/
Автор: Петрашень М.И. Трифонов Е.Д.
Теги: математика физика механика квантовая механика теория групп
Год: 1967
Текст
М. И. ПЕТРАШЕНЬ, F. Д. ТРИФОНОВ
ПРИМЕНЕНИЕ
ТЕОРИИ ГРУПП
В КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1967
517.1
П ЗЭ
УДК 519.4:530.145
Применение теории групп в квантовой ме-
механике. Петрашень М. И., Т р и ф о-
нов Е. Д.
Книга знакомит читателя с основами теории конечных и непре-
непрерывных групп и приложениями теории представлений групп к за-
задачам квантовой механики.
Рассмотренные приложения относятся к таким разделам кван-
квантовой механики, как теория атома, квантовая химия, теория твер-
твердого тела и релятивистская квантовая механика.
В книгу включен ряд вопросов, которые либо не рассматри-
рассматриваются в других монографиях, либо излагаются там недостаточно
подробно. Это относится прежде всего к исследованию симметрии
шредингеровской волновой функции, к объяснению «дополнитель-
«дополнительного» вырождения в кулоновском поле и к некоторым вопросам
теории твердого тела
Книга рассчитана в первую очередь на студентов физических
факультетов. Она будет также полезна научным работникам — физи-
физикам и химикам, желающим научиться использовать методы теории
групп в своих исследованиях. Страниц 308. Таблиц 33. Иллюстра-
Иллюстраций 23.
Мария Ивановна Петрашень, Евгений Дмитриевич Трифонов
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
М., 1967 г., 308 стр. с илл.
Редакторы М. Н. Адамов и В. В. Донченко
Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректор 7". С. Плетнева
Сдано в набор 20/1 1967 г. Подписано к печати 27/1V 1967 г. Бумага 84xlO8'/S2'
Физ. печ. л. 9,625. Условп. печ. л. 16,17. Уч.-изд. л. 14,08. Тираж 15 500 экз.
Т-06904. Цена книги 1 р. 09 к. Заказ № 550.
Издательство «Наука*
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В 71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполнграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29.
2-2-3
87-67
Оглавление
Предисловие 7
глава I
Введение 9
1. Свойства симметрии физических систем (9). 2. Определе-
Определение группы A0). 3. Примеры групп, имеющих приложение
в физике A3). 4. Условия инвариантности уравнений движения
A4). Упражнения A6).
ГЛАВА 1Г
Абстрактные группы 17
1. Сдвиг по группе A7). 2. Подгруппа A7). 3. Порядок эле-
элемента A8). 4. Сопряженные совокупности A8). 5. Сопряжен-
Сопряженные этементы и класс B0). 6. Инвариантная подгруппа (нор-
(нормальный делитель) B1). 7. Фактор-группа B2). 8. Изомор-
Изоморфизм и гомоморфизм групп B3). Упражнения B5).
ГЛАВА III
Представления конечных групп 26
1. Определение представления группы B6). 2. Примеры пред-
представлений B7). 3. Представление группы симметрии уравнения
Шредингера, реализующееся на его собственных функциях B9).
4. Существование эквивалентного унитарного представления
C1). 5. Приводимые и^Неприводимые представления группы
C4). 6. Первая лемма Шура C6). 7. Вторая лемма Шура C7).
8. Соотношение ортогональности для матричных элементов
неприводимых представлений C9). 9. Характеры представле-
представлений D2). 10. Регулярное представление D4). 11. Число непри-
неприводимых представлений D5). 12. Вычисление характеров непри-
неприводимых представлений D7). Упражнения D9).
г л а в а IV
Композиция представлений и прямое произведение групп 50
1. Прямое произведение матриц E0). 2. Композиция предста-
представлений группы E2). 3. Прямоз пролзвгдэние групп E5). 4. Не-
Неприводимые представления прямого произведения групп E6).
Упражнения E9). ¦ .
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА V
Тезрема Вигнера 60
1. Симметрия квантовомеханической системы относительно
группы преобразований F0). 2. Симметрия системы частиц,
совершающих малые колебания F3). 3. Теорема Вигиера F8).
ГЛАВА VI
Точечные группы 74
1. Элементы точечных групп G4). 2. Точечные группы и их
неприводимые представления G6). 3. Классификация нормаль-
нормальных колебаний и электронных состояний молекулы (83). Упраж-
Упражнения (86).
ГЛАВА VII
Разложение приводимого представления на неприводимые 87
1. Построение базисов неприводимых представлений (87).
2. Определение симметризованных смещений ядер молекулы
(90). 3. Метод линейной комбинации атомных орбит (96).
Упражнение (98).
ГЛАВА VIII
Пространственные группы и их неприводимые предста-
представления 99
1. Подгруппа трансляций (99). 2. Сингонии A00). 3. Общий
элемент пространственной группы A03). 4. Неприводимые пред-
представления группы трансляции A06). 5. Звезда вектора k A08).
6. Группа вектора k (НО). 7. Непринодимые представления
пространственной группы A11). 8. Неприводимые представле-
представления группы вектора k A12). 9. Пример A13). 10. Неприводимые
представления пространственной группы, содержащей несобст-
несобственные трансляции A15). Упражнения A18).
ГЛАВА IX
Классификация колебательных и электронных состояний
кристалла 119
1. Классификация нормальных колебаний A19). 2. Классифика-
Классификация электронных состояний кристалла A25). 3. Одноэлектрон-
ное приближение A26). Упражнение A30).
глава х
Непрерывные группы 131
1. Непрерывные группы линейных преобразований A31). 2. Об-
Общие свойства групп Ли A32). 3. Инфинитезимальные преобра-
преобразования и законы сохранения A36). 4. Группа двумерных вра-
вращений О+B) A38). 5. Группа трехмерных вращений О+C)
A38). Упражнения A40).
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
ГЛАВ А XI
Неприводимые представления группы трехмерных вра-
вращений '41
1 Ипфинитезимальные матрицы представлений группы О + C)
(J41). 2. Неприводимые представления группы О+C) A44).
3. Двузначные представления A48). 4. Разложение любого
представления группы О+C) на неприводимые A50). 5. Не-
Неприводимые представления ортогональной группы О C) A51).
ГЛАВА XII
Свойства неприводимых представлений группы вращений 153
1. Сферические функции как базис неприводимого представ-
представления A53). 2. Композиция неприводимых представлений груп-
группы О+C) A56). 3. Тензорные и спинорные представления
группы вращений A61). 4. Комплексно сопряженные пред-
представления A64). Упражнения A66).
ГЛАВА XIII
Некоторые приложения теории представлений группы вра-
вращений к квантовомеханическим задачам 167
1. Частица в центральном поле. Орбитальный момент количе-
количества движения A67). 2. Правило сложения моментов количества
движения A70). 3. Спин A71). 4. Теорема Крамерса A75).
ГЛАВА XIV
Дополнительное вырождение в сферически симметричном
поле 180
1. Дополнительное вырождение A80). 2. Связь с классической
механикой A82). 3. Группа симметрии атома водорода
A83). 4. Группа симметрии изотропного осциллятора A86).
ГЛАВА XV
Группа перестановок 191
1. Кнантовомеханическое описание системы тождественных
частиц A91). 2. Группа перестановок п символов A93). 3. Не-
Неприводимые представления грушш Sn A94). Упражнения B02).
ГЛАВА XVI *
Симметризованиые степени представлений 203
1. Векторы и тензоры в л-мерном пространстве B03). 2. Мат-
Матрицы перестановок тензорных значков B04). 3. Связь между
представлениями группы Sn и группы G в тензорном про-
пространстве B05). 4. Характеры симметризованной степени
представления B07). Упражнения B09).
ГЛАВА XVII
Свойства симметрии многоэлектронных волновых функций 210
1. Постановка задачи B10). 2. Свойства симметрии спиновой
волновой функции B11). 3. Связь между симметрией спиновой
и координатной волионых функций B16). 4. Свойства симмет-
симметрии координатной волновой функции B18). Упражнения B21).
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
I Л А В Л XVIII
Свойства симметрии волновых функций системы тождест-
тождественных частиц с произвольными спинами 222
1. Постановка задачи B22). 2. Теорема Фробениуса B24).
3. s-тензоры B27). 4. Статистический вес энергетического
уровня B28). 5. Собственные значения оператора полного
спина B29). Упражнения B31).
ГЛАВА XIX
Классификация состояний многоэлектронного атома . . . 232
1. Конфигурация B32). 2. Термы B34). 3. Соответствие между
конфигурацией и термами B36). 4. Спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие B38).
ГЛАВА XX
Применение теории групп в задачах, связанных с теорией
возмущений 241
1. Расщепление уровней энергии под влиянием возмущения
B41). 2. Правильные функции нулевого приближения B44).
3. Атом в однородных магнитном и электрическом полях B45).
4. Атом в кристаллическом поле B49).
ГЛАВА XXI
Правила отбора 254
1. Общая формулировка правил отбора B54). 2. Правила
отбора для поглощения и излучения света B56). 3. Правила
отбора для комбинационного рассеяния света молекулами B58).
4. Матричные элементы, построенные на функциях одного
базиса B61). 5. Теорема Яна—Теллера B66). Упражнения
B69).
ГЛАВА ХХП
Группа Лоренца и ее неприводимые представления .... 270
1. Общая группа Лоренца B70). 2. Связь группы Лоренца
с группой четырехмерных вращений B73). 3. Перестановоч-
Перестановочные соотношения для инфинитезимальных матриц B75). 4. Не-
Неприводимые представления B77). 5. Прямое произведение
неприводимых представлений группы Лоренца B79). Упраж-
Упражнения B81).
глава ххш
Уравнение Дирака 282
1. Релятивистски инвариантные уравнения B82). 2. Уравне-
Уравнение Дирака B85). 3. Комплексно сопряженный биспинор
Дирака B87). 4. Инвариантная квадратичная форма B90).
Приложение. Указания к решению задач 292
Приложение к главе VII 304
Список литературы, указанной в предисловии 308
Предисловие
Эта книга написана на основе курса лекций по примене-
применению методов теории групп к задачам квантовой механики,
который читался авторами на физическом факультете Ленин-
Ленинградского университета студентам-теоретикам IV курса.
После известного периода недоверия к теории групп как
средству исследования физических систем эта математическая
теория завоевала всеобщее признание физиков. Аппарат тео-
теории групп в настоящее время широко используется в таких
разделах квантовой физики, как теория атома, теория твер-
твердого тела, квантовая химия и др. Достижения последних лет
в теории элементарных частиц, связанные с применением
теории групп, значительно повысили интерес к возможности
использования теоретико-групповых методов исследования и
еще раз показали важность и естественность применения их
в квантовой теории.
Вопросам применения теории групп в физике посвящено
довольно большое число учебников и монографий. Наиболь-
Наибольшую известность у нас получили книги^) Вигнера [1], Ван
дер Вардена [2], Вей ля [3],\ Л ю бар с к о г о [4] и
Хейне [5]. Очень ценными являются изложения теории
групп для физиков, написанные математиками; в первую оче-
очередь следует отметить главу по теории групп в курсе высшей
математики акад. В. И. Смирнова. Превосходное изложение
теории представлений группы вращений и группы Лоренца
имеется в книге И. М. Г ель фан да, Р. А. Мин л оса,
3. Я. Шапиро [6]. Весьма полезными являются моногра-
монографии Мурнагана [7] и Бёрнера [8]. По приложениям
теории групп к физике можно также отметить книги Ло-
монта [9], Хамермеша [10] и Макуини [11].
') Список этих книг см. на стр. 308.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Область применения в физике методов теории групп не-
непрерывно расширяется, поэтому в настоящее время вряд ли
возможно написать монографию, охватывающую все эти при-
применения. По-видимому, более целесообразно включать соот-
соответствующие приложения теории групп в монографии или
учебники, посвященные специальным физическим проблемам,
как это, например, сделано в курсе теоретической физики
Ландау и Лифшица. Можно ожидать, что со временем такая
тенденция будет только усиливаться.
В то же время физику-теоретику полезно иметь общие
представления об основных идеях и методах теории групп,
применяемых в физике. Мы стремились к тому, чтобы наш
курс способствовал этому. Кроме того, мы сочли целесооб-
целесообразным включить в книгу ряд вопросов, которые не рассмат-
рассматриваются в известных нам монографиях или излагаются там
недостаточно подробно. Это в первую очередь относится к
исследованию симметрии шредингеровской волновой функции,
к объяснению «дополнительного» вырождения в кулоновском
поле и к некоторым вопросам теории твердого тела.
В нашем курсе мы ограничили область приложений тео-
теории групп задачами квантовой механики. Таким образом, эту
книгу можно рассматривать как первую часть более широ-
широкого курса, вторая часть которого должна быть посвящена
применению теоретико-групповых методов в теории кванто-
квантованных полей. Мы заканчиваем эту книгу изложением смеж-
смежных вопросов, касающихся условий релятивистской инвари-
инвариантности в квантовой теории.
Авторы выражают глубокую благодарность М. Н. Адамову,
прочитавшему рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний,
А. Г. Жиличу и И. Б. Левинсону, просмотревшим отдель-
отдельные главы. При подготовке рукописи к печати мы восполь-
воспользовались любезной помощью А. А. Киселева, Б. Я. Фрезин-
ского, Р. А. Эварестова, А. А. Березина и Г. А. Натанзона.
Глава I
Введение
В первой главе мы постараемся, насколько это воз-
возможно в начале книги, показать естественность и целесооб-
целесообразность применения теории групп к решению физиче-
физических задач. Мы надеемся, что это поможет читателю,
интересующемуся в основном приложениями теории групп
к физике, усвоить некоторые общие сведения об абстракт-
абстрактных группах, необходимые для приложений.
1. Свойства симметрии физических систем
При исследовании различных физических систем часто
удается представить обнаруженные свойства и закономерности
в форме законов симметрии. Эти законы выражаются в ин-
инвариантности (независимости вида) уравнений движения рас-
рассматриваемой физической системы относительно некоторых
определенных преобразований. Если, например, уравнения
движения инвариантны относительно ортогональных преобра-
преобразований декартовых координат в трехмерном пространстве,
то можно сказать, что в данном случае симметрия прояв-
проявляется в эквивалентности определенным образои^ориентиро-
ваиных друг относительно друга систем отсчета при описании
движения соответствующей физической системы. Эквивалент-
Эквивалентными системами отсчета принято называть такие системы,
в которых тождественные явления протекают одинаковым
образом, если для них созданы одинаковые начальные усло-
условия. Наоборот, если в физической теории постулируется
эквивалентность некоторых систем отсчета, то уравнения дви-
движения должны быть инвариантны относительно преобразо-
преобразований, связывающих координаты в этих системах. Так, на-
например, постулат теории относительности об эквивалентности
систем отсчета, движущихся друг относительно друга равно-
¦ мерно и прямолинейно, выражается в инвариантности урав-
уравнений движения относительно преобразований Лоренца. Класс
эквивалентных систем отсчета для данной задачи часто опреде-
определяется из наглядных геометрических соображений, относящихся
10 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
к модели рассматриваемой физической системы, как это имеет
место для симметричных молекул, кристаллов и т. д.
Однако не всегда преобразования, относительно которых
инвариантны уравнения движения, можно интерпретировать
как преобразования перехода к новой системе отсчета. Сим-
Симметрия физической системы может не обладать геометриче-
геометрической наглядностью. Например, как было показано В. А. Фо-
Фоком, уравнение Шредингера для атома водорода инвариантно
относительно вращений в четырехмерном пространстве, свя-
связанном с пространством импульсов.
Свойства симметрии физической системы являются об-
общими и очень существенными ее характеристиками. Общность
этих свойств обычно обусловливает их стабильность в про-
процессе уточнения наших знаний о данной физической системе.
Не следует, однако, их абсолютизировать. Как и любое опи-
описание физической системы, они являются приближенными.
Приближенность одних свойств симметрии связана с уровнем
наших знаний, другие свойства симметрии являются след-
следствием сознательного упрощения модели физической системы,
облегчающего решение задачи.
Итак, под симметрией системы мы всегда будем понимать
инвариантность ее уравнений движения относительно некото-
некоторой совокупности преобразований. Всегда имеет место сле-
следующее важное свойство: если уравнение инвариантно отно-
относительно преобразований Л и Б, то оно инвариантно также
относительно преобразования С, представляющего результат
последовательного применения преобразований А и В. Пре-
Преобразование С принято называть произведением преобразова-
преобразований А и В. Таким образом, совокупность преобразований
симметрии данной физической системы замкнута относительно
определенной нами операции умножения. Такую совокупность
преобразований называют группой преобразований симметрии
рассматриваемой физической системы.
Дадим строгое определение группы.
2. Определение группы
Группой О называют совокупность объектов или опе-
операций (элементов группы), обладающих следующими свой-
свойствами.
1. Для этой совокупности определен закон «умножения»,
т. е. закон, по которому любым двум элементам А и В со-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ И
вокупности G, взятым в определенном порядке, единственным
образом сопоставляется некоторый элемент С этой совокуп-
совокупности, называемый произведением элементов А и В; С —-- АВ.
2. Это умножение должно обладать свойством ассоциа-
ассоциативности, т. е. должно выполняться равенство (AB)D —
^AiBD) для любых элементов А, В и D совокупности.
Переместительным свойством это умножение может не обла-
обладать; в общем случае АВ Ф В А. Те группы, в которых
умножение обладает переместительным свойством, называются
абелевыми группами.
3. Среди элементов совокупности имеется единичный эле-
элемент, т. е. такой элемент Е, что равенство
АЕ --^ЕА = А
имеет место для любого элемента А совокупности.
4. Наряду с элементом А в совокупности G всегда имеется
элемент F такой, что
Этот элемент F называется обратным по отношению к эле-
элементу А и обозначается А~ .
Эти четыре свойства и определяют группу; мы видим,
что она представляет собой совокупность, замкнутую отно-
относительно заданного в ней закона умножения. Из перечислен-
перечисленных свойств вытекают такие следствия:
а) В группе имеется только один единичный элемент.
Если мы предположим, например, что в группе О существует
два единичных элемента Е и Е', то в силу третьего свойства
группы будем иметь
ЕЕ' = Е = Е'Е = Е',
т. е. Е = Е'.
б) Если F — обратный элемент по отношению к А, то эле-
элемент А будет обратным по отношению к F, т. е. если AF — E,
то и FA — Е. Действительно, умножая первое из этих ра-
равенств слева на F, получим
FAF=F.
Для элемента F, как и для всякого элемента совокупно-
совокупности G, в этой совокупности имеется обратный элемент F~l.
Умножая последнее равенство на F~x справа, получаем
Fl = FF-\ т.е. FA^E.
12 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
в) Для каждого элемента из совокупности существует
только один обратный элемент. Допустим, что для элемента А
в G имеется два обратных элемента F и D, т. е. AF — E
и AD — E. Тогда, умножая равенство AF = AD слева
на Л, получаем F = D.
г) Если С — АВ, то С~1 = В~1А~1 в силу ассоциатив-
ассоциативности умножения в группе.
Отметим еще, что если число элементов в группе ко-
конечно, то группа называется конечной, в противном случае —
бесконечной. Число элементов конечной группы называют
порядком группы.
Приведем примеры групп:
1. Совокупность всех целых чисел вместе с нулем обра-
образует бесконечную группу, если в качестве группового умно-
умножения мы возьмем сложение. Единичным элементом в этой
группе будет нуль. Обратным элементом для числа А бу-
будет — А. Эта группа, очевидно, абелева.
2. Совокупность всех рациональных чисел; за исключе-
исключением нуля, образует группу с операцией умножения, совпа-
совпадающей с обычным умножением. Единичным элементом будет
единица. Это также бесконечная абелева группа. Положи-
Положительные рациональные числа сами по себе образуют группу.
Отрицательные рациональные числа группы не образуют.
3. Совокупность векторов «-мерного линейного простран-
пространства образует группу. Групповым умножением является сло-
сложение векторов; единичным элементом будет нулевой вектор,
обратным элементом для вектора а будет вектор — а.
4. Примером неабелевой группы может служить совокуп-
совокупность всех неособых матриц w-го порядка (или соответствую-
соответствующих им линейных преобразований в я-мерном пространстве),
которые образуют так называемую общую линейную группу
GL(n). Очевидно, что элементы этой группы зависят от п2
непрерывно изменяющихся параметров (элементов матриц).
Бесконечные группы, элементы которых зависят от непре-
непрерывно изменяющихся параметров, называются непрерывными
группами. Единичным элементом в группе GL(n) является
единичная матрица; обратным элементам соответствуют об-
обратные матрицы. Операция группового умножения совпадает
с правилом умножения матриц, которое, как известно, свой-
свойством коммутативности не обладает.
3] примеры групп 13
3. Примеры групп, имеющих приложение в физике
Перечислим теперь некоторые группы, которые будут
использованы в приложениях.
1) Группа сдвигов (трансляций) в трехмерном простран-
пространстве: элементами ее являются преобразования переноса начала
координат на произвольный вектор а:
г' = г -\-а.
«
Очевидно, что это трехпараметрическая (три составляющие
вектора а) непрерывная группа.
2) Группа вращений О+ C): ее элементы — преобразова-
преобразования вращения трехмерного пространства или соответствующие
им ортогональные матрицы с определителем, равным единице.
Это также непрерывная трехпараметрическая группа: 9 эле-
элементов ортогональной матрицы преобразования связаны, как
известно, шестью условиями. В качестве независимых пара-
параметров вращения могут быть выбраны, например, углы
{ф, 0, у\>). Полярные углы ф и 0 определяют положение оси
вращения, проходящей через начало координат. Угол ip опре-
определяет поворот относительно этой оси!). Инвариантность
относительно группы О C) выражает свойство изотропности
(т. е. равноправности направлений) трехмерного пространства.
Если к группе вращений добавить операцию инверсии
х' =— х, у'=— у, z'= — z, то получим ортогональную
группу 0C).
3) Группы симметрии молекул, или точечные группы,
состоят из некоторых ортогональных преобразований трех-
трехмерного пространства. Например, группа симметрии моле-
молекулы, имеющей конфигурацию октаэдра, состоит из 48 эле-
элементов: вращений и вращений, сопровождаемых инверсией,
переводящих вершины куба друг в друга.
4. Группы симметрии кристаллов, или пространствен-
пространственные группы, состоят из конечного числа ортогональных пре-
преобразований, из дискретных сдвигов(трансляций)и произведе-
произведений этих преобразований. Строго говоря, такой симметрией
обладает лишь бесконечный кристалл или модель кристалла
с так называемыми циклическими граничными условиями.
') См. упр. 1.1.
14 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
5) Группа перестановок а символов, например коорди-
координат я тождественных частиц. Это конечная группа порядка п\.
6) Группа Лоренца L состоит из преобразований, свя-
связывающих координаты двух систем отсчета, которые дви-
движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно.
Эта группа включает в себя группу вращений Ол C) и за-
зависит от 6 параметров: от трех углов, определяющих взаим-
взаимную ориентацию пространственных осей, и от трех соста-
составляющих скорости относительного движения. Требование
инвариантности уравнений движения относительно группы
Лоренца является следствием постулатов теории относитель-
относительности.
Перечисленные группы, конечно, не исчерпывают всех
групп, которые находят применение в физике. Однако наше
основное внимание в дальнейшем будет уделено именно этим
группам.
4. Условия инвариантности уравнений движения
Выясним теперь условия инвариантности уравнений дви-
движения физической системы относительно преобразований ее
группы симметрии. В классической механике движение си-
системы описывается уравнениями Лагранжа. Поэтому симметрия
физической системы относительно определенной группы пре-
преобразований находит свое выражение в инвариантности урав-
уравнений Лагранжа (и дополнительных условий, если таковые
имеются) относительно этих преобразований. Так как урав-
уравнения движения, записанные через функцию Лагранжа JZ1,
при любом выборе обобщенных координат qi имеют всегда
один и тот же вид:
dt dqt dq.
то их инвариантность будет обеспечена, если этим свойством
будет обладать сама функция Лагранжа. Следует, однако,
заметить, что требование инвариантности функции Лагранжа
является слишком жестким. Мы знаем, что уравнения дви-
движения не изменятся, если функцию Лагранжа умножить на
число или добавить к ней полную производную по времени
от произвольной функции обобщенных координат. На-
Например, свойство симметрии одномерного гармонического
4] УСЛОВИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 15
осциллятора относительно взаимной замены координаты и
импульса (так называемое касательное преобразование в клас-
классической механике) соответствует изменению знака его функ-
функции Лагранжа J? — -^ Р2 — -^ Я2-
В квантовой механике состояние физической системы
описывается волновой функцией ф(х, t), которая является
решением уравнения Шредимгера:
Й t) = lh^{x, t). A.2)
Поэтому симметрия квантовомеханической системы относи-
относительно некоторой группы проявляется как инвариантность
уравнения Шредингера относительно преобразований из этой
группы. Если группа симметрии состоит из преобразований
конфигурационного пространства
х' = их,
то проверка инвариантности уравнения Шредингера осуще-
осуществляется подстановкой
x = u-ix', \!р'(х') = \Ь(и-1х'). A.3)
Если уравнение Шредингера инвариантно относительно пре-
преобразования и, то после подстановки A.3) в A.2) оно
должно сохранить прежний вид. Очевидно, что это будет
выполнено, если эта подстановка не изменит вид гамиль-
топилна Н (х).
Теория групп дает возможность классифицировать состоя-
состояния физической системы на основе только ее свойств сим-
симметрии, без решения самих уравнений движения. В этом и
состоит ценность метода теории групп, так как известно,
что даже приближенное решение уравнений движения часто
оказывается весьма трудоемким. Применяя теоретико-груп-
теоретико-групповые методы, мы можем установить свойства симметрии
точных решений этих уравнений и тем самым получить важ-
важную информацию о физической системе.
Не имея сейчас возможности использовать аппарат теории
групп, мы все-таки попытаемся проиллюстрировать эти сооб-
соображения на примере из классической механики. Мы знаем,
что в классической механике классификация движений дан-
данной системы проводится по значениям интегралов движе-
движения. Покажем, что наличие интегралов движения обусловлено
16 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
симметрией системы относительно групп непрерывных пре-
преобразований. Рассмотрим систему материальных точек, функ-
функция Лагранжа которой инвариантна относительно группы
трансляций в трехмерном пространстве. Это означает, что
приращение функции Лагранжа, обусловленное сдвигом
r>i==r. + a, 6r. = а, A.4)
должно быть равно нулю. Считая а бесконечно малым век-
вектором, мы получаем
«•¦=?#*•.—?#¦-<>• <'-5>
i i
Согласно уравнениям Лагранжа
«=* =-*-*?, A.6)
drt ' dt drt
и, следовательно, в силу произвольности а мы будем иметь
0 A.7)
или
SCL95 V4 „ , ., „.
. = /iPi = r = Const. A'8)
Таким образом, из инвариантности функции Лагранжа отно-
относительно трансляций в трехмерном пространстве следует, что
полный импульс системы есть интеграл движения.
Аналогично можно показать, что из требования инва-
инвариантности относительно трансляций по времени следует, что
энергия системы есть интеграл движения.
Позднее мы докажем, что аналогичные результаты спра-
справедливы и в квантовой теории.
Упражнения
1.1. Доказать, что любое преобразование вращения трехмерного
пространства может быть представлено в виде поворота на опреде-
определенный угол вокруг некоторой оси, проходящей через начало ко-
координат.
1.2. Показать, что из инвариантности функции Лагранжа отно-
относительно группы трехмерных вращений следует, что полный мо-
момент количества движения системы есть интеграл движения.
Глава 11
Абстрактные группы
При исследовании общих свойств группы несущественна
конкретная реализация ее элементов (преобразованиями, ма-
матрицами, перестановками и т. д.). Обозначив элементы группы
некоторыми символами, для которых задан определенный за-
закон умножения, мы получаем так называемую абстрактную
группу. В этой главе мы рассмотрим некоторые свойства
абстрактных групп.
1. Сдвиг по группе
Пусть группа G состоит из т элементов gl, g2 gm.
Умножим справа каждый из элементов группы на один и
тот же элемент gt, или, как говорят, произведем правый
сдвиг по группе. Тогда мы получим последовательность
Покажем, что в этой последовательности каждый элемент
группы встречается один и только один раз. Действительно,
пусть gt — произвольный элемент группы. Очевидно, что
gl = (glgj'l)gl, и, следовательно, элемент g{ содержится
в последовательности B.1). Так как число элементов в нашей
последовательности равно порядку группы, то каждый из
элементов может содержаться в ней только по одному разу.
Таким же свойством обладает последовательность элементов
gigv §ie2 gtgт> B-2)
получаемая с помощью левого сдвига.
2. Подгруппа
Часть элементов группы G, которые сами по себе обра-
образуют группу с тем же законом умножения, называют под-
подгруппой группы G. Оставшаяся часть группы G не может
образовывать группы, так как она не содержит, например,
единичного элемента.
9 М. И Пртпяшрнь Р.. П Tnmhnimn
18 АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. II
3. Порядок элемента
Возьмем произвольный элемент gt группы G и образуем
различные степени этого элемента g[t gj, g3r . . . Так как
мы рассматриваем конечную группу, то члены в этой после-
последовательности обязательно должны повторяться. Пусть, на-
например,
gkt'=--g1'=gr k2>kv
Тогда
g*, = g*ig*,-*, = gtgh-^ = gr
и, следовательно,
g*,-*, = E.
Наименьший показатель степени h, для которого имеет место
равенство
называют порядком элемента gt. Совокупность элементов
g., g'j gkt=E называется периодом или циклом эле-
элемента gj. Очевидно, период элемента образует подгруппу
группы G. Легко видеть, что все элементы этой подгруппы
коммутируют друг с другом, и, следовательно, эта подгруппа
будет абелевой.
Если h—порядок элемента g., то ghi~l=gjl- Поэтому
для конечных групп существование обратных элементов
является следствием трех других групповых свойств.
4. Сопряженные совокупности
Пусть Я—подгруппа группы О с элементами /г,, /г2, ...
..., hm\ т — порядок группы Н. Составим следующую по-
последовательность совокупностей элементов группы G. Сначала
возьмем элементы подгруппы Н, затем выберем из группы G
какой-нибудь элемент gt, не содержащийся в Н, и составим
совокупность элементов g{hlt gth2 g\hm, которую будем
обозначать через gxli. Выберем теперь из группы G эле-
элемент g2, который не содержится ни в Я, ни в g{H, и со-
составим еще одну совокупность g2H. Мы можем продолжать
построение таких совокупностей, пока не исчерпаем всю
4j СОПРЯЖЕННЫЕ СОВОКУПНОСТИ 19
группу. В результате мы получим следующую последова-
последовательность:
Н, g{H,.g2H, .... gk_xH. B.3)
Совокупности элементов gtH называют сопряженными сово-
совокупностями слева по подгруппе Н.
Покажем, что построенные сопряженные совокупности
не имеют общих элементов. Действительно, предположим,
что в совокупностях gxli и g.2H имеется один общий
элемент, например, g'l/z, — g2h2. Тогда g2 — gfi^1 = gth3,
и мы получим, что g2 принадлежит совокупности giH.
Но этот результат противоречит построению. Таким образом,
каждый элемент группы О входит только в одну из сопря-
сопряженных совокупностей. Так как группа G содержит п эле-
элементов, а каждая из сопряженных совокупностей т эле-
элементов, то т — -г. Число k называют индексом подгруппы Н
для группы G. Мы видим, что порядок подгруппы является
делителем порядка группы.
Аналогичным образом можно провести разложение группы G
на сопряженные совокупности справа:
И. Hg[. Hg!2 Hg'k_y B.4)
При построении сопряженных совокупностей имеется про-
произвол в выборе элементов gt. Покажем, что при любом
допустимом выборе элементов gt мы получаем один и тот же
набор сопряженных совокупностей и, следовательно, одно и
то же разложение. Этот результат непосредственно следует
из теоремы: две сопряженные совокупности gtH и gkH (gt и
gk — два любых элемента группы О) либо совпадают, либо
не имеют ни одного общего элемента. Действительно, если
эти совокупности имеют хотя бы один общий элемент giha =
= gkhp то gk^g^hji'1 и, следовательно, gk?gtH. Но
тогда любой элемент совокупности gkH представим в виде
Skh ~gJkah~xh =g.h6 и также принадлежит сопряженной
совокупности gfi.
Таким образом, группа О может быть однозначно раз-
разложена на сопряженные совокупности слева (или справа) по
подгруппе Н.
2*
20 АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. II
5. Сопряженные элементы и класс
Пусть g— некоторый элемент группы G. Составим эле-
элемент g'=gigg~ll\ gt(zG- Элементы g и g называются со-
сопряженными. Пусть теперь gt пробегает все элементы
группы G. Тогда мы получим п элементов, среди которых
могут оказаться одинаковые. Пусть число разных элементов
равно k. Обозначим их через gv g2, ..., gk. Очевидно,
что эта совокупность включает в себя все элементы группы G,
которые сопряжены с элементом g. Легко показать, что все
элементы этой совокупности являются взаимно сопряжен-
сопряженными. Действительно, пусть g1 — gagg~\ g2 — g^gg^'• Тогда
g = ga%ga и g2 = ggp-ig^gj1 = gpp-^igpf-1)'1. Со-
Совокупность всех взаимно сопряженных элементов называют
классом. Таким образом, элементы g",, g2 g^ образуют
класс сопряженных элементов. Как мы видим, класс вполне
определяется заданием одного из элементов. Число элементов
в классе называют порядком класса. Всякая конечная группа
может быть разбита на несколько классов сопряженных эле-
элементов. Единичный элемент группы сам по себе образует
класс. Легко убедиться в том, что все элементы одного и
того же класса имеют одинаковый порядок.
Покажем, что совокупность произведений элементов двух
классов состоит из целых классов. Условно это может быть
записано в следующем виде;
ClCJ = 2ihijkCk, B.5)
к
где Сг — совокупность элементов г-го класса, а кцк — целые
числа. Прежде всего докажем, что если элемент gp^CtCj,
то и весь класс Ср, в который входит gp, принадлежит со-
совокупности Cfij. Действительно, пусть gp = gtgj, gi?Cit
gj ? Cj. Тогда при любом g ? G
g~lgPg = g-'gigg-'gjg?Cfi). B.6)
Для доказательства формулы B.5) остается показать, что
каждый элемент класса Ср входит в совокупность Cfij одина-
одинаковое число раз. Пусть, например, элемент gp входит дьа
6, ИНВАРИАНТНАЯ ПОДГРУППА 21
раза, т. е.
gtg, = gp « gvgr=gp. B-7)
причем
gi + gv< gj + gr B.8)
Тогда каждый элемент g' gpg' {g' ? О) будет содержаться
в совокупности Cfij не меньше двух раз. Действительно,
л i B-9)
причем из B.8) следует, что
g'~1glg'*g'~1grg' и g''lgJg^g'~igj.g'. B.10)
Ясно, что элемент g' gpg' не может содержаться больше
чем два раза, так как в противном случае с помощью ана-
аналогичного рассуждения мы могли бы показать, что элемент gp
также встречается больше двух раз, что противоречит сделан-
сделанному вначале предположению.
6. Инвариантная подгруппа (нормальный делитель)
Пусть Н—подгруппа группы G и gt ? G. Составим сово-
совокупность элементов g-jigj1 (элемент gt фиксирован). Эта
совокупность также является группой, так как для нее вы-
выполняются все групповые аксиомы. Такую подгруппу назы-
называют подобной подгруппе Н. Если gt ? Н, то подобная под-
подгруппа, очевидно, будет совпадать с Н. Однако если g^H,
то в общем случае мы получим некоторую подгруппу группы О,
отличную от Н. В тех случаях, когда подгруппа Н совпа-
совпадает со всеми своими подобными подгруппами, она назы-
называется инвариантной подгруппой или нормальным делите-
делителем. Инвариантную подгруппу мы будем обозначать буквой N.
Из определения следует, что если инвариантная подгруппа
содержит некоторый элемент g группы G, то вместе с ним
она содержит и весь класс, к которому принадлежит g.
Поэтому говорят, что инвариантная подгруппа состоит из
целых классов группы.
22 АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. II
Для инвариантной подгруппы N группы G сопряженные
совокупности слева и справа совпадают. Действительно,
glN-=glNgj^gl = Ngi, B.11)
так как
=N. B.12)
Всякая группа имеет две тривиальные инвариантные под-
подгруппы: первая совпадает с самой группой, а вторая состоит
из единичного элемента группы. Группы, не имеющие инва-
инвариантных подгрупп, отличных от тривиальных, называются
простыми.
7. Фактор-группа
Пусть N — инвариантная подгруппа группы О. Разложим
группу О на сопряженные совокупности по группе N:
N, glN. g2N, .... g^N.
Образуем теперь совокупность giNg2N, которая состоит из раз-
различных элементов glnag2nti, когда па и «„ независимо про-
пробегают всю подгруппу N. Легко видеть, что
g^Ng2N = gxg2g2lNg2N = gxg2NN = gxg2N = g3N. B.13)
Если совокупность gxNg2N называть произведением совокуп-
совокупностей gxN и ^2^' T0 можно сказать, что произведения двух
сопряженных с /V совокупностей дают опять некоторую со-
сопряженную с W совокупность. Далее, умножение (в указан-
указанном смысле) сопряженной с N совокупности на N слева или
справа не изменяет этой сопряженной совокупности:
glN. B.14)
Для каждой сопряженной совокупности gtN имеется такая
сопряженная совокупность g^N, что их произведение равно ЛЛ
N. B.15)
Из этих результатов следует, что сопряженные совокупности
инвариантной подгруппы можно рассматривать как элементы
некоторой новой группы, в которой N играет роль единич-
единичного элемента. Эту группу называют фактор-группой по
инвариантной подгруппе. Ее порядок равен индексу инвари-
инвариантной подгруппы.
8j ИЗОМОРФИЗМ И ГОМОМОРФИЗМ ГРУПП 23
8. Изоморфизм и гомоморфизм групп
Если между элементами двух групп существует взаимно
однозначное соответствие, которое не нарушается при груп-
групповом умножении, то такие группы называются изоморфными.
Пусть О и О —изоморфные группы. Тогда, если элементам gt
и gk группы О соответствуют элементы gt и gk группы О:
то
Установление изоморфизма групп позволяет свести исследова-
исследование рассматриваемой группы к изучению другой группы,
изоморфной с нею.
Другим важным понятием в теории гр)фп является поня-
понятие гомоморфизма. Если каждому элементу группы О соот-
соответствует только один определенный элемент группы G,
а каждому элементу группы О соответствует несколько эле-
элементов группы О, причем это соответствие сохраняется при
групповом умножении, то говорят, что группа G гомоморфна
группе О. Гомоморфные группы обладают следующими свой-
свойствами.
(а) Если группа О гомоморфна группе О, то единичному
элементу группы G соответствует единичный элемент группы О.
Действительно, пусть Е— единичный элемент группы О,
тогда для любого g?G Eg = gE = g; пусть Ё и g — эле-
элементы из группы G, соответствующие ? и ^, тогда, в силу
гомоморфизма групп, Eg = gE = g, откуда следует, что Е —
единичный элемент группы О.
(б) Если группа О гомоморфна группе G, то взаимно
обратным элементам группы О соответствуют взаимно обрат-
обратные элементы группы О. Действительно, пусть gigk^E'
тогда, в силу соответствия, glgk = E.
(в) Если группа G гомоморфна группе G, то все элементы
группы G, которые соответствуют единичному элементу
группы б, образуют инвариантную подгруппу N группы G.
Действительно, пусть единичному элементу Е группы б со-
соответствуют элементы g[, g'2 g'? группы О. Тогда про-
24 АБСТРАКТНЫЕ 1РУППЫ [ГЛ. II
изведению g'igl соответствует ЁЁ — Ё. Следовательно, g'tg'k =
— g'{ и совокупность g'v g'2 g's замкнута относительно
группового умножения. Согласно свойству (а) в ней должен
содержаться единичный элемент. Так как единичный элемент Ё
является обратным к самому себе, то, в силу (б), для каж-
каждого элемента g'. найдется обратный элемент g'k. Далее, из
равенства gEg~l = Ё, где ^-—произвольный элемент группы 5,
следует gg'lg~l = g'f для произвольного элемента g группы G.
Установленных здесь свойств совокупности g'v g'2, .... g's
достаточно, чтобы утверждать, что она образует инвариант-
инвариантную подгруппу группы О.
(г) Если группа G гомоморфна группе О, то элементы
группы G, соответствующие элементу gt, образуют сопря-
сопряженную совокупность Ngi< где gt — любой из элементов груп-
группы О, соответствующих элементу gt, a /V — инвариантная
подгруппа, соответствующая единичному элементу группы G.
Для доказательства этого свойства разобьем группу G
на сопряженные совокупности
N, gfl, g2N gk_xN.
Любому элементу совокупности gtN соответствует элемент
giE = g[, т. е. один и тот же элемент gt группы G. Остается
показать, что разным сопряженным совокупностям соответ-
соответствуют разные элементы. Предположим обратное. Пусть сово-
совокупностям gtN и g2N соответствует один и тот же эле-
элемент g", группы G. Тогда элементу S^lS2 соответствует
gT g\=E, откуда следует, что g^g2 принадлежит N. Но
тогда g^lg2 = g'k и g2 = gyg'b, что противоречит исходному
предположению о том, что сопряженные совокупности gxN
и g^ различны. Таким образом, между сопряженными сово-
совокупностями gtN и элементами группы G имеется однозначное
соответствие. Следовательно, группа О изоморфна фактор-
факторгруппе по инвариантной подгруппе N.
На этом мы закончим рассмотрение общих свойств конеч-
конечных групп. Ряд более специальных теорем будет доказан
позднее, непосредственно в приложениях методов теории
групп к физическим задачам.
УПРАЖНЕНИЯ
25
Упражнения
2.1. Элементы Е, А, В, С, D, F образуют группу S6 шестого
порядка с таблицей умножения (первые множители стоят в строке,
например, АВ = D):
Е
А
В
С
D
F
Е
Е
А
В
С
D
F
А
А
Е
F
D
С
В
В
В
D
Е
F
А
С
С
С
F
D
Е
В
А
D
D
В
С
А
F
Е
F
F
С
А
В
Е
D
а) Найти порядки всех элементов.
б) Найти подгруппы.
в) Разбить группу на сопряженные совокупности; убедиться
в единственности такого разбиения.
г) Разбить группу на классы сопряженных элементов.
д) Найти инвариантные подгруппы. Убедиться, что сопряжен-
сопряженные совокупности справа и слева для инвариантной подгруппы сов-
совпадают.
е) Написать таблицу умножения для соответствующей фактор-
факторгруппы.
ж) Показать, что абстрактная группа S6 может иметь следую-
следующие реализации: группа перестановок трех элементов и группа
матриц второго порядка, соответствующих вращениям и отраже-
отражениям на плоскости, совмещающим вершины равностороннего тре-
треугольника.
2.2. Доказать, что порядок группы является целым кратным
порядка любого ее элемента.
2.3. Используя понятие порядка элемента группы, построить
таблицы умножения для возможных групп третьего порядка, чет-
четвертого порядка.
2.4. Доказать, что все элементы одного класса имеют один и
тот же порядок.
2.5. Доказать, что любая подгруппа индекса 2 является инва-
инвариантной.
2.6. Доказать, что в совокупности ggig, где g пробегает всю
группу, каждый элемент класса, которому принадлежит gi, встре-
встречается одинаковое число раз.
Глава III
Представления конечных групп
1. Определение представления группы
Рассмотрим некоторую конечную группу О с элементами
g",, go gm. Если группа Т линейных операторов Tg.
в некотором пространстве R гомоморфна группе G, то гово-
говорят, что группа Т образует представление группы G. В силу
гомоморфизма мы имеем
(ЗЛ)
Если пространство R есть re-мерное векторное простран-
пространство Rn, то любой его элемент х может быть разложен по п
ортам ек, образующим базис этого пространства:
х = х1е1 + х2е2 + ... + .ко-
.кооператор Tg будет определен, если мы зададим его действие
на каждый из ортов ек. Пусть
п
7.^=2ог»(й^ C-2)
Мы видим, что каждому элементу gx нашей группы сопоста-
сопоставляется матрица || Drk(gi)\\. Ясно, что единичному элементу
группы должна быть сопоставлена единичная матрица, а обрат-
обратным элементам — обратные матрицы. Покажем, что для мат-
матриц D выполняется равенство
D(g,)D(gj)=D(gtgj). .> C-3)
Действительно, применив к орту ек последовательно опера-
операторы Те. и Те. мы получим
S Drk(gj) Dfr (gt) ef^Z(IiDfr (gt) DTk(gj)) ef. C.4)
2| ПРИМЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 27
Но, с другой стороны,
S fk (ij) / C • 5)
Сравнивая окончательные результаты в C.4) и C.5), мы видим,
что равенство C.3) действительно выполняется. Мы будем
говорить, что матрицы D{gL) образуют представление по-
порядка п группы О. Пространство Rn называют простран-
пространством представления, а базис в этом пространстве — бази-
базисом представления. При действии оператора Т на произ-
вольный вектор х пространства Rn мы получаем
f х = У xkT ek = У xkDfk (g) er = S x'rer, C.6)
' * ' *, r r
где x^ = 2 ^rk(Si) xk- Рассмотрим, как изменяется матрица
k
представления, если в пространстве Rn выбрать новый ба-
базис е'г связанный с базисом ek линейным преобразованием:
e'l='Lvkfik.el=^{V-\e'k. C.7)
Для этого подействуем на орт е'. оператором Т . Исполь-
Используя C.7), мы получим
= S VkjDsk{V-\se'r=^{v-lDV}rje'r. C.8)
к, s, r т - ¦
Таким образом, при переходе к новому базису матрицы
представления испытывают преобразование подобия. Пред-
Представление матрицами VlDV называется эквивалентным по
отношению к представлению матрицами D.
Если матрицы представления все унитарные, то предста-
представление называют унитарным.
Если группа матриц D(gt) изоморфна группе G, то го-
говорят, что матрицы дают точное представление группы О.
2. Примеры представлений
Среди представлений группы всегда имеется тривиальное
тождественное представление, в котором каждому элементу
группы сопоставляется единица. Если элементами группы
являются линейные преобразования, то матрицы этих пре-
28 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП [ГЛ. Ill
образований сами дают представление, изоморфное группе.
Эти два представления соответствуют двум тривиальным
инвариантным подгруппам, которые упоминались в предыду-
предыдущей главе.
Для иллюстрации других представлений группы рассмот-
рассмотрим получение одного из представлений группы матриц С
собственных линейных преобразований п переменных xv
Х2 Хп'
. *i=SC(t*t. C.9)
Рассмотрим квадратичную форму
ljaikXiXk, aik = aki. C.10)
I, к
Преобразование переменных л:,, х2 хп индуцирует пре-
преобразование коэффициентов этой формы. Действительно,
если мы произведем подстановку
то получим выражение квадратичной формы C.10) в новых
(штрихованных) переменных:
2 «u{c~%*,{c~'}m*;=2! «'„*;*;. 0.12)
где
a^SlC'VJc'W C-13)
•* i, ft
Вводя обозначение ||aiA||=i4, мы можем записать преобра-
преобразование коэффициентов aik в матричной форме:
А' = С-'*АС~\ C.14)
где С* — матрица, транспонированная относительно С.
Применим теперь к переменным xv x2, ..., хп последова-
последовательно преобразования С, и С2. Тогда мы получим матрицу
¦ A' = i
или
3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ СИММЕТРИИ 29
Мы видим, что последовательное применение сначала пре-
преобразования С, и затем преобразования С2 эквивалентно
применению преобразования С2СГ Поэтому можно утвер-
утверждать, что преобразования C.13) коэффициентов квадратич-
квадратичной формы образуют представление группы С.
3. Представление группы симметрии уравнения
Шредиигера, реализующееся на его
собственных функциях
Так как нашей основной целью является рассмотрение
приложений методов теории групп к физическим задачам, то
уместно сразу показать, насколько важным для этих прило-
приложений окажется изучение представлений группы. В качестве
примера рассмотрим квантовомеханическую систему, которая
описывается уравнением Шредингера:
>) = ?ф(г). C.16)
Предположим, что группа симметрии этой системы состоит
из ср.огональных преобразований us:
r' = usr. C.17)
Как мы знаем из главы I, подстановка
г = и?г' C.18)
должна сохранять вид уравнения C.16). Так как оператор
Лапласа инвариантен относительно любых ортогональных
преобразований координат, то в результате этой подстановки
мы получим
I —-I^-A ,-\-V (u-lr)\y (u-*r) = E$(u-lr). C.19)
В силу инвариантности уравнения Шредингера относительно
преобразований us должно выполняться равенство
V(ttj*r)=V(r). C.20)
Поэтому преобразованная волновая функция
= ^(ujlr) C.21)
30 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП [ГЛ. Ill
также является собственной функцией уравнения Шредин-
гера C.9) с тем же собственным значением Е. Пусть
ф, (г) фА (г) — полный набор ортонормированных соб-
собственных функций этого уравнения, соответствующих соб-
собственному значению Е. Докажем, что эти функции образуют
базис представления группы. Действительно, каждую из
преобразованных функций Ти фг (г) можно представить в виде
S
fu Ф/ С) = Ч>/(«Г1г)= 2 D (в,)ф (г). C.22)
Функции Ти ф/(г) (/=1,2, ..., k) также должны быть орто-
нормированы, поскольку замена переменной с помощью орто-
ортогонального преобразования C.18) сохраняет условие орто-
нормированности:
J UK1') Фу(«г1г)dx =
Отсюда следует, что матрицы ||Ог;-(и5)|| должны быть уни-
унитарными. Таким образом, каждому преобразованию us из
группу симметрии уравнения Шредингера сопоставляется
унитарная матрица /г-го порядка. Покажем, что эти матрицы
образуют представление группы. Пусть us и ut — два пре-
преобразования из группы. Тогда при последовательном приме-
применении их получим
u/utb С) - f И/Ь («Г1') = Ф/ («Г1»,
= Ь ((usutrlr) = S Du (usut) ф, (г). C.24)
С другой стороны,
^ к
* и
SO/i(»()SA,Wti@ =
./=1 (-1
1 ft
2 {ОК)D(ut)}uфг(г). C.25)
4j СУЩЕСТВОВАНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 31
Сравнивая окончательные результаты в C.24) и C.25), мы
получаем
D(usut)^D(us)D(ut), C.26)
что и требовалось доказать.
Важность изучения представлений групп для данной за-
задачи заключается в том, что каждому собственному значению
энергии мы можем сопоставить некоторое представление
группы и установить возможные типы симметрии волновых
функций системы, не решая уравнения Шредингера.
Перейдем теперь к изучению свойств представлений
конечных групп.
4. Существование эквивалентного унитарного
представления
Докажем, что всякое представление конечной группы
эквивалентно унитарному.
Пусть задано некоторое представление D группы О,
состоящей из т элементов gv g2, ..., gm. Будем рассма-
рассматривать матрицы представления D(g{) как матрицы преобра-
преобразования в векторном и-мерном пространстве Rn. Пусть
x(xv х2, ..., ха) и уО>р у2 уа)—-векторы в этом
пространстве. Скалярное произведение векторов определим,
как обычно:
(JC, у) = *, У, + *2Уа + • • • + х~уп. C.27)
Преобразование D{gL) переводит вектор х в вектор JC;/):
x.XW = gD1t(gt)xv C.28)
вектор у — в вектор у('>:
У(г) =?>(?-,.) у. C-29)
Допустим, что преобразование D(gt) неунитарное и,
следовательно, не сохраняет скалярное произведение (х, у).
Покажем, что в пространстве Rn можно так выбрать новый
базис, что матрицы преобразования составляющих векторов
этого пространства будут унитарными. Для доказательства
32 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП [ГЛ. III
усредним скалярное произведение C.27) по группе, т. е.
составим выражение
т т
2 (D(gi)х, D (gl) у) = 2 (*'\ у">). C.30)
Покажем, что C.30) можно представить в виде
т
2 Ly). C.31)
где L — некоторое линейное преобразование. Для этого за-
запишем C.30) следующим образом:
(D &,) х, D (gt) у) = 12 D+ (^) D (ft) л, у). C.
.32)
т
Матрица ^i D+ (gt) D(g.) эрмитова и поэтому может быть
/-1
приведена к диагональному виду с помощью некоторого
унитарного преобразования V. Мы получим
т
d^V-'Z D+ (gl) D (gi) V, C.33)
откуда
m
Z\ C.34)
где d — диагональная матрица.
Если ввести обозначения D(gi) = V~1 D(gt)V, то мы
можем написать
d= S V-'D+(gi)VV'lD(gi)V= 2 D+to)Dto). C.35)
Отсюда диагональные элементы матрицы fif равны
l ?К{*д,а{*1) ?1 Я
4] СУЩЕСТВОВАНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 33
Определим диагональную матрицу d с элементами [d l }аа=
==УЛ^аа' Очевидно, что d l d ' =d. Используя самосопряжен-
самосопряжен2
ность матрицы dl/2, мы получим
?-1
= {d1/2d1/2V~1x, V~ly) — (dy2V~ix, dll2V~ly). C.37)
Таким образом, мы действительно имеем равенство C.31),
причем искомое преобразование L имеет вид
z; = rf1/V-1. C.38)
Теперь мы можем показать, что представление группы О,
даваемое матрицами LDL~', является унитарным. Сначала
покажем, что для произвольного элемента gk группы G
(LD{gk)x, LD(gk)y) = (Lx, Ly). C.39)
Действительно, согласно C.30), C.31)
(LD(gk)x, LD(gk)y) =
т
= 2@ Ш D (gk) x, D (gt) D {gk)y) *=
ji
2
. D(glgk)y). C.40)
Но мы знаем, что, когда элемент gt пробегает всю группу,
элемент gg^ также пробегает всю группу. Поэтому мы можем
окончательно написать
{LD{gk)x, LD{gk)y)=^ {D{gl)x, D{gl)y)=(Lx, Ly). C.41)
Если теперь ввести векторы х = L~lx и у — LT у, то
равенство C.39) можно представить в виде
L-ly) = {x, у'). C.42)
Отсюда следует, что матрицы LD{gk)L~\gk ? О) действи-
действительно унитарные.
3 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов
34
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
[ГЛ. III
б. Приводимые и неприводимые представления группы
Пусть в пространстве Rn задано представление D группы О.
Если в пространстве Rn существует подпространство Rk
(k <C n), инвариантное относительно всех преобразований D,
т. е. если для x?Rk имеем Dx?Rk, то представление назы-
называется приводимым. Выберем в качестве первых к ортов
в пространстве Ra орты подпространства Rk. Тогда матрица
представления должна иметь следующий вид:
D
D
12
22
¦¦¦ D
kk
... D,
ia
... D
kn
О 0 ... О
О 0 ... О
^
ft+lft+1
Если же в пространстве Rn нельзя выделить инвариантное
подпространство, то представление называется неприводимым.
Покажем, что если приводимое представление D уни-
унитарно, то ортогональное дополнение подпространства Rk,
которое мы обозначим через /?„_&, также инвариантно отно-
относительно преобразований D. Действительно, пусть х ? Rk,
y?.Rn-if Тогда (х, у) — 0. В силу инвариантности подпро-
подпространства Rk имеем
(D(g)x, j>) = 0. C-43)
но
(D(g)x, y)=(x, D+(g)y)=(x,
откуда
C.44)
C.45)
Когда g пробегает всю группу, обратный элемент g~l также
пробегает всю группу. Поэтому C.45) выполняется для всех
матриц рассматриваемого представления, и инвариантность Rn-k
доказана. Если теперь в качестве k первых ортов выбрать
орты подпространства Rk, а в качестве последних и — k ор-
ортов — орты подпространства Rn-k, то матрицы представления
ПРИВОДИМЫЕ И НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
35
будут иметь следующий квазидиагональный вид:
0|1
02.
0*1
012
022
0ft2
• • • 01ft
• • • 02*
... Dkk
0
0
0
... 0
... 0
... 0
о о
о о
о
D
ft + 1 ft + 1
... д
ft + 1 я
D.
D.
Jn ft + 1 • • • "ял
Если пространство /? может быть разложено на инва-
инвариантные подпространства, в каждом из которых реализуется
неприводимое представление, то представление D называют
вполне приводимым. Матрицы этого представления при соот-
соответствующем выборе ортов имеют квазидиагональный вид:.
О
О
о
Из проведенного рассмотрения следует, что
1) унитарное представление группы всегда либо неприво-
димо, либо вполне приводимо;
2) представление конечной группы или неприводимо или
вполне приводимо (так как оно эквивалентно унитарному).
Если представление D приводимо, то приведение его ма-
матриц к диагональному виду осуществляется, как мы видели,
с помощью перехода к новой системе ортов. Мы знаем, что
в этом случае матрицы представления испытывают преобра-
преобразование подобия:
где V—матрица, связывающая орты старого и нового бази-
базисов (см. C.7)). Поэтому условие приводимости представления
можно сформулировать следующим образом. Представление D
является приводимым, если существует такая неособенная
матрица V, что матрицы V~lDV являются квазидиагональными.
