 г
ао = — / f(x)dx, ап = — / f(x) cos nx dx, n G N. (67.2)
тг J it J
о о
Если функция /(ж) нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид
Дх) = Ьп sinnx, (67.3)
71=1
где 2 я
Ь„ = — / f(x) sin nx dx, n G N. (67.4)
тг J
о
Q Как известно (см. п. 39.4), если функция /(ж) интегрируема на сим-
метричном отрезке [—а; а], то
а
г,. _ 2 • / Дж) dx,
/ /(ж) dx = J
~а (о,
если f(x) — четная функция,
если /(ж) — нечетная функция.
Если функция /(ж) — четная, то /(x)cosnx — четная функ-
ция (Д—х) cos(—пх) = Дх) cosnx), a f(x) sin nx — нечетная функция
(/(—ж) sin( — nx) = —Дх) sinnx).
Если же /(ж) — нечетная функция, то, очевидно, функция
/(х) cosnx — нечетная, а /(х) sinnx — четная.
С учетом формулы (67.5) из формул (66.13) (66.15) получаем фор-
мулы (67.1)-(67.4). И
Ряды (67.1) и (67.3) называются неполными тригонометрически-
ми рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.
Пример 67.2. Разложить в ряд Фурье функцию Дх) = х,
х G (—тг; тг), Т — 2тг.
486
Q Решение: На рисунке 261 изображен график заданной функции.
Условиям Дирихле функция у = х удовлетворяет. Эта функция —
нечетная. Следовательно, ап = 0, п = 0,1,..., а
b.
1 . 2 С 7г\
-~i sin пл = — I----------COS ТГД,
п 1о) тг \ п J
т. e. bn
/ , 2 ( х lw
/ х sin пх ах = — I-----cos пх
J 7Г \ п 1о
о 4
Гъ
= — • (—l)n+1 (п G N). Ряд Фурье содержит только синусы:
Е2 , , /sin :г sin2a: sin За:
Г (-!)««• м=2(------------------- + ~
При этом S(±tt) = я = 0 (см. рис. 261).
67.3. Разложение в ряд Фурье функций произвольного
периода
Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с перио-
дом, отличным от 2тг.
Пусть функция f(x), определенная на отрезке [—/;/], имеет период
21 (/(а: + 21) = f(x), где I — произвольное положительное число) и
удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.
Сделав подстановку х — данную функцию f(x) преобразуем в
функцию <p(t) = / i которая определена на отрезке [—тг; тг] и имеет
период Т = 2тг.
Действительно, если t = —тг, то х = —I, если t = тг, то х = I и при
—тг < t < тг имеем — I < х < I;
(p(t + 2тг) = f (~{t + 2тг)^ = f(-t + 2^ = f(—\ = p(t),
\7T ) \7Г / \ 7Г /
т. е. p(t 4- 2тг) = (p(t).
487
Разложение функции tp(t) в ряд Фурье на отрезке [—тг; тг] имеет вид
ОО
<p(t) — — -Ь / J nn cos nt 4- bn sin nt,
n=l
где
an — — f <p(t)cosntdt (n = 0,1,2,...),
7Г J
— 7Г
1 *
bn = — / (p(t)sinntdt (n—1,2,...).
7Г J
— 7Г
Возвращаясь к переменной x и заметив, что t = dt = jdx,
получим
(67.6)
где
ОО
\ «0 ЯПХ , 7ГПХ
ж) = —- + У ап cos —---------h bn sin ,
i i
n=l
Ряд (67.6) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (67.7),
(67-7)
называется рядом Фурье для функции f(x) с периодом Т = 21.
Замечание. Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 2тг-пе-
риодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций,
период которых Т = 21. В частности, если /(т) на отрезке [—Z; Z] четная,
то ее ряд Фурье имеет вид
ОО
J7 х «О . ЛПХ /С7 О\
/(ж) = у + ' (67-8)
П~1
где
о 1 о 1
С £ С 'ТГ'П*£
ао = - J f(x) dx, ап — - J У(х) cos —— dx, п = 1,2,...; (67.9)
о о
если /(ж) — нечетная функция, то
Лх) = zL6nSin'“7“’ (67.10)
п=Л
где z
bn = ~ ‘J У(т) sin dx, п=1,2,... (67.11)
о
488
Пример 67.3. Разложить функцию f(x) — х на интервале (—4; 4)
в ряд Фурье.
Q Решение: Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Ди-
рихле. По формулам (67.10) и (67.11), при I = 4, имеем:
оо
Е, тх
bn sin ——,
4
i=i
4
где Ьп = 2 J х sin dx, п = 1, 2, 3,...
о
Вычисляем Ьп:
1 ( 4 тгп;г14 4 4 тгпж|4\
Ьп = - — х— cos —— -I-----------• — sm —— =
2 у тгп 4 1о тгп тгп 4 1оу
= ——cos тгп = — (—l)n+I, п = 1,2,3,...
тгп тгп
Таким образом,
8 7 sin Д- sin sin \
х ~ ~ i I 5 • • • I
тг \ 1 2 3 )
для —4 < х < 4.
67.4. Представление непериодической функции рядом
Фурье
Пусть у = /(х) — непериодическая функция, заданная на всей
числовой оси (—сю < х < сю).
Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, т. к. сумма
ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может
быть равна f(x) для всех х.
Однако непериодическая функция
/(т) может быть представлена в виде
ряда Фурье на любом конечном проме-
жутке [а; Ь], на котором она удовлетво-
ряет условиям Дирихле. Для этого мож-
но поместить начало координат в сере-
дину отрезка [а; 6] и построить функцию
/Дат) периода Т = 21 = \Ь — а| такую, что
/1(т) = /(т) при — I х I. На рисун-
ке 262 приведена иллюстрация построе-
ния функции fi(x).
489
Разлагаем функцию fi(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех
точках отрезка [а; 6] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функ-
цией /(ж). Вне этого промежутка сумма ряда и /(т) являются совер-
шенно различными функциями.
Пусть теперь непериодическую функцию f(x) требуется разло-
жить в ряд Фурье на отрезке [0;/]. (Это частный случай: начало ко-
ординат перенесено в точку х = а отрезка [а; &]; область определения
функции /(ж) будет иметь вид [0; I], где I = — а|.)
Такую функцию можно произвольным образом доопределить на
отрезке [—Z; 0], а затем осуществить ее периодическое продолжение с
периодом Т = 21. Разложив в ряд Фурье на отрезке [—/;/] полученную
таким образом периодическую функцию /1(т), получим искомый ряд
для функции /(ж) при х G [0; /].
В частности, функцию /(ж) можно доопределить на отрезке [—Г, 0]
четным образом (т. е. чтобы при — I х 0 было /(а?) = f(~x)) —
см. рис. 263. В этом случае функция f(x) разлагается в ряд Фурье,
который содержит только косинусы (см. формулы (67.8) и (67.9)).
Рис. 263
Рис. 264
Если же функцию /(ж) продолжить на отрезок [—Z; 0] нечетным
образом (см. рис. 264), то она разлагается в ряд, состоящий только из
синусов (см. формулы (67.10) и (67.11)).
Ряд косинусов и ряд синусов для функции /(ж), заданной на отрез-
ке [0; /], имеют одну и ту же сумму. Если Хо — точка разрыва функции
f(x), то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же
числу: S(x0) =
Замечание. Все, что было сказано о разложении в ряд Фурье функ-
ции f(x) на отрезке [0;/], переносится практически без изменения на
случай, когда функция задана на отрезке [0; тг]; такую функцию мож-
но разложить как в ряд косинусов, так и в ряд синусов (формулы (67.1)
и (67.3)).
Пример 67.4- Разлождть в ряд косинусов функцию/(ж) = ~ 1,
0 < X < 7Г.
490
Q Решение: Продолжим функцию f(x) на отрезок [—тг; 0] четным обра-
зом (см. рис. 265). Разлагаем в ряд функцию
/1(1) = "
тг — х
2
ТГ + Ж
2
0 < х < тг,
—тг < х < 0
с периодом Т = 2тг. Условиям теоремы
Дирихле функция /Д.т) удовлетворяет.
Используя формулы (67.1) и (67.2), нахо-
дим:
2 f ТГ — X 7Г 2 f ТГ — X 1
ао = — / —-— dx = —, ап = — / —-— cos nx dx = —(1 — cos тгп).
тг J 2 2 тг J 2 тхп
о о
Таким образом,
тг 2 /cos х cos За; созбж
= 4 + Д Л2- + +
/ Я. I тг
где 0 < х < тг ( при этом 5(0) = 2 2 = 5(±тг) — = 0
67.5. Комплексная форма ряда Фурье
Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Пре-
образуем ряд (66.12) и его коэффициенты (66.13)Д66.15) к комплексной
форме. Для этого используем формулы Эйлера, выражающие косинус
и синус через показательную функцию:
^inx । ^—inx ginx _ ^ — inx
cos nx = ----------, sin nx = -----------
2 2г
(из формулы Эйлера eiv = cos ip + i sin р и вытекающего из нее
eiv 4- e~i<p
равенства e v = cos p — i sin p находим, что cos p = -—ДД ,
sincp = ——------). Подставив эти выражения в ряд (66.12), находим:
/Д) = у + 22"»
П=1
^гпх । — inx
2
inx _ ^—гпх
2i
ао
Т
где обозначено с.
2
gins । g — inx
2
inx _ —inx
~ibn--------------
-ibn}einx (an
2 +
oo
= T + E
1 X» — an +
2
inx
СПС
— inx
,—inx
(67.12)
2
491
Найдем выражения для комплексных коэффициентов сп и С- п. Ис-
пользуя выражения для ап и Ьп (формулы (66.14) и (66.15)), получим:
1 / 1 /* 1 /* \
сп ~ -( — I f(x)cQsnxdx — i— I /(х) sin тая dx I =
2 \ 7Г J 7Г J )
— тг — тг <
1 тг 1
= — / f(x)(cosnx - isinnx)dx — — / f(x)e~'tnxdx1
2it J 2тг J
— IT —7Г
t. e.
1 я
cn = 7Г- [ f(x)e~mxdx (n = 1,2,3,...), (67.13)
Z7T J
a 1
Co = ~ = y- [ f(x)dx, (67.14)
2 Z7F J
— тг
1/17 1 f \
C-n = - I — I f (ж) cos nx dx 4-1 — I f (x) sin nx dx =
2 \7F J 7Г J J
— 7Г —7Г
1 7Г 1 тг
= — j f(x)(cosnx + isinnx)dx= — J f(x)emxdx (n = 1, 2, 3 ...).
— 7Г —7Г
(67.15)
Таким образом, формулу (67.12) можно записать в виде
ОС оо
f(x)=co + ^cnemx+c_ne-mx, или /(Ж) = £ спетх. (67.16)
п=1 п——оо
Коэффициенты этого ряда, согласно формулам (67.13) -(67.15), можно
записать в виде
1 я
сп = — f f(x)e~tnxdx (п = 0, ±1, ±2,...). (67.17)
2тг J ।
— 7Г
Равенство (67.16) называется комплексной формой ряда Фу-
рье функции f(x), а числа с„, найденные по формуле (67.17), —
комплексными коэффициентами ряда Фурье.
Если функция /(х) задается на отрезке [—I; /], то комплексная фор-
ма ее ряда Фурье имеет вид
00 гтгх 1 г —гппх
f(x) = 22 Спе 1 , Cn = Yi J f(x)e 1 dx (« = 0, ±1,±2,...).
П— — ОО _1
(67.18)
Как видим, комплексная форма ряда Фурье (и коэффициентов)
более компактна, чем обыкновенный ряд Фурье.
492
г1ГПХ
В электротехнике и радиотехнике члены ряда спе 1 называются
гармониками, коэффициенты сп — комплексными амплитудами гар-
моник, а числа и>п = (п = 0, ±1,±2,...) — волновыми числами
оо
функции /(т) = У} спеШпХ.
п= — <х>
Совокупность величин {с1; С2,..., сп,... } называется амплитуд-
ным спектром.
Графически амплитудный спектр изображается в виде вертикаль-
ных отрезков длиной сп, расположенных в точках шп = числовой
оси.
Пример 67.5. Построить ряд Фу-
рье в комплексной форме для 2-периоди-
ческой функции
У
,—, i —, .—, ---------
--2 -1 О] 1 2 3 4~^
Рис 266
х е [—1; 0),
х е [0; 1],
Т = 2.
Q Решение: На рисунке 266 изображен
график функции /(х). По формулам (67.18) находим (/ = 1):
1 — 17ГПХ
[ e~t7vnxdx =-----------
J 2ттг
о
-1 /
= —- ( е-т - 1
0 2яш \
i
2яп
(cos т — г sin кп — 1) = —------------г, п 0;
2ятг
Следовательно, для
ливо равенство
о
всех точек непрерывности функции /(т) справед-
1
/гтг пх
2кп
(«#о)
1 ,/ег7ГЖ
2 Д ~
(5(0) = Ш = 1, 5(±1) =
тга' ^Згтга? Згтгж \
зГ + Зя + ’ ’ ’)
на графике S (ж) не отмечена).
= 1
2
Я
§68. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Как известно, всякую (периодическую или непериодическую)
функцию /(т), удовлетворяющую на отрезке [—1;1] условиям теоремы
493
Дирихле, можно разложить в ряд Фурье
П=1
ап cos шпх + bn sin
(68.1)
_ тт
~ I
где шп
Яп = 1 J (и = 0,1, 2,...),
(68.2)
Ьп — - J f(t) sinw„Z dt (п = 1,2,...).
-i
Это разложение будет справедливым на всей числовой оси Ох в
том случае, когда f(x) — периодическая функция с периодом Т = 21.
Рассмотрим случай, когда f(:r) — непериодическая функция, за-
данная на бесконечном промежутке (—оо; оо) (т. е. I = +оо).
Будем предполагать, что на любом конечном промежутке
функция f(:r 'j удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и что сходит-
ся следующий несобственный интеграл:
У |/(а?)| dx = ЛГ < оо.
— ОО
Говорят: /(т) абсолютно интегрируема на всей числовой оси.
Подставляя в ряд (68.1) значения коэффициентов ап и Ьп (68.2),
получим:
i I г оо I
= n / f(t)dt + - I /(Z)(cos LOnt • COS сопх + sinw„l • sin LOnx) dt,
J I \J
-I ’1=1 -I
t. e.
J l oo Z
/И = — [ f(t)dt+[ f(i) -cosw„(z — x)dt. (68.3)
J I J
-I «=1 -(
Будем теперь неограниченно увеличивать I. Первое слагаемое в правой
части равенства (68.3) при I —> +оо стремится к нулю, т. к.
1 I I оо .
1д7 [ WdtU- [ \f(t)\dt^- f \f(t)\dt=-^O.
I J I J £1 J £1
-I -I -oo
Рассмотрим второе слагаемое в равенстве (68.3). Величина
соп — принимает значения дц = j, дд = , Д»з = , ..., образую-
щие бесконечную арифметическую прогрессию с разностью Дд?„ = у
494
(Дш„ = w„+i — wn, n — 0,1,2,...), при этом Дип —> 0 при I —> +оо.
Итак,
ОО I "j оо &
- У J f(t) • cos wn(t - х) dt — - У у f(t) cos wn(t - x) dt • j =
n=l n=l -I
1 OO z I \ 1 oo
= - ( / f(t) • coscun(7 - x) dt I Acun = - V ^(^n) • A^n,
7Г \ J ) 7Г *—J
n=l _/ n=3
I
где = у /(£) • cosw„(Z - x) dt, bjn = j, y1,..., у,...
-I
Полученная сумма напоминает интегральную сумму для функции
I
ip(w) = У f(t) cos w(t — ж) dt, bJ e (0; +oo)
-i
(доказывается, что так оно и есть), поэтому, переходя в равенстве (68.3)
к пределу при I —> +оо, получаем
1 °°^ । 3?
/(т) = — lim У ^>(шп)Дшп = — / <p(w) dbj,
ТГ l-УХ тг J
п=1 о
ИЛИ оо оо
f (т) = — у dbj у f(t) cos cj(t — х) dt (68.4)
О -оо
g Формула (68.4) называется формулой Фурье, а интеграл в пра-
вой части формулы — интегралом Фурье для функции /(т).
Формула Фурье имеет место в точках непрерывности функции
f(:r); в точках разрыва данной функции интеграл Фурье равен сред-
нему арифметическому ее односторонних пределов:
1 Т , F г/ \ , f(x — 0) + /(т + 0)
— I dbj I f(t) co$bj(t — х) dt = -------------------.
О -оо
Формулу (68.4) можно переписать в другом виде (в виде однократ-
ного интеграла):
/(т) = — У dbJ У /(Z) cosw(Z — х) dt =
0 —оо
= — J dev J - coscjx + sintuZ • sin сия) eft —
0 -oo
OO / - OO
= / '‘У / /(i>
0 -OO
cos (jjt dt • cos (vx +
— / f(t) sinbJtdt sinwx
ТГ J
495
т. е.
где
f(x) = У (A(w) COS CdX + B(w) since./:) c£ce,
0
(68.5)
A(cj) = — [ f (t) cos ojt dt,
7Г J
1
B(w) = — [ f(Z) sinajtdt.
тг J
Как видно, есть аналогия между рядом Фурье и интегралом Фу-
рье. в обоих случаях функция f (т) раскладывается на сумму гармони-
ческих составляющих. Однако, ряд Фурье суммируется по индексу п,
принимающему дискретные значения п = 1,2,3,..., в интетрале Фурье
производится интегрирование по непрерывной переменной щ.
Некоторые сведения, связанные с интегралом Фурье, изложим в
виде замечаний.
Замечания.
1. Если функция /(а?) - четная, ю формула Фурье (68.5)
мает вид
ОО _
г 2
f(x) = / coscjx dcj, где = —
J 7Г
0
в случае нечетной функции —
Т 2
/(ж) = / sin их dev, где — —
J 7Г
о
J f (t) cos иt dt;
0
прини-
(68.6)
J f (Z) sin cdtdt.
о
2. Если функция /(а?) задана лишь на промежутке (0;+оо), то ее
можно продолжить на промежуток (—оо; 0) разными способами, в част-
ности — четным или нечетным образом: в первом случае она будет
представлена формулой (68.6), во втором — формулой (68.7).
3 Формулу Фурье (68.5) можно представить в симметричной форме
записи, если положить в формулах (68.6) и (68.7) А(ш) = ^/^А(ш),
(68.7)
s<“)=ш). В случае четной функции
COS LdX dbJ,
=V? j
’ 0
в случае нечетной функции
где А(ш) = t — У f (Z) cos ajt dt;
V о
v 0
sinwx dcu,
где B(w) = . — J f (t) sin ivtdt.
V о
496
g Функции .4 (се) и В(ш) называются соответственно косинус-пре-
образование м и синус-преобразованием Фурье для функции
/(ж)-
4. Интеграл Фурье (68.4) в комплексной форме имеет вид
/(х) = J ешх(ко J f (t)e~lujt dt;
— оо —оо
интеграл Фурье (68.5) имеет вид
оо
/(Ж) = - [ c(yy“xdu>,
2/Tt J
—оо
оо
где с(ш) = У f (Z)e-!wtdt; или в симметричной форме записи
— ОО
оо
= [ е^У^и,
2тг J
где оо
УУ= у f(t)e~lw1dt
УУ = -/==с(ш))-
V 2ТС
Пример 68.1. Представить интегралом Фурье функцию
/(®) = о,
х е (0; +оо),
х = 0,
х е (—оо; 0).
е
Q Решение: Функция удовлетворяет условиям представимости инте-
гралом Фурье, абсолютно интегрируема на промежутке (—оо; +оо):
оо О оо
У |/(зс)|с?я:= у exdx+ j е~х dx = 2.
— оо —оо О
Функция нечетная, применим формулу (68.7):
, ч 2 Т л 2 и
В(ш) = — / е sin cut at = — •----------у
V ’ 7Г J Л 1 + У
О
Следовательно,
2 +°° ш
fix') = — / --------• sincj.z: du, х е (— оо; 0) U (0; +оо). •
тг J 1 + и
о
497
Замечание. Интересно отметить, что если х = 1, то
2
’ тг У 1 + W2
о
С другой стороны, /(1) = е-1 = i. Таким образом,
f ysiny 7Г 7Г
J PFy2 = 1 2 = 2e
0 y
Иными словами, при помощи представления функций интегралом Фу-
рье иногда можно вычислить величины несобственных интегралов.
Глава XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Лекции 59-62 |
§69 . ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в
котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.
К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие
задачи физики, электротехники, математики, механики и других тех-
нических дисциплин Изучение одних физических полей способствует
изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, маг-
нитные, элек!рические силы — все они изменяются обратно пропор-
ционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в рас-
творах происходит по законам, общим с распространением тепла в раз-
личных средах; вид силовых ма1ни1ных линий напоминает картину
обтекания препятствий жидкостью и т. д
Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как
градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие.
Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического ана-
лиза функций многих переменных.
Полем называется область V пространства, в каждой точке кото-
рой определено значение некоторой величины. Если каждой точке
М этой области соответствует определенное число U — U(M), гово-
рят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция
точки). Иначе говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(М)
вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области
пространства соответствует некоторый вектор а = а(М). то говорят,
что задано векторное поле (или векторная функция точки).
Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воз-
духа, тела, ...), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха,
...), электрического потенциала и т. д. Примерами векторных полей
являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидко-
сти (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.
Если функция U(M) (а(М)) не зависит от времени, то скаляр-
ное (векторное) поле называется стационарным (или установившим-
ся), поле, которое меняется с течением времени (меняется, например,
скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется не-
стационарным (или неустановившимся).
Далее будем рассматривать только стационарные поля.
Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U
можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат
точки М):
U=U(x-y-z). (69.1)
499
(Наряду с обозначениями U = U(M), U = U(ж; у; z), используют запись
U — U(г), где г — радиус-вектор точки М.)
Если скалярная функция U(M) зависит только от двух перемен-
ных, например х и у, то соответствующее скалярное поле U(x; у) назы-
вают плоским.
Аналогично: вектор а = а(М), определяющий векторное поле,
можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргу-
ментов х, у и z\ а = а(х; у; z) (или а = а(г)).
Вектор а — а(М) можно представить (разложив его по ортам ко-
ординатных осей) в виде
а — Р(х; у; z)i + Q(ж; у; z)j + R(x; у, z)k,
где Р(х-, у, z), Q(x; у; z), R(x; у; z) — проекции вектора а(М) на оси ко-
ординат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проек-
ций вектора а = а(М) равна нулю, а две другие зависят только от
двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например,
а = Р(х;у)г + Q(x;y)j.
Векторное поле называется однородным, если а(М) — постоянный
вектор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является
поле тяжести. Здесь Р — О, Q = О, R = —rng, g — ускорение силы
тяжести, т — масса точки.
дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции
(U(x-,y,z) — определяющая скалярное поле, P(x~,y,z), Q(x’,y;z)
и R(x; у; z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими
частными производными.
Пример 69.1. Функция U = у/1 — х2 — у2 — z2 определяет ска-
лярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром
в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле U = z—у
х + У
определено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на
ней х2 + у2 = 0). ,
Пример 69.2. Найти поле линейной скорости V материальной
точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью
ш вокруг оси Oz (см. п. 7.4).
