ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ГЕОМЕТРІЯ
ВЪ ОБЪЕМѢ
ГйМНАЗИЧЕСКАГС КУРСА
А. Давидова
Орддяарнаго профессора Иипирлгор •. • и Московскаго уштерсмгита
Изданіе двадцать седьмое.
Цѣна 1 руб. 35 коп
Изданіе кьижыаго мгозина
,Наслѣдн- 7>р. Балаевыхъ*
3
МОСКВА.
‘«па Петров», Салые.  к 1.
1007.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ГЕОМЕТРІЯ
ВЪ ОБЪЕМѢ
ГИМНАЗИЧЕСКАГО КУРСА.
-А.. Давидова,
Ординарнаго профессора Императорскаго Московскаго университета.
Изданіе двадцать седьмое.
Цѣна 1 руб. 35 коп.
Изданіе книжнаго магазина
8. В. ДУМНОВИ.
ПОДЪ фирмою
-Наслѣди, бр Салаѳвыхъ“.
МОСКВА.
Т—во «Печатня 0. П. Яковлева** Петровка, Салтыковокія пер , I. Т—ва, № 9.
19 0 7.
Введеніе.
Все, что можно увеличивать и уменьшать, мы па-
зываемъ величиною. Такъ, напр., различныя свойства
тѣлъ: твердость, упругость, вѣсъ, протяженіе и другія,
могутъ быть разсматриваемы какъ величины, потому
что тѣла могутъ имѣть большую или меньшую твер-
дость, большую или меньшую упругость, большій или
меньшій вѣсъ, большее или меньшее протяженіе. Уче-
ніе о величинахъ вообще называется математикою;
отдѣлъ же математики, содержащій ученіе о протяже-
ніи, называется геометріею *).
Геометрія разсматриваетъ тѣла только относительно
'пространства, ими занимаемаго, не обращая вниманія
на другія ихъ свойства, и вслѣдствіе этого геометри-
ческимг^щшиоі или просто тѣломъ въ геометріи назы-
ваютъ пространство, со всѣхъ......сторонъ ограниченное,
яезависимо отъ вещества, его наполняющаго.
Предѣлъ тѣлъ называется поверхностью, предѣлъ
поверхности—линіею, предѣлъ линіи—точкою^
*) Греческое слово геометрія означаетъ землемѣріе	—земля,
и указываетъ на нервоначальное приложеніе ея, состоявшее эъ измѣре-
ніи разстояній на земной поверхности. Заслуга научнаго развитія геометріи
принадлежитъ древнимъ трекамъ; а между ннмн въ особенности замѣчателенъ
•’томъ отношеніи Евклидъ (300—-250 лѣтъ до Р. X.), составившій учевй
элементарной геометріи въ томъ видѣ, въ какомъ оио и до сихъ поръ осталась.
— 4 —
Тѣла имѣютъ три измѣренія: длину, ширину^ вы-
соту, поверхности — два измѣренія: длину и ширину^
линіи—одно измѣреніе: длину, а точка не"имѣетъ ни-
какого измѣренія.
Геометрическія линіи и точки не могутъ быть пред-
ставлены чертежомъ; всякая начертанная линія или
точка имѣетъ нѣкоторую ширину и высоту и представ-
ляетъ поэтому тѣло, котораго два или всѣ три измѣ-
ренія весьма малы.
Такъ какъ поверхность есть предѣлъ тѣла, линія—
предѣлъ поверхности, точка—предѣлъ линіи, то нельзя
разсматривать тѣло какъ рядъ послѣдовательныхъ по-
верхностей, поверхность — какъ рядъ послѣдователь-
ныхъ линій и линію — какъ рядъ послѣдовательныхъ
точекъ; но можно вообразить, что движеніемъ поверх-
ности образуется тѣло, движеніемъ линіи—поверхность,
движеніемъ точки—линія. Если разсматриваемъ линію,
какъ происшедшую отъ перемѣщенія точки, то въ
такомъ случаѣ линія содержитъ всѣ мѣста, черезъ
которыя точка послѣдовательно переходила, и при
такомъ представленіи линія называется геометрическимъ-
мѣстомъ точекъ, которыя она содержитъ!
“Линіи бываютъ прямыя* и кривыя; прямая линія на-
зывается просто прямая. Различіе между прямою и
кривою линіею не можетъ быть объяснено — оно со-
знается ясно и опредѣленно каждымъ. Понятіе о пря-
мой линіи принадлежитъ къ основнымъ понятіямъ, не
допускающимъ никакого опредѣленія.
Линія, составленная изъ нѣсколькихъ прямыхъ, пе
въ одной прямой лежащихъ, называется ломаной.
Поверхности бываютъ плоскія_ и кривыя; когда вся-
прямая линія, соединяющая двѣ какія-нибудь точки
поверхности, лежитъ вся на этой поверхности, то
— б -
такая поверхность называется плоциио или просто
плоскостью; всякая же поверхность, ие состоящая изъ
ійоскостей, называется кривою.
Геометрія дѣлится на геометрію на плоскости, назы-
ваемую планиметріею. и геометрію въ пространствѣ,
называемую стереометріею; въ первой разсматриваются
протяженія, "жоторшГмі^тъ быть представлены па
плоскости; во второй разсматриваются протяженія,
которыя не могутъ быть представлены на плоскости;
въ этой же части изучаются по преимуществу свойства
геометрическихъ тѣлъ.
Планиметрія вмѣстѣ со стереометріей) называется
элементарною иометріею, въ отличіе отъ высшей іео-
"метріи, изслѣдующей преимущественно свойства кри-
выхъ линій и поверхностей.
Всѣ геометрическія заключенія выводятся изъ нѣ-
которыхъ истинъ, самихъ собою очевидныхъ; такія
истины называются аксіомами. Такія истины суть,
напр., предложенія: цѣлое равно суммѣ всѣхъ своихъ
частей; цѣлое больше каждой изъ своихъ частей;
двѣ величины, равныя порознь третьей, равны между
собою; если отъ равныхъ величинъ отнимемъ поровну
или къ ипмъ прибавимъ поровну, то получатся вели-
чины равныя, и т. д..
Теоремою или предложеніемъ называется истина, ко-
торая становится очевидною только послѣ нѣкотораго
ряда разсужденій. Эти разсужденія, обнаруживающія
справедливость теоремы, называются доказательствомъ.
Проблемою или задачею называется вопросъ, отвѣтъ
па который основывается па доказанныхъ предло-
женіяхъ.
Леммою называется теорема, которая не имѣетъ не-
посредственной связи съ предыдущими теоремами, но
вводится для доказательства другой болѣе важной тео-
ремы или для рѣшенія задачи.
Всякая теорема состоитъ изъ двухъ частей: изъ
пр/.дположигіи. и заключенія, изъ него выводимаго. Тео-
рема называется обратною въ отношеніи другой, когда
заключеніе становится предположеніемъ и предполо-
женіе— заключеніемъ. Не всѣ обратныя предложенія
справедливы.
ЧАСТЬ X»
ПЛАНИМЕТРІЯ.
ГЛАВА I.
О прямыхъ линіяхъ и углахъ.
§ 1. Аксіома. Прямая линія есть кратчайшее разстояніе между
двумя точками.
Это предложеніе слѣдуетъ прямо изъ понятія, которое мы имѣемъ
о прямой лиши.
Такъ какъ больше одного кратчайшаго разстоянія между двумя
точками не можетъ быть, то очевидно, что между двумя точками
мо^но вообратть только одну прямую линію.
Изъ этого основного свойства прямой лиши слѣдуетъ:
1. Двѣ точки вполнѣ опредѣляютъ положеніе прямой, чрезъ
ялхъ приходящей.
2. Двѣ прямыя, пересѣкающіяся иъ одной точкѣ, въ другой
точкѣ болѣе встрѣтиться не могутъ, потому что иначе чрезъ тѣ же
двѣ точки проходили бы двѣ различныя прямыя, между тѣмъ какъ
между двумя точками можно вообразить только одну прямую.
Приложивъ къ двумъ точкамъ А и В (черт. 1) линейку и про-
ведя но ней черту, получимъ изображеніе прямой. Это изображеніе
называется также прямою линіей, х,гя	4
И . и	А	В
между изображеніемъ и самой линіей
есть существенное различіе: пряная ли-	Черт. ].
аія можетъ быть проведена только мысленно и доступна только
— 8 —
воображенію, между тѣмъ какъ изображеніе ея представляетъ
тѣло, имѣющее весьма малую ширину и высоту *). Прямая линія
обозначается двумя буквами, поставленными въ двухъ какихъ-
нибудь точкахъ ея, и эти двѣ буквы составляютъ названіе
линіи; такъ, напр., прямая линія въ чертежѣ 1 называется ли-
ніею АВ.
§ 2 Угломъ называется неопредѣленная частъ плоскости, за-
ключенная между двумя
прямыми, выходящими изъ одной точки.
Черт. 2.
что буква, стоящая у
буквами.
Точка В (черт. 2), изъ которой вы-
ходятъ липіи, называется вершиною;
самыя же линіи ВЛ и ВС, состав-
ляющія уголъ,—сторонами его. Уголъ
обозначается тремя буквами АВС, такъ
вершины, ставится между двумя другими
Уголъ обозначается иногда и одною буквою В, стоящею у вер-
шины, или буквою а, поставленной внутри его.
Вмѣсто слова уголъ употребляется также знакъ
При представленіи угла не прили-
паемъ въ соображеніе длину его сто-
ронъ; такъ, напримѣръ, АВС и ЬВМ
(черт. 3) означаютъ одинъ и тотъ же
Черт. 3.	уголъ.
•) Замѣчая!е. Если разстояніе двухъ точекъ слишкомъ значительно,
чтобы провести чрезъ нихъ прямую линію съ помощью линейки, въ такомъ слу-
чаѣ натягиваютъ между этими точками веревку, предварительно покрнтуіе сло-
емъ какого-нибудь окрашивающаго вещества; приводя натянутую веревку въ
сотрясеніе, получаемъ на поверхности окрашенный слѣдъ ея, который изобра-
жаетъ прямую линію.
Когда требуется провести на поверхности земли прямую линію весьма значи-
тельной длины, въ такомъ случаѣ отмѣчаютъ только концы этой линіи и нѣко-
торыя точки между ними съ помощью знаковъ, называемыхъ вѣхами.
— 9 —
\\
§ 3. Два угла АВС и А1І31С1
независимо отъ длины ихъ сто-
ронъ, когда, паложивъ вершину
Вх на вершину В, а сторону В^
на сторону ВА, найдемъ, что
другая сторона ВгСі сольется со
стороною ВС.
4) называются равными.
Черт. 4.
Когда же при наложеніи вершины В{
вершину В угла АВС и стороны В^
что сторона ДО, направлена но
лппіи ВСг, лежащей внутри угла
АВС, то говорятъ, что уголъ Аг Вг Сг
меньше угла АВС, иля уголъ АВС
больше угла А^В^С^.
угла А1ВІС1 (черт. 5) иа
ва сторону ВА найдемъ,
Черт. 5.
с
Если же уголъ А^В^ (черт. 6) приложимъ къ углу АВС
такъ, чтобы вершина Вх совпала съ
слилась со стороною ВС, и сторона
В} Сг была направлена по линіи В(\,
лежащей впѣ угла АВС, то соста-
вится уголъ АВС\, который назы-
вается суммою двухъ угловъ АВС и
А^С,.
вершиною В, сторона ВХАХ
Черт. 6.
Если положимъ, что уголъ АіВѵ(\
и наложимъ первый уголъ на вто-
рой такъ, чтобы вершина Вх совпа-
ла съ вершиною В, сторона В}Аг
слилась со стороною ВА, и сторона
ВгСг была направлена но линіи ВСг,
лежащей внутри утла АВС, то со-
ставится уголъ СгВС, который называется разностью двухъ угловъ__,
АВС и
(черт. 7) меньше угла АВС,
с
Черт. 7.
10 —
Если изъ точки 0 (черт. 8) выходятъ нѣсколько линій ОЛ, ОВ,
Черт. 8.
ОС, ОВ и ОЕ, образующихъ равные углы
АОВ, ВОС, СОВ, ВОЕ, то уголъ АОС
равенъ углу АОВ, два раза взятому, уголъ
АОВ равенъ углу АОВ, три раза взятому,
и уголъ АОЕ равенъ углу АОВ, четыре
раза взятому. Наоборотъ, уголъ АОВ есть
воловина угла АОС, третья часть угла АОВ
я четвертая часть угла АОЕ.
Изъ сказаннаго въ этомъ § заключаемъ, что углы могутъ быть
разсматриваемы какъ величины, надъ которыми, какъ надъ всѣми
величинами, можно производить четыре ариѳметическія дѣйствія:
сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе. '
$ 4 Два угла АВС и ВВС (черт. 9), имѣющіе общую вер-
с	шину В, одну общую сторону ВС и
I	двѣ другія стороны ВА и ВВ на
Ъ/а, . одной прямой, называются оиежнъаем
В в А
углами.
Черт. 9.
Когда два смежные угла АВС и
с	ВВС (черт. 10) равны, то каждый изъ
нихъ называется прямымъ угломъ; слѣдов.
р___________ прямой уголъ есть одинъ изъ двухъ
Ь	равныхъ смежныхъ угловъ. Линія ВС
г	(черт. 10), составляющая съ линіей АВ
прямой уголъ, называется линіей перпендикулярной или просто
перпендикуляромъ, а точка пересѣченія В перпендикуляра СВ съ
линіею АВ—основаніемъ перпендикуляра.
Перпендикулярность двухъ лилій АВ и ВС означается иногда
такъ: ВСу_АВ.
Всякая линія, не перпендикулярная къ другой, называется отно
сительно послѣдней наклонною линіей.
Углы въ отношеніи къ прямому углу раздѣляются на углы острые
и тупые; острымъ угломъ называется уголъ меньшій прямого, а
тупымъ—большій прямого.
§ 5. Теорема. Вегъ прямые углы равны между собою.
Пусть будутъ АВС и А1ВІС1 (черт. 11) два прямыхъ угла; тре-
буется доказать, что они равны между собою.
Доказ. Замѣтимъ, что одинъ изъ способовъ обнаружить справед-
ливость какого-нибудь предложенія состоитъ въ томъ, что доказы-
вается невозможность противнаго предложенія; такъ, напр., вмѣсто
того, чтобы доказать, что прямые углы равны, можно доказать, что
прямые утлы не могутъ быть различны между собою. Этотъ способъ
обнаруживать справедливость предложенія называется доказатель-
ствомъ отъ противнаго.
Приложимъ этотъ способъ къ обнаруженію равенства примыхъ
угловъ.
Пусть будутъ, если это возможно, АВС и	(черт. 11)
два прямыхъ угла, не равныхъ между собою, положимъ, что
уголъ АХВХСХ меньше угла АВС.
Продолживъ стороны АВ и Ах 7\
и замѣтивъ, что прямой уголъ есть
одинъ изъ двухъ равныхъ смежныхъ
угловъ (§ 4), заключаемъ, что пря-
мой уголъ АВС равенъ своему смеж-
ному углу ВВС, и равнымъ образомъ
прямой уголъ А1В1СІ равенъ своему
смежному углу ДДС\. Предполо-
в
п
живъ же, что уголъ АДЗ^ меньше
Черт. И.
угла АВС, мы, вслѣдствіе
сказаннаго равенства угловъ, должны очевидно допустить, что и
уголъ ЛДЗуС^ меньше утла ВВС. Когда же наложимъ линію
АХВХ на линію АВ такъ, чтобы точка Вх совпадала съ точкою
В, то вслѣдствіе сдѣланнаго предположенія, что уголъ АХВХ (\
меньше угла АВС, сторона Вх(\ будетъ направлена по линіи
ВВ, лежащей внутри угла АВС', а такъ какъ изъ того же
— 12 —
предположенія слѣдуетъ, что и уголъ	меньше угла ВВС,
то сторона В^С^ въ то же время должна быть направлена по
линіи лежащей внутри угла ВВС\ это очевидно невоз-
можно.
Итакъ предположеніе, что два прямыхъ угла не равны между
собой, приводятъ къ нелѣпому заключенію, что прямая линія долж-
на имѣть въ одно и то же время два различныхъ положенія. Изъ
этого мы заключаеиъ, что всѣ прямые углы должны быть равны
между собою.
Пряной уголъ обозначается иногда буквою с?, и съ нямъ, какъ
съ величиною постоянною, сравниваютъ другіе утлы.
Изъ предложенія, иъ этомъ § доказаннаго, слѣдуетъ, что въ
точкѣ, лежащей на прямой, можно къ ней провести только
одинъ перпендикуляръ; всякая другая линія, проведенная черезъ
эту точку, составитъ съ этою прямою или уголъ острый или уголъ
тупой.
§ 6. Теорема. Всякая пара смежныхъ угловъ равна двумъ
прямымъ.
Положимъ, что АВС и СВВ (черт. 12) суть смежные углы,
Е	требуется доказать, что
І ,с	АВС+ВВС=2Л.
і/	Доказ. Вообразивъ линію ВЕ, перпендику-
о ба лярпую къ линіи АВ, находимъ
'к|,т- І2’	АВС+СВЕ=Л-, ОВЕ=і.
Сложивъ почленно зти два равенства и замѣтивъ при этомъ,
что углы СВЕ и БВЕ вмѣстѣ составляютъ уголъ ВВС, на
ходимъ:
АВС+ВВС = 2а.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ:
1.	Одна пара смежныхъ угловъ равна другой парѣ.
2.	Если одинъ изъ двухъ смежныхъ угловъ острый, то другой
будетъ тупой, и наоборотъ.
13 —
3.	Сумма угловъ АВС,
лежащихъ по одной сто-
ронѣ прямой АЕ, равна
двумъ прямымъ, потому что
вмѣстѣ ови составляютъ
одну пару смежныхъ угловъ,
напр. пару смежныхъ угловъ
АВС и СВЕ.
СВ И, ВВЕ, ЕВЕ (черт. 13/
Черт. 13.	Черт. 14.
4.	Сумма угловъ АОВ, ВОС, СОВ, ВОЕ, ЕОЕ, ГОС в
СОА (черт. 14), лежащихъ около одной точки, равна четыремъ
прямымъ.
Обратная теорема. Если два угла АВС и ВВС (черт. 15) имѣ-
ютъ общую вершину В, одну общую сторону ВС и вмѣстѣ рав-
ны двумъ прямымъ, то двѣ другія стороны ВА
и ВВ леэуатъ на одной прямой линіи и обра-	/
зуютъ поэтому углы смежные	/
Доказ. Положимъ, что ВВА не прямая, а черт 15
лоианая линіи, и пусть будетъ ВЕ продолженіе
стороны АВ, такъ что АВС и ЕВС будутъ углы смежные. Гакъ
какъ по предыдущей теоремѣ сумма смежныхъ угловъ АВС и ЕВС
равна 2с?, то
АВС-\- ЕВС = АВС + ВВС.
Отнявъ по углу АВС, находамъ, что углы ЕВС и ВВС равны
между собою, что очевидно невозможно, потому что уголъ ВВС
есть только часть угла ЕВС.
Слѣдов., предположеніе, что ВВА не есть прямая линія, приводятъ
къ нелѣпому заключенію, что часть равна своему цѣлому.
14 —
В § 7. Угли ЛОИ и СОТ). равно и углы ВОС
/ п АОЛ (черт. 16), составленные двумя Пересѣ-
' То----------Л кающимися линіями АС и называются углами
/	вертикальными или противоположными.
Черт. 16. Теорема Вертикальные углы равны между
собою.
Пусть будутъ АОВ и СОИ (черт. 16) вертикальные углы; тре-
буется доказать, что /.АОВ — / ЛОС.
Доказ. Замѣтивъ, что углы АОВ и АОЛ составляютъ пару
смежныхъ угловъ, а также углы АОЛ и І)ОС, и что по § 6
сльдств. 1, одна пара смежныхъ угловъ равна другой парѣ, находимъ:
АОВ± АОЛ = АОЛЛОС.
Отнявъ по равному углу АОЛ. паходпмъ АОВ = ЛОС. Подоб-
нымъ же образомъ доказывается, что ВОС — АОЛ.
Обратная теорема. Еслгі два равныхъ угла АОВ и СОЛ (черт.
17; имѣютъ общую вершину О и двѣ стороны О7^ги ОС на
одной прямой лгінги, то и двѣ другія стороны
? А О и ОЛ составляютъ одну прямую линію, и
о / А поэтому углы АОВ и СОЛ противоположные,
ъ"/®	Доказ. Положимъ, что АОЛ пе прямая, но ло~
с	мапая линія, и пусть будетъ ОЕ продолженіемъ
Черт. 17.	стороны АО; тогда углы АОВ и СОЕ Ъуіуть
углы противоположные и по доказанному равны
между собою. Но по положенію уголъ ЛОС равенъ углу АОВ\ слѣ-
довательно уголъ ЕОС долженъ равняться углу СОЛ, что очевидно
невозможно, потому что СОЕ есть только часть угла СОЛ. Итакъ
предположеніе, что АОЛ не прямая линія, приводитъ къ нелѣпому
заключенію, что часть равна своему цѣлому.
15 —
ГЛАВА II.
О Фигурахъ.
О фигурахъ вообще.—Равенство треугольниковъ.—Свойства перпеиікнулАра
и наклонныхъ.—Задачи.
О фигурахъ вообще.
§ 8.	Часть плоскости, со всѣхъ сторонъ ограниченная. назы-
вается фигурою, предѣлъ ея — периметромъ. Когда фигура ограни-
чена прямыми линіями, то она называется прямолинейною; когда
же ограничена одной или пѣсколькими кривыми линіями — криволи-
нейною фигурою. Линіи, ограничивающія фигуру, называются сто-
ронами ея.
Прямолинейная фигура ЛВС (черт. 18), ограниченная тремя
сторонами, называется треугольникомъ; фигура ЛВСВ (черт. 19),
ограниченная четырьмя сто-
ронами, — четыреугольни-
комъ; фнг. АВСВЕ (черт.
20), ограниченная пятью сто-
ронами,— пятиугольникомъ, Чѵ[,т !Ч>
и т. д. Фигура, ограничен-
ная болѣе нежели четырьмя сторонами, называется также много-
угольникомъ.
Угодъ, составленный двумя послѣдовательными сторонами много-
угольника, напр. уголъ АВС шестиуголь-
ника АВСВЕГ (черт. 21). называется вну-	-----V
треннимъ угломъ или просто угломъ много- /
угольника, а угодъ составленный одною сто- д/ /е
ропою и продолженіемъ другой, смежной съ
ней, какъ напр. уголъ АГС, — внѣшнимъ	/
угломъ многоугольника. Когда внутренній	6
уголъ многоугольника болѣе двухъ прямыхъ.	Че>г. 21. •
10
какъ напр. угодъ Е (черт. 21), въ такомъ случаѣ онъ называется
входящимъ.
Очевидно, что во всякомъ многоугольникѣ число его угловъ рав-
няется числу его сторонъ.
§ 9.	Діагональю многоугольника называется линія, соединяю-
щая вершины двухъ угловъ, не
напр. линія АС (черт. 22).
Очевидно, что треугольникъ
не имѣетъ діагонали; изъ
каждаго угла четыреуголь-
ника можно провести только
одну діагональ, напр. изъ
угла А (черт. 23) діагональ
прилежащихъ къ одной сторонѣ,
В
Черт. 22.	Черт. 23.
АС', изъ каждаго угла пятиугольника можно провести двѣ діа-
гонали, напр. изъ угла А (черт. 22) діагонали АС и АВ.
я т. д.
Такъ какъ изъ какого-нибудь угла А многоугольника АВСОЕЕС
(черт 24) можно провести діагонали къ вершинамъ всѣхъ угловъ,
исключая только два В и С, ближайшіе
~Р	къ А, то очевидно, что изъ каждаго угла
/ /\ многоугольника можно ггровести столько
А	діагоналей, сколько многоугольникъ имѣ-
"-У.	етъ сторонъ безъ трехъ.
&
Черт 24	§ Д‘агонали’ выходящія изъ какой-
нибудь вершины А многоугольника (черт.
24), раздѣляютъ его па треугольники. Каждый изъ этихъ тре-
угольниковъ содержитъ по одной сторонѣ многоугольника, за исклю-
ченіемъ двухъ крайнихъ треугольниковъ АВС и АСЕ, содержа-
щихъ по двѣ стороны ипогоугольника; изъ этого слѣдуетъ, что
діагонали, выходящія изъ одной вершины многоугольника, раздѣ-
ляютъ Но на столько треугольниковъ," сколько многоугольникъ
— 17 —
имѣетъ сторонъ безъ двухъ. Такъ, напр., четыреугольникъ АВСВ
(черт. 23) дѣлится діагональю АС на два, пятиугольникъ АВСВЕ
(черт. 22) двумя діагоналями АО и ЛВ на три треугольника
И т. д.
§ 11. Плоская фигура, ограниченная кривою линіею АВСВ
(черт. 25), которой всѣ точки отстоятъ па равномъ разстояніи отъ
одной точки О, лежащей внутри ея, назы-
вается кругомъ, самая же кривая — окруж-
ностью круга. Точка О, равно отстоящая
отъ всѣхъ точекъ окружности, называется
центромъ; лппія С77, соединяющая центръ
съ какою-нибудь точкою окружности,—раді-
усомъ, а линія А С, проходящая чрезъ центръ ч*рт. 25.
отъ одной точки окружности до другой,— діаметромъ круга. Какая-
нибудь часть АВ окружпости называется дугою.
Всякій діаметръ АС раздѣляетъ кругъ на двѣ равныя части
АВС и АВС. Въ самомъ дѣлѣ, стоитъ только перегнуть чертежъ
по діаметру АС, тогда часть АВС совпадаетъ съ частію ЛВС,
потому что всѣ точка дуги АВС и дуги ЛВС равно отстоятъ отъ
центра.
Изъ опредѣленія крута слѣдуетъ, что окружность есть гео-
метрическое мѣсто всѣхъ точекъ, равно отстоящихъ отъ данной
точки.
Длн описанія окружности употребляется особый снарядъ, на-
зываемый циркулемъ. Съ помощью цир-
куля удобно рѣшается задача: отъ точ-
ки О па лиліи АВ (черт. 26) отло-
жить часть, равную данной линіи СВ.
Для этого изъ точки О оппсываемъ
кругъ радіусомъ СВ; точки пересѣче-
нія В и 32 окружности съ прямой АВ	Черт. 26.
А. Давидовъ. Геометрія.
— 18 —
отстоятъ отъ точки О на разстоянія равномъ СВ, такъ что СШ а
ОВ равняются СВ.
Окружность есть единственная кривая линія, которая разсматри-
вается въ элементарной геометріи.
Равенство треугольниковъ.
$ 12. Треугольникъ АВС (черт. 27), въ которомъ всѣ три сто-
роны равны между собою, называется равностороннимъ, треуголь-
никъ АВС (черт. 28) съ двумя равными сторонами АВ и СВ—
Черт. 27. Черт. 28. Черт. 29. Черт. 30. Черт. 31.
равнобедреннымъ, а треугольникъ АВС (черт. 29), составленный изъ
трехъ неравныхъ сторонъ,—разностороннимъ. Треугольникъ АВС
(черт. 30), имѣющій прямой уголъ Л, называется прямоугольнымъ;
стороны АС и АВ, заключающія прямой уголъ,— катетами, а
сторона ВС, лежащая противъ прамого угла,— гипотенузою. Тре-
угольникъ, не имѣющій прямого угла, называется косоугольнымъ.
Косоугольный треугольникъ, котораго всѣ углы острые, какъ въ
черт. 27, 28, называется остроугольнымъ; треугольникъ же АВС
(черт. 31), имѣющій тупой уголъ А,— тупоугольнымъ.
Одна какая - нибудь изъ сторонъ треугольника называется осно-
ваніемъ, а вершина противоположнаго ей угла — вершиною тре-
угольника. Въ равнобедренномъ треугольникѣ, т.- е. въ треуголъ-
19 —
викѣ, имѣющемъ двѣ равныя стороны, за основаніе обыкновенно
принимается неравная сторона.
Перпендикуляръ, опущенный изъ вершины треугольника на осно-
ваніе или на продолженіе его, называется высотою. Такъ, напр.,
если въ треугольникѣ АВС (черт. 32) примемъ за основаніе
«торону АС, то перпенди-
куляръ ВВ, опущенный на в
нее изъ вершины треуголъ-
ника, будетъ высотою, если &	С р	Ьі
же въ косоугольномъ тре- Черт 32	,етр 33.
угольникѣ ВМК (черт. 33)
примемъ за основаніе сторону ЪЯ, то перпендикуляръ Л/О, опу
щепный изъ вершины треугольника на продолженіе основанія, бу-
детъ высотою
Слово треугольникъ обозначается иногда для сокращенія зна
комъ д.
§ 13.	Теорема Во всякомъ треугольникѣ одна сторона меніы
суммы двухъ другихъ сторонъ.
Доказ. Это предложеніе непосредственно слѣдуетъ изъ аксіомы
§ 1-го-
Положимъ, что въ треугольникѣ АВС (черт. 34) сторона АВ
"больше стороны ВС\ такъ какъ по предыдущему
АС+СВ>АВ,
то, вычтя по СВ, находимъ
АС>АВ— СВ,
а^— •--Згь
Черт. 34.
Т.-е. каждая сторона треугольника болѣе разности двухъ дру-
ъихъ сторонъ.
2*
— 20 —
§ 14.	Лемма. Если внутри треугольника АВС (черт. 35) про-
В ведемъ ломаную линію ДОС, то
/Хп	АВ-\-ВС>АО+ОС.
Доказ. Продолживъ линію АО до пере-
сѣченія со стороною ВС, находпмъ по пре-
дыдущему §
Черт. 35.
АВ-}-ВВ>А0+0І)- ОЛ+ВС>ОС.
Складывая почленно эти два неравенства и замѣчая, что ВВ а
ВС составляютъ одну линію ВС, получимъ
АВ-{-ВС-}-ОВ >Л 0+ ОС±ОВ,
и если вычтемъ изъ обѣихъ частей неравенства по ОЛ, то нахо-
димъ
АВ-[-ВС>АО+ОС,
что и требовалось доказать,
§ 15.	Теорема. Если двѣ стороны, одного треугольника соот-
вѣтственно равны двумъ сторонамъ другого, и углы, заключен-
также равны, то и самые
треугольники равны.
требуется доказать, что А АВС равенъ Д АДЗД^.
Доказ. Одинъ изъ простѣйшихъ способовъ обнаружить равенство
двухъ величинъ состоитъ въ томъ, что одну величину навладываемъ
на другую и удостовѣряемся, совпадаютъ онѣ или нѣтъ. Этотъ
способъ называется способомъ наложенія, а совпаденіе самыхъ ве-
личинъ—конгруснцгею *).
Приложимъ этотъ способъ къ доказательству равенства двухъ,
треугольниковъ АВС и АД^С^.
♦) Коагруевдія двухъ величинъ обозначается знакомъ СО
— 21 —
Вообразимъ, что уголъ наложенъ на уголъ В; вслѣдствіе ра-
венства этихъ двухъ угловъ стороны В1А1 и ВхСі совпадутъ со
сторонами ВА и ВС\ изъ равенства же самыхъ сторонъ слѣдуетъ,
что точка А упадетъ на А и точка на С; слѣдов. треуголь-
ники ЛВіСі и АВС совпадутъ и будутъ равны.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что двѣ стороны и уголъ, за-
ключенный между ними, опредѣляютъ вполнѣ треугольникъ, потому
что изъ этихъ трехъ частей можетъ быть составленъ только одинъ
треугольникъ.
§ 16.	Теорема. Вели два угла одного треугольника соотвѣт-
ственно равны двумъ угламъ другого, и стороны, лежащія ме-
жду этими углами, также равны, то и самые треугольники
равны.
Положимъ, что (черт. 36)	я АС—А^;
требуется доказать, что А АВС равенъ А ДВД.
Доказ. Наложимъ треугольникъ А^В^Сі на треугольникъ АВС
такъ, чтобы сторона совпадала съ равной ей стороною АС;
вслѣдствіе равенства угловъ А и Аг сторона А1В1 сольется со
стороною АВ, и вслѣдствіе равенства угловъ С и 0, сторона С1В1
сольется со стороною СВ; но такъ какъ двѣ прямыя могутъ пере-
сѣкаться только въ одной точкѣ, то точка 2?х упадетъ на точку В.
Слѣд. треугольники А^В^ и АВС совпадаютъ.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что одна сторона и два приле-
жащихъ къ пей угла опредѣляютъ вполнѣ треугольникъ, потому
что изъ этихъ трехъ частей можетъ быть составленъ только одинъ
треугольникъ.
§ 17.	Лемиа. Если двѣ стороны одного треугольника соотвѣт-
ственно равны двумъ сторонамъ другого, но углы между этими
сторонами не равны, то противъ большаго угла лежитъ и боль-
шая сторона.
— 22 —
Положимъ, что въ двухъ треугольникахъ ДВС и А^В.С. (черт-
37)	АВ=Л1і!1 и АС=А1Сі, а уголъ ®4С>угла В^С^, тре-
буетса доказать, что ВСД>
ВіСг.
Доказательство. Нало-
жимъ д 4,5,0, на Д АВС
такъ, чтобы сторона АгС1
совпала съ равною ей сторо-
в
Черт. 37.
ною АС. Талъ лакъ уголъ 0,4,5, меньше угла САВ, то линія
4,5, пойдетъ по направленію АУ между сторонами АС и АВ,
и точка В, упадетъ или внутри треугольника въ 5, или па сто-
ронѣ -ВС въ М, или внѣ треугольника въ У. Разсмотримъ от-
дѣльно эти три случая.
1-й случай. Треугольникъ А,В}С, при наложеніи принимаетъ по-
ложеніе АВС.
По § 14 мы имѣемъ:
АВ+ВС'>АІ.+В(;-,
по положенію же
АВ=АВ,
слѣдов., вычтя, находимъ ВС^>ВС.
2-й случай. Треугольникъ 4,5, С, при наложеніи принимаетъ
положеніе АМС. Въ этомъ случаѣ само собою ясно, что ВС>МС.
3-й случай. Треугольникъ 4,5, С, при наложеніи принимаетъ
положеніе АУС.
Ивъ треугольниковъ АМВ и СМУ имѣемъ:
4М-(-М5>4В и КЗІ4-І1С>КС.
Сложивъ почленно эти неравенства и замѣтивъ что линіи ВМ в
НС составляютъ одну линію ВС. а линіи АМ и МУ одну линію
АУ, находимъ:
АУ+ВС>АВ+Ус.
По по положенію ЛУ=АВ', слѣдовательно, вычтя, находимъ
ВС>УС.
— 23 —
Итакъ во всѣхъ возможныхъ случаяхъ сторона ВС больше сто-
роны Ву Сг.
Обратная теорема. Если двѣ стороны одного треугольника соот-
вѣтственно равны двумъ
роны не равны, то
противъ большей сто-
роны лем-итъ и боль-
шій уголъ.
Пусть будетъ (черт.
38)	АВ = АДЗ^
АС^АДД, ВСув.С^
угла Аг.
сторонамъ другаго, но третьи сто-
Черт, 38,
требуется доказать, что уголъ АД>
Доказ. Уголъ А не можетъ быть меньше угла А1У истому что
иначе, по предыдущей теоремѣ, сторона ВС была бы меньше
стороны В1С1, что противно положенію; но уголъ А не можетъ
также быть равенъ углу потому что иначе треугольники
САВ и О1ЛгВ11 имѣя по двѣ стороны и углу между ними рав-
ными. по § 15 были бы равны и ВС=В1С1, что также противно
положенію. Итакъ уголъ Л^>угла что и требовалось доказать.
§ 18.	Теорема. Если три стороны одною треугольника соот-
вѣтственно равны тремъ сто-
ронамъ другого, то и треуголь-
ники равны.
Пусть будетъ (черт. 36)
АВ = АІВІ, АС~А1СІ и
ВС = В^С-а требуется дока-
зать, что А АВС равенъ а АДЗ^.
Доказ. Два соотвѣтствующихъ угла, напр. А и Аг, лежащіе про-
тивъ равныхъ сторонъ, по предыдущему § не могутъ быть различны,
слѣдов. должны быть равны между собою; но въ такомъ случаѣ
треугольники АВС и АДЗД\, имѣя двѣ стороны и уголъ между
ними равными, по § 15 равны между собою.
24 —
Ивъ этого предложенія слѣдуетъ, что три стороны опредѣляютъ
вполнѣ треугольникъ, потому что изъ этихъ трехъ частей можетъ
быть составленъ только одинъ треугольникъ.
§ 19.	Теорема. Во всякомъ треугольникѣ внѣшній уголъ болѣе
каждаго изъ внутреннихъ угловъ не смежнаго съ нимъ.
В	Е
Черт. 39.
Пусть будетъ (черт. 39) ВСВ внѣш-
ній уголъ треугольника АВС\ требуется
доказать, что уголъ ВС1) больше угла АВС
и угла САВ.
Доказ. Пустъ будетъ О средияа сто-
роны НС; проведемъ чрезъ точки А и О
прямую и возьмемъ ОЕ=АО\ наконецъ, соединимъ точки Е в С.
Въ треугольникахъ АОВ и СОЕ углы БОА и ЕОС равны,
какъ вертикальные (§ 7); кромѣ того, по построенію ВО—ОС
я АО^ОЕ. Слѣдов. эти треугольники по § 15 равны, и по-
тому уголъ ОСЕ равенъ углу АВО\ слѣд. уголъ ВСВ больше
угла АВС.
Далѣе замѣтимъ, что если вмѣсто АС продолжимъ сторону ВС,
то по предыдущему докажемъ, что внѣшній уголъ АСЕ больше
внутренняго угла ВАС; но углы ВСВ и АСЕ равны между собою,
жавъ утлы вертикальные (§ 7)-, слѣдов. уголъ ВСВ также больше
угла ВАС.
Ивъ этого предложенія слѣдуетъ, что во всякомъ прямоуголь-
номъ треугольникѣ оба угла, прилежащіе гипотенузѣ,—острые.
в	Въ самомъ дѣлѣ, продолживъ въ прямоуголь-
/\	номъ треугольникѣ АВС (черт. 40) катетъ АС,
/	находимъ по предыдущему, что углы САВ и
А с АВС меньше внѣшняго утла ВСВ, т.-е. меньше
Чевт. 40.
р	прямого угла.
§ 20.	Теорема. Въ равнобедренномъ треугольникѣ углы при
основаніи равны.
— 25 —
Положимъ, что въ треугольникѣ АВС (черт. 41) сторона АВ
равна сторонѣ ВС; требуется доказать, что
А
Доказ. Пусть будетъ Р средина основанія АС. / \
Соединивъ точку Р съ точкою Р, составимъ два /	\
треугольника АВІ) и СРР, которыхъ стороны а. о е
соотвѣтственно равны, потому что сторона ВВ Черт. 41.
общая. АВ=ВС по положенію, АВ=ВС по построенію; поэтому
два треугольника равный и вслѣдствіе этого Д_А=Д_С.
Очевидно, что на осповапіп этой теоремы въ равностороннемъ
треугольникѣ всѣ три угла равны между собою.
§ 21	Теорема. Во всякомъ ягреі/гольиикіъ противъ большей сто-
роны лежитъ большій уголъ.
Пусть будетъ (черт. 42) АВ^ВС; требуется	в
доказать, что уголъ .4 СВ > угла ВАС.	/7
Доказ. Отложимъ на большей сторонѣ АВ ъ/ /
часть ВВ — ВС и соединимъ точки В и С. ь/
Въ равнобедренномъ треугольппкѣ ВСВ по Черт. 42.
§ 20 уголъ ВСВ = углу ВВС-, слѣдов. уголъ 4СВ>угла ВВС;
но уголъ ВВС, какъ внѣшній уголъ Д АВС, больше угла САВ
(§ 19); слѣдов. уголъ АСВ >• угла САВ.
Обратная теорема. Во всякомъ треугольникѣ противъ большаго
угла лежитъ большая сторона.
Пусть будетъ (черт. 42) уголъ АСВ >• угла ВАС; требуется
доказать, что АВ ВС.
Доказ. Очевидпо, что АВ не можетъ равняться ВС, потому
что иначе д АВС былъ бы равнобедренный, и уголъ АСВ рав-
нялся бы углу ВАС (§ 20), что противно положенію. Но АВ
также не можетъ быть менѣе ВС, потому что иначе по преды-
дущему уголъ АСВ былъ бы меньше угла ВАС, что также
противно положенію; слѣдов. сторона АВ должна быть больше
стороны ВС.
— 26
§ 22.	Теорема. Въ треугольникѣ, въ которомъ два угла равны,
противоположныя имъ стороны также равны.
3	Положимъ, что въ треугольникѣ АВС (черт. 41)
/\	уголъ А равенъ углу С\ требуется доказать, что
/ \	АВ==Г>С. т.-е. что треугольникъ АВС равно-
/_____ \ бедренный.
° Доказ. Если бы стороны АВ и ВС были не
Черт. 41. равны, то по § 21 углы А п С также были бы
не равны, что противно положенію; поэтому стороны АВ и ВС
должны быть равными.
Очевидно, что на основаніи этой теоремы треугольникъ съ тремя
равными углами есть треугольникъ равносторонній.
§ 23. Такъ какъ всѣ прямоугольные треугольники имѣютъ по
одному равному углу, именно по прямому углу, то два прямоуголь-
ныхъ треугольника равны:
1) К	огда катеты одного соотвѣтственно равны катетамъ другого
(§ 15).
2) К	огда катетъ и прилежащій къ нему острый уголъ одного
равны катету и прилежащему острому углу другого (§ 16).
§ 24.	Теорема. Если гипотенуза и одинъ изъ острыхъ угловъ
одного прямоугольнаго треугольника соотвѣтственно равны г«-
потенузѣ и острому углу другого, то самые треугольники
равны.
Черт. 43.
Положимъ, что въ прямоугольныхъ
треугольникахъ АВС и АД^С^ (черт.
43) АВ^АуВі и
требуется доказать, что А АВС ра-
венъ д А^ВіС^
Доказ. Наложимъ д А^ С\ на
а АВС такъ, чтобы сторона А1В1 совпала съ равной ей сто-
роною АВ. Вслѣдствіе равенства угловъ А и Аг сторона АгС\,
пойдетъ но направленію АС\ сторона же ВхСі при этомъ на
27
можетъ лежать внутри треугольника, какъ линія ВЕ, потому что въ
талонъ случаѣ уголъ АЕВ, какъ внѣшній уголъ, былъ бы болѣе
прямого угла ЕСВ (§ 19), что противно положенію; но сторона
ВіС] также не можетъ лежать внѣ треугольника, какъ линія ВВ,
потому что въ такомъ случаѣ уголъ ВВС былъ бы меньше внѣш-
няго угла АСВ, т.-е. меньше прямого, что также противно поло-
женію. Слѣдов. сторона В1С1 пойдетъ по сторонѣ ВС, и два тре-
угольника совпадутъ, что и требовалось доказать.
Ивъ этого предложенія слѣ-
дуетъ, что въ двухъ равныхъ
треугольникахъ АВС и АгВа Сг
(черт. 44) высоты ВВ и ВгВ^
также равны, потому что пря
моугольные треугольники АВВ
Л = углу Ах и АВ =
собою.
в	п
Черт. 44.
и АІВ1В1, въ иоторыхъ уголъ
но предыдущему равны между
§ 25.	Теорема. Если гипотенуза и катетъ одного прямоуголь-
наго треугольника соотвѣтственно равны
другого, то и самые треугольники равны.
Положимъ, что въ прямоугольныхъ
треугольникахъ АВС и А1ВІС1 (черт.
45) АВ = А1В1 и ВС=_В1С1; тре-
буется доказать, что А АВС равенъ
А А^Сі.
гипотенузѣ и катету
Черт. 45.
Доказ. Приложимъ А Л2ДЦ къ А АВС такъ, чтобы сторона
совпала съ равной ей стороною ВС и А АІВ1С1 принялъ
положеніе ВВС; линія СВ будетъ продолженіемъ линіи АС, потому
что уголъ ВСВ по положенію равенъ прямому (§ 6). Треугольникъ
АВВ, въ которомъ по положенію АВ—ВВ, будетъ равнобедрен-
ный; слѣд. по § 20 уголъ Л = углу В, и такъ какъ /_В~ ^//1,,
то А.А*= ^Аѵ. Ивъ этого слѣдуетъ, что треугольники АВС э
— 28 —
’ имѣя по равной гипотенузѣ и но равному острому углу
равны.
в
Черт. 46.
Ивъ этого предложенія слѣдуетъ, что въ равно-
бедренномъ треугольникѣ АВС (черт. 46) пер-
пендикуляръ ВВ, опущенный изъ вершины на
основаніе, дѣлитъ основаніе и уголъ при вершинѣ
пополамъ, потому что прямоугольные треугольники
АВВ и СВВ, имѣя равныя гипотенузы АВ и ВС и общій катетъ
ВВ, по предыдущему равны между собою.
§ 26.	Теорема. Если катетъ и противоположный уголъ
одного прямоугольнаго треугольника соотвѣтственно равны ка-
тету и противоположному углу другого, то самые треугольники
равны.
Черт. 45.
такъ, чтобы онъ принялъ
Положимъ, что въ прямоугольныхъ тре-
угольникахъ АВС и ЛіВіСі (черт. 45)
ВС=ВхСі и А—Ах, требуется дока-
зать, что а АВС равенъ а А1В1С1.
Доказ. Приложимъ А АХВХСХ къ
А АВС, какъ въ предыдущемъ §, т.-е.
положеніе ВСВ. Въ А АВВ по поло-
женію Л—В; слѣд., по § 22, АВ=ВВ\ но такъ какъ ВВ—А^В^
то АВ~АХВХ. Изъ этого слѣдуетъ, что треугольники АВС и
въ которыхъ гипотенузы АВ и АгВх и острые углы Л в
Л, равны, но § 24 равны между собою.
Изъ свойства прямоугольныхъ треугольниковъ легко выводятся
свойства перпендикуляра относительно наклонныхъ линій.
Свойства перпендикуляра и наклонныхъ.
§ 27.	Теорема. Изъ одной точки можно опустить на прямую
линію только одинъ перпендикуляръ.
— 29 —
Положимъ, что ивъ точки А (черт. 47) опущенъ д
перпендикуляръ АВ на лпнію /Ж; требуется до- А
казать, что всякая другая линіи АС, проведенная /
изъ точки А, не можетъ быть перпендикуля- 0 с в
ромъ къ РК	Черт. 47.
Доказ. Замѣтивъ, что въ треугольникѣ АВС уголъ В по поло-
женію прямой, заключаемъ (§ 19 сл.), что уголъ АСВ острый*
и слѣдов. линія АС наклонная.
Замѣч. Для 'проведенія перпенди-
куляра употребляется снарядъ АВС
(черт. 48), состоящій изъ двухъ ли-
неекъ, образующихъ прямой уголъ,
или снарядъ ДЛІУ (черт. 49), пред-
ставляющій деревянную дощечку въ
видѣ прямоугольнаго треугольника.
§ 28.	Теорема. Перпендикуляръ короче всякой наклонной.
Положимъ, что АВ (черт. 47) есть перпендикуляръ, опущенный
изъ точки А па прямую ВВ, и АС какая-нибудь наклонная, про-
веденная ивъ точки А\ требуется доказать, что АС^>АВ.
Доказ. Въ прямоугольномъ треугольникѣ АВС по § 19 уголъ С
меньше утла В, слѣдов. СА>АВ (§ 21).
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что во всякомъ прямоугольномъ
треугольникѣ каждый изъ катетовъ меньше гипотенузы.
Такъ какъ перпендикуляръ есть кратчайшее разстояніе точки отъ
прямой, то разстояніе точки отъ прямой опредѣляется длиною пер-
пендикуляра, опущеннаго изъ точки на прямую.
Обратная теорема. Кратчайшее разстояніе точки отъ прямой
есть линія, перпендикулярная къ послѣдней.
Пусть будетъ АВ (черт. 47) кратчайшее разстояніе точки А
отъ прямой РГ’; требуется доказать, что АВ перпендикулярна
къ ВВ.
Черт. 50.
— 30 —
Доказ. Если бы не АВ, а какая-нибудь крутая линія АС была
перпендикулярна къ ВК, то АС была бы меньше АВ, что про-
тивно положенію.
§ 29.	Теорема. Равныя пакленныя равно удалены отъ перпен-
дикуляра.
Положимъ, что АВ (черт. 50) есть
перпендикуляръ, опущенный ивъ точки
А на прямую ЕР\ и что наклонныя
АС и АВ равны между собою; тре-
буется доказать, что СВ — ВР.
Доказ. Таки» какъ прямоугольные тре-
угольники АВС и АВІ) имѣютъ общій
катетъ АВ и равныя гипотенузы АС и АВ, то по § 25 треуголь-
ники равны, и слѣдов. СВ — ВВ.
Обратная теорема. Наклонныя, равно удаленныя отъ перпенди-
куляра, равны.
Положимъ, что ВС—ВВ (черт. 50); требуется доказать, что
АС —АВ.
Доказ. Такъ какъ прямоугольные треугольники АВС и АВВ
имѣютъ общій катетъ АВ, а другіе катеты СВ и ВВ по поло-
женію равны, то эти треугольники по § 23 равны, 9 слѣдов.
АС = АВ.
Ивъ этого предложенія слѣдуетъ, что наклонныя СС и СР (черт.
отъ перпендикуляра АВ, но проведенныя
отъ точки С, лежащей внѣ перпенди-
куляра, не равны между собою. Въ са-
момъ дѣлѣ, соединивъ точки Н и В, на-
ходимъ изъ треугольника СНВ
ан-\-нвуав.
Но наклонныя НС и НВ но положенію
равно удалены отъ перпендикуляра, слѣдов.
по предыдущему онѣ равны между собою; поэтому СН-\-НС"> СВ
или СС>СВ.
51), равно удаленныя
А
Черт. 51.
— 31 —
Изъ этого же предложенія слѣдуетъ, что перпендикуляръ, прове-
денный чрезъ средину линіи, есть геометрическое мѣсто точекъ,
равно отстоящихъ отъ обоихъ концовъ ея.
§ 30.	Теорема. Изъ двухъ наклонныхъ та, которая дальше от~
стоитъ отъ перпендикуляра, больше другой.
Положимъ, что изъ точки А
(черт. 52) опущенъ перпендикуляръ
АВ на прямую ЕК и проведены
двѣ наклонныя АВ и АС такъ,
что ВС>ВВ:, требуется дока-
зать, что АС^> АВ.
Доказ. Отложивъ ВВХ = ВВ,
соединимъ точки А и находимъ АВХ = АВ (§ 29). Но уголъ
АСВ меньше прямого, какъ острый уголъ прямоугольнаго тре-
угольника САВ, а уголъ АВгС больше прямого, какъ внѣшній
уголъ прямоугольнаго треугольника АВХВ\ слѣдов., въ треуголь-
никѣ АСД уголъ АВіС больше угла АСІ^, а потом) по § 21
ЛС^АВ^ или АС~> АВ.
Обратная теорема. Ихъ двухъ наклонныхъ та, которая больше,
отстоитъ отъ перпендикуляра дальше.
Положимъ, что АС>АВ (черт. 52), требуетса доказать, что
свувв.
Доказ. Очевидно, что СВ не можетъ равняться ВВ, потому что
тогда по § 29 АС—АВ, что противно положенію; но ВС не мо-
жетъ быть и меньше ВВ, потому что тогда по предыдущему АС
была бы м ньше АВ, что также протявпо положенію; слѣдов. СВ
будетъ боль іе ВВ.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что изъ данной точки на пря-
мую можно провести не болѣе двухъ наклонныхъ, равныхъ между
собою.
— 32 —
Задачи.
1.	Начертить прямую, равную суммѣ нѣсколькихъ линій.
2.	Начертить прямую, равную данной линіи, повторенной нѣсколько
разъ.
3.	Начертить прямую, равную разности двухъ линій АВ и МХ.
4.	Раздѣлить прямую АВ пополамъ.
5.	Раздѣлить прямую АВ па 4, 8, 16 и т. д. равныхъ частей.
6.	По данной суммѣ а и разности д, двухъ прямыхъ опредѣлить эти
крямыя.
7.	Изъ средины линіи АВ возставитъ въ ней перпендикуляръ.
8.	Чрезъ точку О прямой АВ провести къ ней перпендикуляръ.
9.	Изъ точки М опустить перпендикуляръ на прямую АВ-
Ю. Измѣрить разстояніе точки М отъ прямой АВ.
11.	Найти геометрическое мѣсто точекъ, равно отстоящихъ отъ двухъ
точекъ А и В.
12.	При точкѣ А прямой АВ построить уголъ, равный данному углу
вом.
13.	Составить уголъ, равный суммѣ нѣсколькихъ угловъ.
14.	Составить уголъ, равный данному углу, повторенному нѣсколько
разъ.
15.	Составить уголъ, равный разности двухъ угловъ.
16.	Раздѣлить уголъ ВАС пополамъ.
17.	Раздѣлитъ уголъ ВАС на 4, 8, 16 и т. д. равныхъ частей.
18.	По данной суммѣ и разности двухъ угловъ опредѣлить эти углы.
19.	Провести чрезъ точку А прямую, проходящую между точками В а
С иа равномъ разстояніи отъ нихъ.
20.	Даны двѣ точки Ь и М; найти на прямой АВ такую точку, чтобы
прямыя, проведенныя изъ этой точки къ точкамъ В и М, составляли съ
прямой АВ равные углы.
21.	Провести чрезъ точку В прямую, составляющую одинакіе углы со
сторонами даннаго угла І.ОМ.
22.	На прямой АВ па?тн точку на равномъ разстояніи отъ двухъ дан-
ныхъ точекъ М
23.	Найти геометрическое мѣсто точекъ, равно отстоящихъ отъ двухъ
прямыхъ АВ и СВ, пересѣкающихся въ точкѣ О.
24.	Найтн на прямой АВ точку, равно отстоящую отъ двухъ Пересѣ»
кающихся линій ВМ и Р О.
25.	Построить треуголъ гикъ по тремъ даннымъ сторонамъ его.
26.	Построить треугольникъ по даннымъ двумъ сторонамъ н по углу,
заключающемуся между ними.
27.	Построить треугол .пикъ по даппой сторонѣ и двумъ прилежащимъ
угламъ.
— 33 —
28.	Достроить треугольникъ по даннымъ двумъ сторонамъ и по углу
противоположному одной изъ нихъ.
29.	Построятъ прямѵу.йаЬмйп треугольникъ по данной гипотенузѣ и
данному катету.
30.	Построить прямоугольный треугольникъ по данной гипотенузѣ н
данному острому углу.
31.	Построить треугольникъ по данной сторонѣ, но прилежащему углу
и суммѣ двухъ другихъ сторонъ.
32.	Построить треугольникъ по дэпной сторонѣ, по прилежащему углу
я разности двухъ другихъ сторонъ.
33.	На прямой АВ найти такую точку, чтобы сумма разстояній ея отъ
двухъ данныхъ точекъ В и М, лежащихъ по одной сторонѣ прямой АВ,
была бы наименьшая.
ГЛАВА Ш.
Параллельныя линіи.
Теорія параллельныхъ линій. Нѣкоторыя слѣдствія ея. О параллелограм-
махъ н трапеціяхъ. Задачи.
Параллельныя линіи.
§ 31. Двѣ линіи АВ и СВ (черт. 53), лежащія въ одной пло-
скости и при продолженіи въ ту	к
и другую сторону не встрѣча- А____________- л/'1'" в
ющіяся, называются параллель-	V?
НЫЛіи-	с-----------------с
Если пересѣчемъ параллельныя
линіи АВ и СВ косвенною ли-	Черт. 53.
ніею ЕВ, называемою пересѣкающею, то образуется восемь угловъ
т, п’> Рі и-> ѵі изъ которыхъ т, п, іо, х называются
внішишш, а р, ц, и, ѵ—внутренними углами. Разсматривай углы
попарно, мы называемъ два угла, лежащіе по одной сторонѣ пере-
сѣкающей, какъ напр. углы т и іо, или $ и х,—односторонними;
углы же, лежащіе по разнымъ сторонамъ пересѣкающей, какъ напр.
углы р и ѵх или п м іо,—накрестъ-лежащими.
X. Д&пдоаъ. Геометрія.	3
— 34
Два одностороннихъ угла, изъ которыхъ одинъ внутренній, а другой
внѣшній, какъ напр. углы т н м, называются соотвѣтственными.
Для обозначенія параллельности двухъ линій употребляется иногда
знакъ || . Напр., АВ || СВ значитъ, что линіи АВ и СВ параллельны
между собою.
§ 32. Теорема. Двѣ линіи, перпендикулярныя къ третьей линіи,
параллельны между собою.
Е	Положивъ, что линіи АВ и СВ (черт.
I	54) перпендикулярны къ линіи тре-
А 1 в буется доказать, что линіи АВ и СВ парал-
лельны.
с —-------------в Доказ. Если бы линіи АВ н СВ при про-
г	долженіи пересѣкались, то изъ точки ихъ пѳ-
Черт. 54. ресѣченія были бы опушены два перпендику-
ляра на линію ЯГ, что противно § 27.
§ 33. Теорема. Двѣ линіи, пересѣченныя третьей линіей, па-
раллельны, когда внутренніе накрестъ-лежащіе углы равны.
Положимъ, что $=и (черт. 53),
требуется доказать, что АВ || СВ.
Доказ. Если бы линіи АВ и СВ
при продолженіи пересѣкались, то
составился бы треугольникъ, для ко-
тораго одинъ изъ угловъ у иля «
былъ бы внѣшнимъ, а другой вну-
треннимъ угломъ; слѣдов. при пересѣченіи линій АВ и СВ внѣшній
уголъ треугольника равнялся бы'внутреннему углу, что противно § 19.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ:
1.	Лмяш АВ и СВ параллельны, когда внѣшніе накрестъ-ле-
жащіе углы, напр. т и а;, равны, потому что изъ т = сс слѣ-
дуетъ ? =
2.	Линіи АВ и СВ параллельны, когда соотвѣтственные углы,
напр. тли, равны, потому что мзъ т = и слѣдуетъ %=-и.
е
г
Черт. 53.
— 35 —
3.	Линіи АВ и СВ параллельны, когда сумма двухъ внутрен-
нихъ одностороннихъ угловъ, напр.р и м, равна двумъ прямымъ, пото-
му что изъ ^+«=2^ и р-\-$=№ слѣдуетъ р4-м=р4-я, или и={.
4.	Линіи АВ и СВ параллельны, когда сумма двухъ внѣшнихъ
одностороннихъ угловъ, напр. тиго. равна двумъ прямымъ^ потому
что изъ го—2й и ю-^и—ЧА слѣдуетъ и—т.
5.	Если изъ восьии угловъ п, ш, р, ц, м, о, «>, х составить
слѣдующія равенства:
у=и;	т—х;	р=ѵ;	п—го;
ц---ѵ--2(2;	т-\-ѵ=2(1;	р4-м=2й;	п-\-х=2Л;
у—X.	т—и;	р=ю;	п—ѵ;
д-|-н,=2^;	т-\-іо=2й;	р_|_#=2с?;	я^-«=2й;
то очевидно, что каждое пзъ нихъ		обусловливаетъ	всѣ остальныя;
слѣдов. линіи	АВ и СВ параллельны, когда одно		изъ этихъ ра-
венствъ существуетъ.
§ 34. Аксіома. Двѣ линіи АВ и СВ (черт. 55), изъ которыхъ
одна СВ перпендикулярна къ псресѣ-
каюгцей ЕІ\ а другая А 7? составляетъ
съ ней острый или тупой уголъ, при про-
долженіи пересѣкаются.
Изъ этой аксіомы слѣдуетъ, что пря-
мая, перпендикулярная къ одной изъ двухъ
параллельныхъ линій, пересѣкаетъ другую
подъ прямымъ угломъ.
Е
Г
Черт. 55.
Въ самоиъ дѣлѣ, пусть будутъ АВ и СВ (черт. 54) двѣ парал-
лельныя линіи, и положимъ, что прямая
ЕЕ перпендикулярна къ линіи СВ. Если
изъ точки .У опустимъ перпендикуляръ на
линію АВ, то онъ будетъ перпендикуля-
ромъ и къ линіи СВ, ипаче линія СВ
п АВ по предыдущей аксіомѣ при про-
долженіи пересѣкались бы. Но изъ того,
хѵр.. ...
36
что эта линія перпендикулярна къ 67), слѣдуетъ, что опа сливается
съ прямой ЕР\ слѣдов., прямая ЕЕ пересѣкаетъ линію АВ подъ
прямымъ угломъ.
§ 35. Теорема. Параллельныя линіи съ пересѣкающею образуютъ
янутренніе накрестъ-лежащіе углы равные.
Положимъ, что линіи АВ и СО (черт. 56) параллельны и пере-
сѣчены линіею ЕВ\ требуется доказать, что
Доказ. Пусть будетъ О средина линіи
ЛГУ; изъ точки О опускаемъ перпенди-
куляръ на СВ и продолжаемъ его до пе-
ресѣченія съ прямой АВ. Линія РО, по
§ 34 перпендикулярна къ АВ-, слѣдов.,
треугольйяки МОР я прямоуголь-
Черт. 56. пые; а такъ какъ, кромѣ того, по по-
строенію ЛГО—О2Ѵ и уголъ ЦОЕ = углу ЗІОР, какъ утлы
вертикальные, то эти треугольники по § 24 равны, а потому
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что чрезъ данную точку можно'
провести только одну линію, параллельную данной прямой.
Изъ этого же предложенія слѣдуетъ:
Р
Черт. 53.
слѣдуетъ т—и.
1.	Если линіи АВ и СВ па-
раллельны, то внѣшніе накрестъ-
лежагцге углы, напр. гп и х, равны,
потому что изъ $=м слѣдуетъ т=х.
2.	Если линіи АВ и СО парал-
лельны, то соотвѣтственные углы,
напр. гп и и, равны, потому что изъ
3.	Если линіи АВ и СО параллельны, то сумма двухъ вну-
треннихъ одностороннихъ угловъ, напр. р И и, равна двумъ пря-
мымъ, потому что изъ и	слѣдуетъ н-^р=«2(і.
— 37 —
4.	Если линіи А В и СВ параллельны, то сумма внѣшнихъ
одностороннихъ угловъ, напр. т и іо, равна двумъ прямымъ
потому что изъ т = х и х-г-іѵ ~ 2(1 слѣдуетъ т-^го = 2^.
5.	Вообще, если линіи АВ и СВ параллельны, то существуютъ
всѣ 16 равенствъ § 33, слѣдств 5. Очевидно, что если одно пзъ
этихъ равенствъ не существуетъ, то не существуютъ и всѣ осталь-
ныя, и въ этомъ случаѣ линіи не параллельны, т.-е. при продол-
женія встрѣчаются *)
*) Замѣчаніе. Предложеніе: если двѣ линіи пересѣчены к о с-
аенно третьею и сумиадвухъ внутреннихъ односторон-
нихъ угловъ не равна 2гі, то линіи ири продолженіи встрѣ-
чаются, принятое ^вкладомъ, какъ истина сама собою очевидная, составляетъ
въ «но іеоммрш извѣстную въ наукѣ одиннадцатую аксіому. Извѣстность, ко-
торою иолыуется это предложеніе между геометрами, происходитъ отъ того, что
противъ ею очевидности сдѣлано было много возраженія. Но всѣ попытки гео-
метровъ древняго я новаго времени строго доказать это предложеніе не привели
ни къ какому удовлетворительному результату. Въ энциклопедіи О г и Ь е г’а, въ
статьѣ Параллельная л и и і и, находится подробное изложеніе разныхъ мнѣній
объ этомъ спорномъ предметѣ, вмѣстѣ съ указаніемъ различныхъ сочиненіи о
параллельныхъ линіяхъ, число которыхъ простирается до 100. Обстоятельное
изложеніе разныхъ теорій параллелей находамъ мы также въ сочиненіи акаде-
мика В. Я. Буияковсваго: О параллельныхъ линіяхъ (1853).
Изъ всѣхъ неудачныхъ попытокъ основать теорію параллельныхъ линій иа
строго доказанной истинѣ мы выводимъ заключеніе, что эта теорія требуетъ
особаго основного положенія, которое должно быть допущено безъ доказательства,
какъ истина сама собою очевидная. Затрудненіе можетъ заключаться только въ
нжборѢ предложенія, столь очевиднаго, чтобы оно могло быть допущено безъ
доказательства. Предложеніе, что двѣ линіи, изъ которыхъ одна пер-
пендикулярна, а другая не иврменднкулярна къ пересѣ-
кающей, при продолженіи встрѣтятся, принятое въ § 34
какъ аксіома, въ основаніе теоріи параллельныхъ линій, очевидно есть ые чте
иное, какъ простѣйшее выраженіе одиннадцатой аксіомы 'Эвклида.
38 —
Нѣкоторыя слѣдствія изъ теоріи параллель-
ныхъ линій.
§ 36. Теорема. Двѣ линіи, параллельныя третьей, параллельны
иежду собою.
Е Положимъ, что (черт. 57) АВ || ВМ
I и СВ У ІМ; требуется доказать, что
Д-------------------в ЛЛ[! СІ)
Л\	Доказ. Вслѣдствіе параллельности ли-
с——•———/  --------о
ній АВ и ВМ по § 35 уголъ а =
ь	м углу с;,вслѣдствіе же параллельности ли-
у	ній СВ и ВМ уголъ Ъ = углу с; слѣдов.
г	Д_а=Д_Ъ, и потому по § 33 линіи АВ и
Черт. 57. СВ параллельны.
§ 37.	Теорема. Отрѣзки параллельныхъ между параллельными
равны.
Б Т
Черт. 58.
Положимъ, что (черт. 58) ВМ || Р$
и В8 II Т11\ требуется доказать, что
АВ=СВ и АС=*ВВ.
Доказ. Соединивъ точки С и В, за-
мѣтимъ, что треугольники АВС и ВВС
имѣютъ общую сторону СВ и что,
кромѣ того, по § 35 /-АВС^ДВСТ)
и / СВВ = Д_АСВ, какъ углы внутренніе иакресть-лежащіе; слѣ-
довательно эти треугольники по § 16 равны, а потому АВ=СВ и
АС—ВВ.
Обратная теорема. Вели АВ=СВ и АС=ВВ, то ВМ \ и
К8 || ТѴ.
Доказ. Въ самомъ дѣлѣ, треугольники АВС и ВВС имѣютъ
общую сторону СВ и, кромѣ того, по положенію Л_В = СВ и
АС=ВВ\ слѣдов. эти треугольники по § 18 равны, и потому
/АВС—Д-ВСВ и ^СВВ=^САСВ. Вслѣдствіе этого по § 33
ВМ\\ и Л5ЦГГ.
— 39 —
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что если два отрѣзка АС и
ВВ равны и параллельны, то и другіе два отрѣзка АВ и СВ
равны и параллельны. Въ самомъ дѣлѣ, треугольники АВС и ЛСВ,
имѣя къ этомъ случаѣ общую сторону СВ и, кромѣ того, по по-
ложенію АС—ВЛ и _/.АСВ=/_СВВ (§ 35), равны между собою;
слѣдов., стороны АВ и СЛ равны и потому онѣ, по предыдущей
теоремѣ, параллельны.
Предполагая, что линіи ЬМ и -Рф перпендикулярны къ линіямъ
В.8 и ТВ, находимъ изъ предыдущихъ предложеній, что параллель-
ныя линіи во всѣхъ точкахъ отстоятъ зрутъ отъ друга на равномъ
разстояніи, и наоборотъ—линіи, во всѣхъ точкахъ равно отстоящія
другъ отъ друга, параллельны между собою.
§ 38.	Теорема. Вели углы съ параллельными сторонами обра-
щены своими отверстіями въ одну
сторону или въ прямо противоп, о
ложныя стороны, то они равны»
Положимъ, что (черт. 59) АВ || ЛЕ
и ВС |) ЕЕ\ требуется доказать, что
углы ЛЕЕ и ЛВС, обращенные сво-
ими отверстіями въ одну сторону, равны.
Доказ. Продолживъ сторону АВ до пересѣченія съ ЕЕ, находимъ
по § 35 Д_АВС=Д_АКЕ и ДАКЕ=/ВЕЕ, какъ углы соотвѣт-
ственные; слѣд. ДАВС=Д_ВЕЕ.
Продолживъ стороны ЛЕ и ЕЕ, находимъ, что Д_АВС—
/ДНЕСг, т.-е. углы АВС и НЕ& съ параллельными сторонами,
но обращенные въ противоположныя стороны, также равны.
Если же углы съ параллельными сторонами обращены въ разныя,
но не прямо противоположныя стороны,
какъ углы АВС и ЛЕЕ (черт. 60), то сум-
ма ихъ равна двумъ прямымъ.
Въ самомъ дѣлѣ, продолживъ сторону ВС,
» А.
С
находимъ по § 35 / АВС-^ /_ВКС — 2б. Черт. 60.
я ^ДВКС^^ЛЕЕ-, слѣдов.	АВС^^ВЕЕ = 2б.
— 40 —
§ 39.	Теорема. Если стороны одною угла перпендикулярны къ
сторонамъ другою угла, то этгі углы равны, или сумма ггхъ со-
ставляетъ 2<2.
к
а н
Черт. 61.
чтем-ь прямой уголъ
изъ того же угла
угодъ СВН^ слѣд.
7 ВЕЕ.
Положимъ, что стороны угла ВСЕ (черт.
61) перпендикулярны къ сторонамъ угла АВС-,
требуется доказать, что /ДХЕЕ—^/ДВС.
Доказ. Проведя ВН |1 ЕВ I ВО || ЕЕ,
находимъ, по предыдущему §, /_НВС*=~
/Д)ЕЕ, и вслѣдствіе параллельности линій
по § 35 /НВЪ^Х_ЕВА==& и /$ВС=
/_СРЕ^Л. Если же изъ угла СВЛ вы-
СВС, то получимъ уголъ АВС\ если же
вычтемъ прямой уголъ НВВ, то получимъ
X АВС /2 &В2Е и потому X АВС =
Очевидно, что уголъ КЕІ), стороны котораго также перпенди-
кулярны къ сторонамъ угла АВС, составляетъ вмѣстѣ съ
нимъ 2й.
Когда углы, которыхъ стороны взаимно перпендикулярны, или оба
острые или оба тупые, то они равны между собою; когда же одинъ
острый, а другой тупой, то они вмѣстѣ составляютъ 2<7.
40. Теорема. Во всякомъ треугольникѣ сумма его угловъ рав*
няется двумъ прямымъ.
В Е
Черт. 62.
Пусть будетъ АВС (черт. 62) какой-ни-
будь треугольникъ; требуется доказать, что
Д^ВА С+^_АВС+^ВСА^а.
Доказ. Продолживъ сторону АС и про-
ведя СЕ || АВ, находимъ по § 35 /_ЕСО~
ВАС, какъ утлы соотвѣтственные, и
/ 1:СЕ — /_АВС, какъ внутренніе яакрестъ-лежащіе углы; слѣд.:
ВА С+АВ СА-Л СВ^ЕСВА- В СЕ-'--А СВ
— 4 1
Но такъ какъ по § 6 ЕСВ + ВСЕ-\- АСВ = 2сІ, то ВАС^-
АВС ^АСВ = 2(і, что и требовалось доказать.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ:
1.	Внѣшній уголь треугольника равенъ суммѣ двухъ внутреннихъ
угловъ, не смежныхъ съ нимъ.
2.	Вычтя сумму двухъ угловъ треугольника изъ 2й, получаемъ
третій уголъ его.
3.	Если два угла одного треугольника, порознь или вмѣстѣ взя-
тые, равны двумъ угламъ другого треугольника, то и третій уголъ
перваго равенъ третьему углу второго.
4.	Сумма двухъ острыхъ угловъ прямоугольнаго треугольника
равна прямому уілу
5.	Въ равностороннемъ треугольникѣ каждый уголъ равняется
6.	Въ треугольникѣ не можетъ быть болѣе одного прямого или
тупого угла.
§ 41. Теорема. Сумма угловъ всякаго многоугольника равняется
двумъ прямымъ, повтореннымъ столько разъ, сколько многоугольникъ
имѣетъ сторонъ безъ двухъ.
Положимъ, что многоугольникъ АЪСВЕЕО (черт. 24) имѣетъ
п сторонъ; требуется доказать, что сумма
его угловъ равна	(п—2).
Доказ. Такъ какъ діагонали, выходящія
изъ вершины какого-нибудь угла А много- а
угольника, раздѣляютъ его на п — 2 тре-
угольниковъ (§ 10), а сумма угловъ вся-
каго треугольника по § 40 равна 2й, то
сумма угловъ многоугольника равняется 2й (п—2).
Представивъ выраженіе 2(і (п—2) въ видѣ 2д,п—4<7, заключаемъ,
что сумма угловъ всякаго иногоугольника равняется также двумъ
прямымъ, умноженнымъ на число сторонъ многоугольника, безъ че-
тырехъ прямыхъ. Такъ, напр,, сумма угловъ всякаго четыреуголь-
ника равна 4й, всякаго пятиугольника—6й, и т. д.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что во всякомъ многоугольникѣ
сумма внѣшнихъ угловъ, происшедшихъ отъ продолженія всѣхъ
сторонъ его по одному направленію, равняется 4Й.
Въ саномъ дѣлѣ, такъ какъ каждый внѣшній уголъ, вмѣстѣ съ
соотвѣтственнымъ ему внутреннимъ угломъ, составляетъ 2(і, то
сумма всѣхъ внѣшнихъ и внутреннихъ угловъ вмѣстѣ равняется
2Ля; а такъ какъ по предыдущему сумма внутреннихъ угловъ равна
2(іп — 4Д то сумма внѣшнихъ угловъ будетъ
2бЫ —(2йп— 4(1), т.-е.	— 24»-1-44 или 44.
§ 42. Теорема. Если на одной сторонѣ угла отложимъ нѣсколько
равныхъ частей и чрезъ точки дѣленія проведемъ параллельныя
линіи, то и на другой сторонѣ угла получатся отрѣзки, равные
между собою.
Положимъ, что на сторонѣ АВ (черт. 63) угла ВАС отложены
равныя части: 21<^=а&=6с=с4, и что
проведены параллельныя лпніи: аі || Ьт
|[ сп || ф; требуется доказать, что
А1=1т=тп=пр.
\ «•
і гп. п р с Доказ. Проведемъ линіи аі, Ък, ск
параллельно АС-, тогда въ треугольни-
Черт. 63.
кахъ Ааі, аЫ, Ъск, сЛК по положенію Аа=аЬ=Ъс=сй, в кромѣ
того углы, прилежащіе этимъ линіямъ, какъ углы соотвѣтственные,
ио § 85 равны; слѣдов. эти треугольники по § 16 равны между
собою, в истому А1 = аі=*Ък = ск, и вслѣдствіе этого, по § 37,
А1=1т—тп~пр.
— 43 —
Параллелограммы и трапеціи.
§ 43. Четыреугольникъ АВСВ (черт. 64), въ которомъ двѣ сто-
роны АВ и СВ параллельны, другія же двѣ стороны АВ и ВС
не параллельны, называется трапеціею. Раз-
стояніе двухъ параллельныхъ сторонъ, т.-е.
перпендикуляръ МЯ, опущенный изъ какой-
нибудь точки одной изъ параллельныхъ сторонъ
на другую, называется высотою трапеціи.
А М П
„/Х\с
13 ы 1
Черт. 64.
Четыреугольникъ АВСВ (черт. 65),
въ которомъ противоположныя стороны
параллельны, называется параллело-
граммомъ. Одна изъ сторонъ паралле-
лограмма, напр. АВ. называется осно-
ваніемъ, а перпендикуляръ, опущенный
на основаніе изъ какой - нпбудь точки
противоположной стороны, — высотою
Черт. 65. Черт. 66.
Черт. 67. Черт. 68.
параллелограмма.
Параллелограммъ АВСВ (черт. 66), въ которомъ всѣ углы пря-
мые, называется прямоугольникомъ. Одна изъ сторонъ прямоуголь-
ника, напр. АВ, есть основаніе, а другая АВ—высота его.
Очевидно, что прямоугольники, имѣющіе одинаковое основаніе и
одинаковую высоту, равны между собою, потому что такіе прямо-
угольники при наложеніи совпадаютъ.
Параллелограммъ АВСВ (черт. 67), въ которомъ всѣ четыре сто-
роны равны, называется ромбомъ.
Прямоугольникъ АВСВ (черт. 68), въ которомъ всѣ четыре сто-
роны равны, называется квадратомъ.
Во всякомъ параллелограммѣ сумма угловъ, прилежащихъ къ одной
изъ его сторонъ, напр. угловъ А и В (черт. 65), по §35 равна
двумъ прямымъ, а противоположные углы, напр. углы А и С, но
§ 38 равны между собою.
— 44 —
Противоположныя стороны параллелограмма по § 37 равны, и,
наоборотъ, четыреугольникъ, въ котороиъ противоположныя стороны
равны, по § 37 есть параллелограммъ.
§ 44. Теорема. Всякій параллелограммъ діагональю дѣлится на
два равныхъ треугольника.
Проведемъ въ параллелограммъ АВСВ (черт.
69) діагональ ЛС; требуется доказать, что тре-
угольники АВС и АСВ равны между собою.
Черт. 69. Доказ. Треугольники АВС в АСВ имѣютъ
общую сторону ЛС, и кромѣ того по § 43 АВ=СВ и ВС=АВ\
слѣд. эти треугольники равны (§ 18).
Очевидно, что прямоугольникъ, ромбъ и квадратъ, какъ частные
случаи параллелограмма, дѣлятся діагональю также на два равныхъ
треугольника.
§ 45. Теорема. Діагонали параллелограмма взаимно дѣлятся
пополамъ.
Черт 70.
Проведемъ въ параллелограммѣ АВСВ (черт.
70) діагонали АС и ВВ\ требуется доказать,
что АО=ОС и ВО=^ОВ.
Доказ. Въ треугольникахъ ВОС и АОВ не
§ 43 ВС = АВ\ вслѣдствіе же параллельности
сторонъ Д_ОВС—Д~ОВА м ^.ВСО^=^ОАВ\ слѣдов. эти тре-
угольники по § 16 равны, и потому
ВО=ОВ а ЛО=ОС.
Очевидно, что діагонали прямоугольника, ромба и квадрата
также взаимно дѣлятся пополамъ. Кромѣ того діагонали при-
— 45 —
воугодНИКа. ромба и квадрата имѣютъ особыя отличительныя
яойст^а.
Діагонали АС и ВО (черт. 71) прямоугольника
АВСІл равны нглсду собою; это слѣдуетъ изъ того
что прямоугольные треугольники АВС и ВАВ. въ
яоторыхъ катетъ АВ общій и кромѣ того ВС—ЛВ,
ѣ . а
равны между собою.
Діагонали АС гі ВВ (черт. 72) ромба АВСВ
*заиму0 перпендикулярны: это слѣдуетъ изъ того,
что треугольники АВО и СВО^ имѣющіе общую
сторону во, и кромѣ того по положенію АВ=В С,
• «« .)оказавному АО—ОС, равны между собою;
А »
Черт. 71.
Черт. 72.
слѣдов у ВОА ВОС. Изъ равенства тѣхъ же треугольниковъ
слѣду^тт,, что ^АВО = ДД)ВС, т.-е. діагонали ромба дѣлятъ
углы ело пополамъ.
Діагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и дѣлятъ
углы его пополамъ; это слѣдуетъ изъ того, что квадратъ соединяетъ
въ се^ъ всѣ свойства прямоугольника и ромба.
§ Чв. Теорема. Линія, соединяющая средины дві/хъ непараллелъ
ныхъ сторонъ трапеціи, 1) параллельна двумъ другимъ сторонамъ
и 2) равняется полусуммѣ ихъ.
Положимъ, что въ трапеціи АВСВ (черт.
73) л/ и .У суть средины двухъ непарал-
лельныхъ сторонъ ея; требуется доказать
что і) ЛГУ параллельна АВ и ВС, и
2) Ѵу_лр+вс
Черт. 73.
Д°коз. 1) Продолживъ сторону СВ и яровая арезъ точку М
липікі ВВ параллельно сторонѣ СВ, составимъ два треугольника
— 46 —
ЕМВ и Л2ИУ, которые по § 16 равны между собою, по-
Е в с тому 4 что ЛМ=Л/В по положенію, кромѣ
ТТ \ того / АМЕ = / ВМЕ (§ 7) м /ЕАМ=
\ А.ЕВМ (§ 35)- Изъ равенства этихъ тре-
дг—----------у угольниковъ слѣдуетъ, что ЕМ = МЕ, или
Черт. 73.	ЕЕ
е	но такъ какъ по положенію
СГ)
СЕ=~^~, а по § 37 № =- СЛ, то ЕМ = СЕ. Изъ равенства
и параллельности отрѣзковъ ЕМ и СЕ заключаемъ, что стороны
НЕ и -ЕС параллельны между собою (.§ 37), что и требовалось
доказать.
2) Изъ равенства тѣхъ же треугольниковъ ЕМВ и АМЕ слѣ-
дуетъ ЕВ—АЕ\ но такъ какъ по § 37 стороны .ЕС, МЕ и ЕЕ
равны между собою, то
ЦЕ=ВС+ВЕ-, МЕ=АО—АЕ='АВ—ВЕ.
Сложивъ почленно эти два равенства, получимъ:
2 МЕ—АВ-\-ВС\ слѣдов. Л/ДГ=^2±®?-
Задачи.
84.	Чрезъ точку А провести линію параллельно данной прямой ВМ.
35.	Чрезъ точку А провести линію, пересѣкающую прямую ВМ подъ
даннымъ утломъ.
36.	Найти геометрическое мѣсто точекъ, отстоящихъ отъ прямой ВМ
аа разстояніи а.
37.	Чему равняется сумма угловъ иятнадцатиугольника?
38.	Сколько сторопъ имѣетъ многоугольникъ, сумма угловъ котораго
равна 30 4?
39.	Построить многоугольникъ, равный данному многоугольнику.
40.	Опредѣлить уголъ, составленный двумя линіями, раздѣляющими по*
поламъ внутренніе односторонніе утлр двухъ параллельныхъ линій.
— 47 —
41.	Чрезъ точку А провести сѣкущую къ двумъ параллельнымъ линіямъ
ѢМ и РО такъ, чтобы часть ея, заключающаяся между вими, равнялась
линіи а.
42.	Раздѣлить линію .4/? па п равныхъ частей.
43.	Чрезъ точку О, находящуюся внутри угла ВАС, провести прямую
такъ, чтобы часть ея, заключающаяся между сторонами угла, дѣлилась
въ точкѣ О пополамъ.
44.	Построить треугольникъ по данной высотѣ Л н двумъ даннымъ
угламъ при основаніи.
45.	Построить равнобедренный треугольникъ по данному основанію и
углу ври вершинѣ.
46.	Построить треугольникъ по данному периметру р, данной высотѣ
И и данному углу, прилежащему основанію.
47,	Построитъ треугольникъ по данному периметру р н двумъ даннымъ
угламъ т и п.
48.	Построить параллелограммъ по двумъ даннымъ діагоналямъ и одной
изъ сюровъ ого.
ГЛАВА IV.
Пропорціональныя линіи.
Общая міра двухъ лилій.—Пропорціональныя лиліи.—Отношеніе линій.
Общая мѣра двухъ линій.
§ 47. Общею мѣрою двухъ линій называется такая линія, кото-
рая содержится въ каждой изъ нихъ цѣлое число разъ.
Задача. Опредѣлитъ общую мѣру двухъ линій.
Рѣш. Для нахожденія общей мѣры двухъ линій АВ и СВ (черт.
74) поступаеиъ такимъ же образомъ, какъ въ ариеметпкѣ при на-
хожденіи общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ. Меньшую ли-
нію СВ накладываемъ на большую столько разъ, сколько возможно;
положимъ, что СВ уложится 2 раза въ АВ съ нѣкоторымъ остат-
комъ ВВ, такъ что
АВ^2СВ-[-ЬВ.
— 48 —
Остатокъ ЪВ накладываемъ па линію СВ столько разъ, сколько
возможно; положимъ, что онъ уложатся въ ней 3 раза съ нѣкото-
рымъ остаткомъ МО, такъ что
СО = ЗВВ + МУ).
Д----
м
Черт. 74.
Второй остатокъ МО накладываемъ на первый ВВ столько разъ,
сколько возможно; положимъ, что онъ уложится въ немъ ра раза
съ остаткомъ КВ, такъ что
ЬВ = 2МО + КВ.
Третій остатокъ КВ накладываемъ на второй МО столько разъ,
сколько возможно, и поступаемъ такимъ образомъ далѣе, наклады-
вая каждый новый остатокъ на предшествовавшій до тѣхъ поръ,
пока не дойдемъ до остатка, который уложится ;въ предшествовав-
шемъ ему цѣлое число разъ. Этотъ послѣдній остатокъ будетъ иско-
мая мѣра двухъ линій. Положимъ, напр., что третій остатокъ КВ
уложится во второмъ МВ ровно ра раза, такъ что
МВ = 2КВУ
тогда КВ, будетъ искомая общая мѣра. Въ самомъ дѣлѣ, мы
имѣемъ
Д В == 2 МО + КВ=ЪКВ
СВ = ЗВВ + МО = 17М
АВ = ЪСВ + ВВ = ЗЗКВ.
Изъ ТОГО, НТО
= и СВ = Ѵ1КВ,
заключаемъ, что КВ есть общая мѣра линій АВ м СВ.
— 49 —
Изъ предыдущихъ равенствъ слѣдуетъ, что общая мѣра двухъ
линій содержится цѣлое число разъ въ каждомъ изъ послѣдователь-
ныхъ остатковъ. Въ саномъ дѣлѣ, она содержится цѣлое число
разъ въ АВ и С7>, слѣдои. содержится цѣлое число разъ и въ
ВВ\ далѣе, она содержится цѣлое число разъ въ СВ и ВВ^
слѣдов. содержится цѣлое число разъ въ МВ я т. д. Изъ того,
что общая мѣра содержится цѣлое число разъ во всѣхъ послѣдо-
вательныхъ остаткахъ, слѣдуетъ, что она не можетъ быть больше
ни одного изъ этихъ остатковъ.
При отысканіи по изложенному способу общей иѣры рухъ линій
можетъ случиться, что ии одинъ изъ послѣдовательныхъ остатковъ
не уложится въ предшествовавшемъ цѣлое число разъ; въ этомъ
случаѣ рѣ линіи не имѣютъ общей мѣры, т.-е въ этомъ случаѣ
нѣтъ такой линіи, которая содержалась бы цѣлое число разъ въ
каждой изъ нихъ. Въ самомъ дѣлѣ, общая мѣра, если бы она
существовала, содержалась бы, какъ мы замѣтили, цѣлое число
разъ во всѣхъ послѣдовательныхъ остаткахъ; но эти остатки
постепенно и безпредѣльно уменьшаются, а потому не можетъ
быть такой величины, которая содержалась бы во всѣхъ этихъ остат-
кахъ цѣлое число разъ.
Когда рѣ линіи имѣютъ общую мѣру, онѣ называются со-
измѣримыми, а когда не имѣютъ общей мѣры — несоизмѣри-
мыми.
§ 48. Отношеніемъ рухъ линій называется число, показы-
вающее, во сколько разъ одна длиннѣе или короче другой. От-
ношеніе рухъ линій АВ и СВ
(черт. 75) изображается или въ видѣ	в
С В
АВ	т?
дроби ртух, или въ видѣ частнаго ---------------г
Черт. 75.
АВ: СО.
к. Давидовъ. Геометріи.	4
— 50 —
Задача. Опредѣлить отношеніе двухъ линій.
Рпш. Пусть будутъ АВ и СО (черт. 75) двѣ какія-нибудь линіи.
Чтобъ опредѣлить ихъ отношеніе, разсмотримъ два случая.
1-й случай. Линіи АВ и СВ соизмѣримы. Пусть будетъ
ЕЕ ихъ общая мѣра, и положимъ, напр., что она содержится
7 разъ въ АВ и 4 раза въ СД такъ что АВ = 1ЕЕ и
7
СВ=^АЕЕ. Искомое отношеніе линій АВ и СВ будетъ т.-е.
7
АВ въ раза длиннѣе СО; слѣдовательно.
АВ^ 7
СО“ 4 ’
Е
Черт. 76.
1
т.-е. выразить его
2-й случай. Линіи АВ и СО (черт. 76) несоизмѣримы. Въ
этомъ случаѣ нельзя выразить точно отношенія двухъ линій, но
можно его опредѣлить прибли-
А--------------------------В женно съ желаемой степенью точ-
ности. Положимъ, напр., что
требуется опредѣлить отношеніе
линій АВ и СО съ точностью
чрезъ десятичную дробь съ двумя деся-
тичными знаками. Для этого раздѣляемъ меньшую линію СО
на 100 равныхъ частей (задача 42); пусть будетъ СЕ одна изъ
этихъ частей, такъ что СВ = 100 СЕ. Положимъ, что СЕ уло-
жится въ Л.Б, напр., 134 раза съ нѣкоторымъ остаткомъ, такъ
что АВ >134 СЕ и х40<^135СО. Изъ этого слѣдуетъ, что
.	134	, _	. АВ , 135
дробь іод или 1,34 меньше отношенія но дробь
или 1,35 больше этого отношенія. Отсюда заключаемъ, что дробь
. АВ	1
1,34 равняется отношенію съ точностью
— 51
Когда линіи соизмѣримы, то отношеніе .ихъ называется раціо-
нальнымъ, а когда несоизмѣримы—ирраціональнымъ *). Отношеніе
какой-нибудь линіи кь другой, принятой за единицу, мы называемъ
длиною этой лиши
Пропорціональныя линіи.
$ 49. Четыре линіи, имѣющія то свойство, что отношеніе двухъ
язъ нихъ равняется отношенію двухъ другихъ, называются пропор-
ціональными.
Пусть будутъ АВ, СВ, ВМ и КР
(черт 77) четыре пропорціональныя А В
лиши, такъ что	с--------0
ь_______
_____р
АВ ВМ
СВ ИР
_	Черт. 77.