3*
36 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП [ГЛ. III
6. Первая лемма Шура
Сейчас мы докажем важную для приложений теорему
(первую лемму Шура):
Матрица, коммутирующая со всеми матрицами не-
неприводимого представления, кратна единичной.
Пусть D(g)— матрицы неприводимого представления по-
порядка и группы G, g ?G. Предположим, что матрица М
коммутирует со всеми матрицами D(g):
MD(g)=D(g)M: C.46)
Обозначим через Rn пространство, в котором реализуется
представление D(g). В пространстве Rn должен существо-
существовать по крайней мере один собственный вектор матрицы М.
Обозначим его через х. Мы имеем
Мх = Хх. C.47)
Применим к вектору х преобразование с матрицей предста-
представления D(g):
xg. C.48)
Получившийся при этом вектор xg также является собствен-
собственным вектором матрицы М с тем же самым собственным зна-
значением к. Действительно, в силу C.46) мы имеем
Mxg-=MD(g)x=D(g)Mx='kD(g)x = 'kxg. C.49)
Отсюда следует, что подпространство собственных векторов
матрицы М, соответствующих одному и тому же собствен-
собственному значению, инвариантно относительно преобразова-
преобразований D(g). Но так как по предположению представление D(g)
неприводимо, то это подпространство должно совпадать со
всем пространством Rn, а матрица М, умножающая любой
вектор пространства Rn на число к, должна иметь вид
X 0 0 ... О
мг О X 0...0
О О О ... X,
Таким образом, теорема доказана.
7] ВТОРАЯ ЛЕММА ШУРА 37
Если представление вполне приводимо, т. е. его матрицы
имеют квазидиагональный вид, то всегда существует матрица,
отличная от кратной единичной, которая коммутирует со всеми
матрицами этого представления. Легко проверить, что в каче-
качестве такой матрицы можно взять диагональную матрицу,
у которой диагональные элементы, соответствующие различ-
различным блокам матрицы представления, не равны друг другу.
Отсюда можно сделать заключение, что если единствен-
единственной матрицей, коммутирующей со всеми матрицами не-
некоторого представления группы, является матрица,
кратная единичной, то такое представление неприводимо.
7. Вторая лемма Шура
Пусть D* (g) и D^ (g) —матрицы двух неприводимых
неэквивалентных представлений группы G порядка пх и п2
соответственно. Тогда всякая прямоугольная матрица М
с пх столбцами и п2 строками, удовлетворяющая соот-
соотношению
MDA) (g) = DB) (g) M C.50)
для всех g?G, должна быть нулевой матрицей.
Доказательство. Возьмем эрмитово сопряжение от
обеих частей равенства C.50). Мы получим
DA)+ (g) М+ = M+DB)+ (g). C.51)
Если представления DA) и DB) унитарные, то мы можем на-
написать
D(ir' (g) M+ = M+DBr' (g) C.52)
или
DA)(g--') M+ = M+D^ig-1). C.53)
Если элемент g пробегает всю группу, то элемент g~l тоже
пробегает всю группу. Поэтому последнее равенство можно
записать также в виде
DA) (g) M+ = Мл DB) (g> C.54)
Умножим обе части этого равенства слева на матрицу М:
MD(X) (g) М ! = ММ ' DB) (g).
38 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП [ГЛ. III
Используя условия C.50), найдем
DB) (g) MM+ = MM+D{2) (g). C.55)
Отсюда согласно первой лемме Шура заключаем, что ма-
матрица ММ+ должна быть кратна единичной:
ММ+= ЪЕПз. C.56)
Здесь Еп%—единичная матрица порядка п%.
Рассмотрим теперь три возможных случая: 1) «j —/t2,
2) и2 > /tj и 3) /tj > «j.
1) пх = п2. В этом случае матрица М обязательно должна
быть особой, т. е. det M = 0. Действительно, в противном
случае из равенства C.50) мы получили бы условие эквива-
эквивалентности представлений:
DA)(g) = М~1сР>(g) M. C.57)
Вычисляя теперь определители обеих частей равенства C.56),
мы получим
detMdetM+=a"!=:0> C.58)
откуда А. = 0. С другой стороны, из C.56) находим
1 = %МиМи = %\Ми\>, C.59)
и, следовательно, А. может равняться нулю только в том
случае, если все матричные элементы Mtj равны нулю.
2) и2 > nv Дополним матрицу М до квадратной п^— пх
нулевыми столбцами и соответственно матрицу М+ таким же
количеством нулевых строк. Новые матрицы обозначим соот-
соответственно через М и М+. Ясно, что для этих матриц также
выполняется равенство C.56):
= ХЕП2. C.60)
Согласно построению матриц М и М+
det Ж = det УЙ+ = 0.
Поэтому, повторяя рассуждение, относящееся к первому слу-
чак?, мы опять получим
^* = 0. C.61)
Ь] СООТНОШЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ 39
3) и2 <1 п[- Этот случай сводится к предыдущему, и рас-
рассмотрение его мы предоставляем читателю.
При доказательстве леммы Шура мы использовали уни-
унитарность представлений D'1' и DB). Покажем сейчас, что
это ограничение является несущественным. Мы знаем, что
всякое представление конечной группы эквивалентно унитар-
унитарному. Пусть, например, D'1' и D'2'—неунитарные предста-
представления. Всегда можно найти такие неособые матрицы V и W,
что представления
D'^V-'d'V, DB) = W~lDB)W C.62)
будут уже унитарными. Тогда условие C.50) может быть
представлено в виде
C.63)
Отсюда мы получаем
)A) {2)A) C.64)
или, вводя обозначение N =W~1MV,
C.65)
и задача, таким образом, сводится к рассмотренной выше.
Матрица N может быть только нулевой. Но если матрица N
нулевая, то, конечно, и матрица M=WNV~L также будет
нулевой.
8. Соотношение ортогональности для матричных
элементов неприводимых представлений
С помощью первой и второй лемм Шура можно получить
некоторые соотношения между матричными элементами непри-
неприводимых представлений группы.
Пусть DW (g) и D^> (g)— матрицы двух неприводимых
неэквивалентных унитарных представлений группы О, состоя-
состоящей из т элементов. Обозначим через п1 и rij порядки
этих представлений. Докажем, что между элементами матриц
40 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП (ГЛ. III
?)(') и ?)(л существуют следующие соотношения:
)^O, C.66)
(g) = -J б^Ар- C.67)
Доказательство. Составим матрицу
М= 2 D^{g)
где А"—произвольная матрица с я; строками и rij столбцами.
Докажем, что матрица М удовлетворяет соотношению
&l>M=M&i\ C.68)
Действительно,
(g') M
= 2 D
Отсюда согласно второй лемме Шура следует, что М—ну-
М—нулевая матрица, т. е.
\(~l) = 0. C.69)
s, и
Так как матрица X произвольна, то мы можем положить
^^=1, если s —v и fe = p, и Xsk — Q для других значе-
значений индексов s и k. Тогда мы получим
4a (?"')= О- C.70)
Заметим, что до сих пор мы не предполагали унитарности
представлений. Поэтому равенство C.70) справедливо также
для неунитарных представлений. Если же представления D(/)
и D(^ унитарные, то из C.70) мы получаем соотноше-
соотношение C.66).
8) СООТНОШЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ 41
Перейдем теперь к доказательству второго соотношения
ортогональности.
Составим матрицу
^^^g). C.71)
Здесь X — произвольная квадратная матрица порядка п^
Аналогично можно показать, что она коммутирует со всеми
матрицами неприводимого представления D^K Следовательно,
по первой лемме Шура матрица N кратна единичной, т. е.
S4()-^ C-72)
Выберем теперь такую матрицу X, у которой единственный
отличный от нуля элемент Xv~ равен 1. Соответствующую
константу X обозначим через A,vp. Тогда получим
2 4
Для определения Xv& положим в этом равенстве |1 = аи про-
просуммируем обе его части по |х от 1 до nt. Мы получим
2 2 ?>$ iS) d& (S'1)^ Ц(Я« C-74)
n
или
2 4v (E) — ^m = ^vp««- C-75)
Отсюда находим, что
Таким образом, мы имеем
Если представление D^ (g) унитарно, то из C.77) мы полу-
получаем C.67).
Доказанные нами соотношения ортогональности C.66) и
C.67) могут быть объединены в одной формуле:
C-78)
42 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП [ГЛ. III
Соотношение C.78) можно интерпретировать как условия
ортогональности и нормировки системы векторов в т-мерном
пространстве. Каждый из этих векторов характеризуется
тремя индексами: /, |х, v, а его составляющие равны эле-
элементам матриц неэквивалентных неприводимых представле-
представлер р
ний. Вектор D<j>, например, имеет составляющие DU
^() Ч
()^()- Число таких векторов, соответствую-
соответствующих одному неприводимому представлению, скажем D((),
равно и?. Поэтому общее число ортонормированных векто-
векторов в этой системе равняется
]S«?. C.79)
где суммирование проводится только по неэквивалентным
неприводимым представлениям. В силу ортогональности все
эти векторы должны быть линейно независимыми. Так как
число линейно независимых векторов не может превышать
размерности векторного пространства, то
2«?<m- C.80)
Отсюда, в частности, мы получаем важное утверждение о том,
что число различных неприводимых представлений конечной
группы конечно. В п. 10 этой главы мы покажем, что в дей-
действительности всегда имеет место равенство
2 п} = т. C.8П
9. Характеры представлений
Введем понятие характера представления. Характером
представления D(g) называют функцию элементов группы,
определенную формулой
I C.82)
Выясним некоторые свойства характеров представлений.
а) Эквивалентные представления имеют одинаковые харак-
характеры, так как след матрицы инвариантен относительно пре-
преобразования подобия и, следовательно, Sp V~ D (g) V =
9) ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 43
б) Характеры матриц представления, соответствующие эле-
элементам одного класса, совпадают.
в) Характеры неприводимых представлений обладают свой-
свойством ортогональности:
Sx<l)»)x(y)(gr)=«*iy. C-83)
где у}1) (ё) и у}^ (?) — характеры неприводимых представле-
представлений D^l) и D^ соответственно. Учитывая свойство а),
достаточно провести доказательство C.83) для унитарных
представлений. Из C.78) мы имеем
2 °т (*) &&(е) = -J- fi*Ae- C-84)
Просуммируем обе части этого равенства по [X и по а.
Тогда получим
2 (?) = |- «АУ = «fi/y C-85)
что и требовалось доказать. Для элементов одного и того
же класса x(g) имеет одно и то же значение. Поэтому полу-
полученное соотношение можно также записать в виде
Sft,xSW=«e,y. C.86)
где ks — число элементов в классе Cs, a xil) — значение
характера представления, соответствующее элементам этого
класса.
г) Характер приводимого представления D равен сумме
характеров неприводимых представлений, на которые оно
может быть разложено. Для того чтобы это стало очевидным,
достаточно вспомнить квазидиагональный вид приведенного
представления, а также учесть свойство а). Если обозначить
через x(g) характер приводимого представления, то
Х<*) = 20Х(Л«0. C-87)
где число г j показывает, сколько раз неприводимое представле-
представление D^ входит в разложение приводимого представления D.
44 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП [ГЛ. III
Из условия ортогональности C.83) характеров мы легко
получаем очень важную для приложений формулу
(«')- C.88)
Отсюда, в частности, следует, что разложение приводимого
представления на неприводимые части может быть выполнено
единственным образом.
Разложение приводимого представления D на неприво-
неприводимые мы будем символически записывать в виде суммы:
?> = 2® г,.?><".
Значок © над знаком суммы должен напомнить, что выра-
выражение, стоящее в правой части равенства, не является сум-
суммой матриц в обычном смысле.
10. Регулярное представление
Введем понятие регулярного представления. Пусть задана
группа О. Возьмем произвольный ее элемент gs и произведем
операцию сдвига по группе, т. е. каждый из элементов группы
умножим слева на gs. Тогда, как мы знаем (см. п. 1 главы II),
если gsфE, то ни один из элементов группы «не останется
на месте». Если же gs = E, то никакого сдвига не произойдет.
Сдвиг, соответствующий любому элементу gs, можно фор-
формально записать с помощью матрицы || Rtj (gs) || порядка т:
Очевидно, что в каждом столбце матрицы R имеется только
один элемент, отличный от нуля и равный единице. Если
g*gi = gj- то Rji(gs)= I. a Rates) = Q ПРИ '=?/¦ Ма-
Матрицы R(gs), построенные таким образом, дают представление
порядка т группы О, которое называется регулярным.
Из определения регулярного представления следует, что
его характеры таковы:
Х<*> (*.)«. если g, = E.
= 0. если gs^E
П] ЧИСЛО НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 45
Разложим регулярное представление на неприводимые
части, т. е. выясним, сколько раз в нем содержится каждое
неприводимое представление D^K Для этого воспользуемся
формулой C.88). Мы получим
или, согласно C.90),
г ¦ = теу^ (Е) = у М (Е) == п ¦ C 92)
Таким образом, мы видим, что каждое неприводимое пред-
представление содержится в регулярном представлении столько же
раз, каков порядок этого неприводимого представления.
С помощью этой теоремы мы можем выразить порядок
регулярного представления через порядки неприводимых пред-
представлений, на которые оно распадается. Мы получим
%п2.= т. C.93)
Вспомним теперь, что выражение, стоящее в левой части
этого равенства, определяет число ортогональных векто-
векторов D\$. Мы видим, что это число совпадает с размерностью
векторного пространства и поэтому векторы D\$ образуют
в нем полную систему. Этим результатом мы воспользуемся
в следующем пункте для доказательства теоремы о числе
различных неприводимых представлений конечной группы.
11. Число неприводимых представлений
Характеры представления х (?i). X (?2). X (ёт) также
можно рассматривать как составляющие вектора в /ге-мерном
пространстве Rm. При этом характеры неприводимых пред-
представлений, как это следует из C.83), образуют систему орто-
нормированных векторов. Так как для элементов одного
класса характеры совпадают, то все такие векторы принад-
принадлежат подпространству Rx пространства Rm. Пространство Ry
характеризуется тем, что составляющие векторов, соответ-
соответствующие элементам одного класса, совпадают друг с другом.
Составляющие произвольного вектора F(F(gx), F (g^), .. .)
46 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП [ГЛ. III
подпространства /?к обладают свойством
F(g')=F(g-lg'g) C-94)
при любых g' и g из группы G. -Так как число различных
составляющих вектора F не может превышать числа классов
в группе О, то максимальное число х линейно независимых
векторов в подпространстве RK равно числу классов в группе.
Покажем, что произвольный вектор F подпространства Rx
может быть разложен по векторам у?'\ соответствующим
неприводимым представлениям группы G.
Так как вектор F принадлежит пространству Rm, то он
может быть разложен по полной системе векторов D^, и
для составляющих этого вектора будем иметь
Не)= 2 c$d${g'). C.95)
1, а, Р
Используя свойство C.94), мы можем написать
F(g')=P(g-1g'g)= 2 C^D^ig-'g'g). C.96)
У, а, 0
Усредним полученное равенство по элементу g. Тогда получим
g Л а, Р
—LY V
— m ^^ ^^
g j, a, P V. 6
= ~m~2 2 (^ШЩКё) ^M (S) D^ (s')- C.97)
г У. a, p, v, 6
Используя соотношения ортогональности C.67), мы получим
V с(Л —
= i 2
, a, P, V. б
?^A) 2(Л('). C-98)
А а, б
где
B] ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРОВ 47
Мы видим, что произвольный вектор F?RX может быть
разложен по векторам у<А Отсюда следует, что система век-
векторов хG) является полной в подпространстве Rx, и, следо-
следовательно, число этих векторов равно числу и классов
группы G.
Таким образом, мы получаем важную теорему: число раз-
различных неприводимых представлений группы равно числу
ее классов.
12. Вычисление характеров неприводимых представлений
Мы знаем, что характеры неприводимых представлений
удовлетворяют соотношениям ортогональности и нормировки
C.83). Кроме того, разбивая порядок группы т на х квад-
квадратов целых чисел, мы можем найти согласно C.93) порядки
неприводимых представлений, которые, очевидно, равны ха-
характерам этих представлений, соответствующим единичному
элементу группы. Однако в общем случае этих условий не-
недостаточно для однозначного определения значений всех ха-
характеров неприводимых представлений. Покажем сейчас, что
для характеров неприводимых представлений можно допол-
дополнительно получить квадратичные соотношения, которые поз-
позволяют решить задачу. В главе II было доказано, что все-
всевозможные произведения элементов двух классов группы
образуют совокупность, состоящую из целых классов этой
группы. Этот результат был записан нами в виде равен-
равенства B.5):
Cfij = 2 hijkCk. C.99)
Рассмотрим теперь одно из неприводимых представлений
порядка пр группы G. Составим произведения матриц этого
представления, соответствующих произведениям элементов,
образующих совокупность CtCj:
Напишем теперь матрицы представления D(p), соответствую-
соответствующие элементам совокупности 2 ^ijk^k- Очевидно, что
k
в силу C.99) построенные таким образом совокупности
48 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП [ГЛ. Ill
матриц представления должны совпадать. Ясно, что будет
иметь место равенство
{p)(gj)^ 2 hljkD{" (gk). C.100)
Если ввести обозначение
sp~ 2
то формула C.100) может быть переписана в виде
&iP)Sf= ^ihljkSf. C.102)
k
Но матрицы Sp кратны единичным (см. упр. 3.3):
^P^tipEn . C.103)
Найдем след матрицы 5(гр). С одной стороны, мы имеем
= 2 SpZXrt^^A^). C.104)
где йг — число элементов в классе Ct. С другой стороны,
Sp Sf = яр^р). C.105)
Поэтому
X<f)—lLy<P). C.106)
Подставляя C.103) в C.102) и используя C.106), мы полу-
получим соотношения
которым должны удовлетворять характеры неприводимых
представлений. Практически, как правило, нет необходимости
решать эти уравнения, поскольку характеры представлений
большинства конечных групп, используемых в приложениях,
вычислены и затабулированы.
УПРАЖНЕНИЯ * 49
Упражнения
3.1. Доказать, что любое представление простой группы (т. е.
группы без нормального делителя) изоморфно самой группе.
3.2. С помощью первой леммы Шура доказать, что все непри-
неприводимые представления абелевой группы первого порядка.
3.3. С помощью первой леммы Шура доказать, что сумма ма-
матриц неприводимого представления, соответствующих элементам
одного класса, кратна единичной.
3.4. Построить матрицы регулярного представления для группы
шестого порядка (см. упр. 2.1).
3.5. Доказать, что обратным элементам соответствуют ком-
комплексно сопряженные характеры представления.
3.6. Доказать, что равенство — 2j X (ё) X С?) = 1 является
g
достаточным условием неприводимости представления.
3.7. Доказать, что сумма по группе матричных элементов лю-
любого неприводимого представления, кроме тождественного, равна
нулю.
Глава IV
Композиция представлений
и прямое произведение групп
Перед тем как переходить к приложениям, введем еще
понятие композиции, или прямого произведения, представлений
группы и понятие прямого произведения групп. С этой целью
введем сначала понятие прямого произведения матриц.
1. Прямое произведение матриц
Пусть имеются две квадратные матрицы: матрица А по-
порядка п и матрица В порядка т с элементами
р (а, р=1, 2 т).\ ( ¦ ]
Прямым произведением матрицы А на матрицу В называют
суперматрицу Ау^В порядка п, (г, Л)-й элемент которой
есть матрица a,kB порядка т. Для примера напишем прямое
произведение двух матриц второго порядка:
(ап ап\ /*и Ьп\ 1апв ап
\a2l aj X \b2l bj \a2lB апВ
anbn anbn a12bn а12Ь12\
а\\Ь1\ а\\Ь22 «12*21 «12*22 \
«21*11 «21*12 «22*11 «22*12 I
^1^1 «21*22 «22*21 «22*22 '
Мы видим, что элементами матрицы Ау^В являются все-
всевозможные произведения элементов матриц А к В. Для ну-
нумерации строк и столбцов прямого произведения двух матриц
удобно использовать не один, а два индекса. Тогда мы можем
написать
i] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ 51
Очевидно, что порядок прямого произведения матриц равен
произведению порядков сомножителей.
Из определения прямого произведения матриц следует,
что прямое произведение диагональных матриц будет диаго-
диагональной матрицей, а прямое произведение единичных мат-
матриц — единичной матрицей.
Рассмотрим некоторые свойства прямого произведения
матриц.
а) Если ЛA) и ЛB)— матрицы порядка п, а ВA) и ??B) —
матрицы порядка т, то
(ЛA) X Вт) (ЛB) X ?B)) - ЛA)Л<2) X ВA)В®. D.4)
Для доказательства напишем (мх, &р)-й элемент для левой и
правой частей этого равенства. Элемент матрицы, написанной
слева, равен
= 2 МA> х яAIа,* UB) х яB)Ц*Р = 2 «№М- D.5)
Элемент матрицы, написанной справа в формуле D.4), можно
представить в виде
рц,
представить в виде
{(Л<"Л'2>) X
- 2 ^^W- D.6)
и, следовательно, он равен соответствующему элементу ма-
матрицы, стоящей в левой части формулы D.4). Таким образом,
мы видим, что формула D.4) действительно имеет место.
б) Если матрицы А и В унитарные, то матрица А X В
тоже унитарная.
Действительно, из свойства а) следует, что
(АХВУ1=А-1ХВ-1. D.7)
С другой стороны, очевидно, что
(ЛХЯ)+ = А+ХВ+. D.8)
4*
52 КОМПОЗИЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ [ГЛ. IV
Так как матрицы А и В унитарные, то А+ = А~г, В+=В~\
и мы имеем
(А X В)+ = А+ X Я+ = А-1 X Я = (Л X В). D-9)
что и требовалось доказать.
Мы ввели понятие прямого произведения для квадратных
матриц. Однако иногда оказывается полезным понятие пря-
прямого произведения прямоугольных матриц, которое опреде-
определяется так же, как и для квадратных. Ясно, что можно рас-
рассматривать прямое произведение не двух, а произвольного
числа матриц.
2. Композиция представлений группы
Теперь мы можем ввести понятие композиции, или пря-
прямого произведения, представлений группы.
Пусть заданы два представления D и D' (не обязательно
неприводимых) группы О. Мы будем рассматривать матрицы
этих представлений как матрицы преобразований соответ-
соответственно в /,- и /2-мерных пространствах Rit и Ri2. Тогда для
ортов uk пространства /?/, имеем
fgttl=^Dmi{g)um, D.10)
а для ортов <ok пространства Ri2 получим
2 D'nk{g)vn. D.11)
Выберем в пространстве Rt] вектор x(xv х2, ¦-., Xi),
а в пространстве Ri2 вектор y(yv у2. •••'• УО- Образуем
ltl2 произведений xlyh составляющих векторов х и у и будем
рассматривать эти числа как компоненты вектора в простран-
пространстве Rij^. Этот вектор будем называть прямым произведением
векторов хну. Пространство Rij3 будем называть прямым
произведением пространств /?/1 и R/2 и обозначать через
Rit X #/,- Ясно, что базис пространства Rtl X Ri2 может быть
образован из прямых произведений базисных ортов ut и vk
пространств /?/, и /?/2:
»« = В(Х^ D.12)
2| КОМПОЗИЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ 53
л II
Определим теперь линейные операторы Tg, действующие
в пространстве Rtl X Ri,< формулой
f'gWit = fgui X f'gvk = 2 Dml (g) um X Dnk (g) vn =
m, n
= IiDml(g)D'nk(g)wmn. D.13)
m, n
Мы видим, что операторам Tg соответствуют матрицы,
являющиеся прямым произведением матриц D(g) и D' (g).
Проверим, что матрицы D(g)XD'(g) образуют пред-
представление группы G. Действительно, пусть gtgk — g[, так что
Тогда, используя свойство а) прямого произведения матриц,
мы получим
(D (gi) X D' (gi)) (D (gk) X D' (gk)) =
= (D (gt) D (gj )X(D'(gi)D (gk)) = D (gt) X D' (g,). D.15)
Представление матрицами D(g)XD'(g) называют компози-
композицией или прямым произведением представлений D(g) и
D'(g). Если представления D и D' унитарны, то по свой-
свойству б) их прямое произведение также унитарно.
Если представления D и D(/) неприводимы, то их пря-
прямое произведение оказывается в общем случае приводимым.
Разложение композиции представлений на неприводимые пред-
представления называется разложением Клебша — Гордана:
D{i) (g) X DU)(g) = 2® yi}tD{l) (g), D.16)
где D(' (g) — неприводимые представления группы О. Мы
знаем, что с помощью соотношений ортогональности для
характеров неприводимых представлений и по известным
характерам приводимого представления можно определить,
сколько раз в нем содержится каждое неприводимое пред-
представление. Используя формулу C.88), мы получим
ЧвО. D.17)
54 КОМПОЗИЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ [ГЛ. IV
где через %'lf> (g) обозначены характеры представления
D^y^D^K Найдем выражение для характеров х(';)- Так как
элементы матрицы D( ' X ^(/) имеют вид
{D«XD(%a,4=D№l D-18)
то характер х'г;) этого представления, очевидно, равен
Х(/Л (g) = Sp {D{i) (g) X DU) (g)) =
= Ii{D{i)(g)XDu\g)}l<hla^
I, a
= 2 Dft (g) D(? (g) = %{i) (g) X(/) (g) ¦ D.19)
I, a
Таким образом, характер композиции двух представлений
равен произведению характеров сомножителей. Подставляя
этот результат в формулу D.17), мы получим
s
Пусть композиция неприводимых представлений D(/) и D(i)
разложена на неприводимые части, так что матрицы этого
представления имеют квазидиагональный вид. Мы знаем, что
такое разложение получается в результате перехода к новому
базису. В нашем случае это происходит в результате пере-
перехода от базиса wрк = чр1) X"//* к базису w^s\ где зна-
значок s нумерует неэквивалентные неприводимые представления,
а индекс ys учитывает кратность неприводимого представле-
представления D , причем новые орты являются линейной комбина-
комбинацией старых:
w(svs) = ^ (ip, jk | s, ys, q) uf X «j/>. D.21)
p, *
Коэффициенты (ip, y/s|s, y4. q) в этой формуле называют
коэффициентами Клебша — Гордана или коэффициентами
Вигнера.
Если орты w^si и и ' X "j образуют ортонормирован-
ные базисы, то связывающая их матрица с элементами
{ip, jk\s, ys, q) должна быть унитарной. В этом случае для
3] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ГРУПП 55
коэффициентов Клебша — Гордана выполняются следующие
условия ортогональности:
Ъ{. jk\s, ys, g)(ip, Jk\s', y's, ?') =
4 ( s
Аналогичным образом может быть рассмотрена компози-
композиция трех и большего числа представлений.
3. Прямое произведение групп
Введем понятие прямого произведения групп и исследуем
неприводимые представления прямого произведения.
Пусть заданы две группы: GO с элементами gM и (№
с элементами gt2). Определим новую группу GA) X бB), эле-
элементами которой являются пары (gW, g^A причем порядок
расположения элементов в паре несуществен. Такая группа
называется прямым произведением групп GA) и GB). Закон
умножения для нее определяется следующим образом:
где
D.25)
Легко показать, что единичный элемент прямого произведе-
произведения группы — это пара единичных элементов сомножителей.
Обратным элементом по отношению к (g?\ gtfA будет эле-
элемент (g^~l, gl2'). Важной реализацией прямого произведе-
произведения двух групп является случай, когда группы ОA) и GB)
оказываются коммутирующими подгруппами одной группы.
В этом случае пара элементов (g<?\ g^>\ понимается как ре-
результат группового умножения элементов. Покажем, что из
некоммутирующих подгрупп таким образом нельзя составить
прямого произведения. Действительно, согласно закону умно-
умножения D.24) мы имеем
56 КОМПОЗИЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ [ГЛ. IV
Если теперь в качестве gW и g<?) взять единичные элементы
группы, то получим соотношение
которое не выполняется, если рассматриваемые подгруппы
не коммутируют.
Докажем, что число классов группы G(I) X GB> равно
произведению чисел классов сомножителей. Для этого рас-
рассмотрим совокупность тех элементов группы G' X О* \
в которых первый множитель принадлежит определенному
классу группы ОA), а второй — определенному классу
группы О('. Покажем, что эти элементы группы G(I) X GB)
образуют класс. В самом деле, если элемент (g^\ g&\ при-
принадлежит выделенной совокупности, то для любого элемента
группы мы будем иметь
т. е. получим элемент, принадлежащий той же совокупности.
Нетрудно увидеть, что все элементы совокупности могут
быть получены с помощью сопряжения из одного. Таким
образом, выделенная совокупность элементов действительно
образует класс группы GA) X ^B)- Отсюда следует, что число
классов прямого произведения равно произведению чисел
классов сомножителей.
4. Неприводимые представления прямого
произведения групп
Перейдем теперь к рассмотрению представлений прямого
произведения групп. Пусть задаио представление D (g"A))
порядка /, группы О и представление D (gp ) порядка /2
группы GB). Покажем, что прямое произведение матриц
У)^ ^'(^р2') образует представления порядка 1Х12 группы
41 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Действительно, если
57
то согласно D.4) для прямых произведений матриц
ОВДХО'^) и D(gV))XD'(gp)
мы получаем аналогичное равенство:
X 1У(ф)(О(^Г) X D'
D.30)
Докажем теперь, что если представления D и D' непри-
¦>B)
водимы, то представление D X D' группы G X G также
неприводимо. Для этого мы покажем, что единственная ма-
матрица, которая коммутирует со всеми матрицами DX D'<
кратна единичной. Обозначим эту матрицу через X. Мы
знаем, что матрицу Dy^D' можно рассматривать как супер-
суперматрицу, элементами которой являются матрицы DikD'. За-
Запишем матрицу X в виде аналогичной суперматрицы с эле-
элементами Х1к, которые в свою очередь являются матрицами
того же порядка, что и О'. Суперматрицы одинаковой струк-
структуры можно перемножать, как обычные матрицы (см. упр. 4.2).
Итак, предположим, что матрица X коммутирует со всеми
матрицами О X ^'. Напишем сначала условие коммутации
с теми матрицами, которые соответствуют единичному эле-
элементу группы GA), т. е. с матрицами Et X ^'(S'n2')- Записан-
Записанные как суперматрицы, они имеют вид матрицы, кратной
единичной, с диагональными элементами, равными матрице D'.
Мы имеем
D' 0 0 ... 0
хи х
12
Х\
X
','¦
0 ¦ D' 0
0
0 0 ... D'
D' 0 0 ... 0
0 D' 0 ... 0
0 0 Q ... ГУ
' Х\\ X\i ... Хщ '
• X[l{ Xtl2 ... X[ltl,
58 КОМПОЗИЦИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ [ГЛ. IV
или
откуда
XllJy=D'Xli. D.31)
Таким образом, мы видим, что все субматрицы Xtj должны
коммутировать со всеми матрицами неприводимого предста-
представления группы О \ и поэтому они по первой лемме Шура
кратны единичным матрицам:
*» = *«?/,. D.32)
где хш — некоторые числа. Запишем теперь условие комму-
коммутации X с теми матрицами прямого произведения, которые
соответствуют единичному элементу группы G<2). Эти матри-
матрицы имеют вид D X Е^. Записанное через суперматрицы ус-
условие коммутации имеет вид
Г*/. D.33)
ft к
Отсюда, используя формулу D.32), мы имеем
^ v f~) — ^ f~) v (Л- "\Л\
^^J ik ft 1 — ^^J ^^ik k i' \ )
ft k
Таким образом, мы показали, что матрица с элементами х1к
порядка /, коммутирует со всеми матрицами неприводимого
представления D (§¦<''), следовательно, эта матрица кратна
единичной и xik = bikx. Но отсюда также следует, что ма-
матрица X, имеющая вид
хи i2 X\-Pi2 ¦ • • хи, i2
Х1 II Х19 1 • ¦ * Х1 11
также кратна единичной. Таким образом, наше утверждение
доказано.
Представления группы G" X О , построенные таким
образом из неприводимых представлений групп GA) и GB),
не эквивалентны. Это легко проверить по ортогональности
характеров этих представлений, которые равны произведениям
УПРАЖНЕНИЯ 59
характеров представлений D и D'. Доказательство предо-
предоставляем читателю. Число представлений D X D', очевидно,
равно произведению числа различных неприводимых пред-
представлений D на число различных неприводимых представле-
представлений D' или произведению чисел классов в группах ОA) и GB).
Но так как число классов прямого произведения равно как
раз произведению чисел классов сомножителей, то, таким
образом, мы получаем все неприводимые представления
группы GA)X<5B).
Упражнения
4.1. Доказать, что тождественное представление содержится
в композиции двух неприводимых представлений только в том слу-
случае, если эти представления являются комплексно сопряженными.
4.2. Убедиться в том, что суперматрицы с одинаковым разбие-
разбиением на строки и столбцы можно перемножать по тому же пра-
правилу, что и обычные матрицы.
4.3. Доказать, что построенные в п. 3 неприводимые предста-
представления прямого произведения двух групп не эквивалентны.
4.4. Показать, что подгруппы (g^\ ?^2') и (Е^1\ g^ будут
нормальными делителями группы G^ X G*?\
4.5. Доказать, что перестановка множителей в прямом произ-
произведении матриц эквивалентна некоторому преобразованию подобия:
Глава V
Теорема Вигнера
После того, как мы познакомились с некоторыми основ-
основными понятиями и теоремами теории конечных групп, мож-
можно перейти к рассмотрению конкретных групп и к приложе-
приложениям методов теории групп к физическим задачам. Большая
часть приложений, как мы увидим, основана на теореме
Вигнера, которая будет доказана в этой главе.
1. Симметрия квантовомеханической системы
относительно группы преобразований
Мы знаем, что состояние квантовомеханической системы
описывается решением уравнения Шредингера. Поэтому сим-
симметрия этой системы относительно некоторой группы озна-
означает инвариантность соответствующего уравнения Шредингера
относительно преобразований этой группы. Мы ограничимся
сейчас рассмотрением стационарной задачи, для которой урав-
уравнение Шредингера имеет вид
Н(х)Ъ{х) = ЕЪ(х), E.1)
где х — совокупность переменных, характеризующих конфи-
конфигурационное пространство системы. Напомним (см. главу III),
что под инвариантностью уравнения Шредингера мы понимаем
сохранение его вида при подстановке x-^-g~xx, ф(х)->
—> Тgty (x) = i|) (g~ix), где g— преобразование из группы
симметрии О системы. Очевидно, что инвариантность урав-
уравнения Шредингера относительно преобразования g является
следствием инвариантности гамильтониана системы:
H{gx) = H{x). E.2)
Покажем, что условие инвариантности уравнения E.1)
относительно группы О может быть записано в виде условия
I] СИММЕТРИЯ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 61
коммутативности операторов fg и оператора энергии Н:
Hfg=fgH. E.2а)
Пусть ф? (х) — собственная функция оператора Н, соот-
соответствующая собственному значению Е. Тогда fg\pE(x) —также
собственная функция оператора Н, соответствующая тому же
собственному значению, т. е.
Но
Таким образом, для любой собственной функции оператора Н
мы имеем
Очевидно, что это равенство справедливо также для любой
функции, которая может быть разложена по собственным
функциям оператора Н.
Условие E.2) инвариантности гамильтониана можно также
записать в матричной форме. Если использовать некоторую
полную систему ортонормированных функций ф/(лг), то из E.2а)
получим
IJ, E.26)
где Hik= | tyfitykdx, Dis=
Практически при решении квантовомеханической задачи
часто приходится ограничиваться некоторой неполной и не-
ортонормированной системой функций. Докажем, что в этом
случае условие инвариантности E.2) сохранит свой вид, если
только на выбранной системе функций реализуется унитар-
унитарное представление группы О. Предположим, что для любого
элемента g имеет место равенство
fjfi (х) = ф, (g-*x) - S Dkl (g) фА (*). E.3)
k
Покажем, что матрицы D{g) образуют представление группы.
С этой целью рассмотрим два преобразования gl и g2, и
62 ТЕОРЕМА ВИГНЕРА [ГЛ. V
пусть gig2 = gs- Мы имеем, с одной стороны,
Ь ((glg2y1x) = %(g^x) = 2 Dk. (g3)ф, (х); E.4)
с другой стороны,
ф|((вг,г2)-1*)=Ф1(г2-1гг1*)=
= 2 Djt (g^j(g->x) = 2 DJt (g2J Dfty (*,) tft (x). E.5)
/ J *
Сравнивая результаты E.4) и E.5), мы получаем
или
Составим теперь матрицу гамильтониана
и аналогичную матрицу на штрихованных функциях ф^(л;) =
Покажем, что в силу инвариантности гамильтониана относи-
относительно преобразования g
E.6)
Действительно,
Щи = J Ф| (^"ljc) ^ (*) Ф* (^~1л;) rf*-
Сделаем замену переменной g~lx = x' (dx = dx'). Тогда
в силу E.2) получим
H'lk = J фг (х') я (^о Фй (*0 rf*' =
2] СИММЕТРИЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ 63
С другой стороны, согласно E.3)
Н>ш = И J 5uig) *'(ЛГ) Я (ЛГ) DJ"ig) Ь(x) dx =
=11 АЛА*.
т. е.
E.7)
Если матрицы D унитарные, т. е. D+ = D~\ то
H' = D~lHD. E.7а)
Но так как Н' = Н, то окончательно получаем
E.8)
что и требовалось доказать.
Таким образом, условие симметрии квантовомеханической
системы относительно группы преобразований может быть
выражено как условие коммутации матрицы гамильтониана с
матрицами унитарного представления этой группы.
2. Симметрия системы частиц, совершающих
малые колебания
Энергия системы N частиц, совершающих малые колеба-
колебания, представляется в виде суммы квадратичных форм для
кинетической и потенциальной энергий:
¦%п тх1 v~i
I E-9)
1=1 l,k~l
где nil — массы частиц, a xt — декартовы составляющие сме-
смещений из положений равновесия. Величина mixi при клас-
классическом рассмотрении обозначает составляющую импульса,
а при квантовом — составляющую оператора импульса, имею-
имеющую вид —ih-^—. Как известно, решение задачи на малые
колебания значительно упрощается в результате одновремен-
одновременной диагонализации матриц этих двух квадратичных форм.
64 ТЕОРЕМА ВИГНЕРА [ГЛ. V
Матрица \\vik\\ является вещественной эрмитовой матрицей.
Если ввести новые переменные yt = ~\[т^^ то кинетическая
энергия выразится в виде суммы квадратов:
злг
# EЛ0)
и следовательно, задача сводится теперь к диагонализации
матрицы квадратичной формы потенциальной энергии, кото-
которая в новых переменных примет вид
Матрица ||w/ft||, так же как и \\vlk\\, эрмитова. Поэтому ее
можно привести к диагональному виду с помощью унитарного
преобразования и:
где A,j, K2, ..., X3N — собственные значения матрицы v. Если
мы введем новые переменные
?1 = 21««У*. E.12)
k
то получим
V^l^k-ql E.13)
i
При этом матрица кинетической энергии в силу унитарности
преобразования E.12) сохранит свой вид:
г=42& Eл4)
i
Если система устойчива, т. е. в положении равновесия потен-
потенциальная энергия имеет минимум, то собственные значения Яг
должны быть неотрицательны и могут быть представлены
в виде
К. = ©J. E.15)
Функция Лагранжа, записанная в переменных qt,
~tfq% E.16)
2] СИММЕТРИЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ 65
приводит к системе независимых уравнений движения:
?/ + «??1 = 0. E-17)
Отсюда следует, что величины qt(t) описывают независимые
осцилляторы с частотами сог. Переменные ql называют нор-
нормальными координатами системы. При квантовомехани-
ческом описании рассматриваемой системы ее оператор Га-
Гамильтона Н = T-\-V в нормальных координатах принимает вид
3N
( ) <5-16а>
и уравнение Шредингера приводится к системе 3N незави-
независимых уравнений
9 9
Предположим теперь, что положения равновесия частиц,
совершающих малые колебания, образуют некоторую сим-
симметричную конфигурацию, например являются вершинами
правильного шестиугольника, куба и т. п. При использовании
обозначения для смещений из положений равновесия мы
должны помнить, что значок i нумерует не только различные
частицы, но и декартовы составляющие смещения одной
частицы. Рассмотрим теперь поворот (или поворот с инвер-
инверсией), который совмещает положения равновесия эквивалент-
эквивалентных частиц. При этом, очевидно, сохраняется' взаимное рас-
расположение частиц. Совокупность всех таких преобразований
образует группу симметрии О нашей системы. Фиксируем
теперь конфигурацию частиц, которая характеризуется сме-
смещениями хх, х2, . . ., хш. Для каждой частицы введем систему
декартовых осей с началом координат в положении равнове-
равновесия. Соответственные оси для всех частиц будем считать
параллельными. Если мы теперь рассмотрим совокупность 3N
ортов et, то смещениям хл, х2 хш можно сопоставить
вектор в З/У-мерном пространстве
Произведем теперь поворот g, который совмещает положе-
положения равновесия эквивалентных частиц. Этот поворот переводит
5 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов
66
ТЕОРЕМА ВИГНЕРА
[ГЛ. V
каждый орт et в некоторый другой орт или в линейную
комбинацию ортов. Таким образом, каждому повороту g мы
можем сопоставить определенный оператор Tg, действующий
в ЗЛ/-мерном пространстве:
E.19)
н
При действии оператором Т g на вектор л; мы получим
g
fgX = х' = S xtfget =
S
или
E.20)
Ясно, что операторы Tg, так же как и матрицы D(g), обра-
образуют представление нашей группы. Конфигурация \х[, ..., x'iNS
получается из конфигурации {л;,, ..., xw) в результате
поворота g всей системы частиц и последующей перенумера-
перенумерации частиц, соответствующей обратному повороту g~y (рис. 1).
Л
к
Рис. 1.
Для того чтобы написать явный вид матрицы D(g), удобно
ввести нумерацию смещений с помощью двух индексов: х1а.
Первый индекс будет обозначать номер частицы, второй —
номер декартовой составляющей смещения. Соответственно
элементы матрицы D теперь будут иметь вид Dia к„ (g).
Определим положение равновесия /-й частицы вектором Rf\
а произвольное положение этой же частицы — вектором Rt,
проведенными из центра инерции системы. Тогда вектор
смещения г-й частицы можно представить в виде
2| СИММЕТРИЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ 67
Обозначим через A (g) матрицу преобразования g в трех-
трехмерном пространстве. Если при преобразовании g вектор /?^
переходит в R?\ то мы можем написать
Следовательно,
D( ет\ X Л ( гг\ (К 994
(a, k$\s)— °И(Л VS)а$< (О.II)
ИЛИ
D=R(g)XA(g), E.22a)
где матрица R(g) состоит из нулей и единиц, причем если
положение равновесия fe-й частицы при операции g пере-
переходит в положение равновесия /-й частицы, то
/?ift(g-)=l* Rij(g) — 0, если jф k.
Напишем теперь выражение энергии системы для конфи-
конфигурации смещений E.20). Для упрощения записи мы возвра-
возвратимся к прежней нумерации смещений с помощью одного
индекса. Будем предполагать, что кинетическая энергия уже
приведена к сумме квадратов. Тогда подстановка E.20),
соответствующая ортогональному преобразованию, сохранит
ее вид. Для потенциальной энергии мы получим
V ——
"
i.J
I, j, к, i ft, г
где
ы и . ki ч /г
Матрицу К'= II w?j II можно, следовательно, представить
в виде
V = D*VD
или, в силу ортогональности матрицы D,
V' = D~{VD. E.23)
Но, с другой стороны, ясно, что энергия для конфигура-
конфигурации {л:'} должна совпадать с энергией для конфигурации [х],
5*
68
ТЕОРЕМА ВИГНЕРА
[ГЛ. V
так как энергия рассматриваемой системы зависит только от
взаимного расположения частиц, которое одинаково для
обеих конфигураций. Следовательно, мы имеем
1 V / I
Т 2d vkixkxi = 2"
к, I
откуда получаем
Поэтому условие инвариантности системы относительно пре-
преобразования g может быть записано согласно E.23) в виде
VD{g)=D{g)V, E.24)
т. е. в виде условия коммутативности матрицы потенциаль-
потенциальной энергии с матрицами . представлений группы симметрии.
3. Теорема Вигнера
Теперь мы докажем теорему Вигнера и получим след-
следствия этой теоремы для задач, рассмотренных в пунктах 1
и 2.
Пусть D (g)— некоторое, вообще говоря, приводимое
представление группы О. Выберем базисные элементы этого
представления так, чтобы оно распалось на неприводимые
части. Тогда матрица D(g) будет иметь квазидиагональный
вид
rf\g)
DB){g)
D*\g)
где D^l)(g) — матрица г-го неприводимого представления
группы О. Если представление D(() входит в представление D
rt раз, то мы можем написать
It'BEriXDi(g), E.25)
ТЕОРЕМА ВИГНЕРА
69
где Ег. — единичная матрица порядка rt. Пусть, далее, не-
некоторая матрица Н коммутирует со всеми матрицами D(g):
HD(g) = D(g)H. E.26)
Докажем, что матрица Н должна иметь вид
E.27)
п —
H{i) X
где
— некоторая матрица порядка г(,
Е. — единичная
матрица порядка /(, а /(— порядок неприводимого предста-
представления D'(). Это утверждение и составляет содержание тео-
теоремы Вигнера.
Будем рассматривать квазидиагональную матрицу D как
диагональную суперматрицу с элементами
Dik = DDik. E.28)
Матрицу Н также представим в виде суперматрицы с анало-
аналогичной структурой:
Н =
"и
,
я31
Н12
^22
^32
Я13
^23
^33
Так как суперматрицы соответствующей структуры можно
перемножать, как обычные матрицы (см. упр. 4.2), то усло-
условие коммутативности E.26) можно представить в виде
S S
или, учитывая E.28),
= HlkDlkHg)- E.29)
Матрицы D(i) (g) и D(ft) (g) — матрицы неприводимых пред-
представлений группы G. Поэтому на основании первой и вто-
второй лемм Шура мы можем утверждать, что Hlk — нулевая
матрица, если D(i) и D(k) —- неэквивалентные представления,
и Hik кратна единичной, если представления D(() и D(*>
совпадают. (Подчеркнем, что в последнем случае недостаточно,
70
ТЕОРЕМА ВИГНЕРА
[ГЛ. V
чтобы представления D(I) и D(ft) были эквивалентными; ма-
матрицы этих представлений должны тождественно совпадать.)
Для того чтобы представить себе явный вид матрицы Я,
удобно ввести нумерацию элементов базиса представления D
с помощью трех значков: I, v, а. Первый значок / нумерует
неприводимые представления; индекс v нумерует базисы экви-
эквивалентных неприводимых представлений; значок а нумерует
элементы базиса неприводимого представления. Соответ-
Соответственно матричные элементы матриц D и Н мы будем нуме-
нумеровать с помощью шести индексов: i, v, a; /', v', а'. Тогда
элементы матрицы Н могут быть представлены в виде
Hi\a; Tv'a'==Mv'6(r6oa'- E.30)
Отсюда непосредственно следует, что матрица Н действи-
действительно может быть представлена в виде E.28). Например,
если матрица D имеет вид
?)A)
0
0
0
?><1)
0
0
0
D<2>
то матрица Н будет иметь вид
Н
3] " ТЕОРЕМА ВИГНЕРА 71
Если каждое неприводимое представление группы G входит
в представление D не более одного раза, то матрица Н
согласно E.30) будет диагональной. Если же какое-либо
неприводимое представление встречается в разложении пред-
представления D несколько раз, то, как мы видим, для полной
диагонализации матрицы Н недостаточно соображений сим-
симметрии. Необходимо еще дополнительное преобразование
в подпространстве всех базисных векторов, соответствующих
одинаковым неприводимым представлениям. Следует, однако,
заметить, что это дополнительное преобразование не изме-
изменяет квазидиагонального вида матрицы D и осуществляется
с помощью диагонализации матриц //'''. В самом деле, легко
проверить, что матрица вида 2^'()Х^;.. где ?/'г) — матрица
порядка г;, диагонализующая матрицу Я((), коммутирует
с матрицей представления
Если матрица Н будет полностью диагонализована, то она
может быть записана в виде
2xz
i '
где Я(/) — диагональные матрицы. Если все собственные зна-
значения всех матриц //*'* различны, т. е. нет случайного вы-
вырождения, то мы можем утверждать, что собственные век-
векторы матрицы Н, принадлежащие одному собственному зна-
значению, преобразуются по одному из неприводимых предста-
представлений группы G. Следовательно, кратности вырождения
собственных значений матрицы Н в этом случае должны
совпадать с порядками неприводимых представлений группы G.
Рассмотрим теперь некоторые следствия, вытекающие из
доказанной теоремы.
Полученные результаты могут быть непосредственно при-
применены к задаче о малых колебаниях. Действительно, усло-
условие симметрии системы, совершающей малые колебания,
может быть выражено как условие коммутативности матрицы V
потенциальной энергии с матрицами представления D(g),
которое реализуется на смещениях. Напомним, что такая
форма условия инвариантности потенциальной энергии имеет
72 ТЕОРЕМА ВИГНЕРА [ГЛ. V
место только в силу ортогональности матриц упомянутого
представления. Если мы построим симметризованные сме-
смещения, т. е. линейные комбинации смещений, преобразую-
преобразующиеся по неприводимым представлениям рассматриваемой
группы, то соответствующая им матрица потенциальной энер-
энергии примет вид, определяемый формулой E.27):
V= %®V^XEh. E.32)
Мы видим, что построение симметризованных смещений
значительно упрощает диагонализацию матрицы потенциаль-
потенциальной энергии, а в тех случаях, когда в разложении предста-
представления D каждое неприводимое представление встречается
не более одного раза, решает эту задачу полностью. Если
нет дополнительного вырождения, то каждой собствен-
собственной частоте соответствуют нормальные координаты,
которые преобразуются по одному из неприводимых
представлений группы О. Возможность дополнительного
вырождения связана со случайным совпадением собственных
значений матриц V('>. Изменением параметров задачи, не
приводящим к изменению ее симметрии, можно всегда до-
добиться того, чтобы случайное вырождение было снято.
Поэтому утверждение о соответствии собственных частот
системы неприводимым представлениям ее группы симметрии
иногда делают без оговорки о возможности случайного вы-
вырождения, которое в большинстве случаев действительно
отсутствует.
К аналогичным заключениям можно прийти и для кван-
товомеханической задачи, которая была рассмотрена в п. 1.
Здесь, однако, следует еще раз подчеркнуть, что условие
коммутативности E.8) выполняется только в том случае,
если на выбранной системе функций реализуется унитарное
представление рассматриваемой группы симметрии. Выбирая
в качестве системы функций некоторую полную ортонорми-
рованную систему, мы придем к заключению, что при от-
отсутствии случайного вырождения каждому собствен-
собственному значению оператора энергии соответствует непри-
неприводимое представление, по которому преобразуются его
собственные функции.
Если базис представления ортонормирован и скалярное
произведение инвариантно относительно групповых операций,
3] ТЕОРЕМА ВИГНЕРА 73
то представление унитарно. Однако если известно, что пред-
представление унитарно, то нельзя еще утвержд1ть, что его базис
ортонормирован. Теорема Вигнера позволяет получить неко-
некоторые сведения об ортогональности и нормировке элементов
базиса унитарного представления D, если оно разложено на
неприводимые части. Обозначим элементы базиса приведен-
приведенного представления через ф;ш. Значки I, v, а имеют прежний
смысл. Введем матрицу ||«SjVa, j'v'a'||. определив ее элементы
равенством
Siva, i'Va'—iViva, Vi'v'a')' E.33)
где скобками обозначено инвариантное скалярное произве-
произведение. Если представление, реализующееся на элементах (piva,
унитарно, то так же, как и для матрицы гамильтониана,
условие инвариантности может быть записано в виде
E.34)
откуда согласно E.30) мы получим
Siva, I'v'a' = (q>*va. фГу'а') = Sv'l'6n'6aa', E.35)
где ||ovv'|l — некоторая матрица, порядок которой равен
кратности 1-го неприводимого представления в представле-
представлении D. Соотношение E.35) выражает свойство ортогональ-
ортогональности элементов базисов, соответствующих неэквивалентным
представлениям, и различных элементов базиса каждого не-
неприводимого представления. Неортогональными могут остаться
лишь соответственные элементы базисов эквивалентных не-
неприводимых представлений, причем скалярные произведения
всех соответственных элементов двух эквивалентных непри-
неприводимых представлений должны совпадать. Заметим, что
ортогональность элементов базисов неэквивалентных непри-
неприводимых представлений сохранится также и для неунитар-
неунитарного представления.
Г л а в а VI
Точечные группы
Точечными группами называют конечные подгруппы
группы О C), группы ортогональных преобразований в трех-
трехмерном пространстве. В физических приложениях точечные
группы используются для описания симметрии молекул.
Кроме того, знание точечных групп необходимо для иссле-
исследования свойств симметрии кристаллов. Наши наглядные
представления о симметрии геометрических фигур (призмы,
куба, тетраэдра и т. д.) связаны со свойством совместимости
этих фигур при преобразованиях, принадлежащих точечным
группам. В этой главе мы рассмотрим точечные группы и
их неприводимые представления. Полученные результаты
будут применены для классификации электронных и колеба-
колебательных состояний молекул.
1. Элементы точечных групп
Элементами точечных групп являются некоторые враще-
вращения трехмерного пространства, а также вращения, сопрово-
сопровождаемые инверсией. Мы знаем (см. упр. 1.1), что любой
элемент группы вращений можно представить как поворот
на некоторый угол ф вокруг определенной оси. Если группе
принадлежит поворот на угол ф, то ей принадлежит и поворот
на угол &ф, где k — произвольное целое положительное или
отрицательное число. Поэтому в конечной группе угол ф
должен быть рациональной частью 2л. Если наименьший
угол поворота вокруг некоторой оси равен —, то такую
ось называют осью n-го порядка. Преобразование поворота
на угол обозначают через Сп или СЙ1—I, где л—еди-
л—единичный вектор, направленный вдоль оси. Ясно, что если
группа содержит поворот Сп, то она содержит также пово-
повороты С2п, С\, ..., Спп~х на углы
-^•2. —-3 —(«-!). F.1)
1] ЭЛЕМЕНТЫ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП 75
Эти преобразования вместе с единичным элементом группы
образуют абелеву подгруппу точечной группы.
Рассмотрим теперь элементы точечных групп, содержа-
содержащие инверсию L Преобразование инверсии переводит каждый
вектор г в вектор — г. Так как матрица этого преобразо-
преобразования кратна единичной, то оно коммутирует с любым дру-
другим ортогональным преобразованием. Составим преобразова-
преобразование iCk (л). Очевидно, что последовательное применение
инверсии и поворота на угол л вокруг некоторой оси экви-
эквивалентно зеркальному отражению в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к оси вращения. Преобразование отражения в пло-
плоскости, перпендикулярной к вектору к, обозначают обычно
через о*. Для произвольного поворота на угол ф, сопро-
сопровождаемого инверсией, мы имеем
iCk (Ф) = lCk (я + (ф - л)) = окСк (ф — л). F.2)
Преобразование ОьС/г (ф) называют зеркальным поворотом
и обозначают через 5й(ф). Таким образом, элементами то-
точечных групп являются повороты и зеркальные повороты.
Рассмотрим теперь, какие элементы точечной группы
могут входить в один класс. С этой целью составим эле-
элемент, сопряженный с элементом Съ (ф):
gCk(tp)g-\ F.3)
где g— произвольный элемент точечной группы (т. е. пово-
поворот или зеркальный поворот). Рассмотрим сначала случай,
когда g1 —поворот. Пусть
gk=f F.4)
и, следовательно,
g'lf=b. F.5)
Поворот g'1 всегда можно представить себе как поворот
R (k, /), совмещающий вектор / с вектором k, вокруг оси,
перпендикулярной к плоскости этих векторов, и последую-
последующий поворот на некоторый угол а вокруг вектора k:
g-l = Ck(a)R(k,f). F.6)
Поэтому элемент, сопряженный с элементом Ck (ф), может
76 ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. VI
быть записан в виде
gCk (Ф) g'1 = /Г1 (ft, /) С;1 (a) Ck (Ф) Ck (а) R (ft, f) =
'./). F-7)
Это преобразование можно интерпретировать как перво-
первоначальное совмещение оси / с осью ft, затем поворот вокруг
оси ft на угол ф и затем обратный переход от оси ft к оси /.
В результате мы, таким образом, получаем преобразование
поворота на угол ф вокруг оси /:
С,*(Ф)- F-8)
Аналогично можно показать, что
(cp). F.9)
Если же g — зеркальный поворот, то мы имеем следующие
равенства:
аС. (rrh 0--1 = С. -. frrti ¦»
F.10)
Из рассмотрения этих соотношений можно сделать следую-
следующие выводы:
1) Каждый класс точечной группы состоит из поворотов
или зеркальных поворотов на один и тот же угол.
2) В каждый класс входят лишь те повороты или зеркаль-
зеркальные повороты на один и тот же угол, оси которых могут
быть совмещены с помощью преобразований, принадлежащих
группе. При этом следует иметь в виду, что если g — зеркаль-
зеркальный поворот, то ось ft переходит в ось — gk. В частности,
отсюда следует, что повороты на углы <р и — ф вокруг
некоторой оси принадлежат одному и тому же классу, если
группа содержит какой-нибудь зеркальный поворот вокруг
этой оси или плоскость отражения, прэходящую через ось.
