/
Текст
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
(конспект лекций Е. В. Троицкого,
1-й курс, математики, осенний семестр 1999/2000 уч.года)
Оглавление
1. Векторы в пространстве 2
2. Деление отрезка в данном отношении 7
3. Скалярное произведение 8
4. Площадь, объем и ориентация 9
5. Прямые на плоскости 15
5.1. Прямая на плоскости в прямоугольных координатах........ 19
5.2. Угол между прямыми на плоскости........................ 20
6. Плоскости и прямые в пространстве 21
6.1. Плоскости в пространстве............................... 21
6.2. Плоскость в прямоугольной системе координат............ 25
6.3. Прямая в пространстве.................................. 26
6.4. Некоторые формулы в прямоугольной системе координат.... 28
7. Замены координат 28
7.1. Прямоугольные системы координат и ортогональные матрицы. 30
7.2. Углы Эйлера............................................ 31
8. Полярные, сферические и цилиндрические координаты 32
9. Эллипс, гипербола и парабола (ЭГП) 34
9.1. Геометрическое определение ЭГП......................... 34
9.2. ЭГП как конические сечения............................. 35
9.3. Оптические (фокальные) свойства коник.................. 38
9.4. Аналитические определения коник ....................... 40
9.5. Директориальные свойства коник......................... 45
9.6. Фокальный параметр. Полярные уравнения коник........... 46
10.Общая теория кривых второго порядка 48
10.1. Канонические уравнения................................ 48
10.2. Инварианты многочлена второй степени.................. 52
10.3. Определение канонического уравнения по инвариантам.... 55
10.4. Распадающиеся кривые.................................. 58
10.5. Теоремы единственности для кривых второго порядка........ 59
10.6. Теорема Паскаля. “Построение” кривой второго порядка по пяти за-
данным точкам.................................................. 61
11.Пересечение кривой второго порядка с прямой 63
11.1. Нахождение асимптотических направлений .................. 65
11.2. Диаметры и центры кривых второго порядка................. 67
11.3. Сопряженные диаметры и направления....................... 70
11.4. Главные диаметры и оси симметрии ........................ 72
1 2.Вид и расположение кривых второго порядка 74
13 .Касательные к кривым второго порядка 77
13.1. Поляра точки относительно коники......................... 79
14 .Аффинные преобразования 82
14.1. Изометрические преобразования ........................... 84
15 .Аффинная и метрическая классификация квадрик 89
16 .Поверхности второго порядка 91
16.1. Основные виды поверхностей второго порядка и их геометрические
свойства....................................................... 96
16.2. Общая теория поверхностей второго порядка................104
16.3. Аффинная и метрическая классификация поверхностей второго порядка 108
17.Элементы проективной геометрии 109
17.1. Пополнение плоскости.....................................109
17.2. Связка как модель проективной плоскости...................ПО
17.3. Проективные преобразования...............................113
17.4. Проективно-аффинные преобразования.......................114
17.5. Проективная прямая.......................................114
17.6. Кривые второго порядка на проективной плоскости..........117
1. Векторы в пространстве
Замечание 1.1. Следуем наглядно-геометрическим представлениям, возможен
аксиоматический подход.
Определение 1.2. Закрепленный вектор — направленный отрезок, т. е. упоря-
доченная пара точек. Будем обозначать векторы йЙ, . . .
Определение 1.3. Вектор АА называется нулевым и обозначается С)|.
Определение 1.4. Длина вектора — расстояние между его концами:
|Ж := р(А.В).
В частности, длина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда он нулевой.
Определение 1.5. Закрепленные векторы коллинеарны, если существует прямая,
которой они параллельны. Нулевой вектор считается параллельным, а следова-
тельно, и коллинеарным любому вектору.
Определение 1.6. Закрепленные векторы компланарны, если существует плос-
кость, которой они параллельны.
Определение 1.7. Закрепленные векторы равны, если они коллинеарны, одина-
ково направлены и равны по длине.
Определение 1.8. Напомним, что отношением эквивалентности на множестве
М называется некоторое множество упорядоченных пар S (т. е. S С МхМ), причем
выполнены аксиомы (условие (m, п) G S обычно записывется как т ~ п):
• т ~ т (тождества)
• из т ~ п следует п ~ т (симметричности)
• изт~пип~/г следует т ~ к (транзитивности)
для любых т,п,к € М.
В этой ситуации М распадается на непересекающиеся множества, состоящие
из всех элементов, эквивалентных одному. Эти множества называются классами
эквивалентности. Класс эквивалентности, содержащий т G М, обозначается [т].
Лемма 1.9. Равенство является отношением эквивалентности на множестве за-
крепленных векторов.
Доказательство. Очевидно. □
Определение 1.10. Вектором (или свободным вектором) называется соответ-
ствующий класс эквивалентности.
Будем обозначать векторы (91^,... (хотя правильнее [йЙ], [^Й], . . .) или
а,Ь,..а вещественные числа — а, Д А, д,. . .
Понятия коллинеарности и компланарности переносятся на (свободные) векторы.
Определение 1.11. Линейные операции над векторами :
1) Сложение по правилу треугольника:
2) Умножение вектора на вещественное число:
по правилу:
1) b коллинеарен а;
2) \Ь\ = |А| • И;
3) b сонаправлен с а, если А > 0, и противонаправлен, если А < 0.
Эти операции корректно определены на множестве (свободных) векторов.
Свойства линейных операций над векторами :
1. а b = b а (коммутативность сложения = правило параллелограмма);
2. а + (6 + с) = (а + 6) + с (ассоциативность сложения = правило четырех-
угольника);
3. а + 0 = а (существование нулевого вектора = [0ц]);
4. а + (44-1) • а = 0 (существование обратного);
5. (а/3)а = а(/3а) (ассоциативность);
6. (а + /3)а = аа + За ] , .
7. а(« + 6) = аа + аЬ / (дистрибутивность);
8. 1 а = а (единица).
Определение 1.12. Множество с операцией сложения и операцией умножения на
числа, удовлетворяющими этим аксиомам, называется линейным пространством.
Заметим, что все основные утверждения про операции над геометрическими век-
торами могут быть выведены из этих аксиом, без привлечения конкретного описания
операций (но, например, это не относится к длинам и т. п.). В этом смысле аксиомы
образуют полную систему. Более того, она излишне полна (что можно выбросить
?)•
Определение 1.13. Линейной комбинацией векторов «1,. . ., ап с коэффициентами
«1,. . . ,ап Е R называется вектор вида ад од + . . . + апап. Если все а,- равны нулю,
то линейная комбинация называется тривиальной, а в противном случае — нетри-
виальной.
Определение 1.14. Векторы ai,...,an линейно зависимы, если существует их
нетривиальная линейная комбинация, равная нулю, т. е. найдутся такие числа
«!,..., ап, не все равные нулю, что одсд + . . . + апап = 0. В противном случае
векторы линейно независимы, т. е. из равенства одсд + . • • + <хпап = 0 всегда следует
ад = «2 = • • • = °п = 0.
Лемма 1.15. Система веторов линейно зависима тогда и только тогда, когда
один из них является линейной комбинацией остальных.
Доказательство. НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть имеется нетривиальная линейная ком-
бинация векторов, равная нулю: ад«х + ... + апап = 0. Один из коэффициентов,
скажем, ащ не равен нулю. Тогда
/ Cti \ \ / OLn \
аг- = I О— I • «1 + . . . + I — I • аг-1 + I О I • «г+1 + . . . + I О— I • ап.
\ CXi / \ CXi / \ CXi / \ CXi /
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть а,- = Дед + . • • + Д_хаг-х + Д+1аг+1 + . . .(Зпап. Тогда
(4Ф-1)аг- + /31 «1 + ... + Д_хаг_х + /Зг_|_1 аг_|_1 + ... (Зпап = 0
— нетривиальная (первый коэффициент — ненулевой) линейная комбинация, равная
нулю. □
Лемма 1.16. Пусть a\,...,ak — линейно зависимая система векторов. Тогда
«х,. . . , ak, «fc+i, • • • , ап — линейно зависимая система, каковы бы не были векторы
Доказательство. Если «х«х + ••• а^а^ = 0 — нетривиальная комбинация, то ад«х +
. . . ада/г + 0 • afc+x + . . . + 0 • ап = 0 также нетривиальная комбинация. □
Лемма 1.17. 1) Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда
они коллинеарны.
2) Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компла-
нарны.
3) Четыре вектора всегда линейно зависимы.
Доказательство. 1. По определению операции умножения на число.
2. По лемме 1.15 из линейной зависимости следует, что с = аа + [ЗЬ, т. е. с
компланарен а и Ь.
Обратно, пусть а и Ь коллинеарны, тогда они линейно зависимы и по лемме 1.16
а, Ь, с линейно зависимы. Если же а и Ь неколлинеарны, то с можно представить в
виде с = аа + [ЗЬ, “достроив параллелограмм”.
3. Если какие-либо 3 вектора компланарны, то они линейно зависимы по преды-
дущему пункту, а по лемме 1.16 зависимы все 4. Если же таких 3 векторов среди
а, Ь, с, d нет, то пары а и Ь, с и d неколлинеарны, а следовательно определяют (с точ-
ностью до параллельного переноса) две плоскости, которые не параллельны (иначе
все 4 были бы компланарны). Тогда направляющий вектор f прямой пересечения
раскладывается, с одной стороны, в линейную комбинацию а и Ь, а с другой — си
d (ср. с доказательством и. 2):
аа + /ЗЬ = f = ус + 8d.
Если при этом один из коэффициентов, скажем, а, равен 0, то 6. с, d компланарны,
что противоречит предположению. Таким образом,
аа + /ЗЬ <t=^c <t=?Sd = О
— нетривиальная комбинация. □
Определение 1.18. Базисом на прямой (соотв., на плоскости, в пространстве)
называется упорядоченный набор из 1 (соотв., 2, 3) линейно независимых векторов.
Замечание 1.19. Для прямой это означает, что вектор ненулевой.
Теорема 1.20. Всякий вектор пространства (соотв., плоскости, прямой) одно-
значно представляется в виде линейной комбинации векторов данного базиса.
Доказательство. Докажем существование комбинации. Пусть щ, вг, е3 — данный
базис, а а — произвольный вектор. По лемме 1.17 (п. 3) векторы а, щ, вг, е3 линейно
зависимы, так что существует нетривиальная линейная комбинация oa + oiei + o262 +
о3ез = 0. Пусть о = 0. Тогда Oiei + о2б2 + о3ез = 0 — нетривиальная линейная
комбинация, что противоречит линейной независимости векторов базиса. Значит,
о 0 и искомая комбинация
а = I -ФФ— ) • ei + I -ФФ— ) • 62 + I 4Ф— ) • 63.
\ а/ \ а/ \ а/
Докажем единственность. Пусть имеются две различные тройки: oi,o2,o3 и
Д1, Д2, Дз, причем
а — 0161 + О2б2 + 0363 — Д161 + Д262 + +/3-
Тогда 0 = (oi +>Д1)в1 + (о2 «ФфДг^г + (ад -ФфДз)ез — нетривиальная комбинация, что
противоречит линейной независимости базиса.
Аналогично для прямой и плоскости. □
Определение 1.21. Координатами (или компонентами) вектора а относительно
базиса 61,62,63 называются такие (однозначно определенные) числа oi,o2,o3, что
а = 0161 + о2б2 + 0363. Будем записывать также a(oi, о2, о3).
Лемма 1.22. Координаты суммы векторов равны сумме координат. Координаты
Ха равны Aoi,Ao2,Ao3 (в обозначениях определения).
Доказательство. Пусть а = Oiei + о2в2 + о3ез, Ь = Д1 ei + (З^е^ + Дзбз- По свойствам
1, 2, 5, 6, 7:
(I + Ь = (О161 + 0262 + О363) + (Д1Щ + Д262 + Д363) =
= 0161 + Д1 61 + О2б2 + /?2б2 + ®ЗбЗ + Д363 = (®1 + Д1)б1 + (®2 + Дг)б2 + (®3 + Дз)бЗ,
Aa = A(oi6i + 0262 + 0363) = A(oi6i) + А(о2в2) + А(озвз) = (Aoi)ei + (Ао2)в2 + (Аоз)ез.
□
Определение 1.23. Аффинная система координат в пространстве задается вы-
бором репера — произвольной точки О и базиса ei, 62, 63.
Координаты точки X относительно репера Ос^ез определяются как коорди-
наты вектора в базисе ei, 62, 63:
= Ж1 ei + х2е2 + х3е3
(их мы будем обозначать латинскими буквами). Записываем Х(ад, х2, х3).
Лемма 1.24. Пусть Х(ад, х2, х3) и Y(yi, у2, у3) — координаты двух точек. Тогда
координаты вектора АТ? относительно базиса, входящего в данную аффинную си-
стему координат, равны (тд 4>ад, у2 ^х2, у3 Ф>т3).
Доказательство. По определению аффинной системы координат х2, х3) и
^(,1, у2, у3), а АТ? = По лемме 1.22 получаем требуемый результат.
□
Определение 1.25. Базис называется ортогональным, если векторы ei, е2, е3 пер-
пендикулярны. Если они к тому же единичной длины, то базис называется орто-
нормированным. Аффинная система координат называется прямоугольной, если со-
ответствующий базис ортонормирован.
2. Деление отрезка в данном отношении
Пусть заданы две точки АиВ своими аффинными координатами (а1,а2,а3)
и (&1,&2,Ь3) (в некотором репере) и отношение А. Найдем аффинные координаты
(ад, ад, ад) такой точки X отрезка АВ, что т. е. делящей отрезок в данном
отношении.
Координаты векторов АХ и в данном базисе по лемме 1.24 равны, соответ-
ственно, (ад 4>од, х2 гй-а2. х3 44«з) и (ф 4>ад, Ь2 йЩг2. b3 4>ад). По лемме 1.22 условие
отношения (поскольку векторы сонаправлены) перейдет в совокупность условий:
д(ад 4>од)
д(ад 44а2)
д(т3 44а3)
А(ф 44ti),
А(Ф 44т2),
А(63 44т3),
имеющих единственное решение
раг + Аф
i = 1,2,3.
Заметим, что можно рассматривать и отрицательные А или р, так что условие
деления в этой общей форме будет иметь вид
= aW
Формулы ответа будут, конечно, теми же, что и выше.
3. Скалярное произведение
Определение 3.1. Скалярным произведением двух (ненулевых) векторов называ-
ется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
(а, 6) := |а| • \Ь\ • cos а, Ь.
Если один из векторов нулевой, то положим (а, Ь) := 0.
Лемма 3.2. Пусть в некотором ортонормированном базисе 61,62,63 вектор а
имеет координаты а!,а2,а3. Тогда
— (С 1 — 1,2,3.
Доказательство. Координаты вектора могут быть найдены путем проекций в
прямоугольном параллелепипеде (т. к. единственность доказана). Таким образом,
cii = |а| • cos ащ: = |а| • |ег-| • cos ищ: = (а, ег-). □
Теорема 3.3. Скалярное произведение обладает следующими свойствами, опреде-
ляющими его однозначно:
1) (а,Ь) = (Ъ, а) (симметричность);
2) {а + 6, с) = (а, с) + (6, с);
3) (Ха,Ь) = А (а, Ь) (2)+3) = линейность по первому аргументу);
)) (а,а) = |а|2 > 0, в частности, (а, а) = 0 44 а = 0 (положительность и
связь с длиной).
Доказательство. Пункты 1, 3 и 4 очевидны. Если с = 0, то и. 2 выполняется.
Если же с 0, то можно путем деления на |с| т применения пи. 1 и 3 свести к случаю
|с| = 1. В этой ситуации рассмотрим ортонормированный базис ei = с, вг, 63. Тогда
соответствующие скалярные произведения совпадают с первыми координатами:
(а, с) = (а, ei) = «1, (6, с) = (6, ei) = bi.
Поскольку координаты суммы равны сумме координат, то
(а + Ь, с) = «1 + 61 = (а, с) + (6, с).
Покажем, что свойства 1-4 однозначно определяют значения скалярного произ-
ведения. Свойство 4 определяет (а, а). В силу пи. 1 и 4 имеем
(а + 6, а + 6) = (а, а) + (а, 6) + (6, а) + (6, 6) = 2(а, 6) + (а, а) + (6, 6),
(а, 6) = | • {(а, а) + (6, 6) 44 (а + 6, а + 6)} . □
Теорема 3.4. В произвольном ортонормированием базисе 61,62,63 скалярное про-
изведение имеет вид
{а, Ь) = а^Ь^ + й2^2 + Яз^з-
Доказательство.
2) 3 3) 3 !) 3
(a, b) = (ajei + а2е2 + а3е3, Ь) = ^2(щег, Ь) = - 22 е2 =
г = 1 г = 1 г = 1
3 2 3) 3
= ^2 a^bjei + Ь2е2 + Ьзез, ег) = = агЬ^(ег, е^) = aOi + а2Ь2 + а3Ь3. □
г=1 Л2—1
Следствие 3.5. В прямоугольной системе координат угол между векторами опре-
деляется формулой
ту _ (а, д') _ «1^1 + а2Ь2 + а3Ь3
1а1 ’ \д\ ^aj + 0% + а% \/bl + bl + bl
4. Площадь, объем и ориентация
Вычислим площадь S параллелограмма П(а,6), натянутого на вектора а и b на
плоскости. Пусть задан ортонормированный базис 61,62 плоскости, так что а =
(«1, «2), b = (bi, Ь2). Тогда (если угол между а и b равен <д)
S = |а| • \Ь\ • sin <д=|а|-|Ь|-л/1 4=>cos2 <р = |а| • \Ь\ •
(«1&1 + «2&2)2
^(al + al).(bl + bl)
= У (а2 + а%) (Ь2 + b%) + а2Ь2у = y/(ai&2)2 + (®2&i)2 <&2aibia2b2 = |а1624>а2&1|.
Напомним, что выражение ai&2 4=>a26i называется определителем det матрицы
/ «1 а2 \
\ bi b2 J
Определение 4.1. Ориентированной площадью параллелограмма П(а,6) относи-
тельно базиса ei, е2 называется величина Sor(a,b) = det I ^2 |. Ее абсолютная
у bi b2 J
величина совпадает с площадью параллелограмма, а знак (в случае линейно незави-
симых а и 6) называется ориентацией пары а,Ь относительно базиса ei, 62-
Лемма 4.2. Ориентированная площадь обладает следующими свойствами:
1) Sor(a7b) = йО\,г(Ь. а] (кососимметричность);
2) Sor(a Т 6, с) Sor(^a^ с) Т S*or(6, с),
3) Sor(Xa,b) = ASor(a,6) (2+3=линейностъ no первому аргументу);
)) SOr(a,a) 0.
Доказательство. Все утверждения следуют немедленно из формулы. □
Лемма 4.3. Ориентация пары а,Ь относительно базиса 61,62 положительна, если
кратчайший поворот от а к b происходит в том же направлении, что и от щ к
ег-
Доказательство. Будет проведено сразу для трехмерного случая. □
Определение 4.4. Ориентированным объемом параллепипеда П(а,Ь, с), постро-
енного на векторах а, b и с пространства, относительно ортонормированного базиса
е := (ei, 62, ез) называется определитель
ТД(а, b, с) = det
«1 а2 «з \
bl b<2 &3 = Я1&2СЗ + Ь1С2ЙЗ + cia2^3 ^^1^263 4^Я1С2&3 4^С1&2аЗ-
\ 61 С 2 С3 )
В случае линейно независимых векторов а, Ь, с его знак называется ориентацией
тройки а, Ь, с относительно ортонормированного базиса щ, 62, 63.
После доказательства некоторых свойств мы докажем следующее утверждение,
оправдывающее это название.
Теорема 4.5. Абсолютная величина ориентированного объема параллелепипеда
равна объему параллелепипеда.
Лемма 4.6. Пусть фиксирован базис 61,62,63 и некоторый вектор вращается в
плоскости или вокруг оси с постоянной скоростью. Тогда его коэффициенты явля-
ются непрерывными функциями времени. Аналогично для растяжения или сжатия
вектора.
Доказательство. Посокльку компоненты вектора относительно одного фиксиро-
ванного базиса являются линейными функциями коэффициентов относительно дру-
гого базиса, то для доказательства теоремы достаточно рассмотреть удобный базис.
Для вращения таковым будет ез =ось вращения причем направление вращения видно
с конца ез протв чачовой стрелки, щ =направление проекции начального положения
вектора. Тогда (с точностью до выбора скорости вращения) вращающийся вектор
будет иметь координаты (а? • cost, а? • sint, Д). Для растяжения же — (at, ДДу^, где
t пробегает некоторый отрезок. Эти формулы показывают искомую непрерывную
зависимость. □
Лемма 4.7 (из курса алгебры). Определитель равен нулю тогда и только то-
гда, когда одна из его строк является линейной комбинацией других.
Лемма 4.8. Ориентированный объем равен нулю тогда и только тогда, когда век-
торы компланарны.
Доказательство. Сразу следует из предыдущей леммы. □
Теорема 4.9. Базис а,Ь,с имеет положительную ориентацию относительно ба-
зиса 61,62,63 тогда и только тогда, когда непрерывной деформацией в простран-
стве базисов его можно перевести в 61,62,63 (под непрерывной деформацией пони-
мается такое семейство базисов, каждая координата каждого вектора которых
является непрерывной функцией параметра).
Доказательство. Допустим, такая деформация существует. Тогда определитель
V°r(a(t), b(t), c(t)) является непрерывной функцией параметра t и принимает все про-
межуточные значения. В частности, если значение V°r(a, b, с) < 0, то в какой-то мо-
мент должен получиться 0, так как Vosr(ei, 62, 63) = 1. Это противоречит предыдущей
лемме.
Обратно, построим по лемме 4.6 непрерывную деформацию: сначала совместим
а с ei так, чтобы b лежал в плоскости 61,62 с той же стороны, что и вг- Затем
совместим b с вг- Раз знак +, то ез и с лежат с одной стороны от плоскости и их
можно совместить. □
Следствие 4.10 (из доказательства). Два базиса имеют одинаковую ориента-
цию тогда и только тогда, когда с конца третьего вектора кратчайшее движение
от первого ко второму осуществляется в одну сторону (либо против, либо по ча-
совой стрелке).
Следствие 4.11. Все базисы распадаются на два класса, представителей каж-
дого из которых можно связать непрерывной деформацией.
Определение 4.12. Заданием ориентации называется выбор одного из этих клас-
сов. Обычно при движении “против” (см. следствие 4.10) ориентация называется
правой, а в другом случае — левой. Пространство с выбранной ориентацией будем
называть ориентированным пространством (о. и.).
Замечание 4.13. Можно показать, что матрица из координат третьего базиса в
первом равна произведению матриц третьего во втором и второго в первом. Опреде-
лители при этом перемножаются. Таким образом, все базисы внутри одного класса
имеют положительный объем друг относительно друга.
Лемма 4.14. Ориентация Ь,а,с противоположна ориентации а,Ь,с.
Доказательство. Повернем тройку Ь, а, с как твердое тело так, чтобы b совпало с
а, а а — с Ь. Тогда с и образ с окажутся с разных сторон от плоскости а, Ь. □
Определение 4.15. Ориентированным объемом параллелепипеда, построенного
на векторах а,Ь,с ориентированного пространства называется число Vor(a,b, с),
равное по абсолютной величине объему этого параллелепипеда, и имеющее знак “+”,
если тройка а, 6, с положительно ориентирована, и знак в противном случае. За-
метим (как видно из обозначения), что новое определение не связано с конкретным
базисом.
Определение 4.16. Векторным произведением двух векторов а и Ь в ориенти-
рованном пространстве называется вектор с, обозначаемый [а, 6], и определяемый
следующим образом.
Если векторы а и Ь неколлинеарны, то с обладает следующими свойствами:
1) длина с равна площади параллелограмма П(а,6);
2) вектор с перпендикулярен а и 6;
3) тройка а, 6, с имеет положительную ориентацию.
По определению ориентации такой вектор с существует и однозначно определен.
Если векторы а и Ь коллинеарны, то с := 0.
Лемма 4.17. Пусть щ, е2, ез — положительно ориентированный ортонормирован-
ный базис. Тогда
[ei, 62] = ез, [ei, ез] = 44е2, [е2, ез] = е^.
Доказательство. Очевидно. □
Определение 4.18. Число (а, 6, с) := ([а, 6], с) называется смешанным произведе-
нием тройки а, 6, с.
Теорема 4.19. (a, b, с) := Vor(a,b, с).
Доказательство. То, что знаки совпадают, сразу следует из определения ориен-
тации. Проверим совпадение абсолютных величин, т. е. что модуль смешанного
произведения равен объему параллелепипеда.
\(а,Ь, с)| = | [а,Ь\ | • |с| • | cos (с, [а, Ь])| = S • h = \Vor(a,b, с)|,
поскольку с перпендикулярно плоскости, натянутой на а и Ь. Здесь через S обозна-
чена площадь параллелограмма, построенного на векторах а и 6, a h — соответству-
ющая высота параллелепипеда. □
Теорема 4.20. Смешанное произведение кососимметрично по любой паре аргумен-
тов и линейно по каждому из них:
1) (а, Ь, с) = -фф(6, а, с) = (6, с, а) = -фф(с, 6, а) = (с, а, 6) = -фф(а, с, 6);
2) (а + 6, с, й) = (а, с, й) + (6, с, й);
(а, b + с, й) = (а, 6, й) + (а, с, й);
(а, 6, с + й) = (а, 6, с) + (а, 6, й);
(Ла, 6, с) = Л(а, 6, с);
(а, ЛЬ, с) = Л(а, 6, с);
(а, 6, Лс) = Л(а, 6, с).
Доказательство. 1) По предыдущему утверждению абсолютная величина (т. е.
объем параллелепипеда) не меняется. Утверждение про знаки следует из леммы 4.14.
2) Линейность по третьему аргументу очевидна. Из этого при помощи и. 1
следует линейность по остальным аргументам. □
Теорема 4.21. Векторное произведение обладает следующими свойствами:
1) [а, Ь] = -фДЬ, а];
2) [Аа, Ь] = А [а, Ь];
3) [а + Ь, с] = [а, с] + [6, с].
Доказательство. Пп. 1 и 2 сразу вытекают из определения. Для доказательства
и. 3 рассмотрим вектор d = [а + 6, с] 4>[а, с] 4>[6, с]. Тогда
(й, й) = Да + 6, с] 44[а, с] 44[Ь, с], й) = (а + 6, с, й) 44(а, с, й) 44(6, с, й) = 0.
Значит, й = 0, а это и есть и. 3. □
Теорема 4.22. Пусть 61,62,63 — ортонормированный базис положительной ори-
ентации. Тогда
и
Г 11 1,1 ^2. \ 1,1 &3
a, b] = det . . • ei + det .