Если въ этомъ равенствѣ двухъ отноше-
ній подъ линіями АВ, СВ, ВМ и
будемъ разумѣть числа, выражающія длины этихъ линій, то это
равенство можно разсматривать какъ геометрическую пропорцію и
примѣнить къ нему всѣ правила, относящіяся вообще къ геоме-
трическимъ пропорціямъ. Такъ, напр., свойство геометрической про-
порціи, что произведеніе среднихъ членовъ раваяетси произведенію
крайнихъ, дастъ въ разсматриваемомъ случаѣ
АВ. ХР=СВ. МВ
Это равенство значитъ, что произведеніе чиселъ, выражающихъ
*) Греки различали два рода величинъ: выразимыя помощію чиселъ,
которыя назывались Ао/о$, и не выразимыя помощію чиселъ, которыя
назывались а'Аоуос. Но коуоч имѣетъ два значенія: слово іѵегЬшп) и ра-
зумъ (гаЛіо). При переводѣ сочиненій греческихъ геометровъ на латинскій
языкъ переводчики, вмѣсто того, чтобы принять Хауоч въ первомъ смыслѣ, пере-
вели его чрезъ гаѣіо; отсюда произошли вовсе несвоисівенныл названія раціо
шальный в ирраціональный.
4*
— 52 —
роны угла, отсѣкаютъ
длины линій АВ и -А7Р, равняется произведенію чиселъ, выра-
жающихъ длины линій ВМ и СВ.
§ 50. Теорема. Двѣ параллельныя линіи, пересѣкающія сто-
отъ нихъ пропорціональныя части.
Положимъ, что линіи ЕС и ЕН (черт.
78), пересѣкающія стороны угла АВС,
параллельны; требуется доказать, что
ВЕ ВС'
Доказ. Мы разсмотримъ два случая.
отрѣзки ВБ а ВБ соизмѣримы. Пусть
общая мѣра содержится т разъ въ ВБ и п разъ въ ВБ, такъ
ЕЕ1 т т,	,	_ ы
что ВБ~~п~‘ ^сли проведемъ чрезъ всѣ точки дѣленій лиши
ВБ прямыя, параллельныя прямой НЕ, то по § 42 линіи ВН
и ВС раздѣлятся также соотвѣтственно на т и на п равныхъ
„	ВН т ,
частей, такъ что -^ = —; слѣдов.,
В(л п
Черт 78.
7-й случай, когда
ВЕ = ВН
ВЕ~ ВС
2-й случай, когда отрѣзки ВЕ и ВЕ (черт. 79) не соизмѣримы.
с
Черт. 79.
й ВЕ.ВН
бы77Р>Лё’ 10 вмѣст0
Въ этомъ случаѣ справедливость
. ВЕ ВН
пропорціи	можно обнару-
. ВЕ
жить, доказывая, что отношеніе
не можетъ быть ни болѣе ни менѣе
ВН
отношенія Въ самомъ дѣлѣ, если
ВО возьмемъ меньшую линію Вх,
— 53 —
такъ чтобы
ВЕ^ВН
ВЕ~~ Вх
Если раздѣлимъ сторону ВН на такое число равныхъ частей, чтобы
каждая была менѣе хС, тогда по крайней мѣрѣ одна изъ точекъ
дѣленія будетъ лежать между х и пусть будетъ К такая точка.
Проведя линію КЪ параллельно НЕ н замѣтивъ, что по построенію
линіи ВН и ВК соизмѣримы, имѣемъ по предыдущему
ВЕ ВН
~ВЁ~КК
Если два отношенія этой пропорціи раздѣлимъ на соотвѣтственныя
отношенія допущенной иами пропорціи
ВЕ^ВН
ВЕ~~ Вх
е сократимъ равные члены, то находимъ
ВЕ _ Вх
~ВІ~~ВК
„	. ВЕ Вх
Но отношенія -_-= = не могутъ быть равны, потону что пер-
ВѢ ВК
вое больше, а второе меньше единицы.
„	*	. ВЕ ВН
Изъ этого слѣдуетъ, что допущеніе	приводитъ въ лож-
ному заключенію, слѣдов. несправедливо, и что поэтому отно
. ВЕ	й	. ВН
шеше-^ѵ» не можетъ быть больше отношенія
ВЕ	ВСг
Подобнымъ же образомъ можно доказать, что отношевіі
ВЕ	,	. ВН
не можетъ быть меньше отношенія ѵгт?’ стоитъ тольио вмѣ-
ВЕ	ВСг
сто ВСг взять линію Ву, большую ея, и повторить предыдущія раз-
сужденія.
54 —
Итакъ, въ случаѣ несоизмѣримости, какъ въ случаѣ соизмѣри-
въ ВН
МОСТИ, имѣемъ -^=,= ^7^
В“ 1і(л'
Изъ предыдущей теоремы слѣдуетъ, что параллельныя линіи ЕВ
я ЕСг (черт. 80) разсѣкаютъ стороны угла АВС на пропориіо-
с	ЕЕ СН
ц/	налъныя части:	потому ЧТО ИЗЪ
л '	. ВЕ ВВ .
/	\	пропорціи =	; слѣдуетъ
В- »’ Е Л ВЕ—ВЕ ВН—ВО ЕЕ ОВ
Черт. 80.	ВЕ “ ВО ВШ ВЕ~~ ВО
Обратная теорема. Если двѣ линіи ЕН и ЕС (черт. 81) отсѣ-
Чері ЪІ.
каютъ отъ сторонъ угла СВА пропорціи-
ВЕ ВН
налъныя части:	то оти линіи
ВЕ ВО
параллельны.
Доказ. Если бы линія ЕН не была парал-
лельна прямой ЕС. то пусть ЕК будетъ параллельна ГС\ тогда
и , Л й ВЕ ВК
по предыдущей теоремѣ имѣли бы-др==что противорѣчивъ
. ВЕ ВВ
предположенію рр=-^-
§ 51 Теорема. Линіи, выходящія изъ одной точки, разсѣка-
ются двумя параллельными линіями на пропорціональныя части
С
Черт. 82.
Положимъ, что линіи АВ и А.В.
(черт. 82) параллельны; требуется до-
казать, что
СА,	СЕ.	СІ).	СВ.
АЛ.	ЕЕ. НИ.	ВВ.'
Доказ. По предыдущему § имѣемъ
— 55 —
СЛТ _ СЕ,. СЕ. __ СВ,. СРг _ СВХ
АА^ЁЕ,' ЕЕ^РР^ РРХ~ВВЛ
Отсюда
СЛТ _ СД СРХ _ СВХ
ААІ~ЕЕ1^РРІ~ВВ1'
§ 52. Теорема. Части двухъ прямыхъ, заключающіяся между
тремя параллельными линіями, пропорціональны.
Положимъ, что прямыя АВ и СР
(черт. 83) пересѣчены тремя параллель-
ными линіями ЕР,	требуется
доказать, что
вм=рд
МХ~ ЦВ'
Доказ. Проведя чрезъ точку Е линію
Ч^рт. 83.
ЛЛ, параллельно прямой СО, находимъ (§ 50)
Но по § 37 І91=Р(> и §,77, = ()Л: слѣдовательно
ъзг рд
зіѵ~дк'
Отношеніе линій.
§ 5‘3 Нахожденіе общей мѣры и опредѣленіе отношенія двухъ линій
объяснены въ §§ 47 н 48 на частныхъ примѣрахъ; рѣшимъ ту же задачу
въ общемъ видѣ.
Задача. Опредѣлитъ отношеніе двухъ линій АиВ, предполагая А>В.
Рѣги. Положимъ, что В содержится т разъ въ А съ остаткомъ 7?1Г
такъ что
А=тВ-}-В1:
пусть К| содержится п разъ въ В съ остаткомъ 7?^, такъ что
В=пРі
р3 содержится р разъ въ 7?і съ остаткомъ Л8, такъ что
7?і=р7?2 *-Т?8
и т. д. Если одинъ изъ остатковъ содержится цѣлое число разъ въ пред-
шествовавшемъ, то онъ будетъ общею мѣрою линій А в В. Положимъ,
что /?8 содержится ровно д разъ въ Т?2. такъ что
7?2=3-7?8.
— 56 —
Изъ послѣднихъ двухъ уравненій находимъ
Ві=рВі-[-Ві—(рд-іг-1)Ва
слѣдов.	5=п2?і4-7?2=[п(рд-!-1)Ч-д]7?8
А =	=[тп(рд+1 )+пгз4^,а+1 ]-#і-
Такъ какъ т, п, р и д суть числа цѣлыя, то очевидно, что 1?8, заклю-
чаясь цѣлое число разъ въ А и В, будетъ общею мѣрою этихъ линій.
Отношеніе двухъ линій А и В въ этомъ случаѣ будетъ
_ тпІрц+Ѵі+тд 1 рд+1
в~ п(рз+іНе
Замѣтимъ, что общая мѣра двухъ линій А и В будетъ также общею мѣ-
рою всѣхъ послѣдовательныхъ остатковъ, потому что изъ предыдущихъ
уравненій находимъ
Ві=А—тВ: ^=В—пВь
а отсюда слѣдуетъ, что линія, содержащаяся цѣлое число разъ въ А и В,
содержится также цѣлое число разъ въ В\ и Т?2.
Если ин одинъ изъ остатковъ не содержится цѣлое число разъ въ пред-
шествовавшемъ, то линіи А и В не имѣютъ общей мѣры. Въ самомъ
дѣлѣ, положимъ, что въ этомъ случаѣ А и В имѣли бы общую мѣру Р.
Послѣдовательные остатки /?і, В^, В9, Л*... постепенно уменьшаются и
могутъ быть сдѣланы менѣе всякой данной величины, потому что если
примемъ остатки положительными или отрицательными, то можно допу-
стить, что каждый остатокъ не болѣе половины предшествовавшаго
остатка. Положимъ, что мы повторили послѣдовательныя дѣйствія столь-
ко разъ, что получили остатокъ Вп<Р. Но Р, какъ общая мѣра А и В,
будетъ по предыдущему общею мѣрою и всѣхъ остатковъ, слѣдов. Р
должно содержаться цѣлое число разъ въ В„, а вто невозможно, когда
вп<р.
Отношеніе линій, не имѣющихъ общей мѣры, можетъ быть опредѣлено
только приблизительно. Изъ уравненій
В~пВі~}~Ві\ Ві^рВ^-і-Ві', В^=С[В2-\~Ві—
находимъ
А і Ві .1
в=т+к=т+т
Я,
в , Ві , 1 Ві , Д . 1	/
я1 = "+^=”+5;/5_'р + ^=₽+§;	/
Ві	в9 1
отсюда	^ = йі+й+1_____
р+Ь____
і+—
— 57
Прерывая непрерывную дробь на какомъ - ннбудь мѣстѣ, подумаемъ
приближенную величину отношенія двухъ линій А н В, и эта величина
тѣмъ ближе подходитъ къ истинной, чѣмъ больше членовъ непрерывно*
дроби мы примемъ въ расчетъ.
несоизмѣримы.
Черт. 84.
§ 54. Теорема. Діагоналъ и сторона квадрата
Доказ. На діагонали ВВ квадрата АВСВ (черт.
84) отложимъ ВАі = ВА и проведемъ ЛіД пер-
пендикулярно къ ВВ. Прямоугольный треуголь-
никъ АіВіВ, въ которомъ уголъ В есть поло-
вина прямого, будетъ равнобедренный, а потому
АіВі = АіВ. Далѣе, такъ какъ въ равнобедрен-
номъ треугольникѣ АВАі углы А и равны, то
^ВіААі — Д^ВіАіА, а потому ЛіД = АВ^ слѣ-
дов. АіВ = АіВі = АВ^. Изъ этого слѣдуетъ, что
А^В < АВ, и что сторона квадрата содержится
въ діагонали только одинъ разъ съ остаткомъ
АіВ. Прямоугольный равнобедренный треугольникъ Л1ВІВ можетъ быть
разсматриваемъ какъ половина квадрата, котораго сторона есть оста-
токъ АіВ, а діагональ — линія ВХВ\ изъ сказаннаго же заключаемъ,
что сторона А\В содержится въ діагонали В^В одинъ разъ съ нѣкото-
рымъ остаткомъ АіД)', слѣдов., въ сторокѣ АВ она содержится два раза
съ тѣмъ же остаткомъ А*В, а это значитъ, что первый остатокъ содер-
жится въ сторонѣ квадрата два раза съ остаткомъ А*В. Если проведемъ
А4В4 перпендикулярно къ АВ, то прямоугольный равнобедренный тре-
угольникъ А4В4В можно разсматривать какъ половину квадрата, кото-
раго сторона есть второй остатокъ а діагональ — линія В^В-, а изъ
прежде сказаннаго слѣдуетъ, что второй остатокъ А^В содержится
въ сторонѣ А^В, т.-ѳ. въ первомъ остаткѣ, два раза съ новымъ остат-
комъ.
Разсуждая такимъ образомъ далѣе, заключаемъ, что каждый остатокъ
содержится въ предшествовавшемъ остаткѣ два раза съ новымъ остат-
комъ, и потому линіи АВ и ВВ несоизмѣримы.
Если означимъ чрезъ а и й сторону и діагональ квадрата и чрезъ п,
г9, гз—« послѣдовательные остатки, то
гі^а+г,; п=2гі+г8; г,=2г2=гя;
сіѣдовательво
2-1
Если примемъ въ расчетъ пять членовъ этой непрерывной дроби, то
иаходниъ — = 1,41428.
ГЛАВА V.
Подобіе прямолинейныхъ Фигуръ.
Подобіе треугольниковъ.— Подобіе многоугольниковъ.— Нѣкоторыя положенія о
треугольникѣ.—Гармоническое дѣленіе.—Задачи.
Подобіе треугольниковъ.
§ 55. Треугольники ЛВС и Л.^,0^ (черт. 85), которыхъ
В	углы соотвѣтственно ракны, называются
подобными. Стороны, лежащія противъ
равныхъ угловъ, называются сходствен-
ными.
Подобіе обозначается ипогда знакомъ ею;
Черт. 85. такъ, папр., л ЛВС ею А Д^СІ озна-
чаетъ, что треугольники ЛВС и ЛІВІС1 подобны.
Изъ опредѣленія подобія треугольниковъ слѣдуетъ:
1. Два треугольника, имѣющіе по два соотвѣтственно равныхъ
угла, подобны (§ 40 слѣдствіе 3).
2. Если въ треугольникѣ ЛВС (черт. 86)
параллельно сторонѣ ЛС, то отсѣченный
треугольникъ ВВЕ и треугольникъ ЛВС
подобны, потому что по § 35 / ВЕЕ =
/ ВЛС и / ВЕБ =/_ ВС А., какъ углы
соотвѣтственные.
проведемъ линію ІЖ
в
Черт. 86.
— 59 —
§ 56.	Теорема. Въ подобныхъ треугольникахъ сходственныя сто-
ѵоны пропорціональны.
Черт 87.
Положимъ, что въ і росольникахъ АВС и АХВХСХ (черт. 87)
А=АИ В=СВХ и С=СХ\ требуется доказать, что
АВ АС = ВС
АХВХ А^ ВгС['
Доказ. Отложимъ на АВ в АС части АВ и АЕ, соотвѣтствен-
но равныя А^ и АгС13 и соединимъ В и Е; треугольники АВЕ
к А^Ц, имѣя по двѣ стороны и по углу между ними равными,
равны (§ 15); слѣдов. / Вг =/_ АВЕ, и какъ / Вх В, то
^/5=^/ АВЕ. а потому линіи ВЕ и ВС параллельны (§ 33).
Вслѣдствіе этого (§ 50) будемъ имѣть
АВ_АС_ АВ _ АС
А1)~ АЕ~ И™ Л,В, —Л,С,'
Доказавъ пропорціональность сторонъ, заключающихъ равные
углы А и Ах (черт. 87), можно подобнымъ же образомъ доказать
пропорціональность сторонъ, заключающихъ равные углы В і Д.
Для этого наложимъ треугольникъ АІВХС1 (черт. 88) иа треуголъ-
вивъ АВС такъ, чтобы уголъ
Вх совпалъ съ угломъ В а	Ч
треугольникъ АІВ1С1 принялъ т/ \ а
положеніе ВВС. Такъ какъ д
^АХ=^_ВЕС и /_АХ=/_А.	черт. 88 А‘	°
то /_А~/_ВЕС, а потому линіи ЕС в АС параллельны. Вслѣд-
ствіе этого будемъ имѣть
АВ_ ВС АВ ВС
ВГ~ ВѲ А,В~ В&
— 60 —
Соединивъ эту пропорцію съ прежде полученною, находимъ
АВ _ ЛС ВС
АгВу АуС^ВуСу
что и требовалось доказать.
Изъ ЭТОГО
н/икаап АВС
в
Черт. 89.
предложенія слѣдуетъ, что въ подобныхъ треуголъ-
И А1В1С1 (черт. 89) высоты ВВ и ВуВу пропор-
ціональны сторонамъ, потому что
треугольники АВВ и Л1В1РХ, въ
которыхъ / А =/СА, по положенію
и ^_АВВ=^_ АД)уВх, какъ углы
Прямые,—подобны; слѣдов.
АВ

§ 57.	Теорема. Треугольники, которыхъ стороны пропорціоналъ-
ны, подобны между собою.
Положимъ, что въ треугольникахъ АВС и АХВХСХ (черт. 90)
АВ ВС АС	. „ х .
=	ТР^У6™ доказать, что / А = / Ах;
АВ=АВі, ^0=^-
Доказ. Отложимъ на АВ часть ВВ = А1В1 и проведемъ линію
ГО параллельно сторонѣ АС. Треугольники АВС и ВВС по-
добны, и потому по предыдущему §
АВ ВС АС
ГБ=В6 = Рв- ГРавНЕІІЪ
пропорціи съ данными пропорціями
АВ ВС АС
ал=в&=АС[ и заиѣтивъ’
что ио построенію В,В=АХВХ, заключаемъ, что ВС =В1Сг,
ГО= АуСу. Слѣдов. треугольники ВВС и А^ВуСу, имѣя всѣ
стороны соотвѣтственно равными, ио § 18 равны между собою, и
потому / Д =^_Г —^_А\ / С, =21 О ~Д_С и / В} В.
В
А
Черт. 90.
— 61 —
§ 58.	Теорема. Два треугольника, имѣющіе яо равному углу,
заключенному между пропорціо-
нальными сторонами, подобны, ме-	в
жду собою.	/\	ві
Положимъ, что въ треугольна- т/ \&	/\
кахъ АВС и ДВ,^ (черт. 90)	А^---------____________Ас
Черт. 90.
требуется доказать, что ХА=Х.Ах и ДС=ХС
Доказ. Отловимъ на АВ часть ВВ—АД^ я проведемъ линію
В(! параллельно сторонѣ АС. Треугольники А ВС и ВВС подобны,
а потому (§ 55)
АВ _ ВС
ВВ ВО
„	.	. АВ ВС
Сравнивъ эту пропорцію съ данной пропорціею -7-=- = и за-
мѣтивъ притомъ, что по построенію ВВ=АгВи заключаемъ, что
ВС=В1С1\ слѣд. треугольники ВВС и ДДС^, имѣя двѣ сто-
роны и уголъ между ними равными, по § 15 равны, и потому
/_АХ=^В=^А и
§ 59.	Теорема. Два треугольника, которыхъ стороны взаимно
параллельны, подобны между собою.
Доказ. Чтобы доказать это предложеніе независимо отъ взаимнаго
положенія треугольниковъ, пусть будутъ А, Ву С углы одного и
А, Ві, Сг соотвѣтственные углы другого треугольника, такъ что
стороны одноименныхъ угловъ, напр. А и взаимно параллель-
ны. По § 40 Л-4-Ь’—С'--2'-/ и +^=2^, слѣд. (.4+4)4-
(В-|-В1)-|-(С-|-С1)і==4й. Если бы уголъ А не равнялся углу Аг,
то по § 38	но въ такомъ случаѣ остальные два угла
В и С, по § 40 слѣдствіе 3, не могутъ соотвѣтственно равняться
угламъ Вх и Сх', если же В не равняется Вп то (§ 38) В-^-В^
2й. Сложивъ	и В+Вх«24, находимъ (Л4-Д)4-
— 62 —
(В-рВі)=4л!, что противорѣчитъ равенству (Л-{-Л1)-|-(В-|-В1)-|-
(0+0!)=^.
Изъ этого слѣдуетъ, что	В—Вг, слѣдов. и С=СГ
§ 60.	Теорема. Два треугольника, которыхъ стороны взаимно
перпендикулярны, подобны между собою.
Доказ. Чтобы доказать это предложеніе независимо отъ положе-
нія треугольниковъ, пусть будутъ Л, В, С углы одного и Д, В15
С\ соотвѣтственные углы другого треугольника, такъ что стороны
одноименныхъ угловъ, налр. А я Д, взаимно перпендикулярны.
Такъ какъ (Л-|-Л1)-{-(В-|-В1)-|-(СЧ-С1)«4(і и соотвѣтственные
углы по § 39 или равны, или составляютъ вмѣстѣ 2(2, то заклю-
чаемъ, какъ въ предыдущемъ §, что Л=Лг, В—Вх и С=Сг.
§ 61.	Теорема. Если гипотенуза и катетъ одного прямоуголъ-
паю треугольника пропорціональны
Черт. 88.
Показать, что А=Аг и С=Сг.
гипотенузѣ и катету дру-
гого, то такіе треугольники
подобны.
Положимъ, что въ прямо-
угольныхъ треугольникахъ
АВС и Л1В1С^ (черт. 88)
АВ АС .
4^=2^’ уется
Доказ. Отложивъ на АВ часть ВВ=АХВХ и проведя линію ЕС
АВ АС
параллельно АС, находимъ по § 56 ~вр~ р@'
л	«	ЛВ АС
Сравнивъ эту пропорцію съ данной пропорціею	И
замѣтивъ притомъ, что по построенію ЕВ=АХВХ, находимъ ЕС=
АХСХ, слѣдов. пряиоугольные треугольники ЕВС и АХВХСХ, имѣя
по гипотенузѣ и но одному изъ катетовъ равными, по § 25 равны,
я потому
Д_АХ=Д_Е= ЛА и /ДД=/С=^С.
— 63 —
§ 62.	На свойствѣ подобныхъ треугольниковъ основано устрой-
ство снаряда ічерт. 91), называемаго дѣлительнымъ циркулемъ
(сотрав йе гёсіисііоп) и служащаго для раздѣленія линіи на нѣ-
сколько равныхъ частей. Чтобы раздѣлить съ помощью этого цир-
куля линію АВ, напр., на 3 равныя части, передвигаемъ винтъ ₽
вдоль прорѣза аЬ на такое разстояніе отъ М, чтобы МР=ЗРВ;
мѣсто, въ которомъ должно остановить винтъ Р, обозначается циф-
рами, доставленными вдоль прорѣза аЬ. Установпвъ и укрѣпивъ
винтъ въ надлежащемъ мѣстѣ, растворяютъ циркуль такъ, чтобы
разстояніе точекъ Л и № равнялось линіи АВ; тогда разстояніе
точекъ В ъ С будетъ третья часть отъ АВ.
Вмѣсто этого циркуля употребляется также приборъ (черт. 92),
называемый пропорціональнымъ циркулемъ (сот-	<<
раз бе ргорогііоп). Онъ состоитъ изъ двухъ рав- <	\
иыхъ линеекъ, вращающихся около шарнира О\	г \
линейка раздѣлены па одянаковое число равны і 1
частей, обозначенныхъ цифрами. Съ помощью этого ЙЯ Да
циркуля можно опредѣлить линію, которая была Л/ шВ
бы въ данномъ отношеніи къ данной линіи. Но- Черт. 92.
лежимъ, напр., что требуется опредѣлить лппію, которая относи-
лась бы къ данной лиши какъ 3 : 10; для этого раскрываютъ цир-
куль такъ, чтобы разстояніе двухъ точекъ, обозначенныхъ цифрою 10,
равнялось данной линіи, тогда разстояніе двухъ точекъ, обозначая-
ныхъ цифрою 3, будетъ искомая липія
— 64 —
Яа томъ же началѣ основано устройство масштаба (черт. 93).
Онъ состоитъ изъ линейки, раздѣленной на нѣсколько равныхъ частей
АВ, ВЕ, ЕС..., представляющихъ принятую единицу иасттаба.
Линія АС, такъ же какъ и линія АВ, раздѣлена на 10 равныхъ
частей; чрезъ точки дѣленія А С проведены линіи, параллельныя АВ,
а чрезъ точки дѣленія АВ—линіи, параллельныя линіи С1. Изъ
устройства масштаба видно, что двѣ послѣдовательныя поперечныя
линіи, напр. 43 и 54, отсѣкаютъ отъ параллельныхъ линій, про-
веденныхъ вдоль линейки, десятыя части принятой единицы, между
тѣмъ какъ части этихъ параллелей, содержащіяся между линіями
12	3	1
СА и С1, будутъ равняться	линіи Л1. ни
2	3
100 ’ ІОО"’’ лРИЕаТ0Й
Чтобы съ помощію масштаба измѣритъ длину данной линіи, на-
кладываютъ ее съ помощью циркуля на одну изъ параллельныхъ
линій масштаба такимъ образомъ, чтобы концы циркуля совпадали
приблизительно съ двумя точкаии дѣленія, напр. В и М\ очевидно,
что линіи МВ состоитъ: 1) изъ т.-е. изъ двухъ единицъ, 2)
изъ МР, т.-е. изъ пяти десятыхъ единицы, и изъ Рф, т.-е. изъ
четырехъ сотыхъ единицы; слѣдов. Л€Ѵ=2,54.
§ 63. Теорема. Линія, дѣлящая уголъ треугольника пополамъ,
дѣлитъ противоположную сторону на части, пропорціональныя
двумъ другимъ сторонамъ.
— 65 —
Положилъ, что линія ВВ ^черт. 94) дѣлитъ уголъ В треуголь-
ника АВС пополамъ, т -е. /ЛВБ=
Е
/ ВВС, требуется доказать, что	л
АР АВ	/
ВС ~ ВС	I
* ® /С
Доказ. Продолжимъ сторону АВ	черт. 94
и проведемъ линію СЕ параллельно
сторонѣ ВБ. По § 35 ^ВВС=^АВ-0 и ^ВСЕ~- _
и такъ какъ по положенію / АВВ~Д_ ВВС, то / ВЕС=
^/_ВСЕ\ слѣд., ВС^=ВЕ (§ 22). Вслѣдствіе же параллельности
лшій ЕС и ВБ,	(§ 50), и такъ какъ ВЕ=ВС, те
аЭС вв
АВ АВ
ВС~ ВС
Обратная теорема. Линія ВБ (черт. 94), дѣлящая сторону АС
на части пропорціональныя сторонамъ АВ и ВС, дѣлитъ уголъ
В пополамъ.
Положимъ, что ^-=41^ требуется доказать, что X АВБ=
1>ѵ І5 ѵ
X ВВС.
Доказ. Вслѣдствіе параллельности линій ВБ и ЕС имѣемъ (§ 50)
АВ АВ .
Сравнивъ ѳту пропорцію съ данной пропорціей, за-
1)С ВлѢ	1
ключаемъ, что В( -ВЕ, т.-е. что треугольникъ СВЕравнобедрен-
ный и ^/ВСЕ^В-ЕС. Но по § 35 /АВВ=/ЪЕСъ /БВС=
Д_ВСЕ\ слѣдоват., ^АВВ=ДБВС.
§ 64. Теорема. Перпендикуляръ, опущенный изъ вершины пря-
мого угла на гипотенузу, есть средняя пропорціональная между
А Давидовъ. Геометрія.	5
— 66 —
отрѣзками гипотенузы. а каждый изъ катетовъ есть средняя
пропорціональная между гипотенузою и прилежащимъ отрѣзкомъ.
С
Черт. 95.
Положимъ, что въ примоугольномъ тре-
угольникѣ АВС (черт. 95) СВ есть пер-
пендикуляръ, опущенный изъ вершины
прямого угла на гипотенузу АВ\ требуется
доказать, что
ЛР _ 2)0 ЛБ _ЛС АВ СВ
ВС ~ ВВ ’ АС~~ АР Я СВ ВВ
Доказ. Прямоугольные треугольники АВС и АСВ, имѣющіе
общій уголъ А, по § 40 слѣдств. 3, равноугольны, слѣд. ^АВ С=
Х_АСБ. Равнымъ образомъ прямоугольные треугольники АВС и
ВСВ, имѣющіе общій уголъ В, также равноугольны, и потому
/ВАС=ХВСБ. Изъ этого слѣдуетъ, кто оба треугольника АСЕ
и СРВ подобны треугольнику АСВ, и потому они подобны между
собою.
Изъ подобія треугольниковъ АСВ и ВСВ слѣдуетъ (§ 56):
АР ВС
РС ~ ВВ
Изъ подобія треугольниковъ АВС и АВС слѣдуетъ:
АВ __ АС
АС ~ АР
Наконецъ, ивъ подобія треугольниковъ АВС и БСВ слѣдуетъ:
АВ СВ
СВ ~ ВВ
— 67 —
Взявши произведенія среднихъ и крайнихъ членовъ, находимъ*.
В(^=АВА>Н\ АС2—АВ.АІ) и СВ2=АВ.ВВ.
Если раздѣлимъ почленно второе равенство на • третье, то по-
лучивъ'
АС2 АВ
СВ2 ~ РВ
т.-е. квадраты катетовъ относятся между собою, какъ отрѣзки
гипотенузы.
§ 65.	Теорема. Квадратъ гипотенузы равняется суммѣ ква-
дратовъ двухъ катетовъ.
Доказ. Сложивъ почленно два равенства,
найденныя въ предыдущемъ §,
АС*=АВ.АР и СВ2=АВ.ВВ,
находимъ:
АС2-]~СВІ=АВ.АВ^АВ.ВВ=
Черт. 96.
АВ.(АР^-РВ).
Но такъ какъ АВр~ВВ=АВ, то АС?-{-СВа=АВ3.
Съ помощью этого соотношенія между гипотенузою и кате-
тами можно опредѣлить гипотенузу, когда оба катета даны:
АВ—у'АС'-^-СВ'2., и катетъ, когда гипотенуза и другой иатеть
даны: АС=у^АВ2—СВ\ т.-е. гипотенуза равна квадратному
корню изъ суммы квадратовъ двухъ катетовъ, а катетъ равенъ
квадратному корню изъ разности квадратовъ гипотенузы и другого
катета.
§ 66.	Теорема. Въ косоугольномъ треугольникѣ квадратъ сто-
роны, лежащей противъ остраго угла, равняется суммѣ ква-
дратовъ двухъ другихъ сторонъ, безъ удвоеннаго произведенія
основанія на отрѣзокъ его отъ вершины остраго угла до вы-
соты.
5*
— 68 —
9
Черт. 97.
Положимъ, что въ треугольникѣ АВС
(черт. 97) А есть острый уголъ, линія
АС—основаніе и ВР—высота; требуется
доказать, что
ВС*=ДВ^-АС*—2АС.АВ.
Доказ. Изъ прямоугольныхъ треугольни-
ковъ ВВС и ВВА находимъ по предыдущему §:
ВС2=ВВ2-^ВС2 и ВВ2=АВ2—АВ2
Кромѣ того ВС=АО—АВ; слѣд.,
РСз=(ЛС—АВ)2=АС2+АВ2—2АС.АВ.
Вставляя въ уравненіе ВС2 = ВВ2-\-ВС2 вмѣсто ВВ2 и ВС®
найденныя выраженія и сокративъ, получимъ:
ВС2=АВ2+Л С2-2А САВ.
§ 67.	Теорема. Въ тупоугольномъ треугольникѣ квадратъ сто-
роны, лежащей противъ тупого угла, равняется суммѣ квадра-
товъ двухъ другихъ сторонъ, сложенной съ удвоеннымъ произведе-
ніемъ основанія на отрѣзокъ его отъ вершины
тупого угла до высоты.
Положимъ, что въ треугольникѣ АВС (черт.
98) А есть тупой уголъ, линія АО—основаніе,
а ВВ—высота; требуется доказать, что
В(^АВ*+АС*+2АС.АВ.
Доказ. Изъ прямоугольныхъ треугольниковъ ВСВ и ВВА имѣ-
емъ (§ 65):
ВС^ВВ^+ВС2 и ВВ^АВ2—АВ2.
Кромѣ того ВС~АС-\-АВ; слѣд., ВС2 = (АС^АТ)\-=АСГ2-\-
АВ2-і~2аС.АВ. Вставивъ въ урав. ВС2 = ВВ3-^ВС3 вмѣсто
ВВ2 и ВС2 найденныя выраженія и сокративъ, находимъ:
ВС*=АВ2+А С*+2А С.АЛ.
- 69 —
§ 68.	Теорема. Во всякомъ параллелограммѣ сумма квадратовъ
діагоналей равняется суммѣ квадратовъ четы-
рехъ сторонъ его.
В	с
Положимъ, что АНСВ (черт. 99) есть парал-
іелограммъ; требуется доказать, что	/ I/
АВ^ВС2-^ СВ2-\-ВА2.	лДт X/
Доказ. Опустимъ изъ точки В перпендику- Черт 9911
ляръ па сторону АВ и изъ точки С перпенди-
куляръ на продолженіе ея. По § 66 имѣемъ:
ВВ2=> АВ2+ЛО2—2 АВ. АЕ
а по § 67:
АС-=СВ2^-ВА^ВА.ВЕ.
Такъ какъ прямоугольные треугольники АВЕ и ВСЕ имѣютъ
равныя гипотенузы АВ а СВ а равные катеты ВЕ и СЕ (§ 37),
то по § 25 они равны между собою; слѣдов. АЕ=ВЕ. Вслѣдствіе
итого при сложеніи почленно двухъ предыдущихъ уравненій члены
2ВА.АЕ и 2ВА.ВГ сократятся, и если замѣнимъ сторону АВ
равною ей стороною ВС^ то получимъ:
ві>94- А С2=АВ2-^В С24- <7Л24-В А2.
Подобіе многоугольниковъ.
§ 69.	Два многоугольника АВСВЕ и АДЗДДВД^ (черт. 100)
съ одинакимъ числоиъ сторонъ,
имѣющіе углы соотвѣтственно рав-
ные и стороны соотвѣтственно
пропорціональныя, называются по-
добными» Пропорціональныя сто-
роны называются сходственными.
Черт. 100.
— 70 —
Если отъ какой-нибудь точки К внутри многоугольника АВСВЕВ
(черт. 101) проведемъ линіи ко всѣмъ вершинамъ его и раздѣлимъ
В	эти линіи въ точкахъ ДДСі на
пропорціональныя части такъ, чтобы
\	А А. ВВг ССг
* АГК ~ вхк~ с,к~”'
Е	Е
„	1Л1	то, соединивъ точки А,. В,, С,..., со-
Черт. 101.	’	Х1 11 1 ’
ставимъ многоугольникъ А} Вг С1В1Е1ЕІІ
подобный многоугольнику АВСВЕЕ. Въ самомъ дѣлѣ, стороны
двухъ многоугольниковъ по § 50 соотвѣтственно параллельны и
потому соотвѣтственные углы, какъ углы съ параллельными сторо-
нами, равны ВСЕ и В^К, КСВ и К(\Вг и т. д.; слѣд.:
ЛВСКсо&В&К, ^АВЕсп&А^К
и отсюда
АВ _ ВК = ВС СЕ = СВ = ВК~
ДД ~ ВіК ~В1С1 “ С±Е ~ С.В, ~ в;к"
или
АВ = ВС = СВ_
ДД В& С^В,"'
т.-е. стороны пропорціональны.
Дм черченія подобныхъ многоугольниковъ употребляется сна-
о	рядъ (черт. 102), называемый пантоіра-
]Г''Х	фомъ. Онъ состоитъ изъ четырехъ лине-
I \ \Ь екъ ОхѴ, аР, а2И, ЕА, соединенныхъ
""""""И «Ж \ между собою въ точкахъ М, а, Р и Е
I I \ '^>в такъ, что линейки свободно могутъ вра-
вк Лр \/ щаться около этихъ точекъ. Притомъ сна-
1 А рядъ имѣетъ такое устройство, что А1а=
Черт 102	и МЕ~Рау и что точки О, а и
А лежатъ на одной прямой линіи. Оче-
видно, что вслѣдствіе этого аАІЕР, при всѣхъ возможныхъ поло-
— 71 —
женіяхъ линеекъ, остается всегда параллелограммомъ, и линейки
ОЯ и аР, равно как*ь линейки аМ и Л.У, всегда параллельными
между собою. Предполагая точку О неподвижною, положимъ, что
точка А опишетъ какую-нибудь прямую линію АВ\ тогда точйа а,
очевидно, опишетъ также прямую линію ай, параллельную первой и
находящуюся съ ней въ постоянномъ отношеніи, равномъ отношенію
ОА 0^ Лл
~Оа ИЛИ ОМ Слѣдовательно, если точку А вести по периметру
какого-нибудь многоугольника, то точка а опишетъ подобный ему
многоугольникъ; соотвѣтственныя стороны этихъ двухъ многоуголъ-
НИКОВЪ будутъ ВЪ ПОСТОЯННОМЪ отношеніи
Чтобы можно было произвольно измѣнять это отношеніе, че-
тыре линейки снабжены равноотстоящими другъ отъ друга ды-
рочками, которыя позволяютъ увеличивать и уменьшать длины аМ
и Л7-Ѵ.
$ 70. Теорема. Периметры подобныхъ мшпоуъолъниковъ про-
порціональны сходственнымъ второ-	в
намъ.	в,
Положимъ, что многоугольники
АВСРЕ и	(черт. 100)
подобны; требуется доказать, что
АВ + ВС + СР 4- ЯЕ 4- ЕА АВ
А1в1-\-вх с14-С'1р14-Л Д4“-®14“ 4Д*
Дока*. Ивъ опредѣленія подобія многоугольниковъ слѣдуетъ:
АВ	ВС	СР _ РЕ ЕА
АгВг Вг С~ СгРг ~ Ё^А‘
12
е отсюда
АВ + ВС + СВ 4- БЕ + ЕА АВ
А^В^Ву д+ двт+в, д+Хд“ ДД
$ 71. Теорема. Діагонали, проведенныя изъ соотвѣтствен’!'><-тъ
угловъ двухъ подобныхъ многоугольниковъ, раздѣляютъ ихъ на
одинаковое число подобныхъ и сходственно расположенныхъ тре-
угольниковъ.
Положимъ, что многоугольни-
ки АВСВЕЕъ АД^СД^Е^
(черт. 103) подобные, т.-е.
углы А, В, С, В, Е и Е
соотвѣтственно равны угламъ
А, Д, Си Д, Д и Д и
стороны 4В, ВС, СВ, ВД
ЕЕ и ЕА соотвѣтственно проиорціональны сторонамъ АД^, ДД,
цд, ВгД, ДД и ДА» требуется доказать, что
Д АВСо* А А-Д Д; А АСБоь А А СД\;
А АБЕсо А АДД; А АЕЕсо А ДДД.
Доказ. Въ треугольникахъ АВС и 4ДД по положенію
,п АВ ВС.
^В — Д_Вг и -т-р- =	~» слѣд. эти треугольники подобны
АДЗ^ Ві Д
е 58 >
Изъ ш добія же этить треугольншовъ слѣдуетъ, что / ВСА
а какъ по положенію ^.С-.то /_АСО^
, Л „ п	АС СВ
УАІС1Ѵ1; кромѣ того 7 д = и вагъ по положеніе
А} Д ДВу
ВС СВ АС СВ
БТГ^ТГК' 10 ттг-лтгі алѣдовательно треугольники АСВ
В] Со| С’уІУі А^ Д Д х/|
 А1С1ВІ подобны (§ 68).
— 73 —
Таккмъ хе образомъ доказывается подобіе и слѣдующихъ тре-
угольниковъ.
Изъ сказаннаго въ этомъ § слѣдуетъ, что діагонали подоб-
ныхъ многоугольниковъ пропорціональны сходственнымъ сторо-
намъ.
Обратная теорема. Если два многоугольника АВСВЕЕ и
АгВ1С1В1Е1Е1 (черт. 103) діагоналями раздѣляются на одинако-
вое число подобныхъ и сходственно расположенныхъ треугольниковъ,
то такіе многоугольники подобны.
Положимъ, что Д АіВ^і <х> Д АВС, А АСВ ею д А^В^
и т. д.; требуется доказать, что ^А=^Аг, ^.В—^Ву и т. д.,и
АВ ВС СВ
А1В~В1С1~СІРІ К Т' ’•
Доказ. Изъ подобія треугольниковъ АВС и	слѣдуетъ:
Х.В=^,В1 и ^ВСА=^В1С1А1\ изъ подобія же треугольниковъ
АСВ и ДСі-Оі слѣдуетъ: ^АСВ=^яА1С1В1^ а потому ^/ВСВ=~
Х.ВіСД\. Подобнымъ образомъ доказывается равенство и другихъ
угловъ.
Далѣе находимъ изъ подобія треугольниковъ АВС и АгВгСу.
АВ ВС _ АС
А^В^ в1с1 дсС
Изъ подобія же треугольниковъ АСВ и А1СІВ1 получаемъ
СВ АС. .
= слѣдов-:
АВ ВС СР
А'В]— В.СГ С.Р^
Такимъ же образокъ доказывается пропорціональность и другихъ
сторонъ.
— 74 —
§ 72. Если внутри одного изъ двухъ подобныхъ многоугольниковъ
Черт. 104.
АВСВЕ и АіВ'СіВіЕі (ч. 104)
беремъ произвольную точку К в,
соединивши ее съ концами какой-
нибудь стороны АВ, составимъ
треугольникъ АВК, затѣмъ надъ
сходственною стороною ЛіД со-
ставимъ треугольникъ А^В^К^ ему
подобный и одинаково съ нимъ
расположенный, то точка Кх, та-
кимъ образомъ опредѣленная, на-
вивается соотвѣтственною точкою К.
Линіи НК и НхКі, соединяющія двѣ взаимно соотвѣтственныя точки
называются соотвѣтственными линіями.
Теорема. Если изъ соотвѣтственныхъ точекъ двухъ подобныхъ много-
угольниковъ проведемъ линіи ко всѣмъ вершинамъ ихъ, то многоугольники
раздѣлятся на одинаковое число подобныхъ и сходственно расположен-
ныхъ треугольниковъ.
Положимъ, что въ подобныхъ мно-
гоугольникахъ (черт. 105) АВСВЕ и
АХВХСХВХЕХ точки К и КХ суть точки
соотвѣтственныя, т.-е. А АВК ею
Д АіВіК^ требуется доказать, что
Д ВК С ею Д ВХКХ Сі; А СКВ ею
А СіКіВі и т. д.
Доказ. Изъ подобія многоугольниковъ н подобія треугольниковъ АВК
 А^Кі слѣдуетъ:
1)	/	А&Сі и ^АВК = /. АіВіКь а потому А КВС~
г адсі;
АВ ВС АВ ВК	ВС ВК
2)	л,Х=гГсІи = и ”отому я,с, = ад" Д0Е' тре'
угольники ВКС и ВХКХСХ подобны (§ 58).
Такимъ хе образомъ доказывается подобіе и другихъ треугольни-
ковъ.
Теорема. Соотвѣтственныя лииіи пропорціональны сходственнымъ сто*
ранамъ.
(О
Положимъ, что К и Ки Н и
Ні (чертежъ 106) суть соотвѣт-
ственныя точки двухъ подобныхъ
многоугольниковъ АВСІЖК н
АіВіСіВіЕ^ т.-е. Д АВК
ео А -4і2М\ 11 А АВН о©
А А^В^Ні, требуется доказать,
КН А И
,то КхНі АД^'
Доказ. Изъ подобія треугольниковъ АВК и А^В^К^, АВН и Лі-В^
слѣдуетъ 1) / ВАК ВгАіКі и Д ВАН=^ В^Нъ и потому
/Н4К-/ЯМЛ; 2)^-^ и	и -ому
СаѣД0В-> треугольники АПК и А&Кі подобны (§ 58).
„	х	КН АК
Изъ этого слѣдуетъ, что	и такъ какъ по положенію
АК _ АВ КН _ АВ
АгКі ~ ЛГйГ’ 10 '«ѴЛ ДА ‘
Центромъ подобія двухъ подобныхъ многоугольниковъ называется
вообще точка, тавимъ образомъ расположенная относительно ихъ, что
прямая, проведенная изъ нея въ какую-нибудь точку одного многоуголь-
ника, проходитъ чрезъ соотвѣтственную точку другого.
Если изъ какой-нибудь точки
ко всѣмъ вершинамъ много-
угольника АВСВ м, продол-
живъ ихъ, проведемъ Аг Ві и
А^В^ параллельно АВ; Ві Сх
и В^Сц параллельноВС; С^]\
и С8Ві параллельно СВ:
АіВі н параллельно
АВ, то составятся два мно-
гоугольника Аі Ві Сі В, и
А^ВзС^В^ подобные много-
0 (черт. 107) проведемъ прямыя линіи
В
Черт. -107.
угольнику АВСВ (§ 69), которыхъ общій центръ подобія будетъ О.
Когда многоугольники АВСВ и АіВіСіВі расположены такъ, чте
соотвѣтственныя точки лежатъ по одной сторонѣ центра подобія О, то
этотъ центръ называется внѣшнимъ; «когда же многоугольники АВСВ и
А^ВіС^Ві расположены такъ, что соотвѣтственныя точки лежатъ по
разнымъ сторонамъ центра подобія О, то этотъ центръ называется вну-
треннимъ.
76 —
Нѣкоторыя предложенія о треугольникѣ
§ 73. Теорема. Сумма квадратовъ двухъ сторонъ АВ и ВС треуголъ-
В	ника АВ С (черт. 108) равняется двойному ква-
драту линіи ВВ, соединяющей вершину тре-
/	\	угольника съ срединой основанія, сложенному съ
д ✓	\	двойнымъ квадратомъ половины основанія, т.-е.
Л Е В	**
Черт. 108.	А^+В^ВІ»+2А№.
Доказ. Опустивъ изъ вершины В перпендикуляръ ВЕ иа сторону АС,
находимъ изъ остроугольнаго треугольника АВВ (§ 66):
АВ*=ВВ*+ВА*—2АВ . ЕВ,
а изъ тупоугольнаго треугольника ВСВ (§ 67):
ВФ=ВІР+СВ*+2ВС. ЕВ.
Сложивъ почленно этн два уравненія н замѣтивъ, что ВС= АВ, на-
ходимъ:
АВ^ВС^ВВ^АВ^.
Если въ какомъ-ннбудь четыреугольникѣ АВСВ (черт. 109) проведемъ
С	діагонали АС и ВВ, средины ихъ В и М
соединимъ между собою, наконецъ прове-
.//•	демъ линіи ЬС и ВА, то по предыдущему
И/ ••	\ находимъ изъ треугольника АВВ:
В\~ Т/ь	п	А№ \-АТА=2ВІА^2АІА,
а изъ треугольника ВСВ:
А	ВС*-\-СВі=2ВІА+2СІ>.
Черт. 109.	Сложивъ почленно эти два уравненія я
замѣтивъ, что 4-ВІЛ = (2ВВ)* = ВВ1, на-
ходимъ:
АВ^-ВО-^СВ^А-АВ^ВВ^^АВ^СІА).
Но изъ треугольника АВС иолучаемъ:
С1А=2 АЖ+2МВ*
или умноживъ иа 2:
2( А&+ СВ*)=±	А С^МІЛ.
Вставляя это выраженіе въ предыдущее уравненіе, находимы
СЧ- СВ*+АВ*=ВВ*-\-А СЪ-Н-^Ь»,
т.-е. сумма квадратовъ всѣхъ сторонъ какою-нибудь четыреугольника рав-
няется суммѣ квадратовъ ею діагоналей, сложенной съ учетвереннымъ
квадратомъ разстоянія между средииами діагоналей.
— 77 —
§ 74. Теорема. Если въ треугольникѣ АВС (черт. 110л 111) проведемъ
произвольную линію СЕ, отсѣкающую отъ каждой стороны ею деа от-
рѣзка; отъ АВ — отрѣзки АВ и ВВ, отъ ВС -— отрѣзки ВЕ и ЕС, и
В
Черт. 111.
Черт. 110.
отъ АС—отрѣзки АГ и СЕ, то произведеніе трехъ отрѣзковъ, не шю»ю>
щихъ общей вершины треугольника, равняется произведенію трехъ дру-
гихъ отрѣзковъ*);
АВ . ВЕ. СЕ^ВВ . СЕ . АР.
Доказ. Проведя СО параллельно линіи ВЕ, находимъ (§ 50)
ВЕ ВВ „	.
и -~=-— ттгг. Перемноживъ почленно эти двѣ пропорціи, подучимъ:
СЕ В(т
““ АТ> •ВЕ  №=ВІ)  СЕ ЛЕ
§ 75. Теорема. Если черезъ какую-нибудь внутреннюю точку О тре-
угольника АВС (черт. 112) проведемъ прямыя АОа,
ВОЬ и СОс, раздѣляющія каждую сторону тре-	В
угольника на два отрѣзка, то произведеніе трехъ	о,/Ѵ\
отрѣзковъ, не имѣющихъ общей вершины треуголъ- /\А \<ѵ
ника, равняется произведенію трехъ другихъ от-
рѣзкевъ;	----"4 •~^С
Ас . Ва . СЪ=сВ . аС. ЬА
Черт. 112.
Доказ. Изъ треугольника АВа, пересѣченнаго прямою Се, находимъ
на основаніи предыдущаго §: Ас . ВС- а0 =* сВ. аС. АО’, нэъ треуголь-
ника АСа, пересѣченнаго прямой ВЪ, имѣемъ: АЬ . аО . СВ~СЬ . АО .
Ва. Раздѣливъ почленно первое уравненіе иа второе, находимъ-
Ас сВ. аС	, т, у-,.	т .
-и-— тчг—ъ—> или Ас . Ва . СЬ = сВ . аС. ЪА.
АЬ Со . Ва
*) Это предложеніе, служившее основаніемъ всей тригонометріи древинхъ
приписывается греческому геометру Мепеіапя (98 по Р. X,).
— 78 —
Теорема. Если вершину В треугольника АВС (черт. 108) соеди-
нимъ съ произвольною точкою В нротивополоэю-
ной стороии, то
АВ*• СВ-^ВО . АВ—ВВ*. АС=АС . АП. ВС.
Доказ. Проведя ВЕ перпендикулярно въ АС
Е О С находивъ:
Черт 108.
1)	А&=ВЕ*+АЕ
СЕ+ЕЕ=(АС— АЕ)*+Е&,
ея
2)	ВС^АО+АЕ-ЪАС . АЕ-\-Е&.
ВВ^ВЕ^ЕВ^ВЕ^АВ—АЕ)^
ИДИ
3)	ВВ^ВЕ+АВ^АЕ—2АВ . АЕ.
Помноживъ первое уравненіе на СВ, второе на АВ, третье на АС
и вычтя третье изъ суммы двухъ первыхъ, находимъ:
АЕ . СВ+В& . АВ—ВВ*. АС*=ВЕ(СВ+АВ—АС)
+ АЕ (СВ+АВ-АО+АС* . АВ—АЕ. АС.
Члены, содержащіе ВЕ и АЕ, сократятся, и замѣіжвь. что
АО . АВ—АІ)'. АС=АС . АВ (АС—АВ)=АС . АВ . ВС,
находимъ:
АЕ . СВ+ВО . АВ-ВГГ- . АС—АС . АВ . ВС.
Это предложеніе содержитъ одно нзъ самыхъ общихъ свойствъ тре-
угольника.
Если положимъ, что треугольникъ АВС равнобедренный, т.-е. АВ-^СВ,
то предыдущее уравненіе принимаетъ видъ:
АВ\СВ+АВ)—ВВ*. АС=АС. АВ . ВС.
Замѣтивъ, что СВ-}~АВ=АС, и сокративъ на АС, находимъ для равно-
бедреннаго треугольника слѣдующее уравненіе:
А&~ВВ*=АВ. ВС.
Если положимъ, что точка В есть средина линіи АС, такъ что АВ=СВ
и АС=2АВ, то сокративъ общее уравненіе на АВ, находимъ
АЕ-гВО=2ВГГ-Е>АТГ-.
Если въ трапеціи АВСВ (черт. 113) проведемъ діагонали АС и ВВ
кромѣ того проведемъ ВЕ параллельно СВ и СЕ напаллѳльно АВ- то
— 79 —
по предыдущему изъ треугольника АСВ найдемъ:
АО . ЕВ±СО . АЕ—СЕ*. АВ=АВ . АЕ. ЕВ.
а изъ треугольника А В1):
ВВ*. АЕ±А& . ЕВ— ВЕ*. АВ=АВ . АЕ . ЕВ.
Если сложимъ почленно эти два уравненія и
замѣтимъ что	В	о
ЕВ=АЕ; СЕ—АВ; ВЕ=СВ-, ЕВ^ВС^АЕ,
то получимъ:	/	\
' (АС*+ВВі) . АЕ-СВ'-ІАВ—АЕ)	/^ХІ
— АВ* (АВ — ЕВ) = 2АВ . АЕ. ВС, и какъ А г Е ®
АВ-АЕ=ЕВ=АЕ н АВ — ЕВ = АЕ,
то по сокращеніи на АЕ находимъ:	Черт. 113.
АС*+ВВ*= СВЦ-АВ^ЧАВ . ВС.
Гармоническое дѣленіе.
§ 77. Если линія АВ (черт. 114) раздѣлена иа такія три части АВ, ВС,
и СВ, которыя со всею линіею АВ со-
ставляютъ геометрическую пропорцію. А В С	О
въ которой крайніе отрѣзки АВ и СВ
суть крайніе члены, а вся линія и сред-	Черт. 114.
л	АВ ВС
ній отрѣзокъ ВС — средніе, или наоборотъ, т.-ѳ. если = то
говорятъ, что линія АВ раздѣлена гармонически, а точки А, В, С и В
называются гармоническими*).
Чтобы раздѣлить данную линію АВ (черт. 115) гармонически, назна-
чаемъ на пей произвольную точку С или, что все равно, назначаемъ про-
извольную крайнюю часть СВ. Проведя за-	~\ р 6
тѣмъ чрезъ точку А какую-нибудь прямую
АС и чрезъ точки Си В двѣ параллели СЕ
и ВЕ, отложимъ ЕС = ЕЕ и проведемъ ВЕ	\/ 7\
параллельно С С, тогда В будетъ четвертая	\
гармоническая точка къ тремъ точкамъ А, О	р с І>
и В. Въ самомъ дѣлѣ:	„
*) Пе Іа Ніге (1685) основалъ на гармоническомъ дѣленіи теорію коническихъ
сѣченій въ духѣ древней геометріи, и чрезъ сочиненіе его названіе зесііо Ьаг-
шошса преимущественно вошло въ употребленіе.
— 80 —
АВ__АЕ_ АВ АЕ
ВС ~ЕС н СВ~ ЕЕ
и такъ какъ по построенію ЕЕ = ЕС, то	’
Положимъ, что линія АВ (черт. 114)
А|-----1—}-----)------раздѣлена тармоннчесви въ точкахъ
ОС В	в пС, и пусть будетъ О средниа ли-
ніи АС, тогда изъ трехъ линій ОВ,
Р1»	•	ОС к ОВ средняя—ОС есть средняя
пропорціональная между двумя другими ОВ и ОВ.
Въ самомъ дѣлѣ, изъ пропорціи	находимъ:
АВ+СР . АВ—СВ АВ-\-ВС АВ-ВС
2	:	2	2	:	2
Но
АВ+- СП=А С-І-2 СВ=2( О С±СВ)=2 ОВ;
ЛВ—СВ—20С; АВГВС=2ОС;
АВ—В С=А С—2 В С=2( О С— СВ)—2 ОВ,
.	ОВ ОС
«ѣд°в.:	ОС= ОВ'
Если изъ трехъ линій а, Ь я с первая относится къ третьей, какъ раз-
моетъ первой и второй относится къ разности второй и третьей, т.-ѳ. если
а: с — (а—6): (Ъ—с),
то такая аропордія называется среднею гарм&ническсю пропорціею и линія
Ъ—среднею гармоническою пропорціональною.
Взявъ произведеніе среднихъ и крайнихъ членовъ, найдемъ:
ас— Ьс=аЬ—ас;
,	, 2ас
елѣдов., средній гармонмчесян-пропоршональиый членъ Ь=—-г-— •
Если же въ пропорціи (черт. 114)	замѣнимъ ВС чрезъ
АС— АВ и СВ чрезъ АВ—АС, то найдемъ:
АВ : АВ=(АВ—АС): (АС-АВ).
Изъ этого слѣдуетъ, что три части АВ, АС и АВ линіи АВ, раздѣ-
ленной гармонически, составляютъ среднюю гармоническую пропорцію.
— 81 —
§ 78. Теорема. Если четыре линіи ОАі, ОВ^, 0(\ и 0Бі (черт. 116),
выходящія изъ общей точки О, пересѣчены какою-нибудь прямою А В, то
отрѣзки ея АВ, ВС и СВ имѣютъ то
. А1І.СВ
свойство, что отношеніе	сетъ ве-
личина постоянная, не зависящая отъ по-
ложенія линіи АВ.
Доказ, Проведя какую-нибудь линію АіВ<
и чрезъ точку А линію АД, ей параллель-
ную, находимъ изъ треугольника АсС, пе-
ресѣченнаго линіею ОВ (§ 74): АЪ. Ос. СВ
=Ъс. ОС. А в, а изъ этого же треугольника
АсС, пересѣченнаго линіею ОВ, находимъ:
уравненіе почленно на пер-
Аіі. Ос. СВ=сД. ОС. АВ. Раздѣливъ второе
вое, получимъ:
АП. СВ _ с&.АВ АІІ.СВ_______ АЪ.сЛ
АЬТІІС ~ Ьс.АТГ’ ““ А1І.ВС~ ~ЛЛ.Ъ^
Но вслѣдствіе
параллельности линій АП и АіВі имѣемъ:
АЪ _ АіВі_ сП СіВі . АЪ. сП _ А& . С^
АП ~ АіВі ; Ъс ж ВіСі ’ С1ѣдов- АП. Ъс А^. В^
я потому
АВ^СВ _ А^.СіВі
АВ.ВС~ ЛіОі.ДС’і’
что и требовалось доказать.
.	. АВ. СВ
Отво.пеше-^^
называется ангармоническимъ отношеніемъ.
Если линія АВ въ точкахъ В м С раздѣлена гармонически, т.-е.
АВ СВ л п „„	АВ.СВ
-т = „у- или АВ. СВ = АВ.ВС, то .	575 = 1; слѣдовательно всякая
Аіі ЛЪ	А1)ЛЬ
другая линія А^Ві также раздѣляется въ точкахъ В^ и Сл .гармонически.
Линіи ОАі, 0ВІ9 ОСі и 0Вх въ этомъ случаѣ называются гармоническими
лучами, а точка О—гармоническимъ центромъ.
о ,	АВ АВ АС^СВ АС..
Замѣтивъ, что -ту-, = 7777 = —7^— =	4-1, предположимъ, что АВ
ВС/ СІ} ѴІІ С-Г/
<	 нп	. АС
приближается къ параллельности линіи ОВ\ отношеніе въ такомъ
случаѣ уменьшается безпредѣльно, а потому отрѣзки АВ и ВС прибли-
зятся въ равенству. Отсюда заключаемъ, что отъ прямой, нараллельной
крайнему лучу, другіе лучи отсѣкаютъ два равныхъ отрѣзка.
Л
А. Давидовъ. Геонвтрія.
82 —
Если въ какоиъ-нибудь четыреугольникѣ АВСВ (черт. 117) продолжимъ
Черт. 117.
противоположныя стороны до ихъ пересѣ-
ченія: стороцы АВ и СВ до точки Е, а
стороцы ВС и АВ до точки Е\ то фигура,
такимъ образомъ составленная, называется
полнымъ четыреугольникомъ. Линія ЕВ1 на-
зывается также діагональю, такъ что пол-
ный четыреугольникъ имѣетъ три діаго-
нали: АС, ВВ и ЕЕ.
Теорема. Въ полномъ четыреугольникѣ
каждая діагональ дѣлится гармонически
двумя другими діагоналями.
Продолжимъ діагонали АС и ВВ до пе-
ресѣченія съ діагональю ЕЕ; требуется
доказать, что -г+т- ~ -ы-
р/
Доказ. По $ 74 имѣемъ изъ треугольника ЕАЕ, пересѣченнаго пря-
мой ВІ,
АВ.ВЕ.ЕІ — ЕВ.АВ.ЕІ
изъ треугольника ЕАН, пересѣченнаго прямой ВЕ, имѣемъ:
ЕВ.АС.НР = АВ. СН.ЕР;
наконецъ, изъ треугольника НАЕ, пересѣченнаго прямою ЕВ-.
СН.АВ.ЕЕ = А СВЕ.ЕН.
Перемноживъ почленно эти три уравненія и сокративъ равные члены,
находимъ;
НІ<\ЕІ = ЕІ.ЕН, ш	'
Ѣі Р1
Задачи.
49 Стороны треугольника соотвѣтственно равны 3, 4 и 5; опредѣлитъ
уголъ, лежащій противъ большей стороны.
60-	Лѣстница, длиною въ 10 фут., приложена къ вертикальной стѣнѣ
такъ, что основаніе лѣстницы отстоитъ отъ стѣны на 6 фут.; на какой
высотѣ находится вершина лѣстницы?
61.	Если основаніе лѣстницы отодвинется отъ стѣны еще на 2 ф., на
сколько футовъ понизится вершина ея?
— 83 —
52.	Стороны треугольника соотвѣтственно равны 10, 15 и 20; какого
-зида уголъ, лежащій приіивъ большей стороны?
53.	Периметръ прямоугольнаго треугольника равенъ и одинъ изъ
катетовъ равенъ 5, опредѣлить гипотенузу.
54.	Три стороны треугольника соотвѣтственно равны а, Ъ и с; опредѣ-
лить длину лиши /, соединяющей вершину А треугольника со срединою
противоположной стороны.
55.	Найти четвертую пропорціональную къ тремъ даннымъ линіямъ
а. Ь и с.
ГЧ>. Раздѣлить линію АВ на двѣ части въ данномъ отношеніи.
57.	Раздѣлить линію АВ на части, пропорціональныя линіямъ т, я,
Р и ?.
5ъ. Чрезъ точку А провести прямую такъ, чтобы разстоянія ея отъ
двѵхъ данныхъ точекъ В и С были въ данномъ отношеніи т : п.
59.	Даны двѣ прямыя АВ и АС и точка А внутри угла ВАС‘, найти
на прямой АС точку, равноотстоящую отъ гонки а отъ прямой АВ.
60.	Даны двѣ прямыя АВ и АС и точка сГ; провести чрезъ А прямую
такъ, чтобы части ея, отсѣкаемыя прямыми АВъ АС, были въ данномъ
отношеніи т : п.
61.	Изъ точки В проведены прямыя къ разнымъ точкамъ данной линіи
АВ\ опредѣлить геометрическое мѣсто точекъ, дѣлящихъ эти линіи въ
отношеніи т: п.
62.	Стороны параллелограмма соотвѣтственно равны 9 фут. и 3 фут.,
разстояніе же двухъ сторонъ въ 9 фут. равно 2 фут.; опредѣлить разстоя-
ніе двухъ другихъ сторонъ.
63.	Построить треугольникъ, въ которомъ три линіи, соединяющія вер-
шины треугольника со срединами противоположныхъ сторонъ, соотвѣт-
ственно равны I, Іг, 1.2.
64.	Даны діагонали 4 и параллелограмма и одна изъ сторонъ его а;
опредѣлить другую сторону.
65.	Построить иа данной линіи АВ многоугольникъ, подобный дан-
ному.
66.	Вписать квадратъ въ треугольникъ АВС.
67.	Въ треугольникъ АВС вписать прямоугольникъ, котораго стороны
ааходятся въ отношеніи т: п.
68.	Найти геометрическое мѣсто точекъ подъ условіемъ, чтобы сумма
квадратовъ разстояній каждой изъ ннхъ отъ двухъ данныхъ точенъ А и
,В равнялась данной величинѣ т2.
6*
ГЛАВА И.
Объ окружности круга.
Хорды и касательныя. Измѣреніе угловъ. Пропорціональныя линіи въ кругѣ.
Вписанные и описанные многоугольники. Относительное положеніе двухъ окруж-
жостей. Четире замѣчательныя точки треугольника. Взаимныя точки. Поляры.
Задачи
Хорды и касательныя.
§ 79. Всякая часть АСВ (черт. 118) окружности круга вазы-
I)
с
Черт. 118.
вается дугою (§ 11); линія же 4В, соединяю-
щая концы дуги и не проходящая черезъ центръ,—
хордою. Каждая хорда АВ соотвѣтствуетъ двумъ
неравнымъ дугамъ АСВ и АБВ^ составляю-
щимъ вмѣстѣ полную окружность.
Очевидно, что всякая хорда меньше діаметра,
потому что, соединивъ концы хорды А и В съ
центромъ, находимъ (§ 13) АВ<АО-\-ОВ\ но АО-\-ОВ равняется
діаметру.
Линія АВС (черт.
ъ
Черт. 119.
119), пересѣкающая окружность, называется
сѣкущею. Сѣкущая можетъ пересѣкать окруж-
ность не болѣе иакъ въ двухъ точкахъ, по-
тому что если бы оиа имѣла еще третью точ-
ку, общую съ окружностью, то три точки
прямой отстояли бы отъ точки О на равныхъ
разстояніяхъ, что противно § 30
— 85 —
Линія ЪМ (черт. 119), имѣющая только одну общую точку А’
съ оиружностью, называется касательною, общая же точка У—
точкою прикосновенія. Касательную можно разсматривать какъ сѣ-
кущую, которой двѣ точки пересѣченія слились въ одну точку.
Часть АОВС (черт. 118) круга, ограниченная дугою и двумя
радіусами, называется вырѣзкомъ или секторомъ, а часть АВС,
ограниченная дугою и хордою,—отрѣзкомъ или сегментомъ.
§ 80.	Теорема. Равныя дуги стягиваются равными хордами.
Положимъ, что (черт. 120) дуга ЛСВ=дугѣ
СЕЕ, требуется доказать, что хорда АВ=хор-
дѣ СЕ.
Доказ. Соединимъ точки Л, В, & и Е съ
центромъ и наложимъ секторъ СОЕ на секторъ
АОВ такъ, чтобы радіусъ ОС совпалъ съ ра-
діусомъ ОА и точка С съ точкою Л, тогда дуга
СЕ совмѣстится съ дугою АВ, потому что всѣ
Черт. 120.
точки обѣихъ дугъ находятся на равныхъ разстояніяхъ отъ центра.
Вслѣдствіе же равенства дугъ точка Е совпадетъ съ точкою В и
хорда СЕ съ хордою АВ.
Обратная теорема. Равныя хорды стягиваютъ разныя дуги.
Положимъ (черт. 120), что хорда ЛВ=хордѣ СЕ: требуется
доказать, что дуга ЛСВ=дугѣ СЕЕ.
Доказ. Наложимъ отрѣзокъ СЕЕ на отрѣзокъ АВС такъ, что-
бы хорда СЕ совпала съ равною ей хордою АВ\ точна С упадетъ
на точку А и точка Е на точку В. Очевидно, что дуга СЕЕ при
этомъ совмѣстится съ дугой АСВ, потому что всѣ точки какъ дуги
СЕЕ, такъ и дуги АСВ отстоятъ на равномъ разстояніи отъ
центра О.
— 86 —
§81.	Теорема* Большая дуга стягивается и большею хордою^
Черт. 121,
Положимъ (черт. 121), что дуга БЕЕ'Д?
дуги АСВ\ требуется доказать, что хорда БЕ>
хорды АВ.
Доказ. Отложимъ на дугѣ ЕЕЕ часть ЕЕСг^
равную дугѣ ВСА\ тогда по предыдущему §
&Е=*АВ. Если же соединимъ точки 2>, О и Е
съ центромъ О и замѣтимъ, что въ треугольни-
кахъ СгОЕ и ООЕ сторона ОЕ общая и ОВ=ОСг, какъ радіусы,
углы же ООЕ и БОЕ неравны, то по § 17 найдемъ ЕБД>ОЕ
или ВЕ > АВ.
Обратная теорема. Большая хорда стягиваетъ и большую дугу
Доказ. Когда одна хорда больше другой, то дуга первой пе-
можетъ равняться дугѣ второй, потому что тогда и хорды были бы
равны (§ 80), что противно положенію; но первая дуга также не-
можетъ быть меньше второй, потому что тогда, по предыдущей1
теоремѣ, и первая хорда была бы меньше второй, что также про-
тивно положенію; слѣд. первая дуга будетъ больше второй.
§ 82.	Теорема. Равныя хорды равно удалены отъ центра.
&
Черт. 122.
Положимъ (черт. 122), что АВ = ОЕГ
ОС | АВ, а' ОМ | СЕ, требуется доказать*
что ОС= ОМ.
Доказ. Соединимъ точки Л, Б, Е и С? съ
центромъ О и замѣтимъ, что треугольники АОВ
и СгОЕу въ которыхъ АВ—ОЕ по положенію*
а остальныя стороны равны, какъ радіусы, равны между собою
(§ 18); слѣд. и высоты этихъ треугольниковъ ОС и ОМ равны
(§ 24, слѣдствіе).
— 87 —
Обратная теорема. Хорды, равно удаленныя отъ центра
равны.
Положимъ (черт. 122) ОС — ОМ\ требуется доказать, что
АВ— СЕ.
Доказ. Прямоугольные треугольники АОС и ООМ, имѣющіе
равныя гипотенузы АО и 00 и по положенію ОС—ОМ, равны
между собою (§ 25); слѣдов. ЛС=(Ш; подобнымъ же образомъ
прямоугольные треугольники ВОС и ЕОМ, имѣющіе равныя гипо-
тенузы и по равному катету, также равны, а потому ВС—ЕЫ
Изъ этого слѣдуетъ, что АВ=ОЕ.
§ 83.	Теорема. Большая хорда ближе къ центру.
Пложимъ (черт. 123), что хорда ЕЕ
меньше хорды БВ, 00_^ЕЕ и ОЬ^_БВ-,
требуется доказать, что 00 > ОВ.
Доказ. Отложимъ хорду АВ, равную хордѣ
ЕЕ, и опустимъ изъ центра О перпенди-
куляръ ОС на хорду АВ. По § 82 линіи
00 и ОС равны; по ОМ, какъ наклонная,

Черт. 123.
больше перпендикуляра ОВ (§ 28); слѣдов. О(т)>ОЕ
Обратная теорема. Изъ двухъ хордъ та больше, которая ближе
къ центру.
Доказ. Когда одна хорда ближе къ центру, нежели другая, то
первая не можетъ равняться второй, потому что тогда разстоянія
яхъ отъ центра были бы равны (§ 82), что противно положенію;
но первая хорда также не можетъ быть меньше второй, потому чао
тогда по предыдущему разстояніе первой отъ центра было бы больше
разстояніи второй, что также противно положенію; слѣдов. первая
хорда будетъ больше второй.
§ 84.	Теорема. Радіусъ, перпендикулярный къ хордѣ, дѣлитъ
хорду и стягиваемую ею дугу пополамъ
— 88 —
I)
Черт. 124.
АС=СВ.
Положимъ (черт. 124), что радіусъ ОВ пер-
пендикуляренъ къ хордѣ АВ, требуется дока-
зать, что АС=СВ и дуга АВ—дугЬ ВВ
Доказ. Соединимъ точки А и В съ точ-
ками О и О, прямоугольные треугольники
АОС и ВВС, имѣющіе общій кагетъ ОС
я равныя гипотенузы, равны (§ 25), слѣдов.
Далѣе, прямоугольные треугольники АСВ и ВСВ, имѣющіе
общій катетъ СВ и по доказанному равные катеты АС и ВС,
равны (§ 23); слѣдов. АВ = ВД, и потому по § 80 дуга
Л7>==дугѣ ВВ.
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что три точки О, С и Р, т.-е
центръ, середина хорды м середина дуги, лежатъ на одной прямой,
перпендикулярной къ хордѣ Слѣдов. линія, проходящая чрезъ двѣ
жзъ этихъ точекъ, пройдетъ также чрезъ третью и будетъ перпен-
дикулярна иъ хордѣ, а линія, перпендикулярная къ хордѣ и про-
ходящая чрезъ одну ивъ этихъ точекъ, пройдетъ также чрезъ двѣ
другія точки
§ 85	Теорема. Касательная перпендикулярна къ радіусу, про-
веденному въ точку прикосновенія.
		Пусть будетъ (черт. 125) прямая АВ
/____________________касательна къ кругу въ точкѣ С, требуется
I . | В доказать, что радіусъ ОС перпендикуляренъ
\ \ кь
Доказ. Такъ какъ по положенію всякая
Ах/	точка В прямой АВ лежитъ внѣ ируга,
Черт. 125. т0 ос- слѣдов. ОС есть кратчайшее
разстояніе центра О отъ прямой АВ, кратчайшее же разстояніе
точки отъ прямой есть перпендикуляръ (§ 23)
Обратная теорема. Линія АВ, имѣющая общую точку С е»
окружностью и перпендикулярная къ радіусу ОС, есть каса-
тельная.
— 89
Доказ. Соединивъ какую-нибудь точиу Р прямой АВ съ цен-
тромъ, находимъ, что СР, какъ наклонная, больше перпендику-
ляра ОС, т.-е. больше радіуса, и потому всѣ точки прямой АВ,
за исключеніемъ точки С, лежать внѣ круга, а это значитъ, чте
линія АВ есть касательная.
§ 86.	Теорема. Дуги, содержащіяся между параллельными хор-
дами, равны.
Доказ. Положимъ, во-первыхъ, что хорды АВ и СР (черт.
126), лежащія по одной сторонѣ центра, парал-
лельны между собою; требуется доказать, что
дуга ЛС=дугѣ ВВ.
Проведемъ радіусъ ОУ перпендикулярно кь
хордѣ СР; ио параллельности хордъ линія ОХ
будетъ перпендикулярна и къ хордѣ АВ\ слѣдов.
АЕ=ЯВ и СВ—ЕВ (§ 84); вычтя почленно

к
Черт. 126.
изъ перваго равенства равенство второе, найдемъ АС—ВВ.
Положимъ, во-вторыхъ, что хорды АВ я СгРі, лежащія по
разнымъ сторонамъ центра, параллельны между собою; требуется
доказать, что АС^=ВХВ.
Продолжимъ радіусъ ОВ до пересѣченія съ дугой СгВ^ ио § 84
находимъ СДУ^ВД)^, АВ=ВВ‘, но такъ какъ полуокружности
ЛТЛУГ и равны, то АС1=ВВ1.
§ 87.	Теорема. Касательная, параллельная хордѣ, дѣлитъ въ
точкѣ прикосновенія дугу, стягиваемую хордою, пополамъ.
Положимъ (черт. 127), что касательная
СВ параллельна хордѣ АВ’. требуется дока-
зать, что АЕ=ЕВ.
Доказ. Соединивъ центръ О съ точкою
прикосновенія Е, находимъ, что радіусъ ОЕ
перпендикуляренъ къ касательной СВ (§ 85);
вслѣдствіе же параллельности линій АВ и
Черт. 127.
СВ радіусъ ОЕ перпендикуляренъ и ,иъ хордѣ АВ\ слѣдов.
АЕ^ЕВ (§ 84).
— 90 —
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что точки касанія двухъ па-
раллельныхъ касательныхъ СВ и ХЛ/ дѣлягъ окружность на двѣ
равныя части.
Измѣреніе угловъ.
$ 68. Уголъ ЛОВ(черт. 128), котораго
с ____—,	вершина находится въ центрѣ круга, пазы-
д о/І у вается центральнымъ угломъ или угломъ
V / / /х при центрѣ; уголъ СХХ, котораго вершина
находится на окружности, — угломъ при
в ъ/
окружности или вписаннымъ угломъ, а
Черт. 128. уголъ ХЛХѴ, котораго стороны карательны
къ окружности,—описаннымъ угломъ.
Дуга СХІЖЕ1, вмѣщающая въ себѣ вписанный уголъ СВЕ, на-
вивается дугою, вмѣщающею уголъ СВЕ.
§ 89.	Теорема. Равнымъ центральнымъ угламъ соотвѣтствуютъ
и равныя дуги.
Положимъ (черт. 129), что У АОВ =
Д_СОВ\ требуется доказать, что дуга АВ~
=дугѣ СВ.
Доказ. Проводя хорды АВ я СВ, замѣ-
тимъ, что иъ треугольникахъ АОВ и СОВ
утлы АОВ и СОВ по положенію равны,
стороны же, заключающія эти углы, какъ
радіусы, также раины; слѣд. эти треугольники равны (§ 15), и по-
тому АВ=СВ\ равныя же хорды стягиваютъ равныя дуги (§ 80);
слѣдов. дуга ЛВ=дугѣ СВ.
Обратная теорема. Равнымъ дугамъ соотвѣтствуютъ равные
центральные углы.
Положимъ (черт. 129), что дуга Л&==дугѣ СВ\ требуется дока-
зать, что Д'АОВ—'/СОВ.
— 91
Доказ. Изъ равенства дугъ АВ и СВ слѣдуетъ (§ 80)
равенство хордъ АВ и СВ\ слѣдов. треугольники АОВ и СОВ,
имѣющіе три соотвѣтственно равныя стороны, равны (§ 18), и
/_АОВ^/СОО.
Изъ сказаннаго въ этомъ § слѣдуетъ, что два взаимно пер-
пендикулярныхъ діаметра АВ и СВ (черт. 130),
образуя при центрѣ четыре прямыхъ угла, раз-
дѣлять окружность на четыре равныя части
АС, СВ, ВВ и АВ. Каждая изъ этихъ
частей называется четвертью окружности или
квадрантомъ.
с
о
Черт. 130.
§ 90.	Теорема. Центральные углы относятся между собою, какъ
соотвѣтствующія имъ дуги.
Пусть будутъ АОВ и СОВ (черт. 131)
два центральныхъ угла; требуется доказать,
что
^АОВ _ дуг. АВ
/_СбВ~ дуг. СВ
Доказ. Разсмотримъ два случаи
1-й случай, когда дуги АВ и СВ соизмѣримы. Положимъ,
что общая иѣра содержится т разъ въ АВ и п разъ въ СВ,
АВ т г,	е	.
такъ что	Если вообразимъ радіусы чрезъ всѣ точки
дѣленія дугъ АВ и СВ, то углы АОВ и СОВ раздѣлятся
соотвѣтственно на т и п равныхъ частей (§ 89), такъ что
АОВ =АВ
СОВ СВ
92
2-й случай, когда дуги АВ и СИ (черт. 132) несоизмѣримы
®	Отложимъ на дугѣ АВ часть АЕ=СВ,
соединимъ точки Е и О, такъ что ^АОЕ —
/ СОВ (§ 89), и докажемъ, что отношеніе
7?
= не можетъ быть ни больше ни меньше
АЕ
и	 ЛОВ
Черт. 132. отношенія -т/н-,*
АОѢ
п АВ АОВ в . г>	а	а
Пусть —п • Вмѣсто АЕ возьмемъ большую дугу А.г, такъ
АВ АОВ
, АВ АОВ п А
чтобы —-— =	Раздѣливъ дугу АВ на такія равныя части,
лЛ/ А'уЛ
чтобы каждая изъ нихъ была меньше Кс, найденъ по крайней
мѣрѣ одну изъ точекъ дѣленія между Е и х. Пусть будетъ Г та-
кая точка; тогда дуги АВ и АЕ соизмѣримы, и если соединимъ
точки Е и О, то получимъ ио доказанному
АВ ^АОВ
АЕ АОЕ’
Если эту пропорцію почленно раздѣлимъ на допущенную намк
пропорцію:
АВ АОВ
Ах	АОЕ
и сократимъ равные члены, то найдемъ:
Ах	АОЕ
~АЁж АОЕ'
А.^
Но эта пропорція не вѣрна, потому что отношеніе больше,
. АОЕ	п
а отношеніе меньше единицы. Изъ этого заключаемъ, что
АОЕ
АОВ
допущеніе ~АОЕ~ ПРИВОДИ,ГЬ къ невѣриому слѣдствію, и по-
тому не можетъ быть справедливо.
4 /7	Л О 3
Такимъ же обракомъ можно доказать, что допущеніе
— 93 —
приводитъ къ подобному же несообразному слѣдствію—стоитъ толь
ко вмѣсто АЕ взять меньшую дугу Ау и повторить предыдущія
разсужденія. Итакъ, въ случаѣ несоизмѣримости, равно какъ и въ
случаѣ соизмѣримости, имѣемъ:
АОВ АВ
АОЕ ~ АЕ
§ 91.	На предложеніи предыдущаго § основывается измѣреніе
угловъ дугами.
Всякую окружность мы воображаемъ раздѣленною на 360 рав
ныхъ частей, называемыхъ градусами, каждый градусъ на 60 ча-
стей, называемыхъ минутами, а каждую минуту на 60 частей, на-
зываемыхъ секундами * **)). Такимъ образомъ всякая окружность содер-
житъ 360 градусовъ, или 360.60=21600 минутъ, или 21600.60=
1296000 секундъ; половина окружности —180 градусовъ, или
180.60=10800 минутъ, или 10800.60=648000 секундъ; четверть
окружности или квадрантъ—90 градусовъ, или 90.60=5400 ми-
нуть, или 5400.60=324000 секундъ.
Градусъ обозначается знакомъ °, минута знакомъ ', а секувда
япакомъ такъ, напр., 57°17'44",8 означаетъ дугу круга, содер-
жащую 57 градусовъ, 17 минутъ и 44,8 секундъ *•).
Если вообразимъ радіусы ко всѣмъ 360 точкамъ, которыл дѣ-
лятъ окружность на градусы, то около центра образуется 360 рав-
ныхъ угловъ, называемыхъ угловыми градусами; каждый угловой
*) Во Франціи употребляется иногда дѣленіе окружности на 400 равныхъ
частей, называемыхъ градами; градъ дѣлится на 100 минутъ, а минута на
100 секундъ.
**) Дѣленіе окружности на 360 равныхъ частей принадлежитъ весьма древ>
нему времени; ыо раздѣленіе градуса на 60 минуть, я минуты на 60 секундъ
мы встрѣчаемъ въ первый разъ только у греческихъ астрономовъ. Число 360,
равное 2.2 2.3.3.5, представляетъ, вслѣдствіе большого числа своихъ дѣлителей,
много удобствъ въ практическомъ отношеніи; оно дѣлится нацѣло на 22 цѣлыхъ
числа.
— 94 —
градусъ дѣлится на 60 равныхъ частей, называемыхъ угловыми
минутами, каждая же угловая минута на 60 частей, называемыхъ
угловыми секундами.
Очевидно, что каждый прямой уголъ содержитъ 90 угловыхъ
градусовъ, и такъ какъ прямой уголъ имѣетъ постоянную величину,
то и угловой градусъ есть постоянная величина. Въ этомъ заклю-
чается существенное различіе углового градуса отъ дугового; дуговой
градусъ зависитъ отъ величины самой окружности, т.-е. отъ радіуса
ея, между тѣмъ какъ угловой градусъ имѣетъ опредѣленную вели-
чину. Вслѣдствіе этого, величину углового градуса принимаютъ за
одиавцу при измѣреніи угловъ.
Черт. 133.
Пусть будетъ Х31 (черт. 133) градусъ
дуги, т.-е. 360-я часть окружности, н ХОЛ/
угловой градусъ. Если положимъ, что дуга
АВ содержитъ т°,	означая чрезъ т какое-
нибудь число	цѣлое	или	дробное, то	АВ	=
Т ,г ГГ	О	ПА	^ОВ
т. ВМ. Но	по §	90	— -Т
0	X О И	ВМ
к такъ какъ уголъ ВОМ принимается за единицу, то А0В=т.
вто значитъ, что всякій центральный уголъ содержитъ столько
угловыхъ единицъ, сколько соотвѣтствующая ему дуга содержитъ
дуговыхъ единицъ. Это предложеніе выражается и такъ: централь-
ный уголъ измѣряется соотвѣтственною дугою, или уголъ равенъ
своей дугѣ. Употребляя то или другое выраженіе, нужно помнить,
что ими высказывается только то, что отвлеченныя числа, выра-
жающія отношенія центральнаго угла къ его единицѣ и соотвѣт-
ственной дуги къ ея единицѣ, равны между собою.
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что прямой уголъ измѣряется четвертью
окружности
95
§ 92. Для измѣренія угловъ,
требляется снарядъ (черт. 134), на
зываемый транспортиромъ, пред-
ставляющій полукругъ, раздѣлен-
ный на градусы; дѣленія нумеро-
ваны какъ по направленію АМВ^
такъ и по направленію ВМА. Для
измѣренія какого-нибудь углаЛОМ
начертанныхъ на бумагѣ, упо-
Черт. 134.
накладываютъ на него транспортиръ такъ, чтобы центръ его О со-
впалъ съ вершиною, а діаметръ АВ съ одной изъ сторонъ угла.
Отмѣтивъ затѣмъ точку Л/, въ которой другая сторона угла пере-
сѣкаетъ транспортиръ, отсчитываютъ число градусовъ между точ-
ками А и М.
Для измѣренія угловъ на поверхности земли употребляется при-
боръ (черт. 135), называемый астролябіей.
Она состоитъ изъ круга АВСВ, раздѣленнаго
на градусы, который устанавливается въ го-
ризонтальномъ положеніи на трехъ ножкахъ
Д _ІУ и ІУ. Каждый изъ концовъ діаметра
СВ снабженъ пластинкою съ продольнымъ
прорѣзомъ, въ которомъ натянута тонкая
нить. Къ центру круга прикрѣплена линей-
ка ВА, свободно вращающаяся по кругу
Черт. 135.
около его центра н также снабженная на кон-
цахъ пластинками, въ продольныхъ прорѣзахъ которыхъ натянуты
нити; эта линейка называется алидадою •).
Чтобы измѣрить съ помощью астролябіи какой-нибудь уголъ,
устанавливаютъ астролябію такъ, чтобы центръ круга совпалъ съ
вершиною угла и діаметръ СВ съ одной мзъ сторонъ его; совпаде-
ніе діаметра СИ со стороною угла производится тѣмъ, что кругъ
*) На кругѣ обыкновенно помѣщается еще кромѣ того буссоль.
— 96 —
устанавливается такпмъ образомъ, чтобы нити, натянутыя въ точ-
кахъ С и 2), и какая-нибудь точка разсматриваемой стороны были
видимы по одной прямой линіи; направивъ затѣмъ алидаду АВ по
другой сторонѣ угла, отсчитываютъ по кругу число градусовъ между
точками А и С.
$ 93. Теорема. Всякій вписанный уголъ равенъ половинѣ цен-
в
Черт. 136.
тральнаго угла, опирающагося на ту же
дугу.
При доказательствѣ этой теоремы различа-
емъ три случая.
1-й случай. Положимъ, что вписанный
уголъ АВС (черт. 136) составленъ изъ діа-
метра АВ и хорды ВС\ требуется доказать, что
, АОС
2
Доказ. По § 40 слѣдств. 1 имѣемъ: АОС— ОВС-{~ ОСВ\ но
такъ какъ въ треугольникѣ ОВС стороны ОВ и ОС, какъ ра-
діусы, равны, то ОСВ—ОВС (§ 20); слѣдов. ЛОС^=2ОВС,
АОС
2
или
АВС=
в
Черт. 137.
2-й случай. Положимъ, что вписанный уголъ АВС (черт. 137)
составленъ изъ двухъ хордъ АВ и ВС, между
которыми находится центръ; требуется дока-
зать, что
ЛВС=~
Доказ. Проведя діаметръ НОІ), находимъ по
АОІ) ' пп СОВ.
предыдущему. АВІ) — —— и СВО = —’
евладывая почленно эти равенства, находимъ АВВ -|- СВВ —
АОВА-СОВ	АОС
----і, или АВ(7 = ——
— 97
3-й случай. Положимъ, что вписанный уголъ АВС (черт. 138)
составленъ изъ двухъ хордъ АВ и ВС,
между которыми не < сдержится центръ О;
требуется доказать, что
Л1,п А°С
АНС=
Доказ. Проведя діаметръ І)ОВ, нахо-
Черт. 138.
димъ по предыдущему:
и І>ВА = -°Л;
вычтя почленно второе равенство изъ перваго, находимъ:
ппп пт>л ВОС—ВОА АГзП АСС
ВВС—ВВА—-------или АВС = —: —
Итакъ при всѣхъ возможныхъ положеніяхъ вписанный уголъ
равенъ половинѣ центральнаго угла, опирающагося на ту же дугу.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ:
1)	Всякій вписанный уголъ измѣряется половиной дуги, заклю-
чающейся между его сторонами.
2)	Вписанные углы, опирающіеся на одну и ту же дугу, райны
между собою.
3)	Вписанный уголъ, опирающійся на діаметръ, будетъ прямой,
потому что измѣряется половиною полуокружности, т.-е. четвертью
окружности.
§	94. Теорема. Уголъ, составленный касательной и хордою,
измѣряется половиной дуги, заключающейся между этими линіями.
Положимъ, что уголъ ВСВ (черт. 139)
составленъ изъ касательной АСВ и хорды
СВ. требуется доказать, что уголъ ВСВ
измѣряется половиной дуги ВВС.
Доказ. Проведя хорду ВЕ параллельно
касательной АВ, замѣтимъ, что уголъ ВСВ
ЕІѵрт. 139.
равенъ углу ЕІ>С (§ 35), а дуга ЛС равна дугѣ СЕ 67);
А. Давиіэм.. Гвоивгріл.
- 98 —
но уголъ ЕЪС измѣряется половиной дуги ЕС, или половиной
-----------Е	дуги ВС', слѣдов. и уголъ ВСВ измѣряетси
а/ Д\	половиной дуги ВС.
(	/ I/ Очевидно, что уголъ АСВ, составленный
\	/ 'у хордою СЪ и касательной СА, равняясь суммѣ
с угловъ АСЕ и ЕСВ, измѣряется полусуммою
в дугъ СЕ и ЕСЪ, т.-е. половиной дуги
Черт. 139. СЕСгВ, заключающейся между его сторонами.
$ 95. Теорема. Уголъ, котораго вершина находится внутри
круга, измѣряется полусуммою дугъ, заключающихся между его
I)
Черт. 140.
сторонами и ихъ продолженіями.
Положимъ, что АСВ (черт. 140) есть
уголъ, котораго вершина находится внутри
круга, а СЕ и СЪ суть продолженія сто-
ронъ его; требуется доказать, что мѣра угла
Доказ. Соединивъ точки А и 2>, нахо-
димъ: ^/_АСВ = ,/АЪС + ,/ВАС (§ 40, слѣд. 1). Но уголъ
АЪВ измѣряется половиной дуги АВ (§ 93, слѣдств. 1), а уголъ
ВАЕ—половиной дуги ВЕ\ слѣд. уголъ АСВ измѣряется полусум-
мою дугъ АВ и ВЕ.