2. Точечные группы и их неприводимые представления
Установив число классов группы, мы одновременно опре-
определяем число ее неприводимых представлений. Порядки их
можно найти из соотношения C.81). Для определения харак-
характеров неприводимых представлений могут быть использованы
2]
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛРНИЯ
77
соотношения ортогональности C.86) и уравнения C.107). Ниже
мы приведем таблицы характеров неприводимых представле-
представлений точечных групп, встречающихся в приложениях. Мы
будем обозначать неприводимые представления первого по-
порядка буквами А и В, представление второго порядка —
буквой Е, представление третьего порядка — буквой F.
Комплексно сопряженные представления первого порядка мы
будем объединять в пары и каждую пару также обозначать
буквой Е.
I. Группа С„. В эту группу входят повороты Ckn на
углы — к относительно некоторой оси и-го порядка.
Группа Сп является одной из реализаций абстрактной цикли-
циклической группы й-го порядка. Так как Сп — абелева группа,
то все ее неприводимые представления первого порядка. Они
определяются числами
где е( — ехр / есть /-й корень уравнения е"=1. При-
Приведем таблицы характеров неприводимых представлений для
групп С2, С3 и С4:
C3
А
Fl
Е 1
Е
1
1
1
с3
1
Ei
ei
cl
1
е»
ei
А
В
М
Е
1
1
1
1
с4
1
1
i
— i
cl
1
1
1
c\
1
— 1
__ i
i
1 1
1 —1
Группа С2 изоморфна группе инверсии i. Четное (Л,) и не-
нечетное (А2) неприводимые представления последней обозна-
обозначают через Ag и Аа (значки g и и происходят от немецких
слов «gerade», «ungerade» — четный, нечетный).
II. Группа С„н- Кроме элементов группы Сп в нее входит
отражение о"А в плоскости, перпендикулярной к оси враще-
вращения. Элементы Е и о"й образуют подгруппу ah группы Cnh,
изоморфную группе i. Абелева группа Ся/, может рассма-
рассматриваться как прямое произведение группы С„ и группы оА:
Cnh = Сп X °k- Группа Cnh имеет 2га неприводимых пред-
представлений первого порядка. Смотря по тому, с каким из двух
78 ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. VI
неприводимых представлений группы ah (четным или нечет-
нечетным) перемножаются представления группы Сп, обозначениям
неприводимых представлений группы Cnh приписываются ин-
индексы g или п. Например, для группы С2Л мы имеем следую-
следующие неприводимые представления:
c2h
Аш
К
ва
Е
1
1
1
1
с2
1
— 1
1
— 1
«"л
1
— 1
— 1
1
1
1
J
j
Если «—четное число, то инверсия / = С(я)о"л является
элементом группы С„л, и в этом случае Cnh — С„ X *•
III. Группа Cnv Кроме элементов, входящих в С„, она
содержит еще отображения (операция av) в п плоскостях,
проходящих через ось «-го порядка и образующих угол —
друг с другом. Это группа симметрии правильной «-угольной
пирамиды, высота которой служит осью симметрии «-го по-
порядка. Группа Cnv неабелева. Действительно, легко пока-
показать, что
Cknov= cfin". F.11)
Подсчитаем число классов группы Cnv. Элементы Сп
и С^ входят в один класс, и поэтому, если п четное, то
элементы подгруппы Сп распадаются на -у+1 классов,
а если « нечетное, то на n~t классов. Все отражения
входят в один класс, если « нечетное. В этом случае все
плоскости отражения могут быть получены из одной поворо-
2я „ 2я
тами на —. Если п четное, то поворотами на — мы полу-
получим только половину всех плоскостей отражения, и следо-
следовательно, отражения распадаются на два класса. Таким обра-
образом, в случае четного « элементы группы распадаются
п , г, п 4- 3
на "9" + о классов, а в случае нечетного « на —~— классов.
2] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 79
Неприводимые представления группы можно построить
следующим образом. Рассмотрим базисные элементы фг
(/ = 0, 1, 2 п— 1) неприводимых представлений первого
порядка группы Сп. Обозначая оператор представления, соот-
соответствующий элементу Сп, через С„, мы можем написать
2як
К% = е" % F.12)
Наряду с элементами фг рассмотрим элементы ф_г определив
их соотношением
C*i|)_, = e "~Ч_с F.13)
Элементы г^ и г|з_( образуют двумерное инвариантное под-
подпространство для группы Cnv. Действительно, используя F.11),
легко показать, что ov 1|>г —ф_г- В силу F.13) элемент г|) г
линейно независим с ф(, если / Ф 0 и I Ф-тг при п четном
и если / =? 0 при п нечетном. Таким образом, в случае
четного п можно рассмотреть п — 2 двумерных представле-
представлений группы CIW, даваемых матрицами
(• — к
О
О е п
I)' /=1.2..... -J-1. |+1 —1.
F.14)
Очевидно, совокупности матриц, соответствующих элемен-
элементам С* и Спк, входящим в один класс, совпадают в т-м
и в [п — т)-м представлениях, и, следовательно, мы таким
путем Яшучаем -^ — 1 неэквивалентных представлений вто-
второго порядка. Оставшиеся четыре неприводимых представле-
представления — первого порядка.
Если п нечетное, то из A6.14) мы получаем п— 1 двумер-
двумерных неприводимых представлений, среди которых —д— не-
неэквивалентных.
80
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
[ГЛ. VI
Кроме того, в этом случае будем иметь два неприводи-
неприводимых представления первого порядка. Для иллюстрации при-
приведем таблицы характеров неприводимых представлений групп
-з»
л,
А2
Е
Е
1
1
2
2С3
1
1
j
За,
1
— 1
0
Ax
A2
в,
B2
E
E
1
1
1
1
2
c2
1
1
1
1
—2
2C4
1
1
— 1
—1
0
2°v
1
— 1
1
— 1
0
2a;
1
— 1
— 1
1
0
IV. Группа Sin- Элементами этой группы являются
зеркальные повороты Si — | = алС1—):
Е, 52л, S2n, . . ., S2"~ . F.15)
Таким образом, 52л — циклическая группа порядка 2га. Чет-
Четные степени S2n образуют подгруппу, совпадающую с
группой Сп.
V. Группа Dn. Кроме элементов группы Сп в нее входят
повороты на угол я относительно п осей, перпендикулярных
к оси n-го порядка. Это группа поворотов, совмещающих
правильную «-угольную призму саму с собой. Легко убе-
убедиться в том, что группа Dn изоморфна группе Cnv, и,
следовательно, их неприводимые представления совпадают.
VI. Группа Dnh — группа симметрии правильной я-уголь-
ной призмы. Кроме поворотов, входящих в группу Dn, она
содержит еще отражение ал и отражения в плоскостях, про-
проходящих через ось «-го и оси второго порядка. Легко
написать таблицу характеров этой группы, приняв во внима-
внимание, что
Dnh = DnXoh, если л = 2/и+1,
и
D
nh
DnX,i, если п = 2т.
VII. Группа Dnd — группа симметрии тела, состоящего
из двух правильных «-угольных призм, поставленных друг
на друга и повернутых одна относительно другой на угол—:
X *•
2]
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
81
VIII. Группа Т (тетраэдра) содержит все повороты,
совмещающие правильный тетраэдр сам с собой. Через вер-
вершины тетраэдра (и центр противоположной грани) проходят
оси третьего порядка, а через середины каждой пары не-
непересекающихся ребер — оси второго порядка. Двенадцать
элементов группы — единичный элемент, четыре поворота
на -=-, четыре поворота на -д— и три поворота на я —
распадаются на четыре класса. Поэтому группа Т имеет
четыре неприводимых представления, порядки которых удо-
удовлетворяют соотношению C.81):
т
А
е\
F
Е
1
1
1
3
зс2
1
1
1
—1
4С3
1
е
е2
0
4С32
1
е2
е
0
Здесь е = е 3 .
IX. Группа Th=TX i-
X. Группа Та — группа симметрии тетраэдра. Она со-
состоит из 24 элементов, распадающихся на пять классов.
Кроме поворотов, входящих в группу Т, группа Та содержит
шесть отражений в плоскостях, проходящих через две вер-
вершины и середину третьей стороны, и два зеркальных пово-
поворота относительно трёх осей второго порядка. Таблица
характеров неприводимых представлений имеет вид
4ft
Е
Pi
Е
1
1
2
3
3
8С3
1
1
1
0
0
зс2
1
1
2
— 1
1
1
—1
0
1
— 1
654
1
j
0
— 1
1
6 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов
82 ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. VI
XI. Группа О (октаэдра) содержит все повороты, совме-
совмещающие куб сам с собой. 24 элемента этой группы распа-
распадаются на пять классов: элемент Е\ три поворота на угол л
вокруг осей, проходящих через середины противоположных
граней; шесть поворотов на углы ± -~- относительно тех же
осей; шесть поворотов на угол л вокруг осей, проходящих
через середины противолежащих ребер; восемь поворотов на
угол -^- вокруг осей, проходящих через противолежащие
вершины куба. Таким образом, группа О имеет пять непри-
неприводимых представлений, порядки которых удовлетворяют соот-
соотношению
Таблица характеров этих представлений имеет вид
О
F2
Е ЗС2 6C4 6C2
11111
1 1 — 1 —1 1
2 2 0 0—1
3—1 1—1 0
3—1—1 1 0
XII. Группа Ои — группа симметрии куба—представляет
собой прямое произведение группы О на группу инверсии:
Oh = OXi- F.16)
Поэтому группа Oh имеет 48 элементов и 10 неприводимых
представлений. Пять из них являются прямым произведением
матриц неприводимых представлений группы О на матрицы
тождественного представления группы i. Эти представления,
симметричные по отношению к инверсии, обозначают через
A\s\ АЧ\ E(s\ F\g\ FBS) или Vt, i= 1, 2 5. Остальные
пять представлений получаем, умножая представления группы О
на знакопеременное представление группы i. Эти антисимме-
антисимметричные по отношению к инверсии представления обозначают
через А["\ 4">, ?<">, F["\ /f> или через Т'и 1= 1, 2 5.
3] КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 83
3. Классификация нормальных колебаний
и электронных состояний молекулы
В предыдущей главе мы показали, что электронные со-
состояния квантовомеханической системы, а также нормальные
координаты системы, совершающей малые колебания, можно
классифицировать по неприводимым представлениям групп
симметрии этих систем.
Рассмотрим задачу о классификации нормальных колебаний
молекулы. Мы будем рассматривать молекулу как систему
материальных частиц (ядер), совершающих малые колеба-
колебания относительно положений равновесия, образующих не-
некоторую симметричную конфигурацию. Мы знаем, что нор-
нормальные координаты такой системы, соответствующие одной
собственной частоте, преобразуются по неприводимым пред-
представлениям группы симметрии, в нашем случае точечной
группы молекулы. Порядок вырождения частот равен порядку
соответствующего неприводимого представления. Для опреде-
определения свойств симметрии нормальных координат и кратности
вырождения собственных частот надо представление D, по
которому преобразуются составляющие смещений частиц xt,
разложить на неприводимые части. Мы знаем, что число,
показывающее, сколько раз неприводимое представление мат-
матрицами Гг1' содержится в данном приводимом представлении,
определяется по формуле
^ё)- F-17)
где х<'> (g) — характер неприводимого представления D(<) то-
точечной группы, который можно считать известным, х(ё) — ха"
рактер приводимого представления, а т — порядок группы.
Как найти характеры приводимого представления D, ко-
которое реализуется на смещениях Xj?
Очевидно, для этого нам надо подсчитать следы матриц
преобразования смещений хх, х2 хт (N — число ядер
молекулы) в смещения х[, х'2 х'ш при применении к ним
операций g из группы симметрии молекулы. Вид матриц D
был определен нами в главе V (см. формулу E.22)). Если
положение равновесия ядра «а» переходит при некотором
преобразовании симметрии в положение равновесия другого,
6*
84 ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. VI
эквивалентного ему ядра «б», то ясно, что на диагонали
в строках матрицы представления, соответствующих смеще-
смещениям ядра «а», мы получим нули. Отличный от нуля вклад
дадут лишь те ядра, которые при этом преобразовании пере-
переходят сами в себя. При этом, если преобразование g пред-
представляет собой поворот на угол ср, то декартовы состав-
составляющие смещения каждого из таких ядер будут преобразовы-
преобразовываться (с точностью до подобного преобразования) с помощью
матрицы
coscp sincp ОN.
-sincp coscp 0 I, F.18)
О 0 1/
след которой равен 1 + 2 cos ср.
Для зеркального поворота на угол ср матрица преобразо-
преобразования имеет вид
coscp sincp 0\
sincp coscp 0 ; F.19)
0 0—1/
след ее равен — 1+2 cos ср.
Суммируя эти результаты, можно сделать заключение, что
характер представления, соответствующий элементу g точеч-
точечной группы, равен
==ng(l +2coscp), если g — поворот,
= ng(—l-|-2coscp), если ^ — зеркальный
поворот,
F.20)
где ng—число ядер, остающихся на месте при рассматри-
рассматриваемом преобразовании g. Подставляя эти выражения для
характеров в формулу F.17), мы выясним, по каким приво-
приводимым представлениям точечной группы преобразуются нор-
нормальные координаты рассматриваемой молекулы. Зная порядок
каждого неприводимого представления, определим порядки
вырождения собственных частот.
Среди рассмотренных ZN степеней свободы три степени
свободы описывают поступательное движение молекулы и три
степени свободы — вращение молекулы как целого. Так как
3] КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ 85
мы рассматриваем малые смещения ядер, то соответственно
мы имеем малое поступательное движение и малый поворот
молекулы. Эти степени свободы и соответствующие им пред-
представления должны быть исключены из нашего рассмотрения.
Смещения ядер молекулы, соответствующие этим степеням
свободы, могут быть представлены в виде
гь — а (поступательное движение),
ri — [фМ0)] (малый поворот),
где а — вектор поступательного смещения; <р—аксиальный
вектор малого поворота относительно оси, проходящей через
начало координат; вектор R\ * определяет положение равно-
равновесия /-го ядра. Составляющие векторов а и ф можно рас-
рассматривать как нормальные координаты, соответствующие
поступательному движению и повороту молекулы как целого.
При преобразованиях вращения вектор а и вектор ф пре-
преобразуются, как обычные векторы трехмерного пространства.
Характеры соответствующих матриц преобразования равны
1 -|-2cosq).
При зеркальном повороте характеры преобразований векто-
векторов с и ф. соответственно равны
(для вектора с),
1 — 2 cos ф (для аксиального вектора ф).
Если учесть эти замечания, то для характера представле-
представления, которое соответствует только колебательным степеням
свободы, мы получаем
F.21)
= (ng — 2)A -|-2cos(p) (если g — поворот),
^ (g) = ng (— 1 -f- 2 cos ф) (если g — зеркальный
поворот).
Теперь вкратце остановимся на вопросе о классификации
электронных состояний молекулы.
Если написать уравнение Шредингера для молекулы, счи-
считая ядра фиксированными в положениях равновесия, то можно
утверждать, что собственные функции этого уравнения, т. е.
86 ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. VI
многоэлектронные волновые функции,, принадлежащие одному
собственному значению, преобразуются по неприводимому
представлению точечной группы молекулы. Кратность вы-
вырождения электронных уровней должна быть равна порядку
неприводимого представления. Так, например, молекула NH3
с симметрией C^v имеет только или простые, или двукратно
вырожденные электронные уровни.
Здесь мы ограничимся этим общим замечанием; конкрет-
конкретное применение теории представлений точечных групп к за-
задаче рассмотрения электронных состояний молекулы связано
с введением^ некоторых приближений. Мы вернемся к этому
вопросу в следующей главе.
Упражнения
6.1. Определить типы симметрии нормальных координат и вы-
вырождение собственных частот для молекулы NH3, имеющей сим-
симметрию Civ (рис. 2).
6.2. Написать таблицу характеров неприводимых представлений
ГруППЫ Ofr
Глава VII
Разложение приводимого представления
на неприводимые
В предыдущей главе мы научились определять неприво-
неприводимые представления, по которым должны преобразовываться
нормальные координаты симметричной молекулы. Однако
во многих задачах необходимо также знать явные выражения
этих нормальных координат через смещения ядер. Задача
определения нормальных координат значительно упрощается,
если мы предварительно из смещений xt ядер построим сим-
метризованные смещения, т. е. найдем линейные комбинации
смещений, преобразующиеся по неприводимым представлениям.
Очевидно, набор таких линейных комбинаций, соответствую-
соответствующих одному неприводимому представлению, определяет неко-
некоторое инвариантное подпространство в пространстве перемен-
переменных Х{. Таким образом, мы должны разложить базисное
пространство некоторого приводимого представления на
подпространства, неприводимые относительно преобразований
группы симметрии системы. Аналогичная задача возникает в
квантовой механике при построении приближенных волно-
волновых функций молекул. Покажем, как решается эта задача.
Наше рассмотрение имеет общий характер, т. е. относится
не только к точечным, но и к любым конечным группам.
1. Построение базисов неприводимых представлений
Пусть совокупность элементов {i|)(} (волновых функций или
смещений) образует базис некоторого приводимого предста-
представления D группы G. Выберем из этого базиса один элемент,
например i|),, и применим к нему все операции fg, соответ-
соответствующие преобразованиям g из группы G. Тогда мы получим
цепочку элементов, преобразующихся друг через друга. Затем
из совокупности {ipf} элементов выберем элемент, который
не содержится в этой цепочке (или, точнее, выберем элемент
базиса, который был бы линейно независимым от элементов по-
построенной цепочки). По этому новому элементу аналогично
построим вторую цепочку и т. д.
88 РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VII
Таким образом, мы получим некоторое предварительное
разложение представления D. Это не будет полным разло-
разложением, так как представление, реализующееся в цепочке,
вообще говоря, является приводимым. Поэтому теперь за-
задача сводится к разложению представлений, реализующихся
в цепочках. Из построения цепочек следует, что такие пред-
представления не могут быть шире регулярного (см. главу III).
Рассмотрим сначала случай, когда представление, реализую-
реализующееся на цепочке, является регулярным. Действуя на базис-
базисный элемент ф| всеми операциями симметрии, мы получим
цепочку, состоящую из т линейно независимых элементов,
где т — порядок группы О:
Мы знаем, что в регулярное представление входят все непри-
неприводимые представления группы О, причем неприводимое пред-
представление D<;) порядка /;- входит /;- раз. Найдем ортонорми-
рованные базисы, преобразующиеся по представлению D(;).
Для этого построим оператор:
где D\'?(g) — элемент матрицы этого представления, соот-
соответствующей операции g.
Покажем, что элементы
при фиксированном значке k образуют базис неприводимого
представления D^\ Действительно, мы имеем
s"
1] ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСОВ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 89
7
л-I g"
2
л-1 л=1
Мы видим, что под действием операторов Т элементы ф^,
фB?> Ф*-'! преобразуются друг через друга с матрицами
D (g). Так как в силу свойств ортогональности матричных
элементов неприводимых представлений матрица перехода от
элементов ф к элементам ф в формуле G.3) является уни-
унитарной и, следовательно, неособой, то из независимости всех
элементов цепочки следует независимость элементов ф(Д>. Бо-
Более того, если элементы ф^. ортонормированы, то этим же
свойством в силу унитарности преобразования будут обладать
элементы ф(?. Придавая значку k значения 1, 2 /.,
мы получим lj независимых базисов, преобразующихся по
представлению D('\
Если число независимых элементов tyg в цепочке меньше ш,
т. е. если представление, реализующееся на цепочке, уже,
чем регулярное, то не все полученные базисы неприводимых
представлений будут независимыми. Выделение независимых
базисов представляет некоторую дополнительную задачу. Од-
Однако в случае точечных групп эта задача оказывается три-
тривиальной. Упрощение задачи в этом случае связано с тем,
что порядки неприводимых представлений точечных групп,
встречающихся в приложениях, не превышают 3. Если не-
неприводимое представление одномерно, то оно может встре-
встретиться в представлении не более одного раза и соответ-
соответствующий ему базисный элемент находится с помощью един-
единственного возможного оператора Р[{\ Двумерное неприводимое
представление может встретиться не более двух раз. Если
оно встретится два раза, то остается в силе рассмотрение,
относящееся к регулярному представлению. Если один раз,
90
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VII
то для получения базиса этого представления можно взять
любую пару операторов Р[{\ Р^С или Р\{\ РЦ\ не приво-
приводящую к нулю при действии на выбранный элемент. Трех-
Трехмерное представление может встретиться в D не более трех
раз. Если оно встречается три раза, то необходимо исполь-
использовать все три тройки операторов
PW. Щ. PW (i=i, 2, з).
Если оно встречается один раз, то достаточно взять ту тройку
операторов, результат действия которых на элемент ф дает
отличный от нуля результат. Если же представление содер-
содержится два раза, то для получения базиса можно использовать
любые две тройки операторов, дающие линейно независимые
элементы.
Заметим, что для практического применения этого метода
разложения приводимого представления на неприводимые тре-
требуется знание матриц неприводимых представлений соответ-
соответствующей группы 1).
2. Определение симметризованных смещений
ядер молекулы
Для иллюстрации рассмотренного метода применим его
для определения симметризованных смещений ядер молекулы
UF6, обладающей симметрией группы Oh (рис. 3). Такая мо-
молекула имеет 21 степень свободы и, следовательно, 15 нор-
нормальных координат, соответствующих колебаниям. Применяя
изложенный в предыдущей главе способ определения харак-
характеров представления D, которое реализуется на смещениях
xL, у,-, zt, мы получим следующую таблицу2):
Е
21
зс,
—3
3
1
8С,
0
i
—3
3C2i
5
6С«/
j
6C\l
3
8С,«
0
') Таблицы матриц неприводимых представлений точечных групп
см. в работе: Е. М. Ледовская, Е. Д. Трифонов, Вестник
ЛГУ, № 10 A962), 21.
2) Здесь под смещениями xi, yt, zt мы будем понимать единич-
единичные смещения, или орты, которые в главе V были обозначены
через в(.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СМЕЩЕНИЙ ЯДЕР МОЛЕКУЛЫ
91
Используя формулу C.59) для определения структуры
приводимого представления, мы с помощью таблицы харак-
характеров неприводимых представлений группы Oh (см. стр. 82)
находим
О = Г]+Г34-Г44-Г;4-ЗГ^4-Г8. G.5)
Г
F
>F
Заметим, что в этом разложении содержатся также представ-
представления, по которым преобразуются координаты, описывающие
смещения и поворот системы как
целого.
Обратим внимание также на
то, что симметризованные смеще-
смещения для всех неприводимых пред-
представлений, кроме Гд, будут одно-
одновременно и нормальными коорди-
координатами, так как в разложение D
каждое из неприводимых пред-
представлений, кроме Г'5, входит не бо-
более одного раза. Теперь мы можем
приступить к нахождению сим-
метризованных смещений. Вместо того чтобы рассматривать
всю группу Он, мы можем ограничиться рассмотрением
подгруппы О, если предварительно заменить смещения дс,-, yt, zt
их симметричными и антисимметричными относительно инвер-
инверсии комбинациями:
2
F
4
U
5
F
Рис 3.
Симметричные (четные)
смешения
У г —Уз
*i — *з
i — Уг У5 —
1 ~ Zo Zc —
Антисимметричные (иечетные)
смещения
G.6)
х7 у7 z7
Тогда базисные векторы четных представлений мы будем по-
получать при действии операторов Р\'ь на четные смещения,
а базисные векторы нечетных представлений — при дейст-
действии операторов Р^' на нечетные смещения.
Таблица матриц неприводимых представлений группы О
дана в приложении.
92 РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VII
Подействуем операциями группы О на смещения G.6),
тогда мы получим следующие пять цепочек:
"• Уг~Уз> г\~ гз- У5 —У6- х4- х2, г4 — г2, х6 — х5.
III. *7, y7, 2Г7.
V. , + 3 e + S У4 + У2
Рассмотрим первую цепочку. Построим оператор Р\}, со-
соответствующий тождественному представлению Г\:
SW_ ! Vf п 7\
1а2а «¦
g
Действие этого оператора на любой из элементов первой
цепочки, например Jfj—xs, дает
P!iWi — Хз) =у(*> ~ ** + ** —*ь + Ъ — Уг> = Я1- G.8)
В главе V было показано, что связь между смещениями
YtriiXi и координатами qk осуществляется с помощью уни-
унитарного преобразования. Поэтому, если мы имеем
<?i = |M*/^ G.9)
(где для простоты записи значок k нумерует как атомы, так
и декартовы составляющие), то
т* i
Из равенства G.10) мы можем получить величины смещений
атомов, которые соответствуют отдельным нормальным ко-
координатам. Полагая все координаты qt, кроме qs, равными
нулю, мы получим
x b9 G.11)
Так как атомы, соответствующие одной цепочке смещений,
эквивалентны и, следовательно, имеют одинаковые массы, то
по известным соотношениям G.9) мы можем найти /с точ-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СМЕЩЕНИЙ ЯДЕР МОЛЕКУЛЫ
93
ностью до множителя ) смещения G.11). В частности,
используя равенство G.8), мы находим, что нормальная ко-
координата q{ соответствует полносим-
полносимметричному смещению, которое изо-
изображено на рис. 4.
Из трех независимых смещений
первой цепочки можно построить еще
две нормальные координаты, которые
могут быть только базисными векто-
векторами двумерного представления Г3,
так как в разложении G.5) нет больше
симметричных одномерных или дву-
двумерных неприводимых представлений.
Для определения этих двух нормаль-
нормальных координат подействуем на смещение z6 — Zs операто-
операторами Рц и Ргь С помощью таблицы матричных элементов
неприводимых представлений мы находим
Pfl (*6 — *5) = у (*6 — *5 + Э>2 — У*> = 42' G-12)
1/7
Рис. 4.
Смещения, соответствующие нормальным координатам q2 и qz,
изображены на рис. 5.
/ 4
Рис. 5.
У нас осталась еще одна цепочка (II), в которой должны
реализоваться симметричные представления Г4 и Г5. Для опре-
определения соответствующих нормальных координат построим
94
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VII
операторы Pfi и Pfi (i=l, 2, 3) и подействуем ими, на-
например, на смещение у6— у5:
1 . ... _ . я
УВ) = у
Уб) = у
G.14)
&?} (У* - Уб
Р® (Уе - Уз) = Т
- У5) = у
G.15)
Соответствующие смещения изображены на рис. 6. Коорди-
Координаты q7, qs, qg, преобразующиеся по представлению Г5, опи-
описывают поворот молекулы как целого.
6
6
А
2'-
Рис. 6.
Теперь перейдем к цепочкам, состоящим из антисимме-
антисимметричных смещений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СМЕЩЕНИЙ ЯДЕР МОЛЕКУЛЫ
95
Для цепочки III нет необходимости применять наш метод,
так как всякий вектор преобразуется по неприводимому пред-
представлению Г5. Мы имеем:
х = а у = а , Z- = a G 16)
Координаты ql0, qu, qi2 не являются нормальными коорди-
координатами, так как представление Г5 входит в разложение 3 раза.
Элементы цепочки IV преобразуются по представлениям Т\
и Г5. Действуя операторами Р$ на смещение Jf2 + *4. полу-
получаем следующие нормальные координаты:
- Х5
\ (Х2
Соответствующие смещения изображены на рис. 7.
G-17)
з
>4 ¦ 2о
о4 2\
Рис. 7.
При действии оператора Pfl на х2-\-Ха получаем сле-
следующие базисные элементы:
G.18)
96 РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VII
которые также не являются еще нормальными координатами.
Наконец, для последней цепочки V, состоящей из трех сме-
смещений, остается неприводимое представление Г5, и мы имеем
еще три координаты:
Из девяти координат, преобразующихся по представле-
представлению, кратному неприводимому представлению Г5, нужно выде-
выделить координаты, которые соответствуют смещению молекулы
как целого. Это легко сделать. Очевидно, что три коорди-
координаты поступательного движения имеют вид
2Х
2Х
G.20)
2Х
Для того чтобы из оставшихся шести координат построить
нормальные координаты, надо решить вековое уравнение вто-
второго порядка для матрицы потенциальной энергии (см. главу V,
стр. 71).
3. Метод линейной комбинации атомных орбит
Второй пример применения рассмотренного в п. 1 метода
относится к исследованию электронных состояний молекулы.
Мы остановимся здесь лишь на постановке задачи, так как
ее решение аналогично рассмотрению в п. 2. При исследова-
исследовании стационарных состояний молекулы часто используют так
называемое адиабатическое приближение: электроны моле-
молекулы рассматриваются в электростатическом поле ядер, обра-
образующих некоторую симметричную конфигурацию. Задача
определения состояния электронов молекулы, т. е. задача
определения собственной функции оператора электронной
энергии молекулы, может быть приближенно сведена к одно-
электронной задаче; при этом каждый электрон рассматри-
рассматривается в некотором эффективном поле, которое создают
3] МЕТОД ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ АТОМНЫХ ОРБИТ 97
остальные электроны и ядра. Можно приближенно предпо-
предполагать, что это эффективное поле обладает той же симме-
симметрией, что и конфигурация ядер.
Далее используют следующие рассуждения. Если бы атомы
или ионы, образующие молекулу, находились на достаточно
большом расстоянии друг от друга, то одноэлектронные
функции молекулы совпадали бы с ионными или атомными
одноэлектронными функциями. При этом одноэлектронные
уровни энергии были бы вырожденными, одинаковые волно-
волновые функции, локализованные около разных, но эквивалент-
эквивалентных атомов, соответствовали бы одному и тому же значению
энергии. В действительности атомы в молекуле находятся на
таких расстояниях, при которых влияние одного атома на
другой имеет существенное значение; поэтому одноэлектрон-
одноэлектронные функции свободных атомов или ионов не будут реше-
решениями уравнения Шредингера для одноэлектронных состояний
молекулы. Однако можно предположить, что набор таких
функций образует систему, достаточно полную для прибли-
приближенного решения нашей задачи. Практически число функций
в этом наборе конечно, и на функциях этого набора реали-
реализуется некоторое приводимое представление D точечной
группы G.
В главе V было показано, что задача диагонализации
матрицы гамильтониана значительно упрощается, если пред-
предварительно выбрать функции так, чтобы они образовывали
базисы неприводимых представлений. Построение таких бази-
базисов аналогично выполненному в предыдущем пункте. Рас-
Рассматриваемая «полная» система функций разбивается на цепочки
функций, и в каждой цепочке с помощью операторов Р*Ц
строятся базисы неприводимых представлений. Если какое-
нибудь неприводимое представление встречается в разложеиии
только один раз, то построенные волновые функции будут
собственными функциями нашей задачи. Если неприводимое
представление D встречается гj раз, то после построения
базисов этого неприводимого представления для нахождения
собственных функций приходится решать вековое уравнение
порядка гу Этот метод нахождения одноэлектронных прибли-
приближенных решений для молекулярной задачи носит название
метода линейной комбинации атомных орбит.
М. И. Петрашень, Е. . Трифонов
98 РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (ГЛ. VII
Упражнение
7.1. Для кубического комплекса (типа ^-центра в щелочно-
галоидном кристалле) построить волновые функции, преобразую-
преобразующиеся по неприводимым представлениям группы куба О^. Считается»
что полная система функций состоит из шести s-функций, локали-
локализованных в окрестностях точек /, 2, ..., 6 (рис. 8).
Глава VIII
Пространственные группы
и их неприводимые представления
Группой симметрии идеального кристалла или простран-
пространственной группой называют совокупность преобразований
трехмерного пространства, переводящих любую точку кри-
кристалла в эквивалентную. Важно отметить, что при этом кри-
кристалл или предполагают бесконечным, или заменяют моделью,
в которой отождествляются противоположные грани образца.
В последнем случае кристалл топологически эквивалентен
трехмерному тору.
1. Подгруппа трансляций
Характерной чертой симметрии кристаллов, отличающей
их от молекул, является наличие трансляционной симметрии:
идеальный кристалл представляет собой периодическое повто-
повторение определенной совокупности частиц. Трансляционную
симметрию можно определить с помощью трех некомпланар-
некомпланарных векторов:
а,, а2, а3,
называемых основными векторами решетки. Трансляция на
вектор
а = и,а, + п2а2 + п3а3, (8.1)
где nv п2, «з—целые положительные или отрицательные
числа, связывает эквивалентные точки гиг' кристалла:
(8.2)
Вектор а называют вектором решетки. Если из одной точки
(начала координат) отложить все векторы а, то их концы
образуют так называемую решетку Браве, или «пустую»
решетку, соответствующую данному кристаллу. Концы векто-
векторов при таком построении называют узлами решетки. Три
основных вектора решетки обладают тем очевидным свой-
свойством, что внутри элементарного параллелепипеда, построен-
построенного на них, нет ни одного узла решетки. Заметим, что
100
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
[ГЛ. VIII
выбор основных векторов решетки не является однозначным.
Однако при любом возможном выборе этих векторов объемы
элементарных параллелепипедов должны быть одинаковыми.
На рис. 9 показано, как можно выбрать основные векторы
а,
Рис. 9.
в случае квадратной двумерной решетки. Обычно в качестве
основных векторов берут наиболее короткие из возможных.
Элементарные параллелепипеды называют также элемен-
элементарными ячейками кристалла. Таким образом, в простран-
пространственной группе содержится в качестве подгруппы группа
трансляций (8.2) на векторы решетки. Мы будем обозначать
эту группу через Т„.
2. Сингонии
Решетки Браве обладают определенной симметрией отно-
относительно поворотов и отражений. Для каждой решетки Браве
существует точечная группа К преобразований, которые
переводят вектор решетки в вектор решетки. Ортогональное
преобразование трехмерного пространства, принадлежащее
группе К, будем обозначать через R. Существует семь систем
(сингонии) кристаллических решеток, различающихся точеч-
точечной группой К. Оказывается, не всякая точечная группа
может быть группой симметрии решетки. Требование, чтобы
одновременно с а вектор Ra также был вектором решетки,
ограничивает круг допустимых точечных групп. Выясним,
каковы эти ограничения.
Прежде всего отметим, что группа К должна содержать
инверсию: вместе с трансляцией на вектор а в группу Т„
всегда входит трансляция па вектор — а. Теперь установим,
какие оси симметрии может иметь группа К. Выберем в ка-
А сингонии 101
честве ортов базиса пространства векторов а основные век-
векторы решетки а,, а2, а3 и запишем преобразование R в новом
базисе, в котором все векторы решетки имеют целочислен-
целочисленные составляющие. Если матрицу ортогонального преобразо-
преобразования R в этом базисе обозначить через R, то мы будем
иметь
где U — матрица перехода от первоначального ортонормиро-
ванного базиса к базису а,, а2. а3- Если R — поворот (или
зеркальный поворот) на угол ф, то след матрицы R, так же
как и след матрицы R, равен
SpR = SpR=± l-f-2cos(p. (83)
Однако из условия, что преобразование R должно перево-
переводить вектор решетки а в вектор решетки а' — Ra, следует,
что все' элементы матрицы R, а следовательно, и ее след
должны быть целочисленными. Отсюда вытекает, что coscp
может принимать лишь следующее значение: ;
, coscpi=cos =±1, +-Д-. О- (8-4)
Следовательно, группа К может содержать только оси вто-
второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Наконец,
^южно показать, что если группа К содержит подгруппу Ся,
п > 2, то она'содержит также и подгруппу Cnv- Сформули-
Сформулированные выше три ограничения приводят к тому, что роль
точечной группы кристалла могут играть лишь 7 точечных
групп, а именно:
So' C2ft, D2h, D3h, DAh, D6h, Oh.
Это и является причиной того, что существует только 7 син-
гоний: триклинная, моноклинная, ромбическая, ромбоэдриче-
ромбоэдрическая, тетрагональная, гексагональная, кубическая.
Точечная группа решетки Браве накладывает определенные
ограничения', на возможное расположение и относительные
длины основных векторов решетки. Мы не будем проводить
здесь соответствующего рассмотрения. Однако для полноты
картины приведем таблицу, дающую более полные сведения
о решетках Браве.
102
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
[ГЛ. VIII
Метрика
простого типа
За
MuMi2 0
0 0 Мзз
Мп 0 0
0 Л122 0
0 0 Мзз
М 0 0
0 М 0
0 0 М
... м
М — -^тХз
я- М М2з
Сингония
триклнн-
ная S2
моноклин-
моноклинная С2А
ромбиче-
ромбическая D2f,
Тетраго-
Тетрагональная
ромбоэдри-
ромбоэдрическая
Тип
простой
с центриро-
центрированными
основаниями
про:той
с центриро-
центрированными
основаниями
объемноцен-
трированный
гране-
центриро-
ванный
простой
объемно-
центриро-
центрированный
простой
Отиоситель
иые длины
любые
а,=о2
а, = а2
Относительные
расположения
любог
О31<Т12
-^ _ 2я
3] ОБЩИЙ ЭЛЕМЕНТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГРУППЫ ЮЗ
Продолжение
Метрика
простого типа
-М м 0
0 0 Af
М 0 0
0 М 0
0 0 М
Сингоиия
гексаго-
гексагональная
кубиче-
кубическая
Обозначения: с^
Тип
простой
гранецен-
трирован-
ный
объемно-
центриро-
центрированный
1
= Щ — у «ft
Относитель-
Относительные длины
О! = О2
Oi = О2 = О3
а, =о2
1
О[ = О2
1
1
_
вектор, лежащий в плоскости векторов щ, ак.
Относительные
расположения
аз±а,2
^ 2я
OlO2 =-g—
aiia2j.er,I2xa,
e,ie,j.ft,,j.e,
3. Общий элемент пространственной группы
Общий элемент симметрии пустой решетки может быть
записан в виде taR; действие этой операции на трехмерный
вектор X определяется формулой
taRx = Rx^-a. (8.5)
Очевидно, мы будем иметь
taxRltaft2X= /?,/?2X+a, +/?1в2. (8.6)
(taR)~lx = R~lx — R~la. (8.7)
Операции ta и R не коммутируют; мы имеем
104
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
|ГЛ. VIII
Отметим, что точечную группу К решетки удобнее всего
определять, рассмотрев все операции, переводящие векторы а,,
а2, а3, —а,, — а2, — а3 друг в друга.
До сих пор мы рассматривали симметрию «пустых» реше-
решеток. Вернемся теперь к рассмотрению симметрии кристалла.
Кроме подгруппы трансляций Тп пространственная группа
содержит также другие преобразования, вид которых обу-
обусловлен, во-первых, симметрией решетки Браве, во-вторых,
симметрией компонентов кристалла, т. е. симметрией перио-
периодически повторяющейся совокупности частиц, образующей
кристалл. Это второе обстоятельство часто приводит к тому,
что не все преобразования из точечной группы К-входят
в группу симметрии кристалла.
Не все преобразования, совмещаю-
совмещающие узлы решетки, совмещают
также компоненты кристалла. По-
Поэтому возможно, что точечная
группа кристалла будет только
подгруппой точечной группы пу-
пустой решетки.
В общем случае преобразова-
преобразование симметрии кристалла, не со-
содержащее трансляции на вектор
решетки, имеет вид taR, где
R — некоторое преобразование из
точечной группы К, a ta — тран-
трансляция на вектор а, отличный от
вектора решетки. Для пояснения
таких несобственных трансляций
рассмотрим кристаллическую решетку алмаза. Решетку алмаза
можно составить из двух гранецентрированиых кубических
решеток, сдвинутых друг относительно друга вдоль прост-
пространственной диагонали куба на 1/4 ее длины (рис. 10). Вы-
Выберем в качестве центра симметрии положение какого-нибудь
ядра, например точку А. Ближайшие к этому узлу ядра,
принадлежащие другой подрешетке и отмеченные буквой В,
образуют тетраэдр. Легко убедиться в том, что пре-
преобразования из группы тетраэдра будут совмещать решетку
алмаза саму с собой. Преобразование инверсии i относительно
точки А не будет элементом симметрии рассматриваемой
решетки. Действительно, при таком преобразовании ядро В,
Рис. 10
3] ОБЩИЙ ЭЛЕМЕНТ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГРУППЫ 105
расположенное в вершине куба, окажется на середине про-
странствгнной диагонали. Однако если после инверсии произ-
произвести сдвиг по диагонали на четверть ее длины, то рассма-
рассматриваемое ядро В займет положение ядра А. Легко убедиться,
что инверсия и сдвиг приводят к совмещению подрешеток А
и В. То же можно утверждать для любых преобразований
из совокупности iTd. Таким образом, элементами симметрии
решетки алмаза будут преобразования точечной группы Td
и преобразования из совокупности iTd, сопровождающиеся
трансляцией ta, где а — вектор, направленный вдоль диаго-
диагонали куба и равный 1/4 ее длины.
Заметим, что вектор а всегда должен быть рациональной
частью вектора решетки а. Это связано с тем, что произве-
произведение преобразований, содержащих несобственные трансляции,
может дать чистую трансляцию, которая должна совладать
с трансляцией на вектор решетки. Преобразования taR сами
по себе не образуют группу, так как произведение таких
преобразований может содержать трансляцию на вектор
решетки. Если R — поворот, то элемент группы t,LR назы-
называют вращением вокруг винтовой оси; если R — отражение
в плоскости, то говорят, что преобразование taR соответ-
соответствует плоскссги скольжения.
Общий элемент пространственной группы может быть
записан в виде
g = tataR = ta,aR. (8.9)
Такая запись возможна, несмотря на то что трансляции ta
не коммутируют с преобразованием taR. Для доказательства
этого покажем, что элемент taRta также может быть пред-
представлен в виде (8.9). Действительно,
tuRtax = a + R(x -f а) = а + Rx + Ra. (8.10)
Так как R?K, то Ra — также вектор решетки, и, следова-
следовательно,
taRta = tRa+uR- (8.11)
Мы уже отмечали, что преобразования tuR не образуют
группу. В то же время легко убедиться, что преобразова-
преобразования R образуют группу.
Действительно, мы имеем
(8.12)
ЮЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. VIIi
Отсюда следует, что вместе с R и R' всегда имеется пре-
преобразование RR'. Так как R ? К, то эта группа, которую мы
будем в дальнейшем обозначать через F, должна быть под-
подгруппой группы К-
Кристаллы, имеющие одну и ту же группу F, относят
к одному классу. Очевидно, число кристаллических классов
равняется числу подгрупп в семи группах S2 Oh, опре-
определяющих сингонии. Легко сосчитать, что эти группы со-
содержат 32 различные подгруппы и, следовательно, сущест-
существуют 32 кристаллических класса. Отметим, что кристаллы,
принадлежащие одному и тому же классу, могут относиться
к разным сингониям, а при заданном классе и заданной син-
сингонии кристаллы могут еще отличаться несобственными тран-
трансляциями ta. Установлено, что существует всего 230 раз-
различных пространственных групп.
4. Неприводимые представления группы трансляций
Для того чтобы построить неприводимые представления
пространственной группы, изучим сначала неприводимые пред-
представления ее подгруппы — группы трансляций Тв.
Если трансляции на основные векторы решетки обозна-
обозначать соответственно через
'«,. Ь, tai, (8.13)
то произвольный элемент из группы Тв может быть пред-
представлен в виде
*. = *##?• (814)
где
а = я,а, + п2а2 + я3а3. (8.15)
Все трансляции коммутируют друг с другом, и, следова-
следовательно, группа трансляций абелева. Рассмотрим кристалл,
размеры которого определяются векторами Lla1, L2a2 и ?3вз>
где Lv L2, Z3—целые числа, и наложим на трансляции так
называемые циклические условия:
^;+I=V /=l-2-3- <8Л6>
Это мы и подразумевали, говоря, что отождествляем про-
противоположные грани образца.
4] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРАНСЛЯЦИЙ Ю7
Поэтому группу трансляций Та мы можем рассматривать
как прямое произведение трех циклических групп Тв. с эле-
элементами
Как мы знаем, неприводимые представления циклической
группы одномерны. Для г Т
они определяются числами
р р
группы одномерны. Для группы Тв., имеющей порядок
е Li . (8.18)
Индекс т классифицирует неприводимые представления и
может принимать значения 0, 1, 2 Lj—1. Число п
равно степени соответствующего элемента циклической
группы (8.17). Поэтому неприводимыми представлениями
группы Тв с элементами (8.14) будут числа
Мы видим, что каждое неприводимое представление груп-
группы Та определяется тройкой чисел (т}, т2, т3), а число
различных неприводимых представлений равно произведе-
произведению LXL2LZ.
Введем в рассмотрение три вектора bv b2, Ь3, определив
их условиями
{afik) = 2nblk, I, A=l, 2, 3. (8.20)
Очевидно, что
. _ 2л[а2а3] . _ 2jt[a3ai] - __
° ° °
°' — (о, [о2о3]) ' °2~ (а2 [аза1]) * °3 (а3 [а.а,]) '
Рассмотрим вектор
* = TLft. + T1^ + fift3- (8-21)
*->\ *-*2 *
Вектор k задан в пространстве, определяемом векторами
ft,, ft2, ft3 и называемом пространством обратной решетки
(по отношению к решетке, определяемой векторами а,, а2
и а3). Очевидно, числа (8.19), дающие неприводимые пред-
представления группы Тв, можно записать в виде
е'"<*в>. (8.22)
108 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. VIII
Таким образом, каждое неприводимое представление группы Тв
характеризуется своим вектором k. Мы будем обозначать
эти представления через fft. Если qk — орт представления
Г» и ta — оператор трансляции на вектор а, то
taqk--=et(ka)qk- (8.23)
Два вектора k и k' пространства обратной решетки, раз-
различающиеся на вектор
&=-/>А + />2&2+/>з&з. (8.24)
где Pj—целые числа, называются эквивалентными; оче-
очевидно, они характеризуют одно и то же неприводимое пред-
представление. В качестве области изменения вектора k, опре-
определяющего неприводимые представления группы трансляций,
удобно выбрать такую односвязную область в пространстве
обратной решетки, которая содержит в себе начало коор-
координат и для которой выполняются следующие два условия:
а) эта область не содержит эквивалентных векторов,
б) для произвольного вектора пространства обратной ре-
решетки в этой области найдется эквивалентный вектор. Эту
область называют приведенной зоной Бриллюэна.
Можно показать, что группы Ка прямой и Кь обратной
решеток Браве совпадают. В самом деле, пусть R?Ka
Тогда наряду с равенством (ай)=:2ли мы имеем (Ra, &) =
= 2пт, откуда (a, R~lb)=2ntn. Следовательно, R~lb есть
вектор обратной решетки. Но когда преобразование R про-
пробегает всю группу Ка< обратное преобразование R~'
также пробегает всю группу. Отсюда можно заключить, что
KaczKb- Повторяя рассуждение для R?Kb, мы получим,
что KbCzKa- Отсюда следует, что группа Ка совпадает
с группой Кь-
5. Звезда вектора k
Допустим, что нам известно некоторое неприводимое
представление D пространственной группы О. По отноше-^
нию к подгруппе трансляций Та оно является, вообще го-
говоря, приводимым. Матрицы представления D, соответствую-
соответствующие трансляциям ta, коммутируют между собой; поэтому
орты базиса представления всегда можно выбрать так, чтобы
эти матрицы были диагональными. Эти орты будут ортами
5] ЗВЕЗДА ВЕКТОРА k 109
неприводимых представлений Г* группы трансляций, поэтому
их можно обозначить также через qk, где k — вектор из
приведенной зоны Бриллюэна.
Выясним, как связаны между собой векторы k, соответ-
соответствующие базису данного неприводимого представления D.
Пусть qk — один из ортов этого базиса, тогда согласно (8.23)
мы имеем
(8.25)
Рассмотрим теперь оператор tataR, соответствующий про-
произвольному элементу группы О. Действуя этим оператором
на орт qk, получим некоторый единичный вектор q'\
q' = tJmRqh. (8.26)
Выясним, как преобразуется q' при трансляциях на вектор
решетки. Мы имеем
'«' Я' = ta.tatuRq = tJJa,Rqk. (8.27)
Используя соотношение
С* = #*-v. (8.28)
получаем
--V.
(8.29)
Отсюда следует, что вектору q' следует приписать значок Rk.
Таким образом, общее преобразование tataR переводит орт
qk в орт qRk. Следовательно, если в базис неприводимого
представления D пространственной группы входит орт qk,
то в него входит также и орт qRk, где R — преобразование
из точечной группы F. Совокупность всех неэквивалентных
векторов Rk, где R?F, называют звездой вектора k. Если
с помощью всех операций R?F получаются т различных
векторов
kx — k, k2 = Rlk, ..., kn = /?„_,*,
то говорят, что вектору k соответствует звезда /и-го по-
порядка.
ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. VIII
6. Группа вектора k
Пусть k — какой-нибудь вектор из приведенной зоны
Бриллюэна. Рассмотрим все преобразования из О, оставляю-
оставляющие вектор k инвариантным. Они образуют подгруппу Нь
группы О. Действие преобразования из О на вектор k нужно
понимать в смысле равенства (8.29), рассматривая k как
индекс базисного вектора, т. е. tataRk= Rk. Очевидно, все
преобразования подгруппы Тп оставляют вектор k инвари-
инвариантным. Если группа G не содержит несобственных тран-
трансляций, то кроме трансляций ta в группу Нь входят еще
только некоторые ортогональные преобразования, образую-
образующие подгруппу Fk группы F, и произведения этих преоб-
преобразований на трансляции. Группу Й^ будем называть груп-
группой вектора k. Если конец вектора к лежит на поверхности
зоны Бриллюэна, то в группу Нь входят также элементы,
которые переводят k в эквивалентный вектор.
Разложим группу О на совокупности, сопряженные сле-
слева относительно подгруппы Нк:
^Я*- ё2Н*' •••• 8тНш< (8.30)
где g1— тождественное преобразование группы. Выясним,
какими свойствами обладают элементы g' ?з Sm B этом
разложении. Так как ни один из элементов совокупности
g2Hk не должен содержаться в подгруппе Я*, то элемент g2
не может оставлять инвариантным вектор k. Легко убе-
убедиться в том, что все преобразования из сопряженной со-
совокупности g2Hk переводят вектор k в один и тот же век-
вектор k2 = g2k. Аналогично преобразования из других сово-
совокупностей переводят вектор k в векторы k3— g3k, k4 =
= g^k km — gmk. Все эти векторы должны быть раз-
различными. Действительно, если бы преобразования g2 и g3
переводили вектор k в один и тот же вектор k2 — kz, то
совокупность элементов g^lg2Hk должна была бы оставлять
вектор k инвариантным и, следовательно, совпадала бы
с группой Нк. Но из gzlg2Hk = Hk следует g2Hk = gzHk,
чего не может быть, так как сопряженные совокупности не
содержат общих элементов. Поскольку сопряженные сово-
совокупности исчерпывают всю группу, то векторы kx km
образуют звезду вектора k. Легко видеть, что группа век-
7] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Ш
тора kL, принадлежащего этой звезде, может быть пред-
представлена в виде
откуда вытекает, что группы векторов звгзды изоморфны
друг другу.
7. Неприводимые представления пространственной
группы
Предположим, что представление D пространственной
группы разложено на неприводимые представления под-
подгруппы трансляций, т. е. что матрицы представлений, соот-
соответствующие трансляциям, диагональны. Выберем в прост-
пространстве а представления D те орты, на которых реализуется
одно и то же представление Гл группы Тв. Обозначим че-
через Ofc линейное подпространство, образованное этими ор-
ортами. Если к любому вектору подпространства вк приме-
применить преобразование из группы Нк, то мы опять должны
получить вектор, принадлежащий а*. На основании этого
можно заключить, что в пространстве ак должно реализо-
реализоваться некоторое представление Г группы Нк. Аналогичным
образом из базисного пространства а представления D мож-
можно выделить подпространства ак., в каждом из которых реа-
реализуются представления группы соответствующего вектора.
Каждое из подпространств ок. может быть получено из под-
подпространства а* с помощью операций gt. Ясно также, что
в каждом из подпространств а*г реализуются эквивалентные
представления изоморфных групп Hk..
Покажем теперь, что из неприводимости представления D
вытекает, что в каждом из подпространств а*, реализуется
также неприводимое представление группы соответствующего
вектора kt. Действительно, предположим противное, т. е.
будем считать, что в пространстве а* можно выделить под-
подпространство a'k, инвариантное относительно группы Нк. По-
Подействуем на а'к операциями ^(j—1, 2, ..., т). Тогда мы
получим подпространства
o'k=g.p'H. (8.32)
112 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. VIII
Покажем, что тогда прямая сумма этих подпространств
о' = а; ©о-; 0...0О-; (8.зз)
12 т
инвариантна относительно всей пространственной группы О.
Любой элемент группы О согласно (8.30) может быть пред-
представлен в виде
Z = 8ihk' h
Тогда мы имеем
Таким образом, при преобразованиях из группы О каждое
из подпространств a'k переходит либо само в себя, либо
в какое-нибудь другое подпространство o'k, и пространство о'
оказывается инвариантным относительно преобразований из
группы О. Но, с другой стороны, пространство о' является
подпространством пространства о представления D, которое
мы считаем неприводимым. Отсюда следует, что в каждом
подпространстве вк. может реализоваться только неприводи-
неприводимое представление группы Н^, т. е. представление П^ не-
приводимо. Таким образом, мы приходим к результату, что
каждое неприводимое представление определяется звездой
вектора к и некоторым неприводимым представлением Г(а)
группы Hk волнового вектора. Эти неприводимые предста-
представления пространственной группы будем обозначать D%K Оче-
Очевидно, порядок п-ьа представления D% равен произведению
порядка па неприводимого представления Г(а) группы волно-
волнового вектора на от — число векторов в звезде: пка =. паш.
8. Неприводимые представления группы вектора k
Мы еще должны выяснить вопрос, какие неприводимые
представления Ра) группы вектора //* могут реализоваться
в пространстве а*. Оказывается, что на возможные неприво-
неприводимые представления группы Hk должны быть наложены не-
некоторые ограничения. Действительно, в группу волнового
вектора входят преобразования трансляций на векторы ре-
решетки. По определению все подпространство Оц состоит из
собственных векторов трансляций ta с собственным значе-
9] ПРИМЕР ИЗ
нием e.xpi(ka). Поэтому матрица представления, соответ-
соответствующая трансляции, должна иметь вид
(8.36)
где Е„ — единичная матрица. Таким образом, допустимыми
неприводимыми представлениями Г(а) группы Нк будут лишь
те, в которых трансляциям на вектор с соответствуют ма-
матрицы (8.36). Такие неприводимые представления группы Нь
мы будем называть нормальными.
Нормальные неприводимые представления легко опреде-
определить, когда пространственная группа не содержит поворотов
с несобственными трансляциями ta. Тогда группа Hk состоит
из всевозможных произведений элементов группы Та и то-
точечной группы F/,, которая в свою очередь состоит из тех
элементов точечной группы F, которые оставляют инвариант-
инвариантным вектор k. Так как все векторы пространства а* являются
собственными векторами операций трансляции с одним и
тем же собственным значением, то из неприводимости пред-
представления относительно группы Н/, следует неприводимость
относительно точечной группы Fk. Таким образом, класси-
классификация нормальных неприводимых представлений группы Hk
в рассмотренном случае проводится по неприводимым пред-
представлениям точечной группы Fk.
9. Пример
Прежде чем переходить к рассмотрению пространствен-
пространственной группы G, содержащей несобственные трансляции, мы
проиллюстрируем введенные понятия на простейшем примере
пространственной группы одноатомного кристалла с квадрат-
квадратной решеткой. В этом случае точечной группой F будет
группа Д,, имеющая восемь элементов (см. главу VI), зоной
Бриллюэна будет квадрат со стороной 2 — (а — постоянная
решетки кристалла). Так как вектор k полностью определяет
свою звезду, то для классификации неприводимых предста-
представлений пространственной группы достаточно рассмотреть
1/8 этого квадрата (рис. 11).
8 М. II. Петрашень, Е. Д, Трифонов
114
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
[ГЛ. VIII
Рассмотрим сначала вектор k, не связанный с элементами
симметрии зоны Бриллюэна (например, вектор ОА). При-
Применяя к такому вектору преобразования, входящие в группу D4,
мы получим звезду, состоящую из восьми векторов (рис. 12).
Очевидно, группа Fk преобразова-
преобразований из Д,, оставляющих этот век-
вектор k инвариантным, содержит
только один элемент Е и группа Нь
в данном случае совпадает с груп-
пой трансляций Та. Данному векто-
х ру k соответствует одно неприводи-
неприводимое представление Dftl группы О
восьмого порядка. В этом предста-
представлении матрицы, соответствующие
трансляциям ta, будут диагональны:
элементами их будут ехр/(*ус),
j = 1, 2 8 (k — векторы звезды). Преобразования из
группы F производят перестановку ортов базиса представле-
представления; поэтому матрицы, соответствующие этим преобразова-
преобразованиям, имеют только по одному элементу (недиагональному),
отличному от нуля и равному единице.
Рис. П.
в
Рис. 12.