\ 62 63 / \ 63
ai
62 Т det
ai
bi
а2
b2
е3
(а, 6. с) = det
a ।
bi
\ ci
а2
Ь2
с2
аз
Ьз
сз
Первое равенство символически записывают в виде
[a, b] = det
< ei
ai
\ bi
62
а2
Ь2
ез
«з
Ьз
Доказательство. Воспользуемся предыдущей теоремой и леммой 4.17:
[a, b] — [aiei + а2е2 + 0363, biei + b2e2 + 6363] — aibi [щ, еД -\-aib2 [щ, 62] +ai&3 [щ, ез] +
О ез —ег
-\-a2bi [б2, ei] -\-а2Ь2 [б2, 62] +а2&з [е2, ез] -\-a3b1 [ез, еД -\-азЬ2 [ез, е2\ +0363 [ез, ез] —
— ез 0 ei 62 —ei О
— (а2Ьз 44аз&2)е1 + (a^bi йй-а \b;>p 2 + (aib2 ОагбДез —
, , / й2 ^3 \ i,i ^3 ^1 | т . / dl
— det I 7 7 I • ei И- det I 7 7 I • 62 d- det I 7 7
\ 63 у \ 03 61 у у 61 62
Для доказательства второго соотношения воспользуемся определением смешан-
ного произведения, первым соотношением и записью скалярного произведения в пря-
моугольных координатах:
(а, 6, с} = ([а, 6], с} = det ( °.2 ?3 | • Ci + det | ,/?* ) • с2 + det (
у 62 63 у у Оз 01 У у Oi
• с3 =
«1 а2 а3 \
= det bi 62 Ь3 . □
\ Cl С2 С3 У
Следствие 4.23. Пусть в ориентированном пространстве выбран ортонормиро-
ванный базис е = (ei,e2, е3) положительной ориентации. Тогда
(a,b, с) = Vor(a,b, с) = V0£r(a,b, с)
для любых векторов а,Ь,с. В частности, мы доказали теорему 4.5, сформулиро-
ванную в начале параграфа: |УоеДа, 6, с)| равняется объему соответствующего па-
раллелепипеда.
Будем обозначать det (А) через |А|.
Следствие 4.24. Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b про-
странства записывается в прямоугольных координатах (любой ориентации !) как
S(H(a,b)) =
Теорема 4.25. Имеют место следующие формулы:
1) [а, [Ь, с]] = Ь(а, с) ^с(а, б)
или “бац минус цаб”);
(формула двойного векторного произведения
2) [а, [Ь, с]] + [Ь, [с, а]] + [с, [а, Ь]] = 0 (тождество Якоби).
Доказательство. 1). Выберем ортонормированный базис ei,e2, е3 положительной
ориентации так, что
а = (ai, а2, аз), 6 = (bi,62,0), c = (ci,O,O),
т. е. ei сонаправлен с с, е2 лежит в плоскости 6, с. Тогда
[а, [6, с]] =
О bi
О ci
61 62
ci О
= (0, 0, 44б2С1),
</2 а3 а3 а \
О Фг62С1 ’ Фг62С1 О
«1 а2
О О
= (<4a262Ci, ai62Ci, 0).
С другой стороны,
(а, с) = aiCi, 6(а, с) = (сдс^, сдс^, 0),
(а, b) = ai&i + «262,
с(а, Ь) = («1&1С1 + а2Ь2с1,0, 0),
откуда
6(а, с) Ф>с(а, b) = (<^a2b2Ci, а^Ъ, 0) = [а, [Ь, с]].
2). По п. 1) :
[а, [6, с]]
+ [6, [с, а]]
_____________________________________
[а, [6, с]] + [6, [с, а]] + [с, [а, Ь]]
Ь(а, с) Ф>с(а,б)
с(а, б) РРа(Ь, с)
а(Ь, с) Ф>Ь(а, с)
0
5. Прямые на плоскости
Определение 5.1. Алгебраическая линия (кривая) на плоскости — множество,
задаваемое в некоторой аффинной системе координат уравнением вида F(t, у) = 0,
где F — многочлен:
F(x,y) = Ц a^xly\ i,j = 0,1,2,. . .
i,j<n
Число п называется степенью многочлена F и порядком соответствующей кривой,
если хотя бы один из коэффициентов с i + j = п отличен от 0.
Параметрическим уравнением кривой называется
f х = f(t), _
< или г = г (О,
[ У = 9А).
где t — параметр.
Пример 5.2. Окружность х2 + у2 = 1 может быть задана в виде
{X = cos t,
у = sin/.
Параметрическое уравнение прямой на плоскости:
, f х = т0 + at,
г = г о + at, или <
I У — Уо + pt-
Здесь г 0 = (жо, уо) — некоторая точка на прямой (начальная), а а = (ск, /3) — неко-
торый ненулевой вектор (направляющий). Выражая Д получаем каноническое урав-
нение прямой
х 4»т0 _ у ^yQ
а [3
Замечание 5.3. В каноническом уравнении допускается равенство нулю некото-
рых (не всех) знаменателей. При этом соответствующий числитель приравнивается
к 0.
Пример 5.4.
х ДД./'О у <^Уо
-(Г = — е
Перейдем к общему уравнению:
[3(х Ф>то) ^а(у ^Уо) = 0, Ах + By + С = 0,
где
А = /3, В = ^а,
С = ау0
Итак, всякая прямая задается уравнением первого порядка. Обратно, всякое урав-
нение первого порядка задает прямую. Действительно, расссмотрим уравнение
Ах + By + (7 = 0. Пусть, например, А 0. Возьмем в качестве начальной точки
(жр, 0), где хо определим из уравнения
Axq + С — о,
В качестве направляющего вектора выберем (<=>В,А). Тогда исходное уравнение
равносильно каноническому
ж J = У ^0
4Ф-В А ’
Теорема 5.5. Прямые на плоскости есть в точности алгебраические линии пер-
вого порядка. При этом два уравнения
Fi(x, у) := AiX + Biy + (7i = 0
и
F2(x, у) := А2х + В2у + С2 = О
задают одну и ту же прямую тогда и только тогда, когда они пропорциональны
(система координат фиксирована !), т. е. существует такое X Q, что Fi = XF2,
так что Аг = АА2; Вг = ХВ2, С\ = ХС2.
Доказательство. Первое утверждение уже доказано. Достаточность во втором
очевидна. Докажем необходимость. Пусть уравнения задают одну и ту же прямую.
Как мы показали, ее направляющий вектор (<=>Bi,Ai) или (<&В2, А2). Они коллине-
арны, так что найдется такое А 0, что
Ai — АА2, Bi — ХВ2.
Рассмотрим любую точку (До, уо) прямой. Тогда
Ai^o + Вцуо + C*i Ф>А(А2то + В2уо + С2) — О,
с\ &ХС2 = 0, с\ = ас2.
Лемма 5.6. Векторы (а,Д), параллельные прямой Ах А By А С = 0, определяются
соответствующим однородным уравнением Аа + В[3 = 0.
Доказательство. В классе любого вектора (а, Д), параллельного прямой, имеется
представитель где Р, а следовательно, и Q, лежит на прямой. Тогда, если
Р(хр,уР), a Q(xQ,yQ), то
Ахр + Вур А С — 0, Axq + ByQ + С — 0,
так что
A(xq ^хр) + B(yQ ^ур) = 0, Аа + В[3 = 0.
Обратно, если Аа + В[3 = 0, то отложим его от точки (тр,т/р) на прямой. Тогда
другой конец (xq, уц>) = (хр А а, ур А /3) удовлетворяет уравнению
AxqABijqAC — A(xpAct)AB(ypAf3)AC — (АхрАВурАС)А(АаАВ Д) — 0+0 — 0. □
Теорема 5.7. Дее прямые с уравнениями А^х + Вгу + С\ = 0 и А2х + В2у + С2 = 0
пересекаются (в одной точке), если
совпадать), если
А. В.
А2 В2
= 0.
Аг В,
А2 В2
Q, и параллельны (в т. ч. могут
Доказательство. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направля-
ющие векторы коллинеарны, т. е. (<+Bi,Ai) коллинеарен (<=>В2,А2), что означает
равенство нулю определителя
чаем и первое утверждение.
4Ф-В1 Ai
4фВ2 А2
□
А, В,
А2 В2
Методом исключения полу-
Определение 5.8. Пусть фиксировано (!) уравнение некоторой прямой F(x,y) =
Ах-\- Ву-\-С = 0. Положительная полуплоскость для F определяется как множество
F+ точек (ж, у), удовлетворяющих неравенству F(t, у) > 0. Аналогично определяется
отрицательная полуплоскость F_ как F(x,y) < 0.
Замечание 5.9. Пока мы не доказали, что это действительно полуплоскости.
Теорема 5.10. Если точки Р и Q лежат в одной полуплоскости, то и весь отре-
зок PQ лежит в ней. Если Р и Q лежат в разных полуплоскостях, то отрезок PQ
пересекает данную прямую. В частности, F+ и F_ действительно полуплоскости
с границей, равной данной прямой.
Доказательство. Пусть Р(хр,ур), Q(xQ,yQ)- Координаты точек отрезка PQ
имеют вид
. ,, \ \ П
_ IP/p+^yQ ’ р, Л Л>
. У
Тогда
С(Х) = Ах + Ву+С = A^±^ + BMX±^+Ce±h = 1 .[„FfPJ+AFfQ)],
/1 Л /J> Л /J> Л /J> Л
причем множитель строго положителен. Значит, если Р и Q принадлежат F+ или
F_, т. е. F(P) и F(Q) одного знака, то F(X) того же знака. Если же F(P) и F(Q)
разных знаков, то при у = и А = соответствующее F(X) обращается в
0. □
Замечание 5.11. Вектор (А, В) при этом “указывает” положительную полуплос-
кость в следующем смысле. Если отложить его от некоторой точки (т0, уо) на пря-
мой, то его конец окажется в F+. Действительно,
А(то + А) + В(уо + В) + С = (Ато + Вуо А (7) А А2 А В2 = А2 А В2 > 0.
Определение 5.12. Множество всех прямых на плоскости, проходящих через
фиксированную точку, называется собственным пучком, а сама фиксированная
точка — центром пучка.
Множество всех прямых на плоскости, параллельных данной прямой, называется
несобственным пучком. (Терминология связана с проективной геометрией.)
Теорема 5.13. Прямая I с уравнением F = Ах А By А С = 0 принадлежит (соб-
ственному или несобственному) пучку, задаваемому парой несовпадающих прямых
/1 и /2 с уравнениями Fi = Aix A Biy А С\ = 0, F2 = А2т А В2т/ А С*2 = 0, тогда и
только тогда когда ее уравнение является нетривиальной линейной комбинацией
уравнений /| и l2: F = a?Fi А ДВ2.
Доказательство. Рассмотрим случай СОБСТВЕННОГО пучка: П /2 = Ро(%о, у0).
Прямая I принадлежит этому пучку тогда и только тогда, когда Ро Е I.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть Р Ро — произвольная точка I. Рассмотрим уравне-
ние
F := F2(F0) • Fj ^ВДВ0) • Р2 = 0.
Это уравнение не старше первой степени. При этом Fi(P0) и F2(F0) не могут оба
равняться 0. Так как (Ai, Bi) и (Д2, В2) неколлинеарны, то получаем, что (А, В) 0.
Таким образом, это уравнение первой степени и задает прямую. Подставляя Р и Ро
в F, убеждаемся, что эта прямая через них проходит, т. е. является I. По теореме 5.5
данное выражение F
F = ДР = (AF2(F0)) • Fj + ^XF^Po)) • F2 = 0, A 0.
Достаточность. F(Po) = aFi(P0) + (3F2(PO) = 0, Po G I.
Рассмотрим случай НЕСОБСТВЕННОГО пучка: Zi||Z2, Zi l2.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть Ро — произвольная точка l. Рассмотрим уравнение
F := F2(F0) • Fi 4>Fi(P0) • F2 = 0.
Это уравнение не старше первой степени. При этом Fi(P0) и F2(F0) не равняются
0. Так как (Ai, Bi) и (А2, В2) коллинеарны, то получаем, что либо (А, В) = 0, либо
этот вектор ненулевой и коллинеарен (Ai,Bi) и (А2, В2). Поскольку F = 0 имеет
решения, например, Ро, то из (А, В) = 0 должно следовать С = 0, т. е. Fi и Р2
пропорциональны, а значит, по теореме 5.5 = /2, что противоречит условиям.
Таким образом, это уравнение первого порядка, задающее прямую, проходящую
через Fo и параллельную и /2, т. е. I. Доказательство необходимости завершается
так же, как и в собственном случае.
Достаточность. F = aFi + /3F2, значит, (А, В) коллинеарен (А15 Bi) и (А2, В2).
Раз это уравнение прямой, то (А, В) 0. Следовательно, Z||/i||/2. □
Следствие 5.14. Три прямые AiX + Вгд/ + Ci = 0, i = 1,2,3, принадлежат одному
пучку тогда и только тогда, когда
Ai
А2
Аз
В2
В3
5.1. Прямая на плоскости в прямоугольных координатах
Лемма 5.15. Вектор п := (А, В) перпендикулярен прямой Ах + By + (7 = 0.
Доказательство. Векторы, параллельные прямой, задаются уравнением (см.
лемму 5.6) Аа + В[3 = 0 или (т. к. координаты прямоугольные) (п,(а,Д)) = 0.
□
Определение 5.16. Вектор п = (А, В) называется нормалью к прямой Ах + By +
С = 0. (Прямоугольная система координат и уравнение фиксированы.)
Предложение 5.17. Расстояние от точки Р(то, уо) до прямой I, заданной урав-
нением Ах + By + С = 0 равно
\Ах + By + С\
VA2 + В2~
Доказательство. Пусть Pi(ti,?/i) — произвольная точка на прямой. Тогда
P(P,l) = \PP1\- COS
1-Г, п
\(Р1Р,п)\ _ |А(т04^1) +
VA2 + В2
|(Ато + Вуо + С) + Byi + С)| |Ато + Вуо + С\
VA2 + В2
VA2 + В2
Определение 5.18. Уравнение прямой Ах + By + С = 0 называется нормальным,
если А2 + В2 = 1, т. е. вектор нормали п = (А, В) имеет единичную длину.
Замечание 5.19. Каждая прямая имеет два нормальных уравнения. Они получа-
ются из произвольного уравнения Ах A By А С = 0 как
\/А2А В2' + VA2 + В2?/ + ДЛ2 + В2
= 0.
Определение 5.20. Для нормального уравнения F(x, у) = Ах + By + (7 = 0 вели-
чина F(x,y) называется отклонением точки (х,у) от прямой.
Имеем (для нормального уравнения)
если (х,у) G F+
если (х,у) G Р_
5.2. Угол между прямыми на плоскости
Пусть в прямоугольной системе координат две прямые имеют уравнения Aix А
Вру + С = 0 и А2х + В2у + С2 = 0. Тогда
COS (Д =
(^1, п2)
|А1А2 + В1В2|
kl • IЧ у+2 + в2. у+2 + в22’
Тогда (см. рис.)
формула
(1)
И4Л2 +
~ /Д + в? + bi
задает величину угла ф между прямыми, равного пересечению F^ П F^ (или F^ П
6. Плоскости и прямые в пространстве
6.1. Плоскости в пространстве
Пока система координат произвольная аффинная.
Пусть а и b — два линейно независимых вектора, параллельных плоскости. Это
базис плоскости. Поэтому любой вектор однозначно представляется в виде их ли-
нейной комбинации. Следовательно, взяв произвольную точку плоскости с радиус-
вектором г0, получим параметрические уравнения плоскости
г = г о + ta + sb,
где s и t — параметры.
Из этих уравнений (или из геометрических соображений) ясно, что точка с
радиус-вектором г лежит в плоскости тогда и только тогда, когда г 0, а и b
компланарны, т. е. линейно зависимы. Переходя к аффинным координатам и вспо-
миная теорему из алгебры,
получаем уравнение
X ФФт0 У ^Уо z <t=^Z0
«2 аз = 0
bi t>2 Ьз
Обозначая
А : = «2 а3 62 63 , В : = а3 «1 63 61 С: = «1 а2 61 62
Фэт о ФФ-о
а \ d2
61 62 63
D -фДАто + Вуо + Cz0)
преобразуем уравнение к виду
А(х ФФт0) + В(у ФФуо) + C(z ФД.:0) = О,
Ах + By + С z + D = 0.
Поскольку а и Ь неколлинеарны, то (Л, В, (7) 0. Увидеть это можно, например, из
следующего рассуждения. Допустим, щ и ф — координаты некоторых векторов а!
и Ъ' относительно прямоугольной системы координат е' = (еф еф еф положительной
ориентации. Эти тройки чисел ненулевые непропорциональные, так что а! и Ъ' не-
коллинеарны. Значит, [о7, У] ф 0. Но компоненты этого вектора (в е') в точности
равны (А, В, (7).
Итак, Ах + By + Сz + D = 0 — уравнение первого порядка. Оно называется
общим уравнением плоскости.
Обратно, рассмотрим произвольное уравнение первого порядка Ах + By + Cz +
В = 0. Тогда один из коэффициентов при переменных, например, А, не равен 0.
Рассмотрим точку М(фФ|,0,0) и векторы а = (ффВ, А,0) и 6 = (ффС, 0, А). Векторы
неколлинеарны, поэтому уравнение
х + В у z
^В А 0
ффС 0 А
задает плоскость, проходящую через точку М параллельно а и Ь. Но если мы распи-
шем определитель, то получим в точности исходное уравнение.
Таким образом, плоскости в пространстве и алгебраические уравнения первого
порядка от трех переменных — это одно и то же (никакой однозначности соответ-
ствия даже при фиксированной аффинной системе координат не утверждается).
Замечание 6.1. В полной аналогии со случаем прямой на плоскости, плоскость в
пространстве, заданная уравнением F(x,y,z) = Ах + By + Сz + D = 0, разбивает
пространство на два полупространства
F+ = {(®, У, z) I F(x, У, z) > 0}, F_ = {(ж, т/, z) | F(t, т/, z) < 0}.
Вектор (А, В, С) опять указывает на F+.
Лемма 6.2. Вектор (а, /3, у) параллелен плоскости Ах + By + Сz + D = 0 тогда и
только тогда, когда Аа + В/3 + С*у = 0.
Доказательство. Аналогично прямой на плоскости. □
Теорема 6.3. Плоскости лу и 7Г2; заданные уравнениями Агх + В^у + C\z + = 0
и А2х + В2у + C2z + D2 = 0 параллельны тогда и только тогда, когда векторы
(31,231,(71) и (А2, В2,С2) коллинеарны, т. е. ^- = ^ = уА Эти плоскости совпа-
дают тогда и только тогда, когда 41 = тг = тА = тА.
7 Л.2 25 2 ^2 2^2
Доказательство. ДОСТАТОЧНОСТЬ. Из условия пропорциональности следует, что
множества решений уравнений 3i« + Bi/3 + Ciy = 0 и А2а-\-B2f3-\-C2'y = 0 совпадают,
т. е. плоскостям параллельны одни и те же множества векторов, а значит, плоскости
параллельны.
НЕОБХОДИМОСТЬ. (Можно воспользоваться предыдущей леммой и фактом из
теории линейных систем, однако приведем полное доказательство). Один из коэф-
фициентов первого уравнения должен быть отличен от нуля. Без ограничения общ-
ности, это 31. Тогда по лемме, неколлинеарные векторы (oBi,3i,0) и (<=£1,0,31)
параллельны плоскости 7Г1 и, таким образом, образуют базис. Поскольку 7Г1 || тг2, то
32 • (<=>Bi) + В2 31 + С2 -0 = 0, 32 • (<=£*i) + В2 0 + С2 31 = 0,
откуда
31 = В1 31 = £1
32 В2 А2 С2
Перейдем ко второй эквивалентности. ДОСТАТОЧНОСТЬ очевидна.
Необходимость. По первой части 32 = A3i, В2 = ХВг и С2 = ACi. Пусть
(®о, J/o, z0) — произвольная точка совпадающих плоскостей, так что
0 = А(31Ж0 + 2?1Т/о + C*i^o + 2?i) <=>(32то + В2уо + C2zq + D2) = Х!)\ УУ/32.
Пропорциональность четверок установлена. □
Следствие 6.4. Плоскости 7Г1 и тг2 (в обозначениях предыдущей теоремы) пересе-
каются (по прямой) тогда и только тогда, когда векторы (3i, Bi, C*i) и (32, В2, С2)
неколлинеарны.
Определение 6.5. Собственным пучком плоскостей называется множество всех
плоскостей, проходящих через фиксированную прямую. Несобственным пучком
плоскостей называется множество всех плоскостей, параллельных данной плоско-
сти.
Теорема 6.6. Плоскость F = Ах + By + Сz + D = 0 принадлежит пучку плоско-
стей, определяемому двумя несовпадающими плоскостями Fi = Агх + В^у + C\z +
Di = 0 и Fz = AzxABzyACzzADz = 0 тогда и только тогда, когда F = a^Fi+ a2F2;
где ад и ад не равны одновременно нулю.
Доказательство. Полностью аналогично случаю прямых. Напомним основные
этапы.
Рассмотрим случай СОБСТВЕННОГО пучка: лдПлд = I. Плоскость тг принадлежит
этому пучку тогда и только тогда, когда I С я.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть Ро I — произвольная тонкая. Рассмотрим уравнение
F := F2(P0) • Fi оРДРо) • Р2 = 0.
Это уравнение первой степени так как (Ai, Bi,Ci) и (Д2, В2, (72) неколлинеарны
(иначе не может быть собственным пучком). Таким образом, это уравнение задает
плоскость. При этом I и Ро в ней содержатся. Значит, это л. Дальше умножаем на
константу.
Достаточность очевидна.
Рассмотрим случай НЕСОБСТВЕННОГО пучка: 7Г1 ||тг2, 7Г1 Д 7Г2.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть Ро — произвольная точка л, параллельной Я1 и я2.
Рассмотрим уравнение
F := Р2(Р0) • Fi ^Fi(Po) • Р2 = 0.
Это уравнение первой степени. Действительно, так как (Ai, Bi,Ci) и (А2,В2,(72)
коллинеарны, то либо (А, В, (7) = 0, либо этот вектор ненулевой и коллинеарен
(Аг, Вг,С1) и (Az, Bz, Ci). Поскольку F = 0 имеет решения, например, Ро, то из
(А, В, С) = 0 должно следовать D = 0, т. е. Fi и Р2 пропорциональны, а значит,
Я1 = я2, что противоречит условиям. Таким образом, это уравнение первого по-
рядка, задающее плоскость, проходящую через Ро и параллельную 7Г1 и я2, т. е. л.
Доказательство необходимости завершается так же, как и в собственном случае.
Достаточность очевидна. □
Определение 6.7. Собственной связкой плоскостей называется множество всех
плоскостей, проходящих через фиксированную точку. Несобственной связкой плос-
костей называется множество всех плоскостей, параллельных данной прямой.
Замечание 6.8. Три любые плоскости, не принадлежащие одному пучку, одно-
значно определяют связку, (см. задачу из задачника о взаимном расположении трех
плоскостей)
Теорема 6.9. Плоскость F = Ах + By + Сz + D = 0 принадлежит связке плоско-
стей, определяемому тремя несовпадающими плоскостями Fi = Агж + Biy + CiZ +
Di = 0, (г = 1,2,3) тогда и только тогда, когда F = а^Р^А et2F2A et3F3 (в предполо-
жении, что в результате получилась плоскость, т. е. уравнение первого порядка),
или, эквивалентно,
А, В, С\ D,
а2 в2 с*2 Р2 _
А3 В3 С3 D3 “U-
А В С D
Доказательство. Прежде всего покажем эквивалентность последних двух условий.
В одну сторону очевидно. В другую: допустим, что определитель равен нулю (при
условии связки). Тогда строки линейно зависимы. Допустим, что коэффициент при
F равен нулю, т. е. зависимы уравнения Fi = 0, (? = 1, 2, 3). Поскольку имеем связку,
то такого быть не может (получаем, разобрав случаи).
СОБСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ. Пусть (т0, уо, z0) — единственная точка пересечения
трех плоскостей.
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Если имеем линейную комбинацию, то из ВДто, ув, z0) =
О, (? = 1,2,3), следует, что и F(x0,y0,z0) = адВДто, ?/о, Ч)) + а2Р2(х0, у0, гг0) +
азВ3(т0, у0, z0) = 0.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть (т0, ущ z0) — единственная точка пересечения всех че-
тырех плоскостей. Тогда в указанной матрице из коэффициентов линейная комби-
нация столбцов с коэффициентами (т0, г/о, z0,1) нетривиальна и равна нулю. Значит,
определитель равен нулю.
НЕСОБСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ. Пусть (а,Д,у) — направляющий вектор прямой,
которой параллельны плоскости связки.
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Если имеем линейную комбинацию, то из Aid + Bif3 + Сру = 0,
(? = 1, 2, 3), следует, что линейная комбинация (ад А1+а2А2-|-азАз)а-|-. . . также равна
нулю. Осталось воспользоваться критерием параллельности вектора и плоскости.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Линейная комбинация столбцов с коэффициентами (а, Д,у, 1)
равна 0, что влечет равенство нулю определителя. □
6.2. Плоскость в прямоугольной системе координат
Предложение 6.10. Рассмотрим плоскость AxAByACzAD = 0. Тогда вектор
п := (А < В, С) перпендикулярен плоскости.
Доказательство. Вектор (а,Д,у) параллелен плоскости тогда и только тогда,
когда
0 = Аа + Bf3 + Су = (п, (а, Д,у)),
т. е. вектор п перпендикулярен любому вектору плоскости 7Г. □
Определение 6.11. Этот вектор п, зависящий от системы координат и уравнения,
называется нормалью к плоскости.
Теорема 6.12. Пусть плоскость тг имеет уравнение Ах + By + Сz + D = О, а Ро с
координатами (ж0, г/о, -^о) — произвольная точка. Тогда
/Г) х \Ах A By A Cz A D\
Р(Р,ТГ) = ---, --.
’ VA2 А в2 А С2
Доказательство. Пусть Pi(ti, t/i, Zi) — произвольная точка 7Г. Тогда
р(Р, 7г) = |РР11 • COS Д
К Др, n) | _ |Л(ж04»Ж1) + В(г/04»щ) + C(zq _
|п| “ ДА2 + В2 + С2
|(Лж0 + Вуо + Сzq + В) Ф>(Лж1 + Byi + СZi + Z?)| |Аж0 + Вуо + Czq + D\
“ у/А2 АВ2А^ ~ VA2 АВ2А^
Углы между плоскостями, нормальное уравнение и т. д. также определяютя и
вычисляются полностью аналогично случаю прямых на плоскости.
6.3. Прямая в пространстве
Текущий вектор точки на прямой запишется в виде г = г 0 + а -t, где г 0 —
радиус-вектор начальной точки, а а — направляющий вектор прямой (см. рис. 1).
Рис. 1.
Если в координатах а = (а,/3,у), то получаем параметрические уравнения
X =
< у =
Z =
Жд -|- CXt
Уо + Х
zo + yt
Без параметра они могут быть записаны как канонические уравнения
х Ф>Ж0 у ^Уо Z ZZZ{>
а Р у
Заметим, что в пространстве прямая определяется уже двумя линейными уравне-
ниями, иными словами, как пересечение двух плоскостей. Действительно, а О,
допустим, что а 0 и возникают две пересекающиеся плоскости
[3(х ^Уо) = О
у(т -&a(z <^z0) = О
Обратно, пусть имеем пересечение двух плоскостей, т. е. систему
Г Агх Т В\у Т C\Z Т /)\ = О
( А2х + В2у + С*2^ + D2 = О
причем (Ai, и (3.2,-82,62) неколлинеарны.
Предложение 6.13. В этом случае направляющий вектор прямой пересечения ра-
вен
Доказательство. Заметим, что указанный вектор не является векторным произ-
ведением, так как система координат не обязана быть прямоугольной.