§ 96.	Теорема. Уголъ, котораго вершина находится внѣ круіа,
измѣряется полуразностью дугъ, заключающихся между его сто-
еВ	С Ропами.
Положимъ, что вершина угла АСВ
| (черт. 141) находится внѣ круга; тре-
у буется доказать, что мѣра угла АСВ есть
АВ-ВЕ
л	___________
Черт. 141.
Доказ. Соединивъ точки А и Е, находимъ: АСВ=АЕВ— САЕ
(§ 40, слѣд. 1); но уголъ АЕВ измѣряется половиной дуги АВ,
а уголъ САЕ— половиной дуги ВЕ (§ 93, слѣд. 1); слѣд. уголъ
АСВ измѣряется полуразностыо дугъ АВ и ВЕ.
— 99 —
§ 97.	Теорема. Описанный уголъ измѣряется пыуразностъю
дугъ, заключающихся между его сторонами.
Положимъ, что линіи СА и СВ (черт.
142) суть касательныя къ кругу; требует-
ся доказать, что мѣра угла АСВ есть
АЕВ—ЛВВ
2
Доказ. Соединивъ точки А и В, находимъ:
_/_АСВ = /_АВЕ—/_САВ\ но уголъ
АВЕ измѣряется половиной дуги АЕВ, а
уголъ САВ половиной дуги АВВ\ слѣдов.
уголъ АСВ измѣряется нолуразностью дугъ
АЕВ и АЕВ.
Черт. 142.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что описанные углы, содержащіе
равныя дуги, равны между собою.
Пропорціональныя линіи въ кругѣ.
§ 98.	Теорема. Перпендикуляръ, опущенный изъ какой-нибудъ
точки окружности на діаметръ, есть средняя пропорціональная
между отрѣзками діаметра, а хорда, проведенная отъ той же
точки къ концу діаметра, есть средняя пропорціональная между
діаметромъ и прилежащимъ отрѣзкомъ.
Пустъ будетъ АВ (черт. 143) діаметръ,
СВ перпендикуляръ, опущенный на него
«въ какой  нибудь точки окружности; тре-
буется доказать, что
ВС ЛІ) = ЛС
ВС ВВ' АС~АВ
Черт. 143.
Доказ. Соединивъ точки С и В н замѣтивъ, что / АСВ есть
ярямой уголъ (§ 93, слѣдств. 3), находимъ (§ 56)
АВ = ВС
ВС ~ ВВ' АС ~ АВ
100 —
$ 99 Теорема. Двѣ хорды, пересѣкающіяся внутри круга, дѣ-
лятѵя на части обратно пропорціональныя.
Е
Черт. 144.
АСЕВ (§ 93,
АС _ СВ
ВС СЕ'
Положимъ, что хорды АЕ и ВВ (черт. 144)
пересѣкаются въ точкѣ С\ требуется доказать,
АС	СВ
ОТЛ--------- --- .
ВС	СЕ
Доказ. Проведя хорды АВ и ВЕЬ замѣтимъ,
что треугольники АВС и ВСЕ подобны, по-
тому что /_ВАС= /ДСВЕ и /_АВС ~
сіѣдств. 2). Изъ подобія же треугольниковъ слѣдуетъ
Составивъ произведеніе среднихъ и крайнихъ членовъ, находимъ
АС. СЕ = ВС. СВ.
Очевидно, что всякая другая хорда О/, проходящая чрезъ точку С,
дѣлится на два отрѣзка ВС и СМ, которыхъ произведеніе ЬС.СМ
также равняется произведенію АС. СЕ. Это значитъ, что всѣ хорды,
проходящія чрезъ одну и ту же внутреннюю точку, дѣлятся въ этой
точкѣ такъ, что произведеніе отрѣзковъ каждой хорды есть вели-
чина постоянная.
§ 100.	Теорема. Деѣ сѣкущія, проведенныя отъ точки, лежащей
внѣ окружности, обратно пропорціональны своимъ внѣшнимъ
частямъ.
Положимъ, что изъ точки С проведены сѣкущія СА и СВ (черт.
,	АС СЕ
с	145/, требуется доказать, что -атг =*-лтг1
св СВ
Доказ. Проведя хорды АИ и А>В, ва-
///\\\\ Мѣтимъ, что треугольной АСИ и Л'С/1 по-
( //"	\\ \І добпы, потому что имѣютъ общій уголъ С, и
X >3 кромѣ того (§ 93, і'Лді'.тв. 2)	=
-----" Д_І>ВЕ. Изъ подобія треугольниковъ слѣдуетъ
Черт. 145.	сд
— 101 —
Составивъ произведеніе среднихъ и крайнихъ членовъ, находимъ
АС. СО^ВС. СЕ.
Очевидно, что всякая другая сѣкущая СЛГ, проведенная отъ той
же точки Су дастъ также МС. СВ = АС. СВ. Это значить, что
всѣ сѣкущія, проходящія чрезъ одну и ту же внѣшнюю точку, дѣ-
лятся окружностью такъ, что произведеніе каждой сѣкущей на внѣш-
нюю ея часть есть величина постоянная.
§ 101. Теорема. Касательная есть средняя пропорціональная
между всею сѣкущею и внѣшнею ея частью.
Положимъ, что изъ точки С (черт. 146) про-	л
ведены касательная СДГ и сѣкущая СА; тре-	I
А С СМ	I / ѵі
буется доказать, что	I /
Доказ. Проведя хорды АМ и БМ, замѣтимъ, д\^ у
что треугольники АСМ и ВСМ имѣютъ общій
уголъ Су и что углы ВлМ и ВМС, ииѣющіе Черт. 146.
ВМ
одну и ту же мѣру —у—-» равны (§ 94); слѣдов. эти треугольники
подобны, и потому
АС __ СМ
СМ СВ'
Составивъ произведеніе крайнихъ и среднихъ членовъ, находимъ
АС. СВ=СМ-. Изъ этого слѣдуетъ, что всѣ сѣкущія, проходящія
чрезъ одну и ту же внѣшнюю точку, дѣлятся окружностью такъ,
что произведеніе каждой сѣкущей на внѣшнюю ея часть равняется
квадрату касательной, проведенной изъ той же точки.
$ 102. Задача. Раздѣлитъ линію въ крайнемъ и среднемъ
отношеніи.
Рѣшеніе. Раздѣлить линію иъ крайнемъ и среднемъ отношеніи
значитъ раздѣлить ее иа такія двѣ части, чтобы большая часть была
— 102 —
среднею пропорціональною между всею линіею
и мѳиыпѳю частью *).
Чтобы раздѣлить линію АВ (черт. 147)
въ крайнемъ и среднемъ отношеніи, воз-
ставляемъ въ точкѣ В перпендикуляръ
къ линіи АВ и, отложивъ на немъ часть
изъ точки О круть радіусомъ равнымъ ОВ.
Соединивъ затѣмъ центръ круга съ точкою А, отложимъ на линіи
АП часть АС=АВ\ тогда линія АВ раздѣлится въ точкѣ С
въ крайнемъ и среднемъ отношеніи. Въ самомъ дѣлѣ, по преды-
о АВ АВ	АВ — АВ
дущему §	-75- =-7^ и отскда находимъ: ------—------=
А гі А-ЦВ	_А п
А& А®. Но тавъ кавъ АВ— АВ = АЕ=АС и АВ —
АЕ
АЕ=ВС, то
АС _ СВ
АВ АС
Если же переставить крайніе и средніе члены, то
АВ АС
АС ~ СВ '
Вписанные и описанные многоугольники.
§ 103. Многоугольникъ называется вписаннымъ въ кругъ, когда
Черт. 148.
Черт. 149.
всѣ углы его суть углы вписан-
ные (§ 88) (черт. 148), и опм-
саннымъ около круга, когда всѣ
углы его суть углы описанные (§ 88)
(черт. 149).
Круть, въ которомъ вписанъ ино-
*) Раздѣленіе линіи на двѣ части, изъ которыхъ большая часть есть средняя
пропорціональная между всею линіею и меньшею частью, названо Эвклидомъ:
дѣленіе въ крайнемъ и среднемъ отношеніи. Это дѣленіе на-
вивается также зесііо біѵіпа, и иногда зесііо аигеа; поводомъ къ первому на-
званію послужила, вѣроятно, замѣчательная книга монаха Ьиса Р&сіоіі подъ
заглавіемъ; Ріѵша ргорогйопе... (1509)
— 103 —
го угольникъ, называется описаннымъ кругомъ (черт. 148), а кругъ,
около котораго описанъ многоугольникъ, — вписаннымъ кругомъ
(черт. 149).
Очевидно, что стороны описаннаго многоугольника суть касатель-
ныя къ окружности.
§ 104. Теорема. Около всякаго треугольника можно описать
кругъ.
Доказ. Раздѣливъ двѣ стороны АВ и ВС
(черт. 150) треугольника АВС пополамъ, воз-
ставимъ въ срединѣ ихъ В и М перпендику-
ляры и отъ точки пересѣченія ихъ О про-
ведемъ прямыя ОА, ОВ и ОС; прямоугольные
треугольники АОВ и ВОВ имѣютъ общій ка-
тетъ ОВ и по построенію АВ=ВВ, слѣдов
в
Черт. 150.
они равны (§ 23),
и потому А0=0В\ также прямоугольные треугольники ВОМ и
СОМ, имѣющіе общій катетъ ОМ и В2И=ЛГС, равны, и по-
тому В0=0С. Изъ этого слѣдуетъ, что окружность, описанная изъ
точки 0 радіусомъ ОА, пройдетъ чрезъ всѣ три вершины треуголь-
ника АВС.
Итакъ центръ круга, описаннаго около треугольника, находится въ
точкѣ пересѣченія перпендикуляровъ, возставленныхъ въ срединѣ
двухъ сторонъ его.
Очевидно, что около треугольника можно описать только одну
окружность, потому что центръ описанной окружности долженъ на-
ходиться въ точкѣ пересѣченія перпендикуляровъ ВО и МО.
Соедвнивъ точку 0 (черт. 150) съ срединою В стороны АС, на-
ходпмъ, что треугольники АОВ и СОВ, имѣющіе общую сторону
ОВ, кромѣ того АВ=ВС, и по доказанному АО—ОС, равны
(§ 18); слѣдов. д^АВ0=^СВ0, т.-е. линія ОВ перпендикулярна
къ АС. Изъ этого слѣдуетъ, что перпендикуляръ, возставленный въ
срединѣ стороны АС, проходитъ чрезъ точку О\ слѣдов. всп три
— 104 —
перпендикуляра, возставленые изъ срединъ трехъ сторонъ треуголь-
ника, сходятся въ одной точкѣ.
Черт. 151.
Положимъ, что 0 есть центръ круга, опи-
саннаго около треугольника АВС (черт. 151);
проведемъ діаметръ ВВ и линію ВЕ перпенди-
кулярно къ сторонѣ АС, наконецъ соединимъ
точки В и С. Уголъ ВСВ, опирающійся на
діаметръ ВВ, есть прямой; кромѣ того, углы
ВАЕ и ВВС, опирающіеся на одну и ту же дугу ВС, равны
(§ 93, слѣдств. 2), слѣдов. прямоугольные треугольники АВЕ
*	АВ ВЕ Л
и ВВС подобны, и потому	Означимъ радіусъ опн-
1)В вс>
саннаго круга чрезъ В, такъ что ВВ = 2В, и положимъ ВС = а,
АВ — с, наконецъ пусть будетъ высота ВЕ треугольника К,
с к
тогда предыдущая пропорція принимаетъ видъ: 2^‘=в-а’’ и отсюд8
=	т.-е. радіусъ круга, описаннаго около треугольника, ра-
венъ произведенію двухъ сторонъ треугольника, дѣленному на двой-
ную высоту его.
§ 105.	Теорема. Во всякій треугольникъ можно вписать кругъ.
Доказ. Раздѣливъ
Черт. 152.
два угла А и В треугольника АВС (черт.
152) линіями АО и ВО пополамъ, опускаемъ
изъ точки ихъ пересѣченія О перпендикуля-
ры ОВ, ОМ и 0-Ѵ на стороны треугольни-
ка. Прямоугольные треугольники А0№ и
АОЕ имѣютъ общую гипотенузу и по по-
строенію ^/ЪА0=Х^А0, слѣдов. оня равны
(§24), и потому 01Х=0Ъ. Также прямо-
угольные треугольники ОЕВ и МОВ, имѣю-
щіе общую гипотенузу ОВ и д^ЕВ0=ХМВ0, равны, н потому
— 105 —
РО=ОМ. Изъ этого слѣдуетъ, что окружность, описанная изъ
точки 0 радіусомъ ХО, будетъ касаться всѣхъ трехъ сторонъ тре-
угольника.
Итакъ центръ круга, вписаннаго въ треугольникъ, находится
въ точкѣ пересѣченія линій, дѣлящихъ два угла треугольника
пополамъ.
Если соединимъ точку О съ третье» вершиною С, то примоуголь-
ные треугольники ВВС и МОС, имѣющіе общую гипотенузу
ОС н, по доказанному, ОХ—ОМ, будутъ равны (§ 25); слѣдов.
/ХС0=^/МС0. Изъ этого слѣдуетъ, что линія, дѣлящая тре-
тій уголъ треугольника пополамъ, проходить чрезъ точку О, такъ
что есть три лити, дѣлящія три угла треугольника пополамъ,
сходятся въ одной точкѣ.
§ 106.	Теорема. Во всякомъ вписанномъ четыреугольникѣ сумма
противоположныхъ его угловъ равна двумъ прямымъ.
Положимъ, что АВСВ (черт. 153) есть впи- а
санный четыреугольникъ; требуется доказать, что / Х< X
^ВАВ+^ВСВ-^й.	/ /	ХЛ
Доказ. Такъ какъ уголъ ВАВ измѣряется \/	Д
половиной дуги ВСВ (§ 93, слѣдствіе 1), а о
уголъ ВСВ—половиной дуги ВАВЬ то сумма
угловъ ВАВ и ВСВ измѣряется полусуммою Черт> 153,
дугъ ВСВ и ВАВ., т.-е. полуокружностью, а полуокружность есть
мѣра двухъ прямыхъ угловъ.
Обратная теорема. Около всякаго четыреугольника АВСВ (черт.
153), въ которомъ сумма противоположныхъ угловъ равна двумъ
прямымъ угламъ, можно описать окружность.
Доказ, Положимъ, что	Проведемъ оируж-
иость чрезъ трн точки В, А и В; эта окружность пройдетъ не-
обходимо н чрезъ точку С, потому что если бы точка С лежала
внутри этого круга, то сумма угловъ А и С была бы болѣе 2^,
что противно положенію; если же точка С лежала бы внѣ крута,
— 106 —
го сумма угловъ А и С была бы менѣе 2с?, что также противно
положенію.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что около всякаго прямоуголъ*
ника можно описать кругъ.
§ 107.	Теорема. Во всякомъ вписанномъ четыреугольникѣ произве-
деніе діагоналей равно суммѣ произведеній противоположныхъ
сторонъ.
Положимъ, что АВСВ (черт. 154) есть
вписанный четыреугольникъ; требуется дока-
зать, что *)
ВВ . АС=АВ . ВС+АВ . ВС.
Доказ. Отложимъ ,/Х/ОВ С. тогда
и ВВС подобны, потому что имѣютъ
^АВЕ=^ВВС по построенію, и ^ВАЕ~^ ВВС, пакъ
* ВВ ВС
углы, опирающіеся на одну и ту же дугу ВС, слѣд.
или	_
ВВ. АЕ=АВ. ВС.
Далѣе, если къ равнымъ угламъ АВЕ и ВВС прибавимъ по
углу ЕВВ, то получимъ равные углы АВВ и ЕВС, а какъ
углы ВСА и ВВА опираются на одну и ту же дугу АВ, то
они равны, и потому треугольники ЕВС н АВВ подобны; слѣдов.
вв	Л1) яяи
ВС	ЕС ’
ВВ . ЕС^АВ. ВС.
Сложивъ почленно полученныя два уравненія, находимъ
ВВ (АЕ±ЕС)^АВ.ПС^-АВ.ВС
и такъ какъ АЕ-\-ЕС=АС, то
ВВ . АС=АВ . ВС+АВ . ВС.
•1 Зт® замѣчательное предложеніе называется Птоломеевою теоремою,
потому что оно встрѣчается въ первый разъ въ сочиненіи Дтоломея (во вто-
ромъ столѣтіи по Р. X.), извѣстномъ въ наукѣ подъ заглавіемъ Альмагестъ
(Меуч)лі аѵѵта&і)
107
§ 108. Теорема. Во всякомъ вписанномъ
относятся какъ суммы произведеній сто-
ронъ, сходящихся въ концахъ діагоналей.
Пусть будетъ АВ('Я (черт. 155) вписан-
ный четыреугольникъ; требуется доказать,
АС_ВС. СЯ±АВ.^АЯ
ВЬ~~ ЛИ . ВС^АЯ. СЯ
Доказ. Отложимъ дугу СД=дугѣ АЯ и,
проведя линіи ЯгА, ЯДІ и ДО, соста-
вимъ четыреугольникъ АВСЯ^ въ кото-
ромъ (§ 107)
АС. ВЯХ=ВС . АЯі+АВ . СЯі.
Но СЯХ=АЯ и СЯ=АЯі, какъ хорды,
втягивающія равныя дуги; слѣдов.
четыреугольникѣ діагонали
А
Черт. 155.
АС. ВЯ^ВС. СЯ+АВ.АЯ.
Далѣе, отложивъ дугу БС^дугѣ СЯ, проведемъ линіи СХВ. С^Я и С^А-.
тогда изъ четыреугольника АВС^Я слѣдуетъ
ВЯ . СіА=АВ . СіЯ+АЯ . СгВ.
Но СХВ=СЯ, С\А = ВЯи потону что по построенію дуга АВС\ = дугѣ
ВАЯі и ВС>=С,Я, какъ хорды, стягивающія равныя дуги; слѣдов.
ВЯ . ВЯі^АВ . ВС-У-АЯ . СЯ.
Раздѣливъ почленно первое уравненіе на второе, находимъ:
АС ВС . СЯ+АВ . АЯ
ВЯ ~ АВ. ВС-рАЯ . СЯ'
§ 109. Задача. По четыремъ оаннымъ линіямъ а, Ь, с и сі построитъ
четыреугольникъ, около котораго можно описать кругъ.
Рѣшеніе. Положимъ, что а есть наибольшая изъ данныхъ линій, и пусть
будетъ АВСЯ (черт. 156) искомый четыре-	В
угольникъ: АВ =* а, АЯ = Ъ, ЯС = с и
ВС=(і. Продолживъ стороны АЯ и ВС до	/ /	хѴ
пересѣченія, замѣтимъ, что треугольники / /	І-.
А ВЯ ъ ЯСЕ подобны, потому что имѣютъ	\/	СЦ
общій уголъ Е и кромѣ того равные углы	,А\"	А)	Е
ЯСЕ и ЯАВ, такъ какъ каждый изъ нихъ . -------------'
вмѣстѣ съ угломъ Я СВ составляетъ 2<і.	Черт. 156.
Изъ подобія этнхъ треугольниковъ слѣдуетъ:
ВЕ _ ВЕ_ а__ -^Е _ АЕ
~с~ ЯЕ~ АЕ—Ь' ~ ~СЁ~ В'Е~^
— 108 —
Изъ двухъ пропорцій
а^_ ВЕ а АЕ
с ~~ АЕ—Ъ И с " ВЕ—3
находимъ
а . АЕ—с . ВЕ—аЬ и а . ВЕ—с . ЛЕ=а<і.
Сложивъ почленно два уравненія, получаемъ
(а—с). (АЕ-\-ВЕ)~аЪ-^-а^,
м отсюда
ЛЕ+ВЕ^^±^.
Разность тѣхъ же уравненій даетъ (а + с). (АЕ — ВЕ) = а(Ь —
отсюда
ЛЕ-ВЕ=^=^.
а=с
Изъ суммы и разности двухъ линій АЕ и ВЕ и паходпмъ
и г — I аф—ф
“ 2(а-сГ 2(«+с)
ВЕ = “15+^.
а(5—ф
2(а+с)*
Опредѣливши АЕ н ВЕ, построимъ треугольникъ изъ трехъ сторонъ
АВ, <4 Е ъ ВЕ, и отложимъ затѣмъ па сторонахъ ВЕ и АЕ части Л и Ъ.
Чтобы построить этоть треуголь-
никъ, беремъ какой-нибудь уголъ
ХОМ(черт 157), отложимъ на сто-
ронахъ его ОСг=а] ОЬ—бГ^—с;
ОІ = 5;	= І2Иі = гі, и прове-
демъ линіи Ь\М и І.ЛГр Положимъ,
что К есть средина 00. Проведя
КВ Іі ЬМ и К8 II ХДГЬ имі емъ
0М_ ОЕі	а—с
ов~ ок ш" ОП ~
Ыѣдов.
, .	08 ОК
Далѣе’ овГ оь ии
05 ’М *
г--4=-,-; слѣдов.
г__л /1 -1—/*
05=^.
2
— 109 —
Если же сдѣлаемъ 08^08, то
ч /• — I д(5—<0
1 '	2(Л—с) ' 2 (а-}-с)
о;, а(Ь^г<Т) а(Ъ—
2<и—с) 2(а-{-с)
Описавъ изъ точки $і радіусомъ ОС и изъ точки 7? радіусомъ В8 дуга,
соединимъ точку ихъ пересѣченія Р съ точками 5і н К, тогда 81Р1І бу*
летъ искомый треугольникъ. Наконецъ, если сдѣлаемъ 8іѴ—Ь и РѴ=<і,
то 8ХРЦѴ будетъ нскоиый четыреугольникъ
§ 110. Теорема. Во всякомъ описанномъ четыреугольникѣ суммы про
тивоположныхъ сторонъ равны.
Положимъ, что АВ СВ (черт. 158) есть
описанный четыреугольникъ; требуется
доказать, что АВ ВС—ВС±АВ.
Доказ. Соединимъ центръ О съ вер-
шинами четыреугольника в опустимъ
изъ центра перпендикуляры на стороны
его. Прямоугольные треугольники ЬОВ
и ЗІОВ, имѣющіе общую гипотенузу и
по равному катету, равны; также и тре-
угольники МОС н НВС, а т. д. Изъ
равенства треугольниковъ слѣдуетъ:
Черт. 158.
ВВ^ВМ,	ХВ=ВР и АЬ=АР.
Сложивъ почленно эти равенства, находимъ: АВ^-СВ=ВС-}-АВ.
Обратная теорема. Во всякгй четыреугольникъ, въ которомъ суммы
противоположныхъ сторонъ равны, можно вписать кругъ.
Доказ. Положимъ, что АВСВ (черт. 158) есть четыреугольникъ, въ ко-
торомъ АВ-\- СВ~ АВ-уВС. Раздѣливъ два угла его А н В пополамъ
линіями АО и ВО, опустимъ изъ точки О перпендикуляры на стороны
четыреугольника. Изъ равенства прямоугольныхъ треугольниковъ АОР
и АОВ, МОП и ЬОВ находимъ 0Р—0В=0М н АВ=АР-\-ВМ, и такъ
какъ но положенію АВ-}-ВС=АВ-[-ВС, то ВС=РВ-\-МС.
Если вообразимъ, что треугольникъ ОРВ приложенъ къ треугольнику
МОС такъ, чтобы сторона ОР совпала съ ОМ, а сторона РВ была
продолженіемъ стороны МС, то получимъ треугольникъ, котораго всѣ
стороны соотвѣтственно равны сторонамъД ОВС, и потому 02Ѵ—ОМ (§24
слѣдств.). Изъ этого слѣдуетъ, что кругъ, описанный изъ точки О радіусомъ
ОВ, коснется всѣхъ четырехъ сторонъ четыреугольника.
Очевидно, что линіи ОС и ОВ дѣлать углы С и В пополамъ, слѣдов.
еъ четыреугольникѣ, въ которомъ суммы противоположныхъ сторонъ рав-
ны, линіи, дѣлящія его углы пополамъ, сходятся въ одной точкѣ.
— 110 —
К
А
А
§ 111.	Продолжимъ стороны АВ н АС треугольника АВС (черт. 159) н
раздѣлимъ пополамъ углы СВВ^ и ВСА^, нзъ точки
пересѣченія О линій, дѣлящихъ ати углы попо-
ламъ, опускаемъ перпендикуляры ОВ, ОМ и ОУ
на стороны треугольника; тогда прямоугольные
треугольники ВОМ н ВОВ, имѣющіе общую ги-
потенузу ОВ и по равному острому углу, равны
между собою, также прямоугольные треугольники
МОС и У ОС', слѣдовательно ОВ = ОМ = ОУ.
Изъ этого слѣдуетъ, что если нзъ точки О опи-
шемъ кругъ радіусомъ ОЬ, то этотъ кругъ кос-
нется трехъ сторонъ ВіВ, ВС н САі, т.-е. этотъ
крутъ будетъ касательный къ сторонѣ ВС н къ
продолженіямъ двухъ другихъ сторонъ треуголь-
ника. Такой кругъ называется внѣшнимъ вписан-
нымъ кругомъ.
треугольникъ имѣетъ три внѣшнихъ вписанныхъ
круга, соотвѣтствующихъ тремъ сторонамъ его.
Соединивъ точки А и О, замѣтимъ, что прямоугольные треугольники
АОУ и АОВ, имѣющіе общую гипотенузу АО и равные катеты ОУ и ОВ,
равны; слѣдов. /_ВАО^/_САО, т.-е. линія АО дѣлитъ уголъ А пополамъ.
Такъ какъ центръ внутренняго вписаннаго круга находится также на линіи
АО, дѣлящей уголъ треугольника пополамъ (§ 105), то изъ сказаннаго
слѣдуетъ: центръ внутренняго вписаннаго круга, центръ внѣшняго впи-
саннаго круга и противоположная вершина треугольника лежатъ на
одной прямой линіи.
Черт. 159.
Очевидно, что всякій
§ 112.	Задача. Опредѣлитъ разстояніе центра описаннаго около тре-
угольника круга отъ центра вписаннаго въ него круга.
Рѣшеніе. Пусть будетъ Ог (чертежъ 160)
центръ круга описаннаго около треугольни-
ка АВС н К его радіусъ, О центръ круга
вписаннаго н г его радіусъ; требуется опре-
дѣлять длину линіи ОіО, которую означимъ
чрезъ
Соединивъ точки В я О, продолжимъ
линію ВО до пересѣченія съ описаннымъ
кругомъ н соединимъ точки Ох и В. Такъ
какъ линія ВВ дѣлитъ уголъ АВС попо-
ламъ, то АВ—ВС, и потому радіусъ ОХВ
перпендикуляренъ къ сторонѣ АС.
Доказавъ это, опустимъ изъ точки О перпендикуляръ на линію 0)0;
находимъ (§ 66):
а^ОіО^ОіВ^ОВі—20іВ . ВМ.
— 111 —
Въ треугольникѣ АОВ уголъ АОВ — ААВО + ^ВАО; кромѣ того
АОАВ — АОАС-^-АСА !), и такъ какъ АО и ВО дѣлятъ углы А и В
пополамъ, то ^ВАО^/ОЛС и ААВ0=АВВС~АСАВ:. слѣдовательно
ААОВявАОАВ, и потому ОВ=АВ. Замѣтивъ притомъ, что
находимъ:
оі>'-=ліу-=еі) . въ=20ѵв. вь,
Р^ОіВ'+ЪОіВ . ВЬ-20іВ . ВМ^ОіВ*—2ОХВ . (ВМ—ВВ).
Опустивъ изъ точки О перпендикуляръ иа сторону АС м замѣтивъ,
0Я=г=ВМ—ВВ и ОіВ=В,
находимъ:
<Р=Я«—2Яг.
§ 113.	Задача. Опредѣлить разстояніе цептра круга описаннаго около
треугольника отъ центра внѣшняго вписаннаго круга.
Рѣшеніе. Пусть будетъ О| (черт. 161) центръ круга описаннаго около
треугольника АВС, В его радіусъ, О центръ
внѣшняго вписаннаго круга и $ его радіусъ:
требуется опредѣлить длину линіи О^О, ко-
торую означимъ чрезъ 4.
Соединимъ точки В м О, также точки
В и Оѵ Такъ какъ линія ВО дѣлитъ уголъ
АВС пополамъ (§ 111), то АВ = ВС, и
потому радіусъ О^В перпендикуляренъ къ
сторонѣ АС.
Далѣе замѣтимъ, что въ треугольникѣ
СВО уголъ СОВ—АРСО—А.&ВО, кромѣ
того / ВСО=АОСА—/ АСВ, н такъ
какъ ВО и СО дѣлятъ углы В и ВСА по-
поламъ, то / ЕСО =АОСА н АВВО =
Черт. 161.
АВВА=ААСВ-, слѣдовательно А СОВ=*
АВСО, и потому ВО=СВ
Доказавъ это, опустимъ изъ точки О перпендикуляръ на продолженіе
стороны 0}В, и находимъ изъ треугольника О}ОВ (§ 67):
&=00^0іВ*+0ВЧ-20іВ . ВМ.
Но ОВ=СВ и СВ3-=20\В . ВВ: слѣдов.
^О^^ОіВ . ВВ^20іВ . ВМ=ОіВі+20іВ(ВВ-{-В1іГ)
Если изъ точки О опустимъ перпендикуляръ ОВГ на сторону АС и за-
мѣтимъ, что ОК^д^ЬВ-^-ВМ и ОіВ=іі, то находимъ:
§ 114. Паскалевъ шестиугольникъ. Если въ шестиугольникѣ АВСВЕЕ
(черт. 162), вписанномъ въ кру-
гѣ, продолжитъ попарно двѣ
стороны, раздѣленныя однимъ
угломъ, а именно: стороны АЕ
и СВ, ЕЕ и ВС, ЕВ и АВ,
то три точки пересѣченія I,
Н и С лежатъ на одной пря-
мой линіи *).
Доказ- По § 96 уголъ АСЕ
измѣряется дугою.
\	\ / /	АЕ+ЕЕ—ВС—СВ
\.	\ 7у	о ’
А	а уголъ СІА измѣряется дугою
- „ ,йп	СВА-АВ-ВЕ-ЕЕ
Черт. 162.	---I---------; слѣдов.
, лг,„ । / ^гл	'	АЕА-АВ-—СВ-ВЕ
/АСВ 4- / СІА измѣряется дугою -!---, а эта дуга
есть мѣра -уШ.-ВНЕ-, слѣдов.:
^ВНЕ=^АСЕ+А СІА.
Проведя изъ точки Н лилію НЬ\\ІС, линію НМ\\ СЕ и соединивъ
точки В и В и точки М и Р, находимъ НЬЕ~/_ МВЕ, какъ углы
соотвѣтственные, м /_МВЕ—/_СВЕ, па основаніи свойства вписаннаго
четыреугольника ВСВЕ (§ 106); слѣдов.:
^НЬЕ-^СВЕ.
Изъ равенства угловъ НЪЕ ъ, СВЕ слѣдуетъ, что такъ какъ ети углы
должны имѣть одинаковую мѣру, то окружность, проходящая чрезъ трм
точки В, Е н Н, пройдетъ также чрезъ точку Ь, а потому ВНЕ=
/ ВЬЕ; но ВЬЕ=ВСЬ+ СВЬ; слѣдов. ВНЕ=ВСЬ + СВЬ; но
такъ какъ но доказанному ВНЕ= АСЕ -|- СІА, то ВСЬ •+• СВЬ =
АСЕ-]-СІА; слѣдовательно: СВЬ=: СДА- Подобнымъ же образомъ дока-
зывается, что МЕІ == ВСЬ. Изъ этого слѣдуетъ, что треугольники ВСЬ
ж ШЕ подобны, и потому:	'''у/
сь_ьв_
МЁ~М1 '
*) Это предложеніе открыто шестнаддатилѣтнимъ Паскалемъ и принято имъ въ
•снованіе теоріи коническихъ сѣченій; оио извѣстно въ наукѣ подъ именемъ
Цаскалева мистическаго шестиугольника (Неха§гадшшлп тузысит).
— 113 —
Если проведемъ линіи ОВ и ВР, то на основаніи свойства вписаи-
наго четыреугольника ВАРВ, углы СВІ) и АРВ равны, м такъ какъ
бВП^аВЪ+ЬВБ, а АРВ=РВМ+ВІР,
то	ѴВГг±ЬВВ==РВМ:+ВІЕ,
Замѣтивъ притомъ, что по доказанному ОВЪ~ МІР, находимъ ЬВВ=
РВЫ, и такъ какъ, кромѣ того, по доказанному ВЬВ == ВМР, какъ
внѣшніе углы подобныхъ треугольниковъ, то заключаемъ, что треуголь-
ники ЬВВ и РВЫ поцобш; слѣд.,
Если эту пропорцію раздѣлимъ почленно на прежде найденную, то
получимъ:
ВВ _ МІ вв-\-св_ ім+ыв
оТ7~мв или СВ ~ мв ’
или, наконецъ,
ав_ ві __ ві
св " мв~ вн ‘
Изъ этой пропорціи и изъ параллельности линій ЬП и ВІ слѣдуетъ
(§ 50), что ОНІ есть прямая линія.
Если двѣ стороны шестиугольника, напр. СВ и АР, были бы парал-
лельны, то прм продолженіи онѣ не встрѣтились бы; въ этомъ случаѣ гово-
рятъ, что точка ихъ пересѣченія находится на безконечномъ разстояніи;
линія, соединяющая двѣ другія точки пересѣченія 6 и Я, будетъ въ этомъ
случаѣ параллельна линіямъ АР и СВ. Если кромѣ одной нары еще и
другая пара сторонъ параллельна, то м третья также параллельна.
Относительное положеніе двухъ окружностей. *
§ 115. Окружности, имѣющія общій центръ (черт. 163), называются
концентрическими; окружностн, не имѣющія общаго
центра,—эхсгіеятрическмлм.
Двѣ окружности не могутъ пересѣкаться, когда сумма
ихъ радіусовъ меньше разстоянія ихъ центровъ. Въ са-
момъ дѣлѣ, пусть будутъ О и Оі (черт. 164) центры
двухъ окружностей, г м Г( ихъ радіусы, и положимъ,
что г4-гі<ООі. Если бы эти окружности пересѣкались
въ какой-нибудь точкѣ С, то вслѣдствіе ОС-^-ОіС^>ООі
имѣли бы г 4- Гі > ООі, что противно положенію.
Въ этомъ случаѣ одна окружность лежитъ внѣ другой
(черт. 165).
Но двѣ окружности тоже не могутъ пересѣкаться,
Черт. 163.
С
о
Черт. 164.
А. Давидов*. Гвсивгриі.
8
— 114 —
когда разность нхъ радіусовъ больше разстоянія ихъ центровъ. Въ са-
номъ дѣлѣ, пусть будутъ О и Оі (черт. 164)
центры двухъ окружностей, г и ихъ радіу-
сы и положимъ т — Гі^>ООѵ Если бы окруж-
ности пересѣкались въ какой - нибудь точкѣ
С, то вслѣдствіе 0С-—0\С<00і (§ 13) имѣли
бы г—Гі<00і, что иротнвно положенію. Въ
этомъ случаѣ одна окружность лежитъ внутри
другой (черт. 166).
Черт. 165.
Изъ сказаннаго выводимъ условіе для пересѣченія окружностей:
окружности пересѣкаются только тогда, когда раз-
стояніе ихъ центровъ меньше суммы и больше раз-
ности ихъ радіусовъ.
Очевидно, что двѣ окружности могутъ пересѣкаться
не болѣе какъ въ двухъ точкахъ, потому что если
допустимъ, что двѣ пересѣкающіяся окружности имѣли
бы три общихъ точки, то чрезъ трм точки прохо-
Черт. 166. дили бы двѣ различныя окружности, что противно
§ Ю4.
§ 116. Теорема. Двѣ пересѣкающіяся окружности имѣютъ всегда двѣ
общія точки.
Разсмотримъ два случая.
1-й случай. Пусть будетъ А (черт. 167) точка пересѣченія двухъ окруж-
ностей; положимъ, что центры О и О, такъ расположены, что перпен-
дикуляръ АС, опущенный изъ точки А на линію 00^, соединяющую оба
центра, проходитъ между этими центрами; требуется доказать, что окруж-
ности будутъ имѣть еще другую общую точку.
Доказ. Продолживъ перпендикуляръ АС и взявъ на немъ СВ — СА,
соединимъ точки А и В съ точками О н 0^ находимъ, что прямоуголь-
ные треугольники ОСА и ОСВ, имѣющіе общій катетъ ОС, и кромѣ того
по построенію СА — СВ, равны между собою; слѣдов. ОА—ОВ, подоб-
нымъ же образомъ находимъ изъ равенства прямоугольныхъ треугольни-
ковъ ОіСА и ОіСВ, что ОіА— ОХВ. Изъ этого слѣдуетъ, что точка В
принадлежитъ обѣимъ окружностямъ, т.-ѳ. что В есть общая точка нхъ.
— 115 —
2-й случай. Положимъ что -4 (черт. 138) есть точка пересѣченія двухъ
окружностей и что центры О и О[ такъ расположены, что оба лежать
по одной сторонѣ перпендикуляра АС, опущеп-
наго мзъ точки А на линію ООх, соединяющую
эти центры; требуется доказать, что окружности
будутъ имѣть еще другую общую точку.
Доказ. Продолживъ перпендикуляръ АС и взявъ
яа немъ СВ=СА, соединимъ точки А и В съ
точками О и О| и находимъ, что прямоугольные
треугольники ОСА и ОСВ, имѣющіе общій ка-
теть ОС и по построенію АС=СВ, равны; слѣд.,
ОА= ОВ; подобнымъ же образомъ находимъ изъ
Черт. 168.
равенства прямоугольныхъ треугольниковъ ОгСА и О^СВ, что О^А-О^В.
Изъ этого слѣдуетъ, что точка В принадлежитъ обѣимъ окружностямъ, т.-е.
что В есть общая точка ихъ.
Изъ предыдущаго слѣдуетъ:
1. Линія, соединяющая точки пересѣченія двухъ окружностей, перпенди-
кулярна къ линіи, соединяющей центры ихъ.
2. Если двѣ окружности имѣютъ общую точку, которая лежитъ внѣ
линіи, соединяющей центры ихъ, то онѣ имѣютъ еще другую общую
точку.
§ 117. Двѣ окружности, имѣющія только одну общую точку, называ-
ются касательными (черт.
169 и 170), общая же точка
яхъ называется точкою ка-
санія. Касаніе называется
внутреннимъ (черт. 169), ко-
гда одна окружность лежитъ
внутри другой, и внѣшнимъ
<черт, 170), когда окружно-
сти лежатъ по обѣ стороны
точки касанія
Черт. 169.	Черт. 170.
§ 118. Теорема. Центры двухъ касательныхъ окружностей и точки ка-
санія лежатъ на одной прямой.
Доказ Если бы точка касанія лежала внѣ линіи, соединяющей оба
центра, то обѣ окружности имѣли бы еще другую общую точку (§ 116,
слѣдств. 2), что невозможно.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ:
1. Двѣ окружности имѣютъ внутреннее касаніе, когда разстояніе ихъ цен-
тровъ равняется разности ихъ радіусовъ, и внѣшнее—когда зто разстояніе
равняется суммѣ ихъ радіусовъ.
&
116 —
Двѣ касательныя окружности имѣютъ въ точкѣ к( санія одну общую
касательную линію ВС (черт-
171 м 172). Въ самомъ дѣлѣ,
предположивъ, что линія ВС
есть касательная къ кругу, опи-
санному около центра О, и ли-
нія ОА перпендикулярна къ
ВС(§86), находимъ по предыду-
щей теоремѣ, что ОѴЛ также
Черт. 171.
Черт. 172.
перпендикулярна къ ВС, т.-е
линія ВС есть также касатель-
ная къ кругу, описанному около центра (\.
§ 119. Теорема. Если черезъ точку внутренняго или внѣшняго касанія
а
Черт. 173.
Черт. 174.
проведемъ двѣ сѣкущія, то хорды, соединяющія
точки ихъ пересѣченія съ окружностями, парал-
лельны между собою.
Положимъ, во-иервыхъ, что чрезъ точку вну-
тренняго касанія А (черт. 173) проведены линіи
АЬ и АМ; требуется доказать, что ЬМ и Рф
параллельны,
Доказ. Проведя касательную линію СВ, нахо-
димъ (§ 94): ^ЬАВ=/.ЬМАъ/.РАВ^Р<ЭА-,.
слѣд. Д,ЬМА=Д,Р$А, а потому линіи ЬМ н
параллельны (§ 33, слѣдств. 2).
Положимъ, во-вторыхъ, что чрезъ точку внѣш-
няго касанія А (черт. 174) проведены линіи ЬР
н М$; требуется доказать, что ЬАГ я Р$ парал-
лельны.
Доказ. Проведя касательную ВС, находимъ-
(§94)<^ХЛВ=^Б2ИА и ^САР=^Р§Л;но углы.
ЬАВ и САР, какъ вертикальные, равны; слѣдов.
ЬЕМА=/.Р(2А, н потому линіи ЬМ и Р$ па-
раллельны.
Четыре замѣчательныя точки треугольника.
§ 120- Теорема. Перпендикуляры, опущенные изъ вершины трехъ угловъ-
треугольника на противоположныя стороны, пересѣкаются въ одной
точкѣ.
Положимъ, что въ треугольникѣ АВС (черт. 175) Аа Д ВО, ВЪ 1 АО
и Сс д АВ‘, требуется доказать, что линіи Аа, ВЪ и Сс пересѣкаются въ
одной точкѣ О.
— 117 —
Доказ. Чрезъ вершину А проведемъ
«ершинуВ—линію, параллельную АС,
я чрезъ вершину С—линію парал-
лельную АВ; тогда составится тре-
угольникъ котораго стороны '
въ точкахъ А, В и С раздѣлены по-
поламъ, потому что, напр., АВХ=
ВС=АСХ (§ 37); слѣдов. линіи Аа,
ВЪ и Сс перпендикулярны къ сре-
динамъ сторонъ треугольника А^ВіС^
и потому эти перпендикуляры пере-
сѣкутся въ одной точкѣ (§ 104).
линію, параллельную ВС. чрезъ
А»
В.
Черт. 175
Пусть будетъ О (черт. 176) точка пересѣченія перпендикуляровъ, опу-
щенныхъ изъ трехъ вершинъ треугольника АВС
на противоположныя стороны, и 01 центръ опи’
саннаго около треугольника круга. Проведя діа-
метръ ВМ, замѣтимъ, что уголъ МАВ, какъ
опирающійся на діаметръ ВМ, есть прямой уголъ
СсА, по иостроенію, также прямой; слѣдов.,
ЛМ|! Сс-, подобнымъ же образомъ доказывается»
что ЛГСЦ Аа; слѣдов., А0=МС (§ 37). Опустивъ
азъ точки Оі перпендикуляръ на сторону ВС, Черт. 176.
•находимъ изъ подобныхъ треугольниковъ ВМС и О^ВЬ-.
МС МВ 2
ъа~ о,в~ і ми ^0—2ЬОі;
слѣдов., ОА=2ЬОі, это значитъ.* точка пересѣченія трехъ перпендикуля-
ровъ отстоитъ отъ какой-нибудь вершины треугольника вдвое дальше, не-
жели центръ описаннаго круга отъ противоположной стороны.
§ 121.	Теорема. Линіи, проведенныя изъ вершинъ трехъ угловъ тре-
угольника къ срединамъ противоположныхъ сторонъ, пересѣкаются въ
одной точкѣ *).
Положимъ, что въ треугольникѣ АВС (черт. 177) проведены линіи Аа
я ВЪ изъ вершинъ угловъ А м В къ срединамъ противоположныхъ сторонъ,
и что чрезъ вершину третьяго утла С и точку О проведена линія Сс;
требуется доказать, что сторона АВ въ точкѣ с дѣлится пополамъ.
*) Эта точка называется въ механикѣ центромъ тяжести треугольника.
— 118 —
Доказ. Продолжавъ линію Да и сдѣлавъ ааі=Оа, соединимъ точку а
В
Черт. 177.
съ точками В н С. Въ четыреугольникѣ ОВа^С
діагонали ВС и О»! по построенію дѣлятся попо-
ламъ; слѣд. этотъ четыреугольникъ есть паралле-
лограммъ. Подобнымъ же образомъ составимъ па-
раллелограммъ АОСЬі. Наконецъ, продолживъ сто-
рону Сс и проведя Всі параллельно Аа, соединимъ
точки Сі и 4. Такъ какъ въ четыреугольникѣ
АсіОЬі стороны и СіО по построенію парал-
лельны, и кромѣ того (§ 37) Л&і=ОС=>с5аі=сіО,
то четыреугольникъ АсуОЬ есть параллелограммъ
 линіи Ас± и ОЪ параллельны между собою; а какъ кромѣ того линіи
Всі и ОА по построенію параллельны, то четыреугольникъ АсіВО есть
также параллелограммъ, и потому сторопа АВ дѣлится въ точкѣ с попо-
ламъ, что и требовалось доказать.
Замѣтимъ, что ОВ~Асі и Асі= ОЬі = 2ОЪ; слѣдов., ОВ — 2ОЬ‘ это
значитъ.* точка пересѣченія О дѣлитъ каждую изъ линій на двѣ части,
изъ которыхъ одна вдвое болѣе другой.
Изъ трехъ параллелограммовъ АОСЬи ВОСа{ и АОВс^ находимъ (§ 68>
А О-Ѵ- ОЪ^=2 О О-|-2 О А*
В СЧ- Оа^=2 0&+20С*
АВ*+ Ос^=2 ОЛ8-і-2 0&.
Сложивъ почленно эти уравненія и замѣтивъ, что Оа{ = Всі — О А,
ОЪ^—АСі—ОВ и ОСі=Ваг=ОС, находимъ
А51Н-5С»-|-ЛС»=3 (ОЛЧ-О-ВЧ-ОС*)-
§ 122.	Теорема. Точка пересѣченія перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ
вершинъ трехъ угловъ треугольника на противоположныя стороны, точка
пересѣченія линій, проведенныхъ изъ вершинъ трехъ угловъ треугольника
къ срединамъ противоположныхъ сторонъ, и центръ круга, описамнаго
около треугольника, лежатъ на одной прямой.
В
Черт. 178.
Доказ. Пусть будетъ (черт. 178) і точка пере-
сѣченія перпендикуляровъ, К точка пересѣченія-
линій, проведенныхъ изъ вершинъ угловъ треуголь-
ника къ срединамъ протовоположныхъ сторонъ, и &
центръ описаннаго круга; наконецъ, положимъ, что
Р есть средина стороны А С. Если чрезъ точки В
и Р проведемъ линію, то она по положенію будетъ
перпендикулярна къ АС, и если чрезъ точки В и
К проведемъ линію, то опа по положенію пройдетъ
чрезъ точку Р; наконецъ, если соединимъ точки О и Р, то вслѣдствіе
свойства описаннаго круга линія ОР будетъ перпендикулярна къ АС,
слѣдов., параллельна линіи ВЕ. Замѣтивъ, что ВХ=20Р (§ 120) и
ВК=2КВ (§ 121), находимъ, и, такъ какъ, кромѣ того,
вслѣдствіе параллельности линій ВЕ и ОБ углы БВК и КВ О равны, то
треугольники ВКБ а ВОК подобны (§ 58); слѣдов., ^ВКЪ = ОКБ,
и потому ЪКО есть прямая линія.
Точки Ь, К, О и центръ вписаннаго круга называются четырьмя за-
мъч-ітелъными точками треугольники.
Взаимныя точки.
§ 123.	Если продолжимъ діаметръ СВ (черт.
179) крута и возьмемъ па немъ внѣшнюю точку
В и внутреннюю точку А такъ, чтобы
О А. ОВ=О&,
то точки А и В называются взаимными, а самая
окружность СЕБЕ, относительно которой
точки А  В суть взаимныя, называется
управляющею окружностью.
Черт. 179.
Представивъ уравненіе О А. ОВ—ОС*- въ видѣ пропорціи
ОВ_ ОС
ОС~~ ОА’
находимъ
ОВ+ОС 00+ОА
ОВ—ОС ОС—ОА'
о
ов+ос= ОВ+ОІ>=ВБ-, ОВ—ОС=ВС\
ОС+ОА=ОВ-\-ОА=АВъ ОС—ОА=АС\
слѣдов.
ВВ_ АВ.
ВСГ АС'
это значитъ, что линія ВВ въ точкахъ С и А раздѣлена гармонически
(§ 77), т.-ѳ. двѣ взаимныя точки В и А и концы С и В діаметра суть
четыре гармоническія точки.
Теорема. Если какую-нибудь точку Р управляющей окружности (черт.
180) соединимъ съ двумя взаимными точками А	„
„  рв
и В, то отношенье —рдвст* постоянная величина	(>/ '/'} \\
для всѣхъ точекъ окружности,	п
Доказ. Проведемъ линію РС п діаметръ РВ; ~ СІ /а ш 1°
треугольники АРО и ВРО имѣютъ общій уголъ е\ /	/
О; кромѣ того вслѣдствіе взаимности точекъ А	і У
ОВ ОР	,	*
и В, -~ор~~о^ слѣд.втн треугольника подобны, Черт< 180>
— 120 —
„ СП-СЕ
потому /ЕРВ=/РВВ. Но .мѣра угла ЕРВ есть-2-> и мѣра
н
Черт. 181.
РВ— СО
утла. РВВ есть ——--------» слѣдовательно
СВ—СЕ—РВ— дС. Но дуги РВ и СВ,
соотвѣтствующія равнымъ центральнымъ
угламъ, равны, и потому СЕ=фС'у это
значить, что линія РС дѣлитъ уголъ
ВРА пополамъ. Вслѣдствіе етого имѣемъ
РВ ВС
(§ 63)	= ЛС ’ что и тРе°°валось і0"
казать.
Обратная теорема. Если даны двѣ точки Ли В (черт. 181), то всякая
. РВ
точка Р,для которой отношеніе	равняется постоянному отношенію
т:п, лежитъ на окружности круга, относительно котораго А и В суть
взаимныя точки.
Доказ. Раздѣлимъ линію АВ на двѣ части ВС и АС въ отношеніи т:п,
такъ что	: но какъ по положенію	, то заключаемъ (8 63),
АС п	РА п	’
что липія РС дѣлить уголъ ВРА пополамъ. Если проведемъ линію РВ
перпендикулярно къ линіи РС, раздѣлимъ СВ пополамъ и изъ средины
ея О радіусомъ ОС опишемъ окружность, то эта окружность пройдетъ
чрезъ точку Р, потому что СРВ есть уголъ прямой. Замѣтилъ, что уголъ
, РВ-ЦС	х СВ— СЕ
РВВ имѣетъ мѣрою-------%---- ’ а УГ0ІЪ ЕРР мѣрою---%----» н что
СВ=РВ и СЕ — С$, заключаемъ, что РВВ = / ЕРВ. Изъ этого
слѣдуетъ, что треугольники ВРО и АРО, имѣющіе общій уголъ О и
ОВ ОР
кромѣ того X РВВ= /ЕРВ, подобны; слѣдовательно, -рр — или
ОВ. ОА=ОРі—ОСі. Это уравненіе показываетъ, что А и В суть взаим-
ныя точка относительно окружности $РВВ.
Если въ уравненіи ОВ. ОА=^О(? замѣнимъ ОВ и ОА чрезъ ВС-}- ОС
и ОС— СА, то находимъ
(ВСЧ-ОС). (ОС—СА)= ОС»,
или, раскрывъ скобки и сокративъ, получимъ
ОС(ВС—АС^=ВС. АО,
отсюда
иь~ ВС—АС
Это уравненіе показываетъ, что радіусъ крута зависитъ только отъ
положенія точекъ А и В, и потому этотъ радіусъ будетъ одинакій для
Л	РВ т
«сѣкъ точекъ Р, для которыхъ	•
Замѣтимъ, что съ помощью этого уравненія опредѣляется вообще
радіусъ управляющаго круга по данному положенію двухъ взаимныхъ
•точекъ А и В.
Поляры.
§ 124. Если изъ центра О (черт. 182) опустимъ перпендикуляръ ОС
па какую-нибудь линію АШ и на этомъ
перпендикулярѣ опредѣлимъ точку Р вза-
имную то точка Р называется полюсомъ
прямой а линія ЛГУ — полярою точ-
ки Р.
Очевидно, что когда линія ЛЛѴ не пере-
сѣкаетъ круга, то полюсъ ея находится внутри
круга; когда же линія пересѣкаетъ кругъ,
то полюсъ ея Рг лежитъ внѣ круга.
Теорема. Вершина описаннаго угла
двѣ точки касанія.
есть полюсъ хорды, соединяющей
Положимъ (черт. 183), что АСВ есть опнсанпый
уголъ, АВ хорда, соединяющая точки касанія А м В,
и ОС липія, проведенная отъ центра къ вершинѣ опи-
саннаго угла; требуется доказать, что С есть полюсъ
прямой АВ, т.-е. что линія ОС перпендикулярна къ
хордѣ АВ н что Р и С суть точки взаимныя.
Доказ. Изъ равенства прямоугольныхъ треугольни-
ковъ ОАС и ОВС слѣдуетъ, что ОС перпендикулярна
къ АВ\ изъ прямоугольнаго же треугольника ОАС на-
ходимъ
ОС. ОР—ОА\
Черт. 183.
условіе взаимности точекъ Р и С.
Изъ этого предложенія
безконечномъ разстояніи.
слѣдуетъ, что полюсъ діаметра находится па
Теорема. Полюсы есѣхъ прямыхъ, проходящихъ чрезъ данную точку*
.лежатъ на полярѣ этой точки
— 122 —
Черт. 184.
положенію А п В
ОР.О$=ОС*. Это
Пусть будетъ СЗВ (черт. 184) управляющая
окружность, А какая-нибудь данная точка,
ЛГУ ея поляра и АВ какая-пибудь линія,
проходящая чрезъ точку А; требуется дока-
зать, что полюсъ прямой АВ лежитъ на ли-
ніи ЛГУ.
Доказ. Опустивъ нзъ центра перпендикуляръ
ОР иа линію АВ и замѣтилъ, что прямоуголь-
ные треугольники ОРВ и ОфА, имѣющіе об-
,	ОР ОВ
щій уголъ О, подобны, находимъ ~од ’
или ОР. 0$ = ОВ. ОА; а такъ какъ по
суть точки взаимныя, то ОВ. ОА= ОС*; слѣдов.
уравненіе показываетъ, что Р и ф суть точки
взаимныя, слѣдов. полюсъ Р прямой АВ лежитъ на линіи ЛГУ.
Обратная теорепа- Поляры всѣхъ точекъ прямой линіи сходятся въ
полюсѣ этой прямой.
Пусть будетъ С8Р (черт. 184) управляющая окружность, ЛГУ какая-
нибудь линія и А полюсъ ея; требуется доказать, что поляра какой-ннбудь
точки Р прямой М№ проходитъ чрезъ точку А.
Доказ. Соединивъ точки О и Р, проведемъ линію АВ перпендикулярна
къ ОР. Изъ подобныхъ прямоугольныхъ треугольниковъ ОРВ н О$А на-
ОР ОВ
ходимъ о*4='оф’ или ОР. 0$= ОВ. ОА; а такъ какъ но положенію
А и В суть точки взаимныя, то ОВ. 0.4= ОС2, м потому ОР.О0=ОС2.
Изъ этого слѣдуетъ, что Р а суть точки взаимныя, и линія АВ есть
ноляра точки Р.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что если
вершины Р, В... (черт. 185), многоугольника
Р$В8ТѴ суть полюсы сторонъ другого много-
угольника АВСВЕЕ, то и, наоборотъ, вершины
А, В, С... второго многоугольника суть полюсы
сторонъ перваго Въ самомъ дѣлѣ, если Р и @
суть полюсы прямыхъ АВ и ВС, проходящихъ
чрезъ точку В, то по предыдущему точки Р и
должны лежать на полярѣ точки В; слѣдов. В
будетъ полюсъ прямой Р(^.
Черт. 185.
— 123 —
Задачи.
69.	Найти кратчайшее разстояніе точки отъ окружности.
70.	Найти наибольшее разстояніе точки отъ окружности.
71.	Найти кратчайшее разстояніе двухъ окружностей.
72.	На окружности опредѣлить дугу, равную данной дугѣ, взятой два
раза, три раза и т. д.
73.	Черезъ точку А, лежащую внутри круга, провести хорду, которая
въ точкѣ А дѣлилась бы пополамъ.
74.	Раздѣлить данную дугу на 2, 4, 8... равныхъ частей.
75.	Найти геометрическое мѣсто центровъ окружностей, проходящихъ
черезъ двѣ данныя точки А и В.
76.	Описать даннымъ радіусомъ окружность, проходящую чрезъ двѣ дан-
ныя точки А и В.
77.	Найти центръ дуги или окружности.
78.	Найти геометрическое мѣсто центровъ окружностей, касательныхъ
къ прямой АВ въ данной точкѣ ея ЛГ.
79.	Описать даннымъ радіусомъ окружность, касательную къ прямой
АВ въ данной точкѣ ея 21.
80.	Описать окружность, проходящую чрезъ точку У н касательную къ
прямой АВ въ данной точкѣ ея 21.
81.	Описать радіусомъ г окружность, которой центръ находился бы на
прямой МЫ и которая касалась бы прямой АВ.
82.	Описать радіусомъ г окружность, которой центръ находился бы на
данной окружности и которая касалась бы прямой АВ.
83.	Найти геометрическое мѣсто центровъ окружностей радіуса г, каса-
тельныхъ къ данной окружности радіуса В.
84.	Описать радіусомъ г окружность, которой центръ находился бы на
прямой АВ и которая касалась бы даннаго круга радіуса В.
85.	Описать радіусомъ г окружность, касательную къ данной окружно-
сти въ точкѣ М.
86.	Описать окружность, проходящую чрезъ точку М н касательную къ
данной окружности въ точкѣ
87.	Описать окружность, проходящую чрезъ двѣ точки А н В н пересѣ-
кающую данный кругъ такъ, чтобы хорда пересѣченія была параллельна
данной прямой МН.
88.	Описать окружность, касательную къ данному кругу и къ прямой АВ
въ данной точкѣ ея ЛГ.
89.	Описать окружность, касательную къ данной прямой АВ н къ окруж-
ности въ данной точкѣ ЛГ.
90.	Опредѣлить длину линіи, соединяющей вершину прямого угла съ сре-
диною гипотенузы.
— 124 —
91.	Найти геометрическое мѣсто вершинъ прямоугольныхъ треугольни-
ковъ, имѣющихъ одну и ту же гипотенузу.
92.	Найти геометрическое мѣсто срединъ хордъ, сходящихся въ одной
точкѣ А.
93.	При какихъ условіяхъ можно провести окружность чрезъ четыре
данныя точки А, В, Съ В?
94.	Возставить перпендикуляръ на концѣ прямой АВ, которую продол-
жить нельзя.
95.	Провести чрезъ данную точку А касательную къ кругу.
96.	Провести къ кругу касательную, которая составила бы данпый уголъ
-съ прямой АВ.
97.	Найти геометрическое мѣсто точекъ такого свойства, чтобы каса-
тельныя, проведенныя отъ нихъ къ данному кругу радіуса г, имѣли бы
одинакую длину а.
98.	Найти па прямой АВ такую точку, чтобы касательная, проведенная
отъ этой точки къ данному кругу, равнялась даииой линіи а.
99.	Провести чрезъ точку А сѣкущую къ данпому кругу такъ, чтобы
часть сѣкущей внутри круга равнялась данной линіи.
100.	Провести чрезъ точку А сѣкущую къ данному кругу такъ, чтобы
•она отсѣкла дугу, вмѣщающую данный уголъ а-
101.	На данной прямой АВ описать дугу, вмѣщающую данный уголъ.
102.	Найти геометрическое мѣсто вершинъ треугольниковъ, имѣющихъ
одпо и то же основаніе АВ н данный уголъ а при вершинѣ.
103.	Опредѣлить геометрическое мѣсто точекъ, изъ которыхъ данная
прямая АВ видима подъ однимъ и тѣмъ же угломъ.
104.	На прямой АВ найти такую точку, чтобы линія, проведенныя отъ
«той точки къ двумъ даннымъ точкамъ М н У, составляли данный
уголъ а.
105.	Найти точку, изъ которой двѣ прямыя АВ и МЯ видимы подъ
утломъ 45°.
106.	Найти внутри треугольника АВС точку, изъ которой три стороны
-треугольника видны подъ однимъ н тѣмъ же утломъ.
107.	Построить треугольникъ по данной высотѣ Л, данному основанію а
а углу т, противоположному основанію.
108.	На окружности даны двѣ точки А и В; найти на этой же окруж-
ности такую точку, чтобы сумма разстояній ея отъ точекъ А н В равня-
лась дайной линіи 8.
— 125 —
109.	На окружности даны двѣ точки Ли В; найти на этой же окруж-
ности такую точку, чтобы разность разстояній ея отъ точекъ А а В рав-
нялась данной линіи <1.
ПО. Построить треугольникъ по данному периметру, основанію и углу,
противоположному основанію.
111.	Найти среднюю пропорціональную между двумя линіями.
112.	Построить треугольникъ по данному основанію АВ, противополож-
ному углу т и радіусу вписаннаго круга г.
113.	Провести касательную линію къ двумъ окружностямъ.
114.	Построить треугольникъ по дайной высотѣ, данному углу іп пр»
вершниѣ н радіусу г вписаннаго круга.
115.	Даны двѣ окружности; провести прямую, касательную къ одной и
сѣкущую къ другой такъ, чтобы часть ея, заключенная внутри второго-
круга, равнялась данной линіи а.
116.	Провести къ двумъ даннымъ кругамъ сѣкущую такъ, чтобы части
ея, заключенныя въ этихъ кругахъ, равнялись даннымъ линіямъ.
117.	На пряной АВ найти такую точку, чтобы касательныя, проведен-
ныя отъ этой точки къ двумъ даннымъ кругамъ О н Оіг составили равные-
углы съ прямой АВ.
118.	На окружности даны двѣ точки А и В; найти на этой же окруж-
ности точку, которой разстоянія отъ точекъ А и В были бы въ данномъ
отношеніи т: п.
119.	Раздѣлить окружность на шесть равныхъ частей.
120.	Раздѣлить окружность на четыре равныя части.
121.	Раздѣлить окружность на десять равныхъ частей.
122.	Раздѣлить прямой уголъ па три ранныя части.
123.	Вписать кругъ въ данный секторъ АОВ.
124.	Провести чрезъ точку А, лежащую внутри круга радіуса г, хорду
такъ, чтобы она нъ точкѣ А раздѣлилась въ отношеніи т: п.
125.	Чрезъ внѣшнюю точку А провести сѣкущую къ кругу такъ, чтобы
она этимъ кругомъ раздѣлялась пополамъ.
126.	Чрезъ внѣшнюю точку А провести сѣкущую къ кругу такъ, чтобъ
она этимъ кругомъ раздѣлилась въ отношеніи т: п.
127.	Описать кругъ, касательный къ тремъ даннымъ линіямъ.
128.	Найти геометрическое мѣсто точекъ, дѣлящихъ нъ отношеніи т:п
всѣ прямыя, проведенныя отъ данной точки А къ данной окружности.
129.	Описать кругъ, проходящій чрезъ точки А и В н касательный къ
крямой ЛГ.Ѵ.
— 126 —
130.	Описать кругъ, проходящій чрезъ точку С и касательный къ двумъ
прямымъ АВ и ЛіК.
131.	Описать кругъ, проходящій чрезъ двѣ данныя точки А и В и ка-
еа тельный къ данному кругу.
132.	Описать кругъ, проходящій чрезъ точку А и касательный къ пря-
мой НМ н къ данному кругу.
133.	Описать кругъ, касательный къ двумъ прямымъ АВ и М& и къ
данному кругу радіуса г.
134.	Описать крутъ, касательный къ прямой АВ и къ двумъ даннымъ
кругамъ радіусовъ В и г.
135.	Описать кругъ, проходящій чрезъ точку А и касательный къ двумъ
даннымъ кругамъ радіусовъ В и т.
136	Описать Кругъ, касательный къ тремъ даннымъ кругамъ радіусовъ
г, Г! и га.
137.	Раздѣлить пополамъ неприступный уголъ А.
138.	Опустить перпендикуляръ нзъ неприступной точки 1 на приступную
линію АВ.
139.	Опустить перпендикуляръ мзъ данной точки А на линію, которой
двѣ только точки В и С видимы изъ А.
140.	Провести чрезъ точку А линію, параллельную прямой, которой двѣ
только точки В н С видимы изъ А.
141.	Опредѣлить разстояніе двухъ точекъ А н В, изъ которыхъ точка
А неприступна.
142.	Опредѣлить разстояніе двухъ неприступныхъ точекъ А и В.
143.	Опредѣлитъ разстояніе точки С отъ прямой, которой двѣ только
точки А и В видимы изъ С.
ГЛАВА VII.
О правильныхъ многоугольникахъ.
Правильные многоугольники вписанные и описанные. Задачи.
Правильные многоугольники вписанные и описанные.
§ 125. Многоугольникъ, котораго стороны равны между собою
я котораго углы равны между собою, называется правильнымъ.
Такъ, напр., треугольникъ равносторонній есть правильный тре-
угольникъ, квадратъ есть правильный четыреугольникъ. Изъ опре-
дѣленія правильнаго многоугольника слѣдуетъ:
— 127 —
1.	Такъ какъ во всякомъ многоугольникѣ, имѣющемъ п сторонъ,
сумма внутреннихъ угловъ равна 2с? (п — 2) (§ 41), то каждый
внутренній уголъ правильнаго многоугольника о п сторонахъ равенъ
2(1 (п—2). л	•«
-----Ь----і-ч слѣдов., внутренній уголъ правильнаго многоуголь-
ника зависитъ только отъ числа его сторонъ.
2.	Правильные одноименные многоугольники, т.-е. такіе, ко-
торые имѣютъ одинаковое число сторонъ, имѣютъ всегда и рав-
ные углы.
3.	Правильные одноименные многоугольники подобны, потому что
углы ихъ равны и стороны пропорціональны (§ 69).
4.	Периметры правильныхъ одноименныхъ многоугольниковъ отно-
сятся какъ стороны (§ 70).
§	126. Теорема. Около всякаго правильнаго многоугольника можно
описать кругъ.
Доказ. Положимъ, что АВСВЕЯ (черт.
186) есть правильный многоугольникъ; Л.В=
ВС=СВ........; ^А^/В==/С...........
Если раздѣлимъ два угла А и В по-
поламъ прямыми АО и ВО, то точка ихъ
пересѣченія О будетъ центромъ описаннаго
круга. Въ самомъ дѣлѣ, соединивъ точку О
в ІГ с
Черт. 186.
со всѣми вершинами многоугольника и опустивъ взъ этой же
точки перпендикуляры на всѣ стороны его, замѣтимъ, что тре-
угольникъ АОВ равнобедренный, потому что углы АВО и ВАО,
какъ половины равныхъ угловъ, равны; слѣдов. АО — ОВ и
ААГ—МВ (§ 25, слѣдств.), т.-е. перпендикуляръ ОМ дѣлитъ
сторону АВ пополамъ. Далѣе треугольники АОВ и ВОС,
имѣющіе общую сторону ОВ, и кромѣ того по положенію АВ —
ВС, а по построенію ^АВО—Х.СВО, равны; слѣдов., тре-
угольникъ ВОС также равнобедренный, и ^СВО — Х.ВСО',
— 128 -
язь этого слѣдуетъ, что линія СО дѣлитъ уголъ С, а перпепдп-
в X С
Р 8. Е
Черт. 188.
куляръ ОУ—сторону ВС пополамъ, и что
АО—ВО=СО и ОМ^ОУ.
Подобнымъ же образомъ находимъ, что
треугольники ВОС и СОВ, имѣющіе общую
сторону ОС н кромѣ того по положенію
ВС=СВ и по доказанному Х.ВСО~^ВСО^
равны. Слѣдов., треугольникъ СОВ также
равнобедренный и / СВО=^ВСО\ изъ этого слѣдуетъ, что ли-
нія ВО дѣлитъ уголъ I), а перпендикуляръ ОР—сторону СВ по-
поламъ, такъ что ОС=ОВ и ОУ—ОР.
Разсуждая такимъ образомъ далѣе, заключаемъ, что
О А— ОВ= О С=~ ОВ= ОЕ= ОЕ
0М=0У=0Р=0$=0В=08,
т.-е. точка О отстоитъ отъ всѣхъ вершинъ многоугольника па
одинаковомъ разстояніи и также отъ всѣхъ сторонъ его на оди-
наковомъ разстояніи. Слѣдов., если изъ точки О опишемъ кругъ
радіусомъ ОА, то этотъ кругъ пройдетъ чрезъ всѣ точки Л,
В, С...... и будетъ поэтому кругомъ описаннымъ около много-
угольника.
Точка О, центръ оимапнаго крута, называется также центровъ,
многоугольника. Линія О А называется радіусомъ описаннаго круга,
а перпендикуляръ ОЛГ, опущенный изъ центра на сторону, —
апоѳемою.
Изъ приведенныхъ въ этомъ § разсужденій слѣдуетъ:
1.	Всѣ линіи, дѣлящія углы правильнаго многоугольника попо-
ламъ, сходятся въ одной точиѣ—въ центрѣ многоугольника; въ той
же точкѣ сходятся и всѣ перпендикуляры, возставленные изъ сре-
динъ сторонъ его.
2.	Для нахожденія центра правильнаго многоугольника можно
вмѣсто того, чтобы раздѣлить два угла его пополамъ, раздѣлить двѣ-
какія-нибудь стороны пополамъ и изъ средины ихъ иозставить пер-
— 129
Черт. 187.
одного изъ угловъ пра-»
пендикуляры; пересѣченіемъ этихъ перпендикуляровъ опредѣлится
также центръ многоугольника.
3.	Всѣ углы при центрѣ АОВ, ВОС, СОВ... равны между со-
бою, н каждый раненъ четыремъ прямымъ, дѣленнымъ на чясло
сторонъ многоугольника.
4.	Равносторонній вписанный много-
угольникъ АВСВЕЕ (черт. 187) будетъ
всегда и равноугольнымъ, т.-е. правиль-
нымъ, потому что вслѣдствіе равенства
дугъ АВ, ВС, СВ,... стягиваемыхъ сто-
ронами многоугольника, всѣ углы его имѣ-
ютъ одинаковую мѣру.
5.	Діаметръ, проходящій чрезъ вершину
вильпаго вписаннаго многоугольника или чрезъ средину одной изъ
его сторонъ, дѣлвтъ многоугольникъ на двѣ равныя части. Въ са-
момъ дѣлѣ, такой діаметръ пройдетъ или чрезъ вершину противопо-
ложнаго угла, или чрезъ средину противоположной стороны, потому
что діаметръ дѣлитъ окружность на двѣ равныя части; при наложе-
ніи этихъ частей—какъ полуокружности, такъ и части вписаннаго
многоугольника совпадутъ.
§ 127.	Теорема. Во всякій правильный многоугольникъ можно
вписать кругъ.
Доказ. Такъ какъ по предыдущему § центръ правильнаго много-
угольника отстоитъ отъ всѣхъ сторонъ его на одинаковомъ разстояніи,
то кругъ, описанный изъ того же центра радіусомъ, равнымъ апо-
еемѣ, будетъ касаться всѣхъ сторонъ многоугольника и будетъ по-
этому вписаннымъ кругомъ.
Вслѣдствіе этого апоѳема называется также радіусомъ вписаннаго
круга.
§ 128.	Теорема. Равноугольный многоугольникъ описанный будетъ
всегда равносторонній, т.-е. правильный.
к Д&ввіовъ. Геометрія.	9
— 130 —
в к с	Положимъ, что АВСБЕР (черт. 188)
®есть равноугольный описанный многоуголь-
никъ: Х.А — ^В == Х.Стребуется
15 доказать, что
АВ~ВС=СВ...
Доказ. Соединивъ центръ О съ вер-
Черт. 188. шинами многоугольника и проведя радіусы
ОМ и ОЯ въ точки касанія М н 2Ѵ, находимъ, что прямо-
угольные треугольники МОВ и КОВ, имѣющіе общую гипоте-
нузу ОВ и равные катеты ОМ и ОЕ\ равны (§ 25); слѣдов.
/ МВО^/ЯВО, т.-е. линія, соединяющая центръ съ верши-
ною какого-нибудь угла многоугольника, дѣлитъ этотъ уголъ по-
поламъ. Вслѣдствіе этого треугольники АОВ и ВОС, имѣющіе
общую сторону ОВ, а по доказанному / АВО=^_ СВО и кромѣ
того / ВА0=^/_ ВСО, какъ половины равныхъ угловъ, равны,
и потому АВ=ВС.
Подобнымъ же образомъ доказывается равенство и другихъ
сторонъ.
§ 129.	Теорема. Периметры правильныхъ одноименныхъ много-
угольниковъ относятся какъ радіусы вписанныхъ или описанныхъ
круговъ.
Доказ. Пусть будутъ АВСВЕР
Черт. 189.
и А1В1С1В1Е1 Ру (черт.
189) два одноименныхъ
правильныхъ многоуголь-
ника, О и Оу ихъ центры.
Соединимъ О съ точками
А и В и опустимъ изъ О
перпендикуляръ ОМ на
сторону АВ\ далѣе, соеди-
нимъ Ог съ точками Д и Ву и опустимъ изъ 01 перпенди-
куляръ на сторону АуВу. Треугольники ОБА и ОуВуАу, въ ко-
торыхъ углы ОБА и ОАВ соотвѣтственно равны угламъ ОуВхАх
я ОуАуВу, какъ половины равныхъ угловъ (§ 126), подобны;
— 131 —
АВ	ОА	ОМ
слѣд.,------—------=-------. Но такъ какъ периметры пра-
АХВХ	О,АХ ОХМХ
сильныхъ многоугольниковъ относятся какъ стороны (§ 125
«лѣдств. 4), то
АВ + ВС + СВ + ... АВ ОА ОМ
А1В1	... ~А&	<\А~ ОХМХ
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что периметры двухъ одноимен-
ныхъ правильныхъ многоугольниковъ, изъ которыхъ одинъ вписанъ
®ъ крутъ, а другой описанъ около него, относятся иежду собою
жакъ апоѳеиа вписаннаго многоугольника къ радіусу круга.
§ 130.	Задача. По данной сторонѣ правильнаго вписаннаго
многоугольника опредѣлитъ сторону одноименнаго описаннаго много-
угольника.
:. 190) правильный
Черт. 190.
что стороны ихъ вза-
Вѣшеніе. Пусть будетъ АВСОЕГ ’
«писанный многоугольникъ. Опустивъ изъ
центра перпендикуляры на стороны его
-а продолживъ ихъ до пересѣченія съ
«окружностью, проведемъ чрезъ точки
Рх... талатеIьтаи•, тарамъ обра-
зомъ составится описанный многоугольникъ
котораго углы равняются
•угламъ вписаннаю многоугольника, нотой
•ммно параллельны. Вслѣдствіе этого (§ 128) описанный многоуголь-
никъ будетъ правильный. Замѣтимъ, что вершины двухъ соотвѣт-.
«гвенныхъ угловъ Ах и А и центръ О лежать на одной прямой
линіи, потому что изъ равныхъ прямоугольныхъ треугольниковъ
АХ8ХО и АХМХО слѣдуетъ, что линія ОАХ дѣлитъ уголъ 8х0Мх
пополамъ, а изъ равныхъ прямоугольныхъ треугольниковъ АЗО и
АМО слѣдуетъ, что линія ОА дѣлитъ тотъ же уголъ пополамъ;
«лѣдоват. линіи ОАХ и О А совпадаютъ.
9*
— 132 —
Изъ подобныхъ треугольниковъ АОВ и А^В^ находимъ (§ 56
. слѣдствіе):
Р,

изъ прямоугольнаго треугольника ОМА
ОМ^уГТІА^—АЗР.
АВ
Но такъ какъ АМ~--------, то
2
ОМ=|/ ОА*-~_-
въ предыдущую пропорцію, получииъ
ОМ{
Черт. 190.
Вставивъ зто выраженіе
ЛД _
Означпмъ чрезъ п число сторонъ многоугольника АВСВЕР^
чрезъ ап сторону его, чрезъ Ъп сторону описаннаго многоугольника
и чрезъ г радіусъ круга; тогда предыдущая пропорція прини-
маетъ видъ
6п.
ап
а»
4
о отсюда
Ьп--------
а„*
V 4
Съ помощію этого выраженія можно по данной сторонѣ вписан-
наго многоугольника опредѣлить сторону одноименнаго описаннаго
многоугольника.
Если обѣ части предыдущаго уравненія возвысимъ въ квадратъ в
опредѣлимъ а„, то получимъ
«я =
г
- 133 —
Съ помощію этого выраженія можно по данной сторонѣ описан-
наго многоугольника опредѣлить сторону одноименнаго вписаннаго
многоугольника.
Чтобы описать многоугольникъ, одноименный со вписанныиъ много-
угольниковъ АВСРЕР (черт. 191), можно	а,
также провести касательныя къ вершинаиъ
А, В, С... вписаннаго многоугольника, **[//	\\|В*
Многоугольникъ А1В1СІВ1Е1РІ, такимъ обра- (р
зонъ составленный, будетъ равноугольный, ѵ\	//
Е ч\\	//А С
потому что всѣ углы его имѣютъ одинакую	’
лгѣру (§ 97); слѣдов. этотъ многоугольникъ
по § 128 будетъ правильный.	черт. 191.
§ 131.	Задача. Удвоитъ число сторою
-многоугольника.
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВСВЕР (черт
•санный многоугольникъ. Опустимъ изъ
центра перпендикуляры па стороны его и
продолжимъ ихъ до пересѣченія съ окруж-
ностью; точки пересѣченія ЛГ, У, Р, @...
соединимъ съ точками Л, В, Ст, В...
Многоугольникъ ЛЛГВУС..., такимъ обра-
зомъ составленный, имѣетъ вдвое больше
сторонъ, нежели многоугольникъ АВСОЕЕ}
а такъ какъ дуги АВ, ВС, СВ.... въ точкахъ ЛГ, У, Р.... дѣ-
лятся пополаиъ (§ 84) и АМ=МВ=ВЕ..., то этотъ мпогоуголь-
явкъ будетъ равносторонній, слѣд., по § 126 слѣдств. 4, пра-
вильный.
Очевидно, что при удвоеніи числа сторонъ периметръ вписаннаго
многоугольника увеличивается.
Соединивъ центръ съ вершиною А, находимъ изъ треугольника
ОАМ (§ 66):
правильнаго вписаннаго
192) правильный вни-
Черт. 192.
АМ^ОА^+ОМ2--ЪОМ. ОС.
— 134 —
Но
ОЛ2—
ОО==/
изъ прямоугольнаго треугольника АО О лиѣеяъ
-АС2='|/ ОА'—.
Вставивъ это выраженіе въ предыдущее
уравненіе и замѣтивъ, чю 0Л=(Ш, на-
ходимъ:
АМ'=Ч0М'—10М у/
Означимъ чрезъ п число сторонъ много-
угольника АВСРЕЕ, чрезъ ап сторону
его, чрезъ а^л сторону многоугольника
вдвое больше сторонъ, чрезъ г радіусъ
уравненіе приметъ видъ:
Черт. 192.
ААіВНС..., имѣющаго
круга; тогда предыдущее
азя>=2г8—2г |/ г3-------
Съ помощію этого уравненія можно по данной сторонѣ вписан-
наго многоугольника о п сторонахъ опредѣлить сторону вписаннаго
же многоугольника о '2п сторонахъ.
Прилагая ето выраженіе нѣсколько разъ сряду, получаемъ послѣ-
довательно стороны многоугольниковъ, имѣющихъ 2п. 4п, 8п...
сторонъ. Съ помощію же выраженія § 130 можно опредѣлить сто-
роны соотвѣтственныхъ описанныхъ иногоугольипковъ.
$ 132. Задача. Удвоить число сторонъ правильнаго описаннаго-
многоугольника.
А Ъ X е В
Черт. 193.
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВСВЕР'
(черт. 193) правильный описанный мно-
гоугольникъ. Раздѣливъ дуги ЕР,
Р@... пополамъ и проведя къ яхъ
срединамъ 6г, Я, /... иасаТ'ельныя, со-
ставимъ описанный иногоугольпикъ-
аЬсеІе/..., ииѣюшій вдвое больше сто-
ронъ, нежели многоугольникъ АВСВ ЕЕ-
— 135 —
Такъ какъ углы этого многоугольника имѣютъ одинакія мѣры
(§ 97), то онъ будетъ равноугольнымъ и вслѣдствіе этого правиль-
нымъ (§ 128).
Очевидно, что при удвоеніи числа сторонъ периметръ описаннаго
многоугольника уменьшается.
§ 133.	Задача. Опредѣлитъ сторону вписаюаго квадрата.
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВСВ (черт. 194.) вписанный ква-
дратъ и г радіусъ круга. Проведя діагонали
АС и ВВ и замѣтивъ, что онѣ взаимно пер-
пендикулярны и дѣлятся пополамъ (§ 45), за-
ключаеиъ, что точка пересѣченія ихъ совпадаетъ
съ центромъ, и что АОВ есть прямой уголъ;
слѣдовательно АВ2 — ЛОа4“ ОВ2 = 2г2, и потому
АВ — г\^2.
Черт. 194.
Очевидно, что если проведемъ два перпендикулярныхъ между со-
бою діаиетра АС и ВВ (черт. 194) и соединимъ концы ихъ, то
четыреугольникъ АВСВУ такимъ образомъ составленный, будетъ
квадратъ, потому что стороны его, какъ хорды, стягивающія рав-
ныя дути, будутъ равны, и каждый изъ угловъ, ониравсь на діа-
метръ, будетъ прямой.
Зная сторону вписаннаго квадрата, можно съ поиощію выраженія
§ 131 послѣдовательно опредѣлить стороны правильнаго вписаннаго
осьмиутольника, шестнадцатиугольника и т. д.
§ 134.	Задача. Опредѣлитъ сторону правильнаго вписаннаго
шестиугольника.
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВСВЕВ (ч. 195)
правильный вписанный шестиугольникъ. Со-
единивъ центръ О съ точками А и В, замѣ-
360“
тимъ, что X АОВ ~	— = 60°; слѣдоват.
сумма двухъ угловъ ВАО и АВО равна	черт. 195.
180° — 60° = 120°, и такъ какъ вслѣдствіе равенства сторонъ
— 136 —
АО и ОВ эти углы равны, то каждый изъ нпхъ равенъ—%- = 60°.
Изъ этого слѣдуетъ, что АОВ есть равносторонній треугольникъ
м что сторона вписаннаго правильнаго шестиугольника равняется
радіусу.
Изъ сказаннаго заключаеиъ, что хорда, равная радіусу, стягиваетъ
дугу въ 60° и что на всякой окружности радіусъ откладывается
ровно шесть разъ.
Зная сторону правпльнаго вписаннаго шестиугольника, можно съ
помощію выряженія § 131 послѣдовательпо опредѣлить стороны пра-
вильнаго двѣнадцатиугольника, двадцатичетырехугольннка и т. д.
§ 135.	Задача. Опредѣлитъ сторону правильнаго вписаннаго
треугольника.
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВСВЕР (черт. 196) правильный впи-
санпый шестиугольникъ я г радіусъ круга.
\в Проведя діагонали ЛС, СЕ, ЕА, составимъ
д / і \	\ правильный вписанный треугольникъ АСЕ
іі / ,.-к \ ) <§ 1з1>-
Для опредѣленія стороны его проведемъ
В х>-- і	радіусы ОЕ и ОС и діаметръ АЕ. Четыре-
угольникъ ЕОСБ, въ которомъ всѣ стороны,
Черт. 196. какъ радіусы, равны, есть ромбъ, а потому
по § 68 имѣемъ:
ЛС'2-Ь ОЛ2= ОЕ*+ ОС2 + СО2 + КО3,
или
ЯС34-г2 = 4г2.
Отсюда находимъ ЕС2 = Зг2 и ЕС=г УХ
Замѣтимъ, что такъ какъ діагонали ромба взаимно перпепдику-
.	„ г ОВ г
лярпы и дѣлятся пополаиъ, то 011 = —^-=—, а потому высота
вписаннаго треугольника АЕ будетъ
АЕ = АО+ОЕ = г+~ = ^..
— 137 —
§ 136. Задача. Опредѣлить сторону правильнаго вписаннаго
десятиугольника.
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВ (черт. 197) сторона
правильнаго вписаннаго десятиугольника. Соединимъ
центръ О съ точками А и В и замѣтимъ, что
чело
/^АОВ — —-^— = 36°. Сумма двухъ угловъ ВАО
м АВО равна 180° —36° = 144°, а такъ какъ эти Черт, 197.
І440
углы равны, то каждый изъ нихъ равенъ—— = 72°. Если же ли-
ніею АС раздѣлимъ уголъ ОАВ пополамъ, то ^ОАС=
У АОС — 36°, и потому ОС=АС. Далѣе, такъ какъ въ тре-
угольникѣ АВС одипъ уголъ равенъ 36° и другой 72°, то третій
уголъ Сбудетъ равняться 72°; слѣд. ^_АСВ = ^АВС=72\ и
потону АВ — АС — ОС. Замѣтивъ теперь, что линія АС дѣлвтъ
Ао	ОС
уголъ ОАВ пополаиъ, находимъ (§ 63):—77г = -хтг» или, замѣ-
АВ	СВ
. _	О А	ОС
нивъ АВ чрезъ СС, ииѣемъ:	; но ОС равняется сто-
ронѣ вписаннаго десятиугольника АВ\ слѣд. сторона правильнаго
вписаннаго десятиугольника равняется большей части радіуса, раз-
дѣленнаго въ крайнемъ и среднемъ отношеніи.
Если означимъ радіусъ круга чрезъ г и сторону вписаннаго де-
г а
-сятиугольника чрезъ а, ю — = ~составивъ произведеніе сред-
нихъ и крайнихъ членовъ, находимъ: а2 = г~— аг, или а2-^аг = г2.
я отсюда

г . у^г2 1/5 — 1
2+~2- = г-------2~
Зная сторону правильнаго вписаннаго десятиугольника, можно съ
помощью выраженія § 131 послѣдовательно опредѣлить стороны
правильнаго вписаннаго двадцатиугольника, сорокаугольника и т. д.
— 138 —
Замѣчаніе. На основаніи сказаннаго въ §§ 131, 134, 135 %
136 эавлючаемъ, что съ ноиощью линейки и циркуля иожио по-
строить: 1) правильный вписанный четыреугольникъ, слѣдов. и ино-
гоугольники 8, 16... сторонъ; 2) правильный вписанный треуголь-
никъ и шестиугольникъ, слѣдовательно и многоугольники 12, 24...
сторонъ; 3) правильный вписанный десятиугольникъ, слѣдовательно
и иногоугольники 20, 40... сторонъ. Можно также построить пра-
вильный вписанный пятнадцатпугольникъ (задача 144), слѣдовательно
и многоугольники 30, 60... сторонъ.
Гауссъ показалъ возможность построенія, съ помощью линейки
и циркуля, правильнаго вписаннаго семиадцатиугольника и вообще
всякаго правильнаго многоугольника о 2”-4-1 сторонахъ, если только
2* +1 есть число первое.
Задачи.
144.	Вписать въ кругъ радіуса г правильный пятнадцатиугольникъ »
опредѣлить сторону его.
145.	Опредѣлить радіусъ круга, вписаннаго въ квадратъ, если радіусъ-
описаннаго круга равенъ г.
146.	Опредѣлить радіусъ круга, вписаннаго въ правильный треугольникъ,
если радіусъ описаннаго круга равенъ г.
147.	Опредѣлить радіусъ круга, вписаннаго въ правильный шестиуголь-
никъ, если радіусъ описаннаго круга равенъ г.
148.	Вписать въ кругъ радіуса г правильный пятиугольникъ и опредѣлить-
сторону его.
149.	Опредѣлить радіусъ круга, вписаннаго въ правильный пятиуголь-
никъ, если радіусъ описаннаго круга равенъ г.
150.	Опредѣлить радіусъ круга, вписаннаго въ правильный десятиуголь-
никъ, если радіусъ описаннаго круга равенъ г.
151.	Опредѣлить сторону правильнаго двѣнадцатиугольника, вписаннаго
въ кругъ радіуса г.
152.	Опредѣлить сторону правильнаго двѣнадцатиугольника, описаннаго
около круга радіуса г.
153.	Опредѣлить стороны правильнаго восьмиугольника, вписаннаго въ
кругъ радіуса г и описаннаго около него..
— 1*9 —
154	Опредѣлить радіусъ круга, вписаннаго въ квадратъ, в круга, опи-
саннаго около иего, если сторона квадрата равна а.
155.	Опредѣлить радіусы круга, вписаннаго въ правильный треугольникъ,
и круга, описаннаго около “него, если сторона треугольника равна а.
156.	Опредѣлить радіусъ круга, вписаннаго въ правильный шестиуголь-
никъ, если сторона шестиугольника равна а.
157.	Опредѣлить радіусы круга, вписаннаго въ правильный пятиуголь-
викъ, и круга, описаннаго около него, если сторона пятиугольника равна а.
158.	Опредѣлить радіусы круга, вписаннаго въ правильный десятнуголь-
аякъ, и круга, описаннаго около него, если сторона десятиугольника
равна а.
159.	Опредѣлить радіусы круга, вписаннаго въ правильный двѣнадцати-
угольникъ, и круга, описаннаго около пего, еслп сторона двѣнадцатиуголь-
ника равна а.
160.	Даны радіусы г и В круга, вписаннаго въ правильный многоуголь-
никъ, и круга, описаннаго около него; опредѣлить радіусъ крута, вписан-
наго въ многоугольникъ того же периметра, но имѣющаго вдвое болѣе-
сторонъ, и радіусъ круга, описаннаго около этого многоугольника.
ГЛАВА ѴШ.
Измѣреніе площадей.
Измѣреніе площадей нрямолипейпыхъ фигуръ. Нѣкоторыя предложенія о
треугольникахъ, четыреугольникахъ и правильныхъ многоугольникахъ
Съемка плана. Задачи.
Измѣреніе площадей прямолинейныхъ фигуръ.
§ 137. Часть плоскости, занимаемая какою-нибудь фигурою
называется площадью этой фигуры. Измѣритъ площадь—значитъ
сравнить ее съ другой извѣстной площадью, принятой за единицу
За единицу площади принимаютъ площадь квадрата, котораго
сторона равна единицѣ, я эта площадь называется квадратною
единицею. Вслѣдствіе этого измѣрить площадь какой-иибудь
фигуры — значитъ найти отношеніе этой площади къ квадратной
единицѣ.
