Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы - Соловьев В.Г.

Используемая терминология
Принятые обозначения
1.2. Метод Хартри – Фока и среднее поле ядра
Глава 2. Метод приближенного вторичного квантования
2.2. Однофононные состояния в сферических ядрах
2.3. Нейтрон-протонные однофононные состояния
Глава 3. Приближение взаимодействующих бозонов
3.2. Микроскопическое описание квадрупольных возбуждений
Глава 4. Квазичастичио-фононная модель ядра
4.2. Уравнения для нечетных сферических ядер
4.3. Уравнения для четных сферических ядер
Глава 5. Фрагментация одно- и двухквазичастичиых состояний сферических ядер
5.2. Фрагментация одноквазичастичных состояний
5.3. Фрагментация однофононных и двухквазичастичных состояний
Глава 6. Неротационные состояния деформированных ядер
6.2. Фрагментация одноквазичастичных состояний
6.3. Структура неротационных состояний четных деформированных ядер
Автор: Соловьев В.Г.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика атомная физика ядерная физика атомное ядро
ISBN: 5-283-03914-5
Год: 1989
Похожие
Избранные труды. Частицы, ядра, Вселенная
Структура атомного ядра. Том 2. Деформация ядер
Лекции по теории ядра
Микроскопическая теория ядра
Текст
                    В.Г. СОЛОВЬЕВ
ТЕОРИЯ
АТОМНОГО
ЯДРА
КВАЗИЧАСГИЦЫ
И ФОНОНЫ
МОСКВА
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ
1989

УДК 539.14
Соловьев В.Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы
и фононы. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. —
ISBN 5-283-03914-5
В рамках метода Хартри—Фока-Боголюбова решена ядерная задача
многих тел. Введены операторы фононов, в том числе нейтрон-протон-
ные, и изложено приближение хаотических фаз для состояний электри-
ческого и магнитного типов. Дана общая схема бозонного представле-
ния фермиониых операторов. Построен коллективный гамильтониан
для квадрупольных возбуждений в SU(6)-приближении. Изложен ма-
тематический аппарат модели взаимодействующих бозоно.в. Сформу-
лирована квазичастично-фононная модель ядра, предназначенная для
описания малоквазичастичных компонент волновых функций при низ-
ких, средних и высоких энергиях возбуждения. Описана структура
неротационных состояний деформированных и сферических ядер с
энергией, меньшей энергии связи нейтрона.
Для научных работников — физиков-теоретиков, физиков-экспе-
риментаторов, занимающихся ядерной физикой, а также для аспиран-
тов и студентов старших курсов физических факультетов универ-
ситетов.
Табл. 12. Ил. 59. Библиогр.: 308 назв.
Рецензент В.В. Ванагас
1704070000-442
С 24-88
051(01)-89
ISBN 5-283-03914-5 © Энергоатомиздат, 1989

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ,.„.,..,,...,, ....... . 4
Используемая терминология 6
Принятые обозначения . 6
Введение ,.,.„,..,.,,,..,,,....,,... 11
Глава 1. Ядерная задача многих тел . 13
1.1. Метод Хартри–Фока–Боголюбова . 13
1.2. Метод Хартри–Фока и среднее поле ядра ....................... 27
1.3. Теория ядерных вибраций 33
Глава 2. Метод приближенного вторичного квантования 44
2.1. Однофононные состояния в деформированных ядрах . 44
2.2. Однофононные состояния в сферических ядрах 79
2-3. Нейтрон-протонные однофононные состояния , . 103
Глава 3. Приближение взаимодействующих бозонов . 123
3.1. Бозонные разложения 123
3.2. Микроскопическое описание квадрупольных возбуждений . 133
3.3. Модель взаимодействующих бозонов 140
Глава 4. Квазичастичио-фононная модель ядра 154
4.1. Основные положения модели ....... ....... 154
4.2. Уравнения для нечетных сферических ядер . 175
4.3. Уравнения для четных сферических ядер 189
Глава 5. Фрагментация одно- и двухквазичастичиых состояний сферичес-
ких ядер , 210
5.1. Структура низколежащих состояний , 210
5.2. Фрагментация одноквазичастичных состояний 224
5.3. Фрагментация однофононных и двухквазичастичных состояний .... 235
Глава 6. Неротационные состояния деформированных ядер 246
6.1. Уравнения квазичастично-фононной модели для деформированных
ядер 246
6.2. Фрагментация одноквазичастичных состояний . 260
6.3. Структура неротационных состояний четных деформированных
ядер 272
Заключение 288
Список литературы 289
Алфавитно-предметный указатель 302

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга посвящена микроскопическому описанию в терминах опе-
раторов квазичастиц и фононов структуры сложных ядер при низких
и промежуточных энергиях возбуждения, а также сопоставлению ре-
зультатов вычислений с соответствующими экспериментальными дан-
ными. В ней продолжено изложение теоретической ядерной физики,
осуществленное ранее в ряде учебников и монографий, например
в [1-12].
Данная монография входит в задуманную автором серию книг, по-
священных теории ядра. Однако она непосредственно не связана с пер-
вой книгой серии "Теория атомного ядра: Ядерные модели" [12].
Понимание изложенного материала не требует обращения к этой кни-
ге, поскольку в данной монографии кратко изложены сведения о сред-
нем поле ядра и парных корреляциях сверхпроводящего типа. Пред-
полагается, что микроскопическому описанию нейтронных резонансов,
аналоговых состояний и разного типа электрических и магнитных резо-
нансов будет носвязена следующая книга "Теория атомного ядра: Вы-
соковозбужденные состояния".
Развитие теории атомного ядра достигло такого уровня, что внут-
реннее единство наших представлений о ядерной структуре стало доста-
точно отчетливым, и это позволяет использовать дедуктивный метод
изложения. В монографии б рамках метода Хартри—Фока—Боголюбо-
ва дано решение ядерной задачи многих тел. Теория ядерных вибра-
ций в общем виде изложена на основе метода самосогласованного по-
ля Боголюбова. Выделены среднее поле ядра, взаимодействия, приво-
дящие к спариванию, и взаимодействия в каналах частица—дырка и
частица—частица. Введены операторы фононов, включая нейтрон-про-
тонные, и впервые полно изложено приближение хаотических фаз для
состояний электрического и магнитного типов.
Дана общая схема бозонного представления фермионных операто-
ров. Построен коллективный гамильтониан для квадрупольных воз-
буждений в 51/(6)-приближении, и на ядрах переходных областей про-
демонстрирована эффективность приближения. Изложен математичес-
кий аппарат модели взаимодействующих бозонов и ее модификаций.
Описано применение этой модели в сферических и деформированных
ядрах, обсуждена ее связь с моделью Бора—Моттельсона.
4

В этой монографии впервые сформулирована квазичастичнофонон-
ная модель ядра, предназначенная для описания малоквазичастичных
компонент волновых функций при низких, средних и высоких энер-
гиях возбуждения. Изложены общая схема расчетов и преимущества
этой модели, обусловленные фононным базисом, взаимодействием
квазичастиц с фононами. приближением, основанным на разложении
волновой функции по числу фононов, и применением метода силовых
функций.
На новом уровне описана структура состояний деформированных
и сферических ядер с энергией, меньшей энергии связи нейтрона. По-
лучены силовые функции для описания фрагментации одноквазичастич-
ных, однофононных конфигураций и конфигураций квазичастица ®
фонон. Впервые систематически изложена фрагментация одно- и двух-
квазичастичных состояний в сферических ядрах. Описана структура
низколежащих неротационных состояний четно-четных деформиро-
ванных ядер. Ярко продемонстрировано, что для них характерны про-
тиворечия между тремя моделями: моделью Бора—Моттельсона и ее
микроскопического аналога, квазичастично-фононной моделью ядра
и моделью взаимодействующих бозонов.
Монография не содержит полной библиографии по рассматривае-
мым вопросам ядерной физики. Ссылки приведены на наиболее важ-
ные статьи и книги, а также на те работы, результаты которых исполь-
зованы автором. Даны ссылки на работы, которые позволяют более
детально ознакомиться с излагаемым в монографии материалом и в
которых рассматриваемые вопросы получили дальнейшее развитие.
Ряд разделов монографии изложен на основе курсов лекций по тео-
рии атомного ядра, которые автор читает с 1961 г. на физическом фа-
культете Московского государственного университета и в его филиале
в Дубне. Материал некоторых разделов входил в лекции, прочитанные
в школах ОИЯИ в Алуште в 1972, 1974, 1980, 1983 и 1985 гг., во все-
союзных школах в Воронеже, Бухаре и Хумсане, в международных
школах в Италии, ПНР, ЧССР и Югославии, а также в доклады, сделан-
ные во многих институтах СССР, НРБ, СРВ, ГДР, Дании, МНР, ПНР,
ФРГ, Франции. ЧССР и Японии.
Предполагается, что читатель знаком с основами квантовой меха-
ники, электродинамики, статистической и ядерной физики.
Автор благодарен Н.Н. Боголюбову, А.И. Вдовину, В.В. Воронову,
Р.В. Джолосу, В.А. Кузьмину, Г. Кырчеву, Л.А. Малову, В.О. Нестерен-
ко, Р. Николаевой, В.Ю. Пономареву, Ч. Стоянову и А.В. Сушкову за
полезные обсуждения и помощь в изложении отдельных вопросов.
В.Г. Соловьев

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ТЕРМИНОЛОГИЯ
В монографии использованы в основном обозначения и терминоло-
гия, рекомендуемые Комиссией обозначений, единиц измерения и тер-
минологии Международного союза чистой и прикладной физики
(IUPAP) [13], система единиц, в которой ft = с = 1. Фазы волновых
функций (если специально не оговорено) выбраны, как в [14]. Коэф-
фициенты Клебша—Гордона обозначены </, Мх Ι2 Μ2 \Ι^Μ3) . Теорема
Вигнера— Эккарта взята в виде, данном в [14]. При преобразованиях
квантовая теория углового момента изложена в соответствии с [14].
Матричный элемент записываем в виде (Φ? ^(λ)^,-), где Ψ7-, Фу —
волновые функции начального и конечного состояний, 5R (λ) — опе-
ратор мультипольности λ. В тех случаях, где может возникнуть неяс-
ность, над оператором ставится символ л , например N.
Четно-четные ядра — ядра с четным числом нейтронов и протонов;
нечетные ядра — ядра или с нечетным числом нейтронов, или с нечет-
ным числом протонов; нечетно-нечетные ядра — ядра с нечетным чис-
лом нейтронов и протонов. Термин сложные ядра (включает средние
и тяжелые ядра) употребляется для ядер с А > 40, легкие ядра — для
ядер с А < 40.
Совокупность квантовых чисел, характеризующих одночастичные
состояния, обозначена /. Если выделено число о = ± 1, связывающее
сопряженные относительно операции отражения времени состояния,
то использованы обозначения qo, so и го, причем q характеризует со-
стояния нейтронной и протонной систем, s — только нейтронной, г —
только протонной системы в деформированных ядрах. В сферических
ядрах одночастичные состояния обозначены nljm, где полный момент/
и его проекция т, орбитальный момент / и число η обозначают, что
данное значение // появляется в последовательности и-й раз; часто
употребляется сокращенное обозначение jm. Используются обозначе-
ния/,, тп для нейтронных и/р Wp для протонных систем.
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А
+ +
qO'"jm' aqo' "jm
— массовое число
— операторы поглощения и рождения
нуклона
6

UK
"nli
A(q\Q7\ μσ),Λ</,/2; V).
А*(Я1°г; μο),Α*{1\Η\ λμ)
Β(Ελ), Β(Μλ)
B(E\)s.p.w 5<MX>s.p.u
Β№\ μ°)· Β <*'''· №
С
Ср.Сп
с) (V)
Ё
Ελ
E(q), E(j)
h.
pair
— коэффициенты разложения одночастич-
ной волновой функции по сферичес-
кому базису
— операторы двухквазичастичных состоя-
ний
— приведенные вероятности Е~К- иЛ/Х-пе-
реходов
— приведенные вероятности в одночас-
тичных единицах
— операторы, содержащие а*а
— функция спаривания
— протонная и нейтронная функции спа-
ривания
— силовая функция, описывающая фраг-
ментацию подоболочки nlJ
— спектроскопические факторы в сфери-
ческих ядрах
— коэффициенты преобразования из од-
ной вращающейся системы в другую
— операторы рождения и поглощения
квадрупольных бозонов, μ =-2,..., +2
— центроид энергии
— электрический переход мультипольнос-
ти λ
— энергия одночастичных уровней сред-
него поля
— энергия основного состояния четно-
четного ядра
— эффективный заряд
\
— матричные элементы от мультиполь-
ных сип
— матричные элементы от спин-мульти-
польных сил
— константа спаривания
— протонная и нейтронная константы
спаривания
— эффективные и свободные гидромаг-
нитные отношения для спина и орби-
тального момента
— гамильтониан системы
— гамильтониан одночастичного движения
— гамильтониан взаимодействия, приво-
дящего к спариванию
— гамильтонианы мультипольного взаи-
модействия в канале частица-дырка
— гамильтонианы спин-мультипольного
взаимодействия в канале частица-дыр-
ка
7

< «g.
Η
QP
н.
vq
J
К
Mk
Μ
т
Hd
"s
N
ΝηΖΛ
"У
"β
Ρ
0λμ;σ· ^Xjui' ^λμΙσ· @λμ1
Λ, Λ(0,</>)
c*°«>
Г
Ufg, Vfg. UQ. vq, Uj, Vj
unlj fr>
V{r), Vh(n, Vc(r)
VN,Z
W
8
гамильтонианы тензорного взаимодей-
ствия в канале частица—дырка
гамильтониан в квазичастично-фонон-
ной модели ядра
гамильтониан взаимодействия квази-
частиц с фононами
полный угловой момент (/.j. =lx ±ily)
номер корня секулярного уравнения
в ПХФ
угловой момент внутреннего движения
проекция I на ось симметрии ядра
магнитный переход мультипольности λ
матричный эпмент
масса нуклона
число «/-бозонов
число s-бозонов
число нейтронов, главное осшшлятор-
ное число, полное число бозонов
асимптотические квантовые числа
число γ-бозонов
число /3-бозонов
импульс частицы
операторы поглощения и рождения фо-
нонов
радиус ядра
радиальная функция остаточных сепа-
рабельных взаимодействий
радиус-вектор частицы
силовые функции, описывающие фраг-
ментацию подоболочки я//, которая
входит в одноквазичастичное состоя-
ние <?о
спектроскопические силовые функции
(dp)- и (dt)-реакций
операторы поглощения и рождения бо-
зонов с / = О
изоспин ядра
изоспин ядра в основном состоянии
коэффициенты преобразования Бого-
любова и>~\ = unv ,±и ,v- v(i =
qq 4 q q 4 qq
=VV «Υ
радиальная часть одночастичной волно-
вой функции сферического ядра
центральная, спин-орбитальная и куло-
новская части потенциала Саксона-
Вудса
глубина потенциальной ямы
вероятности переходов

z
aqC ajnvaqa· ajm
Π
1
Δ
Vе/
θ
„(λμ) κ(λ) (λμ) (λ)
κο ■ κο 'Ι ' 1
κ0<λ/'*>, κ0<λ/), к<^*\ κ<^>
Λ
λ
V \
μ
μ/. μ„
ρσ./)
P\Li (r>
Σ
о
τ
φ
%(<?)
— пространственные координаты
— сферические функции
— число протонов
— константа диффузности (размытия)
— операторы поглощения и рождения
квазичастицы
— параметры квадрупольной и гексаде-
капольной деформации
— ширина уровня, обусловленная связью
со сложными конфигурациями
— параметр деформации
— интервал усреднения
— квазичастичная энергия (е , = е„ +
+ е ,) 1" Q
— аксиальный угол
— изоскалярная и изовекторная констан-
ты мультипольных взаимодействий
— изоскалярная и изовекторная констан-
ты спин-мультипольных взаимодейст-
вий
— изовекторная константа тензорных
взаи мо действий
— проекция 1 на ось симметрии, асимпто-
тическое квантовое число
— мультипольность, химический потен-
циал
— протонный и нейтронный химические
потенциалы
— проекция мультипольности λ
— магнитный момент и ядерный магнетон
— магнитные моменты протона и нейтро-
на
— четность
— функция плотности
— диагональная функция плотности для
квазичастичного вакуума
— зарядовая переходная плотность
— токовая конвекционная и магнитная
переходные плотности
— проекция а на ось симметрии
— матрица спина, о = ± 1
— матрица изоспина
— азимутальный угол
— одночастичная волновая функция де-
формированного ядра
— одночастичная сферически-симметрич-
ная волновая функция

Ло
Λ", ψ*;, A/, A
от //' от //
ω„
ωλ/
Δω(//λ/), AcJ(qg)
AcofciiT2), Δω(λ,Ι,, λ2/2)
Ωλμ«σ· Ωλμ/> Ωλμ/σ· ^juf
волновая функция четно-четного де-
формированного ядра
частичный вакуум
квазичастичный вакуум
фононный вакуум
волновые функции в квазичастично-
фононной модели ядра
прямая и обратная амплитуды опера-
тора фонона
энергии однофононных состояний
сдвиги полюсов квазичастица ® фо-
нон
сдвиги двухфононных полюсов
операторы поглощения и рождения
нейтрон-протонных фононов

ВВЕДЕНИЕ
При описании структуры атомных ядер приближение, согласно кото-
рому ядро с массовым числом А рассматривается состоящим из N ней-
тронов и Ζ протонов при Л =Ν+Ζ, считается хорошим. При нереляти-
вистских энергиях и небольших переданных импульсах ненуклонные
степени свободы явно проявляются слабо. Фундаментальные свойства
ядерного вещества, такие, как его плотность и энергия связи, обуслов-
лены закономерностями квантовой хромо динамики. Ненуклонные
степени свободы должны быть определяющими в процессах с больши-
ми переданными импульсами, особенно в кинематически запрещенных
для нуклонов областях. При очень высоких энергиях возбуждения боль-
шую роль должны играть многокварковые конфигурации [15, 16].
Изучение влияния ненуклонных степеней свободы на структуру яд-
ра находится в начальной стадии. Это длительный и трудоемкий про-
цесс. Для его успеха необходимо иметь достаточно последовательную
теорию ядра на нуклонном уровне. Именно в тех случаях, в которых
нуклонная трактовка встречает непреодолимые трудности, следует
ожидать явного проявления ненуклонных степеней свободы. Взаимо-
действие ядер с ядрами можно условно разделить на три энергетичес-
ких уровня. Первый — взаимодействия голых ядер с очень малыми
энергиями, когда ядра можно трактовать как элементарные фермио-
ньг или бозоны, независимо от их внутренней структуры. Второй уро-
вень — взаимодействия ядер с энергиями от нескольких мегаэлект-
рон-вольт до нескольких гигаэлектрон-вольт с небольшими переданны-
ми импульсами. Он соответствует нейтрон-протонной трактовке с уче-
том принципа Паули для нуклонов. На этом уровне развита теория
ядерной структуры. Наконец, третий, кварк-глюонный, уровень — взаи-
модействия ядер с большими переданными импульсами, приводящие
к большим энергиям возбуждения и большим локальным плотнос-
тям ядерного вещества. Наше рассмотрение ограничено нуклонным
уровнем, на котором для описания структуры ядра используются опе-
раторы квазичастиц и фононов.
Первым шагом в решении ядерной задачи многих тел является на-
хождение эффективных взаимодействий в ядрах. При этом исходят из
взаимодействия свободных нуклонов, привлекают кварк-глюонную
трактовку и обмен разными мезонами. Широко используются фено-
менологические нуклон-нуклонные потенциалы. По существу же имен-
11

но в процессе решения ядерной задачи многих тел формируется вид
эффективных взаимодействий и выделяются такие свойства ядер, как
среднее поле, вращение и другие, которые можно трактовать феномено-
логически. Цель теории ядра состоит не столько в наиболее строгом
решении задачи многих тел в общем виде, сколько в наиболее точном
описании тех характеристик ядер, которые уже измерены эксперимен-
тально или будут измерены в ближайшие годы. Необходимо найти та-
кое приближенное решение задачи, которое позволило бы наиболее
точно микроскопически описать большую совокупность измеряемых
экспериментальных ядерных характеристик и сделать предсказания.
Отражением фундаментальных свойств атомных ядер является выде-
ление среднего поля ядра. Возможность выделения среднего поля об-
условлена, во-первых, принципом Паули и, во-вторых, отношением
импульса Ферми к импульсу отталкивательной сердцевины нуклон-
нуклонного потенциала. Именно среднее поле ядра ответственно за раз-
нообразие свойств атомных ядер. Поэтому в теории ядра нужно найти
такое приближенное решение задачи А = Ν + Ζ нуклонов, которое пра-
вильно описывает различие свойств изобар, а также ядер с А ± 1,
А ± 2 и т.п. числом нуклонов .
На развитие микроскопической теории ядра большое влияние ока-
зали математические методы теории сверхтекучести [17], сверхпро-
водимости [18] и ферми-жидкости [19]. В свою очередь, математиче-
ские методы микроскопической теории атомного ядра могут найти при-
менение в других разделах теоретической физики.
Развито много модификаций микроскопического описания сложных
ядер. Так, коллективные состояния описываются на основе бозонного
представления фермионных операторов. Решения в общем виде удоб-
но находить методом функций Грина и самосогласованного поля. Ши-
рокое развитие получили алгебраические методы в теории ядра. Микро-
скопическая теория коллективных возбуждений атомных ядер тракту-
ется в рамках метода обобщенных гиперсферических функций [20].
Основное место в книге отведено описанию свойств ядерных со-
стояний в терминах операторов квазичастиц и фононов. Волновые
функции возбужденных состояний представляются в виде разложе-
ния по числу квазичастиц и фононов. Использование волновых функ-
ций позволяет описать различные процессы, в которых возбуждает-
ся данное состояние. С учетом взаимодействия квазичастиц и фононов
описываются малоквазичастичные компоненты волновых функций при
низких, промежуточных и высоких энергиях возбуждения.
Существенно, что в основном вычисляются относительные, а не аб-
солютные значения: разности энергий основных и возбужденных со-
стояний; матричные элементы, отражающие изменения волновых
функций конечных состояний по сравнению с начальными, и др. Вы-
числение относительных значений позволяет избежать трудностей фун-
даментального характера и увеличить точность вычислений.
12

Глава 1
ЯДЕРНАЯ ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
1.1. Метод Хартри—Фока—Боголюбова
1. Метод Хартри—Фока—Боголюбова (ХФБ) — один из основных и
наиболее часто используемых методов решения задачи многих тел.
Н.Н. Боголюбов [21] предложил обобщение метода Хартри-Фока,
согласно которому минимум энергии системы ищется на более широ-
ком классе функций по сравнению с методом Хартри—Фока. Кроме
волновых функций отдельных частиц учитываются волновые функции
пар с угловым моментом, равным нулю. Метод ХФБ нашел широкое
применение при изучении свойств атомных ядер. Сформулируем этот
метод.
Гамильтониан системы запишем в общей форме
Н= Σ Τ·(/,Οα}α,- — Σ G(f,,/a; /2, /i) *
//' ' 4 /1/2/2/1
Здесь / — совокупность квантовых чисел, характеризующих состоя-
ние нуклона; at, at — операторы поглощения и рождения нуклона,
удовлетворяющие перестановочным соотношениям:
af а , + a ,af= δ ,; Я/Я,-+ a ,aj= 0; (1.2)
T'(f,f')=T(f,f')-X8ff„ (1.3)
где λ — химический потенциал, который вводится для выполнения
условия сохранения в среднем числе частиц.
Функции Τ{f, /') и G(fi, /2, /2', /1') удовлетворяют следующим
соотношениям:
T(f,f')=T*(f',f);
G(fl,f2: /a, //) = -С(Г,,/а; /Λ/2) =G*{f[,fi; /2,/,). )
(1.4)
Из набора квантовых чисел / выделим число а = ± 1, так что состоя-
ния / = qo, различающиеся знаком с, будут сопряжены относительно
операции отражения времени. Например, σ может быть знаком проек-
ции момента на ось симметрии ядра. При операции отражения времени
13

оператора^а преобразуется:
где t — оператор отражения времени; уа — коэффициенты, удовлет-
воряющие соотношениям
(в частном случае можно взять уа = о). Из инвариантности гамильто-
ниана (1.1) относительно операции отражения времени следует:
T{qo, q'o) =Τσ7σ' T*{q - a, q - a);
GfeiOi, q2o2; qio2,qla\) = γσ Τσ,Τ- Τ .
1 A (/2 ОI
x G(<7, -σ,, q2 -ог; q2 ~o2,q\ ~c\).
(1-6)
В дальнейшем для простоты будем считать функции Τ и G действи-
тельными.
Введем функции
Φσ1./2) = <Ιβ/,β/2Ι>; *·(Λ.Λ) =<!«;,«;,!> α·?)
и функцию плотности
p(Ti./2) = <ie;1e/li>, (is)
причем
*(Ti, /а) =-Ф(Га, /.); Р*</2> /,) = Р CTi./a)-
Здесь среднее взято по произвольному состоянию |>.
Рассмотрим амплитуды af в представлении Гейзенберга. где e<-(f)
явно зависят от времени, т.е. Of(t) = exp(i#r)*z/exp(-i№). Введем за-
висящие от времени функции pf (fi, /г), Ф, (Л ,/г) - Уравнения движе-
ния принимают вид
i ~Pt <fi ./2) = <l [β?, (')«/■- (0,Я]|>; (1.9)
i—ФгОГ1,/2)=<1[й/1(г)й/2(г),Я]|>. (1.10)
Перепишем их в развернутой форме для случая, когда гамильтониан Η
имеет вид (1.1):
i|-p, </.,/*) = Σ ir(f2,f)Pt(fi,f) ~ T'(f,fDpt(f,f2) i +
bt f
14

+ i- Σ iG{fl,fi;f,fl){\a+,a*,afaf\)-
- G(T2,/; /a, /i'XI^ β/β^ «,;!> : O·9')
iJ-φ ,</,,/,) = 1{'Г'(Г1,ЛФг(Г./2) +
Эг /
+ Ф.0ьЯ7"(Га,Я} + - Σ G(f„/2; Λ,/',) *
2 /',/2
x φ,</;./;)- - ς (ест,,/;л,/;) ж
2 я2/',
х <ieie, е..е., i> + c(r,/a;/3,/;хк;β, е., *,, i>}. α.ко
' '2 /2 '1 У ' '2 'l
Далее следует написать уравнения для
{\a*f at α. α„, |> и < \at af a , а , |>.
Первое из них имеет вид
*-|Γ<|β;1β;»β/,β/4|>=<|^Ιβ/Α.β/4·*1'> =
= T{-T'(f,f1)<\a}af2af3au\)-T'(f,f2)(\a+fia+faf3afJ> +
+ г'(/з.я<1а;1а;2а/я/41> + 7"(/4,я<к;1а;2й/з«/|>} -
2 ff'f' I f J\ f2 J3 J4
2
-G(f,f';f2,f2)(\a+fa+fla+fiaflaf3afii\> +
+ G(f3,f; /2',/') (\a*n a}2 a+a^ a , afl\) ~
-G(fAJ; /2',/')< let a+afafa, af, |>} +
/1 /2 J J 3 /2 jj
+ G(r3t/4; /',/)<Ιβ^β^ β β/|>} . (1.Ц)
Сходную структуру имеет уравнение для {\а\ д, a ,a ,|>. В резуль-
тате эти две функции распределения оказались связанными с функци-
15

ями распределения более высокого порядка. Последние выражаются
через функции распределения еще более высокого порядка и т.д. В тео-
рии ядра такая цепочка уравнений конечна, так как конечно число
нуклонов в ядрах. Но конечность цепочки уравнений не облегчает ре-
шения ядерной задачи многих тел.
Один из путей приближенного решения ядерной задачи многих тел
состоит в представлении функций распределения более высокого поряд-
ка через функции распределения низшего порядка. В методе ХФБ по-
стулировано следующее приближение:
{\а} а* а .а. |> = ρ (Г,. Л') ρ (Г2 ./i) -
- p(fi,/'2)p(f2,A') +φ*</2,/1)φ</2,/Ι);
< \a*fi af2 af, afl |> = p(f,./a^(fi./"i) -
- ρ(Τ,,/2)Φ(Τ2./Ι) +р(Г|./1)Ф(Г2./а)·
(1.12)
В результате получаем замкнутую систему уравнений, которую за-
пишем в виде [21,22]:
ot
Введем функцию
C/i/? = -- Σ G(f, ,/2; A ,/', ) Φ (fiM)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
и выражения для 31 (fi,f2) и S3(/i,/2) запишем следующим об-
разом [22]:
*(fi,/2)= 2{$(Г,,ЛФ(Г,/2) + Ф(Г1.Л«(Г2.Л} -
/
- ZlCf fp(f.ft) + Cff4p(f.fi)} +C/l/a;
/
S3 (/,,/2)= Σ {%(f2.f)p(fl*f) -i(f,fl)p(f.f2)} +
+ ς (с^ф'^.Л-с/^ф^.Л! ♦
где
i(f.f')=T'(f,n- Σ G(f,fi; f2J')p(fi,f2).
/',/2
(1.16)
(1.17)
(1.18)
16

В результате получены зависящие от времени уравнения метода ХФБ.
В стационарном случае уравнения (1.13) и (1.14) принимают вид
»^1,Л) = 0; »(fi,/,)=0. (1.19)
Следует отметить, что в приближении ХФБ фактически отброшено
большое число уравнений. Строго не установлено, насколько велико
влияние отброшенных уравнений на результаты расчетов. Хорошее
описание ряда свойств сложных ядер в рамках метода ХФБ указыва-
ет на то, что роль отброшенных уравнений во многих случаях невели-
ка. Возможно, что при использовании этого метода влияние отброшен-
ных уравнений удается частично компенсировать выбором вида остаточ-
ных взаимодействий и определением констант на основе эксперимен-
тальных данных. Во всяком случае успехи применения методов ХФБ
в ядерной задаче многих тел не должны привести к забвению отбро-
шенных уравнений.
В некоторых работах (например, в [23]) более точно по сравне-
нию с приближением ХФБ выражены функции распределения через
функции распределения более низкого порядка путем включения в
качестве промежуточных состояний кроме основного еще ряда воз-
бужденных состояний. Они основаны на точном соотношении типа
<\a*f а+а.а, |>= Σ { (\a*f a. \n)(n\a*f a. |> -
- i\a*f а, \п){п\а* а. |> + <\at at \rt(n\a,, а . |>}, - (1.20)
1\ /2 12 /j /1 /2 fi fi
где |и> — полная система состояний, причем |и> не должны быть соб-
ственными волновыми функциями оператора числа частиц, чтобы не
обратить в нуль последние члены. Вместо полной системы состояний
\п) выбирают такие возбужденные состояния ядра, у которых соот-
ветствующие недиагональные матричные элементы имеют тот же по-
рядок, что и диагональные матричные элементы. Среди промежуточ-
ных состояний берутся, например, коллективные вибрационные состо-
яния или состояния одной ротационной полосы [24, 25]. Выбор
промежуточных состояний определяется видом взаимодействия
G(fi,fo', /г./i) и связью его с определенными одночастичными опе-
раторами. На этом пути получено описание низколежащих вибрацион-
ных и ротационных состояний сложных ядер.
2. Для выражения функции распределения через функции распре-
деления низшего порядка, например через функции ρ и Ф, использу-
ется каноническое преобразование Боголюбова
af=l (ufgag + vfga;). (1.21)
g
Для того чтобы операторы квазичастиц ag и <tg удовлетворяли фер-
2-6636
17

"/* ν τ "л ?,
gg
X(vfeu* , + ν ,«<·_) =0.
/
fg fg
fg-
(1.22)
мионным коммутационным соотношениям, функции «/■_ и ν * долж-
ны подчиняться условиям:
ii(f,f) = Z<Ufgvf-g+u'f-gVfg)=0;
а (/.л= о,
причем ξ0 </,/') = ξ*0(/',Γ), f, (Г,/') =Г, (ЛЯ-
Пользуясь соотношениями (1.22), нетрудно найти
as = yuf*gaf + vfgaf~>-
Функции Us HVi. удовлетворяют также соотношениям:
(1.21')
(1.22')
Если из набора квантовых чисел выделить σ =±1, т.е. f - qa,g =
= ρσ, то каноническое преобразование, описываемое формулами (1.21),
(1.21'), примет вид
aqo = V(uqpapa+avqpa*p_0);
аРс ~ Σ (uqpaQO - ovqpa*q_c).
Q
(1.21")
Функции и ν оказываются действительными, а соотношения (1.22)
записываются следующим образом:
К о (Я, q') = Σ (и и , + ν ν , ) - δ ,
'ЧР-q'p IP qp' qq
0;
ρ
'QP'q'p IP qp
В случае канонического преобразования (1.21) функции (1.7) и
(1.8) принимают вид
P<f*>M=*Vf\gVf2g+ Σ ЧгчЧг*^^ -
g g\gi
18

♦ "/.„'W10*.'^'»; (L23>
Ф(Г„/2)= *uflgvf2g + Σ ivflgluf2g2Ua; ag2\> -
g SlS2
- »f1g1vf2g2<\a+g2agii> + UfiSiufig^ag1ag2\> +
Основное состояние системы, состоящей из четного числа частиц,
определим как вакуум относительно операторов α , т.е.
ag\)0 = 0. (1-24)
Как показано в [6], волновая функция |>0 имеет форму
|>0= 31ехр- -- Σ (Ι^Γ1*, «;«♦,( *00, (1.24')
С 2 ff'g IS I )
где 91 — нормировочный множитель; Ψ00 — вакуум для частиц, т.е.
β/Φοο=0. (1.25)
Если усреднение произведено по квазичастичному вакууму, то функции
(1.7) и (1.8) имеют вид
Фо(Л,/2) = Σ ufigvf2g; Ф0*(/и /а) = Xu?igvf ; }
g g . (1.26)
Ρ.(Τ|./,)=Σν; „,„. )
Следуя [26], найдем связь между функциями Ф0(^1, /г) и
РоСЛ./г)· Введем комбинированные индексы ξ = i(/, ■&), η = (?,#),
# = 0 и 1, положим
**о^°) = vfg; **„</. О = «/*; vgi(f,o) = u*giVgl(f,i)=,Л.
В этих обозначениях соотношения (1.22) записываются следующим
образом:
Σ<»)ν4β:')=δ ,; (1.22")
Введем матрицу
F«. η = Σ^α)^(η«7?,
19

в которой ng> 0 = 1, ng< j =0. Использовав (1.22"), получим
Ро(/'-Л -ф0СЛЛ
^С.О
Ф0*</>Л δ//(-ρ0 (/,/')
Из определения оператора F видно, что <л (f) являются собственны-
ми векторами, а й — собственными значениями этого оператора. Так
как эти собственные значения равны нулю или единице, отсюда следует,
что F2 = F. Раскрыв это соотношение, найдем следующие условия,
связывающие функции р0 (f, /) и Ф0 (/, /):
Ρο</,/')=Σ [Ρο(Λ/2)Ροto,/')+ф0*(Г2,ЯФо(Г2,/')]; )
/2 [ (1.27)
Σ [р0(Г,/2)Ф0(Г2,Л + Ро(Г',/2)Фо(Г2,Л]=0. >
/2
При использовании канонического преобразования (121) и квази-
частичного вакуума (1.24) приходим к уравнениям (1.13), (114),
в которых Φ (/, /), ρ {f, f) заменены функциями Ф0 (f, /'), р0 (f, f).
Эти уравнения могут служить для нахождения функций u^g и v^g. Как
показано в [26], функции Si 0 (f, f) и SB0 (f, f) не являются незави-
симыми, они связаны между собой следующим соотношением:
Σ [ufgVflg, V*(f,f) + u*flg v*g, *0 (f,f) +
+ Qif u'; , - ν * ν ,) S&0 {f, /')] =0. (1.28)
JS fg f g fg
Поэтому если Si 0 (f, f) = 0, то 35 0 (f, f) = 0 и можно рассматривать
только одно из уравнений (1.19).
Уравнения (1.19) можно получить из вариационного принципа ХФБ.
Для этого нужно найти среднее значение гамильтониана Η (1-1) по
состоянию (1.24), определить и* и Vfg из условия минимума <|//|>0,
которое запишем так:
δ{<|#|>0+ Σ [Х0(/',ЯГо</,Л +
Я'
+ хг(г,т,а,/') + х,(ЛягГ(ллп=о, о .29)
где λ(/\ /) — множители Лагранжа, и вариации bujg, 8uf , 8v^g и
δν? рассматривать как независимые. Химический потенциал λ, так-
же играющий роль множителя Лагранжа, определяется из условия со-
хранения в среднем числа частиц7V, т.е.
Ν = Σ< \а*af I>0 = Σ v*g vfg. (1 -30)
20

В результате преобразований получим уравнения (1.19), в которых
Фо (f. f) и Ρ о (f> f) записаны в виде (1.26).
Для получения минимума энергии системы взаимодействующих
нуклонов при решении уравнений стационарности из вариационного
принципа необходимо, чтобы вторая вариация была положительна для
решений (1.19). Это условие удается записать в виде
Σ (<Ei6v^ev/g+ &28ufgf>ufg)> 0. (1.31)
fg
Оно выполняется в случае положительных собственных значений 6 i
и Ε 2, причем (£i, (£2, Ъи* , δ ν* определяются из уравнений на
собственные значения.
Вариационный принцип ХФБ является обобщением известного мето-
да Хартри—Фока. Среди решений метода ХФБ всегда содержатся реше-
ния метода Хартри—Фока. Поэтому представляет интерес сформули-
ровать условие, при котором метод Хартри—Фока не дает минимума
энергии системы взаимодействующих частиц. Это условие можно за-
писать так:
Σ (<Μν^δνΛ+ b28ufgSufg)<0,
fg
где Si, {$.2,dUfg,8Vf определяются из решений метода Хартри—Фо-
ка. В этом случае минимум энергии следует искать на более широ-
ком классе решений, учитывающих также парные корреляции частиц.
Таким образом, отсутствие минимума энергии системы на классе функ-
ций метода Хартри—Фока можно рассматривать как условие появления
парных корреляций (см. [27]).
3. Выделим среднее поле ядра и взаимодействия, приводящие к
парным корреляциям сверхпроводящего типа. В [28] показано, что
практически для любого вида взаимодействия между нуклонами мож-
но выбрать функцию р0 (/, /) диагональной, а функцию Ф0 (f, /') при-
вести к каноническому виду, т.е.
Р0 (/"./') = Ρο(Οδ,.,=Ρο(<7)δ ,δ ,; }
ff qq °° (1.32)
Φ0(Λ/')=Φο(Οδ. /=Φ0(σ9)δ ,δ ,. )
/.-/ qq О,-О
В этом случае условие (1-27) принимает вид
р0 to) = Ро to) + ф0* to) фо to), (1 зз)
причем из Po(f2,fi) = Pifi,fi) следует, что p0(q) = Ро(<7).Если
Фо to) = фо to) = 0, то р0 (q) = pi (q) и отсюда следует, что р0 = 1 или
Ро=0.
21

Получим выражение для энергии и явный вид одного из уравнений
(1.19) в случае, когда функции Ф0 и р0 приведены к виду (1.32).
Среднее значение оператора энергии по состоянию (1.24) имеет форму
<|#|>о = Σ {Г(О- - Σ G(f,f';f,f)p0(f')}Po(f)-
f 2 /'
- V^to+.q-, q'-,q'+№(fi)<b0tf). (1.34)
qq'
Основные уравнения записываются так:
2ШФо0?) " П-2р0(<7)] Σ G(q*,q-; q-,q+)b0{q) =0; (1.35)
Ν=2Σρ0&), (1.36)
ч
где
ξ (9) = T'(q) - Σ G(q+,q'a·; q'o ,q+)p0(q') ^E(q)-\. (1.18)
q'o'
Здесь E(q) — одночастичные энергии среднего поля.
Таким образом, из самого общего вида двухчастичного взаимодей-
ствия между нуклонами выделены среднее поле ядра и взаимодейст-
вия пар нуклонов в сопряженных относительно операции отражения
времени состояниях. Приведенную процедуру выделения среднего
поля ядра можно рассматривать как одну из ступеней обоснования мо-
дели независимых частиц. Выделение среднего поля не связано ни со
значением, ни с видом потенциала, описывающего взаимодействия
между нуклонами.
Следует отметить, что описанный выше метод получения основных
уравнений (1.19) является приближенным, поскольку с помощью
канонического преобразования корреляционные функции типа
< \(£ at а ,а ,\) приближенно выражаются через функции ρ и Ф.
/1 /2 /2 /i
Поэтому полученные результаты следует рассматривать как первое
приближение. Сходимость данного метода, зависящая от вида взаимо-
действия, не исследована. Исключение составляет частный случай мо-
дельного гамильтониана в теории сверхпроводимости, для которого
Н.Н. Боголюбов [29] получил асимптотические оценки.
В теории ядра используется постулат: среднее поле ядра соответ-
ствует такому представлению, когда матрица плотности р0 if, /') яв-
ляется диагональной для основных состояшш некоторых четно-четных
ядер [28]. В этом представлении остаточные взаимодействия сводят-
ся целиком к взаимодействиям, приводящим к парным корреляциям
сверхпроводящего типа. Поэтому не нужно учитывать никаких других
остаточных взаимодействий.
22

4. Гамильтониан системы, в которой учтены парные корреляции
сверхпроводящего типа, запишем в виде
Н= Σ ф0{я)-\]а* aqa- VG(q+,q-· q'-,q'+)aq+aq^a ,_a , .
qa qq Q q +
Введем новые обозначения:
Ф0 (Я) = ич*я = Φ·(<7); Ро fo) = ν* , (1.37)
где uq HVq — действительные функции. Условие (1.33) примет вид
«2+v2 = 1. (1.38)
Уравнение (1.35) перепишем следующим образом:
2? (q)uq vq - (u2q - ν2 ) ΣΟ(ς*. q-; q'-, q'+) и ,v , = О,
q
где ξ (?) = E{q) - λ.
Функцию Cf _f обозначим Cq и запишем так:
CQ = XG(fl+.q-,q'-.q+)u.v>. (1.39)
^ t q Q
q
Представим и и ν q в виде
ы2 = (1/2) [1 + | й)/е, J; ν2 = (1/2) [1 - ξ (9)/е^] (1.40)
и получим
uqvq = (l/2)Cq/eq. (1.40')
Приравняв u„v„ из (1.40) квадрату выражения (1.40'), найдем
eq=Jc% + t2(q)'. (1.41)
В результате получим следующую систему основных уравнений:
1 С '
Cq = - Σ G(q+, q- ; flf'-, <?'+) * - , (1.42)
" ч' Vc2, + ξ2«?')'
^ 9
7V= Σ
q
' i_ 1»λ
e<?
(1.43)
(эти уравнения выведены в [30, 31]).
Уравнение (1.42) имеет два решения: С Φ 0, соответствующее
сверхтекучему состоянию, и Cq =0, соответствующее нормальному со-
стоянию системы
«,= 1-М<7); v<? = М?)-
23

Здесь функции θρ (q) =1, если энергия E(q) состояния q меньше энер-
гии Ферми EF, θF {q) = О, если энергия E(q) > Ер. Иэ этих двух реше-
ний Cq Φ О и Cq = О реальную систему описывает то, для которого энер-
гия системы минимальна.
5. Дадим формулы теории парных корреляций сверхпроводящего
типа в атомных ядрах. Поскольку силы, приводящие к парным кор-
реляциям, являются короткодействующими, в [32] сделано предпо-
ложение, что G (<7+. q-; q-, q'+) не зависит от q и q , т.е.
G(q+,q-, q'-,q'+)= GN z =gNiZ/A.
(1.44)
Аргументы в пользу этого приближения имеются в [6, 7, 12, 28, 33].
Это приближение оказалось удивительно хорошим. Поскольку в слож-
ных ядрах нет нейтрон-протонного спаривания, нейтронная и протон-
ная системы описываются независимо друг от друга, со своими кон-
стантами G/γ и Gz ■ В этом случае гамильтониан системы имеет вид
H0=H0(K)+H0(Z),
где Н0 (ЛО = Σ [£-0 (?) - *Ka<V " G
(1.45)
QO
fj Σ a* a* a , a < ,
qq 1+ Я' Ч- 1 +
Здесь суммирование во второй сумме проводится по одночастичным
уровням нейтронной (протонной) системы. В приближении (1.44)
функция Cq (1.39) не зависит от q и обозначается С. В этом прибли-
жении уравнения (1.42), (1.43) для определения С и химического
потенциала λ для случая дважды вырожденных одночастичных уров-
ней принимают вид
1 =
1
Ν--
Σ.
Q
О \/c?+[E(q)-\]2'
E(q) - λ
1 -
yJc2+[E(q)-X]2
(1.46)
Обычно для описания спаривания используют каноническое пре-
образование Боголюбова
aqa=uQaqa+ovqa* o.
(1.47)
Основное состояние является квазичастичным вакуумом и описыва-
ется волновой функцией
*° =n(uq + vqaqy _)Ф00, (1.48)
Q
гДе flflo^oo = 0.
24

Его энергия
δ0 =2Σ£4<?)ν*
G
(1.49)
Уточним основные уравнения (1.46) для квазичастичных возбуж-
денных состояний путем строгого учета принципа Паули и требования
сохранения числа частиц в среднем. При этом необходимо для каждо-
го квазичастичного состояния найти среднее значение от Н0 (Л7) или
#0 (Z) и, пользуясь вариационным принципом, получить основные
уравнения, т.е. решить вариационную задачу для каждого возбужден-
ного состояния системы.
Влияние неепаренных частиц на сверхтекучие свойства системы в каж-
дом состоянии получило название эффекта блокировки. К сверхтеку-
чему состоянию атомного ядра приводят взаимодействия нуклонов,
описываемые гамильтонианом (1.45). Специфика этого гамильтониа-
на состоит в том, что нуклоны с одного уровня на другой переходят
парами. Поэтому если на каком-либо дважды вырожденном уровне
среднего поля находится один нуклон, то этот уровень согласно прин-
ципу Паули не может быть занят парой. Эффект блокировки сводит-
ся к тому, что при вычислении сверхтекучих свойств определенных со-
стояний не принимаются во внимание те дважды вырожденные уровни
среднего поля, на которых находятся квазичастицы. Это ведет к изме-
нению значений функций С и химических потенциалов λ по сравнению
с их значениями в состояниях, в которых нет квазичастиц, другое чис-
ло квазичастиц или которые расположены на иных уровнях среднего
поля. Эффект блокировки введен в [32, 34] и подробно изучен в [6,
12,28,35-37].
Наиболее низкими возбужденными состояниями четно-четных ядер
являются состояния с одной разорванной парой, т.е. двухквазичастич-
ные состояния. Волновая функция двухквазичастичного состояния
имеет вид
%\θ\
Введем
С(<7.,
%гОг
Яг) =
GN
•
Σ
(1.50)
«0(<7i<72)v0(<7,<72)
l.<?2
и основные уравнения и энергию запишем следующим образом:
&N 1
l=-f Σ — ,;
2 Ч*й\,Яг у/С2 (ql,qi)+[E(q)-\(q1,qi)]2
Г E(q)-\(qi,q2)
N=2+ Σ , 1- _,
<?^<?1.<72 I S/C2 {qi,q2)+[E(q)-X(qi,q2)]2
> (1.51)
25

&(q1,q2)=E(ql)+E(q2)+ 2 Σ E(q)v2q(qiq2)
- C2(qi,q2)/GN.
(1.52)
Рассмотрим систему, состоящую из нечетного числа нуклонов. Вол-
новая функция, основные уравнения и энергия системы с квазичасти-
цей на одночастичном уровне q2 имеют вид:
(1.50')
α Φυ·
1 =
'Ν
2 ЧфЧ1 \/c2(q2) + [E(q)-X{q2)}2'
E(q)~ X(q2)
N=l+ Σ
q^Q2 I.
$.
y/c2(q2)+ [E(q)-\(q2)]:
С2«Ы
&o(Q2)=E(q2)+ Σ 2E{q)vq{q2)
q^q2
(1.53)
(1.54)
'N
Каждое одноквазичастичное состояние характеризуется величинами
C(q2) и \(q2), энергии возбуждения определяются разностью
£о(<7г) — ^o(9f)' гДе Qf ~ одночастичный уровень Ферми. Оператор
рождения квазичастицы
(1.55)
°qa =UqaqO+ OVQaq-G-
Для состояний q с энергией, значительно превышающей энергию Фер-
ми, оператор квазичастицы совпадает с оператором частицы, для со-
стояний q, находящихся значительно ниже энергии Ферми, он пред-
ставляет собой оператор дырки, а для q вблизи энергии Ферми опера-
тор квазичастицы является суперпозицией операторов частицы и дырки.
В последние годы отмечена важная роль эффекта блокировки при
описании ряда свойств ядер, например при вычислении квазипересече-
ния высокоспиновых полос. Назрела необходимость более точного
расчета эффекта блокировки, что сделано в ряде работ (см., напри-
мер, [38-41]).
Формулы (1.45) — (1.55) описывают парные корреляции сверхпро-
водящего типа в деформированных ядрах. В дальнейшем понадобят-
ся соответствующие формулы для сферических ядер. Приведем их
здесь (см. [12]):
Н0= Σ [E0(j)-X]a*maim - - Σ( f (-)>'"
(-)
jm
1 -m
jmj m
aimai-ma-· ,a-' '
(1-56)
26

β/m = «/«уm + (~)7 W vj «/_ m ; (1.57)
*°0 = Π [«/ + (-)/-mv/fl^m]^00. (1.58)
j,m>0
Величины Uj, Vj, ej и С = G~L(j +—)«v- не зависят от те, основные
уравнения для нахождения С и λ записываются так:
I _ 1. Σ / + 1/2 — ; (1.59)
2 / Vc2+ [£(/)-λ]2'
ΛΓ=Σ|/+ -)Ь--т-ω"λ , К (160)
2/( Vc2+[/<o)-X]2
Сходный вид с формулами (1.50) —(1.54) имеют формулы для дбух
и одноквазичастичных состояний. Они приведены, например, в '[12].
1.2. Метод Хартри—Фока и среднее поле ядра
1. Сушествование среднего поля — это фундаментальное свойство
атомных ядер, обусловливающее разнообразие их характеристик. Сред-
нее поле ядра выделяется в приближении Хартри—Фока при решении
задачи многих тел. Условием успешного применения метода Хартри—
Фока в теории ядра служит требование, чтобы нуклон-нуклонный по-
тенциал был гладким. Как известно [42], этот потенциал на малых
расстояниях является отталкивающим, что затрудняет применение
метода Хартри—Фока. Существенно, что в ядрах действуют эффектив-
ные силы. Отличие эффективного взаимодействия от пустотного обус-
ловлено влиянием других нуклонов в ядрах. Это влияние зависит от
числа нуклонов в области действия ядерных сил, т.е. от плотности ядер-
ного вещества.
Имеется много работ по микроскопическим расчетам основных
характеристик ядер в приближении Бракнера—Хартри—Фока. В них
исходят из реалистических нуклон-нуклонных потенциалов, суммируют
цепочку определенных диаграмм и в результате находят эффектив-
ные взаимодействия. Рассчитанные эффективные взаимодействия ока-
зываются гладкими даже в тех случаях, когда в качестве исходного
берутся потенциалы с твердой сердцевиной. Сглаживание потенциала
эффективного взаимодействия обусловлено тем, что среднее расстоя-
ние между нуклонами в ядрах значительно превышает радиус сердце-
вины. Применимость метода Хартри—фока при описании ядер объяс-
няется гладкостью потенциалов, описывающих взаимодействия меж-
ду нуклонами в ядрах. Отметим, что расчеты в приближении Брак-
27

нера—Хартри—Фока не дают правильного описания одновременно ра-
диусов и энергий связи ядер.
Существенный прогресс в применении метода Хартри—Фока в тео-
рии ядра связан с использованием зависящего от плотности потенциа-
ла Скирма. Взаимодействие в виде δ-функции сильно упрощает расче-
ты. Это связано с тем, что хартри-фоковский одночастичныи потенциал
состоит из двух частей, одна часть определяется прямым членом двух-
частичного потенциала, другая — обменным. Если двухчастичный по-
тенциал является локальным, то прямой член хартри-фоковского по-
тенциала оказывается локальным, а обменный — нелокальным. Обмен-
ный член потенциала в ядрах очень важен, расчеты же с нелокальным
потенциалом трудоемки. При расчетах с потенциалом Скирма из-за
δ-функций хартри-фоковский обменный потенциал также оказывает-
ся локальным. Уравнение Шрединг^ра тогда локально, и в этом слу-
чае имеются эффективные методы его решения.
2. Метод Хартри—Фока позволяет свести задачу многих взаимодей-
ствующих нуклонов к задаче о движении одной частицы во внешнем
поле. Получим уравнения метода Хартри—Фока на основе аппарата вто-
ричного квантования. Их можно также получить как частный случай
уравнений метода ХФБ.
Гамильтониан системы возьмем в виде (1.1). Совокупность кванто-
вых чисел обозначим g и /, причем g — состояния, занятые частицами,
а / — свободные и занятые. Совершим линейное каноническое преоб-
разование -
ag=Xvgfa}. (1.61)
Для того чтобы новые операторы а г, а г удовлетворяли перестановоч-
ным соотношениям (1.2), должны выполняться условия
4fc*'> - рУ \т\Г* Y«\f - V (1·62)
Основное состояние системы, состоящей из четного числа частиц, опре-
делим как вакуум относительно операторов at, т.е.
«/»*= Σ^,<£Ι>*=0. (1.63)
g
Отсюда следует, что
|>£ = Па* ч>оо = Па!+а+ Фоо, 0-64)
g g g
где g = go, a = ± 1, так как все состояния g заняты частицами. Функция
плотности и среднее значение оператора числа частиц по состоянию
(1.64) имеют вид
28

P^g') = g<\^a ,\)g = Xv*fVg,f; .
/ f (1.65)
N=g<\Za+gag\)g= Σν^νεΓ )
g f
Найдем среднее значение гамильтониана системы по состоянию
(1.64):
g<W\)g = Σ , Г fe,*')p <&*')" -- Σ f ,G(^2;g'2! g% *
*\p(gl-gi)P(g2,g'd-p(gl,g2)p(gz,g'iy\- (166)
Это выражение совпадает с формулой для средней энергии, полученной
В.А. Фоком. Определим v„y и v*y из условия минимума (1.66), кото-
рое запишем так:
S{g<\H\)g + Σ#4&.*')λ &.*')} = О, (1.67)
gg'
где X(g, g') — множители Лагранжа, причем вариации &vgf, δν*^ рас-
сматриваются как независимые. В результате получим
Σ { T(g',g) - -- Σ [G(g',g2;g'2,g) -
g L glgl
-G(g',g2;g,g'd]p(g2,g'd+^(g',g)}v*,f = 0 (1.68)
— уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в некотором
поле.
Определим самосогласованный гамильтониан следующим образом:
Hsc = Σ { Tif.f)- — Σ [G(f,g2; g'»f) -
ff 2 g*g\
- G(f,gl; f,g'2)]p(g3,g2)}a}af,. (1.69)
Можно перейти к представлению, где Hs-C диагоналей. В этом представ-
лении новые занятые уровни выразятся в виде линейной комбинации
старых занятых уровней, а новые свободные уровни — в виде линей-
ной комбинации старых свободных уровней. Гамильтониан Hsc постро-
ен так, что он инвариантен по отношению к такому преобразованию,
поскольку сумма в (1-69) по g2 равна следу в подпространстве заня-
тых уровней. В новом представлении
T(f,f')-- Σ [G(f,g; g,f')-G(f,g;f',g')]p(g,g')=E(f)8 ,,
2 gg' ff
(1.70)
29

где E(f) — собственные значения гамильтониана Hsc. В представле-
нии, где Hsx диагоналей, этот оператор рассматривается как гамиль-
тониан среднего поля и обозначается //av- Собственные значения E(f)
можно интерпретировать как приближенные значения энергии части-
цы, находящейся на уровне/.
Запишем уравнение Хартри—Фока в привычном виде. Для этого ис-
пользуем представление, где Hsx диагоналей, введем прямой и обмен-
ный потенциалы:
^С?) = — Σ с(Е'8г; g2,g)p(g2,g2);
i Sigi
Vex(g,g') = Σ G(g,g2; g',g)p(g2,g')
2 g2
и, обозначив λ (g, g) =—E(g), уравнение (1.68) перепишем в виде
[T(g) - Vd(g)} ν* - Σ Vex(g,g')v*=E(g)v*f. (1.71)
g gJ
Решая уравнения (1.71), находят энергии и волновые функции одно-
частичных состояний.
Для эффективного взаимодействия, зависящего от плотности, урав-
нения Хартри—Фока модифицируются. Если G зависит от плотности,
то при варьировании δ ν „у в самосогласованное поле войдут дополни-
тельные члены, пропорциональные SG/δν *. Соответствующие урав-
нения приведены во многих работах, например в [43, 44]. В расчетах
используется эффективная масса нуклона, которая уточняется в про-
цессе самосогласования.
При описании нестационарных процессов, например взаимодействия
ядер с ядрами, используется зависящая от времени теория Хартри—
Фока. Она основана на предположении о существовании в любой мо-
мент времени самосогласованного поля. Зависящее от времени само-
согласованное поле определяется положением всех частиц системы.
Поэтому когерентное движение нескольких нуклонов ведет к соот-
ветствующему изменению среднего поля и тем самым влияет на дви-
жение остальных нуклонов. Если такая связь является сильной, то дан-
ный процесс можно описать введением зависящего от времени сред-
него поля. Соответствующие уравнения даны, например, в [44].
В последние 10—15 лет рассчитаны распределения плотности заряда
и ядерного вещества во многих, особенно в магических, ядрах по ме-
тоду Хартри—Фока с феноменологическим потенциалом Скирма, со-
держащим зависящие от плотности члены. В [43, 44] и других работах
параметры потенциала Скирма выбраны таким образом, чтобы полу-
чить согласующиеся с опытом значения энергии связи и средних квад-
ратических радиусов магических ядер.„В расчетах не удается использо-
30

вать одни и те же параметры потенциала Скирма, и часто в новой рабо-
те вводится новый набор параметров потенциала. Результаты расче-
тов по методу Хартри—Фока хорошо согласуются с эксперименталь-
ными данными по рассеянию быстрых электронов и протонов. Это
означает, что получено правильное распределение плотности заряда и
ядерного вещества в атомных ядрах, особенно в поверхностном слое.
По методу Хартри—Фока вычислено положение одночастичных уров-
ней вблизи энергии Ферми. Приближение энергий рассчитанных уров-
ней к измеренным на опыте энергиям уровней околомагических ядер
потребовало дальнейшего уточнения параметров потенциала Скирма.
Можно утверждать, что микроскопические расчеты по методу Хартри—
Фока дают достаточно хорошее описание плотности одночастичных уров-
ней вблизи энергии Ферми в околомагических ядрах Результаты этих
расчетов можно рассматривать как обоснование одночастичной оболо-
чечной модели ядра.
3. Одночастичные энергии и волновые функции вычисляются по ме-
тоду Хартри—Фока или с помощью решения уравнения Шредингера с
феноменологическим потенциалом среднего поля атомного ядра. Рас-
четы по методу Хартри—Фока представляют собой более раннюю ста-
дию параметризации по сравнению с расчетами с феноменологическими
потенциалами. В методе Хартри Фока используется определенная сво-
бода в выборе параметров эффективного взаимодействия. В то же
время крайне ограничена свобода выбора параметров феноменологи-
ческих потенциалов среднего поля.
Как известно, наилучшим образом среднее поле ядра описывает
конечный потенциал с размытым краем, который воспроизводит за-
висимость плотности ядерного вещества от радиуса. Основные пара-
метры ядерного потенциала определяются из реальной части оптичес-
кого потенциала. Параметры же оптического потенциала определены
из большой совокупности экспериментальных данных по рассеянию
нуклонов на ядрах. Обычно в качестве среднего ядерного потенциа-
ла с размытым краем берется потенциал Саксона—Вудса. Это потен-
циал сферически-симметричной ямы конечной глубины, значение ко-
торого на поверхности г = R0 равно половине его значения в центре
ядра.
Ядерная часть потенциала Саксона—Вудса содержит два члена:
центральный
VN,Z
V(r) =- 1° (! 72)
1 +ехр [а (г- R0)]
и спин-орбитальный
1 dV(r) ., Λ Ο·73)
Vh(r)=-K ~^-(l s),
r dr
31

где V0 , Vq — глубины нейтронной и протонной потенциальных яМ;
а — параметр диффузности; к — константа спин-орбитального взаимо-
действия; R0 =r0All3.
При вычислении уровней протонной системы потенциал среднего
поля, содержащий части (1.72) и (1.73), должен быть дополнен чле-
ном, описывающим кулоновское взаимодействие, который имеет вид
ν 1гЛ - У-1»1 \ (3/2)г/Я0 - (1/2)(//Ло)3, r<R0;
( 1, r>R0. '
Преимущества потенциала Саксона—Вудса состоят также в правиль-
ной асимптотике при г -*■ °° одночастичных волновых функций.
Форма деформированного ядра описывается функцией
R(θ,φ^ =Ι10[1+β + β3Υ2ο(θ,9)+βΛΥΑθ{θ,φ)], (1.75)
где R0 = г0А11ъ — радиус равновеликого сферического ядра; посто-
янную β часто вводят для лучшего выполнения условия сохранения
объема ядра; β2 и β4 являются параметрами квадрупольной (λ = 2)
и гексадекапольной (λ = 4) деформаций. В ряде работ формула (1.75)
дополнена членом R0 β6 Υ60 {θ, φ). Ядерная часть потенциала Саксона-
Вудса состоит из центрального и спин-орбитального членов:
Vnuc(r)=V(r) + Vls0-); (1.76)
V^ = -^7-F -а ГГ ' i1"76')
1 + ехр{а[г- R (0, φ)]}
V,s(r)=-K[pxa]- vV{r), (1.76")
где ρ — импульс нуклона; а — матрицы Паули. Для протонной системы
необходимо добавить кулоновский член
Кс(г) = -2- {Z~l)e* J "(r')dr' , (1.77)
*И R\ lr-r'|
где плотность распределения заряда в ядре
n(r)= {l+exp[a(r-R{e,ip))]}-1.
Впервые задача о нахождении собственных значений энергии и соб-
ственных волновых функций уравнения Шредингера с несферическим
потенциалом Саксона—Вудса решена в [45]. Для решения уравнения
Шредингера использован метод численного интегрирования системы
дифференциальных уравнений и получены одночастичные энергии и
волновые функции для нейтронных и протонных систем. Позднее были
32

предложены другие методы решения уравнения Шредингера с потен-
циалом Саксона-Вудса (см. [46-48]). Используют модификацию по-
тенциала Саксона—Вудса, когда параметры а и г0 берутся различными
в центральной и спин-орбитальной частях.
1.3. Теория ядерных вибраций
1. Получим общие уравнения для ядерных колебаний методом само-
согласованного поля в формулировке Боголюбова [26]. Воспользу-
емся уравнениями (1.13), (1.14) и перепишем их в виде
Э
1— Ρ </,/) = ® </,/');
i—ф(/;/')= *(/, /');
bt
^±-Ф* (/,/') = И *(£/') ·
bt
(1.78)
функции $((£ /*), 85 (/, /*) даны формулами (1.16), (1.17), причем
£*</,/') ^ФСЛ Л- Функции Ф(/, /'), Ф*(/,/'). Ρ (/,/'). определен-
ные формулами (1.7) и (1.8), связаны следующими соотношениями:
P(f,f')= Σ {р(/,/2)р(/2,/')+Ф*(Г2,ЛФ(Г2,/)};
/2
0= Σ {рОг,/2)Ф(/2./')+р(/',/2)Ф(/2,/')} ;
/2
0 = Σ {р(/2,ЛФ*(/2./') + Р^2,/')Ф*(/2,/)} -
/2
(1.79)
Формула (1.27) представляет собой частный случай этих соотношений.
В случае, когда не учитываются взаимодействия между квазичасти-
цами, основное состояние четно-четного ядра трактуется как квазичас-
тичный вакуум. Если усреднение проводится по квазичастичному ва-
кууму, то функции ρ {f, /') и Φ (/, /') обозначают р0 (/, /') и Ф0 (/, /').
Когда ядерное среднее поле выбрано наиболее оптимально, функция
Ро (f< f) является диагональной, а функция Ф0 (/, /') приведена к ка-
ноническому виду. Для того чтобы учесть взаимодействия между ква-
зичастицами, приводящие к малым колебаниям, к функциям р0, Фо
и Ф* следует добавить малые приращения:
Ρ(/,/')=Ρο(/./')+δρ(Τ,/');
Ф</,П =Φο(/,/')+δΦ(Γ,/'); Г 0-80)
Ф* (f. Г) =Ф„* </-/')+ δ Φ* </■/') -
33
3-6636

причем 8p(f, /') = 8p*(f', /). Эти приращения удовлетворяют уравне-
ниям
Эг
iJ-δΦ (/;/·)= δ * </,/');
_ΑδΦ·(/;/·)=851(Λ/·):
Эг
(1-81)
δ S6 (/,/')= Σ [δ|(/',/2)ρ0(/,/2) +ξ0(/',/2)δρ(/,/2) -
/2
-δξ(/2,/)ρ0^2,/')-ξο(/2,/)δρ(/2)/')]+ Σ [6С. Ф0*(Г,/2) +
/2 //2
+ С^/2бФ*(Г,/2)-бС/}2Ф0(Г',/2)-С;/02бФ (/',/,)]; (1.82)
5*1(λ/') = ς [δξ(τ,/2)Φ0σ2,/')+ξ0σ./2)δΦσ2,/') +
+ δΦ(/,/2)ξοσ'./2)+Φθσ./2)δξσ'./2)]-Σ [бС//2Ро0Г2,/') +
+ С0т8р(/2,Г')+8С^г,р0(/,Гг)+С0^г,8р(Г,Г2)]+8Сг/, (1.83)
где S0(f,f')=T(f,f)-X8 ,- Σ С(Г,/;;/2,/')р0(Г;./2);
" /l'/2
C°ff, = 1 2С(/,/';/2)/;)Ф0(/2)/;).
/i/г
Нетрудно получить выражение для δ Si*(/, /'). Кроме того, 8р, δ Φ
и δ Φ* связаны соотношениями, которые следуют из (1.80). Из-за на-
личия этой связи удобно ввести новые функции, которые автоматичес-
ки удовлетворяют этим соотношениям.
Взаимодействия между квазичастицами приводят к тому, что волно-
вая функция основного состояния четно-четного ядра перестает быть
квазичастичным вакуумом. Считаем, что среднее число квазичастиц
в основном состоянии мало, поэтому используем приближение
(1.84)
<КА2|>=0·
Для характеристики отклонения волновой функции от квазичастич-
ного вакуума введем функции
~+ ~+ '\ (1.85)
V(gi,gi) = < |а^ж α^2 l>, P*(?2,£i) = < I«*ж «*2 I>,
34

удовлетворяющие условиям
μ(?Ι)^2)=-μ(?2,^1); /i*te2,*i)=-ii*fei.*2).
пользуем приближение (1.84), подставим функции (1.85) в форму-
Л 23) и (1 23') и Для приращений получим следующие выражения:
δρ(Τ.,/2)= Σ ["/.S.^^fr··**)*
+ ",* ν,,,,μ*(?2^1)]=δρ·σ2,/.); 0-86)
δΦ(Τ.,/2)= Σ [«/IgI"/2g2Mfei.^)+v'/IgIl'/2g2^*fe2^,)];
g*gi (1.86')
*»*2 (1.86")
Получим уравнения для μ (gi, g2) и μ*($1, g2). ДДя этого выразим
их через δρ, δΦ и δΦ*. Умножим (1.86) на Vflg, a (1.86') на м* ,
сложим их и просуммируем по /,. Воспользовавшись условиями ор-
тонормировки (1.22'), получим
Σ[νΛ,δρ<Λ,Λ)+«£,βΦσ..Λ)]= ς i\>'flgv;lgl+»;lg»flgl]*
/l /l£l#2
Χ«/2^μ(^,^2)+[ν/Ι^;^Ι+«;Ι^/^Ι]ν/^2μ'(^^Ι)} =
= Σ "/2*2^^1·^)- 0-87)
£2
Далее 8p*(ft, /2) умножим на и* δΦ*(/1,/2) - на ν<- ?, сложим,
просуммируем по/,: '
Σ [";,^δρ*(/Ι;/2)+ν/^δΦ*(/Ι,/2)]=-Σν;^2μ^^2). (1.87')
*· gi
Используем этот прием еще раз: (1.87) умножим на и* ,, (1.87') -
113Vf „"вычтем (1.87') из (1.87), просуммируем по/2 и найдем
л*,*·) =ς^ [ν/,^;^,δρ(τΙ,/2)+^^,δΦ(τ1,/2)-
- Uf\gVf2g8P(f*>fi) -VflgVflg>W(fl'f2)].
родифференцируем это выражение по t и, приняв во внимание урав-
ния (1.81), получим уравнение для μ (g,, g2 ):
' £-"*■·*»>- ς [«;Ι,Ι«;2,2δ3((τ„/2) +
/l/2
35

(1-88)
Сходным образом находится уравнение для ju*fei,g2)-
Подставим выражения для δ$Ι,δ9(*Ηδ5& в (1.88) и, воспользо-
вавшись формулами (1-86), (1.86') и (1.86"), выразим δ ρ и δΦ че-
рез μ и μ*. Сгруппируем соответствующие члены, используем условия
ортонормировки (1.22') и после громоздких выкладок получим
1-^-μ&1,Ε1) = Σ [n(gz,g^(gi,g) - Ω&1,*')μ&2,*')] +
bt g·
+ Σ ^ [X(g!,g2; ^,^2)^(^1,^2)+ Y(gi,gt; g\,g'i)^*(g2,g\)].
*'*2 (1.89)
Второе уравнение получается из (1.89) с помощью операции комплекс-
ного сопряжения. Здесь
Ω (g,g') = Σ [ξ0 (/,/') (u*g ufg, - vfg v/V) -
-c;/'^v/V-c;;v,v]; (i9o>
*fei,gi; g\,gi) =- - Σ с(Г, ,/2; A/2) x
2 /1/2/Ι/2
ПК /2£l /jg2 /2g, flgl f2f,2 flgl f2g2
A«l /Ii2 /Igl Γ\^2)Χ f2gl f2g2 /2«2/2il
У(?1,Я2;^1,г'2)=-— Σ G(fi,/2; /2./i) *
2 /1/2/2/Ι
1 /2*1 /l*2 /2/?Ι /,g2 /,g, f2g2 J2g2 flgl
+ (v , 11 f - ν , uf „ )(u ,v , ,~u ,ν , ,)]. (1.91 )
У fgi f*S2 flg2 /i«i'v f2Kl f2g2 f2g2f2gtJi
Уравнения (1.89) получены Н.Н. Боголюбовым [26]. Они послужи-
ли основой адиабатического зависящего от времени приближения ХФБ,
развитого затем в [49, 50] и других исследованиях. В [51—53] и ДРУ"
гих работах рассмотрен частный случай этого приближения без учета
спаривания, получивший название адиабатического зависящего от вре-
мени приближения Хартри-Фока. В рамках этих приближений изуче-
ны быстрые вибрации и медленные коллективные процессы с большой
амплитудой, привлекаемые к описанию взаимодействий ядер с ядрами-
36

" ем к стационарному случаю и будем искать решения одно-
Ре „„„оний Π 89) и комплексно-сопряженных им в виде
родных уравнении ν ■ /
μ^1?^2)= Σ exp(-iw/f)f,-C?i.*2).
»^i g2) = Σ expi-iWj-i)^,· (gi,g2), (1.92)
причем
4,-&.^2)=^ο?1.^5-ω#); г,-сг1^2)=-г,-сг2,г.); ; (193)
iif(Pi,ft)=-4,-CT2.ii)- 1
В результате получим
CJff-fel.ffj) = Σ, [Ω0?2>£')?,- (?!,.?') -fifel,i')fI-C?2,i')] +
+ Σ [Xfe,,^; g'l'g'i)^ (g'i,g'i) - Y(gi,gi; g'ug^Vjteugi)];
g'az (1-94)
-w,-i?,-C?i.ft) = Σ [«'(ga.^^fei.i') -П*С?1.г')Ч,.С?2,Л] +
+ Σ [X*(g1,g2lg\,g2)Vi(g\,g'2)-Y(gl,g%;g\,g'dii(g'l'g2)]·
«'1^2 (1.95)
Отметим, что если ω., f., 7?. являются решениями системы уравне-
ний (1.94), (1.95), то преобразование
ω.
I
-ω., ξ. -г;, ν. - τ?;
опять приводит к решению той же системы.
2. Рассмотрим представление, в котором функция ρ 0 (/. /') диаго-
нальна, Ф0 (/, /') имеет канонический вид. Оно выражено формулами
(1.32), где/ = до, σ = ± 1. В этом представлении
"Λ " ν/δ/.-*Γ =Vq°S0,-&S'i VqO = OVq'> Е=Я'о'
" - и* · ν = ν*
q л > "π у„ >
(1.96)
qq
"q' 'q~ yq
Функция ξ0 диагональна:
?o (/,/') = ξ0(9) δ ^, = [£-(?)-λ] δ ,δ ,, (1.97)
// qq ΟΟ
Щ) - одночастичные энергии среднего поля, а
СЯ' = С& = Сч 8fi-f'' Cq = Σ, G(9+-9"; 9'- , <7#+)iy vflf. (1.98)
37

Кроме того, в этом представлении (см. [6])
Ω(?,£')=δ ,eq; Χ = X*; Г= Г*. (1.99)
Введем новые функции
^(±) (gi.gi) = (1/2) [Г. (g1,g2)±Vi fei,*2)l,
воспользуемся соотношениями (1.6), используем обозначения
i/ = « = пи и = и — ν +г/ ν
^1.-^2 <7i<72 '
i±) f±) f±} f±1
£l£2 Q\0,q20 Q1Q2 Q\Q2 111! <7l «2 '
v(±) =v(T)
g\i~g2 Q\Q2
(1.100)
и после преобразований (см. [6,54]) уравнения (1.94), (1.95) приве-
дем к виду
- -1- Σ G(g1>g2;g'2,g\Hl + olo2oWi)^^} ν?)ν.{±) (g'l.g'i)-
— Σ [Gfe,,-g'2; i'i,-*2) =FGUi.-*';g,2,-i2)l(l+o,o2o,2oI)'<
ill
glg2
£>*2 £l£2 ' 4
x v^ v^2V'+)fe,,'g'2b Τ?ε·2 [Gfe..-^; г'„-Ы±
± G(я,, -g',; g'2, ~Ы1 (1 - σ,σ2σ'2 σ',) *
xuf] «^.i^WO-O, (1-101)
gig* gXg2 '
где e = e + e„ .
Ч1Я2 Q\ 12
38
4 ' '
glg2
x 1Л ' ы\', v) > (gx,g2) Σ G(g1,g2; g2,gi)(l-Oia202Oi)*
5I52F.PJI All

Введем новую неизвестную функцию
yf^fai.^) = Σ tvi±) (9iO,g2o)+ v.( + ) (<7,σ,<72-σ)],
/ σ
обозначим С* fai, <72. ?'. 9) и Срр(9ь <72; 92, <7i') взаимодействия в
нале частица-дырки и частица-частица. В^ [54] эти функции записа-
на через суммы G(g,a,, <72σ2; <72'σ2, q^ai) с соответствующими
значениями d, σ2, σ2. σ/. Воспользуемся обозначениями (1.100) и
после ряда преобразований уравнений (1.101) получим
е Ζ.(±)(<?.><72)-ω^(Τ)07,,<72)-
qiQi '
, , Ч1Ч2 i?i qi
Я1Я2
-2 Σ С* й,,^';^,^)"^"^,Ζ (±)(9,',92) =0.(1.102)
<?1<?2
Это основные уравнения для нахождения энергий ω{ ядерных вибра-
ций. При их выводе взаимодействия между квазичастицами взяты в
общем виде. Члены в уравнениях (1.102), содержащие и^~' , описы-
вают взаимодействия между квазичастицами в канале частица—дыр-
ка. Члены, содержащие ν„ , описывают взаимодействия в канале
частица—частица.
3. Обобщим уравнения (1.102) на случай, когда имеется слабое
внешнее поле, и приведем их к такому виду, чтобы можно было срав-
нить с уравнениями теории конечных ферми-систем [55]. При введе-
нии среднего поля к гамильтониану (1.1) добавим член
Σ I(f,f)a}a., (1.103)
ff > f
где функция I(f, /') = I*(f',f) характеризует внешнее поле. Введение
члена (1.103) приводит к необходимости в функциях 3i(/i,/2) и
*°vi> /2) к членам, содержащим Т'(/,/'), прибавить слагаемые
Hf, /')■ Выражения δ 9i (/,, Л) и δ S& (/,, /2), определенные форму-
лами (1.83) и (1.82), следует дополнить членами
6SieX(f,,/2) = Σ[δ/(/,,ΛΦ(/,/2) +δ/(Τ2,/)Φ(Τ,,/)];
/
δ5δex (/",,/,)= S[6/(f2,/)p(fi,/)-8/0;/,)p(f,/2)],
/
Причем
δ/σ,/')=Σ ехР(-^Г)б/' tf/');
ω
39

δ/*(Τ,/')=Σ exp(-iwr)6r"w (f,/').
i
Проведем такие же преобразования, как при выводе уравнений
(1.102) (см. [6, 26, 54]), и в результате получим
- Σ СРГ<я1гЧз;Ч\,а)у™ И,Т> Z^\q\,q2)-
Ч\Чг
- 2 Σ GPh(gl,q'i;q\,qi)u^l ы(Г}, Ζ.<±> (</',, </2) =
t t 4142 η i (Jo '
<7l<72
= (1/2) «^J2 [δ/'ω(9„^) ±δ//_ω(«/1,<72)], (1.104)
где
δ/'ω(91,92) = Σ [δ/'ω(91σ,92σ) - σδ/'ω(<7,σ,<72 -σ)];
σ
δ^ ω fei > «2) = Σ [δ/!_ ω (^! σ, <72σ) - σδ/*'ω (^ a, q2 - α)].
α
Приведем уравнения (1.104) к виду, близкому к тому, который дан
в теории конечных ферми-систем. Для этого введем новые функции
d(±\ql,qi)= Σ G^ft,. q2 ; q\, q\) v(,4 Zf(±) &>· ЯгУ,
V(±\qi,qi) = 2Σ G"A fo^i; ?'1,«у2)н(Т), Z.{±) (d\, q2) +
fl'ifli 4l?2
+ f0(±) («!■«»);
F0(±) fe,, <72) = (1/2) [δ /'ω fe,, <?,) ± δ Ι?ω for,, q2)\ ·
Подставим их в (1.104) и после преобразований (см. [6, 54]) полу-
чим следующие уравнения для нахождения функции Vv ' и a v
Η±)('71^2)=Κο(?1)«?2)+2Σ С* (flr1>9l; *',.,/,) —^—г"
<^2 Vlfli '"
х {е , , [и(*\ Κ<±>(<7'1<72) + ν(,Τ), rf^ (flr't.fliM+w, x
<7l<72 <7l<72 <7l?2
x [и(Т\ V^\q\,q2) + v{r\ d(T) fo'„<ri)]} ; (U05)
<?1<72 <7l<72
40

