/
Текст
4КАДЕМИЯ Нх1УК СССР
М. М. Протодьяконов, Р. И. Тедер
МЕТОДИКА
РАЦИОНАЛЬНОГО
ПЛАНИРОВАНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
АКАДЕМИЙ HAV[K СССР
ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ЗЕМЛИ ИМЕНИ О. Ю. ШМИДТА
СЕКТОР ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ ГОРНЫХ ПРОБЛЕМ
М. М. Протодьяконов, Р. И. Тедер
МЕТОДИКА
РАЦИОНАЛЬНОГО
ПЛАНИРОВАНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ
е
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва, 1970
ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ
Стр Строка Напечатано Должно быть
4 13 сн. измерить изменить
16 Рис. 9 Рисунок при рассмотрений следует повернуть на 90° по часовой стрелке
62 Табл. 26, 5 гр. слева, 3 св. 9,5 8,5
64 21 сн. (&/2а)3 (Ь/л)з
73 13 сн. латинских квадратов квадратов
М М Протодьяконов
УДК 622.02.519.24
Методика рационального планирования экспериментов.
Протодьяконов М. М., Т е д е р Р. И. М., изд-во «Наука», 1970, i—
Излагаются теоретические основы методики рационального планирования
экспериментов, позволяющей существенно (в десятки раз) сократить объем
экспериментальных работ при установлении множественной корреляции
различных факторов друг от друга. Приводится построение планов экспери-
ментов на основе ортогональных латинских квадратов для случаев четырех
и более влияющих факторов. Излагается также методика обработки экспери-
ментальных данных для получения эмпирических формул от многих пере-
менных. Все изложенное иллюстрируется конкретными примерами исполь-
зования методики рационального планирования при экспериментальном
исследовании свойств горных пород.
Иллюстр. 38, табл. 30, библиографии 17 названий.
Ответственный редактор
профессор доктор технических наук
Г. Д. ЛИДИН
1-8-3; 3-1-6
128-70 (1-е полугодие)
ВВЕДЕНИЙ
Теоретические основы методики рационального планирования
экспериментов были разработаны нами в Институте горного дела
им. А. А. Скочинского и опубликованы в небольшой брошюре в
1962 г. Экспериментальная проверка предлагаемой методики бы-
ла осуществлена кандидатом техн, наук Р. И. Тедером и кандида-
том техн, наук С. Е. Чирковым при отработке методов исследо-
вания прочности горных пород при изгибе пластинки, опертой
по периметру, и при раскалывании. Результаты их исследований
кратко изложены в главе V.
Развитие предлагаемой методики было осуществлено канд.
физ.-мат. наук В. М. Мордашевым. Его идеи и примеры использо-
ваны при написании глав III и IV.
Настоящая работа написана нами в Секторе физико-техниче-
ских горных проблем Института физики Земли им. О. Ю. Шмид-
та Академии наук СССР.
* * *
Необходимость в методике рационального планирования экспе-
риментов возникает, когда приходится иметь дело с большим чис-
лом влияющих факторов, так как проверить на опыте все возмож-
ные сочетания этих факторов практически невозможно из-за гро-
мадного числа таких сочетаний.
Обычно термином «метод рационального планирования экспе-
риментов» в литературе обозначают метод поиска оптимального
режима работы предприятия или установки с помощью минималь-
ного числа опытов без существенных нарушений режима работы
предприятия.
Согласно этому методу [1, 2], сначала новое предприятие или
установку (например, установку по получению нового синтети-
ческого продукта) пускают в ход на режимах, установленных в
лабораторных условиях. Однако из-за различий в масштабах ла-
бораторий и производства эти режимы оказываются не оптималь-
ными. Тогда, чтобы не сорвать работу предприятия, начинают
варьировать в узких пределах величины влияющих факторов (ме-
3
Пять температуру, давление, длительность реакции й т. п.). После
каждого цикла опытов результаты их анализируют и выбирают
лучшее сочетание влияющих факторов. Затем проводят второй
цикл опытов с малыми отклонениями от этого режима и резуль-
таты снова анализируют. Опыты проводят до тех пор, пока их
результаты не будут соответствовать оптимальному сочетанию
этих факторов.
Описанная в настоящей работе методика рационального плани-
рования экспериментов относится к иному кругу вопросов, а
именно: к получению эмпирических формул для множественной
корреляции при минимальном числе опытов. Эта методика прак-
тически может быть использована в любой области эксперименти-
рования, однако ниже будут приводиться примеры главным обра-
зом из области горной науки.
Задачей всякого экспериментального исследования является
установление объективных закономерностей, которые выражают-
ся зависимостями различных факторов друг от друга, для после-
дующего использования найденных зависимостей в управлении
исследуемыми процессами [3].
Следует различать первичные и вторичные факторы, характе-
ризующие процесс. Так, например, при исследовании работы
врубовой машины или горного комбайна первичными факторами
являются: механические свойства разрушаемого пласта угля,
угол падения пласта, скорости подачи и резания машины и т. п.
К числу вторичных факторов относятся: силы сопротивления
резанию, сила тяги на канате, нагрузка двигателя, его нагрев,
расход энергии и т. п.
Для установления закономерностей работы машин прихо-
дится каждому из первичных факторов задавать несколько зна-
чений и при каждом из них замерять величины вторичных фак-
торов.. Изменить первичные факторы зачастую весьма трудно.
Так, например, для изменения крепости угля обычно приходится
переносить опыт из одного забоя в другой, для изменения скоро-
сти резания или глубины вруба необходимо перемонтировать ма-
шину и т. п. В то же время измерить несколько вторичных фак-
торов (нагрузку двигателя, его температуру, расход энергии
и т. д.) несколько легче.
Обычно вторичные факторы зависят не от одного, а от несколь-
ких первичных факторов. Чтобы выявить влияние каждого из
первичных факторов, нужно задать ему не менее четырех-пяти
различных значений или вариантов. Но для этого необходимо про-
вести весьма большое количество экспериментов. Так, например,
для полного исследования влияния четырех факторов, каждый
из которых может принимать по 5 значений, потребуется проде-
лать 54 = 625 различных комбинаций экспериментов (не считая
повторения каждого из опытов в идентичных условиях для полу-
чения устойчивых средних значений).
4
Такое количество экспериментов обычно провести не удается,
и исследователи, как правило, вынуждены ограничиваться лишь
незначительной их частью. Сокращения экспериментов чаще всего
проводятся за счет:
а) исследования только части существенных факторов;
б) уменьшения числа вариантов каждого из факторов;
в) исследования влияния каждого из факторов только при неко-
торых частных значениях других факторов.
На рис. 1 изображен график сочетаний взаимного влияния
четырех факторов (а, Ъ, с и <7), состоящий из 625 различных кле-
ток. На нем показана обычная планировка опытов для одного,
двух, трех и четырех факторов, каждый из которых принимает по
пять значений, при постоянных средних значениях остальных фак-
торов. При этом число различных сочетаний составляет соответ-
ственно 5, 25 и 125. Ни при одной из этих планировок не удается
получить полную эмпирическую формулу, учитывающую влия-
ние всех четырех факторов.
Несколько более полную картину можно получить, суммируя
соответствующие варианты. При этом количество сочетаний воз-
растает до 17, ИЗ и 369. Однако и при указанном сочетании пер-
вичных факторов угловые части графика оказываются весьма
слабо обследованными. При таких планировках вычисление сред-
них величин дает повторение уже измеренных сочетаний и поэто-
му никакой новой информации не прибавляет.
Если исследовать влияние всех четырех факторов одновремен-
но, но сократить число вариантов для каждого из них, то полу-
чится картина, изображенная на рис. 2. При таком количестве
вариантов каждого из факторов число экспериментов получает-
ся следующим: а — 24 = 16, б — З4 = 81, в — 44 = 256.
Точность эмпирических зависимостей, найденных всего по
двум-трем точкам, весьма невелика. Использование же четырех
и пяти вариантов приводит к слишком большому числу экспери-
ментов, которые практически трудно провести.
Таким образом, при существующих схемах планировки опытов
использование частичного эксперимента лишает исследователя
возможности получить достаточно точную закономерность, охва-
тывающую влияние всех исследуемых факторов одновременно.
Однако можно так спланировать сочетание различных факто-
ров, чтобы при минимальном числе опытов наиболее равномерно
охватить всю площадь таблицы возможных сочетаний влияющих
факторов. Для этого можно развить далее идею так называемого
«латинского квадрата» (рис. 3).
Латинский квадрат [4] применяется при планировании сель-
скохозяйственных экспериментов. Так, например, для выявления
совместного влияния двух факторов, каждый из которых
может принимать пять различных значений, число возможных
сочетаний составляет 52 = 25.
5
Рис. 1
Схемы обычной планировки опытов для одного, двух, трех и четырех факторов
abc + abet + a cd + bed
bed
abed
Рис. 2
Схемы планировки опытов для
четырех факторов при двух, трех
и четырех вариантах каждого из
них
Рис. 3
Латинский квадрат
/ И Ш U V
I
п
ш
IV
F
В Е с в Д
В В Е л С
С Д В в Е
Е В д с В
Д с в Е В
Для того чтобы при экспериментировании на 25 делянках
исключить влияние неоднородности почвы, рекомендуется исполь-
зовать еще пять вариантов отбора проб: А, В, С, D и Е. Эти ва-
рианты выбираются таким образом, чтобы в любой строке и в лю-
бом столбце каждый вариант встречался только один раз. Тогда
среднее значение результата по любому ряду или любой строке
не будет зависеть от способа отбора проб А, В, С, D или Е. На-
сколько нам известно, попыток исследовать влияние отбора проб
по каждому из этих вариантов на окончательный результат (уро-
жай) не делалось.
Развивая дальше метод латинского квадрата, мы предлагаем
искать зависимость результата не от двух, а от четырех факторов
и так планировать эксперимент, чтобы ни в одной строке и ни в
одном столбце не было повторных сочетаний. На рис. 4 показан
один из возможных планов такого сочетания четырех факторов,
каждый из которых может принимать пять значений.
Большой комбинационный квадрат состоит из 52 = 25 сред-
них квадратов, каждый из которых в свою очередь тоже разбит
на 52 = 25 малых квадратов или клеток. Таким образом, всего
имеется 54 = 625 клеток по полному числу сочетаний четырех
влияющих факторав a, Ъ, с, d. Номер столбца средних квадратов
соответствует номеру варианта фактора а, а номер строки средних
квадратов — номеру варианта фактора с. Из 25 возможных со-
четаний факторов b и d в каждом из средних квадратов мы выби-
раем только один, обозначенный зачерненной клеткой; причем
в каждой строке и в каждом столбце должна быть только одна та-
кая клетка. Нетрудно убедиться, что для каждого из значений
одного из факторов, например для а = 1, все значения прочих
факторов встречаются одинаково часто. Так, в этом случае:
8
b __ 3 4? 5? 2 и 1, c = 1, 2, 3, 4, 5 и d = 1, 2, 3, 5, 4. Поэто
при определении результатов для а = 1 влияние трех друг
факторов усреднится и результат будет соответствовать Ь
с 3 d 3. В приведенной схеме такое усреднение может бь
осуществлено для любого значения фактора а, Ь, с или d.
Производя такое усреднение для каждого из значений фе
тора а, мы можем найти зависимость результата только от этс
фактора при нейтрализации влияния остальных трех факторе
Аналогично можно выявить влияние только фактора b при ш
трализации факторов а, с и d. Меняя порядок усреднения, мо
но из одних и тех же данных 25 опытов найти влияние всех 1
тырех первичных факторов. Таким образом, данная методика nj
нирования экспериментов позволяет заменить полное число i
четаний влияющих факторов, равное 625 вариантам, всего ли]
25 специально подобранными сочетаниями вариантов, т. е. се
ратить объем экспериментов в 25 раз.
Рассмотрим теперь предлагаемую методику рациональнс
планирования экспериментов более подробно. Для этого ]
зобьем нашу задачу на два этапа.
1 этап. Методика построения комбинационных квадрат
с неповторяющимися сочетаниями по всем строк
и столбцам.
2 этап. Методика усреднения и пересчета результатов для i
хождения искомой зависимости вторичного факто
от всех первичных факторов.
Рис. 4
Пример предлагаемой схемы планировки опытов для четы]
факторов и пяти вариантов каждого из них
ГЛАВА I
МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ
КОМБИНАЦИОННЫХ КВАДРАТОВ
Весь последующий анализ мы проведем для четырех первичных
независимых друг от друга факторов. При этом решение более
простых случаев зависимости результатов от трех или двух факто-
ров может быть получено из основного случая при условии, что
один или два фактора будут постоянными. Случаи с пятью и более
первичными факторами мы рассматривать почти не будем, так как
известно, что введение в эмпирические формулы более трех-че-
тырех факторов практически почти не повышает точности формул,
а только усложняет их и повышает трудоемкость экспериментов.
Рассмотрим теперь вопрос о выборе необходимого числа ва-
риантов, которые может принимать каждый из первичных факто-
ров. Общее число возможных сочетаний четырех факторов будет
при этом равно: I4 — 1, 24 = 16, З4 = 81 и вообще п4. В каждом
столбце или строке при этом окажется по I2 = 1, 22 = 4 и вообще
п2 сочетаний. Нам же необходимо рассмотреть случаи, когда в
каждой строке или столбце комбинационного квадрата будет толь-
ко по одному сочетанию. Тогда применение изложенного в настоя-
10
щей работе метода сократит число экспериментов в п2 раз. Из
приведенных цифр видно, что с ростом числа вариантов каждого
из факторов число их возможных сочетаний чрезвычайно быстро
увеличивается. Вместе с тем растет и выгода от применения пред-
лагаемого метода планирования экспериментов. Поэтому следует
использовать возможно большее число вариантов каждого из фак-
торов. Это также позволит более точно найти вид искомой эмпи-
рической кривой.
Однако применения максимум девяти вариантов для каждого
фактора в большинстве случаев вполне достаточно. Дальнейшее
увеличение числа вариантов приводит к заметному повышению
трудоемкости опытов.
Слишком малое число вариантов (два или три) неприемлемо,
так как через две или три точки можно провести любую кривую,
нам же требуется найти вид искомой кривой.
Необходимо отметить, что описанный ниже метод усреднения
дает наилучшие результаты при пользовании нечетным числом
вариантов. Поэтому мы примем случаи для пяти, семи и девяти
вариантов.
В нашей работе 1962 г. [3] мы указали ряд приемов построения
комбинационного квадрата, например: метод запрещенных клеток;
способ разрешенных схем для средних квадратов; прием наложе-
ния; метод поворота на 90° и др. Здесь мы излагаем наиболее про-
стой и общий способ построения комбинационного квадрата, раз-
работанный несколько позже.
Возьмем большой комбинационный квадрат (рис. 5) и рядом
поместим отдельный средний квадрат в окружении четырех таких
же средних по величине квадратов, примыкающих к нему крест-
накрест. Перенумеруем в среднем квадрате все клетки от 1 до 25.
Затем отметим клетки отдельного среднего квадрата, идущие по
--------
наш
<9
Способ построения комбинацион-
ного квадрата
диагонали слева направо и сверху
вниз и аналогичные им клетки в боль-
шом квадрате просто сверху вниз.
Отметим также клетки отдельного
среднего квадрата, идущие сверху
вниз и справа налево и аналогичные
им клетки в большом квадрате, иду-
щие справа налево. Центральную
клетку обоих квадратов обозначим 13.