Двѣ фпгуры, имѣющія равныя площади, взываются равно-
великими.
Опредѣленіе площадей прямолинейныхъ фигуръ основывается на
слѣдующемъ предложеніи:
§ 138. Теорема. Площади двухъ прямоугольниковъ, имѣющихъ
•одинакія основанія, относятся между собою какъ высоты.
Положимъ, что АВСВ и АТРВ (черт. 198)
суть два пряиоугольника, имѣющіе общее основа-
ніе АП\ требуется доказать, что
АВСВ АВ
АЕРВ~ АЕ
Доказ. Разсмотримъ два- случая:
іт. 198.
141
1-й случай. Положимъ, что высоты АВ я АЕ соизмѣримы,
и что общая мѣра АЕ содержится т разъ въ АВ я п разъ
.	АВ т	ж .
въ АЕ, такъ что —— — • Если чрезъ всѣ точки дѣленія
стороны АВ проведемъ линіи, параллельныя сторонѣ АВ, то
прямоугольникч» АВСВ раздѣлится на т, а прямоугольникъ АЕЕВ
/п лох * АВСВ т
на п равныхъ прямоугольниковъ (§ 43); слѣдов. -	* — *
АЕ11 Е	И
а потому
АВСВ АВ
АЕЕВ ~АЕ‘
2-й случай. Положимъ, что высоты АВ и
соизмѣримы. Въ втомъ случаѣ справедливость
. АВОВ АВ
пропорціи ~~Гп можцо обнаружить,
Алі 1) АЕ
. АВСВ
доиазывая, что отношеніе—тътъ не можетъ
АЕг 1)
л	к	• ЛВ
быть ни меньше, ни больше отношенія •
’	АЕ
АЕ (черт. 199) не
Черт. 199.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть . „.1Г. <*	* Вмѣсто АЕ возьмемъ
1 1 АЕЕВ ^АЕ
большую величину Ах, такъ чтобы
АВСВ __АВ
АЕЕВ ~Ах ’
Раздѣливъ линію АВ на такое чпсло равныхъ частей, чтобы
каждая часть была меньше Ех, найдемъ по крайней мѣрѣ одну изъ
точекъ дѣленія между Е я х\ пусть будетъ Л/ такая точка. Если
— 142 —
проведемъ МЕ параллельно линіи АО и замѣтимъ, что по по-
Черт. 199.
строенію линіи АВ и АІІ соизмѣримы, то
по предыдущему будемъ имѣть
АВСЛ АВ
АПШО АІІ '
Раздѣливъ почленно эту пропорцію на
предыдущею, находимъ
АЕІ'Р _ Ах
АЛШ)~АМ'
Яо эта пропорція
Ах
а отношеніе -тѵ,
АіГ
АВСР АВ
АЕЕР ~ Ах
невѣрна, потому что отношеніе
1. Изъ второ слѣдуетъ,
АЕРР
А НЕ О
что допущеніе
. АВСР . АВ
или, что все равно, допущеніе	< -7=
А.Ѣ_г.ь) АЕ
приводитъ къ противорѣчію, в потому оно несправедливо.
Подобнымъ же образомъ можно доказать, что не мо-
ЛѢг к)
АВ
жетъ быть в больше -гя', для этого стоитъ только вмѣсто АЕ
АЕ
взять меньшую величину м повторить предыдущія разсужденія.
Итакъ, въ случаѣ несоизмѣримости, такъ же какъ въ случаѣ
соизмѣримости, имѣемъ
ЛВС© _ АВ_
АЕЕВ — АЕ
Такъ иакъ каждая мзъ сторонъ прямоугольника можетъ быть
разсматриваема какъ высота, а перпендикулярная къ пей — какъ
основаніе, то мзъ предыдущаго предложенія слѣдуетъ: площади
прямоугольниковъ, имѣющихъ одинакія высоты, относятся между
-содою какъ основанія.
- 143 —
§ 139. Теврема. Площадь прямоугольника равняется проивве-
біенію основанія на высоту.
Пусть будетъ АВСВ (черт. 200)
•какой-нибудь прямоугольникъ, кото-
фаго основаніе АВ означимъ черезъ
я высоту АВ чрезъ Л, и
квадратъ, котораго сторона равна
•единицѣ; требуется доказать, что
Черт. 2С0.

АВСВ_
МХРЦ
= 5. А.
Доказ, Вообразимъ прямоугольникъ ЕЕ&Н, котораго основа-
ще ЕН равняется основанію АВ прямоугольника АВСВ, и вы-
сота ЕЕ равна сторонѣ квадрата ЛОГРф; тогда по предыду-
щему §
АВСВ АВ ЕГСгН ЕН
Еган~ ЕЕ и МЕРЧ ~~ МЕ '
Перемноживъ соотвѣтственныя отношенія втихъ пропорцій,
яаходимъ
АВСВ АВ . ЕН
МРРС ЕЕ .Ю'
Ло по положенію АВ = к\ ЕН = Ь\ ЕЕ=МЛ=1:, слѣдов.
АВСВ
мирд
— Ь. к.
Такъ какъ при измѣреніи площадей квадратъ ЛОГРф прини-
мается за единицу, то
АВСВ — Ъ, к.
Это значить, что число квадратныхъ единицъ, заключающихся
-въ площади прямоугольника, равняется произведенію основанія на
высоту, предполагая, что основаніе и высота выражены въ линей-
— 144 —
выхъ единицахъ, равныхъ сторонѣ квадратной единицы. Это'выра-
жается сокращенно такъ: площадь прямоугольника равна произведе
нію основанія на высоту.
Положимъ, напр., что высота прямоугольника АВСВ (черт. 201>
В I т О
Черт. 201.
содержитъ 5 дюймовъ, изображенныхъ частями Ва, а&,
&е, сй, и (Ы, а основаніе его 3 дюйма, изображенныхъ
частями В/, Іт и тС\ тогда площадь прямоугольника
АВСВ равна 3.5 кв. дюйм. = 15 кв. дюйм. Не трудно
удостовѣриться въ справедливости этого вывода, проведя
чрезъ точки а, &, с и А линіи, параллельныя сторонѣ
ВС, а чрезъ точки I и т линіи, параллельныя сторонѣ АВ\ прямо-
угольникъ раздѣлится такимъ образомъ на 15 равныхъ квадратовъ,
изъ которыхъ каждый представляетъ квадратную единицу.
Очевидно, что площадь квадрата, котораго сторона есть а, рав-
няется а.а или а2; вслѣдствіе этого вторую степень какого-нибудь
количества называютъ квадратомъ.
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что если отношеніе двухъ линейныхъ
единицъ есть т, то отношеніе тѣхъ же квадратныхъ единицъ бу-
детъ т3. Такъ, напр., отношеніе линейныхъ единицъ сажени и
аршина есть 3; отношеніе же квадратной сажени и квадратнаго
аршина будетъ Зэ, т.-е. 9.
§ 140. Теорема. Площадь всякаго параллелограмма равняется
произведенію основанія на высоту.
К В М Пусть будетъ АВСВ (черт, 202) лараллело-
І / I 7® грамиъ, нотораго основаніе АВ означимъ чрезъ 5,
\ / \ /	а высоту чрезъ А; требуется доказать, что пло-
\/	щадь параллелограмму АВСВ равна Ъ.к.
Черт. 202.
Доказ. Если изъ точекъ А и В возставимъ
перпендикуляры къ сторонѣ АВ и продолжимъ противоположную
— 145 —
сторону ВС, то составится прямоугольникъ АЖМВ, который имѣ-
етъ съ параллелограммомъ АВСВ общее основаніе и одинаковую
высоту; по предыдущему § АНВМ—Ъ.к. Но прямоугольные тре-
угольники АЯВ и ВМС равны, потому что стороны АХ и АВ
соотвѣтственно равны сторонамъ МВ ъ ВС, какъ параллели между
параллелями (§ 37); если же къ каждому изъ этихъ треугольниковъ
прибавимъ по площади АВМ, то найдемъ, что параллелограммъ
АВСВ равновеликъ прямоугольнику АХМВ\ слѣдов.
АВСВ = Ъ.к.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ;
1)	Площади двухъ параллелограммовъ относятся между собою какъ
произведенія ихъ основаній на высоты.
2)	Площади двухъ параллелограимовъ съ равными основаніями
относятся какъ высоты.
3)	Площади двухъ параллелограмиовъ съ равными высотами отно-
сятся какъ основанія.
4)	Два параллелограмма съ равными основаніями и высотами
равновелики.
§ 141. Теорема. Площадь треугольника равняется половинѣ
произведенія ею основанія на высоту.
Пусть будетъ АВС (черт. 203) какой-ни-
будь треугольникъ,
означимъ чрезъ &,
требуется доказать,
Ь к
АВС равна
котораго основаніе АС
а высоту ВВ чрезъ А;
что площадь треугольника а
Черт. 203.
Доказ. Если изъ точки С проведемъ линію СЕ параллельно сто-
ронѣ АВ, изъ точки В линію ВЕ параллельно сторонѣ АС, то
состаиится параллелограммъ АВЕС, котораго площадь по § 140
равна Ъ.к. Но такъ какъ треугольникъ АВС есть половина парал-
лелограмма АВЕС (§ 44), то
АВС=Ц*.
А. Давидовъ. Геометрій.
И
— 146 —
Язь втого предложенія слѣдуетъ:
1)	Троуглкяякъ есть половика параллелограмма, имѣющаго съ
нимъ одинаковое основаніе и одинакую высоту.
2)	Плошади двухъ треугольниковъ относятся между собою какъ
произведенія ихъ основаній на высоты.
3)	Площади двухъ треугольниковъ, имѣющихъ одинаковое основа-
ніе, относятся какъ высоты.
4)	Площади двухъ треугольниковъ, имѣющихъ одинаковую высоту
йтносягся какъ основанія.
5)	Два треугольника, имѣющіе одинаковое основаніе и одинаковую
высоту, равновелики.
6)	Площадь прямоугольнаго треугольника равняется половинѣ про-
изведенія его катетовъ.
§ 142. Задача. Опредѣлитъ площадь треугольника по тремъ
даннымъ сторонамъ его.
Б
Черт. 204.
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВС (черт. 204)
какой-нибудь треугольникъ; означимъ площадь
его чрезъ д, и положимъ ВС=а, АС — Ъ,
АВ = с. Проведя высоту ВВ, паходимъ изъ
прямоугольнаго треугольника АВВ.
ВВ* = АВ* — АВ* = с* — АВ*,
изъ треугольника АВС (§ 66):
Ь2 1 г2______ЛІ
а* = Ь* + <* — 2Ь.АВ, или АВ=ЛАП~-
слѣдов.
ЙП» 8	(53-Н’ —а2)’	463с8—(&э + с>~а2)9
—с ‘
Замѣнявъ разность квадратовъ чрезъ произведеніе суммы на раз-
ность, находимъ
Тда в [2Ьс + (Ь* + с*—а3)] [2Ьс- (Ь2 + с2- а2)].
4Ь*
147 —
Замѣтивъ, что
26с 4- (62 с8 - а1) = 26с _)_ 63 + с3 — а3 = (6 -)- с)3 — а8
= (6 4-с 4“ а) (& 4“ с — а)
26с — (62 4-с9 — а3) = 26с — 62- с24а2 = а2-(69 4- с3 — 26с)
= а'г— (6 — с)3 = (а4-6 — с) (а-|—с — 6),
яаходимъ
. (о + Ь + <9 (& + <: — «) (« + <-&) (« + ь~<9
46*
я отсюда
пп г/(а + і + е)№ + с —а)Га + с —і)
"	2Ь
Опредѣливъ высоту ВВ треугольника, находимъ
АС.ВВ 1 -________________________________________________
(® “I- "4“ с) (Р 4“ — я) (л 4~ с — 6) (л 4~ 6 — с).
Съ помощію втого выраженія опредѣляется площадь треугольника
яо тремъ даннымъ сторонамъ его.
Это выраженіе можно представить въ другомъ видѣ, означивъ
периметръ треугольника чрезъ 2р, т.-е. положивъ а4~64'с==
^р; тогда:
6 4- с — а = а 4- 6 4- с — 2а — 2р — 2а = 2 (р — а)
а 4- с — 6 = а-}-б + <;~2б = 2р — 26 = 2 (р — 6)
а 4" — с = а 4~ 6 4“ й — 2с = 2р — 2с = 2 (р — с)
Вставивъ въ предыдущее выраженіе площади треугольнииа, на-
ходимъ
Д — О — я) (р — 6) (р — е).
§ 143.	Теорема. Площадь трапецги равняется полусуммѣ
параллельныхъ сторонъ, умноженной на
высоту.
Пусть будетъ АВСВ (черт. 205) какая-
нибудь трапеція и СМ ея высота; требуется
доказать, что площадь трапеціи АВСВ равна
Черт. 205.
(АВ + ВС)СМ.
2
10»
— 148 —
Докая. Проведи діагональ АС я опустивъ изъ точки А перпен-
Черт. 205.
дикуляръ иа продолженіе стороны ВС.,
находимъ (§ 141)
ДЛСР=»
АО. СМ Л1]п ВС. АН
---я-—и Д АВС= я 
Сложивъ почленно эти равенства и замѣ-
тивъ, что Л#= С2И и что Д АСВ-\- Д АВС = АВСВ, находимъ
АВ.ОМ , ВС. АП (АВ-^ВС).СМ
2	+	2	~	2
АВСР =
Если проведемъ линію Рф чрезъ средины непараллельныхъ сто-
ронъ АВ и СО, то Р$ = АР- + ВС (§ 46); слѣдов.
АВСВ = Рф. СМ,
т. -е. площадь трапеиіиравняется среднейлиніи,умноженнойнавысоту.
§ 144.	Теорема. Площадь правильнаго многоугольника равняете»
половинѣ произведенія периметра на апоѳему.
ВМС
Черт. 206.
Пусть будетъ АВСВЕГ (черт. 206)
правильный многоугольникъ о п сторонахъ,
О его центръ и ОМ апоееиа; требуете»
доказать, что площадь многоугольника равна
пВС.-^-
Доказ. Соединивъ точку О съ точками А,В,С,В.... замѣтимъ,
что треугольники АОВ,ВОС,СОВ... равны между собою (§ 126);
но такъ какъ Д ВОС=~——. то АВСОЕР=пВС.~
§ 145.	Задача. Превратитъ многоуголь-
никъ АВСВЕ (черт. 207) въ равновеликій
треугольникъ.
Рѣшеніе. Проведя діагональ ЛСм чревъ
точку В линію В.У параллельно діагонали
4С, продолжимъ сторону ВС до пересѣ-
ченія съ линіею въ точкѣ Ъ, затѣмъ
Черт. 207. соединимъ точки А м Е. Треугольники
— 149 —
ЛВС и АЪС имѣютъ общее основаніе ЛС, и такъ какъ вершины
ихъ 3 и X лежать на линіи ВК, параллельной мхъ основанію, то
эти треугольники вмѣюгь также одинакія высоты, и потому они
равновелики (§ 141, слѣдств. 5). Изъ втого слѣдуетъ, что пяти-
угольникъ АВСОЕ равновеликъ четыреугольнику АЕВЕ.
Проведя затѣмъ діагональ АВ и чрезъ точку Е линію ЕЕ парал-
лельно діагонали АВ, продолжимъ сторону СВ до пересѣченія съ
линіею ЕЕ въ точкѣ М и соединимъ точки М и А\ треугольники
ЛВЕ и АВМ равновелики, и потому четыреугольникъ ЛЕВЕ
равновеликъ треугольнику МАЕ.
Сколько бы сторонъ ни имѣлъ данный многоугольникъ, мы
всегда можемъ, повторяя нѣсколько разъ подобное построеніе,
превратить его въ равновеликій треугольникъ, потому что каждое
подобное построеніе превращаетъ многоугольникъ въ другой равно-
великій многоугольникъ, число сторонъ котораго будетъ единицею
меньше.
§ 146.	Чтобъ опредѣлить площадь какого-нибудь многоуголь-
ника, можно превратить его въ равновеликій треугольникъ и опре-
дѣлить площадь этого треугольника. Но можно также разбить мно-
гоугольникъ на треугольники діагоналями, проведенными изъ вер-
шины какого-нибудь угла, или линіями, проведенными отъ какой-
нибудь внутренней точки многоугольника но всѣмъ вершинамъ
«го, и опредѣлить отдѣльно площади всѣхъ этихъ треуголь-
никовъ.
§ 147.	Теорема. Квадратъ, построенный на гипотенузѣ прямо-
угольнаго треугольника, равняется суммѣ квадратовъ, построенныхъ
на катетахъ *).
*) Это предложеніе извѣстно подъ названіемъ Пиѳагоровой теорема,
потому что открытіе его приписывается Пиѳагору. Оно называется также
адгзіег та&квзвоз, потому что въ прежнее время часто предлагалось въ универ-
— 150 —
Пусть будетъ АВС (черт. 208) прямо-
угольный треугольникъ АСТС, ВВ8С
и АрфВ—квадраты, построенные на
гипотенузѣ и на катетахъ; требуете»
доказать, что
АСТС= ВВ.8С + АРЦВ
Доказ. Опустимъ изъ вершины пря-
мого угла перпендикуляръ ВМ на гипо-
Черт. 208. тенузу и проведемъ линіи СР я ВС.
Такъ какъ каждый изъ двухъ угловъ РАС я ВАС состоитъ изъ
прямого угла, сложеннаго съ угломъ ВАС, то ети углы равны;
кромѣ того РЛ = АВ и АС = АС, какъ стороны квадрата; слѣдов.,
треугольники РАС и ВАС равны (§ 15). Но треугольникъ ВАС
и прямоугольникъ АВМС имѣютъ общее основаніе А V и одинакую
высоту АР, и потому треугольникъ ВАС есть половина прямо-
угольника АРМС (§ 141, слѣдств. 1); равнымъ образомъ треуголь-
никъ РАС и квадратъ АР$В имѣютъ общее основаніе АР и оди-
накую высоту ВА, и потому треугольникъ РАС есть половила
квадрата АРЦВ. Изъ равенства же треугольниковъ ВАС и РАС
слѣдуетъ, что квадратъ АРЦВ и прямоугольникъ АРМС равно-
велики.
Подобнымъ же образомъ можно доказать, что квадратъ ВВ8С
и прямоугольникъ СРМТ равновелики. Отсюда слѣдуетъ, что
сумма двухъ квадратовъ АЧ и ВВ8С равна квадрату АСТС.
ентетахъ на нагистерскихъ экзаменахъ. Другое названіе его: Іпѵепіиіп кесаіотЪае-
Иідпѵт, относится къ легендѣ, что ІІпоагоръ за открытіе этой теоремы привесъ-
музамъ гекатомбу, т.-е. жертву въ 100 быковъ.
Если два катета прямоугольнаго треугольника соотвѣтственно равны 3 и 4. то-
гипотенуза будетъ равняться 5, потому что За+49==5’. Этотъ треугольникъ есть
знаменитый египетскій треугольникъ, въ которомъ катетъ 3 означаетъ Озіпз,
другой катетъ 4—І8І8, а гипотенуза 5— Ногиз. Вѣроятно, что Пиѳагоръ въ своихъ-
дальнихъ путешествіяхъ узналъ отъ египетскихъ жрецовъ объ етомъ треугольни-
кѣ н что комбинація чиселъ 3, 4 и 5 навела его на открытіе обшей теоремы.
— 151 —
Танъ какъ площадь квадрата, достроеннаго на какой-нибудь ли-
ніи я, равняется алгебраическому выраженію я2, то предложеніе,
доказанное въ этомъ §, тождественно съ предложеніемъ, доказан-
нымъ въ § 65 съ помощію пропорціональныхъ линій.
§ 148.	Теорема. Площади двухъ треугольниковъ, имѣющихъ
равный уголъ, относятся между собою какъ произведенія сторонъ*
заключающихъ этотъ уголъ.
Пусть будутъ АВС нИЕР
(черт. 209) два треугольни-
ка, имѣющіе равные утлы
А и 2>; требуется доказ., что
Черт. 209.
АВС АС.АВ
О ЕЕ СЕ.ѴЕ ’
Доказ. Проведя высоты ВВ и ЕМ, находимъ (§ 141, слѣд. 2)
АВС _ АС.ВВ
ВЕЕ~ ѴР.ЕЛі'
Но прямоугольные треугольники АВВ и ОЕЗВ, имѣющіе по рав-
, п с » ВВ АВ
ному острому углу А и Л, подобны; слѣдов.,	Вста-
 ВВ
вивъ въ предыдущее уравненіе вмѣсто отношенія ,,т-. отношеніе
АВ
РЕ > находимъ
АВС АС.АВ
1>ЕР~~ 1)Е.І)Е
§ 149. Теорема. Площади подобныхъ треугольниковъ относятся
между собою какъ квадраты сходственныхъ сторонъ.
— 152 —
’В
А В С А О, С-
Черт. 210.
Пусть будутъ ЛВС и А,В,С, (черт.
210) два подобныхъ треугольника; тре-
буется доказать, что
ЛВС _ ЛВ3
Л,В, С, Л.В,3'
Доъоз. Проведя высоты ВВ и В;!!,,
находимъ 3^5% =	(§ 141, слѣдств. 2).
Но изъ подобія треугольниковъ слѣдуетъ
АВ __ АС АВ ВР
А1В1~	“ ДВ, “В,!), '
Перемноживъ почленно эти двѣ пропорціи, находимъ
ЛВ2 ЛС.ВР
А.В^ А^.В'Р' *
Слѣдов.
АВС _ АВ3
А1В1С1~ АгвУ
§ 150. Теорема. Площади подобныхъ треугольниковъ относятся
какъ квадраты сходственныхъ сторонъ.
В
Черт. 211.
Пусть будутъ АВСОЕ и А1В1С1О1Е,
(черт. 211) два подобныхъ многоугольника;
требуется доказать, что
ЛВСВВ _ АВ*.
АДЗ&О^ ~А1В1,‘
Доказ. Проведя изъ точекъ А и А1 діа-
гонали ко всѣмъ вершинамъ многоугольниковъ и замѣтивъ, что эти
линіи дѣлятъ многоугольники на треугольники соотвѣтственно по-
добные (§ 71), находимъ (§ 149)
ЛВС ВС3.. А СО СВ* . ОАЕ ВВ*
А1ВІС1 ВХі*' АХЛЪ ~ С^*' О1А1Е1~Е^о/
Но (§ 69)
АВ _ ВС __ СВ _ЕО_
А& ~В1С1~ СД)~ Е^'
— 153 —
слѣдов.
АВС АСВ ПАЯ АВ3
А& Сг “ А' ~ В^АД^ ~ А&* ’
і отсюда
ЛВС-}- АСВ + ВАЕ АВ3
“Л-В/1
или
АВСВЕ АВ3
А&С&Е ~А1В13‘
Изъ этого положенія слѣдуетъ:
Г) Площади правильныхъ одноименныхъ многоугольниковъ отно-
сятся между собою какъ квадраты радіусовъ вписанныхъ или опи-
санныхъ круговъ.
2) Площади двухъ правильныхъ одяоииеняыхъ многоугольниковъ,
изъ которыхъ одинъ описанъ около ируга, а другой вписанъ въ
итогъ кругъ, относятся между собою иакъ квадратъ радіуса къ ква-
драту апоеемы.
§ 151. Теорема. Многоугольникъ, построенный на гипотенузѣ
прямоугольнаго треугольника, равновеликъ суммѣ подобныхъ ему
многоугольниковъ, построенныхъ ни двухъ катетахъ.
Пусть будетъ АВС (черт. 212) пряиоуголь-
ный треугольникъ, Р, § и В. три подобныхъ
многоугольника, построенныхъ на гипотенузѣ и
на двухъ катетахъ; требуется доказать, что
Р=Ч+п.
Доказ. По § 150 имѣемъ
ВС* 2? АВ*
Р~АС‘* Р~АС* '
Черт. 212
Сложивъ почленно эти дроби, находимъ —' А(?—~ '
но такъ і-лкі, ]іС‘А]р ~ ЛС\ то Ц + К^Р.
— 154
§ 162. Теорема,. Площадь какою-нибуОъ описаннаго многоугольника
АЕСЕЕ (черт. 213) равняется половинѣ произведенія периметра на
радіусъ круга.
Черт. 213.
Доказ. Соединивъ центръ круга, О съ вер-
шинами описаннаго иногоугольника, раздѣ-
лимъ его на треугольники, которые имѣютъ
одинакія 'высоты, равныя радіусу круга. Если
же означимъ периметръ многоугольника чрезъ
Р и радіусъ круга чрезъ г, то АВСВЕ—^--
§ 163. Теорема. Площадь правильнаго вписаннаго многоугольника есть
средняя пропорціональная между площадями вписаннаго и описаннаго
правильныхъ многоугольниковъ, имѣющихъ вдвое меньше сторонъ.
Черт. 214.
Доказ. Пусть будетъ АЕ (черт. 214) сторона
правильнаго вписаннаго многоугольника, имѣю-
щаго п сторонъ, и Ец площадь его; СП сторона
описаннаго многоугольника, имѣющаго также п
сторонъ, я Ѵп площадь его; наконецъ, АЕ сто-
рона вписаннаго многоугольника, имѣющаго 2п
сторонъ, и Еіп площадь его; тогда
Еп=п.А0В=2п.А ОЕ
Пп=п. С0В=2п.С0Е\ Е^Чп-АОЕ.
Но но § 141 слѣдств. 4
АОЕ _ ОЕ. АОЕ — ОА .
АОЕ ОЕ' СОЕ~~ОС'
ОЕ ОА АОЕ АОЕ „
а такъ какъ	™~АОЁ~ СОЕ' “0мВ02йнв'ь числители и знаме-
натели на 2п, находимъ
™ 4Л" = Е-'-'"'
что и требовалось доказать.
Пусть будутъ р„ и Рп периметры вписаннаго и описаннаго много-
угольниковъ, имѣющихъ п сторонъ, К апоѳема н г радіусъ круга;
тогда (§ 144)
В.=р„4; Ѵ.=Р.-%-
Перемножить, находимъ Е,.ТТ^=г>,.Р,^Г- Но - = р і'§ 129 сдѣи- '
4	рп А
ствіе); отсюда	наставляя, получимъ
*Л
— 155 —
Е.- ГЛ-=Р,Лу;
а такъ какъ по предыдущему Еп.11п = /?2п, то находвмъ
ЕЧ,=Р^
іі извлекая квадратный корень, получимъ
г _А--Г
т.-е- площадь правильнаго вписаннаго многоугольника равна половинѣ про-
изведенія радіуса на периметръ вписаннаго многоугольника, имѣющаго
вдвое менѣе сторонъ.
1Б4. Задача. По даннымъ четыремъ сторонамъ вписаннаго четыре-
угольника опредѣлитъ плогцадъ его.
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВСВ (черт. 215) впи-	В
санный четыреугольникъ и положимъ АВ — а,
АВ~Ь, СВ=с н ВС=<і. Продолживъ сто-	/ /	.
роны ВС н АВ до пересѣченія въ точкѣ Е,	I у	я\
находимъ, что треугольники АВЕ и ВСЕ по- \/________
х /е ігѵчх _і. АВЕ а*	А\ Т /Ѣ
добны (§ 109); слѣдов. ^ус'Е~с^' и отсюда:
Черт. 215
АВЕ— ВСЕ а^-с*	АВСВ а*—&
АВЕ ~ а*	~АВЕ
Но по § 109
АЕ±ВЕ = АЕ-ВЕ^=^
а- с ’	а+с	{
слѣдов.:
АЕ+ ВЕ—АВ =	—а= ^с+!>+'^)
а—с	а с
АВ+ВЕ—АЕ=а— = ^+с+|і^)
а - с	а-[~с
АВ+ВЕ+АЕ=а-,-^І^ =	<1
'	а—с	а—с
АВ+АЕ—ВЕ=а +
‘	а-г с	а-і-с
Вслѣдствіе этого находимъ (§ і32):
Г(я:—с2;1 (с + 5 + й — а) (а4-с + й —5) (а-І-Ь-Рй—с) (а-4-Ь+о—4>
и потому АВСВ = — АВЕ =
=	—а) (а + с4- й — 5) (а +&'-)-Л — сГ(а + 5 + с — е?).
— 156 -
146 для опредѣленія площади многоугольника
§155. Вмѣсто способа §
можно употребить и слѣдующій
въ практическомъ о ( ношеніи болѣе
удобный пріемъ.
Пусть будетъ АВСБКР (черт.
216) какой-нибудь много^ольникъ.
Проведя произвольную линію ВМ
в опустивъ на нее перпендикуляры
изъ вершинъ всѣхъ угловъ много-
угольника, находимъ
В,(\
+ сс,+дд,. ЦД1 +ДДгі^. ДА
АѴАЕЕЕХ =	+ РѴі^Еі _
Слѣдов. площадь многоугольника АВСВЕР равняется
Л1Д+щ+са В1С1+сс^дд, С1А+ дА+ва.Дійі
_ рЛ,+№,. ЛЛ+ ЕЕ^ЕЕ, .	.
Нѣкоторыя предложенія о треугольникахъ, че-
тыреугольникахъ и правильныхъ многоуголь-
никахъ.
§ 156. Когда три цѣлыя числа могутъ быть приняты за стороны прямо-
угольнаго треугольника, какъ, напр., числа 5, 4 и 3 въ египетскомъ тре-
угольникѣ, то съ ноиощью мхъ можно найти безчисленное множество
другихъ цѣлыхъ чиселъ, которыя также могутъ представить стороны
прямоугольнаго треугольника. Въ самомъ дѣлѣ, означая чрезъ г произ-
вольное цѣлое число, будемъ имѣть (5г) * = (4г)1 + (Зг)такъ что 5г, 4г
и Зг могутъ быть приняты за стороны прямоугольнаго треугольника, ка-
кое бы цѣлое число г ии означало. Но кромѣ прямоугольнаго треуголь-
ника, котораго стороны соотвѣтственно равны числамъ 5, 4 в 3, иля
пропорціональны этимъ числамъ, есть безчисленное множество прямо-
угольныхъ треугольниковъ, которыхъ стороны выражаются цѣлыми чис-
лами, не имѣющими общаго множителя. Такіе треугольники называются
Пиѳагоровыми или раціональными.
— 157 —
Пусть будетъ а гипотенуза, & и с катеты прямоугольнаго треугольника.'
опредѣлимъ всѣ цѣлыя значенія а, & и с, удовлетворяющія уравненію
а* «е- Ъ9 е9.
Замѣтивъ, что с* = а9 — Ь9 = (а-\-Ъ) . (а — Ь), и означивъ чрезъ т в я
какія-нибудь цѣлыя числа, положимъ
а 4- Ъ = 2т3 и а — Ь = 2я’;
находимъ
С* = 4т*я*, или с = 2тп.
Изъ уравненій же а 4- Ъ = 2т* но — Ь = 2я* получаемъ а = т9 4 п9 и
Ъ = т9 — п9. Три выраженія:
а = т9-\-п9; Ь = т9 — я*; с = 2тя,
въ которыхъ т и п означаютъ совершенно произвольныя цѣлыя числа,
представляютъ всѣ возможныя стороны Пиѳагоровыхъ треугольниковъ.
Подставляя вмѣсто т и я разныя цѣлыя числа, найдемъ соотвѣтственныя
величины для а, Ъ и с. Такъ, напр., принимая т = 8 и п = 2, получаемъ
а = 13, Ь = 5 и с = 12; очевидно, что 13* — 5* 4-12*.
Если положимъ я = 1 и подъ т будемъ разумѣть нечетное число, то,
исключивъ общій множитель 2, найдемъ
т*4-1 г п?«—1
Это рѣшеніе приписывается Пиѳагору.
Если же положимъ я = 1 н 2т — і, такъ что і будетъ четное число, то
Это рѣшеніе приписывается Платону.
§ 157. Формула § 142, выражающая площадь треугольника чрезъ три
стороны его
А = Ѵ(а 4- Ь4- с) (Ь-у-с — а) (а-[~с — Ь) (а-{-Ь — с) ,
была извѣстна почти всѣмъ древнимъ народамъ; но строгое доказатель-
ство ея мы встрѣчаеиъ въ первый разъ только въ геодезіи греческаго
геометра Него изъ Александріи (во второмъ столѣтіи по Р. -X.) Всѣ древ-
ніе писатели, касавшіеся этой формулы, прилагали ее постоянно къ тре-
угольнику, котораго стороны соотвѣтственно равны 13, 14 и 15 н площадь
котораго выражается цѣлымъ числомъ 84. Но кромѣ этого треугольника
есть безчисленное множество другихъ треугольниковъ, которыхъ стороны
и площадь также выражаются цѣлыми числами.
Опредѣлимъ цѣлыя значенія сторонъ а, & н с, при которыхъ площадь
треугольника выражается цѣлымъ числомъ.
158 —
Разумѣя подъ о, & и с цѣлыя числа, положимъ
Ь + с — а .. а + с — Ъ а-Ъ — с
--------— Д.^ ; ---	— А.^ ;--------— Д Г3,
гдѣ X, и 4 означаютъ илн цѣлыя числа, илн такія дробныя числа,
яри которыхъ произведенія Л.4, Л.4 и А.4 суть цѣлыя.
Сложивъ почленно эти уравненія, находимъ
а вставляя въ выраженіе площади треугольника, получаемъ
А = і/'Н6 + с) (&+<? — «) (а + с —&) (а 4-"^-^
V 2	2’2’2
= У(4 4~ 4 4*4)-4'4-4-^4*
Чтобы Л было число цѣлое, выраженіе подъ радикаломъ должно быть пол»
аыиъ квадратомъ, а для этого нужно, чтобы произведеніе (4 4"44-4)-44
представляло полный квадратъ, умноженный на производителя 4, т.-е.
чтобы
(4 4~ 4 4* 4)-4*4 —
гдѣ чрезъ і означаемъ какое-нибудь цѣлое число. Изъ уравненія
(4 4" 4 4* 4)>4-4 — ^4
находимъ
, _ 01 + 4)-44
9	44 ’
а изъ уравненій
получаемъ	,
а = Л(і1 + Щ = Л.^ + ЛЛ = ^^+-^5^^- = 2^}^
« — Г] •	I —
с = (4 4" 4) 
Если эти величины а, Ь и с подставимъ въ выраженіе д, то подко-
ренная величина обратится въ полный квадратъ. Но такъ какъ Д, такъ же
какъ н а, Ь и с, цо условію должны быть цѣлыми, то, разсматривая I,
4 и 4 какъ числа цѣлыя, положимъ Л = — 4*4; тогда
« = (<« +4%; ь = (₽ + 4‘) 4; с = (4+4) Р~4-4).
Эти выраженія, въ которыхъ і, 4 и 4 означаютъ произвольныя цѣлыя
числа, представляютъ общее рѣшеніе вопроса: опредѣленіе площади
треугольника въ цѣлыхъ числахъ.
— 159 —
Подставляя эти выраженія вмѣсто а, Ь и с, находимъ:
Принимая, напр., < = 2;	— 1; <2 = 3, находимъ:
а = 15; Ь = 13; с = 4; Д = 24.
принимая і = 5; = 2; <2=1, находимъ:
а = 29; 5 = 52; с = 69; Д = 690;
принимая I = 4; = 3; <2 = 1, иаходииъ:
а = 25; Ь—51; с = 42; Д = 624, и т. д.
§ 158. Теорема. Если черезъ какую-нибудь точку О (черт. 217) внутри
треугольника АВС и чрезъ вершины трехъ угловъ
его проведемъ прямыя Аа, ВЪ и Сс, то будемъ
имѣть слѣдующія соотношенія *):
Оа ОЬ	Ос_	АО	ОВ	ОС
Аа' ВЪ '	Сс 1 ’ Аа + ~ВЪ +	Сс = 2’
СД.02?.0С_ О А	ОВ	ОС
Оа.ОЬ.Ос	Оа	ОЬ	Ос
Доказ. 1) Такъ какъ по § 141 слѣдств. 4.
Черт. 217.
Да ОС__Оа _ ДВОа ДаОС-}- ВОа _ Оа_
ДАа С Аа ~ ДАВа ’ то А Аа С 4- АВа ~ Аа
двое _ Оа
/\АВ С ~~ Аа
Подобнымъ образомъ находимъ:
ДДОС_ ОЬ. ДВОЛ_ Ос
ДЛВС“В6’ ДДВС-Сс
Сложивъ почленно предыдущія три уравненія, находимъ;
Оа , ОЬ , Ос ДВОС+ДЛОС+ДВОЛ ,
Аа + ВЬ + Сс ~	ДАВС	~ Ь
2) Замѣтимъ, что
Да ВЬ .Ос_ _
Да+ВЬ+О'вд’
вычтемъ изъ этого тождественнаго уравненія почленно предыдущее урав-
неніе, находимъ:
Аа “г ВЬ Сс ~
*) Эйлеръ въ особомъ сочиненіи развилъ какъ эти три соотношенія, такъ
я аналогичныя формулы для сферическаго треугольника, основываясь на по-
слѣдиемь уравненіи, которое онъ доказываетъ съ помощію тригонометріи.
— 160 —
3) Если первое уравненіе представить въ видѣ
Оа , ОЪ । Ос ,
04+ 0а + 0В-1г7$П' ОС+ Ос	*
ОЛ +0В	+ ОС
Оа ' ОЬ ' Ос
Черт, 217.
и приведемъ въ общему знаменателю, то полу-
чимъ:
($+9&М+(®+'Ж+’)+®+’)(»+’)

Раскрывъ скобки и сокративъ, найдемъ:
0А.0В.0С ОА,ОВ ОС
Оа.ОЪ.Ос Оа±Оь + ос~г 2‘
§ 159 Задача. По тремъ даннымъ сторонамъ треугольника опредѣлитъ
радіусъ описаннаго около него круга.
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВС (черт. 218) какой-нибудь треугольникъ,
О центръ описаннаго круга, В радіусъ его и Л
площадь треугольника. Положимъ ВС—а, АС = Ь>
АВ = с и опустимъ изъ точки А перпендикуляръ
АВ на сторону ВС и изъ точки О перпендикуляръ
ОЕ на сторону АС. Углы АОЕ н АВС равны, по-
тому что имѣютъ одинаковую мѣру — половину дуги
АС; слѣдоват. прямоугольные треугольники АОЕ я
Черт. 218. АВВ подобны, и потому
слѣдов.
АВ =
Ъс
2В’
„ ,	Л а.АВ	аЬс
Замѣтивъ, что Л — —, находимъ л = и отсюда
4Д
Вставляя вмѣсто А выраженіе § 142, будемъ имѣть
________________аЬс________________
1/(а + 6 + с) (& + с — а) (а +‘с — Ъ} (а +6—в)
161 ~
§ 160. Задача. По тремъ даннымъ сторонамъ треугольника
литъ радіусъ внутренняго списаннаго
круга.
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВС (черт.
219) какой-нибудь треугольникъ, О
центръ внутренняго вписаннаго кру-
га, г радіусъ его и Л площадь тре-
угольника. Положимъ ВС=а, АС=Ь,
АВ~с, в соединимъ точку О съ вер-
шинами трехъ угловъ треугольника.
Замѣтивъ, что
с
Черт. 219.
В0С=~;
А0С = ±1-
Л0В = -^-,
находимъ
В0С+А0С + А0В = (а + Ъ + е).-^-,
или
Д = (а + ъ +
к отсюда
а4-Ь4-с
Вставляя вмѣсто Л выраженіе § 142, получимъ
_ (а + ѣ 4~ с) (Ь ~ д) (а 4~ с — б) (а 4~ ^ ~ °)
2 (а + Ь 4- с)
Помноживъ это выраженіе па выраженіе предыдущаго §, находимъ
2гВ —
аЬо
а4-Ь4*с
Раздѣливъ тѣ же выраженія, находимъ
2г _&4-с —я а 4 с — Ь а^Ь — с
П~ а * Ъ ’ с
§ 161. Задача. По тремъ даннымъ сторонамъ треугольника опредѣлитъ
радіусы внѣшнихъ круговъ.
А. Давыдовъ. Геометрія.	11
— 162 —
Рѣшеніе. Пусть будетъ АВС (черт. 220) какой-нибѵдь треугольникъ, О
центръ одного изъ внѣшнихъ впи-
санныхъ круговъ, р радіусъ его
и Л площадь треугольника. Поло-
жимъ ВС=а, АС=Ь, АВ = с и
соединимъ точку О съ вершинами
угловъ треугольника. Такъ какъ
ЛОС=^- ЛВО =
и АОС+ДВО-ВОС= Д, то
Черт. 220.
Д =
отсюда ? = д + с;---
Вставляя вмѣсто Л выраженіе § 142, находимъ
=_____2Д_______(а -|-&4-с) ~(&> с —а) (а-і-с -&) (а-]-*» —с)
*	Ь-^-с — а ~	2 (6 4- с а)
Если чрезъ и означимъ радіусы двухъ другихъ внѣшнихъ вписан-
ныхъ круговъ, то
_ 2Д __ (а + Ь 4~с) (Ь 4- с — а) (а-\-с — Ь) (а 4-Ь —с)
а -р с — б ~	2 (а 4*с ~ &)
__ 2Д_________ч/ (а + Ь с) (Ъ + с — а) (а + с — Ь) (а-\-Ъ — с)_
а-\-Ь — с~	2 (а 4- & — с)
Сложивъ почленно три уравненія
1	Ь-\-с — а 1 а + с-Ь, 1	—с
7 = 2Д ’*(>,” 2Д :	“ 2Д ’
находииъ
1 , 1 , 1 = а±Ь±с
$ Рі ?9 2Д ’
® 4“ 4* ®	1 «о і сл\
я такъ какъ —“ — (§ 16°)> то
_к = _Г + Х+2_.
г Р 0і 0г
Перемноживъ почленно уравненія
2Д	2Д .___________2Д____.	_ 2Д
г“а4-Ь + с’^ Ь т с — а' а 4- с — а4 — с
находимъ
____________________16Д*_________________
(а ц,. ь с) (6	0 _ а) (а 4- с _ &) (а -р ь — о) *
— 163 —
а такъ какъ (§ 142*)
(а-|- & + с) (Ь 4- с — а) (а 4*с — б) («4-6— с) = 16Д*
то г.р.рі. р8 ~ А*, и отсюда
д = |/г.р.еі-ё8-
§ 162. Теорема. Квадратъ, построенный на суммѣ двухъ линій, со-
ятоитъ изъ суммы квадратовъ, построенныхъ на этихъ линіяхъ, и удвоен-
наго прямоугольника, составленнаго изъ этихъ линій.
Доказ. Положимъ, что линія АС (черт. 221) состоитъ изъ суммы двухъ
линій АВ и ВС. Построивъ па линіи АС квад-
ратъ АЕВС и отложивъ па сторонѣ ВС часть
ВН = ВС, проведемъ линію ВН параллельно
•сторонѣ АС и линію ВІ параллельно сторонѣ
АЕ; тогда найдемъ, что квадратъ АСВЕ со-
стоитъ: 1) изъ квадрата АРСВ, построеннаго на
линіи АВ, 2) изъ квадрата СгІВН, построеннаго
на линіи ВН, или иа равной ей линіи ВС, и 3)
«въ двухъ равныхъ прямоугольниковъ ВСНСг а
ЕЕСгІ, составленныхъ изъ линій АВ н ВС.
а в с
Черт. 221.
Эта теорема соотвѣтствуетъ алгебраическому предложенію
(а 4- Ьу* = а* 4" 2аб 4-
§ 163- Теорема. Квадратъ, построенный на разности двухъ линій, ра-
еенъ суммѣ квадратовъ, построенныхъ на этихъ линіяхъ, безъ удвоеннаго
прямоугольника, составленнаго нзъ этихъ линій.
Доказ. Положимъ, что линія АВ (черт. 222) есть разность двухъ линій
АС и ВС. Построивъ на линіи АС квадратъ
АСВЕ и отложивъ на сторонѣ ВС часть
ВН — ВС, проведемъ линію НЕ параллельно
'Сторонѣ АС н линію ВІ параллельно АЕ; нахо-
димъ, что квадратъ АЕ6В, построенный иа
разности двухъ линій АС и ВС, равенъ: 1) квад-
рату АСВЕ, построенному на линіи АС, 2) безъ
прямоугольника ВСВІ, составленнаго нзъ линій
АС и ВС, и безъ равнаго ему прямоугольника
О
н
С
Черт. 222.
ЕЕВН и 3) сложенному съ квадратомъ ОНВІ, построеннымъ ва линіи
ЕН мли иа равной ей линіи ВС.
Эта теорема соотвѣтствуетъ алгебраическому предложенію
(а — &)* = а? — 2аЪ 4- 6*.
— 164 -
164. Теорема. Прямоугольникъ, основаніе котораго есть сумма, а вы-
сота—разность двухъ данныхъ линій, равенъ разности квадратовъ, по-
строенныхъ на этпихъ линіяхъ.
Е_____________*	.-,Р
р-------------!----д
с;
А	В	О
Черт. 223.
Доказ. Положимъ, что А С (черт. 223) есть сумма двухъ линій АВ в
ВС, а СН разность тѣхъ же линій, такъ что
АЕНС будетъ прямоугольникъ, составленный
изъ суммы и разности линій АВ и ВС. Отло-
живъ на продолженіи линіи СН часть НВ =
ВС, проведемъ линію ВЕ параллельно сто-
ронѣ АС л линію ВІ параллельно сторонѣ
АЕ. Такъ какъ по построенію СВ — АВ, то
ЛЕІВ есть квадратъ, построенный на сто-
ронѣ АВ, и потому прямоугольникъ А СНВ1 равенъ квадрату АВІЕ безъ-
прямоугольника ЕЕСН, сложенному съ прямоугольникомъ ВСНС. Но
разность двухъ прямоугольниковъ ЕЕСІ и ВСНС есть квадратъ СгІВН,
построенный на линіи НВ или иа равной ей линіи ВС, потому что раз-
ность линій СЕ и ВС равняется линіи СН. Слѣдов. прямоугольникъ-
АСНЕ, составленный изъ суммы и разности двухъ линій АВ и ВС, ра-
венъ квадрату АЕІВ, построенному иа сторонѣ АВ, безъ квадрата
СНВІ, построеннаго иа сторонѣ ВС.
Эта "теорема соотвѣтствуетъ алгебраическому предложенію
(а г Ь) (а — Ь) = а2 — ІА.
165. Теорема Если на сторонахъ АС и ВС треугольника АВС
кою К, замѣтимъ, что АНСК
(черт. 224) построимъ какіе-нибудь
параллелограммы А СЕС и ВВЕС
и, продолживъ стороны ВЕ и
СЕ до пересѣченія ихъ въ точкгь
К, проведемъ линіи АНи ВІ, па-
раллельныя и равныя СК, то па-
раллелограммъ АНІВ будетъ ра-
венъ суммѣ параллелограммовъ
АСЕС и ВВЕС.
Доказ. Продолживъ линію КС
до пересѣченія со стороною НТ
въ точкѣ И и соединивъ точку
Н съ точкою С и точку А съ точ-
есть параллелограммъ. Очевидно, что
параллелограммы АНМВ и АНСК равновелики, потому что имѣютъ
общее основаніе и одинакія высоты; а такъ какъ АНСК =2^ ДСП
л АСЕС 2 Д АСК, то параллелограммъ АНСК равновеликъ съ парал-
— 165 —
.яелограммомъ АСЕВ, а потому параллелограммы АНМЪ и АСЕО
равновелики.
Подобнымъ же образомъ доказывается, что параллелограммы Г/О
« ВІХЕС равновелики. Слѣдов., параллелограммъ АНІВ равпяеіся суммѣ
•параллелограммовъ СВО и ВІ)ЕС.
§ 166.	Теорема. Если изъ какой-нибудь точки, лежащей внутри
травильнаго многоугольника, опустимъ перпендикуляры на всѣ стороны
вю, то сумма этихъ перпендикуляровъ, дѣленная на число сторонъ
многоугольника, т.-е. средняя ариометическая изъ нихъ, равняется
апоѳемѣ.
Доказ. Пусть будетъ АВСВЕВ (черт. 225)
многоугольникъ О его центръ, ОК его
.апоѳема н I какая-нибудь точка, лежащая
внутри его. Если изъ точки I опустимъ
перпендикуляры на стороны многоуголь-
ника, то площадь его будетъ равняться
^(/ЛГ+ /.V + ІР + I? + ІІІ + 18).
какой-нибудь правильный
А КМ В
Черт. 225.
Если же означимъ чрезъ п число сторонъ многоугольника, то плошадь
пАВ. ОК „
его выразится чрезъ------------Сравнивая эти два выраженія площади
АВ
многоугольника и сокративъ на-^-, находимъ
ОК=ІМ+ІХ+ІР+І$ + ІВ + І8 .
п
Это предложеніе справедливо н тогда, когда нзъ точки, лежащей вні
многоугольника, опускаются перпендикуляры на стороны его; въ этомъ
случаѣ нужно только брать съ отрицательнымъ знакомъ тѣ перпендику-
ляры, которые направлены извнѣ внутрь ка«ой-нибудь стороны.
Изъ этой теоремы слѣдуетъ, что въ рилиостороннемъ треугольникѣ
сумма перпендикуляровъ равняется тройной ічюѳемѣ или (§ 135) высотѣ
треугольника.
§ 167.	Задача. Опредѣлить треуго ерникъ, который изъ всѣхъ равно-
великихъ съ нимъ треугольниковъ и одинаковаго съ нимъ основанья имѣетъ
•наименьшій периметръ
— 166 —
Черт. 226.
«меаный я равновеликій
Рѣш. Искомый треугольникъ будетъ равнобедренный. Въ самомъ дѣлЪ»
пусть будетъ АВС (черт. 226) равно-
бедренный треугольникъ. Проведя че-
резъ точку В линію ЫГ параллельно
сторонѣ ЛС, вообразимъ другой тре-
угольникъ АВС, равновеликій треуголь-
нику АВС н имѣющій съ нимъ общее-
основаніе АС. Если изъ точки А опу-
стимъ перпендикуляръ на продол-
жимъ сторону СВ до пересѣченія съ
этимъ перпендикуляромъ въ точкѣ Е"
н, наконецъ, соединимъ точки Е и В, то
найдемъ, что прямоугольные треуголь-
ники АВІ и ЕВІ равны, потому что имѣютъ общій катетъ ІВ и кромѣ»
того
ІВА = ВАС, ВСА — ІВЕ',
слѣд.,
ЕВ=АВ.
Подобнымъ же образомъ находимъ, что ЕВ — АВ.
Но ЕВ-\-РС> ЕС, а
ЕС= ЕВ+ВС= АВ-\-ВС-,
слѣд.,
АВ±ВС>АВ±ВС,
т.-е. периметръ равнобедреннаго треугольника меньше периметра всякаго
треугольника, имѣющаго то же основаніе н ту же площадь.
Очевидно, что изъ всѣхъ треугольниковъ, имѣющихъ одинаковое осно-
ваніе м одинаковый периметръ, равнобедренный имѣетъ наибольшую пло-
щадь, потому что имѣетъ наибольшую высоту.
§ 168.	Задача. Опредѣлитъ многоугольникъ, который изъ «сѣявъ одно-
именныхъ и равновеликихъ съ нимъ многоугольниковъ имѣетъ наименьшій
периметръ.
Рѣшеніе. Искомый ииогоугольинкъ будетъ правильный.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ АВСВЕР
(черт. 227) искомый многоугольникъ, имѣющій
изъ всѣхъ одноименныхъ н равновеликихъ
съ нимъ многоугольниковъ наименьшій пери-
метръ. Соединимъ точки Л и С и проведемъ-
линію ВМ параллельно линіи АС. Если во-
образимъ треугольникъ АМС, равновеликій
треугольнику АВС, то периметръ треугольника
ЛВС долженъ быть менѣе периметра треуголь-
ника АМС, иначе многоугольникъ АВСВЕР1
имѣлъ бы большій периметръ, нежели одно-
съ иимь многоугольникъ АМСВЕР, что про-
В
Сг
Черт. 227.
— 167 —
тивно положенію; изъ этого слѣдуетъ (§ 167), что АВС есть треугольникъ
равнобедренный и АВ = ВС. Подобнымъ же образомъ доказывается равен-
ство другихъ сторонъ многоугольника АВСВЕЕ.
Углы многоугольника также равны. Въ самомъ дѣлѣ, если положимъ,
что уголъ Е меньше угла В, то, продолживъ стороны ЕЕ и СВ до пере-
сѣченія въ точкѣ б?, найдемъ, что въ треугольникѣ ЕСВ стороны СгВ
в ЕС лежатъ противъ неравныхъ угловъ; слѣд., СВ>ЕС. Если сдѣлаемъ
СВ = О-В и СЕ — СЕ и соединимъ точки В и Е, то треугольники
ЕбгВ н ВСЕ, имѣющіе общій уголъ между сторонами соотвѣтственно
равными, будутъ равны; вычтя изъ этихъ треугольниковъ по О-ЕРЕ, на-
ходимъ, что треугольники ВРЕ и ВРЕ равновелики, а такъ какъ кромѣ
того по построенію ВЕ = ВЕ и вслѣдствіе равенства треугольниковъ
ВЕО и ЛгЕб? стороны ЕВ м ВЕ равны, то многоугольники АВСВЕЕ н
АВСЕВЕ одноименны, равновелики и имѣютъ равные периметры, что
иротивно положенію. Изъ этого слѣдуетъ, что углы Е и В должны быть
равны. Подобнымъ же образомъ доказывается равенство и другихъ уг-
ловъ многоугольника АВСВЕЕ. Итакъ, искомый многоугольникъ будетъ
правильный.
§ 169.	Задача. Опредѣлитъ многоугольникъ, который изъ всѣхъ одно-
именныхъ многоугольниковъ, одинаковаго съ нимъ периметра, имѣетъ наи-
большую площадь.
Рѣшеніе. Искомый многоугольникъ будетъ правильный. Въ самомъ дѣлѣ,
пусть будетъ АВСВЕЕ (черт. 228) искомый
многоугольникъ, имѣющій изъ всѣхъ одноимен-
ныхъ многоугольниковъ одинаковаго съ нимъ пе-
риметра наибольшую площадь. Если положимъ,
что стороны АВ и ВС не равны, то пусть бу-
детъ АМС равнобедренный треугольникъ, кото-
раго периметръ равенъ периметру треугольника,
АВС. По § 167 площадь треугольника АМС
А В
Черт. 228.
больше площади треугольника АВС; слѣд., многоугольники АМСВЕР и
АВСВЕЕ1 одионменны и имѣютъ одинакій периметръ, но первый больше
второго, что противно положенію. Изъ этого слѣдуетъ, что АВ-=ВС.
Подобиыиъ же образомъ доказывается равенство и другихъ сторонъ.
Равенство угловъ многоугольника АВСВЕЕ доказывается какъ въ
предыдущемъ §. Положимъ, что уголъ Е менѣе угла В; тогда можно
какъ въ предыдущемъ §, провести линію ВЕ такъ, чтобы треугольники
ВРЕ н ЕРВ были равновелики, и составить такимъ образомъ много-
угольникъ АВСЕВЕ, одноименный, равновеликій и одинаковаго периметра
съ многоугольникомъ АВСВЕЕ, что противно положенію; слѣдоват., углы
Е и В должны быть равны. Подобнымъ же образомъ обнаруживается
равенство и другихъ угловъ. Итакъ, искомый многоугольникъ будетъ пра-
вильный.
— 168 —
Съемка плана,
§ 170.	Снять планъ какой-нибудь мѣстности значитъ изобразить на
бумагѣ въ уменьшенномъ видѣ фигуру подобную той, которую предста-
вляетъ эта мѣстность. Съемка плана производится или съ помощію астро-
лябіи, или съ помощію мензулы.
1. Положимъ, что требуется снять планъ съ мѣстности, имѣющей видъ
многоугольника АВСВЕ (черт. 229).
А
Черт. 229.
Измѣривъ линіи АВ, ВС, СВ, ВЕ и ЕА и опредѣливъ съ помощію
астролябіи углы А, В, С, В и Е, проведемъ иа бумагѣ линію Лі!?»
составляющую опредѣленную часть ли іи АВ, напр. такую часть, чтобы
линія Аі-Ві содержала столько же дюймовъ, сколько линія АВ содержитъ
саженей, это отношеніе дву ъ линій АВ и АхВі составляетъ такъ назы-
ваемый масштабъ плана. Въ точкѣ В) строится уголъ, равный углу В, и
-откладывается линія В\Съ пропорціональная по масштабу линіи ВС- Про-
должая это построеніе такимъ образомъ далѣе, составимъ многоугольникъ
АіВіСіВіЕі, подобный многоугольнику АВСВЕ.
Когда по какимъ-либо причинамъ нельзя измѣрить всѣ стороны много-
угольника АВСВЕ, то можно ограничиться опредѣленіемъ одной изъ
нихъ, напр. стороны АВ. Измѣривъ затѣмъ съ помощію астролябіи углы
ВАС, ВАВ, ВАЕ, также углы АВС, АВВ и АВЕ, проведемъ на бумагѣ
линію АіВі, составляющую онредѣлен ую часть линіи АВ, и построимъ
съ помощью транспортира углы	ДЛ,Д, В1А1ЕІ, соотвѣтственно
равные угламъ ВАС, ВАВ а ВАЕ; так :е углы А1ВІС\, А{ВіВ{ и АіВ^,
соотвѣтственно равные угламъ АВС, АВІ) и АВЕ; пересѣченія линій
А{Сі й В&, ЛіД н В)1\, А^ЕХ и Ві опредѣлятъ вершины Сь Д в
Е[ многоугольника подобнаго многоугольнику АВСВЕ.
2. Мензула, употребляемая для съемки плана, состоитъ изъ деревянной
доски, поддерживаемой тремя ножками и снабженной алидадою; на этой
доскѣ натягивается чистый листъ бумаги.
— 169
Чтобы спять съ помотью мензулы плавъ какой-нибудь мѣстности, пред-
ставляющей фигуру АВСВ (чі-рг. 230) назначаемъ на поверхности землм
какую-ппбудь прямую линію Л/^Ѵ, возможно точнѣе опредѣленную; эта
прямая называется бан«-<>.мъ. ІІ|ювѳдя
ставляющую опредѣленную часть ба
зиса МУ, устанавливаемъ мензулу
такъ, чго«'ы точка т приходилась
прямо надъ тонкую М и линія >нп
Х5ыла направлена по линіи ЛЛѴ,- іцю-
водимъ затѣмъ съ помощью алидады
на мензулѣ изъ точки т прямыя, на-
яравлепныя ко всѣмъ вершинамъ
А, В, С н В фигуры АВСВ. Пере-
неся потомъ мензулу въ точку У,
устанавливаемъ ее такъ, чтобы гоч-
ка я прямо приходилась на и, точ-
на мензулѣ Рф прямую тп, СО-
Черт. 230.
кою іѴ и линія н>п быіа
направлена во линія УМ. и провопимъ за-
тѣмъ съ помощью алидады на мензулѣ изъ точки п прямыя, направленныя
ко всѣмъ вершинамъ А, В, С и Р; пересѣченія этихъ линій съ первыми
опредѣлятъ па мензулѣ фигуру аЬс>1, подо ную фигурѣ АВСВ.
Если внутри мѣстности АВСІ)Е (че» •
кланъ, находится точка О, разстоянія
которой отъ вершинъ А, В, С, 1} и Е
яли извѣстны, или леіко могутъ быть
опредѣлены, то для съемки плана
устанавливаютъ мензулу въ точ»-
я, проведя на ней съ помощью а-іи-
дадкг изъ ТОЧКИ О Прямыя КО ВСѣМЪ
вершинамъ А, В, С, 1> и Е, откла-
дываютъ на эпіхъ линіяхъ чясіи Оа,
ОЪ, Ос, 02 и Ое, соогві.теівеяио
аропорціональныя разстояніямъ ОА,
ОВ, ОС, Ой и ОЕ; тоі.іа на мен-
зулѣ получится фигура аі)с<іе, подоб-
ная фигурѣ АВСВЕ
 231), съ которой нужно снять
Когда нужно опредѣлить величину площади какой-нибудь мѣстности, то,
снявши планъ ея, разбинае.мь его ва треугольники и опредѣляемъ пло-
щадь каждаго треугольника отдѣлъ о. Затѣмъ, сложивши всѣ площади
треугольниковъ, находимъ въ суммі площадь разсматриваемой мѣстности,
выраженную въ квадратныхъ едини ахъ масштаба. Положимъ, напр., что
ио принятому масштабу каждая сьжопь представляется однимъ дюймомъ
х что въ планѣ какой-нибудь мѣстности оказалось 1000 квад. дюймовъ
тогда площадь этой мѣстности содержитъ 1000 кв. саженъ.
— 170 —
Задачи.
' 161. Опредѣлить геометрическое мѣсто вершинъ равновеликихъ треуголь-
никовъ, имѣющихъ общее основаніе.
162.	Опредѣлить площадь параллелограмма, котораго основаніе равно
212,14 ф., а высота равна 85,6 ф.
163.	Опредѣлить площадь треугольника, котораго основаніе равно 324,5 ф.»
а высота равна 85,6 ф.
164.	Опредѣлить площадь трапеціи, которой параллельныя стороны равны
25,5 ф. и 18,3 ф., а высота равна 15,3 ф.
165.	Опредѣлить площадь треугольника по данному периметру его р а
радіусу г вписаннаго круга.
166.	Построить треугольникъ по даппой площади его Л2, одной сторонѣ
а и противоположному ей углу т.
167.	Провести между сторонами угла линію даппой величины, которая
отсѣкла бы отъ угла треугольникъ, равновеликій даппому квадрату.
168.	Раздѣлить треугольникъ АВС па двѣ части въ отношеніи т : п
линіею, параллельной данной прямой ЛГУ.
169.	Раздѣлить параллелограммъ АВСВ па двѣ части въ отношеніи т :п
линіею, параллельною данной прямой Л/У.
170.	Построить квадратъ, равновеликій двойному данному квадрату.
,171. Постропть квадратъ равновеликій половинѣ даннаго квадрата.
172.	Построить квадратъ: а) равновеликій даппому параллелограмму»
Ь) равновеликій даппому треугольнику.
173.	Превратить треугольникъ, котораго основаніе равно Ъ, а высота
равна А, въ равновеликій ему треугольникъ, имѣющій данную высоту И
или данное основаніе В. к
174.	Построить квадратъ, равновеликій суммѣ нѣсколькихъ квадратовъ,
которыхъ стороны суть а, & и с.
175.	Построить квадратъ, равновеликій разности двухъ квадратовъ, кото-
рыхъ стороны суть а и Ъ.
176.	Опредѣлить построеніемъ квадратный корень изъ 154.
177.	На липіи 1.21 найти такую точку, чтобы разность квадратовъ раз-
стояній этой точки отъ двухъ данныхъ точекъ А а В равнялась данному
квадрату к3.
178.	Опредѣлить такія двѣ линіи, чтобы сумма ихъ квадратовъ равня-
лась данному квадрату Л2 и прямоугольникъ, изъ нихъ составленный,
былъ бы равновеликъ прямоугольнику, котораго основаніе есть Ь, а.
высота А.
171
179.	Построить квадратъ равновеликій -^-даннаго квадрата.
180^ Раздѣлить тр угольникъ на т равныхъ частей линіями, проведея-
жымв мзъ вершины го.
181.	Раздѣлить треугольникъ на т равныхъ частей линіями, проведен-
ными изъ точки, лежащей на одной изъ сторонъ его.
182.	Построить квг'драть, равновеликій данному многоугольнику.
183.	Даны два подобныхъ многоугольника,—опредѣлить третій много-
угохьинкъ, имъ подобный и равновеликій ихъ суммѣ.
184.	Построить многоугольникъ, подобный данному многоугольнику
такъ, чтобы площади этихъ многоугольниковъ относились между собою
какъ т : п.
185.	Найти двѣ линіи, которыхъ отношеніе равнялось бы отношенію
двухъ данныхъ квадратовъ.
186.	Стороны треугольника соотвѣтственно равны 5 ф., 9 ф. и 10 ф.;
опредѣлить площадь его.
187.	Опредѣлить площадь трапеціи по дапнымъ четыремъ сторонамъ е*
а, Ь, с и Л, предполагая, что а и Ь суть ея параллельныя стороны.
188.	Раздѣлить треугольникъ АВС пополамъ линіею, перпендикулярною*
къ одной изъ сторон'’ его.
189.	Внутри треугольника АВС найти такую точку, чтобы прямыя, про-
веденныя отъ этой точки къ тремъ вершинамъ А, В н С, раздѣлили
треугольникъ на три равновеликихъ треугольника.
190.	Внутри треугольника АВС найти такую точку, чтобы линіи, про-
веденныя отъ этой точки къ тремъ вершинамъ А, В и С, раздѣлили
греугольиикъ на три треугольника, которыхъ площади относились бы
какъ т-.п-.г.
191-	Раздѣлить треугольникъ пополамъ линіею, параллельною основанію-
его.
192.	Раздѣлить треугольникъ на т равныхъ частей линіями, параллель-
ными основанію его.
193.	На линіи а построить прямоугольникъ, равновеликій данному прямо-
угольнику, котораго основаніе есть Ъ, а высота А.
194.	По данному периметру 2р построить прямоугольникъ, равновеликій
данному квадрату Л8.
195.	По данному периметру 2р построить прямоугольникъ, равновеликій
данному прямоугольнику.
196.	Даииую линію р раздѣлить ва двѣ части такъ, чтобы прямоуголь-
никъ, составленный изъ всей линіи и одной части ея, былъ равновеликъ,
данному квадрату к*.
197.	По данной разности Л между основаніемъ и высотою построй!*
прямоугольникъ, равновеликій данному квадрату Л*
198.	По данной гипотенузѣ а построить- прямоугольный треугольникъ,
равновеликій данному квадрату А;8.
— 172 —
199.	Провести чрезъ внѣшнюю точку А сѣкущую къ кругу такъ, чтобы
сумма квадратовъ внутреннее и ввѣшней части ея равнялась данному
квадрату К1.
200.	Построить треугольникъ по тремъ даннымъ высотамъ его Л, Л, и Л,-
201.	Въ треугольникѣ, котораго основаніе есть Ь, а высота к, вписать
^прямоугольникъ, равновеликіе данному квадрату.
202.	Опредѣлить площадь правильнаго двѣнадцатиугольника, вписаннаго
въ кругъ радіуса г.
203.	По дайной сторонѣ правильнаго треугольника, пятиугольника,
шестиугольника, десятиугольника, двѣнадцатиугольника опредѣлить пло-
щади этихъ многоугольниковъ.
204.	По данной площади А* вписаннаго квадрата и правильнаго вписан-
наго шестиугольника опредѣлить площади описаннаго квадрата и описан-
наго шестиугольника.
.205. Провести чрезъ точку О, лежащую внутри угла АВС, прямую,
«оторал отсѣкла бы отъ угла треугольникъ, равновеликій данному парал-
лелограмму.
ГЛАВА IX.
Опредѣленіе окружности и площади круга.
О предѣлахъ. Опредѣленіе окружности и площади круга. Квадратура круга.
Гиппократова луночка. Опредѣленіе площади криволинейныхъ фигуръ-
Задачи.
О предѣлахъ.
§ 171.	Опредѣленіе окружности и площади круга, равно какъ
вычисленіе длины и площади какой-нибудь кривой линіи, основы-
вается на особомъ способѣ, который называется способомъ предѣ-
ловъ.
Есть два рода величинъ: величины псремтънныл и величины по-
стоянныя. Когда величина измѣняется, увеличиваясь или умень-
шаясь, она называется перемѣнною; когда же опа сохраняетъ одно
и то же значеніе,—постоянною. Напр., діаметръ въ данномъ кругѣ
есть величина постоянная, потому что всякій діаметръ, какое бы ни
имѣлъ онъ положеніе, имѣетъ всегда одну н ту же величину; на-
противъ того, хорда есть величина перемѣнная, потому что съ пе-
ремѣной ея положенія измѣняется и величина ея; произведеніе же
отрѣзковъ хордъ, проходящихъ чрезъ одну и ту же точку внутри
круга, будетъ величиною постоянною, потому что произведеніе это
одинаково для всѣхъ хордъ, проходящихъ чрезъ эту точку. Подоб-
нымъ образомъ углы какого-нибудь треугольника суть величины
174 —
перемѣнныя, потому что съ измѣненіемъ вида треугольника измѣ-
няются и углы его; но сумма всѣхъ трехъ угловъ треугольника
«сть величина постоянная, потому что, какого бы вида нн былъ
треугольникъ, сумма эта остается неизмѣнной.
Когда перемѣнная величина, измѣняясь, приближается безпре-
дѣльно къ постоянной величинѣ, такъ что разность между ними
можетъ быть сдѣлана какъ угодно иалой, то постоянная величина
называется предѣломъ перемѣнной. Напр., сѣкущая, по мѣрѣ сбли-
женія между собою двухъ точекъ пересѣченіи, приближается без-
предѣльно къ касательной; поэтому касательная есть предѣлъ сѣку-
щей, когда точки пересѣченія ек сближаются. Равнымъ образомъ
дробь 0,999... безпредѣльно приближается къ 1 по мѣрѣ увели-
ченія числа десятичныхъ знаковъ, а поэтому 1 есть предѣлъ дро-
би 0,999...
Одно приближеніе перемѣнной величины къ постоянной недоста-
точно для того, чтобы принять постоянную величину за предѣлъ пе-
ремѣнной; необхоциио для этого удостовѣриться, что сближеніе про-
исходитъ неограниченно, т.-е. что разность между перемѣнной в
постоянной величиною можетъ быть сдѣлана менѣе всякой величины.
Напр., дробь 0,9888... по мѣрѣ увеличеніи числа знаковъ прибли-
жается также къ 1; но тѣмъ не менѣе 1 не есть предѣлъ ея, по-
, 1
тому что разность между ними остается всегда больше ; вели-
чина, къ которой дробь 0,9888... безпредѣльно приближается, есть
89'
поэтому эта дробь есть предѣлъ дроби 0,9888...
Перемѣнная величина, которая имѣетъ предѣломъ нуль и неогра-
ниченно приближается къ нему, называется величиною безконечно
малою. Напр., разстояніе двухъ точекъ пересѣченія сѣкущей, когда
она приближается къ касательной, есть величина безконечно малая;
равныиъ образомъ разность 1—0,999... есть величина безконечно
малая.
— 175 —
Если чрезъ а означить предѣлъ какой-ннбудь перемѣнной вели
чины и чрезъ х разность между ними, то перемѣнную величину
можно представить въ видѣ а-4-х. Очевидно, что х, означая раз-
ность между перемѣнной величиною и ея предѣломъ, есть величина
уменьшающаяся и безпредѣльно приближающаяся къ нулю; слѣдов. х
-есть величина безконечно малая.
§ 172.	Теорема. Если двѣ перемѣнныя величины при всѣхъ
своихъ измѣненіяхъ равны между сабою, то равны и предѣлы ихъ.
Пусть будутъ а-\-х и Ъ-\-у двѣ перемѣнныя величины, кото-
рыхъ предѣлы суть а и Ъ\ положимъ, что а -]-$ = & -ру, требуется
доказать, что а — Ъ.
Доказ. Замѣтимъ, что а не можетъ быть меньше Ь. Въ самомъ
дѣлѣ, если то означивъ разность Ь — а чрезъ й к предста-
вивъ уравненіе а-\-х — Б-\~у въ видѣ х— у = Ъ — а, найдемъ
х— у — &\ вслѣдствіе этого разность между х пу должна оставаться
постоянно равной величинѣ й, слѣдов. х н у не могли бы безпре-
дѣльно уменьшаться, а это противно предполагаемому свойству ве-
личинъ х и у.
Къ подобноиу же противорѣчію приходитъ предположеніе а >Ь.
Итакъ а должно равняться Ь.
§ 173.	Теорема. Если двѣ перемѣнныя величины при всѣхъ
своихъ измѣненіяхъ сохраняютъ между собою одно и то же отно-
шеніе, то въ томъ же отношеніи будутъ и предѣлы ихъ.
Пусть будутъ а-\-х и Ь-\-у двѣ перемѣнныя величины, которыхъ
,	. а-4-ж
суть а и Ь\ положимъ, что отношеніе г—-— есть постоян-
ъ+у
,	аД-Х а
пая величина; требуется доказать, что = у
176 —
Доказ. Положимъ	, разумѣя подъ
т и п какія-ни-
будь постоянныя количества; тогда
ап 4- пх == Ьщ 4- тУ
Такъ какъ ап-\-пх есть перемѣнная величина, которой предѣлъ
равенъ ап, и Ът 4~ му— перемѣнная величина, которой предѣлъ
равенъ Ьпц то нзъ равенства перемѣнныхъ величинъ по предыду-
„	, а т ,,
щеку § слѣдуетъ ап~то, или у = —• Сравнивая эту пропорцію
«ч
а4-х	т	а-4-х	а
съ пропорціеюі—г—= — , находимъ =-4— = г-
о 4~ У	п	Ъ -\-у	Ь
§ 174, Теорема, Плогцадъ круга есть предѣлъ площадей пра-
вильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ, когда числа
сторонъ ихъ неограниченно увеличивается.
Доказ. Очевидно, что площадь круга больше площади вписаннаго
и меньше площади описаннаго многоугольника, потому что площадь
вписаннаго многоугольника есть часть площади круга, а площадь
круга—часть площади описаннаго многоугольника. Но разность между
площадями вписаннаго н описаннаго многоугольниковъ безпредѣльна
уменьшается при увеличеніи числа сторонъ и можетъ быть сдѣлана
менѣе всякой величины.
х "'х Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ АВ (черт.
/	\ 232) сторона правильнаго вписаннаго много-
I ? I угольника и ОВ радіусъ перпендикулярный
\/^ с к къ ней. Такъ какъ СВ = ОВ — ОС=АО—ОС
н АО—ОС^АС, то СВ<АС, т.-е. раз-
Черт 232 ноетъ радіуса и апоѳемы менѣе половины
стороны многоугольника. При послѣдовательномъ удвоеніи числа
сторонъ центральные углы постепенно уменьшаются и могутъ быть
сдѣланы произвольно малыми, слѣдов. и стороны многоугольника
— 177 —
безпредѣльно уменьшаются и могутъ быть сдѣланы менѣе всякой
величины; а такъ какъ по доказанному разность радіуса и апоѳемы
менѣе половины стороны, то изъ этого слѣдуетъ, что эта разность
прв послѣдовательномъ удвоеніи числа сторонъ многоугольника без-
предѣльно уменьшается. Если же означимъ чрезъ и площадь пра-
вильнаго вписаннаго н чрезъ V площадь однониеннаго описаннаго
многоугольника, чрезъ г радіусъ круга н чрезъ а апоѳему, то (§ 150
.	и а9
слѣдств. 2)	или, вычтя обѣ части этого уравненія изъ
единицы:
II— и___г2—а2
~ІГ
Такъ какъ при послѣдовательномъ увеличеніи числа сторонъ много-
угольниковъ по доказанному а неопредѣленно приближается къ г,
то изъ этого уравненія слѣдуетъ, что разность II—и уменьшается
я можетъ быть сдѣлана менѣе всякой величины. Отсюда мы заклю-
чаемъ, что чрезъ послѣдовательное увеличеніе чпсла сторонъ раз-
ность между площадями круга и вписаннаго многоугольника, равно
какъ и разность между площадями описаннаго многоугольника и
круга, можетъ быть сдѣлана менѣе всякой величины, и потому пло-
щадь круга есть предѣлъ площадей правильнаго вписаннаго и опи-
саннаго многоугольниковъ, когда число сторонъ ихъ безпредѣльно
увеличивается.
Предложеніе это выражается иногда и такъ: кругъ есть правилъ
чый многоугольникъ съ безконечнымъ числомъ сторонъ.
§ 175. Теорема. Окружность есть предѣлъ периметровъ правиль-
наго вписаннаго и описаннаго многоугольниковъ, когда число сто-
ранъ ихъ неограниченно увеличивается.
Доказ. Изъ предыдущаго § слѣдуетъ, что при постепенномъ уве-
личеніи числа сторонъ вписанные м описанные многоугольники при-
А. Давшюп. Гмметри*.	12
— 178 —
ближаются въ совпаденію съ кругомъ; слѣдов. и периметры ихъ
приближаются къ совпаденію съ окружностью круга. По при удвое
ніи числа сторонъ периметръ писаннаго многоугольника увеличи-
вается (§ 131), а периметръ описаннаго уменьшается (§ 132).
слѣдов., периметръ описаннаго многоугольника приближается къ совпа-
денію съ окружностью уменьшаясь, а периметръ вписаннаго при-
ближается къ совпаденію съ окружностью увеличиваясь. Изъ этого
слѣдуетъ, что окружность круга больше периметра вписаннаго и
меньше периметра описаннаго многоугольника.
При постепенномъ же удвоепіи числа сторонъ разность между пе-
риметрами вписаннаго и описаннаго многоугольниковъ неограниченно
уменьшается н можетъ быть сдѣлана менѣе всякой величины. Въ
самомъ дѣлѣ, пусть будутъ Р периметръ описаннаго и р периметръ
одноименнаго вписаннаго многоугольниковъ, г радіусъ круга и а
апоеема, тогда (§ 129):
р	а	Р—р г—а
= или ==.---------
Р г Р г
Такъ какъ при постепенномъ увеличеніи числа сторонъ разность
г—а, по предыдущему §, безпредѣльно уменьшается, то изъ этого
уравненія слѣдуетъ, что Р—р можетъ быть сдѣлало менѣе всякой
величины. Отсюда заключаемъ, что чрезъ постепенное увеличеніе
числа сторонъ разность между окружностью и периметромъ вписан-
наго многоугольника, равно какъ и разность между периметромъ
описаннаго многоугольника и окружностью, можетъ быть сдѣлала
меньше всякой величины, и потому окружность есть предѣлъ пери-
метровъ правильныхъ описанныхъ и вписанныхъ многоугольниковъ,
когда число сторонъ ихъ неограниченно увеличивается.
— 179 —
Опредѣленіе окружности и площади круга.
§ 176.	Теорема. Окружности круговъ относятся какъ радіусы
или діаметры ихъ.
Вообразимъ два круга, радіусы которыхъ пусть будутъ Я и г, а
длины окружностей С н с\ требуется доказать, что
С _2В
с г 2г
Доказ. Положимъ, что въ этихъ кругахъ вписаны два правиль-
ныхъ одноименныхъ многоугольника; означивъ периметры ахъ чрезъ
? и Р, находимъ (§ 129):
Р = -В
г
Но такъ какъ окружность есть предѣлъ вписанныхъ многоуголь-
никовъ (§ 173), то
с г 2г
Представивъ эту пропорцію въ видѣ
= _е_
2Х 2г
заключаемъ, что отношеніе окружности къ діаметру есть число по-
стоянное, одинаковое для всѣхъ круговъ.
Это постоянное число условились изображать греческою буквою х,
гакъ что	'
С
2%^-
Число -я есть число ирраціональное и потому не можетъ быть
опредѣлено съ точностію; приближенная величина его есть 3,14159...
(см. § 179).
§ 177.	Теорема. Длина окружности равняется радіусу, умно-
женному на 2тс.
Пусть будетъ С длина окружности и В ея радіусъ; требуется
доказать, что С=2ъВ.
С
Доказ. Изъ уравненія предыдущаго §:	наход. С=2тсД,
что и требовалась доказать.
12*
- 180 —
Съ помощію этого уравненія опредѣляется длина окружности, копія
радіусъ ея извѣстенъ, при чемъ длина окружности будетъ выражена
въ тѣуь же линейныхъ единицахъ, въ которыхъ выражается радіусъ.
Опредѣленіе длины окружности въ линейныхъ единицахъ назы-
вается выпрямленіемъ окружности.
Если въ уравненіи С = 2~й примемъ Д = 1, то С = 2те; это
значитъ, что 2іт есть длина окружности, которой радіусъ ра-
венъ 1.
Изъ уравненія С = 2л_Н находимъ 7? = Съ помощію
этого .выраженія можно опредѣлить радіусъ круга, когда извѣстна
длина окружности.
§ 178.	Задача. Опредѣлитъ длину дуги, содержащей п гра-
дусовъ.
Рѣш. Пусть будетъ з длина дуги, содержащей іг°, и В радіусъ
круга. Такъ какъ длина всей окружности равна 2ий, то длина каж-
, 2кВ
даго градуса ея будетъ и потому
2ъВ.п
“360-
Длина дуги, опредѣленной съ помощію зтого уравненія, будетъ
выражена въ тѣхъ же линейныхъ единицахъ, въ которыхъ выра-
жается радіусъ В. Опредѣленіе дуги въ линейныхъ единицахъ на-
зывается выпрямленіемъ ея-
Изъ предыдуща о сравненія находимъ
Съ помощію этого выраженія можно опредѣлить число градусовъ,
содержащихся въ дугѣ данной длины и даннаго радіуса.
Если изъ вершины угла, содержащаго опишемъ радіусами В
и г дуги и означимъ длины этихъ дугъ чрезъ 8 и к, то по преды-
— 181 —
_ 2к7?.п 2гг.п . х 8	7?
дущеиу «=-360- и «=-360- слѣдов., 7 = ?, т.-е.
дуги, соотвѣтствующія одному и тому же центральному углу,
относятся между собою какъ ихъ радіусы.
§ 179.	Задача. Опредѣлитъ отношеніе окружности къ діаме-
тру, т.-е. число л.
Рѣшеніе. Въ § 177 мы нашли, что 2тс есть длина окружности,
которой радіусъ равенъ 1, и потому опредѣленіе ж приводится къ
опредѣленію окружности, которой радіусъ есть 1.
Для приближеннаго вычисленія такой окружности означимъ чрезъ
ав, аі2-, стороны правильныхъ вписанныхъ многоугольниковъ
о 6, 12, 24... сторонахъ, чрезъ Ь6, Ь13, Ь24... стороны соотвѣт-
ственныхъ описанныхъ многоугольниковъ, и вычислимъ периметры
этихъ многоугольниковъ.
Такъ какъ радіусъ круга равенъ 1, то (§ 134) ав=1, и пери-
метръ вписаннаго шестиугольника равенъ поэтому 6.
Далѣе, по § 131,
= |/'2-^3=0,517638...
Слік&вательно, нарнхатръ вписаннаго ^віпа^цатЕуголвнява равенъ
6,211657.
Такимъ же образомъ находимъ:
«34 =у/ 2 — 2	=0,261052..
а48 =|/ 2 — 2	= 0,130806...
о,, =|/ 2 - 21/1 —	= 0,065438...
и т. «•
182 —
Соотвѣтствующіе периметры будутъ:
6,265257...; 6,278700...; 6,282064... и т. д.
Затѣмъ, вычисливъ по формулѣ § 130 стороны Ъ9, Ь12, \4... опи-
санныхъ многоугольниковъ, находивъ:
Ь, =	= 1,154700...
Ь1>=—^=2У=^= = 0,535898...
/1--^
= 0,263294...
іЛ 1 _ а^1
У 4
Ь48 = —7=== = 0,131087...
Ѵ	4
Ьм =	= 0,065472...
У	4
Соотвѣтствующіе периметры будутъ:
6,928200; 6,630776; 6,319056; 6,292176; 6,285429 и т. д.
Два большей наглидности помѣщаемъ результаты вычисленій въ
слѣдующей таблицѣ:
Число сторонъ много- угольника.	Периметръ вписаннаго многоугольника.	Периметръ описаннаго многоугольника.
6	6,000000	6,928200
12	6,211657	6,630776
24	6,265257	6,319056
48	6,278700	6,292176
96	6,282064	6,285429
192	6,282905	6,283746
384	6,283115	6,283326
768	6,283168	6,283220
1536	6.283181	6,283194
3072	6,283184	6,283187
— 183 —
Изъ этой таблицы видно, что разность периметровъ описанныхъ
и вписанныхъ многоугольниковъ постепенно уменьшается по мѣрѣ
увеличенія числа сторонъ, и что разность периметровъ многоуголь-
никовъ о 3072 сторонахъ уже менѣе 0,00001; слѣд. н разность
между этими многоугольниками и окружностью круга будетъ меньше
0,00001; а такъ какъ окружность разсматриваемаго круга выражает-
ся чрезъ 2тс, то
2^ = 6,28318 или = 3,14159
съ точностью 0,00001.
Греческій геометръ Архимедъ, ограничиваясь вычисленіемъ пери-
метра многоугольника о 96 сторонахъ, нашелъ для п отношеніе
22
=3,1428, вѣрное до 0,01. Это отношеніе во многихъ приложе-
ніяхъ имѣетъ достаточную точность.
Андріанъ Мецій, жившій въ концѣ XVI столѣтія, нашелъ
п= 3®’ = 3,1415920,
вѣрное до 0,000001. Отношеніе это, отличаясь значительной сте-
пенью приближенія, представляетъ кромѣ того ту выгоду, что легко
удерживается въ памяти, особенно если представить его въ видѣ
-=113:355 *).
ГС
*) Только около конца XVI столѣтія число л было опредѣлено съ такою точ-
ностію которая не только удовлетворяла всѣмъ требованіямъ практики, но и
далеко превышала ихъ. Францъ Віета вычислилъ л съ 10 десятичными знаками
съ помощью многоугольниковъ о 393316 сторонахъ, затѣмъ Андріанъ Роменъ
опредѣлилъ л съ 15 десятичными знаками изъ многоугольниковъ о 251658240
сторонахъ; наконецъ, Рудольфъ изъ Кельна опредѣлилъ сперва л съ 20 десятич-
ными знаками изъ многоугольниковъ о 32212254720 сторонахъ, потомъ даже съ
35 десятичными знаками, Величина полученная имъ для я, есть
л=3,1415926535897932384664338327950288.
По желанію Лудольфа число это поставлено иа его надгробномъ памятникѣ,
потому оно м называется Лудольфовымъ числомъ Шенкъ (ЗЬапкз)
вычислилъ ік съ 530 десятичными знаками.
— 184 —
§ 180. Теорема. Площадь круга равна квадрату радіуса, умно-
женному на іс.
Пусть будетъ И радіусъ круга и К его площадь; требуется до-
казать, что К—ѵ.В?.
Доказ. Означимъ чрезъ О окружность круга, а чрезъ М и Р
площадь и периметръ какого-нибудь правильнаго описаннаго много-
угольника. Если а есть разность между площадями описаннаго много-
угольника и круга, такъ что М—К=а, и $ — разность между пе-
риметромъ и окружностью, такъ что Р—С=/9, то а и (3, при посте-
пенномъ увеличеніи числа сторонъ многоугольника, будутъ безпрѳ-
РИ
дѣльно уменьшаться; но (§§ 144 и 127) 2И=—а такъ какъ
1И.~К~{-а и Р = О+/3, то
тл і	/ Л I Гг, Р С
К+а= % (С+₽) = -2- + -^-
„	.	, НС , вв
Въ атомъ уравненіи К-}-а и	означаютъ двѣ перемѣнныя
2	2
РС
величины, постоянныя же части К н-^-будутъ предѣлы ихъ; слѣдов.
(§ 172)
т.-е. площадь круга равняется окружности, умноженной на поло-
вину радіуса.
Это выраженіе площади круга можно получить впрочемъ прямо,
разсматривая кругъ какъ правильный многоугольникъ съ безконеч-
нымъ числомъ сторонъ.
Замѣтивъ, что С=2ігР (§ 177), находимъ	что и тре-
бовалось доказать.
Съ помощію отого уравненія опредѣляется площадь круга, когда
радіусъ его извѣстенъ, при чемъ площадь 'круга будетъ выражена
— 185 —
въ типъ квадратныхъ единицахъ, въ какихъ линейныхъ единицахъ
выражается радіусъ 7?.
-і
Изъ уравненія К = тг7?а находимъ В = I/ съ помощію
этого выраженія можно опредѣлить радіусъ круга, когда извѣстна
площадь его.
Изъ уравненія К — пВ? слѣдуетъ, что площади круговъ отно-
сятся какъ квадраты ихъ радіусовъ. Въ самоиъ дѣлѣ, пусть будутъ
К и Кг площади двухъ круговъ, Я и нхъ радіусы; тогда
К Л?
К = тг/г8 и К, = тг7?А слѣдов. === ъ-9-
./С і 7*^
§ 181. Теорема. Площадь сектора равняется выпрямленной
дугѣ его, умноженной на половину радіуса.
Пусть будетъ 8 площадь сектора АОВ (черт.
233), В радіусъ круга и $ длина дуги АВ\ тре-
буется доказать, что
о %
Черт. 233.
Доказ. Замѣтивъ, что площадь круга относится къ площади сек-
тора, какъ окружность круга къ дугѣ сектора, находимъ кВ2: 8
= л отожда 8=з
8 В
Изъ уравненія 8 = ~~ слѣдуетъ, что площади секторовъ оди-
накихъ радіусовъ относятся какъ дуги ихъ.
Если означимъ чрезъ п число градусовъ, содержащихся въ дугѣ
2тѵУі
в, и замѣтимъ, что 8 = -з^“(§ 1^8), то получимъ
________________________________ттТ^.я
“360“‘
Изъ этого уравненіи слѣдуетъ, что площади секторовъ, содержа-
щихъ одинакое число градусовъ, относятся какъ квадраты ихъ
радіусовъ.
— 186 —
§ 182. Теорема. Кругъ, котораго діаметръ равенъ гипотенуза
прямоугольнаго треугольника, равновеликъ суммѣ круговъ, діаметры
которыхъ сушъ катеты этого треугольника.
Пусть будутъ а гипотенуза, бис катеты какого-нибудь прямо-
угольнаго треугольника, Р площадь круга, имѣющаго діаметръ а,
Ф и .В площади круговъ, имѣющихъ діаметры Ь и с; требуется до-
казать, что
Доказ. По § 180 имѣемъ
/ а та2. „ тгЬ3. „ то2
62-|-с3
Отсюда <Э + Я = тг —; а такъ какъ по свойству пряиоуголь-
наго треугольника (§ 147) а1 = Ь3 с2, то 2 4-Я =	, и по-
тону Р = 2 4- я.
Квадратура круга.
§ 183. Подъ квадратурою круга разумѣютъ задачу, состоящую въ опре-
дѣленіи квадрата равновеликаго кругу.
Рѣшеніе этой задачи съ помощію вычисленія не представляетъ никакого
затрудненія, потому что, означая радіусъ круга чрезъ И и сторону равно-
великаго ему квадрата чрезъ х, имѣемъ а?2 = лЛ*; слѣдов.