</<*>(*!.«»)- ? , G^fo,,^;^,?',)*
+ Ш;
QiQl
-{e , , [a(f\ F^fe'i.^ + v^. d<±)fe'1.ii)] +
>.\u{V, V<*\q\.q\-)+v?\ d<T>fe'i9i)]>. (1-106)
Если переобозначить СА как ^ω „ GPP как ς\ t το (1-105), (1.106)
гаимут вид уравнений теории конечных ферми-систем [55]. Отметим,
что из четырех уравнений (1.105), (1.106) только два являются
независимыми. Действительно, если решить уравнения (1.104) и най-
ти Ζ !■*' (<7i> <7г)> т0> подставив их, получим четыре функции
d<±>(9l.92)HF<±>(9l.92)·
Величины, характеризующие локальные взаимодействия между
квазичастицами, в теории конечных ферми-систем не вычисляются,
а определяются из сопоставления результатов вычислений с экспери-
ментом. Считается, что эти параметры универсальны, т.е. принимают
одни и те же значения для всех сложных ядер. Их радиальная зависи-
мость берется в виде δ-функции. Предполагается, что
я-ω _ я-ω
^ω(Γ) = ?ω —^ —
1 +ехр [-а(г - й0)]
т.е. что взаимодействие 5ω может принимать вне ядра значения, от-
личные от значений внутри ядра. Поскольку с помощью §ω описы-
ваются процессы, для которых характерны малые переданные импуль-
сы, считается, что 3Γω не зависит от переданного импульса и его мож-
но записать в виде
F" = _Ξ!_{/ + ^(σ(1)σ{*>)+ [/'+я>(1>*(2))](7(1М2))}.
т рг (1.107)
еличины f,f,gng' зависят от входных импульсов, однако из-за того,
переходы происходят вблизи поверхности Ферми, входные импуль-
^ полагают равными импульсу Ферми pF. Взаимодействие $ω зави-
е пько от Угла между входными импульсами, поэтому оно разлага-
ся в ^ЯД П° полиномам Лежандра. Взаимодействие &■* записывает-
Няетс е ФУ111*-"^™· Теория конечных ферми-систем широко приме-
4 ЯрПри Вь>числении характеристик атомных ядер (см. [9, 56-59]).
чаях ассмотРим упрощения уравнений (1.102) в двух частных слу-
41

Первый случай. Известно, что к вибрационным состояниям приводят
взаимодействия типа частица—дырка. Наибольший когерентный вклап
дают взаимодействия, пропорциональные и^+). Рассмотрим сначала
частный случай, когда можно пренебречь влиянием взаимодействия в
канале частица—частица на свойства вибрационных состояний. Поэтому
в уравнениях (1.102) оставим только члены, содержащие и*-*}, и по-
лучим ^
qq '
- 2 Σ GP" (q,q'2; q\ ,q')и (Ч и(T}, Z.(+) (q\,q2) = 0;
ч\ч\ чч ч,<?2
eqq, z/-} for, q) - ω, Z,<+) (q, q) = 0.
Из второго уравнения найдем Z;- (q, q), подставим его в первое
Тогда
(е2 , - ω?)Ζ}+) (q, q') = е , и<*> Dt (q, q');
qq ' ' qq qq
Diiq.q') = 2 Σ GPh (q,q'2; q2,q')ui+\ z/+) (q2,q'2).
π η' 92?2 '
Из первого уравнения найдем Z,- (q, q'), подставим во второе и по-
лучим следующее однородное уравнение:
Di(q,q')=2 Σ( GPh (q,q'2; q2,q) x
Ч2Ч2
(к(+),)2е ,
x p^J i2S±Diiq2jq>3). (1.108)
e , - ω.
9292 '
Энергии ω(· находят из секулярного уравнения в пространстве двух-
квазичастичных состояний
(H(+),)V ,
det И δ , , - 2GP" (q,q2; q2,q') «»«» 4*<±
44 .q242 e2 , _ ω?
?2?2
= 0. (1-109)
Ранг этого детерминанта равен числу учитываемых двухквазичастич-
ных состояний. Так, мы пришли к уравнению приближения хаотичес-
ких фаз для случая несепарабельных взаимодействий. В ряде работ,
например в [60], решено уравнение (1.109) и найдены энергии ω,·
вибрационных состояний.
42

ействие Gpfl возьмем в сепарабельном виде, соответствую-
В3^учаю мультиполь-мультипольного взаимодействия:
Тогда
D-to.Q)sKf(fl-q') Σ,/^2'<7'2)Χ
' <72<?2
«-> Z^{Q2,42)= Kf(q,q')D0.
x U ·
ЧгЧг
Подставим это в уравнение (1.108) и получим секулярное уравнение
в виде
аа' е , - ω·
чч qq
Таким образом, мы нашли привычное уравнение ПХФ, которое широ-
ко используется при вычислении вибрационных состояний сферичес-
ких и деформированных ядер (см. [61—64]).
Второй случай. Рассмотрим изоскалярные и изовекторные мульти-
поль-мультипольные взаимодействия в канале частица—дырка, содер-
жащие и (+). В этом случае
Gph(q,q\; q2,q') = (1/2) (к0+ к,) [f(ss')f (s,s2') +
+ f(rr')f(rir'2)] + (к0- к,)/ (ss')f(rr'), (1.112)
где s, s иг, г' относятся к нейтронной и протонной системам соответ-
ственно. Уравнения (1.102) принимают вид:
*· Zii+) fe О - ω/Ζ/") (s, s') - (ко + к,)/ {ss')и (+,Ц (и) -
SS
- (ко - k,)/(ss') м(+? ZL (р) =0;
SS
err'Zi+) (Г. г') -«jZH (г, г') - (к0 +Kl)f(rr')u^)Di(p) -
("о Ki)f(rr')u{+)Di(n)=0;
rr '
z/~W)-(o>l/V)zfi+)te.«'),
где Di(j) = I(7/(w')«(+izJ+)(9r9'), причемт = иилит=р. Найдем
Функции Ζ <+)<7с г'·» 7 (+Ь. 'л
Испо ' ' ν· г ) и подставим их в выражения для Ω{(τ)
льзуем функции ДГ'(и), Jf" (р), в которых суммирование прово-
43

дится по нейтронным и протонным состояниям соответственно. Пос-
ле преобразований секулярное уравнение получим в следующем виде-
ло + к,)^ (и) - 1 (κ0-κ,)^(η)
(к0-к,)^(р) (K0 + K1)xfi(p)-l
= 0- (1Л13)
Это уравнение широко используется при вычислении энергии коллек-
тивных квадрупольных и октупольных низколежащих состояний и ги-
гантских резонансов электрического типа (см. [6,61, 65—67]).
Таким образом, уравнения (1.102) оказались достаточно общими
и полными. Различный выбор взаимодействий в каналах частица—час-
тица и частица—дырка приводит к частным случаям этих уравнений,
которые решаются при изучении коллективных вибрационных состоя-
ний в сложных ядрах.
Глава 2
МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
2.1. Однофононные состояния в деформированных ядрах
1. Важной задачей является выделение коллективных вибрацион-
ных степеней свободы. Имеется несколько методов решения этой зада-
чи. При феноменологическом описании коллективные движения — это
колебания ядерной поверхности и колебания нейтронов относительно
протонов. В микроскопической теории кроме колебаний, имеющих
классический аналог, изучаются коллективные движения, связанные с
обменом зарядов, поворотом спина и парными вибрациями.
Основу микроскопического описания ядерных вибраций составляет
метод приближенного вторичного квантования. Наиболее часто и эф-
фективно используется его формулировка, получившая название при-
ближения хаотических фаз (ПХФ). Преимущество ПХФ состоит, во-пер-
вых, в достаточно точном и физически ясном описании низколежащих
вибрационных состояний и высоколежащих состояний типа гигант-
ских резонансов, во-вторых, в едином описании коллективных, слабо-
коллективных и двухквазичастичных состояний и, в-третьих, в простои
возможности учета связи с квазичастичными состояниями. В рамках
ПХФ вычисляют с учетом взаимодействия в канале частица—дырка
энергию и волновые функции однофононных состояний. В необходи-
мых случаях подключают канал частица—частица. Возможно описание
с одновременным учетом изоскалярных и изовекторных мультиполь-
ных и спин-мультипольных взаимодействий и т.п.
В данной главе описываются однофононные состояния в деформи-
рованных и сферических ядрах, в том числе вводятся нейтрон-протон-
44

ные фононы. Материал этой главы служит основой для дальнейшего
описания структуры сложных ядер. Начнем изучение однофононных
состояний с деформированных ядер.
При описании однофононных состояний ядерный гамильтониан за-
писывается в виде
Я = Яа¥ + Щаи * < + Hf + Ηψ t (2.1)
В гл. 1 показано, как из общего вида нуклон-нуклонных взаимодей-
ствий в ядре выделяются среднее поле /7av и взаимодействия Ярац,
приводящие к парным корреляциям сверхпроводящего типа. В (2.1)
#av - среднее поле в нейтронной и протонной системах; tP^ и Я^ —
сумма изоскалярных и изовекторных мультипольных и спин-мульти-
польных взаимодействий в канале частица—дырка. В необходимых
случаях вводят тензорные взаимодействия Ηψ. Иногда к (2.1) добав-
ляют члены, соответствующие взаимодействиям в канале частица—час-
тица. Наше рассмотрение ограничено неротационными состояниями,
поэтому в Я не включены кинетическая энергия вращения и кориоли-
сово взаимодействие, описывающее связь внутреннего движения и вра-
щения.
Поскольку среднее поле ядра трактуется отдельно для нейтронной
и протонной систем и спаривание действует только между нейтронами
и протонами, члены Яау + Ярац записываются отдельно для нейтронной
и протонной систем. Для деформированных ядер
#av + #pair = #о (") + Яо G») · (2-2)
Я0 = Σ [E'0(q) - Ца*0ая0- G Σ а\ а*, а .. а ,+ . (2.3)
qO qq Q Q Q
Здесь Ε' (q) — не полностью перенормированные одночастичные энер-
гии; G обозначается GN и Gz для нейтронной и протонной систем соот-
ветственно; qa, а = ± 1 обозначен набор квантовых чисел, характеризую-
щих одночастичные состояния деформированного ядра в нейтронной
и протонной системах. Химические потенциалы λ(λ„, λρ) определя-
ются из условия сохранения числа нейтронов и протонов в среднем.
Преобразуем Я0. Для этого проведем каноническое преобразова-
ние Боголюбова (Д.47) и воспользуемся уравнениями (1.46). Введем
операторы
A* (q) = 2fl*+ «J- ; А(д)= 2а α + ; В (q) = Σ a*q0aq0, (2.4)
отбросим члены, не зависящие от операторов, и Я0 представим в ви-
де (см. [6]):
#0= Ъе0Вк)+н1 + Н'о + Н··, (2.5)
Q
45

где
= v/c2+ [E(q)-X]2';
H° =- 4 Σ, К **to)-v7A Ш [и2, A (q) - ν2 А+ (</)]; (2.6)
qq Ч Ч
HO=-G{VuqvQB{q)}2;
Но =- — Σ<κΙ-νΙ)υ,ν, [А* (д)В (q') + В (q')A (q)}.
> (2-7)
QQ
Q Q
При рассмотрении однофононных состояний с Кп Φ 0+ в (2.5) будем
учитывать только один член
Σ eqB{q). (2.8)
Q
Для описания недиагональных частей матрицы плотности вводится
эффективное взаимодействие между квазичастицами. Центральную часть
его запишем в виде
Щ·-! -г2|) + Mir, -г21)(»(1) σ{2)) + {VT(\r1-r2\) +
+ ^σ(Ι'1-Γ2Ι)(σ(1)σ(2>)} (τ">τ">) (2.9)
и разложим в ряд по мультиполям и спин-мультиполям, т.е.
К(|Г1-г2|)= ΣΛλ(Γ,,Γ2) 4π
2λ+ 1
Λ
х Σ (~)ΙΧΥλμ(θ1,φ1)Υλ_μ(θ2,φ2);
μ=-λ
(2.10)
Fo(|r1-r2|)(a(1>0<2>)= Σ Σ RX0L (Гх.гг) *
L λ=/,,Ζ.±1
ж _±1_ (_)*-*+* Σ (-)Μ{σ(1)
2λ+1 M=-L
Здесь
Μ"
(2Л1)
[σΥλ(θ,^)}ΔΜ= Σ Σ <1ρλμ|Ζ,Λ*>σ Κ (θ, φ). (2.12)
ρ=0,±1 μ=-λ
46

Радиальную часть взаимодействия выбирают по-разному. Во многих ра-
ботах она берется в сепарабельном виде, в котором можно представить
достаточно хорошо практически любое эффективное взаимодействие.
Сепарабельныи вид успешно используется при изучении малонуклонных
систем, где чувствительность к радиальной зависимости значительно
сильнее, чем в сложных ядрах. Использование сепарабельной радиаль-
ной части позволяет избежать диагонализации матриц высокого поряд-
ка и получить простое секулярное уравнение. Поэтому в разложениях
(2.10), (2.11) полагаем
ЯХ(г,,г2)= κ(λ)Λλ(Γ,)Λλ(Γ2); R^L(r1,ri) =
= KiXL)Rx(ri)Rx(r2). (2.13)
В случае необходимости к (2.9) можно добавить тензорные взаимо-
действия. В случае деформированных ядер изоскалярные и изовектор-
ные константы мультипольных (Кц . к, ^ ) и сгшн-мультипольных
(кJ, , к, ) взаимодействий зависят от проекций на ось сим-
метрии ядра μ и К моментов λ и L.
Учитывая формулы (2.10). (2.11), а также эрмитовость и инвариант-
ность относительно операции отражения времени гамильтониан взаимо-
действий в канале частица—дырка для мультипольных, спин-мульти-
польных и тензорных сил запишем в следующем виде:
Н$ =--L Σ [κ0(λ"> + к <λ^ (,0) И2>)] ΣΜλσμΜλ_ομ; (2.14)
2λμ ο
< =-± Σ Σ [K<Xl#r> + KiXijr)x
2 LK X=L,L+\
«(^ailS^if^; (2.15)
о
нр ~-L(7o>T(2>)2 к^х
2 lk
* WlilysLL*KU (S}LK*1)YSLL-KX\, (2.16)
Μλομ = Σ <91σ1|Λλ(Γ)7λσμ(θ,^)|<72σ2>β;1σ1β<72σ2;
Μλ~ομ = Μλσμ; (2,7>
sLoK = Σ <Qi01\Rx(r){c\x(e^)}LoK\(!202>a*i0iaq202.
Ч\°1ЦгОг (2.18)
47

Матричные элементы берутся по одночастичным волновым функциям
потенциала Саксона—Вудса деформированного ядра в виде (1.76)
(1.77). Одночастичные состояния характеризуются квантовыми числа-
ми qa, q - Кп [ΝηΖ Λ], где К — проекция углового момента на ось сим-
метрии ядра, асимптотические квантовые числа ΝηΖ Λ определены в
[6,12]. Далее используем обозначения NnzA^, если К = Л + 1/2, и
Nnz Л4-, если К = Л — 1/2. С введением σ = ± 1 полагаем К > 0 и μ > о.
В матричных элементах явно выделим зависимость от о. Матричный
элемент мультипольного оператора равен
(QtOi \R\(r)Yx^(e,ip)\q202)=b0iKi_02Kiail(qiOl\f'Klx\q2ai)-,
<<71σ|/λμΙ«?2σ>= <?,-σ|/λ"|<72-σ> = 7Xu{qlq2) = 7Xu(q2Qi);
<<7i σ|/λμΙ92-σ> =-<i/i ~σ|/λμkic> =
' = ofX^(qlq2)=-of^(q2ql).
Обозначим его
/Λμ(<71<72) = < . (2.19)
1/Αμ(«?1.«Ι). μ = Κ,+Κ2.
Симметрия матричных элементов спин-мультипольных операторов
(Q\0\ \R\(r){oYx(e,<p)} LaK\q2a2) =
= S0lKl-a2K2,oK{q{oi\fXLK\q2o2)
различна в зависимости от λ. При λ = L они имеют такую же симметрию,
как матричные элементы электрических переходов, и
(qiO\fXXK[q2o) = <q1-alfXXKlq2-o)=fXKK(q1q2)=-fXXK(q2qiy,
<qia\fXKK\q2-o)=-(q1-o\fXKl(\q2o) =
= οΤλλΚ (qiq2) =ofXM (q2qi).
При λ = L ± 1 они имеют такую же симметрию, как матричные элемен-
ты магнитных переходов,и
(qiO\fl±l LK\q2a) =-{qx-o\fL±l L~K\q2 -о) =
^o7L±'LK{qxq2)-o7L±'LK{q2q,y,
{qiO\fL±lLK\q2-o) = (q1-o\fL±lLlC\q2o)=7L±lLK(q1q2) =
-/"'"toil).
48

Обозначим их
fXLK (qiQi)
'r\LK
/^"(flfifli). Κ=\Κγ~Κ2\;
T\LK
/ALK(<7l.i2), K=*l+*2
(2.19')
Для выражения операторов Mχ0fJί и SL aK через операторы квази-
частиц введем новые операторы [68]:
A*(fliQ2\ μ») = 1
A(qiq2; μσ)= "S
Λ+(<71<?2; μσ) = Σ δ , σ'α+ ,α+ ,;
σ- σ(ΑΤ,-ΑΤ2),σμ <?iO <?2~σ
•4+(<7i<72; μσ) = Σ δ , α+ ,α+ ,;
441 σ· α(Κ1+Κ2).αμ q2a Qlo '
(2.20)
Λ07Κ72; μα)= Σ δ^^^/«^-V^o' =
=Λ(<72<7,; μσ);
-diefifl2; μσ) = Σ δ , „ „ α ,α , =
=-Л(<72<7г, μσ);
№*(q\q2\ μσ)= Σ δ , ^ ^ ч α+ ,α+ ,;
ν4 ч σ(ΛΤ1-ΑΤ2),σμ ?iO <72~σ
№ + {qiq2; μα) = J
//У,+ (ал α·): μσ) = Σ δ , σο+ (ο il
. ** WlW' μ ' α· ο\κλ+Κ2-),ομ q2a ?1fl'
(2.20')
UC~(Д\Чг; μσ) =~1Л*(q2Qi; μσ);
B(4iq2; μα) = i
B(fliq2; μα)= Σ δ , ^ ^ ^ α+ ,« ,;
σ» σ(Κ1-Κ2),σμ q^a q2a
B(QiQ2; βθ)= Σ δ , , „ ч σα* ,α ,;
σ(ΑΤ1+/τ2),σμ ^σ <?2-σ
(2.21)
B*(QiQ2; μσ) = β(<72<?1; μ_σ); Β* (qxq2; μα) =-B(q2qi; μ-σ);
^(Чк/г; μσ) = S
(9ifl2; μσ) = Σ δ , ... . _
σ< σ(ΑΤ1-ΛΓ2),σμ ^σ q2G
|(?1«1;μσ) = Σ8, ^ ч α+ ,α ,;
α· α (Κ^κ2\αμ qxa q2-a
1-6636
(2.2Γ)
49

^>*(QiQ2; μσ)= 95(<72<7Γ, μ-σ).
Операторы (2.20), (2.20') при μ φ 0 удовлетворяют следующим
коммутационным соотношениям:
[Atolql; μα), A*(qiq2; μα)] = δμμ'δσσ'δ|Κ ^Ы^'Д^ +
Х^^в^-а, + 6,а,'Л+^зв,1'а,>+6а,(Г2'-*1',.о'/г'(%1Ч;ж
[*fc',ai; μ'σ), J*(fllaa; μα)] "V^6^^.)./*^'6^-
"δ4Ι«?2δ«?2«?;)"δσσ'δ^.-^).Μδ(^Ι'+^2'),μ'(δ,1(?'1α42σ%2σ +
^^"i^Via-^^^^Via-^t·"?^"^^ (2-22'}
\A{q\q'2\ μα), A(qiq2; μα)] = [A+(q{q2; μ'α'),Α+(q^; μα)] =0;
(2.22")
ШЧ1Ч2-, μα),^^; μθ)] ^„.^^e^ti^,^,
* a > + δ ,«*_„«, ) — δ , , , , *
Ч1°э 4i4i 42 σ3 42~аз α3(Κ2-κ\),αμ
ШяМ; μ'σ). tf'fe.o,; μο)] =^*о«Л*.**а>.Л|,'| X
X 642?2 δ4,42δ«24\)_δσσΛ<+*2).μ'δ<*Ι+*2)μΧ
4l4l Ч2° Я20 Q242 Я1° QlO
-δ , at „a , -δ , ct+a , ); (2.23')
4j42 ,2° ?lO 424! 4>° 42θ
[6^(9Ι^2, μ'σ), (/C(qlq2; μα)] =
= [6Г(<7'К72; μ'σ), /Ж + (qiq2; μα)] = 0. (2.23")
50

учтем приведенные выше формулы и операторы Μλθ[Χ и SLaK за-
пишем в виде:
Μ\αμ ~ ,,1 σ(ΑΤ-ΑΤ),σμ qa q a
qq о
-X\U i.
+
/^(«>'δαν^,.αμ%ν%·-α'Ι = ΤУ^^ *
qQ
Χ
{ и(+)- И* (W': μσ> +yl (W': μ - σ)1 + 2v l /Я {qq; μα) }; (2.24)
qQ
S LOK *, ,u W242; 0(K2-K2),0K q2a q2a
q2Q2°
4- 7-LLK г„ „')ο'δ i i4 a* , a , Λ =
+ J W42J" o(K2+K2),OK q2a q2-a*
7 » <72Ч2
Z <72<72
-i4(92«i; *-σ)] + 2ν(+), 5 (</2<72; *σ) } ; (2.25)
5fijr= Σ UL±lLK{Qiq'i)o'b . . я* ,e, ,+
LO ' „' 0(K2-K2),OK q2a q2a
q2q20
j \4i42) σ'(Κ2+κ'2)αΚ q2(J' q\-al
= - Σ fL±lLK(q2q2){u{-\ [Ut+(q2q'2;Ko) +
+ VOfaU ;K-o)]+2v (+), © fo,<72; ΛΓσ)} . (2.25')
<72<72
В них отброшены не зависящие от операторов члены и использованы
обозначения
"J?- ν,· * Vν \с? = B«v*%%'· (226)
ультипольные и спин-мультипольные эффективные взаимодей-
ствия запишем в следующем виде:
"Я =<' + <2+<3; (2-27)
8 λμ
51

Qi42QiQiO
x и(У , [A+(qiq2; fw)+A(qlq2; u~o)]x
x \A*(a\q'2\ μ - о) + A (q\ q\; μ ο)]; (2.28)
4 λμ
x { И* (<7i<?2; до) + A fa, q2; μ - o)]B (</', g2 ; μ - σ) + h.c. 1 ; (2.28')
<3=~-L Σ [к0(Х^+к^)(г<1>г<2))]х
2 λμ
x Σ f^torf*)*!;-}JXfl(qW2)v{7\ x
4lQ2Qll20 Ч142
* B(qxq2{ μο)Β(q\q'2; μ - σ); (2.28")
tff = //|* +Я^; (2.29)
„ρ/, uPh , ггРЛ . г/* . „рЛ = ярА + Nph + „ph . (2.29')
HSE = Я5£1 + Я5А2 + HSEV HSM HSM\ + ^Λβ ЯЖМЗ ·
ЯР/г =1 1 Σ (k<;LLK) + к1("*)т(1)т(2>)х
х Σ /"^foii*)"^/"*^)*
9l424l<?20
x ы(7\ [Л*^^; «O)-v4(ii<72; AT- о)] x
<?1<?2
x [A* (q\ q2; К-a) -A {q\ q\ \ Ко)]; (230)
'SE2 4
л л:
х Σ /"^.^«U'"*<^Kv x
r i "/142 <7l<?2
<?l424l420
x ( [vTfoito; Ka)-A{q1q2; K-o)\B{q\q2\ A'-o)+h.c.}; (2-30')
52

rf>h = Σ
[K<*LK)+ K<XZAr)(r<I>r(2>)]x
9\Чг
x [^*(?'i?2; Α"-σ)+^(<7',<7'2; Ко)];
Hph __1 Σ [k^+k^V'M^x
5M2 4 iJf x=L±i
(2.31)
.,(-) ^Xz,/:.
<7i<72<7l<72°
«μΜ, {[iii + (<?i<7i ;*"<>) + VUQiQ2·, К - ο)] β(<?',<72; *"-o) + h.c] .
fl,fll ' (2.32)
2. Получим уравнения в ПХФ. Это приближение широко исполь-
зуется при вычислении энергий и волновых функций коллективных
вибрационных состояний [6,61, 69]. В ПХФ учитывается взаимодейст-
вие между квазичастицами в основных и возбужденных состояниях,
проводится суммирование диаграмм, приведенных на рис. 2.1, а, б.
Взаимодействие между квазичастицами приводит к изменению основ-
ного состояния четно-четного ядра. Волновая функция основного со-
стояния наряду с бесквазичастичными содержит четырехквазичастич-
ные, восьмиквазичастичные и другие чле-
ны. Ограничимся изучением таких слу-
чаев, когда средьее число квазичастиц в
основном состоянии мало. Главное усло-
вие ПХФ
4σν>=0
(2.33)
fo б) П ДиагРаммь|- Учитываемые в ПХФ
ма-Данк£ваРаММа " учитывастся в методе Там-
а)
53

совпадает с условием (1.84), которое используется в методе самосо-
гласованного поля. Приближение (2.33) позволяет отбросить в пере-
становочных соотношениях (2.22) — (2.23") члены, содержащие
а*„а , ,. Операторы A(qq'; μα), A*(qq'; μα) рассматриваются как
Q° a a
операторы бозонов, а само приближение иногда называют квазибозон-
ным. Перестановочные соотношения (2.22) — (2.23) заменяются сле-
дующими:
[A(q\q'2; n'o),A*(qiq2; μο)] =
= δ , δ Ι δ I r _r Ι „ (δ г δ >+δ , δ ,);
μμ αα lAi Λ2Ι>μ qlql q2q2 Q\Q2 q2Q\
[A(q\q'i\ ^o'),A+(qiq2; μ0)] =
(2.34)
[Vt(q\q'i\ β a), it* (qtq2; μο)] =
= δ i δ , б I ^ if \ ..{δ , δ , — δ , δ ,);
μμ αα ΙΛ i Λ2Ι>μ (?i<7i Q2Q2 QiQi Q2Q1
[Ut(ft\ct2, μο'), U*(qxq2; μσ)] =
= δ i Β |δ„.^-,,(δ (δ > — 5 , δ ,).
μμ αα АгЛь^ <7i9i QiQi Q\Qi ЧгЧ\
Введем оператор поглощения фонона, явно зависящий от а:
(2.34')
βλμ/σ = - Σ \№а (qq'; μα) - φ** A* (qq; μ-σ)]. (2.35)
"•f-1" τ i qq Qq
1 QQ
Волновые функции однофононных состояний запишем в виде
ΟλμΙσ*·· <2"36>
где Ф0 - фононный вакуум, который является волновой функцией
основного состояния четно-четного ядра. Здесь i = 1, 2, 3... — номер
однофононного состояния. Если операторы A(qq'; μα), A* (qq'; μο)
удовлетворяют перестановочным соотношениям (2.34), то операто-
ры фононов удовлетворяют следующим перестановочным соотноше-
ниям:
[0λ·μΙ'α"^°]=δλλ'δμμ'δααδη'''
[0λ'μΙ'α" βλμ/σ1 = Ι^λμ/σ' ^'/V1 =°·
(2.37)
Эти перестановочные соотношения обеспечивают выполнение условии
ортонормировки волновых функций основного и возбужденных с°"
54

стояний. Они накладывают на функции φ ψ и /Μ' следующие ус-
ловия:
QQ
QQ
~ Σ (ψΜ1 0λΗ''·'- /μ', /Χ'")' = δ,.. δ , δ..,;
41
44 qq
qq qq
λλ μμ α
(2.38)
Σ (/μ|/Κ*'-Λν/Η'')=0. (2.38')
qq< qi qq qq qq
Пользуясь перестановочными соотношениями и условиями (2.38),
(2.38'), получаем
Из коммутационных соотношений (2.34) найдем
Σ (54'" ./>'", - /";' /μ/,) = δ00, δ , , + δ , δ ,
(2.39)
<Ζ2<?2
qq «2Ч2
qqi qq-i qiq
(ψλμ! ψλμ/, - /μ//μ'',) = δοβ, г , , -δ , δ , ;
qq qiq-i
qq q-iq-i
qqi
qqi qqi qq-i
(2.40)
Σ (/μΙ'/μ''. -/*Ч /μ/)=0,
,- 49 <72<72 <72<72 <7<7
причем для £λΜ* д = |ЛГ-ЛГ'|,для ψλμ/ μ=Κ + Κ'.
qq qq
Волновая функция основного состояния определена как фонон-
ный вакуум
βλμ,σ*ο=0.
(2.41)
В [6] показано, что волновая функция Ψ0 с точностью до нормировоч-
ного множителя имеет вид
и
Ψ0 ~ exp i - Σ (/f )"1 /*", A* (qq ; цо)А* (q2q'2; μ- ο)
' 4 · ЧЧ Ч2Ч2
qq
q-iq'-i
Ην
Она содержит бесквазичастичныи, четырехквазичастичныи и другие
члены, но не содержит двухквазичастичных, шестиквазичастичных и
подобных членов.
Получим секулярное уравнение для нахождения энергий однофо-
нонных состояний электрического типа. Пренебрежем вкладом от спин-
мультипольных взаимодействий, т.е. не будем учитывать Щр- Рассмот-
рим состояния с Кп Φ 0, поэтому из (2.5) возьмем только член
ΣεηΒ(({) и из (2.27) только член ΗΡΜλ, так как вклад Н1^ в однофо-
q
55

нонном приближении равен нулю, а //д^з Дает некогерентный вклад
который оценим позднее. Таким образом, воспользуемся (2.39) и
гамильтониан запишем в виде
<> = Σ eqB(Q) --!-Σ [κ^>+ к<Х«(г<'>г<2>)] ж
<7 8 λμ
ж Σ Σ /^(iiflf,)"^,/^^^)*
Х "^«^Й (β^+βλμΙ-α)(β;μ,_σ^λμ,σ). (2.42)
где #λμ/ = *Ч' + ^Ч''; w4'" = ^Xf'" - /μΙ.
qq qq qq qq qq qq
Поскольку далее будет встречаться суммирование Σ7 по нейтронным
7
(и) и протонным (р) уровням, введем обозначение τ = {η, ρ }. Заме-
на г -» —г — это замена и ->р:
ΣΛ(7) =Α(η)+Α(ρ); ΣΑ(τ)Β(-~τ)=Α(ρ)Β(η)+Α(η)Β(ρ);
7 7
Σ Α{τ)Β{ρτ)= Σ[Α(τ)Β(τ)+Α(τ)Β(-τ)].
τ ρ = ± 1 г
Поскольку
(τΟ>τ<»>) = τΟ> τΟ) + (1/2)(7+<Ι>7-<2> +7-(1) Τ™),
то без учета зарядово-обменных фононов оставим только слагаемое
7 *'* 7,( . Введем функцию
βλμ/ = ZPV^(W')"+ ,*λ"? (2.43)
и перепишем (2.42) в виде
tf<'> = Σ е. B(d)- L Σ Σ (κ^+ρκ^)^'' *
Μ q Q 8 λμπ' 07ρ = ±1
Χ /#''(βλρ/α + βλ*-α) (β+λμ,,_σ + βλμ,,σ)· (242'>
Вычислим среднее значение HJ^' no однофононному состоянию
(2.36):
<ехр,-а"Г exW= 7^ V [</)2 + (^μ/)21"
_ L Σ (κ^ + κ^ρ)^^1
4 7ρ = ±1
56

и для нахождения энергий со^ц/- однофононных состояний воспользу-
емся вариационным принципом в виде
δ W/o^GW-^'
Σ Λ''ννλ";'-2
qq" 44 qq
μ
(2.44)
где условие нормировки (2.38) записано через g μ/ и w *V, ω\„.
\ ■ qq \ ■qq
играет роль множителя Лагранжа, а вариации 8g ·' и 6м>лИ' рассматри-
qq qq
ваются как независимые. Проведем варьирование по δ# ^/ и δνν μ/
и получим уравнения чч qq
qq qq ΛΜ' ?4 qq
* Κκ^λμ) -ь к^>)^'' + (κ0(λ"> - κ^>)^'"] =0;
<7<7 "*" <7<7 <7<7
Отсюда найдем g *V, подставим в (2.43) и в результате получим секу-
qq
Лярное уравнение в следующем виде:
*%Ъ>1>
■κ^λμ)+κ(λμ))ΛΓλμ,-(/Ι)_1(κ(λμ)_κ(λ^)ΛΓλμ,·(„)
κ?λμ)_ κ!(λμ))ΧλμΙ(ρ) (κ (λμ) + κ (λμ) } ^λμ/ ^^
= 0,
где
^/(г) = (1 + с } Σ7
1 - лл λλ
μθ^
<7<7 <7<7
<7<7
2 2
V - ωλμ/
(2.45)
(2.46)
Множитель 1 + 6у0 введен для описания состояний К71 = 0~.
Для нахождения φ μ,' и φ fy воспользуемся условием нормировки
(2.38) и после вычислений получим (см. [65,66]):
№ (т) =. !
И (2^λμ/,1/2
^ (r)
<7<?
1
,λμ, i (+)
/ (qq)« /
qq
%?'-ωλμ/
л (+)
,-λμ .м1 /
' (94 ) <7<?
(2 gi^')1/2 e<5"? + ωλ^'
(2.47)
57

или
*Ч'(т)=.
qq
WX"/(r) =
QQ
"2 /**W)M<+>e ,
QQ QQ
y.\\ii
τ
2
QQ
- ωλμ/
|l/2 /λ^(«·)«<*>ωλμ/
2 2
^λμ,·
си λμ/ _ уХд/ + /-j, λμΙ\2 ^λμ/
* Ρ , ,..(λμ)^„(λμ)^λμ,-
1-(κ<λμ>+κ<λ^)Χλ^"(Ρ) ^'-
γλμ! _
7
(1+δμο) Σ
Э
σλμ(^')«„(:?)2ε_„,ωλμ/
<7<7
<7<7
3ωλμ
QQ
(6
QQ
ωλμ/>2
ωλμ = ωλμ/
(2.47')
(2.48)
При вычислении энергий и волновых функций однофононных состоя-
ний электрического типа можно одновременно учитывать мультиполь-
ное и спин-мультипольное взаимодействия. В этом случае гамильтониан
записывается в виде
"$ = ^*&>+<+<*
SE1
(2.49)
оператор фонока берется в виде (2.35), используются соотношения
(2.39) и гамильтониан Н^ выражается через операторы фононов.
Далее применяется вариационная процедура и находятся секулярное
уравнение и волновая функция таких однофононных состояний. В слу-
чае, когда учитываются только изоскалярные силы для λμ = 22, соот-
ветствующие формулы приведены в [6]. .
Если учитывать только изоскалярные силы и положить к, = О,
то уравнение (2.45) примет простой вид
ТЩо
= Χλμ1
Σ
QQ'
[f^iQQ'^;q\]\ql
(2.50)
58

x?
3
г
τ
0
-1
-г
Ю*
-1/κ(22)
7,0
-
Ι
J
J
____^-^
1
7,5
1
J
t
2,0
1
J
/
/ V
\
л>,МэВ
Рис. 2.2. Поведение правой части уравнения (2.50) в зависимости от энергии ω
дпяХд = 22в 164Dy:
вертикальные прямые - полюсы уравнения (2.50); светлые кружки - корни
уравнения (2.50) при фиксированном значении 1/К^2^
где суммирование проводится по нейтронным и протонным состояниям.
Изучим особенности этого секулярного уравнения. Функция Χ22 (ω)
в 164Dy для состояний с Κπ = 2+ приведена на рис. 2.2. При энергиях
двухквазичастичных состояний ω> . =е , функция Χ22 (ω) имеет
полюсы. Точки пересечения прямой 1/к^022* с Χ22 (ω) являются корня-
ми уравнения (2.50). До первого полюса имеется один корень, если
,(λμ)
( к
(λμ) _
ocnt
Σ,
ЧЧ
[/XAW>Cl2
чч
ЧЧ'
Далее между соседними полюсами расположены соответствующие
корни.
Если энергия однофононного состояния близка к значению соответ-
ствующего полюса, то прямая Ι/kJ ^ пересекает функцию Χ μ(ω)
под углом, близким к прямому. Это соответствует третьему и четвер-
тому корням, изображенным на рис. 2.2, при значении 1/к^ ^ , в 3 раза
большем выбранного на рисунке. В этих случаях однофононные состоя-
ния являются слабоколлективными. Когда значение первого корня
уравнения (2.50) существенно меньше значения первого полюса, первое
однофононное состояние сильно коллективизировано. Тогда прямая
1/Кр пересекает кривую Χ μ(ω) под небольшим углом. Именно
такой случай продемонстрирован на рис. 2.2 для первого корня. Из
рис. 2.2 видно, что небольшое изменение значения 1/к* ^' · вблизи
Kocrit приводит к существенному изменению энергии ω221 первого
однофононного состояния. В тех случаях, когда состояние весьма сильно
59

Таблица 2.1. Вклад двухквазичастичных компонент
в волновые функции состояния с Χμ/ = 221 и
Χμ/ =222 в 1S6Gd и 176Hf
Ядро
1S6Gd
176Hf
Двухквазичастич-
ная
пп
пп
пп
пп
пп
РР
РР
пп
пп
пп
пп
конфигурация
642t
4021
6511
5211
633t
41lt
4131
512t
512t
5141
624t
-6601
+400t
+660t
+5211
-65 it
+4111
-4111
-510t
-5211
-5121
-642t
Состояние с
К" =2%
I 1
Χμ/ = 221
0,231
0,150
0,132
0,097
—
0,085
0,071
0,420
—
0,130
0,090
Состояние с
*Г = 22 '
λμ/ = 222
0,723
—
0,046
0,067
0,024
0,045
0,038
0,010
0,980
-
-
коллективизировано и энергия ω2 2 ^ много меньше значения, соответ-
ствующего первому полюсу, точность квазибозонного приближения ста-
новится недостаточной из-за того, что плотность числа квазичастиц
^аааааа^ пеРестает быть малой величиной.
Волновая функция однофононного состояния Qy . ф0 представля-
ет собой сумму двухквазичастичных компонент, входящих с различны-
ми весами. В табл. 2.1 приведены компоненты со значениями, большими
1%. Волновая функция коллективного состояния содержит большое
число двухквазичастичных компонент. Такими состояниями являются
первые 2^-состояния в деформированных ядрах. По мере уменьшения
коллективности состояния увеличивается вклад одной компоненты,
как для состояния с λμ! = 222 в 1S6Gd. При переходе от λμ! = 221 к
λμΖ = 222, λμ; = 223 ... происходит расширение пространства двухква-
зичастичных состояний. Полное число однофононных состояний равно
числу двухквазичастичных состояний.
Исследуем поведение волновой функции однофононного состояния
в двух предельных случаях: когда корень ел „ - приближается к фикси-
рованному полюсу и когда корень ох много меньше значения перво-
го полюса. Найдем предел, к которому стремится функция Qt . σ^ο>
когда ω·, i стремится к нейтронному полюсу е с матричным
элементом / (q i q 2 ) :
60

β^σ*0
eqlq2 λ2μ2'2
ykft^
,λ2μ2 , к (+)
^— A (qq ; μ2σ) - *
„λ2Α'2/--\..<+)
<?<? L c<?9
eqq' ωλ2μ2'2
e »+ to-
λ2μ2Ι2
y.A(qq'\ μ2-°)
Ψο
e<7i<72 ωλ2μ2Ι2
(+) 4J,
(f^h^C/Ww,
^<?i<?2 ωλ2μ2'ν
-1/2
>2M2 ,
(+)
/ "-'tom)«ilfl2
<7i<?2
"λ
A*{qlq2\ μ2σ)
*o
2^2'2
-tO
<7l<?2 λ2μ2Ι2
J_ <?1<72
Λ2μ2'2
(-°^2^2heQil2)
1/2
Л*(<71<72; μσ)Φ0 = A*(qlqi; μσ)Φ0· (2.51)
Из этих выкладок видно, что с приближением корня к полюсу волновая
функция однофононного состояния переходит в волновую функцию двух-
квазичастичного состояния. Так ведет себя состояние с λμ/ = 222 в
Hf (см. табл. 2.1). В данной трактовке коллективные состояния рас-
сматриваются одновременно с двухквазичастичными состояниями.
Волновые функции однофононных состояний являются суперпозициями
двухквазичастичных состояний.
Рассмотрим другой предельный случай, когда значения первого кор-
ня ωλμ1 много меньше значения первого полюса, т.е.
ω
λμΙ
mine
qq'
(2.52)
Jtot случай адиабатического предела служит основой феноменологи-
ческого описания. Секулярное уравнение (2.50) представим в виде
Γλμ.
,(+)
I/.
qq'
qq'
i-wi.,./<
λμΙ' qq'
: У)
qq'
[/λμ(^')<;ν
QQ'
61

[/λμ(™')*(+]Υ
+ ω\ Σ - Ι"'1 +
Q1'
Если в этом разложении ограничиться членом, пропорциональным ω> ,
то получим
κ(λμ) <?<?' e?(?,
ω? = -^ , (2.53)
« €ii'
т.е. придем к адиабатическому приближению, согласно которому
ω,= (С/Я)1/2·
3. В ПХФ получим уравнения для однофононных состояний магнит-
ного типа. Так же как при выводе секулярного уравнения электричес-
кого типа, возьмем член Σε B(q) и из (2.29') учтем член Щ^х [см-
формулу (2.31)]. По аналогии с (2.35) введем оператор рождения
фонона
C''^+(w' ■> к°) ~ <С VI (w'; * -о)
1
iLKiO ~
QlKin Τ Σ
выразим операторы (SL(qq'; Κα) и iSt(qq'; Ко) через операторы фото-
нов и в результате получим следующее выражение для гамильтониана:
(KLK)\ _λΖΛΓ/_\LKi , _+ . „ ч ,_+ „
+ '*i j^r V (βΖ^ + βΧ«-ο)(βΖ«'-ο + β^/·ο)·
(2.54)
где
V fq· f (w)%'*«·· (255)
Волновую функцию однофононного состояния запишем в виде
eLrio*·· (2·56>
соответствующие амплитуды ψ , , (л „, удовлетворяют соотношениям
(2.38), (2.38') и (2.40). Вычислим среднее значение #i2) ио (2.56):
62

«W#}<W= τ?QM{ '«'J + ( W™'T1
4\=£±1гр = ±И '
Воспользуемся вариационным принципом в виде (2.44) и получим
, 2 ч LKi Л-XLK, ,ч (-) [, (L-XLK)
<?<?'
I '
lL-lLK).nL-lLKt (L-ILK) (L-ILK) L-lLKi]
+ к, )Dt (Ko _Ki ^_т J
^ , (L+ILK) (L+ILK) ^+UKi 1 _
+ (k0 - к, )ZT T j - 0,
■ILKi
LKi
ν ,
QQ'
LKi
^>LKileQQ')gQQ'
LKi
Найдем g , , подставим в (2.55) и после преобразований получим се-
кулярное уравнение в следующем виде:
а-ию il-uk).l-ii, . , . a-iLK) а-ию lu
(L-ILK) a-\LK)^ L-li,
(к -к, )*,v'(p) К" '""+«: " "")^,к (р)-1
(L-ILK) (I-U*K „1-1/
+ К. >*£*
(i-li/T) (£-1£ЛГ) Λ-lL + li (L-\LK) а-ЧЮ L-lL+li
К +к! )* (") («о _К> )*'- ("}
£АГ
(L-ILK) (£-l£K) /.-U+I/ (I-1U) (I-IIi) i-11+li
(Ko -«, )^iA. (Ρ) («ο +Ki ^ijf ^
*
("TLKy-SL+iL«hyM
LK
1 ' LAT ^ К +«, )* (Р)
£tf
-1
(2.57)
63

где
*/Ar(r) - ъ —
LK qq' e2„.-CJ2
qq' LKi
L-ILK
iA qq
f
(qq)f
L + XLK
(iq')(u(QQ])2eQQ,
2 2
£qq· - "lki
(2.58)
Функции ψ , и ip r для нейтронных состоянии ss имеют вид
+ ^-ШГ> _κα-1«>Μ41, + /—%,} [(κ?+ 1«, +
Μ44][ ; (2.59)
^Γ^ν^ο^1^-*:^1^
£ATi
ess> ωΙ,ΚΙ LKi
e - ω ss' '
css'
Lki
(2.59')
Здесь Л41, ... , Л44 - алгебраические дополнения детерминанта
(2.57). Множитель 3? находится из условия нормировки волновой
функции (2.56).
При изучении оцнофононных состояний магнитного типа пренебре-
гают членами выражения (2.54) с λ = L+1, а оставляют только слага-
емые с λ = 1-1. В этом случае секулярное уравнение для нахождения
энергий c^LKi упрощается и принимает вид
К
(L-1LK) (L-ILK)^ I-li
+ К
>*« W-1
К ~"i )^ <Р)
(Z-l£tf) (£-1£АГ) Γ-li ч
(«о
(i-li/if) (£-lLAT) i-li
+ К
)^ (P)-1
' 0. (2.60)
64

Функции ф , и i/г ,' записываются следующим образом:
L-XLK , (-)
,LKi I / (W>V LKi..
Λ
τ
где
1 /-"*<««'>#
(2.61)
OjL-lLKi L~\LKi L-\LKl.L-\LKi , ,
<*r =YT + (У_г )2C : -(2.61')
£-litf/ _ 1 ^ ri_1''/V>
ULK ~ °>LKi
. (L-ILK) (Ζ.-1Χ/Π L-li
иЛ-lLKi = (k0 - Kj )XiA: (n)
^ , {L-XLK) (L-1LK)^ L-li /yL-lLKi
1 - (K0 + к, )XLK (p) У„
4. При изучении вибрационных коллективных состояний, особенно
в легких ядрах, вместо ПХФ используют более простой* метод, получив-
ший название метода Тамма—Данкова. Его математическая основа была
разработана В.А. Фоком при построении квантовой электродинамики с
помощью метода функционалов. В методе Тамма—Данкова взаимодей-
ствия между квазичастицами учитываются только в возбужденных сос-
тояниях и не учитываются в основных состояниях, проводится сумми-
рование диаграмм, изображенных на рис. 2.1,д. Волновая функция
основного состояния четно-четного ядра явпяется квазичастичным ва-
куумом. Неравноправие основных состояний по сравнению с возбужден-
ными представляет собой тот недостаток, который устранен в ПХФ.
С помощью метода Тамма—Данкова получим секупярное уравнение
и волновые функции однофононных состояний. Волновая функция ос-
новного состояния четно-четного ядра является квазичастичным ваку-
умом A (qq'; μσ)Ψ° = 0. Оператор фонона имеет вид
й#°'\ £*£А(ЯЧ'; μσ)- (2·62)
Возбужденные однофононные состояния описываются с помощью волно-
5-6бЗЬ
65

вых функций Оцю^о- Следует отметить, что формулы метода Тамма-
Данкова можно получить из общих формул ПХФ, если положить φ^ = 0.
Секулярное уравнение выведем методом линеаризации, который ши-
роко распространен. Гамильтониан Я*') запишем в виде
Я<»> = Σ€4Β{4\ - 1-к {ЪДдя)и£}[А+(дЯ';цо) +
+ A{qq'; μσ)] }
Пусть δ0 — энергия основного состояния, a S0 + ω,- — энергия однофо-
нонного состояния, тогда
Из последнего равенства вычтем
п* Я(1)ч7° = &„0* Ф°
^μ/σ ψο **ονμΙθν0,
найдем
и в результате запишем операторное уравнение
Вычислим коммутационное соотношение, приравняем нулю коэффи-
циенты при A* (qq'\ μα) и получим уравнение
Введем постоянную
D* =к Σ Я^><+). *' .
2^ "о о' ^ о'
<?2<г2 Ч2Ч2 Ч2<'2
и найдем
ψ ,= l> .
чч' е , - ω.
Подставим ψ' , и получим следующее секулярное уравнение:
66

I - к Σ ——2* . (2.63)
Щ е ,-ω.
qq' i
Из условия нормировки
Σ φ' ,ф'', = 28..,
qq' W 14' "
найдем
(+)
(Ζ)·)-» = L Σ ."-"-L^i
i _ [Γ(«Χ?]2
2<Ζ«' ■(€„,-ω,-)2
Энергии однофононных состояний являются корнями cji, u>2 секу-
лярного уравнения (2.63). До первого полюса имеется один корень,
если выполняется условие
14 eqq>
к Σ -«L_< I.
далее между полюсами имеется по одному корню уравнения (2.63).
Волновая функция однофононного состояния имеет вид
vuio о
т A^qq'-μο)^. (2.64)
Нетрудно показать, что при малых к, когда ω,- близко к полюсу, ре-
шения уравнений (2.50) и (2.63) практически совпадают (см. [70]).
При описании гигантских резонансов волновые функции ПХФ прибли-
жаются к волновым функциям метода Тамма—Данкова из-за того, что
V < ^qq» «скольку eqq! + ω, > eqQ, - ω,·.
5. Возбужденные состояния с Ιπ = 0+ занимают особое место в теории
ядра. При их изучении создается впечатление, что математические труд-
ности как бы сконцентрированы на 0+-состояниях. Состояния с ΙΗ = 0+
имеют различную структуру, они содержат компоненты, связанные с
парными вибрациями, /3-колебаниями, колебаниями, вызванными
спин-квадрупольными силами, двухфононными состояниями и т.п.
Различным путям изучения 0+ -состояний посвящено большое число
работ.
При описании 0*-состояний в однофононном приближении следует
исключить духовое состояние, для этого нужно учесть члены Н0, опи-
67

сываемые формулой (2.6). Введем операторы фононов с μ = 0, опера-
тор рождения запишем в виде
Операторы
A+iqq; μ=0) = Σσα^α*, σ; B(qq'; μ = 0) = ^%α%,α (2.65)
представляют собой операторы (2.20), (2.21) при μ = 0, причем
Ufcft; μ = 0Μ+(<^; μ = 0)] -2(6^,6^, + 6^,6^.) -
- Ч«;5(<72^; μ = ο) -bq^BiQ^, μ = ο) -69i9,5(^;; μ = 0)_
Операторы Af^„>SLaK [см. (2.24), (2.25)] при μ = К = 0 принимают
вид
/ qq чч
+ 2»<-} B(qq'; μ = 0) } ;
sLlo = \ J,«^-/"°(w") {"^H+(w';m = o) -
- y4(W'; μ = 0)] + 2ν£, B(qq'; μ = 0) } ,
Условие нормировки волновой функции (Г-состояния Сл0^0 име'
ет вид
ν ЛГ,Л0' f Л0' Л 0| Л0,\ г /т/С/Л
~ (Ψ , ψ , — у? , «J .) = δ-ν\,Ι, (2.66)
qq' 11 11 <7<7 *9<7'7 "λ/,λ'|" ν
причем
.4(од';М=0) = 2Σ (^λ;/βλ0,. + *£/<£„,■)■
Операторы A {qq'; μ = 0) и Л+ (од'; μ = 0) выразим через операторы
фононов, а гамильтониан с учетом парных и квадрупольных взаимо-
действий запишем в виде
68

1
2 2 л , 2 2 . 201 20f
"S ■ \ wi -1 „? "r £. «< -у *$. - »>;;;' ν;, *
и тр = + 1
X ^20i^20i"
(2.67)
,20(
где D r определено уравнением (2.43) при μ = 0. Воспользуемся ва-
риационным принципом и секулярное уравнение получим в виде, совпа-
дающем по форме с (2.45):
(к(-) _ K(->)X20i(p) (к<20> + к<2в>)*20,"<р) - 1
:0,
где
х20'(т) = 2 ς;
τ/20(«·)Ρ2Γ0,(«')(««)\β,
(2.68)
(2.69)
eqq·- ω20.'
201 , . , 201
20/, ν ν
^_JiJL
Ч2Ч2 q2 qi 201 42 12 20l' .
; ξ„ =£·(,?)-λ.
20/ = f 4СГ - "201 + «W
aq eq(Ae^ul^eqA^Q,^lQy ^Q
Воспользуемся условием нормировки однофононной волновой функ-
ции и после громоздких выкладок получим [65]:
,201. х
Φ . О") =
•JrPF
„2 01
201 , (+)
_ й
е„„, - ω._. 14'
qq·
201
20i
€βω20«Λ
> (2.70)
69

201" ч _ 1
ν(τ)-
J&ff
2 0i, t. (+) „20/
«?_„, +ω, - «' -20/
99' 2 0/
^20/^
или
(+)
gqq.<j) ~
S
20/
Τ
2 2
e . - to ■
qq' 2 0i
201 , ч
w , (r) =
VI1
v/^T
2 01, r (+)
P-. («)»Μ,ω
6<7<7' ω2 0/
„2 0/
qq'~20i ^T Τ
2 ?«' Γ ^2θ7
q 201 'τ
где
(г^о1)
Of 2 0/
.2 0/
20/,
• τ му:;-)1!-"'
*Г
f20(qq')(4Cr - ω,„, + 4?ξ .)
20/
'<Г<7'
<?<?' e (4e2 - ω2 .)e ,(4e2,-cj2 .)
<? v q 20/' <?'v <?' 20/'
(2.70")
Yf = 2 Σ! T
, 2 0/, . (+) . ,
(Ρτ («)«„;)\,,ω201·
qq'
QQ
<««· - ω2 0/·>2
ty определен в (2.48). Если положить ку =0, то в выражениях
(2.70), (2.70') следует заменить СУ \oi величиной Y*0'.
Исследуем секулярное уравнение (2.68). Для простоты рассмот-
рим случай кр0' = 0 и уравнение (2.68) запишем в виде
' - »-« -, - ""^«·Ι V
к(2 0)
QQ
г2 0 , \ 20/'
Kqq>
. .2
~2 0/
Г20ш')р;и\яи«%Угея
Т y20i Q
(2.71)
Ае*
ω.
20/
70

функции Χ20'(τ) регулярны в точках со20 = 2eq и имеют полюсы
первого порядка при
С020
= е
qq·
20f _
= о,
если q Φ q ;
если q = q
(2.71')
Значения этих полюсов не зависят от константы к^ '. Поведение функ-
ции Σ Χ20 (τ) показано на рис. 2.3, из которого видно, что между двумя
τ ,
полюсами, определяемыми (2.71 ), имеется один корень секулярного
уравнения (2.71). Исключение духового состояния привело к небольшо-
му смещению полюсов относительно энергий двухквазичастичных сос-
тояний, которые являются полюсами уравнения (2.50).
Рассмотрим модель [61], в которой все диагональные матричные
элементы для λ = 2 равны между собой, т.е. f20(qq) = f20. Тогда
', ч j-10 20/ — 20/ _ /-20 201„ /1-7,ч
(<7) =/ Ут >~г ~* 1Т секулярное уравнение (2.71) прини-
„20/
Рт
мает вид
> Σ
^°<««'>ОЧ,·
qq·
ω.
2 01
2 к'
(20)
20l 201
Энергии 0+-состояний не зависят от /20. В этом случае имеется два
типа возбужденных 0+ -состояний. Энергии одного из них определяются
Йния2'о ,^ИСИМ0СТЬ "Рав°й части урав-
HHflB»»Hf. °Т ЭНеРП,И ""* 0+-СОСТОЯ-
ляемГКи?ЬТ21е7Г,НИИ ~ П0ЛЮСЫ' 0П?еде-
ктИрнЫе и „.! ,; веР™»<альные пун-
значРаю"еэ" ""Рихпунктирные линии обо-
ионных и пГ двУхквазичастичных ней-
Х и "Ротонных состояний
гх*
τ
7,00
0,75
0,50
0,25
0
-0,25
■(с)
-
1
','
-
/
/
>,2
' Г
!/
/
г.
1,3 f,VOJ,M3B
71

недиагональными матричными элементами. Состояния другого типа
являются парновибрационными, их энергии характеризуются взаимо-
действием #Pair. Зависимость диагональных матричных элементов
/20(w) от квантовых чисел одночастичных состояний q приводит в
деформированных ядрах к смешиванию квадрупольных и парновибра-
ционных коллективных движений.
6. В деформированных ядрах состояния с Κπ = 0+ определяются
квадрупольными силами и взаимодействиями, приводящими к спари-
ванию. Несомненно, к ним можно добавить мультипольные взаимо-
действия с λμ = 40, λμ = 60 и т.п. Особенность деформированных ядер
состоит в том, что в них состояния с определенным значением Κπ можно
описывать при помощи мультипольных взаимодействий с λ^ = КК,
λ2μ2 = (К + 2)К, λ3μ3 = (К + 4)К ... и (-l)^i = г. Таким путем можно,
например, трактовать состояния с Κπ = 2* с учетом квадрупольных и
гекса декапольных в заимо действий.
Приведем формулы для описания однофононных состояний с μ = К
при одновременном учете мультипольных взаимодействий с \t = К и
λ2 = К + 2. Оператор поглощения фонона (в случае Κν φ 0+) запишем
в виде, зависящем от проекции К, а именно:
QKio = \ J, W*', A (qq'; Ко) - φ^, Α+ (qq'; К-о)]. (2.72)
Волновую функцию однофононного состояния возьмем в виде
перестановочные соотношения и условия нормировки (2.73) имеют
вид, сходный с (2.37), (2.38). Гамильтониан запишем следующим об-
разом:
М q " 4 \=К,К+2 ii'Tp = ±l °
η^' - гт ' νΡτ лк, 'ч (+) Ki
где Dn_ = VI +0ц-п Στ (qq)ir ,g ,.
ρτ v Λ0 i J v" ' qq'bqq1
Найдем среднее значение (2.74) по состоянию (2.73) и после преобразо-
ваний такого же типа, как при выходе уравнений (2.45) и (2.57), секу-
лярное уравнение для нахождения энергий cjj^,- получим в виде
72

(κ(λ1*) +Κ^)Χ^ („) - 1 (к<У> -к*'* VlJ"<n)
= Ο,
(Κ0 -Κ, )Χ (ρ) (Κ0 +Kj )Jf (ρ)
, (λ2ΛΤ) &2Ю X2Ki (λ2Κ) (λ2Κ) \2Ki
. (λ,/:) (λ2κ) X2Ki (λ2*) (λ2κ) X2Ki
(κ0 -Kj )Χ (ρ) (κ0 +Kt )Jf (ρ) - I
(2.75)
где функция Л' '(г) определена формулой (2.46), в которой произ-
ведена замена ел . -*■ ω ·
^'w.(.^jr^'f>"<w,,/>"'w',fr,W)'·"·.
АО „„/ о 1
qq *qq· ~ <4i
мплитуды фщ, и ^ , ^записываются через алгебраические дополне-
ния детерминанта (2.75) в виде, сходном с (2.59) и (2.59').
- юлучим формулы для переходных плотностей и вероятностей
электромагнитных переходов при возбуждении однофононных состоя-
и в четно-четных ядрах. Волновую функцию деформированного ядра
-»<шишем в виде
Ψ1 _ / 2/ + 1' ( / π
М0КЫ = ~^ \DMoK0Ve)*i<°°
) +
73

+ ("/ + K°dLok0 <*«> ЫС - °) j . (2.76)
где &Μσκ (βε) — обобщенные шаровые функции, зависящие от углов
Эйлера ве; Ψ/-(ΑΓ0°σ) — волновые функции однофононных состояний
(2.36). Операторы электрического ^λ-и магнитного М£-переходов
записываются следующим образом:
Ж (£·; λμ) = Σ <4\Γ(Ελμ)\4'> i ^ B(qq'; μα) +
qq О чч
+ Τ Ua+J· H+(W'; W) +^(W": »-°)\ } = Σ <<1\Γ(Ελμ)\ς') x
2 чч qq'a
x i ·# B(W; μα) + Σ I и« ^ ffij^ + β^ _σ) } ; (2.77)
ξΚ (M;LK)= Σ <</|Γ(ΜΖΛ:)|<7'> Ι И*}, Я> (w'; Κα) +
+ " «£i [^ + (W'·. ^σ) + M(qq; Κ-σ)] } = Σ <q\r(MLK)\q')x
2 ЧЧ qq'a
х f С » («'; *σ) + Σ Ι i£> g^ (β^|σ + β„._ σ) } , (2.78)
где
Γ(£λμ) = е(£(г)гλ Κλμ(θ,φ); (2.79)
eeff (Ρ) = e(l + ep ): eeff (") = ee« · (2J9)
Например, для £Ι-переходов
г (ml*) = n0feffWs + sf (Ο^Ον^^ρ,*)] =
= £ [L(2L + l)]1/2[4ff(r)(aYi,_1)^+//ff(r)zlr(lY^1)^];
(2 80)
<q\r(MLK)\q') = pLgK{qq'), (2**)
74

eff
где μ0 - ядерный магнетон; gs - эффективный £s^J)aKTOpf Далее
обозначим
<<7ΙΓ(£λμ)|?'> =^(τ)ρλμ(^').
Получим приведенную вероятность £Л-перехода из основного сос-
тояния в однофононное. Если мультипольность γ-перехода λ совпадает
с мультипольностью фонона, то в операторе (2.77) можно отбросить
малый член, содержащий B(qq'; μσ), и приведенную вероятность
записать в виде
β(£λ; (ГО -* ГпКг) = <00λμ|IK)2 > (м\ J2, (2.81)
<» - ^ ? «2? «^«^«С· (2.81·,
Если радиальная зависимость мультипольных сил Rχ(r) = г , то мат-
ричные элементы ρ ^(qq') и / ^{qq') совпадают и (2.81) принимает
вид
(λ) Γ,λμ , (+) 12
МЕ 1 + δμο „ eeff(T) vr V <W>V'l «W
λμ!
V7 г ^λμ/' «?<?' e
2 , - ω\ .
<?<?' λμ!
(λ).
Σ ^2-^'(Γ). (2.81")
V? τ J^
Как известно [6], имеется усиление ЕХ-переходов на первые 0■ - 1)
квадрупольные и октупольные однофононные состояния. Такое усиле-
ние имеет место также в случае ρ■ (w') Φ-f ^{qq'), поскольку функ-
ция R\(r) - dVr/dr имеет максимум на поверхности ядра. Рассчитан-
ные приведенные вероятности В{Е2) и В(ЕЗ) возбуждения первых
квадрупольных и октупольных однофононных состояний правильно опи-
сывают усиление этих переходов.
Запишем матричный элемент £"Х-перехода через переходную плот-
ность:
Ε (1+δκο)12 °°^(λ)/4 λμ/ λ+2, /тс-η
^λμ," = ~~Τ^ i ?eeff(T)Pr (Г)Г Φ> (282)
75

для однофононных состояний
к
где суммирование по А: означает суммирование по нейтронам (т = п)
и протонам (т = р). Здесь <л (г) — одночастичная волновая функция,
например, аксиально-симметричного потенциала Саксона—Вудса (см.
[71]). При неупругом рассеянии адронов сечения возбуждения одно-
фононных изоскалярных состояний определяются суммой
λμ,. . λμ
Рр (г) * Рп (г),
а изовекторных состояний — разностью
РР (Г) ~ Рп 00
протонных и нейтронных переходных плотностей.
Между состояниями с Ιπ = 0+ может идти монопольный /ГО-переход
из-за кулоновского взаимодействия между нуклонами ядра и электро-
нами атомной оболочки. При iO-переходах наиболее вероятным явля-
ется испускание одного электрона внутренней конверсии. Вероятности
ΖΓΟ-переходов существенно зависят от структуры ядерных состояний,
между которыми идет переход. Матричный элемент iTO-перехода
Μ (EG) = p{E0)Rl. (2.83)
Для переходов между основными и однофононными О*-состояниями
2 ,rrs\ ! I ^ (20), ч ,Г, , 2 , |. 2 0/, ч (+) I г
ΖΛ О I ' чч I
Для характеристики 0+ -состояний используется величина
Х-.'^'Г". ■ ("3")
В(Е2; 0 0->2 + 0)
которая связывает приведенные вероятности Е0- и ^-переходов с од-
ного уровня. Для однородного заряженного эллипсоида вращения X ~
= 4j32, в модели независимых частиц при условии когерентного вклада
всех протонов X <« 9β22.
Приведенная вероятность Mi,-перехода имеет вид
В (ML; 0+0 - / nKi) = < OOLK \IK)2U MLKi 12, (2-84)
76

..Μ _ 1 LK . ,ч LKi (-)
м ш- — £,"* («>*„· V-
Особенно широко она используется при изучении Ail-переходов.
8. При описании деформированных ядер используется форма га-
мильтониана, полученная с учетом решений секулярных уравнений
для однофононных состояний. Такой гамильтониан не имеет свобод-
ных параметров и констант. Сначала преобразуем члены гамильтониана
(2.6), (2.8), (2.28) и (2.28') с учетом решений секулярньк уравнений
(2.45) и (2.68) для мультипольных фононов. Будем исходить из Η ,
в виде (2.42 ) и Η , i и получим единое описание для состояний с
μΦΟκ μ = 0.№ (2.43) и (2.47) найдем
.Χμ/ ρρ λμ/, ч / iCiAiii,1/2
°рт = V2 х U>r) Ι ΜрТ )
ЧИСЛИМ
, ν , ОчЛ j. (λμ) λμ| λμ/'
<l+iwV±i(Ko PKi ] τ »*
λμ/ λμ/'
* (г) + X (τ)
т (ΛΜ· ^λμ/' 1/2
rrU) гг(')
и тогда Нм и Η L запишем в виде
Σβ^ς) +ΗΜν,
λμ/ λμ/'
4 λμητσ ^.λμ'ас λμΙ' 1/2
Используя тот факт, что из (2.38) следует
, λμ/ λμ|' ,λμ!'' λμ/ч 1
<7<Z
0= Σ (ψ"1"" </?"'"' -ψ"'" φ"*") = - (1 +δΙΙη)(ω^ΙΙ-
„„<κ qq' qq' qq' qq' 2 μο'ν λμΙ
^^й!1^-
_., \ у ' .44" 1Q'
λ^'"' qq-
IT (^λμ/ ^λμ/y/2 (eJi# _ ω^.) (eJe, - ω^;.,) '
вычисляем
«W 5**&>+iW βλμ,-'> = 4 (1+δμο)(ωλμ/ +
77

+ "w)2 Σ x
τ (6^λμΙ α^λμΙ4 1/2
Сходным образом можно показать (см. [6]), что для решений уравне-
ний (2.45) и (2.68) выполняются условия
4° ^l»io^iμi^o> = <*$eiU<W = °· (2·86'>
Поэтому можно приближенно записать
Σ€4Β{<1)+ΗΜν = λΣ.ωλμ/β^μΙ.σβλμ/σ.
Преобразуем с учетом (2.45), (2.68) Я в виде (2.28') в
Мг
tJph 1 ν , (λμ) (λμ) Χμ/ λμ, ,. (-)
™2 4 ΛμΙστρ=±1 Η qq чч
и получим
+ βλμ/- σ) ^ (W': Μ - σ) + h.c], (2.87)
me Ги, (Г) - — (^„1у1г ■
Этот член описывает взаимодействие квазичастиц с фононами и играет
определяющую роль при описании усложнения структуры состояний
с ростом энергии возбуждения.
Таким же образом преобразуем члены гамильтониана (2.31), (2.3) )
для λ = L — 1 с учетом решений уравнения (2.60). В результате по-
лучим:
L-li L~\i'
Η -- 1 Σ XlK CT)+Xlk (Τ) ♦
Sv 4 LKii'TO ^L-lLKiyL-lLKi'yn QLKiOQLKi^
V T T (2.88)
78

Я, = - У. rT -L~lLKi
SVQ
LKiTO qq
x »(w'; K-o) +h.c], (289)
где
I-lL/r , (+)
JL-lLKi, λ 1 ' <«>ν
а остальные функции даны формулами (2.58) и (2.61'). Для Я^ с
λ=Ζ, —1 выполняются условия типа (2.86), (2.86') и, кроме того, приб-
лиженно можно записать
ZeqB{q) + ЯЛ - ^ *LKiQ\KloQLKlQ.
Математический аппарат для описания однофононных состояний в
четно-четных деформированных ядрах служит основой микроскопи-
ческой трактовки неротационных состояний при низких, промежуточ-
ных и высоких энергиях возбуждения.
2.2. Однофононные состояния в сферических ядрах
1. Свойства сферических ядер заметно отличаются от свойств де-
формированных ядер. Сферическая симметрия позволяет широко при-
менять математический аппарат квантовой теории углового момента.
Каждая подоболочка / имеет вырождение 2] + 1, тогда как одночастич-
ные уровни среднего поля деформированных ядер дважды вырождены.
Квантовые числа, характеризующие одночастичные состояния сферичес-
ких ядер, отличны от таковых для деформированных ядер. Это обусло-
вило различия формул для сферических и деформированных ядер.
Поэтому изложение для сферических и деформированных ядер прово-
дится раздельно.
Кроме однофононных состояний, генерируемых отдельными компо-
нентами мультипольных или спин-мультипольных частично-дырочных
взаимодействий, изучаются более сложные случаи: одновременного уче-
та мультипольных и спин-мультипольных взаимодействий или частич-
но-дырочных и частично-частичных взаимодействий и др. Для кратко-
сти изложения одни из сложных случаев приводятся для деформирован-
ных ядер, другие для сферических.
Описание энергий и волновых функций первых 2\ и 3^ коллектив-
ных состояний в сферических ядрах в ПХФ выполняется давно [6, 62,
63, 72—74]. ПХФ используется также при изучении гигантских резонан-
79

сов. Тем не менее представляется необходимым дать изложение проб-
лемы однофононных состояний в сферических ядрах, которое служит
основой для описания не только низколежащих состояний, но также
состояний промежуточных и высоких энергий возбуждения.
При описании однофононных состояний в сферических и деформи-
рованных ядрах гамильтониан представляют в виде (2.1). Учтем специ-
фику сферических ядер и члены гамильтониана в (2.1) запишем в сле-
дующем виде:
Η + # . = Σ \ Σ7 [£"(/) -λ]α+ а. -
av pair T \ fm >m >m
G .' i 1
~ Τ jj'L··^ (-} aimai-mar-m'ar»,· \ * ("О
<=4Σλ^λ)+^λ)^(,)/2)^Σμ^Λ· ^)
Κμ = ..,Σ , <*\*ЯХ(г)Уъ№\Гт'>а;та ·. (2-92')
^ // mm
Λ 2 L\=L,L±\ ° ' Μ LM
(2.93)
(2.93')
{θΥλμ(θφ) }ΙΜ=Σ {\μ'\μ\ΙΜ)αμΙ ΥΧμ{Β,φ).
При включении мультинольных взаимодействий в канале частица -*-
частица к гамильтониану (2.1) добавляется член Я р в виде
^ = -i£?c*4i(T)V'>· (2-94)
li rnm i2 94')
Гамильтониан можно также дополнить изовекторным тензорным взаи-
модействием в канале частица—дырка:
t)h 1 (л\ с\ (L) L -\ + L + l L + 1 * L -1,
< = - (г(1) г<2>) Σ к}. [(4М ) 5LM + (S^ ) SiAf ].
2 LM (295)
80

Одночастичные состояния характеризуются квантовыми числами nljm.
Если не вносится неоднозначность, то они обозначаются jm. Если нет
специальных обозначений, то суммирование по / одновременно озна-
чает суммирование по τ = ρ и τ = п.Ъ (2.91) -(2.94*) E(j) — одночас-
тичные энергии, GT — константы мультипольного спаривания (λ Φ
Φ 0), остальные обозначения — те же, что в § 2.1. Матричные элементы
берутся по одночастичным волновым функциям сферического базиса и
в дальнейшем обозначаются
/о·/') =</iiix*xwVi/'>,
Преобразуем гамильтониан (2.1). Для этого проведем каноническое
преобразование Боголюбова
"jm ulajm l > i l-m
и введем операторы
А*0>"; λ/0 = Σ (jmjΙη'\\μ)α- α*Л
mm
A*(j) = £(-)' в/|яЯ/_т;
V2C2/ + 1)
BUf-λμ) = Σ ,(-)/,+Μ,</«/-«Ιλ/Ι>α>^ ,.
(2.96)
(2.97)
Операторы A{JxJi'-> λμ) и ^ (/i/*2 - λyu ) удовлетворяют перестановоч-
ным соотношениям
И(/1/а;Хл), ^0'^; *У)] = δλ λ- ,(δ δ. ., +
+ i~) ' δ- .,δ. ·,) - Σ Ι(Ι\ητ1πη12\\μ) x
'1'2 2 1 "11m2mim2
х(/>,72т2|Х>'> (6/imiJ>,a/,m,abni2 +
+ С +
81
6-6636

г. +
_ 0/imi./;m;0/'.»fi;0/jifi2^ (2-98)
2 2 Ι 1
Члены гамильтониана НРМ и #£ перепишем в виде [74, 75]:
НМ =~\ ^ rp?±1(K!> } +Ρκ!λ>)^(τ)Μλρ(Ρθ, (2.99)
\'2λ+1 # 12"
+ (-)Х-^(/Г; λ-л)] +vi/-)B(ff'l λμ) j , (2,99-)
4„(σ) = (-)λ"4-μω;
2 LMX=L±lJi τρ =±1 °
(λΖΛ λ λ
+ ΡΚ· >^«)*^^). (2.100)
<*2>» ~=r~ Zf^UT) \\£>\ГЦГ:Ш)-
V 21+1 Η Ι 2 II
- {-)L~MА{Ц\ L-M)] + $B(j,--L-M)\ ,
&М&Г=^)1~М-Х*^м{т). (2.100')
Далее мультипольные и спин-мультипольные эффективные взаимодей-
ствия запишем в таком же виде, как в (2.27) —(2.3 Г) для случая дефор-
мированных ядер.
2. Получим уравнения в ПХФ, в котором выполняется условие (2.33)
и в перестановочном соотношении (2.98) отбрасываются слагаемые,
содержащие а* а.,т, Оператор рождения фонона запишем в виде
βλ/Ι/. = \ \ №//>07'; λ/i) - (-)X-%*U(/7'; λ-ρ)], (2.Ю1)
где проекция μ принимает значения от λ до —λ. Перестановочные соот-
ношения между операторами фононов, имеющие вид (2.37), наклади"
82

вают на амплитуды ψ.., κ φ.., условия
У
>■ λ'
λ Υ . λ ,
Σ(Ψ/ν,%, -ψ„, 0//f ) =0
(2,102)
Выведем уравнения для нахождения энергий и волновых функций
однофононных состояний. Пренебрежем вкладом спин-мультипольных
взаимодействий. Из (2.91) возьмем член Σ е. о^я. , из (2.99) —
■ I'm
члены, не содержащие BQ'j ; λμ). Введем операторы фононов и га-
мильтониан запишем следующим образом:
я„ = 2, е. а..... а..... — — Σ Σ -г—(к„ + рк, ) х
'М
/т i~im-jm 8 Χμ/,' 7р = ± 1 2λ+1 ("° + Р"'
*Dt Dpr iOx-ul + (-)λ_/16λ|||1 ^-μΙ·+ Η- βλμ|'].(2·103)
причем
„λ/ ν/ОгД,..,. (+) λ;
Среднее значение НУ}' по однофононному состоянию имеет вид
(2.104)
Σ_(κ0 + рк, )DT DpT,
1 1
4 2λ+1 Гр=±1
Воспользуемся вариационным принципом
и получим секулярное уравнение в виде
(4λ) + κ(,λ)) [Χλ\η) +Х^(р)} - 4κ(0λ> к^(Η)*λ'(ρ) = I,
(2.105)
83

где
W,2,
jrV)
1
\fA(Ji')^]2eir
4-
2λ + 1 //
а также фононные амплитуды
1
(2.106)
/V>·^
&Ye«'~^ " ,№?'»·*"*
(2.107)
Д,...ч (+)
λ*
Д,..\ (+)
У-
\i
(Л
(2.107')
ΖΛ'(7)
2 3ω ω = ω-ν..
2λ+1 //'
2 ч 2
(6//' - <V
&Д| λ/ , λ|'., Xi
λ*
Λ
(κ.
(λ)
(λ) Χ,-
κ, )ΧΛ>)
С
Ι-ο^ + κ**))***,
(2.108)
Если учитывать только изоскалярные силы, то секулярное уравнение
(2.105) принимает простой вид
(λ)
(+),
Σ _ = 1
2λ+1 //' е2
(2.109)
ω-ν
и особенности его решения примерно такие же, как в случае деформи-
рованных ядер.
3. Рассмотрим однофононные состояния электрического типа в слу-
чае одновременного учета мультипольных и спин-мультипольных взаи-
модействий. К гамильтониану (2.103) добавим из (2.100) члены тако-
го же типа, как в (2.99) , с L = λ. Тогда гамильтониан
84

я#=£е/%Ъ
1 i( (λ)
μη
>m 8 Xjuii' 7p =±1 2λ+ 1
,y\ \i λ/' (λλ) (λλΚ „λλ; λλ/', r„
λ-л.
+ (-)х^е^пС^-+^ "4pf.b
λ£/ v-PT Μ {Н'Л,,^ WU
//
"pr
(2.110)
(2.111)
Среднее значение по однифононному состоянию равно
<<W&4*> = i ^M1 +VI-
1
1
г, (λ) (λ), λ/ λ/
4 2λ + 1 гр
, (λλ) (λλ) λλ* λλ/
+ (κ0 +Ρ7, )Ζ>Τ £>ρΓ ].
Используя вариационный принцип, секулярное уравнение получаем в
виде [74]
(λ) . (λ) ч ,Д,-
00 (λ) >,-
(к0 +к, )Х (и)-1 (к0 -к, )Х (и)
, (λ) (λΚνλ/, л
(к0 -к, )Х (р)
i (λ) . <λ). λ/ .
, (λ) (λ)4 λ/
Κ -*, )xms(p)
. (λλ) (λλ). λ/
( (λλ) (λλ). λ/ ,
, (λλ) (λλ) λ/
<κο +κ, )ЛГХ(И)-
(κ(λλ) (λλ) λ/
(κ° ~*. )*λ Φ)
(κ0 + κ, )Χ (ρ) - 1
, (λ) (λ) λ/
i (λ) Χ-<λΚνλ/ / 4
(λλ) (λλ) λ/
(λλ) (λλ) . νλ/
, , (λλ) (λλ) λ/ .
1 (κ -κ, )Χλ (и)
(λλ) (λλ) λ/
(κ0 + κ: )JSTX (ρ) - 1
(2.112)
85

,,λΙ,..-4 (-)ν2
„λ," ^ 1 γΤ <f <" )и,Т > e,V
XL (Τ) = L
2λ+1 "' «i.-Ч,
2λ+1 /У
4' - Ч/
(2.113)
Фононные амплитуды, например нейтронные, имеют следующую
форму:
#-
3?
,λ,- .». ♦ г, (λ) (λ)
. , (λ) (λ) XX (_) (λλ) (λλΙ
+ (κ0 -κ, )Α42] + /ΛΛ0„/>// [(кУ0 '+κ\ ')Α43 +
'и'и
(λλ) (λλ) J
9 /'
'η η
'n'n λ' λ/
Ψ/ /' '
"(2.114)
где 91 — нормировочный коэффициент, определяемый из условия
(2.102); А41, ··· . ^44 — алгебраические дополнения детерминанта
(2.112).
4. В ПХФ получим уравнения для однофононных состояний магнит-
ного типа. Гамильтониан запишем в виде
„(О ν 1 ν ν , (λΧ)
#„ = i. e. a. a. — — Σ Σ (к +
S jm I >m "" 2 LM\=L±l τρ=±\ °
+ p"?X))($MvrsL(ri-
(2.115)
Отбросим члены, содержащие BQ'j'; Χμ), введем операторы спин-муль-
типольных фононов QLM-, Q*iMi и полУчим гамильтониан
Я
(D
Σ е-а. а. — — Σ
jm I im jm 4 LMx=L±1 2L + 1
(λ£) (XL) XLi XLi'
x Σ (κ0 +pk, )Df £>pr QLMiQKMi„
(2.П6)
86