Тогда диагональ отдельного среднего
квадрата 1, 7, 13, 19, 25 изобра-
зится на большом квадрате крутой
наклонной линией тех же клеток —
1, 7, 13, 19, 25. Другая диагональ
5, 9, 13, 17, 21 на большом квадрате
расположится полого в третьей стро-
ке средних квадратов.
И
Рис. 6
Способ перетасовки столбцов и строк комбинационного квадрата
Если использовать этот же прием, но отсчет вести не от цент-
ральной клетки 13, а от какой-либо другой, например 19, то при-
дется продолжить диагональ в квадраты, примыкающие к отдель-
ному среднему квадрату, т. е. взять клетки 2, 23, 19, 15, 6.
Продолжая это построение, получим расположение всех двад-
цати пяти клеток в большом комбинационном квадрате, причем
все клетки будут иметь различные номера, т. е. соответствовать
различным сочетаниям первичных факторов; в каждой строке и
в каждом столбце будет находиться только одна клетка; в каждом
ряду или в каждой строке средних квадратов будут встречаться
все пять вариантов строк и столбцов из клеток.
Таким образом, мы выполнили все сформулированные выше тре-
бования, которым должен удовлетворять комбинационный квадрат.
Однако полученный комбинационный квадрат будет обладать
одним недостатком. Для некоторых его частей будет наблюдаться
монотонное изменение нескольких первичных факторов одно-
временно. Так, например, для клеток 1, 7,13,19, 25 при постоянном
значении фактора а = 3 факторы Ь, с и d будут монотонно возрас-
тать в порядке 1, 2, 3, 4, 5.
Точно так же для клеток 5, 9, 13, 17, 21 при постоянном значе-
нии фактора с = 3, факторы а и & будут убывать по закону 5, 4,
3, 2, 1, а фактор d столь же монотонно возрастать в порядке 1, 2,
3, 4, 5. Это приведет к утрате независимости изменения первичных
факторов, что не даст возможности в окончательных эмпирических
формулах разделить их влияние друг от друга. Можно будет учесть
только их совокупное влияние, что, конечно, нежелательно.
Для ликвидации этого недостатка полученный комбинационный
квадрат можно трансформировать путем перетасовки столбцов и
строк средних квадратов. При этом ранее указанные свойства
комбинационного квадрата не изменятся. Так, если поменять ме-
стами первую и вторую строки и четвертый и пятый столбцы из
средних квадратов, то получится новый комбинационный квадрат
(рис. 6).
12
Очевидно, что число таких Перетасовок будет равно 5 • 4 • 3 •
.2 -1 = 5! для столбцов и столько же для строк, т. е. всего
(5!)2 = 1202 = 14 400 вариантов, полученных механическим путем.
Из этого громадного числа вариантов всегда можно выбрать
квадраты, удовлетворяющие каким-либо дополнительным усло-
виям для каждого конкретного эксперимента. Так, например,
если необходимо провести опыты в возможно более широком ди-
апазоне изменения величин, то можно путем перетасовок помес-
тить в левом верхнем углу комбинационного квадрата клетку
с сочетанием условий a — b = c = d = l, ав правом нижнем
углу с сочетанием a = 6 = c = = 25. Можно, наоборот, пре-
дельно сжать диапазон и т. д.
На рис. 7 и 8 изображены комбинационные квадраты для семи
и девяти вариантов каждого из четырех первичных факторов.
Эти квадраты имеют проходящую через центр четверную ось
симметрии. Путем перетасовок столбцов и строк из средних квад-
ратов им можно придать любую асимметричную форму, выполнив
это (7!)2и(9!)2 способами.
При применении семи и девяти вариантных комбинационных
квадратов число экспериментов может быть сокращено в 49 и
81 раз, что весьма заманчиво.
Аналогичными приемами могут быть построены комбинацион-
ные квадраты для И, 13, 15 и т. д. вариантов каждого из четырех
факторов; однако практически это вряд ли будет нужно.
Если же понадобится исследовать одновременное влияние не
четырех, а большего числа факторов, можно применить следую-
щий прием. В одной из полученных для четырех факторов схем
каждую из выбранных 25 клеток разбить на 25 более мелких кле-
ток и выбрать среди них только по одной. Причем следует взять
одну из возможных схем для четырехфакторного комплекса, но
только не ту, которая уже использована в данном построении,
так как в этом случае нельзя будет выделить влияние новых фак-
торов.
Так, например, внутри клеток рис. 9 можно выбрать более
мелкие клетки согласно рис. 4.
На рис. 9 в квадрате (а = 1, с = 1) была выбрана клетка (Ь =
— 4, d = 3). В этой клетке, согласно рис. 4, для тех же значений
(а = 1, с — 1) другие два параметра будут е = 3, / — 1. Далее
в квадрате (а = 2, с = 1) была выбрана клетка (6 = 1, d = 2).
В ней для одноименного квадрата (а = 2, с = 1), согласно рис. 4,
следует выбрать значения других параметров (е = 5, / = 4) и
т. д., как это показано на рис. 9. При таком способе построения
ни в одной строке или столбце не будут повторяться одинаковые
факторы, а при усреднении по любому из них все прочие факторы
будут встречаться во всех значениях (1, 2, 3, 4, 5). Таким образом,
мы получили комбинационную схему для шести факторов, каж-
дый из которых может принимать пять различных значений, что
13
Рис. 7
Схема комбинационного квадрата для четырех факторов
и семи вариантов каждого из них
дает 56 = 15 625 комбинаций, и заменили их всего лишь 25 ком-
бинациями, т. е. сократили число необходимых экспериментов
в 625 раз.
Трудно предполагать, что на практике встретится необходи-
мость использовать более шести первичных факторов. Однако
указанный выше прием принципиально может быть применен
для любого большого числа факторов. Так, например, для восьми-
факторного комплекса нужно будет в каждой из выбранных на
рис. 9 мелких клеток разместить по 25 микроскопических клеток
и взять из них только по одной клетке, пользуясь новым вариан-
том четырехфакторной схемы, например приведенным на рис. 6.
Более подробный анализ этого метода будет дан в гл. III.
Если же понадобится схема для трех или пяти факторов, мож-
но использовать схемы для четырех и шести факторов и принять
один из них постоянным. Полученная таким образом трехфактор-
ная схема показана на рис. 10.
Рассмотрим еще один случай четырехфакторного комплекса,
когда каждый из факторов имеет разное число вариантов. На-
пример, требуется построить комбинационную схему для а = 3,
b = 9, с = 5, d — 1. Построим вместо комбинационного квадрата
комбинационный прямоугольник (рис. 11), взяв за основу фак-
торы с наименьшим числом вариантов (а = 3 и с = 5). Этот пря-
моугольник будет состоять из 3 • 5 = 15 средних по величине
прямоугольников. Каждый из них в свою очередь разобьем по
14
факторам Ъ и d на 9 • 7 = 63 клетки. Если теперь разместить
в каждом из средних прямоугольников по одной отобранной клет-
ке, то их будет всего 15, а строк у нас 5 • 7 = 35 и столбцов 3-9 =
=== 27. Следовательно, не все строки и столбцы окажутся запол-
ненными. Поэтому придется взять по две клетки в каждом сред-
нем прямоугольнике. Тогда всего будет 15 • 2 = 30 выбранных
Плёток. В этом случае из 35 строк только 5 окажутся незаполнен-
ными» зато в трех столбцах будет по две клетки. Таким образом,
полной равномерности заполнения всех строк и столбцов в та-
кой схеме достигнуть невозможно.
Если теперь построить вспомогательный прямоугольник для
факторов Ъ и d, состоящий из 7 • 9 = 63 клеток, и попытаться
разместить в нем возможно равномернее 30 выбранных клеток,
то этого можно достигнуть при шахматном их расположении,
но с двумя пропущенными клетками (см. рис. 11, б). Такая схе-
ма расположения будет иметь двойную ось симметрии, прохо-
дящую через центр прямоугольника перпендикулярно к черте-
жу. Размещая те же клетки с учетом подобной симметрии
на рис. 11, а, получим искомый комбинационный прямоугольник.
Суммарное число выбранных клеток по строкам указано спра-
ва от этого прямоугольника, а суммарное число их в столбцах —
снизу. Как видим, некоторые строки получаются пустыми, а в
части столбцов оказывается не по одной, а по две выбранные клет-
ки. Это приведет к тому, что при последующих подсчетах и усред-
Рис. 8
Схема комбинационного квадрата для четырех факторов
и девяти вариантов каждого из них
15
Рис. 9
Комбинационный квадрат для ше-
стифакторного комплекса
Рис. 10
Комбинационный квадрат для трех-
факторного комплекса
Рис. 11
Комбинационный прямоугольник для четырех факторов с неодинаковым числом вариан-
тов для каждого из них
а— основной прямоугольник; б— вспомогательный прямоугольник
б
нениях для отыскания эмпирических формул прочие факторы
будут уравновешиваться неполностью, а это затруднит расшифров-
ку опытных данных. Поэтому, хотя планами постановки экспе-
риментов с различным числом вариантов для разных факторов
пользоваться можно, но все же лучше планировать опыты так,
чтобы число вариантов для всех факторов было одинаково.
Резюмируя все изложенное по вопросу о способах построе-
ния сокращенных комбинационных схем для планирования опьр
тов, можно сделать следующие замечания.
1. Предлагается общий метод построения комбинационных схем
для сокращения числа потребных экспериментов при иссле-
довании многофакторных зависимостей. Метод этот в прин-
ципе пригоден для любого практически осуществимого числа
факторов т и числа вариантов п каждого из них.
2. При полном осуществлении всех возможных комбинаций факто-
ров и их вариантов общее число комбинаций получается весьма
большим и равным тгм. Вместо проведения опытов для всех воз-
можных сочетаний вариантов действующих факторов предла-
гается осуществлять сокращенное число комбинаций, равное
п2, при котором в каждой строке и в каждом столбце комбина-
ционного квадрата будет только одна выбранная клетка. При
М. М. Протодьяконов
этом сокращение общего числа экспериментов получается в
nm-2 раз>
В качестве основного случая рекомендуется пользоваться
четырьмя первичными факторами, каждый из которых может
принимать пять вариантов. При этом число опытов сократится
в 25 раз. При большем числе факторов или их вариантов сокра-
щение будет еще более значительным.
3. Для построения комбинационных квадратов целесообразно
использовать следующие приемы:
а) построение вспомогательного среднего квадрата с выбором в нем
диагонально расположенных клеток при размещении одноимен-
ных клеток в столбцах и строках средних квадратов большого
комбинационного квадрата;
б) перетасовку столбцов и строк из средних квадратов.
Эти приемы позволяют быстро и в значительной степени
автоматически строить большое число приемлемых вариантов
комбинационных схем.
4. Примеры комбинационных квадратов для четырехфакторного
комплекса с пятью, семью и девятью вариантами каждого из
факторов приведены на рис. 4, 5, 7 и 8.
5. Последовательное применение тех же приемов может дать комби-
национные схемы для шести (см. рис. 9), восьми факторов и т. д.
Принимая часть факторов постоянными, можно получить комби-
национные схемы для трех, пяти факторов и т. д.
6. Применение комбинационных схем с разным числом вариантов
для разных факторов возможно, но нежелательно.
t ЛАВА и
, МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ ДАННЫХ
Рассмотрим теперь вопрос о рациональных способах обработки
данных, полученных при выполнении опытов по описанным выше
комбинационным схемам.
В курсах математической статистики обычно рассматривается
только парная корреляция величин. При существовании множест-
венной корреляции чаще всего ее пытаются описать в виде суммы
линейных функций от ряда первичных факторов. Коэффициенты
регрессии находят методом наименьших квадратов. При большом
числе переменных вычисления становятся настолько громоздкими,
что обойтись без ЭВМ затруднительно.
Нелинейные связи при множественной корреляции обычно на-
столько сложны, что большинство авторов вообще предпочитают
их не рассматривать [5, 6].
Проф. М. М. Протодьяконов (старший) [7] предложил брать
как можно больше данных при самых разнородных условиях и
группировать их по значениям какого-либо одного фактора. Тогда
в каждую такую группу остальные факторы (если они независимы
друг от друга) попадут без всякого порядка. Поэтому при усредне-
нии все прочие факторы, кроме того, по которому произве-
дена группировка, уравновесятся. Следовательно, результаты будут
зависеть только от одного этого фактора при средних значениях
прочих факторов (ныне такой прием называют методом случай-
ного баланса [1]).
Группируя затем те же исходные данные по значениям второго
фактора, можно найти вторую частную зависимость результата от
второго фактора, затем частную зависимость от третьего фактора
и т. д. Окончательная эмпирическая формула, по проф. М. М. Про-
тодьяконову (старшему), получается как произведение частных эм-
пирических формул, деленное на генеральную среднюю для всей
совокупности данных в степени, на единицу меньшей числа пер-
вичных факторов.
Л. А. Бызов [8] предложил находить эмпирическую зависи-
мость результата сначала от наиболее сильно действующего фак-
тора. Затем он вычислял отклонения результата от этой зависи-
мости и далее искал зависимость этих отклонений уже от второго
2*
19
По силе первичного фактора. Вычитая из первых отклонений вто-
рую корреляционную зависимость, он находил вторые отклонения
и далее искал их зависимость от третьего первичного фактора
и т. д. Таким образом, он пользовался методом последовательных
приближений, но полагал, что результат должен представлять
собой сумму нескольких функций от ряда первичных факторов.
По существу такой же метод используется и в более поздних
работах [1].
Следовательно, предложенные методы позволяли производить
обработку в тех случаях, когда фактические данные могли быть
описаны формулами в виде сумм или произведений отдельных зави-
симостей. Для реальных зависимостей от многих факторов, которые
не укладываются в указанные ограничивающие условия, факти-
чески методов обработки опытных данных и их расшифровки не
было.
Нами было предложено дальнейшее развитие метода проф.
М. М. Протодьяконова (старшего) [7], которое заключалось в том,
чтобы после группировки первичных данных замеров по наиболее
сильному фактору и нахождения сглаживающей эмпирической
формулы произвести пересчет всех первичных данных по этой фор-
муле на среднее значение первого фактора [3]. Тогда его действие
нейтрализуется, и можно будет призводить вторичную группировку
пересчитанных данных по второму фактору. При этом ввиду ней-
трализации самого сильного фактора разброс данных уменьшается
и зависимость пересчитанных результатов от второго фактора выс-
тупает более ясно.
Далее по второй эмпирической формуле зависимости результата
от второго фактора производится второй пересчет данных на среднее
значение второго фактора. Этим его действие также нейтрализуется,
и легче находить зависимость пересчитанных результатов от треть-
его фактора и т. д.
При методе случайного баланса усреднение данных происходит
только незакономерно и может быть удовлетворительным лишь при
большом числе данных. В нашем случае усреднение достигается
за счет специально спланированной комбинации факторов, при
которой каждый из них встречается по одному разу во всех ва-
риантах. Поэтому для усреднения достаточно гораздо меньшего
числа данных.
Мы, так же как и Л. А. Бызов, использовали метод после-
довательных приближений, но не ограничивались только приемом
суммирования. В принципе, имея частную эмпирическую формулу,
можно устранить влияние сильного фактора пересчетом на его
среднее значение при любом виде этой формулы.
Усовершенствование метода проф. М. М. Протодьяконова (стар-
шего) заключалось в том, что повторные группировки мы прово-
дили не с первичными данными, как это делал он, а с пересчитан-
ными, где влияние сильных факторов было уже нейтрализовано.