Надо доказать, что (1) указанный вектор является ненулевым и (2) он параллелен
плоскостям, т. е.
Г Ага + Вх/З + С17 = О
( А2а + -82Д + 6*27 = О
Начнем с (2):
Аналогично, для второго уравнения.
(1) . Допустим, что вектор нулевой. Тогда
Bi_Ci £1 _ А Л _ вх
в~2~с~2’ с~2~Т2’ Т2~в~2
и векторы (31,-81,(71) и (Д2, -82,6*2) коллинеарны. Противоречие. (Можно также
доказывать, рассуждая с векторным произведением в другой системе координат.)
□
6.4. Некоторые формулы в прямоугольной системе коорди-
нат
1. Угол между прямыми с параметрическими уравнениями г = fi + «1 • / и
Г = г 2 + а 2 • t:
|o?io?2 + + 71721
cos сд = = =------ =.
|« 1 I • |« 2 I + А2 + 7j2 • У«2 + /?2 + 72
2. Угол между прямой г = г 0 + а • t и плоскостью Ах + By + Cz + D = 0:
|Аа + В[3 + Cyl
sin д> = . ---, .
VA2 + В2 + С2- V«2 + /З2 + у2
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми с параметрическими урав-
нениями г = rji di-t и г = г 2 + а 2 • t. Построим параллелепипед со сторонами
г 1 44 г 2, а 1 и а 2. Тогда искомое расстояние — высота этого параллелепипеда:
|(ai,a2,r 1 44г 2)|
|[ai,a2]|
4. Расстояние от точки с радиус-вектором г i до прямой с параметрическим
уравнением г = г 0 + а • t. Построим параллелограмм со сторонами г i 44г 0 и а.
Тогда искомое расстояние — высота этого параллелелограмма:
2
У1 ^Уо 4У:.О -21 44-'-о ®1 44т0
/3 7 7 а
2 Ж1 44т0 yi <^у0
а (3
у/а2 + /З2 + 72
7. Замены координат
Напомним, что аффинная система координат в пространстве задается репером
^616263, а точка М приобретает координаты (ж, у, .г), если = тех + уе2 + ze3.
Рассмотрим также другой репер О'е^е^е^ и соответствующую систему координат.
Разложим новые векторы по старому базису:
е х = Схх е х + с2х е 2 + с31 е з
< е 2 = Сх2 е х + с22 е 2 + с32 е з
63 = Схз е х + с2з е 2 + С33 е з
Определение 7.1. Матрицей перехода от СФ^сз к О'е^е^е^ называется матрица
Сц С12 С13
С21 С22 С23
\ С31 С32 Сзз
т. е. такая матрица, по столбцам которой стоят координаты новых базисных век-
торов в старом базисе.
Замечание 7.2. Как было показано, напрмер, при определении ориентации, е^е^е^
является базисом тогда и только тогда, когда С невырождена, т. е. det С 0.
Напомним некоторые определения и свойства операций над матрицами. Пусть
А = 11аб'Н — матрица т X п, так что в ней т строк и п столбцов, i = l,...,m,
j = 1,. . ., п. Пусть В = ||6Ы|| — матрица п X р. Произведением матриц Ал В (число
столбцов А должно совпадать с числом строк В) называется матрица С размера
т X р, матричные элементы которой определяются форрмулой
• ( ^ikdkji
к=1
(“умножение ?-й строки А на j-Й столбец В”).
Транспонированной матрицей к матрице А называется такая матрица АТ = ||а-||
размера п X т, что а^ = ар.
Выполняется следующие свойства (во все пунктах, кроме первого, матрицы ква-
дратные):
1) (АВ)Т = ВТАТ,
2) det АТ = det А,
3) det (АВ) = det А det В,
4) (Ж)-1 = (А-'Ц (если обратная матрица существует).
Теорема 7.3. Координаты точки в старой и новой системе координат связаны
соотношениями
(1)
где С — матрица перехода от старого базиса к новому, (т0, г/о, х0) — координаты
О' (нового начала координат) в старой системе координат, (x,y,z) и (x',y',z')
— координаты данной точки в старой и новой системах координат, соответ-
ственно.
Доказательство. Обозначим данную точку через М. Тогда
— ОО' + fc^M, ОО' — XqC 1 + уоб 2 + ZqC з,
(УМ = х'е J + у'е 2 + z'e'3 =
= х'(сц е 1 + c2i е 2 + с31 е з) + у'(с12 е i + с22 е 2 + с32 е з) + z'(c13 е i + с2з е 2 + с33 е з) =
= (х'сц + у'с12 + z'c13) ei + (х'с21 + у'с22 + z'c23) 62 + (х'с31 + у'с32 + z'c33) е 3,
= (®0 + х'сц + у'С\2 + z'c13) 6 1 +
+ (g/0 + х'с21 + у'с22 + ZC23) 62 + (z0 + ХС31 + у'с32 + ZC33) 63. □
Следствие 7.4. Координаты векторов в старой и новой системах связаны соот-
ношениями:
Замечание 7.5. Всякое соотношение вида (1) с невырожденной матрицей С может
быть проинтерпретировано как переход к некоторой новой системе координат. В
частности, применяя к координатам базисных векторов, получаем однозначность.
Теорема 7.6. Пусть С — матрица перехода от Oeie2e3 к Ое^е^е^, a D — ма-
трица перехода от Ое^е^е^ к Ое'^е'^е'^. Тогда CD — матрица перехода от Oeie2e3
Доказательство. (Фактически это первое свойство транспонирования.)
7.1. Прямоугольные системы координат и ортогональные
матрицы
Определение 7.7. Квадратная матрица С называется ортогональной, если СТ =
С~\ т. е. СТС = Еи ССТ = Е.
Теорема 7.8. Матрица С является ортогональной тогда и только тогда, когда
она является матрицей перехода от ортонормированного базиса к ортонормиро-
ванному.
cos р 4=>sin р
sin р cos р
Доказательство. Рассмотрим соотношение СТС = Е. В матрице Ст в ?-й строке
записаны координаты ё\ в базисе ej (так же, как и в ?-м столбце С). Поэтому,
если е j — произвольный ортонормированный базис, то правило умножения матриц
“строка на столбец” запишется как
/е' е'Л = Е- = 8-
\с г, с j/ "О 5
а это и есть условие ортонормированности базиса е(. □
Утверждение 7.9. Ортогональные матрицы 2x2 имеют один из следующих ви-
дов:
cos сд sin сд
Sin (Д 4=>COS (Д
Угол р можно считать принадлежащим [0, 2тг).
Доказательство. Рассмотрим ортогональную матрицу как матрицу перехода от
ортонормированного базиса е i, е 2 к ортонормированному базисау е), е'2. Тогда век-
тор е) имеет координаты (cos р, sin <д) для некоторого р. Перпендикулярный ему
вектор единичной длины (два) равен (=|= sin <д, ± cos р). □
Замечание 7.10. В первом случае det 1, а геометрический смысл — поворот на
угол р. Во втором случае det С = 4>1, а геометрический смысл — композиция
поворота на угол р и симметрии относительно ё*i, повернутого на угол р.
Утверждение 7.11. Определитель ортогональной матрицы С любого порядка ра-
вен ±1.
Доказательство. 1 = det Е = det (СТС) = det (C*T)det С = (det С*)2. □
Определение 7.12. Ортогональная матрица с определителем +1 называется спе-
циальной ортогональной. Множество таких матриц размерности п X п обозначается
ЗО(п).
Замечание 7.13. Мы показали, что 30(2) = < | cos j I Описание
I \ sin р cos р I \
50(3) составляет содержание следующего пункта.
7.2. Углы Эйлера
Рассмотрим переход от прямоугольной системы Oeie2e3 к прямоугольной системе
^е1е2ез- Считаем, что они одинаковой положительной ориентации. Если е'3 = е3,
то все сводится к замене координат на плоскости с det = +1. Если е'3 = 44е3,
то все сводится к замене координат на плоскости с det = 4>1. Таким образом,
можем считать, что векторы е3 и е'3 неколлинеарны. Это нормальные векторы к
плоскостям я = Oeie2 и тг' = Ое^е^. Тогда f := ц ц является направляющим
вектором прямой d пересечения этих плоскостей. Произведем переход от репера
0^16263 к Ofge3, сохраняя ориентацию. Это вращение вокруг е3 на некоторый угол
(угол от ei к /, ip Е [0, 2тг)). Таким образом, соответствующая матрица перехода
COS
sin
О
4^>sin
cos
О
О
О
1
Теперь проведем вращение вокруг / так, чтобы е3 совместился с 63. В силу выбора
направления / это вращение на угол О Е [0,7г]. Получаем переход к некоторому
реперу Ofhe'3, причем плоскость Ofh совпадает с Ое^еф а матрица его равна
D =
/10 0
0 cos 0 4>sin 0
0 sin 0 cos 0
Осталось осуществить вращение вокруг е( (т. е. в плоскости Ofh = Ое^еф), чтобы
совместить f с е 1. При этом, в силу согласованности ориентаций, образ е 2 перейдет
в е 2- Соответствующая матрица перехода
F =
t cos У
sin У
\ 0
Osin У
cos У
0
У Е [0.2тг).
В силу теоремы 7.6, результирующая матрица перехода от Oeie2e3 к равна
CDF =
t cos Osin 0
sin cos 0
\ 0 0 1
/10 о
0 cos в Osin в
0 sin в cos в
t cos У Osin У 0
sin У cos У 0
\ 0 0 1
cos Osin cos в
sin cos cos в
0 sin 0
sin sin 0
Ocos sin 0
cos 0
t cos У Osin У 0
sin У cos У 0
\ 0 0 1
t cos cos У Osin cos 0 sin ф
sin cos У + cos cos 0 sin ф
sin 0 sin ф
Ocos sin ф Osin 9? cos 0 cos ф sin 9? sin 0
Osin sin ф + cos cos 0 cos ф Ocos 9? sin 0
sin 0 cos ф cos 0
где ip E [0, 2тг) — угол от (ц к /, ф Е [0, 2тг) — угол от / к еф а 0 Е [0,7г] — угол
между е3 и 63.
8. Полярные, сферические и цилиндрические ко-
ординаты
Определение 8.1. Полярная система координат на ориентированной плоскости
задается выбором точки О, называемой началом или полюсом, и луча, выходящего
из точки О, называемого полярной осью.
Полярные координаты точки М — это радиус, равный расстоянию от М до
полюса: г = \0М\, и угол р, равный углу между полярной осью и лучом ОМ,
причем угол измеряется в соответствии с ориентацией (таким образом р является
вещественным числом, определенным с точностью до 2тг/г, к € Z). Для точки О угол
р не определяется, так что полярные координаты в этой точке не определены.
Если у нас имеется положительный прямоугольный репер, начало координат ко-
торого совпадает с полюсом, а вектор ег направлен по полярной оси, то говорят,
что данные прямоугольная и полярная системы координат естественно связаны.
Непосредственно из определения получаем следующее утверждение.
Утверждение 8.2. Для естественно связанных прямоугольной и декартовой си-
стем координат имеют место следующие формулы, выражающие одни через дру-
гие:
г cos р
г sin р.
Обратно, г = Дх2 у2, а р (с точностью до угла 2тгк )
определяется формулами
cos р =
sin р =
У
л/т2 + у2 ’
или
arctg , при х > 0,
р = < тг + arctg (^0 , при х < 0,
7г/2, при X = о, у > 0,
. -ффтг/2, при х = 0, у < 0.
В пространстве имеются два естественных обобщения полярной системы коор-
динат. Выберем в пространстве
1) ориентированную плоскость тг (экваториальная плоскость),
2) точку О на ней (полюс),
3) луч Ох на плоскости (полярная ось),
4) перпендикулярную к тг ось Oz (зенитная ось).
Для произвольной точки М пространства обозначим через М' ее ортогональную
проекцию на 7Г, а через М" — ее ортогональную проекцию на Oz.
Цилиндрические координаты (р, р, z) точки М определяются следующим обра-
зом: р,р — полярные координаты М' на плоскости тг (т. е. р = \0М'1, р — угол
от Ох к ОМ'), a z — координата М" на оси Oz. Для точек зенитной оси р = 0, а
координата р не определена.
Сферические координаты (г, р, 0) точки М определяются следующим образом:
• г = |0М| (радиус),
• р — угол от Ох к ОМ' (долгота),
• 0 — угол от ОМ' к ОМ (со знаком соответствия направлению Oz) (широта),
О Е [44?г/2,7г/2].
Для точек зенитной оси 0 = ±тг/2, а координата р не определена. Для точки О:
г = 0, а р и 0 не определены.
Рассмотрим прямоугольную систему координат Oeie2e3, где ег имеет направле-
ние Ox, е2 G 7Г, причем ориентация е i, е2 положительна для плоскости тг, а е3 имеет
направление оси Oz. Говорят, что данная прямоугольная система координат есте-
ственно связана с указанными выше сферической и цилиндрической.
Тогда прямоугольные и цилиндрические координаты связаны формулами:
X = р cos р,
< у = р sin 9?,
. = Э
Z
р
< cos р
sin р
\/х2+у2 ’
У
у/х2+у2 ''
(конечно, можно получить более конкретные выражения, как для полярных коорди-
нат).
Прямоугольные и сферические координаты связаны формулами:
X = р cos 0 cos р,
< у = р cos 0 sin р,
z = р sin0,
г
О
cos р
sin р
arcsm
(поскольку г cos 0 = у/х2 у2)-
9. Эллипс, гипербола и парабола (ЭГП)
9.1. Геометрическое определение ЭГП
Определение 9.1. Эллипсом называется геометрическое место точек (ГМТ) X
на плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек Fi и F2 равна за-
данному числу (см. рис. 2):
\F,X\ + \F2X\ = 2а.
Точки Fi и F2 называются фокусами.
Предполагается, что а > с > 0, где 2с = |FiF2|. В случае а = с получаем отрезок,
а в случае с = 0 — окружность.
Рис. 2.
Определение 9.2. Гиперболой называется ГМТ X на плоскости, модуль разно-
сти расстояний которых до двух данных точек Fi и F2 равен заданному числу (см.
рис. 3):
I \F1X\^\F2X\ | = 2а.
Точки Fi и F2 называются фокусами.
Рис. 3.
Предполагается, что с > а > 0, где 2с = |FiF2. В случае а = с получаем два
противонаправленных луча, выходящих из фокусов.
Определение 9.3. Параболой называется ГМТ X на плоскости, равноудаленных
от данной точки F, называемой фокусом, и прямой й, называемой директрисой (см.
рис. 4). Предполагается, что F d.
9.2. ЭГП как конические сечения
Теорема 9.4. Сечение прямого кругового (бесконечного в обе стороны) конуса
d
Рис. 4.
плоскостью, не проходящей через вершину, является либо эллипсом, либо гипер-
болой, либо параболой.
Доказательство. Указанная плоскость может располагаться тремя способами:
1) пересекать одну половинку конуса;
2) пересекать обе половинки конуса;
3) быть параллельной образующей конуса.
На рисунке изображено сечение плоскостью, проходящей через вершину, и перпен-
дикулярной данной (так что данная плоскость изображается прямой):
Более точно, мы докажем, что в случае 1 получается эллипс, 2 — гипербола и
3 — парабола. Основным геометрическим инструментом будут шары Данделена —
шары, вписанные в конус и касающиеся данной плоскости.
ПЕРВЫЙ СЛУЧАЙ. Пусть с — интересующее нас сечение конуса плоскостью П.
Обозначим через Fi и F2 точки касания шаров Данделена и плоскости П, а через щ
и с2 — окружности касания шаров с конусом. Пусть X — произвольная точка на
сечении с. Пусть Хг и Х2 — точки пересечения SX с сх и с2 соответственно.
Тогда (равны касательные, проведенные к шару из одной точки)
\XF,\ = IXXJ, \XF2\ = \ХХ2\,
|XFj| + \XF2\ = |ХХД + |ХХ2| = |Х!Х2| = const.
ВТОРОЙ СЛУЧАЙ. Сохраним прежние обозначения.
Тогда (равны касательные, проведенные к шару из одной точки)
\XF,\ = IXXJ, \XF2\ = \ХХ2\,
| \XF,\^\XF2\ I = | ^|XX2| | = |XjX2| = const.
ТРЕТИЙ СЛУЧАЙ. В этом случае шар Данделена только 1.
Пусть Ci — окружность касания шара с конусом, Щ — плоскость, содержащая
эту окружность, прямая d = ПйЩ, Y — проекция произвольной точки X иссле-
дуемого сечения на й, Ух — точка персечения SX с сг. Как касательные к шару,
проведенные из одной точки, равны |XF| = |ХУ11. Далее, 5У1, а следовательно, и
XYi наклонена к плоскости Щ под углом тг/2 где а — угол между образующей
конуса и его осью. С другой стороны, YX параллельна той единственной образу-
ющей конуса, которой параллельна плоскость П. Значит, она образует с Щ также
угол 7г/2ф>а. Следовательно, |ХУ11 = |ХУ| как наклонные к плоскости Щ из одной
точки под одним углом. Таким образом, |XF| = |ХУ |. □
Определение 9.5. В соответствии с этой теоремой ЭГП еще называют кониками.
Замечание 9.6. Позже мы докажем теорему более общего характера: сечение
поверхности второго порядка плоскостью является кривой второго порядка.
9.3. Оптические (фокальные) свойства коник
Замечание 9.7. Решим вспомагательную задачу: для данной прямой I и двух
точек А и В, лежащих по одну сторону от нее, найти такую точку X Е /, что
сумма расстояний |ХЛ| + |ХВ| минимальна. Построим точку В', симметричную В
относительно I.
в
Ясно, что |ЛХ| + |ХВ'| минимально при X = (АВ') П I. Но |ХВ| = |ХВ'|, так что
минимум достигается при равенстве острых углов, образуемых АХ и ВХ с I.
Замечание 9.8. Каждая из коник имеет в каждой своей точке касательную.
Точка касания является единственной точкой пересечения коники и касательной.
Касательная является единственной прямой, удовлетворяющей этому требованию
(кроме прямых, параллельных оси параболы). Интуитивно эти утверждения оче-
видны, но строгое рассуждение требует знания уравнений коник и способа нахо-
ждения касательной по уравнению (а также доказательства, что после подходящей
замены координат эта “алгебраически” определенная касательная станет “касатель-
ной к графику”). После этого можно аналитически найти точку пересечения (ре-
шить систему) и убедиться что она ровно одна. Необходимый материал (конечно,
не использующий результатов данного пункта) будет разобран позже.
Замечание 9.9. Основное правило оптики кривых: луч отражается от кривой как
от ее касательной.
Теорема 9.10. • Лучи, выходящие из одного фокуса эллипса, концентриру-
ются в другом.
• Лучи, выходящие из одного фокуса гиперболы, после отражения “исходят”
из другого, т. е. продолжение отраженного луча за точку отражения попа-
дает в другой фокус.
• Лучи, выходящие из фокуса параболы, после отражения становятся парал-
лельными друг другу.
Доказательство. Эллипс. Пусть луч вышел из фокуса А и, отразившись от точки
X эллипса, не попал в другой фокус В. Значит, если I — касательная в точке X,
то угол падения на I не равен углу отражения по замечанию 9.9. Значит, по замеча-
нию 9.7, |АХ| + |ВХ\ не минимально при пробегании X по I. Но это противоречит
геометрическому определению эллипса, так как остальные точки касательной лежат
вне его (по замечанию 9.8).
Гипербола. Аналогично эллипсу.
Парабола. Рассмотрим параболу с фокусом F и директрисой d. Пусть I —
серединный перпендикуляр к YF. По определению параболы, треугольник равнобе-
дренный и I проходит через X. Докажем, что I является касательной к параболе в
точке X. Предположим противное, тогда (по замечанию 9.8) имеется еще одна точка
пересечения I с параболой — X' X, a Y1 — ее проекция на директрису d. Тогда
(по свойству серединного перпендикуляра) |У\\"/| = \X'F, а так как X' — точка
параболы, то [УА'! = |X'F|. Значит, IX'K'I = |Х'У|, но длина наклонной должна
быть больше длины перпендикуляра. Таким образом, I является касательной.
При этом углы между YX и I и между FX и I равны, так что отраженный луч
лежит на продолжении YXFd. □
Следствие 9.11. Эллипс и парабола с общими фокусами пересекаются под прямым
углом.
Доказательство. Пусть 1е и 1^ — касательные в точке пересечения к эллипсу и
гиперболе, соответственно. По доказанной теореме, углы будут такими, как обо-
значено на рисунке:
Следовательно, 2а + 2Д = 7гиа-|-Д = тг/2. □
9.4. Аналитические определения коник
Определение 9.12. (аналитичесое определение ЭГП) Эллипсом называется
кривая второго порядка, задаваемая в некоторой прямоугольной системе координат
уравнением
2 2
(a>b^ (2)
а2 о2
гиперболой —
(3)
параболой —
у2 = 2 ух. (р > 0).
(4)
Теорема 9.13. Аналитические и геометрические определения ЭГП эквивалентны.
Доказательство. Эллипс. Введем прямоугольную систему координат, как пока-
зано на рисунке
Тогда геометрическое определение {X | |XFi| + |XF2| = 2а} перепишется в виде
П + г2 = 2а, ri = J(x + с)2 + у2, г2 = J(x Ф>с)2 + у2,
+ с)2 + у2 = 2а 4^с)2 + у2,
(х + с)2 + у2 = 4а2 + (х Ф>с)2 + у2 Ф>4а-У(х Ф>с)2 + у2,
а2 Ф>ст = а у (ж Ф>с)2 + у2,
а Ф>2а сх с х = а х + а с сх + а у ,
4^.22 / 2 ,, 2\ 2 I 22
а Ф>а с = (а -^с )х + а у ,
(5)
Непосредственно из уравнения видно, что эллипс заключен в прямоугольник, причем
на границе его лежат лишь точки пересечения с осями:
Этот прямоугольник со сторонами 2а и 26 называется основным прямоугольником
эллипса.
Обратно, пусть точка (ж, у) удовлетворяет уравнению (5), т. е.
Тогда
ж2 + 2сж + с2 + Ь2 ^—х
а2
(1^ I
-----—ж2 + 2сж + с2 + Ь2 = \ —ж2 + 2сж + с2 + Ь2 =
а2 у а2
где выражение под знаком модуля положительно, так как |ж| < а, || ж < с. Анало-
гично,
с
г2 = а УД — ж.
а
Таким образом, для любой точки, удовлетворяющей уравнению (5) выполняется /д +
г2 = 2а, т. е. она принадлежит геометрическому эллипсу.
Прежде, чем перейти к случаю гиперболы, дадим следующее определение.
Определение 9.14. Отношение
с \/а2 ^Ь2
е := — = ------
а а
называется эксцентриситетом эллипса.
Гипербола. Введем прямоугольную систему координат, как показано на ри-
сунке
Аналогично эллипсу, упрощая соотношение |ti 44>г2| = 2а из определения гиперболы,
приходим к уравнению
ж2 у2
а2 Ь2
т.2 2 ,,2
о := с .
(6)
Для гиперболы положим эксцентриситет равным
с л/°2 + Ь2
е := — = ----------
а а
Таким образом для эллипса е > 1, а для
Обратные вычисления проводим так
гиперболы е < 1.
же, как и для эллипса, и получаем
ri = \а + еж |,
г2 = |а 44>еж|,
причем для правой ветви гиперболы (т. е. при х > 0)
ri = а + еж,
г2 = 44а + еж,
а для левой ветви гиперболы (т. е. при ж < 0)
ri = 44а 44>еж,
г2 = а 44>еж,
что и завершает обратное рассуждение.
Основной прямоугольник со сторонами 2а и 26 для гиперболы имеет вид
Его диагонали имеют уравнения
, b
у = ±— X
а
и являются асимптотами гиперболы. Докажем это, например, для у = | х. Имеем
(см. рис.)
b I х‘^
Л(т) = - х 44& \ — 441,
а у а2
lim Л(т) = lim — (х 44 л/х2 44а2) = 0.
ж->оо ж->оо а
Парабола. Для параболы положим эксцентриситет равным единице: е = 1.
Заметим, что в школе обычно рассматривают параболу у = ах2. Тут мы меняем
оси и переобозначаем параметр: а = 1/2р. Получаем у2 = 2рт. Число р называется
фокальным параметром.
Выберем систему координат, как показано на рисунке, положив р равным рас-
стоянию между директрисой и фокусом.
Тогда соотношение из геометрического определения параболы примет вид:
? Р 7 7 Р
х -^рх + — + у = х + рх + —,
у2 = 2рх.
Обратно, для кривой, определяемой уравнением у2 = 2рх, обозначим через d
прямую у = Фф/2, а через F — точку (р/2, 0). Заметим, что для точек этой кривой
всегда х > 0, так что для произвольной ее точки Х(®, у) имеем р(Х, й) = р/2 + х, а
F) = J(x 440 + у2
р
2’
и геометрическое определение параболы имеет место.
9.5. Директориальные свойства коник
Составим следующую таблицу (где новым будет только определение директрис
эллипса и гиперболы).
уравнение с фокус(ы) эксцент- риситет директриса
эллипс — + - 1 „2 “Г - -L с = л/а2 44 62 Fl,2 = (±с,0) е = - < 1 а 4Н II 4Н II н
гипербола Р1 — 1 с = \/а2 + Ь2 Fi,2 = (±с,0) е = - > 1 а 4Н II 4Н II н
парабола у2 = 2рх — ^ = (1,0) е = 1 X = е
Заметим, что для окружности (т. е. эллипса с а = b и е = 0) директрисы не
определены.
Теорема 9.15. Отношение расстояния от точки
коники (отличной от октужности) до фокуса к расстоянию до соответствую-
щей (ближайшей) директрисы постоянно и равно эксцентриситету.
Доказательство. Для параболы это определение.
Рассмотрим случай эллипса. Тогда (для левого фокуса, в обозначениях предыду-
щей теоремы) |TiX| = /д = а + ех, а р(Х, ф) = |х + 11 = х + |, так что
\FiX\ .
д(Х,й)
Для гиперболы надо лишь в двух местах поменять знаки. □
Задача 1. Доказать обратное утверждение. Именно, пусть дана прямая d и точка
IFXI
F d. Доказать, что ГМТ X, удовлетворяющих —-------- = е > 0, является эллипсом
Р(*, d)
(при е < 1), гиперболой (при е > 1) или параболой (при е = 1).
Задача 2. Дать геометрическое доказательство директориального свойства, ис-
пользуя шары Данделена.
9.6. Фокальный параметр. Полярные уравнения коник
Определение 9.16. Фокальный параметр р коники, соответствующий уравнению
(2), (3) или (4), это число р из уравнения в случае параболы, и число
Ь2
в двух других случаях.
Таким образом, на первый взгляд, р зависит от уравнения. Однако, фокальный
параметр имеет простой геометрический смысл (см. теорему 9.18)
Определение 9.17. Фокальной хордой называется хорда (т. е. отрезок, соединя-
ющий две точки кривой), проходящий через фокус перпендикулярно фокальной оси
— оси симметрии, содержашей один фокус (а значит, и второй, если их два).
Теорема 9.18. Фокальный параметр р равен половине длины фокальной хорды.