XZi
где функция DT дана формулой (2.111). После вычисления средне-
го значения (2.116) по однофононному состоянию QlMl^o и варьиро-
вания по pi' и w ■■', секулярное уравнение получим в виде [74]
(к(„ U)+k, )XL (")-! (к0 -к, )XL (n)
(«0 Ki } L ^ (K° ' } L (P'~l
(«
(£-l£) ^ а-Ш L-U+l
)*,
(") l«0
(£-!£) (£-l£) £-l£ + l
>*£
(")
К
(£-l£) (i-U) i-li + li
)*,
(P) («
(£-l£) (£-l£)4 £ -lt + li
+ Ki >*£
(P)
(£+l£) (UlI).vl-li*H,. , (£ + l£) (£+l£) L-lL+lt
К
(£ + l£) (£ + !£).£ -li + li
>*,
(£ + l£) (£ + l£K„£-l£+li
(?) К +K,
)*f.
'<P>
(£ + l£) (£ + 1£). „£ + 1»' , , ,
(K0 + к, )XL (П) - 1 (к
(£+!£) (£ + l£) £ + li
)X, («)
,(£*1£) (£ + U). i + li- (£ + l£) (£ + l£) £ + li
(2.117)
где функция Ji^ (г) дана формулой (2.113),
Ar (7J = 2,
2L +1 ''' 4- - «ii
Запишем выражения для фононных (нейтронйых) амплитуд:
.(2.118)
'η'η Ll
^-■4«
(L-XL)
Γ (2.119)
I
87

+ (κ
Li
'η η
(L+\L) (I+11)
Μ44] } ,
7 Ψ,- ,·.,
ei #' + uLi nn
%'n " °"
η'η
где Л41, ... , А44 — алгебраические дополнения детерминанта (2.117)
При изучении однофононных состояний магнитного типа часто пре-
небрегают в (2.115) слагаемыми, содержащими {SL^ Y^LM . В этом
случае секулярное уравнение и амплитуды Фц·'.^}}· принимают более
простой вид:
(L-XL) (L-1L1 A-li i-l/ .
(К0 ' + К, )\Х (л)+ Χ (ρ)] -
4к
(£-Ш (1,-lZ,) L-li Z-1/
'L in)XL (ρ) = 1:
(2.120)
ψ... =
" J#?
£i 1
|Λ.. = —
j:-ii.../. (-)
/ (// )М/у.
e//'-"i«
-X-li.-.F. (-)
/ (// )u..,
v/5f ^ + ω"
T 2 3ω L ω=ω
X/
(2.121)
2t + 1 //·
<4 - «L·1
^
£z
1 - (K
(i-11) (£-!£) L-li
+ к
)XL (-τ)
(L-1I) il-li). V£-H
<Ko
- К
>*£, w
Так же как в § 2.1, нетрудно получить секулярные уравнения и вол-
новые функции в методе Тамма—Данкова.
88

5. Рассмотрим вероятности 7-переходов на однофононные состояния
и переходные плотности. Как известно (см., например, [6, 12]), опера-
торы электрического Ελ- и магнитного Μλ-переходов записываются
следующим образом:
9R (£; λμ) = - ' Σ </'| Γ(£"λ)| > (-)' +/ ~λ+' х
ч/2ХТТ />"
* {"уу_ В (J?: λμ) + 1-и)/, ИЧ/'; λμ) + (-)λ_^0/'; λ-μ)] } ;
(-) η,.: λ , . 1 (*)
- - - \л \j] ; Λμ; τ и 'Л(//; л-μ
(2.122)
3R (Μ; λμ) = —^ Σ,</ΙΓ(Μλ)|/> <_)/*/'-* Ι #*07';λμ) +
γ2λ+1 "
+ 1^ КО)'; λμ) - (-)λ-μΑ(α'; λ-/1)1 } , (2.123)
где Γ(£λ) и Г (Λ/λ) определены формулами (2.79)-(2.80') .
Выразим (2.122) и (2.123) через операторы фононов:
Ж (Ε,λμ) = — , Σ </-'|r(£b)|/>(-)/+/LX+lt i£W; λμ) +
ν^λΤΓ />"
Φ (Μλ) = —! Σ </'|Γ(Λ/λ)|/> (-)/+/ λ { i£) /?(,)': λμ) +
+ \ V ? V ^λμ. " (-)λ"4-μ;] » · (2123')
Различие (νν.., вместо £.-,) (2.123') и (2.78) иллюзорно, оно обуслов-
" " λ/
лено-другим определением фазы в выражении амплитуды <&,- - -
Приведенные вероятности γ-переходов из основных на однофононные
состояния четно-четных ядер при пренебрежении в (2.122') и (2.123)
членами, содержащими B(jj'; λμ), имеют вид
В(ЕХ; <£,-* λ") = l^£fV) J>V)^?I2; (2.124)
вт; о;л- х"о = Ι ς (_Г'Ллг^),/)^ i2,
89

где </'|Г(£Ъ) |/> = е$ (τ)ρλ(/Π ■ Если в (2.92') Rx(r) =τΚ,τορλ(}]') a
= /(//') и (2.124) можно записать так:
В{Е\; О
g-s
λ*/) =2
^eff
Ee.V/O")
*λ'(τ)
(2.124')
Однофононные состояния электрического типа хорошо изучены тео-
ретически [4, 6, 74] и экспериментально. В качестве примера рассмот-
рим октупольные однофононные возбуждения 140Се. Расчеты [741
выполнены с силами K3(i·) = г3, константы к*3' и к*3' определены
по экспериментальной энергии З^-уровня и значению отношения
(λ), (λ)
-0,2(2λ+3).
Одночастичный базис включает все связанные состояния и квази-
связанные состояния с относительно малой шириной. Полное число двух-
квазичастичных (а значит, и однофононных) состояний с Jn = 3~
равно 130 до энергии 35 МэВ. В гистограмме плотности двухквазичас-
тичных состояний (рис. 2.4,я) выделяются два пика, соответствующие
переходам через одну и через три оболочки. Действие мультипольных
г Ю -
со
m
Г
"5.
evj 5
г-
10
X
θ-
cu
1
о
1-5
41
со
- 1г-
иг·.
\)
1
а)
У Ля
\
.1
6)
hlni
1 1 II 1 1
О 10 20 30 40 ЕгМзВ
Рис. 2.4. Гистограмма числа двухквазичастичных полюсов с J =3 с шагом
1 МэВ (а) и распределение вероятностей В (ЕЗ, 0j"s ->-3^)-переходов на однофонон-
ные состояния cTJJ = 3J в 140Се (б)
90

70-
е-
ю
1
S 5 -
«0
«в
Σ
θ-
«4
I
25-
" 0
r и
β-
№
О
00 г
Π а)
rUw
WP
II
Π I
π <п
г
Λ П-Л_
1 *)
10
20
30 £,МэВ
Рис. 2-5. Гистограммы распределения приведенных вероятностей электромагнит-
ных (о),изоскалярных (<з) иизовекторных (в) ЯЗ-переходов в 140Се
сил приводит к концентрации силы ^З-переходов на небольшом числе
коллективных состояний. Выделяются, как видно из рис. 2.4,6, первое
37-состояние, низколежащии и высоколежащий изоскалярные Л'З-резо-
нансы и высоколежащий изовекторный Л'З-резонанс.
Рассмотрим изотопическую структуру однофононных ЕЗ-состояний.
Хотя мультипольное взаимодействие изотопически-инвариантно, для
модельного гамильтониана в целом это не так. Помимо кулоновского
члена, входящего в выражение для среднего потенциала, используются
разные параметры потенциала Саксона—Вудса для нейтронов и прото-
нов, а также изотопически-неинвариантное монопольное спаривание.
Тем не менее в структуре однофононных состояний в заметной степени
сохраняется изотопическая симметрия. Об этом свидетельствует
рис. 2.5,а—в. Максимумы распределения изоскалярных ^З-переходов
находятся как раз там, где расположены 37-уровень, низколежащии и
высоколежащий изоскалярные ЛЗ-резонансы. Именно для этих состоя-
91

ний практически равна нулю сила изовекторных переходов. Значит
протоны и нейтроны дают в их структуру когерентные вклады. ДЛя'
изовекторного £3-резонанса осуществляется обратная ситуация. В то
же время для коллективных состояний, расположенных в области энеп.
гий 10< Ε < 15 МэВ, вероятности изоскалярных и изовекторных пере-
ходов по порядку одинаковы.
Переходные плотности являются важными характеристиками воз-
бужденных состояний, они определяют вероятности их возбуждений в
различных ядерных реакциях. Изотопическая структура однофононных
состояний четко проявляется в их переходных плотностях. Зарядовая
ρ (г), токовая конвекционная jc(r) и магнитная )т (г) переходные
плотности между начальным Ф,- и конечным Ф, состояниями ядра
определяются следующим образом [74]:
ρ (г) = е2 6(г-г4)^ {Ф/Ф. } ;
К
jc(r) = μ0 Σ δ (г - г*)*? (Ф/ Г*Ф. - Φ- ^Ф/) ;
Г (г) ^„ΣδΓΓ-Γ^ν, {^ЧФ,.}
к
(2.125)
Фигурные скобки в (2.125) означают интегрирование по координатам
всех нуклонов, кроме Л>го. Переходные плотности представим в виде
разложения по парциальным плотностям P\(f) и р> . (г) :
ρ (г) = е Σ (- ) Λ </Д. λμ | JfMf) ρλ (г) Υ£μ (θ, φ);
\L
Jb'"'(r) = μ0 ^Σ (- )" (J.M^\JfMf)pu (г)
Σ <ΙΜ1ρ\λμ) Υ.Μ(θ,ψ)η,
Μ ρ = ο, +1 Lm f>
(2.126)
где rip — единичные векторы.
Зарядовая переходная плотность для однофононного состояния
λ,- равна
^=-[НН'^(-)'Ф1'2 ^/ + 1)(2/,+ 1):
V47T (2λ+ 1)'
92