20
Cij 2,5’"-^ Cg* j /J
В] 0 [Й [Ц
я] [Й [#] U/I
|л Л
|77| |25| [32
Ц] и
Рис. 12
Пример заполненного комбинационного квадрата
Этот же метод мы применяем и в данной работе. Для нагляд-
ности при дальнейшем изложении материала мы будем подкреп-
лять его примерами.
Возьмем четыре фактора (а, Ь, с и cZ), каждый из которых мд-
жет принимать по пяти целочисленных значений: 1, 2, 3, 4 и 5.
Пусть в результате экспериментов при указанных на рис. 12 со-
четаниях первичных факторов были получены результаты, запи-
санные в соответствующие клетки этой схемы. Требуется найти
ТАБЛИЦА 1
а с 1 2 3 4 5 Сумма Среднее
1 22 6 25 9 13 75 15
2 10 29 13 17 21 90 18
3 33 17 21 25 9 105 21
4 21 25 29 13 32 120 24
5 29 33 17 36 20 135 27
Сумма 115 110 105 100 95 525
Среднее 23 22 21 20 19 21
21
Рис. 13
График первых усреднений зависимо-
стей функции от значений переменных
факторов
Рис. 14
График зависимостей функции Ft от
факторов а и с после исключения влия-
ния факторов Ь и d
эмпирическую формулу, которая охватывала бы влияние всех
четырех первичных факторов.
Произведем усреднение полученных значений результатов по
каждому из первичных факторов (табл. 1 и 2).
Нанося полученные средние значения величин на график
(рис. 13), получим, что зависимости результатов F от каждого из
факторов в отдельности при средних значениях прочих факторов
получились везде прямолинейными. Наиболее сильно влияет фактор
ТАБЛИЦА 2
ь d 1 2 3 4 5 Сумма Среднее
1 17 9 25 21 33 105 21
2 6 13 29 25 32 105 21
3 13 20 21 22 29 105 21
4 10 17 13 29 36 105 21
5 9 21 17 33 25 105 21
Сумма 55 80 105 130 155 525
Среднее И 16 21 26 31 21
22
в (прямая идет наиболее круто), фактор с влияет слабее, фактор d
совсем не влияет на результат, а увеличение фактора а приводит
даже к уменьшению результата.
По графику находим, что зависимость результата F от наиболее
пильного фактора b (при а = Ъ — d = 3) имеет следующий вид:
F 6 + ЪЪ.
Пользуясь этой эмпирической формулой, пересчитаем все ис-
ходные данные на одно и то же среднее значение фактора b — 3.
Для этого заметим, что увеличение фактора b на 1 приводит к
увеличению результата на 5. Например, число 22, стоящее в сред-
нем левом квадрате верхнего ряда комбинационного квадрата на
рис. 12 и относящееся к величине b = 4, должно быть при перес-
чете уменьшено на (4 — 3)«5 = 5, т. е. оно станет равным 22 —
— 5 = 17. Величина 25, стоящая в среднем квадрате верхнего
ряда и относящаяся к значению фактора b = 5, должна быть
уменьшена на (5 — 3) • 5 = 10, т. е. она станет равной 15. Путем
такого пересчета мы нейтрализуем действие самого сильного
фактора Ь, и тогда яснее выступит влияние прочих факторов.
Кроме того, мы можем пренебречь влиянием самого слабого
фактора d и считать результаты не зависящими от него. В этом
случае после пересчета получится таблица результатов Ft в зави-
симости от влияния только двух факторов: а и с. Поэтому мы можем
сразу сгруппировать результаты пересчета по величинам этих
двух факторов в табл. 3.
ТАБЛИЦА 3
с 1 2 3 4 5 Сумма Среднее
1 17 16 15 14 13 75 15
2 20 19 18 17 16 90 18
3 23 22 21 20 19- 105 21
4 26 25 24 23 22 120 24
5 29 28 27 26 25 135 27
Сумма 115 110 105 100 95 525
Среднее 23 22 21 20 19 21
Нанося полученные данные на график (рис. 14), увидим, что
получилось семейство параллельных друг другу прямых линий,
которое может быть описано единым уравнением:
Fx = 15 + Зс - а.
23
Рис. 15
Пример заполненного комбинационного квадрата
Это уравнение относится к значению b = 3. Выше было найде-
но, что функция F также линейно связана с 6, причем на каждую
единицу прироста b она возрастает на 5. Следовательно, при
b ~ 3 возрастание должно составить 15, т. е. как раз величину
свободного члена в предыдущей формуле. Следовательно, иско-
мая формула будет:
F = - а + 56 + Зс + Od.
Произведя по этой формуле проверочные подсчеты для приве-
денных на рис. 12 сочетаний первичных факторов, найдем, что
цифры полностью совпадают с первоначальными данными. Следо-
вательно, выведенная нами эмпирическая формула является точ-
ной.
Необходимо отметить, что в разобранном выше случае линейной
функции уже первое усреднение величин дает вполне правильные
угловые коэффициенты прямых линий для каждого фактора в от-
дельности. Примененный метод позволяет также определять знаки
этих коэффициентов и выявлять факторы, не оказывающие влияния
(фактор d).
Возьмем теперь более сложный случай испытаний по той же
схеме. Пусть результаты будут такими, как указано на рис. 15.
Производя усреднения, получим данные, приведенные в табл. 4
и 5.
Нанося эти данные на рис. 16, заметим, что результаты при-
мерно линейно зависят от факторов а и с, зависимость же их от
факторов bud неясная.
24
ТАБЛИЦА 4
а С 1 2 3 4 5 Сумма Среднее
1 10 13 35 19 38 115 23
2 24 19 30 59 43 175 35
3 1 40 45 52 97 235 47
4 37 29 ‘ 60 8ч5 84 295 59
5 14 55 71 91 124 355 71
Сумма 86 156 241 306 386 1175
Среднее 17 31 48 61 77 47
ТАБЛИЦА 5
ь d 1 2 3 4 5 Сумма Среднее
1 71 19 29 43 1 163 33
2 13 30 14 52 84 193 39
3 85 124 45 10 19 283 57
4 24 40 38 60 91 253 51
5 97 37 59 55 35 283 57
Сумма 290 250 . 185 220 230 117^5
Среднее 58 50 37 44 46 47
Если произвести пересчет, аналогичный изложенному в преды-
дущем примере, то можно установить, что зависимость результа-
тов от факторов bud по-прежнему остается неясной. Это значит,
что предположение о линейной зависимости результатов от факто-
ров а л с неточно.
Поэтому проверим зависимость результатов F от произведения
факторов а и с. Результаты сведем в табл. 6.
Эти данные, нанесенные на график (рис. 17), показывают, что
величина F приблизительно линейно зависит от произведения ас
с угловым коэффициентом 5.
25
Рис. 17
Корреляционная связь функции F и произведения факторов ас
Рис. 16
График первых усреднений зависимостей функции от значений переменных факторов
Для того чтобы нейтрализовать влияние этого произведения на
величину результата F, пересчитаем первоначальные данные, вы-
читая из них величину 5ас, и получим результаты, приведенные на
рис. 18. Суммирование и усреднение результатов по горизонталь-
ным и вертикальным рядам квадратов показывает, что влияние
фактора а оказалось практически компенсированным, однако влия-
ние фактора с еще сохранилось. Получается, что с увеличением
фактора с на каждую единицу результат уменьшается на 3. Поэ-
тому, чтобы точнее нейтрализовать влияние фактора с, нужно про-
ТАБЛИЦА 6
ас а/с F с*а са4’ ас О F
q «С,
1 10 9 45
2 13 24 10 43 55
3 35 1 12 52 60
4 19 19 37 15 97 71
5 38 14 16 85
6 30 40 20 84 91
8 59 29 25 124
26
Сумма 11(56) 6(51) 16(61) 1(11) 12(57)
Среднее ~2(11) -K1Q) -3(12} --1(8) -2(11)
Рис. 18
Комбинационный квадрат после первого и второго пересчетов
извести повторный пересчет результатов, добавляя к ним величину
Зс. Новые цифры нанесем на тот же рис. 18 рядом с отмеченными
квадратами. После этого влияние фактора с компенсируется пол-
ностью.
Произведем группировку результатов по факторам Ъ и d и све-
дем их в табл. 7.
ТАБЛИЦА 7
ь d 1 2 3 4 ’ 5 Сумма Среднее
1 и 2 1 —1 -5 8 2 1
2 6 6 4 1 -4 13 3 4
3 17 14 9 8 5 53 11 9
4 20 19 16 12 6 73 15 16
5 31 29 25 20 23 128 26 25
Сумма 85 70 55 40 25 275
Среднее 17 14 11 8 5 И
- _
27
Рис. 19
Корреляционная связь пересчитанной функции -F2 и фактора d2
Рис. 20
Зависимость функции от зна <ений факторов а и Ь после исключения влияния
факторов cud
Для сравнения в последнем столбце дадим величину d2. Из этой
таблицы видно, что средние значения растут как d2 (рис. 19) и
падают как 9 — 36.
Возьмем данные, записанные рядом с выбранными клетками
на рис. 18, вычтем из них величины 9 + d2 — 36 и сгруппируем
их по значениям факторов бис, как это показано в табл. 8.
ТАБЛИЦА 8
ъ с 1 2 3 4 5 Сумма
1 —4 -2 0 2 4 0
2 —2 —1 0 1 2 0
3 0 0 0 0 0 0
4 2 1 0 -1 —2 0
5 4 2 0 —2 -4 0
Сумма 0 0 0 0 0 0
28
Нетрудно заметить, что цифры этой симметричной таблицы
описываются следующей формулой:
F = (Ъ - 3)(3 - с).
Сведем воедино все промежуточные выражения: 5ас; —3 с;
9 + J2 __ 35; (Ь - 3) (3 - с).
Складывая их, найдем:
F - Ъас - Зс + 9 + d2 - 3b + (b - 3) (3 - с).
После приведения подобных членов получим:
F = (5а — b)c + d2.
Как видим, целый ряд найденных нами промежуточных членов
сократился, и в результате получилась формула, в которой, кроме
сумм независимых функций, оказались произведения функций от
разных первичных факторов и степенные функции.
Возможен и второй вариант способа нахождения этой неизвест-
ной функции от четырех переменных.
Так, установив, что в формуле есть слагаемое вида d2, снова вер-
немся к первоначальным данным и вычтем из них эту величину,
сгруппировав данные пересчета по факторам а и с в табл. 9.
ТАБЛИЦА 9
'к а с 1 2 3 4 5 Сумма Среднее
1 1 .9 10 18 22 60 12
2 8 10 26 34 42 120 24
3 0 24 36 48 72 180 36
4 12 28 44 76 80 240 48
5 10 30 70 75 115 300 60
I Сумма 31 101 186 251 331 900
Среднее 6 20 37 50 66 36
Как видим, остаток после вычитания с?2 получился практически
прямо пропорциональным фактору с. Поэтому для исключения вли-
яния этого фактора нужно произвести деление остатков на с. Полу-
ченные при этом пересчитанные результаты будут зависеть только
от факторов а и Ь. Группируя результаты пересчета по значениям
этих факторов, получим табл. 10.
29
ТАБЛИЦА 10
ъ а 1 2 3 4 5 Сумма Среднее
1 ' 4 3 2 1 0 10 2
2 9 8 7 6 5 35 7
3 14 13 12 И 10 60 12
4 19 18 17 16 15 85 17
5 24 23 22 21 20 110 22
Сумма 70 65 60 55 50 300
Среднее 14 13 12 1 И 10 12
Нанося эти данные на рис. 20, заметим, что величина
F —d2
с ’
в зависимости от фактора а, имеет вид семейства параллельных
прямых линий с угловым коэффициентом 5 и начальной ордина-
той, зависящей от фактора b. С увеличением b на единицу настоль-
ко же убывает и величина (F — d2)/с, откуда
F = (5а — Ь) с + с/2,
т. е. то же самое, что уже было получено выше иным методом.
Проверочный расчет по этой эмпирической формуле показывает,
что для выбранных значений факторов а, Ь, с и d результаты рас-
чета тождественны с исходными данными на рис. 15.
Рассмотрим еще один более сложный пример обработки данных,
полученных по методу рационального планирования эксперимен-
тов. Для этого возьмем схему четырех факторов, каждый из кото-
рых может принимать по семь вариантов (см. рис. 7). Пусть
результаты замеров при этом получились такие же, как и на
рис. 21.
Производя суммирование и находя средние значения для всех
четырех факторов, получим данные, которые сведем в табл. 11
и 12. Средние величины округлим до целых чисел.
Нанося эти данные на график (рис. 22), заметим, что с ростом
фактора с функция F растет монотонно и быстрее, чем в первой
степени. Имеется также нечеткая тенденция роста F с увеличением
а и Ь. Влияние фактора d остается неясным.
30
Рис. 21
Пример заполненного комбинацион-
ного квадрата
комбинационный квадрат
Проверим зависимость между F и фактором с2. Из графика
(рис. 23) видно, что функция F получается практически прямо
пропорциональной с2. Поэтому для устранения влияния фактора
с пересчитаем все первичные данные, разделив их на с2. Затем сгруп-
пируем их по следующему за с по силе фактору Ъ. Обнаружив, что
величина F/c2 получается практически прямо пропорциональной
фактору Ь, для нейтрализации влияния этого фактора снова раз-
делим результат на Ь. Полученные после второго пересчета данные
F/bc2 сгруппируем в табл. 13 по значениям факторов а и d.
Нанося эти данные на график (рис. 24), заметим, что все точки
за исключением двух, отмеченных в таблице знаком (?), вполне
удовлетворительно ложатся на плавные кривые, выходящие из на-
чала координат и имеющие вид смещенных гипербол [9].
ТАБЛИЦА 11
а с 1 2 3 1 4 1 5 6 7 Сумма Среднее
1 0 1 0 2' 4 4 3 14 2
2 12 4 12 10 4 И 2 55 8
3 2 11 27 12 15 30 24 121 17
4 8 75 И 32 69 7 56 258 37
5 16 20 75 60 14 56 102 343 49
6 84 41 108 29 49 108 36 455 66
7 28 25 44 ПО 216 84 187 694 99
Сумма 150 177 277 255 371 300 410 1940
Среднее 21 25 40 36 53 43 59 40
31
ТАБЛИЦА 12
ь d 1 2 3 4 5 6 7 Сумма Среднее
1 29 84 24 75 4 12 75 303 43
2 . 25 12 56 3 12 69 84 261 37
3 2 20 2 И 56 108 216 415 59
4 14 0 4 32 108 187 27 372 53
5 0 4 8 41 110 30 102 295 42
6 2 И 49 28 11 60 4 165 24
7 7 36 44 15 16 1 10 129 18
Сумма 79 167 187 205 317 467 518 1940
Среднее И 24 27 29 45 67 74 40
Рис. 23
Корреляционная зависимость функции F от фактора <?2
a,b,c,d
Рис. 22
График первых усреднений зависимостей функции F от значений переменных факторов
Для того чтобы найти уравнения таких кривых, их предвари-
тельно нужно спрямить. Для кривых подобного типа, имеющих
горизонтальную асимптоту, можно предположить следующий вид
уравнения:
32
Таблица 1з
а d 1J 2 3 4 5 6 1 1 | Сумма 1 Среднее
1 0,50 0,67 0,75 0,81 0,86 0,86 0,89 5,34 0,76
2 0,33 0,51 0,60 0,67 0,72 0,75 0,75. 4,33 0,62
3 0,2? 0,40 0,50 0,67 0,63 0,69 0,70 3,81 0,54
4 0,00? 0,33 0,43 0,50 0,56 0,60 0,64 3,06 0,44
5 0,17 0,28 0,00? 0,45 0,50 0,50 0,58 2,48 0,35
6 0,14 0,24 0,34 0,40 0,45 0,57 0,50 2,64 0,38
7 0,13 0,17 0,30 0,36 0,42 0,44 0,50 2,32 0,33
Сумма 1,49 2,60 2,92 3,86 4,14 4,41 4,56 23,98
Среднее 0,21 0,37 0,42 0,55 0,59 0,63 0,65 0,49
или иначе
а 4~ «о a obc2
Второе — это уравнение прямой линии в координатах а и
abc^/F,
Пересчитаем табл. 13, вычисляя обратные величины abc2jF, и
получим следующие данные (табл. 14).