Доказательство. Половина длины фокальной хорды равна для ЭГП соответ-
ственно:
\Щ=р- °
Введем полярную систему координат, поместив полюс в случае эллипса в один
из фокусов и направив полярную ось в сторону другого, поместив полюс в случае
гиперболы в один из фокусов и направив полярную ось в сторону другого, а в случае
параболы поместив полюс в фокус и направив полярную ось от директрисы:
Ориентация здесь не важна, так как интересующие нас коники симметричны
относительно указанной полярной оси. Введенная полярная система координат не
является естественно связанной с прямоугольной системой, в которой мы выписы-
вали уравнения. Поэтому мы будем называть ее фокальной полярной системой ко-
ординат.
Теорема 9.19. В фокальной полярной системе координат уравнения эллипса, па-
раболы и ветви гиперболы, ближайшей к полюсу, будут записываться одной фор-
мулой:
Р
г = ТД7-----’
1 Ф>е cos у
а уравнение другой ветви гиперболы —
Р
г = О---------.
1 ф>е cos <р>
Доказательство. Проведем для эллипса. Пусть X — произвольная точка элли-
пса, OR — половина фокальной хорды, Q — точка пересечения ее продолжения с
перпендикуляром к директрисе, проведенным через точку X:
Пусть (г, 9?) — полярные координаты точки X. Воспользуемся директориальным
свойством. Имеем:
\0R\ =Р, \QX\ = rcosp, / х = е,
P(R, cli)
(Г} , х _ /р , х _ \0R\ _ р
P\Q, di) — P\R, «1) — —
p(X,di) \XQ\+p(Q,d1) IXQI + I rcos^ + l’
Чтобы показать, что мы не приобрели лишних точек, заметим, что это уравнение
дает для каждого р> Е [0, 2тг) ровно одно положительное значение г. Таким образом,
любая прямая, проходящая через фокус, пересечет множество решений уравнения (7)
ровно в двух точках. Осталось показать, что тем же свойством обладает и эллипс.
Действительно, пусть прямая проходит через фокус (44с, 0), так что ее параметри-
ческие уравнения
х = 44с + сП, у = f3t.
Точки ее пересечения с эллипсом находятся из квадратного уравнения от t:
Я + Я2 , (Я2:
а2 Ь2
(Ь2а2 + a2f32)t2 pX2cab2t + (с2 44ш2)Ь2 = 0.
Для дискриминанта D имеем (так как с2 = а2 44Ф2):
£>/4 = с2а2Ь4 44(с2 44а2)Ь2(Ь2а2 + а2Д2) =
= с2а2Ь4 ЕЕс2Ь4а2 ^с2Ь2а2[32 + а2Ь4а2 + а4Ь2[32 =
= ^RlX)2 + b4a2[32 + а2Ь4а2 + a4b2[32 = b4a2(a2 + Д2) > 0.
Таким образом, решений два. □
Задача 3. Провести доказательство в остальных случаях.
10. Общая теория кривых второго порядка
10.1. Канонические уравнения
Согласно общему определению кривые второго порядка задаются в некоторой
аффинной системе координат на плоскости уравнением второй степени F(t, у) = О,
где
F(t, у) = ацт2 + 2ai2Ty + П22У2 + 2«iT + 2а2у + «о = (8)
= ( у) ( ai1 012 W X + 2(ab a2) ( X + a0 = XTQX + 2LX + a0 =
\ «12 «22 / \ У / \ У /
(9)
«11 «12 «1 \ Ж \ t X
ж,у, 1) «12 «22 «2 У = (Х,У, 1)А1 У
\ «1 а2 «0 / 1 ) 1
(10)
и хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Матрица Q размера 2x2
называется матрицей квадратичной части, а матрица L размера 1x2 называется
матрицей линейной части,
Замечание 10.1. Заметим, что указанные матрицы однозначно определяются
уравнением, т. е. если например,
то А = В.
Предложение 10.2. При замене кооринат (ж, у) —> (ж', у')
уравнение второй сте-
пени F(x,y) = 0 переходит в уравнение второй степени
F'(x', у') := F(x(x', у'), у(х', у')) = 0.
Доказательство. Замена координат осуществляется по формуле
X ] _ [ СП С12 ] [ Х ] [ ж0
у 7 \ с21 с22 7 \ у' / \ уо
Следовательно, deg F' < 2. Если deg F' < 1, то проделав обратную замену коорди-
нат, получим, что deg F < 1. Пришли к противоречию. □
Замечание 10.3. Для кривых первого порядка, т. е. прямых, было получено, что
два уравнения F = 0 и G = 0 задают одну и ту же кривую тогда и только тогда,
когда F = XG для некоторого ненулевого множителя А. Для кривых второго порядка
это не так.
Определение 10.4. Квадрикой будем называть класс эквивалентности уравнений
2-ой степени относительно умножения на некоторый ненулевой множитель:
(Г = 0) = (G = 0) & F = XG, А 0.
При замене координат (ж, у) —> (ж', у') квадрика ЕДж, у) = 0 переходит в квадрику
ГДж', у') := Г(ж(ж', у'), у(ж', у')) = 0.
Далее будет доказано, что утверждение из предыдущего замечания будет вер-
ным для тех квадрик, которые состоят более, чем из одной точки (а если считать
переменные комплексными, то всегда).
Пример 10.5. Мнимый эллипс — квадрика, задаваемая в некоторой прямоуголь-
„ х2 у2
нои системе координат уравнением вида — + — = 0-1. Мнимые параллельные пря-
а2 о2
мые — уравнением у2 + а2 = 0, а 0. Оба уравнения задают на вещественной
плоскости пустое множество точек, но комплексных решений у них разные множе-
ства.
Теорема 10.6. Для любой квадрики существует прямоугольная система коорди-
нат, в которой она имеет один из следующих видов ( называемых каноническими
уравнениями данной квадрики ).-
х2 у2
1) — + — = 1, (а > Ь > 0), эллипс;
а2, о2
х2 у2
2) — + — = О1, (а > Ь > 0), мнимый эллипс;
а2, о2
х2 у2
3) — + — = 0, (а > Ь > 0), пара пересекающихся мнимых прямых;
а2, о2
х2 у2
4) — = 1, (а > 0, Ь > 0), гипербола;
а2, о2
х2 у2
5) — = 0 (а > о > 0), пара пересекающихся прямых;
а2 о2
6) у2 = 2рх, (р > 0), парабола;
7) У2 йэ-а2 = 0, (а > 0), пара параллельных прямых;
8) у2 + а2 = 0, (а > 0), пара мнимых параллельных прямых;
9) у2 = 0, пара совпдающих прямых.
Доказательство. Рассмотрим произвольную прямоугольную систему координат.
В ней квадрика имеет вид (8) - (9). Основная часть доказательства состоит из
следующих двух лемм, соответствующих двум заменам координат, или двум шагам
так называемого приведения кривой к каноническому виду.
Лемма 10.7. Подходящим поворотом осей координат можно добиться того, что
а'12 = 0, где штрих означает соответствующий коэффициент уравнения квадрики
в новой системе координат.
Доказательство, (леммы) Рассмотрим произвольный поворот:
х \ I cos сд 4>sin сд \ / х' \
\ У I \ sin сд cos сд / \ У/
Тогда
— (а22 4>ац)
+ «12 COS Zip.
)2+
линейная часть
F'(x', у') := Е(ж(жх, г/), у{х\ у'У) = On(cos ip х 4^sin ip у
+2ai2(cos ip x' 4^sin ip y1) (sin ip x' + cos ip y1) + a22(sin ip x' + cos ip y1)2 +
Коэффициент при 2ж'г/, т. е. Ф12, равен
Ойц cos ip sin ip + ai2(cos2 ip -<=>sin2 ip) + a22 cos ip sin ip =
sin Zip
2
Мы хотим найти такое ip, чтобы Ф12 = 0, т. е.
cos 2^ «и Оа22
ctg2^ = .
sin Zip 2«i2
Задача разрешима, так как если бы а12 = 0, то не требовалось бы никакого поворота.
В повернутой (штрихованной) системе координат многочлен F примет вид
F'(x', у') = А1Ж/2 + А2у'2 + 2&1Ж/ + 2Ь2у/ + hf) = 0. □ (11)
Лемма 10.8. Многочлен вида (11) параллельным переносом приводится к одному
из следующих видов:
1) F" = АДж")2 + А2(у")2 + Т (Аъ А2 0);
2) F" = Х2{у")2 + 2Ъ.х" (А2,ф ДО);
3) F" = А2(у")2 + т (А2 ДО).
Доказательство. 1: Ai, А2 Д 0. Тогда выделяем полные квадраты:
F\x', у') = А1Ж/2 + А2у/2 + Zbyx' + 262Д + Д =
х ( , ЪЛ2 х , ь2\2 / Ь2 Ь2\
— Ai ж + — I + А2 I у + — I + I&0 —
\ Ai у у Л2 / \ Ai Л2 /
= А1(ж")2 + А2(у")2 + т,
где
Н ! | ^1 И ' I ^2
ж := ж + —, у := у + —,
А1 Л2
— формулы замены координат, обратной к искомой.
2: Ai = 0, А2 0 (если А2 = 0, Ai 7^ 0, то поменяем координаты местами). Возможны
два случая.
а) Если 61 0, то
F\x', у') = Х2у'2 + 2&1Ж/ + Fb2y' + bo =
— формулы замены координат, обратной к искомой.
б) Если 61 = 0, то
у') = Х2у'2 + Zb2y' + b0 =
/ /,\2 / А2 \
= Х2 I у' + — j + ( &о ) = Л2(у")2 + “•
\ ^2/ \ Уу
где
Ь2
и / и / । 2
X ;= X , у := у + —,
У
— формулы замены координат, обратной к искомой. Лемма доказана. □
Вернемся к доказательству теоремы и разберем различные случаи уравнений из
предыдущей леммы. Мы не будем оговаривать очевидные операции, когда умножаем
уравнение на ненулевой скаляр или меняем названия координат.
1) . 1. Ai и А2 — одного знака, т — противоположного. Получаем уравнение эллипса.
2. Ai,A2,t — одного знака. Получаем уравнение мнимого эллипса.
3. Ai и А2 — одного знака, г = 0. Пара пересекающихся мнимых прямых.
4. Ai и А2 — разных знаков, т 0. Гипербола.
5. Ai и А2 — разных знаков, г = 0. Пара пересекающихся прямых.
2) . 6. Парбола.
3) . 7. г < 0. Пара параллельных прямых.
8. г > 0. Пара мнимых параллельных прямых.
9. г = 0. Пара совпдающих прямых. □
Следствие 10.9. Уравнение второй степени на плоскости задает одну из следу-
ющих кривы (как множество точек): эллипс; гипербола; парабола; пара пересе-
кающихся прямых; пара параллельных прямых; пара совпдающих прямых; точка;
пустое множество.
10.2. Инварианты многочлена второй степени
Определение 10.10. Функция J от коэффициентов многочлена F называется ор-
тогональным инвариантом, если она не меняется при переходе от отпой прямо-
угольной системы координат к другой, т. е.
У(<2ц, <212, О,22, <21, а2, <2q) = ^7(<2jj, <2j2, ^22, *2j, <22, <2д).
Определение 10.11. Сумма диагональных элементов матрицы А называется сле-
дом матрицы А:
Тг А := «и + «22 + • • • + апп.
Теорема 10.12. Следующие три функции:
S := Tr Q, 6 := det Q, Л := det А
являются ортогональными инвариантами.
Доказательство. Рассмотрим переход от (ж, у) к другой прямоугольной системе
координат (ж', у'):
ж \ / Сц С12 \ / ж' \ / Ж0
У / \ с21 с22 7 \ у' 7 \ Уо
I Сц С12 \
где С := — произвольная
у С21 С22 7
трим еще 3 X 3-матрицу
/
ортогональная матрица. Наряду с С рассмо-
Сц С12 жо
С21 С22 Уо
О 0 1
D : =
Тогда выполняется соотношение
Сц С12 ж0 \ / ж'
С21 С22 УО У'
\ о о 1 / \ 1
Докажем вспомогательную лемму.
Лемма 10.13. Матрицы А' и Q', отвечающие многочлену
связаны с матрицами
А и Q соотношениями
A' = DTAD,
Доказательство.
1
т
У A
1 /
1
т
D
AD
= (x\y'C)DT AD
1
1
Q' = CTQC,
В силу замечания 10.1 это означает, что А’ = DTAD. Аналогично доказывается и
второе утверждение. □
Продолжим доказательство теоремы. Из леммы, ортогональности С и явного
вида D получаем
det Q' = det (CTQC) = det C*Tdet Qdet C = (det C*)2det Q = det Q,
det A' = det (DTQD) = det DTdet Adet D = (det Z>)2det A = det A,
так как det C = 1, a det A = det С. Инвариантность 8 и Л установлена.
По лемме
а11 «12 А — ( <41 С21 f а11 «12 \ / <41 <42
«12 а22 / \ <42 <22 J \ «12 «22 J \ 021 <42
<41«11 + С21«12 <41«12 + С21«22 \ / <41 <42
<42«11 + <42«12 <42«12 + <42«22 J \ <41 <42
«Ц — С11«11 + <41<41«12 + <41<41«12 + <21<<22*
/ 2 । । । 2
«22 — С12аИ + <42<42«12 + <42<42«12 + С22^22,
а11 + «22 = «11(С11 + <42) + 2а12(сцС21 + С12С22) + «22(с11 + С22)'
Вспомним явный вид двумерных ортогональных матриц:
cos 4=>sin er \ / cos у sin у
или
sin 9? cos I \ sin 9? 4=>cos 9?
Так что
си + с12 = cos 9? + sin = 1,
<41<41T<42<42 = cos <д(± sin <д) =|= sin cos = О,
2,2 • 2 I 2 i
С21 + <42 = sm V + COS V = 1-
Значит, a'n + a22 = «и + a22- □
Замечание 10.14. Указанные инварианты не являются инвариантами относи-
тельно умножения уравнения на ненулевое А. Эта операция не является заменой
прямоугольных координат.
Задача 4. Можно ли найти более широкий класс замен, чтобы сохранялись ука-
занные инварианты ?
Замечание 10.15. Инвариантность S и 8 можно получить из некоторой более
общей теоремы, которую мы сейчас докажем.
Определение 10.16. Характеристическим многочленом матрицы Q называется
Xq := det (Q УдЛ/'’ ). где Е — единичная матрица.
Теорема 10.17. Коэффициенты характеристического многочлена матрицы Q
являются ортогональными инвариантами.
Доказательство.
Х(?,(А) = det (Q' = det (CTQC &ХЕ) = det (CTQC ^XCTC) =
= det (CT(Q ^XE)C) = (det C)2det (Q X^XE) = Xq(A). □
10.3. Определение канонического уравнения по инвариан-
там
Как было показано при доказательстве теоремы о приведении к каноническому
виду, любое уравнение второго порядка заменой прямоугольных координат приво-
дится к одному из следующих видов
1) F — А1(т)2 + А2(у)2 + т~ (Ai, А2 7^ 0);
2) F = А2(у)2 + 2&1T (А2,Ь1 4 °);
3) F = А2(у)2 + т (А2^0).
На этом этапе были проведены только замены прямоугольных координат (никакаих
умножений на ненулевые множители еще не производилось), поэтому все инварианты
сохранились. Значит, если мы сможем по инвариантам в этом виде найти уравнение,
то и в исходном тоже.
Составим таблицу
Очевидно следующее утверждение.
Сучай A s 8 A
1 ( Ax 0 0 A 0 A2 0 0 0т/ Ai + A2 Ai A2 AiA2t
2 < 0 0 61 A 0 A2 0 61 0 0 J A2 0 <=>а2ь2
3 / 0 0 0 A 0 A2 0 0 0 т / A2 0 0
Предложение 10.18. Типы квадрик 1 Ф>3 однозначно определяются значениями
инвариантов
1) 8 + 0;
2) 8 = 0, Л 0;
3) 8 = 0, Л = 0, S ф 0.
Рассмотрим каждый случай отдельно.
1. F = А1(т)2 + А2(у)2 + т (Ai, А2 0).
Предложение 10.19. Коэффициенты Ai и А2 являются корнями характеристиче-
ского многочлена матрицы Q.
2
Итак, в первом случае ответ следующий: Ai и А2 находятся как корни характе-
ристического многочлена А2 Ф>5А + 8 = 0, а т = А/8.
тт 1 , I А1 Ф>А
Доказательство, xq = det I q
— (Ai ф>А)(А2 oA). □
Следствие 10.20. Характеристический многочлен имеет вещественные корни.
2. F — А2(у)2 + 2&1Ж (Л2,7^ 0).
В этом случае А2 = S, Ь\ =
Гх
Р ~ \J ’
3. F = А2(у)2 + г (А2 4 °)-
Это парабола с фокальным параметром
Тут А2 = S, но вычислить т через S, 8 и Л невозможно. Необходим еще “почти
инвариант”.
Определим функцию К формулой
К
«11 бД । «22 «2
а \ clq (2 о
Лемма 10.21. Корни характеристического многочлена матрицы А не меняются
при заменах прямоугольных координат с общим началом.
Доказательство. В этом случае матрица D =
Дальше дословно как в теореме 10.17. □
Сц
(21
\ О
(12 О А
(22 0 ортогональна.
О 1 /
Теорема 10.22. Если 8 = Л = О, то функция К является ортогональным инвари-
антом.
Доказательство. Заметим, что характеристический многочлен А имеет вид
«ц Ф>А «12 «1
<212 а22 4=>А «2
«1 <22 «о ^А
— Ф>А3 + («о + <2ц + <222)А2 О (2ц (21 + «22 «2 + «И «12 ) А + Л =
(21 (2q а-2 Oq «12 «22
= тф3 + («о + 5*)А2 + 8) А + Л.
В силу предыдущей леммы к инвариантен при прямоугольных заменах, сохраняю-
щих начало. В общем случае требуем 8 = Л = 0. Поскольку добиться «12 = 0 можно
одним и тем же поворотом для систем, отличающихся на сдвиг, то можно считать,
что уже <212 = 0 у исходного уравнения. Поскольку в этом случае 8 = «ц«22 = 0, то
без ограничения общности можно считать, что «ц = 0, а «22 0. Из Л = 44а2«22 = О
получаем «1 = 0. Тогда F принимает вид F = «22У2 + 2«2у + «о- Рассмотрим сдвиг
X = ж' + х0, у = у’ + Уо-
Тогда
F' — а22(уу' + Уо)2 + 2а2(у7 + Уо) + «о — '"'ггО/)2 + 2(а22у0 + а^у' + (°22Уо + 2а2уо + «о),
а22 — а22, а2 — °22Уо + °2, ао — а22у® + 2a2J/o + аО-
При этом
/00 о
А = 0 а22 а2
\ 0 а2 а0
/ 0
А' = 0
\ 0
о о
а22 °2
«2 «О
Тогда К = а22а0 О«2, а
А7 — а22(а22у^ + 2а2г/о + ао) ^(а22Уо + а2)2 — о-22ао — А.
□
Вернемся к третьему случаю: F = Л2у2 + г,
/ 0
А = 0
\о
о о \
Л2 о ,
0 ту
S = Л2, 8 = Л = О,
К = Х2т,
К
Теорема 10.23. Следующая таблица дает необходимые и достаточные условия
принадлежности кривой второго порядка к одному из девяти видов в терминах
инвариантов:
1. Эллипс 8 > 0 АЛ < 0
2. Мнимый эллипс 8 > 0 АЛ > 0
3. Пара мнимых пересекающихся прямых 8 > 0 Л = 0
4. Гипербола 8 < 0 Л С 0
5. Пара пересекающихся прямых 8 < 0 Л = 0
6. Парабола 8 = 0 Л С 0
7. Пара параллельных прямых 8 = Л = 0 К < 0
8. Пара мнимых параллельных прямых 8 = Л = 0 К > 0
9. Пара совпадающих прямых 8 = Л = 0 К = 0
Доказательство. Проведем для эллипса.
ж2 и2
А'= ^ + 77^' =°-
(г о
<- 1 1
8 = ~2 ’ т > °’
а2 о2
При переходе к другой системе координат инварианты не изменятся. Если умножим
F на положительную константу, то знаки инвариантов останутся прежними, а если
умножим F на отрицательную константу, то знак 8 не изменится, а знаки S и Л
изменятся, значит, знак 5Л останется прежним.
Обратно, рассмотрим квадрику с 8 > 0 и 5Л < 0. Так как 8 0, то она
приведется к первому типу:
F — А1(т)2 + А2(у)2 + т (Ai, А2 0),
/ Ai
А = 0
\ 0
S — А1 + Аг, 8 — Ai А2 А — AiA2t.
Так как 8 > 0, то Ai и А2 одного знака, значит, и S того же знака. Так как 5Л < 0,
то Л другого знака, и т = Л/J тоже. Поэтому после деления на 44г приходим к
уравнению эллипса. □
Следствие 10.24. Поскольку коэффициенты канонического уравнения выража-
ются через инварианты и семиинвариант, то уравнения определены однозначно.
Пример 10.25. Определить тип кривой ж2 гй-бгу + 4у2 + х + 2у 442 = 0.
5 = 5,
Л 5 5 25
таким образом, это пара пересекающихся прямых.
Пример 10.26. Определить тип кривой 5т2 + 12ту 4422т 4412у 4419 = 0.
/ 5
А = 6
\ 4411
6 4411 А
0 446 ,
446 4419 /
5 = 5, 8 = 4436, Л = 2-36-И+ 36-19 4436-5 = 792 + 504 = 1296,
таким образом, это гипербола.
Задача 5. Найти (с помощью инвариантов) канонические уравнения этих кривых.
10.4. Распадающиеся кривые
Определение 10.27. Алгебраическая кривая F(x,y) = 0 называется распадаю-
щейся, если F = Fi • F2, где Fi и /д — многочлены ненулевой степени.
Предложение 10.28. Если алгебраическая кривая произвольного порядка F = О
содержит прямую Ах + By + (7 = 0, то F = f • Fi, т. е. многочлен F делится на
f ьез остатка.
Доказательство. Пусть А 0 (для В 0 аналогично). Разделим многочлен F на
f как многочлены от х с остатком г(у). Предположим, что г 0, т. е. найдется
такая точка у0, что г(у0) 0. Выберем х0 так, чтобы
f (®о, Уо) = Ах0 + Ву0 + С = 0, т.е. х0 = 44-г • (Ву0 + С).
Тогда (®о, Уо) G {f = 0} С {F = 0} и
0 = F(x0, уо) = f(x0, уо) ВДт0, у0) + г(у0) = 0 • ВДт0, у0) + г(у0) = г(у0).
Противоречие. □
Следствие 10.29. Если кривая второго порядка F(x,y) = 0 содержит прямую
Ах + By + (7 = 0, то F = (Ах + By + (7) • (Aix + Вху + (7i). Это возможно
сделать тогда и только тогда, когда Л = 0.
Доказательство. Первое утверждение получается сразу из предыдущего предло-
жения, а второе — из первого и теоремы об определении вида кривой по инвариан-
там. □
Пример 10.30.
F(x, у) = х2 -^Ьху + 4у2 + х + 2у 442 = х2 <^(5у 441)т + (4у2 + 2у 442),
5у 441 ± (Зу 443)
®1,2 = -----, Ж1 = 4у 442, ж2 = у + 1,
F(x, у) = (х 44T1) • (х 44т2) = (х 444у + 2) • (х 44 у 441).
Задача 6. Доказать, что если «и 0, то квадратное уравнение F(x,y) = 0 от-
носительно х имеет сойм дискриминантом квадратный трехчлен относительно у,
дискриминант которого в свою очередь равен ail А. В частности, корень извлека-
ется точно при Л = 0.
Теорема 10.31. * Произвольный ортогональный инвариант J многочлена второй
степени, полиномиально зависящий от его коэффициентов, является многочленом
от S, 8 и Л.
10.5. Теоремы единственности для кривых второго порядка
Напомним, что квадрика — это алгебраическое уравнение второго порядка с
точностью до умножения на ненулевой множитель.
Теорема 10.32. Сущестует и единствена квадрика, проходящая через данные раз-
личные пять точек, никакие четыре из которых не лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть РДтг-,уД, i = 1,...,5, — эти точки в некоторой прямо-
угольной системе координат. Для нахождения коэффициентов уравнения искомой
квадрики возникает система из 5 линейных уравнений:
+ 2ai2XiUi + Й22Уг2 + ЗбЦЖг' + 2а2Уг + 0-0 = 0, ? = 1, . . . 2,
от 6 неизвестных с точностью до умножения на ненулевой множитель. Такая си-
стема всегда имеет решение. Оно однозначно с точностью до умножения на ненуле-
вой множитель, если уравнения линейно независимы. Допустим противное. Пусть,
например, пятое уравнение является линейной комбинайией первых четырех, так
что любая квадрика, проходящая через Р4,. . ., Р4, проходит и через Р5. Рассмотрим
два случая.
1: три точки из Pi,. . ., Р4, например, Р4, Р2, Рз лежат на одной прямой, которую
обозначим I.
Проведем прямую ттг, содержащую Р4 и не содержащую Р5. Так как 4 точки не лежат
на одной прямой, Tom^/nmU / — квадрика, не содержащая Р5. Противоречие.
2: никакие три точки из Р4,. . ., Р4 не лежат на одной прямой. Тогда определены
две квадрики: щ := (Р4Р2) U (Р3Р4) и q2 := (Р1Р4) U (Р2Рз)-
По предположению, Р5 G щ, Р5 G q2. Но щ П q2 = {Р4, Р2, Р3, Р4}. Противоречие.
□
Теорема 10.33. Если два уравнения второй степени F = 0 и G = 0 задают одну
и ту же кривую, т. е. одно и то же множество точек, причем содержащую более
одной точки, то F = XG, X 0.
Доказательство. ГМТ, подпадающие под формулировку теоремы, назовем со-
держательными (ЭГП и пары прямых, быть может совпадающих), прочие — не-
содержательными (точка и пустое множество). Для всех содержательных кривых,
кроме совпадающих прямых, существуют принадлежащие им 4 точки, не лежащие
на одной прямой. Поэтому утверждение теоремы для них следует из предыдущей те-
оремы. Остался случай двух совпадающих прямых. Пусть F = 0 и G = 0 содержат
Ах + Вх + (7 = 0. Тогда по предложению о распадающихся кривых,
F = (Ах + By + С) • (А1Х + В1У + СД, G = (Ах + By + С) (А2х + В2у + С2).
Когда речь идет о совпавших прямых, то вторые сомножители должны определять
ту же прямую Ах А Вх А С = 0, а значит, по теореме об уравнениях первого порядка,
задающих одну и ту же кривую,
А^х + Bi у + (71 = А (Ах + Вх + (7), А2х + В2у + (72 = /и (Ах + Вх + (7),
так что G = —F. □
М
10.6. Теорема Паскаля. “Построение” кривой второго по-
рядка по пяти заданным точкам.
Определение 10.34. Шестивершинником называется упорядоченный набор
+1,...,+б шести точек на плоскости, находящихся в общем положении, т. е. ни-
какие 3 точки не лежат на одной прямой. Его стороны: +4+2, Н2+3, ... +6+i.
Противоположные стороны: +4+2 и +4+5, +2+3 и +5+6, +3+4 и +6+i.
Замечание 10.35. Никакие 3 точки ЭГП не лежат на одной прямой. Это следует
из рассмотрения множества точек пересечения прямой, заданной параметрически, с
кривой. В результате получаем уравнение не старше второго порядка на параметр.