Теперь рассмотрим вектор k, конец которого лежит на
оси симметрии (например, вектор ОВ на рис. 11). В этом
случае группа Fk содержит кроме тождественного эл;мента?
еще одну операцию ау (отражение в плоскости XZ) и изо-
изоморфна группе С2, имеющей два неприводимых представления
первого порядка. Звезда вектора k состоит из четырех век-
векторов (рис. 12, б). Отметим, что из четырех векторов будет
также состоять звезда вектора, оканчивающегося на границе
зоны Бриллюэна (например, вектора ОС на рис. 11). Осталь-
10] ГРУППА, СОДЕРЖАЩАЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ТРАНСЛЯЦИИ 115
ные четыре вектора, получающиеся при применении к век-
вектору ОС преобразований из группы Д,, будут эквивалентны
приведенным на рисунке. Рассматриваемому вектору k будут
соответствовать два неприводимых представления четвертого
порядка: D^ и О(Д В этих представлениях матрицы, соот-
соответствующие трансляциям, совпадают; элементы других ма-
матриц в этих представлениях могут отличаться только знаком.
Наконец, для вектора k = 0 группа Fk совпадает с Д,.
Поэтому вектору k = 0 соответствует столько различных
неприводимых представлений d$\ сколько их имеется
у группы Д, (четыре представления первого и одно второго
порядка). Порядки представлений D(oa) будут совпадать с по-
порядками представлений группы D4. Трансляциям ta в пред-
представлениях До соответствуют единичные матрицы; D$\R)
совпадают с соответствующими матрицами неприводимых
представлений группы Д,. Очевидно, тождественным пред-
представлением пространственной группы будет одно из непри-
неприводимых представлений, соответствующих k = 0.
10. Неприводимые представления пространственной
группы, содержащей несобственные трансляции
Рассмотрим теперь случай, когда группа вектора k со-
содержит несобственные трансляции. Осложнение, которое
возникает здесь, связано с тем, что преобразования Rta не
образуют группы: произведение двух таких элементов может
содержать трансляцию на вектор решетки. Однако, как мы
сейчас увидим, классификация неприводимых представлений
группы Ял, когда вектор k лежит внутри приведенной зоны
Бриллюэна, также проводится по неприводимым представле-
представлениям точечной группы Fk. Между представлениями групп Нк
и F/, в этом случае можно установить однозначное соответ-
соответствие. Пусть Г (Л) — матрица представления группы Нк, со-
соответствующая элементу h = tataR?Hb. Покажем, что ма-
матрицы
Г (Я) = Г (А) е-'I* (•+«)] (8.37)
дают представление группы F/,. Действительно, мы имеем
Г (Я,) Г (Я2) = Г (А,) Г (А2) е-' I*(«i+«i)l<>-' I* («>+«.)!. (8.38)
8*
116 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. VIII
Далее,
Г (А,А2) = Г (ta^R^fr) = Г (WRafRniR,R2) =
= f {RXR2) el (* («1+«1+лл+Л|««I. (8.39)
Подставляя (8.39) в (8.38), получим
Г (R1)f(R2) = Г (#!#,,) *' I* №.^J *i«2)l-' I» («п »2I =
= Г(/г1Л2)е'(Я1*"*' в2+°г). (8.40)
Так как вектор k по условию лежит внутри приведенной
зоны Бриллюэна, а преобразование R\ ? Fk, то
/?Г'А = А, (8.41)
и окончательно мы получаем
f 2). (8.42)
Наоборот, можно показать, что по любому представлению
группы Fu можно построить с помощью соотношения (8.37)
представление группы Нк. Существование такой взаимно
однозначной связи между представлениями приводит к тому,
что если представление T(R) неприводимо, то Г (Л) также
неприводимо. Подчеркнем еще раз, что все проведенное
здесь рассмотрение справедливо лишь для вектора к, лежа-
лежащего внутри зоны Бриллюэна.
Пусть теперь вектор k лежит на поверхности приведен-
приведенной зоны Бриллюэна. Тогда в группе Нк обязательно со-
содержатся такие преобразования, которые переводят вектор k
в вектор, отличающийся от k на вектор обратной решетки.
Поэтому формула (8.41) оказывается в этом случае неспра-
несправедливой. Если вектор k лежит на поверхности зоны Брил-
Бриллюэна, то он либо равен рациональной части вектора обрат-
обратной решетки, либо может быть разложен на два вектора,
один из которых — рациональная часть вектора обратной
решетки, а второй лежит внутри зоны Бриллюэна. Рассмо-
Рассмотрим отдельно эти два случая.
а) к — рациональная часть вектора обратной решетки.
В этом случае обязательно существуют три целых числа nv
п2, «з такие, что
(Й+1) (8.43,
10] ГРУППА, СОДЕРЖАЩАЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ТРАНСЛЯЦИИ Ц7
(практически каждое из чисел nt не больше 3). Соотноше-
Соотношение (8.43) является следствием того, что матрицы нормаль-
нормального представления Г группы Нк имеют вид
Г (ta) = «'<*•>?. (8.44)
Построим абелеву группу Т„1ЛзЛз, гомоморфную группе
трансляций Тв. Элементы т группы ТП1„2Лз мы определим
в виде
Т = tf'tf T*»,
где sP s2, s3 принимают значения соответственно от 1 до
/г/ —J— 1» г'=1, 2, 3, причем т"г+1=е, где е—единичный
элемент этой группы. Соответствие между элементами этих
групп определим следующим образом:
V?+1)I-V <8-45)
где / — произвольное целое число. Важно то, что в случае
(8.43) нормальные представления группы Н/, изоморфны
представлениям группы Hk, которая состоит из всевозмож-
всевозможных произведений элементов taR и Tj'T^Tg3. Поэтому, для
того чтобы найти неприводимые представления группы Нъ,
нужно найти все неприводимые представления группы Нк и
из них отобрать те, у которых матрицы, соответствующие
элементам т,, т2. т3, имеют вид (8.44).
б) Пусть теперь k = kx -f- k2, где kx — рациональная часть
вектора обратной решетки, а вектор k2 лежит внутри зоны
Бриллюэна. В этом случае для нахождения неприводимых
представлений группы Hk поступаем следующим образом.
Находим три наименьших целых числа nv n2, п3 таких, что
e4*i«jW)]==i. (8.46)
Строим конечную группу Hkl (гомоморфную группе Нк),
в которой элементам т.- соответствуют элементы ta иа.у >
Тогда можно показать, что неприводимые представления
групп Нкх и Hk связаны формулой
Г (т*'Т|=т^ц#) = Г (А) е'' 1*а(«+«I.
118
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
[ГЛ. VIII
где представление Г должно обладать тем свойством, что
его матрицы, соответствующие элементам ту-, должны иметь
вид (8.44).
Упражнения
8.1. Доказать, что подгруппа трансляций является нормальным
делителем пространственной группы.
8.2. Доказать, что если вектор k лежит в приведенной зоне
Бриллюэна, то вектор Rk, где R?K, также принадлежит приведен-
приведенной зоне.
У
\
\
\
а-
У
Рнс. 13.
8.3. Построить зоны Бриллюэ ia для простой, гранецентрнрован-
ной и объемноцентрированной кубических решеток. Основные век-
векторы этих решеток изображены на рис. 13.
.'лава IX
Классификация колебательных
и электронных состояний кристалла
Используем теперь сведения о неприводимых представле-
представлениях пространственных групп для классификации колебатель-
колебательных и электронных состояний кристалла. Мы будем пред-
предполагать здесь, что 1) нормальные координаты кристалла,
соответствующие одной частоте, преобразуются по неприво-
неприводимым представлениям пространственной группы; 2)собствен-
2)собственные функции уравнения Шредингера электронной задачи,
принадлежащие одному и тому же собственному значению
при фиксированных равновесных положениях ядер, также
преобразуются по неприводимым представлениям простран-
пространственной группы ').
Рассмотрим теперь классификацию колебательных и элек-
электронных состояний кристалла более детально. Для простоты
мы ограничимся такими пространственными группами, которые
не содержат несобственных трансляций.
1. Классификация нормальных колебаний
Мы будем рассматривать кристалл как систему материаль-
материальных частиц, совершающих малые колебания относительно
своих положений равновесия. Будем предполагать, что поло-
положения равновесия частиц образуют конфир рацию, обладаю-
обладающую симметрией пространственной группы О. Тогда, как
известно (см. главу VI, п. 3), декартовы составляющие сме-
смещений частиц из положений равновесия преобразуются по неко-
некоторому приводимому представлению этой группы. Перейдем
от декартовых смещений xt к нормальным координатам q}-2).
') В некоторых случаях может быть дополнительное вырожде-
вырождение, связанное с инвариантностью относительно обращения времени
(см. главу XIII). Подробнее об этом см. В. Хейне, Теория групп
в квантовой механике, § 26, ИЛ, 1963.
2) Здесь под смещениями jc,-, так же как в главе VII, мы будем
понимать единичные смещения, или орты.
120 КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ КРИСТАЛЛА [ГЛ. IX
Если под переменной xt понимать смещение, умноженное па
корень из массы соответствующего ядра, то, как мы знаем,
декартовы смещения xt и нормальные координаты qj связаны
унитарным преобразованием
<7, = 2^/*;. (9.2)
где ||С{у[| — унитарная матрица. Нормальные координаты,
соответствующие одной частоте, должны преобразовываться
по неприводимому представлению пространственной группы.
Их всегда можно выбрать так, чтобы они были собственными
векторами оператора трансляции t3 на вектор решетки. Будем
считать, что это сделано. Тогда согласно (8.3) мы имеем
*>,=e4VV (9-3>
где kj — вектор, определяющий неприводимое представление
группы трансляций Та, по которому преобразуется нормаль-
нормальная координата qf. Если же операцию трансляции применить
к некоторому смещению xt, то мы получим смещение х^
эквивалентного ядра в элементарной ячейке, сдвинутой на
вектор а по отношению к исходной ячейке. Поэтому, при-
применяя оператор трансляции ta к обеим частям равенства (9.1),
мы получим
Напомним, что величина q. изменяется с течением времени
по гармоническому закону
Таким образом, мы видим, что смещения xt представляют
собой суперпозицию гармонических колебаний. Колебания
с одной частотой эквивалентных атомов в разных ячейках
в силу (9.4) оказываются периодически сдвинутыми по фазе.
Длина волны каждого колебания, очевидно, равна Я,^ =
= 2я|?;-|~. Другими словами, каждому нормальному ко-
колебанию, выбранному так, чтобы оно преобразовывалось
ПО неприводимому представлению группы трансляций, соот-
1] КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 121
ветствует плоская волна с волновым вектором, равным век-
вектору к этого представления.
Сколько имеется независимых волн с одним и тем же
волновым вектором ft? Для этого нам надо узнать, сколько
раз неприводимое представление группы трансляций, соответ-
соответствующее этому значению k, содержится в представлении D,
которое реализуется на всех смещениях xt. Заметим, что
преобразование трансляций связывает составляющие смеще-
смещений только эквивалентных атомов в различных ячейках кри-
кристалла. Если число атомов в ячейке равно 5, то все много-
многообразие смещений {xt) можно разбить на 3s многообразий,
на каждом из которых будет реализоваться регулярное пред-
представление группы трансляций. Мы знаем, что неприводимые
представления группы трансляций одномерны и поэтому
в регулярном представлении могут встретиться лишь по одному
разу. Поэтому в представлении D каждое неприводимое
представление содержится точно 3s раз. Таким образом,
мы получаем ответ на поставленный вопрос: число различных
нормальных колебаний, или число различных плоских волн
с одним и тем же волновым вектором, всегда равно Ss.
Среди всех нормальных колебаний особый интерес пред-
представляют так называемые предельные колебания с волновым
вектором Л = 0. Их число также равно 3s. Из формул (9.4)
видно, что при этих колебаниях движения эквивалентных
атомов в различных элементарных ячейках происходят в фазе.
Если представить себе кристалл состоящим из подрешеток
эквивалентных атомов, то можно сказать, что предельным
колебаниям соответствуют колебания подрешеток друг отно-
относительно друга. Различные предельные колебания отличаются
друг от друга как фазами, так и частотами колебаний под-
подрешеток. Ясно, что среди них должны быть три степени
свободы, которые описывают синфазное движение всех под-
подрешеток, т. е. движение кристалла как целого.
Нормальные координаты, соответствующие одному и тому
же значению волнового вектора, должны преобразовываться
по некоторому (приводимому) представлению группы Нь этого
волнового вектора. Представление Г, как было показано в
главе VIII, при отсутствии несобственных трансляций опреде-
определяется представлением точечной группы Fk. Нормальные ко-
колебания, преобразующиеся по неприводимому представле-
представлению группы Fk, должны иметь одинаковую частоту. Найдем
122 КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ КРИСТАЛЛА [ГЛ. IX
представление Г. С этой целью рассмотрим смещения атомов,
принадлежащих некоторой фиксированной (нулевой) ячейке:
*J»> = Sc/yfl> /=I. 2 3s. (9.5)
Смещения атомов ячейки, отстоящей от данной на вектор
решетки а, согласно (9.4) имеют вид
4" = 2<^'(*"Ч- о-в)
Рассмотрим теперь некоторые специальные смещения лс<°>
и jc^, которые получаются из (9.5) и (9.6), если положить
равными нулю все нормальные координаты qt, кроме тех,
для которых kj = k. Мы можем написать
3s
*?> = 2 ciflr <9-5а>
xf = в'(*У) 2 Ctjqj^e'CrtxfK (9.6а)
7-1
Выясним закон преобразования смещений x^f. Очевидно,
величины qj (kj = К) будут преобразовываться подобно ве-
величинам jcW. При преобразовании из точечной группы Fb
смещения дс^0' могут переходить либо в линейные комбинации
смещений атомов этой же ячейки, либо в линейные комби-
комбинации смещений атомов соседних ячеек. Однако для рассматри-
рассматриваемых специальных смещений лсФ> в силу (9.6а) можно всег-
всегда ограничиться линейными комбинациями смещений атомов
одной ячейки. Вычислить характеры преобразования величин jc<0)
можно с помощью обобщения способа, рассмотренного в гла-
главе VI. Если при преобразовании g из группы Fk атом нуле-
нулевой ячейки переходит в атом ячейки а, то соответствующий
вклад в характер равен
A + 2 cos<p)e'<*e), если g — поворот; |
(—I + 2 cos <р) е'(*а>, если g — зеркальный поворот. J
I] КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 12У
В результате мы получаем следующие формулы для ха-
характеров представления, которое реализуется на смеще-
смещениях Jc<0):
X —(I -+-2cos<pJ»ee'(*e) для поворота, (9.8)
а
у = (—1 -+- 2 cos(pJ »ае*(*в>для зеркального поворота, (9.9)
а
где па — число атомов нулевой ячейки, переходящих при
соответствующем преобразовании в ячейку а.
Ясно, что такие же характеры имеет представление Г,
по которому преобразуются координаты qj с волновым век-
вектором kj — k.
Теперь, применяя формулу C.88), основанную на свой-
свойстве ортогональности характеров неприводимых представле-
представлений, мы получим разложение представления Г на непри-
неприводимые.
Резюмируем полученные результаты. Нормальные колеба-
колебания кристалла классифицируются с помощью волнового век-
вектора k, лежащего в бриллюэновской зоне. Каждому век-
вектору k соответствуют 35 нормальных координат, где s —- число
атомов в элементарной ячейке. Нормальные координаты, пре-
преобразующиеся по неприводимому представлению группы Ft,
имеют одинаковую частоту. Такую же частоту имеют соот-
соответствующие нормальные координаты, принадлежащие другим
векторам звезды вектора k.
Мы провели наше рассмотрение для кристаллов, про-
пространственные группы которых не содержат несобственных
трансляций. Однако все результаты могут быть аналогичным
образом получены и для более сложных групп. При этом клас-
классификация нормальных координат, соответствующих одному
значению волнового вектора, должна проводиться не по
представлениям группы Fk, а по представлениям груп-
группы И/,.
При получении сведений о нормальных колебаниях кри-
кристалла мы опирались только на соображения симметрии.
Однако картина будет недостаточно полной, если мы не
выясним некоторые дополнительные свойства спектра соб-
собственных частот кристалла. В гармоническом приближении
124 КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ КРИСТАЛЛА [ГЛ.
смещения атомов кристалла удовлетворяют уравнениям
Будем искать решение, соответствующее вкладу одного нор-
нормального колебания, т. е. положим
xif = Cj.el <*«)-">'. (9.11)
Тогда система (9.10) сведется к системе 3s линейных одно-
однородных уравнений для коэффициентов ct. Условием суще-
существования нетривиального решения этой системы будет усло-
условие равенства нулю ее определителя. Мы получим алгебраи-
алгебраическое уравнение степени 3s относительно величин и2. Решения
этого уравнения и дадут собственные частоты нормальных
колебаний для данного значения волнового вектора к, сим-
симметрию которых мы только что определяли. Мы получим
35 корней to, (ft), w2(Jfe) W3.s(*)- Рассматриваемые как
функции вектора k величины ©,, со2 ®3s называют вет-
ветвями упругого спектра. Значения этих функций при k = 0
называют предельными частотами. Раньше мы показали, что
при k=0 имеется три нормальные координаты, которые
описывают смещение кристалла как целого (поступательные
степени свободы). Очевидно, этим координатам соответству-
соответствуют частоты, равные нулю. Поэтому мы можем утверждать,
что три из ветвей спектра должны начинаться со значения о»,
¦равного нулю. Эти три ветви называют акустическими вет-
ветвями спектра. Остальные 35—3 ветвей называют опти-
оптическими.
Выше мы показали, что нормальные координаты, соот-
соответствующие одному волновому вектору и прообразующиеся
по неприводимому представлению группы волнового вектора,
соответствуют одной и той же частоте. Поэтому, если по-
порядок неприводимого представления группы волнового век-
вектора больше единицы, то в данной точке h зоны Бриллюэна
имеет место вырождение частоты или, как говорят, проис-
происходит «слипание ветвей». Слипание ветвей может происхо-
происходить как в отдельных симметричных точках, так и вдоль
осей симметрии зоны Бриллюэна.
2] КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ 125
2. Классификация электронных состояний
кристалла
Рассмотрим теперь электронные состояния кристалла,
предполагая, что ядра атомов фиксированы в узлах решетки.
Оператор Гамильтона многоэлектронной системы, находящейся
в поле этих ядер, очевидно, инвариантен относительно пре-
преобразований соответствующей пространственной группы. По-
Поэтому собственные функции этого оператора, соответствую-
соответствующие одному и тому же собственному значению, преобра-
преобразуются по неприводимому представлению D% группы симметрии
кристалла, и их можно выбрать так, чтобы они были также
собственными функциями оператора трансляции на вектор
решетки. Мы будем обозначать такие функции через
Ц1' .(/-, г Л, а собственное значение энергии через Eka.
Здесь индекс k обозначает один из векторов звезды непри-
неприводимого представления, значок а нумерует неприводимые
представления группы волнового вектора, а значок j — орты
базиса а-го представления. Мы имеем
Из соотношения (9.12) следует, что функция
л
где /? =-дг ^J г'! инвариантна относительно трансляций. Дей-
ствительно,
= е-1 <*• *+-Lf, (r, + а
Отсюда следует, что собственные функции нашей задачи
всегда могут быть представлены в виде
j(r, Гдг). (9,14)
12t КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ КРИСТАЛЛА [ГЛ. IX
где Ukaj(rv ..., rN~) — периодическая функция. Функ-
Функции f/fta;, соответствующие одному и тому же собственному
значению энергии, преобразуются по неприводимому пред-
представлению группы волнового вектора k. Если теперь функ-
функцию Ukaj представить в виде ряда, расположенного по не-
некоторой полной системе периодических функций, и подста-
подставить функцию x^kaJ(/'v .... гА определенную соотношением
(9.14), в уравнение Шредингера, то мы получим линейную
систему уравнений для определения коэффициентов разложе-
разложения. Корни соответствующего векового уравнения дадут нам
собственные значения энергии как функции волнового вектора
?,(*). Еа(к), ...
Говорят, что каждая из этих функций определяет энергети-
энергетическую зону кристалла. В симметричных точках зоны Брил-
люэна, на осях или плоскостях симметрии, значения некото-
некоторых из этих функций Е[ могут совпадать. Тогда говорят
о слипании энергетических зон. Это слипание обусловлено
вырождением энергии для данного значения k, о котором
мы говорили выше.
3. Одноэлектронное приближение
Практически метод теории групп применяется к упрощен-
упрощенным моделям рассматриваемой задачи. Успех этих прибли-
приближений в значительной мере связан с тем, что в них учтены
свойства симметрии точного решения.
Основным методом приближенного рассмотрения является
метод самосогласованного поля, в котором задача о взаимо-
взаимодействующих электронах сводится к одноэлектронной. Взаимо-
Взаимодействие электронов приближенно заменяется некоторым
эффективным полем, обладающим симметрией кристалла. Тогда
собственные, функции одноэлектронного оператора энергии,
обладающего группой симметрии кристалла, могут быть за-
записаны так:
(9.15)
где t/fta/(O — периодическая функция:
(9.16)
3] ОДНОЭЛЕКТРОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 127
Волновые функции (9.15), являющиеся базисными функциями
некоторых неприводимых представлений пространственной
группы, называют функциями Блоха. Эти функции могут рас-
рассматриваться как обобщенные плоские волны с переменной
периодической амплитудой Uk(r). Вектор k называют квази-
импульсом электрона. Собственное значение энергии Е =
= Е (k), как функция волнового вектора k, определяет одно-
электронную энергетическую зону.
Один из возможных методов решения одноэлектронной
задачи состоит в разложении функции W/,af по одноэлек-
тронным волновым функциям атомов или ионов, образующих
кристалл. Фактически этот метод представляет собой обоб-
обобщение метода линейных комбинаций атомных орбит, который
был рассмотрен в главе VII.
Условимся обозначать положение ячейки вектором а, а по-
положение атома в ячейке — вектором /. Таким образом, поло-
положение 1-го атома в ячейке а будет определяться вектором
a -f- /. Обозначим через ф;- (г — а — I) волновые функции
1-го атома, находящегося в ячейке а. Из этих функций легко
построить линейные комбинации, которые преобразуются по
неприводимым представлениям группы трансляций:
(г) = 2 «' (*e?;> (г - а -1). (9.17)
а '
а
Действительно, мы имеем
= 2 е'*«ф(/>(г + а' — a — t). (9.18)
Введем обозначение а" = а — а'. Переходя от суммирования
по а к суммированию по а", мы получим
U- Ф$ СО = 2 el(*{a"+a">typ(г — а" — 0 =
= е'(*«')фи) (г) (9 19)
Функцию Wbajif) MbI можем представить в виде
(9.20)
где коэффициенты b^j подлежат определению. Практически
в разложении функции ^kaf ограничиваются конечным числом
волновых функций атомов в каждой ячейке и, следовательно,
128 КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ КРИСТАЛЛА [ГЛ. IX
конечным числом функций Ф'Д в сумме (9.20). Корни соот-
соответствующего векового уравнения дадут нам приближенные
одноэлектронные энергетические зоны.
Решение векового уравнения можно упростить, предвари-
предварительно построив из функций Ф% линейные комбинации Ф*^,
преобразующиеся по неприводимым представлениям группы
волнового вектора fc. Это построение можно выполнить с по-
помощью метода, который был изложен в главе VII. Однако
для этого сначала'надо выяснить; как преобразуются функ-
функции Ф(Д при преобразованиях из.группы F/,. Пусть преобра-
преобразование g ? Fk. Действуя на функцию ФД оператором Tg,
мы получим
а
= 2 е1 <*»Чру (g~l (г — ga - gl)). (9.21)
а
Ясно, что вектор ga — снова вектор решетки:
ga — а'. (9.22)
Если при преобразовании g 1-й атом нулевой ячейки пере-
переходит в эквивалентный l'-й атом ячейки av то мы можем
написать
?7=0, + /'. (9.23)
Таким образом, мы получим
fg&jl = 2 е' (*в»ф;- (g~' (г — а' — а, — I')). (9.24)
а
Предположим теперь, что закон преобразования атомных вол-
волновых функций для операции g нам известен, т. е.
P 2 {g)^p). (9.25)
Используя это соотношение, мы найдем
ТеФ% = 2 *1 {ка) 2 с (g) qf > (r - а"), (9.26)
« i
где
а" = а' + а, = ga -f а,. (9.27)
3] ОДНОЭЛЕКТРОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 129
Перейдя от суммирования по а к суммированию по а'', мы
получим
Ьф%=- 2 «' <*.*"'«••—>)Sciy MyTHr — a"). (9.28)
Воспользуемся теперь тем, что ортогональное преобразова-
преобразование g" принадлежит группе волнового вектора. Следовательно,
е1 (*,«-"'(<*"-«,)) = g< (г*, (а"-а,)) __ g» (ft, (e"-ttl))_
В результате мы получим
«*«>2 № (9.29)
Таким образом, функции Ф'Д при преобразованиях из группы Fk
преобразуются так же, как атомные функции в молекулярной
задаче, с тем лишь отличием, что если при данном преоб-
преобразовании g 1-й атом нулевой ячейки переходит в 1-й атом
ячейки а, то функции Ф$, в линейную комбинацию которых
переходит функция Ф%, дополнительно приобретают множи-
множитель e-('(*ei).
Если решетка одноатомная, т. е. в каждой элементарной
ячейке имеется только один атом, то построение функций
^kai< преобразующихся по неприводимым представлениям
группы Fk, сводится к построению линейных комбинаций фа,-
атомных функций, которые преобразуются по этим неприво-
неприводимым представлениям. Действительно, легко проверить, что
в этом случае функции Ч^ц,- могут быть представлены в виде
4Wr) = 2«l(*eLP«(r-a). (9.30)
а
Если в разложении представления группы /¦>, по кото-
которому преобразуются функции Ф(Д, какое-нибудь неприводимое
представление содержится только один раз, то соответствую-
соответствующие ему функции ^ш будут приближенными одноэлектрон-
ными волновыми функциями рассмотренной задачи. В общем
случае, когда некоторое неприводимое представление Г(а'
содержится в упомянутом представлении несколько раз, для
9 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов
130
КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ КРИСТАЛЛА
[ГЛ. IX
определения волновых функций 1Р*и/ надо решать вековое урав-
уравнение, порядок которого равен кратности представления Г@).
У
у
у
Рис. 14.
Упражнение
9.1. Получить классификацию нормальных колебаний для двух-
двухатомного кристалла с простой кубической решеткой (рис. 14).
Глава X
Непрерывные группы
До сих пор мы рассматривали конечные группы. Теперь
мы перейдем к изучению бесконечных непрерывных групп.
1. Непрерывные группы линейных преобразований
Мы будем рассматривать группы линейных преобразований,
элементы матриц которых являются аналитическими функ-
функциями вещественных параметров. Пусть g{av cc2, ..., аг) —
элемент нашей группы. Параметры av а2. .. ., аг выбираются
таким образом, что существует однозначное соответствие
между окрестностью начала координат в r-мерном прост-
пространстве параметров и окрестностью единичного элемента
группы. Если
*(«,. «2 «,)*«. «2 <)=*«¦ «2 о-
то A0.1)
а* = Ф*(а1- «2 <V <• «2 К)' С102)
Функции фй, определяющие закон умножения в группе, пред-
предполагаются дифференцируемыми по всем своим аргументам.
Кроме того, на них должны быть наложены определенные
ограничения, обусловленные общими групповыми постулатами.
Рассматриваемые нами группы линейных преобразований,
удовлетворяющие перечисленным требованиям, принадлежат
к классу непрерывных групп Ли. Если параметры at изме-
изменяются в некоторой ограниченной области г-мерного про-
пространства, то группу называют компактной.
Перечислим некоторые группы Ли линейных преобразо-
преобразований:
1) Полная линейная группа OL(n) состоит из неособых
комплексных матриц порядка п. Элементы этой группы за-
зависят от 2п2 вещественных параметров.
2) Унимодулярная группа SL(n) состоит из всех ком-
комплексных матриц п-го порядка, определитель которых равен 1.
9*
132 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ 1ГЛ. X
Для этой группы г = 2я2 — 2. Ее вещественная подгруппа
зависит от п2 — 1 параметров.
3) Унитарная группа U (п) состоит из унитарных матриц
я-го порядка. Так как на элементы унитарной матрицы на-
накладываются п2 условий ортогональности и нормировки, то
число параметров, определяющих произвольный элемент группы
U (п), равно 2я2—я2=я2. Унитарная группа является ком-
компактной, поскольку сумма квадратов модулей элементов
унитарной матрицы «-го порядка равна п. Преобразования
из унитарной группы сохраняют неизменной квадратичную
форму
4) Унитарная унимодулярная группа SU (п) является под-
подгруппой группы U(п); она состоит из унитарных матриц
с определителем, равным 1. Число ее параметров г = п2—1.
5) Ортогональная группа О (я) является вещественной
подгруппой группы U (/г). На элементы произвольной орто-
ортогональной матрицы накладываются п -\ ^—- условий орто-
ортогональности и нормировки. Поэтому число параметров в этой
группе равно " '"—-. Определитель ортогональной матрицы
равен 1 или —1.
6) Группа вращений О4 (я) состоит из ортогональных
матриц л-го порядка с определителем, равным 1. Ясно, что
число параметров в этой группе также равно —-—^—-.
Особый интерес для физических приложений представляет
группа Оf C) трехмерных вращений.
2. Общие свойства групп Ли
Рассмотрим группу О линейных преобразований с матрич-
матричными элементами gik — gntio-v a2 аД Введем в рассмот-
рассмотрение производные от этих матриц по параметрам а; в точке
йц = О (А=1, 2, ..., г), т. е. введем матрицы ft с эле-
элементами
21 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГРУПП ЛИ 133
Матрицы /г мы будем называть инфинитезимальними матри-
матрицами группы О.
Каждый элемент матрицы g мы можем разложить в ряд
по степеням ссг. Удерживая в этих разложениях только ли-
линейные относительно at члены, мы сможем представить общий
элемент группы в окрестности единичного элемента группы
в виде
е = Е-\-^а1Г1. A0.4)
В выборе параметров группы имеется известный произвол.
Действительно, мы всегда можем перейти к новым парамет-
параметрам, взяв в качестве их любые однозначные функции парамет-
параметров а,, ..., а/.
а, = а,(а1, Oj, .... а,),
а2, ..., аг),
да.;
для которых функциональный определитель ,
В частности, если каждый из параметров а; умножить на
число Xt, т. е. положить
то для новых инфипитезимальных матриц, соответствующих
параметрам а,-, мы получим
В общем случае мы будем иметь
Составим теперь сопряженный с g' элемент gg'g~l
группы. Если ^'-бесконечно малое преобразование A0.4),
то с точностью до линейных членов по щ мы можем написать
gg'g-* - Е + 2 g/,g-%. A0.6)
134 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. X
Мы видим, что преобразование gg'g~l можно характеризо-
характеризовать теми же значениями параметров а;, что и преобразова-
преобразование g', если в качестве инфинитезимальных матриц выбрать
матрицы
Преобразованию A0.6) согласно A0.2), очевидно, соответ-
соответствует следующее преобразование параметров:
a* = <P*(Y; Ф(а. Y)).
где у и у обозначают совокупности значений параметров,
соответствующих матрицам g и g~*. Предположим теперь,
что параметры у также являются малыми величинами. Тогда
с точностью до членов более высокого порядка малости по у
мы можем написать
2 ^ (Ю.8)
Подставляя A0.8) в A0.7), получим
/,= /,+S (/Л-'Л)Ъ +
+ члены, содержащие более высокие степени yk. A0.9)
В левой части этого равенства согласно A0.5) стоит линей-
линейная комбинация инфинитезимальных матриц. Поэтому в силу
независимости членов с разными степенями параметров ук
мы можем утверждать, что коммутатор Iк1s — IJk также
есть линейная комбинация инфинитезимальных матриц. Таким
образом, мы имеем
liJs — IJb = ^ckJv A0.10)
Коэффициенты cbsl называют структурными постоянными
группы.
Инфинитезимальные матрицы однозначно определяют
группу, т. е., зная эти матрицы, мы можем определить любой
конечный элемент группы. Справедливость этого утвержде-
утверждения мы покажем для того случая, когда элемент группы
матриц g(av a2, ..., аг) одновременно является элементом
2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГРУПП ЛИ 135
однопараметрической подгруппы этой группы ')• Итак, рас-
рассмотрим однопараметрическую подгруппу группы О. Ее обра-
образует некоторая совокупность матриц g, параметры которых
могут рассматриваться как дифференцируемые функции пара-
параметра 6: ai=ai(Q). Параметр 0 предполагаем выбранным таким
образом, что
+ е2), (io.li)
A0.12)
Продифференцируем обе части равенства A0.11) по 0, и
положим затем 0,=О, 02 = 0. Тогда получим
а (ЮЛЗ)
где /е = |—JM есть инфинитезимальиая матрица, соответ-
соответствующая параметру 0. Уравнение A0.13) представляет собой
систему обыкновенных дифференциальных уравнений для
элементов матрицы ?"@), которая имеет единственное реше-
решение, удовлетворяющее начальному условию A0.12). Это ре-
решение можно записать в виде
A0.14)
где через ехр /еВ обозначен ряд
1(/е0J+^г(/в9)^+. ... A0.15)
Используя формулу A0.5), мы можем написать
откуда
Полученные нами результаты (формулы A0.10) и A0.14))
') В теории непрерывных групп доказывается, что любой эле-
элемент группы либо является элементом однопараметрической под-
подгруппы, либо может быть представлен как произведение таких
элементов (см., например, Л. ЭЙзеихарт, Непрерывные группы
преобразований, Ил, 1947, гл. 1).
136 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. X
относились к элементам группы линейных преобразований.
Очевидно, что они справедливы также для любой группы
матриц D(g), дающих представление группы G. Инфинитези-
мальные матрицы представления D определяются по формуле
А° = ЖО{аУа2 a'}|c-°- A0Л6)
Для инфинитезимальных матриц представления выполняются
те же перестановочные соотношения, что и для инфинитези-
инфинитезимальных матриц группы. Это объясняется тем, что структур-
структурные постоянные группы однозначно определяются законом
группового умножения A0.2), который одинаков для группы
и для всех ее представлений.
Некоторые из "свойств представлений конечных групп,
рассмотренных в предыдущих главах (например, леммы Шура),
не были связаны с конечностью группы и поэтому справед-
справедливы также и для бесконечных групп. Однако доказательство
унитарности представлений, свойства ортогональности мат-
матричных элементов неприводимых представлений и все выте-
вытекающие из них следствия основаны на возможности суммиро-
суммирования по группе, которое было определено нами для конечных
групп. Для непрерывных групп суммирование по группе
должно быть заменено интегрированием по параметрам группы.
Оказывается, что интегрирование по группе можно ввести
только для компактных групп. Поэтому упомянутые выше
свойства конечных групп могут быть распространены только
на компактные группы.
3. Инфинитезимальные преобразования
и законы сохранения
В главе V мы выяснили, что условие инвариантности
физической системы относительно преобразований ее группы
симметрии О может быть записано в виде
g=fgH A0.17)
или в матричной форме:
HD{g) = D{g)H. A0.17а)
Здесь Н—оператор Гамильтона системы, Т—элемент группы
операторов, изоморфной группе О, а D(g)~ матрица пред-
представления группы G.
3! ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 137
Если группа преобразований G есть непрерывная группа,
то для того, чтобы выполнялось условие A0,17), необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие
НА(*=А,Н, A0.18)
где Ai~инфинитезимальные матрицы представления группы О,
Необходимость этого условия очевидна: если для всех эле-
элементов группы О выполняется условие A0.17), то в силу
определения инфинитезимальных матриц At условие A0.18)
также выполняется. Легко убедиться и в достаточности усло-
условия A0.18). Мы показали справедливость формул A0.14).
Поэтому, если выполняется условие A0.18), т. е. Н комму-
коммутирует с матрицами А-о то Н коммутирует также со всеми
членами ряда, соответствующего произвольному элементу
группы G.
Вместо инфинитезимальных матриц Aj введем матрицы
Bj — — iAj. Докажем, что если представление унитарно, то
матрицы Bj эрмитовы. Действительно, напишем условие
унитарности представления D(g) с точностью до членов,
линейных по параметрам группы. Мы получим
E=D+ (g) D (g) = (Е — / 2 В)а,) (Е +¦ / S в/>;)-
откуда находим
2a,(s;-5,) = 0
или, в силу независимости параметров сс;-,
Bj-^Bj. A0.19)
Эрмитовы матрицы Bj также коммутируют с матрицей Н
= BjH. A0.18а)
В квантовой механике эрмитовы матрицы или операторы
сопоставляются физическим величинам, а соотношение ком-
коммутации A0.18а) означает, что соответствующая физическая
величина является интегралом движения. Таким образом,
законы сохранения в квантовой механике можно рассматри-
рассматривать как следствие симметрии гамильтониана относительно
некоторой непрерывной группы преобразований.
138 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. X
4. Группа двумерных вращений 0+ B)
Элементами этой группы являются вращения в трехмер-
трехмерном пространстве относительно некоторой оси или, что то же,
вращения в плоскости, перпендикулярной к этой оси, вокруг
начала координат. Если мы примем ось вращения за ось Qz,
то элементами группы 0^B) будут преобразования
#' = xcoscp — у sin ф, у' — X sinq-\-y созф, A0.20)
где ф—угол поворота, 0<^ср<2л. Таким образом, группа
О+B) является однопэраме-грической компактной группой.
Так как она является абелевой, то все ее неприводимые
представления первого порядка в силу компактности группы
унитарны. Поэтому мы можем утверждать, что в неприводи-
неприводимом представлении каждому элементу группы сопоставляется
число х(ф)> по модулю равное единице. Кроме того, должны
выполняться условия
X(Ф1) X (%) = X (Ф1 + Фа). Х@) = ХBя). (Ю.21)
откуда легко заключить, что
X(ф) = expiwi'f, где от = 0. ±1, ±2, ... A0.22)
Группу О+ B) можно рассматривать как предельный слу-
случай точечной группы Сп при и—>оо. Поэтому ее иногда
обозначают через С,х. Физический интерес представляют
группа Coo» = С» X ov (группа симметрии двухатомной моле-
молекулы с различными ядрами) и группа DM/, = Cxv X i (группа
симметрии двухатомной молекулы с одинаковыми ядрами).
Стационарные состояния и энергетические уровни таких моле-
молекул классифицируются по неприводимым представлениям этих
групп. Характеры неприводимых представлений этих групп
могут быть получены тем же способом, что и характеры
неприводимых представлений групп Cnv и Сп/г (см. главу VI).
б. Группа трехмерных вращений О+ C)
Перейдем к рассмотрению группы ОтC) вращений в трех-
трехмерном пространстве. Как мы знаем, эта группа является
трехпараметрической. В качестве ее параметров возьмем сей-
сейчас три составляющие ар а2, а3 вектора а, направленного
по оси вращения и равного по длине углу поворота. Напра-
5) ГРУППА ТРЕХМЕРНЫХ ВРАЩЕНИЙ 0+C) 139
вление поворота определяется по правилу буравчика. Оче-
Очевидно, что всегда можно считать | а | <; я. Поэтому областью
изменения параметров сс; является шар с радиусом л, и,
следовательно, группа 0+C) компактная. Обратим внимание
на то, что различным внутренним точкам шара соответствуют
различные вращения, в то время как любым двум точкам
поверхности шара, лежащим на противоположных концах
диаметра, соответствует одно и то же вращение (на угол я).
Найдем инфинитезимальные матрицы /г группы вращения.
Очевидно, при дифференцировании матрицы g(alt а2, а3),
являющейся элементом группы 0+ C), по одному из парамет-
параметров мы можем положить остальные параметры равными нулю.
Поэтому для вычисления /, рассмотрим матрицу, соответству-
соответствующую вектору а (а,, 0, 0), т. е. вращению на угол а, отно»
сительно оси Ох. Это будет матрица
g(av 0, 0) =
и, следовательно,
dg (сц, 0, 0)
_
1 ~~
дщ
Таким же образом находим
, О О Ь
/2= 0 0 0, /3 =
\-1 0 О/
Легко проверить, что эти матрицы удовлетворяют следующим
перестановочным соотношениям:
(Ю.23)
Покажем, что приращение произвольного вектора при
повороте на бесконечно малый угол вокруг определенной
оси может быть выражено через матрицы /;. Для этого рас-
рассмотрим вектор
u2, a3)r = г-j-6r.
140 НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ [ГЛ. X
Здесь матрица g(av a2, a3) — произвольный элемент группы
О+ C). При малых значениях параметров мы можем восполь-
воспользоваться формулой A0.4) и написать
г. (Ш24)
В случае вращения вокруг одной из координатных осей, на-
например Ох, с точностью до членов первого порядка малости
относительно ах мы будем иметь
О
A0.25)
и, следовательно, изменение вектора г при вращении на
малый угол относительно оси, соответствующей параметру at,
определяется матрицей atlt.
Покажем теперь, каким образом можно любую матрицу,
соответствующую вращению с заданными значениями пара-
параметров а,, а2 и а3, выразить через инфинитезимальные мат-
матрицы. Для этого рассмотрим однопараметрическую группу
поворотов относительно оси, направленной по вектору
а(а1( а2, а3). Интересующая нас матрица соответствует по-
повороту относительно этой оси на угол a = ~\fa\ + <*;• + с^,
причем, очевидно,
а! = а соз (Ох, а), а2 = a cos (Oy, а),
а3—a coster, a). A0.26)
Используя формулу A0.14а), мы можем написать
g(av a2, a3) = exp/aa =
= exp {fl cos (Ox, a) + /2 cos (Oy, a) + /3 cos (Oz, a)} a =
= exp^ +/2a2+ /3a3). A0.27)
Упражнения
10.1. Найти матрицы неприводимых представлений группы С^.
10.2. Найти матрицы неприводимых предаавлешш группы ^ооД.
Глава XI
Неприводимые представления группы
трехмерных вращений
В этой главе мы найдем все неприводимые представления
группы О1 C). Для этой цели нами будет использован ме-
метод, основанный на рассмотрении инфинитезимальных пре-
преобразований группы.
1. Инфинитезимальные матрицы
представлений группы О+ C)
В предыдущей главе мы нашли инфинитезимальные ма-
матрицы группы О+ C) и показали, что они удовлетворяют пере-
перестановочным соотношениям A0.23), которые можно условно
записать с помощью символа векторного произведения:
[/./]=/. A1.1)
Мы знаем, что инфинитезимальные матрицы представлений
группы должны удовлетворять таким же перестановочным
соотношениям. Эти матрицы мы будем обозначать буквами
Лр .Д2, А3.
Из результатов, полученных в предыдущей главе, следует,
что если известны инфинитезимальные матрицы At некоторого
представления, то матрица представления, соответствующая
произвольному повороту с параметрами а,, а2, а3, может быть
записана в виде
D(a,, a2, аз)==ехр[а1Л1Н-а2А2 + азЛз]. A1.2)
Таким образом, отыскание представлений группы О *" C) сво-
сводится к нахождению матриц Av A2, А3, удовлетворяющих
перестановочным соотношениям A1.1).
Выясним некоторые свойства матриц At. Группа вращений
является компактной, и, следовательно, любое ее представле-
представление эквивалентно унитарному. Поэтому мы можем ограни-
ограничиться рассмотрением только унитарных представлений. Пусть
142 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. XI
D(uv а2, а3) — унитарное представление, т. е.
D+(a,, a2, a3)D(a,, аз, а3) — ?. A1.3)
Записывая это равенство с точностью до линейных членов
по а,-, мы получим
откуда
At = —Ai. A1.4)
Таким образом, матрицы Лг являются антиэрмитовыми.
Для дальнейшего удобно вместо матриц At рассматривать
их линейные комбинации:
Я+ = М, — Л2, #_ = M,-|-Aj, H3 = iA3. A1.5)
Легко видеть, что матрица Я3 эрмитова, а матрицы Н+ и Н_
эрмитово сопряжены. Используя соотношения A1.1), можно
показать, что эти матрицы удовлетворяют следующим пере-
перестановочным соотношениям:
Н+Н_ - Н_Н+ = 2Я3,
A1.6)
Выясним, какими свойствами обладают собственные век-
векторы матрицы На. Прежде всего покажем, что если <ок — соб-
собственный вектор матрицы Нъ, соответствующий собственному
значению к, то H+v} будет собственным вектором матрицы Н3,
соответствующим собственному значению Л. —)— 1. Действи-
Действительно, пусть
H3v> = kvx. A1.7)
Тогда
Аналогично доказывается, что H_vk есть собственный вектор
матрицы Я3, соответствующий собственному значению X—1.
Мы имеем
НаР-Ъ = (Я_Я3 - Н.) Ч = (К~\) //_«v A1.9)
Ц ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 143
Так как матрица Н3 эрмитова, то все ее собственные значе-
значения вещественны, а собственные векторы, соответствующие
различным собственным значениям, ортогональны друг другу.
Покажем теперь, что все собственные значения матрицы Я3
будут целыми или полуцелыми числами, различающимися на
единицу, причем если наибольшее собственное значение равно у,
то наименьшее собственное значение равно — у.
Будем считать все собственные векторы vk матрицы Нг
нормированными на единицу. Тогда в силу A1.8) и A1.9)
мы можем написать
/Мл = Мл+1. 01-Ю)
H_vK^ak<oK_v A1.11)
где Pjl и щ — некоторые числа, которые мы найдем, исполь-
используя условие нормированности векторов vk. Так как матрицы
Н+ и Н_ эрмитово сопряжены, то мы имеем
(*
Таким образом,
P* = <W A1-12)
Для того чтобы получить явные выражения для этих коэф-
коэффициентов, найдем рекуррентное соотношение для коэффи-
коэффициентов pft. Если k < у, то мы можем написать
= -^ («*, iP* + 2*) "°k = Р/г - !«*•
Отсюда, учитывая A1.12), получаем
p| + 2A = pj_1. A1.13)
Если же й —у, то Н+Яц — О, и, следовательно,
Р2,_, = 2у. A1.14)
Используя соотношения A1.13) и A1.14), мы по индукции
получаем
2 5
Отсюда, используя A1.12), находим, что
а* = /(/+1) —*(*—!). A1.16)
144 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. XI
Таким образом, матрицы Я+, #_, Н3 действует на норми»
рованные векторы vk следующим образом;
AЫ7)
Действуя последовательными степенями матрицы #_ на соб-
собственный вектор <О], мы получим набор собственных векторов
Vj. vj.v Vj.v ... A1.18)
В силу A1.17) последним вектором в этом наборе будет соб-
собственный вектор v^j, так как //_и_;- = 0. Отсюда следует,
что наименьшее собственное значение матрицы Н3 равно —j.
Число всех собственных векторов, очевидно, будет равно
2/-f- 1, и, значит, у может быть либо целым, либо полу-
полуцелым числом.
2. Неприводимые представления группы О+ C)
Ортонормированные собственные векторы
Vj, Vj-V Vj_2 "О-)
матрицы #3 образуют базис пространства /?2у+г Этот базис
в дальнейшем мы будем называть каноническим. Из фор-
формул A1.17) следует, что пространство R2j+i инвариантно по
отношению к преобразованиям с матрицами // + , Н_, //3.
и, следовательно, в нем реализуется некоторое представление
группы Оf C). Покажем, что это представление неприво-
димо. Для этого докажем, что пространство R2j+i не имеет
инвариантных подпространств по отношению к преобра-
преобразованиям с матрицами D(av a2, а3) этого представления.
Допустим противное, т. е. предположим, что существует под-
подпространство /?'c/?2yH, инвариантное относительно всех
преобразований D(av a2, а3). Но тогда это подпространство
должно быть инвариантно также относительно инфинитези-
мальных преобразований At (или Н + , Я_, Н3). Пусть h?R' —
собственный вектор матрицы Н3, соответствующий наиболь-
наибольшему собственному значению. Так как R' cz R2j+V то век-
2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ О + C) 145
тор Л может быть представлен в виде линейной комбинации
векторов V/t>
(И.19)
Очевидно, что -
H+h — Q. A1.20)
Следовательно, мы получаем
H+h= 2 сйЯ+в4= 2/*М*+1 = 0, A1.21)
откуда в силу линейной независимости векторов яй
с_у = С_у+1= ... =^ = 0. A1.22)
Таким образом, мы получаем, что
h = CjVj, A1.23)
и, следовательно, Vj?R'. Но тогда все векторы ©у._,
Uy_2> •••• "-у также должны принадлежать /?', и, значит,
R' совпадает с пространством /?2/+р Таким образом, не-
неприводимость представления, реализующегося в простран-
пространстве R2j+i> доказана.
Мы видим, что неприводимое представление группы О+ C)
определяется заданием наибольшего собственного значения j
матрицы Н3. Число J называют весом неприводимого пред-
представления. Неприводимое представление с весом j мы будем
обозначать через D . Порядок представления D , очевидно,
равен 2/-f-1.
Докажем, что все орты базиса неприводимого предста-
представления являются собственными векторами матрицы
Л2=Л? + Л2+Лз, A1.24)
соответствующими собственному значению — j(j-\- 1). Выра-
Выражая матрицу А2 через матрицы Н + , Н_, Н3, мы будем иметь
АЧк = - (Н+Н_ - Я3 + Щ) vk - (PJ - k + A») f»ft.
откуда
= -УС/+1)«* (* = -/. -У+1 У)- (П-25)
10 М. И. Петрашень. Е. Д. Трифонов
146 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. XI
Определим теперь вид инфинитезимальных матриц А.
неприводимого представления D(i) в каноническом базисе-
Из формул A1.5) и A1.17) мы получаем
= — ~ {akvk.i -f ak+1vk^,}
Отсюда
A1.26)
[A2)hl == ("/• ^2"*) — J (aA ft-l — «A t A, ft tlb
A1.27)
и, следовательно, матрицы At имеют вид
J.
О —у «-Ун
О -4«-,.2
О О
о о
О -тг- О_ ; + |
О
о
о
о
О
О
О
¦«V-
О
О
О
О
О
О
О
1 °
i
О
О
О
О
О
О
i
О
О
О
О
о
о
о
о
Т"'-'
о —
О Taj
О
A1.28)
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ О + C)
147
UJ 0
О /<У—
... -IJ
A1.28)
Для определения матриц D(/) (а,, а2, а3) можно восполь-
воспользоваться формулой A1.2):
DU){av а2, аа) =
A1.29)
Определим, например, вид матрицы D(/)@, 0, а3) в кано-
каноническом базисе. Согласно A1.29) мы имеем
DU)(Q, О, аъ)=-
A1.30)
Так как в каноническом базисе матрица Л3 имеет диагональ-
диагональный вид (см. A1.28)), то все степени этой матрицы также
будут диагональными матрицами, и, следовательно, предста-
представляя A1.30) в виде ряда и затем суммируя ряды, соответ-
соответствующие одинаковым элементам матриц, мы сможем написать
D<'> @, 0, а3) =
0
0
о
0
0
A1.31)
С помощью A1.31) легко сосчитать характеры неприводи-
неприводимого представления D^K Действительно, в один класс группы
вращений входят повороты вокруг различных осей на один
и тот же угол. Класс определяется лишь углом поворота,
и в качестве представителя класса можно выбрать поворот
на угол ф вокруг оси Oz. Из A1.31) следует, что характер
класса вращений на угол ф равен
еп<*.
sinT
A1.32)
10*
148 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. XI
3. Двузначные представления
Матрица A1.31) соответствует повороту на угол а3 вокруг
оси Oz. Единичному элементу группы О4 C) в представлении
матрицами D(/) соответствует единичная матрица E2j + V Пово-
Поворот на 2л вокруг оси Oz также является единичным элементом
группы О4" C), но, в то время как при j целом D(^@, 0, 2л) =
= Е2у + 1, при / полуцелом D(-"@, 0, 2я) = — ?2у-+1. Таким
образом, при полуцелом j единичному элементу группы О' C)
соответствуют две матрицы Ей —Ей, следовательно, ка-
каждому элементу группы О+ C) соответствуют две матрицы D(i)
и —D(/), элементы которых различаются знаками. Говорят,
Рис. 15.
что в случае полуцелого j матрицы D(;) дают «двузначное
представление» группы О+ C). Двузначные представления
играют весьма важную роль в физических приложениях: они
используются, как мы увидим ниже, при описании частиц
с полуцелым спином.
Получим явный вид матриц двузначного представле-
представления Dd/2), Для этого заметим, что всякое вращение можно
осуществить в результате трех последовательных поворотов:
поворота вокруг оси Oz на угол <pt, поворота вокруг оси Ох
на угол Э, поворота вокруг оси Oz на угол ф2 (рис. 15).
Поэтому матрица D<1/2) [фр 9, ф2], очевидно, может быть
представлена в виде
ЯA/2)[ф,. 9. Ф2] = DA/2) @, 0, Ф2)ОA/2)(в. О, 0)DA/2)@, 0, ф1).
A1.33)
Параметры фр 9, ф2 называют углами Эйлера.
ДВУЗНАЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
149
Согласно формуле A1.31) матрица ЛA/2)@, 0, <р), соответ-
соответствующая вращению вокруг оси Oz на угол ф, имеет вид
<f
, 0, q>) = |
О
A1.34)
.0
]Матрицу D (9, 0, 0), соответствующую повороту вокруг
оси Ох на угол 0, можно найти, решая систему дифферен-
дифференциальных уравнений, аналогичную системе A0.13):
^- = A1D A1.35)
с начальным условием D@) = E. Так как инфинитезимальная
матрица Л, для представления D(!/2) согласно A1.28) равна
— — t(i оI
то система A1.35) может быть представлена в виде
dDu
dQ
— ~D
<tP]2
dDn
— — -o- ^22-
' \ (П.36)
ЛГ~ 2 "'"' rfO 2"Dl2' j
а начальные условия—в виде
Dn @) = D22 @) =-_ 1, Dl2 @) = D21 @) = 0.
Легко проверить, что решение этой системы, удовлетворяю-
удовлетворяющее начальным условиям, дает
D°'2\Q, 0, 0)
A1.37)
Подставляя A1.34) и A1.37) в A1.33), мы получим матрицу
DA'2)(<Pj, 0, ф2) для произвольного вращения:
,, 6, ф2] =
,¦ (Pl+Фг
- i
Фг-ф|
sin -g- e
^Sin-rr^
_0_ -«•
2 е
. A1.38)
150 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. XI
Матрица A1.38) унитарна, и, кроме того, ее определитель
равен 1. Легко проверить, что в таком виде можно пред-
представить любую унитарную унимодулярную матрицу второго
порядка. Отсюда можно сделать вывод, что всякой унитар-
унитарной матрице второго порядка с определителем, равным еди-
единице, соответствует вращение в трехмерном пространстве.
Наоборот, всякому вращению трехмерного пространства соот-
соответствуют две матрицы, элементы которых отличаются зна-
знаками. Таким образом, группа вращений О" C) гомоморфна
группе SU B) унитарных унимодулярных матриц второго
порядка.
4. Разложение любого представления группы О+ C)
на неприводимые
Покажем, каким образом в базисном пространстве любого
унитарного представления D группы О+C) следует выбирать
орты, чтобы в новом базисе представление матрицами
распалось на неприводимые представления матрицами
Пусть Rn— базисное пространство представления матри-
матрицами D порядка п. Для этого представления определим ма-
матрицы Н+, Н_ и Н3 и найдем наибольшее собственное зна-
значение ]' матрицы Н3. С помощью матрицы Н_ образуем
цепочку собственных векторов v .,, *>,,_, <o_j, матрицы Иу
соответствующих собственным значениям, различающимся на
единицу. Примем эти векторы за первые 2/ -\~ 1 ортов
в новом базисе пространства Rn; остальные орты этого базиса,
определяющие подпространство /?', возьмем пока произвольно.
Пространство Rn можно рассматривать как прямую сумму
подпространств /?гу +1 и R1'-
Матрицы D в новом базисе принимают вид
0 D',
Теперь найдем наибольшее собственное значение матрицы Я3
и соответствующий ему собственный вектор в пространстве /?';
пусть это будут /' и V,,. Если у' было вырождено, то, оче-
5] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ 0C) 151
видно, ]" = ]'', если же j' — простое собственное значение,
то j" < j'. Образуем снова цепочку собственных векторов
Я3, начиная с вектора v „:
„, v .„ v .„
и, считая первые 2у'-(-1 ортов нового базиса фиксирован-
фиксированными, принимаем векторы этой цепочки за следующие 2/'-f- 1
ортов нового базиса в пространстве Rn. Остальные
п — Bj'-\-\) — B/'-f-l) ортов, взятые произвольно, опре-
определят подпространство R", Теперь мы будем иметь
а матрицы
D
примут вид
U'lDU =
DW)
0
0
0
DU")
0
0
0
D
Продолжая этот процесс дальше, мы после конечного числа
шагов исчерпаем пространство Rn. В окончательном базисе
матрицы D будут квазидиагональными матрицами, составлен-
составленными из матриц D';) найденных нами неприводимых пред-
представлений.
5. Неприводимые представления ортогональной
группы 0C)
В заключение этой главы остановимся вкратце на группе
0C)—группе ортогональных преобразований в трехмерном
пространстве.