ТАБЛИЦА 14
а d 1 2 3 4 5 6 7 Сумма Среднее
1 2,0 3,0 4,0 4,9 6,2 7,0 7,9 35,0 [3,6
2 3,0 3,9 5,0 6,0? 6,0 7,0 8,0 9,3 42,2 6,0
> 3 4,5 5,0 6,0 7,9 8,7 10,0 48,1 6,8
4 — 6,1 7,0 8,0 8,9 10,0 10,9 50,9 8,5
5 5,9 7,1 — 8,9 10,0 10,9 12,1 54,9 9,2
6 7,1 8,3 8,3 10,0 11,1 10,5? 14,0? 69,8 10,0
7 7,7 11,7? 10,0 11,1 11,9 13,6 14,0 80,0 11,4
Сумма 30,2 45,1 40,8 54,9 63,0 68,7 78,2 380,9
Среднее 5,0 6,4 6,8 7,8 9,0 9,8 11,2 8,1
3 М. М. Протодьяконов 33
Рис. 24
Зависимость функции от значений факторов а и Л после исключения влияния факторов
Ь ji с
Рис. 25
График спрямления полученных зависимостей по формуле смещенной гиперболы
Нанося эти данные на график (рис. 25), заметим, что точки на
нем ложатся вдоль семейства параллельных прямых линий. Их
средний угловой коэффициент равняется приблизительно единице.
Начальная ордината этих прямых с увеличением фактора d на еди-
ницу также возрастает на 1. Общее уравнение этого семейства
прямых получается следующими
rdbc2‘ . .
-у- =a + d,
откуда
r abc2
F — •
Подавляющее большинство точек (43 точки из 47) на графике
(см. рис. 25) отклоняется от сглаживающих прямых линий всего
на 1 —3 %, и только четыре точки имеют большие отклонения.
Ввиду того что при различных вычислениях мы несколько раз
округляли цифры, для окончательной проверки выведенной эмпи-
рической формулы вычислим по ней значения функции F при
приведенных на рис. 21 значениях факторов. Тогда получим
данные, сгруппированные по значениям факторов а и св табл. 15.
34
ТАБЛИЦА 15
а с 1 2 3 4 1 5 6 7
1 0,4 1,3 0,4 1.7 4,2 3,5 3,1
2 12,0 4,0 12,0 10,2 4,0 10,7 2,2
3 2,3 11,3 27,0 12,0 15,0 29,5 23,7
4 8,0 74,7 10,7 32,0 68,6 7,4 56,0
5 15,6 20,0 75,0 60,0 13,9 56,3 102,1
6 84,0 41,1 108,0 28,8 49,1 108,0 36,0
7 28,0 24,5 44,1 110,0 215,6 84,0 187,1
Сопоставляя эти данные с исходными значениями функции F,
заметим, что они практически совпадают. Отличия имеются только
в цифрах после запятой. Средняя квадратичная ошибка составля-
ет всего лишь 0,24, что при значениях функции, достигающих 216,
является ничтожной величиной. По существу все исходные значе-
ния функции представляют величины, вычисленные по получен-
ной эмпирической формуле и округленные до ближайших целых
чисел.
Резюмируя все изложенное об обработке данных, полученных
при планировании опытов по указанным схемам, необходимо отме-
тить следующее.
1. Предлагаемый метод получения эмпирических формул для нес-
кольких независимых переменных факторов заключается в том,
что:
а) данные последовательно группируются по значениям каждого
из факторов (удобно проводить группировку сразу по двум
факторам);
б) путем усреднения прочие факторы нейтрализуются;
в) графическим путем выявляется влияние каждого из факторов
на общий результат;
г) для наиболее сильно действующего фактора находится частная
эмпирическая формула его влияния на функцию при прочих
постоянных средних условиях;
д) при помощи этой формулы производится пересчет первичных
данных на среднее или единичное значение наиболее сильно дей-
ствующего фактора, и тем самым его влияние нейтрализуется;
е) эти же приемы повторяются для следующего по силе фактора
ит. д., таким образом, используется метод последовательных
приближений;
ж) если такой пересчет сразу не дает окончательного результата,
нужно использовать для нового пересчета один из наиболее чет-
ких промежуточных результатов;
з) частные эмпирические формулы объединяются в одну общую;
3*
35
и) расчетные данные сопоставляются с исходными величинами, и
вычисляется среднее квадратичное отклонение.
2. Данный метод позволяет определять эмпирические формулы для
четырех и более влияющих факторов. Произведенная выше про-
верка была выполнена для эмпирических формул следующего
вида:
F = - а + 5Ь + Зс + Od,
F = (За — Ь) с + б?2,
р abc~
d -|- d
Таким образом, пользуясь предлагаемым методом, можно нахо-
дить решение не только для зависимостей линейного вида, но и для
произведений, степеней и частных от независимых переменных
величин в различных их комбинациях. Есть основание полагать,
что данный метод имеет общий характер и дает возможность нахо-
дить эмпирические формулы более сложного вида. Необходимо
только отметить, что для пользования этим методом требуются
известная сообразительность и навык в его использовании.
ГЛАВА HI
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ
ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ И КУБОВ
Приведенные выше методы построения комбинационных квадратов,
а также методы обработки данных, полученных по планам, отра-
женным в этих квадратах, могут быть еще усовершенствованы.
Выше было показано, что при графическом изображении комби-
национных планов, обладающих наглядностью, удобно вести пла-
нирование только для четырех первичных факторов. При увели-
чении числа их до шести (см. рис. 9) масштаб чертежа становится
слишком мелким. Поэтому при планировании сочетаний большего
числа факторов целесообразно переходить от графической (пози-
ционной) формы записи к цифровой (табличной) форме. В этом
случае для каждого опыта отводится одна строка таблицы. Число
строк равняется числу опытов. В столбцах таблицы записываются
номера вариантов каждого влияющего фактора. Число столбцов
равняется числу влияющих факторов. Комбинация цифр в одной
строке характеризует сочетание условий экспериментов.
При такой форме записи та же информация, которая представ-
лена нагрис. 9/ может быть изображена в комбинационной таб-
лице 16.
Число независимых переменных или факторов для этого плана
(а, Ь, с, d, ей f) составляет т — 6. Количество различных вариан-
тов в данном случае принято п — 5. Полное число сочетаний вари-
антов пт = 56 = 15 625. Принятый при планировании объем экспери-
ментов ограничивается всего п2 = 52 — 25 сочетаниями. Таким
образом, сокращение объема опытов достигает = 5®~2 = 54=
= 625 раз. При увеличении числа факторов и числа вариантов
этот выигрыш может быть многократно увеличен. Общий подход
к решению многомерной задачи, согласно В. М. Мордашеву, мо-
жет быть назван сведением ее к сумме одномерных или двухмерных
задач.
Табличная форма записи плана экспериментов является более
компактной, чем графическая.
Сгруппируем все цифры в каждом столбце в пять групп и раз-
местим их не последовательно, а параллельно друг другу, получив
шесть квадратных блоков из цифр. Цифры справа и снизу этих
блоков обозначают усредненные номера вариантов влияющих фак-
торов:
37
а ъ с
1 2 3 4 5 3 4 1 5 5 3 3 11111 1
1 2 3 4 5 3 15234 3 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 3 52341 3 3 3 3 3 3 3
1 2 3 4 5 3 23415 3 44444 4
1 2 3 4 5 3 34152 3 5 5 5 5 5 5
1 2 3 4 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
d е f
3 2 5 1 4 3 35412 3 1 4 5 3 2 3
4 3 2 5 1 3 4 1 5 2 3 3 2 5 1 4 3 3
1 4 3 2 5 3 52134 3 31254 3
5 14 3 2 3 2 4 3 5 1 3 53421 3
2 5 14 3 3 13245 3 42315 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Проанализируем расположение цифр в этих блоках, или квад-
ратах. В блоке для фактора а одинаковые цифры сгруппированы
в столбцы, а в блоке с — в строки. Поэтому при суммировании и
нахождении средних по столбцам блок а даст влияние данного фак-
тора, а блок с приведет к его нейтрализации. При усреднении по
строкам получается наоборот. Это относится к упорядоченным
квадратам. Для латинских же квадратов, построенных для фак-
торов 6, d, е и /, все цифры в каждой строке и столбце получаются
ТАБЛИЦА 16
№ п/п а ъ с d е / № п/п а ъ с d е /
1 1 4 1 3 3 1 13 3 3 3 3 1 2
2 1 1 9 4 4 2 14 3 4 4 4 3 4
3 1 5 3 1 5 3 15 3 1 5 Г 2 3
4 1 2 4 5 2 5 16 4 2 1 1 1 3
5 1 3 5 2 1 4 17 4 в 2 5 2 4
6 2 1 1 2 5 4 18 4 4 3 2 3 5
7 2 5 2 3 1 5 19 4 1 4 3 5 2
8 2 2 3 4 2 1 20 4 С 5 4 4 1
9 2 3 4 1 4 3 21 5 3 1 4 2 2
10 2 4 5 5 3 2 22 5 4 2 1 3 3
11 3 5 1 5 4 5 23 5 1 3 5 4 4
12 3 2 о 2 5 1 24 5 5 4 2 1 1
25 5 2 5 3 5 5
38
разные и встречаются в них по одному разу. При суммирова-
нии и усреднении результатов экспериментов как по строкам,
так и по столбцам таких квадратов действие каждого из влияю-
щих факторов нейтрализуется (относится к среднему номеру
варианта).
Блоки а и с являются ортогональными друг к другу, т. е. при
наложении таких блоков получается система парных чисел, при-
нимающая по одному разу все возможные их сочетания, т. е.:
11 21 31 41 51
12 22 32 42 52
13 23 33 43 53
14 24 34 44 54
15 25 35 45 55
В блоках b и d строки могут быть получены друг из друга за
счет круговой перестановки цифр влево или вправо на одну пози-
цию. Благодаря этому одинаковые цифры в них располагаются по
диагонали.
При отражении блока в вертикальной плоскости получается
блок d. Два таких латинских квадрата также ортогональны друг
к другу, т. е. дают при наложении все возможные комбинации двух
цифр по одному разу:
43 12 55 21 34
14 53 22 35 41
51 24 33 42 15
25 31 44 13 52
32 45 11 54 23
Однако расположены эти пары так, что первые цифры в них
идут параллельно одной диагонали квадрата, а вторые — другой
его диагонали.
Блоки е и / также являются ортогональными латинскими квад-
ратами. При наложении их друг на друга снова получаются все
парные комбинации цифр по одному разу:
31 54 45 13 22
42 15 51 24 33
53 21 12 35 44
25 43 34 52 И
14 32 23 41 55
Асимметричные латинские квадраты для факторов е и f можно
привести к диагональным латинским квадратам, образованным
круговой перестановкой цифр в строках и перетасовкой строк
(41235) и столбцов (24513):
39
4 5 12 3
5 12 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
3 2 15 4
4 3 2 1 5
5 4 3 2 1
1 5 4 3 2
2 15 4 3
При такой расстановке цифр видно, что диагонали этих латин-
ских квадратов взаимно перпендикулярны, а это приводит к их
ортогональности.
В противоположность ортогональным квадратам приведем два
латинских квадрата с параллельными друг другу диагоналями,
которые можно было бы назвать сингональными, или параллель-
ными, квадратами:
4 5 12 3
5 12 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
5 12 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 12 3
При наложении сингональных квадратов каждая комбинация
номеров вариантов повторяется одинаковое число раз:
45 51 12 23 34
51 12 23 34 45
12 23 34 45 51
23 34 45 51 12
34 45 51 12 23
Зато число комбинаций получается не полное, а уменьшенное
в одно и то же число раз (в пять раз). Поэтому при планировании
экспериментов по принципу сингональных латинских квадратов
разделить влияние переменных не удается и можно изучать только
Их совместное влияние.
Не всякие латинские квадраты являются ортогональными или
сингональными. Так, например, при наложении латинских квадра-
тов d и е получается следующая картина:
33 25 54 11 42
44 31 25 52 13
15 42 31 23 54
52 14 43 35 21
21 53 12 44 35
Нетрудно видеть, что некоторые комбинации цифр не встречают-
ся вовсе, например: 22, 24, 32, 34,-41,45, 51, 55, другие фигурируют
один раз: 11, 12, 13, 14, 15, 23, 33, 43, 53, а остальные — по два
раза. Это свидетельствует о том, что значения первичных факторов
для таких планов экспериментов частично коррелируют другие
40
другом, сильно затрудняя выделение влияния каждого из факторов.
Поэтому план на рис. 9 или в табл. 16 является недостаточно совер-
шенным.
Для получения оптимального плана экспериментов все его ла-
тинские квадраты должны быть ортогональными друг к другу.
Ряд методов построения ортогональных латинских квадратов
приведен в работах X. Б. Манна (Н. В. Mann [10, И]). В исследо-
ваниях В. М. Мордашева 1963—1966 гг. также даются схемы орто-
гональных квадратов, но не раскрываются принципы их построения.
Рассматривая эти схемы, можно установить, что в основном они
построены методом круговых перестановок цифр с различным ша-
гом перестановки, например:
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 4 5 2
2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 5 2 13 4
3 4 5 1 2 5 12 3 4 ' 3 4 1 2 1
4 5 12 3 2 3 4 5 1 2 13 4 5
5 12 3 4 4 5 12 3 4 5 2 13
Первые два квадрата построены из натурального ряда цифр со
сдвигом каждой следующей строки на одну или две позиции.
В третьем квадрате цифра 2 в первой строке переставлена со второго
на последнее место, а сдвиг строк производится на три позиции.
Таким методом В. М. Мордашев построил план экспериментов
для девяти факторов при восьми вариантах для каждого из них
(табл. 17).
Если каждый столбец данного плана сгруппировать в виде
квадрата, то нетрудно заметить, что эти квадраты для первых двух
факторов получаются ортогональными друг к другу, но не латин-
скими.Третий фактор дает латинский квадрат, симметричный отно-
сительно его диагонали:
1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 5 8 3 7 6 4
3 5 1 6 2 4 8 7
4 8 6 1 7 3 5 2
5 3 2 7 18 4 6
6 7 4 3 8 12 5
7 6 8 5 4 2 1 3
8 4 7 2 6 5 3 1
Остальные квадраты построены путем перестановки на послед-
нее место второй, затем третьей, четвертой строк и т. д. Анализ
показывает, что подобный прием может быть применен только для
латинских квадратов, имеющих элементы симметрии.
В более поздней работе М. Холла [12] рассматриваются рекур-
сивные, теоретико-числовые и теоретико-групповые методы по-
строения латинских квадратов.