Значит, если кривая пересекается с прямой больше, чем по 2 точкам, то она прямую
содержит. Подробные выкладки будут проведены в следующих параграфах. Таким
образом, упорядоченный набор 6 различных точек ЭГП задает шестивершинник.
Теорема 10.36 (Паскаля). Точки пересечения противоположных сторон шести-
вершинника, вписанного в ЭГП, лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть Рг = (А4А2) И (А4А5), Р2 = (А2А3) И (А5А6), Р3 = (А3А4) П
(А6А1). Докажем, что Р3 G (Р1Рг)-
Рассмотрим уравнения кривых третьей степени
Р(®, У) = alll®3 + a112®2J/ + a122j/2 + a222j/3 + a011®2 + a012®J/ + a022j/2 + a001® + a002j/ + a000 = О,
проходящих через 8 точек: А4,. . ., А6, Р4, Р2. Возникает однородная система из 8
уравнений на 10 коэффициентов а^. Покажем, что эти 8 уравнений линейно неза-
висимы. Предположим, что это не так, т. е. одно из уравнений линейно выражается
через остальные. Это означает, что любая кубическая кривая, проходящая через 7
точек, проходит и через восьмую.
Допустим, уравнение, отвечающее Р2, выражается через остальные. Рассмотрим
кубическое уравнение, равное произведению уравнения нашей квадрики на уравне-
ние прямой, проходящей через Р4, но не через Р2. Противоречие.
Аналогично для Р4.
Пусть теперь “зависимая” точка — А4. Тогда противоречие получается из ку-
бики (А4А5) U (А2А3) U (А5А6). Аналогично для остальных А,-.
Итак 8 уравнений линейно независимы и любое решение является линейной ком-
бинацией двух линейно независимых решений. Два решения, определяющие различ-
ные ГМТ будут линейно независимы (от противного). В частности, кубические
уравнения ГМТ (А4А2) U (А3А4) U (А5А6) и (А2А3) U (А4А5) U (A6A4) линейно незави-
симы. Значит, уравнение Q U (Р4Р2), где Q — исходная коника, выражается в виде
их линейной комбинации. Значит,
Р3 G ((А4А2) U (А3А4) U (АбАб)} 3 ((А2А3) U (А4А5) U (АвАД) с Q U (Р4Р2).
В силу замечания 10.35 Р3 не может лежать на Q. Значит, Р3 G (Р4Р2). □
Теорема Паскаля позволяет проводить следующие построения только с помощью
линейки.
Построение 1. Допустим, нам известны 5 точек А4,. . ., А5, лежащие на ква-
дрике (для простоты будем считать их последовательно лежащими). Рассмотрим
точку Pi = (А4А2) П (А4А5) и прямые /2 = (А2А3) и 13 = (А3А4). Тогда по ка-
ждой точке Р2 на прямой /2 мы можем построить точку А6 на конике по следу-
ющему правилу. Проведем прямую (Р2Р4) до пересечения с 13 в точке Р3. Тогда
Аб = (Р2А5) П (Р3А1).
Построение 2. Поскольку касательная является предельным положением секу-
щей, то, устремляя А6 —> А5, мы приходим к следующему. Допустим, нам известны
5 точек Ai,. . ., А5, лежащие на квадрике (для простоты будем считать их последова-
тельно лежащими). Мы хотим построить касательную в точке А5. Построим точки
Pi = (AiA2) П (А4А5), Р3 = (А3А4) П (А5А1). Пусть Р2 = (Р4Р3) П (А2А3). Тогда
(Р2А5) — искомая касательная.
Теорема 10.37 (Паппа). * Теорема Паскаля верна и в случае двух несовпадающих
прямых, если потребовать, чтобы вершины вписанного шестивершинника лежали
через одну на каждой из прямых, т. е. Ai,A3, А4 — на одной, а остальные — на
другой.
Внимательно проанализировав доказательство теоремы Паскаля, можно убе-
диться, что верна также
Теорема 10.38 (обратная теорема Паскаля). * Если точки пересечения про-
тивоположных сторон шестивершинника лежат на одной прямой, то вокруг него
можно описать конику.
Задача 7. Провести подробное доказательство теоремы Паппа.
Задача 8. Провести подробное доказательство обратной теоремы Паскаля.
11. Пересечение кривой второго порядка с пря-
мой
Рассмотрим кривую второго порядка ,, заданную в нек оторой аффинной системе
координат уравнением
F(t, у) = dip2 + 2ai2T7/ + a22j/2 + 2«iT + 2a2y + a0 = 0,
и прямую /, заданную параметрически
{х = х0 + at
У = Уо + fdt
Для нахождения точек пересечения , и I подставим параметрические уравнения в
F = 0:
ап(жо + at)2 + 2а12(то + ай)(т/о + fit) + а22(уо + fit)2 + 2«i (то + at) + 2«2(уо + fit) + oq = О,
или
F2t2 + 2Fpt + Fq = О,
где
F2 = аца2 + 2а12а(3 + а22(32 = q(a,[3),
F4 = a((liP0 + а12У0 + al) + Д(й12жО + a22j/0 + а2),
Fo = F(x0,y0).
Определение 11.1. Ненулевой вектор (a, /3) имеет асимптотическое направление
по отношению к кривой второго порядка ,, если F2 = q(a,f3) = аг1а2 + 2a12af3 +
«22Д2 = 0.
Легко видеть, что это свойство не меняется при умножении уравнения на нену-
левой множитель, т. е. является свойством квадрики, а не кривой.
Предложение 11.2. Определение асимптотического направления корректно,
т. е. не зависит от выбора системы координат.
Доказательство. Фактически необходимые выкладки уже проводились: если име-
ется замена координат (так как имеем дело только с квадратичной частью, то можно
считать, что сдвига нет) с матрицей С, то
где
«12
«22
Тогда
q(cx,f3) = (a,(3)Q
Таким образом, результат подстановки вектора в квадратичную часть не зависит
от выбора системы координат. □
Теорема 11.3. Прямая I неасимптотического направления по отношению к кри-
вой второго порядка , либо имеет с ней 2 общие точки (различные или совпавшие)
либо не пересекается с ней. Прямая I асимптотического направления по отноше-
нию к кривой второго порядка , либо содержится в , , либо имеет с ней одну
общую точку, либо не пересекается с ней.
Замечание 11.4. “Две совпавшие точки” означает, что имеется сколь угодно
близкая прямая, имеющая 2 точки пересечения (секущая). Рассматриваются точки,
отличные от точки пересечения пересекающихся прямых, всех точек пары совпада-
ющих прямых и единственной точки пары мнимых пересекающихся прямых.
Доказательство. Рассмотрим уравнение F^t2 + F^t + Fo = 0, где F2 = q(a,{3), а
(а, Д) — направляющий вектор I.
Если направление неасимптотическое, то F2 = q(ct, Д 0 и квадратное уравне-
ние невырождено. Оно может иметь 2, 1 или 0 решений. При этом 1 решение, когда
полный квадрат. Мы можем считать, что начальная точка (т0, уо) лежит на кривой.
Тогда Fo = 0 и вторая точка совпадает с начальной, если Fi = 0. Допустим, что
при любом малом изменении точки (т0, уо) до другой точки (ti,i/i) на кривой, все
равно будем получать Fi = 0. Это означает, что оба коэффициента при а и [3 (как
вектор) коллинеарны для всех близких точек, т. е.
«11ж1 + «12J/1 + «1
«12ж1 + «22J/1 + «2
Значит, в окрестности (т0, уо), кривая содержит интервал прямой, и следовательно,
является распадающейся. Отбросив исключения (совпавшие, мнимые пересекаю-
щиеся и точка пересечения), видим, что в этих случаях никакая прямая не может
пересечь такое множество по одной точке. (Мы доказывали для близкой параллель-
ной, чтобы использовать рассуждение при доказательстве утверждения 11.12 о гео-
метрической характеризации асимптотических направлений. Если рассматривать
возмущение поворотом, то рассуждение упрощается (см. нахождение касательных
ниже).)
Если же направление асимптотическое, то F2 = 0 и уравнение принимает вид
2Fit + Fo = 0. Если Fi 0, то имеется единственная точка пересечения. Если
Fi = 0, a Fo 0, то пересечение пусто. Если Fi = Fo = 0, то пересечение I и ,
совпадает с I. □
Следствие 11.5. Никакие три точки коники не лежат на одной прямой.
Доказательство. Допустим противное. Тогда прямая, содержащая эти три точки,
имеет асимптотическое направление и целиком содержится в кривой. Значит, кри-
вая распадается на две прямые и не является коникой. □
11.1. Нахождение асимптотических направлений
Уравнение для асимптотических направлений:
йцСи -|- 2«12оД -|- «22Д — 0.
Если йц ф 0, то /3 ф 0, так как иначе и а = 0. Делим на А2:
/ \ 2 / \
/ а \ / а \
«п Щ + 2®i2 77 + а22 = 0,
\РJ \РJ
q
или «ц/г2 + 2ai2& + «22 = 0, где к = —. Тогда
Р
•^°12 ± А/а12 ^^11^22 -Ф4«12 ± \/ТУ
к = ------------------ = ----------.
«И «И
Определение 11.6. Квадрика F = 0 имеет эллиптический, гиперболический или
параболический тип, если, соотвествено, 8 > 0, 8 < 0 или 8 = 0.
Лемма 11.7. Это определение корректно, т. е. знак 8 не зависит от выбора
системы координат и умножения уравнения на ненулевое X.
Доказательство. Заметим, что 8 — инвариант только ортогональных замен, но
при произвольной замене
sgn 8' = sgn det Q' = sgn det (CTQC) = sgn (det C*)2det Q = sgn 8.
При переходе от F к A • F, сходным образом, 8 переходит в А2 • 8. □
Теорема 11.8. Кривые эллиптического типа не имеют асимптотических напра-
влений; кривые гиперболического типа имеют два асимптотических направления;
кривые параболического типа имеют одно асимптотическое направление.
Доказательство. Если «ц 0, то была получена формула к = --------------, из
ап
которой утверждение следует очевидным образом. Аналогично для случая «22
0. Если же ац = «22 = 0, то 8 = 44«j2 < 0 и уравнение для асимптотических
направлений примет вид
д(ск, /3) = 2«i2a/3 = 0,
откуда получаем два асимптотических направления: (0,1) и (1,0). □
Пример 11.9. Асимптотические направления гиперболы
— = 1
«2 62
должны удовлетворять
а2 В2 а а
~2 ^77 = °’ к = 77 =
а2 о2 р о
Т. е. асимптотические направления гиперболы — направления ее асимптот.
Пример 11.10. У эллипса
х2 и2
— + ^ = 1
«2 Ъ2
нет асимптотических направлений:
Пример 11.11. Парабола имеет одно асимптотическое направление (направление
ее оси): у2 рр2рх = 0 дает д(ск, /3) = [З2 = 0 и направление (1,0).
Задача 9. Установить, что асимптотические направления пары пересекающихся
прямых — направления этих прямых (аналитически и через теорему о числе точек
пересечения). Установить, что асимптотические направления пары параллельных
или совпавших прямых — направления этих прямых.
Следствие 11.12 (из теоремы 11.3, примеров и задачи). Для содержатель-
ных кривых, за исключением совпавших прямых, можно определить неасимптоти-
ческое направление геометрически: прямая I имеет неасимптотическое направле-
ние тогда и только тогда, когда найдется параллельная ей прямая, пересекающая
кривую ровно в двух точках.
11.2. Диаметры и центры кривых второго порядка
Рассмотрим непустую кривую второго порядка , , заданную в неюторой аффин-
ной системе координат уравнением
F(t, у) = ацх2 + 2а12ху + а22у2 + 2едт + 2а2у + а0 = О,
и прямую I неасимптотического направления, заданную параметрически
х = т0 + at
У = уо + f3t
Пусть I пересекает , в двух (возможно совпавших) точках, и (с0, уо) — середина
соответствующего отрезка (хорды). Поскольку для нахождения Н и t2, соответ-
ствующих точкам пересечения, мы имели уравнение
F2t2 + 2Fit + /у = О,
где
F2 — аца2 + 2aj2®/3 + ®22/52 — </(а,/3),
Fi = а(йп^о + а12У0 + а1) + /5(й12жО + а22Ув + а2),
Fo = F(x0, у0),
причем в нашем случае F2 0. По теореме Виета для t0 = 0, отвечающего (со,?/о),
условие середины хорды примет вид
0 = ф =
tl + ^2
2
Fi = 0.
Теорема 11.13. Середины хорд кривой , данного неасимптотического направле-
ния (а, (У) лежат на прямой
а(ацх + ai2y + ед) + [3(ai2x + а22у + а2} — 0.
Доказательство. В силу рассуждения перед теоремой, осталось доказать, что
данное уравнение задает прямую, т. е. это уравнение первой степени, а не нщвой.
Перепишем:
(яца + й12/5)т + (ai2a + а22/3)у + (еда + а2[У) = 0
Если бы
аца -|- ai2[3
ai2a -|- а22[3
аца2 + ai2a(3
ai2a/3 -|- а22{32
0,
0,
и аца2 + 2ai2af3 + a22f32 = 0, что противоречит неасимптотичности направления.
□
Определение 11.14. Прямая а(йцж + а12у + «1) + (3(а12х + а22у + а2) = 0 называется
диаметром кривой второго порядка F = ацт2 + ... = 0, сопряженным данному
неасимптотическому направлению (а,Ц).
Определение 11.15. Центр кривой , — така я точка М(х0, уо), что вместе с лю-
бой точкой Р содержит и точку Р', симметричную Р относительно М. Таким обра-
зом, М — центр симметрии
Лемма 11.16. Пусть М(хо,уо) — центр кривой , . Существуют две различных
прямых неасимптотических направлений, проходящие через М и пересекающие , .
Доказательство. Для точки и прямых утверждение очевидно. Для ЭГП рассмо-
трим две точки Р и Q, отличные от М, несимметричные относительно М и лежащие
на Т огда (РМ) П, D {Р, Р'}, (QM) П, D {Q, Q'}, где Р' и Q' — соответствующие
симметричные точки. Более того, третьих точек в пересечениях нет, так как это
противоречит следствию 11.5. Таким образом, это нужные прямые. □
Теорема 11.17. Точка М(хо,уо) является центром непустой кривой второго по-
рядка
F(x, у) = ацх2 + 2а12ху + а22у2 + 2«iT + 2а2у + а0 = О
тогда и только тогда, когда
апжо + a12j/0 + fli — О
а12ж0 + a22j/0 + <i2 = О
(уравнения центра)
В терминах частных производных уравнения запишутся в виде
IdF IdF
Доказательство. | =<• | Пусть (сц,Д), i = 1,2, — направляющие векторы прямых,
определенных по предыдущей лемме. Тогда (т0, уо), как середина соответствующих
хорд, принадлежит соответствующим диаметрам, т. е. удовлетворяет уравнениям
аДацЖо + «12J/0 + «1) + Дг(а12жО + а22У0 + а2) — 0, i — 1, 2.
Обозначив выражения в скобках через и и v соответсвенно, получим, что и и v
удовлетворяют системе линейных уравнений
{адп + (3-ри = О
а?2^ + Дг'У = О
При этом уравнения линейно независимы, так как вектора (сц,Д) неколлинеарны.
Значит, единственная возможность: и = v = 0.
| <= | Пусть точка М(жо,т/о) удовлетворяет “уравнениям центра”. Перейдем к но-
вой системе координат (ж', у1):
х' = х 44ж0, у' = у <^уо,
так что
х = X + Ж0, у = у' + 7/0-
Тогда
F'(x\ у') = ац(т'-|-То)2-|-2а12(т/-|-То)(7//-|-7/о)+«22(у/+уо)2+2а1(т/-|-То)-|-2а2(у/+уо)+«о =
= йц(х)2 + 2ai2T/у' + а,22(у')2 + 2(ацЖо +«12У0 + ai)x'+ 2(а12Жо + «22У0 + az)y' + F (жо, уо) =
= «ц(ж')2 + ‘ia^x'y' + (i22(.y'\2 + Aq = 0.
Очевидно, что если точка (ж', у1) удовлетворяет этому уравнению, то и (44г', 4Д/) —
тоже, а координаты М в новой системе: (0,0). □
Следствие 11.18. Непустая кривая второго порядка F(x, у) = йцж2 + ... = 0
1) имеет единственный центр 44 8 = 0;
2) не имеет центра 44 8 = 0, Л 0, т. е. , — парабола;
3) имеет целую прямую центров 44 8 = Л = 0.
Доказательство. Действительно, уравнения центра
( «п®о + Ч12У0 + di = 0
1 «12ж0 + а22У0 + «2 = 0
имеют единственное решение тогда и только тогда, когда
мы обозначим через г ранг матрицы
«11 «12
«12 «22
= 8 ф 0. Если
«11 «12 «1
«12 «22 «2
то при 8 = 0 система не имеет решений тогда и только тогда, когда г = 2, и имеет
бесконечно много решений тогда и только тогда, когда г = 1 (нулевым ранг быть не
может). Очевидно, что 0 влечет г = 2, а г = 1 влечет Л = 0. Докажем обратные
импликации. Итак, пусть 8 = Л = 0 и предположим противное требуемому, т. е.
г = 2. Значит, третья строка матрицы
Иц Й12
«12 «22
\ «1 «2
«1
«2
«О
(определителем которой является Л) выражается через первые. В частности, «1 =
Аап + ^«12, «2 = A«i2 + ^«22 при некоторых А и //. Это означает, что последний
столбец матрицы В выражается через два первых, которые, в свою очередь, линейно
зависимы (так как 8 = 0). Значит, г = 1. Противоречие. Методом логического
исключения получаем вторую обратную импликацию. □
Следствие 11.19. Любой диаметр проходит через все центры кривой.
Доказательство. Среди прямых того неасимптотического направления, которому
сопряжен данный диаметр, надо выбрать ту, которая проходит через данный центр.
Либо это точка, соответствующая хорде, либо продолжению множества середин
хорд. В любом случае это точка диаметра. □
11.3. Сопряженные диаметры и направления
Теорема 11.20. Если непустая кривая второго порядка имеет единственный
центр, т. е. 8 0, то диаметр, сопряженный неасимптотическому направле-
нию имеет направление (а*,/3*); также являющееся неасимптотическим.
При этом диаметр, сопряженный направлению (а*,/3*); имеет направление
Доказательство. Сопряженный к (ск, /3) диаметр имеет уравнение
а(й1Р + аущу + сд) + /3(й12ж + «22У + Яг) = 0.
Направление (п, г?) прямой ах-\-Ьу-\-с = 0, как мы знаем, должно обнулять однородную
часть: аи + bv = 0. В нашем случае:
/ * \
/ (У \
а(аца* + а^/З*) + [3(ai2a* + Я22/З*) = (а,/3)А I 1=0. (12)
у Р /
Предположим, что (а*,/3*) — асимптотическое направление. Тогда
а* (аца* + Яхг/5*) +/3* (одгсН + «2г/3*) = 0.
v w
Вместе с (12) получаем систему
( aV + (3W = 0,
| а*У+ /3*Ж = 0.
Если V и W не обращаются одновременно в ноль, то (а,/3) и (а*, /3*) коллинеарны,
в частности, (а*, /3*) неасимптотическое или (а,/3) асимптотическое — противоре-
чие (не говоря о том, что по геометрическим соображениям оно не может быть
коллинеарным). Значит, V = W = 0, т. е.
аца* + «12/3* = 0
а12®* Т «22/3* = 0.
Но 8 0, и эта система имеет только тривиальное решение а* = [3* = 0, что не
может быть направляющим вектором диаметра.
Вторая часть теоремы получается из явного вида уравнения (12) (надо транспо-
нировать). □
Следствие 11.21. Для кривой с единственным центром любая прямая неасимпто-
тического направления, проходящая через центр, является диаметром.
Доказательство. Эта прямая — диаметр, сопряженный к направлению сопряжен-
ного диаметра. □
Определение 11.22. Два диаметра кривой с единственным центром, делящие по-
полам хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными диаме-
трами.
Определение 11.23. Два направления (а, Д) и (а*, Д*) называются сопряженными
направлениями (относительно данной кривой), если они удовлетворяют уравнению
(12).
Замечание 11.24. Из доказанного ясно, что сопряженные диаметры всегда
имеют сопряженные направления. Обратное, вообще говоря, неверно.
Теорема 11.25. Если кривая является параболой, т. е. 8 = О, Л 0, то все ее
диаметры имеют асимптотическое направление.
Доказательство. Рассмотрим направление (а, Д). Тогда сопряженный диаметр
будет иметь направление (а*,Д*), удовлетворяющее
а*(аца + одгД) + ДДсдг® + аггД) = О,
откуда, с точностью до множителя,
а* = -^Да^а + Я22ДД Д* = Иц® Т ^хгД-
Имеем (поскольку 8 = 0):
( аца* + а12/в* = ^8(3 = 0, а*
( а12а* + «22Д* = 8а = 0, (3*
ац(о!*)2 + 2йх2®*Д* Т а22(Д*)2 = 0,
т. е. направление асимптотическое. □
Задача 10. Доказать, что любая прямая асимптотического направления по отно-
шению к параболе является диаметром.
Задача 11. Убедиться, что предыдущая теорема верна для существенных кривых
параболического типа, а не только для параболы.
Задача 12. Записать уравнение эллипса в системе координат, осями которой слу-
жат два сопряженных диаметра, а базисными векторами — половины хорд этих
диаметров.
11.4. Главные диаметры и оси симметрии
В этом параграфе система координат предполагается прямоугольной. Пусть I
— ось симметрии содержательной кривой второго порядка , , т. е. , вместе с
любой точкой Р содержит и Р', симметричную Р относительно I. Уравнение , :
Р(т, у) = апх2 + . . . = 0.
Возможны два случая:
ПЕРВЫЙ СЛУЧАЙ: перпендикулярное к I направление является асимптотическим.
Если у , нет точек вне /, то , =/. Если же такая точка Р имеется, то симметрична
ей относительно I точка Р' также принадлежит , . Поскольку направление РР'
— асимптотическое, то и вся пряма (РР1) должна содержаться в , . Итак, , в
этом случае распалась на (РР1) и некоторую прямую т, юторая также должна
быть симметричной относительно I. Возможны три случая: т = (РР1), тЦ(РР')
и т = I. Итак, если одна из осей симметрии перпендищлярна асимптотическому
направлению, то возмсжны следующие варианты:
1) , —совпавшие прямые. Осью симметрии может быть сама эта прямая и любая
прямая, ей перпендищлярная.
2) , — параллельные прямые. Осью симметрии может быть равноудаленная от
них прямая и любая прямая, ей перпендищлярная.
3) , — перпендикулярные прямые. Имеется четыре оси симметрии (прямые и
биссектрисы углов).
ВТОРОЙ СЛУЧАЙ: перпендикулярное к I направление является неасимптотиче-
ским.
Определение 11.26. Неасимптотическое направление, перпендищлярное сопря-
женному ему диаметру называется главным направлением кривой , , а диаметр на-
зывается гдавным диаметром.
Теорема 11.27. Главный диаметр является осью симметрии кривой , . Обратно,
для содержательных кривых второго порядка, отличных от пары параллельных,
совпадающих или перпендикулярных прямых (т. е. получившихся в первом случае),
ось симметрии является главным диаметром.
Доказательство. В этом случае диаметр состоит из середин перпендикулярных
хорд, т. е. является осью симметрии.
Обратно, по рассуждению про первый случай, мы исключили те случаи, окда ось
симметрии может быть перпендикулярна асимптотическому направлению. Поэтому
перпендикулярное оси направление — неасимптотическое. Как ось симметрии, она
делит хорды этого направления попалам, и таким образом, является диаметром
Поскольку перпендикулярны, то иавным. □
Теорема 11.28. Вектор (а, (Г) задает главное направление кривой F = ацж2+. . . =
О, тогда и только тогда, когда он является решением уравнения
/ «11 «12
где Q =
\ «12 «22
а А — ненулевой корень характеристического уравнения
det (Q УдА/Д) = A2 Щ-SX + 8 = 0.
Такой вектор называется СОБСТВЕННЫМ ВЕКТОРОМ матрицы Q, отвечающим
СОБСТВЕННОМУ ЗНАЧЕНИЮ А.
Доказательство. Пусть (ск, /3) — главное направление. Тогда уравнение соответ-
ствующего сопряженного диаметра
а?(ацт + Я12У + «1) + Д(«12Я; Т «22У Т «2) — 0,
причем его нормаль п по условию коллинеарна (ск, /3), т. е.
йцо Т а^/З । X I
«12® Т «22/5 у у (3
или
Перепишем:
Эта система имеет ненулевое решение (а, Д). Для этого определитель ее должен
равняться нулю: det (Q УДА/Д) = %q(A) = А2 -УДЗА + 8 = 0. Рассмотрим его корень А.
Если А = 0, то система перепишется в виде:
^1|О Т «12Д
«12® Т «22Д
0
0
^iio Т 2й12®Д Т «22Д — 0?
т. е. (а, Д) — асимптотическое направление.
Обратно, если А 0, то
с 11 о Т И12Д — Act ct ।
«12® Т «22Д = АД Д
^1|О2 Т 2сд2®Д Т «22Д2 — A(ct2 Т Д2) 0.
Таким образом, направление, определяемое собственным вектором Q, отвечающим
А 7^ 0, неасимптотическое, а следовательно, главное, так как условие коллинеарности
(а, /3) и нормали к сопряженному диаметру, как мы показали, эквивалентны условию
Лемма 11.29. Пусть Ai 7^ А2 — корни характеристического уравнения. Тогда
соответствующие собственные векторы (ад,/31) и (а2,Д2) неколлинеарны.
Доказательство. Тогда один из корней отличен от 0, пусть для определенности —
Ai. Кроме того, очевидно, можно считать векторы совпадающими, обозначим его
через (ск, /3). Тогда
что возможно только при нулевом векторе (ск, /3). □
Следствие 11.30. Эллипс с различными полуосями (т. е. отличный от
окружности) и гипербола имеют ровно две оси симметрии, которые тем самым
совпадают с осями канонической системы координат. Парабола имеет ровно одну
ось симметрии, совпадающую с осью Ох канонической системы координат.
Доказательство. Пусть Ai и А2 — корни характеристического многочлена. Если
они различные и ненулевые, то имеем по лемме два разных главных направления.
□
Замечание 11.31. Для окружности, когда Ai = А2, любое направление является
главным.
12. Вид и расположение кривых второго порядка
Вид канонического уравнения мы умеем вычислять с помощью инвариантов.
Кроме того, мы умеем приводить с помощью подбора угла сд, и т. д. Сейчас мы
обсудим другой алгоритм, более универсального характера (например, аналогич-
ный алгоритм будет работать для поверхностей).
1. Решаем уравнения центра:
1
2
1
2
9F
дх
dF
ду
ацт + а12у + «1=0,
а^2х + а22у + а2 = О,
Пусть (т0, Уо) — решение (возможно не единственное). Случай параболы рассмотрим
отдельно.
2. Производим сдвиг:
х' = х -ФД./'о-
у' = У ^Уы
F'(x', у') = «ц(л')2 + 2а12х'у' + «22(у')2 + т = °, т = F(x0, Уо)
(коэффициенты квадратичной части остались прежними).