Полная ортогональная группа О C) представляет собой
прямое произведение группы вращений О1 C) и группы
инверсии:
ОC)=О+C)Х»- A1.39)
Группа i имеет, как известно, два неприводимых предста-
представления первого порядка: тождественное и знакопеременное.
Поэтому группа 0C) имеет по два неприводимых предста-
представления порядка 21 -f- 1 для каждого целого /, Эти предста-
представления мы будем обозначать Dg) и О{и. Матрицы, соответ-
152 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИИ [ГЛ. XI
ствующие вращениям в этих представлениях, совпадают,
а элементы матриц, соответствующие вращениям, сопрово-
сопровождаемым отражениями, различаются знаком, Таким образом,
число представлений нечетного порядка группы 0C) в два
раза больше, чем у группы О+C).
Иначе обстоит дело с двузначными представлениями
группы О+C), в которых каждому элементу ?[ф,, 9, <р2]
этой группы соответствуют две матрицы, элементы которых
различаются знаками. Очевидно, представления группы О C),
полученные умножением двузначного представления на тожде-
тождественное представление группы и умножением на знакопере-
знакопеременное представление, будут совпадать: в каждом из них
как элементу g, так и элементу ig будут соответствовать
две матрицы, различающиеся знаком. Поэтому группа О C),
так же как и группа 0+C), имеет по одному двузначному
„,,•, . 2л+1
представлению D{J> для каждого у = —^—.
Глава XII
Свойства неприводимых представлений
группы вращений
В этой главе мы рассмотрим конкретные базисы пред-
представлений группы и получим правило разложения композиции
неприводимых представлений на неприводимые части. .
1. Сферические функции как базис неприводимого
представления
До сих пор. исследуя представление группы О+ C), мы
не конкретизировали пространство, в котором оно реализуется.
Сейчас мы рассмотрим случай, когда пространством предста-
представления является пространство дифференцируемых функций
/(») = /(О, ф), определенных на поверхности сферы единич-
единичного радиуса. Здесь п — единичный вектор, задаваемый по-
полярными углами 9 и ф. При вращении g вектор п переходит
в вектор gn. Соответствующее преобразование функций / (»)
определяется унитарным оператором fg:
fef(n) = f(g-ln). A2.1)
Мы знаем, что операторы Тg должны образовывать предста-
представление группы О+ (ЗI). Найдем инфинитезимальные опера-
операторы А1 этого представления. Они будут определять прира-
приращение функции / (»), линейное относительно параметров вра-
вращения щ. Для поворота вокруг оси Oz на угол а мы имеем
Тг/Ф, Ф) = /(8. ф--а) = /(Э, ф) - а J у ч> + . . . A2.2)
Следовательно,
"'/Q ~U-. A2.3)
') См. главу III, п. 3.
154
СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУППЫ ВРАЩЕНИИ [ГЛ. XII
Для произвольного поворота, определяемого параметрами с^,
а2, а3, мы имеем
откуда
где
Рассмотрим поворот вокруг оси Ох:
А,
A2.5)
=— «2 sin a
Отсюда имеем
n3 cos a.
A2.7)
= 0,
a-0
"rfcT
a-0
= — и2. A2.8)
Так как
/г, = sin 8 cos ф, я2 = 5!пв5Шф, «3 = cos6,
то из A2.8) мы находим
cos в cosф(—;—I —sin 9 sinmf —2—| =0,
\ da /о r\ da }0
cos в sin ф -;— —sin в cos ф -т— =cos8,
\ da /0 т\ da H
. п/ dQ \ ¦ а ¦
— sin н —;— =—sin о sin ф.
\ da ) f
A2.9)
Из этих соотношений мы без труда получаем
Следовательно,
AJ (9, q)) = shi(p-^+ctgecosq)-^-.
A2.10)
A2,11)
1] СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 155
Совершенно таким же способом находим
A^ + ctgesincf-^. A2.12)
Найдем теперь в пространстве функций /@, ф) базис
неприводимого представления веса у. Мы знаем, что любой
элемент базиса неприводимого представления группы враще-
вращений должен удовлетворять уравнению
. Ф). A2.13)
Если мы хотим найти канонический базис, то, кроме того,
должны потребовать, чтобы
, ф). и = _у. —у+1, .... у. A2.14)
После подстановки A2.3), A2.11) и A2.12) в A2.13) и A2.14)
мы получим
-t% = mf. A2.16)
Уравнения A2.15) и A2.16) совпадают с уравнениями для
сферических функций и имеют решение только при целых
значениях j—l. Число линейно независимых решений этих
уравнений равно 2Z-J-1 и, следовательно, совпадает с поряд-
порядком неприводимого представления D '. Таким образом, орты
канонического базиса неприводимого представления с целым
весом I в пространстве непрерывных функций /@, ф) имеют
вид
Y? F, ({>) = yL=elm*P?(cosB), A2.17)
где Pf — нормированная присоединенная функция Лежандра,
определяемая формулой
* 2 27!
J™L й1+\т\{хг
155 СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. XII
Напишем преобразование сферических функций при вращении.
Зная инфинитезимальные матрицы At неприводимого предста-
представления, мы можем найти матрицы этого представления для
произвольных вращений. Однако более простые выражения
получаются, если в качестве параметров вращения выбрать
углы Эйлера qp,, Oj, ф2. Не проводя вычислений, напишем
сразу результат1). Пусть вращение g[<pv 6р ф2] переводит век-
вектор п'ф', ф') в вектор я(Э, ф): g~ln'ф', у') = пф, у).
Тогда
7уТF, Ф) = Y? (О', Ф') =
= 2 ЛИ»'[Фрврфг! Kf'(в. Ф). A2.19)
т' — — I
где
Xfcos^-Ql [sin lei' "' P'/IZT''m+m>)(cosQ), A2.20)
L ^ J L ^ J
P{"' b) (cos 8) — полиномы Якоби:
2. Композиция неприводимых представлений
группы О+C)
Рассмотрим два неприводимых представления О(Л и D(/ '
группы О+C), которые реализуются в пространствах Roj + i
и R-ij' + i- Обозначим канонические базисы этих представлений
соответственно через
UU) (А = -у, -У+1 J)
И ^') (т = -у'. -/+1 /).
Образуем теперь композицию П-1' X О( неприводимых пред-
представлений D(;) и D(^'. Построенное представление будет реа-
реализоваться в пространстве /?B/+i)B/4-i)< которое является
прямым произведением пространств R.2j+i и /?2/'+ь В каче-
') См., например, [9], стр. 150.
2] КОМПОЗИЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 157
стве ортов в пространстве /?B/+i)B/'+n мы выберем всевоз-
всевозможные произведения ортов u^v^'K которые будем обозна-
обозначать через w^''. Преобразование ортов w^' определится
формулой
(g) Us 2j UTm (g) Vr —
= Iir{DU)(g)XDu')(g)}srtkmwlJrn. A2.21)
Найдем инфинитезимальные матрицы прямого произведения.
Разлагая каждую из м ^
метров а;, мы получим
р р
Разлагая каждую из матриц D(;) и D^ ) по степеням пара-
пара•• A2-22)
Отсюда следует, что инфинитезимальные матрицы нашего пред-
представления имеют вид
X А(Р- A2.23)
Покажем теперь, что орты «^'> пространства
будут собственными векторами матрицы //У "l = iA\i11 ' с соб-
собственными значениями k\-m. Действительно,
— Сз X Егу +1 -f- ?г/+1 X ^з j W/rm,
' X ^2/' л \4>т -Ь E2j + \Uk X Hi Vm =
[ = (ft+m)efti?m =
= (ft + я») п>*м.
Так как число k может принимать 2у -(- 1 значений —у у,
а число m может принимать 2у' -f- 1 значений —у' у',
то их сумма M=k-\-т может принимать 2(у-j-у') + 1 раз-
различных значений: —у' — У<С-М<^У-}-/'• Поскольку число
ортов «^Г) равно By-f- l)By'-(- 1), то некоторые из соб-
собственных значений Ж будут вырожденными (если только у
или j' не равны нулю). Отсюда следует, что, за исключением
случая, когда у'=0 или /' = 0, представление D^X^''
158 свойства представлений группы вращении [гл. хп
является приводимым и, следовательно, может быть разло-
разложено на неприводимые части. Это разложение, называемое
разложением Клебша — Гордана (см. главу IV), мы можем по-
получить, если разобьем пространство R^j+mij' + i) на инвари-
инвариантные ортогональные подпространства, в каждом из которых
реализуется одно из неприводимых представлений груп-
группы вращений. Для этой цели удобно воспользоваться таб-
таблицей (стр. 159), по которой можно определить кратность
вырождения собственных значений оператора Нз1} . Для опре-
определенности будем считать, что у' ^- у. Рассмотрим наибольшее
собственное значение матрицы Н$ \ Оно не вырождено и
равно y'-f-y'. Действуя на соответствующий орт wVyp после-
последовательными степенями матрицы Hi1 \ мы получим цепочку
собственных векторов матрицы Н1^* ':
ю(//'>. H^'Wp (H^fU' + J)w{/p. A2.25)
Эти векторы согласно п. 2 главы XI должны образовывать
базис неприводимого представления веса У == _/ —|— _/'. Про-
Пространство, в котором реализуется это представление, обозна-
обозначим через ./?2(/+л-ь Рассмотрим теперь в пространстве
Я п ортогональное дополнение к пространству
у;) Как следует из таблицы, в этом дополнении
имеется лишь один вектор с собственным значением y'-j-y'—1.
Действуя на этот вектор последовательными степенями ма-
матрицы //!/¦'', получим цепочку из 2(у-|-у'—1)-|-1 векто-
векторов. Эти векторы образуют базис неприводимого представле-
представления D(i+i ~1). В ортогональном дополнении к пространству
/?2(/+/'_i)+i мы найдем один вектор с максимальным соб-
собственным значением y'-j-y'— 2. Повторяя рассуждение, мы
в результате представим пространство /?B/+i)B/r+i) B виде
прямой суммы ортогональных подпространств:
A2.26)
Следовательно, разложение Клебша — Гордана для группы
О+ C) имеет вид
r~ne ^фоННП, A2.27)
КОМПОЗИЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
159
Л
ч
н
и
е
*
х
х
Щ
14
Я
X
3
1
E
о
-Q
и
о
атн
о.
3
d
о.
га
ш
г
?
Q.
2
о
8
g" 8"
\
+ +
*
1 1
ёГ g"
1 1
CM i-<
+ +
1 1
с.
! + ?-
• g g
¦ +
• ч ч
•
7
*""s *
CM
1 '
f ;
i •
¦~. .
+ '
1 *
*
*
1 t
1 •
в •
1 ¦
? :
4 •
1
1
CM
t
*7
1
g
+
1
1
3
1
1
•
1
1
* :
•
7
(M
+ ¦
1 .
1 •
8 •
1
1 ;
ч
1 •
1
1
3
4
1
1
1
2
s
a
с
о
s
и
о
га
—
Ь|
ю
о
тор
0J
п
I
S
<и
S
X
ерх
03
160
СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. XI!
Таким образом, мы имеем следующий результат: прямое
произведение неприводимых представлений с весами у и у'
разлагается на неприводимые представления с весами j-\-j',
j-\-j'¦—1. • ...' | у — j' |. причем каждое из этих неприво-
неприводимых представлений встречается в разложении только
один раз.
Из этого правила непосредственно вытекает, что тожде-
тождественное представление входит в представление D X D
только в том случае, если j = J'. Из A2.27) также следует,
что произведение двух двузначных представлений (у и
у'— полуцелые числа) является однозначным представлением.
Орты чю^ канонического базиса, в котором представле-
представлераспадается на неприводимые, будут линей-
линейние Du) X
ными комбинациями ортов
= У.
W
m, m
UJJ\u-'WJ
тт'М т т
A2.28)
Коэффициенты с^'Л называют коэффициентами Клебша —
Гордана или коэффициентами Вигнера для группы О + C)').
Матрица С<;; ' с элементами Cmm'J^ (индексы J, M нумеруют
строки, а индексы т, т' — столбцы) является унитарной
матрицей порядка By-f- 1)Bу'-|- 1). Матрица С(;; ' приводит
представление D(/)XD(;) к квазиди.агональному виду:
X
D(
j-r i)
A2.29)
В некоторых задачах приходится рассматривать произве-
произведение не двух, а трех неприводимых представлений D';i) X
') Таблицы коэффициентов Вигнера см. в книге [5], стр. 468. '
3) ТЕНЗОРНЫЕ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 161
X D X С > которое реализуется в пространстве /? =
= Rj, X Rjt X Rji- При построении канонического базиса
в этом пространстве мы можем сначала построить канони-
канонические орты да^'-г) в пространстве RJt X Rj, и затем комби-
комбинировать их с ортами да^'з) пространства Rj3. Полученные
таким образом орты обозначим через vef-U^J). Однако можно
было избрать и другой путь построения канонического базиса
в R. Сначала построим орты а>(Л») и затем будем комбини-
комбинировать их с ортами wV'\ В результате мы получим орты
ЧщШпI), Ясно, что орты ajU/i2>/> являются линейной комби-
комбинацией ортов <е&и«> ¦/):
Коэффициенты (у,у2 (у 12) уУ I Л/Уз (Лз) У) называют коэффи-
коэффициентами Рака. Можно показать, что
{J\h С/12) УзУ I У1У2У3 (Угз) У") =
= У! с'^^с'ЬЛЛсСЛЛЛз^и'.Лз/) A2.31)
¦ , _ ™ тхтгта т12т3т тгтатп т^тпт х '
3. Тензорные и спинорные представления группы
вращений
Введем понятие тензора «-го ранга в трехмерном про-
пространстве. Мы будем говорить, что нам задан тензор
га-го ранга, если в каждой ортогональной системе координат
определена совокупность 3" чисел Tiit , которая при
переходе от одной системы координат к другой преобра-
преобразуется по закону
зз з
A2.32)
где матрица Ц^Ц связывает орты «старой» и «новой» си-
систем координат:
11 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов
162 СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. XII
Мы видим, что матрица преобразования компонент тензора
совпадает с матрицей представления, которое является прямым
произведением п «векторных» представлений. Такое пред-
представление мы будем называть тензорным представлением
я-го ранга. Тензорные представления являются, конечно,
приводимыми. Разложение его на неприводимые представле-
представления можно получить по правилу Клебша — Гордана. Тензор-
Тензорное представление любого ранга является однозначным.
Аналогично можно ввести понятие спинора «-го ранга
и спинорного представления группы вращений. В то время
как при определении тензорного представления основным было
векторное представление A2.33), определение спинорного
представления основано на двузначном неприводимом пред-
представлении D . Матрица этого представления, выраженная
через углы Эйлера, имеет вид (см. A1.38))
/а,, а,2\ / а р \
= - - • A2-34)
\а2, а22/ \—р а/
где
— + cs!e'^P' в— -isin — e 21
Мы будем говорить, что нам задан спинор «-го ранга, если
в каждой ортогональной системе координат определена сово-
совокупность 2" комплексных чисел %} х х (А.,= 1, 2), кото-
которые при переходе от одной системы координат к другой
преобразуются по закону')
Этот закон преобразования определяет представление группы
вращений, которое является прямым произведением п непри-
неприводимых представлений D(I/2). Такое представление мы будем
называть спинорным представлением «-го ранга. Разложение
') Формула A2.35) определяет закон преобразования контра-
вариантного спинора. Наряду с контравариантным спинором вво-
вводится понятие ковариантного спинора, закон преобразования кото-
которого получается из A2.35) заменой a . на комплексно сопряжен-
ные величины (см. п. 4).
3] ТЕНЗОРНЫЕ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 163
спинорного представления на неприводимые также можно
найти с помощью правила Клебша — Гордана, установленного
в предыдущем пункте. Ясно, что спиноры четного ранга
преобразуются по однозначным представлениям, а спиноры
нечетного ранга — по двузначным.
Так как матрица преобразования A2.35) может быть
записана в виде прямого произведения п матриц ||aift|| пред-
представления DA/':
;\J' A2-36)
то инфинитезимальные матрицы спинорного представления
можно представить в следующей форме (ср. с формулой
A2.23)):
: ... X Я* A2.37)
где Ai — инфинитезимальные матрицы неприводимого пред-
представления D , а суммирование проводится по всем положе-
положениям этого множителя в произведении.
Введем спинор у, , , , у которого в данной системе
координат отлична от нуля только одна компонента %. . . .
кук2 ... кп
Рассмотрим действие на такой спинор инфинитезимальной
матрицы H3=iA3. Напомним, что матрица М31/2* имеет вид
. . A2.38)
Учитывая это, мы получим
A2.39)
где р — число значков данной компоненты спинора, равных 1,
а q—число значков, равных 2. Если вместо индексов А,,
1 1
ввести индексы ot = у, ^-, то мы сможем написать
Таким образом, спинор хст а ...а является собственным
спинором матрицы Я3, соответствующим собственному зна-
значению, равному сумме спинорных значков с^.
11*
164 СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУППЫ RPAtllEHI-iFI [ГЛ. XI!
4. Комплексно сопряженные представления
Мы будем говорить, что нам задан j-векпюр, если каждой
ортогональной системе координат сопоставлена совокупность
2/+1 чисел \т, т — — J, —У+1. . ... J. которые при
переходе от одной системы координат к другой преобра-
преобразуются по закону
С= S 0?&'(a,. O2, оз)?«'. A2.41)
где || Dmm' || — матрицы неприводимого представления. Со-
Сопоставим теперь каждой системе координат совокупность
комплексно сопряженных чисел \'т, где \'т определены фор-
формулами A2.41). Ясно, что числа \'т и \т связаны с помощью
комплексно сопряженных матриц:
Матрицы Du\ так же как и матрицы О(Л образуют
представление группы вращений. Так как представление D{J)
неприводимо, то представление D(;^ также неприводимо.
Поскольку эти представления имеют одинаковый порядок,
то они должны быть эквивалентными:
DU) = VDU)V~\ A2.43)
Матрица V определяется этим равенством с точностью до
множителя. Действительно, предположим, что имеются две
матрицы V и W такие, что
DU) = VDu)V~l = WDU)W~\
Тогда мы можем написать
Поэтому матрица V~ W кратна единичной:
V~lW = KE. A2.44)
4| КОМПЛЕКСНО СОПРЯЖЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 165
Следовательно,
W = W. A2.45)
Равенство A2.43) означает, что компоненты \т комплексно
сопряженного вектора преобразуются по тому же закону,
по которому преобразуются линейные комбинации 2 vtkbk
составляющих исходного /-вектора. Найдем матрицу V. Для
этого напишем равенство A2.43) с точностью до линейных
членов по параметрам at:
E-\-alAl -J- а2А2 -\- а3Л3 =
=. Е -4- a^VA^V1 + a2VA2V~l + a^VAry'1. A2.46)
Отсюда следует, что
Ai=^VAiV~l (/=1,2,3). A2.47)
Используя явный вид A1.28) матриц Л(/\ мы получим:
A2.48)
Ясно, что в качестве матрицы V можно выбрать матрицу
представления поворота на 180° вокруг оси Оу. Следовательно,
V = eA^. A2.49)
Найдем выражение матрицы V для представления DA/2). Для
этого воспользуемся следующим свойством матрицы Л г''):
0 — Л2 /1 0\
n = Л , • A2.50)
1 0 / \ 0 1 /
Представляя экспоненту A2.49) в виде ряда, мы находим
Следовательно,
И^ (° -М A2.51)
166 СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУППЫ СРАЩЕНИИ [ГЛ. XI!
а
[а\
Пусть нам задан спинор I , ). Введем комплексно сопряжен-
(а\
ный спинор - I - Согласно доказанному мы можем утвер-
\ Ъ 1
ждать, что величина
преобразуется, как спинор. Наоборот, величина
преобразуется, как комплексно сопряженный спинор. Ком-
Комплексно сопряженный спинор называют также ковариант-
ным спинором.
Упражнения
12.1. Используя свойства унитарности матриц С^''\ доказать
равенство A2.31).
12.2. Найти разложение на неприводимые представления тен-
тензорных представлений третьего и четвертого рангов.
12.3. Доказать, что разложение тензорного представления на
неприводимые можно найти с помощью следующего рекуррентного
правила:
2«? 2
где к® — число, показывающее, сколько раз неприводимое пред-
представление веса / содержится в тензорном представлении n-го ранга.
12.4. Доказать, что разложение спинорного представления на
неприводимые части можно получить с помощью следующего ре-
рекуррентного правила:
где т)^—число, показывающее, сколько раз неприводимое пред-
представление веса ; содержится в спинорном представлении я-го ранга.
Используя эту формулу, найти разложения спинорных представле-
представлений для п — 1, 2 6.
Глава XIII
Некоторые приложения теории
представлении группы вращений
к квантовомеханическим задачам
1. Частица в центральном поле. Орбитальный момент
количества движения
Рассмотрим уравнение Шредингера для одной частицы
в центральном поле
- A -f-- V (г) | ф (г) = ?ф (г). A3.1)
Так как потенциал V (г) зависит только от абсолютной вели-
величины радиуса-вектора, то гамильтониан Н этой системы ин-
инвариантен относительно группы О+C). Мы знаем (см. главу V),
что это условие инвариантности может быть записано в виде
fgH=fifg, A3.2)
где операторы tg, образующие представление группы вра-
вращений, определяются формулой
г). A3.3)
Найдем инфинитезимальные операторы Av A2, А3 этого пред-
представления, соответствующие поворотам вокруг осей Охг, Ох2,
Ох3. Инфинитезимальные операторы At определяют прира-
приращение функции ф(г), обусловленное поворотом радиуса-век-
радиуса-вектора, линейное по параметрам аР а2, а3- Поэтому мы можем
написать
з
ц1
где согласно A0.25)
6,^1 = 0, 6,л:2 = а1д:3, 6,л;з= — a,x2
{^х i = — а2х3, b2X2 = 0, b2x3 = a2xl, | A3.5)
168 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ;ГЛ. XII!
Отсюда мы получаем
__ д д л
— — х —А- —
_ _д _д_
' "~ Х* дх, ~~ xi dxt '
A3.6)
Так как с точностью до линейных членов оператор Тg можно
представить в виде
Г, = 1+аД + М2+Мз. С13-7)
то из условия коммутации A3.2) следует
AiH = HA{. A3.8)
Наоборот, поскольку оператор Tg можно представить со-
согласно A2.2) в виде ряда
Tg = ехр (а, Л[ ~\- а2/
= ? + (а,Л, -f а2Л2 + а3Л3) +
то из A3.8) следует A3.2). Таким образом, равенства A3.8)
являются необходимыми и достаточными условиями инвариант-
инвариантности гамильтониана относительно группы вращений. Опера-
Операторы Aj являются антиэрмитовыми. Введем эрмитовы опера-
операторы Н ¦ = iAj, которые можно рассматривать как кванто-
вомеханические операторы, соответствующие некоторым
физическим наблюдаемым. Действительно, операторы Hj
с точностью до размерного множителя h совпадают с опера-
операторами Lj составляющих момента количества движения
Lj = hHj, например:
2, = hHx = ihА, = ih ^лг3 -j^ — х2 ^-J = х2р3 — х3р2,
¦ 2 3 A3.10)
д
где pj — составляющая оператора импульса: pj = — th
-т—
1] ЧАСТИЦА Е ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 169
В силу A3.8) операторы Z; коммутируют с гамильтонианом Н
нашей системы и, следовательно, являются операторами ин-
интегралов движения.
Таким образом, мы показали, что операторы составляю-
составляющих момента количества движения с точностью до множителя
совпадают с инфинитезимальными операторами представления
группы вращений и, если уравнение Шредингера инвариантно
относительно этой группы, они являются интегралами движения.
Рассмотрим теперь, какие заключения можно сделать
о свойствах симметрии решений уравнения A3.1). Собствен-
Собственные функции этого уравнения, принадлежащие одному соб-
собственному значению энергии, должны образовывать базис
неприводимого представления группы вращений. Из преды-
предыдущей главы мы знаем, что в пространстве функций могут
реализоваться только представления ?)( с целыми /. При
этом функции, преобразующиеся по неприводимому представ-
представлению D( , должны удовлетворять уравнению
(Я? + Н\ + Щ ф (г) = I (I + 1) ф (г)
или A3.11)
(Z? + U + II) ф (г) = ЬЧ (I + 1) ф (г).
Если функции, соответствующие вырожденному собственному
значению, образуют канонический базис представления D"',
то они удовлетворяют также уравнению
Я3Ф(г) = шИг) A3.12)
или
Z3i|5 (г) = Лотф (г) (т = — I, — /+1 /).
В главе XII был получен явный вид функций, образующих
базис неприводимого представления группы вращений. По-
Поэтому мы можем утверждать, что решения уравнения Шре-
Шредингера A3.1) имеют вид
yim<r) = R(r)y\m)(P- ф)- A3ЛЗ)
Мы получаем, таким образом, следующий результат. Соб-
Собственные функции уравнения Шредингера A3.1) с данным
собственным значением образуют базис неприводимого
представления группы вращений D(/) с целым I. Кратность
170 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. XIII
вырождения уровня Ег равна 2/ —|— 1. Соответствующие ему
собственные функции являются также собственными функ-
функциями оператора квадрата момента количества движения.
Их всегда можно выбрать так, чтобы они были еще и соб-
собственными функциями оператора Z3-
Следует еще отметить, что полной группой симметрии
рассматриваемой задачи является группа 0C) = О+ C) X *'•
В зависимости от того, является ли волновая функция сим-
симметричной относительно инверсии / или меняет знак, соот-
соответствующему состоянию приписывается квантовое число
четности w= + 1. Очевидно, что для одной частицы
в силу A3.13)
w==(— 1)'.
Для доказательства этого соотношения достаточно вспомнить
связь сферических функций Y[m с однородными полиномами
степени / переменных х, у, z. Таким образом, для одной
частицы классификация по собственному значению орбиталь-
орбитального момента содержит в себе уже классификацию по чет-
четности. Впоследствии мы увидим (см. главу XIX), что для
многоэлектронных систем эта зависимость отсутствует.
2. Правило сложения моментов количества
движения
В предыдущем пункте мы показали, что операторы со-
составляющих момента количества движения с точностью
до множителя совпадают с инфинитезимальными операторами
группы вращений. Используя эту связь, докажем правило
сложения моментов количества движения.
Пусть имеются две невзаимодействующие частицы, каждая
из которых находится в центральном поле, т. е. описывается
уравнением Шредингера типа A3.1). Волновые функции ча-
частиц обозначим соответственно через <р;т (гЛ н i|)/(j (rX
Для того чтобы не усложнять сейчас рассмотрение учетом
принципа тождественности частиц (см. главу XVII), будем
считать, что это частицы различной природы (например,
электрон и протон). Тогда волновые функции рассматривае-
рассматриваемой системы могут быть записаны в виде произведений
«WOW^ 03.14)
з1 спин 171
Задача, которую мы хотим решить, заключается в определе-
определении возможных собственных значений U2L{L-\-\) оператора
квадрата полного момента количества движения L2 =
= (ZA) + ZB)J для состояний A3.14). Действие оператора
Z '-J-Z определяется по формуле
(^'''~bZ )ф, m (гЛф/ш (г2) = ф/ш Z^'W -\- ф Z'2)vf), .
A3.15)
Сравнивая A3.15) с A2.23), мы видим, что в рассматриваемом
случае составляющие оператора полного момента количества
движения совпадают (с точностью до множителя) с инфини-
тезимальными операторами прямого произведения представле-
представлений D(/l) и D(W. Поэтому наша задача просто сводится к раз-
разложению прямого произведения двух неприводимых предста-
представлений группы вращений на неприводимые представления.
Применяя правило Клебша — Гордана, мы получаем, что
квантовое число L может принимать значения lY-\-l2, ll-\~
-\-l2—*¦ •••• I Л — ^21- Собственные функции операторов
L2 и ? согласно A2.28) имеют вид
W (Г, Г)= 2 ст 1^М% т (ri) $l m (Г2>' A3-16)
где сЫ^м — коэффициенты Клебша — Гордана^
3. Спин
В п. 1 Для описания состояния частицы в центральном
поле мы использовали решения уравнения A3.1), которые
преобразуются по однозначным представлениям группы вра-
вращений. Б'опрос о том, насколько хороши такие решения
(а также н само уравнение) для описания реальной физической
частицы, должен решаться сравнением с экспериментом. Как
показывает ^п""*- уравнение A3.1) не может объяснить не-
некоторых наблюдаемых свойств электрона. В частности, было
обнаружено, что нарушение сферической симметрии в резуль-
результате включения внешнего магнитного поля приводит к рас-
расщеплению основного уровня энергии Ео (I=0), который
согласно развитой в п. 1 теории должен быть невырожден-
невырожденным. Однако это противоречие снимается, если предположить,
172 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. XIII
что волновая функция электрона преобразуется при враще-
вращениях по двузначному представлению группы О *" C).
В нерелятивистской квантовой механике волновую функ-
(Ъ (г)\
цию электрона полагают двухкомпонентной величиной I у
которая при вращениях системы координат преобразуется
по закону
2 A3.17)
где г и г' - координаты одной и той же точки в разных
системах координат, а коэффициенты а(;- образуют матрицу
представления D11'2'' группы вращений (см. A2.34)). Такую
двухкомпонентную величину, заданную в каждой точке трех-
трехмерного пространства, называют спинорным полем.
Вероятность того, что электрон находится в элементе
объема dv около точки г, определяется теперь выражением
03.18)
Так как матрица ||a/ft|| является унитарной, то величина
A3.18) представляет собой инвариант относительно преобра-
преобразования A3.17):
A3-19)
Найдем вид инфинитезимальных операторов для спинор-
ного поля. Закон преобразования A3.17) мы можем предста-
представить в виде
или
Рассматривая, например, поворот вокруг оси Охя, мы мо-
можем с точностью до линейных членов по параметру а3
написать
( Д1/2) (^--х,^-)х, A3.21)
где Ау — инфинитезимальный оператор неприводимого
представления DA/2) группы вращений. Отсюда следует, что
спин
173
инфинитезимальный оператор Ai для спииорного поля имеет
вид
л л('/2) , .. д .. д
дх2 '
A3.22а)
Аналогично для Ах и А2 мы получаем
TiT *2-?г. A3.226)
д
A3.22b)
Предположим теперь, что гамильтониан электрона Н обла-
обладает сферической симметрией. Условие инвариантности отно-
относительно группы вращений теперь может быть записано в виде
AlH--HAi= О,
A3.23)
где операторы А( определяются формулами A3.22). Введем
эрмитовы операторы
(k=l, 2, 3).
A3.24)
Эти операторы, являющиеся в силу A3.23) интегралами дви-
движения, называют операторами составляющих полного момента
количества движения. Оператор J состоит из двух слагае-
слагаемых: введенного нами ранее оператора орбитального момента
количества движения L и оператора S= ihA^l2\ который на-
называют спиновым моментом количества движения. Согласно
A1.28) в представлении, в котором оператор §3 диагоналей,
оператор S может быть представлен в виде
с _ п
0
ЬA 0\
1
По
y°v
_ ъ
A3.25)
174 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. XIII
Матрицы (Тр а2 и °з называют матрицами Паули. При дей-
действии оператора §3 на спинор X мы получим
A3.26)
Отсюда следует, что спиноры и ) являются соб-
ственными векторами оператора 53 с собственными значениями
-=- и „-. Так как произвольное состояние электрона можно
представить в виде суперпозиции таких состояний:
то величина \x\?dv определяет вероятность того, что элек-
электрон, находясь в объеме dv, имеет проекцию спина на ось Oz,
равную -я-, а величина | /2 Р dv имеет тот же смысл для
проекции спина —„-.
Рассмотрим приближение, соответствующее уравнению
A3.1), когда в гамильтониане можно пренебречь спиновыми
операторами. Тогда волновую функцию электрона можно
представить в виде
( ' )= <р(г)( '). A3.28)
\ Y2 V) Xfol
/у \
где f |— постоянный спинор, а функция ф(г) является ре-
решением уравнения Шредингера. Значки компонент спинора
удобно выбирать равными соответствующим собственным
1 ъ 11
значениям оператора /Л3 = -г-о3, т. е. равными -=¦ и —-^-.
Иногда их рассматривают как аргументы функции, которая
может принимать лишь два значения:
1
ф(г, 0) = <
<Р(Г)х_1р. а=—1.
A3.29)
4] ТЕОРЕМА КРАМЕРСА 175
Если уравнение Шредингера для нашей задачи инвариантно
относительно группы вращений, то его собственные функции
должны преобразовываться по неприводимым представлениям
группы вращений D(l). Тогда с учетом спинового состояния
каждый уровень энергии окажется 2B/-)- 1)-кратно вырожден
и соответствующие волновые функции могут быть выбраны
в виде
%т^Ьо, 1/2- Ф/А -1/2
ИЛИ
С") (!) (—-'.-<+! ')• 03-30)
Ясно, что функции A3.30) преобразуются по приводимому
представлению, которое является прямым произведением
?>(" X D(ll2\ Согласно правилу Клебша — Гордана мы имеем
Из функций A3.30) мы можем построить с помощью коэф-
коэффициентов Клебша — Гордана функции, преобразующиеся
по неприводимым представлениям, или, другими словами,
собственные функции операторов У2 и ^ъ- Мы получим
^ СЖ./21/2
2, J)
У2
(
4. Теорема Крамерса
Теорема Крамерса. Если гамильтониан электрона
коммутирует с оператором
в=2-$2К, A3.33)
где К — операция комплексного сопряжения, a S2 — опе-
оператор проекции спинового момента на ось Ох^, то
176 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. ХШ
уровни энергии электрона будут двукратно вырождены ')•
Если рассматриваемая система обладает еще дополнительной
симметрией и связанным с ней вырождением, то полная крат-
кратность вырождения уровней должна быть обязательно четной.
Покажем сначала, что коммутативность с оператором в
имеет место, если только гамильтониан не содержит члена,
описывающего взаимодействие с магнитным полем. Действи-
Действительно, в этом случае к гамильтониану Йо уравнения Шре-
дингера A3.1) мы должны добавить лишь член спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия, который имеет вид 2)
Поскольку гамильтониан Но веществен и не содержит спи-
спиновых операторов, то очевидно, что
вН0 — Н0@. A3.35)
Докажем, что для оператора Hso также выполняется усло-
условие коммутации
QHS0=HS0§. A3.36)
Действительно, согласно A3.10) оператор L чисто мнимый.
Поэтому
@1 = — 1ё. A3.37)
Используя явный вид матрицы St, легко показать, что для
оператора S имеет место такое же соотношение:
05— — S0. A3.38)
Из A3.37) и A3.38) мы получаем равенство A3.36).
') Теорема Крамерса доказана для системы, состоящей из не-
нечетного числа электронов. В этом случае оператор ® —("F
. ..f-r-S^Mfi где оператор S^' относится к /-му электрону.
2) Гамильтониан Но и оператор A3.34) для определенности на-
написаны для сферически симметричного потенциала V (г). Это огра-
ограничение, однако, несущественно для дальнейшего доказательства.
4] ТЕОРЕМА КРЛМЕРСА 177
Если же нашу систему поместить в магнитное поле Н,
то в гамильтониане появится дополнительный член
^ A3.39)
который, как это следует из A3.37) и A3.38), не коммути-
коммутирует с оператором в.
На основании соотношений A3.37) и A3.38), а также
легко проверяемых соотношений
вр-= — р0, вг=гв A3.40)
оператор 0 называют оператором обращения времени.
Перейдем теперь к доказательству теоремы Крамерса.
Легко проверить, что
в2= — 1. A3.41)
Рассмотрим два электронных состояния, которые описываются
спинорами
О ?)• <1342)
Определим их скалярное произведение в виде
(ЧГ. Ф) = ф1ф1+Ч№. A3.43)
Используя свойство эрмитовости оператора §2, мы можем
написать
(SW, вФ) = (ЧТГФ) = (Ф, У). A3.44)
Поэтому имеют место следующие равенства:
(Т. 840 = (вЧГ, e2W) = (Q24r, вТ) = — («¦. вЧ1"), A3.45)
откуда
0. A3.46)
На основании равенства A3.46) мы приходим к заклю-
заключению, что состояния Ч1" и 6Т ортогональны, а следова-
следовательно, линейно независимы. С другой стороны, оба состоя-
состояния, ЧГ и вЧГ, в силу A3.33) должны принадлежать одному
и тому же уровню энергии. Теорема доказана.
12 М. П. Петрашень, Е. Д. Трифонов
178
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
[ГЛ. XIII
Сделаем одно важное замечание. Если рассматриваемая
система обладает пространственной симметрией, то обусло-
обусловленное ею вырождение может включать в себя и крамерсово
вырождение. Тогда инвариантность относительно «обращения
времени» не приведет к дополнительному вырождению.
В качестве такого примера рассмотрим случай, когда группа
симметрии системы совпадает с группой вращений О+ C).
Мы знаем, что в такой задаче состояние электрона харак-
характеризуется полным моментом J и собственное значение энер-
энергии вырождено 27-f-1 раз по собственному значению М
проекции этого момента. С помощью A3.32) мы можем на-
написать наиболее общий вид волновой функции:
г) = Я 1 (г)
J
M—.j.M
)> ф)
м-^.^.м J+J
(M = — J, — У-j-l J).
A3.47)
Здесь R 1 (г) и /? 1 (г)—некоторые вещественные функ-
ции, которые зависят только от \г\. Напомним, что Ит) =
= р/р)вшч>1 я{-«> = (_!)"•/>t. Коэффициенты Клебша-Гор-
дана также вещественны и обладают рядом свойств, из ко-
которых нам понадобится следующее:
Подействуем на функцию
ж т. М- A3.48)
уж(г) оператором в, который
4] ТЕОРЕМА КРАМЕРСА
в нашем случае имеет вид
О I
— I О
К.
179
A3.49)
Мы будем рассматривать только первое слагаемое. Преобра-
Преобразование второго слагаемого аналогично. Используя опреде-
определение сферических функций и свойство A3.48) коэффициен-
коэффициентов Клебша — Гордана, мы получим
(¦)/?
J~2
(Г)
с('7'
(в.
4- 4-ж '-4
M+~2 ' ~J'
2 ' 2 '
• 1 • ¦
. ф)
, Ф)
(в. Ф)
4^4)-4'-^
(в. ф)
(8, ф)
A3.50)
A3.51)
Мы видим, что оператор в связывает состояния с противо-
противоположными значениями проекции полного момента и в рас-
рассмотренном случае действительно не приводит к дополни-
дополнительному вырождению.
Таким образом, мы имеем
12*
Глава XIV
Дополнительное вырождение
в сферически симметричном поле
В предыдущей главе мы исследовали классификацию соб-
собственных функций уравнения Шредингера с произвольным
сферически симметричным потенциальным полем. Однако
известны два типа сферически симметричного потенциала,
для которых имеет место дополнительное вырождение, и,
следовательно, рассмотренная классификация состояний не
является полной. Это кулоновское поле U = — и поле изо-
изотропной упругой силы U = kr2. В этой главе мы покажем,
что дополнительное вырождение связано с инвариантностью
соответствующих уравнений Шредингера относительно опре-
определенных групп преобразований, для которых группа вра-
вращений является только подгруппой.
1. Дополнительное вырождение
Наличие дополнительного вырождения для указанных
полей известно из решений соответствующих уравнений Шре-
Шредингера.
Рассмотрим уравнение Шредингера с кулоновским потен-
потенциалом, т. е. уравнение Шредингера для атома водорода.
В атомных единицах (е—1, /п=1, й = 1) оно имеет вид
Д 1)ч>() ?ф(г) A4.1)
Известно, что собственные значения этого уравнения, соот-
соответствующие связанным состояниям, определяются главным
квантовым числом п:
При заданном значении п азимутальное квантовое число
может принимать значения 1=^п—1, п — 2, ..., 1, 0. Это
1] ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ 181
означает, что волновые функции, соответствующие выро-
вырожденному уровню ?„, преобразуются по приводимому пред-
представлению группы вращений, которое распадается на непри-
неприводимые представления D{n~l\ D{n'2) D@).
Дополнительное вырождение имеет место также для уров-
уровней энергии изотропного гармонического осциллятора, урав-
уравнение Шредингера которого имеет вид (в атомных единицах)
. A4.3)
Положим для упрощения записи jx = о> = 1. Будем искать
решение уравнения A4.3) в виде
y = 0. A4.4)
Для функции f (г) мы получим уравнение
где
п=--Е— -|. A4.6)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному усло-
условию в нуле, может быть выражено через вырожденную ги-
гипергеометрическую функцию
f(r) = ri+iF<JL=±, /_|* rA. A4.7)
Для того чтобы волновая функция стремилась к нулю при
г->оо, ряд для гипергеометрической функции должен обры-
обрываться. Это возможно только в том случае, если —к
целое число или нуль. Отсюда следует, что число га должно
быть целым. При фиксированном значении га, которое опре-
определяет собственное значение энергии, азимутальное число /
может принимать значения га, га — 2, га — 4, ... Поэтому
соответствующие волновые функции будут преобразовываться
по приводимому представлению группы вращений, которое
распадается на неприводимые представления D \ D'"~2)f .,.
182 ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЬ [ГЛ. XIV
2. Связь с классической механикой
Исключительный характер рассмотренных потенциальных
полей проявляется также и в классической механике. На-
Напомним, что согласно классической механике движение ча-
частицы в центральном поле потенциала U (г) происходит
в плоскости, перпендикулярной к вектору момента количе-
количества движения L = [r, p]. Если в этой плоскости ввести
полярные координаты, поместив начало координат в силовой
центр, то полярный угол ф и радиус-вектор г нашей частицы
будут связаны соотношением
Ldr == + const, A4.8)
г* у 2]i{E-U(r))-±r
где Е—энергия, \х—масса частицы.
Неравенство
q>=f
определяет область изменения радиуса-вектора г. Эта область
во всяком случае ограничена
снизу значениями г = гт1п, так
как в левой части неравенства
содержится растущий при г->0
центробежный член -^—j. Если,
кроме того, имеется и верхняя
граница г ~ /-тах, то движение на-
называется финитным и его траек-
траектория должна целиком лежать
в кольце с внешним и внутренним
радиусами, соответственно равны-
Рис. 16. ми rmax и гтЫ. Для произвольного
центрального поля траектория
бесконечное число раз касается внутренней и внешней окруж-
окружностей этого кольца и является незамкнутой (рис. 16).
Это происходит потому, что величина
Дф== Г
ГРУППА СИММЕТРИИ АТОМА ВОДОРОДА
183
в общем случае не является рациональной частью 2я. Однако
для кулоновского поля и поля изотропной упругой силы
траектории движения будут замкнутыми. Для кулоновского
поля Дср = —, для изотропного осциллятора Acp = -j- при
любых значениях Е и L.
3. Группа симметрии атома водорода
Группа симметрии уравнения Шредингера для атома во-
водорода была исследована В. А. Фоком в935 году1). Преобра-
Преобразования из этой группы не сводятся к преобразованиям
в обычном трехмерном пространстве. Кроме того, группы
симметрии этого уравнения для связанных состояний (Е < 0)
и для сплошного спектра (Е > 0) оказываются различными.
Мы рассмотрим сейчас более подробно случай дискретного
спектра.
Уравнение Шредингера A4.1) для атома водорода в им-
импульсном представлении имеет вид
где
—Q = E. A4.11)
Сопоставим каждой точке р в импульсном пространстве
точку на единичной сфере в четырехмерном пространстве
с координатами |, г\, ?, х:
i __ 2PoPx f_
^ + /
A4.12)
Если теперь ввести функцию
Ф(P)=
yjPob/2(Pl + Р2Jф(/>) = ^а. Л- С. X). A4.13)
В. А. Фок, Изв. АН СССР, ОТН A935), стр. 169—179,
184 ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ [ГЛ. XIV
то уравнение A4.11) может быть преобразовано к виду
V&. Л. С Х) =
где йй — элемент поверхности четырехмерной сферы еди-
единичного радиуса, по которой проводится интегрирование.
Уравнение A4.14) инвариантно относительно вращений в че-
четырехмерном пространстве, и, следовательно, его группой
симметрии будет группа О+ D). На основании теоремы Виг-
нера мы можем утверждать, что собственные функции этого
уравнения должны преобразовываться по неприводимым пред-
представлениям группы О' D). Неприводимые представления
группы О+ D) мы получим в главе XXI. Мы сможем тогда
убедиться, что классификация состояний по этим предста-
представлениям группы О+ D) совпадает с обычной классификацией
состояний атома водорода и объясняет дополнительное вы-
вырождение.
Интересно получить явные выражения инфинитезималь-
ных операторов представлений группы четырехмерных вра-
вращений !). Для нашей задачи они являются квантовомеханиче-
скими интегралами движения.
В четырехмерном евклидовом пространстве можно рас-
рассмотреть шесть независимых двумерных плоскостей: 1,г\, |?,
?Х' ЛС ЛХ' ^Х- Поэтому в качестве шести параметров, от
которых зависит произвольная вещественная ортогональная
матрица четвертого порядка, можно выбрать параметры по-
поворотов в этих двумерных плоскостях. Бесконечно малым
поворотам в этих плоскостях соответствуют преобразования
A4.15)
В пространстве импульсов этим поворотам соответствуют
') Ю. А. Добронравов. Вестник ЛГУ, № 10 A957), стр. 5.
ГРУППА СИММЕТРИИ АТОМА ВОДОРОДА
185
согласно A4.12) следующие преобразования:
Ро
PyPz
Ро
?pU
КЗ-
Рз.
-pI-p2
'* ' ~ ,' 2р0
A4.16)
Преобразования A4.16) в свою очередь индуцируют бесконечно
малые преобразования в пространстве функций
дФ дФ дФ
Учитывая связь функций Ф(р) и cpQ»), для последней по-
получим
M = «i(— Рг-йг+Ру^)' (Н.18)
A4Л9)
РхРу ^Ф (/») . РхРг <^Ф (Р)
Н ~ ~л7. г"
Ра' 0Ру Ра OPz Pa
и еще четыре равенства, получаемые круговой перестанов-
перестановкой х, у, z.
Мы написали инфинитезимальные операторы, соответ-
соответствующие бесконечно малым преобразованиям A4.15) в про-
пространстве волновых функций ф(р), принадлежащих уровню
Е = ¦— . Чтобы получить инфинитезимальные операторы
186
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ
[ГЛ. XI \
группы четырехмерных вращений, действующие на любую
функцию, разложимую по собственным функциям дискретного
спектра, мы должны величину р0 заменить на оператор
У—2Н. Заменяя также производные -з—, -=—, -г—соот-
1 е орх дру дрг
ветственно на ix, iy, iz, мы получаем окончательные выра-
выражения для шести инфинитезимальных операторов:
1г = рух — рху;
A4.20)
ft ^_ 1 Г (Я L\X-[L, р]л
х 2 L 2
",=?
N..
^_ 1 Г [А Ц2
2 L
-[Ц р]г
гЛ
— Н
-н
A4.21)
Первые три инфинитезимальных оператора совпадают с тремя
составляющими оператора момента количества движения. Эти
интегралы, как мы знаем, имеют место для всех сферически
симметричных потенциалов. Интегралы A4.21) присущи только
кулоновскому полю. Их можно записать в векторной форме:
2 L 2 rJ Г _# ' ^ • '
Соответствующая величина в классической механике совпа-
совпадает с радиусом-вектором второго фокуса эллипса. Таким
образом, смысл этого интеграла уравнений движения заклю-
заключается в фиксировании направления перигелия орбиты, что
связано с ее замкнутостью.
В. А. Фоком было показано, что для состояний сплош-
сплошного спектра уравнение A4.1) инвариантно относительно
группы преобразований, изоморфной группе Лоренца.
4. Группа симметрии изотропного осциллятора
После того как было объяснено дополнительное выро-
вырождение состояний атома водорода, естественно было попы-
попытаться определить полную группу симметрии изотропного
J] ГРУППА СИММЕТРИИ ИЗОТРОПНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА 187
осциллятора. Эта группа была независимо найдена Демковым,
Хиллом и Яухом г).
Задача о трехмерном осцилляторе является частным слу-
случаем задачи об га-мерном изотропном осцилляторе. Так как
наше рассмотрение группы симметрии не будет зависеть от
размерности осциллятора, то естественно обсудить общий
случай.
Гамильтониан изотропного га-мерного осциллятора (в атом-
атомных единицах) имеет вид
A4.23)
Для простоты мы считаем, что масса т=\. Введем в рас-
рассмотрение операторы
Uk~~ 1/2 &Чк 1Р" ' A4.24)
Из перестановочных соотношений для pk и qk легко полу-
получить перестановочные соотношения для операторов ak и а+.
Они имеют вид
A4.25)
Гамильтониан A4.23) теперь может быть представлен в виде
A4.26)
Вместо операторов ак можно ввести новые операторы afk,
которые связаны со старыми произвольным унитарным пре-
преобразованием:
A4.27)
Легко проверить, что в силу унитарности матрицы \\utk\\
операторы a'k и а'^ удовлетворяют прежним перестановоч-
перестановочным соотношениям.
') Ю. Н. Демков, Вестннк ЛГУ, № 11 A953); F. L. Hill,
J. M. Juch, Phys. Rev. 57 A950). 641. Здесь мы будем следовать
работе Бейкера (С. A. Baker, Phys. Rev. 103 A956), 1119).
188 ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ [ГЛ. XIV
Действительно, мы имеем
aka'i - аК = 2 «*;«„{aiaj — ajai) = °-
A4.28)
', i
Kai+ — ai+a'k = 2iUkJK {ajat — atad '¦
Ясно также, что гамильтониан A4.26) должен быть инва-
инвариантен относительно преобразования A4.27). Действительно,
5, Л
Отсюда следует, что группой симметрии «-мерного изотроп-
изотропного осциллятора является re-мерная унитарная группа U (га).
Для трехмерного осциллятора группой симметрии является,
следовательно, трехмерная унитарная группа U C), которая
содержит группу вращений в качестве вещественной под-
подгруппы. Действительно, если мы будем считать матрицу || и,к\\
вещественной, то преобразования A4.27) могут быть запи-
записаны в виде
s—l s=\
Такому преобразованию операторов as, a+ соответствуют
одинаковые преобразования операторов qk и р^.
которые представляют собой обычные вращения в трехмер-
трехмерном пространстве.
Обратимся снова к га-мерному изотропному осциллятору
и найдем представления, по которым преобразуются его вы-
вырожденные волновые функции. Изотропный «-мерный осцил-
осциллятор можно рассматривать как совокупность п одинаковых
одномерных осцилляторов. Поэтому его волновая функция
4] ГРУППА СИММЕТРИИ ИЗОТРОПНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА 189
может быть представлена в виде произведения
где фт — волновая функция одномерного осциллятора с соб-
собственным значением энергии ©(/га^ + тН- Волновая функция
A4.33) соответствует собственному значению энергии
A4.34)
Ясно, что этому значению энергии соответствуют все функ-
функции Ф / /, для которых выполняется равенство
mi т
тп
?- A4-35)
Основное состояние нашего осциллятора описывается един-
единственной функцией
(Н.36)
Можно доказать, что функция Фо...о преобразуется по то-
тождественному представлению унитарной группы. Волновые
функции возбужденных состояний можно, как известно, по-
построить, действуя на функции основного состояния операто-
операторами а?. Опуская нормировочные множители, мы можем
написать
и, следовательно, собственные функции, соответствующие
собственному значению т-\--^-, представимы в виде
^•••fl4°o-o' A4'38)
Так как порядок расположения операторов af несуществен,
то при преобразованиях A4.27) эти функции преобразуются,
как компоненты симметричного тензора /re-го ранга в га-мер-
га-мерном пространстве.
В теории представлений унитарной группы доказывается,
что такие представления, реализующиеся на компонентах
симметричного тензора, являются неприводимыми •). Эти
') См., например, Г. В ей ль, Классические группы, ИЛ, 1947,
гл. VII.
190 ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ [ГЛ. Х!\
представления, однако, не исчерпывают всех неприводимых
представлений унитарной группы. Мы лишены здесь возможно-
возможности проанализировать этот вопрос более подробно и ограничимся
лишь подсчетом порядка представления, которое реализуется
на компонентах симметричного тензора m-ro ранга в га-мерном
пространстве. Мы знаем, что порядок представления равен
кратности вырождения соответствующего уровня энергии.
Подсчитаем число независимых компонент симметрического
тензора ранга т в «-мерном пространстве. Пусть Фу ...у —
компонента такого тензора. Значки jv j2 jm в силу
симметрии тензора всегда можно расположить в неубываю-
неубывающем порядке:
h ••• <Jm-
В этом случае всегда будут выполняться неравенства
', < h < •¦• < '».
где ik — jk-\-k— 1. Числа ik все различны и могут прини-
принимать значения от 1 до п-\-т—1. Поэтому число различных
компонент симметричного тензора равно числу различных
сочетаний из п-\-т—1 значений по т. Таким образом,
кратность вырождения уровня Е = т -f- -^ изотропного я-мер-
ного осциллятора равна
t — 1)!
Так как мы уже значительно вышли за рамки задачи
о трехмерном осцилляторе, то позволим себе вкратце оста-
остановиться на свойствах симметрии волновых функций га-мер-
га-мерного изотропного осциллятора, если его координаты пре-
преобразуются по унитарному и вещественному представлениям
некоторой группы симметрии, например точечной группы,
как это имеет место в задачах о нормальных колебаниях
молекул. Такое преобразование координат вызовет аналогич-
аналогичное преобразование операторов с+. Поэтому, опираясь на
проведенное выше рассмотрение, мы можем утверждать, что
волновые функции, принадлежащие собственному значению
энергии т-\-~, будут преобразовываться по /и-кратной
«симметричной» степени представления, по которому преоб-
преобразуются нормальные координаты (см. гл. XVI).
Глава XV
Группа перестановок
В этой главе мы рассмотрим группу Sn перестановок п сим-
символов и получим ее неприводимые представления. Конкретной
реализацией этой группы в квантовой механике является
группа перестановок переменных, описывающих тождествен-
тождественные частицы. Для того чтобы с самого начала была ясна
цель нашего рассмотрения, начнем с постановки квантово-
механической задачи.
1. Квантовомеханическое описание системы
тождественных частиц
Рассмотрим уравнение Шредингера для системы, состоя-
состоящей из п одинаковых частиц:
И (?,. <72 ?«)?(?! ?„) = ??(?,. q2 д„). A5.1)
Здесь qt — совокупность переменных, относящихся к /-й ча-
частице. Так как гамильтониан H{qv q2 qn) должен быть
инвариантен относительно перестановок переменных qt, то
решение уравнения A5.1) должно преобразовываться по не-
неприводимому представлению этой группы.
Для того чтобы теория согласовывалась с эксперимен-
экспериментальными результатами, необходимо потребовать, чтобы вол-
волновая функция системы частиц с полуцелым спином была
антисимметричной относительно перестановки любой пары
частиц, а волновая функция системы частиц с целым спи-
спином — симметричной:
— 4Dv Яг Яп) Для частиц
с полуцелым
спином,
для частиц
с целым
спином.
192 ГРУППА ПЕРЕСТАНОВОК [ГЛ. XV
В квантовой теории поля эта связь получила объяснение в
теореме Паули. Таким образом, для описания симметрии
волновых функций системы тождественных частиц в действи-
действительности из всей совокупности неприводимых представлений
группы перестановок используются два простейших одномер-
одномерных представления: антисимметричное и симметричное. В
дальнейшем, как правило, мы будем иметь дело с систе-
системами электронов и, следовательно, с антисимметричными
волновыми функциями. Основное применение теории пред-
представлений группы перестановок в квантовой механике многих
частиц связано с приближением, в котором гамильтониан
системы предполагается не зависящим от спинов.
Тогда стационарное уравнение Шредингера для много-
многоэлектронной системы имеет вид
Я (г,. г2 гя)ф(г„ .... гя) = ?ф(г, гя). A5.3)
Полная «антисимметричная» волновая функция может быть
построена путем антисимметризации произведения решения
атого уравнения и спиновой функции /(ар а2, ..., оя):
а, гп. ая) =
e(p) i аРп). A5.4)
где е(р) — четность перестановки р, а суммирование про-
проводится по всем перестановкам п индексов. Координатная
волновая функция ф(г,, ..., г„), являющаяся решением
уравнения Шредингера A5.3), не обязательно должна быть
антисимметричной относительно перестановки своих аргумен-
аргументов. Так как гамильтониан //(/•,, г2, ..., гп) инвариантен
относительно перестановки переменных г1, г2, ¦¦¦, гя, то
волновая функция ф(г,, г2, ¦¦¦, /"„) согласно теореме Виг-
нера должна преобразовываться по одному из неприводимых
представлений группы перестановок Sn. Единственное огра-
ограничение, которое накладывается на класс допустимых непри-
неприводимых представлений, заключается в том, что результат
антисимметризации в формуле A5.4) должен быть отличен
от нуля. В главе XVI мы подробно рассмотрим вопрос о по-
построении волновой функции многоэлектронной системы,
а сейчас перейдем к изучению группы Sn и всех ее непри-
неприводимых представлений.