Q Решение: Угловую скорость представим в виде вектора ей, лежащего
на оси Oz, направленного вверх. Имеем:
ей = (0;0;w) (w = wfc).
Построим радиус-вектор f — (x-,y;z) точки М (см. рис. 267).
Численное значение линейной скорости V (модуль), как известно
из курса физики, равно шр, где р — расстояние вращающейся точки
500
M(x\y\z) от оси вращения (оси Ог).Но р — rsintp (<р — угол между
вектором г и осью Oz). Следовательно, V = шр = ш г sin <р, т. е. V =
= |ёй X г|.
Вектор скорости V направлен в сторону z
вращения, совпадает с направлением вектор-
ного произведения ш xf (V ± f,V ± ей, векто-
ры ей, г, V образуют правую тройку). Следо-
вательно, V = ей х г, т. е.
_ г j< к
V = 0 0 ш — —шуг + wxj + 0 • к
Рис 267
или V = (—шу, шх; 0).
Поле линейных скоростей V тела, вращающегося вокруг неподвиж-
ной оси, есть плоское векторное поле. •
§70 . СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
70.1. Поверхности и линии уровня
Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U — U(x',y;z).
Для наглядного представления скалярного поля используют поверхно-
сти и линии уровня.
Поверхностью уровня скалярного поля называется геометри-
ческое место точек, в которых функция U (М) принимает постоян-
ное значение, т. е.
U(x-, у, z) = с. (70.1)
Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, полу-
чим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы
расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна
поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки ко-
ординат точки в уравнение (70.1).
Для скалярного поля, образованного функцией
U = \/1 — ж2 — I/2 — г2,
поверхностями уровня является множество концентрических сфер с
центрами в начале координат: ^1 — ж2 — у2 — г2 = с. В частности, при
с = 1 получим х2 + у2 + z1 = 0, т. е. сфера стягивается в точку.
Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня темпера-
турного поля (изотермические поверхности) представляют собой кру-
говые цилиндры, общей осью которых служит нить.
|ф| В случае плоского поля U = U(x; у) равенство U(x; у) = с предста-
вляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —
501
это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U(ж; у) сохра-
няет постоянное значение.
В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одина-
ковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются
линиями уровня и представляют собой функции координат точек мест-
ности.
Линии уровня применяются в математике при исследовании по-
верхностей методом сечений (см. п. 12.9).
70.2. Производная по направлению
Для характеристики скорости изменения поля U ~ U(М) в задан-
ном направлении введем понятие «производной по направлению».
Возьмем в пространстве, где задано поле U — U(x;y,z), некото-
рую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении
точки М в произвольном направлении А. Пусть вектор А имеет начало
Рис. 268
в точке М и направляющие косинусы cos а,
cos/?, cosy.
Приращение функции U, возникающее
при переходе от точки М к некоторой точке
в направлении вектора А определяется
как
ДС7 = U(Mr) - U(M),
или
Д[7 = U(x + Дх; у + Д?/; z + Дг) — U(ж, у; г)
(см. рис. 268). Тогда
ДА = \ММГ\ = л/(Дх)2 + (Дт/)2 + (Дг)2.
g Производной от функции U — U(M) в точке М по напра-
влению А называется предел ,
dU Д£'
—- = пт ——
дХ дх~+о ДА
//(М)-г/(м)
\ММг\
Производная по направлению А и характеризует скорость измене-
ния функции (поля) в точке М по этому направлению. Если > 0,
то функция U возрастает в направлении А, если < 0, то функция
U в направлении А убывает. Кроме того, величина туг- представляет
собой мгновенную скорость изменения функции U в направлении А в
точке М: чем больше
тем быстрее изменяется функция U. В этом
состоит физический смысл производной по направлению.
502
Выведем формулу для вычисления производной по направлению,
считая, что функция U(х; у; z) дифференцируема в точке М. Тогда ее
полное приращение в этой точке М можно записать так:
дгг dU д dU д dU д
Д(7 = — Дж + — Ду + — • Дз + &Дж + £2 Ду + &Д.?,
дх ду dz
где £i, £2, £з — бесконечно малые функции при ДА —> 0 (см. п. 44.3).
Поскольку Дж = ДА cos а, Ду = ДА cos f3, Az = ДА cos 7, то
AU dU dU n dU Л _
-т-г- = -7Г" cos а + COS Р + —— cos 7 + £1 cos а + £2 cos р + £3 cos 7
ДА dx dy dz
Переходя к пределу при ДА —> 0, получим формулу для вычисления
производной по направлению:
dU dU dU „ dU
— cosa + — cos/3 + — cosy
дХ дх ду dz
(70 2)
В случае плоского поля U — U(x-y) имеем- cos 3 = cos — aj =
= sin a, cos 7 = 0. Формула (70 2) принимает вид.
dU dU dU
ZZT = cos а + sm а-
дХ дх ду
Замечание Понятие производной по направлению является обоб-
щением понятия частных производных 4^-, Их можно рассма-
тривать как производные от функции и по направлению координатных
осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление А совпадает с положитель-
ным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) а = 0, Р —
7 = получим =
Пример 70.1. Найти производную функции U = ж2 + у2 — 4yz в
точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке Mi (2; 3; 3).
Q Решение: Находим вектор ММ, и его направляющие косинусы:
_______ 2 2 2 1
MMr = (2;2;1), cosa = —==== =-, cos/З =-, 0037=-.
V 4 + 4 + 1 3 3 3
Находим частные производные функции и вычисляем их значения в
точке М:
dU ~ 2х’ дх dU\ — — 2-0 — 0, дх \м dU n t dU — = 2у —4z, — = -4у, ду dz = 2 — 4 • 2 = —б, S =-4. ду \м dz ш
503
Следовательно, по формуле (70.2) имеем:
dUi 2 2 1 _ 16
за1м °'з 6’з 4’з 3’
Поскольку < 0, то заданная функция вранном направлении убы-
вает. •
70.3. Градиент скалярного поля и его свойства
В каком направлении А производная имеет наибольшее значе-
ние? Это направление указывает вектор, называемый градиентом ска-
лярного поля.
Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет
собой скалярное произведение единичного вектора
ё = (cos a; cos /3; cos 7)
и некоторого вектора о = [ |Д; 4Д: ЯД ).
\дх ду dz /
Вектор, координатами которого являются значения частных про-
изводных функции U(х:у. z) в точке M(x;y;z), называют гради-
ентом функции и обозначают grad U, т. е. grad!7 = (4^-; ^0’
или
irr dU - ди^ аиг
g'adt/ =
Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное
поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2)
можно записать в
виде
grad U
Рис. 269
ЭУ
дХ
М ё
или
dU
~=е- grad U,
Отт
яУ = I grad!71 cos ср, (70.3)
0Л
где ср — угол между вектором grad U и направле-
нием А (см. рис. 269).
g Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению
достигает наибольшего значения, когда cos<^> = 1, т. е. при ср = 0.
Таким образом, направление градиента совпадает с направлением А,
вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент
функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функ-
ции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна
, ,гг, * fdU\2 (dU\2 [dU\2
grad!7 — + д- + -£-)
у \ дх J \ду J \dz }
504
В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свой-
стве градиента основано его широкое применение в математике и дру-
гих дисциплинах.
Приведем важные свойства градиента функции.
1. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, прохо-
дящей через данную точку.
Q Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня
(U — с) = 0. Но тогда из (70.3) следует, что cos = 0, т. е. = 5.
ил 2
2. grad(C7 + V) = grad 7/ + grad V,
3. grad(c U) = с - grad U, с — const,
4. grad(t7 • V) = U grad V + V grad U,
5. grad(E) = VgradCT-HgradV
6. grad F(t7) = grad 77.
□ Доказываются эти свойства на основании определения градиента.
Докажем, например, последнее свойство. Имеем:
grad Ж) = =
(J Jj Uy Is £
df
au
dU- df du , df dU - df
' dxl + du' dy 'J + du' dz ' ~ du'gradCA
Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются
справедливыми и для плоского поля.
Пример 70.2. Найти наибольшую скорость возрастания функции
[7 = — + ^ + — в точке А(—1; 1; —1).
у z х v ’
Q Решение: Имеем:
grad U = \ —
gradC7(—1; 1; —1) = 2г + 0j - 2fc = 2г — 2к.
Наибольшая скорость возрастания функции равна
| grad 77 (А) | = д/4 + 0 + 4 = 2л/2.
Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью
(2^2), если точка А движется в направлении — grad U(А) = —2г + 2к
(антиградиентное направление). •
505
§71 . ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
71.1. Векторные линии поля
Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором а = а(М). Из-
учение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они явля-
ются простейшими геометрическими характеристиками поля.
Векторной линией поля а называется линия, касательная к ко-
торой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего
ей вектора а(М).
Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический
смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными ли-
ниями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии
тока), для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут
линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.
Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через не-
которую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.
Изучение век горного поля обычно начинают с изучения располо-
жения его векторных линий. Векторные линии поля
а = Р(х; у, z)i + Q(t; у; z) j + R(x', у, z)k (71-1)
описываются системой дифференциаль-
ных уравнений вида
dx dy _ dz
P(x;y,z) Q(x;y;z) R(x;y;z)'
(71-2)
□ Действительно, пусть PQ — вектор-
ная линия поля, г = хг + yj + zk — ее
радиус-вектор. Тогда вектор dr = dx г +
+ dy J + dz • k направлен по касательной
к линии PQ в точке М (см. рис. 270).
В силу коллинеарности векторов а тл dr следует пропорциональ-
ность их проекций, т. е. равенства (71.2).
Пример 71.1. Найти векторные линии поля линейных скоростей
тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси Oz.
Q Решение: Это поле определено вектором V = —шуг + cuxj (см. при-
мер 69.2). Согласно (71.2), имеем:
dx dy
— Ojy LJX
dz
— или
0
wxdx = —uydy,
0 • dy = wxdz.
506
(х2 +у2 = С1,
Интегрируя, получим: < ’ т. е. векторные линии данного
= С2,
поля представляют собой окружности с центрами на оси Ог, лежащие
в плоскостях, перпендикулярных к этой оси. •
71.2. Поток поля
S.
Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядно-
сти будем считать а(М) вектором скорости некоторого потока жидко-
сти, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность
S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое
количество жидкости протекает через повер
Выберем определенную сторону поверх-
ности S. Пусть п = (cosa;cos/3;cosy) —
единичный вектор нормали к рассматри-
ваемой стороне поверхности S. Разобьем
поверхность на элементарные площадки
Si, S2, •, Sn. Выберем в каждой площадке
точку Мг (г = 1,2,... ,п) (см. рис. 271) и вы-
числим значения вектора скорости а(М) в
каждой точке: «(МД, а(М2),..., а(Мп).
Будем приближенно считать каждую Рис. 271
площадку плоской, а вектор а постоянным
по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда
за единицу времени через 5г протекает количество жидкости, прибли-
женно равное Кг « Нг Д5г, где Д5'г — площадь г-й площадки, Н, —
высота г-го цилиндра с образующей «(Л/,). Но Н, является проекцией
вектора а(Л1г) на нормаль йг: Нг — прй,а(Мг) = а(1Иг) йг, где пг —
единичный вектор нормали к поверхности в точке Мг. Следовательно,
общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за
единицу времени, найдем, вычислив сумму
К к 52 а(Мг) • пг ASt.
г=1
Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв
предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа эле-
ментарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров d,
площадок):
п
К = ^lim^ 52 ' ASt — JJ d(M) п ds.
(maxdt—>0) г=1 д
507
Независимо от физического смысла поля а(М) полученный инте-
грал называют потоком векторного поля.
Потоком вектора а через поверхность S называется инте-
грал по поверхности от скалярного произведения вектора поля на
единичный вектор нормали к поверхности, т е.
К = JJ ands. (71-3)
s
Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как
а п = |п| • пр„а = прйа = ап
(см. (6.2)), то
К=11 ands, (71.4)
s
где ап — проекция вектора а на направление нормали п, ds - диффе-
ренциал (элемент) площади поверхности.
Иногда формулу (71.3) записывают в виде
К =11 ads,
s
где вектор ds направлен по нормали к поверхности, причем |<Z.s| = ds.
Так как п = (cos a; cos/3; cos 7), а = (F;Q;R), где Р — P(x;y;z),
Q = Q(%', y,z),R = R(x; у; z) — проекции вектора а на соответствующие
координатные оси, то поток (71.3) вектора а, можно записать в виде
К = cos 01 + Q cos + 7? cos 7) ds.
s
Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см.
формулу (58.8)), поток вектора можно записать как
К = J J Р dy dz + Q dxdz + Rdx dy.
s '
(71-5)
|@| Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Вели-
чина К равна объему жидкости, которая протекает через поверх-
ность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока
(независимо от физического смысла поля).
Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута
и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается
в виде К = ands (иногда <j> ands или <j> ап ds,... j .
s v s s _ '
В этом случае за направление вектора п обычно берут напра-
вление внешней нормали’и говорят о потоке изнутри поверхности S
(см. рис. 272).
508
Если векторное поле а = а(М) есть поле скоростей текущей жидко-
сти, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность
между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V)
и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где
векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с
вектором а острый угол и а п > 0; в точках, где векторные линии
входят в объем, а п < 0).
При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости,
чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополни-
тельные источники.
Если К < 0, то внутри области V имеются стоки, поглощающие
избыток жидкости.
Можно сказать, что источники — точки, откуда векторные линии
начинаются, а стоки — точки, где векторные линии кончаются. Так, в
электростатическом поле источником является положительный заряд,
стоком — отрицательный заряд магнита (см. рис. 273).
Если К = 0, то из области V вытекает столько же жидкости,
сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет
ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно
компенсируется.
Пример 71.2. Найти поток вектора а = z i — х j + у к через
верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоско-
сти Зж + бу — 2z — 6 = 0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).
Q Решение: Поток найдем методом проектирования на три координат-
ные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем
случае Р = z, Q = -х, R = у. Имеем:
К = ffzdydz-xdxdz + ydx dy.
s
509
Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем
сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к
верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью
Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной
плоскости есть п = + у.) — на верхней стороне cos 7 > 0,
О
поэтому надо выбрать знак «минус»; получим: cos а = —/), cos/З =
2 \
cos 7 = у.)
Итак, К = К + Ki + К3. Находим A'i, К,. Ку.
1 ° 3
Jd» f >* = - = 5.
О Зу-З
2 О
[xdx I d
i Зж — 6
2
6 —Зж
6
K3 = ffydxdy= II ydxdy = fdx I у dy
0
ВОС
-fftdzd^ ff
S АОС
•• = 2,
_6
7’
S АОВ О
о 15
В результате имеем: К = ^ + 2+ з=3^.
s
о
2
1
3
Пример 71.3. Найти поток радиус-вектора г
через внешнюю сторону поверхности прямого кону-
са, вершина которого
если известны радиус
Н (см. рис. 275).
совпадает с точкой (9(0; 0;0),
основания R и высота конуса
Q Решение:
s
бок пов
осн
Очевидно, что К = 0, т. к. пр„г = 0;
К% = Ц rnds = Н • Ц ds = H-nR2,
ОСН осн
т. к. прйг = Н. Итак, К = ttHR2.
71.3. Дивергенция поля. Формула
Остроградского-Г аусса
Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так на-
зываемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсив-
ность источников и стоков ПОЛЯ.
510
Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля
а(М} = Р(ж; у, z)i + <2(ж; у, z)j + Я(ж; у, z)k
в точке М называется скаляр вида и обозначается
символом diva(M), т. е.
,. дР dQ dR
diva(M) = — + —- + —.
дх ду oz
(71.6)
Отметим некоторые свойства дивергенции.
1. Если а — постоянный вектор, то diva — 0.
2. div(c • a) = с • div а, где с = const.
3. div(a + 6) — div a + div b, т. e. дивергенция суммы двух векторных
функций равна сумме дивергенции слагаемых.
4. Если U — скалярная функция, а — вектор, то
div(t7 • а) = U • div а + a grad U.
Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Дока-
жем, например, справедливость свойства 4.
□ Так как Ua = U- Pi + UQj + U- R-k, то
дх
\ дх
ди TrdQ dU TTdR dU
— + и-^- + □— + С — + R^~
дх ду 4 ду dz dz
dQ dR\ dU ,dU dU
+ -тг- + р^~ + <2— + R-z~
ду dz J дх dy dz
— U div а + а • grad U.
Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запи-
шем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса
Lfnjj j j djj fff(dP dQ dR
Pdydz + Qdxdz + R dxdy = [ — + —---h ——
J J J J J \ dx dy dz
(71-7)
s
в так называемой векторной форме.
Рассматривая область V, ограниченную замкнутой поверхностью
S. в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть форму-
лы (71.7) есть поток вектора а через поверхность S; подынтегральная
функция правой части формулы есть дивергенция вектора а. Следова-
тельно, формулу (71.7) можно записать в виде
pands= / // div а dv
(71.8)
S V
(в котором она чаще всего и встречается).
511
|@| Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторно-
го поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней
нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции это-
го поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.
Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивер-
генции векторного поля а(М) в точке М (не связанное с выбором ко-
ординатных осей).
По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:
Ц! div а(М) dv = V • div d(Mo),
v
где Мо — некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8)
можно переписать в виде andS = V • diva(Mo). Отсюда
s
div a(M0) = ff(ln ds.
s
Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда V —> 0, Mq —> М,
и мы получаем выражение для div «(Л/) в точке М:
div а (Л/) = Um^ $ ап ds. (71-9)
s
Дивергенцией, векторного поля в точке М называется предел
отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружа-
ющую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при
условии, что вся поверхность стягивается в точку М (V —> 0).
Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать)
определению (71.6).
Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке
является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном
векторном поле.
Исходя из физического смысла потока (обычно условно счита-
ют, что а(М) есть поле скоростей фиктивного стационарного потока
несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при diva(M) > 0 точ-
ка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при
div а(М) < 0 точка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует
из равенства (71.9), величина div а(М) характеризует мощность (интен-
сивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит
физический смысл дивергенции.
Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхно-
стью S, нет ни источников, ни стоков, то div а = 0.
Векторное поле, р каждой точке которого дивергенция поля равна
нулю, т. е. diva(Af) = 0, называется соленоидальным (или трубчатым).
512
Пример 71.4- Найти дивергенцию поля линейных скоростей V
жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с
постоянной угловой скоростью ш.
Q Решение: Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как по-
казано ранее (см. пример 69.2), V = —uyi + uxj + 0 • к. Имеем:
div У(М) = ^-(-шу) + ^-(шя) + -^-(0) = 0.
дх ду dz
Поле V - соленоидальное. •
71.4. Циркуляция поля
Пусть векторное поле образовано
вектором (71.1). Возьмем в этом поле не-
которую замкнутую кривую L и выберем
на ней определенное направление.
Пусть f = xi + yj + zk — радиус-
вектор точки М на KOHiype L. Известно,
что вектор dr = dx-i + dy-j + dz-k напра-
влен по касательной к кривой в напра-
влении ее обхода (см. рис. 276) и |dr| =
= dl, где dl — дифференциал дуги кри-
вой (dl = ^/(cfo)2 + (dy)2 + (dz)2).
Рис. 276
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного
произведения вектора а на вектор dr, касательный к контуру L,
называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.
(71.10)
Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как
а • dr = |dr| • npd-a = аТ • dl = Р dx + Q dy + Rdz,
где ar — проекция вектора а на касательную т, проведенную в напра-
влении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде
или
ат dl,
(71-11)
(71.12)
17 Конспект лекций по высшей математике Полный курс
513
Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физиче-
ский смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то цирку-
ляция — это работа силы а (Л/) поля при перемещении материальной
точки вдоль L (п.56.5).
Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция от-
лична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное
произведение adr сохраняет знак: положительный, если направление
вектора а совпадает с направлением обхода векторной линии; отрица-
тельный — в противном случае.
Пример 71.5. Найти циркуляцию вектора поля линейных ско-
ростей вращающегося тела (см. пример 69.2) V = — шуг + cjxj вдоль
замкнутой кривой L, лежащей в плоскости а, перпендикулярной оси
вращения.
Q Решение: Будем считать, что направление нормали к плоскости а
совпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:
С = ~шу dx + шх dy = ш —у dx + х dy —
ь L Г A
= 2w ( - d> —ydx + xdyj = 2w • S,
L J
где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).
Заметим, чго если нормаль к поверхности S образует угол 7 с осью
Oz, то циркуляция будет равна С = 2ш • S • cos7; с изменением угла 7
величина С изменяется. *
Пример 71.6. Вычислить циркуляцию век-
торного поля
а = (ж — 2х)г + (ж + Зу + z)j + (5ж + у)к
вдоль периметра треугольника с вершинами
Л(1; 0;0), В(0; 1;0), С(0; 0; 1) (см. рис. 277).
Q Решение: Согласно формуле (71.12), имеем:
L
— 2z) dx + (ж + Зу + z) dy + (5ж + у) dz =
На отрезке АВ: х + у = 1, z = 0, следовательно,
° 3
У = у (ж — 0) dx + (ж + 3 — Зж + 0) • (—dx) + 0 =
АВ 1
514
На отрезке ВС: у + z = 1, х = О, следовательно,
° 3
У = У (о - 2 + 2у) • 0 + (0 + Зу + 1 - у) dy + (0 + у) • (-dy) =
вс 1
На отрезке С А: х + z = 1, у = 0, следовательно,
1
У = У (ж — 2 + 2ж) dx + 0 — 1(5ж + 0) • (—dx) = —3.
СА О
Следовательно,
С= f = / + f + / =1+(“1)+("3) = "3- *
АВСА АВ ВС СА
71.5. Ротор поля. Формула Стокса
Ротором (или вихрем) векторного поля
а = Р(х; у, z)i + Q(x~, у, z)j + R(x; у; z)k
называется вектор, обозначаемый rota(M) и определяемый формулой
rota(M) =
dz J \ dz dx; \ dx dy J
(71.13)
Формулу (71.13) можно записать с помощью символического опре-
делителя в виде, удобном для запоминания:
rot а(М) =
i
a
дх
j k
a a
dy dz
Q R
р
Отметим некоторые свойства ротора.
1. Если a — постоянный вектор, то rota = 0.
2. rot(c • а) = с • rota, где с = const.
3. rot(a + b) = rota + rotb. т. e. ротор суммы двух векторов равен
сумме роторов слагаемых.
4. Если U — скалярная функция, а а(М) — векторная, то
rot (С • а) = U rot a + grad U x а.
Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Пока-
жем, например, справедливость свойства 3:
515
Q rot(a + 6) — [ — (7?i + Rz) — zz~(Qi + Q2) )?+
\ oy dz )
+(i(Fi+Рг) ^(Ri+Mj+(|^+с?2) - ^(Pi+Рг))k=
_fdRL_dQ1\- [дР,__дНЛ-= pQi ОРД?
\ dy dz )l+ \ dz dx J+ \ dx dy J +’
... = rot a + rot b.
Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, за-
пишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу
Стокса:
с Г. , п, г г(dR dQ\
Р dx + Q dy + Rdz = JJ I —-I dy dz+
l s V Z
+
dxdz +
-г— }dxdy.
dy J
(71.14)
Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора
а по контуру L, т. е. j> Pdx + Qdy + Rdz = aTdl (см. (71.11)). Интеграл
L L
в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора rot а
через поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.