I ' I
>4!\
\г'\1 6 8
-I/
£J,-3f
A
\zy 6 8
ES;LE0R;T=O
/ \
/ \
2 ~* \Г/
ЕЗ;12,ьтЪ
11 V
/' V
/ ' V
г ь ε β
E3;HE0R;r=0
J\
~~~ь ε /г,<ьм
£J;2S,8M3B;r=1
Рис. 26. Протонные (сплошные линнн) и нейтронные О'унктир) переходные
плотности некоторых однофононных состояний с J = У в ' 4оСе
к (/1/2/' - 1/2 I X0> u*Kr)ur{r)il'~l+X, , (2.127)
где Uj (r) — радиальная часть одночастичной волновой функции
«//-состояния.
Все протонные переходные плотности некоторых коллективных
3~-состояний, за исключением переходной плотности состояния с Ε -
- 12,4 МэВ, имеют ярко выраженный поверхностный пик (рис. 2.6).
Для изоскалярных низколежащих (LEOR) и высоколежащих (HEOR)
состояний протонная и нейтронная переходные плотности как функции
радиуса г изменяются в фазе, во всяком случае, на поверхности ядра.
У состояния с Ε = 29,8 МэВ (изовекторный Л'З-резонанс) протонная и
нейтронная переходные плотности изменяются в противофазе. Среди
состояний из интервала 10 < Ε < 15 МэВ встречаются как с когерент-
ными, так и с некогерентными изменениями р„ (г) и ρ {f).
Как изменяются свойства однофононных состояний электрического
типа, если учесть вклад в их структуру спин-мультипольного взаимо-
действия? Из формул (2.114) для ф..\ и φ-,] видно, что происходит
их перенормировка из-за членов, содержащих /(//'). Детальный ана-
лиз, выполненный для нескольких сферических ядер с силами R-* (г) =
= 9 V(r)ldr и учетом только изо векторной составляющей спин-мульти-
польного взаимодействия, показал, что свойства низколежащих состоя-
ний и изоскалярных резонансных /ГХ-состояний меняются незначительно.
Более заметны изменения в областях изовекторных резонансов, особен-
но /Л-резонанса. Спин-мультипольные силы вызывают также изменения
в поведении переходных плотностей. При этом зарядовые переходные
плотности меняются мало, а токовые — весьма заметно.
91

Β(Μ2),μξψΜ
2mu2
юоо
moo
*)
woo
1250
г)
ю
15 £,МэВ
Рис. 2.7. Распределение приведенных вероятностей Д/1-пере\одов в 124Те (а, в)
и ЛЛ-переходов в 90Ζτ (б, г):
а, б- расчет с к *'^ = 0; в. г - расчет ск[ ' = к i **
Рассмотрим приведенные вероятности магнитных переходов на одно-
фононные состояния. Использование взаимодействия, содержащего
(Slm)*SlM > автоматически обеспечивает когерентное усиление Λ/L-пе-
реходов с коллективного магнитного состояния мультипольности L.
поскольку оператор S, ,7 совпадает со спиновой частью оператора
магнитного перехода <%i{ML). Типичные картины распределения ве-
роятностей Ml- и Λ/2-переходов, возникающие в расчетах с простыми
спиновыми и спин-дипольными силами, изображены на рис. 2.7 [74] ·
Расчет выполнен с силами, имеющими радиальную зависимость R^ (r) ~
= г~ , значениями эффективных гиромагнитных факторов & s
= 0,8 ss, gf = g, и с константами κ0(λ£' = 0 и KQ(Xi) = к^>, к®1} =
= —4тг(28/Л) <г2 > МэВ-фм~ . Поскольку изоскалярная и изовектор-
ная составляющие спин-мультипольного взаимодействия имеют оди-
наковые знаки, изоскалярная составляющая не влияет существенным
образом на распределение вероятностей В (ML). Ее роль сводится к пе-
94

рераспределению вероятностей М£,-переходов между резонансными од-
нофононными состояниями.
Структура 1+-фононов хорошо известна из многочисленных расчетов.
Однофононные состояния, образующие Ml -резонанс, представляют со-
бой типичный пример слабоколлективных состояний. В их волновые
функции дают вклад две-три двухквазичастичные компоненты, образо-
ванные квазичастицами, которые находятся на уровнях спин-орбиталь-
ного дублета. Большие значения В (Ml) объясняются большими одно-
частичными матричными элементами магнитного дипольного операто-
ра 9)? (Ml) между состояниями дублета. Токовые переходные плот-
ности однофононных резонансных 1*-состояний имеют максимум вбли-
зи поверхности ядра [74]. На структуру и свойства 1*-состояний с бо-
лее высокими энергиями возбуждения большое влияние оказывают
спин-квадрупольные силы.
Картина распределения вероятностей В(М2) в спектрах сферичес-
ких ядер сильно отличается от только что обсуждавшейся картины для
распределения В (Ml). Состояния с большими В (Ml) занимают широ-
кую область энергий возбуждения, которая увеличивается с ростом
массового числа от 4 МэВ (s8Ni) до 10 МэВ (208РЬ). Структура резо-
нансных 2~ -состояний — коллективная, а поведение их токовых пере-
ходных плотностей совершенно иное, нежели у 1*-состояний. Токовые
переходные плотности 2~-состояний сосредоточены внутри ядра и спа-
дают к его поверхности. Структура однофононных состояний магнит-
ного типа и распределение вероятностей В (ML) в спектрах сферичес-
ких ядер по своему характеру заметно отличаются от структуры состоя-
ний электрического типа и вероятностей В(Е\) . Во многом различа-
ются распределения вероятностей В (ML) и вероятностей ее '-возбужде-
ния 1+-состояний.
6. Рассмотрим влияние взаимодействий в канале частица—частица
на однофононные мультипольные состояния. Оператор (2.94) запишем
в виде
Р^(г) = ~—- ?,W)k-«,.A*(tr'i Ы -
>/2λ+ Γ // ' '
(-)λ~μηνΙ,Α(α';\-μ)-211Ιν.ΙΒ(η'; λρ) ] . (2.128)
Совершим переход от операторов А* и А к операторам фононов, от-
бросим члены, пропорциональные В:
2V2ATT '
95

и подставим в гамильтониан (2.94), где
nXi(+) „тЛ...к (+) λ/ ηλΙ(-)
Σ?" J· λ/ ·■! \ ' ) λ/ ,„
/ (// )ν.Ι, g · П.Ш
if " '
Дополним гамильтониан (2.103) соответствующими взаимодействиями
в канале частица—частица, ограничимся членами, пропорциональными
Q*Q,hb результате получим:
+ Κ )(DT V +β7 βρτ>+<?Τ 1(^7 +ЛГ )<°Г +
+
DT ') + Ψτ ' ~DT ')(DT
Для среднего значения Я;, (р/г + рр) по однофононному состоянию
находим:
«гми^ол+и»)^,)- J- 5.^л0' ♦
4 //·
" 4 2λ+1 τ p = ±l \ τ ρτ
+ g™ φ*1-*ο?1-> +Ζ)τλ''(+)οτλ'(+))]- (2-131)
Секулярное уравнение для нахождения энергий однофононных состо-
ний ох . принимает вид [74];
96

(λ) ^ ..(λ)ч νλΙω „(λ) xi+ -)/(и)
(κ0 '
(«ο
(λ>_κ(λ))ΑΓλ'(ρ) (K(„X)+«iVX/(p)-l Ο
Ο 1
,(λ) „<-)/,
V*0 1
(λ) . (λ)νν<+-)''
(«.к^'м <"(οΛ,+<ν;
(Ρ)
(λ) (λ) .vC)i.
(κ(0λ)+κ(Ιλ))^,'(«) (κ(0Λ,-κ^)^1+"(«)
(κ<λ)-κ(1λ))^(+,,'(Ρ) (K?,*Kf,)XW,W
(λ) „<♦->«-
G„ Xv (η)
Λ(+)/(«)
«ftf-'O»
Gn Χν <">
^H'W -1 о
c^'w
<px;-"<p>
ЛГИ
(и) - 1 0
«^V^W
С?хГ<Р) - 1
0.
Здесь использованы следующие обозначения
(2.132)
x(+)i,
,Л,...,2 (+) (+)
V2X+1 />" е/у, - ωλ.
X{±)i, л
,т [/ (//)]2у у у
^2λ+ Γ //"'
^_ ςγ ·■· "' ' // '-//
'2λ+ l' J?'
e2,·- ω2
i
(2.133)
Xi
7-1
6636
97

*.*-},м =
i Στ frV>l2ff£4i
y/2\+i И efr - ωλ.
J
A/
X (т) определены формулой (2.106). Фононные амплитуды имеют вил
( "/ I» [(К0 + К1 )Л" +
п'п е; ,·, - со^. 'п'п
.λ/
I п'п
'η η 'η η
λΙ
е'Л "к д,-
J»'г, е- ·, + ω-
'η η
(2.134)
где Ац, ... ,Ais — алгебраические дополнения определителя (2.132).
На примере (2.132) видно, как усложняется задача нахождения
структуры и энергий однофононных состояний при учете все большего
числа компонент остаточного взаимодействия. Если, например, учесть
еще и спин-мультипольную составляющую остаточных сил, то получим
секулярное уравнение в виде равенства нулю детерминанта восьмого
порядка.
Вопрос о роли мультипольного спаривания не исследован с исчерпы-
вающей глубиной, хотя изучался во многих работах, и квадрупольное
спаривание прочно вошло в аппарат теории ядерных полей [78]. Боль-
шинство работ посвящено изучению влияния мультипольного спарива-
ния на низшие ядерные возбуждения. Наиболее часто в конкретных рас-
четах используются силы с G* ' = G* \ В этом случае уравнение
(2.132) заметно упрощается: сводится к условию равенства нулю детер-
минанта четвертого порядка. Расчеты, выполненные в таком предполо-
жении, показали, что взаимодействие в канале частица—дырка уменьша-
ет вероятность перехода из основного состояния на низшие вибрацион-
ные уровни сферических ядер [79]. Если, например, усиливать квадрУ
польное взаимодействие в канале частица—частица и одновременно ме*
нять константу к*2' таким образом, чтобы энергия 2[-уровня остава-
лась все время равной экспериментальному значению, то вероятность
В(Е2, 0* -*■ 2}) уменьшается. Если вспомнить, что с одними тольк
силами в канале частица—дырка значения В(Е2, 0* ""*■ 2|) часто полу
чаются завышенными, то возникнет надежда, что с помощью квадрУ
польного спаривания можно одновременно описать и энергии, и вер0
98

ности возбуждения 2, -уровней. При этом, однако, надо иметь в виду,
что вероятность перехода на уровень 1\ из основного заметно уменьша-
ется при учете ангармонических поправок. Кроме того, сильное умень-
шение В{Е2) происходит не при любом выборе констант G^ .
7. Преобразуем гамильтонианы (2.99) и (2.100) с учетом решений
секулярных уравнений (2.105) и (2.120), причем с (2.100) ограничим-
ся членами с А = L—1. Используя тот факт, что (2.104) записывается
в виде
βρλ//(2λ+ 1) = ^m^XXi(pr), (2.135)
и выполняя такие же преобразования, как в случае деформированных
ядер, из (2.99) имеем
(λ) (λ)4„λ|- λ/'.
Я
Μν
a&'^i 2-5^7(κ· +ΡΚ' ^V^ +
8 \μα'τ (^XigiX/' 1/2 Λ~μ'
Нетрудно показать, что вьтолняются условия типа (2.86'), и поэтому
получим
1 v XXi(T)+XXi'(T) t
^" = " 4 Xnf/'r 7" Г Γ^7Γβλμ»βλμ,'· <2136>
4 л/л/ 7 (a^X« «uXi')1'2
Таким же путем, как в § 2.1, преобразуем ту часть (2.99), которая
ответственна за взаимодействие квазичастиц с фононами, и в результа-
те получим:
+ °λ~μ^Β^'· X~rf + h-c- i · (2.137)
99

,λ...4 (-)
λ,- _ 1 / to)ν
После преобразований такого же типа с учетом секулярного упав
нения (2.120) и формул (2.121) из (2.100) выделим следующие члены"
"Sv = " 4 ШН'т tyUyU'yi* QLM&LMi» (2-138)
#«,... = - Σ
Sv<7
£Mi
.r |, *> ω i [(-) е£Ш +
+ Ql-Mi] W' L~M>> + h-c- I > (2-139)
j;-iz,,..\ (+)
Г;>- (T> = —— ^p ■ (2.139')
8. Рассмотрим, какова точность описания в рамках ПХФ. С ростом
константы к0 энергия первого корня секулярного уравнения уменьша-
ется и коллективность состояния возрастает. Уменьшение энергий пер-
вых 2|-состояний и возрастание вероятностей В (Е2) имеет место по ме-
ре удаления от ядер с замкнутой оболочкой и приближения к переход-
ным ядрам. В ПХФ выполняется условие (2.33), которое для сферичес-
ких ядер запишем в виде
"? * (2>' + 1>_,<^%%> = о.
Хотя в ПХФ волновая функция основного состояния четно-четного ядра
является фононным, а не квазичастичным вакуумом, пренебрегаем чис-
лом квазичастиц в основном состоянии.
Получим явное выражение для числа квазичастиц и- в основном
состоянии и изучим, как оно меняется с переходом от сферических ядер
к деформированным. Волновая функция основного состояния четно-чет-
ного сферического ядра как вакуум фононов мультипольности λ им г
ет вид
*ολ= 4=Г ехР 1- i Σ. Σ .«#4)-х
л/gf i 4 Μ /1/2/3/4 /3/4
100

x ^'/2(-)λ *А*(Мг; λμ)Λ*(/ν/4; λ-μ) j Ψ°, (2.140)
где 3i - нормировочный множитель. Воспользуемся формулой
(е\р/1)Вехр(—А) = В — [А, В] + ... , коммутационным соотношением
μ>(/).Λ*0"1/9;λμ)] = W+\V42{bJh + δ//2)Λ*(/1/2;λμΧ
а также тем, что по определению
ВЦГ; λμ)Ψ° = 0.
Тогда [80]
4λ=(2/Μ)- i Σ Σ. (-)λ-^;/2Χ
4 Α"' /1/2/3/4 12
* (ψ/1/4)_1 * ^+^l/2; λμ)Λ*</3/4; λ -μ),£(/')] > =
= (2/ + 1)-Σ Σ (-)λ-^(0"Χ
Μ« /2/3/4 "2 /3/4
"M*(jr/2;Xii)i4*(/3/4; λ-μ)> =
= (2/+1Γ1 Σ φ* φΥ (φ* )~* ψΜ" x
jUii'," Пг*Иг K4sJaJ *7з/4
* «^μ,.^-μ|«> = ~|(^. (2.141)
В этом выводе мы воспользовались формулой (2.101). Из (2.141) вид-
но, что л. зависит от (^Д)2. Амплитуда ν?..,1 не мала для низколежа-
ших состояний с i = 1,2,...; с ростом энергий возбуждения она уменьша-
ется из-за увеличения знаменателя в (2.107).Поэтому высоколежащие
состояния, в том числе гигантские резонансы, дают малый вклад в п..
Поскольку волновая функция основного состояния является ва-
куумом для всех мультипольных и спин-мультипольных фононов, т.е.
*о= П*0\
число квазичастиц с квантовыми числами / (вернее, nlj) в основном
состоянии равно
101

η = Σ«λ = (2/ + 1Г1 Σ (2λ+1)Σ(4')2·
При изучении применимости ПХФ наиболее интересны максимальнь
относительно / значения (п.) и (и.)
' v / 'max v /'max
Проведенные в [80] расчеты числа квазичастиц rij в основных состоя
ниях четно-четных ядер показали, что в сильнодеформированных ядрах
в сферических ядрах с одной замкнутой оболочкой и соседних с ними
число квазичастиц п.- невелико и для описания однофононных состоя-
ний можно использовать ПХФ. По мере приближения к переходным яд-
рам (и/)тах увеличивается и для переходных ядер достигает 0,3. Изуче-
ние корреляций в основных состояниях проводилось также в [81—831
Учет взаимодействия в канале частица—частица уменьшает число квази-
частиц в основных состояниях.
Вычисления и.- недостаточно для выяснения роли корреляций в ос-
новных состояниях. Нужно с и. Φ 0 получить систему уравнений и фор-
мулу для функции спаривания и решить их. Такая задача рассмотрена,
например, в [84], где изучены влияние на первые коллективные 2\- и
37-состояния корреляций в основных состояниях и их связь с фонон-
ными амплитудами. Расчеты для изотопов самария и других ядер пока-
зали, что в случае сферических и деформированных ядер поправки к
энергиям и значениям В (if λ) малы. Поправки оказались большими для
переходных ядер, в частности для l s °Sm.
В гамильтониане //£ , записанном в виде (2.99), (2.99'), имеются
члены, содержащие произведения операторов В(//'; λμ)B(j2j'2; λ-μ),
которые отбрасываются в ПХФ. В [85] найдено выражение для среднего
значения этого члена гамильтониана по однофононному состоянию и
рассчитаны поправки к энергиям в ПХФ. Абсолютные значения поправок
оказались небольшими для сферических ядер. Они возросли до 0,2 МэВ
для переходных ядер. Как будет показано ниже, имеются другие боль-
шие поправки к ПХФ для переходных ядер. Поэтому ПХФ не может
служить основой для описания коллективных состояний в переходных
ядрах. ПХФ тем точнее, чем меньше разность значений корня секуляр-
ного уравнения и соответствующего двухквазичастичного полюса отно-
сительно энергии возбуждения. Для состояний, формирующих гигант-
ские резонансы разного типа, эта разность значительно меньше, чем для
первых 2\- и 3| -состояний. Поэтому ПХФ успешно применяется для
описания центроидов энергий гигантских резонансов.

Нейтрон-протонные однофононные состояния
ются коллективные зарядово-обменные состояния, обуслов-
1 нейтрон-протонным взаимодействием. Они проявляются в (р, п) -
ленные кциях и в 0-распаде. Обнаружены и изучены гамов-телле-
и (я, V) V КТрИческие спин-дипольные зарядово-обменные резонан-
Р°ВВС сферических и деформированных ядрах [86, 87].
"^Центральная щ^ взаимодействия между квазичастицами (2.9) со-
ержит изовекторные члены, пропорциональные
(1) (2)
т = 7 ± it , причем члены с τΖ τΖ описывают взаимодействия,
изученные в § 2.1 и 2.2. Нейтрон-протонное мультиполыюе и спин-муль-
типольное взаимодействия определяются следующими членами:
κ(λ) (гО)г (2) +7(1)τ^2))Λλ(Γ1)Λλ(Γ2)Κλμ(θ1,^1) Υλ_μ(θ2,φ2);
Κ|^)(το)τ(2)+τα)τ(2,)Λλ(^)%(Γ2)Χ
{α(1)Υλ(θ1,^1)} ш {ο(2)Υλ(θ2,^2)} L_
м-
(2.142)
Ч 1ены такого же типа имеются в тензорном взаимодействии. Поэтому
рассмотренные в § 2.1 и 2.2 взаимодействия уже содержат члены, гене-
рирующие зарядово-обменные состояния, и никаких новых констант
вводить не нужно. Для описания зарядово-обменных состояний в ПХФ
введем нейтрон-протонные фононы и получим секулярпые уравнения
и вероятности переходов, в которых они возбуждаются.
Рассмотрим случаи деформированных ядер. Зарядово-обменные
части мультипольного (2.14) , спин-мультипольного (2.15) и тензорного
взаимодействии запишем в виде
<= -;λ,ο „«« <_,·-£,; <>··«>
ЯСТ = -Σ к{1) uJ'-lCH\+<;L*lCH 4-
2 LKo T [{SLGK ) "W +
103

+ (Л, „г ) S „ ],
ua*
(2.145)
где
С7/ -ν
_xc# SkLaK , . +
rsa\o2
Здесь квантовые числа одночастичных состояний нейтронной системы
обозначены so, протонной — го, они включают проекции Кг и Кр уг-
ловых моментов на ось симметрии ядра. Так же как в § 2.1, введем
операторы А, (Л , В и 55-, которые отличаются от (2.20) —(2.21') тем
что <7| = r,q2 = s. Например,
Α(π;μσ) = Σ, δσ,(*ρ-*„) ,ομ°\· -o'aro·,
A(rs; μσ) = -
если μ=\Κρ -Κη\;
A(rs; μα) = ξ^σ,{Κρ+κη) .ομ^σΛσ"
если μ = Κρ+Κη.
(2.146)
Матричные элементы записываются так же, как в (2.19), (2.19'), и обо-
значаются / ** (rs) и / (rs). Различие состоит в том, что матричный
элемент (ra^ \f ^т_ \sa2 > описывает переход нейтрона в протон, а
iso2 \f ^т | rax > — протона в нейтрон.
Нейтрон-протонные операторы типа (2.146) удовлетворяют следу-
ющим коммутационным соотношениям:
[A(rs; μσ),Α*(τ232; μ2σ2)] = δ^^^δ^δ^δ,^ ^|μ(1 +
+ δΜο) "~ Σ·δο'{Κρ-Κ„),σμδσ'(Κ2ρ-Κ2η),σ2μ2(δ!*2αΓ2σ'α™' +
+ δ„2α!2-σ>α*-σ·)'>
(.2.147)
[Α(η;μσ),Α+(Γ212; μ2σ2)] = δ^^ δ^ δ^ +^μ
- ς δ„,
* /Τ'
,δσ'(Κ +Κη),σμδσ'(Κ2 +Κ2η) ,σ2μ2 (8ss2ar2o'ara> +
"rr2 "s2a'asar
+ 5rr «,*,σ»α«Ιτ»)·
(2.Η7')
104

^«ионные соотношения [Vi(rs; μσ), (Л *(r2s2; μ2σ2)1 совпада-
учтем приведенные выше формулы и операторы МХади SLaK за-
пишем следующим образом:
ыСН = Σ i /λμ(") [и ν А* (га;- μσ) + ν и Л (rs; μ-σ) -
Μλσμ „
_ и иЖп\ μα)] - fXll(sr)vrvsB(sr; μσ) } ; (2.148)
L ±1CH = Σ fL± ILK (rj) { ^ ^t (rs. ^σ) _ VfUg W(„. £_σ) +
+ «rws #ira;*o) +vrvs &{sr, Ко) } ; (2.148')
5Х,СЯ получается из (2.148) путем замены / м(га) функцией fLLK (rs)
LoK
и изменения знака перед последним членом.
Гами ьтонианы #£м и д£5 представим в виде (2.27)- (2.3Г),
где
нст = ~ Τ^Σ κ(.λμ) Σ /λμ(^)/λμ(/·ν)ΚΜν;μσ) +
t-mi 2 λμσ rsr's'
+ usvrA(sr;u-a)] [ur,vs,A\r's'; μ-σ) + vr,i<s, A(r V; μσ)]; (2.149)
я:
рЛ 1 „, (λμ)
Ι Σ κ\ Μ) Σ { /X"(Sr) [ν,κΓΛ>·; До) +
Ш2 2 λμσ
+ u^Aisr; μ-σ)][^(η)ΙΙτ^Β^\ μ-σ) -
- fXfl(sr) vr,vs,B(sr\ μ-α)] + h.c. } ; (2.149')
И*
CSEi отличается от (2.149) значениями матричных элементов:
nph I (ILK) , ,,*.
HCSF.i = ~ - Σ κ Σ { fLLK(sr) [vsurA*(sr, Κα) +
^ ΙΑ^σ rsr's'
+ "surA(sr,K- о)] [fLLK(r's)urusB(r's-K-o) + /"*(# VV *
Х^^-")1 +h.c. } ; (2.150)
ΗΑμΓ-\ Σ κ^ Σ /^V)x
105

*fXLK (r's') [-vsut (Я*(sr; Ко) + usvr Ol(sr; K-o)]*
* K.VjOCW; K-o) -vr,us,OHr's·; Ко)]; (2.151)
CSM2 2 Ш=П1 ' w's'o
x fUK (r's') { [-vsur W *(sr;Ko) + usvr Ut(sr; K-o)}*
* [ur.us, fr(r's';K- a)+ vr,vs, &(s'r'; К - o)] +h.c. } . (2.15Г)
Остальные члены гамильтонианов нам не понадобятся.
2. Получим уравнения в ПХФ для мулмипольных и спин-мульти-
польных взаимодействий с фиксированными значениями λμ и XLK.
Операторы A (rs; μα) и Oi (rs; Ко) будем считать операторами бозонов
и в перестановочных соотношениях (2.147) и (2.147') опустим члены,
содержащие операторы агпаг'-о' введем оператор поглощения ней-
трон-протонного мультипольного фонона
Пщо = Σ №« A(rs'> №) -*% A+(-rs' ^-°)Ь (2152)
Операторы фононов удовлетворяют перестановочным соотношениям
(2.37). Волновые функции однофононных состояний запишем в виде
Ωμ.σΨ0. (2.153)
Из условия ортонормировки волновых функций основного и однофо-
нонных возбужденных состояний следуют
Σ(*"νν -Λμ'#') =δ Α., (2.154)
rs rs *w ψη vrs > μμ> u> y '
и условие типа (2.38'). Сходным образом через операторы Ut и Ut* вы-
ражается оператор нейтрон-протонного фонона для спин-мультиполь-
ных взаимодействий с λ = L ± 1. Пользуясь соотношениями типа (2.39),
операторы А, А*, I/O и Ut* выразим через операторы фононов Ω и Ω .
Спин-мультипольный фонон определен так:
aLKia = Σ !*«*' <&(«;*σ) + φ™' UL*(rs; К-о)],
причем знак минус для λ = L и знак плюс для λ = L ± 1. Аналогично
Ut(rs; Ко) = Σ (UKtnLKia ±· «t!"alKt-J·
106

Рассмотрим состояния с определенным значением Κτ и ограничим-
ся вкладом от мультипольного или спин-мультипольного взаимодей-
ствия одного типа. Гамильтониан запишем в виде
Hlcl) = XesB(s) + Σβ,Β(τ) - i Σ κ, (D\d[ +
* г 1 ii'o
+ θ;ο;')Ω;σΩ.,σ. (2.155)
В случае мультипольных λμ или спин-мультипольных с λ = L сил
^λμ/ „ „λμ. s ,. λμ» λμ» .
£>2 = Σ/*"(#*) (ω/ νΓκ, + φ" urvs).
rs
В случае спин-мультипольных сил с λ = L = ± 1
rs
LtUATi ,L±l£Af, .. ,LAT/ LKi
D2 =Σ/ ("Κ-Ψ„ vr"S + ^„ "г".)-
Так же как в § 2.1, найдем среднее значение Нг по состоянию
^2.153):
miXl)Ω;σ> = \ ^sr[<r+^b Ι^κρΙ)^;)»],
воспользуемся вариационным принципом и после преобразований [88]
получим секулярное уравнение для нахождения энергий Ω,- однофо-
нонных состояний в виде
9 (Ω,-) = (1 -
где
z 2
*!*,') О
Σ /» (
Σ f\n)
rs
- "1*2 )
2 2
U 1'
r s
*rs - ni
1 2 2
V U
\ e„ - Ω,.
-(K,*i2)2=0,
2 2 \
♦ ''"■ ):
€ +Ω. /
rs t
2 2 \
+ " * ;
rs / rs i
(2.156)
> (2.157)
107

i+δ
x =
μο
Σ'/2(«)
rs
"""•*{*гъ"оъУ\
Секулярное уравнение имеет один и тот же вид для любых мулыиполь-
ных и спин-мультипольных взаимодействий. Отличие секулярного урав-
нения (2.156) от секупярных уравнений (2.45) и (2.60) связано с тем
что суммирование в (2.156) проводится одновременно по уровням
нейтронной и протонной систем, которые различны. В этом случае не
используются соотношения между матричными элементами типа (2.19)
и (2.19'), которые обусловили отличие уравнений (2.45) от (2.60).
'rs " ^rs
(2.154) и после вычислений [88] получим:
Для нахождения амплитуд ψΓ<, и ψ'κ воспользуемся условием
φ = \/~- Г(П) (и ν + Jv и );
" cut е -Ω. v r * * r s
У
φ" v ■ e +Ω. r s r r s
Τ
rs i
i
(SO-1 - -'-1-2-
i _ KiXi2
-3^(Ω)/3Ω|Ω=Ω
Ψ "
1 - K,r2
(2.158)
Обсудим особенности решений секулярного уравнения (2.156). Если
считать, что Ψ0 — волновая функция основного состояния четно-чет-
ного ядра {Z0, N0 } , то волновая функция Ω Τ ч>0 описывает од-
нофононные состояния нечетно-нечетных ядер { Z0 +l,N0—l] и {Z0—
-1, Λο+1 1 · Волновые функции Ω/*ο представляют собой суперпози-
цию возбуждений в ядрах { Ζ0 + 1, Λ^— 1} и { Ζ0 — 1, N0+l } ,но
для каждого состояния имеется доминирующая ветвь. Часть решений
секулярного уравнения (2.156) относится к ядру { Ζ0 + 1, Λ^— 1 } .
другая часть — к ядру {Ζ0 - 1, N0 + 1 } . Однако к волновым функ-
циям состояний, относящихся к ядру { Z0 + 1, Λ^— 1 } , примешива-
ются компоненты, относящиеся к ядру {Ζ0— Ι, Λ^ + Ι} ,и наобо-
рот. Если исключить спаривание и перейти к приближению Тамма—Дан-
кова, т.е. положить в (2.152) φ' = 0, то уравнение (2.156) распадается
на два. Одно относится к ядру {Z0 + 1,W0 — 1} , другое — к ядру
{ Ζ0-1,Λ-0 + 1} .
Посмотрим, как усложнится секулярное уравнение при одновремен-
ном учете мультипольного и спин-мультипольного взаимодействии.
Одновременный учет этих взаимодействий может оказаться необходи-
108

мым в тех случаях, когда области расположения зарядово-обменных
мультипольиых и спин-мультипольных реэонансов перекрываются.
Соответствующий гамильтониан для фиксированных λμ и LK (μ = К)
запишем в виде
Н,
CMS = f *,*(»> + ^ e^W - - .^ [к, (/?, Dt μ +
λμ/ _.λμ»
(λλμ) ,_λλμ/ -λλμ/
+ D2-D2 ) +κ| - (β,
„λλμ/ _Αλμ/ ' _ + ^
+ D2 Z)2 μ )]Ωμ/σΩμ.,σ,
Я.
(2.159)
„λλμ/ „λλμ/ „λμ/ „λμ/
где £>, и Ζλ получаются из Dl и £>2 заменой матричных
элементов /λμ (rs) -+ /λλμ (rs). Найдем среднее значение HrMS п0 сос"
тоянию (2.153) и с помощью вариационного принципа получим секуляр-
ное уравнение в виде [88]
λμ/ J_
*i _ λμ
λμ/
f12
*MS1
*MS\2
λμ/
λμ/ Ι
Χ, -
,(λμ)
AMS12
ΛΜ52
"■MSI
ЛЛШ2
λλμ/
λλμ/
(λλμ)
^12
aMS2
λλμ/
*.2
λλμ/
(λλμ)
0,
где
(2.160)
i+δ
μο
гЛШ
(2 2
2..2
Ω.
rs i
Σ /λ*>)/λλμ(7·5)><
2 2
С U
Г S
€ + Ω.
rs /
ЛЛШ
1 +δμο λμ, . .λλμ. .
2 rs
(2.161)
J 09

/ v2u2 u2v2
к I r s + r s
ers- Ω/
e + Ω.
rs i
Хг
MS\2
1+8μ° Σ/λΜ(Γ5)/λλμ(«)Χ
2 rs
x и v и v
r r s s
1
е - Ω. е
rs i rs
* a, I
Функции Хм* состоят из суммы положительных и отрицательных
/λμ>), /λλμ
μ/ и Χ™μ'.
членов иэ-за разных знаков матричных элементов
Поэтому Xms значительно меньше функций Χ"μ' и ΛΓ/4Λμ'. Если
положить XL·? - 0, то уравнение (2.160) распадается на два уравнения
типа (2.156): одно для мультипольных взаимодействий, другое — для
спин-мультипольных. Решения уравнения (2.160), так же как решения
уравнения (2.156), относятся к ядрам { Ζ0 + 1, 7V0 — 1} и { Z0 — 1,
No+l] ■ h
Преобразуем гамильтонианы Нсм в виде (2.143) и Frc„ в виде
(2.144) с учетом решений секулярных уравнений типа (2.156). Опера-
торы Μ·^σ и 5, ~j, перепишем в виде [учитывая ранее введенные
обозначения и формулы (2.158) ]:
Λ/.
сн
λμ/
λμ»
λσμ
Σ (D Ω-, . + D ΩΛ . ) + ...=
^ ?Лх*г1/2<^,а+/"%,-*> ♦
^0
+ Σ [Λμ(ΓΧ)ΗΛβ(«; μσ) - fXil{sr)vrvsB(sr; μα)]; (2.161)
L + ICH \fl
{L ± 1£)
μο '
+ ^LKinLMi_a)+E fL±lLK(rs) [uriisfr(rS; Ко) + ν^ &(sr; Ко)].
Выражение (2.149) перепишем в виде
1
Н,
CMv
λμ»'σ (i +δμ0)2
ПО

i + αλ^ №'
Заменой λμ -*· LK и заменами соответствующих констант и матричных
элементов получим сходное с (2.162) выражение для Η€$ν. Взаимодей-
ствия квазичастиц с фононами (2.149') и (2.151') принимают следу-
ющий вид:
CMvq λμ/σ νΓ(1+δμο)
* ΗΩ^/^Α^Σ [fX"(rs)urusB(rs;»-o) -
- fXlX(sr)vrvsB(sr, λ-о)] + h.c. } , (2.163)
для λ = L ± 1
H<X4=~LKi
KL±lLK\l/2
I L±\LK \
— ~
» i <Я1к1о + ylK'aLKi-J I ^ ± XLK (rS) [UrUs *&· K-°"> +
+ vrvs&(sr; К-a)] + h.c. } . (2.163')
3. Нейтрон-протонные фононы используются для описания зарядо-
во-обменных состояний, проявляющихся в β*- и β~-распадах и в ядер-
ных (р, и)- и (и, р) -реакциях. Именно в этих процессах выявляются со-
ответствующие коллективные состояния.
Операторами, описывающими возбуждения коллективных состояний
из основных состояний четно-четных ядер являются: в (р, и)-переходах
на мультипольные состояния D μ,Ω^ . , на спин-мулыипольные
Di aLKia> B (". Ρ)-переходах D2 » Ωλμ/σ и D% Ω^/σ
соответственно. Именно с помощью оператора перехода происходит вы-
деление из волновой функции однофононного состояния Ω*Φ0 тои
части, которая соответствует (р, и)- и (и, р)-переходу. Соответству-
ющие матричные элементы равны (Q.i(JDl.. Ща^· Воспользуемся
уравнением (2.156) и после преобразований выразим распределение
силы (р, и)- и (и, р)-переходов в следующем виде:
111

Β (ρ, η; ΩΙ) = (2-δ„0)|Σ f(rs) (φ1 urvs + φ1 vrus)\2 =
2-δ.
Β(η,ρ·α,) = p-s^ijs/cuH^v,, +
* *""Λ)Ι° ■P-Wm.'.Vm/aano.n,· (2165>
В окончательном виде они имеют одинаковый вид для возбуждения
мультипольных и спин-мультипольных состояний.
Обсудим особенности выражений В(р, η; Ω,) и В(п,р; fi,).KaK
видно из (2.164), к (р, и)-переходу [член f(rs)urvs\l/rs] примешан
(и, р)— переход [член firs)vru^' ]. Такая же примесь имеется к (п,р)-
переходу. Оценим эти примеси так: положим Kj = 0, тогда примеси от-
сутствуют, а В(р, η; Ω,-) и В(п, ρ; Ω,-) равны сумме квадратов мат-
ричных элементов с соответствующими коэффициентами преобразова-
ния Боголюбова. Введем полные силы переходов
S(p,n) = Σ В(р,п; Ω,-); S(n,p) = Σ Β(η,ρ; Ω,)
и сравним их значения в расчетах при Кх Φ 0 и Ki = 0. Такие оценки
сделаны в [88]. В деформированных ядрах редкоземельной области и
области актиноидов S (р, п) в 50—200 раз больше 5 (и, р). Если поло-
жить Ki = 0, то разность S (р, п) — S (и, р) изменяется не более чем на
0,5%, значения S (р, п) — на 2—4%. Поскольку S (и, р) значительно
меньше S (р, п), они меняются на 30—50%. Поэтому при вычислении
(р, и)-переходов и β~ -распадов можно пользоваться приведенными вы-
ше формулами, так как примеси малы. При расчете (и, р) -переходов и
0+-распадов следует модифицировать формулы путем наложения допол-
нительного условия сохранения проекции изоспина.
Отметим, что при вычислении энергий и волновых функций зарядо-
во-обменных состояний не вводятся новые константы, так как в урав-
нения входят константы к J W и к j '.которые включены во взаи-
модействие между квазичастицами в общем виде (2.10), (2.11) и
(2.13). Например, при вычислении характеристик гамов-теллеровского
резонанса константу к° ' можно взять из данных по Ml -резонансу·
Результаты расчетов В(р, η; Ω,-) и В{п, ρ; Ω,) для ядра-мишени
I62Dy приведены на рис. 2.8. Для (р, и)-переходов с возбуждением га-
мов-теллеровского резонанса в распределении силы выделены низко-
112

0.2
0,1
Μ
III I Jill I l_l_L
Ii ill J
8(р,л;&1),цсяед.
10
2
10
UL
20
30 £2,МэВ
Рис. 2.8. Распределения силы (ρ, и)- и (и, р)-переходов с возбуждением 1 -состоя-
ний на I62Dy. Указаны состояния со значениями вероятностей, большими 0,07
максимального значения. Энергия отсчитывается от основного состояния I62Dy
энергетическая часть, область максимума и высокоэнергетическая часть.
Сила резонанса распределена в интервале энергий 5—40 МэВ, 1% силы
находится при энергии 50 МэВ. В результате взаимодействия между ква-
эичастицами гамов-теллеровская сила смещается в сторону высоких
энергий и образуется область максимума резонанса. Именно это смеще-
ние ответственно за уменьшение вероятностей разрешенных незамедлен-
ных аи /3-переходов в деформированных ядрах по сравнению с моделью
независимых кваэичастиц.
Сила (л, р) -перехода довольно равномерно распределена в области
2—35 МзВ. В ее распределении имеются пики при энергиях 5—8, 10—15
и 25—30 МэВ. Для ядер радкоземельной области хорошо вьшелен только
нижний пик. С ростом А максимум распределения силы перемещается
в сторону больших энергий, а полная сила S (п, р) уменьшается. Значе-
8-6636
ИЗ

ние S (η, ρ) для актиноидов примерно на 20% меньше, чем для ядер
редкоземельной области.
В деформированных ядрах области расположения зарядово-обмен-
ных El- и спин-дипольных резонансов перекрываются. Поэтому в [881
расчеты выполнены с одновременным учетом дипольных и спин-ди-
польных электрических сил, секулярное уравнение для которых опре-
делено формулой (2.160). При подключении спин-дипольных сил фор-
ма резонанса практически не меняется. В основном изменяются вели-
чины отдельных пиков в низкоэнергетической части. Центроид энергии
при подключении спин-дипольных сил увеличивается на 0,1 МэВ. Поэто-
му можно считать, что подключение спин-дипольных сил не влияет на
форму и положение зарядово-обменного El -резонанса. Столь же ма-
лое влияние оказывает и учет дипольных электрических сил при вычис-
лении силовых функций для переходов на спин-дипольные электричес-
кие состояния.
4. Рассмотрим сферические ядра. Зарядово-обменные члены мулыи-
польного (2.92), спин-мультипольного (2.93) и тензорного (2.95)
взаимодействий запишем в виде
„Ph 1 (λ) ,„СЯЧ+ „СН
сл 2 LM\=L,L±\ l LM LM
Ht' = - \ lM"f [(4м У4м + (SLM ^i1] · (2-168>
Ki (mxm)+j%; (2·166)
где
M™= ^^"νν-1'"-'^^*». (2169)
s™ = ,-Лш'фпН λ(Γ) iffV,i^J'm'>i%-(2J69')
Здесь матричные элементы с оператором т_ описывают переход
нейтрона в протон, с т+ — протона в нейтрони обозначаются / Q'pin) и
/ - (jjn); /„m и jnmn —квантовые числа одночастичных протонных
и нейтронных состояний.
Операторы A* (j /η,λμ) и В (/„/„; λμ) имеют вид, сходный с (2.96)
и (2.97). Операторы Λ (/'/„'; λ'μ') и A*(jpfn; λμ) удовлетворяют пе-
рестановочным соотношениям
И(у„; ху),л*с/р/||; м] = δλμ)λ,μ,δ 8/Λ, -bjpj.
114

mp>nnm'n
/л mp«^*« (5170)
Оператор В(jpin, λμ) удовлетворяет соотношению
*♦<//,; λμ) =(-)'"~1Р+1ХЩ,}р-> λ-μ)· (2-171)
Введем оператор поглощения нейтрон-протонного мулыипольного
фонона [89]
^= Л [йж^; λμ)"(~)λ~μ ν/+(^; λ~μ)1
и оператор Л/^ запишем в виде
+ (-)λ+μ^(/;7η'; λ-μ)] + i И/^ И+0р/и; λμ) -
- (-)Х+М/1+(/ / ; λ-μ)1 + ... = Σ 1 /λ0" 7 ) Χ
'ρ η V 2Λ + 1
ν гл.М λ/ (-) Xi ♦ чХ+μ, (+) λ»
Σ [(", , g- / + и- j w . ) Ω. + (-) "(и ■ £. . -
i 'p'n 'p'n 'p'n 'p'n Λμ 'p'n 'p'n
.<-> λ
v-VJw^n^^*
+"///-(->#"и 5cyD> λμΜ · <2·169")
Λ+/'η-λ
Выражение для 5^м получается из (2.169) заменой /λ(//и) "*
(ipin)· Операторы нейтрон-протонных фононов удовлетворяют
перестановочным соотношениям
[Ω,, , о+ 1 _ с ν , λ'' .λ/ λ/' Xi .
115

/„-W^^VA",;
/,^"^(XV,x,)V/w· (2m>
где
mnmn j m I 'n'n 'p'n
Ρ Ρ
,. .,,..,,.,. . ., . , 4λ+λ'-μ-μ' λ'Γ λ/
Χ < V"p>ηmn Ι λ μ ></ '"ρ/„m„ |λμ> - (-) «Α- ·, φ. · x
X ^p"1, >'иΚ Ι λ' - "'> <>p mp V"»t Ι λ - μ> j ^
Получим уравнения для энергий и волновых функций однофононных
нейтрон-протонных состояний в ПХФ. Волновые функции однофонон-
ных состояний запишем в виде
Ωλμ/*ο (2174)
с условием нормировки
_, , . Хг" . λ i" λ/ λ i „ ,_ „__.
·Σ W/i Ь f ~ φΙ i φ/ / ) =δλ#λν· <2175)
В правой части перестановочных соотношений (2.170) отбросим члены,
содержащие а*а. Отбросим в (2.169") члены, содержащие операторы
В, и соответствующую часть гамильтониана запишем в виде
С 1р 'р Р in '"
1' 2 / /n ' 'p'n 'p'n K >
= ~ Σ /(/ / )ы.(~* w\ . . (2.177)
В (2.176) и (2.177) для мультипольных сил входят константа кх и
116

матричные элементы /(//'), для спин-мультипольных сил к и
Так же, как и ранее, найдем среднее значение #с по однофонон-
нсму состоянию (2.174) и с помошью вариационного принципа полу-
чим секулярное уравнение [89]
5(Ω,) = (1 -k^HL-k,*^) - (k,AJ_})2 =0, (2.178)
[/op/„)",(7l2e//
где
<*> ' (2λ+1) /„/
'ρ и 'ρ η
ρ η
ν«
Ω2
Ι
1+~> · (2λ+ 1) / /
Σ
Λ
' 'ρ'и У«
ν·»
Ω2
(2.179)
(λ)
гХ/;
Оно имеет одинаковый вид для мультипольных с к , / (/'/') и
спин-мультипольных с к| , / (J„i„) взаимодействий и характери-
зуется теми же особенностями, что и уравнение (2.156). Воспользуемся
условием (2.175) и в результате вычислений получим:
I
Γα?
(Х> r^'jj
Ωλ
(ыЯ- ?λ41>: (2-i8o)
Ρ η
'ρ η
Ρ η
κ(λ) /XV«>
*
(λ) λ/
1-κ, Χ(_)
-3^(Ω)/3Ω|Ω = Ω.
4κ.
(λ)
Σ ,
(/λ0/„)):
(+)
λΓ
, λ)!„..(-)
2λ+1 V" (е-2-· -Ω2.,.,2
ν«
Χ u Ωλ,[(«;. )2+ ^>Γ;)2] -
-(е. ■ + Ωλ )мд'«. . κ. . } ,
(2.181)
117

у
λ/ _
(λ) λ/
1
1-κ(λ)Λ-λ/
1 Κ1 Λ(-)
(λ) λ/
(λ) Xi
(2.18Γ)
Найдем решения в ПХФ для гамильтониана в виде
Xi „Xi. „
<-> (-> XLM 21+1 '
1 (Xi) XL/ Xii'
К. [О. Д.. +
(+) (+)
* ^4-,'Ι)»;°/-
(2.182)
Решения бывают двух типов: электрического — при одновременном уче-
те мулмипольных с X и спин-мультипольных с X = L сил и магнитного —
при учете спин-мультипольных сил с λ = Ζ,— 1 и X=L + 1. Получим урав-
нение для обоих типов, поэтому обозначим а мультипольные силы с X
и спин-мультипольные с λ = L — 1 и Λ спин-мультипольные силы с
λ = Ζ, и λ = L + 1. Тогда среднее значение (2.182) по однофононному
состоянию Ω^ .*о (или Ω^^-^ο) имеет вид
'ρ и
fli
2λ+
- {<[<)2 + (<))2] + ^[(^;)^(<))^}.
Воспользуемся вариационным принципом и после преобразований по-
лучим секулярное уравнение в виде
К
аг
:+> ~
V-)
аЫ
V)
аЫ
Г(->
(+-)
ai
V)"
V-)
аЫ
Г(->
aW
гаЫ
(+)
6/
*(+) ~
>->
1
(+-)
аЫ
xbi'
А(+-)
г>1
1
О, (2.183)
118

где
yai и Xbi определены формулами (2.179), а
*„ ,- ,fb,: . „..i*)^
X(±) 2(2λ+1) y„
'p'n
abi
'Ч^'Ч^-Цч
> (2.183')
>-) 2(2λ+Π уи e2 - Ω2
'ρ η
Если положить ДГ ± = 0 и Х(+) =0, (2.183) распадается на два урав-
нения типа (2.178).
5. На зарядово-обменные состояния спин-мультипольного типа, т.е. с
£π = 1 + , 2", 3+.. ,в ряде случаев могут оказывать заметное влияние
тензорные силы. Получим уравнения для одновременного учета спин-
мультипольных и тензорных сил. Воспользуемся формулами (2.167),
(2.168), (2.169"), (2.177) и гамильтониан запишем в виде
'ρ F 'η ,
х Я
L-lLi L-lLi L-IL
(+>
+ £>
{L + lL),L + \Li L + lLi
(-) D(-) >+"· (°(+) °(+) +
L + lLi Г + lLi ч (Ζ,) L-lLi" L + lLi „L+Ш L-lLi
(-) (->
Τ <·"(+)
, _.L-U/ L + lLi' Z. + 1Z,/ L-Ui' + _
+ ^(_) Я-) +V) Л(-) >lnUfinLAff (2184>
ГДД Функции £> определяются формулами (2.177)., Среднее значение
"CST по °Дн°фононному состоянию £l*LMM?0 равно
ЙШ;Ягет^м;) =
LMi"cST
'р'п р " Ρ " Ρ η
{L-IL) r L-lZ,i\
L-lLi"
_; r *~ _i^> r. ь-iLi., ,^^-1^'ч7т (Z,+lZ,)r „L + lLia
ic^ К [(^i+i )2+<я(_) )2]+к;. [ф(+) ^
5с» )·]+^ч+г"ч+ш+^"Ч-;ш] >
119

Воспользуемся вариационным принципом и после преобразований
секупярное уравнение для вычисления энергий Ω,. получим в виде
(£-1£) £~l£i (£)£+1£-Н , (£+1£) £ + 1£-П JL) L-lLi
= 0,
(£-l£) £ + l£-li (£) £+l£i (£+l£) £+l£i (£) I + lI-li
K, *(+) +Kr *(t) к АГ(+) + Кг Л(+)
(I -1L) „L-lLi (£) £ + l£-li (t + Ш I + lt-li (£) £-l£/
(£-11).,£ + l£-l/ (£) £ + l£i (£ + l£) £+l£i (£) £+l£-li
(£-l£).£-l£/ (£) £+l£-l/ (£ + l£) L + lL-li (£) £-l£/
(£-1/.) £ + l£-li (£) £+l£i (£+l£) £ + l£/ (£) £ + l£-l/
(£-l£) £-l£i (£) £ + l£-li , (£ + U) £+l£-li (£) £-l£i
(£-l£) £ + l£-l/ (£) £+l£i (£ + l£) L+l£i (£) £+U-li
(2.185)
где функции X даны формулами (2.179), (2.183') с a=L—\L и b =
= L+1L и матричными элементами / (fp/'л) · Если положить кг = 0,
то получим уравнение (2.183) для спин-мультипольных взаимодей-
ствий с а= L — IL и b=L+\L.
6. Преобразуем гамильтониан с учетом решений секулярного уравне-
ния и рассмотрим распределение силы зарядово-обменных состояний.
Преобразуем гамильтонианы (2.166) и (2.167) с учетом секулярных
уравнений (2.178). Воспользуемся формулами (2 180), (2.180') и пе-
репишем (2.169) в виде
м™= ^(KfV'r'^o-^'K^
♦ (-)λ"μ(1 + ^λ'")Ωλ_μ,-] + . Σ -JL·- /λ(/ρ/„) *
'„ V2X+1
Χ [u U B(j / ; λμ) + (-)'Ρ% ν, V Д(/я/ ; λμ)],
'ρ 'η Η 'ρ 'η у
120

часть Нгм' ВХ0ДЯШУЮ в (2176), запишем следующим образом:
и =- Σ —2- ~ Ωλ„,Ωλ„/'· (2·186)
Нетрудно показать, что часть, соответствующая взаимодействию квази-
частиц с фононами, принимает вид
/ (λ)' Ла ; ч
Я = - - Σ У-^- Σ ΙΛ±. { [(_)λΛ1 + Л х
V'n
λ
+ (_)p n v. ν жу · λ-^] + h-c-} · <2-187>
'ρ 'η ^
Отличие на 1/2 этих формул в [75, 89] связано с различием в определе-
нии матричного элемента f(jpjn): здесь входит т±, а в [75, 89] т±/2.
Выражение для Hrsv и ^CSva B слУчае спин-мультипольных сил с
X=L—1 отличаются от (2.186) и (2.187) константами к, , соответ-
ствующими матричным элементам / 0pJn) ■
Получим выражения для распределения силы (р, и)- и (п, р)-пере-
ходов. Оператор (р, и)-перехода из четно-четного ядра-мишени {Z0,
AO } на состояния i нечетно-нечетного ядра {Z0+l, Λ7,,—1 } с
уменьшением на единицу проекции изоспина запишем в виде
a,w = i T_ lW_..t
Σ —^ (ψ!' и ν + „/ ν )Ω; . (2.188)
>ρ'η VTKTY V« >Ρ ln >ρ>η >ρ]η '
Оператор (и, ρ)-перехода на состояние г ядра { Ζ0—1, N0+l } пред-
ставим ь форме
3R
(+) = I у /(W , ,λ-μ,,,-
(2.188')
Амплитуды (ρ, η)- и (и,ρ)-переходов на состояния Ω+4>0 равны
ф,- = V2X+r(l± ^λ,)/(κΙ^Ι)>/2. (2.189)
итуды (2.189) входят в соответствующие вероятности β~- и
121

Распределение силы (ρ, η) - и (η, ρ) -переходов запишем в виде
В(р,п; Ω.) =(1/4)(1/к;)(1 + ^')2/^'';
В(п,р; Ω.) =(1/4) (!/«;> (1- ψ)\ψ .
(2.190)
(2.191)
Отличие от формул (2.164), (2.165) для деформированных ядер свя-
зано с другим определением X1 и тем самым с другими выражениями
для у-'' и ^''.
Взаимодействие между квазичастицами, описываемое в ПХФ, приво-
дит к концентрации силы на одном или нескольких однофононных
состояниях, образующих гигантские гамов-теллеровский и спин-диполь-
ный зарядово-обменные резонансы. Особенно четко эти резонансы
проявляются в (р, и)-реакциях с малым передаваемым импульсом.
Так, большая часть гамов-теллеровской силы, генерируемой спин-муль-
типольными взаимодействиями с L = 1 и λ = 0, сконцентрирована на
одном однофононном состоянии. В результате такой концентрации про-
В(р,п
15
10
5
0
25
20
15
10
5
; S?i),ycji.ed. / = /
-
1.1 . 1
а)
II 1 1
-
Il I I I II
/я=;+
δ)
1 · 1 .III
10
15 20 25 Й,МэВ
Рис. 2.9. Распределение гамов-теллеровской силы (р, л)-перехода (или β -распа-
да) на 90Zr;
а — расчет без учета взаимодействия, к[ = 0; б - расчет с учетом взаимо-
действия, к(01) =~23//4 МэВ. Энергия отсчитывается от основного состояния
«°Zr
122

исходит уменьшение гамов-теллеровской силы в области низколежащих
состояний по сравнению с расчетами в модели независимых квазичастиц
(рис. 2.9). Если константу к(01) положить равной нулю, то получим
описание в рамках модели независимых квазичастиц. В этом случае
значительная часть силы находится в области низколежащих ^-состоя-
ний 90Nb и рассчитанные вероятности β~ -переходов оказываются мно-
го больше экспериментальных. На рисунке продемонстрировано, на-
сколько значительно уменьшение гамов-теллеровской силы в низко-
энергетической области при учете взаимодействий между квазичастица-
ми в ПХФ. Тем не менее такого уменьшения недостаточно для согласия
с экспериментальными данными. Такого же типа концентрация силы
имеет место для спин-дипольных зарядово-обменных резонансов [89].
Полная сила, возбуждаемая в (и, р) -реакциях на четно-четных сфе-
рических ядрах, в 30—50 раз меньше силы, возбуждаемой в (р, п)-реак-
циях. При вычислении распределения первой силы в ПХФ поправки,
обусловленные связью с (р, и)-каналом, велики, и формулы нуждают-
ся в уточнении. Концентрация силы, возбуждаемый в (и, р) -реакциях,
не так велика, как в случае (р, и)-реакции. Эта сила распределена в ин-
тервале 5—20 МэВ. Взаимодействие квазичастиц с фононами приводит
к уменьшению гамов-теллеровской и спин-дипольной сил в области
низколежащих состояний. Однако уменьшение не так велико, как для
силы (р, и)-перехода.
Однофононные нейтрон-протонные состояния служат основой для
описания зарядово-обменных резонансов, вероятностей β~· и β ''"-распа-
дов и для вычисления вероятности двойного /3-распада [90].
Глава 3
ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗОНОВ
3.1. Бозонные разложения
1. Успех коллективной модели Бора—Моттельсона [4] (см. также
[7, 91]) в интерпретации низколежащих состояний стимулировал раз-
работку микроскопического описания коллективного движения. Была
построена модель квадрупольного гармонического вибратора: однофо-
нонное 2*-состояние имеет энергию cji, двухфононный триплет О*,
2* , 4* характеризуется удвоенной энергией и т. д. Фононы, описываю-
щие коллективные вибрации, выражаются через двухквазичастичные
операторы следующим образом:
в методе Тамма—Данкова
и'
123

в ПХФ
^\lli =-т Σ WXi, A+Ui'> W -(-)x~V,^(jy'; λ-μ)].
(3.2)
Известно, что спектры низколежащих состояний сферических ядер
заметно отличаются от спектра гармонического квадрупольного вибра-
тора. Ангармонические эффекты, во-первых, связаны с членами разло-
жения более высокого порядка, чем второй, и, во-вторых, обусловлены
принципом Паули, поскольку фононы, описываемые операторами (3.1)
и (3.2), не являются идеальными бозонами. Члены разложения более
высокого порядка обусловлены взаимодействием квадрупольных фо-
нонов друг с другом и с другими степенями свободы. Ангармониче-
ские эффекты велики для переходных ядер, в которых вибрационный
спектр перестраивается в ротационный. В случае зтих ядер ПХФ себя
не оправдывает. Для переходных ядер в первую очередь развиты методы
бозонных разложений.
В методах бозонных разложений билинейные комбинации фермион-
ных операторов выражаются через идеальные операторы бозонов в виде
конечных или бесконечных рядов. Методы бозонных разложений не да-
вали бы преимуществ, если бы все введенные операторы бозонов были
важны при описании низколежащих состояний. Основная идея всех бо-
зонных разложений состоит в ограничении несколькими коллективны-
ми бозонами, которые образуют коллективное подпространство полно-
го пространства. Именно в этом подпространстве выполняется диагона-
лизация гамильтониана. Если можно пренебречь связью выделенных
бозонов с другими степенями свободы, то нетрудно описать соответст-
вующие состояния. В этом случае гамильтониан в квадратичном испол-
нении оказывается простым, а члены бозонного представления гамиль-
тониана более высокого порядка быстро убывают. Такое предположе-
ние, естественно, будет выполняться только для нескольких состояний
и, возможно, не во всех ядрах. Во многих случаях необходимо учиты-
вать связь с коллективными состояниями.
2. При микроскопическом изучении коллективного подпространства,
играющего первостепенную роль в методах бозонного разложения, не-
обходимо установить однозначное соответствие между параметрами
фермионных операторов а*аа*с и операторами идеальных бозонов
Ь^с(ЬвС = — #со )· Рассмотрим четно-четные ядра. Пусть состояния
|и> образуют ортонормировэнный базис в фермионном пространстве.
Полное число бозонных состояний, которые можно построить с по-
мощью операторов b*ac , значительно превышает число фермионных со-
стояний. Среди них можно выделить подпространство, образуемое ор-
тонормированными состояниями |и), число которых совпадает с чис-
лом фермионных состояний \п) и которые обладают теми же свой-
124

Рис. 3.1. Представление квазичастичных
состояний в пространстве идеальных
бозонов
|/т>
Несриэическое
подпространство
И
Физическое
подпрост-
ранство
И
Пространство
кбазичастич-
ных состояний
Пространство
идеальных
доэоноб
ствами симметрии относительно пе-
рестановки индексов ахсх, а2с2 —,
что и фермионные состояния. Это
подпространство бозонного про-
странства называют физическим.
Остальную часть бозонного про-
странства называют нефизической,
поскольку состояния | и) не имеют
ничего общего с фермионной системой. Это соответствие фермионного и
бозонного пространств проиллюстрировано на рис. 3.1. Условие полно-
ты бозонного пространства записывается в виде
|0)(0|+ Σ \п)(п\ + Σ lu)(u] = 1. (3.3)
пФО и
Далее устанавливается связь между фермионными состояниями
| и) и операторами F, а также между соответствующими физическими
бозонными состояниями | и) и операторами £, т. е.
|и>
■1и);
(3.4)
При этом должны выполняться следующие соотношения между матрич-
ными элементами:
< n\F\n') = (n\ § \п'У, (и\$\п) =(и| f \u) = 0,
(3.5)
т. е. оператор & оставляет физическое бозонное пространство инва-
риантным. Эта программа выполняется двумя основными методами:
Беляева—Зелевинского [92] и Марумори [93].
В методе Беляева—Зелевинского базисные фермионные операторы
А* (/У; JM), ^ AUl"; Μ). Bin1; M)
выражаются через операторы рождения Ьа* и поглощения Ъа бозонов
так, чтобы сохранялись все коммутационные соотношения. Коммута-
ционные соотношения между базисными фермионными операторами
образуют замкнутую алгебру, изоморфную алгебре Ли группы
SO (2Ω) с Ω = Σ Ι / + — J . Базисные операторы выражаются
рез бозоны так, чтобы сохранялась алгебра группы SO (2Ω). Любой
125
че-

оператор представляется в виде ряда Тейлора
ψ[ΒΖ] _ gr(o) + yd) + + ^(и) + #м
и любое коммутационное соотношение { $ \, 5 2] =
полняться в каждом порядке разложения, т. е.
[ fF,(1). <F2(»] = .<F3(0>;
Такие разложения содержат определенный произвол, так как коммута-
ционные соотношения определяют операторы с точностью до унитар-
ного преобразования.
В методе Беляева—Зелевинского фермионные операторы разлага-
ются в бесконечные ряды по операторам бозонов
Л +(#'; JM) ■+ AJ = х10(а)Ь* +
+ Σ x2a1(a1a2a3)ba\bu^ba3 +...;
°1°2θ3
B(ff'; JM) - Ва = У°(в) + Σ yau(aia2)ba\ba2 +
+ Σ yl2 (aia2a3a4)b*lb*2ba3baA+ ... (3.8)
Ol02°3°4
Коэффициенты этих разложений находят итерационным путем из тре-
бования выполнения в каждом приближении коммутационных соот-
ношений. Они определяются неоднозначно. Например если считать,
что основное состояние системы является одновременно бозонным и
квазичастичным вакуумом, то у00(а) =0. Малым параметром разло-
жения (3.8) является [Σ (2/ + 1)]_1/2· Сходимость разложения за-
а
висит также от отношения e0l02/a>i, i. e сходимость ухудшается для
сильно коллективизированных состояний. Метод работает лучше, ес-
ли вместо операторов А£, Аа разлагать операторы β Vj,- . Q^ui или
^\μi ' eX/ii'
3. Изложим метод бозонного разложения Марумори. Введем пря-
мое произведение фермионного и бозонного пространств. Вакуумом
в этом случае будет произведение фермионного | 0) и бозонного 10)
вякуумов. Введем унитарный оператор
UM =|0) Σ |и)< п\ (0|, (3-9)
126
(3.6)
5 з ДОЛЖНО ВЫ-
(3.7)

который переводит фермионное состояние \п) в бозонное |и), т. е.
UM\n) |0) =|0>|п). (3.10)
Оператор
UJ = 10) Σ |η> (η |< 0|
η
переводит бозонное состояние | и) в фермионное | η), т. е.
£У |и)Ю) = |0) ·|«>,
причем
UJ |м)|0)=0.
Операторы £Л,, {/Л удовлетворяют соотношениям
^% = *V UMUM = V } (3.11)
Гд ξ |0)(0|; Ι> ξ |0)< 0|, Ρ = Σ\η)(η\. )
η
Оператор проецирования на физическое бозонное подпространство
можно записать так:
р = им ς |и>< η| и* = υΜυ+. (3.12)
π
Поскольку фермионное пространство является полным,
Σ |и>< п\ = 1.
η
Из (3.12) следует, что
UMP = rBUM = UM> PUM = UMTB = UM. (3.12')
Из условия нормировки
<0|(и|и')|0) =6^ = (0\<n\U^UM\n')\G)
вытекает, что U* U представляет собой единичный оператор в ферми-
онном пространстве. Любой фермионный оператор F с помощью опе-
раторов и„и иЛ переводится в бозонныи оператор J- следующим
образом:
(0|<w|F|n'>|0) =< 0|(и|£/^С^|и')|0> =
= < 0|(и|.Г|«Р)|0>, (3.13)
где § =^м^М' Оператор & имеет отличные от нуля матричные
127

элементы только между состояниями физического бозонного под-
пространства. Действительно, воспользуемся формулами (3.12Р) и по-
лучим
9 = UMFUM = pVMFU*P = Р$Р- (314)
Следуя [94], найдем явный вид оператора UM. Введем операторы
бозонов bgC, bac, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[Ко Vc'l = Ъаа,Ьсс'-Ъас'Ъа'с'>
\Ъас, Vc'l = l»*V > VJ = °- (3-15)
Волновую функцию бозонного физического состояния запишем в
виде
1») = ~7== 5 ^РрКЛи ■ ■ ■ Кпсп 1 о). (316)
V (2п - 1)!! р
где Σ (—)РР гарантирует антисимметрию волновой функции | и) при
Ρ
перестановке любых индексов из набора а\С\,\ . ., апсп. Волновая
функция фермионных состояний
В этом случае оператор IL· берется в виде
то . .
UM = 10X01 Σ — х
я = 0 (2«)! V(2n-D!!'
* (Σ Ь* аеаа)я\0){0\. (3.18)
ас
Подействуем им на фермионную волновую функцию и получим:
VM| η) = Ua*a*. ... « | 0 > | 0) =
1
Ю>< о|
(2п) ! \/(2и - 1)!!'
* (Σ Ьс>^)"а;Л; ... ав;< |0>|0)(0|0) =
ос
1 Σ (-)рРЬ* Ь* ... Ь* |0)|0> =
V (2и - 1) !! Ρ
= |и)|0>. (3-19)
128

Отсюда видно, что оператор UM переводит фермионную волновую
функцию |и> и бозонную \п).
Приведем явный вид бозонного оператора £ , для чего выразим
его через матричные элементы фермионного оператора F, а именно:
5 = Σ |и)< n\F\n')(n\ =
пп
= <0|F|0>|0)(0| + Σ —i_ x
η = 1 (2л)!
х Σ < 0\aCfaan ... aCiaaiF\0) —1~
ac V(2n- 1)!!'
X l^)PPba\c\ ■■■·*/,*, I 0)(0 | +
+ Σ — Σ <0\Faa\ac\ ...
n = l (2n)i ac ' '
--•<<J°> r 1 ,IQ) (oi ς (~)pPbanCn...
V (2n- 1)!! Ρ
... baiC + Σ 1 — Σ x
ш (2и)!(2л )! (ас) (а'с')
...«10)-—=—?—; Γ ς (-)^;ICI...
V (2n - 1)!!(2л - ])!! v
- b£nCn | 0) ( 0 Ι Σ (-)>№„;- . -. 6,- · (3-20)
Для частного случая F = α* α,* формула (3.20) принимает вид
има:<им = Кс -1-U- ±-\ ь;с х
х Σ Ь* Ъ — Σ b* b* b + ...
а2сг a2c2 Ι—i aa2 cc2 a2c2
"2^2 V3 a2c2 i z z z
Как показано в [3], двухфермионные операторы можно записать в
следующей компактной форме:
129
9-6636

4*<tf«W =ΡΣα Каг Α^-Σ *«,W:
°2 с2
V^m = SC2W'
причем оператор под корнем понимается как разложение в ряд Тей-
лора.
Бозонные разложения Беляева-Зелевинского (ΒΖ) и Марумори
(М) для операторов связаны соотношением [94,95]
f(M) = pf(BZ)p (3.22)
В послед1ше годы широко используется дайсоновское [96] бозон-
ное разложение (см. [11]). Его преимущество состоит в том, что фер-
мионные операторы выражаются в виде конечных бозонных разло-
жений. Однако дайсоновское преобразование неунитарно, и преобразо-
ванный гамильтониан оказывается неэрмитовым.
4. Бозонное представление операторов фермионных пар а+а а*, ifcife,
йдОс не имеет большого применения, поскольку соответствующее
бозонное разложение сходится медленно. Поэтому следует выбрать
операторы коррелированных фермионных пар, например операторы
фононов в методе Тамма—Данкова или ПХФ, которые выражаются
в первом приближении через бозоны так, что быстрая сходимость ряда
гарантируется. Феноменологическая модель Бора—Моттельсона по-
строена фактически на положении: только некоторое специальное под-
пространство фермионных состояний должно быть представлено в
виде подпространства коллективных бозонов (рис. 3.2).
Введем операторы коллективных фермионных пар, используемых
в методе Тамма—Данкова:
11 "
Функции φJ' удовлетворяют условиям
Рис. 3.2. Бозонное представление кол-
лективного фермионного подпространст-
ва:
а — коллективное подпространство
пространства квазичастичных состояний;
в — коллективное подпространство бо-
зонного пространства
> (3-21)
130

Σ \!/.'.f ψ.'./ = δ., δ.-.. - δ,./δ-'- -
,· ΨΙΙ у1г1г Иг Иг li г Иг
Введем оператор
Bii' = Σ tffJih Σ <Α"/2'"2Ιλμ) Χ
jj'j2 mm'm2
x <jmj2m2 UV>«/m fyw'.
Операторы β.+ , β. и β..'удовлетворяют следующим перестановоч-
ным соотношениям:
■=■ -^ +,
[б,·. Qi>] = 10*. О,*] = θ; [β., β-] = δΙ7' - V;
[β. , Α». ] = Σ Γ.''·'» 0.> ; [β.+ . Β.'. ] = - Σ г?'·' βΤ' ,
1 I »'2J .» '2'2 ^«2 l ' "2J .f Д1212^'2
I 2 '2
(3.23)
где Г."'.- = Σ φ λ φ! ■> φ1} .'Φ1.?. ·
'2'2 ..'. ./ Иг ΨΙ2/2 /2/ 11
П1212
Часто используется дополнительное предположение [97], что двойной
коммутатор из операторов β. , Qb не приводит к выходу из коллек-
тивного подпространства.
Построим нормированную волновую функцию 2и-квазичастичных
состояний:
\n)=NF(ri)\h, ♦-., 1Я> =^(и)0;ДГ ... Qt*\0), (3.24)
где нормировочная постоянная
Np (η) = < /,/2 ... i„\hh ... i„ > ~1/2·
Состояния (3.24) с пф 1 неортогональны,действительно:
< ixh I i'i«2 > = «,. f» δ. .. + δ. .. δ,- .. - Γ/'V . (3.25)
III 1 22' 2 »1»2 »2» 1 Ι2/2
Диагональные матричные элементы определяют нормировку состояний
(3.24). Так, для состояния I /ж/2 > имеем
NF(2) =(l+8/i/2 -rhff)-1'2. (3.25s)
Марумори ввел бозонное подпространство нормированных ортого-
нальных состояний
и = /V«) I/,;.. /„) = NB(n)(*.;)"ч*;2)"2 ··· ю), (з.2б)
13)

где ΝΒ («) = («i !и2! . · ·) *'2; операторы b^ b. удовлетворяют бозон-
ным коммутационным соотношениям. С помощью унитарного опера-
тора UM в виде (3.9) коллективную часть фермионного гамильтониана
Η°°* = Ъе\п)(п\Нр\п>Ы\ (3.27)
пп
преобразуем в гамильтониан, выраженный через операторы бозонов
p|n)<n|#F|nP>(nP|. (3.28)
ц coll _
Поскольку
1 0) (0 | =
"мЧ°П
= :ехр { -
Ч
-Σ
=
V
Σ,|
пп
bi}
in)
: =
= 1 - Σ b* b + — Σ b*b* Ъ.Ъ. + .
i ' ' 2! ilh «l '2 Μ '2 '
оператор \ri)(n' Г можно записать так:
I и) («'I = ΝΒ (η)ΝΒ (η1) (6* ) я>(*£) "а ...
... { l - ς*;ь. + ... } (ν,)"'1^)"'2 ··· (3·29>
Коллективный гамильтониан fFJ? выразим через фермионные
матричные элементы (п\Нр\п > и разложение и) (и | в виде (3.29).
Приближение является хорошим, если сумму по η и к' можно ограни-
чить малыми значениями η и η , т. е. если η + и ^«тах> которое не-
велико. В этом случае
п+п'<птйХ
(«ol/^ollln'o) * Σ ΝΒ(η)ΝΒ(η') х
л, и' = 0
х < η |Я„. | н'> («о | (V,)"1^) "2 · · · х
х{ Ι-ς*;*, + ... } (^)"ч*,··,)"'2 ·■ · I«'») <3·30)
и матричные элементы (ио|Я^°111 нР0) высокого порядка по и0, «O
приближенно выражаются в виде суммы, содержащей фермионные
матричные элементы (η| Нр\ η ) низкого порядка по η, η . Матричные
элементы < η \ Нр | и ) записываются через выражения
</,... in 11, ... i„ >, </,... /и+1 | /, ... гп+1 ) и
132

< J'l ... i„+2 I 'l -· · 'n+2 *"
В [97, 98] получено рекуррентное соотношение между такими выраже-
ниями, и нормировку многофононных фермионных состояний удается
свести к нормировке двухфононного состояния в виде (3.25), (3.25 ).
Предполагается, что матричные элементы {п\Нр\п) не приводят к
выходу из подпространства^коллективных состояний.
Поскольку операторы Q*. не являются идеальными бозонами, стро-
гий учет принципа Паули приводит к тому, что <i\ ■ . ■ in\i\ . . . i„)
быстро уменьшаются с ростом и. Поэтому разложение Марумори для
коллективных состояний быстро сходится с увеличением п, и можно
пренебречь членами с большими значениями п. Это разложение оказы-
вается эффективным, если коллективное подпространство, определен-
ное учитываемыми состояниями | /х ... i„), близко к пространству,
определяемому приближенными собственными функциями многочас-
тичного гамильтониана, т. е. если Η приводит к слабой связи с оставшей-
ся частью пространства состояний.
Если учесть все операторы Q* , включая неколлективные, то метод
Марумори в первом приближении перейдет в метод Тамма.—Данкова.
Метод бозонного разложения, основанный на приближении Тамма—
Данкова, развит также в [99].
При использовании методов бозонного разложения встречаются оп-
ределенные трудности. Так, в [100] показано, что если ограничиться
низшими порядками разложения коллективных фермионных пар по
частично-частичным бозонам, то не будет достигнуто правильное коли-
чественное описание квадрупольных состояний ядер. Это указывает
на необходимость учета членов высшего порядка.
3.2. Микроскопическое описание
квадрупольных возбуждений
1. Квадрупольные степени свободы, введенные Бором и Моттель-
соном, четко проявляются в ядерных спектрах [4]. Коллективные
состояния связаны между собой большими матричными элементами
оператора квадрупольного момента. Бозонное представление квадру-
польных возбуждений так же, как в [99, 100], будем основывать на
ПХФ. Следуя [101], введем операторы
<№ =4 Σ vV(//'; м + (-)λ~~^(//'; λ-„)];
2
ρ> =_ J- Σ рУ[А(.п-1 Μ) -(-)λ-μΑ+υπ Х-л)Ь
' 2 ..' /'
(3.31)
и
133

где i = 1,2'...— номер корня секулярного уравнения (2.109). Ампли-
λ/ λ/
туды р.,', q·-' связаны условиями
v Xi Xi
И
Xi· >'.
V: Σ%'ρ>^
(3.32)
= -- [δ-, δ.».» - (-)7'+/'_λδ,.' δ./.
2 (_ /72 //2 ν ' //2 7/2 .
Операторы q^ и ργ1 удовлетворяют следующему коммутационному
соотношению:
7λμ \'μ\ = .
Κ·μ. Pi· ] = i<v. λ·μν -* ...^ $;4>>>'; «ο -
iihJM
ff'J
xj j <λμλ' -μ'|/^>(-)λ'""μ,[1+ (-)/+/' + /l· (333)
< λ'λ/2 >
Если пренебречь в (3.33) вторым членом, как в ПХФ, то получим ком-
мутационное соотношение между координатой и импульсом, которые
поэтому рассматриваются как обобщенные координаты и импульсы.
Чтобы получить полную систему операторов (замкнутую алгебру),
к операторам q.4 py1 следует добавить линейно-независимые ком-
мутаторы \р**, рУ ], fa^.i*'/] и [ЧУ, р*У].В [101] показа-
но, что это множество операторов эквивалентно набору двухквазича-
стичных операторов «^аД,., «,-<„,'%' % °/V'
Для иллюстрации рассмотрим 0-копебания ядер. В этом случае пол-
ный набор составляют операторы q™fV p*°u и [q™n, p™n],
т. е. операторы с i = 1. Двойные коммутаторы имеют вид
НО. рД,°„Ь О.! = -^1рД,. - ς,
соШ
'coll
coll
Σ L.p20;
z*l ' '
ВДп· P&h Pcolll = ^.Cll + Σ If^°,
i тр 1
где
L, =4 Σ q?.Pρ™., q2.? q20.·
..,. .· HU FJ2l Ч//2 Ч/2/2
// /2/ 2
£! =4
II lit г
20 20 20 20
VP/2/'%2P/V2
134
(3.34)

Они показывают, что алгебра операторов q™n, р2о°и и [ς2^,, р2°и1
не замкнута. Если ограничиться только коллективными состояниями
и пренебречь операторами р.20 и q?° с г" ^ 1, то эти операторы образуют
замкнутую алгебру, совпадающую с алгеброй 5U(2) -группы.
При учете /3- и γ-колебаний вводятся следующие операторы и ком-
мутаторы:
22
^coll' ^coll' pcolI' Pcoll' l^coll' ^colP' l^coll· РсоШ '
r 22 22 . r 20 20 1 r 20 22 , r 22 20 .
l^coU ' PcolP ' I 9coJI ' PcoII J' I 9coII · PcoIIJ ' WcolI ' PcollJ ·
Среди этих операторов имеется восемь линейно-независимых, ко-
торые образуют S U(3) -алгебру. Если учесть все пять квадрупольных
степеней свободы, т. е. добавить вращение, то операторы <7^jj ,
Pcoll и их коммУтатоРы> данные в [101], образуют замкнутую ал-
гебру, которая совпадает с SU(6) -алгеброй.
2. Построим коллективный гамильтониан, который должен быть
ротационно-инвариантным и инвариантным относительно операции
отражения времени. Поскольку фермионный гамильтониан выражает-
ся через пары операторов А{Ц'; λμ), A+(jj'; λμ) и B(jj'; λμ),
то коллективный гамильтониан должен быть квадратичным относи-
тельно операторов, образующих SU(6)-алгебру. Используя формулы
(3.31) и (3.33), фермионный гамильтониан записан в [101] в терми-
нах операторов Q2^u и P2^ji и их линейно-независимых комму-
таторов, замыкающих SU(6)-алгебру. Для операторов Я2^ц и
р2Н, и их коммутаторов имеется точная бозонная реализация че-
рез операторы квадрупольных бозонов d*, d (μ ~ 0> ± 1 > ± 2):
«cofl = >/N-Nd(r)Vd + d+y/N-Nd
Peon = * [Η μ^1μ λΑ-^' - Jn-N^J ;
*«■ ^'ii = *μ«ν + (-)μ+μ>μ«*_μ - v<"4);
^ = ^;v
™[<ν*μ'1 = V' μμ. ν1 = ^μ'^μ1
(3.34')
135

Здесь N — целое положительное число, равное максимальному чис-
лу бозонов в волновой функции. Фермионные операторылпредставлены
бесконечными рядами Тейлора по степеням оператора N.. Это бозон-
ное представление фермионных операторов — такого же типа, как пред-
ставление в [102] для S(7(2)-алгебры. Бозонная реализация (3.34')
соответствует полностью симметричному неприводимому представле-
нию группы SU{6), целое число //есть собственное значение линейного
оператора Казимира для этой группы.
Используя формулы (3.34'), построим коллективный гамильтониан
в виде
+ h.c.] + й3 id* · [<pirf](2)>/jV-Wrf + h.c. } +
+ Σ { h4L[d+ x d+](L) -|dx d]^ } ,
L =0,2, 4
где
3|, = (-)μ<*_μΤ [d7^](2) = (-)μΙ«Τ xdl2^. (3.35)
Здесь · означает скалярное произведение, х — тензорное произве-
дение. Информация о среднем поле и остаточных взаимодействиях
включена в параметры h0, ht, h2, А3, А4£. Оператор квадруполь-
ного момента
бад = e{d^jN-Nd + у/ν-Ν^) + X[d+ xd] W>, (3.36)
где % x — параметры. Обычно ТУ полагают равным половине числа нук-
лонов в незаполненной оболочке. Гамильтониан (3.35) диагоналиэиру-
ется в пространстве состояний, реализующих базис полностью симмет-
ричного неприводимого представления SC/(6) с квантовым числом N,
т. е. волновая функция коллективного состояния имеет вид
ШЩ) ~ Хо^^ягч ,0)' (ЗЛ)
где d | 0) = 0; q - другие квантовые числа. На коэффициенты С Ч
наложены условия ортонормировки.
Волновая функция (3.37) содержит компоненты с различным чис-
лом бозонов. Из рис. 3.3 видно, что в волновую функцию первого
2* -состояния кроме доминирующей однобозонной компоненты замет-
ный вклад дают компоненты с N1 = 2 н N'=3. В состояниях 0* и 2*
кроме двухбозонной компоненты большой вклад дают компоненты
с N'= 1,3и4.
136

Рис. 3.3. Вклад безбозонных компонент
и компонент с одним, двумя и большим
числом бозонов в нормировку волновых
функций основных 0|- и возбужденных
г\-, 2£- и СЬ-состояний в ls2Gd, рас-
считанный в [lOl] c/V = 7
о 1 г з ч- s ел/'
Гамильтониан (3.35) является комбинацией линейных и квадратич-
ных членов по степеням операторов
<1^Ν-Να, </Ν=ΝΖαμ, d + dj. ■ (3.38)
Такая запись выполнена в S £/(6) -приближении. Она основана на пред-
положении о том, что двойные коммутаторы типа (3.34 ) не выходят
за рамки коллективного подпространства, т. е. рассматриваются только
коллективные с i = 1 квадрупольные степени свободы, и на пренебре-
жении /-зависимостью двойного коммутатора. Операторы (3.38) и их
коммутаторы образуют 35 линейно-независимых базисных операторов
группы SU(6), т. е. получена бозонная реализация SU(6)-алгебры для
полностью симметричного представления, характеризуемого квантовым
числом N.
Арима и Якелло [103] дали элегантную трактовку квадратичного
корня в (3,35) путем преобразования:
N-Nd^- s+s = Ns, (3.39)
где s* — оператор рождения s-бозона с угловым моментом/ =0. (Из-за
сохранения полного числа бозонов скалярный s-бозон может быть
исключен.) При таком введении s-бозона не появляются новые степе-
ни свободы. Коллективный гамильтониан #со11 в 5i/(6)-приближении
может быть записан как
Я^11 ■* UMHFU^ = Г0РН, (3.40)
где Η выражен через операторы s- и rf-бозонов. Арима и Якелло [103]
постулировали феноменологический гамильтониан модели взаимодей-
ствующих бозонов (МВБ). В [103] SU(6)-группа объявлена группой
динамической симметрии.
Гамильтониан МВБ не может быть получен непосредственно из фер-
мионного гамильтониана с помощью преобразования Марумори. Соглас-
137
1 от
0,5
Мл-

но [104], преобразование пространства фермионных состояний в бо-
зонные проходит в два этапа. На первом пространство спаренных с J =
= 0 фермионов преобразуется в s-бозонное пространство, на втором эта-
пе пространство состояний с синьорити, отличной от нуля, преобразу-
ется в J-бозонное пространство. В результате двухступенчатых преобра-
зований Марумори получается гамильтониан в виде бесконечного ряда
по tf-бозонам. Для перехода к гамильтониану МВБ используют SU(6)·
приближение.
Заметим, что парное подпространство содержит как основное, так
и возбужденные состояния с синьорити нуль. Одна из важных мод воз-
буждения парного подпространства — парновибрационная мода [105],
проявление которой сначала было замечено в [106] в ускорении благо-
приятных α-распадов. Как показано в [6, 61], в деформированных яд-
рах парновибрационная мода смешана с квадрупольной, и они обе фор-
мируют β -вибрационные состояния.
Эквивалентность развитой в [101] и изложенной в данном парагра-
фе модели и МВБ доказана в [107], где показана идентичность гамиль-
тонианов и соответствующих операторов. Это сделано путем явного
построения швингеровской реализации генераторов q 2Н,, ρ 2ν
[С Й- ΓΑ <ЙЬ Ь^. Р2М"] ^-коллектив-
ной квадрупольной алгебры через бозонные операторы d*,d, s + , s.
Установлена связь между феноменологическими параметрами обоих
гамильтонианов.
3. Разработанный в [101] и изложенный нами метод с гамильтониа-
ном (3.35) предназначен для описания низколежащих состояний пе-
реходных ядер, для которых ПХФ непригодно. Этот метод можно ис-
пользовать также для изучения перехода от сферических ядер к де-
формированным и для описания ряда сферических ядер.
Рассмотрим частное решение уравнения Шредингера с гамильтониа-
ном (3.35), у которого h2 = h3 =0. В этом случае гамильтониан комму-
тирует с оператором N. и собственные функции характеризуются чис-
лом квадрупольных квантов N. Энергия системы имеет вид
£"(/, N,8 ) = atN + a2N2 + д3<§( § + 3) + a4I (I + 1),
где / — угловой момент; £ — синьорити; коэффициенты a i,fl2,fl3,ai
выражены через #t и h/ц. Если аг, аъ, а4 малы по сравнению с ai>
то получаем спектр слабоангармонического осциллятора, схематиче-
ски представленный на рис. 3.4. Если в операторе (3.36) положить
X = 0, то для вероятностей ^-переходов с точностью до поправок IfN
получаются те же соотношения, что и в модели гармонических квад-
рупольных колебаний.
В ряде сферических ядер модель слабоангармонического вибратора
не в состоянии объяснить отношения вероятностей В(Е2) переходов
138

Рис. 3.4. Спектр коллективных состояний слабо- Ζ
ангармонического осциллятора 3
3
2
2
2
с двухфононного триплета на основное и /
однофононное состояния и между состояния-
ми триплета. Учет смешивания одно-, двух-
и трехфононных состояний оказался недо-
статочным для объяснения, например, отно-
шений В(Е2) в 108Pd. Исследования, про- °
веденные в [101], показали, что важную роль Л
играют примеси состояний с большим чис-
лом бозонов. Так, в 108Pd потенциальная энергия квадрупольных
колебаний имеет при β2 — 0 не минимум, а максимум. Минимум на-
ходится при β2 Φ 0, но глубина его значительно меньше энергии нуле-
вых колебаний. Поэтому свойства низколежащих состояний I08Pd
резко отличаются от свойств сферических и деформированных ядер.
Именно в подобных сложных случаях оказывается эффективным
описание, основанное на методе бозонного разложения.
Свойства многих переходных ядер не удается объяснить интерполя-
цией между вибрационным и ротационными пределами. Отношение
энергий может быть близко к предсказанному ротационной моделью,
а отношение В(Е2) — предсказанному вибрационной моделью, и на-
оборот. Так, в [101] выполнены расчеты низколежащих коллективных
состояний в ,s0,,s2Sm и ls2Gd с гамильтонианом (3.35), у которого
h*L = 0. Параметры гамильтониана фиксированы на основе экспери-
ментальных данных, N- 7 для ' s0Sm и ' S2Gd и N= 9 для 's2 Sm. В ре-
зультате расчетов получено хорошее описание энергий состояний
0* , 2* , 4\ , 6* , 8* , а также 0* , 2* . 4* и 2* , 3+, 4* . Удалось описать
отношения В(Е2), близкие к предсказанным ротационной моделью,
тогда как отношения энергий близки к предсказанным вибрационной
моделью. Это связано с тем, что волновые функции данных состояний
имеют сложную структуру. Волновые функции возбужденных состоя-
ний содержат слагаемые с разным числом бозонов, что продемонстри-
ровано на рис. 3.3, причем ни одна компонента (кроме 2|-состояния)
не превышает 50%. Как правило, значительный вклад дают две-три
компоненты. Если основные состояния ls0Sm и ls2Gd близки к сфе-
рическим, то волновые функции возбужденных состояний с многооб-
139
о*
г+
о*
Ч-+
2*
2*
0*
О
S

разными компонентами обладают ротационными и вибрационными
свойствами.
В переходных ядрах ротационное движение не отделяется от внут-
реннего. Однако экспериментальные данные указывают на то, что уров-
ни можно сгруппировать в квазиротационные полосы [108], внутри
которых значения В (£2) значительно больше, чем между уровнями
разных квазиротационных полос. Это объясняется тем, что бозонные
структуры уровней одной квазиротационной полосы подобны друг
другу. Их зависимость от числа бозонов приближенно можно описать
одной и той же кривой, которая сдвигается на единицу вдоль шкалы
числа бозонов при переходе от одного уровня квазиротационной по-
лосы к соседнему. Это сходство обеспечивает большие значения В (Е2)
внутри квазиротационньгх полос- Бозонные структуры уровней раз-
личных квазиротационных полос сильно отличаются друг от друга,
что объясняет небольшие значения В(Е2) для переходов между уров-
нями различных квазиротационных полос. Разные модификации бо-
зонных моделей широко используются для описания коллективного
квадрупольного движения (см., например, [109]).
3.3. Модель взаимодействующих бозонов
1. Как уже указывалось, феноменологическую МВБ сформулирова-
ли Арима и Якелло [103, ПО, 111], опираясь на методы теории групп.
Они ввели бозоны двух типов: s-бозоны с / =0 и квадрупольные J-бо-
зоны (d , μ-0,± 1, ± 2) и предположили, что 0+ - и 2* -коллективные
нуклонные пары играют доминирующую роль в описании квадруполь-
ных коллективных состояний. Они использовали швингеровскую реа-
лизацию 35 генераторов группы 51/(6) и постулировали, что коллек-
тивный гамильтониан — самый общий ротационный инвариант, который
можно построить из генераторов группы SU(6). Бозоны выражаются
через коррелированные пары нуклонов, поэтому МВБ имеет связь с
оболочечной моделью. Однако МВБ основана на сильно суженном фер-
мионном пространстве оболочечной модели. МВБ предназначена для
описания низколежагдих состояний ядер с незамкнутыми оболочками.
Ограничимся рассмотрением четно-четных ядер.
В первоначальном и наиболее распространенном варианте моде-
ли, который обозначается как МВБ-1, пренебрегают различием между
протонными и нейтронными бозонами. Гамильтониан модели сохра-
няет полное число бозонов
N =NS + N. =s + s + Σ d+udl. (3-41)
μ μ μ
Он ограничен членами четвертого порядка и содержит следующие про-
изведения:
s*s, d*d, d*d*dd, s*s*ss, d*d*ss, d*d*ds + h.c.
140

Операторы s и d удовлетворяют бозонным коммутационным соот-
ношениям-
Часть #МВБ_1> которая дает вклад в энергии возбуждения, часто за-
писывают в виде
"мвб-. =Ed"d + «"ν* n-K'a-D -
- κ(β· Q) + С3(Т3 ■ Г3) + С4(П ■ П), (3.42)
где
Nd=(d*.d), Ρ = OI2)[(dd)-{ss)],
(3.43)
Q = [d* x x + s* x rf](2) - s/T]2[d+ x 2](2). (3.44)
T3 = [d+ xtf](3), Γ4 = [d* x d](4). (3.45)
где £,, к, к . к", С3, С4 — феноменологические параметры. Запись
гамильтониана в виде (3.42) удобна тем, что можно ограничиться, на-
пример, только тремя членами.
Если пренебречь взаимодействием между бозонами, то волновая
функция невозмущенного основного состояния ядра будет произведе-
нием N· s-бозонов:
\g) = (I/VwTHO^IO), (3.46)
т. е. бозонным конденсатом, соответствующим заполнению состояний
с наименьшей энергией. Бозонныи вакуум отождествляется с дважды
магическим остовом. В возбужденных состояниях некоторые из s-бо-
зонов заменяются d-бозонами. Волновая функция квадрупольного
возбуждения имеет вид
\μ) =[U \/(N-V>?]d*(s+)A'-l\0). (3.47)
Невозмущенный спектр — это спектр гармонического осциллятора.
Бозон-бозонные взаимодействия приводят к усложнению волновых
функций основного и возбужденных состояний. Волновая функция
коллективного состояния с числом бозонов N, угловым моментом /,
его проекцией Μ и дополнительным квантовым числом q имеет вид
| NJMq) = Σ С$« (d* ) ^ (s ♦ ) N~N<1 | o). (3.48)
i\'d = 0 ' d JMq
На коэффициенты CL^ наложены условия ортонормировки. Чтобы чис-
' d
ло бозонов .V было хорошим квантовым числом, необходимо иостро-
141

ить бозоны на частично-частичном или дырочно-дырочном фермионном
базисе. Полное число бозонов равно
(η/2, и < Ω;
N = <
(П-п/2, п> Ω,
где Ω = Σ If. + — J — число учитьшаемых одночастичных уровней
среднего поля, во многих случаях Ω берется равным числу уровней в
заполняющейся оболочке. Здесь η — сумма чисел нейтронов и протонов
сверх замкнутых оболочек. Возможны случаи, когда N равно сумме
половины числа нейтронов сверх замкнутой оболочки и половины числа
протонов, которых не хватает для того, чтобы оболочка была замкнута
(протонных,дырок). При диагонализации гамильтониана (3.42) вычис-
ляются энергии коллективных состояний £дг и коэффициенты CNqвол-
новой функции (3.48).
Для электромагнитных переходов с λ < 4 и статических моментов
соответствующий оператор выражается через бозонные операторы сле-
дующим образом:
$Κ(λμ) = ebX2[d* xs + s* x d\™ + xx[d* x J]^ +
+ Х°б^,оо[5+хХ]<о0>, (3-49)
причем оператор E2-перехода имеет вид
?Κ(£·2μ) = е { [d* х s + х+ х d] (2^} + \ [d* xdfC) (3.50)
и правила отбора ΔΝ. = 0, ± 1. В данной формулировке модели все
Ail-переходы запрещены, а в (3.49) входит только диагональная часть
Ml-оператора, ответственная за магнитный момент. В рамках МВБ
можно также рассчитать интенсивности реакций двухнуклонных пе-
редач.
Собственные волновые функции гамильтониана (3.42) являются
базисными функциями неприводимых представлений группы SU(6).
Для отыскания квантовых чисел и построения полного базиса много-
бозонных состояний нужно найти инвариантные подгруппы группы
SU(6). Для классификации группы SU(6) используются следующие
цепочки подгрупп:
SU(6) D SU(5) Э 0(5) Э 0(3),
SU(6) D SU(3) D 0(3).
SU(6) Э 0(6) D 0(5) D 0(3).
В зависимости от значений параметров МВБ имеет несколько преде-
лов, которые соответствуют различным подгруппам группы SU(o)-
142

Рассмотрим вибрационный предел с 51/(5)-симметрией. В этом слу-
чае s-бозоны не играют роли, остаются только квадрупольные бозоны,
и гамильтониан модели принимает вид
"мне-. = Ed"d + Σ CL (К*^]^^*^1).
L =0,2,4
(3.51)
Собственные энергии и вероятности переходов выражаются в аналити-
ческой форме.
Рассмотрим другой случай, когда в (3.42) полагаем к" = Сз =Сц -
= 0, тогда гамильтониан (3.42) принимает вид
Ямвб-! =Ed{d*d) -k\L-L)- k(Q-Q). '(3.52)
Он зависит от параметров Ε,, к' . к. Ротационный предел, основанный
