Ленинградский
государственный
университет
им. А. А. Жданова
Математика
Письменный экзамен
Вариант   1
(факультеты математика-механический,
физический,     прикладной     математики —
процессов управления)
1.	Сумма   цифр   некоторого   трехзначного числа равна  11. Если из числа, записанного теми   же  цифрами,   но   в   обратном   порядке, вычесть   594,   то   получится   искомое   число. Найдите это трехзначное число, если известно, что сумма трех попарных произведений цифр этого числа равна 31.
2.	Решите неравенство х— д/l—х ^0. 3.1. (математико-механический факультет)
Числа х, у, а таковы, что
 =a-l,
 2    Ьа2 — За + 0,5.
При каком а произведение ху принимает наибольшее значение?
3.2 (физический факультет) Решите уравнение
+log2,+3
3.3. (факультет прикладной математики — процессов управления) Решите уравнение
8 cos дс=
COS X
Уз
sin x
4.	Найдите площадь квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами а и b (сторона квадрата лежит на гипотенузе, а две вершины — на катетах треугольника).
5.	Все четыре грани треугольной пирамиды —  равные равнобедренные треугольники, длина   боковых   сторон   которых   равна   д/3. Найдите длину оснований этих треугольников,
если известно, что объем пирамиды равен -j- .
о Вариант  2
(биолого-почвенный факультет)
1.	Два лыжника стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Второй лыжник догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта. Дойдя до поворота  на отметке 5 км, второй лыжник   повернул   обратно   и   встретился   с первым   лыжником.   Эта   встреча   произошла через 20 мин после старта первого лыжника. Найдите скорость первого лыжника.
2,	Решите уравнение
Iog3(3x— 8)=2—х.
3.1. (отделение почвоведения) Решите уравнение
У10—18 cos ж =6 cos х—2.
3.2 При каких а уравнение cos (д/а—х2 )= 1 имеет ровно 8 решений?
4.	В окружность радиуса г вписана равнобедренная   трапеция   с   острым   углом   а   при основании   и   высотой   h.   Найдите   площадь трапеции.
5.	Объем правильной треугольной призмы равен V, угол между диагоналями двух граней, проведенными  из  одной и  той  же  вершины, равен а. Найдите сторону основания призмы.
Ва риант  3
(географический и геологический факультеты) 1. Два мотоциклиста, выехав одновременно из пункта А, едут с разными, но постоянными скоростями в пункт В и, достигнув его, сейчас же поворачивают обратно. Первый мотоциклист, обогнав второго, встречает его на обратном пути на расстоянии 13 км от В, затем, достигнув А и снова повернув обратно к В, он встречает второго мотоциклиста, проехав
— расстояния от А до В. Найдите расстояние
от А до В.
2.1. (географический факультет). Решите уравнение
lo^
2.2. (геологический факультет) Решите уравнение
Vl+4x—х2    =х—1.
3.	Решите уравнение
sin 7х—sin х+2 cos2 2jc = 1.
4.	Найдите углы прямоугольного треугольника,   если   известно,   что   радиус   вписанной окружности равен 2, а гипотенуза — 13.
5.1.	(географический факультет)
Угол между боковым ребром и основанием правильной четырехугольной пирамиды равен 60°, боковое ребро равно а. Через середину одного из боковых ребер перпендикулярно к нему проведена плоскость.  Найдите площадь сечения.
5.2.	(геологический факультет) Решите неравенство
Вариант  4 (химический факультет)
1.	Из колбы, в которой имеется 80 г 10-процентного раствора поваренной соли, отливают некоторую часть раствора в пробирку и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится втрое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 2 %. Какое количество раствора отлили из колбы в пробирку?
2.	Решите уравнение (х2—4)^дс+1=0.
3.	Решите уравнение
sin je = -ysin2 Здс — sin2 2x.
62

4.	В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CD и АЕ. Найдите длину высоты   АЕ,   если   известно,   что   AD=BC = 4, АВ = 6.