2] ГРУППА ПЕРЕСТАНОВОК л СИМВОЛОВ (93
2. Группа перестановок п символов
Элементами группы перестановок Sn являются п.] опера-
операций -перестановок п символов. Перестановка s, которая на
место символа с номером / ставит символ с номером $г,
записывается в виде
/1 2 ... п \{i \
S~\sl s2 ... saj~[sl)'
Произведением двух перестановок s = \ ] и t = I I назы-
вают перестановку
\
¦ A5.6)
Тождественным элементом группы является перестановка
а обратной для перестановки s является перестановка
*-'=,- A5.7)
Особый интерес представляет циклическая перестановка т
символов (т <J га), в которой символ с номером /к заменяется
на символ с номером Д.+ 1, если k < m, а символ с номе-
номером fm заменяется на символ с номером Д. Такую переста-
перестановку мы будем записывать в виде скобки (/,, /2 fm).
Произвольную перестановку можно выразить с помощью
произведения циклических перестановок. Поясним это на при-
примере. Действительно,
1 2 3 4 5 6 7 8\
2461573 8)=О24)(Зв7)E)(в). A5.8)
Циклическую структуру перестановки будем характеризовать
совокупностью чисел av с^, ..., ап, где число щ показы-
показывает, сколько циклических перестановок из / символов со-
содержится в данной перестановке. Например, циклическая
структура тождественной перестановки характеризуется сле-
следующей совокупностью:
а, = га, а2 — а3 = ... = а„ = 0.
13 М. И. Пеграи;ень, Е. Д. Трифонов
194 ГРУППА ПЕРЕСТАНОВОК [ГЛ. XV
Циклическая структура перестановки A5.8) определяется
следующими значениями:
Так как число переставляемых символов равно п, то всегда
имеется равенство
a,-f-2a2-f- ••• -)-иая = я. A5.9)
Рассмотрим две перестановки, обладающие одинаковой
циклической структурой, например:
« = A23) D5) F), * = D31)B6)E).
Эти перестановки различаются лишь перенумерацией значков,
которую можно выполнить с помощью перестановки
12 3456'
3 1 2 6 5,
т. е. a = t"'[bt. Следовательно, а и b принадлежат одному
классу. Очевидно, что и, наоборот, перестановки, принад-
принадлежащие одному классу, т. е. отличающиеся друг от друга
перенумерацией значков, обладают одинаковой циклической
структурой. Таким образом, мы приходим к важному выводу,
что перестановки с одинаковой циклической структурой об-
образуют класс и, следовательно, число различных классов
равно числу различных циклических структур. Число симво-
символов в циклической перестановке будем называть длиной цикла.
Если обозначить через Я.,, Я,, . .., Xk (Я, + Я2-|- .. . -\-Xk — и)
длины циклов, на которые разлагается произвольная пере-
перестановка, то число различных циклических структур, совпа-
совпадающее с числом классов, будет равно числу различных
возможных разбиений п на целые положительные слагаемые.
Из общей теории представлений конечных групп следует, что
группа перестановок Sn имеет такое же число различных
неприводимых представлений.
3. Неприводимые представления группы Sn
Перейдем теперь к нахождению всех неприводимых пред-
представлений группы Sn. Мы уже упоминали о двух одномер-
одномерных, а следовательно, неприводимых представлениях — сим-
симметричном и антисимметричном, по которым преобразуются
31 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ Sn X95
волновые функции частиц с целым и полуцелым спином соот-
соответственно. В симметричном представлении любой переста-
перестановке сопоставляется 1, а в антисимметричном (—1)е^', где
г(р) — четность перестановки р, т. е. в этом представлении
всем четным перестановкам сопоставляется 1, а нечет-
нечетным — 1.
Задачу нахождения неприводимых представлений будем
решать следующим образом. Рассмотрим функцию F(yv
У2< ¦ ¦ ¦ • Уп>< являющуюся произведением п независимых
'функций, каждая из которых зависит от одного аргумента:
Определим теперь операцию перестановки аргументов функ-
функции F(yv у2 уп) формулой
>\ УР)^РР{^ Уп)- 05.11)
Применяя к функции F все п\ перестановок, мы получим п\
независимых функций Fр. При действии на функцию Fp про-
произвольной перестановкой q мы получим
чр,(ь- у, y.)
Из формулы A5.12) следует, что функции Fp образуют
базис регулярного представления группы перестановок. На-
Напомним, что регулярное представление является приводимым
и каждое неприводимое представление порядка I содержится
в нем / раз.
Рассмотрим линейное я!-мерное пространство R, элемен-
элементами которого являются произвольные линейные комбинации
функций Fp:
2 cpFp. A5.13)
Разложение регулярного представления, которое реализуется
на функциях Fp, сводится к разложению пространства R
на неприводимые инвариантные подпространства относительно
группы Sn. Воспользуемся сейчас тем, что функцию F
мы выбрали в виде произведения A5.10). Это позволит нам
13»
196 ГРУППА ПЕРЕСТАНОВОК [ГЛ. XV
наряду с оператором р перестановки аргументов рассматри-
рассматривать также оператор Р перестановки функций ф,, определяе-
определяемый следующим равенством:
Легко видеть, что операторы q и Р коммутируют друг с
другом:
qP = Pq. A5.15).
Действие оператора Р па функцию Fq эквивалентно дей-
действию на эту функцию оператора р = qp~{q~~K Действи-
Действительно,
РРя = Ч>/>, (У*,) Ьг (Уя2) • ¦ • Ч W- С15.16)
С другой стороны,
= ЯР'% ШФ2 (Уа) • • • Фя (У„) ==
Мы видим, что действие оператора Р на различные функ-
функции Fq эквивалентно действию различных перестановок аргу-
аргументов. Поэтому результат применения оператора Р к про-
произвольному элементу A5.13) пространства R не может быть
выражен с помощью какой-либо перестановки аргументов.
Покажем, как с помощью операторов Р можно построить
инвариантное подпространство пространства R. Выберем,
например, из функций ф; К функций. Все перестановки но-
номеров этих функций образуют группу SK. Составим оператор
симметризации
QSk= 2 Р. A5.18)
Если оператором Qsk подействовать на все функции Fp, то
получим «I функций, симметричных относительно переста-
перестановок К функций фг. Ясно, что не все построенные таким
3] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ 5„ 197
образом функции будут линейно независимыми и, следова-
следовательно, они образуют лишь некоторое подпространство R' про-
пространства R. Докажем, что подпространство R' инвариантно
относительно любых перестановок аргументов у,, у2> • • •• Уп-
Действительно, произвольный элемент пространства R' можно
представить в виде
б2 S PFq. A5.19)
Подействуем на него оператором произвольной перестановки
t аргументов. Используя соотношения коммутации A5.15),
мы получим
% " s %s
A5.20)
где c'q. = ct-xq.
Мы видим, что функция, стоящая в правой части этого
равенства, принддлежит подпространству R' и, следовательно,
подпространство R' инвариантно относительно любых пере-
перестановок аргументов. В частности, если А, —га, то подпро-
подпространство R' будет состоять из одной функции Fs, симме.-
тричной относительно любых перестановок функций ф^:
Fs = &SnF= 2 PF. A5.21)
s
Аналогично можно получить инвариантное подпростран-
подпространство, антисимметричное относительно перестановок Я, функ-
функций фг. Соответствующий оператор антисимметризации
имеет вид
Й^х- S (-1)е(Р)А A5.22)
*s
Если Я, = га, то мы получим функцию, антисимметричную
относительно группы Sn:
FA = QAnF= 2 (—l)eU>)PF. A5.23)
Для выделения инвариантных подпространств можно про-
проводить последовательно симметризацию и антисимметриза-
антисимметризацию по различным наборам функций фг. Нельзя, конечно.
198
ГРУППА ПЕРЕСТАНОВОК
[ГЛ. XV
проводить антисимметризацию по тем функциям, по которым
первоначально была выполнена симметризация (иначе мы по-
получим нуль).
Мы покажем сейчас, что при определенном выборе опе-
операций симметризации и антисимметризации можно разбить
все пространство R на инвариантные подпространства, пре-
преобразующиеся по неприводимым представлениям. Для того
чтобы указать номера функций фг, по которым нужно про-
производить симметризацию и антисимметризацию, составим
таблицы (схемы Юнга), состоящие из п клеток. Клетки рас-
расставляются в строки по А,,, А-2 Xk (Л.(—|г-Я,2 —J— ¦¦¦-{- ^=га)
клеток, а строки располагаются друг под другом в невоз-
растающем порядке
Клетки схемы Юнга заполним номерами функций фг. Напри-
Например, для п -- 13
1
6
10
12
2
7
11
13
3
8
4
9
5
Мы условимся сначала проводить антисимметризацию по но-
номерам функций, расположенным в столбцах схемы, и по-
последующую симметризацию — по номерам, расположенным
в строках.
Укажем теперь конструктивный прием, позволяющий опре-
определить те операции симметризации и антисимметризации, ко-
которые разбивают пространство R на инвариантные неприво-
неприводимые подпространства. Этот способ фактически сводится
к нахождению соответствующих схем Юнга с определенным
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ S
199
заполнением клеток и носит рекуррентный характер. Начнем
с п — 1, в этом случае можно построить только одну схему
Юнга, состоящую из одной клетки, п = 2, здесь возможны
две схемы Юнга, состоящие из одной строки или из одного
столбца. га = 3, схемы Юнга получаются добавлением третьей
клетки с цифрой 3. п = 4, добавляем четвертую клетку и
т. д. Описанный способ построения мы иллюстрируем сле-
следующей таблицей:
/7=/ Ш
п=4 \пг\з\4\
и т. д.
Каждой схеме Юнга мы сопоставляем оператор Юнга:
б (я.,, к A*) = 20S(-i)e(rtA
я р
где q пробегает все перестановки номеров в каждой строке
схемы Юнга, а р — все перестановки в столбцах. На осно-
основании предыдущего рассмотрения можно утверждать, что каж-
каждый такой оператор Юнга выделяет в пространстве R неко-
некоторое инвариантное подпространство. Покажем, что эти ин-
инвариантные подпространства независимы. Затем, подсчитав их
число и сравнив его с известным числом неприводимых пред-
представлений, на которые распадается регулярное представление,
мы с необходимостью придем к заключению, что в каждом
из построенных подпространств реализуется одно из непри-
неприводимых представлений группы 5"л.
Итак, докажем, что инвариантные подпространства, по-
построенные с помощью операторов Юнга, схемы которых нахо-
находятся по указанному рекуррентному способу, не имеют общих
элементов. Наше доказательство имеет эвристический характер
200 . ГРУППА ПЕРЕСТАНОВОК . {ГЛ. XV
и основано на двух фактах, в которых читатель может убе-
убедиться, рассматривая таблицу юнговских схем:
1. Повторное действие одного и того же оператора Юнга
на любой элемент пространства R дает отличный от нуля ре-
результат.
2. Последовательное действие двух различных операторов
Юнга на любой элемент пространства R дает нуль. В этом
просто убедиться по крайней мере для одного порядка дей-
действия операторов. Действительно, легко убедиться, что один
из этой пары операторов всегда содержит симметризацию по
тем функциям, по которым другой производит антисимметри-
антисимметризацию.
Если бы соответствующие инвариантные подпространства
имели общие элементы, то мы пришли бы к противоречию
с высказанными утверждениями.
Наконец, легко понять, что подпространства, соответст-
соответствующие схемам Юнга с одинаковой структурой {А,}—А,,,
Х2,.... АА, но отличающиеся лишь заполнением клеток, пре-
преобразуются по эквивалентным представлениям. Отсюда сле-
следует, что число неэквивалентных представлений равно числу
схем Юнга с различной структурой или числу разбиений п
на целые положительные слагаемые Х]-\-Х2-\- . . : -\-Хк = п,
т. е. как раз равно числу классов. Из рассмотрения нашей
таблицы легко видеть, что для чисел пл эквивалентных пред-
представлений всегда выполняются равенства
2 '{,.} = «'• A5.24)
Сравнивая это равенство с формулой C.81), заключаем, что
числа гц] равны порядкам неприводимых представлений
[, у. ri^ = liK\. На основании теоремы о разложении регу-
регулярного представления на неприводимые части можно утвер-
утверждать, что число содержащихся в нем неприводимых пред-
представлений равно У/, г Но так как V л = уЛ то это
{к} W {1} [к> {К) W
число совпадает с числом построенных нами инвариантных
подпространств. Отсюда следует, что в каждом из этих под-
подпространств реализуется одно из неприводимых представле-
представлений группы перестановок Sn. Будем обозначать эти неприво-
неприводимые представления символами Л ui.
3] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ Sn 201
Рассмотрим теперь свойства симметрии функции, принад-
принадлежащей базису неприводимого представления А/о- Для оп-
определенности рассмотрим функцию Fn\, которая получается
в результате действия оператора Qki на функцию F =
A5.25)
я р
Из этого определения следует, что функция Fi^ должна
быть симметричной по перестановкам функций я^, номера
которых расположены в строках схемы Юнга (т. е. отно-
относительно операторов Q). Однако, мы не можем утверждать,
что функция Ft^-, будет антисимметричной относительно опе-
операторов Р, поскольку операторы Р и Q не коммутируют.
Но согласно A5.14) мы можем написать
p-^F, A5.26)
и поэтому функцию Ft^-i можно также представить в виде
FM = ItQli(-lf(p)pF. A5.27)
Так как операторы Q и р коммутируют друг с другом, то мы
получаем
fU} = 2(-l)E(P)P2Qf- A5.28)
р я
Наконец, используя еще раз равенство A5.26), можно на-
писать
РМ^И(-1)л(р)р1,дР- A5.29)
р я
Таким образом, вместо того, чтобы производить антисим-
антисимметризацию и последующую симметризацию по номерам функ-
функций я|>;, можно произвести сначала симметризацию, а затем
антисимметризацию по номерам соответствующих аргументов.
Это, в частности, показывает, что сделанное нами в начале
предположение о возможности представления функции F в виде
произведения не является принципиальным и носит лишь вспо-
вспомогательный характер. Из формулы A5.28) или A5.29)
202 ГРУППА ПЕРЕСТАНОВОК [ГЛ. XV
следует, что функция F,}. должна быть антисимметричной
по перестановкам аргументов, номера которых расположены
в столбцах схемы Юнга.
Мы можем теперь резюмировать результаты.
Неприводимое представление Дщ группы перестановок
определяется разбиением п на целые положительные слагае-
слагаемые:
tl = Aij —\~ A«2 ~\~ . . . —\~ Ai?, Aij ^' A«2 -^ • • • -z2''*tf
В линейном пространстве R, образованном функциями
F(y , ,,., у ), где (/)( р2 . . ¦ рп) — всевозможные пере-
перестановки чисел 1, 2 п, реализуется регулярное пред-
представление группы Sn. He ограничивая общности результатов,
можно представить функцию F(yv y2, ..., уя) в виде про-
произведения п функций г|), (у,) .. . i|)n (yn). Разложение этого
представления на неприводимые части можно произвести
с помощью операторов Юнга, соответствующих схемам Юнга,
которые строятся по указанному выше рекуррентному правилу.
Упражнения
15.1. Убедиться в справедливости утверждений 1 и 2 (стр. 200)
на примере, когда п = 3.
15.2. Доказать, что характеры представлений групп перестановок
должны быть вещественными.
15.3. Определить число элементов в классе с циклической струк-
структурой (а, а2 ... ат).
15.4. Доказать, что четность перестановки определяется четно-
четностью суммы а2 + «4 + «е + • • •
Глава XVI
Симметризованные степени представлений
В этой главе мы введем понятие симметризованной сте-
степени представления, которое будет положено в основу боль-
большинства приложений теории группы перестановок к задачам
квантовой механики.
1. Векторы и тензоры в n-мерном пространстве
Рассмотрим «-мерное векторное пространство Rn. Компо-
Компоненты вектора этого пространства в некотором выбранном
базисе обозначим через Vt< t= 1, 2, ..., п. Пусть в про-
пространстве Rn задано представление некоторой группы О.
Матрицы представлений, соответствующие элементам а, Ь, ...
группы О, мы будем обозначать через || ajj' ||, \\bjj' |[, ...
Таким образом, элементу а, например, мы сопоставляем
следующее преобразование векторов в /?„:
V'l= S a,,.Vr. A6.1)
j'-i
Матрицу представления единичного элемента мы будем обо-
обозначать через \\ejj' ||, eJ}- =б7у.
Наряду с векторами рассмотрим в пространстве Rn
тензор V(/n) от-го ранга, компоненты которого мы будем
обозначать через Vjjj , jk = 1, 2, . . ., п. Каждому
преобразованию A6.1) соответствует следующее преобразо-
преобразование тензора:
Матрица этого преобразования является от-кратным прямым
произведением матрицы || ajj' ||. Мы будем обозначать ее
через (а)т или II а ¦ • > II. где
|| hh — 'ne >1'2"->т\\
¦ / ¦ = а. а • ... а ¦ . A6.3)
204 СИММЕТРИЗОВАННЫЕ СТЕПЕНИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ. XVI
Матрицы (а)т, так же как и матрицы ||я//'|1- образуют
представление группы О.
Для дальнейшего нам будет удобно ввести в раввмотре-
ние матрицу р(а)т с элементами
[Pia)'n}hl2-im'hi2-im = aiPi ->Р ¦ h'h-i'm A6)
где (PiP2 ¦ ¦ ¦ Рт) — некоторая перестановка чисел 1,2 т.
Заметим, что матрицы (а)"' обладают следующим свойством:
а. . f ¦ .¦ .' =aj . . у у .' . A6.5)
Действительно, одинаковая перестановка первых и вторых
значков элементов матрицы (а)т сводится к перестановке
множителей в формуле A6.3).
2. Матрицы перестановок тензорных значков
Введем тензор р\Гт , определив его компоненты равен-
равенством
pVj^.. jm = Vj ... i • A6.6)
Покажем, что компоненты этого тензора можно выразить через
компоненты тензора Vj j ...у с помощью матрицы р (ет),
где \\е1к\\ — единичная матрица порядка и, а элементы
матрицы (е)т, очевидно, имеют вид
Действительно, мы можем написать
2
h •¦• Jm'
m
= 2 б /...б . V . . =V A6.8)
; /
т
Покажем, что матрицы р (е)т образуют представление
группы перестановок Sn, т. е. что
др(еГ, A6.9)
3] СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ ГРУПП S, И Й 205
где q и р — некоторые произвольные перестановки чисел
1, 2 т. В действительности имеет место более общее
равенство
q{b)mp{a)m^qp{baf, A6.10)
которое нам понадобится в дальнейшем и которое мы сейчас
докажем. Ясно, что A6.9) является частным случаем A6.10)
при а—Ь = е. Для доказательства A6.10) напишем
U\J2 • • ¦ Jm< kxk2 ¦ . ¦ &ш)-й элемент матрицы, стоящей в ле-
левой части формулы A6.10). Мы получим
= S*, , / / в/ / к к ¦ (i6.il)
Воспользуемся теперь тем, что одинаковая перестановка
первых и вторых значков согласно A6.5) не изменяет
матрицу (Ь)т. Поэтому мы можем написать
Ь, . , у=Ь . . . A6.12)
! т
Тогда равенство A6.11) может быть продолжено следующим
образом:
1 т
= {Ьа), ...j ...„..^(ffNv,,.^,,...,,. A6.13)
и\ т
Это выражение представляет собой не что иное, как
(Л • • • Jm' *i • • • ^ш)"й элемент матрицы, стоящей в правой
части A6.10), и, следовательно, равенство A6.10), а вместе
с ним и A6.9) доказаны.
3. Связь между представлениями группы Sn и группы О
в тензорном пространстве
Мы определили представление группы перестановок матри-
матрицами р (е)'п и представление группы О матрицами (а)т.
Базисом этих представлений является базис тензорного про-
пространства, т. е. совокупность пт тензоров, у которых отлична
205 СИММЕТРИЗОВАННЫЕ СТЕПЕНИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. XVI
от нуля и равна единице только одна компонента. Будем
обозначать орты этого базиса через
Произвольный тензор V с компонентами V / ... у может
быть представлен тогда в виде
v<«> = ^ V. ц A6.14)
i . . i l "¦ т 1\ ••' 'т
1' ' т
Покажем теперь, что матрицы р (е)т и (а)т коммутируют.
Действительно, с помощью A6.10) мы можем получить сле-
следующие равенства:
q(e)m(a)m = q(a)m, (а)т q (е)т = q (a)m, A6.15)
откуда
Гт тт. A6.16)
Перейдем теперь в тензорном пространстве к новому базису,
выбрав его таким образом, чтобы представление группы пере-
перестановок распалось на неприводимые части. Матрицы при-
приведенного представления мы можем представить в виде
где /-щ — кратность неприводимого представления Дц]
в представлении q(e)m, Е, —единичная матрица по-
м
рядка лц1. Матрицы q(e)m определяют закон преобразова-
преобразования компонент тензора, записанного в новом базисе. Орты
нового базиса обозначим через rj. ' ; значок {X} нумерует
неприводимые представления группы перестановок, и раз-
различает повторяющиеся эквивалентные неприводимые пред-
представления, и=1, 2 Лщ, значок а нумерует орты
базиса неприводимого представления, а=1, 2 Л ¦>.
Выразим новые орты через старые:
¦и - V Т(М ах) /Ifi iq\
4] ХАРАКТЕРЫ СИММЕТРИЗОВАННОЙ СТЕПЕНИ 207
Коэффициенты Tj)'aK. j можно рассматривать как компо-
компоненты тензора rj, . в старом базисе.
Найдем теперь вид матриц (а)т в новом базисе. Исполь-
Используя свойство коммутативности A6.16), мы с помощью леммы
Шура получим (ср. рассмотрение в главе V на стр. 69)
или
(a){l} иа, {^'} и'а'
Матрицы /?'*•* (а) имеют порядок /"{и- Они образуют пред-
представление группы О в пространстве с базисными ортами ц,
и=1, 2 Гц) (при фиксированных Щ и а). Пред-
Представление /?'*•} (а) называют симметризованной т-й сте-
степенью представления а, соответствующей неприводимому
представлению Дщ группы перестановок.
4. Характеры симметризованной степени представления
В приложениях часто возникает задача разложения
представления Ri^x (я) на неприводимые. Такое разложение
мы сможем получить, если нам будут известны характеры
этого представления.
Решим сначала вспомогательную задачу. Найдем след
матрицы q(a)m. Пусть перестановка q имеет циклическую
структуру (а:а2 . . . ат). Если бы перестановка q состояла
из одного цикла длины т, то мы нашли бы, что
h ¦¦¦ An' h ¦¦¦ }т
= а. . . . / / =а. .-а. • ...а. .. . A6.21)
>mhn--- >m-V h-1' }т >т'\ >\П 'т-\>т
Следовательно,
Spq(a)= 2 aj i aj J • • ¦ aJ i =Sp(a)m. A6.22)
208 СИММЕТРИЗОВАННЫЕ СТЕПЕНИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. XVI
Отсюда нетрудно заключить, что для произвольной пере-
перестановки имеет место равенство
Sp q (of = (Sp (a) )°i (Sp {off* ... (Sp (вI»)"»». A6.23)
Установим теперь связь между следами матриц q(a)
и /?М (а). Для этого воспользуемся тем, что согласно A6.15)
или
q~a)m = 9(еГ (о), A6.24)
и, следовательно, с помощью A6.17) и A6.19) мы получим
A6.25)
Отсюда мы находим
m '2M A6.26)
p 2
М
Используя свойство ортогональности характеров у}к' (q) не-
неприводимых представлений группы перестановок, мы найдем1)
sp R{1} (?) = -^r S Sp9(a)m *w (9)- A6-27)
Подставляя в A6.20) полученное нами выражение A6.23) для
Sp q{a)m и переходя от суммирования по элементам группы
к суммированию по классам, получим
Sp R{1] W^-^^b^xllliSpaP .-.(SpOV A6.28)
ы
Здесь через у}*-} обозначен характер неприводимого пред-
la}
ставления А, (<7), соответствующий классу {a}; k. .—число
') Характеры представлений группы перестановок вещественны
(см. упр. 15.1).
УПРАЖНЕНИЯ 209
элементов в этом классе (см. упр. 15.3),
а,!2%2!...та'»аш!
A6.29)
Особенно часто приходится иметь дело с симметричной
или антисимметричной степенями представлений, т. е.
с представлениями Rm(a) и R<x г л (а), которые соответ-
соответствуют тождественному и антисимметричному неприводимым
представлениям группы перестановок. Характеры тождествен-
тождественного представления равны единице, ^(т)= 1. Следовательно,
для характеров симметричной степени мы получим
a, I 2 2<x2! ... m mam\
I U J
Характеры антисимметричного представления (см. упр. 15.4)
могут быть представлены в виде
Подставляя A6.31) в A6.28), мы получим для характеров
антисимметричной степени представления следующее выраже-
выражение:
_ V ( 1)а.+а4+ ... (Sp а)а' (Sp а2) ¦ ¦ .(Sp a")*™ ^
Q а,!2%2!...та'»ат!
Упражнения
16.1. Написать выражения для характеров симметричного и
антисимметричного квадратов представления.
16.2. Найти разложение на неприводимые представления сим-
симметричной второй и третьей степеней неприводимых представлений
группы О. Результаты сравнить с разложением прямых произведе-
произведений соответствующих представлений.
16.3. Найти представления, по которым преобразуются колеба-
колебательные волновые функции охтаэдрической молекулы, рассмотрен-
рассмотренной в главе VI, для всех двухквантовых возбужденных состояний.
Глава XVII
Свойства симметрии многоэлектронных
волновых функций
В п. 1 главы XV был намечен план теоретико-группового
исследования многоэлектронной системы. Мы приступим теперь
к реализации этого плана, используя те сведения о предста-
представлениях группы перестановок, которые были даны в гла-
главах XV и XVI.
1. Постановка задачи
Собственные функции уравнения Шредингера
Я(г, rn)W(ri г„) = ?ЧЧг, г„), A7.1)
принадлежащие одному собственному значению, должны пре-
преобразовываться по некоторому неприводимому представле-
представлению Дц} группы перестановок переменных rv r2 га.
Однако кратность вырождения собственного значения, равная
порядку неприводимого представления, не является еще кратно-
кратностью вырождения (статистическим весом) соответствующего
уровня энергии. Кратность вырождения уровня энергии должна
быть определена как число полных (т. е. зависящих также
от спиновых переменных) антисимметричных функций, соб-
собственных функций уравнения A7.1) с рассматриваемым соб-
собственным значением.
Пусть ^(Гр г2 /¦„) — одна из вырожденных соб-
собственных координатных функций уравнения A7.1). Ясно, что
?(»¦,. г2 г„)х(О|. <*2 оа), A7.2)
где х (о,, 02, .... 0Я) — спиновая функция (спинор «-го ранга),
также будет собственной функцией уравнения A7.1). Если
в A7.2) произвести перестановку аргументов:
то мы опять получим собственную функцию уравнения Шре-
Шредингера с тем же собственным значением. Это позволяет нам
построить полную антисимметричную волновую функцию,
2] СВОЙСТВА СИММЕТРИИ СПИНОВОЙ ФУНКЦИИ 211
являющуюся собственной функцией нашего гамильтониана,
в виде
4f*=2(-l)e(PLf(r*. r"Ma"i <Ч> A7.4)
р
Однако, как мы увидим ниже, не для всякого решения
^(/•j rn) уравнения A7.1) можно построить антисим-
антисимметричную волновую функцию A7.4), отличную от тожде-
тождественного нуля. Возможность построения полной антисимме-
антисимметричной волновой функции накладывает определенные огра-
ограничения, на неприводимые представления Дь}, по которым
могут преобразовываться решения уравнения A7.1), имеющие
физический смысл. Для того чтобы выяснить эти ограниче-
ограничения, мы должны сначала определить представления Дцл
группы перестановок, по которым могут преобразовываться
спиновые функции x(ffr °2' •••• °д)- Тогда мы сможем при-
применить следующий критерий: допустимыми неприводимыми
представлениями Дщ будут такие представления, для которых
в прямом произведении Aj^i Х^ь-} содержится антисиммет-
антисимметричное неприводимое представление.
2. Свойства симметрии спиновой волновой функции
Спиновая функция x(°i- °2 °я) «-электронной си-
системы представляет собою спинор я-го ранга относительно
вращений трехмерного пространства. Напомним, что при вра-
вращении системы координат, определяемом углами Эйлера ф,, Э,
ср2, компоненты спинора /г-го ранга преобразуются по закону
= %ааА[%, 6, Ф2]...аОпа;[Ф,, 6, ф2]Х(а[, а'2 о'п), A7.5)
где матрица ||<хоо'[фр 6, ф2] || — каноническая матрица непри-
неприводимого представления DA/2) группы вращений. Матрицы
преобразований A7.5) образуют представление группы враще-
вращений, которое является /г-кратной степенью представления
матрицами а. Очевидно, что спинор х(°т °2> •••• °л) может
быть рассмотрен как тензор я-ro ранга в двумерном про-
пространстве, и к нему применимы все результаты, полученные
в предыдущей главе.
14*
212 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XVII
В заданной системе координат мы можем рассматривать
совокупность 2" компонент спинора как значения функции
от п спиновых переменных ot, каждая из которых может
1 1 _
принимать два значения: -д- или ^-. В результате некото-
некоторой перестановки р аргументов этой функции или значков
спинора мы можем получить новую функцию
= Xp(aV °2- ¦¦•¦ °я)- С17'6)
Величины xP(ov в2, .... 0П) преобразуются при вращениях
трехмерного пространства также по закону, определенному
формулой A7.5), и, следовательно, являются компонентами
некоторого нового спинора. Действительно, мы имеем
а ,у(а'. а'). A7.7)
р
Так как обозначение значков суммирования произвольно, то
мы можем написагь
==2 « га , ...а , у Га' а'). A7.8)
Переставляя множители, окончательно получаем
№ °п)= S V; • • • avj?t,(ol <). A7.9)
Ясно, что любая линейная комбинация
2. «а <*«) A7.10)
также определяет спинор.
Применяя к спинору x(°v •••• °л) все операторы пере-
перестановок р, принадлежащие группе Sn, мы получим п\ спи-
спиноров. Однако не все из них, конечно, будут независимыми.
Число независимых спиноров не может превышать числа ком-
компонент спинора, равного 2я. В качестве независимых спино-
спиноров мы могли бы взять совокупность 2" спиноров, у каждого
из которых имеется по одной компоненте, отличной от нуля
2] СВОЙСТВА СИММЕТРИИ СПИНОВОЙ ФУНКЦИИ 213
и равной единице. В построенном многообразии спиноров
будет реализоваться определенное в главе XVI представле-
представление р(е)" группы перестановок, где (е) — единичная матрица
второго порядка.
Равложение представления р (е)" на неприводимые части
может быть выполнено методом, аналогичным тому, который
был применен в главе XV для разложения регулярного пред-
представления.
Составим таблицу схем Юнга, используя рекуррентное
правило добавления клетки (см. стр. 199). Каждой схеме Юнга
сопоставим оператор
%}=?(- 1)е(^2?. A7.11)
р q
где суммирование по р означает суммирование по всем пере-
перестановкам аргументов, номера которых стоят в столбцах
схемы Юнга, а суммирование по q — суммирование по всем
перестановкам аргументов, номера которых стоят в строках
схемы Юнга. Действуя оператором A7.11) на спинор %@1,
<т2, ..., ап), мы получим спинор %, ., который принадлежит
базису неприводимого представления Дк, группы перестано-
перестановок своих значков, Заметим, что если схема Юнга состоит
более чем из двух строк, то спинор х< i(<V oy ..., а\
должен обладать антисимметрией относительно перестановок
по крайней мере трех значков. Однако все компоненты такого
спинора должны равняться нулю, поскольку из трех значков
два обязательно совпадают. Поэтому схемы Юнга, состоящие
более чем из двух строк, могут быть исключены из нашего
рассмотрения. Допустимые схемы Юнга имеют вид:
Спиноры Xi 1> которым соответствуют одинаковые по струк-
туре схемы Юнга, образуют базис неприводимого предста-
представления Дц} группы перестановок своих значков.
Подсчитаем число г. независимых компонент спинора
Хь1. Так как такой спинор должен быть антисимметричным
относительно перестановки значков, номера которых стоят
в столбцах соответствующей схемы Юнга, то отличными от
1
т
1
" 2
1
2
1
2 " *
1
2 ...
1
~ 2 ' - -
1
Т'
1
"'
1
2 "
214 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XVII
нуля будут лишь те его компоненты, у которых эти значки
принимают разные значения. При этом все компоненты, от-
отличающиеся лишь значением таких значков, совпадают друг
с другом с точностью до знака. Так как по остальным знач-
значкам спинор Xi i симметричен, то независимых компонент
будет столько, сколько можно составить различных сово-
совокупностей из Я., — Я.о чисел, равных -^ или —-^. Эти сово-
совокупности, очевидно, имеют вид
A7.12)
Ясно, что их число равно %х—А,2 —|— 1. Таким образом, число
независимых компонент спинора Хщ равно Гщ = к1 — А.2-|~1.
Это означает, что мы будем иметь такое же число незави-
независимых спиноров, соответствующих определенному заполне-
заполнению клеток схемы Юнга. Используя таблицу на стр. 199,
легко подсчитать, что для каждого значения п мы получим,
таким образом, 2" независимых спиноров.
Независимые компоненты симметризованного спинора х,
должны преобразовываться по представлению «м(а) группы
вращений, которое является симметризованной степенью пред-
представления а. Найдем разложение представления Ru\(f?) на
неприводимые представления. Мы знаем, что базис неприво-
неприводимого представления группы вращений D(/) может быть по-
построен из 21 -)- 1 собственных векторов инфинитезимального
оператора Н3 с собственными значениями —/, —1-\-\, ...
..., /. Поэтому для того, чтобы провести разложение пред-
представления /?.j> (а) на неприводимые представления, доста-
достаточно установить кратности собственных значений опера-
оператора Н3 в базисном пространстве представления R. В соот-
соответствии с законом преобразования A7.5) спинор, у которого
(в данной системе координат) только одна компонента отлич-
отлична от нуля, будет собственным вектором инфинитезимального
2] СВОЙСТВА СИММЕТРИИ СПИНОВОЙ ФУНКЦИИ 215
оператора Н3, который в данном случае с точностью до мно-
множителя совпадает с оператором S3 проекции на ось Oz пол-
полного спина:
$зХ (<*! оя) = Ш3х (а, а„) =
а„). A7.13)
Учитывая, что «антисимметричные» индексы принимают про-
противоположные по знаку значения, а значения «симметрич-
«симметричных» индексов определяются совокупностями A7.12), мы
получаем для независимых компонент нашего спинора следу-
следующие собственные значения:
1(Х,-Ь2), l^-^-l -^.(^-Х,). A7.14)
Отсюда следует, что компоненты спинора х( , преобразуются
по неприводимому представлению группы вращений D 2
и, следовательно, являются собственными векторами опера-
оператора Й\ + Й\+Й1:
и а2 о„) =
Наиболее важными для дальнейшего окажутся следующие
результаты. Произвольная спиновая функция х(<*р о2, ..., вп)
может быть разложена по спиновым функциям Xhj (<*v о2, . ..
.. ., а\ преобразующимся по неприводимым представлениям
группы перестановок своих аргументов. При этом допусти-
допустимыми неприводимыми представлениями будут лишь те, схема
Юнга которых состоит не более чем из двух строк, [Ц =
= {A,,, k;,}. Компоненты спиновой функции Xr i образуют
базис неприводимого представления группы вращений с весом
А. — X
—Ч>—- и, следовательно, являются собственными функциями
оператора квадрата полного спина с собственным значением
да(*"-я»)( *¦-*" + !). П7.16)
216 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XVII
3. Связь между симметрией спиновой
и координатной волновых функций
Мы нашли представление р (е)" группы 5„, по которому
преобразуется спиновая функция. Представление р (е)" раз-
разлагается на неприводимые представления, схемы Юнга кото-
которых состоят не более чем из двух строк. Неприводимое
представление А/о. по которому преобразуется координат-
координатная волновая функция, должно быть таким, чтобы в прямом
г.роизведении Дг ji X Р (*)" содержалось антисимметричное
представление. Для определения допустимых представлений
Дг?1 используем следующую теорему:
Антисимметричное представление содержится в пря-
прямом произведении двух неприводимых представлений
только в том случае, если соответствующие им схемы
Юнга взаимно транспонированы (т. е. получаются друг из
друга заменой строк столбцами).
Наметим план доказательства этой теоремы. Рассмотрим
прямое произведение Д.^хД^, где Дл—антисимметричное
неприводимое пр дставление, Дл=Дг: 1 гу а Дщ—про-
Дщ—произвольное неприводимое представление. Поскольку представ-
представление Дд одномерно, то представление Д-j^i Х Дл будет не-
неприводимым. Поэтому мы можем написать
Найдем представление Д{^}. Пусть функция F^(yv y2, ...
..., уп) преобразуется по представлению Дщ. Согласно
A5.29) ее можно считать антисимметричной относительно
перестановок аргументов, номера которых стоят в столбцах
схемы Юнга [X]. Пусть функция FA(yi yn) антисим-
антисимметрична относительно перестановок своих аргументов. Тогда
функция F{K\FA должна принадлежать базису неприводимого
представления Д/^ь Ясно, что функция FniFA будет сим-
симметричной относительно перестановок аргументов, номера
которых расположены в столбцах схемы Юнга {к}. Можно
убедиться, что при действии на функцию FrkiFA операто-
операторами &ьл мы получим отличный от нуля результат только
для того оператора, схема Юнга которого транспонирована
3] СИММЕТРИЯ СПИНОВОЙ И КООРДИНАТНОЙ ФУНКЦИЙ 217
относительно схемы Юнга {X}. Таким образом, мы приходим
к результату: схема Юнга {%} должна быть транспонирована
относительно схемы Юнга {Х\.
Рассмотрим теперь два неприводимых представления Дщ и
Af?i'} группы Sn. Обозначим характеры этих представлений
соответственно через % (р) и % (р)- Характер антисим-
антисимметричного представления Ал, очевидно, равен (—1)е(р'.
Для того чтобы найти число К-4' , показывающее, сколько
раз представление аА содержится в прямом произведении
Л{и X Дь-}> воспользуемся формулой C.88I):
)• A7.18)
p
Но
(— l)e(/;)XW (P) = X{~' (/>)• A7.19)
Следовательно,
Г(Д) = _LYyn
p
Используя свойство ортогональности характеров неприводи-
неприводимых представлений, мы получаем, что r<A\ . ,i = l. если
{X), и г\А\ . =0 во всех остальных случаях. Таким
(Л) \к' \
образом, теорема доказана.
Представление р(е)п, как мы показали в предыдущем
пункте, разлагается на неприводимые представления, схемы
Юнга которых состоят не более чем из двух строк. Согласно
доказанной теореме мы теперь можем утверждать, что до-
допустимые неприводимые представления А/,», по которым пре-
преобразуются координатные функции, могут иметь схемы Юнга,
состоящие не более чем из двух столбцов. Решения уравне-
уравнения Шредингера A7.1), которые преобразуются по другим
представлениям группы перестановок, в нашей задаче не
имеют физического смысла.
') Характеры представлений группы перестановок вещественны
(см. упр. 15.2}.
218 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XVII
Предположим теперь, что нам известно решение ^их (rv
г2 г Л уравнения Шредингера A7.1), преобразующееся
по неприводимому представлению Аьъ схема Юнга которого
состоит не более чем из двух столбцов. Произвольную спино-
спиновую функцию x(CTi> °2 °п) можно разложить по симмет-
ризованным спиновым функциям х( . (ог ...> ад), преобразу-
преобразующимся по неприводимым представлениям Ль.}-
Ясно, что при антисимметризации произведения Ч^щ^г,, ...
••¦• гя)#Х(°1- •¦•- °п) отличный от нуля результат даст
лишь та спиновая функция, которая преобразуется по не-
неприводимому представлению с транспонированной схемой
Юнга {X}.
Мы знаем, что все компоненты спиновой функции
X, ,i(<Jji СТ2 Стя) являются собственными функциями опе-
оператора квадрата полного спина:
A7.22)
Так как полная антисимметричная волновая функция имеет
вид линейной комбинации таких функций, то она также будет
собственной функцией оператора S2 с тем же собственным
значением.
Таким образом, классификация собственных значений
уравнения Шредингера A7.1) по неприводимым представ-
представлениям группы перестановок в силу принципа Паули
оказалась равносильной классификации по собственным
значениям квадрата полного спина.
4. Свойства симметрии координатной волновой функции
Координатная волновая функция, являющаяся решением
уравнения Шредингера A7.1), должна преобразовываться по
неприводимому представлению группы перестановок, схема
СИММЕТРИЯ КООРДИНАТНОЙ ФУНКЦИИ
219
Юнга которого состоит из двух столбцов. Обладающая таким
свойством симметрии функция
\
может
быть построена из произвольной функции ф(г,, г2 гп)
с помощью симметризации по номерам аргументов, располо-
расположенным в строках схемы Юнга, и последующей анти-
антисимметризации по номерам аргументов, расположенным в
столбцах:
1
2
•
k
А + 1
'
п
Построенная таким образом функция 4V>(rr r2
б
\
должна обладать свойством антисимметрии по перестановкам
двух групп аргументов, например:
Гп)>
A7.23)
— k.
Очевидно, что такую функцию нельзя антисимметризовать
более чем по k аргументам, так как для этого мы должны
были бы антисимметризовать эту функцию по тем аргументам,
по которым вначале была произведена симметризация. Это
свойство функции ^[к\ может быть записано, например,
в виде следующего равенства:
v rk,
A7.24)
220 СВОЙСТВА СИММЕТРИИ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XVII
Свойства симметрии A7.23) и A7.24) координатной волновой
функции были впервые получены В. А. Фоком1).
В заключение рассмотрим метод построения координатной
волновой функции, соответствующей определенному собст-
собственному значению оператора S2, из независимых одноэлек-
одноэлектронных функций ф, (Г[), Ф2(г2), ..., ц>п(гп). Если собствен-
собственное значение оператора §2 равно A2s(s+ 1), то неприводимое
представление, по которому должна преобразовываться коор-
координатная волновая функция, определяется схемой Юнга, со-
состоящей из двух столбцов с длинами Я,[ = у-(-у, к'2 = -^-—s.
Заполним клетки этой схемы Юнга номерами функций <рг.
Затем построим соответствующий оператор &и\ и подейст-
подействуем им на произведение одноэлектронных функций:
¦ ¦ -=ЕаЕ(~1)Е(Р)Ар1(г1)ф2(г2)...ф„(гя). A7.25)
я р
В результате антисимметризации по столбцам мы получим
2 (-1)е<р) Ар, (/-,)...<!>,, (!•,,) =
X
X
. A7.26)
») В. А. Фок, ЖЭТФ 10 A940), 388.
УПРАЖНЕНИЯ 221
Затем полученное произведение двух определителей надо сим-
метризовать по парам функций, номера которых расположены
в строках. Поэтому окончательное выражение для много-
многоэлектронной координатной функции будет иметь вид суммы
таких произведений.
Упражнения
17.1. Задано шесть различных одноэлектронных функций ф, (г,),
ф2 (г2), ..., фе (г"б)- С помощью операторов Юнга построить коор-
координатные волновые функции системы шести электронов, соответ-
соответствующие различным возможным собственным значениям квадрата
полного спииа.
17.2. Доказать, что если одноэлектронные координатные волно-
волновые функции системы, состоящей из четного числа электронов,
попарно совпадают, то собственное значение квадрата полного спина
равно нулю.
Глава XVIII
Свойства симметрии волновых функций
системы тождественных частиц
с произвольными спинами
В этой главе мы обобщим рассмотрение, проведенное
в главе XVII, на случай системы тождественных частиц с про-
произвольными спинами. Такую систему частиц образуют, напри-
например, одинаковые ядра в многоатомной молекуле. Полученные
в этой главе результаты будут также использованы в дальней-
дальнейшем для классификации состояний многоэлектронного атома.
1. Постановка задачи
Опишем сначала постановку задачи. Как и раньше, мы
имеем дело с уравнением Шредингера для системы тож-
тождественных частиц, не содержащим спиновых операторов.
Спины частиц будем считать произвольными (т. е. не обя-
обязательно равными 1/2). В этом заключается первое обоб-
обобщение предыдущего рассмотрения. Кроме того, мы будем
предполагать, что в силу некоторых упрощений исходное
уравнение Шредингера заменяется приближенным, в кото-
котором утрачена симметрия относительно перестановок тожде-
тождественных частиц. Например, для системы тождественных
ядер в молекулярной задаче (в адиабатическом приближении)
мы имеем уравнение Шредингера
A8.1)
инвариантное относительно перестановок переменных /?г.
В гармоническом приближении, когда потенциальная энергия
?/(/?!> /?2. • • •• Rn)ваменяется квадратичной формой по малым
смещениям из положения равновесия, мы получаем уравнение
( "
п \
-4- ? [щщ) (О (*' - *H (Я* - /?f) | V = 0. A8.2)
1) ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 223
Уравнение A8.2) справедливо в малой окрестности точки {#?'}
конфигурационного пространства переменных {/?;}. Однако если
мы учтем, что на вращательные степени свободы (которые
описывают вращение молекулы как целого) не накладывается
ограничение малости, то получим, что это уравнение спра-
справедливо также в окрестности любой точки [gH'i 'j, где g —
произвольное вращение. Для того чтобы получить уравнение,
справедливое в другой области, например в окрестности точки
{ЯB°\ /??>, Rf] Л?*}- где /?B0) и М0)-положения рав-
новесия эквивалентных ядер, мы можем просто выполнить
соответствующую перестановку переменных /?, и /?2 в урав-
уравнении A8.2). Очевидно, что решения нового уравнения могут
быть получены из решения уравнения A8.2) такой же пере-
перестановкой. Относительно некоторых перестановок переменных
/?г, описывающих эквивалентные ядра, уравнение A8.2) инва-
инвариантно. Именно, оно инвариантно относительно тех пере-
перестановок, которые соответствуют поворотам или зеркальным
поворотам, совмещающим положения равновесия эквивалент-
эквивалентных ядер. Действительно, нетрудно убедиться, что такая
перестановка равносильна повороту (или зеркальному пово-
повороту) и последующей подстановке смещений, которая была
нами рассмотрена в главе V (см. рис. 1). Поэтому мы будем
предполагать, что собственные функции приближенного уравне-
уравнения преобразуются по представлению лишь некоторой под-
подгруппы группы Sn!). В этом состоит второе обобщение.
Допустим, что (приближенное) уравнение Шредингера решено,
т. е. найдены его собственные значения и собственные функ-
функции. Важная задача, которая при этом возникает, заключа-
заключается в определении статистических весов каждого уровня.
Статистическим весом уровня называют число соответ-
соответствующих ему независимых состояний, или, другими сло-
словами, число симметричных (антисимметричных) функций,
которые можно построить из найденных собственных функ-
функций и произвольной спиновой функции. Под произволь-
произвольной спиновой функцией мы понимаем спиновую функ-
функцию, имеющую Bs -f-1)" независимых компонент, где s —
!) Это один из редких случаев, когда при переходе к более
грубой модели происходит не повышение, а понижение сим-
симметрии.
224 СИСТЕМА ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ СПИНАМИ ГГЛ XVIII
максимальная проекция спина одной частицы, а п — число
частиц в системе').
Наметим план решения этой задачи. 1) Определим пред-
представление группы перестановок, которому соответствуют ре-
решения приближенного уравнения Шредингера. 2) Найдем
представление группы перестановок, по которому преобра-
преобразуется Bs -j- 1)"-компонентная спиновая функция. 3) Составим
прямое произведение этих представлений и определим, сколько
раз в нем содержится симметричное (или антисимметричное)
представление. Это число и будет равно статистическому
весу данного уровня.
2. Теорема Фробениуса
Обозначим через Н группу симметрии приближенного
уравнения Шредингера. Собственные функции этого уравне-
уравнения, соответствующие одному собственному значению, обра-
образуют многообразие Ro, инвариантное относительно подгруппы
Н, но не всей группы Sn. Результаты, которые будут полу-
получены в этом пункте, носят общий характер и не связаны со
спецификой группы перестановок. Поэтому вместо группы S,,
мы будем рассматривать произвольную группу Q порядка N.
Разложим группу О на сопряженные совокупности по
подгруппе Н:
Н, gxH, g2H, .... gji. A8.3)
Преобразования gv g2 gm будут переводить простран-
пространство Ro в новые пространства Rf:
Прямая сумма пространств R = /?а® ^i® • • ¦ @Rm инвари-
инвариантна относительно всей группы О. Действительно, возьмем
') Если рассматривается молекулярная задача, то следует учесть,
что электронная волновая функция также обладает определенной
симметрией относительно перестановок R;, принадлежащих упо-
упомянутой подгруппе. Эти перестановки эквивалентны вращениям
нли отражениям координат электронов. Поэтому при определении
статистического веса уровня нужно рассматривать произведение
Ч'эл^ядХспин. яд' Наше рассмотрение будет относиться к случаю,
когда Фэд преобразуется по тождественному представлению группы
симметрии молекулы.
2) ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 225
произвольный элемент из О, например g~=gih, h^H. Тогда
gRj^gfi~gjR0^gkh'R0, A8.4)
где Л'?Я. Следовательно,
i=Rk. A8.5)
Обозначим через у представление группы Н, реализующееся
в /?0, и через Г — представление группы О в пространстве R.
Задача заключается в том, чтобы определить характеры пред-
представления Г. Найдем сначала характеры X (Л) представления Г
для h^H. Для этого определим прежде всего число подпрост-
подпространств Rj, остающихся инвариантными при преобразованиях
из Н. Так как
V^-, A8.6)
то требование инвариантности будет выполнено, если
€H.. A8.7)
Если это имеет место, то матрица преобразования в прост-
пространстве Rh соответствующая элементу /г, будет совпадать с
матрицей представления у, соответствующей элементу gjlhgj.
Так как g . не принадлежит Я, то элемент g'^hg . может
и не принадлежать тому же классу С группы Й, что и эле-
элемент Л, но, конечно, всегда принадлежит классу К группы О,
который содержит С. Фиксируем элемент h ? Н и подсчитаем
число подпространств Rj, которые при преобразовании h
преобразуются подобным образом. Для этого выясним, сколько
элементов g~xhg. (i = 0 т) принадлежит одному и тому
же классу С группы Н. Если для gj выполняется условие
?C, ' A8.8)
то этот же результат мы получим для всех элементов из
сопряженной совокупности gfi. Поэтому определим сна-
сначала, сколько элементов g~lhg при g, пробегающем всю
группу О, принадлежит С, а затем поделим результат на
порядок группы Н. Если g пробегает всю группу О, то
в совокупности g~lhg каждый элемент класса К встречается
N
-г раз, где k — число элементов в классе К- Если с — число
элементов в классе С, то в рассматриваемой совокупности
15 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов
226 СИСТЕМА ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ СПИНАМИ [ГЛ. XVIII
мы найдем N -г элементов, принадлежащих этому классу.
Если теперь учесть, что элемент g пробегает не всю группу,
а принимает лишь значения g0, g{ gm, то получим, что
искомое число 1С, показывающее, сколько элементов сово-
совокупности g~jlhg. принадлежит классу С, содержащемуся
в классе К, равно
/ <189>
где Nl — порядок подгруппы Н. Если через Хс обозначить
характер представления класса С подгруппы Н, которое
реализуется в пространстве Ro, то характер представления
класса К группы О, которое реализуется в пространстве R,
будет равен
N V с
2
где суммирование проводится по тем классам С, которые
содержатся в К- Характеры классов К', у которых нет пред-
представителей в Н, равны 0, так как при преобразованиях из
этих классов ни одно из подпространств Rt не остается
инвариантным. Мы будем говорить, что представление у
группы Н с характерами %с индуцирует представление Г
группы О с характерами Х^-. Если представление Y неприво-
неприводимое, то представление Г в общем случае оказывается при-
приводимым. Его разложение на неприводимые представления
подчиняется следующей теореме.
Теорема Фробениуса. Представление Г группы О,
индуцируемое неприводимым представлением \'(г) под-
подгруппы Н, содержит каждое неприводимое представле-
представление Г^х} группы О столько же раз, сколько раз в пред-
представлении группы Н, даваемом матрицами Г('"\ содер-
содержится y(/)-
Доказательство этой теоремы теперь не может нас затруд-
затруднить. Интересующие нас числа определяются по формуле
где Х/(—характер представления Г, а Х^ —характер не-
неприводимого представления Г1'"'. Подставляя выраже-
з] s-тензоры 227
нпя A8.10) для Хк, получим
К ' С?К ' С
что и требовалось доказать.
Возвращаясь к нашей задаче, мы можем сказать, что ха-
характер представления группы перестановок, по которому пре-
преобразуется рассматриваемая волновая функция, определяется
формулой A8.10), а разложение этого представления на
неприводимые можно найти с помощью теоремы Фробениуса.
3. s-тензоры
Теперь мы должны сделать следующий шаг и найти пред-
. ставление группы перестановок, по которому преобразуется
Bs -f- 1)"-компонентная спиновая функция. Такую спиновую
функцию можно рассматривать как тензор га-го ранга в 2s-f-1-
мерном пространстве, поскольку при вращениях трехмерного
пространства она преобразуется по закону
X'(°i- °2 "л)=|Олв, ... Од<1.%(а[ о'а), A8.13)
где II D ¦ || — матрица неприводимого представления веса s
группы вращений. Для краткости будем называть ее s-тен-
зором n-го ранга. Очевидно, что любой s-тензор л-го ранга
можно разложить по Bs-f-l)" независимым тензорам, обра-
образующим базис рассматриваемого тензорного пространства.
В этом пространстве мы можем определить представление
p(E2s + i)" группы перестановок1). Действие оператора пере-
перестановки на s-тензор может быть записано в виде
"pPiPv °2 оя)=/7(О/.,- % ап„)- A8.14)
s-тензор га-го ранга можно разложить по тензорам, преобра-
преобразующимся по неприводимым представлениям группы переста-
перестановок. Такие тензоры можно получить с помощью операторов
Юнга. Очевидно, что допустимыми операторами будут лишь
те, схемы Юнга 'которых содержат не более 2s-JM строк.
Это связано с тем, что s-тензор, антисимметричный более
') См. п. 3 гл. XVI.
15*
228 СИСТЕМА ЧАСТИЦ С. ПРОИЗВОЛЬНЫМИ СПИНАМИ [ГЛ. XVIII
чем по 2s-|- 1 значкам, тождественно равен нулю. Можно
показать, что кратность допустимых неприводимых предста-
представлений Дк| в представлении p(E2s+l)" равна1)
П №-/*)
6U)= (т-\)\\т-2)\...2[ ' A8Л5)
где lj = Xj-\-m—1, /и = 2s-4-1. Величина 6i?i определяет
число независимых компонент тензора, преобразующегося по
неприводимому представлению Ащ группы перестановок (ср.
рассмотрение спиноров га-ге ранга в п. 2 гл. XVII).
4. Статистический вес энергетического уровня
После этих предварительных рассмотрений мы можем
найти выражение для статистического веса / данного уровня.
Для этого воспользуемся тем, что тождественное (симмегрич-
ное) представление группы перестановок содержится только
в прямом произведении эквивалентных неприводимых пред-
представлений, а антисимметричное представление содержится
в прямом произведении неприводимых представлений с транс-
транспонированными схемами Юнга (см. главу XVI). Учитывая это,
мы получим
/= S kifi <>\ 6;>i, s — целое число,
I {Ц х'] Х]
/= 2 k/ri <>¦, 6fTi, s—полуцелое число,
A8.16)
где k[ — число, показывающее, сколько раз неприводимое
представление у*-1) группы Н содержится в представлении,
по котором}' преобразуются решения приближенного уравне-
уравнения Шредингера. Числа /-,¦ uj и Ь\ц определяются соответ-
соответственно по формулам A8.12) и A8.15). Символ \Ц обозна-
обозначает транспонированную схему Юнга.
Интересно заметить, что, хотя само определение стати-
статистического веса существенно связано с группой перестановок,
статистические веса уровней можно определить без привлече-
привлечения представлений группы перестановок, рассматривая только
стр. 185.
) Ф. Мурнаган, Теория представлений групп, ИЛ, 1950,
185.
4] СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЕС ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО УРОВНЯ 22Э
точечную группу Н. Действительно, мы могли бы рассуждать
следующим образом. Поскольку спиновые функции образуют
базис представления для группы перестановок, то тем самым
они образуют и базис представлений точечной группы Н,
являющейся подгруппой группы Sn. Можно легко найти
характер этого представления. Пусть перестановка р имеет
циклическую структуру (<Х|а2 . • • а„). Отличный от нуля вклад
в характер дадут лишь те компоненты спиновой функции,
которые при указанной перестановке остаются инвариант-
инвариантными, т. е. которые имеют одинаковые значки для каждого
цикла перестановки р. Ясно, что число таких компонент
равно характеру представления и может быть записано в виде
формулы
Bs+l)a'4a2+"-+V A8.17)
Если мы составим всевозможные произведения спиновых и
координатных функций, то получим некоторый базис Q пред-
представления у точечной группы. Это представление является
прямым произведением представлений, по которым преобра-
преобразуются спиновые и координатные функции. Рассмотрим пред-
представление точечной группы Н, которое получается из антисим-
антисимметричного (симметричного) представления Дд (Д5) группы Sn
отбором соответствующих элементов. Обозначим его через
уЛ)(уE>). Мы покажем, что статистический вес рассматривае-
рассматриваемого уровня равен кратности этого представления в пред-
представлении у. В самом деле, расширим пространство, натяну-
натянутое на базис Q, так же, как мы делали выше, до пространства,
инвариантного относительно группы Sn. В расширенном
пространстве реализуется представление группы Sn, которое
индуцируется представлением у группы Н. Представление
ДД(Д5) согласно теореме Фробениуса может быть индуциро-
индуцировано только представлением у<.А)(у№)). Поэтому кратность
представления Ал (As) в расширенном представлении должна
быть равна кратности ^'(Y^) B представлении Y- Это и
доказывает наше утверждение.