на группе SU{3), достигается при Е, = 0. В этом случае возникает
спектр аксиально-симметричного жесткого ротатора с вырожденными
β- и γ-состояниями. Наконец, подгруппа 0(6) играет важную роль в
классификации состояний. Собственные значения также могут быть
получены в аналитической форме. В этом пределе МВБ описываются
мягкие относительно γ-деформации ядра.
Спектры ядер недостаточно хорошо воспроизводятся в рамках ука-
занных пределов модели. Спектры некоторых ядер, например изотопов
самария, описываются с помощью гамильтониана (3.52), являющегося
промежуточным между SU(5)- и ^(З^пределами. Состояния 2* ,
О*, 1* и 4* в изотопах осмия рассчитываются с гамильтонианом,
являющимся промежуточным между SU(3)- и О(6)-пределами. Такие
же состояния в изотопах ксенона описываются в рамках гамильтониана,
промежуточного между 0(6)- и Si/(5) -пределами- Имеются ядра, при
вычислении спектров которых нужно проводить диагонализацию пол-
ного гамильтониана (3.42). В рамках МВБ-1 благодаря большому чис-
лу свободных параметров получено неплохое описание энергий низко-
лежащих уровней и вероятностей ^-переходов между ними в сфериче-
ских, переходных и деформированных ядрах (см. [110—112]).
2. Введенные х- и (/-бозоны сходны с коррелированными парами
нуклонов, имеющими угловые моменты J = 0 и J = 2. Согласно оболо-
чечной модели, в сложных ядрах нейтроны и протоны заполняют раз-
ные оболочки. Структура низколежащих состояний четно-четных ядер
выражается через коррелированные пары нейтронов и протонов, нахо-
дящихся в незаполненных оболочках. Чтобы связать бозонные степе-
ни свободы с нуклонными, более явно сформулирован усложненный
вариант модели [ПО, 111, 113, 114]. получивший название МВБ-2.
Введены бозоны двух типов — протонные sp, dp и нейтронные sn, dn.
Групповая структура модели становится SU1 (6) ®5С/"(6)· Переход
143

к МВБ-2 обусловлен также спектрами ядер с одной замкнутой обо-
лочкой. Если добавление пар валентных нуклонов слабо меняет
спектр, то добавление пары сверх заполненной оболочки приводит
к резкому снижению энергии 2 ^-состояния. Это свидетельствует о
важной роли нейтрон-протонного взаимодействия и о желательности
его явного введения в коллективный гамильтониан.
Гамильтониан МВБ-2 имеет вид
#мвб-2 = EpNdp + EnNdn + k(Qp- Qn) + Vpp + Vnn + Mpn,
(3.53)
NdT = (d* · d) T , т = n, p;
QT = [d* x s + s* x d]^ + xT\d* x d]V\
Σ CLT-~ (2L + l)'/2[[^ x d+\\L) *
где
)
(3.54)
7T
L - 0, 2,4
x [dx d]<L)]l°>:
Mpn = Ы[*и* * d*
* s*]w * fs«* ^
> (3.55)
4. * ^p](2)](0) + Σ ξ,[[< x<]
(Λ)
Jt = 1, 3
X [i, «i](t)],0)t
Здесь fp, £"„ — энер1 ии протонных и нейтронных бозонов; к (βρ ■
" Qn) — квадруполь-квадрупольное взаимодействие между протонны-
ми и нейтронными бозонами, члены Vm и Vpp описывают взаимодей-
ствия между сходными бозонами. Майорановский чпенМрп введен для
смещения в сторону больших энергий состояний, не полностью симмет-
ричных относительно протонных и нейтронных степеней свободы. Со-
храняется полное число бозонов
N = Np+N„,
NP=Nsp +Ndp,
Nn = Nsn + N
dn
(3.56)
причем 2Np и 2Nn обычно принимают равными числам протонов и нейт-
ронов вне замкнутых оболочек. Волновая функция коллективного
состояния с числом бозонов N с JM и дополнительными квантовыми
имеет вид
числами qua
'η
Nn
\NNpN„: JMq■ a )= Σ
N*P
Λ',,
Λ/ , = 0
an
rJ4p4n
Sv. Λ', X
dp dn
144

™ ар"'-"* Ю»"-»**
io).
(3.57)
На коэффициенты С Ρ " наложены условия ортонормировки. Имен-
но на таком базисе проводится диагонализация гамильтониана (3.53).
В ряде работ, например в [115, 116], вводится смесь двух конфигу-
раций, различающихся значениями максимального числа протонных
бозонов (разница - два протонных бозона). Если два протона при
возбуждении переходят через оболочку, то имеются как бы протонные
бозоны двух типов — частичные и дырочные. Однако этого различия не
делают, а вводят в гамильтониан дополнительный член
/W = ids* · «; + sp ■ sp) + h[d+p * d* + dp x dp\(0), (3.58)
ответственный за смесь конфигураций Np и Np + 2. Кроме того, вводят
параметр ΔΕρ, представляющий собой энергию, необходимую для воз-
буждения такой конфигурации.
Гамильтониан (3.53) содержит большое число параметров. Чтобы
уменьшить их число, полагают Ер = Еп = Е, отбрасывают члены Мщ
и Hmix. Но и в этом случае еще остается 10 параметров. Обычно чис-
ло их сводят к шести, полагая QT = 0 и учитывая или V < или Vnn.
Оставшимися параметрами являются Е, к, хр, хп, С0т> С2т ПРИ т ~Р и™
τ = и. Как правило, эти параметры определяют при описании спектра
одного ядра (см., например, рис- 3.5). Нельзя сказать, что энергии
6* - и 8| -состояний для ядер с Ν> 10 описывались хорошо. Поведе-
ние параметров е, к и х в изотопах теллура (рис- 3.6) близко к
поведению параметров для изотопов кадмия. Из рис. 3.6 видно, что
при изменении числа нейтронов N одни параметры изменяются слабо,
а другие довольно сильно. Конечно, чем меньше и монотоннее изме-
няются параметры при переходе от ядра к ядру, тем более надежным
представляется описание в рамках МВБ-2. Следует иметь в виду, что
обычно для определенного ядра имеются экспериментальные данные
по энергиям 10—12 уровней, т. е. около двух данных на параметр. По-
этому находят несколько наборов параметров, одинаково хорошо
описывающих экспериментальные данные.
Оператор £'2-перехода берется в виде
Ы(Е2) =e&Qp + e^Qn, (3.59)
где elf', ejf' — эффективные квадрупольные заряды протонных и
нейтронных бозонов; Q дано формулой (3.54). В ряде работ считают,
что еρ ' и ε**' зависят только от Np и Nn соответственно. В других
145
10-6636

Рис. 3.5. Экспериментальные и рассчи-
танные в МВБ-2 энергии 2;-. 4 р. б]-, и
81-состояний в изотопах теллура (Η6|
-7,6|_
S'f 6Z 70 7Я V
Рис. 3.6. Поведение параметров е, К и \п М13Б-2 в изотопах теллура
работах полагают, что е * ' = е * ' = е и что они постоянны для всех
изотопов данного элемента. Считают также, что <?*2) пропорциональ-
но к, а е£ / зависит только от Np и постоянно для всех изотопов. Так.
в [116] получено достаточно хорошее описание вероятностей /f2-iiepe-
ходов 2* -*· 0* , 4* -^2* и несколько худшее — переходов 2* -> 2*
и 0* ~* 2* в изотопах кадмия с "е =0,095 · 10~24 е - см2 и в изотопах
теллура с е" = 0,118 ■ Ю-24 е - см2. При учете смеси Np = 1 и Np = 3
конфигураций с помощью Нт-1Уь (3.58) оператор £2-перехода берет-
ся в форме
ЗЙ (£2) = ex{Qip + Qin) + ^(бэр + бзи). (ЗЫ)>
где ?1, е3 — эффективные заряды протонных и нейтронных бозонов
в конфигурациях N = I и /V = 3. Только ценой введения этих двух кон-
фигураций в [116] удалось описать энергии и вероятности В (Е2) для
2* -, 2* -, 2* -, 0* -, 0* - и 4* -состояний в ''2''' 4Cd, для них принято
Г, =0,095 · 10"24 е -см2 и 73 = 0,152 · Ю-24 е · см2.
Параметры МВБ-2, которые недостаточно хорошо и однозначно оп-
ределены, сравниваются с микроскопически рассчитанными в рамках
146

оболочечной модели значениями. Такие микроскопические расчеты
выполняются в три зтапа. Первый — урезание пространства валентных
нуклонов до подпространства пар с / =ОиУ =2и положительной чет-
ностью. Эти операторы пар связаны с наинизшими коллективными
0+- и 2* -состояниями. Второй — преобразование этого фермионного
подпространства в бозонное подпространство, главным образом с по-
мощью концепции обобщенной синьорити [117]. Хотя число бозонов
равно половине числа фермионов, операторы бозонов - это не просто
нары фермионов с / =0 и / = 2, они содержат значительную коллек-
тивность взаимодействующих фермионов. Третий - оценка ренормали-
зационных эффектов, обусловленных состояниями, особенно с J — А,
не входящими в урезанное фермионное подпространство, а принадле-
жащими большому пространству оболочечной модели. В ряде расче-
тов ренормализационные эффекты оказались значительными. Микро-
скопическое вычисление параметров МВБ проводится рядом групп
[111, 117, 118], еще предстоит большая работа по учету ренормализа-
ционного эффекта.
3- Модель МВБ-2 воспроизводит все результаты модели МВБ-Ι и до-
полнительно содержит состояния так называемой смешанной симмет-
рии. Такие состояния не полностью симметричны в sd-пространстве и
разрешены в МВБ-2 из-за дополнительных нейтрон-протонных степеней
свободы. Они должны лежать по энергии выше полностью симметрич-
ных состояний. В деформированных ядрах к состояниям смешанной
симметрии принадлежат полосы с Kv = 1 * , которых нет в МВБ-1.
В [119] в экспериментах по неупругому рассеянию электронов обна-
ружено в ,56Gd состояние с Кп = \* , энергий 3,075 МэВ и большим
значением В(М\) для перехода в основное состояние. Оно рассматри-
вается как состояние смешанной симметрии. Анализ γ-распада 2*-со-
стояний [120] в I40Ba, ,42Се, I44Nd и l48'I50Sm свидетельствует
о возможности их трактовки МВБ-2 как состояний смешанной сим-
метрии.
Для описания состояний смешанной симметрии оказалось полез-
ным введение F-спина [113], имеющего 5"(7(2)-симметрию. Считается,
что F-спин играет такую же роль для нейтрон-протонной бозонной си-
стемы, как изоснин для протон-нейтронной фермионной системы.
В МВБ-1 имеется только один вид бозонов, и F-спин считается хоро-
шим квантовым числом. SU(2)-генераторами F-спина являются
(3-61)
Нулевая компонента оператора F-спина
147

F0 = (1/2) (Np - Nn).
Поскольку NpH Nn фиксированы для каждого ядра,
[^о, #мвБ-г] = 0.
При инвариантности гамильтониана относительно F-спина
[#мвб-2. F±] = 0; [ЯМВБ.2, F„] = 0. (3.63)
F-спиновая инвариантность накладывает на гамильтониан сильные огра-
ничения. Так, для (3.53) должно выполняться Ер = Еп, \ = х , J/ =
= Vm, Мрп = 0. к = 0. В этом случае должны существовать F-спиновые
мультиплеты с одинаковыми энергиями. F-спиновые мультиплеты
состоят из группы уровней в последовательности ядер, имеющих одно
и то же значение F и различные значения F0. F-спиновые мульти-
плеты содержат постоянное число бозонов N =Np + Nn, причем должно
быть Nn нейтронных бозонов определенного типа (частичные или ды-
рочные) и Np протонных бозонов также определенного типа. Из-за
изменения типа бозона от частичного к дырочному в середине заполняе-
мой оболочки F-спиновый мультиплет с фиксированным значением F
содержит менее 2F + 1 ядер. Этим F-спиновые мультиплеты отличаются
от изоспиновых.
Поскольку F-спиновая инвариантность накладывает очень большие
ограничения, в гамильтониане остаются также F-неинвариантные чле-
ны. При этом F продолжает быть достаточно хорошим квантовым чис-
лом и энергии возбужденных состояний для каждого мультиплета за-
висят от F0 в полной аналогии с изоспиновыми мультиплетами. Такая
ситуация реализуется в МВБ-2, в которой майорановские члены приво-
дят к смещению в сторону более высоких энергий возбужденных со-
стояний с другими значениями F-спинов. Если изотопический мульти-
плет состоит из изобарных ядер, то имеются F-спиновые мультиплеты
двух типов. Первый тип состоит из изобарных ядер { Α, Ζ }, [ Α, Ζ +
+ 2 } , [Α, Ζ + 4 } . . ., когда нейтроны и протоны являются одно-
временно или частицами в начале заполнения оболочек, или дырками в
конце заполнения оболочек. Второй тип включает последовательность
ядер { Α,Ζ } , { А+4, Ζ + 2 } , { А + 8. Ζ + 4 } ..., когда одни
бозоны являются частичными, а другие дырочными. В [121] показа-
но, что имеется сходство в поведении уровней квазиротационных по-
лос, построенных на основных и квази-7-вибрационных состояниях в
ядрах, принадлежащих к одному F-спиновому мультиплету и распреде-
ленных в широкой области массовых чисел А. При этом, конечно, ис-
ключаются магические ядра. Для ядер, принадлежащих к одному муль-
типлету, параметры МВБ-2 практически постоянны.
(3.62)
148

Можно утверждать, что введение F-спина как квантового числа ока-
залось полезным для характеристики низколежащих ядерных состояний.
4. Модель взаимодействующих бозонов применяется для описания
низколежащих состояний деформированных ядер [ПО, 111, 122, 123].
Обычно деформированные ядра трактуются в рамках МВБ-1, при вклю-
чении s- и d-бозонов гамильтониан записывается в виде
"mbb-i = -к«2· 0 - "UL) + к"(Р+- Р), (3.64)
где
Q = [d* х s + s* xdf](2) + X[d* х <П(2), (3.65)
a L и Ρ определены формулами (3.43). Если положить к =0, то при-
дем к S£7(3)-пределу. В этом случае энергия описывается формулой
Ε = (0,75к - к') / (/ + 1) - kC(2N, N'),
где C(2N, Ν') — оператор Казимира для группы SU(3). Первый член
в (3.64) соответствует квадрупольному взаимодействию, которое при
к > 0 и х Φ 0 приводит к спектру аксиально-симметричного ротатора.
Второй член зависит от полного углового момента и вносит основной
вклад в ротационную энергию, он не влияет на внутреннюю структуру
волновой функции. Имеются ротационные полосы {g, β, η/, η, ββ
и др), соответствующие различным представлениям группы St/(3).
Последний член в (3.64) описывает парное взаимодействие между
бозонами, он снимает вырождение различных полос, имеющееся в
SU(3) -пределе. С возрастанием к" происходит переход от спектра ак-
сиального ротатора к пределу, когда потенциальная энергия не зависит
от γ [SO (5) -симметрия]. На результаты вычислений влияет число бо-
зонов /V, которое берут равным половине суммы числа нейтронов и про-
тонов, находящихся вне замкнутых оболочек; Сможет быть суммой по-
ловины- числа протонов и нейтронов, необходимых для заполнения обо-
лочек, и может быть равно половине суммы числа частиц в нейтронной
и числа дырок в протонной системах.
Для аксиально-симметричного деформированного ядра внутренняя
волновая функция основного состояния в гармоническом приближении
имеет вид
\g) = (yV!)-1/2(b+)A"|0), (3.66)
Ъ* = (1+β2)-1/2(*+ + 0d+o).
Эта волновая функция служит основанием ротационной полосы с / =
= 0, 2, 4, . . ., 2^, которая принадлежит к представлению (27V, 0) группы
£1/(3). Параметр β определяется из условия минимума среднего значе-
ния гамильтониана (3.64) по состоянию (3.66), он зависит от значений
параметров (3.64). Член, пропорциональный (Q ■ Q), дает минимум
149

при β = у/Т, член, пропорциональный {Р+ · Р), - при /3 = 1. Если, сле-
дуя [124], положить к = 8 кэВ, к' =-20 кэВ, к" = 30 кэВ, у = - \ffj2,
то получим β = 1,24.
В гармоническом приближении имеются возбужденные состояния
двух типов, которые обладают симметрией (3- и 7-вибраций и характери-
зуются квантовыми числами и^ и и . Состояние с Ил = 1 имеет К71 -
= 0+ и описывается волновой функцией
(3.67)
*β = 0+i32)-1/2(-i3s+ + d+0).
Состояние с и = 1 имеет Кп = 2* и описывается волновой функцией
\пу = 1) =N~ll2d\b\g) =[(7V-l)!l-1/2d+2(bt)7V'-1|0).
(3.68)
Энергаи состояний с и^ = 1 и η - 1 в лидирующих по N членах имеют
вид
ωβ =iV(l+/32)_2[2K(-l -23/2β + 9/32 +
+ 25/2β3 - β4/2) + к" (-1/2+ 5(32- β4/2)];
V
ωγ = ЛГ(1 + /32)_2[2к(-1 -23/2j3 + 9j32 +
+ 25/2i33 - β412) - (1/2)к" (1 - /З2)2].
(3.69)
При к" = 0 энергии β- и 7-вибраций совпадают. Состояние с Кп = \*,
в волновой функции которого оператор d* замещает оператор (1 +
+ /32)_1'2(s* + (3i/*), представляет собой вращение; d* не связан с
возбуждением внутренних степеней свободы.
Классификация коллективных возбуждений квантовыми числами
пп и η принята в МВБ. Поскольку имеются доминирующие компо-
ненты, то волновые функции состояний с Κπ =4* характеризуются
и =2, состояний с А'77 = 2* — { и =1,йо = 1 } .состояний с/^=0*,
0* — суперпозицией nR =2, и =2 и т. п. Энергии и волновые функции
коллективных состоянии записываются следующим образом:
Ес = Eg + ηρωβ + ηγωγ + Eanh;
NdN& d β l
(3.70)
β < (Ь+)
N-Nj-Νγ.
v0|o),
(3-71)
причем N(, + Nn < N. Из энергий наинизших состояний с и = 1 и и^ = 1
150

находят параметры кик". Рассчитанные ангармонические поправки
в сильнодеформированных ядрах, как правило, невелики. Каждому
представлению группы SU{3) соответствуют ротационные полосы,
которые обрываются при /max = 2N> когда угловые моменты всех
(/-бозонов выстроены. МВБ не может претендовать на описание высоко-
спиновых состояний. Из-за взаимодействия между бозонами сила состоя-
ний с «л = ] ии =1 распределяется по нескольким уровням. Так, сила
состояния с Πβ = 1 в 168Ег дает следующий вклад в нормировку со-
стояний [125]: 0* ξ о; -6,7%, 0+2 -69%, 0+3 - 13% и 0* -4%.
Оператор £2-перехода имеет вид
SJR(F2, ц) =e[[d+ х s + х+ х d]2*1 + x'[d** d] (2W } ,(3.72)
причем обычно параметр х' берется отличным от хв (3.65). Если поло-
жить х = х, то отношение матричных элементов, соответствующих
возбуждению вибрационных состояний, к таковым для ротационных
состояний будет много меньше, чем полученное из экспериментальных
данных. Это является следствием правил отбора в S£/(3) -пределе.
В лидирующих по N членах матричные элементы Е2-переходов имеют
вид:
fe|SR(£2,0)|*) =eN(l+ β2γ\2β-y/Wx β2)\
(ηβ = 1|SR (£2,0)|*) =eW,/2(l+ β2)'1 (1 -yfljfx' β -β2);
(и7 = 1| 3R (£-2, 2)|*) =eJV1/2(l+ β2)'1 (1 + y/Wx'P)-
Переходы внутри каждой ротационной полосы (внутри одного пред-
ставления) слабо зависят от х' , тогда как переходы между разными
ротационными полосами (между разными представлениями) в значи-
тельной степени определяются параметрами х . В отличие от модели
Бора-Моттельсона в МВБ не равны нулю вероятности переходов Пп =
= 2 ->· η = 1 и я= 2 -* Пп = 1, причем переход Пп = 2 -> и = 1 сильнее пе-
рехода Яо = 2 -> Πβ = 1 [122]. Кроме того, переход Πβ ~ 1 -> η = 1 может
оказаться сильнее перехода Пп = 1 ->· \g).
Включение в гамильтониан члена, пропорционального Ρ* Ρ, приво-
дит к увеличению энергии (3-состояний относительно γ-состояний, к
уменьшению вероятности перехода Πβ - 1 -* | g) и к нарушению соот-
ношений, вытекающих из 5С/(3)-предела. Как показано в [124], МВБ
не дает правильных значений, зависящих от полного момента / мат-
ричных элементов £'2-переходов. Этот недостаток связан с введением
в гамильтониан члена к' (L ■ L), который ответствен за большую часть
ротационной энергии, но не включает динамику взаимодействующих
s- и d-бозонов. Чтобы правильно описать зависящие от / матричные
151

элементы, следует ввести дополнительные феноменологические
члены.
Изучение спектров деформированных ядер приводит к необходи-
мости введения g-бозона с λ = 4 [126, 127]. Учет ^-бозона идет двумя
путями: использованием ренормированного бозон-бозонного взаи-
модействия без явного введения g-бозонных степеней свободы и яв-
ным введением ^-бозона. При явном введении g-бозона в деформиро-
ванных ядрах появляются состояния с К1* = \* , 3* и 4* , содержащие
двухквазичастичные компоненты, и расширяется подпространство двух-
квазичастичных состояний с Кп = 0* и 2* . Чтобы включить степени сво-
боды, связанные с g-бозоном, необходимо расширить группу симметрии
от SU(6) до £/(15).
Вес #-бозона в волновых функциях состояний с / < 6 тех полос,
основания которых имеют энергию меньше 2 МэВ, не превышает 30%.
Это относится к состояниям с К1* - 4* и 4 + , т. е. sd-доминантность еще
имеет место в (7(15)-схеме. Введение g-бозона повышает 1т&\ в 2 ра-
за, и для состояний с / >40 вклада-бозона становится превалирующим.
Широкое применение находит МВБ-2 при изучении низколежащих
состояний деформированных ядер [126, 128]. На ее основе вычисляют
вероятности М\-переходов, ^-факторы 2+ -состояний и отношения
Ε2/Λ/1. Расчеты в МВБ-2 дают правильные значения энергии и вероятности
β (Ml) для коллективного 1*-состояния в IS6Gd, открытого в [119].
Распределение силы Ail-переходов связано с различием коллективного
движения протонов и нейтронов. Оператор Д/1-перехода записывается
в виде
3Κ(Λ/1) = \/J]4J(gpLp + gnLn), (3.73)
где L определяется формулой (3-43); gp и g„ - бозонные g-факторы.
В расчетах используется несколько наборов g-факторов, такие, как:
gp = йо> gn = 0; gp = 0,8μ0, gn =0,1μ0, gp =0,1μο, gn = 0,4μ0 и другие,
где μ0 — ядерный магнетон. Заметим, что концепция F-спина находит
применение в деформированных ядрах. В то же время использование
МВБ-2 в деформированных ядрах затрудняется появлением ряда до-
полнительных ротационных полос.
Обсудим связь феноменологической МВБ с геометрической кол-
лективной моделью Бора—Могтельсона. Это можно сделать, поскольку
МВБ также связана с квантованием переменных формы. Нуклоны в
ядрах имеют тенденцию к образованию пар и генерации деформирован-
ного поля. МВБ дает приоритет образованию пар, а модель Бора—Мот-
тельсона — генерации деформированного поля. Дополнительные степени
свободы в МВБ в виде s-бозона иллюзорны, так как они сводятся на
нет ограничением на число бозонов N. Как продемонстрировано в [129],
МВБ отличается от модели Бора—Моттельами конечным числом бозо-
нов N и переходит в нее при N -»· °°. Для обеих моделей аналитические
152

решения находят в трех предельных случаях: пятимерного гармони-
ческого квадрупольного вибратора, ротатора и γ-нестабильности. Для
малого числа бозонов эти модели дают различные результаты. Конеч-
ность Ν, т.е. привязка к числу учитываемых нуклонов, делает МВБ в
некотором смысле более общей по сравнению с моделью Бора—Моттель-
сона. В то же время в МВБ с гамильтонианом (3.64) невозможно описать
трехосную форму ядер. Определенная эквивалентность МВБ
и модели Бора—Моттельсона гарантирует успех МВБ.
При микроскопическом обосновании этих моделей возникает во-
прос — могут ли волновые функции низколежацих состояний фермион-
ного гамильтониана быть представлены в подпространстве, где все
нуклоны связаны в пары с/ = 0иУ = 2и каждый угловой момент сос-
тавлен из таких пар. Этот вопрос изучен в [124]. Даже в случае сильно
деформированных ядер, которые описываются гамильтонианом, содер-
жащим потенциал Нильссона и спаривание, когда вклад в норми-
ровку волновой функции пар сУ = 0и/ = 2 превышает 90%, квадру-
польный момент и функция спаривания, рассчитанные без включения и
с включением пар с J > 2, сильно различаются. Введение пар с J = 4
оказалось очень важным [127] для описания нескольких физических
величин и'устранения противоречий, приведенных в [124].
5. МВБ развивается по нескольким направлениям. Одно из них —
введение членов более высокого порядка по числу операторов бозонов
(дополнение гамильтониана членами типа ctcTctddd). С их помощью
можно, например, описать трехосные деформированные ядра. Сле-
дующее направление — введение других степеней свободы: гексадека-
польных g-бозонов, дипольных р- и октупольных /-бозонов и т.п. Для
лучшего описания спектров ядер, особенно тех, у которых два протона
или два'нейтрона находятся в вышележащей оболочке, вводятся до-
полнительные s'p-, dp-, sj,-, е?,'г-операторы бозонов. Конечно, введение
операторов более высокого порядка и других степеней свободы сопро-
вождается появлением большого числа новых параметров.
Для описания ядер с нечетным числом нуклонов создана модель
взаимодействующих бозонов и фермионов [111], в которой наряду
с s- и г/-бозонами имеются фермионы. Гамильтониан модели состоит
из трех частей: бозонной, фермионной и бозон-фермионного взаимо-
действия. Бозон-фермионное взаимодействие содержит много членов и
тем самым большое число параметров. Спектры, рассчитанные в этой
модели, оказались очень сложными, и феноменологический анализ на-
блюдаемых спектров затруднен. В ряде работ (см., например, [111])
бозон-фермионное взаимодействие ограничено тремя членами: эффек-
тивным монопольным, квадрупольным и обменным. Сравнительно про-
стая картина возникает в предельных случаях для бозонной части га-
мильтониана. В SU(5)-пределе проявляется картина, характерная для
частично-вибрационной модели. Так, спектр l0'Rh описан в схеме
SU(S) ® 9/2, т.е. с протоном в подоболочке 1/Я9/2- В Si/(3)-пределе
153

воспроизводится основная картина нильссоновской схемы. Модель
взаимодействующих бозонов и фермионов успешно применяется для
описания спектров переходных ядер, таких, как нечетные изотопы
самария, европия, платины и золота. Спектры нечетных ядер могут
быть описаны при учете связи нечетной частицы с остовом, описываемым
5{/(6)-квадрупольной моделью [101], или с остовом, описываемым
в МВБ. В последнее время начали описывать спектры нечетно-нечетных
ядер в рамках подхода, основанного на динамических суперсим-
метриях [130].
МВБ нашла широкое применение при анализе экспериментальных
данных по энергиям и вероятностям ^-переходов для большого числа
сферических, переходных и деформированных ядер. В рамках МВБ
удалось описать особенности спектров переходных ядер, которые не
воспроизводились в других моделях. Следует иметь в виду, что хоро-
шее описание энергий и вероятностей ^-переходов еше не означает,
что модель правильно воспроизводит структуру этих коллективных
состояний. Кроме интегральных имеются еше дифференциальные ха-
рактеристики вибрационных состояний, которые проявляются в реак-
циях однонуклонных передач и в β- и γ-переходах на эти состояния.
Глава 4
КВАЗИЧАСТИЧН04ЮН0ННАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА
4.1. Основные положения модели
1. В волновых функциях низколежащих состояний имеется одна
доминирующая компонента — одноквазичастичная в нечетных ядрах,
однофононная или двухквазичастичная в четных ядрах. Простота струк-
туры низколежащих состояний способствует их детальному эксперимен-
тальному и теоретическому изучению. С ростом энергии возбуждения
увеличивается плотность состояний в атомных ядрах и усложняется
их структура. Осуществляется переход от простых низколежаших к
более сложным состояниям при средних и высоких энергиях возбуж-
дения. При изучении структуры состояний со средней и высокой энер-
гиями возбуждения в атомных ядрах важную роль играет фрагментация
одночастичных состояний, т.е. распределение одночастичной силы по
многим ядерным уровням. В моделях независимых частиц и квазичастиц
одночастичная сила сконцентрирована на одном уровне. В предельной
статистической модели она хаотично распределена по всем ядерным
уровням. Между низколежашими состояниями, для которых изучаются
характеристики каждого отдельного уровня, и состояниями предельной
статистической модели, при которых исчезает индивидуальность отдель-
154

ных ядер, в том числе пропадает эффект оболочек, лежит большая
слабоизученная область состояний с средними и высокими энергиями
возбуждения атомного ядра.
Экспериментальное изучение структуры состояний со средними и
высокими энергиями возбуждения связано с большими трудностями.
Совершенно ясно, что практически невозможно измерить характери-
стики каждого из многих тысяч уровней. Тем более что с ростом энергии
возбуждения усложняется сруктура состояний, и поэтому увеличивается
число компонент волновых функций, которые следует измерить экспе-
риментально. Усложнение структуры состояний начинает проявляться
при небольших энергиях возбуждения. В нечетных деформированных
ядрах при энергиях возбуждения более 0,5 МэВ к одноквазичастичным
компонентам примешиваются компоненты квазичастица ® фонон. В
нечетных сферических ядрах с незамкнутыми оболочками такие примеси
наблюдаются уже в основных состояниях.
В рамках существующих теорий и возможностей ЭВМ нельзя пра-
вильно описать структуру каждого уровня при энергии возбуждения
более 3 МэВ, кроме уровней легких, дважды магических и соседних с
ними ядер. Это связано с необходимостью диагонализации матриц по-
рядка ΙΟ14—1020, а также с грубой аппроксимацией ядерных сил и с
приближенным решением ядерной задачи многих тел. Более того, нет
необходимости вычислять каждую из многих миллионов компонент
волновой функции каждого состояния, так как количественные данные
о ядерной структуре имеются только для малоквазичастичных конфи-
гураций волновых функций. Наиболее точные экспериментальные дан-
ные связаны с фрагментацией одноквазичастичных, однофононных
состояний и состояний квазичастица ® фонон. Исключение составляют
высокоспиновые состояния. При средних энергиях возбуждения фраг-
ментация одноквазичастичных состояний проявляется в виде локальных
максимумов в сечениях реакций однонуклонных передач. Фрагментация
подоболочек S1/2.P1/2 ирз/2 задает s-и р-волновые нейтронные силовые
функции. Гигантские резонансы определяются положением и коллек-
тивностью однофононных состояний, а ширины гигантских резонансов
связаны с их фрагментацией. Малоквазичастичные компоненты отра-
жают эффекты оболочечной структуры. Задача теории ядра состоит не
столько в наиболее строгом решении проблемы многих тел в общем
виде, сколько в наиболее точном описании тех характеристик ядер.
которые измеряются экспериментально в настоящее время и могут быть
измерены в ближайшие годы. Прогресс в описании фрагментации обус-
ловлен пониманием ключевой роли учета связи одночастичного и кол-
лективного вибрационного движений, т.е. взаимодействия квазичастиц с
фононами. Роль взаимодействия квазичастиц с фононами была проде-
монстрирована в 1965—1975 гг. в [131—135]. Именно на основе ре-
зультатов этих работ сформулирована квазичастично-фононная модель
ядра (КФМЯ).
155

КФМЯ сформулирована для описания малоквазичастичных компо-
нент волновых функций при низких, средних и высоких энергиях
возбуждения 166, 67, 74, 75. 133—147]. В модели используется метод
силовых функций и вычисляется фрагментация одноквазичастичных,
однофононных состояний и состояний квазичастица &> фонон по многим
ядерным уровням. Рассчитываются те характеристики сложных ядер,
которые определяются этими компонентами.
Приведем общую схему решения ядерной задачи многих тел(рис.4.1),
предшествующую формулировке КФМЯ. Ядерный гамильтониан в
общем виде записывается через операторы рождения at и поглощения а
нейтронов и протонов и выводится система зацепляющих уравнении
(1.9 ), (1.10 ), (1.11). Используется приближение в виде (1-12) и
находится замкнутая система уравнений (1.13), (1.14). В этом прибли-
жении оказывается отброшенным большое число уравнений. Предпо-
лагается, что влияние отброшенных уравнений невелико и что, кроме
того, они могут быть частично компенсированы введением эффективных
сил с константами, фиксированными из экспериментальных данных.
Приближение ХФБ и условие диагональное™ матрицы плотности позво-
ляют явно выделить среднее поле ядра и взаимодействия, приводящие
к парным корреляциям сверхпроводящего типа. Далее пользуются
каноническим преобразованием Боголюбова и приходят к модели не-
зависимых частиц.
Исходя из приближенного решения ядерной задачи многих тел, сим-
волически представленного на рис.4.1, построен гамильтониан КФМЯ.
Н= Σ r(ff')at α.,- Σ & Ш2;^1)а+.а*а,,а,1·,
ffi * * fffz " т1 fi Tz *i'
*'//
система зацепляющихся уравнений
Σ
Приближение Хартри -Фока-Боголюбова:
система двух уравнений
<a*afy=&/f,fi(f)
Ho =Hav + Hpair
Г
Heff - взаимодействие
между
квазичастицами
af=ufaf+VfCi± ;
модель независимых
квазичастиц
Рис. 4.I. Схема решения ядерной задачи многих теп
156

Он состоит из среднего поля нейтронной и протонной системы в форме
потенциалов Саксона—Вудса и взаимодействий, приводящих к парным
корреляциям сверхпроводящего типа. Гамильтониан КФМЯ содержит
мультипольные и спин-мультипольные изоскалярные и изовекторные,
включая зарядово-обменные, взаимодействия в частично-дырочном и
частично-частичном каналах, а также тензорное изовекторное взаимо-
действие.
Параметры потенциалов Саксона—Вудса фиксируются так, чтобы
получить с учетом взаимодействия квазичастиц и фононов правильное
описание низколежаших состояний нечетных ядер. Несомненно, что
можно взять другой вид потенциала среднего поля или на основе метода
Хартри—Фока вычислить энергии и волновые функции одночастичных
состояний и использовать их в расчетах в рамках КФМЯ. Эти различия
не носят принципиального характера. Применение метода Хартри—Фока
означает более раннюю стадию параметризации, т.е. параметризацию
эффективного взаимодействия, например, в виде сил Скирма. Во вза-
имодействиях, приводящих к спариванию, взяты вместо функций кон-
станты Gyy и Gy, значения которых определены из разности масс ядер
[12]. Это приближение не "^ограничивает точности расчетов в КФМЯ.
Эффективные взаимодействия между квазичастицами представлены
в виде разложений (2.10) и (2.11) по мультиполями спин-мультиполям.
Эффективные взаимодействия играют важную роль при компенсации
отброшенных в приближении ХФБ уравнений. Они также связаны с
нуклон-нуклонными взаимодействиями в ядерной среде, и отдельные их
члены можно сопоставить с обменом одним или двумя мезонами. Для
выполнения расчетов в КФМЯ существенно, что взаимодействия между
квазичастицами представлены в сепарабельном (факторизованном)
виде. Как известно [42,148], сепарабельные потенциалы широко ис-
пользуются при описании нуклон-нуклонных взаимодействий и изучении
трехтельных ядерных систем и легких ядер, т.е. в тех случаях, когда
результаты расчетов более чувствительны к виду радиальной зависи-
мости сил, чем рассчитанные в КФМЯ характеристики сложных ядер.
Следует иметь в виду, что в расчетах используются матричные элементы
эффективных взаимодействий. Одночастичные волновые функции
"вырезают" небольшую часть взаимодействий. Можно построить сепа-
рабельные взаимодействия, матричные элементы которых близки к
матричным элементам более сложных взаимодействий [149]. Полагаем,
что удачно выбранный сепарабельный вид взаимодействий между квази-
частицами не ограничивает точность расчетов.
В выборе радиальной зависимости сепарабельных взаимодействий
имеется определенный произвол. Существование коллективных вибра-
ционных квадрупольных и октупольных состояний указывает на то.
что в радиальной зависимости мультипольных сил должен быть
максимуму районе поверхности ядра. Поэтому берется R\(r) в виде
R\(r) = г или R\(r) ~ dV(r)/dr . где V(r ) — центральная часть по-
157

тенциала Саксона—Вудса. Этот вид вполне приемлем для мультипольных
сил. Такой же вид радиальной зависимости используется также для
спин-мультипольных сил. Из-за отсутствия явно выраженных коллек-
тивных состояний магнитного типа неопределенность в радиальной зави-
симости сепарабельного спин-мультипольного взаимодействия дос-
таточно велика. Ввиду большой роли однопионного (и р-мезонного)
обмена при нуклон-ну к лонном взаимодействии на сравнительно боль-
ших расстояниях гамильтониан КФМЯ дополнен изовекторным тен-
зорным взаимодействием. Нахождению эффективных взаимодействий
между квазичастицами посвяшено большое число работ (см.. например,
[55,150,151]).
Можно полагать, что эффективные сепарабельные взаимодействия
между квазичастицами в КФМЯ с константами, фиксированными на
основе экспериментальных данных или феноменологических оценок,
описывают ядерные характеристики не хуже более сложных эффектив-
ных взаимодействий, используемых в других работах. Они имеют не-
сомненные преимущества перед силами Ландау—Мигдала с нулевым
радиусом, широко используемыми при вычислении структуры ядер
с замкнутыми оболочками. Силы Ландау—Мигдала дополняются раз-
личными числами. Так, снин-изоспиновые силы, определяемые пара-
метром g', дополняются членами однопионного обмена, а также иногда
членами, обусловленными обменом другими мезонами.
Представляется, что согласованию среднего поля и эффективных
взаимодействий не следует придавать большого значения, поскольку в
приближении ХФБ отброшено большое число > равнений. Ценность
самосогласованных расчетов состоит не в согласующемся с экспери-
ментом количественном описании ядерных характеристик, которое не
достигается, а в качественно правильном их описании. Самосогласован-
ные расчеты показали, что приближение ХФБ в решении ядерной задачи
многих тел может служить хорошей основой для построения различных
ядерных моделей.
2. Опишем систему расчетов в КФМЯ (рис.4.2). Явный вид гамильто-
ниана модели будет дан позднее. При преобразовании 'гамильтониана
КФМЯ с помощью канонического преобразования Боголюбова осу-
ществляют переход от операторов нуклонов к операторам квазичастиц
°/w и ajm- ПаРы операторов «>„<»/,„' и ад, юу.т выражают через
операторы фононов, а операторы квазичастиц остаются только в виде
aimai'm'' ^Ри гаком введении операторов фононов нет трудностей
с двойным счетом ряда диаграмм, которые имеются, например, в ядер-
ной теории поля [152]. Далее решают уравнение ПХФ для энергий и
волновых функций однофононных состояний. На этом этапе фикси-
руются все параметры модели. Использованием экспериментальных
данных для фиксирования констант спаривательного мультипольного
и спин-мультипольного изоскалярного и изовекторного взаимодей-
158

н=н,
αν +Hpair + HM * Hs + HT
Сепараоельный
вид
Τ
Я
af = ufaf+vfcLj ;
AJil
ПХф'
<V ОС,
> ПХФ
Фонон
<X,>
πρ-φοΗΟΗ Фонон Квазичастицы
ПХФ-уравнения, фононное пространство.
Фиксированы все константы
Квазичастицы ифононы Взаимодействие квази-
частиц с фононами
Приближенные решения:
ψν = {ς са+ + ςла*а* + ZF<x+a+Q+} ψ0,
¥„ ={£/?_Q+ + Σ P_Q+ α+}ψ0,
#(< «V \Hqp\ Vv>-vv<<?v\ <?*>} = о,
Метод силовых функций :
Ъ(Ч)"2
_1 Ρ(η.+142)
1т
ν 2JT (η.-τΙν)2 + &zh л f(TL+l4z)
Рис. 4.2. Схема расчетов в КФМЯ
ствий как бы эффективно учитывается вли
ближении ХФБ цепочки уравнений.
Особенностью и достоинством КФМЯ является го, что в качест
ве базиса используются не одночасгичные, а однофононные состоя
ния. Это возможно, так как в ПХФ дается единое описание коллск
тивных, слабоколлективных и двухквазичастичных состояний. Пу
тем использования секулярных уравнений ПХФ гамильтониан моде
ли преобразуют к виду
Η
QP-
jm
е.аТ а. + Нг + Яг,
(4.
I 5S

содержащему свободные квазичастицы и фононы и взаимодействия
квазичастиц с фононами Нщ- В (4.1) входят также ир-фоноиы, опи-
сывающие зарядово-обменные гигантские резонансы и 7^-возбужден-
ные состояния. Это первая особенность КФМЯ.
Фононное пространство соответствует полному пространству двух-
квазичастичных состояний типа частица—дырка и части состояний ти-
па частица—частица. При учете взаимодействий в канале частица-
частица охватывается полное пространство двухквазичастичных
состояний. При построении фононного базиса в деформированных
ядрах для К71 = О-, I-, 2~, . . ., 7~ используют мультипольные силы.
В сферических ядрах мультипольные силы берутся для построения
однофононных состояний с /π = I", 2*, 3~, . . ., 7", а спин-мулСти-
польные силы — для построения состояний с Jn = 1+ , 2", 3* , . . ., 7+.
Для каждого значения Κπ или 7π вычисляют по несколько сот кор-
ней секулярного уравнения и соответствующих волновых функций.
Расчеты плотности ядерных состояний [153] свидетельствуют о пол-
ноте фононного пространства. В результате вычисления фононного
пространства оказались фиксированными все константы КФМЯ.
Вторая особенность модели заключается в том, что взаимодей-
ствие квазичастиц с фононами ответственно за фрагментацию квазичас-
тичного и коллективного движений и тем самым за усложнение струк-
туры ядерных состояний с ростом энергии возбуждения.
При решении задачи волновые функции возбужденных состояний
представляются в виде ряда по числу операторов фононов, в нечетных
ядрах каждый член умножается еще на оператор квазичастицы. При-
ближение состоит в обрыве этого ряда, что составляет третью осо-
бенность модели. Обрыв ряда по числу фононов — это приближение
того же типа, что обрыв цепочки уравнений в приближении ХФБ.
В настоящее время разложение обрывается на двух фононах (см.
рис. 4.2). Выяснять влияние многофононных слагаемых волновых
функций на рассчитываемые эффекты так же трудно, как оценить
роль отброшенных в приближении ХФБ цепочек уравнений ядер-
ной задачи многих тел. В обоих случаях принято считать, что прибли-
женные уравнения правильно описывают свойства ядерных возбуж-
дений, а отброшенные члены частично учитываются путем исполь-
зования констант, фиксированных на основе экспериментальных
данных. При вычислениях принцип Паули учитывают с помощью точ-
ных коммутационных соотношений между операторами фононов и
квазичастиц.
Четвертой особенностью модели является применение метода си-
ловых функций. На основе разработанной в [66, 137] модификации
метода силовых функций непосредственно вычисляют приведенные
вероятности переходов, спектроскопические факторы, переходные
плотности, сечения и другие ядерные характеристики без решения
160

соответствующих секулярных уравнений. Благодаря применению ме-
тода силовых функций время расчетов на ЭВМ уменьшается в 103 раз
и становится возможным вычисление фрагментации одноквазичастич-
ных, однофононных состояний и состояний квазичастица ® фонон для
большого числа ядер. Расчеты характеристик высоковозбужденных
состояний проводятся для сферических ядер как с заполненными,
так и с незаполненными оболочками и для деформированных ядер.
Дадим общую схему расчетов в КФМЯ. Волновые функции возбуж-
денных состояний нечетных, четно-четных и нечетно-нечетных сфери-
ческих ядер записываются в виде:
*„СШ) =CJV {a*JM * Σ Df {JvUa^Q^jM +
Kij
* x .?..,.1'rf,,W,(/')|,f-"S,w. "
Λ-i 11 Λ21 2/ Λ
*Ои,гЪм'Ьм >*<», (4-2)
%ЦМ) = { ? Я,- {Jv)Q^. + Σ P^'^Jv) x
x [βλ1μ1Ι1^,·2^1*ο; (4-3)
*V(JM) = { Σ R. (Λ)Ω^. +
+ *.V ^;;(^)[^liilfieX+2ii2l.2W^c (4-4)
All 1Λ2Ι 2
MlM2
где a/m- ^Хш" ' ^Xui ~~ операторы рождения квазичастицы и фононов,
Ψ0 -" волновая функция основного состояния четно-четного ядра (фо-
нонный вакуум). Далее находят среднее значение Ндр (4.1) по (4.2),
(4.3) или (4.4), используют вариационный принцип и с учетом норми-
ровки волновой функции (4.2), (4.3) или (4.4) получают секуляр-
ное уравнение для нахождения энергий η возбужденных состояний
FtoJ =0 (4.5)
и систему уравнений для определения коэффициентов волновых функ-
ций (4.2), (4.3) или (4.4).
161
11-6636

Трудности' описания низко- и высоко лежащих состояний сложных
ядер различны. Результаты расчетов низколежащих неротационных
состояний сильно зависят от поведения одночастичных уровней вблизи
поверхности Ферми. Максимальные трудности связаны с микроскопи-
ческим описанием первых наиболее коллективных вибрационных со-
стояний. В переходных ядрах ПХФ "работает" на грани своих воз-
можностей. Поправки к нему, связанные со строгим учетом принципа
Паули и с корреляциями в основных состояниях, велики. При описа-
нии низколежащих^ состояний желательно проводить проецирование
по числу частиц и угловому моменту, что усложняет расчеты. В случае
коллективных состояний типа гигантских резонансов таких трудно-
стей нет. Трудности описания высоколежащих состояний связаны с не-
обходимостью учета большого фононного пространства, компонент
волновых функций с большим числом фононов и непрерывного
спектра.
3. В КФМЯ в качестве базиса используются не одночастичлые, а од-
нофононные состояния
6^*0- (4-6)
Здесь i — номер корня секулярного уравнения для фононов мульти-
польности λ. При построении фононного базиса рассчитывают от не-
скольких десятков до нескольких тысяч корней секулярных уравне-
ний. Вычисление фононного пространства — первый и важный этап ра-
счетов в КФМЯ. В деформированных ядрах полный фононный базис
можно построить только из мультипольных фононов. Это связано с
тем, что для каждой мультипольности λ имеются фононы с проекцией
на ось симметрии ядра К от 0 до λ. Поэтому можно образовать фоно-
ны со всеми спинами и четностями до К =Ктах, если использовать муль-
типольные силы с λ = 1, 2, 3, ..., Kmax. Таким образом, мультипольные
фононы образуют полное фононное пространство, и нет необходимости
вводить спин-мультипольные фононы. Это верно, если специально не
рассчитывать магнитные переходы. Известно, что имеются коллектив-
ные спин-мультипольные состояния, для которых вероятности Λ/λ-ue-
реходов достаточно велики. Однако мультипольные фононы, особен-
но при небольших энергиях, коллективизированы сильнее, чем спин-
мультипольные фононы с теми же значениями Кп'. Поэтому фононный
базис строится только из мультипольных фононов. Снин-мультиноль-
ные фононы используются при изучении магнитных моментов, ЛЛ-пе-
реходов между ядерными состояниями и при изучении магнитных ги-
гантских резонансов.
При построении фононного базиса в сферических ядрах использу-
ются мультипольные и спин-мультипольные фононы. Для получения
однофононных состояний с моментами и четностями λη = \~, 2+ , 3",
4* используются мультипольные силы. Для получения однофонон-
162

НЫХ состояний с Ln = I* , 2 , 3+ , 4" . . . используются спин-мульти-
польные силы. Фоноьы каждого типа генерируются силами только од-
ного типа, который соответствует оператору электромагнитного пере-
хода. Например, при вычислении фононов с J71 = 2* учитываются квад-
рупольные силы и не учитываются спин-квадрупольные.
Основное достоинство введения фононного базиса — это единое опи-
сание коллективных, слабоколлективных и двухквазичастичных со-
стояний, которое позволяет построить модели для изучения поведения
малоквазичастичных компонент волновых функций при низких, проме-
жуточных и высоких энергиях возбуждения. Существенно,-что сильно
снижается ранг соответствующих детерминантов и становятся возмож-
ными численные расчеты на ЭВМ. Следует иметь в виду, что фононы
не являются "идеальными" бозонами. Они построены из фермионов,
и корректный учет принципа Паули заметно усложняет задачу. Недо-
статком перехода к фононному базису является переопределенное гь
многофононных состояний по сравнению с аналогичными но сложно-
сти и правильно симметризованными многоквазичастичными состоя-
ниями. Так, полное число двухфононных состояний с данным спином
больше полного числа четырехквазичастичных состояний с тем же
спином из-за пересвязки квазичастиц, входящих в двухфононные со-
стояния. Исключение лишних состояний также усложняет задачу.
Константы КФМЯ фиксируются при построении фононного базиса.
Выбор констант мультипольных и спин-мультипольных сил зависит
от радиальной зависимости R\(r )· Из двух видов зависимости R^(г ) =
= г и Ял (г) = bV{r)jbr последний предпочтительнее, так как мат-
ричные элементы < j\ bV(r)/br\j') не зависят от верхнего предела
интегрирования. Для дипольных сил электрического типа к-.1' выби-
рают такой, чтобы энергию низшего 1'состояния в ПХФ обратить в
нуль, т. е., следуя [154], исключить примеси духового I "-состояния,
связанного с нарушением трансляционной инвариантности. Константу
к^1' берут, исходя из положения центроида энергии гигантского ди-
польного изовекторного электрического резонанса. Константы к v0 ,
к^3', а часто и к^ выбираются так, чтобы правильно в КФМЯ опи-
сать экспериментальные значения энергий и вероятностей В (ЕК) пер-
вых 2*-, 3~- и 4*-состояний. Для мультипольных сил с λ > 4 исполь-
зуется оценка
κ(0λ) - -» . (4.7)
° 2λ+1 Α<,^->)
Она получена в [4, 155] из условия пропорциональности амплитуд
малых колебаний одночасгичной плотности и одночастичного потен-
циала среднего поля. Соотношение к Jλ'/κ» фиксируется для каж-
дой группы ядер.
163

Для определения констант спин-мультипольного взаимодействия
часто используют полученную в [156] формулу
κ(λ£) =κ(λ£) = _47Γ·25Μ<Γ2λ) (4.8)
(κ(λ£) _Β Μ3Β/φΜ2λ). Она получена для радиальной зависимости
R-κ (г ) = г . Выбор этих констант содержит значительный произвол.
Изоскалярную и изовекторную константы берут одного знака. Величина
ко оказывает влияние на перераспределение силы ML-переходов
между однофононными соотношениями. В ряде работ полагают к ^^ =
= 0. При расчетах с сипами R^(г) =9F(r)/dr значение кJ01) находят
из положения наиболее сильного 1+ -состояния и далее используют
к( ) = —4тг - 28/А МэВ для всех спин-мультипольных сил. Значения
констант к γ' и к| ', используемые для описания возбуждений маг-
нитного типа, должны быть такими же для зарядово-обменных резонан-
сов. Это служит дополнительной их проверкой.
Исследуем, насколько сильно результаты расчетов в ПХФ зависят от
выбора радиальной зависимости R-^(r). На основании расчетов в [74]
сделан вывод, что для энергий, вероятностей В (Ь\) и переходных плот-
ностей при λ = 2 и λ = 3 различия между R\(r ) -г nbV(r )/9r неве-
лики. Для состояний высокой мультипольности эти различия возраста-
ют. Так, структура состояния 6* в S8Ni заметно изменяется, и
В (Ев, 0gS-> б*) уменьшается в 2 раза для R^ir), = bV(r)jbr no
сравнению с R\(r ) = г . Переходная плотность меняется незначительно.
Сложнее обстоит дело с радиальной зависимостью спин-мультиполь-
ных сил. Для состояний 1+ структура и В (Ml; 0g.s -*■ 1 * ) близки для
радиальных зависимостей обоих видов. Однако имеется значительное
различие в переходных плотностях. Как продемонстрировано в [74],
заметно различаются переходные плотности для Λ/2-переходов. В ра-
счетах с силами R^(r) - bV(r)jbr происходит перекачивание силы
переходов в область больших энергий возбуждения. С возрастанием L
увеличиваются различия в распределении В (ML).
Для небольших значений λ и £ изменение радиальной зависимости
сил можно в основном компенсировать соответствующей перенорми-
ровкой констант. С ростом λ и L увеличивается зависимость свойств
однофононных состояний от вида радиальной зависимости сил, не-
определенности констант и обрезания одночастичного базиса. В то же
время с ростом λ и L уменьшается роль соответствующей части фонон-
ного пространства. Фононы с большими λ и L играют роль некоторого
фона, и их свойства оказывают слабое влияние на свойства состояний
с небольшими спинами.
4. Построим гамильтониан КФМЯ для сферических ядер, формулы
для которых будут даны в этой главе. Формулы КФМЯ для деформи-
164

рованных ядер приведем в гл. 6. Исходный гамильтониан КФМЯ име-
ет ВИД
Η = Wav + Яра1Г + Нм + Hs + HT. (4.9)
Он содержит среднее поле нейтронной и протонной систем в форме по-
тенциала Саксона—Вудса, взаимодействия, приводящие к спариванию,
мультипольные, спин-мультипольные изоскалярные и изовекторные,
а также тензорные изовекторные взаимодействия. В большинстве ра-
счетов в рамках КФМЯ учитывают взаимодействия в канале частица-
дырка, и монопольное спаривание и пренебрегают взаимодействиями
в канале частица—частица.
В соответствии с приведенной ранее схемой расчетов в КФМЯ гамиль-
тониан модели преобразуется с учетом решений секулярных уравне-
ний в ПХФ для энергий однофононных состояний. Воспользуемся соот-
ветствующими результатами гл. 2 и гамильтониан КФМЯ запишем
в виде (4.1). При построении (4.1) исходим из того, что для решений
уравнений ПХФ выполняются условия
< Q-H^Qj*) = co.6i7' , ( Ω-Η^Ω; > = Ω-δ-., (4.10)
<//(,)β(*β/> = IQ^QiHl") =0,
( Я(,)П?П*.»> = <Ω.Ω.#(Ι) > = 0, (4.10* )
гдеЯ<'>= Д1е/«;п«.и + Яг,
усреднение проводится по фононному вакууму. Вследствие выполне-
ния этих условий в гамильтониане КФМЯ отбрасываются члены, содер-
жащие два оператора рождения или поглощения фонона, но вопреки
(4.10) сохраняются члены, пропорциональные Q* Q.· или Ω^Ω.'
с / Φ /'. Отбрасываются также члены, входящие в Ну. и Η„ и содер-
жащие произведения В (/у', λμ)Ζ? (/2/2, λμ)- Как отмечено в гл. 2,
поправки к ПХФ из-за членов такого типа невелики и их вкладом мож-
но пренебречь.
С учетом выражений (2.136) и (2.137) для мультипольных взаи-
модействий, (2.138) и (2.139) для спин-мультипольных взаимодейст-
вий, (2.186) и (2.187) для зарядовоюбмепных частей изовекторных
взаимодействий гамильтониан КФМЯ запишем в следующем оконча-
тельном виде:
V = l„eiaimaim + HMv + НМщ + HSv + HSvq +
+ нст + исмщ + Hcs* + "csvq + нт* + нтщ +
+ HCTv + ^CTvq '
(4.11)
165

, ^'(τ) +Λ-λ,'(τ)
ΗΜν = - ~\ Σ
w^7?f?r~"^/Gw; (412)
"Λ^=-Σ ΣΤ^(τ){[(-)λ^β^- +
+ βλ_μ/]£(/>'; λ-μ)+Γ1.ε. }; (4.13)
1 */""" Ο") + х['1'\т) +
Я5г 4~ Σ, / f,- ,„~ ^LMi^LMi''
V <? т <? τ (4.14)
%<« = -ς s:r^-,L,(r){[(-)i-"-leiif/ +
Ш/т /У "
+ Qi-MilBUl"'' L-M) + h.c. i , (4.15)
причем Г^(т) и г1,,'11' Даны формулами (2-137') и (2.1391);
HCMv = - Σ f -—У—^- Ω^-Ω^; (4.16)
κ(λ) х "2
*/А(/р/„) {[(-)λ"μα- ^λ,')%,- +
+ (1- ^λ'')Ωλ-μ,Π^/(ν„; λ-μ) +
+ (_) V + /η - λ ν ν,- β (/ / , λ - μ) ] + h. с. } . (4.17)
'ρ 'и ^
Выражения Ηcs и #гг для спин-мупьтипольных сил с λ = L - 1
получаются из (4.16) и (4.17) заменой констант и матричных эле-
ментов. Обозначения в формулах (4.12) — (4.17) даны в гл. 2· Га-
мильтониан (4.11) не содержит свободных параметров.
В необходимых случаях однофононные состояния описывают бо-
лее сложно. Так, для состояний электрического типа наряду с мульти-
польными силами можно учитывать спин-мупьтипольные силы с λ = А'
Для состояний магнитного типа возможен одновременный учет спин-
166

мультипольных сил с λ= L — 1 и X - Ζ + 1. Для зарядово-обменных
состояний магнитного тепа наряду с мультипольными силами с λ = L —
- 1 и λ -L + 1 можно учесть тензорные силы, а также взаимодействия
в канале частица—частица и решать уравнения типа (2.132). Так, для
состояний магнитного типа с одновременным учетом спин-мультиполь-
ных сил сХ=£-1иХ=£+1 вместо (4.14) и (4.15) используются
следующие выражения:
Η$ν =--| Σ (2L+1)" Σ (κ^> +
LM\ = L±l ii тр = ± 1
+ PK[u))^'<''eLVIGLW^
и = _ L Σ (2L + 1T1 Σ (к<^ +
il'9 4 LWX=£±1 irp = ±l
-LMi
a
- Н^е^дг^ДОГ; l-W) +h.c.} ,
где ©^"'определены формулой (2.111), а амплитуды ψ..> и ip..»
даны формулами (2.119). При одновременном учете спин-мульти-
польных и изовекторных тензорных сил тензорные взаимодействия
берутся в виде
k(L)
нт =-4-Σ -^—' Σ <~,/-'^г+,/''''+
+ DLT + lLiDLp-lLi')QtmQLMr; (4.18)
k(L)
Ят =-— Σ -J— Σ Σ^νΙν *
Tl'4 4 IAi 2L + 1 /τρ = ± 1 //' 7/
Χ l[D^'xLi fL + lLUi') +о^+Ч«7£-,£ (//')] х-
* [β/V/ -(-)L"MGi-fl/i]fi(//': i-M) +h.c. } . (4.19)
При изучении зарядово-обменных состояний могут учитываться од-
новременно спин-мультипольные и тензорные силы. Уравнения ПХФ
167

имеют вид (2.185). Зарядово-обменные тензорные взаимодействия
имеют вид
НПт„ — Σ
Т " ν triL-\Li nL+\Li
CTv LM 21 +
x ΩΛ,. Ω,,..';
K<f>
"err,'- ΙΤΓΓ, ,Д- HI/'*"(/„у
'p'n
- D\:)lLi) +fL-lLupin)(DL;iLi -i>L(:;£,)]nL_OT)x
x [«,· «,· ВЦ I; L-M) + (-)/Ρ + /«_λν/ v. x
yp 'π F 'ρ 'и
*BU„ipi L-M)} + h.c. } , (4.17f)
где /^^ч определены формулой (2.177).
Выражение Σ е .а* а, дает вклад во все мультипольные и спин-
мультипольные члены гамильтониана модели. Действительно, мож-
но записать
где |и> — полная система функций, состоящая из одно-, трех-, пяти-
квазичастичных конфигураций и конфигураций с большим числом
частиц. Если ограничиться одноквазичастичными конфигурациями,
то имеем
/тт Δ λμτ jj
+ ~ Σ Σ е . 4 *(/„/„; λμΜ(/ρ/η. λμ), (4.20)
168

где суммирование по 7ψ означает суммирование по мультипольным
и спин-мультипольным индексам. Если перейти к операторам фоно-
нов, то
можно записать в виде
Я(0 = £, ωλ'' QiiXi Q^ + ^ "* Ω^'" *V '
Этим выражением можно пользоваться в тех случаях, когда не учиты-
вается принцип Паули в многофононных частях волновых функций.
5. Волновые функции типа (4.2) —(4.4) не содержат многофононных
компонент и поэтому далеки от точных волновых функций состояний
при промежуточных и высоких энергиях возбуждения. При формули-
ровке КФМЯ не ставилась задача найти правильные волновые функции
высоковозбужденных состояний. КФМЯ сформулирована так, чтобы
наиболее точно описать распределение силы малоквазичастичных сос-
тояний по ядерным уровням. Поэтому при сравнении результатов вы-
числений с экспериментальными данными следует проводить усреднение
по соответствующему энергетическому интервалу.
При промежуточных и высоких энергиях возбуждения в интервале
100 кэВ имеется от нескольких десятков до нескольких сотен корней
секулярного уравнения типа (4.5). Волновая функция каждого состо-
яния имеет много тысяч компонент. Для того чтобы найти значения
одной-двух компонент, нужно для каждого состояния вычислить все
компоненты волновой функции. Для этого следует провести диагона-
лизацию матриц высокого порядка. Из обширной полученной инфор-
мации используется только очень малая часть. В большом числе физи-
ческих задач нахождение собственных значений и волновых функций
каждого состояния излишне. Представляет интерес пропустить проме-
жуточный этап нахождения собственных значений и волновых функций
каждого состояния и получить сразу физические величины, усредненные
по энергетическому интервалу, которые можно сравнить с эксперимен-
тальными данными. Кроме того, для промежуточных и высоких энергий
возбуждения результаты вычисления характеристик каждого из многих
тысяч состояний трудно представить достаточно наглядно. Поэтому
результаты выражают в виде гистограмм, в которых рассчитанные
значения представляют просуммированными по корням соответствую-
щих уравнений, лежащим в каждом интервале.
В связи с этими трудностями возникла необходимость в таком ма-
тематическом аппарате, с помощью которого можно было бы вычислять
распределение нужных величин, усредненных по заданному энергети-
ческому интервалу, в выбранном диапазоне энергий возбуждения. Таким
аппаратом явился метод силовых функций как метод непосредственного
169

вычисления усредненных характеристик без расчета собственных значе-
ний и волновых функций каждого состояния. Модификация метода
силовых функций для КФМЯ разработана в [66,137,157].
Сформулируем метод силовых функций в общем виде. Рассмотрим
переход из начального состояния системы г?- в произвольное состояние
с собственным значением η., представленный через билинейные произ-
ведения по φ. в виде
B(vio -ч,) = Σ *ko(n*Po(OMkoPo(i0), (4.21)
рок0 &рк
где М. (/„) не зависит от конечного состояния /. Здесь φ(1) -
собственные векторы в пространстве п - 1 измерения (к = 1,. ,., п- 1)
системы п уравнений
{Α- ηΙ )ψ = 0,
л
где/ =Ι;δ.(.ΙΙ— единичная матрица, с условием существования нетри-
виального решения
det 1Ы - ηΙ II = IIЛ - ц/ II = 0. (4.22)
Собственные векторы удовлетворяют условию
φ(1) : φ(2) : ... :φ(η) = Μ,., - η J I ,·
: \Α12- τ?/|: ... :\Ajn - 17/|,
л
где Α γ — алгебраическое дополнешге матрицы А, причем хотя бы
одно из А.('отлично от нуля. Для симметричной матрицы выполня-
ются соотношения
*(м) = Ку,"7?'' = Ку, "^ = 'Vt"^1
^'*) Ку2 " "'' I ^V2 " "'I I ^ - * I
Векторы <£(/ ) определяются однозначно при выполнении условия нор-
мировки
1 = Σ[φΟ)]2 = Ψ2('ο) Σ \-2Q-
i 1 I (POO)-"
(4.22f)
Тогда
ip'O'o) = j Σ
Λ
#)_] ' Γ1
O'o «0
170

( \Λ{1~νηρ ил1в/п
l· \tioio-vU\ ΣΙ Л,,
Воспользуется тем, что [158]
d л л л л
_1 \Α-ηΙ\ = -Σ Μ„ - я/1,
Л
- я/ |
Л
- vi I
d7? i
и получим для любого г0
*а0'о) =
'Vo'V1
VI
J_
dv
й
vi
r> = T>io
'о'о
л
vi I
(4.22")
Эта формула получена разными путями в [65—67,157].
Если система (4.22) и (4.22*) решена, то вычисление В (η. - η{ )
не представляет принципиальных трудностей и для небольших п осуще-
ствляется просто. Если п велико и находить В (Vj ~ Vt) Для каждого
значения i не нужно, то можно сформулировать задачу нахождения
силовой функции, зависящей от непрерывного параметра η. Силовую
функцию определим следующим образом:
Ъ{П)
= Σ Β(η^ ■+ η;)ρ(ν - »,-).
где так же, как в [4]. используется функция Лоренца
1 Δ
ρ (ν) =
27Г
V2 + Δ2/4
(4.23)
(4.24)
с условием нормировки
оо
/ P(v)dv = 1-
—оо
От энергетического интервала усреднения Δ зависит способ представ-
ления результатов вычислений. Воспользуемся формулами (4.21) и
(4.22"), подставим их в (4.23), и получим
\АРок0 -Vtn
b(v) =-Σ Σ —.
i p0k0 —
dv
\A -ηΙ\
MW°)P(r? ~^
V = V;
171

= Σ
Ρ (ν{)
' ^ \λ-ν\
ρ in - vf).
(1η
где
Воспользуемся теоремой о вычетах и представим £(77) в виде контур-
ного интеграла:
γ ^(z)p(T? - z)
Ь(Л) = Φ —л τ dz.
27Г\ i \A - z/|
V
(4.25)
Внутри контура / имеются полюсы z = η. , соответствующие корням
уравнения (4.22). Функция ρ (η — z) имеет два полюса z = г? ± 1Δ/2,
соответствующие им два контура на рис. 4.3 обозначены /j и /2,
77, % - ■. - обозначены полюсы функции P(z), I- — соответствующий
контур, а /то — контур на бесконечности. Учитывая аналитические свой-
ства подынтегральных функций в (4.25), по теореме Коши перейдем к
другим контурным интегралам (см. рис. 4.3):
Ъ(П) = — φ
27ΤΙ /
V
— i
27ri hh
+ £ + —
27fi /.
Φ
2n'i i
В частном случае, представляющем большой практический интерес,
когда P(z} не имеет особенностей и φ = 0, имеем
Ь(т?) =
Δ
27Г
t>(z)
Φ — тег Piv - z)dz
27Ti /,/2 \A - z/ l
Σ res
I, 2
/>(z)
I/1 - zl\ (77- z)2 + Δ2/4
/>(z)
z1-2 =77 + iA/2
27T ( |/1 - z/ I
·- Im—74 *r
я |/4 - zl\
z = 77 - i Δ/2
z =77+1 Δ/2
U -z/|
z =77 + i Δ/2
(4.25r)
172

Рис. 4.3. Контуры интегрирования в комп-
лексной плоскости
Imz
В общем случае дополнительно ищут
вычеты при 2 = ij.. Отметим, что на-
хождение вычетов — обычно более
легкая задача, чем решение секуляр-
ного уравнения (4.22) высокого
порядка. Для факторизованной
функции М^ = Мк Μ числитель в (4.25) преобразуется к окайм-
ленному детерминанту, и тогда
b(v) = — Im
О
Мп
Ро
Мко II л-л/II
(4.25")
η + i Δ/2
Таким образом, для нахождения силовой функции (4.23) ненужно
вычислять собственные энергии и волновые функции системы (4-22)
и (4.22 ). Вычисление детерминантов высокого порядка в (4.25' )
или (4.25 ) представляет значительно меньшие трудности, тем более
что во многих случаях в КФМЯ удается преобразовать детерминанты
в (4.25*), (4.25" ) к детерминантам невысокого порядка.
Сравним силовые функции, полученные с различными функциями
усреднения. Расчеты в КФМЯ проводятся с функцией Лоренца (4.24).
Этот выбор обусловлен тем, что lim ρ (η) =δ(τ?), τ. е. что предельным
Δ ->·0
ее значением является δ-функция. Поэтому
ьт
>0 = Σ ДЦ. )δ(τ?
V
и получаем значения физических величин для решений уравнения (4.22)
Если Δ мало, то получим функцию Ь(г;) в виде огибающей значений
В (η. ) при /= 1. 2 ... В большинстве случаев вычисление такой оги-
бающей оказывается проще, чем В (η. ). Функция Лоренца имее1 два
гголюса, и силовая функции записывается в простом виде. Недостаток
функции Лоренца ρ (η) состоит в том, что она не очень быстро убыва-
7?+ Δ/2
ет с ростом η, и поэтому / p(x)dx оказывается заметно меньше
Π - Δ/ 2
173

единицы и в ряде случаев точность расчетов ухудшается. Поэтому иног-
да, как в [159], расчеты проводятся с функцией
Л-!
4*г [(V-Vf)2 + Δ2/4]:
В [157] проведено, сравнение распределений физических величин
рассчитанных с функцией Лоренца и со следующими функциями:
Pr W =
рс(*) =
о,
1*1 > Δ;
1/2Δ, |*| <Δ;
у/ТпА
ехр
( 2 (Δ/2) 2 )
(4.26)
(4.26')
. . 1 1 х
Ps W = -^ SU1 τ-
f * Δ/2
(4.26")
Результаты вычисления силовых функций bin) Для практически экви-
дистантного распределения значений В{ с / - 1, 2, .. ., 17 приведены на
рис. 4.4. Силовые функции сравниваются с точными значениями В..
Видно, что все силовые функции качественно правильно передают рас-
пределение В, хотя предпочтение можно отдать функциям Лоренца
и Гаусса. Наибольшее различие имеется на хвостах распределения.
Вопрос о выборе интервала усреднения Δ очень важен, он обсуждался
в [65—67, 137, 157]. Несомненно, что интервал усреднения должен
ю
в
6
2
1 G
1-s *
1
- Δ=; ill
г
А
■ш 1 -*>т 1
1
гу
1
Wl
***
1
'^tt1
»^o
г^ь-
Bi
10
8
6
h-
2
0
to tz ft 16
18 η
Рис. 4.4. Значения В/ и силовые функции с усреднением по (4.24), (4.26).
(4.26*), (4.26") приД=1:
Bj - нертикапьиые прямые; L - функция Лоренца (4.24); R прямоуголь-
ная функция (4.26); (»' —функция Гаусса (4.26'); S -синусоида (4.26 )
174

быть меньше как области локализации физической величины, так и
интервала, на котором проявляется тонкая структура ее распределения.
В то же время интервал усреднения Δ должен быть больше неопределен-
ности в вычислении данной величины в рамках определенной модели.
При сравнении рассчитанных значений с экспериментальными данными
интервал усреднения можно взять равным энергетическому разрешению.
В ряде работ за счет усреднения путем выбора Δ имитируется влияние
неучтенных взаимодействий или высших конфигураций, приводящих к
"размазке" значений В..
4.2. Уравнения для нечетных сферических ядер
I. В КФМЯ волновая функция возбужденного состояния записывается
в виде разложения по числу фононов. В нечетных ядрах разложение
начинается с одноквазичастичных членов, далее следуют члены квази-
частица ® фонон, квазичастица ® два фонона и т.д. Взаимодействие
квазичастиц с фононами N смешивает компоненты волновой функции,
различающиеся на один фонон. Так, фрагментация одноквазичастичного
состояния обусловлена в основном связью с состояниями квазичасти-
ца ® фонон. Влияние на фрагментацию одноквазичастичного состояния
компонент волновой функции квазичастица ® три фонона проявляется
в изменении фрагментации компонент квазичастица ® два фонона. изме-
нение которых меняет фрагментацию компонент квазичастица ® фонон.
Таким образом, изменение фрагментации одноквазичастичного сос-
тояния осуществляется путем изменения фрагментации компонент
квазичастица ® фонон. При таком методе решения задачи влияние
многофононных компонент на фрагментацию одноквазичастичного
состояния и состояний квазичастица ® фонон не должно быть суще-
ственным. Если изучать фрагментацию состояний квазичастица ® η
фононов. то следует в волновой функции брать все компоненты вплоть
до тех, которые состоят из квазичастицы и и + 1 фонона.
Поскольку операторы фононов не являются операторами "истинных"
бозонов, а состоят из пар операторов квазичастиц-фермионов, следует
принимать во внимание следующие точные коммутационные соот-
ношения:
// /; "
- ^.*Н') - Σ Σ [фУ. 1>b'''u'm'j2m2l>4i> *
« " tl'h ™тт2 "i Пг
x Чт}гт2 |λ'μ'> - (-)λ+λ''μ-μ'*£ Ч>У *
112 J J2
* < jm j2m2 | λ - μ > < / W/,m2 | λ' - μ' > ] a*n <ym· ; (4-27)
175

[%,· ΟλμΙ* = _ Λ <''w>l^>^a/V; (4-28)
Σ < y'l^jX^, | /AfM ]2'η2λ2μ2 \JM) x
m! m 2 μ! μ2
Χ <i6\IM,fI- ЪтгЩтч· Q^2h]) =
= Σ (2λ, + l)1'2^^)1'2 J'3 У; ^ j x
x ψλ,/, ψλ2Ι2 =-XJ(jl\lil\i2\2i2); (4.29)
/3/2 /3/1
[[6λ'μ'Λ βλμ/Ь ρλ2μ2/21 =
f Σ { ΛΓ(λ2μ2»2. λ'μΙ''Ιλμ», λ2μ212) Gx'2jL.'2/'2 +
λ 2/1 21" 2
+ 3?(λ2μ'2«2 λμΙΙλμ/, λ2μ2/2)βλ'2μ'2,'2 } » (4.30)
где
ΛΓ(λ2μ2'2, λ'μΙ"|λμΙ, λ2μ2'2) =
-Σ [|/Α'; ψ~{ {)ът3)АтА | λ'μ' Χ/Ι*", /4тл |λμ> -
/1/2/3/4
m i т2/Пзт4
7 7 1 7- /3/4 Ι'2
/1/2/3/4
- (-)λ+λ'_μ-μ'ψλ':%λ': <y,/H,/4»«4i λ'-μ->Χ
/1/4 /3/4
Χ < y3m3 /4/И4 Ι λ - μ > ] [ ψ .V 2 Ψ XV 2 </з™з /2^2 Ι λ2μ2 > х
/3/2 /l/2
x < /,m, /2^2 Ι λ'2μ 2 > + (-)λ2 + λ'2 ~β2 ~μ'2 Χ
Χ Ψ λ2/2 Ψ XV'2 </i«i /2m2 Ι λ2 -μ2 > < /з/из Уа«2 Ιλ2 - μ2 >]■
/1/2 /3/2
(4 31)
Далее окажется полезным выражение
Ж3(λ'2. »"·>, λ'/'|λΙ, λ2, i2) =
Σ ; < λ'μ'λ'2μ'2 Ι/ΜΧλμλ^ \Ш) х
μμ2μ'μ'2
176

x X (λ'2μ2Γ2, λ'μ''*'Ι λμ/, λ2μ2Ι2).
(4.31')
С помощью введения функций
XJ
и ЗС осуществляется
строгий учет принципа Паули. Функции £J(j'Ki | /2 λ2 i a) и
К3§*&'%■> ^'i'l λ*,λ2/2) знакопеременны, их абсолютные диаго-
нальные значения максимальны и много больше недиагональных. Мак-
симальность диагональных функций X и Jf естественна, так как с
наибольшей вероятностью принцип Паули нарушается в конфигурациях,
построенных из одинаковых квазичастиц и фононов· Значения несколь-
ких функций 5CJ (/ ,λ1/ i I /2X2i2) даны в табл. 4.1. Диагональные
значения % (j\i\ /λi ) обозначаются Χ, ( JjXi) и имеют более
простой вид:
Г λ
//λ
у (7/λ/) =-Σ (2λ + 1)
/'
iKi)'·
Квазидиагональная функция
MJ(K2i2, Xi'Wi, Х2г2) =-| 1
Χ Σ (_)/*+''4 + y
/1/2/3/4
δ-' δ-. . -ν ,.
и ΛΙ, Λ2Ι2
(4.32)
Таблица4.1. Значения коэффициентов J£ (XiM/i Ι/2λ2|2)
JT _ _ CD
для состояний с J = 1/2 и 3/2 ядра Ni
1/2"
3/2"
"l'l/'l
λ?·
I'l
"г hi г
1/5/2
2рЗ/2
2рЗ/2
2p3/2
2p3/2
2p3/2
1/7/2
1/7/2
If 112
If 112
2
η
η
2+,
2n
Пс
2Г
22
2:
λ2/2
1/5/2
2P3/2
lp3/2
2p3/2
If 512
Id 5/2
1/7/2
2p3/2
2pl/2
W5/2
2?
2;
2;
2;
2;
3."
2;
2*
2;
з;
2 J(Xl'l/l I /2 λ2 i 2 )
-0,95
-0,67
-0,004
-0,04
0,17
-0,05
-0,36
-0,13
-0,1
0,01
12-6636
177

x (2λ2 + 1) Γ ψ*. ψλ/' Ψ Ν/2 Ψ*2.'"2 - SPX/' φ* φλ^2 „λ-,,1
7 [ /3/4 Л/4 /3/2 /1/2 l*l*4lt*f3il * ,\ V
1112 J
Диагональную функцию XJ (при /"=/') обозначим Λ" (λ/, \2i2),
причем
#·7(λ/, λ2/2) = Λ·7 (λ2Ι2> λ!)·
Значения Λ"7(λ/, λ2 i2) для нескольких ядер даны в табл. 4.2. Д0.
полнительно введем функцию
X (Jj\\\h, λ2Ι2) = -(2λ + 1) Σ
/'
J λ /
(2λ, + 1) j λ λ2 λ,
' / λ, /'
Таблица 4.2. Функции
Ядро
,14с
an
142c
am
146c
am
208pb
Xii'i
21
21
21
21
21
21
21
21
21
22
21
22
21
21
21
21
21
22
21
21
31
31
31
21
21
22
23
CfCJ(Klil
λ2'2.
21
22
23
21
22
23
31
32
21
22
21
22
31
32
21
22
21
22
31
32
31
32
35
31
32
31
31
. λ2Ι2)
7π
2+
2+
1*
4+
4+
4+
3"
3"
2+
2+
4+
4+
3
3"
2+
2*
4+
4+
3~
3"
7+
2+
2+ "
3"
3"
3"
3"
Λ" (Xii'i,X2i2)
-0,06
-0,17
-0,17
-0,11
-0,13
-0,16
-0,05
-0,005
-0,07
-0,007
-0,07
-0,85
-0,1D
-0,01
-0,15
-0,26
-0,18
-0,22
-0,14
-0,51
-0,023
-0,034
-0,018
-0,026
-0,033
-0,089
-0,015
178

»(#■)*♦ <«.♦!>{ x I i,j(#|y.)
(4.33)
значения которой [145] даны в табл. 4.3.
2. Волновую функцию нечетного сферического ядра возьмем в виде
(4.2)- Поскольку одночастичные состояния с фиксированными значе-
ниями 7-7Γ в сферических ядрах расположены через оболочку и разделе-
ны большим энергетическим интервалом, в (4.2) берется, как прави-
ло, только одно одноквазичастичное состояние. В диагональном по
функциям CfC , X приближении условие нормировки (4.2) принима-
ет вид
1 =СД, {1 + Σ \Df {J v)] 2[1+ S(J/Xi)l +
λ//
+ 2 Σ [F^'-^'M^)]2!! + Λ"λ'(λ«. λ2Ι2)1 Χ
λ/ X2'2/X
x [1 + 5£(//λ'| λΙ, λ2Ι2)] } . (4.34)
Для конфигураций квазичастица ® фонон строго запрещенных принци-
пом Паули 5С (//Xi ) = —1, и они автоматически исключаются из
нормировки и последующих формул. Если имеет место максимальное
нарушение принципа Паули в двухфононных конфигурациях, то УС -
- -1 и они также исключаются. Если в компоненте квазичастица ®
два фонона максимально нарушается принцип Паули между квазича-
стицей и одним из фононов, то Χ (//λ'| λ/, X2i2) =—1 и такая ком-
понента исчезает из волновой функции. Таким образом, строгий учет
коммутационных соотношений между операторами фононов и квази-
частиц гарантирует выполнение принципа Паули.
Найдем среднее значение 4Q„ по (4.2):
Таблица 4.3. Значения функции X (//XIXiii.X2'2)
Ядро J71 nlj λ Xll'i X2I2 £(//X|Xiii,X2l2)
61 Ni 1/2- 2p3/2 2
209Pb 9/ 2" li
13/2
21
21
22
22
21
21
22
22
23
22
24
21
22
22
-0,67
0,12
0,12
0,18
-0,018
0,006
0,003
179

Xij
x Iе/ + ωλ/ + Δω(//λΙ)] - wf* (Jv)r(JjXi)] [1 +
+ 2(//λ/)]+ 2 Σ . [F^h^iJ^^lej + ωλ. +
λ/λ2/2/λ' '
+ ωλ2Ι·2 + 5(//λ'!λ/, λ2/2)][1 + Λ·λ'(λ/, λ2/2)] Χ
Χ [1 + Χ (//λ'| λ/, λ2Ι2)] +2 Σ /)*»" (/ν) Χ
λ//λ1/1λ2/2
Χ F.£>'" 1«'2(Λ) £/λ2«2 (λ| ) [ 1 + Λ- λ^^ λ2Ι-2)] [J +
+ £(//λ/)]-4 Σ вЬ (Jv)Fk№(Jv)x
x (2/ +1)»/2(2λ' +1)1/2(-)/'+λ1 +λ + / j λ1λλ'/ Χ
( //'/ J
Χ Γ(//'λ1Ι1)[1+ Λ·λ'(λ/, λ!/!)][!+ X(Jj\il) +
+ Χ (//λ/)] } , (4.35)
где
Γ (//λ 2
_ / 2λ+ Γ ,
/Λ(//>/;·
VT (^V/2
= 2У^!ГЙ^. (4-36)
Эта вершина стремится к нулю, когда энергия фонона стремится к
полюсу и "У ^ -* °°:
ХЬ (т)
Δω(//λ/) =-Σ —-7Π— XUJXi);
7 Jτ
, Λ-λ'' !(τ) + Λ-λ2'"2(τ)
5 (//λ Ι λ,/,, λ2Ι2) = — Σ г i Χ
4 Τ (^υ ^λ2/2)1/2
Χ [x'fkou λ2/2) - 2(//λ| λ!/,, λ2/2)],
180

j/XiiiiXi) =< Gj^f^il^XiMif !^tfii2^
λ2»
f . Xl + λ2 - λ _L (2Xx + 1)l'2 (2λ2 + 1)
> =
1/2 x
ντ
Στν,
(+)
x Σ ■" '/i/2
Τ /l/2/З
/λ2(/1/2) f XiX2A
r XiX2A )
l /1/3/2 '
Λ/i + φ^". 1„λ1'i
/3/1 /2/3
_£ШЙг- fλ1λ2λ i i*-*1- *λ2/'2 + *λ/" *λ2/'2
/β/λ,!," * /Wi » /2/э /з/i ^/з /з/Ч
V ^ т
ЛЛЬ2_ ( λ'λ2λ i ( ψν 1 „А2*2 ± ψλ2/2 Xlf, j
У^ХГ t /./2/З J \ b/'l /2/3 /2/3 V'/3/·, /
(4.38)
(4.37)
где v-*-~^ и знак плюс появляются в сочетании с мультипольными
/1/2 ^ .
матричными элементами /(/Ι/2), а ?Лу и знак минус — вместе со
λ/
спин-мультипольными элементами / (/i/2)- Как видно из (4.35),
состояния, строго запрещенные принципом Паули, не дают вклад в
среднее значение гамильтониана.
Воспользуемся вариационным принципом
δ H**(jAf)HQP*vVM)) -
-^„[(^„•(■ию*„(■«#)) - П } =о
и получим систему трех уравнений:
V - η,„ + Σ { (D^1 )2[ey. + ω^ + Δω(7/λ/ ) -Ч,„]
Xl I
-2D^''r(//A/)} [1 + й (//λ/)] +
+ 2 Σ (/Ai'"iA2/2)2[e + ωλ . ^ ω> . +
\ . Λ . , V /λ ' L / Λ]/ ! λ2/2
Λ[Ι jA2/ 2/Λ
+ ^(//λ| λ,/,, λ2Ι2)-η/Ι;][1 + Λ·λ(λΙ/„ λ2Ι2)] Χ
* [1 + £(//λ| λ.1,, λ2/2)] + 2 Σ
~Kyi iX2/ 2λ//
£)λ/ /Γ λ, J , λ2/2 Χ
/' /λ
181

x £^>f?(W)[l + Λ·λ(λ1Ι,, λ2Ι'2)][1 + Я (/ДО] -
-4 Σ Z^'F^/iXi (_)/'+Xi +λ+/ x
\.\ ■ •■'\i 1 /λ
x (2/ +Ι)1/»(2λ' + I)1'2 j ^,U / rUfXh) *
' /// >
Χ [l+^A'(Ai, Xt/Oiri + 2(//Vi)+ «(//λ/)] =0; (4.39)
Ζ?^'[£/ + ω^ + Δω(//λΙ) - i?/i; - Γ(//λ/)] x
Χ [1 + #(//λ/)] + Σ FAif 1λ2'2^2'2(λ/) Χ
Aj/ jA27 2
Χ [1 + л" λ(λ,/!, λ2/2)][1 + # (//λ/)] -
-2 Σ FXji»A,r07V,)(-)/,+ X+X» + 1' Χ
λ,/Α'/' /λ
* ! λ'λλ ! (2/ +1)1/2(2λ' + 1)·/2[1 + * λ'(Η λΧΙ\)1 Χ
С /// )
Χ [1 + 2 (//V.) + 2 (//λ/)] =0; (4.39')
FM.V2[e. + ^^ + ωλ2.2 + S(J,X\ M„ λ2/2) -
-4>„]Ρ + *"λ(λΙΙ1, λ2Ι2)][1 + 2(//λ| λ,/,, Xjij)] +
+ -i- Σ Ζ> **£/*«?> (λΙ)[1 + Λ·λ(λ1Ι1, λ2/2)] Χ
2 Ι ' Λ!/ !
Χ [1 + £(J/\i)] - -- Σ i^^ri/jAx/x) Χ
* (2/2 + 1),/2(2λ + 1)»/2(-)/+λ1+λ2+/ [ λ'λ'λ j Χ
Ι ///2 >
x[l + Λ"λ(λ,/1, λ2/2)][1 + %Ui\iA +
+ £(//2λ2Ι2)] + Df^r(i2i\2i2)(2}2 + 1)»/2(2λ + 1)1/2 Χ
Χ (_)/+/-λ f *2λ,λ? [1 + jcX(K1il, Xai2)]x
Ι ///2 J
182

х[1+ £(У/Х2/2) + ^(//2λ,/,)] j =0. (4.39")
Подставляя выражение для F*1'" lA2'2 (/f) из (4.39") в (4.39),
(4.39 ), получаем уравнение
*foyi,> = ej~fiJV~ Σ Γ(//λ/)βΝ' (/!/)[ 1 +
λ//
+ X(Jj\i)] =0 (4.40)
и неоднородное уравнение для нахождения функций Ζγ {Jv), явный
вид которого дан в [145, 147]. Найдя функции D. (Jv) и подставив
их в уравнение (4.40), можно рассчитать энергии t\Jv состояний с вол-
новой функцией (4.2).
3. Пренебрежем поправками, связанными со строгим учетом принци-
па Паули. Для этого функции JCJ (Xi, Х2/2), %{JfKi) и
X (JjK I Xi/i, X2/2) положим равными нулю. В этом случае при-
дем к следующей системе уравнений:
StojJ Ξ eJ -«Jv" Σ ПЛЫВ? U ν) =0; (4.41)
λ//
Σ D^
hi '
Γ2(//2λ2/2)
Ь + ωλ/ - bv ~ V "
λ2«2/2 %+ «λ/ + ωλ2/2""""/„ J
x δ . δ.. _ Σ J^MOTt^fO + 1/2 κ
λ/λ",//Ι /3 «y3+«fc ^Xlil~nJV
λ2 /з /i
Ι£/^/2(λ.«·)
1/.λ2./2(λ,/,)«/^/2(λ,«-)
+ Σ
λ2Ι2
2 λ2/2λ3Ι 3 c/ , + ωλ2Ι 2 + ωλ3'· 3 ~ VJν
Λ2 Λ Λ1
rOiA/a)(-),ai<J(2;41)"! j λ2 λ .* ! *