х = /,'|' я = ЦѴз,1415926... = ІІ.1,7724518...,
в потому можно всегда опредѣлить х съ достаточною точностью.
Но обыкновенно разумѣютъ подъ квадратурою круга построеніе ква-
драта равновеликаго кругу, употребляя для этого только линейку и цир-
куль. Въ этомъ смыслѣ квадратура круга невозможна, потому что нельзя
построить ирраціональное число л; она притомъ и безполезна, потому
что, какъ сказано, можно съ достаточною точностію опредѣлить сторону
квадрата равновеликаго данному кругу *).
•) Множество попятокъ, сдѣланныхъ для нахожденія квадратуры круга,—
попытокъ, сопрягавшихся съ большою тратою времени и умственныхъ силъ,
придали этому вопросу большую извѣстность. Чтобы остановить безполезныя изы-
сканія по этому предмету, ученыя учрежденія согласились не принимать на раз-
— 18> —
Хотя квадратура круга есть задача невозможная въ строгомъ смыслѣ,
однако можно рѣшить ѳѳ приблизительно и притомъ съ приближеніемъ,
которое болѣе нежели достаточно для всѣхъ приложеній.
„	-	. о.	2лЯ
Изъ уравненія х- — п Л* находимъ-----
м отсюда слѣдуетъ, что
72л
сторона квадрата равновеликаго кругу есть средняя пропорціональная
между окружностью я половиной радіуса; слѣд. вопросъ объ опредѣленіе
я приводится къ нахожденію прямой линіи, равной окружности, идя къ
линіи равной 2л, если радіусъ круга примемъ за единицу.
Предлагаемъ здѣсь нѣкоторыя приближенныя рѣшенія этой задачи.
1. Сумма сторонъ равносторонняго треугольника и квадрата, вписанныхъ
въ кругъ радіуса единицы, приблизительно равняется я. Въ самомъ дѣлѣ,
сторона вписаннаго равносторонняго треугольника (§ 135) равна ^/3, а
сторона вписаннаго квадрата (§ 133) равна /2; но
1/3+^2 = 3,148
слѣд. сумма этихъ двухъ сторонъ равняется я съ точностію 0,01, т.-е. съ
точностью отношенія, найденнаго Архимедомъ.
смотрѣніе никакихъ разсужденій, относящихся къ этому вопросу, и это рѣше-
ніе имѣло желаемый успѣхъ: квадратурою круга стали заниматься съ тѣхъ поръ
гораздо менѣе.
Подобную же участь, какъ квадратура круга, имѣла задача: раздѣлить
данный уголъ на три равныя части. Эта задача не можетъ быть
разрѣшена геометрическимъ построеніемъ. Тѣмъ не мепѣе она составляла пред-
метъ многочисленныхъ изслѣдованій геометровъ древняго и новаго времени.
Моитукла въ сочиненіиНізіоіге йев гесЬегсІіеззпг Іа дпайгаіиге би сегсіе
сообщаетъ въ арвбамеісііс также иегорію трисекція угла. Вей изысканія объ
этомъ вопросѣ приводятъ, какъ въ квадратурѣ круга, только къ приближеннымъ
рѣшеніямъ.
Если въ безконечной нисходящей прогрессіи = Й + Й* + й* 3 • • • ноло-
1 =
3	4 ' 4 4~ 4 4 4 ‘
Это вираженіе показываетъ, какимъ образомъ можно, чрезъ послѣдовательное
дѣленіе угловъ пополамъ, получить болѣе или менѣе приближенное раздѣленіе
даннаго угла на три равныя части. Трисекція угла можетъ быть разрѣшена съ
жомопрю высшей геометріи, напр. чрезъ пересѣченіе круга съ параболою; нѣ-
которые же частные случаи, напр. дѣленіе прямого угла на три равныя части
(зад. 122), могутъ быть разрѣшены я элементарной геометріею.
— *188 —
і. Принимая радіусъ круга (черт. 234) равнымъ 1, проведемъ діаметръ
АВ и отложимъ хорду АС=1 Опустивъ
перпендикуляръ ОС на хорду АС и проведя
въ точкѣ А касательную АО, отложимъ иа
ней часть 0Р=30А — 3, и соединимъ точки
В4 * * 7 и В\ тогда линія РВ равняется я съ точ.
ностью 0,001 ♦). Въ самомъ дѣлѣ, проведя ли-
нію БІ параллельно линіи РѲ, находимъ, что
Черт. 234. прямоугольные треугольники А ОЕ и Б ОН,
имѣющіе общій уголъ О и равныя гипотенузы, равны; слѣдовательно
БН = АЕ Изъ подобія же треугольниковъ ОАО и БНО находимъ
СА БН
СО БО'
слѣдов. СгА = ^^--, поэтому:
1
2 ’
ѲАІ=СО3 — 1 = 4СЛ« — 1, или 4(?Л«=
и отсюда О А3 =	Далѣе:
УВ> = Ай! +Л?’ = 2! + (3-Л6)’ = 4+(з —	-І-)*
= 4 + 9+-^---^.= «.-2/3.
Поэтому
^0 _2^3= 1/9,86923172 = 3,141633.
Слѣдов. я= РВ съ точностью 0,0001.
3. Принимая радіусъ крута (черт. 235) равнымъ
I, продолжимъ діаметръ
АВ и проведемъ въ
точкѣ В касательную
на которой отложимъ
часть ВС =2, СВ —
4- и СЕ = ~. Со-
о	5
единивъ точки Е н Б
съ центромъ, дѣлаемъ
ВО = ОБ и прово-
*) Эте построеніе принадлежитъ польскому іезуиту Кохапскому (1683);
отличается тѣмъ, что дѣлается однимъ раскрытіемъ циркуля.
оно
— 189 —
димъ линію Р(г параллельно линіи ЕО, тогда-^- равняется я еъ точ-
ностью 0,000001 *).
Въ самомъ дѣлѣ,
Далѣе, изъ подобныхъ треугольниковъ СРВ и ОВЕ находивъ
„ ЕВ.СВ	13Ѵ146	13 —-	13	іолевгикат_ йоозіяча.
и отсюда РВ ——?Г75—=к-—?—=«« 1/146=^- 12,08304597 = 6,2831839;
ОВ	5 5	25	1	25
РВ	РВ
поэтому-^—=3,141592; слѣдов. — 9~ = я съ точностью 0,000001.
Это построеніе опредѣляетъ п съ такою же точностью, какъ отношеніе
Медіа.
4. Яковъ Гельдеръ, профессоръ въ Лейденѣ, далъ слѣдующее построеніе
355
я, основанное па отношеніи^ •
Черт. 236.
355	16	4*
Замѣтимъ, что щ = 3 + |-д = 3 4- Принявъ оадіусъ круга
(черт. 236) равнымъ 1 и проведя два
между собою перпендикулярныхъ діаме-
оа АВ и (?К, отложимъ па радіусѣ
7
ОА часть ОВ — и соединимъ точки
В и Сг. Если отложимъ на линіи СВ
часть ЕС — ІІІ, опустимъ перпендику-
ляръ ЕС па діаметръ СК, соединимъ
точки С и В и проведемъ линію ЕР параллельно линіи СВ, наконецъ,
продолживъ діаметръ КС, отложимъ на немъ 0Н=СР н КІ=0К,—тогда
линія Ні равняется я съ такою же точностью, какъ отношеніе Меція.
Въ самомъ дѣлѣ, изъ подобныхъ треугольниковъ СВО и СЕС находимъ
СЕ__ СС
СВ~ СО'
СЕ_СР
св~ СС
а изъ подобныхъ треугольниковъ 6гВС п 6ЕР имѣемъ
СЕ* ѲР
перемножая, находимъ	н0
СЕ=*/*
еш‘ = во>0О"=(-7_у + і =
•) Это построеніе принадлежитъ Шпехту.
— 190 —
елѣдов.
і потому
СО.&Еі 8»	4»
у' ~ еда ~ і*,7>4-8«~7Ч-8г
я/= аі+но = з+вв=з+~і = 3^-
5. Принимая радіусъ круга (черт. 237) равнымъ единицѣ, проведемъ
Черт. 237.
діаметръ АВ и въ точкѣ А
касательную АВ; на радіусѣ
ОВ отложимъ часть ОС=А^
и опишемъ изъ С радіусомъ,
равнымъ 4, окружность, ко-
торая пересѣчетъ касатель-
ную АВ, положимъ, въ точ-
кѣ В. Если соединимъ точки
В и В и положимъ, что ВВ
яересѣчетъ окружность въ точкѣ Е, тогда линія АЕ будетъ сторона
квадрата, равновеликаго кругу АЕВЕ съ точностью 0,00001 *).
Въ самомъ дѣлѣ
ЛІ>‘-))С‘~ АСА-^Ѵ — ( 1 2-)’ = ^
\ о /	30

Но прямоугольные треугольники АВЕ а АВВ, имѣющіе общій уголъ В,
подобны; слѣдов.
АВ АЕ*_АВ*
АВ ~ ВО ИЛЯ ЛЯ ~ ВІА
і потому
. л _ А&.АВ* _4АО*__, 527 2108__,
ВІА — ВІВ'~*'МІ “ 671 — 3’14168-
Слѣдов. АЕі=п съ точностью 0,00001; а такъ какъ площадь круга АЕВ?
равна л, то АВ? равняется
Черт. 238.
площади этого круга съ точностью 0,00001.
§ 184. Гиппократова луночка (Ьиппіа
Нурросгаііз). Вписавъ въ кругъ ВМ.ЕР
(черт. 238) квадратъ АВСВ а построивъ на
каждой изъ сторонъ его по полукругу, по-
лучимъ фигуру, ограниченную съ одной
стороны кругомъ ЬЛЕѴР, а съ другой че-
тырьмя полукругами, описанными на сторо-
нахъ квадрата. Эта фигура называется
Гиппократовою луночкою. Площадь этой
луночки равна площади квадрата АВСВ* **).
’) Это построеніе принадлежитъ Зоппеі.
**) Замѣч. Это предложеніе, содержащее точную квадратуру криволинейной
— 191 —
Въ самомъ дѣлѣ, основываясь на томъ, что площади круговъ относятся
какъ квадраты ихъ радіусовъ или діаметровъ, находимъ, что полукругъ
АЕВ относится къ полукругу АВС, какъ АВ3 къ АС3; а такъ какъ
АС^АВР+ВС^ЧЛ В3, то полукругъ АЕВ равенъ половинѣ полукруга
АВС или квадранту АОВВ. Если же отъ полукруга АЕВ и квадранта
АОВВ отнимемъ по сегменту АВВ, то вайдемъ, что часть АЕВѢ луночки
равняется АОВ, т.-е. четвертой части квадрата; слѣдов. вся луночка
равна всему квадрату.
§ 185. Опредѣленіе площади криволинейныхъ фигуръ. Пусть будетъ
АВСЕ (черт. 239) фигура, ограничен-
ная кривыми линіями АВ, ВС, СЕ и
ЕА. Для опредѣленія площади ея
проведемъ произвольную линію ОХ;
эта линія называется осью, а пер-
пендикуляръ, опущенный изъ какой-
нибудь точки кривой на ось,—орди-
натаю. Проведя ординаты АМ, ВЕ,
В
м □_ м Р
СР а Еф изъ всѣхъ точекъ пере-	Черт. 239.
•сѣченія послѣдовательныхъ кривыхъ линій, внднмъ, что площадь А ВСК
выразится разностью
(МАВЯ + ЯВСР) — (МАЕЯ+ ЦЕСР).
Когда ось пересѣкаетъ фигуру, то площадь ел выразится суммою пло-
щадей, ограниченныхъ ординатами.
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что опредѣленіе площади фигуры, ограни-
ченной какими-нибудь кривыми
линіями, приводится къ опре-
дѣленію плошали, ограничен-
ной двумя ординатами АМ. и
ВЕ (черт. 240), осью ОХ и
кривою АВ. Точное рѣшеніе
этого вопроса не всегда воз- О
можно, даже съ помощію выс-
шей математики, но можно
-опредѣлить площадь по приближенію съ желаемой точностью. Раздѣлимъ
МЕ на значительное число равныхъ промежутковъ Мс, сй, <іе... {д, дЕ;
пусть будетъ длина каждаго изъ нихъ сі, а число всѣхъ промежутковъ п.
Проведя ординаты Со, В(і, Ее..., замѣтимъ, что сели точки А, С, В...
фигуры, приписывается греческому геометру Гиппократу изъ Хіоса (450 л.
до Р. X.). Подъ именемъ луночки разумѣютъ вообще фигуру, ограниченную
двумя дугами, обращенными въ одну сторону
— 192 —
весьма близки между собою, то дуги АС, СВ, ВЕ... будутъ мало отли-
чаться отъ прямыхъ линій, и вся кривая АВ близко подходить къ много-
угольнику, проходящему чрезъ точки А, С, В... С, В. Означимъ пло-
щадь, ограниченную этимъ многоугольникомъ, чрезъ М и ординаты ЛЛГ,
Сс, ВА... Е/, Сд, ВЯ чрезъ у0, уь у*... уп_я, уп—ь уп\ тогда;
Л/— (З/о + З/і) + (Уі + 2/2) 2" + (Уа + Уа) 2‘"
+ (Уп—а + Уп—і) 2	(У»—1Уп)^"
= (у* +Уі +Уа-- +Уп—2~ Уп—
~ ^Уо +У1 +Уа— 4-У»—і +Уп — —~^ А
Такъ какъ М приблизительно равняется площади, ограниченной кри-
вою АВ, то заключаемъ, что площадь ограниченная какой-нибудь кри-
вой, равняется приблизительно промежутку между двумя послѣдова-
тельными ординатами, умноженному на сумму всѣхъ ординатъ, умень-
шенную полусуммою крайнихъ ораинатъ.
Задачи.
206.	Опредѣлить отношеніе двухъ центральныхъ угловъ, которыхъ дуга
суть я и 5Ь а радіусы г и^.
207.	Опредѣлять площадь круга, котораго діаметръ равенъ 43,6 фут.
208.	Опредѣлить площадь круга, котораго окружность равна 84,6 фут.
209 Радіусъ экватора равенъ 6376984 метрамъ; какое пространство про-
ходитъ каждая изъ его точекъ въ секунду?
210.	Діаметръ заднихъ колесъ кареты равенъ 1,2 арш. и діаметръ пе-
реднихъ 0.8 арш.; сколько разъ обернутся колеса, когда карета проходитъ
пространство одной версты?
211.	Опредѣлить длину дуги въ 18°26', которой радіусъ равенъ 0,92 фут.
212	Подъ широтою 47° длина каждаго градуса долготы, т.-е. каждаго
градуса параллельнаго круга, равна 75782 метрамъ; опредѣлить радіусъ
этого параллельнаго круга.
213.	По даниому радіусу г, дайной дугѣ з и соотвѣтствующей хордѣ
опредѣлить площадь сегмента.
— 193 —
214.	Опредѣлить діаметръ круга равновеликаго квадрату, котораго сто-
рона равна 60 фут.
215.	Опредѣлить радіусъ круга, котораго площадь увеличивается на
100 квадр. фут., когда радіусъ его увеличивается на 1 футъ.
216.	Опредѣлить площадь сектора, котораго уголъ равенъ 75е, а радіусъ
равенъ 10 ф.
217.	Угодъ сектора равенъ 43°3'18", а площадь равна 10000 квадр. футл
опредѣлить радіусъ сектора.
218.	Опредѣлить радіусъ круга, равновеликаго суммѣ нѣсколькихъ кру
говъ, которыхъ радіусы суть гі9 гг, га...
219.	Опредѣлить радіусъ круга равновеликаго разности двухъ круговъ,
которыхъ радіусы суть і\, га.
220.	Опредѣлить четыре круга, которыхъ сумма равна кругу радіуса г
в которыхъ радіусы относятся между собою какъ т: п: р: д_.
221.	Раздѣлить площадь круга, котораго радіусъ равенъ г, концентри-
ческими окружностями на т равныхъ частей.
222.	Изъ двухъ концентрическихъ круговъ площадь меньшаго круга
равна к*, а разность радіусовъ двухъ круговъ равна опредѣлить пло-
щадь, заключенную между этимн двумя кругами.
223.	Даиы двѣ концентрическихъ окружности; построить кругъ, равно-
великій площади, заключенной между двумя данными окружностями.
Л. Давидовъ. Геометрія.
ГЗ
ЧАСТЬ II.
СТЕРЕОМЕТРІЯ.
ГЛАВА I.
О ЛИНІЯХЪ И ПЛОСКОСТЯХЪ ВЪ ПРОСТРАНСТВЪ.
Опредѣленіе положенія плоскости. Линіи, перпендикулярныя къ плоскости.
Линія, нараллельныя между собою- Линіи, параллельныя плоскости. Пло-
скости, параллельныя между собою. Задачи.
Опредѣленіе положенія плоскости.
§ 186. Плоскостью называется такая поверхность, съ которою
совпадаетъ всякая прямая, имѣющая съ ней двѣ общія точки (см.
Введеніе). Изъ этого опредѣленія слѣдуетъ, что прямая линія пере-
сѣкаетъ плоскость не болѣе какъ въ одной точкѣ, потому что при
двухъ общихъ точкахъ вся прямая совпадаетъ съ плоскостью.
Точка пересѣченія прямой съ плоскостью называется иногда осно-
ваніемъ прямой.
§ 187. Теорема. Черезъ три точки А, В и С, не лежащія
на одной прямой, можно провести только одну плоскость.
Доказ. Проведя плоскость чрезъ линію, которая соединяетъ точки
А и В, можно вообразить, что плоскость обращается около этой
— 195 —
линіи до тѣхъ поръ, пока не встрѣтитъ точки С; слѣдов., чрезъ три
точки можно всегда провести плоскость.
Но болѣе одной плоскости чрезъ три точки Л, В и С, не лежа-
щія на одной прямой, провести нельзя. Въ самомъ дѣлѣ, вообразимъ
чрезъ точки Л, В и С (черт. 241) плоскость и
какую-нибудь прямую линію ЕВ\ положимъ,
что эта прямая пересѣкаетъ линіи ВА и ВС въ
точкахъ т и п. Если бы возможно было про-
вести чрезъ тѣ же точки Л, В и С еще дру-
гую плоскость, то въ этой послѣдней лежали
бы линіи АВ и АС; слѣдов., точки т и п, т.-е.
на этой плоскости
Черт. 241.
вся линія _Е7), такъ что вся линія, лежащая въ первой плоскости,
лежала бы также и во второй, а это значитъ, что обѣ плоскости
совпадаютъ.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ:
1.	Три точки, не лежащія на одной прямой, опредѣляютъ поло-
женіе плоскости въ пространствѣ.
2.	Такъ какъ положеніе прямой линіи опредѣляется двумя точиами,
то прямая линія м точка, лежащая внѣ ея, опредѣляютъ положеніе
плосиости.
3.	Двѣ пересѣкающіяся прямыя опредѣляютъ положеніе пло-
скости.
4.	Такъ какъ двѣ параллельныя линіи, по опредѣленію, лежатъ
въ одной плоскости, а положеніе ихъ въ этой плоскости опредѣ-
ляется тремя точками, то двѣ параллельныя линіи опредѣляютъ по
ложѳніѳ плоскости.
5.	Пересѣченіе двухъ плоскостей есть прямая линія, потому что
если бы въ пересѣченіи ихъ были хоть три точки, не лежащія на
одной прямой, то обѣ плоскости совпали бы.
13*
— 196 —
Линіи, перпендикулярныя къ плоскости.
§ 188. Теорема. Если прямая перпендикулярна къ двумъ ли-
ніямъ, проведеннымъ чрезъ ея основаніе на плоскости, то она пер-
пендикулярна также
основаніе на той же
г
Черт. 212.
ко всякой другой линіи, проведенной чрезъ ея
плоскости.
Положимъ, что линія РО (черт. 242) пер-
пендикулярна къ двумъ линіямъ ОА и ОВ,
проведеннымъ на плоскости МН чрезъ ея
основаніе О\ требуется доказать, что прямая
РО перпендикулярна также ко всякой другой
линіи ОС, проведенной иа плоскости МВ
чрезъ точку О.
Доказ. Проведемъ на плоскости ЗЬѴ произвольную линію АВ,
которая пересѣчетъ прямыя ОВ, ОС и ОА въ точкахъ В, С и
А\ затѣмъ, продолживъ линію РО по другую сторону плоскости,
отложимъ на продолженія ея часть ОЯ~РО, и соединимъ точки
А, В и С съ точками Р и ф. Прямоугольные треугольники РОВ
и $ОВ, имѣющіе равные катеты, равны между собою; также равны
и прямоугольные треугольники РОА и $ОА\ слѣд., РВ = §В и
РА=і$А. Вслѣдствіе этого треугольники ВАР и ВА$, имѣющіе
три стороны соотвѣтственно равныя, равны между собою; слѣдов ,
^РАВ=^/$АВ. Изъ этого слѣдуетъ, что треугольники РАО и
$АС равны, потому что имѣютъ общую сторону АС и кромѣ того,
по доказанному, РА=(^А и Х.РАС=^(^АС-, слѣдов., РС=*$С,
Наконецъ, треугольники РОС я $ОС, имѣющіе общую сторону ОС
и но построенію ОР—О(^, а по доказанному РО*=$С, равны;
слѣдов., ^РО&=^(}ОС, т.-е. линія РО перпендииулярна къ ли-
ніи ОС, что и требовалось доказать.
Мы предположили, что линія ОС (черт. 242) содержится впу-
трм угла АОВ\ ио доказанная теорема справедлива м въ томъ
— 197 —
случаѣ, когда линія ОС (черт. 243) лежитъ внѣ угла АОВ. Въ
самомъ дѣлѣ, предположивъ, что линія ОР	р
перпендикулярна къ линіямъ ОВ и ОА, про-	I
должимъ прямую ОА-, тогда линія ОС лежитъ
внутри угла ЖМі, составленнаго двумя ли-
шяия, перпендикулярными къ РО слѣд., линія ^ВНИІИ^
РО, по предыдущему перпендикулярна къ пря- Черт- 243‘
мой ОС.
§ 189. Лянія, перпендикулярная ко
всѣмъ прямымъ, проведев
нымъ на плоскости чрезъ ея основаніе, называется перпендикуля-
ромъ къ ѳтой плоскости.
Изъ предыдущаго § слѣдуетъ, что линія, перпендикулярная къ
двумъ прямымъ, проведеннымъ на плоскости чрезъ ея основаніе, бу-
детъ перпендикулярна къ самой плоскости.
Если изъ какой-нибудь точки А (черт. 244) опустимъ перпенди-
куляръ ААъ на плоскость Д/2Ѵ, то основаніе Аг перпендикуляра
называемъ проекціею точки А. Если же изъ А  -—-чв
двухъ концовъ А и В прямой АВ опустимъ
перпендикуляры ААг и ВВІ на плоскость	.У _ ДНу^
МУ и соединимъ основанія этихъ перпенди-	— ЧерТф 244,
куляровъ, то прямая Л1В1 называется проекціею линіи АВ\ это
значитъ, что проекція прямой есть линія, соединяющая проекціи
двухъ концовъ ея.
Если одинъ конецъ А прямой АВ (черт. 245) лежитъ на самой
плоскости, то, опустивъ изъ другого конца В
перпендикуляръ ВВи соединимъ точки А и
В1,— прямая АВ1 называется въ этомъ слу-
чаѣ также проекціею линіи АВ.
Для проведенія перпендикуляра въ плоско-
сти употребляется приборъ (черт. 246), со-
стоящій изъ двухъ прямыхъ угловъ АОС и
АОВ, соединенныхъ между собою общею сто-
роною ОА.
Черт. 246.
— 198 —
§ 190.	Тэореиа. Во всякой точкѣ плоскости можно возста-
ютъ къ ней только одинъ перпендикуляръ.
А.	Положимъ, что линія ОА (черт. 247) нерпен-
I / дикулярна къ плоскости МУ; требуется доказать,,
что всякая другая линія ОВ, проведенная чрезъ
Черт 247. основаніе <?, не будетъ перпендикулярна къ пло-
скости МЕ.
Доказ. Если линія ОВ была бы перпендикулярна къ плоскости
МУ, то, вообразивъ чрезъ О А и ОВ плоскость, положимъ, что
она пересѣчетъ плоскость МЕ по линіи ОС-, тогда углы АОО в
ВОС были бы прямые, что очевидно невозможно (§ 5).
§ 191.	Теорема. Изъ всякой точки, лежащей внѣ плоскости,
можно опуститъ на нее только одинъ перпендикуляръ.
Ав Положимъ, что изъ точки В (черт. 245) опу-
/1 щенъ перпендикуляръ ВВ^ на плоскость МУ; тре-
буется доказать, что всякая другая линія ВА, про-
Черт 245 веденная чрезъ точку В, не будетъ перпендику-
лярна къ плоскости МУ.
Доказ. Если линіи ВА была бы перпендикулярна къ плоскости
МУ, то, соединивъ А и Вх, получили бы треугольникъ АВВг,
имѣющій два прямыхъ угла ВАВ1 и АВгВ, что невозможно (§ 40,
влѣдств. 6).
§ 192.	Теорема. Чрезъ всякую точку прямой можно провести
только одну плоскость, къ ней перпендикулярную.
а Доказ. Положимъ, что чрезъ точку С прямой
о	АВ (черт. 248) можно было бы провести двѣ пер-
е—с пендикулярныя къ ней плоскости, м пусть будутъ
СВ и СЕ линіи пересѣченія этихъ плоскостей съ
Черт 249 какой-нибудь плоскостью, проходящей черезъ Ли-
вію АВ\ тогда линіи СИ и СЕ, лежащія въ одной плоскости,
были бы обѣ перпендикулярны къ прямой АВ, что очевидно не-
возможно (§5).
— 199 —
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что всѣ линіи, проведенныя
чрезъ одну и ту же точку прямой перпендикулярно къ ней ле-
жатъ въ одпой плоскости, потому что, если бы онѣ лежали въ
различныхъ плоскостяхъ, то чрезъ одну и ту же точку прямой
проходило бы нѣсколько плоскостей, къ ней перпендикулярныхъ.
§ 193.	Теорема. Черезъ всякую точку, лежащую внѣ прямой,
можно провести только одну плоскость, къ ней перпендикулярную.
Доказ. Положимъ, что чрезъ точку С (черт. 249) можно бы было
провести двѣ плоскости, перпендикулярныя къ линіи
АВ, и пусть будутъ Е и В точки пересѣченія
этихъ плоскостей съ прямой АВ, соединивъ точки
Е и В съ точкою С, получили бы треугольникъ
ЕСВ, въ которомъ углы ВЕС и ЕВО были бы
прямые, что очевидно невозможно.
‘в
Черт. 249.
§ 194.	Теорема. Если изъ точки, лежащей внѣ плоскости
проведемъ къ ней перпендикуляръ и наклонныя линія, то 1) пер-
пендикуляръ короче всякой наклонной; 2) наклонныя, имѣющія рав-
ныя проекціи, равны, и 3) мла двухъ наклонныхъ та хмворал
имѣетъ большую проекцію, будетъ больше другой.
Доказ. 1. Положимъ, что АР (черт. 250)
опущенный изъ какой-нибудь точки А на
плосиость ЗЬѴ, а АВ какая нибудь наилон-
ная; требуется доказать, что АВ>АР,
Соединивъ точки Р и В, составимъ прямо-
угольный треугольникъ АРВ, въ которомъ
АВ есть гипотенуза; слѣд. АВ>АР (§ 28).
есть перпендикуляръ,
Черт. 250.
2. Пусть будутъ Л/Іс.ІО двѣ наклонныя, которыхъ проекціи,
РВ и РВ равны; требуется доказать, что
— 200 —
Два прямоугольныхъ треугольника АРВ и ЛРР имѣютъ общій,
Черт. 250.
катетъ Ар и, кромѣ того, по положенію,
РВ—РР\ слѣдов. эти треугольники равны,
а потому АВ = АР, что и требовалось до-
казать.
3. Пусть будутъ АС и АВ двѣ наклон-
ныя, которыхъ проекціи РС и РВ не равны, и положенъ РВ>РС\
требуется доказать, что АВ^>АС.
Соединивъ точки В и С съ точкою Р, составимъ два прямо-
угольныхъ треугольника АРВ и ЛРС, которые имѣютъ общій ка-
тетъ АР, но катетъ РВ по положенію больше катета РС\ слѣд.
АВ~Д>АС (§ 65), что и требоиалось доказать.
Изъ сказаннаго мы заключаемъ, что перпендикуляръ есть ират-
чайшее разстояніе точки отъ плоскости, и поэтому разстояніе точки
отъ плоскости измѣряется длиною перпендикуляра, опущеннаго изъ
этой точки на плоскость.
§ 195.	Теорема. Линія, проведенная на плоскости чрезъ основа-
ніе наклонной перпендикулярно къ ея проекціи, будетъ перпенди-
кулярна и къ этой наклонной.
Положимъ, что РВ (черт. 251) есть проекція прямой АВ на
а	плоскости ЛГУ, и что линія СР проведепа па
Д\ этой пл0ск0сти чрезъ точку В перпендикуляр
по къ линіи РВ, требуется доказать, что ли-
пія СР перпендикулярна къ линіи АВ.
черт. 2аі. Доказ. Отложивъ на линіи СР части ВС
и ВР равныя между собою, соединимъ точки С и Р съ точками
А и Р. Прямоугольные треугольники РВС и РВР, имѣющіе рав-
ные катеты, равпы; слѣдов. РР = РС, вслѣдствіе этого прямо-
угольные треугольники АРР и АРС, имѣющіе общій катетъ АР в
РС=рР, также равны, и поэтому АС=АР. Наконецъ, тре-
угольники АВС и АВР равны, потому что имѣютъ общую сто-
рону АВ и кромѣ того СВ—ВР и АС=АР. Изъ равенства
— 201 —
«тихъ треугольниковъ слѣдуетъ, что ^/СВА =^ОВА, т.-е. линія
АВ перпендикулярна къ линіи СР, что и требовалось доказать.
Линіи, параллельныя между собою.
§ 196.	Теорема. Если изъ двухъ параллельныхъ линій одна пер-
пендикулярна къ плоскости, то и другая къ этой плоскости пер-
пендикулярна.
Положимъ, что линіи АВ к СВ (черт.
252) параллельны между собою и прямая АВ
перпендикулярна къ плоскости МЕ\ требуется
доказать, что линія СВ также перпендику-
лярна къ плоскости Л12Ѵ.
Черт. 252.
Доказ. Вообразимъ чрезъ линіи АВ и СВ плоскость и поло-
жимъ, что она пересѣчетъ плоскость МЕ по линіи ВВ. Проведя
па плоскости МЕ линію ЕС перпендикулярно къ линіи ВВ и со-
единивъ точку Р съ какой-нибудь точкою Е пряной АВ, находимъ
по § 195, что линія ЕС перпендикулярна къ прямой ЕВ. Вслѣд-
ствіе этого линія ЕС, перпендикулярная къ двумъ линіямъ ВВ 1
ВЕ, лежащимъ въ плоскости АВВС, будетъ перпендикулярна къ
этой плоскости, а потому уголъ СВЕ будетъ прямой. Но вслѣд-
ствіе параллельности линій АВ и СВ прямая СВ перпендикулярна
къ линіи ВВ, а такъ какъ по доказанному эта же линія СВ пер-
пендикулярна къ прямой ЕС, то она перпендикулярна къ плоскости
МЯ (§ 189).
§ 197.	Теорема. Деѣ линіи, перпендикулярныя къ одной плоско-
сти, параллельны между собою.
Положимъ, что линіи АВ и СВ (черт. 252) перпендкиулярны къ
плоскости требуется доказать, что этн линіи параллельны
между собою.
Доказ. Если бы лппіп АВ и СВ не были параллельны, то во-
— 202 —
образкмъ чрезъ точку В линію параллельную прямой СВ; вта лм
иія но предыдущему § будетъ перпендикулярна къ плоскости ЛГУ,
я такимъ образомъ въ точкѣ В получили бы два перпендикуляра
къ плоскости МЕ.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что такъ какъ двѣ параллель-
ныя лмніи лежатъ всегда въ одной плоскости, то всякая прямая
линія и проекція ея лежатъ въ одной плоскости.
ф 198. Теорема. Двѣ линіи А и Б, параллельныя третьей ли-
ніи С, параллельны между собою.
Доказ. Вообразимъ плоскость перпендикулярную къ прямой С и
замѣтимъ, что по § 196 линіи А и В перпендикулярны къ втой
плоскости; слѣдов. липіи А и В, какъ перпендикуляры къ одной и
той же плоскости, параллельны между собою.
Изъ втого предложенія слѣдуетъ, что если двѣ пересѣкающіяся
плоскости АВЕЕ и ЕСВЕ (черт. 253) проходятъ
чрезъ параллельныя липіи АВ и СВ, то линія
пересѣченія ЕЕ етихъ плоскостей также парал-
Черт. 253. лельна этимъ линіямъ.
Въ самомъ дѣлѣ, проведя чрезъ какую-пибудь точку линіи ЕЕ
прямую, параллельную АВ, найденъ по предыдущему, что эта пря-
мая параллельна линіи СВ\ слѣдов. она лежитъ какъ въ плоскости
ЕАВЕ, такъ и въ плоскости ЕСВЕ, и сливается поэтому съ ли-
ніей пересѣченія втихъ плоскостей.
Линіи, параллельныя плоскости.
§ 199.	Линіи и плоскость, которыя не встрѣчаются, сколько бы
ихъ ни продолжали, называются параллельными.
Изъ втого слѣдуетъ:
— 203
1.	Линія АС и плоскость МУ (черт. 254), перпендикулярныя
къ одной и той же прямой АВ, парал-
лельны между собою, потому что если бы
прямая АС всірѣтилась съ плоскостью 2И2Ѵ,
то пзъ точки ихъ встрѣчи можно было бы
опустить два перпендикуляра на линію АВ.
Черт. 254.
2.	Линія АВ (черт. 255), параллельная
въ плоскости МУ, будетъ параллельна
самой плоскости МУ, потоку что АВ,
находясь съ своею параллелью СВ въ
одной плоскости, можетъ встрѣтиться съ
прямой СВ, лежащей
А----------В
Черт. 255.
плоскостью МУ пе ппаче, какъ пересѣкаясь съ своею парал-
лелью СВ.,
3.	Всякая плоскость АВВС (черт. 256), проходящая чрезъ
прямую АВ, параллельную плоскости МУ,
пересѣчетъ эту послѣднюю по линіи СВ
параллельной прямой АВ, потому что пря-
мая АВ, находясь съ линіею СВ въ одной
плоскости, можетъ съ нею встрѣчаться
Черт. 256.
не. апаче,, какъ парасѣкапсь съ п.тос-
костью МУ.
4.	Прямая АВ (черт. 257), параллельная
щимся плоскостямъ МУ и ВВ, параллельна
ихъ пересѣченію СВ. Въ самомъ дѣлѣ, во-
образивъ плоскость чрезъ линію АВ и какую-
нибудь точку С линіи пересѣченія, заклю-
чаемъ по предыдущему (3), что вта плоскость
двумъ пересѣкаю-
пересѣчетъ МУ и РВ по линіямъ, параллельнымъ прямой АВ, я
такъ какъ эти линіи проходятъ чрезъ точку С, а чрезъ точку О
можпо провести только одну линію, параллельную прямой АВ, то
— 204 —
вти линіи сливаются между собою и совпадаютъ съ линіею СР;
слѣд. линія СР будетъ параллельна линіи АВ.
§ 200. Теорема. Линія, параллельная плоскости, находится отъ
нея на всемъ своемъ протяженіи на равномъ разстояніи.
Черт. 256.
Пусть будетъ АВ (черт. 256) линія,
параллельная плоскости МУ; опустимъ
изъ какихъ-нибудь точекъ этой линіи
А а В перпендикуляры АС и ВР на
плоскость требуется доказать, что
АС=ВР.
Доказ. Замѣтивъ, что линіи АС н ВР, какъ перпендикуляры къ
плоскости МУ, параллельны, вообразимъ чрезъ эти линіи плос-
кость; по § 199, слѣдств. 3, линія пересѣченія СР этой плоскости
съ плоскостью МУ параллельна прямой АВ; изъ этого слѣдуетъ, что
ЛС=ВР (§ 37).
Плоскости, параллельныя между собою
§ 201. Плоскости, которыя не встрѣчаются, сколько бы ихъ ни
продолжали, называются параллельными.
Изъ этого слѣдуетъ:
1. Двѣ параллельныя плоскости МУ и рф (черт. 258) пере-
в
Чѳрт. 258.
сѣкаются третьею плоскостью АЕ по ли-
німъ АВ и СВ, параллельнымъ между со-
бою, потому что эти линіи, находясь въ од-
ной плоскости АЕ, на всемъ своемъ продол-
женіи не могутъ встрѣчаться, иначе и плос-
кости МУ и Рф встрѣтились бы.
— 205 —
2. Двѣ плоскости МП и Р(^ (черт. 259), перпендикулярныя к»
прямой АВ, параллельны между собою.
Въ самомъ дѣлЬ, если бы эти плоско-
сти встрѣтились, то, проведя чрезъ ли-
нію АВ и чрезъ какую-нибудь точку Е
ихъ пересѣченія плоскость САВБЕ,
Черт. 259.
нашли бы, что изъ точки Е опущены два перпендикуляра ЕСА и
ЕВВ на линію АВ.
3. Прямая АВ (черт. 259), перпендикулярная къ одной изъ
двухъ параллельныхъ плоскостей МП и Р$, перпендикулярна
также и къ другой. Въ самомъ дѣлѣ, предположивъ, что линія АВ
перпендикулярна къ плоскости ЛГУ, и проведя чрезъ эту линію ка-
кую-нибудь плоскость САВП, найдемъ, что линіи А С и ВИ парал-
лельны между собою, какъ линіи пересѣченія двухъ параллельныхъ
плоскостей третьею плоскостью; а такъ какъ линія АВ перпенди-
кулярна къ прямой АС, то опа перпендикулярна также къ прямой
ВВ. Подобнымъ образомъ можно доказать, что прямая АВ перпен-
дикулярна ко всякой прямой, проведенной чрезъ ея основаніе на
плоскости Р$.
4. Чрезъ данную точку А (черт. 259), можно провести только
одну плоскость, параллельную данной плоскости Р$, потому что
если бы возможно было провести чрезъ точку А двѣ плоскости,
параллельныя плоскости то, вообразивъ линію АВ, перпенди-
кулярную къ плоскости Р(^, нашли бы, что линія АВ перпендику-
лярна къ двумъ плоскостямъ, проходящимъ чрезъ одну и ту же
точку А, что противно § 192.
§ 202. Теорема. Двѣ плоскости параллельны, когда двѣ пере-
сѣкающіяся линіи, лежащія въ одной, соотвѣтственно параллельны
двумъ пересѣкающимся линіямъ, лежащимъ въ другой.
— 206 —
Черт, 260.
Положимъ, что линіи АВ и АС (черт.
260), въ плоскости Р$ лежащія, соотвѣт-
ственно параллельны лиліямъ ВЕ и ЛГ,
въ плоскости МП лежащимъ; требуется
доказать, что плоскости МИ и Р$ парал-
лельны.
Доказ. Возставимъ изъ точки А пер-
пендикуляръ къ плоскости и пусть опъ пересѣчетъ плоскость
МП въ точкѣ О. Проведя въ плоскости Л/2Ѵ чрезъ точку О линіи
ОЬ и ОВ, соотвѣтственно параллельныя линіямъ ВЕ и ЛВ, нахо-
димъ по § 198, что ОЕ || АВ и ОВ || АС. Но какъ по предположе-
нію утлы ОАВ и ОАС прямые, то углы АОЕ и АОВ также
прямые, а потому линія АО перпендикулярна къ плоскости ЛГ#.
Изъ второ слѣдуетъ (§ 201, слѣдств. 2), что плоскости ЛГ# и РЯ
иараллельиы.
$ 203. Теорема.
Черт. 261.
Параллельныя линіи, заключенныя между дву-
мя параллельными плоскостями, равны ме-
жду собою.
Положимъ, что АВ и СЛ (черт. 261)
отрѣзки двухъ параллельныхъ линій, заклю-
ченные между двумя параллельными плоско-
стями МЛ и РЯ\ требуется доказать, что АВ=СР.
Доказ. Проведя плоскость чрезъ линіи АВ и СВ, положимъ, что
АС и ВВ суть линіи пересѣченія втой плоскости съ плоскостями
МЛ и Р$. По § 201, слѣдств. 1, линіи АС и ВВ параллельны
между собою, и потому АВ и СЛ, какъ отрѣзка параллельныхъ
между параллельными, равны (§ 37).
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что двѣ параллельныя плоско-
сти на всемъ своемъ протяженіи находятся на равномъ разстоя-
ніи другъ отъ друга, потому что перпендикуляры, опушенные нзъ
какихъ-нибудь точекъ одной плоскости на другую, параллельны,
слѣдов., по предыдущему, равны между собою.
— 207 —
Черт. 262.
§ 204. Теорема. Углы съ параллельными сторонами, обращен-
ные своими отверстіями въ одну сторону, равны и лежатъ въ па-
раллельныхъ плоскостяхъ.
Положимъ (черт. 262), что ВА || ЕВ и ВС\\ЕЕ,
требуется доказать, что утлы АВС и ВЕЕ равны
между собою, предполагая, что вти утлы находятся въ
различныхъ плоскостяхъ.
Доказ. Отложимъ, па сторонахъ двухъ угловъ ВА=
ЕВ и ВС=ЕЕ и соединимъ точки А, В и С съ точками
/>, Е и Е, также точку А съ точкою С и точку В съ точкою Е.
Такъ какъ линія АВ равна и параллельна линіи ЕВ и линія ВС
равна и параллельна линіи ЕЕ, то (§ 37. слѣдств.) линія АВ равна
и параллельна линіи ВЕ, и линія СЕ равна и параллельна этой
же линіи ВЕ, и потому АВ и СЕ равны и параллельны между
собою. Изъ втого слѣдуетъ, что АС=ВЕ. Замѣтивъ теперь, что
въ треугольникахъ ЛВС и ВЕЕ по положенію АВ=ЕВ и ВС=ЕЕ,
а но доказанному АС=ВЕ, заключаемъ, что вти треугольники
равны; слѣд. /ДАВС=/ДВЕР.
Очевидно, что плоскости двухъ угловъ АВС и ВЕЕ по § 202
параллельны.
§ 205. Теорема. Три параллельныя плоскости разсѣкаютъ
какія-нибудь двѣ прямыя на части пропорціо-
нальныя.
Положимъ, что какія-нибудь двѣ линіи АВ и
СВ (черт. 263) пересѣчены тремя параллельными
плоскостями ЛГУ, ВЦ и требуется доказать,
что
АЕ СЕ
ЕВ~ ЕВ
Черт. 263.
Доказ. Проведя линію АН параллельно линіи СВ, проведемъ
чрезъ АВ и АН плоскость, которая пересѣчетъ плоскостз
— 208 —
Р$ и 88 по линіямъ ЕО и ВЯ, параллельнымъ между собою;
слѣд.
АЕ _ АО
ЕВ~~ ѲН'
а таяъ какъ АС=СЕ и СгН—ЕВ (§ 203), то
АЕ _ СЕ
ЁВ~ЕІ)
Задачи.
224.	Изъ точки А, лежащей иа плоскости МУ, возставить къ вей
перпендикуляръ.
225.	Изъ точки О, лежащей внѣ плоскости Л/2Ѵ, опустить на нее пеі»-
пендикуляръ.
226.	Чрезъ точку О провести линію, параллельную линіи АВ.
22Я. Чрезъ точку О провести линію, параллельную плоскости МУ.
228.	Чрезъ точку О провести плоскость, перпендикулярную къ линіи АВ
229.	Чрезъ точку О провести плоскость, параллельную двумъ прямымъ
АВ и МУ, лежащимъ въ разныхъ плоскостяхъ.
230.	Чрезъ прямую АВ провести плоскость, нараллельную прямой МУ.
231.	Чрезъ точку О провести плоскость, параллельную плоскости МУ.
232.	Найти кратчайшее разстояніе двухъ прямыхъ АВ и МУ.
ГЛАВА П.
Объ углахъ, образуемыхъ плоскостями.
Уголъ двухъ линій и уголъ линіи съ плоскостью. Углы двугранные. Углы
многогранные. Равенство и симметрія тригранныхъ угловъ.
Уголъ двухъ линій и уголъ линіи съ плоскостью.
'я
§ 206.	Угломъ двухъ линій АВ и СО (черт. 264), не лежащихъ
въ одной плоскости, называется уголъ МОХ,
составленный двумя линіями ОМ и 02/,
которыя проведены изъ какой-нпбудь точ-
ки 0 параллельно линіямъ АВ и СО. Оче-
видно, что изъ какой бы точки ни про- о-
водили линіи, параллельныя къ АВ и СО, Че₽Ті 264,
уголъ между ними всегда одинъ и тотъ же (§ 204).
Угломъ линіи АВ съ плоскостью МУ (черт. 265) называется
угодъ ВАС, составленный этой линіею съ ея ?
проекціею АС.	/і\
Если чрезъ основаніе линіи АВ проведемъ на
плоскости МХ произвольную линію АЛ, возь- старта
мемъ АЛ—АС и соединимъ точки В и В, то Черт. 265.
треугольники САВ и ВАВ будутъ имѣть общую сторону АВ и
АС==АВ\ но сторона ВВ болѣе стороны ВС, потому что линія
ВС по положенію перпендикулярна къ плоскости слѣдов. уголъ
ВАВ больше угла ВАС (§ 17); ето значитъ, что уголъ ВАС ме-
нѣе всякаго угла, составленнаго прямой А В съ какою-нибудъ ли-
ніею, проведенною на плоскости МХ чрезъ ея основаніе.
Л. Цлвилоп Геометрія.	14
— 2Ю —
Двугранные углы.
§ 207.	Неограниченная часть пространства, находящаяся между
Черт 266.
двумя пересѣкающимися плоскостями АВСВ и АВЕ
(черт. 266), называется двуграннымъ угломъ', пло-
скости АВСВ и АВЕ называются сторонами, а ли-
нія пересѣченія ихъ АВ— ребромъ или вершиною
его.
Двугранный уголъ означается четырьмя буквами
САВЕ, поставленными въ такомъ порядкѣ, что бук-
вы, означающія ребра, ставятся между двумя другими буквами.
Если изъ какой-нибудь точки М ребра АВ проведемъ къ нему
перпендикуляры МЪ и ЛГУ, лежащіе соотвѣтственно въ плоскостяхъ
АС и АЕ, то уголъ ХЛГУ, составленный этими перпендикулярами,
называется линейнымъ угломъ двуграннаго утла.
Плоскость, проходящая чрезъ линіи МВ и ЛГУ, будетъ перпенди-
кулярна къ ребру АВ (§ 189); слѣдов. линейный уголъ образуется
также пересѣченіемъ сторонъ двуграннаго угла плоскостью, перпен-
дикулярною къ ребру его.
Линейные утлы, построенные въ различныхъ точкахъ ребра, рав-
ны между собою, потому что стороны отъ угловъ перпендикулярны
къ ребру двуграннаго угла, и вслѣдствіе втого соотвѣтственно па-
раллельны. Изъ втого слѣдуетъ, что для каждаго двуграннаго угла
линейный уголъ есть величина постоянная.
При пересѣченіи двухъ плоскостей образуется четыре двугранныхъ »
угла, иоторые, по аналогіи съ плоскими углами, нопарно называются
смежными и противоположными.
Когда два смежныхъ двугранныхъ утла равны между собою, то
каждый изъ нихъ называется прямымъ, а плоскости, образующія
его,—перпендикулярными.
— 211 —
§ 208.	Теорема Двугранные углы равны, когда линейные углы
ихъ равны.
Пусть будутъ СШ и 8ТѴ (черт. 267) линейные углы двугран-
ныхъ угловъ І)АВВ и ІМРВ, и положимъ,
что	/_^ТВ, требуется доказать, что
и двугранные углы равны между собою.
Доказ. Наложимъ двугранный уголъ ВМРВ.
на двугранный уголъ ВАВВ такъ, чтобъ
уголъ 8ТВ совмѣстился съ угломъ СНІ\
Черт. 267.
ребро ЛГР совпадетъ съ ребромъ АВ, потому что каждое ребро
перпендикулярно къ плоскости линейнаго угла; вслѣдствіе этого
плоскость МО совмѣстится съ плоскостью АС и плоскость МП съ
плоскостью АВ, такъ что двугранный уголъ ЪМРВ, совпадетъ
съ двуграннымъ угломъ ВАВВ.
Обратная теорема. Если двугранные углы ВАВВ и ЪМРВ
(черт. 267) равны, то линейные ихъ углы СНІ и 8ТВ также
равны.
Доказ. Наложимъ двуграппый уголъ ВМРВ, па двугранный уголъ
ВАВЕ такъ, чтобы стороны ихъ совпали м точка Т упала на
точку Н\ іішляТ8 совпадетъ съ линіею НС, потому что эти линіи
лежатъ на сторонѣ двуграннаго угла и перпендикулярны къ ребру
его; равнымъ образомъ линія ТВ совпадетъ съ линіею НТ, слѣдов.
уголъ 8ТВ совмѣстится съ угломъ СНІ.
Изъ предложенія этого § слѣдуетъ.
1. Прямому двугранному углу соотвгътствуетъ и прямой ли-
нейный уголъ, и наоборотъ. Въ самомъ дѣлѣ,
нымъ угламъ ВАВМ и САВМ (черт. 268)
соотвѣтствуютъ смежные линейные углы ІНКъ
ІНС, лежащіе въ плоскости, перпендикулярной
къ ребру АВ', когда же смежные двугранные
утлы равны, то смежные линейные углы также
смежнымъ двугран-
Черт. 268,
^авны, и наоборотъ.
— 212 —
Черт. 269.
2. Противоположные двугранные углы равны между собою.
3. Двугранные углы съ параллельными сторонами равны между
собою.
§ 209, Теорема. Плоскость, проходящая чрезъ линію, перпен-
дикулярную къ данной плоскости, будетъ перпен-
дикулярна къ этой послѣдней.
Положимъ, что плоскость (черт. 269) про-
ходитъ чрезъ линію АВ, перпендикулярную къ пло-
скости ЗЛѴ; требуется доказать, что плоскости Рф
и МП перпендикулярны между собою.
Доказ. Проведемъ на плоскости МП линію ВС, перпендпкуляр-
ную къ линіи пересѣченія $В двухъ плоскостей. Такъ какъ линія
АВ по положенію перпендикулярна къ плоскости МП, то уголъ
АВС прямой; но этотъ уголъ есть линейный уголъ двуграннаго угла
РН$П-, слѣдов. этотъ двугранный уголъ прямой
Обратная теорема. Линія АВ (черт. 269), перпендикулярная къ
линіи пересѣченія двухъ перпендикулярныхъ плоскостей Р$ и
МП и лежащая въ одной изъ нихъ Р(^> будетъ перпендикулярна
къ оруюй МП.
Доказ. Проведемъ на плоскости МП линію ВС, перпендикуляр-
ную къ линіи (^В, тогда АВС будетъ линейный уголъ двуграннаго
угла РВЦП; а такъ какъ по положенію этотъ двугранный уголъ
прямой, то и линейный уголъ АВС прямой, и потому линія АВ.
перпендикулярная къ двумъ линіямъ §7? и ВС, перпендикулярна къ
плоскости МП.
Изъ предложенія этого § слѣдуетъ:
1. Линія АВ (черт. 269), перпендикулярная къ одной изъ двухъ
взаимно перпендикулярныхъ плоскостей МП, совпадаетъ съ другой
плоскостью Р§, когда имѣетъ съ нею одну общую точку А, ПО-
— 213 —
тому что, если бы этотъ перпендикуляръ не лежалъ на плоскости
Рф, то изъ точки А можно бы было, на основаніи предыдущей
теоремы, провести еще другой перпендикуляръ къ плоскости ЗІ2Ѵ,
что невозможно.
2. Если двѣ плоскости АВ и СВ (черт. 270) перпендикулярны
.къ третьей плоскости МУ. то и ли-
нія пересѣченія ихъ АС перпендикуляр-
на къ ятой плоскости. Въ самомъ дѣ-
лѣ, опустивъ изъ какой-нибудь точки
линіи АС перпендикуляръ на плоскость
ЛГУ, найдемъ по предыдущему, что этотъ
перпендикуляръ будетъ лежать какъ въ
Черт. 270.
плоскости АВ, такъ и въ плоскости СВ\ слѣдов. сольется съ ли-
ніею пересѣченія двухъ плоскостей.
§ 210. Теорема.
Если изъ какой-нибудь точки М (черт. 271),
лежащей внутри двуграннаго угла АВСВ,
-опустимъ перпендикуляры МУ и МЕ на
стороны его, то уголъ ЕМУ, составлен-
ный этими перпендикулярами, вмѣстѣ съ
линейнымъ угломъ двуграннаго угла, рав-
няется двумъ прямымъ.
Черт. 271.
Доказ. Если чрезъ линіи МЕ и МУ
проведемъ плоскость, то эта плоскость по
§ 209 будетъ перпендикулярна къ плоскости ВВ и къ плоскости
АС, слѣд. и къ линіи ихъ пересѣченія ВС (§ 209, слѣдств. 2).
Изъ этого слѣдуетъ, что уголъ ЕРУ, составленный пересѣченіемъ
этой плоскости съ плоскостями ВВ и АС, есть линейный уголъ
двуграннаго угла АВСВ', а такъ какъ въ четыреугольникѣ РЕМУ
углы РЕМ м РУМ прямые, то
^ЕРУ+^ЪМУ==<2Л.
— 214 —
§ 211 Теорема Двугранные углы относятся нсжді/ собою какъ
ихъ линейные углы.
Черт. 272.
что углы
содержится
ЕЕС
что
Положимъ, что ЕЕ'С и Е} С
(черт. 272) линейные углы дву-
гранныхъ угловъ АВСВ и ВМЯР\
требуется доказать, что
ЛБС7) __ ЕЕС
ІАІХР ~ Е^Сі
Доказ. Положимъ, во-первыхъ,
ЕЕС и ЕхЕгСг соизмѣримы, и что линейный уголъ и
т разъ въ углѣ ЕЕС и п разъ въ углѣ Е1Е1С1, такъ
& р	Если вообразимъ двугранный уголъ аЬссІ, соот-
вѣтствующій линейному углу «, то очевидно, что этотъ двугранный'
уголъ будетъ содержаться т разъ въ двугранномъ углѣ АВСВ в
п разъ въ двугранномъ углѣ ТЛГУР, такъ что
АВСВ т . л АВСВ ЕЕС
І.ИУР ~ п ' "Іѣ’ов- ДЛЛѴ.Р — ДЛО,’
Положимъ, во-вторыхъ, что линейные углы ВСР и ІСУ дву-
гранныхъ угловъ АВСР и АВСХ (черт. 273)
несоизмѣримы. Докажемъ, что иъ этомъ случаѣ
отношеніе ,	 не можетъ быть ии менѣе,
АВСХ	1
ни болѣе отношенія
вся
п	АВСР .ВСР
Въ самомъ дѣлѣ, если	т/Гѵ4 то
А1>С±і ВС1.&1
угла -ЕСУ большій уголъ ВСх такъ, чтобы
Черт. 273.
возьмемъ вмѣсто
АВСР ЕСР п _	ГГП5
Тпг?лт= ттг' Раздѣлимъ уголъ ВСР иа такое тло равныхъ
ДоСіѴ Ѣ\^х
частей, чтобы каждая часть была меньше угла УСс, тогда по
крайней мѣрѣ одна изъ линій дѣленія будетъ содержаться между
линіями СУ и Ох.
Пусть будетъ СП такая линія Если чрезъ
эту линію и ребро ВС проведемъ плоскость
3(7,10 составится двугранный уголъ АВСС,
котораго лилейный уголъ ВСЦ соизмѣримъ
съ линейнымъ угломъ В.СР, и потому по
предыдущему
АВСР ВСР
Авси ~~всѵ'
Черт. 273.
Раздѣливъ почленно эту пропорцію на допущенную нами про-
порцію
ЛВС?
АВСЯ ~ЬСх'
і входимъ пропорцію
АВСХ ВСх
АВСѴ ~ВСС'
Д Н {У2У	Т @2
яоторая не вѣрна, потому что	1, а	1
АВ С с/	ВС іу
Изъ этого заключаемъ, что сдѣланное вами
предположеніе
АВСВ
АВСХ
ВСР
(-,^г несправедливо.
Подобнымъ же образомъ доказывается, что предположеніе
АВСР ВСР
1 п'ггкт > 77т\т также невозможно, а изъ этого слѣдуетъ, чтв
АВ СА/	В Сіі
АВСР ВСР
АВСВ ~~ ВСН'
Вслѣдствіе пропорціональности двугранныхъ я линейныхъ угловъ,
послѣдніе принимаются ва мѣру первыхъ, и всякій двугранный уголъ
обозначается числомъ градусовъ, содержащихся въ его линейномъ
углѣ. При такомъ обозначеніи мы должны однако помнить, что число
градусовъ, содержащихся въ линейномъ углѣ, не представляетъ эе-
личины двуграннаго угла, но есть только число ему пропорціональ-
ное. Напр., двугранный уголъ въ 38е 16’ значитъ двугранный
— 216 —
уголъ, который относится къ прямому двугранному углу какъ 38"
16' къ 90°.
§ 212. Изъ всѣхъ направленій, которыя прямая линія можетъ
имѣть въ пространствѣ, одно заслуживаетъ особеннаго вниманія, а
именно направленіе, принимаемое нитью, одинъ конецъ которой не-
подвиженъ, а другой натянутъ какимъ-нибудь тяжелымъ тѣломъ.
Направленіе это называется отвѣсной или вертикальной линіею.
Плоскость, перпендикулярная къ вертикальной линіи, называется
горизонтальной плоскостью, а всякая прямая, лежащая въ гори-
зонтальной плоскости,—горизонтальной линіею. Поверхность воды,
находящейся въ сосудѣ въ совершенномъ покоѣ, представляетъ го-
ризонтальную плоскость.
Плоскость, проходящая чрезъ вертикальную линію, называется
вертикальной плоскостью. Очевидно, что всякая вертикальная пло-
скость перпендикулярна ко всякой горизонтальной плоскости (§ 209)
и что линія пересѣченія двухъ вертикальныхъ плоскостей есть вер-
тикальная линія.
Вертикальныя линіи и горизонтальныя плоскости имѣютъ обшир-
ное приложеніе къ практикѣ, особенно въ постройкахъ разнаго рода
Многогранные углы.
$ 213. Неопредѣленная часть пространства, содержащаяся между
нѣсколькими плоскостями А8В, В8С, С8В,
/•.г В8Е и Е8А (черт. 274), пересѣкающимися въ
/	одной точкѣ Й, называется многограннымъ илв
/	тѣлеснымъ угломъ-, точка 5 называется верши-
а<	ною’ йішіи пересѣченія плоскостей 8А, 8В,
е	8С... ребрами и углы А8В, В8С, 8СВ...,
Черт. 274. составляющіе тѣлесный уголъ, — гранями иди
плоскими углами многограннаго угла.
Многогранный уголъ означается или одною буквою, поставленною
у вершины его, или этою буквою вмѣстѣ съ буквами, поставлеи-
— 217 —
ными на ребрахъ; такъ, напр . многогранный уголъ (черт. 274)
означается или чрезь Ь’ или чрезъ 8АБСВЕ.
Тѣлесный уголъ 6’ (черт. 275), составлен-
ный нзъ трехъ плоскихъ угловъ Л8В, В8С
и С8А, называется триграннымъ угломъ.
Очевидно, что всякій триграппый уголъ имѣ-
етъ три двугранныхъ угла СА8В, АВ8С и
ВС8А\ три плоскихъ и три 'двугранныхъ
угла называютса частями его.
§ 214. Теорема. Во всякомъ тригранномъ
два двугранные угла прямые, противополож-
ные имъ плоскіе углы также прямые.
Положимъ, что въ триграпномъ углѣ 8АВС
(черт. 276) двугранные углы С8АВ и С8ВА
прямые; требуется доказать, что плоскіе углы
С8В и С8А также прямые.
3
Черт. 275.
Доказ. Такъ какъ ребро 8С есть пересѣченіе двухъ плоскостей
С8А м С&В, по положенію перпендикулярныхъ къ плоскости А8В,
то оио перпендикулярно къ этой плоскости (§ 209, слѣдств. 2), а
потому углы С8А и С8В прямые.
Обратная теорема. Если въ тригранномъ углѣ 8АВС (черт. 276)
два плоскіе угла его С8В и С8А прямые, то и противоположные
имъ двугранные углы С8АВ и С8ВА прямые.
Доказ. Такъ какъ по положенію углы С8В и С8А прямые, то
линія 8С перпендикулярна къ плоскости А8В, и вслѣдствіе этого
плоскости С8А и С8В перпендикулярны къ плоскости А8В (§ 209).
Изъ предложенія этого § слѣдуетъ, что если въ тригранномъ углѣ
всѣ двугранные углы его прямые, то и всѣ плоскіе его углы пря-
мые, и наоборотъ.
— 218 —
з	§ 215. Теорема. Въ тригранномъ'углѣ каж.
/	дый плоскій уголъ менѣе суммы двухъ сіру'
/	\ ггіхъ плоскихъ угловъ.
!	• \в
А/\—'"о--Положимъ, что изъ трехъ плоскихъ угловъ,
составляющихъ триграаный уголъ 8 АВС
Черт. 277. (черт. 277), уголъ А8В наибольшій; тре-
буется доказать, что А8В<^А8С^-С8В.
Доказ. Отложимъ на плоскости А8В уголъ В8Р, равный углу
В8С, м сдѣлаемъ 8В=8С. Проведя черезъ точки V и С какую-
нибудь плоскость, положимъ, что опа пересѣчетъ ребра и 8В
въ точкахъ А я В. Треугольники С8В я В8В имѣютъ общую сто-
рону 8В и кромѣ того по построенію 8В=^8С я /^С8В=^/р8ВЛ
слѣдов. эти треугольники равны, и потому ВВ—ВС, а такъ какъ
АІ)-\-ВВ<ІАСА-СВ, то АВ<ХАС. Замѣтимъ теперь, что треуголь-
ники А8В и А8С имѣютъ общую сторону А8 я кромѣ того
8В=8С, но АВ<Х.АС\ изъ этого слѣдуетъ, что уголъ А8В мень-
ше угла А8С (§ 17). Сложивъ почленно неравенство А8В<^А8С
съ равенствомъ В8В=С8В, найдемъ А8В<\АВС-^С8В, что и
требовалось доказать.
Если изъ обѣихъ частей этого неравенства вычтемъ по углу Л8С,
то получимъ
С8В>А8В—А8С,
Т.-е. въ тригранномъ углѣ каждый изъ плоскихъ угловъ больше
разности двухъ другихъ угловъ.
5
Черт. 278.
§ 216.	Теорема. Сумма плоскихъ угловъ,
составляющихъ многогранный уголъ, меньше
четырехъ прямыхъ.
Пусть будетъ 8АВСВЕ (черт. 278) мно-
гогранный уголъ, составленный взъ плоскихъ
угловъ А8В, В8С, С8В..., требуется до-
казать, что
А8В-І-В8СІ- С8В. .<4^.
219 —
Доказ. Проведя какую-нибудь плоскость АВСВЕ. пересѣкав-
шую ребра иногоі раннаго угла въ точкахъ А, В, С, В и Е,
означимъ чрезъ 8 сумму плоскихъ угловъ, составляющихъ много-
гранный уголъ, и чрезъ п число ихъ; тогда сумма угловъ тре-
угольниковъ, вершины которыхъ сходятся въ .точкѣ 5, равняется
24п, а сумма угловъ многоугольника АВСВЕ равняется	—44.
Но такъ какъ каждая язь точекъ Л, В, С... есть вершина три-
граннаго угла, то по предыдущему §
8АЕ+8АВ>ЕАВ', 8ВА+ 5ВС>АВС...
Сложивъ почленно эти неравенства, получимъ
8АЕ + 8АВ 4- 8ВА 4- 8 В С 4~... > ЕАВ ±АВС+...
Но первая сумма 8АЕ4-8АВЛ-8ЕА... равна 23п—8, а вторая
сумма ЕАВ-^-АВС-]-... равна 2сІп—-13. слѣдов. 2Лп—8^>2Ап—44
или 2(йі4"^^>2(і«4“а отсюда 8<^Ы.
§ 217.	Теорема. Во всякомъ тригранномъ углѣ 54ВС(чѳрт. 279) сумма
двугранныл-ъ угловъ менѣе 63 и болѣе 24.
8
Доказ. Опустивъ изъ какой-нибудь точки О, лежащей д
внутри триграннаго угла, перпендикуляры ОВ, ОМ и /\ \
ОК на стороны его АВВ, АВСъ ВВС, получимъ при О / I і_\
тригранный уголъ ОЬМЕ, котораго плоскіе углы 2ИОЬ,
ВОЯ и Ѣ'ОМ по § 210 служатъ дополненіями до 24 /^чГь/
двуграннымъ угламъ С8АВ, С8ВА и АВСВ, слѣдов. Ау Р^оВ
сумма этихъ плоскихъ и двугранныхъ угловъ равна $3;
но сумма плоскихъ угловъ менѣе 44 (§ 216); слѣдов. сум- с
ма двугранныхъ угловъ менѣе 64 и болѣе 24.	Черт. 279.
Повторяя подобное же разсужденіе относительно какого-нибудь много-
граннаго угла, составленнаго изъ п плоскихъ угловъ, найдемъ, что сумма
его двугранныхъ угловъ менѣе 24п, ио болѣе 24я—44.
§ 218.	Если изъ какой-нибудь точки, лежащей внутри треграннаго угла
ВЛВС (черт. 279), оиустимъ на плоскости АВВ, АВС и С8В перпенди-
куляры ОВ, ОМ и ОЕ, то при точкѣ О образуется тригранный уголъ
ОЬМЕ, который называется дополнительнымъ угломъ тригряппя.т ут-ха .9,
Вслѣдствіе того, что линіи ОВ и ОМ перпендикуляра» къ плоскостямъ
АВВ м А&С, плоскость ЬОМ также перпендикулярна къ этимъ жлоск®-
— 220 —
етямъ (§ 209), и потому она перпендикулярна и къ линіи ихъ пересѣченія
48 (§ 209, слѣдств. 2); слѣдов. ребра тригранпаго угла 8 соотвѣтственно
перпендикулярны къ плоскостямъ триграннаго угла О.
Изъ втого мы заключаемъ, что если тригранпгЛ уголъ О есть уголъ
дополнительный для трнграиваго угла 8, то и наоборотъ, три гранный
уголъ <8 есть дополнительный для триграннаго угла О.
Равенство и симметрія тригранныхъ угловъ.
§ 219.	Теорема. Когоа два тригранныхъ угла имѣютъ плоскіе углы
соотвѣтственно равные, то и двугранные ихъ углы равны.
Положимъ, что въ тригранномъ углахъ 8АВС, ЗіА^Сі (черт. 280)
/ А8В /.АіЗіВі, АЗС = /.АіЗіСі, В8С~ ВІ81С^, требуется
доказать, что двугранные углы соотвѣтственно равны между собою.
Доказ. Сдѣлаемъ 8А = 8^ и проведемъ чрезъ точки А и А, плоскости
САВ и СіАіВі, перпендикулярныя къ ребрамъ Л'А и $ІАі, тогда ^САЬ
я ^СіАіВі будутъ линейные углы двугранныхъ С8АВ м С^А^. Прямо-
угольные треугольники В8А и Д&ХА|, въ которыхъ 5А’=5'ІА1 и /_А8В=
^Аі8\В\, равны, прямоугольные треугольники АЗС н А^Сі, въ кото-
рыхъ 5А = 5іАі и ^АЗС—^А^Сі, также равны; слѣдов. 8В=8гВ^
н ЗС— 8гСі. Вслѣдствіе втого треугольники ВЗС и В^С^ имѣющіе двѣ
стороны и уголъ между ними равные, будутъ равны. Изъ сказаннаго мы
заключаемъ, что АВ — АіВх, АС—А1СІ и ВС= ВіСі-, слѣдов. треуголь-
ники АВС и А^іСі равны между собою, м потому ВАС= /_ В^А^С,
Но такъ какъ ВАС и 5(АіСі суть линейные углы двугранныхъ С8АВ и
СгЗіАіВ^, то эти двугранные углы равны между собою.
Подобнымъ же образомъ доказывается равенство н другихъ двугран-
ныхъ угловъ.
Когда ребра 8В а. 8С перпендикулярны къ ребру А<8, т.-е. когда два
плоскіе угла А8В м АЗС прямые, тѳ плоскость САВ будетъ параллельна
линіямъ ВВ и 8С Къ ятому случаю доказательство вышеприведенное пи
прилагается, потому ч то плоскость, проведенная чрезъ точку А перпенди-
кулярно къ ребру 5/4, по не|>есѣчется съ линіями 8В и 5С, ио такъ какъ
въ этомъ случаѣ плоскіе углы ПЗС и суть линейные углы двугран-
ныхъ С8АВ и Ць то равенство этихъ двугранныхъ угловъ слѣ-
дуетъ прямо изъ рагюнс’іна ихъ линейныхъ угловъ.
§ 220.	Теорема. Два тригранныхъ угла 8АВС и 8^А^ВхСі (черт. 280)
равны,, когда плоскіе углы равны и одинаково расположены.
Доказ. Изъ равенства плоскихъ угловъ слѣдуетъ, по предыдущему §,
что двуі'ра-лиые углы равны, и тригранные углы 8АВС и 5!А1І?1С1 при
наложеніи очевидно совпадутъ.
Если тритранные углы ЗАВС и	(черт. 281)’составлены изъ
плоскихъ угловъ соотвѣтственно равныхъ, но расположенныхъ въ обрат-
номъ порядкѣ, то двугранные ихъ углы по предыдущему § также соотвѣт-
Черт. 281,
етвенно равны, но тригранные углы въ этомъ случаѣ ие могутъ быть со-
вмѣщаемы. Трнгранные углы, которые составлены изъ равныхъ пло-
скихъ и двугранныхъ угловъ, т.-е. которые имѣютъ всѣ части соотвѣт-
ственно рядныя, ло не могутъ быть совмѣщаемы, называются симме-
тричными.
§ 221.	Теорема. Два тригранныхъ угла равны, когда имѣютъ по рав-
ному двугранному углу, заключенному между двумя соотвѣтственно рав-
ными и одинаково расположенными плоскими углами.
Доказ. Очевидно, что такіе триграниыѳ углы при наложеніи совмѣ-
щаются.
§ 222.	Теорема. Два тригранныхъ угла равны, когда имѣютъ по рав-
ному плоскому углу, заключенному между двумя соотвѣтственно равными
и одинаково расположенными двугранными углами.
Доказ. Очевидно, что такіе тригранныѳ углы при наложеніи совмѣ-
щаются.
§ 223.	Теорема. Два тригранныхъ угла ЗАВС и ЗхА^Сх (черт. 282)
равны, когда двугранные ихъ углы соотвѣтственно равны ы одинаково
расположены.
— 222
Доко«. Пусть будутъ ОЬМУ и	дополнительные углы тре-
гранныхъ «5 м «5і  Такъ какъ двугранные углы тригранныхъ «5 и 8і по ш>
Черт. 282.
ложѳнію соотвѣтственно равны, то плоскіе углы тригранныхъ угловъ О и
Оі также равны и потому самые трегранные углы О и О4 равны между
собою (§ 220). Изъ равенства этихъ тригранныхъ угловъ слѣдуетъ равен-
ство ихъ двугранныхъ; слѣд. плоскіе углы трнграиныхъ угловъ 8 и <$і
равны, потому что эти тригранныѳ углы суть углы дополнительные для
тригранныхъ угловъ О и 0^, а изъ этого слѣдуетъ, что трнгранныѳ углы
5 н 8і равны (220).
§ 224.	Теорема* Если въ тригранномъ углѣ 8АВС (черт. 283) два пяо~
5	скихъ угла А8Сы СЗВравны, то противоположные
уК	мл« двугранные углы СВ8А и СА8В также равны.
/ Ѵ\\	Доказ. Проведя на плоскости А8В линію 8В, раз-
/ \ \ \	дѣляющую плоскій уголъ А8В пополамъ, вообразивъ
/ р'і \ \	плоскость В8С, проходящую чрезъ линія 8С н 81/,
\\ /	тогда составляются два тригранныхъ угла 8АСВ и
8ВСВ, которыхъ плоскіе углы соотвѣтственно рав-
о ны. Изъ зтогс слѣдуетъ, что (§ 219)
Черт. 283.	двугр. уг. СА8В = двугр. угл. СВ8В.
Обратная теорема. Если въ тригранномъ углѣ 8АВС (черт. 279)
двугранные углы СА8В и СВ8А равны, то
?	противоположные имъ плоскіе углы С8В и С8А
/ \	также равны.
/1	Доказ. Если вообразимъ дополнительный уголъ
/мр-тчА	ОЪЪІХ, то вслѣдствіе предположеннаго равенства
/ х~І	двугранныхъ угловъ СА8В и СВ8А плоскіе углы
л(—Ь ОМ и Ь 02/ трнграннаго угла О равны; слѣдов.
по предыдущей теоремѣ и противоположные имъ
с	двугранные ЬО2/2І и Ь0М2І равны; а такъ
Черт. 279. какъ углы 5 и О суть взаимно дополнительные,
то изъ равенства этихъ двугранныхъ угловъ слѣдуетъ равенство плоскихъ
угловъ АЗС и В8С.
— 223 —
Очевидно, что если всѣ нлоскіе углы триграннаго равны между собою,
го я двугранные углы его равны, и наоборотъ.
§ 225.	Если продолжить ребра триграинаго угла 8АВС (черт. 284),
то плоскостями Лі>$7/і, 2^8’Сд и Сі&Аі образуется но-
вый триграниый уголъ ЗА^Сі, который называется
вертикальнымъ умомъ перваго.
Такъ какъ вертикальные углы имѣ’оть соотвѣтственно
равные плоскіе углы:
/,А8В=/.Аі8Ви ^.В8С=^ВХ8(\, ^А8С=^Ах8Си
то по § 219 и двуі^анныѳ уры равны. Но вертикаль-
ные тряі ранные углы, имѣя, всѣ части соотвѣтственно
равными, ие могутъ быть совмѣщаемы; слѣд. вти углы
всегда симметричные. «
Черт. 284.
ГЛАВА Ш.
О многогранникахъ.
Призмы, параллелепипеды и пирамида. Равенство призмъ и пирамидъ. Симмет-
ричные многогранники. Правильные многогранники. Подобіе многогранниковъ.
Призмы, параллелепипеды и пирамиды.
§ 226.	Часть пространства, ограниченная со всѣхъ сторонъ
многоугольниками, называется многогранникомъ-, самые многоуголь-
ники называются сторонами, стороны многоугольниковъ—ребрами,
вершины многоугольниковъ—вершинами многогранника.
Сумма сторонъ многогранника называется поверхностью его.
Очевидно, что простѣйшій изъ всѣхъ многогранниковъ есть много-
гранникъ о четырехъ сторонахъ, потому что три плоскости не мо-
гутъ ограничить пространства.
Многогранникъ, ограниченный четырьмя сторонами, называется
четырегранникомъ или тетраедромъ, многогранникъ о шести сто-
ронахъ—шестигранникомъ или эксаедромъ, о восьми сторонахъ—
__ 224 __
осъмигранникомъ или октаедромъ, о двѣнадцати сторонахъ—двѣ-
надцатигранникомъ или додекаэдромъ о двадцати сторонахъ —двадца-
тигранникомъ или икосаэдромъ.
Другіе многогранники рѣдко означаются особыми названіями
§ 227.	Многогранникъ АВСВЕЕМЕРф (черт. 285), котораго
двѣ стороны АВСВЕ и ЕМЕР$ суть два равныхъ многоуголь-
ника, лежащихъ въ параллельныхъ плоскостяхъ, а другія стороны
Черт. 285. Черт. 286.
АВМЕ, ВСЕУ1...— параллелограммы, называется призмою. Па-
раллельные многоугольника АВСВЕ и ЕМЕРЦ называются осно-
ваніями призмы; а разстояніе между ними, т.-е. перпендикуляръ
8Т, опущенный изъ какой-нибудь точки одного основанія на дру-
гое ,—высотою.
Очевидно, что боковыя ребра призмы параллельны, и такъ какъ
они заключаются между параллельными плоскостями, равны между
собою.
Смотря по тому, будутъ ли основанія призмы треугольникъ, че-
тыреугольникъ или какой-нибудь ииогоугольникъ, призма называется
треугольною, четыреугольною или многоугольною.
Плоскость АС ЕЕ (черт. 285), проходящая чрезъ два боко-
выхъ ребра, не смежныхъ между собою, называется діагональною
плоскостью. Очевидно, что діагональныя плоскости, проведенныя
чрезъ одно и то же ребро, раздѣляютъ всякую призму на треуголь-
ныя призмы, имѣющія одинаковую высоту.
— 225 —
Призма называется наклонною (черт. 285), когда боковыя ребра
не перпендикулярны къ основаніямъ, я прямою (черт. 286), когда
они перпендикулярны къ нимъ.
Очевидно, что боковыя стороны прямой призмы АРР.Р (черт.
286) суть прямоугольники.
Прямыя призмы съ равными основаніяии и высотами равны, по-
тому что при наложеніи совпадаютъ.
Прямая призма, которой основаніе правильные многоугольники,
называется правильною; линія, соединяющая
центры двухъ основаній, называется осью
призмы.
Когда призму РВ (черт. 287) пересѣ-
чемъ плоскостью РМВР, не параллель-
ною основанію, то получимъ многогранникъ
АТіС',Т)Т,РХМ который называется усѣ-
ченною призмою.
Черт. 287
§ 228.	Призиа АВСРІ.МХР (черт. 288), которой основанія
АВСР и ЬМЪТР суть
параллелограммы, назы-
вается параллелепипе-
домъ. Линія ВР, соеди-
няющая вершины двухъ
противоположныхъ три-
гранныхъ угловъ, назы-
Черт. 288. Черт. 289.
вается діагональю параллелепипеда. Прямой параллелепипедъ
АВСРЬМХР (черт. 289), котораго основанія прямоугольники,
называется прямоугольнымъ параллелепипедомъ; три ребра его ЛВ,
АР и ЛД идущія изъ одной вершины, называются измѣре-
ніями его.
Очевидно, что всѣ стороны прямоугольнаго параллелепипеда прямо-
угольники.
А. Давидовъ. Геометрія.	15
— 226 —
Прямоугольный параллелепипедъ, котораго всѣ три измѣренія рав-
ны, называется кубомъ. Очевидно, что всѣ стороны куба суть рав-
ные квадраты.
Параллелепипедъ, котораго всѣ стороны ромбы, называется ром-
боедромъ.
д	і>
Чеот. 290.
§ 229.	Теорема. Во всякомъ параллелепипедѣ противополож-
ныя стороны равны и параллельны.
Положимъ, что АУ (черт. 290) паралле-
лепипедъ; требуется доказать, что паралле-
лограммы АВРВ и ВМУС равны и пло-
скости ихъ параллельны.
Доказ. Такъ какъ ребра І.Р и 2И7Ѵ,
какь стороны параллелограмма, равны и параллельны, а ребра ЬА
и МВ также, какъ стороны параллелограмма, равны и параллельны,
углы же ЛГ.Р и ВМУ, вслѣдствіе параллельности ихъ сторонъ,
равны, то параллелограммъ АІУРЛ равенъ параллелограмму ВМУС
и плоскости ихъ по § 202 параллельны.
Подобнымъ же образомъ можно доказать равенство и параллель
ность другихъ противоположныхъ сторонъ.
§ 230.	Теорема. Діагонали всякаго параллелепипеда взаимно
пересѣкаются и дѣлятся пополамъ.
Черт. 291.
Доказ. Въ параллелепипедѣ АУ (черт. 291)
ребра УР и АВ равны и параллельны: слѣдов.
четыреугольникъ АВУР параллелограммъ, а
потому діагонали АУ в ВР лежатъ въ одной
плоскости АВУР, пересѣкаются и дѣлятся
взаимно пополамъ.
Подобнымъ же образомъ доказывается, что каждая пара четы-
рехъ діагоналей ВС, МВ, АУ и ВР, составляя діагонали парал-
лелограмма, пересѣкается и дѣлится пополамъ. Изъ этого видно,
227
что всѣ четыре діагонали параллелепипеда пересѣкаются въ одной
точкѣ.
Если въ прямоугольномъ параллелепипедѣ
АУ (черт. 292) проведемъ діагональ АГВ и
линію ВВ, то нзъ прямоугольнаго треуголь-
ника А1ВВ найдемъ Л/2)2=«2?ЛР--І-2?І)2,
а изъ прямоугольнаго треугольника ВАВ
получимъ
Черт. 292.
ВВ^ВА*+АП*=ВА*+ВС-.
Вставляя находимъ:
МВ^ВАВ-^-ВСР-^ВА2,
т.-е. квадратъ діагонали прямоугольнаго параллелепипеда рав-
няется суммѣ квадратовъ трехъ его измѣреній.
Изъ этого слѣдуетъ, что четыре діагонали прямоугольнаго парал-
лелепипеда равны между собою.
§ 231.	Теорема. Боковая поверхность всякой призмы равняется
боковому ребру ея, умноженному на периметръ
перпендикулярнаго сѣченія.
Пусть будетъ АВСВаЬсд, (черт. 293) какая-
нибудь призма и БА1ХР сѣченіе перпенди-
кулярное къ боковымъ ея ребрамъ; требуется
доказать, что боковая поверхность призмы рав-
няется
Черт. 293.
(ЛМ-|-МЛт4-2ѴР+РІ).Ла.
Доказ. Замѣтивъ, что площади параллелограммовъ А&, Всу
СЬ и Ва соотвѣтственно равны Аа. БР, Вд. РУ, Сс. МБ, ВЪ.
МБ, и что боковыя ребра призмы равны между собою, найдемъ,
что боковая поверхность призмы равна
Изъ этого предложенія слѣдуетъ:
— 228 —
1. Боковая поверхность прямой призмы равняется высотѣ ея,
умноженной на периметръ основанія.
2. Если означимъ чрезъ а высоту прямоугольнаго параллелепи-
педа и чрезъ Ъ и е стороны его основанія, такъ что линіи а, Ь а
с представляютъ три измѣренія параллелепипеда, то боковая поверх-
ность его будетъ равна (2Ь-|~2с)а. Сумма площадей обоихъ основа-
ній равняется 2Ье; слѣдов. вся поверхность параллелепипеда рав-
няется
§
Черт. 294.
$ 232. Многогранникъ &АВСВЕ (черт. 294), котораго одна
сторона АВСВЕ какой-нибудь многоугольникъ
а другія стороны Л5В, В8С... треугольники,
сходящіеся въ одной общей точкѣ 5, назы-
вается пирамидою. Многоугольникъ АВСВЕ
называется основаніемъ, точка 8—вершиною,
а перпендикуляръ 80, опущенный изъ вершины
8 на основаніе,—высотою пирамиды.
Пирамида называется треугольной, четыреугольной или много-
угольной, смотря по тому, будетъ ли основаніе треугольникъ,
четыреугольникъ иди какой-нибудь многоугольникъ.
Плоскость АЗС, проходящая чрезъ два несмежныхъ ребра 8А в
ВС, называется діагональною плоскостью. Очевидно, что всякая
пирамида 8АВСІ>Е можетъ быть раздѣлена па треугольныя пира-
миды 8АВС, 8ЛСВ, 8АВЕ діагональными плоскостями АЗС и
А8В, проходящими чрезъ одно м то же ребро 8А.
Когда основаніе пирамиды есть правильный многоугольникъ в
Черт. 295.
центръ его совпадаетъ съ основаніемъ вы-
соты (черт. 295), то пирамида называется
правильною', высота въ этомъ случаѣ назы-
вается также осью пирамиды. Очевидно, чте
треугольники А8В, В8С....., образующіе
правильную пирамиду, равны между собою,
потому что стороны -основанія равны и ребра
— 229 -
пирамиды, какъ наклонныя равно отстоящія отъ оси пирамиды,
также равны. Высота одного изъ этихъ треугольниковъ, т.-е. пер-
пендикуляръ, опущенный изъ вершины пирамиды на какую-нибудь
сторону основанія, называется апоѳемою пирамиды.
Если пересѣчемъ пирамиду 8АВСВЕ (черт. 295) плоскостью
ЕМКРф параллельной основанію, то получимъ многогранникъ
АВСВЕВМПРЦ, который называется усѣченной пирамидою. Сѣ-
ченіе	называется верхнимъ основаніемъ-, а разстояніе его
отъ нижняго основанія АВСВЕ—высотою.
Когда пирамида 8АВСВЕ правильная, то усѣченная пирамида
называется правильною; н въ этомъ случаѣ высота одной ивъ тра-
пецій, составляющихъ боковую поверхность усѣченной пирамиды,
называется ея апоѳемою
§ 233.	Теорема. Плоскость, параллельная основанію пирамиды,
раздѣляетъ ребра и высоту ея на пропорціональныя части М
даетъ въ сѣченіи многоугольникъ, подобный основанію.
Положенъ, что 8АВСВЕ (черт. 296) ка-
кая-нибудь пирамида, 80 высота ея и аЬсйе—
сѣченіе, параллельное основанію; требуется
8а 8В 80	80
доказать, что	я что
многоугольники АВСВЕ я аЪсНе подобны
между собою.
Доказ. Проведемъ плоскость чрезъ ребро ЗА
и высоту 80, и пусть будутъ АО м ао ли-
ніи пересѣченія ея съ плоскостями АВСВЕ
я аЬей. По § 201 слѣдств. 1, линіи АВ, ВС,
АО, соотвѣтственно параллельны линіямъ аЬ,
ло\ слѣд.
5л __ 8В 80 8Р __ 8Е __________________
8а 8Ь 8с 8д 8е 8о
Черт. 296.
СВ, ВЕ, ЕА п
Ъе, еА, <іе, еа к
80
— 230 —
Такъ какъ стороны многоугольниковъ АВСВЕ и аЬсбе соот-
вѣтственно параллельны, то углы ихъ равны. Далі.е изъ по-
Черт. 296.
добія треугольниковъ А8В и а8Ъ слѣдуетъ
Л5 АВ	е.
'а8 ~ ~аЬ' Э ИЗЪ Л0д0^1я тРвУг0льниК0въ А
и а8е паходимъ
АЕ л АВ АЕ
	: слѣдов. —— --
ае-------------------------аЬ ае
Подобнымъ же образомъ доказывается про-
порціональность и другихъ сторонъ много-
угольниковъ АВСВЕ и аЪссСе.
Такъ какъ площади подобныхъ многоугольниковъ относятся какъ,
квадраты сходственныхъ сторонъ (§ 150), то
АВСРЕ _ АВ3
аЬсбе аЬ3
„ АВ	8А	80	*
но—г=-7Г=« -о— 1 слѣдов.
аЬ	8а	8о ’
АВСРЕ_ 80*
аЬсАе 8о2 ’
Т.-е. площади оенованіл и параллельнаго ему сѣченія относятся
между собою, какъ квадраты ихъ разстояній отъ вершины пи-
рамиды.
§ 234.	Теорема. Если двѣ пирамиды имѣютъ двѣ равныя
высоты, и основанія ихъ лежатъ въ одной плоскости, то площади
происходящія отъ пересѣченія плоскостью, параллельною основа-
ніямъ, будутъ пропорціональны площадямъ основаній.
Пусть будутъ 8АВС и ОЕМ"ЕТ$ (черт. 297) двѣ пирамиды,
которыя имѣютъ одинаковую высоту ВЛІ, и основанія которыхъ
— 231 —
ЛВС и ЪМКРф лежать въ
одной плоскости, и положимъ,
что аЪс и Ітпрд  сѣченія,
образуемыя плоскостью, па-
раллельной основаніямъ; тре-
буется доказать, что
АВС _ ЪМВР$
аЪс Ітпрд
Доказ. Положимъ, что плоскость сѣченія встрѣчаетъ линію ВѴ
въ точкѣ Т\ тогда по предыдущему §
АВС	№	БМХРЦ	ВС9	л АВС	ІМЯРО
= п7тг> и —-----= -71™; слѣдов.--г— «= —з--—•
аЪс	Ві~ Ітпрд	ВР	аос Ішпрд
Пзъ этого предложенія слѣдуетъ, что если основанія АВС и
ѢМКР® равновелики, то сѣченія аЪс и Ітпрд также равно-
велики.
§ 235.	Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды
равняется периметру основанія, умноженному на половину апо-
фемы.
Доказ. Боковая поверхность правильной пирамиды состоитъ изъ
равныхъ треугольниковъ, а площадь каждаго изъ нихъ равняется
сторонѣ основанія, умноженной на половину апоѳемы. Сложивъ
площади всѣхъ этихъ треугольниковъ и замѣтивъ, что сумма ихъ
основаній равняется периметру основанья пирамиды, заключаемъ,
что сумма площадей этихъ треугольниковъ, т.-е. боковая поверх-
ность пирамиды, равняется периметру основанія, умноженному на
половину апоѳемы.
§ 236.	Теорема. Боковая поверхность правильной усѣченной пи-
рамиды равняется полусуммѣ периметровъ ея основаній, умножена
ной на апоѳему.
232 —
Доказ. Боковая поверхность правильной усѣченной пирамиды со-
стоитъ изъ равныхъ трапецій, а площадь каждой изъ шіхъ равняет-
ся полусуммѣ параллельныхъ сторонъ, умноженной на высоту тра-
пеціи. Сложивъ площади всѣхъ трапецій и замѣтивъ, что сумма
ихъ нижпихъ основаній равна периметру нижняго основанія, а
сумма ихъ верхнихъ основаній равна периметру верхняго основанія
усѣченной пирамиды, заключаемъ, что боковая поверхность усѣчен-
ной пирамиды равняется полусуммѣ периметровъ ея основаній умно-
женной на апоѳему.
Очевидно, что боковую поверхность правильной усѣченной пира-
миды можно выразить такжѳ произведеніемъ периметра сѣченія, раз-
дѣляющаго боковыя ребра пополамъ, на апоѳему.
Равенство призмъ и пирамидъ.
§ 287.	Теорема. Двѣ призмы равны, когда имѣютъ равныя основа'
нія, по равному тригранному углу и по равной боковой сторонѣ этого
уіла.
Положимъ, что въ призмахъ АН и ЬТ (черт. 298) тригранные углы
А и X равны, в что кромѣ того АВСВЕ = ЬМНР® и АЕКВ=Ь<ІѴВ-,
требуется доказать, что ѳти призмы равны.