3. Ищем корни Л1, Д2 характеристического многочлена
I X О «ц <=>Л «12 п
А + д = и, или . = I)
«12 «22 АД А
и соответствующие им собственные вектора (ад, Д), (а?2, • Если Ai и А2 различные
ненулевые, то положим
Если они совпадающие (ненулевые), то матрица квадратичной части уже диаго-
нальна (бд2 = 0). В новой системе координат
F"«y") = Ai(/')2 + A2(y")2 + ^ = o.
Таким образом действуем в случае эллипса или гиперболы.
Если в F' имеем г = 0 или оказалось Ai = 0, то распадающаяся кривая и надо
раскладывать на множители.
Остался случай параболы. В этом случае сначала находим асимптотическое на-
правление (а, /3) из
яцй2 Т 2«i2ci/3 + «22Д2 = 0.
Диаметр, соответствующий перпендикулярному направлению,
является осью. Заметим, что уравнение параболы теперь может быть переписано в
виде
(Дл Ф>ау)2 + Ах + By + 0 = 0. (13)
Вершина (ж0, Уо) находится из системы
дх + а • ду — О,
Г(л,у) = 0.
Каноническая система:
е = ±1. Знак у ei выбирается из следующих соображений. Уравнение (13) показы-
вает, что парабола лежит в отрицательной полуплоскости прямой Ах + By + (7 = 0.
Значит, направление ее ветвей, точнее, правильное направление щ, образует тупой
угол с (А, В). Таким образом, знак выбирается из условия е(Аа + В/3) < 0.
Каноническое уравнение проще всего найти, непосредственно осуществив пере-
ход к канонической системе координат.
Пример 12.1. Определить вид и расположение кривой 5т2 + 12тг/4ф22т4Ф12у4Ф19 =
0.
1. Центр:
Г 10т + 12у Ф>22 = 0, Г то = 1,
[ 12т Ф>12 = 0, ?/о = 1-
2. Замена:
т' + 1
у' + 1
Промежуточное уравнение:
F'(x , у') = 5(тх)2 + IZx'y1 + F(l, 1) = 5(тх)2 + IZx'y1 Ф>36 = 0.
3. Q = Ц ® ), Q ^ХЕ = ( 5 Д ), Хв(А) = Л2 е5Л «36 = 0, А, = 9,
А2 = ОТ Таким образом, в канонической системе (х'\у"У
F"(x", у") = 9(т")2 ^ П//")2 ^36 = 0,
— канонический вид.
4. Для нахождения е":
(Q^AjB)
0\
0 ) ’
частное решение: а = 3,/3 = 2,
Из него е” получается нормированием, а ему ортогонален:
е
и
1
1
л/Тз
(3,2),
//
е2
-^(«2.3).
Окончательно получаем: кривая является гиперболой с указанным каноническим
видом и канонической системой с началом (1,1) и базисными векторами е" и
найденными в и.4.
Пример 12.2. Определить вид и расположение кривой т2444тг/+4у2-|-4т443г/Ф>7 = 0.
1. Центр:
2т Ф>4у + 4
444т + 8у -ФдЗ
система несовместна =/ парабола.
2. Асимптотическое направление:
a2 + 4/32 = 0, (а Ф>2/3)2, частное решение: а = 2,/3 = 1.
3. Ось симметрии:
dF dF
—----к а—— = (441) • (2т 444у + 4) + 2 • (444т + 8у 443) = О,
ох Оу
44-Ют + 20у 4410 = 0, т 442// + 1=0
— ось.
4. Вершина:
т 442у
(т 442у)2 + 4т 443у 447
441
о
т 442у
4т 443у
441
6
откуда вершина: (3,2).
5. Канонический базис:
Д = е -(=(2,1).
V 5
е2 = -7у(441,2),
V 5
причем е = ±1 находится из условия е(4 • 2 443 • 1) < 0, так что е = 441.
Таким образом, замена координат:
т\ 1 / 442 441 \ (х'\
у7У5\441 2 J [y'J + \2/ ’
6. Канонический вид:
4 3
(х Дф2у)'2 + 4х 4=>3у Ф>7 = (ф>\/5г/ 4=>1)2 <^—/=(2х' + у') + 12 3—*^46 Ф>7 =
= 5(у')2 + Зл/бу' + 1 <^—=х' •^-'/Ьу' 441 = 5(у')2 ^л/бт' = 0,
у 5 О
13. Касательные к кривым второго порядка
Определение 13.1. Особой точкой кривой второго порядка называется центр,
принадлежащий кривой (точка пересечения пересекающихся прямых, все точки
пары совпадающих прямых и единственная точка пары мнимых пересекающихся
прямых).
Эти точки характеризуются условием Ц-(то,Уо) = ^(^о^Уо) = 0.
Определение 13.2. Касательной к кривой второго порядка , в н еособой точке
(т0, Уо) называется прямая, проходящая через эту точку и пересекающая , в двух
совпавших точках, либо содержащаяся в ,.
Теорема 13.3. Касательная к кривой
F(x, у) = ацх2 + 2а12ху + а22у2 + 2«iж + 2а2у + «о = О
в неособой точке (то,Уо) имеет уравнение
dF dF
——(ж0, Уо)(х Ф>т0) + — (т0, Уо)(у ^Уо) = О
С/ •_// С/ (у
или
(«11^0 + «12У0 + dl)x + («12^0 + «22У0 + а2)у + («1Жо + а?У0 + ао) = 0. (14)
Доказательство. Прямая
х = хо + at
У = Уо + pt
пересекает кривую в точках, соответствующих решениям уравнения
F2t2 + 2Fit + Fq = О,
где
F2 — аца2 + 2a12atв + а22{32 — q{a,P^,
dF dF
Fi = а(ацХо + a12y0 + сд) + P(a12xo + a22y0 + а2) = а~хг~(жо, Уо) + Р~^~(жо, Уо),
С/ •_// С/ (у
Fo = Г(т0, Уо) = О,
поскольку точка лежит на кривой. Условие касания: Fi = 0, т. е.
так что частное решение (направление)
а =
dF
4У^-(жо,Уо),
Поскольку точка неособая, то это ненулевой вектор. Поскольку при сколь угодно
малом возмущении (повороте) вектора будет уже Fi 7^ 0, т. е. секущая, то это две
совпавшие точки. Получаем
dF dF
——(то, уРрх Ф>т0) + — (т0, у0)(у 4^уо) = О
С/ йЬ
ИЛИ
(«цТо + «12У0 + «1)(т Ф>То) + («12^0 + а22Уо + аг)(у 4=>Уо) = 0.
С учетом F(tq, Уо) это дает
(«цТо + «12У0 + «1)т + («12то + «22У0 + аг)у + («1^0 + а2Уо + ао) — 0. □
13.1. Поляра точки относительно коники
Пусть коника , задана уравнением F(t, у) = ацт2 + . . . в произвольной аффинной
системе координат. Тогда уравнение касательной (14) может быть записано в виде
(то, Уо, 1)А
(15)
где А — матрица F. Рассмотрим любую точку Р(т0, Уо) плоскости, отличную от
центра кривой.
Определение 13.4. Прямая с уравнением 15 называется полярой точки Р отно-
сительно коники , .
Замечание 13.5. Условие отличия Р от центра гарантирует, что получаем пря-
мую, т. е. уравнение первого, а не hjhboto порядка.
Пример 13.6. Если точка Р(т0, Уо) принадлежит , , то получаем, что поляра явля-
ется касательной.
Предложение 13.7. Если из точки Р можно провести к конике , две касатель-
ных с точками касания М и N, то MN является полярой Р.
Доказательство. Если (хк,Ук) — координаты точки касания касательной, прове-
денной из точки Р(т0,у0), то (cfc,yfc,l)A
= 0 — уравнение этой касательной.
1
Поскольку Р ей принадлежит, то у^,, 1)у4
то \
Уо =0. Транспонируя, получаем,
1 /
что (хк,Ук) должна удовлетворять системе
F(t/,, Ук)
1 Хк \
(то,Уо, 1)А Ук
\ 1 )
0, — уравнение ,
0, — уравнение поляры т. Р
Таким образом, (рк,Ук) — точка пересечения поляры с коникой, и предложение до-
казано. □
Замечание 13.8. Пока определение формально зависит от выбора системы коор-
динат. Независимость можно вывести из геометрических способов построения (см.
ниже), но мы докажем это непосредственно.
Предложение 13.9. Поляра не зависит от выбора системы координат.
Доказательство. Напомним (см. § про инварианты), что матрица А и компоненты
(х,у,1) меняются по законам А’ = DT AD,
t х
У
\ 1
Сц С12 Х0 \ / х'
С21 С22 УО У'
\ 0 0 1 ) \ 1
Откуда из (15) получаем требуемый результат. □
Теорема 13.10. Пусть Л, В uC,D — точки пересечения двух секущих, проведен-
ных из Р к конике, точки Е и F — точки пересечения AD с ВС и АС с BD,
соответственно. Тогда прямая (EF) является полярой Р.
Доказательство.
Рассмотрим аффинную систему координат, у которой прямые АВ и СD являются
осями, а точка Р — началом. Таким образом, А и В удовлетворяют у = 0, а зна-
чит, Л и В имеют координаты (ж1,0) и (т2,0) соответственно, где xi и ./'2 — корни
уравнения
апх2 + 2агх + а0 = 0. (16)
Аналогично, С л D имеют координаты гц и у2, причем
a22j/2 + 2а2у + «0 = 0. (17)
Получаем соответствующие уравнения “в отрезках”:
(.4D): ^+»=1,
Х1 У2
(ВС): ^+*=1.
ж2 У1
, . ж у
{АС)-. — + —= 1,
Ж1 У1
, „ Ж I!
{BD) : — + —= 1.
®2 У2
При этом (AD) П {ВС) = Е и {АС) П {BD) = F. Уравнение EF имеет вид
ж ж у у
I------1-------1-----= 2,
Ж1 ж2 г/i у2
поскольку Е и F ему удовлетворяют (как удовлетворяющие соответственно первой
и второй паре уравнений из четырех, записанных выше). Следовательно,
(EF):
Х1 + Ж2 , У1 + У2
------- х Н----------- у =
Х1Х2 У1У2
Из уравнений (16) и (17) по теореме Виета получаем
2«i Xi + ж2 = 4Ф . «11 <70 2а2 Oq , Ж1Ж2 = , У1 + У2 = 4Ф , У1У2= «п а22 а22
откуда , , ФЙсд ФЙа2 (ЕР): -•£ + ~-у = % «о «о
или сдж + а2у + ао = 0.
Как легко видеть, это уравнение поляры точки F, имеющей координаты (0,0) в
используемой системе. □
Следствие 13.11. Точки пересечения диагоналей четырехугольников, образован-
ных секущими, проведенными из одной точки к данной конике, лежат на одной
прямой — поляре этой точки.
Следствие 13.12. В условиях теоремы треугольник РЕЕ является
автополярным, т. е. для каждой вершины противоположная сторона является
ее полярой.
Теорема 13.13. Точка Р принадлежит поляре точки Q тогда и только тогда,
когда Q принадлежит поляре Р.
Доказательство. Сразу вытекает из симметрии уравнения поляры. Одно соотно-
шение переходит в другое при транспонировании. □
Определение 13.14. Точка, для которой строится поляра, называется полюсом
этой поляры.
Замечание 13.15. Для внешних точек полюс определен однозначно по предложе-
нию 13.7. Для внутренних это следует из двойственности: проведем две хорды и
т. д. (см. способ построения ниже).
Замечание 13.16. В обычной (непроективной) геометрии не всякая точка имеет
поляру (например, центр не имеет) и не всякая прямая имеет полюс, т. е. является
полярой (диаметр центральной кривой).
Сейчас мы обсудим еще один способ построения поляры. Мы будем иметь дело
с внутренними точками. Пусть Р — такая точка. Проведем через нее две секущие
(хорды), а через их концы — пары касательных. Если Р не является центром, то пря-
мые внутри хотя бы одной пары не параллельны. Так что получаем либо две точки
пересечения, либо точку и направление. Можно провести рассуждение и во второй
ситуации, но мы просто выберем другую хорду. Итак, имеем две точки пересече-
ния: Е и F. Утверждается, что ЕЕ — поляра Р. Действительно, по предложению
13.7, точка Р принадлежит полярам и Е и F, значит, по предыдущей теореме, Е и
F принадлежат поляре Р.
Задача 13. (Теорема Брианшона) Диагонали шестиугольника, описанного около
коники, пересекаются в одной точке. Указание: Диагонали являются полярами то-
чек пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника, образован-
ного точками касания. А эти точки пересечения по теореме Паскаля лежат на одной
прямой. Точка пересечения — ее полюс.
14. Аффинные преобразования
Определение 14.1. Преобразованием называется взаимно-однозначное отобра-
жение множества на себя.
Определение 14.2. Отображение плоскости (пространства) в себя называется
аффинным преобразованием, если найдутся такие две аффинные системы координат,
что координаты любой точки в одной из них являются координатами ее образа в
другой.
Замечание 14.3. Очевидно, что аффинное преобразование является преобразо-
ванием.
Замечание 14.4. Допустим, первая из фигурирующих в определении аффинного
преобразования f систем координат Ос^ез фиксирована (аналогично для плоско-
сти). Пусть Mi — концы векторов ец отложенных от точки О. Тогда вторая система
(МД (? = 1,2,3, или i = 1,2 для плос-
кости). Это сразу следует из определения координат.
Теорема 14.5. Пусть f — аффинное преобразование, Ое^е^ез и О' е'хе'2е'з — си-
стема координат, фигурирующая в определении. Пусть С — матрица f (зависящая
от репера): по столбцам выписаны координаты е\ в старом базисе. Пусть
(т0, уо, ?о) — координаты О' в старом репере. Рассмотрим произвольную точку
Р и ее образ Р' = f(P). Тогда их координаты (x,y,z) и (x',y',z'} в старом репере
связаны формулами
ж \
у =С
\ z )
ж \
У +
\z )
/ ж0
Уо
\ Zo
(18)
Обратно, если фиксирована аффинная система координат, то любая формула вида
(18) с невырожденной матрицей С задает некоторое аффинное преобразование.
Аналогично для плоскости.
Доказательство. Таким образом, матрица С — это матрица перехода от базиса
616263 к базису 616263:
Сц61 + C2162 + 63163,
61261 + 622б2 + 63263,
61361 + 62362 + 63363.
Для произвольной точки Р(ж,у,гг) и ее образа Р(ж,у,гг) (все координаты в первона-
чальном репере) имеем
ОР = ОО Т О Р, ОО = ж0 61 Т уо 62 Т Zq 63, 6>Р = же1 + уе2 + ^ 63,
ОР = ж ei + у е2 + ? е3 = ж0 ei + уо е2 + е3 + ® е) + у е'2 + г: 63 =
= ®0 61 + уо 62 + ^0 6з+ж (61161 + 62162+6316з)+у (61261 + 62262 + 63263) + ^ (61361 + 62362 + 63363),
X Сц + у 612 + Z 613 + Xq
У
х С-21 А У 622 + z 623 + Уо — С
\ X С31 + у 632 + Z C33 + Zq /
Ж \
У +
\z)
/ ж0
Уо
\ Zo
Те же выкладки, проведенные в обратном порядке, показывают, что верно обратное
утверждение. При этом условие невырожденности матрицы С гарантирует, что
штрихованная система является репером, т. е. линейно независима.
Следствие 14.6. Если преобразование f является аффинным относительно од-
ного репера, то и относительно любого.
Доказательство. Пусть f является аффинным относительно репера 6+16263, тогда
по теореме имеют место формулы (18). Пусть (Фе^е^вз — произвольный репер.
Пусть D — матрица перехода от 6+16263 к О*б1б2бз, так что
Тогда координаты (ж*, £/*,£*) образа Р = f(P) и координаты (ж*, £/*,£*) точки Р в
репере связаны формулами
Применяя обратное утверждение теоремы, получаем требуемое утверждение. □
Определение 14.7. Определим действие аффинного преобразования f на пред-
ставителях векторов формулой f(AB) =
Следствие 14.8. Действие f
формулой
на векторах корректно определено в координатах
где — координаты вектора и, а (а,ДД) — координаты вектора /(и). В
частности, для линейных комбинаций векторов
f I И A' r''I = Ц AJ('’J-
\ i / i
Теорема 14.9. Всякое аффинное преобразование
1) переводит прямые в прямые, плоскости — в плоскости, сохраняя свойство
параллельности,
2) сохраняет отношение длин отрезков на параллельных прямых.
Доказательство. Уравнения прямых и плоскостей в первой системе координат
совпадают с уравнениями их образов относительно второй системы координат. Это
доказывает пункт 1).
Пункт 2) следует из следствия про отображение векторов. □
Задача 14. Доказать обратное: преобразование плоскости или пространства с
условиями 1) и 2) является аффинным.
14.1. Изометрические преобразования
Определение 14.10. Аффинное преобразование называется изометрическим
(или изометрией), если оно сохраняет расстояния между точками:
p(f(P),f(Q)) = p(P,Q).
Задача 15. Доказать, что аффинности можно не требовать, т. е. из сохранения
расстояния аффинность следует всегда.
Предложение 14.11. Изометрия сохраняет углы между прямыми.
Доказательство. Равенство треугольников, в частности углов, по трем сторонам.
□
Теорема 14.12. Пусть f — аффинное преобразование, а Ое-^е^е^ — прямоугольная
система координат. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) / — изометрия;
2) соответствующий репер О'е^е^е^ = /(О)/(е1)/(е2)/(ез) является прямоуголь-
ным;
3) в соответствующей координатной записи f матрица С является ортого-
нальной.
Доказательство. Второй и третий пункт эквивалентны по теореме 7.8.
Из 1) следует 2) так как изометрия сохраняет длины, а по предложению, и углы.
Обратно, пусть произвольные точки Р и Q имеют координаты (ад, гд, гф) и (а?2, у2, z2)
соответственно, относительно прямоугольной системы Оехе2ез. Тогда их образы
Р и Q имеют те же координаты в прямоугольной системе О'е^е^еф По формуле
для нахождения расстояния в прямоугольной системе координат имеем в первой и
второй системах соответственно:
p(P,Q) = \/(ад Ф>т2)2 + (г/j Ф>у2)2 + (гд Ф>^2)2,
р(Р, Q) = У(®1 ^>т2)2 + (г/1 Ф>у2)2 + (гд <=>Уг)2- п
Определение 14.13. Преобразование, заданное в некоторой прямоугольной си-
стеме координат формулами
х = х + а, у =
называется скользящей симметрией. Это композиция симметрии относительно не-
которой прямой и сдвига вдоль нее.
Теорема 14.14 (Шаля). Всякая изометрия плоскости является либо параллель-
ным переносом, либо поворотом относительно некоторой точки, либо скользящей
симметрией относительно некоторой прямой.
Доказательство. Напомним, что ортогональные матрицы 2x2 имеют один из
следующих видов:
cos у 4>sin у
sin у cos у
cos 9? sin 9?
sin у Ocos у
Рассмотрим сначала изометрии c det С* = 1 (изометрии первого рода). Если <р = О,
то С = Е и f является параллельным переносом:
Если <р> 0 (с точностью до 2тг&), то найдем неподвижные точки отображения f,
т. е. такие Р*, что f(P*) = Р*. Имеем для координат (ж*, у*) точки 13 уравнения
( х* = ж* cos 9? Oy* sin 9? + т0 = ж*
[у* = ж* sin <р + у* cos <р + уо = у* ’
J ж*(сов р> Ol) Оу* sin р> = Ог0
[ ж* sin 9? + y*(cos <р> О1) = О/о
Поскольку ср 0, то cos ср 1 и определитель системы
cos р Ol Osin ср
sin ср cos ср О1
= (cos <р Ol)2 + sin2 <р 0.
Следовательно, неподвижная точка Р*(ж*,у*) существует и единственна. Рассмо-
трим новую систему координат (ж', у'), заданную соотношениями
ж' = ж Ож*, у' = у РР>у*
(т. е. сдвинем начало координат в точку Р*). В новой системе координат формулы
преобразования f будут иметь вид
ж' = ж'cos 9? Oyz sin 9?,
у1 = ж' sin ср + у' cos 9?,
т. е. преобразование является поворотом на угол ср.
Рассмотрим теперь изометрию второго рода: det С = 4>1. Покажем, что в этом
случае существует неподвижный (свободный) вектор. Имеем для его координат
(а, /3) систему уравнений
{cos ср а + sin р> /3 = а
sin р> a 4=>cos р/3 = /3 ’
cos ср 4>1 sin 9? \ I а \ / 0
sin ср 4^(cos ср + 1) у I (3 I \0
При этом
cos ip 4>1 sin ip
sin ср 4^(cos сд + 1)
= 1 4^cos2 <p 4=>sin2 p = 0
для любого угла ср. Поэтому существует ненулевое решение (ск,/3). Рассмотрим
систему координат с тем же началом, что и исходная, и базисными векторами
Поскольку /(e'j) = Cj, то С1 =
Так как С1 ортогональна и det С1 = 4>1, то
7 _ ( 1 0 \
\0 /
Значит, в штрихованной системе координат f имеет формулы
х' = х' + а,
у' = Оу' + 6,
где а и b — некоторые константы. Перейдем
положив
к новой системе координат (ж", у"),
2
Тогда для образа (ж", у") точки (ж", у") имеем
2
2
2
2
т. е. скользящую симметрию относительно оси О"х". □
В пространстве введем следующие понятия:
Определение 14.15. Винтовое вращение — композиция поворота относительно
некоторой прямой и сдвига вдоль нее;
скользящая симметрия — композиция симметрии относительно некоторой плос-
кости и сдвига параллельно ей;
зеркальное вращение — композиция поворота относительно некоторой прямой и
симметрии относительно перпендикулярной ей плоскости.
Прежде, чем перейти к пространственному аналогу предыдущей теоремы, дока-
жем вспомогательную лемму.
Лемма 14.16. Любая ортогональная трехмерная матрица имеет собственный
вектор, отвечающий собственному значению ±1.
Доказательство. Поскольку мы имеем дело с изометриями, то собственный век-
тор, если таковой существует, не может изменить длину. Поэтому собственное
значение может быть равным только ±1.
С другой стороны, характеристический многочлен имеет в случае пространства
степень 3, а его корни вещественны или попарно комплексно сопряжены. Значит,
хотя бы один из них вещественен, и следовательно, равен ±1. □
Теорема 14.17. Всякая изометрия пространства является одним из следующих
преобразований:
1) винтовое вращение (в частности, параллельный перенос);
2) скользящая симметрия;
3) зеркальное вращение.
Доказательство. Выберем ортонормированный базис, взяв в качестве щ собствен-
ный вектор из леммы. Тогда в этом базисе матрица / будет иметь вид:
00
G
где G — ортогональная 2 X 2-матрица.
Пусть det G = <=>1, тогда из доказательства теоремы 14.14 следует, что е^ и ез
можно выбрать таким образом, что G = q
возможности:
0
441
, а для матрицы / мы имеем две
/ 1 0
0 1
\о о
441
о
о
о о \
1 0 .
0 441 )
По тем координатам, где (441), произведем сдвиг, как в теореме 14.14. В результате
получим в новой системе координат два варианта формул /:
44г'
у' + ъ .
44г'
В первом случае имеем скользящую симметрию, а во втором — винтовое вращение
на угол тг.
Пусть теперь det G = 1. Тогда G = ( ^44 ] Если р = 0, то получаем
\ sin р cos р I r
либо параллельный перенос (частный случай винтового вращения), либо, если в ле-
вом верхнем углу стоит (441), сделав опять сдвиг “на половину свободного члена”,
отображение с формулами
Y»/ -
•Л/ \ /Wy
У' = у' + b ,
z' = z' + с
т. е. скользящую симметрию. Если р 0, то так же как в соответствующей части
доказательства теоремы 14.14, найдем точку (y*,z*) и произведем соответствующий
сдвиг таким образом, что в новой системе координат (ж', у', х') формулы / будут
х' = ±ж' + а
у’ = у' cos р PPz' sin р
z' = у' sin р + z' cos р.
В случае (+) получили винтовое вращение. В случае (<=>), сделав опять сдвиг “на
половину свободного члена”, получим отображение с формулами
•Л/ \ /Wy
у’ = у' cos у -&z' sin у
z' = у' sin у + z' cos 9?,
t. e. зеркальное вращение. □
15. Аффинная и метрическая классификация ква-
дрик
Определение 15.1. Две существенные квадрики аффинно (соотв., метрически)
эквивалентны, если одна из них может быть переведена в другую аффинным (соотв.,
изометрическим) преобразованием как множество точек.
Определение 15.2. Две квадрики сильно аффинно (соотв., метрически) экви-
валентны, если одна из них может быть переведена в другую аффинным (соотв.,
изометрическим) преобразованием как множество точек и уравнение первой кри-
вой в любой системе координат совпадает (с точностью до ненулевого множителя)
с уравнением второй кривой в отображенной системе.
Заметим, что образ существенной квадрики при аффинном преобразовании —
квадрика, имеющая в отображенном репере то же уравнение, что исходная квадрика
в исходном репере. Таким образом для существенных квадрик понятия эквивалент-
ности и сильной эквивалентности совпадают.
Теорема 15.3. Две существенные квадрики метрически эквивалентны тогда и
только тогда, когда они имеют одинаковый канонический вид. Для несуществен-
ных одинаковый канонический вид является достаточным условием метрической
эквивалентности.
Две квадрики сильно метрически эквивалентны тогда и только тогда, когда
они имеют одинаковый канонический вид.
Доказательство. Достаточность. Любая квадрика имеет в некоторой прямоуголь-
ной (канонической) системе координат каноническое уравнение одного из девяти
типов, причем однозначно определенное (в отличие от канонической системы), как
показывает теория инвариантов и семиинварианта. Пусть две квадрики имеют оди-
наковые канонические уравнения в системах Oei62 и О'е\е'2 соответственно. Тогда
изометрия, переводящая первый репер во второй, переводит первую квадрику во
вторую.
Необходимость. Рассмотрим две метрически эквивалентные существенные ква-
дрики. Рассмотрим каноническую систему Оху для первой из них и ее образ О'х'у'
при данной изометрии. В первой системе квадрики имеют уравнения Fi(t,j/) = О
и Т2(т,у) = 0, причем Fi — каноническое. Тогда вторая квадрика имеет два
уравнения в новой системе координат: то же, что первая кривая имела в исход-
ной системе, т. е. = 0 и то, что получается заменой координат, т. е.
РДх',у') = РДДх' ,уДу(х' ,у'У) = 0. Но поскольку квадрика существенная, то они
отличаются лишь на ненулевой множитель. Таким образом, 7*1 (а/, у') = 0 — канони-
ческое уравнение и для второй квадрики.
Очевидно, что если добавить условие сильной эквивалентности, то от существен-
ности в последнем рассуждении можно отказаться. □
Лемма 15.4. Для любой квадрики существует аффинная система координат, в
которой она имеет одно из следующих уравнений:
1) х2 + у2 = 1, эллипс;
2) х2 + у2 = мнимый эллипс;
3) х2 + у2 = 0, пара пересекающихся мнимых прямых;
4) х2 йЩу2 = 1, гипербола;
5) х2 <?=гу2 = 0, пара пересекающихся прямых;
6) у2 Щ/2х = 0, парабола;
7) У2 = 0; пара параллельных прямых;
8) у2 + 1 = 0, пара мнимых параллельных прямых;
9) у2 = 0, пара совпдающих прямых.
Доказательство. Берем каноническое уравнение и растягиваем оси. □
Теорема 15.5. Две квадрики сильно аффинно эквивалентны тогда и только то-
гда, когда они имеют одинаковые названия.