41
ТАБЛИЦА 17
Х1 х2 Х3 Xt Х5 х6 х7 X» х8 X] х2 Хз х4 х5 Хе х7 х8 х9
i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 5 5 5 5 5
2 1 2 2 3 4 5 6 7 8 5 2 3 2 7 1 8 4 6
1 3 3 4 5 6 7 8 2 5 3 2 7 1 8 4 6 3
1 4 4 5 6 7 8 2 3 5 4 7 1 8 4 6 3 9
1 5 5 6 7 8 2 3 4 5 5 1 8 4 6 3 2 7
с 1 6 6 7 8 2 3 4 5 5 6 8 4 6 3 2 7 1
7 1 7 7 8 2 3 4 5 6 5 7 4 6 3 2 7 1 8
2 1 8 8 2 3 4 5 6 7 5 8 6 3 2 7 1 8 4
2 1 2 2 2 2 2 2 2 6 1 6 6 6 6 6 6 6
2 2 1 5 8 3 7 6 4 6 2 7 4 3 8 1 2 5
2 3 5 8 3 7 6 4 1 6 3 4 3 8 1 2 5 7
2 4 8 3 7 6 4 1 5 6 4 3 8 1 2 5 7 4
2 5 3 7 6 4 1 5 8 6 5 8 1 2 5 7 4 3
2 6 7 6 4 1 5 8 3 6 6 1 2 5 7 4 3 8
2 7 6 4 1 5 8 3 7 6 7 2 5 7 4 3 8 1
2 8 4 1 5 8 3 7 6 6 8 5 7 4 3 8 1 2
3 1 3 3 3 3 3 3 3 7 1 7 7 7 7 7 7 7
3 2 5 1 6 2 4 8 7 7 2 6 8 5 4 2 1 3
3 3 1 6 2 4 8 7 5 7 3 8 5 4 2 1 3 6
3 4 6 2 4 8 7 5 1 7 4 5 4 2 1 3 6 8
3 5 2 4 8 7 5 1 6 7 5 4 2 1 3 6 8 5
3 6 4 8 7 5 1 6 2 ' 7 6 2 1 3 6 8 5 4
3 7 8 7 5 1 6 2 4 7 7 1 3 6 8 5 4 2
3 8 7 5 1 6 2 4 8 7 8 3 6 8 5 4 2 1
4 1 4 4 4 4 4 4 4 8 1 8 8 8 8 8 8 8
4 2 8 6 1 7 3 5 2 8 2 4 7 2 6 5 3 1
4 3 6 1 7 3 5 2 8 8 3 7 2 6 5 3 1 4
4 4 1 7 3 5 2 8 6 8 4 2 6 5 3 1 4 7
4 5 7 3 5 2 8 6 1 8 5 6 5 3 1 4 7 2
4 6 3 5 2 8 6 1 7 8 6 5 3 1 4 7 2 6
4 7 5 2 8 6 1 7 3 8 7 3 1 4 7 2 6 5
4 8 2 8 6 1 7 3 5 8 8 1 4 7 2 6 5 3
Однако этими методами не удалось установить общее число
возможных ортогональных латинских квадратов. Поэтому
А. Л. Дюльмаш и др. (A. L. Dulmage, D.H. Johnson, N. S. Mendelson
[13]) определяли возможное число взаимно ортогональных квад-
ратов просто путем перебора всех вариантов на быстродействую-
щих ЭВМ.
42
Общее число латинских квадратов для разного числа вариантов
можно подсчитать следующим образом.
рассмотрим сначала размещение номеров вариантов для первой
строки латинского квадрата. Возьмем, например, случай пяти
вариантов. В первой клетке строки поместим любую из пяти цифр,
во второй любую из оставшихся четырех, в третьей — любую из
трех и т. д. Всего в первой строке можно разместить пять цифр
5.4*3*2*1=5! = 120 способами и вообще п цифр можно
расположить п\ способами.
В первой клетке второй строки поместим любую из четырех
цифр, так как одна цифра уже использована в смежной клетке
первой строки, во второй клетке — любую из трех оставшихся
цифр ит. д.
Общее число вариантов расположения цифр по строкам будет
следующее:
5 4 3 2 1 = 5! = 120
4 3 2 1 1 =4! = 24
32111 = 3!= 6
2 1111 = 2!= 2
11111 = 1!= 1
Таким образом, общее число вариантов построения латинского
квадрата для пяти различных цифр равно 5! 4! 3! 2! 1! = 120 • 24 •
• 6 • 2 • 1 = 34 560, а полное число вариантов латинских квад-
ратов равняется произведению факториалов. Такое произведение
можно назвать факториалом факториалов и кратко обозначить 5!!.
Если число вариантов равно п, то число соответствующих
латинских квадратов получится лг!!.
С увеличением числа вариантов общее число различных квад-
ратов весьма быстро растет:
1 11 = 1
2 2! 1! = 2
3 '3! 2! 1! = 12
ш 4 4! 3! 2! 1! = 288
‘б 5! 4! 3! 21 1! = 34 560
6 6! 5! 41 3! 2 1! = 23 883 200 и т. д.
Однако число взаимно ортогональных латинских квадратов
значительно меньше общего их числа. А для планирования экспе-
риментов важно именно число ортогональных латинских квад-
ратов.
Покажем общий прием построения таких квадратов. Сделаем
это опять на примере латинского квадрата для пяти вариантов
каждого фактора. Первый квадрат возьмем не латинский, а упо-
рядоченный (для произвольного чередования цифр).
43
11111
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
5 5 5 5 5
4 4 4 4 4
Для того чтобы от этого упорядоченного квадрата перейти к
латинскому, нужно все пять одинаковых чисел заменить различ-
ными. Цифры первого столбца оставляем без изменения,
а остальные размещаем в порядке круговой перестановки:
1 3 2 5 4
3 2 5 4 1
2 5 4 1 3
5 4 13 2
4 13 2 5
В этом латинском квадрате можно аналогичным путем заменить
одинаковые цифры различными, опять-таки в порядке круговой
перестановки. Так, например, цифры 1, 1, 1, 1, 1 заменим цифрами
1, 3, 2, 5, 4, что будет обеспечивать ортогональность квадратов:
1 . . . .
.... 4
. . . 5 .
. . 2 . .
. 3 . . .
Заменяя цифры 3, 3, 3, 3, 3 через 3, 2, 5, 4, 1 и т. д., получим
латинский квадрат типа:
1 2 4 3 5
3 5 12 4
2 4 3 5 1
5 12 4 3
4 3 5 1 2
Производя следующую замену одинаковых цифр разными,
найдем новый вариант ортогонального латинского квадрата:
1 5 3 4 2
3 4 2 1 5
2 15 3 4
5 3 4 2 1
4 2 15 3
Продолжая аналогичные преобразования, получим:
1 4 5 2 3
3 14 5 2
2 3 14 5
5 2 3 1 4
4 5 2 3 1
44
Следующее преобразование снова приводит нас к исходному
квадрату.
Таким образом, мы для пяти вариантов получили пять взаимно
ортогональных квадратов, четыре из которых латинские и один
упорядоченный.
Если в качестве исходного возьмем квадрат, упорядоченный
не по строкам, а по столбцам, то для него мы сможем аналогичным
путем получить еще четыре ортогональных к нему латинских квад-
рата второй группы. Однако только первый квадрат будет ортого-
нальным ко всем пяти квадратам первой группы, остальные будут
сингональны к этим квадратам.
Итак, для пяти вариантов каждого фактора мы можем получить
шесть ортогональных друг к другу квадратов, четыре из которых
латинские.
Вообще для п вариантов каждого из первичных факторов можно
построить п + 1 ортогональных квадратов.
Следовательно, для построения рационального плана экспери-
ментов следует выбирать число факторов на единицу больше, чем
число вариантов каждого из них.
Возвращаясь к рассмотренному нами примеру для пяти вариан-
тов каждого фактора, мы можем построить план экспериментов для
шести факторов, для чего полученные выше латинские квадраты
следует выписать в виде вертикальных столбцов, как это сделано в
табл. 18 (аналогичный результат получается, если просто располо-
Т АБЛ ИЩА 18
а ь С d е / а ь с d е f
1 1 1 1 1 1 5 1 5 3 4 2
1 3 3 3 3 3 5 3 4 2 1 5
1 2 2 2 2 2 5 2 1 5 3 4
1 5 5 5 5 5 5 5 3 4 2 1
1 4 4 4 4- 4 5 4 2 1 5 3
3 1 3 2 5 4 4 1 4 5 2 3
3 3 2‘ 5 4 1 4 3 1 4 5 2
3 2 5 4 1 3 4 2 3 1 4 5
3 5 4 1 3 2 4 5 2 3 1 4
3 4 1 3 2 5 4 4 5 2 3 1
2 1 2 4 3 5
2 3 5 1 2 4
2 2 4 3 5 1
2 5 1 2 4 3
2 4 3 5 1 2
45
Рис. 26
Комбинационный квадрат для шестифакторного комплекса
жить все квадраты друг над другом рядом с колонкой для упоря-
доченного квадрата).
Графическое изображение указанного плана экспериментов
приведено на рис. 26. Такой план не имеет недостатков по сравне-
нию с шестифакторным планом, изображенным на рис. 9 и в табл.
16.
Во всех разобранных латинских квадратах каждая комбинация
двух факторов встречалась только один раз.
Кроме латинских квадратов существуют и латинские кубы, для
них каждая комбинация трех факторов также встречается только
один раз.
На рис. 27 изображены латинские кубы для двух (а), трех (б),
четырех (в) и пяти (г) вариантов первичных факторов. Любое сече-
ние такого куба, параллельное его граням, представляет собой
латинский квадрат.
46
Рис. 27
Латинские кубы
Проще всего указанные латинские кубы строить из латинских
квадратов диагонального типа, сингональных друг к другу, т. е. с
рядами цифр, параллельными одной из диагоналей грани куба.
В этом случае кубы будут иметь тройную ось симметрии, проходя-
щую через одну из пространственных диагоналей куба. Очевидно,
что поворот куба вокруг такой тройной оси не изменит плана
экспериментов. Однако тройная ось может быть направлена к лю-
бому из восьми углов куба. Поэтому возможны восемь различных
положений такого куба в пространстве.
Нетрудно заметить, что перетасовка слоев описанных кубов,
параллельных их граням, будет давать также латинские кубы.
В. М. Мордашев высказал правдоподобное предположение, что
по аналогии с ортогональными латинскими квадратами могут суще-
ствовать и ортогональные латинские кубы. Проведенная нами про-
верка показала, что такие кубы действительно существуют, и при
их наложении возникают неповторяющиеся комбинации из трех
цифр.
47
Рис. 28
Ортогональные кубы
Рис. 29
Ортогональные латинские
кубы
Простейшая комбинация трех взаимно ортогональных, но не
латинских кубов получается, если в каждом из слоев сгруппиро-
вать одинаковые цифры (рис. 28):
111 121 131 211 221 231 311 321 331
112 122 132 212]?22 232 312 322 332
113 123 133 213 223 233 313 323 333
Системы ортогональных латинских кубов можно получить,
если брать латинские кубы с различно ориентированными в про-
странстве тройными осями симметрии. Например, на рис. 29 и
ниже даны четыре ортогональных куба для трех вариантов каждо-
го из факторов:
2323 1211 3132
1112 3333 1221
3231 2122 1313
3111 2332 1223
2233 1121 3312
1322 3213 2131
1232 3123 2311
3321 2212 1133
2113 1331 3222
Эти четыре ортогональных друг к другу латинских куба одно-
временно являются ортогональными и к ранее приведенным орто-
гональным упорядоченным кубам. Следовательно, объединяя выше-
приведенные данные, можно получить план экспериментов для
48
4-}-3 = 7 факторов, каждый из которых может принимать по
три значения. Развертывая каждый из латинских квадратов в один
столбец, получим план экспериментов, сведенный в табл. 19.
Согласно этому плану, можно, проведя всего 3й = 27 опытов,
исследовать влияние семи факторов, каждый из которых принима-
ет по три значения. Для выполнения полного числа экспериментов
их количество должно было бы составлять З7 = 2187. Таким об-
разом, сокращение числа экспериментов достигает 37—3 — З4 =
= 81 раза.
Для четырех вариантов п ортогональных друг к другу латин-
ских кубов не существует.
Латинский куб можно построить также, если в каком-нибудь
латинском квадрате произвести круговую перестановку строк или
ТАБЛИЦА 19
№ п/п Х1 х2 Х8 х4 Х6 Х6 х7
1 1 1 1 2 3 2 3
2 1 1 2 1 1 1 2
3 1 1 3 3 2 3 1
4 1 2 1 1 2 1 1
. 5 1 2 2 3 3 3 3
6 1 2 3 2 1 2 2
7 1 3 1 3 1 3 2
8 1 3 2 2 2 2 1
9 1 3 3 1 3 1 3
10 2 1 1 3 1 1 1
11 2 1 2 2 2 3 3
12 £ 1 3 1 3 2 о
13 2 2 1 2 3 3 2
14 2 2 2 1 1 2 1
15 2 3 3 2 1 3
16 2 3 1 1 2 2 3
17 2 3 2 3 3 1 2
18 2 3 3 2 1 3 1
19 3 1 1 1 2 3 2
20 к 3 1 2 3 3 2 1
21 3 1 3 2 1 1 3
22 3 2 1 3 1 2 3
23 3 2 2 2 2 1 2
24 3 2 3 1 3 3 1
25 3 3 1 2 3 1 1
26 3 3 2 1 1 3 3
27 3 3 3 3 2 2 2
Va 4 м. М. Протодьяконов
49
столбцов, а затем несколько полученных таким путем квадратов
наложить друг на друга.
Если взять ортогональные друг к другу латинские квадраты и
производить круговые перестановки в перпендикулярных направ-
лениях, то получатся ортогональные латинские кубы.
Например, взяв два ортогональных латинских квадрата, полу- чим два ортогональных латинских куба:
>
13524 14253 52413 42531
24135 125314 13524 53142
35241 13 1 4 2 5 24135 14253
41352 42531 35241 25314
55413 53142 41352 31425
41352 25314 35241 53142
5 2413 31425 413 5 2 14253
13524 42531 52413 25314
24135 53142 13524 31425
35241 14253 24135 42531
24135 31425
3 5 2 4 1 4 2 5 3 1
41352 53142
52413 14253
13524 25314
В первом латинском кубе в каждом слое произведена пере-
становка столбцов, а во втором — перестановка строк. К этим
двум кубам можно добавить еще два с диагональным расположе-
нием одинаковых цифр, а также три ортогональных куба из вер-
тикальных, горизонтальных и профильных слоев одинаковых цифр.
В результате мы получим систему из семи ортогональных кубов,
изображенную в табл. 20. Такая система позволяет проводить эк-
сперименты при семи независимых переменных, каждая из кото-
рых принимает по пять различных значений. Необходимое для это-
го число опытов равняется 53 = 125, а полное число экспериментов
57 = 78 125 или в 57—3 = 54 = 625 раз больше.
В головке табл. 20 указаны номера независимых переменных,
а далее приведены номера соответствующих им вариантов. Для
каждого опыта дается набор из семи цифр. При группировке для
усреднения используются одинаковые номера вариантов для какой-
либо переменной.
Необходимо отметить, что при усреднении данных для латин-
ских квадратов суммируют по п результатов экспериментов, а при
усреднении для латинских кубов — по п2 результатов опытов.