Черт. 298.
Доказ. Вложимъ призму І/Т въ призму АН такъ, чтобы основанія и три-
граивыѳ углы А и Ъ совмѣстились, тогда ребра ЬВ и ЫИ совмѣстятся
съ ребрами АЕ и А В, и параллелограммъ Ь8 совпадетъ съ параллело-
граммомъ АЕ. слѣдов. ребро 2И5—съ ребромъ ВЕ.
Подобнымъ же образомъ доказывается, что и другія ребра совмѣ-
стятся.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ.
— 233 —
1.	Двѣ призмы равны, когда имѣютъ равныя основанія и по двѣ смеж-
ныя стороны соотвѣтственно равныя и одинаково расположенныя, по-
топу что въ такомъ слѵчаѣ тригранные углы, заключенные между этими
сторонами, равны 220).
2.	Двѣ призмы равны, когда имѣютъ равныя основанія, по равной и
одинаково расположенной сторонѣ и по равному двугранному у ілу, заклю-
ченному между ними, потому что въ этоиъ случаѣ тригранные углы, со-
отвѣтствующіе этимъ сторонамъ и двугранному углу, равны (§ 211).
§	238. Теореиа. Двѣ пирамиды равны, когда имѣютъ равныя основа-
нія, по равной и одинаково расположенной сторонѣ и по равному дву-
гранному углу, заключенному между ними.
Положимъ, что въ пирамидахъ 8АВСВЕ и ВіАД^'С^ВД^ (черт. 299)
АВСВЕ = АіВіСіВіЕі, А8Е = А^ВіЕі и двугранный уголъ ВАЕВ =
двугр. углу З^АіЕДХ', требуется доказать, что эти пирамиды равны.
е в е, р,
Черт. 299.
Доказ. Вложимъ пирамиду В^АДіДДВД^ въ пирамиду ЗАВСВЕнъкъ,
чтобы основанія и равныя стороны АВЕ и	совпали; тогда ребра
Е\8Х и ЕД>і совмѣстятся съ ребрами Е8 и ЕВ, и треугольникъ Еі8\В^
совпадетъ съ треугольникомъ Е8В. Подобнымъ же образомъ доказы-
вается, что и другія стороны совпадутъ:
Изъ этого предложенія слѣдуетъ.
1.	Деѣ пирамиды равны, когда имѣютъ равныя основанія и по двѣ
смежныя стороны равныя и одинаково расположенныя, потому что въ
атомъ случаѣ и двугранные углы, заключенные между основаніемъ и этими
сторонами, равны (§ 220).
2.	Двѣ треугольныя пирамиды равны, когда имѣютъ по три стороны
соотвѣтственно равныя и одинаково расположенныя.
3.	Двѣ треугольныя пирамиды равны, когда имѣютъ по равному дву-
гранному углу, заключенному между двумя соотвѣтственно равными и
одинаково расположенными сторонами.
§ 239. Если чрезъ какую-пибудь вершину многогранника проведемъ
плоскости, проходящія чрезъ всѣ его ребра, то многогранникъ раздѣлится
на рядъ пирамидъ, которыя будутъ имѣть общую вершину и для кото-
— 234 —
рыхъ стороны многогранника будутъ служить основапілчп. Такъ какъ
всякая пирамида можетъ быть раздѣлена діагональными илоскостямв на
треугольныя пирамиды, то и всякій многогранникъ раздѣлится на рядъ
треугольныхъ пираиидъ.
Когда два многогранника равны, то они, очевидно, могутъ бытъ раздѣ-
лены на одинаковое число соотвѣтственно равныхъ и одинаково располо-
женныхъ треугольныхъ пирамидъ. Наоборотъ, когда два многогранника
раздѣляются иа одинаковое число соотвѣтственно равныхъ и одинаково
расположенныхъ треугольныхъ пирамидъ, то такіе многогранники равны
между собою, потому что они ври вложеніи одного въ другой совмѣ-
стятся.
Симметричные многогранники.
§ 240. Двѣ точки
А и Аі (черт. 300) называются симметричными отно-
сительно плоскости ЛЛѴ, когда линія ААЬ соеди-
няющая ихъ, перпендикулярна къ ятой плоскости и
дѣлится ею пополамъ.
Теорема. Если двѣ точки А и В (черт. 300) пря-
мой АВ симметричны относительно плоскости ЛЦѴ
двумъ точкамъ А1 и Ві другой прямой Вь то
всякая течка С первой прямой имѣетъ симмет-
ричную точку на второй прямой.
Доказ. Соединимъ точки А и В съ точками Лх и
Ві и положимъ, что плоскость, проходящая чрезъ
линіи А А. и ВВ<, пересѣчетъ плоскость по ли-
Черт. 300.
ніи Рд. Если изъ точки С опустимъ перпендикуляръ на плоскость 2ИДТ,
то этотъ перпендикуляръ, очевидно, лежитъ въ плоскости ЛВЬ потону
что плоскость АВ\ перпендикулярна къ плоскости ЛІУ. Положимъ, чт*
этотъ перпендикуляръ пересѣчетъ линію Р$ въ точкѣ О и продолженіи
его пересѣчетъ линію въ точкѣ Такъ какъ четыреугольники
АРдв и ЛцРфД при наложеніи совпадаютъ, то изъ этого слѣдуетъ,
что СО=СіО, т.-е. что С и Сі точки симметричныя.
Итакъ, всякой точкѣ прямой АВ соотвѣтствуетъ симметричная точка и%
прямой ДБ,.
Двѣ прямыя, которыхъ точки взаимно симметричны относительно нѣко-
торой плоскости, называются линіями симметрично расположенными
или просто симметричными линіями. Изъ равенства двухъ четыреуголь-
никовъ АРдв и АіРфВі слѣдуетъ, что АВ == это значитъ, что
разстояніе двухъ какихъ-нибудь точекъ равняется разстоянію ихъ сил-
метричныхъ точекъ.
— 235 —
§ 241.	Теорема- Если три то»ки А, В и С (черт. 301), лежащія на
плоскости Р$, симметричны относительно
плоскости МХ тремъ точкамъ Аь В, и ,
С,, лежащимъ на другой плоскости
то всякая точка Л первой плоскости
имѣетъ симметричную точку на второй
плоскости.
Доказ. Опустимъ изъ точки Л перпенди-
куляръ на .ИДГ и положимъ, что продолже-
ніе его пересѣчетъ плоскость Рі@і 81 точкѣ
Д. Плоскость, проведенная чрезъ лиши
АЛі и ЛЛі, перпендикулярна къ плоскости
МЕ\ рэвпо какъ плоскость, проходящая
черезъ линіи ВВі и СС^; слѣдов. линія пе-
Черт. 301.
ресѣчеиія ЕЕі этихъ двухъ плоскостей
также перпендикулярна къ МК (§ 209
слѣдств. 2). Но такъ какъ линіи ВС и В^ имѣютъ по двѣ симметричныя
точки В и С н Сі, то эти линіи по предыдущему § симметричны,
и потому Ее — Е&. Вслѣдствіе этого и лиши АЕ и АхЕи симметричны, и
потому точки Л и Л{, лежащія на эіпхт линіяхъ, будутъ симметричными
точками.
Итакъ,всякой точкѣ плоскости Р@ соотвѣтствуетъ симметричная точка
иа плоскости Рі&.
Двѣ плоскости, которыхъ точки взаимно симметричны относительно нѣ-
которой плоскости, называются плоскостями симметрично расположен-
ными, или просто симметричными плоскостями.
§ 242.	Если соединить между собою точки Л, В, С в Л (черт 301)
также точки Ви Сх и Ль имъ симметричныя, то треугольники АВС
в АіДСі, имѣющіе три соотвѣтственно равныя стороны, равны; также
равны и треугольники ВСЛ и В^С^Лі, слѣдов. и четыреугольники АВЛС
и АДЗіСіЛі равны между собою.
Подобнымъ же образомъ доказывается, что вообще многоугольата-н,
которыхъ вершины суть взаимно симметричныя точки, равны между со-
бою, потону что таніѳ многоугольники состоятъ изъ равныхъ треуголь-
никовъ
- 236 —
Миогоугольпикв, которыхъ вершины суть точки взаимно симметричныя
относительно нѣкоторой плоскости, называются многоугольниками симме-
трично расположенными^ или просто симметричными многоугольниками.
Очевидно, что симметричные многоугольники лежатъ въ симметричныхъ
плоскостяхъ.
§ 248.	Многогранники, которыхъ вершины суть точки взаимно симме-
тричныя относительно нѣкоторой плоскости, называются симметричными
многогранниками, а плоскость, относительно которой они симметрично
расположены,—плоскостью симметріи.
Очевидно, что всѣ стороны двухъ симметричныхъ многогранниковъ бу*
дуть многоугольники соотвѣтственно симметричные, слѣд. н соотвѣтственно
равные (§ 241), и что всякой точкѣ, взятой ва поверхности одного много-
гранника, соотвѣтствуетъ всегда симметричная точка на поверхности
другого.
Вслѣдствіе равенства сторонъ тѣлесные углы двухъ симметричныхъ
многогранниковъ будутъ составлены изъ плоскихъ угловъ соотвѣтственно
равныхъ.
Черт. 302.
Пусть будутъ 5 и (черт. 302) симме-
тричныя вершины двухъ симметричныхъ
многогранниковъ, ЛГУ плоскость симме-
тріи, и положимъ, что &ІАХВ^С\І)\ЕІ. и
8АВСВЕ тѣлесные утлы зтнхъ много-
гранникомъ при точкахъ 5і и 5, и что
точки Аи Вь Сі, Д, Еі сіимегрячЕп
точкамъ А, В, С, В, Е. Если вообразимъ
плоскость чрезъ линіи ЗА м 8С, также
плоскость чрезъ линіи и 5і<4 к
замѣтимъ, что по нредыдущеиу треуголь-
ники А8В, АЗС и С8В соотвѣтственно
симметричны и равны треугольникамъ
АіЗіВі, А^ЗіСі м СіЗіВъ то заключаемъ,
что тригранные углы 8АВС и ^ЛіДСі
будутъ составлены изъ соотвѣтственно рав-
ныхъ плоскихъ угловъ, и потому по § 219
двугр. уг. &&ВС ==двугр. углу В^ЛіВгСі.
Изъ этого мы заключаемъ, что въ симметричныхъ мноюграиниклял ову-
гранные углы соотвѣтственно равны.
— 237 —
§ 244.	Если два симметричныхъ многогранника раздѣлимъ плоскостями,
проведенными чревъ двѣ симметричныя вершины, за четырегранники, то
ати четырегранники попарно симметричны, потому что ихъ вершины
взаимно симметричныя точки. Слѣдов. два симметричныхъ многогранника
могутъ быть всегда раздѣлены иа одинаковое число симметричныхъ четыре-
гранниковъ; наоборотъ, когда два многогранника раздѣляются на одина-
ковое число попарно симметричныхъ четырегранниковъ, то такіе много-
гранники сниметричны.
§ 245.	Теорема. Два четырегранника, которыхъ стороны соотвѣт-
ственно равны, будутъ или равны или симметричны.
Черт. 303.
Доказ, Пусть будетъ ВАВС (черт. 303) какой-нибудь четырегранникъ
н положимъ, что треугольникъ аЬс равенъ треугольнику АВС. На тре-
угольникѣ аЪс можно построить только два четырегранника, имѣющихъ
стороны, соотвѣтственно равныя сторонамъ четырегранника ВАВС, а
именно четырегранники ЛаЪе и Но четырегранники ВАВС и ЛаЬс,
до § 238, слѣдств. 2, равны иежду собою. Что касается до четырегран-
никовъ сІаЬс и ДіаЪс, то не трудно удостовѣриться, что оии симиетричны
относительно плоскости аЪс. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ какая-ии-
будь точка на поверхности четырегранника йо&с; опустимъ изъ этой точ-
ки перпендикуляръ иа плоскость аЬе и положимъ, что онъ встрѣчаетъ эту
плоскость въ Р, а продолженіе его встрѣчаетъ поверхность другого
четырегранника въ Изъ точки Р опустимъ перпендикуляръ рд па
линію ас, и чрезъ линіи и Рд проведемъ плоскость, которая пере-
сѣчетъ стороны Леа в Л^оа но линіямъ ДГф и ДГі^. Такъ какъ триграи-
ныѳ углы аЪЛс к составлены изъ равныхъ плоскихъ угловъ, то дву-
гранные ихъ углы соотвѣтственно равны, и потому углы МдР и Л^фР,
«а-ут. линейные углы равныхъ другранныхъ угловъ, равны между собою.
Изъ этого слѣдуетъ, что прямоугольные треугольники ЛГфР и л<і^Р рав-
— 238 —
пы, и потому ЩР—ЛііР, & вто значить, что М и точки симметрич-
ныя относительно плоскости аЪс.
Итакъ, всякой точкѣ четырегранника АаЬс соотвѣтствуетъ симметрвч-
пая точка на четырегранникѣ с^аЪс\ слѣдов вти два чегыроіранника
сииметрпчны.
Изъ этого слѣдуетъ, что всякій четырегранникъ можетъ имѣть только
одинъ симметричный четырегранникъ, а такъ какъ симметричные много-
гранники состоять изъ симметричныхъ четырегранниковъ, то и всякій
многогранникъ можетъ имѣть только одинъ симметричный многогран-
никъ.
§ 246.	Когда симметричные многогранники расположены симметрично
относительно плоскости симметріи, то они называются симметричными
по положенію; въ другихъ случаяхъ—симметричными по виду.
Если плоскость раздѣляетъ многогранникъ на двѣ части симметричныя
относительно этой плоскости, то такая плоскость называется также плос
костью симметріи.
Есть многогранники, которые имѣютъ нѣсколько плоскостей симметріи,
прямая призма имѣетъ по крайней мѣрѣ одну плоскость симметріи, а
именно плоскость, раздѣляющую боковыя ребра пополамъ; прямоугольный
параллелепипедъ имѣетъ три плоскости симметріи, а именно плоскости,
раздѣляющія боковыя ребра пополамъ; въ правильной призмѣ н правилъ*
ной пирамидѣ всякая плоскость, проходящая чрезъ ось и чрезъ радіусъ
или апоѳему основанія, есть плоскость симметріи, потому что дѣлить
основаніе пополамъ (§ 126, слѣдств. 5)
Если многогранникъ имѣетъ двѣ плоскости сиѵ-
__________ меіріи, то линія пересѣченія ихъ называется осью
у_________і е ' /\ симметріи.
I 1.  । д । Ось правильной призмы или пирамиды есть также
|Л	г^"	ЗІ	осъ симметріи, прямоугольный параллелепипедъ	АВ
}сі	1___I	(черг 304) имѣетъ три оси симметріи аЬ, сА	и еД
\у/	Г	представляющія линіи пересѣченія трехъ его	плос-
в	костей симметріи
Черт 304.
«а-чдая призма раздѣлится на три
§ 247. Теорема* Всякая діагональ-
ная плоскость АЕСС (черт 305)
дѣлитъ параллелепипедъ АСт на
дЛь треугольныя призмы АВСЕЕС
и АВСЕНСг симметричныя по
виду
Доказ Вообразимъ, что треуголь-
ныя призмы АВС ЕЕ С и АВСЕНС
раздѣлены изъ точекъ Е и Спа тре-
угольныя пирамиды Очевидно, чт ?
треугольныя пирамиды, которыя имѣ-
— 239 —
югъ соотвѣтственно равныя стороны; но какъ эти пирамиды не могутъ
быть совмѣщены, то онѣ симметричны (§ 245)» и потому и самыя треуголъ*
иыа призмы симметричны.
§ 248.	Симметрія но виду и по положенію встрѣчается весьма часто въ
произведеніяхъ природы м искусства. Тѣло почти всѣхъ животныхъ со-
стоитъ изъ двухъ симметричныхъ частей. Растительное царство представ-
ляетъ замѣчательные примѣры симметріи: почти каждый цвѣтокъ имѣетъ
по крайней мѣрѣ одну плоскость симметріи.
Между каждымъ предметомъ и его изображеніемъ въ зеркалѣ есть кажу-
щаяся симметрія по виду м положенію.
Въ произведеніяхъ искусства мы встрѣчаемъ симметрію, напр. между
частями правильнаго зданія, моста, корабля, почти всей нашей мебели и
друг.
Правильны© многогранники
§ 249.	Правильнымъ многогранникомъ называется многогранникъ, кото-
раго всѣ ребра, стороны, плоскіе, двугранные и тѣлесные углы равны
между собою.
Изъ равенства сторонъ, реберъ и плоскихъ угловъ слѣдуетъ, что сто
роны правильнаго многогранника суть правильные многоугольники, равные
между собою.
Сторона правильнаго много рапника не можетъ имѣть болѣе пяти вер-
шинъ. Въ самоиъ дѣлѣ, такъ какъ каждый тѣлесный уголъ состоитъ, но
крайней мѣрѣ, нзъ трехъ плоскихъ угловъ, которыхъ сумма менѣе 44,
4 .
а угодъ правильнаго шестиугольника равенъ -^а, то очевидно, что изъ
правильныхъ шестиугольниковъ, а тѣмъ болѣе изъ правильныхъ иного-
угольииковъ, имѣющихъ большее число сторонъ, нельзя составить правиль-
наго многогранника. Правильные многогранники иогугь быть составлены
только изъ равностороннихъ треугольниковъ, квадратовъ в правильныхъ
пятиугольниковъ.
Изъ равностороннихъ треугольниковъ можно образовать три правиль-
ныхъ многогранника:
1.	Правильный четырегранникъ или тетраедръ (черт. 306), имѣющій 4
стороны, 6 реберъ и 4 тригранныхъ угла.
2.	Правильный осъмигранникъ или онтаедръ (черт. 307), ииѣющій 8 сто-
ронъ, 12 реберъ и 6 четыреграниыхъ угловъ.
3.	Правильный двадцатигранникъ или икосаедръ (черт. 308), имѣющій
20 сторонъ, 30 реберъ и 12 пятигранныхъ угловъ.
Многогранный уголъ, состоящій изъ равностороннихъ треугольниковъ
ъе можегъ имѣть болѣе пяти плоскихъ угловъ, потому чіо каждый изъ
2
ълхъ равенъ -^-4, и сумма шести такихъ угловъ равна 44.
— 240 —
Изъ квадратовъ можно образовать только одинъ правильный много*
гранникъ:
Черт. 306. Черт. 307. Черт. 309.
Черт. 308. Черт. 310.
4.	Правильный шестигранникъ или эксаедръ, т.-е ку&ь (черт. 309), имѣ-
ющій 6 сторонъ, 12 реберъ м 8 тригранныхъ угловъ.
Изъ правильныхъ пятиугольниковъ также можетъ быть составленъ только
одинъ правильный многогранникъ.
5.	Правильный дегьнадцагпшраямихл или додекаедръ (черт. 310), имѣк>
щій 12 сюровъ, 30 реберъ н 20 тригранныхъ угловъ.
Итакъ, правильныхъ многогранниковъ можетъ быть только пять; тетра-
едръ, эксаедръ, октаедръ, додѳкаедръ и икосаедръ.
Черт. 311.
Черт. 312.
Черт. 313. Черт- 314.
Правильные многогранники имѣютъ весьма важное значеніе въ кристал*
лографіи.
241
Кромѣ правильныхъ многогранниковъ встрѣчаются при изученіи кри-
сталловъ нѣкоторые многогранники, не удовлетворяющіе условіямъ пра-
вильнаго многоіранника, во представляющіе тѣмъ ве менѣе нѣкоторую
правильность по наружному вичу; таковы:
1.	Октаедръ, состоящій изъ двухъ правильныхъ и раввыхъ пирамидъ
съ квадратнымъ основаніемъ (черт. 312).
2	Треугольный додекаедръ, состоящій изъ двухъ правильныхъ в равныхъ
пирамидъ съ правильнымъ шестиугольнымъ основаніемъ (черт. 314).
3.	Ромбоидальный додекаэдръ, ограниченный 12 равными ромбами
(черт. 313).
4.	Трапецоэдръ, котораго 24 стороны суть равные четыреугольники, на-
зываемые въ кристаллографіи трапецоидами (черт. 311).
Подобіе многогранниковъ.
§	250. Два четырегранника, которыхъ двугранные углы соотвѣтственно
равны и одинаково расположены, называются подобными.
Пусть будутъ 8АВС в ОВМЯ (черт. 315) два подобныхъ четырѳграв-
Черт. 315.
ника. Вслѣдствіе равенства двугранныхъ угловъ и триграниые ихъ углы
соотвѣтственно равны.
Если же на ребрахъ 8А, 8В»8С отложимъ части 5Лі=0Д 8В^=0М
в 8Сі= ОХ, то составится четырегранникъ ВА^С^ котораго стороны
соотвѣтственно равны сторонамъ четырегранника ОВЛІУ, и потому эти
четырегранники равны между собою (§ 238, слѣд. 2). Вслѣдствіе этого
триграавыѳ углы С, н 2Ѵ равны, а потому
я /.ВіСі.8— / ТО — ВС8\ это значитъ, что линіи А& и СіВг со-
отвѣтственно параллельны линіямъ АС и ВС\ слѣд. н плоскости А1В&
п АВС параллельны между собою.
Изъ этого слѣдуетъ:
1.	Сходственныя ребра подобныхъ четырегранниковъ пропорціональны
между собою и относятся, какъ высоты (§ 233).
А. Дакядовъ. Геометрія	16
— 242 —
2.	Сходственныя стороны подобны и площади ихъ относятся, какъ
квадраты сходственныхъ реберъ.
3.	Площади сходственныхъ сторонъ пропорціональны между собою.
§ 251.	Теорема. Два четырегранника подобны, когда имѣютъ по одной
подобной сторонѣ и по три двугранныхъ угла, прилежащихъ къ пей, со-
отвѣтственно равныхъ и одинаково расположенныхъ.
Положимъ, что въ четырегранникахъ 8АВС и ОЪМѴ (черт. 315) тре-
угольники АВС и ВМЯ подобны, и прилежащіе двугранные углы соотвіт-
С
О
Черт. 315.
ственио равны и одинаково расположены; требуется доказать, что двугран-
ные утлы соотвѣтственно равны между собою,
Доказ. Очевидно, что тритранные углы А н Ъ равны, потому что имѣютъ
до равному плоскому углу, заключенному между двумя соотвѣтственно
равными и одинаково расположенными двугранными углами (§ 222). Рав-
нымъ образомъ тригранные углы В и С равны триграннымъ угламъ 2И и
ДГ. Изъ равенства же тригранныхъ угловъ слѣдуетъ равенство двугран-
ныхъ угловъ.
§ 252.	Теорема. Два четырегранника подобны, когда имѣютъ по равному
двугранному углу, заключенному между двумя соотвѣтственно подобными
и одинаково расположенными сторонами-
Положимъ, что въ четырегранникахъ 8АВС н ОВЫЯ (черт. 315) двугр.
требуется доказать, что вти четырегранники подобны.
Доказ. Тритранные углы А и Ъ равны, потому что имѣютъ по равному
двугранному углу, заключенному между двумя соотвѣтственно равными
н одинаково расположенными плоскими углами (§ 221). По той же при-
чинѣ равны и тритранные углы 8 и 0. Изъ этого слѣдуетъ, что двугран-
ные утлы, прилежащіе въ треугольнику А8В, равны двуграннымъ угламъ,
прилежащимъ къ треугольнику ЬОМ\ а такъ какъ эти двугранные углы
— 243 —
одинаково расположены, то четырегранники 8АВС и ОЬЛГЛТ ио преды-
дущему § подобны.
§ 253.	Теорема. Два четырегранника подобны, когда имѣютъ по три
подобныхъ и одинаково расположенныхъ стороны.
Положимъ, что въ четырегранникахъ 8АВС и ОЪМК (черт. 315) тре-
угольники АВВ, В8С и С8А соотвѣтственно подобны треугольникамъ
ЬОЗІ, МОЯ и ЛГОЕ и одинаково съ нпми расположены; требуется до-
казать, что ети четырегранники подобны.
Доказ. Очевидно, что триграаные утлы 8 н О равны, потому что со-
ставлены изъ равныхъ и одинаково расположенныхъ плоскихъ угловъ
(§ 220); слѣд. двугр. уголъ В8А С=двугр. углу МОВУ, и потому четыре-
гранники 8АВС и 0ВМ№, имѣя по равному двугранному углу, заклю-
ченному между двумя соотвѣтственно подобными сторонами, по предыду-
щему § подобны.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что если четырегранникъ З'ЛВС
(черт. 315) пересѣчемъ плоскостью А^Сі параллельною основанію АВС,
то отсѣченный четырегранникъ ЗАіВДД будетъ подобенъ всему четыре-
граннику.
§ 254.	Два многогранника, состоящіе изъ одинаковаго числа подобныхъ
я подобно расположенныхъ четырегранниковъ, называются подобными.
Очевидно, что въ подобныхъ многогранникахъ двугранные углы соот-
вѣтственно равны и одинаково расположены.
Теорема. Въ подобныхъ многогранникахъ сходственныя стороны по-
добны.
Доказ. Подобные многогранники состоятъ азъ подобныхъ четырегран-
яиковъ; слѣд, сходственный стороны раздѣлятся на треугольники взаимно
подобные и одинаково расположенные, а потому эти стороны будутъ много-
угольники соотвѣтственно подобные.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ что въ подобныхъ иногогранникахъ:
1.	Сходственные многогранные углы равны, потому что они составлены
изъ соотвѣтственно равныхъ и одинаково расположенныхъ плоскихъ м
двугранныхъ угловъ.
2.	Сходственныя ребра и діагонали пропорціональны.
3.	Сходственныя стороны относятся какъ квадраты сходственныхъ
реберъ.
4.	Поверхности относятся какъ квадраты сходственныхъ реберъ.
§ 255.	Теорема. Двѣ пирамиды подобны, когда ихъ основанія подобны
ы.онп имѣютъ по двп> смежныя стороны, соотвѣтственно подобныя и
одинаково расположенныя.
16*
— 244 —
Положимъ тто въ пирамидахъ 8АВСВЕ и заЪв&с (черт. 316) много-
угольникъ АВСВЕ подобенъ многоугольнику аЬсйе, треугольникъ А8В—
Черт. 316.
треугольнику азЬ в треугольникъ В8С — треугольнику Ъзс', треоуется до-
казать, что эти пирамиды подобны.
Доказ, Проведя діагональныя плоскости АЗС, А8В и азс, аз<і, нахо-
димъ, что четырегранники 8АВС и ваЬс подобны, потону что имѣютъ по
три соотвѣтственно подобныхъ н одинаково расположенныхъ стороны, а
именно стороны, составляющія тригранные углы В и Ь (§ 253).
Изъ подобія этихъ четырегранниковъ слѣдуетъ, что двугранный уголъ
&АСЛ®=двугр. угл. засі. а такъ какъ стороны, заключающія этп дву-
гранные углы, соотвѣтственно подобны и одинаково расположены, то*
четырегранники 8АСВ и засі также подобны.
Такамъ же образомъ доказывается подобіе другихъ четырегранниковъ.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что если пираияду пересѣчемъ пло-
скостью, параллельной основанію, то отсѣченная пирамида будетъ подобна
всей пирамидѣ
§ 256.	Теорема. пирамиды подобны, когда ихъ основанія подобны,
и онгъ имѣютъ по одной сходственной сторонѣ, подобной и одинаково
наклоненной къ основанію.
Положимъ, что въ пирамидахъ 8АВСВЕ и заЪсйе (черт. 316) много-
угольникъ АВСВЕ подобенъ многоугольнику аЪсде, треугольникъ А8В—
треугольнику азЬ, и что двугр. угл. 5Л2?С= двугр. угл. заЪс; требуется
доказать, что эти пирамиды подобны-
Доказ. Проведя діагональныя плоскости АЗС, А8В и азс, азИ, нахо-
димъ, что четырегранники 8АВС н заЪс подобны, потому что ииѣють
по равному двугранному углу, заключенному между двумя подобными и
одинаково расположенными сторонами (§ 252). Изъ этого слѣдуетъ что,
треугольники В8С и Ьзс подобны, апотому, пирамиды 8АВСВЕ и «аЬсгіе
по предыдущему § подобны.
ГЛАВА 1Г.
Измѣреніе объемовъ тѣла.
Объемъ параллеіепипеда, призмы я пирамиды. Объемъ подобныхъ много
граааиБовъ. Задачи.
Объемъ параллелепипеда, призмы и пирамиды.
§ 257.	Пространство, занимаемое какимъ-нибудь тѣломъ, назы-
вается его объемомъ. Измѣрить объемъ какого-нибудь тѣла значитъ
сравнить его съ тѣломъ, объемъ котораго принятъ за единицу.
За единицу объемовъ принимаютъ кубъ, котораго измѣренія суть
линейныя единицы. Такой кубъ называется кубической единицею.
Такъ, напр., если за линейную единицу принимаемъ футъ, то еди-
ницею объемовъ будетъ кубическій футъ, т.-е. кубъ, каждое ребро
котораго равняется одному футу.
Два тѣла, имѣющія равные объемы, называются равновеликими.
§ 258.	Теорема. Объемъ двухъ прямоугольныхъ параллелепи-
педовъ, имѣющихъ одинаковое основаніе, относятся между собою
какъ высоты.
Положимъ, что АО и АУ (черт. 317) суть два прямоуголь-
ныхъ параллелепипеда, имѣющихъ общее осно-
ваніе АО, требуется доказать, что
АО_=АЕ
АУ~~ АЬ
Докая. Разсмотримъ два случая:
І-й случай, Положимъ, что высоты АЕ
и АЬ соизмѣримы, и общая мѣра содержится т разъ въ АЕ
— 2-16 —
лт	АЕ тп г
я п разъ въ Л,, такъ что	Если чрезъ точки цѣле-
нія линіи АЕ вообразимъ плоскости, параллельныя Основанію,
то параллелепипеды АО и АУ раздѣлятся на т и п примо-
угольныхъ параллелепипедовъ, равныхъ между собою (§ 227);
, АО т	АО АЕ
ийд“- 2№Ѵ’ 0ПОтету 2.ѵ=2Г
5-й случай. Положимъ, что высоты АЕ и АЕ (черт. 318)
Черт. 318
большую линію Ах,
двухъ параллелепипедовъ АО и АУ не-
соизмѣримы, и докажемъ, что отношеніе
АО	,	,
—Ѵт не можетъ быть ни меньше ни боль-
АУ
 АЕ п
ше отношенія• Въ самомъ дѣлѣ, ес-
АО .АЕ
ли -гт’<ч~7т ’ вмѣсто АЬ возьмемъ
ЛА АЬ
. АО АЕ п
такъ чтооы	• Раздѣлимъ ЛИНІЮ
АЕ на такое число равныхъ частей, чтобы каждая часть была
меньше Ьх\ тогда по крайней мѣрѣ одна изъ точекъ дѣленія упа-
цеть между Ь и ж; положимъ, что § есть такая точка. Вообразивъ
чрезъ плоскость параллельную основанію, составимъ па-
раллелепипедъ АВ. котораго высота соизмѣрима еъ высотою па-
раллелепипеда АО', слѣдоват. по предыдущему имѣемъ
Я О АЕ
АВ АЦ ’
Если эту пропорцію раздѣлимъ почленно на допущенную памв
АО АЕ
пропорцію 7ѵв7-» то получимъ пропорцію
Я. 2»
АУ___Ах
АВ. А$ ’
которая невѣрна, потому что
42--
1.
— 247
тт	_	.	.1 Сг , ЛГ;
Изъ этого слѣдуетъ, что предположеніе ^ѵ<- несправедливо.
Подобнымъ же образомъ можно обнаружить несправедливость
. А(К АЕ	АО АЕ
предположенія	а взъ зтого слѣдуетъ, что --у =	♦
§ 259. Теорема. Объемы двухъ прямоугольныхъ параллелепи-
педовъ, имѣющихъ равныя высоты, относятся какъ площади ихъ
основаній.
Черт. 319.
Положимъ, что прямоугольные параллелепипеды АО и Г5
(черт. 319) имѣютъ равныя высоты АЕ и требуется доказать,
АО _АВСР
Ь8 ІЛІЕР'
что
Доказ. Вообра.?нігъ прямоугольный яаралллгвпяпедъ ау, который
имѣетъ ту же высоту, какъ параллелепипеды АО и Ь8, но въ
которомъ аЬ = АВ, а Ьс = ШІ. Если въ параллелепипедахъ АО
и ад примемъ прямоугольники АЕ а а[ за основанія, и замѣтимъ,
что эти прямоугольники ло построенію равны, то находимъ (§ 258)
АО ^ВС
ад Ьс
Если же въ параллелепипедахъ Е8 и ад примемъ прямоугольники
М8 и Ьд за основанія' и замѣтимъ, что эти прямоугольники на
построенію равны, то находвмъ
— 248 -
ад __аД
Ь8~ ЬМ
Умноживъ почленно эту пропорцію иа предыдущую, найдемъ
АС _ВС. аЬ
Б8~Ъс. ІЛГ
Но такъ какъ по построенію аЪ^АВ а бе = 3/^ то про-
изведенія ВС.аЬ я Ъс.ЬМ выражаютъ площади основаній АВСВ
и ВМ2ТР\ слѣдов.
Л6 _ АВСВ
В8 ЬМ1\Р'
§ 260. Теорема. Объемы двухъ прямоугольныхъ параллелепипе-
дивъ, иміывщихъ разныя основанія и высоты, относятся какъ
произведенія площадей, основанія на высоты.
Положимъ, что параллелепипеды Р и Рг имѣютъ основаніями би бп
а высотами Л и \\ требуется доказать, что
_ Ъ.к
Р~\.К
Доказ. Вообразимъ третій параллелепипедъ который имѣлъ бы
основаніе Ь и высоту 7^, тогда (§§ 258, 259)
Р Ъ $ Ъ
2 — Л, и р, “ I, '
Перемноживъ почленно эти двѣ пропорціи, найдемъ
Р Ъ.к
Л " Л ’
§ 261. Теорема. Объемъ прямоугольнаго параллелепипеда рав-
няется произведенію площади его основанія на высоту.
Доказ. Положимъ, что прямоугольный параллелепипедъ Р имѣетъ
основаніе Ь и высоту Л, и пусть будетъ § кубическая единица.
По предыдущему § имѣемъ 77=-4“Т’ а такъ яанъ прини-
У 1.1
мается за единицу, то Р—Ь.к. Это значитъ, что число кубиче-
скихъ единицъ, заключающихся въ объемѣ прямоугольнаго парал-
249 —
делепипеда, равняется произведенію чиселъ, выражающихъ высоту
и площадь его основанія. Предложеніе это обыкновенно выражается
такъ: объемъ параллелепипеда равняется произведенію его основа-
нія на высоту.
Если чрезъ Л изобразимъ высоту пряиоугольнаго параллелепипеда,
а чрезъ I и т два другихъ измѣренія его, то І.т будетъ площадь
основанія; слѣд.
Р=к. I. т,
т.-е. объемъ прямоугольнаго параллелепипеда равняется произведенію
трехъ ею измѣреній.
Положимъ, напр., что высота
ВЕ прямоугольнаго параллеле-
пипеда СР (черт. 320) содер-
житъ пять единицъ, а два дру-
гія его измѣренія АВ и СВ
семь и три единицы, тогда объ-
емъ его будетъ равняться 5. 7. 3=	Черт. 320.
=105 кубическимъ единицамъ. Не трудно удостовѣриться въ
справедливости этого вывода, проведи изъ точки дѣленія каж-
дой изъ трехъ линій ВЕ, ВА и ВС плоскости, параллельныя
двумъ другимъ линіямъ: весь параллелепипедъ раздѣлится на 105
равныхъ кубовъ, изъ которыхъ каждый представитъ кубическую
единицу.
Очевидно, что объемъ куба, котораго ребро есть а, равняется
а8; вслѣдствіе этого третья степень какого-нябудь количества назы«
вается его кубомъ *).
•) Знаменитая въ древности задача удвоенія куба состоитъ въ опредѣленія
куба, объемъ котораго былъ бы вдвое болѣе объема даннаго куба. Если чрезъ а
означимъ ребро даннаго куба, а чрезъ х ребро искомаго, то а^=2аа, и отсюда
д—а? [/2. Слѣдовательно, ребро искомаго куба зависитъ отъ крраціональаон
величины |/2, который нельзя достроить съ помощью геометріи Евклида, т.-е.
съ пемоиью циркуляра а линейка, а потому геометрическое удвоеніе куба есть
•адача иеоозмопыая.
250 —
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что если отношеніе двухъ линейныхъ
7	а	г
единицъ а йЬ есть т, т.-е.г- = то отношеніе тѣхъ же кубиче-
о
скнхъ единицъ^ будетъ т3\ это значитъ: отношеніе кубическихъ
единицъ равняется третьей степени отношенія линейныхъ единицъ
Такъ, напр., отношеніе двухъ линейныхъ единицъ, фута и дюймаг
есть 12; отношеніе же кубическаго фута къ кубическому дюйму бу-
детъ 12я = 1728, т.-е. кубическій футъ содержитъ 1728 кубиче-
скихъ дюймовъ.
На этомъ основано раздробленіе кубическихъ единицъ.
§ 262.	Теорема. Параллелепипеды, имѣющіе общее основаніе и
равныя высоты, равновелики.
Положимъ что параллелепипеды АУ и АО (черт. 321) имѣютъ
одинаковое основаніе АС и равныя высоты; требуется доказать, что
эти параллелепипеды равновелики.
Черт. 321.
Доказ. Замѣтилъ, что верхнія основанія и Ебг двухъ па-
раллелепипедовъ лежать на одной плоскости, положимъ, во-пер-
выхъ, что линіи ЕН и Е(3г суть продолженія линіи ВР и МУ,
т.-е. что боковыя стороны АР и АН лежатъ въ одной плоскости,
такъ же какъ и боковыя стороны и 2?(?, или что оба па-
раллелепипеда заключены между двумя параллельными плоскостями
АН и ВО.
— 251
Яе трудно удостовѣриться наложеніемъ, что треугольныя
призиы МВРЬАЕ и УССіРВН равны. Въ самомъ дѣлѣ, па-
раллелограммы ЛЛ/ и /)ЛГ. а также параллелограммы АЕ и ВО
равны, какъ противоположныя стороны параллелепипеда, дву-
гранные же углы МВАЕ и ДТС2)?2, составленные плоскостями,
соотвѣтственно параллельными, также равны (§ 208, слѣдствіе).
Изъ этого слѣдуетъ, что если призму УСОРВИ вложимъ
въ призму МВЕЕАЕ такъ, чтобы ребро ВС совпало съ ребромъ
АВ и двугранный уголъ УСВН — съ двуграннымъ угломъ
МВАЕ. то параллелограммъ ВСг совпадаетъ съ параллелограм-
момъ АЕ и параллелограммъ І)У съ параллелограммомъ ЛЛ;
слѣдов. и самыя призмы совмѣстятся. Если отъ всего много-
гранника МАВО отнимемъ призму УСО-РВН,. то останется па-
раллелепипедъ АУ\ если отъ того же многогранника отнимемъ
равную призму МВЕЕАЕ, то останется параллелепипедъ АО.
Отсюда мы заключаемъ, что параллелепипеды АУ и АО равно-
велики.
Положимъ, во-вторыхъ, что параллелепипеды АУ
322;, имѣющіе одинаковое
основаніе АС и равныя вы-
соты, не заключаются между
двумя параллельными пло-
скостями. Продолживъ пло-
скости АН, ВО, СР, ВЕ и
ЕС, составимъ третій па-
раллелей. АВСІ)()Н$Т, ко-
торый имѣетъ общее основаніе
(черт.
АО
Черт. 322.
одинаковую высоту съ параллеле-
и
пипедами АУ и АО и заключается какъ съ первымъ, такъ и
со вторымъ между параллельными плоскостяии. Изъ этого слѣдуетъ,
что онъ равновеликъ какъ параллелепипеду АУ, такъ и паралле-
лепипеду АО, а потому параллелепипеды АУ и АО равновелики
между собою.
— 252 —
§ 263.	Теорема. Объемъ прямого параллелепипеда равняется
произведенію основанія на высоту.
А	д
Черт. 323.
Щсть будетъ АВСВЕЕСН (черт.
323) прямой параллелепипедъ; означимъ
площадь его основанія АВСВ чрезъ 6,
высоту его чрезъ Н и объемъ чрезъ Ѵ\
требуется доказать, что Ѵ=Ъ. к.
Доказ. Проведя чрезъ ребра АЕ и
ВН плоскости, перпендикулярныя къ
ребру АВ, составимъ прямоугольный
параллелепипедъ АРОВЕВ8Н, который
имѣетъ съ параллелепипедомъ АВСВЕЕСН одинаковую высоту
АЕ\ основанія же обоихъ параллелепипедовъ АРфВ и АВСВ
равновелики. Если же примемъ прямоугольникъ АЕНВ за
общее основаніе обоихъ параллелепипедовъ и замѣтимъ, что вы-
сота обоихъ въ этомъ случаѣ равняется ребру АР, то по предъ-
идущему § заключаемъ, что оба параллелепипеда равновелики. Не
объемъ прямоугольнаго параллелепипеда равняется Ъ.Н (§ 261);
слѣдов. объемъ прямого также будетъ равняться 6.Л, т.-е.
К=М.
§ 264.	Теорема. Объемъ всякаго параллелепипеда равняется
произведенію основанія на высоту.
Означимъ площадь основанія какого-нибудь параллелепипеда
чреаъ Ь, высоту его чрезъ Л и объемъ чрезъ К; требуется до-
казать, что Ѵ=Ь.к.
Доказ. Вообразивъ прямой параллелепипедъ, имѣющій то же
основаніе и ту же высоту, заключаемъ на основаніи § 262. что
зтн два параллелепипеда равновелики, а такъ какъ объемъ пря-
мого параллелепипеда по предыдущему § равняется Ь. К, то Ѵ—Ъ. И.
— 253 —
§ 265.	Теорема Мелкая наклонная призма равновелика прямой
призмѣ, высота которой равняется боковому ребру наклонной
призмы, а основаніе равно сѣченію, перпендикулярному т боко-
вымъ ребрамъ наклонной призмы.
Положимъ, что АВСВЕРСНІК (черт. 324)
есть наоопяая призма. Если иа ребрѣ АР и
на продолженіи его возьмемъ такія двѣ точки
И и Р, чтобы ВР—РА или РВ = АР. и
проведемъ чрезъ точки В и Р плоскость В8Т17Ѵ
и ІЛЛѴРф, перпендикулярныя къ боковымъ
ребрамъ, то составится прямоугольная призма
РМРРфВЗТѴѴ, которой высота ВР рав-
няется боковому ребру РА наклонзой призмы, а
основаніе ТМРР$ есть сѣченіе, перпендикуляр-
ное къ боковымъ ребрамъ наклонной призмы;
требуется доказать, что призмы АВСВЕРСНІК
и РМКРфВЗТѴѴ равновелики.
а
Ъ
Черт. 324.
в
Доказ. Замѣтимъ, что въ многогранникахъ ВН и ХС сторона
В8ТѴТ равна сторонѣ РМВТР$ и сторона Р'СНІК равна сто-
ронѣ АВСВЕ. Кромѣ того, боковыя ребра ихъ соотвѣтственно
равны. Въ самомъ дѣлѣ, линіи СН и АР какъ параллельный,
заключенныя между параллельными плоскостями, равны; также равны
и липіи ТР и ВР. Но такъ какъ АЕ=РВ, то НС=ТР.
Изъ итого слѣдуетъ, что НТ = СИ. Подобнымъ же образомъ до-
казывается равенство другихъ боковыхъ реберъ многогранниковъ
ВН и РС.
Вложимъ теперь многогранникъ ВН въ многогранникъ РС такъ,
чтобы сторона В8ТІІѴ совпала со стороною	Такъ какъ
боковыя ребра соотвѣтственно равны и перпендикулярны къ пло-
скости ХР, то они также совпадутъ, и потому многогранникъ ВН
совмѣстится съ многогранникомъ РС.
Если къ многограннику АВСВ прибавимъ часть ВН. то полу-
чимъ наклонную призму АВСВЕР&ШЕ, а если къ тому же много-
— 254 —
граннику АЛІЕВ прибавимъ часть ІС, то получимъ прямую призму
ЕМЕр^В8Р'ЦѴ> изъ этого слѣдуетъ, что наклонная и прямая
иризмы равновелики.
*
§ 266.	Теорема. Всякій параллелепипедъ дѣлится діагональною
плоскостью на двѣ равновеликія треугольныя призмы.
Положимъ, что АВСЛЕЕСН (черт. 325) есть какой-
нибудь параллелепипедъ и АЕСС діагональная плоскость;
требуется доказать, что призмы АЛО ЕНО и АВСЕЕѲ
равновелики.
с Доказ. Пусть будетъ ЕМЕР сѣченіе, перпендику-
0 ляряое къ боковымъ ребраиъ параллелепипеда. Вслѣдствіе
Черт. 325
параллельности противоположныхъ сторонъ параллелепи-
педа ЪМ || РЕ я ЕР || МЕ, а потому четыреугольникъ ЕМЕР
будетъ параллелограммъ, и слѣдов. треугольники ЕЕР и ЕМЕ
равны между собою. Изъ этого слѣдуетъ, что двѣ наклонныя тре-
угольныя призмы, на которыя раздѣляется параллелепипедъ, по пре-
дыдущему § равны двумъ прямымъ призмамъ, имѣющимъ одинаковую
высоту АЕ и равныя основанія ЕМЕ и ЕЕР\ а такъ какъ пря-
мыя призмы съ равными основаніями и равными высотами равны
(§ 227), то двѣ наклонныя треугольныя призмы АВСЕЕѲ и
АЛСЕВ.Ѳ равновелики.
8 267. Теорема. Объемъ треугольной призмы равняется произ-
веденію ея основанія на высоту.
Доказ. Пусть будетъ АМСЛЕЕ (черт. 326) какая-
нибудь треугольная призма. Дополнивъ треуголь-
никъ АМС до параллелограмма АМСР и построивъ
надъ этммъ параллелограммомъ параллелепипедъ
АМСРЛЕЕР, найдемъ по предыдущему §, что тре-
Черт. 326. угольная призма АМСЛЕЕ есть половина этого
нараАлелепипвда; а такъ какъ объемъ параллелепипеда равняется
— 255 —
произведенію основанія АМСР на высоту призмы, то объемъ
призмы АМСР1Е будетъ равняться половинѣ произведенія па-
раллелограмма АМСР на высоту призмы; но половина паралле-
лограмма АМСР есть треугольникъ АМС', слѣдов. о(^емъ тре-
угольной призмы равняется произведенію ея основанія на высоту.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ:
1.	Объемъ прямой треугольной призмы равняется произведенію ея
основанія на боковое ребро.
2.	Объемъ наклонной треугольной призмы равняется произ-
веденію перпендикулярнаго къ еа ребрамъ сѣченія иа боковое
ребро ея.
§	268. Теорема. Объемъ всякой многоугольной призмы равняется
произведенію ея основанія на высоту.
Доказ. Такъ какъ всякая многоугольная призма можетъ быть
раздѣлена діагональными плоскостями на треугольныя призмы, имѣю-
щія одинакія съ ней высоты, сумиа же основаній этихъ призмъ
равняется основанію многоугольной призмы, то заключаемъ, что
объемъ многоугольной призмы равняется суммѣ треугольниковъ, со-
ставляющихъ ея основаніе, умноженной на высоту, т.-е. произведе-
нію ея основанія на высоту.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ:
1.	Объемъ прямой призмы равняется произведенію ея основанія
на боковое ребро.
2.	Объемъ наклонной призмы равняется произведенію площади
перпендикулярнаго сѣченія на ребро.
3.	Объемы двухъ призмъ относятся между собою, какъ произве-
денія основаній на высоты.
4.	Объемы призмъ, имѣющихъ равныя высоты, относятся какъ
площади основаній.
5.	Объемы призмъ, имѣющихъ равновеликія основанія, относятся
какъ высоты.	I
§ 269.	Теорема. Двѣ треугольныя пирамиды, имѣющія равно-
Черт. 327.
нія щуіъ пирамидъ находятся
великія основанія и равныя высо-
ты, равновелики.
Положимъ, что треугольныя пи-
рамиды ВАВС и РЕАГК (черт.
327) имѣютъ равновеликія осно-
ванія АВС и ЬМИ и одинаковую
высоту, равную НА\ требуется
доказать, что пирамиды равнове-
лики.
Доказ. Положимъ, что основа-
въ одной плоскости.
Пусть эти пирамиды не равны, напр., первая больше второй, я
пусть разность между ними будетъ Р, такъ что
ВАВС—РІМГ=Р
Представимъ количество Рвъ видѣ произведенія площади треуголь-
ника АВС на нѣкоторою величину Л, т.-е. положимъ Р«= АВСР,
и раздѣлимъ высоту НА на столько ракныхъ частей НС, СР,
РЕ, ЕА, чтобы каждая часть была менѣе к. Если чрезъ точки
дѣленія 6г, Е, Е проведемъ плоскости, параллельныя основаніямъ
пирамидъ, то эти плоскости пересѣкутъ пирамиды по треугольникамъ
соотвѣтственно равновеликимъ, потому что эти треугольники по
§ 234 пропорціональны основаніямъ АВС и ХІИУ, е эти основанія
равновелики.
Вообразимъ надъ треугольниками въ пирамидѣ ВАВС рядъ вы-
ходящихъ призмъ т, іпи т.г, »»3, и падь треугольниками въ пира-
мидѣ РЪМН ридъ входящихъ призмъ п, пп я$. Изъ построенія
видно, что
8АВС<^т-\-ті~{-т2~{-т3 и РЕМН>п -р пг я2-
Отсюда заключаемъ, что'изъ двухъ разностей ВАВС—РЕМУ
— 257 —
я (т-\-т1-[-т2А~т.^—(«-}-«! -|-п2) первая имѣетъ меньшее умень-
шаемое и большее вычитаемое, чѣмъ вторая, а потому
8АВС— ІЧЛІ Е<(т |-т(-|-*пь-Ь»г3) — (п4~пі~к|^)-
Но призмы т9 и гг2, имѣющія равныя основанія и равныя высоты,
равновелика; по той же причинѣ равновелики а призмы т3 и »4
также призмы ті и п\ слѣдов., сокративъ, находимъ изъ предыду-
щаго неравенства
8АВС—
а такъ какъ т^АВС. АЕ, то 8АВС — РЕМЕ<АВС. АЕ
Но разность 8АВС—РЕАІЕ мы озпачили чрезъ Р, ила чрезъ
АВС. К\ слѣдов.
АВС. к<АВС. АЕ.	*
Сокративъ на АВС, получимъ к<САЕ, что противно положенію.
Йзъ этого слѣдуетъ, что пирамиды 8 АВС и РЕМЕ равновелики.
§ 270.	Теорема. Треугольная пирамида есть третъ призмы
имѣющей съ нею равновели-
кое основаніе и равную вы-
соту.
Положимъ, что треуголь-
ная пирамида РЬМУ н тре-
угольная нризма АВСЕЕС
(черт. 328) имѣютъ равнове-
Черт. 328.
линія основанія ЕМЕ и АВС и одинаковую высоту 6г0\ требуется
доказать, что РЕМЕ ~-^-АТіСЕЕ(х.
Доказ. Проведя въ призмѣ АВСЕЕС плоскости АСВ и ЕСВ,
раздѣлимъ ее на три треугольныя пирамиды (лАвС, САЕВ и
СВЕЕ. Такъ какъ треугольники ЕМЕ и А ВС по положенію равно-
велики и высоты двухъ пирамидъ РЕМЕ и САВС равны, то этв
пирамиды по предыдущему § равновелики. По той же причинѣ равно-
велики и пирамиды РЕМ.Е и ВЕЕС.
П
Дввидоя-ь. Гѳоаѵтріл.
Если же примемъ треугольникъ ВЕЕ за основаніе и точку 6г за
вершину пирамиды ВЕЕО,
треугольникъ АЕВ за осно-
ваніе и точку О за вершину
пирамиды ОАЕВ, то оче-
видно, что зти двѣ пирами-
ды, имѣя равныя основанія а
равныя высоты, будутъ также
равновелики.
Отсюда мы заключаемъ, что призма АВСЕЕО состоитъ изъ трехъ
пирамидъ, равновеликихъ между собою и равновеликихъ пирамидѣ
РЪМЕ\ слѣдов., пирамида РѣМЕ есть третья часть призмы
лвс&'а.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что объемъ всякой треугольной
пирамиды равняется одной трети произведенія ел основанія на
высоту.
§ 271.	Теорема. Объемъ многоугольной пирамиды равняется
одной трети произведенія ея основанія на высоту.
Доказ. Такъ какъ всякая многоугольная пирамида можетъ быть
раздѣлена діагональными плоскостями па треугольныя пирамиды,
имѣющія одинаковую съ нею высоту, сумма же основаній этихъ пи-
рамидъ равняется основанію многоугольной пирамиды, то объемъ
многоугольной пирамиды равняется одной трети суммы треугольни-
ковъ, составляющихъ ея основаніе, умножеппой на высоту, т.-е.
одной трети произведенія ея основанія на высоту.
Если чрезъ V означимъ объемъ пирамиды, чрезъ В и В ея осно-
„ В. Н
ваше и высоту, то	‘
Изъ этого предложенія слѣдуетъ:
1.	Всякая пирамида есть треть призмы, имѣющей съ ней равную
высоту и равновеликое основаніе.
— 259
2.	Объемы двухъ пирамидъ относятся, какъ произведенія ихъ осно-
ваній на высоты.
3.	Объемы двухъ пирамидъ съ равными высотами относятся, калъ
ахъ основанія.
4.	Объемы двухъ пирамидъ съ равновеликими основаніями отно-
сятся, какъ ихъ высоты.
§	272. Теорема. Объемъ усѣченной треугольной пирамиды рав-
няется суммѣ объемовъ трехъ треугольныхъ
пирамидъ, имѣющихъ высоту общую съ усѣ-
ченной пирамидою, а основанія: первая-—ниж-
нее, вторая—верхнее основаніе усѣченной пи-
рамиды, а третья—среднее пропорціональное
между ними.
Пусть будетъ АВСВЕЕ (черт. 329) усѣ-
с
Черт. 329.
ченная треугольная пирамида; требуется доказать, что она равна
суммѣ трехъ пирамидъ одинаковой съ нею высоты, основаніями ко-
торыхъ будутъ треугольники ЛВС, ВЕЕ и средній пропорціональ-
ный между нимн.
Доказ. Проведя плоскости АЕВ и ВЕВ, раздѣлимъ усѣченную
пирамиду на три треугольныя пирамиды ЕАВС, ВВЕЕ и ЕАВВЬ
изъ которыхъ первыя двѣ имѣютъ высоту общую съ усѣченной
пирамидою, а основаніями—нижнее и верхнее основанія усѣченной
пирамиды.
Проведя въ плоскости АВЕС линію ЕС параллельно лиши ЛР,
доставимъ пирамиду О АВВ, имѣющую одинаковое основаніе АВВ
съ третьею пирамидою ЕАВВ м равную съ ней высоту, потому
что вершины Е и О лежатъ на линіи, параллельной плоскости
АВВ\ слѣдов. эти пирамиды равновелики. Принимая треугольникъ
АВВ за основаніе и точку В за вершину пирамиды ОАВОУ дэмю.
чаемъ, что третья изъ пирамидъ, на которыя раздѣлилась усѣчен-
ная, равновелика пирамидѣ, имѣющей высотою высоту усѣченной
«ирамиды, а основаніемъ треугольникъ АВВ. Но треугольникъ
17*

— 260 —
АВС есть средній пропорціональный между треугольниками АВС и
ВЕР. Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ треугольники АВС и АВСг
имѣютъ общую вершину В и различныя основанія АС и А(х, то
с
Черт. 329.
АВС АС .п 1 ...	,	. п л.
(§ 141, слѣдствіе 4). Замѣтивъ
притомъ, что въ треугольникахъ ОАВ и РВЕ
углы А и В равны (§ 204) и А О—ВР (§ 37)
Ав.АВ АВ
находимъ (§ 148) ПКВЁГ ВЕ
Такъ какъ треугольн. АВС и ВЕР подобны,
АВ АС АС ж АВС АВС
10 ВЕ~ВЕ~АСР Ыѣд0В- АВѲ~ВЕР'
Если означимъ высоту усѣченной пирамиды чрезъ й, нижнее
и верхнее основанія ея чрезъ В и Ь, то объемъ ея выразится
чрезъ
4’ (В+Ь+/В.Ь).
Теорема, доказанная въ этомъ § для усѣченной треугольной пи-
рамиды, справедлива также для всякой усѣченной многоугольной
пирамиды. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ ЪМЯРділппря (черт. 297)
какая-нибудь усѣченная пирамида;
на плоскости ея основанія вообра-
зимъ треугольникъ АВС, равнове-
ликій мноі оугольнику ІЛЛѴРф, и
построимъ треугольную пирамиду
АВС8, имѣющую одинаковую вы-
соту съ многоугольной ЕМЯР$О\
Черт. 297.	наконецъ положимъ, что плоскость
Ітпрд пересѣчетъ треугольную пирамиду по треугольнику аЬс. По
§ 234 треугольникъ аЪс и многоугольникъ Ітпрц равновелики, а
изъ § 269 слѣдуетъ, что треугольныя пирамиды АВС8 и аЬс8 со-
261
отвѣтственно равновелики многоугольнымъ пирамидамъ ЕМЕР()О в
ІтпрцО. Отсюда заключаемъ, что усѣченныя пирамиды ВМНРЦітпрц
я АВСаЪс равновелики. Если же означимъ высоту усѣченной мно-
гоугольной пирамиды чрезъ Н, нижнее н верхнее основанія ея чрезъ
В и Ь и объемъ ея чрезъ И, то по предыдущему объемъ усѣченной тре-
угольной пирамиды выразится чрезъ	слѣдов.
г= 3"(В4-Ь+/ В.Ь).
§	273. Теорема. Усѣченная треугольная призма состоитъ изъ
трехъ пирамидъ, имѣющихъ общее съ нею основаніе^ а вершины—
п трехъ вершинахъ непараллельнаго сѣченія.
Положимъ, что АВ СТ)ЕР (черт. 330) есть
/’7 усѣченная треугольная призиа; требуется до-
/\/ I казать, что она равна суииѣ трехъ пирамидъ.
/ Ѵ/'Т'хХ I имѣющихъ общее съ нею основаніе АВС, а
/Х’\ I / 'X/ вершины въ точкахъ В, Е и В.
дЕ-__-V/ (-.
Доказ. Проведя плоскости АЕВ и АЕЕ,
с	раздѣляемъ усѣченную призму на три тре-
Черт. ззо. угольныя пирамиды ЕАВС, ЕАЕВ и ЕАЕВ.
Первая изъ нихъ имѣетъ основапіеиъ АВС, а вершиною точку Е.
Вторая равновелика пирамидѣ САЕВ, имѣющей общее съ нею осно-
ваніе АЕВ и равную съ нею высоту, такъ какъ обѣ вершины Е
и С лежатъ па линіи ЕС, параллельной основанію. Если же при-
мемъ треугольникъ АВС за основаніе и Е за вершину пирамиды
САВЕ, то очевидно, что вторая пирамида равновелика пирамидѣ,
имѣющей основаніе АВС и вершину въ точкѣ Е.
Наконецъ, третья пирамида ЕАВЕ равновелика пирамидѣ СВ А В,
потому что онѣ имѣютъ равновеликія основанія АВЕ и АВВ и
— 262 —
равныя высоты, такъ какъ обѣ вершины С и Р лежатъ па линіи,
параллельной основанію. Если же примемъ треугольникъ АВС аа
основаніе и точку В за вершину пирамиды САВВ, то заключимъ,
что третья нираиида равновелика нираиидѣ, имѣющей основаніе АВС
и вершину въ точкѣ В.
Итакъ, усѣченная призма состоитъ изъ- трехъ пирамидъ, которыя
имѣютъ общимъ основаніемъ АВС и вершины иъ трехъ точкахъ
Р, Е и В.
Означимъ основаніе призмы чрезъ Ь и чрезъ I, т и п перпен-
дикуляры, опущенные на него нзъ точекъ I), Р а Е; тогда объ-
емъ усѣченной призмы выразится чрезъ (?-|-т-|-я)- Ьъ случаѣ пря-
мой усѣченной призиы боковыя ребра ея будутъ высотами трехъ
пирамидъ, изъ которыхъ она состоитъ, и такъ какъ въ этомъ слу-
чаѣУ=!^І2 есть средняя ариѳметическая нзъ этихъ реберъ, то изъ
втого слѣдуетъ, что прямая усѣченная треугольная призма равно*
велика призмѣ, имѣющей основаніе общее съ усѣченной, а высоту—
среднее ариѳметическое изъ боковыхъ реберъ первой.
§ 274. Теорема. Объемъ
прямого усѣченнаго параллелепипеда (ч. 331)
АВСВЕЕСН равняется произведенію осно-
ванія АВСВ на среднее ариѳметическое
изъ двухъ противоположныхъ боковыхъ ре-
беръ.
Доказ. Усѣченный параллелепипедъ АС
состоитъ изъ двухъ усѣченныхъ треуголь-
ныхъ призмъ АВВЕЕН и В СВРСН,
и потому объемъ усѣченнаго параллелепи-
педа равняется:
ВР+ВП+ ВВ+ С6+ ВН} =.
~-(АК^СГ;+2ВРА-2ВН'і.
— 263 —
Замѣтивъ, что въ четыреугольникѣ ЕЕСН противоположныя стороны
яараллѳльиы (§ 201, слѣдствіе I), что слѣдов. этотъ четыреугольникъ есть
параллелограммъ, проведемъ діагональныя плоскости ЕС и ЕВ. Такъ
какъ линіи ЕС и ЕН, АС к ВР дѣлятся пополамъ, то _Р@ есть средняя
линія двухъ трапецій ЛЕСС и ВЕНВ, а потому
АЕ+СС -ВЕ+БН
1	2	~	2
слѣдов. ЛЕ+СС^ВЕ±ВН.
Поэтому объемъ усѣченнаго параллелепипеда равняется
-Ц;7'(ЗЛЛ'+3/>/і)^ЛЛЛ.(Л/<’4-/)И),
а такъ какъ	то объемъ этотъ выразится чрезъ
АВСО.ВЦОН.
Объемы подобныхъ многогранниковъ.
§ 275. Теорема. Объемы двухъ треугольныхъ пирамидъ, имѣющихъ
общій тригранный уголъ, относятся между собою, какъ произведенія ре-
беръ сходящихся въ вергиинѣ этою триграннаго угла.
Положимъ, что 8АВС и 8аЪс (черт. 332) суть
двѣ пирамиды, имѣющія общій триграиный уголъ
5; требуется доказать, что
8АВС_8А.8В.8С
8аЬс 8а.8Ь.8с. *
Доказ. Соединивъ точку с съ точками А и В,
и замѣтивъ, что треугольныя пирамиды А8ВС
в А8Вс имѣютъ общую вершину Л, а основанія
ихъ 8ВС и 8Вс лежатъ въ одной плоскости, за
ключаемъ, что
8АВС ВВС
Черт. 332.
8АВс~ 8Вс'
Но треугольники 8ВС и 8Вс имѣютъ общую вершину В, слѣдов.
ВВС
8Вс
8С	8АВС 8С
а потому— —ёг‘
8с ’	} 8АВс 8с
Далѣе треугольныя пирамиды 8АВс и ЗаЪс имѣютъ общую вершину о,
а основанія ихъ АВ8 и аЬ8 лежатъ на одной плоскости; слѣдов.
8АВс _ АВ8
8аЪс аЬ8
Но такъ какъ треугольники АВ8 и «55 имѣютъ общій уголъ А8В, то
АВ8 8А.В8
аЪ8 8а. 8Ь ’
и иотому
8АВс_8А.8Вг
ЗаЪс 8а. 8Ь
— 264
Умноживъ почленно это уравненіе на предыдущее, найдемъ
8АВС = ЯА.ЗВ.ЗС^
8аЬс “ 8а.8Ь.8с
§ 276. Теорема. Объемы двухъ подобныхъ четырегранниковъ относят-
ся, какъ кубы сходственныхъ реберъ.
Пусть будутъ 8АВС и ОХЛЛУ (черт. 315) два иодобныхъ четырегран-
ники; требуется доказать, что
8АВС __ 8А*
ОЬМВ~ ОІА
Доказ. Въ иодобныхъ четырегранни-
кахъ 8АВС и ОЪМИ триграиные углы
8 и О равны; слѣдов. (§ 275).
8АВС _ 8А.8В.8С
ОЬМВ~ ОѢ.ОМ. ОВ'
Но такъ какъ сходственныя ребра пропорціональны, то
8В_8С
0В~ ОМ~ О1Ѵ’
и иотому
8АВС	8 А*
ОІМ	О ІА
Теорема. Объемы двухъ подобныхъ многогранниковъ относятся какъ
кубы сходственныхъ реберъ.
Доказ. Раздѣливъ подобные многогранники на подобные и одинаково
расположенные четырегранники (§ 254), и означивъ объемы ихъ соотвѣт-
ственно чрезъ Уп К2, У8,.... Ѵі, ѵа, ѵ3,.... и чрезъ А и а два какихъ-ии-
будь сходственныхъ ребра, находимъ по предыдущему
' а3'
слѣдов.
Гі + Уі + Уз-..^
Ѵі4- ѵ* 4~ «’»—	°8
Задачи.
233.	Опредѣлить сторону куба, равновеликаго параллелепипеду, котораго
измѣренія 80, 40 в 20.
284.	Опредѣлить объемъ воздуха, заключеннаго въ прямоугольное ком-
натѣ, которой длина 80,42 ф., ширина 28,30 Ф-, а высота 14,15 ф,
235.	Прямоугольный бассейнъ, длиною въ 6,5 ф., шириною въ 4,4 ф. в
265 —
гхуОииою въ 2,7 ф., наполненъ водою до у высоты; сколько кубическихъ
футовъ воды содержится въ немъ?
236.	Найти объемъ и боковую поверхность правильной шестиугольной
пирамиды, высота которой Н равна 63, а радіусъ К круга, описаннаго
около основанія ея, равенъ 17.
237.	Высота усѣченной пирамиды равна И, сходственныя стороны ея
основаній относятся какъ т: п; раздѣлить усѣченную пирамиду на двѣ
равновеликія части плоскостью, параллельною основаніямъ.
238.	Раздѣлить поводамъ пирамиду плоскостью, параллельною основанію.
239.	Раздѣлить пирамиду 8АВС иа двѣ части въ отношенія т : п пло-
скостью, проходящею чрезъ одно изъ реберъ ея.
240.	До даииой высотѣ Н усѣченной пирамиды и но двумъ ея основа-
ніямъ В и Ь опредѣлить объемъ полной пирамиды п отсѣченной часта ея.
ГЛАВА V.
О тѣлахъ круглыхъ.
О цилиндрѣ я конусѣ. О шарѣ. О сферическомъ треугольникѣ. Подобіе круг-
лыхъ тѣлъ. Коническія сѣченія. Задачи.
О цилиндрѣ и конусѣ.
§ 277.	Если прямоугольникъ АВЯМ (черт. 333) будемъ обра-
щать около одной изъ его сторонъ АВК, которая
будетъ оставаться неподвижною, то образуется тѣло
АВСВ, называемое прямымъ круглымъ цилин-
дромъ. Неподвижная сторона АТУ называется осью,
сторона АВ — образующею линіею, круги, опи-
санные сторонами МА и Л’В, — основаніями^ а
Черт. 333
разстояніе между ними, т.е. длина оси,—высотою цилиндра
Можно также образовать прямой круглый цилиндръ движеніемъ
прямой АВ (черт. 333), яонецъ которой В скользилъ бы по окруж-
ности круга, между тѣмъ какъ она сама оставалась бы перпендику-
лярною къ плоскости круга.
— 266 —
Цилиндргіческою поверхностью вообще называютъ поверхность
Черт. 334.
в
(черт. 334), образованную движеніемъ прямой
АВ, копецъ которой В скользитъ по какой-ни-
будь кривой линіи ВВС, между тѣмъ какъ она
перемѣщается параллельно самой себѣ. Но въ эле-
ментарной геометріи изъ всѣхъ цилиндрическихъ
поверхностей разсматривается только поверхность
прямого круглаго цилиндра, а потому въ элемен-
тарной геометріи его просто называютъ цилинд-
ромъ.
§ 278.	Если въ основаніе цилиндра впишемъ, а около него опи-
шемъ правильные многоугольники, и примемъ ихъ за основанія
прямыхъ призмъ, одинаковой высоты съ цилиндромъ, то, очевидно,
объемъ цилиндра будетъ меньше объеиа описанной и больше объема
вписанной призмы. При увеличеніи же числа сторонъ многоугольни-
ковъ разность между объемами описаппой и вписанной призмъ без-
предѣльно уменьшается и можетъ быть сдѣлала меньше всякой ве-
личины. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ Н высота цилиндра,
В я Ь площади основаній описанной и вписанной призмы, тогда
разность объемовъ двухъ призмъ будетъ Н. {В — Ъ). По мѣрѣ
увеличенія числа сторонъ многоугольниковъ разность (В — Ъ) без-
предѣльно уменьшается (§ 174), и потому и Н. (В — Ъ) будетъ
безпредѣльно уменьшаться. Такъ какъ объемъ цилиндра боль-
ше объема вписанной и меньше объема описанной призмы, то
еъ увеличеніемъ числа сторонъ многоугольниковъ вписанная и
описанная призмы безпредѣльно приближаются къ цилиндру, и
потому цилиндръ есть предѣлъ вписанныхъ и описанныхъ призмъ.
Означимъ чрезъ Р и р периметры описаннаго и вписаннаго много-
угольниковъ; поверхность описанной призмы будетъ Р. И, по-
верхность вписанной р. II. Съ увеличеніемъ числа сторонъ много-
угольниковъ Р уменьшается, а р увеличивается (§§ 131 и 132);
— 267 —
слѣд., поверхность описанпой призмы будетъ уменьшаться, а по-
верхность вписанной увеличиваться. По съ возрастаніемъ числа
сторонъ многоугольниковъ, призмы приближаются къ совпаденію съ
цилиндровъ; слѣд. поверхность описанпой призмы приближается къ
иоверхности цилиндра, уменьшаясь, а поверхность вписанной—уве-
личиваясь. Это апатитъ, что поверхность цилиндра меньше поверх-
ности описанной м больше поверхности вписанной призмы. Разность
же между поверхностями двухъ призмъ можетъ быть сдѣлана менѣе
всякой величины, потому что вта разность равна Н. (Р—р), а
Р—р безпредѣльно уменьшается съ возрастаніемъ числа сторонъ
многоугольниковъ (§ 175). Изъ этого мы заключаемъ, что поверх-
ность цилиндра больше поверхности вписанной и меньше поверхности
описанной призмы, и что разпость между поверхностями цилиндра и
призмъ можетъ быть сдѣлана меньше всякой величины. Итакъ, по-
верхность цилиндра есть предѣлъ поверхностей вписанныхъ и
описанныхъ призмъ.
§ 279.	Прямоугольный треугольникъ АВС (черт. 335), обра-
щаясь около одного нзъ свонхъ катетовъ ЛД ко-
торый остается неподвижнымъ, образуетъ тѣло
АСВ, называемое прямымъ круглымъ конусомъ.
Неподвижная сторона АВ называется осью и так-
же высотою, сторона А С—образующею линіею,
кругъ ВС, описанный движеніемъ катета ВС, —
основаніемъ, а точка А—вершиною копуса
Черт. 335.
Можно также образовать прямой круглый конусъ движеніемъ
прямой АС, одинъ конецъ которой скользилъ бы по окружности
круга, между тѣмъ какъ другой конецъ А оставался бы непо-
движнымъ ва перпендикулярѣ, возставленномъ къ кругу въ
центрѣ его.
— 268 —
Черт. ЗЗв.

ноетъ, образованную движеніемъ прямой ЛО, ко-
торой одинъ конецъ В остается неподвижнымъ,
между тѣмъ какъ другой конецъ А скользить но
какой-нибудь кривой АВС. Но въ элементарной
геометріи изъ всѣхъ коническихъ поверхностей раз-
сматривается только поверхность прямого круглаго
конуса, а потому въ элементарной геометріи его
просто называютъ конусомъ.
Если пересѣчемъ
конусъ плоскостью, параллельной основанію,
то получатся тѣло АВВС (черт. 337),
которое называется усѣченнымъ конусомъ.
Очевидно, что усѣченный конусъ можно
также образовать, обращая трапецію МВВВ
около стороны ея МЬ, къ которой параллель-
ныя стороны перпендикулярны. Круги, описан-
ные сторонами МВ и Ы), называются осно-
ваніями, разстояніе между ними—высотою, а
линія ВВ—образующею.
§ 280.	Если въ основаніе конуса впишемъ и около него опи-
шемъ правильные многоугольники, и примемъ ихъ за основаніе
правильныхъ пирамидъ одинаковой высоты съ конусомъ, то, оче-
видно, что объемъ конуса будетъ меньше объема описанной и боль-
ше объема вписанной пирамиды. При увеличеніи же числа сторонъ
многоугольниковъ разность между объемами двухъ пирамидъ без-
предѣльно уменьшается. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ Н—высота
конуса, В и Ь — площади основаній описанной и вписанной
пирамидъ, тогда разность объемовъ двухъ пирамидъ 'будетъ
ТТ
у-. (В—Ъ). Но такъ какъ съ увеличеніемъ числа сторонъ много-
угольниковъ разность В—Ь безпредѣльно уменьшается, то и раэ-
Н
НОСТЬ -у
.	—ъ) можетъ быть сдѣлана менѣе всякой величины.
— 269 —
Изъ этого слѣдуетъ, что конусъ есть предѣлъ вписанныхъ и описан-
ныхъ пирамидъ.
Означимъ чрезъ Р и р периметры описаннаго и вписаннаго иного-
угольниковъ, чрезъ I—образующую конуса и чрезъ Л—апоеему впи-
санной пирамиды; тогда поверхность оппсапной пирамиды будеті
Л	нрА л
а поверхность эписапнои-у Съ возрастапіеиъ числа сторонъ
многоугольниковъ Р уиепьшается, а р увеличивается, также увели-
чивается и апоеема Л, потому что разстояніе ея основанія отъ оси
конуса возрастаетъ; изъ этого слѣдуетъ, что поверхность описанной
пирамиды будетъ уиепыпаться, а поверхность вписанной увеличи-
ваться. Но такъ какъ съ возрастаніемъ числа сторонъ многоуголь-
никовъ описанная и вписанная пирамнды приближаются къ совпаде-
нію съ конусомъ, то поверхность описанпой пирамиды приближается
къ ней—уменьшаясь, а поверхность вписанной—увеличиваясь; это
значитъ, что поверхность конуса меньше поверхности описанной и
больше поверхности вписанной пирамиды.
Замѣтимъ, что разность между поверхностями описанной и впи-
санной пирамидъ можетъ быть сдѣлана менѣе всякой величины.
Въ самомъ дѣлѣ, эта разность равняется"^но Р1—рк=
РІ— рЛ—(р — р)+р — Л), а такъ какъ разности
Р—р и I—Л при увеличеніи чпсла сторонъ многоугольниковъ без-
предѣльно уменьшаются, то разность^-—~ иожетъ быть сдѣлана
менѣе всякой величины.
Изъ этого слѣдуетъ, что поверхность конуса есть предѣлъ по-
верхностей вписанныхъ и описанныхъ пирамидъ.
Очевидно, что усѣченный конусъ будетъ предѣломъ вписанныхъ и
описанныхъ усѣченныхъ пирамидъ.
§ 281.	Теорема. Боковая поверхность цилиндра равняется про-
изведенію окружности его основанія иа высоту.
— 270
Доназ. Это предложеніе слѣдуетъ изъ того, что поверхность ци-
линдра есть предѣлъ вписанныхъ и описанныхъ призмъ. Положимъ,
что Р есть поверхность цилиндра, О—окружность основанія м Н
высота его; тогда (§ 231, слѣдствіе 1) Р—0. Н.
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что боковая поверхность ци-
линдра равняется площади прямоугольника, котораго высота есть
высота цилиндра, а основаніе равно выпряилеппой окружности его
основанія.
Если означимъ чрезъ В радіусъ основаніи цилиндра и замѣтимъ,
что О—2п22, то находимъ Р=2тгЛЛ.
Полная же поверхность цилиндра, т.-е. боковая поверхность его,
сложенная съ площадями двухъ его основаній, будетъ 2к2?Л+2ітЛа.
§ 282.	Теорема. Объемъ гтлиндра равняется произведенію пло-
щади ею основанія на высоту,
Доказ. Это предложеніе слѣдуетъ нзъ того, что объемъ цилиндра
есть предѣлъ объемовъ вписанныхъ и описанныхъ призмъ.
Пусть будетъ И, В н Н объемъ, площадь основанія и высота
цилиндра, тогда (§ 268, слѣдствіе 1) Ѵ—В. Н.
Если означимъ радіусъ основанія цилиндра чрезъ В и замѣтимъ,
что 2?=пЛ2, то находимъ Ѵ—ъВ?Н.
§ 283.	Теорема. Боковая поверхность конуса равняется про-
изведенію окружности ею основанія на половину образующей линіи.
Доказ. Это предложеніе слѣдуетъ изъ того, что поверхность кону-
са есть предѣлъ поверхностей вписанныхъ и описанныхъ пирамидъ.
Пусть будутъ Р, О и I поверхность, окружность основаніи м
образующая линіи конуса, тогда (§ 235) Р^=^--
— 271 —
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что боковая поверхность конуса
равняется площади треугольника, котораго высота есть образую-
щая линія, а основаніе равняемся выпрямленной окружности осно-
ванія конуса.
Если означимъ чрезъ В радіусъ основанія в замѣтимъ, что
О==2т:.Й, то найдемъ	Полная поверхность конуса, т.-е.
боковая его поверхность, сложенная съ площадью его основанія,
равняется
§ 284.	Теорема. Боковая поверхность усѣченною конуса рав-
няется полусуммѣ окружностей ею основаній, умноженной на обра-
зующую линію.
Доказ. Это предложеніе слѣдуетъ изъ того, что поверхность усѣ-
ченнаго конуса есть предѣлъ поверхностей вписанныхъ и описан-
ныхъ усѣченныхъ пирамидъ.
Такъ какъ поверхность усѣченной пирамиды равняется также пе-
риметру средняго сѣченія, умноженному на аноѳему (§ 236), то по-
верхность усѣченнаго копуса равняется также произведенію окруж-
ности средняго сѣченія на образующую.
‘Если означимъ чрезъ В м г радіусы нижняго и верхняго основа-
ній усѣченнаго вонуса и чрезъ I его образующую, го боновая по-
верхпость будетъ равняться ------------или
§ 285.	Теорема. Объемъ конуса равняется произведенію площади
ею основанія на третъ высоты.
Доказ. Это предложеніе слѣдуетъ изъ того, что конусъ есть пре-
дѣлъ вписанныхъ и описанныхъ пирамидъ.
Пусть будетъ К, В и Н объемъ, нлощадь основанія и высота
конуса, тогда (§ 271)
__ 272 —
Если означимъ радіусъ основанія конуса чрезъ Л изамЬтимъ, что
„ «н	гт гЛ-Я
В—кВ*, то находимъ к=——
§ 286.	Теорема. Объемъ усѣченнаго конуса равенъ объему
конусовъ, имѣющихъ высоту общую съ усѣченнымъ, а основанія?
первый—нижнее, второй—верхнее основаніе усѣченнаго конуса, а
третій—среднее пропорціональное между ними.
Доказ. Это предложеніе слѣдуетъ изъ того, что усѣченный ко-
нусъ есть предѣлъ вписанныхъ и описанныхъ усѣченныхъ пирамидъ.
Если означимъ чрезъ В и г радіусы нижняго и верхняго основа-
ній усѣченнаго конуса, чрезъ И его высоту и замѣтимъ, что сред-
нее пропорціональное между площадями нижняго и верхняго осно-
ваній равняется Ѵ'т^Н2.т:г2~-г:Вг, то завлючаемъ, что объемъ усѣ-
_ (ВЧ-гЧ-Вг)”
ченнаго конуса будетъ —^-5---------В.
О шарѣ.
$ 287. Полукругъ АСВ (черт.
338), обращаясь около своего
А
в
Черт. 338
діаметра АВ, который остается непо-
движнымъ, образуетъ тѣло АВСВ, шь-
торое называется шаромъ или сферою.
Точка О, равно отстоящая отъ всѣхъ
точекъ поверхности шара, называется
центромъ, линія, соединяющая центръ
съ какой-пнбудь точкою поверхности
тара,—радіусомъ, а линія, проходящая
чрезъ центръ и соединяющая двѣ точки поверхности,—діаметромъ
шара.
Такъ какъ всѣ радіусы шара равны, то шаръ есть тѣло, ограни-
ченное поверхностью, всѣ точки которой находятся на равномъ
разстояніи отъ одной внутренней точки • і.асъісасл сй і цпрсмъ.
— 273 —
§ 288. Теореиа Всякое сѣченіе шара пмвкоотью есть кругъ
Пусть будетъ АВ (черт. 339) сѣченіе ша-
ра какой-нибудь плоскостью; требуется дока-
зать, что это сѣченіе есть кругъ.
Доказ. Опустимъ изъ центра О перпенди-
куляръ ОК на сѣченіе АВ и соединимъ осно.
ваніе перпендикуляра К съ точками С, В, І>
линіи сѣченія. Прямоугольные треугольники
СКО, ЪКО,ВКО равны, потому что имѣютъ
общій катетъ ОК и кромѣ того гипотенузы ихъ, какъ радіусы шара,
равны; слѣд. К&=КВ=КТ>. Изъ этого слѣдуетъ, что точки ли-
ніи сѣченія находятся на равномъ разстояніи отъ точки К, а потому
эта линія есть окружность, которой центръ совпадаетъ съ основа-
ніемъ перпендикуляра.
Если разстояніе плоскости сѣченія отъ центра шара, т.-е. длину ли-
ніи ОК, означимъ чрезъ К, радіусъ шара чрезъ В, и радіусъ сѣ-
ченія чрезъ г, то г —Іі2 — К2.
Изъ этого слѣдуетъ:
1.	Сѣченія, равно отстоящія отъ центра, равны.
2.	Изъ двухъ неравныхъ сѣченій то, которое имѣетъ большій ра-
діусъ, ближе къ центру.
3.	Сѣченіе, проходящее чрезъ центръ шара, больше всякаго дру-
гого сѣченія. Вслѣдствіе этого кругъ, образованный сѣченіемъ, про-
ходящемъ чрезъ центръ, называется большимъ кругомъ, а кругъ,
образованный сѣченіемъ, не проходящимъ чрезъ центръ,—малымъ
кругомъ.
§	289. Такъ какъ большой кругъ есть сѣченіе, проходящее чрезъ
центръ шара, то:
1.	Радіусъ большого круга равенъ радіусу шара.
2.	Два большихъ круга дѣлятся пополамъ, потому что линія, по
которой они пересѣкаются, проходитъ чрезъ ихъ общій центръ в
будетъ поэтому общимъ ихъ діаметромъ.
А. Ддмдлв-ь Гвомв рія.	18
— 274 —
3.	Всякій большой кругъ дѣлитъ шаръ на двѣ равныя части, по-
тому что эти части при наложеніи совпадаютъ.
4.	Чревъ каждыя двѣ точки, взятыя иа поверхности шара, можнв
провести окружность большого круга.
Очевидно, что двѣ точки на поверхности шара, не лежащія съ
центромъ на одной прямой, опредѣляютъ положеніе большого
круга.
Когда шаръ разсматривается какъ тѣло, происшедшее отъ обра-
в
Черт. 340.
щепія круга А§ВМ (черт. 340)
около діаметра АВ, то діаметръ
АВ называется осью шара, два
конца его А и В — полюсами,
большой кругъ Л/ф, перпендику-
лярный къ оси,— экваторомъ, ма-
лые круги тд,	перпенди-
кулярные къ оси, параллелями^
наконецъ, большіе круги АрВ,
АрхВ..., проходящіе чрезъ ось,—
меридіанами *).
§	290. Теорема. Кратчайшее разстояніе двухъ точекъ на
поверхности шара есть дуга большого круга, соединяющая эти
точки.
Положимъ, что А и В (черт. 341)
суть какіанибудь двѣ точки на
поверхности шара, АСВ дуга боль-
шого круга, проходящаго чрезъ эти
точки, и АЕВВВ какая-нибудь
линія на поверхности шара, со-
единяющая тѣ же точки; требует-
ся доказать, что дуга А СВ < дуги
АЕЯЕВ.
Ч Замѣч. Эти названія заимствованы изъ географіи.
— 275 —
Доказ. Проведемъ чрезъ точки А, В и какую-нибудь точку В
линіи АЕРЕВ дуги большихъ круговъ АВ и ВР. Если соединимъ
точки А, В и Р съ центромъ шара О, то составится тригранный
уголъ ОАВР, котораго плоскіе углы АОВ, АОР н ВОР измѣ-
ряются дугами АВ, АР и ВР\ а такъ какъ во всякомъ тригран-
номъ углѣ одинъ изъ его плоскихъ угловъ менѣе суммы двухъ
другихъ (§ 215), то АВ<АР-\-ВВ. Далѣе соединимъ дугами
-большихъ круговъ точку Е линіи АЕР съ точками^Л и Р; а также
•соединимъ дугами большихъ круговъ точку Плиніи РЕВ съ точками
В и Р; находимъ: ЛР<^ЛЕ-\~ЕР н РІІи слѣдова-
тельно АВ< АЕ^-ЕР-[-РЕ-\-ЕВ. Разсуждая'такимъ образомъ
далѣе, заключаемъ, что линія ДЕРЕВ (ищетъ предѣломъ линіи,
составленной мзъ дугъ большихъ круговъ; а иакъ послѣдняя боль-
ше дуги АСВ, то линія АЕРЕВ, соединяющая точки А н В, бу-
детъ больше дуги большого круга АСВ, соединяющей тѣ же точки.
§	291. Плоскость, имѣющая съ‘поверхностью шара только одну
общую точку, называется касательною плоскостью, а общая ихъ
точка—точкою касанія.
Теорема. Радіусъ, проведенный въ точку касанія, перпендикуля-
ренъ къ касательной плоскости.
Доказ. Линія, соединяющая центръ съ точкою касанія, короче
линій, соединяющихъ центръ съ другими точками касательной плот-
скости, а кратчайшее равстояніе точки отъ плоскости есть перпен-
дикуляръ (§ 149).
Обратная теорема. Всякая плоскость, перпендикулярная къ концу
радіуса, есть касательная плоскость.
Доказ. Плосиость, перпендикулярная къ концу радіуса, другой
точки обшей съ поверхностью шара имѣть не можетъ, потому что
въ противномъ случаѣ, соединивъ эту точку съ центромъ шара, по-
лучили бы наклонную, равную перпендикуляру.
18
— 27Ь —
Линіи, проведенныя въ касательной плоскости чрезъ точку каса-
нія, имѣютъ также одну только общую точку съ поверхностью ша-
ра; эти линіи называются поэтому касательными линіями.
§	292. Тоореиа, Поверхность шара равняется произведены»
окружности большого круга на діаметръ.
Доказ. Положимъ, что около полукруга Ыиѵі (черт. 342) опкса-
на половина правильнаго многоугольника аЪсае/дКЛ имѣющаго чет-
ное число сторонъ. При обра-
щеніи полукруга вмѣстѣ съ
многоугольникомъ около діа-
метра Ы полукругъ образуетъ
шаръ, а полумногоугольникъ—
тѣло, состоящее:
1)	Изъ двухъ полныхъ ко-
нусовъ, образованныхъ линіями
аЪ и дк\
2)	изъ ряда усѣченныхъ ко-
нусовъ, образованныхъ линія-
ми 6с, с&...\
3)	изъ пилиндра, образованнаго линіею йе, если предположимъ,
что эта линіи параллельна діаметру Тсі
Поверхность конуса, образованнаго линію аб, равняется (§ 283)
2гс.И>.~ = ЯкЛЪ.аз. Если соединимъ точку л съ центромъ О, озна-
чимъ радіусъ шара чрезъ В и замѣтимъ, что прямоугольные тре-
угольники азО м Ыа, имѣющіе общій уголъ а, подобны, то найдемъ
ач аі	,
зО ~ № влв	поэтому поверхность разсматриваемаго
конуса равняется %пП.аІ. Но есть окружность большого кру-
ги, а аі высота конуса; слѣдов. эта поверхность равняется окруж-
ности большого круга, умноженной на высоту конуса.
- 277 —
Поверхность усѣченнаго конуса, образованнаго обращеніемъ
яакой-нибудь изъ сторонъ многоугольника, напр. стороны сй, по
§ 284 равна 2~.их.ссІ. Соединивъ точку и съ центромъ м
опустивъ изъ точки с перпендикуляръ на линію пй, составимъ
два прямоугольныхъ треугольника ихО и которые подобны
между собою, потому что сторѵпы ихъ взаимно перпендикулярны;
их сс,	.	„	„
слѣд. = илн их . са — В.ссг. Поэтому поверхность раз-
сматриваемаго усѣченнаго конуса равняется 2хЛ. ссг ; а такъ какъ
ссх есть высота усѣченнаго копуса, то поверхность его также
равняется окружности большого круга, умноженной на высоту его.
Наконецъ, предположивъ, что лилія сіе параллельна діаметру Н,
найдемъ, что поверхность цилиндра ею образованнаго равняется
Ъъ.ре.сіе (§ 281); но ре= Оѵ=> слѣд. поверхность разсматри-
ваемаго цилиндра равняется также окружности большого круга,
умноженной на высоту его.
Изъ сказаннаго мы заключаемъ, что поверхность, образованная
обращеніемъ многоугольника аЬс^е^дк, состоитъ изъ частей, изъ
иоторыхъ каждая равняется произведенію ея высоты на окружность
большого круга; слѣдов. сумма всѣхъ этихъ поверхностей равняется
окружности большого круга, умноженной на сумму ихъ высотъ, т.-е.
на линію ак.
При увеличенія числа сторонъ многоугольникъ безпредѣльно при-
ближается къ кругу, а потому поверхность шара будетъ предѣломъ
поверхности, образованной чрезъ обращеніе многоугольника. Замѣ-
тивъ притомъ, что линія ак съ возрастаніемъ числа сторонъ без-
предѣльно приближается къ діаметру кі, заключаемъ, что поверх-
ность шара равняется окружности большого круга, умноженной на
діаметръ.