= JJ rotn a ds.
s
Следовательно, формулу Стокса можно запи-
сать в виде
aTdl — Цrotnads. (71.15)
l s
Такое представление формулы Стокса на-
зывают ее векторной формой. В этой формуле
положительное направление на контуре L и вы-
бор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в
теореме Стокса.
Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора а вдоль за-
мкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора а через
поверхность S, лежащую, в поле вектора а и ограниченную контуром
L (натянутую на контур) (см. рис. 278).
516
Используя формулу (71.14), можно дать другое определение рото-
ра поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координат-
ной системы.
Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой
плоской площадки S с контуром Л, содержащей точку М.
По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свой-
ство 7) имеем:
/ / rotn ads = rotn а(М0) • S,
s
где Mo — некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).
Тогда формулу (71.15) можно записать в виде
<j> aTdl = rot„ а(Р) • S.
Отсюда: 1
rot„ а(Р) = - <1
L
Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда
Mq —> М, a S —> 0. Перейдя к пределу, получаем:
rotn а(М) = lim —
s->o S
Ротором вектора а в точке М называется вектор, проекция
которого на каждое направление равна пределу отношения цирку-
ляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной
этому направлению, к площади этой площадки.
Как видно из определения, ротор вектора а(М) есть векторная
величина, образующая собственное векторное поле.
Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля.
Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося
вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) ш, т. е.
ротор вектора V = —ш • у • г + ш • х • j.
По определению ротора
а(шж)\т / d(-i/w)V /д(жш)
(°--а^)1 + (^
д(~уиУ\
ду J
— 0 — 0 "F 2cj • к — 2ол
Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его мо-
дуль равен удвоенной угловой скорости вращения.
517
С точностью до числового множителя ротор поля скоростей V
представляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим
связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).
Замечание. Из определения (71.13) ротора вытекает, что напра-
вление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет
наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг
любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.
Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи
между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).
§72 . ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
72.1. Векторные дифференциальные операции первого
порядка
Основными дифференциальными операциями (действиями) над
скалярным полем U и векторным полем а являются grad U, div a, rot а.
Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называю гея вектор-
ными операциями первого порядка (в них участвуют только первые
производные).
Эти операции удобно записывать с помощью так называемого опе-
ратора Гамильтона
д - д - д -
V — ~^~г + zz~3 +
дх ду dz
Этот символический вектор называют также оператором V (чита-
ется «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации
со скалярными или векторными функциями. Символическое «умноже-
ние» вектора V на скаляр U или вектор а производится по обычным
правилам векторной алгебры, а «умножение» символов на
величины U, Р, Q, R понимают как взятие соответствующей частной
производной от этих величин.
Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные опе-
рации первого порядка:
1. \7U= + - U = ^-1 + + ^k = gradH.
\дх dy dz ) дх dyJ dz ь
2. Va = (^-i+dj+d^\^p.-i+Q-+R .£) = |P + ^+aR =diva.
\dx dy dz ) v J ’ dx dy dz
k
a
dz
R
i 3
8 8
dx dy
P Q
3. V x a =
= rot a.
Оператор Гамильтонй применяется для записи и других операций
и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним
518
надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами диффе-
ренцирования.
В частности, производная по направлению (70.2) может быть за-
писана в виде пгг
ил
где ё = (cos a; cos/3; cos 7).
72.2. Векторные дифференциальные операции второго
порядка
После применения оператора Гамильтона к скалярному или век-
торному полю получается новое поле, к которому можно снова приме-
нить этот оператор. В результате получаются дифференциальные опе-
рации второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять
дифференциальных операций второго порядка: div grad U, rot grad CZ,
grad div a, div rot a, rot rot a.
(Понятно, что операция div div a, например, не имеет смысла:
diva — скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о div div а, бес-
смысленно.)
Запишем явные выражения для дифференциальных операций вто-
рого порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что
оператор действует только на множитель, расположенный непосред-
ственно за оператором.
1 1. divgradC - V(VLT) = (V V)U = - U =
fl2rr PPU PPU
= - л + n S . Правая часть этого равенства называется
ох оу oz
оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается AtZ. Таким
о6разо“’ w а2с tn
divgradt/=at/=^T + ^T + ^T. (72.1)
Ох оу Oz
Дифференциальное уравнение Лапласа ALZ = 0 играет важную роль
в различных разделах математической физики. Решениями уравнения
Лапласа являются так называемые гармонические функции.
Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение
скалярный оператор дельта:
л „ „ д2 д2 д2
(который тоже называют оператором Лапласа).
|©| 2. rot grad U = V х (VtZ) = (Vx V)tZ = 0, так как векторное произ-
ведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это
означает, что поле градиента есть поле безвихревое.
519
3. grad div a —
_ д _ - д _ - d _ —
= V( V • a) = — (div a) • i -Ь — (div a) • j + — (div a) • k —
ox oy oz
_ /Э2Р d2Q d2R\- / d2P d2Q d2Ry
\<Эж2 + dydx + dzdx)1 + \dxdy^ dy2 + dydzr +
(d2P d2Q d2R\-
+ \dxdz + dydz + dz2 )k'
4. div rot a = V (V x a) = 0, так как смешанное произведение трех
векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что
поле вихря — соленоидальное.
5. rot rota = Vx(VxS) = V(V • a) — (V • V)a = grad div a — Ьа, так
как двойное векторное произведение обладав i свойством
ах (Ь х с) ~ Ъ а с — с а Ь.
Здесь Да = ДР г 4- Д<2 j + ДР к векторная величина, полученная в
результате применения оператора Лапласа к вектору а.
§73. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОСНОВНЫХ
КЛАССОВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
73.1. Соленоидальное поле
Напомним, что векторное поле а называется соленоидальным, если
во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. div a = 0.
Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных ско-
ростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле,
создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет элек-
трический ток,и другие.
Приведем некоторые свойства соленоидальногр поля.
1. В соленоидальном поле а поток вектора через любую замкну-
тую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает
из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет ис-
точников и стоков.
2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого вектор-
ного поля, т. е. если div а = 0, то существует такое поле Ь, что а = rot b.
Вектор Ь называется векторным потенциалом поля а.
Любое из свойств 12 можно было бы взять в качестве определения
соленоидального поля.
Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное
утверждение — поле ротбра векторного поля есть соленоидальное —
нами доказано (выше мы показали, что div rota = 0).
520
3. В соленоидальном поле а поток вектора через поперечное се-
чение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое
интенсивностью трубки).
□ Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными се-
чениями Si и S2; боковую поверхность трубки обозначим через S
(см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую
из Si, S2 и S, равен нулю. Следовательно,
УУ ап ds + уу ап ds + jj ап ds = jjj div a dv = 0,
S S1 S-2 V
где n — внешняя нормаль.
Рис. 280
Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п пер-
пендикулярна к векторам поля, то jj ап ds = 0 и, следовательно,
s
jj ands - - уу ап ds.
Si s2
Переменив направление нормали на площадке Si, т. е. взяв вну-
треннюю нормаль Hj, получим:
УУ аП1 ds = jj ап ds.
Si s?
В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означа-
ет, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени,
равно количеству жидкости, вытекающей из нее.
73.2. Потенциальное поле
Векторное поле а называется потенциальным (или безвихревым,
или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е.
521
rot a = 0. Примером потенциального поля является электрическое поле
напряженности точечного заряда (и другие).
Приведем основные свойства потенциального поля.
Свойство 1. Циркуляция потенциального поля а по любому за-
мкнутому контуру в этом поле равна нулю.
□ Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,
С = aTdl = 0.
L
В частности, для силового потенциального поля это означает, что
работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле ско-
ростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет
замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.
Свойство 2. В потенциальном поле а криволинейный интеграл
У Р dx + Qdy + Rdz вдоль любой кривой L с началом в точке Mi
L Ч
и концом в точке зависит только от поло-
жения точек Му и М2 и не зависит от формы
кривой.
□ Это свойство вытекает из свойства 1. Дей-
ствительно, взяв в поле две точки Mi и М2, Рис. 281
соединим их двумя кривыми М1РМ2 и MiqM2 так, чтобы контур
MipM2qMi лежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1,
имеем
ф Рdx + Q dy + Rdz = 0.
MipMzqMi
Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:
у Pdx + Qdy + Rdz =
MipMzqMi '
= у P dx + Q dy + Rdz + j Pdx + Qdy + Rdz =
All pM2 М2 qMi
= / - / =»
M^pMi MiqM%
t. e.
У Pdx 4- Q dy + Rdz = j Pdx + Qdy + Rdz.
MipM2
Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента неко-
торой скалярной функции Щх-.у.г), т. е. если rota = 0, то существует
функция U(ж; у, z) такая, что а = grad U.
522
□ Из равенства rot а = 0 вытекает, что ^2 = 22 22 =
’ оу OX OZ dy dx
= ^2, т. е. выражение Pdx 4- Qdy 4- Rdz является полным дифферен-
циалом некоторой функции U = U(x-,y;z) (следствие 56.1). Эту функ-
цию называют потенциалом векторного поля а = Pi 4- Qj 4- Rk; dU =
= Pdx 4- Qdy 4- Rdz.
Отсюда: P = Q = R = Следовательно,
ox dy ’ dz
_ - dU 7 dU . dU T
a = Pi+Qj+Rk = —— г 4- — • j 4- щ— • k = grad U,
dx dy dz
t. e. вектор поля а является градиентом скалярного поля. Я
Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утвер-
ждение — поле градиента скалярной функции U = U(x-,y,z) является
потенциальным.
Из равенства а = grad С следует, что потенциальное поле опреде-
ляется заданием одной скалярной функции U = U(x\ у, z) — его потен-
циала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле
(x,y,z)
U(x;y;z)= j Pdx + Qdy + Rdz =
(xo,yo,zo)
X у z
= У P{x\yo\zo)dx+ I Q(x^;z0)d^ + R(x; y, <) d(, 4- c, (73.1)
хо У0 Zo
где (ж0: yy zq) — координаты фиксированной точки, (ж; у; z) — ко-
ординаты произвольной точки. Потенциал определяется с точно-
стью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что
grad(£7 4- а) = gradLr).
Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных
функций (Р(х\у\г), Q(x\y,z), R(x;y;z) — проекции вектора поля на
оси координат).
Замечание. Определение потенциального поля может быть дано
иначе — векторное поле а называется потенциальным, если оно явля-
ется градиентом некоторого скалярного поля, т. е. а = grad U. (Ино-
гда пишут а = — grad U; знак «минус» пишут для удобства, обычно
векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости
направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более
нагретого места к менее нагретому и т. д.)
Пример 73.1. Установить потенциальность поля
d(M) = (yz — 2ж)г 4- (xz — 2y)j 4- xyk
и найти его потенциал.
523
Q Решение: Имеем:
rot а =
i j к
a а а
дх ду dz
yz — 2х xz — 2у ху
= (ж - x)i - (у - y)j + (z- z)k = 0.
Следовательно, поле вектора а потенциальйое.
Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фик-
сированной точки начало координат, т. е. Xq = уо = zq = 0. Так как
Р(ж; у0-, z0) = —2х, Q(x; у; z0) = -2у, R(x; у; z) = ху, то
X У Z
U(x-,y,z) = j (-2x)dx + j\-2£)d£ + J xydC + c = -х2-y'2 + xyz + c. •
ООО
73.3. Гармоническое поле
Векторное поле а называется гармоническим (или лапласовым),
если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным,
т. е. если rot а = 0 и div а = 0.
Примером гармонического поля является поле линейных скоро-
стей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в
нем источников и стоков.
Так как поле а потенциально, то его можно записать в виде
а = grad U, где U = U(x-, у, z) — потенциал поля.
Но так как поле одновременно и соленоидальное, то
div а = div grad U = 0,
или, что то же самое,
дгг d2U d2U d2U
~ я 2 л 2 л2~ 0’
дх ду дх
т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является реше-
нием дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция назы-
вается, как уже упоминали, гармонической.
Глава XVII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Лекции 63—68
§74. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
74.1. Основные понятия
Пусть даны два множества ОиЕ, элементами которых являются
комплексные числа (см. гл. VI). Числа z = х + iy множества D будем
изображать точками комплексной плоскости z, а числа ш = и + iv
множества Е — точками комплексной плоскости ш.
|ф| Если каждому числу (точке) z Р D по некоторому правилу по-
ставлено в соответствие определенное число (точка) w 6 Е, то
говорят, что на множестве определена однозначная функция комп-
лексного переменного w = f(z), отображающая множество D в мно-
жество Е (см. рис. 282).
Если каждому z € D соответствует
несколько значений w, то функция w =
= /(г) называется многозначной.
Множество D называется областью
определения функции w = /(г); множе-
ство Е\ всех значений w, которые /(г)
принимает на Е, называется областью
значений этой функции (если же каждая
точка множества Е является значением функции, то Е — область зна-
чений функции; в этом случае функция f отображает D на Е).
Далее, как правило, будем рассматривать такие функции w — f(z),
для которых множества D it Et являются областями. Областью ком-
плексной плоскости называется множество точек плоскости, обладаю-
щих свойствами открытости и связности (см. п. 43.1).
Функцию w = f(z) можно записать в виде
и + iv = /(ж + iy),
т. е.
f(x + iy) = и(х- у) + iv(x; у),
где
и = и(х; у) = Ref (z), v = v(x;y) = Imf(z), (x;y) 6 D.
Функцию u(x', у) при этом называют действительной частью функции
f(z), a v (х; у) — мнимой.
Таким образом, задание функции комплексного переменного рав-
носильно заданию двух функций двух действительных переменных.
525
Пример 74.1. Найти действительную и мнимую части функции
9
W = Z .
О Решение: Функцию w = z2 можно записать в виде и 4- iv = (ж + iy)2,
т. е. 2 2
и + iv = х — у + г‘2ху.
Отсюда следует: и = ж2 — у2, v = 2ху. •
74.2. Предел и непрерывность функции комплексного
переменного
Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой
окрестности точки zq, исключая, может быть, саму точку zq- Под <5-
окрестностью точки Zq комплексной плоскости понимают внутрен-
ность круга радиуса <5 с центром в точке Zq .
|ф| Число Wq называется пределом функции w = f(z) в точке zq
(или при z —> го), если для любого положи юл иного е найдется
такое положительное число <5, что для всех z Zq, удовлетворяющих
неравенству \z — Zq\ < <5, выполняется неравенство |/(г) — w0| < £.
Записывают: lim f(z) = wq- Это определение коротко можно за-
Z->Zo
писать так:
ж1ппог(ж;2/)=го.
У^Уо
(V-s >0 3<5 > О \/г:0< \z — г01 <<5=^> |/(г) — w0| <е) <=> lim f(z) = w0.
Z—YZq
Из определения следует, что если предел wq существует, то суще-
ствуют и пределы
ж1лпон(ж;?/) = и0 и
У~>УО
Верно и обрагное утверждение.
Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции од-
ного (или нескольких) действительного переменного! остаются справед-
ливыми и для функции комплексного переменного. Так, если функции
fi(z) и /2 (z) имеют пределы в точке zq Р D, то
lim (сгЛ(г) ± c2f2(z)) = cr lim Д(г) ± с2 lim f2(z),
Z—>Zq Z —>Zq Z-4-Zo
где Ci, C2 — постоянные;
lim Л(г) • f2(z) = lim А (г) • lim /2(г)
Z—>Zq z—>Zo z—>Zo
/^о/2(г) lim AU)’
• z—>z0
если lim f2 (г) 0.
Z-S-Zo
526
|ф| Пусть функция w = /(г) определена в точке z = Zq и в некоторой
ее окрестности. Функция w = /(г) называется непрерывной в
точке z0, если lim f(z) = /(го).
Определение непрерывности можно сформулировать и так: функ-
ция /(ж) непрерывна в точке го, если бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
lim Д/(г) = 0.
Аг >0 V 7
Функция /(г) непрерывна в области D. если она непрерывна в ка-
ждой точке этой области.
Модуль непрерывной функции комплексного переменного облада-
ет теми же свойствами, что и непрерывная функция действительного
переменного (см. теорема 43.1).
74.3. Основные элементарные функции комплексного
переменного
Определим основные элементарные функции комплексного пере-
менною z — х + гу.
Показательная функция
|ф| Показательная функция w = ez определяется формулой
w = е2 = еж(со8у 4- i siny). (74.1)
Положив в этом равенстве у — 0, устанавливаем, что для действитель-
ных значений z = х показательная функция ez совпадает с показатель-
ной функцией действительного переменного: е2 = ех.
Показательная функция w = ez обладает «известным» свойством:
е21 . gz2 _ gzi+z2 ДейСТВИТельно, по правилу умножения комплексных
чисел («модули перемножаются, а аргументы складываются», п. 28.3),
имеем:
е21 • е22 = еХ1 еХ2 (cos(yi 4- у2) 4- i sin(yi 4- у2)) =
_ gZi+z2 . (cos(yr 4- у2) 4- i sin(yi 4- уг)) — ех^+х^+г(У1+^'1 — e21+22.
Аналогично можно убедиться в справедливости свойств: е21 :е22 = е21 ~22,
(gZ)n_gnz g
Учитывая, что |е2| = ех, а ех 0, утверждаем, что показательная
функция е2 нигде в нуль не обращается, т. е. е2 0.
Исходя из определения (74.1), легко убедиться, что
lim е2 = 0, lim ez = оо,
Re г—> — оо Re г—>+оо
(х—> —оо) (х —>+оо)
выражение е2 при г —> оо не имеет смысла.
527
Положив в равенстве (74.1) х = 0, у — ip, получим классиче-
скую формулу Эйлера е®*3 = cosip 4- i sin93. С ее помощью, в частности,
можно представить тригонометрическую форму комплексного числа
z — г • (cos р 4- i sin р) в более компактной форме z = г- eiv (= |z| • e®arg2),
называемой показательной формой комплексного числа (см. п. 27.3)
Показательная функция комплексного переменного обладает и
специфическим свойством: она является периодической, с мни-
мым основным периодом 2тгг.
□ Действительно,
е2+2тг7 _ ez . е2тгг _ . (cog 2„ ? gjn 2^) = ez,
т. е. е2+27гг = ez. Отметим, что ez не всегда больше нуля. Например,
е™ = -1 < 0.
Логарифмическая функция
Эта функция определяется как функция, обратная показательной:
число w называется логарифмом числа z 0, если ew = z, обо-
значается w = Ln z. Так как значения показательной функции ew = z
всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция w = Ln z опре-
делена на всей плоскости z, кроме точки z = 0 (стало быть, имеет
смысл и выражение Ln(—2)).
Положив z — г elv,w = и + iv, получим, согласно определению
логарифмической функции, eu+tv = г etv, или е“ elv = г etv. Отсюда
имеем:
еи = г, V = р + 2кк, т. е. и = In г, v = р 4- 2кк (fc = 0, ±1, ±2,...).
Следовательно,
w = Lnz = и + iv = Inr + i(p 4- 2ктт) = In |z| 4- i(argz 4- 2fc?r), (74.2)
т. е. Ln г ~ ln|z| 4- i(argz 4- 2fc?r) или, Ln г = In |z| 4- г Argz, где
Argz = argz 4- 2fc?r.
Формула (74.2) показывает, что логарифмическая функция ком-
плексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т. е.
w = Ln z — многозначная функция.
Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в
формулу (74.2) определенное значение к. Положив к = 0, получим од-
нозначную функцию, которую называют главным значением логариф-
ма Ln z и обозначают символом Inz:
Inz = In |z| 4- i argz, где — 7Г < argz тг. (74.3)
Если z — действительное положительное число, то arg z = 0 и In z —
= In |z|, т. e. главное значение логарифма действительного положи-
тельного числа совпадает* с обычным натуральным логарифмом этого
числа.
528
Формулу (74.2) можно переписать так: Ln z = In z 4- 2fcrn.
Из формулы (74.2) следует, что логарифмическая функция
w = Ln z обладает известными свойствами логарифма действительного
переменного: Ln(zr • z2) = Lnzi 4- Lnz2, r f zi \ T T Ln ( — = Ln Zi — Ln z2, \z27 Ln zn = n Ln z, Ln Vz = — • Lnz. n
□ Докажем, например, первое свойство:
Ln(zi -z2) = In |zx -z2| +«Arg(2:1 z;.') = ln(|z) | • |z2|) +?(Argz, 4- Argz2) =
= (InI 4- lArgzi) + (In |z2| + iArgz2) = LiiZi 4- Lnz2.
Пример Ц.2. Вычислить Ln( —1) и ln(—1); In 2г.
Q Решение: Для числа z = — 1 имеем |z| = l,argz = тг. Следовательно,
Ln(—1) = Ini 4- г(тг 4- 2кл) = iir(2k 4- 1), ln( — 1) = тгг (формулы (74.2)
и (74.3)); In 2i = In |2г| 4- iarg2t = In 2 4- г~. •
Степенная функция w = zn
Если п — натуральное число, то степенная функция определяется
равенством w = zn = rn (cos шр 4-г sin гир). Функция w = zn — однознач-
ная. Если п = i (q € N), то в этом случае
- „г- п п~,( argz4-2/.'7r . argz4-2fc-7r\
w = zq = V d cos —------------------b i sin —-------- ,
\ 9 q J
где к = 0,1, 2,..., q — 1.
1
Здесь функция w = zq есть многозначная (д-значная) функция. Одно-
значную ветвь этой функции можно получить, придав к определенное
значение, например к = 0.
Если п = где р, q £ N, то степенная функция определяется
равенством
- , „ д—г-( »(argz 4-2/стг) . . n(argz 4-2/гтг)Л
w = z я = (z я )Р = <U z р cos ^-2------- 4- г sin --.
\ 9 9 J
р
Функция w = z я — многозначная.
Степенная функция iv = za с произвольным комплексным показа-
телем а = а + i/З определяется равенством
W = za = eoLn2.
529
Функция w = za определена для всех z 0, является многозначной
функцией. Так, г’= e’Ln’= е* 2+27Г^ = е 2 2vk, где к = 0, ±1, ±2,...
При к = 0 имеем: il = е 2.
Тригонометрические функции
Тригонометрические функции комплексного аргумента z = х + iy
определяются равенствами
eiz - e~iz eiz + е
sm z =--------, cos z =------
2i ’ 2
sin z cos z
tgz = -----, ctgz = -----.
cos z sin z
При действительных z эти определения приводят к тригонометриче-
ским функциям действительного переменного. Так, при z = х (у = 0)
егж _ е~гх । ।
sin z = --------= — (cosx + i sin ж — (cos.z: — i sinx)) = —2г sin x = sin x.
2i 2P v 77 2г
Тригонометрические функции комплексного переменного сохраня-
ют многие свойства тригонометрических функций действительного пе-
ременного. В частности,
sin2 * * z + cos2 z = 1,
sin 2z = 2 sin z cos z,
cos(zi + Z2) = COS Z1 COS Z2 — sin Zx sin Z2,
sin(z + 2tt) = sin z,
cos(—z) = cos z,
sin(-z) = — sinz,
tg(z + 7r) = tgz,
7Г
cos z = 0 при z = — + ктг (к = 0, ±1, ±2,...),
2 tgz
tg2z =-------------------g—,
l-tg2z’
sin(z + —) = cos z, '
. , Зя
sm(z + —) = — cos z,
и т. д. Докажем, например, первое свойство:
□ / iz _ -iz \ 2
• 2 9 / С с
sin Z + cos z = -----—----
\ 2z у
e2iz - 2 + e~2iz
~ —4
-e2iz + 2 - e
2
( 4- e
+ l г
e2iz + 2 -
4
,-2iz + e2iz + 2 + g—2tz
— 2iz
4
530
Отметим, что тригонометрические функции sinz и cosz в комп-
лексной плоскости z неограничены:
lim sinz = oo, lim cosz = oo.