Поэтому для латинских кубов объем экспериментов получается
50
ТАБЛИЦА 20
1234567 1234567 1234567 1234567 1234567
1111111 1213422 1315233 1412544 1514355
1122225 1224531 1321342 1423153 1525414
1133334 1235145 1332451 1434212 1531523
1144443 1241254 1343515 1445321 1542132
1155552 1252313 1354124 1451435 1553242
2114322 2211133 2313444 2415255 2512511
2125431 2222242 2324553 2421314 2513125
2131545 22333.51 2335112 2432423 2534234
2142154 2244415 2341221 2443532 2545343
2153213 2255524 2352335 2454141 2551452
3112533 3214334 3311155 3413411 3515222
3123142 3225453 3322214 3424525 3521331
3134251 3231512 3333323 3435134 3532445
3145315 3242121 3344432 3441243 3543534
3151424 3253235 3355541 3452352 3554113
4115244 4212555 4314311 4411122 4513433
4121353 4223114 4325425 4422231 4524542
4132412 4234223 4331534 4433345 4535151
4143521 4245332 4342143 4444454 4541215
4154135 4251441 4353252 4455513 4552324
5113455 5215211 5312522 5414333 5511144
5124514 ' 5221325 5323131 5425442 5522253
5135123 5232434 5334245 5431551 5533312
5141232 5243543 5335354 5442115 5544421
5152341 5254152 5351413 5453224 5555535
больше, но зато по сравнению с латинскими квадратами повы-
шается степень усреднения.
'Резюмируя, все изложенное по вопросу о построении латинских
квадратов и кубов, можно сделать следующие выводы.
1. При большом числе влияющих факторов табличная форма запи-
си латинских квадратов является более удобной, чем графи-
ческая.
2. Общее число возможных латинских квадратов для п вариантов
каждого фактора равняется факториалу факториалов;
п\ (п - 1)! (п - 2)!...3! 2! 1! = и!!.
5 М. М. Протодьяконов 51
3. Следует различать упорядоченные и латинские квадраты.
В упорядоченных квадратах усреднение дает одинаковые ре-
зультаты только в одном направлении, а в латинских квадра-
тах — в двух направлениях.
4. Латинские квадраты бывают ортогональные, сингональные и
независимые. Ортогональные квадраты при наложении друг на
друга образуют п2 различных пар цифр, сингональные — п
различных пар цифр, каждая из которых повторяется п раз.
Независимые квадраты дают часть повторяющихся и часть
неповторяющихся пар.
5. Для планирования экспериментов пригодны взаимно ортого-
нальные латинские и упорядоченные квадраты.
6. Общий прием построения ортогональных латинских квадратов
заключается в замене п одинаковых цифр разными или* же в
круговой перестановке цифр в строках или в столбцах. Из одно-
го упорядоченного квадрата можно таким приемом получить
еще п—1 взаимно ортогональных латинских квадратов. Макси-
мальное число влияющих факторов может быть равно т = п 4*
+ 1 при нечетном п.
7. Латинские кубы также могут быть ортогональными, сингональ-
ными и независимыми. Ортогональные латинские кубы при
наложении друг на друга образуют п2, неповторяющихся троек
цифр. Для получения ортогональных латинских кубов следует
взять взаимно ортогональные латинские квадраты и в одном
из них производить круговую перестановку строк, а в дру-
гом — столбцов; полученные при этом новые ортогональные
латинские квадраты использовать в виде слоев латинских
кубов.
8. Общее число факторов для планирования экспериментов по схе-
ме латинских кубов равно т = п + 2. Помимо п—1 латинских
кубов оно включает еще три ортогональных упорядоченных
куба со слоями одинаковых цифр, параллельными его граням.
ГЛАВА IV
МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ
ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ
Продолжая наши исследования [3], В. М. Мордашев доказал, что
многомерную функцию от т переменных можно представить в виде
системы функций от одной или двух переменных. Для этого требу-
ется зафиксировать значения всех переменных, кроме искомых, и
усреднить результаты.
Когда искомая многомерная функция представлена в виде сум-
мы функций для каждой из независимых переменных, решение мо-
жет быть найдено, если комбинация любого значения любой пере-
менной с любым значением другой переменной будет встречаться
только один раз. При этом следует использовать план эксперимен-
тов в виде системы ортогональных латинских квадратов.
Когда искомая многомерная функция сводится к сумме произ-
ведений пар функций &Л.Я каждой из переменных, решение может
быть получено, если каждая комбинация любых значений трех
переменных встречается только один раз; в этом случае подходит
план экспериментов в виде системы ортогональных латинских ку-
бов. Ниже приведен предложенный В. М. Мордашевым пример на-
хождения многомерной функции. Число вариантов каждого фактора
п ~ 5, а число самих факторов т = 5 -f- 1 =6. Конкретные зна-
чения переменных сведены в табл. 21.
ТАБЛИЦА 21
Значе- ния 1 2 3 4 5 Значе- ния 1 2 3 4 5
X 1,0 2;0 3,0 4,0 5,0 и 1,0 3,0 5,0 8,0 10,0
У 0,1 0,2 0,5 0,7 1,0 со 0° 30° 60° 90° 120°
Z 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 V -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0
Результаты измерений при различных комбинациях первичных
факторов приведены в табл. 22.
Проделав выборку значений F, измеренных при одинаковых
значениях каждой из переменных, В. М. Мордашев получил ряд
5*
53
ТАБЛИЦА 22
№ п/П X У Z и со V F
1 1 1 1 1 1 1 0,49
2 1 2 2 3 4 5 0,0575
3 1 3 3 5 2 4 0,0475
4 1 4 4 2 5 3 0,071
5 1 5 5 4 3 2 0,11
6 2 1 2 2 2 2 0,94
7 2 2 3 4 5 1 0,89
8 2 3 4 1 3 5 0,12’
9 2 4 5 3 1 4 0,245
10 2 5 1 5 4 3 0,0465
11 3 1 3 3 3 3 2,0
12 3 2 4 5 1 2 1,45
13 3 3 5 2 4 1 7,55
14 3 4 1 4 2 5 0,125
15 3 5 2 1 5 4 0,23
16 4 1 4 4 4 4 3,0
17 4 2 5 1 2 3 18,5
18 4 3 1 3 5 2 0,59
19 4 4 2 5 3 1 1,45
20 4 5 3 2 1 5 0,23
21 5 1 5 5 5 5 3,05
22 5 2 1 2 3 4 2,25
23 5 3 2 4 1 3 0,625
24 5 4 3 1 4 2 6,3
25 5 5 4 3 2 1 3,75
Примечание. Точность измерений принята в 1-*-2%
средних арифметических значений и по ним построил шесть точеч-
ных графиков. Однако провести через эти точки разумные (плав-
ные) кривые оказалось невозможно. Отсюда вытекает, что искомая
функция не может быть представлена в виде суммы функций от
каждой из переменных величин.
Тогда была сделана попытка найти среднее геометрическое.
Для этого значения функции были прологарифмированы и найдены
средние значения логарифмов при одинаковых значениях каждой
из переменных величин. По этим данным были построены точечные
54
Рис. 30
Частные эмпирические зависимости от отдельных переменных
зависимости, изображенные на рис. 30. Каждую из них удалось
аппроксимировать плавной кривой, получив следующие уравне-
ния:
ф1^0,1ж2;
<р2= IjSGe-1’99^;
Ф8^ 0,327(1 4- z2);
<р4ег 6,293 +
фб^ 0,945 [1 - 1,34.10-4(со — 60°)2];
8,85
= 9,93 4- v ’ '
Поскольку эти формулы были получены путем суммирования
логарифмов, следует полагать, что общая формула должна быть
произведением частных функций:
f n QQr; ^-1’99у (1 4- ^2) (4,86 4- гг) [1 — 1,34-10—4 (со — 6О0)2 J
? и (9,93 4- v)
На самом деле искомая зависимость была задана в следующем
виде:
р __ х-е~2у (1 4- z2) (5 4- ц) sin (со 4- 30°)
“ и (10 4- v)
55
Сравнивая коэффициенты, получим следующие результаты:
Вычислено . . . 0,985 1,99 1,00 4,86 9,93
Фактически , . . 1,000 2,00 1,00 5,00 10,00
Кроме того, одна ветвь синусоиды была аппроксимирована от-
резком параболы.
Таким образом, сократив объем экспериментов в 625 раз,
В. М. Мордашев нашел эмпирическую формулу с вполне удов лет-,
ворительной точностью.
Кроме того, для проведения полного объема экспериментов
автору необходимо было иметь аппаратуру с диапазоном измере-
ний на два порядка больше, чем при рациональном плане экспери-
ментов.
Приведем еще один пример, разработанный В. М. Мордашевым.
Он принял значения пяти переменных при пяти вариантах каждой
из них, приведенные в табл. 23.
ТАБЛИЦА 23
Значения 1 2 3 4 5
X 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
У 1,0 2,0 5,0 7,0 10,0
Z 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
со 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Т 0,7 1,4 2,1 2,8 3,5
Результаты измерений, проведенных с точностью до 1 %, све-
дены в табл. 24.
Группируя данные замеры по одинаковым значениям перемен-
ных, вычисляя средние арифметические и строя точечные зависи-
мости, В. М. Мордашев пришел к выводу, что эти зависимости не
могут быть описаны гладкими кривыми. Поэтому им были вычис-
лены логарифмы величин F и по ним проведено усреднение. В ре-
зультате оказалось, что две зависимости из пяти могут быть опи-
саны гладкими кривыми:
(со) = /4 (со) 0,697 4- 2,lOOigco,
(Г) = /5 (Т) 0,696 + 0,416г.
Отсюда было сделано заключение, что, вероятно, исследуемая
зависимость имеет вид:
lg F sg <рх (ж) + ср2 (у) + <р3 (z) + ft (<о) + f6 (г).
56
ТАБЛИЦА 24
№ п/п X У Z ш Y F F’ R
1 1 1 1 1 1 1,0 0,0000
2 1 2 2 3 4 18,0 1,75 —0,0836
3 1 3 3 5 2 5,15 —0,2657
4 1 4 4 2 5 7,25 —0,1933
5 1 5 5 4 3 13,15 —0,1312
6 2 1 2 2 2 17,5 0,8192
7 2 2 3 4 5 695,0 0,7393
8 2 3 4 1 3 3,6 0,5538
9 2 4 5 3 1 9,1 0,6257
10 2 5 1 5 4 36,0 1,25 —0,3994
11 3 1 3 3 3 245,0 1,3871
12 3 2 4 5 1 62,0 1,3041
13 3* 3 5 2 4 92,5 21,5 1,1229
14 3 4 1 4 2 8,95 0,1091
15 3 5 2 1 5 1,5 0,1702
16 4 1 4 4 4 3500,0 190,0 1,8549
17 4 2 5 1 2 59,0 1,7709
18 4 3 1 3 5 150,0 0,5052
19 4 4 2 5 3 110,0 0,5771
20 4 5 3 2 1 7,05 0,6379
21 5 1 5 5 5 52000,0 2,2655
22 Ь 2 1 2 3 53,5 1,0969
23 5 3 2 4 1 22,0 0,9159
24 5 4 3 1 4 9,7 9,7 0,9867
25 5 5 4 3 2 52,0 1,0500
Далее автор предложил провести пять дополнительных опытов,
соответствующих четвертому варианту фактора т. е. 2, 10, 13,
16 и 24, однако само значение фактора у взять по первому варианту.
Полученные при этом новые значения функции записаны в столбце
F'. Таким образом, получилось два плана при одинаковых значе-
ниях переменных я, у, z, о, но разных значениях у. При усред-
нении было замечено, что значения средних от переменной у прак-
тически не изменились, а от переменной со стали другими. Произ-
водя вычитание, В. М. Мордашев нашел:
4,996 [lgj4 (со) - 1р\(со) + 0,6969].
57
Вычитая свободный член, он получил:
Р4 (со) =TgF4 (со) - 0,6969 = 2,lOOlgco;
А (Г) = (Г) ~ 0,6969 = - 0,0009 + 0,416г;
А = Ж ~ 0,6969 = 0,837.
Далее была образована новая многомерная зависимость Ri
R = igF (x,y,z,®sf) — ,
численные значения которой приведены в последнем столбце
табл. 24. Производя усреднения для этой зависимости уже в виде
средних арифметических, В. М. Мордашев нашел ряд частных
эмпирических формул разумного (гладкого) вида:
Ri (х) — 0,135 + 2,0001g#;
Л2 (#) = 1,265 — 1,0001g#;
Я3 (z)^ 0,261 + 0,434г;
, (со)^0,696;
Яб (г) = 0,696.
Складывая эти функции с соответствующими знаками, можно
найти:
R 2,0001g# — 1,0001g# + 0,434г,
откуда:
,.,l,003Y +0,022^2,000
F ______________X . I Q0.434Z
“ 1,005г/1’000
или
7^2
- - .(0Y+0,02,
У
Истинная функция почти не отличается от найденной:
П X‘ieZ v
F — ----- -(dY.
У
Необходимо иметь в виду, что В. М. Мордашев экспериментов
не проводил, а, задаваясь некоторой формулой, вычислял значе-
ния функции при заданных планом значениях переменных вели-
чин, а затем, пользуясь этими значениями, восстанавливал вид
искомой функции. Он предложил термин «разумная» (гладкая)
кривая и установил следующие особенности одномерных точечных
зависимостей, получаемых после нахождения средних арифмети-
ческих или средних геометрических величин.
58
1. Если все точечные зависимости описываются разумными кри-
выми, то эмпирическая формула, вероятно, имеет вид суммы
одномерных функций.
2. Если только одна точечная зависимость описывается разумной
кривой, то эмпирическая формула, по-видимому, представляет
собой произведение одной одномерной функции на сумму других
одномерных функций.
3. Если две точечные зависимости описываются разумными кри-
выми, то следует искать эмпирическую формулу в виде произ-
ведения двух одномерных функций с добавлением суммы других
одномерных функций.
Резюмируя все изложенное об обработке опытных данных, полу-
ченных при планировании экспериментов по методу ортогональ-
ных латинских квадратов, необходимо отметить следующее.
1. Усреднение опытных данных при одинаковых значениях какой-
либо переменной величины можно производить путем нахожде-
ния среднего арифметического или среднего геометрического.
В последнем случае следует взять логарифмы результатов и
найти между ними среднее арифметическое значение.
2. Усредненные величины по каждой из переменных необходимо
нанести на точечные графики и выделить среди них такие, на
которых все точки могут быть соединены плавными кривыми.
3. По количеству полученных плавных кривых можно предвари-
тельно судить о виде искомой функции. При подобном методе
расшифровки данных можно находить искомые функции следую-
щих видов:
а) сумма функций от отдельных переменных (все кривые плавные);
б) произведение функции одной переменной на сумму функций от
других переменных (одна плавная кривая);
в) произведение двух функций от двух переменных плюс сумма
функций от прочих переменных (две плавные кривые).
4. Пользуясь найденными плавными эмпирическими кривыми,
можно исключить влияние соответствующих переменных путем
вычитания найденных величин или деления на них и затем про-
изводить повторное исследование вида остаточных функций.
5. В сложных случаях необходимо провести небольшое число допол-
нительных экспериментов при прежних сочетаниях всех пер-
вичных факторов, кроме одного, и затем исследовать разность
результатов по двум таким планам экспериментов.
6. Описанными методами удалось расшифровать формулы следую-
щего вида:
р _ х2е~2у (1 4- z2) (5 и) sin (w 4- 30°) .
~ U (10 4- V) 1
x2ez(ay .
У
F = (0,1л:2 4- у — 2z) Пш.
ГЛАВА V
ОПЫТНАЯ ПРОВЕРКА МЕТОДИКИ
РАЦИОНАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Чтобы практически проверить возможность использования пред-
лагаемой методики рационального планирования экспериментов,
были проведены опыты по отработке параметров для определения
прочности образцов горных пород при изгибе и раскалывании.