5.	Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, зная, что плоский угол при вершине равен а, а радиус окружности, описанной около боковой грани, равен г.
Вариант  5
(факультеты психологии и экономический) 1. Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль. Через 1 ч из пункта А в пункт В выехал легковой автомобиль, который прибыл в пункт В одновременно с грузовым автомобилем. Если бы грузовой и легковой автомобили одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу, то они бы встретились че» рез 1 ч 12 мин после выезда. Сколько времени провел в пути от А до ? грузовой автомобиль?
2.1.	(отделение политэкономии) Решите уравнение х = 1 -\-^j7 — х.
2.2.	Решите уравнение
/rje + l— У3х— 18=у2х+7. 3.1. (экономический факультет) Решите неравенство
3.2. (факультет психологии) Решите уравнение 2 sinje-)-2 cos x-\-1 = sin 2x+4(sin3 je+cos3 x).
4. Около прямоугольного треугольника описана окружность. Найдите катеты этого треугольника, если известно, что расстояния от концов гипотенузы до прямой, касающейся окружности в вершине прямоугольного треугольника, равны а и Ь.
5.1.	(факультет психологии и отделение экономической кибернетики)
Центр сферы совпадает с центром основания кругового конуса, а ее радиус равен радиусу основания конуса. Найдите радиус окружности, по которой сфера пересекает поверхность конуса, если известны высота конуса Н и угол его осевого сечения а.
5.2.	(отделение политэкономии) Изобразите   на   плоскости   множество   точек М(х, у), для которых 2\х—у—2|^3 — х2—у2.
Вариант  6
(отделение математической лингвистики
филологического факультета)
1.	От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз  по течению  на  96  км,  затем  повернул обратно и вернулся в А через 14 час. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном  пути   на   расстоянии   24   км  от  А.
2.	Решите уравнение
3.     Найдите     все    решения     неравенства — —cos 2x> sin х—cos x, удовлетворяющие
условию О^дс^п.
4. Вне квадрата ABCD дана точка О. Найдите площадь квадрата, если известно, что ОА=ОВ=5, />О=У13
5. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а. Найдите двугранный угол при боковом ребре.
Публикацию подготовил А. С. Меркурьев
Ленинградский государственный педагогический     институт им. А. И. Герцена
Математика
Задачи устного экзамена
Математический факультет
1.	Вычислите без таблиц
sin 6°—sin 42°—sin 66°+sin 78°.
2.	Решите уравнение
а)	(х*+х+Щ2х2+2х— 3)= —3(1—х—х2);
б)	(sin х—cos jc)(l+tg2jc)=4sin x(l—tg2x).
3.	Решите неравенство:
4.	Найдите экстремумы функции
/(дс)=дс—cos 2x.
5.	Докажите, что если медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, делят угол треугольника на три равные части, то треугольник — прямоугольный.
в. Докажите, что квадрат биссектрисы угла треугольника равен разности между произведением боковых сторон и произведением отрезков основания.
7.	На основаниях АВ и СР вне трапеции АВСР построены квадраты. Докажите, что прямая, соединяющая их центры, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
8.	Основание пирамиды — прямоугольная трапеция, у которой большая из боковых сторон равна  12, а  меньший  угол  30°.  Все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания. Площадь боковой поверхности равна 90.  Найдите объем пирамиды.
9.	Ребро куба равно а. Найдите расстояние между диагональю  куба  и  не  пересекающей ее диагональю грани.
Физический,        индустриально-педагогический, химический факультеты
10.	Укажите знак числа Iog0.3 (— (log2 5—1)).
11.	Зная, что Ig64 = fc, найдите
12.	При    каких  значениях  а  выполняется равенство
|/a*_ 10a+25=-5-a?
13.	Докажите тождество 2(sin6jc+cos6x)—3(sin4*+cos4*)-l-l=0.
14.	Решите уравнение
б) Iogl(4x)-|-log2 (^
63