5. Собственные значения оператора полного спина
В заключение этой главы мы коснемся вопроса о соб-
собственных значениях полного спина системы, соответствующих
данному энергетическому состоянию. Мы видели, что для
многоэлектронной системы каждому собственному значению
230 СИСТЕМА ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ СПИНАМИ [ГЛ. XVIII
бесспинового уравнения Шредингера соответствует опреде-
определенное собственное значение полного спина, В рассматривае-
рассматриваемом теперь общем случае такое однозначное сопоставление
не имеет места. Каждому энергетическому уровню будет
соответствовать в общем случае несколько собственных зна-
значений полного спина. Это связано, во-первых, с тем, что
s-тензор л-го ранга, соответствующий неприводимому пред-
представлению группы перестановок, преобразуется теперь по
приводимому представлению группы вращений. (Неприво-
(Неприводимость имеет место только для -к-тензоров или спиноров.)
Во-вторых, так как уравнение Шредингера обладает сим-
симметрией точечной группы, то по отношению к группе
перестановок его решение преобразуется в общем слу-
случае по приводимому представлению. Это означает, что в пол-
полную антисимметричную (или симметричную) функцию дадут
отличный от нуля вклад s-тензоры, преобразующиеся по не-
нескольким неприводимым представлениям группы Sn. Поэтому
даже при s — -~ данному уровню энергии могут соответство-
соответствовать состояния с различными полными спинами.
Вопрос об определении представления группы вращений,
которое реализуется на компонентах s-тензора с опреде-
определенной симметрией относительно перестановки, к сожа-
сожалению, не может быть изложен достаточно компактным
образом.
Обозначим через /?{*}(Dl") представление группы враще-
вращений, по которому преобразуются независимые компоненты
s-тензора, соответствующего неприводимому представлению
Aiji группы перестановок. Для того чтобы найти собственные
значения квадрата полного спина, надо представление /?''¦' (D )
разложить на неприводимые части. Характеры этого пред-
представления можно было бы найти по формуле A6.28), однако
это требует знания характеров неприводимых представлений
группы S:r Мы ограничимся тем, что приведем без доказа-
доказательства способ, который позволяет найти разложение пред-
представления /?iM (DE)), если такое разложение известно для
представлений R" (?>^'), соответствующих симметричному
представлению группы Sn. Обозначим через х1''1 п) характер
представления R"(D^). Он может быть найден, например,
УПРАЖНЕНИЯ
231
по формуле A6.30). Далее условимся считать /(*¦ °' — 1 и
y(s, *)=0, если k < 0. Тогда характер y(s'i1)) представления
/?i"}(D5)) равен следующему определителю1):
y(S, )H)y{S, ?., + !
y(S, >.ft-
A8.18)
Так как нас интересует разложение представления
на неприводимые, то при вычислении этого определителя мы
можем воспользоваться правилом Клебша — Гордана.
Упражнения
18.1. Найти статистические веса колебательных уровней окта-
эдрической молекулы YX6 для основного и одноквантовых возбу-
возбужденных состояний. Рассмотреть случаи, когда спин ядра атома X
равен
a) s=j, б) s = 1.
18.2. Найти представление группы вращений, по которому пре-
преобразуется симметричный 1-тензор n-го ранга.
18.3. Найти представление группы вращений, по которому пре-
преобразуется 1-тензор 4-го ранга с различными схемами Юнга."
') Е. Д. Трифонов, Вестник ЛГУ, № 22 A958).
Глава XIX
Классификация состояний
многоэлектронного атома
В главе XVII мы рассмотрели свойства симметрии много-
электроиной волновой функции, которая является собствен-
собственной функцией оператора Гамильтона, не содержащего спино-
спиновых операторов. Единственным свойством симметрии такого
гамильтониана, использованным нами, была инвариантность
относительно перестановок координат электронов. Мы видели,
что в силу этой инвариантности и принципа Паули состояния
многоэлектронной системы классифицируются по собственным
значениям квадрата полного спина.
Сейчас мы перейдем к классификации состояний много-
многоэлектронного атома. При рассмотрении этой конкретной
квантовомеханической системы мы сделаем ряд дополнитель-
дополнительных предположений относительно симметрии гамильтониана
по сравнению с общей многоэлектронной задачей, а затем,
отказавшись от модели бесспинового гамильтониана, учтем
спин-орбитальное взаимодействие.
1. Конфигурация
Приближенно взаимодействие между электронами в атоме
можно эффективно заменить некоторым сферически симме-
симметричным полем. Тогда каждый электрон можно рассматривать
независимо находящимся в этом поле и в поле атомного ядра.
Таким образом, мы получаем для атома модель «невзаимо-
«невзаимодействующих» электронов, обладающую, как мы увидим ниже,
максимальной симметрией. Мы будем также пренебрегать
сначала спин-орбитальным взаимодействием. Так как потен-
потенциальная энергия в этом приближении обладает сферической
симметрией, то одноэлектронные состояния, как мы знаем,
должны классифицироваться по неприводимым представлениям
группы трехмерных вращений, т. е. с помощью азимуталь-
азимутального квантового числа / (см. главу XIII).
Для того чтобы различать разные уровни с одним и
тем же квантовым числом /, вводят дополнительное квантовое
I] КОНФИГУРАЦИЯ 233
число п, которое является аналогом главного квантового
числа в атоме водорода. Значения главного квантового числа,
разумеется, могут быть выбраны произвольно. Обычно их
принято выбирать так, чтобы выполнялось соответствие
с классификацией состояний в кулоновском поле. Каждый
уровень энергии Еп1 вырожден по проекции момента или по
квантовому числу т. Таким образом, одноэлектронные коор-
координатные волновые функции можно обозначать через ф„гт (г).
Бели атом содержит N электронов, то его состояние будет
определяться набором 3jV одноэлектронных квантовых чисел
ni< h> Щ- Совокупность квантовых чисел nv lt, определяющих
в нашей модели энергию атома:
N
E = ^eih. A9.1)
называется конфигурацией. В спектроскопии приняты сле-
следующие обозначения. Одноэлектронные состояния с кванто-
квантовыми числами 1 = 0, 1, 2, ... обозначаются соответственно
буквами s, p, d, ... Перед этим символом пишут главное
квантовое число, а число электронов с данными числами п
и / записывают в виде показателя степени. Например, обо-
обозначение (IsJBsJ BjPN3s гозорлг нам, что данная конфи-
конфигурация состоит из двух электронов, находящихся в состоя-
состоянии с квантовыми числами я—1, 1 = 0, двух электронов
в состоянии с квантовыми числами п=2, 1 = 0, шести элек-
электронов с квантовыми числами п = 2, I = 1 и одного элек-
электрона, находящегося в состоянии с квантовыми числами
я = 3, 1=0. Каждой конфигурации мы можем сопоставить
квантовое число четности w =— ± 1, определяющее поведение
волновой функции относительно инверсии. Как мы знаем
(см. главу XIII), для одного электрона w = (—1)'. Поэтому
для многоэлектронной системы мы будем иметь
2/,
I
Однако даже в модели невзаимодействующих электронов
мы не можем полностью пренебречь их взаимным влиянием,
так как должны учесть принцип Паули, запрещающий более
чем двум электронам находиться в одном и том же состоянии
234 СОСТОЯНИЯ МНОГОЭЛЕКТРОННОГО АТОМА [ГЛ. XIX
(без учета спина). Для каждой разрешенной принципом
Паули конфигурации можно построить, вообще говоря, не-
несколько антисимметричных полных волновых функций с раз-
различными собственными значениями квадрата полного спина.
Между конфигурацией и собственным значением квадрата
полного спина имеется определенное соответствие, на котором
мы остановимся подробнее при рассмотрении более реалисти-
реалистической модели атома. Мы закончим обсуждение модели
невзаимодействующих электронов указанием ее группы сим-
симметрии. Эта группа, очевидно, может быть представлена
в виде прямого произведения N групп трехмерных вращений
(точнее, ортогональных групп) и группы перестановок про-
пространственных переменных:
0 = 0C) X 0C) X ••• ХОC)Х5Я. A9.2)
2. Термы
Теперь учтем взаимодействие между электронами непо-
непосредственно. Наличие членов типа . в операторе энер-
энергии приводит к тому, что гамильтониан не будет инвариант-
инвариантным при независимых вращениях радиусов-векторов rt отдель-
отдельных электронов. Инвариантность гамильтониана будет иметь
место только при одинаковом повороте всех rt. Таким обра-
образом, группа симметрии этой модели может быть представлена
в виде
5„. A9.3)
Классификация энергетических состояний атома по неприво-
неприводимым представлениям группы 0C) соответствует класси-
классификации по собственным значениям квадрата полного орби-
орбитального момента или по квантовому числу L и по квантовому
числу четности w. Заметим, что для терма квантовое число
четности уже не будет определяться орбитальным квантовым
числом, как это было для одного электрона. Классификация
по неприводимым представлениям группы перестановок Sn
эквивалентна, как мы знаем, классификации по собственным
значениям квадрата полного спина или по квантовому числу 5.
"Кратность вырождения уровня энергии ELS в этой модели
2] ТЕРМЫ 235
равна BZ.--f- l)B5-f-1). Совокупность вырожденных состоя-
состояний, соответствующих данным значениям L и S, принято
называть термом. Термы обозначаются большими латинскими
буквами S, P, D, . . . с верхним левым индексом, равным
мультиплетности 2S~f-l. Например, терм IZ,= 1, 5=-^-J
обозначают через 2Р.
Одним из наиболее эффективных и широко распростра-
распространенных методов решения многоэлектронной задачи является
метод Хартри — Фока. В основе этого метода лежит вариа-
вариационный принцип для энергии. Варьируемые волновые функ-
функции строятся из одноэлектронных функций, причем последние
для атома берутся в виде
lW):=/^(r)K<m>(e, ф), A9.4)
где Y\m)(Q, ф)—сферические функции. Для функций Rnl{r)
получается система интегро-дифференциальных уравнений,
которая затем решается при помощи метода последователь-
последовательных приближений. Сейчас нет необходимости подробно рас-
рассматривать этот метод решения многоэлектронной задачи. Для
нас важно лишь то, что электронные функции выбираются
в виде A9.4) и, следовательно, полная волновая функция
строится из одноэлектронных функций, принадлежащих опре-
определенной конфигурации, т. е. набору квантовых чисел щ, l-v m^
Одноэлектронные состояния с одними и теми же значе-
значениями п, I образуют электронный слой. Если электроны зани-
занимают все состояния данного слоя (с учетом двух спиновых
состояний), то говорят, что слой заполнен. Взаимодействие
между электронами одного слоя, имеющими одну и ту же
радиальную функцию, сильнее, чем взаимодействие между
электронами, принадлежащими разным слоям. Последнее может
быть учтено как некоторое эффективное экранирование поля
ядра. В этом приближении задача сводится к построению
волновых функций отдельных слоев. С другой стороны,
мы видели, что полная волновая функция должна характери-
характеризоваться квантовыми числами L и 5. Поэтому интересно
выяснить, какие значения этих квантовых чисел или, другими
словами, какие термы соответствуют заданной конфигурации
одноэлектронных состояний. Этот вопрос мы рассмотрим для
конфигурации, описывающей один слой.
236 СОСТОЯНИЯ МНОГОЭЛЕКТРОННОГО АТОМА [ГЛ. XIX
3. Соответствие между конфигурацией и термами
Пусть в слое / содержится k электронов. Составим произ-
произведение координатных одноэлектронных функций этих элек-
электронов (для простоты записи мы опускаем индексы п, /):
¦», со ¦«, (г«) •¦•*-* (г»)- A9-5)
При подстановке
ri^g~lrt, A9.6)
где g — произвольное преобразование из группы вращений,
каждая из одноэлектронных функций преобразуется по закону
А\п(g~lr) = 2 D?,m (g)фт, (г). A9.7)
т » —(
Матрица || ?>тЧя (S1) || является матрицей неприводимого пред-
представления веса / группы вращений. Из A9.7) следует, что
для произведения одноэлектронных функций A9.5) мы полу-
получим следующий закон преобразования:
D{'\
¦«;СО-
Мы видим, что при преобразованиях из группы вращений про-
произведение одноэлектронных функций, принадлежащих одному
слою, преобразуется, . как /-тензор. Мы знаем, что коорди-
координатная волновая функция .многоэлектронной системы должна
преобразовываться при перестановке аргументов по одному
из неприводимых представлений группы перестановок, схема
Юнга которого должна состоять не более чем из двух
столбцов. Поэтому построение шредингеровской волновой
функции сводится к разложению произвольного /-тензора
ранга k на симметризованные тензоры, преобразующиеся по
неприводимым представлениям группы перестановок с разре-
разрешенными схемами Юнга (из двух столбцов). Такое разложение
было рассмотрено в главе XVIII. Независимые компоненты
3] СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ КОНФИГУРАЦИЕЙ И ТЕРМАМИ 237
симметризованного Z-тензора преобразуются, как мы знаем,
по представлению /?tM (D(/)) группы вращений.
Для того чтобы ответить на поставленный в конце пре-
предыдущего пункта вопрос, нужно выяснить, на какие неприво-
неприводимые представления группы вращений разлагается пред-
представление /?''"} (D()). В главе XVIII мы рассмотрели способ
решения этой задачи. Используя развитый там метод, мы
можем найти значения полного орбитального момента.
Для иллюстрации приведем таблицу возможных собствен-
собственных значений полного орбитального момента для конфи-
конфигурации (pk). Симметрию относительно перестановок значков
соответствующего 1-тензора мы будем обозначать разбиением
числа k на целые слагаемые.
Таблица возможных собственных
значений полного орбитального
момента для конфигурации (р)к
к
1
2
3
4
5
6
{¦>¦}
1
2
1 + 1
2+1
1 + 1 + 1
2 + 2
2+1 + 1
2 + 2 + 1
2+2 + 2
L
Р
SD
Р
PD
S
SD
Р
Р
S
Из этой таблицы мы видим, что некоторым схемам Юнга
соответствуют одинаковые полные моменты. Эти схемы Юнга
получаются друг из друга либо вычеркиванием столбца,
содержащего «максимальное» число B/+-1) клеток (в нашем
случае равное 3), либо дополнением схемы Юнга до «макси-
«максимальной», например:
—
238 СОСТОЯНИЯ МНОГОЭЛЕКТРОННОГО АТОМА [ГЛ. XIX
Это общая закономерность, на доказательстве которой мы,
однако, останавливаться не будем !).
Поскольку симметрия спиновой функции определяется
транспонированной схемой Юнга, то для состояний, приведен-
приведенных в таблице, можно легко определить собственные значе-
значения полного спина. Рассмотрим, например, конфигурацию (jfL.
Для схемы {2, 2} транспонированная схема Юнга также будет
задаваться разбиением {2, 2}. Отсюда для возможного значе-
2 2
ния полного спина мы получаем 5 = —ц— = 0. Для схемы
{2, 1, 1} находим транспонированную схему C, 1) и 5 =
о 1
= —5—— *• Таким образом, для конфигурации (рL оказы-
оказываются возможными следующие термы: '5, lD, 3P.
4. Спин-орбитальное взаимодействие
Рассмотрим теперь модель атома, учитывающую спин-
орбитальное взаимодействие:
lihirdsih A9.9)
где st и /,- — операторы спинового и орбитального моментов
i-го электрона, %i — некоторые функции от г,-(см. главу XIII).
Очевидно, что оператор A9.9) не коммутирует отдельно
с операторами S= 2 st и L— 2 h- Легко проверить, что
он коммутирует только с их суммой 5-j-Z2). Это означает,
что если раньше мы могли говорить в отдельности об инва-
инвариантности относительно преобразований вращений аргумен-
аргументов координатной функции и относительно индуцированных
вращениями преобразований спиновых функций, то теперь
остается инвариантность относительно одновременного при-
применения этих преобразований. Уровни энергии будут теперь
классифицироваться не по квантовым числам ? в 5, а по
собственным значениям оператора полного момента атома
2 ). A9.10)
') См., например, [10], стр. 461.
2) Оператор спин-орбитального взаимодействия A9.9) коммути-
коммутирует с каждым из операторов s; -f~ l-t.
СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
239
Если спин-орбитальное взаимодействие можно считать возму-
возмущением (случай L — S-связи), то собственные значения пол-
полного момента для уровней, на которые расщепится терм,
могут быть получены по правилу Клебша — Гордана. Рас-
Рассмотрим в качестве примера конфигурацию (рL. Возмож-
Возможные значения квантового числа J для этой конфигурации даны
в таблице:
Терм
Ч>
ю
зр
J
0
2
0, 1, 2
Обозначение уровней
энергии
'So
»/>„, 3Л, 8Л
В тяжелых атомах спин-орбитальное взаимодействие ве-
велико, и его нельзя рассматривать как возмущение. Если оно
больше взаимодействия между электронами, то оно должно
быть учтено в первую очередь!). Тогда в нулевом прибли-
приближении каждый электрон можно рассматривать независимо,
и одноэлектронные состояния следует характеризовать соб-
собственными значениями оператора полного одноэлектронного
момента у —// + $,-• Затем должно быть учтено взаимодей-
взаимодействие между электронами, которое приведет к тому, что
уровни энергии всего атома опять будут классифицироваться
по собственным значениям полного момента. Это приближе-
приближение называют у— у'-связью. Если спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие достаточно велико, так что одноэлектронные уровни
энергии с разными значениями у сильно расщеплены, то можно
ввести понятие у'-оболочки, аналогичное понятию /-слоя. Так
как многоэлектронная функция должна быть антисимметрич-
антисимметричной относительно перестановок электронов, то волновая функ-
функция у'-оболочки с точки зрения симметрии относительно группы
вращений будет антисимметричным у'-тензором. Для того чтобы
найти возможные собственные значения полного момента, нужно
') Частично взаимодействие между электронами может быть
учтено с помощью некоторого эффективного сферически симме-
симметричного потенциала. Поэтому величину спин-орбитального взаимо-
взаимодействия надо сравнивать лишь с той частью межэлектронного
взаимодействия, которая не входит в этот эффективный потенциал.
240
СОСТОЯНИЯ МНОГОЭЛЕКТРОННОГО АТОМА
[ГЛ. XIX
разложить на неприводимые части то представление группы
оращений, которое реализуется на компонентах этого тен-
тензора. Эта задача может быть решена тем же способом, что
и для /-слэя. Практически, однако, нет необходимости каждый
раз проводить довольно громоздкую процедуру, так как ре-
результаты известны и затабулированы. В заключение в каче-
качестве иллюстрации приведем таблицу полных моментов для
нескольких /-оболочек. Максимальное число электронов
в /-оболочке равно 2/-j-l. В таблице, однако, указаны со-
стояния /-оболочки самое большее для ^Г— электронов.
Это связано с тем, что классификация состояний /-оболочки
с k электронами п с 2j-\-\ —k электронами совпадает
в силу правила, изложенного па стр. 237.
1
3
;~ 2"
. 5
;~Т
7
}~~2
. 9
]~~2
Таблица
Число
электронов
1
2
1
2
3
1
2
3
1
0
3
4
5
состошии для у-ободочек
J
3/2
2, 0
5/2
4, 2, 0
9/2, 5/2, 3/2
7/2
6, 4, 2, 0
15/2, 11/2, 9/2, 7/2, 5/2, 3/2
9/2
8, 6, 4, 2, 0
21/2, 17/2, 15/2, 13/2, 11/2, (9'2J, 7,2,
5/2, 3/2
12, 10, 9, (8J, 7, (бK, 5, DK, 3, BJ, (ОJ
25/2, 21/2, 19/2, A72J, A5/2J, A3/2J,
A1.2J, (9/2K, G/2J, E/2J, з/2, 1/2
Глава XX
Применение теории групп в задачах,
связанных с теорией возмущений
Уравнение Шредингера, определяющее стационарные со-
состояния квантовомеханическйй системы, может быть решено
точно только в исключительных случаях. Одним из важных
методов приближенного решения уравнения Шредингера
является метод теории возмущений. Применение этой теории
возможно в тех случаях, когда оператор Гамильтона удается
представить в виде
B0.1)
где HQ — гамильтониан задачи, которая допускает более про-
простое решение, а V — оператор возмущения. Учет симметрии
невозмущенного оператора Но и оператора возмущения V
в ряде случаев значительно облегчает применение теории воз-
возмущений к конкретным задачам.
1. Расщепление уровней энергии
под влиянием возмущения
Пусть гамильтониан Но обладает группой симметрии О0,
а оператор возмущения V — группой симметрии Gx. Обычно
требование относительной простоты оператора Но по срав-
сравнению с полным гамильтонианом Н = H0-\-V подразумевает
более высокую симметрию Но по сравнению с симметрией Н.
Рассмотрим два случая: а) группа О, совпадает с группой О0;
б) группа О( является подгруппой группы О0.
а) Симметрия полного гамильтониана совпадает с симме-
симметрией невозмущенной задачи: GO~GV Мы знаем, что соб-
собственные значения уравнения Шредингера можно классифи-
классифицировать по неприводимым представлениям его группы сим-
симметрии. Следовательно, классификация и кратность вырождения
уровней энергии нашей задачи остаются такими же, как и
в невозмущенном случае. Мы можем ожидать лишь смещение
16 М. И. Петрашень. Е. Д. Трифонов
242 ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XX
собственных значений Es оператора Н относительно собствен-
собственных значений ?У оператора Hq:
E, = tf® + \ES. B0.2)
Таким образом, в этом случае возмущение не может вызвать
расщепление вырожденных уровней энергии. Исключение из
этого правила может быть только при случайном вырожде-
вырождении, когда собственные функции уровня энергии невозмущен-
невозмущенной задачи преобразуются по приводимому представлению
группы Go.
Если изменять величину возмущения V, сохраняя его сим-
симметрию, то смещения AES собственных значений будут также
изменяться, и некоторые уровни энергии Es, как функции
параметров возмущения, могут пересечься. В точках пересе-
пересечения уровней будет иметь место случайное вырождение, так
как собственные функции, соответствующие этому значению
энергии, будут преобразовываться по приводимому предста-
представлению группы О0. Существует, однако, правило, которое
в некоторых случаях запрещает пересечение уровней, соот-
соответствующих эквивалентным неприводимым представлениям.
Рассмотрим для простоты два невырожденных уровня, пред-
предполагая, что соответствующие им волновые функции ф, и i|v,
преобразуются по эквивалентным неприводимым представле-
представлениям группы О0. Допустим, что при некотором значении воз-
возмущения Vj рассматриваемые уровни энергии ?, и Е2 почти
совпадают. Выясним, может ли отклонение возмущения V от
значения V, вызвать пересечение этих уровней. Обозначим
через V разность V—-V,. Новые уровни энергии мы най-
найдем, решая вековое уравнение
Мы найдем
= 0. B0.3)
±/К-«и + ?]-?2J+4|^2|2. B0.4)
Для того чтобы корни векового уравнения совпадали, необ-
необходимо одновременное выполнение двух условий:
I] РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ 243
Эти условия накладывают сравнительно жесткие ограничения
на возмущение. Если, например, возмущение определяется
только одним параметром, то, вообще говоря, нельзя удовле-
удовлетворить сразу двум условиям и, следовательно, пересечение
уровней невозможно. Если волновые функции рассматривае-
рассматриваемых уровней преобразуются по неэквивалентным неприводи-
неприводимым представлениям, то второе условие v'l2 = 0 выполняется
тождественно (см. E.32)) и пересечение может произойти
даже в том случае, когда возмущение зависит от одного
параметра.
б) Перейдем к рассмотрению случая, когда группа Ог
является подгруппой группы О0. Классификацию собственных
значений гамильтониана Й следует теперь проводить по не-
неприводимым представлениям группы О,. Так как порядки не-
неприводимых представлений подгруппы не превышают поряд-
порядков неприводимых представлений группы, то в этом случае
может иметь место расщепление уровней невозмущенной за-
задачи. Когда мы говорим о расщеплении уровней, то считаем
возмущение настолько малым, что уровни возмущенной
задачи можно однозначно сопоставить собственным значениям
оператора Но.
Рассмотрим некоторое собственное значение ? ' опера-
оператора Но. Пусть соответствующие ему собственные функции
ф,, ф2, . . ., фй при операциях g из группы Go преобразуются
по неприводимому представлению T(g). Обозначим через Et
уровни энергии возмущенной задачи, на которых расщепился
уровень Е . Собственные функции фа'' оператора Й, соот-
соответствующие каждому из собственных значений Et при опе-
операциях из группы О, будут преобразовываться по неприво-
неприводимым представлениям у{ группы О,. Введем обозначение
S© „
Y;. Будем теперь неограниченно уменьшать возму-
t
щение V, не изменяя его симметрии. При любом значении
возмущения V мы можем утверждать, что волновые функции,
принадлежащие всем уровням Et, будут преобразовываться
по представлению у группы Оу В пределе V=0 мы полу-
получим собственные функции невозмущенного оператора, свя-
связанные с функциями фР ф2, ..., фй некоторым унитарным
преобразованием, и поэтому представление Г (g) должно быть
16*
244 ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XX
эквивалентно представлению y(g) при g^G{:
и, следовательно,
B0.5)
Этот результат может быть использован для того, чтобы
узнать, на сколько компонент расщепится данный уровень
энергии Е{ ' при включении возмущения. Очевидно, для этого
достаточно разложить представление V(g) на неприводимые
представления группы Gv
Мы видим, что включение возмущения более низкой сим-
симметрии, чем симметрия исходной задачи, приводит к частич-
частичному снятию вырождения. Вырождение каждого из новых
уровней определяется порядком соответствующего неприво-
неприводимого представления группы О,. Полученные результаты
иллюстрируются следующей схемой:
(S)
2. Правильные функции нулевого приближения
Рассмотрим какой-нибудь вырожденный уровень ?^0) энер-
энергии невозмущенной системы. Ортонормированные волновые
функции, принадлежащие этому уровню, обозначим через ф,,
ф2 фй. Как известно, поправки &Е к энергии в первом по-
порядке теории возмущений определяются из векового уравнения
V,, — ,
2"
= 0, B0.6)
3) АТОМ В ОДНОРОДНЫХ МАГНИТНОМ И ЭЛЕКТРИЧ. ПОЛЯХ 245
где
B0.7)
Линейные комбинации функций ф,, ф2 Ф*> Для которых
матрица возмущения диагональна, называются правильными
функциями нулевого приближения. Как известно, собствен-
собственные функции 'возмущенного оператора непрерывно переходят
в эти функции при выключении возмущения. Так как опера-
оператор возмущения V инвариантен относительно некоторой
группы О,, то правильные функции нулевого приближения
должны преобразовываться по неприводимым представлениям
этой группы (см. главу V). Если в разложении представле-
представления Г, по которому преобразуются функции ф,, ф2 Ф»>
каждое неприводимое представление группы О, встречается
не более одного раза, то, построив из функций ф,, ф2, ..., фй
линейные комбинации, преобразующиеся по неприводимым
представлениям группы Ор мы найдем правильные функции
нулевого приближения. Если же одно и то же представление
в разложении Г встречается г раз, то для диагонализации
матрицы возмущения нам придется решать вековое уравнение
r-й степени. Обычно кратности неприводимых представлений
невелики. Поэтому построение функций, преобразующихся по
неприводимым представлениям группы Ov значительно облег-
облегчает решение уравнения B0.6).
3. Атом в однородных магнитном
и электрическом полях
Для иллюстрации общей теории, изложенной в предыду-
предыдущих пунктах, рассмотрим расщепление энергетических уров-
уровней атома, помещенного во внешнее однородное магнитное
или электрическое поле. Ради простоты предположим, что
состояние атома определяется состоянием одного валентного
электрона, который находится в сферически симметричном
поле остова. Для выяснения характерных свойств этих явле-
явлений мы воспользуемся упрощенной теорией, не учитывающей
спина электрона.
а) Эффект Зеемана. Предположим, что атом помещен
в однородное магнитное поле, направленное вдоль оси Oz.
Оператор взаимодействия электрона с магнитным полем
246 ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ (ГЛ. XX
напряженности Н можно представить в виде
^z, B0.8)
где lz— оператор проекции на ось Oz орбитального момента
количества движения. Если группа симметрии Go в рассма-
рассматриваемой задаче была группой 0C), то после включения
взаимодействия B0.8) операциями симметрии останутся лишь
повороты вокруг оси Oz и отражения в плоскости ху. По-
Поэтому группа О[ будет совпадать с группой С^. Мы знаем,
что группа C<X)h абелева и, следовательно, все ее неприводи-
неприводимые представления одномерны. Состояния невозмущенной
задачи можно классифицировать по неприводимым предста-
представлениям группы вращений, т. е. по азимутальному кванто-
квантовому числу /. Каждый уровень Е1 вырожден, и кратность
вырождения равна 2/ —i— 1. Для того чтобы выяснить, как
расщепляется этот уровень в магнитном поле, следует раз-
разложить представление D * группы вращений на неприводимые
представления группы Cmh. Мы получим такое разложение,
если выберем вырожденные волновые функции так, чтобы они
образовывали канонический базис неприводимого представления
группы вращений. Действительно, в этом случае матрицы
представлений, соответствующие вращениям вокруг оси Oz,
примут диагональный вид:
?-"ч> 0 ... О \
0 е-*«-*>ч ... О \ B09)
О 0 ... е«ч> J
Таким образом, представление D группы вращений разла-
разлагается на 21-\-1 неприводимых представлений e'm<t(m = —/,
— I -J- I I) группы Стк. Поэтому мы можем утверждать,
что уровни энергии Ег расщепятся в магнитном поле на 21-\- 1
подуровней, каждому из которых соответствует определенное
значение магнитного квантового числа т = — I, — '+1 '•
Каждому из этих подуровней мы можем приписать также
квантовое число четности w = {—1)г, так как опера-
операция инверсии остается операцией симметрии возмущенного
оператора.
31 АТОМ В ОДНОРОДНЫХ МАГНИТНОМ И ЭЛЕКГРИЧ. ПОЛЯХ 247
Обратим внимание иа то, что в рассмотренном случае
оператор возмущения лишь постоянным множителем отли-
отличается от инфинитезимального оператора группы симметрии
невозмущенного оператора Но. Поэтому нулевое приближение
теории возмущений в данной задаче дает уже ее точное ре-
решение.
б) Эффект Штарка. Предположим теперь, что атом
помещен в однородное электрическое поле, направленное
вдоль оси Oz. Оператор взаимодействия электрона с элек;
трическим полем напряженности cf — cfez имеет вид
V = egz. B0.10)
В этом случае оператор также инвариантен относительно вра-
вращений вокруг оси Oz. Однако здесь оказывается утраченной
симметрия относительно отражения радиуса-вектора в пло-
плоскости ху, а вместе с ней — относительно инверсии /. кото-
которая может быть представлена как отражение в плоскости ху
и последующий поворот на 180° вокруг оси Oz. Таким обра-
образом, включение электрического поля приводит к тому, что
четность w перестает быть «хорошим» квантовым числом.
Помимо инвариантности относительно вращений вокруг оси Oz
возмущение B0.10) инвариантно также относительно отраже-
отражений в плоскостях, проходящих через эту ось. Поэтому груп-
группой симметрии возмущения в этом случае будет группа CmV.
Мы знаем (см. упр. 10.1), что группа Ccav имеет два одно-
одномерных представления и бесконечное множество двумерных.
Матрицы этих представлений приведены в таблице.
Элемент группы
С (ф)
1
1
А,
1
— 1
{
\ о
(
Ет
Ф
е
) П
« \
iintf I
Для того чтобы выяснить, как расщепляется уровень Et
в электрическом поле, мы должны представление группы C<x>v,
248 ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. XX
даваемое матрицами D , разложить на ее неприводимые пред-
представления. Напишем характер представления D для вра-
вращения на угол ф. Используя B0.9), мы получим
SpD@@, 0, q>)= 2 2 cos /гф + 1 = 2 SpEk (ф)+ 1. B0.11)
*=i *=i
Характер представления D \ соответствующий операции av,
например агу, можно вычислить следующим образом:
Sp D{1) (ayz) - Sp D(" (С, (л) X 0 - Sp D№ (Cx (л)) Sp D(/) (/) =
=-(l + 2cos.4+ ... + 2 cos In) w — {—\)lw.
Но в рассматриваемом случае w — (—1)'. Поэтому
SpD(')(oo) = l. B0.12)
Сравнивая B0.11) и B0.12) с характерами неприводимых
представлений группы Coov, мы получаем
D(l)(g)=Z®Ek(g)eAv geC^. B0.13)
Таким образом, мы приходим к заключению, что в однород-
однородном электрическом поле уровень Ег расщепляется на / дву-
двукратно вырожденных уровней, соответствующих представле-
представлениям Ek(k~\ /), и один невырожденный уровень,
волновая функция которого преобразуется по представле-
представлению Ат.
Отметим, что матричные элементы оператора возмущения
для функций с одним и тем же азимутальным числом I равны
нулю, поскольку произведение двух таких функций является
четной функцией, а возмущение меняет знак при преобразо-
преобразовании инверсии. Это приводит к тому, что поправка к энер-
энергии в первом порядке теориии возмущений оказывается равной
нулю. Расщепление уровней проявляется лишь во втором
порядке; поэтому величина этого расщепления пропорцио-
4] АТОМ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ ПОЛЕ 249
пальна квадрату напряженности поля. Исключение составляет
атом водорода, для которого поправка первого порядка
отлична от нуля вследствие дополнительного вырождения
энергетических уровней.
4. Атом в кристаллическом поле
Рассмотрим теперь задачу о расщеплении уровней энер-
энергии атома, помещенного в поле кристалла. Мы будем пред-
предполагать, что влияние кристалла на атом можно рассматри-
рассматривать как малое возмущение. Симметрия этого во:мущения
определяется симметрией кристалла. Таким образом, в каче-
качестве группы Ор которая должна быть подгруппой группы
вращений, в рассматриваемом случае мы имеем одну из
точечных групп. Так как характеры неприводимых предста-
представлений точечных групп нам известны (см. главу VI), то схему
расщепления уровней энергии атома можно получить при
помощи формулы
iS(i)(')Er)- B0.14)
Здесь у(') (g) — характер неприводимого представления группы
вращений (или ортогональной группы), определяющего сим-
симметрию состояния невозмущенного атома, a jj-1) — характеры
неприводимых представлений Гг рассматриваемой точечной
группы. Величина /-,- определяет число подуровней, волновые
функции которых преобразуются по неприводимому предста-
представлению Г,-.
В качестве примера выясним, как расщепляется уровень
с азимутальным квантовым числом / в кристаллическом поле,
обладающем симметрией октаэдра. Для этого прежде всего
вычислим при помощи формулы A1.31) характеры предста-
представления группы О, даваемого матрицами D ' неприводимых
представлений группы О~C). Классам С2 и С4 группы О
(см. главу VI) соответствует ф = л, и, следовательно,
1 \ п
sinT
250
ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XX
Классу С3 соответствует <р = -^-, следовательно,
sin-J
B0.16)
Классу С5 соответствует ф = —=-, следовательно,
¦ I 21 . 1,
0, / =
И, наконец, для класса Е имеем
Х<Р=2/+1.
1; B0.17)
B0.18)
Таким образом, получаем следующую таблицу характеров
приводимого представления группы О, даваемого матрицами
D{1) для 1 = 0, 1, 2, 3:
/
0
1
2
3
я
1
3
D
7
с2
1
J
1
2
1
1
J
2
с,
1
—1
1
—1
1
0
—1
1
Рассматривая ее одновременно с таблицей характеров
неприводимых представлений группы О, видим, что
Sp DA) = Sp Г4,
B0.19)
Ч АТОМ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ ПОЛЕ 251
Таким образом, схема расщепления уровней валентного элек-
электрона атома, помещенного в кристаллическое поле с сим-
симметрией октаэдра, может быть представлена в следующем
виде:
Задача отыскания приближенных волновых функций, соот-
соответствующих расщепленным в кристаллическом поле уровням,
значительно облегчается, если известны линейные комбина-
комбинации Кп-рф. Ф) сферических функций, которые образуют
базисы неприводимого представления точечных групп (индекс р
нумерует повторяющиеся неприводимые представления, а ин-
индекс / нумерует орты базиса этих представлений). Функции
KirP(Q, ф) называют кристаллическими гармониками. В ка-
качестве примера мы приводим таблицу кубических гармоник,
образующих базисы неприводимых представлений группы куба.
Пользуясь кристаллическими гармониками, мы можем пред-
представить волновую функцию электрона, соответствующую
уровню Ег, в виде
?(в. <V)RrP(r). B0.20)
где функции Rrt, зависят только от абсолютной величины
радиуса-вектора,
252 ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИП (ГЛ. XX
Таблица вещественных кубических гар
/
0
1
2
3
4
г, I г2
к 1
+ "|/"|-P^CQs4q>
%=^2 /f>sin2q.
Гз |
КЩ = 1^2" Pf22) cos 2<p
^ = / Pf cos 2Ф
^•B) _ -l / 5 р@)
К*У ~ V 12 4
~У ж pl^cos 4(р
АТОМ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ ПОЛЕ
253
моник
г4
A'(l) _ p(Ol
Л36 ~ rZ
Af^) _ Т/ pP) CQS g^
— / -j- Pq cos cp
i^C) -i / 5 pCj .
— K2 у 1 Pf cos Зф
г5
K/e
д^C) __ |Л2~ р'1' sin ф
/С^ = /2" Р^2) cos 2ф
+ у ~Г ^з''cos Ф
К<& _ Т/ — Р^3) sin Зф —
+1^2" 1/ -g- P^ cos Зф
Глава XXI
Правила отбора
Одним из важных приложений теории групп к квантовой
механике является установление правил отбора. В широком
смысле слова под правилами отбора понимают критерий,
позволяющий судить, может ли быть отличным от нуля
матричный элемент некоторого оператора, если известно,
по каким представлениям рассматриваемой группы преобра-
преобразуются этот оператор и волновые функции. В теории излу-
излучения этот критерий применяется к матричному элементу
оператора взаимодействия с электромагнитным полем и исполь-
используется для определения вероятности перехода квантовомеха-
нической системы из одного стационарного состояния в другое
1. Общая формулировка правил отбора
Пусть нам задана некоторая совокупность операторов б0,
а=1, 2 k (например, рх, ру, рг), которые при пре-
преобразовании g из группы О симметрии рассматриваемой
квантовомеханической системы преобразуются по закону
Рассмотрим матричный элемент оператора ба:
Оа(/ = (Ф«. ОаФу). B1-2)
где функции \\>t и фу образуют базисы представлений ?)A)
и ?>B1 группы О:
!] ФОРМУЛИРОВКА ПРАВИЛ ОТБОРА 255
Используя унитарность оператора Т , мы можем написать
(IV 6«Ф,) = G> fg0jfj) = {fg*v fgdf-'fg(Pj). B1.4)
Подставляя в B1.4) равенства B1.1) и B1.3), мы получим
oaiJ = B m (g)%, 2 о;а<*> бр
= 2 ^(^^«(Ю^/С^Ор^ B1.5)
я, р, /п
или
Oaij— 2 Dnfyn, iajOfrnm' B1.6)
"> Р. яг
где матрица || Dnomj jUyj| есть матрица прямого произведения
представлений ?)A> X D' X ^B>- Просуммировав обе части
равенства B1.6) по группе и поделив результат на поря-
порядок N группы, мы получим
B1.7)
g ti, ft яг
Мы знаем, что сумма по группе матриц любого непри-
неприводимого представления, кроме тождественного, равна нулевой
матрице (см. упр. 3.7). Предположим, что представление
D = DA) X D' X ^ ) в результате преобразования подобия
с некоторой матрицей разложено на неприводимые пред-
представления, т. е.
jf(g B1.8)
i
где D( (g)—матрицы неприводимых представлений. Если
в правой части этого равенства не содержится тождествен-
тождественное представление, то
а следовательно, и
2 D(g)= V'1 2 2® Dil)(g)V = 0. B1.10)
g g я
Таким образом, в правой части равенства B1.7) мы получим
нуль, если в представлении D не содержится тождественное
представление.
256 Правила отбора [гл. хх!
Полученный критерий равенства нулю матричного эле-
элемента Oulj (или правила отбора) можно сформулировать
следующим образом: для того чтобы матричный эле-
элемент Ogjj был отличен от нуля, необходимо (но недоста-
недостаточно), чтобы в прямом произведении ?>A) X D' X & )
содержалось тождественное представление.
Если, в частности, оператор О является единичным опе-
оператором и, следовательно, преобразуется по тождественному
представлению, то сформулированные правила отбора будут
выражать свойство ортогональности функций, преобразую-
преобразующихся по неэквивалентным неприводимым представлениям
(см. главу V, стр. 73).
2. Правила отбора для поглощения и излучения света
Для иллюстрации применения доказанной в предыдущем
пункте теории установим правила отбора для излучения и
поглощения света атомами. Мы ограничимся рассмотрением
дипольного приближения, в котором вероятность перехода
из состояния А в состояние В пропорциональна квадрату
модуля матричного элемента:
^ B1.11)
где г;- — радиусы-векторы электронов атома, х — совокуп-
совокупность пространственных и спиновых координат, интегрирова-
интегрирование по dx означает интегрирование по пространственным
и суммирование по спиновым переменным.
Рассмотрим случай L — 5-связи. При этом сначала будем
считать, что волновые функции Ч'А и Уа начального и ко-
конечного состояний построены из одноэлектронных волновых
функций, соответствующих заданным конфигурациям. Тогда
матричный элемент B1.11) может быть выражен через одно-
электронные матричные элементы:
B1.12)
где фг — одноэлектронная волновая функция с квантовым
азимутальным числом I.
2] ПОГЛОЩЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА 257
Установим правила отбора, обусловленные "симметрией
системы относительно инверсии. Радиус-вектор г преобра-
преобразуется по нечетному представлению группы инверсии; волно-
волновая функция i|)j преобразуется по четному представлению,
если / четно, и по нечетному представлению, если I нечетно.
Для того чтобы интеграл B1.12) был отличен от нуля, не-
необходимо, чтобы подынтегральное выражение преобразовыва-
преобразовывалось по четному (тождественному) представлению, т. е. / и /'
должны иметь разную четность.
Теперь рассмотрим правила отбора для матричного эле-
элемента B1.12), обусловленные симметрией системы относительно
вращений. Очевидно, подынтегральное выражение в B1.12)
при вращениях преобразуется по представлению D(/) X ^ X
X D^ \ Применяя формулу Клебша — Гордана, мы приходим
к заключению, что это представление содержит тождественное
представление только в том случае, если
/==/' или 1 = 1'±1.
Принимая во внимание полученные ранее правила отбора по
четности, можем утверждать, что матричный элемент B1.12)
может быть отличен от нуля только в том случае, если
M = l' — l=±l. B1.13)
Так как оператор дипольного момента в B1.11) представляет
собой сумму одноэлектронных операторов, то при интегри-
интегрировании мы получим отличный от нуля результат только в том
случае, если конфигурации начального и конечного состояний
отличаются только одним азимутальным квантовым числом.
Получим теперь правила отбора для матричного элемента
B1.11), не связанные с одноэлектронным приближением.
Пусть состояния А и В характеризуются квантовыми чи-
числами L, S, J и V, Sr, J' соответственно. Рассматривая пра-
правила отбора для B1.11), обусловленные группой вращений,
мы получим
M = L' — L = 0, ±1, B1.14)
ДУ=У — У=0, ± 1. B1.15)
Заметим, однако, что переходы У=0->./' = 0 и /, = ()-»
->/.'== О запрещены. Это станет очевидным, если предста-
представление D@> X ?>A) X D@)> по которому преобразуется в этом
17 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов
258
ПРАВИЛА ОТБОРА
[ГЛ. XXI
случае произведение трех сомножителей в B1.11), разложить
по правилу Клебша — Гордана на неприводимые части. Далее,
оператор дипольного момента 2Г« симметричен относительно
перестановок радиусов-векторов rt. Поэтому для того, чтобы
представление, по которому преобразуется подынтегральное
выражение в B1.12), содержало тождественное представление,
необходимо, чтобы функции Чгд и WB преобразовывались
по эквивалентным представлениям группы перестановок. Но
так как представление группы перестановок пространственных
переменных rt однозначно связано с собственным значением
полного спина (см. главу XVII), то мы получим
/±S = S'-S=0. B1.16)
3. Правила отбора для комбинационного рассеяния
света молекулами
В качестве еще одного примера рассмотрим правила
отбора для комбинационного рассеяния света молекулами.
Для простоты ограничимся
моделью молекулы с двумя
невырожденными электронными
термами. Каждый из этих тер-
термов имеет свою колебательную
структуру. На рис. 17 изо-
изображены колебательные под-
подуровни для одного нормального
колебания молекулы. Комбина-
Комбинационное рассеяние света явля-
является процессом второго порядка'
по отношению к взаимодействию
с электромагнитным полем и
связано с виртуальными пере-
переходами на колебательные под-
подуровни возбужденного со-
состояния.
Пусть молекула поглощает
квант частоты в>0 и поляриза-
Рис. 17. ции а и испускает квант час-
частоты к») и поляризации р. При
этом молекула изменяет только свое колебательное состояние,
продолжая оставаться в основном электронном состоянии.
3] КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА МОЛЕКУЛАМИ 259
Вероятность такого процесса пропорциональна квадрату мо-
модуля следующей величины:
{\n\Ma\2m){2m\M^\\n')
Здесь A«| Жа | 2m) обозначает матричный элемент оператора
электронного дипольного момента молекулы, вычисленный
с волновыми функциями п-уо колебательного подуровня основ-
основного электронного состояния и /и-ro колебательного подуровня
возбужденного электронного состояния; через Е2 и Е] обо-
обозначены минимумы возбужденного и основного электронных
термов соответственно, а через ет и еп — энергии их коле-
колебательных подуровней. Частота со, испущенного кванта опре-
определяется законом сохранения энергии:
B1.18)
Мы рассмотрели случай нерезонансного комбинационного рас-
рассеяния, т. е. будем считать, что
т — е„. B1.19)
Пренебрегая малой величиной гт — гп в знаменателях фор-
формулы B1.17), мы получим
К = \ ?2 — Е{— й(о0 + ?2-?,+Асо0 \ Х
51|>Иэ|1я'). B1.20)
В адиабатическом приближении волновую функцию моле-
молекулы представляют в виде
?«m(r. чО = Ф«С. ?)Ф*«(?). B1-21)
где фг (г, <jO — электронная волновая функция, являющаяся
решением уравнения Шредингера для некоторой фиксирован-
фиксированной конфигурации ядер, которая определяется смещениями q;
— колебательная волновая функция. Теперь мы можем
17»
260 ПРАВИЛА ОТБОРА (ГЛ. XXI
представить величину К в виде
= J U С- V) »-„Фу (г, V) ^- B1-23)
где
Чтобы найти правила отбора для величины B1.22), определим
сначала закон преобразования электронных матричных эле-
элементов Malj(q) при преобразованиях смещений q, дающих
представление D группы О симметрии молекулы в основном
электронном состоянии. Если g — элемент группы О, то мы
можем написать
J, q). B1.24)
В частности, если q = 0, то
l6is), 0), B1.25)
откуда следует, что множители е' i образуют представле-
представление группы G, по которому преобразуются электронные вол-
волновые функции при равновесной конфигурации ядер. Нас
интересует величина Mal2(D(g~1)q), которая имеет следую-
следующий явный вид:
= / Фж (г. D(g-i) q) ra$2 (r, D (fir-') q) dr. B1.26)
Делая замену переменной интегрирования
r = g-lr', B1.27)
мы получим
B1.28)
4! МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 261
Используя B1.24) и свойство ортогональности матрицы ||?ав|[,
мы найдем
1(r'. q)r'y%(r',
у
= «-».(*)«».(*) ^gy(iMyi2(q). B1.29)
Y
Теперь мы можем легко найти закон преобразования опера-
оператора Оцц(<7) = Жа12Ж„21, стоящего в матричном элементе
B1.22). Мы получаем
= Z,g,ag^Mal2(q)Mm @=2 VY,p0al5. B1-30)
Мы видим, что оператор Оа„(^) преобразуется по тензорному
представлению группы G. Если матричные элементы Ма12
дипольного момента вещественны, то мы имеем дополнитель-
дополнительное условие
O4t = V C21-31)
В этом случае шесть независимых величин будут преобразо-
преобразовываться по симметричному квадрату [g2] векторного пред-
представления. Используя этот результат, мы можем, наконец,
сформулировать правила отбора для комбинационного рассея-
рассеяния: переход будет разрешен, если в прямом произведении
представлений D(n) X &п>) X [/]• где D(n) и D(n']~ пред-
представления, по которым преобразуются осцилляторные
волновые функции, содержится тождественное представ-
представление !).
4. Матричные элементы, построенные
на функциях одного базиса
Если волновые функции, с которыми строится матричный
элемент некоторого эрмитова оператора, принадлежат базису
одного представления, то можно получить более жесткие
правила отбора по сравнению с теми, которые были
') О преобразовании осцилляторных волновых функций см.
в главе XIV, стр. 190, а также упр. 16.3.
262 ПРАВИЛА ОТБОРА [ГЛ. XXI
рассмотрены в предыдущих пунктах. Эти правила отбора
существенны, например, в тех случаях, когда надо вычислять
матричные элементы с волновыми функциями, принадлежа-
принадлежащими одному уровню энергии.
Рассмотрим сначала случай, когда волновые функции веще-
вещественны и не зависят от спина. Интересующий нас матрич-
матричный элемент эрмитова оператора Оа может быть предста-
представлен в виде
6^6 B1.32)
Пусть функции i|>? преобразуются по представлению D,
а оператор ба— по представлению D' некоторой группы О.
Тогда, для того чтобы матричный элемент B1.32) был отли-
отличен от нуля, необходимо, чтобы в прямом произведении
D X D X D' содержалось тождественное представление.
Однако можно получить некоторые дополнительные ограни-
ограничения, если учесть симметрию матричного элемента относи-
относительно перестановки значков i, j. Подчеркнем, что в том
случае, когда функции, стоящие слева и справа от опера-
оператора, принадлежат одному и тому же базису некоторого
представления, перестановка значков матричных элементов
дает снова ту же совокупность матричных элементов, что
не имеет места, если упомянутые функции принадлежат разным
базисам. Мы можем написать
I Оа | j) = J Ц>Дф,. dx = J Fjh) Mpj dx =
= ± | Ч>Дч>,dx = ± {J\Оа\1). B1.33)
Знаки плюс и минус в этой формуле относятся соответ-
соответственно к тем случаям, когда оператор Оа вещественный или
чисто мнимый. (Например, оператор взаимодействия электрона
с электрическим полем вещественный, а оператор взаимодей-
взаимодействия с магнитным полем чисто мнимый). На основании полу-
полученного свойства симметрии (или антисимметрии) матричных
элементов мы можем утверждать, что представление, по кото-
которому они преобразуются, должно в качестве множителя содер-
содержать симметричный (или антисимметричный) квадрат предста-
представления D. Используя обозначения, принятые в главе XVI,
4] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 263
мы запишем представление, по которому преобразуются
матричные элементы, в виде
[D2] X D' для вещественного оператора, 1
{D2} X D' для чисто мнимого оператора. |
Теперь правила отбора могут быть сформулированы следую-
следующим образом: для того чтобы матричный элемент B1.32)
был отличен от нуля, необходимо, чтобы в предста-
представлении B1.34) содержалось тождественное представление.
Модифицируем эти правила отбора, учтя спиновые со-
состояния многоэлектронной системы'). Мы ограничимся тем
случаем, когда оператор энергии рассматриваемой системы
инвариантен относительно операции обращения времени, т. е.
не содержит взаимодействия с магнитным полем (см. главу XIII).
Если ф — собственная функция такого гамильтониана, то 0ф,
где 0 — оператор обращения времени, — также собственная
функция этого гамильтониана с тем же собственным значе-
значением. Напомним, что оператор в для /i-электронной системы
имеет вид
§ = SlyS2y ... SnyK, B1.35)
где Sly — оператор проекции спина t-ro электрона на ось Оу,
К — операция комплексного сопряжения.
Оператор 0, как легко проверить, коммутирует с инфи-
нитезимальными операторами вращений и, следовательно,
с любым вращением. Но отсюда следует, что если функция ф
преобразуется по представлению D группы вращений (или
какой-нибудь ее подгруппы), то функция вф будет преобра-
преобразовываться по комплексно сопряженному представлению D.
Действительно,
Г,бф, = 6f,ф, = 0 2 Dn (g)фу = 2 О» (g)©ф,. B1.36)
Отсюда следует, что собственные функции рассматривае-
рассматриваемого гамильтониана, соответствующие одному собственному
') И. Б. Л евин сон, Труды АН Литовской ССР, серия Б, 2
A961), 67.
264 ПРАВИЛА ОТБОРА [ГЛ. XXI
значению, преобразуются либо по вещественному представле-
представлению, либо по представлению, которое эквивалентно своему
комплексно сопряженному. В последнем случае оно может быть
представлено в виде D^'QD^, где D(*>— некоторое пред-
представление рассматриваемой группы. Нетрудно найти преобра-
преобразование подобия, которое делает представление D^ © D^
вещественным.
Рассмотрим закон преобразования волновых функций при
действии на них оператора 0. Мы можем написать
2
где || 0уг || — некоторая унитарная матрица: 0+=0~. Изве-
Известно (см. главу XIII), что
02 = и, B1.38)
где у. = 1 для четного числа электронов и у. = — 1 для не-
нечетного числа электронов. Соответствующее матричное равен-
равенство будет иметь вид
00 = и?, B1.39)
откуда
0~'=^к0. B1.40)
В силу унитарности матрицы 0 мы получаем
в~*=в+=хв B1.41)
или
0* = и0, B1.42)
где 0* обозначает транспонированную матрицу. Это свойство
матрицы 0 мы используем для определения симметрии ма-
матричного элемента Оа//- = (фг, Оаф7) относительно переста-
перестановки значков i и j.
Мы можем написать следующее равенство:
- ± S OamnQjnj. B1.43)
т, п
41 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 265
Здесь верхний знак соответствует случаю, когда вб^ = Оа,
нижний — случаю, когда 0Оа0~' = - ба. Используя эрми-
товость оператора ба: Оатп = Оапт и унитарность матрицы 0:
0-' = 0+, мы можем переписать равенство B1.43) в виде
SemiOHG=±20n;Oanm B1.44)
/ я
или, в силу B1.42),
Если вместо матричных элементов Oaij мы введем величины
Оат1 = ЪЪшОа1], B1.46)
то из B1.45) получим
6вт,= ±*да]ш. B1.47)
Найдем правила отбора для величин Оат}. Мы показали,
что представление, по которому преобразуются волновые
функции фг, можно считать вещественным. Поэтому по знач-
значкам т, j величины 6amj преобразуются, как компоненты
тензора. В силу B1.47) мы получаем, что для четного числа
электронов (и = 1) и для оператора Оа, коммутирующего
с оператором 0, или для нечетного числа электронов (н = — 1)
и для оператора Оа, антикоммутирующего с оператором 0,
величины Oamj являются компонентами симметричного тен-
тензора; для нечетного числа электронов и для оператора Оа,
коммутирующего с оператором 0, или для четного числа
электронов и для оператора ба, антикоммутирующего с опе-
оператором 0,— компонентами антисимметричного тензора. Сле-
Следовательно, представление, по которому преобразуются вели-
величины Oamj, в первом случае имеет вид
[D2]XO', B1.48)
во втором случае — вид
{№)ХО'. B1.49)
Теперь мы можем сделать следующее заключение. Для того
чтобы величины Oalj были отличны от нуля, необходимо.
266 ПРАВИЛА ОТБОРА (ГЛ. XXI
чтобы в представлениях B1.48), B1.49) содержалось
тождественное представление. Эти же правила отбора
остаются в силе и для матричных элементов Oaij, которые
связаны с величинами Oamj унитарным преобразованием.
В качестве примера использования правил отбора, уста-
установленных в этом пункте, мы рассмотрим вопрос об устой-
устойчивости симметричных конфигураций молекул.
5. Теорема Яна — Теллера
Рассмотрим уравнение Шредингера для волновой функции
электронного состояния молекулы:
/?). B1.50)
В этом уравнении R обозначает координаты ядер, а г —коор-
—координаты электронов. Собственное значение электронной энер-
энергии Е (R) является функцией координат ядер. Минимум этого
собственного значения соответствует равновесной конфигу-
конфигурации ядер для рассматриваемого электронного состояния.