Imz—>±oo Im z—>ioc
Так, например, cos г = e + e— и 1,54 > 1, cos3i > 10.
Гиперболические функции
Эти функции определяются равенствами
sh z =
chz =
ez + е 2
2
, sh z ch z
thz = —-—, cthz = ——
ch z sh z
2
Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометриче-
скими функциями. Заменяя в указанных функциях z на tz, получим:
shiz = isinz, или sinz = — ishiz,
ch iz = cosz
(а также tgiz = i tg z, ctg iz = —i ctgz).
Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул,
связывающих гиперболические функции. Так, заменяя в формуле
sin2 z + cos2 z = 1 тригонометрические функции гиперболическими, по-
лучим
(—ishiz)2 + (chiz) = 1,
или — sh2 jz+ch2 iz = 1. Так как здесь z — любое комплексное число, то
iz можно заменить на z; получим формулу ch2 z — sh2 z = 1. Приведем
еще ряд формул:
ch2z = ch2 z + sh2 z, ch(—z) = chz,
sh2z = 2shzchz, sh(—z) = — shz,
ch(zi + z-i) — chzi chz2 + shzi shz2, shz + chz = e2,
и т.д.
Из определения гиперболических функций следует, что функции
shz и chz периодические с периодом 2яг; функции thz и cthz имеют
период яг.
Обратные тригонометрические и гиперболические функции
Число w называется арксинусом числа z, если sinw = z, и обо-
значается w = Arcsin z.
Piw _ e~iw
Используя определение синуса, имеем z = sm w = --------> или
е2«ш _2izetw — 1 = 0. Отсюда e,w = iz+ \/(zz)2 + 1, т. е. e’w = iz + y/1 — z2
(перед корнем можно не писать знак ±, так как yl — z2 имеет два
531
значения). Тогда iw = Ln (iz + л/1 — z2), или w = | Ln(iz + у/1 — z2).
Таким образом,
w = Arcsin z = — i Ln(iz + \/l — z2).
Функция w = Arcsin z многозначна (бесконечнозначна). Аналогично
определяются другие обратные тригонометрические функции. Можно
показать, что
Arccosz = — iLn(z+ yz2 — 1),
Arctg z — — - Ln —— (z ±i),
. i T z — iz
Arcctg z = - Ln - (z A ±i).
Функции, обратные гиперболическим, обозначаются соответственно
w = Arshz (ареасинус), w = Archz (ареакосинус), w = Arthz (ареа-
тангенс), w = Arcthz (ареакотангенс).
Обратные гиперболические функции имеют следующие выраже-
ния:
Arshz = Ln(z + \/z2 + 1), Archz = Ln(z + \/z2 — 1),
A , 1 1 + Z д 1 Z + 1
Arthz = - Ln-----, Arcthz = - Ln-----.
2 1 -z’ 2 z - 1
Все эти функции бесконечнозначны.
74.4. Дифференцирование функции комплексного
переменного. Условия Эйлера-Даламбера
Пусть однозначная функция w = /(z) определена в некоторой
окрестности точки z, включая и саму точку. Тогда предел
lim = lim + ~ = f'(z), (74.4)
Az—>0 Az Az—>0 Az
p5[ если он существует, называется производной функции f(z) в
точке z, а функция /(z) называется дифференцируемой в
точке z.
Подчеркнем, что в равенстве (74.4) Az любым
образом стремится к нулю, т. е. точка z + Az может
\ х' приближаться к точке z по любому из бесконечного
__множества различных направлений (см. рис. 283) (в
I 2 аналогичной ситуации для функции одного действи-
тельного “переменного точка х + Дх приближается к
Рис. 283 точке х лишь по двум направлениям: слева и справа).
532
Из дифференцируемости функции /(z) в некоторой точке z сле-
дует ее непрерывность в этой точке (отношение при Az —> 0 мо-
жет стремиться к конечному пределу f'(z) лишь при условии, что и
Aw —> 0). Обратное утверждение не имеет места.
При каких условиях функция w = f(z) будет дифференцируемой
в данной точке?
Теорема 74.1. Если функция w = и(х\у) + iu(x-,y) определена в не-
которой окрестности точки z = х + iy, причем в этой точке действи-
тельные функции и(х;у) и и(х;у) дифференцируемы, то для диффе-
ренцируемости функции w = f(z) в точке z необходимо и достаточно,
чтобы в этой точке выполнялись равенства
ди ди ди ди
дх ду' ду дх
(74.5)
Равенства (74.5) называются условиями
Эйлера-Даламбера (или условиями Коши
Римана).
Щ Необходимость
Пусть функция f(z) дифференцируе-
ма в точке z, тогда предел (74.4) суще-
ствует и не зависит от пути, по которому
Az ~ Дх + гДу —> 0. Можно считать, что точ-
ка z +Az приближается к точке z по прямой,
параллельной действительной оси (оси Ох),
т. е. Az = Дх —> 0, Ду = 0 (рис. 284). Тогда
У
z+Az
Дг = гДу
z Az = Ax z-|-Az
О х
Рис. 284
(w(x + Ax;y) + w(x + Ax;y)) - (w(x;y) + w(x;y))
f (z) = lim ----------------------------------------------------- —
Дж—>0 Дх
(w(x + Ax; y) — w(x; y)) + i(u(x + Ax;y) — v(x; y))
Ах
Джы + гДжг> Ажм &zV ди ди
lim ------------ = lim —------\-i lim —— = -------h i—.
\x-t-o /Хх Дж-ш Дх Дж->о Ax dx dx
Если же точка z + Az приближается к точке z по прямой, парал-
лельной мнимой оси (оси Оу), то Az = г Ду 0, Дх = 0. В этом случае
(и(х;у + Ay) + iu(x;y + Ду)) - (и(х;у) + iu(x;y))
f (z = lim ---------------------------------------------------- —
гДу
Аик + i/xvu ,ди ди ди ,ди
Гл = — г я я~ л г~я~
гДу ду ду ду ду
lim
533
Сравнив найденные пределы, получим = Sy ~ ?'Sy =
Отсюда следует: (Ф =
J дх ду ду дх
Дос паточное тъ
Пусть теперь условия (74.5) выполняются. Докажем, что функция
f(z) дифференцируема.
Так как функции иух-.у) и (.’(х:у) дифференцируемы в точке
z = х + iy, то их полные приращения можно представить (см. (44.4))
в виде Aw = Ф^Дх + ^Ду + «i, Aw = Ф^Дх + Ф^Ду + а2,
дх ду дх ду
где «1 и а-2 — бесконечно малые более высокого порядка, чем
|Аг| = л/(Ах)2 + (Ау)2. Тогда
Aw (w(x + Ах; у + Ду) + iv(x + Дх; у + Ay)) — (w(x; у) + w(x; у))
Az Ах + «Ду
_ Aw + ^Aw= (^Ах+^Ау + а1)+г(^Ах + ^Ау + а2) _
Дх + «Ау Ах + /Ау
^Ах + ^Ау + ^Ах + г^Ау । Q1 + го2
Дх + «Ду Дх + «Ду
n Z-) Q Q
Заменяя в числителе правой части тг* на — 1Д-. на согласно
оу ох’ оу ох
условиям (74.5), получаем:
Aw |^Дх-^Ду + г^Дх + г^Ду
_ дх____дх & дх___1 дх & ।
Az Ах + гДу
Оз — —----——,
Дх + гДу
т. е.
Aw |^(Дх + гДу) + г|^(Дх + гДу) _ ди .dv
Az Ах + гДу дх дх
а оз — бесконечно малая высшего порядка относительно ] Az|. Отсюда
следует, что lim = f'(z) существует. При этом f'(z) = + гФ^.
С учетом условий Эйлера-Даламбера (74.5) производную диффе-
ренцируемой функции /(z) можно
, ди dv
f (z) = + г^-,
дх дх
. ди .ди
находить по формулам
го \ dv ди
. ди .ди
’^ = Оу-'Ту-
(74.6)
534
Правила дифференцирования функций действительного перемен-
ного справедливы и для функций комплексного переменного, диффе-
ренцируемых в точке z. Это означает, что если А (Д и f2(z') дифферен-
цируемы в некоторой точке z комплексной плоскости, то верно следу-
ющее:
1. (А(г)±А(< = /((z)±A(z),
2- (А А) • А А))' = Д'А) /2(z) + А А) /'(z),
з (- АА)-АА)~АА)-АА)
6Af2(z)J- ffc)
4. Если ip(z) дифференцируема в точке z, a /(w) дифференцируема
в точке w = <p(z), то (f^(z)))' = >p'.(z).
5. Если в некоторой точке z функция f(z) дифференцируема и
существует функция дифференцируемая в ючке ш = f(z),
причем 0, то f'(z) = 7—37—ту, где / 1 ('«-) функция,
(f И)
обратная функции f(z).
Приведем без доказательства теорему о дифференцируемо-
сти основных элементарных функций комплексного пе-
ременного: функции w = ez, w = sinz, w — cosz, w = shz, w = chz,
w — zn (n € N) дифференцируемы в любой точке комплексной плос-
кости; функции w = tgznw = thz также дифференцируемы в лю-
бой точке плоскости, кроме точек z = + -лк и z = + 2лк^ г
(к = 0, ±1,±2,...) соответственно; для функций w = Ln z,w = z" в
окрестности каждой точки z О можно выделить однозначную ветвь,
которая является дифференцируемой в точке z функцией.
74.5. Аналитическая функция. Дифференциал
Фундаментальным понятием в теории функций комплексного пе-
ременного является понятие аналитической функции.
р5| Однозначная функция /(z) называется аналитической (голо-
морфной) в точке z, если она дифференцируема (выполнены
условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки.
Функция /(z) называется аналитической в области D, если она
дифференцируема в каждой точке z G D.
Как видно из эюго определения, условие аналитичности в точке
не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке
(первое условие — более сильное).
535
Точки плоскости z, в которых однозначная функция f(z') анали-
тична, называются правильными точками f(z). Точки, в кото-
рых функция /(z) не является аналитической, называются особыми
точками этой функции.
Пусть функция w = f(z) аналитична в точке z. Тогда lim =
' Дг->0 ^Z
— f'(z). Отсюда следует, что = f'(z) + а, где а -> 0 при Az —> 0.
Тогда приращение функции можно записать так: Aw = f'(z)Az + aAz.
Если f'(z) У 0, то первое слагаемое f'(z)Az является при Az —> 0
бесконечно малой того же порядка, что и Az; второе слагаемое «Az
есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Az. Следователь-
но, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции
w = /(z).
Дифференциалом dw аналитической функции w = /(z) в точке
z называется главная чать ее приращения, т. е. dw = f'(z)Az,
или dw = f'(z)dz (так как при w = z будет dz = z'Az = Az). Отсюда
следует, что f'(z) = т. е. производная функции равна отношению
дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.
Замечание. Если функция /(z) — и(х,у) + ги(х-у) аналитична в
некоторой области D. то функции и(х; у) и v(x; у) удовлетворяют диф-
ференциальному уравнению Лапласа (трг" + тр-г = 0, см. п. 72.2).
Щ Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Далам-
бера по у, а второе по х, получаем:
д2и __ д2и д2и _ д2и
дхду ду21 дх2 дудх ’
откуда &JJ + = °-
дх Оу
Функции w(x;y) и и(х;у) являются гармоническими функциями.
Пример Ц.З. Проверить, является ли функция w = z2 аналити-
ческой. Найти ее производную.
Q Решение: Находим действительную Rew = и и мнимую Imw = v
части функции:
w = z2 = (х + гу)2 — х2 — у2 + “Пху.
Таким образом, и = х2 — у2, v = 2ху. Проверяем условия Эйлера-Да-
ламбера (74.5):
ди п
д^= Х'
ди
V =
оу
<9г о
-д- = 2х;
оу
<9г
= 2'h
Ох
536
Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости
z. Функция w = z1 дифференцируема, следовательно, аналитична во
всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из фор-
мул (74.6), например по первой:
д д
(z2)' = — (ж2 - у2) + г—(2ху) = 2х + г2у = 2(х + гу) = 2z,
т. е. (z2)1 = 2z.
Заметим, что производную функции w = z2 можно найти, восполь-
зовавшись определением производной (74.4):
, Aw (z + Az)2-z2 2zAz + (Az)2
w = lim —— = lim ------------------- = lim -------------- =
Дг->0 LAZ Az-aO Az Az->0 Az
= lim (2z + Az) = 2z.
A г-Ml
Пример 74-4- Найти анали i ическую функцию w = и + iv по ее
заданной действительной части и = х3 — Зху2 + 2.
Q Решение. Отметим, что функция и является гармонической функ-
цией (и"г = бх, и'уу = —6х, следовательно, и'.'ГГ + = 0).
Для определения мнимой части v воспользуемся условиями
Эйлера- Даламбера (74 5). Так как = (.г3 — Зху2 + 2)х = Зх2 — Зу2,
то, согласно первому условию, = Зх2 — Зу2. Отсюда, интегрируя по
у, находим:
v
Зх2 — Зт/2) dy — Зх2у — у3 + у>(ж).
Для определения функции <р(х) воспользуемся вторым условием
Эйлера-Даламбера. Так как
= (х3 - Зху2 + 2)' = —бху,
оу у
а
ди
— = (Зх2у - у3 + ф(х))'х = бху + ср'(х),
то —бжу = —(бжу + (ж)). Отсюда tp'(x) = 0 и ср(х) = С, где С = const.
Поэтому v = Зх2у — у3 + С. Находим функцию w = и + w.
w = u + iv = х3 — Зху2 + 2 + г(3х2у — у3 + С) =
= ж3 + гЗх2у — Зху2 — гу3 + 2 + Сг = (х + гу)3 + 2 + гС = z3 + 2 + iC. •
537
74.6. Геометрический смысл модуля
и аргумента производной.
Понятие о конформном отображении
Пусть функция w = f(z) аналитична в, точке Zq и f'(zo) 5^ 0. Вы-
ясним геометрический смысл аргумента и модуля производной.
Функция w = f(z) отображает точку Zq плоскости z в точку
Wo = f(z0) плоскости w.
Пусть произвольная точка z = Zq + Az из окрестности точки zq
перемещается к точке Zq по некоторой непрерывной кривой I. Тогда в
плоскости w соответствующая точка w = wq + Aw будет перемещаться
к точке Wo по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой
I в плоскости w (рис. 285).
Рис. 285
По определению производной f'(z0) = lim Отсюда следует,
Дг-Ю ZXZ
что |/'(z0)| = I lim = lim = lim . Величина |Az| =
u v 71 Az-joAz1 Д-Л1 Az1 A2,0 |Az| 1 1
= |z — Zo| представляет собой расстояние между точками zq и Zq + Az,
a |Aw| — расстояние между точками Wq и Wq + Aw. Следовательно,
|/'(z0)| есть предел отношения бесконечно малого расстояния между
отображенными точками wq и Wq + Aw к бесконечно малому рассто-
янию между точками Zq и Zq + Az. Этот предел не1 зависит (/(z) ана-
литична в точке Zq) от выбора кривой Z, проходящей через точку zq.
Следовательно, предел ^lim = |//(го)| в точке zq постоянен, т. е.
одинаков во всех направлениях.
Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: ве-
личина |/'(zo)| определяет коэффициент растяжения (подобия) в
точке zq при отображении w = f(z). Величину \f(zq)| называют коэф-
фициентом растяжения, если |/z(^o)| > 1, или коэффициентом
сжатия, если |/Z(zo)| < 1-
Пример 74-5. Найти коэффициент растяжения (сжатия) для
функции w = ^z2 в точке Zq = 3 — 4г.
538
Q Решение: Функция w = ^z2 аналитична в точке Zq = 3 — 4г, при
этом w' = z. Следовательно, |/'(zo)| = |zo| = |3 — 4г| = 5 > 1. Коэффи-
циент растяжения для функции w = lz2 в точке zq равен 5 (плоскость
растягивается). •
Для аргумента производной в точке Zq имеем:
arg/'(zo) = дНт arg-д— = д™ (argAw — argAz) =
= lim arg Aw — lim arg Az = «2 — оц,
Дг —Дг—>0
где ai и «г — углы, которые образуют касательные к кривым I и L
соответственно в точках zq, и wq с положительными направлениями
действительных осей на плоскостях z и w (см. рис. 285).
Отсюда «2 = от +arg/'(zo). Это означает, что arg f'(zo) — это угол,
на который нужно повернуть касательную к кривой I в точке zq для
того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке Wq.
Другими словами, arg/’(zo) — это угол между отображенным и пер-
воначальным направлениями касательных к кривым I и L в точках zq
и ?(?о соответственно. В этом состоит геометрический смысл аргумента
производной arg/'(zo).
В силу аналитичности функции /(z) в точке zq (мы предположи-
ли, что /(zo) 0) угол arg/'(zo) один и тот же для всех кривых, про-
ходящих через точку z0. Для другой пары кривых I] и Д в тех же
точках zq и Wq будем иметь arg/'(zo) = а'2 — а'А = <р. Таким образом,
arg f'(jzo) = «2 — cti = а'2 — , т. е. если кривые I и Zi образуют в точке zq
на плоскости z угол = arg f'(zo), то такой же угол = arg /'(zq) будут
образовывать в точке Wq кривые L и Li, являющиеся отображениями
кривых I и Zi на плоскости w (см. рис. 286).
Рис. 286
Это свойство отображения w = f(z) называется свойством сохра-
нения (консерватизма) углов в точке zq.
р5[ Отображение w = f(z), обладающее свойством сохранения углов и
постоянством растяжений в точке zo, называется конформным
539
(т. е. отображением, сохраняющим форму). Если при этом сохраня-
ется и направление отсчета углов, то такое отображение называется
конформным отображением 1-го рода, если направление отсчета
углов изменяется на противоположное — конформным отображе-
нием 2-го рода. ,
Таким образом, если функция f(z) является аналитической в не-
которой точке Zo комплексной плоскости z и в этой точке ее про-
изводная отлична от нуля, то отображение w = f(z) конформно в этой
точке
Отображение w = f(z) называется конформным в области D, если
оно конформно в каждой точке этой области.
Справедливо следующее утверждение: если функция w = /(z) ана-
литична в области D, причем во всех точках области f'(z) 0, то
отображение конформно в D; если отображение w = /(z) конформно в
области Г). то функция w = f(z) аналитична в D и во всех точках этой
области f'(z) 0.
Пример Ц.6. Выяснить геометрическую картину отображения,
осуществляемого функцией w = 2z.
Q Решение. Отображение w = 2z конформно во всех точках плоскости
z, т.к. w' = 2 / 0.
Коэффициент растяжения в любой точке плоскости z равен 2. Так
как arga;' = arg 2 = 0, то направление при отображении не меняется.
Таким образом, отображение w = 2z есть преобразование гомотетии с
центром в нулевой точке (w = 0 при z = 0) и коэффициентом гомоте-
тии, равным 2. •
§75. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
75.1. Определение, свойства и правила вычисления
интеграла
Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой L с началом в
точке zq и концом в точке Z определена непрерывная функция f(z).
Разобьем кривую L на п частей (элементарных дуг) в направлении
от Zq к z точками z1; Z2, . • , zn-i (см. рис. 287)
В каждой «элементарной дуге» z^-iz* (к = 1,2, ...,п) выберем
п
произвольную точку Ck и составим интегральную сумму f(Ck')Azi;,
где Azit = гк - zk-i. k=1
Предел такой интегральной суммы при стремлении к нулю длины
наибольшей из элементарных дуг, если он существует, называется
540
Рис. 287
интегралом от функции /(а) по кривой (по контуру) L и обозна-
чается символом у f(z)dz.
L
Таким образом,
(75.1)
Покажем, что если L — гладкая кривая, a f(z) — непрерывная и
однозначная функция, то интеграл (75.1) существует.
Действительно, пусть f(z) = и(х;у) + iv(x-y), z = х + iy, Ck =
= xk + iyk. Тогда
f(Ck) - u(xk;yk) + tv(xk;yk),
Azk = (xk + iyk) - (xk-t + iyk-1) - + iAyk.
Поэтому
n n
52 /(c'fc)Az't = 52 +w(£t; £k)) • (Azk+ikyk) =
k=\ fcx=l
n n
= ^(u(xk-,yk)Axk - v(xk;yk)Ayk) +t^(v(xk;yk)Axk + u(xk-,yk)Ayk).
fe=i fc=i
Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства,
являются интегральными суммами для соответствующих криволиней-
ных интегралов (см. п. 56.1).
При сделанных предположениях о кривой L и функции f(z) пре-
делы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в по-
следнем равенстве) при max |Azj,| —> 0 получим:
(75.2)
541
Формула (75.2) показывает, что вычисление интеграла от функции
комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных ин-
тегралов от действительных функций действительных переменных.
Формулу (75.2) можно записать в удобном для запоминания виде:
j f(z)dz = j (и + iv) (dx + t dy). (75.3)
L L
Если x = x(t),y = y(t), где ti t t2 — параметрические уравне-
ния кривой L, то z = z(t) — x(t) + iy(t) называют комплексным
параметрическим уравнением кривой L; формула (75.3) преобра-
зуется в формулу
/'2
f f(z)dz = I f(z(t))z'(t)dt. (75.4)
L li
□ Действительно, считая z(t) непрерывной и дифференцируемой
функцией, получаем
j f(z) dz = ] (и + iv)(dx + i dy) = J (w + iv)(x't + iy't) dt =
L L ti t2
f f(z(t))z'(t)dt.
ti
Приведем основные свойства интеграла от функции комплексного
переменного.
L
п
□ 52 Azj. = Дг,+... +Д.гп = .г,-2о + .г2-г|+.. . + .г.„-.гп, 1 = 2-.г(|.
k=L
2- J ± h(z)) dz = J fi(z)dz± J f2(z)dz.
L L L
3. у af(z) dz = a J f(z) dz, a — комплексное число.
L L
4. у f(z)dz = - у f(z)dz, т. e. при перемене направления пути
l l-
интегрирования интеграл изменяет свой знак на противоположный (в
других обозначениях Kpiteott: j = — J ).
АВ ВА
542
J f(z)dz + J f(z) dz, где L = Li + L%, т. e. интеграл
il L2
по всему пути L равен сумме интегралов по его частям Li и L^.
5.
6. Оценка модуля интеграла. Если |/(^)| М во всех точках кри-
вой L, то
У f(z)dz Ml, где I
L
□ Действительно,
— длина кривой L.
11
it=i
SJ £ l/(C'fe)Azfe| M |A^| Ml,
k=l k=l
n
где lAzfcl — длина ломаной хо^х^г ... zn, вписанной в кривую L.
*=i
Все приведенные свойства интеграла функции комплексного пере-
менного непосредственно вытекают из его определения (75.1) и пред-
ставления (75.2).
Пример 75.1. Вычислить
j Im zdz,
L
где L — полуокружность |z| = 1, 0
arg .г тг (см. рис. 288).