Доказательство. По лемме, аналогично теореме о метрической классификации,
получаем, что квадрики одного названия аффинно эквивалентны.
Обратно, докажем, что квадрики с различными названиями аффинно неэквива-
лентны.
У ЭГП никакие три точки не лежат на одной прямой, в отличие от остальных
квадрик.
Поскольку при аффинных преобразованиях сохраняется условие числа точек пе-
ресечения и деления в данном отношении, то центр переходит в центр, а асимпто-
тическое направление — в асимптотическое.
Так как у параболы нет центра, а у эллипса и гиперболы — есть, причем у эллипса
нет асимптотических направлений, а у гиперболы — есть, то эллипс, гипербола и
парабола аффинно неэквивалентны.
Существенные распадающмеся кривые различаются геометрически (так как тут
сильная эквивалентность равносильна эквивалентности).
Наконец, у мнимого эллипса нет асимптотических направлений, а у пары мнимых
параллельных прямых — есть. □
Следствие 15.6. Две существенные квадрики аффинно эквивалентны тогда и
только тогда, когда они имеют одинаковые названия.
Для определения названия (типа) квадрики применяют метод Лагранжа выде-
ления полных квадратов. Например, рассмотрим кривую
х2 444жу + 6г/2 + 2т + 4г/ 4410 = О,
(ж 442?/ + I)2 444т/2 + 4г/ 441 + 6г/2 + 4г/ 4410 = 0,
(ж 442?/ + I)2 + 2г/2 + 8г/ 4411 = 0,
(ж 442?/ + I)2 + (V2t/ + 2V2)2 448 4411 = 0,
/ж 442т/+ 1 \ 2 С^2г/+ 2V2 А 2
------~i=-- + --------~i= 441 = U,
\ Д19 ) \ Д19-)
(ж')2 + Д')2 441 = 0,
эллипс. Заметим, что всегда имеем преобразование с треугольной матрицей, т. е.
невырожденное.
16. Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка задаются в некоторой аффинной системе коорди-
нат уравнением
С(ж, у, z) — «цж2 + а%2у2 + «зз^2 + 2а^ху + 2«1зж^ + 2a%3yz +
?(w)
квадратичная часть
-|- 2<ит -|- 2а2у “I- 2а3^ — 0* (19)
1Д,у,г)
однородная линейная часть
При этом требуется, чтобы квадратичная часть была отлична от нуля. Если ввести
обозначаения
/ \ / йц «12 «13 «1 \
а11 &12 &13 \
1 Л «12 «22 «23 «2
«12 а22 «23 , Л : —
«13 «23 «33 «3
«13 «23 «33 /
\ «1 «2 «3 «0 /
то уравнение примет вид
(20)
Как и раньше будем называть квадрикой многочлен второй степени с точностью
до умножения на ненулевой множитель.
Пока будем считать систему координат прямоугольной.
Теорема 16.1 (из курса линейной алгебры). Пусть в некоторой прямоугольной
системе координат задана квадратичная часть q(x,y,z). Тогда найдется другая
прямоугольная система координат с тем же началом, в которой квадратичная
часть примет диагональный вид
9'(Ж'л',^ = А1(Ж')2 + А2(г/')2 + АзИ2,
где Ai,A2,A3 — собственные значения Q, т. е. корни характеристического много-
члена
%<?(А) = det (Q ФдА/у) = 0,
а новые базисные вектора е^е^е^ являются соответствующими собственными
векторами. В частности, все собственные значения веществены, а собственные
вектора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Лемма 16.2. Для любого многочлена второй степени в пространстве суще-
ствует прямоугольная система координат, в которой он принимает один из сле-
дующих пяти видов:
(i) F = Ait2 + А2т/2 + А3^2 + т (AiA2A3 0);
(ii) F = Ait2 + А2т/2 + 2b3z (AiA263 / 0);
(iii) F = AiT2 + А2т/2 + т (AiА2 0);
(iv) F = Ajt2 + 2с2у (Ajc2 ф 0);
(v) F = Ait2 + т (Ai ф 0).
Доказательство. В силу предыдущей теоремы можем найти такую прямоуголь-
ную систему, в которой квадратичная часть диагональна, т. е.
F = Ait2 + А2т/2 + А3^2 + 2Ь\х + 2Ь2у + 2b3z + 6() = 0.
Рассмотрим все возможные случаи.
(i) При AxA2A3 0 имеем
т, a ( М2 а ( ЬЛ2 а ( ЬД2
F — Ai I х + — I + Ах I у + — I + A3 I х + — I +
\ Ф У \ А2 у \ ^3/
А2 A3 у
= Ах(ж')2 + А2(г/')2 + АзИ2 + т.
(ii) При А3 = О и Ах А2/З3 О имеем
F = Ах
Ах(ж')2 + А2(г//)2 + 2&з^ + т
— Ахж2 + А2у2 + 2Ь3 (z + —— j — Ахж2 + А2х/2 + Fb3z'.
\ zbzJ
(iii) При А3 = /З3 = О и АхА2 7^ О имеем
Г = Ах(ж + у!-] +Л16/ + Т’) +
\ 'Ч / \ /'2 /
Ах А2 у
= Ах(ж')2 + А2(г/')2 + т.
(iv) Пусть А3 = А2 = О , Ах О и хотя бы один из Ь2 и Ь3 не равен нулю. Тогда
имеем
где
х + с2 = У(Ь2)2 + (Ьз)2
1
V(M2 + (Ьз)2
1
V(M2 + (Ьз)2
(44Ьз?/ + b2z).
Такая “нормировка” функций перехода гарантирует ортогональность соответству-
ющей матрицы и, тем самым, ортогональность замены.
Если же Ь2 = Ь3 = 0, то мы сразу имеем выражение конечного вида.
(v) Пусть А3 = А2 = Ь2 = Ь3 = 0 и Ах 0. Тогда имеем
Лемма доказана. □
Теорема 16.3. Для любой квадрики сущствует прямоугольная система коорди-
нат, в которой она имеет один из следующих 17 видов:
™2 „,2 ./2
1) X у Z — + — 4—- = 1 (а > о > с > 0) (эллипсоид); а2 Ъ2 с2 '2. „,2 ./2
2) X у Z — + — 4—- = 441 (а > о > с > 0) (мнимый эллипсоиду а2 о2 с2 '2 „,2 ./2
3) X у Z — 4- тт 44 — = 1 (а > о > 0) (однополостный гиперболоид); а2 Ъ2 с2 .2 „,2 ./2
4) X у Z 44 — 44— 4—- = 1 (а > о > 0) (двуполостным гиперболоиду, ..2 „,2 ./2
5) X у Z — 4- 44 — = 0 (а > о > 0) [конус [второго порядка)); ™2 „,2 ./2
6) X у Z — 4-^-4—- = 0 (а > о > 0) [мнимый конус [второго порядка));
7) ж2 у2 1 = 2т (р > q > 0) (эллиптический параболоид}-, D (1
8) г Ч х2 у2 — 44— = 2т (р > q > 0) (гиперболический параболоид}-, Т> о
9) н ч х2 у2 — 4- — = 1 (а > 6 > 0) (эллиптический цилиндр}-, ОД и
Ю) х2 у2 — 4- — = 441 (а > Ь > 0) (мнимый эллиптический цилиндр)-, а2 о2
И) х2 у2 — 4-777 = 0 (а > Ь> 0) (две мнимые пересекающиеся плоскости
12) и х2 у2 — = 1 (« > Ь > 0) (гиперболический цилиндр)-, а2 о2
13) х2 у2 — 44ту = 0 (а > Ь > 0) (две пересекающиеся плоскости)-, а2 о2
14) у2 = 2рх (р > 0) (параболический цилиндр)-,
15) у2 = а2 (а > 0) (две параллельных плоскости);
16) 17) у2 = 44/2 (а > 0) (две мнимых параллельных плоскости); у2 = Q (две совпадающих плоскости).
Доказательство. Сначала применяем лемму, а потом для каждого из типов (i)-(v)
рассматриваем все случаи. Например, возьмем (i). Возможны случаи:
Если все Xi одного знака, ат — противоположного, то делением на yyt и переменой
осей уравнение приводится к виду 1) (эллипсоид).
Если все Xi и т одного знака, то делением на t и переменой осей уравнение при-
водится к виду 2) (мнимый эллипсоид).
Если все Xi одного знака, а т = 0, то переменой осей уравнение приводится к
виду 6) (мнимый конус).
Если Xi разных знаков, а т = 0, то переменой осей уравнение приводится к виду
5) (конус).
Если Xi разных знаков, причем у одного тот же знак, что и у т, то переменой осей
и делением на yyt уравнение приводится к виду 3) (однополостный гиперболоид).
Если Xi разных знаков, причем у двух тот же знак, что ну г, то переменой осей
и делением на уравнение приводится к виду 4) (однополостный гиперболоид).
Таким образом, случай (i) дает 1)-6). Аналогично с другими:
0) 1, 2, 3, 4, 5, 6
7,8
(iii) 9, 10, 11, 12, 13
(iv) 14
(v) 15, 16, 17
□
Теорема 16.4. Каноническое уравнение, в отличие от канонической системы
координат, определено однозначно (для видов 5,6,11,13 — с точностью до
множителя).
Доказательство. Так же, как и в случае кривых, доказывается, что коэффици-
енты (в частности, определитель 8 и след S) и корни Аг- характеристического много-
члена матрицы Q являются ортогональными инвариантами, а также определитель
А матрицы А. Также инвариантны ранги г и R матриц Q и А.
Тогда поверхность однозначно относится к одному из типов (i)-(v), так как
0) r = 3; R = 3 или R = 4
(ii) r = 2, R = 4
(iii) r = 2, R = 2 или R = 3
(iv) r = 1, R = 3
(v) r = 1, R = 1 или R = 2
Внутри типа (i) Аг- — инварианты, а т = А/8. Внутри типа (ii) Ai, А2 — инвари-
,, А2 А
анты, а (о3) = 44-——.
Ai А2
Остальные поверхности, являясь цилиндрическими, имеют канонические уравне-
ния, не содержащие z. Допустим, имеется замена прямоугольных координат, пере-
водящая одно из таких уравнений в другое. Тогда х и у не зависят от z' (и поэтому
доказательство сводится к доказанному двумерному случаю). Покажем это, напри-
мер, для уравнения вида Ат2 + цу2 + т = 0. Пусть х = Сц? + с^ру' + c3\z' + сд и
у = С12т' + с22т/ + c322r' + с2, а результирующее выражение не зависит от z'. Тогда
АсцС31 = 4^UCi2C32
Ac2iC3i = 4^ис22с32
Асз1С31 = 4^ис32с32
AciC3i = 4^ис2сз2,
в частности, если хотя бы одно из с31 и с32 отлично от 0, то две первые строки
матрицы перехода линейно зависимы и получаем противоречие.
Уравнения распадающихся поверхностей (11, 13, 15, 16, 17) определяются одно-
значно также из геометрических соображений (теория плоскостей). □
16.1. Основные виды поверхностей второго порядка и их
геометрические свойства
2 2 2
X у Z
1) эллипсоид. — + — + — = 1
а2 о2 с2
Поскольку |ж| < а, \у\ < 6. \z\ < с, то эллипсоид ограничен.
Теорема 16.5. Плоское сечение поверхности второго порядка есть кривая по-
рядка не выше двух.
Доказательство. Выберем систему координат, в которой уравнение плоскости:
z = 0. Тогда уравнение сечения С(ж, у) := Т(ж, у, 0) = 0. □
Следствие 16.6. Непустое плоское сечение эллипсоида — эллипс или точка.
Доказательство. Это единственные непустые ограниченные кривые 0, 1 или 2-го
порядка. □
ж2 у2 гг2
3) однополостныи гиперболоид (рис. 5 а) — + — -<=> — = 1
а2 о2 с2
х2 у2
В сечении плоскостью z = 0 получается эллипс — + — = 1, называемый горло-
Ь2 о2
вым.
Однополостный гиперболоид обладает следующим замечательным свойством.
Определение 16.7. Назовем прямолинейной образующей поверхности прямую,
целиком в ней содержащуюся. Как правило, это понятие не применяется к рас-
падающимся поверхностям.
Теорема 16.8. Однополостный гиперболоид имеет два семейства прямолинейных
образующих. Через каждую точку проходит ровно одна прямая каждого семей-
ства, и эти две прямые пересекаются ровно по этой точке. Две различные прямые
из одного семейства скрещиваются, а из разных — пересекаются или параллельны.
Рис. 5.
Доказательство. Заметим, что указанные свойства являются аффинными, а не
метрическими, поэтому достаточно доказать теорему для гиперболоида x2-\-y2^-z2 =
1. Перепишем это уравнение в виде
х2 ^z2 = 1 44т/2, (х ^z)(x + z) = (1 44т/)(1 + у).
Отсюда сразу видим два семейства прямолинейных образующих:
I:
А(т -^z)
ц(х + z)
&у)
А(1 + у)
II:
Г А(ж <&z)
1 р,(х + z)
м(1 + у)
А(1 &у)
где А и у, — произвольные вещественные числа, не обращающиеся в нуль одновре-
менно. Тогда
А у,
/л 4>А
= 44А2 44//2 < О,
А 44//
у, А
= А2 + /л2 > О,
так что пары плоскостей в пересечении действительно дают прямую.
Пусть точка (ж0, т/о, -^о) принадлежит гиперболоиду. Тогда, взяв для I А = х0 + _г0
и у, = 1 + т/о, а Для II — А = х0 + 2о и М = 1 ^4?/о, получим прямые, проходящие
через данную точку. Поскольку одно из чисел 1 44т/о или 1 + у0 отлично от 0, то
пара (А, /г) определена по точке (то,т/о,^о) однозначно (с точностью до множителя)
для каждого семейства. Итак, через каждую точку проходит ровно одна прямая
каждого семейства.
Покажем, что других образующих нет. Допустим, что образующая параллельна
плоскости z = 0, т. е. содержится в плоскости z = z0. Тогда она должна содер-
жаться в окружности х2 + у2 = I + ^q, что невозможно. Итак, всякая образующая
пересекает z = 0, а значит, и горловой эллипс (окружность). В силу вращательной
симметрии достаточно исследовать одну его точку, например, (1,0,0). Пусть че-
рез нее проходит прямолинейная образующая с некоторым направляющим вектором
(а,/3,у):
' х = 1 + at
< У = ft
z = yt
так что уравнение (результат подстановки в уравнение гиперболоида)
(а?2 + I2 44; 2)/2 + 2at = 0
должно иметь решением любое t, откуда
а2 + I2 44у2 = 0
2а? = 0
(З2 44у2
0
0
Значит, направляющий вектор (с точностью до ненулевого множителя) равен
(0,1, ±1), т. е. имеются две возможности, а их мы уже нашли — это прямая первого
семейства и прямая второго. Итак, других образующих нет.
Из аналогичного соображения получаем, что прямые одного семейства не могут
пересекаться. Пусть они параллельны одному вектору (а?,/3,7). Значит, он парал-
лелен каждой из 4-х плоскостей, фигурирующих в записи двух прямых семейства.
Тогда он является ненулевым решением системы 4-х линейных уравнений с матрицей
t А ц 44А
ц 44А ц
А' ц' 44А'
; ц' 44А' ц' /
Если ц = ц' = 0, то прямые совпадают. Если /1 = 0 и / 0, т. е. можно считать
А = ц' = 1, то ранг не меньше трех (поскольку должно быть ц' = иХ и ц' = 44иА).
Аналогично в обратной ситуации. Значит, можно считать, что ц = ц' = 1, а А и А'
— ненулевые. Тогда для условия rk < 3 необходимо
А // 44\
ц 44А ц
ц' оА' ц'
А 1 44А
1 44А 1
1 44А' 1
= 44\2 —|-1 Ч- АА' 44А2 441 + АА' = 2А(А' 44А) = 0,
что в данной ситуации возможно только если А = А' и прямые совпадают. Итак, две
прямые одного семейства скрещиваются.
Семейства не пересекаются, так как отображение (ж, у, г?) ь-> (44г, 4Д/, 44г) пере-
водит прямые одного семейства в прямые другого, параллельные своим прообра-
зам. Действительно, если бы прямая принадлежала обоим семейтвам, то ее образ —
также, и тем самым, мы имели бы две параллельные прямые из одного семейства.
Теперь рассмотрим две прямые /| и /2 из разных семейств. Пусть тг — плоскость,
проходящая через /| и некоторую точку Р G /2, Р С- Поэтому соответствующее
плоское сечение гиперболоида, являясь по теореме 16.5 кривой порядка не старше
2, должно быть парой параллельных или пересекающихся прямых. Одна из них
— /1, а другая — некоторая прямолинейная образующая I Э Р. Она не совпадает
и не скрещивается с Zi, поэтому, по доказанному, не может принадлежать первому
семейству, а значит, принадлежит второму, и в силу единственности прямой второго
семейства, проходящей через Р, совпадает с Z2. □
ж2 у2 z2
4) двуполостный гиперболоид (рис. 5 б) Н—- = 1
а2 о2 с2
Плоскость z = 0 не пересекает гиперболоид и разделяет его на две части, назы-
ваемые полостями.
Теорема 16.9. Двуполостный гиперболоид не имеет прямолинейных образующих.
Доказательство. Прямолинейная образующая не может пересекать плоскость z =
0. Значит, она лежит в плоскости z = z0. Но соответствующее плоское сечение
х2 у2
za
ограничено (эллипс, точка или 0)
5) конус второго порядка
и не может содержать прямую.
. х у
(рис. 6 а)) - +
<г К
□
Рис. 6.
Заметим, что уравнение однородно (второго порядка): F(Xx,Xy,Xz} =
А, 2 F(t, у, гг), и таким образом, любая прямая, содержащая О и некоторую другую
точку конуса, является прямолинейной образующей.
Определение 16.10. Пусть , — произвольна я кривая, лежащая в плоскости 7Г, а
точка О не принадлежит 7Г. Конической поверхностью над , с центром в О называ-
ется объединение всех прямых вида OX, X G , (рис. 6 б)). Прямые ОХ называются
образующими, а кривая , — направляющей конической поверхности.
Теорема 16.11. Коническая поверхность над эллипсом является конусом второго
порядка.
Доказательство. Выберем такую систему координат с центром в О, что плоскость
л задается уравнением z = h 0 (рис. 6 в)). Если мы выберем направления осей
Ох и Оу параллельно главным осям эллипса ,, то уравнение эллипса в пл оскости тг
примет вид:
F(t, у) = ап(х Ф>т0)2 + а^У <>Уо)2 4>1 = О,
где 0 < ац < «22- Тогда уравнение конической поверхности над ним:
Ф(ж,у,с) = z2 F (-h, -h\ = 0.
\z z J
Действительно, точка (ж, у, c), z 0, принадлежит поверхности тогда и только то-
/ж у \ / х у \
гда, когда точка — /г, — /г, /г принадлежит кривой, т. е. F — /г, — п ] =0. Но при
\Z Z ) \z z J
сделанном предположении z 0 данное уравнение равносильно выводимому. Оста-
лось доказать, что при z = 0 выводимое уравнение определено и его множество
решений совпадает с О. Определенность следует из того, что во втором сомножи-
теле степень 1 /z равна 2 и при умножении пропадает. После умножения уравнение
превращается (при z = 0) в К2 q(x,y) = 0. Поскольку асимптотических направлений
у эллипса нет, то х = у = 0.
Итак,
Фь.9.г) = л + =о.
у \ Z ) \ Z J J
После замены х' = х 4Уж0, у' = у гй-ув- z' = z получаем
Ф« у', z') = ailh2(xf)2 + «22/г2(у')2 4>(/)2 = 0,
т. е. конус. □
Задача 16. Что представляют собой конические поверхности над гиперболой и
параболой ? Ответ: обычный конус без двух или одной прямой.
„ ж2 у2
7) эллиптическим параболоид (рис. 7 а))------1---= 2с
Р Ч
Теорема 16.12. Эллиптический параболоид не имеет прямолинейных образующих.
Доказательство. Дословно как с двуполостным гиперболоидом. □
х2 у2
8) гиперболический параболоид (рис. 7 б)) — -ФУ — = 2с
р q
Определение 16.13. Ненулевой вектор (а, Д,у) задает асимптотическое напра-
вление для поверхности F = 0, если он обуляет квадратичную форму уравнения
у(а, Д, у) = «цо2 + а22Д2 + «ззу2 + 2а12аД + 2а1зау + 2а2зДу = 0.
Рис. 7.
Теорема 16.14. Асимптотические направления не зависят от выбора системы
координат.
Доказательство. Дословно, как для кривых. □
Теорема 16.15. Прямолинейные образующие любой поверхности имеют асимпто-
тическое направление.
Доказательство. Пусть
' х = т0 + at
< У = Уо + /3t
. -г = ?о + yt
— прямолинейная образующая. Подставив в уравнение F = 0, получим F2t2 + 2FH +
Fo = 0 для любого t. Значит, F2 = q(ck, /3, = 0. □
Теорема 16.16. Гиперболический параболоид имеет два семейства образующих,
проходящих через каждую точку. Образующие одного семейства попарно скрещи-
ваются и параллельны одной плоскости, а разных — пересекаются.
Доказательство. Асимптотические направления (а, [3, у) гиперболического пара-
а2 [З2
болоида находятся из уравнения — -ФУ— = 0, т. е. лежат в плосокстях
Р Ч
7Г1 :
7Г1 :
а (3
—А ”1----~г- = О’
у/р \/Ч
С учетом уравнения параболоида
это означает, что имеются два семейства прямолинейных образующих
Действительно, если мы имеем образующую, параллельную, скажем, 7Г1, то рассто-
яние (со знаком) от любой ее точки до 7Ti постоянно, т. е. с некоторой константой
к мы имеем ---О----- = /г, откуда из уравнения поверхности получаем второе урав-
\/Р
пение (I). Таким образом, других образующих нет.
Через каждую точку параболоида проходит ровно по одной образующей каждого
семейства, так как к определяется однозначно.
Заметим, что никакая вертикальная прямая не может быть прямолинейной обра-
зующей. Действительно, в этом случае х = const, у = const, откуда и z = const.
Два семейства не пересекаются. Действительно, предположим, что общая прямая
имеет направляющий вектор (а,/Д7). Тогда он должен удовлетворять однородной
части первых уравнений обеих систем:
откуда а = [3 = 0 и прямая вертикальна, что невозможно.
Образующие из одного семейства не могут пересекаться, так как это противоре-
чило бы единственности. Они не могут быть параллельны, так как их направляющие
вектора — (д/Р, уй/, с различными к. Значит, они скрещиваются, причем (по опре-
делению) параллельны фиксированной плоскости.
Пусть теперь Д и /2 — образующие из разных семейств. Покажем, что они
пересекаются. Рассмотрим плоское сечение параболоида, проходящее через Д и Р G
/2, Р Д. Это кривая, порядка не выше 2, значит состоящая из двух прямых
/1 и I. Предположим I 12, причем они пересекаются (в точке Р). Значит, I не
принадлежит второму семейству, т. е. принадлежит первому. Но тогда она должна
скрещиваться с Д и не может лежать с ней в одной плоскости. Значит, I = /2.
Допустим, Zi||/2. Тогда координаты (а,/Д7) удовлетворяют уравнениям
Р РЧ
Р Р(!
откуда а = [3 = 0 и образующая вертикальна, что невозможно. □
Вернемся к гиперболоидам. Их асимптотический конус определяется уравне-
нием
2 „,2
а2 Ь2 с2
Из уравнения однополостного гиперболоида имеем для положительных z\
(21)
Z1 = С
х2 у2
----1- — <=>1
а2 + Ъ2 ’
а из уравнения (21) —
откуда
-22 ^-21 =
(ж2 + у2 0).
Аналогично для двуполостного.
Предложение 16.17. Асимптотические направления однополостного ги-
перболоида совпадают с направлениями образующих его асимптотического конуса
и являются решениями (21).
Доказательство. По определению асимптотических направлений. □
Теорема 16.18. Никакие три различных прямолинейных образующих однополост-
ного гиперболоида из одного семейства не параллельны одной плоскости. Любые
три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, являются
прямолинейными образующими некоторого однополостного гиперболоида.
Доказательство. Рассмотрим три прямолинейных образующих из одного семей-
ства. Допустим, они параллельны одной плоскости. Так как центральное плоское
сечение (асимптотического) конуса состоит из двух пересекающихся или одной пря-
ной, то две из трех прямых должны быть параллельны. Противоречие.
Рассмотрим три попарно скрещивающиеся прямые и некоторую аффинную си-
стему координат, в которой они имеют вид:
( X = Xi ( Ж = Ж2 ( у = у3
«1 : < «2 1 «з 1
[ У = У1 [ Z = z2 ( 2 = z3
Следующая квадрика содержит все эти прямые:
(ж 4>Ж1)(у Ф>Уз)(-2 Ф>22) фДж Ф>ж2)(у Ф>У1)(-2 ^z3) = 0.
Это действительно квадрика, так как коэффициент при ж3 равен нулю, а, скажем
при ху равен Огд+гд 0, так как прямые скрещиваются. Из классификации квадрик
и доказанных свойств следует, что это — однополостный гиперболоид (у цилиндров
таких образующих не может быть, это мы докажем в следующем предложении 16.19).
□
Рассмотрим теперь нераспадающиеся цилиндры
ж2 у2
9) эллиптический цилиндр — + — = 1
а2 Ъ2
ж2 у2
12) гиперболический цилиндр — -<=> — = 1
а2 о2
14) параболический цилиндр у2 = 2рж
Предложение 16.19. Все прямолинейные образующие нераспадающихся цилиндров
являются их образующими (образующие цилиндров определяются по аналогии с ко-
ническими поверхностями) и, следовательно, параллельны между собой.
Доказательство. Рассмотрим произвольную прямолинейную образующую и спро-
ектируем ее на плоскость z = 0. Тогда результат проекции должен целиком при-
надлежать направляющей (конике), что возможно только тогда, когда проекция —
точка, т. е. прямолинейная образующая параллельна оси Oz, т. е. образующим.
□
16.2. Общая теория поверхностей второго порядка
Рассмотрев уравнение (19), введем обозначения (частные производные):
Fx = 2(апх + Я12У + + ai),
Fj, = 2(«12Т + а-22У + + а2),
Fz = 2(«1зт + «2зУ + "зз- + аз)-
Пересечение прямой
' х = т0 + ай
< У = Уо + pt (22)
. -г = ?о + yt
с данной плоскостью описывается уравнением
F2t2 + 2ГП + Fo = 0, (23)
где
F2 = q(a,(3,y),
2Fi = (aFx + (3Fy + ^Fz)\^X0ty0tZ0p
Fo = F(xo,yo,zo).
Теорема 16.20. Прямая неасимптотического направления имеет с поверхностью
либо две общие точки (возможно, совпавшие), либо не пересекает поверхности.
Прямая асимптотического направления либо лежит на поверхности, либо
имеет с ней единственную общую точку, либо не пересекает ее.
Доказательство. Рассмотрим уравнение F2F + Fit + Fo = 0, где F2 = q(a,f3,y), а
(а,)3,у) — направляющий вектор I.