Метод определения прочности горных пород путем изгиба круг-
лой пластинки, опертой по периметру, было намечено использо-
вать в качестве добровольного международного стандарта Между-
народного бюро по механике горных пород при Германской акаде-
мии наук в Берлине. В связи с этим требовалось рекомендовать
наиболее обоснованные соотношения размеров образцов.
Как известно, для расчетов временного сопротивления породы
при изгибе круглой пластинки, опертой по периметру (рис. 31),
применяется следующее уравнение теории упругости [14, 15]:
где
бр — растягивающее напряжение, возникающее в пластинке,
кГ[см2; Р — разрушающая сила, кГ; h — толщина пластин-
ки, см; р — коэффициент Пуассона материала пластинки;
а — внутренний радиус опорного кольца, см; b — внешний радиус
контактной поверхности пуансона, см.
Данная формула не учитывает изменения прочности образцов
под влиянием объемного масштабного эффекта, при котором проч-
ность образцов уменьшается с увеличением их размеров, так как
при этом растет вероятность появления крупных нарушений
сплошности породы. Следовательно, важно было проверить пра-
вильность указанной теоретической формулы в отношении влияния
размеров образца и нагрузочного приспособления на величины
замеренной прочности. Если формула правильно учитывает влия-
ние геометрических размеров, то прочность при растяжении
должна оставаться постоянной, а если существует масштабный
эффект, то эмпирически должно проявиться влияние размеров
образцов на прочность породы.
60
Для установления наиболее приемлемых параметров при ис-
пользовании этого метода определения бр было намечено экспери-
ментально исследовать влияние следующих четырех факторов:
1) крепости породы, 2) диаметра круглой пластинки, 3) ее толщины
и 4) диаметра пуансона на величину временного сопротивления
породы бр при растяжении путем изгиба.
Если каждый из этих переменных факторов будет принимать
пять разных значений, то для проведения намеченных исследова-
ний влияния четырех факторов требовалось бы осуществить 54 =
= 625 различных опытов, не считая повторных при каждых испы-
таниях.
В качестве рациональной последовательности размеров диамет-
ров образцов была выбрана геометрическая прогрессия, так как
она позволяла сохранить подобие рядов образцов и в то же время
ограничиться минимальным числом вариантов размеров.
Знаменатель этой прогрессии р может быть определен из урав-
нения
pn-i=g- = 3,2,
откуда при п 5 получим
р 1,35.
Окончательные расчетные размеры пластинок и опорных колец
были округлены до 5 мм:
Диаметр пластинок, мм . . .
Диаметр опорных колец, мм
Разности диаметров, мм . . .
Отношения диаметров . . . .
25 35 45 60 80
20 30 40 55 75
10 10 15 20
1,50 1,33 1,37 1,36
Для сохранения подобия геометрических размеров толщина
дисков и диаметр пуансонов* также изменялись по геометрической
Рис. 31
Схема нагружения изгибаемого диска
1— опорное кольцо; 2— диск из породы; 3— пуансон
б
М. М. Протодьяконов
61
й]эогрессии с тем же знаменателем. При этом сохранялось постоян-
ство отношений b/а и h/2a в процентах.
В табл. 25 и 26 приведены принятые размеры образцов и пуан-
сонов.
ТАБЛИЦА 25
Диаметр пуансоно] з, 2Ь
2а, мм мм % мм % мм % мм % ММ %
20 5,8 28,5 7,5 37,5 10,0 50,0 13,5 67,6
30 5,7 19,0 7,5 25,0 10,0 33,3 13,5 45,0 18,0 60,0
40 7,5 18,7 10,0 25,0 13,5 33,8 18,0 45,0 24,0 60,0
55 10,0 18,2 13,5 24,6 18,0 32,8 24,0 43,7 32,0 58,3
75 13,5 18,0 18,0 24,0 24,0 32,0 32,0 42,7 42,5 56,7
Среднее 19,0 25,0 34,0 45,0 60,0
ТАБЛИЦА 26
Толщина дисков h
2а, мм мм % мм % мм % ММ % мм %
20 1,4 7.0 1,9 9,5 2,5 12,5 3,4 । 17,0 1 4,5 22,5
30 1,9 6,4 2,5 8,3 3,4 11,3 4,5 15,0 6,0 20,0
40 2,5 6,3 3,4 8,5 4,5 11,3 6,0 15,0 8,0 20,0
55 3,4 6,2 4,5 8,2 6,0 10,9 8,0 14,5 11,0 20,0
75 4,5 6,0 6,0 8,0 8,0 10,7 11,0 14,7 14,5 19,4
Среднее 6,5 8,5 11,5 15,5 20,5
Таким образом, диаметр пуансонов изменялся от 5,7 до 42,5 мм,
или в 7,5 раз, а их отношение к размерам опорного кольца от 19 до
60%, или в 3,2 раза. Толщина дисков изменялась от 1,4 до 14,5 мм,
или в 10,3 раза, а ее отношение к диаметру опорного кольца — от
6,5 до 20,5%, или в 3,2 раза.
Для исследования были отобраны пять разновидностей горных
пород: антрацит, мраморизованный известняк, магнетитовая руда,
диорит-порфирит и роговик, скарнированный пироксеном. Времен-
ное сопротивление сжатию этих пород изменялось от 300 до
2700 кГ/см2, т. е. в 9 раз, а временное сопротивление растяже-
нию — от 30 до 235 кГ]см2, т. е. в 7,8 раза.
62
Рис. 32
Комбинационный квадрат для четырех факторов и пяти
вариантов каждого из них
Из всего изложенного следует, что для получения зависимостей
величины временного сопротивления растяжению от диаметра
2а изгибаемых пластинок, диаметра пуансонов 2Ь и толщины пла-
стин h для пяти отобранных пород нужно было получить 625 экспе-
риментальных значений. Если принять к сведению еще сравнитель-
но значительный разброс данных, характеризуемый коэффициентом
вариации около 20—25%, то для получения средних величин
со степенью достоверности 95% следовало каждый отдельный
эксперимент повторять не менее 3—5 раз. Это значит, что нужно
было изготовить и испытать не 625 дисков, а в 5 раз больше, т. е.
3125. Чтобы ускорить исследования и не поступиться точностью по-
лучаемых зависимостей, была применена описанная выше мето-
дика рационального планирования экспериментов.
В соответствии с этой методикой построим большой комбина-
ционный квадрат (рис. 32), состоящий из 25 средних по величине
квадратов, соответствующих всем сочетаниям двух факторов (ти-
па породы и диаметра опорного кольца 2а). Каждый из 25 средних
квадратов в свою очередь состоит из 25 клеток, соответствующих
всем возможным сочетаниям двух других безразмерных факторов
b/а и h/2a. Всего в большом квадрате будет 25 • 25 = 625 клеток.
Согласно методике рационального планирования эксперимен-
тов, для каждого из 25 средних квадратов опыты проводятся не при
всех 25 возможных сочетаниях двух других факторов, а только при
одном, соответствующем зачерненной клетке (см. рис. 32). Это поз-
воляло нам уменьшить потребное количество экспериментов в
25 раз.
б*
63
Нетрудно заметить, что в средних квадратах зачерненные клет-
ки расположены по-разному, так, что в каждой строке и в каждом
из 25 столбцов большого квадрата находится только одна клетка.
Выбранное расположение зачерненных клеток обеспечивает при
группировке результатов по одному какому-либо фактору нейтра-
лизацию влияния трех остальных факторов путем усреднения.
В самом деле, пусть мы провели 25 экспериментов, соответству-
ющих взаимному сочетанию четырех факторов (типа породы, диа-
метра опорного кольца 2а, относительного диаметра пуансона
b/а и относительной толщины диска &/2а)в 25 зачерненных клетках,
и записали эти результаты (разрушающую силу Р) в соответствую-
щих им клетках. Возьмем теперь только 5 из них, отвечающих пер-
вой породе, т. е. первому вертикальному ряду средних квадратов,
и вычислим для этих пяти значений среднюю величину результата Р.
Нетрудно заметить, что отдельные результаты будут относиться
к следующим сочетаниям влияющих факторов:
Тип породы •..............
Диаметр опорного кольца . .
Диаметр пуансона..........
Толщина диска.............
Значения факторов Среднее
11111 1
1 2 3 4 5 3
4 1 5 2 3 3
3 4 1 5 2 3
Таким образом, средний результат Р или Зр будет относиться
к первой породе, к среднему значению диаметра опорного кольца
2а3, к среднему относительному диаметру пуансона (6/2а)3 и к
средней относительной толщине диска (Л/2а)3.
Если мы проделаем аналогичную операцию для остальных
четырех пород, то получим еще четыре средних значения Р, для ко-
торых влияние размеров диска и пуансона будет нейтрализовано
за счет усреднения.
Следовательно, путем такой обработки данных экспериментов
мы можем получить эмпирическую зависимость разрушающей
силы Р или прочности на растяжение 5Р от типа породы.
Очевидно, что такую же операцию усреднения можно провести
не по вертикали, а по горизонтали, например, для того, чтобы выя-
вить эмпирическую зависимость разрушающей силы Р от диаметра
опорного кольца 2а. Аналогично можно получить эмпирическую
зависимость тех же величин Р от относительных размеров пуансона
b/а и толщины диска h/2a. Таким образом, описанная методика
позволяет 25 значений использовать не один, а четыре раза в раз-
личных сочетаниях.
Рекомендуется из четырех полученных эмпирических зависимо-
стей взять тольку одну, наиболее четкую, найти для нее эмпири-
ческую формулу и затем пересчитать все 25 полученных результа-
тов на одно и то же значение исследуемого фактора. Тогда влияние
64
Рис. 33 ; В
Выбор схемы планирования опытов
этого наиболее «сильного» фактора будет нейтрализовано, и влия-
ние других менее «сильных» факторов выступит более четко.
После этого можно все предыдущие операции повторить сна-
чала. Это позволит выявить эмпирическую формулу для второго
по силе влияния фактора и т. д. Данный метод можно назвать мето-
дом последовательных исключений влияющих факторов [3].
Выбор приемлемой для наших исследований схемы планирова-
ния экспериментов произведем с учетом величин влияющих фак-
торов. Для этого соединим четыре больших квадрата и на получен-
ном поле выделим один квадрат, в котором в нижней правой угло-
вой клетке максимальные величины всех факторов не совпадают,
что позволит ограничиться менее мощной аппаратурой. Таким
наиболее подходящим, с точки зрения рационального планирования
экспериментов, является комбинационный квадрат,,выделенный
на рис. 33 двойной чертой, в котором только два фактора имеют в
нижней угловой клетке максимальные значения, но зато два дру-
гих — минимальные.
Согласно этой схеме необходимо провести только 25 различных
опытов (табл. 27). Каждый из них для получения надежных сред-
них значений величин должен быть повторен пять раз. Следова-
тельно, нам придется проводить только 125 экспериментов вместо
3125 при полном объеме опытов.
Каждый эксперимент заключался в разрушении одного диска
из соответствующей породы при заданном сочетании условий эк-
сперимента. При этом замерялась максимальная разрушающая
65
ТАБЛИЦА 27
№ п/п I и Ш IV № п/п I II Ш IV
1 1 2 1 1 16 4 1 1 2
2 1 3 2 5 17 4 5 2 3
3 1 4 3 2 18 4 2 3 4
4 . 1 1 4 3 19 4 3 4 1
5 1 5 5 4 20 4 4 5 5
6 2 3 1 4 21 5 5 1 5
7 2 4 2 1 22 5 2 2 2
8 2 1 3 5 23 5 3 3 3
9 2 5 4 2 24 5 4 4 4
10 2 2 5 3 25 5 1 5 1
И 3 4 1 3
12 3 1 2 4
13 3 5 3 1
14 3 2 4 5
15 3 3 5 о
сила Р, кГ. Для каждых пяти опытов в идентичных условиях вы-
числялись средние значения Р. Все полученные при опытах дан-
ные сведены в табл. 28.
Прежде всего определим влияние прочности горной породы на
разрушающую силу Р. Так как согласно вышеприведенной теоре-
тической формуле разрушающая сила Р должна быть прямо про-
порциональна прочности породы на растяжение и толщине пла-
стинки, усреднение по этим величинам следует вести вычислением
среднего геометрического, для чего необходимо вычислить лога-
рифмы величин сил Р и из них взять средние арифметические зна-
чения. Тогда получим следующие данные:
Р, кГ о, кГ ]СМ?
Антрацит......................... И 300
Мраморизованный известняк 41 670
Магнетитовая руда......... 49 870
Диорит-порфирит................. 80 1300
Роговик........................ 102 2700
Как видим, несмотря на некоторый разброс данных, наблюда-
ется одновременный рост силы при изгибе пластинки, опертой по
периметру, и прочности породы при одноосном сжатии.
Чтобы исключить влияние крепости породы, пересчитаем все
первичные данные по силам. Изменим их обратно пропорционально
66
ТАБЛИЦА 28
№ п/п Порода 1а, мм 2Ъ, мм h, мм Ь/а h/2a Р, кГ
1 Антрацит 20 5,7 1,4 0,25 0,065 3
2 То же 30 10,0 6,0 0,34 0,205 14
3 » 40 18,0 3,5 0,45 0,085 5,5
4 » 55 10,0 6,0 0,19 0,115 11
5 » 75 42,5 11,0 0,60 0,155 76
6 Мраморизованный из- вестняк 20 7,5 3,4 0,34 0,155 26
7 То же 30 13,5 1,9 0,45 0,065 4
8 » 40 7,5 8,0 0,19 0,205 102
9 » 55 32,0 4,5 0,60 0,085 93
10 » 75 18,0 8,0 0,25 0,115 119
И Магнетитовая руда 20 10,0 2,5 0,45 0,115 26
12 То же 30 5,7 4,5 0,19 0,155 70
13 » 40 24,0 2,5 0,60 0,065 13
14 » 55 13,5 11,0 0,25 0,205 148
15 » 75 24,0 6,0 0,34 0,085 82
16 Диорит-порфирит 20 4,5 1,9 0,19 0,085 14
17 То же 30 18,0 3,4 0,60 0,115 67
18 » 40 10,0 6,0 0,25 0,155 114
19 » 55 18,0 3,4 0,34 0,065 48
20 » 75 32,0 14,4 0,45 0,205 785
21 Роговик 20 13,5 4,5 0,60 0,205 140
22 То же 30 7,5 2,5 0,25 0,085 30
23 » 40 13,5 4,5 0,34 0,115 90
24 » 55 24,0 8,0 0,45 0,155 430
25 » 75 13,5 4,5 0,19 0,065 66
отношениям указанных выше средних сил для каждой породы к
общей средней геометрической всех сил, равной 45 кГ. При этом
получим следующие данные:
№ Pi № Pi № Pi № Pi № Pi
1 12 6 29 11 24 16 8 21 62
2 56 7 5 12 64 17 38 22 13
3 22 8 112 13 12 18 65 23 40
4 43 9 102 14 135 19 27 24 192
5 300 10 130 15 75 20 445 25 29
67
Рис. 34
Зависимость разрушающей силы
от толщины образца
Рис. 35
Зависимость силы Р2 от отношения &/а
Рис. 36
Соотношение между фактическими
и расчетными разрушающими силами
Вычислим средние геометрические значения разрушающих сил
при одинаковых толщинах пластинки. Тогда получим следую-
щие данные (в логарифмической форме):
0,855 .0,722 0,602 0,469 0,355 0,222 0,096 0,040 0,158
IgPT 1,075 0,771 1,193 1,451 1,736 1,767 2,145 2,305 2,648
Нанося эти данные на график (рис. 34), заметим, что перво-
начальный значительный разброс величин существенно сократился
и опытные точки довольно хорошо ложатся на прямую линию.