Такъ какъ окружность большого круга равна 2кВ, то поверх-
ность шара выразится чрезъ 4тт7?2.
— 278 —
Замѣтивъ, что -кВ* означаетъ площадь большого круга, заклю-
чаемъ, что поверхность шара равняется также четыремъ площадямъ
большого круга.
Если поверхности двухъ шаровъ означимъ чрезъ Р и р, ра-
діусы ихъ чрезъ Л и г, то Р = 4кВ3 и р = 4№; слѣдов.
Р 7?а
—= -^2* ч т.-е. новф^ности шаровъ относятся какъ квадраты ихъ
радіусовъ.
§ 293. Часть АСВВ (черт. 343) поверхности шара, заключен-
еная между двумя параллельными кругами
в АВ и СВ, называются шаровымъ поясомъ
к илп зоною, параллельные ируги АВ и СВ
|	называются основаніями, и разстояніе ыеж-
|/в,	ду нимн—высотою пояса.
Изъ сказаннаго при опредѣленіи поверх-
Ч	ности шара слѣдуетъ, что поверхность ша~
Черт. 343. рового пояса равняется произведенію ея
высоты на окружность большого круга.
Если означимъ высоту пояса чрезъ Н и радіусъ шара чрезъ Р,
то поверхность пояса выразится чрезъ 2пВ.Н.
Часть АХЕХВХ (черт. 343) поверхности шара, отсѣченная пло-
скостью А-іВ-і , называется отрѣзкомъ или сегментомъ шаровой по-
верхности, а ЕХМ— часть радіуса, перпендикулярнаго къ плоскости
сѣченія АХВХ, называется высотою отрѣзка.
Изъ сказаннаго при опредѣленіи поверхности шара слѣдуетъ, что
поверхность шарового сегмента равняется произведенію его высоты
на окружность большого круга.
Если означимъ высоту сегмента чрезъ И и радіусъ шара чрезъ
В, то поверхность сегмента выразится чрезъ 2ігВЯ.
294. Теорема. Объемъ шара равняется произведенію его по-
верхности на треть радіуса.
— 279 —
Доказ. Вообразилъ па тарѣ значительное число точекъ, прибли-
зительно равномѣрно распредѣленныхъ по всей поверхности его, и
чрезъ каждую точку касательную плоскость, получимъ многогран-
никъ, описанный около тара, который съ увеличеніемъ числа то-
чекъ, общихъ съ шаромъ, безпредѣльно къ нему приближается.
Если же соединимъ центръ шара со всѣми вершинами многогранни-
ка, то многогранникъ раздѣляется на пирамиды, которыя имѣютъ
высоту, равную радіусу шара, а основаніями—стороны многогран-
ника. Объемъ всякой пирамиды равняется произведенію основанія
иа треть высоты, а потому объемъ многогранника будетъ равняться
произведенію его поверхности на треть радіуса. Изъ этого слѣду-
етъ, что объемъ шара равняется нрозведенію его поверхности на
треть радіуса.
Означимъ радіусъ шара чрезъ В и, замѣтивъ, что поверхность
его равняется 4пВ2, найдемъ, что объемъ шара равняется
4пВ3. -5- или т.В*.
3	3
Если означимъ діаметръ шара чрезъ В и замѣтимъ, что
/ 1) \3 I)8	яР*
В*= -я-1 =-о"» то найденъ, что объемъ шара равняется—,-*
\ 2 / о	о
Пусть будутъ V и ѵ объемы двухъ шаровъ, В н г ихъ ра-
4	4	V В*
діусы; тогда К=-^-пК3 и ѵ =	•№, слѣд. — = -р-» т.-е. объ-
емы шаровъ относятся какъ кубы ихъ радіусовъ.
§ 295. Часть шара АОВС (черт. 344).
ограниченная сегментомъ ЛВС и кониче-
скою поверхностью ЛОВ, имѣющею вер-
шину въ центрѣ шара, называется сферы-
ческимъ вырѣзкомъ или секторомъ. Очевид-
но, что сферическій секторъ можно разсма-
тривать какъ тѣло, происшедшее отъ обраще-
на кругового сектора ВОС около радіуса
круга СО.
— 280 —
Изъ сказаннаго при опредѣленіи объема шара слѣдуетъ, что объ-
емъ сферическаго сектора равенъ поверхности шарового сегмента,
умноженной на третъ радіуса.
Если означимъ чрезъ V объемъ сферическаго сектора,* чрезъ Н
высоту сегмента АСВ и чрезъ В радіусъ шара и замѣтимъ, что
поверхность сегмента рааняется 2ъВН (§ 293), то найдемъ, что
2
объемъ сферическаго сектора равняется-у яЮТ.
§ 296. Сферическимъ секторомъ, въ смыслѣ болѣе общемъ нежели
верхность пояса ЬЕ^^ЛГ
въ предыдущемъ §, называется тѣло
МЕОЕіМДчерт. 345), образованное чрезъ
обращеніе кругового сектора ЬОМ около
діаметра АВ. Описанный при атомъ дутою
ЕМ поясъ	называется основаніемъ
сектора.
Изъ сказаннаго при опредѣленіи объема
шара слѣдуетъ, что объемъ сферическаго
сектора равняется произведенію его осно-
ванія на треть радіуса шара. Если озна-
чимъ высоту его основанія чрезъ Н (§ 293),
радіусъ шара чрезъ В н замѣтимъ, что по-
равняется 2пВН, то найдемъ, что объемъ
2
сферическаго сектора равняется
Когда одинъ радіусъ кругового сектора ЬОЪІ совпадаетъ съ радіусомъ
ОА, то сферическій секторъ принимаетъ видъ сферическаго сектора
предыдущаго §.
§ 297. Часть шара ВММіВі (черт. 345), содержащаяся между двумя
параллельными сѣченіями ЕЕ) н ЙО/і называется сферическимъ слоемъ;
параллельныя сѣченія ЕЕ} я 20^ называются основаніями слоя, а раз-
стояніе между ними—его высотою.
Для опредѣленія объема сферическаго слоя	замѣтимъ, что
онъ равняется сферическому сектору	сложенному съ кону-
сомъ ЕОЕі безъ конуса МОМ^. Если означимъ объемъ сферическаго
слоя чрезъ V, его высоту чрезъ Н, радіусъ шара чрезъ В и перпенди-
куляръ, опущенный нзъ центра на плоскость ЕД, чрезъ К, то радіусъ
круга ЕЕ| будетъ |/ № — К1, а радіусъ круга будетъ
у/іѵ-ік-ну-,
— 281
слѣдов. объемъ конуса ЪОІЛ равенъ
л(В’-К»'К
3	’
& объемъ конуса МОМ^ равенъ
я]/?’ —(7Г—ад (К~Н}
3
2
а такъ какъ объемъ сферическаго сектора ЬМОЬ\Мі равенъ—2РН
(§ 296), то
ѵ 2лЛ»Я4-л (Я» — К*)К— я (К—Н)*1 (К —Н)
3
и по сокращеніи
я 77»
Ѵ = яП(Е2 —К’Ч-КН)—-у-»
Это выраженіе можно представить въ другомъ видѣ, введя вмѣсто К к
К радіусы двухъ основаній слоя. Пусть будутъ и г радіусы основаній
ЬЬі и Л/Л/х. Замѣіимъ, что /?* —г1’ + ^ = г*4-(^—&)*> находимъ
а такъ какъ Ю — К2 = г^, то
ѵ____ .,лт* *" лгі* । я&9
Ѵ ~ 11	2 г
т.-е. объемъ слоя равняется произведенію полусуммы ею основаній на л«-
соту, сложенному съ объемомъ шара, имѣющаго вту высоту дгаме>промъ.
§ 298. Часть шара АВС (черт. 344), отсѣченная идоскостью АВ,
называется сферическимъ отрѣзкомъ иди сегментомъ; СО, часть ра-
с
Черт. 344.
Йуса, перпендикулярнаго къ плоскости сѣченія АВ, называется еѵсотс»»
отрѣзка.
Очевидно, что принимая радіусъ верхняго основанія шарового слоя
равнымъ нулю, получимъ отрѣзокъ шара; слѣдов. ноложякъ Гі= О въ віг
раженіи предыдущаго §, найдемъ
ѵ _ лПг* я Н*
2 + ~’
— 282
9.-9. объемъ шарового отрѣзка равняется половинѣ объема цилиндра
одинаковой высоты и одинаковаго основанія съ отрѣзкомъ, сложенной съ
объемомъ шара, имѣющаго ею высоту діаметромъ.
§ 299. Часть шаровой поверхности АВВСА (черт. 346), содержащаяся
л.	между двумя полуокружностями ВВА и АСВ
/'	большихъ Брутовъ, называется двусторонникомъ.
/	\ \\ Построимъ въ центрѣ шара линейный угодъ
/’Ѵ-Д \ ВОС двуграннаго угла ВВАС и положимъ, что
-ОС есть дуга большого круга, служащая мѣрою
\	этого угла; ВС называется дугою двусторонника.
\	/ // Очевидно, что ВС есть дуга большого круга, дер-
пендикулярнаго къ діаметру АВ.
В	Означимъ поверхность двустородника чрезъ
Черт. 346.	8, нуту его чрезъ а и радіусъ шара чрезъ В.
Замѣтивъ, что поверхность двусторонника относится къ поверхности
тара, какъ дуга двустороиника къ окружности большого круга, найдемъ
т~г=-= гі! отсюда5 = 2В.а т.-е., поверхность двусторонника равняется
яяіс* лпк
произведенію ею дуги на діаметръ шара.
Когда дуга двустороиника равняется четверти окружности, то двусто-
роннихъ называется прямымъ. Очевидно, что поверхность прямого дву-
сторонника равна пВ*.
О сферическомъ треугольникѣ.
§ 300. Возьмемъ на поверхности шара (черт. 347) три какія-пибудь
Черт. 347.
точки А, В, С н проведемъ чрезъ нихъ дуги
большихъ круговъ. Часть поверхности ша-
ра, ограниченная треия дугами АВ, ВС л
АС, называется сферическимъ треугольни-
комъ; дуги АВ, ВС и АС называются
сторонами треугольника. Въ точкѣ А про-
ведемъ касательныя АМ. н къ дугамъ
АВ и АС, уголъ МАВ, составленный этими
касательными, принимается за уголъ сфе-
рическаго треугольника между его сторо-
нами АВ и АС. Уголъ сферическаго тре-
угольника, заключающійся между его сто-
ронани АВ и АС, означается или одною буквою А, или тремя бук-
вами ВАС.
Соединивъ точки А, В и С, съ центромъ шара О, составимъ трнгран-
вый уголъ О АВС, котораго плоскіе углы АОВ, ВОСъ СО А изиѣряютсж
дугами, а двугранные углы—углами сферическаго треугольника. Въ самомъ
— 283
дѣлѣ,вершина плоскихъ угловъ АОВ, ВОС и СОА находится въ центрѣ,
и потому эти углы измѣряются дугами АВ, ВС и СА. Стороны же АМ
и АН угла ЫАН перпендикулярны къ радіусу ѲА и лежатъ соотвѣт-
ственно въ плоскостяхъ ВАО и ОАО', слѣдов. МАЛ'есть линейный уголъ
двуграннаго ВАОС.
§ 301. Такъ какъ до предыдущему § стороны и углы сферическаго
треугольника еуть мѣры плоскихъ и двугранныхъ угловъ триграннаго,
котораго вершина находится въ центрѣ, то изъ этого слѣдуетъ:
1.	Каждая сторона сферическаго треугольника менѣе суммы двухъ дру-
гихъ сторонъ (§ 215).
2.	Сумма всѣхъ сторонъ сферическаго треугольника меиѣе окружности
большого круга (§ 216).
3.	Сумма угловъ сферическаго треугольника болѣе двухъ и менѣе шести
прямыхъ угловъ (§ 217).
4.	Въ равнобедренномъ сферическомъ треугольникѣ углы, лежащіе про-
тивъ равныхъ сторонъ, равны (§ 224).
5.	Два сферическихъ треугольника, имѣющіе по равному углу, заклю-
ченному между двумя соотвѣтственно равными дугами, равны или сим-
метричны (§ 221).
6.	Два сферическихъ треугольника, имѣющіе по равной сторонѣ, за-
ключенной между двумя соотвѣтственно равными углами, равны или сим-
метричны (§ 222).
7.	Два сферическихъ треугольника, имѣющіе стороны соотвѣтственно
равныя, равны или симметричны (§ 220).
8.	Два сферическихъ треугольника, имѣющіе углы соотвѣтственно рав-
ные, равны или симметричны (.§ 223).
§ 302.	Задача. Опредѣлитъ площадь сферическаго треугольника по
тремъ даннымъ угламъ ею.
Рѣшеніе. Пусть будетъ, во-первыхъ, АВС	-------
(черт. 348) равнобедренный сферическій
треугольникъ, въ которомъ АВ — ВС. /\	/\
Продолживъ стороны треугольника АВС, / \ / X. / \
получимъ три окружности большихъ кру-	у	\ I
говъ, АСМЪ, АВМН и ВСНЬ. Сфериче- 1	/\	/\	/
скій треугольникъ АНС также равно- \	у/ \ /
бедренный, потому что стороны его АВ и \7
НС служатъ дополненіяии до полуокруж-
мости сторонамъ АВ л ВС. Стороны тре-
угольника АНС соотвѣтственно равны сто-	Черт. 348.
ронамъ треугольника ВЬМ. Въ саномъ дѣлѣ, ИСВ и СВЬ суть полу-
окружности; слѣд., вычтя изъ нихъ до дугѣ ВС, найдемъ НС = ЬВ. По-
— 284 —
добяымъ образомъ найдемъ, что стороны АС н БДГ равны между собою
Вслѣдствіе равенства сторонъ равнобедренные треугольники АМС я
ЬВМ равны и совмѣстимы (§ 301, слѣдств. 7).
Если въ двусторонникѣ ВАМСВ замѣнимъ треугольникъ МАО тре-
угольникомъ ВХДГ и прибавимъ къ иему двустороиники ЬВСАЬ в
МВАСМ, то иолучииъ поверхность полушара АСМЬВ, сложенную
съ двумя треугольниками АВС. Означивъ поверхность сферическаго тре-
угольника чрезъ 8, дуги, измѣряющія углы А, В, С, чрезъ а, 6, с и ра-
діусъ шара чрезъ г, найдемъ, что иоверхность трехъ двустороняиковъ
МВАСМ, ВВСАЬ и ВАМСВ равна (а 4- 6 4“(§ 299) и потому,
отсюда
2яг2 4- 28 ~ (а 4- 6 4- с)2г;
5 = (а 4- Ъ 4- с — пт)г.
Эта же формула выражаетъ площадь какого-нибудь сферическаго тре-
угольника. Въ самомъ дѣлѣ, иусть будетъ АВС (черт. 349) какой-нибудь
сферическій треугольникъ; вообразимъ перпендикуляръ, опущенный изъ
центра шара на плоскость, проходящую чрезъ точки Л, В и О, и пусть
О будетъ точкою встрѣчи этого перпендикуляра съ поверхностью сфе-
рическаго треугольника АВС’, такъ какъ этотъ перпендикуляръ находится
на одинаковомъ разстояніи отъ точекъ Л, В и О
(§ 288), то точка О равно отстоитъ отъ этихъ то-
чекъ, и если проведемъ дуги большихъ круговъ
АО, ВО и СО, то эти дуги, соотвѣтствующія рав-
ныиъ хордамъ, будутъ равны; слѣдов. сферическій
треугольникъ АВС раздѣлится дугами АО, ВО и
СО на тря равнобедренныхъ сферическихъ тре-
В
Черт. 349.
угольника АОВ, ВОС и СОА. Означивъ дуги угловъ треугольника АОВ
чрезъ «і, бі и оі, треугольника ВОС чрезъ 6а, си о* треугольника Л.ОС—
чрезъ а*, о*, с,, найдемъ по предыдущему
А ОВ == (»14- 614- 01 — яг)г; В О С « (,ба 4- Сі 4- о4 — пг)г;
А ОС— (0-2 4- °8 4- С3 — лГ>-
Если сложимъ почленно ути уравненія, означимъ площадь сферическаго
треугольника АВС чревъ 5, дуги, соотвѣтствующія его угламъ, чрезъ а,
6 не, 2 замѣтимъ, что о14-°2 4-°і равняется окружности большого круга,
т.-е. 2яг, то получимъ
5'₽=(а4-Ь4-с — пг)г.
Раздѣливъ обѣ части этого уравненія иа №, найдемъ
__а4-64-с
яг
— 285 -
Примеиъ прямой двусторонникъ за едипипу поверхности и прямой
угодъ за единицу угловъ. Такъ какъ всякій двугранный уголъ относится
къ своей дугѣ, какъ два пряныхъ двугранныхъ угла къ половинѣ окруж-
ности большого круга, то
Л__ 2	Д _ 2	С _ 2 .
а~~ лг	Ъ лг	с лг
отсюда
лг.А , лг.В лг. С
2 ’
и потому
5 А-\-В+С
лг* 2 Е
Поверхность прямого двусторонника равна № (§ 299), а такъ какъ
эту поверхность принимаеиъ за единицу, то
„ АУВ+С .
8=-----------1
т.-е. поверхность сферическаго треугольника равняется полусуммѣ его
угловъ безъ прямого угла, когда поверхность прямого двустороиника при-
нимаемъ за единицу поверхностей, а прямой угодъ за единицу угловъ.
Подобіе круглыхъ тѣлъ.
§ 303.	Два цилиндра, высоты которыхъ пропорціональны радіусамъ ихъ
основаній, называются подобными.
Очевидно, что отъ обращенія подобныхъ прямоугольниковъ около сход-
ственныхъ сторонъ образуются подобные цилиндры.
Теорема. Основанія двухъ подобныхъ цилиндровъ относятся какъ ква*
драты ихъ высотъ.
Доказ. Пусть будутъ Н и Л высоты, В и г радіусы основаній двухъ
подобныхъ цилиндровъ. Такъ какъ
В Н В* Н*
г Л ’ то г2 Л-
и потому
пВ* Н*
лг* Л5
Изъ этого предложенія слѣдуетъ, что объемы двухъ подобныхъ цилин-
дровъ относятся, какъ кубы гіхъ высотъ, потому что, означивъ объеиы
двухъ подобныхъ цилиндровъ чрезъ V и ѵ и замѣтивъ, что V = лВ*Н и
.	_ V лВ?Н Н*
®	зайдемъ	=^.
— 286 —
§ 304.	Два коиуса, которыхъ высоты пропорціональны радіусамъ осно-
ваній, называются подобными.
Очевидно, что отъ обращенія подобныхъ прямоугольныхъ треугольниковъ
около сходственныхъ катетовъ обрадуются подобные конусы.
Теорема. Основанія подобныхъ конусовъ относятся какъ квадраты ихъ
высотъ.
Доказ. Пусть будутъ Я и А высоты, В н г радіусы основаній двухъ
*	гг	В н 7?2 №	пВ* и*
иодобныхъ конусовъ. Такъ какъ —=то — =-^-, я потому —^-=-^ •
Изъ етого предложенія слѣдуетъ, что объемы двухъ подобныхъ конусовъ
относятся какъ кубы ихъ высотъ, потому что, означивъ объемы двухъ
подобныхъ конусовъ чрезъ V м р и замѣтивъ, что V — —ѵ =
_ V пВ*Н Я’
найдемъ-=^д=ж.
Коническія сѣченія.
§ 305. Теорема. СЧченіе конуса плоскости®, перпендикулярною къ оси
ею, есть кру къ.
Доказ. Пусть будетъ ВМ (черт. 350) сѣченіе, перпендикулярное къ оси
конуса ВО, м о точка, въ которой ось встрѣчаетъ это сѣченіе. Если соеди-
В
Черт. 350.
нимъ какія-нибудь двѣ точки а и Ъ линіи сѣченія съ вершиною В и съ
точкою о, то получимъ два прямоугольныхъ треугольника Воа и ВоЪ, ко-
торые равны иежду собою, потому что имѣютъ общій катетъ Во и по рав-
ному острому углу; слѣдов. ао = оЪ', а это значитъ, что линія сѣченія есть
кругъ, котораго цевтръ находится въ о.
Если разсмотримъ комическую поверхность АСВ (черт. 351), какъ по-
верхность, образованную движеніемъ линіи СВ, которой одинъ конецъ В
— 287 —
скользить по окружности круга АВ, между тѣмъ какъ другой конецъ
С
остается неподвижпымъ на перпендикулярѣ,
возставленномъ къ кругу АВ изъ центра
«то, то въ втокъ случаѣ продолженіе обра-
вующей СЪ опишетъ другую коническую до-
іѳрхвот аСЪ, обращенную въ противополож-
ную сторону. Эти двѣ поверхности, происшед-
шія отъ движенія одной и той же линіи, на-
зываются полостями конуса.
Когда пересѣчемъ конусъ АВС (черт. 351)
нлоскостъю Х1Г, встрѣчающею всѣ образую-
щія, то въ сѣченіи подучится сомкнутая кри-
вая Іт, линія которая называется эллипсомъ.
Когда плоскость сѣченія ЬМ (черт. 352)	им‘*
параллельна одной мзъ образующихъ, напри-
мѣръ СА, то въ сѣченіи получится кривая линія Ішп, ограниченная съ
одной стороны и безпредѣльно простирающаяся въ другую сторону; эта
кривая называется параболою.
Наконецъ, когда плоскость сѣченія ЬМ (черт. 353) параллельна ос»
Черт. 352.
Черт. 353.
конуса, она пересѣчетъ обѣ полости конуса. Въ этомъ случаѣ получаются
въ сѣченіи двѣ кривыл иѵгс и ограниченныя съ одной стороны и
безпредѣльно простирающія^ въ другую сторону; эти двѣ кривыя вмѣстѣ
взрываются іипі'Г>боло-г<)'
\ Эллипсъ, парабола й гипербола называются коническими сѣченіями.
Эти линіи столъ же замѣчательны по своимъ геометрическимъ свойствахъ,
какъ и но связи ихъ съ многочисленными явленіями природы.
— 288 —
Задачи.
241.	Плоскость пересѣкаетъ шаръ радіуса въ 10 ф. по кругу, котораго
радіусъ равенъ 8 ф.; опредѣлить разстояніе зтой плоскости отъ центра
пара.
242.	Найти посредствомъ построенія радіусъ даннаго шара.
243.	Опредѣлить объемъ усѣченнаго конуса, котораго высота равна 1,35,
а радіусы двухъ основаній равны 0,90 и 0,65.
244.	По дайной поверхности шара 5 опредѣлить его объемъ.
245.	Опредѣлить поверхность и объемъ земного шара, принимая радіусъ
его равнымъ 636,62 миріаметрамъ.
246.	Опредѣлить радіусъ шара, котораго поверхность = 1 кв. ф.
247.	Полупаръ содержитъ 5 кв. ф.; опредѣлить радіусъ его.
248.	Опредѣлить поверхность жаркаго пояса земли, принимая высоту его
равной 507 миріаметр. и радіусъ земля равнымъ 636,62 миріам.
249.	Опредѣлитъ поверхность холодной полосы земли, принимая высоту
•я равной 52,65 миріам., а радіусъ земли въ 636,62 миріаметра.
250.	Опредѣлить высоту цилиндра, радіусъ основанія котораго равенъ
8 ф. и который содержитъ 486 куб. фут.
251.	Опредѣлить объемъ коиуса, котораго высота равиа 12 фут., а обра-
зующая 5 фут.
252.	Объемъ конуса равенъ 1 куб. ф., а радіусъ основанія его есть треть
его высоты; опредѣлять этотъ радіусъ.
253.	Литръ, служащій французскою мѣрою для жидкостей, есть ци-
линдръ, котораго высота вдвое болѣе діаметра его основанія и котораго
вмѣстимость равна 1 куб. дециметру. Опредѣлить высоту и радіусъ осно-
ванія хитра.
254.	Опредѣлить отношеніе боковыхъ поверхностей и объемовъ двухъ
цилиндровъ, происшедшихъ отъ обращенія прямоугольника около его осно-
ванія и высоты.
255.	Цилиндръ мыльной воды, котораго высота равна 2 миллиметрамъ,
а радіусъ основанія также равенъ 2 миллим., можетъ образовать пузырь,
котораго радіусъ равенъ 54 миллиметрамъ. Опредѣлить толщину оболочки
пузыря.
256.	- Около круга, котораго радіусъ равенъ г, оиисанъ квадратъ и равно-
сторонній треугольникъ, котораго основаніе параллельно сторонѣ квадрата.
Опредѣлить отношеніе поверхностей в объемовъ шара, цилиндра и конуса,
происшедшихъ отъ обращенія круга, квадрата и треугольника около вы-
соты треугольника.
ПРИБАВЛЕНІЕ.
ЧИСЛЕННЫЯГЕОМЕТРИЧЕСКІЯЗАДАЧИ.
ПЛАНИМЕТРІЯ.
къ ГЛАВАМЪ I и п.
1.	На прямой, соединяющей двѣ точки А и 73, дана третья точка
С, отстоящая отъ первой на 9,24 дюйм. и отъ второй иа 3,38 дюйм.
Опредѣлить разстояніе между А и В, предполагая, что а) С нахо-
дится между А и 7?, Ь) С пе содержится между А и В.
Отв. а) 12.62 дюйм. Ь) 5,86 дюйм.
2.	На прямой, соединяющей точки А и 7? на разстояніи 153/4 дюйм.
другъ отъ др^га, дана третья точка С, отстоящая отъ А на45/е дюйм.
Опредѣлить разстояніе С отъ В. предполагая, что а) С находится
между А и В, Ь) С не содержится между А и В.
Отв. а) 1011/,9 дюйм. Ь) 207/13 дюйм.
3.	Сумма двухъ линій равна 20 арш. 8 вершк., а одна изъ нихъ
па 7 арт. 2-/3 вѳрппс. больше другой. Опредѣлить этн линіи.
Отв. 13 арш. 131/3 вершк., 6 арш. 102/8 вершк.
4.	На прямой АВ длиною въ 14,44 дюйм. даны двѣ точки С
и 7), между которыми содержится середина ея, отстоящая отъ нихъ
на 3,77 и 4,47 дюйм. Опредѣлить разстояніе точекъ С и 7) отъ А
Отв. 3,45 и 11,69 дюйм.
5.	Линію, длиною въ 46,35 дюйм., раздѣлитъ на двѣ части танъ,
чтобъ одна составила ’/3 другой. Отв. 18,54 н 27,81 дюйм.
6.	На прямой АВ длиною въ 56 фут. н 8 дюйм. дана точка С
между А и В. Тѣло движется отъ Л до В и обратно до (7, про-
ходя 78 фут. 3 дюйм. Опредѣлить разстояніе С отъ А.
Отв. 35 фут. 1 дюйм.
7.	На прямой АВ длиною въ 95б/в дюйм. даны точки С и 7),
отстоящія другъ отъ друга на 45х/2 дюйм.; середина же В линіи
С7) отстоитъ отъ средины М линіи АВ на 142/3 дюйм. Опредѣ-
литъ разстояніе С и 7) отъ А, предполагая, а) что В находится
между А и АГ, Ъ) В находится между М и В. Отв. а) 11 и 56У,
дюйм. Ь) 401/3 и 85б/в дюйм.
А. Давидовъ. Геометріи.	19
290 —
8.	На линіи АВ длиною въ 23,28 дюйм. даны двѣ точки С и
В, изъ которыхъ С дѣлитъ линію АВ пополамъ и Р дЬлитъ ли-
нію СВ пополамъ. Опредѣлить разстояніе точекъ С и В отъ А.
Отв. 7,76 и 15,52 дюйм.
9.	Прямую, длиною въ 73 фут. 2 дюйм., раздѣлить на 3 части
такъ, чтобы крайнія части были равны, а средняя превышала
крайнюю на 18 фут. 8 дюйм.
Отв. 18 фут. 2 дюйм.; 36 фут. 10 дюйм.; 18 фут. 2 дюйм.
10.	Одинъ изъ двухъ смежныхъ угловъ въ 12/а раза больше дру-
гого. Опредѣлить эти углы въ доляхъ прямого угла. Отв. 5/4</ и
11.	Изъ трехъ угловъ, лежащихъ около одной точки, одинъ
равняется прямому, а изъ двухъ остальныхъ одинъ составляетъ
6/7 другого. Опредѣлить эти углы. Отв. РДй н 18/4<2.
12.	Въ вершинѣ двухъ смежныхъ угловъ возставленъ перпенди-
куляръ къ общей ихъ сторонѣ, образующей другую пару смеж-
ныхъ угловъ, изъ которыхъ одинъ составляетъ у/6 другого. Опре-
дѣлить первую пару смежныхъ угловъ. Отв. ’/4й и 1/4й.
13.	Въ вершинѣ тупого угла возставленъ перпендикуляръ къ
одной изъ его сторонъ, который образуетъ съ другою стороною уголъ,
составляющій 8/7 перваго. Опредѣлить тупой уголъ. Отв. Ѵ/4Л.
14.	Въ вершинѣ угла въ 15/8й возставлены перпендикуляры къ
двумъ сторонамъ его. Опредѣлить острый уголъ, который этн пер-
пендикуляры образуютъ. Отв. 3/3<і.
15.	Чрезъ вершину двухъ смежныхъ угловъ проведены двѣ ли-
ніи такъ, что одна дѣлить пополамъ меньшій изъ двухъ смеж-
ныхъ угловъ, а другая перпендикулярна къ общей ихъ сторонѣ;
уголъ же между этими линіями равенъ б/4<1 Опредѣлить смежные
углы. Отв. х/ай и І1/^.
16.	Изъ четырехъ угловъ, лежащихъ около одной точки, одинъ
равенъ 84Д а линіи, дѣлящія три остальныхъ пополамъ, соста-
вляютъ двѣ перпендикулярныя между собою прямыя. Опредѣлить
эти углы. Отв. */4сІ; 8/4<і; 6/4й.
17.	Черезъ вершину остраго угла проведены двѣ линіи: одна—
дѣлящая этотъ уголъ пополамъ, другая—перпендикулярная къ од-
ной изъ его сторонъ. Этн линіи образуютъ уголъ, составляющій
*/в перваго. Опредѣлить этотъ острый уголъ. Отв. а/4Л
18.	Изъ точки О проведены четыре линіи ОА, ОВ, ОС и ОВ,
образующія четыре угла около точки О. Опредѣлить эти углы, зная'
что ЛОС—І3/^, В0В=Ѵ[$ н 4ОР=15/12й. Отв. І1/^; х/яй; »/.<*.
— 291
19.	Одинъ изъ четырехъ угловъ, лежащихъ около точки, ра-
венъ 6/6й, а линіи, дѣлящія остальные три пополамъ, составляютъ
по порядку два угла въ 7/вй и 11/8Ж Опредѣлить эти углы.
Отв.	1б/і2^-
20.	Периметръ равнобедреннаго треугольника содержитъ 50,22
дюйм., а основаніе его на4,77 дюйм. меньше одной изъ равныхъ сто-
ронъ. Опредѣлить стороны треугольника. Отв. 13,56 и 18,33 дюйма.
21.	Периметръ треугольника содержитъ 63 арш. 14 вершк., а
одна изъ ого сторонъ на 4 арпі. 13 вершк. больше другой и на
5 арш. 15 вершк. больше третьей. Опредѣлить стороны треугольника.
Отв. 24 арш. 14 вершк.; 20 арш. 1 вершк.; 18 арш. 15 воршк.
22.	Число всѣхъ діагоналей, которыя можно провести изъ какоЙ-
лнбо вершины даннаго многоугольника, иа 5 больше половины его
«торонъ. Сколько сторонъ имѣетъ многоугольникъ. Отв. 16.
23.	Число всѣхъ діагоналей, которыя можно провести изъ какой-
либо вершины даннаго многоугольника, втрое больше числа сторонъ
«го безъ 25. Сколько сторонъ имѣетъ многоугольникъ? Отв. 11.
24.	Опредѣлить число всѣхъ діагоналей, которыя можно про-
вести а) въ 10-угольиикѣ, Ь) въ 15-угольникѣ, с) въ 24-уголь-
никѣ. Отв. а) 35; Ь) 90; с) 252.
25.	Основаніе равнобедреннаго треугольника вмѣстѣ съ одной
изъ равныхъ его сторонъ содержитъ 43,6 дюйм., послѣдняя же
«оставляетъ 2/8 основанія. Опредѣлить периметръ. Отв. 61,04 дюйм.
26.	Пѳ^імѳтръ остроугольнаго треугольника содержитъ 15,4
дюйм.., а стороны, образующія уголъ при вершинѣ—3,5 и 5,3 дюйм.^
высота же раздѣляетъ основаніе на два отрѣзка, нзъ которыхъ
одинъ составляетъ ,5/т другого. Опредѣлить отрѣзки основанія.
Отв. 2,1 и 4,5 дюйм.
27.	Периметръ тупоугольнаго треугольника содержитъ 33,6
дюйм.; а двѣ стороны, образующія острый уголъ при вершинѣ,
равны 10,5 и 15,9 дюйм.; высота же отсѣкаетъ отъ основанія к
•	15
•его продолженія двѣ части, изъ которыхъ одна составляетъ— дру-
гой. Опредѣлить ути части. 6,3 и 13,5 дюйм.
— 292 —
КЪ ГЛАВѢ III.
28.	Опредѣлитъ внутренніе односторонніе углы двухъ парал-
лельныхъ линій, зная, что одинъ нзъ нихъ иа 1/^сІ больше своего
7	9
смежнаго угла. Отв. —гіи—й.
8	8
29.	Опредѣлить внѣшніе односторонніе углы двухъ параллельныхъ
7
линіи, зная, что одинъ изъ иихъ составляетъ — своего смежнаго.
8
л 14, 16,
Отв.
15 15
30.	Опредѣлить внутренніе накрестъ лежащіе углы двухъ па-
раллельныхъ линій, зная, что линія, дѣлящая одинъ изъ иихъ по-
поламъ, встрѣчаетъ параллельную липію подъ острымъ угломъ,
„	2 ,	„	4 ,
который на—а меньше искомаго. Отв. —а.
31.	Опредѣлить углы треугольника, зиая, что одинъ изъ ннхъ
2	4	/і	2 ,	4 , 8	,
составляетъ— другого	н —	третьяго.	Отв.	-^а;	— ан— а.
□	0	о	5	10
32.	Одинъ нзъ угловъ треугольника иа —й меньше другого и
иа-|-<? больше третьяго. Опредѣлить углы треугольника.
л Нл 1Ъ 4,
От- V?’ Г8Л; 9 й-
33.	Въ равнобедренномъ треугольникѣ уголъ при основаніи со-
ставляетъ—своего смежнаго угла. Опредѣлить углы треугольника.
5
8л-	2 ,7
Отв.
34.	Изъ точки внутри треугольника опущены перпендикуляры на
стороны его, которые образуютъ около этой точки три угла, изъ
3 , 4, л ѵ
которыхъ два равны -^-ан—а. Опредѣлить углы треугольника.
л 1 , 6 , 3 ,
О™ ь*' ѵ-і
— 293 —
35. Перпендикуляръ, опущенный изъ вершины прямого угла на
гипотенузу, дѣлить этотъ уголъ на два угла, изъ которыхъ одинъ
2
доставляетъ у другого. Опродѣлить острые углы треугольника.
Отв —а н у«.
3
36.	Внѣшній уголъ треугольника въ у раза больше своего
4
смежнаго и въ у раза больше одного изъ внутреннихъ угловъ.
_ х	_	9$ Ы Зсі
Опредѣлить углы треугольника. Отв.
37.	Уголъ при вершинѣ равнобедреннаго треугольника соста-
вляетъ а/3 угла при основаніи. Опредѣлить углы треугольника.
л 3$ 3$ $
т;
38.	Уголъ прн основаніи равнобедреннаго треугольника на
больше угла при вершинѣ. Опредѣлить углы треугольника.
„	3$ 3$ $
«"•«Т’ Т; 1-
39.	Линія, проведенная чрезъ вершину бдлыпаго угла треуголь-
ника, параллельно противоположной сторонѣ, образуетъ съ двумя
сторонами треугольника углы, изъ которыхъ одинъ составляетъ 2/8
другого; а линія, проведенная чрезъ вершину меньшаго угла, па-
раллельно противоположной сторонѣ, образуетъ съ двумя сторонами
треугольника углы, изъ которыхъ одинъ составляетъ % другого.
_ х	8с/ 2(Г Ы
Опредѣлить углы треугольника. Отв. у; у.
40.	Діагональ раздѣляетъ параллелограммъ на два треуголь-
ника, въ каждомъ изъ которыхъ сумма угловъ при діагонали рав-
няется половинѣ угла,—противоположнаго діагонали. Опредѣлить
углы параллелограмма. Отв. а/3$ и 4/3(/.
41.	Внутри угла въ 6/8$ Дана точка, чрезъ которую проведены
двѣ линіи—одна параллельно одной нзъ сторонъ угла и другая
перпендикулярно къ другой сторонѣ. Опредѣлить уголъ, который
образуютъ эти двѣ линіи. Опів- 3/8$.
42.	Сколько сторонъ имѣетъ многоугольникъ, сумму внутрен-
нихъ угловъ котораго составляетъ а) 16$; Ь) 24$; с) 44$?
Отв. а) 10; Ь) 14; с) 24.
294 —
43.	Сколько сторонъ имѣетъ многоугольникъ, сумма внутрен-
нихъ равныхъ между собою угловъ котораго ва	больше
одного изъ его внѣшнихъ угловъ. Отв. 11.
44.	Периметръ параллелограмма содержитъ 146 дюйм., а одна-
изъ его сторонъ на 23 дюйма меньше другой. Опредѣлить сторо-
ны параллелограмма. Отв. 25 и 48.
45.	Периметръ параллелограмма содержитъ 76 фут. 8 дюйм., а
діагонали дѣлятъ параллелограммъ на четыре треугольника, по-
парно равныхъ, изъ которыхъ периметръ одного иа 12 фут. &
дюйм. больше периметра смежнаго. Опредѣлить стороны паралле-
лограмма. Отв. 25 фут. 5 дюйм., 12 фут. 11 дюйм.
46.	Данъ треугольникъ, котораго периметръ содержитъ 56%
дюйм., а большая сторона превышаетъ на 8% дюйм. одну н на 107/1±.
дюйм. другую. Опредѣлить стороны треугольника, котораго вершины
находятся въ срединѣ сторонъ даннаго. Отв. 123/3» 8% и 7% дюйм.
47.	Периметръ прямоугольника на 125% дюйм. больше периме-
тра даннаго квадрата; сторона же послѣдняго въ 11/а Раза меньше
одной изъ сторонъ прямоугольника н въ 2% раза меньше другой.
Опредѣлить стороны прямоугольника. Отв. 41% н Дюйм.
48.	Три параллельныя линіи, на равномъ разстояніи другъ отъ
друга пересѣкаются двумя прямыми, отсѣкающими отъ нихъ три
отрѣзка, изъ которыхъ средній содержитъ 22,35 дюйм., а одинъ
изъ крайнихъ вдвое больше другого крайняго. Опредѣлить эти
отрѣзки. Отв. 14,9 и 29,8 дюйм.
49.	Въ треугольникѣ проведены двѣ линіи параллельно его
основанію такъ, что одна изъ иихъ отстоитъ отъ основанія вдвое
больше другой. Части же параллелей, заключающихся въ треуголь-
никѣ, соотвѣтственно равны 25 ар. 12 вер. и 38 ар. ІО1/, вѳршк.
Опредѣлить длину основанія. Отв. 51 арш. 8% вершк.
50.	Одна изъ сторонъ треугольника иа 12,23 дюйм. больше
другой и 8,48 дюйм. меньше третьей стороны; если же соединимъ
средины его сторонъ, то составится треугольникъ, котораго пери-
метръ на 56,28 дюйм. меньше периметра перваго. Опредѣлить сто-
роны перваго. Отв. 47,25; 38,77 и 26,54 дюйм.
КЪ ГЛАВАМЪ IV иѴ.
51.	Линія АВ, длиною въ 63,25 дюйм., въ точкѣ С раздѣлена,
яа два отрѣзка АС и СВ въ отношеніи 2:3, а въ точкѣ В на.
295 —
два отрѣзка ЛОи ВН въ отношеніи 6:5. Опредѣлить разстоя-
ніе С отъ О. Отв. 9,2 дюйм.
52.	Периметръ равпободр. треугольника содержитъ 124,2 дюйм., а
основаніе его относится къ одной изъ равныхъ сторонъ какъ 7 :8.
Опредѣлить стороны треугольника. Отв. 43,2; 43,2 и 37,8 дюйм.
53.	Сходственныя стороны двухъ подобныхъ треугольниковъ от-
носятся какъ 113: 225; стороны же одного на 29,12; 34,72 и 40,32
дюйм. больше соотвѣтственныхъ сторонъ другого. Опредѣлить сто-
роны большаго треугольника. Отв. 81; 58,5 н 69,75 дюйм.
54.	Периметры двухъ подобныхъ равнобедренныхъ треугольни-
ковъ равны 191,55 и 76.62 дюйм.; основаніе же одного на 25,17
дюйм. больше основанія другого. Опредѣлить стороны большаго
треугольника. Отв. 41,95 и 74,8 дюйм.
55.	Одна изъ сторонъ треугольника раздѣлена на двѣ части,
содержащія 12,24 и 8,16 дюйм., н чрезъ точку дѣленія проведе-
ны двѣ линіи параллельно двумъ другимъ сторонамъ, частя кото-
рыхъ, содержащіяся внутри треугольника, равны соотвѣтственно
14,31 и 6,5 дюйм. Опредѣлить стороны треугольника. Отв. 20,40;
23,85 и 16,25 дюйм.
56.	Одна изъ сторонъ треугольника содержитъ 32/3 дюйм., а раз-
ность двухъ другихъ сторонъ разна 2,25 дюйм ; въ подобномъ ому
треугольникѣ разность двухъ сторонъ, сходственныхъ первымъ,
равна 2,7 дюйм., а периметръ этого треугольника содержитъ 13,1
дюйм. Опредѣлить стороны послѣдняго. Отв. 3; 5,7 и 4,4 дюйм.
57.	Периметръ треугольника содержитъ 28 арш. 2 вершк., а ли-
нія, дѣлящая одинъ изъ его угловъ пополамъ, дѣлить противополож-
ную сторону на два отрѣзка, соотвѣтственно равныхъ 3 ар. 12 вѳр.
и 5 арш. 10 вершк. Опредѣлить стороны этого треугольника.
Отв. 7 арш. 8 вершк.; 11 арш. 4 воршк. и 9 арш. 6 вершк.
58.	Двѣ стороны треугольника соотвѣтственно равны 15 и 20
фут., а линія, дѣлящая уголъ между ними пополамъ, разсѣкаетъ
противоположную сторону иа два отрѣзка, изъ которыхъ одинъ
на 2 фут. 8 дюйм. больше другого. Опредѣлить 3-ю сторону тре-
угольника. Отв. 18 фут. 8 дюйм.
59.	Стороны треугольника соотвѣтственно равняются 17х/г, 18х/э в
Ів8/^ дюйм., а периметръ подобнаго ему треугольника содержитъ 323/<
дюйм. Опредѣлить стороны послѣдняго. Отв. 10х/2, Пи II1/* дюйм.
60.	Стороны треугольника соотвѣтственно равняются 18,4; 20,8
и 25,6 дюйм., периметръ же его иа 24,3 дюйм. больше периме-
— 296 —
тра подобнаго ему треугольника. Опредѣлить стороны послѣдняго.
Отв. 11,5; 13 и 16 дюйм.
61.	Сходственныя діагонали двухъ подобныхъ параллелограм-
мовъ соотвѣтственно равняются 851/8 и 57 дюйм., притомъ пери-
метръ одного содержитъ 1833/ь Дюйм., а большая сторона другого 51
дюйм. Опредѣлить меньшую сторону послѣдняго. Отв. 101/4 дюі|м.
62.	Гипотеизуа прямоугольнаго треугольника содержитъ 41
дюйм., а одинъ изъ катетовъ 40 дюйм. Опредѣлить другой катетъ.
Отв. 9 дюйм.
63.	Катетъ прямоугольнаго треугольника содержитъ 42 фут. 8
дюйм., а прилежащій отрѣзокъ гипотенузы, отсѣченный пѳрпѳнди-
куляромъ, который опущенъ на нео изъ вершины прямого угла, со-
держитъ 32 фут. Опредѣлять гипотенузу. Отв. 56 фут. 102/3 дюйм.
64.	Перпендикуляръ, опущенный изъ вершины прямого угла
на гипотенузу, содержитъ 12 дюйм., а одинъ изъ отрѣзковъ ея—
9 дюйм. Опредѣлить гипотенузу. Отв. 25 дюйм.
65.	Гипотенуза прямоугольнаго треугольн. содержитъ 25 дюйм., а
одинъ изъ катетовъ 24 дюйм. Опредѣлить длину перпендикуляра, опу-
щеннаго изъ вершины прямого угла иа гипотенузу. Отв. Ъ18/і6 дюйм.
66.	Діагонали ромба соотвѣтственно равняются 24 и 32 дюйм.
Опредѣлить сторону ромба. Отв. 20 дюйм.
67.	Діагональ прямоугольника содержитъ 74 дюйм. и одна изъ
сторонъ ого—24 дюйм. Опредѣлить другую сторону. Отв. 70 дюйм.
68.	Основаніе треугольника содержитъ 52 дюйм., а двѣ прочія сто-
роны 41 и 15 дюйм. Опредѣлить высоту треугольника. Отв. 9 дюйм.
69.	Основаніе треугольника содержитъ 77 дюйм., а прочія сто-
роны 74 и 25 дюйм. Опредѣлить отрѣзки, на которые высота дѣ-
лить основаніе. Отв- 70 и 7 дюйм.
70.	Основаніе треугольника содержитъ 19 дюйм., а прочія двѣ сто-
роны 20 н 37 дюйи. Опредѣлить высоту треугольника. Отв. 12 дюйм.
71.	Основаніе треугольника содержитъ 28 дюйм., и одна изъ
прочихъ сторонъ—13 дюйм.; высота жа равняется 12 дюйм. Опре-
дѣлить длину линіи, соединяющей вершину треугольника со сре-
диною его основанія. Ошв. 15 дюйм
72.	Стороны параллелограмма соотвѣтственно равійя 11 и 16
дюйм., а большая діагональ его—23 дюйм. Опредѣлить другую
діагональ. Отв. 15 дюйм.
— 297 —
73.	Основаніе треугольника содержитъ 11 дюйм., а прочія двѣ
стороны 7^2 и 11Ч, дюйм. Опредѣлить длину линіи, соединяющей
вершину треугольника съ срединою его основанія. Отв. 8 дюйм.
74.	Основаніе треугольника содержитъ 48 дюйм., а прочія двѣ
стороны 45 и 5 дюйм. Опредѣлить длину линіи, дѣлящей уголъ
при вершинѣ пополамъ. Отв. 4'4 дюйм.
КЪ ГЛАВѢ VI.
75.	Вписанный уголъ опирается на дугу, которая составляетъ
0,14 всей окружности. Опредѣлить этотъ уголъ. Отв. 25°12'.
76.	Хорда раздѣляетъ окружность на двѣ части въ отношеніи
8:17. Опредѣлить эти части. Отв. 115°12' и 244°48'.
77.	Уголь вписанъ въ дугѣ, составляющей <7/я6 полуокружно-
сти. Опредѣлить этотъ уголъ. Отв. 169°12'.
78.	Одна изъ двухъ хордъ, составляющихъ тупой вписанный
уголъ, раздѣляетъ окружность въ отношеніи 3:13, а другая въ
отношеніи 4:21. Опредѣлить этогь уголъ. Отв. 117°27'.
79.	Два смежныхъ угла относятся какъ 7 : 8. Опредѣлить эти
углы. Отв. 84° н 96°.
80	Опредѣлить уголъ, который составленъ изъ касательной и
хорды, раздѣляющей окружность въ отношеніи 17: 31. Отв. 63°45'.
81.	Сторона вписаннаго тупого угла раздѣляетъ окружность на
двѣ части, изъ которыхъ одна содержитъ 36°27', а другая дѣлит-
ся второй стороной угла, начиная съ его вершины, въ отноше-
ніи 5:7. Опредѣлить этогь уголъ. Отв. 94°22'7’,5.
82.	Опредѣлить уголъ двухъ хордъ, пересѣкающихся внутри
круга, зная, что одинъ изъ его смежныхъ угловъ опирается на
дугу, составляющую а/16 окружности, а другой его смежный уголъ—
на дугу, составляющую 5/12 окружности. Отв. 81°.
83.	Двѣ хорды, стягивающія дуги въ 123°15' и 108°23', пересѣ-
каются внутри круга и образуютъ уголъ въ 98°15'. Опредѣлить
дуги, заключающіяся между его сторонами. Отв. 162°2б'и 34°4.
84.	Двѣ пересѣкающіяся внутри круга хорды образуютъ уголъ въ
83°16', а одна изъ дугъ, содержащаяся между его сторонами, иа
13°14' больше другой. Опредѣлить эти дуги. Отв. 89°53'и 76*39.
,85	. Двѣ сѣкущія, встрѣчающіяся внѣ круга, образуютъ уголъ
въ 18°25‘, а меньшая дуга, заключающаяся между его сторонами,
содержитъ 25°20'. Опредѣлить большую дугу. Отв. 62°10'.
— 298 —
86.	Двѣ сѣкущія, встрѣчающіяся внѣ круга, образуютъ уголъ
въ 26°10' н отсѣкаютъ отъ окружности дуги въ 87°16' и 95°12\
Опредѣлить дуги, заключающіяся между сторонами угла.
Отв. 114°56' и 62°36'.
87.	Двѣ хорды, пересѣкающіяся внутри круга, образуютъ уголъ
въ 12Р15', а дуги, которыя заключаются между ого сторонами и
ихъ продолженіями, относятся какъ 17:8. Опредѣлить эти дугн_
Отв. 164°54' н 77°36'.
88.	Двѣ хорды пересѣкаются внутри круга подъ прямымъ уг-
ломъ; одна изъ иихъ дѣлить меиьтую дугу, стягиваемую другой,,
въ отношеніи 1 : 2, а вторая дѣлить меньшую Дугу, стягиваемую
первой, въ отношеніи 1: 3. Опредѣлить дуги, стягиваемыя этими
хордами. Отв. 108° и 144°.
89.	Хорда дѣлить окружность на двѣ части такъ, что углы
вписанные въ нихъ относятся какъ 13:14. Опредѣлить эти углы.
Отв. 173°2О' и 186°4О'.
90.	Двѣ касательныя образуютъ уголъ въ 39°12'. Опредѣлить
меньшую часть окружности, содержащуюся между двумя точками
касанія. Отв. 140°48'.
91.	Уголъ, составленный касательной и сѣкущею, содержитъ
48*15', а дуга, отсѣченная сѣкущею, дѣлится точкою касанія на
двѣ части въ отношеніи 3:7. Опредѣлить эти части.
Отв. 168°52'30' и 72п22'30'.
92.	Въ равнобедренномъ треугольникѣ уголъ при вершинѣ в
уголъ при основаніи относятся какъ 22 : 29. Опредѣлить эти углы.
Отв. 49°30г и 65°15'.
93.	Въ равнобедренномъ треугольникѣ уголъ при основаніи на
23°12' больше угла при вершинѣ. Опредѣлить эти углы.
Отв. 6744' и 44°32'.
94.	Въ прямоугольномъ треугольникѣ острые углы относятся
какъ 23 :27. Опредѣлить эти углы. Отв. 48°36' и 41°24'.
95.	Одинъ изъ угловъ треугольника составляетъ 8/в другого и
третьяго угла. Опредѣлить углы троугольи. Отв. 53°2О', 60° и 6604(У.
96.	Вершины четыреугольника, вписаннаго въ кругѣ, раздѣ-
ляютъ окружность на 4 части, которыя по порядку относятся
какъ 4 : 7 : 5:11. Опредѣлить углы четыреугольника. Отв. 106°40',
100°, 73°2О' и 80°.
97.	Внѣшній уголъ равиобѳдрѳи. треугольника, образованный
- 299 -
продолженіемъ основанія, содержитъ 104°13'. Опредѣлить уголь
при вершинѣ треугольника. Отв. 28°26'
98.	Линія, дѣлящая уголъ при основаніи равнобедреннаго тре-
угольника пополамъ, образуетъ съ противоположной стороною уголъ»
обращенный къ основанію, въ 103®14'. Опредѣлить уголъ при вер-
шинѣ треугольника. Отв. 77°38'40*.
99.	Линія, проведенная чрезъ вершину равнобедреннаго тре-
угольника параллельно основанію его, образуетъ со стороною тре-
угольника уголъ въ 48°12'. Опредѣлить уголъ прн вершинѣ тре-
угольника. Отв. 83’36'.
100.	Въ вершинѣ угла въ 136°15' возставлены перпендикуляра
къ обѣимъ сторонамъ его. Опредѣлить острый уголъ, который
образуютъ эти перпендикуляры. Отв. 43°45'.
101.	Одинъ изъ внутреннихъ одностороннихъ угловъ двухъ па-
раллельныхъ линій на 26°12' больше другого. Опредѣлить вта
углы. Отв. 1ОЗ°6' и 76°54'.
102.	Тупой и острый углы имѣютъ стороны соотвѣтственно
параллельныя; первый же на 36°30' больше второго. Опредѣлить
тупой уголъ. Отв. 108°15'.
103.	Внѣшній уголъ треугольн. равняется 12О°15', а смежный
его иа 23°30' больше одного изъ внутреннихъ угловъ треуголь-
ника. Опредѣлить углы его. Отв. 59°45', 36°15% 84°.
104.	Перпендикуляръ, опущенный изъ вершины остраго угла
треугольника иа противоположную сторону, образуетъ съ двумя
прочими сторонами углы въ 56°13' и 23°17'. Опредѣлить углы тре-
угольника*. а) если онъ остроугольный, Ъ) если онъ тупоугольный.
Отв. а) 79°30', 33°47', 66°43', Ь) 32°56', 33’47', 113°17'.
105.	Внѣшній уголъ треугольника въ % раза больше одного
изъ внутреннихъ несмежныхъ съ нимъ угловъ, который иа 13°16г
больше другого внутренняго несмежнаго. Опредѣлить углы тре-
угольника,? Отв. 53°4', 60°36', 66’20'.
106.	Одинъ изъ угловъ треугольника равняется 76°18г, а перпен-
дикуляръ, опущенный изъ его вершины на противоположную сторо-
ну, дѣлить этотъ уголъ на двѣ части въ отношеніи 5:7. Опредѣ-
лить два другихъ угла треугольника. Отв. 58°12'30* и 45°29'ЗО'.
107.	Изъ точки внутри остроугольнаго треугольника опущены
перпендикуляры на стороны его, и два изъ угловъ, которые оия
образуютъ около этой тонки, равны 118°13' и 115°23'. Опредѣ-
лить углы треугольника. Отв. 64°37\ 53°36' и 61°47'.
— зоо —
108.	Одинъ изъ угловъ параллелограмма иа 23°15' больше
другого угла. Опредѣлить углы ого. Отв. 101°37'30* и 78°22'30*.
109.	Сумма внутреннихъ угловъ многоугольника составляетъ
2880°. Сколько сторонъ имѣетъ многоугольникъ? Отв. 18.
110.	Сумма внутреннихъ угловъ многоугольника вмѣстѣ съ од-
нимъ нзъ его внѣшнихъ угловъ составляетъ 3956°17'. а) Сколько
сторонъ имѣетъ многоугольникъ? Ь) сколько градусовъ и минуть
содержитъ внѣшній уголъ? Отв. а) 23; Ь) 176°17*.
111.	Сторона ромба образуетъ съ двумя діагоналями углы, изъ
которыхъ одинъ на 12°15' больше другого. Опредѣлить углы ромба.
Отв. 77°45' и 1О2°15'.
112.	Углы при основаніи треугольника равняются 5б°16' и
48°30'. Опредѣлить уголъ, который высота треугольника образуетъ
съ линіею, дѣлящей уголъ при вершинѣ пополамъ. Отв. 3°53'.
113.	Сторона ромба составляетъ съ діагональю его уголъ въ
36°23'. Опредѣлить углы ромба. Отв. 107°14' и 72°46'.
114.	Въ кругъ вписанъ треугольникъ, одна сторона котораго
діаметръ, а другія двѣ стороны стягиваютъ дуги, относящіяся
между собою какъ 15:17. Опредѣлить острые углы треугольника.
Отв. 47°48'45'; 42°11'15\
115.	Хорда раздѣляетъ окружность въ отношеніи 2 : 3, а другая
ей параллельная хорда дѣлить окружность въ отношеніи 7:8.
Опредѣлить дути, содержащіяся между этимн хордами. Отв. 24°.
116.	Въ какомъ положеніи находятся двѣ окружности, если
радіусъ меньшей содержитъ 12 фут. 6 дюймовъ, а разность ихъ
радіусовъ составляетъ 2/7 разстоянія центровъ, равнаго 18 фут.
8 дюйм.? Отв. Окружности пересѣкаются.
117.	Разстояніе центровъ двухъ окружностей, касающихся извнѣ,
равняется 15 арш. 102/3 вер., а радіусы ихъ относятся какъ 2:3.
Опредѣлитъ ихъ радіусы. Отв. 6 арш., 44/15 вер. н 9 арш. 62Д вер.
118.	Въ какомъ положеніи находятся двѣ окружности, если
разность ихъ радіусовъ равна 10*/15 дюйма, а разстояніе ихъ цен-
тровъ составляетъ ’/8 большаго и % меньшаго радіуса?
Отв. Одна окружность находится внутри другой.
119.	Въ кругѣ, котораго радіусъ равняется 25 дюйм., проведена
хорда въ 48 дюйм. Опредѣлить разстояніе ея отъ центра. Отв. 7 дюйм.
120.	Хорда въ 48 дюймовъ отстоитъ отъ центра на 18 дюйм.
Опредѣлить радіусъ. Отв. 30 дюйм.
— 301 —
121.	Въ кругѣ, котораго радіусъ равенъ 5 дюйм., проведена
хорда въ 98/5 дюйма, стягивающая извѣстную дугу. Опредѣлить
хорду, втягивающую половину этой дуги. Отв. 6 дюйм.
122.	Радіусъ окружности равенъ 8 арш. 8 вер.; изъ точки ея, от-
стоящей отъ конца даннаго діаметра на 11 арш. 573 вер., опущенъ пер-
пендикуляръ на него. Опредѣлить части, на которыя перпендикуляръ
дѣлитъ діаметръ. Отв. 7 арщ. 8% верш. и 9 арш. 71/д верш.
123.	Катетъ прямоугольнаго треугольника равняется 23,74
дюйм. и образуетъ съ гипотенузою уголъ въ 60°. Опредѣлить ги-
потенузу. Отв. 47,48 дюйм.
124.	Основаніе треугольника содержитъ 833/8 дюйм., а одна
изъ прочихъ сторонъ, составляющая съ основаніемъ уголъ въ 60°,
равняется б61/2 дюйм. Опредѣлить части, на которыя высота раз-
дѣляетъ основаніе. Отв. 28Ѵ4 и бб-5/^ дюйма.
125,	Двѣ стороны треугольника соотвѣтственно равняются 15
и 8 дюйм., а уголъ между нимм содержитъ 60’. Опредѣлить 3-ю
сторону. Отв. 13 дюймовъ.
126.	Двѣ стороны треугольника соотвѣтственно равны 24 и 21
дюйм., а уголъ между ними содержитъ 120°. Опредѣлить 3-ю сто-
рону. Отв. 39 дюймовъ.
127.	Сторона треугольника равняется 37,24 дюйм. и соста-
вляетъ съ основаніемъ его уголъ въ 30°. Опредѣлить высоту тре-
угольника. Отв. 18,62.
128.	Діагонали ромба равняются 56 и 192 дюйм. Опредѣлить
сторону его. Отв. 100.
129.	Хорда, отстоящая отъ центра на 15 дюйм., составляетъ
*/а діаметра. Опредѣлить хорду. Отв. 40 дюйм.
130.	Черезъ одинъ конецъ хорды проведенъ діаметръ, а изъ
другого конца ея опущенъ перпендикуляръ на пего. Опредѣлитъ
этотъ перпендикуляръ, предполагая, что діаметръ равенъ 1867/»
дюйм., а хорда 41 дюйм. Отв. 40 дюйм.
131.	Отъ точки, лежащей внѣ окружности, проведены двѣ сѣ-
кущія, соотвѣтственно равныя 23 арш. 4 верш. и 36 арш. 4,32
верш., внѣшняя же часть первой содержитъ 9 арш. 5,76 вершк.
Опредѣлить внѣшнюю частъ второй. Отв. 6 арш.
132.	Отъ точки иа разстояніи 74 дюйм. отъ центра круга про-
ведена касательная къ нему. Опредѣлить длину этой касательной,
предполагая что, радіусъ круга равенъ 24 дюйм. Отв. 70 дюйм-
— 302 —
133.	Отъ точки иа- разстояніи 69 дюймовъ отъ центра круга
проведена сѣкущая, которая дѣлится окружностью пополамъ. Опре-
дѣлить длину сѣкущей, предположивъ, что радіусъ круга равенъ
41 дюйм. Отв. 60 дюймовъ.
134.	Отъ точки, лежащей внѣ окружности, проведена касатель-
ная къ ней, равная 27,36 дюйм., и сѣкущая, внутренняя часть ко-
торой втрое болѣе ея внѣшней части. Опредѣлить длниу сѣкущей.
Отв. 54,72 дюйм.
3
135.	Хорда равняется 7,2 дюйм. и отстоитъ отъ центра на —
радіуса. Опредѣлить радіусъ. Отв. 4-^ дюйм.
136.	Двѣ хорды пересѣкаются внутри круга такъ, что части одной
соотвѣтственно равны 26,25 и 11,2 дюйм., а части второй относятся
какъ 2:3. Опредѣлить части второй хорды. Отв. 14 и 21 дюйм.
137.	Точка внутри круга отстоитъ отъ центра на 14,4 дюйм.,
а хорда, проведенная чрезъ нее, дѣлится въ этой точкѣ на двѣ
части, соотвѣтственно равныя 17,2 и 11,2 дюйма. Опредѣлить ра-
діусъ круга. Отв. 20 дюйм.
138.	Двѣ сѣкущія, проведенныя изъ внѣшней точки, равняются
57,92 и 37,38 дюйм., а внѣшняя часть одной на 10,27 дюйм. больше
внѣшней части другой. Опредѣлить внѣшнія части сѣкущихъ.
Отв. 18,69 и 28,96 дюйм.
139.	Даны прямая и точка на ней; кромѣ того дана другая точка
3
на разстояніи 10 арш. 11—- вер. отъ прямой и на разстояніи 12 арш.
8 вер. отъ первой точки. Опредѣлить діаметръ круга, проходящаго
чрезъ вторую точку м касательнаго къ прямой въ первой точкѣ.
Отв. 14 арш. 9-і- вер.
140.	Опредѣлить радіусъ круга, вписаннаго въ прямоугольный
треугольникъ, котораго гипотенуза равняется 74 дюйм., а катетъ
24 дюйм. Отв. 10 дюйм.
141.	Опредѣлить радіусъ круга, описаннаго около равнобѳдрѳи-
маго треугольника, котораго стороны равняются 18, 41 и 41 дюйм
Отв. 21 -дюйм.
— 303 —
142-	Опредѣлитъ радіусъ круга, вписаннаго въ равнобедренный
треугольникъ, коюраго стороны 48, 74 и 74 дюйм, Отв. 17 у дюйм.
КЪ ГЛАВѢ VII.
143.	Сколько сторонъ имѣетъ правильный многоугольникъ, ко-
тораго внутренній уголъ содержитъ а) 144°; Ь) 150°; с) 108°;
4) 165°; е) 135°? Отв. а) 10; Ъ) 12; с) 5; й) 24; е) 8.
144.	Сторона равносторонняго треугольника равняется 24,16
дюйм. Опредѣлить а) радіусъ вписаннаго круга; Ь) радіусъ опи-
саннаго около него круга *)
Отв. а)——]/ 3 = 6,974 дюйм.; Ь)
24,16
/У
=13,948 дюйм.
145.	Сторона равносторонняго треугольника, вписаннаго въ кругѣ,
-отстоитъ отъ центра его на 15 дюйм. Опредѣлить а) радіусъ круга;
Ь) сторону треугольника. Отв. а) 30 дюйм. Ь) 30 1/3=51,961 дюйм.
146.	Опредѣлить сторону равносторонняго треугольника, опи-
саннаго около круга, котораго радіусъ равенъ 4— дюйма.
Отв. 8,5 р7 3=1-1.722 дюйма.
147.	Опредѣлить радіусъ круга, въ который вписанъ прямо-
угольникъ, котораго стороны равняются 10 фут. 6 дюйм. и 2 фут
8 дюйм. Отв. 5 фут. 5 дюйм.
148.	Опредѣлить радіусъ круга, вписаннаго въ ромбѣ, кото-
раго діагонали равняются 4 арш. 8 вер. и 3 арш. 6 верш.
Отв. 1 арш. 5,6 верш.
149.	Высота равнобедреннаго треугольника равняется его осно-
ванію, а радіусъ круга, описаннаго около него, равняется 12,45
дюйм. Опредѣлить стороны треугольника.
Отв. 8Х12Л5=19;9,д.41<Ц12245==2
о	5
150.	Большая 'діагональ правильнаго шестиугольника превы-
шаетъ меньшую діагональ на 4,23 дюйм. Опредѣлить радіусъ
описаннаго круга. Отв. 4,23 (2-|-)ЛЗ)г=15,786 дюйм.
'*) Въ этой и слѣдующихъ задачахъ вычислены три десятичныхъ знака
— 304 —
151.	Опредѣлять діагонали правильнаго тестпѵгольпика, опи-
саннаго
около круга, котораго радіусъ равенъ 4 -"дюйм.
Отв. 9 дюйм.; X 4-|— 10,777 дюйм.
152.	Сторона равносторонняго треугольника, описаннаго около
круга, превышаетъ на 3 дюйма сторону вписаннаго квадрата.
1 (21/ 3 I 1/2ч
Опредѣлить радіусъ круга. Отв. 3 -?'—^=1,707 дюйм.
153.	Въ кругѣ, котораго радіусъ равняется 7—дюйм., вписанъ
правильный шестиугольникъ. Опредѣлить сторону правильнаго
шестиугольника, котораго вершины находятся въ срединѣ сторонъ
1 і/~з
вписаннаго. Отв. 7 у. --—6,351 дюйм.
154.	Гипотенуза прямоуюльнаго треугольника содержитъ 23,26
дюйм., а одинъ изъ острыхъ угловъ его вдвое больше другого.
Опредѣлить катеты. Отв. 11,63 дюйм.; 11,63/ 3=20,143 дюйм.
155.	Сторона правильнаго пятиугольника содержитъ 15,4 дюйм.
Опредѣлить а) радіусъ описаннаго и Ь) радіусъ вписаннаго круга.
Отв. а) 1,54/ПГ(5+/^)=13,1 дюйм.; Ь) 1,54 /25+10 /?=
10,593 дюйм.
156.	Опредѣлить діагональ правильнаго пятиугольника, впи-
саннаго въ кругѣ, котораго радіусъ равенъ 15,4 дюйм.
Отв. 15,4 '|//^/Ь1^1=295293 дюйм.
157.	Сторона правильнаго десятиугольника равняется 9,4 дюйм.
Опредѣлитъ а) радіусъ описаннаго и Ь) радіусъ вписаннаго круга.
Отв. 4,7 (1-/1/5)=15,209 дюйм.; Ь) 4,7 |/5-{“2|/"5 = 14,465 д„
158.	Опредѣлить сторону правильнаго восьмиугольника, вписан-
наго въ кругѣ, котораго радіусъ равенъ 1. Отв. 0,765 дюйм.
159.	Опредѣлить сторону правильнаго 12-угольннка, вписан-
наго въ кругѣ, котораго радіусъ равенъ 1. Отв. 0,517.
160.	Сторона правильнаго десятиугольника, вписаннаго въ
кругѣ, отстоитъ отъ центра на 8 дюйм. Опредѣлить сторону этого
десятиугольника. Отв. 5,199 дюйм.
— 305 —
16Ѵ Въ кругѣ, котораго радіусъ равенъ 7 дтойм/вписанъ пра-
вильный восьмиугольникъ. Опредѣлить периметръ треугольника,
составленнаго изъ трехъ разныхъ діагоналей его.
Ойи. 7 (2 4-)/ 2 4- /1 4- (/2)^36,834 дюйм
КЪ ГЛАВѢ ѴШ.
162 Опредѣлить площадь прямоугольника, котораго периметръ
содержитъ 69,98 дюйм., а разность сторонъ равняется 8,51 дюйм
Отв. 287,97 кв дюйм.
163.	Опредѣлить площадь прямоугольника, котораго стороны
относятся какъ 3:4, а изъ нихъ одна на 12 арш. 7—верш. боль-
5
ше другой Отв 1860 кв. арш. 7,68 кв. вершк.
164.	Опредѣлить стороны прямоугольникаг котораго ялощадь
содержитъ 52,9 кв. арш. и стороны относятся какъ 2:5.
л 1	3
Отв. 11— арш. и 4 — арш.
165.	Опредѣлить площадь квадрата, котораго діагональ рав-
няется 13,8 дюйм. Отв. 95,22 кв. дюйм.
166.	Опредѣлить площадь ромба, котораго діагонали равняют-
ся 14,8 и 16,5 дюйм. Отв. 122,1 кв. дюйм.
167.	Опредѣлить сторону ромба, котораго площадь содержитъ
4 дес. 1320 кв. саж., а большая діагональ равняется 182 саж.
Отв. 1-09 саж.
168. Опредѣлить сторону квадрата, равновеликаго прямоуголь-
нику, котораго стороны 13 фут. 6 дюйм. и 24 фут. 10 дюйм.
( Отв. 18,31 фут.
< , 169. Опредѣлить площадь равносторонняго треугольника, котора-
2
го сторона равняется 18 арш. ЛО-^вѳрш, Отв. 150,881 Кв. арш.
170.	Опредѣлить плопѵуіь равиобедреипаго треугольника, кото-
рато основаніе равняется724 дЮЙи. и пернметръбТу дюйм.
2	'	’
Отв. 218-г кв дгійкі 117	'	17 '•
О	< 7	! Г :	'	..
А Тьвждогь. Геометрія
20
— 306 —
171.	Опредѣлить площадь ромба, котораго сторона содержитъ
1	3
20—дюйм., а меньшая діагональ 26у дюйм. Отв. 414,96 кв. дюйм.
172.	Опредѣлить площадь треугольника, котораго стороны рав-
няются 6,5; 4 и 8,7 дюйм. Отв. 12,24 кв. дюйм.
173.	Опредѣлитъ площадь треугольника, котораго двѣ стороны
равняются 18 н 26 дюйм., а уголъ между ними содержитъ 60°.
Отв. 202,644 кв. дюйм.
174.	Опредѣлить площадь треугольника, котораго двѣ стороны
4
равны 53 фут. 4 дюйм. н 47 фут. 4у дюйм., а уголъ между ними
содержитъ 30°. Отв. 632 кв. фут.
175.	Опредѣлить площадь треугольника, котораго двѣ стороны
равны 23-^ и ЗОуфутамъ и уголъ между иимн содержитъ 45°.
Отв. 254,56 кв. фут.
176.	Опредѣлить площадь треугольника, котораго двѣ стороны
равны 13 и 10 арш., а уголъ между ними содержитъ 120°.
Отв. 56,292 кв. арш.
177.	Площадь равнобедреннаго прямоугольнаго треугольника
равняется 201,64 кв. дюйм. Опредѣлить стороны его.
Отв. 28,4 и 20,081 дюйм.
178.	Площадь прямоугольнаго треугольника равняется 103 кв.
Фут. 106,56 кв. дюйм, и одинъ изъ катетовъ содержитъ 13 фут.
3,6 дюйм. Опредѣлить гипотенузу и другой катетъ.
Отв. 20 фут. 6 дюйм.; 15 фут. 7,2 дюйм.
179.	Опредѣлить въ десятинахъ площадь прямоугольнаго тре-
угольника, котораго гипотенуза содержитъ 283 саж. 1 арш., а
катетъ 280 саж. Отв. 2 дес. 1266 кв. саж. 6 кв. арш.
180.	Опредѣлить въ десятинахъ площадь параллелограмма, ко-
тораго стороны содержать 650 и 596 саж., а меньшая діагональ
126 саж. Отв. 29 дес. 960 кв. саж.
181.	Опредѣлить площадь параллелограмма, котораго діагонали
равняются 78 и 112, а меньшая сторона 25 саж. Отв. 1680 кв. саж.
182.	Площадь параллелограмма равняется 2750 кв. фут., мень-
шая діагональ его содержитъ 62 фут. 6 дюйм., а высота 37 фут.
6 дюйм. Опредѣлять стороны параллелограмма.
Фтв. 44 фут. 2 дюйм. я 73 фут. 4 дюйм.
— 307 —
183.	Стороны двухъ квадратовъ относятся какъ 6:3, а пло-
щадь перваго на 784 кв. а-ртп. больше площади второго. Опредѣ-
лить стороны квадратовъ. Отв. 35 и 21 арш.
184.	Опредѣлить площадь ромба, котораго сторона равна 6
фут., а тупой уголъ содержитъ. 144°. Отв. 21,16 кв. фут.
185.	Опредѣлить площадь параллелограмма, котораго стороны 10
и 17 фут., а уголъ между ними содержитъ 75°. Отв. 164,2 кв. фут.
186.	Параллельныя стороны трапеціи равняются 64 саж. и
42 саж. 2 арш., а весь треугольникъ, составленный чрезъ продол-
женіе непараллельныхъ сторонъ, содержитъ 1152 кв. саж. Опре-
дѣлитъ площадь трапеціи. Отв. 640 кв. саж.
187.	Площадь трапеція содержитъ 188,79 кв. дюйм., а парал-
лельныя стороны, изъ которыхъ одна на 7,26 дюйм. больше дру-
гой, отстоять другъ отъ друга на 8,12 дюйм. Опредѣлить эти
стороны. Отв. 19,62 и 26,88 дюйм.
188.	Большая изъ параллельныхъ сторонъ трапеціи равняется
18 дюйм.; она образуетъ съ одной нзъ непараллельныхъ сторонъ,
равной 10 дюйм. уголъ въ 45°, а съ другой — въ 60°. Опредѣ-
лить площадь трапеціи. Отв. 87,845 кв. дюйм.
189.	Стороны четыреугольника по порядку равны 56, 39, 52 н
63 футамъ, а діагональ, отдѣляющая первыя двѣ отъ двухъ дру-
гихъ, содержитъ 25 фут. Опредѣлить площадь четыреугольника.
Отв. 1050 кв. фут.
190.	Опредѣлить площадь равносторонняго треугольника, вписан-
наго въ кругъ, котораго радіусъ равенъ 62/3 дюйм. Отв. 57,735 кв. д.
191.	Опредѣлить площадь правильнаго шестиугольника, кото-
раго сторона равняется 5 фут. 4 дюйм. Отв. 73,902 кв. фут.
192.	Опредѣлить площадь правильнаго десятиугольника, кото-
раго сторона равняется 1 фут. 4 дюйм. Отв. 13,678 кв. фут.
КЪ ГЛАВѢ IX.
193.	Опредѣлить окружность и площадь круга, котораго ра-
діусъ равенъ 10 дюйм. Отв. *) 6,28 дюйм. и 314 кв. дюйм.
194.	Окружность круга содержитъ 768 дюйм. Опредѣлить ра-
діусъ. Отв. 122,3 дюйм.
*) Въ этой задачѣ а въ слѣдующихъ предположено я=3,14.
— 308 —
195.	Площадь круга содержитъ 864 кв. дюйм. Опредѣлить ра-
діусъ. Отв. 16,59 дюйм.
196	Радіусъ круга равняется 5 дюйм. Опредѣлить централь-
ный уголъ, соотвѣтствующій дугѣ въ 18 дюйм. Отв. 206°22'10'.
197.	Радіусъ круга содержитъ 4,8 дюйм.; опредѣлить а) дугу и
Ь) площадь сектора, соотвѣтствующія центральному углу въ 60°.
Отв. а) 5,024 дюйм. Ь) 12,0576 кв. дюйм.
198,	Радіусы двухъ концентрическихъ окружностей 11 и 9 дюйм.
Опредѣлить площадь, заключенную между ними. Отв. 125,6 кв. д.
199.	Площадь, заключенная между двумя концентрическими
окружностями, содержитъ 96 кв. дюйм., а радіусъ внѣшней окруж-
ности равняется 12 дюйм. Опредѣлить радіусъ внутренней окруж-
ности. Отв. 10,65 дюйм.
200.	Площадь круга, котораго радіусъ равняется 9 дюйм.,
раздѣлена пополамъ концентрической окружностію. Опредѣлить
радіусъ послѣдней. Отв. 6,363 дюйм.
201.	Радіусъ круга равняется 10 дюйм. Опредѣлить площадь
сегмента, соотвѣтствующаго хордѣ, равной радіусу. Отв. 9,03 дюйм.
202.	Площадь круга, котораго радіусъ равенъ 5,4. дюйм., раз-
дѣлена двумя концентрическими съ нимъ окружностями на 3 ча-
сти, которыя, начиная съ общаго центра, относятся какъ 4:3:2.
Опредѣлить радіусы двухъ концентрическихъ окружностей.
Отв. 4,762 дюйм. и 3,6 дюйм.
203.	Площадь, содержащаяся между двумя концентрическими
окружностями, содержитъ 124 кв, дюйм., а разность радіусовъ
двухъ окружностей равняется 3 дюйм. Опредѣлить радіусъ вну-
тренняго круга. Отв. 5,08 дюйм.
204.	Три окружности, которыхъ радіусы 8,4; 3,2 и 3,2
дюйм., находятся во внѣшнемъ соприкосновеніи. Опредѣлить
длину окружности, проходящей чрезъ центры этихъ круговъ.
Отв 37,89 дюйм.
205.	Гипотенуза прямоугольнаго треугольника на 4,5 дюйм.
больщѳ одного и на 3,4 дюйм. больше другого катета. Опредѣ-
лить площадь вписаннаго крута. Отв. 24,021 кв. дюйм.
206.	Секторъ, соотвѣтствующій центральному углу въ 23°17\
увеличивается на 4,256 кв. дюйм. при увеличеніи радіуса на 2
дюйм. Опредѣлить радіусъ Отв. 4,239 дюйм.	__
— 309 —
207	Къ хордѣ, равной 40 дюйм., проведенъ перпендикулярный
радіусъ. Часть этого радіуса отъ хорды до окружности содержитъ
10 дюйм. Опредѣлить окружность круга. Отв. *) 157,0795 дюйм. 1
208.	Двѣ окружности имѣюсь одииакіе радіусы, равные 9 дюйм.,
я центры ихъ отстоятъ другъ отъ друга на разстояніи, равномъ 1
радіусу, Опредѣлить площадь, общую обоимъ кругамъ, — ограни-
ченную дугами обѣихъ окружностей между ихъ точками пересѣ-
ченія. Отв. 99,498 кв. дюйм.
209.	Радіусъ круга содержитъ 4,2 дюйм. Опредѣлить площадь
ееі мента, соотвѣтствующаго хордѣ, равной сторонѣ вписаннаго
кьадраіа. Отв. 5,034 кв. дюйм.
210.	Въ кругѣ вписанъ прямоугольный треугольникъ, котораго
гипотенуза равняется 12,4 дюйм., а одинъ нзъ острыхъ угловъ
содержитъ 57°43' Опредѣлить длину дугъ, стягиваемыхъ катетами.
Отв, 6,987 дюйм. и 12,491 дюйм
211.	Изъ вершины прямого угла прямоугольнаго равнобедрен-
наго треугольника, котораго катетъ равняется 5,3 дюйм:., оцисана
окружность, радіусомъ, равнымъ катету, а изъ вершины остраго угла
радіусомъ, равнымъ гипотенузѣ, описана другая окружность, кото-
рая пересѣкается съ первой. Опредѣлить площадь той части пер-
ваго круга, которая находится внѣ второго. Отв. 28,09 кв. дюйм.
212.	Въ кругѣ,котораго радіусъ равняется 7,6 дюйм., проведены
двѣ параллельныя хорДы, нзъ которыхъ одна равна сторонѣ вписан-
наго правильнаго шестиугольника, а другая—сторонѣ вписаннаго пра=
вильнаію 12-угольника. Опредѣлить часть площади круга, содержа- -
щуюсямеЖдуэтимиіѳрдами:<) если хорды лежать по одной сторонѣ
центра и Ь) по разнымъ сторонамъ его. Отв. а) 4,55 и Ь) 175,54 Нв.-д.
СТЕРЕОМЕТРІЯ.
КЪ ГЛАВАМЪ ІиП.
213	Опредѣлить разстояніе точки отъ плоскости, предполагала^
эта точка отстоитъ отъ точки, данной на плоскости, на 11,38., ^-про-
екція линіи, соединяющей обѣ точка, равняется 4,62 **) Откь-10,4»-
*) Въ этой в въ слѣдующихъ задачахъ предположено я=3,14159
**) Числа линейныхъ, хвадратныхѣ и кубическихъ иэмѣреЪш “въ этой и въ
слѣдующихъ задачахъ взяты при произвольной линейной едашщѣ.	ч
— 310 —
214.	Въ центрѣ круга, котораго радіусъ 4, возставленъ пер-
пендикуляръ въ его плоскости; иа этомъ перпендикулярѣ дана,
гонка, отстоящая отъ центра па 317/в- Опредѣлить разстояніе ея
отъ окружности круга. Отв. 32 у8.
215.	Опредѣлить разстояніе точки отъ плоскости, зная, что-
вта точка отстоит отъ двухъ точекъ, данныхъ на плоскости, на
143 и 157, и что проекціи этихъ двухъ разстояній относятся
какъ 11:17. Отв. 132.
216.	Двѣ точки отстоять отъ плоскости на 1% и 1х%0, а про-
екціи линіи, соединяющей ихъ, равняется 1. Опредѣлить разстоя-
ніе этихъ точекъ ругъ отъ друга. Отв. 1Ѵв0.
217.	Въ вершинѣ прямого угла прямоугольнаго трѳугольннка-
возставленъ перпендикуляръ къ его плоскости; длина этого пер-
пендикуляра есть 1, а вершина его отстоитъ отъ концовъ гипо-
тенузы на 3 и 3. Опредѣлить гипотенузу. Отв. 4.
218.	Въ центрѣ круга, описаннаго около равносторонияготреутоль-
ника, возставленъ перпендикуляръ къ его плоскости; длина этого пер-
пендикуляра 4,5, а вершина его отстоитъ отъ одной мзъвершинъ,
треугольника, на 7,5. Опредѣлить площадь треугольника. Отв. 46,77.
219.	Линія АВ, длиною въ 3,9, параллельна дайной плоскости.
На эту линію опущенъ перпендикуляръ нзъ данной точки Р, рав-
ный 5,2; продолженіе же этого перпендикуляра отъ прямой ЛВдо
плоскости равняется 1,4. Опредѣлить разстояніе между собою то-
чекъ пересѣченія линій РА и РВ съ плоскостью. Отв. 4,95.
220.	Между двумя параллельными плоскостями на разстояніи.
1,5 другъ отъ друга проведены перпендикуляръ и косвенная ли-
нія; разстояніе ихъ основаній въ одной плоскости есть 32,3, а въ
другой 32,5; проекція же косвенной линіи на первую плоскость-
перпендикулярна къ линіи, соединяющей ихъ основанія въ этой'
плоскости. Опредѣлить длину косвенной линіи. Отв. 3,9.
221.	Два прямыхъ угла съ параллельными сторонами, об'ра*
щѳнными въ одну сторону, расположены такъ, что линія, соеди-
няющая ихъ вершины, равная 165, перпендикулярна къ плоскот-
етямъ ихъ. На сторонѣ одного изъ угловъ, начиная съ его вер-
шины, отложена частъ равная 48, а на сторонѣ другого, непарал-
іельноЙ первой, часть равная 20. Опредѣлить разстояніе межд^
І)6ою коицрвъ $тихъ частей. Отв- 173.
— 811 —
222.	Отъ точки, отстоящей иа 4,5 отъ плоскости, проведена
линія къ этой плоскости подъ угломъ 45°. Опредѣлить длииу этой
линіи. Отв. 6,364.
223.	Отъ точки проведена линіи длиною въ 5,6 къ плоскости подъ
угломъ 30°. Опредѣлить разстояніе точки отъ плоскости. Отв. 2,8.
224.	Два прямоугольныхъ треугольника, имѣющихъ общій ка-
тетъ, расположены такъ, что ие общій катетъ одного перпендику-
ляренъ къ гипотенузѣ другого; гипотенуза же перваго равняется
1,2, а ие общій катетъ другого 1,6. Опредѣлить разстояніе двухъ
ие общихъ вершинъ треугольниковъ. Отв. 2.
225.	На плоскости дана точка, разстояніе которой отъ другой
плоскости составляетъ половину перпендикуляра, оаущенклто изъ
той же точки на линію пересѣченія обѣихъ плоскостей. Опредѣ-
лить уголъ, который образуютъ эти плоскости. Отв. 30°.
226.	На плоскости даны двѣ точки, изъ которыхъ опущены
перпендикуляры на другую плоскость; основанія этихъ перпенди-
куляровъ отстоять отъ линіи пересѣченія плоскостей на 7,91 и
5,65; первый же изъ нихъ равняется 7,28. Опредѣлить длину
другого перпендикуляра. Отв. 5,2.
227.	Прямая содержится между сторонами прямого двугран-
наго угла, а перпендикуляры, опущенные изъ основаній ея на
ребро угла, равняются 16 и 12 и отсѣкаютъ отъ этого ребра часть
равную 12. Опредѣлить длину этой линіи. Отв. 29.
КЪ ГЛАВѢ ПІ.
228.	Прямая призма, имѣющая въ основаніи равносторонній
треугольникъ, котораго площадь равняется 25, пересѣчена пло-
скостью, проходящей чрезъ сторону основанія и составляющей съ
иимъуголъвъ45°. Опредѣлить площадь этого сѣченія. Отв. 35,356
229.	Прямой параллелепипедъ съ квадратнымъ основаніемъ, ко-
тораго периметръ 12, пересѣченъ плоскостью, проходящею чрезъ
сторону нижняго основанія. Эта плоскость пересѣкаетъ линію, соеди
няющую центры двухъ основаній, въ точкѣ, которая отстоитъ отъ
нижняго основанія на 2. Опредѣлить площадь сѣченія. Отв. 15.
230.	Правильная осьмнугольная пирамида, сторона основанія
которой равняется 2,4, пересѣчена плоскостью, параллельной осно-
—- 312----
веигію, раздѣляющей высоту пирамиды пополамъ. Опредѣлита-тЬІЪ-
щадь- сѣченія. Отв.13'906. -	-	,;1і ’и
231,	Въ правильной четыреугольной пирамидѣ, которой
3,	6, а сторона основаніе 4,2, Помѣщенъ кубъ, четыре вершины
котораго находятся на основаніи пирамиды, а остальныя четыре
на боковыхъ ребрахъ. Опредѣлить сторону куба* Оіпв. Й,4.
232.	Высота прямой прнзчы, которой основаніе равноСТорой,
треугольникъ, равняется 92,6, а сторона основанія 60,8; Опре-
дѣлитъ полную поворхность-призмы. Отв. 20891.	1 ' ' 1
233.	Высота прямой призмы, которой основаніе равноеторои.
треугольникъ, равняется 66, а площадь основанія 792. Опредѣ-
лять боковую поверхность призмы. Отв. 8468.
234.	Основаніе прямой призмы равиобсдр. треугольникъ, кото-
раго основаніе равно 16, а равныя стороны 21, боковая аѳ пО^
вѳркность призмы равняется 986. Опредѣлить высоту оя. Отв-. 17
235.	Высота прямой треугольной призмы 38, двѣ стороны ея
основанія равны 67 и 7з, й боковая поверхность 8360. Опредѣ-
лить 3-ю сторону основанія. Отв. 80.
236.	Высота прямой треугол. призмы 29, одна изъ сторонъ ея
основанія 24, площадь основанія 203 а боковая поверхность 2436.
Опредѣлить двѣ другія стороны основанія. Отв. 39,46 и 20,54.
237» Полная поверхность прямого параллелопипеда съ квадрат-
нымъ основаніемъ равна 608,22, а боковая поверхность его 370,6.
Опредѣлить его высоту. отѳ, 8,5.
238.	Полная поверхность прямого параллелепипеда съ квадрат-
нымъ основаніемъ равна 8928, а высота его 44. Опредѣлить сто-
рону квадратнаго основанія. Отв. 36.
239.	Высота прямого параллелепипеда съ квадратнымъ осно-
ваніемъ равна 94, а боковая поверхность его 45120. Опредѣлить
діагональ параллелепипеда, Отв. 194.
240.	Полная поверхаость прямого параллелепипеда равна.
1750,32, боковая поверхность 960 и одна нзъ сторонъ Основаніи
17,8. Опредѣлить высоту параллелепипеда. Отв. 12.
241.	Боковая поверхность прямоугольнаго параллелепипеда ран-
ка 2820, площадь его основанія 819, а высота его 23,5. Опредѣг
лить стороны основанія. Отв. 39; 21.
242.	Боковая, поверхность прямоугольнаго параллелепипеда
8960, полная поверхность 5472 и высота его 36. Опредѣлить
діагональ параллелепипеда. Отв. 53.
— 313 —
243,	Основаніе прямого параллелепипеда есть ромбъ, котораго
сторона 35, а меньшая діагональ 42; площадь же діагональной <
плоскости, проходящей чрезъ меньшую діагональ основанія, 924.
Опредѣлить полную поверхность. Отв. 5432.
244.	Высота прямого параллелепипеда, котораго основаніе
ромбъ, равна 8, меньшая діагональ основанія 14, а полная по-
верхность 1472. Опредѣлить сторону основанія. Отв. 25.
245.	Основаніе прямого параллелепипеда есть ромбъ, одинъ ивъ
угловъ котораго содержитъ 30°, полная поверхность 2025, а вы-
сота параллелепип. 14. Опредѣлить сторону основанія. Отв. 25.
246.	Основаніе прямого параллелей. есть параллелограммѣ, кото-
раго стороны 17,6 н 15,7; высота параллелепипеда 12 и полная
поверхность его 759,84 Опредѣлить діагонали основанія. Отв. 18,5^
247	Основаніе парадлелеп. есть параллелограммъ, котораго двѣ
стороны 14 и 16, а острый уюлъ содержитъ 60°, площадь же діаго->
вольной плоскости, проходящей чрезъ большую діагональ, равна
390 Опредѣлить боковую поверхность параллелепипеда. Отв. 900.