i/i2,"2(X,i,)(2X, +1)1'2 ^λ1'"> (λ/)(2λ+1)1/2
Ai A2t 2
е/, + wXi + ωλ2/ 2 " *iv е- + "λ,,, + «ха/ 2 - nJV
1
= Γ(7/,λ,»,)- (4-42)
183

Строгий учет принципа Паули приводит к сдвигу полюсов и к пеп
нормировке матричных элементов.
Если в (4.42) отбросить члены, содержащие t/^2'"2(Xi), которь
наиболее существенны для описания фрагментации состояний типа
квазичастица ® фонон, то получим систему уравнений, выведен-
ную впервые в [136]:
Σ dV (Jv)
- Σ
«7 + "λ,.,-7^ "
Γ2(/72λ2Ι2)
λ2«ν* eJ2+Uh +<·%,2 -4jV\
δλ1. Xf«i6//i
_ ££(ЫЛОГ(/зА1?1)_^1+п1/2(2.+1),/2х
"£/ Jlj-^M.). (4-43)
Уравнение (4.43) использовалось при вычислении распределения силы
глубоких дырочных и высоколежащих частичных состояний [142,
160—162], нейтронных силовых функций [160,163].
Если в волновой функции возбужденного состояния нечетного ядра
не учитывать компоненты квазичастица ® два фонона, т. е. ограничить-
ся волновой функцией вида
*V(JM) -CJV{aJM + Σ Dp(JV)[a;mQ^.]JM}%, (4.44)
λ у
то в диагональном приближении для функции X J получаем простое
выражение для £>. (Jv) [143]:
>,· Г (/АО
D™ (Jv) = . (4.45)
е/ +ωλ/ + Δω(·Α0 -VJV
Подставляя (4.45) в (4.41), приходим к секулярному уравнению для
определения собственных энергий
' (4.46)
184

Если не учитывать поправки, связанные со строгим учетом принципа
Паули, и положить X и Δω равными нулю, то получим известное урав-
нение для нечетных ядер [6, 1311:
.Ffr,v> s Ь -bv ' I. ~~^~ = °- (4"46 >
4. Получим выражения для силовых функций, описывающих фрагмен-
тацию одноквазичастичных состояний и состояний квазичастица ® фонон.
Система уравнений для функций D. (Jv) имеет ранг от 100 до 1000.
Учитывая нелинейную зависимость от энергии η коэффициентов урав-
нений, Приходим к необходимости введения силовых функций.
Силовую функцию, описывающую фрагментацию одноквазичастич-
ного состояния, возьмем в виде
С2
С/Ь) = — Σ ^—-г — . (4.47)
J 27Г ν (т?- VJV) + Δ /4
Следуя [142], общий вид решения системы линейных уравнений мож-
но записать, воспользовавшись формулами Крамера:
D^Uv) = ΓΟ,λ'\ , , Spin,»). (4.48)
> е. + ω^ + Δω(//λ/) - nJv ' J
Функция Sj (Vjv) представляет собой отношение двух детерминан-
тов и включает все полюсы типа
Если принять во внимание (4.48), то уравнение (4.40) приобретает сле-
дующий вид:
S"fa/I;) = С/ - vJV -
Γ2(//λ/)[1+ %(jj\i)] >;
- Σ —-— а ,7^т-^/ <W =°· <4-49)
В точках решения системы уравнений (4.39) — (4.39") выполняется
условие
d Hn)/dV\v = r}jv= -1/СД . (4.50)
Воспользуемся им и перепишем (4.47) в виде
185

СгЧп) =--Σ
2π ν d.t (τΟ/£?τΗη = τ? (η- VJvy + Δ2Ι4 '
Используем теорию вычетов, проведем такие же преобразования, как
при выводе формулы (4.25г), и найдем
1
J π £ (τ? + ΙΔ/2) '
Явный вид С J (i?) получен в [142] из (4.47*) и (4-49):
с 2 = _1_ (Д/2)[1+ Г2(т?)]
/ Ч π [«/ -Т2(т?)-Ч]2 + (Δ/2)2[1+ Г2(т?)]2
, , ν Γ2(//λ.)[1+ £(//λ,)]
T2(i?) = Σ
(4-51)
/λ| [e;- + ω^- + Δω (У/λ/) -τ?]2 + Δ2/4
Χ { ReS^' (r?)[€/ + ωλΙ. + Δω(Jjλ/) - τ?] - (A/2)2ImSy^ (ij)i
Г2(г?) = Σ
(4.52)
Г2(У/ХГ)[1 + £(У/Х/)]
λ'7 f€/ + ωλ,- +Дсл>(У/ХП -τ?]2 + Δ2/4
Χ { ImSN' (τ?) [е. + ω^. + Δω (//λ/ ) - η] + Re S^' (τ?) } .
(4-52*)
Силовую функцию, описывающую фрагментацию состояния квази-
частица ® фонон, определим так:
ВЧП) = ± Σ \CjvdY (/„>]' V-ТГ- · (453)
2π v L Jv l J (r)-rijv) + Δ2/4
Член, пропорциональный [Dy (Jv)\2, приводит к появлению у
функции D2(t?) дополнительных полюсов, что затрудняет использова-
ние метода силовых функций. Но произведения О. ( Jv)D^1 {J v),
где Xij Φ λΙ'7', дополнительных полюсов не содержат- Поэтому пре-
образуем (4-53) следующим образом. Выразим D, (Jv) через дру-
гие Z), (Jv), использовав (4.40):
/
D^ (Jv) = { е -1, - Σ Γ(//'λΥ) х
186

x[l + Х(Л'\Ч')]0}''' (Jv)} [Γ(//λ/)[1 + 2(//λ/)1}-1;
r(7/Ai)fiT jg (//λ/)] { е> ~ ^ ~
[ο^λο]
Σ Γ(//'λΙ')[1+ X(Jj'X'i')]Dγ (JV)} .
Подставим это выражение в (4.53) и после преобразований получим:
D* (η + 1Δ/2) l е, -η- i Δ/2 -
D2(V) = — Im — — ->
П Γ(//λ/)[1+ £(//λ/)] .f(77 + iA/2)
- Σ Γ(//'λ'0 [1 + £{ Jft't')] 0/''(η + i Δ/2) }
λ'/'/' '
-> . _ , , .
5. Для того чтобы вычислить £^(η) и £>2(η) и исследовать опреде-
ляемые ими физические процессы, нужно рассчитать функции D. (η +
+ 1Δ/2) для различных η при фиксированном значении Δ. Метод решения
предложен в [164] и реализован для системы уравнений (4.43). Одна-
ко этот метод применим и к общей системе уравнений. Он основан на
том факте, что диагональные элементы матрицы коэффициентов при
неизвестных D. (Jv) (обозначим ее @ . матричные элементы g^O,
как правило, больше недиагональных. Это связано, в частности, с тем,
что недиагональные g.. 'образованы некогерентными суммами, а диа-
гональные g,, — когерентными. Недиагональные элементы становятся
большими лишь в тех случаях, когда энергия η оказывается близкой
к полюсу. Их роль заключается главным образом в уничтожении лиш-
них полюсов системы, а корни η. и фрагментация определяются в
основном диагональными элементами gkk.
Это свойство системы уравнений (4.43) было замечено в [134],
в ряде работ пытались решить систему (4.43) в когерентном прибли-
жении, т. е. сохраняя только диагональные члены. При этом появлялись
ложные, нефизические решения. Чтобы избавиться от них, была пред-
принята попытка учесть ближайшие к искомому корню недиагональные
члены [134]. Однако из-за флюктуации значений Г(7/'Хг) трудно
сформулировать общий критерий выбора таких недиагональных чле-
нов. Требование, чтобы полюсы этих не диагональных членов были
близки к искомому корню, оказалось недостаточным. Учет одного-
187

двух недиагональных полюсов достаточен для вычисления волновых
функций лишь тех решений, которые имеют простую структуру. Если
же в волновую функцию решения давало сравнимый между собой
вклад большое число компонент, то искусственное ограничение числа
учитываемых недиагональных полюсов вызывало значительные иска-
жения в структуре решений- Увеличение числа учитываемых недиаго-
нальных полюсов приводило к чрезвычайно быстрому усложнению
формул и делало их малопригодными для практического использо-
вания.
Следуя [164], запишем систему (4.43) в матричном виде:
& D = Г, (4.54)
где Ζλ. — вектор, образованный неизвестными коэффициентами
D- (Jv). Г — вектор, образованный правыми частями уравнений
(4.43). Тот факт, что у матрицы Θ матричные элементы \gkk\, как
правило, больше Ig^^'l (к ^ к'), позволяет применить для решения
уравнения (4.54) итерационный метод Якоби. Тогда п-е приближенное
решение системы находится с помощью соотношения
DW =£)Си-1) +J^(r- @D <«-'>).
Диагональная матрица 3( имеет следующие матричные элементы:
hkk ~gkk'
Начальным приближением D^ служит вектор Г. Итерационный про-
цесс сходится, если для всех строк матрицы @ выполняется неравен-
ство
Г* =1***1" Σ (|iriKl. (4.54')
к ¥=к
Если же условие (4.54г) не выполняется, то матрицу С/( следует взять
в другом виде. Пусть осуществляется ситуация, когда
У. > 1, к = 1, 2, л.., т:
7. < 1, к = т + 1, т + 2, ..., η
(η - ранг матрицы @ ). Тогда определим Ж следующим образом:
X = j &' '· к = 1,2,...,т; (4 54")
Матрица @' образована первыми т строками и столбцами матри-
цы @ . Каждому значению η + iA/2 соответствует своя матрица @ <
и ее ранг меняется от точки к точке.
188

Здесь полезно провести аналогию с упомянутым выше методом
многополюсного приближения. Выбор матрицы Ж в виде (4.54")
означает, что в первом приближении из всей матрицы @ выделяется
субматрица, соответствующая полюсам, наиболее сильно связанным
с состоянием, фрагментацию которого мы вычисляем. Из остальных
матричных элементов gkk < учитываются только диагональные. Это
как раз и соответствует многополюсному приближению [134]. Если
же условие (4.54 ) выполняется для всех строк матрицы ${ , то пер-
вым приближением к точному решению будет результат, полученный
с сохранением только когерентных членов. При использовании итера-
ционного метода имеем численный критерий для вывода таких недиа-
гональных элементов, вклад которых в данной точке наиболее суще-
ствен, а число учитываемых элементов может изменяться от точки к
точке. Кроме того, следующие итерации учитывают вклад недиаго-
нальных элементов, вносящих небольшие поправки и исключающих
лишние решения.
В отличие от прямого обращения матрицы @ метод тем эффектив-
нее, чем меньше ранг матрицы @', т. е. чем ближе к единице величина
(п — т) /и. В повышении эффективности итерационного метода извест-
ную роль играет расчет не точных значений Cj или [Л. (Jv) ]2,
а усредненных с помощью весовой функции значений, так как увели-
чение параметра Δ уменьшает недиагональные матричные элементы и
увеличивает скорость сходимости итерационного процесса.
В качестве примера в [164] рассмотрена фрагментация дырочного
нейтронного состояния lg9/2ll9Sn. Учитывались все состояния квази-
частица ® фонон и квазичастица ® два фонона из интервала 0 < Ε <
^ 10 МэВ. Ранг матрицы @ оказался равным и = 276. Ранг матрицы
@' во всех точках η + 1Δ/2 не превышал 20 (т<20), т. е. был на поря-
док меньше п. Влияние на скорость сходимости итерационного процес-
са величины Δ видно из следующего примера. Степень близости 1-го
приближения D*') к точному решению характеризуется абсолютным
значением так называемого вектора невязки. Его значите Ю-4 дости-
галось при Δ = 0,1 МэВ после семи-восьми итераций, а при Δ =0,5 МэВ
после двух-трех итераций.
4.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЧЕТНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ЯДЕР
1. Получим уравнения КФМЯ для четно-четных сферических ядер.
В КФМЯ описываются те свойства ядер, которые обусловлены фрагмен-
тацией однофононных или двухквазичастичных состояний. Волновая
функция возбужденных состояний записывается в виде
189

λ2/ 2
где /Λ/i и λμ/ — квантовые числа мультипольных и спин-мультиполь-
ных фононов. Мы ограничились в (4.55) двухфононными членами,
в дальнейшем следует добавить трехфононные члены. Условие норми-
ровки записывается так:
Σ [R (Jv)]2 +2 Σ [P^^Jv)]2 +
λ,Ι,λ2/2 λ2'2
+ Σ ρΚΛ iJv)p^i4Jv) x
λ111λ212 λ2'2 λ2'2
All lA2' 2
x XJ(k'2i'2, Xii'i Ιλ^Ι, λ2Ζ2) = 1, (4.56)
явный вид функции ЗГ (X2i2, X'i/'i | λΧ/1, λ2/2) дан формулами
(4.31), (4.31').
Найдем сначала наиболее общий вид уравнений модели. Вычислим
среднее значение Η'ρ (4.11) по (4.55):
(**{JM)HQp*v(JM)) = Σ ω,. Д.2 +
> ; > / λ'2Ι2 λ2/2 ^ λ!Ι, "%! 2>
Κ\1 \Κ21 2 λ *
\' ·' \' ■'
Ajl lA2/ 2
Χ Γδ-ν · \' ·' δ\ · \' ■' + δ\ ■ \' ■' δ\ . \i ■· +
1 Ai/j.AiI] Λ2'2· Λ2' 2 Λ1/1,Λ2/2 Λ2/2, Aj/ j
+ ΛΓ 7 (λ'2Ι 2, X'll'i Ι λ! Ι" 1 , λ212) ] -
- ~ Σ Γ-Γ—~, 7^ ·*" (*2*2. λΙ/3 Ιλ,/1. λ2Ι2) +
/3TL ( ^Λ1' 1 Й^Л1'3 )'' 2
4
+ ττΙ ;>. ,„ xJQbh. x'xi'i Ιλ,/1; λ2/2)
л β^ λ2/2 aj л2/'з л1'2
τ τ
190

A,i,
A2tz A,i, А2г2 A,i, A2£2
a)
Рис 4 5- Диаграммы, учитывающие взаимодействие квазичастиц с фононами
исвязьоднофононных и двухфононных конфигураций (c-β) :
волнистая линия - фонон; сплошная линия - квазичастица
А-Лз'з(т) + А-Лз'з(т)
4 Хз«з«'з ( ^«"з ^λ3.-3)
λ4'4Τ
1/2
JiT-/(A4/4. λ3/'3|λ,Ι,, λ2/2)Χ
х ^(Xjij, λ',/', |λ3/3, λ4/4) } +
+ 2
λ]/ 1 λ2Ι2'
Д-Р*1'""
' λ2!"2
/λ,/,
t/^i'i (//) + ГЧ'(Л)
■Λ1 ' 1 /
^2'2
*2' 2
(4.57)
где δ^- у.Ι -δ^'δ^.1 . Для спин-мультипольных сил функция
■л^ (τ) (2.106) заменяется функцией Λ^ (τ), определенной форму-
лой (2.113). Явный вид функции uh',2( Л) дан формулой (4.37),
Λ /
ей соответствует диаграмма, изображенная на рис. 4.5, а. Функции
^^.'(Л) соответствуют диаграммы, показанные на рис. 4.5, б, в,
она обращается в нуль при WJ = 0.
Воспользуемся вариационным принципом в форме
~ % i (*„* (/ЛОФ„(ЛЮ) - 1] } =0 (4.58)
и получим систему двух уравнений. Из первого уравнения
Ail" ] λ2' 2 2
/l jf/X.i
I 2 ( λ2Ι
2 Λ2Ι 2
I-
191

найдем R., подставим во второе и получим секулярное уравнение для
определения-энергий f\v в виде детерминанта в пространстве двухф0.
нонных состояний [144]:
det II (о>ч ,-*' + о>ч . — 7},,) Гδ-ν . -ν' .» 6ч . ■),'■' +
Al'l λ2/2 'V'1 λ]/1, Ail 1 λ2Ι2, λ2Ι 2
+ бХ1г1,Х'2,'2 δλ2/2, \\i\ + XJW*> λ.Ι'"| I Mi. λ2/2)] -
Χλ*'Ι (τ) + Α-λ'»'3(τ)
Γ «^1'" 1 «/ Ai
Χλ'2''2(τ) + Λ-λ2'3(τ)
! Γ Χλ1'1(τ) + Α-λ»'3(τ) , , , ,
-ΓΣ ΓΓ~7 Г, UT~ Ж (λ21'2, λ,/3 |λ1/,,λ2/2) +
,-3Τ 1(^1! ^λ,«3)
ΧΛ2'2(1-) + *Α»'"3(Υ) ]
(й,А2,2 ^λ2,3) / J
1 Α-λ3''3(τ) + Α-λ3''3(τ)
4 λ3/ν'3 (^λ3/3 %у>)112
λ4'4''
Χ ΛΓ (λ4/«, λ3/3 IXji'i, λ2/2) JC (λ2/2. λi/1 I А3'з. λ4/4) —
( t/λ>/чу,-) + ^λ>:'(-/ο) f«/£· ν(л-) + »\λ'ν)'1 (λ))
1 Λ2'2 , Λ2/ 2 Ι \ Λ2Ι2 Λ2Ι2 /
= 0.
(4-59)
Порядок этого детерминанта равен числу двухфононных членов в вол-
новой функции (4.55).
Проиллюстрируем уравнение (4.59) на языке диаграмм. В первом
слагаемом учитываются диаграммы, изображенные на рис. 4.6. а, б,
далее — диаграммы на рис. 4.6, в, г. Членам, содержащим UU, UV и VV,
соответствуют диаграммы на рис. 4.6, д, е, ж соответственно. Кроме
того, имеются диаграммы, которые получаются из диаграмм, приве-
денных на рис. 4.6, в, г, е, ж, заменой части а частью б. Следует иметь
в виду условность такой иллюстрации, тем более что вершинные час-
ти в каждом случае разные.
Секулярное уравнение (4.59) очень сложно, порядок детерминанта
равен 103 — Ι05. Оно может быть решено при существенном обреза-
нии однофононного базиса. Здесь учтено много графиков, которые
дают очень малый вклад в фрагментацию однофононных состояний-
Отметим, что для вычисления фрагментации двухфононных состоя'
ний необходимо учесть трехфононные члены волновой функции.
192

Рис. 4.6. Диаграммы в пространстве двухфононных состояний.
Обозначения тс же, что на рис. 4.5
2. Перейдем к приближенной системе уравнений. Для этого в
(4.59), во-первых, ограничимся членами, пропорциональными
[Л1.1(/^) ]2, и, во-вторых, в квадратичном но Ж члене одно из
Л2' 2
#" возьмем в диагональном виде. Это можно сделать потому, что аб-
солютные значения диагональных членов J? значительно больше не-
диагональных. Ограничимся также диагональными значениями Ж
в условии нормировки (4.56). В результате получим:
Σ η + 2 Σ i Ρ λ./, \2 [! + ^(λ,/,, λ2/2) ] = 1; (4.60)
(*„* (JM)HQp *V(JM)) = Σ cjj.Rf + 2 Σ ( />£. j . ) 2 Χ
1 λ)/"1X2/2 2 2
* [ωλ111 + ωλ ■ + Aw(A,i,, λ2/2)]11 +Л-У(Х,/,, λ2/2)] +
193
13-6636

+ 2Σ
λ
' λ[Ι 1 i/^li'i
где
2 Σ R Ρ Ai.' i t/д|! i ( Л) [ 1 + Л'J (λ, i,, λ2 i2 )] , (4.61,
\i«iX2i2 λ2'2 λ2'2
A^i'i(t) + ΑΓλ,,'3(τ)
Δω(λ,Ι,, \2i2) = Σ
1/2
х ·7Γ У (λ2'2, λ,Γ3 Ι λ, /,, λ2/'2) +
x JfJ (λ2Ι3, λ,/Ι Ι λ,/",, λ2/2)
if*2'2 (τ) + А-Л2'3(г)
/·β/λ2/ 2 С/ λ2/3 J
1/2
(4-62)
гуммирование по /3 обусловлено выходом за рамки ПХФ.
Воспользуемся вариационным принципом и получим следующую
систему уравнений:
(ω„ - тОЛ. + Σ P^/1[7Al!l(/n x
Л М,Х2.-2 *2'2 λ2/2
х [1 + .'/-'(λ,/,, λ2/2)] =0.
+ Σ tf.i/^"'(//) =0.
/' ' Λ2Ι2
(4.63)
(4.63')
Теперь секулярное уравнение можно получить как в пространстве
двух-, так и в пространстве однофононных состояний. Секулярное
уравнение в пространстве двухфононных состояний имеет вид
J (nv) = det И[<%;, + ωλ2/2 + ^(Vi. λ2/2) - ην] x
Χ (6\ . \i .1 δ\ . \> .' + δ\ . \' .' δ\ . ν ■' ) —
vAiIi,Aili Λ2/2,Λ2Ι2 Α]! | , Λ2> 2 A2i 2, AjJ i
u^injOu^'nji)
-~ Σ
\2I2
2'2
ωΛ" - "ν
[I +JTjr(X1i„ λ2Ι2)1Ι = 0.
(4.64)
В этом случае учитьгеаются диаграммы, ^приведенные на
рис. 4.6, а—в, д, з, причем диаграмма на рис 4.6, з отличается от диаг-
раммы на рис. 4.6, е тем, что нет суммирования по промежуточным
двухфононным состояниям, так как оставлено только диагональное
194

значение Jf , т. е. суммируется меньше диаграмм, чем в случае урав-
нения (4.59).
Секулярное уравнение в пространстве однофононных состояний за-
писывается следующим образом:
det
(ω
'л
W
t/Λ'1 (л) £/*"> (л·) [1 + х'Очп. λ2/2)]
λ2Ι2
λ2'2
2 λ!*! Xaia <% ,·, + ωλ2/ 2 + Δω(λ1 'Ι > λ2'' 2)
= 0.
(4.65)
В пространстве однофононных состояний учитываются диаграммы,
приведенные на рис. 4.7, о-в (см. ниже). Диаграммы на рис. 4.7, б, в
соответствуют поправкам, возникающим при учете принципа Паули
в двухфононных членах волновой функции (4.55).
Рассмотрим уравнение (4-65). Порядок детерминанта равен числу
однофононных состояний в первом члене волновой функции (4.55).
Он меняется от 20 до 200 и, таким образом, оказывается на два по-
рядка меньше порядка детерминантов (4,59) и (4.64). Множитель
1 + Ж1 (Xii'i, λ2/2) обусловлен учетом принципа Паули в двухфо-
нонных членах волновой функции (4.55). В случае максимального
нарушения принципа Паули Ж = —1 и соответствующее слагаемое
исключается из суммы по Ajij, λ2/2. Сдвиг двухфононного полю-
са Δω(λ]/1, λ2/2) связан с учетом диаграмм типа изображенных
на рис. 4.6, в, г. Как показано в [140, 165], он велик для первых
двухфононных коллективных состояний деформированных ядер.
Сдвиг Δω(λ1Ι|, λ2Ι2) мал для коллективных фононов, образую-
щих гигантские резонансы разного типа. Сдвиг ΔωΟ^^, λ2/2) ра-
вен нулю при
найдем
Ж =0. Использовав условие нормировки (4.60),
ядл) =/(,; ji/i,?. ♦
♦τ Σ
λ1'Ιλ2'2
.?<1|';(',')ν
L \"Xiii + ωλ2Ι·2 + Δω(λ,/,,λ2Ι2) -ην
Χ (1 + JiT'ftiii, λ2/2))
(4.66)
где Αμ' ~ алгебраическое дополнение детерминанта (4.65).
Если в коммутационном соотношении (4.27) отбросить члены,
пропорциональные а* а, то в этом случае Ж = 0 и вместо уравнений
(4.63) и (4.63f) имеем
195

«*Л-№+ Σ. ^(^Jj-O, (4.67)
/Aiii =__L Σ _*?!* L
λ2/2 2 ,·' ω^ . + ω
λ2/2 'V
(4.67')
Подставим выражение (4.67') в (4.67) и получим систему урав-
нении
ъ 1 к,- - %)*&·
— Σ
Л2/2 л212
,· ω-ν . + со·
λ,/1λ2/2 <%/! ωλ2/2_7?ν
Л;- = 0.
(4.68)
Из условия существования нетривиального решения системы (4.68)
получим секулярное уравнение для определения энергий η :
5"(Ч„) = de4 ("// - %)ЬИ· -
1 _, Лт/ 2 Л2/ 2
XxiiXa/j ωλ1/,+ωλ2/2~4Ι'
= 0,
(4.69)
причем порядок детерминанта равен числу однофононных состояний
в волновой функции (4.55). Используя условие нормировки волно-
вой функции (4.55) в виде
Σ R.2 + 2 Σ ( i^i'i Г = 1.
/ ' > .· -х · \ Λ2Ι2 /
Ai«iA2l2 * '
(4.70)
находим
V
Α« 1Σ.Α«· + τ *
I AjiiA2/2
.» " Λ2/2
Λ] Ii Λ2»2 *■
(4.71)
где Α~> — алгебраическое дополнение детерминанта (4.69). Для
решения уравнения (4.69) справедливы соотношения
196

A,ii
Kzi2
Ji'i a)
λ,£,
A2i, A,i,
A,i, A,i.
Л'1 б) jV* В)
λ2*2
Vi
д)
Рис 4 7 Диаграммы, учитываемые в КФМЯ (а-в) и в теории ядерных полей
(г. д) Обозначения те же. что на рис. 4.5
яг2 = -
Э5(ч)
Α..
II
9η
v = vtl
Ri = (Aii-/An)Rr
(4.72)
(4.72P)
3. Сравним точности приближений в КФМЯ и в теории ядерных
полей (ТЯП) [78, 166, 167], а также выясним, насколько велико
влияние Паули на двухфононные члены волновой функции (4.55).
В ТЯП при вычислении фрагментации однофононных состояний
суммируются диаграммы типа приведенных на рис. 4.7, г, д. Как про-
демонстрировано в [166], они являются частными случаями диаграм-
мы на рис 4.7, а, когда фонон \2t2 — коллективный, а фонон Xi/'i —
двухквазичастичный. Если энергия однофононного состояния совпа-
дает с соответствующим двухквазичастичным полюсом, то вершина
r(JjXi) (4.36) обращается в нуль, а волновая функция однофонон-
ного состояния становится волновой функцией двухквазичастичного
состояния. Такой предельный переход однофононного Xjii в двух-
квазичастичное состояние изображен на рис. 4.8. Диаграмма, приве-
денная на рис. 4.7, а, превращается или в диаграмму, показанную на
рис. 4.7, д (см. рис. 4.8, а), или в диаграмму рис. 4.7, г (см. рис. 4.8, б) ■
Отсюда видно, что диаграммы, суммируемые в ТЯП, представляют
собой частный случай одной из диаграмм, учитываемых в КФМЯ. Та-
ким образом, в КФМЯ суммируется более широкий круг диаграмм,
чем в ТЯП.
Для численного сравнения точности приближений в КФМЯ и ТЯП
введем силовые функции. Пусть Ф^ - амплитуда возбуждения со-
стояния 4rv(JM), данного формулой (4.55), в некотором физиче-
ом процессе. Определим силовую функцию следующим образом:
197

hziz
δ)
Рис. 4.8. Преобразование диаграмм, суммируемых в КФМЯ, в диаграммы, учи-
тываемые в ТЯП. Слева от стрелки-диаграммы в КФМЯ. Если однофононное
состояние Xj/'i переходит в двухквазичастичное, то образуются диаграммы в
ТЯП. Обозначения те же, что на рис. 4.5
Ь(Ф, η) = Σ \Φ/ν\2ρ(.ν-νν).
(4.73)
Если возбуждение состояния Ψ (JM) происходит через однофонон-
ные комноненты волновой функции
(4.74)
ф/„ = f Ri (■>">*.
Л
Подставляя (4.74) в (4.73) и используя соотношения (4.72), (4.72 ),
перепишем (4.73) в виде
Аи'
Ь(Ф, τ?) = Σρ(η- V Σ, — Λ?ΦΛ·ΦΛ'
Ф2Ю
". ' »' Ai'i'
5P(*-*v> 35/3,1
ч = ч.
где Φ2(ην) = —Σ i4f/' (τ?1,)φ//φ//'· Перейдем к интегралу
198

Φ2 О)
Ь(Ф,П) = -~-~ * ~, ч Pfr? ~z)dz (4.75)
по контуру (см. рис. 4.3) / содержащему внутри себя полюсы z =ηρ
подынтегральной функции $F~l(z), являющиеся корнями секуляр-
ного уравнения (4.69). Выражая (4.75) через интеграл по бесконечно
удаленному контуру (равный нулю, так как подынтегральное выраже-
ние убывает на бесконечности, как |г["3) и интегралы по контурам во-
круг полюсов функции ρ (η — z), равных z = η ± 1Δ/2, и используя
теорему о вычетах, получаем:
$4„'<4+1Δ/2)ΦΛ.Φ,.. ,
1 I"
ft (Φ. ч) = ~Im ^ V
5 (tj + i Δ/2)
(4.76)
где 3 (η + iA/2) — детерминант (4.69) при комплексных значениях
энергии; А-.< — его алгебраические дополнения. Формула (4.76)
верна для случая, когда функция Ф2(г) не имеет особенностей. Таким .
образом, при нахождении усредненных характеристик вместо решения
секулярных уравнений вычисляют детерминанты при комплексных
значениях энергии, что гораздо проще. Энергетический интервал усред-
нения Δ определяет способ представления результатов расчетов. При
Δ -> 0 функция Лоренца ρ (т? — η ) переходит в δ-функцию Дирака, а
силовая функция Ъ (Φ, η) отлична от нуля лишь в точках η =η решения
уравнения (4.64) и равна | Ф, | 2. Интервал усреднения Δ должен быть
больше среднего расстояния между состояниями, соответствующими
многофононным компонентам, которые отброшены в (4.55). Кроме
того, Δ должна быть значительно меньше области локализации рассчи-
тываемой физической величины. В сферических ядрах этим критериям
удовлетворяет область значений 0,1 < Δ < 1 МэВ.
Следуя [168], рассмотрим, насколько сильно различаются результаты
расчетов в КФМЯ, когда суммируются диаграммы типа приведенных
на рис. 4.7, а, с результатами вычислений в ТЯП, когда суммируются
диаграммы, показанные на рис. 4.7,г, д. В ТЯП (см. диаграммы на
рис. 4.7,а) в качестве одного из промежуточных фононов берется кол-
лективный фонон, а в качестве другого — неколлективный (фактически
двухквазичастичное состояние). В разделении фононов на коллективные
и неколлективные или слабоколлективные имеется определенный
произвол. Результаты расчетов в КФМЯ и ТЯП приведены на рис.4.9
и 4.10. Из этих рисунков видно, что КФМЯ и ТЯП дают близкие резуль-
таты, хотя в расчетах по КФМЯ сила гигантских резонансов фрагменти-
рована несколько сильнее. Несмотря на то что амплитуда пиков, полу-
199

Ь(Е
гг
ю
8
6
ч
2
0
.ij^e'-q^-MsB"'
;
1
-
'<М
| I
\
1
1
1
1
\
\
1 1 - - 1 - . . 1 . . .
го
ΤΖ
14
re *|,мэв
г>ί£2,7j),10:e2-<pч2-MэB-,
h
3
г
1
0
-
-
-
/Л
1/\, J
,1
jj
'
Η
Λ
ψ\
/ Ι
Ι
/\
Ι ■
< i
i ·
л
с
.1 . —1-
5 6 7 8 S 10 JJ,M3B
Рнс. 4.10- Силовая функция для изоска-
лярного квадрупольного резонанса в
РЬ. Обозначения те же. что на
рис. 4.9; Д = 0,2МэВ
Рис. 4.9- Силовая функция для гигантского дипольного резонанса в ' l6Sn:
сплошная линия — расчеты в КФМЯ с учетом диаграммы на рис. 4.7, 0\ пун-
ктир - расчет в ГЯП с учетом диаграмм на рис. 4.7, г. д; Д = 0,2МзВ
чаемых при учете диаграмм на рис. 4.7, гид, несколько больше, в целом
оба расчета дают одинаковую гросс-структуру распределения силы. Это
показывает, что в ТЯП учтены наиболее важные диаграммы.
В расчетах в КФМЯ (см. [138, 161]) при решении секулярного уравне-
ния (4.69) и вычислении соответствующих силовых функций (4.76)
используется приближенная процедура учета принципа Паули. В про-
цессе численного решения уравнения (4.69) или вычисления (4.76)
исключались двухфононные компоненты с двумя неколлективными
фононами. нарушающие принцип Паули. При такой процедуре не учи-
тывался сдвиг двухфононных полюсов и исключалась часть двухфонон-
ных компонент, допускаемых принципом Паули. Рассмотрим, насколько
различаются результаты при точном учете принципа Паули в двухфонон-
ных компонентах волновой функции (4.55), т.е. при решении уравнения
(4.65), и при использовании приближенной процедуры. Результаты
вычисления [168] силовой функции в этих двух случаях даны на
рис.4.11. Как видно из рисунка, более точный учет принципа Паули
несколько уменьшает значение Ь(Е2, η) в области максимума. При
этом интегральная сила в интервале от 5 до 14 МэВ уменьшается всего на
5%. В целом приближенная процедура исключения состояний, запре-
щенных принципом Паули, практически эквивалентна точному учету
диаграмм, приведенных на рис. 4.7, б, в, однако она существенно проще.
Для состояний, не запрещенных строго принципом Паули, перенорми-
ровка взаимодействия из-за поправок, возникающих при учете ферми-
200

Рис. 4.11. Силовая функция для изо-
скалярного квадрупольного резонанса
B118Sn:
сплошная линия - расчет с точным
учетом принципа Паули; пунктир -
расчет с использованием приближен-
ной процедуры учета принципа Паули
1,0
со о
с О
1е
г»
0
-
ft'
л
II
I 1
11
1
1
1
.1
•
1
TO
1Z J't 7J,M3B
онной структуры двухфононных состояний, оказывается слабой. Полное
игнорирование требований, вытекающих из принципа Паули, может при-
водить к появлению большого числа ложных двухфононных компонент
в волновой функции.
4. Получим систему уравнений КФМЯ для описания распределения
силы коллективных зарядово-обменных состояний. Волновую функцию
нечетно-нечетного сферического ядра возьмем в виде
(4.77)
ф„(лю = ? *, ('")«;*,-+
+ Σ
Xi'iX
■2/ 2
Хг/2
"i.M.l.^Mii,]^ j*-
где Ψ0 — волновая функция основного состояния четно-четного ядра.
Условие нормировки запишем так:
Σ R? + Σ //>^i'"i | +
·" ' X,i,X2i2 Ι λ2'2 '
+ Σ Ρ*?[} Ρ*1!1 J?'nQ!2i'i. X'.i'.IM,, X2/2)· (4.78)
V1X2/2 λ2'2 22 β
X',i',X' ·'
2/ 2
Здесь
J
= - Σ
(Х'2/'2, λ'/' 'Ι λ/, λ2/"2) =
( λ'μ 'Х'гМг ΙШ X λμλ2μ2 Ι /Μ > х
№2μ'μ2
201

I m I m i mi m
'n n'p ρ l'p PP Ρ
λ/
xw%i^e^
(_)λ+λ'-μ-μ' x
%m'p/Л^'-"'»%mp/»"«„ I ^- Μ>И/' ** 1
'ρ'η Ρ η J
\%тр'№'λ2№ >< ^"ρW'λ'2"2 >ψ *2-2 ψλ'2-»2
L Vp Vp
. (_)λ2 + λ', -μ2 -μ'2 {jnpm"pjpmp | λ2 - μ2 > Χ
;ρ;ρ Vp J
+ ,Σ „ „ [<VVX ΙλνΧ/^/^ΙΑμ) Χ
j τη j m L
х <
'η η'η η
Χ ψλ',·'( ψλ# _ (_)λ*λ'-μ-μ'(> m fm' |λ'-μ'>
'ρ'η Ρ η
/·; 'j" " i ч ν
<WnW« Ιλ2Μ2>Χ
'ρ'я Ρ
x ('„m„/X i им» >^λ?!2, ^λ'2!"2 - (-)λ2 + λ'2 ~μ2 +μ'2 Χ
^/1 ^71 ^/l lft
х <44>Λ ! λ^2 > </>„7Χ Ι λ'2μ'2 > **?/* *λ>.'* ] , (4.79)
>η>η 'η'η J )
диагональное значение этой функции обозначим CfC "q~ (λΧi j, λ2/ 2).
Далее вычислим среднее значение гамильтониана КФМЯ по состоя-
нию (4.77). При этом используем коммутационные соотношения
(2.173), (4.27), а также
[V-'GxV/'l = . Σ. J %»-%«„ х
L J )r,mJ«m« t Ρ Ρ n n
-mp'r,mr,
Γ,λ/ ,Γ,λ'|
L ^'"p V" Vp
202

__ (_)λ*λ'-μ-μ' Σ φγ /·' </ » /Χ Ιλ -μ) Χ
Χ</"Χ4'"«Ιλ'-μ'>
+ α. α-
1 т и] т
'η η 'ρ ρ
λ/ ,(,λ/ Χ
,Σ ψ« ., Ψ*.1..
Li'm' ρ η η η
'η η ^
x<4mp4'<IXii></X/«m«IXii >~ (_)
_ Γ_Λλ + λ'-μ-μ'
„λ/ ,„λ'/' /,--,„'
Χ ς **. И'., </>;//»„ 'λ-μ></ρ«ρ/;™; iv-v>
.''/77/ f r- f f j
Ур 'Ρ7" 7ρ/ρ
(4.80)
С помощью вариационного принципа находим секулярное уравнение
в пространстве двухфононных состояний, явный вид которого дан в
[144].
Уравнения в пространстве двухфононных состояний очень громозд-
ки, так как в них учтено много диаграмм, которые дают малый вклад
в фрагментацию ир-фононов. Поэтому таким же путем, как в п. 2 настоя-
щего параграфа, перейдем к приближенной системе уравнений. В этом
случае условие нормировки волновой функции (4.77) и среднее значе-
ние гамильтониана КФМ Я по (4.77) принимают следующий вид:
?ν Ч.\. J ^П'**'«*»■'■· *·'.>}-■'
(4.81)
i*;iJM)HQP*v{jM)) =z^ru ς iя·/·)2 ><
"i^,// ωλ2,-2+ ΔΩ^,/ ^x2/2][l + Λ'^β(λΙΙ1, λ2*2)] +
+ 2 Σ RtP^liWJi(\liu λ2/2)[1 + JCiiQ^h, λ2/2)],
(4.82)
где
ΔΩν = -Σ
i ♦ Γ У
Ai (vAi'
* = ~?» "(ух/^му/*- WM" w'lx* λ"'2>'
A-A2'2(T) + Α-λ2,"'2(τ)
Δω> . = L у
2'2 4 .7 л ,· > ,·' i/2
I2T f3/Λ2Ι 2 «2/Λ2Ι 2 λ
(^Λ2Ι2 «νΛ2Ι 2 Λ
* ^neCXii'i, λ2/2 Ιλ2/2, Х1г·,);
(4.83)
203

»f"(M.. λ2/2) = < aJMiHvq [fix;Mjii Qi2lliii]JM). (4.84)
Воспользуемся вариационным принципом и получим систему урав-
нений:
(П^ -tlv)R, + Σ ijMi ^''"(Mi, λ2/2)[1 +
Л| I i Л21 2
+ Λ·^ρ(λΙΙ1, X2i2)] =0;
(ел, . + Ω. . + Δω-ν . + ΔΩ> . - τ?,,)?^1' > +
ν λ2Ι2 Aii, λ2Ι2 λ,Ι, 'ν' \2i 2
+ Σ Λ{ ^Λ'(λ,Ι,, λ2/2) = 0.
Ι
Из второго уравнения найдем Р,1'.1, подставим в первое и получим
Л212
секулярное уравнение в пространстве однофононных состояний в сле-
дующем виде:
det|(w,. - т?„)8й. -
WJi(\li1. \ii2)WJi'(Klil, X2i2)[l+Jr£ (λ,/,, λ2Ι2)]||
- Σ *ИИ 1 - q
λ,« ,λ2/ 2 Ωλ1Ι. | + ωλ2. 2 + ΔΩλ1. i + Δωλ2.2 - % ||
(4.85)
В этом случае суммируются диаграммы, приведенные на рис 4.12, а—в.
Рассмотрим уравнение (4.85). Порядок детерминанта равен числу одно-
фононных состояний в первой сумме волновой функции (4.77). Он
в сотни раз меньше порядка соответствующего детерминанта в про-
странстве двухфононных состояний. Множитель 1 + -#'ол (Xi/1, λ2 i 2)
и сдвиг двухфононного полюса ΔΩ}. . + Δολ . обусловлены уче-
том принципа Паули в двухфононных членах волновой функции (4.77).
В ширинах гигантских зарядово-обменных резонансов проявляется
фрагментация «р-фононов, которые генерируются зарядово обменной
частью изовекторных мультипольных и спин-мультипольных сил. Для
описания нет необходимости вводить не только новые силы, но и новые
параметры. Здесь показано, что можно так сформулировать математи-
ческий аппарат для зарядово-обменных состояний, чтобы он по форме
был близок к аппарату для описания низколежащих коллективных
состояний и коллективных состояний типа гигантских мультипольных
и спин-мультипольных резонансов в сферических ядрах. При изучении
фрагментации зарядово-обменных резонансов (см. [89]) обычно по-
лагают W^io =0 и тем самым ΔΩ^ { + Δω^ . = 0.
204

\zi2
Λ,Ζ' Jiii
λ, i,'
Рис. 4.12. Диаграммы в пространстве однофононных состояний:
волнистые линии - £>-фонон; пилообразные линии - Ω-фонон; сплошные ли-
нии - нейтронные квазичастицы; пунктир - протонные квазичастицы
5. В КФМЯ волновые функции, описывающие возбужденные состоя-
ния четных ядер, берутся в виде суммы одно- и двухфононных слагае-
мых. Необходимо улучшить описание фрагментации коллективных
однофононных состояний. Общие уравнения модели [136] с учетом
трех- и четырехфононных членов волновых функций крайне громозд-
ки. На их основе не удается найти приближенный метод, улучшающий
описание фрагментации однофононных состояний. Математический
метод более точного описания фрагментации однофононных состоя-
ний разработан в [169]. Основная идея состоит в использовании в двух-
фононных слагаемых волновых функций уже фрагментированных од-
нофононных состояний. Таким путем учитываются некоторые трех-
фононные члены волновых функций или ряд Зр — Ъ1г-конфигураций.
Продемонстрируем этот метод на примере фрагментации пр-фоно-
нов. Волновую функцию нечетно-нечетного ядра запишем в виде
Фи(/М) = { Σ С. ШПШ. +
где
н/
J\ixJ2V2
Di;!i(A)i%,/iV.hWi*·.
(4.86)
Л.1< iA2;2
205

Полагаем, что найдены корни уравнения (4.69) и определены тем са-
мым функции R. (Jv) и P^l[l(Jv). Условие нормировки (4.98)
без учета принципа Паули в многофононных компонентах имеет вид
2х Σ fD^'UJn)]2 = 1.
Σ [С,- (/κ)]2+ Σ [DJilHJn)\
JlixJ2v2 '***
Среднее значение HqP по (4.86) равно
^f*{JM)HQp\(JM)^ = Σ ΩΛ[ς(/κ)]2 +
+ ,Л„ ^ +7?^)[^{/η)]2 +
+ 2 Σ ς(/η)5;^(/η)ΓΑυ(Λ),
iJ%iXJ2V2 J2V2 J2V2
(4.87)
где
r't«> (Л) = Σ Λ (/2ν2) ^Λ(/,Ι„ /2i2).
y2v2
(4.88)
(4.88')
'2
Воспользуемся вариационным принципом и получим следующие урав-
нения :
(ΩΛ - E„)C(Jn) + Σ VJli4Ji)Dflh(Jn) = 0: (4.89)
JlilJ2v2 J2V2 *2"2
+ Σ F^'i (Ji')C.<(Jn) = 0. (4.89')
f» -/2 v2 '
Уравнения (4.87), (4.89) и (4.89^) образуют полную систему уравне-
ний для нахождения функций С, D и энергий £„ состояний, описывае-
мых волновыми функциями (4.86). Если D из (4.89') -подставить в
(4.89), то секулярное уравнение получим в виде
det
(ПЛ.-£И)6Й.
VJlt4Ji)VJi'4Ji')
Σ J2v2 32Уг
= 0.
(4.90)
Порядок этого детерминанта равен числу однофононных членов в вол-
новой функции (4.86). В этом случае суммируются диаграммы типа
206

приведенных на рис. 4.12, г. При численных расчетах часть фрагменти-
рованных фононов можно заменить однофоноиными состояниями.
В результате решения уравнения (4.69) для состояний с фиксиро-
ванными значениями Jn находят энергии Vjv> число этих состояний
равно сумме числа одно- и двухфононных полюсов. Сила каждого од-
нофононного состояния i распределяется по нескольким уровням v.
Так, в 118Sn в энергетическом интервале 7—17 МэВ имеется два одно-
фононных состояния с / π = 2* с большими значениями В (Е2). Фрагмен-
тация этих однофононных состояний с энергиями cJ2/ =i = 11.97 МэВ
и ω2/ =2 = 12,38 МэВ по уровням ν в »I18Sn представлена на рис- 4.13.
Вместо двух полюсов в уравнении (4.69) Ω^ . + ω2Ι и Qj ,· +
+ ω22 Β секулярном уравнении (4.90) следует учесть около 200 полю-
сов Ωj . + Vj v ■ Из рис. 4.13 видно, что имеются решения при
энергиях 10,4-10,8; около И; 11,2-11,6; 11,8-12,9 МэВ и т. п. Мож-
но ограничиться учетом части этих уравнений, например, учетом 60 уров-
ней, по которым распределено более 9С% силы этих двух однофонон-
0,16 -
МэВ
2
Рис. 4.13. Распределение силы однофононных Rj-t(2v) с энергией W2i = l =
= 11,97 МэВ (пунктир) и R]~2(2V) с энергией ω2|=2 = 12.33 МэВ (сплошная
линия) состояний с / = 2+ в 118Snno решениям секулярного сравнения (4.69)
207

ных состояний. Для каждого фиксированного состояния / = 2, ν ~
- ν0 с энергией η вычисляются функции R. (2v0), входящие в
(4.88'). В рассматриваемом случае суммируется в (4.88') по двум
состояниям /=1 и i = 2. В остальных членах в (4.90) суммирование
noJ2v2 заменяется суммированием по J-iH-· как в (4.69).
Эффект от учета фрагментированных однофононных состояний
может быть существенным, так как сильно увеличено число уровней,
по которым осуществляется фрагментация, и расширен энергетический
интервал, в котором они находятся. Учет этого эффекта может приве-
сти к уменьшению силы зарядово-обменных резонансов вблизи их мак-
симумов и к улучшению описания вероятностей β-распадов-
6. Представляет интерес найти SU(6) -предел КФМЯ, вычислить пара-
метры МВБ и проверить, насколько хорошо выполняются ограничения,
накладываемые SU(6) -приближением. Рассмотрим квадрунольные фо-
ноны и ограничимся первым (/ =1) корнем. Вместо λμ/" = 2μ1 оставим
индекс μ. В этом случае, как показано в § 3.2, может быть получено
SU (6) -приближение.
Следуя [170], найдем 5{7(6)-предел КФМЯ. Для этого нужно убедить-
ся, что операторы β , Q*, B(jf', 2μ) и их коммутаторы образуют
SU(6)-алгебру. Для нахождения SU(6) -алгебры необходимо выполне-
ние тождеств Якоби, т. е. для любой тройки операторов из рассматри-
ваемого множества справедливо
[А, [В, С]] + [В, [С, А]] + [С, [А, В]] = 0.
Выполнение тождеств Якоби приводит к следующим условиям:
7ty = 0, (4.91)
#(/а, и'\ Μ, Mi) = 0; (4.92)
[Q*. Q*>] = [βμ'. βμ] = 0, (4.93)
причем
[ВЦ,'; λμ), Q;.] = Σ [/* иГ)0;2 + ^(i')ft.fcl,
μ2 (4.94)
а также к ограничениям на функцию Λ"(μ2, м' Ι μ, μ2)· которые позво-
ляют (4.30) записать в виде
[ОД . 1<V Q;3 ]] = - ·*4δμ1μ2βμ+3 + *№&?' <«5>
В результате из множества операторов и их коммутаторов остаются
βμ. βμ и [β„''βμ ]> и мы, так же как в § 3.2, получаем 5'{7(6)-алгеб-
208

ру. Заметим, что в приближении Тамма—Данкова условия (4.92) и
(4.93) выполняются автоматически.
Используем метод бозонных разложений Беляева—Зелевинского
[92]. Коэффициенты разложения найдем из рекуррентных соотноше-
ний (3.7). В результате примерно так же, как в (3.34), операторы фо-
нонов выразим через операторы идеальных бозонов d* и d в следую-
щем виде:
Q; = d+ /i + yNd, ς>μ = ч/i +7^"rfM;
где
Nd = Σ dfr. (4.96)
a Ni = ~-\ft приобретает смысл полного числа бозонов.
Далее гамильтониан
Η г ~ Нй„ + #pair + Я^_ 2
запишем в виде (3.35) со следующими значениями параметров:
*о = - 4 Σ (^Т2У\ й, = ω,, -4 Σ (к<2> +
4 τ - τρ =± 1
\/2ΝΓ τ
ν α
>ы<=- t\::2l\ \ ^2)+p«(,2)><
- I J. Δ L J τρ = ±1
где
©τ = Στ/(/,/2)ν.|7)( )/'i+/3 j2 2 2 i Χ
/i/2/з 2 IhtiJi)
)τΟρτ,
Χ (ψ. . Λ. . + <ρ. . ^. . ).
1 71/3 /273 Vl/3 W2/37
Таким образом, часть гамильтониана КФМЯ представлена в SU(6)-
пределе. Нетрудно заметить, что член, пропорциональный h з, описывает
взаимодействие квазичастиц с фононами, а членам с hut соответ-
ствуют отброшенные в КФМЯ слагаемые, пропоршюнальные
BQ,h: 2μ)δ(>",/ν, 2μ).
209
14-6636

Полученные выражения для параметров гамильтониана использованы
в [170] для численных расчетов характеристик изотопов цинка. Микро-
скопически вычислено полное число бозонов Nd, которое должно быть
равно половине числа нуклонов в незаполненных оболочках. Расчеты
показали, что условия (4.9 Π, (4.92), (4.93), а также условия, налагае-
мые на функцию ΛΓ(μα, Mi I Mi, Мг). выполняются плохо. Это свиде-
тельствует о неэффективности SU(6) -приближения в сферических ядрах.
Как показано в [171] для приближения Тамма—Данкова, учет взаимо-
действий в канале частица—частица не улучшает положения.
Глава 5
ФРАГМЕНТАЦИЯ ОДНО- И ДВУХКВАЗИЧАСТИЧНЫХ
СОСТОЯНИЙ СФЕРИЧЕСКИХ ЯДЕР
5.1. Структура низколежащих состояний
1. Наиболее полные и точные экспериментальные данные имеются
по низколежащим состояниям. Волновые функции низколежащих
состояний имеют одну доминирующую одно-, двухквазичастичную или
однофононную компоненту. С ростом энергии возбуждения роль доми-
нирующей компоненты уменьшается. Результаты расчетов низколежа-
щих состояний сильно зависят от поведения одночастичных уровней
вблизи поверхности Ферми. Как правило, точность расчетов ограничена
грубым описанием энергий и волновых функций одночастичных сос-
тояний. Недостаточно хорошим является описание первых наиболее
коллективных вибрационных состояний в ядрах с незаполненными
оболочками в ПХФ. Описание структуры низколежащих состояний
существенно улучшается, если выполнять проецирование по числу частиц
и угловому моменту, что успешно сделано в [172].
При вычислении энергий и волновых функций сферических ядер
среднее поле или рассчитывают по методу Хартри—Фока, или пред-
ставляют в виде феноменологического потенциала Саксона—Вудса
[см. (1.72) —(1.74)]. Параметры потенциала выбирают так, чтобы
с помощью уравнения (4.46 ), учитывающего взаимодействия квази-
частиц с фононами, правильно описать низколежащие состояния нечет-
ных ядер. Подгонка параметров потенциала Саксона—Вудса осущест-
вляется так. Берут, например, параметры, предложенные в [45], и в
ПХФ вычисляют энергии и волновые функции однофононных 2+- и 3~-
состояний. Потом решают уравнение (4.46 ) и найденные энергии и
спектроскопические факторы сравнивают с экспериментальными дан-
ными. Далее меняют параметры потенциала и повторяют вычисления.
Таким путем достигается, хотя далеко не всегда, достаточно хорошее
описание одночастичных состояний. Результаты такой подгонки для ядер
210

£,МэВ
Рис. 5.1. Одночастичные состояния в РЬ:
а-в — нейтронные состояния; г-е — протонные состояния; а, г - эксперимен-
тальные значения; б, д — расчеты с учетом взаимодействия квазичаетиц и фоно-
нов; в, е - энергии одночастичных состояний потенциала Саксона-Вудса с пара-
метрами из [172]
в окрестности 208РЬ, выполненной в [145, 173], приведены на рис.5.1 и
5.2. Из рис.5.1 видно, что учет взаимодействия квазичастиц с фононами,
т.е. нахождение решения уравнения (4.46 ), оказывает существенное
влияние на спектр. Рисунок 5.2 иллюстрирует, что получено достаточно
хорошее описание энергий и спектроскопических факторов 207' 209РЬ,
207Т1 H209Bi. Причем спектроскопические факторы, равные Cj2 из
(4.44), близки к единице, и поэтому одноквазичастичные компоненты
волновой функции оказываются доминирующими. На основании экс-
периментальных данных [174] о существовании щели в протонных
одночастичных состояниях при Ζ = 64 и особенностей спектра сделан
вывод о существовании нового дважды магического ядра ' 46Gd. Расчеты
[175] правильно воспроизводят одночастичные энергии и спектроскопи-
ческие факторы ядер, отличающихся от 146Gd на один нуклон. В ряде
работ, например в [55, 176], вводят эффективную массу нуклона т*.
Подробно выбор параметров в КФМЯ описан в [74]. Ограничение
одночастичного базиса дискретными и квазидискретными уровнями не
2п

£,МЭВ
J
з/г* о,8>*
г/2-
- V2+-
15/г-
0.9»
0,85^
0,90
0,Ъ8
0,72
0,88
0,88
0.82
% + -
(7,9V
0,92
0,53
0,96
0,78
Расчет Эксперимент
zo9Pt)
OSS
τ/Ζ- σ,8Ζ_
V£ 7^
0,67
0,88
™/z-
0,81
0,56
0,87
OJ8
0,9·*
1,17
Расчет Эксперимент
209Bi
9/£
0,86
0,8B
V-
13/+ 0,93
0,8Ь У
1,0*
J/2"
5/2"
0,95
1,00
0,95
1,13
"£
0,96
1,07
Расчет Эксперимент
20Трь
7/+.
0,73
ΟΛΟ
5//.
V-
0,8Z
0,90
0,9ε
0,62
0,83
1,75
0,97
0,95
Расчет Зкспсримент
2°7Т1
Рис. 5.2. Экспериментальные и рассчитанные в КФМЯ энергии и спектроскопи-
ческие факторы (числа над уровнями) низколежашн\ состояний ядер, отличаю-
щихся от 208РЬ на один н\клон
влияет на описание характеристик состояний сложных ядер вплоть до
энергий примерно 15 МэВ.
После установления параметров потенциала Саксона—Вудса и кон-
стант спаривания стоит задача вычисления однофононных состояний и
выбора констант мультипольных и спин-мультипольных сил. Расчеты
однофононных 2\- и 3~-состояний в ПХФ по формулам (2.105)-
(2.109) выполнены во многих работах [6, 62, 72-74]. Они служат базой
для описания квадрупольных и октупольных вибрационных состояний.
Расчеты фононного базиса КФМЯ и фиксация констант описаны в гл.4, а
также в [74].
2J2

Если константы к^ ', к} > фиксировать из условия ω21 = ω**ρ,
t. е. равенства рассчитанных и экспериментальных энергий первых
2+ -состояний, то вычисленные значения В (Е2) окажутся больше
экспериментальных. При вычислениях по формулам (2.132) —
(2.134), учитывающим взаимодействие в канале частица—частица,
увеличение констант квадрупольного взаимодействия в канале ча-
стица—частица уменьшает значение В(Е1). Влияние взаимодействия
в канале частица—частица на вибрационные состояния изучено в ряде
работ, например в [78, 79, 177, 178]. Во всех четно-четных ядрах име-
ются низколежащие коллективные октупольные 3~-состояния. Как
отмечено в [179], энергии 3~ -состояний не меняются плавно с ростом
массового числа А. Они характеризуются большими значениями
В (£3). В первом приближении они описываются в ПХФ.
2. Рассмотрим низколежащие состояния четно-четных сферических
ядер, волновые функции которых имеют доминирующую одно- или
двухфононную компоненту. Экспериментальные данные последних
лет свидетельствуют о том, что общая картина спектров оказалась бо-
лее сложной, чем та, что следует из простой вибрационной модели с
малой ангармоничностью [4]. Усложнение простой вибрационной
модели проводится путем смешивания одно- и двухфононных ком-
понент или путем смешивания однофононных компонент с 2р —
- 2/г-конфигурациями (см. [180, 181]).
Изучим низколежащие вибрационные состояния в рамках КФМЯ.
Волновую функцию запишем в виде (4.55) с условием нормировки
(4.60). Решим секулярное уравнение (4.65) и вычислим функции
Rf {J ν) по формуле (4.66) иPy'.l( Jv) из уравнения (4.63Р).
Рассмотрим, каково влияние учета принципа Паули на двухфонон-
ные компоненты волновой функции (5.1). Для этого сравним энер-
гии и функции /?? и (Р^1' 1)2, рассчитанные по формулам (4.65),
(4.66), (4.63е), со значениями, рассчитанными по формулам (4.67),
(4.67'), (4.69) и (4.71). Результаты расчетов, выполненных в [182],
даны в табл. 5.1. Из таблицы видно, что первые 2*'- и 3~-состояния име-
ют доминирующую однофононную компоненту и учет принципа Пау-
ли оказывает на них слабое влияние. Влияние учета принципа Паули
невелико на 2* -состояния с малыми двухфононными компонента-
ми. Когда двухфононные компоненты во вторых 2*-состояниях ве-
лики, учет принципа Паули не приводит к радикальным измене-
ниям. Первые 4^-состояния в большинстве ядер имеют большие двух-
фононные компоненты f 21, 21 } , а иногда большие однофононные
компоненты. Учет принципа Паули оказывает на них несколько боль-
шее влияние, чем на 2*-состояния, но существенно меньшее, чем в
деформированных ядрах. Эффект принципа Паули особенно мал в
213

Таблица 5.1. Влияние принципа Паули на энергии и структуру состояний с J ~ 2* , 3~ и 4+
Ядро
1 !4С
Sn
142cm
am
"V.U
208,,b
V
г\
П
з;
4^
г;
А
3",
4;
г;
А
3".
г;
3i
Энергия
(экспе-
римент) ,
МэВ
1,30
2,17
2,28
2,19
0,77
1,66
1,78
1,79
1,97
3,37
1,57
4,08
2.61
Насчет с
Энергия,
МэВ
1,36
2,63
2,23
2,71
0,68
1,64
1.80
1,77
1,93
j 3,47
1.53
4,43
2.59
учетом принципа
λ/
21
22
31
41
21
22
31
41
2!
21
31
21
31
I
0,95
0,27
0,92
0,29
0,82
0,15
0,94
0,28
0,93
0.04
0,95
0,97
0,99
λ,/ i
21
21
21
21
21
21
21
21
31
31
21
31
-
Паули
λ2/ 2
21
21
31
21
21
21
31
21
31
31
31
31
-
к·;;)
—
0,53
0,08
0.48
0,03
0,30
0.06
0,12
0,04
0.95
0.03
0.03
-
Расчет
| Энергия
1 МэВ
1.29
2,53
2,22
2,60
0.64
1,52
1.76
1,60
2.00
3.43
1.59
4,43
2.60
без учета принципа
' λ/
21
22
31
4
21
22
31
41
■21
21
31
21
31
*?
0.90
0,21
0.91
0.22
0,79
0,39
0,91
0,26
0,94
0,05
0,96
0,97
0.99
λ,/,
21
21
31
21
21
21
21
21
31
31
21
31
-
Паули
λ2'2
21
21
31
21
21
21
31
21
31
31
31
31
-
к;;Г
0,01
0,58
0,09
0,57
0,05
0,34
0,08
0,23
0,05
0,94
0,03
0,03
-

описываются
зверь Из таблицы также видно, что достаточно хорошо
энергии 2\-, 2\-, 3;- и 4+-состояний.
Рассмотрим /Γλ-переходы между состояниями, описываемыми вол-
новыми функциями (5.1). Оператор ΖΓλ-перехода возьмем в виде
г>122г) и после преобразований приведенную вероятность перехода
между состояниями Jv и J'v' запишем так:
Β(Ελ; У ν ^Jv) = —J— I Σ е$(т) Σ/ p\jj') x
x j l— Σ uP g]f \ V 2/' + IK. (Λ,)/»*' (/V) +
+ (-)J + /+XN/27TT/?f(/'v')^'(/l,) _
_ (_)^+-/'+λν/27774/27τΤΤ ς яг. (/^.-(/V) х
II
/" ( / if)" \ i i π i i j i I
- 4V2/+ l'V2/' + l' Σ (-)7 + λ2 + λ3ν/2λ1 + l' x
λ] Λ2 Λ3
'l'2'3
*rir/\X1 (♦/'/'♦;5fi,t',V,^,)il· «»»
Обозначения здесь те же, что в формулах (2.124) и ([2.124')- Заме-
тим, что все члены сохраняются при φΗ. = 0. Если ρ (jf) ~ f (jj'),
λ
т.е. если радиальная зависимость мультипольных сил взята в виде г ,
то член, пропорциональный RP, содержит множитель ΛΤλ|(7)(2^^)-Ι/2-
Формула (5.2) очень полезна, поскольку дальнейшее развитие ядерной
спектроскопии в значительной мере связано с изучением γ-переходов
между возбужденными состояниями.
Приведенная вероятность ^Х-перехода из основного состояния четно-
четного ядра в возбужденное состояние, описываемое волновой функ-
цией (4.55), имеет вид
215

Β(Ελ; Ο* - Jv) =
S-s 2λ + 1
/Г
х Ις*7-(^Α<:)+ Σ Ρλν,(^)/λ(/7')^.7)(2λ1 + 1)"2Χ
i' " " λ,|-,λ21ν" 7/
х№ + ,,'1^,Л(^;,^"+*,»,'^,',>11!· <м>
Заметим, что в приближении Тамма—Данкова i£.. , =0 и второе сла-
гаемое в (5.2) исчезает. Результаты вычислений по формуле (5.2) с
епХ) = ерХ) = ° 1см· (2Л22)1 П60. 1821 и соответствующие экспе-
риментальные данные приведены в табл. 5.2. Для большинства сфери-
ческих (но не переходных) ядер получено примерно такое же удовлет-
ворительное, как в табл. 5.2, описание вероятностей Е2- и £3-переходов
на 2\-, 2г и 37-состояния. Имеет место согласие между результатами
расчетов и экспериментальными данными по переходным плотностям
для 27- и 37-состояний. Если радиальная зависимость мультипольных
сил отлична от г , то в (5.2) входит произведение матричных элементов
Ρ {]Т ν (if) вместо \р(]Т)]3 при зависимости г . Нет явной когерент-
ности в сумме по //', усиление /Γλ-переходов обусловлено в этом случае
тем, что фазы больших матричных элементов ρ'(//') и/ (//') совпадают
между собой.
Таблица 5.2. Приведенные вероятности £"Х-переходов из основного
в возбужденные состояния
Ядро
u4Sn
116Sn
114Sm
146Gd
10BPb
Конечное
J V
Α
37
A
2\
37
27
27
37
27
37
состояние
Энергия,
МэВ
1,299
2,275 *
1,294
2,112
2,266
1,660
1,97
1,58
4,086
2,614
Тип
перехода
Е2
ЕЗ
Е2
Е2
ЕЗ
Е2
Е2
ЕЗ
Е2
ЕЗ
B(E\)S
Эксперимент
16
11
12,9
0,05
39
17
>0.4
37
8,0
38
.р.и
Расчет
19
28
22
0,05
37
20
15
36
7,8
35
216

Интересную возможность наблюдать качественное отличие результа-
вычислений в ПХФ от расчетов методом Тамма-Данкова дают низ-
№Ве Г-состояния в изотопах бария, церия, неодима и самария. В этих
Тюх наблюдаются [183] Г-состояния с энергиями немного меньши-
Я и энергий двухфононных полюсов {21.31}, которые образованы пер-
М 1Ми квадрупольными и октупольными фононами. Согласно расчетам
ΒΙ>ΠΧΦ Π60' 184Ь энеРгии однофононных состояний в этих ядрах боль-
ше 8 МэВ. Согласно вычислениям по формулам (4.69), (4.71), энергии
наинизших Г-состояний с неисчезающе малыми однофононными компо-
нентами лежат на 1-2 МэВ выше энергии измеренных в [183] Г -сосгоя-
чий Можно утверждать, что в этих ядрах наблюдаются двухфононные
состояния типа {21, 31} . В данном случае в (5.2) Я, (If) = 0, и поэтому
в приближении Тамма-Данкова В(Е1) = 0. Приведенная вероятность
возбуждения таких состояний в ПХФ отлична от нуля.
Измеренные экспериментально [183] и рассчитанные в КФМЯ [185]
значения Я(£1)для возбуждения Г-состояний в изотопах некоторых эле-
ментов даны на рис. 5.3. Видно, что экспериментальные и теоретические
значения В(Ь1) не только отличны от нуля, но и близки друг к другу.
Кроме того, имеет место сильная зависимость Β<β1)οτ числа нейтро-
нов N. причем В(Е\) достигают максимума при N = 82. Такое поведение
объясняется тем, что вклады от нейтронов и протонов входят в (5.2) с
противоположными знаками и подавляют друг друга. При N = 82 нет
спаривания в нейтронной системе, поэтому vty = 0 для состояний части-
ца- дырка и вклад от нейтронов мал. Протонный вклад оказывается
нескомпенсированным, и это приводит к увеличению В(£1)при N= 82.
Спектры 0+-, Т- и 4*-состояний и вероятности £2-переходок в сфери-
ческих ядрах сохранили только некоторые черты, характерные для моде-
ли гармонического вибратора. Они значительно сложнее. Как пример
на рис. 5.4 приведена полученная в [186] схема уровней 116Sn. Черты
гармонического вибратора видны в вероятности £2-переходов 2\ -*■ 0t,
Ог -»■ 2\ и 4\ -+ 2*. Однако энергии Оз-, 2з-и 4^-состояний. сильные
fO-переходы 0J -*■ 0\, 0з -»· 0^ и очень сильные ^-переходы между со-
стояниями 4* ->· 2*2, 2г -* 0^ и 2\ -* 0% искажают простые закономер-
Рис 5.3. Зависимость В (ЕП от числа
нейтронов N в изотопах бария, церия
и неодима:
точки - эксперимент; линии —
расчет

£0-переходы
рг-102
Ε 2- переходы
B(£Z*)5.p.a
о;
0}
A
*i
*t во. >*,*
Zf «2 I
2* 32 <3t<2
'#
Шда
η
0,3
1
26
^
^
/J
*
'.
i <
t /
/
0,05
*Ш|
2J
'
47
'.V
< 0,003
2529,0
2130,8
2225.3
2112,2
2027,У
175 S,В
123д,5
0
Рис. 5-4. Энергия, кэВ, и вероятности £O- и Ω-псреходов в ' ,6Sn
ности модели гармонического вибратора. Такую сложную картину кол-
лективных состояний удается описать в модели, учитывающей связь
протонных 2р - 2h -возбуждений с квадрупольными вибрациями, и в мо-
дели, учитывающей связь одно- и двухфононных состояний [187]. Про-
тон-нейтронные квадруполь-квадрупольные взаимодействия, которые
ответственны за стабильную деформацию ядер с большим числом нейтро-
нов и протонов вне замкнутых оболочек, ведут к появлению низко-
лежащих "экстра"- (или вторгшихся) изовекторных состояний [188].
Многочисленные расчеты квадрупольных состояний четно-четных сфе-
рических и переходных ядер выполнены в МВБ. Как продемонстрирова-
но на рис. 3.5, в рамках МВБ-2 хорошо описаны энергии 2|-, 4*- и Ь*-со-
стояний в изотопах теллура. В [110—112, 116, 189] рассчитаны такие
состояния в изотопах рутения, палладия, ксенона, бария, церия, самария,
осмия и платины. Получено неплохое описание вероятностей /^-перехо-
дов и квадрупольных моментов 2*-состояний при введении дополнитель-
ных эффективных зарядов.
Обнаружение замкнутой протонной оболочки при Ζ = 64 привело к
трудностям в описании квадрупольных состояний в изотопах неодима,
самария и гадолиния в МВБ-2, так как результаты расчетов сильно за-
висят от числа протонных бозонов. Так, для изотопов самария в случае
замкнутой оболочки с Ζ = 50 число протонных бозонов равно 6, а для
замкнутой оболочки с Ζ = 64 их число равно единице. В [190] проана-
лизировано поведение энергетической щели при Ζ = 64 в зависимости
от числа нейтронов. Показано, что при заполнении нейтронами подобо-
218

лочки \h - при N > 88 появляется стабильная деформация и исчезает
щель. Поэтому в [191] предложено определять Np для числа нейтро-
нов Л' < 88 на основе существования оболочки с Ζ = 50 τ 64, а для
Л' > 88 - на основе существования оболочки с Ζ = 50 -г 82. Возможность
такого определения подтверждена расчетами гиромагнитных отношений
для 2t-состояний ядер вблизи Ζ = 64.
При вычислении энергий и вероятностей В (£2) и β (Ml) использует-
ся модифицированный вариант МВБ-2, в котором введены новые степе-
ни свободы: дополнительные S'- и а'-, а также гексадекапольные ^-бозо-
ны. Введение дополнительных степеней свободы в МВБ-2 обогащает
рассчитываемый спектр новыми состояниями и делает модель более
гибкой при описании экспериментальных данных. Расширение модели
приводит к возможности описания слабоколлективизированных состоя-
ний. Исследования последних лет связаны с введением F-спина и соот-
ветствующих мультиплетов, с изовекторными состояниями и состояния-
ми со смешанной симметрией [120].
3. Рассмотрим возбужденные 0+-состояния, на которых сосредоточе-
ны многие трудности теории. Низколежащие 0*-состояния имеют слож-
ную структуру, определяемую квадрупольнои и парновибрационными
ветвями коллективного движения [4, 106]. В [192] учтены спин-орби-
тальные силы. До сих пор нами из части гамильтониана Нг„ + //pair
в виде (2.91) использовался только один член Σε^α^α^,, Для опи-
jm
сания 0+-состояний нужно взять еще следующие члены:
Я°П) = - Т-^т/С* + i)"V + i)-["H+0) - ψΜ *
х [u*A(j·) - v*,A+0')]; (5.3)
#„(*> = i_ZG Στ (2/+ \уп{и] - vf)u.vr[A*(j)B(j-)+B(nA*(n]
1 f if ' 111
" (5.4)
[обозначения даны в (2.96), (2.97)]. По аналогии с определением
(2.101) введем для протонной и нейтронной систем парновибрационные
фононы ££/ (т), Q2i (T) · Вычислим среднее
"о = ?«Κ«% + W (5.5)
у/и '
по состоянию β*,·(τ)ψ0 и, пользуясь вариационным принципом, полу-
чим отдельно для протонной и нейтронной систем секулярные уравнения
для нахождения энергий ω0|· парновибрационных фононов в виде
ii--4jf
- e/(Mf - !';)2
Στ(2/ + 1) —'—i 1 [ ]Σ' (2/ + 1)
/ 4e? - ω? -
01 Τ ' J 01
219

2
.2 „2
_ _L I _ ^ot j Σ^(2/ + i) "/ "' j = Fl (ωο{)ρ2 (ωο.) _
CT J 4 £/ 4e;2- ω2,. )
- /Κω0Ι·) = *4ω0/) = 0. (5.6)
Гамильтониан, который содержит взаимодействия, приводящие к спа-
риванию, и мультипольные взаимодействия с учетом секулярных уравне-
ний ПХФ. включая (5.6), запишем в виде
при необходимости к нему можно добавить спин-мультипольные взаимо-
действия. Выражения для ΗΜν и HMv„даны формулами (2.136) и
(2.137);
2 F\п (w0I-)F!/2 (ω0/·) + fJ/2 (ω0Ι·) Fln (ω0/')
/^QV — Σ Σ
τ gt
(2W)1'2
* ^,(τ)0ο/·(0; (5-8)
«!.<.♦>
*ο„, = f **(уЩу7Г {11^1Я(«о1) - ^ "(**,)](& (τ) +
+ [Fin(b>oi) + ^"("o/MOo/WJfii/) + h.c. } . (5.9)
Волновую функцию возбужденного 0+-состояния запишем следую-
щим образом:
*„„ - о» - \ »,W-fr). ^, ^-#«·
"К5»Л-ц]о./ *.· (510)
Условием нормировки в диагональном по <ЗГ приближении является
Σ (RT(v)f + 2Σ [рН («012 U + ·»"У = ° (Μ. λ/') } = 1. (5.11)
Найдем среднее значение Я в виде (5.7) по волновой функции (5.11)·
Воспользуемся вариационным принципом, проведем такие же преобра-
зования, как в § 4.3, и получим секулярное уравнение такого же ти-
па, как (4.65). Функция U.'l(i), входящая в это уравнение вместо
функции Ur1'1 (Ji), имеет вид
Лг'2
220

I#i(0 - <Cof(ffo„ + «М»,Х2^Д _№ >■ (5-12)
Взаимодействие квазичастиц с фононами приводит к смешиванию
парновибрационных состояний Q*0f&0 с двухфононными состояниями
Ю* Q\ ■*] *ο· Изменение структуры с 0+-состояний из-за сме-
шивания такого типа проявляется в реакциях с возбуждением (^-со-
стояний и с их распадом. Так, в реакциях неупругого рассеяния (см.,
например, [187]) однофононные компоненты волновой функции
(SAG) 0*-состояний возбуждаются прямо, а двухфононные компонен-
ты - путем двухступенчатого возбуждения.
Наиболее эффективно изучаются (f-состояния в реакциях двухнук-
лонных передач. Рассмотрим (р, t) -реакцию. Оператор передачи двух
нейтронов записывается в форме
1\рГ 1
Г(р, t) = Σ (-У - тцтщ -т = -Σ - —- х
jm i OF/dWyl )"2 GN
Wo -ωΟ/
x i[Fi/2(«oi) - Fl/2(co0/)]Qoi + И/2(ыо,0 + *·}/2(ω0/)]β£,}-
- Σκ(*>Λ(/) + 2 —— · (513)
Вероятность передачи двух нейтронов в основное состояние ядра
S0(p,t) = 4C*/G2N. (5.14)
Вероятности (р, г)-реакций между основными состояниями четно-четных
ядер достаточно хорошо изучены [193]. В них явно проявляются эф-
фекты замкнутых нейтронных оболочек. Максимальные значения сече-
ний наблюдаются в сферических ядрах с числом нейтронов, соответст-
вующим середине заполняемой оболочки.
Вероятность возбуждения в (р, i) -реакции 0+ -состояния, описывае-
мого волновой функцией (5.10), в случае СК= 0 равна [194]
5<р.О = I — Σ F}/2("°')+F"2((^-*>)
I GN i OF/3u;olf.,„ =,.,„..)1/2 /W
COo ~~ Wo/
Χ,-,- λ/'ν ' , /У Л tf // 11
(5.15)
Вторая сумма в (5.15) невелика и ею часто пренебрегают. Распределение
силы такого перехода характеризуется в основном фрагментацией одно-
фононного 0+-состояния.
221

Много работ (см. [186, 195, 196]) посвящено изучению £Ю-переходов
между 0+-со стояния ми. Вероятность £Х)-перехода определяется безраз-
мерным матричным элементом ρ (βΟ). Явный вид его для перехода в
однофононное 0+-состояние деформированного ядра дан формулой
(2.83')· Величину смешивания Е0/Е2 характеризует X, определенная
в (2.83")- Изучение /Ю-переходов позволяет выяснить, сколь велико
смешивание однофононных парновибрационных и двухфононных ква-
друпольных состояний.
Среди низколежащих 0+-состояний встречаются "вторгшиеся" или
"экстра"-состояния с большими двухфононными компонентами.
В [197] показано, что при определенной силе нейтрон-протонных
взаимодействий возможно появление в сферических ядрах состояний
типа Q*Qi {p)Q*oi· (и) ^о · Утверждается, что "вторгшиеся" 0+ -состояния
имеются в изотопах кадмия.
4. Рассмотрим сферические ядра с нечетным числом нуклонов.. Вол-
новую функцию возьмем в форме
V-ЯЮ = Cjv t «}М + Ър'^ЩтвхшЬм ] *о, (5.16)
секулярное уравнение для нахождения энергий i\j дано формулой
(4.46). Приведенные вероятности Е\- и Λ/λ-переходов между со-
стояниями, описываемыми волновыми функциями Φ (/Λ/) и
Φ . (J'M'), в нечетных протонных (т0 = р) или нечетных нейтронных
(г0 = и) ядрах имеют следующий вид:
B(E\-J'v' -* J v) = (2/' + iT'Cy^j-v ^(r^f/'Dvff +
+ Σ^)(γ)Σγ λ ^- (+)r/2pJ_\ '2DXi(J.v.){l +
Τ еИ jj'i IJ IJ [\ 2λ + 1 '
1/2 1 )^
+ XV'JXi)) + (-)r-J + *{—1-\ iftiJvW + XWM)) ;
\ 2X-J I / J J >
( (517)
Β (Λ/λ; J'V -*Jv) = (2/'+ 1)" iqvCrv. )</|Γ(Μλ)|/'> ν™ +
Γ 2J' + 1 "2
+ Σ Σ7</1 Γ (Λ/λ) I/' > и (->ννλ/ ( I x
τ л » /У /У Ц 2λ + 1 /
2У + 1 \1/2
х Я** (/V')(1 + X (J'JXi)) + (-/ ' J + λ j 1-) х
x D*(Jv)(l + X(JJ'\i))] j , (518)
222

где величина Г (MX) определена формулой (2.123').
В рамках частично-вибрационной [4,198], кластер-вибрационной
[199], динамической коллективной [200], КФМЯ и других моделей
достигнуто достаточно хорошее описание энергий и структуры низко-
лежащих состояний нечетных сферических ядер [201т203].
В ряде случаев учет однофононных возбуждений или поляризации
остова оказывает большое влияние на вероятности γ-переходов. Так,
в [2041 вычислены вероятности Л/2-переходов между состояниями
И/Г и 7/2+ в ядрах l0S 121Sn, 139~14SSb, »9-и5рг „
143-149£U рассчитанные значения В{М2) между одноквазичастичными
состояниями 1Лц/2 и 1^7/2 [первый член в (5.17)] оказались в
15-20 раз больше экспериментальных. Учет однофононных состояний
с λ" = 2*, 3~ и 2" уменьшил это расхождение до 3—4 раз. Особенно
важна роль 2~ однофононных состояний с энергией до 24 МэВ, т.е. со-
стояний в области гигантского М2-резонанса. Вероятности В (М2) в
изотопах олова в значительной степени определяются сверхтекучим фак-
тором ν/_) . При выборе ff = 0,5g получено согласие между
результатами расчетов и экспериментальными данными. Несомненно,
такая перенормировка спинового гиромагнитного фактора слишком
велика, обычно берут £ = (0,7—0,8)# .
Рассмотрим магнитные моменты нечетных ядер. Магнитный момент
μ, в состоянии, описываемом волновой функцией (5.16), имеет вид
μ7 = *//io = (^*(/.Л/= /)9R(Ai; W)*V(J.M = /)), (5.19)
где оператор 9)?(Л/; λμ) дан формулой (2.123'). Воспользуемся при-
ближением
[а;т. β+λμ;1 = 0 (5.20)
и, отбросив ряд малых членов, получим
где одноквазичастичная часть
^р = (l/J)(ajJW(M; Ю)ау. (5.22)
Связь квазичастиц с однофононными 2*- и 3~ -состояниями приводит
к поправке
gl =(^L iillf ς (-)*♦'♦' + '(£рсло>» Χ
1 3 /U+ 1)' /λ= 2,3/ '
Χ </|Γ(ΛΠ)|/> |//λ J. (5-23)
223

Часть, обусловленная спиновой поляризацией остова, имеет вид
*2 - /— [37(/+1)]-1/21Л,/'(^)</|Г(М1)|/'>Ы(-)и-1.:. (5.24)
Расчеты по формулам (5.19)-(5.24) для многих нечетных сфериче-
ских ядер выполнены в [205]. Они дают хорошее описание магнитных
моментов. Константы спин-мупьтипольного взаимодействия выбраны
такими же, как в [156, 206] при описании Ml- и М2-рсзонансов,
факторы getf взяты равными 0,9^s, gl = 1. В нечетных нейтронных
ядрах вклад от поляризации остова g2 превосходит вклад от коллек-
тивного движения gi, а в нечетных протонных ядрах эти вклады срав-
нимы. При более строгой постановке задачи следует выяснить роль
обмена мезонами, ненуклонных степеней свободы, например, возбуж-
дения Δ-изобар, а также поляризации остова спин-орбитальными си-
лами.
5.2. Фрагментация одноквазичастичных состояний
1. В волновых функциях основных и низколежащих состояний не-
четных ядер имеется доминирующая одноквазичастичная компонента.
При небольшом увеличении энергии возбуждения усиливается роль
компонент квазичастица ® фонон, в ядрах с незамкнутыми оболочками
они наблюдаются уже в основных состояниях. При больших энергиях
возбуждения проявляются компоненты квазичастица ® два фонона
и т.д. С ростом энергии возбуждения увеличивается плотность ядерных
состояний и усложняется их структура. В нормировку волновой функ-
ции дает исчерпывающий вклад уже не одна, а несколько компонент.
Совершенно ясно, что практически невозможно измерить большое число
компонент волновых функций каждого из многих тысяч уровней.
Кроме того, нельзя вычислить энергии и волновые функции состояний,
содержащих миллионы компонент. Как трудна и неоднозначна эта
задача, продемонстрировано на примере легких ядер в [207], где при
вычислении энергий и волновых функций выполнена диагонализашш
матриц высокого порядка. Задача состоит не в измерении и вычислении
энергий и волновых функций каждого состояния, а в выявлении общих
закономерностей усложнения структуры состояний с ростом энергии
возбуждения [135, 208]. Первым шагом в этом направлении является
изучение фрагментации одноквазичастичных состояний. Концентрация
внимания на изучение фрагментации глубоких дырочных нейтронных
и протонных, а также высоколежащих частичных протонных состояний
связано с тем, что у этих состояний ширины ГЧ, обусловленные фрагмен-
тацией из-за взаимодействия квазичастиц с фононами, значительно пре-
вышают ширины Tt, обусловленные непрерывным спектром и связан-
ные с вылетом частицы.
224

Впервые фрагментация низколежащих состояний была измерена
еще в 1960 г. [209]. Значительно позднее изучена фрагментация глубо-
ких дырочных состояний [210, 211]. Реакции однонуклонных передач
оказались эффективными для исследования распределения силы высо-
колежащих частичных и глубоких дырочных состояний в сферических
ядрах. С их помощью изучена фрагментация одноквазичастичных сос-
тояний во многих ядрах [212—219]. Важным шагом в исследовании
фрагментации явилось использование пучков поляризованных частиц,
что позволило надежно установить спины возбуждаемых уровней
[220, 221]. Многочисленные расчеты фрагментации одноквазичастичных
состояний выполнены в КФМЯ [142, 143, 160-163, 173, 222-224].
в ядерной теории поля [166] и в рамках других микроскопических
моделей [225, 226] и феноменологических подходов [227,228].
2. Исследуем влияние принципа Паули на фрагментацию одноквази-
частичных состояний. Сначала возьмем волновую функцию в виде
(5.16). Условие ее нормировки в диагональном по Ы приближении и
секулярное уравнение имеют вид
С* Ц + Z[Dfi{Jv)]7 [1 + 2(//W)l 1 = I: (5.25)
ΛΙ/
Γα(7/λ»)[1 + £Uj\i)\
<*(η \ ξ e _77 -Σ = 0.
*™Jv> Ь 'jv 2 Xif ej+ ωλ/ ♦ Δω (J/λ/)- vjv (5.26)
Учет точных коммутационных соотношений между операторами aj и
£λ . привел к появлению функций X (JfKi) и Δω(//'λ/), которые равны
нулю в приближении \.a-m>Q\uA = 0. Функция X (//λ/) определяет
вклад данной компоненты квазичастица ® фонон в нормировку вол-
новой функции и в секулярное уравнение в зависимости от степени
нарушения принципа Паули. Если нарушающее принцип Паули состояние
входит с весом единица, т.е. принцип Паули нарушается максимально, то
£ - — 1 и это состояние автоматически исключается из (5.25) и (5.26).
Сдвиг полюса квазичастица ® фонон определяется функцией Aio{Jj"Ki).
он обращается в нуль при j£ = 0 и тем больше, чем сильнее коллекти-
визирован фонон λ/.
Как правило, учет принципа Паули слабо влияет на фрагментацию
одноквазичастичных состояний (рис. 5.5). Однако в редких случаях
появляются лишние состояния в приближении [or-JJf, С/^,] = 0. Напри-
мер, среди состояний с Jn = 7/2" в s7Ni возникает низколежащее сос-
тояние, которое не наблюдается экспериментально. При точном учете
принципа Паули лишнее состояние пропадает и улучшается согласие
результатов вычислений с экспериментальными данными.
При вычислении фрагментации одноквазичастичных состояний с
волновыми функциями (5.16) и (4.2» использована [142] эмпирическая
15-6636
225

2,5
2,0
r,s
1,0
0,5
i
-
"
_
_
1
J
4. ^JQ.^_
1С
JJ,M3B
TO JJ,M3B
Рис. 5.5. Силовая функция С, (η) состояния 2pj ,2 в s 9Ni:
сплошная линия - расчет с последовательным учетом принципа Паули; пунк-
тир - расчет с использованием эмпирической процедуры
Рис. 5.6. Силовая функция состояния 17? j l,2 в 20SPb:
сплошная линия - расчет с эмпирической процедурой учета принципа Паули;
штрихнунктир — расчет с последовательным учетом принципа Паули; пунктир -
расчет без учета принципа Паули
процедура отбора их правильно антисимметризованных компонент.
Был введен (до некоторой степени условно) критерий "коллектив-
ности" фонона, в соответствии с которым все фононы разделены на два
класса — коллективные и неколлективные. Коллективными считались
фононы, у которых вклад максимальной двухквазичастичной компо-
ненты в нормировку не превышал заданного верхнего предела (на
практике составлял 40—50%). Все остальные фононы считались некол-
лективными. Компоненты волновых функций (5.16) и (4.2), в состав
которых входили только коллективные фононы, сохранялись в вол-
новой функции без дополнительного анализа. У компонент с неколлек-
тивными фононами анализировалась структура, и часть из них, не удо-
влетворявшая требованиям симметрии, отбрасьшалась. Такая процедура
позволила избавиться от большинства лишних состояний и дала неплохие
результаты при промежуточных и высоких энергиях возбуждения
(рис.5.6) [143]. Из рисунка видно, что силовые функции состояния
l^i 1/2 в 205РЬ, рассчитанные с точной и эмпирической процедурами
учета принципа Паули, практически совпадают друг с другом. В то же
время расчеты в приближении [а-т. Q-?,J - 0, где принцип Паули не
учитывался, дают очень сильную фрагментацию подоболочки 1/?ц/2
из-за наличия многих лишних состояний.
226

3. При вычислении фрагментации одноквазичастичных состояний в
сферических ядрах волновую функцию записывают в виде
*„ДО> = cjv \аш + fitfw ^Ojwifl jm +
ajm
JM
*o- (5-27)
Используем эмпирическую процедуру отбора правильно антисиммегри-
зованных компонент этой волновой функции и поэтому о1раничимся
решением уравнений (4.41) и (4.43). Силовая функция, описывающая
фрагментацию одноквазичастичного состояния, имеет вид [см. (4.47')]
С>)
1 1
- Im —
π .+ (7? + iA/2)
(5.28)
Для описания интегральных характеристик фрагментации одноквази-
частичного состояния в интервале Еу < η < Е2 вводятся центроид энер-
гии и ширина ГЧ:
£= J C5(i7)ijdi7 - ν :
(ΓΙ)2 = J СЯЫт^т?
^2
J С) {η)ηαη
El
(5.29)
(5.30)
где η - энергия основного состояния нечетного ядре.
При решении уравнения (4.43) нужно вычислить детерминант, поря-
док которого равен числу членов типа c*Q* в (5.27), т.е. очень боль-
шой. Столь же велик ранг матрицы Ж (4.54"), который нужно вычис-
лить при расчете силовой функции. Поэтому возникает задача отбора
наиболее важных компонент квазичастично-фононного базиса. Кроме
того, представляет интерес выяснить, каково влияние компонент волно-
вой функции (5.27) типа а*0*0* на фрагментацию одноквазичасшчных
состояний при энергиях возбуждения 5^10 МэВ. Дополнительный инте-
рес к этой проблеме обусловлен тем, что встречаются попытки описать
распределение силы высоколежащих одиочастичных мод в спектрах не-
четных ядер с учетом только взаимодействия с низшими квадрупольны-
ми (иногда и с октуполькыми) вибрационными состояниями, а влияние
всех прочих конфигураций учитывается "эффективно" — либо искус-
ственной "размазкой" полученных решений [225]. либо введением фе-
номенологического комплексного оптического потенциала [227].
Рассмотрим сначала, как влияет полнота фононного пространства на
силовую функцию СК (η) для состояний, описываемых волновой функ-
227

цией (5.16) с секулярным уравнением (5.26). Результаты вычислений
для глубоко дырочной нейтронной подоболочки lga,7 в ' 19Sn приведе-
ны на рис. 5.7, а—д. Видно, что если учитывать только первые квадру-
польный и октупольный фононы, то подавляющая часть силы подоболоч-
ки будет сконцентрирована в двух максимумах. Расчет с учетом квад-
рупольных и октупольных фононов с энергией до 11 МэВ дает небольшое
усиление фрагментации, в том числе расщепление главного пика. Важная
роль большого фононного базиса продемонстрирована на рис. 5.7, е.
Изучим влияние на фрагментацию одноквазичастичного состояния
компонент волновой функции (5.27) типа a*Q*Q*. Заметим, что учет
этих компонент приводит к усилению фрагментации компонент вол-
новой функции (5.27) a*Q* и через них оказывает влияние на фрагмента-
цию одноквазичастичного состояния. Из рис 5.8 видно, что число состоя-
ний, рассчитанных с широким фононным базисом, много больше числа
состояний, составленных из квадрупольных и октупольных фононов.
В расчетах с широким фононным базисом при энергиях возбуждения
6- 8 МэВ плотность состояний типа a*Q*Q* в 3—5 раз превосходит плот-
ность состояний типа a*Q*, и с ростом энергии возбуждения это преоб-
ладание увеличивается. Из-за этого происходит перекачка силы подобо-
лочки в сторону больших энергий возбуждения. Поэтому учет ком-
понент типа a*Q*Q* влияет на поведение высокоэнергетической
части соответствующих силовых функций.
При вычислении фрагментации одноквазичастичного состояния с вол-
новой функцией (5.27) необходимо использовать достаточно большое
пространство однофононных состояний. Сила взаимодействия квази-
частицы с квантовыми числами пЫМ с конфигурацией [к*т Ογ^] JM
определяется функцией r(Jj\i) в виде (4.36). В [145, 147] на примере
фрагментации нейтронной подоболочки 1й9/2 в 1,7Sn изучено, как
влияет обрезание пространства сложных конфигураций по силе
Г (//λ/) на С^ (η). Если ограничиться функциями Γ(Λ9,2/λ/') >
> 0,5Гтах, то окажется, что число членов типа a*Q* равно 7, а число
членов a*Q*Q* - 34. В этом случае сила подоболочки сконцентрирована
на двух уровнях. По мере уменьшения нижней границы для Г (//λ/)
сильно увеличивается число компонент волновой функции (5.27).
Так. при Г > 0,1Гтах число компонент типа a*Q* равно 108, типа
a*Q*Q* - 4552. При Г > 0,05Гтах число компонент типа a*Q* — 238,
типа a*Q*Q* - 18 858. При ограничении Г > 0,1Гтах фрагментация
подоболочки стабилизируется и переход кГ> 0,05Гтах не приводит
к заметным изменениям. Поэтому расчеты выполняются при ограниче-
нии на уровне Γ(7/λ;) ^0,1Гтах. Важность учета широкого фононного
пространства продемонстрирована на рис. 5.7, д, на котором видно изме-
нение С1. по сравнению с рис. 5.7, г. Отметим, что правильные значения
центроидов энергии Ε и ширин Г4- получаются уже при Г > 0,5Гтах-
228

Рис. 5.7- Силовая функция нейтронного
дырочного состояния 1#9/2 в 1,9Sn:
а — расчет с волновой функцией
(5.16) (содержащей члены (fQ*)
только с первыми квадрупольными
и октупольными фононами; б — ра-
счет с волновой функцией (5.16)
с квадрупольными и октупольными
фонолами с энергией меньше 11 МэВ;
в - расчет с волновой функцией (5.16)
с большим фононным базисом; г -
расчет с волновой функцией (5-27)
(содержащей еще члены a+Q*Q*) с
квадрупольными и октупольными фо-
нонами с энергией меньше 11 МэВ;
д - расчет с волновой функцией
(5.27) с большим фононным базисом;
АТ«/г+)
1000
500
100
60
го
123Т(
г
" У "
rii-—-
6)
-τ~Γ"ΗГ'~"| 1
V 6 8 10 у>, МэВ
Ζ 4· S 8 1J гМэВ Рис. 5.8- Гистограммы числа состояний
типа [a+Q+Q+\ ♦ (а) и [c(*Q+] ♦
(б) с У* = 9/2+ в интервале Αη - 1 МэВ в зависимости от энергии возбуждения
7?в123Те:
сплошная линия - расчет с широким фононным базисом; пунктир — расчет
только с квадрупольными и октупольными фононами

Для описания распределения силы иодоболочек необходимо проводить
расчеты с волновой функцией (5.27) и с широким фононным базисом
4. Ранее считалось, что сила одно частичного состояния, удаленного
от энергии Ферми, распределена по брейт-вигнеровскому закону с цент-