Предположим, что нам неизвестно пока точное положение
равновесия ядер. Выберем в качестве нулевого приближения
некоторую симметричную конфигурацию #'" и будем пред-
предполагать, что эта конфигурация близка к равновесной кон-
конфигурации &°\ т. е. tff^M^ + A/?/. где А/?/ —малое
смещение t-го ядра. Равновесную конфигурацию #'0) будем
искать с помощью теории возмущений. Уравнение Шредин-
Шредингера B1.50) для конфигурации R^ можно записать в виде
где
^д'. R)) A/?, B1.52)
можно рассматривать как возмущение.
Будем обозначать декартовы составляющие смещений ядер
относительно конфигурации #A) через х„, где значок A
нумерует как декартовы оси, так и ядра. Мы знаем (см.
5] ТЕОРЕМА ЯНА-ТЕЛЛЕРА 267
главу V), что смещения х преобразуются по представлению
группы симметрии G конфигурации /?A):
4 = |DOfl№^. B1.53)
Перейдем теперь от смещений х„ к симметризованным сме-
смещениям д„, которые преобразуются по неприводимым пред-
представлениям группы О:
?э=21*аэ*о- B1.54)
Возмущение W теперь можно записать через координаты да:
Мы можем теперь найти поправку к собственному значению
энергии ?(/?()), обусловленную возмущением W. Пусть соб-
собственное значение f(#( ) s-кратно вырождено и соответ-
соответствующие ему собственные функции преобразуются по не-
некоторому неприводимому представлению D группы симме-
симметрии G конфигурации R \ Обозначим эти функции через
ф,, ф2, . . ., ф,, и будем считать их ортонормированными.
Мы знаем, что поправки к энергии в первом порядке теории
возмущений определяются корнями векового уравнения
l«»i*-M>i*l=0. B1.56)
В нашем случае
«« = J Ь (г) S (^-H ?аФ* С) dr. B1.57)
а
Мы видим, что корни уравнения B1.56) будут функциями
величин qa, значения которых для равновесной конфигурации
выбираются из условия минимума энергии E(q). Обращая
равенства B1.54) с найденными значениями да, мы определим
смещения ядер и, следовательно, возможные равновесные
конфигурации.
В главе VI мы построили координаты да для молекулы,
обладающей кубической симметрией, и выяснили их гео-
геометрический смысл. В частности, мы видели, что только
268 ПРАВИЛА ОТБОРА [ГЛ. XXI
координата qv преобразующаяся по тождественному представ-
представлению точечной группы, соответствует такому изменению по-
положений ядер, которое не изменяет симметрии молекулы.
Теперь найдем на основании теоретико-групповых сооб-
соображений критерий равенства нулю матричных элементов
dr- B1.58)
Для этого сначала выясним закон преобразования функций
( М = W (г), когда к электронным координатам при-
\ "9а /О
меняется преобразование из точечной группы G. Рассмотрим
( dV \
совокупность производных 1-г—I по тем координатам qa,
которые преобразуются по некоторому неприводимому пред-
представлению Г группы G. Покажем, что эти производные
преобразуются по тому же представлению Г. С этой целью
заметим, что возмущение W инвариантно относительно любого
одновременного ортогонального преобразования радиусов-
векторов ядер и электронов. Поэтому мы имеем
V=2^,W?, = S^(r')^ B1.59)
о р
где
r' = gr, д; = ^Т^)да. B1.60)
Таким образом, мы получаем
2flyro^2iFp(r/)r(je?e=2w
Р Р, о а
откуда
ЧГа(г) = %Г W (gr). B1.62)
Делая подстановку r->g~1r, мы окончательно получаем
Wa{g-'r) = ^r (g)W (г). B1.63)
р
что и требовалось доказать.
Так как гамильтониан нашей задачи не содержит спино-
спиновых операторов, то мы можем воспользоваться правилами
отбора, сформулированными на стр. 263. Оператор возму-
возмущения Wa вещественный. Поэтому можно ожидать, что ма-
УПРАЖНЕНИЯ 269
тричный элемент B1.58) будет отличен от нуля, если в пред-
представлении [D2] содержится представление Г. Если электронное
состояние не вырождено, т. е. представление D одномерно,
то представление [D2] является тождественным и возможны
только полносимметричные смещения, которые не изменяют
симметрии молекулы. Если же электронное состояние выро-
вырождено, то, как показало детальное исследование всех воз-
возможных типов симметричных молекул, всегда можно найти
неполиосимметричное смещение, которое преобразуется по
представлению, содержащемуся в [D2]'). Ясно, что всегда
можно так выбрать значение этого смещения, чтобы соот-
соответствующая поправка к энергии была отрицательной. Дей-
Действительно, если для некоторого значения д = Д она положи-
положительна, то для 9= — А она Должна быть отрицательной.
Отсюда следует, что если для некоторой симметричной
конфигурации ядер электронное состояние вырождено, то
молекула «стремится понизить свою симметрию так, чтобы
это вырождение снималось» (теорема Яна — Теллера).
Упражнения
21.1. Найти правила отбора для поглощения и излучения света
атомами в приближении j — /-связи.
21.2. Доказать, что тетраэдрическая конфигурация молекулы
СН4 для вырожденных электронных состояний является неустой-
неустойчивой.
') Н. A. la hn, E. Teller, Proc. Roy. Soc. A, 161 A937),
220. Исключение составляют лишь линейные молекулы.
Глава XXII
Группа Лоренца и ее неприводимые
представления
1. Общая группа Лоренца
Согласно теории относительности пространственные ко-
координаты и время в двух равномерно движущихся друг
относительно друга системах отсчета связаны линейным пре-
преобразованием, которое мы будем называть собственным пре-
преобразованием Лоренца. Если время и пространственные ко-
координаты в одной системе отсчета обозначить соответственно
через х0, xv х2, х3, а в другой через у0, у,, у2, у3, то мы
можем написать
з
У«= 2 VV B2.1)
где ||Ла„|| — матрица преобразования Лоренца. Для устано-
установления некоторых свойств этой матрицы используем тот факт,
что преобразование Лоренца оставляет инвариантной квадра-
квадратичную форму
Ф = —jcg+jfJ + Jfi + Jcl1)- B2.2)
Если четырехмерный вектор с составляющими х0, х{, х2, х3
представить в виде матрицы, состоящей из одного столбца:
то квадратичную форму B2.2) можно записать в виде
<p=X*FX, B2.3)
') Скорость света принята равной единице.
1]
ОБЩАЯ ГРУППА ЛОРЕНЦА
271.
где звездочка обозначает транспонированную матрицу, а
— 10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
B2.4)
Инвариантность квадратичной формы B2.2) относительно
преобразования Лоренца Л можно теперь записать следующим
образом:
X*FX=.Y*FY, B2.5)
где
B2.6)
Подставив B2.6) в B2.5), получим
A*FA =
Следовательно,
B2.7)
B2.8)
Мы увидим сейчас, что условию B2.8) удовлетворяет более
широкий класс линейных вещественных преобразований, чем
собственные преобразования Лоренца. Все такие преобразо-
преобразования мы будем называть общими преобразованиями Лоренца.
Легко проверить, что общие преобразования Лоренца образуют
группу — общую группу Лоренца L.
Вычислим определитель правой и левой частей равен-
равенства B2.8). Тогда получим
ЛJ=1, B2.9)
.= ± 1. B2.10)
откуда
Таким образом, общую группу Лоренца можно разбить на
две части: L+—совокупность матриц с определителем 1,
и /,_—совокупность матриц с определителем, равным—-1.
Ясно, что совокупность L+ сама образует группу, а со-
совокупность L_ группы не образует.
Равенство элементов, стоящих на пересечении первой
строки и первого столбца матрицы в формуле B2.8), дает
— Ли — Лю — Лзо = 1.
B2.11)
272 ГРУТТПА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XXII
Аналогично из равенства
AFA* = F, B2.12)
которое можно получить из B2.8) с помощью транспони-
транспонирования матриц, найдем
Л& —Am—А<в —Ли=1. B2.13)
Из B2.11) (или из B2.13)) следует, что
Л|о>1. B2.14)
и, значит, или A^^-l, или Лоо<; — 1. По этому признаку
каждую из совокупностей L+ и L_ можно в свою очередь
разбить на две совокупности. Таким образом, общая группа
Лоренца разбивается на четыре совокупности:
Ll L- Lt UL
Лоо>1 Aoo<—1 Лю>1 Ло0<—1
detA=l detA=l detA = —1 detA = — 1
Ясно, что эти совокупности нельзя связать друг с другом
путем непрерывного изменения элементов матрицы Лоренца.
Совокупность LX сама по себе образует группу. Доказатель-
Доказательство основано на следующем свойстве: матрицы, для которых
Аоо^- 1, образуют группу. Действительно, пусть Л и Л — две
такие матрицы. Интересующий нас элемент матрицы АЛ
равен
-f- Л01Л10 -f- ЛогАзо-Ь ЛозАзо- B2.15)
Применяя неравенство Шварца и используя формулы B2.11) и
B2.13), мы можем написать
(Лт-А 10 4- ЛО2Л2О
< (Л§1 + Л^з 4- ЛУ (А?о 4- Alo 4- Лзо) < А?оА^о. B2.16)
Отсюда следует, что {ЛЛЦ > 0. Так как матрица АЛ при-
принадлежит общей группе Лоренца, то окончательно мы по-
получаем
{АА}00>1, B2.17)
что и требовалось доказать.
СВЯЗЬ С ГРУППОЙ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ВРАЩЕНИЙ
273
Можно показать, что любые две матрицы, принадлежа-
принадлежащие одной совокупности, могут быть переведены непрерывным
образом друг в друга. Отсюда следует, в частности, что
группа Z.+ , содержащая единичную матрицу, содержит также
все собственные преобразования Лоренца. Группу L% назы-
называют собственной группой Лоренца. Если ввести в рассмот-
рассмотрение три общие матрицы Лоренца:
— 1 0 0 01 10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
с
0—1 0 0
0 0—1 0
0 0 0—1
г
-1
о
о
о
о о
— 1 0
0 —1
о о
о
о
о
1
то общую группу Лоренца можно будет разложить на сле-
следующие сопряженные совокупности:
Ll, FLl. SL%, IL%-
Очевидно, что последние три совокупности совпадают с вве-
введенными нами ранее совокупностями LZ. Lt, L+-
2. Связь группы Лоренца с группой
четырехмерных вращений
Покажем теперь, что группа Лоренца в окрестности еди-
единичного элемента однозначно связана с группой четырехмер-
четырехмерных вращений О+ D). В дальнейшем это поможет нам
получить все конечномерные неприводимые представления
собственной группы Лоренца.
Найдем сначала число параметров или число независимых
элементов матрицы преобразования Лоренца. Мы видели, что
матрицы Лоренца должны удовлетворять равенству B2.8).
Так как матрица A*FA симметрична: (Л*/\Л.)* — Л*/7Л, то
условие B2.8) эквивалентно 10 условиям, наложенным на
матричные элементы. Отсюда следует, что из 16 элементов
18 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов
274 ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XXII
матрицы Лоренца независимых только 6. Поэтому преобра-
преобразование Лоренца является шестипараметрическим. Этими па-
параметрами могут быть три составляющих скорости относи-
относительного движения и три эйлеровых угла поворота, опреде-
определяющих взаимную ориентацию систем координат. Однако
в дальнейшем в качестве независимых параметров нам будет
удобнее выбрать углы поворотов в двумерных плоскостях
(xqXj). (х0х2), (х0дг3), (Х!Х2), (х^з), (х2дг3). Эти параметры
мы обозначим через ф0!, фо2> ф0з; Ф12> Ф13' Ф2з> а соответст-
соответствующие им инфинитезимальные матрицы — через В01, В02,
^ОЗ! ^12' ^13> -^23-
Введем в рассмотрение группу четырехмерных вращений
О+ D). Координаты пространства, в котором действуют пре-
преобразования группы О+ D), также будем обозначать через х0,
je,, х2, х3. В отличие от B2.1) для этой группы инвариан-
инвариантом будет положительно определенная квадратичная форма
xl+x2i+xl + xl B2.18)
Рассмотрим произвольное преобразование из группы четы-
четырехмерных вращений, оставляющее .неизменными координаты х2
и х3. Очевидно, что это обычное вращение в плоскости (XqXj),
которое может быть представлено в виде
Хо=ХоС08ф — Х^Шф, Х\ = ХоБШфН- Xi COS ф. B2.19)
Рассмотрим равенства B2.19) при мнимых значениях пере-
переменных xQ и ф, заменив ф на /ф, xQ на txQ, x'o на ix'Q.
Тогда вместо B2.19) мы получим
tx'o = ix0 cos /ф — х, sin щ, х[ = ix0 sin icp-)- x1 cos iq>
B2.20)
или
x'0 = xQch([>-{- дг, вИф, Xj =: xQsh(p-\-xl сИф. B2.21)
Если преобразование B2.19) имеет инвариант
xo + xi = inv- B2.22)
то инвариант преобразования B2.21) получается из B2.22)
заменой х0 на tx0:
— x2 + x2 = inv. B2.23)
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
275
Но эта квадратичная форма совпадает с инвариантом преоб-
преобразования Лоренца в плоскости (хох{). Поэтому мы можем
утверждать,, что преобразование B2.21) является двумерным
преобразованием Лоренца. Аналогичным образом можно полу-
получить связь между преобразованиями Лоренца и преобразова-
преобразованиями группы О+D) в плоскостях (хох2) и (х0х3). Что же
касается преобразований в плоскостях (ххх2), (х2х3), (х^з).
то они для обеих групп совпадают, образуя группу О+ C).
Таким образом, мы видим, что преобразования группы
Лоренца получаются из четырехмерных вращений заменой веще-
вещественных параметров поворотов в двумерных плоскостях (дгодг^)
A=1, 2, 3) на чисто мнимые величины и одновременно за-
заменой координат х0 на ix0. Поскольку матричные элементы
матриц четырехмерных вращений являются периодическими
функциями, то взаимно однозначное соответствие между пре-
преобразованиями из группы Лоренца и группы О+ D) имеет
место только в определенной окрестности единичного эле-
элемента. Если матрицу четырехмерного вращения обозначить
черезО(ф01> ф02, Фоз! Ф^- Ф13' Фгз)> то соответствующая мат-
матрица группы Лоренца может быть представлена в виде
Фо2>
з! Ф
12-
3; Ф12- Ф
13.
B2.24)
где
г О О О
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
3. Перестановочные соотношения
для инфинитезимальных матриц
Получим перестановочные соотношения для инфинитези-
инфинитезимальных матриц группы Лоренца, соответствующих поворотам
в двумерных плоскостях. Для этого мы сначала напишем
перестановочные соотношения для инфинитезимальных матриц
группы О+ D), а затем, используя установленную нами связь
B2.24), найдем перестановочные соотношения для группы
Лоренца.
18*
276 ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XXII
В группе четырехмерных вращений можно выделить че-
четыре подгруппы трехмерных вращений, которые действуют
в пространствах Rikj с координатами xt, xk, xy.
"oi2- -"-О1 Х1< Х2>
/?,23: X\< xi< х3;
^230- Х2< Х3> хо''
Поэтому инфинитезимальные матрицы группы О+ D), которые
мы обозначим через Л01, Л02, Лоз, Л,2, Л,3, Л23 (Л1к — — Аы),
можно одновременно рассматривать как инфинитезимальные
матрицы четырех групп трехмерных вращений:
°I23: 3» 1 • ¦2»
^301: -1 • ^13> ^30-
Для каждой из выписанных здесь троек инфинитезимальных
матриц мы имеем перестановочные соотношения типа (см.
главу XI)
AtAk-АкА^\А-г Ak) = Aj. B2.25)
Таким образом, мы получаем 12 перестановочных соотноше-
соотношений. Остальные три перестановочных соотношения имеют вид
[Л01, Л23]^0, [Л12, Л30] = 0, [Л02, Л|3] = 0, B2.26)
так как матрицы, действующие на разные пары координат,
должны коммутировать.
Теперь легко найти перестановочные соотношения для
инфинитезимальных матриц группы Лоренца. Согласно B2.24)
мы получаем следующую связь между инфинитезимальными
матрицами обеих групп:
4] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 277
Преобразование подобия не изменяет перестановочных соот-
соотношений. Поэтому перестановочные соотношения для инфи-
нитезимальных матриц группы Лоренца Bov В№ В03, В12,
В13, 523 будут такими же, как для матриц М01, 1Ат, iA^,
Ах2, Ai3, A23. Это свойство будет, конечно, выполняться
и для инфинитезимальных матриц представлений этих групп,
для которых мы сохраним обозначения Bik и Aik.
4. Неприводимые представления
Мы уже знаем, что нахождение неприводимых предста-
представлений непрерывной группы сводится к определению инфи-
инфинитезимальных матриц этих представлений.
Покажем, что задачу о нахождении конечномерных не-
неприводимых представлений группы Лоренца можно привести
к аналогичной задаче для группы О+ D). Действительно,
если нам будут известны инфинитезимальные матрицы непри-
неприводимых представлений группы О+ D), то соответствующие
инфинитезимальные матрицы для группы Лоренца либо
будут совпадать с ними (для пространственных враще-
вращений), либо будут отличаться множителем / (для преобразо-
преобразований, связывающих временную и пространственные ко-
координаты).
Для определения инфинитезимальных матриц неприводи-
неприводимых представлений группы О+ D) поступим следующим обра-
образом. Составим матрицы
-2-(Л2з-г-Лн)' Т1==у
" (i ~г Aqq), Т2 = ~2
О4+ Л) Т
B2.28)
Легко проверить, используя перестановочные соотношения
для матриц A(k, что матрицы ji и т удовлетворяют таким же
перестановочным соотношениям, что и инфинитезимальные
матрицы группы трехмерных вращений, т. е.
[ц, ц] = ц, [т. т] = т. B2.29)
19 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов
278 ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XXII
Кроме того, матрицы цк и т,- коммутируют друг с другом.
Мы удовлетворим этим требованиям, если в качестве ма-
матриц \xk и т; возьмем
*=ЛХ* ) B2.30)
где М{ и 71,- — инфинитезимальные матрицы двух представле-
представлений группы трехмерных вращений, а Ет и f^ — единичные
матрицы этих представлений. На основании формулы B2.30)
мы можем заключить, что группа четырехмерных вращений
изоморфна прямому произведению двух групп трехмерных
вращений. Так как все неприводимые представления прямого
произведения двух групп могут быть образованы компози-
композицией неприводимых представлений групп-сомножителей (см.
главу IV), то неприводимые представления группы О+ D)
являются композицией неприводимых представлений двух
групп трехмерных вращений.
Мы знаем, что каждое неприводимое представление
группы вращений однозначно определяется своим весом j,
который может быть равен неотрицательному целому или
полуцелому числу. Поэтому неприводимые представления
группы О' D) будут задаваться двумя числами j и /',
каждое из которых может быть целым или полуцелым.
Порядок такого представления равен произведению порядков
неприводимых представлений групп трехмерных вращений,
т. е. равен
Инфинитезимальные матрицы неприводимого представления
группы Ол D) будут определяться формулами B2.30), где
вместо М{ и Ti надо подставить инфинитезимальные матрицы
неприводимых представлений группы О+ C).
Если мы введем для инфинитезимальных матриц группы
О+D) новые обозначения:
А\+)=А23,
4~'= А»,
B2.31)
5] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 279
то сможем написать
А{?) = (М1ХЕт±ЕмХТО. B2.32)
Для инфинитезимальных матриц неприводимых представлений
группы Лоренца введем обозначения, аналогичные B2.31).
Тогда мы получаем окончательно следующие выражения:
J
Таким образом, найденные нами неприводимые представления
собственной группы Лоренца определяются парой чисел у,
j', каждое из которых может быть целым или полуцелым.
Мы будем обозначать эти представления через D . Порядок
представления D('* ) равен Bу + 1)Bу' —|— 1). Инфинитези-
Инфинитезимальные матрицы этого представления определяются форму-
формулами B2.33), в которых Mt и Tt — инфинитезимальные ма-
матрицы неприводимых представлений группы вращений с ве-
весами у и j' соответственно.
Обратим внимание на то, что из-за наличия множителя i
во второй формуле B2.33) инфинитезимальные матрицы Bf
не являются антиэрмитовыми и, следовательно, представле-
представления El*31 не унитарны. Неунитарность конечномерных пред-
представлений группы Лоренца связана с тем, что группа Лоренца
не является компактной. Кроме конечномерных неприводимых
представлений группа Лоренца имеет также бесконечномер-
бесконечномерные унитарные неприводимые представления. В квантовой
механике эти представления имеют ограниченную область
применения (см. главу XIV), и мы их рассматривать не будем.
5. Прямое произведение неприводимых
представлений группы Лоренца
Для рассмотрения этого вопроса мы опять воспользуемся
установленным соответствием представлений группы Лоренца
с представлениями группы О+ D). Условимся неприводимые
представления группы О+ D), соответствующие неприводимым
представлениям D^jj * группы Лоренца, обозначать через D(i// \
19*
280 ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XXII
Мы видели, что неприводимые представления группы О+ D)
можно выразить как прямое произведение неприводимых
представлений двух групп трехмерных вращений:
Dun = DU) (g) X ?>( Л <?'). B2.34)
где g и g' — элементы, принадлежащие двум независимым
группам трехмерных вращений. Найдем разложение прямого
произведения Dv^'X^ Ha неприводимые части. Со-
Согласно B2.34) мы можем написать
(g) X о(У') {g') X ?»(У2) (g) X D^ (^. B2.35)
Если мы будем рассматривать равенство матриц представле-
представления с точностью до преобразования подобия, то в правой
части B2.35) мы можем переставить порядок множителей.
Используя правило Клебша — Гордана для групп О+ C) (см.
главу XII), мы получим
х я('2) (g)) X
Ii® Du>)(g'). B2.36)
|^4
Но согласно B2.34) полученный результат можно привести
к следующему виду:
fi(yi'i)x2)(V2)_ 2 2 ® Dui'\ B2.37)
Ясно, что в силу установленного соответствия между непри-
неприводимыми представлениями группы Лоренца и группы О+ D)
мы получим аналогичное разложение для прямого произве-
произведения двух неприводимых конечномерных представлений
группы Лоренца.
УПРАЖНЕНИЯ 281
Упражнения
22.1. Доказать, что произвольное собственное преобразование
Лоренца может быть представлено в виде произведения шести
однопараметрических преобразований в двумерных плоскостях.
22.2. Написать явное выражение для иифинитезимальных ма-
матриц неприводимых представлений:
22.3. На какие неприводимые представления группы трехмер-
трехмерных вращений может быть разложено представление D^J '?
22.4. Найти разложения иа неприводимые представления
Dt2 °) Х О(У г) О(Т г) х D( 2 2")
22.5. Доказать, что четырехмерный вектор (х0, хь х2, хъ) пре-
образуется по неприводимому представлению D^2 2'.
Глава XXIИ
Уравнение Дирака
В качестве приложения теории представлений группы
Лоренца мы рассмотрим релятивистски инвариантное волновое
уравнение для свободной частицы со спнном 1/2— уравнение
Дирака. Так как волновая функция в этом случае является
многокомпонентной величиной, которая при преобразовании
Лоренца должна преобразовываться по некоторому представле-
представлению группы Лоренца, то это уравнение фактически предста-
представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений.
Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией уравнения
Дирака, обычно излагаемой в курсах квантовой механики.
Поэтому в этой главе мы ограничимся исследованием лишь
трансформационных свойств его решений. Рассмотрим сначала
общие свойства релятивистски инвариантных уравнений.
1. Релятивистски инвариантные уравнения
Систему линейных дифференциальных уравнений первого
порядка, описывающих состояние свободной частицы, можно
записать в виде
^ + ^ + !^ = 0, B3.1)
( \
где т|) = I ф2 I — многокомпонентная волновая функция
переменных х0, xv x2, x3, a LQ L3 и и — некоторые
матрицы, элементы которых не зависят от координат и времени.
Рассмотрим условие инвариантности системы B3.1) отно-
относительно преобразований Лоренца. Для этого запишем ее
в новой (штрихованной) системе координат. Пусть X и
Х' = АХ — одна и та же пространственно-временная точка
в двух рассматриваемых системах. Закон преобразования
1) РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 283
волновой функции при переходе к штрихованной системе
координат имеет вид
^'(x') = D(A)^(x) B3.2)
или
Покажем, что матрицы D(A) образуют представление группы
Лоренца. Действительно, при последовательном применении
двух преобразований Лоренца мы получим
) S
= 2 Dy6 (АО D6p (Л) фр (х) = 2 Dn (А") ф (х). B3.3)
Р. в р
Запишем уравнение B3.1) в штрихованной системе коорди-
координат. Для этого, применяя обратное преобразование, найдем
A)i|)'(*/)- B3.4)
Далее, мы имеем
*; = ,?/„*» B3.5)
и, следовательно,
Подставляя B3.4) и B3.6) в B3.1), получим
з
J] L,D-1^-Alt{-]-t7iD-W = 0- B3.7)
i, ft=0 *
Матрицу и мы будем считать неособой. Поэтому, не нару-
нарушая общности, можно положить ее равной матрице, кратной
единичной. Действительно, мы всегда можем умножить обе
части уравнения B3.1) на и. Тогда, умножая B3.7) слева
на матрицу D, получим
з
У AwDI,lD-1^l + /xi|»/ = 0. B3.8)
ft.Ho дх*
284 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА [ГЛ. XXIII
Из требования инвариантности уравнения B3.1) относительно
преобразования Лоренца следует, что
Lk = 2 ^hDL,D-' B3.9)
;=о
или
з
AmLi- B3.10)
Имея в виду это равенство, говорят, что матрицы Lk пре-
преобразуются, как четырехмерный вектор. Формулы B3.9)
дают нам условие инвариантности рассматриваемой системы
дифференциальных уравнений.
Выясним, какой вид имеют простейшие релятивистски
инвариантные системы B3.1), состоящие из минимального
числа уравнений. Так как число уравнений равно числу ком-
компонент волновой функции, а последняя преобразуется по
некоторому представлению группы Лоренца, то естественно
начать исследование с уравнения, которое соответствует не-
неприводимому представлению группы Лоренца минимальной
размерности. Мы можем начать с тождественного одномер-
одномерного представления D . Однако можно убедиться в том,
что для этого представления невозможно написать реляти-
релятивистски инвариантное уравнение типа B3.1). В самом деле,
перенося член /х-ф в B3.1) в правую часть равенства, мы
получим, что слева стоит величина, преобразующаяся по
представлению D@0)X^2 • в то время как правая часть
преобразуется по представлению D@0) l). Ясно, что равенство
двух величин, преобразующихся по разным представлениям,
невозможно. Для того чтобы можно было написать реляти-
релятивистски инвариантную систему, решение которой преобразовы-
преобразовывалось бы по представлению, содержащему тождественное,
это представление нужно по крайней мере дополнить пред-
ставлением D^2 2Л В этом случае мы получили бы систему,
состоящую из пяти уравнений. Исследуем теперь уравнение
для волновой функции, преобразующейся по представле-
представлению М2 ' второго порядка. Применяя то же рассуждение,
>) См. упр. 22.5.
2]
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
285
что и выше, мы увидим, что слева в уравнении стоит вели-
величина, преобразующаяся по представлению
а справа — по представлению
т. е. в этом случае написать релятивистски инвариантную
систему также невозможно. Однако мы не придем к противо-
противоречию, если будем считать, что волновая функция преобра-
преобраА 2'
зуется по приводимому представлению
^2
'y '
четвер-
четвертого порядка. Полагая в B3.10) D = dy '@U? Ч можно
однозначно определить матрицы Ц. Полученная система будет
состоять из четырех уравнений для четырех компонент вол-
волновой функции. Эта система, записанная в виде уравне-
уравнения B3.1), называется уравнением Дирака.
2. Уравнение Дирака
Матрицы L{ могут быть найдены из условий B3.10) (см. [6],
ч. 2, гл. 2). Мы сразу приведем явный вид уравнения Дирака:
где
0
0
1
0
0
0
0
i
0
0
0
1
—
1
0
0
0
0
0
/
0
0
1
0
0
(
j
0
0
) /
0
0
0
0 0
0 0
0 1
1 0
0
0
1
0
0
J
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
J
0
0
0
0
- 1
0
0
B3.12)
286 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА [ГЛ. XXIII
Четырехкомпонентная волновая функция (биспинор Дирака)
Фз
преобразуется по представлению
т. е. две ее первые компоненты ф,, ф2 преобразуются по
^2 К а две последние ф3> Ф4—п0 предста-
предстапредставлению
влению D^ 2'. Используя результат, полученный в предыду-
предыдущей главе, можно написать явный вид инфинитезимальных
операторов этих неприводимых представлений. Для инфини-
инфинитезимальных операторов представления D^2 > мы получим
следующие выражения:
(+)
_ i @
0 1\
о]'
( + ) __ 1 /0 -1\
82 ^fli oj'
<+)
з
<>
(-) 1 /0 1\
l =~2"ll OJ'
) _ / /0 -1\
-Tli oj'
, __ 1/1 0\
— — у^о -I.)'
B3.13)
а для инфинитезимальных операторов представления
найдем:
:т(! о
1 /0 -1
: 2 ll О
I /1
¦4° 1)
\l 0J'
-_±(°
¦ ¦ 2U
.If1 °\
2 1.0 -lj1
0 —1
о
B3.14)
Если вместо «канонических» компонент волновой функции
мы возьмем их линейные комбинации Фа = 2 '-'ae'lV T0 УРав"
нение для функции ф будет иметь вид B3.11) с матрицами
КОМПЛЕКСНО СОПРЯЖЕННЫЙ БИСПИНОР ДИРАКА
287
Li = CLfi \ Если, например, мы положим
B3.15)
то получим уравнение с матрицами L'. = yr имеющими сле-
следующий явный вид:
1 0
0 1
0 0
0 0
0
0
0
—1
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
i
0
0
0
0
0
J
—i
0
0
0
¦ V1"
0
0
0
—1
0
0
—1
0
0
0
—1
0
0 1
0 0
0 0
1 0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
B3.16)
Запись уравнения Дирака с матрицами у{ является более рас-
распространенной.
3. Комплексно сопряженный биспинор Дирака
Найдем закон преобразования комплексно сопряженной
волновой функции ф. Ясно, что комплексно сопряженные
функции преобразуются по представлению с комплексно
сопряженными матрицами.
Несколько расширяя наше рассмотрение, мы можем сфор-
сформулировать задачу следующим образом. Пусть задано неко-
некоторое неприводимое представление группы Лоренца Dillji).
Если вместо каждой матрицы этого представления мы возьмем
комплексно сопряженную, то снова получим представление
группы, которое будем называть комплексно сопряженным
представлением Dhl^. Очевидно, это представление также
будет неприводимым, т. е.
Требуется найти j'v j'T Для этого применим операцию
комплексного сопряжения к инфинитезимальным матрицам
288 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 1ГЛ. XXIII
неприводимого представления D(Jlft\ Напомним, что инфини-
тезимальные матрицы группы Лоренца представимы в виде
B3.17)
где Tt и Mt — инфинитезимальные матрицы неприводимых
представлений группы О+ C) соответственно с весами у, и у2,
а Ем и Ет — единичные матрицы этих представлений. При-
Применяя комплексное сопряжение, мы получим
ХТ{), B3.18)
В^ = L {ЕМ X ft - Д- X ?г)- B3-!9>
Мы знаем, что перестановка множителей в прямом произве-
произведении матриц эквивалентна некоторому преобразованию подо-
подобия. Поэтому мы можем написать
=z\u [Ег X Mt-\-ftXEM\U-\ B3.20)
^~Х- B3.21)
Далее, мы знаем (см. главу XII, п. 4), что матрицы Mt и Tt
с помощью преобразования подобия могут быть выражены
через канонические матрицы Mt и Т{:
VtT1VtX = T1, VmM{Vm1 = M{, B3.22)
где матрицы VT и VM являются матрицами соответствующих
представлений для поворота на 180° вокруг оси Оу. Под-
Подставляя B3.22) в B3.20) и B3.21), мы получим:
В[+) = 1 W [Ет X M-t + Tt X Ем] W~\ \
\ B3.23)
^ = ^W\TtXEM~ETXMtW~l. |
где
Em)U. B3.24)
3] КОМПЛЕКСНО СОПРЯЖЕННЫЙ БИСПИНОР ДИРАКА 289
Сравнивая B3.23) с B3.17), мы видим, что комплексно со-
сопряженные инфинитезимальные матрицы В^ и В^Г' с точ-
точностью до преобразования подобия совпадают с канониче-
каноническими инфинитезимальными операторами неприводимого пред-
представления D . Таким образом, мы получаем
•Л'=Л- J2=JV B3-25)
Но кроме этого результата мы получили также явный вид
преобразования, которое приводит комплексно сопряженные
инфинитезимальные операторы к каноническому виду. Это
преобразование определяется формулой B3.24). Таким обра-
образом, если {<7а} есть базис представления D^'^\ то {<7а} есть
базис представления D^^'K Базис {<7а} не является канони-
каноническим. Переход к каноническому базису {qa} осуществляется
с помощью преобразования
Ча= 2 Wpofy- B3.26)
Напишем преобразование B3.26) для представления и" 2 .
Так как базис этого представления одновременно является
базисом неприводимого представления группы вращений, то
согласно A2.52) мы имеем
q = BA2)~1q B3.27)
или
Как мы показали, величины qx, q \ образуют базис пред-
~Т
ставления Гг2 . Наоборот, если pi, p i —базис предста-
1 ~~2
вления D 2 , то из B3.27) следует, что величины
\_ = — р и р l = Pl B3.28)
2 ~2 ~2 2
290 УРАВНЕНИЕ ДИРАКА [ГЛ. XXIII
образуют базис неприводимого представления D 2 . Эти
результаты мы можем непосредственно применить для выяс-
выяснения закона преобразования комплексно сопряженного
биспинора Дирака. Мы получим
где ijjj, \\>'2, фд> Ф4—четыре компоненты некоторого нового
биспинора.
4. Инвариантная квадратичная форма
Составим теперь из компонент биспинора эрмитову квад-
квадратичную форму, инвариантную относительно собственных
преобразований Лоренца:
inv = S Ша„ = 2ф;Ф»*«. B3.30)
Для того чтобы определить коэффициенты alk, заметим, что
1) тождественное представление группы Лоренца содержится
только в прямом произведении одинаковых представлений,
2) ' квадратичная форма должна быть также инвариантной
относительно группы вращений, 3) aik — aki (условие эрми-
товости). Учитывая первые два условия, мы можем написать
inv = а (ф,ф,' — %%) + * (ip3i|^ — %V4) =
= - а (ф,ф4 + ф2ф3) + Ь (— ф3ф2 — ф4ф,), B3.31)
где а и Ъ — произвольные комплексные числа. Используя
требование a{b = aki, получаем а — Ь,
inv = а (ф,ф4 + Ф2« + а (Фз*г + Ф4*1)- B3.32)
Как легко убедиться, эта форма не является положительно
определенной, что находится в согласии с тем, что рассматри-
рассматриваемые представления группы Лоренца неунитарны. В част-
частности, если положить а—1, то мы получим инвариант
inv = tip, B3.33)
ИНВАРИАНТНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
291
где ij) = (i|v Фз> Фг> Ф1)—матрица-строка,i|) =
Фз
1*4
— матрица-
столбец. Законы преобразования величин if, тр при преобра-
преобразовании Лоренца представимы в виде
Так как 1|л|з — инвариант, то
откуда
B3.34)
B3.35)
Используя этот результат и формулу B3.10), легко, напри-
например, доказать, что величины ф/.^ преобразуются, как четырех-
четырехмерный вектор.
Приложение
Указания к решению задач
1.1. Рассмотрим шар с центром в некоторой точке О. Зададим
на поверхности шара две произвольные точки А и В. Рассмотрим
теперь такое движение шара, при котором точки А и В переходят
в А' и В' (рис. 18). Ясно, что дуга большого круга АВ равна
дуге А'В'. Соединим точки А
с А' и В с В' окружностями
больших кругов и проведем
симметрали (окружности боль-
больших кругов, нормальных к
дугам АА' и ВВ' и делящих
их пополам) для этих пар то-
точек. На рис. 18 симметрали
изображены пунктирными ли-
линиями, пересекающимися в точ-
точке М. Сферические треуголь-
треугольники МАВ и МА'В' равны
друг другу и могут быть сов-
совмещены в результате пово-
поворота на угол ф вокруг оси,
Рис. 18.
проходящей через точку М и центр шара. В том случае, когда
симметрали совпадают, ось вращения определяется пересечением
дуг АВ и А'В'.
Задача может быть решена также следующим образом. Рас-
Рассмотрим ортогональную матриду U (Det U = +1), соответствующую
рассматриваемому вращению. Ее собственными значениями будут
е'ф, е~'ф и 1. Перейдем от системы координат, в которой задана
матрица U, к новой системе, причем одну из осей (например, Ох3^
направим по собственному вектору и3, соответствующему собствен-
собственному значению К = 1. В новой системе осей матрица U примет вид
cos ф
— sin ф
О
sin<p 0
cosq>
О
и будет, следовательно, соответствовать вращению на угол q> =
— arccos-*-(Sp?/—1) относительно вектора и8.
2.6. Пусть k — число элементов в классе К, которому принад-
принадлежит элемент А. Возьмем вместо элемента А какой-нибудь другой
ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 293
элемент А', также принадлежащий классу К. Тогда при В, про-
пробегающем всю группу, совокупность ВАВ~1 будет совпадать с со-
совокупностью В А1В~г\ обозначим эту. совокупность через». Если
элемент А пробегает весь класс К, а В пробегает всю группу, то
получим k раз повторенную совокупность ш. Обозначим эту новую
совокупность через О.. Фиксируем теперь элемент В, а элемент А
пусть пробегает весь класс /С. Тогда элементы ВАВ~1 будут все
различными и составят снова класс К- Следовательно, мы можем
утверждать, что в совокупность Q каждый элемент класса К вхо-
входит п раз, где п — порядок рассматриваемой группы. Но так как
совокупность Q представляет собой k раз повторенную совокуп-
совокупность «й, то, следовательно, ft. совокупности w каждый элемент
класса содержится -г раз, что и требовалось доказать. Отсюда мы
получаем, что порядок группы должен быть всегда целым кратным
порядка любого класса.
3.1. Если группа имеет гомоморфное представление, то те
элементы группы, которым соответствует единичная матрица
представления, образуют инвариантную подгруппу (нормальный
делитель).
3.3. Пусть В — любой фиксированный элемент группы, а эле-
элемент А пробегает некоторый класс К. Тогда совокупность ВАВ~1
снова дает нам весь класс. Переходя к неприводимому представле-
представлению группы матрицами D, мы можем написать
D (В) Г ^
^ »-'(В)= ^ D(A)
или ¦
D(B) 2 D (А) = Г ^ О М)] ?» (В).
Так как элемент В произволен, то согласно первой лемме
Шура мы можем утверждать, что матрица ~У\ D (А) кратна еди-
А?К
ничной.
3.4. Элементы матриц регулярного представления определяются
следующим образом. Если gjr. — g то
Иначе можно сказать, что Rmn (gs) = 1, если g,^1 = gs, и
/?т„(^) = 0, если gmgnX=gp * Ф s. С помощью таблицы умно-
умножения рассматриваемой группы составим новую таблицу умножения,
в которой первым множителем, стоящим в столбце, будет gm, m =
20 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов
294
ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
= 1, 2, ..., 6, а иторым множителем, расположенным в строке,
будет g~l, n — \, 2 6.
gm ^\
Е
А
В
С
D
F
Е
Е
А
В
С
D
F
А
А
Е
F
D
С
В
В
В
D
Е
F
А
С
С
С
F
D
Е
В
А
F
F
С
А
В
Е
D
D
D
В
С
А
F
Е
Согласно сказанному выше мы можем утверждать, что мы по-
получим матрицу регулярного представления, соответствующую не-
некоторому элементу gs, если в построенной таблице вместо эле-
элемента gs мы поставим 1, а вместо других элементов 0.
3.6. Характеры приводимого представления могут быть запи-
записаны в виде
где %'¦" (g) — характеры неприводимых представлений, a kj — крат-
кратности этих представлений. Используя свойство ортогональности
характеров неприводимых представлений, мы получим
g )
Правая часть этого равенства может равняться единице лишь в том
случае, когда только одно из чисел kj отлично от нуля и равно
единице.
3.7. Использовать свойство ортогональности матричных элемен-
элементов для двух неэквивалентных неприводимых представлений, одно
из которых является тождественным (формула C.66)).
4.1. Использовать формулу D.20) и свойство ортогональности
характеров неприводимых представлений.
4.3. Использовать свойство ортогональности характеров непри-
неприводимых представлений перемножаемых групп.
4.5. Перестановка множителей в прямом произведении равно-
равносильна определенной перестановке строк и такой же перестановке
столбцов в матрице прямого произведения. Поэтому можно на-
написать
где V — ортогональная матрица, состоящая из нулей и единиц,—
осуществляет указанную перестановку строк, а матрица V~l = V —
такую же перестановку столбцов.
ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
295
6.1. Используя формулы F.17), F.21) и таблицу характеров
неприводимых представлений группы C3№ мы найдем, что моле-
молекула NH3 имеет два невырожденных нормальных колебания типа Л,
и одно двукратно вырожденное колебание типа Е.
7.1. Применим к функции фй (г) оператор Т . Мы получим
= t (I g~l (r-gRk) |) = * (| r-
где Ri = gR)i- Следовательно, мы имеем
|),
Найдем характеры представления D, по которому преобразуются
функции ф1, <р2, .... (ра. Очевидно, что для данного преобразова-
преобразования g отличный от нуля вклад в характер дадут лишь те функции,
которые не изменяются при действии оператора Т : Т ®.(г) =
к « R
к
Мы получим
Е
6
зс\
2
6С4
2
6С2
0
8С3
0
i
0
4
6/С4
0
&с2
2
0
Используя формулу F.17) и таблицу характеров группы
находим
Так как в это разложение неприводимые неэквивалентные
представления входят не более одного раза, то матрица гамильто-
гамильтониана, записанная на функциях, преобразующихся по неприводимым
представлениям, будет диагональной. Следовательно, построенные
функции будут приближенными собственными функциями рассма-
рассматриваемой задачи. Построим эти функции. Введем вместо функ-
функций ц>к (г) их комбинации, симметричные и антисимметричные от-
относительно инверсии:
Ф1+ФЗ
Ф2
4. Ф5 + Ф6. ф1— ФЗ. Ф2 —Ф4. Фб—Фб-
Ясно, что функции ф, — ф3, ф2 — ф4, ф5
должны преобразовы-
преобразовываться по представлению Г4. Если пренебречь перекрыванием
функций фй и считать их нормированными, то соответствующие
приближенные собственные функции нашей задачи можно записать
в виде
1 - 1 , 1 ,
- Фз), т~ (Ф2 — фД -т=- (ф5 — фв)-
20*
296
ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Приближенная собственная функция, преобразующаяся по тожде-
тождественному представлению Г[, имеет вид
1
Оставшиеся две независимые функции симметричной цепочки, пре-
преобразующиеся по неприводимому представлению Г3, можно выбрать
в виде
-тт=г [(ф2 + ф4> — (Ф1 + Фз)].
V 4
1
[(ф2 + ф4) + (ф, + Фз) — (Ф5 + фб)]-
8.3. Для простой кубической решетки обратная решетка также
является простой кубической. Для гранецентрированной решетки
/ Г
/11л
/
\г
Рис. 19.
Рис. 20.
обратной ¦ является объемноцентрированная кубическая решетка.
Зоны Бриллюэна для этих решеток изображены на рис. 19 и 20.
ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
297
Зона Бриллюэна для гранецентрирова иной решетки ограничена
плоскостями, перпендикулярными к осям четвертого и третьего
порядков. Зона Бриллюэна для объемноцентрированнои решетки
ограничена плоскостями, перпендикулярными к осям второго по-
порядка.
9.1. Буквами Г, /?, М, X, Л, Д, 2, T, S, Z отмечены некоторые
типичные симметричные точки зоны Бриллюэна простой кубической
Рис. 21.
решетки (рис. 21). Характеры неприводимых представлений групп
волновых векторов, соответствующих этим точкам, приведены
в таблицах:
Л
Л,
Л2
Лз
Е
1
1
2
2С3
1
1
—1
ЗгС2
1
1
0
Z
2,
z2
z3
zt
Е
1
1
1
1
Г2
1
1
—1
—1
iC\
1
—1
—1
1
1С24±
1
—1
1
—1
298
ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Г, R
г,
г2
Гз
г4
г5
г;
Гз
г^
Б
1
1
2
3
3
1
1
2
3
3
ъс\
1
1
2
j
\
1
1
2
1
—1
ее,
1
j
0
j
1
1
1
0
-1
1
6С2
1
—1
0
1
—1
1
—1
0
1
1
8С3
1
1
—1
0
0
1
1
—1
0
0
1
1
1
2
3
3
—1
J
—2
—3
—3
¦ас\
1
1
2
—1
—1
—1
—1
—2
1
1
6iC,
1
—1
0
—1
1
1
1
0
1
—1
61 С,
1
-1
0
1
—1
—1
1
0
—1
1
Si С,
1
1
—1
0
0
—1
—1
1
0
0
л, т
д.
As
Б
1
1
1
I
2
1
1
1
1
2
2С,
1
1
J
J
0
2(С4
1
— 1
1
J
0
2«С,
1
1
— 1
1
0
2, S
2,
22
23
24
Б
1
1
1
1
с2
1
1
1
—1
ic\
1
—1
—1
1
«с2
1
1
1
1
ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
299
м
X
М2
мъ
м4
м5
м[
м'2
к
к
в
Е
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2с\
2С2±
1
1
\
J
0
1
1
1
J
0
О
qii
1
1
1
1
—2
1
1
1
1
2
2C.1
2C, 1!
1
-1
— 1
1
0
1
j
—1
1
0
2C2
2C2
1
—1
1
— 1
0
1
—1
1
—1
0
i
i
1
1
1
1
2
—1
—1
—1
—1
—2
2iC^
2id\i_
1
1
— 1
J
0
—1
—1
1
1
0
ic\\\
1
1
1
1
2
—1
—1
—1
j
2
2(C4 ||
1
—1
— 1
1
0
j
1
1
—1
0
2iC2
2iC2
1
— 1
1
— 1
0
J
1
J
1
0
Примечание. Вращение вокруг в
оси, перпендикулярной к вектору ft, 7
обозначено через С^ вращение вокруг
оси, проходящей через вектор ft,— че-
через Сц.
Найти классификацию нормальных
колебаний — это значит определить не-
неприводимые представления групп вол-
волновых векторов, по которым преобра-
преобразуются нормальные координаты. Для
определения характеров приводимого „&
представления, по которому преобразу- i
ются нормальные координаты с данным рис 22.
значением волнового вектора, восполь-
воспользуемся формулами (9.8) и (9.9). Нам удобно представить их в сле-
следующем виде:
A+2 cos ф) ^ е1 {ва>па для поворота,
п ¦ (*)
— A + 2 cos ф) 2 е< (ка)па для поворота
а с инверсией.
Заметим, что если вектор ft лежит внутри зоны Бриллюэна, то
множители е' **а* можно опустить, так как в этом случае (ka) = 0.
Выберем центр симметрии в узле А (рис. 22). Рассмотрим эле-
элементарную ячейку, в которую входят атомы А и В{. При преобра-
преобразованиях симметрии атом А будет всегда оставаться на своем месте,
а атом Вх будет совмещаться с атомами В2, В3 В&. Векторы
в, входящие в формулу (*), соединяют узел В, с эквивалентными
300
ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
узлами В2, В3 Вь. Вычислив характеры представления по фор-
формуле (*) и применяя обычную процедуру разложения этого пред-
представления иа неприводимые, мы получим следующую схему клас-
классификации нормальных колебаний рассматриваемого кристалла.;
X3 X4
Ъ'н;*;н4—z;z2z3z, z3,
Обратим внимание на то, что при переходе от более симметрич-
симметричной точки зоны Бриллюэна к менее симметричной (например, от
точки Г к точке Л) неприводимые представления для последней мо-
могут быть получены с помощью разложения представлений, соответ-
соответствующих первой.
Например, r5 = Ai-j-A3, Г^ = Sj -(- S3+ 24 и т. д. Заметим, что
полученная здесь классификация нормальных колебаний, основанная
иа чисто механическом рассмотрении, справедлива лишь для непо-
неполярных кристаллов.
10.1. Используя метод, аналогичный тому, который был приме-
применен в главе VI для нахождения матриц неприводимых представлений
группы С„„, мы получим следующий результат:
Матрицы неприводимых представлений группы С v
Вращение на угол ср
Отражение в плоскости,
проходящей через ось
Ах
1
1
Аг
1
—1
Бт
[ о eimq> J
/0 П
U oj
18.1. Использовать метод, изложенный на стр. 229, и классифика-
классификацию нормальных координат такой молекулы, полученную в главе
VII. Закон преобразования осцилляторных волновых функций см.
на стр. 190. Промежуточные и окончательные результаты для слу-
случая а) приведены в таблице:
ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 301
стат.
веса
и
ОО
О
и
и1
то
ОО
U*
со
U
да
U
СО
ы
Г-Н Г-Н
II II
— <о
а е
со см
II II
ее"
II II II
& & В
Ю-н
II II
в»?
—ТО
II II
s"s"
-нСМ
II II
- 8"в"
-<Г0
III
111"
в<?
со см
II11^
II
е
в
см
ю
со
СО
ГО
я -
Э" 1-
Э" —
я -
S 1-
Э" -
я -
я -
4 ОО
S
со
- 00
1-Н
¦• to
э« 1-н см
В" —
л
о ;
S 1
SS
ST р.
¦ 00
см
>- о"
и-
см
1
CN О
1
1-н О
~ о
г-н СМ
г-н СЧ
1
1-н О
i-i О
1-н СМ
— СМ
f-H [-1
CM
о
t-н
1-Н
1
7
со
о
-
7
1-н
1
со
О
о
"Г
1
1-Н
-н
со
1
1
о
1-Н
7
-
ГО
о
-
1
О
т—t
1
-
7
со
302 ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
18.2. Рассмотрим тензор /z-го ранга в каноническом базисе, т. е.
как 1-тензор. Каждый из п значков 1-тензора принимает трн зна-
значения: 1, 0, —1. Найдем сначала число бт компонент симметрич-
симметричного тензора /z-го ранга, сумма значков которых равна т. Тогда крат-
кратность /*? неприводимого представления D' ' в рассматриваемом тен-
тензорном представлении может быть определена по формуле
Обозначим через аь а0, а_] числа тензорных значков дан-
данной компоненты, равных соответственно 1, 0, —1 (<Х[ +ao + a_i='O-
Очевидно, что т = ах — а_х. Поэтому мы можем написать
неравенство
Знак равенства справа имеет место только в том случае, если
числа тип одинаковой четности. Отсюда следует, что 6т = п —
— т -j-1, если т и п одинаковой четности, и Ьт = п—т, если т
н п имеют противоположную четность. В результате мы получим
rL — (n—L-\-\) — (л—?)=1, если L и п одинаковой четности;
гА = (п—L)—(п—L) = 0, если L н п противоположной четности.
В обоих случаях, конечно, /.<;«.
18.3. Воспользоваться методом, изложенным на стр. 230, н резуль-
результатом упражнения 18.2.
22.1. Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг отно-
относительно друга с постоянной скоростью V. Найдем преобразование
Лоренца, связывающее пространственные координаты и время в этих
системах. Рассмотрим преобразование Лоренца gO3- соответствующее
движению вдоль оси Ог. Очевидно, что преобразование Лоренца,
соответствующее движению со скоростью v, может быть представ-
представлено в виде ц#оз(Ч')и~ • гДе преобразование и совмещает ось Ог
с направлением скорости ч>. Преобразование и~1 можно записать в
виде gn (ф) ^23 F). гДе 6 — угол между осью Ог и скоростью v.
Так как пространственные оси двух систем могут быть ориентиро-
ориентированы произвольно, то окончательно связь между рассматриваемыми
системами отсчета получается с помощью преобразования
Л= u'ug0i (ф) и = u"g03 (ф) и~\
Поскольку произвольное вращение и" можно представить в виде
то окончательно мы получаем
(") оз (Ф) Su (Ф)
ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 303
22.3. Рассмотрим инфиинтезимальные матрицы неприводимого
представления D^'2' группы Лоренца, соответствующие группе трех-
трехмерных вращений. Согласно формуле B2.33) они имеют вид
т. е. совпадают с инфииитезимальными матрицами прямого произ-
произведения D* '' X D Двух неприводимых представлений группы вра-
вращений. Применяя правило Клебша — Гордана, мы получим, таким
образом, что неприводимое представление D*-' 2' имеет следующее
разложение:
!
Приложение
к главе VII
Матрицы неприводимых представлений группы О
r<s>
-с, у, г
/I О,
\0 1/
/10 0
О 1 О
\0 0 1
/10 0
0 10
\0 0 1
/104
\0 I)
о о
-1 О
О -1
/1 0 0
0-1 0
\0 0 -1
-10 0
О 1 О
0 0-1
-10 0
О 1 О
0 0-1
0 1
/—I 0 0
0-10
\ 0 0 1
/-1 00'
0—10
о 0
-1 О
¦1 0 \
О I )
-I 0 0
0 0 1
^ 0 -1 0
1 0 0
0 0-1
0 1 0
Обозначение: С^°' —ось ft-ro порядка, проходящая через точки а (рис. 23 на стр. 307).
С10)
V о и
-10 0
0 0-1
0 1 О
1 О О
О 0 1
0—10
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VII
§m
с^
-^
X?
сч
S.CO
о
сч
и
О
г-
S.-г
Зп
О
сч
-
\п
eg
*-1
(N
eg
-—'
<M
(N
CM
.w
СЧ
1
V-
^-
i-
СЧ
«
¦*¦¦' "
СЧ
СЧ
In
s
——-
1^
I --
¦ ¦¦>
-^
СЧ
(CO
-N
СЧ
—--,
1
'
\en
_^—
IN
***
\
(N
T
7
m
7
О
О
о
_
У
О
о
-v_
*-*
о
"^
о
1
о
v^
/~
о
v^
о
7
о
,—
7
о
О
О
о
7
о
о
о
1
_
1
о
о
о
о
о
с;
**
i
о
о
о
о
-
о
о
***
О
О
¦—ч.
о
1
-/
о
о
7
о
о
7
о
о
о
о
>*
о
г»
1
о
г-н О
1
о о
-»
у
О -н
-- о
о о
4
^—¦
-н О
о о
4
^
о —
1
~ о
с о
•- ¦
О -н
1
О о
-»
^-
~* о
о о
О ^н
¦~.
?~-
1
7 °
о о
s-
гн О
о о
"Sp ^
ч
¦^.
о
о
о
о
1
*s
о
о
7
о
о
7
о
о
о
о
1
о
306
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VII
Sim
U
?<N
U
Сеч
U
го
w*3»
^^
CO
w
_
r,
7
7
7
7
7
!
7
7
Ira
^ф
Iro
Ira
*~*
,^-
о
7
^—
о
1
(N
СЧ
——¦
——.
-"
<N
~~"¦
О
—^
О
Ira
—¦
'^
ь
¦ ¦ 1-
—.
--
-
_——¦¦
C^
<N
^^
¦^
(N
^''
о
о
о
о
1
1
о
о
ч
о
о
о
!
о
о
.^
о
\
^*-
о
г—
i
о
о
о
7
о
о
_
о
о
о
о
о
о
о
о
i
о
о
о
о
,_,
о
!
о
т
о
1
о
—^
о
о
^"
о
о
7
о
о
~^.
о
о
о
->•
7
о
о
о
о
7
о
о
1
1
о
7
о
о
7
о
о
V.
о
о
1
о
^.
о
, 1
1
о
о
о
о
,_,
!
о
о
о
_
1
о
о
г*
о
-———.
о
о
*¦ — -
о
о
7
ч
о
о
1
1
о
о
о
»-.
о
**
7
о
~^
о
о
о
о
7
7
о
о
*s
•^,
1
1
о
о
.-*
"S.
о
о
¦^.
о
о
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VII
307
\ 1
\
\
\ \
Рис. 23
Список литературы, указанной
в предисловии
1. В и г и е р Е., Теория групп и ее приложения к квантовомеха-
нической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.
2. Ван дер Варден Б. Л., Метод теории групп в квантовой
механике, Харьков, 1938.
3. Weyl H., Qruppentheorle und Quantenmechanlk, 1931.
4. Любарский Г. Я., Теория групп и ее применение в физике,
Гостехиздат, 1957.
5. Хейне В., Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.
6. Г е л ь ф а н д И. М., М и н л о с Р. А., Ш а п н р о 3. Я., Пред-
Представления группы вращений и группы Лоренца, Физматгиз, 1958.
7. Мурнаган Ф., Теория представлений групп, ИЛ, 1950.
8. Boer пег Н., Darstellungen von Gruppen, Berlin, 1955.
9. Lomont J. S., Applications of finite groups, New York, 1959.
10 Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физиче-
физическим проблемам, Мир, 1966.
II. McWeeny, Symmetry, Pergamon Press, 1963.