Если направление неасимптотическое, то F2 = q(a,f3,fF) ^0и квадратное урав-
нение невырождено. Оно может иметь 2, 1 или 0 решений. При этом 1 решение,
когда полный квадрат. Мы можем считать, что начальная точка (х0, у0, _г0) лежит
на кривой. Тогда Fo = 0 и вторая точка совпадает с начальной, если Fi = 0. По-
скольку при сколь угодно малом возмущении (повороте) вектора (а,/3,у) будет уже
Fi 0, т. е. секущая, то это две совпавшие точки.
Если же направление асимптотическое, то F2 = 0 и уравнение принимает вид
2Fit + Fo = 0. Если Fi 0, то имеется единственная точка пересечения. Если
Fi = 0, a Fo 0, то пересечение пусто. Если Fi = Fo = 0, то пересечение I и ,
совпадает с I. □
Теорема 16.21. Середины хорд данного неасимптотического направления (а,ДД)
лежат в одной плоскости
aFx + (3Fy + 7F, = 0,
(24)
называемой ДИАМЕТРАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ, СОПРЯЖЕННОЙ ДАННОМУ НЕАСИМ-
ПТОТИЧЕСКОМУ НАПРАВЛЕНИЮ.
Доказательство. Пусть /, заданная параметрически (22), пересекает поверхность
в двух (возможно совпавших) точках, и (т0, г/о, х0) — середина соответствующего
отрезка (хорды). Для нахождения Ц и /2, соответствующих точкам пересечения, мы
имели уравнение (23), причем в нашем случае F2 0. По теореме Виета для t0 = 0,
отвечающего (то,г/о), условие середины хорды примет вид
0 = ^о =
ti + Ц
2
Fi = 0.
Докажем, что данное уравнение задает плоскость, т. е. это уравнение первой сте-
пени, а не нулевой. Перепишем:
(аца + ацД + а1зд)т + (ai2a + а22Д + а2з)у + (а^а + а2зД + аззд)х + (aia + а2Д + азд) — 0
Если
аца + ацД + а^д = 0, ха аца2 + ацаД + а13ау = 0,
ai2a + а22Д + а2зд = 0, хД < а^аД + а22Д2 + а2зДд = 0, +
ахза + а2зД + аззд = 0, х^ «1з«7 + «23Д7 + «зз72 = °,
и у(а,Д,д) = 0, что противоречит неасимптотичности направления. □
Лемма 16.22. Для всякой поверхности второго порядка существуют три неком-
планарных неасимптотических направления.
Доказательство. Уравнение для нахождения асимптотических направлений
у(а,Д,д) = 0 определяет, как видно после диагонализации, конус, мнимый конус
или пару пересекающихся (быть может, мнимых) плоскостей. Всегда для них можно
найти три искомых направления. □
Теорема 16.23. ЦЕНТРЫ (симметрии) непустой поверхности находятся из си-
стемы
' Fx = 0
< Fy = 0 (25)
. Fz = 0.
Доказательство. | =z | Пусть (т0, уо,-?о) — центр. Пусть (сц, Д, 7,-), i = 1,2,3, —
направляющие векторы прямых, определенных по предыдущей лемме, причем пе-
ресекающих поверхность. Тогда (®0, Уо,-^о), как середина соответствующих хорд,
принадлежит соответствующим диаметральным плоскостям, т. е. удовлетворяет
уравнениям
а?г(ацТо + «12У0 + + а1) + Д(а12жо + Я22У0 + + ^2) +
+ 7г'(а13ж0 + а23Уо + «33^0 + аз) = 0, i = 1, 2, 3.
Обозначив выражения в скобках через u, v и w соответсвенно, получим, что u, v и
w удовлетворяют системе линейных уравнений
аги + Д г? + 7i w = О
< а2и + [32v + 72w = О
ази + f33v + 73W = О
При этом уравнения линейно независимы, так как вектора (скг-, Д, 7г) неколлинеарны.
Значит, единственная возможность: и = v = w = 0.
| <= | Пусть точка М(то,уо,-го) удовлетворяет “уравнениям центра”. Перейдем к
новой системе координат (ж', у', У):
х' = х 47т0, у' = У <^Уо, z1 = z 47^0,
так что
X = х' + х0, у = у' + у0, z = z' + -г0.
Тогда
F'(x', у', z') = а,ц(х' + Жо)2 + 2ai2(x' + Хо)(у' + уо) + Я22(уХ + Уо)2 + азз(г' + ^о)2+
+2а1з(т/ + то)(^/-|-^о) + 2«2з(у/ + уо)(^/ + ^о) + 2«1(т/ + то) + 2а2(у/ + уо) + 2«з(^/ + ^о) + ао =
= йц(х;)2 + 2ai2T/y/ + a22(yz)2 + 2а13х'z + 2а23у z + азз(^/)2+
+ 2(ац®0 + а12Уо + ®13^0 + Я1)т/ + 2(й12Жо + Я22У0 + ®23^0 + а2)у’~\~
+2(й1зТо + «23У0 + "зз-о + ai)z’ + F(xq, уо, Zq) =
= йц(х;)2 + 2ai2T/y/ + а22(ух)2 + 2ai3x'z' + 2а2зу/^/ + a33(^zr)2 = 0.
Очевидно, что если точка (ж', у', z1) удовлетворяет этому уравнению, то и
(^х', -^у', ФТ^) — тоже, а координаты М в новой системе: (0,0,0). □
Теорема 16.24. Поверхность является ЦЕНТРАЛЬНОЙ, т. е. имеет единственный
центр, тогда и только тогда, когда 8 = det Q 0.
Доказательство. Матрица системы уравнений центра совпадает с Q. □
Определение 16.25. Неасимптотическое направление называется главным, если
сопряженная ему диаметральная плоскость перпендикулярна ему.
Следующие два утверждения мы приводим без доказательства, аналогичного слу-
чаю кривых.
Теорема 16.26 (*). Главные направления совпадают с собственными векторами
матрицы Q квадратичной части.
Теорема 16.27 (*). Плоскость, сопряженная главному направлению, является
плоскостью симметрии поверхности.
Определение 16.28. Точка Р(т0, г/о, -^о) поверхности F = 0 назывется особой, если
Fx(x0, у0, z0) = Fy(x0, у0, z0) = Fz(x0, у0, Zq) = 0. Таким образом, особые точки — это
центры, принадлежащие поверхности.
Поверхность называется неособой, если она не имеет особых точек.
Неособые поверхности: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры,
пара параллельных плоскостей.
Особые поверхности: конусы, пара пересекающихся плоскостей, пара совпадаю-
щих плоскостей.
Определение 16.29. Поверхность называется невырожденной, если det Л Д 0.
Невырожденные поверхности: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.
Определение 16.30. Касательная прямая к поверхности F = 0 в неособой точке
Р — прямая, имеющая с поверхностью две общие точки, совпадающие с Р, либо
принадлежащая поверхности.
Теорема 16.31. Множество касательных прямых к поверхности в неособой точке
Р совпадает с плоскостью
Fx(x0, у0, zq)(x <=>т0) + Fy(x0, уо, z0)(y Ф>у0) + Fz(x0, у0, zo)(z ^zo) = 0 (26)
или
(йц®0 + а11Уо + «13^0 + Я1)ж + («12ж0 + а22Уо + ^23^0 + a2)t/ +
+ («13®О + а2зУо + «зз-го + йз)^ + («1®о + а2Уо + «з-го + ао) = 0, (27)
называемой КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ К ПОВЕРХНОСТИ В НЕОСОБОЙ ТОЧКЕ.
Доказательство. Пусть Р = (т0, уо, zo), тогда для прямой (22) Ро = F(P) = О
и точки пересечения находятся из Р2Р + 2РД = 0, так что касание имеет место в
случае Fi = 0, т. е.
аРДР) +/ЗРДР) + 7РДР) = 0.
Это условие является необходимым и достаточным. Аналогично теории кривых
доказывается, что это действительно совпавшие точки при Р2 Д 0 и прямолинейная
образующая, если Р2 = 0. □
Теорема 16.32. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и ги-
перболического параболоида, проходящие через данную точку образуют сечение по-
верхности касательной плоскостью в данной точке.
Доказательство. Прямолинейные образующие являются касательными и, следо-
вательно, лежат в касательной плоскости. Других точек пересечения нет, так как
плоское сечение — кривая порядка не выше двух. □
16.3. Аффинная и метрическая классификация поверхно-
стей второго порядка
Поскольку мы не доказали теоремы единственности для существенных поверх-
ностей, а только теорему единственности канонического уравнения, то мы докажем
классификационные теоремы для сильных эквивалентностей.
Теорема 16.33. Две квадрики в пространстве сильно метрически эквивалентны
тогда и толко тогда, когда они имеют одинаковый канонический вид.
Теорема 16.34. Две квадрики в пространстве сильно аффинно эквивалентны то-
гда и толко тогда, когда они имеют одинаковые названия.
Доказательство теорем дословно повторяет случай кривых, за исключением дока-
зательства аффинной неэквивалентности поверхностей с разными названиями. Про-
ведем его.
Прежде всего заметим, что ранги г и R являются аффинными, а не только ор-
тогональными инвариантами. Поэтому надо доказать неэквивалентность лишь в
пределах каждого из классов (i)-(v).
Точка (мнимый конус), прямая (пара мнимых пересекающихся плоскостей), пара
параллельных, пересекающихся или совпадающих плоскостей, очевидно, аффинно
неэквивалентны ни друг другу, ни другим поверхностям. Для пустых множеств:
мнимый эллиптический цилиндр имеет 1 асимптотическое направление, мнимый эл-
липсоид не имеет асимптотических направлений, пара мнимых параллельных плос-
костей имеет целую плоскость асимптотических направлений.
Кроме того, эллипсоид ограничен в отличие от других нерассмотренных поверх-
ностей. В типе (ii) остался один конус. Для оставшихся имеем
Тип Название Наличие центров Прямолин. образующие
0) однополостный гиперболоид 1 есть
двуполостный гиперболоид 1 нет
эллиптический параболоид нет нет
гиперболический параболоид нет есть
Тип Название Наличие центров Асимптот, направления
(iii) эллиптический цилиндр прямая одно
гиперболический цилиндр прямая две плоскости
параболический цилиндр нет
Теорема доказана. □
17. Элементы проективной геометрии
17.1. Пополнение плоскости
Пополненная плоскость — это плоскость, к которой присоединены некоторые
“бесконечно удаленные” элементы (точки). Именно, каждому несобственному пучку
ставится в соответствие несобственная точка. При этом считается, что собствен-
ный пучок пересекается в собственной точке, а несобственный — в несобственной.
Объединение всех несобственных точек называется несобственной прямой.
Таким образом, выполнены следующие аксиомы:
AI. Через две любые различные точки проходит единственная прямая.
АП. Две любые различные прямые пересекаются в единственной точке.
Если мы забываем про то, что некоторые точки были несобственными, т. е.
присоединенными, то приходим к понятию проективной плоскости.
Для того, чтобы эти аксиомы записать в более симметричном виде, вводится
следующее понятие инцидентности.
Определение 17.1. Точка назывется инцидентной прямой, если точка лежит на
этой прямой. Прямая называется инцидентной точке, если прямая проходит через
эту точку.
Аксиомы примт вид:
AI. Для любых двух различных точек существует единственная прямая, инци-
дентная им.
АП. Для любых двух различных прямых существует единственная точка, инци-
дентная им.
Сформулируем следующий
Принцип двойственности: Если верно некоторое общее утверждение о точках,
прямых и инцидентности между ними на проективной плоскости, то верно и двой-
ственное утверждение, в котором точки и прямые меняются местами.
Мы не будем обсуждать полный набор аксиом, а также непротиворечивость и
так далее. Мы просто построим естественную модель проективной плоскости, для
которой будут выполнены указанные аксиомы и принцип двойственности.
17.2. Связка как модель проективной плоскости
Определение 17.2. Связкой прямых и плоскостей с центром О в трехмерном
простанстве называется множество всех прямых и плоскостей, проходящих через
данную точку О. Обозначаться связка будет той же буквой О. Прямая связки
инцидентна плоскости, если она в ней содержится, плоскость связки инцидентна
прямой, если она через нее проходит.
Определение 17.3. Перспективное соответствие осуществляет взаимно одно-
значное отображение пополненной плоскости на связку, т. е. отображение точек
пополненной плоскости на множество прямых связки, определяемое следующим обра-
зом. Рассмотрим пополняемую плоскость тг как лежащую в трехмерном простран-
стве. Пусть точка О не принадлежит тг и определяет связку. Каждой собственной
точке тг поставим в соответствие единственную прямую связки, проходящую через
нее. Каждой несобственной точке 7Г, т. е. направлению или несобственному пучку
на тг, поставим в соответствие единственную прямую связки, имеющую то же на-
правление.
Очевидно, что выполнены следующие условия.
Предложение 17.4. При перспективном соответствии прямые переходят в плос-
кости и сохраняется отношение инцидентности. Поэтому прямые связки назы-
вают “точками”, а плоскости — “прямыми” данной модели проективной плоско-
сти.
Замечание 17.5. При перспективном соответствии несобственная прямая пере-
ходит в плоскость связки, параллельную 7Г. Таким образом, пополненная плоскость
соответствует связке с выделенной плоскостью, а проективная плоскость — просто
связке.
Пусть теперь Oeie2e3 — произвольный репер с центром в О. Рассмотрим на-
правляющий вектор прямой I из связки О. Допустим, что он имеет координаты
(ад, а?2, а?3). Координаты другого направляющего вектора I будут отличаться от них
ненулевым множителем. Тройка чисел (ад : т2 : а?3), определенная с точностью до
ненулевого множителя называется однородными координатами I относительно ука-
занного репера.
Заметим, что все три числа ад, ад, т3 не могут быть нулевыми одновременно.
Рассмотрим плоскость тг : х3 = 1 и репер Eeie2 в ней, где Е имеет в Oeie2e3
координаты (0,0,1) (см рис. 8).
При соответствии, обратном к перспективному, точке (ад : т2 : ад) с х3 0
отвечает точка плоскости тг с координатами
ЗД ад
X = --5 У = ----•
®з х3
Остальным точкам соответствуют несобственные точки пополненной плоскости 7Г.
Уравнение прямой в однородных координатах имеет вид
одад + одад + а3х3 = 0,
где тройка (ai,a2,a3) определена с точностью до ненулевого множителя, a ai,a2,a3
не обращаются в нуль одновременно. Таким образом, прямая также приобретает
“однородные координаты” (од : а2 : а3).
Если «1 или а2 не обращаются в нуль, то это обычная прямая, пополненная не-
собственной точкой. Если же од = а2 = 0, а3 0, то это несобственная прямая
х3 = 0.
Предложение 17.6. Три точки X, Y и Z проективной плоскости с однородными
координатами (ад : т2 : т3), (гд : у2 : у3) и (zi : z^ : .г3) лежат на одной прямой
тогда и только тогда, когда
X] Х2 Х%
У1 У2 Уз
^1 Z3
Доказательство. Равенство нулю определителя есть условие компланарности со-
ответствующих векторов. □
Теорема 17.7. Для проективной плоскости в модели связки выполнен принцип
двойственности.
Доказательство. Условие инцидентности в координатах записывается в виде
сдад + а2т2 + а3х3 = 0,
симметричном по двум объектам. □
Теорема 17.8 (Дезарга). Пусть на проективной плоскости заданы два тре-
угольника АВС и А'В'С, причем одноименные вершины и стороны, точнее, пря-
мые, их содержащие, не совпадают. Тогда три прямые АА', В В1 и С С пересека-
ются в одной точке в том и только в том случае, если точки пересечения прямых
АВ и А'В', ВС и В'С, АС и А'С лежат на одной прямой.
Доказательство. Обозначим указанные точки пересечения через Р, Q и R,
| =<• | Пусть S — точка пересечения прямых АА', В В1 и СС. Пусть
а, Ь, с, а', У, с', р, q, г, s — некоторые представители (тройки) однородных коорди-
нат точек А, В ,С, А', В',С, P,Q, R, S: а = (од, а2, «з), • • • Тогда для некоторых
а,а',/3,/3',у,у'
' s = аа + а1 а1
< s = рЬАр'У
s = ус + у' с'
Заметим, что для этого необходимо было несовпадение а и а' и т. д. Тогда
и := /36 44ус = у'с'44/3'6'
< v := ус 44а?а = а'а'44у'с'
w := аа 44 Уб = [З'У <&а'а'
Таким образом, и отвечает точке лежащей и на прямой ВС и на В'С, т. е. Q.
Аналогично, v — некоторый представитель координат R, a w — Р. Сложив почленно
равенства, определяющие и, v и w, получим и + v + w = (0,0,0), т. е. точки лежат
на одной прямой (плоскости связки).
| 4= | Переформулируем доказанное утверждение в следующем виде.
Пусть на проективной плоскости заданы две тройки точек АВС и А'В'С, ни
одна из которых не инцидентна одной прямой, обозначим через А, В, С, А', В',
С' прямые, инцидентные В иС,АиС,АиВ, В' и С, А' и С, А' и В', и пусть
А ф А', А ф А', В ф В', В ф В', С ф С, С С'. Обозначим через а, Ь, с прямые,
инцидентные точкам А и А', В и В', С и С соответственно. Обозначим через
А, В, С точки, инцидентные прямым А и А', В и В', С и С' соответственно.
Пусть три прямые а, Ь, с инцидентны одной точке. Тогда три точки А, В, С
инцидентны одной прямой.
По принципу двойственности, мы доказали тем самым следующее двойственное
утверждение.
Пусть на проективной плоскости заданы две тройки прямых АВС и А'В'С',
ни одна из которых не инцидентна одной точке, обозначим через А, В, С, А', В',
С точки, инцидентные В и С, А и С, А и В, В' и С', А' и С', А' и В', и пусть
А А', А А', В В', В В', С С, С С'. Обозначим через А, В, С точки,
инцидентные прямым А и А', В и В', С и С' соответственно. Обозначим через
а, Ь, с прямые, инцидентные точкам А и А', В и В', С и С соответственно.
Пусть три точки А, В, С инцидентны одной прямой. Тогда три прямые а, Ь, с
инцидентны одной точке.
Но это и есть обратное утверждение. □
17.3. Проективные преобразования
Определение 17.9. Всякое аффинное преобразование пространства, оставляю-
щее центр связки О на месте, отображает прямые, проходящие через О в некоторые
другие прямые, проходящие через О. Возникающее таким образом отображение
связки в себя называется проективным.
Непосредственно из определения следует, что проективное преобразование пере-
водит прямые проективной плоскости в прямые, сохраняя отношение инцидентно-
сти.
Если С — матрица аффинного преобразования в репере Oeie2e3, то в соответ-
ствующих однородных координатах проективное преобразование запишется в виде
с11х1 + Cj2T2 + Ci3T3
с31ж1 + с32ж2 + С33Х3
с21ж1 + с22ж2 + с23ж3
с31ж1 + с32ж2 + С33Х3
СцЖ + Ci2J/ + С13
C31T + с32у + С33
С21Ж + с22у + С23
C31T + с32у + С33
(28)
(29)
Фундаментальной четверкой называется четверка точек
где А — произвольный ненулевой множитель. В соответствующих аффинных коор-
динатах на плоскости:
х = —
У = —
Хз
Определение 17.10.
Х^Х^ХзЕ точек проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной
прямой.
В модели связки это четыре прямые, никакие три из которых не лежат на одной
плоскости. Всякая система однородных координат определяет фундаментальную
четверку = (1 : 0 : 0), Х2 = (0 : 1 : 0), Х3 = (0 : 0 : 1), Е = (1 : 1 : 1).
Обратно, каждая четверка тем же способом определяет с точностью до коэффици-
ента пропорциональности однозначно тройку векторов ei, е2, е3. Но пропорциональ-
ность не влияет на тройку однородных координат, которая определена с точностью
до коэффициента. Таким образом, фундаментальная четверка определяет систему
однородных координат.
Задача 17. Пусть Х^Х^ХзЕ и Х'^Х^Х^Е' — две фундаментальные четверки. То-
гда существует ровно одно проективное преобразование, переводящее одну в дру-
гую.
Задача 18. Как следствие, для любой прямой существует проективное преобра-
зование, переводящее ее в несобственную.
Задача 19. Центральная проекция плоскости на плоскость является проективным
преобразованием.
17.4. Проективно-аффинные преобразования
Определение 17.11. Проективное преобразование пополненной плоскости (т. е.
проективной плоскости, у которой выделена несобственная прямая), переводящее
эту выделенную прямую в себя, называется проективно-аффинным.
Очевидно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы две различные несоб-
ственные точки перешли в несобственные. Поскольку прямая переходит в прямую,
в частности, несобственная, то никакая собственная точка не может отобразиться
в несобственную. Поэтому можно дать следующее определение.
Определение 17.12. Обозначим через /0 ограничение f на собственные точки,
т. е. непополненную плоскость. Тогда /0 отображает непополненную плоскость на
себя.
Предложение 17.13. Отображение f0 является аффинным.
Доказательство. Пусть введены однородные координаты и х3 = 0 — несобствен-
ная прямая. Пусть f имеет матричную запись
Аад = СцЖ1 + C12T2 + C13T3
Ат2 = C21T1 + С22®2 + с23ж3
Атз = C31T1 + C32T2 + C33T3
Если при любых ад и х2 из х3 = 0 следует щ = 0, то с31 = с32 = 0 и из (28) и (29)
получаем
Сц , С12 , С13 —X Н у Н
Сзз Сзз Сзз
С21 —X . С22 + —У + С23
Сзз Сзз Сзз
□
17.5. Проективная прямая
Проективная прямая (прямая, пополненная одной точкой) определяется анало-
гичным образом. Роль модели связки теперь играет собственный пучок прямых на
плоскости, так что его прямая, параллельная пополняемой прямой, соответствует
бесконечно удаленной точке. Проективное преобразование в однородных координа-
тах записывается формулами
Аад
Аад
с11х1 + с12ж2
с12ж1 + с22ж2 ’
det С = det Цс^Ц 0.
Простое отношение трех различных точек А1} А2 и А3 на прямой — это такое
число А, что А1А3 = А • А2А3. Обозначение: А = 1 3.
И2А3
Двойное (или сложное) отношение четырех различных точек А4, А2, А3 и А4 на
прямой — это
Л4А4
А2А4
(AiA2A3A4) 13
В аффинных координатах
(А1А2А3А4) —
Х4
х4 -Ф=>т2
х3 Ф>т2
Очевидны свойства двойного отношения:
1) (Й1.1А2А3А4) = (А3А4А1А2),
2) СКЫКД,) = {А1А2АзА4у
Доопределим двойное отношение
:= д-г
х3 Ф>т2
Лемма 17.14. В соответствующих однородных координатах (х : у):
(А1А2А3А4) —
Х4 Хз У1 Уз
Х2 Хз У2 Уз
х4 х4 У1 У4
Х2 Х4 У2 У4
Доказательство. Правая часть определена корректно, т. е. не меняется при заме-
нах (ж,-, yi) —> (Ажг-, Xyi) и совпадает с формулой в аффинных координатах при уг- = 1,
причем, если у4 = 0, то имеем формулу для (AiA2A3oc). □
Теорема 17.15. Двойное отношение четырех точек на проективной прямой не
зависит от выбора однородных координат.
Доказательство.
При замене вида А
имеем
det С
Подставляя, видим, что Аг- и det С сокращаются. □
Следствие 17.16. Двойное отношение не меняется при проективных преобразо-
ваниях прямой.
Простое отношение не сохраняется при проективных преобразованиях (в отличие
от аффинных). Более полный ответ дает следующая теорема.
Теорема 17.17. Для любых двух троек различных точек Ai,A2,A3 и А{, А'2, А'3
на прямой существует и единствено такое проективное преобразование f, что
/(АД = А', г = 1,2,3.
Доказательство. В модели пучка прямых выберем на прямых вектора так, что
е2 = ei + е3, е'2 = е^ + 63 (см. рис. 9). Проективное преобразование отвечает паре
Рис. 9.
реперов Об1б3 и О'е^бз-
Докажем единственность. Пусть имеется наряду с построенным преобразова-
нием р> и другое — ф. Тогда имеется точка Д4, такая, что </?(А4) ф Д(А4). Но поло-
жение образа точки А4 полностью определяется двойным отношением А4 с А4, А2, А3,
так как двойное отношение инвариантно при замене координат, а следовательно, и
при преобразовании. □
Лемма 17.18. Пусть Ц (? = 1,2,3,4) — четыре прямые из одного пучка на про-
ективной плоскости, а прямая I этому пучку не принадлежит. Обозначим точки
пересечения I с Ц через Ai (г = 1,2,3,4). Тогда двойное отношение (ЛДДзф)
зависит лишь от Ц и не зависит от I.
Доказательство. Если рассмотреть другую прямую, то лучи пучка осуществляют
проективное преобразование (центральная проекция), переводящее точки пересече-
ния с I в точки пересечения с другой прямой. По теореме 17.15 двойное отношение
сохраняется. □
17.6. Кривые второго порядка на проективной плоскости
Кривая второго порядка на проективной плоскости определяется как однородное
уравнение второго порядка в некоторой однородной системе координат:
q(x) = ац(т1)2 + 2«i2TiT2 + й22(®2)2 + 2ai3®i®3 + 2«23ж2жз + °зз(жз)2 = 0.
Очевидно, что при проективном преобразовании она перейдет в кривую второго
порядка, и что определение корректно, т. е. не зависит от умножения тройки одно-
родных координат на ненулевой множитель.
По той же теореме из линейной алгебры, которой мы пользовались, когда гово-
рили о поверхностях, существует такая проективная замена координат, что в новой
системе уравнение примет вид
q'(x') = А1(т'1)2 + A2(t')2 + А3(4)2 = 0.
В зависимости от знаков Аг- возможны пять случаев:
|~Т~| А1 и А2 одного знака, а А3 — противоположного, заменой базиса уравнение
приводится к виду
КТ + КТ КТТ = о.
К все Xi одного знака, уравнение приводится к виду
КТ + КТ + КТ = о.
|Т А3 = 0, a Ai и А2 разных знаков, тогда
(ТТ ^К')2 = о.
К А3 = 0, a Ai и А2 одного знака, тогда
(ТТ + Т')2 = о.
ITK = Аз = 0, тогда
КТ = о.
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 17.19. Существует система однородных координат,
в которой данная
кривая
т
£
У
второго порядка имеет
К)2 + (т2)2 Кжз)2 = 0
К)2 + (т2)2 + (т3)2 = о
К)2 <^>(т2)2 = 0
К)2 + К)2 = о
К)2 = 0
один из следующих видов:
(овал)
(мнимый овал)
(пара различных прямых)
(пара мнимых прямых)
(пара совпавших прямых)
Теорема 17.20. Существует ровно пять указанных классов эквивалентности
кривых второго порядка относительно проективных преобразований.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы нужно только показать, что кри-
вые из разных классов неэквивалентны. Это следует сразу из того, что прямые
переходят в прямые и что ранг матрицы сохраняется. □
Замечание 17.21. Как мы уже видели, аффинное преобразование — это про-
ективное, переводящее несобственную прямую в несобственную, и ограниченное
на собственные точки. Таким образом, проективные классы могут содержать не-
сколько аффинных. Именно, овал — это эллипс, гипербола и парабола, мнимый овал
— мнимый эллипс, различные прямые — параллельные или пересекающиеся прямые,
аналогично для мнимых. При этом эллипс — овал, не пересекающий несобственную
прямую, гипербола — овал, пересекающий несобственную прямую, парабола — овал,
касающийся несобственной прямой.