ром, совпадающим с энергией квазичастичного состояния. Уже первые
расчеты фрагментации одноквазичастичных состояний показали, что
распределение их силы имеет сложную форму, отличную от брейт-вигне-
ровской. Типичные примеры фрагментации дырочных состояний даны
на рис. 5.9. Видно, что в распределении силы состояний имеется ряд
пикон. Они связаны с большими матричными элементами при соответ-
ствующих полюсах секулярного уравнения. При изучении фрагментации
одноквазичас1ичного состояния обсуждается изменение ширины Г4
с ростом Е. В ряде работ (см., например, [167]) предполагается, что
Г| ~ Е2. Имеющиеся экспериментальные и теоретические данные по
фрагментации одноквазичастичных состояний не выявили закономерно-
стей зависимости Г 4 от Е. Несомненно, с ростом Ε область локализации
большей части силы подоболочки увеличивается. Ширина Г4, определен-
ная формулой (5.30), характеризует распределение силы, если оно
имеет брейт-вигперовскую форму или один максимум. Если распреде-
ление силы имеет несколько пиков, то ширины Π оказываются мало-
инфо рмативными.
В расчетах фрагментации одноквазичастичных состояний, выполнен-
ных в рамках КФМЯ, нет свободных параметров, т.е. отсутствует под-
гонка результатов под экспериментальные данные. Поэтому нельзя рас-
считывать на полное (детальное) согласие теории с экспериментом. При
сравнении теоретических и экспериментальных данных используются
спектроскопические факторы, которые для реакций типа (d. t) и (cl, p)
имеют вид
Ср = (27 + I)i-}C* ; (* S =(2/ + 1)«JC), (5.31)
а также суммарные спектроскопические факторы, содержащие вместо
интегралы / СЯ (jj)ofjj.
Μ
Рассмотрим фрагментацию нейтронных дырочных подоболочек.
Прежде всего экспериментально была изучена фрагментация подобо-
лочки 1^9/2 в изотопах олова и теллура. В [142] получено качественно
правильное описание фрагментации, что продемонстрировано на рис.5.9.
Экспериментальные данные [217] для l43Sm получены позже расчетов.
В расчетах [142, 162] предсказано существование в изотопах олова и
теллура второго максимума, энергия которого на 2 МэВ больше энергии
первого. В реакциях (3Не, с) и (d, t) его не удавалось наблюдать [221]
(рис. 5.10, б). При изучении 1,2Sn (3He, ay)-реакции в [229] выделена
сила подоболочки 1^9/2 в интервале значений возбуждения 5—7 МэВ.
В результате, как видно из рис. 5.10, а, получено хорошее согласие тео-
230

11 7J,M3B
Рис. 5.9. Фрагментация глубокой дырочной подоболочки liq/2 (нейтронной в
MSSn,,23TeH 143Sm и протонной в 143Рт): '
кривые — расчеты в КФМЯ; заштрихованные гистограммы - эксперимен-
тальные данные
рии с экспериментом. В [229] экспериментальные данные нормиро-
ваны на результаты вычислений [162] в "максимуме распределения при
энергии 4,2 МэВ. Согласно расчетам, до энергии возбуждения 7 МэВ
в Sn исчерпано 64% силы подоболочки lg9/2- Результаты вычислений
согласуются также с экспериментальными данными, полученными
в 1.230]. Заметим, что реакции типа (3 Не, ау), в которых в режиме
231

Рис. 5.10. Фрагментация нейтронной дырочной подоболочки 1£9/2 в ^п:
а - экспериментальные данные, полученные из ( Не. й7)-реакции в 1985 г.
(сплошная линия) и результаты расчетов в КФМЯ. выполненные в 1980 г. (пунк-
тир); б — экспериментальные данные, полученные из ( Не, а)-реакиии в 1980 г.
(сплошная линия). и из (d, г)-реакции в 1982 г. (пунктир)
совпадений регистрируются α-частицы и >-кванты, дают новые возмож-
ности для изучения как фрагментации одноквазичастичных состояний,
так и их распада.
Рассчитанные и экспериментальные распределения суммы силовых
функций для подоболочек 2pXj2 и 2р3у2 в '' 'Sn приведены на рис. 5.П.
В этом случае также экспериментальные данные, полученные в [229]
в 112Sn (3He, try)-реакции, лучше согласуются с результатами расче-
тов в [162], чем данные измерений в (dt) -реакции [221]. Из рисунка
видно, что сила распределена практически равномерно в широком энер-
эу.мэВ
Рис. 5.11. Фрагментация ней-
тронных дырочных состояний
2р (суммы подоболочек
2*1/2 И 2*3/2» В ' 1Sn-
Спектроскопические факто-
ры (3Не, спО-реакции
(сплошная линия) сравнены
с результатами расчетов в
КФМЯ (пунктир)
232

5-12- Эксперимснталь- 2
' (заштрихованная гисто- CJ'
гетическом интервале. Неплохое согласие результатов вычислений в
[160] с экспериментальными данными [217] имеется по фрагментации
подоболочки 1Λ ц/2 в 207РЬ (рис. 5.12).
В случае фрагментации глубокого дырочного протонного состояния
I&9/2 в 143Рш (см. рис. 5.9) имеет место качественное согласие резуль-
татов вычислений [142] с экспериментальными данными, полученными
в [231] из 144Sm (d, 3 He)-реакции. Фрагментация протонных дырочных
состояний в 203' 20S' 207T1 рассчитана в [160]; она не сильно отличает-
ся от фрагментации нейтронных состояний. Некоторое различие в фраг-
ментации протонных и нейтронных подоболочек в ядрах с одной зам-
кнутой оболочкой обсуждается в [145].
Рассмотрим фрагментацию высоколежаших частичных состояний,
примеры которой приведены на рис. 5.13. Если при энергии связи
нейтрона Вп в 12ISn находится максимум распределения силы 2/5/2,
то в 209РЬ при η = Вп расположен хвост распределения подоболочки
2^11/2- Результаты вычислений [224] качественно правильно воспроиз-
водят соответствующие экспериментальные данные [232]. При вычисле-
нии фрагментации нейтронных частичных подоболочек с Ε > В„, осо-
бенно с малыми значениями /, нужно учитывать непрерывный спектр.
Теоретические предсказания [161] по распределению силы частичных
протонных подоболочек в 145Еи и 209Bi сделаны раньше соответствую-
щих экспериментов. Сравнение результатов расчетов с эксперименталь-
ными данными, выполненное в [219], показывает качественное согласие
теории с экспериментом (рис. 5.14).
Экспериментальная информация о фрагментации одноквазичастичных
состояний ь сферических ядрах еще относительно невелика. Расчеты
также ограничены несколькими состояниями в небольшом числе ядер.
Можно сделать только следующие замечания о фрагментации одно-
квазичастичных состояний в сферических ядрах.
233

2 J
Τ s ε ~ 8 s w if jj,msb
I On
Рис. 5.13. Рассчитанное в КФМЯ рас-
пределение силы нейтронных частичных
подоболочек 2/',,, г, 12,Sn и йцп
в го9РЬ
Рис. 5.14. Сравнение рассчитанной в КФМЯ (сплошные кривые! фрагментации про-
тонных частичных подоболочек ΙΛ
9/2
и\Ъ12 в
'tu с экспериментальными
данными (заштрихованные гистограммы). Стрелками показана одпоквазичастич-
ная энергия
1. На каждом основном или низколежащем состоянии нечетного ядра
сосредоточено 70—90% одночастичной силы. По мере увеличения энергии
одноквазнчастичного состояния фрагментация усиливается и одночас-
гичная сила распределяется по нескольким уровням. При высоких энер-
гиях возбуждения сила подоболочки распределяется в широком энерге-
тическом интервале.
2. Форма распределения силы одноквазнчастичного состояния отлич-
на от брейт-вигнеровской, в распределении имеется несколько пиков.
3. Фрагментация зависит от квантовых чисел одночастичного состоя-
ния и характеристики коллективных вибрационных состояний соответ-
ствующего четно-четного ядра. При прочих равных условиях подоболоч-
ки с малым / фрагментированы сильнее подоболочек с большим /.
Фрагментация одноквазичастичных состояний в ядрах с одной и осо-
бенно с обеими замкнутыми оболочками ослаблена.
Систематика экспериментальных данных по фрагментации одноква-
зичастичных состояний в сферических ядрах и сравнение с результата-
ми расчетов в КФМЯ выполнены в [233].

5.3. Фрагментация однофононных и двух квазичастичных состояний
1 Один из процессов, в котором ярко проявляется фрагментация
лнофононных состояний, — возбуждение гигантских резонансов. Если
ограничиться состояниями, лежащими ниже энергии связи нуклона, то
Лпагментацию однофопонных состояний нужно учитывать при изучении
хвоста гигантского дипольного резонанса, низкоэнергетической части
изоскалярного октупольного резонанса и других проявлений коллек-
тивных состояний.
Волновую функцию возбужденного состояния четно-четного сфери-
ческого ядра возьмем в виде
Приведенная вероятность Ελ-перехода из основного состояния в состоя-
ние,, описываемое волновой функцией (5.32), дана формулой (5.2).
При возбуждении коллективных состояний второе слагаемое в (5.2),
содержащее Р, мало, и его обычно отбрасывают. Если сделать это,
то силовая функция £Л-перехода имеет вид (4.76), где
Фу/= 1е%т)ЕУ0П*2М;?. (5-33)
г
eff ■ ■· И И
Если Λ/7') = /λ0Γ), to
ФЛ = Στеeii(Г)^Х*1 (Г) (^'Г' ■ (533>)
С помощью этой функции вычисляют распределение силы электро-
магнитных переходов при различных энергиях возбуждения.
Одним из наиболее низко расположенных резонансов является изо-
скалярный низкоэнергетический октупольныи резонанс. Он обусловлен
переходами из валентной оболочки в соседнюю. Этот резонанс обнару-
жен во многих сферических ядрах от 58Ni до 208РЬ при энергиях
5-7 МэВ. Распределение £3-силы в 90Zr, рассчитанное в ПХФ по фор-
муле (2.124') ив [138] с учетом взаимодействия квазичастиц с фото-
нами по формуле (4.76) с Ф,. в виде (5.33'), дано на рис. 5.15. Рисунок
относится к 3~-состояниям с наибольшими значениями В (Е3\ 0* ^3~)
в энергетическом интервале 0- 10 МэВ. Учет взаимодействия квазичас-
тиц с фононами не оказывает заметного влияния на первое коллектив-
ное 3j-состояние, но приводит к формированию низколежащего ок-
тупольного резонанса, сила которого распределена в интервале Δη =«
^2 МэВ.
235

Σ
θ-
ы' I*
►a Z
Hi
'CD
Ч2-
Σ
О
«0
, 1 1
-
J
<fj
V λ/IAv^ ,
Рис. 5.15. Характеристики 3^-состояния и
низкоэнергетического октупольного резо-
нанса в 90Zr:
а - расчет β(Ω) в ПХФ; б - расчет
силовой функции Ь(ЕЪ, η) с учетом взаи-
модействия квазичастиц и фононов
ГО >7,МэВ
Если в 90Zr взаимодействие квазичастиц с фононами не оказывает
сильного влияния на низколежащий октупольный резонанс, то, напри-
мер, в S8Ni оно приводит к изменению положения этого резонан-
са и распределения силы. Согласно расчетам [160], в 208РЬ учет
взаимодействия квазичастиц с фононами обусловил существование
нескольких 3~-состояний в интервале энергий 4,7-5,7 МэВ в согласии
с экспериментальными данными [234].
2. В течение долгого времени считалось [235], что распределение
£1-силы при энергиях возбуждениях ниже гигантского изовекторного
электрического дипольного резонанса определяется его лоренцевой
экстраполяцией. В обших чертах это действительно так. Эксперимен-
тальные исследования резонансного рассеяния фононов на некоторых
сферических ядрах показали [236, 237], что энергетическая зависимость
сечения сильно отличается от той, которая следует из лоренцевой
экстраполяции гигантского дипольного резонанса. В сечениях наблю-
даются подструктуры. Исследование таких подструктур и влияния
гигантского дипольного резонанса на радиационные силовые функции
проводилось в КФМЯ [160, 173, 184] и в рамках других моделей [238].
Полное сечение фотопоглощения, которое совпадает с сечением
дипольного фотопоглощения, имеет вид
Е Ε + Δ£/2
oyt (Ε) = 0,4025 — / b(E\,t))dv,
1 Δ£ ε - ЛЯ/2
(5.34)
где σ^( выражена в фм2; Ε - в МэВ; Ъ(Е\, г\) определяется форму-
лой (4.76) с ФЛ- в виде (5.33') и выражается в е2 ■ фм2 ■ МэВ-1. При
лоренцевой экстраполяции гигантского дипольного резонанса в низко-
энергетическую область сечение дипольного фотопоглощения запи-
сывается в виде
236

Рис. 5.16. Расчеты El-силовой функции
в 206РЬ по формуле (4.76) с Фу· в
виде (5.33'):
сплошная кривая - расчеты с учетом
только однофононных состояний, обра-
зующих гигантский дипольный резо-
нанс; пунктир - расчеты с учетом
всех однофононных I "-состояний, в том
числе лежащих в интервале 5-10 МэВ
0,7
0,5
0,3
0,1
-
..
Λ
1/
1>
|>
II
11
I I
Λ ! > '
Ι.''
1 l/v/ il
\\ 7
Ι \ Ι
Ι
Ρ,
Ι ■
Ι
I Ι
/ Ι
Ι Ι
> Ι >
1 /λ/
VI
w
J
δη,Μ
эВ
'7t
(£)
σ0
rfc2
(£2 - Eg)2 - £2Г2
(5.35)
где Е0 и Г0 — энергия и ширина гигантского дипольного резонанса.
Рассмотрим поведение радиационных силовых функций Ъ(Е\, rj)
в энергетическом интервале 5—8 МэВ и исследуем влияние на них ги--
гантского дипольного резонанса. Поведение Ь(Е1, η) определяется не
только гигантским дииольным резонансом, но также слабыми однофо-
нонными состояниями 1", лежащими в интервале энергий 5—8 МэВ.
Это обстоятельство продемонстрировано на рис. 5.16 для 206РЬ. Расче-
ты выполнены с волновой функцией (5.32), в однофононной части ко-
торой учитывались сначала только однофононные состояния, форми-
рующие гигантский резонанс, а потом все однофононные состояния,
включая те, которые расположены в интервале энергий 5—8 МэВ. Из
рисунка видно, что взаимодействие квазичастиц с фононами приводит
к выталкиванию части силы гигантского дипольного резонанса в низ-
коэнергетическую область. Учет однофононных 1~-состояний, находя-
щихся в интервале энергий 5—8 МэВ, приводит к сильному изменению
силовой функции Ь(Е1,т}) вследствие появления подструктур и общего
увеличения Е\-аллы в энергетическом интервале 5—8 МэВ.
Нерегулярности энергетической зависимости Ъ(Е\, η) проявляются
в сечениях фотовозбуждения. Подструктуры в сечениях дипольного фо-
товозбуждения при энергиях ниже порога испускания нуклона обуслов-
лены слабыми однофононными 1"-состояниями и влиянием гигантского
дипольного резонанса. Рассмотрим сечение дипольного фотовозбужде-
ния на 208РЬ (рис. 5.17). Экспериментальные данные указывают на
существование подструктур при энергиях 5,5; 7,2 и 7,5 МэВ (возможно,
и при других энергиях). Такое поведение сечения не согласуется с лорен-
иевой экстраполяцией гигантского дипольного резонанса. Согласно
расчетам, в ПХФ имеются подструктуры при энергиях 6,0 и 7,5 МэВ.
Расчеты с волновой функцией (5.32), содержащей все однофононные
I"-состояния, качественно правильно описывают экспериментальные
237

£, МэВ
Рис. 5.17. Сечение дипольного фотовозбуждения на 208pb:
точки — экспериментальные данные [236]; сплошная кривая расчет с уче-
том взаимодействия квазичастиц с фононами; пунктир — расчет в ПХФ; штрих-
пунктир — лоренцева экстраполяция гигантского дипольного резонанса
данные. Хотя в 208РЬ влияние гигантского дипольного резонанса на
Е\-силовые функции при энергии 5—8 МэВ невелико, учет этого влияния
улучшает согласие результатов расчетов с экспериментальными данны-
ми. В ядрах с незамкнутыми оболочками большое влияние гигантского
дипольного резонанса приводит к сглаживанию подструктур в сечениях
Oyt(E), образованных слабыми I--состояниями, и поэтому сечение
Oyt (E) приближается к выражению (5.35).
Возбужденные состояния сферических ядер, лежащие в энергетичес-
ком интервале от 3 МэВ до энергии связи нейтрона В„, изучены слабо.
Тем важнее представляются исследования фрагментации однофононных
и двухквазичастичных состояний, которые выполнены в последние годы.
3. Рассмотрим фрагментацию двухквазичастичных состояний в сфери-
ческих ядрах. Экспериментальную информацию о фрагментации двух-
квазичастичных состояний получают из спектроскопических факторов
реакций однонуклонных передач. Однако это информация только о тех
двухквазичастичных состояниях, у которых одна из квазичастиц валент-
ная, т.е. находится на одночастичном уровне, соответствующем основно-
му состоянию нечетного ядра-мишени. Реакции двухнуклонных передач
типа (р, i) и (Г, р) дают более полные (но менее определенные) сведе-
238

ния о фрагментации двухквазичасгичных состояний в сферических ядрах
[213,239-241].
Приведем формулы для описания фрагментации двухквазичастичных
состояний в КФМЯ. Длухквазичастичная компонента { /i/2 } волновой
функции β^-Φο. описываемой в ПХФ, определяется фононной ампли-
тудой (1/2) |ψλ'' |2, где ψλ( имеетвид (2.107), (2.114) или (2.119).
При учете взаимодействия квазичастиц с фононами однофононные со-
стояния оказываются фрагментированными. Двухквазичастичная компо-
нента { /1/2} со спином/ состояния ν, описываемого волновой функ-
цией (5.32), равна
Приведем выражения для спектроскопических факторов реакций
однонуклонных передач на нечетных ядрах-мишенях. Волновую функ-
цию ядра-мишени возьмем в форме
*.,oVomo)aC/o.A»o*0-
Волновая функция конечного состояния со спином Λ дается форму-
лой (5.32). Тогда спектроскопические факторы передачи нуклона на
подоболочку/ имеют следующий вид [242]:
для реакций типа (d, p)
^/о^^)СУо^/2Ф//о^^·' <"7>
для реакций типа (d, t)
5//о(/Г^>=С/о^/Ф//о^^- (5·38)
Если просуммировать по всем спинам конечных состояний Jf, которые
образуют одночастичные состояния/ и/0, то получим
Часто используют выражения
2Jf + 1
j f -/0 i
239

При изучении фрагментации двухквазичастичных состояний при про-
межуточных и высоких энергиях возбуждения вместо Ф. . (/; η )
берут силовую функцию
гЕЛ/Г(77 + »Δ/2)^''. tf{, )
*■ · V-V) = — Im j — ГТ; ( · (5·42>
/I/av U η I J- (i? + 1Δ/2) )
Она получается из (4.76) в случае ФЛ. = ψΛ' . Силовые функции для
"" /1/2
спектроскопических факторов получаются из выражений (5.37) —(5.41)
путем замены Φ. . (J; η ) силовой функцией Φ. - (/; η).
В качестве интегральных характеристик распределения силы двух-
квазичастичных состояний в энергетическом интервале Δ£" используют
центроиды энергии
Ehh = ! s; . (η)ηαηΙ! S'(V)dn, (5.43)
Δε л/2 д£
суммарные спектроскопические факторы
/ S'.h (i?) Aj (5.44)
Δε
и ширины распределений
Г. . = 2,35} J (£). - 4)2S; . (7?)</7?/J 5'(77)^77 Г'\ (5.45)
ΙΔ£· Δ£· '
Рассмотрим фрагментацию двухквазичастичных состояний типа ча-
стица-дырка. Будем учитывать также "двухквазичастичные состояния
типа валентная частица - дырка и частица — валентная частица. Для опи-
сания фрагментации двухквазичастичных состояний типа частица-
частица следует учитывать остаточные взаимодействия в канале части-
ца—частица. Фрагментация двухквазичастичных состояний типа частица-
дырка обусловлена, во-первых, взаимодействием между квазичасти-
цами, в результате которого формируются однофононные состояния,
и, во-вторых, взаимодействием квазичастиц с фононами.
Изучим влияние каждого из этих двух факторов на фрагментацию
двухквазичастичных состояний. Двухквазичастичные состояния
{ 2d3/2, lg9/2 i c J Η = 3+> 4+» 5+ и 6+ в ' 20Sn (рис. 5.18) заметно фраг-
ментированы уже на стадии образования фононов. На рис. 5.18 фраг-
ментация двухквазичастичных состояний с учетом взаимодействия ква-
зичастиц и фононов представлена в виде силовой функции. Суммарная
сила состояний на рис. 5.18, а к б одна и та же. Из рисунка видно, что
взаимодействие квазичастиц с фононами приводит к дальнейшей и
более сильной фрагментации двухквазичастичных состояний. Основная
240

C/2)l
0,5
0
0,5
0
0,5
0
0,S
0
fdVzqsh\z
1 I
1
JX=<t +
, ,1
i 1
J*=S+
I 1
1
j^=e*
1 1 1
I
4>d3/s
0,1
0,1
о
0,1
0,1
с
в S if,МЭВ
a)
8 5^,МэВ
«Π
Рис. 5.18. Фрагментация двухквазичастичного состояния {2d4/2» lgan) c J ~
= 3+,4+,5+H6+B12°Sn: ' '
а — расчеты в ПХФ; б — силовые функции, рассчитанные с учетом взаимодей-
ствия квазичастиц и фононов
часть силы состояний { 2d3j2, 1^9/2 1 сконцентрирована в области энер-
гий 7-9 МэВ.
Исследования, выполненные в [242, 243] для ряда сферических ядер,
показывают, что взаимодействие квазичастиц с фононами существенно
влияет на распределение силы двухквазичастичных состояний сферичес-
ких ядер при энергиях возбуждения, больших 3 МэВ. Эксперименталь-
ных данных по фрагментации двухквазичастичных состояний в реакциях
однонуклонных передач накоплено немного [244—248].
На примере ядра 206РЬ рассмотрим фрагментацию состояний типа
валентная частица — дырка, возбуждаемых в реакциях однонуклонных
передач. Экспериментальные данные для спектроскопических факторов
реакций 207РЬ (3Не, о)206РЬ в широком интервале энергий были полу-
241
16-6636

чены в [246]. Анализ сечений в рамках метода искаженных волн позво-
лил идентифицировать квантовые числа нейтронных дырочных подобо-
лочек. Однако эта идентификация неоднозначна. Поэтому распределение
силы двухквазичастичных состояний для энергий возбуждения, боль-
ших 4,3 МзВ, в 206РЬ известно только качественно.
Низколежащие состояния 206РЬ исследованы детально в различных
реакциях. Экспериментальные значения энергий и спектроскопических
факторов даны в табл. 5.3. Здесь же приведены результаты расчетов с
волновой функцией (5.32), которые близки к результатам расчета
в ПХФ. Из табл. 5.3 видно, что есть заметный разброс между различны-
ми экспериментальными данными. Рассчитанные энергии низколежаших
состояний хорошо согласуются с экспериментальными данными. Для
состояний с большими значениями S'.. (JV, ην) результаты расчетов
[242] близки к расчетным значениям из [249]. Анализ реакции
207РЬ(р, с!) 206РЬ показывает, что сила состояний { 2/7<2, Ърх ,2 }
{ l'i3/2> 3^i/2 1 > ( 1^9/2. 3Pi/2 i c энергией, меньшей 4,2 МэВ, исчер-
пывается почти полностью (с точностью до нескольких процентов).
Меньшее исчерпывание полной силы наблюдалось в реакции (3Не, а).
Результаты расчетов [242] ближе всего к данным, полученным из реак-
ции (d, t) .
4. Важным инструментом для изучения фрагментации двухквазича-
стичных состояний являются реакции двухнуклонных передач типа
(р, t) и (/, р). Механизм этих реакций более сложен по сравнению с
Таблица 5.3. Энергии и спектроскопические факторы Sjj0 (Jp %>)
для иизколежащих состояний Pb
{ nlj, nolo/0 }
{ 2/7/2, 2pi/2 }
{ !' I3/2> З/П/2}
{ IA9/2. 3pi/2}
IT
Jf
4+
4+
4+
3+
4+
7"
6~
Τ
4+
5+
V»
Экспери-
мент
1,684
1,998
2.928
3,122
3,519
2.200
2,384
2,865
4,008
4,116
МэВ
Расчет
[242]
1,9
2,2
2,9
3,0
3.9
1,8
2,1
3.0
3.9
4,0
[246]
(He,
0,22
0,2
3,02
2,60
0,23
4,25
3,60
0,2
1.85
2,55
s'
,(■//;%>)
Эксперимент
α)
[247]
(da)
_
-
3,45
2,69
-
5.5
5,0
-
-
**
[248]
(P.d)
0,17
0,14
3,97
3,37
0.21
7,05
6,47
0,32
4,3
5.00
Расчет
[242]
0,16
0,23
2,9
2,6
0.16
6.4
5,4
0,24
3,7
4.8
242

1;,мэв
9 >],мэв
Рис. 5.19. Силовые функции 5//„(7?) для четко-четных изотопов олова:
сплошные кривые - для конфигураций {2с?з/2· 1#9/2 1; пунктир — идя
{1#7/2- 1^9/2}; штрихпунктир — для { 3s,/2- 1^9/2}'. точечная кривая - для
("*11/2· 1/?q/·?} > стРелки - энергии пиков, наблюдаемых в реакции (p. t)
механизмом реакции однонуклонных передач, поэтому можно получить
только качественную информацию о фрагментации двухквазичастичных
состояний. Если в реакции типа (р, d) можно получить сведения о фраг-
ментации состояния валентная частица—дырка, то реакция типа (р, t)
дает дополнительно сведения о фрагментации двухдырочных состояний.
Сопоставление реакций (р, d) и (р, г) на изотопах кадмия и олова
выполнено в [213, 239]. Исследование реакции (р, d) на '"· I13Cd
и 117, H9gn показывает существование ярко выраженных резонансно-
подобных структур в сечениях при энергиях возбуждения 6,7—9,0 МэВ.
Зависимости энергии и ширины пиков от массового числа А в сечениях
реакций одно- и двухнуклонных передач похожи. При этом ширины
пиков в реакциях (р, d) существенно меньше наЬлюдаемых в реакциях
(р, t). Фрагментация двухквазичастичных состояний в изотопах олова
в КФМЯ исследовалась в [242] (рис. 5.19). В реакциях однонук-
243

лонных передач типа (р, d) на нечетных ядрах-мишенях должны
возбуждаться двухквазичастичные состояния типа валентная
частица—дырка. К таким конфигурациям относятся: в 110Sn { \е
7 /2>
I „— 1 1 . „ 112, 1\4, 116, 118с,, ( 1с 1„-1 1 . к 120с„ f ., ,
4/2 i ' B Sl1 l 3SI/2' *9/2 } · Б Sn ' ^3/2.
^9/2 ^ ; в 122' I24Sn {1Л j 1/2, \g~*2 }. В реакции (р, t) дополнительно
возбуждаются двухдырочные состояния (например, { lgZ1.-, lg~x })
и состояния, включающие частицу на уровне, близком к поверхности
Ферми, и глубокую дырку (например, { 2d^'2, 1#дД}в I14Sn).
иентроидь1 энергии Ε у и ширины Г« для состояний, возбуждаемых
в реакциях (р, d) и (р, t), которые приводят к образованию одних и тех
же конечных четно-четных ядер, для различных изотопов олова показа-
ны на рис. 5.20. Расчеты проведены для реакции (р, d) и конфигураций,
включающих валентную частицу и дырку lg9i2, в интервале энергий
Δ£' = 2 МэВ. Как видно из рисунка', рассчитанные центроиды энергии
Ец хорошо согласуются с экспериментальными данными из реак-
ции (р, d). Рассчитанные значения Ец лежат немного ниже энергий
пиков, возбуждаемых в реакции (р, t). Центроид энергии Е- растет с
увеличением А из-за понижения дырочного состояния l£^!2 отно-
сительно поверхности Ферми. Расчеты позволяют объяснить разницу
между центроидами энергии дырочных состояний нечетных и четно-
четных изотопов олова. Рассчитанные значения Гуу для реакций (р, d)
несколько ниже экспериментальных. Зависимость Гц0 от .4 объясняется,
во-первых, изменением положения подоболочки lg9,2 относительно
поверхности Ферми, а во-вторых, изменением с А значения спина /0,
соответствующего основному состоянию нечетного ядра-мишени. Если
спин /о велик, то возбуждается двухквазичастичная конфигурация
{ Но } со многими значениями спина, что приводит к увеличению ши-
рины г/Уо.
Резонансно-подобные структуры, возбуждаемые в реакциях двухнук-
лонных передач, могут иметь подструктуру. Действительно, в реакции
116Sn (α, 6Не) 114Sn обнаружена в [240] структура (Г//0 =2,2 МэВ)
в районе энергии возбуждения 8 МэВ и две подструктуры при энергиях
7,45 и 8,3 МэВ. Анализ углового распределения показывает, что в этой
реакции в основном возбуждаются состояния с Jn = 6+, причем для
хорошего описания углового распределения группы состояний с энер-
гией 7,45 МэВ необходимо предположить, что среди них также есть
состояния с /π = 8+. Расчеты в КФМЯ [243], приведенные на рис. 5.21,
дают для конфигураций { \g~]2, \g~^ } E~j/o = 7,6 МэВ; для
244

МэВ
Рис. 5.20. Зависимости центроидов энерши Ejj0 (а) и ширин Гуу0 (б) от А для
четно-четных изотопов олова;
А - относится к конечному ядру; точки, связанные пунктирной линией, -
экспериментальные данные [239] из реакций (р, О; кресты — эксперименталь-
ные данные [239] из реакции (p. d); точки, соединенные сплошной линией, -
расчеты в КФМЯ реакции (р, d)
Рис. 5.21. Силовые функции для двухквазичастичных конфигураций в n4Sn:
сплошная кривая - для концигурации 11#7/2' '#9/2* +' точечная кривая -
для конфигурации {l^yyj, ^9/2^ +; ПУ,1КТИР ~ Д"" конфигурации {2с/^2.
]g~L } +; стрелками показывают положение экспериментально измеренных
подструктур
* ^5/2> 1^о/2 Е//0 = 8,2 МзВ. В реакции (а, 6Не) наиболее сильно воз-
буждаются состояния, сопровождающиеся передачей двух нейтронов
с / = 6. Нижняя группа состояний отвечает конфигурации { 1£,/2>
1#о/2 ^ ' котоРая может иметь/77 = 6*,/7 = 8*. Верхняя группа состояний
соответствует конфигурациям { 2d~} ■> ^9/2 J ' f '^9/2' *^'3/2 ^ с
/7 = 6*. Таким образом, наблюдение двух групп состояний в ,,4Sn
находит естественное объяснение в рамках КФМЯ.
В изучении структуры ядерных состояний в широком интервале анер-
гий возбуждения ключевую роль играет выяснение закономерностей
фрагментации квазичастичных и фононных состояний. В последние годы
сделаны важные шаги в исследовании фрагментации одно- и двухква-
зичастичных, а также однофононных конфигураций в сферических яд-
245

pax. Следующий этап связан с вычислением фрагментации конфигураций
квазичастица ® фонон и квазичастица ® два фонона. На этой основе
возможно описание 7-переходов и каналов с вылетом частиц при рас-
падах глубоких дырочных и высоколежаших частичных состояний и
гигантских резонансов, а также парциальных радиационных силовых
функций для переходов с нейтронных резонансов. Идет накопление
соответствующих экспериментальных данных. Дальнейший прогресс
связан с изучением фрагментации многоквазичастичпых конфигураций.
Глава 6
НЕРОТАЦИОННЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЯДЕР
6.1. Уравнения квазичастично-фононной модели
для деформированных ядер
1. Равновесная форма атомных ядер — это форма шара или эллипсои-
да вращения. Имеются экспериментальные указания на существование
ряда ядер с равновесной формой трехосно! о эллипсоида вращения. Кро-
ме того, существуют переходные ядра, мягкие относительно /3- и γ-κο-
лебаний. Их сложная равновесная форма меняется в зависимости от
энергии возбуждения и углового момента. При описании сферических
и деформированных ядер используют различные методы вычислений,
поэтому сформулируем КФМЯ для деформированных ядер.
Особенность деформированных ядер состоит в явном выделении
степеней свободы, связанных с вращением ядра как целого. Феномено-
логическое описание вращения позволяет волновую функцию деформи-
рованного ядра записать в форме (см. [4, 12])
*МОК$е>») = /^^-[^ΜΟΚ^ν^^
+ (-)/ + Χ-σΑ'(^)^(Α'-σ)], (6.1)
где обобщенные шаровые функции DLar(6e) описывают вращение.
Полный гамильтониан ядра имеет вид
Η = Гго1 + tfcor + HQP . (6.2)
Кинетическую энергию вращения и кориолисово взаимодействие, свя-
зывающее внутреннее движение с вращением, обычно записывают сле-
дующим образом:
2 ft
246

#cor = - (V- + 7У+)/2 У: (6-4)
где / — полный угловой момент; / — угловой момент внутреннего дви-
жения; у- — момент инерции.
Во многих моделях, в том числе в КФМЯ, все виды неротационного
движения описываются микроскопически, а вращение — феноменологи-
чески. Изложение этой главы относится к микроскопическому описа-
нию внутреннего движения с волновой функцией 4>ν (Κα), и только
в случае необходимости будут обсуждаться эффекты, связанные с враще-
нием. Вращение, усиление роли кориолисова взаимодействия с ро-
стом / и высокоспиновые состояния описаны в [4, 12, 250—252] и дру-
гих работах.
В аксиально-симметричном потенциале сферическая подоболочка
nlj расщепляется на / + 1/2 дважды вырожденных уровня. Одночастич-
ное состояние характеризуется четностью п, проекцией углового момен-
та на ось симметрии ядра К и асимптотическими квантовыми числами
NnzA\ (если К - А + 1/2) или Nnz А-1 (если К =Л - 1/2). Совокупность
квантовых чисел одночастичных состояний обозначается qa, а = ± 1
(см. [12]). Если ядро имеет форму вытянутого эллипсоида вращения,
то уровни с малыми К опускаются, а с большими К — поднимаются.
Среднее поле деформированного ядра чаще всего описывают с по-
мощью потенциала Саксона-Вудса, имеющего вид (1.76), (1-77). Вол-
новую функцию φ одночастичного состояния аксиально-симметричного
потенциала Саксона- Вудса можно записать в виде следующего разложе-
ния по одночастичным волновым функциям $пит сферически-симмет-
ричного потенциала Саксона-Вудса:
φ = Σ (Ρ,-φ ,. . (6.5)
Ψ(1 пЦт nl' ""m
Коэффициенты efl.. нормированы так:
Σ(<,)2 =/ + 4~ · (6<6)
q ' *
Примеры распределения силы нейтронных подоболочек даны на
рис. 6.1. Подавляющая часть силы подоболочек распределена по несколь-
ким состояниям в интервале энергий 5—7 МэВ. Но подоболочки с боль-
шими / дают заметный, хотя и не очень большой, вклад в состояния,
удаленные от них на 10—15 МэВ. Например, около 4% силы нейтронной
подоболочки 1йц/2 сконцентрировано на состояниях, находящихся
около энергии связи нейтрона. Если принимать во внимание такие
"хвосты", то сила подоболочек с большими / оказывается распределен-
ной по большему числу состояний и большему энергетическому интерва-
лу, чем у подоболочек с малыми /. Это обстоятельство хорошо видно
247

°n\i
0.8
Ofi
0,4
0,2
?w Kit
. i 1 II
-
-
-
-
SDS*
73H 7Si*T70*
1,0
0,8
0,6
0Л
o,z
-
-
-
5051 S'Vt
523»
7Vz
5Й» «J*
532*
и
I
.иг*
5*rt
550*
5«» zayt J2/t wot t
>*„A
Js1/z
wo»
1 _ .
«Of
W7t I
l W7»
, , L l X.
I 1 1 L-i 1 i_I LJ
SOS -10 \ -tS £,МэВ
'Λ/2
Рис. 6.1. Распределение силы нейтрош1ых подоболочек 1Ицп и Ssj/j по одно-
частичным состояниям в потенциале Саксона-Вудса с аксиально-симметричны-
ми квадрупольной и гексадекаполькой деформациями. Стрелками указано по-
ложение подоболочек в сферически-симметричном потенциале с теми же пара-
метрами
из рис. 6.1, который позволяет сравнить распределение силы подоболо-
чек с сильно различающимися /. У подоболочки 3s^2 96% силы сосре-
доточено на состояниях 400t, 41 Η, 420t и 43 Η, причем разность энер-
гий наиболее удаленных друг от друга состояний равна 9,3 МэВ. У под-
оболочки \h ц ;2 те же 96% силы распределены по 15 состояниям в ин-
тервале энергии ΔΕ = 11,8 МэВ, хотя 90% ее силы сконцентрировано на
шести наиболее сильных состояниях.
Ввиду того что одночастичные энергии и волновые функции потенциа-
ла Саксона-Вудса зависят от массового числа/1, область деформирован-
ных ядер разбивают на зоны, чтобы не делать расчеты для каждого
значения А. В расчетах [6, 67, 71, 253-255] и других редкоземельная
область и область актиноидов разбиты на зоны вблизи следующих значе-
ний А: 155, 165, 173, 181, 229, 239, 247 и 255. Подгонка параметров
потенциала Саксона—Вудса состоит из следующих четырех этапов:
1) с определенным набором параметров потенциала вычисляют одно-
частичные энергии и волновые функции; 2) методом оболочечной по-
правки [256] вычисляют равновесную форму ядра и тем самым фик-
сируют параметры квадрупольной β2 и гексадекапольной /34 деформа-
248

ций [см. (1.75)]; 3) вычисляют операторы фотонов в ПХФ; 4) волно-
вые функции нечетных ядер V (Ко) берут в виде суммы одноквази-
частичных компонент и компонент квазичастица ® фонон, учитывают
взаимодействия квазичастиц с фононами и вычисляют энергии и вол-
новые функции неротационных состояний нечетных ядер, которые срав-
нивают с соответствующими экспериментальными данными. Для
улучшения согласия результатов вычислений с экспериментальными
данными изменяют параметры потенциала Саксона—Вудса и заново
проводят четыре этапа вычислений. Такую процедуру повторяют до тех
пор, пока не будет достигнуто достаточно хорошее описание экспе-
риментальных данных по низколежащим неротационным уровням не-
четных ядер.
При построении фононного базиса в деформированных ядрах исполь-
зуются мультипольные фононы с λμ, равными 20, 22, 30, 31, 32, 33, 41,
43, 44, 54, 55, 65, 66, 76 и 77. Для каждой мультипольности в зависи-
мости от поставленной задачи берут от 5 до 500 корней соответствую-
щего секулярного уравнения в ПХФ. Выбор констант спаривания и
изоскалярных и изовекторных констант мультипольных и спин-
мультипольных сил описан в § 4.1.
2. Приведем гамильтониан КФМЯ для деформированных ядер. Так же
как в § 4.1, учтем секулярные уравнения (2.45) и (2.68) для мульти-
польных фононов; (2.60) для спин-мультипольных фононов и (2.156)
для нейтрон-протонных фононов. Используем преобразованные с
учетом секулярных уравнений ПХФ гамильтонианы (2.85), (2.87) —
(2.89), (2.162), (2.163) и (2.163'). Тогда гамильтониан КФМЯ запишем
в виде
V = J V*(<?) + HMv + HMvq + HSv + HSvq + HCMv + HCMVq +
+ "cs*+/W (67)
Ι Χλμ\τ) + A-^'V)
"Mv ="* vL 7*f^p>~ 'WV*· (68)
причем Х^\т) и ty^1 для λμ Φ 20 даны формулами (246). (248),
а для λμ = 20 формулами (2.69) и (2.70") ;
2 \μ,ΟΤ qq· qq'
+ Q\# - ο)Β (W: μ-ο) + h. с.): (6.9)
249

Sv 4 rj-Lr (c,L- iLKicuL- UKi\i/2 LKiO^LKi'a'
i«/T ^ j (6io)
LKiOT qq
x 55 (w'; tf - σ) + h.c.]; (6.11)
HCMv =- ^^(1 + δμο)'2 -^tyi^-y-Ti "λμ/σ^-σ"·
(6.12)
ш +
' A(srKvsB(sr; μ- σ)] + h.c.} ; (6.13)
1 /2
+ fLKi nLKi - a) Σ^ ~ lLK И ["^ ©(«: AT - σ) +
+ iv>siB(s. г; # - σ)] +h.c.}. (6.14)
Выражение для Нс~ получается из (6.12) заменой констант и
матричных элементов:
λΙ1. i №чч')*&
Г^ (г) = ^— ;
qq V7(^ty')>/2
ri 7 iLKi,T) = 1 ™_ r (6.15)
3. Приведем формулы КФМЯ для нечетных деформированных ядер.
При вычислении фрагментации одноквазичастичных состояний в раз-
250

ложении волновой функции по числу фононов в деформированных яд-
рах можно ограничиться членами квазичастица ® фонон. Это обусловле-
но тем, что стабильная квадрупольная деформация уже привела к фраг-
ментации сферических подоболочек, и дополнительный учет членов
волновой функции квазичастица ® два фонона не вызовет заметных из-
менений. Формулы для случая, когда волновая функция содержит так-
же члены квазичастица ® два фонона, даны в [134]. Волновую функцию
нечетного ядра возьмем в виде
Vtf-a,) = JJ5o"U +
где g = λμ/; ν = 1, 2, 3... — номер состояния с данным К0°\ Ψ0 — волно-
вая функция основного состояния четно-четного ядра; остальные обозна-
чения даны в § 2.1.
Для точного учета принципа Паули будем пользоваться коммутацион-
ными соотношениями:
tV-^W = ^^3δ<ΚΚ-Λ'3),σ2μ2σ«;3-σ-
- ^3δσ<*+*3>.σ2μ2α;3σ:>·' (6.17)
Κσ· ^2σ21 = f3 {<?3δσ(Α'- Α3), σ2μ2%3 - ο ~
- <2?3δσ(Α' + Α'3), σ2μ2%3σ } ■ <6·17')
Используя их, вычислим
σσ2σ'σ2δσ'Α' + σ2μ2, σ0Α-0δσΑ: + σ2Α2, o0K0^^gia2aq'a'a*qo^g202 >
= 6^2V(6A-+M2,A-o +δ|Α-~Α2|,Α0) + 2*°(Й<7'1 «*)■ (6-18)
Функция Χ ° (g2q'\Qg2) знакопеременна, ее диагональные значения
много больше недиагснальных [257]. Далее нам понадобятся диаго-
нальные и квазидиагональные ее значения. Квазидиагональное значение
% К° feV I Qg). Для которого q = q', λ*μ' = λμ, Γ Φ i, имеет вид
ΧΑ'° (№ f) = - Σ ψ*"' ψλμ/' (δ δ +
q2 ЯЯг ЯЯ2 Κ +Λ2' Μ Α + μ, Λ0
251

+ δΚ-Κ2,μδΚ + μ,Κ0 + δΚ2 - Κ. μδ\Κ - μ |, Κ0^ (6-19)
Для диагонального значения (при i =/') функции i? 0(gVlig) исполь-
зуем обозначение %K°(qg)- В диагональном по функции j£ ° прибли-
жении условие нормировки волновой функции (6.16) имеет вид
Σ (С*)2 + Σ (Ζ)* )2[1 +2*°(№)] = 1- (6.20)
<7о ° <7£2 ч*2
Учет принципа Паули приводит к появлению множителя 1 + Ζ ° (qg2).
Если принцип Паули нарушен максимально, то X ° (д°£§) = —1 и соот-
ветствующий член исключается из суммы по qg2 .
Ограничимся учетом взаимодействия квазичастиц с мультипольными
фононами и возьмем часть гамильтониана КФМЯ
HQp=^eqB{q) + HMv +HMvq. (6.21)
Найдем среднее значение #„„ по волновой функции (6.16) в квази-
диагональном по функции jf ° приближении и получим:
(*Z(K«°a0)HQp4>v(K*o0o))= Σ (Cj/e^ +
+ Σ {Dvqg2f[\ + £K°(qg2)][eq + ω^ + Awfoft)] -
где
Δω (№) = - 4- Σ Γ-^ i ΤΤΤΓ^ (W2'/')·
Гт («^ЛгМг'гй,,: Λ2μ2» ч,/а (6.23)
Воспользуемся вариационным принципом и таким же путем, как ранее,
получим следующие уравнения:
2С",[(е - τ?,,) δ „· - V .} = 0; (6.24)
D* = "J. , (6.24')
is* е+ ω + Au>(qg2) - τ>
#2
252

где
ЯоЯо qg2 eq + u>g2 + Δω (qg2) - νν
Из условия сушествования нетривиального решения системы (6.24)
получим секулярное уравнение для нахождения энергий η состояний
нечетного ядра:
е (Ч„) = det || (е,о - „„) 6qoq.o - Vqoqb || = 0. (6.25)
Порядок этого детерминанта равен числу учитываемых в (6.16) одно-
квазичастичных состояний до с фиксированным значением /Г^о.
Получим функции С^ и if . Выделим произвольную функцию
Cv и обозначим для q'0 Φ q0:
Яо
Cv, = Cv,/Cv ; Dv = Dv ICV ,
Яо Я о ?o ' ЯК2 QS21 Qo
Уравнения (6.20), (6.24) и (6.24') перепишем в виде
(С* )2 {1 + Σ (с".)а + Σ (Д*)2П +^Ar°(?ft)U = i;
J (О = е - Ч„- Σ Г«г Dv =0; (6.26)
^ Яоу ν' Яо lv qg2 яоЯ qg2 v '
(е , - vJCv, -Σ V . ..Cv. .. = V . :
Я0 v q'0 ,.ф ЯоЯо ЯоЯо ЯоЯо
Г*2 + Σ rg2 ,CV.
~ ЧЯо . . ЯоЯо Чо
j)V _ Яо ФЯо
«2
е, + ug2 + Δω(^2)-77^
После несложных преобразований получим:
eq + ω^ + Δω(№)- Vv
1<7о Ф'Яо
(6.27')
253

+ Σ
Qg2
Чо г <?о
е + ω + Δω(4Κ2)
[1 + £А'°(<7Ы]|,
(6.28)
где
θ„ (О = det || (е „ - τ?„)δ . .. - V . ,.\\.
q0ylV " v q0 lV> q04o ЯоЧо
(6.29)
Порядок этого детерминанта на единицу меньше порядка детерминан-
та (6.25), он получается из (6.25) при исключении строчки и столб-
ца, содержащих <&. Детерминант В (qo; Vv) получается из (6.29) за-
меной столбца а'0 столбцом V , . Заметим, что
ЧоЧо
(С»оУ2 =Э^о(ч)/Эч, (6.28')
Fqo(v) = β(η)Ιβηο{ν)· (6.28")
Если не учитывать принцип Паули в состояниях квазичастица ®
® фонон, то
£К° (<Ж 0 = £К° Ш = 0; Δω(</*2) = 0 (6.30)
и секулярное уравнение принимает вид
θ (77 ) = det
(β - « ,)δ . - Σ
ν Чо 'V ЧоЧо qg2
Γ^2 г*2,
ЧЧо ЧЧо
ея + ω*2 " "ν
= 0.
(6.31)
Остальные формулы нетрудно получить, воспользовавшись условиями
(6-30). Они совпадают с формулами, данными в [6].
Отличие деформированных ядер от сферических состоит в необхо-
димости учитывать в одноквазичастичной части волновой функции
(6.16) несколько одноквазичастичных состояний с фиксированными
значениями К%°. В тех случаях, когда можно ограничиться одним од-
нокваэичастичным состоянием с данным А'?0 и не учитывать принцип
Паули, формулы принимают следующий простой вид:
= 0:
Чо
Vv - Σ
(Г я* f
v ЧЧо'
Qg2
cv г*2
Чо ЧЧо
(6.32)
(6.32·)
e + ω
Ч 82
254

1 Яо' qg2
f#2
ЯЯо
e + ω - v„
(6.32")
В ряде работ, например в [6,258—260],учитывается взаимодействие
квазичастиц с фононами в основном состоянии чешо-четного ядра, т.е.
переопределяется вакуум. В этом случае в секулярных уравнениях
(6.25), (6.31) и (6.32) наряду с полюсными появляются неполюсные
члены. Как показано в [6, 139, 259], влияние неполюсных членов неве-
лико. Оно сводится к небольшому уменьшению энергий коллективных
состояний типа квазичастица ® фонон. Для состояний, близких к одно-
квазичастичным, неполюсные члены практически не меняют их энергии
и структуры. Это связано с тем, что при описании энергий неротацион-
ных состояний нечетных ядер вычисляются не разности энергий систем
с четным и нечетным числом частиц, а разности энергий возбужденных
и основного состояний. В этих разностях неполюсные члены практиче-
ски сокращаются.
4. Получим уравнения КФМЯ для четно-четных деформированных
ядер. Волновую функцию возбужденного состояния запишем в виде
^(^θα0) = |Σ^οςοσο +
(1 + δ ),/2с
+ Σ -1 °^ + °^'°o«opV Q, ρ Ι
giOlg2a2 2[i +δ^ο„(1 -δμ1θ)],/2 *i*2**iO,^2ο2 ) °'
go = λοΜο/ο"- (~)λ° = To; AO = Ко
(6.33)
Для точного учета принципа Паули в двухфононных членах (6.33)
рассмотрим двойной коммутатор
[ [Qg; Qg1,Q*g2 ] = Σ l&(s&\gg2)Q+g.2 + хШ\&гЩг}
if 2
и введем
XK°(E2g'\gg2) =
~οα%·ο·2α'^'+ <>2μ2,θοΚοδσμ + σ2μ2,σ0κ0Μ^'\κΖ2\ (6.34)
Как показано в [140, 165], абсолютные диагональные значения
3f(g2g\gg2) значительно превосходят недиагональные. Обычно ограни-
чиваются использованием квазидиагональных членов, которые при
255

Κ0 = μ + μ2 и Αο = μ — μ2 соответственно имеют следующий вид·
1 + 6gg2
il929394 *2*3l 9l93 9l92 ЯаЯ2У qAq3
φ>ψΓ φ№ φ** φ** ] L δ
9l93 9192 9492 949з_| Ι ΚΧ-Κ2,μ Кц - Κ2, μ
+
2
+ δΧ2 - # i, μ δΚ2 - #4, Μ2 + δΚ2 -«1,μ δ#2 + *4. Рг +
+ δ#, + Κ2,μδΚ2 - Κα. ^2 + δΚ i + #2, Μ ^2 + Κ α. μ2 Ι ' (635)
1 + Jttl
Χ Σ δ„ „ U^'" ^ ψ** ^2 _
ЧхЧгЧъЯА 2 3 L 919э 9192*9492*9493
λ/лг' λμ/ ρ2 «2 ] [β δ +
*9l93 9192^492*9493 J Ι *1 ' *2. Μ *2 ~ *4,/*2
+ δ/Τ2 - *1,μδ*4 - Κ2,μ2 + δΚλ - Κ2,μδΚ2 +ΚΑ.μ2 +
+ δ*- - *- ,i6*- if и 1 ■ (6·35')
Λ1 +Λ2, μ Κα - Κ2, μ2 Ι
is
Диагональные значения при i' =i этой функции обозначим^ °(gg2).
В расчетах использовано коммутационное соотношение
х (да3 (К2 - Кх), σμδσ3 (tf 3 - *i λ σ'μ' +
+ δ__»δ„ „δ„ . „ ,,iiL . », ,,) - <Jr φ£ Χ
αο Ο3Ο Л| +*з, μ К\+ к2, μ' 9i929i93
Χ (δσ3 (tf, - K2% ο'μ·δσ3 (tf j - κ3), ομ +
δοΛ3,~αδΚ1+Κ2.μ·δΚ1+Κ3>μη^2ο3%3ο3 + [$хЯЛ
Χ
192
Χ <δσ3, ~<fb<f(K2 - Kt), ομδΚ! + Κ3,μ· δσ3Α(*3 - *,λ c///6^, + Κ2,μ^ +
256

+ ^&&\Чъ (δσ3. - σ'δΑΓ, +къ μ'δσ'(tf3 - *i),ομ
- Ьа3сРк, + Κ3, μδσ{Κ2 - tf,), α'μ^ °*α\2ο3ας3, -σ3\
(6.36)
Условие нормировки волновой функции (6.33) в диагональном по
#^° приближении принимает вид
Σ(^)2.+ Σ (Ρ )a[i +λ·λ°^2)1 = i.
/0 '° £>£2 **2
(6.37)
Гамильтониан модели возьмем в виде (6.21) и вычислим его сред-
нее значение по волновой функции (6.33). В результате в квазидиа-
гональном по 3i° приближении получим:
(**(ΚΖ0σ„)#β/, *,,(*£» σ0)) = Σω^^)2 +
+ ^ [ω^ + ω^ + Δω^)]^)2 [1 + ^Ог.Ы! -
ft 1 ^*2
- 2 Σ
I + ЯГ*° liift)
'o*>>*»0+W'a[l +δ^ο0(1-δμ1θ)]«^
x Λ?/'1' U (?n),
'0 Sl*2 £l#2 У£0''
(6.38)
где
Δω
7 ν Α-^1 (τ) + A^'^'ir)
feift) ="4 Σ Ι — ——Λ·*°(?2λ,μ1Γ|^ΙΛ)-
4 77' ( «ν*Ι<μλ,μ,Ι\ 1/2
Χ*2 [τ) + Α-λ^2/'(τ)
(^«г^Лг^г'Ч1'2
ar^fe^i^i'lfttfiH ;
(6.39)
σ1θ2 °^\*ο2μ2,α0κ0 ^Qg0o0HMvq^lal^g1a2) +
17-6636
257

и - _i [Φμ,<*°*2) ^μ2&ο«.)
,,Й&,)"^М^),Я (^)"г
Φμ| <*«ы = (! * /°°) Σ^^ (wv-> (**».**
(6.40)
2 +
з<7
Ψ<13<1Ψ<13<1 J КК'Кг У l)
где 0^£?*° = -1, если A' + A" = μ , или A3 + К' = μ, или μ, +
+ μ2~Κο* или μ! — μ2 - /Γ0, и Θ^\^\Ψ ° = 1 в остальных случаях (см.
А'А А з
[261]).
Воспользуемся вариационным принципом в виде
δ l(**(K&>o0)HQp*v{I$»o0)) - ην[(Ψ*Ψν) - 1] } =0 (6.42)
и получим уравнения
(ω - nJRv - Σ
х U (Σ0)Ρν = 0;
£l#2 W°' £l#2
l + jr*°k,g2)
(''W^1 +δΑ'οΟ(1"
1
δμ1θ)1,/2
Κ, + ^2 + ^^2) " ^С - Π + W"^ +
+ *Κ0θΟ ~ *μ1θ^1ηΙ*№ΚΙΚΛθΜΜ = Ο-
(6.43)
Из второго уравнения находим Ρν , подставляем в первое и полу-
чаем секулярное уравнение для нахождения энергий т? состояний,
описываемых волновой функцией (6.33):
258

α (γ, ) = det (ω —τ?,,) δ. ..
1+^A'°{?^2)
- Σ
gy>K2 С1 +δ^^2)11 +δΑ'οθ(1 - δμ.0>1
*'" *'*2 " - 0. (6.44)
£l K2 "
Порядок этого детерминанта равен числу однофононных состояний в
волновой функции (6-33). В этом случае учитываются диаграммы,
приведенные на рис. 4.7, а — в. Если не использовать диагональное по
ЗС приближение, то так же, как для сферических ядер [см. (4.59)],
получим секуляркое уравнение в пространстве двухфононных состоя-
ний. Учет принципа Паули в двухфононных членах (6-33) приводит к
появлению в (6.44) множителя I + Jf ° (glg2) и порождает сдвиг
Δω(gig2) двухфононного полюса.
Для нахождения явного вида функций Rvt и I*t воспользуем-
Iq ft 1 ft 2
ся такой же процедурой, что и при выводе функций Cv, и Dv , и
в результате получим: q° ^2
1 +л-*°0гигг)
+ Σ
«*%i*S"b*bK^-№
*VlJf2 (λοΡο'ο)β/ο (Vv) + Σ θ 0h\Vv)Ugig2 (XoMo'o)
х - 'А±1±
Ugl + ^2 + Δω^1*2^ ~VV
, (6.45·)
где детерминант 0. (ην) имеет порядок, на единицу меньший порядка
детерминанта θ(ην), а Θ. {i'0: ην) получается из 0f. (т^) заменой
столбца /q столбцом свободных членов. Функция Ру находится из вто-
рого уравнения (6.43). *'*2
В случае WK°{gig2) = 0, Δω(gtg2 ) = 0 уравнения (6.43). (6.44) при-
нимают вид:
259

Но -V*,1:- Σ (1 +*К1КгГ*»[1+ВКо0<1 -
£l **£2
δ^ο)1_1 v2^^2 = 0;
Ч, + "*2 - "/L, "" + W~,'2l1+δKooO-
-Wrl/2^1*2ίλ°^"ό)^=0;
'ο υ
(6.46)
det
(ω„ - τ?„)δ. .. - Σ (1 + δ Г 41 +
+ 4ο(1 "W
tfl >#2
^ii2 (λο^ο'ο)^^2(λ0μο'ο)
#1 #2 'V
0. (6.47)
Приведенные формулы используются в расчетах свойств неротационных
состояний деформированных ядер.
6.2. Фрагментация одноквазичастичных состояний
1. В сильнодеформированных ядрах среднее поле удается выбрать
так, что матрица плотности p{q, q') оказывается диагональной для ос-
новных состояний ядер, лежащих в полосе стабильности. В этом случае
пригодна модель независимых квазичастиц. Именно благодаря парным
корреляциям сверхпроводящего типа низколежащее состояние можно
характеризовать квантовыми числами одночастичного уровня, на кото-
ром находится квазичастица. Если бы в ядрах отсутствовало такое
взаимодействие, то небольшие остаточные силы смазывали бы их од-
ночастичную структуру. Модель независимых квазичастиц в первом
приближении дает правильную картину спектров нечетных деформиро-
ванных ядер. Соответствующие таблицы, приведенные, например,
в [12], характеризуют последовательность заполнения одночастичных
состояний с ростом числа нейтронов и протонов.
Структура состояний деформированных ядер определяется внутрен-
ним движением и вращением, а также кориолисовым взаимодействием,
связывающим их. Для понимания общих закономерностей спектров
нечетных деформированных ядер большую роль сыграла простая модель,
согласно которой ядро представляет собой ротатор со связанной с ним
частицей или квазичастицей [4]. В ее рамках выполнен анализ многих
ядерных спектров [262]. В этой модели при вычислении спектров и
вероятностей электромагнитных переходов необходимо искусственное
ослабление кориолисова взаимодействия, поэтому продолжается работа
260

(см., например, [263]) по ее улучшению. Простая картина ядерных
гпектров, даваемая моделью квазичастица ® ротатор, усложняется при
учете связи нескольких ротационных полос. Насколько велики сложно-
сти анализа экспериментальных данных, продемонстрировано в [264]
на примере рассмотрения трех нижних ротационных полос в I7,Yb.
При описании нечетных деформированных ядер волновая функция
берется в виде (6.1) с Ψ^Λ^σ) в виде (6.16) и учитывается взаимодей-
ствие квазичастиц с фононами. На основе волновой функции (6.16)
и формул (6.27) -(6.32") в [71, 265, 266] и других работах рассчитаны
неротационные состояния нечетных деформированных ядер в редко-
земельной области и области актиноидов. Получено неплохое описание
энергий и структуры низколежащих состояний. Имеется согласие с
экспериментальными данными [267—269], многие из которых получены
после выполнения расчетов.
Кориолисово взаимодействие с внутренней волновой функцией
(6.16) учтено в [270—272] и других работах. Отличие коэффициентов
Cv от единицы приводит к ослаблению кориолисова взаимодействия.
<7о
Учет неадиабатических поправок позволяет описать ротационные полосы
до сравнительно высоких спинов [272].
2. Рассмотрим электромагнитные переходы в нечетных ядрах. При-
веденная вероятность /ГХ-переходов между состояниями, описываемыми
волновыми функциями (6.1), (6.16). равна
ПГ 2λ+1
В(Ек; Ι$*Κ0ν0 ■* 1 Kfvf) = x
x \<I0K0\Kf - K.Mfo) (** (Kf)mE\; Kf-K.)4Vo{Kl0)) +
+ (-)'o + *o (/o _ Κ()λκ^ + Κ0\Ι^){^* {Kf) x
x 3R (£X: Kf + K.) %(K^))\2, (6-48)
где
261

- XK4gQo\Qg2)]\ + Σ Df. D° ^i^p^wOri-XieeW
> na'e-y 4 g2 482 <7<? eff ^ чч n -Ы</#2)|
94 2 _ (6.49)
Здесь е^^(т) определяется формулой (2.79') и для нечетного
нейтронного (протонного) ядра используются нейтронные (протонные)
одночастичные состояния; J£w- и 56 (gqolQgi) определяются фор.
мулами (2.8Г), (6.18), (6.19), a 5C(qg2) представляет собой сумму
по <7г от (^д )2 с соответствующими символами Кронексра (см.
[273]). В случае когда радиальная зависимость мультипольных сил
взята в виде R\(r) = г , функция М\и, имеет вид (2.81").
Члены матричного элемента (6.49), содержащие С J £ и
Vf V0
D h D , описывают ^Л-переходы между одноквазичастичными ком-
понентами и между компонентами квазичастица ® фонон. Члены, содер-
жащие CD, описывают переходы между одноквазичастичными компо-
нентами и компонентами квазичастица ® фонон, которые усилены в
случае, если фонон λμ/ является коллективным. Формулы для при-
веденных вероятностей Л/Х-переходов получаются из (6.48), (6.49) та-
кой же заменой, как получаются (5.19) и (5.18) в случае нечетных
сферических ядер.
Экспериментальные данные по γ-переходам и магнитным моментам
систематизированы в [267—269, 274—276] и других работах. Анализ
экспериментальных данных по электромагнитным переходам в нечетных
деформированных ядрах, расчеты приведенных вероятностей и срав-
нение теории с экспериментом проведены во многих работах, напри-
мер в [4, 6, 12, 273, 277, 278]. Приведенные вероятности электромагнит-
ных переходов сильно зависят от структуры состояний, между которы-
ми идет переход. Поэтому экспериментальная информация об абсолют-
ных значениях вероятностей электромагнитных переходов играет важ-
ную роль в уточнении параметров потенциала Саксона—Вудса и кон-
стант эффективных взаимодействий, а также для выяснения роли при-
месей к доминирующим компонентам волновых функций. Так, вероят-
ности К-запрещенных переходов определяются компонентами с различ-
ными значениями К. На вероятности £1-переходов большое влияние ока-
зывают примеси в волновых функциях, приводящие к разрешенным по
асимптотическим квантовым числам матричным элементам. Небольшие
примеси в (6.16) компоненты квазичастица® фонон λμ/= 221 приводят
к значительному увеличению вероятностей £2-переходов. Имеется, ко-
нечно, большое число /Γλ-переходов, вероятности которых определяются
одноквазичастичными компонентами волновых функций.
4. Рассмотрим вибрационные состояния в нечетных деформированных
ядрах. Существование вибрационных состояний в них и важная роль
262

имодействия квазичастиц с фононами известны давно [279]. Выяс-
ним вопрос — на каждом ли одноквазичастичном уровне должен суще-
ствовать набор вибрационных состояний. Для этого следует учесть прин-
цип Паули в конфигурациях квазичастица ® фонон, поэтому восполь-
зуемся формулами (6.16), (6.20), (6.24)-(6.29).
Рассмотрим состояния с доминирующими компонентами квазича-
стица ® фонон в ,59Gd и ,s9Tb и проанализируем, как влияет на них
учет принципа Паули. Используем фононы ls8Gd, структура которых
пака в табл. 6.1. Рассчитанные значения X ° (qg) и Δω(^) приведены
в табл. 6.2. Состояния 7/2" и 1/2" в IS9Gd состоят из квазичастицы
521Τ и фонона 221, волновая функция которого содержит нейтронную
компоненту да 5211 5 211. Сложим проекции
А'о = 7/2 = tfs2lt + μ ='tfS2lt + . ..(A'52lt + K^):
K0 = -1/2 = AS2,t - μ = tfs2It---.Us2lt + K52ll).
Таблица 6.1. Характеристики однофононных состояний в Gd
g = λμ/ С*£, МэВ Структура фонона
—.—. . . .—. . —.——. .—■—■ .—.—. ■—я— ■—.—■—.
221 1,18 т 52lt + 521! 29% т 642t - 660t 16%
ш 5234- - 52Ц 11% p/7 41lt + 4lU 7%
222 2,54 т 642t - 660t 72% т 52lt + 521127%
301 1,26 пп 642t - 5234· 39% пп 6511 - 52lt20%
pp 4134 - 532t 4% pp 41 it - 54lt 3%
IS
Таблица 6.2. Функции 56 ° <<?#) н сдвиги
полюсов Δ Co(Qg) секулярного уравнения
Ядро
1S9„ .
Gd
IS9Tb
________
Ко
7/2"
1/2
7/2~
9/2*
1/2*
9/2*
3/2*
7/2*
1/2*
3/2
<?®λμ/ =g
52lt ® 221
52lt <9 221
5211 ® 222
642t О 221
642t g> 221
642t ® 222
52It 8) 301
41lt ® 221
41lt Θ 221
4)lt ® 301
ХК°Ш)
0,34
-0,01
-0,27
0,2
0
-0,72
-0,22
-0,1
-0.01
-0,6 ■ 10~3
&u>(qg). MjB
1.8
0,07
0,1
1.0
0
0.07
. 1'.3
0.12
0,01
0,08
263

Отсюда видно, что для К0 = 7/2 проекции К$2 ^ свободной квазичасти-
цы и квазичастицы, входящей в фонон, имеют одинаковые знаки. Такие
компоненты запрещены принципом Паули, поэтому %к° = 7'2 (5211
221) = —0,34 и сдвиг велик. Большой сдвиг обусловлен также сильной
коллективностью 7-вибрационного состояния. Для К0 =1/2 проекции
К | входят с разными знаками, принцип Паули не нарушается и зна-
чения £к° = 1/2 (5211, 221) и Δω (52И, 221) малы. Отличие их от нуля
обусловлено нарушением принципа Паули в малых компонентах фоно-
на 221 и квазичастицы 5211. Для неколлективного фонона значения
ψ ^велики и сильное нарушение принципа Паули не приводит к боль-
шому сдвигу, что видно на примере фонона λμ/ = 222 (см. табл. 6.2).
Рассмотрим γ-вибрационные и октупольные состояния в нечетных яд-
рах. Экспериментальные данные с указанием компоненты квазичасти-
ца ® фонон, рассчитанные в [257] сдвиги центроида энергии и значения
компонент волновой функции приведены в табл. 6.3. В последнем столб-
це таблицы сделаны выводы о влиянии учета принципа Паули. Его влия-
ние определено как очень слабое, когда принцип Паули можно не учиты-
Таблица 6.3. Вибрационные состояния в нечетных ядрах
Ядро
,59Но
165 Но
1б7Ег
169Yb
233Th
233U
235U
237Np
239U
rf
3/2"
3/2"
П/2"
5/2*
3/2*
3/2*
3/2"
1/2*
1/2*
3/2*
5/2"
7/2*
3/2"
1/2"
1/2*
5/2"
1/2*
1/2"
Энергия,
МэВ
0,312
0,514
0,689
0,995
0,532
0,720
0,660
0.584
0,842
0,815
0,748
0,444
0,636
0,761
0,844
0,721
0,687
0,814
Конфигу-
рация
523T® 221
523t®221
523t®221
41Ц0221
633t®221
633t®221
521j®221
622t®221
6331® 221
63ll®221
6334® 301
743t<8>301
743t®221
63Ц03О1
622t®221
642t®301
622t®221
631 i® 301
Расчет
Вклад кон-
фигура-
ции,^
97
98
99
31
12
11
90
54
17
90
100
6
100
100
40
14
40
40
МэВ
0,001
0,001
0,01
0,2
0,01
0,01
1,5
0,001
0.001
1,0
2
1
0,01
1,2
0,001
0.02
0,001
0,2
Влияние прин-
ципа Паули
Очень слабое
То же
"
Небольшое
Очень слабое
То же
Сильное
Очень слабое
То же
Сильное
То же
"
Очень слабое
Сильное
Очень слабое
То же
"
Небольшое
264

вать, как небольшое, когда вибрационное состояние может существо-
вать, и как сильное, когда сдвиг велик и состояние квазичастица <Э фо-
нон должно быть фрагментировано по нескольким ядерным уровням.
Обсудим результаты, представленные в табл. 6.3. В 1S9· 16SHo, 167Er
наблюдаются 7-вибрационные состояния, построенные на протонном од-
ноквазичастичном состоянии 523t. Учет принципа Паули оказывает сла-
бое влияние на состояния с К" - 3/2", К7* = 11/2" и конфигурацией
523t® 221, такие вибрационные состояния должны существовать, что
согласуется с имеющимися экспериментальными данными. На состояние
4114- Θ 221 с К71 = 5/2+ учет принципа Паули оказывает небольшое влия-
ние. В 167Ег имеется состояние 633t ® 221 с К" = 3/2* и энергией
0,532 МэВ. Согласно расчетам в состоянии 633t ® 221 с Кп = 3/2* нару-
шение принципа Паули невелико. Первое состояние с Кп - 3/2+ имеет
структуру: 651t - 76%, 633t® 221 - 12%, 660t ® 221- 5%. Большая
часть силы конфигурации 633t® 221 сконцентрирована на следующем
уровне с К" = 3/2+. Состояние с К" = 3/2* и энергией 0,532 МэВ сильно
возбуждается в (d, ^')-Реакшш· В состоянии 5214- ® 221 с Кп = 3/2"
в I69Yb принцип Паули нарушен сильно, и оно должно быть фрагменти-
рованным по нескольким уровням. Согласно расчетам, в I69Yb имеется
состояние с энергией 0.660 МэВ и большой компонентой 5214. Матрич-
ный элемент < 5211 | Е2\ 5211 > велик, что может объяснить сильный
Е2-пере%од на состояние 521-4.
В 233Th на состояния 622t® 221 и 6334® 221 с Кп = 1/2+ принцип
Паули практически не влияет. В компоненте 6314 ® 221 с К" =3/2* прин-
цип Паули нарушен сильно, X 3 /2(6314. 221) = —0,66. Только неболь-
шая часть ее силы находится в районе 1 МэВ. На состояние 6334® 301 с
К71 = 5/2" в гъъ\] учет принципа Паули оказывает большое влияние, и
его центроид энергии лежит достаточно высоко.
В 235U первое состояние с К" - 7/2+ имеет структуру: 624t - 80%,
743t® 301 - 6%. Большая часть силы 743t® 301 сконцентрирована на
втором 7/2+-состоянии с К" - 7/2* и энергией выше 1 МэВ. Нарушение
принципа Паули в состоянии 743t ® 301 невелико. В состоянии
6314 ® 301 с Κπ = 1/2" оно несколько больше, и его центроид энергии
расположен выше 2 МэВ. Состояние с Кп = 1/2" и энергией 0,761 МэВ
в 235U возбуждается в реакциях ((/, р) и (с/, г); не имеется прямых
экспериментальных указаний на существование большой компоненты
6314®301. На состояния 7431 ® 221 с Кп = 3/2", 622Т ® 221 οΚπ = 1/2*
и 6334 ® 221 с К7* = 1/2* принцип Паули влияния не оказывает. Эти со-
стояния имеют энергии около 1 МэВ, и они должны существовать как
у-вибрационные состояния. На состояние 622t®221 сΚπ = 1/2* в 239U
принцип Паули влияния не оказывает, такое 7-вибрационное состояние
наблюдается экспериментально.
В табл. 6.3 продемонстрировано, что в нечетных деформированных
ядрах на многих одноквазичастичных уровнях должны существовать
вибрационные состояния. Однако в тех случаях, когда в конфигурации
265

квазичастица ® фонон принцип Паули нарушен сильно, соответствующие
вибрационные состояния не должны существовать. Представляет боль-
шой интерес дальнейшее экспериментальное исследование вибрационных
состояний в деформированных ядрах.
4. Рассмотрим фрагментацию одноквазичастичных состояний. Ис-
пользуя выражение (6.28"). таким же путем, как в сферических ядрах,
силовую функцию, описывающую фрагментацию одноквазичастичного
состояния, получим в виде
О) =
Q0
Im
> (η + \Δ/2)
40
1 6Qo fo + iA/2)
—^m —
n 6(n + iA/2)
(6.50)
При изучении фрагментации одноквазичастичных состояний роль прин-
ципа Паули в компонентах квазичастица ® фонон невелика и можно
пользоваться приближением (6.30).
Поскольку в деформированных ядрах·области фрагментации разных
одноквазичастичных состояний с одинаковыми значениями А пере-
крываются, при изучении фрагментации определенного состояния η0
следует учитывать несколько других одночастичных состояний q'0 с
такими же значениями Л"я. Пример сильного влияния подключения дру-
гих состояний на фрагментацию состояния 6114 с AT = 1/2+ в 239U дан
на рис. 6.2. В других случаях влияние такого подключения мало. При
изучении фрагментации одноквазичастичных состояний~в нечетных де-
формированных ядрах следует учитывать влияние ряда близлежащих
одночастичных состояний с тем же значением Κπ.
Рассмотрим, как изменяется фрагментация одночастичного состояния
в зависимости от положения уровня относительно уровня Ферми. Если
" £f31t ' ^62Pt l
f ^SH* ε,
COOt C8801
iJ,M3B
Рис. 6.2. Влияние на
фрагментацию состояния
<7о =6114 в 239U под-
ключения других состоя-
ний <?д с К* - 1/2+:
топкая кривая
фрагментация состояния
611-1- без учета влияния
других состояний; пунк-
тир-фрагментация со-
стояния 611 4 с учетом
влияния состояний 6314
и 620t; жирная кривая-
фрагментация состояния
6114 с учетом влияния
состояний 631 4. 620t,
6401, 6001 и 880t
266

Wij.MsB
Рис. 6.3. Фрагментация одноквазичастич-
ного протонного состояния с К^ = 3/2+,
4021 в 18SRe (точечная кривая), 165Но
(пунктир) и lssEu (сплошная кривая).
Квазичастичные энергии обозначены 63,
€г и €i соответственно
одночастичное состояние находится
вблизи уровня Ферми, то примерно
90% его силы сконцентрировано на
самом низком уровне с данным зна-
чением Кп, а 10% силы распределено
в широком энергетическом интер-
вале. Максимум распределения сдвинут на 0,5—1,5 МэВ в сторону низких
энергий относительно квазичастичной энергии е . По мере удаления од-
ночастичного состояния от уровня Ферми уменьшается сила, сконцент-
рированная на одном уровне, а само распределение уширяется [137].
Если энергия одночастичного состояния отстоит более чем на 2 МэВ от
энергии Ферми, то максимум распределения флюктуирует около е .
Пример изменения фрагментации протонного состояния 4021 с Κπ = 3/2+
от 18SRe к 16sHo и далее к "s sEu дан на рис. 6.3. Для 165Нои особенно
для* " 5 s Eu состояние 4021 является высоколежашим частичным состоя-
нием. В них оно фрагментировано в широком энергетическом интервале
и кроме большого максимума появились другие локальные максимумы.
Фрагментация сушественно зависит не только от положения, но также
от квантовых чисел одночастичных состояний и от коллективности низ-
ших вибрационных состояний данного ядра. Форма распределения
сильно отличается от брейт-вигнеровской. Как правило, кроме глав-
ного максимума имеется несколько небольших пиков. Высота этих пи-
ков определяется асимптотическими квантовыми числами одночастич-
ных состояний и их связью с вибрационными состояниями. Функция
распределения несимметрична относительно максимума из-за более мед-
ленного спада в сторону высоких энергий возбуждений. С ростом кван-
тового числа А" одночастичного состояния фрагментация, как правило,
уменьшается. Грубые оценки влияния на фрагментацию одноквазичас-
тичных состояний членов волновой функции квазичастица ® два фонона
показывают, что оно невелико и приводит к некоторому сглаживанию
наиболее высоких максимумов и глубоких минимумов.
5. В реакциях однонуклонных передач проявляется не фрагментация
одночастичного состояния, а фрагментация в деформированном ядре
определенной подоболочки пЦ сферического базиса. В § 6.1 продемон-
стрировано влияние стабильной квадрупольной деформации на фрагмен-
267

тацию сферических подоболочек. Теперь вычислим последующую фраг-
ментацию за счет взаимодействия квазичастиц с фононами.
Воспользуемся разложением одночастичной волновой функции ак-
сиально-симметричного потенциала Саксона—Вудса по волновым функ-
циям сферически-симметричного потенциала Саксона—Вудса в ви-
де (6.5). Тогда силовая функция, описывающая фрагментацию подобо-
лочки и//, которая входит в одноквазичастичное состояние q0 с К = К0,
имеет вид
Для вычисления фрагментации подоболочки nlj нужно просуммировать
по всем одноквазичастичным состояниям с данными значениями Ко0
и потом по всем значениям К0:
,5*?(ч) =Σ^4ν); (6.52)
Go
9оло
При вычислении спектроскопических силовых функций, которые срав-
ниваются с функциями, извлеченными из экспериментальных данных,
вместо S^9- ° (т?) используются для реакций типа (d, p)
и для реакций типа (d, t)
^°^'^0Ша%К\0У. (6-55)
где iiq, v„ — коэффициенты преобразования Боголюбова. Далее силовые
функции (6.54) и (6.55) подставляются в формулы (6.52) и (6.53)
и соответствующие функции обозначаются S^/Htj), Snif(v) и^я/; (ч)>
Рассмотрим фрагментацию нейтронных подоболочек Зр, ;2 и Зр3/2>
которые проявляются в (d, p)-реакциях на изотопах вольфрама. Фраг-
ментация силы Э1их подоболочек из-за стабильной деформации дана на
рис. 6.4. Большая часть силы нейтронной подоболочки Зрзп- скон-
центрирована на одночастичных состояниях 5011, 510t и 530t. Сила
подоболочки 3pj β сконцентрирована в основном на двух уровнях 5014·
и 5214. Наибольший вклад в нормировку состояний 770t и 7611 дает
подоболочка 1/ i s /2 > тем самым они дают очень малый вклад в сечение
268

0,8
o,e
ол
0,2
T701
0,8
ο,ε
os
o,z
no*
50M
5Г2
SWi
3p
S30t
stu
Vz
#Vi
YT
530 »
5VJ»
10
ε, МэВ
η,Μ3Β
Рис. 6.4. Распределение силы нейтронных подоболочек 3pj,2 и Зр3,2 по одно-
частичным состояниям в потенциале Саксона-Вудса с β2 = 0,24, β4 =—0,03:
стрелками указано положение подоболочек в сферическом базисе; пунктир-
уровень Ферми, соответствующий ядру l83W
Рис. 6.5. Фрагментация нейтронной подоболочки Зр1/2 в 183,185,187^, и спекТр0.
скопические силовые функции S3p ._ (7J) (пунктир) в этих ядрах
(d, p)-реакций с возбуждением низкоспиновых состояний. Как в слу-
чае подоболочек Зр1/2, Зр3/2, так и в случаях, рассчитанных в [280],
фрагментация подоболочек сферического оазиса из-за стабильной дефор-
мации оказалась существенной.
Силовые функции Sn//0?) и спектроскопические силовые функции
$ηΙ/ (ν) Для нейтронной подоболочки Зр1/2 в изотопах 183' 18S' 187W,
рассчитанные в [281] с учетом взаимодействия квазичастиц с фононами,
представлены на рис. 6.5. Функции S„[j (rj) практически совпадают со
спектроскопическими силовыми функциями {d, p)-реакции для состоя-
ний 501 -l· и 5011. Области локализации силы подоболочки Зрх/2 в трех
ядрах близки между собой и составляют 6—7 МэВ. Внутри этой области
распределение силы оказывается различных в разных изотопах. Если
269

в ' 5W и W почти 30% силы нодоболочки находится в области энер-
гии возбуждения меньше 2 МзВ, то в I83W в этой же области энергий ло-
кализуется только около 20% силы подоболочки. Область локализации
силы подоболочки Зр3/2 несколько больше, чем у подоболочки Ър112
и достигает 7—8 МэВ. Распределение силы внутри области локализации
в l83W достаточно равномерное, а в I8SW и ,87W сила в основном кон-
центрируется при малых энергиях возбуждения.
В результате вычисления фрагментации подоболочек Ърх,г и Зр3/2
удалось объяснить экспериментальные данные [282J по сечениям
(d,p)-реакции с возбуждением состояний 1/2" и 3/2" в ,83' 185· 187\\
без введения большой гексадекапольной деформации. Расчеты многих
нейтронных и протонных подоболочек в ряде изотопов редкоземель-
ных элементов и в ядрах из области актиноидов выполнены в [280, 281].
Эксперименты по изучению фрагментации одноквазичастичных состоя-
ний в деформированных ядрах проводятся в ряде лабораторий
[282, 283].
6. Рассмотрим, как меняется распределение силы подоболочки при
переходе от сферического ядра к деформированному. В сферическом
ядре вся сила подоболочки nlj сконцентрирована на одном одноквази-
частичном состоянии, распределение силы которого по спектру ядерных
возбуждений за счет взаимодействия с фононами описывается силовой
функцией СК (η) (5.28). В деформированном ядре из-за статической
деформации сила подоболочки распределена по большому числу одно-
квазичастичных состояний с разными К, и силовая функция подоболоч-
ки 5„/,-(tj) (6.53) получается в результате сложения силовых функций,
описывающих распределение силы этих одноквазичастичных состояний,
с весовыми множителями (я^.·)2 ·
Сравним теперь поведение силовых функций С$(л) и SnlAv) для
одних и тех же подоболочек. Силовые функции, описывающие фрагмен-
тацию нейтронной подоболочки 1#7/2 в 14sSm и lslSm, рассчитанные
в [280], изображены на рис. 6.6. Для ядра IS 'Sm помимо суммарной си-
ловой функции Snl/- (η) изображены отдельные слагаемые (^,j,)2C^< О?)·
в которые поцоболочка lg7/2 Дае1 основной вклад (это состояния 402-1,
4041, 4131, 4221, 4311). Одноквазичастичные состояния, несущие основ-
ную силу подоболочки lg-]/2, распределены в энергетическом интерва-
ле Δη ъ 9 МэВ, взаимодействие с фононами распределяет силу каждого
из них по интервалу энергий 4—5 МэВ. Распределение силы отдельных
квазичастичных состояний довольно сильно перекрываются, тем не ме-
нее область, в которой локализована подавляющая часть силы всей
подоболочки. заметно расширяется и достигает 13 МэВ. В 14SSm сила
подоболочки lg7/2 сконцентрирована в более узком интервале Δη =*>
*** 6 МэВ. Заметим, однако, что этот интервал шире, чем тот. в котором
270

2 Ι- 6 8 ГО 12 Т],Изй
0,6
О.*
J I—I—Ι Τ I
в
10
if,МэВ
Рис. 6.7. Силовые функция протонной
дырочной подоболочки 2рз/2 в
Рт и l4sPm. Обозначения те же,
что на рис. 6-8
Рис. 6.6. Силовые функции нейтронной подоболочки 1,?7/2 в Sm и Sm
(сплошные жирные линии):
тонкой сплошной, пунктирной, штрихпунктирной и точечной линиями показа-
ны силовые функции Cq (Tj) отдельных одноквазичастичных состояний, на кото-
рых сконцентрирована основная сила подоболочки 1#7/2· Умноженные на соответ-
ствующие факторы (а„[.) ■ Стрелками указано положение подоболочки в обоих
ядрах
распределяется сила одноквазичастичного состояния в деформирован-
ном ядре.
Для подоболочек с небольшими / и / размеры областей локализа-
ции силы в сферических и деформированных ядрах близки. Примером
может служить распределение силы протонной дырочной подоболочки
2р3/2 в lslPm и I4SPm (рис. 6.7). Расщепление подоболочки ф3/2
из-за деформации невелико, а взаимодействие с фононами увеличивает
размер области локализации силы подоболочки до 8 МэВ. Как следует
из рис. 6.7, практически в такой же области распределена сила под-
оболочки 2рз/2 в ,45Рш.
Обсуждавшиеся выше примеры относились к глубоколежащим ды-
рочным подоболочкам с энергиями 6—7 МэВ. Исследования подоболочек
271

деформированных ядер, расположенных близко к уровню Ферми (на-
пример, li"i3/2 ~~ в нейтронной системе и 1Л , 1/2 — в протонной), показа-
ли, что распределение их силы имеет ярко выраженный максимум при
небольших энергиях возбуждения из-за более слабой фрагментации од-
ноквазичастичных состояний с малой энергией возбуждения.
Механизмы фрагментации силы одночастичных подоболочек в сфе-
рических и деформированных ядрах различны. Как и в случае гигант-
ских резонансов, уже расщепление сферически-симметрично?· подобо-
лочки в деформированном среднем поле в основном определяет разме-
ры области, в которой будет сконцентрирована ее основная сила, и
взаимодействие с фононами в этом отношении играет меньшую роль,
чем в сферических ядрах. В сферических ядрах, как правило, выделяют-
ся относительно узкие области (2—3 МэВ), в которых сконцентрирована
большая часть силы поцоболочки. Собственно говоря, именно эти облас-
ти и наблюдаются в сечениях реакций однонуклонных передач в виде
резонансно-подобных структур. Отсутствие таких областей в деформи-
рованных ядрах, значительное перекрытие распределений силы для
подоболочек затрудняют выделение вклада отдельных подоболочек в
сечения реакций однонуклонных передач.
6.3. Структура неротационных состояний
четных деформированных ядер
1. Низколежащие состояния четно-четных деформированных ядер —
это коллективные вибрационные и двухквазичастичные состояния.
В каждом из них имеется ротационная полоса. Трактовка вращения и
его связи с внутренним движением в аксиально-симметричных ядрах
детально изложена в монографии [4]. Изучению связи ротационных по-
лос и высокопиковых состояний посвящено большое число работ, и
здесь этот вопрос рассматриваться не будет. В [284] успешно использо-
ваны модель принудительного вращения и метод ХФБ для изучения со-
стояний на ираст-линии. Эта модель с последующим применением ΓΙΧΦ
использована в [285] для описания квадрупольных и октупольных виб-
рационных состояний в ряде деформированных ядер. Далее изложение
ограничено неротационными состояниями, и описанные внутренние
волновые функции могут быть использованы в расчетах, учитывающих
связь разных ротационных полос.
Деформированные ядра содержат коллективные вибрационные квад-
рупольные, октупольные и в исключительных случаях гексадекапольные
состояния. Обычно они описываются в ПХФ. Остальные неро!ационные
низколежащие состояния в первом приближении можно трактовать
как двухквазичастичные. Таблицы, содержащие энергии, структуру и
значения В{Ек) для низколежащих неротационных состояний, приведе-
ны в [6, 165,253,254,286].
272

Расчеты β- и γ-вибрационных состояний в КФМЯ по формулам (6.33),
(6.44) незначительно улучшают описание по сравнению с ПХФ. Ангар-
монические поправки к ПХФ невелики и (R^ ~_ ^2 = 0,85 -г 0,95. Учет
принципа Паули ведет к небольшому увеличению энергии 7?! и умень-
шению ангармонических поправок по сравнению с расчетами, в ко-
торых он не учитывается.
Приведенные вероятности £ГХ-переходов из основных состояний чет-
но-четных ядер на возбужденные состояния, описываемые волновой
функцией (6.33), равны
В{Е\; О: ч -> ΡΚν) = < ΟΟλμ \ΙΚ >2 (ΣRv л{шУ, (6.56)
'О
где Μ w имеет вид (2.8 Г). Расчеты с эффективным зарядом 0,2, учетом
изовекторных сил и большого пространства двухквазичастичных состоя-
ний дают согласующиеся с экспериментом значения В(Е2) для воз-
буждения β- и γ-вибрационных состояний. Отсутствие значительного
превышения рассчитанных в КФМЯ вероятностей, В (Е2), которое имеет
место, например, в [287], связано с учетом эффекта блокировки для
первых нейтронных и протонных двухквазичастичных полюсов и ангар-
моничности, а также с использованием радиальной зависимости муль-
типольных сил в виде Л^(/·) = bV{r)lbr. Замена радиальной зависимо-
сти R\ (r) =г зависимостью на R\(r) = ЪУ{г)1Ъг приводит к некото-
рому уменьшению В{ЕК). Удовлетворительно описаны вероятности
В(ЕЗ) для возбуждения октупольных состояний, для которых во
многих ядрах необходим учет кориолисова взаимодействия.
При изучении структуры состояний важную роль играют электро-
магнитные переходы между возбужденными состояниями. Матричный
элемент для £Л-перехода между состояниями, описываемыми вол-