О Решение: Используя формулу (75.3), имеем: Рис- 288
I = J у (dx + idy) = J ydx + i j у dy =
L L L
x2 dx + i
dx
7Г
2'
Используя формулу (75.4), имеем (z = cost + isinf):
7Г 7Г i 7Г
I = J sin/(— sin / + г cost) dt = f — ~(1 — cos 2/) dt + i J sin/cos/dt =
0 0 0
1 \ Iя 1 о Iя
-sm2t) +z-sin2£ =-—
4 / Io 2 Io
543
75.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный
интеграл. Формула Ньютона—Лейбница
Теорема 75.1 (Коши). Если функция f(z) аналитична в односвяз-
ной области D, то интеграл от этой функции по любому замкнутому
контуру L, лежащему в области D, равен нулю, т. е. <j> f(z)dz = 0.
L
□ Докажем теорему, предполагая непрерывность производной f'(z)
(это упрощает доказательство). По формуле (75.2) имеем:
f(z)dz = <f> и dx — v dy + i j> v dx + и dy.
L L L
В силу аналитичности f(z) = и + iv и непрерывности f(z) в одно-
связной области D, функции и = и(х;у) и v = v(x',y) непрерывны и
дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера
Даламбера: и • Эти условия означают равенство
нулю интегралов <j> udx — v dy и <f> vdx + и dy (см. теорему 56.3). Сле-
L L
довательно, </> f(z)dz = 0.
L
Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной
области.
Рассмотрим для определенности трехсвязную область Г), ограни-
ченную внешним контуром L и внутренними контурами Li и £2- Выбе-
рем положительное направление обхода контуров: при обходе область
D остается слева (см. рис. 289).
Пусть функция /(г) аналитична в области D и ria контурах L, Li и
L2 (т. е. в замкнутой области D; функция называется аналитической
в замкнутой области D , если она аналитична в некоторой области,
содержащей внутри себя область D и ее границу L).
Проведя два разреза (две дуги) 71 и 72 области D (см. рис. 289), по-
лучим новую односвязную область Di, ограниченную замкнутым ори-
ентированным контуром Г, состоящим из контуров L, Li, L? и разрезов
71 и 72: Г = L + 7+ + 7ц + 72" + Z2 + 7'7 + 7? • По теореме Коши для
односвязной области <j> f(z) dz = 0, но
/ Ф/ФМ
T* +т7 +Т2 +Т1 T1 т2
544
т. к. каждый из разрезов (дуг) 7х и 72 ПРИ интегрировании проходится
дважды в противоположных направлениях. Поэтому получаем:
J f(z) dz = <j> f(z) dz + j, f(z) dz+ <j> f(z) dz = 0,
Г L Li L?,
t. e. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области D
функции f(z) по границе области D, проходимой в положительном на-
правлении, равен нулю.
Рис. 289
Замечание. Изменив направление обхода внутренних контуров Lt
и L2, будем иметь <j> f(z) dz = f(z) dz + <j> f(z) dz, где все контуры
L L, L2
(L, Li и L2) обходятся в одном направлении: против часовой стрелки
(или по часовой стрелке). В частности, если /(z) аналитична в двусвяз-
ной области, ограниченной контурами L и I и на самих этих контурах
(см. рис. 290), то <j> f(z) dz = f(z) dz, т. e. «интеграл от функции f(z)
L I
по внешнему контуру L равен интегралу от функции f(z) по внутрен-
нему контуру I» (контуры L и I обходят в одном направлении).
Следствие 75.1. Если f(z) — аналитическая функция в односвязной
области D, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегриро-
вания, а зависит лишь от начальной точки zq и конечной точки z пути
интегрирования.
□ Действительно, пусть L| и Z2 — две кривые в области D, соединя-
ющие точки zq и z (рис. 291).
По теореме Коши <f> f(z)dz = 0,T.e. J f(z)dz+ J f(z)dz = 0,
Li+L~ L1 L2
или у f(z) dz — J f(z) dz = 0, откуда J f(z) dz= J f(z) dz.
L± L“2 Li L2
18 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс
545
В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точ-
ки и конечной точки пути интегрирования, пользуются обозначением
£2 у f(z)dz = у f(z)dz. Если здесь зафиксиро-
( \ вать точку zq, а точку z изменять, то / /(z) dz
Zo \ \ J
J г г°
----------- будет функцией от z. Обозначим эту функцию
F----------Z
Рис. 291 через F(z): F(z) = J f(z) dz. Можно доказать,
го
что если функция f(z) аналитична в односвязной области D. то функ-
ция F(z) также аналитична в D, причем
(г ч I
У f(z)dzj = f(z).
Zo
Функция F(z) называется первообразной для функции /(z) в
области D. если F'(z) = f{z).
Можно показать, что если F(z) есть некоторая первообразная для
f(z), то совокупность всех первообразных /(z) определяется формулой
F(z) + С, где С = const.
Совокупность всех первообразных функций /(z) называется не-
определенным интегралом от функции /(z) и обозначается
символом У f(z)dz, т. е.
[ f(z)dz = F(z) + С, где F'(z) =/(z).
z
Пусть функция F(z) — У f(z) dz есть первообразная функция для
г г0
f(z). Следовательно, J f(z) dz = F(z) + С. Положив здесь z = zq, по-
г°
лучим 0 = F(z0) + С (контур замкнется, интеграл равен нулю). Отсюда
С = —F(z0), а значит,
Z
У f(z)dz = F(z} - F(z0).
го
Полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
Интегралы от элементарных функций комплексного переменного
в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул
и методов, что и в действительном анализе.
Так, у ez dz = ez + С; sin zdz = — cos z + C; J 3z2 dz = 3- 1 = — i
о
и т. д.
546
Пример 75.2. Вычислить интегралы: a) <j> ; 6) (z — z0)ndz
L L
(п ф —1), где L есть окружность радиуса R с центром в точке zq, обхо-
димая против часовой стрелки (см. рис. 292).
Q Решение: а) Теорема Коши неприменима, т. к.
функция —-— не аналитична в точке zq. Пара-
Z — Zq
метрические уравнения окружности L есть х =
= х0 + Rcosi, у = у0 + Esin t, где 0 t <: 2тг. Следо-
вательно,
z = x + iy = Xg + R cos t + iy0 + iR sin t =
2 7Г . л f
г г • R e
J R-elt
о
2тг
] dt = 2тгг.
о
Рис. 292
= {x0 + iyo) + R(cos t + i sin f) = z0 + R e'7.
Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое урав-
нение данной окружности есть z = zq + R еа, 0 t 2тг. Поэтому по
формуле (75.4) получим:
/ Z — Zq
б) При п — 1 имеем:
2тг
(z — z0)”dz = ! (R -‘
L 0 25 , |27r
= iRn+1 f e^n+1^ dt = Rn+1------------=
J 71 + 1 Ю
^>n+i o Rn+1
= ------(cos27r(n + 1) + 7sin27r(7i + 1) — e°) =-----(1 — 1) = 0.
n + 1v ' n + 1
• eil dt =
Итак,
dz „ . .
------- = 2тгг, <1
Z — Zq-J
n — целое, n —1.
75.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши
Теорема 75.2. Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой одно-
связной области D и L — граница области D. Тогда имеет место
/(2o) (75.5)
2тгг Л z — zq
где zq € D — любая точка внутри области D, а интегрирование по
контуру L производится в положительном направлении (т. е. против
часовой стрелки).
547
Интеграл, находящийся в правой части равенства (75.5), называ-
ется интегралом Коши, а сама эта формула называется инте-
гральной формулой Коши.
Формула Коши (75.5) является одной из важнейших в теории функ-
ций комплексного переменного. Она позволяет находить значения ана-
литической функции f(z) в любой точке zq, лежащей внутри области
D через ее значения на границе этой области.
Щ Построим окружность 1Г с центром в точке zq, взяв радиус г столь
малым, чтобы данная окружность была расположена внутри области
(чтобы 1Г не пересекала Z).
Рис. 293
Получим двусвязную область Dt (заштрихо-
ванную на рис. 293), ограниченную контурами L
и 1Г, в которой функция аналитична.
Z — Zq
Тогда, согласно замечанию к теореме Коши
(с. 545), имеем:
/(z) dz г f(z) dz
Z — Zo J Z — Zo
Отсюда следует:
1 Г f(z)dz
2тгг J z — zq
1 f dz _ 1 r /(z0) + /(z) - /(zq)
2ttz j z — zo 2iri J z — zo
ir ir
= /
2тгг J
ir
_*_ +J_
z — zo 2тгг J z — zo
Но у
lr
dr
-----= 2iri (см. пример 75.2). Следовательно,
z — Zo
1 f f(z)dz 1 1 r f(z) - /(z0) л
— Ф ----------= 7T^j{zo) • 2тгг + — / --------------dz,
Im J z — zq 2ttz 2m J - -
z - Zo
t. e.
i / dz
2тгг J z — zo 2тгг J
L lr
z - Zo
(75.6)
Оценим разность в левой части равенства (75.6). Так как аналитиче-
ская функция /(z) непрерывна в точке zq € D, то для любого числа
е > 0 найдется число г >.0 такое, что при |z — zo| г (на окружности
1Г имеем |z — zq| = г) справедливо неравенство |/(z) — /(zq)| < е.
548
Применяя свойство 6 об оценке модуля интеграла (п. 75.1), имеем:
1 Г f(z) dz
2т / z — zq
dz
z- z0
IZ — Zq I 2тг r
Так как в может быть выбран сколь угодно малым, а левая часть по-
следнего неравенства не зависит от е, то она равна нулю:
1/Д±Ё_/(го) = 0,
2тгг J z — z0
откуда следует формула (75.5).
Отметим, что интегральная формула Коши (75.5) справедлива и
для многосвязной области: каждый из контуров обходится так, чтобы
область D оставалась слева.
Применяя интегральную формулу Коши, можно доказать следую-
щие теоремы-следствия.
Теорема 75.3. Для всякой дифференцируемой в точке zq функции
f (z) существуют производные всех порядков, причем п-я производная
имеет вид: = f{Z\n+ldz. (75.7) 2т J (z — z0) +
Теорема 75.4. В окрестности каждой точки z0, где существует про-
изводная f'(zo), функция /(z) может быть представлена сходящимся
рядом:
/(z) = /(z0) + f'(zo)(z - Z0) + f (z - Z0)2 + . . .
+ /(n^Zo)(z-z°)» + ... (75.8)
|@| Таким образом, производная аналитической функции так-
же является аналитической функцией.
Напомним, что из дифференцируемости действительной функции
не следует даже существования второй производной (функция у = у/х
549
1 1
имеет производную в точке х — 0, а производная этой функции 3 Р__
при х = 0 не существует). х
Ряд (75.8) называется рядом Тейлора функции /(г) в точке z0.
Ряд Тейлора дифференцируемой в точке z0 функции существует и
сходится к самой функции. Ряд же Тейлорадля действительной функ-
ции /(ж) может сходиться к другой функции или быть расходящимся.
Замечание. Формула гг-й производной функции f(z) может быть
получена из формулы Коши
f(z) = тг-- Т 1
2тгг J t — z
L
(в формуле (75.5) заменено z на £, Zq на z) путем последовательного
дифференцирования равенства (75.9) по z\
J v 7 2тгг/ (£_ _£)"+! 4
Формулы (75.5) и (75.7) можно использовать для вычисления ин-
тегралов по замкнутым контурам.
(75.9)
(75.10)
Пример 75.3. Вычислить , где a) L — окружность
L
|г| = 1, б) L — окружность \z — г| = 2.
Q Решение: а) функция f(z) — 2 является аналитической в обла-
сти ]z\ 1. В силу теоремы Коши имеем = 0.
б) На рисунке^ 294 представлена область,
ограниченная контуром интегрирования.
В этой области \z — г| 2 находится точка
z = 2г, в которой знаменатель подынтегральной
функции равен нулю. Перепишем интеграл в виде
/ -Ал = / dz.
L L
Функция f(z) = z является аналитиче-
ской в данной области. Применяя интегральную
формулу Коши (75.5), находим:
dz „ ( 1 АI „ . 1 я
т;--- = 2тгг ---— = 2тгг — = — •
z2 + 4 + 2г/lz=2i 4г 2
Пример 75.4- Вычислить cos^z
550
Q Решение: Внутри круга и на его границе |z| = 1 функция f(z) — cos z
аналитична. Поэтому, в силу формулы (75.7), имеем
/cos z г cos z
~^dZ= f (2 - 0)2+Х =
И=1 и=1
2тгг V'l •/ J - Л
= —г (cos z] = тгг(—cosz) = — тгг. •
2! 1 ' L=o v 'L=o
§76. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ плоскости
76.1. Числовые ряды
2 ип — и1 Н“ и2 + - •. + ип + ..., (76.1)
п= 1
1(^1 членами которого являются комплексные числа, называется чи-
словым рядом (в комплексной области). Ряд (76.1) с комплекс-
ными членами ип = ап + ibn можно записать в виде
ип = ^(ап + ib„) = +ib1) + (а2 + ib?) + • • • + («п + ibn) + ...,
П= 1 11= 1
где ап и bn [п = 1,2,3,...) — действительные числа.
Сумма Sn = £) ик = £) (ак + ibk) = £) ак + i £) bk первых п
k=i k=i k=i k=i
членов ряда (76.1) называется n-й частичной суммой ряда.
Если существует конечный предел S последовательности частич-
п п
ных сумм Sn ряда: S = lim Sn= lim ak+i lim bk, то ряд (76.1)
n—>OO n—>OO fc — Y 71—>00 — 1
называется сходящимся, a S — суммой ряда; если lim Sn не существу-
ет, то ряд (76.1) называется расходящимся.
Очевидно, что ряд (76.1) сходится тогда и только тогда, когда схо-
дится каждый из рядов
' ак = Oi + 02 + • • • + ап + • • • (76.2)
fc=i
и оо
' bk — bi + Z>2 + • • • + bn + ... (76.3)
fc = l
При этом S = Si + iS2, где Si — сумма ряда (76.2), a S2 — сумма
ряда (76.3). Это означает, что исследование сходимости ряда с ком-
плексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (76.2)
и (76.3) с действительными членами.
551
В теории рядов с комплексными членами основные определения,
многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим
определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами.
Приведем некоторые из них.
Остатком ряда (76.1) называется разность
Гп = «п+1 + ип+2 + .. • = У7 - У? Uk+i У7 bk-
k=n~[-l k=n~[-l k=n+l
Теорема 76.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если
ряд (76.1) сходится, то его общий член ип при п —> оо стремится
к нулю lim ип = О
Ряд (76.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
У^ |w„| = |iti| + |«21 + . . + |un| + ... (76.4)
П=1
Теорема 76.2. Если сходится ряд (76 4), то абсолютно сходится ряд
(76 1).
□ По условию ряд с общим членом |и„| = \/ttn + /д, сходится. Тогда
в силу очевидных неравенств |а„| у/и |/т„ у/«п + 6^ и на
основании признака сравнения (теорема 60.1) сходятся ряды lanI и
П=1
W- Отсюда следует сходимость рядов (76.2) и (76.3), а значит, и
п= 1 1
абсолютная сходимость ряда (76.1). И
Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный
из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму
S, что и исходный ряд.
Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и пе-
ремножать.
При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами
применимы все известные из действительного анализа признаки
сходимости знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера:
если существует lim 11Ч+| — I, то при I < 1 ряд (76.4) абсолютно
п->оо | ип |
сходится, а при I > 1 — расходится.
552
76.2. Степенные ряды
Степенным, рядом, в комплексной области называют ряд вида
У7 с"'г" = со + QZ + c2z2 + ... + cnzn + ..., (76.5)
n—О
где с„ — комплексные числа {коэффициенты ряда), z = х + iy — ком-
плексная переменная.
Рассматривают также и степенной ряд вида
£c„(z-z0)", (76.6)
71—0
который называют рядом по степеням разности z — Zq, Zq — комплекс-
ное число. Подстановкой z — zq = t ряд (76.6) сводится к ряду (76.5).
Ряд (76.5) при одних значениях аргумента z может сходиться, при
других расходиться.
Совокупность всех значений z, при которых ряд (76.5) сходится,
называется областью сходимости этого ряда.
Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абе-
ля, устанавливающая область сходимости степенного ряда.
Теорема 76.3 (Абель). Если степенной ряд (76 5) сходится при
z = z0 ф 0 (в точке z0), то он абсолютно сходится при всех значе-
ниях z, удовлетворяющих условию |z| < |z0|
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абе-
ля в действительном анализе (теорема 63.1).
Следствие 76.1. Если ряд (76.5) расходится при z = z0, то он расхо-
дится при всех значениях z, удовлетворяющих условию |z| > |zo| (т. е.
вне круга радиуса |z0| с центром в начале координат)
Из теоремы Абеля следует существование числа R = |zo| тако-
го, что при всех значениях z, удовлетворяющих неравенству \z\ < R,
степенной ряд (76.5) абсолютно сходится. Неравенству \z\ < R удовле-
творяют точки комплексной области, лежащие внутри круга радиуса
R с центром в точке z = 0.
Величина R называется радиусом сходимости ряда (76.5), а
круг |z| < R — кругом сходимости ряда. В круге |z| < R
ряд (76.5) сходится, вне этого круга — расходится; на окружности
|z| = R могут располагаться как точки сходимости, так и точки расхо-
димости ряда.
553
Принято считать, что R = 0, когда ряд (76.5) сходится в одной точ-
ке z = 0; R = оо, когда ряд сходится на всей комплексной плоскости.
Кругом сходимости ряда (76.6) является круг \z — 20| < R с центром в
точке z = z0.
Радиус сходимости ряда (76.5) можно вычислить по формуле
R = lim Сп (или R = -------. ), получаемой после примене-
n->oo|Cn+i I ]im ’у |с„|
п—>оо
ния признака Даламбера (или Коши) к ряду из модулей его членов
исходного ряда.
Приведем (без доказательств) некоторые свойства степенного ря-
да.
1. Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть ана-
литическая функция.
2. Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно диф-
ференцировать и почленно инте1 рировать любое число раз. Получен-
ный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный
ряд.
Пример 76.1. Найти область сходимости ряда
п=0 П'
Q Решение: Здесь сп = ^у, с„+1 = ,
R = lim
lim
= lim (n + 1) = оо,
т. е. R = оо. Следовательно, областью сходимости является вся плос-
кость z. •
Пример 76.2. Найти область сходимости ряда А , ,
п=0 (П +
Q Решение: Здесь R = lim
п—>0)0
области \z — ?| < 2.
2"+1(гг + 2)
(77 + 1)2"
= 2. Данный ряд сходится в
Пример 76.3. Определить радиус сходимости ряда
z2n
п+1 "__
у/п
E(-i)
п=0
и исследовать сходимость ряда в точках z^ = 0, z^ = i, z% = 3 — 2г.
554
Q Решение: Воспользуемся признаком Даламбера. Здесь
I 2п+2|
|«„+1| = ^==, lim
Vn + 1 п-ж
Un+1
'М’П
Ряд сходится при всех z, удовлетворяющих неравенству |.г{2 < 1, т. е.
\z\ < 1. Кругом сходимости является круг с центром в точке z = 0 и
радиусом 1.
Точка Zi = 0 лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд
сходится абсолютно. Точка z2 = г лежит на границе круга сходимости,
в этой точке ряд может сходиться (абсолютно или условно) и расхо-
диться. Подставляя значение z2 = г в выражение общего члена ряда,
получим (-1Г^ = = (-1Г+1- = _ 1 . Числовой
уП уп \/п у 7/
ряд с общим членом ип = ~^= расходится согласно интегральному при-
знаку Коши (теорема 60.5). Следовательно, в точке z2 = i степенной
оо 2п
ряд 22 (—1)”+ У- расходится.
n=0 V П
Точка 2з — 3 — 2г лежит вне круга сходимосчи, ряд в этой точке
расходится. •
76.3. Ряд Тейлора
Теорема 76.4. Всякая аналитическая в круге \z — z0| < R функция
f(z) может быть единственным образом разложена в этом круге в
степенной ряд ю
f(z) = ^Рсп(г - zo)n, (76.7)
71—0
коэффициенты которого определяются формулами
Сп~ ni ~ 2тп г (е - 20)"+1 t™-0’1’2’3’---)’ (76-8)
где 1Г — произвольная окружность с центром в точке zq, лежащая
внутри круга
Степенной ряд (76.7) называется рядом Тейлора
для функции f(z) в рассматриваемом круге.
Q Возьмем произвольную точку z в'нутри данного кру-
га и проведем окружность с центром в точке Zq и ра-
диусом г < R так, чтобы точка z находилась внутри
круга \z — z0] < г (см. рис. 295).
Рис. 295
555
Так как функция /(z) аналитична в круге |z — zq| < г и на его гра-
нице Zr, то ее значение в точке z можно найти по формуле Коши (75.9):
/(z) = 2^ £ где £ — точка на окружности 1Г. Имеем:
1 _ ________*_______ _ _______*________ _ е-г0
e-z (£-z0)-(z-z0) (e-z0)(i-f^) i-feff
Так как \z — zq| < |£ — zq|, to |< 1, следовательно, выражение
Is I
1
—можно рассматривать как сумму членов бесконечно убываю-
1 ~ «-го
щей геометрической прогрессии с первым членом —— и знаменате-
t — z0
лем | Таким образом,
е-г £-z0 (£-z0)2 (£~^о)3 " (£-z0)"+1
Умножим обе части этого равенства на величину и проинте-
грируем его почленно по контуру 1Г. Получим:
= + -L / JO d(+
2лт J £ — z 2тгг J £ — zo 2тгг J (£ — zo)
+ (z~z0)2/z I -Л-з^+. .. + (z-zo)"^- / - fd£+...,
2тгг J (£ - zQ) Ът J (£ - z0)n+1
т. е. /(z) = £ (z - z0)"i f или /(z) = £ cn(z - z0)n,
где cn= (n = 0,1, 2,...). Используя формулу (75.10),
ZK? J (J- — Zq)
Ir-
получим представление коэффициентов ряда через п-е производные
f(n)(Z(A
функции f(z) в точке z0: сп = -——- (п = 0,1, 2,...).
Таким образом, мы получили разложение функции f(z) в сте-
пенной ряд (76.7), коэффициенты которого определяются по форму-
лам (76.8).
Докажем единственность этого разложения.
Допустим, что функция f(z) в круге |z — Zq| < R представлена
другим степенным рядом
/(z) = bo + bl (z — Z0) + Z>2(z — Zo)2 + . . . + bn(z — Zq)" + . . .
556
Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное чи-
сло раз, будем иметь:
f'(z) = bi 4- 2b2(z — 2q) 4- 363(z — zq)2 4- • - - 4- nbn{z — z0)n 1 4- ,
/"(z) = 262 4- 3 263(z - z0) 4-... 4- n(n - l)6n(z - z0)"-2 4- . • •,
/'"(z) = 3 • 263 + - - - + n(n - l)(n - 2)bn(z - z0)'13 + . • •,
/(n)(z) = n! bn 4- (n 4- 1)! • 6„+i • (z - z0) 4- • • -,
Полагая в этих равенствах, а также в исходном ряде z = zo, полу-
чаем: Ьо = f(z0), bi = f'(z0), b2 = , .., bn = ... Сравни-
вая найденные коэффициенты bn ряда с коэффициентами ряда (76.7),
устанавливаем, что Ьп = сп (п = 0,1,2,...), а это означает, что указан-
ные ряды совпадают.