248.	Основаніе прямой призмы—трапеція, которой непаралг
лольныя стороны равны, а одна изъ параллельныхъ сторонъ ея
84, разстояніе же между параллельными сторонами 36; площадь
трапеціи 2052 и высота призмы 38. Опредѣлить полную поверх-
ность ея. Отв. 11856.
249.	Діагоналъ куба 39. Опредѣлить полную поверхность его.
Отв. 3042.
250.	Площадь діагональной плоскости куба 480. Опредѣлить
полную поверхность его Отв. 2036,448.
251.	Основаніе прямой призмы—правильный шестиугольникъ,
котораго площадь равна 424; высота же призмы 12. Опредѣлить
боковую поверхность. Отв. 919,8.
252.	Основаніе прямой, призмы—правильный осьмиугольннжъ,
котораго площадь равна 536: высота же призмы 9. Опредѣлить
боковую поверхность. Отв. 758,6.
253.	Трн боковыя ребра прямой усѣченной треугольной призмы
равны 35, 39 н 47, а стороны ея основанія, противоположныя этимъ
ребрамъ, соотвѣтственнЬ равны 20, 25 н 33. Опредѣлить полную
поверхность усѣченной' призмы. Отв 3852,4*	,
254,	Доковая поверхность наклонной прнамы равна 18067,
сѣченіе, перпендикулярное къ ея боковымъ ребрамъ есть іре-1
— 314 -
угольникъ, котораго стороны 63, 69 и 71. Опредѣлить боковое
ребро призмы. Отв. 89.
255.	Основаніе правильной пирамиды есть треугольникъ, кото-
раго сторона 12; высота же пирамиды 18. Опредѣлить полную
поверхность пнрамнды. Отв. 392,299.
256.	Высота правильной треугольной пирамиды 15, а боковое
ребро 18. Опредѣлить боковую поверхность. Отв. 408,525.
257.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды 10 и
площадь одного изъ боковыхъ треугольниковъ 48. Опредѣлить пол-
ную поверхность пирамиды. Отв- 206,353.
258.	Высота правильной пирамиды съ квадратнымъ основа-
ніемъ равна 30, а боковая поверхность ея 2176. Опредѣлить сто-
рону основанія. Отв. 32.
258.	Полная поверхность правильной пнрамнды съ квадрат-
нымъ основаніемъ равна 4704, а апоеема ея—35. Опредѣлить-
высоту пнрамнды. Отв. 28.
260. Боковое ребро правильной четыреугольной пирамиды равно
74, а площадь одного изъ боковыхъ треугольниковъ 1680. Опре-
дѣлить сторону основанія. Отв. 48.
>261. Высота правильной пятиугольной пирамиды 45, а сторона,
основанія 41. Опредѣлить боковую поверхность. Отв. 5444,12.
262.	Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды 17, або-
ковая поверхность 720. Опредѣлить высоту пирамиды. Отв. 5,7445.
263.	Апооема усѣченной правильной треугольной пирамиды 14,.
а стороны двухъ ея основаній 18 н 12. Опредѣлить полную по-
верхность усѣченной пирамиды. Отв. 832,65.
264.	Высота усѣченной правильной четыреугольной пирамиды
24, а стороны двухъ основаній ея 29 и 15. Опредѣлить боковую
поверхность усѣченной пирамиды. Отв. 2200.
265.	Площади основаній усѣченной правильной четыреугольной
пирамиды равны 3249 и 961, а полная поверхность ея 23380.
Опредѣлить высоту усѣченной пирамиды. Отв. 84.
КЪ ГЛАВѢ IV.
266.	Высота прямой призмы, которой основаніе равносторон-
ній треугольникъ, равняется 32,4, а сторона основанія 14,и
Опредѣлить объемъ призмы. Отв. 2949,72.
— 315 —
267.	Боковая поверхность прямой призмы, которой основаніе-
равносторонній треугольникъ, равна 576, а объемъ призмы 1152.
Опредѣлить сторону основанія. Отв. 13,856.
268.	Боковая поверхность прямой призмы, которой основаніе
равносторонній треугольникъ, равна 291,2; полная поверхность
338,24 и одна изъ равныхъ сторонъ основанія 7. Опредѣлить объ-
емъ призмы. Два рѣш.: 305,76 и 2615*/75.
269.	Объемъ прямой треугольной призмы 12672, высота ея 33
и двѣ стороны ея основанія 24 и 32. Опредѣлить 3-ю сторону
основанія. Отв. 40.
270.	Боковая поверхность прямой треугольной призмы 1320,
полная ея поверхность 1683 н двѣ стороны основанія 22 н 16,5.
Опредѣлить объемъ призмы. Отв. 3630.
271.	Высота прямоугольнаго параллелепипеда съ квадратнымъ
основаніемъ равна 31, а полная его поверхность 3486. Опредѣ-
лить объемъ его. Отв. 13671.
272.	Полная поверхность прямоугольнаго параллелепипеда равна-
2238, одна изъ сторонъ основанія 19, а объемъ 7182. Опредѣ-
лить высоту параллелепипеда. Отв. 18 и 21.
273.	Полная поверхность прямого параллелепипеда, котораго осно-
ваніе ромбъ, равна 634,32, меныпая діагональ основанія 9,9 а пло-
щадь діагональной плоскости, проходящей чрезъ эту діагональ, рав-
няется 118,8. Опредѣлить объемъ параллелепипеда. Отв. 997,92.
274.	Стороны параллелограмма, служащаго основаніемъ паралле-
лепипеда, равны 52,8 и 17,1, площадь основанія 902,88, а пло-
щадь діагональной плоскости, проходящей чрезъ діагональ основа-
нія, 1720,5. Опредѣлить объемъ параллелепипеда. Отв. 27989,28.
275.	Объемъ прямого параллелепипеда, котораго основаніе па-
раллелограммъ, равенъ 4989,6, полная поверхность его 1854,96,
а двѣ стороны его основанія 23,1 и 10,8. Опредѣлить высоту па-
раллелепипеда. Отв. 20.
276.	Прямая призма имѣетъ въ основаніи трапецію, которой
непараллельныя стороны равны, а параллельныя равны 51 и 19.
Боковая поверхность призмы 1794, а высота ея 13. Опредѣлить,
объемъ ея. Отв. 13650.
277.	Полная поверхность куба 2166. Опредѣлить его объемъ^
Отв. 6859.
— 316 —
278, Основаніе прямой усѣченной призмы есть треугольникъ,
котораго стороны 12, 14 н 18, а боковыя ребра 28, 32 и 36
Опредѣлить объемъ усѣченной призмы. Отв. 2685.
278.	Основаніе наклонной призмы треугольникъ, котораго сто-
роны 35, 21 и 28, а разстояніе между двумя ея основаніями 59.
Опредѣлить объемъ призмы. Отв. 17346.
280.	Высота правильной треугольной пирамиды 35, а сторона
ея основанія 42. Опредѣлить объемъ. Отв. 8911,4.
281.	Апоеема правильной треугольной пирамиды 23, а полная
поверхность ея 1750. Опредѣлить объемъ пирамиды. Отв. 3687,58.
282 Высота правильной четыреугольной пирамиды 16, а пол-
ная поверхность 1536. Опредѣлить объемъ. Отв. 3072.
283.	Апоѳема правильной четыреугольной пирамиды 39, а бо-
ковая ея поверхность 2340. Опредѣлить объемъ. Отв. 10800.
284.	Боковое ребро правильной пятиугольной пирамиды 26, а
сторона ея основанія 20. Опредѣлить объемъ. Опгв. 4516,1.
285.	Объемъ правильной шестиугольной пирамиды 8400, асто-
роиа основанія 22. Опредѣлить высоту пирамиды. Отв. 20,04.
286.	Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды 37, а бо-
ковая поверхность 2520. Опредѣлить объемъ пирамиды. Отв. 14046,9.
287.	Высота усѣченной правильной треугольной пирамиды 130,
стороны жо основаній 42 и 30. Опредѣлить объемъ усѣченной
пирамиды. Отв. 73630.
288.	Высота усѣченной правильной четыреугольной пирамиды
18, сторона нижняго основанія 17, а объемъ усѣченной пирамиды
4074. Опредѣлить сторону верхняго основанія. Отв. 13.
289.	Сколько кубическихъ метровъ кислорода содержится въ
прямоугольной комнатѣ, которой длина 9 метровъ, ширина 62/»
метровъ н высота 4% метра, если въ 100 частяхъ воздуха со-
держится 21 часть кислорода? Отв. 56,7 куб. метровъ.
290.	Четыроугольная балка длиною въ 15 фут. разрѣзана на
доски; оейоѣаніе балки прямоугольникъ, котораго стороны 2х/а и
12/3 фут. Сколько квадратныхъ футовъ досокъ получится изъ бал-
ки, если изъ одного кубическаго фута выходитъ 8 квадратныхъ
фут. досокъ? Отв. 500 квадратныхъ фут.
291.	Колодезь съ квадратнымъ отверстіемъ въ 3% фут., кото-
раго глубина 25 фут., выложенъ кирпичной стѣною въ а/4 фут.
толщйны. Сколько кубическихъ футовъ содержитъ стѣна? Отв.
.3371/, кубическихъ футовъ.
— 317 —
292.	Въ ящикъ съ водою, котораго длина 3 фут., а ширина.
2*/в фут., погруженъ камень, вслѣдствіе чего вода въ ящикѣ под-
нялась на 4 дюйма н совершенно покрыла камень. Опредѣлить
объемъ камня. Отв. 2г/а куб. фут.
293.	Каменное строеніе, котораго длина 60 фут., ширина 40
фут. и вышина до крыши 36 фут., имѣетъ 48 оконъ и двѣ двери.
Ширина каждаго окна 4 фут., а вышина 6 фут., ширина же двери
4 фут и высота ея 88/4 фут. Сколько потребуется кирпичей на
это строеніе, если каждый кирпичъ 1 фут. длины, */я Фут. ши-
рины и 7в ФУТ- толлінвьР Отв. 103716.
294.	Пирамида, отлитая изъ золота, имѣетъ 4 сантим. высоты,
а основаніе ея есть треугольникъ, котораго высота 1,5 сантнм. н
основаніе 0,4 сантим. Удѣльный вѣсъ золота 19,325, и кило-
граммъ этого золота стоитъ 900 руб. Опредѣлить цѣнность пира-
миды. Отв. 6 руб. 97 коп.
295.	Клинъ имѣетъ въ основаніи прямоугол., котораго стороны
3 и 27а дюйм., а острое, параллельное большей сторонѣ основанія,
имѣетъ длину 2 дюйм. Опредѣлить объемъ клнна. Отв. 50 куб. дюйм.
296.	Пирамида изъ чугуна, котораго удѣльный вѣсъ 7,5, вѣсить
1012,5 килограм.; основаніе пирамиды есть квадратъ, котораго сторо-
на равняется 45 сантим. Опредѣлить высоту пирамиды. Отв. 2 метра.
297.	Прямолинейная плотина длиною въ 150 фут. имѣетъ по
всему протяженію 12 фут. вышины, 8 фут. ширины вверху и
16 7а Фут. ширины внизу. Сколько кубическихъ фут. содержитъ
плотина? Отв, 22050 кубическихъ фут.
298.	Прямая квадратная усѣченная пирамида изъ гранита, ко-
тораго удѣльный вѣсъ 2,6, вѣситъ 6604 кнлограм. Высота усѣ-
ченной пирамиды 1,5 метр., а сторона нижняго основанія 1,4 метр.
Опредѣлить сторону верхняго основанія. Отв. 1,2 метр.
К Ъ Г Л А В ѣ V.
299.	Цилиндръ пересѣченъ плоскостью, которая параллельна
его осн н отстоитъ отъ послѣдней на 3. Площадь сѣченія рав-
няется 120, а діагональ фигуры сѣченія равна 17. Опредѣлить:
а) высоту цилиндра, Ь) радіусъ его. Отв. а) 15, Ь) 5". ,,
Въ конусѣ, котораго высота 6, а радіусъ основанія 7,
вписана правильная пирамида съ квадратнымъ основаніемъ. Опре-
дѣлить площадь одной изъ -боковыхъ сторонъ ея. Онв/ 387г
— 318 —
301.	Радіусъ цилиндра 15,6, а высота его 22,4. Опредѣлить: а
полную его поверхность, Ь) объемъ его*). Отв.а) 3724,672; Ь) 17125,4.
302.	Радіусъ цилиндра 24, а объемъ его 115200. Опредѣлить
боковую поверхность. Отв. 9600.
303.	Окружность основанія цилиндра 52, а площадь сѣченія,
проходящаго чрезъ ось цилиндра, равна 480. Опредѣлить объемъ
цилиндра. Отв. 6240.
304.	Высота цилиндра 36, а полная поверхность его 5200.
Опредѣлить объемъ. Отв. 28718.
305.	Боковая поверхность цилиндра 954, а его объемъ 5724.
Опредѣлить радіусъ основанія. Отв. 12.
306.	Радіусъ основанія конуса 45, а образующая 75. Опредѣ-
лить полную поверхность конуса. Отв. 16964,34.
307.	Радіусъ основанія конуса 35, а площадь сѣченія, проходя-
щаго чрезъ ось конуса, 2940. Опредѣлить объемъ его. Отв. 107757,5.
308.	Радіусъ основанія конуса 16, а полная поверхность его
2880. Опредѣлить его объемъ. Отв. 10205,18.
309.	Образующая конуса 53, а высота его 45. Опредѣлить
боковую поверхность. Отв. 4662,2.
310.	Образующая конуса 35, а площадь сѣченія, проходящаго че-
резъ ось, 588. Опредѣлить полную поверхность конуса. Отв. 3694,55.
311.	Высота конуса 62, а боковая поверхность 7440. Опредѣ-
лить объемъ конуса. Отв. 71046,6.
312.	Боковая поверхность конуса 1080, а полная поверхность
1440. Опредѣлить объемъ конуса. Отв. 3633,2.
313.	Радіусы основаній усѣченнаго конуса 18 н 10, а образую-
щая 28. Опредѣлить: а) боковую поверхность, Ь) объемъ усѣчен-
наго конуса. Отв. а) 2463,06; Ь) 16971,92.
314.	Радіусы основаній усѣченнаго конуса 17 и 12, а объемъ
«го 16800. Опредѣлить боковую поверхность его. Отв. 2339,29.
315.	Радіусъ нижняго основанія усѣченнаго конуса 26,образующая
55, а боковая поверхность 8280. Опредѣлить высоту. Отв. 54,848.
316.	Радіусъ нижняго основанія усѣченнаго конуса 8,4, боковая
поверхность его 816, а площадь сѣченія, проходящаго черезъ ось
«го, 252. Опредѣлить объемъ усѣченнаго конуса. Отв. 2396,83.
317.	Образующая усѣченнаго конуса 37, высота его 75, а объемъ
48198,8. Опредѣлить радіусы основаній. Отв. 26,647 и 14,648.
*) Въ этой в гь слѣдующихъ задачахъ предположено «=3,14159.
— 319 —
318,	Окружность большого круга шара 240. Опредѣлить п<н
«ерхность его. Отв. 18334,66.
319.	Поверхность шара 3840. Опредѣлить объемъ его. Отв.
-.22375,2.
320.	Радіусъ малаго круга 12, а разстояніе его отъ центра 9.
Опредѣлить объемъ шара. Отв. 14137.
321.	Радіусъ шара 39, а радіусъ основанія шарового сегмента
36. Опредѣлить объемъ этого сегмента. Отв. 56095,7.
322.	Радіусъ основанія шарового сегмента 25, а полная по-
верхность его 4680. Опредѣлить объемъ сегмента. Отв. 17142,4.
323.	Радіусы основаній шарового пояса 60 н 39, а радіусъ
шара 65. Опредѣлить боковую поверхность пояса. Отв. 11027.
324.	Радіусъ шара 26, высота шарового пояса 14, а радіусъ од-
ного изъ его основаній 24. Опредѣлить объемъ пояса. Отв. 16302,7.
325.	Радіусы основаній шарового пояса 20 н 15, а боковая
поверхность его 785,4. Опредѣлить объемъ его. Отв. 991,15.
326.	Боковая поверхность шарового пояса 200, полная по-
верхность его 900, а радіусъ одного изъ основаній 11. Опредѣ-
лить объемъ пояса. Отв. 1009,5.
327.	Радіусъ шара 39. Опредѣлить объемъ шарового сектора, со-
отвѣтствующій сегментъ котораго имѣетъ высоту 3. Отв. 9556,75*
328.	Объемъ шарового сектора 10400, а высота соотвѣтствую-
щаго ему сегмента 13. Опредѣлить радіусъ основанія этого сег-
мента. Отв. 18,416.
329.	Глиняная труба имѣетъ 10 фут. длины н 2% фут. во
внѣшней окружности, толщина ея стѣнки равняется Р/8 дюйм.
Опредѣлить вѣсъ всей трубы, зная, что 1 куб. дюймъ глины вѣ-
рить 3,25 лота. Отв. 11 пуд. 22 фунт. 9,67 золоти.
330.	Одинъ конецъ бревна, котораго длина 24 фут., имѣетъ
въ окружности 9 фут., а другой 6,84 фут. Опредѣлить объемъ
его. Отв. 120,6 куб. фут.
331.	Свинцовый цилиндръ покрыть концентрическимъ слоемъ
пробки такъ, что радіусъ внѣшней поверхности всего цилиндра
равняется 36,77 сантиметра. Весь цилиндръ погружается въ воду
ровно на половину; удѣльный вѣсъ пробки 0,24, асвиица—11,33.
Опредѣлить радіусъ свинцоваго цилиндра. Отв. 5,52 снатиметра.
332.	*Мѣдная труба длиною въ 1,2 метр. вѣситъ 90 килогр.;
внѣшній діаметръ трубы 0,95 метр., а удѣльный вѣсъ мѣди 9.
Опредѣлить толщину стѣики трубы. Отв. 0,29 сантиметра.
-	320 —
333.	Цилиндрическій сосудъ, радіусъ отверстія котораго <
дюйм., содержитъ нѣкоторое количество воды; въ нее погружается
пирамида, всѣ четыре стороны которой суть одинакіе равносто-
ронніе’’ треугольники; сторона этихъ треугольниковъ равняется &
дюйм. На сколько поднимается вода въ цилиндрѣ, предполагая,
что пирамида вся погружена въ воду? Отв. 0,58 дюйм.
334.	Одинъ изъ катетовъ прямоугольнаго треугольника равенъ
4, а противоположный ему уголъ 30°. Въ какомъ отношеніи бу.
дутъ объемы трехъ тѣлъ, происшедшихъ отъ обращенія треуголь-
ника около трехъ его сторонъ? Отв. 1 : ]/3 : И2?_ — _? : о
335.	Опредѣлить вѣсъ свинцоваго шара, котораго діаметръ 6,4
’ Знтим., принимая удѣльный вѣсъ свинца равнымъ 11,38.
Отв 0,874 килогр.
ЗЗв. Опредѣлить діаметръ отверстія пушки, желѣзное ядро
которой вѣситъ 3 килограмма, принимая удѣльный вѣсъ желѣза
равнымъ 7,207. Отв. 11,22 сантиметра
937. Пустой желѣзный шаръ, котораго внѣшній радіусъ ра-
венъ 2 дециметр., погружается въ воду ровно на половину. Опре-
дѣлить толщину стѣнки шара, принимая удѣльный вѣсъ желѣза,
'раннымъ 7,4. Отв. 1,95 дёциметр.
РѢШЕНІЕ ЗАДАЧЪ.
Часть I. Планиметрія.
ГЛАВА II.
1.	На произвольно начертанной прямой откладываются посред-
ствомъ циркуля одна за другой всѣ данныя линіи.
2.	То же построеніе.
3.	На линіи АВ откладывается меньшая линія Л/2Ѵ.
4.	Изъ обоихъ кондовъ прямой АВ описываются окружности
равными радіусами; линія, соединяющая точки пересѣченія двухъ
окружностей, раздѣлитъ линію АВ пополамъ.
5.	Линія АВ дѣлится пополамъ, каждая часть опять пополамъ
и т. д.
6.	Если сложимъ линію з н Л и раздѣлимъ линію по-
поламъ, то получимъ бйлыпую изъ двухъ искомыхъ линій; если же
изъ з вычтемъ Л и раздѣлимъ линію з—й пополамъ, то получимъ
меньшую изъ двухъ искомыхъ линій.
7.	То же построеніе, какъ въ задачѣ 4.
8.	По обѣимъ сторонамъ точки О откладываются равныя части
ОМ и ОУ, и изъ точекъ М и У описываются дуги равными ра-
діусами; линія, соединяющая точку пересѣченія этихъ дугъ съ
точкою О, будетъ искомый перпендикуляръ.
9.	Изъ точки М описывается окружность, пересѣкающая пря-
мую АВ въ точкахъ Р ъ нзъ точекъ Р е $ описываются дути
равными радіусами; линія, соединяющая точку пересѣченія этихъ
двухъ дугъ съ точкою М, будетъ искомый перпендикуляръ.
10.	Изъ точки М опускается перпендикуляръ на линію АВ.
11.	Перпендикуляръ, возставленный въ срединѣ прямой АВ.
12.	Изъ точки 0 описывается произвольнымъ радіусомъ дуга,
которая пересѣчетъ стороны угла въ точкахъ В и М\ изъ точки
А описывается тѣмъ же радіусомъ дуга, которая пересѣчетъ пря-
мую АВ въ точкѣ С; наконецъ, нзъ точки С радіусомъ ВМ опи-
сывается дуга, которая пересѣчетъ первую дугу въ точкѣ В. Со-
единивъ точки В и А, получимъ уголъ ВАС, равный углу ВОМ.
)13. Проведя произвольную линію АВ, составимъ при какой-
нибудь ея точкѣ А уголъ САВ, равный первому изъ данныхъ угловъ.
А. Давыдовъ. Іеомеіви.	21
— 322 —
при той же точкѣ А составимъ на линіи АС уголъ, равный вто-
рому изъ данныхъ угловъ и т. д.
14.	То же построеніе.
15.	Проведя произвольную прямую АВ, составимъ при какой-
нибудь точкѣ ея А углы САВ и ВАВ, равные даннымъ угламъ;
тогда уголъ САВ будетъ искомый уголъ.
16	Изъ вершины А описываемъ произвольнымъ радіусомъ дугу,
которая пересѣчетъ стороны угла въ В и С, изъ точекъ В я С
описываемъ одинакими радіусами дуги, которыя пересѣкутся въ
точкѣ В; линія АВ раздѣлитъ уголъ пополамъ.
17.	Раздѣливъ уголъ ВАС пополамъ, дѣлимъ каждую часть
снова пополамъ и т. д.
18.	Пусть будетъ $ н$ сумма и разность двухъ искомыхъ угловъ.
Сложивъ з и <і и раздѣливъ уголъ 8-\-й пополамъ, получимъ боль-
шій изъ искомыхъ угловъ; вычтя Л изъ® и раздѣливъ уголъл—
пополамъ, найдемъ меньшій изъ двухъ искомыхъ угловъ.
19.	Раздѣливъ линію ВС пополамъ, соединимъ средину ея
съ точкою А.
20.	Опустивъ изъ В перпендикуляръ на АВ, продолжимъ его
иа равное разстояніе по другую сторону АВ; линія, соединяющая
конецъ его съ точкою М, пересѣчетъ АВ въ искомой точкѣ.
21.	Изъ точки А опускаемъ перпендикуляръ на линію, дѣля-
щую уголъ ВОМ пополамъ.
22.	Перпендикуляръ, возставленный въ срединѣ ЖМ, пересѣ-
четъ АВ къ искомой точкѣ.
23.	Линія, дѣлящая уголъ АСС пополамъ.
24.	Линія, дѣлящая уголъ двухъ прямыхъ ВМи пополамъ,
пересѣчетъ прямую АВ въ искомой точкѣ.
25.	На произвольно взятой линіи откладывается одна ивъ дан-
ныхъ сторонъ, а изъ концовъ ея радіусами, равными двумъ дру-
гимъ сторонамъ, описываются дуги, пересѣченіе которыхъ опредѣ-
литъ третью вершину треугольника. Вопросъ возмо. ,еиъ только
тогда, когда наибольшая изъ данныхъ сторонъ меньше уммы двухъ
другихъ сторонъ.
26.	Построивъ уголъ, равный данному, откладываемъ на сторо-
нахъ его данныя стороны.
27.	На произвольной прямой откладываемъ данную сторону я
при концахъ ея строимъ два угла, равные даннымъ угламъ; перо-
— 323 —
сѣченіе двухъ сторонъ этихъ угловъ опредѣлить третью вершину
треугольника.
28.	Построивъ уголъ ВАС, равный данному углу, откладываемъ
на одной изъ сторонъ его часть АС, равную данной сторонѣ, не
противолежащей данному углу, и изъ точки С описываемъ раді-
усомъ, равнымъ другой сторонѣ, дугу, пересѣченіе которой со сто-
роною АВ опредѣлитъ третью вершину треугольника. Вопросъ воз-
моженъ только тогда, когда дуга и прямая пересѣкутся, т.-е. когда
сторона, противолежащая данному углу, больше перпендикуляра,
опущеннаго изъ С на АВ. Если при этомъ сторона, противолежа-
щая данному углу, менѣе другой стороны, то вопросъ допускаетъ
два рѣшенія; когда же эта сторона равна перпендикуляру, опущен-
ному изъ С на АВ, то искомый треугольникъ будетъ прямоуголь-
ный и вопросъ допускаетъ только одно рѣшеніе. Если сторона,
лежащая противъ даннаго угла, больше другой стороны, то вопросъ
также допускаетъ только одно рѣшеніе.
29.	На одной изъ сторонъ прямого угла откладывается данный
катетъ н изъ конца его описывается радіусомъ, равнымъ гипоте-
нузѣ, дуга, пересѣченіе которой съ другой стороною прямого угла
опредѣлить третью вершину треугольника.
30.	Построивъ уголъ, равный данному углу, откладываемъ на
одной изъ его сторонъ часть, равную гипотенузѣ, и нзъ конца ея
опускаемъ перпендикуляръ иа другую сторону угла.
31.	Построивъ уголъ ВАС, равный данному углу, откладываемъ
на сторонѣ АВ часть АМ, равную данной сторонѣ, и на АС часть
А№, равную данной разности двухъ сторонъ. Въ срединѣ линіи
возставляемъ перпендикуляръ, который пересѣчетъ линію АС
въ точкѣ В\ АМВ будетъ искомый треугольникъ. Вопросъ возмо-
женъ только тогда, когда В лежитъ на продолженіи линіи А№.
32.	Построивъ уголъ ВАС, равный данному углу, откладываемъ
на АВ часть ААІ, равную данной сторонѣ, и на АС часть А№,
равную дайной суммѣ двухъ другмхъ сторонъ. Въ срединѣ линіи
ЛГУ возставляемъ перпендикуляръ, который пересѣчетъ линію
АС въ точкѣ В; АМВ будетъ искомый треугольникъ. Вопросъ
возможенъ только тогда, когда В лежитъ между точками А и У.
33.	Опустимъ нзъ Ь перпендикуляръ иа АВ и продолжимъ его
на равное разстояніе до точки У; линія, соединяющая точки У
л М, пересѣчетъ АВ въ искомой точкѣ.
21*
— 324 —
ГЛАВА Ш.
84. 1) Изъ точки А опускаемъ перпендикуляръ АР иа линія?
ХА/, и въ той же точкѣ А возставляемъ перпендикуляръ къ АР.
2)	Чрезъ А проводимъ произвольную линію, пересѣкающую РМ
въ точкѣ Р, и строимъ при точкѣ А на линіи АР уголъ, равный
углу АРМ.
35.	Прн какой-нибудь точкѣ Р прямой РМстроимъ уголъ МР$>
равный данному углу, и проводимъ черезъ точку А линію, парал-
лельпую $Р.
36.	Линія параллельной прямой РМ и находящаяся отъ нея на
разстояніи а.
37.	Двадцати шести прямымъ угламъ.
38.	Семнадцати.
39.	Раздѣливъ многоугольникъ діагоналями на треугольники,
строимъ послѣдовательно рядъ треугольниковъ, имъ равныхъ.
40.	Прямой уголъ.
41.	Изъ какой-нибудь точки Р прямой РМ описываемъ раді-
усомъ а дугу, которая пересѣчетъ прямую Р§ въ точкѣ В; пря-
мая, проведенная изъ точки А параллельно линіи РВ, будетъ
искомая линія. Вопросъ допускаетъ два рѣшенія.
42.	Проведя чрезъ А произвольную прямую АС и отложивъ
на ней п равныхъ, но произвольныхъ частей, соединимъ конецъ
послѣдней части С съ точкою В и проведемъ чрезъ всѣ точки
дѣленія линіи АС прямыя, параллельныя прямой СВ.
43.	Чрезъ О проводимъ линію, параллельную АС, которая пе-
ресѣчетъ сторону АВ въ точкѣ Р; откладываемъ на сторонѣ АВ
часть РВ—АР и проводимъ прямую чрезъ точки В и 0.
44.	Прн какой-нибудь точкѣ А произвольно взятой прямой АВ
строимъ уголъ ВАС, равный одному изъ данныхъ угловъ, и про-
водимъ линію, параллельную прямой АВ, иа разстояніи Л отъ
нея; положимъ, что она пересѣчетъ линію АС въ точкѣ С; про-
водимъ чрезъ С прямую, которая составить съ линіею АВ уголъ,
равный второму изъ данныхъ угловъ, и пересѣчетъ линію АВ,
положимъ, въ В; АСВ будетъ искомый треугольникъ.
45.	Въ срединѣ Р линіи АВ, равной данному основанію, воз-
ставляемъ перпендикуляръ и въ какой-пибудь точкѣ В его строим ь
— 325 —
уголъ ВЕР равный половинѣ даннаго угла; проводимъ затѣмъ
изъ А линію параллельную ЕР, которая пересѣчетъ ВЕ въ точкѣ
С, тогда АВС бумп искомый треугольникъ.
46.	Построивъ уголъ ВАС, равный данному углу, проведемъ ли-
нію, параллельную сторонѣ АС, на разстояніи Л отъ нея, которая
пересѣчетъ АВ, положимъ, въ точкѣ В', тогда А В есть одна изъ
сторонъ искомаго треугольника. Вычтя АВ изъ периметра р, полу-
чимъ сумму двухъ другихъ сторонъ, и вопросъ приводится къ зад. 32.
47.	На линіи АВ, равной данному периметру р, строимъ тре-
угольникъ АВС, имѣющій данные углы т и п, прилежащіе сто-
ронѣ АВ. Пусть будетъ Р точка пересѣченія линій, дѣлящихъ
углы А и В пополамъ; проводимъ нзъ Р линіи, параллельныя
сторонамъ ВС и АС, пересѣкающія АВ, положимъ, въ точкахъ
В и 2; тогда РфР будетъ искомый треугольникъ.
48.	Вопросъ приводится къ построонію треугольника, котораго
стороны будутъ: данная сторона параллелограмма и половины двухъ
его діагоналей.
ГЛАВА V.
49.	Прямой уголъ. 50. Восемь футовъ. 51. Два фута.
52.	Уголъ тупой.
53.	Если отъ периметра отнимемъ данный катетъ Ъ, то получимъ
сумму гипотенузы и другого катета; слѣдов. построеніе треугольника
(р— Ь)2-(-Ра
приводится къ задачѣ 32. Гипотенуза будетъ ^р—Ь------
54.
55.	Начертивъ какой-нибудь уголъ ВАС, откладываемъ на сто-
ронѣ АВ части АМ = а и Л/У=Ь, на сторонѣ же АС—часть
2ІР=с; соединивъ затѣмъ Р и М, проводимъ чрезъ Е линію парал-
лельную МР, которая пересѣчетъ АС, положимъ, въ точкѣ 0;
РО будетъ искомая линія.
56.	Проведя чрезъ А произвольную линію АС, откладываемъ
на ней линіи АМ и ЛЛѴ, отношеніе которыхъ равнялось бы дан-
ному отношенію, соединяемъ Ат и Г и проводимъ чрезъ Млинію
параллельную ЕВ.
57.	Проведя чрезъ А произвольную линію АС, откладываемъ кв
ней АМ=т-, МЕ—п\ ЕР—р\ РО—д, соединяемъ О и Ви про-
водимъ чрезъ точки Р, У и Л линіи параллельныя ОВ.
~ 326 —
58.	На линіи ВСопредѣляемъточку/такъ, чтобьт~у=—; тогда
АТ будетъ искомая линія. Вопросъ допускаетъ два рѣшенія, соот-
вѣтствующія положенію точки I иа продолженіи линіи ВС, или
между точками В и С.
59.	Изъ какой-нибудь точки В линіи АС опускаемъ перпенди-
куляръ ВЕ на линію АВ, и изъ В радіусомъ ВЕ описываемъ дугу,
пересѣкающую АІ въ точкѣ Е. Если чрезъ I проведемъ линію
параллельную ВЕ, то она пересѣчетъ линію ЛСвъ искомой точкѣ.
60.	Проведя чрезъ I линію параллельную АВ, положимъ, что она
пересѣчетъ линію АС или продолженіе ея въ О: отложимъ на АС
- АВ т -,т,
такую часть ВЕ, чтобы = тогда Е1 будетъ искомая линія.
61.	Параллельная къ АВ.
62.	Искомое разстояніе равняется 6 фут.
63.	Построивъ параллелограммъ АВСВ, въ которомъ Л1?=2^
ВС=2І! н діагональ АС= 2І.2, дѣлимъ другую діагональ ВВ на
три равныя части въ точкахъ I и Н; АІН будетъ искомый тре-
угольникъ. Вопросъ возможенъ только тогда, когда большая изъ
линій I, и меньше суммы двухъ другихъ линій.
64.	Другая сторона равна
65. Строимъ послѣдовательно углы, равные угламъ даннаго мяо-
—2а2.
гоугольиика, и стороны, пропорціональныя сторонамъ его, прини-
мая АВ за первую сторону искомаго многоугольника.
66.	Пусть будетъ А наибольшій уголъ даннаго треугольника АВС.
Изъ точки А опускаемъ перпендикуляръ АР на сторону ВС, про-
водимъ линію АН параллельную ВС и дѣлаемъ АН=АР; поло-
жимъ, что ВН пересѣчетъ АС въ точкѣ И; изъ .У опускаемъ пер-
пендикуляръ НТ на ВС; ИТ будетъ сторона искомаго квадрата.
67.	Пусть будетъ А наибольшій уголъ даннаго треугольника АВС.
Изъ точки Л опускаемъ перпендикуляръ АР на сторону ВС, прово-
димъ АН параллельно ВС и дѣлаемъ	Положимъ, что ли-
нія ВН пересѣчетъ АС въ точкѣ К. Изъ И опускаемъ перпендику-
ляръ УРна ВС; УГбудеть одна изъ сторонъ искомаго треугольника.
68.	Пусть будетъ М одна изъ искомыхъ точекъ и О средина
линіи АВ; имѣемъ: АМ'і-^~ВН2—2 (Л/'0й-{-Л02)=т1 (§ 73). Слѣ-
— 327 —
довательпо МО есть величина постоянная, т.-е. искомое геометри-
ческое мѣсто есть окружность, центръ которой находится въ О.
ГЛАВА VI.
69.	Часть линіи, пр ходящей чрезъ данную точку и центръ круга.
70.	Часть линіи, проходящей чрезъ данную точку и центръ круга.
71.	Часть линіи, проходящей чрезъ оба центра.
72.	Наложимъ хорду данной дуги два, три раза и т. д.
73.	Соединивъ точку А съ центромъ 0, проведемъ чрезъ А
перпендикуляръ къ АО.
ІА. Въ срединѣ хорды возставляемъ перпендикуляръ и повторя-
емъ это построеніе два, три раза и т. д.
75.	Линія перпендикулярная къ средипѣ прямой АВ.
76.	Возставивъ въ срединѣ линіи АВ перпендикуляръ, опишемъ
изъ точки А даннымъ радіусомъ дугу; пересѣченіе этой дуги и
перпендикуляра есть центръ искомаго круга. Вопросъ возможенъ
АВ
только тогда, когда данный радіусъ не меньше —•
77.	Взявъ н дугѣ или окружности три какія-нибудь точки А, В
и возставляемъ перпендикуляры въ срединѣ хордъ АВиВС;
точка пересѣченія этихъ перпендикуляровъ будетъ искомый центръ.
78.	Перпендикуляръ къ прямой АВ въ точкѣ М.
79.	Возставивъ въ точкѣ Мперпендикуляръ къ прямой АВ, откла-
дываемъ на этомъперпендикулярѣ часть МО, равную данному радіусу.
80.	Возста имъ въ точкѣ М перпендикуляръ къ прямой АВ и
другой перпендикуляръ въ срединѣ линіи ААГ; точка пересѣченія
двухъ перпендикуляровъ будетъ центръ искомаго круга.
81.	Параллель къ линіи АВ,на разстояніи готъ нея, пересѣчетъ
линію МЯ въ точкѣ, которая будетъ центромъ искомаго круга. Во-
просъ невозможенъ или неопредѣленъ, когда линіи АВ и АШ па-
раллельны.
82.	Параллель къ линіи АВ, на разстояніи г отъ нея, пересѣ-
четъ окружность въ точкѣ, которая будетъ центромъ искомаго круга-
Вопросъ д пускаетъ два рѣшенія, одно рѣшеніе илн вопросъ не-
возможенъ, смотря по тому, будетъ ли разстояніе центра даннаго
круга отъ прямой АВ меньше, равно или больше суммы радіусовъ
двухъ круговъ.
— 328 —
83.	Окружность, описанная изъ центра даннаго круга радіусомъ,
равнымъ суммѣ или разности двухъ радіусовъ И и г.
84.	Изъ центра даннаго круга описываемъ окружность радіусомъ
равнымъ суммѣ илн разности другихъ радіусовъ Л и г; пересѣченіе
этой окружности съ прямой АВ есть центръ искомаго круга.
85.	На линіи, соединяющей центръ даннаго круга съ точкою ЛГ,
откладываемъ часть ЛГО=у; О будетъ центръ искомаго круга.
Вопросъ допускаетъ два рѣшенія.
86.	Линія, соединяющая центръ круга съ точкою Лт, и перпен-
дикуляръ къ срединѣ Д/2Ѵ пересѣкутся въ центрѣ искомаго круга
87.	Перпендикуляръ, опущенный изъ центра яа линію МУ, и
перпендикуляръ къ срединѣ линіи АВ опредѣлять сиоимъ пере-
сѣченіемъ центръ искомаго круга.
88.	Возставивъ перпендикуляръ МУ къ прямой АВ въ точкѣ М
и отложивъ въ немъ часть МУ, равную радіусу даннаго круга со-
единимъ точку У съ центромъ О даннаго круга, и возставимъ пер-
пендикуляръ къ срединѣ линіи УО\ пересѣченіе этого перпендику-
ляра съ перпендикуляромъ МУ опредѣлить центръ искомаго круга.
Вопросъ допускаетъ два рѣшенія.
89.	Проводимъ въ М касательную, которая пересѣчетъ линію
АВ, положимъ, въ С\ линія, дѣлящая уголъ АСМ пополамъ, и
линія, соединяющая М съ центромъ даннаго круга, опредѣляютъ
своимъ пересѣченіемъ центръ искомаго круга.
Вопросъ допускаетъ два рѣшенія, соотвѣтствующія внѣшнему и
внутреннему касанію.
90.	Половина гипотенузы.
91.	Окружность, описанная около гипотенузы, какъ діаметра.
92,	Окружность, которой радіусъ равенъ половинѣ разстоянія
точки А ѵп центра даннаго круга.
93.	Когда въ четыреугольникѣ АВСВ сумма противоположныхъ
угловъ равна 2<7.
94.	Изъ какой-нибудь точки 0, лежащей виѣ прямой АВ, опи-
сываемъ радіусомъ ОА окружность, которая пересѣчетъ АВ, поло-
жимъ, въ М, и проводимъ чрезъ точки О и М діаметръ, который
пересѣчетъ окружность, положимъ, въ У\ линія АУ будетъ иско-
мый перпендикуляръ.
— 329 —
95.	1) Если точка А лежитъ на окружности, то перпендику-
ляръ, возставленный въ точкѣ А къ радіусу, проведенному въ эту
точку, будетъ искомая касательная.
2) Если точка А лежитъ виѣ круга, то, соединивъ А съ цент-
ромъ круга О, опишемъ около АО, какъ діаметра, окружность, ко-
торая пересѣчетъ данную окружность, положимъ, въ точкахъ Ми 2Ѵ;
линіи АМ и АУ будутъ искомыя касательныя.
96.	Построивъ уголъ ВАМ, равный данному углу, опустимъ
изъ центра перпендикуляръ на АМ н въ точкѣ пересѣченія этого
перпендикуляра съ окружностью проведемъ касательную.
97.	Концентрическая окружность радіуса у/'а8-4-га.
98.	Пересѣченіе предыдущаго геометрическаго мѣста съ ли-
ніею АВ.
Вопросъ допускаетъ два рѣшенія, одно рѣшеніе или опъ невоз-
моженъ, смотря по тому, будетъ ли разстояніе центра даннаго
круга отъ прямой АВ менѣе, равно нли болѣе )/а24-г8.
99.	Въ данномъ кругѣ откладываемъ хорду, равную а, и описы-
ваемъ концентрическую окружность, касательную къ этой хордѣ;
затѣмъ проводимъ изъ точки А касательную къ этой окружности.
Вопросъ возможенъ, когда а меньше діаметра даннаго круга.
100.	Построивъ въ данномъ кругѣ вписанный уголъ МОУ, рав-
ный данному углу, опредѣлимъ хорду МУ; тогда вопросъ приво-
дится къ задачѣ 99.
101.	Черезъ точку Л проведемъ прямую Л/Л-У такъ, чтобъ уголъ
МАВ равнялся данному углу а1, возставляемъ верпеидвкуляръ въ
срединѣ линіи АВ н другой перпендикуляръ въ А къ линіи МУ;
наконецъ изъ точки пересѣченія 0 этихъ двухъ перпендикуляровъ
описываемъ радіусомъ АО окружность; часть ея, лежащая въ углѣ
УАВ, есть искомая дуга.
102.	Дуга, описанная па линіи АВ, вмѣщающая уголъ а.
103.	Дуга, описанная на линіи АВ, вмѣщающая уголъ а.
104.	На линіи МУ описываемъ дугу, вмѣщающую уголъ а; пере-
сѣченіе ея съ прямой АВ опредѣлить искомую точку. Вопросъ всегда
возможенъ и допускаетъ только одно рѣшеніе, когда точки Ми У
лежать по разнымъ сторонамъ прямой. Когда же точки М и У лежать
по одной сторонѣ прямой АВ, то вопросъ допускаетъ два рѣше-
нія, одно рѣшеніе, илн оиъ невозможенъ, смотря по тому, пересѣ-
каетъ ли дуга прямую АВ, касается ея, или не встрѣчается съ нею.
— ззо -
105.	Описать на линіяхъ АВ и МУ дуги, вмѣщающія уголъ
въ 45°.
106.	На двухъ сторонахъ АВ и ВС описать дуги, вмѣщающія
углы въ 120°; пересѣченіе этихъ двухъ дурь опредѣлитъ искомую
точку.
107.	На линіи АВ—а опишемъ дугу, вмѣщающую уголъ т;
пусть будетъ у радіусъ этой дуги; проведемъ параллель къ АВ иа
разстояніи Н отъ нея; пересѣченіе этой линіи съ дугою опредѣлитъ
вершину искомаго трегоугольннка. Вопросъ возможенъ тогда, когда
,	,	/ а2 ,	.
л==>*±|/ г2_____, гдѣ зпакъ-]-отиосится къ тому случаю, когда.
т означаетъ острый уголъ, а знакъ—, когда т тупой уголъ,
108. На линіи АВ описываемъ дугу АКВ, вмѣщающую пеловину
угла, вписаннаго въ сегментѣ АМВ даннаго круга; затѣмъ изъ А
радіусомъ з описываемъ дугу, которая пересѣчетъ дугу АКВ въ
точкѣ К; линія АУ пересѣчетъ дугу АМВ въ искомой точкѣ. Вопросъ
/	/ (У
возможенъ, когда 8<^2’|/ 2га+2г|/ гч____и €>а, гдѣ г есть
радіусъ даннаго круга и а длина лиліи АВ. Два рѣшенія.
109.	На линіи АВ описываемъ дугу АКВ, вмѣщающую уголъ, рав-
ный 90°-і-^ гдѣ»» означаетъ уголъ, вписанный въ сегментѣ АМВ
даннаго круга. Затѣмъ изъ А радіусомъ й описываемъ дугу, кото-
рая пересѣчетъ дугу АКВ въ точкѣ У; линія АУ пересѣчетъ дугу
АМВ въ искомой точкѣ. Два рѣшенія, какъ въ предыдущей задачѣ.
Вопросъ возможенъ, когда й<а. гдѣ а означаетъ длину линій ААК
110. На данномъ основаніи описываемъ дугу, вмѣщающую дан-
ный уголъ; тогда вопросъ приводится къ задачѣ 108.
111. 1) Пусть будутъ АВ и СВ двѣ данныя линіи. На произ-
вольной прямой откладываемъ МУ—АВ и УЬ=СВ такъ, чтобы
МВ=АВ-\-СВ, и, описавъ около МВ, какъ діаметра, окружность
возстановляемъ въ М перпендикуляръ къ МВ.
2) На большей изъ двухъ данныхъ линій АВ откладываемъ часть
ВМ, равную меньшей липіи СВ, и, описавъ около АВ, какъ діаметра,
окружность, возставляемъ въ Мперпендикуляръ къ АВ, который пе-
ресѣчетъ окружность, положимъ, въ точкѣ У-, тогда УВ будетъ иско-
мая линія.
~ 331
3) Отложивъ иа А В часть СИ, опишемъ около АУ, какъ»
діаметра, окружность и проведемъ изъ точки В касательную къ
ней; если М есть точка касанія, то ВМ будетъ искомою линіею.
112. На линіи АВ описываемъ дугу АВВ, вмѣщающую дапный
▼голъ ш; пусть будетъ АВВ другая часть окружности. Проведемъ
линію ВМ параллельно линіи АВ иа разстояніи г отъ нея и,
раздѣливъ дугу АВВ въ точкѣ В пополамъ, опишемъ радіусомъ
АЕ изъ точки Е дугу, которая пересѣчетъ линію ВМ, положимъ,
въ точкѣ О. Точка О будетъ центръ вписаннаго круга, котораго
радіусъ есть г. Проведя прямую черезъ точки О и Е, положимъ,
что оиа пересѣчетъ окружность АСВЕ въ точкѣ С; тогда АСВ
будетъ искомый треугольникъ.
Вопросъ возможенъ, когда В^>
а 2г, гдѣ а
16г(а2 —4г2)
и
означаетъ длину линіи АВ и В радіусъ круга АСВЕ
113. 1) Пусть будетъ О центръ. В радіусъ большаго круга, Ог
центръ и г радіусъ меньшаго. Изъ О радіусомъ В—у описываемъ
окружность и проводимъ изъ О, касательную къ ясй; пусть будетъ
А точка касанія. Проведя радіусъ ОА и продолживъ его до пере-
сѣченія въ точкѣ ЛГсъ окружностью радіуса В,- проведемъ въ точкѣ.
М касательную, которая будетъ искомая линія.
2) Изъ точки О радіусомъ В-}-г описываемъ окружность и прово-
димъ нзъ Ог касательную къ иен; пусть будетъС точка касанія; прове-
дя радіусъ ОС, который пересѣчетъ окружность радіуса В въ точкѣ
В, проведемъ въ В касательную, которая будетъ искомая линія.
114.	Построивъ уголъ АВС равный т, проведемъ линію парал-
лельную линіи АВ на разстояніи г отъ нея и лииію, дѣлящую
уголъ АВС пополамъ; точка пересѣченія О этихъ двухъ линій есть
центръ вписаннаго круга. Описавъ этотъ кругъ и изъ точки В ра-
діусомъ Л другой круть, проведомъ къ этимъ двумъ кругамъ об
щую касательную, которая пересѣчетъ линіи АВ и СВ въ М и В\
МВВ будетъ искомый треугольникъ.
115.	Отложивъ во второмъ кругѣ хорду, равную а и описавъ
концентрическую окружность, касательную къ этой хордѣ, приво-
димъ вопросъ къ задачѣ 113.
116.	Вопросъ приводится къ задачѣ 113.
117.	Изъ центра С круга Ох проводимъ перпендикуляръ СМ къ-
іииіи АВ и беремъ на продолженіи его МСХ=МС\ изъ Сх описы-
ваемъ радіусомъ круга окружность О, и проводимъ общую к&-
— 332 —
сательную къ кругамъ О и О2; эта линія пересѣчетъ АВ въ иско-
мой точкѣ. Вопросъ допускаетъ четыре рѣшенія.
АС т
118.	Раздѣливъ хорду АВ въ точкѣ Стань, чтобы^#=—, и раздѣ-
ливъ пополамъ въ точкѣ М дугу, стягиваемую хордою АВ, про-
ведемъ чрезъ К и С линію, которая пересѣчетъ окружность въ
искомой точкѣ.
119.	Дуга, стягиваемая хордою, равной радіусу, есть шестая
часть окружности.
120.	Два перпендикулярные между собою діаметра дѣлятъ
окружность на четыре равныя части.
121.	Если раздѣлимъ радіусъ въ крайнемъ и среднемъ отно-
шеніи, то хорда, равная большей части радіуса, стягиваетъ дугу,
равную десятой части окружности (см. § 136)
122.	Изъ вершины Я прямого угла ВАС описываемъ произволь-
нымъ радіусомъ дугу, которая пересѣчетъ стороны угла въ точкахъ
В и С На дугѣ ВС откладываемъ хорду СВ, равную радіусу;
тогда дуга ВВ будетъ третья часть окружности, а уголъ САВ
третья часть прямого угла.
123.	Къ срединѣ дуги АВ проводимъ касательную, которая пере-
сѣчетъ стороны ОА и ОВ, положимъ, въ точкахъ М и А'; кругъ, впи-
санный въ равнобедренный треугольникъ МОЯ", есть искомый кругъ.
124.	Если разстояніе точки А отъ центра означимъ чрезъ й, то
произведеніе двухъ отрѣзковъ искомой хорды выразится черезъ
г4—<Р; слѣд. одинъ мзъ отрѣзковъ равенъ!/ —(г4—<Р). Если же
р п
опишемъ изъ точки А радіусомъ!/ —(г2—й2) дугу, которая пе-
У п
ресѣчетъ окружность, положимъ, въ В, то искомая хорда прой-
детъ чрезъ точки А к В.
125.	Пусть будетъ М точка прикосновенія касательной, ирове-
ч	а	.	АМ
денной отъ точки А къ кругу; изъ А радіусомъ ——описываемъ
дугу, которая пересѣчетъ кругъ, положимъ, въ точкѣ 2Ѵ; линія, про
ходящая чрезъ точка А н У, будетъ искомая сѣкущая. Вопросъ
возможенъ только тогда, когда разстояніе точки А отъ центра
менѣе тройного радіуса.
126.	Пусть будетъ Мточка прикосновенія касательной, нроведен-
— 333
ной отъ точки А къ кругу; изъ точки А радіусомъ 4ЛГ|/	описы-
ваемъ дугу, которая пересѣчетъ кругъ, положимъ, въ точкѣ 2Ѵ; линія,
проходящая чрезъ точки Ап У, будетъ искомая сѣкущая. Вопросъ
, А2п-4-т	.
возможенъ только тогда, когда а<^—5—г, гдѣ г означаетъ ра-
діусъ круга, а Л—разстояніе центра его отъ точки А.
127.	Продолживъ линіи до взаимнаго пересѣченія, впишемъ
кругъ въ треугольникъ, ими составленный.
128.	Пусть будетъ О центръ даниаго круга, ЛЛГодна изъ линій,
проведенныхъ отъ точки А къ окружности; положимъ, что эта ли-
нія дѣлится въ точкѣ У на части въ отношеніи т:п. Раздѣливъ
линію АО въ точкѣ С иа части въ отношеніи т:п, и замѣтивъ,
что треугольники АУС и ААІО подобны, найдемъ, А’С—МО,
Это значитъ, что всѣ точки дѣленія находятся отъ С на одина-
ковомъ разстояніи, и поэтому искомое геометрическое мѣсто есть
кругъ, описанный нзъ точки С радіус. ~МО.
129.	Продолживъ линіи АВ и МУ до пересѣченія въ Д от-
кладываемъ на линіи МУ часть ВО, равную средней пропорціо-
нальной между линіями АВ и ВВ-, кругъ, проходящій чрезъ три
точки А, В н О, будетъ искомый кругъ.
Вопросъ допускаетъ два рѣшенія, соотвѣтствующія положенію О
съ лѣвой н съ правой стороны отъ В. Вопросъ невозможенъ, когда
точка пересѣченія АВ и МУ лежитъ моду точками А н В.
130.	Изъ точки пересѣченія В двухъ линій АВ н МУ прово-
димъ прямую ВО, дѣлящую уголъ между ннмн пополамъ; иа этой
линіи лежитъ центръ искомаго круга. Изъ С опускаемъ перпенди-
куляръ СВ на линію ОВ и продолжаемъ его до точки Е такъ,
чтобы ВЕ=СВ; искомый кругъ пройдетъ черезъ точки Е н С,
и вопросъ приводится къ задачѣ [29.
131.	Проведя чрезъ точки А н В кругъ, пересѣкающій данный
кругъ въ точкахъ М и У, положимъ, что продолженія линій АВ
и МУ пересѣкутся въ точкѣ 5; изъ точки 8 проводимъ касатель-
ную къ данному кругу, н пусть будетъ Т точка касанія; круіъ,
проходящій чрезъ три точки А, В и Т, будетъ искомый кругъ,
потому что 8Т2~8М.8У= 8А.8В, т.-е. 8Т будетъ касательная
къ кругу, проходящему чрезъ точки А и В.
— 334 —
Вопросъ допускаетъ два рѣшенія, соотвѣтствующихъ двумъ ка-
рательнымъ, проведеннымъ изъ тонки 5 къ данному кругу, т.-е.
внѣшнему и внутреннему прикосновенію двухъ круговъ.
132.	Изъ центра О даннаго круга опускаемъ на линію ЮГ
перпендикуляръ 0$, который пересѣчетъ кругъ въ точкахъ В и Р;
на линіи РА беремъ точку X такъ, чтобы линія РХ была четвертая
пропорціональная къ тремъ линіямъ РА, Р§ и РВ. Кругъ, прохо-
дящій чрезъ точки А и X и касательный къ линіи МХ (задача 131),
есть искомый кругъ. Въ самомъ дѣлѣ, доложимъ, что этотъ кругъ
касается линіи М.В въ точкѣ Т, и пусть будетъ С точка пересѣченія
•линій ТР съ даннымъ кругомъ; изъ подобія треугольниковъ ТР$
и ВСР слѣдуетъ: Р$.РВ=ТР.СР, и но построенію ТР.СР=
=РХ.АР", слѣдов. С есть общая точка обѣихъ окружностей (§ 100),
а нзъ равенства угловъ ОСР и ТС8 (гдѣ 8 есть центръ искомаго
круга) слѣдуетъ, что точки 8, С и О лежать на одной Прямой.
133.	Проведя параллель АІВІ къ линіи АВ на разстояніи г
отъ иея и параллель къ лийін иа разстояніи г отъ нея,
опишемъ окружность, проходящую чрезъ центръ даннаго круга и
касательную къ прямымъ А1В1 и (задача 130). Пусть бу-
детъ В радіусъ этого круга; тогда кругъ, описанный изъ того же
цевтра радіусомъ В—г, будетъ искомый кругъ.
134.	Положимъ, что г<В, и пусть будетъ О центръ мейьпгаго
и Оі центръ большаго круга. Проведя параллель А^ къ линіи
АВ иа разстояніи г отъ нея и описавъ изъ точки Оі радіусомъ
В—г кругъ, опишемъ окружность, проходящую чрезъ точку О и ка-
сательную къ прямой и къ кругу радіуса Л—г (задача 132).
Пусть будетъ р радіусъ этого круга; концентрическій съ нимъ крупъ
радіуса р±г есть искомый кругъ.
135.	Пусть будутъ Ох и О8 центры данныхъ круговъ радіусовъ
г и В и положимъ г<В. На линіи О:Оа возьмемъ точку I такъ,
, ІО2 В
чтобы == —;
ІО. г'
тогда касательная, проведенная отъ точки I къ
одному нзъ данныхъ круговъ, будетъ также касательною и къ дру-
гому кругу. Пусть будутъ Т и 8 точки касанія. На линіи, иду-
щей отъ I къ А, опредѣлимъ часть IX, равную четвертой про-
порціональной между линіями ІА, ІТ н 18, такъ чтобы ^==^.’
я проведемъ кругъ чрезъ точки А и X, касательный къ кругу
радіуса г (задача 131), этотъ кругъ будетъ искомый. Въ самомъ
335 —
дѣлѣ, пусть будетъ О центръ его, Лт точка касанія его съ кругомъ
Ор М и Н точки ін'реі І.чснід линіи ІН съ кругами О2 и Ох;
І8.1Т=І1\—=ІР.^'= IX. ІН IX. Ш; слѣдователь-
Г ІН	ІН
но IX. 1А-=ІН. ІМ, и потому точка М принадлежитъ кругу О,
а такъ какъ О2М и ОМ параллельныя линіи ОгН, то точки О,
М и О2 лежатъ па одной прямой линіи, т.-е. точка М будетъ
точка касанія.
136.	Пусть будетъ г<Г!<>2 н О, Оу и О2 центры круговъ
радіусовъ г, гр г2. Изъ точки радіусомъ г,—г и изъ точки О
радіусомъ г2 — г опишемъ окружности н проводимъ окружность,
касательную къ нимъ и проходящую чрезъ точку О (задача 135).
Пусть будетъ К радіусъ этого круга, тогда концентрическій кругъ
радіуса В—г будетъ искомый кругъ.
137.	На сторонахъ угла А беремъ какія-нибудь точки В и Си,
соединивъ ихъ, положимъ, что точка пересѣченія линій, дѣлящихъ
углы АВС и АСВ пополамъ, есть I; тогда линія ІА раздѣлитъ
уголъ А пополамъ.
138.	Вь какой-нибудь точкѣ А прямой АВ возставляемъ пер-
пендикуляръ АР и, продолживъ его, откладываемъ на немъ А$~АР
Вообразимъ линію чрезъ точки $иІ, которая пересѣчетъ АВ въ
точкѣ 2), и линію чрезъ точки Р и I, которая пересѣчетъ АВ въ
точкѣ Н\ наконецъ проводимъ линію чрезъ точки Р н Р, кото-
рая пересѣчетъ прямую Н(% въ точкѣ Е; линія ІЕ будетъ иско-
мый перпендикуляръ.
139.	Изъ точки В опускаемъ перпендикуляръ на линію АС и
изъ точки С перпендикуляръ на линію АВ (задача 138); положимъ,
что эти два перпендикуляра пересѣкутся въ точкѣ О; линія АО
будетъ искомый перпендикуляръ.
140.	Вообразимъ линію чрезъ точки В н А и возьмемъ на про-
долженіи ея произвольную точку Л; пусть будетъ кромѣ того Е
какая-нибудь точка. Вообразивъ четыреугольникъ ВСЕВ, прове-
демъ чрезъ А параллель діагонали ВЕ, которая пересѣчетъ ВЕ
въ точкѣ Е, и чрезъ Е параллель къ СЕ, которая пересѣчетъ
діагональ 2)С въ точкѣ С; линія, проходящая чрезъ точки А и О,
«будетъ искомая линія; это слѣдуетъ изъ подобія треугольниковъ
А.ЕС и ВЕС.
141.	Проведя черезъ В произвольную линію ВО и линію ЬМ,
— 336 —
ей параллельную, положимъ, что ВМ пересѣчетъ линіи АВ и АС
въ точкахъ Л н Е, тогда
ЛИ ВС.РВ
и~~ВС—!)Е
142.	Проведя линію 2ЛГ, параллельную линіи АВ, и вообразивъ
прямыя ВВ н МА, которыя пересѣкутся въ точкѣ О, опредѣлимъ
разстояніе между точками В и В (задача 141), тогда найдемъ
ВМВВ-ОЕ)
АВ ОМ
143.	Опредѣливъ разстояніе точекъ А н В (задача 142) и опу-
стивъ перпендикуляръ СКизъ точки Сна линію АВ (задача 139),
проведемъ какую-ннбудь параллельную линія АВ (задача 140).
Положимъ, что эта прямая пересѣчетъ линіи СА, СК и СВ въ
д
точкахъ Д В и М; тогда КС — ^=ЕС.
ГЛАВА VII.
144.	Въ данномъ кругѣ откладываемъ хорду АВ, равную ра-
діусу, и на дугѣ АВ хорду АС, равную сторонѣ вписаннаго де-
сятиугольника; тогда хорда ВС будетъ сторона вписаннаго пятнад-
цатиугольпнка. Пусть будетъ О центръ круга. Проведемъ чрезъ
А діаметръ АОЛ и соединимъ точки С и Л. Изъ четыреуголь-
ника АСВЛ имѣемъ АВ. СЛ=АС.ВЛ-\~ВС.АЛ. Но изъ прямо-
угольнаго треугольника АСЛ имѣемъ СЛ = ]/4г2 — АС2, а изъ
прямоугольнаго треугольника АВЛ находимъ ВЛ = гу/Л. Замѣ-
тивъ притомъ, что АС= —1), находимъ
ВС= 7 (/10+2/5+/3—/16).
14Б. Искомый радіусъ =
146.	Искомый радіусъ = д"-
уі/'З
147.	Искомый радіусъ ~ ~—.
*	і.
148.	На окружности, которой центръ пусть будетъ О, отложимъ
хорду АВ, равную сторонѣ вписаннаго десятиугольника, и, проведя
радіусъ ОВ, опустимъ на него изъ точки А перпендикуляръ, кото-
337 —
рыЙ нересѣчетг. окружность, положимъ, въ С; АС есть сторона впи-
саннаго пятиугольника. Раздѣливъ уголъ ѴіОСпополамъ линіею 01)
пересѣкающею СС въ точкѣ /), находимъ нзъ подобія равнобед-
ренныхъ треугольниковъ АОС и АОВ, что АО2=АС.А2); а изъ
подобія равнобедренныхъ треугольниковъ АВС и ВВС имѣомъ
ВС*=А С.ВС; слѣдов. ЛО'; СВ^АС1', но СВ=	, пото-
му АС^гі/
Г 2
Проведя въ данномъ кругѣ какой-нибудь діаметръ АОВ и пер-
пендикулярный къ иему радіусъ АС, опишемъ изъ средины Мра-
діуса АО окружность радіусомъ МС. положимъ, что эта окруж-
ность пересѣчетъ АВ въ точкѣ О; 02) будетъ сторона вписаннаго
пятиугольника, потому что СВ равняется сторонѣ вписаннаго де-
сятиугольника.
149.	Искомый радіусъ=^/б-1-2/5?
150.	Искомый радіусл. — |/[()д..9|/'5
151.	Сторона
152.	Сторона
153.	Сторона
роіп описаннаго
154.	Радіусъ
вписаннаго двѣнадцати угольника — г V 2 —3.
описаннаго двѣпадцатнуголыінка~2>- (2 —
вписаннаго осьмнугольника — г V 2 —1/2, а сто-
-= 2г (]/!— 1).
155
Радіусъ
156.
а .	а
вписан. круга -- —, а радіусъ описан.=^т=*
а	а
вписан. круга =	& радіусъ описан.=р^
аі/3
вписан. круга = ——, а радіусъ опнсаи.=а.
157.
саннаго
Радіусъ
Радіусъ вписан. круга=Д |/25 + іо/5, а радіусъ спи-
круга = “-/іо + 101/5?
158.
Радіусъ вписаннаго круга=а.	радіусъ описаи-
«(І-Н/бГ
наго крута=
4. Давидовъ. Геоиетріа.
22
— 338 —
159.	Радіусъ вписаннаго круга——радіусъ описаннаго
круга = аѴ 2-\- )/3.
160.	Означимъ искомый радіусъ вписаннаго круга черезъ г, и
искомый радіусъ описаннаго крута чрезъ Вг. Сторова даннаго мно-
гоугольника равна 2 /Л2— г2; слѣд. сторона искомаго многоуголъ*
ника будетъ)/В2—г2-, а потому ^.Т?2—Но удвоивъ
число сторонъ даннаго многоугольника, находимъ, что сторона этого
многоугольника равняется і/ 222(2?-—г); слѣдов.	-~=—- =	•
|/ № — г2
Изъ этого уравненія и предыдущаго находимъ	<— и пі =
= р Ягг.	---------
ГЛАВА ѴТП.
161.	Линія, параллельная основанію.
162.	Площадь равна 18159,184 кв. ф.
163.	Площадь равна 13888,6 кв. ф.
164.	Площадь равна 327,42 кв. ф.
Р г
165.	Площадь равна
166.	Опишемъ иа лвніи ЛБ=а дугу АСВ, вмѣщающую данный
уголъ т, и пусть будетъ радіусъ этой дуги г. Опредѣливъ линію I
гакъ, чтобы к была средняя пропорціональная между у и /, про-
ведемъ параллель къ линіи АВ иа разстояніи 2 отъ нея, и положимъ,
что оиа пересѣчетъ дугу АСВ въ точкѣ С; АСВ будетъ искомый
треугольникъ. Вопросъ допускаетъ два рѣшенія; одно рѣшеніе,—или
.	2к2
онъ невозможенъ, смотря по тому, будетъ ли—меньше, равно или
больше г+р/ г2 —знакъ-)-относится къ тому случаю, когда
пі означаетъ тупой уголъ.
167.	То же построеніе, какъ въ задачѣ 166.
168.	Пустъ будетъ В тогъ уголъ треугольника АВС, чрезъ ко-
торый можно будетъ провести линію, параллельную даниой .АЕѴ и
пересѣкающую противоположную сторону АС въ какой-нибудь
точкѣ В между А и С. Раздѣлимъ линію АС въ точкѣ .Евъ отио-
339 -
шеніи т:п, и положимъ, что точка /? находится между Р и б.
Опредѣливъ затѣмъ на линіи ОС точку Г такъ, чтобы линія ГС
была средняя пропорціональная между ПС и СЕ, проведемъ чрезъ
Г линію, параллельную прямой ОВ. Эта линіи раздѣлитъ треуголь-
никъ ЛВС на двѣ части въ отношеніи т: п. Въ самомъ дѣлѣ,
положимъ, что эта линія пересѣчетъ сторону БСвъ точкѣ С; изъ
. ВО	ОС	ГС ,	.	_
пропорціи -тгп— = -угу-,слѣдуетъ, что линіи ВГа СЕ парал-
Сг С	го	ЬЬ
лельны, а потому треугольники ГСС н ЕВС равновелики.
]Я9. Пусть будетъ В тотъ уголъ параллелограмма АВСВ, чрезъ
который можно провести линію, параллельную данной прямой МЕ
н пересѣкающую противоположную сторону АО въ какой-ннбудь
точкѣ Н между А н О. Раздѣливъ сторону АО въ точкѣ Е на
двѣ части въ отношеніи т : п, положимъ, что АЕ<^ЕО, и отложимъ
на ЕО часть ЕГ=АЕ. Когда АН<АГ, т.-е. АН<^~А~—. АО,
1П П
то прямая, проходящая чрезъ средину линіи ВЕ параллельно ли-
ніи УАГ, есть искомая линія; она раздѣлить параллелограммъ АВ СО
на двѣ трапеціи въ отношеніи т: п. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ
О средина линіи ВЕ, а С и 5 точки пересѣченія искомой линіи
со сторонами АО и ВС; тогда треугольники СОЕ и В08 рав-
ны, а потому трапеція АВ8С а треугольникъ АВГ равновелики.
Когда же АН>АГ, т.-ѳ. АН^>
2т
т п
АО, то искомая линія
отсѣчетъ отъ параллелограмма ЛВСО треугольникъ. Такъ какъ
этотъ треугольникъ относится къ параллелограмму АВСО какъ
т:(п-\-т), то онъ къ треугольнику АВО будетъ относиться какъ
2т: (п-|- т); слѣдов. въ этомъ случаѣ треугольникъ АВО нужно
раздѣлить на двѣ части въ отношеніи 2т: (я-|-т) линіею, парал-
лельной прямой МГ; слѣдов. вопросъ приводится къ задачѣ 168.
170.	Діагональ даннаго квадрата есть сторона искомаго.
171.	Половина діагонали даннаго квадрата есть сторона искомаго.
172.	Сторона искомаго квадрата есть: а) средняя пропорціональ-
ная между основаніемъ н высотою даннаго параллелограмма, Ъ) сред-
няя пропорціональная между основаніемъ и половиной высоты
даннаго треугольника.
173.	Опредѣлить четвертую пропорціональную къ тремъ линіямъ
Я, і и А, или В, Ь и к
22*
— 840 —
174.	Построивъ прямоугольный треугольникъ ЛВС, котораго
катеты АВ и ВС равны а и Ь, строимъ на гипотенузѣ АС пря-
моугольный треугольникъ ЛСО, котораго катеты будутъ АС и
СВ—с й т. д.
175.	Строимъ прямоугольный треугольникъ, котораго гипоте-
нуза есть а и одинъ нзъ катетовъ Ъ.
176.	Замѣтивъ, что 154= 123-|-324~12, приводимъ вопросъ къ
опредѣленію стороны квадрата, равновеликаго суммѣ трехъ квад-
ратовъ, которыхъ стороны соотвѣтственно равны 12, 3 и 1.
177.	Въ точкѣ В проводимъ перпендикуляръ ВС къ линіи ВА и
беремъ ВС=к\ въ срединѣ линіи АС возставляемъ къ АС пер-
пендикуляръ, который пересѣчетъ линію АВ въ точкѣ Р; въ точ-
кѣ В возставляемъ къ линіи АВ перпендикуляръ, который пере-
сѣчетъ прямую ЬМ въ искомой точкѣ. Вопросъ допускаетъ два
рѣшенія.
178.	На линіи АВ=к описываемъ полукругъ и, опредѣливъ
четвертую пропорціональную I къ тремъ линіямъ к, Ъ и Л, прово-
димъ параллель къ прямой АВ на разстояніи I отъ нея. Поло-
жимъ, что эта параллель пересѣчетъ окружность въ точкѣ С;
АС и ВС будутъ искомыя линіи, Вопросъ возможенъ только тогда,
когда 5Л<,— •
179.	Раздѣливъ какую-иибудь линію АВ въ точкѣ С на двѣ
части въ отношеніи 3: 5, опишемъ на АВ полукругъ и возста-
вимъ въ С перпендикуляръ къ АВ, который пересѣчетъ окруж-
ность, положимъ, въ точкѣ Н-, на линіи //В отложимъ частьЯ/Г,
Равную сторонѣ даннаго квадрата; и проводомъ чрезъ Я параллель
къ АВ, которая пересѣчетъ линію АН, положимъ, въ точкѣ X;
НЬ будетъ сторона искомаго квадрата. Построеніе возможно, когда
4к
гдѣ к есть сторона даннаго квадрата.
180.	Раздѣливъ основаніе иатп равныхъ частей, соединимъ вер-
шину съ точками дѣленія основанія.
181.	Пусть будетъ О точка, находящаяся иа сторонѣ И Стре-
угольника- ЛВС. Раздѣливъ АС иа т равныхъ частой, проведемъ
чрезъ точки дѣленія линіи параллельныя ВО. Точки пересѣченія
сторонъ АВ и ВС съ этими параллелями соединяемъ съ точкою О,
тогда треугольникъ АВС раздѣлится на т равныхъ частей.
- 341 -
182.	Обративъ многоугольникъ въ равновеликій треугольникъ,
приводимъ вопросъ къ задачѣ 172.
183.	Пусть бу кутъ а иа, сходственныя стороны двухъ даннымъ
многоугольниковъ; тогда сторона искомаго многоугольника будетъ
/оЧ-аЛ
184.	Если а есть одна изъ сторонъ даннаго многоугольника, то
, -> / т
сходственная сторона искомаго многоугольника будоть а 1/
185.	Построивъ прямоугольный треугольникъ АВС, котораго
катеты АВ н ВС равны сторонамъ двухъ данныхъ квадратовъ,
опустимъ изъ вершины В прямого угла перпендикуляръ /?/) на
гипотенузу; части гипотенузы АВ и ВС суть искомыя линіи.
186.	Площадь равна 22,45 кв. фут.
187.	Площадь трапеціи равна
7 7	/(с-|~^ф-а—Ь)	а) (с-|-а—Ь—А) )а-|-гі—6—в).
4 (сі — О)
188.	Изъ точки В опускаемъ на сторону АС перпендикуляръ,
который пересѣчетъ ее, положимъ, въ точкѣ В\ опредѣлимъ иа сто-
ронѣ АС такую точку Е, чтобъ АЕ была средняя пропорціоналъ-
АС
ная между — и ВС; тогда перпендикуляръ, возставленный къ ли-
ніи АС въ точкѣ Е, будетъ искомая линія.
189.	Раздѣливъ сторону АС въ точкахъ ГиЛ/ на три равныя
части, проведемъ чрезъ В параллель къ АВ и чрезъ ЛГ параллелъ
къ ВС, тогда пересѣченіе этихъ двухъ линій есть искомая точка.
190.	Перпендикуляръ, опущенный изъ точки В иа сторону АС,
дѣлимъ въ точкѣ В на двѣ части въ отношеніи т: (« + >*)» и пер-
пендикуляръ, опущенный изъ точки С на сторону АВ, дѣлимъ въ
точкѣ Ж иа двѣ части въ отношеніи и : (т-4-г). Проведемъ чрезъ
В параллель къ АС и чрезъ М параллель къ АВ; пересѣченіе
этихъ двухъ параллелей есть искомая точка.
А
191	Линія, отстоящая отъ вершины иа разстояніи-^, гдѣ А
V 2
означаетъ высоту треугольника, раздѣляетъ треугольникъ пополамъ.
192.	Принявъ АС за основаніе треугольника АВС, раздѣлимъ
сторону ВС иа т равныхъ частей. Возставивъ изъ точекъ дѣленія
перпендикуляры къ ВС, опишемъ около ВС, какъ діаметра, полу-
кругъ, и пусть перпендикуляры пересѣкутъ окружность въ точкахъ
а, Ъ,... Описавъ изъ В радіусами Ва, ВЬ,... дуги положимъ, что
— 342 -
эти дуги пересѣкутъ линію ВС въ точкахъ а1? тогда линіи,
проведенныя чрезъ точки ап Ьі}... параллельно основанію, раздѣ-
лять треугольникъ на т равныхъ частей.
193.	Высота искомаго прямоугольника есть четвертая пропор-
ціональная къ линіямъ а, Ь и к.
194.	На линіи АВ, равной р, опишемъ полукругъ н проведемъ
параллель къ прямой АВ на разстояніи к отъ нея; изъ точки пересѣ-
ченія ЛГ этой параллели съ окружностью опустимъ перпендикуляръ
ЛГ# иа діаметръ АВ\ линіи и ^В будутъ стороны искомаго
1
прямоугольника. Вопросъ возможенъ, когда к не больше -^р.
195.	Обративъ данный прямоугольникъ въ равновеликій квад-
ратъ, приводимъ вопросъ къ задачѣ 194.
196.	На линіи АВ—р опишемъ полукругъ и отложимъ хорду
дС— к\ нзъ точки С опустимъ перпендикуляръ СВ иа діаметръ
АВ, АІ) будетъ искомая часть линіи АВ. Вопросъ возможенъ,
когда к<ір.
197.	Изъ какой-нибудь точка О опишемъ кругъ радіусомъ рав-
иымъ 2“, и проведемъ въ какой-нибудь точкѣ ЛГ окружности каса-
тельную ЛГ#=Л. Положимъ, что линія №0 пересѣчетъ окружность въ
точкахъ А и В; Л# и ВВ будутъ стороны искомаго прямоугольника-
198.	На линіи АВ=?а опишемъ полукругъ и проведемъ парал-
2к*
дель къ линіи АВ на разстояній —— отъ нея. Положимъ, что эта
параллель пересѣчетъ окружность въ точкѣ С; тогда АВС будетъ
искомый треугольникъ.	а
Вопросъ возможенъ только тогда, когда Л ие больше у*

199.	Пусть будетъ і длина касательной, проведенной чрезъ точ-
/	к*\ і4
ку А, х—внѣшняя часть сѣкущей; тогда я4— (і*	— й:8-|--,=0.
Вопросъ возможенъ, когда к^ і.^/2(^2 — 1).
200. Положимъ, что	А, > А.,, и построимъ треугольникъ АВС,
котораго стороны АВ=А, ВС=кі и АС~~'. Опустимъ изъ А
«8
перпендикуляръ АІ) иа сторону ВС и возьмемъ иа этомъ перпенди-
кулярѣ часть ВАЪ ~ А; затѣмъ проведемъ чрезъ Ь линіи, парал-
лельныя сторонамъ АС и АВ, которыя пересѣкутъ прямую ВО,
но лежимъ, въ ЛГ и ГЛГУ будетъ искомый треугольнику.
31.1 -
Вопросъ возможенъ только тогда, когда ЛЛ, < кк.2 +
201 Основаніе у и высота х искомаго прямоугольника опре-
дѣлаются изъ урвніцчіій: лу--к^, ук-^-хЬ = Ьк, гдѣ к есть сто-
рона даннаго квадрата.
Вопросъ возможенъ, когда Л не менѣе-у.
202.	Площадь равна Зг2.	3 /у
203.	Площадь треугольника равна —- - , пятиугольника —
|Ѵ 25 + 10/ 5, шестиугольника —	десятиугольника—
5а- ГТ+г/б . о
--------—-—, двѣнадцатиугольника — За9 (3 Д- |/3).
204.	Площадь описаннаго квадрата равняется 2і2, к іпссіи-
угольника -- к*.
205.	Проводя чрезъ точку Р линію О/ параллельно линіи ВС,
положимъ, что она пересѣчетъ сторону» АВ въ точкѣ Л; составимъ
параллелограммъ ВІЛ/ЛТ, равновеликій данному параллелограмму;
въ точкѣ .V возставимъ къ линіи ВС перпендикуляръ КТ, ле-
жащій внѣ угла АВС, и составимъ прямоугольный треугольникъ
УРГ такъ, чтобы катетъ КР—СР, гипотенуза РТ—РМ и ка-
тетъ КР былъ бы продолженіемъ стороны ВЛГ; прямая, проходя-
щая чрезъ точки В и Т, есть искомая линія.
Вопросъ возможенъ только тогда, когда точка 7) находится между
точками ѣ и 3/, и когда ВР<І)М.
ГЛАВА IX.
206.	Отношеніе двухъ угловъ равноу\
207	Площадь круіа равна 1493,01... квадр. фут.
208	Площадь круга равна 569,55... квадр. фут.
209.	463,7... метра.
210.	Заднія колеса дѣлаютъ приблизительно 398, а переднія
596-^ оборотовъ.
211.	Дуга равна 6,29598... фут.
212.	Радіусъ параллельнаго круга равенъ 4341989 метр.
Л1О ІТ	2$г — с/Іг2—с9
213.	Площадь сегмента равна ---------------,
214.	Діаметръ равенъ 60,3401.... фут.
— 344
215.	Радіусъ равенъ 15,4158.... фут.
216.	Площадь сектора равна 65,4499... кв. фут.
217.	Радіусъ равенъ 163,141._______
218.	Радіусъ равенъ 1А*124--г.22-|-г3-....
219.	Радіусъ равенъ /г/2—г/.
220.	Радіусы круговъ будутъ ------ —--------
пг	рг	цг
4~р8 + Й"2 ’ 1/т2+«й4-р2+?3 ’ |А»2+м2 + р* +
221.	Радіусы концентр.круговъ будутъ г
222.	Площадь равна к<Г2 -ф-2^|/ «.
223.	Чрезъ какую-нибудь точку, находящуюся на окружности
меньшаго круга, проведемъ касательную, которая пересѣчетъ внѣш-
нюю окружность, положимъ, въ точкахъ А и В; линія АВ будетъ
діаметръ искомаго круга.----------
Часть И. Стереометрія.
ГЛАВА I.
224.	Возьмемъ два прямыхъ угла, которые имѣли бы одну об-
щую сторону, проходящую чрезъ точку А, и которыхъ другія двѣ
стороны находились бы въ плоскости
225.	Проведя иа плоскости АЛѴ какую-инбудь прямую АВ, опу-
стимъ изъ 0 перпендикуляръ па АВ, и положимъ, что онъ встрѣ-
тить линію АВ въ точкѣ проведемъ чрезъ § на плоскости
АЛѴлинію $Рперпендикулярно къ АВ-, перпендикуляръ, опущенный
изъ О иа линію фР, будетъ искомый перпендикуляръ.
226.	Проведя чрезъ точку О и прямую АВ плоскость, проводимъ
на этой плоскости чрезъ точку О линію, параллельную линіи АВ.
•227. Проведя иа плоскости Л/2Ѵ какую-нибудь прямую АВ, про-
водимъ чрезъ точку О линію, ей параллельную.
228. 1) Если точка О находится на линіи АВ, то, возставивъ
въ точкѣ О два перпендикуляра ОВ н Оф къ линіи АВ, прово-
димъ плоскость чрезъ этн перпендикуляры.
>2) Если точка О находится внѣ линіи АВ, то изъ О опускаемъ
перпендикуляръ иа линію АВ, который пересѣчетъ ее, положимъ,
въ Р; чрезъ точку Р проводимъ линію Р§, перпендикулярную къ
В ; плоскость, проходящая чрезъ линіи ОР и Р$, будетъ иско-
мая плоскость.
— 345 —
329. Черезъ точку О проводимъ линіи ОР и Оф, соотвѣт-
ственно параллельныя линіямъ -АВ н плоскость, 'проходя-
щая чрезъ ОР и будетъ искомая плоскость.
230.	Чрезъ какую-нибудь точку С прямой АР проводимъ ли-
нію СР, параллельную линіи ЛГУ; плоскость, проходящая чрезъ
АВ'я СІ>у будетъ искомая плоскость.
231.	Опустивъ изъ точки 0 перпендикуляръ ОР на плоскость
ЛГУ, проводимъ чрезъ точку О плоскость перпендикулярную къ
линіи ОР.
232.	Чрезъ линію АВ проводимъ плоскость, параллельную пря-
мой МУ. и чрезъ линію ЛГУ плоскость, параллельную прямой
А В; разстояніе этихъ двухъ плоскостей есть искомое разстояніе.
ГЛАВ А IV.
233.	Искомая сторона равна 40.	»
234.	Искомый объемъ воздуха равенъ 12181,5369... куб. ф.
235.	51,48 куб. фѵт. воды.
236.	Боковая поверхность равна 311
і/з
а объемъ равенъ 1—- Л<Н=1б767,7.
1/3299,53,
237.	Высоты полной пирамиды и отсѣченной часгд ея будутъ
тН пН _
равны —- и —~. Плоскость, параллельная ос- дованіямъ на
2 /т’-І-н’
. _ т—I/ —
разстояніи Н----Г------=---отъ нижняго осно раздѣляетъ
ти.
МИДЫ, ТО плоскость,
-отъ вершины, раздѣ-
усѣченную пирамиду на двѣ равновеликія чае-
238. Если чрезъ Л означимъ высоту пнра
параллельная основанію, отстоящая на
V
лт пирамиду на двѣ равновеликія част
23». Раздѣливъ какую-нибудь стп|и 0си0в8НІЯ ^С, напр.,
сторону АВ. т точкѣ Л иа части(ятошеніи проюдет>
плоскость чрезъ три точки о, С г
240 Объемъ всей пирамиды-	а о6ъемъ от_
з(/в-/&)
сѣченной пирамиды равенъ Ь.у/'Ь
/?)
— 346 —
ГЛАВА V.
241.	Разстояніе, равное 6 ф.
242.	Изъ какой-нибудь точки поверхности шара описываемъ
на ней окружность какимъ-нибудь радіусомъ г. Чтобы перенести
эту окружность въ какую-нибудь плоскость, беремъ иа этой окруж-
ности три какія-нибудь точки А, В и С и, построивъ иа плоско-
сти треугольникъ, равный треугольнику АВС, описываемъ около
него кругъ. Пусть О будетъ центръ этого круга, ВОВХ діаметръ.
Проведя линію ОЕ перпендикулярно къ этому діаметру, построимъ
прямоугольный треугольникъ ВОЕ, въ которомъ гипотенуза ВЕ=-г.
Если въ срединѣ линіи ВЕ возставимъ перпендикуляръ н про-
должимъ его до пересѣченія съ линіею ОЕ нли съ продолженіемъ
ея въ точкѣ Р, тогда РЕ будетъ искомый радіусъ.
243.	Объемъ усѣченнаго конуса равенъ 2,56943 куб. фут.
244.	Объемъ шара равенъ
6|/л
245.	Поверхность равна 5092962 квадр. миріаметра; объемъ
равенъ приблизительно 1081 милліоновъ куб. миріаметровъ.
246.	Радіусъ шара равенъ 0,282... фут.
247.	Радіусъ равенъ 1,336... фут.
248.	Поверхность пояса равна 202800 квадр. миріамстр.
249.	Поверхность полосы равна 210600 квадр. миріаметр.
250.	Высота цилиндра равна 2,417... фут.
251.	Объемъ конуса равенъ 1017,87... куб. фут.
252.	Радіусъ равенъ о,6827... фут.
253.	Высота литра равна 1,2705 дециметр., а радіусъ осно-
ванія равенъ 0,4301 дециметра.
254.	Поверхности двухъ цилиндровъ равны, а объемы ихъ об-
ратно пропорціональны высотамъ.
255.	Толщина оболочки равна 0,0007 миллиметра.
256.	Замѣтивъ, что сторона описаннаго треугольника равна 2г|/з",
а высота его равна Зг, найдемъ: 1) поверхность шара—4кг2,2) бо-
ковая поверхность цилиндра—4кг2, полная поверхность его—блг2,
3) боковая поверхность конуса—6кг2, полная поверхность его—9кга,
4) объемъ шара— у''**'9»	объемъ цилиндра—2пг3, 6) объемъ
конуса—Злг3.
ОГЛАВЛЕНІЕ.
Стран.
Введеніе ......................................................... 3
ЧАСТЬ I. Планиметрія...................................... ....	7
Глава I. О прямыхъ линіяхъ и углахъ............................... 7
Глава П.О фигурахъ. О фигурахъ вообще.—Равенство треуголь-
никовъ.—Свойство перпендикуляра и нак чшпыхъ.—Задачи. .	15
Глава Щ. Параллельны ялині и. Теорія параллельныхъ линій —
Нѣкоторыя слѣдствія ея.—О параллелограммахъ и трапеціяхъ.
Задачи..........................................................   33
I да вл IV. Пропорціоналъ н ы я линіи. Общая міра двухъ
линій.—Пропорціональныя линіи.—Отношеніе линій.................... 47
Глава V. Подобіе прямолинейныхъ фигѵръ. Подобіе тре-
угольниковъ.—Подобіе мпоюуголі.пиков'ь —Нікоюрыя предло-
женія о треугольникѣ.—-Гармоническое дѣленіе.—Задачи ...	58
I лава V]. Объ окружности круга. Хорды и касательныя.—
Измѣреніе угловъ.—Пропорціональныя линіи въ кругѣ.—Впи-
санные и описанные многоугольники,—Относительное положеніе
двухъ окружностей.—Четыре замѣчательныя точка треуголь-
ника.—Взаимныя точки.—Поляры.—Задачи.............................. 84
Г л а в а ѴП. О правильныхъ многоугольникахъ. Правиль-
ные многоугольники вписанные и описанные.—Задачи. . . .	126
Глава VIII. Измѣреніе площадей. Измѣреніе площадей прямо-
линейныхъ фигуръ.—Нѣкоторыя предложенія о треугольникахъ,
четыреугольникахъ и правильныхъ мноі оуі ольникахъ.—Съемка
плана.—Задачи.................................................... 140
Глава IX. Опредѣленіе окружности иплощади круга.
О предѣлахъ.—Опредѣленіе окружности и площади круга. —
Квадратура круга.—Гиппократова луночка.—Опредѣленіе пло-
щади криволинейныхъ фигуръ.—Задачи...................... 173
ЧАСТЬ II. Стереометрія.......................................... 194
Глава I. О линіяхъ и плоскостяхъ въ пространствѣ.
Опредѣленіе положенія плоскости.—Линіи, перпендикулярныя къ
плоскости.—Линіи, параллельныя между собою.—Линіи, парал-
лельныя плоскости.—Плоскости, параллельныя между собою.—
Задачи........................................................... 194
— 348 —
Сѣрян.
Гілві II. Объ углахъ, образуемыхъ плоскостями. Уголъ
двухъ линій и уголъ линіи съ плоскостью.—Углы двугранные.—
У гаи многоі ранные.—'Равенство и симметрія триграиныхъ угловъ. 2О&
Глава Ш. О многогранникахъ. Призмы, параллелепипеды в
пирамиды.—Равенство призмъ и пирамидъ.—Симметричные мно-
гогранника.— Правильные многогранники—Подобіе многогран-
никовъ ....................................................    222
Глава IV. Измѣреніе объ е мовъ тѣ л ъ. Объемъ параллелепи-
педа, призмы и пирамиды.—Объемы подобныхъ многогранни-
ковъ..—Задачи................................................. 245
Глав а V. О тѣлахъ круглыхъ. О цилиндрѣ и коиуеѣ.—О шарѣ.—
. О сферическомъ треугольникѣ.—Подобіе круглыхъ тѣлъ.—Ко-
ническія сѣченія.—Задачи...............................   265
Прибавленіе. Численныя геометрическія задачи .	.	.	289
Рѣшеніе задачъ......................................   321
ПРОДАЕТСЯ
въ книжныхъ магазинахъ 8. В. ДУМНОВЛ,
ІІ^ЦЪ ФИРМОК
„наслѣдной бр. ГАЛАЕВЫХЪ".
Главный снладъ м оптовая торговля- Москва, Миснидная, д. Обндмной
Розничный магааи-гн: Москва, Мясницкая д ОбцдиноЯ.
ОТДЪЛЕНІЕ СНЛАДА 0-ь С.-ГЕТЕРБУРГІЬ,
4
Большая Конюшенная, .	1,