новыми функциями (6.33), имеет вид [261]
О*. (Κ'0π° ) Ш (Ελμ) Ψ (**ο) ) = Σ rv'rv ς s^ (g-ogo) +
ioi'o '° °T P
' l'o
x [i +*K*Wg)] * f50<gd + δΛρ««[1 + δ,ο0ο-
-V)]-,/2[t +
'4(§0ё)]\ \^Л^'^г^) *
х (1 + sglg3Y/2(i + *gigiVn\i * δ^οθ(1 - 6/ю)1-.« Χ
273
•8-6636

λ λ (6·57)
TOe S^{gig2) получается из SJf(gtg2) в виде (6.41) путем замены
2. Особого рассмотрения заслуживают гексадекапольные состояния
(табл. 6.4). В таблице приведены экспериментальные данные по энер-
гиям, двухквазичасгичным компонентам, сведения по которым по-
лучены из ядерных реакций и β-распада, и по коллективности состояний,
проявившейся в (d, d') - и (α, α') - реакциях. Гексадекапольные нерота-
ционные состояния с К = 3+, 4+ генерируются изоскалярными и изо-
векторными силами с λ = 4. Расчеты в КФМЯ выполнены по формулам
(6.33), (6.43)-(6.45) и (6.56). В табл. 6.4 приведены рассчитанные
энергии, вероятности переходов из основного состояния на состояния
с Fk = А*К, вклады (в %) в волновую функцию (6.33) однофононных
λμ/ и двухфононных { Xjp,/,, λ2μ2«2 } конфигураций, а также вклады
в фононы λμ/ наибольших двухквазичастичных нейтронных (гиг) и про-
тонных {рр) компонент.
Анализ экспериментальных данных и сравнение их с результатами
расчетов позволили выявить следующие закономерности поведения
гексадекапольных 3*- и 4*-состояний в области 158 < А < 188. В изо-
топах гадолиния и диспрозия имеются практически двухквазичастичные
4t-состояния с энергиями в интервале 1,1—1,9 МэВ. Согласно экспери-
ментальным данным [288] и другим, в >68· i™Er,168· l70· 172· ,74Yb
и ,74· 176, I78Hf имеются коллективные 3*-состояния. Согласно рас-
четам, В(Е4, 0\ -*■ 4+3i) = 0.8 -г 1,7 s. p. и. В тяжелых изотопах гафния
и вольфрама начинает увеличиваться коллективность 4^ -состояний.
Согласно [289], состояния 4Ι в изотопах осмия являются коллек-
тивными, а расчеты дают, по-видимому, завышенное значение
В-(ЕА; 0, -+4М0 * 24-4s.p.u.
Расчеты в КФМЯ с фиксированными значениями к^43^ и к^44^ (роль
изовекторных констант мала) дают качественно правильное описание
гексадекапольных состояний с А" = 3+, 4+. Результаты расчетов вос-
производят главные двухквазичастичные компоненты, извлеченные из
эксперимента, объясняют наблюдаемое в [288] экспериментально сме-
шивание нейтронных и протонных двухквазичастичных компонент в
состояниях с А'я = 3+ в изотопах иттербия. Для всех рассчитанных 4* - и
42-состояний двухфононные компоненты { 221, 221 } малы. В тех
ядрах, в которых не обнаружены экспериментально низколежащие со-
стояния с Кп = 3+, 4+, рассчитанные энергии низших двухквазичастичных
состояний с Ая = 3+, 4+, как правило, выше 2 МэВ.
Гексадекапольные силых λμ = 42 оказывают влияние на 2i-состояния.
Недавно в [290] показано, что экспериментальные данные по возбуж-
274

Таблица 6.4. Экспериментальные данные и результаты расчетов для низколежаиртх состояний с К = 3+, 4+
Эксперимент
Расчеты в КФМЯ [286]
Ядро А",
■П
Е. МэВ
Структура
£, МэВ
W4>s.p.uJ
1,2
[0,4]
1,7
[0,0Ц
2,2
[0,4]
1,7
[0,1]
2,0
ЮЛ]
1,7
10,2]
1,2
[0,6]
1,6
[1.61
1,3
[1,4]
Структура
441 95% { 221,221 } 3,3%
441:рр4134 + 41 it 85%
442 98%
442: пп 5234· + 52lt87%
44 Г 92%, 442 6%
441:рр4134 + 4llt 36%;
5234 + 521t 28%
441 98%, {221,221 } 0,6%
44t:w?52lt + 5234 85%
442 85%, {201,442 } 6%
442: w?642t + 65it 74%,;
5234 + 52lt8%
44198%
441: m 5234 + 5211 92%
431 99%
431: w?512t + 521494%
431 98%
431·: pp4044 - 411461%;
w?512t + 521413%
43199%
431:ro?512t + 521466%;
pp4044 - 4114 24%
1S8Gd 4+, 1,380 (MZ),pp41 it + 4134 велика
4+2 1,920 (d, p)-n«52lt + 5234 велика
ls,iDy 4* 1,895 Ig/r = 4.9, да 5211 + 5234 велика
i60Dy 4* 1,694 lg/f = 4,7, m 52it + 5234 велика
4j 2,096 lg/f = 5,8
,62Dy 4* 1,535 (rf,f), wi 5211 + 5234 велика
170[Cr 3* 1,217 0(d,d') для 4+3j велико
l68Yb 3* 1,452 a(d,rf') для 4+3i велико
(0,2л) ) ял 20%
у^-фактор ( рр 80%
l70Yb 3*i 1,470 0(d,d') для 4+3j велико

Продолжение табл.6.4
Эксперимент
Расчеты в КФМЯ [286]
Ядро К.
■π
V [■, MjB
Структура
Ε, МэВ
\B{FA) ]
1 s.p.u'
Структура
,72Yb Ъ\ 1.172 0(d,d') для4+31 велико
(</,(), (d,p).
(р,а),1 mSl2\ + 52Ц75%
μ ( WI5124· + 5214 74%
pp4044 - 4114 27%
Зг 1.663 (d,t), (d,p),
wi512t + 5214 заметна
(/Ml). /)/>4044 - 4114 26%
174Yb 3* 1.606 ОШ') Для 4+3i велико
I74H1' 3* 1,303 0(d.d' ) для 4+3i велико
,76Hf 3+i 1,578 ff(rf,d') для 4*31 велико
(4θ,«η5144 - 5214 велика
4+, 1,888 (rf,f) mi 5144 + 52 it велика
1R6Os 4+, 1.352 S (£4) велика в (ад )
1,3
Г 1.3]
431 99%
431: w?512t + 521468%;
ДО4044 - 4114 20%
4 32 100%
1.6
(0,4|
1,4
11.31
1,3
[1.0|
1,3
[1.2]
1.7
[0,01|
1,2
14.0|
432; рр4044 - 4114 52%;
wi512t + 5214 30%
431 99%
431: w?5144 - 521445%;
рр 4044 - 4114 39%
43199%
431: w?512t + 5214 75%
431 99%
431: ли5144 - 521472%;
/;/?4044 - 4114 12%
441100%
441: w»514i + 521499%
441 90%, { 201. 441 } 3% { 221, 221 } 1%
441:/ρ 4021 + 4024 56%;
«н 5144 + 510t 13%

пению в {ρ, ρ')-реакции состояния с ΙπΚ = 4+ 2 γ-вибрационной полосы
в 168Ег можно объяснить только в том случае, если ввести большие
гексадекапольные силы. Расчеты с одновременным учетом квадруполь-
ных с λμ = 22 и гексадекапольных с λμ = 42 сил выполнены в [286].
Однофононные энергии найдены при решении секулярного уравнения
четвертого порядка (2.75), амплитуды двухквазичастичных компонент
таких однофононных состояний содержат квадрупольную и гексадека-
польную частицы. При соответствующих значениях к^22', к^42) можно
получить большой вклад гексадекапольных сил в состояние с К* = 1\
и согласующиеся с экспериментом значения энергии и В(Е2). Результа-
ты вычислений с одновременным учетом квадрупольных и гексадека-
польных сил согласуются с экспериментальными данными [290], указы-
вающими на значительный вклад гексадекапольных сил в 2*-состояние.
3. Рассмотрим вопрос о двухфононных состояниях в деформирован-
ных ядрах. Согласно общепринятой трактовке (см. [4]), должны суще-
ствовать одно-, двух- и трехфононные состояния в четно-четных сфери-
ческих и деформированных ядрах. Исследование проведем с волновой
функцией (6.33). Для нахождения энергий η решим уравнения (6.43)
или (6.44). Сдвиг Aoj(gig2) двухфононного полюса определяется фор-
мулой (6.39), он соответствует учету диаграмм, приведенных на
рис. 4.6, в, г. Отсюда видно, что сдвиг Aaj{glg2) появляется только в
том случае, если принимается во внимание фермионная структура фоно-
нов. Расчеты [140, 165] для большого числа деформированных ядер
показали, что сдвиг двухфононного полюса для обоих коллективных
фононов равен 1—2 МэВ. В [165] показано, что такой же сдвиг имеет
место для соответствуюшего корня секулярного уравнения (6.44).
Для обоих слабоколлективных фононов сдвиги двухфононных полю-
сов Δω(^!^2) и соответствующих корней τ\ν невелики из-за больших
значений S^i входяших в (6.39). Энергии таких состояний близки к
сумме энергий составляюших их фононов.
В результате учета принципа Паули в двухфононных компонентах
волновой функции (6.33) энергии коллективных двухфононных состоя-
ний четно-четных деформированных ядер повысились на 1 -2 МэВ и ока-
зались в области энергии возбуждения 2,5-4 МэВ. При энергиях 3-4 МэВ
в деформированных ядрах двухфононные коллективные состояния
фрагментированы по многим уровням. На этом основании в [165] сде-
лан вывод о том, что в деформированных ядрах не должны существовать
коллективные двухфононные состояния. Этот вывод относится ко всем
Деформированным ядрам и не зависит от выбора параметров КФМЯ.
В расчетах с волновой функцией (6.33) нельзя описать фрагментацию
Двухфононных состояний. Для описания фрагментации двухфононных
состояний в волновую функцию (6.33) следует добавить трехфононные
члены. Поэтому заключения делаются о положении центроидов энергии
277

двухфононных состояний. Имеются основания утверждать, что введение
трехфононных членов в (6.33) не приведет к значительному увеличению
вклада двухфононных коллективных компонент в волновые функции
неротационных состояний с энергиями, меньшими 2 МэВ. Это обуслов-
лено также тем, что согласно [165] из-за точного учета принципа Паули
трехфононные полюсы смешены в сторону больших энергий.
Коренное противоречие в описании структуры неротационных состоя-
ний деформированных ядер между КФМЯ, с одной стороны, и МВБ,
моделью Бора—Моттельсона и ее микроскопическим аналогом, а также
другими феноменологическими моделями, с другой стороны, состоит
в вопросе о существовании низколежащих двухфононных коллективных
состояний. Можно утверждать, как это сделано в [291] и других рабо-
тах, что нет твердо установленных экспериментальных данных о двух-
фононных коллективных состояниях в деформированных ядрах.
Попытки объяснить их отсутствие предприняты в случаях для 168Ег
и для изотопов тория и урана. Согласно [124, 287, 292], отсутствие квад-
рупольных двухфононных состояний с энергиями менее 2 МэВ в 168Ег
обусловлено большой ангармоничностью γ-вибрационной моды из-за
формы ядра 168Ег в виде трехосного эллипсоида вращения с у0 Φ 0.
Однако расчеты [293] указывают на то, что, хотя 168Ег является мяг-
ким ядром относительно неаксиальной деформации, минимум энергии
достигается при γ0 = 0· Согласно новым экспериментальным данным
[294], состояние с f = 4+ и энергией 2,03 МэВ в '6 8 Ег, которому ранее
приписывали К = 4 и которое трактовалось как двухфононное. име-
ет К = 0 и не является двухфононным.
В четно-четных изотопах радия, тория и урана имеются низколежащие
состояния с Г* К = 1~0. Начиная с работы [295] они трактуются как
октупольные вибрационные состояния λμ/ = 301. Экспериментально не
обнаружены октупольные двухфононные О*-состояния типа { 301, 301 }
в изотопах тория и урана. Их отсутствие объясняется существованием
стабильной октупольной деформации, которая обнаружена в ядрах с
А < 228. Согласно расчетам [296], стабильная октупольная дефор-
мация может иметь место в изотопах радия и тория с,4<228. Поэтому
отсутствие двухфононных 0+-состояний типа { 301, 301 } в 228' 230Th
232, 234у и друГИХ Ядрах еще ждет своего объяснения в рамках модели
Бора—Моттельсона, МВБ и других феноменологических моделей.
Сдвиг двухфононных полюсов в деформированных ядрах изучен в
[297] методом бозонных разложений. Построены новые фононы, выра-
женные через операторы бозонов. Гамильтониан КФМЯ записан через
операторы новых фононов вплоть до членов четвертого порядка. Рас-
считан сдвиг двухфононного полюса. С точностью до главных членов он
совпадает со сдвигом, рассчитанным в [165]. Тем самым подтверждено
заключение об отсутствии коллективных двухфононных состояний в
четно-четных деформированных ядрах.
278

4. Сопоставим описание состояний с Кп = 0+, 2+ и 4+ в КФМЯ и МВБ
[298]. При описании низколежащих состояний четно-четных деформиро-
ванных ядер в КФМЯ волновая функция (6.33) берется в виде суммы
(пяти—десяти) однофононных членов и большого числа (102 —103)
двухфононных членов. Расчеты проводятся по формулам (6.37),
(6.43) — (6.45'). Согласно расчетам, в γ-вибрационное с Κν = 2\ и /3-виб-
рационное с К7^ = 0% состояния компоненты Χμ/ =221, 201 дают вклад
более 80%. Состояния с Κ"ν = 2\, 2\, 2\, Оз, 0J, 0^, 4\ и 4£ содержат
доминирующие компоненты λμ( = 222, 223, 224, 202, 203, 204,441,442.
В отдельных случаях имеет место смесь пар из компонент \ui =
= 222, 223, 224, или 202, 203, 204, или 441, 442. До энергий возбужде-
ния 2 МэВ примесь двухфононных коллективных компонент не превы-
шает 10%. Можно утверждать, что до энергии 2,0 МэВ волновые функции
неротационных состояний имеют одну доминирующую однофононную
компоненту (рис. 6.8).
При описании состояний с Кп = 0+, 2* и 4* в МВБ используются фор-
мулы (3.64) — (3.71). Ввиду того что ангармонические поправки в силь-
нодеформированных ядрах невелики, волновая функция (3.71) имеет
£,МЭВ
2,0-
i,s -
1,0 -
0,5 -
о _
мг
203 "р=2 W »=2
♦Ц»»Л
3 I
. к?*о*
λ.μν=201 ff =;
f.pi'221 пу-1
(г7г=г)+(пв=>)
K$*0t
Рис. 6.8. Схема возбуждении деформированных ядер. Состояния с К? = 2,, lX,
п+ п* 1+ 1+ л+ л+ π τ г г г ν х 2'-
из> 04, 12, 23, 4j, 42. Для каждого уровня дана доминирующая компонента: сле-
ва - согласно КФМЯ, справа - согласно МВБ
279

одну доминирующую компоненту. Доминирующие компоненты в МВБ
с определенными значениями квантовых числе пп, η и η для g-бозо-
нов даны на рис. 6.8.
Сопоставим описание β- и γ-вибрационных состояний в КФМЯ и
в МВБ. Поскольку однофононные компоненты λμ« = 201 и 221 доми-
нируют, КФМЯ не дает значительного улучшения в описании (£- и
2\ -состояний по сравнению с расчетами в ПХФ. Волновые функции
Or и 2i-состояний являются суперпозицией большого числа двухква-
зичастичных компонент, эти состояния могут возбуждаться в реакциях
однонуклонных передач. Для 2\ -состояний это компонента частица-
дырка. Правильность описания набольших компонент волновых функ-
ций 2\-состояний в ряде ядер подтверждена экспериментально. Отме-
тим, что при описании О2- и 2\ -состояний учитывается малая часть про-
странства двухквазичастичных состояний.
В МВБ в волновых функциях 0^- и 2\ -состояний доминируют одно-
бозонные компоненты с пп = 1 и пу = 1. В начале области деформирован-
ных ядер основные компоненты волновых функций этих состояний
имеют тип частица—частица, в конце области дырка—дырка [129].
Четно-четное ядро А + 2 отличается от ядра А увеличением N на едини-
цу. Все пространство двухквазичастичных состояний с к" = 2+, 0+ типа
частица—частица — это только то, которое содержится в однобозонных
состояниях си>=1и.Ия=1. Из-за ангармоничности часть силы состояний
с Ну = Г и Пп = 1 переместится в более высокие 2+- и 0+-состояния.
Утверждение о сравнительно сильном возбуждении, например, в реак-
циях тина (df, p) и (3Не, d) и слабом возбуждении в реакциях типа
(d, /) или (а, 3Не) относится не только к 2+, а также к 2\-, 23- и ^со-
стояниям. Эти реакции могут служить для проверки правильности описа-
ния в МВБ возбужденных состояний.
Сопоставим описание состояний с К^ = 0*3, 0J, 0s, 2\,.2%,T3u т.п.
В КФМЯ Оз-, О4-, 0s-состояния имеют большие (80—90%) однофононные
компоненты λμΙ = 202, 203, 204, а 2\-, 2*3-, 2%-состояния — большие одно-
фононные компоненты λμΙ = 222, 223, 224. Очень существенно, что при
описании этих состояний произошло расширение пространства двухква-
зичастичных состояний по сравнению с пространством, определяющим
фононы 201 и 221.
В МВБ доминирующими компонентами волновых функций являются
следующие: { Пу = 1, tin = \ } для 2\-состояний, Ну = 3 для 2*,-, Пу = 2 для
Оз- и ид = 2 для 04-состояний. Основная часть силы однобозонных состоя-
ний спу = \нпп = 1 сосредоточена в2*-и 0^-состояниях и только малый
остаток их силы приходится на 2\-, 2%-, 03- и 0*"-состояния. Это означает,
что доминирующими компонентами волновых функций 2\-, 23-, 05- и
0^-состояний служат двух- и трехбозонные, а вклад однобозонных и
тем самым двухквазичастичных компонент крайне мал. С позиции мик-
роскопического подхода в МВБ учитывается только та малая часть про-
280

странства двухквазичастичных состояний, которая входит в волновые
функции /3- и 7-вибрационных состояний.
Рассмотрим состояния с Κ"ν = 4^, А\. Согласно расчетам, в КФМЯ до-
минирующими компонентами волновых функций 4\- и 4£-состояний яв-
ляются однофононные компоненты Ajuz" =441, 442, вклад двухфононных
компонент {221, 221 } не превышает значения, лежащего в интерва-
ле 1—5%. В МВБ 4^-состояние трактуется как двухбозонное состояние
с Ну = 2.
При введении ^-бозона в МВБ [126, 299] в деформированных ядрах
появляются состояния с Κπ = 1+, 3+ и 4+, содержащие двухквазичастич-
ные компоненты, и расширяется пространство двухквазичастичных со-
стояний с Κπ = 0+, 2*. При введении ^-бозона в МВБ учитываются неко-
торые слабоколлективные состояния. Эти состояния мало чем отличают-
ся от других слабоколлективных состояний, которые не учитываются.
Введение ^-бозона так же, как введение s'- и d'-бозонов, противоречит
основной идее МВБ о выделении подпространства коллективных со-
стояний. При введении g-бозона 4!-состояние имеет большую двухбо-
зонную компоненту [126, 299]. Среди рассматриваемых О1"- и 2+-состоя-
ний еше остаются состояния с большими двухфононными конфигура-
циями. Ренормализация s-, d-бозонов с помощью g-бозона без явного
введения g-бозонных степеней свободы не ведет к расширению учитывае-
мого в sd МВБ пространства двухквазичастичных состояний и поэтому
не устраняет коренного различия этой модели и КФМЯ в описании 0\-,
ОХ-, ?2 -, 2з-, 4+i - и 4г-состояний.
Ответ на вопрос, какое из двух описаний неротационных состояний
деформированных ядер более корректно, могут дать экспериментальные
данные. Результаты расчетов в КФМЯ и экспериментальные данные по
энергиям и структурам состояний с Кп = 4+ даны в табл. 6.4, а состояний
с К = 0+, 2* — в табл. 6.5. Значения Β(Ελ) приведены в одночастичных
единицах. Анализ данных из этих таблиц выполнен в [298]. Здесь как
пример рассмотрим 168Ег, для которого имеются наиболее полные
экспериментальные данные [125, 294, 300—302] и многочисленные
расчеты [122, 124-127, 165, 253, 286, 287, 292, 298]. Результаты вычис-
лений в sd МВБ и sdg МВБ [126] противоречат экспериментальным дан-
ным по ОзЧ 0V, 2г-, 2з- и 2t» -состояниям. В новом варианте sdg МВБ
[299] дополнительно в гамильтониан введены четыре типа взаимодей-
ствий, каждый со своими параметрами. В результате снят ряд противо-
речий с экспериментальными данными, в том числе по возбуждениям
0*-состояний в (/, р) -реакции. Тем не менее в расчетах [299] одно из
двух состояний Оз или 0% (а также 2\ или 2з) является двухфононным,
что противоречит экспериментальным данным. Кроме того, в рамках
sdg МВБ [299] нет места для 2% -состояния, имеющего согласно [294]
большую двухквазичастичную компоненту рр 4111 + 4114-. Согласно
[299], 4|-состояние имеет двухфононный характер, а 4+-состояние с
большой однофононной гексадекапольной компонентой лежит при энер-
281

Таблица 6.5. Структура состояний с Κν = О3, О4, 22 и 2з
Ядро
К"
Эксперимент
Я, МэВ
.Структура
Расчеты в КФМЯ
£, МэВ
Структура
158
158
Gd
Dy
168
Ег
0+з
0+4
2+2
0+з
0*4
2%
1,452 #(£2) =0,36
1,743 (f,a),pp 4 lit- 41 it велика
1,852
1,422 a{t, ρ) |0%σ
1,834 au.p) ?4%σ
осн. сост
(г, a), pp41 \i - 4114 велика
1,848 a(t.p) 60%σ(2+)
2+з
4^
1,930
2,055
осн. полосы
-
β (£4) = 0,6
1.7 202 79%; 5 (£2) =0,4
202:m52U-521^48%
1,9 203 70%; В(£2) =0,006
203:pp4llt-4llt31%
2.4 222 86%; 223 2%;
{ 221,202 Ь%
222:n/;642t 660t 80%
В (£2) =0,05
1.5 202 75%; 203 6%;
{ 221,221 } 5%
202: nn 521 4· - 521 4- 54%
1.8 203 77%, 202 10%;
f 221,221 } 2%
203: pp41 Η-4114 28%
1,7
1,9
2,2
222 98% β (£2) =0,06
222: wiS12t-521190%
223 96%
441 94%; { 221,221 } 1%
5(£4) = 0,8

гии 3,8 МэВ. Во всех расчетах в sd МВБ и sdg МВБ 4i-состояние является
двухфононным. Для 168Ег в КФМЯ получено качественно правильное
описание экспериментальных данных. Важно, что нет ни одного явного
противоречия синими. Рассчитанные двухквазичастичные компоненты
волновых функций 05-, 0*з-, Olj-, 2\- и 2\-состояний согласуются с экспе-
риментальными данными по (/, с?)- и (t, α)-реакциям [294, 300]. Рас-
считанные изоскалярные вероятности В (ЕЛ) возбуждения А* 21 -состоя-
ния оказались меньше экспериментальных значений, полученных в
[301] из (а, а')-реакции, несмотря на то, что волновая функция 2\ -со-
стояния содержит большой вклад от гексадекапольиых компонент
λμ = 42.
Различные модели следует сравнивать для многих деформированных
ядер в редкоземельной области и области актиноидов, чтобы специфика
одного ядра не исказила общую картину. Так, противоречия sdg МВБ
с экспериментальными данными остаются при описании Л\ - и А\ -состоя-
ний в i56· 1S8Gd и160'164Dy и 3*-и 3j-состояний в 172'174Yb. Неуже-
ли выход — только во введении g'-бозона? Трудности sdg МВБ связаны
с описанием 2\ -состояний с большими значениями В (£"2), которые
имеются во многих ядрах.
Приведенные в табл. 6.5 экспериментальные данные по 0j, О4-, О5-,
2\-, 2V и 4*- состояниям свидетельствуют о наличии в их волновых
функциях больших однофононных или двухквазичастичных компонент,
которые качественно правильно описываются в КФМЯ и которых во
многих случаях нет в МВБ. Это противоречие между КФМЯ и МВБ обус-
ловлено основным недостатком МВБ — учетом малой части пространства
двухквазичастичных состояний. Он не может быть исправлен оптималь-
ным выбором параметров. Расширение пространства двухквазичастич-
ных состояний в МВБ проводится путем учета смеси конфигураций с
гамильтонианом (3.58) или введения s'-, d'- и g-бозонов, что связано с
ростом числа параметров.
Состояния с отрицательной четностью описываются в sd/МВБ и spdf
МВБ [303]. Ясно, что в рамках одной модели следует описывать коллек-
тивные состояния с положительной и отрицательной четностью в дефор-
мированных ядрах. Ввиду необходимости введения g-бозона такой мо-
делью может быть spdfg МВБ. Нет сомнения, что в ней удастся описать
энергии и вероятности В(Е\) для ротационных полос, построенных на
состояниях с однобозонной доминирующей компонентой. Однако в этой
модели должно существовать большое число состояний с доминирующей
двухбозонной компонентой. Поскольку в деформированных ядрах
экспериментально не обнаружены двухфононные или двухбозонные со-
стояния, не ясно, удастся ли в рамках spdfg МВБ избежать противоречия
с экспериментальными данными.
Связь одночастичного и коллективного движений и взаимодействие
квазичастиц с фононами оказались существенными практически для всех
284

неротационных возбужденных, кроме самых низких, состояний дефор-
мированных ядер. Выделение подпространства коллективных состояний
разрывает эту связь. Вследствие этого нельзя ожидать хорошего описа-
ния структуры состояний, лежащих выше /3-, γ-вибрационных и первых
октупольных состояний четно-четных ядер и неротационных состояний
нечетных и нечетно-нечетных ядер. В сильнодеформированных ядрах
(в отличие от переходных ядер) в состояниях с энергией 1,5—2,0 МэВ
многоквазичастичные или многобозонные компоненты волновых функ-
ций не играют определяющей роли. Следует иметь в виду и то обстоя-
тельство, что выделение пространства коллективных неротационных со-
стояний неоднозначно, так как в большинстве случаев нет четкой грани
между коллективными, менее коллективными и слабоколлективными
состояниями.
Для дальнейшего изучения структуры четно-четных деформированных
ядер необходимы эксперименты по измерению вклада двухквазичас-
тичных компонент в волновые функции ротационных полос, построен-
ных на состояниях с К^ = θ£. 0$, 0*, 2*2, Т3, 3^, Т2, 4\, 4*2 и других со-
стояниях, лежащих при энергиях 1,5—2,5 МэВ, а также по поиску двух-
фононных коллективных состояний.
5. Структура состояний деформированных ядер в области энергий
от 2 МэВ до энергии связи нейтрона Вп изучена слабо. Исключение со-
ставляют высокоспиновые состояния. При изучении свойств состояний
промежуточной энергии возбуждения важную роль играют электромаг-
нитные переходы. Силовую функцию γ-перехода из основного состоя-
ния в состояние, описываемое волновой функцией (6.33), следуя
[304} запишем в виде_
0 Л\ .
λμ/
•**/if ||0(Ч) ||
1
ft (λ; ν) = — Im
7Τ
(6.58)
θ (V)
Здесь θ (7?) — детерминант матрицы ||0(т?)||, представленный в виде
(6.44). Числителем в (6.58) является определитель окаймленной матри-
цы, ранг которой на единицу больше ранга матрицы ||0(т?)||. Для элект-
рических переходов функция Ж ^ . определена формулами (2.8Г),
для магнитных переходов.^ „. дана формулой (2.84').
Пример вычисления силовых функций ft(£"l, τ?) дан на рис. 6.9. Рас-
четы выполнены с полным и ограниченным числом однофононных со-
стояний. Ограничение числа однофононных состояний до 40 необходимо
для вычислений по формуле (6.58) с учетом взаимодействий квазичас-
тиц с фононами. Расчеты, в которых строго и приближенно учитывается
принцип Паули в двухфононных компонентах (6.33), дают близкие
значения силовых функций. Учет фрагментации однофононных состоя-
ний оказывает слабое влияние на радиационные силовые функции. По-
285

Рис. 6.9- Силовые функции Ь(Е1, 7J) для £1 -переходов из основного состояния
на состояния с / = 1" в ls8Gd:
а — переходы в состоянии с К — 0; б — переходы в состоянии с К = 1; в - пере-
ходы в состояния ci =0и^ = 1; пунктир - расчеты в ПХФ с учетом всех одно-
фонониых состояний; штрихпунктир - расчеты в ПХФ с ограниченным базисом;
жирная сплошная линия — расчеты с учетом взаимодействия квазичастиц и фоно-
нов с ограниченным базисом; тонкая сплошная линия - расчеты с ограниченным
базисом без учета принципа Паули в двухфононных компонентах волновой функ-
ции; Δ = 0,4 МэВ
этому вычисления радиационных силовых функций во многих четно-
четных деформированных ядрах можно проводить в ПХФ.
Из коллективных состояний, лежащих в интервале энергий возбужде-
ния 2—7 МэВ, наиболее четко проявляется низколежащий изоскалярный
октупольный резонанс. Пример результатов расчета силовых функций
Ъ{ЕЪ\ Op s -* 3~; т)), выполненного в ПХФ в [305], для переходов на
состояния 3~К с К = 0, 1, 2, 3 в 152Sm и 238 U приведен на рис. 6.10.06-
286

МэВ
Рис. 6.10. Силовые функции Ь(ЕЪ\ -η) для /ГЗ-переходов из основного состояния
на 3_-состояния (сплошная кривая) и для переходов на изоскалярные компонен-
ты 3~-состояний (пунктир) в ls4Smn 238U
ласть низколежашего октупольного резонанса выделена стрелками. Для
152Sm даны результаты для /ГЗ-переходов на изоскалярные компонен-
ты состояния, непосредственно связанные с сечениями (а, а')-реакций.
Из рисунка видно, что изоскалярный вклад превалирует. Существова-
ние низколежашего изоскалярного октупольного резонанса в дефор-
мированных ядрах подтверждено экспериментально [306].
287

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Большинство известных ядерных характеристик определяется поведе-
нием малоквазичастичных компонент волновых функций возбужденных
состояний. В монографии продемонстрировано, что возможно микро-
скопическое описание малонуклонных компонент волновых функций и
обусловленных ими ядерных характеристик при низких, промежуточ-
ных и высоких энергиях возбуждения на единой основе. Изложенный
здесь математический аппарат пригоден также для описания электриче-
ских и магнитных изоскалярных и изовекторных гигантских резонан-
сов, аналоговых состояний и зарядово-обменных резонансов. нейтрон-
ных силовых функций и парциальных вероятностей радиационных пере-
ходов с нейтронных резонансов. Включение нейтронных резонансов в
микроскопическое описание вместе с низколежащими состояниями и
гигантскими резонансами — это успех КФМЯ. Несомненно, при переходе
к изучению высоковозбужденных состояний происходит усложнение и
дальнейшее развитие математического аппарата.
Изучение фрагментации малоквазичастичных, т.е. одноквазичастич-
ных, двухквазичастичных и однофононных состояний — это первая сту-
пень изучения структуры атомного ядра. Следующая ступень — изучение
фрагментации трех- и четырехквазичастичных состояний или состояний
квазичастица ® фонон и квазичастица ® два фонона. Первые экспери-
менты [229, 230] по γ-распаду глубоких дырочных состояний и по рас-
паду гигантских резонансов [307—308] свидетельствуют о реальном пе-
реходе ко второй ступени. Многообещающими представляются экспери-
менты по изучению гигантских резонансов на возбужденных состояниях.
Имеется громадная и слабоизученная область теории ядра — много-
квазичастичные или многофононные конфигурации. Следует ожидать,
что в ее экспериментальном изучении большую роль сыграют реакции
многонуклонных передач на сферических и деформированных ядрах.
Необходим широкий фронт исследований по изучению закономерностей
фрагментации многоквазичастичных конфигураций, беэ знания которых
нельзя представить общую картину ядерной структуры.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Блатт .Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика: Пер. с англ. М.:
Изд-во иностр. лит., 1954.
2. Давыдов A.C. Теория атомного ядра. М.: Физматгиз, 1958.
3. Престон М. Физика ядра: Пер. с англ. М.: Мир, 1964.
4. Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра; Пер. с англ. М.: Мир, 1971.
Т. 1; 1977. Т. 2.
5. Браун Дж. Е. Единая теория ядерных моделей и сил: Пер. с англ. М.: Атомиз-
дат, 1970.
6. Соловьев В.Г. Теория сложных ядер. М.: Наука, 1971.
7. Айзенберг И., Грайнер В. Механизмы возбуждения ядер: Пер. с англ. М.:
Атомиздат, 1973; Модели ядер. Коллективные и одночастичные явления: Пер.
с англ. М.: Атомиздат, 1975; Микроскопическая теория ядра. Пер. с англ. М.:
Атомиздат. 1976.
8. Wildermuth К., Tang Y.C. A Unified Theory of the Nucleus. Braunschweig: Vieweg,
1977.
9. Ситенко А.Г., Тартаковский В.К. Лекции по теории ядра. M.: Атомиздат,
1972; Крайнов В.П. Лекции по микроскопической теории атомного ядра. М.:
Атомиздат, 1973.
10. De Shalit A., Feshbach H. Theoretical Nuclear Physics. N.Y.: Lond.; Sydney;
Toronto: John Wiley and Sons. Inc., 1974. Vol. 1.
11. Ring P., Schuck P. The Nuclear Many Body Problem. N.Y.: Springer, 1980.
12. Соловьев В.Г. Теория атомного ядра: Ядерные модели. М.: Энергоиздат,
1981.
13. Symbols, Units and Nomenclature in Physica-Documents U.l.P. 20 (1978)//
International Union of Pure and Applied Physics S.U.N. Commission. (Пер.: Успехи физ.
наук. 1979. T. 129. С. 290-335.)
14. Кондон Е., Шортли Г. Теория атомных спектров: Пер. с англ. М.: Изд-во
иностр. лит., 1949; Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая
теория углового момента. М.: Наука, 1975.
15. Baldin A.M. //Progr. Part, and Nucl. Phys. 1980. Vol. 4. p. 95-132. Буров В.В.,
Лукьянов В.К., Титов А.И. //Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1984.
Т. 15. С. 1249-1295.
16. Ргос. 10th Intern. Conf. on Particles and Nuclei. Amsterdam: North. Holland
Publ. Сотр., 1985; Тр. VII междунар. семинара по физике высоких энергий: Д1,
2-84-599/ОИЯИ. Дубна, 1984.
17. Боголюбов H.H. Лекции по квантовой статистике. Киев: Советская шко-
ла, 1949.
18. Bardeen J., Cooper L., Schrieffer J.// Phys. Rev. 1957. Vol. 108. P. 1175-1206;
Боголюбов H.H. //Журн. эксперим. и теорет. физ. 1958. Т. 36. С. 58-65, 73-79;
Боголюбов H.H., Толмачев В.В., Ширков Д.В. Новый метод в теории сверхпрово-
димости. М.: Изд-во АН СССР, 1958.
19. Ландау Л.Д. //Журн. эксперим. и теорет. физ. 1958. Т. 35. С. 97-103.
289
19-6636

20. Ванагас В. Алгебраические методы б теории ядра. Вильнюс: Минтае, 1971;
Филиппов Г.Ф., Овчаренко В.И., Смирнов Ю.Ф. Микроскопическая теория коллек-
тивных возбуждений атомных ядер. Киев: Наукова думка, 1981.
21. Боголюбов H.H. //Докл. АН СССР. 1958. Т. 119. С. 52-55.
22. Боголюбов H.H., Соловьев В.Г. //Там же. 1959. Т. 124. С. 1011-1014
23. Kerman A.K., Klein A. //Phys. Rev. 1963. Vol. 132. P. 1326-1342; Klein A..
KermanA.K. //Phys. Rev. B. 1965. Vol. 138. P. 1323-1332.
24. Klein A-, Celenza L., Kerman A. // Phys. Rev. B. 1965. Vol. 140. P. 245-263;
Dreizier R.M., Klein A., Chi-Chiang Wu, Do Dang G.// Phys. Rev. 1967. Vol. 156
P. 1167-1172.
25. Беляев СТ., Зелевинский В.Г.// Ядерная физика. 1972. Т. 16. С. 1 195 1208:
1973. Т. 17. С. 525-539.
26. Боголюбов H.H.// Успехи физ. наук. 1959. Т. 67. С. 549 580.
27. Тябликов СВ.// Докл. АН СССР. 1959. Т. 121. С. 250-252; Научные докла-
ды высшей школы. 1958. № 3. С- 183 191.
28. Соловьев В.Г. Влияние парных корреляций сверхпроводящего типа на
свойства атомных ядер. М.: Госатомиздат, 1963.
29. Боголюбов H.H. Препринт ОИЯИ Р-511. Дубна. I960; Избранные груды.-
Киев: Наукова думка, 1971. Т. 3. С. НО.
30. Belyaev S.T./Mat.-fys. medd. Kgl. danske vid. selskab. 1959. Vol. 31. N 11.
31. Соловьев В.Г.// Журн. эксперим. и теорет. физ. 1958. Т. 35. С. 823-825:
Докл. АН СССР. 1958. Т. 123. С. 652-654; Nucl. Phys. 1958/59. Vol. 9. P. 655-664.
32. Соловьев Е.Г.// Журн. эксперим. и теорет. физ. 1959. Т. 36. С. 1869-1874:
Докл. АН СССР. 1960. Т. 133. С. 325-328.
33. Лейн А. Теория ядра. М.: Атомиздат. 1967.
34. Соловьев В.Г.// Журн. эксперим. и теорет. физ. 1961. Т. 40. С. 654 - ь65.
35. Соловьев В.Г.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1961. Т. 25. С. 1198-1216: Solo-
viev V.G.// Mat.-fys. skr. danskc vid. selskab. 1961. Vol. 1, N 11.
36. Wahlborn S.// Nucl. Phys. 1962. Vol. 37. P. 554-584.
37. Nilsson S.G., Prior O.// Mat.-fys.medd. Kpl.danske vid. selskab. 1961. Vol. П.
N 16.
38. Волков М.К., Павлиновский А-, Рыбарска В., Соловьев В.Г. //Изв. АН СССР
Сер. физ. 1963. Т. 27. С 878-890.
39. Mikhailov I.N.// Acta phys. polon. 1963. Vol. 23. P. 745-750.
40. Mang HJ., Poggenburg J.K., Rasmussen I.O.// Nucl. Phvs. 1965. Vol. 64.
P. 353-378.
41. Кузьменко Н.К., Михайлов В.М.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1973. 1. 37.
С. 1911-1919; 1980. Т. 44. С. 942-948.
42. Брауи Дж., Джексон А.Д. Нуклон-нуклонные взаимодействия: Пер с англ.
М.: Атомиздат, 1979; Haidenbauer J., Koike V., Plessas W.// Phys. Rev. С 1986.
Vol. 33. P. 439-446.
43. Vauterin D_ Brink D.M.// Phys. Rev. С 1973. Vol. 5. P. 626-647, Beiner M.,
Flocard H., Nguyen van Giai, Quentin P.// Nucl. Phys. A. 1975. Vol. 238. P. 29 69.
44. Барц Б.И., Болотин Ю.Л., Инопин E.B. и др. Мсгод Харгри Фока в геории
ядра. Киев: Наукова Думка. 1982.
45. Немировский П.Э., Чепуриов В.А.// Ядерная физика. 1966. Т. 3.
С. 998-1010; Чепуриов В.А.// Там же. 1967. Т. 6. С. 955 960.
46. Gareev F.A., Ivanova S.P., Kalinkin B.N. // Ada phys. polon. 1967. Vol. 32.
P. 461-489.
47.PashkevichV.V.// Nucl. Phys. A. 1971. Vol. 169. P. 275-293.
48. Dudek J., Majhofer A., Skalski J.e.a// J. Phys. G: Nucl. Phys. 1979. Vol. 5.
P. 1359-1381.
49. Belyaev S.T.// Nucl. Phys. 1965. Vol. 64. P. 17-29; Collective I \citation.s in
Nuclei. N.Y.: Gordon and Breach, 1968.
290

50. Dobaczewski J., Skalski J.//Nucl. Phys. A. 1981. Vol. 369. P. 123-140.
51. Baranger M., Veneroni M.// Ann. Phys. 1978. Vol. 1 14. P. 123-200.
52. Goeke K., Reinhard P.G.// Ibid. Vol. 1 12. P. 444-471; Goeke K., drummer F.,
Reinhard P.G.// Ibid. 1983. Vol. 150. P. 504-55 1.
53. Мэдлер П.// Физика алиментарных частиц и аюмпого ядра. 1984. Т. 15.
С. 418-482.
54. Джолос Р.В.. Соловьев В.Г.// Физика элементарных частиц и аюмпого ядра.
1971. Т. 1.Г. 365-390.
55. Мигдал А.Б. Теория конечных ферми-систсм и свойства атомных ядер
2-е изд. М.: Наука, 1983.
56. Мигдал А.Б. Метод квазичастиц в теории ядра. М.: Наука. 1%7.
57. Крайиов В.П.// Ядерная физика. 1966. Т. 3. С. 804 81 2.
58. Werner Е.//Z. Phys. 1966. Bd 191. S. 381-394.
59. Birbrair B.L.// Nucl. Phys. A. 1968. Vol. 108. P. 449-462; 1973. Vol. 212.
P. 27-44.
60. Liu K.F., Brown CE.// Ibid. 1976. Vol. 265. P. 385-415; Камерджиев СП.//
Ядерная физика. 1972. T. 15. Г. 676-689.
61. Soloviev V.G.// Nucl. Phys. 1965. Vol. 69. P. 1-36.
62. Kisslinger L.S., Sorensen R.A. //Rev. Mod. Phys. 1963. Vol. 35. P. 853-915;
Mat.-fys.mcdd. danske vid. sclskab. 1960. Vol. 32, N 9.
63.BësD.R., Sorensen R.A.// Advances Nucl. Phys. 1969. Vol. 2. P. 129-222.
64. Rowe DJ.// Phys. Rev. 1967. Vol. 162. P. 866-87 1.
65. Малов Л.А., Нестеренко В.О., Соловьев В.Г.// Теорет. мат. физ. 1977. Т. 32.
С. 134-144.
66. Соловьев В.Г.// Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1978. Т. 9.
С. 580-622. Soloviev V.G.// Nuclconica. 1978. Vol. 23. P. 1149-1178; Progr. Particle
and Nucl. Phys. 1987. Vol. 19. P. 107-165.
67. Малов Л.А., Соловьев В.Г.// Физика элементарных частиц и атомного ядра.
1980. Т. U.C. 301-341.
68. Соловьев В.Г.// Теорет. мат. физ. 1982. Т. 53. С. 399-405.
69. Soloviev V.G.// Atomic lincrgy Review. 1965. Vol. 3, N 2. P I 17-193.
70. Фогель П.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1966. Т. 30. С. 1095 II00.
71. Гареев Ф.А., Иванова СП., Соловьев В.Г., Федотов СИ.// Физика элементар-
ных частиц и атомного ядра. 1973. Т. 4. С. 357 455.
72. Tamura Т., Udagava Т.// Ргоцг. Thcor. Phys. 1961. Vol. 25. P. 1051-1082;
Vol. 26. P. 947-966; Yoshida S.// Nucl. Phys. 1962. Vol. 38. P. 380-419.
73. Бирбраир Б.Л., Ерохина К.И., ЛемСерг И.Х.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1963.
Т. 27. С. 150-171.
74. Вдовин А.И., Соловьев В.Г.// Физика элементарных частиц и атомного ядра.
1983. Т. 14. С. 237 285.
75. Воронов В.В., Соловьев В.Г.// Там же. 1983. Т. 14. С. 1 380- 1442.
76. Poiiomarev V. Yu., Soloviev V.G., Stoyanov Ch., Vdovin A.l.// Nucl. Phys. A.,
1979. Vol. 323. P. 446 460; Вдовий А.И.. Стояиов Ч., Юдин И.П.// Изв. АН СССР.
Сер. физ. 1978 Т. 42. С. 2004-2009
77. Вдовин А.И., Пономарев В.Ю., Шилов В.М.// Ядерная физика. 1981. Т. 34.
С. 1009 1019.
78. Bortignon P.F., Broglia R.A., Bes D.R., Liotta R.// Phys. Repts С 1977.
Vol. 30. P. 306-360.
79 Вдовий А.И.. Дамбасурен Д., Соловьев В.Г., Стоянов Ч.// Изв. АН СССР.
Сер. физ. 1976. Г. 40. С. 2183 2188, Дамбасурен Д.// Там же. 1977. Т. 41.
С. 1281-1286.
80. Соловьев В.Г., Стоянова О., Стояиов Ч.// Там же. 1980. Т. 44. С. 1938-1946;
Нестереико В.О., Соловьев В.Г., Халкин A.B./ Ядерная физика. 1980. Т. 32.
С. 1209- 1217.
291

81. Ken-ji Нага// Progr. Theor. Phys. 1964. Vol. 32. P. 88-105; Ikeda K., Udaga-
wa T., Yamamura H.// Ibid. 1965. Vol. 33. P. 22-37.
82. Rowe DJ.// Phys. Rev. 1968. Vol. 175. P. 1283-1292; Johnson R.E., Dreiz-
lei R.M., Klein A.// Phys. Rev. 1969. Vol. 186. P. 1289-1292.
83. Hemandes E.S., Piastino A.// Phys. Lett. B. 1972. Vol. 39. P. 163-165; Z. Phys
A. 1974. Bd 268. S. 377-346; 1975. Bd 273. S. 253-258.
84. Навроцка-Рыбарска В., Стоянова О., Стоянов Ч.// Ядерная физика. 1981
Т. 33. С. 1494-1503.
85. Нгуея Динь Даиг, Соловьев В.Г. Сообщение ОИЯИ Р4-84-325. Дубна, 1983.
86. Bainum D.E., Rapapori J., Goodman G.D. e.a.// Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 44.
P. 1751-1754; Виноградов A.A., Глухов Ю.А., Духанов В.И. и др.// Письма в ЖЭТФ.
1981. Т. 33. С. 233-236, Hören DJ., Goodman CD., Bainum D.E. e.a.// Phys. Lett.
B. 1981. Vol. 99. P. 383-386.
87. Gaarde С, Rapaport J., Taddeucci T.N. e.a.// Nucl. Phys. A. 1981. Vol. 369.
P. 258-280; Gaarde С.Ц Proc. Intern. School on Nuclear Structure/ Ld. by V.G. So-
loviev, Yu. P. Popov/D4-85-851.Dubna: JINR, 1985. P. 104-123.
88. Соловьев В.Г., Сушков A.B., Ширикова Н.Ю.// Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 38.
C. 151-153; Soloviev V.G., Sushkov A.V., Shirikova N.Yu.// Z. Phys. A. 1984.
Bd 316. S. 65-74.
89. Кузьмин В.А., Соловьев В.Г.// Ядерная физика. 1982. Т. 35. С. 620-627;
Kuzmin V.A., Soloviev V.G.// J. Phys. G: Nucl. Phys. 1984. Vol. 10. P. 1507-1522;
1985. Vol. 11. P. 603-612.
90. Grotz K., Klapdor H.V., Metzinger J.// Phys. Lett. B. 1983. Vol. 132. P. 22-26;
Klapdor av., Grotz K.// Ibid. 19.84. Vol. 142. P. 323-328; Vogel P., Fisher P.// Phys.
Rev. С 1985. Vol. 32. P. 1362-1368; Vogel P., Zirnbauer M.R.I I Phvs. Rev. Lett.
1986. Vol. 57. P. 3148-3151. Civitarese O.e.a. //Pliys. Lett. B. 1987. Vol. 194. P. 11-14.
91. Давыдов A.C. Возбужденные состояния атомных ядер. M.: Атомиздат,
1967.
92. Беляев СТ., Зелевинский В.Г.// Журн. эксперим. и георет. физ. 1962. Т. 42.
С 1590-1603; Belyaev S.T., Zelevinsky V.G.// Nucl. Phys. 1962. Vol. 39. P. 582-604.
93. Marumori T., Yamamura M., Tokunaga A.// Progr. Theor. Phys. 1964. Vol. 31.
P. 1009-1025.
94. Janssen D., Donau F., Frauendorf S.e.a.// Nucl. Phys. A. 1971. Vol. 172.
P. 145 — 165; Джолос Р.В., Рыбарска В.// Физика элемепгарных чаоин и атомного
ядра. 1972. Т. 3. С. 739-769.
95. Marshalek E.R., Weneser J.// Phys. Rev. С. 1970. Vol. 2. P. 1682-1714; Marslia-
lek E.R.// Nucl. Phys. A. 1971. Vol. 161. P. 401 409.
96. Dyson F.II Phys. Rev. 1956. Vol. 102. P. 1217-1230, 1230-1244.
97. Holzwarth G., Janssen D„ Jolos R.V.// Nucl. Phys. A. 1976. Vol. 261. P. 1-12.
98. Iwasaki S., Sakata F., Takada К.// Progr. Theor. Phys. 1977. Vol. 57.
P. 1289-1302; Tamura T., Kishimoto T.// Progr. Theor. Phys. Suppi. 1983. Vol. 74.
P. 282-295.
99. Pedrochi V.G., Tamura T.// Phys. Rev. C. 1983. Vol. 28. P. 410-427; 1984.
Vol. 29. P. 1461-1474; Tamura T., Li CT., Pedroichi V.G.// Ibid. 1985. Vol. 32.
P. 2129-2140.
100. Maglione E., Vitturi A.//Nucl. Phys. A. 1984. Vol. 430. 1>. 158-174; Faessler A.,
Morrison I.// Ibid. Vol. 423. P. 320-332.
101. Janssen D., Jolos R.V., Douau F.// Ibid. Vol. 224. P. 93-115; Джолос Р.В.,
Яиссеи Д.// Физика элементарных частиц и аюмного ядра. 1У77. Т. 8. С. 330 373.
102. Holstein Т., PrimakoffH.//Phys. Rev. 1940. Vol. 58. P. 1098-1107.
103. Arima A., lachello F.// Phys. Rev. Lett. 1975. Vol. 35. P. 1069-1072; 1978.
Vol. 40. P. 385-387; Phys. Lett. B. 1975. Vol. 57. P. 39 43; Ann. Phvs. 1976.
Vol.99. P. 253-317.
292

104. Kiriyama A., Marumori T., Matsuyanagi K.// Progr. Theor. Phys. 1971. Vol. 45.
p. 784-809; Suzuki T., Matskyanagi K.// Ibid. 1976. Vol. 56. P. 1156-1173.
105. Bes D.R., Broglia R.A.// Nucl. Phys. 1966. Vol. 80. P. 289-304; Bohr A.//
Nucleai Structure Dubna Symp. 1968. Vienna: IAEA, 1968. P. 179-189.
106. Soloviev V.G.// Phys. Lett. 1962. Vol. 1. P. 202-205.
107. Blaizot J.P., Marshalek E.R.// Nucl. Phys. A. 1978. Vol. 309. P. 422-452;
Kyrchev G.// Ibid. 1980. Vol. 349. P. 416-432.
108. Sakai M.// Atomic Data and Nuclear Data Tables. 1984. Vol. 31. P. 399-432.
109. Зелевинский В.Г.// Тр. междунар. школы по структуре ядра/ Под
ред. В.Г. Соловьева и Ю.П. Попова. Д4-85-851. Дубна: ОИЯИ, 1985. С. 173-196.
ПО. Interacting Bosons in Nuclear Physics/ Ed. by F. Iachello N.Y.: Plenum, 1979.
111. Interacting Bose-Fermi Systems in Nuclei/ Ëd. by F. Iachello. N.Y.: Plenum,
1981.
112. Джолос Р.В., Пемберг И.Х., Михайлов В.М.// Физика элементарных частиц
и атомного ядра. 1985. Т. 16. С. 280-348. Головков H.A., Джелепов B.C., Ива-
нов Р.Б., Михайлова М.А.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1985. Т. 50. С. 2-8.
113. Arima A., Otsuka Т., Iachello F., Talmi I.// Phys. Lett. B. 1977. Vol. 66.
P. 205-208; 1978. Vol. 76. P. 139-143.
114. Elliott J.P.// Repts Progr. Phys. 1985. Vol. 48. P. 171-221; Dieperink A.E.//
Nucl. Phys. A. 1984. Vol. 421. P. 189c-204c; Proc. Intern. Nucl. Phys. Conf./ Ed. by
J. Durell, J. Irvine, G. Morrison. Bristol, Inst. Phys. Conf. Scr. N 86. 1987. Vol. 2.
P. 139-153.
115. Duval P.D., Barrett B.R.// Phys. Lett. B. 1981. Vol. 100. P. 223-227; Nucl.
Phys. A. 1982. Vol. 376. P. 213-228; van Isacker P., Pittel S.. Frank A., Duval P.D.//
Ibid. 1986. Vol. 451. P. 201-218.
116. Sambataro M., Molnar G.// Nucl. Phys. A. 1982. Vol. 376. P. 201-212;
Sambataro M.// Ibid. Vol. 380. P. 365-382.
117. Otsuka T., Arima A., Iachello F.// Ibid. 1978. Vol. 309. P. 1-33.
118. Gambhir Y.K., Ring P., Schuck P.// Phys. Rev. С 1982. Vol. 25. P. 2858-2861;
Pittel S., Duval P.D., Barrett B.R.// Ibid. P. 2834-2836; Ann. Phys. (N.Y.). 1982.
Vol. 144. P. 168-199; Barret B.R.,// Proc. Intern. School on Nuclear Structure/ Ed.
by V.G. Soloviev, Yu. P. Popov. D4-85-891. Dubna: JINR, 1985. P. 153-172; Samba-
taro M., Schaaser H., Brink D.M.// Phys. Lett. B. 1986. Vol. 167. P. 145-149.
119. Bohle D., Richter A., Steffen W.e.a.// Phys. Lett. B. 1984. Vol. 137. P. 27-31.
120. Hamilton W.D., Irbäck A., Elliott J.P.// Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53.
P. 2469-2472; Otsuka T., Ginocchio J.N.// Ibid. 1985. Vol. 54. P. 777-780.
121. Harter H., von Brentano P., Gelberg A., Casten R.F.// Phys. Rev. С. 1985.
Vol. 32. P. 631-633.
122. Warner D.D., Casten R.F., Davidson W.F.// Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 45.
P. 1761-1765; Phys. Rev. С 1981. Vol. 24. P. 1713-1733; Warner D.D.. Casten R.F.//
Ibid. 1982. Vol. 25. P. 2019-2028; Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48. P. 666-669.
123. Casten R.F., Aprahamian A.// Phys. Rev. С 1984. Vol. 29. P. 1919-1921;
Casten R.F., von Brentano P., Haque A.M.// Ibid..1985. Vol. 31. P. 1991-1994;
Zhang M., Vallieres M.. Gilmore R.e.a.// Ibid. 1985. Vol. 32. P.-1076-1079; Casten R.F.,
Frank W., von Brentano P.// Nucl. Phys. A. 1985. Vol. 444. P. 133-153.
124. Bohr A., Mottelson B.R.// Phys. Scripta. 1980. Vol. 22. P. 468-474; 1982.
Vol. 25. P. 28-36.
125. Davidson W.F., Warner D.D., Casten R.F. e.a.// J. Phys. G: Nucl. Phys. 1981.
Vol. 7. P. 455-528; Burke D.G., Davidson W.F., Cizewski J.A. e.a.// Canad. J. Phys.
1985. Vol. 63. P. 1309-1319.
126. Wu Hua-Chuan, Zhou Xiao-Qian// Nucl. Phys. A. 1984. Vol. 417. P. 67-76.
127. Arima A.// Nuclear Structure 1985/ Ed. by R. Broglia, G.B. Hagemann, B. Hers-
kind. Amsterdam: Elsevier Sei. Publ. B.V. Сотр., 1985. P. 147-159.
293

128. Lipas P.O., Helimaki K.// Phys. Lett. B. 1985. Vol. 165. P. 244-246; Zimmer-
man M., Dobes J.// Ibid. Vol. 156. P. 7-10; Schölten О., Heyde К., van Isacker// Phys.
Rev. Lett. 1985. Vol. 55. P. 1866-1869; Dobes J.// Proc. Intern. School on Nuclear
Structure/ Ed. by V.G. Soloviev, Yu. P. Popov. D4-85-851. Dubna: JINR. 1985 .
P. 197-207.
129. Faessler A.// Nucl. Phys. A. 1983. Vol. 396. P. 291c-305c.
130. Brant S., Paar V., Vretenar D.// Z. Phys. A. 1984. Bd 319. S. 355-356.
131. Soloviev V.G.// Phys. Lett. 1965. Vol. 16. P. 308-311: 1966. Vol. 21.
P. 320-322.
132. Soloviev V.G.// Nuclear Structure Dubna Symp. 1968. Vienna: IAEA, 1968.
P. 101-118; Соловьев В.Г.// Тр. междунар. школы по структуре ядра/ Д-6465.
Дубна: ОИЯИ, 1972. С. 77-123.
133. Соловьев В.Г.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1971. Т. 35. С. 666-677; 1977.
Т. 38. С. 1580-1587; Теорет. мат. физ. 1973. Т. 17. С. 90-102.
134. Soloviev V.G., Malov L.A.// Nucl. Phys. A. 1972. Vol. 196. P. 433-451; Ма-
лое Л.А., Соловьев В.Г.// Ядерная физика. 1975. Т. 21. С. 502-509; Теорет. мат.
физ. 1975. Т. 25. С. 265-269.
135. Soloviev V.G.// Neutron Capture Gamma-Ray Spectroscopy. Petten: Reactor
Centrum Nederland, 1975. P. 99—117; Соловьев В.Г.// Избранные вопросы структу-
ры ядра/ Д-9920. Дубна: ОИЯИ, 1976. С. 146-175.
136. Вдовин А.И., Соловьев В.Г.// Теорет. мат. физ. 1973. Т. 17. С. 90-102;
Кырчов Г., Соловьев В.Г.// Там же. 1975. Т. 22. С. 244-252.
137. Malov L.A., Soloviev V.G.// Nucl. Phys. A. 1976. Vol. 270. P. 87-107; Ма-
лое Л.А., Соловьев В.Г.// Ядерная физика. 1977. T. 26. С. 729-739.
138. Soloviev V.G., Stoyanov Ch., Vdovin A.I.// Nucl. Phys. A. 1977. Vol. 288.
P. 376-396.
139. Соловьев В.Г.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1978. Т. 42. С. 1991-2003.
140. Джолос Р.В., Молина Х.Л., Соловьев В.Г.// Теорет. мат. физ. 1979. Т. 40.
С. 245-250; Z. Phys. А. 1980. Bd 295. S. 147-152.
141. Соловьев В.Г.// Фундаментальные проблемы теоретической и математи-
ческой физики/ Д-12831. Дубна: ОИЯИ, 1979. С. 424-438; Тр. междунар. школы
по структуре ядра/ Д4-80-385. Дубна: ОИЯИ, 1980. С. 57-88.
142. Soloviev V.G., Stoyanov Ch., Vdovin A.I.// Nucl. Phys. A. 1980. Vol. 342.
P. 261-282.
143. Chan Zuy Khuong, Soloviev V.G., Voronov V.V.// J. Phys. G: Nucl. Phys. 1981.
Vol. 7. P. 151-163; Воронов В.В., Чан Зуй Кхыоиг// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1981.
Т. 45. С. 1909-1915.
144. Воронов В.В., Соловьев В.Г.// Теорет. мат. физ. 1983. Т. 57. С. 75-84;
Соловьев В.Г.// Там же. 1983. Т. 57. С. 438-447.
145. Вдовин А.И., Воронов В.В., Дао Тиен Кхоа// Там же. 1985. Т. 64.
С. 259-268; Stoyanov Ch., Vdovin A.I., Voronov V.V.// Proc. Intern. School on Nuclear
Structure/ Ed. by V.G. Soloviev, Yu. P. Popov. D4-85-851. Dubna: JINR. 1985.
P. 27-50.
146. Соловьев В.Г.// Тр. междунар. школы по структуре ядра/ Под ред. В.Г. Со-
ловьева, Ю.П. Попова. Д4-85-851. Дубна: ОИЯИ, 1985. С. 8-26.
147. Вдовин А.И., Воронов В.В., Соловьев В.Г., Стоянов Ч.//Физика элементар-
ных частиц и атомного ядра. 1985. Т. 16. С. 245—279.
148. Tabakin F.// Ann. Phys. 1964. Vol. 30. P. 51-94; Шмидт Э., Цигельмаи X.
Проблема трех тел в квантовой механике: Пер. с англ. М.: Наука, 1979.
149. Knüpfer W., Huber M.G.// Phys. Rev. С. 1976. Vol. 14. P. 2254-2268.
150. Speth J., Klemt V., Wambach J., Brown G.E.// Nucl. Phys. A. 1980. Vol. 343.
P. 382-416; Nakayama K., Krewald S., Speth J., Love W.G.// Ibid. 1984. Vol. 431.
P. 419-460.
294

151. Dehesa J.S., Krewald S., Lallen A., Donnelly ТА.Ц Ibid. 1985. Vol. 436.
P. 573-592.
152. Bes D., Broglia R.A., Dussel G.G. e.a.// Ibid. 1976. Vol. 260. P. 77-94.
153. Вдовин А.И., Ворнов В.В., Малов Л.А. и др.// Физика элементарных частиц
и атомного ядра. 1976. Т. 7. С. 952-988.
154. Peterson D.F., Veje С J.I I Phys. Lett. В. 1967. Vol. 24. P. 444-453.
155. Bes D.R., Broglia R., Nillson B.S.// Phys. Repts C. 1975. Vol. 16. P. 1-56.
156. Castel В., Hamamoto I.// Phys. Lett. B. 1976. Vol. 65. P. 27-31.
157. Малов Л.А. Сообщение ОИЯИ Р4-81-228. Дубна, 1981.
158. Беллмаи Р. Введение в теорию матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1976.
159. Кулиев A.A., Саламов Д.И.// Изв. АН АзССР. Сер. физ.-тех. мат. 1984. № 2.
С. 60-69.
160. Soloviev V.G., Stoyanov Ch., Voronov V.V.// Nucl. Phys. A. 1983. Vol. 399.
P. 141-162.
161. Stoyanov Ch., Vdovin A.I.// Phys. Lett. B. 1983. Vol. 130. P. 134-138.
162. Вдовин А.И., Нгуен Динь Тхао, Соловьев В.Г., Стояиов Ч.// Ядерная физи-
ка. 1983. Т. 37. С. 43-51.
163. Dambasuren D., Soloviev V.G., Stoyanov Ch., Vdovin A.I.// J. Phys. G: Nucl.
Phys. 1976. Vol. 2. P. 25-31.
164. Стоянов Ч.// Теорет. мат. физ. 1979. T. 40. С. 422-428.
165. Soloviev V.G., Shiiikova N.Yu.// Z. Phys. A. 1981. Bd 301. S. 263-269; Со-
ловьев В.Г., Ширикова Н.Ю./ Ядерная физика. 1982. T. 36. С. 1376-1386.
166. Bortignon P.F., Broglia R.A.// Nucl. Phys. A. 1981. Vol. 371. P. 405-429.
167. Bertsch G.F., Bortignon P.F., Broglia R.A.// Rev. Mod. Phys. 1983. Vol. 55.
P. 287-314.
168. Воронов В.В., Нгуеи Динь Даиг, Пономарев В.Ю. и др.// Ядерная физика.
1984. Т. 40. С. 683-689.
169. Соловьев В.Г.// Там же. 1984. Т. 40. С. 1163-1170.
170. Воронов В.В., Кырчев Г.// Теорет. мат. физ. 1986. Т. 69. С. 236-244.
171. Suzuki T., Fuyuki M., Matsuyangi К.// Progr. Theor. Phys. 1979. Vol. 61.
P. 1082-1092.
172. Schmid K.W., Griimmer F.. Faessler A.// Phys. Rev. С 1984. Vol. 29.
P. 291-323; Faessler A.// Proc. Intern. School on Nuclear Structure/ Ed. by
V.G. Soloviev, Yu. P. Popov. D4-85-851. Dubna: J1NR, 1985. P. 208-219.
173. Воронов В.В., Дао Тхиеи Кхоа// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1984. Т. 48.
С. 2008-2015.
174. Kleinheinz P., Broda R., Daly PJ. e.a.// Z. Phys. A. 1979. Bd 290. S. 279-296;
Nagai Y., Styczen J.. Piiparinen M.e.a.// Phys. Rev. Lett. 1981. Vol. 47. P. 1259-1262.
175. Артамонов CA., Исаков В.И., Оглобин С.Г. и др.// Ядерная физика. 1984.
Т. 39. С. 328-340; Артамонов С.А.// Там же. 1985. Т. 42. С. 91-98.
176. Sommermann Н.М., Ratcliff K.F., Kuo T.T.S.// Nucl. Phys. А. 1983. Vol. 406.
P. 109-133.
177. Нгуен Дкнь Тхао, Стоянов Ч.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1982. Т. 46.
С. 2157-2162.
178. Poschenrieder P., Weigel М.К.// Phys. Rev. С. 1984. Vol. 29. P. 2355-2357;
Dukelsky J., Dussel G.G., Sofia H.M.// Phys. Rev. С. 1983. Vol. 27. P. 2954-2967.
179. Abbas A., Auerbach N., Nguyen van Giai, Zamikck L.// Nucl. Phys. A. 1981.
Vol. 367. P. 189-196.
180. Вдовин А.И., Соловьев В.Г., Стояиов Ч.// Ядерная физика. 1974. Т. 20.
С. 1131-1138; Вдовин А.И., Стояиов Ч.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1974. Т. 38.
С. 2598-2603, 2604-2609; 1975. Т. 39. С. 1618-1623.
181. Takada К., Tazaki S.// Progr. Theor. Phys. 1979. Vol. 61. P. 1666-1681; We-
nes G., van Isacker P., Waroguier M.e.a.// Phys. Lett. В. 1981. Vol. 98. P. 398-404.
295

182. Соловьев В.Г., Стоянов Ч., Николаева Р.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1983
Т. 47. С. 2082-2088; Николаева Р.// Там же. 1985. Т. 49. С. 2192-2194.
183. Metzger F.R.// Phys. Rev. С. 1976. Vol. 14. P. 543-547; 1978. Vol 18
P, 2138-2144; Swann C.P.// Ibid. 1977. Vol. 15. P. 1967-1971.
184. Soloviev V.G., Stoyanov Ch-, Voronov V.V.// Nucl. Phys. A. 1978. Vol. 304
P. 503-519.
185. Воронов В.В., Дао Тиен Кхоа, Пономарев В.Ю.// Изв. АН СССР. Сер. физ.
1984. Т. 48. С. 1846-1851.
186. Kantele J., Julin R., Luontama M.e.a.// Z. Phys. A. 1979. Bd 289. S. 157-161;
Bäcklin A., Jonsson N.G., Julin R.e.a.// Nucl. Phys. A. 1981. Vol. 351. P. 490-508.
187. Wenes G., van Isacker P.e.a.// Phys. Rev. C. 1981. Vol. 23. P. 2291-2304; Wien-
ke H., Blök H.P., Blok J.I/ Nucl. Phys. A. 1983. Vol. 405. P. 237-251.
188. Heyde K., van Isacker P., Moreau J., Waroguier M.// Ptoc. Intern. Symp. In-beam
Nuclear Spectroscopy/ Ed. by Z.S. Dombradi, T. Fenyes. Budapest: Akademiai Kiado,
1984. Vol. 1. P. 151-162; Faessler A., Nojarov R.// Phys. Lett. B. 1986. Vol. 166.
P. 367-371.
189. Bijker R., Dieperink A.E., Schölten О., Spanhoff R.// Nucl. Phys. A. 1980.
Vol. 344. P. 207-232.
190. Casten R.F., Warner D.D., Brenner O.S., Gill R.L.// Phys. Rev. Lett. 1981.
Vol. 47. P. 1433-1436.
191. Cill R.E., Casten R.F., Warner D.D. e.a.// Phys. Lett. В. 1982. Vol. 118.
P. 251-255; Wolf A., Bernât Z., Warner D.D. e.a.// Ibid. 1983. Vol. 123. P. 165-168.
192. Belyaev S.T., Rumiantsev B.A.// Ibid. 1969. Vol. 30. P. 444-447; Телицыи В.Б.,
Стоянов Ч., Вдовин А.И.// Ядерная физика. 1976. Т .24. С. 31-39.
193. Miura К., Hiratate Y., Shoji T.e.a.// Nucl. Phys. A. 1985. Vol. 436. P. 221-235;
Mordechai S., Fortune H.T., Carchidi M., Gilman R.// Phys. Rev. С 1984. Vol. 29.
P. 1599-1702.
194. Дамбасурен Д., Вдовин А.И., Стоянов Ч. Сообщение ОИЯИ Р4-8778. Дуб-
на, 1975.
195. Воинова-Елисеева H.A., Митропольский И.А.// Физика элементарных частиц
и атомного ядра. 1986. Т. 17. С. 1173-1230; Изв. АН СССР. Сер. физ. 1986. Т. 50.
С. 14-25.
196. Takada К., Tazaki S.// Nucl. Phys. A. 1983. Vol. 395. P. 165-181; Makishima A.,
Ishii M., Ohahima M.e.a.// Ibid. 1984. Vol. 425. P. l-ll;Passola A., Julin R., Kame-
le J.e.a.// Ibid. 1985. Vol. 441. P. 261-270.
197. Aprahamian A., Вгеппет D.S., Casten R.F. e.a.// Phys. Lett. В. 1984. Vol. 140.
P. 22-28; Heyde К., van Isacker P., Casten R.F., Wood J.L.// Phys. Lett. В. 1985.
Vol. 155. P. 303-308.
198. Hamamoto I.// Problems of Vibrational Nuclei/ Ed. by G. Alaga, V. Paar, L. Sips.
Amsterdam; Oxford: North-Holland Publ. Сотр., 1974. P. 54-74.
199. Paar V.// Ibid. P. 15-53.
200. Митрошин В.Е.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1974. Т. 38. С. 2074-2076;
Звонов B.C., Митрошин В.Е.// Там же. 1978. Т. 42. С. 2-37.
201. Крыгин Г.Б., Митрошин В.Е.// Физика элементарных частиц и атомного
ядра. 1985. Т. 16. С. 927-965.
202. Аликов Б.А., Муминов K.M., Назмитдинов Р.Г., Чай Зуй Кхыоиг// Изв.
АН СССР. Сер. физ. 1981. Т. 45. С. 2111-2115; Budzynski M., Lebedev N.A., Lizu-
rej H.I. e.a.// Nukleonika. 1984. Vol. 29. P. 71-85.
203. Дерюга В.А., Крацикова Т.Н., Фингер М. и др.// Изв. АН СССР. Сер. физ.
1982. Т. 46. С. 860-866, 867-873.
204. Vdovin A.I., Stoyanov Ch., Andrejtacheff W.// Nucl. Phys. A. 1985. Vol. 440.
P. 437-444; Вдовин А.И., Родригес O.O., Андрейчев В., Стоянов 4jl Изв. АН СССР-
Сер. физ. 1985. Т. 49. С 2173-2179.
296

205. Левой А.И., Федоткин С.Н., Чан Зуй Кхыонг.// Ядерная физика. 1983.
Т. 38. С. 577-583; Горбачев Б.И., Левой А.И., Немец О.Ф. и др.//Журн. эксперим.
и теорет. физ. 1984. Т. 87. С. 3-13; Левой А.И., Федоткии С.Н., Вдовий А.И.//
Ядерная физика. 1986. Т. 43. С. 1416-1425.
206. Вдовий А.И., Воронов В.В., Пономарев В.Ю., Стоянов Ч.// Ядерная физи-
ка. 1979. Т. 30. С. 923-932.
207. Zuker A.P.// Ргос. Intern. Conf. Nuclear Structure and Spectroscopy/ Ed. by
H.B. Blök, A.E.L. Dieperink. Amsterdam: Scholar's Press., 1974. P. 115-126.
208. Soloviev V.G.// Nuclear Structure Study with Neutrons/ ed. Erö, Sziics. Buda-
pest: Akadimiai Kiado., 1974. P. 85-99; Соловьев В.Г.// Физика элементарных частиц
и атомного ядра. 1972. Т. 3. С. 770-831.
209. Власов H.A., Калинин СП., Оглобин A.A., Чуев В.И.// Журн. эксперим. и
теорет. физ. 1960. Т. 39. С. 1615-1617.
210. Sakai M., Kubo K.I.// Nucl. Phys. A. 1972. Vol. 185. P. 217-228; Ishimatsy T.,
Hayahibe S-, Kawamura N.e.a.// Ibid. 1972. Vol. 185. P. 273-283.
211. Siemssen R.H.// Selected Topics in Nuclear Structure/ D-9920. Dubna: J1NR,
1976. Vol. 2. P. 106-125.
212. Crawley CM.// Proc. Intern. Symp. on Highly Excited States in Nuclear Reac-
tions/ Ed. H. Ikegami, M. Muraoka. Osaka: Osaka Univ., 1980. P. 590-611.
213. Gales S.// Nucl. Phys. A. 1981. Vol. 354. P. 193 с - 234 с; Intern. Symp.
HESANS-83. Orsay, France, 1984. P. C4-39-C4-55.
214. Mongey J.// Nucl. Phys. A. 1983. Vol. 396. P. 39c-59c.
215. Van der Werf S.Y., Harakeh M.N., Put L.W. e.a.// Phys. Rev. Lett. 1974. Vol. 33.
P. 712-715; Nucl. Phys. A. 1977. Vol. 289. P. 141-164; Schölten О., Haraken M.N.,
van der Flieht J.e.a.// Ibid. 1980. Vol. 348. P. 301-320.
216. Gerlic E., Langevin-Joliet H., Van de Wielle, Suhamel G.// Phys. Lett. B. 1975.
Vol. 57. P. 338-340; Berrier-Ronsin G., Duhamel G., Gerlic E.e.a.// Ibid. 1977. Vol. 67.
P. 16-18; Gales S., Hourani E., Fortier S.e.a.// Nucl. Phys. A. 1977. Vol. 288.
P. 221-241.
217. Gales S., Crawley G.M., Weber D., Zwieglinski B.// Nucl. Phys. A. 1983. Vol. 398.
P. 19-58.
218. Langevin-Joliot H., Bertie E., GuiUot J., Van de Wiele J.// J. Phys. G: Nucl. Phys.
1984. Vol. 10. P. 1435-1447; Вагнер Г., Вдовий А.И., Грабмаир П. и др.// Ядерная
физика. 1984. Т. 40. С. 1396-1403; Gales S., Massolo СР., Fortier S.e.a.// Phys. Rev.
С. 1985. Vol. 31. P. 94-110.
219. Gales S.// Proc. Intern. School on Nuclear Structure/ Ed. by V.G. Soloviev,
Yu. P. Popov. D4-85-851. Dubna: JINR, 1985. P. 51-82.
220. Stuirbrink A., Wagner G.J., Knöpfte K.T. e.a.// Z. Phys. A. 1980. Bd 297.
S. 307-309; Crawley G.M., Kasagi J., Gales S. e.a.// Phys. Rev. С 1981. Vol. 23.
P. 1818-1821: Perrin C, Duhamel С, Perrin Ce.a.// Nucl. Phys. A. 1981. Vol. 356.
P. 61-73.
221. Gales S., Gerlic E., Duhamel G.e.a.// Nucl. Phys. A. 1982. Vol. 381. P. 40-60;
Gerlic E., Berrier-Rosin C, Duhamel G. e.a.// Phys. Rev. С 1980. Vol. 21. P. 124-L46.
222. Soloviev V.G.// Intern. Symp. HESANS-83, Orsay, France, 1984.
P. C4-69-C4-83; Соловьев В.Г.// Электромагнитные взаимодействия ядер при ма-
лых и средних энергиях. М.: Изд-во АН СССР, 1982. С. 164-172.
223. Вдовин А.И., Стоянов Ч., Чан Зуй Кхыонг// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1979.
Т. 43. С. 999-1005; Стоянов Ч.// Там же. 1981. Т. 45. С. 1820-1826.
224. Nguyen Dinh Thao, Soloviev V.G., Stoyanov Ch., Vdovin A.I.// J. Phys. G:
Nucl. Phys. 1984. Vol. 10. P. 517-523; Вдовин А.И., Стоянов Ч.// Ядерная физика.
1985. Т. 41. С. 1134-1140.
225. Koeling Т., Iachello F.// Nucl. Phys. A. 1978. Vol. 295. P. 45-60; Doll P.// Ibid.
1977. Vol. 292. P. 165-172.
297

226. Van Giai N.// Proc. Intern. Symp. on Highly Excited States/ Ed. H. Ikegami,
M. Muraoka. Osaka: Osaka Univ., 1980. P. 682-693.
227. Klevansky S.P., Lemmer R.H.// Phys. Rev. С 1982. Vol. 25. P. 3137-3145;
1983. Vol. 28. P. 1763-1778; Матвеев Б.Б., Муравьев С.Е., Тулупов Б.А., Урин М.Г.//
Изв. АН СССР. Сер. физ. 1984. Т. 48. С. 2051-2053.
228. Antonov A.N., Nukolaev V.A.. Petkov l.Zh.// Z. Phys. A. 1982. Bd 304.
S. 239-243.
229. Azaiez F., Foitiei S., Gales S.e.a.// Nucl. Phys. A., 1985. Vol. 444. P. 373-401.
230. Sakai H., Bhowmik R.K., van Dijk K.e.a.// Ibid. Vol. 441. P. 640-675.
231. Doll P., Wagner G.J., Breuer H.e.a.// Phys. Lett B. 1979. Vol. 82. P. 357-360.
232. Gales S., Massolo C.P., Azaiez F.e.a.// Ibid. 1984. Vol. 144. P. 323-327.
233. GalesS.,Stoyanov Ch., Vdovin АЛ.//Phys. Repts.1988. Vol. 166. P. 125-193.
234. Harakeh M.N., van Heyst В., van der Borg К., van der Woude A.// Nucl. Phys.
A. 1979. Vol. 327. P. 373-396; Fnjita Y.. Fujiwara M., Morinobu S.e.a.// Phys. Rev.
С 1985. Vol. 32. P. 425-430.
235. Bartholomew G.A., Earle E.D., Ferguson A.J. e.a.// Advances Nucl. Phys. 1973.
Vol. 7. P. 229-324.
236. Bell Z.W., Cardmen L.S., Axel P.// Phys. Rev. С 1982. Vol. 25. P. 791-803;
Starr R.D., Axel P., Cardman L.S.// Ibid. P. 780-790: Laszewski R.M., Axel P.// Ibid.
1979. Vol. 19. P. 342- 554.
237. Беляев С.Н., Козин А.Б., Нечкин A.A. и др.// Ядерная физика. 1985. Т. 42.
С. 1050-1058.
238. Schumacher M., Zurmù'hl U., Smend F., Nolte R.// Nucl. Phys. A. 1985.
Vol. 438. P. 499-502.
239. Crawley G.M.// Inst. Phys. Conf. Ser. N 49. 1980. Vol. 1. P. 127-150; Craw-
ley G.M., Beneson W., Bertsch G.e.a.// Phys. Rev. С. 1981. Vol. 23. P. 589-596;
Crawley СМ., Beneson W., Bertsch G. e.a.// Phys. Lett. B. 1982. Vol. 109. P. 8-10.
240. Gerlic E., Gufflot J., Langevin-Joliot H.e.a.// Phys. Lett. B. 1982. Vol. 117.
P. 20-24; Langevin-Joliot H., Gerlic E., Guillot J.e.a.// Ibid. Vol. 114. P. 103-106.
241. Nakagawa T., Tohei T., Kanozawa M.e.a.// Nucl. Phys. A. 1982. Vol. 376.
P. 513-532.
242. Soloviev V.G.. Stoyanova O., Voronov V.V.// Ibid. 1981. Vol. 370. P. 13-29.
243. Voronov V.V.// J. Phys. G: Nucl. Phys. 1983. Vol. 9. 1'. 1273-1277; Воро-
нов B.B., Журавлев И.П.// Ядерная физика. 1983. T. 38. С. 52-58.
244. Ipson S.S., McLean K.C., Booth W.e.a.// Nucl. Phys. A. 1975. Vol. 253.
P. 189-215.
245. Borello-Lewin T., Castro RM., Horodynski-Matsushjgue L.B. e.a.// Phys. Rev.
С 1979. Vol. 20. P. 2101-2113.
246. Guillot J., van de VViele, Langevin-Joliot Re.a.// Phys. Rev. C. 1980. Vol. 21.
P. 879-895.
247. Willis J.E., Glagg T.B., Kaitchuk M.D.// Nucl. Phys. A. Vol. 362. P. 8-17.
248. Lanford W.A., Crawley G.M.// Phys. Rev. С 1974. Vol. 9. P. 646-659.
249. McGrory J.B., Kuo T.T.S.// Nucl. Phys. A. 1975. Vol. 247. P. 283-316:
Vary J., Ginocchio J.N.// Ibid. 1971. Vol. 166. P. 479-514.
250. Nadjakov Е.Ц Nuclear Structure at High Spin. Sofia: Publ. House of the Bulga-
rian Acad, of Sei., 1982.
251. Бриансои Ш., Михайлов И.Н./ Физика элементарных частиц и атомного яд-
ра. 1982. Т. 13. С. 245-299.
252. De Voigt, Dudek J., Szymanski Z.// Rev. Mod. Phys. 1983. Vol. 55.
P. 949-1046.
253. Григорьев Е.П., Соловьев В.Г.// Структура четных деформированных ядер.
М.: Наука, 1974.
254. Иванова СП., Комов А.Л., Малов Л.А., Соловьев В.Г.// Физика элементар-
ных частиц и атомного ядра. 1976. Т. 7. С .450-498.
298

255. Малов Л.А., Яковлев Д.Г.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1985. Т. 49.
С 2150-2154.
256. Струтинский В.М.// Ядерная физика. 1966. Т. 3. С- 614-624.
257. Soloviev V.G., Nesterenko V.O., Bastrukov S.I.// Z. Phys. A. 1983. Bd 309
S. 353-361.
258. Бирбраир Б.Л.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1963. Т. 27. С. 1329-1337.
259. Soloviev V.G.// Progr. Nucl. Phys. 1968. Vol. 10. P. 239-271.
260. Chasman R.R., Ahmad I.. Friedman A.M., Erskine J.F.// Rev. Mod. Phys. 1977.
Vol. 49. P. 833-891.
261. Нестеренко В.О., Соловьев В.Г., Сушков A.B. Сообщение ОИЯИ Р4-86-115.
Дубна. 1986.
262. Винтер Г., Зодан Х-, Каун К.Г. и др.// Физика элементарных частиц и атом-
ного ядра. 1973. Т. 4. С. 895-940.
263. Rekstad J., Engeland T., Osnes E.// Nucl. Phys. A. 1979. Vol. 330. P. 367-380;
Henrjguez A., Engeland T., Rekstad J.//Ibid. 1983. Vol. 410. P. 1-13.
264. Джелепов Б.С.// Свойства деформированных ядер/ Под ред. А.И. Муми-
нова. Ташкент: ФАН, 1983. С. 3- 111.
265. Soloviev V.G., Vogel P.// Nucl. Phys. A. 1967. Vol. 92. P. 449-474; Со-
ловьев В.Г., Фогель П., Юнгклауссеи Г.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1967. Т. 31.
С 518-531; Соловьев В.Г., Файнер У.М.// Там же. 1972. Т. 36. С. 698-705; Со-
ловьев В.Г.. Федотов СИ.// Там же. С. 706-717.
266. GareevF.A., Ivanova S.P., Malov L.A., Soloviev V.G.// Nucl. Phys. A. 1971.
Vol. 171. P. 134-164; Иванова СП., Комов А.Л., Малов Л.А., Соловьев В.Г.// Изв.
АН СССР. Сер. физ. 1973. Т. 37. С. 911-921; 1975. Т. 39. С. 1612-1617.
267. Bunker М.Е., Reich C.W.// Rev. Mod. Phys. 1971. Vol. 43. P. 348-423; Ogle W.,
Wahlborn S., Piepenbring R., Fredriksson S.// Ibid. P. 424-478.
268. Hoff R.W., Lougheed R.W., Barreau G.e.a.// Inst. Phys. Conf. Scr. N 62. 1982.
P. 250-262; Hoff R.W., Davidson W.F., Warner D.D. e.a.// Phys. Rev. С 1982. Vol. 25.
P. 2232-2254; von Egidy T.// IV Школа по нейтронной физике/ ДЗ.4-82-704. Дубна:
ОИЯИ, 1982. С. 181-205.
269. Nuclear Data Sheets. Produced by the National Nuclear Center/ Ed. by M.J. Mar-
tin, N.Y.; Lond: Academic Press, Inc., 1986-1987.
270. Б азиат M.И., Пятов Н.И., Черней М.И.//Физика элементарных частициатом-.
нот ядра. 1973. Т. 4. С. 941 991; Бегжаиов Р.Б., Дамииов Э.Т., Чориев Б.// Изв.
АН УзССР. Сер. физ.-мат. 1981. N1 3. С. 70-75.
271. Kvasil J., Mikhailov I.N., Safarov R.Ch., Choriev B.// Czechosl. J. Phys. B. 1978.
Vol. 28. P. 843-856; Kvasil J., Kracikova T.I., Davaa S.e.a.// Ibid. 1983. Vol. 33.
P. 626-641; 1985. Vol. 35. P. 1084-1102.
272. Kvasil J.. Choriev M.M.. Cwiok S.// Ibid. 1985. Vol. 35. P. 949-962.
273. Bastrukov S.I., Nesterenko V.O.// Intern. Symp. on In-beam Nuclear Spectro-
scopy/ Ed. Z.S. Dombradi and T. I'enyes. Budapest: Academiai Kiado, 1984. P. 689-699.
274. Авотина M.П., Золотавии A.B. Моменты основных и возбужденных состоя-
ний ядер. М.: Атомиздат, 1979.
275. Берлович Э.К., Василенко С.С., Новиков Ю.Н. Времена жизни возбужден-
ных состояний атомных ядер. Л.: Наука, 1972.
276. Бегжанов Р.Б., Беленький В.М. Гамма-спектроскопия атомных ядер. Таш-
кент: ФАН, 1980; Структура четно-четных переходных атомных ядер/ Р.Б. Бегжа-
нов, В.М. Беленький, И.Н. Залюбовский ицр. Ташкент: ФАН, 1985.
277. Аидрейчев В.// Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1976. Т. 7.
С. 1039-1079.
278. Адам И-, Аликов Б.А., Бадалов Х.Н. и др.// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1987.
Т. 51. С. 15-23; Аликов Б.А., Бадалов Х.Н., Лизурей Г.И. и др.// Там же. 1987.
Т. 51. С. 841-855.
299

279. Гнатович В., Громов К.Я.// Ядерная физика. 1%6. Т. 3. С. 8-12: Andrejt-
scheffW., Manfrass P.//Phys. Lett. B. 1975. Vol. 55. P. 159-161.
280. Вдовин А.И., Малов Л.А., Нгуен Динь Вииь и др.// Изв. АН СССР. Сер.
физ. 1985. Т. 49. С. 834-842; Нгуен Динь Винь// Там же. С. 2213 2217: Нгуеи
Динь Вииь, Малов Л.А., Соловьев В.Г. Краткие сообщения ОИЯИ!Ч! 16-86. Дубна,
1986.
281. Нгуен Динь Винь, Соловьев В.Г.// Ядерная физика. 1986. Т. 43.
С. 1162-1168.
282. Casten R.F., Breiting D., Wasson O.A. e.a.// Nucl. Phys. A 1974. Vol. 228.
P. 493-512.
283. Gales S., Crawley G.M., Weber D., Zwieglincki B.// Nuci. Phys. A. 1983. Vol. 398.
P. 19-58; Rekstad J., Lovhoiden G., Lien J.R. e.a.// Ibid. 1980. Vol. 348. P. 93-108.
284. Banerjee В.. Mang HJ., Ring P.// Ibid. 1973. Vol. 215. P. 366-382; Faessler A.,
Sandhya Devi K.R., Griimmer F.e.a.// Ibid. 1976. Vol. 256. P. 106-126.
285. Квасил Я., Чориев М.М., Михайлов И.Н. и др.// Изв. АН СССР. Сер. физ.
1984. Т. 48. С. 844-856; Квасил Я., Чориев М.М., Цвек С- и др.//Ядерная физика.
1985. Т. 42. С. 588-600.
286. Нестеренко В.О., Соловьев В.Г., Сушков A.B., Ширикова Н.Ю.// Ядерная
физика. 1986. Т. 44. С 1443-1450.
287. Dumitrescu T.S., Hamamoto I.// Nucl. Phys. A. 1982. Vol. 383. P. 205-223.
288. Walker P.M., Carvalho J.L., Bernthal F.M.// Phys. Lett. B. 1982. Vol. 1 16.
P. 393-396; Burke D.G., Blezius J.W.// Canad. J. Phys. 1982. Vol. 60. P. 1751-1758.
289. Bagnell R.D., Tanaka V., Sheline R.K. e.a.// Phys. Lett. B. 1977. Vol. 66.
P. 129-132.
290. Ichihara T., Sakaguohi H., Nakamura M.e.a./ Ibid B. 1984. Vol. 149. P. 55-58.
291. Peker L.K., Hamilton J.H. Future Directions in Studies of Nuclei far from Sta-
bility/ Ed. J.H. Hamilton. Amsterdam: North-Holland Publ. Сотр., 1980. P. 323-335:
292. Matsuo M., Matsuyanagi K.// Progr. Theor. Phys. 1985. Vol. 74. P. 1227-1229;
Ibid. 1987. Vol. 78. P. 591 -608.
293. Cwiok S., Lojewski Z., Kvasil J.// Communication J INR 1-4-83-647. Dubna,
1983; Hayashi A., Hara K., Ring P.// Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53. P. 337-340;
Sweiwert M., Marduhn J.A., Hess P.O.// Phys. Rev. С 1984. Vol. 30. P. 1779-1782.
294. Davidson W.F.. Dixon W.R., Burke D.G.// Phys. Lett. B. 1983. Vol. 136.
P. 161-166; Yates S.W., Kleppinger E.D., Kleppingcr E.W.// J. pliys. G: Nucl. Phys.
1985. Vol. 11. P. 877-881; Burke D.G., Davidson W.F., Cizewski J.A. e.a.// Nucl. Phys.
A. 1985. Vol. 445. P. 70-92.
295. Soloviev V.G., Vogel P.// Phys. Lett. 1963. Vol. 6. P. 126 - 128.
296. Sobiczewski A.// Proc. Symp. Nuclear Kxcited States/ Ld. L. Lason e.a. Lodz:
Lodz Univ., 1985. P. 79-86; Пашкевич В.В.// Школа-семинар по тяжелым ионам/
Д7-83-644. Дубна: ОИЯИ, 1983. С 405-419.
297. Джолос Р.В., Иванова С.П., Педроса Р., Соловьев В.Г.// Теорст. маг. физ.
1987. Т. 70. С. 154-160.
298. Soloviev V.G.// Z. Phys. A. 1986. Bd 324. S. 393-401; Письма в ЖЭТФ. 1984.
Т. 40. С 398-401; Ядерная физика. 1988. Т. 47. с. 332-340.
299. Yoshinaga N., Akiyama Y., Arima A.// Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56.
P. 1116-1119; Phys. Rev. С. 1988. Vol. 38. P. 419-436; Akiyama Y., Heyde K., Ari-
ma A., Yoshinaga N.// Phys. Lett. B. 1986. Vol. 1 73. P. 1 -A.
300. Burke D.G., Maddock B.L., Davidson W.F.// Nucl. Phys. A. 1985. Vol. 442.
P. 424-459.
301. Govil I.M., Fulbrjght H.W.. Cline D.e.a.// Phys. Rev. С 1986. Vol. 33.
P. 793-803.
300

302. Burke O.G., Cizewski J.A., Daridson W.F.// Symmetries and Nuclear Structure/
Ed. R.A. Meyer, V. Paar. London: Nuclear Sience Research Conf. Series, 1987. Vol. 13.
P. 173-179.
303. Barfield A.F., Wood J.L., Barrett B.R.// Ibid. 1986. Vol. 34. P. 2001-2004;
Nadjakov E.C., Mikhailov LM.// J. Phys. G: Nucl. Phys. 1987. Vol. 13. P. 857-873.
304. Malov LA., Meliev F.M., Soloviev V.G.// Z. Phys. A. 1985. Bd 3.20. P. 521-527.
305. Malov LA., Nesterenko V.O., Soloviev V.G.// .l.Phys. G: Nucl. Phys. 1977.
Vol. 3. P. L219-L221.
306. Moss J.M., Voungblood D.H., Rozsa CM. e.a.// Phys. Rev. Lett. 1976. Vol. 37.
P. 816-819; Moss J.M., Brown D.R., Voungblood D.H. e.a.// Phys. Rev. С 1978. Vol. 18.
P. 741-749.
307. Beene J.R., Bertrand F.E., Haibert M L e.a.// Nuclear Structure 1985/ Ed. by
R. Broglia, G.B. llagemann, B. Herskind. Amsterdam: Flsevier Sei. Publ. B.V., 1985.
P. 503-517. Beene J.R., Varner R.L., Bertrand F.E. /Nucl. Phys. A. 1988. Vol.482.
P. 407-420.
308. Van derWoude A. Ibid. P 453-470.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатический предел 61
Ангармоничность вибраций 213, 218.
278
Бета-колебания 70, 121
Бета-распад 111
Блокировки эффект 25
Боголюбова преобразования 17, 156
Бозонные представления фермионных
операторов 127, 130
-разложения 125
Вероятности магнитных переходов 76,
89, 94. 222
- электрических переходов 75, 89,
215,217,222,261,273,286
Взаимодействие квазичастиц с фоно-
нами 78, 100, 111, 121, 155, 165,
181,191,221,249,257
Вибрационные состояния в нечетных
ядрах 263
Волновая функция вакуума квази-
частиц 24
частиц 24
— - однофононного состояния 55
Высоколежащие частичные состояния
233
Гамма-колебания 264, 273
Гамильтониан КФМЯ 159, 165, 249
-МВБ 141, 144, 149
Гамов-Теллера переходы 112, 122
Гексадекапольные колебания 72, 274
Двухфононные состояния 214, 277
Дипольное фотопоглощение 236
Духовое состояние 71
Дырочные состояния 230
Зарядово-обменные состояния 103,
113,114,201
302
Изовекторные 91
Изоскалярные состояния 84, 91
Корреляции в основном состоянии 100,
217
Магнитный момент 223
Модель взаимодействующих бозонов-1
137, 141, 149
2 143,218
Монопольные /ГО-переходы 76, 222
Мультипольное взаимодействие 47, 51,
56,82, 105, 114,163
Октупольные колебания 235, 278, 287
Оператор магнитного перехода 74, 89
— электрического перехода 74, 89,
235
Парные вибрации 72,219
— корреляции 23, 24,45, 80
Переходные плотности зарядовая 75,
92
магнитная 92
токовая 92
Потенциал Саксона-Вудса 31, 210,
247
Приближение хаотичных фаз 42, 43.
53, 57, 63, 69, 73. 83, 85, 97, 106,
117,165
— Хартри-Фока-Боголюбова 16,
156
Пространство однофононных состоя-
ний 162, 249
Сдвиг полюса 180, 194, 203, 252, 257
Сенарабельное взаимодействие 47, 62,
82,157
Силовая функция 159, 170, 186, 198,
227, 240, 243, 266, 285

Симметрии SU(6) 135,142,208
Спектроскопические факторы 212,
221,230,239,242,268
Спин-мультипопьное взаимодействие
47, 52, 62, 82, 105, 114, 164, 167
Сопоставление КФМЯ и МВБ 279
Среднее поле 31, 80
Состояния 0+ 67, 219
- смешанной симметрии 147, 218
Тамма-Данкова метод 65, 217
Тензорные взаимодействия 47, 80,
119,167
Теория ядерных полей 197, 199
Фонон 54, 62, 82, 106, 115, 176, 202,
256
Фрагментация двухквазичастичных со-
стояний 238,241
- одно квазичастичных состояний
185, 224, 228, 234, 266, 271
- однофононных состояний 205,
207
- подоболочек из-за деформации
248
- состояния квазнчастицы ® фо-
нон 186
Функция плотности 14,18
диагональность 21, 37
-спаривания 14,19,37
Частично-дырочное взаимодействие 39,
42, 43, 80
Частично-частичное взаимодействие 39,
80, 95
Эффект принципа Паули 176, 191,
201,204,214,225,251,255
Эффективный заряд 74

Научное издание
Соловьев Вадим Георгиевич
ТЕОРИЯ АТОМНОГО ЯДРА:
КВАЗИЧАСТИЦЫ И ФОНОНЫ
Редактор Е.В. Сатарова
Художественные редакторы А.Т. Кирьянов, Т.Н. Хромова
Художник переплета А.И. Шавард
Технический редактор М.А. Канониди
Корректор Л.А. Гладкова
Набор выполнен в издательстве. Подписано в печать с оригинала-макета 02.01.89.
Т-04003. Формат 60 х 88 1/16. Бумага офсетная №2. Печать офсетная. Усл.
печ.л. 18,62. Усл.кр.-отт. 18,62. Уч.-изд.л. 18,70. Тираж 19S0 экз. Заказ 6636.
Цена 3 р. 90 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
Отпечатано в ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Зна-
мени МПО "Первая Образцовая типография имени А.А. Жданова" Союзполиграф-
прома при Госкомиздате СССР. 1130S4, Москва, M-S4, Валовая, 28.