Функция /(z) разлагается в степенной ряд единственным обра-
зом.
Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд
Тейлора (Маклорена):
z z1 Z3
е = 1 + 1! + 2? + зГ + • ’
z3 z5 Z7
sin2 = z__ + -+...,
2 Л -Д
Z Z Z
COS2 = 1'¥+4! “6! +--”
z2 Z3
1п(1 4- z) = z - — + — - ...,
£ о
Н . ?\а - 1 -Г а , -Г а(а ~ xh2 -Г а(а ~ +
(1 + z) - 1 4- — z 4------z 4---------------z 4- • • -
Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной
плоскости, последние два — в круге |z| < 1.
Заменив z на iz в разложении функции ez, получим:
^4
Z Z
2? + 4!
\ / z3 z5
ГТ’зГб! -
т. е. формулу Эйлера ezz = cos z + г sin z.
557
76.4. Нули аналитической функции
Как показано выше, всякая функция /(z), аналитическая в окрест-
ности точки z0, разлагается в этой окрестности в степенной ряд (76.7):
коэффициенты которого определяются по формулам (76.8).
pg) Точка zq называется нулем функции f(z), если f(zo) = 0. В
этом случае разложение функции f(z) в окрестности точки zq в
степенной ряд не содержит нулевого члена, т. к. с0 = f(zo) = 0. Если не
только Со = 0, но и q = С2 = . •. = cm~i = 0, а ст ф 0, то разложение
функции /(z) в окрестности точки z0 имеет вид
f(z) = cm(z — z0)m + cm+i(z — z0)m+1 + ... + cn(z — z0)" + ..., (76.9)
а точка zq называется нулем кратности m (или нулем m-го порядка).
Если т = 1, то Zq называется простым нулем.
Из формул (76.8) для коэффициентов ряда Тейлора следует,
что если Zg является нулем кратности m функции f(z), то f(z0) =
= f'(zo) = = /!ml'(z0) = 0, но /<™>(z0) # 0. В этом случае пред-
ставление функции степенным рядом (76.9) можно переписать в виде
f(z) = (z - z0)"V(z), где
Нг) = ст + Cm+1(z - Zq) + . . . (76.10)
Для функции <p(z) точка z = zq уже не является нулем, так как <p(z0) =
= 9» ф 0.
Справедливо и обратное утверждение: если функция /(z) имеет
вид (76.10), где т — натуральное число, a <^(z) аналитична в точке
z0, причем 9?(z0) ф 0, то точка Zq есть нуль кратности т функции f(z).
76.5. Ряд Лорана
Теорема 76.5. Всякая аналитическая в кольце г < |z — zq| < R
(0 г < R оо) функция J(z) может быть разложена в этом кольце
в ряд +оо
/(z)= $2 c„(z-z0)", (76.11)
п= — оо
коэффициенты которого определяются формулой
(п — 0, ±1, ±2,...), (76.12)
где L — произвольная окружность с центром в точке Zq, лежащая
внутри данного кольца.
558
Ряд (76.11) называется рядом Лорана для функции /(z) в рассма-
триваемом кольце.
Q Возьмем произвольную точку z внутри кольца г < |z — Zq| < R и
проведем две окружности и L2 с центрами в точке z0 так, чтобы
точка z была между ними и каждая окружность находилась внутри
данного кольца (см. рис. 296).
Функция /(z) аналитична в кольце ме-
жду окружностями Li и L2 и на самих окруж-
ностях. Поэтому по формуле Коши для мно-
госвязной области имеем:
f(z) = 2Г f
L-\ -\-L-2
2-. <f (76.13)
2тгг J 4 — z
где обе окружности Lt и L2 обходятся против часовой стрелки.
Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части равенства (76.13),
рассуждая, как и при выводе формулы Тейлора.
На окружности L2 выполняется неравенство \z — Zq] < — г0|, или
7—2а < 1 Поэтому дробь — можно представить в виде
14 — 2o I 4 ~ z
1 ___________1_________ _______1_______ _
4-2 (4 - Zo) - (z - Zo) (4 - Zo) (1 - |^)
= 1 Z~ Z° ^Z ~ Z°^n
e-^o (4-M2 ” (£-*o)n+1
Тогда
i /(4) _ i /(4) i , z. /(e)
2тп 4 — z 2m£-Zo 2яг' ° (4 — zo)2
/(e)
•••+27Ti(2 2o) (4-Zo)n+T
Проинтегрируем это равенство по контуру L2:
i f /(е) _ j_ f /(e) , J f /(e) ,
2m I £-zd^~2m T 4-z0^+( °T (4-2o)2^
L-2
(76-14)
1.2
559
т- е- 2^ / = ?0Сп^ " ^П’
£2
C'n = 2mf (Лг^ (п = 0’1>2>-“)
£2 1
f(n) ( ~ \
(здесь сп 7^ -—так как функция f(z), возможно, не аналитична
в точке Zq).
На окружности Li имеем |£ — ZqI < \z — zo|, т. е. I —— I < 1. Тогда
I Z — Zq |
1 _ 1 _ 1 1
с-* *-с_ (z-z0)-(е-20) ~ (2-2о)(1-|5|2)~
_ f 1 . С-20 (С-2о)П \
\Z-Zo (z-z0)2 (z - Z0)n+1 J
Значит,
=2_ _Л2_+2__е^/ю+.. ,+J_ <^°)" ,ю+.
2m £-z 2m (z-z0) 2m (z-z0)2 2тгг (z-z0)n+1
Проинтегрируем это равенство почленно по контуру Lj:
1 X
У
= (z-z0)-1-ir <f /(CX + (2-z0)“2-!-7 <f /(£)(£-£o)</£ + •
Z7TI J Ztti j
Li Li
... + (z-z0)-(n+1)-^ / /(e)(f-zo)"df+...=
27П J
Li
= E(2 - 20)^27 / /(C)(C - 20)n (76.15)
Ztti j
n=1 Li
T' e’ ~2m f = E c-n(2 - 20)“n, где
c_n =-^ / ------— ~i.rd£ (n = 1,2,3,...).
2m T (£ - z0)-”+1 V 7
£1
Подставив разложения (76.14) и (76.15) в равенство (76.13), получим
/(2) = 52c„(z - г0)Л + ^2c-n(z - z0)-n = ^2 cn(2-2o)n-
560
Формулы для коэффициентов сп и с_п можно объединить, взяв
вместо контура Li и Ьг любую окружность L с центром в точке zq,
лежащую в кольце между Li и L% (следует из теоремы Коши для мно-
госвязной области): с„ = (п = 0’ =*=2» • • •)•
Можно доказать, что функция f(z), аналитическая в данном коль-
це г < \z — zq| < R, разлагается в ряд Лорана (76.11) единственным
образом.
Ряд Лорана для функции
оо
ОО
С"'' С—п
(Z - го)"
п= — оо п=0
состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т. е. ряд
~ z°)n’
n=0
называется правильной частью ряда Лорана-, этот ряд схо-
дится к аналитической функции /i(z) внутри круга \z — Zq| < R.
Вторая часть ряда Лорана, т. е. ряд
— Zo)n сходится к
/а(2) Ё(г_гоГ’
П=1 '
называется главной частью ряда Лорана-, этот ряд сходится к
аналитической функции /г(г) вне круга |z — Zq| > г.
+ос
Внутри кольца г < |z — z0| < R ряд £2
n=—(
аналитической функции /(z) = /i(z) + /г(г).
В частности, если функция f(z) не имеет особых точек внутри кру-
га |z — Zq| < R, то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тей-
лора.
Замечание. На практике при разложении функции в ряд Лорана
используют известные разложения основных элементарных функций;
дробь вида —-— разлагается в ряд, являющийся рядом геометриче-
z — ZO
ской прогрессии; дробь вида - —-г-, где к > 1 — целое, разлагается
(г - z0)
в ряд, который получается из ряда геометрической прогрессии после-
довательным дифференцированием (fc —1) раз; сложная дробь предста-
вляется в виде суммы простейших дробей.
1
Пример 76.^. Разложить в ряд Лорана функцию /(z) = ez в
окрестности точки zq = 0.
561
Решение: Воспользуемся известным разложением
и и2 ип
П + 2! + •' • + ЧГ + • •' ’
е
справедливым на всей комплексной плоскости. Положив и = 1, полу-
чим 111 1
е 2 = 1 + ——. Ч j—тг + ..., z Q. ♦
n'.z
Hz 2!z2
Пример 76.5. Разложить в ряд Лорана функцию
в окрестности точки zo = 0.
(i Решение: Функция имеет две особые точки: zi = —2 и z% — 3. Она
аналитична в областях: а) 0 |г| < 2; б) 2 < |г| < 3; в) |г| > 3.
Представим функцию /(г) в виде /(г) = —Цт-----)•
а) В круге |z| < 2 (рис. 297) имеем:
1
2—3
1
2+2 X, itj
Следовательно,
1 1 _ i / z z2
31-j ~“3 V+3 + F
11 1/ z z2
2 \ ~ 2 +?
/(2) = —-1 11— -
2-2-6
1
п=0
- 1 V" =
2n+i J Z
11 7 2
’б + 362 ~ 27-82
ряд Лорана функции /(г) обращается в ряд Тейлора.
б) В кольце 2 < |г| < 3 (рис. 298) имеем:
1
22 -2-6
Следовательно,
П °° суп
562
Рис. 297 Рис. 298 Рис. 299
в) В области |z| > 3 (рис. 299) имеем:
z — 3
1
z + 2
1 1
z ' 1-2 "
Z
1 1
114-2 ”
Z
(И >3),
(М>2).
С ледов ател ьн о,
1 1 / °° Qn
= 22 2 6 = 5 ( 52 pi+T
z — z — О О \ „ Z
хп=0
°° с\П \
п=0 '
76.6. Классификация особых точек.
Связь между нулем и полюсом функции
Как уже знаем, особой точкой функции /(г) называется точка, в
которой функция не является аналитической.
g Особая точка z = Zq функции /(z) называется изолированной,
если в некоторой окрестности ее функция f(z) не имеет других
особых точек.
Если zq — изолированная особая точка функции f(z), то суще-
ствует такое число R > 0, что в кольце 0 < \z — Zq| < R функция
f(z) будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лора-
ОО оо
на (76.11): f(z) = £ c„(z - z0)n + £ , .
п=0 п=1 ()>
При этом возможны следующее случаи:
1) Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с
отрицательными показателями. В этом случае точка zq называется
устранимой особой точкой функции f(z).
563
2) Разложение Лорана содержит в своей главной части конечное
число членов, т. е. в ряде есть конечное число членов с отрица-
тельными показателями. В этом случае точка Zq называется полюсом
функции f(z).
3) Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконеч-
ное множество членов, т. е. в ряде есть бесконечно много членов
с отрицательными показателями. В этом случае точка zq называется
существенно особой точкой функции f(z).
Укажем особенности поведения аналитической функции /(z) в
окрестности особой точки каждого типа.
Устранимые особые точки
Если Zq — устранимая особая точка, то в окрестности точки zq
ОО
разложение (76.11) имеет вид /(z) = 53 c«(z — zo)n- Это разложение
п=()
справедливо во всех точках круга |z — Zq| < R, кроме точки z = Zq.
Если положить /(zq) = со, где Cq = lim /(z) (т. e. определить функ-
z->z0
цию /(z) в точке Zq), то функция /(z) станет аналитической во всем
круге |z — Zq| < R (включая его центр z = zo); особенность точки z0
устраняется, точка Zq становится правильной точкой функции f(z)).
Из равенства lim f(jz) = Cq (cq оо) следует, что в достаточно ма-
лой окрестности устраняемой особой точки zq функция f(z) является
ограниченной.
|@j Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая
точка z = zq является устранимой, если существует ко-
нечный предел lim /(z) = А.
z-+z0
Полюсы
Если zq — полюс, то в окрестности точки zo разложение (76.11)
имеет вид /(z) = f) cn(z - z0)n + + ... + т
n=0 z ~ Zo (z - Zo) (z - z0)
где c_m 7^ 0. В этом случае полюс z0 называется полюсом т-го порядка
функции f(z)', если т = 1, то полюс zq называется простым.
Запишем последнее равенство в виде
ОС
/(*) = 77---~ zo)m У2сп(г - z0)n +c-i(z - z0)m ~' +
n=0
+ C~2(z ~ Z0)m 2 + . . . + C_m)
ИЛИ . .
f(z) = -(~9[~Am, ' (76-16)
(Z — Zo)
564
где g(z) — аналитическая функция, причем <?(zq) = с_то 0. Отсюда
следует, что f(z) —> оо при z —> Zq, т. е. в достаточно малой окрестности
полюса функция f(z) бесконечно велика.
Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая
точка z = z0 является полюсом, если lim /(z) = оо.
Из равенства (76.16) имеем (z — Zq)to/(z) = g(z). Отсюда получаем
удобный способ определения порядка полюса Zq: если
lim (z - z0)m/(z) = с-т (с_т ф 0, с_гп ф оо), (76.17)
|@j то точка Zq есть полюс m-го порядка.
Имеется связь между нулем и полюсом функции.
Теорема 76.6. Если точка Zq — нуль m-го порядка функции f(z), то
Zq является полюсом m-го порядка функции .L; если точка Zq —
J \z)
полюс m-го порядка функции f(z), то Zq является нулем m-го порядка
ФУНКЦИИ Jjy.
Q Докажем первую часть теоремы. Пусть z = Zq есть нуль
m-го порядка для функции f(z). Тогда имеет место равенство
/(z) = (z — z0)"V(z), где y?(z) аналитична в точке z0, причем </>(z0) 0.
Тогда (z - z0)m-J-y = —т-т- и lim f(z - z0)m-J-^') = —Д Л 0 (^ сю).
/(z) </>(z) и' f(z)J tp(z0) r ’
Это означает (см. (76.17)), что для функции Л , точка z = Zq является
J (z)
полюсом m-го порядка. Вторая часть теоремы (обратной) доказывает-
ся аналогично.
Существенно особая точка
Если zq — существенно особая точка, то, как доказывается (тео-
рема Сохоцкого-Вейерштрасса), в достаточно малой окрестности точ-
ки Zq функция /(z) становится неопределенной. В такой точке анали-
тическая функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.
Выбирая различные последовательности точек {zn}, сходящихся к су-
щественно особой точке Zq, можно получать различные последователь-
ности соответствующих значений функций, сходящиеся к различным
пределам.
1
Пример 76.6. Определить тип особенности функции /(z) = ez в
точке z = 0.
565
1
О Решение: Функция/(z) = ez в окрестности точки z = 0 имеет следу-
1 ОО -
ющее лорановское разложение: ez = । п (см. пример 76.4). Точка
n=o n-z
z = 0 является существенно особой точкой. Если z —> 0 вдоль положи-
1 1
тельной части действительной оси, то limC = lim ех = +оо; если
z—>0 х—>04-0
1
z —> 0 вдоль отрицательной части действительной оси, то lime2 =
z~>()
1
= lim 6^=0. •
ж—>0—0
Замечание. Классификацию изолированных особых точек можно
распространить на случай, когда особой точкой функции f(z) является
бесконечно удаленная точка, z — оо.
Окрестностью точки z = оо называют внешность какого-либо кру-
га с центром в точке z = 0 и достаточно большим радиусом R (чем
больше R, тем меньше окрестность точки z = оо).
Точку 2 = оо называют изолированной особой точкой, если в не-
которой окрестности ее нет других особых точек функции f(z).
Бесконечно удаленная изолированная особая точка может оказать-
ся устранимой особой точкой, полюсом порядка т или существенно
особой точкой. В первом случае лорановское разложение функции f(z)
в окрестности точки z = оо не имеет членов с положительными показа-
телями, во втором — имеет их лишь конечное число, в третьем случае
в разложении имеется бесконечно много членов с положительными по-
казателями.
Рй Изучение функции /(г) в окрестности точки z = оо можно свести
1 (1 \
путем подстановки z = ~ к изучению функции /I ~ \ в окрестно-
сти точки 2 = 0.
Пример 76.7. Найти особые точки функции /(г) = ^4-.
1 2
Q Решение: Особой точкой функции /(2) является 2 = 0. Найдем пре-
дел функции при 2 —> 0: lim 8in4 = lim sln z -X = 00. Следовательно,
z—>0 Z z—>0 Z z°
точка 2 = 0 является полюсом. Можно убедиться, что lim 22 82 = 00,
z->0 2
lim 23—n4z- = 10 0. Следовательно (см. (76.17)), точка 2 = 0 — полюс
третьего порядка. *
Пример 76.8. Исследовать особенности функции
у/* > _ z + 3
T[Z)~ z(z + 2)(z-l)2'
566
Q Решение: Для данной функции точки zi = 0 и z2 = -2 — простые
полюсы, Z3 — 1 — полюс второго порядка. •
Пример 76.9. Выяснить поведение функций /(z) = —Lq, g(z) =
z2
—2 в окрестности точки z = оо.
Q Решение: Сделаем подстановку z = —. Тогда функция /(z) = —^-q
примет вид । ПРИ условии |3ш| < 1 имеет место разло-
жение = w(l + 3w + (Зад)2 + ...). Возвращаясь к старой перемен-
ной, имеем
/(*) =
1
z — 3
Поэтому точка z = оо является устранимой особой точкой (см. послед-
нее замечание).
Можно убедиться, что z = оо для функции g(z) =
правильной точкой.
———является
1 + z2 ж
§77. ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ
77.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах
Вычетом аналитической функции /(z) в изолированной особой
точке Zq называется комплексное число, равное значению интегра-
ла Д /(z)<7z, взятого в положительном направлении по окружно-
L
сти L с центром в точке Zq, лежащей в области аналитичности функции
/(z) (т. е. в кольце 0 < |z — Zq| < R).
Обозначается вычет функции /(z) в изолированной особой точке
Zq символом Res/(zo) или Res(/(z); Zq). Таким образом,
(77.1)
Если в формуле (76.12) положить п = —1, то получим
С-i = -Дт / f(z)dz или Res/(z0) = c_i,
2тгг J
L
g| т. е. вычет функции /(z) относительно особой точки zq равен коэф-
фициенту при первом члене с отрицательным показателем в раз-
ложении функции /(z) в ряд Лорана (76.11).
567
Теорема 77.1 (Коши). Если функция f(z) является аналитической
в замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением
конечного числа особых точек zk (k = 1,2,... ,п), лежащих внутри
области D, то п
j f(z) dz = 2тгг ReS f(zk)- (77.2)
L k=l
Q Вокруг каждой особой точки z^ опишем окружность lf: так, чтобы
она целиком содержалась в области D, не содержала внутри других
особых точек и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общих
точек (см. рис. 300).
Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области (см.
замечание на с. 545) имеем:
У /(z) dz = у /(z) dz + у /(z) dz + ... + У /(z) dz,
£ 11 1'2 In
где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрел-
ки. Но, согласно формуле (77.1), имеем:
Рис. 300
У f(z)dz = 2тгг Res/(zi),
h
У f(z)dz = 2тгг Res/(Z2),
(2
У f(z) dz = 2тгг Res/(zn).
(n
Следовательно, ।
У /(z) dz = 2тгг Res /(zi) + ... + 2m Res f(zn),
L
/П
f(z)dz = 2тгг Resf(zk).
k=i
77.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов
в вычислении интегралов
Правильные или устранимые особые точки. Очевидно, если
z = zq есть правильная или устранимая особая точка функции f(z),
568
то Res/(z0) = 0 (в разложении Лорана (76.11) в этих случаях отсут-
ствует главная часть, поэтому c_j =0).
Полюс. Пусть точка Zq является простым полюсом функции /(z).
Тогда ряд Лорана для функции /(z) в окрестности точки Zq имеет вид
°° С л
f(z) = У) cn(z - z0)" + — Отсюда
n=0 Z Z°
оо
(z - Zo)f(z) = С-1 + ~ zo)n+1.
n=O
Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при z —> zq, полу-
(77.3)
Замечание. Формуле (77.3) для вычисления вычета функции f(z)
в простом полюсе можно придать другой вид, если функция f(z) явля-
ется частным двух функций, аналитических в окрестностях точки zq.
Пусть /(z) = ~(Z\ > где V’C^o) 7^ 0> а ff(z) имеет простой нуль при
9\z)
z = zq (т. е. g(zo) = 0,g'(zo) 0). Тогда, применяя формулу (77.3),
имеем: Res/(z0) = lim (z — zq)^Z-1 — lim , т. e.
v 7 z^zC ’ g(z) z^z0 9{z)-g(z0) д'(z0) ’
z-z0
-,Z0
= У>(*о)
9’(z0)
(77.4)
Пусть точка Zq является полюсом m-го порядка функции f(z). То-
гда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки Zq име-
етвид/(г) = £ c„(z-Zo)n + -%T-+/ ^~2 xi>+•••+ Отсюда
п=О Z Z° ~ ^о) \Z z0)
оо
(z-zo)m/(z) = У) C„(z-Z0)"+m + C-TO + <' m+l(z-Z0) + ...+C |(z-Z0)"'_|.
n=0
Дифференцируя последнее равенство (m — 1) раз, получим:
jm-i
= (m— l)!c_i + ^2c„(n+m)(n + m — l)(n + m — 2)... (n + 2)(z —z0)"+1.
71=0
Переходя здесь к пределу при z —> zq, получаем
(77-5)
Существенно особая точка. Если точка Zq — существенно особая
точка функции f(z)7 то для вычисления вычета функции в этой точке
1 dm-1
= IS.
569
обычно непосредственно определяют коэффициент с_х в разложении
функции в ряд Лорана.
Пример 11.1. Найти вычеты функции /(2) = f + в ее особых
точках.
Q Решение: Особыми точками функции f(z) являются: 2, = 1 — про-
стой полюс, z-> = 0 — полюс третьего порядка (т = 3). Следовательно,
по формуле (77.4) имеем Res(/(z); 1) =
I - 1 + 2 _
3-4 -
-3.
2 + 2
Используя формулу (77.5), находим:
Res(/(z);0) = lim ((2-О)3 + = 1 lim (=1-6 = 3. •
' 2b->o\+ > z3 _ z\У 2
i
Пример 11.2. Найти вычет функции /(2) = ez в особой точке
х = 0.
Q Решение: Лорановское разложение данной функции в окрестности
точки z = 0 было найдено в примере 76.4. Из него находим c_i = 1,
т. е. Res(/(2); 0) = 1. •
Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла
от функции комплексного переменного по замкнутому контуру.
Пример 11.3. Вычислить
dz
, где L — окружность
2.
1
Q Решение: Функция f(z) =
в круге \z - 1 — ?| < \/2 (см. рис. 301) простой полюс
2i = i и полюс второго порядка 22 = 1. Применяя
формулы (77.2), (77.3) и (77.5), получаем:
имеет
Рис. 301
б/
-=—2-------- = 2?r?(Res(/(2); ?) + Res(/(2); 1))
= 2тгг lim
1
2 — г
2
1
д
= 2тгг lim
• V -2^ \ п /1 1
+ пт —=-------= = 2тг? -
•z-и (2* 2 + 1 2 7 \4 2
тг?
т
570
2тг
Определенный интеграл вида j _R(sin х\ cos х) dx с помощью заме-
о
ны z = егх в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл по
замкнутому контуру |z| = 1 от функции комплексного переменного, к
которому уже применима основная теорема о вычетах.