Определяя тангенс угла наклона этой прямой, найдем, что разруша-
ющая сила при изгибе пластинки пропорциональна ее толщине в
степени 1,80, а не 2,00, как следует из теоретической формулы. Это
свидетельствует о влиянии объемного масштабного эффекта на проч-
ность испытуемого образца породы.
Пользуясь этой эмпирической зависимостью, повторно пересчи-
таем данные о разрушающих силах и приведем их к постоянной
средней толщине пластинки 4,5 мм.
Результаты расчета сгруппируем по одинаковым значениям
b/а и h/2a и вычислим средние геометрические значения (табл. 29).
68
ТАБЛИЦА 29
Ь/а h/2a 0,19 0,25 0,34 0,45 0,60 Среднее
0,065 30 94 44 23 34 45
0,085 37 38 46 36 106 53
0,115 26 47 41 67 62 49
0,155 67 39 47 69 53 55
0,205 40 28 33 57 64 44
Среднее 40 49 42 51 64 46
Если нанести усредненные значения Р2 на график (рис. 35), то
заметим, что с увеличением отношения b/а разрушающая сила Р2
также возрастает.
Если по приведенной в начале этой главы (стр. 60) формуле
подсчитать коэффициент ./£ возрастания силы Р с ростом отношения
b/а при одном и том же значении коэффициента Пауссона р = 0,25,
то получим следующие его значения:
Ь/а . . .
К..........
0,19 0,25 0,34 0,45 0,60
0,86 1,00 1,35 1,62 2,39
0,93 1,00 1,16 1,27 1,55
Сопоставляя полученные данные, заметим, что разрушающая
сила Р2 растет медленнее, чем коэффициент X, но практически
прямо пропорционально корню квадратному из него. Это объясня-
ется тем, что при увеличении диаметра пуансона растяжению под-
вергается больший объем образца, что приводит к снижению проч-
ности образца под влиянием объемного масштабного эффекта.
Из табл. 29 видно, что остаточное влияние отношения hj2a на при-
веденные к одной и той же толщине пластинки значения разрушаю-
щей силы незначительно и находится в пределах разброса данных
(коэффициент вариации 10%). Поэтому влиянием данного отноше-
ния можно пренебречь.
Учитывая полученные выше поправки, обусловленные влия-
нием объемного масштабного эффекта, получим уточненную эмпи-
рическую формулу для определения зависимости разрушающей
силы при изгибе пластинки, опертой по периметру, от параметров
опыта:
69
В среднем прочность при изгибе ар численно получается в 3,7
раза выше разрушающей силы Р. Отсюда можно принять, что для
испытанных горных пород эта прочность равна:
Ор,? кГ/c At2
Антрацит..................... 41
Мраморизованный известняк 151*
Магнетитовая руда......... 181
Диорит-порфирит.............. 296
Роговик...................... 377
Рассчитав по эмпирической формуле величины сил, сопоставим
их с фактическими значениями (табл. 30).
ТАБЛИЦА 30
№ п/п Рф, кГ Рр, кГ № п/п Рф, кГ Рр, кГ № п/п Рф, кГ Рр, *г
1 3 1,3 11 26 19 21 140 134
2 14 19 12 70 39 22 30 31
3 5,5 7 13 13 23 23 90 100
4 И 15 14 148 214 24 430 322
5 76 75 15 82 84 25 66 83
6 26 26 16 14 14
7 4 10 17 67 65
8 102 94 18 114 118
9 93 54 19 48 49
10 119 101 20 785 660
Для большей наглядности нанесем эти же данные на график
(рис. 36). Анализируя таблицу и график, можно заметить, что рас-
четные и фактические данные удовлетворительно коррелируют
друг с другом. Разница между ними лежит в пределах обычного
разброса данных из-за неоднородности горных пород. Наибольший
разброс данных дала магнетитовая руда, которая отличалась наи-
большей неоднородностью.
Таким образом, использование методики рационального плани-
рования экспериментов позволило, сократив объем опытов в 25 раз,
уточнить расчетную формулу и учесть влияние масштабного эф-
фекта на прочность породы.
В качестве второго примера проверки методики рационального
планирования экспериментов приведем отработку параметров ме-
тода определения прочности пород путем раскалывания пластинок
соосными клиньями (рис. 37).
70
Рис. 37
Схема опытов по раскалыванию
пластин
раскола от края пластины
По этому методу прочность при
раскалывании [16, 17] определяется
простейшей формулой:
Р
бР ~ ’
где Р — максимальная сила, кГ;
F — площадь раскола, см2.
Для ослабления влияния мас-
штабного эффекта опыты проводились
на однородном мраморе. При испы-
таниях параметры метода изменялись
в следующих пределах:
скорость нагружения v — от 0,33
до 40,0 кГ/см~ • сек;
радиус закругления клиньев
R — от 0,1 до 14,0 мм;
отношение длины раскалываемой
пластины I к ее толщине h — от
0,25 до 5,0;
отношение расстояния плоскости
b к толщине пластины h — от 0,15 до 2,0.
Каждый параметр принимал пять различных значений, и каж-
дый опыт в одинаковых условиях повторялся пять раз. Всего
требовалось провести 3 125 опытов. По методике рационального
планирования экспериментов требовалось всего 25 вариантов или
125 опытов. В целях контроля были запланированы еще 11 допол-
нительных вариантов, и число опытов было доведено до 180. При
этом объем экспериментов сократился в 17 раз.
Был выбран такой план экспериментов, чтобы максимально
увеличить диапазон изменения раскалывающих сил. Для этого в
одном углу комбинационного квадрата сгруппировали минималь-
ные, а в другом — максимальные значения влияющих факторов
(рис. 38). При дополнительных экспериментах изменялись только
два влияющих фактора из четырех. Это позволило проверить по
ним правильность полученных эмпирических формул для основной
серии опытов.
Найденные при опытах значения сил Р, кГ записаны в соот-
ветствующих клетках комбинационного квадрата.
В результате экспериментов были установлены следующие
эмпирические зависимости.
1. При увеличении скорости нагружения прочность растет сог-
ласно формуле:
0,005 (IgPn)2 + 0,0751gyn 4-1.
<51
71
0,1 . 1,0 7,0 14,0
l/h v b/h\^ о са сь ОЭ еа Ci о? О <5> сь оэ 5? <=5 I 30,0 | <=5 Г С=> Л? I 30,0 I «55 Qi I 30,0 | 03
0,25 2,0 36
1,0 ’ 70
М 72
0,25. 36
0,15 72 I
0,5 2,0 64
1,0 42
_ 0,5 83
0,25 77
W £
1,0 2,0 49 И
1,0 и
0,5 51 49 52\ Е 73
0,25 61
0,15 88
2,0 2,0 65
1,0 61
0,5 54
0,25
0,15 S3
5,0 2,0 65
1,0 44
0,5 53
0,25 52
0,15 74
Рис. 38
Комбинационный квадрат для планирования опытов по раскалыванию пластин
2. С увеличением радиуса закругления клиньев прочность воз-
растает следующим образом:
— = 0,065 (Д2 —-^i) + 1,
ар1
при радиусе закругления 7 мм прочность стабилизируется.
3. Длина раскалываемой пластинки I практически не влияет на
прочность.
4. С ростом расстояния плоскости раскола до I Q&h прочность
растет, а далее стабилизируется.
Таким образом, несмотря на сокращение объема опытов в
17 раз, удалось получить искомые эмпирические зависимости
и установить пределы допустимых изменений величин.
72
выводы
1. Предлагается метод планирования экспериментов и обработки
данных для получения многофакторных эмпирических формул.
2. Рациональный план экспериментов может задаваться двумя
способами:
а) графическим, или позиционным, в виде комбинационного квад-
рата, в каждой строке и столбце которого имеется только одна
комбинация влияющих факторов (см. рис. 26);
б) табличным, или цифровым, в форме цифровой матрицы
(см. табл. 18), построенной в виде системы взаимно ортого-
нальных латинских квадратов.
Для построения комбинационного квадрата предлагается
метод вспомогательного среднего квадрата, а для получения
системы взаимно ортогональных латинских квадратов — ме-
тод замены одинаковых цифр разными.
Для всех влияющих факторов следует выбирать одно и то
же нечетное число вариантов (п = 5; 7; 9 и т. д.).
Число способов построения латинского квадрата очень
велико и равно факториалу факториалов:
п\ (п — 1)! (п — 2)!... 3! 2! 1! = п\\.
Максимальное число влияющих факторов т равно числу
взаимно ортогональных латинских квадратов:
т = п + 1;
из них два квадрата упорядоченные, а остальные латинские.
Каждая система взаимно ортогональных латинских квад-
ратов может быть преобразована путем перетасовки строк
и столбцов (п!)2 способами. Это позволяет выбрать оптимальный
по диапазону план экспериментов или же избежать трудно-
осуществимых сочетаний вариантов факторов.
3. Предлагается метод построения латинских кубов из серии син-
гональных латинских квадратов. Для построения системы
взаимно ортогональных латинских кубов рекомендуется исполь-
зовать прием разной ориентировки их тройных осей симметрии.
Варианты таких систем могут быть получены путем перета-
73
Совки слоев латинских квадратов, параллельных граням латин-
ских кубов. Латинские кубы позволяют получить систему
неповторяющихся сочетаний вариантов любых входящих в нее
трех факторов.
4. Предлагается применять следующий порядок обработки резуль-
татов экспериментов:
а) сгруппировать результаты замеров при одинаковых значениях
каждой переменной и найти для каждого случая среднее значение
результата (среднее арифметическое и среднее геометрическое);
б) построить точечные графики зависимостей средних значений
функции от каждой независимой переменной и выделить среди
них такие, на которых все точки могут быть соединены плав-
ными кривыми;
в) найти частные эмпирические уравнения для каждой переменной;
г) получить от частных эмпирических формул общую формулу.
5. По количеству плавных кривых можно предварительно су-
дить о виде искомой функции. При подобном методе расшиф-
ровки данных можно находить искомые функции следующих
основных видов:
а) для суммы функций от отдельных переменных — все кривые
плавные;
б) для произведения функции одной переменной на сумму функций
от других переменных — одна плавная кривая;
в) для произведения двух функций от двух переменных плюс
сумма функций от прочих переменных — две плавные кривые.
Пользуясь найденными плавными (или близкими к ним) эмпи-
рическими кривыми, можно исключить влияние соответствую-
щих переменных путем вычитания найденных сглаживающих
функций или деления на них и затем производить повторное ис-
следование остаточных функций. Таким образом, рекомендуется
метод последовательного исключения переменных.
6. Предлагаемые методы и приемы позволяют:
а) резко сократить число потребных экспериментов — в пт~2 раз;
б) находить эмпирические формулы для четырех и более перемен-
ных;
в) находить эмпирические зависимости не только линейного вида,
но и значительно более сложные (см. стр. 36 и 59).
Проверка предлагаемых методов производилась как расшиф-
ровкой формул, зашифрованных другими исследователями,
так и прямыми экспериментами. Число опытов было сокращено
в 25 раз.
7. Предлагаемые методы и приемы позволяют решать задачи,
Противоположные алгебраическим. В алгебре по известным
уравнениям можно найти частные значения соответствующих
им величин. Приведенные методы и приемы позволяют по ряду
частных значений величин найти неизвестный вид связываю-
щих их зависимостей.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. 3. Иванов, Г. К. Круг, И. М. Чирков. Руководящие технические
материалы. Сб. «Экспериментально-статистические методы получения
математического описания и оптимизации сложных технологических
процессов», вып. 2. М., НИИТЭХИМ, 1964.
2. Ю. П. Адлер. Опыт применения планирования экстремального экспери-
мента в СССР. Сб. «XX Международный конгресс по теоретической и
прикладной химии». М., Госхимиздат, 1964.
3. М. М. Протодьяконов. Методика рационального планирования экспе-
риментов. М., изд. Ин-та горного дела им. А. А. Скочинского, 1962.
4. Э. В. Миллер. Метод планирования экспериментальных исследований со
статистической обработкой результатов. Тезисы докладов, вып. III. М.,
изд. Ин-та горного дела АН СССР, 1960.
5. С. А. Айвазян. Применение методов корреляционного и регрессионного
анализов к обработке результатов эксперимента. Заводская лаборато-
рия, 1964, № 6 и 8.
6. В. В. Налимов. Статистические методы описания химических и металлур-
гических процессов. М., Физматгиз, 1963.
7. М. М. Протодьяконов (старший). Составление горных норм и пользова-
ние ими. М.—Л., Новосибирск, Гос. научно-техн, горное изд-во, 1932.
8. Л. А. Бызов. Графические методы измерения связей между явлениями.
М., Госпланиздат, 1950.
9. М. М. Протодьяконов. Обработка опытных данных по резанию горных
пород методом смешанных гипербол. Научные доклады высшей школы.
Горное дело, № 2, 1958.
10. Н. В. Mann. The construction of Orthogonal Latin Squares. The Annals
of Mathematical Statistics, 13, N 4, dec. 1942.
11. H. B. Mann. On the construction of sets of Orthogonal Latin Squares The
Annals of Mathematical Statistics, 14, N 4, dec. 1943.
12. M. Холл. Блок схемы. Сб. «Прикладная комбинаторная математика».
М., изд-во «Мир», 1968.
13. A. L. Dulmage, D. Н. Johnson, N. S. Mendelson. Orthomorphisms of Gro-
ups and Orthogonal Latin Squares, 1. Canad. J. Math. N 13, 1961.
14. С. П. Тимошенко, С. Войнович-Кригер. Пластинки и оболочки. М., Физ-
матгиз, 1963.
15. Д. В. Вайнберг, Е. Д. Вайнберг. Пластины, диски, балки-стенки (проч-
ность, устойчивость и колебания). Киев, Госстройиздат УССР, 1959.
16. С. Е. Чирков. Исследование влияния масштабного фактора на прочность
углей в условиях различных напряженных состояний. М., изд. Ин-та
горного дела им. А. А. Скочинского, 1965.
17. М. И- Коифман. Скоростной комплексный метод определения механи-
ческих свойств горных пород. Сб. «Механические свойства горных по-
род». М., Изд-во АН СССР, 1963.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение......................................... 3
Глава I. Методика построения комбинационных
квадратов................................ 10
Глава II. Методика обработки данных -...... 19
Глава III. Методы построения латинских квадратов
и кубов.................................. 37
Глава IV. Методы получения эмпирических формул 53
Глава V. Опытная проверка методики рациональ-
ного планирования экспериментов .... 60
Выводы........................................... 73
Михаил Михайлович Протодьяконов,
Роланд Иоганесович Тедер
Методика рационального планирования
экспериментов
Утверждено к печати Институтом физики
Земли Академии наук СССР
69
Редактор Е. И. Александрова. Технический редактор Ю. В. Рылина ,
Сдано в набор 27/V 1970 г. Подписано к печати 25/УШ 1970 г. Формат 60х90*/1в.
Бумага № 2. Усл. печ. л. 4,75. Уч.-изд. л. 3,9. Тираж 8300 экз. Тип. зак 652.
Т-12281. Цена 23 к.
Издательство «Наука»
Москва К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука».
Москва Г-99, Шубинский пер.', 10