Пример 77-4- Вычислить с помощью вычетов интеграл
2Г dx
I = ! (3 + 2 cos а:)2'
о 1 '
Q Решение: Произведем замену переменного, положив z = е1х. Тогда
II' . — гх z + 22 1
dz = ielxdx = izdx, cosx = -—----- = —-— = —^z' изменении
x от 0 до 2% точка z опишет в положительном направлении окружность
|z| = 1. Следовательно,
27Г ,
г ах
J (3 + 2 cos х}2
о v ’
1
z dz
dz
^(3 + 2^±1)2
г
z
В круге |z| < 1 функция /(z) =
~—Tj------гт> имеет полюс второго
(z2 +3z + I)2
порядка zi = ~3 2 • По формуле (77.5) находим
2
1 г (( ~3 +
— lim \ [ z--------
1! -з+Сз \ \ 2
2
z
2
о
lim -------= —^=.
-3+У5 (z+ з^5)3 5\/5
Следовательно, I = 1 • 2тгг • = “25^’
Глава XVIII. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Лекции 69-71
Операционное исчисление играет важную роль при решении при-
кладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.
Операционное исчисление — один из методов математического ана-
лиза, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференци-
альных и некоторых типов интегральных операторов и решение урав-
нений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых ал-
гебраических задач.
Методы операционного исчисления предполагают реализацию сле-
дующей условной схемы решения задачи.
1. От искомых функций переходят к некоторым другим функци-
ям — их изображениям.
2. Над изображениями производят операции, соответствующие за-
данным операциям над самими функциями.
3. Получив некоторый результат при действиях над изображения-
ми, возвращаются к самим функциям.
В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к
их изображениям, будем применять так называемое преобразование Ла-
пласа.
§78. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
78.1. Оригиналы и их изображения
Основными первоначальными понятиями операционного исчисле-
ния являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.
Пусть f(t) — действительная функция действительного перемен-
ного t (под t будем понимать время или координату).
Функция /(£) называется оригиналом, если она удовлетворяет
следующим условиям:
1. /(i) = 0 при t < 0.
2. f(t) — кусочно-непрерывная при t 0, т. е. она непрерывна или
имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке
оси t таких точек лишь конечное число.
р5| 3. Существуют такие числа М > 0 и sq 0, что для всех t выпол-
няется неравенство |/(t)| С М-eSot, т. е. при возрастании t функция
/(£) может возрастать нё быстрее некоторой показательной функции.
Число sq называется показателем роста f(t).
572
Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описываю-
щих различные физические процессы.
Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого мо-
мента времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему усло-
вию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить
во =0), степенные tn (п > 0) и другие (для функций вида f(t) = ае1
условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функ-
ция f(t) = j (не удовлетворяет второму условию).
Замечание. Функция f(t) может быть и комплексной функцией
действительно переменного, т. е. иметь вид f(t) = fi(t)+if2(t); она счи-
тается оригиналом, если действительные функции /i(t) и /г(^) явля-
ются оригиналами.
р5| Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) ком-
плексного переменного р = з + io, определяемая интегралом
ОО
F(P)= /
О
(78.1)
р5| Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) назы-
вают преобразованием Лапласа. Соответствие между оригина-
лом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(x) = F(jj) или
F(p) = f(x) (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их
изображения — соответствующими большими буквами).
Теорема 78.1 (существование изображения). Для всякого ориги-
нала f(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости
Rep = s > Sq. где so — показатель роста функции причем функ-
ция F(p) является аналитической в этой полуплоскости (s > so).
Q Докажем первую часть теоремы. Пусть р =
= з + ia произвольная точка полуплоскости
Rep = s > So (см. рис. 302). Учитывая, что
|/(t)| < М eSot, находим:
Rep > so
о
j \f(t) e~pt\dt
о
s
О
у esot\e-pt\dt = М j esote~st
О о
so
Рис. 302
[ e^s~so')tdt=
J S — Sq
О
573
так как s — sq > 0 и |e pt| = |е st • е гст*| = е st • | cosat — i sincri| = е st.
Таким образом,
(78.2)
Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изобра-
жение F(p) существует и однозначно в полуплоскости Rep = s > s0.
Следствие 78.1 (необходимый признак существования изобра-
жения). Если функция F(p) является изображением функции f(t),
то
lim F(p) = 0.
р-юо
Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2),
когда Rep = s —> +оо.
Так как F(p) — аналитическая функция в полуплоскости
Rep > Sq, то .F(p) —> 0 при р —> оо по любому направлению. Отсю-
да, в частности, следует, что функции F(p) — 5, F(p) = р2 не могут
быть изображениями.
Отметим, что из аналитичности функции Ftp) следует, что все ее
особые точки должны лежать левее прямой Rep = s = sq или на са-
мой этой прямой. Функция F(p), не удовлетворяющая этому условию,
не является изображением функции f(t). Не является изображением,
например, функция F(p) = tgp (ее особые точки расположены на всей
оси s).
Теорема 78.2 (о единственности оригинала). Если функция F(p)
служит изображением двух оригиналов/1(0 и /2(01тоэти оригиналы
совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)
Пример 78.1. Найти изображение еди-
ничной функции Хевисайда
1(0 1
о t
Рис. 303
1(0 =
при t 0,
при t < 0
(см. рис. 303).
574
Q Решение: По формуле (78.1) при s = Rep > 0 (so = 0) находим:
Ftp) = [ 1 е pt dt = lim [ e~pt dt = lim — • e-₽t| =
J b^oo J b—>oo p Io p
0 0
t. e. F(p) = или, в символической записи, l(t) = i, или 1 = i.
f(t) =
Замечание. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко запи-
сывать в виде f(t), подразумевая, что
f(t) при t 0,
0 при t < 0.
Пример 78.2. Найти изображение функции /(1) = eat, где а —
любое число.
Q Решение: Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1)
имеем
F(p) = 7 eate-pt dt = lim / e-<p a)> dt = - lim —
J b-юо J b-юо p — a Io
о 0
/ 1 ₽-(₽-“) *>\ I
= lim-------------------I = -----,
ь-юо\p — a p—a ) p — a
если Re(p — a) > 0. Таким образом,
eat = —-— (Rep > Rea). (78.3)
p—a
Пример 78.3. Найти изображение функции f(t) = t.
Q Решение: В этом случае преобразование Лапласа имеет вид
У t е pt dt = Jim f te pt dt =
о о
и = t du = dt
dv = e~pt dt v = — -e~pt
P
lim b • e sb = 0 I, t. e.
b—>OQ /
1
i — —2 •
P
(78.4)
575
Замечание. Функция F(p) = является аналитической не
только в полуплоскости Rep > Rea, где интеграл (78.1) сходится,
а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особен-
ность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас
будет более важным, как правило, само изображение функции, а не
область, в которой оно выражается интегралом (78.1).
78.2. Свойства преобразования Лапласа
Находить изображения, пользуясь только определением изображе-
ния, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа су-
щественно облегчают задачу нахождения изображений для большого
числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов
по их изображениям.
Линейность
Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линей-
ная комбинация изображений, т. е. если /](t) = Fi(p), /2(t) = F2(p), <л
и с-2 — постоянные числа, то Cj • Д (t) + с2 /2(0 = <ч • Fr (р) + с2 • F2(p).
□ Используя свойства интеграла, находим
ОО
У (ci • /i(t) + с2 /2(t)) • e~pt dt =
О
оо оо
= С1’У /i(t)-e~ptdt + c-2 у -/2(t)-е pt dt = Ci F^p) + c2-F2(p).
о 0
Пример 78-4- Найти изображения функций sin cut, cos tut (cu —
любое число), c (const), ch cut, shcut.
Q Решение: Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), нахо-
дим:
- е~™1 1/1 1 \ си
smcut =---------- = — ------:------— ) = -5-----
2г 2г\р-гш р + гш / р 4- си
т. е. си
sincut=-x-----j- (78.5)
р + си
Аналогично получаем формулу
coscut = —j • (78.6)
р + си
Далее, с = с-1=с — ,т. е. с
р * с = -.
Р
576
Наконец, chwt = -—- Ф 1 —1-h 1 —1— = —j- т. е.
’ 2 2 р - ш 2 р + ш р2
ch cjt = 2 Р—j. (78.7)
р — ш
Аналогично получаем формулу
shwt=-^-^—(78.8)
р - ш
Подобие
Если /(i) = F(p), А > 0, то /(At) = -у • f(?Y т. е. умножение
аргумента оригинала на положительное число А приводит к делению
изображения и его аргумента на это число.
□ По формуле (78.1) имеем
ОО
/(АО = У /(АО • e~pt • dt == [положив At == £i] —
о
О о
(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегриро-
вания) .
Например, пусть cos t ф
. Тогда
Р
2 , 2
Р + ш
Смещение (затухание)
Если /(t) = F(p), а = const, то eat f(t) = F(p — а), т. е. умножение
оригинала на функцию eat влечет за собой смещение переменной р.
□ В силу формулы (78.1) имеем
eat./(i)= у eat • f(t)e-ptdt= J f(t)e~(p-a^ dt = F(p - а)
о о
(Re(p - a) > so).
19 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс.
577
Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия
между оригиналами и их изображениями:
eat sinwi = ----------7, (78.9)
(р - а)2 + w
eat coscvt = - Р у----у, (78.10)
(р — ау + ш2
е • sh wt = ------х----7,
(р - ay - w
Пример 78.5. Найти оригинал по его изображению
2р — 5
р2 — 6р + 11
Q Решение: Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было вос-
пользоваться свойством смещения:
F(p) = _ = =
р2-6р + 11 (р —3)2 + 2
- 2 Р~3 1 \/2
' (Р - З)2 + (у/2)2 + ' (р - З)2 + (а/2)2 "
= 2 • e3t • cos V~2t + ~= • e3t sin \/2i = /(£).
(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.) •
Запаздывание
Если /(£) = F(p), т > 0, то f(t — т) = e_prF(p), т. е. запаздыва-
ние оригинала на положительную величину т приводит к умножению
изображения оригинала без запаздывания на
Q Положив t — т — У, получим
f(t - г) = f e~pt dt= f f(y)e~p^+^ dy =
0 -r
= / f(ti)e~pr e~Ptl = e-pT J f(t)e-pt dt = e~prF{p).
о о
Поясним термин «запаздывание». Графики функции /(£) и f(t— т)
имеют одинаковый вид, но график функции f(t—т) сдвинут на т единиц
578
Рис. 304
Рис. 305
вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции /(f) и f(t—т) описывают
один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией f(t — т),
начинается с опозданием на время т.
Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изобра-
жения функций, которые на разных участках задаются различными
аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные
процессы.
{1 при t т,
называется обобщенной единич-
0 при t < т
ной функцией (см. рис 305).
Так как l(i) = i, то l(f — т) = - • е~рг.
v ’ р’ 4 Р
Запаздывающую функцию
9(1) = (/(‘“т) при'>т'
I 0 при t < т
можно записать так: g(t) = f(t — т) l(t — т).
Пример 78.6. Найти изображение f(f) — t — 1.
Q Решение: Для того чтобы быть оригиналом, функция /(f) должна
удовлетворять условиям 1-3 (см. и. 78.1). В этом смысле исходную
задачу можно понимать двояко.
Если понимать функцию /(f) как
_ fi - 1 при t 0,
10 при t < 0,
т. е. /(i) = (t — 1) • 1(f) (см. рис. 306, а), то, зная, что t = (см.
формулу (78.4)), 1 = i и, использ’уя свойство линейности, находим
J(f) = (f-l).l(f) = l_l=F(p).
Р Р
579
/(0 =
Если же понимать функцию f(t) как
t — 1 при t 1,
О при t < 1,
т. е. /(О = (t — 1) 1(7 — 1) (см. рис. 306, б), то, используя свойство
запаздывания, находим f(t) = (t — 1) • l(t — 1) ф • е~р = F(p). •
/(О
1
Рис. 307
О
t
Пример 78.7. Найти изображение функции
0
/(0 = 1
о
при t < 0,
при 0 ф t ф 3,
при t > 3.
Q Решение: Данная функция описывает единичный импульс (см.
рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригина-
лов: единичной функции l(t) и обобщенной единичной функции l(t— 3).
Поэтому f(t) = 1(0 - l(t - 3) = 1 - 1 • = F(p). •
Пример 78.8. Найти изображение
функции
0
Ж = < t
4-t
при t < 0, t 4,
при 0 ф t ф 2,
при 2 < t < 4.
Q Решение: Функция-оригинал изобра-
жена на рис. 308. Запишем ее одним ана-
литическим выражением, используя функции Хевисайда 1(f) и l(t —т):
/(0 = t 1(0 - t l(t - 2) + (4 - 0 • l(t - 2) - (4 - 0 !(* - 4),
т. е.
/(0 = t • 1(0 - (f - 2 + 2) • l(t - 2) - (t - 2 - 2) • l(t - 2) + (t - 4) • l(t - 4).
580
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
/(f) = t - 1(f) - 2(t - 2) • l(t - 2) + (t - 4) • l(t - 4).
Изображение функции f(t) будет равно
/(t) = ~ - 2 • le-2₽ + le-4₽ = F(p). •
P P P
Замечания.
1. Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,
т
есть F(p) = t jj-Tp f dt.
2. Свойство опережения /(t + т) = epT^F(p) — J f(t)e~ptdt^ при-
меняется значительно реже. о
Дифференцирование оригинала
Если 7(f) = F(p) и функции ..., f(n\t) являются ори-
гиналами, то
/'(f)=p-F(p)-/(0), (78.11)
/"(i)=p2-F(p)-p-/(0)-/'(0), (78.12)
= р3 - F(p) - р2 • /(0) - р /'(0) - /"(0), (78.13)
/(n)(t) = рп - F(p) - р”-1 - /(0) - ... - /("-^(О). (78.14)
□ По определению изображения находим
f'(t) 7 f’(t\e~Ptdt _ и = e~Pt du = —pe~pt dt ' _
[dv = f(t)dt v = f(t)
= /(f)e-pt|~+p J f(t)e~ptdt = —f(P)+pF(p).
о
Итак, f'(t) = p-F(p) — /(0). Пользуясь полученным результатом, найдем
изображение второй производной
m = = р(р F(p) - f(0)) - f (0) = P2 - F(p)-P - /(0) - /'(0).
Аналогично найдем изображение третьей производной
= р(р2 • F(p) - р • /(0) - /'(О)) - /"(0) =
= Р3 ’ F(p) - р2 • /(0) - р • /'(0) - /"(0).
Применяя формулу (78.11) (п — 1) раз, получим формулу (78.14).
581
Замечание. Формулы (78.11) -(78.14) просто выглядят при нулевых
начальных условиях: если /(0) = 0, то f'(t) = р F(p); если /(0) =
= У'(0) = 0, т0 /”(0 Р2 ’ ^(р); и> наконец, если /(0) = /'(0) = ...
... = у("_1\0) = 0, то = рп Г(р). т. е. дифференцированию
оригинала соответствует умножение его изображения на р.
Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со
свойством линейности широко используется при решении линейных
дифференциальных уравнений.
Пример 78.9. Найти изображение выражения
x"'(t) - 2a:"(f) - + 2x(t) + 2,
если 2?(0) = 3, я'(0) = 0, ж"(0) = —2.
Q Решение: Пусть x(t) = Х(р) = X. Тогда, согласно форму-
лам (78.11) (78.13), имеем
ж'(^) = Р X — 3,
x"(t) = р2 X — р 3 — 0,
x"'(t)=p3 -X -р2-3 -р-0 + 2,
2
2 = 2-1 = -.
Р
Следовательно,
x"'(t) - 2x"(t) - Зж'(£) + 2x(t) + 2 =
2
= p3 X - Зр2 + 2 - 2(p2 X - 3p) - 3(p • X - 3) + 2X + -. •
Дифференцирование изображения
ЦЦ Если f(t) = F(p), to
F"(p) = (-l)2-t2-f(t),
F(n\p) = (-1)” -tn • f(t),
t. e. дифференцированию изображения соответствует умножение его
оригинала на (—t).
□ Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является
аналитической функцией в полуплоскости Rep = s > .s(). Следователь-
но, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя ин-
теграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции
582
опустим), получим
F'(p)=(f f(t)-e~ptdt\ = f (f(t) e-pt)'Pdt =
' 0 2 p 0
= J f(t)-(-t)e~ptdt= J (-* • f(t))<Fpt dt = -t • f(t),
t. e. F'(p) = -t /(*). Тогда F"(p) = (F'(p))' = -t(-t f(t)) = t2 f(t),
F'"(p) = — t{t2 f(t)) = —t3 f(t) и вообще F^n\p) = (—1)" • tn f(t).
Пример 78-10. Найти изображения функций tn (n G N), eat tn,
t sin cut, t coscut, t shw^, t ch cut, eat t sin cut, eat t • cos cut
Q Решение: Так как 1 = i, то, в силу свойства дифференцирования
изображения, имеем — t • 1 = —К, т. е.
Р
1
— ~2 ’
Р
Далее находим — t2 = (Цг ) = — -%, т. е. t2 = Д. Продолжая диффе-
\р >р Р Р
ренцирование, получим
м п-
рп+1'
С учетом свойства смещения получаем
п!
(р - а)п+1 ’
eat tn
Согласно формуле (78.5), sincui =
—у. Следовательно,
р
( tv \
—к----» ) = — t sm ivt,
\Р + ш / р
т. е. — . л, 9 = — i sin си С или
(р2 + w2)2
£sinw£ = z 9 (78.15)
(р + ш )'
Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим
р2 — ш2
tcos(vt= -2 т (78.16)
(р +ш )
• 2рщ
t Sh (jjt = —-75-75-75 ,
(р2 - w2)2
t ch cut =
p + Ш
583
С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем
eat t sin art =
2aj(p — a)
((p-a)2+a?)2’
eat • t cos u)t =
(p - a)2 - u)2
((p-a)2 W)2'
Интегрирование оригинала
t
Если f(t) = F(p), то у f(r)dr = , т. e. интегрированию ори-
o
гинала от 0 до t соответствует деление его изображения на р.
t
Q Функция <p(i) = J f(r)dr является оригиналом (можно проверить),
о
Пусть <p(t) = Ф(р). Тогда по свойству дифференцирования оригинала
имеем
= р • Ф(р) - <р(0) = р Ф(р)
(так как tp(O) = 0). А так как
= f(r)dA =f(t),
Vo
то F(p) = p Ф(р). Отсюда Ф(р) = —“-% т. e. J f(r) dr = —
о
Интегрирование изображения
OO oo
Если f(t) = F(p) и интеграл J F(p) dp сходится, то J F(p) dp =
p । p
• /(0 A
= , t. e. интегрированию изображения от p до oo соответствует
деление его оригинала на t.
□ Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (об-
основание законности этой операции опускаем), получаем
= 7 7
о о
584
Пример 78.11. Найти изображение функции найти изобра-
t
жение интегрального синуса J dr.
о
Q Решение: Так как si: оо П%Л1’ТОТ - / Д1^ = 2 arctgp’ р
т. e. — arctgp = arcctgp. Применяя свойство интегрирования
оригинала, получаем j t Г sin-г dT ± я. _ arctgp * т ' 2р Р
Умножение изображе! Если fi(t) = F1(p), НИЙ /2^) = F2(p), то
Flip) t F2(p) = 1 Л(т) f2(t - г) dr. (78.17) 0
Q Можно показать, чэ t :о функция у fi (т) - hit — т) dr является ориги-
налом. Используя преобр; 0 1зование Лапласа (78.1), можно записать
t ОО S t X
У Л СО • hit - r)d,T = f \f fi{r) f2(t - T)dTje~pt dt =
о о vo 7
= у e pt dt J fi (t) • y2 (t - r) dr.
о о
Область D интегрирования полученного дву-
кратного интеграла определяется условиями 0 t <
< оо, 0 т Sj t (см. рис. 309).
Изменяя порядок интегрирования и полагая
t — Т = tl, получим
f fiir) f2(t - т) dr = J fi(r) dT J e pt f2(t - r) dt =
О От
= У fi(r)e~pT dr у f2(ti)e~ptl dti = Fi(p) • F2(p).
о о
585
|^| Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой
функции fitt) и /2(0 и обозначается символом /1(7) * /2(i), т. е.
t
/1(0*Л(0 = f fl(r')-f2(t-T)dT.
о
Можно убедиться (положив t — т = и), что свертывание обладает
свойством переместительности, т. е. fi(t) * f2(t) = f2(t) *
Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е.
Flip) F2(p) = /1(f) * /2(0-
Пример 78.12. Найти оригинал функций
F(p) =
1
(р2 W)2
И F(P) = / 2 Р 2\2'
О Решение: Так как F(p) — » и -я-!—7 = — -smwt,
1 (р2+сЛ) (р2 + си2 р2+ь? ' и
ТО
о
• sincjT • — • sincj(7 — т) dr =
со
1 7
= —2 ’ / (cosw(2r — 0 — coscuZ) dr =
2uj J
т. е.
о
1/1 I* lf\
=—x ( — • sincj^r — — COSCJi-T =
2w2 \2tv v 7 Io Io/
1 /1 . \ 1 ,
— —— sm cot — t cos ait ~ —5- (sm cat — art • cos art),
2w2 / 2w3 v '
1 1 /
----^-7? = —j Sinw; — ait coswZli
(p2+w2)2 2cu3 7
Аналогично получаем
P .1
/—5---5.9 — т— t • sincjt.
(p2+w2)2 2<J
Следствие 78.2. Если /i * /2 = Fi(p) • F2(p) и /((7) также является
оригиналом, то
t
p-F^-F^p)^ у /((т)- f2(t- т) dr + /!(0)./2(0. (78.18)
О •
586
□ Запишем произведение р Fi (р) F2 (р) в виде
Р F1(p) F2(p) =p-F1(p')- F2(p) - /i(0) • F2(p) + /i(0) F2(p),
ИЛИ
P Fi(p) F2(p) = (p • Fi(p) - /i(0)) F2(p) + /i(0) F2(p).
Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соот-
ветствующих оригиналам /((£) (/{(£) =г P’Fi(p) — /1(0)) и /2(£). Поэтому
на основании свойства умножения изображений и линейности можно
записать р F1(p) F2(p) = f[(t) * /2(<) + /i(0) • /2(t) или
t
p-F1(p)-F2(p') = f dr + /1(0) -f2(t).
о
pgj Формула (78.18) называется формулой Дюамеля.
На основании свойства переместительности свертки формулу Дю-
амеля можно записать в виде
t
Р • Fi(p) • F2(p) = J /2(т) •/((<- т) dr + /2(<) /ДО).
о
Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов
по известным изображениям.
Пример 78.13. Найти оригинал, соответствующий изображению
F(p) =
2р2
(р2 + 1)2'
Q Решение: Так как
2р2 1 р 1 . .
—з-----г. = 2п • ---- И . Sin t,
(р2 + 1)2 р2 + 1 р2 + 1 р2 + 1
то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем
1 t
1 р с .
2р ----— 2 / cost cos(t —
Р р2 + 1 р2 + 1 J
Умножение оригиналов
Если fi(t) = Fi(pi) и f2(t) = F2(p), то
т) dr + 0 = t • cos t + sin t.
7 + гоо
74-гоо
/1(0 • /2(0 = — [ F^z)- F2(p - z)dz,
Z7TI j
7—200
где путь интегрирования — вертикальная пря-
мая Re z = 7 > Sq (см. рис. 310) (примем без
доказательства).
So 7
7 —гоо
Рис. 310
587
Резюме
Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют
собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для
удобства пользования перечислим эти свойства.
1. Линейность: с, • ДД) + с2 • /2(0 == <4 F (р) + с2 • F2(p).
2. Подобие: f(Xt) = j • A > 0.
3. Смещение: eat f(t) = F(p — a).
4. Запаздывание: f(t — r) = e-₽T • F(p),r > 0.
5. Дифференцирование оригинала:
/'(*) = p-f(p)-/(o),
Z"(t) Ф p2 F(p)-p •/(0) -/'(0),
Д) = p3 - F(p) - p2 /(0) - p • /'(0) - Г (0),
6. Дифференцирование изображения
F'(p) = -t.J(i),
F"(p) = (-1)2 Л2 /(*),
7. Интегрирование оригинала: f f(r')dr =
J p
0
8. Интегрирование изображения: f F{p)dp =
p
9. Умножение изображений: Fj(p) F2(p) = / /i(r) • /2(t - r) dr =
= fi * /2- 0 i
7-Moo
10. Умножение оригиналов: /i(f)-/2(f) = / Fi(z)-F2(p— z)dz.
78.3. Таблица оригиналов и изображений
Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие ме-
жду некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и
их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изобра-
жений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение
и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному
исчислению» (авторы В. А.Диткин и П. И. Кузнецов).
588
Таблица оригиналов и изображений
№ Оригинал Изображение
/(0 F(P)= f f(t)e~ptdt 0
1 1 1
p
2 eat 1
p — a
3 t 1
?
4 sin cut (a)
p2 + cu2
5 cos cut
p +CJ
6 shcut (a)
2 2 P —(a)
7 ch cut
p2-cu2
8 eat • sin cut (a)
(p — a) + cu
9 eat cos cut p — a
10 eat shwt (p ~ ab + w
(p — a) - cu1
11 eat - ch cut P-a
(p — a) — cu2
12 tn (n — целое) n! p^
13 eat • tn n\
(p-«)n+1
14 t sin cut 2cup
15 t cos cut (p2 + cu2)2 P2 ~ „
(P + w2)
16 t shu^ 2wp
(p2 - w2)2
17 t ch cut p2 +cu2
/ 2 2\2
18 eat - t sin cut (p -^ ) 2cu(p — a)
((p-a)2+u2)2
19 eat t - cos cut (p — a)2 — cu2
((p- «)2 +w2)2
20 (sin cut — cut cos cut) 2(a) 1
(p2+cu2)2
21 -ly (cut ch cut - sh cut) 2(a) 1
(p2-^)2
589
№ Оригинал /(*) Изображение ОО F{p) = ! f(t)e~pt dt 0
22 23 sin(wi ± <р) соз(л£ ± ср) ш cos <р ± р sin <р 2 , 2 р + Л р cos у> Т sin <р 2 1 2 р + W
§79. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
79.1. Теоремы разложения
Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, по-
зволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствую-
щий ему оригинал f(t).
Теорема 79.1. Если функция F(pi) в окрестности точки р = оо может
быть представлена в виде ряда Лорана
т-т/ А _ с” __ С0 . С1 . С2
F(j>) — / , " „ . ! —-1 2 3 ’
р”+1 р р2 р3
то функция
f(t) = ^2 сп — = Со + Cif + • • (t > 0)
n=0
является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.
оо оо ,п
п=оР п=0 '
Примем эту теорему без доказательства.
Пример 79.1. Найти оригинал /(£), если
F(P) = Psini; Г(Р) = -1Л_.
Q Решение: Имеем
. 1 1 1 Z1 11 11
F(p) = - • Sin - = --— -^7 + Л7 ~Л
р р р\р 3! р3 5! р5
1
Р2
1 JL 11
3! j? + 5!/
590
Следовательно, на основании теоремы 79.1 f(t) = t —
if _i_ if
3! 3! + 5! 5!
t > 0.
Запишем лорановское разложение функции F(p)
окрестности точки р = оо:
Р
р2 + 1
в
Ир) = —- = --------------= --------------=
р2 + 1 р^(1 + ^ р
_ 1Л _ ! £ _ \ _ i _ £ £ _
I 1 о Н- 4 • • • I Т к • • • ,
Р \ Р Р / Р Р Р
। -j ) f ,4
где £ < 1, т. е. |р| > 1. Следовательно, f(t) — 1 — — ..., т. е.
/(f) = cos С t > 0. •
Теорема 79.2. Если F(p) = — правильная рациональная
дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули)
Р1,р2,. . ,рп, то функция
является оригиналом, имеющим изображение F(p).
(79.1)
Q Отметим, что дробь должна быть правильной (степень мно-
гочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)): в противном случае
не выполняется необходимый признак существования изображения
Л(р)
lim F(p) = 0 (и. 78.1), т. е. F(p) = не может быть изображением.
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:
= = + + + ’ (79.2)
В(р) р-Pl Р-Р2 Р~Рп
где Ct (fc = 1,2,..., и) — неопределенные коэффициенты. Для опре-
деления коэффициента Cj этого разложения умножим обе части этого
равенства почленно на р — pi:
Д(р) < \ , / V с2 с3 с„ \
(р - рД = С1 + (р - Р1Д ( -+-----+ ... +------- •
В(р) \p-P2 Р-Рз P-PnJ
Переходя в этом равенстве к пределу при р —> Pi, получаем
0‘
0
i(p)
г ^(р) г \
С1 = 11т ’ (р “ Pi) =
В(р)
Л(Р1)
Д™ B(p)-B(pi) B'tpiY
Р-Р1
591
Итак с, —
Итак, С1 -
Аналогичным путем (умножая обе части равенства
^4 fp )
(79.2) на р —р^ найдем с, = , i = 2,... ,п.
Подставляя найденные значения Ci, С2,
.,с„ в равенство (79.2),
получим
Л(р) = ^(Pi) _ 1 ^(Рг) 1 А(рп)
В(р) B'tpr) p-pi В'(р2) р~р2 ” В'(рп)
1
Р~Рп
Так как по формуле (78.3)
= eP1* = eP2t .. = ePnt
Р ~ Pl ' Р - Р2 ’ ’ ” ’ Р~Рп '
то на основании свойства линейности имеем
w ад £^B'(pfe) p~Pk • ^B\Pk)
•ер“ = Ж
Замечание. Легко заметить, что коэффициенты ск (А: = 1,2,..., п)
определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых по-
люсах (формула (77.4)): ск =
Можно показать, что если F(p) = — правильная дробь,
но корни (нули) р1,р2,---,Рп знаменателя В(р) имеют кратности
mi,m2,. ,тп соответственно, то в этом случае оригинал изображе-
ния F(p) определяется формулой
" 1 /АМ \(тк
f(t) = Е 7-------п7 lim 77ГТе₽< • & - Pfc)mk
" (тк — 1)! р-+Рк \ В(р) J
(79.3)
Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема 79.3. Если изображение F(p) = является дробно-
рациональной функцией от р и Р1,р2, ,рп — простые или кратные
полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображе-
нию F(p), определяется формулой
F^ = ад ф Е ’gPU) = /(*)• (79-4)
592
79.2. Формула Римана-Меллина
(79.5)
Общий способ определения оригинала по изображению дает
обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-
Меллина), имеющее вид
74-гоо
/(i) = — [ F(p) ept dt,
2ти J
y—ioQ
где интеграл берется вдоль любой прямой Rep = 7 > So.
При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по фор-
7+100 п
муле f(t) = — f F(P) 'еР* dt= X Res(F(p) -ept;pk).
y — ioo
|@j Замечание. На практике отыскание функции-оригинала обычно
проводят по следующему плану: прежде всего следует по табли-
це оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изо-
бражения F(p') соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в
том, что функцию F(р) стараются представить в виде суммы простей-
ших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности,
найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство
умножения изображений, формулу обращения и т.д.
о—З
Пример 79.2. Найти оригинал по его изображению Е(р) = -*2~^-|.
Q Решение: Проще всего поступить так:
F(p) = РЛ1 = ________=
W р2 + 4 р2 + 4 р2 + 4
Р 3 2 3 .
= —5---+------- + — cos 2t------sm 2t — f(t)
p2 + 22 2 p2 + 22 2 v 7
(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).
Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:
А(р) — р — 3, В(р) = р2 + 4, В'(р) = 2р, корни знаменателя рх = 2г и
Р2 = —2г и, согласно формуле (79.1),
= — (2г (cos 2t + i sin 2t + cos 2t — i sin 2t)~
4г
— 3(cos 2t + i sin 2t — cos 2t + i sin 2Z)) =
1 3
= — (4icos2t — 6г sin2t) = cos 2t — - sin2t = f(t). •
593
Пример 79.3. Найти функцию-оригинал, если ее изображение
задано как F(p) = .
Р (Р~ 1)
Q Решение: Здесь Л(р) = 1, В(р) = р3(р—1ф В'(р) = 4р3—Зр2,pi = 1 —
простой корень знаменателя, Рг = 0 — 3-кратный корень (т ~ 3).
Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:
1
4-3
е1'4 + lim ( - 1 -^ept (р - 0)3>) =
2! р-+о \р3(р — 1) /
1 / ept \ "
= е4 + - lim (-------- ) = ... = е4
2 р-^о \р — 1 у
2
2
- 1,
.2
т. е. f(t) = е4 - Ку - t - 1.
it
Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь ~з^—
на сумму простейших дробей: F(p) = = + •
.2
Следовательно, f(t) = — 1 — t — + е.
Приведем третий способ нахождения f(t). Представим F(p) как
произведение - л ---- = X • —L и так как X = 4г и —Х_ = е4, то,
p(p-l) Р Р~1 Р ' 2 Р-1 ’
пользуясь свойством умножения изображений, имеем:
г 1
^(Р) = / Г2е4-^т =
о
dv = е4 r dr
du — 2т dr
v = —el~r
и = г
1 t-T 2 1 п f t~T J [ u = r du = dr
= T +n ‘2 ’ Те* dr = , t~T л t-T -
2 Io 2 J dv = e1 T dr v = -e
о
= -^t2 + 0 + (-T-er'T)f-if2 - t + 0 - 1 +e4 =
2, Io Io 2 о
= e4 - - - t - ! = /(t).
§80. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ
Пусть требуется найти частное решение линейного дифференци-
ального уравнения с постоянными коэффициентами
у(п) + О12/(»-1) + ... + йпУ = f(t), (80.1)
594
удовлетворяющее начальным условиям
2/(0)= со, г/'(0) = сг, г/”-1)(0) = c„_i,
где со, ci,..сп_! — заданные числа.
Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматри-
ваемыми производными и функция /(/) являются оригиналами.
Пусть y(t) =Y(p) = Y и /(/) == F(p) = F. Пользуясь свойствами
дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении
(80.1) от оригиналов к изображениям:
(р”У-р”“1с0-р”^2с1 -.. .-с„^1) + а1(р”-1У-р”-2с0-.. .-сп-2) + -
... + an-1(pY - Со) + anY = F.
Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в
изображениях). Разрешим его относительно У:
У(р" + flip”-1 + ... + а„_!р + ап) = F + с0(р’1”1 + «ip"-2 + ... + a„-i)+
+ Cl (р” 2 + И1Р" 3 + • + йп-г) + + Cn-i,
т. e. У(p)-Qn(p) = F(p)+fl„_i(p), где Q„(p) и fln_i(p) — алгебраические
многочлены от p степени n и n — 1 соответственно.
Из последнего уравнения находим
У(р) = (80.2)
Qn(p)
Полученное равенство называют операторным решением диффе-
ренциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все
начальные условия равны нулю, т. е. р(0) = у'(0) = ... = у^п~1\0) = 0.
В этом случае У (р) = .
Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению
(80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение
дифференциального уравнения (80.1).
Замечание. Полученное решение y(t) во многих случаях оказыва-
ется справедливым при всех значениях t (а не только при 1^0).
Пример 80.1. Решить операционным методом дифференциаль-
ное уравнение у" — Зу' + 2у = 12e3i при условиях р(0) = 2,р'(0) = 6.
О Решение: Пусть р(1) = У(р) = У. Тогда
р'(1) = рУ - р(0) = рУ - 2,
y"(t) Ф Р2у - РР(О) - у' (0) = р2У - 2р - б,
595
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем
операторное уравнение: р2У — 2р — 6 — 3(рУ — 2) + 2У = 12 -jo- Отсю-
да У (р) = —^2)(р'— з)' Находим y(t). Можно разбить дробь на
сумму простейших (У (р) = 2 + р^~3 ) ’ Н° Так КаК КОРНИ зпа“
менателя (р> = 1, рг = 2, рз = 3) простые, то удобно воспользоваться
второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой
А(р) = 2р2 — 6р + 12,
В'(р) = (р - 2)(р - 3) + (р - 1)(р - 3) + (р - 1)(р - 2).
Получаем:
8
М = ______________е14 +____-___е2'4 + — e3t = 4е* - 8e2t + 6e3t •
yW (-1)-(-2) l-(-l) 2 1 + ’
Пример 80.2. Найти решение урав-
нения
у" + 4р = 3 _ (>
О,
если 0 t < 2,
если 2 t < 3,
если t < 0, t 3
Рис. 311
при условии р(0) = 0, р'(0) = 0.
Q Решение: График данной функции имеет вид, изображенный на ри-
сунке 311. С помощью единичной функции правую часть данного диф-
ференциального уравнения можно записать одним аналитическим вы-
ражением:
/(0 = ft • 1(f) - ft • l(t - 2) + (3 - t) • l(t - 2) - (3 - t)l(t - 3) =
= ft • 1(f) - f (t - 2 + 2) • l(t - 2) - (t - 2 - 1) - l(t - 2)' + (t - 3) • l(t - 3) =
= f * • 1(0 - f (* - 2) l(t - 2) - l(t - 2) - (t - 2) • l(t - 2)+
1 3
+ l(t-2) + (t-3)-l(t-3) = -t-l(f)--(t-2)-l(t-2) + a-3)-l(t-3).
Таким образом, имеем
У" + 4р = ~t • 1(f) - |(t - 2) l(t - 2) + (t - 3) l(t - 3).
Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет
вид 1141 1
P^ + 4y=fl-|le^ + le-4
596
Отсюда
( 2 р2(р2 + 4) 2 р2(р2+4) р2(р2 + 4)
Так как
1 1(1 1 \ 1/1 1 2 \ 1 / 1 оД
р2(р2+4) ” Цр2 -?Т4У - 4^~2’7Т¥У T4V_2SinV
то по теореме запаздывания находим:
2/(0 = - sin2*
О \ Z
3 { 1 \
- (t - 2 - - sin2(* — 2) 11(* — 2) +
8 \ 2 J
+ f t — 3 — ~ sin2(i - 3)) 1
Аналогично применяется операционный метод для решения систем
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами.
Покажем это на конкретном примере.
Пример 80.3. Решить систему дифференциальных уравнений
= У~ z,
= х + у,
= X + Z-,
а:(0) = 1, г/(0) = 2, г(0) = 3.
Q Решение: Пусть
х - x(f) = Х(р) = X; у =y(t) = Y(jj) = Y; z = z(f) = Z(p) = Z.
Находим, что
x' ф pX — 1; y' = pY — 2; z' = pZ — 3.
Система операторных уравнений принимает вид
'pX - Y + Z = 1,
< X -(р- 1)У = —2,
X + (l-p)Z = -3.
Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:
х(р) = -уЦу’
р(р - 1)
у(р) = ^2,
р(р- 1)
Зр2 - 2р - 2
597
Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:
ЭД = =
р{р -1)
= 2Р - 2 - Р = 2(Р~ _ Р 2 _ 1 2 _ et = x/tA
р(р - 1) р(р -1) р(р -1) р р - 1
Y(n) - ^-~-Р.~.2 - - - н_-__________- —2 + 4ez - te* - y(t)
У{Р)- р(р-1)2 ~ Р + Р~1 (р-1)2^ + У()’
Z(p) = - = ~- + “А- - 7-^72 ~2 + 5ez - tef = z(t).
р(р- I)2 Р Р - 1 (р- I)2
Ответ: x(t) = 2 — е‘, y(t) = — 2 + 4ez — tel, z(t) = —2 + 5ez — te*. *
С помощью операционного исчисления можно также находить ре-
шения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэф-
фициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных
разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов;
вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значи-
тельно упрощается.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Правила дифференцирования
1. (и ± v)' = и' ±
2. (и u)' = u'v + uv', в частности, (си)' = с и';
3. (uV = u'v-uv' в частности (eV = _а/
\vj V \v) V
4. Ух = у'и • и'х, если У = f(u^ и = v(x)’
5- У'х = jr, если у = /(ж) и х = </?(«/).
Формулы дифференцирования
1. (с)' = 0;
2. {иау = а - иа 1 и', в частности, (у/й)' = и';
U
3. (аи)' = а“ • Ina • и', в частности, (еи)' = е“ и';
4. (log„ и)' = —т— • и', в частности, (In и)' = 1 и':
5. (sinu)' = cos и • и';
6. (cos и)' = — sin и и';
7. (tgu)' = —• и';
v 7 cos2 и
8. (ctgu)' =----’ и''>
sm2 и
9. (arcsin и)' = , • и';
V л/1-и2
10. (arccosu)' =----. 1 — • и';
У1 - и2
11. (arctgu)' = и1-,
12. (arcctgu)' = - и';
13. (shu)' = ch и • и';
14. (ch и)' = sh и • и';
15. (thи)' = ’ и'\
v ' ch2 и
16. (cthu)' =------i— • и'.
v ' sh2 и
599
Таблица основных интегралов
1. J иа du = 1 + С (а ф — 1) (у du = и + С^;
2. у ^=ln|u|+C;
3. у аи du = +С;
4. у е“ du = еи + С',
5. у sin и du = — cos и + С (/ sh и du = ch и + C j;
6. у cos и du = sin и + С (/ ch и du = sh и + Су
7. у tgudu = — In | cosw| + С; 8. у ctg и du = In | sin w| + C; a f du — _l c (/ —=thw + (?y ch2 и /
J cos2w 6 1
If) f du rt„,. 4- Г (/ = — cthw+ C sh и
10- J sin2M~ ctgrz 1 C
и. f A =lnitgui + c J sin и । 6 2 1 12. f A = in|tg^ + ^Y + C; J cos и 1 \2 4/1 ’ 13 f du — arcsin u 4- C-
J у/a2 — u2 a
14. I - a^- = In )u + у/и2 + а2| + С; J у/и2 + a2
1 5 f ,, du _ 1 ягг+р. и , p.
J a + ir a a
16 ( du 1 In 1a +u 1 -i- C-
6 J a2 — и2 ~ 2a П|а —m| 1 C’
17. [ у/а2 — и2 du = Ц у/а2 — и2 + arcsin — 4- С;
J A CL
18. У у/и2 ± a2 du = • у/и2 ± а2 ± In |u + у/и2 ± а2| + С.
600
Таблица разложений в ряд Маклорена некоторых элементарных
функций
si„I = X-^ + ^ + + ^(-00,00),
cos» = i-^- +J - " + хе(-~;оо),
. .„ , а а(а - 1) , а(а - 1)... (а - п + 1) п
(i+^)“ = i+^+^H^+ -•+-—------хп+.
х G (-1; 1],
если а О,
если — 1 < а < О,
если а $ —1,
-----= 1+х + х2ч-------+х» + _ xG(-l;l),
1 — х
X1 2 х3 * xn+1
ln(l + x) =х-e (-1;1],
£ ij TL । A-
T3 5 2n+l
1 x3 1 • 3 x5 1 • 3 - 5 x7
arcS1n™ + _.y + — .y + FZ7g.y
1 - 3 • 5... (2n - 1) x2n+l
~ 2-4-6...(2n) ' 2n + 1 + ‘ ‘ ‘ ’
L x3 x5 x2n+l
Shl = l+3! + S!+-'+(2^nji+-"
X G [-1; 1],
x G (—oo; oo),
x G (—oo; oo).
601
Таблица оригиналов и изображений
№ Оригинал № Изображение OO F{P) = f f{t)e~ptdt 5 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 eat t sin ut cos ut sh ut ch wt eat sin wi eat cos ut eat shwt eat chwt tn (n — целое) eat tn t sin ut t cos ut t shut t chut eat - t sin ut eat t cos ut (sin ut — ut cos ut) Zed -ig- {ut ch ut — sh ut) 1 p 1 p — a 1 ? 2 । 2 p + u „ p p + w и p2-u2 , p p2-u2 (p - a)2 + p—a (p - + u2 (p — a)2 — p — a (p — a)'2 — u^ n! p^ n! (p-a)n+1 2up p — CJ {p2+u2)2 2up p2+u2 (p2-u2)2 2u(p — a) ((P - a)'2 + u2)2 (p - a)2 - u2 ((p - a)2 + u2)2 1 (P2+^)2 (P2 - w2)2
602
№ Оригинал /(0 Изображение OO F(p) = f f{t)e~ptdt 0
22 23 sin(wi ± <р) cos(wt ± <p) Cd COS tp ± p sin tp p2 + CJ2 p cos tp^cj sin <p 2 । 2 P -hid
По вопросам оптовых закупок обращаться:
тел./факс: (495) 785-15-30, e-mail: trade@airis.ru
Адрес: Москва, пр. Мира, 104
Наш сайт: www.airis.ru
Вы можете приобрести наши книги с 1100 до 1730,
кроме субботы, воскресенья, в киоске по адресу:
пр-т Мира, д. 104, 3 этаж, тел. (495) 785-15-30
Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66
Издательство «АИРИС-пресс» приглашает к сотрудничеству
авторов образовательной и развивающей литературы.
По всем вопросам обращаться
потел.: (495) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru
Учебное издание
Письменный Дмитрий Трофимович
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Полный курс
Ведущий редактор В. В. Мелентьева
Редакторы Л. В. Абламская, В В. Черноруцкий
Художественный редактор, оформление А. М. Драговой
Иллюстрации Е. В. Панкратьев, А. Ю. Терская
Технический редактор С. С. Коломеец
Компьютерная верстка Е Г Иванов
Корректоры Н С. Калашникова, 3. А. Тихонова
Подписано в печать 30.09.2009 Бумага офсетная. Формат 60x90’Лб-
Гарнитура «Компьютер Модерн». Печать офсетная Печ. л. 38.
Усл.-печ. л. 38. Тираж 10 000 экз. Заказ № 4991.
ООО «Издательство «АЙРИС-пресс»
129626, г. Москва, пр-т Мира, д. 104.
ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени
полиграфкомбинат детской литературы им 50-летия СССР»
17004Q, г Тверь, пр 50 лет Октября, 46
£
Д. Т. Письменный - автор известного
пособия «Готовимся к экзамену
по математике» серии «Домашний репетитор».
Это пособие использовали при подготовке
к экзаменам более полумиллиона
школьников и абитуриентов.
АЙРИС ПРЕСС
Книга содержит необходимый
материал по всем разделам курса
высшей математики, который
сопровождается рассмотрением
большого количества
примеров и задач.
Доступный, но строгий с научной
точки зрения язык изложения
позволяет эффективно подготовиться
к сдаче зачетов и экзаменов
по математическим дисциплинам.